WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Öffentiichön Arbeiten

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Beiträge zur Berechnung von Schleusen großen Gefälles.

Von der

Königl. Sachs. Technischen Hoc <e zu Dresden zur Erlangung der Würde eir:    itor-Ingenieurs

genehmigte Disse,

Vorgelegt von

Reg.-Baumeister Richard Borchers aus Kiel.

Referent: Geheimer Hofrat Professor Mehrten^ jßjntUohän iïbôtatt Korreferent : Geheimer Hof rat Professor Enge

Borna-Leipzig:

Buchdruckerei Robert Noske 1912.

BIBLIOTEKA POLITEGHNÎCZ»Æ

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Meinen lieben Eltern!

inhattsübersicht.

Seite

A.    Einleitung'.........................

B.    Systeme der behandelten Bauwerke..............

C.    Die Berechnung völlig geschlossener Schacht- und Speicher-

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I. Voraussetzungen und Vereinfachungen........

II. Die angreifenden Kräfte..............

III.    Die statischen Voraussetzungen und das Prinzip der

Untersuchungen..................

IV.    Annahmen über die Belastungsgesetze der lotrechten

und horizontalen Balken..............

V. Durchrechnung

a)    Entwicklung der Ersatzbelastungskurve und Biegungs

linie sowie der wirklichen Belastungskurve und der Querkraft- und Momentenlinie eines lotrechten Balkens....................

b)    desgleichen für einen horizontalen Balken.....

c)    Berechnung der Eckmomente

d)    Die Aufstellung der Grundgleichungen für die Berechnung der Belastungswerte p.........

e)    Zusammenfassung des Rechnungsganges......

VI. Einfluß der Querschnittsänderungen der lotrechten Balken

auf die Durchbiegungen..............

VII. Einfluß der Querkräfte auf die Durchbiegungen .... 71 VIII. Einfluß der Temperatur

IX. Berücksichtigung der Schachtaussparungen im Ober- und Unterhaupt der Schleuse..............

D.    Vorschläge für ein neues System von Schachtschleusen, seine

Vorzüge und sein Berechnnngsgang.............

E.    Schlußbemerkungen.....................

12

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21

35

. 58

60

62

64

. 73

86

94

Vorwort.

Die Anregung zu den folgenden Untersuchungen hat ein nicht veröffentlichter Umdruck gegeben, welcher von dem Herrn Regierungs- und Baurat Schnapp im preußischen Ministerium der öffentlichen Arbeiten bei Gelegenheit der Entwurfsbearbeitung zum Bau des zweiten Abstiegs bei Henrichenburg verfaßt ist und worin meines Wissens zum ersten Male das in der vorliegenden Arbeit verwendete Prinzip — unter den weitestgehenden Vereinfachungen, Annahmen und Annäherungen — auf Schleusen zur Anwendung gekommen ist. Von sonstiger Literatur ist — zur Vermeidung der Ableitung allgemein bekannter Formeln — nur das Buch von Müller-Breslau „Neuere Methoden der Festigkeitslehre“ an den im Text näher be-zeichneten Stellen herangezogen.

A. Einleitung.

Das 'Bestreben, die von einem Schiffahrtsweg zu überwindenden Höhenunterschiede zur Erzielung¹ langer Haltungen in tunlichst wenige Gefällspunkte zusammenzuziehen, führte in letzter Zeit zu Aufgaben: Bauwerke zu konstruieren, die für die Überwindung großer Gefälle brauchbar sind.

Neben Hebewerken und schiefen Ebenen haben sich als besonders geeignet Schleusen ergeben, deren Bauart von den für

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Fig. 1 a.

kleine Gefälle üblichen Konstruktionen indessen in mancherlei Punkten abweicht. Da bei größeren Gefällsunterschieden das Untertor zu gewaltige Höhenabmessungen erhalten würde, ist dasselbe nur so groß gewählt, daß es eine Öffnung in der Abschlußmauer des Unterhaupts verschließt, die dem größten Kanalfahrzeug bei genügendem Spielraum jederzeit die Durchfahrt gestattet (s. Fig. 1 a). Dadurch ist, abgesehen von den

Unterbrechungen im Ober- und Unterhaupt, die Schleuse zu einem allseitig geschlossenen Schacht geworden; solche Schleusen werden daher als „Schachtschleusen“ bezeichnet.

Mit der Konzentrierung der Gefälle ging Hand in Hand die Aufgabe, den bei einer solchen Schleusung gewaltigen Wasserverbrauch, insbesondere bei Wasserknappheit von Scheitelhaltungen, nach Möglichkeit einzuschränken. Zu diesem Zweck (und auch zur Verringerung der großen Strömungsgeschwindigkeiten bei Beginn der Ausspiegelung) wurden in verschiedener Höhenlage sogenannte Sparbecken angeordnet, welche das Wasser beim Abstieg zum größten Teil aufnehmen, um es beim Aufstieg an die Kammer wieder abzugeben. Je nach der Geländegestaltung sind diese Sparbecken fächerförmig zu einer Seite oder auf beiden Seiten der Schleuse als offene Becken im Seitengelände angeordnet, oder das Wasser wird in Hohlräumen auf gespeichert, welche durch Aussparungen in den Kammermauern gewonnen sind; diese letztere Art von Schachtschleusen werden daher auch als „Speicherschleusen“ bezeichnet. Auf Schacht- und Speicher-schleusen der bezeichneten Art beziehen sich vorliegende Untersuchungen.

Die übliche Berechnung der Schleusen geringen Gefälles läßt nun im Stich, sobald wir es mit völlig geschlossenen Schachtschleusen zu tun haben; zum mindesten würde die Ermittlung der Abmessungen ausschließlich mittels der üblichen Untersuchung der Stützlinie eines Seitenmauerquerschnitts durchaus unwirtschaftlich sein und eine solche Untersuchung ein falsches Bild von der Verteilung der Kräfte und dem Auftreten der Beanspruchungen — insbesondere in der Nähe der Häupter — innerhalb eines solchen Bauwerks bieten. Aufgabe vorliegender Abhandlung soll es sein, eine Methode zu entwickeln, nach welcher sich die Querkräfte und Momente in wenigstens genügend genauer Annäherung erkennen und darnach die Abmessungen ermitteln lassen.

B. Systeme der behandelten Bauwerke.

Nur wenn es sich um Scliachtschleusen handelt, bei welchen Häupter und Kammermauern mittels senkrechter Fugen in einzelne voneinander unabhängige Teile getrennt sind, ist die übliche graphostatische Untersuchung der Kammermauer beizubehalten. Müßten solche Fugen erheblicher zu erwartender Bodensenkungen wegen angeordnet werden, so wäre ein Bauwerk von so großen Abmessungen, wie sie bei Schachtschleusen die Regel sind, überhaupt nicht am Platze. Sind sie dagegen nur angeordnet, um nachträgliche geringe verschiedenartige Setzungen des Mauerwerks sowie Längenänderungen bei Temperaturwechsel auszugleichen, so wird es zweckmäßig und vorteilhaft sein, die durch Fugen getrennten Kammerteile an der Fuge selbst elastisch nachgiebig durch Querriegel untereinander zu verbinden (Näheres s. unter D).

Während die Berechnung völlig geschlossener Schachtschleusen nachstehend im einzelnen durchgeführt ist, wird diejenige für Schleusen der eben genannten Art, die sich auf denselben Grundlagen aufbaut, unter D nur im Prinzip gestreift werden.

C. Die Berechnung völlig geschlossener Schacht- und Speicherschleusen.

1. Voraussetzungen und Vereinfachungen.

Die Kammermauern von Schachtschleusen mit offenen Sparbecken haben neuerdings talsperrenähnliche Querschnitte (2. Abstieg bei Henrichenburg), erhalten, und auch die Querschnitte und Eisenarmierungen von projektierten Speicherschleusen (Minden, Masurischer Kanal) wachsen naturgemäß von oben nach unten erheblich (s. Fig. lb u. c); infolgedessen wird eine Untersuchung des Bauwerks nach der Elastizitätstheorie erschwert. Der bequemeren Übersicht halber soll daher zunächst mit einem mittleren konstanten Trägheitsmoment Is der Seitenmauern gerechnet und erst später untersucht werden, welchen Einfluß die Querschnittsänderungen sowie Querkräfte und Temperaturänderungen auf das Resultat

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Fig. 1 b.

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Fig. 1 c.

haben. Weiterhin sollen die Unterbrechungen des Ober- und Unterhaupts für das Aus- und Einfahren der Fahrzeuge erst nachträglich berücksichtigt und angenommen werden, daß das Bauwerk einen von oben bis unten völlig geschlossenen rechteckigen Kasten darstellt. Ohne einen großen Fehler zu begehen, kann der Boden dieses Kastens — falls ein solcher als starre Verbindung der Kammermauern überhaupt vorhanden ist und letztere nicht etwa direkt in den Felsen oder festen tonigen Untergrund einbinden — getrennt für sich als beiderseits in den Kammermauern eingespannter Balken berechnet werden.

II. Die angreifenden Kräfte.

Die angreifenden Kräfte auf den rechteckigen Kammerschacht sind:

1.    das Eigengewicht G der Mauer,

2.    der Wasserdruck W von innen,

3.    der Erddruck E von außen, und außerdem

4.    solche inneren Kräfte, die durch etwaige Temperatur

veränderungen im Mauerkörper entstehen.

Die Ermittlung der Kräfte und Beanspruchungen infolge Eigengewicht begegnet keinen Schwierigkeiten. Der Wasserdruck von der größten Höhe h' stellt sich in bekannter Weise als Dreieck von der Basis y h' dar, während vom Erddruck je nach der Höhe he" der Umschüttung bezw. Einbettung der Schleuse in den Untergrund seine Horizontalprojektion, dargestellt durch ein Dreieck von der Höhe he" und der Basis 2 E cos ô

zu verfolgen ist ; außerdem wirkt noch die

he"

senkrechte Erdlast Ge (s. Fig. 1 b).

Beide Belastungsfälle lassen sich demnach durch eine Untersuchung erledigen, man hat nur später y h' mit ye" he"

2 E cos ô

hë"

gilt die im folgenden für den Wasserdruck geführte Untersuchung der Annäherungen wegen nur dann auch für den

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Erddruck, wenn das Verhältnis

h

zu vertauschen, wo ye

zu setzen ist. Indessen

h —he"

relativ klein

Bauwerke sind, so daß bei ihnen das Verhältnis

ist; dies trifft bei Scliaclitsclileusen mit offenen Sparbecken wohl meist zu, bei denen die Schleuse der Sparbecken wegen tief ins Gelände eingeschnitten sein muß, dagegen wohl seltener bei Speicherschleusen, welche zum größten Teil freistehende

h — he"

wesentlich größer wird. Falls man auf die Ermittlung des Einflusses des Erddrucks auf die inneren Spannkräfte der Kammermauer dann nicht überhaupt verzichtet, wird man angenähert die Mauer auf die Höhe he" als einen Balken mit oben und unten eingespannten Enden zu betrachten haben; dieser Fall ist hier indessen nicht weiter verfolgt, sondern nur die durch die Wasserdr uckbelastung entstehenden Momente, Quer- und Längskräfte der Schleusenmauern und Häupter untersucht.

Der Einfluß von Temperaturveränderungen wird unter Abschnitt VIII behandelt.

III. Die statischen Voraussetzungen und das Prinzip der Untersuchungen.

Um die Behandlung des Problems in praktisch verwertbaren Grenzen zu halten, sind eine Anzahl Annahmen erforderlich geworden. Es wurde der Schacht aufgelöst gedacht in zwei Scharen von materiellen Balkenfäden mit der Breite bezw. Höhe 1, und zwar eine Schar lotrechter Balken, welche im Untergrund bezw. in der Sohle fest eingespannt und oben frei beweglich gedacht sind, und eine Schar horizontaler Balkenrahmen mit steifen Ecken, wie sie durch Horizontalschnitte entstehen würden (s. Fig. 2 a und b). Beide Scharen dienen sich gegenseitig als Auflagerunterstützung, ohne indessen andere Kräfte als in der Richtung des Wasserdrucks aufeinander zu übertragen. Jede dieser Balkengruppen übernimmt einen Teil des an einer Stelle auf der Kammer wand lastenden Wasserdrucks und überträgt den Rest auf die andere Gruppe, und die Lastverteilung läßt sich nun, je nachdem man die eine Schar Balken als primäre Lastträger und die

andere als sekundäre Auflagerbalken annimmt, von zwei Gesichtspunkten aus betrachten, trachtungen heraus lassen sich gewisse Schlüsse ziehen in bezug auf die Belastungsgesetze in Richtung der

Aus diesen beiden Be-

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Fig. 2 a.

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Fig. 2 b.

lotrechten und horizontalen Balken, auf deren nähernd genaue Ermittlung das ganze Verfahren hinausläuft. Hat man zunächst einmal die Gleichungen gewisser Ersatzbelastungskurven für beide Balkensysteme annehmen können, welche sowohl den statischen Überlegungen annähernd entsprechen als auch mathematisch für möglichst viele Balken

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einer Schar zusammenfaßbar und des weiteren einfach zu behandeln sind, so lassen sich mittels dieser Ersatzbelastungs-

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Fig. 3 a

[Lotrechter Balken in der Entfernung z von den Ecken.]

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Fig. 3 b

[Horizontalrahmen in der Tiefe x' unter O. W.]

kurven die Durchbiegungen der senkrechten und wagrechten Balken berechnen. Die Festlegung der Ersatzbelastungskurven durch je drei ihrer Ordinaten geschieht dann durch die Grundbedingung :

d. h. an jeder Stelle der Kammermauer muß die Durchbiegungei n es horizontale nBalkenrali men s gl eich derjenigen des betreffenden lotrechten Balkens sein. Durch die Anwendung dieser Bedingung auf beliebig viele Stellen der Kammermauer kann man beliebig viele Ordinaten der Ersatzbelastungskurven bestimmen und daraus — wie später gezeigt werden soll — mittels der bereits entwickelten Biegungslinien der lotrechten und horizontalen Balken die zunächst angenommenen oben erwähnten Ersatzbelastungskurven durch genauere ersetzen ; aus diesen richtigen Belastungskurven werden dann die Quer-kraft- und Momentenlinien der lotrechten und horizontalen Balken durch ein- bezw. zweimalige Integration gefunden. Zweckmäßig ist es nun, die Wasserdruckbelastungen der langen und kurzen Schleusenwände in zwei Untersuchungen A und B getrennt für sich zu verfolgen und die beiden daraus resultierenden Querkraft- bezw. Momentenlinien zu addieren. Es genügt, von den senkrechten Balken der jeweils belasteten Schleusenwand, als z. B. der langen Wände, diejenigen in der Mitte und der halben Entfernung von den Schleusenecken, für die unbelasteten Wände, also hier von den Häuptern, nur den mittelsten senkrechten Balken zu betrachten ; da die für diese drei Balken angenommenen Ersatzbelastungskurven durch je drei solche Ordinaten festgelegt werden, welche zugleich die Ersatzbelastungskurven von drei horizontalen Balkenrahmen in Höhe des O. W., in der Tiefe 3

h'/2 und hf unter 0. W. bestimmen, so sind unter Beachtung*

der vorhandenen Symmetrie demnach 3-3 = 9 Gleichungen mittels der Grundbedingung ys x = yw z aufzustellen, aus denen die neun Belastungsordinaten p errechnet werden ; diese neun Gleichungen gelten aber auch für die Untersuchung B, in der die Belastungen der Schleusenwände gewechselt werden, also für unbelastete lange Wände und belastete kurze Wände; man hat nur überall 1 mit b zu vertauschen.

IV. Annahmen über die Belastungsgesetze der lotrechten und horizontalen Balken.

Greift man einen lotrechten Balken (als primären Lastträger betrachtet) der für sich allein belastet gedachten langen Schleusenwände heraus und denkt sich den horizontalen Balkenrahmen fort, so wird er sich unter der Wasserdruckbelastung W durchbiegen. Unterstützen ihn Balkenrahmen gleicher Form und annähernd gleichen (mittleren) Trägheits-

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Fig. 4.

moments auf seiner ganzen Höhe, so ist das gleichbedeutend mit einer auf die ganze Höhe h gleichmäßig elastischen Unterlage, und die an irgend einer Stelle auf sie übertragenen Auflagerdrücke müssen proportional der wirklichen unbekannten Durchbiegung des senkrechten Balkens in diesem Belastungszustand sein, also

(2)

Ps = V JS

wo v eine für einen Balken konstante Ziffer bedeutet. Die gesuchte Biegungslinie soll nun annäherungsweise dadurch gefunden werden, daß die für die lotrechten Balken negative

Aiiflagerbelastimg zunächst durch eine aus Parabelflächen zusammengesetzte „Ersatzbelastungsfläche“ R mit den Ordinaten px' ersetzt wird; aus der Bedingung

h    h

fvy₃x-dx=fps'-dx 0 0

V

kann die Ziffer % und aus Gleichung (2) die genauere negative Belastungskurve des Balkens gewonnen werden; die Ordinate der wirksamen Belastungsfläche des senkrechten Balkens lautet also

(4)

qx-yx' — v-yax,

woraus durch zweimalige Integration oder auf graphischem Wege sich die entsprechenden Momente der lotrechten Balken ermitteln lassen.¹)

Im Prinzip bleibt dieser Gedankengang bei der Berechnung aller lotrechten Balken der Kammermauern und Häupter derselbe, nur mit dem Unterschiede, daß die Ersatzparabeln entsprechend der von der Schleusenseite nach den Ecken sich ändernden Biegungslinie anders geformt sind; betrachtet man einen Balken in Nähe der Schleusenmitte, so haben die beiden Ersatzparabeln etwa die in Fig. 5 skizzierte Form und werden durch die Ordinaten p₀, pm und Pu', aus denen p₀' und pu berechnet werden, festgelegt; wird dagegen ein lotrechter Balken in Nähe der Schleusenecken betrachtet, so folgt aus der Überlegung, daß in der Schleusenecke selbst der lotrechte Balken eine Durchbiegung nicht erleiden, also auch keine Belastung empfangen kann, daß die auf die horizontalen Auflagerbalken übertragenen Drucke (= den Ordinaten der negativen Belastungsflächen der lotrechten Balken) nach den Schleusenecken zu wachsen und in den Ecken gleich dem Wasserdruck yx' selbst sein müssen. Die negative Belastungsfläche eines solchen lotrechten Balkens

ł) Genau genommen wären auf Grund der Gleichung (4) die Durchbiegungen y und daraus die Belastungswerte p genauer zu ermitteln; ■der Einfachheit halber sind die erstmalig gefundenen Werte p beibehalten.

soll daher durch zwei Parahelflächen der in Fig. 6 gezeichneten Art ersetzt werden; sie wird wiederum durch die drei

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Fig. 6.

später zu bestimmenden Ordinaten p₀, pm und pu' festgelegt, aus denen p₀' und pu sich errechnen lassen. Die beiden Formen der Ersatzbelastungskurven unterscheiden sich in ihren Gleichungen nicht voneinander; es wird in Fig. 5 und 6 die zweite (untere) Ersatzparabelfläche zur ersten negativen Parabelfläche auf die Höhe h" addiert; rechnerisch lassen sich beide Fälle daher zusammen erledigen. Die erste Form gilt für ein negatives, die zweite für ein positives pu; für den Grenzfall pu = 0 fällt die zweite Ersatzparabel fort.

Für die Häupter ist eine Wasserdruckbelastung im Last-zustand der Untersuchung A nicht vorhanden; sie biegen sich indessen infolge der von den langen Wänden übertragenen Eckmomente SD7₀ nach innen durch, und die diesen Momenten entsprechende Belastung verteilt sich nach gleichen Gesetzen wie bei den. langen Balken. Man kann daher die in Fig. 5 gezeichnete Belastungsfläche — abgesehen von der fehlenden Dreieckfläche — einführen, deren Ordinaten für lotrechte Balken nach den Ecken zu allmählich nach parabolischem Gesetz auf 0 abnehmen würden. Die einzige Änderung in den für die langen Schleusenwände entwickelten Formeln besteht darin, y = 0 zu setzen und überall 1 mit b zu vertauschen.

Die für die lotrechten Balken entwickelten Gedankengänge für die Ableitung der richtigen Belastungsgesetze gelten ebenso für die — jetzt als primäre Lastträger gedachten — horizontalen Balkenrahmen mit den lotrechten Balken als sekundäre Auflagerbalken: denn letztere sind für einen Horizontalbalken sämtlich Kragträger von gleicher Länge und annähernd gleichem Trägheitsmoment, d. h. gleichbedeutend mit einer auf die ganze Länge 1 bezw. b gleichmäßig elastischen Unterlage; dabei kann jede Rahmenseite 1 oder b als ein einzelner Balken auf zwei Stützen mit den Einspannungsmomenten Ü0lo behandelt werden. Nach den getrennt geführten Untersuchungen A und B für die Belastungen der langen und kurzen Schleusenwände entstehen so die in den Fig. 7 a und b dargestellten Zustände. Yer-tauscht man in den für die Untersuchung A abgeleiteten Formeln wieder überall 1 mit b, so entstehen die für die Untersuchung B gültigen Formeln. Die auf die Unterlage übertragenen Auflagerdrücke R (= der Belastung der lot-

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Fig. 7 a

(Untersuchung A)

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Fig. 7 b.

(Untersuchung B)

rechten Balken) müssen wiederum proportional der wirklichen unbekannten Durchbiegung yWz des wagrechten Balkens sein, d. h.

wo wiederum ju eine für einen Balken konstante Ziffer bedeutet. Die gesuchte Biegungslinie yWz soll nun annäherungsweise dadurch gefunden *verden, daß die für die wagrechten Balken negative Auflagerbelastung zunächst durch eine aus Parabelflächen zusammengesetzte Ersatzbelastungfläche mit den Ordinaten [pz] ersetzt wird, die indessen durch die drei aus

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Fig. 8.

den Grundbedingungen ySx = yWz gefundenen richtigen Last-ordinaten p, p¹ und pr festgelegt wird (später wird aus Symmetriegründen pr == p¹ gesetzt). Aus der Bedingung

(6)

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kann dann die Ziffer ju, aus Gleichung (5) die wirkliche negative Belastungsfläche, und des weiteren können aus der genaueren Gleichung für die wirksame Belastung

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(7)

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die wirklichen Momente und Querkräfte gefunden werden.

So ist für

Im Prinzip ist die Untersuchung für alle horizontalen Rahmen und alle vier Seiten eines Rahmens dieselbe, nur mit dem Unterschiede, daß die Ersatzparabeln entsprechend den von oben nach unten sich ändernden Biegungslinien der wagerechten Balken anders zu bilden sind.

Balken in Höhe des Oberwassers und oberhalb desselben nur die von den senkrechten Kragbalken wieder abgegebene, positiv zu rechnende Auflagerdruckbelastung vorhanden, wie man sich überhaupt die wirksame Belastung eines Horizontalbalkens genau genommen aus drei Flächen zusammengesetzt zu denken hat (s. Fig. 9 a—c) :

1.    aus der positiven Wasserdruckfläche W von der konstanten Höhe y hx',

2.    der davon abzuziehenden negativen Auflagerdruckfläche R, welche als Anteilbelastung von den senkrechten Kragbalken übernommen wird, und

3.    derjenigen positiven, also zu addierenden Fläche A, welche von den Kragbalken als Auflagerdrücke an die Horizontalbalken wieder zurückgegeben wird.

Fig. 9a.

[Horizontalbalken in O.W.-Höhe und oberhalb O.W.]

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Fig. 9 b.

[Horizontalbalken dicht unter O.W.]

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Fig. 9 c.

[Horizontalbalken in größerer Tiefe unter O.W.]

Zielit man die Ordinaten der beiden letztgenannten Flächen zu einer einzigen p zusammen — was ohne weiteres möglich ist, da beide proportional den Durchbiegungen der senkrechten Balken sind —, so ergeben sich die in den Fig. 9 b und c punktiert gezeichneten Belastungskurven, mit welchen gerechnet wird und welche auch die tatsächliche negative, also auf die senkrechten Balken entfallende Belastung R' darstellen. Je nachdem man daher in der allgemeinen Gleichung für die Belastungskurve der wagrechten Balken der Ordinate p positives oder negatives Vorzeichen gibt, lassen sich die in den Fig. 9 a —c dargestellten Belastungsfälle behandeln.

Die Belastungsgesetze sämtlicher horizontaler Balken 1 und b lassen sich je nach ihrer Lage in drei allgemeine Gleichungen zusammenfassen, deren Behandlung indessen ganz gleichartig ist:

Betrachtet man nämlich einen bisher wie in den Figuren 9 a —c dargestellten horizontalen Balken der langen Schleusenseite 1 in geringer Tiefe unter O. W., so wird für ihn die in Fig. 10 dargestellte Ersatzbelastungsfläche gewählt,

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Fig. 10.

bestehend aus der positiven Rechteckbelastung y hx' und der negativen Ersatzbelastungsfläche mit den drei Ersatzparabeln A B, B F und F G; aus Symmetriegründen ist für die Berechnung nur eine Hälfte der Belastungsfläche mit den zwei Ersatzparabeln A B und B C heranzuziehen. Die Belastungsfläche wird dann dargestellt durch die Flächengleichung:

F = nADIH — <] AED + <]BEC; [p| = p;>p*]-

Betrachtet man nun Horizontalbalken dicht über dem Schleusenboden, so folgt ans der Überlegung: daß im Schleusenboden selbst der Horizontalbalken eine Durchbiegung nicht erleiden, also auch keine Belastung empfangen kann, daß die auf die lotrechten Auflagerbalken übertragenen Drucke (= den Ordinaten der negativen Belastungsfläche der horizontalen Balken) nach dem Schleusenboden und den Schleusenecken zu wachsen und in der Sohle selbst = dem Wasserdruck j'h' selbst sein müssen. Die Belastungsfläche eines solchen horizontalen Balkens soll daher durch zwei Parabelflächen

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Fig. 11.

der in Fig. 11 gezeichneten Art ersetzt werden; die Belastungsfläche wird dargestellt durch die Flächengleichung F = DADEL —<JAED + <BEC; [pj = p,r = p^-

Die Ersatzparabeln werden wiederum durch die zwei später zu bestimmenden Lastordinaten p, und p* festgelegt, während p,' aus p* folgt.

Durch einige Substitutionen in der ersten Flächengleicliung (S. 19) läßt sich der Rechnungsgang für die zweite Flächengleichung wesentlich vereinfachen.

Schließlich ist bei den wagrechten Balken b der Häupter zu beachten, daß hier nur der Einfluß der negativen Rahmen-momente für die Form der Biegungslinie maßgebend ist; während bei den Balken der langen Schleusenseite 1 die Biegungslinie komplizierter Natur ist, hat sie hier etwa die Form einer einfachen Parabel, und zwar sowohl für die von den senkrechten Balken als unterstützt wie nicht unterstützt betrachteten Horizontalbalken. Nach den bisherigen Überlegungen kann für die Kurve der hier positiven Auflagerbelastung der (primären) Horizontalbalken infolge der Durchbiegung der (sekundären) lotrechten Balken die Gleichung der wirklichen Biegungslinie des Horizontalbalkens, also angenähert eine Parabel zugrunde gelegt werden (s. Fig. 12). Diese Ersatzbelastungskurve wird durch die Mittelordinate [pb] bestimmt, welche zugleich negative Belastungsordinate des senkrechten Mittelbalkens ist.

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Fig. 12.

V. Durchrechnung.

a) Entwicklung der Ersatzbelastungskurve und Biegungslinie sowie der wirklichen Belastungskurve und der Querkraft- und Momentenlinie eines lotrechten Balkens.

Wird die Differenz h — h' = a gesetzt, so herrscht für einen Wert von x' = x — a unter dem O. W. die Belastungsordinate qx, welche sich je nach der Größe von x aus verschiedenen Teilbelastungen zusammensetzt; diese Teilbelastungen sind außer von x und den gegebenen Abmessungen sämtlich von x und den drei unbekannten Lastordinaten p₀, pm und Pu' abhängig. Dies zeigt sich am übersichtlichsten, wenn man die Zusammensetzung der wirksamen (schraffierten)

Belastungsfläche F entwickelt; wird der Wasserdruckbelastung jetzt negative Richtung zugeschrieben, so ist F = — A E HF — A AB C + □ D B C F — /\ICG — [> OFG

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Fig. 13.

Um die oberste Ordinate p₀" des Dreiecks ABC zu bestimmen, ist die Richtung tga der Tangente an die Parabel in I festzustellen; es ist

tga

IM

IM

⁴(pm

— ⁴ Pin — 2 (p₀ A p u)

GC = 4LN = 4NP¹)

9JÎ G = pu — po I M = h'

b Nach einem bekannten Lehrsatz über die Parabel.

h'

von o bis h' und diejenigen mit x" von o bis — zu integrieren

sind; für Werte von x und x' zwischen o und ¹/₄h, bezw. ³/₄ h' ist x" = o zu setzen, für Werte von x zwischen o und a = h — h' auch x\

Es ist nun pu aus der Gleichung der 1. Ersatzparabel durch Pu', Po und pm auszudrücken, wo pu', das an Stelle der nur gedachten Belastung pu tritt, in der Tiefe ¹/₄ h' unter

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(11)

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[4 pm — 2 (p o -j- pu) -j- pu — p ₀]

3 Po — Pu+ 4pm

h'

AB

Po"

— A I) + B D

AD

Po'

BD

Po — a tg a

GC-f GF = 4pm—2(p₀ + Pu) + Pu = 4pm—pu — 2po

P,"

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— Po + p (4 Pm — 3 p0 — pu) + (4 pm — pu — 2p₀) — 3 Po — Pu) (p + lj = p (4: Pm

-yx'-AB^ + BD-Cft^

(li — x)

(4 Pm

Es ist also

⁽lx = —

= — y x' — (4pm — 3p₀ — pu)

— [4 pm — 2 (P o + Pu)] pi — Pu Setzt man:

3 Po Pu) •

x"’²

GFP^

h, +(4pm — Pu-

x"2 h”² ‘

2 Po)

(12)

(h — x)

i,-    +ß~

dx'²

x"²

qx = — y x' — a

Bei der Integration ist zu beachten, daß die Glieder mit x bezw. ohne Unbekannte — von o bis h, diejenigen mit x'

li'²

Pu "

O. W. herrschen soll. Es folgt aus Gleichung (8) für Werte von x' = < ³/₄ h':

(4 Pm — 3 p o — Pu) ^7“ + (4 Pm — Pu — 2 p ₀)

— [4pm —2(p₀ + pu)]

³/₄ h' + a, £0

— (4 pm — 3 p « — Pu) j -f (4 Pm — pu — 2 p o)

9    8

—    [4pm — 2(p₀-f pu)] Y6=+ 8Pu —

9

+ (4 Pm — 2 Po) — (4 pm — 2Po) Jß.

8 2 8

—    3 Pu' -j- g (4 Pm — 8 p o) — g (4 pm

+ 3 Pu'-2 pm + 3 Po •

Dann lauten die drei Gleichungen (9) bis (11):

n    8    ,    10

a = 6pm — g Pu--g- Po

, 8 6 Pm — 75

Setzt man x' = x — a = ³/₄ h% also x

folgt :

Pu' =

(13) Pu

(9 a)

(10 a)

(11 a)

+ |(4pm — 2 Po)

8 1V

Po

4Pm 8p₀

— 2 Po)

16

co ieo

8 Pm — g Pu' —

Für die Entwicklung der Biegungslinie gehen wir von der Grundgleichung einer Biegungslinie eines geraden Balkens mit konstantem Trägheitsmoment Is und konstantem Elastizitätsmodul E aus; sie lautet für einen Kragträger:

Po-

Eis

d⁴y

dx⁴

wo also Is ein konstantes mittleres Trägheitsmoment eines lotrechten Balkens von der Breite 1 darstellt. Setzt man

den Wert von qx aus Gleichung (12) ein, so ergibt eine 4 malige Integration unter Beachtung des allgemeinen Integrals

JjM +1

m -j- 1

— x)m =

(h — x)in "b¹

m -j- 1

folgendes:

(12 a) EIS

a⁴y

dx⁴

(14) E Is

d³y

dx³

= Qx

y x'²

+ 2¥<ll-x>3

-Pu

/x'V lhT7 '

oh2 2 h'

+ /^x

d x'³ pu x'':! 3 h'²    3l?⁷²

(15) E Is

à-y

dx²

= Mx =

y x';!

a h²

2 h'

x-f

f c,.

6 h'    6h'(U—:X)$

a h*

ßx- _ d x'⁴ _ Pu X''⁴

2    12 li'² 12 h''² '    ¹    ‘    ² ■

rH

eo

PT P-X !V!

bo

j'x'⁴ ah'

" “ si a

24    41?X 1 6h'X

ah⁴

ß x³

24 h'

rirj

⁺ 2ll?(ll“X)M_ 6

C,x²

d Xr >

60 h'²

PuX

60 h”² '    2

+ C₂ x -f- C,.

(17)

EIsJs^¹)

'5

ah²

4-

air X² a li⁴

120    12 h' X + 121?' " ' 241? X

all⁵    a(h — x)⁵ i /?x⁴ dx'⁶

120h⁷    120h' ⁺ 24 ~~ 360h'²

PuX"⁶^

360 h"²

P v3 P y2

-*6    +    2 +C3x + C₄.

Gleichung’ (14) kann gedeutet werden als die Gleichung der Querkraft Qx, Gleichung (15) als diejenige des Moments

0 Als positiv ist eine Durchbiegung im entgegengesetzten Sinne der Wasserdruckrichtung gerechnet.

Mx, Gleichung (16) als diejenige der Tangente tgax an die Biegungslinie des Balkens, und Gleichung (17) stellt dessen Biegungslinie selbst dar.

Zur Bestimmung der 4 Integrationskonstanten CL bis C4 stellen folgende 4 Gleichungen zur Verfügung, die sich aus der Erfüllung der Grenzbedingungen des Kragträgers ergeben:

aus Gleichung (14) für x = 0: Qx _ ₀ — 0 = EIS

d³y

(15) „ x = 0: Mx = o — 0 — EIs

(16) „ x = h:EIstga = 0 = EIS

' x' = h'

EIsy0x

,x" = h". (17) „ x — h: 0

/x' = h'\ \x"== h'7

Es folgt dann aus Gleichung (14): Cx = 0 „    „    (15): C₂ = 0

„    „    (16): C₃ = 4

y h¹

ah⁴ /5h³    <5h's . puh"³

24 + 8 h' 6 T 60

60

Î5

(17): C₄ = —

y h'⁴

12Ö

(5 h — h')

llah⁵ /5 h4 120 h' '    8

<5 h'3 360

(6 h—h')

Pu h"³

360

(6 h — h").

Wenn man die Konstanten in die Gleichungen (14) bis (17) einsetzt, lauten die Gleichungen:

(14 a) Elg

d³y

dx³

Qx = —

I to

<5x'³ p ux"3 3 h'2 — 3 h⁷⁷² ‘

(15 a)    =

ah² . ah8 6    2h' X ' 6h⁷

ßx²    Ôx'⁴ PuX"⁴

12h⁷² ~12hrr*‘

yx'⁸

0V (h x)s+ 2

dy

(16a) EISdx

y x'*

— El s tg ax —    24~

ah⁴

ah⁸

6 h'

+ 2^(ll-x)H

y h'* ßh⁸ .

--â—r

12 h'

24

«0

X

Pu X

6 r 60h"²

ôh'³ . puh"³

60

60 ‘

(17 a)

E Is ys —

X

yx'⁶

I2Ö _ 12h'

ah⁵

ah²X³ , ah³X² ah⁴

UV 12h'X 3 ôx'6 24    360 h'²

12h'    120h'(h    X'⁵"^

*    4-

PuX"⁶

y h'⁴

ßh⁸

ôh'*

360 h"² ‘    24

6 X + -6ÔX

Pull"³

X

y 11'⁴

60

120

(5 h — h') -f-

ßh*

ÔYY⁸

360

(6 h — h') —

Pull"³

360

(6 h — h").

Ordnet man nach fallenden Potenzen von x, so folgt:

ôx'⁶ pux"⁶ yx'⁵ a (h — x)6 360h72 _ 360h⁷⁷² ~ 12Ô    120h'

ßx⁴ ah²X³ . öh³x²

(17 h) EIsySx = -

+ 24

12 h'

12 h'

ßh³ . ôh'³ , puh"³

60

60

)*

ah⁶

12 h'

y h'⁴

7 h'⁴

120

ßh* ôh'3 (5 h—h') + ^-------

360

(6 h — h')

puh"³

360

(6 h —h").

Diese Gleichung gilt für jeden senkrechten Balken der

langen und kurzen Schleusenseiten.¹) Hier interessieren besonders die drei Durchbiegungen in Höhe des O.W. sowie in der

Tiefe ^ und ³/₄ h' unter O. W.

Es wird fiir x = 0. xf = 0, x" = 0 und h" = *l

(18) EIäySs,

h'⁴

— 3 a — 12;'h' — Pu — & ô

h³

a'-

+ ^[-2ah + 30h —4/?a] + M[/?a² + 3ah²]

IV

ferner wird für x = a -|-    , x' =

x" = 0 u. h" = -r-:

(19) EIsys ,_E 2

IV¹

11

360-2⁶ I

— 129 ô — 294 y IV 6 a--rpu

h³

-f- 24 [— a h ~f- ß h — 2 ßix]

(•+*)-

24

und für x = a -f-

31V

x" = 0 u. h” =

(20) EIsys ,_3jc = 4

IV⁴

[ — 2777 ô — 5988 y IV — 12 a

360-4⁶

h³ o. h

-8OpJ+^[-^-0a I 24

läh> + /Ia» + !/!h'a + it/W

für den Sonderfall a = 0, h — IV, x = xf wird

h4 ^_33a__i2yh—5d-f 45£

(18 a) EIsyax,

23

44 Pu/ •

b Für die letzteren ist in der Untersuchung A — lange Wände belastet, kurze Wände unbelastet — y — 0 zu setzen.'

<19a) EIsys ,_h 2

h⁴

360-2e

— 726a — 294 y h — 1293

+ 1020/?-“ pu).

h⁴

(- 13 452 a —5988/11

— 2777 ô + 19 440 ß — 80 p+

Ersetzt man die Werte a, ß und ô sowie pu nach den Gleichungen (9 a)—(11a) und (13) durch pu', p₀ und pm, so lauten die drei Gleichungen¹):

(18 b) EIsySx=0

(20 a) EIsySx, _

3h =

360-4⁶

h⁴

[24 714 pm — 4280 pu'

360-3-44 + 14057 po —92167 h]

h⁴

360

[32,15 pm — 5,58 pu' +18,31 p₀ —12 7 h].

(19 b) EIsys h_ =

h⁴

360-3-44 + 4597 p₀ — 35287 h]

[8850 pm — 1240 pu'

h⁴

360

[11,52 pm —1,614 pu' + 5,99 Po — 4,597 h].

(20b) EIsySx=3h

h⁴

360-3-4«

+ 20 576 po — 17 9647 h]

[41616 pm — 4112 Pu

h⁴

360

[3,39 pm — 0,335 pu' +1,675 po—1,462 7 h].

Aus Gleichung (3) folgt nun

(21)

h

/ [Px] d x 0

k    ’

/ y» dx

0 x

9 Für die entsprechenden drei Durchbiegungen im Haupt ist in den Gleichungen (18 b)—(20 b) y — 0 zu setzen.

y s — der in Gleichung (17 b) entwickelten Biegungslinie ist und [px] aus Gleichung (12) folgt:

wo

w—ra+'-4

— Pu

Unter Benutzung von Gleichung (14) folgt dann

h    h

J[Px'] dx =

ah²

L 2h' ¹ 2h' o

— x)² + ^x

<5x'³ PuXf'⁸

3 h'²    3 h"²

ah2 2 h⁷

«5 h'

Puh'

Die Integration von Gleichung (17b) ergibt:

h    h

EIS J ysxdx =

o    o

Ô x'⁷

Pu

x"⁷

'6

ah⁶

360h'² 7    360 h"² 7    120-6    120h'-6

a(h—x)

/?X⁵

a h² X⁴ . a h³x³

ah⁴

120h' 6 ‘ 24-5    12h'-4 ‘ 12h'-3

12 h'

7 h'⁴

ß\is . <5h'³ . puh"³

24

60

)+>i

ah⁵

12 h'

7h'⁴

120

Puh"³

360

,,,    ß\i* <5h'³

(oli li)+ 8    360-

(6 h— h")}

(6 h — h')

<5h'⁵    puh"⁵    7I1'⁶

360-7    360-7    120-6    120-6 h' ¹ 24-5

all⁶

ß\l⁵

ah⁶ . 7 h² h'⁴ ß\i6 Ï2~41i' ¹ 12 3h' r 1272h⁷24^2    6^2

<5h²h'³ pu h² h"³ ah⁶ 7I1I1'⁴

ah⁶

ah⁶

60-2

60-2    12 h'

120

(5h—h')

ßh⁵

<5hh'³

8    360

(6h—h')

Pu h h"

360

(6 h" —h)

h'³

360-14

— 2<5h'² —42<5h² + 14<5hh'

45

₄₄ pnhh' — 7yh'⁸ — 105 y h* h'

42 pu h² 14

4~ 42    h'² -f

h⁵

ah

120-6

— 26~+36^ .

h    h

Setzt man die Werte von f [px] d x und / yg d x in

0    0 x

Gleichung (21) ein, so folgt 420 EIS

(22) v =

6 ah²

12 ßh — 4dh' — puh'

h'³ — 2 dh'² — 42 Ô \i- + 14 Ô hh' 42 puh² 14puhh'

2 Puh'²

45

4³

44

7 7 h'³ — 105 j>h²h'

-f- 42 y h h'² -j- h³ —182 ^ -f 252 ßl

für den Sonderfall a = h, h = h' wird

(22 a) v —

420EIS [—6a + 12ß — 4d — pn]___

618

h⁴ — 30<5

-Pu — 70 yh — 182 a 4~ 252/? .

Setzt man wieder für a, ß, ô und pu die Werte der Gleichungen (9 a)—(11a) und (13) ein, so wird

422 b) v =

140E Is (4- 18 pm 4- 8 pu' 4- 7 Po) h⁴ (181,207 pm — 28,279 pu' 4- 98^667 p₀ — 70 yh) '

Die richtige Belastungsordinate ist dann nach Gleichung (4) : (22 c) (]x = y x' — rys und liefert durch 1- bezw. 2-malige Integration die richtige Querkraft- und Momentenlinie für den Belastungszustand der Untersuchung A. (Die Konstanten CA und C₃ fallen wie bei den Gleichungen (14) und (15) fort.)

v I Ax'⁷

Eis I 360-7 h'²    360 - 7 h''²

a(li—x)⁶

d³y

dx³

y x'⁶

Ï2C66 — 12(Ä6h120 6 I1' “r 24-5 ~    12-4 h

ah⁶

/?x⁵

Pu X

a h² x⁴

a lis x³

Pu

X²

12-3 h’

12h' ~ 24    6    ' 60

60

ah⁵ y h'4 12 h' 120

(5h-h') + ^

ô h'³

~(6h — IP)

Pu h"³

360

360

(6 h — h")x 1.

(24)

d²y

dx²

7x'⁷

_LX_^+_»L|

6 ^EIS|

ah⁶X

<5x'⁸

PuX"²

360-7-8-h'²    360-7-8 h"²

ah⁷

a (Il — x)⁷

120-6-7    120-6 h'

120-6-7-h'

120-6-7 h'

ßxG

a h² x⁵

a h³^x⁴

ali⁴

7 h'⁴

24-5-6

12-4-511'

12-3-4h'

12 h' '    24

ß li³ <5 h'⁸ puh"³

x³

ah⁵

60

60

12 h'

7 h'⁴

120

360

(6 h —h")

xi

Puh"³

— ₃₆₀ (6 h —h")

Hier interessieren besonders die positiven und negativen Größtwerte der Querkräfte und Momente; Q treten ein für x = li, während Q

max

und M und MŻnv für Werte

max

max

max

dQx

von x eintreten, welche aus den Gleichungen d Mx

+ hx — 0,

+ Qx — 0 zu errechnen sind ; dabei genügt es, für qx und Qx die Gleichungen (12) und (14 a) zu benutzen.

bezw.

dx

h'

Es wird für x = h, x' = h', x" = -7- und li" =

4

h'

Q~

^max

7 h'2 --2 ^ V

7 h'² a

IS- c<5--

Kl    •>

’-¥+1

0

Ô h' pu h'

Px'd x.

(26) H“ x

y h'⁸

6~ + V

li'³

360-56

_ <5 h' s _ n 2 ô h⁸-f28 ô h²h'

Pu h'³

112

28

4e

-f- 84 7 h² h' -j-

Puh³ + — II² h'—4 y 11'⁴—280/11⁸h' 4⁴

— 132 a £-J- 1820 •

h⁶

h'

120-42

Qmax aus Gleichung (23) für einen Wert x, welcher sich durch Auflösung der quadratischen Gleichung x² -j- A x -j- B = 0

2 a <5    2 pu a"

entwickeln läßt, wo

h'

ll'²

11"²

4- — -f-r h'² '

Pu

ll"²

-ya+ h,

— ß-\-

(5 a² . pua"²

T"⁴"

à , Pu

h'2 ~r

h"²

a"

i ^ii a+4h

M+ax folgt ans Gleichung (24) für einen Wert von x, welcher sich durch Auflösung der kubischen Gleichung x* + A₁ x² -j- Bj x Ct = 0

entwickeln läßt, wo

P» êà"2 h"²

Pa

B,=

3h'²    3h"²

+ ß k'-2

a li

+ 7» - h,

Ô a² pu a"²

h"²

Pa

y a²

3 h'²    3 h"²

<5a³ , Pu a 3 h'2 + 3 h"²

>>‘S

Pu

Für den Sonderfall a = 0. li = h' wird

(25ft) Qmax

(— 67h — 6 a —{— 12 — 4 <3 — pa)

J2 (— 6 y 11 H~ 3 P^ + 3 Po+ 6 Pm] •

(26 a) M_x

I ll⁶

v| 360-56 — 200 y h — 528 a — 728 ß

y h³

— 85d —

6721

46 Pu

y h³ v h⁶ [6430086pm— 1118728 pu' + 1074623 p₀ — 2457600 yh]

360-56-3 4⁶EIs

yh³ h²(18 pm+8pu'+7p₀ ) [6430086 pm-l 118 728pu'+1074 623p₀ -2 457600 yh] 6 ⁺_576 [556 668 pm - 86 864 pu' 4- 302 486 p₀ - 215 040 y h]_

Die obigen Werte A und B für Q+ax vereinfachen sich in

_h (7 h — et)    h (3 y h 4" 8pu' + 10 p₀ — 18 pm)

8 (14 Pa' + p ) — 9 p,r.)

5 + 16Pb

x> ₌    — 17 pp h²_

8 (14 Pa'-j- Po — 9pm)

und für M+ax die Werte A1? Bj und G\ in

Ai =

3h(yh —a) __ 3 h(3yh + 8pa' -f 10p„ —18pm)

2 (5+ 16 pu)

16 (14 puf + Po-9 Paj)

3 h² (a — ß)

— 51 p₀ h²

B,=

ą=o.

Ein Annäherungswert von M~ax entsteht aus Gleichung (15 a) für x = h, x' = h\ x” = h", h" = + es :

d + 16pu    8(14 pu'+p₀ — 9 pm)

für den Sonderfall h' = h wird

M-J

CC

ins! oc

t'- |(M rH |eo

CO

ÎCL

INS

=r

t-M ^ Oil CO

MH

ins ! -3

Oi ICC

r- lec

b) Entwicklung der Ersatzbelastungskurve und Biegungslinie sowie der wirklichen Belastungskurve und der Querkraft- und Momentenlinie für einen horizontalen Balken.

Die horizontalen Balken sind Teile eines steifen Vollrahmens mit (im allgemeinen) drei statisch nicht bestimmbaren Größen X, Y und Z, dessen Seiten = 1 bezw. b und dessen Trägheitsmomente = l|v bezw. I*’ sind. Die Belastung eines solchen Rahmens ist in beiden Untersuchungen A und B (s. Fig. 14 a und b) zu den beiden Schwerachsen ZZ und Z'Z'

-4~-

--'

è'

nrniii

rrnïMÏÊm

Fig. 14 a. (Untersuchung A)

■ 2'*

Hif/p

rfrirn

Fig. 14 b.

(Untersuchung B)

symmetrisch; infolgedessen werden die beiden statisch nicht bestimmbaren Größen X und Yr = 0 und es bleibt Z = 9JÎ0 allein zu bestimmen übrig.

Angenommen, 50io sei bekannt, so darf jede Rahmenseite als ein auf zwei Stützen A und B frei aufliegender Balken gelten, auf dessen Enden die Einspannungsmomente 9Jl₀ wirken. Die Biegungslinie desselben mit den Ordinaten yWz wird nun am besten erhalten, wenn man sie berechnet für einen in der Achse ZZ bezw. 7J 7J eingespannt gedachten Kragträger

von der Länge ^ bezw.

Belastungen, an dessen Enden die Auflagerkraft A₀ bezw. B₀

mit im gleichen Sinne gerichteten

----2---

yy

■?

jryrrmrj

---*1

M,

Ai-----

-JE

Fig. 15a und 15 b.

und das Moment s))l₀ herrschen; dabei ist zu berücksichtigen, daß — wenn f

die Enddurchbiegung des Kragträgers in A darstellt — die Gleichung der gesuchten Biegungslinie = f

max

— yWz ist. Berücksichtigt man die Grenzbedingungen Qo ■= A₀ und M₀ = $ÖZ₀ für z = 0 bei der Bestimmung der Konstanten, so ist also die Aufgabe auf die Berechnung der Biegungslinien für die wie in Fig. 15 a und b belasteten

Kragträger und die Bestimmung des Einspannungsmoments M₀ naeh der Rahmentheorie zurückgeführt.

i ?

/ f\

ff

Es folgt also

¹

= (4 pm 3 Po — Pu)

ß = (4 pm- Pu — 2 Po)

à = [4 Pm 2(p₀+ Pu)],

so lautet die Belastnngsordinate in der Tiefe x' = x — a unter 0. W.

l\

ff

//

//

//

ifi

"J

-it. iff-’

-Z

VlA

Fig. 16.

Die wirksame Belastungsfläche denkt man sich aus folgenden Einzelflächen zusammengesetzt:

F-=nACGF —AACD +ADEH +AEHI — nBREI-j-OBEK.

Es ist also

127) q‘z

16p*z²    16p*z''²    8p*z'

f [p “ P*1

\4 Z 2

16 (p p*)-p--

Bei der Integration ist zu beachten, daß Integrale mit Gliedern von z zwischen 0 und — zu integrieren sind, solche

Li

mit Gliedern z' zwischen 0 und

4’

desgleichen das in [

gesetzte Glied; für alle Werte von z zwischen 0 und fallen die Glieder mit z' fort.

Setzt man (p — p *) = d, so folgt

Qz* — + y h»

d⁴ y

(27a)    KI‘.(1z4

16p*z² . 16p*z'²

l³

l²

8 p*z'

-d-f

16 d.

— z'

l³

Die viermalige Integration der Gleichung (27 a) liefert:

16p*z³    16p*z'⁸    4p*z'²

(28) EX*

d³y

dz³

Qz

y hx' z

3 l²

3 l²

dl

“dz' + 12

16 d 4

- z'

31²

f :CL.

(29) Kl‘.'0 = Mz

yhx'z² 4 p*z⁴ . 4 p*z'⁴    4 p*z'³

~~2    ITT²“-!⁻    "i"

dz'² , dlz' dl²

4d

12    3-4³

31²

y hx z³

4 p* z⁵ . 4 p* z'5 15 ~î*    *“I5 ~F

p*z'⁴

dz'³ , dlz'² dl²z'

dl³

31

24    3-43 T34ł>5

4d 4_Z

31-5

f- + Cs z + C,.

CO

y W z⁴

2 p* z⁶

2 p* z'⁶

p* z'⁵

dz'⁴

24

45 l2 1 45 l²

151    24

') Die Formel für einen Balken auf zwei Stützen lautet im Gegensatz zu derjenigen für einen Kragbalken:

dl z'³ dl² z"²

dl³ z'

dl⁴

72    3-2-4

3-4⁴-5    3-4⁶-5-6

3-5-61²

n y 3 n y 2

^ + ^- + C₈z + C₄.

Fur z = 0, z'

O folgt aus Gleichung (28):

Q» = c₁ = —

fi i z

o

yhx'l . p*l . dl

(32) C, =-------2

yhx'l , p*l , pl

aus Gleichung (29):

(33) C₂ = S0îo = dem entgegengesetzt drehenden (negativer! Einspannungsmoment.

Für z = g ? z' =

folgt aus Gleichung (30):

(34) C₃ = +

yhx'l³ 134

3-2³    15-4⁴

p*l³

, 7Wla + 24

aus Gleichung (31):

(35) C₄

58

15-4⁴

p* l³ —

19 dl³ m₀1 4S-15    2

19 pl³ 3»₀1 4³-15    2 ’

3-2⁷ ^llx 14

m*uv+

1345 -

90-4⁵

p*l⁴-f

199

30-4⁵

dl⁴ -f

m₀i²

107

90-4⁴

p* l⁴ -J-

199

m₀ ia

30-4⁵

pl⁴ + ^

Setzt man die 4 Konstanten Cx bis C₄ in die Gleichungen (28) bis (31) ein, so folgt:

(28 a)

16p*z³ . 16p*z

3 l²

3    1*

'3

4 p*z'²

dl

16 d

(W

yhx'l    p*l

31²

(29 a)

El¹

W

<ł³y

dz²

Mz

y hx' z³ 4 p* z⁴ . 4 p* z B P ' 3 P^

p*z'³

dz'³ , dlz' dl³

4d ;-z'

12    34³

y tix' 1 z p* 1 z

dlz

-₆- + a» o.

(30 a)

El¹

dy

wdz

= EIlwtgaz= ₆

j'hx'z³ 4 p*zr> 4 p*z'6 ï5 T³ ^ 15 H³“

p* z'⁴

31

dz'³ dlz'³    dl²z' dl³

6 + 24    3-4³ ‘ 15-4⁴

4d 4 —z'

35P

yhx'lz³ p*lz³ , dlz3 ~4    ¹    6

12

-|- 9)i₀ z -j-

y hx'l³ 134 15-4⁴

p* P

19 d P 9JU 4³15    2 '

(31a) EIlwy

s r*

y hx' z⁴

2 p*z⁶

2 p*z'⁶

p* z'⁵

24

45 P

45 P

151

dz'⁴ dlz'³ dPz'³ dl³z' dl4 24 ‘ 72    3-2-43 + Ï5^4⁴ 90-4r>

4d 4 —z'

3-5-6P

9Jî₀z³ , y hx' P z 134 24    15-4⁴

+ _2

19

4³-15

dPz —

^hx'lz³ . p*lz³ dlz³

12

18    ‘ 36

p*Pz

9JÎ₀1 z i p 2 ' °⁴ '

Die richtige Biegungslinie hat demnach folgende Gleichung:

y hx'z⁴ 2 p* z⁶ 2 p*z'⁶ p*z'f’ 24    '45 P 45 P

W EPwyiWz =

151

dz'⁴ dlz'³ d P z'² dl³z' . dl4 ~24    72    ' 3-2-4⁸    3-4⁴5_1“3-4⁵-5 6

2d 4 —z' ⁶

j'hx'z³

3²-5P

p*lz³ dlz3 ~"3M>    3“- 4

m ₀z²    y hxf P z

134

3-2³

15-4⁴

p*Pz

19

+ 4345 d 13z +

9)i₀lz

Für die Mitte z =

toi 1—

z' =

wird

(35 a) E l\r f max

_ 384yhx'¹⁴ +

1845

90-4⁵

P*l⁴ +

199

30 • 4r>

dl⁴

, 9ft₀l²

8

384

Y Wl⁴ +

107

90 4⁴

^*14.

P 1

199

30-4⁵

Pl⁴ + ^.

Für die halbe Entfernung’ von den Ecken z' = g, z =0

wird

(37) ElVy

19

P* ¹* + 4K‘^3d14

1450 -45-4«

y hx'l* +

+4®i„ij =

+i5^5P¹⁴ + ê®îoli-

Die Werte der Gleichungen (35) und (37) sollen nur gelten

h'-

für Horizontalbalken in der Tiefe x' Û 0 bis für Hori-

_ h'

zontalbalken in der Tiefe x' > bis h' gilt folgende. Belastungskurve :

2 4⁵

19

2-4⁵

rhx'P-f

103 -

p*l⁴

(38)    q?==— yh»'-ł--| P*

, 16 —* ( i Z'. +TP —v~

Ï²

|co

-7 - Z'

16 (p — p*)

la

und es sind in Gleichung (27 a) folgende Substitutionen zu machen :

statt y hxf : I y hx — ö P

d = p — p*: d =

+ z: —

(J-)

•n

-* P P : o-

---

.1

'-ài

0.1*;

kl

rj

ftl.

Pig. 17.

8p* z'

fällt fort; dann lautet nach einigen Umformungen die zweite Grundform der Biegungslinie :

Das Glied

(38 a) El’w = -«£“(>-W-

16 d

(W

4-«\ . 16

3P ) + T

l²

Bei der Integration ändern sich die Konstanten Cx, C und C₄; es wird

i!

y hx' 1,4-*. dl 2 "T 9 P ¹    ₆

S**1§ +

5    61p*F

3-2?r x 270-2⁴

und die 4 Gleichungen für Q*r, M*¹, tgnay und y° lauten :

(yhx — |p*)z +

(32 a) C,= —

(34a) C₈ = -{-

(35 a) C₄ = —

(39) El'

dy³

dz⁸

3-2⁸

= <£ =

19 d F $»U 4³ 15    2 ’

199 d F $»i₀l2 30-4⁶ +    8 ’

16p*l

3²-2³

dl

_.^₅*A2_

^or    J2    I

^ ₊ 4r,_F*

16 d

3 l²

<⁴°) Et|| = M“ = (yhx'

-3P

CO| N

, 2P*iz ri²

“r 32

3²-4

+Pp

CO| H-

l²

(W

3 l²

dlz

dz'² dlz' , dl²

2    12    ‘ 3-4⁸

^hx'lz . 4-»

2--------r q P lz

441) EI

dy

wd z

= Ettg%z = (yhlt'-ip

⁴p*(i-z)⁵

3²-5-l²

z³

plz²

2-3 T 3²

p*Pz p*l»

W ~T~ 3 ^5

dz'³ dlz'2 + 2-3 ~ 2-4-3

dl²z dl³

7 hx' lz²

3-4³    3-4⁴-5

3-5-1-

dlz²

H—9” P 1 z²--je*—h ®loZ 4-

7 ¹iîI³_A

24    45

1*

19

15-4³

dl³ —

m₀\

(42) El^y =-(yhx’-ip*) z<

p ' 1 z³

p*l²z²

24    3³

3²-2-4

p*l³z

^ i j

P l⁴

2 p*

32.2.4-5 + 3³-2-4²-5 dz'⁴ dlz'³    dl²z'²

24 ' 2-4-3²    3-4³-2

4~z)

4~

3³-5-l²

^l³z'

3 • 4⁴ • 5

dl⁴

3²-5-2-45 2p*lz³

4d T — z'

-_--L— -L

3-5-6 Is ^    12

9JÎ₀ z² yhxl³z

ylix'lz*

dlz³

3²-2²

24

+i,î*Vz

19

15-4³

-, „    , 9Jî₀lz

dl³z 4—y~

Für die Durchbiegung in der Mitte z — ₀

u

(43) El^f

z' =

wird:

— 3^hx'⁴ +

61 p*l⁴ 199dl4 3³-2⁵-5    30-4⁵

;    2113 -

270-4⁵

ii

P l⁴

199

30-4*

pl⁴

5»U³

Für die Durchbiegung in der Entfernung z = ^ , z' den Schleusenecken wird:

<«) El^y"

- 0 von

19yhx'l⁴ , 307p*l⁴    52dl⁴

30.4⁵    45-4⁴

2-4⁵

19

o.ïîlWl¹ +

1099

270-4⁵

+ M ®U‘

-hggSJU¹.

Die Durchbiegungen für den Balken in der Tiefe x' —

•1

o-W

ig

\i

l!

Ve

Fig. 18 a.

(Untersuchung A.)

werden am zutreffendsten als arithmetisches Mittel aus den sich aus Gleichung (35 a) und (43) bezw. (37) und (44) ergebenden Werten gefunden.

Es folgt dann für den Balken in Höhe des 0. W. (Fig. 18 a)^ [xr = 0, p = — p

<45) fx'

'    ¹ max

107

ET¹ L 90-44 P°

W

10-²1⁴

l⁴ —

P = — P₀j

p'„l⁴ +

199

9JU²l

30-4⁵

EI¹

VV

- 0,465 pi - 0,6475 pj + 12,5

(46) yZ

Z ==

EI¹

w

Et

^ Ss-s-rfłfss-rrss/yy,

103

Po^-i^âPo^+é^l⁸

— 0,3355 p* — 0,4515 p* + 9,375

30-4⁵

h Tf — r i gg

fi il

il

j'C

__L _~ÿ_

Fig. 18b.

(Untersuchung B.)

' ~4

1)

Ferner wird für den Balken in halber Tiefe x' — unter

O.W.: [p=p|n, p* = pj. , h'

(47) fx-~r =

'    ' max

EI¹

TSS^ + S^

199

30.46 P“¹⁴ +

99l₀P

10-M*

EI¹ L

W

-0,651 y h' +0,614 p^

+ 0,6475 pL+12,5^

(48) yr

X' =

il⁰* H*¹

19

EI¹

w

4i^l* +

1013

270-4S

p¹ 1* * m

13

10~⁸1⁴

EI¹

w

¹ 45-43 — 0,4633 7 hf + 0,3664 płm

Pl^ + ^au*

+ 0,4515 pL+ 9,375 f-

Schließlich wird für den Balken in der Tiefe x' = 4- h' unter

4

IP-

c '-r

05

l-te

l-H

3 -I

o<

Ol

IC

7 h' l⁴ -j-

2113 -

270-4⁵

p¹' l⁴

r u

io-²-!⁴ r

EI‘

Vv

,    199 r u ,

+ 3Ö^Pul + 0,976 7 h'-f 0,763 p*'

W«lr

+ 0,6475 i/l⁴ 4- 12,5?*?

(50) y

X' =

57

\V

Hl

f—!

- h'H ,    ¹⁰⁹⁹    -V,

2-4« r 1 1 + 270-4⁵ Pu ¹⁴

13

45-4³

Pu¹⁴ + â^°i³

10-³1⁴

Et

— 0,696 y h' -f 0,387 pF

+ 0,4515 p‘J + 9,375 ^

Für die unbelastete, kurze Schleusenseite b ist die Gleichung der Belastungsordinate

(51)

Eib d4y

( -r

tci er

= [Pb] - 4 [p*]

wobei angenommen ist, daß die wirkliche Biegungslinie eines Balkens b in der Untersuchung A annähernd genau eine Parabel ist.

wd z⁴

ba

(s. Fig. 19),

• t,$

uiuHöuin/fijwirniiii

-----4/₂-----4

Fig. 19.

Die Integration der Gleichung (51) ergibt unter Beachtung der Integrationsbedingungen:

[Pb]b

(52) Ei;

b d³ y dz³

= Qz = [pb] Z

3-2

4.ÜÖ (b_ Y

^ 3b² \2    /

[Pb] b

⁴[Pb] /b_ y 12b² \2    /

₊»fo.

b dy

= FTb tfrn _[Pb]z⁸    [Pb]bz²    [pb]b²Z

g    322 1" ₁₂.₂2

[pb]b³ , [pb] /b    pbbz²

~ 6ÏT2³ + Töb² \2 Z

3-2

+ 9H₀z

[pb] b³ m₀ b

(55) Elby b

[pb] z⁴ [pb]bz³ , [pb] b² z² [pb]b³z

W2*

24

9-2²

60-2³

[pb](|-²)

[pb]bz³ , 9Dî₀z²

__

. [pb]b³z    9JÎ₀bz    61[pb]b⁴ . 99î₀b²

' ~30    2    360-2⁴ ‘ ~8

4*

[pb]b⁴

90-2⁶

90-b²

Die Maximaldurchbiegung in der Mitte = der Enddurchbiegung des Trägers in Fig. 19 ist dann für z = 0

61 [pb]b⁴ , mob2 360-2⁴

(56) El“ f

max

= b⁴-10-

*(—1,059 [p»] + 12Æ).

Die wirkliche Biegungslinie ist dann

(65a) EI“ y

[pb]z⁴ [pb]bz³ [pb]b²z² , [pb]b³z 24    ‘    9T2²

12-2⁸

60-2³

[fW

90-26 [pb] b³ z

[Pb%-Z)

[pb] b z* ' z²

3-6

90 b2 50îobz -j g '

In den Gleichungen (45) bis (50) und (56) sind nur noch

30

3 h'

h'

die 3 Eckmomente für x' = 0, x' - ^ und x' = —durch

die Belastungen p auszudrücken.

Dies geschieht unter c.

Genau dieselben Formeln gelten für die Untersuchung B : unbelastete lange Schleusenwand, belastete kurze Schleusenwand; man hat nur überall 1 mit b zu vertauschen und erhält dann — natürlich mit anderen Werten p — die gewünschten Durchbiegungen für die Untersuchung B.

Um die Biegungsmomente der Horizontalbalken zu bestimmen, ist nunmehr die Gleichung der neuen Belastungskurve

= r V—

z

zweimal zu integrieren. Vorher ist noch der Faktor /i aus der Gleichung

Vs

/ Pz'dz

i/.

/yw dz

o z

h'

zu bestimmen; für Horizontalbalken oberhalb x = war:

u,

16 d

Pe'

16p*z²    16p*z'² . 8p*z'

H p 1

—V-- fachen Wert der Gleichung (36).

VV

Die Integration ergibt

und yjv dem

V*

l²

-d-}

( -r

l²

dz — —

p 1 ! dl    p*l    pl

3~ ' “6" “    6    6~

L/,

EI

¹ fy¹

wA» J w v z 0

dz = —

y hx' 1* , 571 p* l⁵ 527 dl⁵ 9)t₀P 3-2⁴-5 ' 5-3³-7• 29 + 3³• 4®• 724

y hx' l⁵ , 1933 p* l⁵ 527 pl⁵ mo P 3-2⁴-5 ' 3²-4^-5-7 ‘ SM⁶.?"¹“ 24 ;

dann wird

(57) iĄ =

i(p*+p)Elt

l⁵

3-4³-5

^ y hx' -f 4000 (p*4-p)EIw

1933 p* , 527 5 p 10SWo'

3 4⁴-7

3 • 4⁴ • 7

1*

l⁴

(l00yhx' —36 p*—49 p —

1000 9JÎ₀ \

l²

Ebenso ergibt sich für die 2. Form der Belastungskürve

V,

•1 —

pl

i/,

EI¹

w

J y“ dz = 0

Y hx' Is    17 p*l⁵    527 pl⁵ m₀\*

3-2⁴-5 t_3³-4 5-7    3M⁶.7~^ 24

yhx'l⁵ 1717p* l⁵    527 pl⁵ 9Jl₀l³

3-2⁴-5 ‘ 3³-4⁵-5-7 ' 3³-4⁶-7 ‘    24

und es wird

lg(4p* + 3p)EXlw

l⁵

3 4³ 5

(-

1717 p* , 527-5 p . 10mo

32.43.7 1 3.44.7

l²

4000

(|p'+p)EIw

l⁴

(100 y hx' — 42,6 p* — 49 p

4000 m₀

l³

Der gemittelte Wert von //[ und ju\l gilt für einen

h'

Horizontalbalken in der Tiefe x — unter 0. W.

Die neue Gleichung- der wirksamen Belastung- lautet dann¹) :

EI-B=~qI° = )'w+'“,3r” *

wobei zu beachten ist, daß die Werte jrJv negatives Vorzeichen besitzen. Die Integration liefert

y hx' z -j- gji

2p*z'⁷    p*z'⁶ , dz'⁵ dlz'⁴ , dPz'³

‘ 3^2 4³

(59)

wz

(60) El’v

d⁸y

d z⁸

= Qi

y Wz⁶

24-5

2 p*z7 45-7.1*

45 • 7 • l⁸ 15-61 ' 24-5    72-4

dl⁴ z'

3-2-4⁴-5¹" 34⁵ 5-6    3*-5-7 4⁷

dPz'²

2dl⁵

2d

(W

yhx'lz⁴ p*lz⁴ 95l₀z3 ~l24

3²-5-7-P y hx'Pz² 134 p*Pz² 19dl³z2 3 2⁴    15-4⁴ 2    ⁴ 4⁸ 15-2

. 9)1₀1Z²

‘    4.......

+ CX.

(61) EI‘V

d³y

dz²

2 p* z³

2 tEP 24-5-6 ¹ 45■ 7 8 P

w

2 p* z'⁸    p*z'⁷ dz'⁸ dlz'⁵

45 7-8-P    15-6-7-1 ‘ 24-5-6    72-4-5

dPz'⁴    dPz'³ dl⁴ z'²    2dl⁵z

3a-2-4⁴    3²-2-4⁴-5⁺ 3²-4⁸-5    3²-5-7 4⁷

y hx z² , u

y hx' z*

(i“²')

2d

y hx'lz⁵

3²-5-7-8-4s— 3²-5-7-8-P r Î24-5

2 dl⁶

p lz⁵

dlz⁵ m₀7* y hx'Pz*

3²•2• 4 ■ 5    36-4-5    2-3-4

3²-2⁴

134 p*Pz³ 19dPz³ 3)l₀l z3 15-4⁴-2-3 ' 4³-15-2-3 '    4-3

+Ctz+C₃.

J) Für den Kragbalken der Länge g- •

Für z = O, z' = 0 wird

V.

1 !..

<V=Qo = -

x d z fx

yhx'l

IL

'A

O

2 b(p +p)

C₂ = 90]o, wobei angenommen ist, daß sich das Einspannungsmoment unter Berücksichtigung der neuen Belastungskurve nur unwesentlich gegenüber demjenigen ändert, das bei Zugrundelegung der Ersatzbelastungskurve entsteht.

Die richtigen Gleichungen für die Querkraft und das Moment eines Horizontalbalkens lauten dann:

(60a) Ql = —    — zj + -g(p’+ p) -| M

2p*z⁷    2p*z'⁷    p*z'⁶    dz'⁵ dlz'⁴

' 45 7T²~ 45-74²“ HT6ÏÏ ⁺ 2D5~~ 72-4 dl²z'³ dl³z'² . dl⁴z'

Eil

y hx' z⁵

24-5

2dl⁵

3“ • 2 4³    3-2-4⁴-5~ 3-4⁵ 5 6    3²-5-7-4⁷

2d 4 — z'

^’lix'lz⁴ p*lz4 12 4    3M*    2-3

y hx'Pz*    134p*l³z²    19dl³z²    901olz²

3 • 2⁴ “< "15 4⁴-2 ⁺ 4³15-2 '

(i-z)+^(r+p)+fl

2p*z⁸    2p*z'⁸    p*z'⁷

4 5 • 7 • 8 -1² ~~ 45-7-8T² ~ Ï5-6^7-1

3²-5-7P

y hx' z

dlz'⁵

d l² z'⁴

dl³z'³

SJloZ⁸

+ ct.

Eil

y hx z6 24-5.6

dz'⁶

24-5-6

dl⁴z'²

~ 72-4-5+ 3²-2 4⁴    3².2-4⁴-5 ¹ 3²-4⁶-5

2dl⁶z'

2 dl⁶

2d G — z'

3²-5-7.4⁷

3²-5-7.8.4⁸

yhx'lz⁵

3²-5• 7■ 8-1² ^ 12-4-5

p * 1 zö    dlz⁶    2R₀z⁴    y hx'Pz⁸

3²-2-4-5    36-4-5    2-3-4    3²-2*

H-97ÎO-

134 p*l³z³ 19dl³z³ äR₀lz3 ' 15-4⁴-2-3 ' 4³-15-2-3 '    4-3

Die Größtwerte für Qz bezw. Mz treten ein für

z = 0

bezw.

z'= 0

es wird

max —

(62) Q

(63) Mjnax ==

yh*' P , P

u

+ Ë11

i Y2 (h “i“ p) 4" *^°

7 y hx' l⁶ 53111p* P 60942 dl6 3*₂.₂io ~r 32.5.7.4» “T 32.5.7.2.4»

4-

128

+ I2 (p*+ P) +

ly hx'l⁶ 283 p*l« 1451p l⁶ 9JU⁴

Eil

32.40 ^32.7.47

3.5.4» ₂t

yb*'P

1*

+ I2 (p’+ p) 4-®*o

2R₀

4000(p*-f-p)l² 7;'hx — 2,529p*— 4,250p — 72 p

9216 100 y hx' — 36 p* — 49 p — 1000

Für Überschlagungsrechnungen wird es genügen, Qz und Mz aus den Gleichungen (28 a) und (29 a) zu berechnen. Es wird dann

8Stt₀

(63 a) (mL*) =

In ganz analoger Weise wird für die 2. Form der Belastungsgleichung

(64)

d⁴y

Qn =•• r hx' -j- fA11 die Querkraft Q*¹ und das Moment M*¹ entwickelt; es ergibt sich:

E rw

dz⁴

(65) Q°=—7) + |p* +■"1I

Efw:

24-5

plz⁴ . p"l²z³ p*l³-z² . p*'l⁴z 3³-4 ^ 3³ 2-4 ~3²-4-53³-4²-5-6 — 3:i-5-7~2⁶

dz'⁵ dlz'⁴ dl² z'3 24-5    2-4²-3²    3-4³ 5 2

2p“(î-z)⁷

3³ 5 7 T³

d l⁴ z'

dl⁵

2d

M’

32.5.2.43+ 3²-5-2-4«-7    3²-5-7-l²

p*lz⁴ dlz⁴    9)l₀z³    yhx'Pz² , p*Pz²

— - 3*72“ ~r 32742 “ 2 3

24-2

45

}'hx'lz⁴

12 4

19dl³z² SW₀lz²

15-2-4³

(66) M

F-(l — z) +

36

(4p* + 3p) +

ETW

7hx'-

!co

p* z⁶

24-5-6

p*lz⁵ . P'I'Z⁴ p*l³z3 3M-5 ‘ 33.2.4- ~ 33.42.5

2P*Q—z)

p" l⁴ z²    p v l⁵ z    2 p⁴' F

3374375 — 33.577723 "r 3³-5-7-2u    3³-5-7-8 -F

dz's

dlz'⁵

dlV⁴

dl³z³

24-5-6 “2-4²-3²-5    3²-4⁴-2T3M⁴-5.-2

dl⁴z'a

3⁸-5-4⁶

dl⁵ z'

3²-5-2-4⁶-7

/'hx'lz⁵

—*,    r.

p 17/

12-4-5    3⁸-5-2

...    d(ï-z')

32.5.7.40 + 32.5.7.412

loZ⁴ yhx'l⁸z8 3²-4a-5    2-3 4    24 2-3

dlz⁵

dl⁶

p*l³z³    19dl³z³ SJUz⁸

45-3    15-4⁸-2-3 ‘ 4-3

+ 9W₀-

Die Größtwerte für Qz und Mz treten ein für

bezw.

7! =

es wird

(67) Q

a £■

7 bx'l

pi

2 + '^+6

(68) M

7 hx'P . 1*

p*-f-pj + SWo

u¹¹    7 7 lix'jl⁶ 19961p* l⁶ 1451 pi⁶ 9JÎ₀P

1    32.210 ~r 33.48.5.7 + 3.49.5 + 128

P +    + 9Jl-o

8+12

EIW

7 hx' P

8------• 10

ICO

ju¹¹ Ie

(68) M

=. s

EIw-3²-210 7 VP . P .....8 '12

- 7 7 hx' + 2,97 p* + 4,25 p+72

ICO

P* + Pj + 9JÎ0 4000(|p*-f pjp 7^hx' — 2,97p* — 4,25p 9216 100 7hxf — 42,60 p*

49 p — 1000

72

an«-

Für Überschlagsrechnungen genügt es wiederum, Q und SW" aus der Ersatzbelastungskurve (Gleichung (39) u. (40) zu entwickeln.

h'

Für Balken in der Tiefe -j- = gilt das arithmetisclie

und es folgt

Mittel aus M

max

und M

69)    M¹“

max

12

M₀ —

4000

P* + P ) l² 7 yhxf — 2,749 p* — 4,25 p— 72

_*    Sll>

9216 100 y hx' — 39,30 p -49p — 1000^.

Für den Horizontalbalken der Häupter ist die neue Belastungskurve = juh yb , wo /uh aus der Gleichung folgt y

b/j

/[P*]'dz

0

b/j

/<d*

0

es ist

w,

/[Pïl'd*

0

[Pb]b

und

(70)

b/,

E Ib Cyb dz

w J J wz

o

17 [pb] b⁵ 3R₀ b³

45-7-2⁴

24

es folgt also

(71) /^b —

8 [Pb] EI^

8000 [pb] E Ib

— 1000

(72) EIb

b4(èïï[pb]“^) b4K⁹fpb]

q _ I [pb]z⁵ [pb]bz⁴ [pb] baz³

—EIb.| 24-5    9-2²-4    12-2³ 3

d:iy

dz³

[pb] b³z² [pb] b⁴ z [pb] b⁵

60-2⁴

90-2«

90-7-2⁷

(73) Eli

d²y

dz²

= MZ

[Pb] (I-z)

90-7-b²

[pb] b z⁴ 9JÎ₀ z³

3-4-6

23

[pb] b³ z² , 9!Jl₀ b z²

30-2

2-2

juh J [pb] z⁶ ! [pb]bz5 [pb] b² z⁴ . [pb] b³ z³ [pb] b⁴ z²

24-5-6

9•2²•4•5

12-2³-3-4 ' 60-2⁴-3

90-2⁷

[pb] b⁵ z [pb] bs

90-7-2⁷

90-7-8-2⁸

90-7-8-b²

[pb] b z⁵ $Dl₀ z⁴ [pb] b³ z3 3-4-5-6 “ 2dM ~ 30 2-3 b z³

4-3

Für z = 0 wird Ct — — und C₂ = 9Jl₀, wobei wiederum angenommen wird, daß das frühere Einspannungsmoment sich unter Berücksichtigung der neuen qb = Belastungskurve nur unwesentlich ändert.

Es wird also für die Häupter die zur Benutzung heran-gezogenene Formel

(72a) Qh_ [Pbjb i 1    [Pb]²' i [Pb]bz⁴ [pb]baz³

Eiy

24-5 ' 9-2²-4    12-2³-3

[pj (i—)'

[pb] b³ z² [pb]b⁴z [Pb] br>

60-2⁴    90-2⁶    " 90 • 7 • 2⁷    90-7-b²

[pb] b z⁴ 9)Z₀ z³    [pb] b³ z² . 9Jîo b z²

3-4-6

2-3

30-2

2-2

(73 a) Mb = -f- S5l₀

[pb] zö , [pb] b z⁵

EIb

W

24-5-6 ' 9-2²-4-5

[pb]b²z⁴ , [pb]b³z³ [pb]b⁴z² , [pb]b⁵z

12-2³-3-4 ¹ 60-2⁴-3

90-2⁷

90-7-2⁷

[pb] b⁶

90-7-8-2⁸

[pb]bz⁵ 9R₀z⁴

90-7-8-b²

3-4.5.6    2-3-4

[pb] b⁸ zs 9JÎ₀ b z⁸

30-2-3

4-3

-j- Cx z -j- C₂.

Für die Größtwerte Qb px bei z = 0 :

und Mb

max

wird in Gleichung (72 a)

(74) Qb

'    ¹ ^max

(75) Mbmax

— -|- -Ł-1 und in Gleichung (73 a) bei z = o    z

113[pb] b⁶ .mob⁴

45 -2¹²

128

62,5 [pb]b²( 0,843 [pb]

109tto

b²

(S0,9[p"]

1000 m₀

b²

c) Berechnung der Eckmomente 2)io.

Die Eckmomente 95ł₀ der horizontalen Balkenrahmen lassen sich ohne weiteres ermitteln nach der von Müller-Breslau (Neuere Methoden der Festigkeitslehre S. 132) entwickelten Formel

Ic

2f.f

—7=—-, WO 2f₀

vT

= der Summe der mit y multiplizierten Momentenflächen

des ganzen Rahmens, wobei alle statisch nicht bestimmbaren Größen — 0 gesetzt sind; G bedeutet das sogen.

„Gewicht“ des Rahmens und ist hier =

und Ib die Trägheitsmomente der Seiten 1 bezw. b sind. Die Momente 9Roz sind diejenigen der wirklichen Belastung einer Untersuchung A oder B, wenn gleichzeitig 9J?o = 0 wird; sie lassen sich z. B. für die Untersuchung A also aus den Gleichungen

m₀=z

HoH

Ic

² (l+bff). wo I>.

\    XW'

(29a) und (40) entnehmen, wenn man darin 9D?₀ = 0 setzt; man kann also schreiben

r.

M₀ =

ijwAz+i^j

0    wo

Mbdz

nun ist nach früherem bei Mo = 0:

i|.

j M,(lz

o

y hx l⁸ 58 p * l³ 19 24    15-4⁴    4³ 15 p

TU⁸

und

-Vi?

Mbdz = ^

Z    X

[p]bb8

80

demnach wird:

P 7 hx'

(76)

wx=

58 p* 19 p 5-2⁶    5-2³

v.

+ bsp0,8[pb] xw

¹²(1+bl)

und für die 2. Form der Belastungsfläche

13 p* 19 p 15 -2 '    5 2:i

P yh*' —

I¹

+ b⁸^0,8[pb]

(77)

¹²(¹+bfe)

Für einen Horizontalbalken m Höhe des O. W. ist demnach :

I¹

(78)

P 0,3625 po -j-0,475 po + 0,8 [pb] b³

h'

In halber Tiefe x' — -x- unter O. W. ist:

h.    Is [0,5 7 h' - 0,8979 p |„-0,475 pi»]+0,8 [p*] b³ j?

I¹

NV

-X-    Xw

In der Tiefe x'

3 h'

3h'

-r- wird schließlich 4

P [0,75 y V - 0,4333 fi -0,475 pi] +0,8 [p*] b\”

(80)aKox=T

[»

W

Dieselben Gleichungen (78)—(80) gelten auch für die Untersuchung B, jedoch ist überall 1 mit b zu vertauschen.

d) Die Aufstellung der Grundgleichungen für die Berechnung der Belastungswerte p.

Werden die Werte für die Durchbiegungen der senkrechten und horizontalen Balken (Gleichungen (18 b)—(20 b), (45)—(50) und (56) und für die Momente (Gleichungen (78) bis (80)) in die Grundgleichung ySx = yWz eingesetzt, so erhält man bei folgenden, der Kürze halber eingeführten Substitutionen :

Ib

w

(81)

(82)

b-^=b'

Ib

(83)

r⁵

b²s

£l

(83 a)

b³ r

w

l² s Ib

sh

(84)

S I—I

l⁴ Is -3,6

™ = K¹

b⁴Is • 3,6

= Kb

(84 a)

h⁴ Ib

W

die 9 in nachstehender Zusammenstellung aufgeführten Grundgleichungen für die Untersuchung A:

Die 9 Grundgleichungen zur Berechnung der Werte p. (Untersuchung A.)

I.    p^l8,31 k¹ + 0,6475 — 0,495 jJ+ 32,15 k¹^— 5,58k¹ p* — 12 k¹ yh' + p^O,465—0,378-Lj — 0,834eb[pJ] =0.

II.    ^18,31 k¹ -f 0,3355 — 0,283 -Lj -{-32,15^— 5,58klp* — 12 k¹ y h' f p^0,4515 — 0,371 -Lj — 0,625 eb [ pb] = 0.

.b

III.

b] |l8,31 kb + 1,059 — 0,834 j

— 5,58 kb [ p,b] — 0,378 E¹ p^ — 0,495 e¹ p|> = 0.

IV. pJh [ll,52 kl — 0,6475 + 0,495 ^—1,614 kl p*-f 5,99k¹ p^

+rW

— 4,59 k¹ -f 0,651 — 0,521 -

s

+ p>m(- 0,614 + 0,414 D - 0,834 eb [p»J = 0.

V. pjn|n,52k¹ — 0,3664 -f 0,311 -j— 1,614k¹ p,lu-[-5,99k¹ p’ -f y h^_ 4,59 k¹ + 0,4633 — 0,390 ^

Lj-0,625 «b[Py =0.

+ VlJ-0,4515 + 0,371-:

hH

re

3 er

rH

r-H

O'

to

7t

er

io

Ol

ec

4-

er

Ui

r-H

er.

7t

C-

p <=•

+ 5,99kb[pb] — 0,521e¹ yhr +0,414e¹ p|n+0,495p^ = 0.

—    1,462 k¹ -f 0,976 — 0,783 -

YII. 0,335 k¹ — 0,6475 + 0,495 ) -j- 3,39 k¹ p‘m +1,675 k>p'₀ + j«W + VnJ- 0,763 + 0,452^

VIII. pnl— 0,335 k¹ —

S

0,834£b [p'b] =0. 0,397 + 0,348-11 +3,39 k9m

—    1,462 k¹ -f 0,696 — 0,585 -

S

+ p'W-0,4515 + 0,37lA-0,625£» [p’5]=0.

j + 3,39k»[py

b'

IX. [.pj] ( — 0,335kb -f 1,059 — 0,834^

-f 1,675 kb[pb] — 0,783«Vh' -f 0,452g¹ pflu -f- 0,495g¹ pflu = 0.

NB. Vertauscht man überall 1 mit b, so erhält man die 9 Grundgleichungen für die Untersuchung B.

Die Auflösung dieser 9 Gleichungen geschieht am besten mittels Determinanten; die weitere Behandlung empfiehlt sich indessen erst, wenn für ein Beispiel die Koeffizienten zahlenmäßig festgestellt werden können.

e) Zusammenfassung des Rechnungsganges.

Der Übersicht halber sei der Rechnungsgang noch kurz zusammengefaßt:

Ausgangspunkt der Berechnung bilden die 9 Grundgleichungen I—IX, für die Untersuchung A: belastete lange Schleusenwand, unbelastete kurze Schleusenwand, in welchen mit Hilfe der Substitutionen Gleichung (81)—(84 a) auf Grund gegebener bezw. nach Erfahrung oder durch Probieren gefundener Abmessungen der Schleuse die Koeffizienten der Werte p und 7 h zu bestimmen sind. Durch Vertauschen von 1 und

(59)    für q*

b und der entsprechenden Werte pi und pb für die-Untersuchung B: unbelastete lange Schleusenwand, belastete kurze Schleusenwand sind die Grundgleichungen I—IX nochmals für weitere 9 Werte p aufzulösen. Nach Ermittlung der Werte p sind dann für Belastungszustand A und B die Belastungs-, Querkraft- und Momentenlinien für die senkrechten und horizontalen Balken mit hinreichender Genauigkeit aus den Gleichungen

(64)    für q“

(65)    „

(66)    „

(22) für qx

(23)    „ Qx

(24)    „ Mx

(60)    „ Q‘

(61)    „ M’

zu finden, Avobei die Werte mit der Ziffer I für Horizontalbalken in der Tiefe x — 0 bis diejenigen mit der Ziffer II

u

für solche in der Tiefe x — ~ bis h gelten; für Balken in der Tiefe x == ~ rechnet man mit den aus I und II gemittelten

Werten. Addiert man die für die beiden einzelnen Belastungszustände gefundenen Werte, so erhält man die richtigen Gleichungen der Belastungs-, Querkraft- und Momentenlinien.

Für die Maximalwerte von Q und M gelten die Gleichungen

(67) für Q"

(25) für Qx

max

(62) für Q'z

max

max

(26) „ M

X max

(63) „ M’

max

(68) „ M'¹

max

Annäherungswerte für Überschlagsrechnungen lassen sich ermitteln aus den Gleichungen (27) für (q‘)

(28 a) „ (Q*)

(29 a) „ MM

(12) für (qx)

(14 a) „ (Qx) (15a) „ (Mx)

(38 a) für (q")

00 Oî

.. (Q")

» K)

VI. Einfluß der Querschnittsänderungen der lotrechten Balken auf die Durchbiegungen.

Die Grundgleichung der Biegungslinie eines geraden Balkens mit veränderlichem Trägheitsmoment Ix, welchen eine Belastung mit der Ordinate qx zu deformieren sucht, lautet:

(85)

d²

dx²

hieraus folgt durch Integration

à K-ü-)

(86)

— Qx

(87)

E!x 0 = +Mx

(88)

/EI*

d*y

5r= tgax

dx²

(89)

JJEL

d²y

yx

dx²

Qy und Mx sind ausschließlich von qx, nicht von Ix abhängig; da außerdem für einen oben frei beweglichen und unten ein-gespanten Balken am freien Ende Querkraft und Moment = 0 sind, woraus sich weiterhin ergibt, daß in den beiden Gleichungen für Qx und Mx die Integrationskonstanten = 0 werden, so kann die Gleichung (87) als Ausgangspunkt der Untersuchung gewählt werden.

Es ist (87 a) E

d²y

Mx

dx"² “ U *

Da man annehmen darf, daß eine den Figuren 5 und 6 (S. 65) ähnliche Belastungsfläche des senkrechten Balkens entsteht, ergibt sich für Mx nach Gleichung (15 a) folgende Funktion, (wobei der Einfachheit halber x = x' und h — h' angenommen sind):

M* = - I

ah . ah²

—rx + '6~

<5x⁴ puX"4 12 h² “12 h"²’

wo a, ß, ô und Pu die in den Gleichungen (9 a) — (11a) und (13) angegebenen Werte besitzen.

Die Funktion Ix läßt sich angenähert durch die Gleichung ausdrücken (s. Fig. 20)

Ix —

(b₀ + Xtg£)³

12

f rri

w 4,

*U.r ;

uv.

\>

\>

-—il—

—■i--------A ï-

---(r

--------

Fig. 20.

wodurch die Veränderlichkeit des Querschnitts eines senkrechten Balkens hinreichend genau berücksichtigt sei; dabei

ist tg£ = ~—Gleichung (87a) lautet dann:

d²y

(91) E

d x²

-2y

x³

(b₀ + x tg e)

6a h

(b₀ + X tg £)

-f 2a h²

(b₀-f xtg«)³

2 a (h — x) h (b₀ + xtge)

X⁴

X²

(b₀ + x tg«)³ h² (b₀ -f- x tg e)

Pu

x"⁴

IT² (b₀”-4-x'rtg«)⁸J*

Das Glied mit x" gilt nur für Werte von x zwischen

Th und h; für andere Werte von x wird x" = 0.

Sämtliche Ausdrücke der rechten Seite lassen sich auf eine leicht integrierbare Form bringen durch die Substitution (b₀ -f- x tg c) = t bezw. b₀" -j- x" tg e = t", so daß wird t b₀

tg£ ’

Es werden nämlich die Ausdrücke:

x"

t" —b₀"

dx =

dt

tg«’

dx" =

dt"

tg*

b₀ -f xtge

dx

tg⁴*

x dx

jt —3b₀lnt —3b₀²* (t — b₀) d t

dt —3b

-b₀³

b₀³-l

I»

(bo + xtge)³

kJ

t⁸

-1 fdt

tg³* lJ

t*

bo

"dt»

t³

tg³*

Li+Ml l t^ 2t² J

f dx

V

(bo + xtge)

_i_ rdt

tg a J t³

/(

x_\³

b₀ -j- xtge/

2 tg £ • t² ‘ h (t-b₀)l³

dx =

tg*

dt

tkf(

htge— t —f- b₀ V³

tg⁴*

x²dx

L_ f

(bo + xtge)⁰ tg³fij

dt = —

|t — 3bulnt — 3ba³^-j-(t — b₀)-dt

i m-bu\3 ?** Jl t /

b u³ • 11

2 t² J '

t*

+k-'/F]

tg⁸* L

1 [fdt tg³e [J

lnt -f- 2b₀ —

— 2b

•r

b₀³l 2 t³ J ‘

t³

x⁴dx

(b₀ + xtg«)³

¹ r

tg⁵« J

(t —b₀)⁴dt

t³

tdt — 4b

dt

+6b^_4bo3jdt+vjdtj

+ 6b₀Mnt + 4b„^--|^].

t²

tg⁵« L2

— 4b₀t

Vertauscht man x mit x", t mit t" und bo mit b₀", so folgt 1 ft"²

(b₀" + x" tg a)³ tg⁵« 2

x"⁴dx"

4b₀" t" -j- 6b₀"²lnt" 4~ 4b₀,,3p—

b₀"⁴-l]

21"² '

Edy

dx

Die Integration der Gleichung (91) ergibt dann

6^b₀²l yb₀³l , 6ahl tg⁴« t tg⁴« t² ‘ tg³« t

67 b₀

tg⁴«

tg⁴«

i-mtH

3ahb₀l 4a h² 1

2a

6bua

îo

lnt

tg « t²    h tg⁴ « ^

6 a b»²¹ i «t>ü³ 1 1 6^

htg⁴« t    htg⁴« t² ' tg³« ¹¹    '

_ 4db₀ _ 6 ô b₀³

2h²tg&«    ‘ h²tg⁵« h²tg⁵«

_4j5 bo^_ 1 , db₀⁴ 1__

h²tg⁵«t ¹ 2h²tg⁵« t³ 2h"²tg⁵«

tg²« t²

3/8 b₀² 1

tg³« t²

4 Ô b₀"

6<S b₀"²

h tg⁴ «

12ßb₀l tg³ « t

lnt

Pu

t”³

h"²tg⁵ «

h"² tg⁵ e

lnt" —

4dbo"³ 1 h"² tg⁵ « t

<5b₀"⁴

4~ 2 h"² tg⁸ « t

p-i

X

■<

bö

C+-

4~

tH I'M

Ö3

H-

S3

t*F

th

4-

ul

cf

2h²tg⁵£

T, A₁₌=-

Pu

2 h"² tg⁶ s

B=+tM

D = + 1| (,b.

2<5b₀

h ' li² tg £

Bx =

4 ô b₀”

h"²tg⁵£’

Ot by

to

ru + /*tg*

<5V

h² tg e

6<5b₀"²

h"²tg⁶£

tg^

tg £

-j- ahtg£ — T

abu²

htg£

2 <5 b₀⁸

3h*tg*e/’

Ex=.-

4 d bp”8 h,,atgô£

db₀”⁴

2h²tg⁶£

F = -f --i (— y b₀¹³ — 3 a h b₀ tg² £ — a 11² tg⁸ £ _|_^L_3^boHg£ +

Die Faktoren A, B, I), E und F enthalten nur konstante Glieder, desgleichen A₁₅ B1} D₁, E₁₅ Fx. Die weitere Integration ergibt dann

At³    Bt®    .    D[tlnt— t]_j_Elnt F

3tg£    2 tg£    '

A.t"³.    B,r²    Dj

3tg£    '    2tg£    t g £

(93) Ey

RI

li

to ;

tg £

tg«

[t"lnt" — t"] -f

dbo⁴

2 h® tg £ / ’

(tge)t

E.lnT

tge

+ ClX + Cr

Die Konstante C* folgt für es wird dann

dx ~ W0 th ~ b° htg« = W' — b₀” -1- h"tg£ == bu.

(tg£)t"

= h'

aus Gleichung (92) ;

dy

Es folgt also

(94) ą = — (A + AJ V- (B + B J bu - (D -f DJlnb»

' -<e+e₁)J-(F + f₁,1s.

Ebenso folgt für „

Ey = 0 die Konstante C₂ aus der Gleichung:

J¹,, aus Gleichung (93) infolge

(95) C₂

(A+AJ

(B + BJ

3tg£

2tg£

bu²

(D + DJ

tgfi

[bu 1 n bu    b u]

(E-f- E₁)

(F + FJ 1

lnbu-f

~ -f- (A -j- AJ bu³ h

Uu

-j-(B -j~ BJbuh —(— (D —|— DJlnbuh + (E + EJ

+<F+F*»o-

tg£

tg£

F i*

Setzt man die Werte von CJ und C₂ in Gleichung (93) ein, so erhält man die richtige Gleichung der Biegungslinie.

Für die Durchbiegung am oberen Ende, also für x = 0 wird t = b₀, t" =. b₀".

Es folgt demnach

W EySs = o

A b₀⁸ -f- Ax bo"³ BboH-B^o"*

3tg£

2 tg«

~ [D (b₀ In b₀ - b₀) -f Dj (b₀" Inb₀" — b₀")J

MîE⁺ëi)⁺

tgfi

Elnbo + E^nbo"

tg«

C₉.

X = —

Für die Durchbiegung in halber Höhe, also für 2

x" = 0

%ird t == b₀ -f-1 tg e, t" = b₀” und es folgt

ro| er

jco

crq

«o

(ł>o + |tge)³-f Ax bo"³

2 tg e

er

crq

4-

toi (=-

er

aq

cg

CT

4-

toi ST*

er

bc

CU

(bo + |tge) + Dt (b₀"lnb₀" — b₀")

(b₀ 4~ ^ tg« j -j- E.lnbo"

n ~b g 4~C₂.

+ ------ Ein

tg«

Ft

tg«

b° + |tg«

bo

Für die Durchbiegung- in der Tiefe x — Hh

t = b₀ + tge, t" = b₀" und es folgt

-7- unter 0. W. wird 4

(98)

E ys 3h =

3 tg e

A (b₀ -j- -j- tg ej -J"A₁b₀"

+-4

2tg£

B (bo + ^ tg « j H“ Bi b₀²

▼H ; öc

(b₀ + ~tg«)]

(bo + ^tge)ln (b₀-h ~ tg ej

+ D₁(W'hiW' — b₀")

CO !

tg«

Eln(b„ + ^tg«) + Etlnb<,"

Fi

3h

tg«

tg«

b₀"

Ci'-J—KV

Es ist zweckmäßig, für einen bestimmten Fall zunächst die Koeffizienten und die Konstanten auszurechnen, darauf

die Werte von a, ß, ô und pu einzusetzeu und erst dann zur Aufstellung der neun Grundgleiclmngen von der Form ySx = yWz zu schreiten.

Die Auflösung der Grundgleichungen bietet dann nicht mehr Schwierigkeiten als vorher.

VII. Einfluß der Querkräfte.

Bei stark belasteten Balken, deren Querschnittshöhe im Verhältnis zu ihrer Länge sehr groß ist, kann der Einfluß der Querkräfte auf die Durchbiegungen erheblich werden.

Wird ein mittlerer Balkenquerschnitt F eines senkrechten Balkens vorausgesetzt und angenommen, daß Gleichung (14 a) den Verlauf der Querkraft genügend genau darstellt, so folgt mit den Vereinfachungen x' = x, h' = h für die senkrechte Verschiebung irgendeines Punktes x des senkrechten Balkens (s. Fig. 21) nach Müller-Breslau (Neuere M. d. Fl.) S. 245

LI

--------

(99)

<5

Fig. 21.

h

^g/§FôP

à Qx

-----

rV

dx.

Hierin ist unter Benutzung von Gleichung (14 a)

PuX"⁸

3 h"a

dx³

3 h²

wo P eine an der Stelle x wirkend gedachte Kraft in Richtung von ist, welche nach der Differentiation = 0 gesetzt wird;

h und

3

das Glied mit x" ist nur für Werte von x zwischen -7

4

h zu berücksichtigen;

= 80—90000 kg/qcm

G — Schubmodul = E

für Beton, wenn m ^ 2 und ab = 15—20 kg/qcm F — l d, wo d die mittlere Dicke des senkrechten Balkens, ßg eine Zahl, welche nur von der Gestalt des Querschnittes abhängt

n

ß-£ für Rechteck.

Dann ist also

öQx

ÔP

— 1 und

(101)

gp-2-/Pt+t

-^(h-xr-ßx

Ô X³ . pux”³

3 h²

dx

y Xs . a hx ah² . a (h — x)

/?x²

6h

Ö X⁴

PuX"⁴j

12 h² ' 12 h"² '

Demnach wird für die Durchbiegung am oberen Ende, d. h. zwischen den Grenzen x = 0 und h, bezw. li" :

7h³ ah² ah² £h²    <5h² puh²

(102) ^ Ô

ßg

2 ' 12 ~ 12-4²

= ^(2rh + 4a-6/5 + a + ^); ferner wird für die Durchbiegung in der Tiefe x = =

Lk

O. W., d. h. zwischen den Grenzen x =

unter

und h bezw. h":

Einige Versuchsrechnungen mit Werten p₀, pm und pu', welche ohne Berücksichtigung der Querkräfte gefunden sind und aus denen die Werte a, ßr pu und ô folgen, werden den Einfluß der Querkräfte auf die Durchbiegungen und event, die Notwendigkeit erkennen lassen, sie auch weiterhin bei der Berechnung der Belastungs-, Querkraft- und Momenten-linien zu verfolgen.

Bei den horizontalen Balken haben die Querkräfte auf die Durchbiegungen nur geringen Einfluß, da das Verhältnis

klein ist; auch sind

(103)

GF

ß*

5 »O

y h³ . ah²

I² , <5 h² . Pu h²

2 ^ 12 ' 12-4²

yh³ ah²

ah²

ah² /?h² ô h2 6-8    4    ¹    6    6-8 ‘    8    1216

(₇yh + lla-18/?-f-^d + |). Schließlich wird für die Durchbiegung in der Tiefe x = ^

h³

48

CO

3h

unter O.W., d. h. zwischen den Grenzen x — -,

4

und h:

(104)

GF

ß*

O-¹ a

yh³ .ah² /?h² . dh² . puh² yh³-3³

12 ¹ 12-4²    6-4³

/3h²-3²    <5h²-3⁴

2 4 ¹ 6    6-43 1    2-4²    124⁴

h' (37yh + 47a —84/? + ™ d-f 2Pll)

ah²-3 , ah²

6-4³

ah²

Y iui Vergleich mit dem Verhältnis jj-

die Belastungen der horizontalen Balken auf die Längeneinheit fast durchweg geringer als bei den senkrechten Balken, so daß auf die weitere Verfolgung des Einflusses der Querkräfte bei ihnen verzichtet werden kann.

VIII. Einfluß der Temperatur.

Völlig geschlossene Schachtschleusen sind gegen Temperaturveränderungen, welche sich ungleich auf die Schleuse verteilen, recht empfindlich. Trotz mancherlei technischer Schwierigkeiten wird es sich daher empfehlen, Temperaturfugen einzulegen (s. Abschnitt D). Temperaturspannungen können auf verschiedene Weise entstehen; die wahrscheinlichsten Fälle sind:

1.    Die Außentemperatur an der Schleuse verändert sich gegenüber denjenigen Teilen der Schleuse, welche sich in der durchweg konstanten Temperatur des Untergrundes oder Grundwassers befinden (Sonnenbestrahlung oder starker Frost).

2.    Die Kammerfüllung oder -entleerung bewirkt gegenüber der konstanten Temperatur der Außenseiten der Kammerwände eine ungleiche Temperaturverteilung über den Kammerquerschnitt.

Der Temperatureinfluß unter 1. soll wie folgt behandelt

werden:

Die Längenausdehnungen der Kammermauern und Häupter, bezw. ihre Verkürzungen sind z. B. für den obersten Rahmen in Fig. 22 dargestellt, wobei das mittlere Rechteck die unveränderte Einspannung der Schleuse im Untergründe bedeutet. Die Längenänderungen der Häupter sind im Verhältnis zu denjenigen der Kammermauern so klein, daß sie vernachlässigt werden können. Die Längenänderung der Kammermauer ist oben:

stl

(105)

öt ==

für jede Schleusenhälfte, wo die obere Temperatur um t° höher sei als unten; sie ist positiv oder negativ, je nachdem die Außentemperatur die Temperatur des Untergrundes Überoder unterschreitet; vorläufig werde mit positivem t, alo Verlängerungen d* gerechnet.

Wäre die Verbindung der beiden Kammermauern durch das Haupt eine starre, so würde sich jeder senkrechte Balken des Haupts an seinem Ende um dieses Maß durchbiegen; die horizontalen Balken, welche die Durchbiegungen vermitteln,

sind indessen elastisch nachgiebig und biegen sich selbst unter dem an sie von den senkrechten Balken übertragenen Lastanteil durch; ihre Biegungslinie wird etwa die in Fig. 22 ge-

f.

■£.

k_

r-*

-4-

Fig. 22.

--

»----K

I »S

-i

---

33

i____

Fig. 23.

zeichnete Form annehmen mit der größten Durchbiegung ô\x für die Mitte des obersten Balkens.

Nimmt man nun an, daß die Längenänderungen <5* bis zur Einspannung in der Sohle nach etwa parabolischem Gesetz auf 0 abnehmen, so kann man die Temperatureinwirkung er-

Horchers.

setzen durch einen parabolischen Belastungsgleichwert mit der oberen Ordinate p⁴, welcher dem senkrechten Balken in der Schleusenecke die Enddurchbieg'ung' <Ÿo erteilt (s. Fig'. 23); es ist:

<106)

13 p⁴h4 18ÖEIS ’

also

(107)

pf= —

180 EL, d¹

® O

90 E Is s 11

13 h⁴

13 h⁴

Ebenso kann man sich die Enddurchbiegung d*' eines senkrechten Balkens in der Mitte des Hauptes entstanden denken durch einen Belastungsgleichwert

180 EL, öl 13 h⁴ ’

also

et 1

180EIS (dî — dj) 180 E Is ‘ 2 13 h⁴

Die Belastung pf* läßt sich nun berechnen, wenn d^, die größte Durchbiegung des obersten Horizontalbalkens bekannt

(108) p* = -

13 h⁴

Fig. 24.

ist. Derselbe erhält etwa die in Fig. 24 dargestellte Belastung, wobei p"i=pi—p'i ist (s. Fig. 24). Nach Gleichung (35 ä) wird bei einigen Vereinfachungen und Substitutionen

« _ ^

P = P b, P

2“, ;• hx -=0,1= b, ffll„ = smi

die Durchbiegung

(109) EI* <4

107p" U⁴ , 199 p"b b⁴ Stöb* 90-4⁴-2

30-4⁵

811

p"bb⁴ —

folgt

90-4⁵

Setzt man den Wert von ölw in Gleichung (108) ein, so

(HO) p'b

180EIs £ 11    811 (pt — Pb)b⁴ , ailob³

13 h⁴ 2

90-4⁵EIw EIw8‘

Das Moment üD7o erzeugt indessen eine Durchbiegung der langen Schleusenseiten nach außen, welcher die senkrechten Balken der langen Schleusenwände entgegenstreben. Es entsteht also eine Belastungsfläche mit der Mittelordinate pf wie auf S. 47 ; man hat also nur in Gleichung (56) b mit 1 und [pbj mit pî sowie die Vorzeichen zu vertauschen, um die Mitteldurchbiegung des obersten Horizontalbalkens zu erhalten ; es ist

(111)

*i,

6i pi i⁴ aftpP

360 2⁴    8

ferner ist wie bei den Häuptern:

(112)

«t 13 t

dsi=—I8Ö Plh *

so daß aus der Bedingung <3i — <5s eine 2. Gleichung sich wie folgt ergibt:

<H3)

61 tu

Pi l⁴ —

360-2⁴

931ola

¹³ PU⁴,

180

woraus folgt

(114)

Pi

Sßlol²

/13    ⁶¹    ₄\

\I8Ö h*+ 360-2⁴¹ /

Unbekannt ist noch 9Qtó, welches nach Gleichung (78) unter den vorausgesetzten Vereinfachungen

p£ = P"b, =    ^

auf diesen Fall angewandt, den Wert erhält:

T

J-w

b³ (0,1813 p"f, + 0,475 p”£) +1³ 4V 0.8 Pi*

(116) 50ïo =

¹² (i+bD

0,6563 (Pb— p'b) b³+0,8pfl³i

12 (l + b j

12(1 + b4) ®!o==

\    J-W'

U

o,m*„i⁵4v

(115 a) ml =*

0,6563 (pîi — Pb)b³ H—jß 0,6563 (pb~p ) b³

i»

-iw

611*

180

360-2*

er

Iw

0.11⁵-,

Iw

¹²V + bif

13

180

h⁴-f

Ib

Iw

611⁴

350-2⁴

Iw

y¹

±w

0,11⁶^

Setzt man 1 -j- b-^ = s und

Iw    ¹⁰

T

J-W

180

h⁴-f

611⁴

360-2⁴

so geht Gleichung (110) über in: (116)

Pb =

180Els[al__ 81l(pŁ—pftb)b⁴ 1 0,6563 (pŁ — p'£)b⁵

8 EIw (12 s—v)

13 h⁴

90 • 4⁵ E Iw

13 p'U⁴ , 811 pbb4 180 EIS

0,6563 p'U⁵

ßtl

90-4⁵EIw 8 EIw(12s — v) 811 pU⁴ 0,6563 pU⁵

Daraus ergibt sich:

-ft 1

<H7)

Pb =

I, [ h< I?,    811

I* 2b‘I,    13-4»

90 0,6563 b 13-12 (12s— v)

< C‘

h⁴ r 13 h⁴I 811    0,6563 b

EI* 180b⁴ Is 90-4⁵ ' 8(12s — v)

— ftl

Is

h⁴i;v

Il

— 0,608-|

5,675 b

(12 s — v

h⁴

0,819b    '

12s — v

h⁴I

0,722

— 0,088 -f

b‘Iä

Das Moment des senkrechten Balkens in der Mitte des Hauptes wird dann angenähert auf Grund der Belastungsfläche Fig. 23

EI

JO £

(118)

Mi

C“

(h-x)⁴

12

¹⁻⁴'h ÏT*

und das größte Moment für x = h:

= + ^|-S(l-4) = -

(119) ML*

to| zr

Pbhä 4 ’

für den Balken nahe der Schleusenecke wird

Pbh²_45 «EIstl

26 h² ‘

Das größte Moment in der Mitte des obersten Horizontalbalkens im Haupt wird nach Gleichung (63 a) bei

(119 a)

MÎ

max z = 0

(120) M*

max

₇hx = 0, l = b, p = p"b, P*==

pl,    13 "t    sml

6    24 ^ ^

% !»

b²

17

P"L

»)

8 ml

24 (Pb Pb) fo2

_11/ 90Eis J ,t\

241    13 h4 etl    P*>j

= +    4,904

=+h:

8 ml

b²

b²

f 0,708 p

8 mV

b²

für den senkrechten Balken in Mitte der langen Schleusenwände ist nach Gleichung (119)

(121)

M»uax s

_Pi

lh²

und für den obersten wagerechten Balken nach Gleichung (75)

to

to

62,5p¹ 1^0,843pi -80,9 p’— 1000^

sr„

Darin ist für p{ der Wert der Gleichung (114) einzusetzen. Der Temperatureinfluß unter (2) soll wie folgt behandelt

werden:

Eine Temperaturdifferenz A t = ta — tL auf der Innen-und Außenseite der Kammerwand ruft Durchbiegungen der senkrechten Balken hervor, die sich je nach dem Vorzeichen von A t zu den vom Wasserdruck hervorgerufenen Durchbiegungen hinzuaddieren oder von ihnen subtrahieren. Wird A t zunächst im Sinne der Wasserdruckbelastung positiv wirkend angenommen, so ergibt sich für einen senkrechten Balken die Durchbiegung

(123)

* tx

h

Ie

A tx ô M d ÔP

dXj)¹

wo d die mittlere Breite des senkrechten Balkens bedeutet;

ÔM

^pist = — x. Nimmt man an, daß die Temperaturdifferenz

von A t auf der Schleusenplattform nach parabolischem Gesetz bis auf 0 in der Einspannung abnimmt, also

A tx = A t

(h-x)

h²

so lautet die Gleichung

(123)

SAt = —

X

£ A t (h — x)² x

dh²

eAth h²x² 2hxs x4 dh² x 2    3 ⁺ 4. '

Demnach ergibt sich

für x = 0 :    (124)

-£~d

AV i

12

li

(125)

Oe

~£T

h²-

192

3h

: (126)

c+

”£T

h²-

13

3072'

Bei den wagerechteii Balken, welche, als Ganzes betrachtet, geschlossene Rechteckrahmen sind, werden durch Temperaturdifferenzen At Momente nicht hervorgerufen, so-

J lit ₇ - - - - - - - - x - - - - - - jL    _ j ij

--------------—c-----

Fig. 25.

lange die Differenz auf allen Schleusenseiten gleichmäßig vorhanden ist (s. Fig. 25); dagegen rufen sie innere Scherspannungen hervor, welche indessen ebenso wie ungleich über den Rechteckrahmen verteilte Temperaturdifferenzen At hier nicht weiter verfolgt werden sollen.

Man kann nun diese Zusatzwerte der Durchbiegungen (Gleichung [124] bis [126]) bei der Aufstellung der Grundgleichungen ySx = yWz berücksichtigen; es empfiehlt sich indessen, wie bei den Längenänderungen der Kammermauern infolge der Temperaturveränderung t auch den Einfluß einer

Temperaturdifferenz A t nicht mit den Durchbiegungen infolge Wasserdruck zusammen, sondern für sich auf einem Annäherungswege wie folgt zu berechnen:

Die Gleichungen (124) bis (126) stellen die Durchbiegungen eines senkrechten Balkens infolge At ohne Berücksichtigung der entlastenden Wirkung der horizontalen Balken dar; letztere nehmen einen Teil der Ersatzbelastung pA t auf, und zwar in der Mitte den Betrag p" A t, welcher nach den Schleusenecken zu, etwa dem Verlauf der Biegungs-

--->

-y—\

i*

rr

1/

___i

Fig. 26.

linie folgend, auf p^t anwächst, da der senkrechte Balken dicht neben den Schleusenecken sich nicht durchbiegt, also auch keine Belastung empfängt.

Man trennt nun wieder den Temperaturbelastungszustand wie vorher bei der Wasserdruckbehandlung in zwei Untersuchungen A und B. In der ersten sind nur die langen Schleusenwände, in der zweiten nur die kurzen mit Temperaturdifferenzen belastet gedacht, und die früher für die Wasserdruckbelastung entwickelten Formen können mit einigen Vereinfachungen Verwendung finden.

Tritt an Stelle der Temperaturdifferenzen eine parabolische Ersatzbelastung (s. Fig. 26), so folgt für den mittelsten senkrechten Balken

180

woraus umgekehrt unter Benutzung von Gleichung (124) der Ersatzwert folgt:

(127)

Pi

At _

180 E IS df 15 EIaezU 13 h⁴

13 h² d

n.

nrrimi|iiimmm Fig. 27.

In der Untersuchung A folgt dann für den obersten Balken der langen Schleusenwand nach Gleichung (43) für

y hx = vf

'A t

mo = mf:

P* = I =' Pi (128) = - 5 und für den senkrechten Balken in der Mitte derselben Wand

384

811

90-

1*

(129)

EI>

13

~ 18Ö P^fch⁴;

ferner für den obersten Balken der kurzen Schleusenseite nach Gleichung (56)

(130)

EIb 0/jt= —

w w,

b

6l[pf]b⁴ ₍ S»fb* 360-2⁴    ^ ~~S~

und für den senkrechten Balken in der Mitte dieser Wand

EIPob‘ - ⁺m IPb‘j h‘-

Ferner ist nach Gleichung (78)

(132) 9Jlf = 1* [pf —0,1813p;

(131)

'At

0,475 p^’i+bf 0,8 [pf|

i¹

12 > + b4

\    Jw

P [p Jt

— 0,6563 pf‘] + 0,8b³ [pf [ b³

MV

Iw

Die Gleichsetzung von óf und <Vf bezw. <5f und <3f

ergibt die beiden Gleichungen: 13 rjt

Ï80Pl

h⁴ =

75 P«EIB At

384 13 h²d

■L,⁸¹¹ p^l* 4

r 90.45P1 i

96/l+b^

]b

J-w

15 £EIszlt 13 h²d

— 0,6563 pf' +

0,81²b»[pf] 4

J-w

96

Iw

Ib

MV

4_ JA ip^Mh⁴

' 180 1Pto 1

61 [pf ] b⁴

Pb²

360-2⁴

15 cE Ig A t Ï3 IPd

0,6563 pf

0,8 b* [pf ] h 1W

IV

< O'

Iw

s, b

T1 J w

Setzt man wieder 1 -f- b

Iw

nach einigen Umformungen:

(133)    \)[At (— 7,22 h⁴ — 0,88 l⁴ -f 0,683

eE ISJ tl⁴

b', so folgt

h²d

(134) [pf ] ^7,22 h⁴ -f 1,06 b⁴ — 0,833

(l,50 + 1,20 Ij + 0,833 ^b'

l³b² fiE Is J t

— 0,656 Pb² p'bJt.

Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich durch Eliminieren — am besten nach Einsetzen der Werte für die bekannten Abmessungen eines Beispiels — die Belastungen und jp^¹] berechnen.

Ebenso ergeben sich aus den Gleichungen (133) und (134) durch Vertauschen von 1 mit b, \)'A' mit pbzl< und [p b t] mit [p^] zwei weitere Gleichungen, aus denen pb1t und [p^| folgen. Die Summierung der aus diesen vier Belastungen abgeleiteten Momente führt zu den richtigen Momenten.

Das Max.-Moment des senkrechten Balkens in der Schleusenmitte ist (Untersuchung A)

= 1,20

h²d

Pi

Mt

(135)

das des Haupts

MJt

max

p;Jth²

(136)

Mz,t

|pf] h²

max

Das Max.-Moment des obersten Horizontalbalkens der langen Seite ist (Untersuchung A) nach Gleichung (63)

v'At    13    8 901z,t

co

oc

05

dasjenige des obersten Horizontalbalkens der kurzen Seite nach Gleichung (75)

(138) jy-zJt _ I

Vax

62,5 |pf ] b* 0,843 [pf 1 -

io mf

b*

-m

O'

— 1000

b’²

Wird überall 1 mit b vertauscht, so folgen aus den Gleichungen (135) bis (138) diejenigen der Untersuchung B.

IX. Berücksichtigung der Schachtaussparungen im Oberund Unterhaupt der Schleuse.

Der Schleusenschacht ist bisher als völlig geschlossen betrachtet worden. Infolge der Aussparungen im Ober- und Unterhaupt werden nun die Belastungen, Querkräfte undMomente der senkrechten und horizontalen Balken derjenigen Schleusenteile verändert, in welchen sich die Aussparungen des Oberund Unterhauptes befinden. Es wird genügen, diese Veränderungen in roher Annäherung festzustellen. Die Aussparungen werden zwar auch einen gewissen Einfluß auf die anderen Teile der senkrechten und horizontalen Balken ausüben, doch soll dieser bei den weiteren Ausführungen vernachlässigt werden. Man kann daher annehmen, daß die bisher berechneten Biegungslinien für horizontale und senkrechte Balken sich bei Betrachtung jeder Aussparung für sich unterhalb der Linie EE bezw. oberhalb der Linie FF nicht ändern (Fig. 28).

Ausgangspunkt der folgenden Untersuchung für die Aussparung im Oberhaupt bilden dann die als bekannt vorausgesetzten Durchbiegungen in der Ebene ĘE. Die statischen Ursachen der Veränderung der Biegungslinien oberhalb EE sind folgende:

1.    Die Enddurchbiegung der horizontalen Balken im Oberhaupt ist nicht mehr wie bisher — 0.

2.    Das Einspannungsmoment derselben im Oberhaupt nimmt von 90^ oberhalb EE bis auf einen gewissen Wert

9JV an der Schleusenoberkante ab, der ein Bruchteil des Wertes beträgt, welcher in dem bisher betrachteten Zustande (als geschlossener Schacht) in der Ebene EE berechnet war.

r-n

äjl

4-K

HT

Fig. 28.

ATT

% «J

Fig. 29.

Kennt man die Durchbiegung <r und das positive Differenzmoment üüto” =    — 2JV des oberen Horizontalbalkens

in G (s. Fig. 28), so lassen sich die zusätzlichen Belastungen, Querkräfte und Momente berechnen. Um <5® zu ermitteln, sind zunächst Annahmen über die Belastungsflächen des obersten Horizontalbalkens und des senkrechten Balkens im Haupt zu machen, welche die Durchbiegungen in G erzeugen. Die Durchbiegung <5q des senkrechten Balkens im Haupt entsteht in-

folge des Wasserdruckdreiecks oberhalb E abzüglich einer negativen Parabelfläche, welche dem Lastanteil der horizon-

k--

Fig. 29 a.

talen Balken entspricht, und zuzüglich einer positiven Parabelfläche, welche infolge des Moments 9tt₀” der Horizontalbalken entsteht. Die Belastungsordinate ist also

(K — x)-

q* = yhx' — (pf —p*„)

Integriert man 4 mal die Gleichung EIS

d⁴y

dx⁴

<lx, so folgt

(139)

Y hx⁵ , 13

180

(PS-P&«)V

30

13

180

Pf V-

----r *'ł

-\-

--Zs

'jflt

y.

Fig. 30.

Je nachdem Pf s^P^.. ist, wird der Dreieckslast ein Betrag1 abgezogen oder hinzugefügt.

Der im Unterhaupt eingespannt gedachte oberste Horizontalbalken kann sich in die Form der bisher berechneten Biegungslinie nicht einstellen, da die Durchbiegung dg und das dem Einspannungsmoment entgegenwirkende Moment 9JT diese Biegungslinie verändern. Die Veränderungen werden

Fig. 31.

bewirkt durch eine Belastungsfläche, welche sich zusammensetzt aus dem positiven, parabolisch bis zur Einspannung auf 0 abnehmenden Anteil der Wasserdruckbelastung — übertragen durch die senkrechten Balken — und der positiven Belastung durch das Moment 9J1₀” abzüglich einer parabolischen Belastung, welche die senkrechten Balken als Anteil an der Belastung durch 5ÜR₀" übertragen erhalten.

Es wird also

W'l²

(140) EI¹ 4«=---„

w °w    2

13

pf— PS.-) i⁴

SDV'U

13p? 1* 180 *

EI,

Aus der Bedingung dg — dg folgt

7hx⁵ , 13

30 ‘ 180

p?v

m’v

13pg l⁴

180

13

i,

180

Pf i*w+V

\ Aw

also

₌ rV⁵ M" P Is 2 I¹’

W

30

Is

6 y h,⁵ — 90 $01" 1³ jT

Is

13 l⁴ff + V

\ w

Die Schwierigkeit liegt nun darin, den Wert 9JÎ₀", d. i. die Verringerung des Einspannungsmomentes 9JÎ₀E , welches in der Ebene E E herrscht, zu bestimmen. 9JÎ₀" wird wesentlich von dem Verhältnis y abhängen; ist h₃ im Verhältnis

zu 1 klein, so wird    verschwinden. Man kann z. B. das

Verh ältnis annehmen :

i er*

und in Gleichung (131) einsetzen; dann ergibt sich für das Moment des senkrechten Balkens im Oberhaupt

(142) sair°= + ^g-'i

f ï^p!V —|pf'h,x

1 Po'

—12 h.

₂ (h₃—x)⁴

und für den Größtwert bei x — h., :

(143)

-.=» r hV p?V

max

Ferner drückt sich die Veränderung, welche der oberste Balken infolge der Aussparung erfährt, etwa aus durch das zu dem bisher für ihn errechneten hinzuzufügende Moment

p!'l²

1 pf

12 1*

S9ir°=$»!„"+ ₁₂

und die Vergrößerung des Einspannungsmomentes im Unterhaupt beträgt

(144)

(1 —z)⁴

(145)

max

= 2Wo" + 4^-

Die Aussparung im Unterhaupt hat hinsichtlich der Veränderungen, die sie an den Biegungslinien der horizontalen und senkrechten Balken unterhalb der Ebene F F bewirkt, wesentlich weniger Bedeutung als diejenige im Oberhaupt; der starre Vollrahmen, welcher sie umgibt, ist so steif, daß eine Verringerung der EinspannungsWirkung der Horizontalbalken auf die Höhe der Aussparung nicht angenommen worden ist. Es soll daher nur der Einfluß der Durchbiegung des senkrechten Balkens im Unterhaupt verfolgt werden.

Diese Durchbiegungen verursachen Mehrdurchbiegungen der horizontalen und senkrechten Balken unterhalb F F und daher auch Zusatzbelastungen und -momente.

Für den senkrechten Balken im Unterhaupt ist die Belastungsfläche = dem auf ihn entfallenden Teil des Wasserdruckdreiecks, vermindert um eine negative Reaktionsfläche,

-...............■»fll/-,, ,,    —---

—<N?"-

•F*

ii-

— ~lL

'

i-i.

Fig. 32.

welche den horizontalen Balken als positive Zusatzbelastung zuzurechnen ist; genau genommen ist die letztere Fläche zur Mitte unsymmetrisch, entsprechend der Form der Biegungslinie; sie soll indessen der Einfachheit halber symmetrisch angenommen werden. Aus dieser Belastung ergibt sich in der Tiefe th unter der oberen Einspannung die größte Durchbiegung <5s    . Der an dieser Stelle befindliche Horizontal-

max

balken erhält eine Mehrbelastungsfläche, die in grober Annäherung als Parabel mit der größten Ordinate ph dargestellt werden soll.

Borcliers.

Für die beiden so belasteten Balken sollen nun durch die Durchbiegungen äs und <$w bestimmt werden, ans deren

max    max

Gleichsetzung sich später der Wert ph ergibt.

Behandelt man die Wasserdruckfläche und die negative Reaktionsfläche gesondert, so ergeben sich für die erstere durch viermalige Integration der Gleichung

hx = —h⁴ — yt

d⁴ y

dt⁴

die Gleichungen

d³ y

(146) EIS

dt³

— Qx =

(147) EIS

d² y

dt“

2 ' 2 ' 201 5 yh₄ta 7 t³ yh₄h₅t 6 ^ 2

3rhn 7hAa rV

203 5    12    3Ö

7 h⁴1

dy

(148) E Is — = EI₃ tg a

y h₄ t³ y t⁴

(149) E Is y = — ₂₄

+rvf-

rG yh₄ h₅t³

120

12

12

yy.t

3Ö

+ 4₀rVt³

yh₄h₅n²

yVü

24

60

Der Wert th, für den Cx ein tritt, folgt aus der Gleichung 3. Grades

EIa^ = 0

dt

7 K tu³ 7 th³ , 7 K h₅ th 24 '    4

7 h₄ h,²

12

7h₅³

30

Für die Reaktionsfläche kann die in Gleichung (35 a) errechnete Durchbiegung eingesetzt werden, wenn man

y hx = 0, p — ^ und p — ph, 1 = 2 th setzt (2 th statt h₅ wegen

der unsymmetrischen Form). Dann ist {150) E Is <5n

also

199

107 2‘.fV4

Pii-2⁴-th⁴

12976 “ 90-4⁵

SCR“ ist nach Gleichung (78) angenähert:

maxs 9Q. 44

30 -4⁵

Phth⁴

9[Ro th⁸

2³-th³ 0,3625^4-0,475 pb]

12-2th

0,6562    ₂

Q- Phth²

2891

10085    , ₄

Ph th¹--g—Ph tli

12976 90-45

wo ph negativer Wert beizulegen ist; im ganzen also

(150 a) EIS öl

max

90-45

Phth⁴

(151) E Is ^smax

y h₄ th⁴ rth⁵

Eld^'w+^w)

+ y h» t“³ fit + so) - y hs⁸ h⁸ (ll + gg)

24

120

-J- 0,0314phth⁴

Für die parabolische Belastungsfläche des Horizontalbalkens in der Tiefe I14 -|-1₍, unter O. W. wird dann nach früherem

JL3 phl⁴

iso ei:;

Demnach folgt aus der Gleichung <5”

(152)

<C

max

(153) Ph = —

= ôl :

'v max

5 y h₄ th⁴ — y th⁵ + y h-, tu* (10 h₄ -| ■ 3 h₅) ____________________-yyWM5h₄ + 2hi)

max

Is

120 (0,0314 th⁴ + 0,0731⁴ ;

Iw

Das Maximalmoment des senkrechten Balkens im Unterhaupt (für t — th) wird dann unter Benutzung von Gleichung (147) y h₄ tu² /tu³ _ y\ h₅ th

(154) M

9Jlo

30

p,‘ + ² v

7*

und das größte Zusatzmoment des Horizontalbalkens in der Tiefe h₄ —f- th wird für z = l

(155)

Mu

•». ' 4. ÎY

max vv —

Phi²

1    ....... ^rrrrrrrrmrTrmïïrûTÎÏÏ^

----r----£----------^

Fig. 33.

D. Vorschläge für ein neues System von Schachtschleusen, seine Vorzüge und sein Berechnungsgang.

Einige Überlegungen werden genügen, um darzutun, daß völlig geschlossene Schachtschleusen ein statisch nicht befriedigendes Kesultat liefern müssen. Die im Verhältnis zu den Häuptern sehr langen Kammermauern übertragen große Eckmomente auf die Häupter, welche schon durch Aussparungen, Tore, Umläufe, Schieberschächte usf. an und für sich geschwächt sind. Außerdem sind geschlossene Schächte naturgemäß Temperaturveränderungen gegenüber sehr empfindlich, und schon bei den geringsten ungleichen Bodensenkungen, welche nur nachträglich und infolge der verschiedenartigen Nachgiebigkeit des Untergrundes entstanden zu sein brauchen, können innere Spannungen entstehen, welche das zulässige Maß bei weitem überschreiten und rechnerisch nicht mehr verfolgt werden können. Man sollte deshalb derartige Bauwerke nur auf absolut festen Fels gründen. Ist ein derartiger, absolut unnachgiebiger Baugrund aber nicht vorhanden, so wird die Einlegung von Fugen, welche zugleich die Verlängerungen undVerkürzungen infolge Temperaturveränderungen ausgleichen, notwendig sein, so daß sich wenigstens die einzelnen Teile des Bauwerks selbständig setzen können. Die Schwierigkeit liegt dann allerdings darin, an den Trennungsfugen jederzeit eine vollkommene Dichtung zu erzielen, insbesondere wenn

die Fugen sich durch verschiedenartiges Setzen der Schleusenteile öffnen sollten. Es wird nun vorgeschlagen, bei Einschaltung von Trennungsfugen eine gute zuverlässige Dichtung dadurch zu gewährleisten, daß an den Trennungsfugen Querriegel die Kammermauern verbinden, welche über der Kammer einen etwa förmigen geschlossenen Querschnitt haben, sich dagegen über den Fugen in zwei ^]\2 förmige Arme gabeln

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II

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ZK3 L    ^

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'S/S/SS/S///S///////S.

Fig. 34.

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II

-    ---:>g

II

II

"7

rTYTJrr

•ss/s/r/.

77.

Fig. 35 b.

Fig. 35 a.

(s. Fig. 34—35 b). Dadurch entsteht eine elastisch nachgiebige Verbindung der einzelnen voneinander getrennten Schleusenteile, welche deren Schrägstellung gegeneinander oder das ungleichmäßige Öffnen der Fugen verhindert und zugleich die Längenänderungen infolge Temperatur oder die Bewegungen infolge Bodensenkungen — sofern sie natürlich innerhalb gewisser Grenzen bleiben — für den Schleusenkörper unschädlich macht. Die Einlegung von Fugen und die Verbindung der Kammermauern durch Querriegel hat außerdem den Vorzug, die Momente und somit die Beanspruchungen der Schleuse wesentlich zu verringern, d. h. eine bedeutende Materialersparnis zu bewirken. Schließlich sind Querriegel als Verkehrsverbindungen zwischen den Kammermauern und als Steuerbrücken bei großen Schachtschleusen vom betriebstechnischen Standpunkt aus von Vorteil.

Die statische Berechnung solcher Schachtschleusen beruht auf gleichen Prinzipien wie bei den völlig geschlossenen Schachtschleusen. Die Teile I und II (s. Fig. 34) werden für sich berechnet, und zwar zunächst ohne das Vorhandensein des Querriegels, wobei in den Punkten A eine freie Auflagerung angenommen wird, welche um ein gewisses Maß <5r elastisch senkbar ist; darauf berechnet man annähernd diese Senkungen <5,. gleich den Durchbiegungen, welche die Halbrahmen, bestehend aus Kammermauern und Querriegel, erleiden, um hierdurch die Grenzbedingungen zu erhalten, welche die senkrechten und horizontalen Balken der einzelnen Schleusenteile bei der Integration erfüllen müssen. Dabei ist es ziemlich gleichgültig, ob der Querriegel an die Kammermauern gelenkig oder mit steifen Ecken angeschlossen ist; denn sein Trägheitsmoment ist im Vergleich mit dem der Kammermauern so klein, daß auch im letzteren Falle eine Gelenkwirkung dicht unter dem Querriegel angenommen werden kann. Die Berechnung des Querriegels selbst erfolgt natürlich — je nach der Ausführungsart — als Glied eines Rahmens mit gelenkigen oder steifen Ecken.

E. Schlußbemerkungen.

Im Anschluß an die vorstehenden Untersuchungen sei bemerkt, daß dieselben unter gewissen Voraussetzungen auch für rechteckige Flüssigkeitsbehälter jeder Art mit innerem

— 97

oder äußerem Überdruck Geltung haben; ferner können die abgeleiteten Formeln mit einiger Annäherung Anwendung finden auf rechteckige Behälter mit geschüttetem Inhalt (Erz, Kohlen, Getreidesilos) sowie für rechteckige Senkbrunnen aus Beton oder Eisenbeton und Kaissons.

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KRAKÓW

Robert Noske, Borna-Leipzig, Großbetrieb für Dissertationsdruck.

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¹

vgl. Müller-Breslau, Neuere Meth. d. Festigkeitsl. S. 148.