WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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CALCUL DE RÉSISTANCE

DES

PONTS ET VIADUCS MÉTALLIQUES

à. poutres droites d’après LA CIRCULAIRE MINISTÉRIELLE DU 29 AOUT 1891

OUVRAGES DU MÊME AUTEUR

Expressions analytiques et tables des moments d’inertie et des moments résistants des sections pleines. Calcul de la longueur des semelles additionnelles. Paris, 1879

Calcul des résistances des poutres droites à plusieurs travées : lrc et 2° parties. — Équations générales. (Extrait des Annales des ponts et chaussées, février 1882)

3e partie. — Équations des courbes-enveloppes, des moments fléchissants et des efforts tranchants. (Extrait des Annales des ponts et chaussées, août 1884)

3 fr.

4 fr.

4 fr.

AIS

CALCULS DE RÉSISTANCE

DES

PONTS H VIADUCS MMLII«

A POUTRES DROITES d’après la circulaire ministérielle du 29 août 1891

PAR

Maurice HULEWICZ

Ingénieur

Ancien élève de l’École des Ponts et Chaussées

dur

Ę Cff«tiichan Arbeit«

LIBRAIRIE POLYTECHNIQUE BAUDRY ET C“, ÉDITEURS 15, RUE DES SAINTS-PÈRES, 15

MAISON A LIEGE, RUE DES DOMINICAINS, 7 1894

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BIBLIOTEKA POLITHOUÜ18ZSA

KRAKÓW

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Avant-propos

TABLE DES MATIÈRES

Pages.

xi

PREMIÈRE PARTIE

Résistancb des poutres métalliques a l’effort de glissement longitudinal

Exposé

I. — Expressions générales

Théorie de l’effort de glissement longitudinal

Application aux poutres droites...........

Résistance de l’âme verticale..............

Résistance des rivets d’attache..............

II. — Calcul des moments d’inertie

Méthode des calculs.........................................

a)    Moments d’inertie des sections pleines........................

Tableau I. Moments d’inertie des deux cornières..................

Tableau II. Moments d’inertie des semelles.......................

Tableau 111. Valeurs numériques des moments d’inertie de l’âme pleine. Tableau IV. Valeurs numériques des moments d’inertie des deux cornières Tableau V. Valeurs numériques des moments d’inertie des semelles. . .

b)    Moments d’inertie des vides................................

Composition de la section transversale de la poutre.................

Tableau VI. Proportions de la section transversale.................

Tableau VII. Moments d’inertie des vides horizontaux des cornières et

de l’âme.................................................

Tableau VIII. Valeurs numériques des moments d’inertie des vides verticaux des cornières...................................

Tableau IX. Valeurs numériques des moments d’inertie des vides horizontaux .................................................

11

13

15

16

18

19

21

22

26

28

29

30

31

III. — Calcul des moments m

a) Moments des sections pleines..........................

Tableau X. Moments des deux cornières....................

Tableau XI. Moments des semelles.......................

Tableau XII. Valeurs numériques des moments dg l’àme pleine

33

34

35

Tableau XII. Valeurs numériques des moments de deux cornières.....

Tableau XIV. Valeurs numériques des moments des semelles.........

b) Moments des vides........................................

Tableau XV. Moments des vides horizontaux......................

Tableau XVI. Valeurs numériques des moments des vides verticaux ... Tableau XVII. Valeurs numériques des moments des vides horizontaux.

Exemple....................................................

Effort de glissement sur les culées...............................

—    — sur les piles...............................

Moyens à employer pour réduire le travail des rivets...............

Pages.

87

39

40

42

44

45

46

49

50

51

DEUXIÈME PARTIE

Résistance des poutres des ponts et viaducs métalliques sous l’action des surcharges mobiles

Exposé

I. — Équations générales

Courbe-enveloppe des moments fléchissants produits par les charges mobiles

Considérations générales..........................................

Moments fléchissants maxima....................................

Calcul des portées applicables..........r........................

Détermination de la charge n°/c..................................

Courbes-enveloppes des moments fléchissants.......................

Calcul des abscisses des points d’intersection des éléments de cette

courbe........................................................

Valeurs des moments fléchissants aux points d’intersection...........

Courbe-enveloppe des efforts tranchants

Limites des plus grandes valeurs de l'effort tranchant................

Efforts tranchants aux points d’intersection des éléments de la ligne enveloppe.......................... ........................

II. — Résistance des poutres supportant les voies ferrées Définition fies changes

54

r- co — oo ao

ŁO 20 CO CO CO

Charges du train-type...........................

Charges du train théorique de la Compagnie de l’Ouest — du train-type à voie étroite...............

75

76

77

Moments fléchissants maxima

78

Formules fondamentales.......................................

Tableau 1. Moments des charges pris par rapport à l’essieu n° k, placées à sa gauche.    .............................

Formules générales

108

Ligne-enveloppe des efforts tranchants

Tableau VII. Efforts tranchants maxima produits par le train-type.. . .    111

117

Tableau II. Abscisses x' et moments fléchissants maxima produits par

le train-type................................................

Tableau III. Mêmes quantités correspondant au train théorique........

Tableau IV.

Courbes-enveloppes des moments fléchissants.......................

Tableau Y. Courbes-enveloppes des moments fléchissants produits par

le train-type.............................................

Tableau VI. Courbes-enveloppes des moments fléchissants produits par le train théorique.............................................

au train à voie étroite,

Pages

82

84

86

87

90

99

Efforts tranchants maxima

Tableau VIII. Efforts tranchants maxima produits par le train théorique. 114 Tableau IX. Efforts tranchants maxima produits par le train type à voie étroite

lit. — Résistance des poutres des ponts-routes Définition des charges

Types des convois............’................... .

Répartition des charges sur la coupe transversale du pont

Moments fléchissants maxima

Calcul des abscisses x’.........................................

Tableau X. Chariots de 6 t. Moments des charges pris par rapport à la

charge n° le, placées à sa gauche..............................

Tableau XI. Mêmes moments de charges du convoi de chariots de 16 t. Tableau XII. Abscisses x’ et moments fléchissants maxima dus au passage des tomberaux de 61..................................

Tableau XIII. Abscisses x' et moments fléchissants maxima dus au passage des chariots de 16 t......................................

124

126

127

128

131

Efforts tranchants maxima

Formules générales.............................................

Tableau XIV. Efforts tranchants maxima produits par le convoi de tombereaux de 6 t..............................................

Tableau XV. Efforts tranchants maxima produits par le convoi de chariots de 16 t................................................

CO

tC*'

co

CO

a>

IV. - Courbes-enveloppes approximatives Courbes-enveloppes des moments fléchissants

142

Définition de la courbe Équation générale., . .

Calcul de la longueur des semelles additionnelles

Cas de charges uniformément réparties.................

Cas de surcharges mobiles, courbe exacte...............

—    —    courbe approximative.........

Pages.

146

147

148

Ligne-enveloppe des efforts tranchants

Définition et formule générale.

Y. — Exemple comparatif

150

Données du problème

'.v.

151

— Courbe-enveloppe des moments fléchissants Calcul par la méthode exacte

Moment fléchissant maximum.........

Composition de la courbe-enveloppe exacte Équations des éléments de cette courbe. . . Longueur de3 semelles additionnelles ....

152

153

156

158

Calcul par la méthode approximative

Équation de la courbe-enveloppe. . . Longueur des semelles additionnelles

161

162

Ligne-enveloppe des efforts tranchants Calcul par la méthode exacte

Équation générale..................

Équation des éléments de la ligne-enveloppe

163

164

Calcul par la méthode approximative

Équation de la ligne-enveloppe...............

Tableau comparatif des valeurs des efforts tranchants. Conclusion.............................

165

166

166

TROISIÈME PARTIE

Calcul des flèches des poutres droites a section variable

169

Exposé .

I. — Poutres a plusieurs travees

H**

—J —4 *0

Équation fondamentale. . . Poutres à section constante

Poutres à section variable. — Cas d’une semelle additionnelle

Cas de plusieurs semelles additionnelles'..............

Cas de demi-travées chargées.....................

Pages.

173

176

178

II. — Poutres a une travée

Flèches produites par la charge uniformément répartie............

Flèches produites parles surcharges mobiles. —Cas d’une semelle additionnelle........................................

Cas de plusieurs semelles additionnelles.....................

Conditions pour obtenir la plus grande valeur de la flèche.........

180

180

18*

185

III. — Applications

1. — Poutres à trois travées

Données générales.........

Flèche dans la travée centrale. . — les travées de rive

187

188

190

2. — Poutres à une travée

Données générales................

Flèche due à la charge permanente.....

— produite par les surcharges isolées.

CO CO CO

CO to ^

CHAPITRE ADDITIONNEL

Circulaire ministérielle n° 4

196

Instructions pour l’application du règlement

Ponls supportant des voies de fer. . Ponts supportant des voies de terre Ponts-canaux................

197

202

203

Règlement

I.    Ponts supportant des voies de fer. .

II.    Ponts supportant des voies de terre.

III.    Ponts-canaux métalliques......

IV.    Dispositions diverses..........

204

211

214

AVANT-PROPOS

Les modifications introduites dans les calculs de résistance des ponts et viaducs métalliques, par la circulaire ministérielle du 29 août 1891, portent principalement sur les points suivants :

D’après l'article 2 du règlement, le travail du métal doit être calculé pour les sections nettes des pièces considérées, déduction faite des trous de rivets.

Les calculs justificatifs de la rivure seront fournis à l’appui des projets.

Les ouvrages à travées métalliques doivent présenter une résistance suffisante, sous Faction des charges déterminées par les articles 4, 13 et 17 de ce règlement.

Ensuite, d’après l’article 7 du règlement, on doit fournir à l’appui des projets le calcul des flèches sous l’action de la charge permanente et de la surcharge.

Dans les trois parties, dont se compose l’ouvrage actuel, nous traitons ces questions répondant au programme de la circulaire ministérielle, et nous en donnons la solution par la méthode analytique.

Les équations générales établies dans chaque partie, et une série des coefficients numériques permettent de déterminer rapidement les efforts maxima des poutres métalliques.

La première partie renferme l’évaluation de l’effort de glissement longitudinal, nécessaire pour déterminer la résistance de l’âme verticale pleine, et le travail de rivets d’attache des cornières longitudinales.

Cet effort, calculé d’après les formules générales de M. Collignon(1 ) et de M. Bresse (2), est exprimé par la formule simple

dO =

A dx

—j— m.

Les tables numériques de cette partie donnent les valeurs des moments d’inertie I et des moments m des surfaces des sections transversales des poutres composées, pour les hauteurs variant de 0,30 m à 3 m.

La deuxième partie traite de la résistance des poutres des ponts et viaducs métalliques aune travée, sous l’influence des surchages mobiles.

Cette partie contient les expressions des moments fléchissants et des efforts tranchants, sous la forme simplifiée suivante :

Pour les moments fléchissants maxima M' au droit de l’essieu portant n° k.

M' = — b + ex’ 2.

L’abscisse x', désignant la distance de l’essieu n° k de l’appui de gauche, se calcule par la formule ci-après, où la quantité B est constante pour le même nombre des charges.

Xf =

- + *•

Pour les efforts tranchants maxima A au droit de l’essieu n°l ayant pour abscisse a.

— d.

„I — a A = n ——

Ces expressions appliquées aux surcharges de la circulaire ministérielle forment les tableaux analytiques II à IV et Vil à XV de la deuxième partie, dans lesquels les coeffi-

(1)    Cours de mécanique appliquée aux constructions, 3e édition, page 225.

(2)    Cours de mécanique appliquée, lre partie, page 71, cients b, e, d et s se trouvent tout calculés pour chaque système comprenant un nombre déterminé de charges.

Ce nombre, variant de 3 à 38, renferme ainsi toutes les portées l jusqu’à 100 m pour le train-type, le train théorique de la Compagnie de l’Ouest, et pour les convois de chariots de 0 t et de 16/.

En ce qui concerne le train-type prévu par le règlement pour la voie étroite de 1 m de largeur, le nombre de charges considéré varie de 4 à 20 et 25 ; la plus grande portée applicable est dans ce cas de 66,40 m pour les moments fléchissants, et de 67,50 m pour les efforts tranchants.

Les tableaux V et VI de cette partie renferment les équations des éléments de la courbe-enveloppe des moments fléchissants, les abscisses des points d’intersection des courbes successives, et les valeurs des moments en ces points.

Dans l’établissement de ces formules, nous supposons comme connus les théorèmes suivants.

a)    Les moments fléchissants maxima produits par un système de charges isolées correspondent aux points d’application de ces charges (1).

b)    Th. de M. Barré relatif à l’emplacement le plus défavorable du train sur les poutres (2).

Le chapitre suivant de la deuxième partie donne l’équation de la courbe-enveloppe approximative que nous proposons de substituer à la courbe exacte ; il renferme, en outre, les formules servant à calculer la longueur des semelles additionnelles.

L’exemple numérique placé à la suite contient les courbes-enveloppes calculées par la méthode exacte et par la méthode approximative. Les résultats des calculs représentés graphiquement sur la planche, qui se trouve à la fin

(1)    Voir pour la démonstration, Cours de mécanique appliquée, de M. Coliignon, pages 155 et 156.

(2)    Même ouvrage, page 166.

du volume, montrent, parla superposition de deux courbes, la différence qui existe entre leurs ordonnées.

Dans la troisième partie se trouvent développées les formules donnant les (lèches prises sous l’action des charges par les poutres droites :

a)    A section constante ;

b)    A section rendue variable par l’addition des semelles supplémentaires.

Pour les poutres àplusieurs travées, les flèches sont exprimées en fonction des charges uniformément réparties.

Pour les poutres à une travée, les expressions des flèches sont établies dans l’hypothèse de charges uniformément réparties et dans l’hypothèse des surcharges isolées.

Les constantes, qui entrent dans l’expression de la ligne moyenne déformée, sont calculées par la méthode de M. Collignon. Cette méthode suppose qu’aux points d’application des charges, les tronçons delà ligne moyenne déformée doivent se raccorder tangentiellement.

Nous avons appliqué cette condition également aux points de variation de la section transversale de la poutre.

Les exemples numériques qui terminent celte partie donnent le détail de l’application des formules générales.

Le chapitre additionnel, à la fin du volume, reproduit textuellement la circulaire et le règlement ministériels du 29 août 1891.

Paris, le 1er février 1894.

M. Huléwicz.

CJ

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OS ÎS OO

ERRATA

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lire :

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I    05    05 05 O)    O)    05 Üï    CO

I    OO    »-4 CO tO    ■-*“    O CD    CO

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du mois de février dernier, col. 30 a'c, -(- ol’c,

page 117 a’c, -f a"ct

Yx = à laquelle

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CO    H* CJ H— NJ

dès que la l’iufluence de

égalisant

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à l’emplacement de laquelle

dès que le rang de la les termes relatifs à

h =

égalant

M. Sévy

H»    *-*•

I    1    I    ^ IO to K)    OO    -4 ^1 Cî

I    I    I    O Ü! it' O    ^ CD    -40CD

Cî> O CO CO CO <M CO

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supprimer les mots : en remontée tendus

lire :

M. Lévy, IVe partie page 334. ce point, rencontré tenders

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174,85    —

supprimer : col. 93-94.

lire :

123 et 124

donc à la

«'* et — Jb

2 X

a

) ix.

176,85

126 et 127 donc égal à la

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x’* et -j- Jj/b

) 2 x’.

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:

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i.

CALCULS DE RÉSISTANCE

DES

PONTS ET YIADUCS

D’après la circulaire ministérielle du 29 août 1891.

PREMIÈRE PARTIE

RÉSISTANCE DES POUTRES MÉTALLIQUES A L’EFFORT DE GLISSEMENT LONGITUDINAL

SOMMAIRE

EXPOSÉ

I. — Expressions générales

Théorie de l'effort de glissement longitudinal. — Application aux poutres droites. — Poutres homogènes. — Poutres composées. — Résistance de l’âme verticale. — Résistance des rivets horizontaux. — Résistance des rivets verticaux.

II. — Calcul des moments d’inertie.

(a)    Moments d'inertie des sections pleines. — Expressions générales. — Tableaux des valeurs numériques des moments d’inertie pour les poutres de 0,30 m à 3 m de hauteur.

(b)    Moments d'inertie des vides. — Emplacement des vides. — Moments d’inertie des vides verticaux. — Moments d’inertie des vides horizontaux.

(c) Composition de la section transversale d'une poutre. — Dimensions de J’âme. — Des cornières. — Des semelles. — Tableau des proportions de la section transversale. — Valeurs numériques des moments d’inertie des vides. — Application.

III, — Calcul des moments m

(a)    Moments des sections pleines. — Expressions générales. — Tableaux des valeurs numériques pour les poutres de 0,30 m â 3 m de hauteur.

(b)    Moments des vides. — Vides des rivets verticaux. — Vides des rivets horizontaux. — Tableau des expressions générales des moments des vides. — Tableaux des valeurs numériques.

IV. — Exemple

Calcul de résistance à l'effort de glissement longitudinal d'une poutre à trois travées. — Effort tranchant. — Résistance de l’àme verticale. —Résistance des rivets d’assemblage.

EXPOSÉ

Les dimensions de l’âme verticale, ainsi que le nombre et le diamètre des rivets qui réunissent les diverses pièces entrant dans la composition d’une poutre en tôle, doivent être déterminés de manière à résister dans de bonnes conditions à l’effort de glissement longitudinal.

La détermination de la résistance à cet effort étant prescrite par l’art. 2 de la nouvelle circulaire ministérielle, les calculs correspondants doivent faire partie de la note générale des calculs de résistance à l’appui des projets des ponts et viaducs métalliques,

Les calculs à effectuer pour arriver aux résultats indiqués par cette partie de la circulaire ministérielle sont longs et laborieux. En effet, l’expression générale de l’effort de glissement comprend celles du moment d’inertie I et du moment m de la section nette, c’est-à-dire de la section dont on a déduit les vides correspondant aux trous des rivets.

La détermination de ces deux dernières quantités exige un calcul préalable assez long, et ce n’est qu’à la fin de celui-ci qu’on constate que le travail de l’âme verticale, ou des rivets d’attache dépasse la limite prescrite. Dans ce cas, les dimen-tions de la poutre doivent être modifiées et les calculs refaits.

EXPOSE

Ces inconvénients peuvent être évités. En effet, ayant une marche générale à suivre, et un recueil des formules et tables permettant d’obtenir sans difficulté les dimensions transversales de la section, ainsi que les valeurs numériques des facteurs entrant dans l’expression de l’effort de glissement^ s’appliquant à un grand nombre de cas, on pourrait simplifier dans une notable mesure la solution du problème.

C’est ce programme que nous croyons utile de développer dans le présent mémoire.

Ce mémoire comprend trois chapitres principaux.

Dans le premier se trouvent développées les expressions générales de l’effort de glissement longitudinal, avec des applications aux cas particuliers.

Le deuxième chapitre comprend les moments d’inertie des poutres composées en fer ayant la forme d’un double T.

La première partie de ce chapitre est relative aux sections pleines, et la deuxième aux vides des rivets à déduire, pour avoir le moment d’inertie d’une section nette. A la finde chacune de ces parties se trouvent les tableaux des valeurs numériques des moments d’inertie des poutres droites pour les hauteurs comprises entre 0,10 m et 3 m.

Le troisième chapitre renferme dans le même ordre les expressions générales et les valeurs numériques des moments m.

Enfin un exemple numérique termine ce mémoire. Cet exemple donne les détails de l’application des résultats établis dans les chapitres précédents, au calcul de résistance d’une poutre droite à l’effort de glissement longitudinal.

I. - EXPRESSIONS GÉNÉRALES

Théorie de l’effort de glissement longitudinal

Les tensions longitudinales dans une poutre produits par les moments fléchissants ont pour conséquence de faire naître une tendance des fibres à glisser les unes sur les autres dans le sens de leur longueur.

Cette tendance au glissement est tenue en équilibre dans les pièces homogènes par une force élastique qui est la résistance tangentielle des fibres.

Dans les pièces composées, cette force est équilibrée par la résistance au cisaillement des rivets d’assemblage.

Considérons une portion de la poutre comprise entre les deux plans infiniment voisins définis par leur abscisse æ et x-\- dx normaux au plan de la ligne moyenne GG (fig. 1).

T-

°i ⁹!

ji___ï

.t_G

JL

Fig. 4.

k-

Menons parallèlement à ce plan deux plans infiniment voi sins ayant pour ordonnées v et v-\-dv à partir du plan GG et désignons par a la largeur de la section qui correspond à l’ordonnée v. Ces deux plans détermineront, dans la section transversale de la poutre ayant pour abscisse un élément infiniment petit dont la surface est adv.

La tension par unité de surface de l’élément ainsi défini, produite par le moment fléchissant M est, d’après la formule connue dans laquelle I représente le moment d’inertie de la section entière :

Mu

(1)

La tension sur l’élément entier sera par suite :

(2)

j M J R adv = — avdv.

Ceci posé, pour déterminer l’intensité de l’effort de glissement 0 suivant un plan parallèle à la ligne moyenne ayant pour ordonnée v', il faut prendre la somme des glissements partiels compris entre ce plan et le plan tangent parallèle, à la partie supérieure de la section dont l'ordonnée est v". Nous aurons par conséquent :

(3)

-l s

rv" 1) f

avdv.

Dans la section voisine de la poutre ayant pour abscisse x + dx, l’effort de glissement prendra une intensité 6 + rf6.

Ainsi la partie considérée de la section est sollicitée par une tension égale à la différence.

0 + rfO — 0 = d0.

On a donc, en prenant la dérivée de l’équation (3), l'expression de l’effort de glissement dans le cas le plus général, sous la forme suivante :

(4)

, dM dx d0 — ——

di\

r"

Jv’

,    M dx

avdv -|--—

r" da j

i •=*

+ r(

a"v"dv" — a’v’dv’

)-“f

%) V ⁹

avdv.

Dans les applications, on donne généralement les mêmes dimensions transversales aux poutres sur toute leur longueur, en ne faisant varier que les dimensions verticales, soit dans la hauteur de l’âme, soit dans l’épaisseur des semelles.

Dans ce cas on a :

da

dx ~ °'

Par suite la formule générale devient en remarquant que

dm

— — A, A étant l’effort tranchant. dx

(5)

Ad.r

M /

avdv -j- — I a"v"dv" —

a’v’dv

v"

avdv.

Enfin dans le cas des poutres droites à section constante unique, ou à une série de sections constantes, on a I constant dans la portion considérée de la poutre et, par suite :

dv" — o et dv’ = o.

En conséquence l’expression générale, se réduisant à son premier terme, devient:

(6)

dO =

A dx

■*v"

avdv.

L’intégrale de cette expression représente la somme des moments par rapport à la ligne moyenne des diverses parties de la section comprises entre les ordonnées v" et v'.

Désignant par m cette somme des moments, nous aurons dans le cas considéré l’expression générale suivante :

(1)

Adr

dO = —■— m.

La valeur de cette expression, pour la même section de la poutre, croît avec le moment m c’est-à-dire en sens inverse de l’ordonnée v' ; elle atteint par suite le maximum pour v' — o, ce qui a lieu pour le plan de la ligne moyenne.

Au contraire l’effort de glissement décroît avec le moment m à mesure que l’ordonnée v' augmente, et il devient nul pour la valeur extrême de cette dernière v' — v".

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

Application aux poutres, droites.

Poutres homogènes. — Lorsque la poutre forme une pièce homogène, comme par exemple les poutrelles en fer laminé, dans ce cas il suffit de vérifier la résistance à l’effort de glissement de lame verticale, suivant le plan de la ligne moyenne, où cet effort est maximum.

Cette résistance se détermine sans difficulté, car ces poutrelles sont employées généralement avec la section pleine ; par conséquent, on trouve leurs moments d’inertie tout calculés soit dans les albums des fers, soit dans les tables qui se trouvent dans les recueils de formules.

Quant aux moments m, comme la section correspondante de la poutrelle peut toujours se réduire aux deux rectangles, leur détermination peut se faire très rapidement.

Poutres composées. — Dans le cas des poutres composées de tôles et des cornières, les calculs sont plus compliqués à cause de la grande variété dans les dimensions transversales de la section.

On commencera par vérifier la résistance de l’âme verticale à l’effort de glissement maximum.

Ensuite, la section n’étant pas homogène, il est nécessaire de s'assurer de la résistance suffisante suivant les plans de jonction des diverses parties composant cette section, pour qu’on puisse la considérer comme homogène dans les limites de travail prescrites par la circulaire ministérielle.

Cette dernière condition peut être considérée comme obtenue, lorsque le travail des rivets d’assemblage au cisaillement reste inférieur aux limites indiquées par la même circu-faire.

Il résulte de laque, dans le calcul de résistance d’une poutre à l’effort de glissement longitudinal, on doit déterminer l’intensité de celui-ci pour les trois positions ci-après :

a) Suivant le plan de la ligne moyenne pour avoir la résistance de l’âme verticale ;

b)    Suivant les deux plans de contact des cornières avec l’âme verticale pour obtenir la résistance des rivets horizontaux ; et, enfin

c)    Suivant le plan inférieur des semelles, ce qui permettra de calculer la résistance des rivets verticaux.

Nous allons appliquer la formule générale (7) à ces trois

cas.

Résistance de l'âme verticale — L’intensité maximum de l’effort de glissement longitudinal s’exerce, comme nous l’avons vu, suivant le plan de la ligne moyenne. Cet effort tend à faire glisser toute la partie supérieure de la section située au-dessus de la ligne moyenne, sur la partie qui se trouve au-dessous de cette ligne.

Si l’on^ désigne par ma mc et m les moments par rapport à la ligne moyenne de l’âme, des cornières et des semelles, on aura dans le cas considéré, pour déterminer l’intensité de l’effort de glissement, l’expression suivante :

(8)

d6 =

— \ma + m +ms ).

L’effort ainsi déterminé doit être équilibré par la résistance de l’âme verticale dont la section résistante, suivant le plan de la ligne moyenne, est :

O = edx

e étant l’épaisseur de l’âme et dx représentant ici l’unité de longueur.

Le travail maximum par millimètre carré R de la section résistante sera donné par la formule suivante :

(9)

de

R

io° e.

Ce travail ne doit pas dépasser les limites indiquées par la circulaire ministérielle, page 16.

Ces limites, en ce qui concerne le fer, sont de:

4k,40 pour les pièces de pont, et pour les longerons et entretoises sous-rails.

5k, 20 pour les poutres se trouvant en dehors des rails.

Résistance des rivetshorizontaux. — Ces rivets doivent résister à l’elfort qui tend à faire glisser l’ensemble de la semelle et des cornières sur l'ame verticale.

L’expression du moment m ne comprenant dans ce cas que les termes mc et ms, l’intensité de l’effort de glissement sera donnée par l’expression suivante :

(10)

A dx

d9 =-

mc + m

Dans cette expression dx indique l’espacement d’axe en axe des rivets horizontaux des cornières dans le sens longitudinal, les autres lettres conservant la même signification que dans le cas précédent.

L'effort de glissement déterminé par la formule (10) doit être équilibré par la résistance au cisaillement d’un rivet travaillant en double section, puisque le cisaillement de ce rivet s’opère suivant deux surfaces de contact des cornières à l’âme verticale.

Si l’on désigne maintenant par w la section transversale de ce rivet, le travail maximum par millimètre carré de deux sections sera donné par la formule suivante :

(11)

2 W K)⁸

Les limites de ce travail doivent être les mêmes que celles de l’âme verticale indiquées plus haut.

Résistance des rivets verticaux. — Ces rivets attachent les semelles de la poutre aux cornières; il, doivent résister à l’effort qui tend à faire glisser les semelles suivant leur plan inférieur sur les cornières.

La valeur du moment m se réduit ici au dernier terme de

l'expression (8) entre les parenthèses ; par suite cette expression devient :

(12)

A dx

r/0 =r- mx.

L’effort de glissement ainsi déterminé doit être équilibré par la résistance au cisaillement des rivets verticaux qui se trouvent dans le même plan transversal. Pour les poutres composées de quatre cornières, ces rivets, dans la partie considérée de la section, sont au nombre de deux.

Désignant par <o la section transversale d’un de ces rivets, on obtient pour déterminer leur travail maximum par millimètre carré l’expression analogue à celle du cas précédent, soit :

2 ta io⁶’

La dernière expression de l'effort de glissement est rarement employée. En effet, dans la construction courante, on emploie généralement les cornières à branches égales, et par suite on donne le même diamètre et le même espacement aux rivets d’assemblage de deux branches des cornières.

Or l’effort de glissement calculé par les deux dernières expressions (10) et (12) est plus grand dans le premier cas que dans le dernier à cause de la plus grande valeur du moment correspondant m.

11 suffit, par conséquent, de vérifier la résistance des rivets horizontaux; et, si ces derniers se trouvent dans de bonnes conditions de résistance, on peut en conclure, sans faire de nouveaux calculs, que les rivets verticaux se trouveront dans des conditions encore meilleures.

La dernière expression de l’effort de glissemenlnepeut s'appliquer qu’en cas où l’on se trouve obligé de recourir aux cornières à branches inégales.

Dans ce cas, les plus longues branches placées verticalement reçoivent deux rangées de rivets qui les attachent à l’âme de la poutre, tandis que les plus courtes branches ne se

trouvent attachées aux semelles que par une rangée de rivets.

Mais cette disposition se rencontre rarement, et elle ne paraît pas satisfaisante; car, dans ce cas, on est obligé, soit d’espacer hors de proportion les rivets verticaux, soit de les placer presque en face des rivets horizontaux, ce qui donne un assemblage moins résistant que dans le cas des cornières àbranches égales.

Application des expressions générales. — Les expressions de l’effort de glissement longitudinal déterminées ci-dessus (8) (10) et (12) contiennent celles de l’effort tranchant A, du moment m et du moment d’inerlie I.

La valeur numérique de l’effort tranchant se détermine sans difficulté dans chaque cas particulier. Dans les applications aux poutres droites on prendra le maximum de cet effort qui s’exerce au droit des appuis.

Quant à la déterminalion des deux derniers facteurs qui forme la partie la plus aride du problème, comme nous l’avons dit au commencement, les simplifications proposées font partie des deux chapitres suivants.

Nous croyons ainsi avoir rendu pratiques les expressions générales de ce chapitre.

II. — CALCUL DES MOMENTS D’INERTIE

La section transversale d une poutre à double T étant formée d’une série de rectangles, le moment d’inerlie de cette section par rapport à la ligne moyenne se calcule habituellement par la formule suivante :

(13)

1 = - [ ab3 V2 L.

— Za’b'³

Dans laquelle a et a! représentent les dimensions horizontales et b et b' les dimensions verticales de la section.

Les calculs indiqués par cette formule déjà passablement longs, à cause des nombreux facteurs ab³, présentent l’inconvénient de ne s'appliquer qu’à un seul cas particulier. Il s’en suit que, si le résultat obtenu se trouve insuffisant, on est obligé de modifier la section et de refaire les calculs, car ceux précédemment faits restent sans application.

En examinant les expressions générales des moments d’inertie, nous avons reconnu qu’on peut éviter ces inconvénients, car la plus grande partie des opérations peut être effectuée d’avance, et s’appliquer ensuite à toutes les dimensions transversales d’une poutre composée.

Ce résultat est obtenu en rapportant ces dimensions transversales à la ligne moyenne et aux plans passant par les faces extérieures des cornières.

Ensuite pour éviter les répétitions et réduire les calculs au minimum, nous avons décomposé l’expression totale du moment d’inertie en trois parties correspondant aux trois catégories des fers entrant dans la composition de la poutre, c’est-à-dire à l’âme verticale, aux cornières et aux semelles.

Chacune de ces expressions partielles a été développée en faisant varier les dimensions transversales entre les limites adoptées dans la construction et en formant les coefficients numériques correspondants.

Ces résultats permettent d’obtenir le moment d’inertie d'une section en fonction de la hauteur de la poutre, au moyen d’une addition des coefficients correspondants.

Afin que ces résultats puissent également s’appliquer aux sections non symétriques, les calculs ne sont effectués que pour la partie de la section située au-dessus de la ligne moyenne.

Une somme analogue, effectuée pour la partie inférieure de la section, permet d’obtenir dans ce cas le moment d’inertie total.

Pour les sections symétriques, ce moment s’obtient en doublant les résultats obtenus dans le cas précédent.

Les moments d’inertie ainsi obtenus doivent être réduits de ceux des vides des rivets ayant la plus grande valeur dans une section transversale de la poutre. Et comme ces derniers correspondent tantôt aux rivets verticaux, tantôt aux rivets horizontaux, ou à leur combinaison, il n’a pas été possible, sans compliquer la question, de les introduire dans les expressions indiquées ci-dessus.

En conséquence, pour obtenir la solution pratique, les moments d’inertie des vides sont déterminés à part en laissant les épaisseurs indéterminées. Ils forment la deuxième partie de ce chapitre.

Les coefficients de ces moments d’inertie, multipliés par l’épaisseuradoptée permettent d’obtenirleur valeur numérique.

Dans ce cas une soustraction simple, de la valeur correspondante à la section pleine, donnera la valeur du moment d’inertie de la section nette.

Enfin, pour rendre les expressions générales immédiatement applicables aux poutres droites, les deux parties de ce chapitre se terminent par les tableaux des valeurs numériques des moments d’inertie pour 35 cas de la hauteur de la poutre hors cornières.

Ces tableaux,sous leur forme très réduite, pourront donner, comme nous le verrons plus loin, au moins 3 200 séries de valeurs des moments d’inertie.

a) Moments d’inertie des sections pleines.

Considérons la partie de la section d’une poutre qui se trouve au-dessus de la ligne moyenne, passant par le centre de gravité de la section entière, et désignons par h la hauteur hors cornières de la poutre comptée à partir de la ligne moyenne.

e et c₃ l’épaisseur et la hauteur de l’âme évidée.

a' et ci la largeur et l’épaisseur des branches horizontales des cornières, et a" et c₂ les mêmes dimensions de leur branches verticales.

Décomposant l’expression du moment d'inertie total en trois parties, on trouve pour les moments d’inertie partiels les expressions suivantes.

Pour famé verticale évidée (lig. 2) :

3

Cj)³J = e (cs A* — cl h-f- y)-

~(h~

(14)

'*⁼ t[*’

Pour râme pleine, on a c^ — h, et la formule précédente devient :

(15)

eh³ , a — ~

Pour les deux cornières (lig. 3) :

(16)

le —

[/t3 _ {h _ C|)SJ ₊ £L ^3 _ (A _ c,,.J

a'ej-f «"c*

= («'c, -f a"c*) h* — (a'c* + a''Cj) h -f

Pour les semelles (fig. 4) :

T*

---IC

(I ’

*N

--jk__

H«. 2.

(H)

Fig. 3.

Js = Ą [(* + c)³ - /i³] = « ((A* + C'A + ^

Fig. 4.

Les valeurs numériques des coefficients de la hauteur h de ces expressions, correspondant aux dimensions les plus usuelles des fers, se trouvent toutes calculées dans les tableaux II, III et IV de notre brochure sur les moments d’inertie (1). Nous ne donnons ici que les expressions complémentaires des moments d’inertie des cornières dont l’emploi s’est généralisé dans les derniers temps, ainsi que celles de quelques épaisseurs intermédiaires des semelles. Ces dernières valeurs serviront également, comme nous le verrons plus loin, à déterminer les moments d’inertie des vides verticaux des cornières et des semelles.

Tableau I. — Moment d'inertie de deux cornières (formule 16

fig. 3).

DIMENSIONS

des

EXPRESSIONS DE io⁶ 1c

CORNIÈRES

~Q>7°

2112 A¹ — 86,336 A -f- j,85o5

7°,7°

IO

2600 A* — 110,000 A 4- 2,3267

100,100

10

38oo A* — 218,000 A -f- 6,7267

110,110

12

4992 h- — 318,624 A -j- 10,7609

110,110

io

6i5o A* — 4°5i!r/5⁰ A -f- i3,52370

120,120

12

5472 A* — 376,704 A -f- 13,9484

120,120

i5

6750 A* — 479>²5o A -f- 17,51626

i5o,100

i5

855o A* — 735,700 A -f- 34,o5375

Tableau II. —Moment d’inertie des semelles (form. 17, fig¹.4).

ÉPAISSEURS

EXPRESSIONS DE

10° I,,.

10

8ooo A² + 64 A -f- 0,1707 9000 A* + 81 A -f- 0,2430 10000 A² -f* ¹⁰⁰ A + 0,3333

12

i3

i4

u 000 A² -{- 121 A -f- 0,4437 12000 A‘ + 144 A -f- 0,5760 i3ooo A² -f- 169 A -J- 0,7323 14000 A² -f- 196 A -f- 0,9147 i5ooo A* -g 226 A -f- i,i25o

16

18

20

16000 A² -}- 256 A -f- i,3653 18000 A² + 324 A -f- 1,944° 20000 A² -f- 4°° A + 2,6667

À l’aide de ces tableaux, lorsqu’on a arrêté les dimensions transversales de la poutre, le moment d’inertie en fonction de la hauteur h s’obtient facilement parl’addition des coefficients correspondants des équations indiquées ci-dessus. Il ne reste alors, pour avoir la valeur numérique de ce moment, qu’à effectuer les multiplications par le facteur h.

Ce procédé apporte une grande simplification, sur la méthode ordinaire dans le cas des sections dissymétriques, ou dans le cas de poutres courbes, où les hauteurs varient d’une manière continue, et sont exprimées en millimètres.

Même dans le cas des sections symétriques, les tableaux ci-dessus désignés se prêtent aune simplification, en permettant d’obtenir le moment d’inertie d’une section, dont les dimensions ne se trouvent pas dans les recueils publiés.

CALCUL DES MOMENTS D1NERTIE

•

Enfin ces tableaux permettent de calculer facilement par la méthode des différences une série de valeurs numériques des moments d'inertie pour les hauteurs déterminées que nous proposons de donner dans l’édition prochaine.

Actuellement nous présentons à nos lecteurs, réunies dans les trois tableaux qui suivent, les valeurs numériques des moments d’inertie obtenus en faisant varier, dans les expressions générales, la hauteur totale hors cornières 2 h de 0.05 m en 0,05 m entre les limites 2 h — 0,30 m et 2 h —1,00 m et de 0,10 m en 0,10 m entre 2 h — 1,10 m et 2 h — 3,00 m.

Ces tableaux, sousleurformesuccinte, permettent déjà d’obtenir un nombre relativement très grand de moments diner-tie.

En effet, si l’on admet que chacune des 25 X ^ valeurs du tableau III puisse se combiner avec 8 valeurs seulement du tableau IV et avec 4 valeurs du tableau Y, le nombre des valeurs obtenues étant égal au nombre des permutations de ces facteurs, sera au minimum de :

25X4X8X4 = 3 2oo séries.

Une série indique ici les moments d’inertie d’une section qui correspondent aux diverses largeurs des semelles a.

Or on peut admettre sans exagération 10 valeurs usuelles pour chaque série. Par suite les moments d’inertie obtenus par ces tableaux pourront atteindre le nombre de 32 000.

Ces résultats embrassent tous les cas des entretoises, des longerons et aussi une grande partie des poutres longitudinales, entrant dans la composition des tabliers métalliques de petite et moyenne ouverture; ce qui correspond aux cas les plus souvent rencontrés dans la construction courante.

Tableau III. — Moments d’inertie de l’âme pleine (formule 15).

HAUTEURS

VALEURS DE 10® la CORRESPONDANT A L’ÉPAISSEUR D’AME DE

8 mm

îo mm

i2 mm

i5 mm

o,3o o, 35

o,:4o o,45 o, 5o

9,0000 14,2917 21,3333 3o, ?>75o 41,6667

ii,25oo

17,8646

26,6667 37,9687 52,oS33

13.5000 21,4375 32,0000 45,5625

62.5000

16,8750 26,7969 4o,oooo 56, g531 78,I25o

o,55 o, 60 o,65 o, 70 0,75

55,4583

72,0000

9I,54I7 u4,3333 i4o,625o

6g, 323o 90,0000 114,4271 i4²,9i67 175,7812

83,1875 108,0000 i37,3i25 171,5000 210,9375

103,9844

135,0000 171,6406 214, 375o 263,6719

0,80

o,85

0,90

o,g5

1,00

170,6667

204,7083 243,0000 285,7917 333,3333

213,3333 255,8854 3o3,7000 357,2396 416,6667

256,oooo

307,0625

364,5ooo 428,6875 5oo,oooo

320, 0000

383,8281 455,6250

535,85g4 625,0000

1,10 1,20 i,3o i,4o i,5o

443.6667 576,0000 732,3333

914.6667

1125,0000

554,5833 720,0000 9i5,4167 ii43,3333 1406,2000

665,5

864,0

1098.5 1372,0

1687.5

831,875

1080,000 1373, 12.5 171.5,000 2109,375

1,60

1,70

1,80

U9°

2,00

1365.3333

1637.3333 1944*0000

2286.3333 2666,6667

1706,6667

2047,5833 2430,0000 2857,9167 3333,3333

2048,0

2456.5

2916,0

3429.5 4000,o

2060,000 3070,625 3645,ooo 4286,875 5ooo,ooo

2,10 2,20 2,3o 2,40 2,5o

3087,0000

3549.3333 4o55, 6667 4608,0000

5208.3333

3858,75oo 4436,6667 5o69,6833 5760,0000 6510,4167

4630.5

5324,0

6083.5 6912,0

7812.5

5788.12.5

6655,000

7604.37.5 864o,000 9765,625

5858.6667 6561,0000 7317,3333

8129.6667 9000,0000

7323,3333 8201,2600 9146,6667 ioi62,o833

11200, OOOO

8788,0

9841.5

10976,0

12194.5

i35oo,o

10985,000 12301,875 13720,000 10243, 12.5 16875,000

CALCUL DES MOMENTS D’INERTIE

ïableau IV. — Moments d’inertie des deux cornières, (fig. 3).

HAUTEURS

EXPRESSIONS PE IO⁸ Ic CORRESPONDANT AUX CORNIÈRES DE

70»7°    70,7°

80,80    8o,8o

9°>9°

90.90

100,100

10

10

10

12

10

o,3o

o,35

0,40

0,45

o,5o

36,4201 5i, 4217 69,0633 89,3449 112,2665

o,55

0,60

o,65

0,70

0,75

137,8281

166,0297

196,8713 23o,3529 266,4745

0,80

o,85

0,90

o,g5

1,00

3o5,236i 346,6377 390,6793 437,3609 486,6825

44)3207    4°,7328    49)66°    54,7i33    64,1122    5g,526^

62,7017    57,7024    70,48')    77,8883    91,4506    84,9517

84.3267    77,7120    95,060    io5,3i33    123,8290    115,1267

109.2017    100,7616    123,385    i36,9883    161,2474    i5o,o5i7

137.3267    126,8012    i55,46°    172,9133    2o3,7o58    189,7267

168.7017    155,9808    191,285    2i3,o883    25i, 2042    234,1317

203.3267    188, i5o4    ²3o,860    257,5i33    303,7426    283,3267

241.2017    223,36oo    274,185    3o6,i883    361,3210    337,2517

282.3267    261,6096    321,260    359,ii33    4^3,9394    395,9267

326.7017    302,8992    372,085    416,2883    491,5978    459,35i7

374.3267    347,2288    426,660    477,7133    564,2962    527,5267

425.2017    394,5984    484,985    543,3883    642,0346    600,4517

479.3267    445,0080    547,060    6i3,3i33    724,8130    678,1267

536.7017    498,4576    612,885    687,4883    812,63i4    760,5517

597.3267    554,9472    682,460    765,9133    905,4898    847,7267

1,10

1,20

i,3o

i,4o

i,5o

728.3267    677,0464 832,86    935,5i33 1106,3266 1036,13267

872.3267    8n,3o56 998,26 H22, n33 1327,3234 1243,9267 029,3267 957,7248 1178,66 i325,7i33 i5G8,48o2 1470,5267

5g3,2457 710,3689 838,o52i

976,2953 1199,3267 1116,3040 1374,06 i546,3i33 1829,7970 1716,1267 ii25,og85 1382,3267 1287,0432 i584,46 1783,9133 2111,2738 1980,7267

1,60

1,70

1,80

¹,9°

2,00

2,10

2,20

2,30

2,40

2,5o

2,60

2,70

2,80

2,9°

3,oo

1284,4617 1578,3267 1469,9424 1809.86 2o38,5i33 2412,9106 2264,3267 i454,3849 1787,3267 i665,ooi6 2060,26 23io,ii33 2734,7074 2666,9267 1634,8681 2009,3267 1872,2208 23o5,66 2598,7133 3076,6642 2888,526£ 1825,9113 2244,3267 2091,6000 2076,06 29o4,3i33 3438,7810 3229,1267 2027,5145 2492,3267 2323,1392 2861,46 3226,9133 3821,0578 3588,7267

2239,6777 27.53,3267 2566,8384 3161,86 3566,5i33 4223,4946 3967,3267 2462,4009 2695,6841 2989,5273 3i93,93o5

3458,8937 3734,4*^69 4020,500i 4317,1433

4624,3465 56

3027.3267    2822,6976 3477,26 3923,1133 4646,0914 4364,9267

3314.3267    3o9o,7168 3807,66 4296,7133 0088,8482 4781,526-

3614.3267    3370,8960 4i53,o6 4687,3i33 555i,765o 0217,1267

3927.3267    3663,2352 45i3,46 5og4,9¹33 6034,8418 5671,7267

4253.3267    3967,7344 4888,86 55ig,5i33 6538.0786 6145,3a6₇,

4592.3267    4284,3936 5279 26 0961,1133 7061,4754 6637,9267!

4944.3267    4613,2128 5684,66 6419,7133 7605,0322 7149,5267,

5319.3267    4954,1920 6io5,o6 68g5,3i33 8168,7490 7680,1267 87,0267 5307,3312 6540,46 7387,9133 8752,6258 8229,72(67!

RESISTANCE AU (GLISSEVIENT LONGITUDINAL IV (s.). —

± ,

I

ßt = 4,]o.

Efforts tranchants maxima

il—-LL

IV. — COURBES-ENVELOPPES APPROXIMATIVES

rii , '}L-

i6no r 80711,077 + 3353,320]

n ! b 11 n T F n prry 1 " Il

¹

Expressious analytiques et tables des moments d'inertie et des moments

²

résistants. Paris, Baudry et Cie, éditeurs.

RESISTANCE AU (GLISSEVIENT LONGITUDINAL IV (s.). — Moments d’inertie de deux cornières,(fig. 3).

20

HAUTEURS

EXPRESSIONS DE 10® Ic CORRESPONDANT AUX CORNIÈRES DE

100,100

100,100

110,110

110,110

120,120

120,120

12

i5

12

l5

12

i5

o,3o

o,35

o,4o

0.45

o,5o

o,55

0,60

o,65

0,70

0,75

0,80

o,85

0,90

o.g5

1,00

69,8198

101,5962

i35,5i26

176,8190

223,7654

276,3518

334,5782

3₉8,4446

467,9510

543,0974

623,8838

710,3102

802,3766

900,0830

1003,4294

84,3287

120,9662

164,5412

2i5,o537

272,5037

336,8912

408,2162

486,4787

571,6787

663,8162 762,8912

868,9037

981,8537

1101,7412

1228,5662

75,2873

107,8817

146,7161

191,7905

243,1049 3oo,65g3

364,4537

434,488i

510,7625

593,2769

682,o3i3 777,0257 878,2501 985,7345 ¹«99.4489

91,0362

i3o,86i2

178,3737

233,5737

296,4612 367,0362

442,2987

531,2487

624,8862

726,2112 835,2237

951,9237

1076,3112

1208,3862

1348,1487 8o,5628

ii5,6o52

157,4876

206,2100

261,7724 324,1748

393,4172

469,4996

552,4220

642,1844 738,7868

842,2292

952,5ii6

1069,6340

1193,5964

97,5037 i4o,3662 191,6662 25 X,4o37 319,5787

396,1912

481,2412

574,7287

676,6537

787,0162 905,8162

io33,o537

1168,7287

l3l2,84l2

1465,3912

1,10

1,20

i,3o

i,4o

i,5o

122n₎o422 1473,2l50 I74G9478 2033,24o6 2347,0934

1503,0287

1805,2412

2135,2037

2492,9162

2878,3787

1345,5977 1616,7065 i9I2,77⁵3 2233,8o4i a579>7929

1650,7362

1984,0787

2348,1612

2742,9987

3i68,5862

1462,0412 1757,8460 2081,0108 2431,5356 2809,4204

1795,8037

2159,9662

2557,8787

2q8g,54i2

3454,9537

1,60

1,70

1,80

i,9°

2,00

2,10

2,20

2,30

2,40

2,5o

2683,6062 3042,4790 34^,0118 3828,io/j6

4254,7574 4703,9702

.6175,7430

5670,0758

6186,9686

6726,4214

3291,5912

3732,5537

4201,2662

4697,7287

5221,9412 5773,9037

6353,6i62

6961,0787

7596,2912

8259,2537

2960,7417 3346,65o5 3767,5193 4213,3481 4684,1369 5179,8857 6700,5945 6246,2633 6816,8921 7412,4809 3624,9237 4112,0112 4629,8487 5178,4362

6767,7787

6367,8612

7008.6987

7680,2862

8382,6237

9115,7112 3214,6652

3647,2700

4107,2348

4694,5596

5109,2444 5651,2892 6220,6940 6817,4588 7441.5836 8093,0684 3954,1162 4487,0287 5o53,6gi2 5654,io37 6288,2662 6956,1787

7657,8412

83g3,2537

9162,4162

9965,3287

7288,4342

7873,0070

8480,l3g8

9109,8326

9762,0854 •8949.9⁶62

$668,4287

10414,6412

I.T l88,6o37

r:i990,3l62 8033,0297

8678,5385

9349,0073

ioo44,436i

10764,8249 9879,5487

10674,l362

ll499»4737

12355,5012

13242,3987

8771,9132 9478,1180 10211,6828 10972,6076 11760,8924

1080I,99I2

ll672,4037

12576,5662

i35i4,47⁸7

14486,1412

V. — Moments d’inertie des semelles, (fig. 4).

HAUTEURS

VALEURS DE

IO* Is

CORRESPONDANT A L’ÉPAISSEUR C DE

10 mm

la mm

i5 mm

20 mm

3o mm 4° mm

5o mm

o,3o o,35 o, 4o o,45 o, 5o

240.3333 324,o833

420.3333 529,o833

650.3333

292, 176 393,276 509,376 640,476 786,576

372,375

499.875

646.125

811.125

994.875

512.6667 685,1667

882.6667 no5,1667 i352,6667

819,00 ii6i,3333 io85,2.5 i526,3333 i38g,c;o 1941,3333 1730,26 24o6,3333 2109,00 12921,3333

1541.6667

2010.4167

2541.6667

3135.4167

3791.6667

o,55 o, 60 o, 65 o, 70 0,75

784,o833

93o,3333 1089,o833 i26o,3333 i444,o833

947,676

1123,776

1314,876

1520,976

1742,076

1197.375

1418.625

1658.6₂5

1917.375 2194,875

1625.1667

1922.6667

2245.1667

2592.6667

2965.1667

2025.25

2979,00

3470.25 3999,00 4565,35

3486.3333

4101.3333

4766.3333

5481.3333

6246.3333

4510.4167

6291.6667

61354167

7041.6667

8010.4167

0,80 o,85 0,90 o, g5 1,00

1640.3333

i849,o833

2070.3333

23o4,o833

2550.3333

t, 10 1,20 t,3o i,4o i,5o

3080.3333

3660.3333

4290.3333

4970.3333

5700.3333

1978,ï76 2229,276

2495.376 2776,476 3072,676

3709,776

4406,976

5164,176

5981.376 6858,576

2491,125 : 2806,125 3139,875 3492,375 3863,625

3362.6667

3785.1667

4232.6667

4705.¹667

5202.6667

5169,00

5810.25 6489,00

7205.25 7969,00

7061.3333

7926.3333

8841.3333

9806.3333 io82i,3333

9041,6667

10135.4167

11291.6667

12510.4167

13791.6667

4662.375 5536,125 6484,875 75o8,625

8607.375

6272.6667

7442.6667

8712.6667

10082.6667

11552.6667

9^79,0 ii34g,o 13269,0 i5339,0 17559,0

13001.3333    16541,6667

15381.3333    19541,6667

17961.3333    22791,6667

20741.3333    26291,6667

23721.3333    30041,6667

i,6o

1,70

x,8o

t,90

2,00

7795,776 879²,97⁶

6480.3333

7310.3333

8190,3333! 9860,176

9120.3333    10967,376 10100,3333'i2i44>576

9781,125 11029,875 12353,625 13752,375 15226,125

13122.6667    19929,0

14792.6667    22449»0

16562.6667    25 h9.0

18432.6667    27939,0

20402.6667    30909,0

26901.3333    34041,6667

30281.3333    38291,6667

33861.3333    42791,6667

37641.3333    47^4i,6667

41621.3333    52541,6667

2,10 2,20 2,3o 2,40 2,5o

in3o,3333| i338i,776

12210.3333    14678,976

13340.3333    i6o36,i₇6

14520.3333    17453,376

15750.3333    18930,576

16754.875 18388,625 20087,375 21861,125

23709.875

22472.6667    34029,0

24642.6667

26912.6667

29282.6667

31752.6667

1(58oi,3333

50181.3333

54761.3333

37299,0 40719,0 44289,0 5954i,3333 48009,0 64521,3333

57791.6667

63291.6667

69041.6667

75041.6667

81291.6667

17030.3333    20467,776

18360.3333

19740.3333

21170.3333

22650.3333

22064,976 23722,176 29716,125

25439,376 38864,875

17216,576

69701.3333

75081.3333

80661.3333

2.5633,625 34322,6667

27632.37.5    36992,6667 39762,6667

42662,666764389,0 8644i,3333

34088.62.5    45602,6667 68859,0 92421,3333

51879,0

55899,0

60069,0

87791.6667

94591.6667

101541.6667

108791.6667

116291.6667

b) Moments d’inertie des vides

Emplacement des vides. — Pour se conformer à l’art. 2 de la nouvelle circulaire ministérielle, on doit déduire du moment d’inertie d’une section pleine, celui des vides correspondant aux trous des rivets d’assemblage, afin de ne faire entrer dans les calculs de résistance que la section nette de la poutre.

Les dimensions maxima des vides se trouvent sur les plans perpendiculaires à la ligne moyenne passant par les axes des rivets.

Ces plans rencontrent tantôt les rivets verticaux, tantôt les rivets horizontaux et verticaux. De ces deux combinaisons on prendra dans les applications celle qui donne la plus grande valeur aux moments d’inertie.

Rappelons ici que, d’une manière générale, on donne le même diamètre à tous les rivets d’assemblage d’une poutre, et qu’en outre les rivets verticaux et horizontaux d’une cornière ne se trouvent pas dans le même plan transversal, mais sont placés en quinconce dans le sens de la longueur; de cette manière on ne rencontre qu’un seul vide dans la section transversale de la cornière.

Les rivets reliant les semelles entre elles, placés également en quinconce avec les rivets verticaux des cornières, se trouvent en face, c’est-à-dire dans le même plan transversal que les rivets horizontaux de ces dernières.

La disposition des rivets est du reste basée sur les considérations suivantes.

:”:"/.£Frr:S7ôy

Fig. 5.

Pour les poutres à une semelle, on ne donne que deux rangées des rivets verticaux attachant les cornières à la semelle. Il est facile de voir que, dans ce cas, la plus grande valeur du moment d’inertie des vides correspond à ces rivets verticaux (fig. S).

Pour les poutres à plusieurs semelles

d-.

A-,

Vides des semelles. — Dans les semelles courantes, un plan transversal ne rencontre que deux vides conformément aux considérations qui précèdent (fig. 7).

Désignons parole diamètre d’un rivet.

Fig. 7.

L'expression générale du moment d’inertie I( des vides des semelles, ayant une épaisseur c s’obtient en posant dans la formule (17) a — 2d.

(18)

afin d’empêcher le bâillement des tôles comprimées, on les réunit, comme nous l’avons dit plus haut, par deux rangées de rivets placées en dehors des cornières qui se trouvent dans le même plan transversal que les rivets horizontaux. L’épaisseur totale à river étant, à diamètre égal des rivets, supérieure à celle du cas précédent, c’est à la dernière disposition que correspond la valeur maximum du moment d’inertie (fig. 6).

Moments d'inertie des vides verticaux.

— Les vides verticaux se trouvent dans les semelles et les branches horizontales des cornières. Nous allons considérer chacun de ces cas à pari.

'il-'

t.

i!

Il

Fig. 6.

Jk

ü'i (ch* + c*A +    )

Les valeurs numériques des coefficients de cette expression s'obtiennent en conséquence en multipliant par ce facteur 2d les équations du tableau II.

Enfin, pour les poutres droites ayant les hauteurs indiquées dans les tableaux précédents, la valeur numérique du moment d'inertie des vides verticaux des semelles s’obtient en multipliant par 2d la valeur correspondante du tableau V.

Mais on aura rarement recours à ces calculs qui ne s’appliquent qu'aux poutres existantes dont le moment d'inertie de la section pleine est connu.

Dans la plupart des cas, le moment d’inertie de la section nette des semelles peut s’obtenir directement, en attribuant à celles-ci, au lieu de la largeur totale a, une largeur réduite a—2d, et en multipliant par ce facteur les valeurs du tableau V.

Cette partie des calculs peut donc s’effectuer facilement sans qu'on ait besoin de dresser de nouveaux tableaux.

Kr.r: pÄrr-r- Vides verticaux des cornières. — Un plan ü ii j tranversal ne renferme que deux vides verti-I eaux des cornières pour les largeurs de celles-ci ne dépassant pas 0,12 m.

Fig. 8.

facteur, et en posant a' — 2d. On trouve ainsi :

L’expression générale du moment d'inertie ! de ces vides I', pour l’épaisseur des cornières Ci (lîg. 8) s’obtient en ne conservant dans la formule 16 que les termes comprenant ce

(19)

Remarquons que, pour une épaisseur donnée, les deux dernières expressions ne diffèrent que parle signe du second terme entre les parenthèses; par conséquent, dans les applications, on peut ne calculer qu’un seul tableau des coefficients numériques de l’expression 18 (tableau II), et prendre ce second terme avec le signe positif pour les vides des semelles, et avec le signe négatif pour les vides des cornières.

Moments d’inertie des vides horizontaux.

I — Désignons par e' l’épaisseur totale à assembler par les rivets horizontaux, comprenant en bloc les deux épaisseurs des branches verticales des cornières et l’épaisseur de l'âme : e’ = 2Ct -f- e.

■-*r

i:

ii

ii

' i ! i

__!i__x_i—

Fig. 9.

vide à la ligne moyenne, et d le diamètre du rivet (fig. 9).

L’expression générale du moment d’inertie de ce vide F se détermine par la relation suivante :

Soit en outre h' la distance du centre du

v=T [(*’+4H*’-    =** (/,,!+£)•

(20)

Cette expression peut également donner le moment d’inertie d’un vide horizontal placé en un point quelconque de Tarne verticale en dehors des cornières. Il suffit pour cela d’attribuer les valeurs correspondantes aux dimensions e' et h',

Pour les rivets d’assemblage des cornières la hauteur h¹ se détermine en admettant que les centres des rivets se trouvent disposés au milieu de la largeur extérieure des cornières. On a dans ce cas :

(21)

h’ — h--—

Cette disposition nous paraît plus rationnelle que celle qu consiste à placer les rivets au milieu de la largeur intérieure de la cornière 0,5 (c₂— et), car les rivets étant placés au milieu de la surface de contact assurent une répartition plus régulière de l’adhérence des pièces assemblées.

L’hypothèse exprimée par la relation 21 permet de rattacher le moment d’inertie à la hauteur hors cornières h qui se trouve dans les expressions précédentes, et d’effectuer plus facilement les différences des termes correspondants pour les cas des poutres courbes.

Ainsi, en introduisant la relation 21 dans l’expression du moment d’inertie 20, on trouve :

(22)

3 c\ + æ'

Pour rendre cette expression plus facilement applicable à l’aide des valeurs numériques de ses coefficients, il est indispensable d’exposer ici quelques règles empiriques au sujet du rapport qui nous paraît le plus convenable à observer entre les dimensions transversales d’une section et le diamètre des rivets.

Composition delà section transversale d’une poutre

?!

Fig. 10.

Dimensions de râme verticale. — Soient 2h la hauteur totale et e l’épaisseur d’une âme pleine. Les dimensions indiquées de cette âme, déduction faite des trous de rivets (fig. 10), doivent d’abord être suffisantes pour résister dans de bonnes condi-v tions à l’effort tranchant maximum A; on doit donc avoir :

(23)

<R.

2 (A — d) e

Ensuite l'épaisseur de l’âme e doit être suffisante pour résister à l’effort de glissement longitudinal maximun indiqué par la formule (8).

(24)

dfj

~ < R-

R est le travail limite prescrit par la circulaire ministérielle. Ce travail, pour les pièces en fer, est par millimètre carré de ; 4,40 kg pour les entretoises et les pièces placées sous rails: 5,20 kg pour les poutres se trouvant en dehors des rails.

Dimensions des cornières. — La largeur des branches des cornières doit être en rapport avec l’épaisseur des semelles et le diamètre correspondant des rivets qui sont indiqués plus loin.

Pour l’épaisseur minimum des cornières, on donne habituellement celle de Tâme verticale e. Il est bien de composer la section de manière à ne pas s’éloigner de beaucoup de cette dernière épaisseur, pour ne pas affaiblir d’une part la résistance des cornières, et d’autre part pour éviter l’augmentation inutile du poids des fourrures des montants verticaux de la poutre.

qu’une semelle, la largeur de celle-ci peut être égale minimum à la largeur des cornières et de l’âme verticale, soit :

au

a — 2 c* + e.

Cette largeur peut être augmentée sans inconvénient de 0, 20 m. Une trop grande largeur de la semelle pourra exposer celle-ci au voilement.

Dans le cas des poutres à plusieurs semelles, la largeur de celles-ci doit être avant tout suffisante pour permettre de placer dans de bonnes conditions deux rangées de rivets en dehors des cornières. Or, pour cela, il est nécessaire de pouvoir disposer d’un espace de 0,08 m à 0,10 m pour chaque rangée. La largeur des semelles dans ce cas devra donc avoir au minimum.

a = 2CS -f- e -p 0,16 m

Et au maximum ne pas dépasser de beaucoup la limite de

a r= 2ct -f- e -f- 0,20 rr(.

Quant à l’épaisseur totale des semelles c, elle doit être suffisante pour équilibrer le moment fléchissant; duquel du reste dépendent les autres dimensions de sa section transversale.

Le tableau ci-après renferme les proportions entre les diverses parties de la section et le diamètre des rivets, en partant des largeurs des cornières, d’après M.Jolly, constructeur à Argenteuil, lesquelles présentent de bonnes conditions d’assemblage.

Nous avons ajouté dans ce tableau les colonnes relatives à la largeur et à l’épaisseur correspondantes des semelles d’après les considérations qui précèdent. Les dimensions sont exprimées dans ce tableau en millimètres.

Tableau VL — Proportions de la section transversale.

DES SEMELLES

RIVETS D’ASSEMBLAGE

LARGEURS

des

DIMENSIONS

CORNIÈRES

LARGEURS

ÉPAISSEURS DIAMÈTRES SECTIONS DISTANCES

C*

<1

dx

32 à 35

70 x 70

80 X 80    34 à 38

20

3o

i8

20

254

90

3i4

100

90 X90

100 X 100

no X ¹10

35 à 40 38 à 42 4o à 45

40

5o

Po

22

25

2D

38o

49¹

100 à 120

120 X ¹ 20

42 à 5o

70 à 80

25

491

5?*

Cu CL CL

Los proportions indiquées dans ce tableau représentent les sections minima pouvant équilibrer les efforts donnés. Mais, par suite des dispositions locales, on peut s’en écarter, et composer, par exemple, la section avec des cornières plus fortes que celles qui correspondent à l’épaisseur des semelles, en vue de pouvoir augmenter le diamètre des rivets horizontaux, dont la résistance à l’effort de glissement longitudinal doit être avant tout assurée.

En faisant varier légèrement les dimensions transversales d’une section, on doit toujours considérer comme fixe le rapport indiqué entre la largeur des cornières et le diamètre des rivets. C’est dans cette hypothèse que nous avons dressé le tableau suivant des expressions générales des moments d’inertie des vides horizontaux.

CALCUL DES MOMENTS D'INERTIE

29

Tableau VIL — Moments d’inertie des vides horizontaux des rivets d’assemblage, des cornières et de l’âme de la poutre (formule 22, fîg. 9).

DIAMÈTRE

LARGEÜB

des

des

EXPRESSIONS DE

10°!'

RIVETS

CORNIÈRES

e’

16

6o

18

70

20

80

22

90

25

100

25

110

25

120

16000 A* — 960 A -j- 14, 74*3 18000 A² — 1260 A 22,536o 20000 A² — 1600 A -f- 32,6667 22000 /i² — 1980 h 45,4373 25ooo A² — 25oo A -(- 63,8021 25ooo A* — 2750 A + 76,9271 25ooo A² — 3ooo A -f- 91,3021

Valeurs numériques des moments d’inertie des vides. — Les moments d’inertie des vides des semelles peuvent se calculer facilement à l’aide du tableau Y comme nous l’avons montré au commencement de cette partie.

Il ne nous reste par conséquent qu’à déterminer les valeurs des moments d’inertie des vides verticaux des cornières, et des vides horizontaux, à l’aide des formules et des tableaux qui précèdent.

Les résultats des calculs sont réunis dans les deux tableaux ci-après VIII et IX.

VIII. — Moments d’inertie des vidi cornières (formule 19, fig. 8).

HAUTEURS

VALEUR DE

8 mm

IO*I'C

2 (i

CORRESPONDANT A L’ÉPAISSEUR C, DE

g mm

io mm

12 mm

15 mm

o, 3o o, 35 o,4o o,45 o,5o

170,571

233,971

307,371

390,771

484,171

¹9⁰>593 261,693 344,o43 437,643 542,493

210.333

289,083

380.333 484,083

600.333

248,976

342,876

451,776 575,676 7r4,576

3o4,8^5

421.125

556.125

7°9>875

882,375

0,55 0,60 0,65 0,70 0,75

0,80

o,85

0,90

o,g5

1,00

1,10 1,20 1,3o 1,40 i,5o

687,571

700,971

824,371

9^7,77¹

1101,171

1254,571

1417,97!

1591,371

1774,771

1968,171

2384,971

2841,771

3338,571

3875,371

4452,171

658,593 785,943 924,543 1074,393 i235,4g3 1407,843 1591,443

1786,293 I99M93 2209,743

2678,293 3191,743 3750,ig3 4353,643 5oo 1,093

729,083

870,333

1024,083

1190,333

1369,083

1560.333 1764,083

1980.333 2209,083 245o, 333

2970.333

3540.333

4160.333

4830.333

5550.333 868,476 1037,376 1226,276

1420,176

1634,076

1862,976

2106,876

2365,776 2639,676

2928,576 355i,376

4234,176

497⁶,97⁶

⁵779,776

664^,576

1073.625

1283.625

l5l2, 375

1759,875

2026, 125 23 II,125

2614,875

2937,375

3278.625

3638.625 4414/875

6266, 1 25

6192,375

7193,625

8269,875

1,60 1,70 1,80 1,90 2,00

5o68,971 5726,771 6422,571 7169,371 7936,171

5695.443

6433,893 7217,343 8045,793 8919,243

6320.333 714o, 333

8010.333

8930.333

9900.333

7565,376

8548,176

9590,976 10693,776 ii856,576

9421,125

10647,375

11998,625

13324,875 14776,125

2,10 2,20 2,3o 2,40 2,5o

2,60

2,70

2,80

2,90

3,00

8702,971

9609,77!

10006,571

11443,371

12420,171

13436,971

14493,771

15590,671

16727,371

17904,171

9837,693 10801,143 11809,593 12863,043

13961,493

i5io4,943 16293,3g3 17526,843

i88o5,293 20128,743

10920.333

11990.333

i3no,333

14280.333

15500.333 |6770,333

18090.333

19460.333

20880.333

22350.333

13079,376

14362,176

i57o4,976

17107,776

18570,576

20193,376

21676,176

23318,976 25021, 776

26784,576 i63o2,375 17903,626 19679.875 2i33t,125

23157,371 25o58. 625

27034,876 29086,125

31212,375

334i3,625

Tableau IX. — Moment d'inertie des vides horizontaux (fig. 7,

lableau 7).

HAUTEURS

10a l'

VALEURS DE -— CORRESPONDANT AUX DIMENSIONS DE

ct = 70 d = 18

Cf — 80 cs = 90 ct = 100 c* — no ct =. 120 25    d —    25 d — 25

20

//

22

il

o,3o

o,35

0,40

o,45

o,5o

o,55 0,60 o,65 0,70 0,75

0,80 o,85 0,90 0,₉5 t,oo

1,10 1,20 i,3o 1,40 i,5o

1,60 1,70 1,80 i,9» 2, 00

2,10 2,20 2,3o

2,40

2,;5o

238.536

353.286 4go,536

650.286

832.536

1037.286

1264.536

1514.286

1786.536

2081.286

2398.536

2738.286

3100.536

3485.286

3892.536

4774.536

5746.536

6808.536

7960.536

9202.536

10534.536 ng56,536

13468.536

15070.536

16762.536

i8544, 536

20416.536

22378.536

24430.536

26072.536

28804.536

31126.536

33538.536 36o4o, 536

38632.536

243.437

372.687

529, 437

713.687

925.437    1001,302

226.927 36i, 302

526.927 723,802

9⁵1.9²7

242.667

365.167

512.667

685.167

882.667

1105.167    1164,687    1266,927    1211,302

1352.667    i43i,437    i563,802    1501,927

1625.167    1725,687    1891,927    1823,802

1922.667    2047,437    225i,302    2176,927

2245.167    2396,687    2641,927    256i,3o2

2773.437    3o63,8o2

3177.687    3516,927

3609.437    4⁰⁰¹>3o2

4068.687    4^16,927

4555.437    5o63,802

2ÖI,302

391,927

563,802

766,927

2592.667

2965.167

3362.667

3785.167 4232, 667

5202, 667

6272.667

7442.667

8712.667 10082,536

11552.667

13122.667

14792.667

16562.667

18432.667

20402.667

22472.667 24642, 667

26912.667

29282.667

31762.667

34322.667 06992,667

39762.667

42632.667

5611.437    6201,302

6777.437    7563,802

8053.437    9001,302

9439.437    io563,8o2

10935.437    1225l,302

12541.437    i4o63,8o2

14257.437    16001,302

16083.437    18063,802

18019.437    2025l,302

20065.437    22563,802

22221.437    2500I,302

24487.437    27663,802

26863.437    3o25i,3o2

29349.437    33o63,802 31945.347 36ooi,302

34661.437    39063,802

37467.437    4²²5i,3o2

40393.437    45563,802

43429, 437 49⁰⁰¹>302

46575.437    52563,802

203,802

331.927 491,302

681.927 go3,802

1106.927

1441.302

1756.927

2103.802

2481.927

2891.302

3331.927

3803.802

4306.927

4841.302

6003.802

7291.302

8703.802

10241.302

11903.802

13691.302

i56o3,80^

17641.302

ig8o3,802

22091.302

245o3, 802

27041.302

29703.802

32491.302

33403.802

2976.927

3423,802

3901.927

44h?302

4951.927

6126.927

7426.927 885i, 927

10401.927

12076.927

13876.927 i58oi, 927

17851.927

20026.927

22326.927

24761.927

27301.927

2997⁶.927

32776.927

35701.927

38751,921

41926.927

45226.927

48651.927    483o3, 802

52201.927    5i84i,3o

3844i, 302 4i6o3,802 44891, 302

Avec les données qui précèdent, rien de plus facile que de déterminer la valeur du moment d’inertie d’une section nette conformément à la prescription de la circulaire ministérielle.

Ainsi prenons pour exemple la section delà poutre indiquée dans notre article du mois de février dernier, colonne 30.

Pour l’àme-verticale, le tableau III donne, pour la hauteur 2/1 = 0,80 et l'épaisseur e = o,oi5

la

10® — =    320,0000

Pour les cornières de

100X 100

—-    la ligne correspondant à la hauteur

10

2 h = 0,80 donne

le

10® — =

762,8912

Total.

1082,8912

La section étant à plusieurs semelles, ce sont les vides indiqués par la figure 9 qu’on doit considérer. En conséquence, le tableau IX donne pour les vides horizontaux correspondant à la même hauteur de 0,80 et c* = 0,100 m, l’épaisseur à river étant

e’= o,o45,

137,8711 945,0201 10® Io —    1890,0402

o,o4ô X 3o63,8o2 =

Reste pour la demi-section nette, Et pour la section entière.....

Multipliant ensuite par la largeur réduite 2 (0,40 — 0,05) les valeurs du tableau Y correspondantes à la hauteur de 0,80 et aux épaisseurs des semelles de 0,01, 0,02, 0,03... et,ajoutant lesrésultats obtenus à la dernière valeur, on trouve successivement pour :

C = 0,01. 10*1, = 10®I₀ + 0,70 X l64o,3333 = 3o38,273.

C = 0,02. 10*1* = 10®Io + 0,70 X 3362,6667= 4²4É9°7 c = o,o3. 10®I, = 10«I° -)- 0,70 X 5i6g,o = 55o8,34o

Et ainsi de suite jusqu’au nombre des semelles correspondant à la section maximum.

III. — Calcul des moments m

Le moment m qui entre dans l’expression générale de l’effort de glissement (7) représente, comme nous l’avons vu dans le chapitre Ier, la somme des moments par rapport à la ligne moyenne des surfaces composant la partie considérée de la section transversale de la poutre qui se trouve au-dessus de cette ligne.

Pour déterminer ces moments, nous allons suivre la même marche que pour les moments d'inertie; c’est-à-dire nous calculerons d’abord leurs valeurs correspondant aux sections pleines, et ensuite celle des vides à déduire, pour obtenir le moment de la section nette.

a) Moments des sections pleines

En prenant les moments par rapport à la ligne moyenne des éléments des surfaces qui composent la section transversale

ZlW

S*

nf777Z

±__,

Fig. 3.

Fig. 2.

Fig. 4.

de la poutre, on arrive aux expressions générales suivantes en fonction des dimensions de ces éléments.

Pour l'âme verticale évidée (fig. 2) :

(25)

ma

= ec₃(h-

Pour X âme pleine on a c₂ — h\ par suite, la dernière formule devient :

(26)

ma=—r

2

Pour les deux cornières (fig. 3) :

(h — —^ -f- a"c* (h — °~Sj =(a ’Çi -f affc,)/i + Pour les semelles (fig. 4) :

(27) m₀ — a’c,

a’c\ + a"c\

ms = ac(h-    )

Les valeurs numériques des coefficients de ces expressions

correspondant aux dimensions usuelles des fers sont réunies dans les tableaux Y, VI et VII de notre brochure sur les moments d’inertie. Par conséquent, nous ne donnons ici que les expressions complémentaires relatives aux quelques dimensions des cornières, et les épaisseurs intermédiaires des semelles comme dans le chapitre précédent.

Tableau X. — Moment de 2 cornières, formule (27).

DIMENSIONS

des

EXPRESSIONS io⁶mc

CORNIÈRES

70, 70

2112 h — 43,168

70,70

10

2600 h — 55,000

100,100

10

38oo h — 109,000

no, 110

12

4992 h — i59,3j2

110,110

i5

6i5o h — 202,875

120,120

12

5472 h — i88,352

120,120

x5

6750 h — 239,625

i5o,i5o

i5

855o h — 367,875

i5o,i5o

8ooo h 32, o 9000 h -|- 4°^ 10000 fi + 5o,o

10

ÉPAISSEUliS

EXPRESSIONS DE

10° ms

12

i3

iô

11000 h -f- 6o,5 12000 h -f- 72, 0 i3ooo h -f- 84,5 i4ooo h -f- 98,0 i5ooo h + 112,5

16

18

20

16000 h -f- 128 18000 h -f- 162 20000 h -f- 200

A l’aide des expressions générales des tableaux V, VI et YII de notre brochure et des tableaux X et XI qui précèdent, nous avons obtenu les valeurs numériques des moments m pour les hauteurs 2h variant entre 0,30 m et 3 m.

Les résultats des calculs sont réunis dans des tableaux XII XIII et XIV suivants.

Tableau XII. — Moments de l’âme pleine, formule 20.

HAUTEURS

VALEURS DE 10° ma CORRESPONDANT A L’ÉPAISSEUR D’AME DE

8 mm

îo mm

i2 mm

i5 mm

o,3o

o,35

0,40

o,45

o,5o

90,00

122,5(1

l60,0O

202, 5o

200,00

112.500 i53,125 200,000 q53,125

312.500

i35,oo

183.75 240,00

303.75

375,00

168,y5oo

229.6875 3oo,oooo

379.6875 468,7500

o,55

0,60

0,65

0,70

0,75

302.50 36o, 00

422.50 490,00

562.50

378.125

4.70,000

528.125

612,5oo

703.126

453.75

540,00

633.75

735,00

843.75

567,1875 675,0000 792,1870 918,7ÓOO 1054,6875

0,80

o,85

0,90

o,g5

1,00

640,00

722.50 810,00

902.50 1000,00

800,000 go3,125 1012,5oo 1128,125 1200, oco

960,00

1083.75 12l5,0O

1353.76 i5oo,00

1200,0000 i354,6875 i5i8,75oo 1692,1875 1875,0000

1,10

1,20

i,3o

1,40

i,5o

1210,00 i44°,oo 1690,00 i960,00 225o,00

1512.5 1800,0

2112.5 2450,0

2812.5

1815,00 2160,00 2535,00 2940,00 3375,00

2268.75 2700,00 3168,70 3675,00

4218.75

1,60

i,7°

1,80

i»9°

2,00

2560,00 2890,00 3240,00 3610,00 4000,00

3200,0

3612.5 4o5o,o

4512.5 5ooo, o

384o,00 4335,oo 4860,00 54i5,oo 6000,00

4800,00 5418,75 6075,00 6768,70 75oo,oo

2,10

2,20

2,3o

2,40

2,5o

44io,oo 484o, 00' 5290,00

5760,00

6200, 00

5512.5 6o5o, o

6612.5 7200,0

7812.5

6615,00 7260,00 7935,00 8640,00 9375,0

8268,75 9075,00

99l8>75 10800,00 11718,75

6760,00 7290,00' 7840, 00 8410,00 9000, oa

845o, 0 9112,5 g8oo,o io5i2,5 1125o,

10140,o 10986,0 11760, o I26l5, o i35oo, o

12675,00 13668,75

14700,00 16768, 75 16875,00

hauteurs

70>70

VALEURS DE

70,70

10

10® mc CORRESPONDANT AUX CORNIÈRES DE

80, 80

80,80

9O.9O

90,90

100,100

10

10

12

10

o,3o 273,632 o,35    326,432

o,4o 379,232

o,45    432,032

o,5o 484,832

o,55    537,632

o,60    590,432

o,65    643,232

0,70

0,75    748,832

696,032

0,80    801,632

o,85    854,432

907,282

335,o

4oo,o

465,o

53o,o

5g5,o

660,0

725,0

790,0

855,o

920,0

985,0 io5o,o iii5,o 1180,0 1,00    1012,832    1245,0

1,10    1118,432

1,20    1224,032

i,3o    1329,632

1,40    1435,232

i,5o 154o, 832

1,60    1646,432    2025,0

1,70    1752,032    2i55,o

1,80    i857,632    2285,0

1,90    1963,232    24i5,o

2,00    82068,832    2545,0

0,90 o,g5 960,032

i375,o i5o5,o i635,0 1765,0 i8g5,o

308,992 36g, 792 43o,592

49¹,392

552,192

612,992 6:3,792 734,592

795,392

856,192

9i⁶,992 977,792 to38,5g2 1099,392 1160,192

1281,792 i4o3,392 1524,992 1646,592

1768,192

1889,792

2011,392

2132,992

2254,592

2376,192

379,0 454,0 529,0 604,0 679»⁰

421,0

5o6,o

5gi,o

676,0

761,0

4g6,368 597,168 697,968 798,768

899,568

461,0

556,o

65i,o

746,0

841,0

754,0

829,0

904,0

979-°

io54,o

846,0 g3i,o 1016,0 1101,0 1186,0

iooo,368 1101,168 1201,968 l302,768 i4o3,568

936,0 io3i,o 1126,0 1221,0 i3i6,o

1129,0 1204,0 1279,0 i354,0 1429,0

1271,0 i356, o i44i,o 1626,0 1611,0

i5o4,368 i6o5,168 1705,968 1806,768 1907,568

i4ii,o i5o6,o 1601,0 1696,0

1791,0

1579,0

1729,0

1879,0

2029,0

2179,0

1781,0

i95i,o

2121,0

2291,0

2461,0

2109,168    1981,0

2310,768    2171,0

25i2,368    236i,o

2713,968    255i,o

2915,568 2741,0

2329,0 2479,0 2629,0 2779,0 2929,0

203l,0

2801,0

2971,0

3i4i,o

33n,o

3117,168 3318,768 3520,368 3721,968 3g23,568

2931,0 3l2I,0 33u,o 35oi,o 3691,0

2,10

2,20

2,30

2,40

2,5o

2174,432    2675,0

2280,032    2805,0

2385,632    2935,o

24g i,232    3o65,0

2596,832 3ig5,o

2407,792 2619,392 2740,992 2S62,592 2984,192

3079,0 3229, o 3379,o 3529,0 367g, o

3481,0 3651, o 3821,0 3991, o 4i6i,o

4125,168 4326,768 4528,368 4729,968 493i,568

388i,o 4071,0 4261,0 445i,o 4641,0

2702,432    3325,o

2808,o32    3455,o

2913,632    3585,o

3oig,232    37i5,0

3124,832    384o,5

3105,792 3227,392 3341,992 3470,592 3592,192

3829, o

3979»°

4129,0

4279,0

4429,0

433i, o 45oi,o 4671,0

484i,o

5on,o

5i33,168 5334,7 8 5536,368 5737,968 5g3g,568

483i,o Ö021, o 5211,0 54oi,o 5591,0

Tableau XIII {suite). — Moments de deux cornières,

(fig. 3).

sanaxnvH ■

VALEURS DE 10® mc CORRESPONDANT AUX CORNIÈRES DE

100,100

12

100,100

i5

110,110

12

110,110

i5

120,120

12

120,120

i5

o,3o

0,35

o,4o

0.45

o,5o

544,128

666,928

769,728

882,628

995,328

o,55

0,60

o,65

0,70

0,7-5

1108,128

1220,928

1333,728

1446,528

1.559,328

663,3₇5 802,125 940,875 1079,620

1218.375

1357.125

1495,875

1634,625

1773.375

1912.125

589,488 714,288 83g, 088 963,888 1088,688

719,626

873,375 ! 1027,125 1180,875 1334,625

6)2,448 769,248 906,048 1042,848 1179,648

1213,488 i338,288 1463,088 1.587,888 1712,688

1488.375 1642,125 1795,875 1949,625

2103.375

i3i6,448 1453,248 1590,048 1726,848 1863,648

772,875

941,62.5

1110.375

1279.125

1447.875

1616.625

1785.375

1954.125

2122.875

2291.625

0,80

o,85

0,90

0-9-5

1,00

1,10

1,20

i,3o

1,4°

i,fio

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

1672,128

Ï7⁸4,928

1897,728

2010,528

2123,328 2348,928

2674,528

2800,128

3025,728

325i,328 3476,92s

3702,628

3928,128

41.63,728

4379,328

2050.875

2189,626

2328,375

2467,125

2605.875

2883.37.5

3160.875

3438.375

3715.875

3993.37.5

4270.875

4548.37.5

482.5.875

5103.375

5380.875 1837,488

1962,288

2087,088

2211,888

2336,688

2.586,288

2835,888

3o85,488

3335,088

3584,688

3834,288

4o83,888

4333,488

4583,o88

4832,688

22.57.12.5

2410,875

2.564,625

2718,375

2872.12.5

3179.625

3487,125

3794.625

4102,12.5

4409.625 47i7,I2'5

.6024,625

5332.125 .6639,625

5947.126 2000,448

2137,248

2274,048

2410,848

2547,648

2821.248

3094.848

3368.448 3642,048 3g 15,648

4189.248

4462.848

4736.448 5oio,o48 5283,648

2460,37.5

2629,125

2797,875

2966,625

3i35,3₇5

3472.87.5

3810.375

4147.875

4485.37.5

4822.875

5160.375

5497.875

5835.375

6172.875

6510.375

2,10

2,20

2,3o

2,4o

2,5o

4604,928

483o,528

5o56,i28

6281,728

5507,328

5658.375

.6935,87.5

6213.37.5

6490.87.5

6768.375

.6082,288

5331,888 558i,48i 583i,o88

6080,688

62.54.625 6562,125 6869,620

7177,12.5

7484.625

55.67,248

5830,848

6io4,448

6378,048

6601,648

6847,876

7185.875

7522.875

7860,375

8197,87.5

5732,928

5958,528

6184,128

6409,728

6635,328

7045.87.5

7323.37.5

7600.875 7878,375

8155.875

633o,288 I 7792,12.5 6579,888 I 8099,62.5 6829,488 ! 8407,12.5 7079,088 7328,688

8714,62.5

90 22,125

6925,248

7198,848

7472,448

7746,043

8019,648

8535.37.5

8872,875

9210.37.6

9547,825

9885,375

IIAU l’EUliS

VALEURS

IO* ms CORRESPONDANT A L’ÉPAISSEUR C

10 mm

12 mm

i5 mm

20 mm

3o mm 4° mm

5o mm

o, 3o o,35 o, 4<> 0,4,8 0,5o

i55o,o 1800,0 2o5o,o 23oo,o 20Ó0,0

1872,0

2172,0

2472,0

2772,0

3072,0

a

ai ui ui at

3200,0

3700, o 4200,0 4700,0 5200,0

495o,o .8700,0 645o,o 7200,0    9800,0

7g5o,o 10800,0

6800,0

7800,0

8800,0

8760,0 10000,0 11250,o 12600,0 i375o,o

o,55 0,60 o, 65 0, 70 0,75

2800,0 3o5o,o 33oo,o 35ÓO,o 38oo,o

3372,0

3672,0

3972,0

4272,0

4572,0

4237.5

4612.5

4gS7,5

5362.5

5737.5

8700,0 6200,0 6700,0 7200,0 7700,0

8700,0    11800,0

945o,o    12800,0

10200,0 i38oo,o 109.80,0    14800,0

11700,0 i58oo,o

i5ooo,0 16200,0 17600,0 18750,0 20000,0

0,80 o,85 0,9c o, 9.6 1,00

4o5o,o 43oo,o 455o,o 4800,0 5o5o, o

4872,0

5172,0

5472,0

5772,0

6072,0

6112.5

6487.5

6862.5

7237.5

7612.5

8200,0 8700,0 9200,0 9700,0 10200,0

124.80,0    16800,0

l320O,O    17800,0

139.80,0    18800,0

14700,0    19800,0

i545o,o    208e®,0

2125o,0

22600,0

23750,0

25000,0 26260,0

r, ic 1,20 i,3o i,4o 1,5o

555o,o 6o5o,o 655o,o 7o5o, o 7.55o,o

6672,0

7272,0

7877,0

8472,0

9072,0

8362.5

9¹¹².5

9862.5

10612.5

1 i362,5

11200,0 12200,0 13200,o 14200,0 l5200,0

i695o, 0 22800,0 i845o,o 24800,0 19950,0 26800,0 2i45o,o 28800,0 22950,0 3o8oo,o

28750,0 3i2.5o, o 33760,0 36200,o 38700,0

1,60 1,70 1,80 ji, 9° 2,00

8o5o,o

855o,o

9o5o,o

95.60,0

ioo5o,o

9672,0

10272,0

10872,0

11472,0

12072,0

12112.5

12862.5

13612.5

14362.5

15112.5

16200,0

17200,0

18200,0

19200,0

20200,0

24480,0    32800,0

20950,0    34800,0

27450,0    368oo,o

289.60,0    388oo,o

3o4r>o,o 4°8°⁰,⁰

4l2ÔO,0

43750,0 46260,0 487.60, 0 5i25o,0

2,10 2.20 2.3o 2,40 2,5o

io55o,o no5o,o n55o. o 1205l,o 1255o, o

12672,0 13272, o 13872,0 14472,0 16072,o

15862.5

16612.5

17372.5

18112.5 18862,0

21200,o 22200, 0 23200,o 24200,o

25200,0

42800,0

44800,o

3i95o,o 3346o, 0 34g5o,o 46S00,o 3645o, 0    4&8oo,0

37960,0 5o8oo,o

53700, o 56260,0 587.60,0 6i25o,o 63760,0

i3o5o,o i355o. o i4o5o,o 1455o,o i5o5o,o

15672,0 16272, o 16872,0 17472,0 18072,0

19612.5

20362.5

21112.5

21862.5

22612.5

26200,0 27200,0 28200,0 29200,0 30200, o

3g45o,o    62800,0

4og5o, 0    54800,o

42460,0    568oo,o

43g5o,o    588oo,o

4545o,o    60800,0

6625o,o 68760,o 7I25o,o 73750,0 76250,0

b). MOMENTS DES VIDES m'

Dans le calcul de résistance d’une poutre, on doit considérer les mêmes vides pour les moments m que celles pour les moments d’inertie correspondants, dont les emplacements sont indiqués dans le chapitre II.

Nous allons déterminer en conséquence les vides des rivets verticaux et des rivets horizontaux.

Vides des rivets verticaux. — Ces vides correspondent aux rivets qui attachent les semelles aux cornières de la poutre, ils sont représentés par les surfaces hachurées de la figure o.

Vides verticaux des semelles. — En conservant les mêmes notations que dans les chapitres précédents, et en prenant les moments par rapport à la ligne moyenne des surfaces situées au-dessus du plan supérieur des cornières, nous obtenons le moment des vides des semelles m\ l’expression suivante : (29)

Rappelons ici que pareillement comme pour le moment d’inertie, le moment de la section nette des semelles ms peut être obtenu directement en attribuant aux semelles, au lieu de la largeur totale a, une largeur réduite a — 2d.

Vides verticaux des cornières. — Le moment m'G correspondant aux vides verticaux des cornières, s’obtient en prenant les moments par rapport à la ligne moyenne des surfaces hachurées de la même figure 5 qui se trouvent en-dessous du plan supérieur des cornières. On obtient ainsi l’expression suivante qui correspond à la figure 8 :

(30)

m' =r icl (c,h--.

c \    2 /

En comparant les deux dernières expressions, on remarque qu’elles ne diffèrent pour une même épaisseur que par le signe du dernier terme entre les parenthèses. On pourra en consé-

quence obtenir à Faide du même tableau XI les coefficients numériques des moments des vides verticaux.

Les expressions de ce tableau, avec le dernier terme pris positivement, donneront les moments des vides des semelles.

—*■-

Lj

U i.

si

Jl

-JL-±_

Fig. 5.

Fig. 8.

Fig. 9.

Ces mêmes expressions, avec le dernier terme pris négativement, donneront les moments des vides verticaux des cornières.

Vides des rivets horizontaux. — Soient comme dans le chapitre précédent (fig. 9) :

e’ l’épaisseur totale à assembler pour les rivets horizontaux ;

d, le diamètre d’un rivet ;

hla distance du centre du vide à la ligne moyenne.

En prenant le moment par rapport à cette dernière ligne de la surface représentant le vide, on trouve l’expression générale suivante applicable à une hauteur quelconque h'.

(31)

m’ = e’dh’.

Pour les rivets d'assemblage des cornières avec l’âme verticale, nous admettons que la hauteur h> correspond au milieu de la largeur extérieure des cornières; on a par conséquent d’après la relation (21) :

c.

h’ =h —

pour le moment des vides horizontaux l’expression générale suivante :

(32)

m' —

L’épaisseur e’ de cette expression présente deux valeurs.

Pour le calcul de résistance de l’âme verticale à l’efFort de glissement longitudinal d’après l’équation (8) l’épaisseur (»'comprend celles de l’âme et des deux cornières

e’ =. e -\- ict.

Pour le calcul de résistance des rivets horizontaux à Peffort de glissement longitudinal calculé d’après l’équation (10), l’épaisseur e’ est égale à celle de deux cornières seulement.

e’ = 2 ct.

Les valeurs numériques des coefficients du moment m’ de l’équation (32) sont réunies dans le tableau suivant. Les dimensions des cornières et des rivets de ce tableau sont les mêmes que dans le tableau VII.

Tableau XV. —Moments des vides horizontaux de 2 cornières.

Formule 32.

DIAMÈTRE LARGEUR

des

des

rivets cornières

EXPRESSIONS DE io*

m'

T⁷

LO    00    O

*■*    *-1    ci

60

70

80

90

100

110

120

ioooo ri — /|8o 18000 h — 63o

20 000 h — 800

22 000 h —

990

25000 h — i25o

25 000 h — i3"5

25ooo h — i5oo

Valeurs numériques des moments des vides. —Nous donnons ci-après une série de valeurs numériques des moments des vides, pour les mêmes hauteurs que dans les cas précédents.

Les moments des vides des semelles peuvent se calculer facilement à l’aide du tableau XIV.

En conséquence il ne nous reste que les valeurs des moments des vides verticaux des cornières, et les moments des vides horizontaux.

Ces valeurs calculées d’après les équations des tableaux XI et XV font l’objet de deux tableaux ci-après.

Tableau XVI. — Moments des vides verticaux des cornières (formule 30).

HAUTEUR

VALEUR DE

8 mm

10 am'c

CORRESPONDANT A L'ÉPAISSEUR C, DE

9 mm

10 mm

12 mm

i5 mm

o, 3o o,35 o,/jo

0,/jO

o,5o

1168, o i368,o i568,o 1768,0 1968,0

1309.5

1534.5

1759.5

1984.5

2209.5

i45o,o 1700,0 ig5o,o 2200,0 2460, o

1728,0

2028,0

2328,0

2628,0

2928,0

2137.5

2512.5

2887.5

3262.5

3637.5

o,55

0,60

o,65

0,70

0,75

2168,0 2368,0 2568,0 2768, o 2968, o

2434.5

265g,5

2884.5 3iog,5

3334.5

2700,0 2950,0 3200,0 345o,o 3700,0

3228, o 3528, o 3828,0 4128,0 4428,0

4012.5

4387.5

4762.5

5137.5

5512.5

0,80

o,85

0,90

0,95

1,00

3168,o 3368, o 3568, o 3768,0 3g68,o

3559.5

3784.5

4009.5

4234.5

4459.5

3960,0

4200,0

445o,o

4700,0

4g5o,o

4728,0

5028,0

5328,0

5628,0

5928,0

5887.5

6262.5

6637.5

7012.5

7387, 5

1,10 1,20 1,3o i,4o i,5o

4368, o 4768, o 5168, o 5568,0 6968, o

4909>5

5359.5

5809.5

6259.5

6709.5

545o,o 5g5o,o 645o,o 6950, o 745o,o

6528,0

7128,0

7728,0

8328,0

8928,0

8137.5

8887.5

9637.5

10387.5

11137.5

1,60

1,70

1,80

1.90

2,00

6368,o

6768,0

7168,0

7668,0

7968,0

7159.5

7609.5

8059.5

85og,5

8959.5

7950,0 845o,o 8g5o,o g45o,o 995o,o

9528,0

10128,0

10728,0

11328,0

11928,0

11887.5

12637.5

13387.5

14137.5

14887.5

2,10 2,20 2,3o 2,40 2,5o

8368, o 8768, o 9168,o 9668, o 9968,o

9409.5

9859.5 io3og,5

10759.5 1120g, 5

io45o,o iog5o,o n45o,o ng5o, o 12450,0

12528,0 i3i28, o 13728, o 14328,0 14928,0

15637.5

16387.5

17137.5

17887.5

18637.5

2,60 2,70 2,80 2, 90 3,00

io368, o 10768,0 n 168, o n568,o 11968,0

n65g,5

12109.5 1255g, 5 i3oog, 5

13459.5

12960,o i345o,o i3g5o,o i445o,o i4g5o,o

i5528,o 16128,0 16728, o 17328, o 17928,0

19387.5

20137.5 20887,0

21637.5

22387.5

Tableau XVII. — Moments des vides horizontaux fig. 9, tableau 15).

HAUTEURS

10 "rm

VALEURS DE -— CORRESPONDANT AUX DIMENSIONS DE

e'

Cf = 70 c, = 80 d = 18 d = 20 ' d

c, = 90

22

A»⁵

100

25

SW

110 Cf = 120

25 d = 25

o,3o

0,35

0,40

o,45

o,5o

o,55 0,60 o,65 0,70 o, 75

2070,0 2520,0 2970,0

3420,0

3870,0

4320,0 4770,0 5220,0 5670,0 6l20,0

2200,0

2700,0

3200,0

3700,0

4200,0

4700,0

5200,0

5700,0

6200,0

6700,0

23l0,0 2860,0 3410,0 3960,0 45io,0

5o6o,o

56io,o

6160,0

6710,0

7260,0

2000,0 3i25,o 3750,0 4375,0 5ooo,o

5625,0 6260,0 6875,0 75oo,0 8125,0

2375,0 3ooo,o 3625,0 425o,o 4875, o

55oo,o 6125,0 6750,0 7375,0 8000,0

225o,O 2870,0 35oo,o 4ia5, o 475o,0

53₇5,0 6000,0 6625,0 7200,0 7875,0

0,80

o,85

0,90

o,g5

r,oo

6570,0 7020,0 7470,0 7920,0 83;o,o

7200,0

7700,0

8200,0

8700,0

9200,0

7810,0

836o,o

8910,0

9460,0

10100,0

8760,0 93?5,0 10000,0 10625,0

1125o,0

8625,0 9260,0 9875,0 io5oo,o 11125, 0

85oo,0 9125,0 9750, o 10375,0 11000,0

1,10 1,20 i,3o 1,40 i ,5o

9270,0

10170,0

11070,0

11970,0

12870,0

10200,0

11200,0

12200,0

i320o,o

14200,0

11110,0

12210,0

i33io,o

14410,0

i55io,o

12000,0 13750,0 i5ooo,o i625o, 0 17500,0

12375,0 i3625,0 14875, o 16125,0 17375,0

12250, o i35oo,o i475o, o 16000,0 17250,0

1,60 i ,70 1,80

1,90 2, 00

13770,0

14670,0

15570,0

16470,0

17370,0

l5200,0

16200,0

17200,0

18200,0

19200,0

16610,0

17710,0

18810,0

19910,0

21010,0

18760,0 20000,0 21260,0 22000,0 23750,0

18625,0

19875,0

21125,0

22375,0

23625,0

i85oo,o 19750,0 21000,0 22260,o 235oo,o

2, 10 2, 20 2,3o 2, 40 2,5o

2, 60 2,70 2,8o 2,90 3,00

18270,0 19170,0 20070, o 20970,0 21870, o

22770,0 23670,0 24570,0 25470, o 26370,0

20200, 0 21200, 0 22200, O 23200, O 24200,0

25200, o 26200,0 27200, o 28200,0 29200,0

22110,0 23210, 0 243l0,0

25410, O 265]0,0

27610,0 28710.0 29810, o 30910,0 32010,0

25ooo, o 26250,0 27500, o 28750, o 30000., o

3i25o, 2 325oo, 0 3375o, o 35ooo, 0 3625o, o

24875., 0 26125,0 27375,0 28625.0 29875,0

3i 125,0 32375,0 3362.5,0 34875,0 36i25,o

24750,0 26000,0 27250, o 285oo, o 29750,0

3iooo,o 32250, o 335oo,0 34700,0 36ooo, o

IV. - EXEMPLE

Gomme application des calculs et des résultats numériques établis dans ce mémoire, nous allons calculer la résistance à l’effort de glissement longitudinal de la poutre à trois travées étudiée dans la 3e partie de notre mémoire, au point de vue des flèches.

Calcul de résistance de l’effort de glissement longitudinal d’une poutre a trois travées

L’intensité de l’effort de glissement longitudinal se calcule par la formule générale (7).

A dx

L’intensité maximum de cet effort correspond aux valeurs maxima de l’effort tranchant A, nous établirons en conséquence les valeurs de ce dernier effort tout d’abord.

Efforts tranchants A. — Les valeurs maxima de l’effort tranchant ont lieu au droit des appuis, c’est-à-dire sur les culées et sur les piles dans la deuxième travée. Ces valeurs se calculent sans difficulté à l’aide des formules (114) de notre mémoire sur la résistance des poutres droites continues (3e partie).

1= io,8o m Il — i3,5o »

Ainsi la portée des travées de rive de cette poutre étant.

Celle de la travée centrale............................

p’ = 4800 kg

p" — 1900 »

La charge permanente par mètre courant de poutre... La surcharge équivalente à celle d’un convoi de char-riots de 6 tonnes par essieu donne par mètre courant de poutres.........................................

p = 6700 kg

La charge totale............

Avec ces données, les formules (114) donnent :

Au droit de la culée, dans la première travée pour x — o,

Aj = (o,456522 p — 0,084919 p') l — 2863ikg.

Au droit de la pile, dans la deuxième travée pour x^o,

At = (0,686538 p — o,o6i538 p’) l = 46468 kg.

Résistance de l’âme verticale. — L’âme pleine de la poutre ayant une épaisseur constante sur toute sa longueur, il suffit de vérifier sa résistance au droit de la pile.

L’expression générale de l’effort de glissement longitudinal est dans ce cas d’après l’équation (8)

('ma + mc + ms)-

A ,dx

La section transversale de la poutre présente au droit de cet appui S semelles de 0,010m d’épaisseur (fig. 11). La valeur correspondante du moment m s’obtient par conséquent de la manière suivante à l’aide des tableaux qui précèdent.

Pour l’âme de 8oo/i5uous avons au tableau XII. ma — 1200,000

Pour les cornières

100,100

—— le tableau XIII (suite) i5

mc = 2050,875

donne.

Enfin le tableau XIV donne pour l’épaisseur des semelles de o,o5, (0,40 — o,o5) 21 25o =..... ms = 7437,600

Total

10688,375

A déduire les vides des rivets horizontaux d’après le tableau XVII pour e’ = o,o45 o,o45 X 8750 — Reste pour la section nette

393,750

10⁶ m —:

10294,625

Le moment d inertie I₅ de la section entière correspondant aux 5 semelles a la valeur suivante :

io® Io = 1890,040

Pour l’âme et les cornières d’après le calcul fait à la fin du chapitre Ier Pour les semelles ayant une épaisseur de o,ob, nous avons d’après le tableau V :

10®I, = 6329,167 10® Is = 8219,207

2 (o,4oo — o,o5o) 9041,6667.

Total

Enfin, en attribuant pour l’intervalle dx l’uni té delongueur,

on a

dx — 1,00

Substituant ces valeurs dans l’expression générale de l’effort de glissement (8), on trouve pour l’intensité de celui-ci dans

Fig. u.

le plan de la ligne moyenne, la valeur suivante pour l’unité de longueur.

= 58 225 kg.

46488 x ¹)°° X 10294,625

8219,207

Cet effort doit être équilibré, comme nous l’avons dit au commencement de ce mémoire, par la résistance au cisaillement longitudinal de l’âme verticale ; orla section résistante de celle-ci, suivant le plan de la ligne moyenne, est pour l’unité de longueur

O = 1000 X i5 = i5 000 mm*

Le travail maximum par millimètre carré sera donc

„ d0 68225    „    ,

R = - = --= 3,88 kg

Q 10000

- ♦)

r*-

_4w

Jij

'vKv i

■Æ

VJ"

/go

Jf-T

km Laçggçifg i.    --__''

-a.

Je

h-. UOQ

Sr>

Z h . 800

Fig. !2.

St

■*

---i —

Ce travail est inférieur à la limite de 5,20 /^prescrite parla nouvelle circulaire ministérielle qu’on peut adopter pour les poutres d’un pont-route.

Résistance des rivets d'assemblage des cornières à l'âme verticale. L’efTortde glissement longitudinal, qui s’exerce suivant

la ligne des centres des rivets d’attache, se calcule par la formule 10)

Adx

(mc + ms)

L’intensité de cet effort au droit des appuis présente les valeurs suivantes :

Effort de glissement sur les culées. — La section de la poutre dans les tronçons voisins des culées ne présente qu’une semelle de 0,010m d’épaisseur (fig. 12); les rivets verticaux de cette semelle représentent ici son assemblage avec les montants de la poutre, que nous supposons avoir le même diamètre que dans le cas précédent.

Dans cette hypothèse, le moment m a la valeur suivante :

îo’ws = 1417,5oo

Pour la semelle de (4oo — 5o) io le tableau XIV donne o,35 X 4°5o =

100,100

comme ci-dessus.. io⁶mc = 2050,875

. i5

Pour les cornières de

Total

3468,375

A déduire le moment des vides des rivets horizontaux d’après le tableau XVI pour l’épaisseur

e’ = o,o3, o,o3 X 8750 =

10fm’ r= 262,500 Reste pour la section nette io°m = 3205,870

L’élément dx représente ici la distance d’axe en axe des rivets dans le sens longitudinal. Nous donnons à cet élément la longueur réduite du tableau VI

dx — 0,10 m.

Enfin la valeur du moment d’inertie de la section avec une semelle calculé à la fin du chapitre II est

10*1, = 3o38,27j

Ces valeurs substituées dans l’expression générale de l’effort de glissement (10) donnent pour l’intensité de celui-ci la valeur suivante :

= 3021 kg

2863,2 x 320.5,875

3o38,273

Effort de glissement sur les piles. — La section de la poutre dans les tronçons voisins des piles comprend 5 semelles de 0,010 m d’épaisseur (fig. 11).

L'effort de glissement longitudinal auquel les rivets des cornières doivent résister se calcule par la même expression générale (10) que ci-dessus.

Les valeurs des divers termes entrant dans cette expression sont les suivantes :

L’effort tranchant maximum L’intervalle entre les axes de deux rivets consécutifs

dans le sens longitudinal.........................

Le moment d’inertie ls de la section avec cinq semelles est comme précédemment

.. A* = 46 488

dx— 0,10 m

10⁶ Is = 9488,370

Enlin le moment m se détermine de la manière suivante :

Pour la section pleine comprenant les semelles et les cornières, d’après les calculs qui précèdent

9488,3₇5

10688,376 — 1200 =............................

A déduire les vides horizontaux correspondant à

o,o3 X 8760 = 262,000 ....... io⁶m = 9220,875

une épaisseur e’ = o,o3.............

Reste pour le section nette

La formule générale (10) donne avec ces valeurs pour l’effort de glissement longitudinal l’intensité suivante :

= 0206 kg.

do — 4⁶4$,8 X 9^5^75

8219,207

Travail du métal. — L’effort de glissement déterminé au droit des appuis doit être équilibré dans l’élément dx par la résistance au cisaillement d’un rivet travaillant en double section.

Le diamètre des rivets correspondant aux cornières de 100 X 100, étant de 0,025 m, la section résistante sera a w = 2 X 49* — 982 mm*.

Par suite le travail maximum par millimètre carré sera d’après la formule (11) sur les culées

302]

= 3,o8

sur les piles dans la 2e travée

= 5,3o

5 206

982

Ces résultats nous montrent que le travail des rivets d’assemblage au droit des culées se trouve dans de bonnes conditions de résistance, tandis que sur les piles ce travail dépasse de 0,10 kg la limite prescrite par la circulaire ministérielle.

Le surcroît de travail ci-dessus encore admissible tient à ce qu’avant la circulaire ministérielle on admettait pour le travail des rivets au cisaillement une limite de 5,50 kg.

Moyens à employer pour réduire le travail des rivets. — Dans les conditions de la nouvelle circulaire ministérielle, le travail des rivets, supérieur à la limite prescrite, indique en général que la hauteur de la poutre est insuffisante pour supporter dans de bonnes conditions les charges prévues.

Pour ramener le travail des rivets au dessous de cette limite, il n’y a donc qu’une solution pratique à adopter, c’est d’augmenter la hauteur de la poutre.

En effet, ce n’est que par ce moyen qu’on pourra obtenir une

711

réduction du rapport de y et même, dans beaucoup de cas,

réduire les dimensions transversales de la poutre.

Toutefois, cette réduction devra être faite de manière à

I

laisser au rapport — à peu près la même valeur, afin que la

nouvelle section puisse résister convenablement au moment fléchissant.

Cette augmentation delà hauteur s’impose surtout pour les longerons, entretoises, et pour les poutres sous-rails des via* ducs.

geur de ces cornières est de 0,150 m,

&■

Pour ccs pièces, on doit proscrire d’une manière générale toutes les petites hauteurs pour lesquelles le travail des rivets ne se trouve pas assuré dans de bonnes conditions.

Dans certains cas, cependant, des poutres sous-rails, où il est très difficile d’augmenter la hauteur, on a recours aux cornières à larges ailes permettant de placer deux rangées de rivets. Le minimum de lar-

-~r

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-mu*

Fig. 13.

l’emplacement des rivets sur deux rangées est indiqué par la ligure 13. L’espacement des rivets est de 0,10 m d’axe en axe et la distance dx se réduit dans ce cas à 0,0707 m.

Enfin on pourra réduire le travail des rivets par l’augmentation de leur diamètre.

Cette disposition ne présente pas de difficulté pour les diamètres des rivets inférieurs à 0,025 m, à condition d’employer les cornières correspondantes.

Pour les cornières de 110X no et 120 X 120 on pourrait également augmenter légèrement le diamètre de 0,025 m, admis comme maximum ; mais cette solution ne saurait être recommandée, car l’augmentation du diamètre des rivets comporte celle de leur espacement dx, et par suite l’avantage obtenu d’un côté se trouve compensé par un inconvénient de l’autre côté.

Il en résulte qu’il est préférable de composer la section de la poutre de manière à employer des rivets fabriqués couramment, dont on puisse s’approvisionner sans difficulté, et sans majoration de prix.

DEUXIÈME PARTIE

RÉSISTANCE

DES POUTRES DES PONTS ET VIADUCS MÉTALLIQUES SOUS L’INFLUENCE DES SURCHARGES MOBILES,

SOMMAIRE

EXPOSÉ

I. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES

Courbes-enveloppes des moments fléchissants produits par les surcharges mobiles. — Considérations générales. — Moment fléchissant maximum. — Calcul des portées applicables. — Détermination de la charge k. — Courbe-enveloppe des moments fléchissants. — Abscisses des points d’intersection des courbes successives. — Expressions des moments aux points d’intersection.

Courbe-enveloppe des efforts tranchants. — Détermination des limites des valeurs de l’effort tranchant. — Équations des efforts tranchants. — Valeurs des efforts tranchants aux points d’intersection des éléments de la ligne enveloppe.

II. — Résistance des poutres supportant les voies ferrées

Définition des charges. — Charges du train-type. — Charges du train théorique.

Moments fléchissants maxima. — Calcul des termes S l?d et S Pd’ — Calcul des abscisses x' — Tableaux des expressions des abscisses x' et des moments maxima pour les portées de 4,20 m à 101^00 m. — Courbes-enveloppes des moments. — Tableau des équations des éléments de cette courbe.

Efforts tranchants maxima. — Formules générales. —Tableaux des expressions des efforts trauchants maxima pour les parties de 3,60 m à 101,00 m.

III. — Résistance des poutres des ponts-routes

Définition des charges. — Types de convois. — Répartition des charges sur la coupe transversale du pont.

Moments fléchissants maxima. — Calcul des termes ^Ptf etSPrf' — Tableaux des expressions des abscisses x' et des moments fléchissants, maxima pour les portées de 1,00 à 100 m. — Courbes-enveloppes des moments fléchissants. — Tableaux des équations des éléments de ces courbes.

Efforts tranchants maxima. — Formules générales. — Tableaux des expressions des efforts tranchants maxima pour les portées de 1,00 m à 100,00 m.

IV. — Courbes-enveloppes aproximatives

Courbe-enveloppe des moments fléchissants. — Formule générale. — Calcul des longueurs des semelles additionnelles.

Ligne-enveloppe des efforts tranchants. — Formule générale.

V. — Exemple comparatif.

Courbes-enveloppes des moments fléchissants. — Calcul par la méthode exacte. — Calcul par la méthode approximative.

Lignes enveloppes de l'effort tranchant. — Calcul par la méthode exacte. — Calcul par la méthode approximative. — Conclusion.

EXPOSÉ

La circulaire ministérielle du 29 août 1891 prescrit des nouvelles surcharges pour le calcul de résistance et les épreuves des ponts et viaducs métalliques.

Ainsi, les poutres des viaducs métalliques doivent être établies de manière à résister dans de bonnes conditions aux surcharges mobiles des trains types définis par les articles 4 et 13 du règlement de cette circulaire (1).

Les poutres des ponts-routes doivent également présenter une résistance suffisante sous le passage des surcharges des convois de charriots définies par l’article 17 de ce règlement.

Dans les deux cas, le mode d’action des surcharges est indiqué de la manière suivante dans l’article 4 :

« L’ensemble du train (ou des convois de charriots) sera supposé occuper successivement différentes positions le long de la portée, et ces positions seront choisies de manière à réaliser en chaque point les plus grands efforts tranchants et fléchissants que le passage du train-type (ou convoi) puisse déterminer. »

Pour répondre à cette partie de la circulaire ministérielle, c’est-à-dire pour déterminer d’une manière précise les efforts maxima qu’une poutre aura à supporter, il est indispensable d’établir les calculs de résistance dans l’hypothèse des charges mobiles placées pour chaque section de la poutre dans la position la plus défavorable.

Les’valeurs successives des efforts maxima ainsi obtenues formeront les courbes-enveloppes des moments fléchissants et des efforts tranchants sur lesquelles on se basera pour arrêter les dimensions principales de la poutre.

EXPOSÉ

55

Les calculs à effectuer dans cette hypothèse étant longs et compliqués au premier abord, on a cherché à les simplifier en adoptant la surcharge uniformément répartie équivalente.

Mais ce mode de procéder, admissible tout au plus pour les poutres à plusieurs travées, n’est pas rigoureux, et présente des différences assez sensibles pour le cas des travées isolées où les efforts peuvent être obtenus exactement sans grande difficulté.

En effet, pour ces dernières poutres, sous l’action d’une surcharge uniformément répartie, le moment fléchissant varie proportionnellement aux ordonnées d’une parabole à axe vertical; il part de zéro aux appuis et atteint nn maximum au milieu de la portée.

Au contraire, dans le cas des surcharges mobiles, la courbe-enveloppe des moments fléchissants se compose d’une série d’arcs paraboliques, correspondant aux charges isolées qui forment le convoi; et c’est le sommet de l’axe le plus rapproché du milieu de la portée qui donne le moment maximum.

Ce sommet se trouve généralement à une certaine distance du milieu de la portée, et ce n’estque dans un cas tout particulier correspondant à l’égalité des moments des charges pris par rapport à l’essieu donnant le maximum du moment fléchissant, situées à droite et à gauche de cet essieu, que ce sommet coïncide avec le milieu de la portée.

Les deux valeurs extrêmes de la charge uniformément répartie équivalente peuvent s’établir de la manière suivante :

La plus petite charge est celle qui donne le moment fléchissant maximum des charges roulantes au milieu de la portée.

Cette hypothèse est admissible pour les poutres à section constante.

Mais pour les poutres à section variable avec des semelles additionnelles, cette charge est insuffisante, car les ordonnées de la courbe-enveloppe réelle sont presque partout supérieures aux ordonnées de la parabole correspondante à cette charge, et par suite les semelles additionnelles calculées dans cette hypothèse ont des longueurs insuffisantes.

La plus grande charge, uniformément répartie donnant à la parabole des moments des ordonnées égales ou supérieures à celles de la courbe-enveloppe, présente l’inconvénient de donner une trop grande valeur au moment fléchissant au milieu de la portée, et par suite d’exiger un surcroît du métal inutile à la résistance dans cette partie de la portée, et oblige d’autre part d’allonger hors proportion les semelles additionnelles.

Une solution intermédiaire, qui consiste à déterminer la charge uniformément répartie de manière à obtenir le même moment fléchissant maximum au même point que celui des charges mobiles, n’est pas non plus exempte d’inconvénients, car elle laisse encore une trop grande valeur au moment fléchissant au milieu de la portée, et présente des ordonnées inférieures à celles de la courbe-enveloppe dans les régions latérales de la portée.

Il résulte de ce qui précède que les surcharges uniformément réparties couvrant la travée entière ne donnant pas des résultats avec l’exactitude suffisante, l’emploi d’une nouvelle méthode de calculs s’impose; méthode basée sur l’emploi des charges mobiles réelles.

Les calculs faits dans cette dernière hypothèse, en assignant aux efforts maxima développés dans une poutre des valeurs exactes, permettront seuls de répondre d’une part aux prescriptions de la circulaire ministérielle, et d’éviter d’autre part l’excès ou l’insuffisance du métal dans la composition des poutres.

Toutefois, cette dernière méthode pourra recevoir des simplifications par l’emploi d’une courbe unique remplaçant l’une des moitiés du polygone curviligne de la courbe-enveloppe, comme nous le montrerons au dernier chapitre de ce mémoire.

C’est dans cet ordre d’idées que nous nous proposons de traiter la question dans ce mémoire, en indiquant la méthode que nous employons dans les calculs de résistance des tabliers métalliques du réseau.

ÉQUATIONS GÉNÉRALES

Partant de la théorie générale de la flexion, nous établissons dans le chapitre Ier les équations générales des moments fléchissants et des efforts tranchants produits parles charges mobiles, la grandeur et les espacements de ces charges étant quelconques.

Le chapitre II renferme l’application des équations générales aux poutres supportant les voies ferrées.

Dans le chapitre III, les équations générales sont appliquées aux poutres des ponts-routes.

Les simplifications introduites dans les équations générales, ainsi qu’un grand nombre de coefficients numériques permettent d’obtenir sans difficulté les efforts maxima produits par les surcharges mobiles en fonction de ces charges P et de la portée des poutres /.

Ces expressions s’appliquent pour les ouvrages dont la portée est comprise entre 4 m et 100 m.

Enfin le chapitre IY présente la simplification de la méthode générale. Les équations suffisamment rapprochées de la courbe-enveloppe des moments fléchissants et des efforts tranchants permettent d’obtenir rapidement leurs valeurs maxima.

A la fin de ce chapitre se trouvent les équations servant au calcul de la longueur des semelles additionnelles.

Les résultats ainsi obtenus,permettant d’éviter les tâtonnements et de réduire les calculs, pourront présenter, croyons-nous, leur utilité dans la construction.

I. - ÉQUATIONS GÉNÉRALES

Courbes-enveloppes des moments fléchissants produits par

LES CHARGES MOBILES

Considérations générales. — Pour déterminer les efforts de la flexion développés dans une poutre droite à une travée sous l’action des charges mobiles, deux quantités fondamentales sont nécessaires à établir :

1° La valeur du moment fléchissant maximum, d’après laquelle on détermine tout d’abord la section transversale de la poutre comportant toutes les semelles additionnelles;

2° Les équations de la courbe-enveloppe des moments fléchissants dans l’espace compris entre l'origine et l’abscisse correspondant au moment fléchissant maximum. Le contour ainsi obtenu dans l’une des parties de la poutre, et se reproduisant dans la partie restante symétriquement par rapport au milieu de la portée, permettra de calculer avec exactitude la longueur qu’il convient de donner aux tôles formant les semelles additionnelles.

C’est dans ce sens que nous développons les équations de ce chapitre applicables à tout système de charges, quels que soient leur grandeur et leur espacement.

Ces équations sont établies dans l’hypothèse où les charges mobiles se trouvent dans un plan vertical passant par l’axe longitudinal de la poutre, et qu’elles se déplacent directement sur sa partie supérieure.

Moment fléchissant, maximum. — Ce moment se produit d’une manière générale au droit d’une charge placée vers le milieu du système en mouvement, lorsqu’en se déplaçant dans la partie centrale delà portée, cette charge occupe une position déterminée par rapport au milieu de la portée.

La valeur du moment fléchissant maximum se détermine, en conséquence, au moyen de l’équation des moments fléchissants produits au point d’application de la charge considérée pendant son déplacement.

Supposons que nous connaissons cette charge et soit k son numéro d’ordre en comptant de gauche à droite.

Pour déterminer l’équation des moments fléchissants correspondant au déplacement de la charge n° k, considérons un système d en charges Pt P₂ ... P„ en mouvement, et désignons par a l’abscisse de la charge P* comptée à partir de l’appui de gauche O pris pour l’origine.

Soient en outre d’une manière générale d et d'les distances

de la charge k à l’une des charges placées à sa gauche et à sa droite (fig. 1).

Le moment fléchissant M, en un point quelconque x du tronçon a/c_i voisin de la charge P/c produit sous l'action de toutes ces charges, s’obtient en prenant les moments par rapport à ce point de toutes les forces qui se trouvent à gauche sur la partie a — x de la portée.

On trouve ainsi :

(O

M = Y.x = S J. P [d— {a - *)] — Ç.

Dans cette équation, Y représente la réaction de l’appui de gauche variable avec l’abscisse a, et p la charge permanente uniformément répartie.

La valeur de cette réaction se détermine en prenant la somme des moments de toutes les charges par rapport à l'appui de droite B et en divisant le résultat obtenu par la portée de la poutre l.

v _ „» P (J - « + d) + P (Z - a - d') , pl

Y_n    7-+ —■

Soit en désignant par II le poids total desn charges mobiles.

l — a

y = ri —— +

(2)

+—•

Ą p d - s” p d>

Substituant cette expression dans l'équation (1), on obtient

-i

3><-

tf :

-i

f-

«PS

ü-

Q-k-1

fp

X-d,

-fi

æ-

.'i

----£■

1--->L

<-

TJ

TJ

a.

Fig. 1.

<xk _ i pour la position fixe de la charge P/,, c'est-à-dire pour la valeur fixe de la distance a.

(3) M=— S* Pp-(a — *)] + [l

L’indice inférieur du signe 2 indique la charge par rapport à laquelle sont pris les moments des autres charges.

Lorsque les charges se déplacent la distance a devient variable, le moment fléchissant au droit de la charge P/c s’obtient en posant dans la dernière équation a — x.

Les valeurs successives de ce moment pendant le déplacement des charges seront représentées par les ordonnées de la courbe-enveloppe dans le tronçon central de la travée, don l’équation est la suivante :

S*Pd-S”pd'

+£>-("+!)*•

E>d+[n+

Cette équation représente une parabole à axe vertical. La valeur maximum du moment fléchissant M' correspond au sommet de cette courbe. L’abscisse x' de ce sommet se calcule

(4)    M=-

par la relation suivante, obtenue en égalant à zéro la dérivée par rapport à # de l’équation (4).

2*Pd-sJPd'

(S)

<m

dx

(n+

D’où en résolvant et effectuant la division, on obtient l’expression simplifiée de l’abscisse x' sous la forme suivante :

S^Prf-Sj Pd!

(6)

Cette expression montre que Y abscisse x' correspondant au moment fléchissant maximum est égale à la demi-portée de la poutre, augmentée de la somme algébrique des moments de toutes les charges pris par rapport à l'essieu k et divisée par le double de la charge totale 11 et de la réaction de l'appui due à

pl

la charge permanente —.

Le dernier terme de celte expression peut être positif ou négatif suivant que 2 Pd est plus grande ou plus petite que SP d¹.

Il en résulte que dans le premier cas l’abscisse xT étant plus

/ .

grande que —, le moment fléchissant maximum se produira

dans la deuxième moitié de la portée. Dans le cas contraire, ce moment aura lieu dans la première moitié.

Substituons maintenant la valeur de l’abscisse xT dans l’équation des moments fléchissants (4) et remplaçons dans cette équation le deuxième terme par sa valeur tirée de la relation (5). Nous obtenons ainsi l’expression du moment fléchissant maximum M' sous la forme suivante :

M' = -

(7)

s>'+("+!)*'*■

Ainsi, dès que la charge k est connue, on pourra déterminer directement et sans difficulté, à l’aide de deux dernières expressions, la position et la grandeur du moment fléchissant maximum dans le cas général.

Calcul des portées applicables. — L’expression (6) permet de déterminer facilement les portées qui correspondent à un système déterminé de charges, pour lesquelles on cherche à calculer le moment fléchissant maximum.

Soient d et dr les distances des charges extrêmes placées à gauche et à droite de la charge k, et désignons par § le dernier terme de l’expression (6).

La plus petite portée, comprenant toutes les charges données, correspond à la position du système, où la charge la plus éloignée de la charge P*- atteint sans le dépasser l’appui voisin.

On a donc pour le cas où 3 est positif :

1

--P8 = d'

2

(«)

Lorsque 3 est négatif on a inversement :

(9)

/ = 52 (d' + 8)

l — 2 (d — ô).

On prendra comme limite inférieure de la portée la plus grande valeur de la relation (8) dans le premier cas, et de la relation (9) dans le dernier cas.

La plus grande portée est celle pour laquelle une nouvelle charge apparaît sur Tun des appuis. On prendra dans ce cas la plus petite valeur des égalités suivantes :

Pour 3 positif,

(10)

V    — 2 (cl’ — o + an)

V    — 2 (cl -j- Ô -j- <Xo)*

Et pour 3 négatif,

(il)

l — 2 (d¹ + o + an)

l — 2 (d — ô -j- Oto) •

Dans ces formules, a„ représente la distance de la nouvelle charge à la première Pt, et y.n la distance de la nouvelle charge à la dernière Pn.

Pour chaque portée comprise entre les limites ainsi déterminées, le moment fléchissant maximum M' se trouve à la même distance 3 à partir du milieu de cette portée.

Dans les applications cependant, il convient de réduire légèrement ces limites.

En effet le moment maximum M', dùà un système déchargés, devient plus petit vers les limites des portées qu’un autre moment maximum dù à une charge P en plus ou en moins.

Il existe dans ce cas une certaine valeur de la portée pour laquelle les deux moments maxima deviennent égaux.

Cette portée intermédiaire peut s’obtenir exactement en établissant l’égalité de deux moments fléchissants maxima successifs d’après l’équation (7) où l’on négligera, pour le moment, l’influence de la charge permanente.

n+p(W

On obtient ainsi l’équation suivante du deuxième degré où tous les coefficients sont connus :

(13) P j + [(11+P) ô'- 118 + tPrf - S*

(12)

= -2‘

fc'—i

Pd +

Pć/ + (11 +P) 6'*— 118*] == u.

Cette équation, résolue par rapport kl, donnera la valeur de la portée intermédiaire cherchée l\.

Les équations analogues ont été résolues par M. Michel, ingénieur en chef, et M. Gascougnolle, chef des études à la Compagnie des chemins de fer de Lyon pour les charges du train-type, et le train des machines les plus lourdes du réseau (1).'

Ces calculs sont encore assez longs; aussi nous proposons une formule plus simple qui consiste à prendre pour la portée limite /t la demi-somme de la portée maximum d’un cas et de la portée minimum des cas comportant une charge de plus.

(14)

l + l'

Les résultats obtenus par cette formule ne diffèrent que de quelques centimètres de ceux obtenus exactement; l’approximation est donc suffisante.

Détermination de la charge k. — On détermine cette charge en se basant sur les considérations suivantes :

Lorsque le moment lléchissantau droit de la charge k devient maximum en un point de la portée, l’effort tranchant A change de signe pour ce point. Ainsi de la valeur positive avant le point d’application de la charge k, il passe à la valeur négative après ce point.

L’effort tranchant est représenté parla dérivée de l’équation des moments fléchissants.

Ainsi, en prenant la dérivée de l’équation (1) par rapport àx, nous avons pour un point avant la charge k

p> O.

dx    k

Et pour un point situé après cette charge, nous avons A = Y — 2^. P < o.

Donc pour l’essieu cherché, on doit avoir pour la position indiquée ci-dessus

(15)

1>< Y<E;.P.

(1) Revue générale des chemins de fer, mars 1892.

y=ri

Or la réaction Y, en rapportant les moments à la première charge, s’exprime par la formule suivante :

a 2”Pd’

Désignant par g la distance du centre de gravité du système compté à partir de l’essieu n° 1, nous pouvons remplacer le dernier terme de cette équation par sa valeur

_ % i ~ i

et nous aurons en définitive

(16)

v/c— i

P<

Il [/—(«+■q)\

<AV-

Celte inégalité est facile à établir pour chaque système de charges; on prendra pour la portée / la valeur intermédiaire entre les limites désignées plus haut, et l’on placera le convoi de manière que le centre de gravité du système occupe la position indiqué par le théorème de M. Barré.

Cette position est telle que la distance entre l’essieu h et le centre de gravité du système soit égale à celle de cet essieu au milieu de la portée.

--(a + S) = aS.

2

Pour réduire des tâtonnements inévitables, on placera d’abord le centre de gravité des charges au milieu de la portée. Pour cette position on a :

a+»=T

Et l’inégalité (16) devient

(17)

sf lp<^< Sj P.

quantité immédiatement calculable et qui indique dans la majorité des cas l’essieu donnantle moment maximum cherché. Dans les cas exceptionnels où le centre de gravité se trouve

notablement rapproché de l’appui, par exemple de gauche, l’essieu cherché est voisin de celui indiqué parla relation (17). Il faut donc vérifier que l’essieu k donne réellement le maximum du moment W.

Pour cela on établira les formules (6) et (7) pour les charges n° k et k -p i, et l’on comparera les résultats de la formule (7) pour l’une des portées communes.

Dans le cas où le moment correspondant à la charge n° k-\-1 est supérieur à celui de la charge n° A, c’est l’essieu n° k + i qui donnera le maximum du moment cherché.. Pour s’en assurer on répétera la même opération avec la charge n° k -f- 2, pour laquelle on doit trouver un moment maximum inférieur à celui du cas précédent.

Dans le cas contraire, cette opération sera faite avec la charge n° k — 1.

On déterminera ainsi sans longs calculs le moment fléchis,, sant maximum dû au système donné des charges, ainsi que les portées correspondantes auxquelles il s’applique; les opérations ne sont pas longues, car le terme SPâJ et par suite la quantité g sont connus.

Courbes-enveloppes des moments fléchissants. — Pour déterminer les éléments de cette courbe, supposons que le système de n charges se déplace de gauche à droite, depuis la position initiale où la charge n° 1 se trouve au droit de l’appui de gauche jusqu’à la position finale où le dernier essieu n° n atteint sans le dépasser l’appui de droite.

essieu

Dans ce déplacement, les sommets de la ligne polygonale des moments fléchissants au droit de chaque décrivent des paraboles du second degré à axe vertical analogues à celle que nous venons de déterminer pour le tronçon central.

Ces diverses courbes, par leurs intersections successives, forment, à la partie supérieure correspondant aux ordonnées maxima, un polygone curviligne.

Le polygone, ainsi composé des arcs paraboliques, constitue la courbe-enveloppe des moments fléchissants dans le cas des charges mobiles.

Les équations de ces divers éléments de la courbe-enveloppe s’obtiennent sans difficulté à l’aide de l’équation (3) établie ci-dessus. Il suffit pour cela d’attribuer au nombre h des valeurs successives entre k — i et k — i.

~lPd

Ainsi, l’équation de la courbe n° i correspondant au déplacement de la charge n° 1, s’obtient en posant dans l'équation (3) k — i, en rapportant à ce point l’abscisse a et les moments des autres charges, et en suprimant le terme 2* puisqu’il n’existe pas de charges à gauche de celle no i.

On obtient ainsi •

]-¥•

(18)

<MC= [

Pour la position fixe du système, et dans le cas de déplacement des charges az=zx

n¹

(19)

(M)

(n

s: pa*

MT+ł)--

Cette équation donne les moments fléchissants maxima dans le premier tronçon de la travée compris entre l’origine et l’abscisse xt du point d’intersection de cette courbe avec la courbe no 2 correspondant au déplacement de la charge n₀ 2.

Le nombre ri indique le nombre des charges du système dans sa position initiale. Généralement ce nombre est supérieur au nombre n qui correspond au moment fléchissant maximum.

Dans le tronçon suivant xx x₂ compris entre les deux points d’intersection de la courbe n° 2 avec les deux courbes voisines, les moments fléchissants maxima sont donnés par l’équation correspondante n° 2.

Cette équation s’obtient en rapportant l’abscisse a et les autres charges à l’essieu n° 2. On obtient dans ce cas en posant dans l'équation (3) k— 2.

(M)'Tî=-piai + fn +

?tat - S₂ Pd'

(20)

En suivant la même marche, on obtient les équations des éléments successifs de la courbe-enveloppe des moments fléchissants jusqu’à l’avant-dernière courbe dont l’équation est la suivante :

Pd-S^Pd'

V

(2i) (M)æ*- *= - s! ₀₎m +(n+:

xk~<i    \

La dernière courbe, comprenant le moment fléchissant maximum, a été établie précédemment (équation 4). On peut donc obtenir ainsi tous les éléments de la courbe-enveloppe dans la première partie de la portée s’étendant de l'origine à l’abscisse x', correspondant au moment fléchissant maximum.

Toutefois, lorsque l’abscisse x' tombe dans la deuxième moitié de la portée, il faut calculer une ou deux équations en plus ; généralement, jusqu'à ce que l’ordonnée, après une certaine distance aprèsle milieu de la portée, devient égale ou inférieure à l’ordonnée de la première partie de la portée placée à distance égale de son milieu.

Calcul des abscisses des points d'intersection des courbes successives des moments fléchissants. — Cherchons à déterminer l’abscisse du point d’intersection d’une courbe n° k— i avec la courbe n° k, établis précédemment.

Pour déterminer cette abscisse, remarquons qu’au point d'intersection pour X — Xk~i la valeur du moment fléchissant est la même pour les deux courbes voisines représentées par les équations (21) et (4) pour le même nombre des charges n. On aura donc, en égalisant ces deux équations et réduisant la relation suivante,

[K-SL.)    H **_i =

De laquelle on tire

(22) .

xk-i =

Cette expression peut se simplifier. Pour cela désignons par ai a2... —i a/c... an —i les espacements entre elles des charges PiP₂... Pn (fig. 1), et exprimons en fonction de ces quantités les termes de l’expression (22).

Effectuant les calculs indiqués on trouve

K-sL₁)p‘Mp<+p'+--|,*-î+p*-.K

-    = (p₄+p₄₊i+-p„-.+p„) «*_.•

Par suite l’expression (22) prend la forme suivante, qui a été également obtenue par M. Eddy (1).

p{ +p₂ + ....pft_2 + p,_1 7

pł + p₂+...pł + ...pfl_₁ + p|l •

Il résulte de là le théorème suivant :

L’abscisse Æ/C_idu point d’intersection de deux courbes consécutives n° k— l et k des moments fléchissants produits par le même nombre des charges est exprimée par un coefficient fractionnaire de la portée /.

Le numérateur de cette fraction estégal à la somme des charges qui précèdent la charge considérée k comprenant cette dernière charge, et le dénominateur à la somme totale des n charges.

En vertu de ce théorème on obtient, pour les abscisses des points d’intersection successifs de la courbe-enveloppe, les expressions suivantes :

Zi I n ’

+

2 3)

(24)

Xk— 1

œt =

xt —

II

P.+Pi+P»

(25)

II

P1 + PS + ...PA_

II

l.

xk=

11

(1) Statique graphique de M. Sévy.

Dans les cas des charges égales, quel que soit leur espacement, les abscisses des points d’intersection des courbes cessives des moments fléchissants partagent la portée l en n parties égales correspondant au nombre des charges.

SUC-

En effet, en faisant égales entre elles les charges des expressions ci-dessus, on trouve pour les abscisses les expressions ci-après :

CM

H «

I»

« I g « I 8 «O | S

Les deux dernières expressions (25) et (26) s’appliquent au même nombre des charges, le nombre est n! pour les premières abscisses et devient n pour les dernières.

Pour rendre ces expressions également applicables au nombre variable des charges, remarquons que lorsqu’une charge dépasse l’appui, la courbe correspondante à un certain nombre des charges se raccorde tangentiellement en ce point avec la courbe du système ayant une charge de moins ou de plus. Il suffit, dans ce cas, d’attribuer aux numérateurs des valeurs correspondantes, pour obtenir l’abscisse du point d’intersection du dernier élément avec la courbe suivante.

Valeurs des moments fléchissants aux points d intersection de deux courbes voisines. —Pour déterminer l’expression du moment fléchissant Mæ_i au point de rencontre des courbes n°/c — A et k, substituons dans l’équation du moment fléchissant (21) à la place de x sa valeur tirée de la relation (25). Nous obtenons ainsi :

El_.W+(

Pd-S^Pd'^+P.+.-.P

Or le deuxième terme de cette équation peut s’exprimer de la manière suivante :

Pi»

Par suite l’expression du moment fléchissant prend la forme suivante :

(27)

p<i+(s"p + Nous avons de la même manière :

Z.

xk-\

(28)

M/,=-S>rf+

Xk '

Zc + 1

Ainsi les valeurs successives des moments fléchissants aux points de remontée des courbes voisines s’exprimeront par les équations suivantes :

M, = — P₄a, + ^S”P +

S3Prf+(S4P4

Les résultats qui précèdent donnent tous les éléments de la courbe-enveioppe des moments fléchissants. Nous allons maintenant établir les équations analogues pour les efforts tranchants.

M,=

xt

(29)

M, = -

P, OC,-S ” P d’)

S g PcZ — s” Ptfr

x₃.

CoURBE-EXVELOPPE DES EFFORTS TRANCHANTS

Détermination des limites des plus grandes valeurs de l'effort tranchant. — Considérons une charge isolée P appliquée à la distance a de l’appui de gauche pris pour l’origine.

L’effort tranchant A développé par cette charge présente des valeurs constantes entre le point a et l’un des appuis.

Ainsi pour tout point, situé à gauche du point a, cette valeur est posilive et s’exprime pour l’équation suivante :

— P.

A droite du point a, la valeur de l’effort tranchant devient négative et a pour expression

(A)* = — — P. v 'a- l

Ces équations représentent deux droites parallèles à l’axe des x et situées de deux côtés de cet axe (fig. 2).

Ceci posé, considérons la section dont l’abscisse est x. Toue

■SI*

Je

a.

a/

*■

-b-CU-

Vp

Fig. 2.

charge placée à droite de cette section tend à y produire l'effort tranchant positif, et réciproquement toute charge placée à sa gauche tend à produire l’effort tranchant négatif. On conclut de là que :

La plus grande valeur de l'effort tranchant dans une section quelconque de la travée sera obtenue par la distribution de la surcharge à partir de la section considérée jusqu¹ à l'un des appuis.

La surcharge du premier tronçon ox donne la limite négative, et la surcharge du tronçon /—a? donnera la limite positive.

En conséquence, la limite positive des efforts tranchants, a lieu dans le cas des surcharges mobiles au droit de la première

charge Pi, les autres charges P3 ... P« se trouvant distribuées à sa droite, en laissant libre de toute surcharge le tronçon de gauche ox.

L’expression de l’effort tranchant A en un point quelconque x de la portée étant la dérivée de l’équation des moments fléchissants correspondants aux mêmes charges par rapport à cette variable, nous avons, en prenant la dérivée de l’équation (18) par rapport à x l’expression suivante des efforts tranchants dans le premier tronçon de la portée

n(/— a) — 2tn/Pd'

(30)

V¹1

-7Ï~px•

Pour x — a, la dernière équation donne l’effort tranchant maximum au point d’application de la première charge Pj pour la position correspondante des charges sur la travée.

Lorsque les charges se déplacent, la distance a devient variable, et le sommet des efforts tranchants correspondant à la première charge décrit une ligne qui est la ligne-enveloppe des efforts tranchants dans le premier tronçon de la travée.

L’équation générale de cette ligne s’obtient par suite en posant a — x dans la dernière équation.

S”' Pd'

(31)

WXo =

(“

La ligne-enveloppe des efforts tranchants est donc dans le cas des charges mobiles une droite ayant l’inclinaison négative.

La valeur maximum de l’effort tranchant représenté par cette droite pour x~o est

s”’ P d’

A°=n--J-

L’équation (31) est applicable pour le nombre ri des charges qui peuvent être contenues sur la portée dans la position initiale où la charge n° 1 se trouve au droit de l’appui de gauche. A mesure que les charges se déplacent, l’abscisse x augmente

(32)

pi

+ -•

et la dernière charge Pn, se rapproche vers l’appui de droite.

A partir de la position où la charge Pnr est sur le point de quitter l’appui, jusqu’à la position où la charge précédente Pn;_i arrive à son tour à quitter cet appui, les termes de l’équation (31) doivent être diminués des facteurs relatifs à la charge Pn.

On réduira ainsi successivement les termes de cette équation des facteurs correspondants aux charges qui viendront à franchir l’appui de droite, et l’on arrivera à la position où la première charge se trouvera au milieu de la portée.

Dans cette dernière position pour x — — le nombre des

charges sera réduit à ri' et par suite la charge totale prendra une certaine valeur II". La valeur maximum de l’effort tranchant en ce dernier point deviendra, d’après l’équation (31)

CO

^co

"s -

są.

On voit que cette valeur n’est pas influencée par la charge permanente ; en effet, on sait que l’effort tranchant produit par cette dernière est nul au milieu de la portée.

Remarquons que pendant le déplacement du convoi le dernier terme de l’équation (31) diminue chaque fois qu’une charge vient de franchir Tappui. Il en résulte que l’inclinaison des éléments successifs de la ligne-enveloppe sur l’horizontale devient de plus en plus petite à mesure que la charge n° 1 se rapproche vers le milieu de la portée. La tangente de cette inclinaison,

qui était (7+?) au droit de l’appui de gauche, devient (7 + p)

au milieu de la portée.

La ligne-enveloppe des efforts tranchants dans la première moitié de la portée est donc formée d’un polygone à côtés rectilignes. Nous admettons que dans la deuxième moitié de la portée cette ligne se reproduit symétriquement par rapport à son milieu.

Valeurs des efforts tranchants aux points dé intersection des éléments de la ligne-enveloppe. — Les abscisses des points d’intersection des éléments successifs de la ligne enveloppe des efforts tranchants sont connus, car elles dépendent de la distance des charges extrêmes et de la portée.

Le premier point d’intersection, en partant de l’appui de gauche, est celui de la ligne n° 1 avec celle n° 2.

Désignons par D la distance entre les charges extrêmes. L’abscisse X\ du point d’intersection aura pour valeur

(34)

xt = i — Dn/.

La valeur de l’effort tranchant en ce point s’obtient en substituant la valeur de X\ dans l’équation (31). On trouvera ainsi

s?'P d’

rr-

Ar, —

Soit après la réduction

(35)

^X, —

ïl¹

S. Pd’

. / n \

—+ (₇+ )d„-

ki |T3

Nous rappelions que n' désigne le nombre des charges qui se trouvent sur la poutre dans la position initiale du convoi.

Par le même procédé, on trouve au point d’intersection de deux lignes suivantes n° 2 et n° 3 ayant pour l’abscisse

■T, = l— Dn, _ v

(36)

P d'

(L

-P n’

On obtient ainsi de proche en proche les efforts tranchants aux points d’intersection des éléments successifs de la ligne-enveloppe jusqu’au milieu de la portée, où l’effort tranchant est connu par la formule (33).

Nous terminons ici le développement des équations générales. Nous allons les appliquer dans les deux chapitres qui

suivent aux charges indiquées par la nouvelle circulaire ministérielle, en commençant par les poutres des viaducs supportant les voies ferrées.

«1

I. - RÉSISTANCE DES POUTRES SUPPORTANT LES VOIES FERRÉES

«!

G'3

■*fc"

*1

Définition des charctES

~e

«1

Charge du train-type. — Les poutres des J,—.0 viaducs supportant les voies ferrées doivent j résister dans de bonnes conditions à l'action des surcharges mobiles du train-type.

Ce train se compose de deux machines «fi à quatre essieux suivies de leurs tenders à -+---0a deux essieux, et d’un certain nombre de wagons.

Les espacements et les charges de ces S divers essieux sont indiqués par les articles ^r"‘6g 4 et 13 de la circulaire ministérielle.    ®

Pour que les formules développées plus    ^

loin puissent s’appliquer à ces trains, ou à 'j"'Q tout autre train de même composition, nous j exprimons d’une manière générale par :

Pj P₂ et P₃ les charges des machines, des tenders et des wagons (fig. 3).

at a₂ a₃ les espacements des essieux d’une même catégorie.

ßx la distance entre les essieux de la ma-chine et du tender.

ß₂ la distance entre le dernier essieu du tender et le premier essieu du wagon.

En conséquence pour une file de roues du train-type on a :

h-e

or

-----» 0-T

CO

■> OT

i-0

-t—0

«ri ^

Fis. 3.

-, pH

_> w¹

°T

Pour les roues des machines......

eu 8oT «oT »

des tenders.......

Pour les roues des wagons.......

On a enfin ß₄ = 4,60 et ßs = 3,50.

Charges du train théorique. —Le règlement de la circulaire ministérielle laisse une certaine latitude pour l’adoption des surcharges mobiles qui doivent servir du point de départ aux calculs de résistance, pourvu que ces surcharges ne produisent pas des effets inférieurs à ceux qui résulteraient du passage du train-type défini plus haut.

Les Compagnies des chemins de fer ont cru utile d’user de cette faculté en vue d’assurer la sécurité de la circulation des trains sur les viaducs métalliques.

Ainsi à la Compagnie du chemin de fer de Lyon on substitue le train des machines les plus lourdes du réseau au train-type pour certaines portées.

A la Compagnie de l’Ouest les charges du train-type sont remplacées par celles d’un train théorique, dont la composition est la suivante :

Pour les pièces de faible masse supportant directement les charges comme longerons, entretoises et les poutres de petite portée, on admet la machine théorique présentant le même nombre et le même espacement d’essieux que la machine du train-type mais pesant 9 t par roue.

Cette surcharge correspond au poids de 7,5 £ qu’atteignent les roues des machines majoré de 20 0/0 pour tenir compte des efforts supplémentaires considérables qui résultent du passage des trains en vitesse.

Pour les poutres principales au delà de quatre charges on admet le poids du train théorique de même composition que le train-type, mais dont le poids par roue est

P, = 7,5 t. P* = 6,5 /.

Ps = 4,0 t.

Pour les machines...........................

ri 5

Pour les tenders —    - X 6 = 6 t- 43, soit...

Pour les wagons

P₄ = 5 t. a, = 1,20 m. ps = P, = 4 t. otj = a₅ = ß* = 3 m.

¹

--5 = d

D’où,

l = a (d' — S) l =a(d + S).

Le dernier poids du reste est celui du train-type qu’on a conservé.

La machine théorique de ce train est celle du cas précédent, déduction faite de la majoration de 20 0/0 ; l’influence des charges en mouvement se faisant sentir avec une bien moindre intensité sur les poutres principales que sur les entretoises et les longerons.

Nous terminons l’énumération des charges par celles du train-type à voie étroite à 1 m de largeur. Les charges et les espacements de ce train sont Pour les machines

Pour les tendus et les wagons

ßt = 4,]o.

Nous allons établir les coefficients numériques des eiïorts maxima correspondant à ces trois catégories des trains.

La marche des opérations est la suivante. Nous admettons comme point de départ le nombre des charges qui se trouvent sur la poutre.

Pour ce nombre de charges nous calculons l'abscisse x' qui correspond au moment fléchissant maximum, et les limites des portées qui s’appliquent à ce système des charges ; et enfin l’expression du moment fléchissant maximum M' pour une portée intermédiaire quelconque l comprise entre ces limites.

La partie suivante de ce chapitre complète les calculs ci-dessus en donnant les équations de la courbe enveloppe des moments fléchissants pour le train-type et le train théorique.

Enfin la dernière partie de ce chapitre donne les équations de la ligne enveloppe des efforts tranchants pour les trois catégories des trains.

Toutes ces équations sont établies en partant du cas d’une machine, c’est-à-dire de 4 charges sur la poutre, qui s’applique à une portée minimum de 4,20 m jusqu’à 36 charges correspondant à une portée de 100 m adoptée comme maximum.

MOMENTS FLÉCHISSANTS MAXIMA

Formules fondamentales. — Ces formules sont au nombre de deux : la formule (6) donnant l’abeisse x' de l’essieu n° k, d’un système de n charges dont le poids total est II.

ji =

II + pl

Et la formule (7) donnant le moment fléchissant maximum M' correspondant.

M' =

Commençons par calculer les termes qui entrent dans ces deux formules.

Calcul des termes 2* P d. — Ces termes représentent la somme des moments des charges qui précèdent l’essieu n° k pris par rapport à cet essieu.

Les résultats des calculs sont réunis dans le tableau I qui renferme les expressions de ces moments pour le nombre k variant de 2 à 11 ce qui correspond aux portées admises de 4,20 m à 100 m.

Les moments P d sont exprimés en tonnes-mètres. Il sera facile dans les applications de les transformer en kilogram-mètres en les multipliant par 1 000.

Calcul des abscisses x'. — Le numérateur du dernier terme de la formule (6) est le plus long à calculer par la méthode ordinaire à cause des nombreuses valeurs des termes 2 P d¹ à calculer, après lesquels il faudrait déterminer pour chaque cas les différences 2 P d — 2 P d'd’après le tableau I

En suivant la marche indiquée ci-après, on pourra déterminer la valeur de cette différence directement.

En effet, le numérateur cherché représente la somme algébrique des moments de toutes les n charges pris par rapport à la charge n° k. ,

Cette somme des moments des charges composantes peut

donc être remplacée par le moment de leur résultante II pris par rapport à la même charge.

Tableau /.—Moments des charges pris par rapport à l’essieu n° h placées à sa gauche.

VALEURS

DU NOMBRE k

désignation DISTANCE

DES CHARGES QUI PRÉCÈDENT L’ESSIEU

l’essieu n° k

TERMES S Pd

ENTRE CET ESSIEU ET

EXTRÊME

dt

EXPRESSIONS

GÉNÉRALES

VALEURS NUMÉRIQUES POUR LE

"train théo- train â voie rique étroite

train-type

P.

I, 20

P,&, — 1 ,² P*

tm

8,4

tm

10,8

tm

6,0

2 P,

2,4°

25,2

P. + p,

5,8o

3a,P, = 3,6 P,

⁴³-³

27,0

4⁶,7

18,0

27,2

2 P2 + Pi

8,3o

a+i + (2 «4 -f- 2ß₁₍

■4” «2) P?

= 1,2 P, + 14,1 Pt

9³>°

ioo,65 60,4

Pi + 2 P, + P,

12,90

2 P, + 2 P j + P,

14,10

4 p, + 2 P₂

i5,3o

5 P, -f- 2 P₂

16,5o

6 P, + 2 Ps

17,70

10

7 p, + 2 P*

18,90

11

8 P, + 2 P,

23,5o

(2a, + 2ß, -f- a*) (P,

+ P»)

= 14,1 (P,+ P*) (2a,+2ß,+a,)(2P,

+ P,)

= l4>* (2P« +p2)

(6a, + 8ß,+4a.)P,

(2 ß, -j— a.) Ps£44⁸»³

= 54 P, +11,7 Pel

(na, + 8 ß,

+ 4«î) pi + (2a<^5o4,6

+ ² ßl + “2) P2 = 60,0 P, + l4,I Pî

(17 a, + 8 ß, +

4**) Pl + (4al+2ß)

+ a,) p2

— 67,2 P, + i6,5Ps

(6a, + 2ß,+ a*) (4P<

+ P2 )

= 18.9 (4 pt + p.)

(6a, + 4ß,+a*) (4 p!

+ p₂)

= 38,1 (4pi + p*)

i83,3

282,0

569,4

642,6

197,40 122,4

3o3,i5    199,4

48i,o5 3o4,8

54i,65 344,4

611,25 3go,o

68g,85

g55,4    1025,65

Si l’on désigne en conséquence par g, la distance du centre de gravité du système comptée de l’essieu n° 1, et par d{ la

distance entre les essieux n° 1 et n° k, on a l’expression générale suivante.

(37)

Pd' = n (d, - g)

Laquelle montre que le numérateur cherché est égal au produit du poids total du système II qui est connu par la distance de son centre de gravité de l’essieu considéré.

Or les produits II g se trouvent tout calculés dans la colonne 5 des tableaux VII, VIII et IX. Il suffit donc d’en retrancher le produit n^, facile à calculer pour obtenir la valeur de l’expression (37) ci-dessus.

Cette expression sert non seulement pour le calcul du moment fléchissant maximum, mais encore ce qui est important à former les divers coefficients des équations de la courbe enveloppe.

i Les termes de la formule (7) donnant le moment fléchissant maximum étant ainsi déterminés, nous avons calculé dans le tableau II et III ci-après, les expressions générales en grandeur et en position de ces moments pour le nombre des charges variant de 4 à 28. Ces tableaux se rapportent au train-type et au train-théorique.

Enfin le tableau IV renferme les mêmes expressions pour les charges du train-type à voie étroite, dont le nombre varie de 4 à 20, et s’applique aux portées de 4,20 m à 65,00 m.

Les dernières colonnes de ces tableaux renferment les portées applicables à chaque système de charges, dont les limites sont calculées en ne tenant compte que de la surcharge seule d’après les formules (8), (9), (10) et (11).

Il faut donc dans les applications modifier Jégèremeut ces limites en tenant compte de la valeur totale de l’abscisse x\ et les réduire ensuite conformément aux indications des formules (13) ou (14).

On s’assurera de cette manière que la portée donnée s’applique bien au système des charges désigné par les tableaux et l'on pourra continuer les calculs.

La colonne n° 4 des tableaux cités II, III et IY indique le numéro de l’essieu au droit du quel se produit le moment fléchissant maximum, les esssieux étant numérotés de gauche à droite en parlant du 1er essieu de la première machine du train (fig. 3.)

Les valeurs doubles de l’essieu n° k de cette colonne indiquent que le moment fléchissant maximum se produit au droit de l’esssieu portant le 1er numéro, soit ici n° 8, mais de ce nombre il faut retrancher les essieux indiqués par le 2e numéro, ces derniers se trouvant en dehors de la portée de la poutre.

nombre

10

12

i3

i4

O) Si

RESISTANCE AUX SURCHARGES MOBILES

Tableau //. — Abscisses xr et moments fléchissants

SYSTÈMES DES CHARGES

COMPOSITION

4P«

4 P« + P*

P. 4- 4 P« + P*

Pi 4“ 4 P« 4* P »

2 P* 4" 4 P« + ² P*

5 P, + 4 P.

6 P« -f 4 Pt

8 P, + 4 P.

8 Pt + 4 P* + P*

8 P« + 4 P» + ³ P*

VALEURS

LONGUEUR

POIDS TOTAL

Dü N° A

DU TRAIN D

tonnes

28

34

4o

46

52

JT S

3,6o

8,20

8-5

12,80

8-4

i5,3o

17,80

00

00

CO

v3

22,40

23,60

26,00

29,60

32,5o

POUTRES DES MALUCS .MÉTALLIQUES maxima produits par le train type.

NOMBRE

I)E CHARGES

LO

<T)

oc

c CS CO v-j-

EXPRESSIONS GENERALES

PORTÉES

DE L’ABSCISSE

x'

i6,8

2    56 -\-pl

18

6 <3 -j- pl

•4

8o ~I⁻¹ Pl

25,8

9² +Pl 3l,2

5g,i

118 + pl i57,8 i32 + pl

284.4

160 -f- pl 227,6

168 -(“ pl

i58,8

2    176 4- pl

•>

DU MOMENT FLÉCHISSANT MAXIMUM

APPLICABLES

M' = —S

> + (7 + ł)

8,4 +

25,2 +

43,2 +

93,0 +

93,0 +

+ + + + +

«l'e w ] a « |*a ts l'a

æ'²

4,20 m à 12,20 m

11,07 à I4,52

i3,4o à 17,20

16,04 à ig,56

18,40 à 26,40

— 282,0 -f-

- 448,a +

- 448,2 +

— 448,2 +

(4-+ 4 (4-+i)

(-+*■)'• (“T + f)

('T' + T')

x’*

x’ *

24,80 à 27,00

25,8o à 28,20

27,04 à 3i,g6

3i,io à 37,10

36,20 à 42,20

00 CJ>

8 P, + 4 P. + 3 p*

» 4" 4 P» » 4- 5 P, » 4- 6 P* » 4- 7 P*

X>

8 p, 4- 4 P. + 8 P»

» 4- 9 P*

» 4” ¹⁰ P*

» 4“ ¹¹ Ps

».    4“ 12 p 3

9²

9⁶

100

104

108

112

116

120

124

128

8 p, 4- 4 P, 4- ¹³ P, !    »32

»    14 P3

* 4- j6 p, I »44

136

00    00 CO co co

10

10

il

35,5o

38,5o

41,5o

44,5o

47,5o

5o,5o

53,5o

56,5o

59,50

62,5o

65,5o

68,5o

74,5o

co 00 vj Si a.

O ^ cs couacs CS CS CS CS

LO    CO    00

CS    CS    CS

188,4

2    184 + pl

1    .    *°°.4

2    ⁺ 192 + pi

1. _l °»4

2    200 4- pl

111,6

208 -(- pl

1    235,6

2    2l6+jai

— 5o4,6 +

- 5o4,6 +

- 5o4,6 -j-

— 5c4,6 -j-

— 5o4,6 -j-

( 9²

V K

(4- +

ef +

f io4

al c» a.| « R-) « a 1 « a.| «

'8 ~8 *8 8

--

4o,04 à 46,o4

45,o4 à 51,04

5o,oo à 56,oo

54,93 à 60,93

59,82 à 65,8a

CS

»I

CS

371,6

224 + P^ 38o,4

232 + pl 535,6

240 + Pl

773,6

248 + pl 728,4

256 + pl

-    5o4,6 +

-    56₉,4 + ( ¹¹⁶

-    569,4 +

-    569,4 +

-    642,6

120

/ 128 \ ¹

64,68 à 70,68

68,32 à 74,32

73,14 à 79,14

77,94 à 83,94

81,5o à 87,50

9*4,8

264 + pl

Il l3,2 272 + pl l_ 883,6 2    288 -j- pl

Oi CT> .0.

cf

cT

CO CO

iO

kÔ

CT.

M    «    Hi

_    .a- p,    W

4-^    ai    m

a.| ^ a,j ^ a,| ci

+ + +

0 H. *1

1*»

13

86,28 à 92,28

91,02 à 97,0a

g5,86 à 101,86

NOMBRE

CO

05 O CS CTi V5f MM««

00

05

CS    CO

cs    CS    CS

Tableau III. — Abscisses x' et moments fléchissants

SYSTÈMES DES CHARGES

COMPOSITION

4P«

4 P« + P.

P, + 4P« + P.

² P* + 4 P« + p*

2 P« + 4 P« + 2 P*

5 P« + 4 P.

6 P, + 4 P.

8 P« + 4 P.

8 P, + 4 P. + P»

» + 2 P,

8 P, +• 4 P* + 3 Ps

>, -f⁻ 4 P*

»    + 5 P,

»    + 6 P,

»    + 7 P*

8 P, + 4 P* + 8 Ps

”    + 9 P3

» + 10 P₃

,, + 11 P,

VALEURS

LONGUEUR

POIDS TOTAL

DU N° k

DD TRAIN D

tonnes

36,o

3,6o

36,5

43,0

494

56,o

63,5

71,0

86,0

90,0

94,0

98,0

102,0

106,0

110,0

114,0

118,0

122,0

126,0

i3o,o

8-4

8,20

12,80

i5,3o

17,80

22,40

23,60

26,00

29,50

32,5o

35,5o

38,5o

4i,5o

44,6o

47,6o

5o,5o

53,5o

56,5o

69,-60

I»

+ 12 P,

i34,o

10

62,50

POUTRES DES VIADUCS METALLIQUES

maxima produits par le train théorique.

NOMBRE

DE CHABGES

11

05

to

CO

-Ps.

U?

c.O

05

JO

to

tO    to

-P^    wo

EXPRESSIONS GENERALES

PE l’abscisse

x’

4+

4+

PORTÉES

T+⁸

21,6

72+pl

!9,7

73 -\-pl

2.5,8

86+71/ 28,15

99+P^

33,6

112 -f-pl

63,i 5

127 -44

168,90

3o4,20

172+4

2474

i8o-|-p/

176,6

188+4

210,4

196+4

127.4

204+4

27.4

2I2-)-4

84,6

220

228+»/

344,6

236-f-pl

34»,7

244+PZ

494,9

252-f pl 662,1

260-f-pl 687,0

268 +pl

DD MOMENT FLÉCHISSANT MAXIMUM

APPLICABLES

M'

-sWf + 7)

x’*

\~T ⁺t) -»•+(¥+*) (++4)

10,8 +

a?'*

a?'*

—    46,7 +

—    ioo,65 +

—    ho,65 +    + -y) *'*

a;'*

æ'*

■07,40+ (^1+4-)    ■

.0 i5 +

(+-+i)

4,20 m à 12,20 m

11,07 à i4,53

i3,4<> à 17,20

16,o4 à 19,56

18,40 à 26,40

— 481,°5

+ -^+ł)

481, o5 + (•

— 54i ,65

94

"h tî 1$ "b "î*

ł) ■

+ (4 + 4) •

₅₄„₆₅₊(y ₊ i)

—    541,65 -{-

—    54i,65 +

—    54i,65 +

( 106 p \

(—+ -)

no

114

24,80 à 27,20

25,82 à 28,22

27,06 à 3i,g4

3i,i4 à 37,14

36,3o à 4²»3o

40,20 à 46,20 45,24 à 5i,24

5o,26 à 06,26

+4

+4) •

55,26 à 61,26

60,16 à 66,16

- 54i,65 +

— 6i 1,2.5 -f-

-- 611,25 +

— 611,25

(4+44

65,08 à 71,08

122

68,80 à 74,80

(4+4) + (4+4)

x’*

x'*

— 689,85 +    + -y^ a;' *

73,68 à 79,68

78,50 à 84.5o

82,08 è 88,08

8 P₄ + 4 P* + i3 Ps

138,o

10

65,5o

>»    + l4 Pi

142,0

10

68,.5o

»    + 16 P,

i5o,o

7 4,6o

to    to    to

oc    O)

873,4

276 -\-pl

io63,8

284 -{-pl

9 »4,6

3oo 4-pl

689,85 + (-^ + -7)

689,8.5 + (

— io25,65 -)-

a:'*

86,88 à 92,88

142

(4

4)-

91,84 à 97,84

95,90 à 101,90

Tableau IV. — Abscisses x' et moments fléchissants maxima produits par le train-type à voie étroite de 1 m.

PORTÉES

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

APPLICABLES

DO MOMENT FLÉCHISSANT MAXIMUM

/W

DE L’ABSCISSE

x’

q nivhi na HIianOMOl

)/ ₀N na

shmiva

SYSTEMES DES CHARGES

POIDS TOTAL

COMPOSITION

NOMBRE

4,20 m à 11,2o?2?|

10,22 à i3,6o

12,40 à 17,20

16,28 à 19,00

18,40 à 25,40

23,82 à 26,22

26,12 à 3o,88

29,74 à 35,74

32,24 à 38,24

38,12 à 44,i²

42,86 à 48,86

47,58 à 53,58 5i,o8 à 57,08

55,76 & 61,76

60,42 à 66,42

H H "h "i*    «

a|c b,| <1 a.| C« a.j « a.| «

+ + + + +

a.|c a|« a.|« r.|ci a|«

+ + + + +

H* *1^1 «H "H*

+ + + + +

—) -f 0*9    —

oc /

-k)

+ o‘gi

Cl

40 4- pl

B‘6

•.'8

27,2

~ 6o’^ + ("T

-    6o’⁴ + (rr

-    122,4 + (-7-

-3o₄,8 4- (-7-

-    3o4,8 4- (-y-

-    3o4,8 + (-^~

-    344,4 + (—

-    344.4 + (~y-

-    344,4 + (-y

+ (4

—)

88 /

o ‘o6g —

— 3go,o 4-

— 390,0 4-

48 4- P¹

1(1,8

56 4- pi

16,4

64 4-Pi

21,6

72 4-pi 40,4

82 4- pl 193-2

112 4-pi

i4<>,4

120 4~ pi

73,6

jd 4- «ci

7g4

i36 4- pi

9-6

i44 + pl

io-7,6

i52 + pi

121,6

160 4- pi 238,8

168 4- Pi 368,o

i7⁶ + P¹

c§

S CO

7,70

°8‘TT

i4,8o

17,80

21 90

2Ô,5o

28,60

oç‘i£

34,3o

37,5o

4o,5o

43,5o

46, ro

49.5°

tonnes

20

4 Pc

24

4 Pc + 4 P.

28

32

36

«    io    o    va-    oo

■O-    lO    IO    CD    CO

et CO O -sf CC t-~    CO 00 CC

P. + 4 P« + P.

2 P* 4* 4 Pc -H P»

2 P. + 4 Pi + a P,

5 P, + 4 P.

8 P, 4- 4 P.

8P.4-5P,

8 P< 4- 6 P.

8 P, 4- 7 P.

8 P, 4- 8 P,

8 P. 4- 9 P*

8 P, 4- 10 P,

8 P, + 11 P,

8 P, + 12 P,

i5

;8

'9

20

Courbes-enveloppes des moments fléchissants.

Les équations des courbes-enveloppes sont calculées d’après la méthode générale indiquée dans le chapitre premier.

Les premiers éléments de cette courbe en partant de l’origine s’obtiennent en accumulant les plus fortes charges en ce point.

Pour les poutres supportant les voies ferrées ces charges se trouvent toutes indiquées ; ce sont celles de la machine amenée à une distance infiniment petite de l’appui de gauche qui produisent l’effet maximum dans la première partie de la travée.

Ainsi les premiers éléments de la courbe-enveloppe correspondent au déplacement des charges nosl, 2, 3... lorsque toute la travée est chargée dans la position initiale.

Pour les portées comportant 4 et \ 2 charges et au-dessus, la courbe enveloppe comprend successivement les éléments nos 1, 2, 3... k correspondant au déplacement des essieux portant les mêmes numéros, ou bien les numéros 2, 3... k, k + 1, k -+- 2... suivant que la quantité d est négative ou positive.

Pour les portées intermédiaires comprenant 5 à 11 charges les premiers éléments sont également formés des courbes successives nos 1, 2, 3 et 4, jusqu’à l’iniersection avec les courbes nos... k — 1, k ou bien /c, /« + 1... occupant la partie centrale de la portée; dans celte dernière position, les premières charges se trouvant en dehors du pont.

Les longueurs des éléments sont limitées par les points d’intersection.

Lorsque cette longueur correspond aux mêmes charges, l’élément de la courbe-enveloppe présente une courbe unique.

Au contraire lorsque dans l’intervalle considéré la charge Pn atteint l’appui de droite, l’élément considéré est formé de deux courbes se raccordant tangentiellement au point correspondant à l’abscisse x — l — d'n.

La formule établie ci-après permet d’obtenir sans difficulté la valeur du moment fléchisssant correspondant, à ce dernier point dans tous les cas qui peuvent se présenter.

Pour cela, considérons un élément de la courbe-enveloppe. L'équation de cet élément d’après la relation (37) peut se mettre sous la forme suivante.

M = — 2* Pd +    (l+dt — g— 3)

Cette équation devient pour x —l — dn'

M = - Pd + ~ (l - d’n) (dt - g + d'n)

Après la transformation, en remarquant que la somme des distances dt + d'n est égale à la longueur totale D du train, on trouve l’expression suivante dumoment fléchissant cherché.

(il d-il <7)

(38)

l-d'n

Dans cette formule tous les termes sont connus excepté le terme II D dont la formation est très facile, la distance D étant égale à celle de d'n des tableaux ci-après pour les cas de d^ — o.

Les équations des divers éléments de la courbe-enveloppe en fonction de la portée / sont réunies dans les tableaux V et YI. Les deux dernières colonnes renferment les expressions des abscisses et des moments fléchissants aux points d’intersection de deux courbes successives, calculés d’après les formules (25 et 29). Les colonnes 2 et 3 donnent en outre les distances dt et d'n des charges extrêmes de l’essieu considéré.

Le tableau V est relatif au train-type, et le tableau VI au train théorique, la première ligne de ce dernier tableau est calculée pour la machine théorique pesant 18 t par essieu.

Ces tableaux renferment ainsi tous les éléments servant à déterminer les abscisses et les ordonnées de la courbe-enveloppe pour chaque système déterminé de charges isolées dont le nombre varie de 4 à 19 s’appliquant aux diverses portées allant jusqu’à celle de 50 m.

Au-delà de cette portée et même avant, la courbe-enveloppe polygonale tend à coïncider de plus en plus avec la courbe enveloppe approximation donnée plus loin au chapitre IV qui permet de déterminer la longueur des semelles additionnelles avec une approximative suffisante dans la pratique; en conséquence nous avons arrêté à cette dernière portée le calcul des courbes exactes.

Pour faciliter lalecture, etréduirelalargeur des tableaux,les charges y sontexprimées en tonnes et les moments en tonnes-mètres.

Dans les applications, aux moments ainsi obtenus on ajoutera ceux produits par la charge permanente,

Z

exprimés également en tonnes-mètres. Le résultat final multiplié par mille donnera la valeur de ces moments en kilo-grammètres.

RÉSISTANCE / EX SURCR RGE MOBILE3

Tableau V— Courbes-enveloppes des moments fléchissants produits parle train type.

VALEURS AUX POINTS D’INTERSECTION

ÉQUATIONS

DU MOMENT FLÉCHISSANT CORRESPONDANT

5,25 Z — 12,6

7,00 Z — 16,8

5,559 Z — 20,^076

8,236 Z — : 2,6

8,o3o Z — 36,3186

5,770 Z — 28,665

p,3oo i — 48.o3o

0,975 Z — 60,790

°‘*S “ 7 £^‘8

10,000 Z — 55,2

5,g56 Z — 4°)3370 g.83i Z — 72,2996 11,617 Z — 95,8391

n,i5i Z — 82,3422

11,064 Z — 77i7²74

6,091 Z — 5o,c774

10,372 l — 91,79 9

12,834 Z — 125,0695

i3,48i l — 149,9620

DE L’ABSCISSE

o, 25

o, 5o

o, 2o5g

0,41:8

0,6177

oéi ‘o

o, 35o

o,525

o, 3a5

ooç ‘o

0,1489

0,2979

o, 4468

o, 4i3o

o, 5532

0,1296

o, 25g3

o, 3889

o,5!85

DES

ÉLÉMENTS DE LA COURBE-ENVELOPPE

28 t.

cC

vr

II

4 Charges. II

(18,0

— 8,4 + (28,0

DISTANCES

DES ESSIEUX EXTRÊMES DE L’ESSIEU CONSIDÉRÉ

09 ‘e

a, 4°

lP

1,20

■~*

pT

oT

5 Charges. Il

#»    «    Si

H H H

\o L

X*

40

CO

CO

«T    oo ~'â

*o    *-•

4 P. + 2 p,

163,8

■)*

)-+

8‘çxi

(34,0

8,20

/,0

--- X*

)x-

67,8

—    8,4 + ^ 34,0

—    25,2 +

0 Charges. Il

^4o,o

^4o,o

^4o,o

8,4 +

— 25,a +

6 Charges. Il = Pî + 4 Pi + P* ⁼ 4° Z.

—    27,6 + ^ 4°^° —

—    43,2 + ( 4o,o -

7 Charges. Il = 4 P. + ² P* + P« = 47 Z

40

-i— x*

47

)x-

o‘zL

o [z

- ++x*

)x

270,9

Z.,.

Z /    Z

M-x'

7,00

1,20

08 ‘S

2,40

10,70

9,5o

8,3o

8,20

7.00

1,20

2,40

CO oo

*<? itT

(47.° -

— 8,4 + ^4/>° —

25,2 + ^47,0 —    * -

7 Charges. Il = 2 P, -{- 4 P, + P* = 46 Z»

—    70,2 + ^46,0

—    93,0+ ^46,0 +    ®

46

— —— x*

x*

46

)*

29,4

8 Charges. Il = 4 P. + ² P* + 2 P, = 54 Z.

386,4

x*

54

54

—r— X*

54

+—

-*(

)x

)*-

i5,3o

*4.io

12,90

8,20

00 *£

321,6

256,8

192,0

(54,o

(54,0 -

—    8,4 + (54,0

—    25,2 +

—    5o,4 + ( 54,o —

16,5o

i5,3o

01 ‘ÿi

06 ‘si

og‘i

2,4o

7,10

8,3o

1,20

2,40

3,6o

NUMEROS

DES

COURBES

O oo

cj co

co

Cl CO

Cl

Tuileau V (suite). Courbes-enveloppes des moments fléchissants produits par le train-type.

VALEURS AUX POINTS D’INTERSECTION

EQUATIONS

DU MOMENT FLÉCHISSANT CORRESPONDANT

og'goi — ; ooo'çi

6,199 J — 58,548o 10,786 / — 108,7145

13,772 l — i5o,i465

15,147 l~ i83,83i3

14,543 l — 157,2062

i4,54a l — i5o,2754

6,277 J — 66,1235

11,119 l — 123,9099

i4,5i4 1 — 173,2387

16,472 l — 2l4,2l4o

000l‘£05 — 7 OOÇ'gl

15,759 l — 186,3874

5,338 l — 74,1286 11,302 l — 139,8562

i5,o4i l — 197,1828

17,406 l — 246,ioS5 18,470 l — 260,4396 19,377 l — 259,7679

17,148 l — 22C8»d4i

DE LABSCISSE

DES

ÉLÉMENTS DE LA COURBE-ENVELOPPE

DISTANCES

DES ESSIEUX EXTRÊMES DE L’ESSIEU CONSIDÉRÉ

d,

o,3654

o,5o

0,1148

o, 2295

o, 3443

0,4590

t.

0,4407

0,5593

0,1029

o, 2o5g

o, 3o88

0,4118

oç‘o

o, 6061

0,0946

0,1892

0,2838

0,3784

o,45g5

o,54o5

0,635i

02 t.

2 P* + 4 Pl + ² P»

5?

to_

3l.2

O O

il S s

8 Charges. Il

— 70.2 +

+ o‘c6 —

9 Charges. H = 4 P, + 2 Pt + 3 P, = 61 t.

è» m »    •»

«    « H «

-o

10,70

og‘6

5io,3

— »‘IQ

17,70

01 lL

°S*8

r7

362,9

290,7

cS

<3

•c

CS

— 5°>4+ ^61,0

9 Charges. TI = P, -j- 2 Ps 4- A Pi 4- ² P*

en ^ cd *

*0 lC

”»7

â>

05*91

i5,3o

01 ‘{71

1,20

O    O

•<r co

cT    co*

o_

CD

ITÎ

:,9)° ~\

cT

10,70

11,70

) + £‘£8r —

10 Charges. II = 4 P, + 2 P, + 4 P, = 68 t.

642,6

OS

-T- X*

)*“

°S‘6

12,90

NUMÉROS

DES

COURBES

—    8,4 + ^68,0 —

—    20,2 -j- ^68,0 —

—    5o,4 + ^68,0 —

10    Charges. Il = 2 P, + 2 Pt -|- 4 Pt + 2 P* = bô£.

—    242,4 +^65,o 4

—    282,0 -(-^66,o 4

11    Charges. Il = 4 P, + 2 P. -f- 4 P< + P* = 74 t.

\ ⁶⁸ ,

)x-~rx%

56i,o

(68,0 -

18,90

17,70

os‘i

CS

--— x*

•* —

61'.

—T— X*

)•

479-4

397,8

!,6 \

r)*-

J    (

x -- — x (

99    \

167,8

oç‘91

i5,3o

10,70

oç‘6

23,5o

4 <§

cf CO

CO

•<r

12,90

01 *ÿi

CO

~r?--

& ----

—    8,4 + (74,0 -

—    25,2 + ^74,0 —

—    5o,4 + (74,0 -—179>2 +(74>o —

—264,2 +^4»° + s,;~) * —

—448,2 +(7^.0 4- ~Ÿ~) x —/J~ x*

74

74

74

vf-)x

),

22,3o

1,20

es

6o'\o

z lL 19

176,8

21,10

i9»9°

i5,3o

12,80

8,20

2,40

09‘£

os *8

10,70

i5,3o

CO

<n

t-*

e»

RÉSISTANCE AUX SURCHARGES MOBILES

Tableau V (suite). Courbes-enveloppes des moments fléchissants produits par le train-type.

VALEURS AUX POINTS D’INTERSECTION

EQUATIONS

DU MOMENT FLÉCHISSANT CORRESPONDANT

DE L’ABSCISSE

DES

ÉLÉMENTS DÉ LA COURBE-ENVELOPPE

7 08

8 P, + 4 P,

12 Charges. Il

DISTANCES

DES ESSIEUX EXTRÊMES de l’essibu CONSIDÉRÉ

dt

6,187 l — 82,2 i5o

n,55o l — i56,o3oo

15,487 l — 221,4440

18,200 l — 278,4600

ig,55o l — 299,7800

oooo‘go£ — ] ooo‘oc

19,387 l — 281,1 i5o

6,4i4 l — 88,0981 11,66g l — 167,8986

i5,75o l — 239,2000

i8,665 l — 3o2,o4i5

20,240 l — 328,4902

20,953 l — 339,8206

20,702 l — 320,8578

6,440 l — 94,4143

11,773 l — 180,536a 16,986 l — 258,i6go 19,092 l — 327,4886 20,866 l — 359,2624 21,816 l — 376,0070 21,898 l — 363,384g

0,0875

0,1750

gcgc‘o

o,35o

0,425

o,5oo

0,5875

o,o833

0,1667

ooce‘0

o,3333

0,4048

0,4762

o,55g5

0,0795

o,i5gi

0,2386

0,3182

0,3864

0,4545

o,534i

H % "H *«    « N %

co J"* oo |"* oo J"* S j''“ oo cc |co

9³9,6

843,6

747,⁶

651,6

283,6

83,6

-f

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26,00

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24,80

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c§

oo

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22,40

17,80

i5,3o

10,70

2,40

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—    5o,4 + ^84,0 —

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—    264,2 -j-^84,0 —

—448,2 +^84,0 +    x —

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856,o

755,2

368,8

i58,8

14 Charges. Il = 8 P₄ + 4 P, + 2 P, = 88 t.

(s8,o —

—    8,4 + ^88,0 —

—    25,2 -j- ^88,0 —

—    5o,4 + ^88,0 —

—    179,2 + ^88,0 —

—    264,a -f-^88,0 —

—    448,a +^88,0 -f —J—) x

88

8S

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17,20

i5,3o

NUMÉROS

DBS

CO 1; R BBS

te

O

Tableau V (suite) — Courbes-enveloppes des moments fléchissants produits parle train-type.

VALEURS AUX POINTS D'INTERSECTION

Poutres des viaducs métalliques

97

BU MOMENT FLÉCHISSANT CORRESPONDANT

6,469 l — 101,1826

11,872 l — 193,9622

16,209 ^ — 278,3390

19,475 l — 354,2i3i

20,437 l — 391,7939

22,610 l — 4¹4,²93o

22,991 l — 4⁰8,3498

22,3o6 l — 394,009a

6,488 i — 10815 44

11,956 1 — 207,9127

l6,4 10 l - 3g8,20O2

19,836 / - 382,2046 21,960 Ł — 420,8649 23,335 l — 454,3819 23,990 l — 455,446i 23,625 l — 448,1250

6,5i l — 115,472

12,04 l — 222,544

16,59 l — 321,2i6

20,16 / — 411,4C8

ÉQUATIONS

DE L’ABSCISSE

0,0761

0,1522

0,2283

o,3o43

0,3696

o, 4348

0,5109

0,5870

o, 0729

8!#i

0,2188

o, 2917

0,3542

0,4167

0,4896

o, 5625

0,07

TC *0

o, 28

DES

ÉLÉMENTS DE LA COURBE-ENVELOPPE

15 Charges. Il = 8 P, + 4 P* + 3 P₃ = 92 t.

9² x*

9²

92

X*

DISTANCES

DES ESSIEUX EXTRÊMES DE L’ESSIEU CONSIDÉRÉ

dt

)*“

1329,6

92,0

35,5o

I219,2\

-)x~

8‘80 ii

r) —r- -■

92

—r- x*

9²

--r- X*

)*

)x-^-x-

3'|5,2

78,0

188,4

NUMÉROS

DES

COURBES

100 t.

«    «    « H H % ïi %

16 Charges. Il = 8 P, -f- 4 P, - 96 /.

“F* ¹¹

<X>

h i h I h [■

c,,i

100

17 Charge«. = 8 P, + 4 Pt + 5 p

i3b8,4

CI

456,4

oc

ioo,4

i:>39>6

oo

1289,6

en

es

ID CT. I

va

SS-

CT.

eo

92,0 —

—    8,4 + (

—    25,2+ (

—    5o,4 -f ^

—179,2 + (

—    264,2 -1- ( -448,2 + ^92,0 4 -504,6 + ^92,0 -I

92,0

92,0

92,0

92,0

SJ

34,30

33,10

31,90

27,30

24,80

20,20

19,00

I, 20

2,4o

09 ‘£

oc‘g

10,70

i5,3o

16,5o

CO

<T>

96,0 —

96,0 —

— o‘q6

<* VT    «1

'S    O    g

G4,³ + U)6,o

96,0 —

CO

38, ôo

37,30

36,10

34,90

3o,3o

1,20

Ci

2,40

3,60

8,20

CS

Vf

— 5o4,6 + ^96,0

100,0—

100,0—

- 8,4 + (

— 25,2 + Ç

VT

27,80

23, 20

22,00

4i,5o

4o,3o

3g,io

37,90

10,70

i5,3o

05 ‘91

oc‘i

2,40

3,6o

en vt io o

l> co

ci

CO

vr

Tableau V (suite). — Courbes-enveloppes des moments fléchissants produits par le train-type.

VALEURS AUX POINTS D’INTERSECTION

ÉQUATIONS

DU MOMENT FLÉCHISSANT CORRESPONDANT

6,528 l — 122,9976

12,ll4 l — 237,6969

l6,708 l — 343,7982

6,545 l — i3o,72o5

16,913 l — 367,0330

DE L’ABSCISSE

DES

ÉLÉMENTS PE LA COURBE-ENVELOPPE

18 Charges. II = 8 P, -f- 4 P» + 6 P₃ — 104 t.

DISTANCES

DES ESSIEUX EXTRÊMES DE L’ESSIEU CONSIDÉRÉ

dt

0,0673

o, 1346

0,2019

o, 0648

o, 1296

0,1949

a,-²

I—?

i°4 .

- -— X-

«X ---

⁴yOl

)x

)*

1827,6

1702,8

1078,0

(io4,o-

8,4 + (104,0

(104,0

- 20,2 +

19 Charges. Il = 8 P, -f- ² P* ~r 7 P3 — 108 l.

Sot

c — —;—• Æ²

80i

--— x²

801

2017,6'

)X

1888,0

(108,0

8,4 —f- ( 108,0—

+ e‘cc -

44,5o

43,30

42/10

oc

46,3o

01 ‘cÿ

Oü‘l

2,4°

1,20

2,4o

NUMÉROS

DES

COURBES

Tableau VI. — Courbes-enveloppes des moments fléchisseurs produits par le train-théorique.

VALEURS AUX POINTS D’INTERSECTION

équations

DU MOMENT FLÉCHISSANT CORRESPONDANT

6,75 l — 16,40

9,00 l — 21,60

5,96 l — 26,8762

8,836 l — 35,0985

8,63o l — 3q,i33i

g£6i;‘o£ — ; 161‘9

9,766 l — 58,9606

10,728 l — 85,4254

DE L’ABSCISSE

DES

ÉLÉMENTS DE LA COURBE-ENVELOPPE

36 t. (P, = 9 t.)

4P,

4 Charges. Il

DISTANCES

DES ESSIEUX EXTRÊMES DK L’ESSIEU CONSIDÉRÉ

NUMÉROS

DES

COURBES

O, 20

64,8

rn

o, 00

•r

en

09 £

10,8+

oy ‘e

1,20

5 Charges. Il = 4 P, + P» = 36,5 t (P: — 7,5 t et P. = 6,5 t )

çcos ‘0

0,4lIO

0,6164

0,1744

o, 3488

o, 5-233

•« »• •>

« H H

“l

srs

36,5

= 43 L

•»    ©»    CI

*5 B «

H H 55

107,3

*n

^co~

36,5 -

8,20

36,5 —

CT,

00‘L

1,20

r9,7

?r>

en

— 27,0 +

°8‘S

2,40

G Charges. Il = 4 Pi + 2 P*

143,25

111,65

en en ^r

CT,

cT

or‘ci

j?

CD

1,20

8.3o

2,40

Tableau VI (suite). — Courbes-enveloppes des moments fléchissants produits par le train-théorique.

VALEURS AUX POINTS D'INTERSECTION

ÉQUATIONS

DU MOMENT FLÉCHISSANT CORRESPONDANT

9,442 l — 55,ioi4

09*69 — 1 oç5‘oi

6,386 l — 4 2,6086

10,544 l — 76,4190

12,474 l — 101,1339

12,122 Z — 89,1125

12,163 i — 84,7255

6,53o l — 53,7048

11,120 l — 98,4110

13,760 l — i34,ii86

i4,4S2 l — 160,8277

12,9971 — 112,9.629

14,000 l — 117,4600

— l +9‘9

<;çiç*9ii — / fjqg‘11

14.771 l — 161,2742 16,269 ^ — 197,2624

DE LABSCISSE

o, 3256

ooç ‘o

o,i 485

0,2970

o,44ô5

o, 4iSo

o, 565;

o, 1293

o, 2586

0,3879

o, 6172

o,365i

09*0

°,n 15

0,2290

0,3435

o /₍58o

DES

ÉLÉMENTS DÉ LA COURBE-ENVELOPPE

6 Charges, n = Ps + 4 Pi + P. = 4³ t.

_ ™L5*-iL*.

T+-4-

—    29,9 + ( 43,o

—    4⁶>7 + ^ 4³>°

7 Charges. II = 4 P« + ² P* + U« —- 5o,5 t.

..x--

S‘ °S

-x--

S °S

)X

287,6

^5o,5 -

9,° + (oo,5 + —j—') x

Ó0, O

X--:— X*

27,0

7 Charges. II = 2 P* -f- 4 Łł* + Pj — 49>³ U

)x~Ą-srx'

&**■

DISTANCES

DES ESSIEUX EXTHÊMES DE L'ESSIEU CONSIDÉRÉ

</

8,20

7,00

i5,3o

l4,I0

12,00

3i, 2Ó

7⁶.o5+ (49,5

(    28,i5\

ioo,65-} (^(9,5 H---—j ■£

8 Charges. Il = 4 P₁ -f 2 P, -f 2 P, = 58 t.

«••MM

H «    «    *$

CO j CO I »s^ co I co I *o    ic I io I ^ ło I

415,35

8,20

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345,70

276,55

5Ç 90c

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co    00

10

1,20

2,40

7,io

S,3o

16,5o

i5,3o

01 ‘J7r

58,o —

sr

12,90

P. + 4 P. + 2 P, = 56 t.

8 Charges. Il

1,20

4 £

cT co

SN

65,5 t.

łO

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■O

100,8

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10,70

01 lL

• r.

40 h*⁰ io

co

<0

65,5

<JZ

ioo,65-f- n>6,o —

9,5o

8,3o

0 Charges. Il = 4 P, -f- 2 P. -f 3 P,

548,1

65,5 -

10,70

469,0

./•

390,9

oo.

■N» «

CO

o.

40

CO

io

ir.

»O

CO

°~ <Ł o

« tS"

i6,5o

io,3o

14,10

1,20

2,40

3,6o

NUMEROS

DES

COURBES

r>*

CO

CS

CO

r> co

ci

co

O C0

CI

CO

102

RES1TTANCE AUX SURCHARGES MORI LES

Z⁴

•«

es

•13

PU

t/2

H3

VALEURS AUX POINTS D’INTERSECTION

DU MOMENT FLÉCHISSANT CORRESPONDANT

i5,656 l — 169,499²

10,655 l - 161,8972

6,7271 — 70,8476 n,₉i9 l — 102,7624 15,56-4 l — 185,6107 17,073 l — 229,4676

17,7.60 l — 218,7000

16,907 l — 2Al,l44²

6,7go l — 79,4572

12,171 / — i5o,3₉66

i6,i3i l — 211,4594

18,681 l — 263,985.4

i₉,655 l — 279,1690

19.743 l — 279,4367

18,421 l — 243,6440

6,845 l — 88,2115

12,382 l — 167,4260

i6,5₉3 l — 237,3988

19,533 l —• 298,8576

20,998 l — 321,9749

21,5oo l — 323,g5oo

20,846 l — 302,4238

DE L’ABSCISSE

0,4410

i6cç ‘0

O, 1027

cços ‘o

o, 3o82

o,4uo

o, 5o

9009 ‘o

0,0943

0,1887

o,283o

0,3774

o,459i

0,5409

0,6352

0,0872

0,1744

0,2613

o,3488

o,42É-i

O.ÓCO

0,5872

Cri

«3

ri

t/3

t/3

4s

63

t/3

ri

i.

ÉQUATIONS

DES

t/3

'TJ

t/3

C_

ÉLÉMENTS DE LA COÜRBE-ENVELOPPE

CL,

JO

ri

9 Charges. II 0= P₁ + ² P* + 4 P« "f- ² P* — ^,5 t.

I

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çUci

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10 Charges. Il = 4 Pi + ² P* + 4 P» — ^ ^

689,80

73

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)*-

(73,0 —

/    61-2,20 \    73

—    9,0 + i73,0--~ ) x--— a'"

/    5i4,65\    73    s

—    27,0 4- (73,0---— J X    — x

-, iL =    + \\ I; + *«] c + ’d » = II '«»S*¹«™ OP

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)*

if\S 9

71,0 —

— 260, 55 + (

3o3, i5 + (71,0 H—

11 Charges. Il = 4 P» + ² P. 4 Pi + Pł = 79»5 t.

842,6

)"

7ri 7 ■²

(79,5

'X ej ‘6C

- *■

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— 25p *■

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651.8

556, <

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^‘061

—    9»° +(⁷9,5 —

—    27,0 +(79,5 —

—    54, o +(79,5 —

— ç‘6£ J-f- o‘&6i —

—a83,25-M 79,5 +

481,00+(79,0 + —7—) *

12 Charges. Il = 8 P, -f" 4 P* — &6 L

1011,6

86

86

--x’

86

-x-

86

98

- x-

86

)*

I ¹

X I -

V '/S’oG

)x-

8o5,2

702,0

)x

3o6,4

Y16

(s6,o

9,0 + (s6,o

(s6, o

— 27,0 +

tx —--

)x

3o4,2

—    54,0 + (86,0 -

—    192,0 + (s6,o —

—    283,25-f(s6,o —

—    481,0.0 -{-(86,0 -j-

t/3

03

ri

jri

DISTANCES

DES ESSIEUX EXTRÊMES DK L’ESSIEU CONSIDÉRÉ

'P

10,70

11,70

oç‘6

18,90

16,5o

i5,3o

10,70

oç‘6

23,5o

22,30

21,10

o6‘6t

°c‘ç t

I2.80

8,20

26,00

24,80

09‘cc

22,40

17,80

i5,3o

10,70

12,q0

1,20

12,90

l4,10

1,20

2,40

3,6o

8,20

10,70

i5,3o

1,20

2,40

3,6o

8,20

10,70

oc <çi

<3

e«H

NUMÉROS

DES

COURBES

Tableau VI (suite). — Courbes-enveloppes des moments fléchisseurs produits par le train-théorique.

VALEURS AUX POINTS D'INTERSECTION

ÉQUATIONS

DU MOMENT FLÉCHISSANT CORRESPONDANT

6,871 l — 93,8157

i2,5o3 l — 179,3007

16,870 l — 255,4ooo

20,000 l — 268,5333

21,700 l — 35o,833o

22,407 l — 458,4n5

22,163 l — 342,2339

6,go3 l — io2,5i6i

i2,6c8 l — i8g,o565

17,117 l — 253,9512

20,429 l — 33o,8io2

22,328 l — 374,8116

23,333 l — 399,3635

23,368 / — 385,1061

6,922 l — 107,2224

12,707 l — 2o5,58o4

17,335 l — 294,8054 2o,8i5 l — 375,0377 22,903 l — 4*4,6952 24,134 l -v 438,1464 ²4>477 J — 430,6537 23,672 l — 4i4,i763

DE L’ABSCISSE

o, o833

o, 1667

OOCC‘o

o,3333

o, 4o56

0+778

o,56ix

0,0798

o,i5g6

0,2394

o,3i92

o,3883

0,4575

0,5372

çg£o‘o

o,i53i

0,2296

o,3o6‘i

0,3724

0,4388

o,5i53

0,5918

DES

ÉLÉMENTS DE LA COURBE-ENVELOPPE

13 Charges. Il = 8 P₄ + 4 P» + Ps — 90 t.

1129,6

06

—:— X*

9°

DISTANCES

DES ESSIEUX EXTRÊMES DK L’ESSIEU CONSIDÉRÉ

•U

)*-

90,0 —

29,50

--— X*

- —T— X*

06

x*

06

06

*(

1021,6

— o‘o()

)+ «‘6

28,30

1,20

B»³,⁶ ^

I J

Soô, 6

)*"

391,6

366,6 \

90,0 —

90,0 —

90,0 —

9°,°--

x(-L

+(

— 27,0

27,10

2,40

54,o + (

06 ‘çc

3,6o

— 192,0

21,3o

8, 20

\

uS3,25 + ^

481,05+^90,0 +

14 Charges. Il = 8 P, + 4 P, + 2 P, = 94 t.

1259,6

(94,0

18,80

32,5o

o L ‘01

15,3o

94

— x (—---o‘H6^+o‘6 —

Wrsii /

3i,3o

1,20

998,0

•)

•)

867,2

47°,8

253,8

178,6

—    27,0 +(94,0 -

—    54,o +(94,0 —

—    192,0 + ^94,0 —

283,25+^94,0 —

481,05+^94,0 +

3o,io

28,90

24,3o

21,80

17,20

2,40

09 ‘£

8,20

10,70

15,3o

00

O*)

eu"

CO

eu

co

:t

•S

10

H ’«    "« H S "H * H

"h” b"h“h“h“h*h"'

C-

i4oi,

1284,0

1166,4

1048,8

5g8,0

3ô3,o

00

r> ~o CI

210,4

°‘8⁶)

35,5o

9-0 +

— 27,0 +

o‘86 J + o‘£ç —

192,0 + ^98,0

283,2ü+^ 98,0

98,0 H

*o

CO"

541,65+^98,0

34,3o

33,io

3i,go

27,30

24,80

20,20

00 ‘61

1,20

2,40

3,60

8,20

10,70

i5,3o

15,5o

NUMÉROS

DES

COURBES

CO

-fl⁻ LO VD

ci

co v-j- i« ^

O 00

S*

*S

Pu

t/i

eu

X'

ci

t/3

-3

C3

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W3

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(O

CU

On

jd

CJ

a>

w

a>

• «“H

■/.

Si

VALEURS AUX POINTS D’INTERSECTION

É Q U A Tl 0 N S

DU MOMENT FLÉCHISSANT CORRESPONDANT

6,9/j6 l — n4,3366 12,798 l — 219,8237 17,538 / — 3i6,i625 21,075 l — 4°3,5o84 23,436 l - 449,3298 24,874 l — 47⁸,9567 20,498 l — 478,5745 25,018 l — 469-²io4

6,974 1 — 121,8893

12,887 l — 234,6076

17,727 l — 338,4666

2i,5o8 l — 443,2200

6.991 l — 129,5517

i2,₉58 l — 260,1006

17,894 l — 361,4802

7,008 l — i37,4g57

i3,o28 l — 260,9985

18,062 l — 385,4:84

DE L’ABSCISSE

DES

ÉLÉMENTS DE LA COURRE-ENVKLOPPK

16 Charges. II = 8 P, + 4 P> "f" 4 — 102 t. •

0,0-35

0,1471

₉0tc‘0

0,294l

0,3578

0,4216

o,495i

0,5686

o, 0708

ç+i ‘o

çkik ‘o

o, 2830

o, 0682

o, 1364

o, 2045

₉i£i‘o

8ç₉°‘o

0,1974

tx —--X (

KOI    \

,X--

roi

102

—■— x'-

102

)x

)x-

--— Xs

102

--:— X*

)x

)x

7    f

*X--X

KOI    \

102

-.x —- —

102

i553,6

i433,2

i3io, 8

1188.4

719.2

464,2

102,0 —

—    9,0+(102,0 —

-- 27,0+(102,0 —

102,0 —

102,0 —

102,0 —

54,0 + (

i9²,o+ (

283,25 + (

— 481,o5 + (102,0 + —^^ x -541,65 + (102,0+^-) *

17 Charges. = 8 P, + 4 Ps + 5 Ps = 106

MM««

H H «    «

2|-sh^hll'

«    Ç* t*

vrr

i34o,o

CU

uo

eu

on

■r

1899,6 \

l )

1767,6

i635,6

O^    o^    o^

ud*    crT    <rT

o    o    o

+ ol6

— 27,0 +

54,0 + ( 106,0

co

II

110,0 —

110.0 —

— 0*011

tl

.1

■s

oo

T-f

s*

19 Charges. Il = 8 P, + 4 P* + 7 P3 = n4 L

*T t?"

lx T--

+ 1

x--

ÿ”

(114.»+-+-) -

9,0 + (114.0 +X

(    i8i6,o\

²7>⁰ +    --j—J x

DISTANCES

DES ESSIEUX EXTRÊMES DE L’ESSIEU CONSIDÉRÉ

33,00

37,3o

01 ‘jÆ

34,90

3o,3o

27,80

23,20

22,00

4i,5o

4o,3o

39,10

07,90

44,5°

43,3o

01 ‘uy

47,5o

46,3o

45,io

*p

1,20

2,40

3,60

8,20

10,70

i5,3o

16,5o

1,20

4 «8

cT co*

1,20

2, 4o

1,20

2,40

NUMÉROS

DES

COURBES

Cl CO Kęji

CO

*4

Cl CO

Efforts tranchants maxima

Formules générales. — A la fin du chapitre précédent on a vu, que la plus grande valeur de l’effort tranchant en un point quelconque de la première moitié de la portée s’obtient en distribuant la surcharge dans le tronçon compris entre ce point et l’appui de droite.

Ainsi pour uu point dont l’abscisse esta, cette valeur a lieu lorsque la première charge du système se trouve amenée en ce point.

Pour déterminer le groupement des charges qui produisent l’effort tranchant maximum mettons son expression générale (30) sous la forme suivante :

On constate alors que cette valeur de l’effort tranchant, pour une section a, correspond à la plus petite valeur de l’ab-cisse g ; ce qui a lieu lorsque les plus fortes charges se trouvent accumulées vers la section a.

Pour les trains-types cette condition se trouve remplie lorsqu’on place la première roue de la première machine au droit de la section considérée. La longueur du train étant suffisante pour couvrir tout le tronçon / — a, en laissant libre de toute surcharge le tronçon restant.

Dans cette position du train la valeur de l’effort tranchant se calcule sans difficulté, au point d’application de la charge n° 1 à Pabcisse a par la formule générale (30).

(!-“)

A = II

s? P d’

Les résultats du calcul font partie des tableaux ci-après. Le tableau VII correspond au train-type. Le tableau VIII au train-théorique, et enfin le tableau IX au train-type à voie étroite.

Le tableau VII renferme la composition détaillée des

charges et des coefficients numériques des termes S” Pd'. La composition des trains étant la même, les tableaux VIII et IX ne contiennent que les coefficients numériques de ces termes.

L’avant-dernière colonne contient les expressions des efforts tranchants maxima pour a~ o au droit de l’appui de gauche.

Ces expressions sont également celles des réactions maxima de cet appui.

De plus elles servent à déterminer l’effort tranchant en un point quelconque de la portée, ayant pour abscisse«.

Il suffit pour cela d’ajouter à l’expression correspondante de

la colonne le terme — Il y qui complète l’équation (30). Et

comme les valeurs successives de l’effort tranchant ainsi obtenues forment leur ligne enveloppe, on pourra calculer et tracer cette dernière sans avoir recours aux tableaux spéciaux.

Les charges et les efforts tranchants sont exprimés en tonnes, et ne sont calculés que pour la surcharge mobile.

Dans les applications on ajoutera aux efforts tranchants ainsi déterminés ceux qui proviennent de la charge permanente.

Ces derniers représentés par le dernier terme de l’équation (30) ci-dessus, peuvent se calculer sans difficulté pour chaque section.

Enfin les tableaux sont terminés par la colonne donnant les portées applicables à chaque système de charges.

La première ligne du tableau VIII, relatif au train-théorique, comprend, comme dans les tableaux précédents, les charges P, = 9 t.

Les lignes suivantes de ce tableau sont calculées pour les charges P, —7,5 t, P₂ = 6,5 t et P₃ = 4,0 t, conformément aux définitions données au commencement de ce chapitre.

se construire sans difficulté à l'aide des tableaux qui précèdent.

Pourcelaonétablitlesvaleursde l’effort tranchantaux points d’intersection des éléments successifs de cette ligne,etl’on joint par des lignes droites les sommets ainsi obtenus. Or ces sommets se calculent facilement par la formule générale 35 et 36.

D-S«Pd' pB

-7-+ ^    '

Dans laquelle tous les éléments sont connus, car les quantités Il et forment les colonnes 3 et 5 et la distance D est égale à la plus petite portée de la dernière colonne pour tous les systèmes de charge.

Nous terminons ici le deuxième chapitre, relatif aux poutres des viaducs métalliques, et nous allons aborder dans le chapitre suivantladéterminationdes effortsmaximades poutres supportant les voies de terre, c’est-à-dire les poutres des ponts-routes.

Tableau VIL — Efforts tranchants maxima au droit de l’appui de gauche produits par le train-type.

PORTÉES

EFFORTS

TERMES 2. Pd'

CHARGE TOTALE II

NOMBRE

APPLICABLES

IRANCHANTS MAXI MA

o = v anod

VALEUHS

VALEURS

DES CHANGES

NUMENIQUES

EXPRESSIONS GENEIULES

NUMÉ-

NIQUES

COMPOSITION

8,20 m

3,6o m à

5o,4

28 —

5°, 4

6 a, P₄ = 7,2 P,

à 10,70

15,3o

8,20

10,70

i5,3o à 16,5o

16,5o    à 17,70

17,70 à 18,90

18,90 à 23,5o

23,5o à 26,00

26,00 à 29,80

29,50 à 32,5o

32,5o à 35,5o

99,6

34-

UD

6 a, P, + (3 a, + S,) Ps = 7,2 P, + 8,2 P.

i63,8

4o

iG3,8

270,9

386,4

5 io,3

642,6

783,6

9^9,⁶

1007,6

1187,6

47 —

54 -

61 —

68 —

74 —

80 —

84 -

8S -

6 ‘o Lz,

386,4

5io, 3

6^2,6

₇S3,6

9^9,⁶

1057,6

1187,6

tonnes

CCL. 02- QQ.

ö es    ^ cT ûT

+pT +dT +-* 1? ^ «9 «q? s%> * 4-+aT +£ SSÆ S» <&» ₊ .. ^TaT

;^fe++++++sii

++ +t ■*i'?S'3£-⁺++i

«o: dT^ «" ^ >^r. »oj »-

-‘V'^d'+ll +¹¹ +11 2«o“«f

+:;+n æu-«*c Aj+^rfr

» w 2+    -+    ■WÎ ID 1-0

8 ⁰

cT +

<o +

8 «2 -S?    ~

989,6 +    29,0 P₃

o3o,6 +    62,0 Pj

co *^r c r>.    *-• oo ^ O *<r co

cn v3- vcr *o co co    oo co co

CU

4 P. + P₂

sd * + 'd y

5 P₄ + 2 P*

6 Pj + 2 P,

*d e + 'd 8

*d £ + łd S

8P, + 4P,

tonnes

So + P₃

So + 2 P₃

Tableau VII (suite). — Efforts tranchants maxima au droit de l’appui de gauche produits par le train-<ype.

PORTÉES

EFFORTS

TERMES SnPd'

CHARGE TOTALE II

NOMBRE

APPLICABLES

TRANCHANTS MAXIMA

pour a = 0

VALEURS

NUMÉRIQUES

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

VALEURS

NUMÉ

RIQUES

COMPOSITION

35,5om à 38,5o m

à 4r,5o

38,5o

à 44,5°

à 47,ôo

oç'oç T?

à 53,5o

à 56,5o

à 59,60

à 62,60

à 65,5o

à 68,5o

1329,6

1463,6

41,5o

44,00

47,5o

5o,5o

53,5o

56,5o

5g,5o

62,5o

65,5o

à 71,60

71.50    à    74,5o

74.50    à    77,5o

77.50    à    80,5o

8o»5o    à    83,5o

83.50    à    86,5o

86.50    à    8g,5o

89.50    à    92,5o

92.50    à    g5,5o

96.50    à    g8,5o

g8,5o    à    101,5o

68,5o

1649.6

1827,6

2017,6

2219,6

2433,6

2669,6

2897,6

3i4",6

3409,6

3683,6

3969,6

4267.6

4577,6

4899,6

— r6

1329,6

939,6 +    97,5 P₃

96 —

i483,6

939,6 + i36,o P₃

100 —■

104 —

108 —

GIT

116 —

120

124 —

128 —

l32 —

136 —

140 —

i48 —

l52 —

i56 — _⁵²³³’6 l

6679,6

— (>9¹

1649,6

939,6 + 177,5 p₃

6937,6

6307,6

6689,6

7083,6

164 -

168 —

— zLx

176 —

9 ‘*cSl

939,6 + 222,0 P₃

2017,6

2219,6

2669,6

3i47,6

3409,6

3683,6

3969,6

4267,6

4077,6

4899,6

5233,6

5579.6

6937.6

6307,6

6689,6

7083,6

939.6    + 269,5 P₃

989.6    4    320,0 P₃

939,6 4 3;3,5 P₃

939,6 4 43o,o P3 939,6 4 489,5 P₃

939,6 4 552,o P₃

939,6 + 617,5 p₃

939,6 + 686,0 P, 939,6 -f 757,5 P, 939,6 + 832,0 P, 939,6 -f 909,5 P, 939,6 -f- 990,0 P, 939,6 + 1073,5 P, 9³9,6 + 1160,0 P, 939,6 + 1249,5 P, 939,6 -f- 1342,0 P, 939,6 + i437,5 P, 939>6 + 1536,o P,

tonnes

tonnes

92

80 + 3 P₃

9⁶

80 + 4 P*

001

104

801

112

116

OGI

124

128

i32

i36

i4o

i44

148

cçi

i56

09 T

164

168

cs CJD

80 + 5 P₃

80 + 6 P₃

80 + 7 P,

rd 8+08

rd 6 +og

80 4- 10 P₃

80 4 ¹¹

80 + 12 P₃

80 4. i3 P₃

80 + 14 p₅

80 + i5 P₃

80 + 16 P₃

80 + 17 Ps

80 + i8 Ps

80 + 19 P₃

fid os + 08

80 + 21 P₃

80 + 22 P₃

«o + 23 P,

sd ÿc + og

DES CHARGES

iC.

co

oo

05

c    -

CS    CS

CS    CO    s-f    to

CS CS    CS    CS

« 5T %

m ï) m M

n-tliéorique.

PORTEES

APPLICABLES

droit de l’appui de gauche produits par le trat

3,60 m à 8,20 m

à 10,70

à i5,3o

à i6,5o

a 17,70

à 18,90

à 23,5o

à 26,00

à 29,00

à 32,5o

à 35,50

efforts

tranchants maxima

POUR a — O

VALEURS

numeriques

00

10,70

i5,3o

09 9¹

17^0

18,90

2o,00

26,00

29.00

32,5o

35,5o à 38,5o

38,5o à 4l5o

oq'te v. og'iÿ

44,5o    à 47.5o

à 5o,5o

à 53,5o

47,5o

5o,5o

53,5o    à 56,5o

56,5o    à 5g, 5o

à 62,5o

59,50

62,50 à 65,5o

65,5o    à 68,5o

à 71,00

à 74,5o

à 77,5o

68,5o

7i,5o

74,5o

77,5o    à 80,5o

co

S"

36

6/1,80

107,3

174.85

287,60

Ai 5,35

548,10

689,80

■ê

*<T

CO

1011,6

1129,6

1259,6

1401,6

1555,6

1721,6

1899.⁶

2089,6

2291,6

25o5,6

2731,6

9*6965

3219,6

348i,6

3755,6

4041,6

4339,6

4649,6

36,5 —

107,30

43,o —

5o,5 —

58,o —

65,5 —

73,0—

IO

86

ofi

94

98-

102

106 —

110

- ł/TT

118 —

122

126 —

i3o —

— te¹

i38 —

142 —

— 9t7T

- OÇI

— te¹

17 ,80

09 'ibc

4i5,35

548,10

689,80

842, bo

iou,6

1129,6

1209,6

i4oi,6

i555,6

1721,6

1899,6

2089,6

9'90cs

9*1655

2731,6

2969.6

3219.6

3481.6

3755.6

4041,6

4339.6

4649.6

CL

co

Tableau VIII. — Efforts tranchants maxima au

CHARGE TOTALE II

NOMBRE

EXPRESSIONS GENERALES

7.2 Pi

7,2 Pi + 8,2 P*

*d 6‘8i + M m

22,5 Pi + l8,9 P*

3g, o P₄ 4" 18,9 P.

56,7 Pt + >8,9 P

70,6 Pi -j- 18,9 P*

₇5,6 P, + 4M P*

n5,6 P₄ + 68,4 P*

M ⁽j‘6r + 9 ¹¹⁰¹

ion, 6 + 62,0 P₃

1011,6 4- 97,5 Pj

1011,6 4- i36,o Pi

sd q'LL\ 4- 9‘tioi

1011,6 4“ 222,0 Pi

1011,6 4~ 269,5 P₅

1011,6 4- 320,0 Pi

1011,6 4- 373,5 Pj

ion,6 4- 43o,o P₅

1011,6 4- 489,5 Ps

1011,6 4- 552,0 P₅

1011,6 + 617,5 P₅

1011,6 4~ 686,0 Ps

1011,6 + 757,5 Ps

1011,6 -f- 832,0 P₃

ion,6 -j- 909,5 P₃

VALEURS

NUME-

COMPOSITION

RIQUES

tonnes

ccT cô* co

cO

CO

»C

⁰ 89

73,0

en exT

t -X

ce

90,0

vrr

en

0*86

102,0

O ‘90 T

IIO, o

114,0

o 8”

122,0

126,0

i3o,o

i34,o

i38, o

142,0

146,0

o'oçi

i54,o

o:

^=r

4P. + P.

4 P. + ² P«

5 P,+ 2 P.

6 P, + 2 P*

7 P*-MP.

8 Pi + 2 P*

8 P, + 3 P,

8P« + 4P.

86 -j- Pi

86 + 2 Pi

86 4- 3 P,

86 4- 4 Pi

86 4- 5 P*

86 4- 6 Pi

86 4- 7 Ps

86 4- 8 Ps

86 4- 9 P»

d 01 4- 98

86 4- 11 Pa

86 4- 12 P3

86 + i3 Ps

*d t7i + 98

86 + i5 P,

86 + 16 P,

sd L' + 98

DSS CHARGES

v* K> <*>

►4

ci    co    *2*

M    •-*    **

m cr> t^oo a) o ~ etcov^-Lo^o r^co o

-»^^»-t>-<ciCiCiCiCN    Ci Ci    Ci    Ci Ci

Tableau VIII (suite}. — Efforts tranchants maxima au droit de l'appui de gauche produits par le train-théorique. S

PORTÉES

EFFORTS

TERMES SnPd’

CHARGE TOTALE n

NOMBRE

APPLICABLES

TRANCHANTS MAXIMA

pour a = o

VALEURS

NUMÉRIQUES

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

VALEURS

NUMÉ

RIQUES

DES CHARGES

80,5o m à 83,5o m

497i,6

i58 —

497¹»⁶

1011,6 -f- 99°i° P3

tonnes

l58,0

à 86,5o

83,5o

53o5,6

— C9ï

53o5,6

1011,6    1073,5 P₃

o ‘K91

à 89,5o

og‘r6 b

à g5,5o

à 98,30

à 101,30

COMPOSITION

86 + 18 P,

86 + 19 P₃

86,5o

565i,6

166 —

565i,6

ed 0*0911 + 9‘iioi

166,0

86 + 20 P₃

8g,5°

6009,6

— 0L1

6009,6

1011,6 -j- 1249,5 Ps

170,0

86 + 21 P,

92,50

6079,6

174 —

6^79,⁶

£d 0‘f££ï + 9‘uoi

174,0

£d re + 98

g5,5o

og‘86

6761,6

178 —

6761,6

1011,6 -f- 1437,5 P₃

178,0

*d & + 98

7i55,6

— cgi

7i55,6

1011,6 -f- i536,o Pj

182,0

86 + 24 P,

a «s «s? a sr a s

Tableau IX. — Efforts tranchants maxima au droit de l’appui de gauche produits par train-type

à voie étroite.

PORTEES

EFFORTS

TERMES 2nPd’

NOMBRE CHARGE TOTALE II

APPLICABLES

TRANCHANTS MAXIMA

POUR (l — O

VALEURS

NUMÉRIQUES

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

VALEURS

NUMÉ

RIQUES

COMPOSITION

DES CHARGES

7,70 m

3,6o m à

36,o

20

36, o

ld s‘L = ’d ł* 9

7,70 à 10,70

à 14,80

10,70

i4,8o à 16,00

16,00 à 17,20

17,20 à 18,40

18,4o    à 22,5o

22,5o à 25,5o

a5,5o    à 28,5o

28,5o à 3i,5o

à    34,5o

3i,5o

66,8

66,8

⁶ a, P, + (3 a, + ß,) P* = 7,2 P, -f 7,7 Ps

109,6

i83,6

263,6

349,6

441,6

53i,6

633,6

747i⁶

873,6

— «s

33 —

38 -

43 -

48 -

52 —

56 —

60 —

64-

109,6

183, 6

263,6

349,6

44',6

53i,6

633,6

747,6

873,6

-foT

-^t +^r o:^ rT^ CL^ *“■» 8» ^°2 _°2 <N 00    ,?    «I « .

_L + Y+ ⁸+ a+ ⁸ + 4--I-    « „ *s- .

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t" i« î" +ii ï«

«- + »-»--* »- 3 =2

^T

73,6 P, + 40,9 P*

73,6 P,+ 66,4 P=

633,6 + 28,5 P₃

633,6 + 60,0 P₃

tonnes

oc

24

. 28

4 P*

4 Pi + P.

4 Pi + 2 P,

•<r

'sC

>2

33

38

43

48

02

56

°9

64

M b + *d S

6 P, + 2 P.

7 Pi + 2 Ps

8 P, -f 2 P,

8 P. + 3 P,

8 P, + 4 Ps

tonnes

56 + P₃

56 + 2 P₃

r> oo

07

cs

ÎC

^r

00

Tableau IX (suile). — Efforts tranchants maximaau droit de l’appui de gauche produits par train-type

à voie étroite.

PORTÉES

EFFORTS

TERMES SnPd'

NOMBRE I CHARGE TOTALE II

APPLICABLES

à 37,5o

à 4°>5o

à 43,5o

à 48,5o

à 49,5o

à 52,5o

à 55,5o

à 58,5o

à 61,5o

à 64,5o

à 67,50

TRANCHANTS MAXIMA

0 — V HflOd

VALEURS

NUMÉRIQUES

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

VALEURS

NUMÉ

RIQUES

COMPOSITION

34,5o

1011,6

68 —

1011,6

g4,5 P₃

633,6 +

tonnes

tonnes

37,5o

1161,6

72 —

1161,6

M o‘C£I

633,6 +

4o,5o

43,5o

46,5o

49,5o

52,5o

55,5o

58,5o

61,5o

64,5o

_    1323.6

’⁶---—

1497)5

— 08

i323,6

172,5 P₃

633,6 +

i497>⁶

216,0 P₃

633,6 +

i683,6

1881,6

2091,6

23i3,6

2547,6

2793,6

3o5i,6

84 -

i683,6

262,5 P₃

633,6 +

88 —

92 -

96 -

— 001

104 —

108 —

1881,6

312, o P₃

633.6 +

2091,6

364,5 P₃

633,6 +

23i3,6

420,0 P₃

+ 9‘££9

'2547,6

478,5 P₃

633,6 +

2793,6

3o5i,6

54o,o P₃

633,6 +

633,6 + 6o4,5 P₃

89

56 + 3 P₃

56 + 4 P₃

56 + 5 P₃

56 + 6 P₃

56 -j- 7 P₅

56 + 8 P₃

56 + 9 P*

56 + îo P₃

56 + n P₃

56 + 12 P₃

56 + i3 P₃

DES CHARGES

•O r>C    GO    ô“î    O

«■*    h*    hH

CS

ci co    to

CS CN CN CN

III. — Résistance des poutres des ponts-routes.

Définition des charges.

Types des convois. — Les poutres supportant les voies de terre doivent résister dans de bonnes conditions aux charges provenant des convois de chariots définis par l’article 17 de la circulaire ministérielle.

Ces convois sont au nombre de deux:

Le premier composé de tombereaux à un essieu pesant 6 t, et attelé de deux chevaux sur une file, sert de base pour les calculs de résistance.

En effet, sous le passage de ces charges le travail maximum des poutres situées en dehors de la chaussée peut atteindre la limite de 6,50 kg par millimètre carré de section nette.

Toutefois, pour les poutres de petite portée placées sous la chaussée et pour les pièces de pont, ce travail ne doit pas dépasser la limite de 5,50 kg par millimètre carré.

Le deuxième convoi est formé de chariots de 16 t à deux essieux traînés par huit chevaux sur deux files. Ce convoi sert à vérifier que le travail maximum, lors de son passage, ne dépasse pas un kilogramme en plus de celui du cas précédent, soit :

Pour les poutres extérieures....................

Pour les poutres sous la chaussée et pièces de de pont......................................

7.50    kg

6.50    »

Enfin la troisième combinaison des charges indiquées par la circulaire et qui consiste à intercaler dans le premier convoi un tombereau à un essieu pesant 11 t, et traîné par cinq chevaux sur une seule file, donne des résultats inférieurs à ceux du dernier cas, et ne peut s’appliquer en conséquence que pour le calcul de résistance des pièces de pont, lesquelles occupent une position analogue à celle des entretoises et longerons sous-rails.

Le travail de ces pièces sous faction de la dernière charge ne doit pas dépasser la limite de 5,50 kg -f- 1,00 kg — 6,50 kg par millimètre carré.

Il suffit donc d’établir, pour la résistance des poutres, les efforts maxima produits par les deux convois de chariots indiqués ci-dessus.

En suivant une marche analogue à celle du chapitre Ier, nous désignons les charges et leurs espacements de la manière suivante :

-oûc

ODE

'P

COu

-    - f<- {~f—; -H ["J- 9—

T“

'"T

>i t

0?

■ïc

aï

aï

aï

aï

CC

S-

aï :

Fig. 4.

Pour les chariots de 6 t (fig. 4).

P, = 6,o t

P* = 0,7 » ß, = 2,75 a» = 2,5o

Charges des essieux.......................

» attelages.....................

Distance entre les charges P, et Ps........

»    » les charges consécutives P₂.

Pour les chariots de 16 t (fig. 5, col. 93-94).

P, = 8,o t

P* = i,4 »

at = 3,oo OCg — 2,5o ß₄ = 2,₇5

Charge des essieux................

»    attelages..............

Distances entre les charges P,......

»    » les charges    Pa    .....

»    » les charges    P,    et P.

Avec les charges et leurs espacements ainsi définis conformement à l’article 17 de la circulaire ministérielle, on pourra déterminer les efforts maxima répartis sur une zone égale à la largeur d’une voie charretière.

Ces efforts doivent être composés ensuite de manière à développer sur une poutre donnée les tensions maxima.

Pour déterminer ces derniers, nous allons donner quelques détails au sujet de la répartition des charges sur la coupe transversale d’un pont.

Répartition des charges sur la coupe transversale du pont. — La position des surcharges mobiles par rapport aux poutres,

n’étant pas fixe sur un pont, comme celle des roues d’un train, on doit grouper ces charges dans le sens transversal de manière à obtenir l’effet maximum sur la poutre considérée.

•-

ri"

Ainsi pour un pont à poutres extérieures (fig. 6 et 7) pour calculer la résistance de la poutre A, on rapprochera sur cette poutre les rangées de chariots de manière que l’axe de la jante de la première roue se trouve à 0,10 de l’arête de la bordure du trottoir, les au. très roues occupant les positions le plus rapprochées de cette roue, conformément à l’indication de l’article 17 de la circulaire, reproduites sur les figures 6 et 7.

La résultante Y de ces charges sur la poutre A sera donc pour un pont à une voie charretière, en désignant par d l’espacement d’axe en axe des poutres, et par d' la largeur entre l’axe de la poutre et l’arête du trottoir.

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-—r——ar

-----

4~ —

«r

r-

i-

tf ;

zd' + 1,90 H p

Pour un pont à deux voies charretières :

ï=f

(B

-or

-0?

*=[«

Fig. 5.

RÉSISTANCE AUX SURCHARGES MOBILES Pour un pont à trois voies charretières.

122

Y = [⁶—

Et ainsi de suite.

... d,\

, ’T —

il—-LL

*0«-

eu

Fig. 6.

- w    A?“?—-

'7777/7?'s//?mT7W7rrss/^Ęt

4-

LJ..... PP

•i

Fig. 1. *

Pour les ponts à poutres sous la chaussée (fig¹. 8) les essieux des chariots doivent se rapprocher de part et d'autre de la

^J=fc4......rihj !

lj|' jü} Àlft

ii;

P PiP P

Fig. 8.

poutre pour obtenir également la plus grande composante des charges.

La distribution à gauche donnera le maximum d’effet pour une poutre intermédiaire A, et la distribution à droite don-

nera ce maximum pour la poutre, près de la bordure du trottoir B. Les expressions de la composante Y, dans ces cas, peuvent s’établir sans aucune difficulté.

Il en résulte que, pour simplifier les calculs, on peut se borner à calculer les expressions des efforts maxima correspondant à la largeur d’une voie charretière, c’est-à-dire pour une poutre supportant à elle seule la charge de cette voie charretière. Et c’est sur cette base que nous avons calculé les efforts qui suivent.

La marche des opérations est la même que dans le chapitre précédent.

En partant du nombre des charges contenues dans la travée, nous calculons d’abord l’abscisse x' correspondant au moment fléchissant maximum, laquelle permet de déterminer les portées applicables à ce système de charges.

Ensuite nous donnons l’expression du moment fléchissant maximum M' pour une portée intermédiaire quelconque l comprise entre ces limites.

Enfin la dernière partie de ce chapitre donne les expressions de l’effort tranchant maximum pour les deux systèmes de chariots.

Toutes ces expressions sont établies pour les systèmes suc cessifs de charges dont le nombre varie de 3 à 37 correspondant aux portées de 5,56 et 6,08 à 100 m admises comme maximum.

Moments fléchissants maxima.

Pour les systèmes des charges considérés, les moments fléchissants maxima se produisent au droit de plus fortes charges, lorsque celles-ci occupent sur la poutre la position la plus défavorable.

En conséquence, dans le convoi des chariots de 6 t, ces moments se produisent au droit des essieux de ces chariots.

Dans le convoi des chariots de 16 t, nous considérons le premier essieu du chariot, en comptant de l’appui de gauche, comme correspondant au moment fléchissant maximum.

Ainsi dans les calculs, ce sont les essieux ainsi désignés qui porteront le n° k (fig. 4 et 5).

Les moments fléchissants maxima M', et les abscisses correspondantes x', se calculent par les équations 6 et 7 qui nous ont déjà servi pour les calculs analogues du chapitre précédent.

Commençons par la détermination des termes qui entrent dans ces équations.

Calcul des termes^Pd. — Rappelons que ces termes représentent la somme des moments des charges situées à gauche de la charge Pj portant n° h, pris par rapport à cette charge.

Les valeurs numériques de ces termes sont réunies dans les deux tableaux X et XI (p. 123 et 124); ces valeurs sont exprimées en tonnes-mètres.

Calcul des abscisses x'. — Par suite de la succession identique des charges à droite et à gauche de l'essieu n° k, on peut introduire des simplifications dans le calcul du numérateur du dernier terme de l'expression de l’abscisse x'.

Dans le convoi de chariots de 6 t, les moments des charges situées des deux côtés de l’essieu n° k se faisant équilibre, ce numérateur sera zéro pour tous les cas de nombre impair des charges.

Lorsque le nombre des charges est pair, le numérateur est égal au moment de la dernière charge placée du côté où leur nombre est le plus grand. Ainsi on a

39)

s], Pd — S)* Pd' = P, dt lorsque k > n — k.

—— Pnd'n »

k < n — k.

On pourra donc obtenir immédiatement la valeur numérique de ces termes par la différence des moments correspondants de la dernière colonne du tableau X.

Dans le cas du convoi de chariots de 16 t l’expression du numérateur cherché peut se mettre sous la forme

sW - s”p («, + d).

t*

POUTRES DES VIADUCS MÉTALLIQUES Les termes 2 Pd en nombre égal se réduisent et l’on a :

(40)

2*Pd — £”Pd’ = P, clt - S” + 1Pa₄ pour Æ > n— k.

» k < n — k.

La valeur numérique de ce numérateur se trouve donc à la différence algébrique des termes correspondants de la dernière colonne du tableau XII, diminuée du moment Sfc + iPoq.

Ou bien les valeurs successives du terme toutes calculées formant la cinquième colonne du tableau XY, on pourra former les numérateurs cherchés par la différence des termes correspondants de ce tableau et du tableau XI.

Tableau X. — Chariots de 6 tonnes. Moments des charges pris par rapport à la charge n° k, placées à sa gauche.

VALEURS

DU

10

12

i3

i4

i5

16

17

18

19

DESIGNATION

DES CHARGES QUI PRÉCÈDENT

l’essieu N° k

p*

2 P*

P, + 2 P*

P* + P, + 2 P2 2PÎ + P₁+2PÎ

2 P« + 4 P*

2 P, + 5 P,

2 P, + 6 P*

3P.4-6P, 3 P4 + 7 P* 3 P* 4" 8 P* 4P[+8P* 4P. + 9P*

4    P. + 10 P₈

5    P, 4* ¹⁰ P*

5P, + nP,

5    P, 4- 12 Pg

6    P, 4- 12 Pg

DISTANCE

ENTRE CET ESSIEU ET L’ESSIEU EXTRÊME d.

mètres

2,75

5,25

8,00

10,75

[3,2.5

16,00

18,7.5

’ 21,25

24,00

26,75

29,25

32,00

34,75

37,25

40,00

42,75

45,2.5

48,oo

TERMES S,'Pd

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

VALEUUS NUMÉRIQUES

tonnes-mètres

2,7.5 pa

8,00 P₂

8,00 (P, + P,)

8,00 P₄ + 18,7.5 Pj 8,00 P, -p 32,o Ps 24,00 P, 4" 32,00 P* 24,00 P, -f- 5o,t5 P* 24,00 p₄ 4- 72,00 ps

48,00, P, 4- 72,00 Pg 48,oo P, 4-98,7>5 Pg 48,00 p, 4-128,00 Pg 80,00 P, 4- 128,00 Pg 80,00 p, 4-162,7.5 Pg

80,00 P, 4- 200 Pg 120,00 P, 4- 200 Pg 120,00 P, 4- 242,75 Pg 120,00 P, 4“ 288,00 Pg 168,00 P, 4- 288,00 Pg

1,92.5

5,60

53,6o

61,125 70,40 166,40 i79>526 iq4,4o

338,40

357,12.5

377,6°

569,60

593,925

620,00

860,00

889,92.5

921.60

1209.60

Après avoir déterminé les termes entrant dans l’expression du moment fléchissant maximum, nous avons réuni dans les deux tableaux qui suivent, les expressions de ces moments pour les systèmes successifs des charges dont le nombre varie de 3 à 37 et renferme les portées indiquées plus haut.

Tableau XI. — Chariots de 16 tonnes. Moments des charges pris par rapport à la charge n° k, placées à sa gauche.

VALEURS

DU

n° k

DESIGNATION

DES CHARGES QUI PRÉCÈDENT

l’essieu N° k

DISTANCE

ENTRE CET ESSIEU ET L’ESSIEU EXTRÊME d.

TERMES SjfcPcl

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

VALEURS

NUMÉRIQUES

métrés

tonnes mè très

p*

2,75

2 P*

5,25

2,75 ps

8,oo Ps

3,85

11,20

3 P,

7,7»

15,75 Pg

22, o5

4P.

GO CT-

P« + 4 P.

2 P, + 4 P. 2 P, + 5 P* 2 Pg + 6 Pg

10,25

i3,oo

16,00

18,75

21,25

26,00 Pg

i3,oo P₄ + 26,00 Pg 29,00 P₄ + 26,00 Pg 29,00 Pg + 44,75 P, 29,00 Pg + 66,00 Pg

36,40

140.40

268.40 294,65

324.40

t-⁻    H*    mm    •_

W N3 »-i C

2 Pi + 7 P.

23,75

29,00 P, + 89,75 P,

2    P* + 8 P*

3    Pg + 8 P*

4    P. + 8 Pg 4 Pi + 9 P.

26,25

29,00

32,00

34,75

29,00 p, 4- j 16,00 Pg 58,oo P, 4* u 6,00 Pg 90,00 Pg 4-116,00 P* 90,00 Pg 4~ i5o,75 Pg

35₇,65

394.40

626.40

882.40

g3i,o5

«O 00 Ni 05 O.

4 P, 4-10 P, 4P.+ 11 P.

4    P. + 12 Pg

5    Pg + 12 Pg

6    Pg 4- 12 P,

37,25

39,75

42,25 45,oo 48,oo .

90,00 Pg 4-188,00 Pg 90,00 p, 4-227,75 P* 90,00 Pg 4- 270,00 P. i35,oo P, 4- 270,00 P* i83 ,oo Pg 4- 270,00 Pg

983,20

xo38,85

1098,00 1458,00 1842,00

Le tableau XII s’applique au convoi de tombereaux de 6 / et le tableau XIII aux chariots de 16 t.

La dernière colonne du tableau XII donne les portées applicables aux systèmes des charges, calculées d’après les équations 13. La colonne analogue du tableau XIII donne ces portées d’après les formules 8 et 11.

Tableau XII. — Abscisses xr et moments fléchissants maxima dûs au passage de tombereaux de 6 tonnes.

PORTÉES

EXPRESSIONS GENERALES

APPLICABLES

DU MOMENT FLECHISSANT MAXIMUM

DE L’ABSCISSE

(t+I)

+ Pdx -

«O

c*

II

Cl ioanoo fla

nnanoNOi

VALEURS

DU N° k

SYSTEMES DES CHARGES

POIDS TOTAL

COMPOSITION

5,5o m à 10,28m

10,28 a 10,72

10,72 à 14,17

14,17 à 17,48

17,48 à 21,3o

21,33 à 21,67

21,67 à 26,29

26,29 à 26,70

26,70 a 30,29

30,29 à 33, o5

33,55 à 3₇,36 37,36 à 37,68

37,68 à 42,3i

4².31    à 42,66 42,66 h 46,32

46.32    à 49,07

49,07 à 53,31

53,31 à 53,65

53,65 à 58,3o

58,3o à 58,69 68.69 à .62,33

62,33 à 65,58

65,58 à 69,31 69,3i à 69,68 69,68 à 74,3i

S lX

x’*

a,l°° *1" «J»

+ + +

■& «,-r <-

4-

es

05

1,920 +

3,676

16,2 4-pl

»'le,ül00 aKI°°

+ + + +

00 I »» <n|

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+ 009‘ç

00

29 fi+pl

[ CS^

| CT - |

S iq

tonnes

iri co

io, 5o

cfT

+ 009‘es

7,520

43,0 -\-pl

CS

l3,20

m

es

lS

6i,i25 +

9.270

jd + S*Çv

| CT- I CT- I CT - |

00*9 I

18,75

21,5o

es

e<

co

co

^r

40

P, + 2 P,

Pi + 3 P₂

°°

P. + 4 P.

co

20,8

Kl

CS

22,2

2 P, + 4 P»

3 P, + 4 P.

3 P, + 5 P,

3 P, + 6 P,

^-r

l^

+ Oo6‘oZ,

LC

05

ioT + t-‘6ç

es I CS I ^

24,00

26,5o

2Q,2f)

22,9

3 P, + 7 P.

—    166,400 4- 8,90 Z 4- L

—    166,400 4-(³JJ h—2") ^²

179.525 4- 9,25 Z 4- HL

o

—    179,525 4-

—    194,400 4- 9,60 Z 4- Ç

(¥ + 4)

338,400 4- 12,6 Z 4- 4r

(t + zhi)

i94,4⁰⁰ ¥

i3,i25

72,6 + ^

id Ą-YgL

?£+JÉ88

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« I CT

CT

32,00

34,70

37,5o

4o,oo

42,5o

45,25

48 00

x’*

(4 + t4)

338,400 4“

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çci‘₈i

CT

50,75

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—    35₇,125 4- 12,95 l 4-

—    357,125 4-

(¥ + 4 )

—    377,600 + i3,3o l -f ~

O

—    377,600 -f*

569,600 + 16,3o l+~

O

569,600 +    + -L)

— 593,925 + 16,65 Z + — 8

53,5o

20,475

jd-\- o‘çoi

56,oo

58,5o

192,0

118,4+joZ

6i,25

64,00

24,325

i3i,8 +W

66,7,5

oç'ôg

LD LO

*■*    JT

^    S¹

3 P₍ + 8 P,

r>

r>

co

co

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cs

cs

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CO    co

4tT co co    CO

5 P, + 8 P₂

⁵ Pi + 9 P*

V3-    vj-    *<f

co    vrr    o

CO CO CO VJ- o

5 P, 4- 10 P₂

5 P, 4- u P,

5 P, + 12 P₂

6 Pt + 12 P₂

7 P, + 12 P₂

40

7 Pi + i3 P,

CO    LO    es    cs

£    Æ    sf    J?

cs^ 05 LO^ io    40    crT

co    lo    co

7 Pi + i4 Pj

7 Pi + i5 Pj

7 P, + 16 P₂

8 P, 4~ 16 P*

9 Pi + 16 P₂

9 Pi + 17 P*

*d 8¹ + ’d 6

NOMBRE

co

*o*

40

co

co ver o

O 00

05

CS

o    «—    cs    co

CS    CS    CS    CS

"<7

*.n    lo

cs    cs    es

Tableau XII. — Abscisses x’ et moments fléchissants maxima dus au passage de tombereaux de 6 tonnes.

PORTÉES

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

APPLICABLES

DU MOMENT FLÉCHISSANT MAXIMUM

(7+1)*"

DE L’ABSCISSE

l

T+⁸

x' —

CI I 0 A NI O0 na

HfianoNOi

VALEURS

SYSTEMES DES CHARGES

DU N» k

POIDS TOTAL

ri

COMPOSITION

NOMBRE

lU^^L B IU I

74,69 à 78,34

78,34 à 81,59

81,69 à 85,31

85,31 à 85,68

85,68 à 90,30

90,30 à 90,69

90,69 h 94,35

94,35 à 97,60

97,60 à 101,5o

C-T + f) *"

593,925 -f-

26,070

vu

tonnes

x’*

pla

620, 000 4“ 17)00 l 4--7T

(¥ + ł)

620,000 4-

134,6 4"P¹

24,0

72,00

67,3

9 P, + 19 P.

74,5o

68,0

9 P, + 20 Pj

GO    CTi

C\    CS

pl*

i48,o +pl

77,25

— 860,000 4- 20,00 l 4—— 8

4- 000‘09g

29-923

161,4 4- pl

—    889,920 -}- 20,55 l 4——

O

—    889,925 4*

31,675 164,2 -{-pl

oo‘og

82,70

85,5o

88,00

pl'-

—    921,600 -f 20,70 / + —

—    921,600 +

—    1209,600 + ₂3,70 l + ~

90,5°

288,0

177,6+^

93,25

96,°°

io <£>

74,°

10 P, + 20 P.

80,0

n Pf + 20 P.

r>»

r»

CO    00    CTi

■H    r*    r-

o    -T

GO    GO

11 P, + 21 P.

11 P, + 22 P,

82,1

11 P, + 23 P.

Q    »-» CS    co

CO    CO    CO    co    CO

00 00 GO

<S o§ 'S

n P, + 24 P.

12 P, + 24 Pj

i3 P, + 24 P,

LC    <£>

co    co    co

Tableau XIII. — Abscisses et moments fléchissants maxima dûs au passage des chariots de 16 tonnes.

PORTEES

EXPRESSIONS GENERALES

APPLICABLES

DC MOMENT FLÉCHISSANT MAXIMUM

-siM + (7 +f)x’

de lU-hscisse

x’ —--(- S

q ioanod nu

uaanoNoi

VALEURS

DU N° k

SYSTÈMES DES CHARGES

POIDS TOTAL

II

COMPOSITION

NOMBRE

m<g6‘oi b tu go‘9

10,00 à 12,00

n,54 à i5,46

i5,oo à 17,00

16,44 à 20,06

20,00 à 22,00

21,36 à 25,64

20,00 à 27,5o

27.30    à 28,3o 3o,2o à 3o,5o

28.30    à 3o,20

3o,5o à 33,5o

"h h h

a,' "■* a.« «

"Tl »

t> P* CO

^ I    I—I

"-I

§r

+ (^+5)'-

s lx

■r'²

x'!

x'

XIS

(4+!)

(4⁴+0

(T+ï)

(- + — )

\d ‘ t'Lz J

"* U

8/37 G⁺

3,85

3,85

11,20

11,20

22, o5

go ‘es

36,40

36,4o

20,15

34,« -\-pi

28,20

"a.

eîT

20,80

4°,4 +i°‘

32,4o

"a.

<rn_

21,55

“"o    ^sa

a, a.

+4.

30

22,25

CO_

5i,6 + pl

000b

jd + YYj

Cl

Cl

Cl

*-C ^ o ro en

4-    4-    +

36,40

140,40

140,40

168,80

+ ° +:»

"t2 'TS'

P.

86,4 + Pl

ci -o

tonnes

17.4

18,8

2 P, + 2 P*

II,co

20,2

2 P, -f- 3 P*

~h~PH

es >~a

PH« -I

i3,5o

00^91

18,5o

21,00

23,5o

26,25

26,25

29,00

vrf CO —    ro vî irT

es    «    «    «

t£> C_

2 P, + 4 Ps

2 Pi + 5 P.

2 P, + 6 P₂

a P, + 7 P*

27,2

35,2

35,2

43,2

2 P, + 8 P.

3 P, + 8 Pt

3 P, + 8 Pt

10

TI

12

CM

CO

Tableau XIII. — Abscisses sd et moments fléchissants maxima dns au passage des chariots de 16 tonnes.

PORTÉES

APPLICABLES

33,24 m à 36,26wi

36,5o à 39,00

38,54 à 42,46

42,00 à 44,⁰⁰

43,5o à 47,5°

47,00 à 49,°°

48,46 à 52,54

52,00 à 54,oo

53,44 à 57,56

57,00 à 59,5o

59.38    à 60,12

62.38    à 62,5o

60,12 à 62,38

62,5o à 65,5o

65,34 à 68,16 67,68 à 71,82

70,52' à 74,48 74,00 à 76,00

75,5o à 79,5o

00* Ig b oo‘6Z,

8o,5o à 84,5o

84,00 à 86,00

85,46 à 89,54

89,00 à 91,5o

'    9U44    à    92,06

94,44    à    94,56

I    92,06    à    94,44

94,5o à 97,5o

97,38 à 100,12

EXPRESSIONS GENERALES

DU MOMENT FLÉCHISSANT MAXIMUM

DE L’ABSCISSE

4M+(7+f)

(¥+!)

— = ,W

x' =--f- 8

d ioanoo na

unanoMOi

VALEURS

DU N° k

SYSTEMES DES CHARGES

POIDS TOTAL

COMPOSITION

+ Oÿ ‘89r-

63,2

tonnes

ê ix

X lX

x'*

(¥¥)

268,40 +

+(-¥+!)

294,65 +(-^ + f)

294,60

3,4,4» +('T'⁴⁺f)x'

324,40 +('^i-⁸ + ?)

x’a

( ix

357,65    + (-^⁶ + f)*'*

394,40 +

G+»i )

4+P*

I • >■.!

î t 1

88,8

116,4 + pl

62,55

121,2 +/>Z

g3,oo

124,0 -\-pl 63,25

126,8 + pl 974°

129.6 4-pZ

63,95

l32,4 + pl

101,40

32,00

35,00

37,75

oç'oÿ

43,oo

45,5o

47,00

10

X /X

G + VoL )

\ ■•‘'U

rrr') + ⁰1¥⁶£

î/‘8- J

+    oł7‘66g

i35,2 -(- pl 64,65

i38,o -f- pl

105.60

140.8    4- pl

361.60

156.8    pl

5o,5o

53,00

55,5o

58,25

x¹ 1

626,4o 4-

626,40 4-

4-⁴+? 4⁸+* z

^4-?

882,40 4-

4- ço‘ig6 —

g3i,o5 4-

93i,o5 4-    4- P xli

X lX

126,40

156.8    4- pl 129,60

172.8    4-pZ

58,25

00*19

10

Cl

Cl

<•

‘4-⁶+? x-

t 2

i^o + P L 2 i°9>4 _j_ p

^ + 1 x ’*

^ + Z */■

Ą-Ł x¹ *

l 2

121,6    p

l ”

121,6    p

~ +P- X'*

^ + P X'*

^i⁶4-P x'*

l 2

Z 1X

983,20 -f

983,20 4-

— io38,85 4-

— io38,85 4-

— 1098,00    4"

— 1098,00 4-

— 1098,00    4-

— i458,oo 4-

— i458,oo 4~

— 1842,00 4“

126,4

188,8 4- pl

i75,o5

¹9¹ »6 4- pl

io4,95

207,6 -j- pl

i57,8

210,4 4-pi io5,65

2i3,2 4-pl

4+

162,00

216,0 4- pi 108,35

218,84-pl 166,20

221,6 4-pZ 107,05

224,4 4-pZ

170,4° 227,2 4- pi

554,40

243,2 4-pZ

189,60

243.2    4-pZ

194-4»

259.2    4-pi 189,60

275.2    4-pl

64,00

66,75

69,75

72,5o

7.5,00

77,5o

80,00

82,5o

85,00

87,50

9°,25

90,25

93,00

96,00

CO VJ" V^- VÎ* CO

LO CD

CO

r>

oo oo

CD

CN Cl

CO

CD

LO

VJ

00^

Cl

vj ^

r> <T> O* c© co co i>

CD^

vj vr

oT cd~

L> 00

94,4

95,8

io3,8

Io5,2

106,6

o'goi

109,4

110,8

112,2

113,6

121,6

121,6

129,6

137,6

5 P, + » P₂

6 P, + 8P,

6 P, + 9 P*

*d 01 + ’d 9

6 P, + ii P*

6 P, + 12 P₂

6 Pt -f i3 P*

6 P, + i5 P,

6 P, + 16 P j

7 P* + 16 P,

7 P, 4- 16P,

8 P, 4- 16P1

9 P, 4- 16 Pi

9 P. 4- 17 P«

10 p, -f- 17 p₂

10 P, -f- 18 P₂

10 P, + 19 P₂

10 P, -f 20 P₂

10 P, + 21 P₂

10 P, + 22 P,

10 P, -f- 23 P₂

10 P, + 24 P.

ii P, + 24 P₂

‘d^ + 'dn

12 P, -f- 24 P₂

i3 P, + 24 P₂

NOMBRE

CO

vr

LO CD

18

61

s s <3

CO    Vf

CN    CN

LO    CO

CN    CN

t>    oo

Cl    CN

CD

CN

O -h ciro^l-co co co co co

LO LO CD l>

co CO CO co

Courbes-enveloppes des moments fléchissants. — Les équations de cette courbe peuvent s’établir par l’équation 38 en se servant des tableaux XI, XIV et XV.

Mais ces calculs, encore fort longs, présentent moins d’intérêt pratique dans le cas des ponts-routes, à cause de la moindre importance des surcharges.

Nous croyons, en conséquence, qu’on peut se dispenser de ces calculs, la courbe-enveloppe polygonale pouvant, sans inconvénient, être remplacée par la courbe unique proposée dans le chapitre suivant. Pour l’établissement de cette dernière, la connaissance des moments fléchissants maxima calculés ci-dessus étant suffisante.

Efforts tranchants maxima.

Formules générales. — On a vu dans le chapitre précédent, que l’effort tranchant maximum positif en un point quelconque de la première moitié de la travée s’obtient en distribuant la surcharge dans le tronçon compris entre ce point et l’appui de droite, en laissant libre de toute surcharge le premier tronçon allant de l’appui de gauche au point considéré.

Désignant par a l’abscisse de ce dernier point, la valeur correspondante de l’effort tranchant s’obtient par la formule 30.

C-a) \2 /

n {l — a)

A = -:-- —>-:-

Nous avons vu en outre que, pour une charge II, le maximum de cette expression correspond à la plus petite valeur du moment IfPd'.

Or cette condition se trouve remplie lorsqu’on place les plus fortes charges au point considéré et au voisinage de ce point.

Ainsi dans le cas de ponts-routes, on choisira pour la charge n° 1 placée au point a :

L’essieu d’un des tombereaux du premier convoi.

L’essieu d'arrière du chariot du deuxième convoi ; le dépla-cementdes charges étantsupposés’effectuer de gauche à droite.

Les coefficients numériques des expressions des efforts tranchants sont réunis dans les deux tableaux ci-après.

Le tableau XIV renferme les résultats provenant du passage du premier convoi de tombereaux de 6 t\ le tableau XV renferme les résultats relatifs au passage du deuxième convoi de chariots de 16 t.

L’avant-dernière colonne de ces tableaux donne comme précédemment pour a — o les expressions des efforts tranchants maxima au droit de l’appui de gauche, ce sont également les expressions des réactions maxima de cet appui.

Pour obtenir l’effort tranchant maximum en un point quelconque de la travée, ayant pour l’abscisse il suffit d’ajouter

à l’expression correspondante de cette colonne le terme —

qui complète l'équation 30.

Enfin, dans les applications aux résultats obtenus par ces tableaux, on ajoutera l’effort tranchant provenant de la charge permanente, dont l’expression est indiquée par le dernier terme de la même équation 30.

Tableau XIV. — Efforts tranchants maxima au droit de l’appui de gauche produit par le convoi des tombereaux

de 6 tonnes.

PORTÉES

APPLICABLES

8,00 m

10,75

i3,25

00‘91

18,75

21,25

24,00

EFFORTS TRANCHANTS

MAX IM A

A -n(*~ a) SPd>

TERMES S"Pd'

SYSTÈME DES CHARGES

pour a = o

5,25 m à

5,6o

7,4 —

à 26,75

29,25

32,00

34,75

à 37,25

h 4°,⁰⁰

à 45,25

à 48₅oo

à 5o,75

à 53,25

à 56,oo

à 58,75

à 61,25

à 64,00

à 66,75

à 69,25

à 72,00

à 74,75

VALEURS

NUMÉRIQUES

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

POIDS TOTAL

II

COMPOSITION

NOMBRE

°9 '9

8 Pj

P, + ² Pj

co

8,00

53,6o

i3,4

53,60

8 Pj 4-SPj

2 P₄ + 2 P2

*<r

10,75

i3,25

oo‘gi

18,70

21,25

24,00

26,75

29,25

32,00

34,75

37,25

4o,00

42,75

45,25

48,00

50,75

53,25

56,00

58,75

6i,25

64,00

66,75

69,25

72,00

çsi‘19

»4,i —

6l,125

8 Pj 4“ l8,75 Pj

‘d£+'d5

iO

7°,4°

166,40

179,525

194,4°

338,40

337,125

377,6o

669,60

593,925

620,00

860,00

889,925

921,60

1209,60

1240,125

1282,40

oÿ‘ nsgi

165g,525

1702,40

2086,40

2133,125

2180,20

2652,20

i4,8-

20,8 —

21,5

22,2 —

28,9 —

— g‘6c

35,6

36,3 -

37,0 —

43,0 4-

43,7 +

44,4 —

5o,4 +

5i ,8 -

57,8-

58,5 —

59,2

— G‘çg

60,9 —

66,6 —

72,6

7°, 4o

8 Pj 4" 32,oo Pj

166,40

179, 520

194,40

338,40

337, 125

377,60

°9 ‘69S

593,925

620,00

00 ‘098

889,925

921,60

1209,60

1245,125

1282,40

1621,40

1659,525

1702,40

2086,40

2133,125

2180,20

2652,20

24 Pj 4-32,00 Pj

24 Pi 4“ 5o,75 Pj

²4 Pj 4" 72,00 Pj

48 Pj 4- 72,00 Pj

48 P, 4- 98,75 Pj

48 Pj 4* 128,00 Pj

80 Pj + 128,00 Pj

80 P₄ -}■ 162,75 P₈

80 P, + 200,00 P,

120 P, -J- 200,00 Ps

120 P, 4" 24²,75 Ps

120 P, -(- 288,00 Pâ

168 P, -J- ²88,co P»

168 P, + 338,75 P.

168 P, -{■ 392,00 p„

224 P, + 392,00 Pj

224 Pj + 460,75 Pj

224 Pj + 5l2,00 Pâ

288 P, -J- 5l2,0O P2

288 P, -f- 578,70 P»

288 Pj + 646,00 P₂

36o P₄ -f- 646,00 Ps

co co

3Pi + 4I\

co

Cl

22,2

28,2

28,9

29,6

35,6

36,3

37,0

43,0

43,7

44)4

5o, 4

5i, 1

8‘T9

5₇,8

58,5

ci

cri irT

C4    CO

irT    co*'

co

3 P, + 5 P ₂

3 P, + 6 P,

*d 9 + *d ï

*d ^ + łd £

4 P₄+8P*

5 P,+8P,

5P.+9P.

5 P₄+ 10 P,

6 P, + 10 P,

*d ï t + 'd 9

6 Pj + ¹² P*

7 Pi + 12 Ps

7Pi+i3P,

7 Pi+ 14 P*

8 P, + i 4 P*

8 P, + i5 P*

*d 9T 4" ’d 8

M9¹ + łd 6

9 Pi + 17 P*

00

<D

Cl co

co    co cn o

ci    co    v-3-    lO

O    CN    Cl    d

CO

Cl

■-

9 pi + i3P₂

10 Pj + 18 Ps

r-    co

Cl    Cl

53

CB

<Z3

a

TJ

PORTÉES

• p-H

APPLICABLES

74 >7⁵ à 77,²'0

77,25 à 80,00

80,00 à 82,75

82,75 à 85,25

85,25 à 88,00

88,00 à 90,75

90,75 à 93,25

g3,25 à 96,00 96,00 à 98,75

98,70 à 101,25

cj

Ph

.'S

TJ

î-l

Ph

r—H

EFFORTS TRANCHANTS

MAXIMA

n (/ — a) SPdr

pour a = 0

2664,525

73,3 -

2718,60

— o‘j/i

3198,60

3256,525

33i6,20

3844,20

3907,7^0

3973,oo

4549,°o

4618,125

80,0 —

80,7 —

— ^li8

87,4 —

88,1 -

88,8 —

94,8-

95,5

ào

P3

s-a

P-

Ph

VALEURS

NUMÉRIQUES

2664,525

2718,60

3198,60

3206,525

33i6, 20

3844,20

3907,725

3973,00 .

4549,00

4618,125

•geo

_ p -P ro

S-

TERMES

i

ci

es

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

36o P* + 720,75 P₂

36o P, + 798,00 P₂

44o P, + 798,00 Ps

44« Pi + 880,75 p₂

44o Pi + 966,00 P₂

528 P, + 966,00 P.

528 P, + io56,₇5 P₂

*d 00‘oçit + »<j geç

624 P, + n5o,oo P₂

62/, P, + 1248,75 P.

xn

es

-P

«3

ta

ki

SYSTEME DES CHARGES

POIDS TOTAL

en

80, o

80,7

8i,4

87,4

88,i

88,8

94-8

95,5

COMPOSITION

10 P, + 19 P*

10 P, +20 P,

XI P₄ +2oP₂

11 P, +21 P₂

1¹ P, + 22 Pj

12 P, + 22 P₂

12 P, + 23 Ps

12 P, +24 P.

i3 P, + 24 P*

i3 P, +a5P,

«o

NOMBRE

—    es    en    v-r

co    co    co    en    en

r> CO CO CO CO

Tableau XV.— Efforts tranchants maxima au droit de l’appui de gauche produits par le convoi de chariots de 16 tonnes.

PORTÉES

APPLICABLES

8,25 m

5,75 m à

à 10,76

i3,25

oo'gi

19,00

21.75

24,26

26,75

29,25

32,00

à 35,oo

EFFORTS TRANCHANTS

MAXIMA

A — n(Z~a) _ SiPrf>

pour a = 0

32,o5

i7>4-

TERMES SVPd'

SYSTÈMES DES CHARGES

VALEURS

NUMÉRIQUES

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

POIDS TOTAL

COMPOSITION

NOMBRE

32, o5

⁵d + *d €

17,4

2 P, + P*

8,26

43,6o

18,8 —

43,6o

3 P, -j- 14,00 P.

18,8

2 Pi + 2 Ps

10,76

58,65

20,2 —

58,65

3 P| + 24,75 Ps

'20,2

2 Pi + 3 P₈

i3,25

l6,00

19,00

21,75

24,25

26,76

29,25

32,00

77,20

21,6 —

77,20

3 P, + 38,00 P,

21,6

2 P, + 4 Pi

oc'çoc

29,6 —

2o5,20

19 P, + 38,oo Ps

29,6

3 P, + 4 P*

357,20

37,6 —

357,20

38 P, + 38,oo P,

37,6

4 Pi + 4 P.

387,65

3g,o -

38₇,65

38 P, + 59,75 Pj

3g,o

4 Pi + 5 Ps

421,60

4o,4—

421,60

38 P, + 84,00 P.

4o,4

4 P« + 6 P,

10

4⁵9>°⁵

4u8-

45g,o5

38 P, -}- 110,75 P,

4i,8

4 P. + 7 P*

5oo,oo

756,oo

43,2 —

51,2 —

00 £ooç

756,00

38 P₄ -j- 140,00 Pt

70 P, -f- î^o,co P*

43,2

4 P. + s P,

5i, 2

5 P, + 8 P,

i3

Tableau XV. — Efforts tranchants maxima au droit de l’appui de gauche produits parle convoi de chariots de 16 tonnes.

PORTÉES

APPLICABLES

à 37,75

à 4°, ²5

à 42,75

à 45,25

à 48,00

oo'tç u

à 53,₇5

à 56,25

à 58,75

à 61,25

à 64,00

à 67,00

à 69,75

ÇU'sZ, V

à 74.75

à 77,25

à 80 ,oo

à 83,oo

à 85,75

à 88,25 à 90,75

à 93,25

à 96,00

à 99,00

à 101,75

EFFORTS TRANCHANTS

MAX IM A

II (/ — a) 2”Pd'

TERMES S"Pd'

SYSTEMES DES CHARGES

pour a — 0

35,oo

37,75

40,25

42,75

45,25

48,oo

oo'rç

53,75

56,25

58,75

6i,25

64,00

67,00

69,75

72,25

74,75

77,25

80,00

83,oo

85,75

88,25

9«, 7⁵

93,25

96,00

oo‘66

io36,oo

1088,85

1145,20

i2o5,o5

1268,40

i652,4o

5g,2 —

60,6 —

62,0 —

63,4 —

64,8-

72,8— -

oÿ'ogos

2i35,65

2214,40

2295,60

2382,40

2894,40

343o,oo

3528,o5

3629,20

3735,85

3842,00

4482,00

5i46,oo

5266,o5

5389,60

55i6,65

5647,20

64i5,2o

80,8 —

82,2 —

83,6-

85,o —

86,4-94,4 —

102,4

io3,8 —

1o5,2 —

106,6 —

— o'goi

116,0 —

124,0 —

125,4 —

126,8 —

128,2 —

129,6 —

137,6 —

oz‘LozL — 9‘Sÿï

VALEURS

NUMÉRIQUES

EXPRESSIONS GÉNÉRALES

POIDS TOTAL

COMPOSITION

NOMBRE

io36,00

⁸d oo'oÿi -f- ł<j çoi

59,2

6 P, + 8 P₂

1088,85

ii45,20

i2o5,o5

1268+0

1652,40

oÿ ‘090s

2i35,65

2214,4°

2295,60

2382,40

2894,40

343o,00

3528,o5

3629,20

3735,85

3842,00

4482,00

5146,00

5266,o5

5389,60

5316,65

5647,20

6415,20

7207,20

io5 P, + 177.75 P₂

io5 P, -j- 218,00 P₂

io5 Pj -f- 260,75 P₂

io5 P₄ -j- 3o6,oo P₂

i53 P, + 3o6,oo P₂

204 P₄ -f- 3o6,oo P₂

204 P, + 359,75 P₂

*d 00‘gił/ -f f<j t/0C

204 P, -f 474,00 P*

204 Pi + 536,oo P,

268 P, -J- 536,oo Pt

335 P, + 536,oo P,

335 P, + 6o5,75 P₂

335 P, + 678,00 P₂

335 P, 752,75 P₂

335 P, + 83o,oo P₂

415 Pi -j- 83o,oo P₂

4g8 P, + 83o,oo P₂

498 Pt +910,75 P₂

498 Pi -f- 1004,00 P₂

498 P₄ + 1094,75 P₂

498 Pi -J- 1188,00 P₂

5g4 Pi + ¹188,00 P₂

693 P, -f- 1188,00 P₂

60,6

'd H 'd 9

^1" O

*<j-    00 co 00

CS    co    vrf    cT O

co    co    co    r> co

CS    CO

eT    en    *rf

00    co    co

■<cr

crT v-f CO    05

102,4

io3,8

io5,2

106,6

108,0

116,0

124,0

125,4

126,8

128,2

129,6

137,6

140,6

6 Pi -f- 10 P₂

*d ¹¹ + 'd 9

6 P, + 12 P*

7 P. + 12 P₂

8 P, + 12 P₂

8 P, + i3 P₂

8 P, + i4 P*

8 Pi + i5 P,

8 P, + 16 P₂

9 P₄ + 16 P₂

10 P, + 16 P₂

10 P, + 17 P₂

10 P, -f 18 P₂

10 P₄ -f- 18 P₂

10 P₄ + 19 P₂

II P) + 20 P₈

12 P₄ + 20 P*

12 P, + 21 P₂

12 P, + 22 P₂

12 P₄ + 23 P₂

12 Pi + 24 P₂

13 P, + ²4 P,

l4 Pi + ²4 Pa

co

oo os o

«-<    rH    »-<    CS

S S ÏI

m

CS CS

CO    CO Ci O

^ CS ^ CS CO

cs co    m

CO CO co CO co

CO l> CO co co co

IV. — COURBES-ENVELOPPES APPROXIMATIVES

Courbes-enveloppes des moments fléchissants

La détermination de la courbe-enveloppe des moments Hérissants est indispensable pour déterminer la longueur des feuilles de tôle formant les semelles additionnelles de la poutre.

Les équations des éléments de cette courbe, contenues dans les tableaux V et VI permettent d’obtenir ces longueurs d’une manière exacte, par la résolution d’une série d’équations du 2° degré.

Mais comme la formation de ces équations et leur application est encore longue, à cause de la multiplicité des éléments de la courbe pour les grandes et même moyennes portées, nous proposons de substituer au polygone curviligne une courbe-enveloppe approximative formée de la manière suivante.

Pour les poutres à une travée, cette courbe est une parabole à axe vertical, passant par l'origine, et par ïextrémité de i'ordonnée représentant le moment fléchissant maximum.

Ce moment maximum est placé à la distance x' de l’origine pour tous les cas où S est négatif.

Au contraire, pour tous les cas où B est positif, c’est-à-dire lorsque le moment fléchissant maximum se trouve dans la deuxième moitié de la portée, on prendra pour cette distance la quantité l — x'.

Les avantages de la nouvelle courbe peuvent se résumer de la manière suivante.

Les calculs et la construction de la courbe sont notablement simplifiés.

Le moment fléchissant maximum conserve sa valeur déterminée d’après les surcharges réelles.

Enfin, la longueur des semelles additionnelles est sensiblement la même que dans le cas du polygone curviligne.

En comparant les deux courbes on remarque, qu’au sommet commun la courbure de la nouvelle parabole est plus pe-

COURBES-ENVELOPPES APPROXIMATIVES

143

tite que celle de la courbe n° k ; les ordonnées de cette parabole sont donc supérieures auxordonnées de laligne polygonale dans la partie centrale de la portée.

Vers les appuis les deux courbes se rencontrent ; dans les tronçons compris entre les points d’intersection et les appuis, les ordonnées du polygone curviligne sont légèrement supérieures à celles de la courbe approximative. Ainsi la nouvelle parabole n’enveloppe les moments fléchissants que dans la partie centrale de la portée comprise entre les points d’intersection.

Dans les tronçons extrêmes où les premiers éléments de la courbe polygonale se trouvent en dehors de la nouvelle parabole, le moment résistant de la section minima de la poutre ne comportant qu’une seule semelle en haut et en bas, dépasse les ordonnées des points d’intersection, cet excès n’a pas d’influence sur la résistance de la poutre.

Au-dessus de cette section minima, les ordonnées de deux courbes tendent à se confondre, à mesure qu'on se rapproche de l’abscisse x' et que le nombre de charges augmente.

Dans les cas où l’ordonnée du moment résistant avec une semelle «Wt>, se trouve inférieure à celle des points d’intersection, les différences entre les abscisses de deux courbes correspondant à la même, ordonnée sont compensées par le surcroît de la longueur qu’on donne toujours aux semelles additionnelles sous le nom de recouvrement. De cette manière, la semelle additionnelle forme corps avec la poutre au point de passage de la courbe-enveloppe des moments fléchissants, et par suite l’augmentation du travail à la flexion en ce point n’est plus à craindre.

Equation générale. — L’équation de la courbe proposée s’établit de la manière suivante.

Considérons l’équation d’une parabole à axe vertical sous la forme générale.

y = Ax Bæ² -J- C ;

et cherchons à déterminer les coefficients A, B et C de la manière à satisfaire à l’énoncé ci-dessus.

La courbe passant par l’origine, on a pour x~=. o, y — o; donc le terme indépendant C = o, et l'équation ci-dessus devient

y — kx -f- Ba:*.

Ensuite pour x = x' l’ordonnée y représentant le moment fléchissant M', nous avons

y = ML

Enfin le sommet de la parabole correspondant à l’abscisse x', la dérivée de son équation par rapport à la variable x est nulle.

dM dx

De ces conditions résultent les deux relations suivantes :

M'= kx' -f- Ba/*

O — k    2 üx'

lesquelles, résolues, donnent pour les coefficients A et B des valeurs suivantes.

x’

M'

On obtient par la substitution, l’équation suivante de la courbe-enveloppe approximative

(41)

On voit que cette courbe est exprimée uniquement en fonction de l’abscisse^' et du moment maximum M' ; par conséquent, elle peut se calculer dans chaque cas particulier à l’aide des tableaux II, III et IY d’une part, et par les tableaux XII et XIII d’autre part.

Mais on peut même être dispensé de faire ces calculs.

En effet, ce qui est nécessaire dans le calcul de résistance d’une poutre, ce n’est pas le tracé de la courbe-enveloppe,

mais la détermination de la longueur des semelles additionnelles.

Or, la formule (46) que nous donnons ci-après, permettant d’obtenir directement les abscisses des points d’intersection de la courbe avec les lignes des moments résistants, on utilisera ces points, lesquels, avec les points à l’origine et au sommet, donneront le tracé exact de la courbe.

Calcul de la longueur des semelles additionnelles. — Les équations générales des moments fléchissants, ou celles de leur courbe-enveloppe approximative, combinées avec les moments résistants de diverses sections de la poutre, permettent d’obtenir par le calcul, avec l’approximation voulue, les longueurs correspondantes des tôles formant les semelles additionnelles.

Cette longueur se calcule de manière que le contour représentatif des moments résistants, calculé pour un travail donné, présente, en chaque point de la portée, les ordonnées supérieures à celles de la courbe des moments fléchissants.

Pour arriver à ce résultat, on détermine d’abord les longueurs des cordes paraboliques),comprises, chacune, entre les deux points d’intersection de la courbe des moments fléchissants avec la ligne horizontale représentant le moment résistant correspondant.

Cette longueur augmentée ensuite d’une certaine quantité, pour assurer le recouvrement, constitue la longueur totale de la semelle.

La longueur des recouvrements doit être telle, que la section des rivets soit équivalente à celle de la semelle, pour les poutres à âme pleine; elle est donc de 0,20 m à 0,30 m de chaque côté de la semelle.

Pour les poutres à treillis, le recouvrement doit être prolongé jusqu’à l’axe du montant ou du croisement de deux barres de treillis.

Les expressions simples des longueurs a, auxquelles nous

sommes arrivés, permettent de résoudre la question dans tous les cas qui peuvent se présenter.

Nous donnons, ci-après, ies expressions qui s’appliquent au cas de la charge uniformément répartie, et au cas des surcharges isolées.

1er cas. — Surcharge uniformément répartie sur toute la longueur de la tracée. — Désignons par M'le moment fléchissant maximum, et par tltb le moment résistant pour lequel on cherche les points d’intersection avec la courbe des moments.

JT⁻

f—

'.W

II—

Fig. 9.

surcharges considérées, s’ex-

aux

Pour les poutres à une travée, la longueur de la corde parabolique X, correspondant prime par la formule suivante (fig. 9) :

(42)

La démonstration de cette formule se trouve a la page 54 de notre brochure sur les moments d’inertie (1).

Dans le cas des poutres à plusieurs travées, la longueur X se détermine en résolvant l’équation du 2° degré de la page 55 de la brochure citée :

px* — 2A/cÆ — 2(Mâ ± Jllo) = O.

(1) Expressions analytiques et tables des moments d inertie et des moments résistants. Chez M. Baudry etCie, éditeurs.

Toutefois, dans le tronçon central de chaque travée, on pourra employer la formule (42) en y remplaçant l par 2xs

(43)

* / JUta

2X8 V¹ ~M^s •

Nous désignons par xn l’abscisse correspondant au moment fléchissant maximum MXt qui se trouve dans le tronçon central de la travée.

2e cas. — Surcharges mobiles. Le contour des moments fléchissants est limité par la courbe polygonale. — Dans le cas des surcharges mobiles, la longueur de la corde parabolique s’exprime par la différence

(44)

\ — l— O.X .

Ci

xa représentant l’abscisse du point d’intersection de l’élément de la courbe-enveloppe des moments fléchissants avec la ligne horizontale représentant le moment «Jlb (lig. 10).

____Ł-

•Y * *

M’

h*

Fig. 10.

L’équation de l’élément de la courbe-enveloppe est, en général, en supprimant les indices :

9-CK)--

SPd — SPd'

M=-spd+^n +

au moment résistant Jb. On a donc, pour déterminer l’abscisse cherchée, l’équation suivante à résoudre :

+ —J x— f XPct-f-Jlfbj — o.

Tous les termes de cette équation sont connus par le calcul préalable. Sa formation ne présente donc pas de difficulté.

Pour simplifier les calculs, on divise tous les termes de cette équation par le coefficient de x¹. L’équation à résoudre devient dans ce cas :

(45)

SP d - SPoi'

pi

RJ «

La plus petite racine de cette équation donnera l’abscisse pour tous les cas où l’élément considéré de la courbe se trouve dans la première moitié de la portée.

Au contraire, lorsque l’élément de la courbe se trouve dans la deuxième moitié de la portée, on prendra, pour l’abscisse cherchée, la différence

xb !

Xb représentant la plus grande racine de la dernière équation.

3° cas. — Surcharges mobiles. Le contour des moments fléchissants est représenté par la courbe-enveloppe approximative. — Dans ce cas, les opérations se simplifient notablement. Ainsi, l’équation (41) permet d’obtenir une formule simple, analogue à celle (42) pour calculer les longueurs \.

Cette longueur est égale, comme précédemment, à la différence (fig. 11):

\ — l — IX .

a

xa représentant l’abscisse du point d’intersection de la courbe-enveloppe avec la ligne horizontale représentant le moment résistant correspondant Mo.

Pour obtenir cette abscisse, remarquons qu’au point d’intersection, l’ordonnée de la courbe-enveloppe est égale à celle de la ligne horizontale, représentant le moment résistant M ; on aura donc l’équation suivante à résoudre :

M' aM'

—»æ*--J x—Mo = o.

X    x’

D’où, en résolvant

aM' ₊

X.'

V x'*

4M'Jllb

x's

M'

Divisant le numérateur et le dénominateur de cette expres-

2 M'

sion par le facteur commun f— , et en remarquant que le pre-

XA

æ’

30'

va

- -Jfc-

L-jc’

•->!

Fig. il.

rnier point d’intersection correspondant à la plus petite racine, qui résout la question, nous avons :

-2X

“• = (■ - V^*)

Et, par suite :

(46)

'-(■WW

2.r'.

mum se trouve dans la deuxième moitié de la portée, on doit remplacer l’abscisse x' par la distance complémentaire / —x (fig. 11, deuxième moitié).

b) Ligne-enveloppe des efforts tranchants.

Après avoir indiqué, dans le chapitre Ier, la formation de la ligne-enveloppe exacte des efforts tranchants, nous allons terminer ce chapitre par l’indication de la ligne-enveloppe approximative, pouvant être calculée plus rapidement, et s’appliquer dans beaucoup de cas dans la pratique.

La ligne-enveloppe approximative des efforts tranchants est une ligne droite passant par les deux points : l'un placé à l'origine, et l'autre au milieu de la portée ; les ordonnées, en ces points, indiquant les efforts tranchants maxima.

Formule générale. — Soit l’équation générale d’une ligne droite, en prenant l’appui de gauche pour l'origine :

y = A -j- B#.

Pour x — o, l’ordonnée doit représenter l’effort tranchant maximum sur l’appui A₀; et pour x , cette ordonnée doit

être égale à l’effort tranchant au milieu de la portée A i. Nous avons donc deux relations suivantes :

A = A₀

A l A o -f- Bæ

La dernière relation nous donne

2 (A₀ — Al)

Et l’équation de la ligne enveloppe approximative des efforts tranchants A se présentera sous la forme suivante :

y = K— A° —

Le calcul de cette formule, dans chaque cas particulier, se

(47)

2 (A₀ — A 0 2

fait sans difficulté à l’aide des tableaux VII, VIII et IX pour les poutres supportant les voies ferrées, et par les tableaux XIV et XV pour les poutres supportant les voies de terre.

Les résultats obtenus par la formule approximative sont légèrement supérieurs en tous points de la portée aux résultats exacts, sauf pour les deux points extrêmes, pour lesquels les ordonnées, calculées par les deux méthodes, sont identiques.

On pourra, du reste, apprécier les différences pour l’exemple numérique que nous donnons à la fin du chapitre suivant.

V. — EXEMPLE COMPARATIF

Ce chapitre a pour but de donner les détails de l’application, à un exemple numérique des tableaux et des formules développées dans cette partie. Il comprend par suite la détermination des courbes-enveloppes des moments fléchissants et des efforts tranchants par la méthode exacte et par la méthode approximative. On pourra donc comparer les résultats obtenus par les deux méthodes.

Comme exemple, nous avons pris la poutre d’un viaduc à une voie de 28 m d’ouverture et de 29 m de portée.

Pour cette dernière, les calculs des moments par la méthode exacte sont plus compliqués, àcause de la position du moment fléchissant maximum qui se trouve dans la deuxième moitié de la portée.

Les surchages sont celles du train théorique adopté par la Compagnie des Chemins de fer de l’Ouest.

Les données principales de l’exemple numérique sont donc les suivantes :

Portée. — La portée comptée entre les centres des appuis

est

/— 29 m

p— 1 600 kg

Charges. — La charge permanente par mètre courant de poutre est..............

La surcharge correspondantàlademi-voieest: Pour les roues des machines —    tenders .

Pi = 7 500 kg P₂ = 6 500 kg

Nombre des charges. — Le nombre des charges du train, qui se trouvent sur le viaduc dans la position initiale, comportant la charge n° 1 (fig. 3, page 75) au droit de l’appui de gauche, se détermine tout d’abord par le tableau VIII.

En effet, la dernière colonne de ce tableau montre que la portée donnée de 29m se trouve comprise entre 26m et29,50m. Or, pour cette série de portées, la première colonne de ce tableau indique douze charges.

Nous avons en conséquence pour la position initiale un système de douze charges à considérer. Ce système, conformément à l’indication de la deuxième colonne de ce tableau, se compose de huit roues de machines et de quatre roues de tenders.

8P1 +4 Pî-

Avec ces données, nous allons calculer les courbes-enveloppes des efforts maxima.

a) Courbes-enveloppes des moments fléchissants. Calcul par la méthode exacte.

Moment fléchissant maximum. — La dernière colonne du tableau III indique que la portée de 29 m se trouvant comprise entre 27,06 m et 31,94 m, le moment fléchissant maximum est produit par un système de douze charges de même composition que dans la position initiale.

La troisième colonne du tableau III indique que ce moment maximum se produit au droit de l’essieu n° 7, lorsque celui-ci se trouve au point ayant pour l'abscisse x' la valeur suivante donnée parla formule de la cinquième colonne de ce tableau.

x' =

3_ +

3o4,o.

== 15,89 m.

Le moment fléchissant maximum se trouve donc dans la

deuxième moitié de ia portée. Cette constatation nous sera utile pour composer les éléments de la courbe-enveloppe.

La valeur numérique de ce moment, calculée par la formule de la sixième colonne du tableau III, est la suivante :

86,000

w l'a

M'=— 48i,o5o + ^

= 469,835.

Premier déplacement du train. — La longueur du train composé de douze charges, comptée entre les essieux extrêmes, est :

D = 26,00 m.

Lorsque le tram se déplace de gauche à droite, entre la position initiale indiquée ci-dessus, et la position finale, où l’essieu n° 12, atteint sans le dépasser l’appui de droite, la longueur des courbes des moments fléchissants, correspondant au déplacement de chaque essieu, sera :

l — D = 29,00 m — 26,00 = 3,oo.

Examinons les diverses courbes de ce déplacement.

Composition de la courbe-enveloppe. — Tous les arcs correspondant au premier déplacement du train, n’entrent pas dans la composition de la courbe-enveloppe. On doit d’abord en exclure tous ceux qui se trouvent en dehors des abscisses limites des éléments de la courbe données par la formule (2b) ou par l’avant-dernière colonne du tableau VI.

Ensuite, le moment fléchissant maximum ayant lieu dans la deuxième moitié de la portée, les éléments de la courbe-enveloppe dans la partie centrale de la portée seront formés par les plus fortes charges situées dans cette région, soit par les charges nos 7,8, 9.... Il est donc inutile de calculer les éléments correspondants de la première moitié, relatifs aux charges n° 5 et 6.

Dans le premier tronçon de la travée, en partant de l'origine, les éléments de la courbe-enveloppe correspondent toujours au déplacement des charges nos 1, 2, 3. ...

En réunissant sur la même moitié de la portée les deux

parties de la courbe-enveloppe, et en établissant l’ordonnée commune de leur point d’intervention, on obtiendra le contour complet de cette courbe dans la partie considérée. Ce contour se reproduira symétriquement par rapport au milieu de la portée dans la partie restante de la poutre.

Prenons maintenant dans le tableau VI les formules correspondant aux douze charges, et calculons d’abord les abscisses des points d’intersection des éléments successifs.

En comparant ces abscisses avec l’emplacement des courbes pendant le premier déplacement du train, nous arrivons aux résultats suivants :

NUMÉROS

LONGUEUR

ABSCISSES

LONGUEUR

DES

ET EMPLACEMENT

LIMITES DES ÉLÉMENTS

UTILE

COURBES

DES COURBES

DES COURBES

o a 3,oo m 1,20 à 4,20 2,40 à 5,4o

3,6o à 6,60

i5,3o à 18,3o m 16,5o à 19,5o 17,70 à 20,70

xt — 2,53 m xt = 5,o6 xa — 5,o6 Xz —    7,59

Recouverte par la courbe n° 8 — par la courbe n° 7 x₇ zz 17,03 to x, zz 17,03 æ₈ = 19,56

2,53 m

v-T

«    "1 o

1,73 m

2,47

i.«4

II résulte, de ce tableau, que la courbe-enveloppe sera formée des éléments nos 1,2 et 3, dans la première moitié de la portée, et des éléments nos 7, 8 et 9 dans la deuxième moitié.

Dans le premier déplacement du train, les éléments n° 1 et n° 7 de la courbe-enveloppe sont entièrement formés; pour l’élément n° 8, il ne manque qu’une longueur de 0,06 m pour atteindre l’abscisse xa ; et, enfin, les éléments restants, nos 2, 3 et 9 ne sont formés que sur une partie de leur longueur.

Pour compléter ces derniers éléments, un deuxième dépla-

cernent du train est nécessaire; le train, dans ce déplacement, n’aura que dl charges, et son parcours aura lieu sur une longueur de 2,SO m, comprise entre les apparitions successives sur l’appui de droite des charges nos 12 et 11.

La composition de la courbe-enveloppe étant ainsi déterminée, nous allons calculer les équations de ses éléments d’après les formules du tableau YI, qui correspondent aux 12 et 11 charges.

Les équations des courbes nos 8 et 9, qui ne se trouvent pas dans ce tableau, se calculent, sans difficulté, à l’aide du tableau I et de la formule (37).

Ainsi, les premiers termes de ces équations, d’après le tableau 1, sont les suivants :

Pour lacourbe n° 8 :

2 g PcZ = 541,65o

Pour la courbe n° 9 :

2₉ Pc? = 611,200.

Le deuxième terme du coefficient d’x, calculé par la formule (37), présente les valeurs suivantes :

Pour la courbe n° 8 :

1    12

2g Pd— 2g" Pc?'z=IIc?₈ — Ug= 1419,0 —1011,6 =4°7>4

Pour la courbe n° 9 1    12

2₉Pc?— 2g Pc?' = IIrf₉—11,9=1522,2—1011,6 = 5i 0,6.

Par suite, les deux équations se présenteront sous la forme suivante :

Equation (8)

402*0,.^6ooo+ y,

w ns

(M)    — —54i)65o -j- ^86,000 -f

Equation (9)

6Ii,»o ₊ (₈3,ooo₊⁵-^⁶⁰⁰

-f- X — ^86,000 -f-    x*.

Les équations des courbes nos 2 et 3, relatives au deuxième

déplacement du train, se calculent par les formules du tableau VI, correspondant à 11 charges.

L’équation de la courbe n° 9 (en négligeant celle de la courbe n° 8), se calcule de la même manière que dans le cas précédent.

Le premier terme de cette équation restant le même que pour la courbe n° 9 ci-dessus, le terme restant, calculé par la formule (37), est, pour d₉ = 17*70 et II₉ =79,50 t :

X* Pd — Sg* Prf' = nrf₉ — Il<7 = 1407,15 — 842,60 = 564,55

L’équation (9) correspondant à 11 charges prendra, en conséquence, la forme suivante :

= — 611,25o-f- ^79,5oo -f-

Réunissant les équations obtenues, et effectuant les calculs, nous obtenons les équations suivantes des éléments successifs de la courbe-enveloppe :

Courbe ?i° 1.

101X,600 pl\    (86,000

1    ^~JX~ \~1

-f- - j #² = 74,317 ® — 3,766 x*

86,000

<<'=(

xt — 0,0872 l = 2,53 m. Mt27j = 163,916.

Courbe n° 3.

(M)

4,20

x,

9,000 + (

908,400 , pi\ (

'    + r)—(

86,000

= — 9)Ooo -f- 77,877 x — 3,766 æ2 Pour #, = 2,53 m

M#, = 163,920 Pour #=4)20 m M 4,2 0

86,000

x*

= 25i,648.

Courbe n° 2bis.

(M)** =

4,20

9,000 -f- ^79,500

747,200 j pt^ x _ ^79,500 ₊ py₃

= — 9,000-f- 76,935#-3,54l4**-

Pour x = 4)20 m

M4,20 - 25i,657 Pour xt = 0,1744    5,o6 m

M#, = 271,618.

Courbe n° 3.

(M)

S, 40

8o5.2oo

x,

— 27,000 + ^86,000

=— 27,000 -f- 81,434 — 3,766 a?²

Pour xt — 5,o6 m

Mæ* = 288,633 Pour x = 5,4o m M 5.4 0

= 302,927.

Courbe n° 3bis.

7,0

(M)

S, 40

— 27,000+^79,500

65i,8oo

= — 27,000 + 80,224 X — 3,54i4 X*. Pour x = 5,4o m

M 5,4 0

Pour x = 6,55 m M 6,5 5

+ t)-(B7=+S)-

= 302,942

= 346,532.

Courbe n° 7.

(M)

i»

48i,o5o + ^86,000 +

3o4,200 , pl\ / 2 )X~\

86,000

+ ï)**

= —48i»o5o + 119,690 x — 3,766 x2 Pour x' = 10,89 m Mæ' = 469,839

Pour x-, = 0,5872 l = 17,o3 m M*, = 465,o52.

Courbe n° 8.

(M) 19,50

Xt

54i,65o+ ^86,000 +

407,400 pl\ /

+ î)x-\

,/86,ooo

m ns

= — 541,¹65o + 123,25o x — 3,766 xi x₁ = 17,02 m Mx, = 465,079

x = 19,50. M19go = 429,702.

Courbe n° 9.

20,70

(M)

6ii,25o+ ^86,000 +

5io,6oo , pl\ (\

86,000

+D-

= —6ll,25o + 126,80707 — 3,766

xB — 0,6744 l — 19,56 m Mæg = 426,247

07 = 20,70. M20f70 = 399,961.

Courbe ti° 9è+

(M)

23,20

20,70

^79,5°° 4

= — 6l I,25o +

= — 6ii,25o +122,167 x — 3,54i4x* M«0,70 = 4oo,1 52

^22,45 =346,534.

x— 20,70 X = 22,45

564,55o ₊ Pj^x_ ^79.5o° ₊ P'^ x2

La dernière abscisse x — 22,45 m désigne le point d’intersection de la courbe n° 9 bis avec celle n° 3 bis rabattue sur la 2e moitié de l'épure. Elle est obtenue en égalant les équations de ces courbes, après avoir remplacé dans la courbe n° 3 bis x par l— x. On obtient ainsi l’équation suivante :

—    61 I,25o 4- 122,167 X- 3,54l4 x* + 27,000

—    80,224 [l — x) 4- 3,54l4 (1 — x)² — ⁰

Soit en effectuant les calculs

D’où

67,571 — 3,OIO X — O

— 22, 5 m.

67,571 x~ 3,010

L’abscisse correspondant de la courbe n° 3 bis indiquée plus haut est

l — x — 29,00 — 22.45 = 6m,55.

Les moments fléchissants aux points d’intersection des courbes doivent être les mêmes pour les deux équations. Les différences constatées dans les tableaux ci-dessus proviennent de la suppression des décimales; elles peuvent être considérées comme négligeables.

Les courbes, et leurs abscisses limites que nous venons d calculer sont représentées graphiquement par des lignes pleines, sur la planche, figure 1. Nous avons rabattu sur la 2e moitié de la portée les trois premiers éléments de la courbe-enveloppe.

Le contour des moments fléchissants ainsi établi sur l’une des moitiés de la poutre, et se reproduisant symétriquement sur l’autre moitié, nous servira pour déterminer la longueur des semelles additionnelles.

Calcul de la longueur des semelles additionnelles. — La section transversale de la poutre est représentée par la figure 3 de la planche. Les semelles sont formées successivement de 1,2,3 et 4 feuilles de tôles de 420/10. Les moments d'inertie de ces sections sont les suivants :

Sećtion avec 1 semelle. —    2 semelles

. L = 0,062 472 804.

. it = 0,079 466 664* . I₃ = 0,09b 665 55o. . 1* = 0,114 101 677.

Et, par suite, les moments résistants Jt> — — calculés pour le

RI

v

travail R — 6 500 000.

Pour la section avec 1 semelle —    2 semelles,

Jlto, = 268,812 Jt>. = 339,795 Jbs = 410,671 JL» = 461,098.

Ces moments sont représentés par des lignes horizontales sur l’épure (fig. 1 et 2, pl.). Le dernier moment résistant JUb4 est calculé de manière à dépasser le moment fléchissant maximum.

M' = 469,839.

Ces calculs préliminaires étant faits, la longueur des semelles additionnelles se calcule de la manière suivante :

Longueur de la 2e semelle. — En comparant les moments résistants avec les moments fléchissants représentés sur la figure 1 de la planche, on voit que la ligne du moment résistant Jt>i de la section avec une semelle, rencontre l’élément n° 2 bis de la courbe-enveloppe correspondant au deuxième déplacement du train.

En conséquence, pour obtenir l’abscisse du point d’intersection xay nous avons l’équation suivante à résoudre :

— 9,000 -f- 76,935 X — 3,54l4 æ2 — 268,812.

Pour simplifier les opérations, divisons tous les termes de cette équation par le facteur 3,5414 qui forme le coefficient de x¹. Nous aurons donc, après la réduction.

— £C* + 21,72 X — 7.5,9o56 = O.

La plus petite racine de cette équation donnera l’abscisse xa cherchée.

3e semelle. — En procédant de la même manière, nous remarquons que la ligne horizontale représentant le moment résistant Jt>₂ rencontre l’élément n° 9 bis de la courbe-enveloppe relatif au 2e déplacement du train. L’équation à résoudre sera donc :

— 6ii,25o + 122,167 x— 3,54i4æ® =339,795.

Soit après la réduction :

— Æa -f- 34,5o x — 26,855i = 0.

La plus grande racine de cette équation donnera la différence

¹ - xa

De laquelle on déduira sans difficulté l’abscisse xa correspondante à la 2e semelle.

4e semelle. —Enfin, en comparant la ligne du moment résistant Jf₃ avec les ordonnées des moments fléchissants, 011 voit qu’elle rencontre l’élément n° 9 de la courbe-enveloppe relatif au premier déplacement du train. Nous avons en conséquence l’équation suivante à résoudre :

— 6l 1,200 -f- 126,807 X-3,766 X*Z=. 410,671

Ou bien après la réduction :

— Xt 4-33,67 X— 271,3545 = O.

La plus grande racine de cette équation donnera, comme dans le cas précédent, la différence l — xa, de laquelle on déduira l’abscisse xa servant à calculer la longueur Àde la 4e semelle.

Résolvant les équations formées ci-dessus, et complétant les calculs par l’addition des recouvrements, on trouve successivement les longueurs suivantes des semelles additionnelles.

EQUATIONS A RÉSOUDRE

ABSCISSES

³

LONGUEURS \ = l — 2Xa

RECOUVRE

MENTS

LONGUEUR

TOTALE

3^

2, g5 23,20 i,ï3 17,40

4°

o,58

12,20

La figure 1 de la planche représente les longueurs de 1/2 X dans la 2e moitié de la portée. Les recouvrements un peu grands de la 2e et 3e semelles ont été nécessités par l’obligation de prolonger la semelle additionnelle jusqu’à l’axe du montant suivant, afin d’assurer la résistance suffisante au moment fléchissant ; l’intensité de ce dernier étant constante entre les deux croisements successifs des barres de croisillons.

Tels sont en résumé les calculs à effectuer par la méthode exacte, pour déterminer la résistance de la poutre à la flexion, sous l’action des surcharges roulantes.

Nous allons effectuer des calculs analogues par la méthode approximative.

Calcul par la méthode approximative.

Equation de la courbe-enveloppe. — La méthode approximative de calculer la courbe-enveloppe des moments fléchissants consiste, comme nous l’avons posé dans le chapitre précédent, à substituer à la courbe polygonale, une parabole à axe vertical. Cette parabole étant déterminée de manière à passer par l’origine, et avoir son sommet au même point que le sommet de la courbe n° 7, représentant le moment fléchissant maximum.

La parabole ainsi déterminée se calcule en conséquence par l’équation 41), dans laquelle on remplacerai' par l — x' ; le moment fléchissant dans l’exemple considéré se trouvant dans la 2e moitié de la portée. On aura donc pour M' — 469,839 et l — i' —29,00 m— 15,89 = 13,11 m.

2M'

l-x'X {I

Elle est représentée sur l’épure par des traits interrompus dans la lre moitié de la portée (fig.2 de la planche). Celte ligne rabattue symétriquement sur la 2° moitié montre la différence entre ses ordonnées, et celles de la courbe exacte.

Dans la pratique, la construction de cette courbe est très

M' .    9^9,678    46q,83q „ r    „

—* = Tÿrr¹ - (itTo«*v=7I> 764

il

facile, car on connaît son sommet, le point à l’origine et les points d’intersection avec les lignes horizontales représentant les moments résistants ; ces derniers étant calculés par la formule 45).

Calcul des semelles additionnelles. — La longueur X de la corde parabolique dans le cas de la courbe-enveloppe approximative, se calcule par la formule directe 45).

(    . Jb\ ,,

409,8:39 —Jtlo 469,«39

Attribuant au moment résistant JIL les valeurs de Jltbi Jt>₂ et Jlb₃ calculés précédemment, et effectuant les calculs, on arrive successivement aux résultats suivants :

1 = 1-

— x') — 29,00 m —

("V

^ 26,22 m.

LONGUEURS \

REC0UVREA1ENTS LONGUEUR TOTALE

2e semelle.

3e

i9>9³

16,07

4e

12,09

23,20 j 7,40 12,60

Les longueurs calculées de X et des recouvrements sont représentées sur l’épure dans la lre moitié de la portée (fig., 2 de la planche.

En comparant les résultats obtenus par les deux méthodes, on voit que les longueurs X, calculées par la dernière méthode, sont légèrement supérieures à celles de la méthode précédente, sauf la longueur de X₂ qui en est légèrement inférieure. Ainsi la différence en plus est :

Pour la 4e semelle : 12,09 — 11,02 = 0,47, soit 0,016 l;

3«

: 16,67 — 16,27 = o,3o, soit 0,010 L

La différence en moins pour la 2e semelle est :

2o,25m — 19,93 m =0,32 m, soit 0,011 L

Ces différences ne sont pas excessives.

Dans la partie centrale de la portée, tout en n’entraînant pas une grande augmentation du métal, elles assurent une plus grande résistance à la poutre. Quant à l'insuffisance de la longueur de Xa, elle se trouve compensée et au delà par les recouvrements relativement grands, pour prolonger la semelle jusqu’aux montants suivants.

Ligne-enveloppe des efforts tranchants Calcul par la méthode exacte.

L’effort tranchant maximum ayant lieu, pendant le déplacement du train, au droit de l’essieu n° 1 (fig. 3), sa valeur en un point quelconque de la portée, ayant pour l’abscisse x — a, se calcule par la formule 31).

o. I«

Les limites des éléments correspondant aux apparitions successives des charges n° 12, 11, 10,... sur l’appui de droite, leur longueur aura pour mesure, d’une manière générale :

l — D ;

D étant la longueur du train comptée entre les essieux extrêmes, dans les positions successives, entre la position initiale où l’essieu n° 1 se trouve au droit de l’appui de gauche, et la position finale où cet essieu arrive au milieu de la portée.

Les valeurs numériques des termes de la dernière équation, relatifs à la surcharge, sont donnés directement par le tableau VIII.

On commence par calculer la longueur a et / — a correspondant aux sommets de la ligne-enveloppe.

Ensuite, en comparant les longueurs successives de / — a avec les portées de la dernière colonne du tableau VIII, on trouve sans difficulté les lignes correspondantes de ce tableau qui comprennent ces longueurs.

Chacune de ces lignes indique immédiatement le nombre de charges n, leur poids II, et la valeur numérique du terme 2" Pd'. On pourra donc facilement établir l’équation 31) pour chacun des éléments considérés de la ligne-enveloppe.

En suivant la marche indiquée, nous arrivons aux équations suivanles de cette ligne :

Premier élément de 0 m à 3,00 m. 12 charges.

ioij ,6oo pl /86,ooo    \    , ,    , ' cc

+    ( —--f- P J a =74,317 — 4,566 a

Pour a = o, A = 74,317 — a — 3,oo m, A = 60,619.

2° élément de 3,00 m à, 5,50 m. 11 charges.

842,600 pl /79,5oo    \    „    , ₉,

+ ~2 — ( "i--h P \a = 73,645 — 4,341 a

Pour a = 3,oo m, A = 60,621 — (a = 5,5o?n, A = 49,769-

3e élément de 5,50 m à 10,10 m. 10 charges.

68q,85o , pl /73,ooo    \

-f j—( -y-+ H« = 72,4i2 —4,ii7«

(A>„

(A)

(A)

3,00

5,50

3,00

= 86,000--

10,10

5,50

= 73,ooo

Pour a — 5,5o m, A = 49,7% — a =10,10 m, A = 3o,83o.

4° élément de 10,10 m à 11,30 m. 9 charges.

548,100 pl /

+ 7-1

11,30

(A)    = 65,5oo

10,10

65,5oo

Pour a = 10,10 m, A = 30,824 — a — n,3o m, A = 26,193.

4- p^j a — 69,800 — 3,8090

5e élément de 11,30 m à 12,50 m. 8 charges.

4i5,36o pl /58,ooo    \

+ ’j

12,50

(A) rz 58,ooo —

11,30

a = 66,877 — 3,6oo a

Pour a — n,3o m, A = 26,197 — a = 12,5o m, A zz 21,877.

6e élément de 12,50 m à 13,70 m. 7 charges.

13,70

(A)    — 5o,5oo —

12,50

291,6 pl /5o,5oo    \    ₅ ,, ,

—---h — — f—---h P J a — 63,643 — 3,34i4 û

Pour a zz 12,5o m, A = 21,877 — a zz 13,70 m, A — 17,868.

7® élément de 13,50 m à -. 6 charges.

14,50

(A) zz 43,000 — 13,70

176,85 ^pl /43,ooo ^2 V

— 60,102 — 3,0827 a

Pour a = 13,70 m, A = 17,869 — a = - = 14,5o m, A — i5,4o3.

Les résultats des calculs sont représentés par des lignes pleines sur la figure 4 de la planche. C’est le contour théorique

des efforts tranchants représentant les sommets exacts de la ligne-enveloppe.

Pour les poutres à croisillons, comme c’est le cas de notre exemple, l’effort tranchant produit par la surcharge est constant dans l’étendue de chaque panneau, limité par deux montants voisins. Il est donc important dans ce cas de calculer les efforts tranchants au droit de chaque montant, afin d’en déduire les efforts qui s’exercent suivant les barres des croisillons. Ce calcul se fait très facilement à l’aide des équations ci-dessus. Les résultats ainsi trouvés, et complétés par les données générales du problème, sont réunis dans le tableau ci-après.

N° DES MONTANTS

ABSCISSES

CHARGES CORRESPONDANTES

VALEURS

TERMES

DES EFFORTS

« NOMBRE U

POIDS TOTAL

S7P d'

TRANCHANTS

ri

Ci CO ^

2,90

5,80

8,70

'Ji

05

11,60 1 4 5 60

29,00 26,10 23,20 20,3o 17,40 14,5o

12

12

10

10

86,ooo 86, ooo 73,000 73,000 58,ooo 43,ooo

1011,600 1011,600 689,85o 689,85o 415,35o 174,860

74.317

61,077 48,533 36,5g3

25, 118

15,471

Ces valeurs de l’effort tranchant sont représentées graphiquement sur la figure 5 de la planche, par des lignes pleines.

Calcul par la méthode approximative.

une

La ligne-enveloppe approximative des efforls tranchants est, d’après la définition donnée au chapitre précédent ligne droite passant par les deux points extérieurs de la ligne exacte calculée ci-dessus; l’un de ces points ayant son ordonnée à l’origine, et l’autre au milieu de la portée.

Substituant dans l’équation 47) qui représente cette ligne les valeurs numériques des efforts tranchants A₀ — 74,317 et Ai— 15,403, obtenues directement par le tableau VIII, on trouve :

A A₀ —

x — 74Al7

2 (74 Ai” — 15,4o3)

-—:- X

= 74317 — 4)°ô3o x.

Les valeurs numériques des efforts tranchants obtenues de cette équation, au droit des montants successifs de la poutre, forme la 2e colonne du tableau ci-après. La dernière colonne renferme les efforts tranchants calculés par la méthode précédente. On pourra ainsi comparer les résultats de deux méthodes de calcul.

N° DES

ABSCISSES

VALEURS DES EFKOHTS TRANCHANTS

MONTANTS

APPROXIMATIVES

EXACTES

2,90 m

5,8o

74)317 62,354 5o,762

8,70 11,60 14,5o

38,969

27,186

i5,4«3

74.3i7

61,076 48,533 36,5g4 25,117 15,4o3

Les efforts tranchants calculés par la formule approximative sont représentés par des traits interrompus sur l’épure de la planche.

La figure 4 en donne les valeurs extrêmes, et la figure 5 les valeurs intermédiaires au droit des montants.

Conclusion

Les formules et les équations que nous venons d’établir, répondent au programme posé au commencement de cette partie.

En effet, en se servant de ces expressions, que nous avons cherché à rendre simples, on peut obtenir pour les poutres à une travée, les efforts maxima, développés sous l’action de la charge permanente, et des surcharges mobiles, définies parla circulaire ministérielle.

L’exemple numérique, donnant les détails de calculs, montre qu’on peut obtenir sans difficulté les courbes-enveloppes des moments fléchissants et des efforts tranchants, soit exactement, soit par la méthode approximative.

Cette dernière se recommande tout particulièrement, à cause de sa grande simplicité.

Pour les moments fléchissants, la courbe approximative, donnant le moment maximum exact, n’exige pas l’augmentation de la section transversale de la poutre inutile à la résistance. De plus, dans la partie centrale de la travée, comprise entre les points d’intersection de deux courbes, les ordonnées do la courbe approximative étant supérieures à celles de la courbe exacte, on est sùr que les efforts développés dans les positions le plus défavorables du train, resteront toujours inférieurs à la limite prescrite. Le supplément de la longueur des semelles additionnelles qui en résulte, ne peut qu’assurer une plus grande résistance à la poutre dans la région où les efforts à lafiexion sont les plus grands.

Ce surcroît de la longueur du reste n’est pas considérable. Ainsi, dans l’exemple ci-dessus, il atteint au maximum pour la 4° semelle 0,016 l pour la longueur X.

Dans les tronçons compris entre les points d’intersection et les appuis de la poutre, les ordonnées de la courbe approximative étant inférieures à celles de la courbe exacte, l’insuffisance de la longueur de la 2e semelle, lorsqu’elle se présente, est toujours compensée par le recouvrement, qu’on doit donner à celte semelle.

Pour les efforts tranchants, des avantages analogues sont obtenus par l’emploi de la ligne-enveloppe approximative. L’équalion de cette ligne se forme encore plus facilement que

celle des moments fléchissants, et permet de calculer plus rapidement les valeurs numériques des efforts tranchants.

Les résultats obtenus étant supérieurs aux efforts produits par le train dans les positions les plus défavorables, on est assuré, comme précédemment, que le travail maximum ne dépasse nulle part les limites de la circulaire ministérielle.

En conséquence, les courbes-enveloppes approximatives, permettant la simplification des calculs, et donnant les résultats rassurants, peuvent avantageusement remplacer dans la pratique les courbes-enveloppes exactes; ces dernières étant réservées aux cas spéciaux, pour lesquels l’exactitude rigoureuse est préférée.

TROISIÈME PARTIE

CALCUL DES FLÈCHES DES POUTRES DROITES EN TOLE A SECTION VARIABLE

SOMMAIRE

EXPOSÉ

I. — Poutres a plusieurs travées

Équation fondamentale. — Poutres à section constante. — Poutres à section variable. — Cas d’une semelle additionnelle. — Cas de plusieurs semelles additionnelles. — Cas de demi-travées chargées.

II. — Poutres a une travée

Flèche produite par la charge uniformément répartie. — Flèche produite par les surcharges isolées. — Cas d’une semelle additionnelle. — Cas de plusieurs semelles additionnelles. — Conditions pour obtenir la plus grande valeur de la flèche.

III. — Applications

1.    Poutres à trois travées. — Données générales. — Composition de la poutre. — Flèche dans la travée centrale. — Longueurs a et b. — Moments fléchissants M et les efforts tranchants A. — Moments d’inertie et le coefficient d’élasticité E. — Valeurs numériques de la flèche. — Flèche dans la travée centrale.

Flèche dans les travées de rive. — Valeurs numériques.

2.    Poutres à une travée. — Données générales. — Flèche produite par la charge permanente uniformément répartie. — Flèche produite par les surcharges isolées.

Exposé

Les poutres droites en tôle, qui entrent dans la composition des ponts etviaducs métalliques, sont formées en général d’une âme verticale pleine ou évidée, des cornières et d’un certain nombre de semelles à la partie supérieure çt à la partie infé-

rieure delà section. La première de ces semelles, s’étendant sur toute la longueur de la poutre, constitue, avec les parties précédentes, la section constante de cette poutre. Les semelles additionnelles en forment la partie variable.

Lorsqu’on se propose de déterminer la flèche que peut prendre une poutre ainsi formée sous l’action des charges, on se trouve en présence de longs calculs, d’autant plus compliqués, que la question n’a pas été traitée dans les ouvrages de la mécanique appliquée ; on ne trouve, en effet, dans ces derniers, que les formules se rapportant aux poutres à section constante et aux poutres d’égale résistance.

Cependant, la détermination de la flèche étant démandée par la nouvelle circulaire ministérielle, il devient urgent d’établir les formules indiquant la marche à suivre pour répondre au programme indiqué par l’art. 7 de cette circulaire:

« Calcul des flèches. — On fournira, à l’appui des projets, le calcul des flèches sous l’action de la charge permanente et de la surcharge. »

Bien avant la promulgation de la circulaire, nous avons traité cette question en vue de réduire les calculs et coordonner les formules, de manière à les rendre applicables sans grande difficulté dans la pratique ; et nous sommes arrivés à établir une méthode de calcul dont nous nous servons pour déterminer la flexion des ponts et viaducs métalliques.

Cette méthode comprend le cas des surcharges uniformément réparties pour les poutres à plusieurs travées ; et pour les poutres à une travée, elle comprend en plus le cas des surcharges isolées, définies par la circulaire ministérielle.

Le présent mémoire comprend trois chapitres. Dans le premier, nous établissons les formules générales de la flèche dans le cas des poutres à plusieurs travées ; le deuxième chapitre donne ces formules pour les poutres à une travée. Ces formules s’appliquent à toutes les dimensions transversales de la poutre, quel que soit le nombre des semelles additionnelles.

Enfin, le troisième chapitre comprend des exemples numériques indiquant en détail la marche à suivre pour arriver au résultat cherché, ainsi que l'influence de l’interruption des semelles additionnelles sur la grandeur de la flèche.

I. — Poutres a plusieurs travées.

Equation fondamentale. — Considérons une travée intermédiaire quelconque d’une poutre à plusieurs travées, dont la portée est /.

Supposons ensuite que les appuis de la poutre se trouvent arrasés au même niveau.

Dans les poutres ainsi disposées, le maximum de la flèche, dans la travée considérée, correspond à la combinaison des surcharges donnant le maximum des moments fléchissants dans le tronçon central de la travée.

Or ces derniers sont produits par la surcharge couvrant entièrement la travée considérée et les autres travées de deux en deux en laissant les travées restantes sous l’influence de la charge permanente seule.

Ceci posé, la relation générale entre les dimensions transversales de la poutre, les forces extérieures et les coordonnées de la ligne moyenne est la suivante :

(i)

El^M+Ax-üi'-

az*    a

Dans laquelle M et A représentent le moment fléchissant et l’effort tranchant sur l’appui de gauche,/) la charge totale par mètre courant de poutre, et I le moment d'inertie de la section correspondante à l'abscisse x.

Pour obtenir l’équation de la ligne moyenne déformée de la poutre, il faut établir la relation entre les abscisses x et les ordonnées?/de cette courbe, et, pour cela, il faut intégrer deux fois l’équation (1).

Cette marche appliquée aux divers cas de charges et des

sections de la poutre, permet d’obtenir la flèche en un point quelconque du tronçon central de la travée.

Poutres à section constante

Intégrant deux fois l’équation générale (1), on trouve :

(2)

(3)

Les constantes C, et G¹' se déterminent en remarquant que pour x — o et x — l on a y — o. On tire de là deux relations suivantes :

c; = o

E1C, =

pi*

24

l.

Substituant ces valeurs dans les équations 2) et 3) et réduisant, on oblient deux équations suivantes.

Pour l’inclinaison de la tangente à la ligne moyenne en un point x.

(4)    El ~ —

Et pour la grandeur de la flèche également en un point quelconque désigné par son abscisse x.

(5)    Eÿ = —    — x*) ——p (l*x — a³)-^- — (l³x — x¹) --L-J

L’inclinaison de la tangente à la ligne moyenne au milieu de la portée s’obtient en posant dans l'équation 4) x ——

[•+£*-W-

Ja-£L\JL.

\    2 /a4 El

On voit que cette inclinaison est indépendante du moment fléchissant M sur l’appui de gauche, elle est proportionnelle à la différence entre l’effort tranchant réel et celui de la poutre

d’où

(6)

El# = dx

d>j

dx

à une travée, au droit de même appui. Elle est positive ou négative suivant que l’effort tranchant A est plus petit ou plus

grand que —.

2

La valeur de la flèche au milieu de la portée s'obtient en

posant également x — — dans l’équation 5).

2

rii ,    '}L-

L 8 ⁺ 16    384 P J El

Poutres à section variable

Cas d'une semelle additionnelle. — Considérons d’abord, pour simplifier les équations à résoudre, le cas d’une semelle additionnelle sur la longueur a et a' à partir des appuis, et sur la longueur l—(b -f- b') dans le tronçon central, conformément au croquis ci-après (fig. 1).

h.

Xf i₂

kr-

*ï

-----*

.A

Fig. 1.

Désignons par I₂ et I, les moments d’inertie de la section transversale de la poutre avec deux et une semelle.

Appliquant l’équalion générale (1) aux trois tronçons de la première moitié de la travée, et l’intégrant une première fois, nous trouvons :

(8)

(9)

(10)

e(!+c')X(m*+v-pt)

Ed+c’):=v(M^v-?)

px³\

iry

C" = O.

(14)

CALCUL DES FLECHES

Après une deuxième intégration, nous avons :

EÙ, + c. + ff')=₁-(-r +— -L)

I /Mt*

E (ÿ + C'a; -f- CIV) = — \    +

E (y + C"x + Cv) =

Nous avons ainsi 6 équations et 6 constantes C à déterminer. Remarquons d’abord que pour # = 0 on ay = 0 ; il en résulte que dans l’équation (5)

174

(11)

(12)

(13)

IC HC

px'\

"Ö4’)

/Mæ*    pxi\

\~⁺ 6 ~1ą)

Ensuite la constante C" s’établit de la manière suivanle :

Pour éviter les intégrations sur toute la longueur de la travée, ce qui complique notablement les calculs, nous proposons l’hypothèse suivante :

L'inclinaison de la tangente à la ligne mogenne déformée, au milieu de la travée d'une 'poutre à section variable, est sensiblement égale à celle de la tangente à la ligne moyenne de la poutre à section constante.

.    . du .

Et comme dans ce dernier cas l inclinaison —■ s’exprime fa-

dx

cilement, parla formule 6), on a, en introduisant cette valeur dans l’équation générale 10)

(15)

EC" =

Plt\,j_{k Pl\ ** 1    ¹ / M ,Al Pl*\,

W ⁺( _T)^J-T7(T + 6- —J¹'

Enfin pour x = a et x — b les deux tronçons de la ligne moyenne déformée doivent se raccorder tangentiellement : on

du

doit donc avoir en ces points les mêmes y et ~ •

Introduisons ces conditions dans les équations ci-dessus. Posons d’abord dans les équations (8) et (9), (11) et (12), x — a. Après la substitution et la réduction, nous trouvons :

(8-9)

e (c-cq =

a*.

(11 — 12} E[(C —cqa + c'" — Ctv] =

fi i\/M A a pa*\

Retranchant la dernière équation de l’avant-dernière multipliée par a, nous avons, en tenant compte de la relation (14) :

EC1V =

De même les équations (9) et (10), (12) et (13) donnent pour x ~ b :

(9-10)

(16)

(ï7-ï7 A7+T-T>*-

E (G' — C') =

b\

fi i \ / M Ab pb*\

(12-13)    E[(C'-C0 6 + C"-P]=(lr-;-)(j + ?~y

Retranchant également la dernière équation de l’avant-dernière multipliée par b, nous avons ;

(17)

E (Cv — C1V) =

Eliminant enfin entre les équations (16) et (17) la constante C'v, nous obtenons l’expression suivante de la constante Cv :

(18) ECV =

Nous avons maintenant tous les éléments pour calculer la flèche dans le tronçon central de la travée ; ainsi :

L’équation 13) de la ligne moyenne déformée qui est

C"x + Cv

(13)

i / M A®

ëTAT + T-“

px•

24

Devient après la substitution et réduction :

X)

(19) y = -

Cette équation donne la ligne moyenne déformée dans tout le tronçon central où la section est constante. On pourra donc la construire par points dans ce tronçon.

Cette équation donne au milieu de la portée pour x — —’ La valeur suivante de la flèche.

(20) y

~i- ;

oc| 3

+ iz_2£iV    1

⁺ 16    384 y

\r/M , A a pa*\ .    / M , A6 pb'\l 1

iJLU+t-V) “*-(•; + T-£r>’J J

En examinant cette expression, on reconnaît que le premier terme représente la flèche qu’aurait prise la poutre dans le cas de la section constante ayant pour moment d’inertie I₂. Les autres termes indiquent l’influence de la longueur incomplète des semelles.

Ainsi l’addition de la semelle sur une longueur« à partir de l’appui, a pour effet de diminuer la flèche, car le terme correspondant à cette longueur est de signe contraire du premier terme; au contraire, la valeur absolue du dernier terme étant de même signe que celle du premier, indique l’augmentation de la flèche par suite de la suppression de la semelle au droit de l’abscisse b.

Cas de plusieurs semelles additionnelles. — Considérons maintenant une poutre ayant plusieurs semelles additionnelles, portant les numéros 2, 3.... n au droit de l’appui de gauche sur les longueurs «₂ a3 •••• an, à partir de cet appui, et les numéros 2, 3 ... h vers le milieu de la travée à partir des points dont les abscisses sont b₃ b₃. .. b/c.

Les moments fléchissants des poutres symétriques étant supérieurs sur les appuis à ceux du milieu des travées centrales, nous aurons d’une manière générale :

n > h.

Les moments d’inertie des sections avec le nombre correspondant des semelles peuvent donc se ranger dans l’ordre suivant :

h h lj... h.-*- L*

La section de la poutre ainsi formée ayant k semelles dans le tronçon central de la travée, le premier terme qui représente la flèche prise dans le cas de la section constante devient

— X)

T+ ('■-*’) T“('•-**>£]*•

Quant aux termes restants, en vertu du théorème de la superposition des effets des forces, chaque semelle ajoutée

dans le tronçon voisin de la pile tendra à diminuer la flèche proportionnellement aux facteurs en a. Au contraire, chaque interruption des semelles dans le tronçon central tendra à augmenter celle flèche proportionnellement aux facteurs en b.

Or, comme d’après notre hypothèse, le nombre n est plus grand que le nombre k, ces termes seront groupés suivant deux séries. La première série, relative aux semelles portant les numéros de n à k, n’aura que les termes contenant les longueurs a : tandis que la deuxième série, correspondant aux semelles portant les numéros de k à 2 aura les facteurs comprenant les longueurs à et b, conformément à l’équation (19).

Introduisant ces hypothèses dans l’équation (19), on obtient l’équation générale suivante de la ligne moyenne déformée dans le tronçon central.

(21)

Aafr+1 pak+l

~K

fc-iXr

!    .    / i 1 \ r/ M ,Aös pah ₂    / M A6, pb\

\⁺--\T'-t)LV7+ — —T) “Ht + T

P°%

rKl

)S]

Cette équation peut donner la flèche en un point quelconque du tronçon considéré comportant k semelles, on pourra donc tracer comme précédemment la ligne moyenne déformée, en établissant les ordonnées au droit des montants de ce tronçon.

Mais comme le contrôle des chemins de fer ne demande que la constatation des flèches au milieu des travées, lors des épreuves des tabliers métalliques, on peut limiter les calculs à la détermination de la flèche dans ce dernier cas particulier.

Ainsi en posant dans la dernière équation x —— , et désignant pour abréger par le moment d’inertie d’une section intermédiaire quelconque, nous arrivons à l’expression suivante de la flèche au milieu d’une travée.

Nous avons par suite :

(23)

(22)

WJL.Ą/

¹ ] 1^. \ 8 îfi

7 Pl*

(i

)',+V(

i \Tf M , Aa pa*

~~T/ L\~ ⁺ l

38/f

i \ / M A« pa*

t — l

Les résultats obtenus par cette formule concordent parfaitement avec ceux obtenus par le train d’épreuves. La charge uniformément répartie équivalente est obtenue en divisant la somme des charges de ce train contenues dans la travée, par sa longueur comptée entre les tampons extrêmes.

Remarquons, pour faciliter l’emploi de cette formule, que l’effort tranchant A sur l’appui de gauche de la travée centrale, quel que soit le nombre (impair) des travées, conserve l’expression suivante, dans le cas des travées symétriques :

A=*

. _ "pl* 5

A l = —,--pl\

384    384F

Cette condition permettra de simplifier, dans une certaine mesure, les opérations à effectuer,

Enfin, dans la première travée, le moment fléchissant sur le premier appui étant nul, les expressions entre les parenthèses ne contiendront que les termes renfermant les quantités A et p.

Cas de demi-travées chargées. — Les formules établies ci-dessus donnent la flèche dans le cas de travées entièrement surchargées.

Les formules que nous donnons ci-après permettent de calculer les moments fléchissants M et par suite les efforts tranchants A dans le cas de travées chargées sur la moitié de leur longueur. On pourra donc obtenir la flèche dans ce cas particulier pour se conformer à l’art. 9, § 2 de la circulaire ministérielle.

Les moments fléchissants sur les appuis de la travée considérés n° k, produits parla charge d’une travée n° t,, la charge des autres travées étant supposée nulle, s'expriment par les formules suivantes :

Lorsque la travée chargée n° t se trouve à gauche de la travée k.

«n — k

(2i)

«71 — 1

(ïf _S Nf + T t

N'd It.

«7! — k— 1

«?i — 1 I*

Lorsque la travée chargée se trouve à droite de la travée n° k, on a :

(28)

M* =

«n — 1

Nf + a,t — t — i

N'd

y k— t

N,+    N'd lt.

M/fc+l = —

«n

Enfin, quand la charge se trouve dans la travée n° k elle-même, on a :

ï, (a"

M* =

— k N/c + *n-k

n'æ) 4*

(26)

«n — A — i

(yk — i N/c + y/c—1 N'/d Ar

«71-1 A

Les termes N, étant les fonctions des charges, se calculent par les formules suivantes dans le cas de demi-travées chargées :

Pour la surcharge uniformément répartie sur la première moitié de la travée.

= et N

Et pour la surcharge uniformément répartie sur la deuxième moitié de la travée :

(27)

— Plr 64    ¹

»i = £n?i *»; = $*?

Ces valeurs substituées dans les équations ci-dessus, où tous les termes sont connus dans chaque cas particulier, donneront les valeurs de M et A, qui entrent dans l’expression de la flèche.

On démontre les dernières formules en posant q    ——

(28)

dans les équations (12) (13) (14) et (15) de notre mémoire sur les poutres droites à plusieurs travées (1).

II. — Poutres a une travée

Flèches produites par les charges uniformément réparties.

Soit une poutre à une travée, librement posée sur ses deux appuis de niveau. Désignons par / la portée de cette poutre et par p la charge uniformément répartie par unité de longueur.

Dans ce cas, les moments fléchissants M au droit des appuis sont nuis ; en conséquence, on supprime les semelles additionnelles sur les longueurs a. Il en résulte que l’expression générale de la flèche (22) ne contiendra que les termes en b, et prendra finalement, en vertu de la relation (23), la forme suivante :

(29)

ns i K

y——

Le premier terme du second membre représente également ici la flèche de la poutre clans le cas de la section constante avec k semelles. Et les termes restants, l’augmentation de cette flèche par suite de l’interruption des semelles additionnelles aux points b.

Flèches produites par les surcharges isolées.

Cas dune semelle additionnelle.— Considérons maintenant une poutre à une semelle additionnelle, librement posée sur les deux appuis, ayant une portée l et soumise à l’action d’un système des charges isolées P,,P₂, P₃... (fig- 2).

Le moment fléchissant en un point quelconque de la portée

(1) Voir les Annales des Ponts et Chaussées, lévrier 1882.

feu

|-K H

—\.at —

Ps

Fig- 2.

désigné par son abscisse x, dû à un système des charges isolées, s’exprime par la formule suivante :

(30)

CS

____I—L__

---4--------— 4---

-1 T

"T"

M = (x -j- A, x

k

[x étant le terme indépendant et A l'effort tranchant dans le

k

tronçon considéré des moments fléchissants portant n° k.

Appliquant cette équation aux tronçons de la première moitié de la portée de la figure 2, nous avons, en vertu de l’équation 1) :

(M)“’ = „ + A, r

a, i

(MC=^+ A*x

(M) ¹ = \>- + A, x

dx 3

Intégrant deux fois cette équation, on obtient : Après une première intégration

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

= A₀ .r

= B l£JL

d.r⁵

k ê+°):*=-HFF) Ete+c'K:=-rr(.*+- , ,

E (& +c-) Z

B(^+«■):=T (-/+-¥■)

a₃ i (

A. “ 17 V»

.r +

F)

Af)

Et après une deuxième intégration

(37)

i /A₀x*\

L \ 6 J

(38}

(39)

E (y + C* + o )

E (^>l + C,x -(- C,) *

e (y+°iX⁺c'²) !: = i7 (

i    / M-,    Afæ®\

1. \ a    ⁺ 6 J

A₈j;³\ ~ )

(40)

t(

+ A7)

(41)

e (s + c.x + c;) 2

/ !*s x* A₃x³\

⁺ t)

Les constantes C se déterminent par la considération qu’aux points de rencontre des divers tronçons, la ligne moyenne déformée doit se raccorder tangentiellemenl, on a donc en ces dy

points les mêmes y et-^—.

Ainsi, en reprenant la même marche qu’au commencement de ce chapitre, on trouve successivement

Pour x — a,, la différence des équations 32-33 et 37-38 donne

Ao — Ai

E(C-C,) = i(- n, -f

E[(C_C.)«,-C/]=i(-^₊V' D’où en retranchant

a,

(32-33)

«1

(37-38)

Ao A4 +    3    ⁰¹

Pour x — a± la différence des équations 33-34 et 38-39 donne

(42)

EC,' =

re

(33-34)

E(C,- C.)

— p-s “H

A*-A,

at) a.

A,-A,

H--— a.

(38-39) E [(C, - C*) a, + (C,' - C,')] = J-

D’où

(43)

E (C,' - C/) =l-    4-

A< — A*

(34-35)

E (C,

-C->=G+

(39-40) E [(C. - C₃) A, + (C,' - Cs')] = (f- - J-) (    + A*

« I?

D'où

(44)

E (C'j - C's) =

__¹ \    AjAsN

V i, ], Aa 3 )

41

Enfin pour x — a₃ la différence des équations 35-36 et 40-

— É₄) = — ^ [A*— a* -f-E [(C. — Oi) as -f“ (C'j — C'*) J = —    —---{-

-cy = -i(ïi=ü,+

(35-30)

E (C,

Aä As

a₃ «a

(40-41)

D’où

(45)

Aj Aj \ a

g-) a*

A* — Ae ^ ■>

E (C'₄

Additionnant les équations 42) à 45), on trouve pour la constante C'4 l’expression suivante :

ÄmT*«)*+x(rrs+

r)«+x(tTJS+^-)':)

46) EC\ =

(+(T;“7r)(? ⁺

D’autre part, nous avons dans l’équation 36) pour une certaine valeur de l’abscisse x — xt, correspondant à la flèche dy

maximum,    o, et par suile

dx

(47)

EC‘=ir+4,j:0

X,

L’équation de la ligne moyenne déformée dans le tronçon central de la travée est donc, d’après l’équation 41) :

(48)

y- F

— C*« —

cd

Soit après le remplacement des constantes C par leur valeur.

(49) y =

ś j+'(^+S±’-) *ï ]+(t; ~ir) (?+*r) «

' T, \    2    '    3

1.

A*

«,) «f

Le maximum de la flèche y correspond à x — Dans ce cas, le premier terme entre les parenthèses se réduit à

(SO)

1    , A₃a7,\

ï7    ⁺ TV

.7?²

Cas de plusieurs semelles additionnelles. - La dernière formule 49) permet de déterminer les divers termes de l’expression de la flèche dans le cas de plusieurs semelles additionnelles.

Ainsi considérons une poutre ayant k semelles dans sa partie centrale, et soumise à l’action des charges isolées au nombre de H, dans la première moitié de la portée.

Pour appliquer la formule 49) à ce cas général, remarquons que pour tout point d’application d’une charge P, ayant pour l’abscisse ax correspond un terme

tU-l —

A i _i — A,:

ai a-

\t étant, le moment d’inertie correspondant au tronçon considéré.

D’autre part, pour chaque variation du moment d’inertie correspond un terme

(51)

»i

L’avant-dernière expression peut se simplifier. Lu elfet, nous avons d’une manière générale :

(a)

|At. = Pta, + P.a* + .... P*——i ji = P, a, -f- Ptfl. -f- .... P;—i O)—i -)- P jUj

D’où

On a de même.

(b)

Aj —i = Y — (P, + P, + .... Pi_l)

= Y - (P, + Ps + .... Pi_, + Pi)

A;

D’ou

Ai—| — A; = Pi

Par suite, à chaque point d’application de la charge P; correspond un terme

(52)

i Pjûi

~hxT'

Introduisant les expressions 50), 51) et 52) dans l’équation de la flèche 49) appliquée au cas de plusieurs semelles, nous obtenons l’expression suivante de la flèche au point xt :

(53)

Ki

V P/,:’ A fit L\ 2    3

*■)+² (n), (V9.

)(?+*")

Dans le cas de la section constante, cette formule se réduit à ses deux premiers termes

*?■

(54)

if(ïï + Ai±) xî_s*!îff]

El L Ns ^    3 ' 1    1    6 J

Conditions pour obtenir la plus grande valeur de la flèche. — Dans des poutres à une travée, la flèche pouvant atteindre sa plus grande valeur au milieu de la portée, nous ne considérerons que ce dernier cas pour lequel et nous chercherons à déterminer la position correspondante du convoi sur la poutre.

Introduisant cette valeur dans la dernière formule, et exprimant w et Ak' par leurs valeurs conformément aux formules a) et b) ci-dessus, on trouve

(55)

Il = —

la

Le premier terme entre les parenthèses est toujours positif, car l’abscisse a est généralement plus petite que —. En conséquence, ce terme croît avec les moments S P* At.

La plus grande valeur de ce terme s'obtient donc en distribuant les charges de manière que les plus fortes d’entre elles correspondent aux bras du levier «les plus grands.

Cette condition revient à éloigner le plus possible les charges de l’appui de gauche. Et comme la même condition estnécessaire relativement à l’appui de droite, il en résulte que ces charges doivent être accumulées vers le milieu de la portée.

Les valeurs de l’effort tranchant représentées par le deuxième terme entre les parenthèses, sont très petites dans le tronçon central de la poutre. Pour obtenir la plus grande valeur de la flèche, on doit éviter les valeurs négatives de ce terme. Les valeurs positives étant incompatibles avec la première condition, on arrivera au résultat cherché en disposant les charges de manière à rendre nul l’effort tranchant A*-, au milieu de la portée.

En résumant ces conditions, nous proposons la règle suivante qui nous sert pour calculer la flèche dans cette dernière section.

Parmi les diverses combinaisons des charges des convois de la circulaire ministérielle, on prendra celles qui produisent le moment fléchissant maximum M'.

Ces systèmes des charges seront placées sur la poutre de moniere que leur centre de gravité coïncide avec le milieu de la portée.

Les résultats ainsi obtenus sont exacts pour tous les cas où les charges se trouvent symétriquement disposées par rapport au centre de gravité du système.

Pour les autres cas de charges non symétriques, le résultat obtenu diffère très peu de celui donné par le calcul exact.

On pourra donc, sans inconvénient, adopter dans la pratique la position indiquée du train pour le calcul des flèches, dans ce dernier cas, aussi bien pour les poutres à section constante, que pour les poutres à section variable.

On simplifiera ainsi les calculs déjà fort longs.

III. — Applications

1. P OUTRES A TROIS TRAVÉES

Prenons pour exemple la poutre centrale d’un pont-route

la ligne de Versailles, près d’As-

a trois travées établi sur

nières.

Portées. — La portée comptée d’axe en axe des appuis est : Pour les travées de rives .    .

Pour la travée centrale Le rapport des ouvertures est donc

i3,ôo

o = —— = 1,25 10,80

Charges. — La charge permanente par mètre courant de poutre est, d’après la note des calculs du pont, .p — 4 8ook Lasurcharge uniformément répartie équivalente à celle prescrite par la circulaire ministérielle .    .p" — 1 9ook

La charge totale.....p = 6 yook

Composition de la poutre. — Pour résister dans de bonnes ~ conditions aux moments fléchissants et aux efforts tranchants, on a donné à la section transversale de la poutre les dimensions suivantes :

Pour l’âme verticale :

hauteur ih — 0,800 ; épaisseur e — 0,015 î ^ Pour les cornières : 100 X 100

00 00

TT

_ _ ___

Mi

'Mi 1

WM

_ 100_* Jao

tS

ÎSÎÎKÎ»

a

«o

<M

JL

15

r-

Pour les semelles : largeur épaisseur d’une semelle

a — 0,400.

c — 0,010.

Avec ces données, nous avons

Dans la travée centrale

Le nombre de semelles est cinq au droit des appuis de cette travée, et trois vers le milieu de la portée, conformément au croquis ci-après (fig. i).

r.î

Fig. 4

l₃

I.

h.

la

Ii

k- e-o - ->j L—f**:.------->

?>

k-

Ä-

k-

-.......*1

.....-

,k-

h-

-■1

«/

-H

Dans ces condilions, l’expression générale de la flèche (22) prendra la forme suivante :

(”

9(i

#)■*

(36) u = -

Kt-0 F*?*'

— blk ai — /> a 1 3    8 PJ

«1—6* .    «2 — 62 T

—3— A--— P J

a*

M +

Nous allons déterminer les divers fermes qui entrent dans cette expression.

Longueurs a et b. — Ces longueurs résultent du calcul de résistance de la poutre ; leurs valeurs toutes calculées sont donc les suivantes :

ni

aK = 0,80 ax — 1,20 ax = 1,70 at — 2,20

l’i = 4.00 6, = 5,3o cl

— = 6,7s

Moments d'inertie. — Les moments d’inertie I correspondant aux diverses sections de la poutre ont été calculés déjà pages 32 et 47. Nous avons donc pour :

O O O Ci

a    s    2

C-    *“•    H-    HH    —

O    c    °    c    O

«    Cl © j,

•    <*'    *9    »

— — F—

çp p ccp;

«SiS'g.S

v 1 -K> O vl OJ

Et par suite

— = 146,349. ■

— = 329,134.

* i

—— = 121,666.

J K

—• zz: 235,63*2.

*•

-L 181,343.

**

Coefficient d'élasticité E. — Enfin, pour le coefficient d élasticité E correspondant au fer, nous prenons la valeur moyenne d’après M. Collignon.

E = 180 X Io8-

Substituant maintenant les valeurs ci-dessus déterminées dans la formule (56), nous arrivons au résultat suivant :

j /    ( 43‘2i,63n' — 33,2383 + 1201,3925) M

y —---f ( 29819.2547 — 24,4852 -J- 4^58,4625) A

' — (120022,5ooi — io,385i -f- 7996,6471) p

et enfin

-^- (5489,78.53 M -j- 34o53,232o A — 128008,7621 p)

Ł

Cette formule donne dans le cas delà charge permanente où

= — o,oo5 235

(C)

M = — 0,128397 pl* = — 71886 O A = 0.625 pl = 32400 p = 4800 i/i ’■ \3 9⁵ >

18 X io«

Dans le cas de la surcharge seule, couvrant la deuxième travée, en supposant nulle la charge permanente, on a

M = — 0,084919 p/⁴ — — 18819 A = 0,620 pl = 12825 p = 1900

(I) Voir les formules (73) de notre brochure sur la résistance des poutres droites à plusieurs travées, 3° partie, chez MM Baudry et Cie, éditeurs.

et par suite

(d)

•J = —

90 203 860

18 X 103

— — om,oo5 011.

La flèche totale est donc

(«)

y — — (o,oo5 235 + o,oo5 ou) = — 0,010 3p>.

Dans les travées de rive.

La poutre étant librement posée sur ses appuis, les moments fléchissants snnt nuis sur les appuis extrêmes. On a par conséquent en posant dans la formule précédente (56) M = o a — o, et en remarquant que dans la première travée la section de la poutre comporte trois semelles ayant pour abscisses

b- — 2,80 et h* = 1,48

(oV

A l    ipr

₉o

È_-(r-x)(A4

p4YHû-x)^

-i

(14293,2435 -j- 518,4090) A — (45023,7179-}- 502,l5l2) p

Et enfin

— 45525,8691 p j

Dans le cas de la charge permanente, où

A = o, 3yi6io pl — 19264 p — 4800,

i,652.5 A

nous avons

66 807 5o2

18 x i°⁹

= — om,003712

Sous l’action de la surcharge seule, couvrant la première travée, on a

A = 0,439800 pl — 9025 p — 1900

substituant on trouve

47176012 18 X 10»

= —0,002 621

Sa flèche totale est donc

y — — (0,007 312 -(- 0,002 621 = — om,oo6 333)

sur la grandeur de la llèche, considérons les valeurs de celle-ci dans la deuxième travée sous l’action de la charge permanente.

Cette flèche (calculée par la formule c) en faisant ressortir l’influence des semelles additionnelles, s’exprime par la formule suivante.

y — — (o.ck>4 4°9 —1“ 0,000091 -f- 0,000 735)

= — o,oo5 230

Les résultats de la dernière formule, nous montrent que la llèche due à la section constante de la partie centrale de la poutre se trouve finalement accrue de 0,000826 ra, soit de 0,19 environ de sa valeur.

La diminution de la flèche produite par l’addition des semelles sur les longueurs a. et as est très petite.

Au contraire, l'augmentation de la flèche, résultant de la suppression de la semelle sur les longueurs b₃ — a₃ et b₂ — est la plus considérable.

Ces quantités sont petites en valeur absolue, et ce n’est que leur somme qui peut donner des quantités appréciables. Cela tient à la petite ouverture de la travée et aux bonnes proportions de la section transversale de la poutre. Nous les avons données pour indiquer la marche à suivre dans l’application de la formule générale. Mais, pour les travées de grande ouverture ainsi que pour le nombre plus grand des semelles additionnelles, les résultats obtenus deviennent plus considérables, et dans certains cas, peuvent nécessiter la modification des dimensions transversales de la poutre.

2. — Poutres a une travée

Données générales. —- Nous allons appliquer la formule générale 40) à la poutre du dernier exemple comparatif.

Les données générales de cet exemple sont :

La porté comptée d’axe en axe des appuis es / m 29 m. la section constante de celte poutre se trouve renforcée vers le milieu de la portée par trois semelles additionnelles, conformément au croquis ci-après (fig. 5).

Fig. 5.

Les abscisses des points de variation des moments d’inertie.

èg = i4,5o — 11,60 = 2,90 m . bs — i!\,bo — 8,70 = 5,8o >. bt = j4,5o — 6,3o = 8,20 »

Ensuite, les dimensions transversales de la poutre donnent :

8,764

1*

rr— = io,36i R

I, M,?;,

— = 12,488

r.— = i6,oi3

Mtv,

p ~ 1600 k.

Flèche produite par la charge permanente uniformément répartie. —Dans les conditions ci-dessus énoncées, la formule générale de la flèche (29) donne, pour la charge uniformément répartie.

(58)

I*

it

i.

«H-.....A—

k-

*4._

•»

1* X 384 ' V È 1,

Remplaçant les divers facteurs de la dernière formule par leurs valeurs numériques, nous avons :

i6no r 80711,077 + 3353,320]

E L + 1704,q™ 4- 391,454]

y = — [0,007177 -f 0,000298 -f- 0,000143 + o,oooo35]

Soit, après avoir effectué les calculs :

(58 bis)

=: — 0,007653

Ce résultat nous montre que la flèche, calculée dans le cas de la section constante, se trouve augmentée d'environ 0,07 par suite de la suppression des semelles additionnelles sur les longueurs b.

La plus grande augmentation provient de l’interruption de la quatrième semelle; l’influence de l'interruption des autres semelles va en diminuant et devient la plus petite pour la deuxième semelle.

Il résulte de là que la disposition admise pour certains ouvrages, qui consiste à prolonger la deuxième semelle sur toute la longueur de la poutre en vue d’atténuer la flexion, ne présente aucun avantage. Cette disposition en effet ne produit qu’une augmentation inutile des semelles sur une longueur 4 b.₂ soit dans l’exemple considéré sur 4 X 2,90 m — 11,60 m par poutre, en ne produisant qu’une réduction minime de la flèche indiquée par le dernier terme de l’expression (58) bis.

Flèches produites par les surcharges isolées

Les charges donnant le moment fléchissant maximum étant au nombre de 12, le centre de gravité de ce système de charges se trouve à la distance suivante comptée de l’essieu n° 1. calculée par le tableau VIII.

ion,6

= 11,76 m.

En plaçant ce point au milieu de la portée, on trouve pour les bras du levier« les valeurs suivantes (fig. 6) :

a, = 2,74 m a* = 3,94 » as = 5,14 »

Nous avons ensuite :

(jL, = P, a,

(ji, = P, (a, + a,)

Pi (#i +    + as)

Pi (a. + «* + as

(J-5 = Pi + P*«b

P« = P* H" P* («S + fl#)*

86,0

fl, = 6,24 m o„ = 10,84 » a„ = i3,34 »

P*

Pl

+ al)

2 P,

2 P, 2 P, 2 P. 2 P,

P.

PL,“

u-----

---y=z/,7<£-----------

U-......

—    — ft'ç------—-i.............i.. —<?'£•......

il»    ¹

->Plr

(DU

Fig. 6.

r-

CT-

’T

*çu*

CL?

.—»--4-----j----{-r------------H

i : i    L-fj-v----.

i ; ,    i i ^

»Pu,*’

-4-

+•

*ÿ*

Cl?

Introduisant ces valeurs dans la formule 53), on obtient :

~    + as "f nz + a*) Pi + (öd + a₆) PSJ —

l ~ [( aî +r. (a*⁺a0+i ß0 ⁺ it (a*⁺alTi]

fl| + aï + az -f- A*

«»I y

“(i

A| + Aï 4~ Aï

P.+ïdilL.*,],!

Soit après la substitution :

— -h-^269287727 — 34632369 + i84i74°6j

253072764    , _

= ~ Tslô^ = “ °’OIito57-

Telles sont la formule générale, et la manière de son application pour calculer la flèche des poutres à une travée à section variable ou constante, les charges isolées étant quelconques.

Appliquée aux charges de la circulaire ministérielle, elle donne la limite supérieure de la flèche théorique.

En adaptant les facteurs de celte formule aux trains d’épreuve des tabliers métalliques, on obtient les valeurs de la flèche, lesquelles, quoique inférieures à la limite précédente, permettent néanmoins, en les comparant avec les résultats trouvés par l’expérience, d’apprécier le degré de solidité des assemblages des poutres métalliques.

CHAPITRE ADDITIONNEL

Nouveau règlement relatif aux: épreuves des ponts

métalliques

Une circulaire ministérielle du 29 août 1891 a modifié celle du 9 juillet 1877 qui déterminait les épreuves à faire subir aux ponts métalliques supportant les voies de chemin de fer, ainsi qu’à ceux établis pour le passage des voies de terre.

Ce nouveau règlement, élaboré par une commission spéciale composée d’inspecteurs généraux et d’ingénieurs des Ponts et Chaussées, a été adopté par le conseil général des Ponts et Chaussées. En raison de l’importance de ce document, nous croyons devoir le donner in-extenso en le faisant précéder des instructions ministérielles destinées à indiquer le but de ce règlement et à en faciliter l’application.

MINISTÈRE

RÉPUBLIQUE FRANÇAISE

DES

TRAVAUX PUBLICS

Paris, le 29 août 1891.

Monsieur le Préfet,

RÉVISION DE LA

CIRCULAIRE MINISTÉRIELLE DU 9 JUILLET 1877

NOUVEAU RÈGLEMENT RELATIF AUX ÉPREUVES DES PONTS MÉTALLIQUES

1NSTRUCTION

pour l’application

DU RÈGLEMENT

Une circulaire ministérielle du 9 juillet 1877, a déterminé les épreuves à faire subir aux ponts métalliques supportant les voies de chemins de fer ainsi qu’à ceux établis pour le passage des voies de terre.

CIRCULAIRE N° 4

L’art des constructions métalliques ayant subi depuis lors, des changements importants, l’un de mes prédécesseurs a chargé une commission spéciale composée d’inspecteurs généraux et d’ingénieurs des Ponts et Chaussées de rechercher les modifications qu’il pourrait y avoir lieu d'apporter aux prescriptions de la circulaire précitée.

Sur le rapport de cette commission, et après une discussion approfondie, le Conseil général des Ponts et Chaussées a adopté un projet de règlements déterminant les conditions auxquelle devront désormais satisfaire les ponts métalliques.

Conformément aux propositions du Conseil, j’ai approuvé le règlement dont il s’agit qui est annexé à la présente circulaire.

Les instructions suivantes sont destinées à en indiquer le but et à en faciliter l’application.

CHAPITRE PREMIER

Pont supportant des voies de fer

I. VOIES DE LARGEUR NORMALE

Article premier. — L’adoption d'un train-type a pour objet d’uniformiser les conditions d’établissement des ponts métalliques et de mettre leur résistance en rapport avec les plus fortes charges qui soient actuellement appelées à circuler sur les chemins de fer français. C’est ce train qui devra servir de base aux calculs. Toutefois, il y aura lieu de subsister aux machines et wagons-tvpes les machines et wagons en service sur le réseau auquel appartiendra l’ouvrage à construire, dans les cas exceptionnels où il résultera de cette substitution une augmentation des efforts supportés par les différentes pièces de l’ouvrage.

Article 2. — Les coefficients du travail de la fonte sont fixés surtout en vue de la vérification des efforts supportés par les ouvrages existants ; pour les constructions neuves, l’emploi de ce métal, lorsqu’il sera exposé à travailler à l’extension, ne devra être admis que dans des cas tout à fait exceptionnels.

Les règles fixées pour le fer et l’acier ont été établies de façon à réduire d’une manière générale les limites du travail du métal en raison des variations du sens et de la grandeur des efforts qu’il est appelé à supporter ; mais elle ne tiennent pas compte des différences qui peuvent se produire, à ce point de vue, entre les divers points des plates-bandes d’une même poutre, et qui, eu égard aux règles habituellement suivies pour les constructions métalliques, ne peuvent entraîner des inégalités de résistance inquiétantes.

Il appartiendra d’ailleurs aux ingénieurs, lorsqu’ils le jugeront utile, de déterminer ces différences par une analyse détaillée et de faire varier en conséquence les limites du travail du métal. Pour fixer ces limites, ils pourront faire usage des formules suivantes, dont les résultats sont suffisamment d’accord avec les données de la pratique :

1° Lorsque les efforts correspondant pour la même pièce aux différentes positions des surcharges seront toujours de même sens (extension ou compression) :

Pour le fer

. 6 kg -f 3 kg .    8 kg + 4 kg

(A représentant le plus petit et B le plus grand des efforts auxquels la pièce est exposée.)

2° Lorsque le sens des efforts totaux correspondant pour la même pièce aux différentes positions de la surcharge, variera selon se« positions (exten-tion et compression alternatives) :

Pour le fer

Pour l’acier

6 kg — 3 kg

Pour l’acier

B

8 kg — 4 lia

(B représentant le plus 'grand en valeur absolue des efforts supportés par la pièce et C le plus grand des efforts en sens contraire.)

Ces formules sont données à titre de simple indication et ne limitent en rien l’initiative des ingénieurs qui pourront employer telle méthode qu’ils jugeront convenable.

Les coefficients fixés à l’article 2 ne sont applicables aux pièces comprimées directement que lorsque celles-ci seront assez courtes pour qu’il n’y ait pas lieu de les renforcer en vue d’éviter qu’elles puissent fléchir sous l’action de la charge. Dans le cas contraire, on devra tenir compte des prescriptions de l’article 6 et de diminuer, en conséquence, le travail du métal.

Les ingénieurs ne perdront pas de vue les efforts supplémentaires qui pourront résulter de la répartition dissymétrique des charges, notamment dans les ponts biais et dans ceux sur lesquels la voie est en courbe.

L’évaluation des sections nettes et, par suite, le calcul définitif des efforts supportés par les différentes pièces, doivent être faits seulement lorsque la position des joints des tôles aura été arrêtée et après la détermination du pombre, du diamètre et de la position des rivets.

Le soin de déterminer le rapport entre le diamètre des rivets et l’épaisseur des pièces à assembler est laissé aux ingénieurs, qui se guideront d’après les données de la pratique.

Article 3. — Il n’a pas paru nécessaire de déterminer la qualité de là fonte à laquelle correspondent les coefficients fixés à l’article 2; cette détermination est, au contraire, indispensable pour l’acier dont les propriétés peuvent varier dans des limites très étendues, et même pour le fer dont la résistance, et surtout la ductilité, sont parfois insuffisantes pour inspirer une sécurité complète. Les qualités définies par le règlement sont celles des métaux dont l’emploi peut être considéré comme normal dans la construction des ponts ; mais, notamment en ce qui concerne l’acier, le choix qui en a été fait pour fixer les coefficients usuels, n’est pas un obstacle à l’emploi d’un métal de qualité différente dans le cas où il sera justifié. Dans l’état actuel de la métallurgie, il est possible d’élever jusqu’à 55 kilogrammes la résistance de l’acier avec un allongement de 19 0/0, sans qu’il cesse de remplir les conditions nécessaires et pour la construction des ponts, et l’augmentation de la résistance permet d’élever proportionnellement la limite des efforts normaux par millimètre carré. Mais, à mesure que la dureté de l’acier augmente, des précautions plus minutieuses sont nécessaires dans la fabrication pour que son emploi soit exempt de tout danger et la rédaction des projets est d’autant plus délicate qu’on adopte des coefficients de travail plus élevés ; aussi l’Administration se réserve-t-elle de n’autoriser de dérogation à la règle générale que dans les cas où elles seront; justifiées par l’importance de l’ouvrage et lorsque le sconditions dans lesquelles celui-ci devra être construit, offriront des garanties suffisantes au point de vue de l’exécution.

Les cahiers des charges devront, dans tous les cas, renfermer l’énumération des conditions nécessaires pour assurer l’emploi des matériaux de bonne qualité et l'exécution des travaux selon les règles de l’art. Le but de l’article 3 est de définir les qualités du métal auxquelles correspondent les coefficients indiqués à l’article 2, et d’éviter les dangers que l’emploi de l’acier a quelquefois présentés ; ses prescriptions ne sauraient être considérées comme suffisantes pour empêcher les malfaçons aussi bien dans la fabrication du métal que dans sa mise en œuvre.

Article 4. — Les poids, les dimensions et le groupement des machines, tenders et wagons définis à l’article 4 ont été choisis de manière à donnerait train-type une composition qui se rapproche, autant que possible, de celle des trains les plus lourds, formés avec le matériel actuellement en service sur les principaux réseaux.

Les efforts que les ponts auront à supporter normalement ne dépasseront donc pas, en général, ceux qui correspondront au passage du train type, ils pourront leur être supérieurs si les machines et tenders sont groupés différemment, ou s’il existe dans le train des wagons vides ; mais l’augmentation de travail du métal qui en résultera, n’atteindra jamais un kilogramme par millimètre carré et les coefficients fixés par l’article 2 ont été établis de manière à permettre sans danger, dans cette limite, une augmentation exceptionnelle des efforts. On pourra donc se borner à faire les calculs au moyens du train-type sous la réserve énoncée ci-dessus àpropos de l’article premier.

L’administration entend laisser aux ingénieurs une entière liberté en ce qui concerne le choix des méthodes employées, pour faire les calculs ; la seule obligation qu’elle leur impose est de déterminer avec une exactitude suffisante la limite des efforts supportés par chacune des pièces qui composent l’ouvrage dans les conditions définies par l’article 4. Ainsi on pourra, si on le juge utile, faire usage pour le calcul des moments fléchissants, ainsi que ■pour celui des efforts tranchants de surcharges virtuelles uniformément réparties, sauf à justifier que ces surcharges produisent des efforts supérieurs ou du moins égaux à ceux qui seraient déterninés en chaque point par le passage du train-type.

Quelle que soit la méthode employée, les résultats des calculs devront être groupés dans des épures, de manière à faire ressortir la loi des variations des efforts clans les différentes pièces de l’ouvrage et à faciliter les vérifications.

Article 5. — Les pressions maxima dues à l’effort du vent, qui sont fixées par l’article 5, sont celles qui sont généralement admises par les constructeurs; elles sont suffisantes pour donner toute sécurité dans les conditions ordinaires. Il appartiendra aux ingénieurs de proposer l’adoption de pressions plus fortes pour les ouvrages qui seront à construire à une grande hauteur ou dans le voisinage de la mer ; ils pourront, au contraire, pour les ponts convenablement abrités, tenir compte de la diminution de l’intensité du vent qui résultera des circonstances locales. Ils auront également à déterminer d’après le mode de construction des supports et le système d’attache des sommiers et des palées aux maçonneries, quelle est la limite à partir de laquelle les efforts de glissement transversal et de renversement des tabliers et des piles métalliques devront être considérés comme dangereux.

Il y aura lieu de calculer, pour les grands ouvrages, non seulement le efforts horizontaux, mais aussi l'augmentation des efforts verticaux qui peut résulter, pour certaines pièces, de l’inégal répartition des charges entre les deux files de rails sous l’action du vent.

Article 6. — Les vérifications relatives au flambage devront être faites pour la fonte comme pour le fer et l’acier.

Lorsqu’on aura recours à des formules de la forme R' = KR, dans lesquelles R' représente le coefficient de travail à adopter pour la pièce considérée, et R le coefficient de travail correspondant à une longueur très petite, on prendra uniformément pour R, dans les pièces soumises à des efforts de sens variables, 6 kilogrammes pour le fer et 8 kilogrammes pour l’acier, on substituera la valeur ainsi trouvée pour R' au coefficient calculé au moyen des règles fixées à l’article 2, s’il en résulte une augmentation de la section de la pièce considérée, à moins que l’on ne modifie la forme des pièces ou leur disposition, de manière à accroître la résistanse au flambage.

Article 7. — Dans le calcul des flèches on pourra faire entrer les poids et les dimensions des machines et wagons du train d'épreuve, au lieu des éléments similaires du train-type, mais seulement dans le cas où la composition du train d'épreuve pourrait être établie à l'avance avec une entière certi-titude.

Article. 8. — La limite des efforts que les tabliers métalliques peuvent subir sans danger pendant le lançage est laissée à l’appréciation desingénieurs; cette limite peut, en effet, varier selon la constitution des ouvrages et selon les conditions dans lesquelles ils seront mis en place. La présence de montants verticaux, dans les poutres à treillis ou à croix de saint André, les moyens employés pour consolider les parties faibles, la durée du lançage, etc., sont autant d’éléments dont il y a lieu de tenir compte et que les ingénieurs auront à examiner avant d’arrêter leurs propositions.

Article 9. — Les longueurs de trains d’épreuves et leurs positions ne sont fixées que pour les ponts à poutres droites et les ponts en arcs. Pour les ponts de types exceptionnels, les ingénieurs auront à déterminer, dans chaque cas, la longueur du train la plus convenable pour produire sur les principales pièces des efforts aussi rapprochés que possible de ceux qui auront été donnés par le calcul.

Les positions à donner aux trains d’épreuves seront déterminées d’après la portée et la constitution des poutres; elles seront, dans tous les cas, choisies de manière à produire les plus grands efforts, non seulement sur les plates-bandes (1), mais sur les treillis.

L’épreuve par poids roulant à la vitesse de 40 kilomètres devra être supprimée lorsque les circonstances locales (voisinage des plaques tournantes dans une gare, insuffisance du rayon des courbes, etc.) l’exigeront.

On devra prendre les dispositions nécessaires pour que des flèches puissent être mesurées et vérifiées à toute époque, dans des conditions satisfaisantes de précision; on établira, au besoin, des plates-forme spéciales pour faciliter les opérations de nivellement; on placera des repères fixes, non seulement sur les piles et culées lorsqu’elles seront exposées à des tassements, mais en dehors de l’ouvrage; enfin, lorsqu’il y aura lieu, on devra faire subir aux flèches observées les corrections nécessaires pour tenir compte de l’influence variable de la température sur les arcs, et on s’efforcera d'éliminer, dans les poutres droites, les erreurs résultants de la différence de dilatation entre les bandes supérieure et inférieure. On évitera à cet effet, de prolonger chacune des épreuves au delà du temps nécessaire pour que les déformations normales puissent se produire, et ou choisira, de préférence, les premières heures du jour ou un temps couvert pour faire les nivellements destinés à la mesure des flèches permanantes.

Les niveaux des points les plus bas, au milieu et aux extrémités de chaque pont, pourront être relevés directement, pourvu qu’ils soient rattachés, par une mesure facile à effectuer sans erreur, à ceux des points qu’on aura choisis comme intermédiaires.

On mesurera séparément la flèche de chaque poutre, et pour les grandes portées, notamment lorsque les semelles ne seront pas parallèles, on mesurera les abaissements de points intermédiaires entre le milieu de la travée et chaque appui.

Le rapport à l’appui du procès-verbal des épreuves fournira la comparaison des flèches observées avec celles données par le calcul.

A cet effet le calcul des flèches sous l'action du train d'épreuve devra toujours être annexé au procès-verbal d'épreuve. Ce procès-verbal sera classé dans un dossier destiné à recevoir aussi les résultats des constatations ultérieures.

Les épreuves réglementaires ne doivent pas dispenser d’une surveillance attentives des ponts pendant les premiers mois qui suivent leur mise en service, notamment en ce qui conserne le jeu des appareils de dilatation et, pour les poutres à travées solidaires, l’invariabilité du niveau des appuis.

(1) Les plates-bandes sont désignées sous les noms de bandes, semelles, tables, membrures, cordes ou brides.

Article 10. — Les prescriptions de l’article 10 s’appliquent à la fois à la disposition des fers et aux installations spéciales destinées à donner un accès facile aux différentes parties de la construction, on devra chercher à rendre les principales pièces accessibles sans échafaudages spéciaux et sans qu’il soit nécessaire de circuler le long des poutres dans des conditions dangereuses.

Article 11. — Le contour fixé par l’artiele 11 a été déterminé en vue de réserver aux gousset, consoles, etc., un espace aussi grand que possible, sans que les ponts métaliques présentent au passage des trains des obstacles plus rapprochés de la voie que les autres ouvrages d’art ; on devra, en outre, tenir compte, dans l’étude des projets, de la nécessité de ménager aux agents circulant à pied sur la voie les moyens de se garer d’une manière facile et sûre.

Article 12. — La réserve formulée dans l’article 12 n’a pas pour but de limiter les poids des machines; mais elle empêchera que les ouvrages soient exposés à recevoir des surchages en vue desquelles ils n’auront pas été calculés, sans qu'on ait déterminé, au préalable, le maximum des efforts qu’elles imposeraient au métal.

11. VOIES ÉTROITES

Article 13. — Sauf en ce qui concerne les poids et les dimensions des machines et des wagons, les épreuves par poids roulant et le contour intérieur limite, les conditions imposées pour la construction des ponts métalliques sont les mêmes pour les lignes à voies étroites que pour les lignes à voie normale, tant que la largeur de la voie ne descend pas au-dessous de un mètre.

Article 14. — Pour les ouvrages destinées à supporter des voies de largeur inférieure à un mètre, les conditions seront déterminées pour chaque cas particulier ; on ne perdra pas de vue, dans les propositions à laire à ce sujet, que la diminution de largeur de la voie ne saurait être un motif pour restreindre les garanties de sécurité et que si les règles posées précédemment à ce sujet peuvent être atténuées, c’est seulement dans le cas où il s’agira de lignes industrielles destinées exclusivementau transportdes marchandises.

CHAPITRE II

Ponts supportant des voies de terre.

Article 15. — Les prescriptions de l’article 15 sont applicables à tous les ponts métalliques pour voie de terre destinés à supporter le passage des voitures.

Article 16. — Les conditions fixées pour les efforts à faire supporter aux différentes pièces sont les mêmes que celles qui sont relatives aux ponts supportant des voies de fer.

Article 17. — Les bases fixées pour les calculs par l’article 17 ont été établies seulement en vue de la circulation normale sur les routes. Lorsqu’un pont pourra être appelé à recevoir des chargements exceptionnels tels que ceux qui sont nécessités par certains transports industriels ou militaires, il y aura lieu d’en tenir compte dans les calculs. De même, dans le cas où une voie de fer comportant l’emploi de locomotives ou de machines d’un poids équivalent devra être établie sur la route, on appliquera les prescriptions des articles 13 et 14.

Lorsque les ingénieurs seront amenés à proposer l’adoption de surcharges inférieures aux surcharges réglementaires, ils devront tenir compte de la possibilité de la rectification des routes dans la région, de l’amélioration progressive des moyens de transport, de l'extension croissante de l’emploi des rouleaux compresseurs à vapeur, etc.

Article 18. — Les observations faites précédemment au sujet des articles 5, 6, 7, 8 et 10 sont applicables aux ponts métalliques pour voies de terre.

Article i9. — Les épreuves par poids mort sont définies d’une manière précisé dans l'article 19 du règlement pour tous les ponts d'un type courant.

Pour les ponts d’un type exceptionnel, les ingénieurs auront à se rendre compte, lors de la rédaction des projets, de la longueur des surcharges d'épreuve et des emplacements qa’elles doivent successivement occuper en vue de développer les efforts maxima dans les différents organes de la construction. Ils indiqueront dans un article du cahier des charges les dispositions qui leur paraîtront devoir être prescrites, tant pour les épreuves par poids mort que pour les épreuves par poids roulant.

La faculté qui est donnée de remplacer par un poids mort de 400 kilogrammes par mètre carré sur la moitié de la largeur de la chaussée une ou plusieurs files de voitures dans l'épreuve par poids roulant ne fait pas obstacle à ce que ladite épreuve soit faite exclusivement par poids roulant, si on n'éprouve pas de difficulté sérieuse à réunir le nombre de véhicules convenable pour couvrir toute la largeur de la chaussée sur la longueur voulue.

CHAPITRE III

Ponts-canaux.

Article 20. — La hauteur de 0 m 30 d’eau au-dessus du mouillage normal devra être augmentée, pour le calcul des ponts, dans les cas exceptionnels où, pour une raison quelconque, il y aurait lieu de prévoir des variations plus étendues du niveau de l’eau dans le bief.

Article 21. — Dans le cas où certaines pièces seraient, par leur position, exposées particulièrement à être oxydées, leur épaisseur devrait être augmentée en conséquence.

Article 22. — Les observations relatives aux articles 5, 6, 8 et 10 sont applicables aux ponts-canaux métalliques.

Article 23. — On devra tenir compte, en ce qui concerne le calcul des flèches, de la réserve faite plus haut relative aux cas exceptionnels dans lesquels il y aurait lieu de prévoir une surélévation de l’eau supérieure à 0 m, 30.

Article 24. — Les observations relatives à l'article 9 concernant la mesure des flèches permanentes, la pose des repères, etc,.., sont applicables aux ponts-canaux.

Revision de la Circulaire ministérielle du 9 juillet 1877

SUR LES PONTS MÉTALLIQUES

RÉGLEMENT

CHAPITRE PREMIER

Ponts supportant des voies de fer.

I. — VOIES DE LARGEUR NORMALE

Article premier. — Conditions à remplir. — Les ponts à travées métalliques qui portent des voies de fer de largeur normale, devront être en état délivrer passage aux trains autorisés à circuler sur le réseau auquel ils appartiennent et, en outre, au train-tvpe défini à l’article 4 ci-dessous.

Art. 2. — Limites du travail du métal. — Les dimensions des différentes pièces des ponts seront calculées de telle sorte que, dans la position la plus défavorable des trains désignés à l’article premier et en tenant compte de la charge permanente ainsi que des efforts accessoires tels que ceux qui peuvent être produits par les variations de température, le travail (1) du métal par millimètre carré de section nette, c’est-à-dire déduction faite des trous de rivets ou de boulons, ne dépasse pas les limites indiquées ci-dessous.

I.    Pour la onte supportant un effort d’extension directe. .    1,59 kg

Pour la fonte travaillant à l’extension dans des pièces soumises à des

2,50 kg

efforts tendant à les faire fléchir,

Pour la fonte supportant un effort décompression.....6,00 kg

II.    Pour le fer el l’acier travaillant à l’extension, à la compression ou à la flexion, les limites exprimées en kilogrammes par millimètre carré de section seront fixées aux valeurs suivantes :

6.50    kg

8.50    kg

Pour le fer..............

Pour l'acier.............

Toutefois ces limites seront abaissées respectivement :

A 5 kilogr. 50 pour le fer et à 7 kilogr. 50 pour l’acier dans les pièces de pont, longerons et entretoises sous rail.

A 4 kilogrammes pour le fer et à 6 kilogrammes pour l’acier, pour les barres de treillis et autres pièces exposées à des efforts alternatifs d’extension et de compression ; ces dernières limites pourront néanmoins être rappro-

(1) Le mot « travail » est entendu ici non dans son sens scientifique, mais dans le sens d’effort imposé au métal par unité de surface, qui lui est donné dans la pratique des constructions.

chées des précédentes pour les pièces qui seront soumises à de faibles variations de ces efforts.

Dans l’établissement du projet des ouvrages métalliques d’une ouverture supérieure à 30 mètres, les ingénieurs pourront appliquer au calcul des fermes principales des limites supérieures à celles qui ont été fixées plus haut, sans jamais dépasser :

8,50 kg 11,50 kg

Pour le fer

Pour l’acier

Ils devront justifier, dans chaque cas particulier, les diverses limites dont ils auront cru devoir faire usage.

Lorsque des fers laminés dans un seul sens seront soumis àdes efforts de traction perpendiculaire au sens de laminage, les coefficients seront réduits d’un tiers dans les calculs relatifs à ces efforts.

Les coefficients concernant l’acier ne subiront pas cette réduction.

On appliquera aux efforts de cisaillement et de glissement longitudinal les mêmes limites qu’aux efforts d’extension et de compression, mais en leur faisant subir une réduction d’un cinquième, étant entendu que les pièces auront les dimensions nécessaires pour résister au voilement; pour le fer laminé dans un seul sens, on fera subira ces coefficients une réduction d’un tiers, lorsque l’effort tendra à séparer les fibres métalliques.

Le nombre et les dimensions des rivets seront calculés de telle sorte que le travail de cisaillement du métal ne dépasse pas les quatre cinquièmes de la limite qui aura été admise pour la plus faible des pièces à assembler et que le travail d’arrachement des têtes, s’il s’en produit, ne dépasse pas 3 kilogrammes par millimètre carré en sus de l’effort résultant du serrage.

III. Les calculs justificatifs de la rivure seront toujours fournis à l’appui des projets en même temps que les calculs des dimensions des diverses pièces.

Il en sera de même des calculs des assemblages par boulons dans les ponts en fonte.

Art. 3. — Qualités du fer et de l'acier auxquelles correspondent les limites de travail du métal fixés par l'article 2. — Les coefficients de travail du métal fixés ci-dessus pour le 1er et l’acier correspondent aux qualités définies par les conditions suivantes :

DÉSIGNATION

ALLONGEMENT

M1MMOM DE RUPTURE

par mm* mesuré sur des éprouvettes de 200 mm de longueur

^RESISTANCE

MINIMUM A LA TRACTION

par mm* mesurée sur des éprouvettes de 200mm de longueur

Fer

laminé

Fer profilé et plat (dans le sens du laminage........................

Tôle

Acier laminé... Rivets en fer. . Rivets en acier.

daus le sens du laminage.....

dans le sens perpendiculaire au laminage.............

8 p. 0/0 8 p. 0/0

3,5 p. 0/0

22 p. 0/0 16 p. 0/0 28 p. 0/0

32 kg 32 *

28 « 42 » 36 » 38 »

Les cahiers des charges fixeront pour l’acier le minimum et le maximum entre lesquels devra être compris le rapport de la limite pratique d’élasticité à la résistance à la rupture. Le minimum ne devra pas être inférieur à un demi et le maximum ne devra pas dépasser deux tiers.

Des coefficients de travail plus élevés pourront être autorisés par l’Administration pour des métaux de qualités différentes, si des justifications suffisantes sont produites.

On ne tolérera dans aucun cas l’emploi d’aciers fragiles et on s’assurera fréquemment, pendant la construction, de la qualité du métal à ce point de vue, au moyen d’essais de trempe et d’expériences faites en pliant des barres percées de trous au poinçon. Les cahiers des charges devront renfermer des prescriptions détaillées à cet égard sans préjudice des autres conditions relatives aux qualités du métal.

Dans tous les cas, lorsqu'on emploiera l’acier, les trous des rivets seront forés ou alésés après le perçage sur une épaisseur d’au moins un millimètre et les bords des pièces coupées à la cisaille seront affranchies sur la même épaisseur.

Art. 4. — Composition du train-type. — Les auteurs des projets de travées métalliques devront justifier par des calculs suffisamment détaillés qu’ils ont satisfaits aux prescriptions des articles 1, 2 et 3 qui précèdent.

En ce qui concerne les fermes longitudinales, ils seront tenus d'examiner l'hypothèse du passage, sur chaque voie, du train-type défini ci-dessous.

Le train-h/pe se composera de deux machines à quatre essieux, de leurs tenders et de wagons chargés. Les poids et dimensions des machines, tenders et wagons chargés sont donnés par le tableau et la figure 1 ci-après :

DESIGNATION

MACHINE TENDER

WAGON

CHARGÉ

Nombre d’essienx...........................

Charge par essieu..........................

Distance du tampon d'avant au l"r essieu.......

Ecartement des essieux entre eux.............

Distance du dernier essieu au tampon d’arrière...

Poids total.................................

Longueur totale...............................

14 t

121

2,60 m

2,00 m

1,20

2,60

8,80 m

2,50

2.00

241

6,50 m

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Les machines, avec leurs tenders, seront placées toutes deux en tête du train.

L’ensemble du train sera supposé occuper successivement différentes positions le long de la portée, et ces positions seront choisies de manière à réaliser en chaque point les plus grands efforts tranchants et fléchissants que le passage du train-type puisse déterminer.

Les dimensions des pièces qui ne font pas partie des fermes longitudinales

et notamment celles des pièces de pont seront calculées d'après les plus grands efforts qu'elles pourront avoir à supporter, soit dans l'hypothèse du passage du train-typet soit dans l'hypothèse du passage d’un essieu isolé pesant 20 tonnes, si cette dernière réalise les plus grands efforts.

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Art. 5. — Pression du vent. — Le travail du métal sous l’influence des plus grands vents ne devra pas dépasser de plus de un kilogramme les limites fixées à l’article 2 ci-dessus.

On admettra que la pression du vent par mètre carré de surface verticale peut s’élever à 270 kilogrammes, mais que le passage des trains est interrompu lorsqu’elle atteint 170 kilogrammes. On supposera, en outre, que cette pression s’exerce sur la surface nette, déduction faite des vides, de chacune des maîtresses-poutres, qu’elle agit intégralement sur l’une d’elles et que, sur la suivante, elle est diminuée d’une fraction de sa valeur égale-au rapport de la surface nette de la première à la surface totale limitée par son contour; enfin, que l’effet du vent, en arrière de ces deux poutres, est négligeable. Pour les piles métalliques, on supposera que la pression s’exerce intégralement sur la surface nette de toutes les pièces.

Dans l’hypothèse d’un train placé sur le pont, on comptera, pour sa surface verticale nette, un rectangle de trois mètres de hauteur ayant la même longueur que le pont et dont le côté inférieur sera placé à 50 centimètres au-dessus du rail; on déduira de ce rectangle la surface nette de la partie de la première poutre placée en avant et on supposera que la pression du vent est nulle sur la partie de la seconde poutre masquée par le train.

Enfin, on s’assurera que les efforts de glissement transversal et de renversement des tabliers et des piles métalliques sous l’action du vent n’atteignent pas des limites dangereuses, en tenant compte des conditions spéciales dans lesquelles pourront être placé les ouvrages et en supposant que le train défini ci-dessus est composé de wagons vides.

Art. 6. — Pièces travaillant à la compression.— On s’assurera, autant que possible, que les pièces travaillant à compression, soit d’une manière continue, soit intermittente, ne sont pas exposées à flamber.

Art. 7. — Calcul des flèches. — On fournira, à l’appui des projets, le calcul de flèches sous l’action de la charge permanente et sous l’action de la surcharge.

Art. 8. — Calcul des efforts pendant le lançage. — Lorsque la mise en place du tablier devra être faite au moyen d’un lançage, on devra justifier que le travail du métal pendant cette opération n’atteindra dans aucune pièce une limite dangereuse.

Art. 9. — Chaque travée métallique sera soumise à deux natures d’épreuves, l’une par poids mort,l’autre par poids roulant.

§ 1. — Composition des trains d’épreuves.

Épreuve s. — Poids. — Ces épreuves seront faites au moyen de trains composés de deux machines attelées en tête et de wagons chargés.

Les poids des éléments de ces trains se rapprocheront autant que possible de ceux du train-type défini à l'article 4.

En tous cas ils devront être au moins égaux aux plus forts poids des éléments similaires appelés à circuler sur la voie considérée.

Longueurs. — Les longueurs de ces trains seront fixées comme suit :

Pour les ponts à travées indépendantes, la longueur mesurée entre les deux essieux extrêmes sera au moins égale à la plus grande portée.

Pour les ponts à travées solidaires, la longueur, mesurée comme ci-dessus, devra être suffisante pour couvrir les deux plus grandes travées consécutives.

§2. — Ponts à une seule voie ou à voies indépendantes.

Épreuve par poids mort. — Pour l'épreuve par poids mort : le train d'essai sera placé successivement dans les positions qui produiront les plus grands efforts sur les pièces principales du pont.

Il suffira toutefois, en général, d'opérer de la manière suivante :

a)    Povr les ponts à travées indépendantes, le train d'essai sera amènê successivement sur chaque travée de manière à le couvrir complètement, puis à en couvrir une moitié seulement, les machines étant placées en tête du train.

Il séjournera dans chacune de ces positions au moins pendant une demi-heure.

b)    Pour les ponts à travées solidaires, chaque travée sera d'abord chargée isolément comme il vient d'être dit. A cet effet, le train d'essai sera coupé à la longueur voulue. Ensuite on chargera simultanément les deux travées contiguës à chaque pile à l'exclusion de toutes les autres, au moyen du train d'essai tout entier.

c)    Pour les ponts en arcs, on chargera d'abord toute la longueur de la portée, puis chaque moitié seulement et enfin la partie médiane en y plaçant les deux locomotives nez à nez lorsque faire se pourra et réduisant la composition du train à ces deux locomotives.

Epreuve par poids roulant. — Les épreuves par poids roulant seront au nombre de deux. Elles seront faites au moyen des mêmes trains qu'on fera

circuler sur le pont, d'abord à la vitesse de 20 kilomètres à l'heure, puis à celle de 40 kilomètres à l'heure. Toutefois l'épreuve à la vitesse de 40 kilomètres pourra être ajournée jusqu à l’époque où la voie aux abords du pont sera suffisamment consolidée.

§ 3. — Ponts à voies solidaires.

Tour les ponts à deux voies solidaires entre elles, l'épreuve par poids mort se fera d'abord sur chaque voie séparément comme il a été dit au paragraphe précédent, l’autre voie restant libre, puis sur les deux voies simultanément. Il en sera de même pour l'épreuve par poids roulant. L'épreuve simultanée des deux voies se fera dans ce cas au moyen de deux trains marchant dans le même sens aux vitesses fixées ci-dessus.

§ 4. — Ponts de types exceptionnels.

Pour les ponts d'un type exceptionnel, les dispositions des épreuves devront être réglées dans un article spécial du cahier des charges.

A défaut, elles seront arrêtées par l'Administration supérieure, sur la proposition des ingénieurs chargés du contrôle de la construction, le concessionnaire ou entrepreneur entendu.

§ 5. — Mesure des flèches.

Visite. — Repères. — On mesurera au moment des épreuves, la flèche maximum, au milieu de chaque travée, sous l'influence d'abord de la charge immobile, puis de la surcharge en mouvement.

Lorsque, sur une,même ligne, il se trouvera plusieurs ponts, de construction identique, dont l'ouverture ne dépassera pas 10 mètres, la mesure des flèches pourra n'être faite que pour l'un d’entre eux.

Immédiatement après les épreuves de chaque pont, la partie métallique sera visitée dans tous ses détails.

En outre, pour les ponts d'une ouverture supérieure à 10 mètres, les niveaux des points les plus bas des sections des poutres ou des arcs, au milieu de chaque travée et à ses extrémités, seront repérés avant les épreuves à deux points fixes choisis de manière à permettre de constater, après l'enlèvement de la surcharge, et ensuite à une époque quelconque, les déformations qui se seraient produites', on repérera par rapport aux mêmes points le dessus de chacun des appuis. Le procès-verbal des preuves contiendra les renseignements nécessaires pour permettre de retrouver ultérieurement ces repères.

Art. 10. —Dispositionsä prendre pour faciliter la visite de l'entretien.— On s’attachera à rendre faciles la visite, la peinture et la réparation des . parties métalliques, et on fera connaître dans les mémoires à l’appui des t projets les mesures prises à cet effet.

Aut. Il — Distance au rail le plus voisin des pièces les plus rapprochées de la voie. — Les pièces les plus rapprochées de la voie ne pourront, à

partir de cinquante centimètres jusqu’à quatre mètres cinq centimètres de hauteur au-dessus du rail le plus voisin, être placées à moins de un mètre cinquante centimètres de l’axe de ce rail. Les pièces placées à une distance moindre ne pourront, à la partie inférieure, jusqu à quatre-vingts centimètres de l'axe du rail le plus voisin, faire saillie sur le niveau de ce rail, et à partir de quatre-vingts centimètres du même axe, dépasser une ligne brisée composée :    1° d'une verticale de

vingt-cinq centimètres de hauteur ; 2° d'une horizontale de trois cent vingt-cinq millimètres de longueur ; 3° d'une ligne inclinée à trois de base pour deux de hauteur ; à la partie supérieure les mêmes pièces devront rester au-dessus d'une ligne s'abaissant avec une inclination de deux de base pour un de hauteur à partir d'un point pris à l'aplomb de l'axe du rail le plus voisin et à quatre mètres quatre-vingts centimètres au-dessus de ce rail. Aucune pièce placée au-dessus des voies ou entrevoies ne pourra être à moins de quatre mètres quatre-vingts centimètres de hauteur au-dessus du niveau des rails.

Art. 12 — Limite du poids des machines qui pourront circuler sur les ponts sans autorisation préalable. —La mise en circulation, sur les ponts, de machines dont le poids moyen par mètre courant dépasserait de plus de un dixième celui de la machine-type déterminée à l’article 4 ci-dessus, ou dont un des essieux aurait à supporter une charge supérieure à 18 tonnes, ne pourra avoir lieu qu'en vertu d’une autorisation spéciale du Ministre des Travaux publics.

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II. — VOIES ÉTROITES.

Art. 13. — Ponts pour les chemins de fer à voie de un mètre au-dessus.— Les prescriptions relatives aux ponts pour chemins de fer à voie normale sont applicables aux chemins de fer à vole étroite, dont la largeur ne sera pas inférieure à un mètre, sauf les modifications indiquées ci-dessous.

Le poids par essieu des machines du train-tvpe (art. 4) sera réduit à 10l X l, l étant la largeur de la voie entre les bords intérieurs des rails. Les dimensions des machines et les poids et dimensions des wagons seront les mêmes que pour la voie normale et les tenders seront supposés avoir les mêmes poids et les mêmes dimensions que les wagons chargés.

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Pour le calcul du travail du métal sous l’action d’un essieu isolé, on admettra une charge de 14l x L

La seconde épreuve par poids roulant (art. 9) sera faite à la vitesse de 35 kilomètres à l’heure.

Le contour à 1 intérieur duquel aucune pièce des ponts ne devra faire saillie (art. 11) sera déterminé, dans chaque cas, en tenant compte des minima de largeur et de hauteur autorisés, pour les ouvrages d’art, sur la ligne à laquelle appartiendra le pont à construire.

La charge d’essieu maximum, dont le passage ne pourra avoir lieu sur les ponts sans autorisation spéciale (art. 12), sera fixée à 12tX/, l étant la largeur de la voie entre les bords intérieurs des rails.

Les trains à employer aux épreuves seront composés avec' le plus lourd matériel propre à la ligne sur laquelle est placé le pont métallique.

Art. 14. — Ponts pour chemins de fer à voie de largeur inférieure à un mètre. — Les conditions auxque’les devront satisfaire les ponts supportant des voies de chemins de fer de moins de un mètre de largeur seront déterminées, dans chaque cas, sur la proposition du concessionnaire, par le Ministère des Travaux publics, en tenant compte des poids et des dimensions des machines appelées à circuler sur l’ouvrage.

CHAPITRE H

Ponts supportant des voies de terre.

Art. 15. - Conditions à remplir. — Les ponts à travées métalliques que portent des voies de terre devront être en état de livrer passage à toute voiture dont la circulation est autorisée par le règlement du 10 août 1852 sur la police du roulage et des messageries, c’est-à-dire aux voitures attelées au maximum de cinq chevaux si elles sont à deux roues et de huit chevaux si elles sont à quatre roues.

Art. 16. — Limites de travail du métal. — Les dimensions des différentes pièces des ponts seront calculées dans les conditions fixées à l’article 2, sauf la substitution au train-type des surcharges définies par l’article 17 ci-! dessous ;

Art. 17. — Surcharges à adopter pour le calcul. — On s’assurera que le travail du métal par millimètre carré dans chaque pièce ne dépasse pas les limites fixées à l’article 2, ci-dessus.

1° Sous l'action d’une surcharge uniformément répartie de 480 kilogrammes par mètre carré sur toute la largeur de l’ouvrage y compris les trottoirs.

2° Sous le passage de tombereaux à un essieu, traînés par deux chevaux (fig. 4) et formant autant de files continues que lecomporteralalargeurde la chaussée. On admettra, pour faire ce calcul, que les trottoirs sont surchargés uniformément à raison de 400 kilogrammes par mètre carré, et que les tombereaux et leurs attelages ont les poids et dimensions suivants :

Poids.............

3, 00 m 1,70 m 2, 25 m 700 kg 2,50 m

Tombereaux. . .<

Longueur (non compris les brancards).

Largeur de voie.........

Largeur de chaussée occupée.....

Chevaux

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\ Longueur (y compris les traits et brancard)

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On s’assurera que le travail du métal par millimètre carré, dans chaque pièce ne dépasse pas de plus d’un kilogramme les limites fixées à l’article 2« dans le cas où on substituerait à l’un des tombereaux un véhicule pesant Il tonnes, ayant les mêmes dimensions et traîné par cinq chevaux sur une seule file, et, dans le cas où ces tombereaux seraient remplacés, sur toute la surface du tablier du pont, par des chariots à deux essieux traînés par huit chevaux (fig. 5) sur deux files ayant les poids et dimensions suivants:

Poids sur chaque essieu......

Longueur...........

Largeur de la voie........

Ecartement des essieux......

Distance du premier essieu à l’arrière du

chariot...........

Distance du second essieu à l’arrière du

chariot...........

Largeur de chaussée occupée ....

( Poids............

^ Longueur(y compris les traits et brancards)

Chariots.

Chevaux .

6, 00 m

1,70

3,00

1,50

1,50

2,25 700 kg 2,50 m

Lorsqu’il s’agira d’ouvrages à établir sur des routes à fortes pentes, placées dans des conditions telles que la circulation des charges indiquées ci-dessus ne puisse pas être considérée comme possible dans le présent ni dans l’avenir, l'Administration se réserve d’autoriser l’emploi, dans les calculs, de charges moindres qui seront déterminées d’après les circonstances locales. Dans aucun cas, la charge uniformément répartie ne pourra descendre au-dessous de 300 kilogrammes par mètre carré, et les autres charges indiquées ci-dessus ne pourront être réduites de plus de moitié.

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Art. 18, — Pression du vent, pièces travaillant à la compression, calcul des flèches, calcul des efforts pendant le lançage, dispositions à prendre pour faciliter la visite et l'entretien, surveillance. —Les prescriptions des articles 5, 6, 7, 8 et 10 ci-dessus sont applicables aux ponts par voie de terre. Toutefois, pour le calcul des efforts résultant de l’effet du vent (art. 5), il ne sera pas tenu compte delà présence possible de véhicules sur le pont.

Art. 19. — Épreuves. — Chaque travée métallique sera soumise à deux natures d'épreuves : Tune par poids mort, l’autre par poids roulant.

Composition des surcharges d'épreuves. — Pour l'épreuve par poids mort la surcharge d’épreuve sera de 400 kilogrammes par mètre carré de tablier, trottoir compris.

Pour l'épreuve par poids roulant les véhicules seront disposés en files continues et devront se rapprocher, autant que possible, comme poids et écartement des essieux, de ceux désignés pour types dans le troisième alinéa de l’article 17. En tous cas, ces véhicules devront représenter, avec leurs attelages, une charge minima de 400 kilogrammes par mètre carré, en prenant 2 m. 25 pour largeur de la zone occupée.

Longueur des files de voitures. — Les longueurs des files de voitures seront fixées comme suit :

Pour les ponts à travées indépendantes et pour les ponts en arcs, la longueur sera au moins égale à la plus grande portée.

Pour les ponts à travées solidaires, la longueur devra être suffisante pour couvrir les deux plus grandes travées consécutives.

Nombre des files de voitures. — Le nombre des files de voilures devra être égal au quotient de la largeur de la chaussée par le nombre 2 m. 25. Toutefois, ce nombre pourra être réduit quand il y aura difficulté à réunir assez de véhicules pour constituer toutes les files, mais il devra être suffisant pour couvrir au moins la moitié de la largeur du tablier ; le surplus de cette largeur sera alors occupé par une surcharge à poids mort de 400 kilogrammes par mètre carré, répartie de chaque côté des files.

Épreuve par poids mort. — U sera procédé aux épreuves par poids mort de la manière suivante :

Pour les ponts à travées indépendantes, la surcharge sera étendue successivement d'une extrémité à l'autre, avec interruption d'une demi-heure au moment où la sur charge aura atteint la moitié de la portée. Lorsque la totalité de la travée aura été couverte, la surcharge devra demeurer en place pendant une demi-heure.

Pour les ponts à travées solidaires, chaque travée sera d'abord chargée isolément comme il vient d'être dit ci-dessus, puis on chargera simultanément les travées contiguës à chaque pile, à l’exclusion de toutes les autres.

Pour les ponts en arcs, chaque travée sera chargée sur la totalité de sa portée, ensuite sur chaque moitié et, enfin, dans la partie médiane seulement.

Épreuve par poids roulant.— On procédera aux épreuves par poids roulant en faisant circuler au pas les files de voilures d'une extrémité à l'autre du pont.

On fera passer, en outre, sur le pont un véhicule comprenant au moins un essieu chargé de il tonnes.

Tempéraments aux sui'chai'ges d'épreuve. — Lorsque, dans le cas prévu par le dernier alinéa de l'article 17, les surcharges ayant servi à faire les calculs auront été réduites, les surcharges à employer pour faire les épreuves seront réduites dans la même proportion.

Les règles fixées par l’article 9 pour les épreuves des ponts d'un type exceptionnel ainsi que pour les constatations à faire, pendant et après les épreuves, et enfin pour les mesures à prendre en vue des vérifications ultérieures sont applicables aux ponts supportant des voies de terre.

Chargements exceptionnels. — Le passage, sur le tablier du pont, de chargements notablement supérieurs à ceux qui auront été adoptés dans les calculs relatifs à la stabilité de l'ouvrage ne pourra avoir lieu quen vertu d'ure autorisation spéciale donnée par le préfet conformément au rapport de l'ingénieur en chef.

CHAPITRE III

Ponts-ranaux métalliques.

Art. 20. — Conditions à remplir. — Les ponts-canaux devront être en état de recevoir la charge d’eau correspondant au mouillage normal, augmenté de trente centimètres.

Art. 21. — Limites du travail du métal. — Les dimensions des différentes pièces des ponts-canaux seront calculées de manière à ce que le travail du métal par millimètre carré de section nette, déduction faite des trous de rivets, ne dépasse nulle part 8k,50 pour le fer et 11k,50 pour l’acier.

Art. 22. Pression du vent, pièces travaillant à la compression, calcul des efforts pendant le lançaçje, dispositions à prendre pour faciliter la visite et l'entretien, surveillance. — Les prescriptions des articles 5, 6, 8 et 10 sont applicables aux ponts-canaux. Pour l’application de l’article 5, on tiendra compte de la présence de la bâche ainsi que de celle des bateaux sur l’ouvrage; le calcul sera fait en admettant une pression de 270 kilogrammes par mètre carré de surface verticale; la surface des bateaux exposée au vent sera comptée pour un rectangle de l>n,50 de hauteur au-dessus de la bâche ayant la même longueur que le pont.

Art. 23. — Calculs des flèches. —On fournira, à l’appui des projets, le calcul des flèches sous l’action du poids propre du pont et sous l'action de la surcharge d’eau prévue à l’article 20.

Art. 24. — Épreuves. — L’épreuve des ponts-canaux consistera dans la mesure des flèches avant et après le remplissage au maximum de hauteur fixé par l’article 20.

Immédiatement après les épreuves, l’ouvrage sera visité dans toutes ses parties; en outre, on repérera à deux points fixes, avant l’épreuve, les niveaux des points les plus bas des sections des poutres et des axes au milieu de chaque travée et à ses extrémités, de manière à pouvoir, après la mise en charge et à une époque quelconque, mesurer les déformations qui se seraient produites ; on repérera, par rapport aux mêmes points, le dessus de chacun des appuis. Le procès-verbal des épreuves contiendra les renseignements nécessaires pour permettre ultérieurement de retrouver ces repères.

CHAPITRE IV

Dispositions diverses.

Art. 25. — Contrôle des épreuves. — Pour les ouvrages construits ou entretenus par les concessionnaires, les épreuves seront faites en présence d’un ingénieur chargé du contrôle; les procès-verbaux détaillés, dont elles devront être l’objet, seront dressés dans la forme qui sera prescrite par l’administration.

Art. 26. — Dérogation aux prescriptions du règlement. — L’administration se réserve d’apprécier les cas exceptionnels qui pourraient motiver des dérogations quelconques aux prescriptions du présent règlement,

Paris, le 29 août 1891.

Le Ministre des Travaux publics, Yves GUYOT.

ANGERS, IMP. BURDIN ET CU, RUE GARNIER, 4.

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RÉSISTANCE DES POUTRES DES PONTS ET AMDÏÏCS METALLIQUES SOUS L'ACTION DES SURCHAROES MOBILES

de la circulaire ministerielle du 23 Août 1891.

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