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Die Statik

DER

Hochbau-Constructionen.

VON

THEODOR LANDSBERG,

Geh. Baurath, Professor an der technischen Hochschule in Darmstadt.

„Handbuch der Architektur.“

Erster Theil, i. Band, Heft 2.

DRITTE AUFLAGE.

MIT 409 ABBILDUNGEN IM TEXT UND 1 TAFEL.

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STUTTGART 1899.

ARNOLD BERGSTRÄSSER VERLAGSBUCHHANDLUNG

A. KRONER.

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Das Recht der Ueberfetzung in fremde Sprachen bleibt Vorbehalten.

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Druck der Union Deutsche Verlagsgesellschaft in Stuttgart.

IN HALTS-VERZEICHN ISS.

i. Abfchnitt:

Grundlagen.

Literatur : Bücher über »Statik der Bau-Conftructionen«

1.    Kap. Allgemeines...................

a)    Grundgefetze der Statik fefter Körper ..........

b)    Grundlagen für die graphifche Behandlung bauftatifcher Aufgaben

2.    Kap. Aeufsere Kräfte, Schwerpunkte, ftatifche und Trägheitsmomente

a) Belattungen..................

• 17

17

i) Eigengewicht der Conftruction........

Tabelle über Eigengewichte der Bauftoffe.....

Tabelle über Eigengewichte und Belattung von Bautheilen Tabelle über Eigengewichte der Decken mit eifernen Trägern Tabellen über Eigengewichte der Dächer.....

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2) Nutzlaft

Tabellen über Nutzlaften in verfchiedenen Gehäudearten

to

3) Schneelaft

21

Tabelle über gröfste Belattungen durch Schneedruck

22

4) Winddruck

22

Tabellen über Winddruck auf Dachflächen..............

b)    Schwerpunkte und ftatifche Momente.................

1)    Schwerpunkte von ebenen Figuren................

2)    Schwerpunkte von einfachen Figuren...............

3)    Schwerpunkte von Querfchnittsflächen, die aus einfachen Figuren zufammen-

gefetzt find ......................

4)    Graphifche Ermittelung der ftatifchen Momente und der Schwerpunkte von

Flächen.......................

c)    Trägheitsmomente und Centrifugalmomente...............

d)    Darftellung der Trägheits- und Centrifugalmomente mit Hilfe von Kreifen ....

23

25

25

27

30

31

2. Abfchnitt:

Elemente der Elafticitäts- und Feftigkeitslehre.

I. Kap. Grundbegriffe

54

Literatur: Bücher über »Lehre von der Elafticität und Fettigkeit«.......

2. Kap. Zug und Druck, bezw. Zug- und Druckfeftigkeit............

Tabellen über Elafticitäts- und Feftigkeits-Coefficienten, fo wie über zuläffige Beanfpruchungen

57

58

IV

3.    Kap. Schub und Schubfeftigkeit....................

Tabellen über Elafticitäts-Coefficienten und zuläftige Beanfpruchungen .....

4.    Kap. Biegung und Biegungsfeftigkeit..................

a)    Axiale Biegungsfpannungen, wenn die Kraftebene die Balkenquerfchnitte in Haupt-

axen fchneidet ........................

1)    Die Axialkraft hat die Gröfse Null..............

2)    Die Axialkraft ift nicht gleich Null..............

b)    Axiale Biegungsfpannungen, wenn die Kraftebene die Balkenquerfchnitte nicht in

Hauptaxen fchneidet .....................

c)    Allgemeine Unterfuchung der Biegungsfpannungen mit Zuhilfenahme der Trägheitskreife

d)    Biegungsfpannungen in einem Körper, der aus zwei verfchiedenen Bauftoffen zu-

fammengefetzt ift.......................

e)    Schubfpannungen ........................

f)    Elaftifche Linie........................

6₇

68

70

73

75

80

80

86

95

100

106

3. Abfchnitt:

Stützen und Träger.

i. Kap. Stützen..........................

a) Stützen mit aufserhalb der Längsaxe wirkenden Kräften, ohne Rückficht auf Zerknicken ..........................

HO

1)    Druckvertheilung in Querfchnitten, welche Druck und Zug aufnehmen können,

falls die Kraftebene alle Querfchnitte in Hauptaxen fchneidet .    .    .    .

2)    Druckvertheilung in Querfchnitten, welche nur Druck aufzunehmen ver

mögen, falls die Kraftebene alle Querfchnitte in Hauptaxen fchneidet

3)    Druckvertheilung, falls die Kraftebene die Querfchnitte nicht in Haupt

axen fchneidet ....................

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119

b) Gedrückte Stäbe unter Berückfichtigung der Zerknickungsgefahr

1)    Theorie des Widerftandes gegen Zerknicken......

2)    Querfchnittsermittelung bei centrifcher Druckbelaftung

3)    Querfchnittsermittelung bei excentrifcher Druckbelaftung .

4)    Empirifche Formeln..............

122

122

130

134

136

2. Kap. Träger.........................

a)    Aeufsere Kräfte der Balkenträger.................

1)    Balkenträger auf zwei Stützen...............

2)    Confole-, Krag- oder Freiträger..............

3)    Continuirliche Gelenkträger, Auslegerträger oder Gerber-Träger

4)    Continuirliche oder durchgehende Träger...........

b)    Innere Kräfte der Gitterträger..................

1)    Verfahren für die Beftimmung der Stabfpannungen .....

2)    Parallelträger mit Netzwerk oder zwei Scharen von Diagonalen

3)    Parallelträger mit Diagonalen und Pfoften..........

4)    Parallelträger mit nur gezogenen, bezw. nur gedrückten Diagonalen .

5)    Parabelträger....................

6)    Dreieckträger....................

7)    Trapezträger....................

139

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169

Ï7 5

183

187

190

198

201

Literatur: Bücher über »Statik der Stützen und Träger«

203

4. Abfchnitt:

Dachftühle.

i. Kap. Beladungen und Auflagerdrücke .

a)    Beladungen.........

b)    Auflagerdrücke bei Balkendächern .

c)    Auflagerdrücke bei Sprengwerksdächern

206

206

208

2.    Kap. Balkendächer............

a)    Englifche Dachftühle..........

b)    Deutfche Dachftühle..........

c)    Dreieckdächer ............

d)    Franzöfifche, Polonceau-. oder lViegmann-T)a.chü.ühle

e)    Sicheldächer............

f)    Pultdächer..............

3.    Kap. Sprengwerksdächer..........

4.    Kap. Ausleger- oder Kragdächer .......

5.    Kap. Kuppel-, Zelt- und Thurmdächer .....

a) Kuppeldächer.............

Seite

215

218

229

230

1)    Berechnungsweife von Schwedler .

oc) Belaftungen und Auflagerdrücke ß) Stabfpannungen.......

2)    Verfahren von Müller-Breslau .    .    .    .

3)    Erzeugende Kuppelcurve......

4)    Winddruck auf die Kuppel......

230

235

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240

243

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246

247 247

24S

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262

b)    Flache Zeltdächer............

c)    Steile Zeltdächer oder Thurmdächer......

1)    Vierfeitiges Pyramidendach .....

2)    Achtfeitiges Pyramidendach.....

3)    Standfeftigkeit der Thurmdächer ....

Literatur: Bücher über »Statik der Dachftühle«

265

269

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5. Abfchnitt: Gewölbe.

1.    Kap. Stützlinie und Mittelkraftslinie

a)    Allgemeines......

b)    Mittelkraftslinie und Seilcurve

2.    Kap. Tonnen- und Kappengewölbe

3.    Kap. Kreuz- und Kuppelgewölbe

a)    Kreuzgewölbe......

b)    Kuppelgewölbe.....

281

281

Literatur: Bücher über »Statik der Gewölbe«

284

290

298

298

308

312

Tafel bei S. 80:

Graphifche Tafel für die Querfchnittsermittelung von I- und U-förmigen Walzbalken.

(Deutfche Normal-Profile.)

Handbuch der Architektur.

I. Theil :

ALLGEMEINE HOCHBAUKUNDE.

ZWEITE ABTHEILUNG.

DIE STATIK

DER HOCHBAU-CONSTRUCTIONEN.

Von Theodor Landsberg.

I. Theil, 2. Abtheilung:

DIE STATIK DER HOCHBAU-CONSTRUCTIONEN.

i. Abfchnitt.

Grundlagen.

I.

Die Statik der Hochbau-Conftructionen ift die Lehre vom Gleichgewichte der Hochbauten; fie unterfucht, welche Bedingungen erfüllt fein müffen, damit die Bau-bemerkungea> werke und ihre Theile im Gleichgewichte find und bleiben; fie beftimmt danach die denfelben zu gebenden Conftructionsformen.

Die Statik der Bau-Conftructionen, wohl auch Baumechanik genannt, hat haupt-fächlich zwei Aufgaben zu erfüllen: fie lehrt erftens, die Abmeffungen aller Theile der Bauwerke fo zu beftimmen, dafs diefelben mit Sicherheit den auf fie einwirkenden Kräften widerftehen können; fie hat zweitens für die einzelnen Conftructionen zweckmäfsige Formen zu ermitteln.

Die Löfung der erften Aufgabe erheifcht, dafs jeder Conftructionstheil genügend ftark, auch für die ungünftigften Falles wirkenden Kräfte, angeordnet wird. Die dazu nöthigen Abmeffungen find wefentlich von der für die ganze Conftruction gewählten Form abhängig. Durch glinftige Wahl diefer Form ift es möglich, an Bauftoff zu fparen, ohne die Sicherheit zu verringern. Die Ermittelung derjenigen Form, bei welcher die verlangte Sicherheit mit geringftem Stoffaufwande oder, was annähernd daffelbe befagt, mit geringftem Koftenaufwande erreicht wird, ift die zweite Aufgabe der Statik der Bau-Conftructionen.

Literatur.

Bücher über »Statik der Bau-Conftructionen«.

Eytelwein, J. A. Handbuch der Statik fefter Körper. Mit vorzüglicher Rücklicht auf ihre Anwendung in der Architektur. Berlin 1826.

Navier , L. M. H. Réfumé des leçons données a l'école des ponts et chauffées fur l'application de la mécanique a l etabliffement des confiruclions et des machines. Paris 1S26. — Deutfche Bearbeitung (3. Aufl.) von G. Westphal & A. Foeppl. Hannover 1881.

Moseley, H. The mechanical principles of engineering and architecture. London 1843. — Deutfch von H. Scheffler. Braunfchweig 1845.

Weisbach, J. Lehrbuch der Ingenieur- und Mafchinen-Mechanik. II. Theil, 1. Abth.: Statik der Bauwerke. Braunfchweig 1847. — 5. Aufl. von G. Hermann. 1882.

Riedlin, C. Anweifung und Berechnung des Mauerwerkes und der am häufigften vorkommenden Dach-ftühle. München 1856.

Rebhann, G. Höhere Ingenieurwiflenfchaften. Wien. I. Bd.: Theorie der Holz- und Eifenconftructionen mit befonderer Rückficht auf das Bauwefen. 1856. — II. Bd. : Theorie des Erddrucks und der Buttermauern mit befonderer Rückflcht auf das Bauwefen. 1876.

Bresse, J. A. Cil. Cours de mécanique appliquée. ire partie: liéfifiance des matériaux et fiabilité des confiructions. Paris 1859- — 3. Aufl. 1880.

Rankine, W. J. M. Manual of civil engineering. London 1862. — 12. Aufl. 1877. — Deutfch von F. Kreuter. Wien 1879.

Ritter, A. Elementare Theorie und Berechnung eiferner Dach- und Brücken-Conftructionen. Berlin 1863. — 5. Aufl. Hannover 1894.

Behse, W. H. Die Berechnung der Fettigkeit von Holz- und Eifenconttructionen ohne höhere mathe-matifche Vorkenntniffe. Leipzig 1864.

Culmann, K. Die graphifche Statik. Zürich 1866. — Von der 2. Aufl. nur Bd. 1 (Zürich 1875) er-fchienen.

Heinzerling, F. Die angreifenden und widerftehenden Kräfte der Brücken- und Hochbau-Conftructionen.

Zum Gebrauch beim Berechnen von Brücken- und Hochbauten. Berlin 1867. — 2. Aufl. 1876. Humber, W. Handy book for the calculation of /trains on girders and fimilar fiructures. London 1868. —

3.    Aufl. 1879.

Heinzerling, F. Grundzüge der conltructiven Anordnung und Itatifchen Berechnung der Brücken- und Hochbau-Conftructionen. Leipzig 1870.

Wenck, J. Die Baumechanik etc. Leipzig 1870. — 2. Aufl. 1882. — Neue Titelausg. 1884. COLLIGNON, E. Cotirs élémentaire de mécanique (fiatique). Paris 1870.

Ott, K. v. Die Grundzüge des graphifchen Rechnens und der graphifchen Statik. Prag 1870. —

4.    Aufl. 1885.

Bauschinger, J. Elemente der graphifchen Statik. München 1871.

Ott, K. v. Vorträge über Baumechanik. Prag. I. Theil: Die Statik des Erdbaues, der Futtermauern und der Gewölbe. 1871. (3. Aufl. 1888.) — II. Theil: Die Zug-, Druck- und Schubfefligkeit, refp. Elafticität fammt deren Anwendung. 1876.    (3. Aufl. 1891—93.)

Kopka, C. Die Baumechanik. Leipzig 1872.

Holzhey, E. Vorträge über Baumechanik. Wien 1872 — 76.

Levy, M. La fiatique graphique et fies applications aux confiructions. Paris 1874. — 2. Aufl. 1887. Cremona, L. Elementi di calcolo grafico. Turin 1874. — Deutfch von M. Curtze. Leipzig 1875. Ritter, A. Lehrbuch der höheren Mechanik. II. Theil: Ingenieur-Mechanik. Hannover 1875. (2> Aufl. 1885.) Deutfche bautechnifche Tafchenbibliothek. Heft 9: Die Baumechanik. Von W. Jeep. Leipzig 1876. Du Bois, A. J. Elements of graphical fiatics etc. New-York 1876.

Rolla, L. Elementi di fiatica grafica etc. Mailand 1876.

Crofton, M. W. Lectures on the elements of applied mechanics, comprifing : I. Stability of fiructures. IT. Strength of materials. London 1877.

Eddy, II. T. New confiructions in graphical fiatics. New-York 1877. — Deutfche vom Verf. verm. u. verb. Ausgabe. Leipzig 1880.

Klasen, L. Graphifche Ermittelung der Spannungen in den Hochbau- und Brücken-Conftructionen.. Leipzig 1878.

Zucchetti, F. Slatica grafica, fua teoria ed applicazioni. Torino 1878.

WENCK, J. Die graphifche Statik etc. Berlin 1879.

Cain, W. Theory of folid and braced ela flic arches, applied to arch bridges and roofs in iron, wood, concrete, or other material. Graphical analyfis. New-York 1879.

WlTTMANN, W. Statik der Hochbau-Conftructionen. Berlin. Theil I: Steinconftructionen. 1879. — Theil II: Holzconftructionen. 1882. — Theil III: Eifenconttructionen. 1884.

Foeppl, A. Theorie des Fachwerks. Leipzig 1880.

Clarke, G. S. The principles of graphic fiatics. London 1880. — 2. Aufl. 1888.

Orlander, E. A new method of graphic fiatics applied to the confirmation of wrought-iron girders. MÜLLER-Breslau, PL F. B. Elemente der graphifchen Statik der Bauconftructionen für Architekten und Ingenieure. Berlin 1881.

Albert, F. Die technifche Mechanik im Hochbau. Plauen 1881.

Chalmers, J. B. Graphical determination of forces in engineering fiructures. London 1881.

Crofton, M. W. Lectures on the elements of applied mechanics. London 1881.

Bkllot. Die wichtigften Lehren der Baumechanik. Leipzig 1881.

Hintz, L. Die Bauftatik etc. Weimar 1882.

Stelzel, K. Grundzüge der graphifchen Statik und deren Anwendung auf den continuirlichen Träger-Graz 1882.

Petersen, J. Lehrbuch der Statik fefter Körper. Deutfche Ausg. von R. v. FiscHER-Benzon. Kopenhagen 1882.

Maurer, M. Statique graphique appliquée aux confiruclions, toitures, planchers, poutres etc. Paris 1882. — 2. Aufl. 1885.

Graham, R. H. Graphic and analytic fiatics in theory and comparifon etc. London 1883. (New-York 1887.)

Wilda, E. Statik fefter Körper. Brünn 1884.

Grüner, O. Formeln und Tabellen zu einfachen ftatifchen Berechnungen der bei Hochbauten vorkommenden Eifenconftructionen. Leipzig 1885.

Schloesser, H. Anleitung zur ftatifchen Berechnung von Eifenconftructionen. Berlin 1885.

Cremona, L. Les figures réciproques en fiatique graphique. Paris 1885. — Mit Anhang von Saviatti.

Jentzen, E. Baumechanik mit befonderer Rückûcht auf die Berechnung der Träger und Stützen aus Holz und Eifen etc. Hamburg 1886.

Flamant, A. Stabilité des confiractions, réfifiance des matériaux. Paris 1886. — 2. Aufl. 1896.

Praktifche Unterrichtsbücher für Bautechniker. III. Die Feftigkeitslehre und die Statik im Hochbau. Von H. Diesener. Halle 1886.

Henneberg, L. Statik der ftarren Syfteme. Darmftadt 1886.

Hausser, A. E. & L. CtJNQ. Statique graphique appliquée etc. Paris. Erfcheint feit 1886.

Schlotke, J. Lehrbuch der graphifehen Statik. Hamburg 1887.

MüLLER-Breslau, H. F. B. Die graphifche Statik der Bauconftructionen. Leipzig 1887—96.

Ritter, W. Anwendung der graphifehen Statik. Theil I: Die im Innern eines Balken wirkenden Kräfte.

Zürich 1888. — Theil II: Das Fachwerk. Zürich 1890.

Ball, R. S. Theoretifche Mechanik ftarrer Syfteme. Flerausg. von H. Gravelius. Berlin 1889. Koechlin, M. Applications de la fiatique graphique. Paris 1889.

Lauenstein, R. Die graphifche Statik. Stuttgart 1889. — 4. Aufl. 1898.

Schmid, C. Statik und Feftigkeitslehre. Stuttgart 1891. — 2. Aufl. 1897.

MÜLLER-Breslau, F. B. Beitrag zur Theorie des räumlichen Fachwerks. Berlin 1892.

Baker, W. L. The beam etc. London 1892.

Keck, W. Vorträge über Elafticitätslehre. Hannover 1892—93.

MüLLER-Breslau, F. B. Die neueren Methoden der Feftigkeitslehre und der Statik der Bauconftructionen. Leipzig 1893.

Claussen, E. Statik und Feftigkeitslehre in ihrer Anwendung auf Bauconftructionen. Berlin 1893. Keck, W. Vorträge über graphifche Statik. Hannover 1894.

Stein

Bayer, A. Handbuch zur Berechnung der im Hochbau vorkommenden Conftructionen in Eifen und Holz. Wien 1896.

Pullen, W. W. F. The application of graphic methods to the defegn of* fir act nr es. Manchefter 1896. Domitrowich , A. v. Statifche Berechnung von Balkendecken, Säulen und Stützen im Hochbaufache. Wien 1897.

Keck, W. Vorträge über Mechanik etc. Hannover 1897. Froelich, H. Elementare Anleitung zur

Anfertigung ftatifcher Berechnungen für die im ITochbau üblichen' Conftructionen mit eifernen Trägern und Stützen etc. Berlin 1892. — 2. Aufl. 1897. Routh, E. J. Die Dynamik der Syfteme ftarrer Körper. Deutfeh von A. Schepp. Leipzig 1898.

i. Kapitel.

Allgemeines.

Für die Löfung der beiden in Art. 1 bezeichneten Aufgaben ift die Kenntnifs derjenigen Kräfte nöthig, welche bei den verfchiedenartigen

2.

möglichen Belaftungs-zuftänden im Inneren der Conftructionen entftehen, d. h. der fog. inneren Kräfte odei Spannungen, welche auch wohl widerftehende Kräfte genannt werden. Die inneren Kräfte ftehen aber wiederum in einem ganz beftimmten Verhältnifs

Aeufsere und innere Kräfte.

zu

Ermittelung der äufseren Kräfte.

4*

Ermittelung der inneren Kräfte.

den von aufsen auf die Conftructionen wirkenden Kräften, zu den fog. äufseren Kräften, welche auch als die angreifenden Kräfte bezeichnet werden.

Eine jede ftatifche Unterfuchung zerfällt defshalb zunächft in zwei Theile: in die Ermittelung der äufseren Kräfte, bezw. der für den zu unterfuchenden Conftructionstheil ungünftigften äufseren Kräfte, und in die Ermittelung der inneren Kräfte oder Spannungen, welche durch die äufseren Kräfte hervorgerufen werden.

Die äufseren Kräfte laffen lieh in zwei Hauptgruppen theilen:

1)    Die Beladungen. Diefelben find beim Beginne der Unterfuchung nur zum Theile bekannt; die Eigengewichte z. B. find zunächft noch unbekannt, da erft die vorzunehmende Berechnung die genauen Abmeffungen und damit die Gewichte feftftellen foil. Meiftens kann das Eigengewicht nach ausgeführten ähnlichen Conftructionen genügend genau angenommen werden.

2)    Die Auflager- oder Stützen drücke derjenigen feften Punkte, welche die zu betrachtenden Conftructionen fttitzen. Diefelben find meiftens von vornherein nicht gegeben; fie find nach den Gefetzen der Statik, bezw. der Elafticitätslehre zu ermitteln.

Da die Statik der Bau-Conftructionen fich nur mit folchen Körpern befchäftigt, welche unter der Einwirkung der äufseren Kräfte im Gleichgewichte find, fo kann man für die fämmtlichen äufseren Kräfte, welche auf eine Conftruction wirken, die Gleichgewichtsbedingungen aufftellen und mittels der fo gefundenen Gleichungen die unbekannten äufseren Kräfte, die Stützendrücke, ermitteln. Man führt die letzteren defshalb als vorläufig unbekannte Kräfte ein und ftellt die Gleichgewichtsbedingungen auf. Wenn alle Kräfte in einer Ebene wirken, wie es in den hier zu betrachtenden Fällen meiftens angenommen werden kann, giebt es drei Gleichgewichtsbedingungen, alfo auch drei Gleichungen für die Ermittelung der Unbekannten. Aus drei Gleichungen kann man aber nur drei Unbekannte finden; find alfo mehr als drei Unbekannte vorhanden, fo genügt die angegebene Methode nicht mehr. Die Gleichungen für die Stützendrücke dürfen in diefem Falle nicht mehr als drei Unbekannte enthalten, wenn die Aufgabe auf dem angegebenen Wege lösbar fein foil; anderenfalls ift zur Ermittelung derfelben die Elafticitätslehre zu Hilfe zu nehmen.

Wirken die Kräfte in verfchiedenen Ebenen, wie bei den Thürmen, Kuppeln u. f. w., fo ftehen fechs Gleichgewichtsbedingungen, alfo fechs Gleichungen zur Verfügung; die Gleichungen für die zu ermittelnden Stützendrücke dürfen alsdann fechs Unbekannte enthalten.

Nachdem die fämmtlichen äufseren Kräfte gefunden find, müffen die inneren Kräfte oder Spannungen aufgefucht werden. Das hierbei einzufchlagende Verfahren ist folgendes.

Man denkt fich durch den Körper an derjenigen Stelle, an welcher man die inneren Kräfte kennen lernen will, eine Ebene II (Fig. 1) hindurchgelegt und unter-fucht den an der einen Seite diefer Ebene liegenden Theil ; hier möge der Theil links von II betrachtet werden. Auf diefen Theil werden von dem an der anderen Seite der Ebene II liegenden Körpertheile gewiffe innere Kräfte übertragen, welche clenfelben im Vereine mit den auf ihn wirkenden äufseren Kräften im Gleichgewichte halten; denn nicht nur der ganze Körper, fondern auch jeder Theil deffelben mufs unter der Einwirkung aller auf ihn wirkenden Kräfte, der äufseren u n d der inneren,

Fig. i.

Bringt man demnach die

im Gleichgewichte fein, inneren Kräfte am linken Körpertheile an, fo kann

/•

man auf die fämmtlichen jetzt auf diefen Theil wirkenden Kräfte die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen anwenden und aus diefen die nach Gröfse und Richtung unbekannten inneren Kräfte ermitteln. Wie oben, flehen auch hier, falls alle Kräfte in einer Ebene liegen, drei Bedingungsgleichungen, falls die Kräfte in verfchiedenen Ebenen liegen, fechs Bedingungsgleichungen zu Gebote ; defshalb ift auch hier die Ermittelung der unbekannten inneren Kräfte auf diefem Wege nur möglich, wenn diefelben nicht mehr als drei, bezw. fechs Unbekannte enthalten. Selbftverftändlich ift das Ergebnifs das gleiche, ob man den Körpertheil an der einen oder anderen Seite der Plbene II unterfucht.

Die aus Vorftehendem fich ergebende Regel wird folgendermafsen ausgedrückt : Man lege durch den Körper einen Schnitt, denke den Theil an der einen Seite des Schnittes fortgenommen und bringe an dem übrig bleibenden Bruchftück alle Kräfte an, welche vor dem Durch-fchneiden auf daffelbe wirkten, d. h. die äufseren Kräfte und die an der Schnittftelle Seitens des anderen Bruchftückes übertragenen inneren Kräfte. Alsdann befindet fich daffelbe in demfelben Zuftande wie vor dem Durchfchneiden, d. h. im Gleichgewichte; man ftelle nun für diefe Kräfte die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen auf.

a) Grundgefetze der Statik fefter Körper.

Obgleich die Statik fefter Körper im Allgemeinen hier als bekannt vorausgefetzt werden kann, follen im Folgenden doch einige der wichtigften anzuwendenden Sätze kurz angeführt werden, damit über die gemachten Annahmen keine Unklarheit herrfche.

5-

Statifche

Momente.

Fig. 2.

lR

Rx X

/A

B'

i) Satz des ftatifchen Momentes. Es fei eine Kraft R und eine Axe 0 0 gegeben (Fig. 2); man denke eine fenkrecht zur Axe ftehende Ebene hindurchgelegt, welche die Kraftrichtung im Punkte A fchneidet; in diefem Punkte zerlege man die Kraft R in drei fenkrecht zu einander ftehende Seitenkräfte Rx, Ry, Rz. Die eine Seitenkraft (Rz) fei parallel zur Axe 0 0\ die zweite (Ry) falle in die Verbindungslinie des Punktes A mit dem Punkte B', in welchem die Axe O O von der obigen Ebene gefchnitten wird ; die dritte Seitenkraft (Rx) fteht fenkrecht zur zweiten und liegt, wie diefe, in der fenkrecht zur Axe 0 0 hindurchgelegten Ebene. Alsdann nennt man das Product Rx . AB' das ftatifche Moment

der Kraft R für die Axe O O.

Wenn alle Kräfte in derfelben Ebene wirken und die Axe O O fenkrecht zu

diefer Kraftebene fteht, fo find für jede Kraft nur zwei Seitenkräfte (Rx und Ry) in Betracht zu ziehen; Rz ift dann gleich Null. Der Schnittpunkt der Axe mit der

Kraftebene fei O (Fig. 3); alsdann zerlege man R in einem beliebigen auf der Richtungslinie der Kraft gelegenen Punkte A in zwei Seitenkräfte : die eine falle in die Richtung der Verbindungslinie des Angriffspunktes A der Kraft mit dem Axenpunkt 0\ die andere flehe fenkrecht zur erfteren. Die beiden Seitenkräfte haben die Gröfse R sin a und R cos a. Das ftatifche Moment von R für die Axe 0 0 ift alsdann : M = R cos a . À 0. Fällt man von O die Senkrechte OB == r auf die Richtung der Kraft R, fo ift OB = A O cos a = r, alfo

Fig. 3-

R. sina

''K

6.

Gleichgewicht

der

Kräfte.

M — R . r.

r wird der Hebelsarm der Kraft R für die Axe 0 0 genannt. Bei Kräften in einer Ebene fpricht man gewöhnlich kurz vom ftatifchen Moment für den Punkt 0\ darunter ift das ftatifche Moment für die im Punkte 0 fenkrecht zur Ebene errichtete Axe verbanden. Der Hebelsarm ift die vom Punkte 0 auf die Richtung der Kraft R gefällte Senkrechte.

Die ftatifchen Momente find Producte von Kräften und Längen. Die Mafseinheiten, in denen fie ausgedrückt werden, find demnach gleichfalls Producte aus Längen- und Krafteinheiten. Ift die Kraft in Kilogrammen und die Länge in Centimetern angegeben, fo ergiebt fich das ftatifche Moment in Kilogramm-Centimetern; ift die Kraft in Tonnen und die Länge in Metern angegeben, fo ergiebt fich das ftatifche Moment in Tonnen-Meternetc.

Die Kraft R hat das Beftreben, die Ebene um den als feft gedachten Punkt O, bezw. um eine im Punkte 0 fenkrecht zur Kraftebene errichtete Axe zu drehen, hier alfo nach rechts. Wenn die ftatifchen Momente mehrerer in derfelben Ebene liegender Kräfte aufzuftellen find, fo ift zu beachten, dafs die verfchiedenen Kräfte allgemein verfchiedene Drehrichtungen haben. Welche von diefen als pofitiv eingeführt wird, ift gleichgiltig ; ift aber die eine Drehrichtung als pofitiv angenommen, fo ift die entgegengefetzte als negativ einzuführen.

Der in Folgendem häufig anzuwendende Satz des ftatifchen Momentes lautet: Das ftatifche Moment der Mittelkraft in Bezug auf einen beliebigen Punkt der Ebene, in welcher die Kräfte liegen, ift gleich der algebraifchen Summe der ftatifchen Momente der Einzelkräfte in Bezug auf denfelben Punkt.

Diefer Satz giebt oft ein bequemes Mittel zur Ermittelung der Unbekannten. Wählt man den Punkt, in Bezug auf welchen man das ftatifche Moment aufftellt, auf der Richtungslinie der Mittelkraft, fo hat die letztere in Bezug auf diefen Punkt den Hebelsarm Null, alfo auch das ftatifche Moment Null. P'iir diefen befonderen D'ail heifst der obige Satz: Die algebraifche Summe der ftatifchen Momente einer Reihe von Kräften in Bezug auf einen auf der Richtungslinie der Mittelkraft liegenden Punkt ift gleich Null.

2) Satz vom Gleichgewicht der Kräfte. Derfelbe lautet: Die an einem Körper angreifenden, in einer Ebene liegenden Kräfte find im Gleichgewicht, wenn die algebraifche Summe der in zwei fenkrecht zu einander flehende, fonft beliebige Richtungen fallenden Seitenkräfte je gleich Null ift und aufserdem die algebraifche Summe der ftatifchen Momente fämmtlicher Kräfte in Bezug auf einen beliebigen Punkt der Ebene gleich Null ift.

D Ein Tonnen-Meter ift gleich ioo Tonnen-Centimetern und gleich ioo ooo Kilogramm-Centimetern. Danach kann ein Moment, welches in der einen Einheit, etwa in Tonnen-Metern, berechnet ift, leicht in eine andere Einheit, etwa Kilogramm-Centimeter, umgerechnet werden.

Fig. 4.

■2.

far»..

■ r_

Man zerlege demnach fämmtliche Kräfte (Kv K,„ KC] . . . in Fig. 4) nach zwei zu einander fenk-rechten Richtungen, von denen die eine ganz willkürlich angenommen werden kann. Alsdann erhält man als Gleichgewichtsbedingungen für die fämmtlichen Kräfte die Gleichungen:

£ (K cos a) = 0, £ (K sin a) = 0 und £ (K r) — 0.

Hier iffc A als Momentenpunkt angenommen; indefs hätte auch jeder beliebige andere Punkt der Kraftebene gewählt werden können.

In fehr vielen Prallen ift die Mehrzahl aller

äufseren Kräfte lothrecht gerichtet; alsdann empfiehlt es fich, die Kräfte Kx, K₂, K₃ . . . nach der wagrechten und lothrechten Richtung zu zerlegen. In diefem Falle heifsen die Bedingungsgleichungen, wenn wiederum alle Kräfte in einer Ebene liegen : Die an einem Körper angreifenden Kräfte find im Gleichgewicht, wenn

a) die algebraifche Summe der wagrechten Seitenkräfte gleich Null ift, ß) die algebraifche Summe der lothrechten Seitenkräfte gleich Null ift,

7) die algebraifche Summe der ftatifchen Momente, bezogen auf einen beliebigen Punkt der Ebene, gleich Null ift.

Für Kräfte, welche nicht in derfelben Ebene wirken Gleichgewicht der Kräfte: Die an einem Körper angreifenden Kräfte find im Gleichgewichte, wenn für drei rechtwinkelig zu einander ftehende Axen die algebraifchen Summen der in die Axenrichtungen fallenden Seitenkräfte je gleich Null find und aufserdem die algebraifchen Summen der ftatifchen Momente aller Kräfte, bezogen

lautet der Satz vom

auf diefe Axen, je gleich Null find.

3) Zwei auf einen Körper wirkende Kräfte halten denfelben nur dann im

Gleichgewicht, wenn beide der Gröfse nach genau gleich, dem Sinne nach genau einander entgegengefetzt find und mit ihren Richtungslinien zufam-menfallen (Fig. 5); denn nur dann find alle drei Gleichgewichtsbedingungen erfüllt.

Haben zwei Kräfte P (Fig. 6) parallele Richtung, gleiche Gröfse und entgegengefetzten Sinn, fallen fie aber mit ihren Richtungslinien nicht zufam-men, fo ift allerdings jede der beiden erften Gleichgewichtsbedingungen a und ß erfüllt, nicht aber die dritte. Man nennt zwei folche Kräfte ein Kräfte-

7-

Fig. 5.

Fig. 6.

■P

p*

Zwei Kräfte auf

einen Körper wirkfam ; Kräftepaar.

paar und verfteht unter dem Momente des Kräftepaares das Product aus der Gröfse der Kraft P in den fenkrechten Abftand der beiden Richtungslinien der Kräfte; d. h. es ift das Moment M—Pp.

Die Summe der ftatifchen Momente beider zu dem Kräftepaar vereinten Kräfte hat für jeden beliebigen Punkt der Ebene die gleiche Gröfse M — Pp. In den Berechnungen kommt vielfach das (unter Umftänden vorläufig noch unbekannte) Moment M eines Kräftepaares vor; wird alsdann für einen beliebigen Punkt der Ebene die algebraifche Summe der ftatifchen Momente aufgeftellt, fo ift, wo auch der Punkt liege, der Beitrag des Kräftepaares mit dem Werthe M einzuführen.

IO

8.

4)    Drei auf einen Körper wirkende Kräfte find nur dann im Gleichgewicht,

Drei Kräfte

wirkfam.

Fig. 7.

auf einen Körper wenn fich ihre Richtungslinien in einem Punkte fchneiden, jede der drei Kräfte abfolut genommen genau eben fo grofs ift, wie die Mittelkraft der beiden anderen Kräfte, und mit der betreffenden Mittelkraft einen Winkel von 180 Grad einfchliefst.

Diefe Bedingungen find nur erfüllbar, wenn die drei Kräfte in derfelben Ebene liegen ; drei nicht in derfelben Ebene liegende Kräfte können daher mit einander nicht im Gleichgewicht fein.

5)    Wenn drei in derfelben Ebene liegende Kräfte, welche fich in einem Punkte fchneiden, im Gleichgewichte find, fo verhalten fich die Kräfte zu einander, wie die Sinus der ihnen K* gegenüber liegenden Winkel.

Die drei Kräfte Kx, K₂, K.A (Fig. 7) befinden fich fonach im Gleichgewicht,

wenn

Kx : Ä'₂ : Ks = sin a : sin ß : sin y-

9-

Gefetz

der Wechfelwirkung.

6)    Eine in irgend einem Punkte A (P"ig. 8) angreifende Kraft P kann ftets erfetzt werden durch eine nach einem beliebigen anderen Punkte B parallel fchobene Kraft P von gleicher Gröfse, gleicher Richtung und gleichem Sinne mit der gegebenen, und ein Kräftepaar, defifen Moment dem Momente der gegebenen Kraft in Bezug auf den Punkt B nach Gröfse und Drehrichtung gleich ift.

Denn es wird nichts geändert, wenn im Punkte B zwei Kräfte,

P und P₂, angebracht werden, welche der gegebenen Kraft in Gröfse und Richtung gleich, dem Sinne nach einander entgegen gefetzt find. Zwei diefer drei Kräfte, P und Pv ergeben ein Kräfte- v paar, welches für jeden Punkt der Ebene, alfo auch für B, das Moment M= Pp und gleiche Drehrichtung hat, wie die urfprünglich gegebene Kraft; die dritte Kraft P₂ ift eben die parallel verfchobene Kraft P. Jede Kraft P wirkt alfo auf einen nicht auf ihrer Richtung liegenden Punkt, deffen fenkrechter Abftand von der Kraft gleich p ift, mit einem Drehmoment Pp und aufserdem fo, als ob fie in ihm felbft angriffe.

7)    Gefetz der Wechfelwirkung. Daffelbe lautet: Wenn ein Körper auf einen anderen eine Kraft ausübt, fo erleidet er durch diefen Körper eine Kraft, welche der von ihm ausgeübten der Gröfse nach genau gleich, der Richtung nach genau entgegengefetzt ift.

ver-

Fig. 8.

A,

IB

Fig. 9.

"P'

fr

fr:

werden.

Diefes Gefetz wird in der Folge fehr häufig angewendet Es kommt unter Anderem bei den Auflagern der

Träger in Betracht. Ein Träger AB (Fig. 9) übt durch fein Eigengewicht und die wirkenden Belattungen auf die Auflagerpunkte A und B die Drücke K und Aj aus ; diefelben find nach unten gerichtet. Genau eben fo grofs find die Gegendrücke, welche die Auflager auf die Träger ausüben. Diefe find nach oben gerichtet, da fie den ertteren Drücken K und AJ genau entgegengefetzt gerichtet fein müffen.

Betrachtet man nur den Träger, fo hat man die nach oben wirkenden Kräfte K und Ä\ — als Stützendrücke — einzuführen; betrachtet man die Auflager, fo find die nach unten gerichteten Drücke A"

und der Unterfuchung zu Grunde zu legen.

b) Grundlagen für die graphifche Behandlung bauftatifcher Aufgaben.

Die Aufgaben der Statik der Bau-Conftructionen können fowohl durch Rechnung (auf analytifchem Wege), als auch durch Zeichnung (auf graphifchem Wege) gelöst werden. Die graphifche Behandlung hat manche Vortheile. Diefelbe führt in vielen Fällen rafcher und leichter zum Ziele und gewährt faft immer eine klarere Ueberficht über die Wirkung der Kräfte, als die Rechnung.

In den folgenden Unterfuchungen werden beide Wege eingefchlagen werden. Um Wiederholungen zu vermeiden, follen die Grundlagen für die graphifche Behandlung hier kurz vorgeführt werden. Da bei den meiften Aufgaben die Kräfte als in einer Ebene wirkend angenommen werden können, werden wir uns auf diefen Fall befchränken.

i) Kräfte an einem Angriffspunkte. Die an einem Punkte angreifenden Kräfte können durch ihre Mittelkraft erfetzt werden. Um diefe Mittelkraft nach

IO.

Graphifche

Methode.

ii.

Kraft

polygon.

Gröfse und Richtung zu erhalten, zeichnet man das fog. Kraftpolygon.

Das Kraftpolygon für eine Anzahl von Kräften ift derjenige Linienzug, welchen man erhält, wenn man fämmtliche Kräfte nach irgend einem Mafsftabe fo an einander reiht, dafs die Gröfse, die Richtung und der Sinn einer jeden Kraft in diefem

Linienzuge mit der Gröfse, der Richtung und dem Sinne der gegebenen Kraft übereinftimmt und dafs der Anfangspunkt jeder Kraft mit dem Endpunkte der vorhergehenden Kraft zufammenfällt.

Fig. io.

Der Mafsftab für das Aufträgen der Kräfte kann beliebig angenommen werden ; doch find fämmtliche Kräfte nach demfelben Mafsftabe aufzutragen.

Um das Kraftpolygon für die Kräfte Kj,    , K₃, /Q zu erhalten,

welche im Punkte A (Fig. io) angreifen, trage man zunächft von einem

beliebig anzunehmenden Punkte a aus nach irgend einem Mafsftabe fo viele Krafteinheiten ab, wie Kx enthält, und zwar nach einer Richtung aß, welche mit derjenigen von K\ übereinftimmt. Ift etwa Ä\ = 20 * und der Mafsftab fo gewählt, dafs 1 cm

von

— 20 i bedeutet, fo würde man a aus 1 cm abzutragen haben. Man ziehe alfo durch a eine Linie

parallel zur Richtung von Kx und trage auf diefer Linie aß = Aj ab. Daran trage man parallel zur Richtung von In derfelben Weife verfahre

ab; zu diefem Zwecke ziehe man durch ß eine Linie

K<1 und trage auf diefer Linie ßr = ab.

man weiter und erhält fo y 8 = W₃, 3 s = K Alsdann ift aß^Be das Kraftpolygon für die Kräfte A), A^, Ag, A'₄.

Es ift oben angegeben , dafs der Sinn der Krait im Kraftpolygon mit dem der gegebenen Kraft übereinftimmen mufs. In der gegebenen Kraft ift der Sinn durch einen Pfeil ausgedrückt, fo dafs Unklarheit über denfelben nicht beftehen kann ; im Kraftpolygon ergiebt fich der Sinn ebenfalls unzweideutig, wenn man die Kräfte ftets fo aufträgt, dafs die Richtung

höheren Buchftaben deffelben mit der Pfeilrichtung der gegebenen Kraft übereinftimmt. a ß wirkt alfo im Sinne von a nach ß, nicht im Sinne

zum

vom früheren Buchftaben des Alphabetes bis

Die Kraft

von ß nach a.

Gröfse, Richtung und Sinn der Mittelkraft aller

an einem Punkte A (Fig. io) angreifenden Kräfte werden erhalten, indem man den Anfangspunkt des für diefe Kräfte conftruirten Kraftpoly^ons mit feinem Endpunkte verbindet.

12.

Satz I..

In Fig. io giebFalfo at die Gröfse, die Richtung und den Sinn der Mittelkraft der vier Kräfte Vb ^3> ^4

Die Mittelkraft der beiden Kräfte Aj und A<2 wird nach dem bekannten Satz vom Parallelogramm der Kräfte durch die Diagonale des

geftellt, d. h. in Fig. ii ftellt ac die Mittelkraft von A^ und Ao nach Gröfse und Richtung dar,

an.

aus

diefen beiden Kräften conftruirten Parallelogramms dar

wenn

13-

Satz II.

14-

Satz III.

iS-

Satz IV.

ab = AJ, ad — A₂ id. Die Diagonale ac theilt das Parallelogramm abed in zwei congruente Dreiecke; es wird alfo genügen, das Dreieck abc zu. conftruiren, in welchem ab = Kj und be — AJ ift. Alsdann

ift die dritte Seite des Dreieckes gleich der Mittelkraft R\—<i von AJ und A^. Der Linienzug abc ift aber nach der oben gegebenen Erklärung das Kraftpolygon für die beiden

Fig. ii.

Kräfte AJ und A₂, und ac verbindet den Anfangspunkt a deffelben mit dem Endpunkte c. Für zwei Kräfte ift damit obiger Satz bewiefen.

Kommt eine dritte Kraft A3 hinzu, fo ift die Mittelkraft R\-2 von Kj und A’₂ mit AJ zu vereinen, um die Refultirende AJ_3 von Kj, A₂ und A3 zu erhalten. Ift A3 = ae, fo conftruire man das Parallelogramm aefe, und ziehe die Diagonale af deffelben; die letztere ift die gefuchte Mittelkraft.

Auch hier genügt es, um af zu erhalten, nur das Dreieck a cf zu zeichnen.

Man erhält alfo die Mittelkraft Ai—3, indem man an den Endpunkt von R\-% — ac die Kraft K3 nach Gröfse und Richtung gleich cf anträgt und a mit f verbindet. Der Linienzug ab cf ift aber nach obiger Erklärung das Kraftpolygon für die drei Kräfte AJ, AJ und A3 und af die Verbindungslinie des Anfangspunktes des Kraftpolygons mit deffen Endpunkte. Damit ift der Beweis unferes Satzes auch für drei Kräfte geliefert. In derfelben Weife kann er ohne Schwierigkeit für eine beliebige Anzahl von Kräften geführt werden.

Das Kraftpolygon ift nur eine Hilfsfigur, welche wohl Gröfse, Richtung und Sinn der Mittelkraft, nicht aber ihre Lage in der Ebene angiebt. Die Lage derfelben ift aber nicht zweifelhaft, fobald man aufser der Richtung der Kraft einen Punkt kennt, durch welchen die Kraft hindurchgeht. Die Richtung wird hier durch das Kraftpolygon gegeben. Der Durchgangspunkt für die Kraft ift ebenfalls bekannt; denn die Mittelkraft aller Kräfte mufs durch den gemeinfchaftlichen Angriffspunkt derfelben, d. h. durch A (Fig. 10), gehen. Zieht man alfo durch A eine Linie parallel zu as, fo ergiebt diefe die Mittelkraft nach Lage und Richtung; die Gröfse derfelben ift as.

Zu jedem Kraftpolygon gehört als nothwendige Ergänzung ein Kräftemafsftab.

Wenn die an einem Punkte angreifenden Kräfte im Gleichgewichte find, fo ift das Kraftpolygon eine gefchloffene Figur.

Sind die auf einen Punkt wirkenden Kräfte im Gleichgewichte, fo ift ihre Mittelkraft gleich Null; diefelbe wird aber nach Satz I durch die Verbindungslinie des Anfangspunktes des Kraftpolygons mit feinem Endpunkte dargeftellt. Diefe Verbindungslinie mufs alfo für den Fall des Gleichgewichtes gleich Null fein; demnach mufs der Anfangspunkt des Kraftpolygons mit feinem Endpunkte zufammenfallen, d. h. das Kraftpolygon mufs eine gefchloffene Figur fein.

Der Sinn der Mittelkraft ift vom Anfangspunkte des aus den Seitenkräften conftruirten Kraftpolygons nach dem Endpunkte deffelben gerichtet; der Umfahrungs-finn des ganzen Polygons mit Einfchlufs der Mittelkraft erleidet alfo am Endpunkte der Einzelkräfte eine Unterbrechung.

Fig. 12.

IS

Um diefen Satz zu beweifen, genügt es, die Mittelkraft zweier Kräfte aufzufuclien. Ift in Fig. 12 a ß = AJ und ß y = AJ, fo haben beide den durch die Pfeile angedeuteten Umfahrungsfinn, welcher, wenn noch eine beliebige Anzahl von Kräften hinzukommt, immer derfelbe bleibt, d. h. er ift ftets vom Anfangspunkte des Kraftpolygons nach dem Endpunkte des-felben gerichtet. Der Sinn der Refultirenden A’i_2 = «f ift aber, wie fich aus der Parallelogramm-Conftruction in Fig. 12 ergiebt, von a nach y gerichtet ; er ift alfo dem Umfahrungsfinne der Einzelkräfte direct entgegengefetzt. Damit ift der Satz für zwei Kräfte bewiefen. Jede dritte Kraft AJ läfft fich aber mit A^_2 in derfelben Weife, wie bei AJ und AJ gezeigt ift, zufammenfetzen; es handelt fich dabei auch ftets nur um zwei Kräfte, und defshalb gilt das Gefagte auch für R\—<i und A'g, d. h. für AJ, AJ, A3. Die Mittelkraft der durch das Kraftpolygon aßySs dargeftellten Kräfte (Fig. 10) ift as, der Sinn ift von a nach s gerichtet; der Umfahrungsfinn erleidet fonach bei e eine Unterbrechung.

Sind die an einem Punkte angreifenden Kräfte im Gleichgewichte, fo ift für das ganze Kraftpolygon der Umfahrungsfinn derfelbe.

K₂

Denn alsdann ift die Mittelkraft gleich Null, und diefe ift nach Satz III die einzige Kraft, welche einen anderen Umfahrungsfinn hat, als die übrigen Kräfte. Diefe einzige Kraft fällt hier fort; mithin haben in diefem Falle alle Kräfte denfelben Umfahrungsfinn.

2) Kräfte an verfchiedenen Angriffspunkten. Wenn die auf einen Körper wirkenden Kräfte an verfchiedenen Punkten deffelben angreifen, fo ift zu-

nächft die Ermittelung der Gröfse und Richtung der Mittel- g”%>unkten. kraft genau, wie unter i angegeben, vorzunehmen.

Denn man kann (Fig. 13) zunächft die beiden Kräfte Ky und A% auf ihren Richtungslinien beliebig verfchieben, alfo auch bis zu dem Schnittpunkte C derfelben. Für die beiden im Punkte C angreifenden Kräfte liegt nun die Aufgabe genau fo, wie oben entwickelt ift. Ift Ky — afi und A₂ = ßy, fo ift a y die Mittelkraft Ri-% von Ky und A₂.

Diefe Mittelkraft R\_₂ greift in C, dem Schnittpunkte der beiden Kräfte Ky und A₂, an und hat die durch a y beftimmte Richtung, d. h. fie ift parallel zu a y. Um jetzt die Mittelkraft von Ry-i und A3, d. h. diejenige von Ky, A₂, Afij zu finden, verfährt man genau fo, wie bei der Zufammenfetzung von Ky und A₂. Man verfchiebt R\-<i und A3 bis Schnittpunkte A ihrer Richtungslinien; in diefem mufs die gefuchte Mittelkraft Z?i_3 angreifen. Die Zufammenfetzung von R\-i (== a y im Kraftpolygon) und Ag (= y S im Kraftpolygon) kann nun wiederum genau in der oben gezeigten Weife erfolgen, indem man y § = A3 an y anträgt und a0 zieht, a8 giebt die Gröfse und Richtung der Mittelkraft R\-% von Ai, A₂, A3 an; diefelbe geht durch den Punkt £. In der gleichen Weife kann man auch bei mehreren Kräften weiter verfahren.

Wenn Gröfse und Richtung der Mittelkraft gefunden find, ift auch die Lage derfelben bekannt, fobald ein Punkt bekannt ift, durch welchen fie gehen mufs ; denn durch diefen Punkt läfft fich nur eine Parallele zu der im Kraftpolygon gefundenen Richtung der Mittelkraft legen. Ein folcher Punkt ift in Fig. 13 bei R

Bei einer gröfseren Anzahl von Kräften würde die gezeigte Ermittelung der Lage der Mittelkraft fehr umftändlich fein; defshalb hat man zur Erleichterung eine Hilfsconftruction eingeführt, das fog. Seilpolygon. Daffelbe ergiebt fich durch die folgende Betrachtung.

Fig- 13-

16.

Kräfte an verfchiedenen An-

c\

w

\L-

1—2

der Punkt C, bei R

1—3

der Punkt E etc.

Fig. 14.

zum

17*

Seil

polygon.

K-

fA

*4

Wie man die Gröfse und Richtung der Mittelkraft zweier Kräfte Ky und A₂ in der dritten Seite a y (Fig. 14) des für die beiden Kräfte conftruirten Kraftpolygons aßy, hier der Schlufsfeite des Kraftdreieckes, findet, fo kann man auch irgend eine gegebene Kraft R als Mittelkraft zweier Kräfte A( und Aj auffaffen. Diefe beiden Kräfte miiffen nur zwei Bedingungen genügen, und zwar:

a) Das aus ihnen conftruirte Kraftpolygon mufs als dritte Seite die gegebene Kraft nach Gröfse und Richtung enthalten, und

ß) die beiden Kräfte miiffen fich auf einem Punkte der gegebenen Kraftrichtung fchneiden.

Man kann alfo R als Mittelkraft der beiden Kräfte Ky und A₂ auffaffen, die im Kraftpolygon durch bezw. a ß und ß y dargeftellt find und deren Richtungslinien fich auf dem Punkte A der Kraftrichtung R fchneiden. In gleicher Weife kann R auch als Mittelkraft der beiden Kräfte A) und A4 angefehen werden, denen das Kraftdreieck a Oy entfpricht, die alfo im Kraftpolygon durch bezw. a 0 und O y dargeftellt werden und deren Richtungslinien fich im Punkte B der gegebenen Kraftrichtung fchneiden. Man kann demnach die gegebene Kraft R fowohl durch die Kräfte Ky und A3, wie durch A3 und A4 erfetzen. Daraus folgt, dafs man für die Zerlegung

K3

o[

iS.

Satz V.

Fig- i5-

?RZ

■3

der zweiten Seitenkraft der

von

k₂

\'²

aV

•M-

/>

<3

0,

-rRr

■4

V:;;_

S's

IV

<s;

einer gegebenen Kraft den Punkt O ganz beliebig, den Punkt B auf der Richtungslinie der gegebenen Kraft beliebig wählen kann.

Ift eine gröfsere Anzahl von Kräften K\, Ky, Ajj, K4 .... gegeben (Fig. 15), fo kann man zu-nächfl Ky in der angegebenen Weife zerlegen. A”j werde im Kraftpolygon durch a ß dargeflellt und möge in a 0 = Sj und 0ß = Ą zerlegt werden. Nach Früherem ift, da Ky den Sinn von a nach ß hat, von 0. nach 0, Sy von 0 nach ß gerichtet. Als Schnittpunkt diefer beiden Seitenkräfte von K kann der Punkt 1 auf der Richtungslinie von ICy beliebig angenommen werden. Ferner kann Ky, welches im Kraftpolygon durch ßf dargeftellt wird, ebenfalls in zwei Seitenkräfte zerlegt werden, welche mit ßY zufammen ein Dreieck bilden müffen. Die Spitze des Dreieckes kann wiederum beliebig gewählt werden; man kann alfo den Punkt O als diefe Spitze annehmen. Sodann erhält man als die beiden Seitenkräfte von Ä’2 (= ßY) die Kraftlinien ßO und O^. Die erfte diefer Seitenkräfte ift nach Gröfse und Richtung der zweiten Seitenkraft von Ky genau gleich, da diefe 0 ß war. S2 = ß 0 hat den Sinn von ß nach O, S3 = O y den Sinn von O nach y. Wählt man jetzt als Zerlegungspunkt der Kraft Ky den Punkt II, in welchem die Richtungslinie der Kraft Ky

Kraft Aj gefchnitten wird, fo greifen in diefem Punkte die beiden Kräfte Sy und S3 an. In der Richtungslinie I II wirken alfo die beiden Kräfte Sy, deren eine in 7, deren andere in II angreift.

Beide find, wie eben entwickelt ift, der Gröfse nach einander gleich; fie haben diefelbe Richtung, aber entgegengefetzten Sinn, heben fich alfo gegen-feitig auf. Die beiden gegebenen Kräfte ICy und Ky find alfo durch vier neue Kräfte erfetzt, nämlich durch Sj, Sy, Sy, S₃; zwei von diefen Kräften heben einander auf, nämlich die beiden S^; es bleiben alfo zwei Kräfte Sj und S3, welche die gegebenen Kräfte Ky und Ky vollftändig erfetzen.

Die Mittelkraft von Ky und Ky ift demnach derjenigen von Sy und S3 gleich in der Gröfse, in der Richtung, im Sinn und in der Lage. Die Mittelkraft von Sj und S3 geht aber durch den Schnittpunkt a der Richtungslinien derfelben ; durch diefen Punkt a mufs alfo auch die Mittelkraft von Ky und ICy gehen.

Verfährt man nun mit der dritten Kraft A3 eben fo, wie mit Ky, d. h. zerlegt man A3 in zwei Seitenkräfte fo, dafs der Punkt O als Spitze des Kraftdreieckes für die Zerlegung von K^ — j 8 gewählt wird, fo werden die beiden Seitenkräfte S3 = y 0 und S4 = O o fein. Die erfte diefer beiden Seitenkräfte ift wiederum gleich der zweiten Seitenkraft von Ky, hat aber entgegengefetzten Sinn. Wählt man ferner als Zerlegungspunkt von KA den Punkt III, in welchem die Richtungslinie von A3 durch die Richtungslinie der Seitenkraft S3 der Kraft Ky gefchnitten wird, fo wirken in der Linie IIIII zwei Kräfte S3, welche einander wiederum auf heben. Die Kräfte Ky, Ky, K^ find jetzt durch fechs Kräfte erfetzt, nämlich durch Sj, S2, Sy, S3, S3, S^, von denen fich die vier mittleren, die beiden S2 und die beiden S3, gegenfeitig aufheben, fo dafs nur Sj und S4 übrig bleiben. Die Mittelkraft von S| und S4 ift alfo auch diejenige von Ky, Ky und A3. Daraus folgt, dafs die Mittelkraft von Ky, ICy und Ajj durch den Schnittpunkt der Kraftrichtungen Sj und S4, alfo durch den Punkt b geht.

Verfährt man fo weiter, fo erhält man einen Linienzug O III III IV. . ., welchen man das Seilpolygon nennt. Aus der vorftehenden Erklärung der Entftehung ergiebt fich folgender Satz:

Die Mittelkraft einer Anzahl auf einander folgender Kräfte geht durch den Schnittpunkt der Richtung derjenigen Seilpolygonfeite, welche der erften diefer Kräfte vorhergeht, mit der Richtung derjenigen Seilpolygonfeite, welche auf die letzte diefer Kräfte folgt.

Denn die in den mittleren Seilpolygonfeiten wirkenden Kräfte heben fich fämmtlich gegenfeitig auf, und es bleiben nur die in den äufseren Seilpolygonfeiten wirkenden Kräfte übrig, deren Mittelkraft mit derjenigen der gegebenen Kräfte in jeder Beziehung übereinflimmt²).

Den Punkt 0 (Fig. 15) nennt man den Pol des Seilpolygons.

Durch das Kraft- und Seilpolygon ift die Mittelkraft ganz beliebig in einer Ebene wirkender Kräfte beftimmt. Die Gröfse, die Richtung und den Sinn der-felben giebt das Kraftpolygon, die Lage in der Ebene giebt das Seilpolygon an, da daffelbe einen Punkt der Richtungslinie der Mittelkraft ergiebt. Zieht man durch diefen die Parallele zu der mit Hilfe des Kraftpolygons gefundenen Richtung der Mittelkraft, fo erhält man die wirkliche Lage derfelben, über welche ein Zweifel nicht mehr herrfchen kann, da durch einen Punkt nur eine Parallele zu einer gegebenen Richtung möglich ift.

Aus dem Vorftehenden folgt, dafs Kraft- und Seilpolygon nicht nur die Mittelkraft der fämmtlichen wirkenden Kräfte, fondern auch diejenige einer beliebigen Gruppe diefer Kräfte ergeben. So ift die Mittelkraft von Ä\ und (Fig. 15) nach Gröfse und Richtung gleich    und geht durch a. Zieht man alfo

durch a eine Linie parallel zu ay, fo erhält man diefe Mittelkraft R\~%- So ift ferner die Mittelkraft AA₂ und A3 nach Gröfse und Richtung gleich a S und geht durch b ; eine durch b parallel zu a 8 gezogene Linie ergiebt R\_3. Die Mittelkraft von Aj, .Aj, Aij und A4 ift nach Gröfse und Richtung gleich as und geht durch e etc.

Wenn die an verfchiedenen Punkten eines Körpers angreifenden Kräfte im Gleichgewicht find, fo ift fowohl das Kraftpolygon, wie auch das Seilpolygon eine gefchloffene Figur.

Dafs das Kraftpolygon in dem angegebenen Falle eine gefchloffene Figur fein mufs, geht aus dem Früheren hervor; denn es ift nachgewiefen, dafs das Kraftpolygon für an verfchiedenen Punkten angreifende Kräfte genau eben fo conftruirt wird und genau diefelbe Bedeutung hat, wie für an einem Punkte angreifende Kräfte. Nach Satz II mufs alfo das Kraftpolygon eine gefchloffene Figur fein, auch wenn die im Gleichgewicht befindlichen Kräfte an verfchiedenen Punkten angreifen.

Dafs fich auch das Seilpolygon fchliefsen mufs, ergiebt fich folgendermafsen.

Conftruirt man das Seilpolygon für eine beliebige Anzahl von Kräften, fo heben fich, wie oben auseinandergefetzt, die fämmt-liehen in den mittleren Seilpolygonfeiten wirkenden Kräfte auf, und es bleiben als einzig wirkende Kräfte diejenigen übrig, welche in den beiden äufserften Seilpolygonfeiten wirken, d. h. diejenige, welche der erften Kraft Aj vorangeht, und diejenige, welche auf die letzte Kraft Kn folgt, alfo Aj und    (Fig. 16). Diefe bei

den Kräfte erfetzen alle gegebenen Kräfte Aj, Aj, K^...Kn.

Die letzteren find nach der Vorausfetzung im Gleichgewicht; folglich inüffen auch Sj und Sn-j-i im Gleichgewicht fein. Gleichgewicht zwifchen zwei Kräften ill aber nur möglich, wenn ihre Richtungslinien in diefelbe Gerade fallen. Sonach mufs diejenige Seilpolygonfeite, welche der erften Kraft Aj vorhergeht, mit derjenigen Seilpolygonfeite, welche auf die letzte Kraft Kn folgt, zufammenfallen, d. h. das Seilpolygon mufs eine gefchloffene Figur fein.

Die fchliefsende Seilpolygonfeite nennt man die Schlufslinie des Seilpolygons.

In der Statik der Bau-Conftructionen kommt fehr häufig der Fall vor, dafs alle wirkfamen Kräfte parallel find. In diefem Falle wird das Kraftpolygon eine Gerade. Sind diefe Kräfte im Gleichgewicht, fo fchliefst fich nach Satz VI das Kraftpolygon ; fomit fallen alsdann Anfangs- und Endpunkt des Kraftpolygons auch hier zufammen.

von

19.

Satz VI.

Fig. 16.

Kn

die Richtungen der in einem Eckpunkte des Seilpolygons wirkenden zwei Seitenkräfte 5 um, fo halten

2) Kehrt

fich diefelben offenbar mit der auf den Eckpunkt wirkenden Kraft K im Gleichgewicht. In jedem Eckpunkte eines Seilpolygons befindet fich demnach die äufsere Kraft K mit den im entgegengefetzten Sinne genommenen Spannungen S im Gleichgewicht.

man

Für neben flehenden Balken AB (Fig. 17) fei im Kra

H .ag-'L (.f y).

= J y z -f- F yQ z0 . .

l ~ ° E ~ E

M= Q (b -f x).

 -§-

0 = Z -)- m Zx

)•

3

HS

I96.

gröfsten pofitiven Werth hat, wenn alfo nur die Kn

diefelben find in der Curve (Fig. 238 Æ) aufgetrag

L= 2C

H = —, wenn M das Biegungsmoment der äufseren Kräf

.V?

ab' — (ùu Y, fd' = co0 Y, d'a = X0 Y b'f= KY,

272

fammenfetzt, wie für das fymmetrifche Gewölbe in A

2/,'

20.

Satz vn.

Po

fl

.§L.

-7 b

aK-

die Stützendrücke, an 8 angetragen werden, d. h. es

0>

my i

_a

La

Für neben flehenden Balken AB (Fig. 17) fei im Kraft-polygon Py = aß, Py — ßy, -^3 = yö; das Kraftpolygon mufs ficb fchliefsen, wenn die aufserdem noch wirkenden Kräfte Dy und D

müffen Dq und Dy, welche, eben fo wie Py, Py, P§ find, mit 8 a zufammenfallen, und der Endpunkt von, +Jq mufs auf a fallen. Unbekannt ifl zunächft noch der Punkt E im Kraftpolygon, welcher die Grenze zwifchen Dy und Dq bildet.

Da aber Gleichgewicht llattfindet, fo mufs fich auch das Seilpolygon fchliefsen, welches für einen beliebigen Pol und die fünf Kräfte Py, Py, /g, Dy, Dq conflruirt wird. Es fei der Pol O, das Seilpolygon IIIIII und a der Schnittpunkt der erften Seilpolygonfeite mit der Richtungslinie von Dq, b der Schnittpunkt der letzten Seilpolygonfeite mit der Richtungslinie von Dy ; alsdann müffen nach dem Satze VI die vor Dq liegende und die auf Dy folgende Seilpolygonfeite, d. h. Nq und Sn-j-i zufammenfallen; es mufs alfo ab die fchliefsende Seilpolygonfeite, d. h. die Schlufslinie des Seilpolygons fein.

Nach der Erklärung des Seilpolygons in Art. 17 (S. 13) Hellen die von den Ecken des Kraftpolygons nach dem Pol 0 laufenden Strahlen die in den Seilpolygonfeiten auftretenden Kräfte oder, wie man fagt, die Spannungen im Seilpolygon vor, natürlich in demfelben Mafsflabe, in welchem die Kräfte P aufgetragen find. Im Punkte a des Seilpolygons halten fich nun folgende Kräfte das Gleichgewicht: der Stützendruck Dq, die Spannung in der Seilpolygonfeite a I und diejenige in der Schlufslinie ab (beide in dem gleichen Sinne, wie in Fufsnote 2 [S. 15] genommen). Von diefen drei Kräften find die Richtungen bekannt, von einer— der Seilpolygonfpannung in al— auch die Gröfse; diefelbe ifl gleich a O. Man kann alfo für diefe drei Kräfte das Kraftpolygon, hier das Kraftdreieck , conflruiren, indem man durch den einen Endpunkt der bekannten Kraft a O, durch a, die Parallele zur Richtung von Dq, durch den anderen Endpunkt, durch 0, die Parallele zur Schlufslinie ab zieht. Dann ifl OEa das gefucbte Kraftdreieck, Eu. — Dq und OE gleich der Seilfpannung in der Schlufslinie. Gewöhnlich benutzt man zu diefer Conflruction unmittelbar das Kraftpolygon a ß y 8. Selbftverftändlich ifl dann auch fofort 8 E — Dy, da Dq -j- Dy = Py -j- Py -{- P₃ Hl.

Hieraus ergiebt fich die Regel : Die Stiitzendrücke bei einem Träger auf zwei Stützen mit nur lothrechten Kräften werden erhalten, indem man für einen beliebigen Pol O das Seilpolygon conftruirt, die Schlufslinie und parallel zu diefer eine Linie durch den Pol zieht; letztere theilt die Kraftlinie in zwei Theile, welche nach Gröfse und Richtung die Stützendrücke darftellen.

Conftruirt man für eine Anzahl von Kräften aus zwei verfchiedenen Polen die entfprechenden Seilpolygone, fo liegen die fämmtlichen Schnittpunkte der gleichvielten Seilpolygonfeiten auf einer geraden Linie, welche zu der Verbindungslinie beider Pole parallel ift.

Das aus einem beliebigen Pole O (Fig. 18) conflruirte Seilpolygon fei o IIIIII4, das aus einem anderen Pole O' conflruirte fei Oy I\ Ily Uly 4y. Alsdann fchneiden fich die beiden erflen Seiten o I und (>[ ly in a, die beiden zweiten Seiten III und ly Ily in b, die dritten Seiten II III und Iły IIly in c etc. Die fämmtlichen Punkte a, b, r, d . . . liegen auf einer geraden Linie, welche zu der Verbindungslinie der Pole, d. h. zu 0 O' parallel ift.

Nach der Erklärung des Seilpolygons ift Ky = a ß im erften Seilpolygon in zwei Seitenkräfte Sy und N2 zerlegt, deren Gröfse und Richtung fich im Kraftpolygon zu bezw. a 0 und O ß ergiebt ; diefelbe Kraft ift im zweiten Seilpolygon in zwei Seitenkräfte Sy und Sÿ zerlegt, deren Gröfse und Richtung bezw. a. O' und O' ß ift. Denkt man nun den Sinn der beiden Seitenkräfte Sj’ und Sy umgekehrt,' fo find diefe beiden Kräfte die Seitenkräfte einer Kraft Ky, welche mit der gegebenen Kraft Ky nach Gröfse und Richtung genau übereinftimmt, deren Sinn aber demjenigen der gegebenen gerade entgegengefetzt ift. Diefe neue Kraft Ky mufs fich alfo mit der gegebenen Kraft Ky im Gleichgewicht halten; folglich müffen auch die vier Seitenkräfte diefer beiden Kräfte Ky im Gleichgewicht fein. Verbindet man Aj und Sy zu einer, Sy und $2 zur anderen Mittelkraft, fo geht die erftere durch den Schnittpunkt a diefer beiden Kräfte, die zweite durch den Schnittpunkt b der beiden Kräfte Sy und Sy. Beide Mittelkräfte halten

fich im Gleichgewicht; fie miiffen alfo in die gerade Linie fallen, welche durch die beiden Punkte a und b beftimmt ift.

o’

CC

Nun ift die Mittelkraft von A| und .sy nach GröfSe und Richtung die Schlufslinie des Kraftpolygons O' et O, d. h. O' 0. Die Richtungslinie der Mittelkraft ift alfo parallel zu O O, d. h. die Linie a b ift parallel zu O' 0, zur Verbindungslinie der beiden Pole.

Genau in derfelben Weife ift zu beweifen, dafs der Schnittpunkt b von S<i und mit dem Schnittpunkte c von S₃ und 5₃’ auf einer zu 0 0' parallelen Geraden liegt, d. h. auf der Linie ab, da durch b zu O O' nur eine Parallele möglich ift.

2. Kapitel.

Aeufsere Kräfte,

Schwerpunkte, ftatifche und Trägheitsmomente.

a) Belaftungen.

Als Belaftungen der Conftructionen treten auf :

1)    das Eigengewicht,

2)    die Nutzlaft,

3)    die Schneelaft und

4)    der Winddruck.

i) Eigengewicht der Conftruction.

21.

Eigengewichte.

i.

a,i-

J,

*7

Fig. 18.

iï

fr

-Jar

Das Eigengewicht der Conftruction ift beim Beginne jeder Berechnung nur angenähert bekannt. Für die gewöhnlichen Anordnungen genügt es, die aus den vorhandenen Bauwerken ermittelten Erfahrungswerthe bei der Berechnung einzuführen. Meiftens kann man das Eigengewicht mit hinreichender Genauigkeit als gleichmäfsig über die ganze Ausdehnung (des Trägers, der Balkendecke, des Daches etc.) vertheilt annehmen.

Nacbftehend (unter a) find die Eigengewichte einiger wichtiger Bauftoffe und (unter ß) diejenigen von verfchiedenen Bautheilen angegeben, und zwar hauptfächlich in der Gröfse, wie fie vom Berliner Polizei-Präfidium nach einer Bekanntmachung vom 21. Februar 1887 den Berechnungen zu Grunde gelegt werden. Die Zufammenftellung (unter ß) »Eigengewichte und Belattung von Bautheilen« enthält in der letzten Spalte auch die Nutzlaft, welche erft im folgenden Artikel befprochen werden foil; es fcheint aber dennoch zweckmäfsig, die betreffenden Angaben hier fogleich mit zu machen.

Handbuch der Architektur. I. r, b. (3. Aufl.)

22.

Bauftoffe.

23-

Bautheile.

24.

Decken mit eifernen Trägern.

iS

Die Angaben der Tabellen unter a und ß genügen in fehr vielen Fällen nicht; insbefondere find die Angaben über Eigengewichte der Dächer nicht ausreichend. Bei denfelben ift das Eigengewicht gar nicht von den anderen, zum Theile fchief wirkenden Lallen getrennt. Die Tabellen unter y und 8 geben einige Vervollftändigungen.

«) Eigengewichte der Bauftoffe.

B a u fl o f f

Gewicht

für

1 cbm

B a u fl o f f

Gewicht

für

1 cbm

Erde und Lehm Backfleinmauerwerk aus vollen Steinen poröfen Steinen . Lochfleinen . Sandfleinmauerwerk .

1600

1600

1300

1100

2400

Kilogr.

Granit und Marmor Kiefernholz ³) Eichenholz .

Eifen.....

Beton.....

2700

650

800

7500

2000

Kilogr.

ß) Eigengewichte und Belaftung von Bautheilen⁴).

Bezeichnung der Conftruction

Eigengewicht für 1 qm

Eigengewicht und Nutzlaft für 1 qm

Balkendecke in Wohnhäufern, geflaakt und gefchalt.........

»    » Fabrik- und Lagergebäuden, fo wie für Tanzfäle .

».    » Getreidefpeichern, einfchl. der Belaftung, zum Nachweis .

Dachbalkenlage (unter dem Dachbodenraum)...........

Dachflächen, in der wagrechten Projection gemeffen, einfchl. Schnee- und Winddruck, bei Metall- oder Glasdeckung gemäfs der Neigung .    .    .    .

desgl. bei Schieferdeckung................

desgl. bei Pappdeckung.................

desgl. bei Ziegeldeckung.................

desgl. bei Holzcementdeckung...............

Steile Manfarden-Dächer..................

Kappengewölbe aus poröfen Steinen in Wohngebäuden........

desgl. in Fabrik- und Lagerräumen.............

desgl. aus vollen Steinen, in Wohngebäuden..........

desgl. für Treppen und Treppen-Ruheplätze..........

desgl. in Fabrik- und Lagerräumen.............

desgl. unter Durchfahrten und befahrbaren Llöfen........

Schmiedeeiferne Treppen, einfchl. Nutzlafl............

Betonirtes Wellblech, für Wohnräume..............

desgl. für Treppen und Treppen-Ruheplätze..........

250

250

375

! I I I I 11 I g I I I

Kilogr.

y) Eigengewichte der Decken mit eifernen Trägern⁵).

(Mittelwerthe.)

Bezeichnung der Conftruction

Eiferne Balken, 0,9 bis 1,2m von einander entfernt, einfchl. Dielung, Deckenputz,

Sandausfüllung auf etwa halbe Höhe der Träger..........

Eiferne Balken, 1,₀ bis 1,5 m von einander entfernt, mit zwifchengefpannten Kappengewölben aus porigen Steinen................

500

750

850—1000

125—150

200—240

120—130

250—300

350

400

600

850

750

1000

1000

1250

600—650

600

850

Kilogr.

Gewicht für 1 qm Deckenfläche

260

250

Kilogr.

³)    Nach genauen Ermittelungen wiegt 1 chm Fichtenholz, lufttrocken, im Winter gefchlagen : 550 k?,

Icbm Larchenholz,

(Siehe: Wochfchr. d. ölt. Ing.- u. Arch.-Ver. 1887, S. 277.)

⁴)    Nach: Froelich, H. Elementare Anleitung zur Anfertigung flatifcher Berechnungen etc. 2. Aufl. Berlin 1897. &) Nach : Centralbl. d. Bauverw. 1886, S. 134 u. ff.

desgl.

730 hg.

Bezeichnung der Conftruction

Gewicht für 1 qm Deckenfläche

Eiferne Balken, Abftand wie vor, mit Eifenwellblech-Ausfüllung der Zwifchenräume,

in den Wellen Beton...................

daffelbe, jedoch 8 cm hohe Sandausfüllung über dem Beton.......

Eiferne Balken, Abftand wie vor, über den Zwifchenräumen Monier-Platten, je nach

der Ausfüllung der Zwifchenfache...............

Eiferne Balken, Abftand wie vor, Ausfüllung der Zwifchenräume mit Klettës Holz-Afphaltdecke auf Wellblech oder Zores:Eifen, mit Fufsboden und Decken-

fchalung¹).......................

Eiferne Balken, Syftem Klette, glatte Putzdecke, Dielenfufsboden, Ausfüllung auf Fehlboden von Holz.....................

daffelbe mit Gewölben aus Lochfteinen, Dielenfufsboden, Hinterfüllung daffelbe, Ausfüllung : Schlacken-Beton auf Monier-Platten, Cement-Eftrich, glatte

Cementbeton-Decke²)...................

daffelbe mit Ausfüllung durch Kleine'iche Decke (D.R.P. 71 102).....

»    »    »    »    Schürmann iche Decke (D.R.P. 80653)

»    »    »    »    Koenen’fche Decke (Voutenplatte) (Abftand    der

Balken bis 6,0 m)..........

»    »    »    »    Fo er fier' fche Mafii vdecke........

150

300

170-300

170—180

310

320

380

220—350

DO CO

o o o o

Kilogr.

0) Eigengewichte der Dächer.

Die Eigengewichte der Dächer fetzen fich aus dem Gewichte der Dachdeckung nebft Zubehör, dem Gewichte der Pfetten, Sparren, des Windverbandes etc. und aus dem Gewichte der Binder zufammen. Der erfte Theil ift beim Beginn der Berechnung für die Flächeneinheit fchräger Dachfläche ziemlich genau bekannt und von der Weite des Daches unabhängig; auch der zweite Theil ift, wenn die Binderentfernung einigermafsen feft lieht, leicht zu ermitteln.

Der dritte dagegen ilt vorläufig unbekannt, kann aber nach ausgeführten, ähnlichen Conltructionen gefchätzt und demnach vorläufig angenommen werden; derfelbe ilt übrigens den beiden erften Werthen gegenüber meiltens gering.

Für die erfte Berechnung kann man die nachfolgenden vorläufigen Annahmen über das Eigengewicht der Dächer³) machen; die nachherige Gewichtsberechnung mufs ergeben, ob diefe Annahmen entfprechend waren oder ob eine zweite Rechnung durchzuführen ilt.

Eigengewichte der Dächer (für 1 qm fchräger Dachfläche).

Metalldächer

25-

Dächer.

Holzdächer

Art des Daches

Mittl.

Gewicht

Art des Daches

Mittl.

Gewicht

Art des Daches

Mittl.

Gewicht

Einfaches Ziegeldach Doppel- u. Kronenziegel

dach.....

Falzziegeldach Gewöhnliches Schiefer

dach.....

Holzcementdach . Afphaltdach mit Lehm Unterlage

102

127

72

76

135

61 bis 76

Afphaltdach mit Fliefen-

unterlage.....

Theerpappendach .

Rohr- und Strohdach ohne

Lehm......

Rohr- und Strohdach mit

Lehm......

Zink- und Eifenblechdach auf Holzfchalung .

102

30

61

76

41

Kilogr.

Schiefer auf Winkeleifen Ebenes Eifenblech auf Winkeleifen . Eifenwellblech auf Winkeleifen ......

Zinkwellblech auf Winkeleifen ......

Gufszinkplatten auf hölzernen Latten u. Sparren Glas auf Winkel-, bezw. Sproffeneifen

DO LO    DO    Of

O    DO    Q*    ►—¹

35-50

Kilogr.

Die Zahlen “der vorltehenden Tabelle enthalten die Eigengewichte der Dachbinder noch nicht, fondern nur die Gewichte der Deckmaterialien einfchl. Hilfsmaterial, der Lattung, bezw. Schalung, der Sparren und der Pfetten.

Für die Dachbinder können folgende Gewichtsannahmen gemacht werden:

a)    Holzdächer (für 1 qm fchräger Dachfläche):

Dachbinder, flehende oder liegende, mit allem Zubehör an Holztlieilen, bei

7 bis 13 kg 12 »    18 kg

20 » 24 kg

Spannweiten von 7,5 bis 15m..............

einfache Hängeböcke, desgl., bei Spannweiten von 10 bis 18m .    .    .    .

20 » 30 kg

combinirte Spreng- und Hängeböcke, desgl., bei Spannweiten von etwa 20 frei tragende' Dachbinder verfchiedener Conflructionsformen, desgl., bei 10 bis 18 m Spannweite..................

b)    Eifendächer (für 1 qm wagrechter Projection der Dachfläche):

14 » 20 kg 20 » 30 kg

bei leicht conflruirten Dachflühlen...............

bei fchwer conflruirten Dachflühlen..............

Da es oft bequemer ift, die Beladungen aus der überdeckten Grundfläche flatt aus der fchrägen Dachfläche zu ermitteln, fo find in der folgenden Tabelle die Eigengewichte der Dächer, ausfchl. des Gewichtes der Dachbinder, für 1 qm wagrechter Projection der Dachfläche, und zwar für die verfchiedenen vorkommenden Dachneigungen (ä bezeichnet die Höhe, L die Stützweite des Daches) angegeben.

Eigengewichte der Dächer, ausfchl. des Gewichtes der Dachbinder (für 1 qm wagrechter Projection der Dachfläche).

Art des Daches :

tO j

zp

C£!

00

zc

ol

fl) H o 1 z d ä c h e r :

Einfaches Ziegeldach .

Doppel- und Kronenziegeldach Falzziegeldach .    .    .    . • .

Gewöhnliches Schieferdach .

144

122

114

180

152

142

102

87

81

77

76

75

74

108

91

85

82

Afphaltdach mit Lehmunterlage Fliefenunterlage

106

91

84

81

79

78

77

5)

144

122

114

110

107    106    105

Theerpappendach.........

Zink- und Eifenblechdach auf Holzfchalung

42

36

34

32

32

31

31

; 58

49

46

44

43

42

42

b) M e t a 11 d ä c h e r : Schiefer auf Winkeleifen .... Ebenes Eifenblech auf Winkeleifen . Eifenwellblech auf Winkeleifen Zinkwellblech auf Winkeleifen .

Glas auf Winkel-, bezw. Sproffeneifen

72

35

28

34

71

61

30

24

29

60

56

54

28

23

27

56

27

26

26

26

22

26

54

21

21

21

26

25

25

, CO 1—1    [

I ca ci ci I

, Q O    1

| Ca Ca Ca |

26.

Nutzlaft.

Kilogramm.

Beim Holzcementdach hat das Dach eine fo geringe Neigung (etwa 1 : 20), dafs man als Beladung für 1 qm wagrechter Projection der Dachfläche unbedenklich den Werth der Tabelle auf S. 19 (unter 8), d. i. 135 kg annehmen kann.

2) Nutzlaft.

Die Nutzlaften find hauptfächlich bei den Decken-Conftructionen von Wichtigkeit; fie beftehen in der Beladung durch Menfchen, ungünftigenfalls durch Menfchen-gedränge in öffentlichen Sälen, Theatern, Concert- und Ausftellungsfälen, Gerichtsräumen , Schulzimmern etc., in der Belaftung durch Waaren in Speichern, durch Bücher in Bibliotheken u. dergl. mehr. Dabei ift für die Berechnung auf die Lage der Nutzlaft Rückficht zu nehmen und zu beachten, dafs nicht für alle Theile der tragenden Conftruction die Belaftung des ganzen Raumes die gefährlichfte ift, dafs vielmehr theilweife Belaftung für viele Theile wefentlich ungünftiger ift. Demnach mufs bei der Berechnung für jeden Theil die gefährlichfte mögliche Belaftungsart aufgefucht und diefe der Berechnung zu Grunde gelegt werden. Weiter ift zu beachten , dafs die Belaftung mit Erfchütterungen, felbft mit Stöfsen verbunden fein kann. Wenn eine grofse Verfammlung fleh plötzlich erhebt oder niederfetzt, wenn beim Beginne der Schule die Säle fleh fchnell füllen, wenn am Schluffe einer Vor-ftellung der Saal rafch entleert wird, wenn ein Tanzfaal beftimmungsgemäfs benutzt wird ; fo treten Erfchütterungen und Stöfse auf, welche den Einflüfs der Laft wefentlich vergröfsern können und auf welche zweckmäfsig Riickficht genommen wird. Es ift üblich, die ftofsweife wirkenden Belaftungen mit einem Coefficienten, welcher gröfser als 1 ift, multiplicirt in die Berechnung einzuführen. Für Hochbauten empfiehlt es fleh, diefen Coefficienten mit 1,2 bis 1,5 anzunehmen.

Bezüglich der Nutzlaften können bei den Berechnungen folgende Annahmen zu Grunde gelegt

werden :

Nutzlaft für lqm Grundfläche

27.

Zahlenangaben.

in Wohnräumen . » Tanzfälen » Heufpeichern⁴)

Cn » h O Cn 0< © © ©

in Haferfpeichern und Fruchte » Waarenfpeichern ⁵) . durch Menfchengedränge .

480 bis 500

760

400

Kilogr.

Kilogr.

In den Speichern wird je nach der Waare, welcher der Speicher dienen foil, die gröfste Belaftung verfchieden fein , *ünd defshalb ift zuvor über die Bedingungen , unter welchen die Waare gelagert wird (Höhe, Breite, Gewicht etc.), Erkundigung einzuziehen.

Für Bibliotheken kann das fpecififche Gewicht der Bücher im Mittel zu 0,6 angenommen werden; weiter kann der Rauminhalt der Büchergeriifte als nur zur Hälfte gefüllt berechnet werden, fo dafs 1 cbm Rauminhalt der Büchergeriifte 300 kg fchwer gefetzt werden kann. Auf eine ftärkere Beftellung mit Büchern ift in deutfehen Bibliotheken nicht zu zählen⁶).

3) Schneelaft.

Die Schneelaft kommt nur bei den Dächern in Frage. Als gröfste Schneehöhe, welche ungiinftigftenfalls in unferem Klima fällt, ohne dafs mittlerweile eine Be-feitigung des gefallenen Schnees möglich ift, kann man etwa 0,o m annehmen ; das fpecififche Gewicht. des Schnees beträgt etwa 0,125; mithin ift das gröfste Gewicht der Schneelaft für 1 qm der wagrechten Projection (Fig. 19) 0,125 . 0,o . 1000 = 75kg. Diefe Zahl ift innerhalb gewiffer Grenzen von der Dachneigung unabhängig. Handelt es fich dagegen um die gröfste Schneebelaftung für lqm der fchrägen Dachfläche, fo kann dielelbe wie folgt ermittelt werden.

Die Laft von 75kg kommt auf ab Quadrat-Meter der

ift, fo kommt auf 1 qm der

28.

Schneelaft.

Fig. 19.

r4_

m__

10000,6) o, 125

Dachfläche ; da a b = fchrägen Dachfläche eine Schneelaft

cos a

Ps =

75

ab

= 75 cos a.

Für die verfchiedenen Verhältniffe der Firfthöhe h zur Stützweite L ergeben fleh demnach folgende

Gröfste Belauungen ps durch Schneedruck für 1 qm fchräger Dachfläche :

Für - =

ps =

45°    33°41'    26°40'    21°50'    18°25'    16°

(53)    62

67

70

71

72

CO ^ ooj

10

12° 30'    11°20'

73 Kilogr.

73

Für 1 qm wagrechter Projection der Dachfläche beträgt die ungünfligfle Schneebelaftung 75 kS.

fo bleibt der Schnee nicht mehr liegen,

Wenn die Dachneigung fo Heil ift, dafs    ill,

gleitet vielmehr ab; für derartige Dachneigungen braucht man alfo auf Schneelaft gar keine Rückficht zu

h

Defshalb ift in der Tabelle der Werth von ps, welcher fleh für - =

nehmen.

klammert.

ergeben hat, einge-

U

29.

Winddruck.

Fig. 20.

2.

4) Wind druck.

Der Winddruck ift von hervorragender Bedeutung fowohl für die Dächer, wie für hohe Mauern, Schornfteine etc. In der Technik ift vor Allem wichtig, zu wiffen, welchen Druck der Wind auf eine Ebene EE (Fig. 20) ausübt, die feinen Strom unter einem fpitzen Winkel <p fchneidet.

Diefer Druck kann nur fenkrecht zu der Ebene gerichtet fein; denn der Druck zwifchen zwei fleh berührenden Körpern kann höchftens um einen Winkel von der Senkrechten zur Berührungsfläche abweichen, welcher gleich ill dem Reibungswinkel. Zwifchen der Dachfläche und der fie umfpielenden Luft findet keine Reibung flatt, der Reibungswinkel ift hier alfo gleich Null ; mithin ift der Druck zwifchen der Dachfläche und der Luft ftets fenkrecht zur Dachfläche gerichtet.

Bis vor Kurzem wurde allgemein angenommen, der fenkrechte Druck N auf die Ebene EE fei der zweiten Potenz von sin <p proportional; neuere theoretifche Unterfuchungen und praktifche Verfuche haben jedoch nachgewiefen, dafs man der Wirklichkeit wefentlich näher kommt, wenn man einführt

N = P sin <p,

in welcher Gleichung P die Gröfse des Druckes ift, welche der Wind auf eine fenkrecht getroffene Fläche ausübt. Man kann fetzen

v² F

mithin

v² .

O’

sin <p

• 3-

In diefen Gleichungen bedeutet: F den Flächeninhalt der vom Winde getroffenen Fläche, v die Gefchwindigkeit des Windes (in Met. für die Secunde), y das Gewicht von lcbm Luft (in Kilogr.) und g die Befchleunigung des freien Falles — 9,81 m.

Für 15 Grad C. und 760

mm

T

Barometerftand ift— = O42458, alfo rund P — 0,1 2 5 Fv²,

demnach der Winddruck für lfim fenkrecht getroffener Fläche

p — 0,i25 v².

und

Nimmt man als gröfste Windgefchwindigkeit v = 30m an, fo wird rund p — 120 Kilogr.

n = p sin <p = 120 sin Kilogr. )

Es ift im Hochbau üblich, als gröfsten' Winddruck / = 120kS für lqm einzuführen ; im Brückenbau rechnet man mit einem Gröfstwerth von p, welcher 250 bis 280kS für lqm erreicht. Wenn auch bei den gewöhnlichen Dach-Conftructionen, befonders an gefchützten Orten, der Werth 120kg nicht zu klein ift, fo ift doch bei Berechnung von hohen Schornfteinen und Thurmdächern, Gasbehältern u. dergl. zu überlegen, ob nicht die Vorficht gebietet, einen gröfseren Werth als 120kg für lqm der Rechnung zu Grunde zu legen. Alljährlich fällt eine nicht geringe Zahl von Thürmen und Schornfteinen den Stürmen zum Opfer. An freien Stellen und bei den genannten hohen Bauten follte man bis p = 200kg für lqm gehen. Für die nachfolgenden Unterfuchungen ift

p — 120kg für lqm

angenommen.

a) Winddruck auf Dachflächen. Die Windrichtung fchliefst nach den gemachten Beobachtungen einen Winkel von nahezu 10 Grad mit der wagrechten

Ebene ein⁷). Diefer Winkel möge ß, der Winkel der Dachfläche gegen die Wagrechte a genannt werden; dann ift nach Fig. 21 der Winkel der Windrichtung mit der Dachfläche <p = (a -J- ß) und demnach der auf 1 qm fchräger Dachfläche entfallende fenkrechte Winddruck

3°-

Dachflächen.

Fig. 21.

~~Cr ~ ~ ~

'-i

v = p sin (a -{- ß) = 120 sin (a —(— 10°)    .    7.

\n

Aus Gleichung 7 ergeben fleh für die ver-fchiedenen Dachneigungen die in folgender Tabelle angeführten Werthe für v.

Senkrechte Beladungen v durch Winddruck für 1 qm fchräger Dachfläche.

10

Für

rj.

abgerundet v =

33°41'    26°40'    21°50'    18°25'    16°    14°    12°30'    11°20'

53    49

Fig. 22.

44 Kilogr.

Zerlegt man den Normaldruck v in eine lothrechte und eine

in die Richtung der Dachfläche fallende Seitenkraft (Fig. 22), fo

'd    v

- und für lqm

cos a

83

72

63

57

46

wird die erftere für lqm der Dachfläche v —

wagrechte Projection der Dachfläche

120 sin (a + 10°)

cos² a

Die Werthe für x> And in der nachftehenden Tabelle angegeben. Für h- =

cos² a

. . 8.

to

r-H i

OT

33°4P    26°40'    21°50'    18°25'

t>* o

10

196    120

90

73

64    57    52    48

14°    12°30'    11⁰ 20'

46 Kilogr.

■n-p.sin

Windrichtung

JTW

Fig. 24.

3¹*

Mauerflächen.

ß) Win d druck gegen Mau er fläch en. Bei Auffuchung des auf lothrechte oder fchwach geneigte Mauern wirkenden Winddruckes wird zweckmäfsig der Winddruck als wagrechte Kraft eingeführt.

Der fenkrechte Druck des Windes gegen eine Mauerfläche EE (Fig. 23), welche den Winkel (p mit der Windrichtung bildet, ift für die Flächeneinheit

Fig. 23.

11 — p sin (p ;

die Seitenkraft von n, welche in die Richtung des Windes fällt, ift alsdann

h — n sin <p = p sin² (p ,

während die Seitenkraft, welche fenkrecht zur Windrichtung wirkt, die Gröfse hat

t =p sin 'p cos <p.

Die erftere Seitenkraft ift befonders dann wichtig, wenn es fleh um Bautheile handelt, welche im Grundrifs nach einem Vielecke, einem Kreife, einer Ellipfe etc. geformt find, fo bei Schornfteinen, Thürmen etc. Bei ebenen Mauern ift der Berechnung flets als ungünftigfte Windbelaftung diejenige zu Grunde zu legen, bei welcher der Wind die Mauer fenkrecht trifft.

a) Winddruck gegen eine ebene Mauer. Wenn die getroffene Fläche F Quadr.-Met. enthält, fo ift

IP

'eil

X W/.

N — p F — 120 F Kilogr.

WinpçuktungEÏJ

2L

1887, S. 421.

dn

Als Angriffspunkt der Mittelkraft kann der Schwerpunkt der getroffenen Fläche eingeführt werden.

b) Winddruck gegen einen Kreis-cylinder. Es foil der Winddruck ermittelt werden, welcher auf die Längeneinheit der Höhe, alfo auf das fteigende Meter wirkt. Gegen das Bogentheilchen ds, deffen Tangente mit der W-Axe den Winkel <p (Fig. 24) bildet, wirkt der Normaldruck

dn — p . ds . sin <p = p r dy . sin <p .

Die fenkrecht zur Windrichtung wirkende Seitenkraft von dn wird durch eine gleich grofse, entgegengefetzt wirkende aufgehoben, welche auf den fymmetrifch zur XW-Axe liegenden Bogentheil wirkt; die andere Seitenkraft ift

dh — dn sin rp —pr sin² <p d<p .

Die gefammte Kraft, welche ein Umfturz-Moment erzeugt, ift für die Höheneinheit offenbar

7Z

ff —

pr sin ² 'p d'p = 2 pr

² sin² <p d<p

fonach

H = pr— .

Wird p = 120kS eingeführt, fo iff die Kraft PI für das fteigende Meter H — 188,i r — co 100 r Kilogr.,

worin r in Metern einzufetzen iff.

Die Kraft H liegt in der lothrechten Ebene der Axq XX und greift in halber Höhe des Cylinders an.

c) Winddruck gegen ein regelmäfsiges achtfeitiges Prisma (Fig. 25). Die Breite des umfchriebenen Quadrates fei B, die Seitenlange der achteckigen Grundfläche fei b\ dann ift <5 = 0,414 B. Der. Winddruck gegen die fenkrecht getroffene Fläche ift für die Längeneinheit der Höhe Hx=pb,

derjenige gegen die unter 45 Grad getroffenen Seitenflächen je

Fig. 25.

1*—b---■*!

WX///M

4S°y,

\N

IX

f//T

aE

fl

N = pb sin 45°,

und die in die Windrichtung fallende Seitenkraft von N ift

H₂

pb sin² 45° = —

L-—

k---3—-4

—><

2 ' .

Eben fo grofs ift H,, \ mithin wird die ge-fammte Kraft, welche ein Umfturz-Moment erzeugt, für das fteigende Meter fein

H — Hx f - Ff₂ H.₆ — 2 p b.

Die Mittelkraft aller H greift, wie oben, in halber Höhe des Prismas an und liegt in der durch die Axe des Prismas und Hx beftimmten lothrechten Ebene.

Die bisher ganz allgemein und auch in vorftehenden Entwickelungen gemachte Annahme einer gleichmäfsigen Vertheilung des Winddruckes über eine getroffene ebene Fläche fcheint nach den neueren Verfuchen und theoretifchen Ermittelungen nicht ganz richtig zu fein; demnach ift auch nicht ohne Weiteres richtig, dafs die Mittelkraft durch den Schwerpunkt der getroffenen Fläche geht. Es fcheint, dafs der Druck an den Rändern am kleinften ift und nach der Mitte der Ebene hin zunimmt. Bis über die Gefetzmäfsigkeit genauere Angaben vorliegen, wird man jedoch für die Zwecke des Hochbaues unbedenklich die vorgeführten Annahmen den Berechnungen zu Grunde legen können.

b) Schwerpunkte und ftatifche Momente.

1) Schwerpunkte von ebenen Figuren.

Um den Schwerpunkt einer beliebigen ebenen Figur zu finden, genügt es, zwei Linien zu beftimmen, auf deren jeder der Schwerpunkt liegen mufs ; alsdann ift der Schnittpunkt beider Linien der gefuchte Schwerpunkt. Werden in der Ebene, in welcher die betreffende Figur liegt, zwei Coordinaten-Axen OX und O Y beliebig angenommen, fo erhält man die Abftände x₀ und y₀ des Schwerpunktes von den beiden Axen O Y und OX aus den Gleichungen

x df

32-

Grund

gleichungen.

.r₀ =

und

y dj F ’

10.

in denen F die ganze Querfchnittsfläche, df den Flächeninhalt eines beliebigen Theilchens mit den Coordinaten und y bedeutet und die Summirung über die ganze Fläche auszudehnen ift. Die vorftehenden beiden Gleichungen können hier als aus der Mechanik bekannt vorausgefetzt werden. Man kann ftatt der unendlich kleinen Theilchen df Flächentheile f von endlicher Gröfse einführen, alfo die obigen Gleichungen fchreiben :

*0

E (/*)

und

E (fy)

u.

wenn x und y die Schwerpunkts-Coordinaten der Flächentheile f bedeuten.

33-

Folgerungen.

Die Zähler der Gleichungen nennt man die ftatifchen Momente der Fläche, bezogen auf die Y- und X-Axe ; denn denkt man in jedem Theile der Fläche den Inhalt deffelben als Kraft fenkrecht zur Ebene der Figur wirkend, fo find die ftatifchen Momente diefer Kräfte für die beiden Axen eben die Zählergröfsen obiger Gleichungen.

Aus den Schwerpunktsgleichungen folgt: a) x₀ wird gleich Null

der Zähler X (fx), bezw. jx df gleich Null

wird, d. h. für eine Axe, für welche das ftatifche Moment der Fläche gleich Null wird. Der Schwerpunkt liegt demnach auf einer folchen Axe. Daffelbe gilt natürlich für y₀, fo dafs man allgemein fagen kann: Jede Axe, für welche das ftatifche Moment einer Fläche gleich Null ift, geht durch den Schwerpunkt der Fläche, ift alfo, wie man fagt, eine Schwerpunktsaxe.

Man fuche daher zwei Axen auf, für welche die ftatifchen Momente gleich Null find ;• alsdann ift ihr Schnittpunkt auch der Schwerpunkt.

ß) Liegt eine Figur fymmetrifch zu einer Axe XX, fo ift das ftatifche Moment

fydf der Figur für diefe Axe gleich Null; denn jedem Flächentheilchen fx im Ab

wenn

ftande yx von der Axe entfpricht ein eben fo grofses Theilchen fx im Abftand —yx von der Axe; der Beitrag beider Theile zum ftatifchen Momente ift alfo Das Gleiche gilt von je zwei anderen Theilen, fo dafs alfo das

fx y i    fxYi —

gefammte ftatifche Moment gleich Null wird. Daraus folgt: Jede Symmetrie-Axe

einer Fläche ift eine Schwerpunktsaxe.

Hat fonach ein Querfchnitt eine Symmetrie-Axe, fo ift nur noch die Lage des Schwerpunktes auf derfelben zu beftimmen ; hat ein Querfchnitt zwei Symmetrie-Axen, fo ift der Schnittpunkt beider auch der Schwerpunkt.

Y) Nach Gleichung io ift Fx₀ = Jxdf Ift es möglich, die ganze Fläche

in eine Anzahl Gruppen F₁, F₂, F., . . . zu zerlegen, von deren jeder der Schwer-punktsabftand (xv x₂, x₃ . . .) bekannt ift, fo mufs für diefe fein

Fx xi — ( f'x dA )>    F2 X = ( fx dfz). F3 Xi = (fx dA ) > ■

12.

in welchen Ausdrücken fich die Einzelintegrale auf die einzelnen Gruppen beziehen. • Dann ift fonach

FX — F₁ X1 -f F₂ X ₂ -{- Fa X₃ -f- . . . -f- Fn %n y

und es wird

F\ Xx + F2 Xs “j" Fa X ~1~ • • • ~f~ Fn xn

.    .    I3.

Es ift fehr oft möglich, die gegebene Figur in Rechtecke, bezw. folche kleinere Figuren zu zerlegen, deren Schwerpunkte bekannt find und alsdann mit Hilfe obiger Formel die Lage des Gefammtfchwerpunktes zu finden.

8) Der Schwerpunkt S zweier Flächen Fx und F₂ (Fig. 26) mit den Schwerpunkten sx und Sc, liegt auf der Verbindungslinie ^ beider Schwerpunkte. Nennt man nämlich den Abftand des Gefammtfchwerpunktes von diefer Verbindungslinie y₀, fo ift Fy₀ = FJy₁ -j- F₂y₂. Die Abftände y₁ und y₂ der beiden Schwerpunkte sx und s₂ von derfelben Axe find aber gleich Null, weil die Axe durch diefe Schwerpunkte gelegt ift. Demnach ift für diefe Axe Fy₀ = 0, alfo auch y₀ = 0.

Hieraus folgt weiter, dafs, wenn die Schwerpunkte noch weiterer Flächen auf

Fig. 26.

diefer Linie liegen, der Gefammtfchwerpunkt gleichfalls auf derfelben liegt; kann man alfo eine Fläche in eine Anzahl Streifen zerlegen, deren Schwerpunkte auf einer geraden Linie liegen, fo befindet fich auch der Schwerpunkt der gefammten Fläche auf diefer Linie.

Die Lage des Schwerpunktes auf der Linie s2 (Fig. 26) ift leicht zu finden. Werden die Abftände des-felben von jj und s₂ mit bezw. -j- xx und — x₂ bezeichnet, fo mufs für eine fenkrecht zu i⁻₁ s₂ durch den Schwerpunkt 5 gelegte Axe Y Y fein

⁰ =/i *1 ~/₂ °der 4¹-=

X2

Daraus ergiebt fich die nachfolgende Conftruction.

Man errichte in eine Senkrechte, welche Flächeneinheiten in beliebigem Mafsftabe enthält, in e‘ne Senkrechte, jedoch nach entgegengefetzter Seite, welche _/j Flächeneinheiten in demfelben Mafsftabe enthält, und verbinde die Endpunkte; alsdann fchneidet diefe Verbindungslinie die Axe rj ^ Schwerpunkte S.

--X₂-----i r----X~-----^

\s

/₂

/1 '

2) Schwerpunkte von einfachen Figuren.

a) Schwerpunkt' eines Quadrates, Rechteckes, Parallélogrammes, Kreifes und einer Ellipfe. Jede diefer Figuren hat wenigftens zwei Symmetrie-Axen, bezw. Halbirungslinien, in deren Schnittpunkt der Schwerpunkt fich befindet.

Demnach liegt er beim Rechteck und Quadrat in der Mitte der Höhe und Breite, beim Parallelogramm im Schnittpunkte der Halbirungslinien der Seiten und beim Kreife und bei der Ellipfe im Mittelpunkte.

ß) Schwerpunkt eines Dreieckes

34

Regelmäfsige

Figuren.

Fig. 27.

35-

(Fig. 27).

Dreieck.

Zerlegt man die Dreiecksfläche durch Linien, welche einer Seite (.AB in Fig. 27) parallel find, in eine Anzahl fehr fchmaler Streifen, fo liegt der Schwerpunkt eines jeden Streifens in der Mitte feiner Breite, und nach der Folgerung unter 8 in Art. 33 liegt der Gefammtfchwer-punkt auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte aller Streifen. Der Schwerpunkt liegt alfo auf der Linie CD, welche die Mitte D einer Dreieckfeite mit der gegenüber liegenden Ecke (C) verbindet. Aus demfelben Grunde liegt er auch auf der Linie AE, wenn CE = EB itt. Der Schwerpunkt S ill der Schnittpunkt beider. Da aber DE und AC parallel find, fo ift

Sj

r-

k-

DS

DE

SC

t—f iCN

und D S —

SC

CD

CA

Daraus folgt, dafs der fenkrechte Abftand des Schwerpunktes 5 von der Grundlinie A B des Dreieckes ein Drittel der Höhe ift, d. h. es ift

Da jede Seite des Dreieckes als Grundlinie angefehen werden kann, fo liegt S auch auf einer Parallelen zu BC, deren fenkrechter Abftand ein Drittel desjenigen beträgt, in welchem A von BC liegt. Das Gleiche gilt von AC, bezw. B. Mittels diefes Gefetzes können daher leicht zwei Linien gezeichnet werden, auf denen der Schwerpunkt liegt.

Y) Schwerpunkt eines Parallel-Trapezes (Fig. 28).

Der Schwerpunkt des Trapezes in Fig. 28 liegt auf der Verbindungslinie der beiden Punkte E und F, welche die beiden parallelen Seiten halbiren. Ferner ift

Ato = f y df ■

36-

Parallel-

Trapez.

37-

fonach

und

Nennt man die Breite eines Streifens a und feine Flöhe dy, fo ift

b—a

df — zdy, z — b —

y und F

= (a +b) ;

b —a    \    b h

— y’) Jy = -3

(b—a) k³

v₀ =

h _Ç2 a -f b)

3 (a -j⁻

Daraus ergiebt fich die folgende Conftruction.

Fig. 28.

\D

ÄS-

Ls

T-

= xdy

->

A\

k-

-b

■J

Man halbire die beiden parallelen Seiten in E und F, trage B G = a und DH —b nach rechts, bezvv. links in den Verlängerungen der beiden parallelen Seiten auf und ziehe HG\ alsdann ill der Schnittpunkt von HG mit E E der Schwerpunkt S. Denn es ill

mithin ift

Unregelmäfsiges

Viereck.

38.

Kreisausfchnitt.

SE

EF

a 4“ ~2 + b H“

SH

dc! a

3 (a -j- b)

2 a b

" 3 (a+6) ’

aber auch

SE

EE

SH

und Tk=S ą^+3 3 Ça -f b)

= To •

Der Punkt S ift alfo in der That der Schwerpunkt.

5) Schwerpunkt eines unregelmäfsigen Viereckes (Fig. 29).

Um den Schwerpunkt des unregelmäfsigen Viereckes A BCD zu beftimmen, ziehe man die Gerade A C und ermittele die Schwerpunkte und ^ der beiden Dreiecke A CB und A CD, wie unter ß gezeigt; alsdann liegt der Gefammt-fchwerpunkt auf der Linie j.i sy. Nun ziehe man B D und ermittele die Schwerpunkte und der beiden Dreiecke ABD und BCD ; alsdann liegt der Gefammtfchwerpunkt auch auf der Linie jj. Demnach ift der Schnittpunkt der beiden Linien .rj Sy und j₃ .q der gefuchte Schwerpunkt.

In ganz ähnlicher Weife kann man weiter verfahren, wenn es fich um den Schwerpunkt eines Vieleckes handelt, welches in Dreiecke zerlegt werden kann. Doch wird in einem folchen Falle vielfach das unten vorzuführende graphifche Verfahren bequemer fein.

s) Schwerpunkt eines Kreisausfchnittes (Fig. 30).

Der ganze zum Kreisausfchnitt gehörige Winkel fei 2 a; die Halbirungslinie des Winkels ift eine Symmetrie-Axe, enthält alfo den Schwerpunkt; fomit ift nur noch der Abftand deffelben vom Kreismittelpunkte oder, was daffelbe betagt, von einer durch diefen fenkrecht zur Winkelhalbirenden gelegten Axe XX zu fuchen.

Für den zu einem Bogenftück ds = rdco gehörigen Theil des Ausfchnittes (Fig. 30), welcher als

Fig. 29.

-•iS, '

JS4

A*

A,

A‘

T*

Fig. 30.

ds=rd(f_

Dreieck aufgefafft werden kann, ift der Schwerpunktsabftand von

der Flächeninhalt

2

der Axe XX: y = —

— r cos cp,

3

= -XL ;

._4S

/ i

77T

/ j rcosy

mithin ift

l'ü =

/>' df Zlydf

«    'o

~ cos cp cf cp

Xi 1

do =

k, <N ico

=• I!

; ² cc.

14.

Für den Halbkreis wird a = —- und sin a = 1, fonach

d'o = o— = O'425 r-O 7C

⁴ ' /2 n

= —„--r= 0,6 r.

3 77

TT

Für den Viertelkreis ift a = —, daher y,.

4

n    2

Für den Sechftelkreis ift a — —, mithin y₀ = — r — 0,637 r.

0    77

C) Schwerpunkt eines Kreisabfchnittes (Fig. 31).

Der Schwerpunkt des Kreisabfchnittes liegt zunächft wieder auf der Winkelhalbirenden ; ferner ift aber nach der Folgerung § in Art. 33 (S. 26), wenn F der Flächeninhalt des Kreisausfchnittes A CEO, y der Abftand des Schwerpunktes diefer Fläche von XX ift, wenn ferner ß und fa die Flächeninhalte des Kreisabfchnittes A CB, bezw. des Dreieckes ABO und y^, bezw. y2 die Schwerpunktsabftände diefer Flächen von XX find,

py =/l d'l +/id'2 oder d'l =

39-

Kreisabfchnitt.

Fig. 31-

F y — fi y-i

r.c

osa

Nun ift F — r² a,

y = vr

2 r sin a

- und H sin a cos a ;

a

a /y

ferner

mithin wird

d'i =

2

r cos a und f\ = ;-² (a — sin a cos a); 3

— r sin³ a

sin 2 ce

15

Y]) Schwerpunkt einer Parabelfläche (Fig. 32).

Fig. 32.

vo

f-ldy

é-----——Jf----——

Es ift df — 2 * dy, y =

h x²

X²

40.

Die Gleichung der Parabel A O ß, bezogen auf O als Anfangspunkt der Coordinaten-Axen, ift

Parabelfläche

x²

X² h '

Der Schwerpunkt der Fläche A O B liegt zunächft auf der Symmetrie-Axe Y V; der Abftand deffelben von XX ift

fy df    fy df

und dy —

X²

dx, alfo df —

X²

d x, fomit

J'o =

X⁴

f:

X ⁴dx

4/1

“ x² 5    “5

X²

x Vx

41-

Gleich-

Der Schwerpunkt liegt alfo vom Scheitel O um

entfernt.

yo

3O

16.

von der Linie AB um

zo

•    .    17.

3) Schwerpunkte von Querfchnittsflächen, die aus einfachen Figuren zu fammengefetzt find.

a) Schwerpunkt des gleichfchenkeligen Winkeleifens (Fig. 33). Auf die Ausrundung im Winkel und die Abrundung

fchenkeliges

winkeieifen. der Ecken foil keine Rückficht genommen werden ;

diefelbe kann fowohl bei diefer, wie bei den

Fig- 33-

folgenden Querfchnittsformen meiftens unbeachtet gelaffen werden.

Der Abftand des Schwerpunktes S von A A, bezw. B B ift

- (fy) _ A y\ +/2J2 A “h fi

Hierin ift der Flächeninhalt des lothrecht, f₂ derjenige des wagrecht gezeichneten Schenkels, bei letzterem nach Abzug des Flächentheiles, der mit dem lothrechten Schenkel zufammenfällt; y,j und y₂ find die Abftände der Schwerpunkte von A A.

r~śK

----

\Ä

hi

A</B

Eine angenäherte, fait (lets genügend genaue Formel wird folgendermafsen gefunden ¹³). Es ift d h . h

-f- {h—d) d

<M

y₀ =

h² _|_ (ä—d) d

2 dh—d²

2 (2A—«0

h² _)_ hd—d² _ 1 r h 3 2 (2 h—d) — Y L 2 ' 4

42.

Ungleich-

fchenkeliges

Winkeieifen.

7/2

fc-l a

vorkommenden Grenzen liegt etwa den Mittelwerth 0,009. Wird diefer eingeführt, fo erhält man

Innerhalb der für

2.8Ä

h .

y₀ = xo — ^ ~r 0>³⁶⁶ "•

zwifchen 0,oi25 und 0,oo625, hat fonach

Sehr leicht kann der Schwerpunkt durch Conftruction gefunden werden.

Man zerlege den Querfchnitt in zwei Rechtecke, ermittele ihre Schwerpunkte und s₂, die nach Art. 33 (unter o) die Schnittpunkte der Diagonalen find; dann liegt der Gefammtfchwerpunkt auf der Linie    da er auch auf der Symmetrie-Axe C C liegt, fo ift der Schnittpunkt S der genannten beiden

Linien der gefuchte Schwerpunkt.

Beifpiel. Es fei die Schenkellänge h r=10cm und die Dicke d — 1 cm ; alsdann ift /j — 10 qcm, f₂ — 9 <lcm, — 5 cm und y₂ — 0,5 cm ; fonach

Fig- 34-

,-4—£-

10.5 + 9 . 0,5 10 + 9    ~

Die angenäherte Formel giebt

y₀ = 2,5 + 0,36G = 2,8GG cm = x₀ . ß) Schwerpunkt des ungleichfchenkeligen Winkeleifens (Fig. 34).

Hier ift keine Symmetrie-Axe vorhanden; man mufs alfo xQ und Es ift

fo =

2,87 cm — x₀ .

[G

y₀ getrennt berechnen.

_ f\ Fl +72^2 fl +/2

Die Conftruction des Schwerpunktes ift in ähnlicher Weile mög-

x₀

_ fl xl -\-fïx2 fi +A

und

/,

lieh, wie unter a¹³). Man ermittelt zunächft ^ und r₂> wie oben; alsdann liegt der Gefammtfchwerpunkt auf s, s₂. Der Querfchnitt kann

5i

ferner als Differenz der beiden Rechtecke OACB und DE CF betrachtet werden; der Schwerpunkt liegt alfo auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte diefer beiden Rechtecke; da diefe Schwerpunkte jedoch fehr nahe zufammenfallen, fo ergiebt fich die Richtung der Verbindungslinie nicht genügend genau. Nun mufs aber die Verbindungslinie zur Linie OD parallel fein; man ziehe alfo durch den Schwerpunkt G des umfchriebenen Rechteckes OACB die Parallele zu 0D\ alsdann ill der Schnittpunkt diefer mit .sy s<^ der gefuchte Schwerpunkt.

y) Schwerpunkt des I-Eifens (Fig. 35).

Der Schwerpunkt ift der Schnittpunkt beider Symmetrie-Axen.

S) Schwerpunkt des L-Eifens (Fig. 36 u. 38).

Der Schwerpunkt liegt auf der wagrechten Symmetrie-Axe im Abflande xQ von BB; x₀ ift nach obiger Gleichung aufzufinden, durch Conftruction wie folgt. Die wagrechte Symmetrie-Axe theilt das [j-Eifen in zwei Theile, deren jeder einen Winkeleifen-Querfchnitt darftellt.

Schwerpunkte und J4 ; wie eben gezeigt wurde, ift der Gefammtfchwerpunkt der Schnittpunkt der Linie -54 mit der Symmetrie-Axe.

e) Schwerpunkt des Z-Eifens (Fig. 37).

Der Schwerpunkt fällt mit demjenigen des lothrechten Rechteckes, des fog. Steges, zufammen; denn fowohf für die Axe XX, wie für die Axe Y Y ift das ftatifche Moment der beiden wagrechten Rechtecke zufammen gleich Null; diefelben find alfo ohne Einflufs auf die Schwerpunktlage. Dabei ift vorausgefetzt, dafs diefelben gleichen Flächeninhalt haben.'¹

Ç) Schwerpunkt des T-Eifens (Fig. 39 u. 40).

Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrie-Axe im Abftande yQ von der Axe A A} und es ift

Fig- 35-

Fig. 36.

Fig. 37-

S Y Y_

43-

Fig. 38.

I-Eifen.

44-

C-Eifen.

?*

\j

S2

Fig. 39-

Fig. 40.

Man ermittelt ihre

45-

Z-Eifen.

46.

T-Eifen.

__ A n +/2L2

A S⁻ fi

Durch Conftruction ift derfelbe folgendermafsen zu finden. Man zerlege den Querfchnitt in drei Rechtecke, ein lothrechtes und zwei wagrechte. Die Schwerpunkte feien jj, s2, J3. Das lothrechte und das eine wagrechte Rechteck bilden zufammen einen Winkeleifenquer-fchnitt, deffen Schwerpunkt ji, wie unter ß angegeben, zu finden ift. Dann liegt der Gefammtfchwerpunkt auf der Linie s% 54, ferner auch auf der lothrechten Symmetrie-Axe, alfo auf dem Schnittpunkt A diefer beiden Linien.

y₀

4) Graphifche Ermittelung der ftatifchen Momente und der Schwerpunkte von Flächen.

Wenn die Figur, deren ftatifches Moment, bezw. deren Schwerpunkt ermittelt werden foil, eine unregel-mäfsige Form hat, fo ift die graphifche Behandlung der Aufgabe zu empfehlen.

Man zerlege die ganze Figur in Streifen, welche derjenigen Axe parallel laufen, für welche das ftatifche Moment gefucht wird (Fig. 41). Es feien die Flächeninhalte der einzelnen Streifen /j, , f§ ■ ■ ■ fn. die Abftande der Schwerpunkte derfelben von der Axe XX bezw. , jj 21 J3 • • • )'n\ alsdann ift das ftatifche

>W

47-

Sn

7,

Statifches

Moment.

Moment der ganzen Fläche nach Obigem

M =/i y 1 +/2L2 +/3L3 + • • • +/» 9'« •

o.

Fig. 41.

d.fl A ß

Js.

.....

JT------

II

+f,

II

X-----

n__*

yT"

X--

Md

a"

y*

Vs

S'

-----X”

•W"

Js

X—

—X'

Man führe nun die einzelnen Flächengröfsen als parallel zur Axe XX wirkende Kräfte ein, welche in den Einzelfchwerpunkten angreifen, füge fie zu einer Kraftlinie zufammen, indem man fie nach einem beliebigen, jedoch für alle gleichen Mafsllabe aufträgt. Es fei    ßy — ßi, y 8 =    ... Nun

nehme man im Abftande H von diefer Kraftlinie einen Pol 0 an und conftruire das den Werthen

■ und diefem Pol entfprechende Seilpolygon o IIIIII. . . Verlängert man die Seilpolygon-Seiten, welche die erfte Kraft ß begrenzen, bis zum Schnitte mit der Axe XX, fo erhält man ein Dreieck lab, und es ift

A la b A Pap,

da die Seiten diefer Dreiecke einander bezw. parallel find; in Folge deffen ift

“ i _ «_ß_ _ A

y\

11

//’

Der Abfchnitt ab der die Kraft begrenzenden Seilpolygon-Seiten auf der Axe A'Af multiplicirt mit dem Polabftand II giebt fonach das ftatifche Moment von f [ für diefe Axe.

Eben fo ilt

alfo

bc ß T A

H ’

Das ftatifche Moment der ganzen Fläche für die Axe XX ift daher gleich dem Product aus dem Stück agy welches von den beiden äufserften Seilpolygon-Seiten auf der Axe XX abgefchnitten wird, und dem Polabftand H, oder es ift

y%

//

II. be — fay2 und H. cd —fo y§ u. f. w.

¹

)    Nach: Deutfche Bauz. 1883, S. 397.

²

)    Nach: Deutfche Bauz. 1886, S. 297.

³

s) Nach: Deutfehes Bauhandbuch. Berlin 1879. Bd. I. S. 229. — Bd. II. S. 127.

Heinzerling, F. Der Eifen-Hochbau der Gegenwart. Aachen 1876 — 78. Heft I, S. 9.

Tetmajer, L. Die äufseren und inneren Kräfte an ftatifch beflimmten Brücken- und Dachftuhlconftructionen Zürich 1875. S. 8.

MÜLLER-Breslau, H. F. B. Die graphifche Statik der Bauconftructionen. Leipzig 1887—92. S. 430. Landsberg, Th. Die Glas- und Wellblechdeckung der eifernen Dächer. Darmftadt 1887.

⁴

) Siehe: Frangenheim. Der Hauptbahnhof der Kölnifchen Strafsenbahn-Gefellfchaft zu Köln. Deutfche Bauz.

⁵

) Für den Seine-Speicher zu Paris wurden die Nutzlaften wie folgt berechnet: im I. Obergefchofs mit 1500*8, im II. Obergefchofs mit 1250*8, im III. bis V. Obergefchofs mit je 1000*8 und im VI. Obergefchofs mit 800*8 für l'H» Lagerung von Mehl und Getreide. (Siehe: Centralbl. d. Bauverw. 1884, S. 509.)

⁶

J1) Nach: Tiedemann, v. Die Univeriitäts-Bibliothek in Halle a. S. Zeitfchr. f. Bauw. 1885, S. 338.

⁷

) Nach neueren Verfuchen von Lilienthal hat der Wind eine unter etwa 3 Grad von unten anfteigende Richtung; die Annahme wagrechter Richtung des Windes fcheirit demnach als die einfachfte und mit den beiden Richtungen am heften vereinbare empfehlenswerth zu fein.

H .ag-'L (.f y).

Für die Anwendung ift zu beachten: Die Abfchnitte ai, bc, cd . . . auf der Axe XX liegen in den Dreiecken lab, Ilbc, bedeuten demnach Längen; die Werthe von II dagegen find auf diefelbe Einheit zu beziehen, wie die Gröfsen /j,    . . ., bedeuten alfo Flächen. Daher ift H auf dem Flächen-

mafsftabe, ab, b c, cd .. . hingegen find auf dem Längenmafsftabe zu meffen.

Beim Zerlegen der betreffenden Figur in parallele Streifen müffen diefelben fo fchmal gewählt werden, dafs man mit genügender Genauigkeit die einzelnen Streifen als Rechtecke, Parallelogramme, Paralleltrapeze, überhaupt als folche einfache Figuren anfehen kann, deren Flächeninhalte und Schwerpunktslagen leicht beftimmt werden können.

Handelt es fich um das ftatifche Moment der Fläche für die Axe X¹ X', fo ift daffelbe offenbar gleich H.alg'. Rückt aber die Axe zwifchen die Kräfte _/j etwa nach X“ X“, fo ift zunächft das ftatifche Moment der oberhalb liegenden Flächentheile gleich H. a“ e“ ; im ftatifchen Moment der ge-fammten Fläche ift aber auch der Beitrag der an der anderen Seite der Axe gelegenen Theile enthalten, welche einen negativen Beitrag liefern, weil die y-Werthe für diefelben von der Axe X“ X“ aus nach unten gerechnet werden müffen; die von der Axe nach oben gerechneten Werthe der y find ja pofitiv eingeführt. Demnach liefert hier    ein ftatifches Moment gleich — II. g" t", und daher ift das ftatifche

Moment der ganzen Fläche, bezogen auf die Axe X“ X“, gleich H.a"g“.

Demnach ift allgemein nachgewiefen : Das ftatifche Moment einer Fläche A, bezogen auf eine Axe XX, wird erhalten, wenn man das von den beiden äufserften Seilpolygon-Seiten auf diefer Axe ab-

gefchnittene Stück (ag, bezw. a'g', a" g") mit dem Polabftand H multiplicirt. Dabei mufs das Stück a g auf dem Längenmafsftabe, der Polabftand H auf dem Flächenmafsftabe gemeffen werden, nach welchem die Werthe von f aufgezeichnet find.

Rückt die Axe XX weiter nach oben, fo wird das von den äufserften Seilpolygon-Seiten auf der-felben abgefchnittene Stück immer kleiner; geht die Axe durch den Schnittpunkt E der äufserften Seil- Schwerpunkt. polygon-Seiten, fo ift das abgefchnittene Stück gleich Null; alfo wird auch das ftatifche Moment in Bezug auf diefe Axe gleich Null ; diefelbe ift alfo eine Schwerpunktsaxe. Hieraus folgt : Die durch den Schnittpunkt E der äufserften Seilpolygon-Seiten parallel zu XX gelegte Axe enthält den Schwerpunkt der Fläche.

48.

Das foeben gefundene Ergebnifs folgt auch mit Nothwendigkeit aus nachftehender Ueberlegung. Da die Flächen als Kräfte eingeführt find, fo kann man annehmen, diefe Kräfte feien die Gewichte der einzelnen Theile einer an allen Stellen gleich ftarken Platte, welche diefelbe Form hat, wie die gegebene

Fläche, und in eben folche Theile getheilt ift, wie diefe. Um die wirklichen Gewichte zu erhalten, braucht man nur alle Werthe f mit demfelben Factor dem Gewichte der \ Flächeneinheit,

\ multipliciren. Da man k \ aber die Platte aus be-7^ liebigem Material her-geftellt und beliebig ftark annehmen kann, fo ift -f ganz beliebig, kann alfo auch gleich 1 gefetzt werden ; die Werthe y können demnach auch als die Gewichte felbft angefehen werden. Die Mittelkraft aller diefer parallel gerichteten Kräfte geht demnach durch den Schwerpunkt der Fläche; fie geht aber auch durch den Schnittpunkt der äufserften Seilpolygon-Seiten und durch diefen Schnittpunkt parallel zur Axe XX gezogene Linie ift alfo die Mittelkraft nach Richtung und Lage und geht durch den Schwerpunkt. Gleiche gilt von jeder anderen beliebigen Lage, welche für die Richtung der Axe, alfo auch der Kräfte angenommen wird. Man kann demnach leicht noch eine zweite Axe finden, auf welcher der Schwerpunkt liegt; der Schnittpunkt beider Axen ift dann der gefuchte Schwerpunkt.

Die gezeigte graphifche Ermittelung des Schwerpunktes ift befonders bei unregelmäfsigen Quer-•fchnitten empfehlenswert!! ; Fig. 42 zeigt diefe Beftimmung für den Querfchnitt eines Vierungspfeilers.

Fig. 42.

îv,\

pl

N\

Y>

zu

\i 111 it j

_ jSn' '

--j.

"Tr-

\i \

\i

Ki

\]ii / /

\ 1/ \ r/

\ 1 /

:k

ift der Richtung der anderen Kräfte parallel. Die

Das

c) Trägheitsmomente und Centrifugalmomente.

Wird jedes Theilchen df einer Querfchnittsfläche F mit dem Product uv feiner fenkrecht genommenen Abftände

von zwei Axen A A und B B multiplicirt (Fig. 43) und die Summe aller diefer Producte gezogen, fo erhält man einen Ausdruck

AB —

! u v df,

49-

Erläuterung.

Handbuch der Architektur. I. 1, b. (3. Auf!.}

5°-

Trägheitsmomente für

zur Schwerpunkts axe parallele Axen.

51.

Trägheitsmomente für rechteckige Querfchnitte.

welchen man das Centrifugalmoment des Querfchnittes F für die Axen A A und B B nennt. Fallen beide Axen zufammen, fo geht der Ausdruck in

?A = fv'df

über, wenn B B mit der urfprünglichen Lage von A A A. zufammenfällt, bezw. in

wenn A A mit der urfprünglichen Lage von B B zufammenfällt. Man nennt

Fig. 43-

.A

J a = fv² df das Trägheitsmoment der Querfchnittsfläche F für die Axe A A ; eben fo bezeichnet man yB=Ju² df als das Trägheitsmoment des Querfchnittes für die Axe BB.

Die Trägheitsmomente haben in der Elafticitätslehre eine fehr grofse Wichtigkeit; defshalb follen die wichtigften Sätze über diefelben hier vorgeführt und zugleich die Trägheitsmomente für eine Reihe häufig vorkommender Querfchnitts-formen entwickelt werden. Am Fufse von y foil als Zeiger angegeben werden, auf welche Axe das Trägheitsmoment bezogen ift; yA bedeutet demnach : das Trägheitsmoment bezogen auf die Axe AA.

Das Trägheitsmoment eines Querfchnittes, bezogen auf eine zu einer Schwer-punktsaxe parallele Axe, ift gleich dem Trägheitsmoment für diefe Schwerpunkts-axe, vermehrt um das Product aus der Querfchnittsfläche

in das Quadrat des Abftandes beider Axen.

Geht die Axe Y Y (Fig. 44) durch den Schwerpunkt der Fläche, fo ift demnach

JA=Jy+Fa'.

Nach der Erklärung des Trägheitsmomentes ift

y a = f df.

Die Summirung foil alle Flächentheile df umfaffen ; die Integration ift alfo über den ganzen Querfchnitt auszudehnen. Nun ift

u — a -|- z und u² = a² -j- 2 a z -f- z²,

Fig. 44.

alfo

yA = J u² d f = a² fdf+2a Jzdf+jg²df

jedoch Jdf—F und J z² d f — fY, ferner nach der Lehre Schwerpunkt Jz df = 0, weil Y Y eine Schwerpunktsaxe ift ; mithin in der That

?A = Fa* + ?y..........

Im Folgenden follen für einige häufig vorkommende Querfchnittsformen die Trägheitsmomente rechnerifch ermittelt werden.

a) Trägheitsmoment für den rechteckigen Querfchnitt (Fig. 45).

Für diefen ift, bezogen auf die Schwerpunktsaxe Y Y,

, h

fi T

y Y — J-z² df .

Es ift

vom

18

Da für alle Theile eines zu Y Y parallelen Streifens z diefelbe Gröfse hat, fo kann man df=bdz fetzen, und es wird

Fig. 45-B Z

dz

o:

fh* hz 1

L 8 ^ 8 J ~ 12

b/B

.    .    19.

•2

-A~~~x

Das Trägheitsmoment für eine Axe A A, welche mit einer Seite des Rechteckes zufammenfällt, ift nach Gleichung 18 bh³

bh³

/ h \ ² _ l>hz b/B

VT/ ~~W    ~ 3

Für eine zu Y Y normal flehende Schwerpunktsaxe ZZ ift nach Obigem

hb³

und für die Axe B B ift

12 ’

hb³

*» = T-

Fig. 46. B Z

Man kann dies in Worten folgendermafsen ausdrücken: Das Trägheitsmoment eines Rechteckes für eine zu einer der Seiten parallele Schwerpunktsaxe ift gleich dem Producte: Breite mal dritte Potenz der Höhe, dividirt durch zwölf; für eine mit einer Seite des Rechteckes zufammen-fallende Axe ift das Trägheitsmoment dagegen gleich dem Producte : Breite mal dritte Potenz der Höhe, dividirt durch drei. Als Breite gilt die Abmeffung des Rechteckes in der Richtung der betreffenden Axe, als Höhe die zu erfterer fenk-rechte Abmeffung.

Mit Zuhilfenahme diefes Ergebniffes kann man für eine grofse Zahl von Querfchnitten der Praxis die Trägheitsmomente leicht finden.

Das Quadrat ift ein Rechteck mit gleich langen Seiten; ift feine Seitenlange b — h = d, fo wird (Fig. 46)

d*

d*

7z=7y = J2 und Ja — Jb — —.

ß) Trägheitsmomente für aus Rechtecken zufammengefetzte Quer-fchnitte. Die für das Rechteck gefundenen Werthe von J werden vielfach an-L

gewendet, um für zufammengefetzte Querfchnitte die Träg- Querfchnitte. heitsmomente zu finden.

Das Trägheitsmoment des Querfchnittes in Fig. 47 ift gleich der Differenz des Trägheitsmomentes des ganzen Rechteckes ab c d weniger dem Trägheitsmoment des Rechteckes    d. h. es ift

7r = A BHl~ A Bt3 = d2 (H3~'‘*)•

Für den fymmetrifchen I-förmigen (Fig. 48) und für den E-förmigen Querfchnitt (Fig. 49) ergiebt fich hiernach

Fig- 47-

* - — -^-----*

I b [hz — (h — 2 0³] + d [h — 2 0* \ ■

52-

Symmetrifche u. C-formige

Diefer für die Berechnung unbequeme Ausdruck kann wefentlich vereinfacht werden. Wird der Abftand der Schwerpunkte des oberen, bezw. unteren Rechteckes mit fy bezeichnet, alfo h — t — l) gefetzt und im letzten Gliede obigen Ausdruckes ftatt h — 2^ (nicht ganz genau, jedoch mit kleinem Fehler) tj

eingeführt, fo ift

Fig. 49-

Fig. 48-

Wir fetzen b t —f\ alsdann wird

-i--h

'j-

7r = ^f\h-ty

(j ‘    12 ’

——— ift gegen das erfte Glied fehr klein und kann ohne

6

-b •

"b~ ~

Bedenken vernachläffigt werden; alsdann ift der Ausdruck für das Trägheitsmoment :

20.

Denkt man lieh die ganze Querfchnittsfläche f des oberen Rechteckes im Schwerpunkt deffelben

r.

vereinigt, alfo im Abftande ~~ von der Axe Y Y, und eben fo die des unteren Rechteckes in dem bez.

Li

Schwerpunkt, fo ilt das Trägheitsmoment eines folchen Querfchnittes

i-

s/(iy=

fV

S3.

Dies ift aber der erfte Theil unteres obigen Ausdruckes 20 für Jy\ der zweite Theil des Ausdruckes ftellt demnach den Beitrag dar, welchen der Steg zum Trägheitsmoment leidet. Mit ziemlich genauer Annäherung erhält man demnach das Trägheitsmoment des fym-metrifchen I-förmigen Querfchnittes, indem man die Querfchnittsfläche des oberen und unteren Gurtes vermehrt um je ^6 der Querfchnittsfläche des Steges (bis zu den Gurtfchwerpunkten gerechnet), im Schwerpunkt des oberen und unteren Gurtes vereinigt denkt und dafür das Trägheitsmoment auffucht.

Wird beim f-förmigen Querfchnitt (Fig. 50) der Abftand des von der durch die eine Kante gelegten Axe A A mit zq bezeichnet, fo ift nach der Schwerpunktslehre

T-förmige Schwerpunktes Querfchnitte.

Fzq — d (b — d) ——|- dh —-, ferner F — (b — d) d -j- dh .

u    u

Sonach ift

Z,o

Fig. 50.

:........*"",'"1

I__U -T

h‘-z₀

i.

[b — d) d² -f- dh² _ {/, — d) d 4- h2 2 [(b — d) d -j- d h^

und das Trägheitsmoment für die wagrechte Schwerpunktsaxe Y Y

y y = y [d i/l — ²o)3 Jri>zü— i¹’ — d) (²o — «O³] •

²0 —

2 [b — d) -j- 2 h

S-

Das Trägheitsmoment für die Axe A A ift

3“

[d/1³ + (b — d) ^³] .

54.

Unfymmetrifche nungen beibehält I-förmige

Für den unfymmetrifchen J-förmigen Querfchnitt (Fig. 51) ift, wenn man die früheren Bezeich-

Querfchnitte.

dh . h

1- (b — d) t {h

(ß — d) t²

dh² -f- (b — d) t (2h — Q -f (B — d) t²

und

2 [dh 4- (b — d) t -f (B — d) /]

JY = y I⁷ <Ä - zo)⁸ + Bz₀³-(6- d) c³ - (B-d) Oo - 0³] •

Fig- 5i-

dh 4- (b — d) t -j- (B — d) t

L.i

Fig. 5²-

r.....6-----

r. ; '.r.

J» -Ab

rip

d-

hjik

T-Y

4----

......b-.......i

-A

'zn/i:Z

Bei den Querfchnitten der Blechträger (Fig. 52) liegt der Schwerpunkt in halber Höhe. Alsdann

Blcchträger- ^ faps nur <jas lothrechte Blech und die 4 Winkeleifen vorhanden find, für die durch den Schwerpunkt Querfchnitte.

55-

gelegte wagrechte Axe

7 = -rV (Ph* — V — 2 8 h^) .

Falls noch Blechplatten vorhanden find, ermittelt man ihre Trägheitsmomente am heften befonders und zählt fie zum Trägheitsmoment des Querfchnittes ohne Deckplatten. Das Trägheitsmoment diefer Deckplatten (Fig. 52) ift alsdann

12

7) Trägheitsmoment für kreisförmige Querfchnitte (Fig. 53).

Kreisförmige

Der Halbmeffer des kreisförmigen Querfchnittes fei r, der Durchmeffer d. Zuerft foil das Träg- Querfchnitte.

heitsmoment der oberen Halbkreisfläche für die Axe Y Y beftimmt werden. Man zerlege die Kreisfläche in fchmale Ringe, deren Mittelpunkte mit demjenigen der gegebenen Fläche zufammenfallen, und beftimme

zunächft das Trägheitsmoment einer folchen Ringfläche. Der Halbmeffer eines folchen Ringes fei p, feine fehr geringe Breite fei d p. Der Flächeninhalt eines Theilchens df diefer Ringfläche, welches zum Mittelpunktswinkel d<p gehört, iü df = p . d<p . dp, und fein Trägheitsmoment bezogen auf die Axe Y Y

Fig- 53-

da

ß,.

dçp

<p\

d (ï) — y² . df — p² . sin² cp . df — p³ d p sin² cp d cp .

Das Trägheitsmoment des halben Ringes wird erhalten, indem man für alle Theile df deffelben d Q) auffucht, d. h. indem man zwifchen den Grenzen cp = 0 bis cp = u integrirt, wobei natürlich p und d p als Feftwerthe (Confiante) zu betrachten find, da fie für alle Theilchen des Ringes gleiche Gröfse haben.

Man erhält

sin cp cos cp ~|Tc p³ dp . 7t

Jo

— f d ą J'sin² cp d cp = p³ dp 0

Um aus diefem Trägheitsmomente einer halben Ringfläche dasjenige der halben Kreisfläche zu erhalten, beachte man, dafs die letztere fleh aus lauter halben Ringflächen zufammenfetzt; demnach ift

to¹

=sco=ywp. =

0

und das Trägheitsmoment der ganzen Kreisfläche für die Axe Y Y

TT d⁴

J 4

Bei allen Angaben von Trägheitsmomenten ift zu beachten : Die Mafseinheit der Trägheitsmomente ift die Längeneinheit in der vierten Potenz (alfo entweder: die Trägheits-Meter zur vierten, oder Centimeter zur vierten, oder Millimeter zur vierten Potenz etc.); denn jeder Theil des Trägheitsmomentes, alfo auch das Ganze, ift das Product einer Fläche in das Quadrat einer Länge. Defshalb ift ftets mit der ziffermäfsigen Gröfse auch die Mafseinheit des Trägheitsmomentes anzugeben.

64

21.

57-

momente.

zugeben.

Um ein Trägheitsmoment, welches in cm⁴ angegeben ift, in ein folches zu verwandeln, deffen Mafseinheit mm⁴ find, mufs man mit io⁴ = 10000 multipliciren ; umgekehrt ift mit io⁴r= 10000 zu dividiren, wenn ein in mm⁴ gegebenes Trägheitsmoment in eines mit der Mafseinheit cm⁴ verwandelt werden foil. Für die Statik und die Aufgaben derfelben empfiehlt es fich, die Trägheitsmomente in cm⁴ an

Wenn die Querfchnitte eine unregelmäfsige Form haben, fo ift es oft vor-theilhaft, die Trägheitsmomente graphifch zu ermitteln. Nennt man, wie oben, die einzelnen Flächentheile, in welche die ganze Querfchnittsfläche zerlegt wird, flt f₂, f₃. . ,fn, die Abftände der Schwerpunkte derfelben von derjenigen Axe XX, für welche das Trägheitsmoment gefucht wird, bezw. y}, y₂, y?> . . . y„, fo ift

h + 4 + h + • • • z« = £ C/>²) =/iTi² +/₂ T₂² +/₃ F3² + • •

^=/iTi -Ti +/2T2    +.4,y₃ • y₃ + • • •

58.

Graphifche Ermittelung der Trägheitsmomente.

T"

59-

Cnlman fches Verfahren.

Nun find f₁yv f₂y₂, f₃y₃ . . . die ftatifchen Momente der einzelnen Flächen-theile für die Axe II; fetzt man / y₁ = mv f₂y₂ = m₂, f₃y₃ = m₃ . . ., fo wird

J = b + z2 + l3 + • • •

Man braucht alfo nur mit den Werthen m

yx +    y2 + "h y₃ + • • •

m₃ . . . genau fo zu verfahren, wie oben (in Art. 47, S. 31) mit den Werthen fv f₂, f₃ . . um die ftatifchen Momente von mv m₂, m₃ . . ., d. h. die Trägheitsmomente zu erhalten. Darauf beruht das nachfolgende von Culman angegebene Verfahren (Fig. 54).

Man zerlege den Querfchnitt in Streifen, die zu derjenigen Axe parallel find, für welche das Trägheitsmoment gefucht wird, und ermittele zunächft, wie oben (in Art. 47, S. 31) gezeigt ift, die ftatifchen Momente für die Axe XX Die Stücke a b, bc, cd .. . find den ftatifchen Momenten proportional. Man

Fig- 54-

j fâ .5

afX J

y.

*ry

'II'

m'

TV

! -î

j, '

(TeT gSy

in\

IVi

V/

H,

o;

nehme nun einen neuen Pol Oy an, ziehe die Strahlen Oy a, 0yb, OyC . . . und conftruire für die Kräfte tny, m₃ ..., die in denfelben Linien wirkend angenommen werden, wie die f j, fy, f₃ . . ., das zugehörige Seilpolygon O P IP IIP . . . g‘ ... Werden die Seilpolygonfeiten über die Eckpunkte hinaus bis zu den Schnittpunkten mit der Axe XX verlängert, fo ift

f \ P a‘ b‘ co Oy a b , alfo

a‘ b‘

)’t

Es ift aber (flehe Art. 47, S. 31)

_ f\y\

1!

mithin a‘ b‘ —

Eben fo ergiebt fich

f\ Ti² h

HHy    HHy

und iy = HHy . a‘ b‘ .

b‘ c‘

bc _ Al'l HII

fonach

A IP b‘ c‘ 00 A Oy b c, mithin

72

i‘2 — H. Hy . b‘ c‘ ; eben fo i₃ — II. Hy . c‘ d' ...

und bl c‘ —    ^— =

H Hy

h .

HHy ’

Man erhält demnach

J = S (*) = IIHy (a‘ b' 4- b' c' + c' d‘ -f- ...) = HHy . a‘ g\

Das Trägheitsmoment der Fläche F für eine Axe XX ift alfo gleich dem von den äufserften Seiten des Seilpolygons O P IP IIP . . . auf der Axe abgefchnittenen Stücke a' g\ multiplicirt mit dem Producte der beiden Polabftände H und Hy.

Genau eben fo, wie oben bei den ftatifchen Momenten (fiehe Art. 47, S. 31) nachgewiefen ift, ergiebt fich auch hier, dafs die Strecke a' g‘ und Hy auf dem Längenmafsftabe, H auf demjenigen Flächenmafs-

ftabe zu meffen ill, nach welchem fy, f^,    . . . aufgetragen find; das Ergebnifs ift jedoch das gleiche,

wenn a‘g‘ auf dem Flächenmafsllabe, H und Hy auf dem Längenmafsftabe gemeffen werden.

Ein Querfchnitt fei in natürlicher Gröfse aufgezeichnet, H— 5cm und Hy — 5cm; ferner feien fy,    eiuem Mafsftabe aufgetragen, in welchem 1 cm — 10 qcm ift; alsdann wird, wenn

a‘ g* = 4,6 cm ift,

y =4,g . 10 . 5 . 5cm4.

Wenn die Axe XX eine Schwerpunktsaxe ift (Fig. 55), fo find zunächft die ftatifchen Momente genau wie oben gezeigt zu ermitteln; die ftatifchen Momente der oberhalb von XX liegenden Flächen-theile haben entgegengefetzten Sinn, wie diejenigen der unterhalb von XX liegenden Flächen, weil die

F'g- 55-

,R

b,

'Cb

•<V>

Hebelsarme verfchiedene Vorzeichen haben. Der Sinn der einzelnen Momente ift ab, bc, cd, de, ea; Anfangspunkt a und Endpunkt a fallen zufammen. Wird jetzt der Pol Oy angenommen, fo find die Strahlen Oya, Oyb, Oyc, Oyd, Oxe, Oya; der letzte Strahl fällt mit dem erften zufammen. Als Seilpolygon erhält man Ol" II“ . . . V“, und es ift

yS = H. Hy.

Ein anderes Verfahren hat Mohr angegeben.

Wenn die ftatifchen Momente nach dem in Art. 47 (S. 31) vorgeführten Verfahren conftruirt find (Fig. 54), fo ift der Flächeninhalt des Dreieckes Ia b

a b . y y _ fyyy yy    fy yy² _ Jy__

H • 2

mn.

60.

Mohr' fches Verfahren.

2//

und der Flächeninhalt des Dreieckes IIb c

___bc-yi _ fm

II ' 2

Ż1 - /2^2² _ h

2 H '

?2 - - _ -

Eben fo kann man für jeden Flächentheil f nachweifen, dafs fein Trägheitsmoment für eine Axe XX gleich ift dem Flächeninhalte des Dreieckes, welches von der Axe und den das beti-effende Flächen-theilchen begrenzenden Seilpolygonfeiten eingefchloffen ift, multiplicirt mit dem doppelten Polabftand. Es ift alfo

und

iy = 2 Af cpt,

h - ² H <p2 y = S (0 = 2 HZ (cp) = 2 HFy,

*3 = ² H<p₃ . . .

wenn

Fy = S (cp) ift.

Handelt es fich um das Trägheitsmoment für die Schwerpunktsaxe (Fig. 55), fo bleibt Alles gütig,

und es wird

ys = 2 hf₂,

wenn F± den Flächeninhalt der Figur 1II III IV V a I bedeutet.

Handelt es fich um das Trägheitsmoment eines Querfchnittes für eine beliebige , nicht durch den Schwerpunkt gehende Axe, fo kann man daffelbe aus demjenigen für die parallele Schwerpunktsaxe nach Art. 50 (S. 34) ermitteln; diefes letztere ift aber im Vorftehenden nur für fehl* einfache Querfchnittsformen und felbft bei diefen nur für einige wenige Lagen der Axen rechnerifch beftimmt. Für beliebig

61.

Trägheitsmomente für verfchiedene Schwerpunkts-axen.

• liegende Axen, alfo beifpielsweife beim Rechteckquerfchnitt für eine Axe, welche keiner Seite parallel ift, wird die Berechnung meift recht umftändlich. Dagegen ift die Ermittelung fehr bequem, wenn

man das gefuchte Trägheitsmoment für eine beliebige Schwerpunktsaxe durch diejenigen für zwei andere Schwerpunktsaxen drückt, welche einen beliebigen, zweck-

aus-

mäfsig einen rechten Winkel mit einander bilden.

Fig. 56.

df

'■

Die Beziehungen zwifchen den Trägheitsmomenten zweier in einem beliebigen Punkte A der Querfchnittsebene fenkrecht zu einander flehender Axen und demjenigen für eine andere durch diefen Punkt gehende Axe ergeben fich ) folgendermafsen.

Das Trägheitsmoment eines Quer-fchnittes für die beliebige Axe A Y1 (Fig. 56), welche den Winkel a mit der Axe Y Y einfchliefst, ift nach Art. 49 (S. 33)

-V

yr

Gr

y co

-y-

Jyx = f A2 df

Nach Fig. 56 ift

folglich

z₁ = 2 cos a — y sin a,

a . d f -f- J'y² sin² a . d f —    y z sin a cos a . df.

cos²

Die Integration ift über den ganzen Querfchnitt auszudehnen; bei derfelben ift a confiant; da nun

fz* df = JY) fy² df= Jz und fyz.df=7rz

ift, fo folgt

yYl = Jy cos² a Ar Jz sin² a — JYz sin 2 a

22.

Das Trägheitsmoment für die Axe AZX wird erhalten, indem man an Stelle von a den Winkel einführt, welchen AZX mit FF bildet, d. h. 90 -f- a. Dann er-giebt fich

Jzx — Jz c°s² a -f JY sin² a -f JYZ sin 2 a

Die beiden Gleichungen 22 u. 23 geben die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes von der Lage der Schweraxen an. Befonders wichtig ift die Lage der Axen, für welche das Trägheitsmoment ein Maximum und ein Minimum wird.

Jyx wird ein Maximum für den Werth von a, für welchen

d J Y\

— — 2 Jy cos a sin a -j- 2 Jz sin a cos a — 2 Jyz cos 2 a = 0,

d. h. für welchen (Jz — JY) sin 2 a = 2 cos 2 a wird. Es ift alfo

2 Jyz Jz — Jy

Diefer Gleichung genügen zwei Winkelgröfsen 2 a, welche um 180 Grad ver-fchieden find, da tg (180 -f- 2 a) = tg 2 a ift. Es giebt alfo zwei Axen, für welche ein Maximum, bezw. Minimum des Trägheitsmomentes ftattfindet, und diefe beiden Axen bilden mit der angenommenen Axe FF die Winkel a diefe beiden Axen flehen fonach fenkrecht zu einander. Ob Maximum oder Mini-

tg 2 ct„

tax

24.

max 5

bezw. 90 -f nmax ;

mum für die eine oder andere Axe ftattfindet, ergiebt die zweite Differentiation. Man findet leicht, dafs die zweiten Abgeleiteten nach a für zwei Winkel, welche um 90 Grad verfchieden find, entgegengefetztes Vorzeichen haben; entfpricht demnach dem Winkel a das Maximum, fo tritt für den Winkel (90 -f- a) das Minimum des Trägheitsmomentes ein.

Hauptaxen.

Es folgt daraus der Satz: Für jeden Punkt in der Ebene des Querfchnittes ift eine Axe vorhanden, für welche das Trägheitsmoment ein Maximum, eine andere, für welche das Trägheitsmoment ein Minimum wird. Beide Axen flehen zu einander fenkrecht.

Man nennt diefe Axen die Hauptaxen. Diejenige, für welche das Trägheitsmoment feinen Gröfstwerth hat, nennt man die erfte Hauptaxe, diejenige, für welche das Trägheitsmoment ein Minimum wird, heifst die zweite Hauptaxe.

Die Veränderlichkeit des Centrifugalmomentes JYz mit der Aenderung der Axen Y und Z kann in ganz ähnlicher Weife ermittelt werden, wie foeben für das Trägheitsmoment J gezeigt ift. Bezeichnet man das’ Centrifugalmoment für die beiden Axen Y₁ und Z₁ mit Jyxzx und beachtet, dafs

zx = z cos a — y sin a und yx = y cos a -f- z sin a

ift, fo wird

Jyx Z\ — fyxzxdf= J'(y cos a -j- z sin a) (z cos a — y sin a) df, Jyi zx = (cos² a — sin² a) J'y z d f-f-

sin 2 a

(/*² df — Jy² df}

sin 2 a

Jy\ Z\ — Jyz cos 2 a -j-

Jy₁z₁ wird gleich Null für — Jz) sin 2 a = — 2 Jyz cos 2 a, fonach für

2 Jyz _

y y—y z    y z—y y

Dies ift derfelbe Werth, für welchen nach Gleichung 24 Maximum, bezw. Minimum des Trägheitsmomentes fiattfindet. Für die Hauptaxen ift fonach

• •    25.

tg 2 a = —

2 yYZ

JyxZi — J'y 1 zi df — 0.

Für viele Querfchnitte ift hierdurch ein bequemes Kennzeichen zur Beftimmung der Hauptaxen gefunden. Man fuchę diejenigen Axen, für welche JYxz\ — 0 ift; alsdann find die gefundenen Axen die Hauptaxen. Es genügt, eine Hauptaxe zu

Fig. 57-

fuchen, da nach Früherem die andere mit derfelben ftets einen Winkel von 90 Grad einfchliefst.

rA- A“'

f/

f/

Bei fämmtlichen zu einer oder mehreren Axen fym-metrifch liegenden Querfchnitten find die Symmetrieaxen auch zugleich die Hauptaxen. Denn fei etwa die Z-Axe eine Symmetrieaxe, fo entfpricht jedem df mit den Coordi-Y naten yv zx ein df mit den Coordinaten — yv zx (Fig. 57). Die Beiträge der beiden df zu yYl zx find alfo

df -yxzx- df .yx*x = 0.

Genau eben fo ift es mit fämmtlichen übrigen Querfchnittstheilen ; die Summe der Beiträge je zweier fymmetrifch liegender Flächentheile ift gleich Null, fo dafs

alfo auch die Gefammtfumme fYXzx = Jyx zx df=- 0 ift.

an

find die Trägheitsmomente für folche Axen mit aufgenommen worden, welche beim Berechnen

63*

Wahl der Hauptaxen als Axen der Y und Z.

64.

•Centrifugal-momente.

Bei den in P'ig. 58 bis 62 dargeftellten Querfchnitten find die Hauptaxen gegeben. In den im vorhergehenden Halbbande diefes »Handbuches« mitgetheilten Tabellen über die »Deutfchen Normal-Profile für Walzeifen

von

Hochbau-Conftructionen eine Rolle fpielen.

Fig. 58-

Fig. 59-

Fig. 60.

Fig. 61.

Fig. 62.

1 \/

Wählt man die Hauptaxen als Axen der Y und Z (Fig. 57), fo ift für diefe nach Obigem Jyzdf=JYz= 0; mithin ift, wenn man das Trägheitsmoment in Bezug auf die eine Hauptaxe mit A, dasjenige in Bezug auf die andere mit B bezeichnet, in den Gleichungen 22, 23 u. 25 für JY und Jz bezw. A und B, fo wie für yYZ—0 einzufetzen. Man erhält für diefe Lage der Hauptaxen:

yYl = A. cos² a -f- B sin² a yZl = A sin² a -j- B cos² a sin 2 cf.

Jyxz.\ = [A — B)

26.

Sind A und B, d. h. die beiden Hauptträgheitsmomente einander gleich, fo ift yYl = A (cos² a -f- sin² a) = A,

d. h. Jyx ift alsdann von a unabhängig, alfo für jedes a gleich A.

Hieraus folgt: Sind die beiden Hauptträgheitsmomente gleich grofs, fo find alle Trägheitsmomente gleich grofs.

Bei vielen ftatifchen Unterfuchungen ift es wichtig, die Lage der Hauptaxen und die Gröfse der Werthe von A und B zu kennen. Für die Ermittelung diefer Werthe aber bedarf man nach vorftehenden Entwickelungen der Kenntnifs des Centrifugalmomentes yYZ = Jy z df.

Legt man durch einen beliebigen Punkt A in der Ebene eines Querfchnittes (Fig. 63) und durch den Schwerpunkt 5 cleffelben je zwei parallele Axen A Yx und AZV bezw. 5 Y und A Z, bezeichnet man die Coordinaten des Schwerpunktes für die erften beiden Axen mit z₀ und y₀, die Centrifugalmomente für die Axenpaare bezw. mit yYl zx und Jyz, fo ift

Fig. 63.

e---

—y, —-

-po

<-y-,

li

AK

Denn es ift

zx = fyl -1 df yx—y + y₀ und zx = s-\-zQ\ alfo Jri*i=f(y+yo)(2 + 2 0) df = fyzdf + y, fzdf+z₀ Jy df + y₀z₀ f df

ift J'y z d f — J y z, J d f = F, Jz d f = 0 und J y d f — 0 ; die

Nun

letzteren beiden Werthe ergeben fich, weil SY und S Z Schwerpunktsaxen find (vergl. Art. 33, S. 26, unter a). Es wird fomit

.    .    27.

= J y z -f- F yQ z₀ .    .

Wenn die Schwerpunktsaxen Hauptaxen find, fo ift Jyz — 0, demnach

.    .    28.

Jyxzx — Fy₀ a

Fig. 64.

Diefe Formel ift fehr bequem. Soll beifpielsweife das Centrifugalmoment für die Axen A Yx und AZX (Fig. 64) und den Rechtecksquerfchnitt ermittelt werden, deffen Seiten parallel zu den Axen find, fo lege man durch den Schwerpunkt zwei den erfteren bezw. parallele Axen S' F und SZ\ alsdann wird

~"T

y— F Yo ZQ-

Fällt etwa A mit einer Ecke zufammen, fo wird

b²JF

zp

yri zi

1    iy--b---■»

Be if piel. Es foil das Centrifugalmoment eines ungleidifchenkeligen Winkeleifens (Fig. 65) für zwei durch feinen Schwerpunkt gelegte Axen ermittelt werden, welche den Winkeleifenfchenkeln parallel find.

Zerlegt man den Querfchnitt in zwei Rechtecke, deren eines den ganzen lothrechten Schenkel enthält,

deren anderes den wagrechten Schenkel nach Abzug des fchon beim erften mitberechneten Rechteckes in

der Ecke bildet, und nennt man die Flächeninhalte iq und F}, fo wie die Abftände der Einzelfchwerpunkte von den Axen bezw. yf zf jvf, Zq", fo ift

Jyz = F\ )\) V + ^2 Jo" ²o"-

Fig. 65.

<z

—f t

Die Länge des grofsen und kleinen Schenkels fei bezw. 12 und 8cm, die Stärke beider Schenkel l,ocm (Deut-fches Normal-Profil Nr. 8/12) und der Abftand des Schwerpunktes von der äufseren Kante des langen, bezw. kurzen Schenkels 1,97 cm, bezw. 8,97 cm; alsdann ift

Jyz = 12 . 1 • 1,47 (6 — 3,97) ft- 7 . 1 . 3,47 (4,5 — 1,97)

= 97,2S cm4.

fj7l

J d,9

Ï~7~7°*

•V

i i ty

Y’

..

Z”

Die Einheit, in welcher die Centrifugalmomente erhalten wrerden, ift diefelbe, wie bei den Trägheitsmomenten, und es wird auf das hierüber in Art. 57 (S. 37) Gefagte verwiefen. Befondere Aufmerkfamkeit ift aber hier auf die Vorzeichen der Coordinaten und z₍₁ zu verwenden. In obigem Beifpiel find für das erfte Rechteck beide pofitiv, für das zweite Rechteck beide negativ einzuführen; das Product ift hier alfo für jedes der Theilrechtecke pofitiv.

d) Darftellung der Trägheits- und Centrifugalmomente mit Hilfe von Kreifen.

Ein Flächentheilchen df hat für die beiden einander im Punkte P fchneiden-den Axen A A und BB das Centrifugalmoment dJAB = uv . df j wenn u und v die fenkrecht gemeffenen Abftände des Theilchens df von den Axen bedeuten (Fig. 66). Bezeichnet man den Abftand deffelben von dem Punkte P mit p, fo wird ip — f df das polare Trägheitsmoment von df für Punkt P genannt. Man lege durch P einen Kreis mit beliebigem Mittelpunkt M und beliebigem Halb-meffer r, welcher die beiden Axen A A und B B aufser in P noch in den Punkten A‘

65-

Grundlage.

dJAB = —T- C‘ D‘.

Das Centrifugalmoment von df für die beiden einander im Punkte P fchneidenden Axen AA und BB ift alfo gleich dem ftatifchen Momente

des mit der Maffe belafteten Kreispunktes C\ bezogen auf die

Sehne B'A' als Drehaxe.

Um das Centrifugalmoment der ganzen Querfchnittsfläche zu erhalten, hat man

P *df

anzubringen, das ftatifche

in jedem Kreispunkte C' die betreffende Maffe

Moment derfelben für die Sehne B'A' zu ermitteln und die Summe aller ftatifchen Momente zu ziehen. Diefe Summe ift gleich dem ftatifchen Moment der refultiren-

2 sJ f

den Maffe, d. h. der Gefammtmaffe j* *    -, Diefe Summe greife im Punkte Tp

an ; alsdann folgt : Das Centrifugalmoment der Querfchnittsfläche F für die beiden Axen A A und BB ift gleich dem ftatifchen Momente der im Punkte Tp wirkenden

rp²df

J ~ d

Maffe

dJAIj — uv . df= df. p² sin . sin <p₂ =

P2 df ~F'

CD',

und, wenn der Kreisdurchmeffer mit d bezeichnet wird, ergiebt fich

P %df

d y ab —

CD'

2r '

und B' fchneidet, verlängere die Linie df. P bis zum zweiten Schnittpunkte C mit dem Kreife, ziehe die Sehne B'A' und fälle von C die Senkrechte C' D' auf die Sehne B'A'] alsdann ergiebt fich aus den Beziehungen zwifchen Peripherie-, Tangenten- und Centriwinkeln

Fig. 66.

Tn®

,C'

D'

u p sin cpx,    ^ = p sin <p₂,

i?' <7 = 2 r sin <p₂, CD' = WC sin <pv C D' = 2 r sin . sin <p₂,

â-

;'C

■±.1

"/

wmJ

B'

sin . sin <p₂ =

Demnach ift

oder

für die Sehne B'A'.

J*p² df — Dp ift das polare Trägheitsmoment der ganzen Querfchnittsfläche

für den Schnittpunkt P der Axen A A und BB. Man nennt den Punkt Tp den Trägheits-Hauptpunkt (auch wohl Trägheits-Schwerpunkt); den Punkt P heifst man den Pol.

Fallen beide Axen zufammen, fo geht das Centrifugalmoment in das Trägheitsmoment für die gemeinfame Axe über; die Sehne B'A' wird alsdann zur Tangente in demjenigen Punkte, in welchem die gemeinfame Axe den Kreis zum zweiten Male fchneidet. Demnach ift bewiefen:

Das Trägheitsmoment einer Fläche F für eine beliebige durch den Pol P gehende Axe BB ift gleich dem ftatifchen Momente der im Träg-

heits-Hauptpunkte vereinigten Maffe J    bezogen auf die Tangente

Fig. 67.

im Punkte B' des Kreifes. Demnach ift (Fig. 67)

__B"

für Axe A A: JA = Tp A"\ d

für Axe B B: JB —

t- r, B".

Nach Annahme des Kreifes und des Punktes P (falls es fich um Trägheitsmomente handelt) find die

ganz beftimmte, an beftimmten Kreispunkten wirkende Werthe; alsdann ift auch der Punkt Tp feiner Lage nach genau beftimmt. Aendern die Axen gleichfalls ihre Lage, fo bleibt doch der Punkt Tp unverändert an feiner Stelle. Man kann das Ziehen der Tangenten vermeiden. Für die Axe A A ift (Fig. 68)

oM

66.

j/A

M affen

P² df

B,

■7

Gröfse des Trägheitsmomentes ; Hauptaxen, Hauptträgheits momente.

Ja =

FE.

Man verbinde A' mit dem Mittelpunkte M des Kreifes, fälle von Tp die Senkrechte auf MA'] alsdann erhält man F als Fufspunkt diefer Senkrechten, und es ift

FA' =~T^E.

FA' ift die Projection des Strahles TpA' auf den Radius MA'] mithin ift das

J

Trägheitsmoment JA für die beliebige Axe A A gleich —multiplicirt mit der Projection von TpA' auf den durch A' gezogenen Kreisdurchmeffer.

—f- ift für die verfchiedenen Lagen der Axen unverändert; mithin verhalten d

fich die Trägheitsmomente für die verfchiedenen durch P gelegten Axen wie die

Werthe FA'. Das gröfste Trägheitsmoment wird fich alfo für diejenige Axe ergeben, für welche die Projection FA' den gröfstmöglichen Werth erreicht, das kleinfte Trägheitsmoment für diejenige Axe, für welche die Projection FA' ^ ihren kleinftmöglichen Werth hat. Verbindet man den Trägheits-Hauptpunkt Tp mit dem Mittelpunkt M des Kreifes, fo fchneidet diefer Durchmeffer die Peripherie in den beiden Punkten G und H. Man fieht leicht, dafs Tp G der kleinfte und TpH der gröfste mögliche Werth der Projection FA' ift; demnach wird

Fig. 68.

A/ /

7,

7,

TpH und Jmin =

t T,G-

Die zugehörigen Axen find PH, bezw. PG] diefe Axen find in Art. 62 (S. 41) als Hauptaxen, die betreffenden Trägheitsmomente als Hauptträgheitsmomente bezeichnet worden; daher find PH und PG die Hauptaxen.

nax —

67.

Conjugirte

Axen.

Um die Hauptaxen zu erhalten, verlängere man demnach die Linie MTp bis zu den Schnittpunkten G, bezw. H mit der Kreisperipherie und ziehe die Geraden PG und PH.

HG ift ein Kreisdurchmeffer; daher ift der Winkel H PG ein rechter Winkel, d. h. die Hauptaxen flehen auf einander fenkrecht (vergl. Art. 62, S. 41).

Das Centrifugalmoment für die Axen A und B ift gleich dem ftatifchen

Moment der im Trägheits-Hauptpunkt Tp vereinigten Maffe

Jp

-, bezogen auf die

Fig. 69.

Jp

So

68.

Lage des Trägheitshauptpunktes.

Sehne A'B' (Fig. 66); daffelbe wird zu Null werden, wenn der Hebelsarm der in Tp wirkenden Gefammtmaffe für die zu den Axen gehörige Sehne zu Null wird. Dies findet für alle Sehnen, welche durch den Trägheits-Hauptpunkt gehen, ftatt. Daher ergeben fich für alle durch Tp gehenden Sehnen zwei Axen, deren Centrifugalmoment gleich Null ift. Man nennt folche Axen conjugirte Axen.

Conjugirte Axen find beifpielsweife PX und PY in Fig. 69; die zu den beiden Hauptaxen gehörige Sehne GH in Fig. 68 geht gleichfalls durch Tp, fo dafs folgt: Die beiden Hauptaxen find conjugirte

y

Axen.

Für die Hauptaxen ift das Centrifugalmoment gleich Null.

Nach Vorftehendem ift vor Allem wichtig, die Lage des Trägheits-Hauptpunktes Tp zu kennen. Man nehme zwei fenkrecht zu einander flehende, im, Punkte P einander fchneidende Coordi-

natenaxen PY und PZ (Fig. 70) an und ermittele für diefe Axen die Trägheits-Jz und das Centrifugal-

Fig. 70.

momente J moment JYz des Querfchnittes. Dadurch

r>

1'

ift auch das polare Trägheitsmoment Jp bekannt; denn für rechtwinkelige Coordi-natenaxen ift

C'

‘“«Tp

y, = f p‘ df = $'(yl + Z*) df =

M,

Jy² d f Y Jz² df — Jz -f- Sy ;

alfo

Jp — Jz “h j Y-

'z

Nunmehr füllen die Coordinate!! des Y

Trägheits-Hauptpunktes Tp für einen Kreis

gefucht werden, welcher durch den Schnittpunkt P beider Axen geht und der Axe PY im Punkte P berührt wird; die Coordinaten von Tp mögen mit yu

Dann ift das Trägheitsmoment für die Axe PY

von

bezw. Zt bezeichnet werden.

gleich dem ftatifchen Moment der in Tp vereinigten Maffe

Tan<Tente, welche im Schnittpunkte der Axe PY mit dem Kreife gezogen diefer Schnittpunkt fällt aber hier mit P zufammen, da PY Tangente an den Kreis.

Jp

für diejenige

ift;

fein foil; daher ift das ftatifche Moment für PY felbft gleich dem Trägheitsmoment JY- Mithin wird

multiplicirt

Das Centrifugalmoment für die Axen PY und PZ ift gleich -—!

mit dem Abftande des Punktes Tp von der zu den genannten Axen gehörigen Sehne. Diefe Sehne ift aber die Axe PZ felbft, weil die beiden in Betracht kommenden Schnittpunkte der Axen Y und Z mit dem Kreife bezw. P und Z' find; daher ift

Jzy =

J.

f- yt.

Aus diefen Gleichungen ergeben fich die Coordinate!! des Trägheits-Hauptpunktes zu

yt — Jyz

.    .    29.

zt = J

Y -y-Jfi

Da man d beliebig annehmen kann, fo lteht auf der rechten Seite beider

= 1 cm3 wird ¹⁴), d. h. macht

Gleichungen nur Bekanntes. Wählt man d fo, dafs

man d™ . 1cm 3 ₌    fQ vereinfachen fich obige Gleichungen für yt und zu

und man erhält

• • 30-

yt — Jzy 1

s, = yr C ' •

Die Regel für die Auffuchung des Trägheits-Hauptpunktes lautet demnach: Man lege durch den Pol (bezw. wenn man die Trägheitsmomente für die Schwer-punktsaxen haben will, durch den Schwerpunkt) zwei fenkrecht zu einander ftehende Axen PY und PZ (in Fig. 70 find fie nach rechts, bezw. oben pofitiv, nach links, bezw. unten negativ angenommen), fchlage mit Jp als Durchmeffer einen Kreis, welcher durch P geht und von PY berührt wird, cleffen Mittelpunkt alfo auf der Axe PZ liegt; man mache weiters yt = JYz und zt = JY- Alsdann erhält man Tp.

Die im Punkte Tp vereinigte Maffe ift nunmehr

— Icm3₍

und die Hebelsarme für die in Betracht kommenden Tangenten geben nunmehr fofort, auf dem angenommenen Mafsftab abgegriffen, die Gröfsen der Trägheitsmomente. Es ift demnach

J max = TpH . 1cm 3 und Jmin — TpG . 1cm 3.

Für zwei beliebige andere Axen PC und PD, welche rechtwinkelig zu einander ftehen, erhält man

Jc = FC‘. Icm3 und Jd=FD'.\™³; das Centrifugalmoment für diefe Axen ift

yCD = yW- icm3-

U) Die Trägheitsmomente gehören der vierten Dimenfion, die Längen der erften Dimenfion an; defshalb ift auf der rechten Seite als Benennung cm³ hinzuzufiigen.

69.

Maximal- und Minimal-

In der Regel find die Werthe 7p, JY und JYZ zu grofs, als dafs man fie unmittelbar auftragen könnte ; man macht defshalb zweckmäfsig

?P

nicht gleich 1 cm³,

fondern giebt diefem Quotienten einen bequemen Werth, etwa 100cm3, 200cm 3 u. f. w. Wählt man

fo wird

7.

/'

yt =

*t —

= 100cm3,

Jp

100cm3

Jrz

100cm3

.    .    31.

7r

100cm3

Alsdann find die Werthe für FC, FD', TpH, TpG, TpF ebenfalls mit 100cm3 zu multipliciren, um die betreffenden Trägheits- und Centrifugalmomente zu erhalten.

Wenn 7rz gleich Null ift, z. B. wenn die Axe JY oder Jz eine Symmetrieaxe ift, fo wird auch yt gleich Null; alfo dann liegt Tp auf der Z-Axe; wenn JYZ negativ ift, fo wird auch yt negativ, ift alfo dann nach links abzutragen.

Für einige häufig vorkommende Querfchnittsformen füllen im Nachftehenden die Maximal- und Minimal-Trägheitsmomente, fo wie die Trägheitskreife vorgeführt

Trägheits- werden.

momente für :

Winkeleifen.

a) Maximal- und Minimal-Trägheitsmoment für ein gleich-fchenkeliges Winkeleifen (Fig. 71).

Fig. 7²-

Fig. 71.

ßfZ

■'!

10

\&A

Iiauptaxen find die Symmetrieaxe Yy welche den Winkel halbirt, und die zu diefer im Schwerpunkte fenkrechte Axe Z^Zy Die erftere bildet mit der Axe Y Y den Winkel « = 45 Grad. Somit ift nach Gleichung 22

yYx — JY cos² a fi- y z sin² a — 7yz sin 2 a,

und, da u — 45 Grad ift,

7yF7z

- 7tz.

7yx —

Die Werthe auf der rechten Seite vorftehender Gleichung find leicht zu finden.

Für ein Winkeleifen mit 10cm Schenkellänge, 1 ifl y₀ = z₀ = 2,87 cm; mithin

cm

Schenkelftärke (Deutfehes Normal-Profil Nr. io)

Jy —Ja — Fztf und Jz — Jb — F y y ;

— (10 -f- 9) 1 . 2,87² = 179,83 cm“ ; eben fo grofs ift Jz — 179,83 cm“ ;

1.10³ .    9 • l³

3    •    0

JyZ — - 10.1 . (5 .- 2,87) (2,87 - 0,s) - 9.1. (5,5 — 2,87) (2,87 - 0,5) = - 106,58 cm4.

7r =

(Die Werthe der y und z find nach rechts, bezw.' oben als pofitiv eingeführt.) Es wird fonach

Jyx - 179,83 + 106,58 = 286,41 cm4

-F Jz

und Jzx — Jr sin ²a -f- Jz cos ²a + Jyz sin 2 u =

j- JYZ— 179,83 - 106,58 = 73,25 CHl“.

Mithin ift

Fig- 73-

JYi — A = 286,41 cm4 (Maximum),

Jzl — B —    73,25 cm4 (Minimum).

Um den Trägheitskreis zu fchlagen, ermittelt man Jp = Jz + Jy - 2.179,83 = 359,66    : z 360 cm“,

Jp

und mit —— — 100 cmS wird d

if-

d — 3,6 cm

JY

100 cm 3

= 1,798 = OO 1,8 cm

Kl

und

— JYZ -

— 100 cm3 _

Man erhält Tp in Fig. 72, ferner

Jmax — FpH. 100 cm3 - 2,86 cm . 100 cm3

-- 1,066 cm = C<! - 1,07 cm .

Jmin — TpG . 100 cm3 _ Q.73 Cm . JQ0 cm3, ß) Maximal- und M i n i m a 1 - Trägheitsmoment für ein ungleichfchenkeliges Winkeleifen (Fig. 65, S. 43).

Zunächft ift die Lage der Hauptaxen aufzufuchen. Da hier keine Symmetrie-Axe vorhanden ift, fo ift diefelbe nach Formel 24

zu berechnen.

tg 2 (J-max —

2 Jyz

Jz - Jy

= 278,87 cm“,

Für das in Fig. 65 dargeftellte Winkeleifen (Deutfehes Normal-Profil Nr. 8/12) ift — Fz₀² = i- [l,o . 12³ + 7,o . l,o³] - (12 -f 7) l,o . 3,97²

= 100,59 cm4

yz = yB- FyJ- = -1 [1,0 . 8³ + 11 . 1,0³] - (12 + 7) 1,0 . 1,972 Jyz — 97,26cm4 (fiehe Art. 64, S. 42).

Hiernach ift

tg 2 Umax —

2 • 97,20

= — 1,09109 •

100,59 - 278,87

wenn man 2 umax = 180 — 2 ß fetzt, tg 2 a max — — tg 2 ß; fomit tg 2 ß = 1,09109 und 2 ß = 47°29'40", woraus ß = 23°44'50"; mithin

Nun ift

Hieraus ergiebt fich

Umax = 90 — ß , bezw. 180 — ß. min

Umax = 156° 15' 10" und o.min = 66° 15' 10".

Die Axen    Y* Y‘ und Z' Z' find demnach    die Hauptaxen; man    erhält nach Gleichung 22

Jyx -    Jy cos² 156° 15' 10"    + Jz sin²    156° 15' 10"    — Jyz    sin    312° 30'20",

=    Jr cos² 23° 44'50"    + y^sin²    23°44'50"    +■ Jyz    sin    47°29'40" = 321,43™“    -    A;

Jzx =    Jy cos² 66° 45'10"    + y^sin²    66° 15'10"    — Jyz    sin    47° 29'40" = 57,so cm“    -    ß.

Wefentlich einfacher geftaltet fich die Ermittelung mit Hilfe des Trägheitskreifes (Fig. 73). Es ift

100 cm3

JY= 278,87 cm“, yz= 100,59 cm“ und JYZ- 97,26 cm“; ferner yp = y y + Jz — 278,S7 + 100,59 = 379,46 cm“, und mit =

3,79

als Halbmeffer den

yt —

JXY

100

- 0,97

cm »

Zł =

— 2,79 cm und d — -—r- —

100

100

3,79 cm-

70.

Z-Eifen.

- 3,7 q cm

Man trägt auf S Z die Länge .S M =--- auf, fchlägt von M aus mit —-

2 2

Kreis, verzeichnet Tp aus den Coordinaten yt =. 0,97 cin und zt = 2,79 cm, zieht Tp M\ alsdann geben SH

und SG die Maximal-, bezw. Minimal-Trägheitsaxen. Es ift

Es iE

Jmax — Tp II. 100 cm³ = 3,2 cm . 100 cm3 und Jmin — Tp G . 100 cm³ — 0,58 cm . 100 cm³.

7) Maximal- und Minimal-Trägheitsmoment für ein Z-Eifen.

Die Ermittelung foil für das Deutfche Normal-Profil Nr. 12 (Fig. 74) vorgenommen werden.

5,3 (6³ — 5,i³) __

0,7 • 12³

12    +²

::

395,3 cm⁴,

7z =

10,2 • 0,7 ³

(5,6 5 ³ -)- 0,35 ³)

12

0,9 = 108,53 cm-⁴,

tg 2 O-max — —

7yz = 0 — 0,9 . 5,3 . 5,55 . 3,o . 2 = — 158,84 cm-⁴, 2 . 158,84

2 . 158,84

108,53 — 395,3

286,7 7

= 1,1078, woraus 2 o.max — 47°56y ;

Umax = 23° 58' und CLmin — 113° 58'.

7yx = 395,3 cos² 23°58/ + 108,53 sin² 23°58/ + 158,84 sin 47° 56' = 465,9 cm⁴ = A, 7zx - 395,3 sin² 23°58' + 108,55 cos² 23°58' — 158,84 sin 47°56' = 38,1 cm⁴ = B.

Fig. 75 zeigt die Conftruction des Trägheitskreifes. Es ift

Jp = 395,3 + 108,53 = 503,83cm4 ;

fomit

Fig.75-

mithin

Fig. 74-

fr---

i'lE

\5,65—V“ ■

-, 11

X,

..K¹

'hmix*

4f5

<r —V3--

"*1

i.

Z 'Z,

-- _ (j--------4

Zt =

y^

100

= 3,9 5 cm,

yt =

7yz

158,8

100

100

= — 1,5 9 cm

und

y>

ferner

100

— 5,04 cm;

und

Jmax = TpH . 100cm3 = 4,6 cm . 100cm3

Jmin = TpG . 100cm 3 = 0,3 8 cm . 100 cm³.

Bedeutet J das Trägheitsmoment für eine beliebige Axe, fo kann man J = FR2 fetzen, in welcher Gleichung F die Querfchnittsfläche bedeutet. Alsdann ift

7i-

Trägheits

radius.

und es wird R der Trägheitsradius für die betreffende Axe genannt. Bei-fpielsweife würden fich die Trägheitsradien für die Hauptaxen aus den Gleichungen:

A=FRX² und B = FR₂²

zu R

i~Ä

und R₂ —

ergeben.

Die den Gleichungen 22 u. 23 entfprechende Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes mit der Veränderung des Winkels a kann man graphifch auch veranfchau-lichen, indem man vom Schnittpunkte der Axen aus auf jeder Axe eine Länge abträgt, welche dem Trägheitsmoment für diefe Axe entfpricht. Wählt man die

72.

Ellipfe

der Trägheitsmomente.

Hauptaxen als Coordinatenaxen und trägt auf jeder Axe

ab, in welcher

Gleichung K eine zunächft beliebige Confiante, J das Trägheitsmoment für die be

treffende Axe bedeutet, fo erhält man als Endpunkt einer Linie etwa den Punkt P (Fig. 76). Alsdann ift

VJ

, cos a = —

y _ y V y ki

und sin a = —

Yî

Nach Gleichung 26 ift

JYx — A cos2 a -j- B sin² a =

. Ay*JYx

Pz²JYl

K²

K²

K² = Ay² + Bz²

und 1 =

y²    z²

/ K Y² ' f K \²

vjTzv VFT/

.    •    32.

Gleichung 32 ift die Gleichung der Curve für die Punkte P\ die Endpunkte

der Fahrftrahlen liegen alfo auf einer Ellipfe,

— ---- ---find ;

V A V B

ift die Länge auf der Hauptaxe O F,

Fig. 76.

deren beide Halbaxen

und

V~ä

>»

1/ B

diejenige auf der Hauptaxe OZ.

r>

7-Tr

r>

'eN

Man nennt diefe Ellipfe die Ellipfe der Trägheitsmomente. Diefelbe kann für jeden beliebigen Punkt der Ebene als Mittelpunkt conftruirt werden; gehen fämmtliche Axen, wie hier, durch den Schwerpunkt des Quer-fchnittes, fo nennt man diefelbe die Central-' ellipfe.

Yi

Der Werth K kann beliebig angenommen werden.

fo wird die Länge des Fahr-

Wählt man K —

Kl

ftrahles auf der Hauptaxe O Y

JT

AB

\/A

FA

= 1/

73-

die Länge des Fahrftrahles auf der Hauptaxe OZ wird

l/*

=1/^=V/4 = V/

Fa²

A'

« und b find die Trägheitsradien, welche zu den Hauptträgheitsmomenten A und B gehören. Man erhält alfo die Ellipfe der Trägheitsmomente, indem man auf der erften Hauptaxe den Trägheitsradius b, auf der zweiten Hauptaxe den Trägheitsradius a aufträgt und für diefe als Halbaxen der Ellipfe die Curve conftruirt.

Für eine beliebige Axe Y, Y, ziehe man an die Ellipfe die vier Tangenten, welche dem Durch-meffer Y, Y, und dem zugehörigen conjugirten Durchmeffer 3 0 entfprechen ; die von diefem eingefchloffene Fläche ift 4 re, aber bekanntlich auch gleich A,ab. Es ift alfo auch r e — ab, fomit

Nun ift

mithin

d. h.

ab

__    /AB .

\/fY V FJ70

1 / A BF JYx * F* AB

Vy-f'

Jyx = Fe*.

Demnach ift e der Trägheitsradius für die Axe Fj Yy

Wird alfo K

= ~^/ O-A gewählt, fo ift für jede Axe der Trägheitsradius ohne Weiteres durch

Ziehen der parallelen Tangente und Abmeffen des fenkrechten Abftandes der Tangente von der Axe zu ermitteln.

Weitere einfache Ausdrücke für die

Hauptträgheits

momente.

Mit Hilfe des in Art. 65 (S. 43) vorgeführten Trägheitskreifes ergeben fich folgende einfache Ausdrücke für die Hauptträgheitsmomente A undi?¹⁵). In Fig. 77 feien 0 Y und 0 Z zwei fenk-recht zu einander gerichtete Axen, für welche die Trägheitsmomente JY und fo wie das Centrifugalmoment jfYz bekannt find.

Dann ift Ö L — d — JY -f- Jz, und der Halbmeffer des Kreifes

Fig. 77.

⁷r—

V.

'S.

s„

HV.

-c

.jJaVc

xy

k—

Jy

JtJ

r = MH —MG = M 0 =

Jr-YJz

s_

'S.

Ferner ift

y y -\r y z

MC=OC- OM = J

d. h. D ift der halbe Unterfchied von JY und Jz. Weiter ift

M% = V~CTA -f MC* = l/yYz2JrH-

15) Angegeben von Land (Die Beftimmung der Haupt-Trägheitsmomente einer Fläche) in : Centralbl. d. Bauverw.

Nun ift aber

A = TpH = MH -f MTp =

Jy+Jz

+ lfJrz' + D* ,

B = Tp G = MG - MTp =

Jy~f- Jz

- If Jyz*-JD* ;

daher

a! =

+ ]/yyz² + (

.uI

Jy+Jz

Jy — yz '

F.

)■

•    •    33-

Die Benutzung diefer Formeln fetzt nur die Kenntnifs von.j^r, Jy, und JYz voraus; es ift nicht erforderlich, wie bei Verwendung der Formeln 22 und 23, mit Winkelfunctionen zu rechnen, um die Hauptträgheitsmomente zu ermitteln¹). Beifpiel. Bei dem Z-Eifen in Art. 70 (S. 50) war

Jy— 395,3cm4, Jz - 108,53 und Jyz — — 158,S4 on⁴;

daher ift

Jy-\-Jz

— 251,9 cm* und

Jy- Jz

— D- 143,4

fomit

A — 251,9 + t/ 158,s² + 143,4² = 251,9 + 214 = 465,9 <=™⁴, 3= 251,9 — \J158,8² + 143,4* = 251,9 — 214 = 37,9 «n*.

I. Theil, 2. Abtheilung:

DIE STATIK DER HOCHBAU-CONSTRUCTIONEN.

2. Abfchnitt.

Elemente der Elafticitäts- und Feftigkeitslehre.

I. Kapitel.

Grundbegriffe.

Jeder in der Natur vorkommende Körper befteht aus einzelnen, mit einander verbundenen, aufserordentlich kleinen Theilen, den fog. Moleciilen. Diefe einzelnen Theile find nicht unabänderlich feft zu einem ftarren Ganzen mit einander verbunden; vielmehr verändert fich die gegenfeitige Lage derfelben, alfo auch die Form des Körpers, wenn Kräfte auf den Körper wirken. Gröfse und Form der Aenderung find vom Material des Körpers, von feiner Form, von der Gröfse und Wirkungsdauer der wirkenden Kräfte, von der Temperatur und von verfchiedenen anderen Umftänden abhängig.

Wenn die Kräfte, welche die Form Veränderung hervorgebracht haben, zu wirken auf hören, fo nimmt unter gewiffen Bedingungen der Körper feine frühere Form wieder an.

Jeder Körper hat die Eigenfchaft, unter der Einwirkung von Kräften feine Form zu verändern und nach dem Auf hören der Kräfte Wirkung feine urfprüngliche Form mehr oder weniger vollftändig wieder anzunehmen. Man nennt diefe Eigenfchaft El afti citât.

Vollkommen elaftifch würde ein Körper fein, der nach dem Aufhören der Kräfteeinwirkung feine frühere Geftalt genau wieder annähme; vollkommen un-elaftifch derjenige Körper, welcher die in Folge der Kräfteeinwirkung geänderte Geftalt genau beibehalten würde, auch wenn die Kräfte zu wirken aufhörten.

Es giebt in der Natur weder vollkommen elaftifche, noch vollkommen un-elaftifche Körper. Daraus folgt, dafs kein Körper nach dem Aufhören der Kräfteeinwirkung vollftändig feine frühere Form wieder annimmt; je näher er dem vollkommen elaftifchen Körper fteht, defto mehr verfchwindet die Formänderung; niemals aber verfchwindet fie ganz.

Man unterfcheidet die elaftifche Formänderung, d. h. diejenige, welche mit dem Auf hören der Kräfteeinwirkung wieder verfchwindet, und die bleibende änderung. Formänderung, d. h. diejenige, welche nicht wieder verfchwindet, auch wenn die Kraft zu wirken aufhört.

74-

Molecüle.

75-

Elafticität.

76.

Elaftifche und bleibende Form-

Die gefammte Formänderung ift die Summe der bleibenden und der elaftifchen Formänderung; fie ift eine Folge der durch die äufseren Kräfte im Körper hervorgerufenen inneren Kräfte , welche, auf die Flächeneinheit bezogen, als S p a n-nungen bezeichnet werden. Legt man der Betrachtung einen auf Zug oder Druck beanfpruchten, geraden, prismatifchen Stab von der urfprünglichen Länge l zu Grunde, fo bezeichnet man das Verhältnifs der abfoluten Verlängerung A/ zur Urals Dehnung oder Verlängerungsverhältnifs. Für

fprünglichen Länge, d. h.

einige wenige, aber gerade die wichtigften Bauftoffe, nämlich für Schweifseifen, Flufseifen und Stahl ift die Gröfse der Dehnung direct proportional der im Stabe herrfchenden Spannung, fo lange diefe Spannung eine gewiffe Grenze nicht überfchreitet. Man bezeichnet die Grenzfpannung, bis zu welcher die Proportionalität zwifchen Dehnung (bezw. Längenänderung) des Stabes und der Spannung im Stabe ftattfindet, als Proportionalitätsgrenze. Innerhalb diefer Grenze ift für die genannten Bauftoffe auch die bleibende Dehnung fo gering, dafs fie für die Praxis als nicht vorhanden angenommen werden kann ; man braucht demnach innerhalb diefer Grenze nur die elaftifche Formänderung zu berückfichtigen.

Die Grenzfpannung, bis zu welcher die bleibende Formänderung fo gering ift, dafs fie vernachläffigt werden kann, bezeichnet man als Elafticitätsgrenze. Für die oben angeführten Bauftoffe fallen demnach Elafticitätsgrenze und Proportionalitätsgrenze zufammen, fo dafs im Nachfolgenden für diefe Bauftoffe die Proportionalitätsgrenze als Elafticitätsgrenze bezeichnet werden foil.

Für Gufseifen, Beton, Cementmörtel, Steine findet nach neueren Verfuchen²) keine directe Proportionalität zwifchen Dehnung und Spannung ftatt; man kann demnach bei diefen Bauftoffen auch nicht von einer Proportionalitätsgrenze reden.

Die Elafticitätsgrenze ift für die verfchiedenen Bauftoffe, aber auch für die verfchiedenen Arten der Beanfpruchung verfchieden. Im Allgemeinen wird fie für Beanfpruchung durch Zug bei demfelben Bauftoff eine andere fein, als für Beanfpruchung durch Druck.

Nach den Verfuchen Baufchinger’s³) ift für Schweifseifen, Flufseifen und Stahl, felbft für diefelbe Art der Beanfpruchung, die Elafticitätsgrenze aufserordentlich veränderlich. Man kann diefelbe durch gewiffe Arbeiten allmählich immer mehr bis zu einer oberen Grenze heben, die bei manchen Stoffen nahe der Bruchgrenze liegt. Andererfeits kann man die Elafticitätsgrenze fehr ftark hinabwerfen und wieder heben, dann aber nur bis zu einer weit unter der urfprünglichen Grenze liegenden Höhe. Diefe letztere bezeichnet Baufchinger als die natürliche Elafticitätsgrenze.

Wird bei den Stoffen mit ausgefprochener Elafticitätsgrenze die wirkende Spannung über die Elafticitätsgrenze gefteigert, fo wächst die Formänderung wefent-lich rafcher, als die Spannung; insbefondere tritt eine fehr merkbare bleibende Formänderung ein; eine weitere Vergröfserung der Spannung bewirkt fchliefslich das Zerreifsen, Zerdrücken oder Zerbrechen des Körpers.

Diejenige Spannung, welche ein Stab vom'Querfchnitte gleich der Flächeneinheit höchftens ertragen kann, ehe er zerftört wird, nennt man den Feftigkeits-Coefficienten des Materials.

77-

Feftigkeits-

Coefficient.

Auch die Feftigkeits-Coefficienten find nach dem verfchiedenen Bauftoff und nach den verfchiedenen Beanfpruchungsweifen verfchieden.

Man mufs an jede Bauconftruction zunächft die Forderung ftellen, dafs fie durch die wirkenden Kräfte nicht zerftört wird. Mit diefer Anforderung allein darf man fich aber nicht begnügen. Das Verhalten der Bauftoffe, fobald fie über die Elafticitätsgrenze hinaus beanfprucht werden, ift wenig zuverläffig, und man ftellt defshalb bei denjenigen Bauftofifen, für welche die Elafticitätsgrenze genügend ficher beftimmt werden kann, die Bedingung, dafs die Conftruction niemals über die Elafticitätsgrenze hinaus in Anfpruch genommen werde.

In den folgenden Unterfuchungen werden wir uns hauptfächlich mit den fog. ftabförmigen Körpern befchäftigen. Stabförmige Körper find folche, bei denen die Längenabmeffung die Breiten- und Höhenabmeffungen wefentlich übertrifft.

Schneidet man den Körper an irgend einer Stelle durch eine fenkrecht zur Längenrichtung an diefer Stelle gerichtete Ebene, fo erhält man einen Quer-fchnitt des Körpers. Die Verbindungslinie der Schwerpunkte aller Querfchnitte des Körpers heifst die Axe des Körpers.

Ift die Axe eine Gerade, fo hat man einen geraden ftabförmigen Körper; alsdann find alle Querfchnitte des Körpers parallel. Ift die Axe eine krumme Linie, fo ift der Körper ein krummer ftabförmiger Körper.

Je nach der Wirkungsweife der Kräfte werden die Körper verfchiedenartig Beanfpruchung beanfprucht. Man unterfcheidet

i ) Beanfpruchung auf Zug und Druck;

2)    Beanfpruchung auf Schub;

3)    Beanfpruchung auf Biegung;

4)    Beanfpruchung auf Drehung.

Zu 1). Beanfpruchung auf Zug und Druck tritt auf, wenn die auf den Körper wirkenden Kräfte die Querfchnitte fo gegen einander zu verfchieben ftreben, dafs fich ihre Entfernung in der Richtung der Axe gegen einander verändert, ver-gröfsert oder verringert.

Unter Zug-, bezw. D ruckfeftigkeit wird diejenige Kraft verftanden, welche in der Richtung der Axe auf die Flächeneinheit des Querfchnittes höchftens wirken darf, ohne dafs durch blofsen Zug, bezw. Druck eine Zerftörung des Körpers ftatt-findet; die geringfte Vergröfserung diefer Kraft würde demnach den Zufammenhang des Körpers zerftören.

Zu 2). Beanfpruchung auf Schub oder Abfcheren findet ftatt, wenn die äufseren Kräfte das Beftreben haben, zwei benachbarte Querfchnitte längs einander zu verfchieben, ohne dafs ihre Entfernung in der Richtung der Axe fich ändert.

Unter Schub- oder Abfcherungsfeftigkeit wird diejenige Kraft verftanden, welche auf die Flächeneinheit des Querfchnittes höchftens wirken darf, ohne dafs eine Zerftörung des Körpers an ‘diefer Stelle durch Verfchiebung der Nachbarquer-fchnitte gegen einander erfolgt.

Zu 3). Die Beanfpruchung auf Biegung tritt auf, wenn die äufseren Kräfte das Beftreben zeigen, zwei Nachbarquerfchnitte um eine Axe derart zu drehen, dafs die Entfernung zweier Querfchnitte an den verfchiedenen Querfchnittspunkten fich ändert.

78.

Aufgabe

der

Conftruction.

79-

Stabformige

Körper.

80.

Arten der

und

Fertigkeit.

Biegungsfeftigkeit ift die Beanfpruchung, welche die am meiften gefpannten Fafern des Körpers für die Flächeneinheit des Querfchnittes höchftens ertragen

können, ehe eine Zerftörung des Körpers durch Biegen, d. h. hier, bevor ein Zerbrechen eintritt.

Zu 4). Die Drehungsbeanfpruchung tritt auf, wenn die wirkenden Kräfte zwei Nachbarquerfchnitte gegen einander fo zu verdrehen ftreben, dafs ihre Entfernung gleich bleibt. Die Drehungsbeanfpruchung ift für die Hochbau-Conftructionen von untergeordneter Bedeutung.

Literatur.

Bücher über »Lehre von der Elafticität und Fettigkeit«.

Indem auf die Werke über »Mechanik«, die ftets einen Abrifs über »Elafticität und Fettigkeit« enthalten, nur ganz allgemein verwiefen werden mag, feien im Nachftehenden blofs die einfchlägigen Sonderfchriften namhaft gemacht :

Barlow, P. Treatife on the ßrength of materials. London 1833. — Neue Ausg. von W. Humber. 1867. Lamé, G. Leçons fur la théorie mathématique de 1‘élaflicité des corps folides. Paris 1852. — 2. Aufl. 1866. Moll, C. L. & F. Reuleaux. Die Fettigkeit der Materialien etc. Braunfchweig 1853.

Morin, A. Réfiflance des matériaux. Paris 1853. — 3. Aufl. 1862.

ROFFIAEN, E. Traité fur la réfifance des matériaux dans les conßructions. Lüttich 1858.

BourdaiS, J. Traité pratique de la réfiftance des matériaux appliquée a la conßruction etc. Paris 1859. Jeep, W. Die Fettigkeit der Materialien etc. Weimar 1861.

Shields, F. W. 7iie ßrains on ßructures of ironwork. London 1861.

Clebsch, A. Theorie der Elafticität fetter Körper. Leipzig 1862.

Grashof, F. Theorie der Elafticität und Fettigkeit etc. Berlin 1866. — 2. Aufl. 1878.

Winkler, E. Die Lehre von der Elafticität und Fettigkeit etc. Theil 1. Prag 1867.

Anderson, C. E. The ßrength of materials and ßructures. London 1872.

MÜLLER-Breslau, H. Elementares Handbuch der Feftigkeitslehre etc. Berlin 1875.

Kurz, A. Tafchenbuch der Feftigkeitslehre etc. Berlin 1877.

Hatfield, R. G. 1'he or y of transverfe ßrains and its application to the conßruction of buildings. New-York 1877.

Sergent, E. Traité pratique de la réffiance des matériaux. Paris 1878. — 5. Aufl. 1884.

Kent, W. The ßrength of materials. New-York 1879.

Lambert, P. Tabellarifche Zufammenttellung der Refultate aus der angewandten Feftigkeitslehre, mit befonderer Berückftchtigung von Conftructionen in Eifen und Holz. Zürich 1880.

Linglin, Th. Traité élémentaire de la réfifance des matériaux. Paris 1880.

Madamet, A. Réfifance des matériaux. Paris 1881.

SlMERKA, V. Elemente der technifchen Mechanik etc. Theil i : Elemente der Feftigkeitslehre. Pilfen 1882. Box, Th. A practical treatife on the ßrength of materials etc. London 1883.

Vigreux, L. Traité théorétique et pratique de la réfifance des matériaux. Paris 1885.

Stoney, B. B. The theory of fireffes in girders and fimilar ßructures etc. London 1885.

Uhlich, P. Die Feftigkeitslehre und ihre Anwendung. Mittweida 1885. — 2. Aufl.: Dresden 1887. PLANAT, P. Pratique de la mécanique appliquée a la réfifiance des matériaux. Paris 1887.

Moos, N. A. Elementary treatife on the ßrength of materials and ßrains in ßructures. London 1887. Aerts, L. Eléments pratiques de la réfifance des matériaux. Paris 1888.

Brune, E. Cours de cojtfirudion profeffé a l'école des beaux-arts. Ie partie: Réfiflance des matériaux publiée avec le concours de A. Flamant. Paris 1888.

Johnen, P. J. Elemente der Feftigkeitslehre etc. Weimar 1889.

Lauenstein, R. Die Feftigkeitslehre etc. Stuttgart 1889. — 4. Aufl. 1898.

Bach, C. Elafticität und Fertigkeit. Berlin 1889. — 3. Aufl. Berlin 1898.

Glinzer. Grundrifs der Feftigkeitslehre. Dresden 1890.

MÜLLER-Breslau, F. B. Die neueren Methoden der Feftigkeitslehre und der Statik der Bauconftructionen. Leipzig 1893—96.

Keck, W. Vorträge über Elafticitäts-Lehre als Grundlage für die Fertigkeits-Berechnung der Bauwerke. Hannover 1893.

Duquesnay, M. Réfiflance des matériaux. Paris 1893. — 2. Aufl. 1897.

8t.

Elafticitäts-

gefetz.

Nennt man die urfprüngliche

34

Tetmajer. Die Gefetze der Knickfeftigkeit. Zürich 1896.

Keck, W. Vorträge über Mechanik. Theil 2. Hannover 1897.

Foeppl, A. Vorlefungen über Technifche Mechanik. Band 3: Feftigkeitslehre. Leipzig 1897. Duplaix, M. Réfifiance des matériaux etc. Paris 1897.

2. Kapitel.

Zug und Druck, bezw. Zug- und Druckfeftigkeit.

Die reine Zug- und Druckelafticität kommt nur bei geraden Stäben vor.

Die Gefetze für alle Arten der Beanfpruchung ergeben fich aus denjenigen, welche für die Zug- und Druckbeanfpruchung gelten ; demnach mufs die letztere die Grundlage für die ganze Behandlung bilden.

Die gefammte Elafticitätslehre beruht auf folgendem Gefetze:

1)    Die Verlängerung, bezw. Verkürzung eines in feiner Axenrichtung, d. h. auf Zug- oder Druckelafticität beanfpruchten Stabes ift, fo lange die Beanfpruchung innerhalb der Elafticitätsgrenze bleibt, der urfprünglichen Länge des Stabes direct proportional. Das Verhältnis der Verlängerung (pofitiv oder negativ genommen) zu der urfprünglichen Länge wird die Dehnung oder das Verlängerungs-verhältnifs genannt.

2)    Die Verlängerung eines, wie angegeben, beanfpruchten Stabes ift, fo lange die Spannung deffelben innerhalb der Elafticitätsgrenze liegt, direct proportional der im Stabe herrfchenden Spannung. Ift alfo die Spannung im Stabe 0, fo ift die Verlängerung, alfo auch das VerlängerungsVerhältnis a-mal fo grofs, als bei der Spannung 1.

Dasjenige Verlängerungsverhältnifs, welches bei der Spannung eintritt, die gleich der Krafteinheit ift, bezeichnet man mit —L-.

Länge des Stabes l und die bei der Spannung o eintretende Verlängerung A/, fo findet nach dem unter 2 gegebenen Gefetze ftatt:

\l    1 o

¹

) Ueber die Darftellung der Trägheitsmomente mit Hilfe von Kreifen vergl. :

Mohr. Ueber die Beftimmuog und die graphifche Darftellung von Trägheitsmomenten ebener Flächen. Civiling. 1887, S. 43. Land, R. Einfache Darftellung der Trägheits- und Centrifugalmomente von Flächen etc. Zeitfchr. f. Bauw. 1892, S. 549. — Auch als Sonderabdruck erfchienen: Berlin 1892. — Auszug daraus: Centralbl. d. Bauverw. 1893, S. 11.

Beigabe zum Deutfchen Baukalender 1894 u. ff. Berlin 1893 u. ff.

Des Ingenieurs Tafchenbuch. Herausg. v. akad. Verein »Hütte«. 16. Aufl. Abth. I. Berlin 1896. S. 177.

²

)    Bach, C. Elafticität und Fettigkeit. 3. Aufl. Berlin 1898.

³

)    Siehe : Vortrag Baufchinger's auf der Wanderverfammlung des Verbandes deutfcher Architekten- und Ingenieur-

Vereine zu Frankfurt a. M. 1866. Verbandsmittheilungen, Bd. 1, S. 230 u. ff.

Bauschinger, J. Mittheilungen aus dem mechanifch-technifchen Laboratorium der K. technifchen Hoch-fchule in München. Heft XIII. München 1886.

l ~ ° E ~ E

Die Gleichung 34 kann man als die Grundgleichung der Elafticitätslehre auf-faffen [Hooke fches Gefetz).

Der Werth E ift vom Bauftoff abhängig; man nennt E Elafticitäts-Modulus, Elafticitäts-Coefficient oder Elafticitätsziffer, auch wohl Elafticitätsmafs. E ift der umgekehrte (reciproke) Werth des Verlängerungsverhältniffes, welches durch die Kraft 1 an einem Stabe vom Querfchnitt gleich der Flächeneinheit hervorgebracht wird. Bach bezeichnet — mit a, und nennt diefen Werth den Dehnungs-

E

coefficienten ; dies ift alfo das Verlängerungsverhältnifs, welches bei der Belattung eines Stabes vom Querfchnitt gleich der Flächeneinheit (1 qcm) mit der Lafteinheit ( 1 kg) eintritt.

Das in Gleichung 34 ausgefprochene -»Hooke'fche Gefetz« hat von den wichtigeren Bauftoffen nur für Schweifseifen, Flufseifen und Stahl Giltigkeit. Allgemein fcheint der Ausdruck nach den neueften Unterfuchungen von BacJt und Schule zu lauten :

a1,1

~Y ' '

Für die vorgenannten Bauftoffe ift dann m — 1, woraus fich die Gleichung 34 ergiebt. Für Gufseifen und Körper aus Cementmörtel und Beton fand Bach¹⁹) bei

Bauftoff

Beanfpruchung auf Zug

Beanfpruchung auf Druck

1) G u f s e i f e n : Körper vorher nicht belaftet .

1338000

1,083

1320000

1043000

Körper vorher ftark belaftet .

1150000

l,i

1217 000 1124000

CO ift    (M    CO

co co    ift    ^

OO    ©    ©

tH 1—i    rH    r—I

2) Körper aus Cementmörtel:

1 Theil Cement, D/2 Theile Donaufand . 1 Theil Cement, 3 Theile Donaufand .

1 Theil Cement, 4V2 Theile Donaufand .

356000

315000

230000

►—1 ‘ I—1 'U 'U 'U

3) Körper aus Beton:

1 Theil Cement, 2l/2 Theile Donaufand

5    Theile Donaukies......

1 Theil    Cement,    5    Theile    Donaufand

6    Theile Donaukies......

1 Theil    Cement,    5    Theile    Donaufand

10 Theile Donaukies......

1 Theil Cement, 2¹/⁹ Theile Eggingerfand

5    Theile Kalkfleinfchotter ....

1 Theil    Cement ,    3    Theile    Donaufand

6    Theile Kalkfteinfchotter ....

1 Theil Cement, 5 Theile Eggingerfand 10 Theile Kalkfteinfchotter

298000

280 000

217 000

457 000

380000

367000

1,145

1,137

1,157

1,157

1,164

1,207

Kilogr. für 1 «lein

Wirkt auf einen Stab, deffen Querfchnitt F Flächeneinheiten enthält, deffen Querfchnitt alfo gleich F ift, eine Kraft P und kann man annehmen, dafs diefe Kraft fich gleichmäfsig über den ganzen Querfchnitt vertheilt, fo ift die Spannung

P

für die Flächeneinheit derfelben a =    und wenn man diefen Werth für a in

die Gleichung für    einfetzt, erhält man

Kilogr. für 1 qcm

oder Al —

PI

36.

FE

Die hier vorgeführten Ergebniffe gelten fowohl, wenn die Verlängerung eine pofitive, d. h. eine wirkliche Verlängerung, als auch wrenn fie eine negative, d. h. eine Verkürzung ift. Sie gelten alfo fowohl für Zug- als auch für Druckbeanfpruchungen ; nur. hat für erftere im Allgemeinen E einen anderen Werth, als für letztere.

Es ift üblich, die Zugbeanfpruchungen als pofitive und die Druckbeanfpruchungen als negative Gröfsen einzuführen. Im Folgenden foil, wo nichts Gegentheiliges bemerkt ift, diefe Bezeichnungsweife durchgeführt werden.

Die Gleichung a =

kann benutzt werden, um die Gröfse der Kraft zu

82.

Zuläffige

beftimmen, mit welcher ein Stab von gegebenem Querfchnitt höchftens auf ZugBeanfPruchung-bezw. Druck beanfprucht werden darf.

Nach diefer Gleichung ift P — oF. Wird für o der gröfste Werth © eingefetzt,

welchen das Material auf die Flächeneinheit des Querfchnittes höchftens erleiden kann, ohne zerftört zu werden, d. i. der Feftigkeits-Coefficient, fo ergiebt fich

diejenige Beladung, deren geringfte

= <B F. In diefer Gleichung ift iß

6o

Vergröfserung das Zerreifsen, bezw. Zerdrücken des Stabes zur Folge haben würde; S ift nach Früherem die Zug-, bezw. Druckfeftigkeit.

Die Stäbe werden nicht bis zu diefer Grenze beanfprucht ; vielmehr werden Sicherheits-Coefficienten eingeführt, welche für verfchiedene Bauftoffe ver-fchiedene Werthe haben. Man trägt durch diefelben den etwa möglichen Ueber-laftungen, den Fehlern im Bauftoff, den im Laufe der Zeit möglichen Veränderungen durch Roft, Faulen etc., den Stöfsen und anderen ungünftigen Einflüffen Rechnung.

Bezeichnet n den Sicherheits-Coefficienten, fo ift als wirkliche Gröfstbelaftung P

einzuführen, d. h. es darf nur fein :

des Stabes nur

— von 93

n •

Man nennt nun ——- die zuläffige Beanfpruchung, die im Folgenden mit K bezeichnet werden foil. Es ift demnach

und P — K F.

Aus den vorftehenden Gleichungen folgt als Bedingungsgleichung für die Quer-fchnittsgröfse :

Pn

F=

iax

•    37-

In diefer Gleichung bedeutet P„

tax

die im ganzen Stabe höchftens auftretende

Kraft.

Für die meiften Bauftoffe mufs man fich damit begnügen, die zuläffige Beanfpruchung K aus den Feftigkeits-Coefficienten © unter Annahme eines nach der Erfahrung ausreichenden Sicherheits-Coefficienten n abzuleiten. Die üblichen Werthe für K und die wichtigften Bauftoffe find in den Tabellen auf S. 64 angegeben.

Für folche Bauftoffe, für welche die Elafticitätsgrenze mit genügender Sicherheit angegeben werden kann (Schweifseifen, Flufseifen, Stahl) erhält man Formeln für die Querfchnittsbeftimmung durch nachftehende Ueberlegung.

Da die Bauftoffe, fobald die Beanfpruchungen die Elafticitätsgrenze iiber-Fiufseifenftäbe. fchreiten, merkbare bleibende Veränderungen erleiden, fo mufs die Ueberfchreitung der Elafticitätsgrenze bei der Belaftung vermieden werden. Die Lage der Elafticitätsgrenze ift aber nach Früherem nicht mit vollftändiger Gewifsheit bekannt; auch haben kleine Arbeitsfehler fehr grofsen, fchädlichen Einflufs. Defshalb mufs man mit der zuläffigen Beanfpruchung wefentlich unter der Elafticitätsgrenze bleiben, fo dafs auch eine unbeabfichtigte Vergröfserung der Spannung, in Folge etwaiger Fehler, felbft die tiefer als erwartet liegende Elafticitätsgrenze nicht erreicht. Beim Schweifseifen und Flufseifen, den wichtigften einer genauen Berechnung zu unterwerfenden Bauftoffen, kann man diefe zuläffige Beanfpruchung auf die Hälfte bis zwei Drittel der Spannung an der Elafticitätsgrenze feft ftellen. Wenn die Belaftung ruhend, ohne Stöfse, ftattfindet, fo ift die höhere Grenze zuläffig; wirkt die Laft dagegen in Verbindung mit Stöfsen, fo ift die untere Grenze einzuführen.

Für fchweifs- und flufseiferne Stäbe, welche nur gezogen, bezw. nur gedrückt werden, kann man einen genaueren Anhalt über die zu wählenden Beanfpruchungen gedrückte folgendermafsen finden. Wenn der Stab abwechfelnd eine höhere und niedrigere

Schweifseifen-    .

u„d Beanfpruchung zu erleiden hat, etwa dadurch, dafs die betreffende Conftruction Fiufseifenitäbe. zeitweilig aufser dem Eigengewicht noch eine Nutzlaft trägt, fo mögen die obere

83.

Querfchnitts

beftimmung

für

Schweifseifen-

und

84 *

Nur gezogene oder nur

Öl

und Pmin fein; die entfprechenden

und untere Grenze der ganzen Stabkraft Pv Grenzen der auf die Flächeneinheit entfallenden Spannungen feien

und

iax

^iriax ~

Pr

amin -

Pmin

•%

Bei diefer Art der Beanfpruchung kann von der Rückfichtnahme auf das Vorzeichen abgefehen werden; man'braucht hier nur die abfoluten Werthe der Stabkräfte in das Auge zu faffen.

Die Verkehrslaft tritt ftets mit gröfseren oder geringeren Stöfsen verbunden auf, welchem Umftande man dadurch Rechnung trägt, dafs man diefelbe mit einem Werthe (1 -j- jjl) multiplicirt in die Rechnung einführt; dabei ift |x der fog. Stofs-coefficient. Durch das Eigengewicht allein wird Pm{n, bezw. omin erzeugt; durch Eigengewicht und Verkehrslaft werden P} wird die Verkehrslaft allein

bezw. a

hervorgerufen ; demnach

{Pin a x    Pinin)i beZW. (o

erzeugen. Wird nun die Verkehrslaft mit (1 -f- [x) multiplicirt eingeführt, fo wird durch diefelbe die Spannung (1 -j- jx) (amax — omin) auf die Flächeneinheit des Ouerfchnittes hervorgerufen ; die gefammte Beanfpruchung auf die Flächeneinheit ift alsdann

max

G min 4“ (1 + 1X) (a

G min') •

Wäre man vor unbeabfichtigten Spannungen in der Conftruction ganz ficher, fo könnte man diefe foeben entwickelte Spannung gleich derjenigen an der Elafti-citätsgrenze fetzen; da aber unbeabfichtigte Spannungen fehr wohl auftreten können, da eine Querfchnittsverminderung durch Roften nicht ausgefchlofien ift, auch wohl einmal höhere Verkehrslaften, als angenommen find, Vorkommen können, fo wird es fich empfehlen, die oben vorgeführte Spannung nur auf ²/3 der Spannung an der Elafticitätsgrenze feft zu ftellen. Nimmt man die Spannung an der Elafticitätsgrenze

für Schweifseifen zu 1600% für 1 qcm; für Flufseifen zu

2000% für lqcin

an und rundet man ab, fo ergiebt fich als Bedingungsgleichung

für Schweifseifen: amin -}- (1 -j- jx) (a für Flufseifen :

°»k« ~f" (1    !J') (°rr

:ax

-    = 1050' I

—    Gmin) = 1350 J ‘ ‘

•    33.

Die Auflöfung nach o„

:ax

ergiebt für Schweifseifen : 1050

39-

1 + [x —

^ max

oMax ift die zuläffige Beanfpruchung, und die erforderliche Querfchnittsfläche des Stabes wird

Pr

F= —

nax

^tnax

40.

Nun ift offenbar o,nin =

Pmin

und

Pr

nax

, demnach

°»««

min

G;;iax

und

®inax —

1050

max

Pmin '

Es wird

Man kann ;x = 0,5 fetzen ; Pmin und P,

1050

nax

¹ + !* ~ Ix -p

■*- 1

find bekannt, mithin auch a

max%

®rnax —

1,5 — 0,5

Pmin

.    .    41.

Pr

Wird der Werth für 0 fo ergiebt fich

ma i

aus Gleichung 41 in die Gleichung 40 eingeführt,

P,

0)5 P-min

tiax

P,

n.tx

1)5 Pmax 0,5 Pmin

1050

1050

Werden die durch das Eigengewicht, bezw. die Verkehrslaft allein im ganzen Stabe erzeugten Stabkräfte mit P₀, bezw. Px bezeichnet, fo ift

— Pq H⁻ P\ und Pmin — P(] >

n;,i .

alfo

1)5 P0 -h 1»5 P-\ — 0)5 P■,

P()    I)⁵ P\

1050

1050

700 ‘

.    42.

1050

Gleichung 42 gilt für Schweifseifenftäbe, welche nur auf Zug oder nur auf Druck beanfprucht werden.

Für Flufseifen ergiebt fich in gleicher Weife aus obiger Gleichung:

1350

nax —

1,5 — 0,5

Pmin

43-

P,

nax

Pq ~h I)⁵ P\

1350

oder

Po

Pl

44.

1350

Die Werthe für P₀ und Pl find in abfoluten Zahlen, und zwar in Kilogr., einzufetzen, und man erhält F in Quadr.-Centim.

Weniger einfach werden die Formeln für F, wenn die Beanfpruchungen zwifchen Zug und Druck wechfeln ; die Entwickelung nachftehender Formeln für Schweifs-Fiufseifenftäbe, ejfen jp. jn ^es Verfaffers unten genannter Abhandlung zu finden²⁰).

die abwechfelnd

gezogen    Es bedeuten : P₀ die Stabfpannung, welche durch das Eigengewicht allein

und gedruckt hervorgerufen wird ; P₁ die durch ungünftigfte Verkehrslaft allein hervorgerufene Stabfpannung, welche mit P₀ gleichen Sinn hat (Zug oder Druck, je nachdem P0 Zug oder Druck bedeutet); Pif die durch ungünftigfte Verkehrslaft allein hervorgerufene Stabfpannung, welche entgegengefetzten Sinn hat, wie P₍₎ (Druck oder Zug, je nachdem P₀ Zug oder Druck bedeutet).

2

Falls (alle Werthe abfolut genommen) P₂    P₀ ift, fo find die obigen

o

Formeln 42, bezw. 44 anzuwenden; alsdann ift die Berechnung genau fo, als ob P2 gar nicht vorhanden wäre.

2

Wenn dagegen P₂    —- P₀ ift, fo ermittele man F nach folgenden Formeln:

3

1) Schweifseifen:

für Ą — Fl < y F₀

85-

Schweifseifen-

und

Po

1575

-f

P_,_

900

Po

Pi

700

2100

1575

2100

700

oder F =

3 Pl + P<2 + "g“ Po

• 45-

3 P₂ + P₁ -

. 46.

2100

2100

²⁰) Ueber die Beftimmung der Querfchnitte von Eifenconftructionen. Zeitfchr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover

2) Flufseifen :

für Ą-ĄC±P₀

Po

-Pi

P,,

2000

900

2700

2000

2100

900

• 47-

.    48.

oder F ==

2700

2700

Die Werthe für P₀,    find in vorftehende Formeln in Kilogr. und in

abfoluten Zahlen einzufetzen ; man erhält alsdann F in Quadr.-Centim.

Bei fpiele. 1) Es fei P₀ = 36000ke, Py =48000ks und P₂ = — 18000 kS- Alsdann ift, abfolut

~ P₀ ; denn es ift 18000 <    ■

genommen, P2 zur Anwendung. Man erhält

36000- Sonach kommen die Formeln 42, bezw. 44

für Schweifseifen : F —

36000 + 1,5 - 48000

1050

= 103 qcm,

für Flufseifen :

36000 + 1,5 ■ 48000

1350

80 qcm •

Diefelben Ergebniffe wären zu verzeichnen für

P₀ = — 36000 ks, Py = — 48000ks und P₂ = 18000ks;

Alles bleibt genau wie vorftehend.

2) Es fei P₀ = 7600kS, Py = 29000kS und P₂ = — 23200kS- Alsdann ift, abfolut genommen,

Verwendung. Man erhält

7600- Daher mufs eine der Gleichungen 45, 46, 47 oder 48

, bezw. 47 zur

für Schweifseifen : F —

3 - 29000 + 23200 + \ - 7600

O

2100

— 90 qcm t

für Flufseifen:

3 - 29000 + 23200 + 4 - 7600

O

2700

— 70 qcm .

Diefelben Werthe hätten fich auch ergeben, für

P₀ = — 7600 ks, Py = — 29 000 ks und P₂ — 23200 k&, da für die Kriterien und die Formeln nur die abfoluten Werthe in Frage kommen.

3) Es fei P₀ — — 12000kg, P\ — — 4000ks und P₂ = -j- 24000kS- Alsdann ift abfolut ge-

4000

nommen, P₂ > ~ P₀ , da 24000 > 4 • 12000 ift ; weiter ift auch P₂ — Py > ~ PQ, da 24000 —

OO    o

■ 12 000 ift- Mithin find die Formeln 46 oder 48 zu verwenden. Man erhält

>1

für Schweifseifen: F =

3.. 24 000 + 4000 — V 12000

2100

= tri 29 qcm,

für Flufseifen :

3 - 24000 + 4000 — 4 -12 000

ö

2700

= cd 23 qcm -

Diefelben Werthe hätten fich auch ergeben für

P₀ - 12000ks, Py= 4000kg und P₂ = — 24000ks-In der Spalte 5 der umftehenden Tabelle find für die hauptfächlichften Conftructions-Materialien die üblichen Werthe der zuläfligen Beanfpruchung K zufammengeftellt ; ferner find in der Tabelle die Elafticitäts-Coefficienten, die Feftigkeits-Coefficienten, fo wie diejenigen Beanfpruchungen angegeben, bei welchen die Elafticitätsgrenze erreicht wird. Naturgemäfs können die in der Tabelle angegebenen Werthe nur Mittelwerthe fein, die fich mit der Güte des Materials, der Art der Beanfpruchung und anderen Um-ftänden ändern.

86.

Tabellen-

i.

(0

3-

4.

5-

Bezeichnung

der

Materialien

Elaflicitäts-

Coefficient E

Feftigkeits-Coefficient bei Beanfpruchung auf

Beanfpruchung an der

Elafticitätsgrenze

auf

Zuläffige Beanfpruchung K für

zeitweilige Bauten, Belaftung mit mäfsigen Erschütterungen

endgiltige Bauwerke

Belaftung mit mäfsigen Er-Stöfsen fchütterungen

Belaftung mit ftarken

Zug

Druck

Zug I Druck

ZugjDruck Zug [Druck

Zug I Druck

Schweifseifen .    .

Flufseifen . Gufseifen .

2000

2200

1.8

1,6

700

Stahl

2000 bis 2400

3500 bis 4000 3200 bis 3600 4000 bis 4200 4000 bis 4200 2,₀ bis 2,4 2,₀ bis 2,4    900

1250 bis 1450 7500 bis 8000 7000 bis 8000

3000 bis 4000    1500

700

900

1500

1000

1200

250

2000

1000

1200

500

2000

Holz in der Faferrich-tung :

Eichenholz .    .

Kiefernholz .    .

Holz radial, d. h. in der Richtung der Jahresringe :

Eichenholz Kiefernholz .

M H-i

CO to o ©

965

487

820

410

°,2G

°>2»

°>21

0,22

90

80

180

160

130

HO

CD cf

120

270

120

270

Tonnen für 1 qcm

Kilogr. für lqcm

Tonnen für lqcm

Kilogr. für 1 qcm

Das Berliner Polizei-Präfidium legt bei feinen Berechnungen die nachftehencl angegebenen Zahlen-werthe als zuläffige Beanfpruchung zu Grunde (Bekanntmachung vom 21. Februar 1887):

Zuläffige Beanfpruchung

Material

auf

Zug

Druck

Schweifseifen............

Gufseifen.............

Bombirtes Eifenblech.........

Eifendraht.............

Eichen- und Buchenholz........

Kiefernholz............

Granit..............

Sandftein, je nach der Härte......

Rüdersdorfer Kalkftein in Quadern .    .    .    .

Kalkfteinmauerwerk in Kalkmörtel .

Gewöhnliches Ziegelmauerwerk......

Ziegelmauerwerk in Cementmörtel .

Beftes Klinkermauerwerk in Cementmörtel .

Mauerwerk aus poröfen Steinen.....

Guter Baugrund...........

750

250

500

1200

100

100

750

500

500

80

60

45

15 bis 30

25

11

12 bis 14 3 bis 6

2,5

87.

Beifpiele.

Kilogr. für 1 qcm

Neuerdings geftattet das Berliner Polizei-Präfidium²¹) für Schweifseifen eine Beanfpruchung bis X000kg auf lqcm für Zug und Druck, wenn die Beladung vorwiegend ruhend id oder wenn die Nutzlad fo grofs in die Rechnung eingeführt id, dafs unvorhergefehene Vergröfserung ausgefchloden id und Erfchiitterungen nicht zu befürchten find. Diefe Vergündigung wird nur für Theile zugedanden, welche nur Zug oder nur Druck zu ertragen haben und keine Nietverfchwächung aufweifen. Für bedes Klinkermauerwelk in reinem Cementmörtel wird von derfelben Behörde ein gröfster Druck bis zu 20kg für lqcm und ein gröfster Zug bis 1 kg für 1 qcm zugeiaffen.

Beifpiele. 1) Eine fchweifseiferne Stange werde höchdens mit einer Zugkraft P— 18750kg beanfprucht. Es id die Querfchnittsgröfse unter der Annahme zu bedimmen, dafs die Stange einer end-giltigen Condruction angehört und die Beladung nur mit mäfsigen Erfchütterungen auftritt.

Nach vordehender Tabelle id für den vorliegenden Fall Ä'= 1000kg, fonach

18750

K 1000

= 18,75 qcm .

Wenn die Stange aus Rundeifen conftruirt werden foil, fo mufs fein:

V'4-V

4 ■ 18,7 5

= 4,9 cm.

3,14

Wird entfprechend den Annahmen des Berliner Polizei-Präfidiums A"r= 750kS gefetzt, fo mufs

F— -

P 18750

fein und

750

— 25qcm

d — j/ —= 5,04 cm .

2) Bei einer gufseifernen gedrückten Stange fei die gröfste Druckkraft P — 5850 kg. Der Quer-fchnitt derfelben ill demnach, wenn die Conftruction wiederum als endgiltig und die Beladung als mit mäfsigen Erfchütterungen wirkend angenommen wird,

F- —

P 5850

500

= 11,7 qcm.

Bei Wahl eines kreisförmigen Querfchnittes ergiebt fich der Durchmeffer d aus der Gleichung:

d-

VZ-V

4 • 11,7

= 3,8 cm .

3,14

3) Auf einen Holzftab mit rechteckigem Querfchnitt wirke ein Gröfstdruck /,= 16 000kS- Der

Stab foil einer zeitweiligen Conftruction, welche mäfsigen Erfchütterungen ausgefetzt ift, angehören ; verwendet wird Kiefernholz. Nach Gleichung 37 ergiebt fich

F-

16000

= 145,4 qcm.

110

Ein quadratifcher Querfchnitt von 12,1 cm Seitenlänge würde demnach genügen.

4) Wäre im erden Beifpiele die Stabkraft durch das Eigengewicht Pq — 6750 kg, diejenige durch Verkehrslad P^ — 12 000 kST, fo ergäbe fich aus Gleichung 42

F-

6750 , 12000

und es mtiffte fein :

1050

700

= 6,43 -(- 17,14 = 23,57 qcm ,

1/

4.23,57 3,14

Von der bei den gedrückten Stäben wegen Beanfpruchung auf Zerknicken vorzunehmenden Vergröfserung des Querfchnittes wird im nächften Abfchnitt (Kap. 2) die Rede fein.

Die Gleichung a =

Vertheilung der Kraft P über die ganze Querfchnittsfläche F. Diefe Annahme ift aber nur richtig, wenn 1) der Querfchnitt des Körpers conftant ift und 2) die äufsere Kraft P fich über die Endflächen gleichmäfsig vertheilt. Die Gefetze der Kraftvertheilung für den Fall, dafs diefe beiden Bedingungen nicht erfüllt find, können auf rein theoretifchem Wege nicht oder nur in einzelnen Fällen genau ermittelt werden. Gewöhnlich wird jedoch bei den Berechnungen auf die Nicht-bekanntfchaft mit diefen Gefetzen keine Rückficht genommen und die Gleichung

auch für diefe Fälle einfach als richtig angenommen.

Wenn ein Stab an einigen Stellen kleinere Querfchnittsflächen, als an anderen hat, fo ift der Berechnung des Stabes die kleinfte Querfchnittsfläche zu Grunde zu legen und diefe fo zu bemeffen, dafs die in ihr wirkende Spannung an keiner Stelle die zuläffige Beanfpruchung überfteigt. Findet in dem betreffenden Querfchnitte die Kraft P ftatt, fo berechnet man die Querfchnittsfläche F an diefer Stelle nach der Gleichung 37

— 00 5,5 cm .

ergab fleh unter der Annahme einer gleichförmigen

88.

Beanfpruchung

bei

Querfchnitts-

veränderungen.

Fig. 78.

-/

89.

führen ift

worin K die zuläffige Beanfpruchung bedeutet, bezw. nach den Gleichungen 42 bis 48. Der umftehende Stab (Fig. 78) hat feine kleinfte Querfchnittsfläche im Querfchnitte //, welcher der Nietmitte entfpricht, und diefe Querfchnittsfläche mufs demnach der obigen Gleichung genügen. Aehnlich ift bei den Stäben in Fig. 79 u. 80 die durch die Verengung beftimmte Stelle als fchwächfte der Berechnung zu Grunde zu legen. Dabei ift jedoch zu beachten, dafs bei Anwendung obiger Gleichung für K ein anderer Werth als derjenige einzu-welcher für Berechnung einer ungefchwächten Stange zu Grunde gelegt

wird ; man kann nämlich nicht annehmen, dafs die Kraft P fleh gleichmäfsig über den verfchwächten Querfchnitt vertheilt; die gröfste Beanfpruchung findet in Fig. 78 neben dem Nietloche ftatt. Es empfiehlt fich demnach, für K einen kleineren Werth einzuführen, als zur Berechnung des unverfchwächten Stabes.

Die Gröfse der Längenänderung gezogener oder gedrückter Stäbe ergiebt die

Längen-

änderung der Gleichung 3^ • Stäbe.

l ~ FE

oder A/ =

PI

Beifpiel. Ift bei der in Beifpiel i auf S. 64 angenommenen Stange l — 5 m, fo wird

__ 18750

l 18,75 E

Nach der Tabelle in Art. 86 (S. 64) ift für Schweifseifen E — 2 000 000 kg für 1 4cm ; daher

= 0,0005 und A l — 0,0005 • 5 = 0,0025 m = 0,25 m .

A/

18750

A/

18,75 . 2000000

Die Verlängerung beträgt alfo 2,5 mtn.

Betrachtet man die Gleichung 34:

und unterfucht, wie grofs die Spannung 0 für die Flächeneinheit des Querfchnittes fein miiffte, damit die Verlängerung A l genau fo grofs würde, wie die urfprüngliche Stablänge — vorausgefetzt, dafs diefe Formel für das Verlängerungsverhältnifs noch bis zu der in diefem Falle nöthigen Spannungsgröfse gelten würde, fo erhält man

^    ~ = 1 oder o = E,

d. h. diejenige Spannung für die Flächeneinheit, welche den Stab auf die doppelte Länge verlängern würde, wenn das Verlängerungsgefetz innerhalb diefer Grenzen giltig wäre, ift gleich E. Daher findet man häufig den Elafticitäts-Modulus folgender-mafsen erklärt: Der Elafticitäts-Modulus ift diejenige Spannung, welche für die Flächeneinheit des Stabquerfchnittes wirken müffte, um den Stab auf das Doppelte feiner urfprünglichen Länge zu vergröfsern, falls innerhalb der dadurch bedingten Spannungsgrenzen das Elafticitätsgefetz giltig bliebe.

Bei Beanfpruchung auf Druck würde die Verkürzung in diefem Falle gleich / fein, d. h. der Stab würde zur Länge Null zufammengedrückt werden. Da die Elafticitätsgefetze nicht bis zu den erwähnten Grenzen gelten, vielmehr von einem annähernd conftanten Elafticitäts-Modul E nur fo lange die Rede fein kann, als die Spannungen innerhalb der Elafticitätsgrenze bleiben, fo ift die vorftehende Erklärung des Elafticitäts-Moduls nicht zweckmäfsig. •

Fig. 8l.

'J-iz-

•b\

67

Die auf einen Körper wirkenden Kräfte P erzeugen aufser der Längenänderung in der Kraftrichtung auch folche in allen anderen Richtungen. Wir legen durch einen beliebigen Punkt der Stabaxe (Fig. 81) drei Coordinatenaxen, deren eine mit der Stabaxe zufammen-fällt, deren andere beiden fenkrecht zur ertteren ftehen. Man nennt fodann die Längenänderung in der Richtung der Stabaxe die longitudinale, diejenigen in den Richtungen der beiden anderen Axen die transverfalen Längenänderungen.

Die transverfalen Lärtgenänderungen find der longitudinalen Längenänderung umgekehrt proportional. Bezeichnet p einen für verfchiedene Materialien befonders zu ermittelnden Zahlenwerth, fo ift

90.

Aenderungen

der

Querfchnitts-

mafse.

1 A/

und

1    M

M-l ¹

SI

Nun ift nach Gleichung 34: -y-

daher

Sa

a. .

und

pt E

Bei Körpern, welche nach allen Richtungen gleiche Elafticität befitzen, d. h. bei

fog. ifotropen Körpern, ift p = pj, daher

Sb

Für ifotrope Körper liegt jj, zwilchen 3 und 4.

3. Kapitel.

Schub und Schubfeftigkeit.

Der Fall der reinen Schubbeanfpruchung tritt, wie bereits in Art. So (S. 56) getagt wurde, ein, wenn die wirkenden Kräfte das Beftreben haben, zwei Nachbar- fpanmingen. querfchnitte fo gegen einander zu verfchieben, dafs die Entfernung der Querfchnitts-ebenen diefelbe bleibt. Dies ift nur möglich, wenn die Kräfte unmittelbar neben der Ebene wirken, längs deren das Beftreben einer Verfchiebung ftattfindet, und wenn diefelben fich zu zwei Kräften vereinen laffen, welche einander nach Gröfse

und Richtung genau gleich, dem Sinne nach entgegengefetzt find. Man nennt P diefeKräfte die abfcherenden Kräfte.

In der Technik kommt diefer Fall ziemlich rein bei den Niet- und Bolzenverbindungen vor. Die beiden Kräfte P (Fig. 82) haben das Beftreben, die Bleche / und 3 nach rechts zu verfchieben; diefe Verfchiebung wird durch den Niet verhindert, welcher die Bleche 1 und 3 mit 2 verbindet. Längs jeder der beiden Trennungsflächen wirkt je eine Kraft P nach rechts im Bleche 1, bezw. 3, je eine Kraft P nach links im Bleche 2.

In den meiften Fällen tritt zu der durch die abfcherenden Kräfte erzeugten Schubfpannung noch eine durch gleichzeitig wirkende Momente erzeugte Biegungs-fpannung ; bezüglich diefer zufammengefetzten Beanfpruchung wird auf das folgende Kapitel verwiefen. Auch in dem durch Fig. 82 veranfchaulichten Falle findet, genau genommen, eine folche zufammengefetzte Beanfpruchung ftatt.

Die genaue Unterfuchung der Spannungen, welche in den auf Abfcherung beanspruchten Querfchnitten auftreten, ergiebt, dafs die Schubfpannungen in den einzelnen Querfchnittspunkten verfchieden grofs find ; das Gefetz der Vertheilung hängt von der Form des Querfchnittes ab. Für die meiften Fälle der Praxis, ins-

Fig. 82.

2P

a\

C'

~T

91.

Schub-

befondere für die wichtigen Nietverbindungen, kann man aber mit hinreichender Genauigkeit annehmen, dafs die abfcherenden Kräfte fich gleichförmig über die ganzen auf Abfcherung beanfpruchten Querfchnitte vertheilen, mithin im Querschnitt eine gleichförmig vertheilte Schubfpannung erzeugen. Daraus folgt, dafs der Wider-ftand gegen Abfcheren der Gröfse des abzufcherenden Querfchnittes direct proportional angenommen werden kann.

92.

Ift alfo der Flächeninhalt des auf Abfcheren beanfpruchten Ouerfchnittes F,

Querfchnitts-

beftimmung. die abfchei'ende Kraft P und die im Querfchnitt entstehende Schubfpannung v, fo ift P = F v, woraus

■    • 49-

Die Querfchnittsgröfse der auf Schub beanfpruchten Querfchnitte wird mittels Gleichung 49 ermittelt. Verfteht man unter T die gröfste für die Flächeneinheit des Querfchnittes zuläffige Scliubbeanfpruchung, unter P die auf Abfcheren wirkende Kraft, fo ergiebt fich aus der angegebenen Gleichung die nöthige Querfchnittsgröfse

50.

Was nun die für 7’ einzuführenden Werthe anlangt, fo haben die angeftellten Verfuche in Uebereinftimmung mit den theoretifchen Untersuchungen ergeben, dafs der Widerftand der Bauftoffe gegen Beanspruchung auf Schub geringer ift, als gegen Beanfpruchung auf Zug oder Druck. Man darf alfo die Bauftoffe auf Schub nicht fo ftark beanfpruchen, wie auf Zug oder Druck.

Nachstehende Tabelle giebt für eine Reihe wichtiger Bauftoffe die Feftigkeits-Coefficienten für Schub und die zuläffigen Schubbeanfpruchungen für das Quadr.-Centim. als Flächeneinheit an. Bemerkt wird, dafs man für Schweifseifen und Flufseifen die in Art. 84 u. 85 (S. 61 u. 62) berechneten Formeln verwenden kann, wenn man die mafsgebenden Coefficienten 1050 für Schweifseifen, bezw. 1350 für Flufseifen mit

fchnitt berechnen aus den Formeln:

für Schweifseifen : F =

4

— multiplicirt einführt. Demnach kann man den erforderlichen Quer

en

800

560

. .    51.

für Flufseifen:

Pi

•    .    52.

1080

Bei Berechnung der Nietquerfchnitte ift wegen des hier verwendeten vorzüglichen Materials die erlaubte Schubfpannung gleich derjenigen Zug-, bezw. Druck-beanfpruchung einzuführen, welche im Blech und im Façoneifen als zuläffig gilt. Für die Berechnung der Nietquerfchnitte können alfo Die Formeln 42 bis 48 verwendet werden.

720

Bezeichnung der Bauftoffe

Ireftigkeits-Coefficient für Schub

Zuläffige

Scliubbeanfpruchung T

Schweifseifen.........

Flufseifen...........

Gufseifen...........

Gufsltahl...........

Nadelholz: parallel der Faferrichtung .

fenkrecht zur Faferrichtung Eichenholz: parallel der Faferrichtung.

fenkrecht zur Faferrichtung

3200 bis 4000 3200 bis 4000 1000 bis 1100

600 bis 800 700 bis 1000

220

4000

800

0 1OO TTt CM GO

125

9 bis 10 16 bis 19 22 bis 27 22 bis 27

Kilogr. für 1 qcm der Querl'chnittsfläche.

Beifpiele. i) Eine Stange, in welcher ein Zug P — 5600kg herrfcht, foil mit einem Bolzen aus Schweifseifen an einem Knotenbleche beteiligt werden. Der Durchmeffer d des Bolzens ill zu beftimmen.

93-

Beifpisle.

Der Querfchnitt F des Bolzens ergiebt fich aus der Gleichung 50. Die zuläffige Schub-beanfpruchung T fei hier 700 kg, fonach

5600

700

= 8 ⁽lctn und d

= ]/ ^-=3,2cm.

2) Es ift die Anzahl Nietquerfchnitte zu beftimmen, welche nöthig find, um einen fchweifseifernen Conftructionstheil, in welchem ein Zug />= 30000kS herrfcht, mit einem Knotenbleche zu verbinden.

Fig. 83.

FP

FP

Der Durchmeffer der Niete fei 2 cm; der betreffende Conftructionstheil (Fig. 83) foil aus zwei Flach-eifen hergeftellt fein, welche das Knotenblech zwifchen fich nehmen. Jedes Flacheifen hat einen Zug von —— = 15 000 kg zu ertragen; den gleichen Zug haben die Nietquer-

u

fchnitte zwifchen diefem Flacheifen und dem Knotenbleche aus dem einen in das andere zu überführen, d. h. die auf Abfcheren diefer Querfchnitte wirkende Kraft beträgt 15 000 kg. Der Gefammtquerfchnitt aller zur Beteiligung des einen Flacheifens dienenden Nietquerfchnitte ergiebt fich demnach zu

F-

15000

Die für Niete erlaubte Schubbeanfpruchung T kann man unbedenklich gleich der im gewöhnlichen Stabeifen und Blech erlaubten Zugbeanfpruchung annehmen. Wir nehmen defshalb T — 750 kg, und es wird

F-

15 000

750

— 20 ücm •

n d² iz

III die Anzahl der Nietquerfchnitte n, fo mufs

= A'=20clcrn fein, oder, wenn d— 2cm,

20.4

= 6,37, ftatt deffen 7-

d² TZ

Es miiffen alfo 7 Nietquerfchnitte zur Verbindung des einen Flacheifens mit dem Knotenbleche angeordnet werden; genau eben fo grofs mufs die Zahl der Nietquerfchnitte fein, welche zur Verbindung des anderen Flacheifens mit dem Knotenbleche dienen.

Ein Abfcheren ift bei der Conftruction in Fig. 83 nur möglich, wenn jeder Niet in zwei Quer-fchnitten abgefchert wird; jeder Niet bietet alfo zwei Querfchnitte, fo clafs im Ganzen 7 Niete, d. h. 14 Nietquerfchnitte anzuordnen find²²).

3) Eine Strebe (Fig. 84), welche einen Druck A’r= 20000kS zu ertragen hat, fei mit einem Balken durch Verfatzung verbunden; der Winkel beider Axen fei 45 Grad. Die Länge / ill fo zu be-

llimmen, dafs ein Abfcheren längs der Fläche m n nicht ftattfindet. Die Kraft P zerlegt fich in eine lothrechte Seitenkraft V — P sin oc und eine wagrechte Seitenkraft H—P cos a.

Es ill H- 20 000 cos 45° =14140 kg und V - 20 000 sin 45 ⁰ = 14140 kg.

Die abfcherencle Kraft A ill die Kraft H abzüglich des Reibungswiderllandes f V, wenn f den Reibungs-Coefficienten bedeutet. Ill f — 0,3, fo ill die abfcherende Kraft

A = H — fV- 14140 (1 — 0,3) = 9898kg oder A — co 10000 kg'.

Dabei ill auf die durch den Bolzen möglicher Weife erzeugte Reibung keine Rückficht genommen, weil ein Lockern des Bolzens denkbar ift.    *

Die Breite des Balkens und der Strebe fei b ; alsdann wird eine Fläche von der Länge / und der Breite b auf Abfcheren in Anfpruch genommen (d. h. die Fläche mn). Ill die für 1 qcm der ab-zufcherenden Fläche zuläffige Schubfpannung 7’, fo darf in diefer Fläche im Ganzen eine Schubfpannung S — b l T llattfinden.

Fig. 84.

m.

\H-Pcos a I

l/AFn a

²²) Man unterfcheidet einfchnittige und zwe-ifchni11ige Niete. Bei den einfchnittigen Nieten wird von jedem Niet nur ein Querfchnitt, bei den zweifchnittigen Nieten werden von jedem Niet zwei Querfchnitte auf Abfcheren beanfprucht. Näheres hierüber in Theil III, Bd. 1 (Abth. I, Abfchn. 3: Conftructions-Elemente in Eifen) diefes »Handbuches«.

So grofs darf alfo A höchflens fein. Die Bedingungsgleichung für die Ermittelung von l ift fonach:

b l T — A oder / =-.

b T

In unferem Falle fei b — 25cm; T ift nach der Tabelle auf S. 68 für Nadelholz gleich 10 kg für 1 qcm ; es mufs alfo fein :

— 40 cm-

10000

25. 10

Auf weitere Fälle der Schubbeanfpruchung werden wir im nächften Kapitel zurückkommen.

4- Kapitel.

Biegung und Biegungsfeftigkeit.

94-

Biegungs-inoment und

Beanfpruchung eines Balkens auf Biegung findet ftatt, wenn die äufseren Kräfte die beiden' an den verfchiedenen Seiten eines Querfchnittes (etwa a a in Fig. 86) Qucrkiaft. liegenden Balkentheile um eine fenkrecht oder geneigt zur Kraftebene flehende Axe zu drehen ftreben. Drehung fetzt ein Moment voraus ; fonach mufs ein Moment der äufseren Kräfte für den Querfchnitt vorhanden fein. Gewöhnlich wirkt aufser diefem Momente noch eine abfcherende Kraft, welche weitere Beanfpruchungen hervorruft ; letztere fetzen fich dann mit den reinen Biegungsbeanfpruchungen zu-fammen.

Es fei hier die Annahme gemacht, dafs die Balkenaxe in der Kraftebene liege ; wenn fomit die Bildebene die Kraftebene vorftellt, fo liegen in derfelben fowohl die äufseren Kräfte, wie auch die Balkenaxe.

Fig. 85.

q ?

Die äufseren Kräfte, als welche die Stützendrücke und die Belaftungen einzuführen find, können beliebige Richtung und Gröfse haben.

Der allgemeine Fall ift durch Fig. 85 veranfchaulicht. Die Mittelkraft R aller an der einen Seite irgend eines Querfchnittes a a wirkenden äufseren Kräfte fchneide die Axe des Körpers unter dem Winkel <p. Zerlegt man R in zwei Seitenkräfte, deren eine,

Fig. 86.

\D<

P, parallel zur Axe des Körpers an der betreffenden Stelle gerichtet ift, deren andere, Q, die Axe des Körpers unter 90 Grad fchneidet, fo nennt man die erftere die Axialkraft, die zweite die Querkraft oder Transverfalkraft. Das ftatifche Moment der Kraft R in Bezug auf die im Schwerpunkt des zu betrachtenden Querfchnittes fenkrecht zur Kraftebene errichtete Axe erftrebt die Drehung des linken Balken-theiles um diefe Axe und wird das Biegungsmoment des Querfchnittes genannt.

g₃ ią

Der ganze Träger AB (Fig. 86) mufs unter der Einwirkung aller äufseren Kräfte im Gleichgewichte fein; demnach mufs die alge- -r braifche Summe der ftatifchen Momente aller

Kräfte in Bezug auf jeden beliebigen Punkt

der Ebene gleich Null fein. Bezeichnet man nun das ftatifche Moment der an dem links von a a liegenden Trägertheile angreifenden äufseren Kräfte für den Drehpunkt 0

dasjenige der äufseren Kräfte an dem rechts liegenden Trägertheile eben-

mit M,

falls für 0 als Drehpunkt mit Mrechts, fo mufs fein

linksi

0 ■— Münks -|— NT rechts >

d. h.

Mrechts — —

links •

Die auf die rechte Balkenfeite des Querfchnittes wirkenden äufseren Kräfte haben alfo ein refultirendes Biegungsmoment, welches dem Zahlenwerthe nach genau fo grofs ift, wie das auf die linke Balkenfeite des Querfchnittes wirkende; die Vorzeichen find entgegengefetzt. Wenn das Moment an der einen Seite nach rechts

(im Sinne des Uhrzeigers) dreht, fo ift die Drehrichtung des Momentes an der anderen Seite nach links (entgegengefetzt der Uhrzeigerdrehrichtung). Beide Momente beanfpruchen den Balken gleichzeitig entweder fo, dafs er feine hohle Seite nach oben (Fig. 87 a) oder nach unten (Fig. 87 b) kehrt. Die erftere Drehrichtung der Momente foil in der Folge, wenn nichts anderes angegeben ill, als pofitiv, die letztere als negativ eingeführt werden. Die Momente find daher pofitiv, wenn fie den Theil links vom Querfchnitt nach rechts und den Theil rechts vom Querfchnitt nach links drehen.

Für die Anwendung ift zu bemerken, dafs es nach Vorftehendem ganz gleichgiltig ift, ob man das Moment der an der einen oder der an der anderen Seite des Querfchnittes wirkenden Kräfte ermittelt;

wird zweckmäfsig ftets diejenige Seite wählen, welche für die Rechnung und Anfchauung die bequemere ift.

Fig. 87.

a)

b)

man

Die Zerlegung der Mittelkraft R in Axial- und Querkraft kann an beliebiger Stelle der Kraft R vorgenommen werden. Gefchieht diefelbe im Punkte E, dem Schnittpunkte von R mit dem Querfchnitte (oder feiner Verlängerung), fo hat Q

kein Moment für O als Drehpunkt, und das Biegungsmoment, d. h. das ftatifche Moment von R ift dann 'R gleich dem ftatifchen Momente der im Punkte E wirkenden Kraft P, alfo M — P £ (Fig. 88). Zerlegt man dagegen R in F, dem Schnittpunkte von R mit der Axe, fo hat P kein Moment für 0 als Drehpunkt, und das Biegungsmoment wird gleich dem ftatifchen Momente von der in A wirkenden Kraft Q, alfo M= Q Ç (Fig. 88). Wenn bei einem Balken mit wagrechter Axe nur loth-rechte äufsere Kräfte wirken, fo ift R gleichfalls loth-recht, alfo die Seitenkraft P gleich Null ; dann ift R = Q.

Bei den hier zu betrachtenden Balken ift diefer Fall der faft ausfchliefslich vorkommende; defshalb follen in P'olgendem vorwiegend lothrechte Kräfte zu Grunde gelegt werden. Dann befteht nachftehende einfache Beziehung zwifchen dem Biegungsmomente und der Querkraft: Die Ouerkraft Q ift gleich dem erften Differentialquotienten des Biegungsmomentes nach x, wenn x die Abfciffe eines Querfchnittes bedeutet.

Der Balken AB (Fig. 89) trage eine beliebige, an den einzelnen Stellen ver-fchiedene Beladung q für die Längeneinheit und eine Reihe von Einzellaften Pv A₂, P₃. Die Gröfse von q werde an jeder Stelle durch die Ordinate der Curve m n o dargeftellt. Die Abfciffe irgend eines Querfchnittes II fei x\ links von diefem

Fig. 88.

T'7 IP

-p

f qdx.

o

Querfchnitt wirken D₀, Px und

Mittelkraft diefer drei Kräfte ift die Querkraft Q für den Querfchnitt //, d. h. es ift

Die

1J

v—x~\'~dx

-6-~*

J'qdx.

0

\B

la

P.

Q möge im Abftande b links von A angreifen. Das Biegungsmoment für den Querfchnitt II ift gleich dem ftatifchen Moment von Q für diefen Querfchnitt, d. h. es ift

fax

M= Q (b -f x).

Betrachtet man einen zweiten Querfchnitt IIII, der um dx von II entfernt ift, fo ift für diefen das Moment M -f- dM.

Diefes Moment fetzt fich zufammen aus den Momenten der links von IIII wirkenden Kräfte, d. h. der Kraft Q, und der zwifchen II und IIII liegenden

d x

Kraft qdx. Der Hebelsarm von Q ift b-\-x-\~dx, derjenige von qdx ift ———; mithin ift

dx

M Ą- dM — Q (b -f x -f- dx) — qdx = Q (b -f- x) -f- Qdx — q

u

dx²

Zieht man von diefer Gleichung die oben für M gefundene ab, fo bleibt :

d M = Qdx —

qdx²

qdx

ift eine unendlich kleine Gröfse zweiter Ordnung und verfchwindet gegen

die übrigen Gröfsen der Gleichung, welche unendlich kleine Gröfsen erfter Ordnung find. Es ift demnach

dM= Qdx und, wie oben behauptet, Q — —

dM

dx

•    •    53.

Wird <2 = 0, fo ift auch

dM

= 0, alfo M ein Maximum. Hieraus folgt,

dafs das Moment für denjenigen Querfchnitt zum Maximum wird, für den die Querkraft gleich Null ift.

Für die Berechnung auf Biegung beanfpruchter Balken ift es von grundlegender Bedeutung, wie die einzelnen Balkenquerfchnitte von der Kraftebene ge-fchnitten werden. Wenn, wie meiftens der Fall, die Kraftebene alle Balkenquerfchnitte in Hauptaxen fchneidet (fiehe Art. 62, S. 41), fo ergeben fich für die Spannung fehr einfache Formeln. Nach Früherem ift jede Symmetrie-Axe eine Hauptaxe ; wenn alfo z. B. die Querfchnitte die in Fig. 90 dargeftellten Formen haben und die Kraftebene durch ZZ, fenkrecht zur Bildebene geht, fo ift die obige Vorausfetzung erfüllt. Wefentlich verwickelter ift die Berechnung, wenn die Kraftebene die Querfchnitte nicht in Hauptaxen fchneidet; diefer Fall wird durch Fig. 91 ver-anfchaulicht, in welcher die Querfchnitte lothrecht belafteter Dachpfetten vorgeführt find.

dx

Fig. 90.

Fig. 91.

a) Axiale Biegungsfpannungen,

wenn die Kra'ftebene die Balkenquerfchnitte in Hauptaxen fchneidet.

Unter der Einwirkung des Biegungsmomentes entliehen in den einzelnen Quer-fchnitten des Balkens an den verfchiedenen Stellen Spannungen ; diefelben dürfen die zuläffigen Grenzen nicht überfchreiten.

Für die Ermittelung der Beziehungen zwifchen den äufseren Kräften und den durch fie hervorgerufenen Spannungen werde der Unterfuchung Fig. 92 zu Grunde

gelegt. Der links vom Querfchnitt II gelegene Theil des Balkens kann als dem Balken in Fig. 88 angehörig betrachtet werden; derfelbe mufs unter der Einwirkung der auf ihn wirkenden äufseren Kräfte, deren Mittelkraft R fei, und der auf ihn im Querfchnitt II von dem rechts liegenden (nicht gezeichneten) Balkentheil übertragenen Kräfte, eben der Spannungen, im Gleichgewicht fein.

Man macht die Annahme, dafs die fenkrecht zum Querfchnitte wirkenden Seitenkräfte der Spannungen, die fog. axialen Biegungsfpannungen, von der erften Potenz der Coordinaten der Querfchnittspunkte abhängen. Für irgend einen Quer-fchnittspunkt mit den Coordinaten y und z fetzt man demnach

a = a -|- ßy "[z.

Als Anfangspunkt der rechtwinkeligen Coordinatenaxen Y und Z ift der Schwerpunkt A des Querfchnittes gewählt; die Kraftebene fchneidet den Querfchnitt in der Finie ZZ, welche nach der Annahme eine Hauptaxe ift ; alsdann ift die Abfciffenaxe Y Y die andere Hauptaxe. Der Ausdruck für a enthält drei Unbekannte, nämlich die Conftanten a, ß, y- Für die Beftimmung derfelben flehen drei Gleichungen zu Gebote. Da das Bruchftiick des Balkens links vom Querfchnitt II im Gleichgewicht fein foil, fo müffen fich die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen auf daffelbe anwenden laffen. Von den fechs verfügbaren Gleichgewichtsbedingungen werden hier die drei Gleichungen aufgeftellt, welche befagen, dafs die algebraifche Summe der in die Axenrichtung des Balkens fallenden Kräfte gleich Null fei, ferner dafs die algebraifche Summe der ftatifchen Momente aller Kräfte für die Axe Y Y gleich Null fei, endlich dafs die algebraifche Summe der ftatifchen Momente aller Kräfte für die Axe ZZ gleich Null fei. Die drei Gleichungen lauten:

I)    0 = P — JO cif

II)    0 = M- f azdf

III) 0 = J'aj>df.

Erläuternd wird zu den vorftehenden Gleichungen bemerkt: In einem unendlich kleinen Flächentheil df wirkt die axiale Spannung o df\ die gefammten axialen Spannungen im Querfchnitt geben die Summe Ja df. Die Integration erftreckt fich über den ganzen Querfchnitt. In Gleichung I ift P als nach rechts und J'adf als nach links wirkend eingeführt.

In Gleichung II bedeutet M das refultirende Moment aller links vom Querfchnitt II gelegenen äufseren Kräfte für die Axe YY, welche fich in Fig. 92 (links)

95-

Axiale

Biegungs-

fpannung.

Fig. 92.

•H

als Punkt S darftellt; jede Spannung ndf hat für diefe Axe das Moment a .zdf\ die Summe aller diefer Einzelmomente ift, abgefehen vom Vorzeichen, Jzzdf. Auch hier, wie bei Gleichung I und III, ift über die ganze Querfchnittsfläche zu integriren.

In Gleichung III haben die äufseren Kräfte für die Axe ZZ das Moment Null, weil ihre Mittelkraft jedenfalls die Axe ZZ fchneidet; jede Spannung cs. df hat das Einzelmoment o . y df

Setzt man in obige drei Gleichungen den oben für a angegebenen Werth ein und beachtet, dafs bei den Integrationen die Werthe a, ß, 7 unverändert bleiben, fo erhält man aus Gleichung I

■+&i

:+«i

P= a

ydff Y / zdf

— a-2

— 6-2

J'y df ift das flatifche Moment der Querfchnittsfläche für die Axe ZZ\ da diefe eine Schwerpunktsaxe ift, fo ift das ftatifche Moment der Querfchnittsfläche

das ftatifche Moment der Querfchnittsfläche für die Axe Y Y und, da diefe Axe ebenfalls eine Schwerpunktsaxe ift, gleichfalls Null. Demnach ift

*+<*1

y df — 0 und

für diefe Axe nach Art. 33 (S. 26) gleich Null. Jzdf ift

+ «1

zdf= 0,

— a₂

— b-i

ferner, wenn F den Inhalt der ganzen Querfchnittsfläche bedeutet,

und

fd/\

mithin P = a. F,

a = —. r

Gleichung II lautet mit dem Werthe für 0 ;

+ rti

M — a l zdf -f- ß I y z df -|- 7

+«1

Pdf.

— a₂

—«2

ift Jz df = 0.

Jyzdf ift das Centrifugalmoment für die beiden Axen Y Y und ZZ\ da diefe nach der Annahme Hauptaxen find, fo folgt

Nun

'*+«1

yzdf= 0.

/*+"i

I z^df ift nach Früherem das Trägheitsmoment des Querfchnittes für die ^ — «2

Axe YY, d. h. es ift

+«1

df= jy\

die Gleichung II heifst demnach :

M — 7 Jy, alfo 7 =

Gleichung III lautet mit dem Werthe für a:

r+b i    r+bi    r+a i

a lydf+ß ly²d/-j-y jyzdf-

_l?2    _a<i

+ bi

Da

y df — 0 und

— bn

/»+«]

I y z d/ = 0 ift (liehe oben), fo bleibt 0 = ß

a₂

+ *1

woraus folgt, da

y² df nicht gleich Null ift,

-bi

ß = 0.

Demnach find die Werthe für die drei Conftanten :

F’

ß = 0 und y =

Jy

und es ift fchliefslich

54-

P , M

~F⁺y^e

Wenn, wie meiftens, die Axialkraft P gleich Null ift, fo ergiebt fich für die axiale Biegungsfpannung der Ausdruck

a = —T

Mz

• •    55-

56.

und wenn man vereinfachend J ftatt JY fetzt

Mz

Gleichung 55, bezw. 56 giebt die axialen Biegungsfpannungen für einen Balken mit gerader Axe an, auf welchen die äufseren Kräfte nur fenkrecht zur Axe wirken und bei dem die Kraftebene alle Querfchnitte in Hauptaxen fchneidet. Diefe Gleichung foil zunächft befprochen werden.

1) Die Axialkraft hat die Gröfse Null.

Gleichung 56 enthält aufser der Ordinate z eines Querfchnittspunktes auf der rechten Seite nur die Gröfsen M und J. Bei einer beftimmten, gegebenen Beladung bei haben für alle Punkte deffelben Querfchnittes, alfo für alle möglichen Werthe von z, fowohl M (das Biegungsmoment oder das Moment der an der einen Seite des Querfchnittes wirkenden äufseren Kräfte, bezogen auf die wagrechte Schweraxe deffelben als Drehaxe), wie auch das Trägheitsmoment J, welches nur von der Form und Gröfse der Querfchnittsfläche abhängt, denfelben Werth. Demnach ift nach Gleichung 56 die axiale Spannung a an den verfchiedenen Stellen eines Querfchnittes nur mit dem Abftande z derfelben von der wagrechten Schwerpunktsaxe veränderlich. Alle Punkte eines Querfchnittes, welche in gleicher Höhe z über der wagrechten Schwerpunktsaxe liegen, werden alfo gleich ftark beanfprucht. Trägt man die in den verfchiedenen Höhen z für die Flächeneinheit wirkenden Axialfpannungen derart graphifch auf, dafs man die z als Abfeiffen, die zugehörigen o als Ordinaten zeichnet, und verbindet man die Endpunkte der Ordinaten, fo erhält man die Linie

96.

Balken, denen die Axialkraft die Gröfse Null hat.

76

z. Diefe Linie wird eine Gerade, weil die Veränderlichen a

der Gleichung a =

und z nur in der erften Potenz Vorkommen.

Für z = 0 wird a = 0, d. h. in allen in der wagrechten Schwerpunktsaxe liegenden Punkten ift die Axialfpannung gleich Null.

An diefen Stellen ift alfo auch die Verlängerung oder Verkürzung, gleich Null ;

denn diefelbe ift A dx

= ~ dx, alfo für a = 0 ebenfalls gleich Null.

Man nennt die Linie, welche alle Querfchnittspunkte enthält, in denen die Axialfpannung Null ift, die Null-Linie oder neutrale Linie. Diefe Linie fällt nach Vorftehendem hier mit der wagrechten Schwerpunktsaxe Y Y zufammen; defs-halb findet ftatt : Bei einem geraden wagrechten Balken, deffen Querfchnitte durch die Kraftebene in Hauptaxen gefchnitten werden und auf den nur lothrechte Kräfte wirken, fällt in jedem Ouerfchnitt die Null-Linie mit der wagrechten Schwerpunktsaxe zufammen.

97-

Aus Gleichung 56 folgt ferner, dafs o defto gröfser ift, je gröfser z ift, d. h. BeanspruchungJe weiter der betreffende Punkt von der wagrechten Schwerpunktsaxe entfernt ift.

Die gröfsten Werthe von 0 finden alfo in den am weiteften entfernten Punkten ftatt. Es feien die Abftände der am weiteften nach oben und unten von der Null-Linie entfernten Punkte (Fig. 92) bezw. -{- ax und -- a₂ ; alsdann ift

• •    57-

M    A

= -(--ax und

Die Gleichungen 57 werden benutzt, um die Gröfse und Form des Quer-fchnittes an den verfchiedenen Stellen des Balkens zu beftimmen. Bedeutet M das gröfste für einen Querfchnitt mögliche Moment, fo ift die gröfste in diefem Quer-fchnitt vorhandene Zug-, bezw. Druckfpannung aus den Gleichungen 57 zu ermitteln. Ift für den betreffenden Stoff und den vorliegenden L'ail die zuläffige Be-anfpruchung für die Flächeneinheit des Querfchnittes K\ bezw. — K" (für Zug, bezw. Druck), fo darf höchftens ftattfinden :

0«« = K‘ und

d. h. die Bedingungsgleichungen für den Querfchnitt werden:

oder K" =

®min —    ^    1

K' =

- K" =

ar

J ⁰¹ ’

Die beiden Gleichungen für K! und K" können auch gefchrieben werden :

J _ M ax K!

Die rechten Seiten der Gleichungen 58 find bekannt; es wird weiterhin gezeigt werden, wie man für die verfchiedenen Fälle die Werthe von M ermittelt; diejenigen der zuläffigen Beanfpruchungen, d. h. die Werthe für KJ und K" find ebenfalls (aus den Tabellen auf S. 64) bekannt. Sollen alfo an den meift be-anfpruchten Stellen der Querfchnitte die zuläffigen Beanfpruchungen K' und Ku

und

J _ M “ K"

58.

und

fo zu beftimmen, dafs die

nicht überfchritten werden, fo find

Gleichungen 58 erfüllt find,    y,    ax und a₂ hängen aber    nur von der Form    und

Gröfse der Querfchnittsfläche    ab ; man kann daher durch    paffende Anordnung    des

Querfchnittes diefe Bedingung erfüllen. Wenn beide Gleichungen 58 erfüllt find, fo treten gleichzeitig in den    am    meiften gezogenen und    gedrückten Punkten    des

a₂

Querfchnittes die zuläffigen gröfsten Beanfpruchungen auf Zug und Druck ein ; diefe Anordnung ift für die Materialausnutzung die günftigfte.

Für Bauftoffe, bei denen die zuläffigen Zug-, bezvv. Druckbeanfpruchungen (abfolut genommen) nahezu gleich grofs find, ift in den Gleichungen 58 die Gröfse K‘ = K" — K zu fetzen. Für diefe Stoffe (Schweifseifen, Flufseifen, Stahl, FIolz) ergiebt fich

oder

aX —    •

y a\ — y a2

d. h. die Querfchnittsform für derartige auf Biegung beanfpruchte Balken ift fo zu wählen, dafs die am meiften gezogenen, bezw. gedrückten Punkte gleich weit vom Schwerpunkte des Querfchnittes entfernt find, dafs alfo der Schwerpunkt der Quer-fchnittsfläche in halber Höhe liegt.

Bezeichnet man die halbe Höhe des Querfchnittes alsdann mit a, fo ift die nunmehr geltende Gleichung:

26

Fig- 93-

ĄO’94-

59-

Beifpiel. Das Maximalmoment in einem fchweifseifernen Walzbalken mit I-förmigem Querfchnitt betrage M— 280000 kScrn.

Nach der Tabelle auf S. 64 ift für Schweifseifen K‘ — K“ — K = 700 kg für

1 qcm, alfo

y _ 7 __ y _ M __ 280000

al

a2

700

= 400.

dem-

Das neben flehende Profil Nr. 26 der »Deutfchen Normal Profile für I-Eifen« (Fig. 93) hat ein Trägheitsmoment y = 5798 ; ferner ift a —-.^Igcm

y    .    ...    ²

nach - = 446, fo dafs diefer Querfchnitt im vorliegenden Falle genügt.

Den Quotienten —— nennt man wohl auch das Widerftandsmoment und bezeichnet ihn mit W.

Man kann die Querfchnitte der Balken mit genau beftimmbarer Elafticitäts-grenze auf ganz ähnliche Weife ermitteln, wie dies in Art. 84 u. 85 (S. 60 u. 62) für Stäbe gezeigt ift, die in ihrer Axenrichtung beanfprucht werden.

Derjenige Querfchnittspunkt möge der Unterfuchung zu Grunde gelegt werden, welcher die gröfste Zugbeanfpruchung erleidet; was von diefem Punkte gilt, hat auch für denjenigen Punkt Giltigkeit, welcher den gröfsten Druck erleidet. Ent-fprechend den Bezeichnungen in Art. 84 (S. 60) bezeichne nunmehr o, betrachteten Punkte höchftens auftretende Zugfpannung; diefelbe ift

^max

nax

die in dem

g8.

Neuere Querfchnitts-beftimmung für Schweifsund Flufseifen-balken.

®max —

desgleichen bezeichne om{n die in demfelben Punkte mögliche kleinfte Zugfpannung, d. h. es ift

⁰min

Wie dort, ergiebt fich wieder

für Schweifseifen : o,nax =

1050

1,5 — 0,5

Mmin

M

■L,xmax

99.

Stäbe

aus

Gufseifen.

für Flufseifen :

®max —

1350

1,5 — 0,5

AI min

max

wobei zu beachten ift, dafs

*min

Mmin ift.

Qjnax

Bedeutet das Moment, welches im Querfchnitt durch Eigengewicht allein und Mx das gröfste Moment, welches im Querfchnitt durch zufällige oder Verkehrs-laft allein hervorgerufen wird, fo ift

max

Mmax = M₀ + Mx und Mmin = M₍

und man erhält für Schweifseifen :

J Mt

nax

®max

M

max

1050

0,5

— 0,5

AI

min

M

max

1,5 AI max    0,5 Alm^n

1050

1,5 Mn -j- 1,5 Mx — 0,5    Mn -f- 1,5 Mx

1050

1050

y Mn + i,5 mx

Für Flufseifen ergiebt fich:

1050

AI.

.    6o.

1050 ^ 700 '

J _ M₀ -j- 1,5 Mx

1350

Mx

.    6i.

1350 ¹ 900 •

Beifpiel: Die Gröfstmomente in einem Balken, der als flufseiferner Walzbalken angeordnet werden foil, betragen — 180000 kgem und Mx = 230000 kgem. Alsdann mufs

7 _ 180000

230000

1850

900

= 133 +255 =388 cm3

fein. Das deutfclie Normal-Profil Nr. 24 hat —    357 cm3 und das Profil Nr. 26 — = 446 cm3 ; letzteres

ift zu wählen.

Für Gufseifen ift die zuläffige Beanfpruchung auf Druck doppelt fo grofs, als diejenige auf Zug (vergl. die Tabelle auf S. 64), alfo K" = 2 K', und demnach M n M

a₂ = 2 —j - ax und a₂ = 2 av

Nun ift die ganze Höhe des Querfchnittes

h

h — ax + o₂ = 3 ax, woraus ax — —.

o

Daraus folgt die Regel : Die Querfchnitte der gufseifernen Balken (Fig. 94) find fo anzuordnen, dafs der Schwerpunkt

um der Gefammthöhe des Querfchnittes von der am

meiften gezogenen Fafer entfernt liegt. Befinden fich alfo die gezogenen Fafern, wie meiftens, unten, die gedrückten

h

Fafern oben, fo foil der Schwerpunkt im Abftande —-Querfchnittes liegen.

Fig. 94.

rWMBJ.....I

U2

--------------»

über der Grundlinie des

Für Gufseifen hat nach neueren Verfuchen das Proportionalitätsgefetz keine Giltigkeit ; die vorftehenden Entwickelungen find demnach auch nicht als unbedingt richtig anzufehen. Für Balken verwendet man zweckmäfsig kein Gufseifen.

Die auf Biegung beanfpruchten Stäbe aus Holz werden, der Natur des Materials entfprechend, mit rechteckigem Querfchnitt hergeftellt \ der Schwerpunkt des Querfchnittes liegt alfo in halber Höhe h, und es ift ax = <?₂ = —Demnach wird

K‘ = K", und aus der Tabelle auf S. 64 ift der kleinere der beiden Werthe, welche als zuläffige Zug-, bezw. Druckbeanfpruchung angegeben find, einzuführen. Wenn diefer Werth K genannt wird, fo ift

a ~~ K ‘

Beifpiel. Es fei etwa M— 180000 kgem; alsdann mufs für kieferne Balken llattfinden:

= 3000 •

100. Stäbe aus Holz.

180000

00

Nach Gleichung 19 ift

und

b h²

bk²

Im vorliegenden Falle mufs alfo fein

bh²

18000.

-= 3000 oder b h² =

6

fo wird -|- h² = 18000 und h =    24000 =

Bei den fchweifs- und flufseifernen Walzbalken I- und C förmigen Querfchnittes, welche im Handel in ganz beftimmten Kalibern erhältlich find, kann man das für jeden Fall nothwendige Kaliber mittels einer einfachen Figur fehr leicht ermitteln. Die Bedingung für die Querfchnittsbildyng ift

Ift b = — h

css 29 cmi fonach b — 22 cm.

IOI.

Querfchnitts-

beftimmung

mittels

graphifcher

Tafel.

Je nachdem man bei einem Balken mit gegebenem Querfchnitt, alfo bekanntem

Fig. 95-

7

Widerftandsmoment -¹—, eine gröfsere oder

CI

Momenten -MafssUib.

To aÖ jjj 40 30 t, 70 äo 90 ~ioc tausend kgctrt.

/T geringere Beanfpruchung K als zuläffig einführt, kann man ihn für ein gröfseres oder

3. geringeres Moment M verwenden. Trägt man nun die Werthe von K als Abfciffen, die zu-

K 7

gehörigen Werthe -— = M als Ordinaten

a

—1-r -----\-i-1--1    — t----

200    300    400    300    600    TOO 800 poo    7OO0 kg

too

auf, fo ergiebt fich für jedes Kaliber eine Gerade, etwa OR (Fig. 95), die durch den Coordinatenanfang 0 geht und die Gröfse der Momente angiebt, welche diefes Kaliber bei den verfchiedenen Beanfpruchungen K ertragen kann. In Fig. 95 find drei folche Linien OR, OS, O T angegeben. Bei einer als zuläffig erachteten Beanfpruchung K— 700würde der zu OR gehörige Balken genügen, fo lange das gröfste Moment nicht gröfser als ab = Ob' ift ; der zu O S gehörige Balken genügt hierbei noch für ein Moment a c = 0 c'. Wird eine gröfsere Bean-

80

fpruchung K, etwa K= 1000kS, zugeiaffen, fo genügt der Balken OS bis zu einer Momentengröfse Of. Auf der neben flehenden Tafel find für die »Deutfchen Normal-Profile« mit I- und C-Form die Linien gezogen ; auf der Abfciffenaxe find die Spannungen K, auf der Ordinatenaxe die Momente abgetragen.

Wenn z. B. ein Moment von 125000 kScm aufzunehmen ift, fo würde das I-Eifen Nr. 20 diefe§ mit einer gröfsten Beanfpruchung W= 580kS ertragen können, Nr. 18 mit einer Beanfpruchung von 765kS, Nr. 16 mit einer Spannung von 1060^S'- Wäre vorgefchrieben, dafs K nicht gröfser fein folle, als 700kS, fo würde das Kaliber zu wählen fein, welches zunächft über dem Punkte P liegt, in welchem die zu K — 700 kS gehörige Ordinate den Werth M— 125000kScm hat. Die Verwendung diefer graphifchen Tafel ift fonach fehr bequem.

2) Die Axialkraft ift nicht gleich Null.

Diefer Fall wird aus Zweckmäfsigkeitsrückfichten im folgenden Abfchnitt, und zwar im Kapitel über »Stützen« behandelt, da er für diefe befondere Wichtigkeit hat.

b) Axiale Biegungsfpannungen,

wenn die Kraftebene die Balkenquerfchnitte nicht in Hauptaxen fchneidet.

Auf den Querfchnitt II in Fig. 96a wirke das Biegungsmoment M = Q'£] Biegungs- Fig. 96 b giebt die Vorderanficht des Querfchnittes ; die Kraftebene fällt mit der Bildebene der Fig. 96 a zufammen, geht durch die Balkenaxe und ift die XZ-Ebene.

Bezeichnen UU und VV die beiden Hauptaxen des Querfchnittes, fo kann nach bekannten Gefetzen der Statik das in der XZ-Ebene wirkende Moment M in zwei Seitenmomente zerlegt werden, welche in der X U- und X F-Ebene wirken ; das erftere ift alsdann Mu =

M sin a, das letztere Mv = M cos a.

Diefe Zerlegung, fo wie die Drehrichtung der Seitenmomente wird durch die ifometrifche Anficht in Fig. 96c verdeutlicht, bei welcher, der einfacheren Zeichnung halber, ein Rechteckquerfchnitt angenommen ift. Q zerlegt fleh im Punkte A in Q cos a und Q sin a, welche Kräfte bezw. in den Ebenen X V und X U wirken. Die erftere Kraft hat in Bezug auf die durch 0, den Schwerpunkt des betrachteten Querfchnittes , gelegte Hauptaxe U U das Moment :

102.

Axiale

fpannungen.

Fig. 96.

a)

b) z y

W-

cj

Qsina

V.

aj

e—x

IX

Y-

f*

'fi>

■u

Qcosa

------

Ja

x_

Q cos a . Ç = Q C cos a = M cos a ;

die letztere hat in Bezug auf die gleichfalls durch 0 gelegte Axe V V das Moment

Q sin a . Ç = Q C sin a = M sin a.

Jedes diefer beiden Theilmomente wirkt nun aber in einer Ebene, welche die färnmt-lichen Querfchnitte in Hauptaxen fchneidet ; die Ebene des erfteren fchneidet die Querfchnitte in V V, die des letzteren in den Axen UU\ jedes diefer Momente

800

tausend Kilogramm Centimeter,

775

750

7²5

700

tausend Kgcm.

à75

650

625

600

tausend Kgcm.

575

550

5²5

500

tausend Kgcm.

475

450

425

400

tausend Kgcm.

■375

350

325

300

tausend Kgcm.)

275

250

225

200

tausend

fern.

I75

y/

77

‘50

//

y/

‘25

700

iausi

”3

y/

75

50

■y.

25

Zu S. 80.

500

600

700

800

ÇOO

IOOO IIOO

700

650

47 4"

*v/ S/

//

4;

Vf

Vf

As'

600

475

425

400

'/

//

\y

y7

//

y

y/

^y

\P

275

250

yd/

/y

K-

1*

225

200

‘75

‘50

Z/ZAA

JT.

‘25

ïKj.

/A£ü—

iNÎpTJ

iî7°u_

lUtia

loo

\Zu.

75

3253a—

50

25

700    200 3OO

zoo ‘° ?• *» si 4“ J» ‘° t» i

40Ô 3OO OÔÔ 7OO 80O

_lüO

Maassstab für die Momente.

çoo

200

1000 iiooKg.

joo tausend Kgcn

Graphifche Tafel

für die Querfchnittsermittelung von I- und C-formigen Walzbalken. (Deutfcbe Normal-Profile.)

erzeugt fonach für fich allein Biegungsfpannungen, welche nach Gleichung 56 zu berechnen find. Das Trägheitsmoment des Querfchnittes bezogen auf die Haupt-axe UU foil mit A, dasjenige bezogen auf die Hauptaxe VV mit B bezeichnet werden ; dann erhält man die Spannungen in einem Punkte C mit den Coordinaten u und v mit Rtickficht auf Gleichung 56 wie folgt.

M cos a . v

Wirkte nur M cos a, fo wäre die Spannung a₁ =

M sin a . u

wirkte nur M sin a, fo wäre die Spannung o₂ =

Die wirkliche Spannung fetzt fich aus beiden Einzelwerthen zufammen, d. h. es wird fein

v cos a

u sin a

)•

Bei der angenommenen Kraft- und Drehrichtung der Momente, fo wie bei der Lage des Punktes C werden, falls man die Coordinaten v und u nach oben, bezw. links als

pofitiv einführt, fowohl ox wie o₂ pofitive, im vorliegenden Falle Druckbeanfpruchungen bedeuten ; wenn der Punkt an der anderen Seite von V V liegt, etwa in C, fo

M sin a . u

würde u negativ, demnach a₂ ==

Punkte, die in denjenigen von beiden Hauptaxen gebildeten Vierteln des Querfchnittes liegen, welche von Q gefchnitten werden, durch beide Momente Druck,

bezw. Zug erhalten, dafs dagegen in den beiden anderen Vierteln die Spannungen und a„ verfchiedene Vorzeichen haben.

Nach Vorftehendem ift allgemein

u sin a

Ä ^ B

werden.

Man fieht leicht, dafs alle

Fig. 97.

7) cos a

?'S

') •

103.

Null-Linie.

tsß

L.

-vV

><o h

N-

'U

a kann nur für diejenigen Querfchnitts-punkte Null werden, für welche der Klammerfactor Null wird (der Fall M = 0 ift belanglos) ; alle Punkte des Querfchnittes, in welchen die Spannung den Werth Null hat, genügen alfo der Gleichung u sin a

v cos a

= 0.

Dies ift hier demnach die Gleichung der Null-Linie (fiehe Art. 96, S. 75).

‘'«■i

r-

r—N

Löst man diefe Gleichung nach v auf, fo erhält man

v = --s-utga. .    .    .    63.

Die beiden Veränderlichen u und v kommen nur in der erften Potenz vor; mithin ift die Linie eine Gerade.

Für u — 0 wird auch v = 0, woraus folgt, dafs die Null-Linie bei den gemachten Annahmen durch den Punkt 0, den Schwerpunkt des Querfchnittes, geht.

In Fig. 97 fei NN die Null-Linie. Die Werthe u, bezw. v find nach links, bezw. oben als pofitiv, nach rechts, bezw. unten als negativ eingeführt. Der

Handbuch der Architektur. I. i, b. (3. Aufl.)

Winkel (p, welchen die Linie NN mit der pofitiven U-Axe einfchliefst, hat nach Gleichung 63 die Tangente

tg ? = - -ß~ tg «.

Nach Fig. 97 ift aber auch tg cp = — tg cp'; demnach ift

64.

tg ?' = -ß~ tg a

Die Lage der Null-Linie ift alfo nur von der Querfchnittsbildung (darauf weist der

Quotient hin) und der Lage der Kraftebene zu den Hauptaxen (d. h. von a)

abhängig, nicht aber von der Gröfse des Momentes.

Gleichung 64 giebt ein bequemes Mittel, die Lage der Null-Linie zu conftruiren. Zeichnet man (Fig. 97) für den betreffenden Querfchnitt die Ellipfe der Trägheitsmomente (flehe Art. 72, S. 51), fo find die beiden Halbaxen a und b derfelben bezw.

Va

und b —

u ²

Die Gleichung der Ellipfe ift bekanntlich —- -j-

z/²

= 1, und die trigonometrifche Tangente des

Winkels, welchen die geometrifche Tangente an die Ellipfe in einem Punkte, deffen Coordinaten u und v find, mit der U-Axe einfchliefst, ift

du

u b2 va²

Die Coordinaten des Punktes D feien u\ und v\ ; alsdann ift für die Tangente in cliefem Punkte der Winkel mit der pofitiven U-Axe gleich 180 — ß> fomit

b ² u\ a ² vi

ö 'S-

tv tO

b²

tg a , d. h. tg ß = —- tg a.

a²

Aus den oben flehenden Gleichungen für a und b folgt

K²

Kr

A = — u„d B = -ÿr;

A    A

Demnach ill tg 8 = -— tg a. Nach Gleichung 64 ift aber auch tg <p' = — - tg a; fonach B    b

tg ß = tg cp' und ß = cp'.

Die Null-Linie ift fonach parallel zu der Tangente, welche in demjenigen Punkte D an die Ellipfe der Trägheitsmomente gelegt wird, in welchem die Schnittlinie der Kraftebene und des Querfchnittes die Ellipfe fchneidet. Die Null-Linie ill alfo zur Tangente in D parallel.

Alle Querfchnittspunkte mit gleich grofser Spannung a, welche etwa di Gröfse g = C haben möge, genügen der Gleichung

<U

C=M

v cos a

u sin a

■)

aus welcher folgt

cos a

-*-g

tg a .    .

•    .    65.

Dies ift ebenfalls die Gleichung einer Geraden, und zwar einer folchen, welche den gleichen Winkel mit der U Ć7-Axe einfchliefst, wie die Null-Linie, auf deren fämmt-lichen Punkten ja auch die Spannung gleich grofs (d. h. gleich Null) ift. Demnach folgt: Alle Querfchnittspunkte, in welchen gleiche axiale Spannung herrfcht, liegen

auf einer zur Null-Linie parallelen Geraden; die Spannung a ift alfo direct proportional dem fenkrechten Abftande der Geraden von der Null-Linie.

Für die Spannung a in einem beliebigen Punkte D des Querfchnittes mit den

Coordinaten u und v ergiebt fich durch Umformung der Gleichung 62 ein fehr einfacher Ausdruck. Nach Gleichung 62 ift

Fig. 98.

(~A

v cos a

u sin a

)•

/ ra-

M cos a

7-

/    . u A \

p + —tga)

= —r- cos a

(v 4- u tg <p').

U.

v 4\-

si

Legt man parallel zur Null-Linie .NN durch D eine Linie, welche die Hauptaxe W im Punkte E fchneidet, _U fo ift SE=S~G + GE, S~G = v und GË= u tg <p', alfo N E = v -f- u tg <p'. Wird SE = m gefetzt, fo erhält man

M cos a

VI

. . 66.

N i-

k'

Fällt man von S die Senkrechte auf die durch D gezogene Parallele zur Null-Linie, fo ift ihre Länge e = m cos (p' und

-V

M cos a

—:--7- e.

A cos (p

Der Fall, dafs die Kraftebene die Balkenquerfchnitte nicht in Hauptaxen fchneidet, kommt im Hochbau fehr häufig vor, fo z. B. bei den Dachpfetten, welche nach Füg. 99 mit einer Querfchnittsfeite in die Dachfchräge gelegt find, ferner bei Que^hmtts-I- oder L-förmigen Walzbalken, welche Gewölbe tragen, falls der wagrechte Gewölbefchub nicht vollftändig (durch Anker etc.) aufgehoben ift ; aufserdem bei einer Anzahl von Querfchnitts-formen, deren lothrechte Schwerpunktsaxe keine Hauptaxe ift,

/ wie bei gleichfchenkeligen und ungleichfchenkeligen Winkeleifen,

Z-Eifen etc., falls die Belaftung lothrecht ift ; auch die Grat-fparren der Dächer gehören hierher. In allen diefen Fällen darf man nicht nach der einfachen Formel 56 rechnen, mufs vielmehr die gröfste Beanfpruchung aus Gleichung 62 entnehmen und dann den Querfchnitt fo beftimmen, dafs die gröfste Beanfpruchung die zuläffige Grenze nicht Liberfchreite.

Die Hauptaxen theilen den Querfchnitt in vier Quadranten; die gröfste Beanfpruchung wird in der Regel in denjenigen Quer-fchnittspunkten ftattfinden, welche in den von der Kraftebene ge-ichnittenen Quadranten des Querfchnittes liegen. Allgemein kann man mittels der Verzeichnung der Null-Linie leicht diejenigen Punkte finden, welche die gröfste Beanfpruchung erleiden; denn da die Beanfpruchung der fenkrechten Entfernung von der Null-Linie proportional ift, fo ift fie am gröfsten in denjenigen Quer-fchnittspunkten, welche, fenkrecht zur Null-Linie gemeffen, am weiteften von der-felben entfernt liegen. So werden in Fig. 99 die Punkte E und E' am meiften be-anfprucht werden, erfterer bei der gewöhnlichen Drehrichtung der Momente auf

104.

Gröfste axiale Spannung ;

Fig. 99.

Ui

y]

Zug, letzterer auf Druck. Werden die Coordinaten der meift beanfpruchten Punkte mit -J- ux, -)- vx und — u₂, — v₂ bezeichnet, wobei diefelben nach denjenigen Seiten als pofitiv gerechnet find, an welchen die Einzelmomente M cos a, bezw. M sin a Zug erzeugen, fo ergiebt fich mit Rückficht auf Gleichung 62 *

uj sin a A ^ B

®inax

(■

vx cos a

•)

und omin — — M

(•

Falls die zuläffigen Beanfpruchungen auf Zug und Druck mit -(- K⁴ und — K⁴⁴ bezeichnet werden, fo erhält man als Bedingungsgleichungen für die Querfchnitts-bildung :

K⁴ = M

(■

z\ cos a

ux sin a

K" = M

v₂ cos a

u,g sin a

67.

Bei denjenigen Bauftofifen, für welche nahezu K⁴ = K⁴⁴ = K ift (Schweifseifen, Flufs-eifen, Holz), vereinfachen fich die Gleichungen 67 in

z/ sin a

K=M

("

v⁴ cos a

-f

. . 68.

Im letzten Ausdruck bedeuten v und u die Coordinaten des meift beanfpruchten Punktes, bezogen auf die Hauptaxen als Coordinatenaxen.

nennt man das Widerftandsmoment für die Axe U U,

die Axe V V\ man fetzt abkürzungsweife

v⁴

u⁴

dasjenige für

= Wu und -7- = W

V⁴

2/

fo dafs Gleichung 68 nunmehr lautet:

M cos a

M sin a

Wu

wv

69

Für den rechteckigen Querfchnitt ergiebt fich fehr einfach, wenn die Breite mit b und die Höhe mit h bezeichnet wird,

blA

bk²

12

B =-,

12 ’

hb²

= w = -r’

mithin aus Gleichung 69

K- -—

( cos a \~à

sin a \

b )

70.

Für einen beflimmten Fall find A”, M, a gegeben; b und h find fo zu beftimmen, dafs vorflehende Gleichung erfüllt ifl. Meiflens wird ein mehrmaliges Verfuchen mit verfchiedenen Werthen von b und h erforderlich fein. Man kann der Gleichung 70 auch die Form geben:

6M

j^cos a -f-

sin aj ;

im Mittel ifl — — l]r> und dann b

K- —rr

b/1²

j^cos a -f- l,s

sin a

Die Gleichung für die Querfchnittsbeflimmung lautet alsdann: QM (cos u 1>5 s^n a)

bh² =

oder h³ =

6 M (cos rj. -j- 1,5 sin a)

In diefem Ausdruck ift auf der rechten Seite nur Bekanntes ; man findet daraus leicht h und danach

.....-§-

Bezeichnet man die beiden in die Hauptaxenebenen fallenden Momente kurz

mit Mx und alfo

fo wird

Mx — M cos a und M₂ — M sin a ,

Mx

Wu

M₂ 1

wv - w.

Führt man die abkürzende Bezeichnung c =

Wu

Wv

ein, fo wird²³)

Wu

(Mx + c M₂)

■ 71-

Zur Ermittelung des erforderlichen Querfchuittes kann diefe Formel bequem für rechteckige, I- und C-förmige Querfchnittsformen verwendet werden. Die Werthe von c find für die verfchiedenen Kaliber der Deutfchen Normal-Profile (I und C) wenig veränderlich ; für vorläufige Berechnungen kann man

für I-Eifen

für C-Eifen c — 5

einführen. Alsdann ift die Bedingungsgleichung für den Querfchnitt

Mx -f- c M₂

W =

vv u —

7 2.

Man beftimmt nach Gleichung 72 das erforderliche Wu und wählt danach aus den Tabellen das Profil; hat diefes einen anderen Werth, als derjenige, welcher angenommen war, fo nimmt man eine zweite, genauere Rechnung vor ²⁴).

Bezüglich der einfachen Behandlung unfymmetrifcher Querfchnittsformen (Z-Eifen, T-Eifen u. dergl.) wird auf Art. 114 verwiefen.

Für die Berechnung bequem ift auch Gleichung 66:

M cos a

weil fie nur das Seitenmoment in der Ebene der einen Hauptaxe enthält. Für alle Querfchnittspunkte, welche in der Hauptaxe VV liegen, ift die Spannung durch das in der Ebene der U U wirkende Seitenmoment gleich Null ; für alle diefe Querfchnittspunkte kommt alfo nur das Seitenmoment (M cos a) in Frage. Mit den Spannungen diefer Punkte kennt man aber auch die Spannungen derjenigen Querfchnittspunkte , welche in bezw. gleichen, fenkrecht gemeffenen Abhanden von der Null-Linie liegen, wie diefe. Gröfste Beanfpruchung findet in den Punkten ftatt, welche den weiteften Abftand (fenkrecht gemeffen) von der Null-Linie haben. In Fig. 98 find dies die Punkte Ax und Ar Um ihre Spannungen zu ermitteln, lege man durch diefelben Parallele zur Null-Linie, welche die V V-Axe bezw. in A‘ und A" fchneiden. Alsdann ift in A*. bezw. A₂, fo wie in A' und A"

M cos a

min

²³) Siehe: Land, R. Profilbeftimmung von I- und E-Trägern bei fchiefer Belaftung. Zeitfchr. d. Ver. deütfch. Ing.

1S95, S. 293.

²Ü In Theil III, Band 2, Heft 4 (Abth. III, Abfchn. 2, E, Kap. 34, unter a) diefes »Handbuches« werden die Tabellen für c vorgeführt und einige Beifpiele durchgerechnet werden.

86

c) Allgemeine Unterfuchung der Biegungsfpannungen mit Zuhilfenahme der

Trägheitskreife.

Spannungen    ^ür den allgemeinen Fall, der durch Fig. ioo dargeftellt ift, fchneide die

beliebiger der einen Seite des Querfchnittes wirkende Mittelkraft R den Querfchnitt im Punkte E (bezw. E') ; S fei der Schwerpunkt des Querfchnittes; die Kraftebene fchneide den Querfchnitt nicht in einer Hauptaxe. Wie in Art. 95 (S. 73) wird die Annahme gemacht, dafs die axialen Spannungen a der einzelnen Querfchnitts-punkte in linearer Abhängigkeit von ihrer Lage flehen. Trägt man alfo in jedem Querfchnitts- ' punkte die axiale Spannung fenkrecht zum Querfchnitt als Ordinate auf, fo liegen die Endpunkte aller Ordinaten auf einer Ebene, der Spannungsebene. Die Gleichung diefer Ebene ift auch die Gleichung für o.

Spannungsebene und Querfchnittsebene fchneiden einander in einer Geraden; in allen Punkten diefer Geraden hat die Spannung, d. h. die Ordinate der Spannungsebene, den Werth Null.

Diefe Linie ift die fog. Null-Linie (neutrale Linie). Fig. 101 zeigt die Spannungsebene, den Querfchnitt (welcher der Einfachheit halber rechtwinkelig eingetragen ift) und die Null-Linie NN Eine fenkrecht zur Querfchnittsebene parallel zur Linie NN hin- n durch gelegte Ebene fchneidet den Querfchnitt und die Spannungsebene in zwei Parallelen 11 und 2 2. Daraus folgt: Alle Punkte des Querfchnittes, welche auf einer Geraden liegen, die parallel zur Null-Linie ift, haben gleiche Spannung 0 (vergl. auch Art. 103, S. 81). Die Spannung in den einzelnen Punkten der Linie / / ift alfo unabhängig von der befonderen Lage des Punktes in der Linie ; fie hängt nur von dem Abftande der Linie / 1 und der Null-Linie ab. Bezeichnet man diefen Abftand, rechtwinkelig gemeffen, mit r\, fo ift 0 = Cyj. In diefem Ausdruck ift C eine noch zu beftimmende Confiante.

Durch den Schwerpunkt 5 des Querfchnittes (Fig. 102) werde eine Axe N' N parallel zur Null-Linie NN gelegt ; der Abftand beider Axen fei .r. Alsdann fei 7] = y s, d. h. der fenkrechte Abftand eines beliebigen Quer-fchnittspunktes von der Null-Linie fei gleich 7] und von der Linie N N —y. Die an der einen Seite des Querfchnittes auf den Balken wirkende Mittelkraft R (Fig. 100) fchneide den Querfchnitt im Punkte E. Die Linie ES, in welcher die Kraftebene den Querfchnitt fchneidet, wird die Kraftlinie genannt. Die Beziehungen, welche zwifchen der Lage der Kraftlinie und Null-Linie beftehen, fo wie die Gröfse von <3

an

Stelle des Querfchnittes.

Fig. IOO.

//

/

an

n:

T"

E'

Fig. 101.

Fig. 102.

q-----»

■N

N'

ergeben fich aus den Gleichgewichtsbedingungen. Die Mittelkraft R (Fig. ioo) wird in die Axialkraft P und in die Querkraft Q zerlegt; fie mufs mit den im Querfchnitt anzubringenden Spannungen im Gleichgewicht fein, d. h. es mufs ftattfinden:

welche in der

I)    0 = Z³ — J g df (algebraifche Summe der Kräfte,

Richtung der Axe wirken, gleich Null).

der Momente für die Axe N' N'

II)    0 — P i — J g y df (algebraifche Summe

gleich Null).

III) 0 = / g p df

(algebraifche Summe der Momente für die Kraftlinie, &. h. für die Axe E S, gleich Null).

Unter p ift der normal gemeffene Abftand eines Querfchnittspunktes von der Kraftlinie ES verftanden. Beachtet man, dafs o= Cr\= C (y -f- s) ift, fo erhält man aus Gleichung I

P = C J (y -f s) df — C Jy dff C f s df. Da N'N' eine Schwerpunktsaxe ift, fo ift

J y df= 0 , alfo P=Cs J df — C s F, d. h.

IV)

Aus Gleichung II ergiebt fich

f y </= o

und mit

Pi=C fy²df + Cs f y df

Pi = C. f y² df.

Jy² df ift das Trägheitsmoment der Querfchnittsfläche für die zur Null-Linie

parallele Schwerpunktsaxe; daffelbe foil kurz mit J bezeichnet, eben fo P£ = M gefetzt werden. Dann wird M = C J und

V)

C = -A—

Die Gleichfetzung von IV und V ergiebt

Pf Pf f F M ~ F .Pi ~ Fi ’

vi)

Fi ■

Nach Art. 71 (S. 51) ift f = Fi², worin i den Trägheitsradius bezeichnet, d. h.

Via)

a *

Gleichung Via befagt : i ift die mittlere geometrifche Proportionale zwifchen s und i. Wenn i und i bekannt find, fo kann man daraus leicht den Abftand s der Null-Linie vorn Schwerpunkt finden.

Aus Gleichung III folgt endlich :

f <3 p df= C J (y -f s) p df= 0 fypd/+s J pdf=o.

88

mithin auch

J'p df ift das ftatifche Moment der Querfchnittsfläche für die Schwerpunkts-axe E S, d. h. es ift p df=0,

VII)

f fl P df — 0 •

Gleichung VII betagt, dafs das Centrifugalmoment für die beiden Axen:

Kraftlinie ES und die zur Null-Linie parallele Schwerpunktsaxe, gleich Null ift, d. h. beide Axen find conjugirt (fiehe Art. 67, S. 46). Demnach ift bewiefen: Die Kraftlinie und die durch den Schwerpunkt des Querfchnittes parallel zur Null-Linie gezogene Axe N' N' find conjugirte Axen. Daraus ergiebt fich eine fehr einfache, unten folgende Conftruction.

jyj. -p- folgt noch, dafs falls die Axialkraft P gleich

Aus der Gleichung j- =

Null ift, ohne dafs auch M gleich Null ift, dann der Abftand s der Null-Linie vom Schwerpunkt ebenfalls Null ift. Alfo: Wenn die Axial kraft gleich Null ift, fo geht die Null-Linie durch den Schwerpunkt des Querfchnittes (fiehe auch Art. 96, S. 75).

Es war a = C 7] = C (y -f- s), und mit Rückficht auf Gleichung V u. VI wird

Pi J

JFi

•    •• 73-

° = -w- + -w-y

Dies ift genau derfelbe Ausdruck, welcher in Art. 95 (S. 73) für den Fall gefunden ift, dafs die Kraftebene alle Querfchnitte in Hauptaxen fchneidet; nur beziehen fich in der hier entwickelten Gleichung M und 7 auf diejenige Schwerpunktsaxe, welche der Kraftlinie conjugirt (d. h. parallel zur Null-Linie) ift. In der früheren Gleichung bezogen fich M und 7 auf die eine Hauptaxe, wenn die Kraftlinie die andere Hauptaxe war. Man fieht, dafs die frühere Gleichung ein Sonderfall der foeben entwickelten allgemein gütigen Gleichung ift.

Aus Gleichung 73 folgt:

.    74.

®min —    7-?    y y min

Maximum und Minimum der Spannungen ergeben fich in denjenigen Quer-fchnittspunkten, durch welche die weiteft gezogenen Parallelen zur Null-Linie möglich find.

106.

Lage

der Null-Linie ; graphifche Ermittelung mittels des

Da die Kraftlinie E S und die zur Null-Linie parallele Schwerpunktsaxe Av N* conjugirt find, fo ergiebt fich die folgende Conftruction (Fig. 103).

Man conftruire den Trägheitskreis des Querfchnittes mit dem Durchmeffer Jp (fiehe Art. 68, S. 46), fuche Tp, den Trägheitshauptpunkt, ziehe die Kraftlinie SE und verbinde den Schnittpunkt G der Kraftlinie Trägheitskreifes. und des Trägheitskreifes mit Tp. Die Linie G Tp fchneide den Kreis zum zweiten Male in H\ alsdann

ift SH die zu SE conjugirte Axe, weil das Centrifugalmoment des Querfchnittes für beide Axen SE und SH Null ift (fiehe Art. 67, S. 46). Die Linie SH ift alfo zur Null-Linie NN parallel; der fenk-

rechte Abftand beider ift s, und es ift s — ——

_    4

dargeftellt durch die Länge L Tp.

In Fig. 103 wird y, bezogen auf die Axe N'N', Ift der Mafsftab für den Trägheitskreis derart, dafs 1cm «cm³

Fig. 103.

/Me

N'

ig\

L-

\n

'P

\e:

bedeutet, fo ift J — L Tp . n und L Tp — —. Man kann

den Ausdruck für s, ohne etwas zu ändern, im Zähler und Nenner durch n dividiren und erhält

n Z

Daraus folgt : Auf einer fenkrecht zur Linie N‘ N‘

_ y _ _ n

gezogenen Linie mache man CD —-= Z 7k, CK — —,

n    *    F

und fchlage über DK einen Halbkreis; alsdann ift

,s

CO² - CD. CK-

n.'

'J

x0y

‘N

'N'

Nunmehr mache man CE“ — ziehe E“ 0 und in 0 die Senkrechte OP zu OE“. Dann ift auch CP. CE“ — CO², d. h.

oder

CP=— -rr- = f • »

Die parallel zu N‘ N‘ durch P gezogene Linie ift alfo die gefuchte Null-Linie NN.

Es fei z. B. n — 100 cm3 und A’=22‘lcm.

Man kann zur Auffindung von s auch die Gleichung s 4 = z² benutzen, indem man Z Tp abgreift, ausrechnet und den erhaltenen Werth für y durch F dividirt. Macht man nun CO—iy CE“ — 4, zieht OE“ und durch O fenkrecht zu OE“ die Linie 0Z", fo ift CP — s.

Die umgekehrte Aufgabe, aus der Lage der Null-Linie den zugehörigen Angriffspunkt £ zu ermitteln, wird in gleicher Weife gelöst.

Alsdann ift —— = —— 4,54

cm.

Trägheitskreis und Trägheitshauptpunkt Tp werden verzeichnet; es fei NN (Fig. 104) als Null-Linie vorgefchrieben. Man ziehe durch den Schwerpunkt S eine Linie N‘ N¹ parallel zur Null-Linie NN;

alsdann ift die Kraftlinie conjugirt zu N‘ N‘. Der zweite Durchfchnittspunlct von N‘ N‘ mit dem Kreife fei H; man verbinde H mit Tp\ H Tp fchneide den Kreis zum zweiten Male in Punkt G ; S G ift die gefuchte zu NN¹ conjugirte Axe, alfo die Kraftlinie, d. h. auf A G liegt der .gefuchte Angriffspunkt £. Nunmehr ift noch der fenkrechte Abftand 4 des Punktes E von

N der Axe N* N‘ zu ermitteln. Es ift 4

Fig. 104.

x^

V'\

TM

N'

\ TN

VC

_ 1 7_ n_

s n F'

Man ziehe eine Linie fenkrecht zur Null-Linie, mache

auf derfelben CK — — = Z, CD— — n    F

und

VS

fchlage über D K einen Halbkreis ; alsdann ift ~C0² = — - -.

« Is,

N'"

co''

Zieht man ferner OP und durch 0 fenkrecht zu OP die Linie ÖQ, fo ift ~C0² - CP. CQ = s . C~Q, d. h. CO²

7_ 77

n F' s

— = 4- Die durch Q parallel

CQ =

zu N‘ N‘ gezogene Linie fchneidet die Kraftlinie S G im gefuchten Punkte E, welcher beiden Bedingungen genügt : er liegt auf der Kraftlinie und im fenkrecht gemeffenen Abftande 4 von der Axe N‘ N.

Der Winkel der Kraftlinie N E mit der Senkrechten zur Null-Linie fei 8

(Fig. 105); dann ift SE = s'=

cos 8

und E S =    =

cos 8

, mithin

cos² S F

107.

Weitere Beziehungen zwifchen der Null-Linie und dem Angriffspunkt der Kraft.

Multiplient man jedes Flächentheilchen df mit dem Quadrat feines Abftandes y' von NN, gemeffen in der Richtung der Kraftlinie ES, fo ift

cos² 8 cos² 8 f ^ df und Azj² = y/ gefetzt; dann ift

f df.ÿ² = fdf

Es werde J' —

cos² 8

s'¥ =

cos² 8

= ix ² und s' £' = ix ² .

Wird der Angriffspunkt der Kraft von E nach B verlegt, fo bleibt BSE die Kraftlinie wie zuvor ; die Null-Linie läuft parallel zur Schwerpunktsaxe, welche zur Kraftlinie conjugirt ift, d. h. zu derfelben Schwerpunktsaxe NN, wie oben. Sonach haben fowohl J und J', wie auch z,² denfelben Werth, mag der Angriffspunkt in E oder B oder in irgend einem anderen Punkt der Linie E B fein ; wenn demnach der Angriffspunkt der Kraft von E nach B verlegt wird, fo behält das Product / £'

•    • 75-

Fig. 105.

Fig. 106 .

N"

n:

■ftr'

t------^

N'

y-

V"

—lo--

N’

denfelben Werth z^². Die dem Angriffspunkt B entfprechende Null-Linie verläuft alfo durch E und iff parallel zu NN, d. h. zu NN. Die neue Null-Linie ift N" N".

Satz: Bewegt fich der Angriffspunkt einer Kraft auf einer Geraden {N"N"), fo dreht fich die zugehörige Null-Linie um einen Punkt, und zwar um denjenigen Punkt B, welcher als Angriffspunkt der Kraft zur Null-Linie N"N" gehören würde.

Beweis: Die zum Angriffspunkt E (Fig. 106) gehörige Null-Linie fei NN. Die in E wirkende Kraft werde durch zwei Kräfte Px und P₂ derart erfetzt, dafs ihre Mittelkraft P durch E geht; Px und P₂ follen in den Punkten Ex und E2 wirken. Px erzeugt irgend eine Null-Linie, etwa nxnx, P₂ eine zweite, etwa n₂n₂\ . die refultirende Null-Linie mufs NN fein; beide Null-Linien müffen fich alfo auf NN fchneiden. Nun liege Px feft, alfo auch nxnx\ dagegen gleite P₂ auf N"N" und ändere feine Gröfse dabei fo, dafs die Mittelkraft von Px und P₂ immer durch E geht. Dann bleibt auch die refultirende Null-Linie beftändig N N; auch der Schnittpunkt von nx nx und ?i₀ n₂ mufs immer auf NN bleiben, und da zz₁11 x ruht, fo darf auch der Schnittpunkt nicht gleiten. Bewegt fich alfo der Angriffspunkt einer Kraft, hier derjenige von P₂, auf einer Geraden N" N", fo dreht fich die zugehörige Null-Linie, hier ?z₂;z₂, um einen feften Punkt. Die Lage diefes feften Punktes er-giebt fich folgendermafsen. Rückt die Kraft P₂, alfo auch der Punkt E₂, unendlich

weit, fo wird die Linie S ■ œ, welche mit N' N' zufammenfällt, die Kraftlinie, und diefer Linie conjugirt mufs die Null-Linie n₂n₂ fein. Nun find aber N' N' und h £ zwei conjugirte Axen; alfo fällt für diefe Lage des Punktes E₂ die zugehörige Null-Linie n₂ n₂ mit S E zufammen. Die Null-Linie n₂ n₂ fchneidet demnach für eine ihrer Lagen die Linie NN im Punkte B, und da der Schnittpunkt von NN und ii₂ n2 ein fefter Punkt ift, fo ift B diefer fefte Drehpunkt. Damit ift obiger Satz bewiefen.

ic8.

Kein des

Wenn die Null-Linie den Querfchnitt fchneidet, fo findet auf beiden Seiten derfelben im Querfchnitt verfchiedenartige Beanfpruchung ftatt. Da nun jeder Null- Querfchnittes. Linie eine ganz beftimmte Lage des Angriffspunktes E entfpricht, fo liegt die Frage nahe: In welchen Grenzen mufs E liegen, damit ftets im ganzen Querfchnitt nur eine Art der Beanfpruchung ftattfindet, nur Zug oder nur Druck? Die Null-Linie darf offenbar höchftens den Querfchnitt berühren, wenn die Bedingung gleichartiger Beanfpruchungsweife im Querfchnitt erfüllt fein foil. Läfft man die Null-Linie alle möglichen Lagen der Berührenden des Querfchnittes einnehmen und ermittelt die zugehörigen Angriffspunkte E der Kraft, fo ergiebt die Verbindungslinie diefer Punkte eine Figur, welche man den Kern des Querfchnittes nennt.

So lange der Angriffspunkt E der Kraft innerhalb des Kernes oder der Kernfläche liegt, fällt die Null-Linie aufserhalb des Querfchnittes, und im Querfchnitt herrfcht nur Zug oder nur Druck.

Demnach ergiebt fich der Kern des Querfchnittes durch die folgende Con-ftruction. Man laffe die Null-Linie alle Lagen einnehmen, in denen fie den Querfchnitt berührt, ermittele für jede derfelben den zugehörigen Angriffspunkt E der Kraft und verbinde die Punkte E miteinander.

Für die Conftruction ift noch das Nachftehende zu beachten. In Art. 107 (S. 89) ift der Satz gefunden : Bewegt fich der Angriffspunkt E auf einer Geraden, fo dreht fich die zugehörige Null-Linie um einen feften Punkt B, und zwar denjenigen Punkt, welchem als ^Kraft-Angriffspunkt die Weggerade des Punktes E als Null-Linie zugeordnet ift. Diefer Satz gilt auch umgekehrt, da zu jeder Null-Linie ein ganz beftimmter Punkt E gehört, d. h. dreht fich die Null-Linie um einen feften Punkt B, fo gleitet der Angriffspunkt E auf einer Geraden, welche als Null-Linie dem Punkte B zugeordnet ift.

Die Benutzung diefes Satzes foil an einigen Querfchnitten gezeigt werden.

109.

Kern des Rechteckes.

Beim Rechteck (Fig. 107) lege man die Null-Linie nach einander in die vier Seiten 11, 22, jj, 44 des Rechteckes und ermittele die Lage der zugehörigen Kernpunkte. Die durch den Schwerpunkt N zur Null-Linie 1 1 gezogene Parallele ift die Hauptaxe XX\ der zugehörige Angriffspunkt I der Kraft liegt auf der con-jugirten Axe; zur Hauptaxe XX ift die andere Hauptaxe Y Y conjugirt; alfo liegt Punkt / auf diefer. Der Abftand £ des Kernpunktes I von der Axe XX ift nach Früherem aus der Gleichung

JE

b JE

F F ~ \2bJi 12

zu finden. Hier ift ^ =

h

—, alfo das gefuchte

u

KO

JE .2

12^

Zu beachten ift, dafs Kernpunkt und Null-Linie nach der Entwickelung obiger Formel auf verfchiedenen Seiten der Schwerpunktsaxe X X liegen müden. Eben fo

92

findet man für die Null-Linie 4 4. den Punkt IV, welcher

Fig. 107.

um

Ji .

-g- über XX liegt. Für die Null-Linien 22 und 33

müffen die Kernpunkte auf der Hauptaxe XX liegen; die Abflände £' find, weil hier s' =

hb³

F 12 b h 12

4ift'

oder V = -Ą-

A__ l

hL <-L»i

II

Damit find die Punkte II und III gefunden.

Aufser den vier betrachteten Lagen der Null-Linie find noch andere Grenzlagen möglich, indem fich die Null-Linie aus der Lage 11 in die Lage 2 2 bewegt und dabei um den Punkt a dreht. Bei diefer Drehung gleitet der Kernpunkt auf einer Geraden, für welche bereits

4_i_

----4

HO.

Kern de3 Kreifes.

zwei Punkte I und II gefunden find, nämlich für die Lagen 11 und 2 2 diefer Linie. Die Verbindungslinie III ift demnach diefe Gerade. Eben fo gleitet der Kernpunkt auf IIII, während die Null-Linie fich aus Lage 11 in 33 um den Punkt ß dreht und fo weiter. Man erhält in diefer Weife die in Fig. 107 fchraffirte Kernfläche. Beim Kreis find alle Axen Hauptaxen. Die Null-Linien find Tangenten

die Gröfsen j- = —,

U

an den Kreis ; demnach find in der Gleichung s £ = —^-d v 7r

64

d2

—-— und der Abfland des Kernpunktes vom Mittelpunkt des

Die Kern fläche ift alfo ein Kreis

d 2    2

Kreifes für alle Tangenten £ = —7;--- —    .

16 d o

d

mit dem Halbmeffer ——

, bezw. dem Durchmeffer ——.

4

111.

Kern des Kreisringes.

Beim Kreisring mit dem äufseren Durchmeffer D und dem inneren Durch-

(£>⁴ - d⁴) TT

meffer d ift =

64

, F={D2_d,₎JL

(ZV -f d²)

(£>⁴ - dl) 2

^~~Fs ~ (ZV - d²) 16 D *

Der Halbmeffer der kreisförmigen Kernfläche ift alfo

112.

Kern des I-Eifens.

Beim I-Eifen liegen auf der V F-Axe die Kernpunkte von der X X-Axe um

kx = ±

2 A

Fh entfernt; auf der X X-Axe liegen die Kernpunkte von der F F-Axe, bezw. um

2 B

Fb

entfernt. Die Eckpunkte find wie beim Rechteck durch Gerade zu verbinden.

113-

Graphifche Ermittelung des Kernes.

Bei unregelmäfsigen Querfchnitten beftimmt man zweckmäfsig die Kernfläche mit Hilfe des Trägheitskreifes. Dabei handelt es fich hauptfächlich um die wiederholte Löfung der in Art. 106 (S. 89) behandelten Aufgabe, aus der vorgefchriebenen Lage der Null-Linie den zugehörigen Angriffspunkt E der Kraft zu ermitteln. Man läfift die Null-Linie den Querfchnitt umhüllen; bei der Drehung der Null-Linie um

G,

Fig. 108.

-V

SJ

fr

Fig. 109.

£'

■AV

JL'

einen Punkt aus der einen Lage in eine benachbarte Lage befchreibt der zugehörige Kernpunkt die Verbindungslinie der beiden Kernpunkte , welche zu den ent-fprechenden Nachbarlagen der Null-Linie gehören. Fig. 108 zeigt die Conftruction des Kernes für ein Z-Eifen.

Man kann auch die Eckpunkte des Querfchnittes nach dem Satz in Art. 108 (S. 91) als Angriffspunkte der Kraft annehmen und für diefe die zugehörigen Null-Linien conftruiren ; denn während die Null-Linie fich um den Eckpunkt dreht, befchreibt der Kernpunkt eine Gerade, welche als Null-Linie dem Eckpunkt als Angriffspunkt der Kraft zugeordnet iff. Diefe Conftruction zeigt Fig. 109.

Es empfiehlt fich, zuvor die Hauptaxen des Querfchnittes zu ermitteln, was ja nach Verzeichnung eines Trägheitskreifes leicht ift. Nunmehr verzeichne man einen neuen Trägheitskreis fo, dafs Tp auf feinem Durchmeffer liegt; dann find S X und S Y die Hauptaxen ; I ferner ift

S'

F\

\ VC

y-

STp = —

F n

Ift E einer der Angriffspunkte der Kraft, für welchen die zugehörige Null-Linie gefucht wird, fo ziehe man N E ; der Schnittpunkt diefer Linie mit dem Trägheitskreife fei G\ man ziehe G Tp H\ H ift der zweite Schnittpunkt der Linie G Tp mit dem Trägheitskreife. Dann ift SH die Richtung der Null-Linie; letztere ift bekannt,

und 7k U —-

fobald

man

noch einen Punkt kennt, durch welchen fie gehen mufs, z. B. den Punkt B, in welchem he die Hauptaxe 5 Y fchneidet. Man braucht nur durch B die Parallele zu SH zu ziehen; dann ift diefe die gefuchte Null-Linie. Um B zu finden, beachte man : Eine in B wirkende Kraft erzeugt eine durch E gehende Null-Linie, da B nach der Annahme auf der zu E gehörigen Null-Linie liegt; da aber B auf der einen Hauptaxe liegt, mufs die zu B gehörige Null-Linie der zweiten Hauptaxe parallel fein (Kraftlinie und Null-Linie find conjugirt, zwei Hauptaxen find con-jugirt). Die durch E gezogene Parallele zu S X ift demnach die zu B gehörige

Null-Linie, mithin nach Art. 107 (S. 89) SB . SE"= ^

wenn A das Trägheitsmoment des Querfchnittes für die Hauptaxe XX ift. Es fei S B = c und SE" = a ;

.    Ferner ift 5Ë = —. Man mache S'T' = ST =

n B    11

S' C' = —%- und fchlage über C T' einen Halbkreis ; dann ift n    B

dann ift a c — —

(S' S")² = S' T . S' C = —— . r, .

v ¹    n B

Verbindet man S" mit E' und legt an S"E' in S" einen rechten Winkel, deffen zweiter Schenkel die Linie E' C in B' fchneidet, fo ift S'B' . S'É'= (S'S")²—

—, und da S'E' = a ift,

fo mufs

n F S'B' = c fein.

Für einen beliebigen Querfchnitt kann

Spannung in

einem Umfangs- man bei beliebiger Belaftung leicht die gröfste auftretende Spannung ermitteln, wenn man den Kern kennt. In P'ig. no fei der Kern des Querfchnittes gefunden (fchraffirt) ; S fei der Schwerpunkt und E der Angriffspunkt der Kraft ; N Ë ift demnach die Kraftlinie; die zugehörige conjugirte Axe fei N' N'. Gröfste Beanfpruchung findet in den Quer-fchnittspunkten A oder B ftatt. In A ift die Beanfpruchung nach Art. 105 (Gleichung 74)

Fig. 110.

JE

114.

punkte des Querfchnittes, ausgedrückt mit Hilfe des Kernes.

\\

'1

C.

" ’Err

, und da M—P£ ift,

Pi a

dafür

P , P Fia °A ~~    ' ~p~ y ■

Nun ift a= a' cos d und i = i' cos 8, alfo

a i = a' i' . cos² 8 und mit der Bezeichnung aus Art. 107 (S. 89) jf' =

N'

cos² 8

; alfo

a' i'

P Fa' i'

a' i' cos² 8 J' cos² d

Zieht man durch A die Parallele zu N' N', welche die Kraftlinie 5 E in A2 fchneidet, fo ift N A₂ = a'', und der zu A A₂ als Null-Linie gehörige Angriffspunkt C ift der Kernpunkt. Ift SC— e', fo mufs

demnach oA = —— -f-

F J' •

95

Fa⁴

e⁴ a⁴ = ——.    alfo e* =

fein.

Mit diefem Werth erhält man

aus

man

zA = —TT +

Pi'

Fe‘ =7?7(/ + r)-

als das Kernmoment-, daffelbe ift das Product

P (e⁴ -j- £') bezeichnet man der Axialkraft P in den Abftand des Angriffspunktes vom Kernpunkt. Setzt

abkürzend MK = P (e⁴ -j- £'), fo ift

.    76.

zA =

Mk Fe⁴

Der Ausdruck 76 ift fehr bequem und ganz nach der einfachen Form des Ausdruckes in Gleichung 55 (S. 75) gebildet. e⁴ nennt man die Kern weite. Für eine beliebige Lage der Kraftebene ergiebt die Gleichung 76 die gröfste Beanfpruchung ohne Weiteres. Wenn die Kernweite auf beiden Seiten des Schwerpunktes ver-fchieden grofs ift, fo ift zu unterfuchen, ob aA oder aB gröfser ift.

Falls die Axialkraft P gleich Null ift, alfo- nur Kräfte parallel zur Querfchnitts-ebene wirken, fo wird

Ma

Ma⁴ cos 8 J⁴. cos² 8 cos 8 J⁴

cos 8

M ift das Moment für die Axe N⁴ N⁴ ;

ift das refultirende Moment in der

Kraftebene, bezogen auf den Schwerpunkt als Drehpunkt; fetzt man fo wird

cos 8

Mr,

Za =

Mr a⁴

Mra⁴ F

J'

J⁴ F ’

und da e⁴ a⁴ —    fo ift -=r—, = e', alfo gleich der Kernweite ; mithin

r    r a

77-

za =

Mr

Fe⁴

Die gröfste Spannung ift gleich dem refultirenden Moment, dividirt durch Querfchnittsfläche mal Kernweite. Daffelbe Moment wird demnach alsdann die gröfste Spannung oA erzeugen, wenn es in derjenigen Ebene wirkt, für welche e⁴ feinen kleinften Werth hat. Man kann demnach fofort aus der Figur ablefen, welche Lage des Kraftmomentes für eine gegebene Lage des Querfchnittes die ungünftigfte ift.

d) Biegungsfpannungen in einem Körper, der aus zwei verfchiedenen Bauftoffen zufammengefetzt ift.

115-

Spannungen in Beton-Eifen-Conftructionen.

Die nachftehenden Unterfuchungen find durch die neuerdings in ausgedehntem Mafse ausgeführten Beton-Eifen-Conftructionen veranlafft. Man kann annehmen, dafs die Ausdehnung beider Bauftofife, des Betons und des in den Beton, eingebetteten Eifens, bei der Formänderung gleich grofs ift; die Längenänderung der entfprechenden Punkte zweier unendlich naher Querfchnitte fei X; alsdann wird bei unferer Annahme X die gleiche Gröfse haben, ob an diefer Stelle der eine oder

der andere Bauftoff liegt. Um aber die (+) Ausdehnung X zu erzeugen, ift bei Eifen eine andere Beanfpruchung erforderlich, als bei Beton. Es bezeichne a die Spannung für die Flächeneinheit im Beton, ox die Spannung für die Flächeneinheit im Eifen, l den Abftand zweier nahe liegender Querfchnitte vor der Formänderung, X die (-JQ Vergröfserung cliefes Ab Bandes bei der Formänderung, E die Elafticitätsziffer für Beton und Ex die Elafticitätsziffer für Eifen; alsdann ift

Fig. in.

-7- für Beton,

E. I

—- für Eifen ;

demnach ift

Setzt man

E,

£i

und

Adf

= m, fo ift E

LA

!1

gx — m g

Ein aus Eifen und Beton zufammenge-fetzter Balken werde auf Biegung beanfprucht ; auf den betrachteten Querfchnitt wirken das Moment M und die Axialkraft P\ SE (Fig. 111) fei die Kraftlinie und NN die Null-Linie. Durch

,s

den Schwerpunkt S des Querfchnittes werde parallel zur Null-Linie die Axe U U, fenk-recht zu diefer durch S' die Axe V V gelegt. Alsdann ergeben die Gleichgewichtsbedingungen die erforderlichen Gleichungen imderfelben Weife, wie in Art. 105 (S. 86) gezeigt ift. Die mit dem Zeiger 1 verfehenen Werthe beziehen fich auf den Eifen-theil und die Werthe ohne Zeiger auf den Betontheil des Querfchnittes. Nun laffen fich folgende drei Gleichungen aufftellen:

I) P= fadf+ f ax dfx

(algebraifche Summe der in die Richtung

der Balkenaxe fallenden Kräfte mufs gleich Null fein).

II) Mu = J' gv d f -f- J'o₁v₁ dfx (algebraifche

Summe der Momente für die Axe U U mufs gleich Null fein).

III) 0 = J'g p df -f- J' gx px dfx (algebraifche

Summe der Momente für die Axe 5 E mufs gleich Null fein).

Für einen beliebigen Punkt des Querfchnittes ift a = a'q, wenn a ein noch zu beftimmender Feftwerth, rtj der Abftand des Punktes, fenkrecht gemeffen, von der Null-Linie NN ift. Es ift rj = v -{- s, mithin

o = a (v -f- s), ax = vi g und gx = a m (vx -f- s).

Gleichung I wird mit diefen Werthen:

a (fv df +fs df-\- 111 f vx d fx + m f s df^j, a v d f -j- ni y z>x d    -f- a s {F -f- m Ex).

Beltimmt man den Schwerpunkt 5 unter der Annahme, dafs die aus Eifen beftehenden Querfchnittstheile in 772-fâcher Gröfse eingeführt werden, fo ift für jede

durch diefen Schwerpunkt gehende Axe das entfprechende ftatifche Moment des Querschnittes gleich Null, d. h. es findet Statt:

J' v d f    m J vx df = 0,

und es iSt alsdann

P — a s (F -f- m Fx) .... Aus Gleichung II ergiebt Sich in ähnlicher WeiSe

Mu = af(vfs)vdf-\-am J (vx -j- s) vx d f

Mu = a y¹ v² d f f a s j° v d f m a Jvf df -\{-Mu = a J'v² df -f- m a vf dff

Da J v df f m J vx df = 0 ift, So wird

Mu = a (f f m fx) .

7 9-

f v\ df:

\Jv df -f- m f vx df].

8o,

J iSt das Trägheitsmoment des Betontheiles und Jx das Trägheitsmoment des EiSentheiles des Querschnittes bezogen auS die Axe U U.

Aus Gleichung III Solgt, da a = a iSt,

0 = f a 7] p dff f a tn rlx p₁ df — a (f 7] p df f m f -qx px df],

8i

0 = Z -)- m Zx

Z, bezw. Zx bedeuten die CentriSugalmomente der QuerSchnittstheile für die Axen NN und SE. Conftruirt man alSo unter Zugrundelegung w-facher Quer-SchnittsgröSse der EiSentheile das CentriSugalmoment Sür die KraStlinie und die Null-Linie, So ift dafSelbe gleich Null. Kraftlinie und Null-Linie find conjugirte Axen.

Aus Gleichung 8o folgt

Mu

aus Gleichung 79 folgt

J+mJ₁ ’

und

a (F -{- m Fx) (Ff m Fx) Mu ’

o = a (v -f- s) =

Mu

F -j- m F1 m P

F -f- m Fx

Falls die Axialkraft P gleich Null ift, wird

82.

cq = m a =

in Mu v

S3-

Mu v

.    .    84.

cq = m

JfmJx

Mu v

J+mJx

Die Ausdrücke 82 bis 84 ergeben folgendes für die Berechnung wichtige Gefetz: Die Beanspruchung kann bei einem Eifen-Betonbalken eben fo wie bei einem einheitlich aus Beton hergeftellten Balken berechnet werden, wenn man fowohl für die Ermittelung des Schwerpunktes, wie für diejenige der Querfchnittsfläche und des Trägheitsmomentes die

Eifenquerfchnitte in m (= —^T-^-facher Gröfse einführt.

Man miiffte bei der Berechnung nun vom Gefammtquerfchnitt denjenigen der Eifentheile abziehen und den Reft als Betonquerfchnitt einführen; bei der grofsen Unbeftimmtheit jedoch, welche bezüglich der Gröfse von m herrfcht, kann man unbedenklich den Gefammtquerfchnitt als Betonquerfchnitt einführen.

n6.

Querfchnitts-

für

Beton-Balken.

Bei Beton-Eifenbalken ift der Gefammtquerfchnitt ein Rechteck, deffen Breite ermitteiung mit b und deffen Höhe mit h bezeichnet werden mag; die Eifeneinlage beftehe aus einer Anzahl Rundeifen, nahe der unteren Begrenzung des Rechteckes. Nach Melan²⁵) kann man als zuläffige Beanfpruchung des Betons einführen:

gröfste Druckbeanfpruchung des Betons .    .    25 bis 30 kg für 1 qcm₎

.    . 10 kg für lqcm.

gröfste Zugbeanfpruchung des Betons Wir führen ferner

m — jŁ — EEifen E - EBeton

ein. Stellt man die Bedingung, dafs gleichzeitig die gröfste Druckbeanfpruchung gleich 20 kS und die gröfste Zugbeanfpruchung gleich 10 kg fei, bezw. dafs allgemein die Beanfpruchung auf Druck, abfolut gerechnet, doppelt fo grofs fei, als diejenige auf Zug, fo ergiebt fich, dafs unter Einführung des w-fachen Eifenquerfchnittes in die Rechnung die Null-Linie in der Balkenhöhe

liegen mufs (Fig. 112). Der Abftand .y der Null-Linie von der Trägermitte ift alfo

= 30

Fig. 112.

le-----‘A------*

le— k---m

T"

'h

«2

-fo

’RÄT

'2ÏI

i—

Th.

_L3

Weiter mufs auch 0 = b h s — m Fx e fein, d. h.

m F, e

Beide Werthe für .y einander gleich gefetzt, giebt

m Fx c h

d. h. Fx c =

b k²

Ferner ift das Trägheitsmoment des Betonquerfchnittes für die Null-Linie

b h‘A ’

bh³

bh . JF

36

und m Jx — in Fx e²,

alfo die gröfste Druckbeanfpruchung im Querfchnitt, falls die Axialkraft P= 0 ift, nach Gleichung 84

M\h

b IF

-9--h m F1 e

Wird für Fx e der oben gefundene Werth eingeführt, fo erhält man

2 M

1) ! F

---f- 3 m Fx e²

o

®wax —

.    .    85.

Diefe Gleichung gilt allgemein und giebt die gröfste Druckbeanfpruchung im Beton doppelt fo grofs, abfolut genommen, als die Zugbeanfpruchung. Indem man

®max —

fetzt, erhält man als Bedingungsgleichung für den Ouerfchnitt:

86.

b h²

Beifpiel : Es fei M — 12500kgcm und K— 15 kg für lqcm; alsdann wird

12 500

bh²

15

(>+&)

und bh²=

5000

wählen ; nimmt man e =

an,

Damit die Eifen ganz im Beton eingebettet werden können, mufs man e entfprechend kleiner als — h    .    ³

fo ergiebt fich

b h² =

5000

8•5000

1+1

11

Das der Unterfuchung zu Grunde gelegte Stück des Balkens habe lm Breite; dann ift b— 100cm, alfo

es wird alfo e =

h* =

8.5000

11 • 100

= 36,36 und h ■=■ 6cm (abgerundet);

= 1,5cm und f\e —

bh²

und mit m — 30

Ae =

100 • 36

20

6.30

= 20 oder /j = -— = 13,33 qcm •

1)5

Ordnet man auf 1 m Breite 20 Einlagen aus Rundeifen an, fo mufs jede derfelben 0,67 qcm Quer-fchnitt erhalten, alfo einen Durchtneffer d = 0,s2 cm.

Hätte man o„mx = ^ — 20 kg für 1 qcm eingeführt, fo hätte man erhalten : bh²

12500

12500

625 . 8

20

(>++)

20

(>+-)

GO CC

11

/ K ^ bh<l h - 5,2 cm, fxe = —-

o ni

Bei 20 Einlagen bekommt jede eiilen Durchmeffer

6.8 • 625

11 • 100

= 27,

100 • 27

6.30

= 15 und /j =

15,o . 4

5,2

= 11,5 qcm.

<=V-

11,5.4

20.3,14

= 0,85 cm.

Die gröfste Beanfpruchung in Eifen ift alsdann :

®Smax —

12500 • 1,725 • 30

646875

100.5,2³

2149

= 301 kS für 1 qcm.

f 30.11,5 . 1,3²

Für die Berechnung der Betongewölbe mit Eifeneinlagen kann man die Formeln 82 und 83 verwenden¹).

Falls man den Zugwiderftand des Betons gar nicht berückfichtigt (was nur für angenäherte Rechnung zuläffig ift), fo find in den Ausdrücken für F und Jy welche fich auf den Beton beziehen, nur die Querfchnittstheile auf der Druckfeite als vorhanden einzuführen. Dann ift für den hauptfächlich hier in Betracht kommenden rechteckigen Querfchnitt, welchen die Kraftebene in einer Hauptaxe fchneidet, einzuführen :

und J₁ = Fl e².

In diefen Formeln bedeutet I) den Abftand der Null-Linie von der oberen Rechteckfeite und b die Breite des Rechteckes. Das ftatifche Moment des Querfchnittes für die Null-Linie foil gleich Null fein, wenn die Eifentheile in ;«-facher Gröfse eingeführt werden, d. h. es foil

2 in e F

b b²

0 = ——---m F₁ e oder f)² =

fein. Die gröfste Druckfpannung im Beton ift dann

i\

---(- m Fx e-

und die gröfste Zugfpannung im Eifen

; fonach.

^\max

®\max —

in e M

b ly’

o— + Fx e²

für das Eifen

8 e in

+ Fxe

®max —

er

111 F, 6²

für den Beton

-er

e) Schubfpannungen.

Aufser den oben ermittelten Biegungsfpannungen treten bei den verfchiedenen Belaftungen der Balken auch noch Schubfpannungen auf, von denen hier zunächft

117.

Wagrechte Schubfpannungen. die wagrechten Schubfpannungen betrachtet werden follen.

Denkt man fich eine Anzahl Lagen dünner Bretter über einander gelegt,

an

den Enden unterftützt und in der Mitte belaftet, fo werden fich diefelben gegen einander etwa in der Weife verfchieben,

welche in Fig. 114 angedeutet ift. Diefe Verfchiebung ift eine Folge der in den Fugen ci a, bb auftretenden Schubkräfte; werden diefelben nicht durch künftliche

Fig. 114.

Mittel (Zähne, Dübel u. dergl.) oder den Abfcherungswiderftand des Bauftoffes aufgehoben, fo verurfachen fie eine Verfchiebung.

Für die rechnungsmäfsige Ermittelung diefer Schubfpannungen möge, wie oben, angenommen werden, dafs nur fenkrecht zur Balkenaxe gerichtete Kräfte

IOI

wirken; es follen die wagrechten Schubfpannungen aufgefucht werden, welche in der Schicht n n (Fig. 115) zwischen zwei unendlich nahe an einander gelegenen Querfchnitten II und IIII wirken, wenn die Schicht n 11 um zx über der Balkenaxe

liegt. Dabei follen die vereinfachenden Annahmen gemacht werden, dafs die Quer-fchnitte II und IIII einander gleich feien, dafs die wagrechte Schubfpannung für die Flächeneinheit in der ganzen Breite der Schicht n n gleich grofs fei und dafs die Kraftebene fämmtliche Querfchnitte in Symmetrieaxen fchneide.

Auf den Theil des Balkenftückes zwi-fchen II und IIII, welcher oberhalb der Faferfchicht nn liegt, wirkt fenkrecht zur Ebene II die Summe R der axialen Biegungsfpannungen und fenkrecht zur Ebene IIII die Kraft R -j- d R. Nun ift

Fig. 115.

>dx-,

R'dR

: dR

'(ix*

)U

II(Ix

al

ß

a df,

Z\

und da nach Gleichung 56 (S. 75): 0 =

z ift,

z\

Die Mittelkraft von R und R -f- d R ift, da beide gleiche Richtung, aber entgegengefetzten Sinn haben und in diefelbe Linie fallen, gleich d R, d. h. auf das betrachtete Balkenftück wirkt als Mittelkraft aller axialen Biegungsfpannungen

z d f und R -f- d R —

Jjd + dM

z dj.

«1

dR =

M-j- d M

z df —

z d f.

Zl

Für die Integration zwifchen zx und ax find M, d M und J conftant; diefe Werthe können alfo vor das Integralzeichen gefetzt werden, d. h. es ift

M+dM

ax

ß

"1

«i

z df —

z df —

ZI

Damit das Balkenftück im Gleichgewicht fei, mufs die algebraifche Summe der auf daffelbe wirkenden wagrechten Kräfte gleich Null fein ; alfo mufs noch eine wagrechte Kraft auf das Balkenftück wirken, welche der Gröfse nach genau gleich der obigen Kraft d R, der Richtung nach derfelben entgegengefetzt ift. Diefe Kraft kann nur in der wagrechten Schicht wirken, mittels deren diefes Stück mit dem anderen Balkentheile zufammenhängt, d. h. in der um zx über der Null-Linie liegenden Schicht. Längs derfelben entfteht demnach eine Schubfpannung. Wird die Gröfse derfelben für die Längeneinheit des Balkens mit H bezeichnet, fo be-

trägt fie für dx Längeneinheiten Hdx, und für die Ermittelung von H ergiebt fich die Bedingungsgleichung

Hdx = dR =

dM

"i

f

z d f und H —

z df.

21

Nach Gleichung 53 (S. 72) ift

dM

= Q\ demnach

88.

z df

21

«i # y f ift das datifche Moment des Flächentheiles zwifchen den Ordinaten

21

z und ax bezogen auf die Schweraxe. Setzt man nun

rtj.

ß

21

"1

2 df= V, ■

fo wird ai

89.

Q S

__*1

Die wagrechte Schubfpannung für die Längeneinheit des Balkens und irgend eine Schicht {n ri) wird demnach erhalten, indem man die Querkraft für den betreffenden Querfchnitt mit dem auf die Null-Linie bezogenen ftatifchen Moment des Querfchnittstheiles oberhalb der betreffenden Schicht multiplicirt und diefes Product durch das Trägheitsmoment des für die Null-Linie genommenen ganzen Querfchnittes dividirt.

Hieraus folgt:

1)    Da Q und J für denfelben Querfchnitt bei beftimmter Beladung ganz be-ftimmte Zahlenwerthe find, fo ift die wagrechte Schubfpannung für die Längeneinheit des Balkens an den verfchiedenen Stellen eines Querfchnittes mit N veränderlich. H wird für diejenigen Schichten am gröfsten, für welche S feinen gröfsten Werth

hat. N ift aber für die wagrechte Schweraxe am gröfsten ; dort ift es gleich S“¹ ■ S ift für die äufserften Schichten am kleinften; dafelbft ift N = 0.

Demnach nimmt H in demfelben Querfchnitt bei derfelben Beladung von der Null-Linie — der wagrechten Schweraxe — nach den beiden am weiteden entfernten Fafern bis auf Null ab.

2)    In denfelben Schichten verfchiedener Querfchnitte id nach obiger Gleichung H mit Q veränderlich, id demnach in demjenigen Querfchnitte am gröfsten, in welchem die Querkraft ihren gröfsten Werth hat. Sind verfchiedene Beladungs-zudände möglich, fo ruft derjenige das gröfste H hervor, welcher die gröfste Querkraft Q erzeugt.

IO3

3)    Werden, wie üblich und zweckmäfsig, fowohl S, wie J auf Centimeter bezogen, alfo S in cm³, J in cm⁴ ausgedrückt, fo erhält man H an irgend einer Balkenftelle als die wagrechte Schubfpannung für das laufende Centimeter.

4)    Der in Gleichung 89 gefundene Ausdruck giebt die Schubfpannung für die Längeneinheit des Balkens an; diefe Schubfpannung kann für die Fälle der Praxis genügend genau als gleichmäfsig über die Breite der Schicht vertheilt angenommen werden. Ift demnach die Breite des Querfchnittes in der Höhe der betrachteten Schicht gleich w, fo vertheilt fich H über w . 1 Flächeneinheiten, fo dafs fich als Schubfpannung für die Flächeneinheit ergiebt

QSai

90.

__fi

Im Nachftehenden follen für einige im Hochbauwefen häufig vorkommende II8-

Rechteckiger

Fig. 116.

Querfchnittsformen die wagrechten Schub- Querfchnitt. fpannungen beftimmt werden.

x) Für den rechteckigen Querfchnitt (Fig. ii 6) liegt die wagrechte Schwerpunktsaxe in halber Höhe. Die wagrechte Schubfpannung in der Höhe zj über der Null-Linie ift nach Gleichung 89 zu beftimmen.

Für den vorliegenden Querfchnitt ift

saz[ =

h h

<=r

zdf und, da df—bdz.,

zi

.s“¹

Z\

h

=.r

b dz.z —

/ b z² \ 2 b b h*

\~r) ⁼¥VT

— Z[

²)-

Z\

bh%

12

Da ferner J =r ———, wird nach Gleichung 89

H-

Q—(—

2 V 4

’)

6<2

b h³

— zt

.    .    91.

12

In diefem Ausdruck ift auf der rechten Seite nur eine Veränderliche, nämlich zp alle anderen Gröfsen haben für fämmtliche Schichten gleiche Werthe. Das Gefetz der Veränderlichkeit wird befonders anfchaulich, wenn man in den verfchiedenen Abftänden z^ über und unter Y Y die in den betreffenden Schichten herrfchenden Werthe von H nach Gleichung 91 wagrecht nach einem beliebigen Mafsttabe aufträgt und die Endpunkte verbindet; man erhält die in Fig. 116 fchraffirte Fläche; die begrenzende Verbindungslinie der Endpunkte ift offenbar die Linie der Gleichung 91. Die Form der Gleichung zeigt, dafs diefe Linie eine Parabel ift.

Für z{ = 0 ift d/₀ = Hmax — —

6 <2    3 <2

und für

i)=o-

d. h.

Die wagrechte Spannung für die Flächeneinheit längs der einzelnen Schichten ift ß = —-

b

6Q-

Z = ~bT

[-m

ferner =

3Q

2b h

und = 0 •

Die in big. 116 gezeichnete Lime giebt alfo auch die graphifche Darftellung der für die Flächeneinheit ftattfindenden wagrechten Schubfpannungen, natürlich in anderem Mafsftabe, als die wagrechten Schubfpannungen für die Längeneinheit.

119.

I-förmiger

Querfchnitt.

2) Für den fymmetrifchen I-förmigen Querfchnitt liegt die wagrechte Schwerpunktsaxe gleichfalls in halber Höhe. Q und y find wieder für alle Schichten deffelben Querfchnittes gleich grofs,

mithin H mit S veränderlich (natürlich nur in demfelben Trägerquerfchnitt und bei beftimmter Beladung). Die gröfste wagrechte Schubfpannung findet wieder in der Null-Linie ftatt, und nach Gleichung 89 ift

Q S

H- -L—

worin S und y auf die Null-Linie bezogen find.

Bezeichnet man mit f die Querfchnittsfläche des oberen, bezw. unteren Flanfches des Trägers, mit t) den Abftand der Schwerpunkte der Flanfche, mit d die Stegftärke, fo ift bei kleinem d nahezu

S =    und nach Gleichung 20 (S. 36): y — (f -1--—■ ;

Li    \    O / Li

mithin

Qf

—7— gegen f klein, fo ift nahezu

b

92.

120.

Blechträger-

Querfchnitt.

3) Querfchnitt der Blechträger. Bei den aus einem einzigen Stücke bettehenden Quer-fchnitten werden die in den einzelnen Fafern wirkenden wagrechten Schubfpannungen durch den Wider-ftand aufgehoben, den der Zufammenhang der Fafern dem Verfchieben entgegen ttellt; die Querfchnittsabmeffungen find demnach fo zu wählen, dafs die erlaubte Beanfpruchung auf Schub nicht überfchritten wird.

Ift dagegen der Querfchnitt aus mehreren Theilen zufammengefetzt, fo müffen die in den Fugen zwifchen den einzelnen Theilen entftehenden Schubfpannungen durch künftliche Mittel aufgehoben werden. Bei den Blechträgern dienen dazu die Niete. Die Niete find demnach fo zu beftimmen, dafs ihr Schubwiderftand die auftretenden Schubfpannungen aufhebt, ohne dafs die zuläffige Grenze überfchritten wird. Um den Abftand der Niete zu ermitteln , welche zur Verbindung der Lamellen mit den Winkeleifen dienen, fuche man demnach die für die Längeneinheit in der Fuge a a (Fig. 117) ftattfindende Schubfpannung auf die oben gezeigte Weife.

Wieder ift H —

Fig. 117.

m ' 0 ¹ t'Tr

i J.

QS

..a

worin S das ftatifche Moment der Lamellenfläche bezogen auf die Null-

Linie bezeichnet. Nennt man den Abftand der Nietbolzen e, fo ift die Gefammtfchubfpannung auf die

Länge e gleich

Allerdings ift die Querkraft Q auf die Länge e allgemein nicht confiant ; es genügt aber ftets, für Q irgend einen der auf der Strecke e fleh ergebenden Werthe einzuführen; zwreckmäfsig wird man den gröfsten wählen.

Diefe Schubfpannung erftrebt eine wagrechte Verfchiebung der Lamelle in der Richtung der Träger-axe; diefelbe foil durch die Niete verhindert werden. Werden zwei einfehnittige Niete vom Durch-meffer d verwendet, fo darf ihr Widerftand gegen Abfcheren nach Art. 92 (S. 68)

2 d² ic

fein, wenn T die zuläffige Schubbeanfpruchung für die Flächeneinheit der abzufcherenden Fläche ift. Durch Gleichfetzung beider Werthe, derjenigen für D und für W\ erhält man folgende Gleichung für e\

QSe 2 d*K

T, woraus e =

d*K TJ 2QS ⁻

Je gröfser Q ift, defto kleiner wird e, delto näher find alfo die Niete zu fetzen.

Die angegebene Berechnung kann auch für die Ermittelung der in den lothrechten Fugen auftretenden wagrechten Schubkraft, alfo zur Beftimmung derjenigen Niete dienen, welche die lothrechten Schenkel der Winkeleifen mit der Blechwand verbinden. Alsdann ift unter S das ftatifche Moment desjenigen Theiles der Querfchnittsfläche zu verftehen, welcher durch diefe Niete mit der Blechwand vereinigt wird, d. h. die Querfchnittsfläche der Winkeleifen und Lamellen.

Gn

Aufser den betrachteten wagrechten wirken auch lothrechte Schubfpannungen.

Für die Ermittelung derfelben foil die gleiche Annahme, wie oben, gemacht werden, dafs nur fenkrecht zur Balkenaxe gerichtete äufsere Kräfte vorhanden feien, die Spannungen.

Balkenaxe aber wagrecht fei (Fig. 118). Die Mittelkraft aller links vom beliebigen Querfchnitte II wirkenden Kräfte fei gleich Q\ alsdann verlangt das Gleichgewicht des Balkenftückes, dafs an demfelben noch eine lothrechte Kraft Q wirke, welche der erften an Gröfse genau gleich, der Richtung nach entgegengefetzt ift. Eine folche Kraft kann aber nur längs des Querfchnittes II wirken, da nur in diefem das linksfeitige Balkenftück mit dem anderen Balken zufammenhängt. Diefe Kraft ift der lothrechte Ab-fcherungswiderftand, welcher dem Verfchieben des Balkenftückes längs des Querfchnittes II entgegen wirkt.

Hieraus folgt: In jedem lothrechten Querfchnitte wirken lothrechte Schubfpannungen, deren Summe genau gleich der Querkraft ift, welche fich für diefen

Querfchnitt ergiebt.

Die Vertheilung diefer Schubfpannungen über den Querfchnitt findet nach folgendem Gefetze flatt: Die an irgend einer Stelle für die Längeneinheit wirkende lothrechte Schubfpannung ift gleich der an derfelben Stelle für die Längeneinheit wirkenden wagrechten Schubfpannung.

Um diefes Gefetz nachzuweifen, betrachten wir ein im Abftande z (Fig. 119) über der Null-Linie liegendes Balkenftück von der Länge dx, der Höhe dz und der Dicke y (fenkrecht zur Bildfläche gemeffen). Auf diefes Balkenftück wirken im Allgemeinen folgende Kräfte :

Fig. 118.

Ny dz — Hdx-*—-

121.

Lothrechte

Schub-

*ctx

Fig- 119-

(Z-dZhdxlHdVjdz *■    • -P >(HdH)dx

dz (N'dN)ydz

'—dxr—p

Vdz

Zydx

yydx. dz.

bd

ab

fenkrecht zur    Fläche    a c    wirkt    Ny dz ;

»    »    »    bd    »    (N-\- dN) ydz;

»    »    »    cd    »    Zydx;

»    »    »    ab    »    {Z d Z) y d x \

längs der Fläche ac wirkt Vdz;

»    (V-\-dV)dz;

»    H d x ;

» {JI -J-> d IIs) d x.

Hierin bedeuten Z und Z -f- d Z die auf die wagrechten Flächen a b und c d wirkenden lothrechten Spannungen, V, bezw. V -f- d V die lothrechten Schubfpannungen für die Längeneinheit in den Flächen a c, bezw. b d. Endlich wirkt noch das Eigengewicht des Stückes, nämlich 7 y . d z . d x.

Läfft man diejenigen Kräfte, welche einander gegen-feitig aufheben, fort, fo bleiben die in Fig. 120 angegebenen übrig. Diefelben halten das Balkenftück im Gleichgewicht; demnach müffen die Summen der ftatifchen Momente, bezogen auf einen beliebigen Punkt der Bildebene, gleich Null fein.

Fig. x 20.

dZydx (Vd l^dz

²p—!--—IH-dHJdx

<-dNydz

Hdx

Vdx yydxdz

Diefer Punkt fei b\ alsdann ift

0 = Vd zdx — Hdxdz-\-*[ y

dx . dz. dx

F d Zy d .r —^--d Ny d z    -.

-J

Die unendlich kleinen Gröfsen dritter Ordnung fallen gegen die unendlich kleinen Gröfsen zweiter Ordnung fort; fonach bleibt

io6

O = Vdzdx — Hdxdz,

woraus

V=H

94

• • 93-

Dies gilt für jede Stelle des Balkens, womit der obige Satz bewiefen ift. Es ift mithin nach Gleichung 89

v=

Die in Art. 118 bis 120 für verfchiedene Querfchnittsformen ermittelten Werthe und graphifchen Darftellungen für H gelten alfo auch für V.

Fig. 121.

Das Gefetz, nach welchem lieh die lothrechten Schubfpannungen im Quer-fchnitt vertheilen, wird angewendet, wenn es lieh darum handelt, die auf die einzelnen Niete in neben flehender Verbindung (Fig. 121) entfallenden Be-anfpruchungen zu ermitteln. Der I-förmige Walzträger wird durch Winkeleifen mit dem Blechträger vereinigt. Die im Querfchnitt a a des I-Trägers entftehende Querkraft Q ift durch die Niete auf den Blechträger zu übertragen. Die einzelnen Niete find nun fo zu vertheilen, dafs ihre Entfernung der Gröfse der durch den betreffenden Niet zu übertragenden Schubfpannung entfpricht. Ift an einer Stelle die Entfernung der Nietmitten e und die lothrechte Schubfpannung für die Längeneinheit im Mittel in diefer Flöhe gleich V, fo kommt auf einen Niet die Schubkraft Ve.

Der Niet wird in zwei Querfchnitten abgefchert ; mithin ift der Abfcherungswiderfland des Nietes

?..

o \e

^^ ⁷¹ T; es ergiebt fich alfo für e die Gleichung:

4

2 d² K

Ve =

woraus e —

Tzd² 7

122.

beliebiges

Flächen

element.

123.

Axiale

ßiegungs-

fpannung.

Da V von der Null-Linie nach der oberen und unteren Gurtung zu abnimmt, fo find die Niete in der Nähe der Neutralen näher zu fetzen, als in der Nähe der Gurtung. Für die gewöhnlichen I-förmigen Walzbalken kann man die oben flehende Fig. 121 als graphifche Darflellung der Veränderlichkeit der lothrechten Schubfpannung annehmen , d. h. mit genügender Annäherung V als gleich grofs

über die ganze Trägerfleghölie annehmen, worin nach Gleichung 92 : V = -jj-.

In den bisherigen Betrachtungen find nur die Normalfpannungen, welche in Spannungen ₍jen lothrechten Balkenquerfchnitten, und die Schubfpannungen, welche in den wagrechten und lothrechten Balkenquerfchnitten entftehen, ermittelt worden. Um die Frage der im Inneren der Balken auftretenden Beanfpruchungen eingehend zu löfen, wären noch die Normal- und Schubfpannungen in einem Querfchnitte aufzufuchen, welcher einen beliebigen Winkel mit «der Wagrechten macht. Auf diefe Unter-fuchungen einzugehen, mangelt hier der Raum, und es kann auch in den meiden Fällen des Hochbaues auf eine dahin gehende Berechnung verzichtet werden. Die Defer, welche fich über diefen Gegenftand unterrichten wollen, werden auf die S. 57 genannten Werke verwiefen.

f) Elaftifche Linie.

Wenn ein Balken dem Einfluffe biegender Kräfte unterworfen ift, fo wird eine Formänderung deffelben eintreten. Die Axe des urfprünglich geraden Balkens wird eine krumme Linie (Fig. 122), welche man die elaftifche Linie nennt.

Die Gleichung der elaftifchen Linie wird für eine grofse Zahl von Aufgaben gebraucht ; bei vielen derfelben wirken nicht nur Kräfte fenkrecht zur urfprünglichen Balkenaxe, fondera auch folche, welche in die Axe fallen, fog. Axialkräfte. Defs-

Dx Dx = Cx Cx' v d x.

Nennt man die Verlängerung des Stückes CC bei der Formänderung di, fo ift Cx Cx — d x -}- d i und Dx Dx = dx-{-di-\-vdx.

Dies ift die Länge der gebogenen Fafer. Die urfprüngliche Länge derfelben war D D' = d x\ folglich ift die Verlängerung

und das Verlängerungsverhältnifs

Nun ift a die axiale Faferfpannung in diefer Fafer, mithin

v d x d x

Dx D' — DD' — dx-\-di-\-vdx — dx — di-\-vdx d i -f- v d x

di

hierin bedeutet F die Querfchnittsfläche und J das Trägheitsmoment der Quer-fchnittsfläche für die genannte Schwerpunktsaxe.

Man lege durch einen Punkt A der Balkenaxe drei Coordinatenaxen, von I24‘

°    Gleichung

denen die A-Axe mit der urfprünglichen Balkenaxe zufammenfalle, die F-Axe Senk- der eiaftifchen

recht zu derfelben in der Kraftebene, die Z-Axe Senkrecht zur Kraftebene fleht, und betrachte ein Balkenflück zwifchen den Ebenen II und ////, deffen Länge vor der Formänderung dx war. Die Ebenen II und IIII waren vor der Formänderung parallel und Senkrecht zur Balkenaxe und hatten die AbSciffen x und x -f- d x ; die tjdz Länge einer Fafer DD' in der Höhe v über der Axe war d x.

Wir bestimmen nunmehr die Formänderung diefer Fafer DD'. Durch die beiden Punkte der gebogenen Axe Cl und Cx legen wir Ebenen Senkrecht zur gebogenen Axe ; der Winkel beider fei d x, der Winkel der durch Ct gelegten Ebene mit der F-Axe fei t. Man nimmt an (übereinstimmend mit der Voraussetzung in Art. 95, S. 73), daSs der Abftand zweier Punkte in der Höhe v über der Axe alsdann eben fo grofs fei, wie der Abftand der Normalebenen in der Höhe v über der Axe, d. h. dafs ftattfindet

Fig. 122.

D'D}

C' CJ

P/

fc/

Linie.

dx-

nach

der Formänderung.

vor

halb loll diefer allgemeinere Fall für die Entwickelung der Gleichung zu Grunde gelegt, im Uebrigen aber angenommen werden, dafs die Kraftebene alle Querfchnitte in Hauptaxen fchneide.

Auf irgend einen Querfchnitt wirke das Biegungsmoment M und die Axialkraft P\ in einem Punkte des Querschnittes, welcher von der wagrechten Schwer-punktsaxe (der zweiten Hauptaxe des Querfchnittes) den Abftand v hat, ift unter Bezugnahme auf Gleichung 54 (S. 75) die axiale Biegungsfpannung

M v

• • 95-

d i -J- v'd x

di

a-E~d^jr

E d x dx V

96.

io8

Nach Gleichung 95 ift aber auch

+ ~TV-

Die Gleichfetzung beider für a gefundener Werthe ergiebt

di

E d z d x V'

woraus die beiden Gleichungen folgen :

di

Demnach wird

EJ

Nun ift tg z =

fonach

d tg z

d² y

cos² z . d x d x²

mithin

• 97-

98.

d² y

t —j—r • d x²

Bei den hier in Betracht kommenden Formänderungen ift z fo klein, dafs cos² z unbedenklich gleich 1 gefetzt werden kann, d. h. dafs nahezu ftattfindet:

d² y ~dlP

= cos²

99.

in Gleichung 98 eingefetzt, fo erhält man d² y

~dlP~ EJ

Gleichung ico ift die Differentialgleichung der elaftifchen Linie. In derfelben bedeutet M das Moment an einer Stelle mit der Abfciffe x, im Allgemeinen alfo etwas Veränderliches; J ift das Trägheitsmoment für die wagrechte Schwerpunkts-axe des Querfchnittes an derfelben Stelle.

Die Gleichung der elaftifchen Linie wird durch zweimalige Integration der Gleichung 100 erhalten; bei der Integration ift E confiant. Es wird

Wird diefer Werth für

100.

d x -f- Cx

und

//

(d x)² -j- Cx x -f C₂.

Bekanntlich ift der Kriimmungshalbmeffer für eine ebene Curve

d² y

d x²

nur klein ift, angenähert

oder, wenn tg v —

d² y

d x²

Danach wird die Gleichung der elaftifchen Linie auch gefchrieben werden können:

IOI.

EJ

Für M— 0 wird p = oo₅ d. h. die elaftifche Linie eine Gerade. Das Moment M ift Null an demjenigen Punkte des Balkens, bei welchem es aus dem pofitiven in den negativen Werth übergeht, alfo das Vorzeichen wechfelt; an diefen Punkten hat fonach die elaftifche Linie fog. Wendepunkte.

I. Theil, 2. Abtheilung:

DIE STATIK DER HOCHBAU-CONSTRUCTIONEN.

3. Abfchnitt.

Stützen und Träger.

Man bezeichnet mit dem Namen Stützen folche Bau-Conftructionen, bei denen die Längsaxe ganz oder nahezu mit der Richtung der Belattungen zufammenfällt. Die Belattungen wirken in den meiften Fällen lothrecht, in der Richtung der Schwere, und daraus ergiebt fich, dafs die Stützen meiftens lothrechte oder nahezu loth-rechte Längsaxen haben. Wir rechnen dahin die Pfeiler und die Säulen, die fich wohl auch unter dem gemeinfchaftlichen Namen Freiftiitzen zufammenfaffen laffen.

Träger find Bau-Conftructionen, bei denen die Belattungen ausfchliefslich oder vorwiegend fenkrecht zur Richtung der Längsaxe wirken. Da die Belaftungen meift lothrecht gerichtet find, haben die Träger meift wagrechte oder nur wenig davon abweichende Längsaxen.

i. Kapitel.

Stützen.

125-

Vor

bemerkungen.

Im vorliegenden Kapitel follen ganz allgemein folche Conftructionen, bezw. Conftructionstheile behandelt werden, welche auf Druck in Anfpruch genommen werden, alfo nicht allein die Freiftützen (Pfeiler und Säulen), fondern auch fonftige gedrückte Stäbe, wie fie bei Trägern für Decken und Dächer Vorkommen. Je nach dem für den gedrückten Theil verwendeten Material ift der Widerftand deffelben ein wefentlich verfchiedener : Stützen aus Eifen und Holz find im Stande, fowohl Druck- wie Zugwiderftand zu leiften ; Stützen aus Mauerwerk dagegen können keinen mit Sicherheit in Rechnung zu ziehenden, bemerkenswerthen Zugwiderftand leiften.

Wenn die auf einen Querfchnitt wirkende Mittelkraft aufserhalb der Längsaxe des Pfeilers wirkt, ift fie mit einem Momente verbunden, welches in den einzelnen Querfchnittstheilen Zugbeanfpruchungen erzeugt. Diefelben werden allerdings zum Theile durch Druckbeanfpruchungen wieder aufgehoben ; fobald jedoch die Ex-centricität gewiffe Grenzen erreicht, fo find Zugbeanfpruchungen vorhanden, falls das Material diefelben übertragen kann; anderenfalls treten vollftändig veränderte Spannungsverhältniffe auf. Diefer letztere Fall kommt bei den gemauerten Pfeilern fehr häufig vor und ift defshalb befonders zu unterfuchen.

Bei den aus Holz und Eifen beziehenden Druckftäben, bezw. Freiftützen tritt die erwähnte Schwierigkeit nicht auf; ffatt derfelben ift bei dielen die Gefahr eines feitlichen Ausbiegens und weiter diejenige des Zerknickens in das Auge zu faffen.

a) Stützen mit aufserhalb der Längsaxe wirkenden Kräften, ohne Rückficht

auf Zerknicken.

i) Druckvertheilung in Querfchnitten, welche Druck und Zug aufnehmen können, falls die Kraftebene alle Querfchnitte in Hauptaxen fchneidet.

Die nachfolgende Unterfuchung hat allgemeine Giltigkeit, mag die Axe der betreffenden Conftruction lothrecht, wagrecht oder geneigt fein ; fie findet vorwiegend Unterfuchung. auf gemauerte Pfeiler und Stützen Anwendung und wird defshalb an diefer Stelle vorgenommen. Alle Ergebniffe bleiben aber auch beftehen, wenn man Fig. 123 um 90 Grad dreht, alfo einen Balken mit wagrechter Axe unterfucht, wefshalb in Art. i o i (S. 80) auf die hier vorzunehmenden Befprechungen hingewiefen werden konnte. Mit grofser Annäherung gelten fie auch für den gekrümmten Balken, z. B. für das Gewölbe, wenn der Halbmeffer deffelben nicht zu klein ift; die ganze Unterfuchung ift ein Sonderfall der allgemeinen in Art. 102 bis 114 (S. 80 bis 94) durchgeführten.

Die Mittelkraft aller oberhalb irgend eines Querfchnittes II auf die F'reiftütze wirkenden Kräfte fei A; fie fchneide den Querfchnitt in einem Punkte E (Fig. 123),

deffen Abftand von der Pfeileraxe mit £ bezeichnet werden foil. Die Kraftebene fchneide den Querfchnitt II und alle Querfchnitte des Pfeilers in Hauptaxen (diefelben find gewöhnlich Symmetrie-Axen). R wird in eine Seitenkraft A, welche fenkrecht zum Querfchnitt II wirkt, und eine Seitenkraft Q zerlegt, welche in den Querfchnitt fällt; letztere foil unbeachtet gelaffen werden, da fie das Endergebnifs der Unterfuchung nur wenig beeinflufft. Es wird nichts geändert, wenn man im Schwerpunkte 0 des Querfchnittes zwei Kräfte anbringt, welche je einander gleich und zu P parallel find, aber entgegengefetzten Sinn haben, alfo einander aufheben. Dadurch ergiebt fich als Wirkung der excentrifchen Kraft P\ eine im Schwerpunkte 0 angreifende Kraft A und zwei (in Fig. 123 durch einen Bogen verbundene) Kräfte P, welche zufammen ein Kräftepaar mit dem Momente M — P£ bilden; das Moment dreht im vorliegenden P"alle nach rechts (im Sinne des Uhrzeigers).

Durch die Kraft und das Kräftepaar werden im Querfchnitte Beanfpruchungen hervorgerufen, welche fich nach Art. 95, S. 75, Gleichung 54 zu

Fig. 123.

P\

b*

?XsÈ...

W//////ÆWm I p „\ I

I Hb\î

g

|-#-4 -fl

Va

z—I

'^ZZZZZZA

Źzzzzzzzzza

126.

Allgemeine

i-i

Avfrifs.

zzzzZZzzzz^

QM-À—7

ruf

Zzzzzzzzzza

Grundri/s.

-Tv" Z

Jy

ergeben, und mit Rückficht darauf, dafs M—P£ ift, zu

I 12

oder

102.

0+^)

Abkürzend ift J = yr gefetzt; ferner follen Druckfpannungen im Folgenden als pofitiv, Zugfpannungen als negativ eingeführt werden, da es fich bei den zu betrachtenden Conftructionen hauptfächlich um Beanfpruchungen auf Druck handelt.

Für eine gegebene Kraft P mit gegebenem Angriffspunkt E kann die Spannung fämmtlicher Querfchnittspunkte durch Gleichung 102 ermittelt werden. Von der Spannungsvertheilung erhält man ein klares Bild, wenn man in jedem Punkte des Querfchnittes die Spannung als Ordinate aufträgt und die Endpunkte diefer Ordi-naten verbindet. Da bei den gemachten Annahmen die Entfernung y des beliebig gewählten Punktes C von der Kraftebene gar nicht in der Gleichung vorkommt, fo folgt, dafs die Spannung o von y unabhängig ift ; alle in gleichem Abftande z von der Y F-Axe liegenden Punkte erleiden alfo gleiche Spannung. Demnach genügt es, die Spannungen aller Punkte aufzufuchen, welche auf einer zur Kraftebene parallelen Linie des Querfchnittes liegen und diefe nach beliebig gewähltem Mafs-ftabe aufzutragen. Die £-Wer the find die Abfciffen, und die Spannungen o find die Ordinaten ; die Vertheilung findet nach dem durch Gleichung 102 beftimmten Ge-fetze ftatt.

Fig. 124.

In diefer Gleichung find a und z die einzigen Veränderlichen; beide kommen nur in der erften Potenz vor; alfo ift die Verbindungslinie der Endpunkte der Ordinaten a eine Gerade, die Gerade obiger Gleichung. Diefe Linie ift bekannt, wenn zwei Punkte derfelben bekannt find.

Demnach kann man fie leicht auffinden, indem man z. B. für

die beiden Endwerthe z =

die Werthe

~~T und ² = + —

von a aitsrechnet und aufträgt. Man erhält etwa die Dar-ftellungen in Ing. 124. Die pofitiven Werthe von a find nach oben, die negativen nach unten abgetragen ; die erfteren bedeuten Druck, die letzteren Zug. Wenn alle Ordinaten auf einer Seite der Abfciffe liegen, fo findet nur Druck ftatt b) [[IP^

(Füg. 124^); fonft hat man im Querfchnitt theils Druck, theils

Zug (Fig. 124^). Die Grenze, an welcher der Wechfel von Druck zum Zug ftatt -findet, ift die Null-Linie (fiehe auch Art. 96, S. 75 und Art. 102, S. 80). Die von der Abfciffe und der Geraden der Gleichung 102 eingefchloffene (in Fig. 124 fchraffirte) Fläche wird als Druck figur bezeichnet.

Die Ermittelung der Null-Linie ift hier eine fehr einfache, a wird zu Null Nuii-Lmie. für alle diejenigen Punkte, für welche in Gleichung 102 der Klammerwerth gleich Null wird. Nennt man den befonderen Werth von z, für den dies eintritt, z₀, fo

Fis,

I27.

wird a = 0, wenn 1 -f-

= 0 wird, d. h. für

ä)

Aus der Gleichung 103 für die Null-Linie ergeben fich die Folgerungen:

a) Da y und F flets pofitive Gröfsen find, fo hat z₀ ftets anderes Vorzeichen als 4* Die fämmt-lichen Punkte, in denen die Spannung Null ftattfindet, liegen alfo an derjenigen Stelle der Axe Y Y, an welcher der Schnittpunkt mit der Mittelkraft F nicht liegt.

ß) Für eine beitimmte Lage der Kraft R find alle Gröfsen auf der rechten Seite der Gleichung confiant, ift alfo auch z₀ confiant; demnach liegen alle Punkte, in denen 0 gleich Null ift, in gleichem Abftande von der Y-Axe, d. h. alle diefe Punkte liegen in einer Geraden, die parallel ift zu derjenigen Schwerpunktsaxe, welche zur Schnittlinie des Querfchnittes mit der Kraftebene fenkrecht fteht.

Y) Der Werth für z₀ ift von der Kraftgröfse ganz unabhängig; er ift nur von den Werthen y und F, alfo von der Querfchnittsform und -Gröfse, und von 4, d. h. von der Lage des Schnittpunktes E abhängig.

Kraftebene fenkrechten Schwerpunktsaxe

zur

0) z₀ wird Null, d. h. die Null-Linie fällt mit der zufammen, wenn 4 = 00 wird, d. h. wenn die Kraft R den Querfchnitt erft in unendlich weiter Ferne fchneidet, wenn alfo R zum Querfchnitte parallel gerichtet ift, d. h. wenn keine Axialkraft vorhanden ift.

Die Gleichung 103 giebt ein bequemes Verfahren, die Lage der Null-Linie graphifch zu ermitteln. Befonders einfach geftaltet fich die Aufgabe beim rechteckigen Querfchnitt.

Hier ift nach Art. 51 (S. 34)

bh³

12

und F — b h.

Aus Gleichung 103 folgt, wenn man zunächft nur die abfolute Gröfse von z₀ beftimmt,

bhz

h²

h²

ft

12 bhi

Daraus ergiebt fich die folgende Conftruction (Fig. 125).

h    2

— nach einer Seite ab, fchlägt über E‘ A' = — h als Durch-6    3

meffer einen Halbkreis, welcher die in 0' zur ZZ-Axe gezogene Lothrechte in D fchneidet; dann ift

0‘ D² = —

Man trägt von 0' aus O' B' —

h fi²

Fig. 125.

’ P I

Aufrifs,

——. Verbindet man nun D mit E‘

2 6 12

und zieht durch D die Linie DK fenkrecht zu E‘D, fo ift 0'D² = E‘ 0‘. 0‘ K = 4.0‘ K d. h.

0‘ K-

G'D²

h²

mithin

%    12 4 ’

Z-r.

im.

%----1-----AtL--Vf,---b~~Z Grundrifs.

i I Vk^—h—Zk

N\

O' K

—' ²0’

K ift alfo ein Punkt der Null-Linie, und die durch K parallel zur F-Axe gelegte Linie NN ift die Null-Linie felbft.

*■

k----

-h-—

Eine etwas geänderte Conftruction ift bei weniger einfachen Querfchnitten anwendbar. Nach Art. 71 (S. 51) ift der Trägheitsradius

Druckfigur.

k'

Æ=Vv

und 7 = FR².

*o = -

Demnach ift nach Gleichung 103

FR²

A4

A4

woraus fich die folgende Conftruction (Fig. 126) ergiebt.

In 0‘ errichte man zur ZZ- Axe die Lothrechte 0' S = R, verbinde S mit E‘ und ziehe durch S die Senkrechte SK zu E' S\ dann ift 0‘ S² — R² — E‘ 0‘. O' K — 4.0' K\ mithin

R²

0‘ K — —— (abfolute Gröfse) = z₀ .

Handbuch der Architektur. I. 1, b. (3. Aufl.)

auftragen. Ift mn — —fo ergiebt die Verbindung r

von m mit k die Gerade für a.

128.

Kernpunkte.

Die Beanfpruchung der Querfchnittstheile ift an den beiden Seiten der Null-Linie verfchiedenartig, an der einen Seite Druck, an der anderen Zug. Es ift nunmehr zu unterfuchen, wie die Kraft P liegen mufs, damit nur Druckfpannungen im Querfchnitte auftreten 2 7).

Fig. 127. ---f---

I

Offenbar find im ganzen Querfchnitte nur Druckfpannungen, wenn die den äufserften Querfchnittspunkten c und d (Fig. 127) entfprechenden Spannungen Druck bedeuten; denn dann fällt die Null-Linie aufserhalb des Querfchnittes (fiehe Fig. 124 a). Nun ift die Spannung im Punkte d, weil für den-felben z = ax ift, nach Gleichung 102

)•

G max —

Ci

114

Der Punkt K in Fig. 125 u. 126 ift ein Punkt der Geraden, welche die Veränderung von 0 darftellt; wenn noch ein Punkt cliefer Geraden bekannt ift, fo kann fie gezeichnet werden. Für z = 0 ift nach

, d. h. in den Querfchnitts-

Aufrifs.

Fig. 126.

I#

V/Æ//ÀW////Æ

Gleichung 102: o₀ =

punkten, welche in der zur Kraftebene fenkrechten Schwerpunktsaxe liegen, ift die Spannung genau fo grofs, als wenn nur die Kraft P in der Axe wirkte.

Grundrifs.

\K

il

Man kann

leicht ermitteln und nach beliebigem Mafsftabe im entfprechenden Punkte m (Fig. 126)

Druckfigur.

diejenige im Punkte c, weil für diefen z = — a₂ ift,

¹

Bezüglich der Berechnung von Beton-Eifen-Conftruclionen fei auf nachftehende Auffätze verwiefen :

Koenen, M. Berechnung der Stärke der Monier’fchen Cementplatten mit Eifeneinlagen. Centralbl. d. Bauverw. 1886, S. 462. Neumann, P. Ueber die Berechnung der Monier-Conftructionen. Wochfchr. d. ölt. Ing.- u. Arch.-Ver. 1890, S. 209. Melan, J. Gewölbe aus Beton mit Verbindung mit eifernen Bogen. Zeitfchr. d. oft. Ing.- u. Arch.-Ver. 1893, S. 166. Spitzer, J. A. Berechnung der Monier-Gewölbe. Zeitfchr. d. ölt. Ing.- u. Arch.-Ver. 1896, S. 305.

Thullie, M. R. v. Ueber die Berechnung der Biegungsfpannungen in den Beton- und Monier-Conftructionen. Zeitfchr. d. oft. Ing.- u. Arch.-Ver. 1896, S. 365.

Melan, J. Ueber die Berechnung der Beton-Eifenconftructionen. Oeft. Monatfchr. f. d. öff. Baudienft 1896, S. 465. — Auch als Sonderabdruck erfchienen: Wien 1896.

Thullie, M. R. v. Ueber die Berechnung der Monier-Platten. Zeitfchr. d. oft. Ing.- u. Arch.-Ver. 1897, S. 103.

Grüning, M. & H. Reissner. Eine neue Fahrbahnanordnung für eiferne Strafsenbrücken. Centralbl. d. Bauverw. 1897, S. 190.

²

o = -

Gleichung 103 ift alfo die Gleichung der Null-Linie unter der Vorausfetzung, dafs die Kraftebene den Querfchnitt in einer Hauptaxe fchneidet.

)•

wie omin Druck bedeuten, alfo pofitiv find, findet im ganzen Querfchnitte nur Druck ftatt; dies ift der Fall, wenn gleichzeitig erfüllt ift

F 6 ax

Wenn fowohl a

max 5

d. h. wenn

(H-

)>

0 und

Fia,

)>o

£>-

und a <

Fa, •

104.

F ax

ift. Der Schnittpunkt E der Kraft P mit dem Querfchnitte mufs fich alfo zwifchen

zwei Punkten Kx und /Q (Fig. 127) befinden, welche in den Abftänden — bezw.

Fax ’

von der Axe O liegen, wenn nur Druck im Querfchnitt herrfchen foil.

Fa₂

Wir bezeichnen abkürzungsweife

= ex

und

F ax

Die Punkte Kx und K₂ find die Kernpunkte.

F a₂

- = *t

105.

²⁷) Bei obiger Unterfuchung hätten die Darlegungen in Art. 108 (S. 91), betreffend den Kern, zu Grunde gelegt werden können; die obige Art der Ableitung ift gewählt, um die Entwickelung der Formeln 104 vom vorherigen Studium der Art. 105 bis ii4 (S. 86 bis 94) unabhängig zu erhalten.

103.

Fi

Da auf die fämmtlichen für e\ und e₂ mafsgebenden Gröfsen J, F, ax und a2 ausfchliefslich die Querfchnittsgeftaltung Einflufs hat, fo ift die Lage der Kernpunkte nur von der Form und Gröfse des Ouerfchnittes abhängig.

Für das Rechteck ift y=r

12

nur Druck im Querfchnitt ftattfinden, fo darf die Kraft den Querfchnitt in keinem gröfseren Abftande von der Axe fchneiden, als

6

(vergl. auch Art. 109, S. 91).    ^

Für den Kreisquerfchnitt ift ey —    — —, d. h. die Kraft darf das innere Viertel nicht ver-

laffen, wenn nur Druck auftreten foil. (Vergl. Art. no, S. 92.)

Für den Kreisringquerfchnitt bei geringer Ringftärke ift ey — e^ — in der inneren Hälfte verbleiben,

bhz

F — bh und ay =    —

— ; mithin e\ = en — —. Soll alfo 2    1    ¹ (J

; mit anderen Worten: fie mufs den Querfchnitt im inneren Drittel fchneiden

— : die Kraft mufs alfo

2) Druckvertheilung in Querfchnitten, welche nur Druck aufzunehmen vermögen, falls die Kraftebene alle Querfchnitte in Hauptaxen fchneidet.

Die für die Druckvertheilung unter 1 entwickelten Gefetze gelten auch für Conftructionen, welche nur Druck aufnehmen können, fo lange die Kraft eine derartige Lage hat, dafs im ganzen Querfchnitt wirklich nur Druckfpannungen auftreten, fo lange alfo die Kraft innerhalb der Kernpunkte liegt.

Wenn daher z. B. beim rechteckigen Querfchnitte die Kraft im inneren Drittel liegt, fo kann die Lage der Null-Linie, fo wie die Druckvertheilung genau fo ermittelt werden, wie in Fig. 125 gezeigt ift. Diefe Conftruction findet häufige Anwendung nicht nur bei Freiftützen mit rechteckigem Querfchnitt, fondern auch bei Stützmauern, in Gewölben etc.

Als Mafs fenkrecht zur Bildfläche wählt man zweckmäfsig die Einheit (gewöhnlich lm), fo dafs die gedrückte Fläche — der Querfchnitt — ein Rechteck von der Breite (fenkrecht zur Bildfläche) gleich

der Einheit ift. Die zweite Ab-meffung des Rechteckes ift bei den Gewölben (Fig. 128) die Gewölb-ftärke d an der betreffenden Stelle, bei den Stützmauern die Mauer-ftärke d (Fig. 129).

In den beiden neben flehenden Figuren fchneidet die Mittelkraft die betreffende Fuge innerhalb der Kernpunkte , fo dafs alfo nur Druck im Querfchnitt entfteht und der ganze Querfchnitt wirkfam ift. Die angewandte Conftruction ift ohne weitere Erläuterung verftändlich.

Es möge noch bemerkt werden, dafs diefelbe bei den Gewölben nur annäherungsweife richtig ift, weil die Vorausfetzung der geraden Axe nicht zutrifft. Der Fehler ift aber bei einigermafsen grofsem Halbmeffer des Gewölbes unerheblich.

Wenn aber die Kraft den Querfchnitt aufserhalb der Kernpunkte fchneidet, fo fällt die Null-Linie in den Querfchnitt, und an der einen Seite derfelben würden Zugfpannungen entliehen, falls der Bauftoff diefelben aufnehmen könnte. Da dies nach obiger Annahme hier nicht möglich ift, fo wird auf diefem ganzen Querfchnitts-theile kein Uebertragen von Spannungen ftattfinden können; die ganze Spannungsübertragung findet auf der Druckfeite der'Null-Linie flatt. Man nennt diefen Theil

12g.

Druck

vertheilung.

Fig. 128.

'd Q

Fig. 129.

%.....d-

.......I

ommm.

des Querfchnittes den wirkfamen Querfchnitt. Gröfse und Form des wirk-famen Querfchnittes und die gröfste in demfelben ftattfindende Spannung find zu ermitteln.

Der für die Spannung o gefundene Ausdruck (Gleichung 102) ift hier nicht ohne Weiteres anwendbar, weil bei Aufftellung deffelben Spannungsvertheilung über die ganze Querfchnittsfläche angenommen war. Hier jedoch ift nur ein Theil des Querfchnittes als vorhanden anzufehen, indem der andere Theil an der Kraftübertragung nach der Annahme nicht theilnimmt. Mit kleiner Aenderung kann aber die Gleichung 102 auch hier der Berechnung zu Grunde gelegt werden: man mufs nur unter F die Fläche des wirkfamen Querfchnittstheiles, unter M das Moment von F, bezogen auf die im Schwerpunkt des wirkfamen Querfchnittstheiles fenkrecht zur Kraftebene liegende Axe Y Y, und unter J das Trägheitsmoment des wirkfamen Querfchnittes für diefe Axe verliehen. Dann ift, wenn zum Unterfchiede die Bezeichnungen F⁴, M⁴, J⁴ eingeführt werden,

M⁴ z⁴

.    106.

Die Spannung 0 in den verfchiedenen Querfchnittspunkten ändert fich wiederum nach dem Gefetze einer Geraden, weil die einzigen Veränderlichen der Gleichung 106, a und z⁴, nur in der erften Potenz Vorkommen.

Diefe Gerade (Fig. 130), deren Ordinaten in den verfchiedenen Punkten die Druckgröfsen für die Flächeneinheit angeben, fchneide die Abfciflenaxe in K\ alsdann ill für irgend einen Punkt C im fenkrecht gemeffenen Abftand r\ vom Nullpunkte K

Fig. 130.

\E

Anfrifs.

-fi

die Spannung <3 = a 7j, worin a eine noch zu Druckfigur. beftimmende Confiante ift.

Das Gleichgewicht zwifchen der äufseren Kraft P und den inneren

\K

Kran-Ebene

Spannungen a verlangt, dafs die Summe der im Querfchnitt wirkenden Druckfpannungen gleich der Kraft P fei, fo wie dafs das ftatifche Moment Grundrifs. von P, bezogen auf eine beliebige Axe, gleich der Summe der Momente der Spannungen 0 für diefelbe Axe fei. Als Drehaxe werde die Null-Linie KK gewählt; alsdann ergeben fich die Bedingungsgleichungen (Fig. 130):

und

P='Lodf='L(a yd f)

P r = S (o 7) df) = Yi {a tj ² df).

Die Summirung ift über die ganze wirkfame Querfchnittsfläche auszudehnen. Bei derfelben ift a confiant : mithin erhält man

und

P=a'L(y]df) = a SK

107.

P r = ah (fi² df) = a JK SK und JK bedeuten das ftatifche und Trägheitsmoment des wirkfamen Querfchnittstheiles, bezogen auf die Null-Linie KK. Dividirt man die zweite diefer Gleichungen durch die erfte, fo ergiebt fich

IO8.

ii 7

Der Abftand des Schnittpunktes E von der nächften Kante, d. h. von c, ift bekannt; die ganze Breite ß des wirkfamen Querfchnittstheiles ift demnach

ß '= c -f- r = c -f-

Sk

109.

Die Ermittelung von r nach Gleichung 108 auf dem Wege der Rechnung führt bei einigermafsen unregelmäfsigen Querfchnittsformen zu fehr umftändlichen Arbeiten ; bei der am häufigften vorkommenden Ouerfchnittsform, dem Rechtecke, ergiebt fich aber r fehr einfach.

Fig- 131-

Die zunächft noch unbekannte Abmeffung des wirkfamen Rechteckes, welche in die Kraftebene fällt, fei d. h. es werde mit l) bezeichnet, was oben ß genannt war; die Breite des Rechteckes fei b\ alsdann ift (fiehe Art. 51, S. 34)

demnach

r —

Jk- —3

und SK —

5Tç

2 .

3 2

Ferner ift fy = ß = c-)-r = c-l--—- f); mithin

o

Jk _ 2 b^

S* 3 äb- -

und | = 3 c.

110.

Die Druckvertheilung findet alfo auf eine Fläche ftatt, welche dreimal fo breit ift, als der Abftand des Schnitt-

punktes E von der nächften Kante.

Die Druckbeanfpruchung an irgend einer Querfchnittsftelle ift nun a = a 7], in welchem Ausdrucke a aus der Bedingungsgleichung P= a SK zu ermitteln ift,

d. h. a = -=— ; daher

Sk

P 7] _ 2 Pti bi)> •

Sk

omax findet in denjenigen Punkten ftatt, in denen 73 feinen gröfsten Werth {) hat, d. h. es ift

in.

Wenn fich der Druck P gleichmäfsig über die ganze gedrückte Fläche Fx = bl) = 3 b c vertheilen würde, fo wäre die Druckfpannung für die Flächeneinheit gleich

; der wirklich ftattfindende Maximaldruck ift gleich

3 bc ’

d. h. doppelt fo

3 bc ’

grofs, als wenn P fich gleichmäfsig vertheilte. Die Druckfigur in diefem Falle wird alfo erhalten, indem man zunächft c dreimal von der nächft liegenden Kante aus

abträgt, wodurch man den Nullpunkt K findet; alsdann trägt man in diefer Kante

2 P

nach beliebigem Mafsftabe o„tax =

auf und verbindet den Endpunkt diefer

3 b c

Ordinate mit dem Nullpunkt. Die lothrecht fchraffirte P'läche giebt die Druckfigur. Soll die Druckvertheilung in unregelmäfsigen Querfchnitten ermittelt werden,

130.

Druckvertheilung

fo ift das rechnerifche Verfahren überaus umftändlich. Man kann daffelbe da- in unregei-durch vermeiden, dafs man ein graphifches Verfahren anwendet. In dem durch QuTuchnkten.

I 18

Fig. 132.

Fig. 132 dargeftellten Quer-fchnitt fei KK die Null-Linie und der Querfchnittstheil rechts von diefer Linie der wirkfame Querfchnitt (derfelbe ift an den Rändern fchraffirt). Man zerlege diefen Querfchnitt in eine Anzahl fchmaler Streifen, deren Flächeninhalte fx, f₂, f₃ ■ ■ ■ feien, trage diefelben nach beliebigem Flächenmafsftabe auf, conftruire für den beliebig angenommenen Polabftand H das Seilpolygon /,//... VI, VII. . .

XII und verlängere die erfte Seite des Seilpolygons bis zum Schnittpunkte L mit der Linie KK\ alsdann ift (nach Art. 47,

S. 31) das ftatifche Moment der wirkfamen Querfchnittsfläche, bezogen auf die Axe K K,

SK = H m.

Ferner ift, wenn der Inhalt der Fläche ///... X L I mit <p bezeichnet wird, das Trägheitsmoment der wirkfamen Querfchnittsfläche, bezogen auf die Axe KK (nach Art. 60, S. 39)

iwy,

bet

iż

ii

12^11

i,

*7-----J

rrrrrrr

Tg

K&

V7

\p

V’

J12

und da nach Gleichung 108: r —

y>K

ift, fo wird r =

2 'P

; mithin

112.

Die Null-Linie KK liegt alfo derart, dafs inhaltsgleich ift einem Dreieck, deffen Höhe gleich r, deffen Grundlinie gleich dem Stücke m ift, welches auf der Null-Linie zwifchen die verlängerte erfte Seilpolygonfeite und das Seilpolygon fällt. Verbindet man den Schnittpunkt E" der Kraftrichtung P und der verlängerten erften Seilpolygonfeite mit X, fo erhält man ein Dreieck X L E“, deffen Flächeninhalt

gleich ——— ift, welches alfo, wenn KK richtig angenommen ift, inhaltsgleich mit rp

U

ift. Dies findet ftatt, wenn die in Fig. 132 lothrecht fchraffirten Flächen IIIIIIFE“ I und F VI VII VIIIIX G F gleichen Inhalt haben. Sind beide an Inhalt nicht gleich, fo ift die Linie E“ G um E" zu drehen und damit auch K K nach rechts oder links fo lange zu verfchieben, bis diefe Bedingung erfüllt ift; die dann erhaltene Null-Linie ift die richtige. Demnach ift das Verfahren das folgende.

Man conftruire für den ganzen Querfchnitt das Seilpolygon III. . . XII\ verlängere die erfte Seilpolygonfeite, ermittele deren Schnittpunkt E" mit der Kraftlinie und fuche nun diejenige durch E“ gehende Linie, welche die beiden lothrecht fchraffirten Flächen einander gleich macht ; der Punkt X, in welchem diefe Linie das Seilpolygon fchneidet, beftimmt die Lage der Null-Linie KK.

HQ

Es macht jetzt keine Schwierigkeit, die Druckvertheilung und den gröfsten Druck zu ermitteln. Im Schwerpunkte der wirksamen Querfchnittsfläche ift z' = 0, alfo nach Gleichung 106

F' ift bekannt ; es kann unmittelbar aus Fig. 132 entnommen werden, alfo auch

r

Die Lage des Schwerpunktes S folgt mit Leichtigkeit aus dem Seilpolygon. Trägt man an der dem Schwerpunkte entfprechenden Stelle des Aufriffes der Fuge den P

Werth —=j- in beliebigem Mafsftabe als Ordinate auf (= S' T'), verbindet TJ mit K\

fo giebt die Linie K' T' die Druckvertheilung an ; der gröfste Druck für die Flächen-

P

einheit ift V‘ U' in dem gleichen Mafsftabe, in dem -=7- aufgetragen war.

r

3) Druckvertheilung, falls die Kraftebene die Querfchnitte nicht in

Hauptaxen fchneidet.

131-

Querfchnitt

nimmt

auf.

a) Die Querfchnitte können Druck und Zug aufnehmen²⁸). Die Wirkung einer excentrifch auf den Querfchnitt (Fig. 133) im Punkte E angreifenden Kraft P ift eine dreifache. Falls XX und Y Y die Hauptaxen des Querfchnittes find, fo Zug und Druck wird zunächft nichts geändert, wenn man im Schwerpunkte zwei einander gleiche Kräfte P anbringt, welche der gegebenen Kraft P parallel, alfo lothrecht gerichtet find. Zwei diefer Kräfte P bilden in der durch O E gelegten lothrechten Ebene ein Kräftepaar; die dritte Kraft P greift im Punkte O an. Das Moment M des

Fig- 133-

Kräftepaares kann man durch zwei wagrechte Kräfte R erfetzen, deren eine im Querfchnitt, deren andere in folcher Höhe h über dem

X-

a,

Grundrifs.

V?

AA

E‘

y/m

P'

P'

Aufrifs.

Querfchnitt wirkt, dafs Rh = M ift. Zerlegt man die Kräfte R in zwei Seitenkräfte R cos a und R sin a, welche in die lothrecht durch XX, bezw. Y Y gelegten Ebenen fallen, fo erhält man zwei Momente : in der lothrechten durch X X gelegten Ebene M cos a = Mv und in der lothrechten durch Y Y gelegten Ebene M sin a = Mx. Demnach ift die loth-rechte Spannung, welche in einem Punkte C des Querfchnittes mit den Coordinaten x und y erzeugt wird,

M y x

Mxy

113-

In diefer Gleichung bedeutet F den Flächeninhalt des Querfchnittes ; Jx und JY find die Trägheitsmomente der Querfchnittsfläche, bezogen auf die XX- und FE-Axe.

Bei gegebenem Querfchnitt und gegebener Kraft enthält die Gleichung 113 nur drei Veränderliche: a, ;r und y\ alle drei kommen nur in der erften Potenz Ermittelt man demnach für alle Werthe von x und y, d. h. für alle Quer-fchnittspunkte, die zugehörigen Werthe von o und trägt diefelben als Ordinaten

vor.

Jv

120

auf, fo liegen alle Endpunkte diefer Ordinaten auf einer Ebene, auf der Ebene der Gleichung 113. Man findet leicht die Null-Linie, indem man <3 = 0 fetzt und in der erhaltenen Gleichung für zwei Werthe von x die zugehörigen Werthe von y auffucht. (Vergl. auch Art. 105, S. 86.)

132.

Querfchnitt nimmt nur Druck auf.

ß) Die Querfchnitte können nur Druck aufnehmen. Wenn die Quer-fchnitte nur Druck übertragen können, wie dies beim Mauerwerk nahezu der Fall ift, behält, fo lange die Null-Linie nicht den Querfchnitt fchneidet, die Gleichung 113 ihre Giltigkeit, weil alsdann nur Druckfpannungen ftattfinden. Sobald aber die Null-Linie in den Querfchnitt fällt, wird die Aufgabe eine fehr fchwierige. Denn es ift nicht nur die Gröfse der gedrückten Fläche, fondera auch die Richtung der Null-Linie unbekannt. Die Gleichung 113 bleibt auch für diefen Fall giltig, wenn unter F die wirkfame Querfchnittsfläche, unter XX, bezw. Y Y die durch den Schwerpunkt derfelben gelegten Hauptaxen diefes Theiles der Querfchnittsfläche verftanden werden und die Coordinaten .r und y, fo wie Jx und JY auf diefe Hauptaxen bezogen werden.

Die Endpunkte der in den einzelnen Querfchnittspunkten aufgetragenen Werthe für o liegen wiederum auf einer Ebene, der Spannungsebene, welche den Querfchnitt in der Null-Linie fchneidet. Alle lothrechten Ebenen, welche parallel zur

Fig. 134-

.....

§T

XrO

fr

oi

ÿo

.4.

AL /

«o¹

rh

V'

Null-Linie durch den wirkfamen Querfchnittstheil gelegt werden, fchneiden diefen und die Spannungsebene in zwei parallelen Linien, deren Abftand die Spannung der gefchnittenen Querfchnittspunkte angiebt. Daraus folgt, dafs in allen Punkten, welche auf einer Parallelen zur Null-Linie KK liegen (Fig. 134), die Spannungen gleich grofs find. In einem Punkte C, deffen fenkrechter Abftand von KK gleich 7] ift, wird die Spannung a = a 7] fein, in welcher Gleichung a eine noch unbekannte Conftante ift. Die graphifche Darftellung der Spannung in den einzelnen Punkten des Querfchnittes bietet die Linie U' K'.

Wird zunächft die Richtung der Null-Linie KK als bekannt und gegeben angenommen, fo ift die ganze Ableitung in Art. 130 (S. 117) auch hier giltig. Auch hier ift

o = a Y] fonach

und P r —

J° f] df= a J*q² df— a JK\

S K

JK und SK bedeuten das Trägheits- und das ftatifche Moment der wirkfamen Querfchnittsfläche, bezogen auf die Axe K K. Man zerlege die Querfchnittsfläche nunmehr in Streifen, welche parallel zu KK find und ermittele die Lage von KK, wie oben (in Art. 130, S. 117) gezeigt ift (Fig. 134²⁹).

Es ift nun zu unterfuchen, ob die angenommene Richtung der Null-Linie richtig ift. Die im Querfchnitt wirkenden Druckfpannungen müffen mit der Kraft P, welche den Querfchnitt im Punkte E fchneidet, im Gleichgewicht fein; demnach mufs ihre Mittelkraft ebenfalls durch den Punkt E gehen, wenn die Richtung der Null-Linie richtig gewählt ift. Alsdann ift auch die gefundene wirkfame Fläche (in Fig. 134 fchraffirt) richtig; anderenfalls ift eine Verbefferung vorzunehmen. Alle Punkte des Querfchnittes, welche auf Parallelen zur Null-Linie liegen, haben nach Obigem gleiche Spannung; man kann alfo die Querfchnittsfläche in (genügend fchmale) der Null-Linie parallele Streifen zerlegen, in welchen je gleiche Spannung ftatt-findet. Der gefammte Druck in einem Streifen von der Breite bn, der Länge hn und der Spannung a„ für die Flächeneinheit ift offenbar

Sn = b» K o« •

Man ermittele für alle Streifen die Werthe g, wobei die Werthe von a„ durch die entfprechenden Ordinaten der Linie U' K! dargeftellt find, und fuche die Entfernung der Mittelkraft diefer Werthe gx, g₂, g₃ . . . von zwei Axen, welche beliebig angenommen werden können. Zweckmäfsig wird als eine Axe die Null-Linie, als die andere Axe eine Längsfeite des Querfchnittes gewählt; es können auch die Längsund Querfeite genommen werden. Das Auffuchen der Mittelkraftslage erfolgt bequem mit Hilfe zweier Seilpolygone (Fig. 134). Der Abftand der Mittelkraft von den beiden Axen ergiebt fich aus den Schnittpunkten p und z der äufserften Seilpolygonfeiten ; der Schnittpunkt der Mittelkraft mit dem Querfchnitt liegt fowohl auf der durch p gezogenen Linie rr, wie auf der durch z gezogenen Linie tt, ift alfo der Punkt V. Linie rr ift parallel zur Kraftrichtung im erften, tt parallel zur Kraftrichtung im zweiten Seilpolygon.

(= S' S") aufträgt und den Endpunkt S" mit K! ver-

Wenn V mit E zufammenfällt, wie in Fig. 134, fo ift die Null-Linie und die ganze Conftruction richtig; die wirklichen Druckfpannungen können dann, wie in Art. 130 (S. ii 7) gezeigt, ermittelt werden, indem man im Schwerpunkte der wirkfamen Querfchnittsfläche

bindet.

K' U' W' ift die Druckfigur.

Fällt aber V mit E nicht zufammen, fo ift die Unterfuchung für eine andere Lage der Null-Linie zu wiederholen. Man kann ohne Schwierigkeit fchätzen, nach welcher Richtung KK gedreht werden mufs, und erreicht meift bereits bei der

122

erften Wiederholung der Conftruction ein genügend genaues Zufammenfallen der Punkte E und V.

Vorftehende Unterfuchung ift für die Ermittelung der Standficherheit von Gewölbepfeilern, durchbrochenen Mauern, Schornfteinen etc. von grofser Wichtigkeit.

b) Gedrückte Stäbe unter Berückfichtigung der Zerknickungsgefahr.

1) Theorie des Widerftandes gegen Zerknicken.

133-

Voraus

fetzungen.

134-

Elaftifche

Linie.

Wenn auf einen Stab mit gerader Axe zwei Zugkräfte P wirken, deren Richtungslinien genau mit der Stabaxe zufammenfallen, fo findet in den einzelnen Punkten des Stabes nur eine Zugbeanfpruchung ftatt. Wirken auf einen eben folchen Stab zwei Druckkräfte P ebenfalls genau in der Richtung der Axe und einander entgegengefetzt, fo müfften nach Früherem an den einzelnen Stellen gleichfalls nur Druckbeanfpruchungen ffcattfinden, welche bei überall gleichem Stabquerfchnitt in allen Punkten für die Flächeneinheit gleich wären. In Wirklichkeit kann man darauf nicht immer rechnen. Wenn die Länge des Stabes im Vergleich zu feiner Quer-fchnittsfläche grofs ift, fo wird unter dem Einfluffe der drückenden Kräfte ein Ausbiegen ftattfinden, und auf jeden Querfchnitt C (Fig. 135) wirkt alsdann aufser der Axialkraft P noch ein Moment Py. In diefem Falle findet Beanfpruchung des Stabes auf Zerknicken ftatt, und derfelbe ift mit Rückficht auf diefe Beanfpruchungsweife zu berechnen.

Es kann auffallen, dafs hier fcheinbar ein Widerfpruch zwifchen der Theorie und Praxis obwaltet; in Wirklichkeit ift derfelbe aber nicht vorhanden. So lange die Druckkräfte ganz genau in der Stabaxe und in deren Richtung wirken, findet ein Ausbiegen nicht ftatt; fobald aber in Folge von unvermeidlichen Fehlern die Kräfte aufserhalb der Axe angreifen, bezw. von der Richtung der Axe abweichen, entlieht für jeden Querfchnitt des Stabes ein Biegungsmoment, welches unter Urnftänden ein Ausbiegen zur Folge hat. Man kann daher in diefem Falle von einem labilen Gleichgewichtszuftande fprechen.

Ein Ausbiegen der Stabaxe kann nicht nur in der in Fig. 135 gezeichneten Richtung ftattfinden, fondent ift nach allen möglichen Richtungen denkbar; es ift demnach zu unterfuchen, nach welcher Richtung ein folches Ausbiegen am leichterten ftattfindet, und der Querfchnitt des Stabes danach anzuordnen. Für die folgenden Unterfuchungen foil angenommen werden, dafs 1) als äufsere Kräfte nur die Axialkräfte P wirken,

2) die Axialkräfte in den Schwerpunkten der Endflächen angreifen und 3) der Stab überall gleichen Querfchnitt habe.

Unter Einwirkung der Kraft P möge der Stab (Fig. 136), deffen Axe urfprünglich mit A X zufammenfiel, in die Lage A B gekommen fein; die Bildebene XA Y, in welcher AB liegt, fchneide alle Querfchnitte in Hauptaxen; der Axenpunkt B habe nach der Formänderung die Ordinate y₀. Für irgend einen Punkt C mit der Abfciffe x fei die Ordinate y\ das Moment für diefen Punkt ift M — P (y₀ —y) und die elaftifche Linie demnach aus der Gleichung 100 zu ermitteln. Danach wird

d² y

d x²

Hierin ift J das Trägheitsmoment des Querfchnittes bei C, bezogen auf diejenige Schwerpunktsaxe deffelben, welche fenkrecht zur Kraftebene, alfo zur X Y-

p (To - y)

EJ

Fig. 135-

<P

A/>

m.

Fig. 136.

r-r*

pp

114.

Ebene, fleht. Der Querfchnitt ift nach obiger Vorausfetzung confiant, alfo auch J für die Integration confiant ; da P und E gleichfalls confiant find, fo hat bei der

einen conftanten Werth. Abkürzungsweife werde

Integration

= <x²

i¹5-

gefetzt, fo dafs die Differentialgleichung der elaftifchen Linie lautet:

d² y

d x²

Die zweimalige Integration ergiebt als Gleichung der elaftifchen Linie:

y = y₀ -f- A sin a x -f- B cos a x......

Die beiden Conftanten A und B find für die verfchiedenen Arten der Stabunter-ftützung verfchieden.

Bekanntlich ift

sin a = sin (2 7r —(— a) = sin (2 n tz -(- a) und cos a = cos (2 % -f- a) = cos (2 n ir -|- a),

worin n eine beliebige ganze Zahl oder Null bedeutet, alfo gleich 0, 1, 2, 3 . . . gefetzt werden kann. Es ift alfo auch

sin a x = sin (a x -j- 2 11) = sin

= «² ü'o —y)

116.

117-

und

cos a x = cos (a x -f- 2 ir) = cos Die Gleichung 117 kann daher auch gefchrieben werden :

= y₀-j-A sin |a (x +    + B cos Ja (x -f

Man erhält fonach gleich grofse Werthe für y, wenn man und wenn man

2 Ti

einfetzt, d. h. die Ordinaten je zweier Punkte, deren Abfciffen um-

einander verfchieden find, haben gleiche Werthe. Die elaftifche Linie ift dem-

x H--

a

von

nach eine Wellenlinie; die Wellenlänge ift

2 7T

119.

und, da nach Gleichung 115 : a =

EJ

ift,

EJ

120.

Aus diefer Gleichung kann man, falls E, J und P gegeben find, die Wellenlänge berechnen. Ift dagegen X gegeben, fo kann man aus Gleichung 120 diejenige Kraft P berechnen, welche die Durchbiegungen y erzeugen kann. Die Gröfse von P folgt aus Gleichung 120 zu :

4 TC² E J

X²

121.

Noch auf eine wichtige Eigenthümlichkeit der allgemeinen Gleichung 116 ift

124

hinzuvveifen. Diefelbe bleibt gütig, wenn man beiderseits mit der beliebigen Zahl m multiplicirt ; fie heifst alsdann :

d² y d x²

Es fei m y₀ = 7]₀ und m y = 7] ; alsdann ift auch m

= ■ ■ ■

TU

= m a² (y₀ — y) = a² (m y₀ — my).

d² y d² 7] d x²

d x²

, alfo

122.

Die Gleichung n 6 gilt daher für beliebig grofse Werthe von y. Sind alfo unter der Einwirkung einer Kraft P die Durchbiegungen y möglich, fo find auch w-mal fo grofse, d. h. beliebig grofse Durchbiegungen möglich, alfo auch fo grofse, dafs der Stab zerknickt wird.

Der Werth von P in Gleichung 121, welcher die Durchbiegungen y erzeugen kann, kann alfo auch den Stab zerknicken.

Bei der vorstehenden Ableitung ift angenommen worden, dafs die Ausbiegung in der X FEbene erfolge ; diefelbe kann aber auch in der fenkrecht zu erfterer flehenden XZ-Ebene ftattfinden, welche die zweiten Hauptaxen der Querfchnitte enthält. Die Entwickelung für diefen Fall bleibt genau diefelbe, wie die obige, und man erhält für P denfelben Ausdruck, wie dort; nur ift alsdann unter J das Trägheitsmoment des Querfchnittes, bezogen auf die zur X Z- Ebene fenkrechte Schwerpunktsaxe, zu verftehen, welche Axe parallel zur F-Axe ift. Nennen wir daffelbe Z₁, die entsprechenden Werthe von P und X aber Px und X.. fo ift

4tt² EJx

Pi =

123.

135.

Einfeitig

eingefpannter

Stab.

Ein Ausbiegen des Stabes kann nun fowohl in der X FEbene, wie in der X Z-Ebene ftattfinden ; die wirkliche dem Stabe zuzumuthende Belastung darf den Grenzwerth nicht erreichen. Die Gleichungen 121 u. 123 geben zwei Grenzwerthe, und naturgemäfs ift der kleinere von beiden als mafsgebend einzuführen. Nimmt man in beiden Richtungen gleiche X an, fo unterscheiden Sich beide Grenzwerthe nur durch die Werthe der Trägheitsmomente. In den Ausdruck für P ift demnach von den beiden Hauptträgheitsmomenten das kleinere einzufetzen.

Wenn die Ausbiegung nach allen Richtungen möglich ift, fo nimmt man an, dafs diefelbe fenkrecht zu derjenigen Hauptaxe erfolgt, welcher das kleinere Hauptträgheitsmoment entspricht; denn diefes ift nach Art. 62 (S. 41) das kleinfte der für alle Schweraxen möglichen Trägheitsmomente.

Für die weiteren Betrachtungen find die verfchiedenen möglichen Fälle in das Auge zu faffen.    ,

a) Einfeitig eingefpannter, an einem Ende in der Richtung der Axe belafteter Stab (Fig. 137). Aus der allgemeinen Gleichung 117 für die elaftifche Linie:

folgt

y — y₀ -f- A sin a x -j- B cos a x

— Aa cos a x — Ba sin a x

124.

Die Conftanten A und B werden aus den befonderen Bedingungen für diefen Fall beftimmt.

Fig. 137-

Für * = O ift

= O, weil der Stab an diefer Stelle

tZ

-y\

d x

wegen der Einfpannung ftets die Richtung der X-Axe hat; demnach ift in Gleichung 124

'A

A a = O,

oder, da a nicht gleich Null ift, A = 0. Eben fo ift für x = 0 auch y = 0, daher in Gleichung 117: 0=jj/₀-f-i? oder B = —y₀. Sonach lautet die Gleichung der elaftifchen Linie für diefen Fall:

y =y₀ —y₀ cos a x = y₀ (1 — cos a x) .    .    .    125.

Für x = l wird y = jk₀; demnach y₀ = y₀ (1 — cos a /). Diefe Gleichung kann nur beftehen, wenn

cos a l — 0

126.

ift. Soll alfo der Stab unter Einwirkung der Kraft P fich fo durchbiegen, wie Fig. 137 zeigt, alfo im Punkte C die Ordinate y, im lindpunkte die Ordinate y0 haben können, fo mufs cos a 1=0 fein; es mufs alfo

al= 90°, bezw. 270°, bezw. 450° u. f. w.,

oder allgemein

127.

— (2 n -f- 1)    .    .

fein, worin 71 die Werthe 0, 1, 2, 3 . . . annehmen kann. Daraus folgt auch der Werth von P, welcher den Stab in der angegebenen Weife biegen, alfo nach den Erklärungen in Art. 134 (S. 122) auch zerknicken kann. Für diefen

Fig. 138.

(2 n -f- 1) > und,

Fall ift nach Gleichung 127: a

< Ittt-

da

a=V

EJ

ift,

EJ

alfo

E.Jn*

4 /²

(2 « + l)²    .

.    .    128.

Die zugehörige Wellenlänge X folgt aus Gleichung 119. Es ift

129.

2 71

2 1

Die beiden Gleichungen geben Auffchlufs über die Gröfse der Grenz-werthe P, welche bei den verfchiedenen Anordnungen des einge-fpannten Stabes einzuführen find.

Bei dem in Fig. 137 u. 138 vorgeführten Falle ift die ganze Wellenlänge X viermal fo grofs, als die freie Länge /, d. h. es ift X = 4/; demnach folgt für diefen Fall aus der Gleichung 129: n = 0, und damit aus Gleichung 128

130.

EJrA

4 /²

Wird ein Punkt E im Abftande — vom Einfpannungspunkte feft gelegt, fo

3

mufs die P'ormänderung fo erfolgen, dafs / = — X (Fig. 140) wird; dafür folgt aus

136.

Stab

mit freien Enden.

Gleichung 129: \ =

2 n 4- 1

I2Ó

die Gröfse

Fig- 139-

n — 1, ferner aus Gleichung 128 als zer-

knickende Kraft

4 /²

•    - I3I-

IĄ,i

K-

Fig. 140.

P-

\E

25RJX²

n=J

4l²

P=

9EJjv²

TP

Werden endlich zwei Punkte E und l    3

F in den Abftänden und —— l vom

5    5

Einfpannungspunkte feit gehalten (Fig. 139), 4

fo wird X = —- l und aus Gleichung 129: o

n — 2 ; alsdann ift die zerknickende Kraft

łrf /

25 E J Tr²

/²

Man fieht, wie wefentlich der Grenzwerth durch angemeffene Conftruction erhöht werden kann.

ß) Stab mit beiderfeits frei drehbaren Enden (Fig. 141). Die fym-metrifche Belaftung des Stabes wird zur Folge haben, dafs beide Stabhälften, oberhalb und unterhalb der Stabmitte, fich genau gleich verhalten ; man kann demnach diefen Fall auf den vorhergehenden dadurch zurückführen, dafs man den Anfangspunkt des Coordinatenfyftems in die Stabmitte legt. Jede Hälfte verhält fich dann genau eben fo, wie der Stab im vorigen Artikel; die zerknickende Kraft P, d. h. der Grenzwerth von P, ift demnach aus der Gleichung 128 zu entnehmen, jedoch mit der

einzufetzen ift, weil die dort mit l bezeichnete Länge hier nur — beträgt.

Jj

Für den vorliegenden Fall ift alfo

Fig. 141.

Fig. 142.

----

P--

EJP

Xp

4.

4._____

.1

EJk* (2 11 -f l)²

EJtz*

‘(t)’

/²

(2 n -f l)²

und

2 11 -j- 1

2 11 -j- 1

Bei dem in Fig. 142 dargeftellten Falle ift X = 2 /, d. h. n — 0, mithin

132.

EJit

/²

Wird ein Punkt E in der Mitte des Stabes feft gehalten, fo findet die Durch-

Fig. 144.

Fig- I43-

n -- 1

L j\ p- 4EJx²

P-

9EJz²

biegung nach Fig. 143 10 ftatt, dafs / = X, alfo n = — wird; alsdann hat P den Werth: 4 E J71²

Sind endlich zwei Punkte E und F in den /

—- von den Endpunkten feft ge-

o

fo dafs die Formänderung nach

Abhanden halten

*—iF

3

Fig. 144 eintreten mufs, fo wird / =-^- X, alfo n = 1 und

9 EJ%²

Die Formänderung kann auch unter Beibehaltung der Punkte E, F und der Endpunkte fo eintreten, dafs die Bogenlinien auf diejenige Seite der urfprünglichen Axe fallen, welche der gezeichneten entgegengefetzt ift.

137-

Stab mit eingefpannten Enden.

7) Stab mit eingefpannten Enden (Fig. 145). Beide Endpunkte des Stabes verbleiben in Folge der Einfpannung in der Lothrechten der Axe X X\ die Tangente an die Axe in diefen Punkten, d. h. die Axenrichtung, kann fich nicht verändern. An jedem Einfpannungspunkte mufs demnach ein Kräftepaar wirken, deffen Moment ftets genügend grofs ift, um den Stab in der urfprünglichen Richtung zu erhalten; diefes Moment möge M₀ genannt werden. Für einen beliebigen Punkt C mit der Abfciffe ift das Biegungsmoment

F’g- H5-

M=M₀

-Py = [

M„

P.

mmm.

B

EJ

Demnach lautet die Differentialgleichung der elaftifchen Linie hier:

d² y d x²

d² y

Mn

—y

oder

EJ

(■

M₀

-*)■

P'

\C

Abkürzungsweife werde wieder

EJ

= a² gefetzt; alsdann ift

d² y

= a²

Pn

('

M₀

')

d x²

Als Gleichung der elaftifchen Linie ergiebt fich

M₀

y = —-p—\- A sin a x -j- B cos a x ; ....    133.

ferner

— Aa cos a x — Ba sin ax. .    .    .    134.

Die Conflanten A und B ergeben fich in folgender Weife. Für ^ = 0 ift y — 0, demnach in Gleichung 133: 0 =

= 0, folglich in Gleichung 134: 0 = Aa und, da a nicht gleich Null ift, A = 0. Die Gleichung der elaftifchen Linie lautet fonach im vorliegenden Falle:

M₀

-f- B und B — —

M₀

Für .r = 0 wird

M₀

Mo

Mo

cos a x — -p- (1 — cos a x).....135.

128

Für x = / iff jj/ — 0, demnach

M

0 =    (1 — cos « /) oder

. cos a l = 1.

Damit diefe Gleichung erfüllt werde, mufs a l = 2 n Tz

Fig. 146.

Fig. 147.

n-l

Hü

i6EJx*

4. EJE

P'

l²

fein, worin 11 die Werthe 0, 1, 2, 3 . . . haben kann.

\E *

El

Aus Gleichung 119 folgt für die Wel-

lenlänge

2 TU l

2 n 7T

11

oder

11

Ferner wird nach Gleichung 119

4 7T ²

ct² —-—

EJ

X²

.1

und P =

4 EJn²

X²

Diefe beiden Gleichungen geben über die Gröfse von P Auffchlufs. Es ift

für 7i — 1 :

-h- = 1 oder X =

für 7t — 2 :

oder X = ——

Der erftere Fall ift durch Fig. 146, der zweite durch Fig. 147 dargeftellt; letzterer tritt ein, wenn der Punkt E in der Stabmitte feft gehalten wird.

8) Stab mit einem eingefpannten und einem in der Lothrechten ge-eingefpannten führten Ende (Fig. 148). Wenn der Punkt B nicht in der lothrechten Linie geführt wäre, würde er etwa die punktirte Lage eingenommen haben ; die Führung mufs alfo durch eine wagrechte Kraft H verurfacht werden, welche ftets genügend grofs ift, um ein Ausweichen von B zu verhüten. Diefe Kraft H ift ihrer Gröfse nach nicht bekannt.

Das Biegungsmoment für irgend einen Punkt C des Stabes mit der Abfciffe x ift nun

138.

Stab mit einem

und einem geführten Ende.

Fig. 148.

II

M — H {l — x) — P y = P

»C-

und die Differentialgleichung der elaftifchen Linie (fiehe Gleichung ioo)

EJ

d x²

AJ

oder

weife

d² y

d x² ~~ EJ

i 36.

Man fetzt, um diefe Gleichung aufzulöfen, = a²\ alsdann iff

d²y

= z ; wieder fei abkürzungs-

EJ

und

H dy

0 = A sin (a l) -j- B cos (a l), woraus tgal— —

folgt, und wenn für B und A die foeben gefundenen Werthe eingefetzt werden,

140.

ferner

d x 'L

Die Auflöfung diefer Differentialgleichung ergiebt wiederum genau, wie in Art. 134 (S. 123)

z — A sin a x B cos a x, und wenn für z der Werth eingeführt wird,

¹37-

[ ^r (/ - ■*) - 7]

— 4Î sin « .r -f- B cos « a' ....    138.

Die Differentiation nach ;r ergiebt

-f

= A a cos a x — B a sin a x .    ,    .    .    139.

Aus den beiden Gleichungen 138 u. 139 ergeben fich die Werthe der Con-ftanten A und B, wie folgt.

Für x — Q iftjj/ = 0, alfo nach Gleichung 138:,

tf² H

PI

= A a und

l — B\ für ^ = 0 ift a II

= A. End-

= 0, alfo nach Gleichung 139: —

lieh ift für ^ = i auch y = 0, weil der Endpunkt des Stabes in der Lothrechten geführt wird, alfo nach Gleichung 138

t g a l = a l

Diefe Beziehung findet ftatt für a l = 0, aufserdem aber auch für den Winkel

Ü57° 27/ 12"; für diefen Winkel ift tg a l ■= a l = 4,4934 , alfo a = ift, fo wird

da (ü² =

EJ

E J (4,4934)

/²

= 20,19

EJ

/²

4,4934

und

141.

Dies ift der Werth von P, für welchen Gleichung 140 erfüllt ift und einen Sinn hat; der Werth a l = 0 ift nicht zu verwerthen. Diefes P vermag fonach die in Fig. 148 gezeichnete Formänderung hervorzurufen, alfo nach Früherem auch den Stab zu zerknicken.

139.

Zufammen-

ftellung.

In Art. 135 bis 138 find diejenigen Werthe der zerknickenden Kraft entwickelt worden, welche für die Praxis hauptfächlich von Bedeutung find. Nachftehend find diefelben in Fig. 149 bis 152 überfichtlich zufammengeftellt, wobei überall der Stab

auf feine ganze Länge frei angenommen ift; der Werth-von P im vierten Falle ift

des bequemen Vergleiches wegen ebenfalls als Product mit dem Factor dargeftellt.

EJtA

Die Tragfähigkeit der Stäbe verhält fich demnach

in den P'allen

wie

:    1    :    2,048    :    4.

130 .

Fig. 149. Fall i.

Fig. 150.

Fall 2.

Fig. 151.

Fall 3.

Fig. 152.

Fall 4.

EJP

lp"ir

jx EJ.-z³

P-

4 EJP

p AO48EJx ²

IS

a*

Durch entfprechende Endanordnung würde man alfo die Tragfähigkeit des Stabes verfechzehnfachen können. Die angegebenen Kräfte find thatfächlich im Stande, den Stab zu zerknicken, und defshalb find Sicherheits-Coefficienten einzuführen.

2) Querfchnittsermittelung bei centrifcher Druckbelaftung.

I4°;    Die unter 1 entwickelten Formeln geben die Gröfse derjenigen Kraft P an,

Beanspruchung, welche im Stande ift, den Stab oder die Stütze zu zerknicken. Die dem Stabe wirklich zuzumuthende Laft darf naturgemäfs diefen Werth niemals erreichen; fie darf nur einen Bruchtheil des ermittelten Knickwerthes betragen. Verfteht man unter s den fog. Sicherheits-Coefficienten, unter C einen von der Endbefeftigung des Stabes abhängigen Coefficienten, fo ift die Kraft, welche mit Rtickficht auf die Zerknickungsgefahr auf den Stab wirken darf,

C EJ

142.

Diefer Werth ift aber nicht ohne Weiteres für alle Fälle anwendbar. Wenn die Stablänge /, alfo auch die im Nenner vorkommende Gröfse /², fehr klein ift, fo ergeben fich für P fehr gröfse Werthe, gröfsere Werthe, als die einfache Druck-beanfpruchung des Stabes geftattet. Wird die zuläffige Druckbeanfpruchung für die Flächeneinheit des Querfchnittes mit K, die Querfchnittsfläche mit F bezeichnet, fo darf höchftens fein

M3-

P=FK.    .

Gröfser, als der Werth in Gleichung 143 ift, darf P mit Riickficht auf die zuläffige Druckbeanfpruchung nicht werden; gröfser, als der Werth in Gleichung 142 ift, darf P der Zerknickungsgefahr halber nicht werden ; defshalb ift ftets der kleinere diefer beiden Werthe für diejenige Belaftungsgröfse mafsgebend, welche dem Stabe zugemuthet werden darf. 'Bei gröfser Stablänge / ergiebt die Gleichung 142, bei geringer Stablänge / die Gleichung 143 kleinere Werthe für P. Der Grenzwerth von /, etwa , wird derjenige fein, für welchen aus beiden Gleichungen derfelbe Werth von P folgt. Diefer Grenzwerth ergiebt fich durch Gleichfetzung der beiden Werthe von P in den Ausdrücken 142 u. 143 zu

.    .    144.

Zerknickungsgefahr tritt erft auf, wenn / )> lx ift; demnach ift, falls die Stablänge kleiner als lx ift, die Gleichung 143, falls fie gröfser als lx ift, die Gleichung 142 anzuwenden.

Klaren Einblick in die hier mafsgebenden Verhältniffe verfchafft die graphifche Darftellung der Veränderlichkeit von P in Fig. 153. Ermittelt man diejenigen Werthe von P, welche ein Stab bei ver-fchiedenen Längen mit Rücklicht auf die Zerknickungsgefahr ertragen kann, falls Material, Fig. 153. Querfchnittsform und Querfchnittsgröfse, fo wie Befeltigungsweife der Enden ftets diefelben find, und trägt diefe Werthe von P als Ordinaten auf, während die zugehörigen Längen als Abfciffen gewählt werden, fo erhält man eine Curve, offenbar die Curve der Gleichung 142. Für l — 0 wird P = oo ; für l — 00 wird P — 0 ; die Y- und V-Axe find alfo Afymptoten an die Curve. Dagegen ift der Werth für P aus Gleichung 143 unabhängig von der Stablänge ; werden demnach für alle möglichen Längen diefe Werthe ermittelt und als Ordinaten in gleichem Mafsltabe aufgetragen, wie die Werthe aus Gleichung 142, fo ergiebt fich eine zur AT-Axe parallele Linie D D. Im Punkte E fchneiden fich beide Linien ; die zugehörige Abfciffe ift offenbar die Länge /j, für welche beide Gleichungen denfelben Werth von P ergeben. Links von E ift die Linie DE, rechts von E die Curve E F mafsgebend. Die

fchraffirte Fläche deutet dies an.

JE

141.

Querfchnitts-

ermittelung.

lUlîMnr

[TI IfTTTm

Wenn, wie gewöhnlich, die Laft P und die Länge l gegeben find, fo handelt es fich um die Ermittelung von Form und Gröfse des Stabquerfchnittes. Für diefe Beftimmung flehen die beiden Gleichungen 142 u. 143 zur Verfügung. F und J müffen wenig-ftens die aus diefen Gleichungen fich ergebenden Werthe haben, fo dafs fich die Bedingungen für die Querfchnittsbildung ergeben zu

und Fmin ^

Ps P

CE

145.

Dabei ift zu bemerken, dafs, wenn Ausbiegen nach allen Richtungen möglich ift, das kleinfte für eine Schwerpunktsaxe des Querfchnittes fich ergebende Trägheitsmoment zum minderten die verlangte Gröfse haben mufs; defshalb wurde in Gleichung 145: Jmin gefetzt. Ift Ausbiegen nur nach beftimmten Richtungen möglich, fo mufs das kleinfte in Betracht kommende Schweraxen-Trägheitsmoment die berechnete Gröfse haben.

Die in obigem Ausdruck vorkommenden Conftanten C, E, K und s bedeuten beftimmte Zahlenwerthe; für die in Fig. 149 bis 152 dargeftellten vier Fälle ift C:

Fall 1:

Fall 2:

Fall 3:

Fall 4:

Z²

^= — 1/ C= 1.5,

= Z²

= 4 z²

= 2 z² (genügend genau)

— 3,14

Die Coefficienten E, K und s haben für alle Stäbe aus demfelben Material gleiche Werthe; wird als Flächeneinheit das Ouadrat-Centimeter, als Krafteinheit das Kilogramm angenommen, fo kann man für K, E und .y nachftehende Werthe fetzen :

== 6,28

= 4,44.

für Schweifseifen und Flufseifen :

für Gufseifen:

für Holz:

E = 2 000000 K = 700

1000 000

120 000 kg für lqcm

500

65

I32

Alsdann wird auch P in Kilogr. eingeführt werden müffen; F wird in Quadr.-Centim. und J in cm⁴ erhalten. Die Formel ergiebt für Fall 2 und Schweifseifen

Jmin

P^g . 5 /cm 2

Tr².2000000 '

Wefentlich bequemer werden die Ausdrücke für JmiH, wenn man P und E in Tonnen, l in Met. einführt und 7c² — 10 fetzt; letzteres ift nicht ganz genau, aber der Fehler kommt gar nicht in Betracht, da man je nach dem Bauftoff mit einem Sicherheitscoefficienten 5, 8, bezw. 10 arbeitet. Man erhält dann für Fall 2 und Schweifseifen, da Akg = 1000 Ft, /cm ₌ 100 /m und /™² = 10000 /m2 ift,

, d. h. y min ^ 2,5 P^ l~ m.

1000 Pt. 5 . 10000 . I >«²

10.2 000 000

Eben fo ergeben fich für Holz und Gufseifen fehr einfache Ausdrücke; für die Hauptftoffe find diefe Ausdrücke für Fall 2 nachftehend zufammengeftellt :

für Schweifs- und Flufseifen    > 2,.-, Pt l m² |

für Gufseifen    ym,-M > SPt/m'² .    .    146.

für Holz

y min ^ 83 Pt /m2 j

Die Zufammenftellung für alle vier Fälle ergiebt die nachftehende Tabelle. 7min mufs fein >:

Conftructionsmaterial

Fall i (Fig. 149)

Fall 2

(Fig. 150)

Fall 3 (Fig. 151)

Fall 4

(Fig- 152)

Schweifseifen und Flufseifen .

Gufseifen

CO    1—¹

CO o

Holz

332

IC jCO    §

P Tonnen X I (Meter)²

Je mehr fich der Flächeninhalt des Querfchnittes, welcher dem nothwendigen

- nähert, defto zweck-

Trägheitsmomente entfpricht, dem zuläffigen Kleinftwerth

mäfsiger ift die Conftruction. Man nimmt gewöhnlich zunächft einen Querfchnitt

P

an, für welchen F — ftattfindet und ermittelt das Trägheitsmoment deffelben.

K.

Genügt letzteres nicht, fo ift die Querfchnittsfläche entfprechend zu vergröfsern, bis das verlangte J vorhanden ift. Diefes Verfahren foil an einigen Beifpielen gezeigt werden.

Beifpiele. a) In einer gufseifernen Stütze fei der gröfste Druck P — 50000= 50 Tonnen; die Länge der Stütze fei /    4,5m ; die Enden follen als bewegliche vorausgefetzt werden ; die Quer-

fchnittsform fei die neben Hebende (Fig. 154); die Querfchnittsmafse find zu ermitteln.

50000

Für einfachen Druck mufs F —

500

= 100 qcm und nach Gleichung 146

Fig- 154-

mufs Jmin — 8 • 50 ■ 4,5² = 8100 fein.

Die Höhe des Querfchnittes fei durch bauliche Rückfichten zu 53,6cm vor-gefchrieben, die Stärke des Steges und der Gurte fei 1,8cm; alsdann findet, wenigftens bei nicht aufsergewöhnlich grofser Breite der Gurtungen, das Minimal-Trägheitsmoment für die Axe ZZ ftatt, und es ift

rrz.’.VA *

,-JO

7z =

2,1,8 .Ä*

50.1,8³

12

= 0,3    + 24,3.

Hiermit ift das erforderliche Trägheitsmoment als Function von b dargeftellt, und da nach Obigem auch

ISS

J min —k 8100

fein mufs, fo lautet die Bedingungsgleichung für b :

0,3 b* + 24,3 = 8100,

woraus fich für b — oo 30cm ergiebt.

Die Querfchnittsfläche wird F = 2 . 1,8 . 30 + 50 . 1,8 = 198 ücm, während nur 100 qcm Quer-fchnittsfläche nöthig find. Daraus folgt, dafs unbedenklich ein Theil des Steges auf einzelne Theile der Höhe fortfallen kann ; alsdann bleibt als Querfchnittsfläche der fchraffirte Theil übrig, und zwar in diefem Falle F = 2 • 30 • 1,8 + 2 . 5 • 1,8 = 126 ücm, und diefe Querfchnittsgröfse genügt. Auch das Trägheitsmoment wird durch Fortfall des Steges nur unwefentlich beeinflufft.

ß) In einem fchmiedeeifernen Stabe herrfcht ein Druck P— 130000k£ = 180 Tonnen; die Stablänge betrage 6,om, der Stab fei beiderfeits eingefpannt.

Nach obiger Tabelle mufs

Fig. 155-

y=

• 130 . 6² = 2925 cm

si

.1.2

50

ferner F —

130000

700

= 196 ücm fein.

Der Querfchnitt in Fig. 155 wurde vorläufig, wie folgt, zufammengefetzt:

.    = 1 19,2 qcm

= 46,8 »

. = 45,2 »

4 Winkeleifen zu 13 X 13 X 1,2 cm — 29,8 qcm .    .

i obere Deckplatte 36 X 1,3cm.......

. i untere Deckplatte 34,8 X 1,3 cm......

Summe des Brutto-Querfchnittes

ab für 4 Nietlöcher 4 X 2,5 X 2,3 cm

211,2 qcm

23,n »

188,2 qcm,

bleibt Netto-Querfchnitt

der allerdings etwas kleiner als F ift, aber genügen dürfte.

Für diefen Querfchnitt findet 7min für die ZZ-Axe flatt, und es ift

7z -    [2.1,3 . 36³ + 2. 1,2.27,2®+ 2.11,8.3,0* — (2.13 + 1,3) l,a³] —

4.2,5 . 2,3 . 7² = 13094.

Das Trägheitsmoment ift alfo bei ausreichender Querfchnittsfläche wefentlich gröfser, als es zu fein braucht, der Querfchnitt fonach genügend.

Sehr einfach geftaltet fich die Rechnung, wenn man den Querfchnitt aus den »Deutfchen Normal-Profilen für Walzeifen« bildet, für welche die Minimal-Trägheitsmomente im vorhergehenden Halbband diefes »Handbuches« (Abth. I: Die Technik der wichtigeren Bauftoffe) angegeben find. Man berechnet das noth wendige Trägheitsmoment und die nöthige Querfchnittsfläche aus den Ausdrücken 145 und fucht aus den Tabellen ein Profileifen, bezw. einen aus Profileifen zufammengefetzten Querfchnitt, deffen Minimal-Trägheitsmoment und Querfchnittsfläche den verlangten zum mindeften gleich find.

Beifpiel. In einem fchmiedeeifernen Stabe herrfche ein Druck P— 18000 kS — 18 Tonnen; die Stablänge fei /=5,om; die Stabenden feien drehbar; mithin ift Fall 2 zu Grunde zu legen.

Nach Gleichung 146 mufs 7 — 2,5 . 18.5² = 1125 cm4 und nach Gleichung 143: F —

18000

— 26 q«n fein.

700

Soll der Stab aus einem I-förmigen Walzbalken gebildet werden, fo ift das Profil Nr. 38 (flehe die angezogenen Tabellen) zu wählen; bei demfelben ift 7min — 1138, F (nach Abzug für Niete) = 107,5 — 4.2* 2,05 = 91,i qcm und das Gewicht für D 83,9 ks.

Wollte man flatt deffen einen aus 4 kreuzförmig geftellten Winkeleifen gebildeten Querfchnitt verwenden, fo könnte man 4 Winkeleifen Nr. g (flehe die angezogenen Tabellen) zu 9 X 9 X 1,3 cm verwenden, deren J — 1284 ift, alfo genügt; dabei ift der Netto-Querfchnitt F— 4 . 21,7 — 2.2 • 2 • 1,3 (für Niete) = 76,4 qcm und das Gewicht 4.16,9 k£ = 67,6 kS. Zweckmäfsiger ift die Verwendung von 4 Winkeleifen Nr. 10 zu 10 X 10 X 1

und einem Gewicht für 1 m von 4 • 14,s kS = 59,2 kg.

Würde endlich der Querfchnitt aus 4 Quadranteifen (nach Fig. 156) con-ftruirt, fo wird bei neben flehendem Querfchnitt (flehe die angezogenen Tabellen)

7 = 2046, F = 54,9 — 4.2 . 0,8 (für Niete) = 48,59 qcm und das Gewicht für das laufende Meter 42,9 kS-

Fig. 156.

cm

mit 7=: 1346, F= 4 . 19 — 4.2 . Î =

4"~\

Afi

V.8

Am ungiinftigften ift demnach im vorliegenden Falle das I-Profil mit 83,9 Gewicht; günftiger ift das kreuzförmige Profil mit 59,2kg, und am günftigften ift das aus Quadranteifen zufammengefetzte, röhrenförmige Profil mit 42,9 kg Gewicht.

3) Querfchnittsermittelung bei excentrifcher Druckbelaftung.

142.

Zuläffige

Beanfpruchung. fchnittes auf Knicken axial beanfpruchter Stäbe aus der Bedingung

Man ift neuerdings vielfach beflrebt gewefen, Gröfse und Form des Quer-

zu beftimmen>

dafs die gröfste, wirklich auftretende Beanfpruchung a an keiner Stelle die für das Material als zuläffig erachtete Beanfpruchung iiberfchreite. Die Spannung a ift, fo-bald die Kraft für den Querfchnitt ein Moment hat, in hohem Mafse von der Gröfse der Ausbiegung y abhängig; da aber diejenige axial wirkende Kraft, welche überhaupt eine Ausbiegung y hervorrufen kann, nach Obigem auch ein beliebig grofses y und damit auch ein beliebig grofses o erzeugen kann, fo ift o, eben fo wie y, bei der oben betrachteten Aufgabe eine unbeftimmte Gröfse, eignet fich demnach nicht als Grundlage für die Querfchnittsbeftimmung.

Man darf weiter nicht erwarten, dafs die Verfuchsergebniffe mit den theoretifch entwickelten Werthen der zerknickenden Kraft genau übefeinftimmen ; auch eine kleinere Kraft kann bereits Zerknicken herbeiführen, wenn etwa die Kräfte etwas excentrifch wirken oder nicht genau in die Richtung der Stabaxe fallen oder der Bauftoff des Stabes nicht ganz gleichmäfsig ift. Allen diefen Möglichkeiten, welche theoretifch nicht gut verfolgt werden können, wird am beften dadurch Rechnung getragen, dafs man einen Sicherheits-Coefficienten n einführt, alfo nur den ;/-ten Theil derjenigen Kraft auf den Stab wirken läfft, welche denfelben nach der Formel zerknicken könnte. Es ift gut, dafs man die Stelle ganz genau kennt, an welcher alle Unficherheiten zufammentreffen und diefe ganz klar bezeichnet.

143-

Wenn das Mafs der Excentricität der wirkenden Kräfte bekannt wäre, fo Ermittelung, würde auch eine genaue Berechnung möglich fein; denn dann hätte der Pfeil einen ganz beftimmten Werth, und damit würden fich auch für a gewiffe, von der Gröfse der Kraft P abhängige Werthe ergeben. Da unter Umftänden die Gröfse der Excentricität bekannt ift, bezw. angenommen werden kann, fo foil die Berechnung hier vorgeführt werden.

Für irgend einen Punkt C des Stabes AB (Fig. 157), welcher urfprünglich mit der Axe A X zufammenfiel, ift

M — P (p + y₀ — y)=EJ

d:i y

d x*

oder

d² y d x²

EJ

(p +n -y)>

und wenn wieder, wie oben, abkürzungsweife

EJ

- = a² gefetzt wird,

Fig. 157-

d ²y

d x²

= rt² (p -f--y).

\p

Ai

Die zweimalige Integration diefer Gleichung ergiebt

y = (p    -j- A sin a x -f- B cos a x .    .    .    147.

Daraus folgt

— Aa cos a x — Ba sin ax.    148.

Die Conftanten A und B ergeben fich folgendermafsen.

Für = 0 ift y = 0, alfo 0 = p -f y₀ -f B und B — — (p -f-y₀)]

— 0, alfo 0 = A a und A = 0 ; demnach heifst die Gleichung

für x = 0 ift der elaftifchen Linie :

Für x = l ift y — y₀

y = {p +^o) (1 — cos a x) . . . d. h. yQ = (p -f-y₀) (1 — cos a l) oder

•    149-

fo =P

1 — cos a l

cos a l

150.

y₀ ift alfo eine ganz beftimmte Gröfse. Das gröfste Moment findet am Ein-fpannungspunkte A ftatt, wo es den Werth

P{p-ly*) = Pp (1 +

1 — cos a l

cos a l

Pp

cos a l

hat. In diefem Querfchnitte wird der gröfste Druck den Werth haben

__L

J COS a l

I5I-

In diefer Gleichung ift r der Abftand des meift gefpannten Querfchnittspunktes von der Axe, J das in Betracht kommende Trägheitsmoment. Stellt man die Bedingung, dafs omax höchftens gleich K fein folle, fo ergiebt fich

J cos a L

)•

152.

Da a = M Eÿ

und die zuläffige Belaftung der Stütze vom Querfchnitt F und dem Trägheitsmomente J

153-

J cos a l

eine Gröfse ift, welche fowohl vom Drucke P, wie von der

Querfchnittsgeftaitung, alfo von Werthen abhängt, welche meiftens von vornherein

nicht gleichzeitig gegeben find, fo kann der Ausdruck für P aus Gleichung 153 nicht in gefchloffener Form entwickelt werden ; denn a kommt auch auf der rechten Seite vor. Man wird defshalb zunächft eine angenäherte Rechnung vornehmen, auf welche die genauere zu folgen hat. Aehnlich ift es, wenn P und das Mafs der Excentricität gegeben find und der Querfchnitt gefucht wird. Dann ift aus Gleichung 153, wenn mit R der Trägheitsradius bezeichnet wird, alfo J = F R² gefetzt wird,

R² cos a L

Die Anwendung diefes Ausdruckes foil an einem einfachen Beifpiele gezeigt

144.

werden.

Beifpiel.

Die Stütze fei eine Holzflütze von der Länge / = 5m = 500cm ; der Querfchnitt fei quadratifch und habe die Seitenlange d\ die Excentricität foil fo weit gehen können, dafs die Kraft P ungünfligften-falls in der Kante des Quadrates angreift. Dann ift

F = d², r =

•>3 I'M

di

, J=FP² =--= d²F²,

12

d²

d²

120000    , Ä'rrßÖkg, pV — —

4

Ferner folle eine Kraft P = 16000k£ ertragen werden. Es ift alfo

-V-h=V

16000 . 12

120000

1,265

cP

, ferner al —

632,5    .    .

—-—; łonach

d*

16000

65

(1 +

d². 12

4 d² cos al

246

cos

632,5

Zunächft werde d — 25cm angenommen; dann wird F — 246 (1 -j- 5,66) = 1638 qcm ; demnach miiffte d = ca. 40 cm fein. Wählt man d — 35 cm, fo wird

F — 246 (1 + 3,45) = 1095qcm.

Dieler Werth würde einer Seitenlange d — 33cm entfprechen; 35cm ift alfo ein angemeffener Werth.

4) Empirifche Formeln.

145-

Allgemeine

Formel.

Der Umftand, dafs man je nach der gröfseren oder geringeren Länge des Stabes mit verfchiedenen Formeln rechnen mufs, ift eine Unbequemlichkeit, der man durch Einführung empirifcher Formeln abzuhelfen geftrebt hat. Eine folche Formel mufs für P bei kleinen Werthen von l nahezu oder genau die für einfachen Druck entwickelte Gleichung 143, dagegen bei grofsen Werthen von L die mit Rückficht auf Zerknicken gefundene Gleichung 142 ergeben. Diefen Anforderungen ent-fpricht folgende Formel³⁰):

KFJ

Ks FF

155.

CE

in welcher alle Buchftaben die früheren Bedeutungen haben.

Für l — 0 wird entfprechend der für kurze Stäbe aufgeftellten Gleichung 143 auch hier P = K F\ für den Werth l = 00 mag obiger Formel die Geftalt

KF

156.

Ks FF

CJE

gegeben werden. Ift l fehr grofs, bezw. =00, fo ift das erfte Glied im Nenner verfchwindend klein gegen das zweite; die Formel lautet alsdann:

KF

C EJ

KsFF "    s/²    ’

C EJ

demnach übereinftimmend mit der Formel 142 für lange Stäbe. Die Gleichung 155 kann alfo als empirifche Formel angewendet werden und giebt auch ziemlich gut mit den Verfuchen übereinftimmende Werthe. Aus derfelben folgt

FJ

Ks

CE

FF

und wenn der nur vom Material des Stabes und der Endbefeftigung abhängige = a gefetzt wird,

Factor

Ks

CE

157*

³⁰) Siehe: Schaffer. Beftimmungen der zuläffigen Spannung und der Querfchnitte für Eifenconftructionen. Deutfche Bauz. 1877, S. 498.

ift diejenige Querfchnittsfläche, welche der Stab haben mühte, wenn er

einfachen Druck zu erleiden hätte.

Wir bezeichnen diefelbe mit f\ alsdann ift

158.

Die Gleichung 158 kann benutzt werden, um die wirklich nöthige Querfchnitts-fläche zu berechnen. Denn nach derfelben ift

fJ

J - a//²

Das zur Ermittelung der nothwendigen Querfchnittsform und -Gröfse einzu-fchlagende Verfahren ift nun folgendes. Der gröfste Druck P, welcher auf den Stab wirken kann, ift bekannt, durch Rechnung oder Zeichnung gefunden ; alsdann

ift f —

„ ebenfalls leicht zu ermitteln. Man conftruire nun einen diefer Quer-K.

fchnittsfläche entfprechen den Querfchnitt und ermittele das kleinfte Trägheitsmoment deffelben für eine Schweraxe, alfo J. Bekannt find jetzt die Gröfsen f, J, a und /, und die Gleichung 159 ergiebt nun die dem Querfchnitt wirklich zu gebende Flächen-gröfse F. Fällt diefelbe gröfser aus, als die angenommene Querfchnittsfläche, fo ift letztere entfprechend zu vergröfsern, das neue Trägheitsmoment einzufetzen, F aus Gleichung 159 aufs Neue zu berechnen und diefes Verfahren fo lange zu wiederholen, bis eine genügende Uebereinftimmung der wirklichen Querfchnittsfläche mit der nöthigen ftattfindet. Dabei hat man fich jedoch vor dem Fehler zu hüten, bei den fpäteren Berechnungen den neuen Werth der Querfchnittsfläche für f einzuführen, da ja f nicht die wirkliche Querfchnittsfläche, fondern den für

P

einen beftimmten Stab unveränderlichen Werth —angiebt. Bei einiger Uebung

K

ift 'es leicht, bereits bei der zweiten Rechnung eine entfprechende Querfchnittsfläche zu finden.

Conftructions-

material

Schweifseifen ^ Flufseifen j

Gufseifen

Holz

Tabelle für die Wert he von « =

Allgemeine

Formel

0,00175

01O04

0,0054

Fall

Fall 2:

Ein Ende ein-gefpannt, das andere frei drehbar

0,00072

0,0016

0,0022

Ks

CE •

Fall 3 :

Fall 4:

Beide Enden frei

drehbar

Beide Enden

eingefpannt

Ein Ende ein-gefpannt, das andere lothrecht geführt

0,0001s

0,0004

0,00054

0,000045

0,00009

0,oooi

0)0002

0,00013

0,00026

Die Anwendung obiger Formel foil an einigen Beifpielen gezeigt werden.

146

Beispiele.

a) Für einen gufseifernen Stab mit drehbaren Enden lind kreuzförmigem Querfchnitt (Fig. 158)

- = 9,6 ücm und bei vorläufig, wie in Fig. 158

fei P — 4800^2 und l — 200 cm. angenommenem Querfchnitt:

Alsdann ift f —

4800

500

os 219 cm4-

Ferner ifl a = 0,ooo4 (vergl. die umftehende Tabelle); mithin muffte

Fig. 158.

219 . 9,6

219 — 0,ooo4 . 9,6.200²

— 32 qcm

fein. Der gewählte Querfchnitt hat

■"■I

1,5 . 2 . 12 — 1,5 . 1,5 = 33,75 qcm

iff alfo etwas gröfser, als er zu fein braucht; er empfiehlt fich für die Ausführung.

Die genauere Berechnung nach Formel 145 u. 146 ergiebt auf wenig-    __________^

ftens eben fo einfachem Wege: es mufs F "> 9,69 .cm, y > 8 • 4,8 . 2², d. h.

153,6 cm4 fein. Der gewählte Querfchnitt ift alfo fehr reichlich, ß) Es fei 3300 kg, /= 100cm ; der Stab werde durch ein einfaches gleichfchenlceliges Winkel-

3300

eifen gebildet; der Fall 4 kann angenommen werden. Zunächft iff f — —= n 4,7 V"¹- Gewählt

werde ein Winkeleifen von 5,5 X 5,5 X 0,8 cm; das yinin diefes Winkeleifens iff nach dem Normal-Profilbuch 9,38 cm4, ferner a — 0,00009. Demnach mufs

— 8,55 ücm

4,7 . 9,38

9,38 — 0,00009 . 4,7 . 100²

fein. Das gewählte Winkeleifen hat eine Querfchnittsfläche von 8,16 qcm. Die genauere Berechnung nach Formel 145 u. 146 erweist, dafs

5

y min 'Ż. — ■ 3,3 . I², alfo y,nin :> 4,125 cm⁴ und ^^4,7 qcm

fein mufs. Das Winkeleifen mit F = 8,16 qcm und y min — 9^8 cm⁴ würde demnach reichlich genügen.

Y) In einem Holzftabe mit quadratifchem Querfchnitt und nicht beweglichen Enden, bei welchem Fall 4 vorausgefetzt werden kann, herrfcht ein Druck P = 9500    ; ferner fei l — 300 cm. Es ift

9500

65

F — —--— = 146 qcm. Wird vorläufig die Querfchnittsfeite mit 18 cm gewählt, fo ill

18⁴

y -    = 8748 cm“,

12

a = 0,00026

und

146 . 8748

8 7 48 — 0,00026 . 146.3 0 0 ²

= 00 240 qcm •

Der angenommene Querfchnitt hat 18 X 18 = 324 qcm, ift alfo zu grofs. Wird h — 17 cm gewählt, fo wird

17⁴

y — ...    — 6960 cm⁴ und F =

146 . 6960

12

6960 — 0,00026 . 146.300²

— 286 qcm ;

der gewählte Querfchnitt hat 17 X 17 = 289qcm, ift alfo fehr paffend. Die genauere Berechnung ergiebt, dafs

cm⁴

y min A 41 • 9,5 • 3², d. h. y min A 3505 fein mufs; demnach würde fchon ein quadratifcher Querfchnitt genügen, deffen Seitenlange d aus der Bedingung folgt:

12

—— = 3505 oder d — 14,32 cm .

Da diefer Querfchnitt aufserdem eine Fläche d² = 204,5 qcm² aufweist, während f nur gleich 146 qcm zu fein braucht, fo ill er ausreichend.

Aus vorftehenden Beifpielen erhellt zur Genüge, dafs das Bedürfnifs für em-pirifche Formeln nicht grofs ift; die Berechnung nach den genauen Ausdrücken 145 u. 146 ift durchaus nicht fchwierig;

147.

der Stützen bei erhöhter

Temperatur, ändert werde, und zur Aufftellung von Formeln für diefe Tragfähigkeit. Die nach-

Die üblen Erfahrungen, welche man neuerdings bei verfchiedenen grofsen Tragfähigkeit Bränden mit eifernen Stützen gemacht hat, führten zur Unterfuchung der Frage, in welcher Weife die Tragfähigkeit folcher Stützen bei erhöhter Temperatur ver-

ftehend aufgeführten Formeln find von Möller³¹) auf Grund von Verfuchen unter

³¹) Siehe: Möller, M. u. R. Lühmann. Ueber die Widerftandsfähigkeit auf Druck beanfpruchter eiferner Bau* konftruktionstheile bei erhöhter Temperatur. Berlin 1888.

folgenden Annahmen aufgeftellt. Die dem Feuer zugewendete Seite der Stütze zeigt fchwache Rothgluth ; die andere Seite hat eine bis zu 600 Grad C. geringere Temperatur, welche durch Anfpritzen der Säule mit kaltem Waffer herbeigeführt ift; die Beanfpruchung der Stützen erfolgt um 1cm excentrifch, zwifchen Gelenken (Fall 2). Die Stütze foil die Laft P noch mit einiger Sicherheit tragen. Die allgemeine Formel, in welcher alle Buchftaben die frühere Bedeutung haben, lautet (vergl. Art. 145, S. 136)

P= KP

1 -j- a

Die Zahlenwerthe K und a ergeben fich aus nachftehenden Formeln : für Schmiedeeifen : P— 1000 F

Fl* '    '

.    .    160.

für Gufseifen :

P= 1200 F

F l* ‘    ‘

161.

1 -f- 0,00 04

In diefen Ausdrücken ift l die freie Länge zwifchen den Gelenken ; wenn die Stützung als zwifchen parallelen Enden erfolgend angenommen werden kann, fo ift

ftatt l nur

2

—- der wirklich vorhandenen freien Länge einzuführen.

2. Kapitel.

Träger.

14S.

Allgemeines.

Wie bereits im Eingänge zum vorliegenden Abfchnitte gefagt wurde, verfteht man unter Trägern folche Bau-Conftructionen, bei denen die Belaftungen ausfchliefs-lich oder vorwiegend fenkrecht zur Richtung der Längsaxe wirken. Die Längsaxe kann fowohl eine gerade, wie eine gebrochene, bezw. krumme Linie fein. Demnach rechnen wir zu den Trägern im weiteren Sinne auch die Dachflühle, die Sprengwerke u. A., bei denen die Längsaxe nicht fo deutlich vor die Augen tritt, wie bei den gewöhnlichen Balken; ferner auch die Gewölbe, bei denen die Längsaxe eine krumme Linie ift.

Um die obige Erklärung der Träger auch für diefe Conftructionen unbedingt richtig zu ftellen, könnte man in die Erklärung ftatt der Längsaxe die Verbindungslinie der Auflagerpunkte einführen und demnach die Träger folgendermafsen erklären: Träger find Bau-Conftructionen, bei denen die Belaftungen ausfchliefslich oder vorwiegend fenkrecht zur Verbindungslinie der Auflager, d. h. der Stützpunkte der Conftruction, wirken. Im vorliegenden Kapitel follen nur die Träger im engeren Sinne, welche man gewöhnlich als Balken bezeichnet, behandelt werden, während die Dachftühle und die Gewölbe in den beiden nächften Abfchnitten be-fprochen werden. Von den Sprengwerken wird bei den Dachftühlen eine befondere Form vorgeführt werden.

149.

Aeufsere

Kräfte.

Die auf die Bau-Conftructionen wirkenden äufseren Kräfte find nach Art. 2 (S. 6) : 1) die Belaftungen, d. h. die Eigengewichte und die Nutzlaften, und 2) die Auf-

■H

Fig. 161.

ii <■

Träger und Pfeiler — nur fenkrecht zur Berührungs-

5°-

Eintheilung.

lager- oder Stützendrücke (auch Reactionen der Auflager genannt), d. h. diejenigen Kräfte, welche in den Auflagern auf die Conftructionen übertragen werden.

Die Träger find entweder:

1)    Balkenträger, d. h. Träger, auf welche bei lothrechten Belaffcungen nur lothrechte Stützendrücke wirken.

Fig. 159 zeigt einen Balkenträger;

D₍₎ und Dx find die Auflagerdrücke.

2)    Sprengwerks- und Hänge werksträger, d. h. Träger, welche bei lothrechten Belattungen fchiefe Stützendrücke erleiden ; die fchiefen Auflagerdrücke fetzen fich aus wagrechten und lothrechten Seitenkräften zu-fammen.

Fig- 159-

Dü

A

Fig. 160.

Wirkt die wagrechte Seitenkraft auf den Träger als Druck, fo hat man den Spreng werksträger (Fig. 160); falls die Träger-axe eine krumme Linie ift, den Bogen träger. Wirkt die wagrechte Seitenkraft auf den Träger als Zug, fo hat man den Hängewerksträger (Fig. 161).

Ob ein Träger ein Balkenträger, Sprengwerks- oder Hängewerksträger ift, hängt von der Art feiner Auflagerung ab. Die Auflager find entweder fefte, d. h. folche, welche keine Bewegung des Trägerendes gegen die ftützenden Theile (das Mauerwerk) geftatten, oder fie find bewegliche, d. h. folche, bei denen das Trägerende gegen das Mauerwerk fich auf vorgefchriebener Bahn fo weit verfchieben kann, wie dies die elaftifchen, bei der Belaftung auftretenden und die durch Temperatur bedingten Längenänderungen verlangen. Bei den feften Auflagern foli alfo eine Verfchiebung des Trägerendes in jeder Richtung, fowohl wagrecht, wie lothrecht, verhindert werden; die an diefer Stelle auf den Träger übertragene Kraft, der Au flagerd ruck, mufs demnach fowohl eine wagrechte, wie eine lothrechte Seitenkraft haben können ; bei den beweglichen Auflagern wird reibungslofe Beweglichkeit angenommen ; der Druck kann alfo zwifchen den beiden einander hier berührenden Körpern fläche, d. h. zur Auflagerbahn gerichtet fein. Wenn diefe Bahn wagrecht ift, fo mufs demnach der Auflagerdruck lothrecht fein.

Allgemein hat alfo bei einem feften Auflager der zwifchen Träger- und Stützmauerwerk wirkende Druck eine fchiefe Richtung, genauer gefagt: er kann eine beliebige Richtung in der Ebene der Conftruction haben; bei reibungslos wagrecht beweglichem Auflager mufs der Druck dagegen lothrecht gerichtet fein. Ift bei einem Träger auf zwei Stützpunkten das eine Auflager wagrecht beweglich, alfo

der Auflagerdruck an demfelben lothrecht, fo mufs auch der Stützendruck des anderen Auflagers für lothrechte Belaftung lothrecht fein ; denn die etwaige wagrechte Seitenkraft deffelben würde die einzige wagrechte Kraft fein, welche auf den Träger wirkt, und diefelbe mufs des Gleichgewichtes wegen gleich Null fein. Wenn alfo ein Auflager feft ift und das andere wagrechte reibungslofe Verfchiebung des betreffenden Trägerendes geftattet, fo ift der Träger ein Balkenträger. Auch wenn ein Auflager feft ift, eine Anzahl anderer aber wagrechte und reibungslofe Verfchiebung geftatten, hat man Balkenträger.

Für den Hochbau kommen die Hängewerksträger (Fig. 161) nur ganz ausnahmsweife zur Verwendung; auch die Sprengwerksträger werden wenig angewendet, weil die wagrechten durch fie auf die Mauern übertragenen Kräfte grofse Mauer-ftärken bedingen. Wenn es aber möglich ift, die Auflager der Sprengwerksträger tief zu legen, fo dafs die wagrechten Kräfte fofort in die Fundamente gelangen können, fo empfehlen fich diefe Träger fehr. In diefer Weife find viele grofse Bahnhofshallen der Neuzeit mit Sprengwerksträgern ausgeführt. Immerhin find die Balkenträger für den Hochbau die weitaus wichtigften.

Man unterfcheidet ferner ftatifch beftimmte Träger und ftatifch un-beftimmte Träger.

Unter ftatifch beftimmten Trägern verfteht man folche, bei denen zur Ermittelung der Stützendrücke die Gefetze der Statik ftarrer Körper hinreichen ; bei den ftatifch unbeftimmten Trägern genügen zur Ermittelung der Auflagerdrücke diefe Gefetze nicht.

Zur Ermittelung der Stützendrücke bietet die Statik ftarrer Körper, wenn alle Kräfte in einer Ebene wirkend angenommen werden können, drei Gleichungen (vergl. Art. 6. S. 8); falls alfo in den Stützendrücken nur drei Unbekannte enthalten find, fo genügen diefe drei Gleichungen zur Ermittelung der Unbekannten, d. h. die Conftruction ift ftatifch beftimmt. Enthalten dagegen die Auflagerdrücke mehr als drei Unbekannte, fo genügen die drei Gleichungen zu ihrer Ermittelung nicht mehr; der Träger ift alsdann ftatifch unbeftirnmt. Die fehlenden Gleichungen liefert die Elafticitatslehre.

Hierbei kommen zwei Hauptfälle vor:

1)    Alle drei Gleichgewichtsbedingungen find anwendbar, d. h. die Stützendrücke enthalten fowohl wagrechte, wie lothrechte Seitenkräfte. Diefer Fall tritt bei den Sprengwerksträgern, Bogenträgern ftets, bei den Balkenträgern dann ein, wenn die Beladungen auch wagrechte Seitenkräfte haben (z. B. bei Dachbindern mit Windbelaftung) ;

2)    Nur zwei Gleichgewichtsbedingungen geben verwendbare Gleichungen. Diefer Fall tritt bei nur lothrecht belafteten Balkenträgern ein. Alsdann wird die Gleichgewichtsbedingung, welche befagt, dafs die wagrechten Kräfte die algebraifche Summe Null haben müflen, dazu verwendet, nachzuweifen, dafs die Auflagerdrücke lothrecht find. Für die Berechnung bleiben dann von den in Art. 6 (S. 8) angegebenen Gleichgewichtsbedingungen die folgenden verwendbar:

a) die algebraifche Summe der lothrechten Kräfte mufs gleich Null fein ;

ß) die algebraifche Summe der ftatifchen Momente aller äufseren Kräfte, bezogen auf einen beliebigen Punkt der Ebene als Drehpunkt, mufs gleich Null fein.

Der einfachfte Fall ift der des Balkens auf zwei Stützen. Bei diefem find zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten (£>₀ und Dx in Fig. 159) verfügbar; der Fall ift alfo ftatifch beftimmt. Sind dagegen drei Stützpunkte vorhanden, fo hat man drei Unbekannte (Z>₀, Dx und ZQ, aber nur zwei Gleichungen, alfo einen ftatifch unbeftimmten Fall.

Man nennt die Träger, welche mehr als zwei Stützpunkte haben, conti nuir-liche oder durchgehende Träger; diefelben find ftatifch unbeftimmte Träger.

a) Aeufsere Kräfte der Balkenträger.

151-

Momente

und

Querkräfte.

Die Querfchnitte der Balken, bezw. der Stäbe, aus denen fich die Balken zufammenfetzen, find fo zu beftimmen, dafs die zuläffigen Beanfpruchungen auch unter ungünftigften Bedingungen in keinem Theile der Querfchnittsflächen je iiber-fchritten werden. Wie im vorhergehenden Abfchnitt gezeigt wurde, find aber für die in den einzelnen Querfchnittsftellen entfliehenden Beanfpruchungen oder Spannungen die äufseren Kräfte mafsgebend, insbefondere zwei von den äufseren Kräften abhängige Gröfsen: die Biegungsmomente, auch kurz Momente genannt, und die Quer- oder Transverfalkräfte. Für jeden Querfchnitt ergeben fich bei einer gegebenen Belaftung ein ganz beftimmtes Moment und eine ganz beftimmte Querkraft. Wir haben bei den lothrecht belafteten Balkenträgern nur mit lothrechten Kräften zu thun und werden demnach zunächft und, falls das Gegentheil nicht befonders bemerkt wird, ftets folche vorausfetzen.

Es möge hier daran erinnert werden, dafs man bei nur lothrechten Kräften als Querkraft eines Querfchnittes die Mittelkraft aller an der einen Seite diefes Querfchnittes auf den Balken wirkenden Kräfte bezeichnet (fiehe Art. 94, S. 70). Die Querkraft hat, abfolut genommen, diefelbe Gröfse, möge man den Trägertheil rechts oder denjenigen links vom betreffenden Querfchnitt gelegenen Trägertheil der Betrachtung zu Grunde legen ; denn die Mittelkraft aller an der einen Seite wirkenden Kräfte mufs derjenigen an der anderen Seite, des Gleichgewichtes wegen, genau gleich fein. Nennt man diefe Mittelkräfte bezw. Qunks und Qrechts > f° mufs, da diefe beiden Kräfte alle an dem Körper wirkenden äufseren Kräfte in fich fchliefsen, ftattfinden:

Qlinks "j~ Qrechts — À > alfo Qrechts -—    Qlinks •

Wirkt alfo die Querkraft auf den Theil links vom Querfchnitt auf den Balken, nach oben, fo wirkt fie auf den Theil rechts vom Querfchnitt nach unten und umgekehrt. Oder was daffelbe befagt: Führt man die Querkraft auf den Theil links vom Querfchnitt als pofitiv ein, wenn fie nach oben wirkt, fo mufs man die Querkraft, welche auf den Theil rechts nach unten wirkt, ebenfalls als pofitiv einführen ; beide Richtungen ergänzen einander. Bei den nachfolgenden Unterfuchungen werden die Querkräfte als pofitiv eingeführt, wenn fie auf den Trägertheil links vom betrachteten Querfchnitt nach oben , bezw. auf den Trägertheil rechts vom betrachteten Querfchnitt nach unten wirken ; als negativ, wenn fie auf den Theil links nach unten, bezw. auf den Theil rechts nach oben wirken. Eben fo wird daran erinnert, dafs das Biegungsmoment für einen Querfchnitt das refultirende Moment aller an der einen Seite des Querfchnittes wirkenden Kräfte, bezogen auf die im Schwerpunkt des Querfchnittes fenkrecht zur Kraftebene fliehende Axe als Dreh-axe bedeutet. Bei den Trägern mit gegliederter Wand liegt die Drehaxe in der oberen oder unteren Gurtung, je nach der Form des Fachwerkes: bei nur lothrechten äufseren Kräften ändert fich dadurch am Werth des Moments nichts. In

HS

Art. 94 (S. 70) ift bereits nachgewiefen, dafs es gleichgiltig ift, an welcher Seite des Querfchnittes man die Kräfte betrachtet; nur mufs man mit dem Vorzeichen vorfichtig fein. Weiterhin follen die Momente als pofitiv eingeführt werden, wenn fie auf den Theil links vom Querfchnitt nach rechts drehend (alfo in der Richtung des Uhrzeigers), bezw. auf den Theil rechts vom Querfchnitt nach links drehend wirken, d. h. den Balken fo zu drehen ftreben, dafs er feine convexe Seite nach unten kehrt; als negativ, wenn fie den Balken fo zu drehen ftreben, dafs er feine convexe Seite nach oben kehrt.

152-

Belaftungen.

Die Belaftungen find entweder nach einem beftimmten Gefetze fortlaufend über den Träger vertheilt — im Hochbau meiftens gleichmäfsig über die wagrechte Projection der Trägeraxe, oder fie greifen in einzelnen Punkten als Einzellaften an. Zu den gleichmäfsig über die wagrechte Projection vertheilten Belaftungen rechnet man die Eigengewichte der Träger, welche Annahme genügend genau ift.

Die Gröfse des Eigengewichtes von Decken-Conftructionen kann nach den Angaben in Art. 23 u. 24 (S. 18) angenommen werden; bezüglich der Annahmen für die Nutzlaft fei auf Art. 26 (S. 20) verwiefen. Da die Belaftungen bekannt find, handelt es fich zunächft um die Ermittelung der durch diefelben erzeugten Stützendrücke, Momente und Querkräfte, ferner um die diefen entfprechenden Querfchnitts-abmeffungen. Für jeden Querfchnitt ift die ungünftigfte mögliche Beladung einzuführen.

In den folgenden Artikeln foil für die wichtigften Balkenträger und für ver-fchiedene Belaftungsarten die Ermittelung der Auflagerdrücke, der Querkräfte und Momente auf dem Wege der Rechnung, bezw. auf demjenigen der Conftruction gezeigt werden; die Ergebniffe gelten fowohl für vollwandige, wie für Träger mit gegliederter Wand (Fachwerkträger).

i) Balkenträger auf zwei Stützen.

«)

Die Stützweite des Trägers, von Auflagermitte zu Auflagermitte gerechnet, fei /. Erfter Belaftungsfall : Der Träger wird durch beliebige Einzellaften

belaftet.

153-

Beladung

durch

Einzellaften.

Fig. 162.

Die Taften find Px, P₂, P.A,

X,

wie aus neben Behender Fig. 162 erfichtlich; für alle Querfchnitte des Balkens follen die Querkräfte und Momente ermittelt werden.

a) Berechn un g. Zunächft find die nicht gegebenen äufseren Kräfte, die Auflagerdrücke D0 und Dx, zu beftimmen. Da Gleichgewicht ftatt-findet, fo ift die algebraifche Summe der ftatifchen Momente aller äufseren Kräfte in Bezug auf einen beliebigen Punkt der Ebene gleich Null. Um Z?0 zu ermitteln, wählt man zweckmäfsig einen Punkt auf der Richtungslinie von Dx als Drehpunkt, damit die zweite Unbekannte Dx das ftatifche Moment Null habe, alfo nur eine Unbekannte in der Gleichung vorkomme. Alsdann ift, wenn B als Drehpunkt für die Gleichung der ftatifchen Momente gewählt wird,

S)

c)

r -ob--*,

'm

P>o =

0 = D₀l-P₁Z₁-P₂i₂-P₃t₃,

PJ> _

plt

P„ z

. . 162.

Der Beitrag, welchen jede Einzellaft zum Gefammtauflagerdruck leihet, ift, wie man aus den Gleichungen 162 u. 163 erfieht₎ ganz unabhängig von der Gröfse und Art der übrigen Beladungen; die Auflagerdrücke find die Summen .der durch die einzelnen Laden erzeugten Einzeldrücke.

Nunmehr laffen fich die Querkräfte ermitteln.

Für einen beliebigen Querfchnitt II, im Abftande x vom linken Auflager A, ift die Querkraft, als Mittelkraft aller an der einen Seite wirkenden äufseren Krähe,

Qx = I\ — Pl

164.

In diefem Ausdrucke kommt die Abfciffe x des Querfchnittes gar nicht vor; die Querkraft ift alfo, fo lange der angegebene Ausdruck überhaupt gilt, ganz unabhängig von x, d. h. confiant. Der Ausdruck gilt aber nur für die Querfchnitte zwifchen E und F ; denn für einen Querfchnitt links von E, etwa für II TI, ift

Qu — A1

1 + P2) —

für einen folchen rechts von F, etwa für III III, ift Ô111 =    — Px — P₂ =

Daraus folgt: Falls eine Beladung nur durch Einzelladen dattfindet, id die Querkraft für alle Querfchnitte zwifchen je zwei Ladpunkten, fo wie zwifchen einem Auflagerpunkt und einem Ladpunkt condant; eine Aenderung der Querkraft findet nur in den Ladpunkten datt.

Das Gefetz der Aenderung der Querkräfte wird fehr anfchaulich, wenn man in jedem Querfchnitte die dafelbd dattfindende Querkraft als Ordinate nach beliebigem (aber für alle Querfchnitte gleichem) Mafsdabe aufträgt und die Endpunkte der Ordinaten verbindet. Hierdurch ergiebt fich die in Fig. 162 b gezeichnete Linie, in welcher die pofitiven Werthe von der Abfciffe aus nach oben, die negativen Werthe nach unten getragen find.

Was die Bedimmung der Momente anbelangt, fo id für den Querfchnitt //

Mi = Dq x — Px \x — l + SJ

Wählt man in gleicher Weife ein zweites Mai A als Drehpunkt, fo ergiebt fielt

PĄt-h)

p* (/- y

il

P {I-i)

•    163.

165.

Für den Querfchnitt III III id

Mm = E>₀ x 1 — P₁ (x₁ — /+ y — P₂ {xx — l+i₂) • •    • •    166.

Innerhalb je zweier Ladpunkte, fo wie zwifchen einem Auflagerpunkt und einem Ladpunkt ändert fich demnach das Moment nach dem Gefetze einer geraden Linie; denn für verfchiedene Werthe von x, bezw. xx bleiben alle auf den rechten Seiten der Gleichungen 165 u. 166 vorkommenden Ausdrücke mit Ausnahme von x und xx condant; diefe einzigen Veränderlichen kommen aber nur in der erden Potenz vor. Trägt man alfo auch hier in den verfchiedenen Querfchnitten die Werthe von M als Ordinaten auf, fo erhält man als Verbindungslinien der Endpunkte gerade Linien; in jedem Ladpunkt ändert fich der Ausdruck für M, alfo auch die Gerade. In Fig. 162 c id die Aenderung 'der Momente graphifch dar-gedellt.

Da eine Gerade ihre gröfste Ordinate nur am Anfangspunkte' oder Endpunkte haben kann, diefe aber hier mit den Ladpunkten zufammenfallen, fo folgt, dafs die gröfsten Momentenwerthe an den Laftpunkten ftattfinden. Diefes Ergebnifs ift wichtig. Wenn nur eine Einzellaft P vorhanden ift, fo ift demnach das gröfste Moment ftets am Laftpunkte. Liegt alsdann P in den Abhanden £, bezw. / — £ von den beiden Auflagern, fo ift das Moment am Laftpunkte, alfo das gröfste Moment, welches für die Querfchnittsbildung mafsgebend ift,

alfo

Liegt P in der Mitte des Balkens, fo ift £ = (/—£) = ~,

u

PI

Sind zwei Einzellaften auf dem Balken, fo braucht man nur die beiden Momente an den Laftpunkten zu ermitteln ; das gröfsere von beiden ift zugleich das gröfste. Wenn beide Laften gleich grofs, und zwar je gleich P find und im a

gleichen Abftande von der Balkenmitte liegen, fo ift das Moment an jedem

U

Laftpunkte

P{l-d)

Wenn endlich mehrere Laften vorhanden find, braucht man nur die Momente an den Laftpunkten aufzufuchen. Falls der Balken conftanten Querfchnitt erhält (wie

dies z. B. beim Walzbalken der Fall

Fig. 163.

8m-

/ U III iy V 17    177

joał^gjooo jooo jooo jooo jooo jooo

tQ

A-

oofl

00^01

ift), fo ift diefer nach dem gröfsten überhaupt ftattfindenden Momente zu beftimmen.

B e i f p i e 1. Ein fchmiedeeiferner Unterzug (Fig. 163) von 8 m Stützweite trägt 7 Balken, deren Abftand von Mitte zu Mitte je 1 m beträgt. Jeder Balken belaflet den Unterzug mit einem Gewicht von 3000 kg. Die Auflagerdrücke, Querkräfte und Momente find zu ermitteln. Nach Gleichung 162 ift

8000

Do =

c)

(1 —2 —{— 3 -f- 4 -f 5 -f- 6    7)

=■ 10500 kg;

o

ÛO

eben fo nach Gleichung 163

Di = —28 = 10500 ks-

In Fällen, wie der vorliegende, wo die Belattungen fymmetrifch zur Mitte des Balkens liegen und die Abftände derfelben gleich find, fafft man bequemer alle Laften zu einer Mittelkraft, hier ihrer Summe, zufammen, die in der Balkenmitte angreift. Alsdapn ift

von

21000

R = 7 • 8000 = 21000ks und D₀ —    /

-L= 10500ks =

Ł

Die Querkräfte für die verfchiedenen Querfchnitte find :

von IV bis

» V »

A bis I- 10500 kg,

11= 10500 — 3000 = 7500 kg,

II » III - 10500 — 2.3000 = 4500 kg, III» IV = 10500 — 8 . 3000 = 1500 kg,

VI

V= 10500 — 4.3000 = — 1500 kg,

VI-    10500 — 5 . 3000 = — 4500 kg,

VII-    10500 — 6.3000 = — 7500 kg, B — 10500 — 7 • 3000 = — 10500 kg.

» VII »

Im Laftpunkte IV (in der Trägermitte) geht die Querkraft von den pofitiven zu den negativen Werthen über.

Handbuch der Architektur. I. x, b. (3. Aufl.)

IO

Die Momente in den Laftpunkten find :

Mr = 10500 . 1 = 10500 kgm - 1050 000 kgcm,

Mn = 10500    .    2    —    3000    . 1 - 18000 V = 1800 000 kgcm,

Mm- 10500    •    3    —    3000    . 1 -3000.2 = 22 500 kgm - 2250000kgcm,

Miv— 10500.4    —    3000    (1 + 2 -f 3) = 24000 kgm — 2400000kgcm,

My = 10500    ■    5    —    3000    (1 + 2 + 3 + 4) = 22500ksm - 2250000 kgcm - Mm,

Myi— Mn, Myn — M/, Ma — Mb — 0.

Hiernach find die Momente und Querkräfte in Fig. 1631; u. 163^ aufgetragen.

con-

ß) Graphifche Ermittelung. Um die Auflagerdrücke zu ermitteln ftruire man für die gegebenen Kräfte und den beliebigen Pol 0 (Fig. 164) das Kraft-und Seilpolygon, ziehe die Schlufslinie a b und parallel zu diefer die Linie 0 s durch den Pol 0\ diefelbe theilt die Kraftlinie in zwei Theile, von denen    D

und ea = D₀ ift (vergl. Art. 19, S. 16). Nun laffen fich die Querkräfte graphifch leicht ermitteln.

Für alle Querfchnitte von A bis E ift die Querkraft gleich E>₀, d. h. gleich ea (Fig. 164). Zieht alfo durch e und a je eine Wagrechte, fo giebt deren Abftand die Gröfse der Querkraft zwifchen A und E Zwifchen E und F ift die Querkraft gleich D₀ — P\ — s « — a ß = s ß ; man ziehe alfo durch ß eine wagrechte Linie ; alsdann giebt deren Abftand von der durch e gezogenen Geraden an jeder Stelle zwifchen E und F die Gröfse der

man

an.

Po

Fig. 164.

Querkraft. Eben fo ift zwifchen F und G die Strecke s zwifchen G und B die Strecke s § die Querkraft.

Die Querkraft als Mittelkraft aller an der einen Seite des Quer-fchnittes wirkenden Kräfte geht nach Art. 18 (S. 14) durch den Schnittpunkt derjenigen Seilpolygonfeiten bezw. der erften und letzten diefer

Für

welche

7T ;    F —rr

Tn    Î r

MJ....g.....-Ç

J.9

Do

n--f —

-y

---*

y-

Kräfte vorangehen und folgen, einen Querfchnitt zwifchen E und F find Dq und /j die Kräfte, ab und III die betreffenden Seilpolygonfeiten ; die Querkraft geht alfo durch ihren Schnittpunkt c. Für jeden Querfchnitt zwifchen II und III geht die Querkraft durch d etc.

Die graphifche Beftimmung der Momente gefchieht in nachftehender Weife.

Für einen beliebigen Querfchnitt /1 (Fig. 164) ift das Moment gleich dem Moment der Mittelkraft, d. h. hier der Querkraft. Demnach ift Mi — Qyh. Nun ift    mithin

II

II ’

und, da

eß = Qi ift, ;/=    alfo Mx = H.ef.

In vorftehendem Ausdruck für M ift H, der wagrechte Abftand des Poles von der Kraftlinie oder der Polabftand , für alle Querfchnitte confiant ; die Gröfse des Momentes ift alfo mit e/, d. h. der loth-rechten Höhe des Seilpolygons veränderlich. Daraus folgt:

Das Moment in jedem Querfchnitte ift gleich dem Prodijcte aus dem loth-rechten Abftande der Seilpolygonfeiten in diefem Querfchnitte und dem Polabftand. Die vom Seilpolygon gebildete Fläche heifst die Momentenfläche.

Die Momente find Producte aus Kräften und Längen; II ift eine Kraft, wie alle Strahlen und Linien im Kraftpolygon, und kann nach Obigem beliebig angenommen werden, etwa mit 10l, 20l etc. Da das Moment in irgend einem Querfchnitt einen ganz beftimmten Werth hat, der .natürlich von einem beliebig gewählten II unabhängig ift, fo wird die Höhe des Seilpolygons defto gröfser, je kleiner H ift, und umgekehrt.

= o,

rC-

Zweiter Belaftungsfall : Der Träger ift über feine ganze Länge durch eine gleichförmig vertheilte Laft belaftet.

Fig. 165.

Bo

b) ~-b

PI

fil

154.

Gleichförmig verthtilte

Die Belaftung für die Längeneinheit des ßciaftung. Trägers (Fig. 165) fei p \ alsdann ift die Mittel-j) kraft gleich der Gefammtlaft, alfo gleich p l und greift in der Trägermitte an. Die Gleichung der ftatifchen Momente für B als Drehpunkt heifst demnach :

0 Pf

s.

•k---

und es wird

&o =

Pl .

' <u

fo D

pl

r; l6;-

Die Querkraft für einen beliebigen Querfchnitt C im Abftande x von A ift

pl

Qx = D₀-p x — —--p x = — (/ - 2 x) .    .

.    .    168.

Die graphifche Darftellung der Veränderung der Querkraft ergiebt die Linie

P l

der Gleichung 168, d. h. eine Gerade. Für x = 0 ift O₀ — ——- ; für x = l ift Ox wird Null für l — 2 x — 0, d. h. für x —

Qi = —

pl

Die Ordinaten

2 '

der Linie bd (Fig. 165$) find alfo die Querkräfte an den verfchiedenen Stellen des Balkens.

Das Moment für den Querfchnitt C ift

„..    _    x p l

Mx — D₀ x —p *-ÿ-= -y x -

Mmax =

p /²

170.

Hiernach kann die Parabel leicht conftruirt werden (Fig. 165 c). Man trage

p l²

d—~— nach beliebig angenommenem Momenten-Mafsftabe auf und verzeichne in be-

8

kannter Weife die Parabel; alsdann find alle Ordinaten auf diefem Mafsftabe zu meffen.

Nennt man die gefammte auf den Träger entfallende Laft p l — P, fo kann man auch fetzen

JA

Pl

max '—

171.

Diefer Ausdruck ift oft bequemer, als Gleichung 170. Wenn eine Laft P als Einzel-laft in der Mitte wirkt, fo erzeugt fie nach Art. 153 (S. 145) ein Maximalmoment

Pl

d. h. ein doppelt fo grofses Moment, als die gleichförmig über den

ganzen Träger vertheilte Laft P.

I48

Beiipiele. i) Ein Flurgang von 4m Lichtweite ift mit einer Decke

aus Kappengewölben

zwifchen eifernen I-Trägern zu überdecken ; die Spannweite der Kappen fei 2,2 m ; die Träger follen berechnet werden.

Die Stützweite der Träger, d. h. die Entfernung von Auflagermitte zu Auflagermitte, kann zu 4,3 m, d. i. zu 430 cm angenommen werden ; alsdann ift / = 480 cm- Auf das laufende Meter des Trägers kommt eine zu tragende Grundfläche von 2,2 m Breite und 1 m Länge; mithin ift die Laft für das laufende Meter Träger, bei einer Gröfstbelaftung von 750k£ fur 1 qm Grundfläche, gleich 2,2 . 750 = 1650ke und für das laufende Centimeter Träger p — 16,5 kff. Die Auflagerdrücke find alfo nach Gleichung 167

■Do —Di =

und das Gröfstmoment nach Gleichung 170

Mjnax — Minitte — '

16,5 • 430

= 3547 ks

16,5 . 430²

= 381356kscm.

ift.

Nun ift der Querfchnitt nach Art. 97 (S. 76) fo zu beftimmen, dafs — = M

K

Falls ein I-Querfchnitt gewählt wird, ift Nr. 28 der »Deutfchen Normal-Profile« zu wählen, da bei

700

= 544,8

demfelben — = 547 ift ³²). a

2) Es follen die Abmeffungen beftimmt werden, welche einem Deckenbalken aus Kiefernholz bei einer Lichtweite von 6 m zu geben find, wenn die Balkenentfernung von Mitte zu Mitte 0,9m und die Gefammtbelaftung der betreffenden Decke (Eigengewicht und Nutzlaft) 500 kS für 1 qm beträgt.

Das laufende Meter Balken hat eine Grundfläche von 0,9 m Breite zu tragen, d. h. eine Laft von 0,9 • 500 — 450 k&; mithin beträgt die Belattung für das laufende Centimeter des Balkens p — 4,5 k&. Die von Auflagermitte zu Auflagermitte zu rechnende Stützweite / nehmen wir zu 6,3m = 630cm an. Das gröfste Moment, welches hier, da der Balkenquerfchnitt confiant ift, der Berechnung des ganzen Balkens zu Grunde gelegt werden mufs, findet in der Balkenmitte ftatt und ift nach Gleichung 170

Mmax —

4,5 . 630²

= 223256 kgcm;

mithin nach Art. 100 (S. 79)

Mlnax

223256

60

= 3721.

b hz

Da nun nach Gleichung 19 (S. 35): J — -----,

1 u

wenn b = 25 cm angenommen wird,

ferner a —

bh²

wird —- = 3721,

o

und

-V „

Sonach genügt ein Querfchnitt von 25 X 30cm.

6.3721

= 29,9cm = eo 30 cm .

iss-

Theilweife

gleichförmig

vertheilte

Belaftung.

Dritter Belaftungsfall: Der Träger ift auf einen Theil feiner Länge durch eine gleichförmig vertheilte Laft belaftet.

Eine Laft P im Abftande vom linken Auflager A (Fig. 166) erzeugt die Auflagerdrücke

P (l — x)

und Dx =

Die Querkraft ift für jeden Querfchnitt E links vom Laftpunkte C

d. h. pofitiv;

P (l— x)

für jeden Querfchnitt F rechts vom Laftpunkt C:

³²) Man mufs beim Einfetzen der Zahlenwerthe für / und l vorfichtig fein. Es ift eigentlich felbftverftändlich, dafs, wenn man l in Metern einfühtt, p die Belaftung für das laufende Meter Träger bedeutet, und wenn l in Centimetern eingeführt wird, p die Belaftung für das laufende Centimeter Träger bedeutet. Giebt man ferner K, die zuläffige Beanfpruchung, in Kilogramm

7    M

für lqcm und das Moment M in Kilogramm-Centimetern an, fo find in der Gleichung--= die Werthe für 7 und <1 auf

Cl    Â

Centimeter bezogen einzufetzen. Dennoch dürfte es nicht überflüffig fein, hier befonders darauf aufmerkfam zu machen, da von Anfängern und Ungeübten oft in diefer Hinficht Fehler gemacht werden. Es empfiehlt fich, ftets Alles auf Centimeter und Kilogramm bezogen einzuführen.

Fig. 166.

\D₀

aD,

Qi = D₀ — P =

P{l-X)

- p= -

i '

d. h. negativ. Daraus folgt der Satz : In einem ^ Querfchnitt erzeugt jede rechts liegende Laft eine pofitive, jede links liegende Laft eine negative Querkraft. Demnach wird in irgend einem Querfchnitte, etwa E, die gröfste Querkraft (Qmax) ftattfinden, wenn die ganze Trägerabtheilung rechts von E belaftet, der übrige P Trägertheil (AE) unbelaftet ift (Fig. 166 d).

Die kleinfte Querkraft (Qwi„) wird in E ein-_________ H    '    ^

treten, wenn die Abtheilung AE links von E

belaftet, die Abtheilung E B rechts von E unbelaftet ift (Fig. 166 c).

bezw. Qmin für den Querfchnitt E, welcher um a vom linken Auflager entfernt liegt und für die Belaftung p auf das laufende Meter, wie folgt. Für die Belaftung nach Fig. 166 b ift

<t

Ą-

—a----»1

1E

■it-

l-x

bfo

Cf <---a---*-

4-

(r--a-----

'P*

\p

---2-a —

----}

P~a    1

s-----*

4--TT

Man erhält die Werthe von Q

max j

max —

_ pv-*y .

172.

für die Belaftung nach Fig. 166 c ift

Dq —

('--r)

und Qmin = Dq — p a\

fonach

Qmin — —

I73-

Die Belaftung nach Fig. 166 kommt im Hochbau fehr häufig vor, z. B. bei Trägern unter Mauern, in welchen fich Fenfter- oder Thüröffnungen befinden. Für

die Querfchnittsbemeffung ift das gröfste Moment mafsgebend, welches demnach auf-gefucht werden foil.

Für irgend einen Punkt C der Strecke AE (Fig. 167) ift das Moment

Fig. 167.

o,K

k-----a—

—T---

--l-a--

--

K----

— i---------*

Mx — D₀ x =

p(J- aY

Ie----

---*1

die graphifche Darftellung ergiebt eine Gerade. F'ür einen Punkt F der Strecke CB ift das Moment bequem durch Betrachtung des rechts von F gelegenen Trägertheiles zu finden. Es ift

Ms=Di (/—.€) —

woraus

Auf diefer Strecke ergiebt alfo die graphifche Darftellung des Momentes eine Parabel. Diefelbe hat ihr Maximum für

max —

150

Aus der Formel ergiebt lieh, dafs das Maximum des Momentes ftets in einem

wird gefunden, wenn man in gefundenen Werth einführt, alfo

Punkte der belafteten Strecke £ B flattfindet. M,

den Ausdruck für M* ftatt £ den für £

max

max

Mv

iax

p l²

Mt)T

174.

Nachftehende kleine Tabelle ergiebt für eine Anzahl Werthe von a die Gröfse von Mmax und von £

max •

X\nax — 1

156.

Gröfste Momente durch

gleichförmig

vertheilte

Laden.

Eine Laft P im Abftande x vom linken Auflager erzeugt im Punkte E links

und im Punkte F

vom Laftpunkte (Fig. 166 a) ein Moment Ma —

P x

PU- X)

—7-*

b.

Beide Momentenwerthe find

rechts vom Laftpunkte das Moment Mb =

pofitiv; alfo erzeugt eine jede Einzellaft in allen Trägerquerfchnitten pofitive Momente. Die gröfsten Momente in den einzelnen Trägerquerfchnitten werden demnach ftattfinden, wenn alle Trägerpunkte belaftet find, d. h. bei voller Belattung des Trägers. Ift alfo volle Belattung eines Trägers mit gleichmäfsig vertheilter Laft p möglich, fo ruft diefe die gröfsten Momente hervor und ift defshalb der Berechnung zu Grunde zu legen. Bei diefer Belattung ift nach Gleichung 169 für einen Quer-fchnitt mit der Abfeiffe

Mx — — (Ix — x²) .

Vierter Belaftungsfall: Der Träger wird auf feine ganze Länge durch eine gleichförmig vertheilte Laft und aufserdem durch Einzel-undEinzelhaften,iaften oder auf einen Theil feiner Länge durch eine weitere gleich-beZiTeiaftung!,rCförmig vertheilte Laft belaftet.

Da jeder Träger aufser der Nutzlaft noch das Eigengewicht tragen mufs, diefes aber als gleichförmig über die ganze Länge vertheilt angenommen werden kann, fo ift diefer Fall der am häufigften vorkommende.

In Art. 153 ift nachgewiefen, dafs jede Laft einen von den fonft noch auf dem Balken befindlichen

Laften unabhängigen Stützendruck erzeugt, und dafs    t------x₂------*

der Gefammt-Stützendruck gleich der algebraifchen IlllillUlli^liiiiiii^iiiiiijjiiiiiiijJ Summe der Einzeldrücke ift. Daraus folgt, dafs auch A<-/-q ] ß--J ^ die Querkräfte und Momente für alle Querfchnitte gleich den algebraifchen Summen der bez. Theil-Querkräfte und Momente find.

Demnach brauchen im vorliegenden P'alle nur die Stützendrücke, Querkräfte und Momente, welche bei den einzelnen bereits betrachteten Belattungen, derjenigen durch Einzellaften und derjenigen durch gleichförmig vertheilte Laft u. f. w., fich ergeben haben, algebraifch addirt zu werden, was fowohl auf dem Wege der Rechnung, wie graphifch gefchehen kann.

T57-

Gleichfôïmîg veitheilte Laft

Fig. 168.

175-

Do

D,

P3

Fig. 168 ftellt die Querkräfte und Momente dar, welche in den verfchiedenen Querfchnitten durch gleichförmig vertheilte Laft und Einzellaften hervorgerufen werden. Die punktirten Linien geben die Werthe von Q und M nur für Einzellaften, bezw. für gleichförmig vertheilte Laft an ; die voll ausgezogenen Linien bedeuten die Summen.

2) Confole-, Krag- oder Freiträger.

Confole-, Krag- oder Freiträger find am einen Ende unterftützte, am anderen Ende frei fchwebende Träger. Als äufsere Kräfte wirken auf diefelben die Be-

Fig. 169.

\P

laftungen und die Auflagerdrücke der Unterftützungs-ftelle. Letztere laffen fich aus den Gleichgewichtsbedingungen ermitteln. Damit der Träger im Gleichgewicht fei, mufs zunächft die algebraifche Summe der lothrechten Kräfte gleich Null fein, d. h. wenn die lothrechte Seitenkraft des Auflagerdruckes bei A (Fig. 169) gleich D₀ ift, wird 0 = D₀ — P oder

.    .    176.

dq- p . .

Eine äufsere wagrechte Belaftung fei nicht vorhanden; daher wird der Auflagerdruck keine wagrechte Seitenkraft haben. Es mufs aber auch die algebraifche Summe der ftatifchen Momente für einen beliebigen Punkt der Ebene, alfo etwa für A, gleich Null fein; mithin mufs, da das Moment der gegebenen Kräfte für A nicht gleich Null ift, D₀ aber für den Drehpunkt A kein ftatifches Moment hat, an der Unterftiitzungsftelle noch eine Anzahl von Kräften wirken, deren refultirendes Moment mit demjenigen der Belaftungen zufammen die Summe Null ergiebt. Bei A wirkt alfo ein Moment M₀, deffen Gröfse fich bei dem in Fig. 169 gezeichneten Drehfinn aus der Gleichung ergiebt:

177.

P x — M₀ = 0, d. h. M₀ — -f- P x

Diefes Moment, deffen Drehfinn demjenigen von P entgegengefetzt ift, kann auf verfchiedene Weife erzeugt werden, am einfachften durch Einmauerung, bezw. Einfpannung des Balkens.

Soll für jede Belaftungsart Gleichgewicht vorhanden fein, fo mufs der Balken derart eingemauert werden, dafs das von der Mauer geleiftete Moment auch die gröfsten Werthe des Momentes der Belaftungen auf heben kann. Das Moment der Mauer wird durch das über dem eingemauerten Balkentheil liegende Mauergewicht geleiftet, wonach diefes zu beftimmen ift.

Auch in anderer Weife kann ein Moment in A erzeugt werden, z. B. dadurch, dafs der Balken über den Punkt A hinaus, bis zu einer zweiten Stütze B, verlängert wird.

Die Confole-Träger find ftatifch beftimmt, da die beiden Unbekannten: der Auflagerdruck D₀ und das Moment M₀, nach den Gefetzen der Statik fefter Körper ermittelt werden können. Im Folgenden werden der Auflagerdruck, die Ouerkräfte und die Momente, wie beim Balkenträger auf zwei Stützen gefucht; daher werden bezüglich der Belaftungsart drei Fälle unterfchieden :

Erfter Fall: Der Confole-Träger wird durch beliebige Einzellaften

belaftet.

158.

Erklärung.

159-

Belaftung

durch

Einzellaften.

Die freie Balkenlänge A B (Fig. 170) fei gleich /; alsdann ift der Stützendruck

und das Moment

152

DQ-PX + P% +

= s (P)

0

178.

-i (Pi) ■

0

M₀ = ~(P₁l₁ + Pit,+P₉i ,) =

Für einen beliebigen Querfchnitt C zwifchen A und E beträgt die Querkraft Q = D₀ = X (Z⁵); diefen Werth hat <2 für alle Punkte zwifchen ^4 und Zf. Für irgend einen Querfchnitt L zwifchen E und F ift Ql =    und es ift allgemein

• •    179-

Fig. 170.

a)

Do

160.

Gleichförmig

vertheilte

I’elaftung.

Die Querkraft in jedem Quer-fchnitte ift alfo gleich der Summe der zwifchen diefem Querfchnitte und dem freien Ende befindlichen Laften. Dies ^ folgt fchon aus der Erklärung der Querkraft. Als graphifche Darftellung der Veränderung der Querkräfte ergiebt fich die neben flehende Conftruction ^

(Fig. 170Z).

Für einen beliebigen Punkt L mit der Abfciffe x wird das Moment M — — |P₃ (£₃

i [P(t-x)]

Die graphifche Darftellung der Momente zwifchen je zwei Laftpunkten ergiebt alfo eine Gerade, wie in Fig. 170* gezeichnet ift.

Die Momente find als negativ einzuführen, weil die Kräfte das Beftreben haben den Balken fo zu biegen, dafs er feine convexe Seite nach oben kehrt (vergl. Art. 151, S. 142).

Sowohl Querkraft, wie Moment ift bei diefer, demnach auch bei jeder Be-laftung, am Auflager-, bezw. Einfpannungspunkte am gröfsten; diefe Stelle ift alfo bei den Confole-Trägern die am meiften gefährdete. Wird, wie im Hochbau meiftens, der Balken mit conftantem Querfchnitt ausgeführt, fo ift der am Einfpannungspunkte nöthige Querfchnitt der Ausführung zu Grunde zu legen.

Zweiter Fall: Der Confole-Träger wird durch eine gleichförmig vertheilte Laft belaftet.

Für den Auflagerpunkt A (Fig. 171) ergeben fich der Auflagerdruck und das

wird fonach

M=-

*----x-

-Y

x) + P2 (€₂ - *)] i allgemein

181.

Moment zu

D₀=p l und M₀ = —    ₂

; . 182.

für einen Punkt C mit der Abfciffe x betragen die Querkraft und das Moment

Qx—p{l— x) und Mx = —

Die graphifche Darftellung der Wertlie von Q ergiebt eine Gerade ; für ar = 0 ift 0

p(l- X)'

183.

a)

D₀

Fig. 171.

l-x

--rs

Q₀ = p I, für x — I ift Qi = 0. Diejenige der Werthe von M ergiebt eine Parabel; für x = O ift M₀ =--—; für x — l ift = 0. Da ferner für x — l

—    — x) Null wird, fo ift die Abfciffenaxe im Punkte x — l eine

auch

d Mx d x

Tangente an die Parabel. Die Momente und Querkräfte find in Fig. lyic und \y\b graphifch dargeftellt. Der gröfste Werth des Momentes und der Querkraft findet an derfelben Stelle, an der Einfpannungsftelle, ftatt.

Dritter P'all: Der Confole-Träger wird durch eine gleichförmig vertheilte Belaftung und durch Einzellaften belaftet.

Die Stützendrücke, Querkräfte und Momente ergeben fich als die Summen

161.

Gleichförmig vertheilte Laft und

der bei den einzelnen Belaftungen ftattfindenden Stützendrücke, Querkräfte und Einzeiiafien. Momente. Es wird defshalb genügen, hier die Werthe anzugeben (Fig. 172):

Fig. 172.

4-

... /

1:

ilZ

P,

P3

Dq — Px + P% -f- Pä ^ p I — S P -f- P l

0

Qx.= ip + p{l-x)

ś [>«-*)]

.    184.

Mx = -

p (l — X)²

Eben fo wird die Veränderlichkeit der Q und M durch graphifche Addition der für die Einzelbelaftungen fich ergebenden Werthe von Q und M graphifch dargeftellt.

Beifpiel. Ein fchmiedeeiferner Balcon-Träger von 2m freier Länge hat als Eigengewicht eine gleichmäfsig vertheilte Belaftung von 500 kS für das laufende Meter und eine Nutzlaft von 800 kS für

das laufende Meter zu tragen, aufserdem noch das Gewicht der Brüftung mit 800in 1,8m Abftand von der Wand. Demnach ift, wenn Alles in Centimetern angegeben wird, g — 5 kg, p = 8 kg, P— 800 kg, £ — 180cm und / = 200 cm.

Die Nutzlaft habe nur eine Länge von 170cm.

Als Berechnungsweite darf man nicht die freie Länge bis zur Wand einführen, fondera mufs diejenige bis zur Auflagermitte nehmen , welche hier etwa 25cm hinter der Mauerkante liegen möge. Alsdann ift für den Punkt A (Fig. 173), wenn Mg das Gröfstmoment für ruhende, Mp dasjenige für bewegliche Laft bezeichnet, abfolut genommen

Fig. 173.

E---£ =J$0----1

--1JO- --»!

ro

Mg = /’(£■+ 25) +gl (y + 25^ = 800 . 205 + 1000 . 125 = 289 000 kgcm,    *

Mp-p . 170 (-^-+2S) = 8 . 170.110 = 149C00kgcm.

Der Querfchnitt an der Stelle A ift fo zu beftimmen, dafs, wenn als zuläffige Beanfpruchung K — 800 kg gewählt wird, ftattfindet:

548.

_ M_ __ 289000 -h 149600

800

= 547,

Profil Nr. 28 der »Deutfchen Normal-Profile für I-Eifen« hat ein Widerftandsmoment -dürfte alfo für den vorliegenden Fall genügen.

Es möge hier noch einmal befonders darauf hingewiefen werden, dafs die Confole-Träger hauptfächlich dann gefährdet find, wenn das am Einfpannungspunkte von der Mauer geleiftete Moment nicht die genügende Gröfse hat. Damit Gleichgewicht beftehe, mufs diefes Moment wenigftens fo grofs fein, wie das gröfstmögliche

162.

Princip.

Moment der äuSseren KräSte für A. Auch hier ift aber ein Sicherheits-CoeSficient n nöthig', und wenn beispielsweise dieSes EinSpannungsmoment durch das Gewicht des auS dem hinteren Balkentheile ruhenden Mauerwerkes geleistet wird (Füg. 174), So muSs Gx gx — n M₀ Sein. Es dürfte Sich empfehlen,

11 nicht kleiner als 4 zu nehmen.

Dabei ilt aber auch zu beachten, dafs die Art der Con-ftruction dafür Gewähr bieten mufs, dafs das Gewicht Gj wirklich zur Wirkfamkeit kommt — etwa durch angemeffene Unterlagsplatten, Verband, Cementmörtel u. dergl. Unter Umltänden kann man auch das Gewicht des unterhalb gelegenen Mauerwerkes durch Anker und Ankerplatten am Balkenende aufhängen und dadurch für die Stabilität des Confole-Trägers nutzbar machen. Zu beachten ift auch, ob nicht ein Ausreifsen nach der punktirten Linie in Fig. 174 möglich ift.

Fig. 174.

3) Continuirliche Gelenkträger, Auslegerträger oder Gerber-Träger.

Die Querfchnittsgröfse der Träger und damit die zu denielben gebrauchte Stoffmenge iff wefentlich von der Gröfse der in den einzelnen Querschnitten ftatt-findenden gröfsten Momente abhängig. Eine Verminderung der Momente hat auch eine Querfchnittsverringerung zur Folge. Eine Solche Verringerung der Momente wird gegenüber den gewöhnlichen Trägern auS zwei Stützen durch die Sog. con-tinuirlichen Gelenkträger oder Auslegerträger erreicht, bei denen die Stützpunkte eines Theiles der Träger durch die übergekragten Enden der Nachbarträger gebildet werden. Man erhält dadurch für die verschiedenen Oeffnungen verschiedene Trägerarten, und zwar wechselt immer ein Träger mit einem, bezw. zwei Auslegern an den Enden und ein Solcher ohne Ausleger ab.

Für drei neben einander liegende Oeffnungen I, II, III Sind die hauptsächlich vorkommenden Anordnungen in Fig. 175 a u. b dargeStellt. Entweder hat, wie in Fig. 175« gezeichnet iSt, jeder Seitenträger / und ///einen über das AuSlager B, bezw. E vorragenden Ausleger B C, bezw.

DE, auS deren Enden der Mittel -träger CD Srei auSruht, oder der Mittelträger CD hat, wie &) in Fig. 175 b, jederSeits ein Krag-Stück BC, bezw. DE, und die Seitenträger AB und EF ruhen einerseits auS den EndStützpunkten A, bezw. F, andererseits auf den Enden B und E der erwähnten Kragftücke oder Ausleger.

Die PSetten der gröSseren eiSernen Dächer werden neuerdings meiftens als Solche Träger nach Fig. 176 hergeftellt, wo immer ein Träger mit zwei Auslegern an den Enden und ein auS dieSen Auslegern Srei auSgelagerter Träger

abwechSeln. Die Beanspruchung Q_

in dieSem Falle Stimmt genau mit G H derjenigen der in Füg. 175 £ angegebenen Anordnung überein; jeder Träger mit zwei ConSolen an den Enden wird wie Träger BCDE in Fig. 175 b beanfprucht; jeder andere Träger wie AB,

Fig. I7S.

*-a-

II

a)

<-

1/

Fig. 176.

-o

bezw. EF diefer Figur. Es genügt defshalb, die beiden Anordnungen in Fig. 175 a u. b in das Auge zu faffen.

Erfte Anordnung: Die Kragftiicke befinden fich an den Seitenträgern (Fig. 175«).

a) Erfter Belaftungsfall: Der Träger ift über feine ganze Länge durch eine gleichförmig vertheilte Lafb belaftet.

a) Seitenträger mit einfeitigem Kragftück. Es fei AB — lx, BE = /, BC — DE= a und CD = b, alfo 1= 2 a-\-b] ferner fei die Belaftung für die Längeneinheit des Trägers p. Alsdann wirkt aufser diefer Belaftung auf den

Seitenträger in C eine Kraft nach unten, welche dem im Punkte C auf den Balken CD nach oben wirkenden Auflagerdruck (nach dem Gefetze der Wech fei Wirkung, vergl. Art. 9, S. 10) genau gleich ift, d. h.

eine Kraft ~~. Der Stützen-

U

druck im Auflagerpunkte A (Fig. 177«) ergiebt fich durch Aufhellung der Gleichung der ftatifchen Momente für Punkt B zu

163.

Elfte

Anordnung.

Fig. 177.

D₀

* — x--z

vr i^riTllMIIllilïïITÏÏiTrrr^

•k- -~a

<• -■Yjl

m

-1*

PA

pPb *20)

2\

PA

.Jl

Pk

LC A

Setzt man die nur von den

Längen abhängige Confiante a b Ą-

= cv fo ift

(k “ ci)

. 185.

Weiters ift der Stützendruck im Auflagerpunkte B

Pk

+ pa

2 (k + ci + - a ~h b) ■

186.

In der Strecke A B beträgt die Querkraft für einen Punkt L mit der Abfciffe x, von A aus gerechnet,

Qx — A p x —

tcl^

(lx — cx — 2 x),    .

d. h. die graphifche Darftellung ergiebt eine Gerade. Für x ■=. 0 ift Q₀ = j- (ly cy):

(/t -f- c^)\ die Querkraft wird Null für x₀ =

.    .    187.

- c\

für x — lx ift Q\ —

In der Strecke BC ift die Querkraft für einen Punkt Ly mit der Abfciffe xy, von C aus gerechnet,

Q„ =

ic A

(P 2 xP),

188.

d. h. die graphifche Darftellung derfelben ergiebt eine Gerade. Für xx — O ift Q₀    für xx = a ift Qa — y [b -f- 2 a). Die Querkräfte find in Fig. 177 b

graphifch dargeftellt.

In der Strecke AB ift das Moment für den Punkt L

Der erfte Theil diefes Ausdruckes ift das Moment, welches in einem frei aufliegenden Balken A B von der Länge lx entftehen würde; in Folge des Auslegers

i) C X

und feiner Belaftung erhält man demnach hier an jeder Stelle ein um —ß—

2

kleineres Moment. Die graphifche Darftellung ergiebt eine Parabel aß^S (P'ig. 177c);

p c x

die Linie ad ift die Linie der Gleichung: y — —    1... Trägt man alfo von diefer

U

aus die Ordinaten z — — [lxx — x²) auf, fo ergeben die von as aus gemeffenen

—

Ordinaten die Momente an den einzelnen Stellen. Für # = 0 ift Mx =0; für x =■ lx

PCA

ift Mi

-~- = sS. Mx wird Null für jenen Werth von x, für welchen ftatt-

u

findet: 0 =

Pci

Mx hat feinen Gröfstwerth für

~, d. h. für x₀ = lx — cx; a y ift alfo gleich lx — cv

Là

^ ——, und es ift

Li

d Mx

= 0, d. h. für ar,

ß ~f~ c\ P G_ ß c\ P ißx    c\)²

2 ' 2 ~

In der Strecke B C ift das Moment für den Punkt Lx pb

~Y x1 “ 2

d. h. die graphifche Darftellung liefert eine Parabel. MXl wird Null für xx — 0 und für b -j- xx — 0, d. li. für xx — — b, alfo für Punkt C, und wenn die Curve über den Nullpunkt C nach rechts auf die negative Seite der Abfciffenaxe fortgefetzt wird, für den Punkt D (Fig. 175«). Ferner wird MXl ein Gröfstwerth für 0 — b ß-2 xv

Für xx = a, d. h. für den Auflagerpunkt B, wird

LJ

P

MXx —---— [ab -j- a²) = — ß- cx lx, wie bereits oben gefunden. Hiernach ift die

u    u

Parabel SCvjtl in Fig. 177 c conftruirt.

b) Balkenträger auf den beiden Krag-ftticken. F'iir dielen Träger CD (Fig. 178) gilt das unter 1 für den Träger auf zwei Stützen Gefundene.

Daher ift für einen Punkt mit der Abfciffe x

d. h. es wird ;r

— c\

W,, = -

\max —

nax

a)

.    .    190.

Fig. 178.

PK

t c S-

[b x — x²).    191.

Die graphifchen Darftellungen der Querkräfte und Momente giebt Fig. 178.

c) Ganzer Träger. Betrachtet man nun den ganzen Träger (Fig. 179), fo fieht man zunächft, dafs

Qx = y {b — 2 x) und Mx —

PÈ

PP

2

c)

die Querkräfte und Momente in C gleiche Gröfse haben, ob man vom Träger ABC oder vom Träger CD ausgeht. Auch die Neigung der Linie or, welche die Querkraft auf CD darftellt (Fig. 178), ftimmt mit derjenigen von mn (Fig. 177), welche die Querkraft der Strecke B C darftellt, überein; denn es ift (Fig. 178)

tg a =

2

-J-—P und (FiS- l77t) tg ß =

— = p, d. h. ß = a ; a

Auch die

demnach bilden die beiden Linien or und mn eine einzige Linie. Momenten-Curven beider Theile ftimmen überein; denn für die Abtheilung B C ift

p

nach Gleichung 190: MXx — — ~ (bxx -f- x\²) und für negative xv d. h. für Punkte,

u

P

welche rechts von C liegen, ift MXx = —    (— bxx -(- xx²) = -j-

U

DO Ns-

{bxx - x²).

Fig. 179.

6 — CL---i

w- h-Ą-i

e-

4-1

r-a---*---

^nriTTTÏÏlïïTinÏÏITnTiTi^

^rmÏÏ^IlIliïlïïIITTTT^

'Hl

fl

Dies ifl aber nach Gleichung 191 der Werth, welcher fich für das Moment auf der Strecke CD ergiebt. Die in Fig. 177 c gezeichnete Curve SCvjit ift alfo die richtige Momenten-Curve.

In Fig. 179 find die. Momente und Querkräfte für den ganzen Träger an

gegeben.

b) Vergleich mit dem Träger auf zwei Stützen. Für den mittleren Theil BCDE (Fig. 179) find die Querkräfte genau, wie bei einem frei aufliegenden Träger von der Spannweite

/ ~ 2 # —j— b ; für die Seitenträger find die Querkräfte an jeder Stelle um fachen, auf den Stützen A und B aufruhenden Balkenträger. Die abfoluten Werthe der Querkräfte find alfo auf der pofitiven Seite um ^ f kleiner, auf der negativen Seite um ^ -L gröfser, als dort.

u    u

Was die Momente anbelangt, fo ift für die Seitenträger oben bereits nachgewiefen, dafs das Moment ^—1— kleiner ift, als beim frei aufliegenden Balkenträger von der Spannweite /j.

U

Falls der Mittelträger in B und E frei aufläge, würde an einer beliebigen Stelle mit der Abfciffe 4, von B

P-ÜC kleiner, als beim ein-2

an jeder Stelle um

aus gemeffen, das Moment Mg ' =

f- (1Î -    = y F + 2«)S-5*] =/>««•+- 4

pv

rfein'

oder

wenn man des bequemeren Vergleiches halber die Abfciffen vom Punkt C aus rechnet uncl mit x bezeichnet (nach rechts pofitiv), fo wird £ = a -]- x und nach einigen Umformungen

Mx

P_

Für den Mitteltläger BCDE mit den Gelenken in C und D ift Moment Mx —

(b x — x²') , alfo

um

— cy ly kleiner, als

¹a

wie oben gezeigt, das wenn die Auflagerung in gewöhnlicher

Weife in B und E erfolgte. Nun ift aber diefe Differenz

— cy ly gerade das negative Moment an den

Stützen B und E; die von der Wagrechten aß in Fig. 179 aus gemeffenen Ordinaten ergeben daher die Momente des in B und E frei aufliegenden Trägers. Conftruirt man demnach die Parabel der

(/4 — £²) in gewöhnlicher Weife und zieht durch die Punkte y und 8, in welchen die

Lothrechten der Auslegerenden die Parabel fchneiden, eine Wagrechte s £, fo find die von diefer Linie aus gemeffenen Ordinaten die Momente.

Es empfiehlt fich, die Auslegerlänge fo zu beftimmen, dafs das negative Moment über den Stützen abfolut genommen genau fo grofs ift, wie das pofitive Moment in der Mitte. Man theile zu diefem Zwecke einfach die Pfeilhöhe der Parabel affß in zwei gleiche Theile und ziehe durch den Theilpunkt eine Wagrechte; alsdann geben die Längen s-f> bezw. 8£ die Längen der Ausleger.

Gleichung

ß) Zweiter Belaftungsfall: Der Träger ift auf einen Th eil feiner Länge durch eine gleichförmig vert heilte Laft belaftet.

An diefer Stelle foil für jeden Querfchnitt unterfucht werden, welche Be-

laftung, theilweife oder volle, die ungünftigfte ift, und zwrar fowohl für die Querkräfte, wie für die Momente. Da die hier be-fprochenen Träger für Speicher, Magazine u. f. w. vielfach Verwendung finden, fo ift es erforderlich, bei der Berechnung für die einzelnen Theile die un-giinftigften Verkehrsbelaftungen zu ermitteln und zu Grunde zu legen.

Bei der Unterfuchung der gefährlichften Beladungen gehen wir von der Beladung durch eine Einzellaft aus.

Fig. 180.

a) DO

----->

Dl

.Di

Ct) Seiten träger mit einfeitigem Ausleger. Es ift die Beladung zu ermitteln, welche in einem Querfchnitt L im Abftande vom linken Auflager A die gröfste Querkraft und das gröfste Moment hervorruft. Liegt eine Laft P links von L im Abftande £ von A (Fig. 180 <2), fo erzeugt fie die Auflagerdrücke

c) Do

(.____x__

A*

>CD

-1

Di

Di P

D,=

Pißx-i)

und Dx —

Pi

ferner

lx

Pi

Pi

und M = ——,{l\ — x)-

Liegt die Einzellaft P rechts vom Querfchnitt L und links vom Auflager B (Fig. 180 Æ), fo ift

P(ßx-t 0

-----

___ b-

6-—Z —>{

Pi'

und für den Querfchnitt L

li '

Liegt die Einzellaft auf dem Ausleger um Ç von P entfernt (Fig. 180 c), fo ift

Do =

PC

P(4 + 0 .

und für den Querfchnitt L

'l

PC

ß = --V-,

PC

X

Liegt endlich die Einzellaft auf dem Zwifchenträger C D im Abftande z vom rechten Auflager D (Fig. i8o?), fo überträgt fie im Laftpunkte C eine Laft auf

'i

Pz

den Ausleger im Werthe von Px — —— und erzeugt die Auflagerdrücke (Fig. 180d)\

Pz (a -|- /,) .

Pz a

b lx

und D

im Querfchnitt L treten dadurch

Pz

Pz a

b lx

auf. Fine Belattung des Seitenträgers DBF ift ohne Finflufs auf die Momente und Querkräfte im Querfchnitt Z.

Aus Vorftehendem folgt: Im Querfchnitt L erzeugt jede Belaftung zvvifchen dem Querfchnitt und dem rechtsfeitigen Auflager eine pofitive Querkraft, jede Belattung links vom Querfchnitt und aufserdem jede auf dem Ausleger und dem Zwifchenträger CD liegende Laft eine negative Querkraft. Gröfste pofitive Querkraft findet demnach ftatt bei der Belaftung der ganzen Strecke PZ, gröfste negative Querkraft bei der Belattung der Strecken AL, BC und CD (Fig. 181). Nennt man

die gleichmäfsig vertheilte Belattung für das laufende Meter des Trägers q, fo erhält man leicht für den Querfchnitt Z:

Fig. 181.

k—x—b'X----J«.—a,—*]

Al

x max

_ g (A - P)²

2 lx

.    .    192.

K-—a—*!

O' X min

q x²

2 lx

CO

(a² -f- a b)

oder, da

a² -j- a b

= cx ift,

qo

Qxjjiin

2/,

CO

Cl- ■

• I93-

Ferner ergiebt fich aus dem Vorftehenden : Jede Belattung der Strecke AB erzeugt im Querfchnitt Z ein pofitives Moment; jede Belattung des Auslegers BC und des Zwifchenträgers erzeugt ein negatives Moment im Querfchnitt Z. Demnach findet ftatt: Gröfstes pofitives Moment in Z bei voller Belattung des Seitenträgers AB, gröfstes negatives Moment bei Belattung des Auslegers P C und des Zwifchenträgers C D. Man erhält für Querfchnitt Z :

M1t

mx —

(/x x — x² )

.    194.

Pantin —

q (a -J- a²)

q ci x

• • I95-

Für einen Querfchnitt 0 auf dem Ausleger (Fig. 182) ergiebt lich: Eine Laft P zwifchen A und P ift ohne Einflufs auf den Querfchnitt 0, da die Kräfte P, P₀ und Dx

einander im Gleichgewicht halten ; das Gleiche gilt von einer Laft zwifchen B und dem Querschnitt 0. Liegt P rechts von 0, fo ift in 0 :

Q — P und M — — P (x — i).

Liegt endlich die Laft auf dem Zwischenträger CD im Abftande z vom rechten Auflager D, fo wird im Laftpunkte C ein Druck auf den Ausleger übertragen,

~, und für Querfchnitt 0 ift

P'

Pz

Fig. 182.

Pz

s = -r

und M = —

Pz

b X'

Es folgt: Jede Belastung links von 0 iSt ohne Einflufs auf Q und M in 0\ jede Laft rechts von 0 auf Ausleger und Zwischenträger ruft in 0 pofitive Querkraft und negatives Moment hervor. Gröfstes pofitives Q und gröfstes negatives Moment werden demnach in O (und in jedem Querfchnitte des Auslegers) ftattfinden, wenn der Ausleger rechts vom Querfchnitt und der Zwischenträger voll mit q belaftet ift. Da aber die übrige Beladung des Trägers ohne Einflufs ift, fo kann man auch fagen: Für alle Querfchnitte 0 des Auslegers finden gröfste pofitive Querkraft und gröfstes negatives Moment bei voller Beladung des Balkens datt. Man erhält für Querfchnitt O:

Do

Di

Do

Di

Bi

DiP

«<C C3

C?

Di |P

■qc

Qmax

I96.

b) Zwifchenträger CD. Derfelbe id ein Träger auf zwei Stützen von der Stützweite b\ es gilt von ihm daffelbe, was in Art. 15 1 u. 152 (S. 148 bis 150) über diefen Träger vorgeführt id. Für einen Querfchnitt im Abdande x vom linken Auflager id alfo

Qmax

q {b — x)²

I97.

Qmin -

(b x — x²)

Für alle Querfchnitte des Balkens find in Fig. 183« u. 183Æ die Werthe

Qtnax Und Qmin > M-i

max

und M„tin in Folge der gleichförmig vertheilten Verkehrs-laft q zufammengeftellt ; die Curven ergeben Sich aus den vorstehend vorgeführten Gleichungen.

Aus den Gleichungen 192 u. 193 ergiebt fich, dafs auf dem Seitenträger in der Oeffnung AB die pofitiven Gröfstwerthe von Q genau fo find, wie bei einem in A und B frei gelagerten Träger (vergl. Art. 151, S. 148), die negativen Gröfst-

werthe von Q dagegen um das für alle Querfchnitte gleich grofse Stück    abfolut

Li

genommen, gröfser find, als jene. Auf dem Ausleger B C kann die Querkraft durch Verkehrslaft nach Gleichung 196 nur pofitiv fein; ermittelt man die gröfste durch

I6I

Verkehrslaft hervorgerufene Querkraft für alle Querfchnitte des Auslegers und trägt fie als Ordinaten in den bezw. Querfchnitten auf, fo ergiebt fich eine Gerade. Im Zwifchenträger CD ift wieder Alles wie beim Träger auf zwei Stützen. Beim rechts-feitigen Seitenträger ergeben lieh diefelben Werthe, wie beim linksseitigen Seitenträger; nur kehren fich mit Rückficht auf die Erläuterungen in Art. 151 (S. 142) die Vorzeichen um.

Was die pofitiven und negativen Gröfstmomente durch die angegebene Be-laftungsart anlangt, fo erfieht man aus Gleichung 194, dafs das pofitive Gröfst-moment im Seitenträger auf der Strecke A B genau diefelben Gröfsen hat, wie bei

Fig. 183.

a)

T~

T'lfK

q ( t)+2a

qi

Tj

LA

-fï

'V\C

TT--T-

P

uff

qtli+Ci) 2 1

t| i

N__X

Ni___*.

..A.

■ -V.;-

-«ten

k------

einem in A und B frei gelagerten Träger; die negativen Gröfstmomente in den einzelnen Querfchnitten ändern fich geradlinig; der abfolute Gröfstwerth findet bei B

ftatt und hat die Gröfse    Auf dem Ausleger B C kann nach Gleichung 196

nur ein negatives Gröfstmoment, im Zwifchenträger CD nur ein pofitives Gröfst-moment ftattfinden (fiehe Gleichung 197). Vom Gröfstmoment auf der Strecke B CD E gilt Alles, was in Art. 163 (S. 157) über die Momente durch volle Belaftung p vorgeführt ift. Der rechte Seitenträger befindet fich in genau gleicher Lage, wie der linke.

Bei den im Hochbau verwendeten Auslegerträgern ift vielfach der Querfchnitt für jeden der drei Einzelbalken confiant gebildet; derfelbe mufs demnach unter Zugrundelegung des im betreffenden Theile möglichen gröfsten Momentes, abfolut genommen, beftimmt werden. Führt man das Eigengewicht als gleichförmig über den ganzen Balken vertheilte Laft p auf das lauf. Meter ein, die Nutzlaft eben fo

Handbuch der Architektur. I. i, b. (3. Aufl.)

d. h. genau fo grofs, wie ohne Ausleger. Für xx = 0 ift Q₀ = ^L; für xx

ift Qh = -

In der Strecke DE ift die Ouerkraft eben fo grofs, wie in B C\ nur ift hier pofitiv, was dort negativ ift. Die graphifche Darftellung der Querkräfte ergiebt

Fig. 185 a.

162

als Laft q, fo ift für den Seitenträger gewöhnlich das Moment über der Stütze B mafsgebend, d. h.

MB„iin

ci A

^ (P + q\

Alsdann müffte die Querfchnittsgröfse und -Form nach der Gleichung be-ftimmt werden :

7__(P 4) c\ A

Ob das gröfste pofitive Moment auf der Strecke AB, abfolut genommen,

gröfser ift, als Mß y wird leicht durch Aufträgen von Fig. 179 u. 183 und durch Zufammenrechnen der für p und q erhaltenen Werthe ermittelt.

Für das Mittelftück CD ergiebt fich in gleicher Weife als Bedingung für die Querfchnittsbildung :

y (P + q) b*

SK

164.

Zweite

Anordnung.

Zweite Anordnung: Die Kragftücke befinden fich am Mittelträger

(Fig. 175 £).

a) Erfter Belaftungsfall: Der Träger ift über feine ganze Länge durch eine gleichförmig vertheilte Laft belaftet.

a) Mittelträger mit beiderfeitigen Kragftücken. Die Länge des Mittelfeldes (Fig. 184) fei /j, diejenige des Auslegers fei a und die Länge jedes Seitenträgers b ; alsdann ift bei voller Belaftung

der Auflagerdruck

Fig. 184.

198.

— ij⁻ (A "f 2 a -f- b) — Dx .

In der Strecke B C ift die Querkraft

.    .    199. -

1<---a

( -PC-}

pb

PÄ

P b .    _ iß.

2

Qa = — •— — pa—-

In der Strecke CD ift die Querkraft

P b

Qx 1 — Do 2 Pa Px\ — 2“ (A 2Xj), .

Für * = 0 ift Qo — —

{b + 2 a).

DK

PA

2

200.

In den Strecken B C und DE haben die Momente die gleichen Werthe, wie

bei den in Art. 163 (S. 155) behandelten Auslegern. Demnach ift, vom Punkte B aus gerechnet,

Mx = -

(bx -f x²)    . ' .

201.

MXl=D₀ xx-^±-

—pa

Der erfte Theil des Momentes ift das Moment für einen frei aufliegenden Balken von der Stützweite lx ; der zweite Theil ift das Moment über der Stütze C, bezw. D.

Alfo auch hier gilt daffelbe, was im vorhergehenden Artikel über den dortigen Mittelträger (BCDE) gefagt wurde. Die graphifche Darftellung der Momente ift in Fig. 185 b gegeben.

Fig. 185.

4\

Für x = 0 ift M₀ = 0; für In der Strecke CD ift

x — a ift Ma — — das Moment

(ab-\-a ²) = - -- cjv

pjb +20,

fl

p{Ej_a) ■

\k

~6~

—¥--(l — —

If

b-

*)

ifc—

P$4

-a

•N---y

b) Seiten träger. Die Seitenträger find frei auf zwei Stützpunkten gelagerte Träger, für welche Alles gilt, was in Art. 154 (S. 147) entwickelt wurde. Demnach ift, wenn der linke Auflagerpunkt hier als Anfangspunkt der Coordinaten gewählt wird,

Ö,=

ib — 2x) und M\ = —-- {bx — x²), ....    203.

Ù

und es ergiebt fich leicht, wie in Art. 163, dafs die Curven für die Momente und die Querkräfte diefelben find, wie die für die Confole B C gefundenen.

Die Momente und Querkräfte für die verfchiedenen Querlchnitte find in Fig. 185 graphifch aufgetragen.

ß) Zweiter Belaftungsfall: Der Träger ift auf einen Theil feiner Länge durch eine gleichförmig vertheilte Laft belaftet.

Geht man in derfelben Weife, welche bei der erften Anordnung gezeigt ift, vom Einfluffe einer an verfchiedenen Stellen des Trägers liegenden Einzellaft aus, fo ergiebt fich:

In einem beliebigen Qüerfchnitt 0 des Auslegers B C (Fig. 186) erzeugt eine

bezw. M = Null.

Gröfste negative Querkraft und gröfstes negatives

auf der Strecke A 0 befindliche Laft negative Querkraft und negatives Moment ; jede Belaftung der anderen Trägertheile, alfo der Strecke OCDE, hat auf die Querkraft und das Moment in 0 keinen Einflufs. In Fig. 186 ift dem entfprechend die Strecke A O mit — Q, bezw. — M überfchrieben, der übrige Theil des Trägers mit Q = Null

K--

-ß

r-

K⁻⁻

-M

•»Ł-

Fig. 186.

Q = Null

M-Null

■Ai

CD

CD

cu

nx

k-

Qmin

y-r4

M min ..

Moment finden demnach in O ftatt, wenn die Strecke A O belaftet, alles Andere nicht belaftet ift, oder bei der in Fig. 186 angegebenen Belaftungsart. (Da die Belaftung des Theiles OCDEF ohne Einflufs ift, fo kann man auch fagen: Gröfste negative Querkraft und gröfstes negatives Moment finden in einem Querfchnitte des Auslegers bei voller Beladung mit q ftatt.) Man erhält für den Punkt O des Auslegers, welcher um x vom Endpunkte B entfernt ift,

Q'linin

\ (b + 2X)

■    .    2O4.

q min

[b X -f- x²)

ln einem beliebigen Querfchnitt L des Balkens CD ruft jede Belaftung der Strecken A C und LD pofitive Querkraft, jede Belaftung der Strecken CL und DF negative Querkraft hervor; jede Belaftung der Strecke CD ruft in L pofitives Moment, jede Belaftung der Seitenöffnungen A C und DF erzeugt dagegen in L negatives Moment. In Fig. 187 find die betreffenden Strecken durch die Ueber-

Fig. 187.

- M_____________x______+ M

!

—4-----+ Ç

I<—x—J

■t-

4-

-M

-Q

~k

"Xmax

xmin

(Q) CÛ

CO

m u-.

>►»

05 ©

col

ol

|lllllllillllllllllllllllilM

Xmm A    B C L

fchriften -J- Q und — Q, bezw. -j- M und — M bezeichnet. Die fich demnach ergebenden ungündigden Beladungen, welche bezw. -j- Q und M,

und — Qmax,

4- M.

max

erzeugen, find in Fig. 187 fchematifch dargedellt.

Man erhält für den Punkt Z, welcher um ;r vom Stützpunkt C entfernt liegt,

min

« max — TTT⁻ (A X) ² A⁻

2Z

cl

Qtnin — —

q x²

2 lx

i-c 2 ¹

205.

lJ

Mmax — -n- (A X — X²)

206.

Cl A

Für einen Querfchnitt auf dem Ausleger DE id Alles eben fo, wie für denjenigen auf dem Ausleger BC\ für die Querfchnitte auf den frei gelagerten Balken AB und EF id das Erforderliche bereits oben mehrfach angegeben.

Fig. 188.

*•

-f—*

cp

Ci

q_fb+2a)

tj (D+2 3.)

UHF

r*-

q[(li+Ci)

Mq

3>i

Mq .

⁷ min

rJ^=3

K-----' -

L»J cj-|cvj

Ermittelt man nunmehr für jeden Querfchnitt der ganzen Anordnung die

und trägt die gefundenen Werthe als Ordinaten an den betreffenden Querfchnitten auf, fo ergeben fich die Zufammendellungen in Fig. 188.

Werthe Q

max

und Q

<7 min

und eben fo M.

qmax

und M

qtnin

4) Continuirliche oder durchgehende Träger.

165.

Princip.

Die continuirlichen Träger oder Träger auf mehr als zwei Stützpunkten find nach Art. 150 (S. 140) datifch unbedimmt. Die Stützendrücke werden mit FTilfe der Eladicitätslehre ermittelt. Bei der verhältnifsmäfsig geringen Verwendung diefer

I66

Träger im Hochbau und weil der Raum für die eingehende Befprechung im vorliegenden »Handbuch« nicht ausreicht, foil nur für eine Reihe von gewöhnlichen Belaftungsfällen die Gröfse der Stützendrücke, der Momente und Querkräfte angegeben werden. Wegen des eingehenden Studiums wird auf che unten ftehenden Werke¹ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) verwiefen.

D₂ . . . die Auflagerdrücke in den ver-M₂ ... die Momente an diefen

.1/

Im Folgenden bezeichnen: D fchiedenen Stützpunkten 0,1,2...] M₍

Stützpunkten; 9)4, 9ft₂,    • • • die Gröfstmomente in den Oefifnungen 1, 2, 3 . . . ;

/ die Stützweite jeder Oeffnung, falls alle Stützweiten gleich grofs find; lv lv l.. . . . die Stützweiten der Oefifnungen 1, 2, 3 . . ., falls nicht alle Stützweiten gleich grofs find; p{, p₂, px ... die gleichförmig vertheilten Beladungen für die Längeneinheit in den Oefifnungen 1, 2, 3 .. . des Trägers.

a) Sämmtliche Oeffnungen haben die gleiche Stützweite l und die gleiche volle Beladung p für die Längeneinheit zu tragen. Die mafs-gebenden Werthe von M, D und 9J£ find in folgender Tabelle zufammengedellt:

Anzahl der Oeffnungen:

0,12 5

0,10

0,io

0,10714

0,0714

0,10714

p l¹

A cT cf cf cf

11 11 11 11 11

0,3 75 1,250 0,375

OOOO

OOOO

o o o o

0,3929

1,1428

0,9186

1,1428

0,3929

PI

2ft[ =

m₂ =

a«3 =

3K₄ =

0,07031

0,07031

co

0,0772

0,0303

0,0363

0,0772

pl%

ß) Die Stützweiten find ungleich; jede Oeffnung ift voll mit p , p„, p.A . . . auf die Längeneinheit beladet.

Nimmt man zunächft zwei Oefifnungen mit den Stützweiten lx und /₂ an, fo ift

.    .    207.

M₀=M₂ = 0, Mx =

PJl±Pp 41

8 (4 -f- 4)

P\ 4

*•= 2

A4³+/4 4³

8 4 (4 A 4)

z?

A4³ + A4³

8 44

i A4 i Pï4 ^ " 2 '

*•= 2

Pï 4__

A 4³ A Pï 43 8 4 (4 A 4)

.    .    208.

Bei drei Oeffnungen mit den Stützweiten /,, 4 und /, ergeben fich folgende

Werthe :

77₀ =M, = 0, M1 = Ma =

P\ 4" 'I Pi4³

4 (3 4 + 2 /,) ’ '    •

.    .    209.

A4³~l~Pi4³ _i A4 1 A4 4/₁(3/₂ + 2/₁)"r 2 ^    2

Aus diefen allgemeinen Gleichungen kann man in befonderen Fällen die betreffenden Werthe leicht finden. Wenn z. B. eine ganze Oeffnung unbelafbet ift, fo ift einfach in den obigen Ausdrücken das entfprechende p gleich Null zu fetzen.

A, = Di = —2

A4³ + A> 4³

4/, (34 + 2/,)

, 77

210.

b) Innere Kräfte der Gitterträger.

166.

Allgemeines.

Die Balkenträger find entweder vollwandige Träger oder gegliederte Träger, letztere gewöhnlich Gitterträger genannt. Bei den erfteren bildet der ganze Querfchnitt eine zufammenhängende Fläche; bei den letzteren befteht der-felbe aus zwei getrennten Theilen, den fog. Gurtungsquerfchnitten; beide Gurtungen find durch Stäbe mit einander verbunden.

Die Ermittelung der Spannungen, welche in den vollwandigen Trägern, wozu die hölzernen und gufseifernen Balken, die Walzbalken und Blechträger gehören, durch die äufseren Kräfte erzeugt werden, ift bereits in Abfchn. 2, Kap. 4 vorgeführt worden; dafelbft ift auch die Querfchnittsbeftimmung für diefe Balken gezeigt. Im vorliegenden Kapitel follen defshalb nur die in den Gitterträgern entfliehenden inneren Kräfte entwickelt werden.

Gitterträger find aus einzelnen Stäben zufammengefetzte Träger. Die Kreuzungspunkte der einzelnen Stabe heifsen Knotenpunkte. Jeder Gitterträger hat eine obere Gurtung und eine untere Gurtung. Zur Verbindung beider dient das zwifchen ihnen angeordnete Gitter werk.

Man nennt jedes aus Stäben, welche in den Schnittpunkten ihrer Axen mit einander verbunden find, beftehende Stabwerk ein Fach werk; die Gitterträger bilden demnach Fachwerke.

Die Vortheile der Gitterträger gegenüber den vollwandigen Trägern ergeben fich leicht durch die folgende Ueberlegung. Die auf Biegung beanfpruchten Träger erleiden in allen Punkten eines jeden Querfchnittes verfcliiedene Beanfpruchungen. Wenn die äufseren Kräfte nur fenkrecht zur Balkenaxe gerichtet find, fo ift im einfachften und häufigften Falle die Spannung eines in der Höhe z über, bezw. unter

der wagrechten Schwerpunktsaxe liegenden Punktes nach Gleichung 56: a =

Die graphifche Darftellung der an den verfchiedenen Stellen des Querfchnittes auftretenden Spannungen o ift die durch Fig. 189 veranfchaulichte, da einen Querfchnitt confiant ift.

Al

Fig. 189.

Gi*—'

'n

für irgend

Im Punkte C des Querfchnittes II ift die Span nung oD (Druck), in E ift fie nz (Zug); in allen anderen Punkten des Querfchnittes hat fie geringere Werthe. Da aber die Beanfpruchungen nD und gz die zuläffigen Grenzen K" für Druck und K' für Zug nicht überfchreiten dürfen, fo ift aD = K" und o^=/+ zu fetzen und danach die Querfchnitts-fläche zu beftimmen. Die zuläffige Beanfpruchung

findet alfo nur in wenigen Querfchnittspunkten ftatt, nämlich in denjenigen, welche am weiterten nach oben, bezw. unten von der wagrechten Schwerpunkts-axe abliegen. In allen anderen Querfchnittspunkten ift die wirklich höchftens vorhandene Spannung viel kleiner, als zuläffig wäre, fo z. B. im Punkte F um m n und im Punkte H um op. Demnach wird bei einem vollwandigen, auf Biegung beanfpruchten Träger der Bauftoff durchaus nicht ausgenutzt. Eine Ausnutzung des Materials bis zur zuläffigen Grenze kann nur ftattfinden, wenn die Stäbe in der Richtung ihrer Axe, alfo auf Zug oder Druck beanfprucht werden, weil nur dann die Annahme einer gleichmäfsigen Vertheilung der Kraft über den ganzen Querfchnitt annähernd erfüllt ift. Bei den richtig conftruirten Gitterträgern werden aber alle Stäbe nur auf Zug oder Druck in der Richtung ihrer Axe beanfprucht, fo dafs man der Bauftoff voll ausnutzen und folglich mit geringerem Stoffaufwande als bei vollwandigen Trägern auskommen kann. Hierzu möge noch bemerkt werden, dafs diefe Vortheile nur bei gröfseren Weiten voll in die Erfcheinung treten ; bei kleineren Weiten ergeben fich die Stabquerfchnitte für die praktifche Ausführung zu klein, fo dafs für folche Aufgaben vollwandige Träger vorzuziehen find.

167.

Eintheilung

der

Gitterträger.

Nach der Form der Gurtung unterfcheidet man:

1)    Parai le lträger, d. h. Träger, deren beide Gurtungen parallel (gewöhnlich auch wagrecht) find.

2)    Träger mit einer krummen und einer geraden Gurtung oder mit zwei krummen Gurtungen. Die erfteren nennt man, wenn die Endhöhe des Trägers gleich Null ift und die obere Gurtung krumm, die untere Gurtung gerade ift, Bogenfehnenträger; wenn die untere Gurtung gekrümmt, die obere Gurtung gerade ift, PTfchbauchträger. Je nach der Curve der Krümmung unterfcheidet man Parabelträger, Hyperbel- (Schwedler-) Träger, Ellipfenträger etc.

3)    Dreieck- und Trapezträger, d. h. Träger, deren Gurtungen ein Dreieck, bezw. ein Paralleltrapez bilden.

nur

Eintheiliges Gitterwerk ift folches, bei welchem fich jeder Gitterftab in den Gurtungen mit den anderen- Gitterftäben kreuzt; mehrtheiliges Gitterwerk ift folches, bei welchem jeder Gitterftab fich aufser in den Gurtungen noch ein oder mehrere Male mit anderen Gitterftäben kreuzt.

nur

Für die Zwecke des Hochbaues ift wohl immer das eintheilige Gitterwerk, welches eine genaue und einfache Berechnung zuläfft, ausreichend, fo dafs hier Träger mit eintheiligem Gitterwerk befprochen werden follen.

Die Gitterftäbe find entweder geneigt oder lothrecht; fie werden in der Folge bezw. als Diagonalen und Verticalen oder Pforten bezeichnet werden.

Gitterwerk mit zwei Lagen Diagonalen nennt man Netzwerk; Gitterwerk mit einer Lage Diagonalen und einer Lage Pforten bezeichnet man wohl im engeren Sinne mit dem Namen Fachwerk.

Die Dachbinder find in den allermeiften Fällen Gitterträger, fo dafs die hier zunächft zu entwickelnden allgemeinen Regeln und Gefetze auch für die im nächften Kapitel zu behandelnden Dachbinder giltig find.

168.

Voraus-

(etzungen.

Bei den nachftehenden Unterfuchungen werden folgende Annahmen gemacht:

1)    die Beladungen finden nur in den Knotenpunkten ftatt, und

2)    die Stäbe find in den Knotenpunkten fo mit einander verbunden, dafs fie fich um diefelben frei drehen können.

Clapeyron.

112.

1) Verfahren für die Beftimmung der Stabfpannungen.

169.

Erläuterungen.

Die Ermittelung der Spannungen in den einzelnen Stäben des Fachwerkes erfolgt nach dem allgemeinen Verfahren, welches in Art. 4 (S. 6) angegeben worden ift. Man unterfucht den Gleichgewichtszuftand irgend eines Theiles des Fachwerkes unter der Einwirkung aller an demfelben thätigen Kräfte. In jeder Stabaxe wirken zwei Kräfte, welche einander an Gröfse gleich find, aber entgegengefetzten Sinn

haben: die Stabfpannungen. Im Stabe CE (Fig. 190) wird von C eine Kraft 5X auf E übertragen, und eine gleich grofse Kraft S₂ von E auf C\ beide find Drück. In HI wird von H i auf I ein Zug S₃, von / auf H ein )B gleich grofser Zug ausgeübt. In Fig. 190 find alle auf die Knotenpunkte wirkenden Stabfpannungen angegeben.

Betrachtet man nur einen Theil des Trägers, etwa den links vom Schnitte II gelegenen, fo wirken auf denfelben aufser den äufseren Kräften die Stabfpannungen.

Alle Stäbe, deren beide Knotenpunkte dem betreffenden Theile angehören, enthalten zwei Kräfte, die einander das Gleichgewicht halten, alfo für die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen nicht in Betracht kommen. In anderer Lage find diejenigen Stäbe, welche vom Schnitte II getroffen werden, von denen alfo nur ein Knotenpunkt links vom Schnitte liegt. Nur diejenigen Spannungen diefer Stäbe, welche auf die dem betreffenden Trägertheile angehörenden Knotenpunkte wirken, find als auf das Bruchflück wirkende Kräfte einzufetzen; fo viele Stäbe alfo durch den Schnitt getroffen werden, fo viele Stabfpannungen find in den Gleichgewichtsgleichungen vorhanden, welche für den Trägertheil aufzuftellen find. Diefe Spannungen find die unbekannten Kräfte, für deren Ermittelung die allgemeinen Gleichgevdchts-bedingungen zu Gebote flehen. Da für Kräfte in der Ebene drei Gleichgewüchts-bedingungen vorhanden find, fo ift die Aufgabe auf dem angegebenen, rein ftatifchen Wege nur dann lösbar, wenn fich bei jedem Schnitte nur drei unbekannte Stabfpannungen ergeben.

Ein folches Fachwerk, bei welchem fämmtliche Stabfpannungen durch die Gefetze des Gleichgewichtes ftarrer Körper beftimmbar find, nennt man ftatifch beftimmt; reichen diefe Gefetze dazu nicht aus, fo ift das Faclwerk ftatifch unbeftimmt. In letzterem Falle find die Stabfpannungen auch noch von den elaltifchen Formänderungen abhängig. Es ift aus verfchiedenen Gründen empfehlens-werth, im Hochbau nur ftatifch beftimmte Fachwerke zu verwenden.

Unter Beriickfichtigung des Vorftehenden ift nun folgendermafsen zu verfahren.

Das Fachwerk wird an derjenigen Stelle durchfchnitten gedacht, an welcher man die inneren Kräfte, hier die Stabfpannungen, kennen lernen will ; an den Schnitt- Allgemeinen, ftellen werden die inneren Kräfte angebracht und auf das Bruchftück die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen angewendet. Da hier die Stäbe, wie angenommen wurde, um die Knotenpunkte frei drehbar find, fo mufs jede Stabfpannung mit der Richtung des betreffenden Stabes zufammenfallen. Sonach ergiebt fich die folgende Regel.

Fig. 190.

I s.

A,

17O.

Verfahren

im

17O

Man denke fich den Träger fo durchfchnitten, dafs die Stäbe, deren Spannung man fucht, durch den Schnitt getroffen werden, bringe die mit den Stabrichtungen zu-fammenfallenden Spannungen diefer Stäbe als vorläufig unbekannte Kräfte an (Fig. 191) und ftelle für das Bruchftück die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen auf.

Fig. 191.

Die Stäbe werden gezogen oder gedrückt; im erften Falle wirkt die Spannung vom Knotenpunkte ab (Y und Z in Fig. 191); im zweiten Falle wirkt fie nach dem Knotenpunkt hin (X in Fig. 191 ). Da man beim Beginne der Berechnung vielfach noch nicht den Sinn der Beanfpruchung kennt, fo werden wir zunächft ftets alle Spannungen als Zug-fpannungen, d. h. vom Knotenpunkte ab gerichtet, einführen; die Rechnung ergiebt entweder einen pofitiven oder negativen Werth. Das erftere Ergebnifs bedeutet, dafs die angenommene

Pfeilrichtung die richtige war, cl. h. dafs im Stabe Zug herrfcht; das zweite Ergebnifs bedeutet, dafs der Sinn der wirklichen Spannung dem angenommenen gerade entgegengefetzt ilT, d. h. dafs im Stabe Druck herrfcht.

171.

Verfahren

durch

a) Analytifche Beftimmung der Stabfpannungen. Diefelbe kann in zweifacher Weife gefchehen : entweder durch Aufhellung aller Gleichgewichts-Rechnung. bedingungen oder nach der fog. Momenten-Methode.

172.

Gleichgewichts-

bedingungen.

a) Die Aufhellung der Gleichgewichtsbedingungen für das Bruchftück (Fig. 192), welches, wie in Art. 170 angegeben, behandelt ih, ergiebt drei Gleichungen, welche nach Art 6 (S. 8) lauten:

21 I.

X cos cs -f- Y sin v -{- Z — 0 ; D₀ — P₁ — P₂ -j- X sin    o — Y cos    t = 0

D₀ . 2 a — Px a — Z z — 0

Als Drehpunkt für die dritte Gleichung ih    der Punkt C    gewählt;    alsdann

haben X, Y und P₂ kein hatifches Moment, weil    fie    für diefen    Drehpunkt keinen

Plebelsarm haben.

Der angegebene Weg führt hets, wenn nur 3 Unbekannte, alfo 3 ge-fchnittene Stäbe vorhanden find, zum Ziele; er hat den Nachtheil, dafs meihens 3 Gleichungen gelöst werden müffen, felbh wenn man nur eine Spannung kennen lernen will.

173-

Ritter' fches Verfahren.

Fig. 192.

i«

b) Das Charakteriftifche der von Ritter angegebenen Momenten-Methode ih, dafs man für jede Spannung nur eine Gleichung erhält; das Mittel dazu bietet die Gleichgewichtsbedingung, welche befagt, dafs die algebraifche Summe der ftatifchen Momente aller Kräfte, bezogen auf einen beliebigen Punkt der Ebene, gleich Null fein mufs. Wird der Momentenpunkt fo gewählt, dafs zwei von den drei Unbekannten das Moment Null haben, fo bleibt in der Gleichung nur eine Unbekannte. Das ftatifche Moment jeder der beiden Kräfte ift aber gleich Null für den Schnittpunkt beider Kraftrichtungen, weil für die-fen Punkt jede der beiden Kräfte den Hebelsarm Null hat. Das Verfahren ift demnach das folgende.

x-~ a---*—a

Man lege durch den Träger einen Schnitt, fo dafs nur 3 Stäbe mit unbekannten Spannungen gefchnitten werden, E bringe diefe Spannungen und alle am

UI

BruchfUick wirkenden äufseren Kräfte an, fetze die algebraifche Summe der fratifchen Momente diefer Kräfte gleich Null und wähle dabei als Momentenpunkt für die Ermittelung der Spannung eines Stabes ftets den Schnittpunkt der beiden mitdurch-fchnittenen Stäbe.

Um in Fig. 192 die Spannung X zu finden, wählt man F als Momentenpunkt; die Gleichung der ftatifchen Momente heifst dann

X x -f- Dq . 3 a — Px . 2a — P₂a = 0,

woraus fich die einzige Unbekannte X leicht finden läfft. punkt ergiebt fich

Für C als Momenten-

D₀ .2 a — P₁a — Zz = 0 ,

woraus Z zu berechnen ift, und für E als Momentenpunkt

woraus Y zu ermitteln ift.

Y y — D₀ c -f- Px (c -(- a) -f- P% (c -f- 2 a) — 0 ,

Die Länge der Hebelsarme kann meiftens genügend genau aus der Zeichnung abgegriffen, aber auch leicht rechnerifch ermittelt werden.

Wir werden den für einen Stab nach diefer Methode fich ergebenden Momentenpunkt den diefem Stabe conjugirten Punkt nennen.

ß) Graphifche Beftimmung der Stabfpannungen. Auch dis graphifche Verfahren kann nach verfchiedenen Arten durchgeführt werden, entweder nach der Schnittmethode oder nach der Vieleckmethode oder nach einer aus Zeichnung und Rechnung zufammengefetzten Weife {Zimmermann § Verfahren), a) Die Schnittmethode wurde von Culmann angegeben.

Werden die fämmtlichen am Bruchftück wirkenden äufseren Kräfte zu einer

174.

Graphifches

Verfahren.

Mittelkraft Q (Fig. 193) zufammengefafft, fo wirken auf daffelbe 4 Kräfte, nämlich Q

und die drei unbekannten Spannungen der durch den Schnitt getroffenen Stäbe. Für diefe 4 Kräfte ergiebt fich ein gefchloffenes Kraftpolygon. Von einer diefer Kräfte, nämlich von (2, find Gröfse, Richtung und Lage bekannt; von den drei anderen wohl die Richtung und Lage, nicht aber die Gröfse. Erfetzt man 2 der unbekannten Kräfte, etwa X und Y, durch ihre Mittelkraft R, fo bleiben nur noch die 3 Kräfte Q, Z und R, welche fich nach Art. 8 (S. 10) in einem Punkte fchneiden müffen. R mufs alfo durch den Schnittpunkt 0 von Q und Z gehen. Da R aufserdem durch den Schnittpunkt E von X und Y geht, fo find 2 Punkte der Richtungslinie von R, fomit ift auch diefe Richtung felbft bekannt. R hat demnach die Richtung OE. Im Punkte O halten fich nun die 3 Kräfte Q, R und Z das Gleichgewicht; das für diefelben conftruirte Kraftpolygon ift eine gefchloffene Figur, hier ein Dreieck. Ift Q — aß, fo ziehe man durch ß eine Parallele zur Richtung von Z, durch a eine folche zur Richtung von R ; der Schnittpunkt 7 beider Linien ergiebt die beiden Kräfte R = y a und Z = ß 7.

In derfelben Weife kann nun R in feine beiden Seitenkräfte X und Y zerlegt werden, indem man durch die beiden Endpunkte von R Parallelen zu den Richtungen von bezw. X und Y zieht. Fs ergiebt fich 7 8 = Y und d a = X.

Es ift für das Endergebnis gleichgiltig, welche beiden von den unbekannten Spannungen man zu einer

¹75-

Culmann' fches Verfahren.

Fig. 193.

0L-~

Mittelkraft vereinigt. Man kann auch Y und Z (Fig. 194) durch ihre Mittelkraft R‘ erfetzen, welche dann durch F und den Schnittpunkt 0‘ der Kraft X mit Q geht. Als Kraftpolygon erhält man

a S e C-

172

Fig. 194.

OK

Eben fo kann man auch X und Z zu einer Mittelkraft vereinen und erhält die ebenfalls in Fig. 194 gezeichnete Conftruction.

Die angegebene Conftruction giebt zugleich Auffchlufs darüber, ob die Stäbe gezogen oder gedrückt werden.

Da die am Bruchftück wirkenden Kräfte im Gleichgewicht find, fo haben fie nach Art. 15 (S. 12) denfelben Umfahrungs-finn, und demnach ift der Sinn aller L im Kraftpolygon vorkommenden Kräfte bekannt, wenn der Sinn einer derfelben bekannt ift. Hier ift ftets der Sinn

er

N.

■x

>;

iy

.9-

von Q bekannt; denn dies ift die Querkraft für den bezüglichen Querfchnitt. Q hat den Sinn von a nach ß; alfo ift in Fig. 193 Z von ß nach y, d. h. vom Knotenpunkt L ab gerichtet, Y von y nach 8 und X von 8 nach a gerichtet. X wirkt alfo nach dem Knotenpunkte E hin, ift demnach Druck, während Z und Y Zug bedeuten. Richtung, Gröfse und Lage der Kraft Q für eine gegebene Belaftung find mit Hilfe des Kraft- und Seilpolygons leicht beftimmbar. (Siehe Art. 153, S. 146.)

176.

Cremona 'fches Verfahren.

b) Die Vieleckmethode ift von Cremona angegeben worden.

Randftäbe feien Stäbe,

Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein. welche zwei auf einander folgende äufsere Knotenpunkte mit einander verbinden, alfo III, IIIII ... in Fig. 195; Zwifchenftäbe feien Stäbe, welche zwei nicht auf einander folgende äufsere Knotenpunkte verbinden, alfo II V, III V in Fig. 195.

Da alle auf das Fachwerk wirkenden äufseren Kräfte im Gleichgewichte find,

fo ift für diefelben ein gefchloffenes Kraftpolygon möglich, welches, wenn alle äufseren Kräfte nach Gröfse und

Fig. 195-

Richtung gegeben find, leicht con-ftruirt werden kann. Aufserdem find an jedem Knotenpunkte die an dem-felben wirkenden Kräfte für fich im Gleichgewicht; fonach ift für jeden diefer Knotenpunkte ein weiteres, fich fchliefsendes Kraftpolygon zweiter Ordnung möglich. An jedem Knotenpunkte wirken : eine äufsere Kraft, die im befonderen Falle Null fein kann

Stäbe, welche fich in ihm fchneiden, alfo im Knotenpunkte II die Kräfte 2, B, C, a.

In den meiften der kleinen Kraftpolygone kommt nun je eine äufsere Kraft vor, welche bereits im grofsen Hauptpolygon der äufseren Kräfte enthalten ift; es wird alfo offenbar möglich fein, jedes kleine Kraftpolygon fo an das gröfse zu legen, dafs die beiden gemeinfame äufsere Kraft durch diefelbe Gerade dargeftellt wird. Da ferner jeder Stab zu zwei Knotenpunkten gehört, fo kommt jede Stabfpannung

und die Spannungen der

(II

A,

a.

/A

El

/II

'4

rvl

in zwei Kraftpolygonen zweiter Ordnung vor. Es wird nun durch zweckmäfsige Anordnung möglich, die kleinen Kraftpolygone fo in das grofse einzufchachteln, dafs nicht nur jede äufsere Kraft, fondern auch jede Stabfpannung nur einmal im Kräftezuge vorkommt, d. h. auch die kleinen Kraftpolygone hängen dann fo zu-fammen, dafs die zweien gemeinfame Stabfpannung durch diefelbe Gerade dar-geftellt wird.

Für die Conftruction der kleinen Kraftpolygone ift Folgendes zu beachten. Wenn, wie hier, die Richtung fämmtlicher Kräfte bekannt ift und das Kraftpolygon wegen des Gleichgewichtes der Kräfte fich fchliefst, fo ift die Conftruction deffelben ftets möglich, falls am Knotenpunkte nur zwei unbekannte Kräfte vorhanden find. Denn feien etjva in Fig. 196 B und 2 bekannt, a und C unbekannt, fo erfordert

das Gleichgewicht, dafs die Mittelkraft von a und C der bekannten Mittelkraft von 2 und B der Gröfse nach genau gleich ift. Die bekannte Mittelkraft von 2 und B ift aber die Verbindungslinie y;y irn Kraftpolygon, und diefelbe ift ' im entgegengefetzten Sinne genommen ohne Schwierigkeit in die beiden Seitenkräfte C und a zu zerlegen, indem durch den einen Endpunkt, etwa y, eine Parallele zu C, durch den anderen Endpunkt, etwa yj, eine Parallele zu a gezogen wird. Der Schnittpunkt ■9' ergiebt -r 9- = C und ff yj = a. Alsdann ift ß y 9- y] das kleine Kraftpolygon für Punkt II. Man mufs demnach die kleinen Kraftpolygone fo conftruiren, dafs fich ftets nur 2 Unbekannte ergeben. Zu cliefem Zwecke beginnt man mit demjenigen Knotenpunkte, in welchem fich nur 2 Stäbe fclineiden, hier (Fig. 195) alfo etwa mit /. Die äufsere Kraft ift bekannt; unbekannt find demnach nur A und B und nach Obigem leicht zu ermitteln. Man geht nun zu einem Knotenpunkt über, von welchem man wiederum alle Kräfte mit Ausnahme von zweien kennt, hier zu II. Bekannt find hier 2 und ß, unbekannt C und a, demnach leicht ermittelt. So fchreitet man weiter. Ein Knotenpunkt, in welchem fich nur 2 Stäbe fchneiden, ift bei den in der Praxis üblichen Gitterträgern ftets vorhanden.

Damit nun jede äufsere Kraft und jede Stabfpannung nur einmal in dem entftehenden Kraftzuge — dem Kräfteplan — Vorkommen, ift folgende Regel zu befolgen. Man vereine fämmtliche äufseren Kräfte zu einem gefchloffenen Kraftpolygon, indem man fie in der Folge der Knotenpunkte oder, wie man fagt, in cyclifcher Reihenfolge an einander legt, und ziehe nun durch die Eckpunkte diefes Kraftpolygons Parallelen zu den Randftäben derart, dafs die Parallele zu einem Randftabe, etwa zu A, durch denjenigen Eckpunkt des grofsen Kraftpolygons geht, welcher zwifchen den beiden äufseren Kräften liegt, zwifchen denen der betreffende Randftab im Fachwerk fich befindet. Der Randftab A liegt im Fachwerk zwifchen den äufseren Kräften / und j] die Parallele zu A wird alfo durch den Punkt o. zwifchen / und J gezogen ; eben fo die Parallele zum Randftab B durch ß zwifchen 1 und 2 etc. Unter Benutzung der hier gezogenen Parallelen conftruire man nun, wie oben angegeben, die kleinen Kraftpolygone; alsdann erhält man einen Linienzug zwifchen den Randftäben, in welchem jede einzelne Linie eine Zwifchenftabfpannung darftellt und in welchem jede Zwifchenftabfpannung nur einmal vorkommt. Die auf den Parallelen zu den Randftäben abgefchnittenen Längen geben die Spannungen der Randftabe an.

Der Sinn der Stabfpannungen wird hier genau in derfelben Weife aus dem Kraftpolygon für einen Knotenpunkt ermittelt, wie im vorhergehenden Artikel angegeben ift.

c) Verfahren von Zimmermann für Fachwerke, welche durch parallele äufsere Kräfte beanfprucht werden.

Die wagrechte Projection des Abftandes je zweier Knotenpunkte derfelben Gurtung fei confiant; fie fei gleich a (abgefehen von derjenigen der zunächft an den Auflagern gelegenen Knotenpunkte der unteren Gurtung). In einem Stabe der oberen Gurtung (Fig. 197), etwa im Stabe II III, ift die Spannung bei einer Be-laftung, welche für den Punkt j das Moment M., erzeugt,

Fig. 196.

2,

WC

Pb⁷;“

177.

Zimmermann'% Verfahren.

o>=-

M.

Das Vorzeichen foil zunächft unberückfichtigt gelaffen und nur die abfolute Gröfse von ö;i in das Auge gefafft werden. Alsdann ift

'74

e,=

^3

r3

*3

cos a.

= h₃ gleich der Länge

cos a₃

der lothrechten Linie, welche durch den Momentenpunkt j gelegt ift vom Momenten-

Nun ift aber ——— = <?₃ gleich der Länge des Stabes IIIII der oberen Gurtung, deffen Spannung gefucht wird; ferner ift

^3

punkt 3 bis zum Schnittpunkt mit dem Stabe IIIII. Trägt man nun — (d. h. eine

Kraft) nach beliebigem Mafsftabe auf der durch den Momentenpunkt 3 gezogenen .    Mt

Lothrechten ab, fo fei 3 3' = —— ; nun ziehe man durch den Endpunkt j' diefer Linie eine Parallele zu dem Stabe IIIII, deffen Spannung gefucht wird; diefe

Fig. 197.

«U*

CZ

-----i—

-i

-i

in

______

1"______

COI

~T_

■*1

Parallele fchneide die nächften Diagonalen in m und n\ dann ift mn die gefuchte

M.

Spannung in Ov und zwar in demfelben Kräfte ma fsftab, in welchem —— aufgetragen ifb. Denn wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke 3 IIIII und 3 mn verhält fich

, d. h. mn =

cos o₃

M,

cos a₃

Dies ift aber genau der Werth, welcher oben für die Spannung 0.A gefunden ift.

Was vom Stabe///// der oberen Gurtung nachgewiefen ift, gilt für alle Stäbe der oberen und unteren Gurtung. Demnach ergiebt fich als Regel für die Auffindung der Gurtftab-Spannungen : Man trage von den Momentenpunkten der Gur-

M

tungsftäbe die Werthe----- nach beliebigem Kraftmafsftabe aus lothrecht ab und

ziehe durch die erhaltenen Endpunkte Linien parallel zu den betreffenden Gurtungs-ftäben ; alsdann geben die zwifchen den Diagonalen erhaltenen Längen diefer

175

Parallelen die Spannungen der Gurtungsftäbe in demfelben Mafsftabe an, nach

welchem - aufgetragen ift.

a

In Fig. 197 find für die Stäbe der oberen und unteren Gurtung die Stab-fpannungen nach vorftehendem Verfahren ermittelt.

Man kann nach diefem Verfahren auch die Spannungen der Gitterftäbe leicht finden. Denkt man in Fig. 198 einen Schnitt durch die Stäbe 0₃, Un und gelegt, fo wirken auf das links von diefem Schnitt liegende Trägerftiick vier Kräfte, welche mit einander im Gleichgewicht fein müffen: die Mittelkraft aller äufseren auf das Trägerftück wirkenden Kräfte, d. h. die Querkraft Q, ferner die Spannungen 0.v Un, D^ der drei vom Schnitt getroffenen Stäbe. Für diefe vier Kräfte ergiebt fich demnach ein fich fchliefsendes Kraftpolygon. Bekannt find 0₃ und Un nach Gröfse und Richtung, Q und D₄ nach ihrer Richtung. Man lege UU in nt an 0₃ und ziehe durch den Endpunkt o diefer Linie die Parallele zu Dv durch n eine Parallele zu Q,

Fig. 198.

0₃

(b

fn

0₃

D'

D,

ft

JE

d. h. die Lothrechte; beide Parallelen fchneiden fich in t\ alsdann ift ot= D₄ und tn = Q. In Püg. 198 ift das Kraftpolygon fchraffirty3). Die Art der Beanfpruchung ergiebt fich, wie ftets, aus dem Umfahrungsfinn im Kraftpolygon.

Wenn einzelne Felder in der wagrechten Projection andere Knotenpunkts-abftände haben, als a, fo ändert dies im Grundgedanken nichts; im Einzelnen wird

M

die Conftruction etwas anders. Die Werthe — kann man durch Rechnung oder durch Conftruction beftimmen.

2) Parallelträg er mit Netzwerk oder zwei Scharen von Diagonalen.

178.

Berechnung der Gurtungs-

a) Berechnung der Spannungen in den Gurtungen. Um diefe Spannungen für eine beliebige Belaftung zu ermitteln, bezeichnen wir die Mittelkraft aller auf das Bruchftück links vom Schnitte II (Fig. 199) wirkenden äufseren Kräfte fpannungen. mit Q. Für irgend einen Stab CE der oberen Gurtung ift F der Momenten- oder conjugirte Punkt, und das Moment der äufseren Kräfte in Bezug auf diefen Punkt ift M= Qr\. Daraus folgt als Bedingungsgleichung:

X— -

0 = M Ar- Xh, woraus

In gleicher Weife ergiebt fich für C als Momentenpunkt, wenn Mx das Moment von Q in Bezug auf C ift,

0 = Mx - Zh,

woraus

Mx

213.

Da bei einem Träger auf zwei Stützen M ftets die angegebene Drehrichtung hat (ftets pofitiv ift, vergl. Art. 156, S. 150), fo folgt aus den Gleichungen 212 u. 213:

Bei Trägern auf zwei Stützen werden die oberen Gurtungsftäbe ftets gedrückt, die unteren Gurtungsftäbe ftets gezogen. Ferner: und Zmax werden bei derfelben Belaftung ftattfinden, d. h. in jedem Gur-tungsftabe findet gröfste Beanfpruchung bei derjenigen Belaftung ftatt, bei welcher das Moment für den dem Stabe conjugirten Punkt fein Maximum erreicht. Wird gleichmäfsig vertheilte Belaftung zu Grunde gelegt, fo findet für jeden Querfchnitt das gröfste Moment bei voller Belaftung ftatt; fämmtliche Gurtungsftäbe werden demnach bei voller Belaftung am meiften beanfprucht.

a) Das Eigengewicht der Conftruction kann als eine gleichmäfsig über die Länge des Trägers vertheilte Belaftung angefehen werden. Wir bezeichnen es mit^ für die Längeneinheit und machen die vereinfachende Annahme, dafs alle Belattungen durch Phgengewicht nur in der einen Gurtung angreifen, welche Annahme für den Hochbau ftets ausreicht. Die Entfernung der Knotenpunkte fei a (Fig. 200), die Felderzahl des Trägers 11, mithin l—na.

Jeder Mittenknotenpunkt ift m\tga belaftet; die Belattungen der Knotenpunkte über den Auflagern beriickfichtigen wir nicht, weil «) diefe unmittelbar von den Auflagern aufgenommen werden.

Greifen die Latten an der oberen Gurtung an (P'ig. 200 a), fo ift bei der angenommenen Diagonalenanordnung der Auflagerdruck

Fig. 199.

wie M,

max

A *-q

■n,

twV

-X--*

-r--^->.-7-

:ZTy

Fig. 200.

-------I-no----------

(.•—a— x-—a—

2_;__! m r

\F>

ga

ga

X Sa V ga -fm-j-ki--------X m

7\

/2

■yni

D„ = Dl = (fi - 1) i±.

Für den m-ten Stab der oberen Gurtung ift E der Momentenpunkt und

ga

ga

g‘l

ga

ga

M = Dq {in M =

y) a-{m~ !) s«    a +1-);

SJ~ [(* + 1) {m “ 2 ) “ m2\ ’

xfn =

[(« + 1) (

F) -

214.

Für den in-ten Stab der unteren Gurtung ift F der Momentenpunkt und

.    .. m a

— (m - 1) ga — —

Mx = D„

ga

— m) ;

g a²

-- y m (n — in)

u ri

HH

Greifen die Laften an der unteren Gurtung an (Fig. 200$), fo id

Do — Dx —

nga

Genau wie oben erhält man

ga²

■V

Xl=-

J~ m ( n — m - j- 1) —

t]

g

und Zm — m (n — m) .    216.

U rl

Wenn die Diagonalen eine andere Richtung haben, fo dafs die erfte vom Auflagerpunkt nach der Mitte anfteigt, fo ergeben fich etwas andere Formeln, die auf gleiche Weife, wie eben gezeigt, zu ermitteln find.

b) Die gröfsten Gurtungsfpannungen in Folge gleich mäfsig vertheilter Nutzlaft finden ftatt, wenn der ganze Träger belaftet ift. Nennt man die gleich-mäfsig vertheilte Nutzlaft für die Längeneinheit /, fo ergeben fich offenbar für diefe Beladung, die für den Knotenpunkt gleich pa ift, genau diefelben Formeln, wie für das Eigengewicht, wobei nur g durch p zu erfetzen ift. Man erhält alfo für an der oberen Gurtung angreifende Laften (Fig. 200 d) p a¹

I[(* +1)    - y) ~ m2]

und Zfu =    m (n — ni),

2I7.

für an der unteren Gurtung angreifende Laften (Fig. 200 b)

XL = -

£7« (n — m -j- 1) —

t]

und Z*t — Ygj- m (n — m) .    218.

_J II

c) Für eine Beladung des Trägers durch Einzelladen Px, P₂ (Fig. 201) find in die allgemeinen Gleichungen 212 u. 213 die den einzelnen Stäben entfprechenden Momentenwerthe einzufetzen.

ß) Berechnung der Spannungen in den Gitterdäben. Für eine beliebige Beladung fei Q die Mittelkraft aller links vom Schnitte II (Fig. 202) wirkenden äufseren Kräfte. Nennt man die Spannung der vom Schnitte getroffenen, nach rechts fallen-den Diagonale Y, fo mufs, weil die algebraifche Summe ^ der auf das Bruchdück wirkenden lothrechten Kräfte gleich Null id, dattfinden :

0 = Q — V cos a

für eine nach rechts deigende Diagonale (Fig. 203) id

Fig. 203.

Fig. 201.

Do\

Cjn,

it

if-

■I

X79.

Berechnung

der

Fig. 202.

Gitterftabs-

fpannungen.

//

V'

woraus Y =-

cos a

.    .    219.

O = Q/ -f- Y' cos ß,

woraus

Y' = -

<?

220.

Q'

Y'

cos ß

a) Das Eigengewicht erzeugt, wenn die Laden an der oberen Gurtung angreifen, den Auflagerdruck (Fig. 200 a)

Für den m-ten nach rechts fallenden Stab id

Handbuch der Architektur. I. i, b. (3. Aufl.)

12

fonach

Yi =

g*

2 cos a

(n — 2 m -f- 1 ) ; •    •

22 I.

für den m-ten nach rechts fteigenden Stab ift

Q‘m in - ² + 1) » daher = -

(« — 2 W -f 1)    .    22 2.

2 cos ß

Aus den Gleichungen 221 u. 222 für Yund K ^ folgt leicht: Bei gleich-mäfsig über den Träger vertheilter Beladung g (oder p) auf die Längeneinheit werden die nach der Mitte zu fallenden Diagonalen gezogen, die nach der Mitte zu fteigenden Diagonalen gedrückt.

Greifen die Laden an der unteren Gurtung an (Fig. 200 b), fo ift für die m-te rechts fallende Diagonale

ga

2 cos oc

für die m-te rechts fteigende Diagonale

223.

ga

(n — 2 m)

224.

2 cos ß

Das Gefetz, dafs bei diefer Belaftungsart die nach der Mitte zu fallenden Diagonalen gezogen, die nach der Mitte zu fteigenden Diagonalen gedrückt werden, ift auch hier giltig.

b) Um die ungünftigften Gitterftabfpannungen, welche in Folge der Nutzlaft entfliehen, zu ermitteln, erwäge man, dafs bei beliebiger Belattung für rechts fallende

Diagonalen nach Gleichung 219: Y — nach Gleichung 220: Y* —

Q?

und für rechts fteigende Diagonalen Der gröfste Werth von Y findet demnach

cos a

ift.

cos ß

bei derjenigen Belattung ftatt, bei welcher die Querkraft Q ihren gröfsten Werth

hat. Nach Art. 155 (S. 148) hat aber die Querkraft für einen Querfchnitt ihren gröfsten pofitiven Werth, wenn der Trägertheil rechts vom betrachteten Quer-fchnitte belaftet, der Trägertheil links davon unbelaftet ift, ihren gröfsten negativen Werth bei der umgekehrten Belattung. Daraus folgt: Jede nach rechts fallende Diagonale erleidet den gröfsten Zug durch Nutzlaft, wenn die rechts vom Schnitte gelegenen Knotenpunkte belaftet, die links vom Schnitte gelegenen Knotenpunkte unbelaftet find ; dagegen den gröfsten Druck, wenn die links vom Schnitte gelegenen

Knotenpunkte belaftet, die übrigen unbelaftet find. Da Y' — —

(2'

cos ß

fo findet

in den nach rechts fteigenden Diagonalen der gröfste Druck ftatt, wenn Q' feinen

¹

) Für das Studium der »Theorie der continuirlichen Träger« feien folgende Schriften empfohlen :

²

Calcul d'une poutre claflique repofant librement fur des appuis inégalement efpacès. Comptes rendus, Bd. 45, S. 1076

³

Mohr. Beitrag zur Theorie der Holz- und Eifen-Conftruction. Zeitfchr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover i860, S. 323 ; 1808, S. 19.

⁴

CulmANR, K. Die graphifche Statik. Zürich 1866. S. 273.

⁵

Winkler, E. Die Lehre von der Elarticität und Fertigkeit etc. Theil I. Prag 1867. S.

Ritter, W. Die elaftifche Linie und ihre Anwendung auf den continuirlichen Balken. 2. Aufl. Zürich 1883.

⁶

Ott, K. v. Grundzüge der graphifchen Statik. Prag 1870. — 4. Aufl. 1883.

Lii’pich, F. Theorie des continuirlichen Trägers conffanten Querfchniites. Allg. Bauz. 1871, S. 104 u. 175. (Auch als Sonderabdruck erfchienen : Wien 1871.)

⁷

Weyrauch, J. J. Allgemeine Theorie und Berechnung der continuirlichen und einfachen Träger. Leipzig 1873.

⁸

Winkler, E. Vorträge über Brückenbau. Theorie der Brücken. Heft I: Aeufsere Kräfte gerader Träger. 3. Aufl. Wien 1886.

⁹

Laissle, F. & A. Sciiübler. Der Bau der Brückenträger mit befonderer Rücklicht auf Eifen-Conftructionen. Theil I. 4. Aufl. Stuttgart 1867. S. 161.

Grashof, F. Theorie der Elafticität und Fertigkeit etc. 2. Aufl. Berlin 1878. S. 100.

¹⁰

Canovetti. Théorie des poutres continues etc. Paris 1882.

¹¹

Stelzel, K. Grundziige der graphifchen Statik und deren Anwendung auf die continuirlichen Träger. Graz 1882. Castigliano, A. Théorie de Véquilibre des fyfièmcs élaftiques. Turin. — Deutfeh von E. Hauff. Wien 1886.

gröfsten pofitiven Werth hat, wenn alfo nur die Knotenpunkte rechts vom Schnitte belaftet find, der gröfste Zug dagegen, wenn Q' feinen gröfsten negativen Werth hat, wenn alfo nur die Knotenpunkte links vom Schnitte belaftet find.

Allgemeiner kann die Regel wie folgt ausgefprochen werden: Jede Diagonale erleidet den gröfsten Zug, wenn nur die Knotenpunkte zwifchen ihrem Fufspunkte und demjenigen Auflager, nach welchem diefer Fufspunkt zeigt, belaftet find; jede Diagonale erleidet den gröfsten Druck, wenn nur die Knotenpunkte zwifchen ihrem Kopfpunkte und demjenigen Auflager belaftet find, nach welchem diefer Kopfpunkt hinweist. Diefer Satz gilt allgemein, ob die Laftpunkte an der oberen oder unteren Gurtung liegen. Daraus folgt, dafs für die Diagonalen nicht die volle, fondern die theilweife Beladung die ungündigde ift und dafs man demnach auch im Hochbau, falls einfeitige Beladung möglich id (in Verfammlungsräumen, Schulen etc.), bei der Berechnung der Träger auf diefelbe Rückficht nehmen mufs. Für jede Diagonale id eine andere ungündigde Beladung einzuführen.

Nachdem nunmehr die ungündigden Beladungsarten für die einzelnen Stäbe ermittelt find, handelt es fich um die Auffuchung der durch diefelben erzeugten podtiven, bezw. negativen Gröfstwerthe von Y und V. Greifen die Laden an der oberen Gurtung an (Fig. 204), fo id Q genau eben fo grofs, als wenn beim vollwandigen Träger die Einzelladen pa je auf die Längen a gleichmäfsig vertheilt

Fig. 204.

wären, d. h. als wenn die Lad p für die Längeneinheit von der Mitte des äufserden Feldes am

Kr - -

— ra - -

1 pa    I pa 1 pa

IHiillilllilllillllillllllllllilllllllNIIIIIIIIIlllll¹^ *

-- Yl--i

f-

P'x- f;

--•*    1D rechten, bezw. linken Auflager bis zur Mitte

^desjenigen Feldes der oberen Gurtung vorgerückt \i/ id, dem die Diagonale angehört. Denn im erden Falle id, wenn r beladete Knotenpunkte vorhanden find, r ap

Do =

(t + t)

(r + !)

a    » alfo x -j-    — a (r + 1) f° wird

21

21 21

Derfelbe Werth ergiebt fich für den vollwandigen Träger in Fig. 204, nämlich

D₀ =

21

(*“!) ⁺

Dies gilt allgemein, falls die den Auflagern zunächd liegenden Knotenpunkte der

mit der Nutzlad beladeten Gurtung um eine ganze Feldweite von den Auflagern abliegen.

Nun id für diejenigen Diagonalen, für welche die gezeichnete Beladung den gröfsten y Zug, bezw. gröfsten Druck erzeugt, Q alfo auch

pa\ p<P

Fig. 205.

---- l-Xr----¥

^ llllllllllllllllllllllllllllllllllll

■i

p(l-x-cr)

Qx max —

21

daher nach Gleichung 219

tax

2 L cos a

225.

In gleicher Weife ergiebt fich nach Fig. 205

x -f

COi »

21

Qxmin —    2 p

L-

re a

')

21

und

min —

2 / cos a

.    .    226.

i8o

Dem entfprechend wird

min -—

2 t cos ß

.    .    227.

COS ß

Qmin COS ß

Greifen die Laften an der unteren Gurtung an (Fig. 206), fo ift (wenn mit ganz geringem Fehler die Belaftung der beiden den Auflagern zunächft liegenden Knotenpunkte gleichfalls mit pa eingeführt wird) Q wie bei einem vollwandigen Träger, bei welchem die Laft p für die Längeneinheit vom rechten, bezw. linken Auflager aus bis zur Mitte desjenigen Feldes der unteren Gurtung vorgerückt ift, welchem die Diagonale angehört. Der Beweis ift in gleicher Weife, wie oben, zu führen und gilt allgemein, falls die den Auflagern zunächft liegenden Knotenpunkte der mit Nutzlaft belafteten Gurtung um eine halbe Feld weite von den Auflagern entfernt find. Demnach ift

V'

max

2 L cos ß

[<'

— x)

max î

.    .    228.

bezw. Qmin eben fo grofs,

Fig. 206.

Do

Cl

Yk

... X

D,

Qmax —

p X²

2/

und Qmin — —

P (/ — X) ²

?•

pa

te

Dt

x bedeutet in diefen Gleichungen den Ab-ftand der Mitte desjenigen Feldes der unteren Gurtung vom rechten Auflager, zu welchem die Diagonale gehört.

Man erhält

Y/l

pa

Y,

p X²

nax

2 / cos a

Ulld 1 min —

p (l — X) ²

2l cos a

.    .    229.

p x²

mitt —

und Y

max —

2 I cos ß

■    ■    230.

2 l cos ß

Die zufammengehörigen Werthe von Y und Y' beziehen fich auf zwei Diagonalen, welche demfelben Felde der unteren Gurtung angehören.

c) Erfährt der Träger eine volle Belaftung p für die Längeneinheit, fo find die unter a für Eigengewichtsbelaftung gefundenen Werthe auch für diefen Fall giltig, wenn ftatt des dortigen g die Gröfse p eingeführt wird.

b) Wird endlich der Träger durch Einzellaften beanfprucht (Fig. 207), fo

Pi

erzeugt die Laft P im Abftande £ von B den Stützendruck DQ = —ft. In fämmtlichen

rechts fallenden Diagonalen links vom Laftpunkt wird dann Y =

D{)

Pi

cos a

l cos a ’

in fämmtlichen rechts fteigenden Diagonalen links vom Laftpunkte ift Y' =

Pi

l cos ß

Eben fo ift für alle Querfchnitte rechts vom Laftpunkte Q = Z>₀ — P — —

Fig. 207.

mithin für die nach rechts fallenden Diago-

nalen diefer Strecke Yx = —

P (l - t)

, für

l cos a

die nach rechts fteigenden Diagonalen diefer

/»(/-£) l cos ß

Strecke Yx —

Daraus folgt die

D₀

1-

P{l-i)

D,

Regel: Die nach dem Laftpunkte zu fallenden Diagonalen werden gezogen, die nach demfelben fteigenden Diagonalen werden gedrückt.

y) Graphifche Ermittelung der Spannungen. Setzt man zunächft eine gleichmäfsig vertheilte Beladung (Eigengewicht, bezw. volle Nutzlaft) voraus, fo macht es für das Verfahren keinen Unterfchied, ob die Laden an der oberen oder an der unteren Gurtung angreifen. Wenn in jedem Knotenpunkte, z. B. der oberen Gurtung (Fig. 208), die Beladung g a, bezw. pa wirkt, fo empdehlt fich für

die Ermittelung der Spannungen die Vieleckmethode, weil diefelbe fämmtliche Stabfpan-nungen in einem Linienzuge giebt.

Nachdem D₀ und Dy auf bekannte Art gefunden find, trägt man alle äufseren Kräfte /, .2, j, 4, Dy und Dq in der Reihenfolge der Knotenpunkte an einander. Es fei aß = /, ßy— .2, y 5=S, 3e = 4; nun trägt man an s (den Endpunkt von 4) Dy — e y und Dq = y a. Damit fchliefst fich das Kraftpolygon der äufseren Kräfte. Wir gehen nun von demjenigen Knotenpunkte, in welchem fich nur 2 Stäbe fchneiden, d. h. von A aus. In A wirken Dq, « und b\ die Zerlegung von Dq in die beiden Componenten a und b ergiebt a — Dq und b — 0- Im Knotenpunkte L wirken jetzt a, c und d. Bei der Zerlegung von a (= y a) ill zu beachten, dafs die Parallele zum Randftabe d durch den Punkt im Kraftpolygon gehen mufs, der zwifchen Dq und 1 liegt, d. h. durch a. Man erhält a£ = d und £y = c. (Nach Geht man nun zum Knotenpunkte E über, fo wirken e und/; bekannt ift c — y £. Demnach find e und f durch Zerlegung zu ermitteln, wobei die Parallele zum Randftabe f durch den Punkt y im Kraftpolygon gehen mufs, welcher zwifchen Dy und Dq liegt, da der Randftab f im Syftem fich zwifchen den Kräften Dq und Dy befindet. Man erhält leicht e und f. (Da c, wie oben gefunden, Zug ift, erhält e Druck, f Zug.) Geht man fo weiter, fo ergiebt fich der in Fig. 208 gezeichnete Kräfteplan. Darin find die Druckfpannungen durch doppelte, die Zugfpannungen durch einfache Linien bezeichnet; m ift Druck, fällt aber mit einer Anzahl von Zugfpannungen zufammen und ift defshalb befonders herausgezeichnet. Die Endpunkte der Stab-fpannungen find ftets durch diejenigen Buchftaben bezeichnet, welche die bezüglichen Stäbe im Syftem führen. Die Spannungen b, l, «, w werden gleich Null.

180.

Graphifche

Ermittelung

der

Spannungen.

L d I

aHe7

omk

\r/

Pq

Fig. 208.

'A

7t

somkp

v/

/.x

/ 3 b-z

!

k_.v

Art. 175, S. 171 ift d Druck und c Zug.) dafelbft (b — 0) c,

Um die gröfsten in den Gitterftäben durch die Nutzlaften erzeugten Zug-, bezw

Druckfpannungen zu beftimmen, beachte man, dafs Y₇

Und k min —

Qmin

cos ß

ift.

Qtniti

nax

cos a

cos a

cos ß

Wenn die Laffcen pa an der oberen Gurtung angreifen oder allgemein, wenn die den Auflagern zunächft gelegenen Knotenpunkte der belafteten Gurtung von diefen um eine ganze Feldweite a abliegen, fo ift

Qmax

2/

23I.

ergiebt eine Parabel (Fig. 209 d).

Die graphifche Darftellung von Q

8T'

CI

Qmax wird Null für x — —; die Curve hat ein Minimum für 0 = 2x, d. h. für x = 0- Danach ift die

2

Curve in Fig. 209 a conftruirt.

In der Gleichung für Qmax bedeutet x den Abftand des Endes der Nutzlaft vom rechten Auflager; diefe Belaftung ift die ungünftigfte für die Diagonalen, deren Fufspunkte in demfelben Abftande vom

Für x = 0 wird Q„mx = —

■ p a²

max

für x — l wird Qmax —

21

P-G)l=f

/a²

8/ '

rechten Auflager liegen (Fig. 204). Für die Berechnung der ungtinftigften Diagonalfpannungen find fonach diejenigen Werthe von x einzufetzen , welche den Fufs- a) punkten der Diagonalen entfprechen und die zugehörigen Ordinalen aus Fig. 209 a zu entnehmen. Für die Diagonale CE ergiebt fich mn als Werth von Qmax■ Die durch n parallel zur Diagonale CE gezogene Linie n 0 ergiebt den Werth von

Qmax    -

--, weil n 0 —

cos rj.

Fig. 209.

Qmax

cos a

cos a

Pi

2

n^spi r

ta²

PAP

itt. Nach Gleichung 227 ift Y'min — —

Qmax

cos ß

alfö nr

der gröfste Druck in der rechts (leigenden Diagonale E F.

Ferner ift

Qmin — —

[<'

- X)* -

(1)1 •

232.

K»

Wird die Differenz l — x = £ gefetzt, fo ergiebt fich, dafs die Curve für

Qmin —

2/

[V —    ^ J derjenigen für Q

max

congruent ift.

pl

Für 4 — 0 ill Qjnin — ~j— g ^ ! für Ç — / ift Qmin — —

Man erhält die in Fig. 209 a gezeichnete Curve, in welcher für die rechts fallende Diagonale CE das Minimum n t, für die rechts fteigende Diagonale das Maximum nu eingezeichnet ift.

Ohne bemerkenswerthen Fehler kann man in den meiften Fällen einfacher

2/

[Mt)>

8/ '

und Q,nin = — — (l — x)²

Qmax — 07 "F ^

fetzen. Die Curven verlaufen dann genau fo, wie in Fig. 210.

Greifen die Laften an der unteren Gurtung an oder allgemein, find die an der mobil belafteten Gurtung gelegenen Knotenpunkte zunächft den Auflagern von diefen

Fig. 211.

rig. 210.

/T"'

a)

Ro

Pi

Pi

II

[P VI

IL

'r

J V/

--i

VJ

to

------»,

d hd

/K" “ VI

D₀-a

mrr

'e

soif/

î)t-z j

.v-_ _ d’

J,

u uq m

um je eine halbe Feldweite entfernt, fo ergiebt das Verzeichnen der Curven für Qmax und Qmin entfprechend den Gleichungen in Art. 179 (S. 180) die in Fig. 210 a dargeftellten Parabeln.

Man erhält genau wie oben: der Maximalzug in CE ift cd; der Maximaldruck in CF ift cf\ der Maximaldruck in CE itt cv\ der Maximalzug in CF ift cw.

Für eine Einzellaft wird die Ermittelung der Spannungen bequem mittels des Cremona fchen Kräfteplans vorgenommen, wie in Fig. 211 gefchehen ift; diefelbe ift ohne Weiteres verftändlich.

181.

Art

der Stab-

S) Art der Beanfpruchung der Stäbe bei einem Träger auf zwei Stützen. Nach Art. 178 (S. 175) werden die oberen Gurtungsftäbe ftets gedrückt, die unteren ftets gezogen. Die Diagonalen erhalten verfchiedene Beanfpruchungen. beanfpruchung Durch das Eigengewicht erhalten die nach der Mitte zu fallenden Diagonalen Zug, die nach der Mitte zu fteigenden Diagonalen Druck; durch die ungünftigfte Nutzlaft erhalten im Allgemeinen alle Diagonalen fowohl Zug, wie Druck. Wenn der gröfste Druck, der in einer Diagonalen durch Nutzlaft entfteht, kleiner ift, als der Zug durch Eigengewicht, fo erleidet die Diagonale nur Zug, umgekehrt nur Druck. Für die nach der Mitte zu fallenden Diagonalen nahe dem Auflager ift der Zug in Folge des Eigengewichtes meiftens viel gröfser, als der gröfste Druck durch Nutzlaft, und daher werden diefe Diagonalen meiftens nur gezogen. Eben fo ergiebt fich, dąfs die nahe dem Auflager befindlichen, nach der Mitte zu anfteigenden Diagonalen nur Druck erhalten. Die Diagonalen im mittleren Theile des Trägers werden dagegen fowohl gezogen, wie gedrückt.

3) Parallelträger mit Diagonalen und Pfoften.

182.

Berechnung

der

Gurtungs-

fpannungen.

a) Berechnung der Spannungen in den Gurtungen. Für eine beliebige Belattung wird genau fo, wie in Art. 178 (S. 175), wenn M das Biegungsmoment für den zu einem oberen Gurtungsftäbe gehörigen Momentenpunkt, M‘ das Biegungsmoment für den zu einem unteren Gurtungsftäbe gehörigen Momentenpunkt bezeichnet,

X= -

M'

und Z — —:r—

233-

Auch hier findet alfo die gröfste Beanfpruchung der Gurtungsftäbe bei voller Belattung des Trägers ftatt.

Für die Belattung durch Eigengewicht, bezw. volle gleichmäfsig vertheilte Nutzlaft (Fig. 212) ift die Spannung in den Gurtungsftäben davon unab-^ hängig, ob die Latten an der oberen oder an der unteren Gurtung angreifen.

Für den //Men Stab der oberen, bezw. * der unteren Gurtung erhält man die durch das Eigengewicht g für die Längeneinheit erzeugten Spannungen

g a²

{m ~ X) (n ~~ m +    •    ²34-

Fig. 212.

Sr

ga ga ga ga ga ga

2_

*~T

g a² m (n — ni)

und Z„ =

und die durch volle Nutzlaft p für die Längeneinheit erzeugten Spannungen p a² m (n — m)

p CL²

und Zp — —ÿ-fo - (m — 1) (n — m Ą- 1)

•    235.

X], und Zp find zugleich die gröfsten Spannungen, die durch Nutzlaft hervorgebracht werden.

183.

Berechnung

der

Gitterftabs-fpannungen.

ß) Berechnung der Spannungen in den Gitterftäben. Für das Bruch-ftück in Fig. 213 fei bei beliebiger Belaftung die Querkraft Q\ alsdann ift für die Spannung in der Diagonalen

K=-ß

Pfoften

Y cos a = Q, woraus Ift in Fig. 214 für das Bruchftück die Querkraft Q', fo ift die Spannung im

cos a

236.

23 7-

V=- Q'

Für die Diagonalen ift es, da der Schnitt loth-recht gelegt werden kann, gleichgiltig, ob die Laft in der oberen oder unteren Gurtung liegt ; für die Pfoften dagegen ergiebt fich, da der Schnitt bei diefen fchräg gelegt wird, ein anderes Q', wenn die Laft oben, als wenn fie unten liegt.

ö) Das Eigengewicht erzeugt (Fig. 212) in der m-ten Diagonale (Schnitt II) die Querkraft FiS- 2I4-

Qm = £>o — (m — 1) ga = ~~ (n — 2 M+ 1) und y s __

m

Fig. 213.

Q'

n?

a,

g*

(n — 2 m -f- 1 )

238.

2 cos a

Denfelben Ausdruck fanden wir in Art. 179 (S. 178), Gleichung 221, für die beim Netzwerk rechts fallenden Diagonalen. Die in Bezug auf Zug und Druck dort gefundenen Ergebniffe gelten demnach auch hier: Die nach der Mitte fallenden Diagonalen erhalten durch das Eigengewicht Zug; die nach der Mitte fteigenden Diagonalen erhalten Druck.

Für die Ermittelung der Spannungen in den Pfoften ift zu unterfcheiden, ob fich die Laftpunkte oben oder unten befinden. Im erfteren Falle (Fig. 212) ift

cos a

Kn = — Qm = — {n — 2 m + 1), . .

•    •    239.

im zweiten Falle

V — — 0' = —

v m —    x^- vi —

.    .    240.

~~ (n —1 — 2 m) .    .

U

Fig. 215.

->Zm

Die Art der Beanfpruchung ergiebt fich durch Betrachtung eines beliebigen Knotenpunktes an der nicht belafteten Gurtung (Fig. 215). An einem Knotenpunkte der unteren Gurtung wirken, wenn die Laften an der oberen Gurtung angenommen werden, nur die Spannungen der Stäbe, welche fich an ihm treffen. Die algebraifche Summe aller lothrechten Seitenkräfte mufs Null fein, d. h. es mufs 0 —Y cos a 4- V. alfo V — — Y cos a fein. Hieraus

Z, ■‘S'

folgt der Satz: Pfoften- und Diagonalfpannung am Knoten-punkte der nicht belafteten Gurtung haben entgegengefetzte Beanfpruchung; die Belaftung, welche in einer Diagonalen Zug erzeugt, erzeugt in demjenigen Pfoften, welcher mit ihr an einem Knotenpunkte der nicht belafteten Gurtung zufammentrifft, Druck und umgekehrt.

b) Für die ungünftigfte Beanfpruchung der Gitterftäbe, welche durch die Nutz-1 a ft hervorgebracht wird, ergiebt fich bezüglich der Diagonalen durch diefelbe Beweisführung, wie in Art. 179 (S. 178), die gleiche Regel wie dort. Für die Pfoften

ergiebt fich zugleich aus dem Schlufs-fatze unter et: Jeder Pfoften erhält feinen gröfsten Druck (bezw. Zug) bei derjenigen Belaftung, bei welcher die mit ihm an einem unbelafteten Knotenpunkte zufammentreffende Diagonale ihren gröfsten Zug (bezw. Druck) erhält.

Wirken die Laften an der oberen Gurtung, fo ergeben fich die Werthe für die Spannungen, wenn wir wiederum zur Ermittelung von Q die Knotenpunktsbelaftungen durch gleichförmig vertheilte Laften erfetzt denken, wie folgt. Für das Maximum von Ym und das Minimum von Vm ergiebt fich nach Fig. 216 der Auflagerdruck

Fig. 216.

Fig. 217.

Sonach

Do

A

pa pa

Do =

pa pa

pa pa

(' - f)

(-+Î)

2/

= Qm-

Ym =

2 L cos a Für Ymin und V,

max

nax

und Vm = —

min

2/

.    .    241.

findet man nach Fig. 217

ym = -

min

21 cos a

und Vm

242.

max

x bedeutet den Abftand der Mitte desjenigen Feldes, zu dem die Diagonale gehört, vom rechten Auflager; bei den Pfoften die Mitte des Feldes, zu welchem diejenige Diagonale gehört, die mit dem Pfoften an einem Knotenpunkte der nicht belafteten Gurtung zufammentrifft (hier alfo der unteren Gurtung).

Greifen die Laften an der unteren Gurtung an, fo ftimmen die Formeln für die Diagonalen genau mit den eben entwickelten; auch diejenigen für die Pfoften,

wenn man beachtet, dafs x den foeben erwähnten Werth hat, dafs fich alfo x hier auf die Mitte des Feldes bezieht, zu dem die Diagonale gehört, welche fich mit dem Pfoften an einem Knotenpunkte der oberen Gurtung fchneidet ; ftatt Vm ift alfo dann Vm_x zu fetzen.

c) Wenn der Träger durch eine Einzellaft belaftet wird (Fig. 218), fo erhält jede Diagonale zwifchen dem Laftpunkt und dem linken Auflager, nach welchem hier die Diagonalen fteigen, einen Zug

Fig. 218.

D°pi

kD

-----4—>

Pi

l cos a

jeder Pfoften auf diefer Seite der Laft einen Druck

243-

v= -

Pi

244.

Jede Diagonale zwifchen dem Laupunkt und dem rechten Auflager, nach dem die Diagonalen hier fallen, erhält einen Druck

Y= -

I cos a

245.

jeder Pforten auf diefer Seite einen Zug

:    .    246.

184.

Graphifche

Ermittelung

der

Spannungen.

Y) Graphifche Ermittelung der Spannungen. Der Träger fei durch eine gleichmäfsig vertheilte Laft (Eigengewicht, bezw. volle Nutzlaft) belaftet; in jedem Knotenpunkte der oberen Gurtung wirke die Laft ga, bezw. pa. Hiernach ift in Fig. 219 der Kräfteplan nach dem Cremona ichen Verfahren gezeichnet, worüber weitere Bemerkungen unnöthig find.

Wenn die Zeichnung für eine Beladung g auf die Längeneinheit conllruirt ift, fo geben die Längen der einzelnen Linien auch zugleich die Beanfpruchungen für die Beladung p auf die Längeneinheit, falls diefelben nur auf einem Mafsftabe abgegriffen werden, auf welchem diejenige Länge pa bedeutet, welche vorher g a bedeutet hatte.

Sind die Maximal fpannungen in den Gitterfäben,

erzeugt werden, zu beftimmen, fo ergiebt die Vergleichung der in Art. 183 (S. 185) für Ymax

min

und Vmax gefundenen Werthe mit den in Art. 179

min

(S. 177) für den Parallelträger mit Netzwerk gefundenen Werthen für Y und Q die genaue Uebereinftimmung beider, falls ;r den in Art. 183 (S. 185) angegebenen Werth hat.

Die unten flehende Curve (Fig. 220) ergiebt demnach die Werthe für Q wie Qmin und damit, wie gezeichnet, leicht die Werthe für Y und V Der für V„min

welche durch Verkehrslaft •

Fig. 220.

■s

Fig. 219.

\D„ ¹ f ³

d h * m q

f\r

v\

.ZU

A/|

-.b

max>

fo

Fig. 221.

Si

«L

IT

-X-

'j-

----

k-ćf—f--

à)

,v

angegebene Werth entfpricht einer Belaftung der oberen Gurtung. Auch hier kann ohne merklichen Fehler an Stelle der Curve in Fig. 220a diejenige in Fig. 210<2 gefetzt werden.

Sämmtliche durch eine Einzellaft erzeugten Spannungen werden leicht mittels eines Cremona fchen Kräfteplanes (Fig. 221) ermittelt.

4) Parallelträger mit nur gezogenen, bezvv. nur gedrückten

Diagonalen.

Im vorhergehenden Kapitel ift gezeigt worden, dafs die gedrückten Stäbe mit Rückficht auf Widerftand gegen Zerknicken unter Umftänden wefentlich ftärker conftruirt werden müffen, als die einfache Druckbeanfpruchung erfordert Bei der Beftimmung der Querfchnittsgröfse find vielfach Zufchläge zu machen, welche bei den gezogenen Stäben nicht nöthig find. Man hat defshalb bei ge wißen Bauftofifen, befonders bei Schmiedeeifen und Flufseifen, die Verwendung gedrückter Stäbe mög-lichft befchränkt und ftatt derfelben, wenn möglich, gezogene angeordnet. Wo aber gedrückte Stäbe nicht entbehrt werden können, empfiehlt es fich, die kürzeren Stäbe als gedrückte, die längeren als gezogene auszuführen. Bei manchen Bauftoffen hingegen, insbefondere beim Holz, macht die Anordnung der Verbindungen eine möglich!! geringe Verwendung von Zugftäben und eine möglichft ausgedehnte Verwendung von Druckftäben wiinfchenswerth.

Bei den Trägern mit Fachwerk ift die Anordnung von nur gezogenen, bezw. nur gedrückten. Diagonalen möglich.

Wir betrachten zunächft die Träger mit nur gezogenen Diagonalen.

Wie in Art. 183 (S. 184) nachgewiefen ift, erzeugt das Eigengewicht, fo wie auch eine gleichmäfsige Belaftung aller Knotenpunkte in den nach der Mitte fallenden Diagonalen Zug, in den nach der Mitte fteigenden Diagonalen Druck. Soll alfo durch die angegebene Belaftung, welche für den Hochbau weitaus die wichtigfte ift, in den Diagonalen nur Zug entftehen, fo ordnet man nur nach der Mitte fallende Diagonalen an, conftruirt alfo den Träger genau fymmetrifch zur Mitte (Fig. 222).

Fig. 222.

185.

Grundfatz.

186. Träger mit nur gezogenen Diagonalen.

Fig. 223.

-k

Ift die Felderzahl ungerade, fo erhalten die Diagonalen im Mittelfelde bei diefer Belaftung den Zug und Druck Null (Fig. 223). Bei diefer Trägerform erhalten je zwei fymmetrifch zur Mitte liegende Stäbe gleiche Spannungen ; diefelben wurden früher für die eine Hälfte gefunden und find demnach leicht zu übertragen.

Die in Fig. 222 u. 223 gezeichneten Diagonalen erhalten aber durch nicht über den ganzen Träger ausgedehnte Beladungen unter Umftänden Druckbean-fpruchungen, und zwar findet, wie in Art. 179 (S. 178) u. 183 (S. 184) ermittelt, in einer Diagonalen der gnöfste Druck ftatt, wenn die Knotenpunkte vom Kopfpunkte der Diagonalen bis zu demjenigen Auflager, nach welchem der Kopf der Diagonalen hinweist, belaftet, die übrigen Knotenpunkte aber unbelaftet find. Durch das ftets noch vorhandene Eigengewicht findet andere'rfeits in den Diagonalen eine beftändige Zugfpannung ftatt, welche die erwähnte Druckbeanfpruchung vermindert. Diejenigen Diagonalen nun, bei denen (beides abfolut genommen) die Zugfpannung durch das Eigengewicht gröfser ift, als die gröfstmögliche Druckfpannung in Folge der Verkehrslaft, werden ftets gezogen, nie gedrückt. Bei denjenigen Diagonalen dagegen, welche durch das Eigengewicht einen geringeren Zug erhalten, als un-günftigftenfalls der Druck durch Nutzlaft beträgt (wiederum beides abfolut genommen), wird eine Druckbeanfpruchung eintreten, die zu vermeiden ift. Man bringt defs-halb im betreffenden Felde eine zweite Diagonale mit einer folchen Richtung an, dafs die Belattung, welche in der bereits im Felde vorhandenen Diagonalen Druck erzeugen würde, in der zweiten Diagonalen Zug hervorruft. Die Diagonale mufs demnach fo gerichtet fein, dafs die erwähnte Nutzlaft die Knotenpunkte vom Fufs-punkte diefer Diagonalen an bis zu demjenigen Auflager belaftet, nach welchem diefer Fufspunkt hinweist; mit anderen Worten, man bringt eine Diagonale an, welche die bereits vorhandene Diagonale kreuzt, eine fog. Gegendiagonale (in Fig. 224 die punktirte Diagonale E'F').

Damit diefelbe aber auch wirkfam fei, erhält die Hauptdiagonale EF einen derartigen Querfchnitt, dafs he bei Druckfpannungen ausbiegt, dafs fie alfo in diefem Falle als nicht vorhanden angefehen werden kann.

Fig. 224.

E E’

F' F

Fig. 225.

b_

/ Sgf

Solche Gegendiagonalen find in denjenigen Feldern anzuordnen, in welchen die Hauptdiagonalen unter Umftänden Druckfpannungen erhalten. In den Feldern nahe am Auflager ift die Zugfpannung durch das Eigengewicht meiftens grofs, die Druckfpannung durch Nutzlaft meiftens klein, fo dafs in diefen Feldern keine Gegendiagonalen nöthig find; in den mittleren dagegen find fie anzuordnen. Die Spannungen in den Gegendiagonalen find dann genau fo zu ermitteln, als wären die Hauptdiagonalen nicht vorhanden; jede Gegendiagonale, z. B. EJF', befindet fich genau in derfelben Lage, wie die fym-metrifch zur Trägermitte liegende Hauptdiagonale im Träger mit nur nach einer Seite fallenden Diagonalen, alfo hier wie RS (Fig. 224). Die oben gefundenen Spannungen können daher hier fofort verwerthet werden. Der Träger würde demnach a die in Fig. 225 dargeftellte Form erhalten, in welcher je zwei Stäbe mit gleichen Bezeichnungen gleiche Spannungen erleiden.

187. Träger mit nur gedrückten Diagonalen.

Fig. 22Ó.

h/m i/n

nv

feg/

Bei der Conftruction eines Trägers mit nur gedrückten Diagonalen ift nach gleichem Grundfatze zu verfahren. Zunächft find beiderfeits nur nach der Mitte anfteigende Diagonalen zu verwenden, damit man für Belaftung durch Eigengewicht, bezw. Gefammtlaft nur Druck erhalte. In denjenigen Feldern alsdann, in welchen die Diagonalen unter Umftänden Zugfpannung erhalten würden, find wie oben Gegendiagonalen anzuordnen (Fig. 226). a Die Verbindung in den Knotenpunkten ift fo anzuordnen, dafs die Hauptdiagonalen keinen Zug übertragen können. •

nur

Die Beanfpruchung der Pfoften ergiebt fich nach Art. 183 (S. 184) ftets der Beanfpruchung derjenigen Diagonalen entgegengefetzt, welche an einem unbelafteten Knotenpunkte mit dem Pfoften zufammentrifft. Werden demnach alle Diagonalen gezogen, fo werden alle Pfoften nur gedrückt (Fig. 225); werden alle Diagonalen

I89

nur gedrückt, fo werden alle Pfoften nur gezogen (Fig. 226). Im zweiten Falle werden diefelben meiftens aus Schmiedeeifen hergeftellt, während die Diagonalen aus Holz beftehen.

Beifpiel. Ein als Parallelträger mit Diagonalen und Pfoften (nach Art von Fig. 222) hergeftellter Unterzug hat folgende Abmeffungen und Belattungen : Stützweite /=12m; Höhe zwifchen den Gurtungs-Schwerpunkten h — 1,5 m; Anzahl der Felder n — 8; Feldweite a — 1,5 m- Die Diagonalen fallen jeder-feits nach der Trägermitte zu; Gegendiagonalen find nicht vorhanden. Die Belattung durch das Eigengewicht für das laufende Meter ift g — 1800 kg, diejenige durch Nutzlaft p — 2400kg; mithin find die Knotenpunktslaften bezw. g a — 2700 kg und pa — 8600 kg. Die Laftpunkte liegen in der oberen Gurtung. Die durch diefe Belattungen entftehenden Spannungen find zu berechnen.

188.

Beifpiel.

cc) Spannungen in den Gurtungen. Nach Gleichung 234 u. 235 find für den »/-ten Stab der oberen Gurtung

Xe = -

1800 .1,6*

und

2 . 1,5

m (8 — in) — — 1350 m (8 — m)

2400 .1,5*

2 . 1,5

in (8 — m) = — 1800 m (8 — m) .

Für den m-ten Stab der unteren Gurtung find nach Gleichung 234 u. 235

1800 • 1,5²

2 ■ 1,5

(in — 1) (9 — nt) — 1350 (m — 1) (9 — in) und Zp — 1800 (m — 1) (9 — »/).

Man erhält aus vorftehenden Ausdrücken, indem man der Reihe nach für m die Werthe 1, 2, 8, 4 einführt, die Gurtungsfpannungen der Stäbe links der Mitte. Die Spannungen in den fymmetrifch zur Mitte liegenden Stäben find den gefundenen genau gleich. Die Addition der Werthe Xg und Xp ergiebt die Maximalfpannungen in der oberen, die Addition der Werthe Zg und Zp die Maximalfpannungen in der unteren Gurtung. Die Ergebniffe find in umttehender Tabelle angegeben.

ß) Spannungen in den Diagonalen, a) Durch das Eigengewicht. Nach Gleichung 238 ift für die m-te Diagonale die Spannung durch das Eigengewicht, da hier cos a — cos 45° = 0,7O7 ift,

1800 • 1,5

2 . 0,707

(9 — 2 m) = 1910 (9 — 2 m) .

Durch Einfetzung der Zahlenwerthe vi — 1, 2, 3, 4 erhält man die Spannungen Yg.

b) Durch die Nutzlaft. Die gröfsten Zug- und Druckfpannungen, welche in den Diagonalen hervorgerufen werden, find nach Gleichung 241 u. 242

2400

Yptnax —

und

2.12.0,707

(x² - 0,75²) = 141,4 (x² — 0,56)

1 p min — —

2400

2.12.0,707

[(/ — x)² — 0,75²] = — 141,4 [(/ — x)² — O.se] •

Man erhält für

Il II II

9,75

2,25

11,25 0,75

bezw. Ypmin die Werthe, welche in der umftehenden Tabelle folgen.

Y) Spannungen in den Pfoften. a) Durch das Eigengewicht. Nach Gleichung 239 ift: da die Laftpunkte oben liegen,

und für Yp

(l — x)

maxi

Vg=-

1800 . 1,5

cd cd

6,75 m 5,25 m

(9 — 2 in) - — 1350 (9 — 2 m).

fi) Durch die Nutzlaft. Gleichungen 24 t u. 242 zu

Die gröfsten Druck-, bezw. Zugfpannungen ergeben fich aus den

Ypmin — —

2400

o w (*² — 0,7 5²) = — 100 (X² — 0,56) und Vp

u • La

max

= 100 [(/ — x)² — 0,5o] .

Für x find diefelben Werthe, wie bei den Diagonalen einzuführen. Man erhält die Werthe der umftehenden Tabelle.

p ci

- hinzukommt,

bezw.

Im Endpfoften ift die Druckfpannung ftets gleich dem Auflagerdruck, alfo hier, da die Be-g a

laftung des Endknotenpunktes mit ——,

U

Vg — — (3,5    0,5) g a = — 4 g a = — 4 . 1800 . 1,5 = — 10800 ks,

Vfmin = — 4/ * = — 4.2400 . 1,5 = — 14400    ■

Zug kann in diefem Pfoften nicht entftehen.

Auf den Mittelpfoflen find die obigen Gleichungen nicht anwendbar, weil an feinem unteren Endpunkte fich die zwei Diagonalen der anftofsenden Felder treffen, alfo der fchräge Schnitt andere Stäbe trifft, als bei der Entwickelung der Formeln vorgefehen war. Da am oberen Endpunkt des Pfoflens keine Diagonale anfetzt, fo kann derfelbe nur folche lothrechte Kräfte aufnehmen, welche im oberen Knotenpunkte unmittelbar angreifen. Wir erhalten alfo die Spannungen in demfelben genau fo grofs, wie die Knotenpunktsbelaftungen. Diefe Werthe find in die Tabelle eingefetzt worden.

Tabelle der S tab fpan nun gen.

' Theil der Con-ftruction

Obere

Gurtung

Ix»

- 9450 -12600

Untere

Gurtung

Vp

Diago

nalen

1/

L* max — min —

fGr =

Pforten i| Vj,juin — —14400

Vp max —    0

10800

13370

17820

- 9450 -12600

-16200

-21600

9450

12600

9550

13362

-20250

-27000

16200

21600

-21600

-28800

20250

27000

-21600 -28800 20250 27 000

-20250

-27000

16200

21600

-16200

-21600

- 9450 -12600

5730

9545

9550

12600

1910

1910

5730

9450

6363

6363

9 545

13362

13370

17820

636

1910

-    6 750

-    9450

-    4050

-    6750

-    3818

-    4050

6 750

4500

1350

1350

1910

636

-    6750

-    9450

9450

-12600

-10800

-14400

450

Kilogramm

Zur Beftimmung der Querfchnitte nach den Gleichungen 42 bis 48 (fiehe Art. 84 u. 85 S. 62 u. 63) dient die Zufammenftellung der nachftehenden Tabelle.

Obere Gurtung: Druck

Untere Gurtung: Zug

Diagonalen: Ueberwiegender Zug

P f o ft e n :

Ueberwiegender Druck

Stab

Nr.

Po P\

Stab

Nr.

A)

p\

Stab

Nr.

Pi

Stab

Nr.

Po p\ p%

en O' vj OO

—    9450 — 12600

—    16200 —21600

—    20250 —27000

—    21600 — 28800

+• W (0

? ? F F

On vj CO

9450 12600 16200 21600 20250 27000

OO tv vO

3 à S 3 N ro

13370    17820

9550    13362

5730    9545    - 1910

1910    6363 — 3818

636

CO M

cocę

Cn Ci vj 00

Kilogramm

Kilogramm

Kilogramm

Kilogramm

5) Parabelträger.

Parabelträger find Träger, bei denen die Knotenpunkte einer oder beider Gurtungen auf Parabeln liegen. Hier follen nur folche Parabelträger behandelt Spannungen-, werden, bei welchen die obere Gurtung eine gerade Linie, die untere Gurtung ein der Parabel eingefchriebenes Vieleck ift (Fig. 227). Bezeichnet man die Pfeilhöhe der Parabel mit //, die Trägerftützweite mit l und legt man den Anfangspunkt der Coordinaten in das linke Auflager (nach A\ fo ift, wenn L der Scheitel der |

Parabel ift,

189.

Berechnung

der

Kr

X----#

y,

s.

Fig. 227.

l-X----^---

(—)

«-)• '

woraus

2*\²

, ferner y = (k — z) ;

fonach lautet die Gleichung der Parabel bezogen auf A als Coordinaten-Anfang:

/²

(/ x — x²)

247.

Die Spannungen in den fammtlichen Stäben können nun mittels der in Art. 170 bis 177 (S. 169 bis 173) vorgeführten Verfahren, leicht ermittelt werden. Dabei macht es keine Schwierigkeit, die Berechnung auch für den Fall durchzuführen, dafs die obere Gurtung gekrümmt, die untere eine gerade Linie ift.

a) Spannungen in den Gurtungen. Für einen Stab FE der unteren Gurtung (Fig. 228) ift C der conjugirte Punkt; wird mit M das Moment der an der einen Seite des Schnittes II wirkenden äufseren Kräfte bezeichnet, fo ergiebt fich

190. in den Gurtungen ;

E"-

0 = M — Zy cos a, woraus Z =

y cos a

.    .    248.

Fig. 228.

Für einen Stab CG der oberen Gurtung id A der conjugirte Punkt, und wenn das Moment der äufseren Kräfte für diefen Punkt mit M' bezeichnet wird,

«»

0 == M' -f Xy\ woraus X

M'

249.

Wie beim Parallelträger in Art. 178 (S. 175) ergiebt lieh auch hier, dafs die oberen Gurtungsftäbe ftets gedrückt, die unteren Gurtungsftäbe ftets gezogen werden, fo wie dafs alle Gurtungsftäbe bei voller Beladung am meiden beansprucht werden.

Nunmehr können die durch Eigengewicht, bezw. durch gleichmäfsig über den ganzen Träger vertheilte Nutzlad erzeugten Gurtungsfpannungen ermittelt werden. Das erdere fei g, die letztere p für die Längeneinheit; beide Beladungsarten dnd einander genau gleich; es genügt alfo eine, etwa die letztere, zu betrachten. Es wird wieder angenommen, dafs die Laden nur in den Knotenpunkten wirken; bei einer Feldweite à (Fig. 229) id die Knotenpunktslad gleich pa (bezw. ga). Die

Auflagerdrücke dnd D₀ = Dx

und, da a (n — 1) = {l — a) id, p (/ — o)

_pa {11 — 1)

.    250.

D,=D

Für einen beliebigen Knotenpunkt E mit der Abfciffe x id nun das Moment

X ²) .

Mx =

Dies id aber nach Art. 154 (S. 147) auch der Ausdruck für das Moment im Punkte E bei einem vollwandigen, gleichmäfsig mit p für die Längeneinheit be-ladeten Träger.

Werden die Werthe von M und y (Gleichung 247) in die Ausdrücke von Z und X eingeführt, fo ergiebt dich allgemein

Z cos a — -

M p (lx-x*)P _pl2 2    4 h {lx — ;r²)

{lx — x²) /²

2 ’ 4 h {/ x — x²)    8 h

00

.    .    251.

Z cos a ift die wagrechte Seitenkraft der Spannung in der gekrümmten Gurtung. Die rechte Seite obiger Ausdrücke enthält nur confiante Gröfsen, fo dafs fich ergiebt:

Beim Parabelträger ift für gleich-mäfsige Belattung des ganzen Trägers die Spannung in der geraden Gurtung (X) und die vvagrechte Seitenkraft der Spannung in der gekrümmten Gurtung confiant.

Fig. 229.

T- —

--X--

-l-a

O,

\ - -x-a--> p

Da cos <3 =

y a* + (/ -y)²

vi+(^y

ih,

erhält man aus

Gleichung 251

191. in den Gitterftäben.

252.

Die Spannungen Z und X, welche dem Eigengewicht entfprechen, werden aus obigen Gleichungen erhalten, indem man p mit g vertaufcht.

ß) Spannungen in den Gitterftäben. Für die Diagonale CE (Fig. 228) ift L der conjugirte Punkt, y] der Hebelsarm von Y, und wenn mit Mx das Moment der äufseren Kräfte am Bruchftück links vom Schnitt //, bezogen auf L als Drehpunkt, bezeichnet wird, ift

0 = Vri - M

Y — H--

Liegt die Diagonale rechts der Mitte, fo fällt der conjugirte Punkt rechts vom rechten Auflager. Die Aufhellung der Momentengleichung für diefen Punkt ergiebt genau wie in Gleichung 253 die Diagonalfpannung als Quotienten aus dem Moment der am Bruchftück wirkenden äufseren Kräfte, dividirt durch den Hebelsarm der Diagonalfpannung.

Häufig ift ein anderer Ausdruck der

Fig. 230.

X +

m-i

woraus

Fig. 231.

253-

Diagonalfpannung bequemer, als Gleichung 253. Die am Knotenpunkt C der geraden Gurtung (Fig. 230) angreifenden Kräfte find im Gleichgewicht ; die algebraifche Summe aller wagrechten Seitenkräfte ift demnach gleich Null-, mithin

0 = Y cos <p -j- Xm — Xm

woraus Y = —

Y _ Y

z* w z\. ni — 1

.    .    254.

— î.

Für die Beftimmung der Spannungen in den Pfoften ift der Schnitt fchief zu legen (Fig. 231). Der conjugirte Punkt für den Pfoften EG ift N. Bezeichnet

cos

— M₂ das Moment der am Bruchftück wirkenden äufseren Kräfte für N als Drehpunkt, fo wird

0 = - V (X₁ + cx) - M.

woraus

M₂

■    255.

Xi -f- c₁

Falls der conjugirte Punkt nach rechts vom rechten Auflager fällt, ergiebt fich eine geringe Abänderung der Gleichung 255.

Ein für manche Fälle bequemerer Ausdruck wird wiederum durch Betrachtung des Knotenpunktes an der geraden Gurtung erhalten. Es ergiebt fich, da die Kräfte an demfelben im Gleichgewicht find,

0 = Y sin <p -j- V -f- P,

woraus

V= — (Fsin <p -j- P) .    .    .    256.

d) Das Eigengewicht, bezw. eine gleichmäfsig über den ganzen Parabel

träger vertheilte Laft p für die Längeneinheit erzeugt in allen Diagonalen die Spannung Null. Denn bei diefer Belaftung ift nach Art. 190 (S. 191 ) die Gurtungs-fpannung X confiant, alfo Xm = Xm

mithin nach Gleichung 254: Y = 0.

Die Spannung in den Pfoften ergiebt fich nach Gleichung 256, da Y= 0

und P — pa (bezw. gd) ift, zu

Vp = —pa, bezw. Vg——ga Die Spannung in den Pfoften ift fonach beim Parabelträger und der angegebenen Belaftung gleich der im Knotenpunkte der geraden Gurtung wirkenden Laft, und zwar Druck, wenn, wie hier angenommen ift, die obere gerade Gurtung belaftet ift. b) Ungünftigfte Belattungen und gröfste Stabfpannungen der Gitter-

ftäbe. Die ungünftigfte Belaftung für eine Diagonale CE (Fig. 232) wird folgendermafsen erhalten. B Eine rechts von dem durch die Diagonale verlaufenden Schnitte II gelegene Laft P erzeugt in A

den Auflagerdruck D₀ =

a) LE-A

Hk —

woraus

Fig. 232.

Pi

25 7-

und

in CE eine Diagonalfpannung F, die aus der Momentengleichung für Punkt L und das links vom Schnitte liegende Bruchftück folgt:

0 = Ftj — D₀ c,

y=

D₀ c

Pic

lri

258.

So lange fich die Laft rechts vom Schnitt II befindet, gilt der hier für Y gefundene Ausdruck. Jede Laft rechts vom Schnitt erzeugt alfo in CE einen Zug.

Befindet fich die Laft P links vom Schnitte II, fo betrachte man das Bruchftück an der rechten Seite des Schnittes (Fig. 232 à). Auf daffelbe wirken der Auflagerdruck Dx in B und die drei Spannungen X, Y und Z\ die Gleichung der ftatifchen Momente für L als Drehpunkt heifst dann :

0 —- Y 7] -j- Dx (/ -f- c),

woraus

Dj (/ -j- c)

•    •    259.

Die Laft P links von II erzeugt alfo in der Diagonale Druck und in gleicher Weife jede links vom Schnitt liegende Laft.

Handbuch der Architektur. I. x, b. (3. Aufl.)

Iß

Für die rechts von der Mitte gelegenen Diagonalen, bei welchen der Momenten-punkt rechts von B liegt, ergiebt lieh die gleiche Gefetzmäfsigkeit.

Es folgt, dafs auch hier das für die Parallelträger (Art. 179, S. 177) gefundene Gefetz gilt: Jede Belaftung zwifchen dem durch die Diagonalenmitte gelegten lothrechten Schnitte und demjenigen Auflager, nach welchem der Fufspunkt der Diagonalen hinweist, erzeugt in derfelben Zug; jede Belaftung zwifchen dem erwähnten Schnitte und demjenigen Auflager, nach welchem der Kopf der Diagonale hinweist, erzeugt in derfelben Druck.

Gröfster Zug findet demnach in einer Diagonalen dann ftatt, wenn alle Knotenpunkte zwifchen dem Schnitte und demjenigen Auflager belaftet find, nach welchem der Fufs der Diagonale hinweist; gröfster Druck, wenn die Knotenpunkte zwifchen dem Schnitte und demjenigen Auflager belaftet find, nach welchem der Kopf der Diagonalen hinweist.

Die gröfste Zug-beanfpruchung in einer Diagonalen CE findet daher bei der in Fig. 233 gezeichneten Belaftung ftatt; fie ift

Fig. 233.

\c

.•v,

pa pa pa pa

iß

/' E

Yn

£>₀c

iax —

Genau, wie in Art. 179 (S. 177), erhält man für den Auflagerdruck:

Fig. 234.

Pa

4*4--^

hc

D“ ~ 2/

alfo

pc

[-(Ol

260.

2/7)

Die gröfste Druckbeanfpruchung in einer Diagonalen CE findet bei der in Fig. 234 gezeichneten Belaftung ftatt und ift (wenn der Trägertheil rechts Schnitte II betrachtet wird) nach Gleichung 259

vom

Y min — — D

max

(0r)

und, da Dx =

Ymin —

21

-x)² -

(1)1 (0r) ■ • .

21

.    .    261.

Die Gleichungen 260 u. 261 gelten, wenn die Diagonalen, wie hier, nach rechts fallen, nur für diejenigen links der Mitte; für die Diagonalen rechts der Mitte, bei denen der Momentenpunkt rechts von B fällt, ergeben fich folgende Werthe, in denen den Hebelsarm von Yt c₂ den Abftand des Momentenpunktes von B bedeutet :

[- m

to a

— x)² —

262..

Ulld Y in in —

Bei der angenommenen Belaftungsart genügt es, entweder Y} zurechnen; denn für die Belaftung aller Knotenpunkte mit je pa ift die Diagonal-fpannung (fiehe oben) gleich Null. Sind nur die Knotenpunkte der Druckabtheilung belaftet, fo ift die Spannung in der Diagonalen gleich Ymin ; find nur die Knoten-

Yn

iax

21

2/

jiax

oder Ymin aus-

195

punkte der Zugabtheilung belastet, fo ift die Spannung gleich Y„ Belattung ift’ die Spannung Ys

0= Y.

tax •

umina

— Ymax -j- Ymin, und zwar ift Ys

umma

Bei voller = 0, d. h.

f~ ^ min Ulld 1 min — Yn

Um die ungünftigfte Belattung der Pfoften zu ermitteln, verfährt man eben fo, wie bei den Diagonalen gezeigt ift. Man findet, dafs Diagonale und Pfoften, welche an einem Knotenpunkte der unbelafteten Gurtung zufammentreffen, diefelbe ungünftigfte Belaftungsart haben; nur findet im Pfoften gröfster Druck ftatt bei derjenigen Beladung, welche in der entfprechenden Diagonalen gröfsten Zug

tax'

<■

pa pa pa pci

Fig. 235.

Àr^-Y-{c <*-»-

fVF:

Fig. 236.

>V

ï'Y'i

\C

~r - -

-J

Somit wird gröfster Druck in GE bei der in Fig. 235

erzeugt und umgekehrt, gezeichneten Belattung, gröfster Zug bei der in Fig. 236 gezeichneten Belattung

ftattfinden.

Die gröfsten Spannungen in den Pfoften ergeben fich mit

Y min - —

A1 + G

K)]

_D\ (/ G) __JP

lax

2/

- X)² -

( )]

CO ! Si

l+ G

•    .    263.

Falls der Momentenpunkt um nach rechts von B fällt, was hier bei allen Pfoften rechts der Mitte, ein fehl, der Mittelpfoften, ftattfindet, fo ergeben fich für Vmin und Vmax die Gleichungen:

mm —

Dj\ (7 4~ c\) _

c\ + l ~~ ^1

l -1- c'

ci+t- K

A g'

.    .    264.

c\

[<'

G' + l~ \ .

c) Bei entgegengefetzter Richtung der Diagonalen ergeben fich nur geringe Aenderungen, welche leicht aus Vorftehendem folgen.

Die Spannungen durch eine oder mehrere Einzellaften find gleichfalls nach einem der in Art. 172 u. 173 (S. 170) angegebenen Verfahren leicht zu finden.

Y) Graphifche Ermittelung der Spannungen. Wird eine gleichmäfsig vertheilte Belattung (Eigengewicht, bezw. volle zufällige Belattung) vorausgefetzt, fo ergiebt der in Fig. 237 gezeichnete Cremona'fche Kräfteplan fofort die Spannungen.

Was die durch zufällige Belattung erzeugten Maximalfpannungen betrifft, fo ergeben fich die gröfsten Gurtungsfpannungen aus dem eben erwähnten Kräfte-

max —

19z.

Graphifche

Ermittelung

der

Spannungen,

196

plan (Fig. 237), falls eine Beladung des ganzen Trägers mit der Lad p für die Längeneinheit zu Grunde gelegt wird.

Zur Bedimmung der gröfsten Dia-gonalfpannungen, welche bei den oben angegebenen Beladungen ftattfinden, empfiehlt fich die Schnittmethode.

Auf das Trägerftück links vorn Schnitte II wirken bei der in Fig. 238 a gezeichneten gröfsten Zugbelaftung für die Diagonale CE die Kräfte Z>₍₎, X, Y, Z. Die Werthe von Dq, welche für die ver-fchiedenen Diagonalen zu Grunde zu legen find, ergeben

Fig. 237.

IL

A.

”'î.

nUi

fl

Pt

fich aus der Gleichung Z>₀ =    ^x² —

diefelben find in der Curve (Fig. 238 Æ) aufgetragen. —

iti.r

Für die Diagonale CE z. B. itt Dq — mn\ diefe Kraft ift nach den Richtungen A E und X zerlegt in n 0 und 0 m ; no ift alsdann noch nach den Richtungen Z und Y in np und po zerlegt; p 0 ift gleich Y„

( Kmin — — YmaP).

Im Pfoften C F findet gröfster Druck bei der in Fig. 239 gezeichneten Belattung ftatt. Z>₀ itl hier gleich derjenigen Ordinate der Curve in Fig. 238 b, welche zu x‘ gehört, d. h. gleich rs. Nun wird

Fig. 239.

Fig. 238.

1' /

- J.

S--

Ni

b)

\r

■X’

c)

11

:*b

5<

ob

Fig. 240.

c’

E’

genau wie oben zerlegt. Es wird V,ńin — ui. Entfprechend ift der gröfste in CF auftretende Zug zu ermitteln.

*93-

Gegen

diagonalen.

8) Träger mit Gegen diagonalen. Durch die Verkehrslaft erhält jede Diagonale fowohl Zug wie Druck, durch das Eigengewicht gar keine Spannung. Die ungünftigften Zug-, bezw. Druckfpannungen find alfo genau fo grofs, wie diejenigen durch die ungünftigften Verkehrslaften. Sollen nur gezogene Diagonalen Vorkommen, fo wird nach Art. 186 (S. 187) in jedem Felde eine Gegendiagonale angeordnet werden müffen. Man erhält die in Fig. 240 gezeichnete Trägerform. Die Gegendiagonale C⁴E⁴ wird genau eben fo beanfprucht, wie die fymmetrifch zur Mitte liegende Hauptdiagonale CE des Trägers mit einfeitig fallenden Diagonalen.

I97

Daffelbe gilt von allen Gegendiagonalen; fomit wird die Berechnung eines Trägers mit nach einer Richtung fallenden Diagonalen genügen.

Beifpiel. Ein als Unterzug dienender Parabelträger mit gerader oberer und gekrümmter unterer Gurtung hat die nachfolgenden Hauptabmeffungen und Belaftungen : Stützweite /=12,ora; Pfeilhöhe h — 1,20m ; Feldweite a = l,oom; Eigengewicht für das laufende Meter des Trägers £•= 320 kg, alfo ga — 320kg; Verkehrslaft für das laufende Meter des Trägers p — 1280kg, alfo pa = 1280kg. Der Träger hat ein aus Pfoften und Diagonalen beftehendes Gitterwerk; die Diagonalen fallen beiderfeits nach der Mitte zu ; der Träger ift alfo zur Mitte fymmetrifch angeordnet. Die in den einzelnen Stäben entftehenden Spannungen find zu ermitteln. Wegen der Symmetrie des Trägers braucht man nur die Spannungen in den Stäben links der Mitte zu beftimmen; die fymmetrifch zur Mitte liegenden Stäbe erhalten gleiche Beanfpruchungen.

194.

Beifpiel.

a) Form der unteren Gurtung. Die Parabel-Ordinaten ergeben fich nach Gleichung 247 aus

der Beziehung y =

4.1,2

144

x (12 — jt) = 0,033 x (12 — x). Man erhält:

7m 8m 9m 10m 11m

für x —    1 m 2m 3m 4m 5m

1,16 «TI 1,06 m 0,89 m 0,66 m 0,36 m.

y — 0,3G m 0,66 m 0,89 m 1,06 m 1,16 m

6) Spannungen in der oberen Gurtung. Durch das Eigengewicht, bezw. volle zufällige Belaftung entfteht in fämmtlichen Stäben der oberen Gurtung eine Spannung nach Gleichung 251

320 • 12²

8 . 1,2

= — 4800 kg und Xp — —

1280 • 12²

8 • 1,2

= — 19200kg.

Xp ift zugleich die gröfste durch zufällige Belaftung entftehende Spannung.

c) Spannungen in der unteren Gurtung. Nach Gleichung 252 find

Zg = 4800

und Zp — 19200

Hiernach erhält man die in der linksfeitigen Hälfte der nächftfolgenden Tabelle zufammengeftellten Ergebnifle. Die Werthe Zp find zugleich die gröfsten durch die zufällige Laft entftehenden Spannungen.

b) Spannungen in den Diagonalen. Die Spannungen durch das Eigengewicht find gleich Null (fiehe Art. 191, S. 192). Die durch Verkehrslaft erzeugten gröfsten Zug- und Druckfpannungen find für die Diagonalen links der Mitte nach Gleichung 260 u. 261

Y max —

1280

2 . 12

(x² — 0,25) — = 53,33    {x² — 0,25) und Y„tin = — 53,33 [(/ — x)² — 0,25]    — •

Die Gröfsen c und y] können berechnet oder conftruirt werden; die Werthe für c werden beffer berechnet, weil die Zeichnung wegen der fpitzen Schnittwinkel der Gurtungsftabrichtungen nicht genaue Werthe ergiebt. Man erhält mit Hilfe ähnlicher Dreiecke leicht

•    ^3 T 2 a __

c2~\-a _

c4 -f- 3 d _

Zl

y'2

)'3

y i —}'3

u. f. w.

Die Werthe für 7} können in ähnlicher Weife leicht berechnet werden; doch kann man, befonders

berechnet und der Schnittpunkt entfprechend den Rechnungsergebniffen aufgetragen wird, die y)

und Ymin find in nachftehen-

wenn c

mit hinreichender Genauigkeit conftruiren. Die Werthe für c, yj, x, Y„ der Tabelle zufammengeftellt.

Stab

Nr.

H.

Z*

Zp

Diagonale

Feld-Nr.

rl

O, Ol * W »0

CO    CO    0,    CD    CO    Ci

®    °    O.    '1

O    O    O    »-H    c-l

CO    CD    O    CO    CD

®    ®    °Ł    ^    1

O    O    O    O    T—i    1—<

5102

5011

4925

4867

4824

4804

20410

20045

19699

19469

19296

19216

M ro if) O

CO 05 to o o

^ o Ta    co to

0,66

1,91

3,8

8,03

22,3

05 —J 00 ÎO O ! c. ü, t, cn 5, ci    I "

Y,

nax

Y min

+ 1777 -h 2186 + 2304 -i- 2449 + 2410

Meter

Kilogramm

Meter

Kilogramm

I98

Nach Art. 191 (S. 192) müffen die abfoluten Werthe von Ymax und Y min einander gleich fein; dies ift hier nicht der Fall, was feinen Grund darin hat, dafs nicht die genauen Parabel-Ordinaten der Berechnung zu Grunde gelegt find, fondern eine Abrundung auf zwei Decimalen ftattgefunden hat. Aus demfelben Grunde würden fich auch die durch das Eigengewicht erzeugten Spannungen nicht genau gleich Null ergeben, wenn man fie nach Gleichung 253 berechnete. Immerhin ergeben fich diefe Unter-fchiede fo gering, dafs fie vernachläffigt werden können.

e) Spannungen in den Pfoften. Durch das Eigengewicht entlieht in jedem Pfoften nach Art. 191 (S. 193) der Druck V — — 320kg. Die durch Verkehrslaft in den Pfoften links der Mitte erzeugten Maximalfpannungen find nach Gleichung 263

Vmin — 53,33 (X² 0,25)

c\

^ ~\r c\

und Vv

iax

= -f 53,33 j^(/ - x)² — 0,25J

12 + G _

G ci

Man erhält die in folgender Tabelle zufammengeftellten Werthe von <4, Xp x, (/ — x), V,nin und Ymax- Der 6. (der Mittel-) Pfoften, an deffen Fufspunkt fich die beiden Diagonalen der anfchliefsenden Felder fchneiden, kann nicht nach den obigen Gleichungen berechnet werden, da die dort für den Schnitt gemachten Vorausfetzungen hier nicht zutreffen. Da aber im oberen Knotenpunkte derfelben keine Diagonale anfetzt, fo kann diefelbe nur die Kräfte aufnehmen, welche unmittelbar in derfelben wirken, d. h. der gröfste Druck ift gleich der Knotenpunktsbelaftung dafelbft.

Pfoften

Nr.

C1

Ymax

t'*    CO    c

frJ    00    Cł    o

ö    d    w    6    4

! pr 1^ OO CO M !    00000

•2. '1

r—I O r—i T—(

*-3.    j

05 CO t- I

L. 1O    lC l'î

0 h in m ^

+ 478 + 870 + 1128 1324

Meter

K ii ogra mm

I) Zur Beftimmung der Querfchnitte nach den Gleichungen 42 bis 48 (fiehe Art. 84 u. 85, S. 62 u. 63) dient die Zufammenftellung in der folgenden Tabelle:

Obere Gurtung: Druck

Untere Gurtung: Zug

Diagonalen:

Pforten: Druck überwiegt

Stab

Nr.

PQ

P\

Stab

Nr

P0

P1

Stab

Nr.

P0

P\ P2

Stab

Nr.

P\

P2

I U. 12

2 U. II

— 1800 — 1800 — 1800 — 1800 — 1800 — 4800

—    19 200

—    19 200

—    19 200

—    19 200

—    19 200

—    19 200

I U. 12

2 U. II

5102

5011

1925

18(57

4821

1801

20110 20 015 19 (199 191(59 19 29(5 19 21(1

2 u. II

1777

218(1

2301

2119

2110

—    2-1(10 — 2582

(J\ OO l''

320

—    320

—    320

178

870

1123

1321

Kilogr.

Kilogramm

Kilogramm

Kilogr.

In die Gleichungen 42 bis 4S find die abfoluten Zahlenwerthe für Pq, P[ und einzufetzen.

6) Dreieckträger.

195-

Trägerformen.

Dreieck- und Trapezträger find, wie bereits in Art. 167 (S. 168) getagt wurde, Träger, deren Gurtungen ein Dreieck, bezw. ein Paralleltrapez bilden. Die eine Gurtung zeigt eine gerade, die andere eine gebrochene Linie. Ift die untere Gurtung gerade, fo erhält man die unter dem Namen des einfachen, bezw. doppelten Hängebockes bekannte Trägerform (Fig. 241 bezw. 242a) — nicht zu verwechfeln mit den Hängewerksträgern, welche nach Art. 150 (S. 140) von den hier betrachteten

Fig. 241.

Fig. 242.

a)

a)

t)

/>)

wefentlich verfchieden find. Ift die obere Gurtung gerade, fo erhält man die unter dem Namen des armirten Balkens bekannte Trägeranordnung (Fig. 241^ u. 242^).

a) B e 1 a d u n g durch E i n z e 11 a ft (Fig. 243). Wenn im Knotenpunkte

C oder E des Hängebockes (Fig. 243 ä) die Laft P wirkt, fo wird der Auflagerdruck

Fig. 243.

196.

Beladung

durch

Einzellad.

a)

eo n

FI

D° -Di~ o •

ŁB

lp

EL

\cc

IE

FF

-------------—

Die im Punkte A wirkenden drei Kräfte D₀, O und H halten einander im Gleichgewicht; demnach find die algebraifchen Summen der in diefem Knotenpunkte wirkenden wagrechten, bezw. loth-rechten Seitenkräfte je gleich Null, d. h. es ift

0 = Dq -j- 0 sin a

woraus

2 sin a

.    .    265.

0 — 0 cos a -f- H, woraus H =

266.

2 tg a

Die Spannungen der fymmetrifch zur Mitte liegenden Stäbe find gleich.

Falls die Laft P im Punkte C angreift, fo ergiebt fich als Gleichgewichtsbedingung für den Punkt E die Beziehung 0 = V\ falls P in E angreift, fo heifst •die Gleichgewichtsbedingung: 0 = V — P, woraus

V=P .

267.

Eben fo ergiebt fich für den armirten Träger (Fig. 243/;)

u=

2 sin a

H= -

und

V— — P. .    .    . 268.

2 tg a

Die Conftruction der Spannungen ergiebt den Kräfteplan in Fig. 243, welcher •ohne weitere Erläuterung verftändlich ift.

ß) Gleichförmig vertheilte volle Beladung. Wird der Berechnung eine gleichförmig vertheilte Beladung zu Grunde gelegt, fo id die volle Beladung für die Stabfpannungen auch die ungündigde; denn jede Lad, wo fie auch liegen möge, erzeugt in A und B (Fig. 244) Auflagerdruck, alfo in den Stäben der oberen Gurtung Druck, in denen der unteren Gurtung Zug. Bei diefer Beladung id AEB

197.

Gleichförmig

vertheilte

Beladung.

200

Fig. 244.

'<4

wie ein continuirlicher Balken auf drei Stützen A, E und B aufzufaffen; die Mittelftütze wird durch die Hängefäule CE gebildet. In derfelben entlieht demnach ein Zug, welcher genau fo grofs ift, wie der Auflagerdruck bei der Mittelftütze E des con-tinuirlichen Trägers AEB. Nach der Zufammen-ftellung in Art. 165 (S. 166) ift diefelbe hier

di

,    /    5    .

= 1.25 Py = P '

l 3

== 0,3 7 5 p — = -r-j-p l ift; die letzteren Drücke werden vom Aut-u 1 b

während dQ = d₂

lager aufgenommen und belaften den Träger nicht. Die Stabfpannungen werden

demnach die unter a gefundenen Werthe haben, wenn ftatt P die Gröfse gefetzt wird. Beim Hängebock wird alfo

100

pl ein-

V=P =

pl, 0 = -

5 pl

16 sin a

16 tg a

.    269.

Eben fo ergiebt fich im armirten Balken für diefe Belaftungsart

u= -4- -4^—

16 sin a

H= -

_5_ J_l_ 16 tg a ’

und V = —

.    270.

In der geraden Gurtung AEB wirkt alfo die Zug-, bezw. Druckfpannung da aber diefe gerade Gurtung gleichzeitig als continuirlicher

Träger zum Uebertragen der Laften auf die Knotenpunkte dient, fo wirken in derfelben auch noch die Momente und Querkräfte, welche in den verfchiedenen Quer-fchnitten des continuirlichen Trägers AEB entftehen. Nach der Zufammenftellung in Art. 165 (S. 166) findet das gröfste Moment am Mittelauflager ftatt, und das-felbe ift

32 '

°'¹²

y) Querfchnittsbeftimmung. Die Querfchnitte der nur gezogenen, bezw. nur gedrückten Stäbe

Querfchnitts- ergeben fich leicht, wie in Art. 82 bis 86 (S. 59 ff.) und im vorhergehenden Kapitel angegeben ift. Der

beftimmung.

198.

Querfchnitt der geraden Gurtung AEB ift für die gemeinfame Beanfpruchung durch Zug, bezw. Druck und die Momente zu conftruiren. Wird der ganze Querfchnitt (für Holz) als confiant angenommen, fo ift das gröfste im Balken wirkende Moment der Berechnung zu Grunde zu legen. An der Stelle, wo das gröfste Moment M,

fpannung für die Flächeneinheit nach Gleichung 54 (S. 75)

nnx

wirkt, ift die gröfste in den äufserften Querfchnittspunkten ftattfindende Axial-

0 max

= ±(4 +

Mtnax

Beim Rechteckquerfchnitt ift F — bh, und — = -    ; wenn noch ftatt zmax die gröfste zu-

a    6

läflige Spannung K eingeführt wird, fo ergiebt fich als Bedingungsgleichung für den Querfchnitt :

II

K = ± XTh +

6 Mmax

b)E

■)

27I.

In diefer Gleichung find b und h unbekannt. Man nimmt zunächft für b einen Werth probeweife an und beftimmt h aus Gleichung 271; ergiebt fich für h eine unzweckmäfsige Gröfse, fo nehme man für b einen anderen Werth an und beftimme wiederum h nach Gleichung 271. Meiftens werden fich bei der zweiten Rechnung entfprechende Werthe für b und h ergeben.

7) Trapezträger.

a) Einzellaften. Für die Belaftungen in Fig. 245« find die Auflagerdrücke beim Hängebock

199.

Einzella ften.

D₀ =

_ P₂ a + P\ 0 + b)

und D

P^a -\- P₂ (a -j- b)

Die Stabfpannungen ergeben fich dann durch Aufhellung der Gleichgewichtsbedingungen für die einzelnen Knotenpunkte, wie folgt:

Fig. 245 a.

Fig. 245 b.

0.

F? a

- - r.

D₀

57

(X

P,

*-----(l-----X--------fo-----X---

-.B-*-

P,

0 = D₀ -j- 0l sin a, woraus 0₁ = —

I sin a

272.

0 = £\ cos a -f- U.

woraus U₁ —

P2 a H~ P\ (a ~ł~ ff)

l tg a

^a+P.ia + à) \±.

VI-

woraus U₂ = U1 = [P₂ a -f- Px (a + b)]

P\ a ~h Pj (a ~f~ P)

274.

0 = D₁ -f- 0₃ sin a, woraus 0,à = —

I sin a

275.

0 = £4    (9:j cos a, woraus Ü7₃ =

P\ a ~f~ P2 (a ~ł~ P)

0 =    — £L cos a, woraus 0₂ = —

— [^1 a~\~P2 (Æ+ff)] ~jjï P^ + P^a + i) ₌_    ia+m ± ₂₇₇.

L tg a

0 = Vx (falls die Laft P₁ in C wirkt, fo ift Vx = P^}

= (Pi - P*) y

0 = P₂ -|- V₂ -f- 0₃ sin a,

woraus

Falls die Laft P₂ in E wirkt, fo wird woraus V₂ = -

0 = V₂ -j- <9₃ sin a

P\ a + P2 (a +

278.

279.

280.

0 = £/₂ -f- Y cos ß — £7

woraus Y — —

E, -

cos ß

Ih cos ß

- />,)

Y= + (P₂-Pi)7£p

281.

Falls die Laften in der unteren Gurtung, in C und A, angreifen, fo wird

F' sin ß 4- V₂ — P₂ = 0, woraus Y' =

P — V'    P

2 v 2 M 2

P\ a ~h Pj (a 4~ P>

sin ß

sin ß

l sin ß

Y'={P₂-Px)

I sin ß

282.

d. h. eben fo grofs, wie in Gleichung 281.

202

Wenn, wie meiftens, Px — P₂ = P ift, wird

Pa

ox = -

sin a

; u\ =

0, = -

Pa

sin a ¹

t/=^

³ h

•    283.

; F,=0; F₂ = 0; K= 0

Die Conftruction ergiebt den auf der vorhergehenden Seite ftehenden, ohne Erklärung verftändlichen Kräfteplan (Fig. 245^).

Was den armirten Balken anbelangt, fo find bei diefem die Spannungen fowohl in der oberen, wie in der unteren Gurtung den foeben für die gerade, bezw. gebrochene Gurtung des doppelten Hängebockes gefundenen Spannungen der Gröfse nach gleich, dem Sinne nach entgegen gefetzt. Die Werthe derfelben können demnach aus den Gleichungen 272 bis 283 durch Umkehrung der Vorzeichen entnommen werden. Die Spannungen in den Diagonalen und in den Pfoften ergeben fich leicht durch Betrachtung des Gleichgewichtes der einzelnen Knotenpunkte, wie beim doppelten Hängebock gezeigt ift.

ß) Gleichförmig über den ganzen Träger vertheilte Beladung

200.

Gleichförmig vertheilte

ßeiaftung. in denjenigen der oberen Gurtung Druck

(P'ig. 246). Jede Beladung erzeugt in den Stäben der unteren Gurtung Zug,

wie fich aus den Gleichungen 272 Gröfster Zug, beziehungsweife Druck findet alfo in den Gur-

bis 277 ergiebt. tungen bei Beladung des ganzen Trägers ftatt.

Fig. 246.

Die untere Gurtung wirkt, wenn keine Gelenke in den Knotenpunkten derfelben angenommen werden, wie ein continuirlicher Balken auf 4 .Stützen. Die Endftützen find A und B ; die Mittelftützen werden durch die Pfoften

Do

<*o

if—■■

Gl

yillllllMlllllllilililiy

J---f ' ;-------² U----;-----3 il —

10.37 pi

10.37 pi

‘4

FC und GE gebildet. Wird a —b gefetzt, fo ergiebt fich bei Beladung des ganzen Trägers mit der Lad p für die Längeneinheit als Auflagerdruck der Mittel-

pl

ftützen nach der Zufammenftellung in Art. 165 (S. 166) dx = d₂~ 1,1 ~ = 0,37 pl.

O

Eben fo grofs ift die Taft, welche in den Knotenpunkten C und E des Syftems nach unten wirkt. Werden diefe Werthe für Px und P₂ in die obigen Gleichungen eingeführt, fo ergiebt fich 0,37 pl sin a

O, =

; Ux — 0,37 pl

0,37 pl P

sin a ’

284.

U₂ = 0,37 pi~jt■; £4 = 0,37 pl

Die hier gefundenen Spannungen 0 und U find die gröfsten Stabfpannungen, welche durch gleichförmig vertheilte Nutzlaft entftehen. Wird ftatt p das Eigengewicht g für die Längeneinheit eingeführt, fo ergeben fich die durch das Eigengewicht entftehenden Stabfpannungen.

7) Ungünftigfte Beanfpruchung der Diagonale und der Pfoften. Den Ungünftigfte allgemeinen Ausdruck für die Diagonalfpannung giebt die Gleichung 281. Y wird Beanfpruchung    pofttiveii Werth (Zug) haben, wenn P₂ möglichft grofs, Px möglichft

klein ift; V wird feinen gröfsten negativen Werth (Druck) erreichen, wenn P„ mög-

; Vx = 0,37 pl\ V₂ = 0,37 pl\ Y— 0

201.

der

Gitterlläbe.

lichft klein, Px möglichft grofs ift. Wird als Nutzlaft eine gleichmäfsig vertheilte Laft eingeführt, fo kann man, wenn a = b ift, mit einer für die Zwecke des Hochbaues hinreichenden Sicherheit annehmen, dafs die Diagonale den gröfsten Zug erleidet, wenn der Punkt E am Fufspunkte derfelben mit pa-\-0,$i gl belaftet ift, der Punkt C (in der Lothrechten des Kopfes der Diagonalen) nur das Eigengewicht 0,3 7 gl trägt. Bei der umgekehrten Beladung dagegen erleidet die Diagonale ihren gröfsten Druck. Demnach wird

p a2 l sin ß

Ferner ift hier, wo die Laden unten wirken, Vx =/>₁, d. h.

= 0,37 (g+p) l und Vimin = 0,37 gl .    .

Yfnax - i

min

2S5.

. . 286.

Auch V₂ erleidet den gröfsten Zug bei voller Beladung; da bei diefer Beladung V == 0 id, fo wird auch

= 0,37 gl .    .

= 0,3 7 (g -j- p) l und

.    .    287.

V.

2 min

8) Die Querfchnittsbeftimmung ift in genau gleicher Weife vorzunehmen, wie dies in Art. 198 (S. 200) beim Dreieckträger gezeigt ift. Die Maximalmomente in der geraden Gurtung finden bei C und E ftatt und find genau genug für a = b nach der Zufammenftellung in Art. 165 (S. 166) p /²

Die Abmeffungen b und h des rechteckigen Querfchnittes (für Holz) find

max

202.

Querfchnittä-

beftiramung.

10

90

demnach aus der Gleichung zu beftimmen :

Imax — K

bh'¹

ax \

! ) '

Die Dreieck- und Trapezträger mit einer gröfseren Anzahl von Ladpunkten werden durch Einfügen von Dreiecken in die oben (Fig. 241 u. 242) dargedellten Trägerformen hergedellt. Die Berechnung entfpricht der vordehenden, kann aber auch bequem nach der Momentenmethode vorgenommen werden.

Literatur.

Bücher über »Statik der Stützen und Träger«.

Klose, H. A. Theorie der eifernen Träger mit Doppelflanfchen. Hannover 1862.

Ritter, A. Theorie und Berechnung eiferner Dach- und Brücken-Conftructionen. Berlin 1863. — 5. Auf!.: Hannover 1894.

Assmann, G. Hilfstafeln zur Berechnung eiferner Träger und Stützen. Berlin 1865.

Francis, J. B. On the ßrength of caß-iron pillars. New-York 1866.

Kleritj, Lj. J. Abhandlung über genauere Berechnung und Conftruction einiger Träger von gleichem Widerftande. Freiberg 1869.

Lippich , F. Theorie des continuirlichen Trägers conftanten Querfchnittes. Elementare Darftellung der von Clapeyron und Mohr begründeten analytifchen und graphifchen Methoden und ihres Zu-fammenhanges. Wien 1871.

Ritter, W. Die elaftifche Linie und ihre Anwendung auf den continuirlichen Balken etc. Zürich 1871. — 2. Aufl. 1883.

Keck, W. Ueber die Ermittlung der Spannungen in Fachwerksträgern, mit Hilfe der graphifchen Statik. Hannover 1872.

Weyrauch, J.    Allgemeine Theorie und Berechnung der continuirlichen und einfachen Träger.

Leipzig 1873.

Tetmajer, L.    Die äufsern und innern Kräfte an ftatifch beftimmten Brücken- und Dachftuhl-

PlNZGER, L.

Conftructionen. Zürich 1875.

Neue Methode zur Berechnung von Trägern mit unfymmetrifchen Querfchnittsformen.

München 1879.

Clerc, A. Mémoire fur une nouvelle théorie de la réfefiance des poutres. Paris 1880.

Zimmermann, H. Trägheitsmomente, Widerftandsmomente und Gewichte genieteter Blechträger. Berlin 1881.    3. Aufl. 1893.

Canovetti. Théories des poutres continues etc. Paris 1882.

Hulewicz. Calcul de réfiflance des poutres droites à plufteurs travées. Paris 1882.

MÜLLER-Breslau, H. F. B. Die wichtigften Refultate für die Berechnung eiferner Träger und Stützen etc. Berlin 1883.

Stoney, B. B. The theory of firejfes in girders and fimilar ftructures. London 1886.

Weyrauch, J. J. Theorie der ftatifch beflimmten Träger für Brücken und Dächer. Leipzig 1887. Weyrauch, J. J. Beifpiele und Aufgaben zur Berechnung der ftatifch beftimmten Träger für Brücken und Dächer. Leipzig 1888.

Allievi, L. Inneres Gleichgewicht der Pfeiler aus Metallconftruction nach den Gefetzen der elaftifchen Deformation. Aus dein Ital. von R. Totz. Wien 1888.

Koenen, M. Tabellen der Spannweiten für Träger und Balken etc. Leipzig 1888.

Möller, M. & R. Lühmann. Ueber die Widerftandsfähigkeit auf Druck beanfpruchter eiferner Bau-conftructionstheile bei erhöhter Temperatur etc. Berlin 1888.

Koechlin, M. Applications de la ßatique graphique. Paris 1889.

MÜLLER-Breslau, F. B. Beiträge zur Theorie der ebenen elaftifchen Träger. Berlin 1890.

Ritter, W. Anwendungen der graphifchen Statik. Theil II: Das Fachwerk. Zürich 1890.

Froelich, H. Elementare Anleitung zur Anfertigung ftatifcher Berechnungen für die im Hochbau üblichen Conftructionen mit eifernen Trägern und Stützen etc. Berlin 1892.

Krüger, R. Graphifche Pläne zur Ermittelung der Höhen fchmiedeeiferner Träger und Holzbalken, der Durchmeffer gufseiferner Voll- und Hohlfäulen und der Stärke hölzerner Stützen. Bremen 1896. Domitrowich, A. Statifche Berechnung von Balkendecken, Säulen und Stützen im Holzbaufache. Wien 1897.

I. Theil, 2. Abtheilung:

DIE STATIK DER HOCHBAU-CONSTRUCTIONEN.

4. Abfchnitt.

Dachftühle.

203.

Dachbinder.

Der vorliegende Abfchnitt wird fich nur mit der Berechnung der Dachbinder befchäftigen. Die Dachbinder bilden den wefentlichften Theil der Dachftühle ; fie find die Hauptträger der Dach-Conftructionen und haben die übrigen Theile derfelben, wie Pfetten, Sparren etc., zu tragen. Sie werden in beftimmten Abftänden von einander an geordnet.

Was die Querfchnittsermittelung der Pfetten, der Sparren, des Windverbandes etc. betrifft, fo iff einerfeits in den beiden vorhergehenden Abfchnitten bereits das Erforderliche vorgeführt worden; andererfeits wird im III. Theile diefes »Handbuches« (Band 2, Heft 4, Abfchn. 2, E: Dachftuhl-Conftructionen) nochmals auf diefen Gegenftand zurückgekommen werden.

Bei den meiften Dach-Conftructionen ift jeder Binder unter dem Einfluffe der äufseren Kräfte für fich ftabil, fo lange die letzteren nur in der Ebene des Binders wirken; eine Ausnahme machen die Flechtwerkdächer, welche als räumliches Fachwerk erft durch die Pfetten und die in der Dachfläche angeordneten Diagonalen ftabil werden. Hierher gehören fowohl die Schwedler fchen Kuppeldächer und die ähnlich conftruirten Zeltdächer, als auch die von Foeppl vorgefchlagenen Tonnen-Flechtwerke. Die letzteren werden in Theil III, Band 2, Heft 4 (Abth. III, Abfchn. 2, E, Kap. 29, a, 7: Foeppl'iche Flechtwerkdächer) diefes »Handbuches« vom Verfaffer eingehend befprochen werden, und dafelbft ift auch die Berechnung derfelben vorgeführt ; defshalb wird an diefer Stelle nicht auf folche Conftructionen näher eingegangen werden.

Für die Gröfse der Beladungen, welche der Berechnung zu Grunde zu legen find, ift die Stellung der Binder zu einander von grofser Wichtigkeit. Die Binder find entweder einander im Grundrifs parallel oder fchliefsen von Null verfchiedene Winkel mit einander ein.

Nach der Art und Weife, wie die Dachbinder unterftützt find, laffen fich die Dächer unterfcheiden als:

1)    Balkendächer oder Dächer, deren Binder bei lothrechten Beladungen nur lothrechte Stützendrücke erleiden (Fig. 247);

2)    Sprengwerksdächer oder Dächer, deren Binder felbft bei nur lothrechten Beladungen fchiefe Stützendrücke erhalten (Fig. 248), und

2o6

Fig. 247.

Fig. 248.

3) Ausleger- oder Kragdächer oder Dächer, auf deren Binder an den Unterftiitzungsftellen ein Stützendruck und ein Moment wirkt (Fig. 249).

Im Vorliegenden follen nur diejenigen Dachbinder behandelt werden, deren Conftruction eine genaue Berechnung ohne Berückfichtigung der elaftifchen Formänderungen geftattet, alfo einmal nur folche mit nicht mehr als zwei Auflagern, fodann von diefen nur jene, welche ohne Rücklicht auf den Biegungswider-fland der Verbindungsftellen auch für einfeitige und fchiefe Belaftungen ftabil find. Nicht ftabil find ohne Rtickficht auf den erwähnten Biegungswiderftand die Dächer mit liegendem Dachfluhle und die fog. Hängewerksdächer mit zwei Hängefäulen, falls, wie gewöhnlich, Diagonalen Ÿ im Mittelfelde fehlen. Verzichtet man bei letzteren auf die Annahme verfchieden belafteter Dachflächen, fo kann die Berechnung genau fo durchgeführt werden, wie in Art. 200 (S. 202) für den Trapezträger gezeigt ift.

Solche Dachbinder kommen übrigens faft nur in Holz und in folchen Spannweiten vor, für welche eine vielhundertjährige Erfahrung die Querfchnittsabmeffungen feft geftellt hat. Aufsergew'öhnliche Spannweiten mit folchen Dachbindern zu tiber-fpannen, ifl nicht empfehlenswert^ Eine Berechnung ift wohl unter gewiffen Annahmen möglich; die Zuverläffigkeit derfelben hängt aber in hohem Mafse davon ab, wie weit die Annahmen zutrefifen. Da aber für grofse Dachweiten das Eifert als vorzügliches und durchaus zuverläffiges Material zur Verfügung fteht, follte man daffelbe für folche Dachweiten ftets wählen und genau berechenbare Conftructionen anordnen. Demnach ift kein Bedürfnifs vorhanden, die Berechnung der oben als nicht ftabil bezeichneten Dachbinder hier vorzuführen. Der Verfaffer wird übrigens in dem eben erwähnten Heft diefes »Handbuches« Vorfchläge machen, durch deren Befolgung auch die Holzbinder als ftabile Conftructionen hergeftellt werden können.

Fig. 249.

*k-

°>\

-Sn-

"4

ms

204.

Knotenpunkts-

belaftungen.

i. Kapitel.

Belaftungen und Auflagerdrücke,

a) Belaftungen.

Die Belaftungen, welche auf die Dächer wirken und aus dem Eigengewichte,, der Beladung durch Schneedruck und durch Winddruck beftehen, find in Art. 25, 28, 29 u. 30 (S. 19 bis 23) angegeben und ausführlich befprochen. Indem auf das dort Vorgeführte verwiefen wird, möge bemerkt werden, dafs die zufällige Belattung durch Arbeiter bei Berechnung der Binder und Pfetten aufser Acht gelaffen werden

kann ; dagegen ift diefe Belaßung bei den fchwachen Nebentheilen des Daches (z. B. den Sproßen der Glasdächer etc.) unter Umßänden ausfchlaggebend.

In Abfchn. i, Kap. 2 find die Belattungen, bezogen auf das Quadr.-Meter fchräger Dachfläche, bezw. die wagrechte Projection der Dachfläche angegeben; aus diefen erhält man nun leicht die auf das laufende Meter der Dachbinder wirkenden Laften. Wird die Entfernung der parallel zu einander angeordneten Dachbinder gleich b gefetzt, fo ergeben fleh das Eigengewicht und die Schneelaft für das laufende Meter Stützweite der Binder, wenn noch q' das Eigengewicht für 1 qm Grundfläche einfchl. Bindergewicht bezeichnet, zu

g — b q' und s = 7hb, .

ferner der Winddruck für das laufende Meter fchräger Dachlinie zu

n — bv.......

Sind die Dachbinder einander nicht parallel, fo ift die Belattung für das

laufende Meter Binder veränderlich, ent-fprechend der Gröfse der Dachfläche, die auf die einzelnen Bindertheile kommt.

Die auf die einzelnen Knotenpunkte entfallenden Laften werden erhalten, indem man die Belattung für das laufende Meter Stützweite, bezw. fchräger Dachlinie mit derjenigen Länge multiplicirt, welche auf einen Knotenpunkt entfällt. Für den Knotenpunkt E (Fig. 250) wird demnach

G=abq', S=75ab und N =

Fig. 250.

288.

289.

Ar

kr

.    .    290.

cos a

Man könnte die Werthe für G, S und N auch nach der Theorie der continuirlichen Träger be-ftimmen, indem man AE C als continuirlichen Träger auf drei Stützen auffafft ; doch empfiehlt fich das angegebene einfachere Verfahren mehr, da die Annahmen, welche der Berechnung der continuirlichen Träger zu Grunde gelegt werden, hier doch nicht genau erfüllt find und die verwickeltere Rechnung keine entfprechend genaueren Werthe giebt.

Sämmtliche Laften werden in den Knotenpunkten der Binder wirkend an-Die Eigengewichte wirken zum allergröfsten Theile in den Knoten-

genommen.

punkten derjenigen Gurtung, die in den Dachflächen liegt; nur ein ganz geringer

205.

Belaftungs-

annahmea.

Bruchtheil wirkt in den Knotenpunkten der anderen Gurtung. Meißens kann man annehmen, dafs die Eigenlaßen ganz in den erßeren Knotenpunkten angreifen.

Die Windbelaßung kann nur einfeitig wirken ; denn da die Windrichtung nach der üblichen Annahme einen Winkel ß = 10 Grad mit der wagrechten Ebene ein-fchliefst, fo kann der Wind beide Dachflächen nur dann treffen, wenn diefe einen kleineren Winkel mit der Wagrechten bilden, als 10 Grad. Für derartig flache Dächer iß aber der Winddruck fo gering, dafs er ungefährlich iß. Der Winddruck iß alfo ßets einfeitig zu rechnen.

Der Schnee endlich kann das ganze Dach oder einen Theil deffelben belaßen Wenn nun auch für manche Stäbe unter Umßänden eine Sclmeebelaßung über einen beßimmten Bruchtheil des Daches die ungtinßigße Beanfpruchung ergeben follte, fo werden wir doch diefe der Berechnung nicht zu Grunde legen, weil diefelbe nur in den allerfeltenßen Fällen einmal Vorkommen kann; vielmehr werden wir nur volle Belaßung des Daches und Belaßung der einen Dachhälfte durch Schnee in das Auge

208

fallen. Wir werden fpäter zeigen, dafs die zweite Belaftungsart zu Ergebniffen führt, aus denen die Spannungen für volle Schneebelaftung ohne Schwierigkeit abgelefen werden können.

b) Auflagerdrücke bei Balkendächern.

Die durch lothrechte Belaftungen (Eigengewicht und Schneedruck) erzeugten

206.

Lothrechte

Bedungen. Stützendrücke find, da die Dachbinder genau wie Träger auf zwei Stützen wirken, eben fo zu ermitteln, wie bei den »Trägern« (Kap. 2 des vorhergehenden Ab-fchnittes) gezeigt worden ift.

207.

Schiefe

Sind die Auflagerdrücke zu ermitteln, welche durch die fchiefen Winddruck-

Beiaftungen. belaftungen erzeugt werden, fo find zwei Fälle zu unterfcheiden : entweder find alle Winddrücke einander parallel, welcher Fall eintritt, wenn die vom Winde getroffene Dachfläche eine Ebene ift, oder die Winddrücke find nicht parallel, welcher Fall eintritt, wenn die vom Winde getroffene Dachfläche fich aus mehreren Ebenen zu-fammenfetzt.

Für beide halle ift zunächft klar, dafs der Dachbinder nicht einfach frei auf die Stützpunkte gelagert werden darf. Denn ift £ (N) die Mittelkraft aller Winddrücke (Fig. 251), fo hat E(iV) eine wagrechte Seitenkraft E (IV) sin a. Gleichgewicht ift alfo nur möglich, wenn Seitens des einen der beiden Auflager eine wag-

Fig. 251.

rechte Kraft H—'L(N) sin a auf den Binder wirkt; demnach mufs das Dach in A oder B unverfchieblich mit dem Auflager verbunden werden

um

eine wagrechte

A,

T-

ÜlVcOSL

-V

KNJ

j.

Kraft übertragen zu können.

Wollte man ein eifernes Dach in beiden Punkten A und B feft mit dem Auf

lager verbinden, fo würde daffelbe bei Aenderung der Temperatur nicht im Stande fein, fich auszudehnen, bezw. zufammenzuziehen ; demnach würden durch die Temperaturveränderungen wefentliche Spannungen im Dache entfliehen, bezw. die ftützenden Wände würden gelockert werden. Man conftruirt defshalb bei eifernen Dachftühlen das eine Auflager fo, dafs daffelbe eine freie Ausdehnung und Zu-fammenziehung geftattet; das andere ftellt eine fefte Verbindung zwifchen Träger und ftützender Wand her. Wir wollen in der Folge ftets ein feftes und ein bewegliches Auflager, und zwar das Auflager bei A als das bewegliche, dasjenige bei B als das fefte annehmen. Nehmen wir ferner an, dafs das Auflager bei A eine Bewegung ohne Reibung geftatte, fo kann der Stützendruck bei A nur loth-recht wirken. Diefe Annahme ift nicht genau richtig, aber für die Praxis ausreichend. Der Auflagerdruck bei B dagegen kann beliebige Richtung annehmen. Es ift übrigens leicht, den Einflufs des gröfstmöglichen Reibungswiderftandes auf die Stabfpannungen zu ermitteln, indem man denfelben als äufsere auf den Binder wirkende Kraft einführt. In dem mehrfach erwähnten Heft diefes »Handbuches« wird die betreffende Unterfuchung durchgeführt werden.

Es ergeben fich verfchiedene Auflagerdrücke, je nachdem die Windbelaftung auf derjenigen Dachfeite ftattfindet, an welcher das bewegliche Auflager A ift, oder auf derjenigen, an welcher das fefte Auflager B liegt.

208.

Parallele

Winddrücke.

1) Die Winddrücke find parallel, a) Diejenige Dachhälfte ift be-laftet, an welcher das bewegliche Auflager liegt (Fig. 251). Die Mittel-

2O9

kraft X (N) fämmtlicher Winddrücke greife in der Mitte von A C, etwa in E, an und fei gleich der Summe aller Einzeldrücke. X (N) zerlegt fich im Punkte E in eine wagrechte und eine lothrechte Seitenkraft X (N) sin a und X (zV) cos a; in A wirkt der lothrechte Stützendruck Z?₀, in B der fchiefe Auflagerdruck R, welcher gleichfalls in eine wagrechte Seitenkraft H und in eine lothrechte Seitenkraft Dx zerlegt wird. Die drei Unbekannten D₀, Dx und H erhält man durch die drei Gleichgewichtsbedingungen. Es ift

0 = X (N) sin a — H,

D₀ L-1- X (N) sin a|-X (N) cos a |

X (AI) cos a

woraus

H = X (N) sin a ; .

L — 0, woraus, da tg a =

EC •

.    .    291.

(3 — tg² a) ;

292.

D₁L-Z (N) sin a

EC:

-X (A)

Z,

X (A0

woraus Z^ =

Auf graphifchem Wege gefchieht die Ermittelung der Auflagerdrücke in der

durch Fig. 252 veranfchaulichten Weife.

Die drei auf das Dach wirkenden Kräfte D₀, R und E (A⁷") halten daffelbe im Gleichgewicht, fchneiden fich alfo in einem Punkte ; die Kraft R geht fonach durch den Schnittpunkt F der Kräfte und E (Ar). R geht auch durch B ; alfo ift BF die Richtung der Kraft R Aus dem Kräftedreieck für diefe Kräfte ergiebt fich, wenn a. ß = E (A⁷) ift, R = ß y und D₀ = y a.

ß) Diejeilige Dachhälfte ift belaftet, ß an welcher das fefte Auflager liegt ⁷ (Fig. 253). Die Mittelkraft X (ZV) greift in der Mitte der rechtsfeitigen Dachfläche, in E\ an und zerlegt fich in eine lothrechte und eine wagrechte Seitenkraft. Wir erhalten durch Aufftellung der Gleichgewichtsbedingungen :

0 = /-/' — X (A^) sin a, woraus H‘ = X (N) sin a ;

0 == D\ L - X (N) sin a 4

ą u

cos a ——

4 cos a

293-

Fig. 252.

Do

J(N)

D₀,

.    .    294.

— X (N) cos a — , woraus D\ — 0 = D\ L -f- X (N) sin a 4--^ (A/) cos a

S(AQ ■

4 cos a

295.

woraus

D\ =

X (iV) cos a

Fig- 253.

ZtNJsin a

(X

'/Er//.

KN) Mosa /'

II’

Do

vC

KM A

(8-tg*#)......

Man fleht, es ill Z>₀ = ZX^ Z⁾₁ = Z)'0 und H = H'\ nur ift bei H' der Sinn demjenigen von H entgegengefetzt.

Durch Conftruction laflen fich die Auflagerdrücke im vorliegenden Falle, wie in Fig. 253 gezeigt, ermitteln.

f Die drei Kräfte Z1'₀, E (TV) und die Mittelkraft R‘j von FI' und find im Gleichgewichte, fchneiden fich daher in einem Punkte, und zwar in demjenigen Punkte, in welchem die Richtungen von D'q und S (A⁷) fich fchneiden, alfo in F. Die Verbindungslinie der beiden Punkte B und A ergiebt demnach die Richtung der Kraft R\ Ift E (A⁷) = e £, fo wird £ -rj = R'\ und tj = = D\.

296.

Handbuch der Architektur. I. x, b. (3 Aufl.)

14

2 10

209.

Nicht

parallele

Winddrücke.

2) Die Winddrücke haben nicht parallele Richtungen, a) Diejenige Dachhälfte ift belaftet, an welcher das bewegliche Auflager liegt. Bei gebrochener Dachfläche werden die Winddrücke, welche auf die einzelnen Flächen wirken, nach den Angaben in Art. 30 (S. 23) ermittelt. Bei einer cylindri-fchen Dachfläche genügt es, einzelne Dachtheile zufammenzufaffen und für jeden diefer Theile den Winddruck unter Zugrundelegung eines mittleren Neigungswinkels a zu beftimmen. Man erhält etwa Nx für die Strecke A b (Fig. 254), N₂ für bc etc. Die Zerlegung jeden Winddruckes in eine wagrechte und eine lothrechte Seitenkraft und die Aufhellung der Gleichgewichtsbedingungen ergeben die Unbekannten V9₀, Dx und H. Es wird

H - X (N sin a), £₀ = ~ S (Ni cos a) - -j- S (Ny sin a),

Fig- 254-

(i

2    N₂cos<x₂

* /in\ -y\:L«₃k

II

,ß

J Neos Xj *------

.    .    297.

Nl — — E [N (L — i) cos a] -)—— E (Ny sin a).

Die graphifche Ermittelung der Auflagerdrücke zeigt Fig. 255.

Die einzelnen Winddrücke (A^, A«),

A^ . . .) werden mittels eines Kraftpolygons zu einer Mittelkraft vereinigt; hierauf wird für einen beliebigen Pol 0 das Seil polygon OIII III IV conftruirt. Alsdann geht die Mittelkraft durch den Schnittpunkt a der äufserften Seilpolygonfeiten und ift parallel zu as. Jetzt erfetzt E (AI) alle Winddrücke, und es wirken nur noch die drei Kräfte Z?₀,

S (A’) und R, fo dafs die graphifche Ermittelung von Z>₀ und R in der foeben gezeigten Weife erfolgen kann. Es ergiebt fich s i = R und i a — D₀.

Wenn die Dachfläche aus einzelnen ebenen Dach- und Laternenflächen fleh zu-fammenfetzt, fo ift das Verfahren genau fo, wie eben angegeben.

ß) Diejenige Dachhälfte ift belaftet, an welcher das fefte Auflager liegt (Fig. 256). Die Berechnung ergiebt

Fig- ²55-

!Do

/ ,-r

DoK

/A

IN)

tr

:= E (N sin a), D\ = E (Nif cos a)--E (Ny sin a),

Xv    jL/

.    .    298.

D\ — — Yi[N (L — iJ) cos a] -f- -j- E (Ny sin a).

Die Conftruction von D\ und R\ ift in Fig. 257 angegeben.

Die Ermittelung der Werthe für Nv N₂, N.d kann bequem graphifch vorgenommen werden. Nach Art. 30 (S. 23) ift der Winddruck v = 120 sin (a -f- 10°) für 1 qm. Diefes v ift nach Fig. 258 leicht für irgend einen Winkel oc zu conftruiren.

21 I

Fig. 256.

Fig- 257.

L—:

■-"-X ^

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.Æf ₌

f;

5j

X»;

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Do

------qrA

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X.'

vi

N^cos a’.₂

k&t

'AB

,x

JVjCOStX,

rr**

Æ"

KM

Man mache in der Dachfläche nach beliebigem Mafsftabe ab — 120lege durch b eine Linie parallel zur Windrichtung und fälle auf diefelbe von a aus die Senkrechte ac\ alsdann ift

b sin (a -)- 10°) .

Da ab = 120kg ift, fo ift ac = 120 sin (a-j- 10°) = v, d. h. der gefuchte Winddruck. Trägt man a c fenkrecht zur Dachfläche ab, fo erhält man die in Fig. 258 fchraffirte Belaftungsfläche für Winddruck.

:-Lb£>-

Fig. 258.

Fig. 259.

Fig. 260.

/Sw?

>b

Q?

a'

a\ .

Bildet die Dachfläche eine Cylinderfläche, fo wähle man eine genügend grofse Anzahl von Punkten aus, für welche man die gezeigte Conftruction vornimmt. Man erhält die in Fig. 259 gezeichnete Belaftungsfläche und kann daraus leicht die Gröfse des Winddruckes ermitteln, welcher auf die einzelnen Knotenpunkte der Conftruction entfällt.

Bequemer macht man die Conftruction der Winddrücke in einer befonderen Zeichnung (Fig. 260") und erhält a c, bezw. a' c', a" c" . . .

c) Auflagerdrücke bei Sprengwerksdächern.

210.

Allgemeines.

Von den Sprengwerksdächern follen hier nur diejenigen behandelt werden, deren Binder mit drei Gelenken conftruirt find (Fig. 261). Zwei Gelenke befinden fich an den Auflagerpunkten A und B, ein drittes C gewöhnlich in der Bindermitte. Betrachtet man zunächft den Träger felbft als gewichtslos, fo ergiebt fich allgemein: Jede Beladung der einen Hälfte, etwa CB, erzeugt im Auflagerpunkt der nicht belafteten Hälfte eine Kraft, deren Richtung durch den betreffenden Auflagerpunkt, hier A, und das Mittelgelenk C beftimmt ift.

Eine Laft P auf der Hälfte B C erzeugt alfo in A einen Stützendruck R mit der Richtung A C, und da auf das Syftem nur drei Kräfte, nämlich die Laft P und die Drücke der Auflager A und B, wirken, fo müffen fich diefelben in einem

Fig. 262.

Fig. 263.

211.

Punkte fchneiden. Daraus folgt, dafs der Stützendruck R' von B aus durch den Schnittpunkt E der Richtungen A C und P geht.

Der Beweis ergiebt fich folgendermafsen. Auf die rechte Hälfte B C wirken P, B und R\ auf die linke Hälfte eine Kraft in A, eine zweite in C. Beide find vor der Hand unbekannt; doch wiffen wir, dafs nach dem Gefetze von Wirkung und Gegenwirkung die in C vom Theile rechts auf den Theil links übertragene Kraft genau fo grofs ift, wie die Kraft, welche in C vom linken Theile auf den rechten Theil ausgeübt wird, d. h. wie R\ nur ift der Sinn beider entgegengefetzt. Die beiden auf die unbelaftete linke Hälfte wirkenden Kräfte hal-

R’'

It

wm

IR

R\

vA

SB

ten diefen Theil im Gleichgewicht ; dies ift aber nur möglich, wenn beide in diefelbe Richtung fallen, d. h. in diejenige, welche durch die beiden Angriffspunkte A und G gegeben ift, entgegengefetzten Sinn und gleiche Gröfse haben; der Stützendruck von A geht alfo durch C.

Zunächft kommen die lothrechten Belaftungen (Eigengewicht und Schnee-

Lothrechte

Belaftungen. druck) in Frage. Die Auflagerdrücke in A und B (Fig. 262) haben je eine wag

rechte und eine lothrechte Seitenkraft. Wir bezeichnen diefelben mit H und V, Hx und Vv Sind diefe 4 Werthe bekannt, fo ift alles auf die äufseren Kräfte fich Beziehende bekannt. Wir betrachten zuerft das Gleichgewicht der rechten Hälfte

if

V""

if-----V

Yi

J5

|§

//

A.

<---X-----

S'

cc

L= 2C

(Fig. 263). In C wirkt auf diefelbe eine Kraft, deren Seitenkräfte H₂ und V₂ ^ein mögen. Alsdann ift die Summe der ftatifchen Momente für B als Drehpunkt gleich Null, mithin

&,f+Vac-Z(Pi) = 0.

Betrachtet man nun die linke Hälfte (Fig. 263), fo wirkt auf diefe in C eine genau fo grofse Kraft, wie in C auf die rechte Hälfte wirkt; nur ift der Sinn entgegengefetzt. Demnach werden die Seitenkräfte derfelben wiederum H₂ und Vv aber mit entgegengefetztem Sinne fein. Die Summe der ftatifchen Momente für A als Drehpunkt ift gleich Null; mithin, wenn ftets die Summen, welche fich auf die linke Hälfte beziehen, mit dem Zeiger 1 bezeichnet werden,

HJ- V₂c-Z(Pri) = 0.

Damit find für H₂ und V₂ die beiden Gleichungen gefunden:

H₂f + V₂c = 2 (Pi) und H₂f—V₂c = Z(Pn).

Aus diefen beiden Gleichungen erhält man

H,=

2/

und V₂ =

•    .    299.

Die Anwendung der übrigen Gleichgewichtsbedingungen auf die beiden Hälften ergiebt nun leicht

2/

H=Hi = H₁ =

.    .    300.

£ (Pi) + I (Pi)

Die lothrechten Seitenkräfte der Lagerdrücke find demnach genau fo grofs,

SS

wie bei gleicher Beladung an einem Balkenträger von der Spannweite Z. Jetzt find auch die Kräfte R und R

gefunden. Es werden R = \/H² -|- F² und tg a =

fo wie ihre Winkel a und a.₁ mit der Wagrechten

; R₁ — 1V H* + Fx² und tg ax

301.

Beifpiel. 1) Die beiden Dachhälften feien gleich belaftet, je mit g auf die Längeneinheit der wagrechten Projection (Fig. 264). Dann ift

2 (P) = S (P) =gc-, S (/>£) = S (/>•*)) - -^1 ;

2/

F₂ = 0 ; V —    Z (P) = gc; Vx = S (/>) —    = gc .    .    .    302.

Fig. 264.

Fig. 265.

V.

nF

gc

x-f-

Fr

.i

pc

2) Die eine (rechte) Hälfte fei mit p für die Längeneinheit der wagrechten Projection belaftet, die andere flinke) Hälfte fei unbelaftet (Fig. 265). Alsdann ift

I [P) — pc\ S (/>)'= 0; S(/>Ç)

i

p c²

= H=H, =    =

Pc² .

S fP-r]) = 0;

pc²    c    pc

2727 = 1T' k = —

Hier ift nach Gleichung 301 : tg gc =

pc ■ 4/

4/ c²

, k, = M£

4    ¹    4

—, d. h. die Richtung von A geht durch A

• • 303.

und C (fiehe oben).

Die graphifche Ermittelung der in Rede flehenden Auflagerdrücke ift in Fig. 266 dargeftellt.

Es empfiehlt fich, für beliebige Belaftung zuerft nur die eine Hälfte belaftet anzunehmen und für diefe Belaftung die Auflagerdrücke zu ermitteln, darauf die Auflagerkräfte für die Belaftung nur der anderen Hälfte aufzufuchen. Die Zufammenfetzung der für die einzelnen Belaftungen gefundenen Kräfte ergiebt alsdann die wirklichen Auflagerdrücke.

212.

Schiefe

Belattungen.

Zunächfl fei nur die rechte Hälfte belaftet und die Mittelkraft diefer Laften gleich Pj ; alsdann haben Rx und die in Fig. 2 66 « gezeichneten ß) Richtungen, und die Gröfse beider ergiebt fich durch das Kraftpolygon zu ß Y — R\ und Xa — R%'

In gleicher Weife erhält man für Beladung der lin-ken Hälfte mit/jp s £ = Rs und £ 3 = Z4.

Wenn nun beide Hälften mit Px , bezw. P% beladet find, fo wirken in A: Rx und A3, in B: R,^ und Rą. Die Gröfse und Richtung der gefammten Auflagerdrücke R und R‘ erhält man durch Con-

cc

AS

"'/yA

R,

JR3

P,

!§

b%I

druction der Kraftpolygone

aus den bezüglichen Kräften. Id x "fj = ^3» fo wird ß 7] = R ; id II x 4 8 = R\ , fo wird = R‘.

Als Contrôle diene, dafs die wagrechten Projectionen von R und R‘ gleich fein müden, da ja H im ganzen Sprengwerlcsträger confiant id.

Uebergehen wir nunmehr zu den vorn Winddruck (durch fchiefe Beladung) erzeugten Stützendrücken, fo fei ü (A) die Mittelkraft aller Winddrücke (Fig. 267). Wir zerlegen diefe Kraft in ü (A) cos a und ü (A) sin a und erhalten, wie im vorhergehenden Artikel, die Gleichgewichtsbedingungen :

H^f -j- V₂c = il (A) y sin a-f I (A) £ cos a und H^f — V₂c = 0, woraus

cos a

il (A)j sin a -j- E (A) £

cos a

2/

und V₂ =

S(A)jsin«-f-S(A)€

2c

304-

Ferner ift

Hx=zH,g - S (A) sin a =

il (A) j sin a -j- E (A) 6 cos a

2/

-Masina,

E (A)j sin a -J- E (A) £ cos a

•    305-

2/

== il (A) cos a — F₂ = ü (A) cos a -il (A) jk sin a-f- S (A) £

X ( A) j sin a -f- il (A) £ cos a

V = V — —

Wenn die fchiefen Beladungen einander nicht parallel find, fo bleibt das Verfahren das gleiche; nur find datt il (A) y sin a und ü (A) £ cos a bezw. il (Aj sin a) und ü (N£ cos a) in die Rechnung einzuführen.

Für die graphifche Er-

cos a

.    306.

4R

Fig. 267.

cc

R \w)

v r/Gv

//    ,    2 (IX/cos a

A

C---'-- --A

<—zf

ii'

mittelung der fraglichen Auflagerdrücke ift die in Fig. 267 angegebene Conftruction ohne Weiteres verftändlich, und es ergiebt fich ß'f = Rv y a = R.

Bei nicht parallelen Winddrücken ift für die graphifche Behandlung zunächft die Mittelkraft derfelben nach Gröfse, Richtung und Lage in bekannter Weife auf-zufuchen und alsdann zu verfahren, wie in Fig. 267 dargeftellt ift.

2. Kapitel.

Balkendächer.

Indem wir nunmehr zur Ermittelung der Spannungen in den wichtigften Dachftuhl-Conftructionen übergehen, werden wir bei den diesfälligen Unterfuchungen fiir jede Gattung von Dachbindern die ver-fchiedenen Belaftungsfälle gefondert betrachten. Wir beftimmen demnach die Spannungen, welche erzeugt werden: i) durch das Eigengewicht, 2) durch einfeitige, bezw. volle Schneebelaftung, 3) durch Wind-belaftung, fowohl von der Seite, an der das bewegliche, wie von der Seite, an welcher das fette Auflager liegt. Indem dann diefe Spannungen in einer Tabelle zufammengeftellt werden, ift es leicht, für jeden Stab die ungünftigfte Belaftungsart und die ungünftigften Spannungen zu beftimmen, ferner für die Quer-fchnittsbeftimmung (fiehe Art. 84 u. 85, S. 60 bis 63) die Werthe PQ, P\ und P2 zu ermitteln. Da die Dachbinder meift Gitterträger find, fo werden die im Kapitel »Träger« gezeigten Verfahren für die Spannungsermittelung hier genau, wie dort, Anwendung finden. Auch hier machen wir die Annahmen: 1) dafs die Stäbe in den Knotenpunkten durch Gelenke mit einander verbunden find, 2) dafs die Latten nur in den Knotenpunkten der Conftruction wirken. Die berechneten Spannungen werden delto mehr mit den wirklichen übereinttimmen, je mehr die Conftruction diefen Annahmen entfpricht. Die zweite Annahme (Belattung nur in den Knotenpunkten) ift häufig nicht erfüllt ; in diefem Falle kann man dennoch die in den folgenden Artikeln zu zeigenden Methoden anwenden, indem man annimmt, dafs die zwifchen je zwei Knotenpunkten befindlichen Latten durch befondere Träger auf die Knotenpunkte übertragen werden. Die Berechnung diefer Träger hat, wie im Kapitel »Träger« gezeigt ift, zu erfolgen. Die Belattung, welche im Hauptfyftem auf die Knotenpunkte übertragen wird, ift dann der Gröfse und Richtung nach gleich den auf die Zwifchenträger wirkenden Auflagerdrücken. Der Sinn ift entgegengefetzt. In

Fig. 268 z. B. find zwifchen je zwei Knotenpunkten des Hauptfyftemes Pfetten, demnach Laftpunkte. Das Stück C E kann wie ein befonderer, in C und E frei aufliegender Träger aufgefafft und berechnet werden ; eben fo verhält es fich mit dem Stück A E. Im Punkte . E des Hauptfyftemes wirken dann der linke Auflagerdruck des Balkens CE und der rechte Auflagerdruck des Balkens AE nach unten, aufserdem noch die Belattung der Pfette in E. Demnach find die Spannungen im Hauptfyftem auch hier zunächft genau fo zu berechnen, als wenn die Gefainmtlaften nur in den Hauptknotenpunkten A, C, E, E und B angriffen; zu diefen Spannungen im Hauptfyftem kommen alsdann noch die in den kleinen Trägern A E, E C etc. ftattfindenden Spannungen hinzu. Die Spannungen derjenigen Stäbe der kleinen Träger, welche mit den Linien A E, E C etc. zufammenfallen, addiren fich einfach Die ertte Annahme (Anordnung von

bindern niemals, allein auch bei den eilernen Dachftühlen häufig nicht erfüllt; doch braucht bei den wohnlichen Dächern auf die hierdurch bedingten Unterfchiede der wirklich auftretenden Spannungen gegenüber den berechneten keine Rückficht genommen zu werden.

Das einfachfte Dach entfteht dadurch, dafs fich zwei Sparren A C und B C gegen einander lehnen (Fig. 269). Jede Belaftung deffelben, etwa des Sparrens B C,

213.

Allgemeines.

Fig. 268.

Mu

zu den Spannungen in diefen Stäben. Gelenken in den Knotenpunkten) ift bei den hölzernen Dach-

ge-

214.

Princip der Balkendächer.

21Ó

durch eine Laft P, erzeugt nach Art. 210 in A eine Kraft R, deren Richtung mit A C zufammen-fällt, in B eine Kraft R' in der Richtung BE. Die Auflagerkräfte R und R!' haben die wagrechten Seitenkräfte H und Hl, und da aufserdem hier

Fig. 269.

keine wagrechten Kräfte auf das Syftem wirken, fo ift H= H

VK

i*

Diefe Kräfte H werden von den

W/

2IS-

Eintheilung.

Seitenmauern des Gebäudes oder von den fonftigen

ftützenden Conftructionen geleiftet; umgekehrt wirken Seitens des Daches die Kräfte H auf die Seitenmauern des Gebäudes oder auf die fonftigen Stützen nach aufsen.

Die Standficherheit der das Dach tragenden Wände, Stützen etc. macht es in den meiften Fällen wünfchenswerth, dafs diefe wagrechten Kräfte nicht auf diefelben übertragen werden ; man verbindet defshalb die beiden Punkte A und B durch einen Stab oder eine Anzahl von Stangen, welche die Kräfte H und Hl nach einem Punkte übertragen, in welchem fie alsdann einander aufheben. Dadurch erhält man, wenigftens für lothrechte Belaftungen des Daches, nur lothrechte Auflagerdrücke und lothrechten Druck auf die Wände, Stützen etc. Im einfachften P'alle befteht die Stangenverbindung aus einem einfachen Holzbalken oder einer einfachen eifernen Zugftange A B \ ftatt deffen werden auch zwei Stangen A E und EB (Fig. 270) angeordnet, die fowohl nach oben, wie nach unten von der wagrechten Linie abweichen können. Alsdann ift im Eckpunkte E eine weitere lothrechte Stange anzuordnen. Auch eine mehrfach gebrochene Stangenverbindung kann zur Verbindung der Punkte A und B gewählt werden. Balkendach werden demnach ftets die wagrechten Seitenkräfte der Auflagerdrücke, welche durch die lothrechten Belaftungen entftehen, mittels der Stangenverbindung aufgehoben.

Je nach der Anordnung der eben erwähnten Stangenverbindung, bezw. je nach der Form der oberen und der unteren Gurtung, fo wie der Anordnung der zwifchen beiden gelegenen Stäbe kann man folgende Hauptgattungen von Dachftühlen unter-fcheiden³⁴):

Fig. 270.

A,

Beim

a)    Einfaches Dreieckdach (Fig. 270). Daffelbe befteht aus zwei fich im Firft ftützenden Sparren und einer die wagrechten Kräfte aufhebenden Verbindung von zwei Stangen, welche fich in der Lothrechten des Firftes fchneiden. Diefe beiden Stangen find wagrecht oder nach oben, bezw. nach unten geneigt. Zur Verbindung des Firftpunktes mit dem Schnittpunkte der Stangen, welche den wagrechten Schub aufnehmen, ift eine lothrechte Stange CE angeordnet.

b)    Deutfcher Dachftuhl (Fig. 271). Die obere Gurtung hat jederfeits einen Knotenpunkt, welcher durch einen Stab mit E verbunden ift.

Fig. 271.

Fig. 272.

A////

c)    Englifcher Dachftuhl (Fig. 272). Die obere Gurtung hat jederfeits eine Anzahl von Knotenpunkten; die obere Gurtung und die den wagrechten Schub aufhebende Stangenverbindung (die untere Gurtung) find durch Gittervverk mit einander verbunden. Das Gittervverk befteht aus einer Schar Pfoften und einer Schar Diagonalen oder aus zwei Scharen von Diagonalen, von denen die eine vorteilhaft fenkrecht zur Dachneigung fteht.

d)    Franzöfifcher oder belgifcher Dachftuhl, Polonceau-Dachftuhl oder Wiegmann-Dac hftuh 1 (Fig. 273 bis 276). Er entfteht aus dem einfachen Dreieckdach, wenn in Fig. 269 die einfachen Sparren durch Dreieckträger erfetzt werden.

Fig. 274.

Fig. 273.

Fig. 275.

Fig. 276.

Die Form der letzteren richtet fich nach der Anzahl von Stützpunkten (Knotenpunkten), welche jederfeits nöthig werden. Der wagrechte Schub wird durch eine Stange EF aufgehoben, welche die unteren Eckpunkte der beiden Dreieckträger verbindet. In Fig. 273 bis 276 find Polonceau-Dachftühle für 1, 2, 3 und 4 Laft-punkte an jeder Seite des Firftes. dargeftellt.

Man unterfcheidet :

1)    den einfachen Polonceau-Dachftuhl; bei demfelben hat der Dreieckträger jederfeits nur einen Knotenpunkt in der unteren Gurtung (Fig. 273 u. 275);

2)    den zufammengefetzten Polonceau-Dachftuhl; bei diefem find in den Hauptträger noch weitere Stäbe eingefchaltet, fo dafs der Dreieckträger in der unteren Gurtung jederfeits mehrere Knotenpunkte hat (Fig. 274 u. 276).

Die Anzahl der Laftpunkte beftimmt fich nach der Tragweite, welche man den Sparren geben kann. Letztere heifse e\ fomit ift die wagrechte Projection derfelben e cos a = ö, die Gefammtftützweite des Daches L. Alsdann ergiebt fich die Anzahl

— 1 =--1 ; e ift nach der Stärke der Sparren

verfchieden ; n mufs eine ganze gerade Zahl fein.

e) Sicheldach (Fig. 277). Die obere und die untere Gurtung find nach einer krummen Linie oder nach einem der krummen Linie

e cos a

der Laftpunkte zu n ==

Fig. 277.

's/vy/'

2l8

eingefchriebenen Vieleck gebildet ; das Gitterwerk ift verfchieden. Man kann hierher auch die Träger mit gekrümmter oberer und geradliniger unterer Gurtung rechnen.

Bei den vorftehend angeführten Dächern ift ftets angenommen, dafs die beiden Gurtungen fich über dem Auflager fchneiden; die Formen find aber auch möglich, ohne dafs die Schnittpunkte der Gurtungen in den Auflager-Lothrechten liegen.

Fig. 278.

Fig. 279.

V//.

Fig. 281.

Fig. 280.

Alsdann find allerdings unter Umftänden noch Diagonalen anzuordnen, damit man unverfchiebliche, aus Dreiecken zufammengefetzte Figuren erhalte. Es ergeben fich die in Fig. 278 bis 281 gezeichneten Dachformen.

a) Englifche Dachftühle.

2l6’    Die Belaftungsgefetze und Spannungsermittelungen follen für einen Dachftuhl

Berechnung

der Spannungen mit Pfoften und nach der Mitte zu fallenden Diagonalen gezeigt werden; für andere durch lothrechte Anordnungen des Gitterwerkes ergeben fich aus dem Nachftehenden die Aenderungen

Beladung.    ....

ohne Schwierigkeit.

1) Berechnung der Spannungen, a) Belaftung durch das Eigengewicht, bezw. volle Schneebelaftung (Fig. 282). Die Belaftung für den Knotenpunkt fei P, die Stützweite A, die Entfernung der Knotenpunkte, wagrecht

Fig. 282.

_ - p

,'''P

P,

»TN"

rm

yPm\

—i-y.

VA-

*---'F

ma

■i

gemeffen, a. Der Dachftuhl habe 2n Felder; mithin ift L — ^na. Die Winkel der oberen, bezw. unteren Gurtung mit der wagrechten Linie feien a und ß. Die Auf-

lagerdrücke find A>₀ = D

(2 n - 1) P

alfo

Für die m-te Stange EF der oberen Gurtung ift H der Momentenpunkt,

woraus

W fl

0 = xm rm + D₀ma — (m — 1) P —— , (2 n - 1)

217.

Spannungen in den Gurtungen.

Pma -f- (m —Y)P -

U    Li

Nun ift rtn— AH sin (a — ß) und AH —

ni a

; fonach

rm — ma

sin (a — ß)

und

cos ß

cos ß

= m a cos a (tg a — tg ß)

Xm = -

P (211 — 111)

307-

2 cos a (tg a — tg ß)

Oft ift es unbequem, mit den Winkelwerthen zu rechnen ; dann giebt man

2 hx

der Formel folgende Geftalt. Es ift tg a =

k — kl — e und

cos a =

2\

\ durch Einfetzung diefer Werthe wird

P\ (211 — in)

Xm =

2e

308.

mithin

Für die in-te Stange GH der unteren Gurtung ift E der Momentenpunkt,

0 — (in — 1) a — P (m — 2)

(in — 1) a

— Z1tt z

woraus

(211 - 1)

P (111 — 1) a — P (in — 2) (in — 1) —-

Zm =

Nun ift zm — AE sin (a — ß) und AE =

(111 — 1) a

cos a

, demnach

P (211 — in -f- 1)

2 cos ß (tg a — tg ß)

309-

Da cos ß = fo wird auch

2\

ift und tg a, fo wie tg ß die oben angegebenen Werthe haben,

Zm =

P\ (2 n — m -f 1)

2e

310.

Die Gleichungen 309 u. 310 gelten nicht für die erfte Stange der unteren Gurtung am Auflager; denn die Formel ift unter der Annahme entwickelt, dafs als Drehpunkt für die Gleichung der ftatifchen Momente derjenige Punkt der oberen Gurtung gewählt wird, welcher in die {in — l)-te Verticale fällt; dies würde für m = 1 der Punkt A fein, und für diefen Fall wäre die Gleichung der ftatifchen Momente für A als Drehpunkt nicht verwendbar, weil alle Kräfte am Bruchftück dann durch A gehen, alfo das ftatifche Moment Null haben. Man erhält Zj durch Aufhellung der Gleichung der ftatifchen Momente für irgend einen beliebigen Punkt, etwa O (Fig. 283). Es wird, wenn der Hebelsarm von Zj in Bezug auf den Drehpunkt 0 gleich z2 ift,

z, = ^

Fig. 283.

P I r\ srX

' •' Ai

•W I

(2 n — 1) Pa

(2 « — 1) P\x

2 a cos ß (tg w. — tg ß)

Derfelbe Werth ergiebt fich für m = 2, d. h. für den zweiten Stab der unteren Gurtung.

2e

218.

Spannungen in den Diagonalen.

Für die m-te Diagonale EH, wie für alle Diagonalen der linken Dachhälfte ift A der Momentenpunkt, mithin

0 = Ymym + {m — 1)

Pma    Tr

—-—, woraus Ym = —

Pma {m — 1)

2 ym

m a sin y» cos ß

Durch einfache Umformungen erhält man

Da nun ym =

- ift, wird Ym =--— {m — 1)

cos ß

sin y,« '

P \Z~ 1 -)- [{nt — 1) tg a — m tg ß]²

und durch Fortfchaffung der Winkelwerthe

2 (tg a — tg ß)

² -j- 4 {m e — h)²

313-

219.

Spannungen in den Pfoften.

Für den ?«-ten Pforten FH ift der Schnitt fchräg zu legen; als Momentenpunkt ergiebt fich A ; mithin heifst die Gleichung der ftatifchen Momente für A als Drehpunkt

0 = Vm tn a — {in — 1) Pn*a

u

woraus Vm =

P {nt — 1)

•    •    34'

Für nt— 1 ergiebt diefe Gleichung Vm = 0; der erfte Pforten ift alfo über-flüffig und kann fortbleiben.

Die Gleichung gilt nicht für den mittelften Pfoften ; denn wenn bei diefem der Schnitt eben fo gelegt wird, wie bei den anderen Pfoften, fo werden vier Stäbe getroffen'; A ift alfo hier nicht der conjugirte Punkt. Man beftimmt die Spannung in diefem Mittelpfoften durch Aufftellung der Gleichgewichtsbedingungen für den Firftknotenpunkt (Fig. 284). Für diefen ift, wenn die Summe der loth-rechten Kräfte gleich Null gefetzt wird,

0 = Vn -f- P -f 2 XH sin a ,

und da nach Gleichung 307 : XH —

woraus

Pn

V„ --- — P — 2 Xn sin a,

2 cos a (tg a — tg ß)

« tg a tg « —- tg ß

Die Gleichungen 307 bis 314 gelten für die Stäbe links von der Mitte ; die zur Mitte fymmetrifch liegenden Stäbe der anderen Dachhälfte werden in genau gleicher Weife beanfprucht; die Gleichungen können fofort auch für die rechte Dachhälfte angewendet werden, wenn die m von B aus gerechnet werden.

Vn

ift, fo wird

Fig. 284.

Tar"

315-

n je

Die Betrachtung der Gleichungen 307 bis 314 ergiebt Folgendes:

a)    Durch das Eigengewicht, bezw. durch gleichmäfsige Beladung des ganzen Dachbinders erhalten alle Stäbe der oberen Gurtung Druck, alle Stäbe der unteren Gurtung Zug. Wenn die Diagonalen nach der Mitte zu fallen, erhalten diefelben bei der erwähnten Belattung Druck, die Pfoften Zug. Man fieht leicht, dafs, wenn die Diagonalen nach der Mitte zu fteigen, diefelben bei der gleichen Belattung gezogen, die Pfoften gedrückt werden.

b)    Je gröfser ß wird, defto kleiner wird (tg a — tg ß) und das Product cos ß (tg a — tg ß) ; defto gröfser werden daher fowohl Xm, wie Zm, da die Ausdrücke, fowohl für X, wie für Z die erwähnten Werthe im Nenner haben. Für

negative Werthe von ß, d. h. wenn die Zuggurtung nach unten von der Wagrechten abweicht, wird

P (2 n — m)

2 cos a (tg a 4- tg ß)

und Z'm =

P {2n — m -|- 1)

2 cos ß (tg a -j- tg ß)

316.

Je gröfser (abfolut genommen) die negativen Werthe von ß werden, defto gröfser werden die Nenner in den beiden Gleichungen 316, defto kleiner alfo Xm und Zm. Für den Materialaufwand zu den Gurtungen ift es alfo günftig, das pofitive ß möglichft klein, das negative ß möglichft grofs zu nehmen.

c) Für ß = 0, d. h. wenn die untere Gurtung eine gerade Linie bildet, ift P (2 n — ni)

Xm =

2 sin a

und Zm —

P {2n — m -f- 1)

2 tg a

• • 317-

Ym = -

P lX 1 -f (m — l)² tg² a

P {m — 1 )

und Vu— P (n — 1)    318.

2 tg a

ß) Ungünftigfte lothrechte Belaftung.— a) Gurtungsftäbe. Jede loth-rechte Belaftung des Trägers erzeugt (nach Art. 156, S. 150) ein pofitives Moment in allen Querfchnitten. Sind nun (Fig. 282) die in den Stäben PF, bezw. GH durch eine beliebige lothrechte Belaftung erzeugten Spannungen Xm, bezw. Zm und die Momente für die bezüglichen Momentenpunkte H und E gleich Mm und Mm_x, fo wird

220.

Ungünftigfte

Belaftung.

I'm

und Zm =

Zm

bezw. M,

Xm und Zm erreichen ihre Gröfstwerthe gleichzeitig mit M} d. h. bei voller Belaftung des Trägers. Die Belaftfing des ganzen Daches durch Schneedruck wird alfo für die Gurtungsftäbe die ungünftigfte fein. Die dann fich ergebenden Spannungen folgen aus den Gleichungen 307 bis 311, indem dort ftatt P die Knotenpunktsbelaftung durch Schnee- und Eigengewicht eingefetzt wird.

Man erhält, wenn b der Binderabftand ift und q' die Bedeutung, wie in

Art. 204 (S. 206) hat,

P= G S — ab (q' + 75) Kilogr.

und daraus leicht Xm und Zm.

b) Diagonalen. Wenn die Diagonalen nach der Mitte zu fallen, fo erzeugt eine Laft P rechts von dem durch die Diagonale gelegten lothrechten Schnitte II

Fig. 285.

Fig. 286.

\Y

D₁

A X--

(Fig. 285) in A den Auflagerdruck D,y Auf das Bruchftück links vom Schnitt wirken jetzt Z>₀ und die drei Stabfpannungen X, V und Z. Für V ift A der Momenten punkt, und die Gleichung der ftatifchen Momente für A als Drehpunkt lautet 0 — Yy, d. h. Y = 0.

Liegt eine Laft P links vom Schnitte II und betrachtet man das Bruchftück rechts vom Schnitte (Fig. 286), fo heifst die Gleichung der ftatifchen Momente in Bezug auf den Punkt A als Drehpunkt

0 = Y'y -f D₁L,

woraus

Y' = —

D:L

Steigen die Diagonalen nach der Mitte zu, fo ergiebt lieh, wenn die Laft rechts vom Schnitte liegt, genau wie vorhin, dafs in den Diagonalen die Spannung Null entsteht. Liegt dagegen die Laft links vom Schnitt, fo folgt

J"i = +

DXL

y

Die für die Diagonalen gefundenen Ergebniffe gelten, fo lange A der Mo-mentenpunkt der Diagonalen ift, d. h. für alle Diagonalen links der Mitte. Für die Diagonalen rechts der Mitte ift B der Momentenpunkt, und es ergiebt fich in gleicher Weife, wie eben gezeigt, dafs in diefen jede Belaftung rechts vom Schnitte durch die betreffende Diagonale eine Druck-, bezw. Zugfpannung erzeugt, je nachdem fie nach der Mitte zu fallen oder fteigen ; jede Belaftung links vom Schnitte ruft dagegen in denfelben die Spannung Null hervor.

Allgemein folgt hieraus: Jede Belaftung zwifchen dem durch die Diagonale gelegten lothrechten Schnitte und demjenigen Auflager, welches für die Diagonale nicht den Momentenpunkt bildet, hat auf die Spannung in der Diagonalen gar keinen Einflufs. Jede Belaftung zwifchen dem lothrechten Schnitt und dem Auflager, welches für die Diagonale den Momentenpunkt bildet, erzeugt in den nach der Mitte zu fallenden Diagonalen Druck, in den nach der Mitte zu fteigenden Diagonalen Zug. Die ungünftigften Belaftungsarten würden alfo diejenigen fein, bei denen die ganze Zug-, bezw. Druckabtheilung ’belaftet wäre. Da aber die Belaftung des übrigen Trägertheiles ohne Einflufs auf die Diagonalfpannung ift, fo kann man auch fagen : Die ungünftigfte Beanfpruchung aller Diagonalen durch lothrechte Laften findet bei voller Belaftung ftatt, und zwar werden die nach der Mitte zu fteigenden Diagonalen gezogen, die nach der Mitte zu fallenden Diagonalen gedrückt.

c) Pfoften. Für die ungünftigfte Belaftung der Pfoften ergiebt fich durch die gleiche Beweisführung, wie bei den Diagonalen, wenn die Schnitte fchräg gelegt werden: Jede Belaftung zwifchen dem durch einen Pfoften gelegten fchrägen Schnitt und dem Auflager, welches für den Pfoften nicht den Momentenpunkt bildet, erzeugt im Pfoften die Spannung Null; jede Belaftung zwifchen dem Schnitte und demjenigen Auflager, welches den conjugirten Punkt bildet, erzeugt in den Pfoften Zug, wenn die Diagonalen nach der Mitte zu fallen, Druck, wenn die Diagonalen nach der Mitte zu fteigen. Auch hier findet demnach gröfster Druck, bezw. Zug bei voller Belaftung des Trägers ftatt.

Fig. 287.

Das hier gefundene Gefetz gilt, fo lange die geradlinigen Gurtungen fich in den Auflager-Lothrechten fchneiden, alfo auch, wie man leicht fieht, für die Anordnung von zwei Scharen Diagonalen nach Füg. 287.

Demnach kann für alle Stäbe des

A

englifchen Dachftuhles die volle Be-laftung durch Schnee und Eigengewicht als ungünftigfte lothrechte Belaftung der Berechnung zu Grunde gelegt werden.

Die bezüglichen Gröfstwerthe find in Art. 217 bis 219 entwickelt.

221.

Berechnung der Spannungen durch

Winddruck.

7) Belaftung durch Winddruck. Die fämmtlichen Stabfpannungen find fowohl für den Fall zu ermitteln, dafs der Winddruck jene Seite belaftet, an welcher das bewegliche Auflager liegt, als dafs er diejenige Seite belaftet, an welcher fich das fefte Auflager befindet.

223

Man ermittelt bei diefen beiden Belaftungsarten für jeden Stab den Momenten-punkt, das Biegungsmoment der äufseren Kräfte für diefen Punkt und daraus in bekannter Weife die Stabfpannungen. Es empfiehlt fich dabei, für die Auffuchung des Biegungsmomentes jede Knotenpunktsbelaflung in eine wagrechte und eine lothrechte Seitenkraft zu zerlegen ; die Ermittelung der Hebelsarme wird dadurch wefentlich vereinfacht. In Fig. 294 u. 296 find die wagrechten und lothrechten Seitenkräfte der Winddrücke fowohl für den Fall, dafs der Wind von der Seite des beweglichen Auflagers, als auch für den Fall, dafs er von der Seite des feften Auflagers kommt, angegeben.

222.

Graphifche

Ermittelung

der

Spannungen.

2) Graphifche Ermittelung der Spannungen. Hier empfiehlt fich die Cremona fche Methode am meiden, weil für die Spannungen aller Stäbe die gleichen Belaftungsarten zu Grunde gelegt werden.

a) Beladung durch das Eigengewicht und Schneedruck. Man nimmt entweder die fämmtlichen Eigenladen in den oberen Knotenpunkten vereinigt an oder berechnet die Eigengewichte, welche in den Knotenpunkten der unteren Gurtung angreifen, befonders. In beiden Fällen id das Verfahren genau wie im Kapitel »Träger« (Art. 176, S. 172) gezeigt id.

Fig. 288.

D₀

P'<

Pu

1*>

1 m

X. P TfS

/' 7

I«

n'

Ps,

Pn

a'

%.

P9

PS

Fig. 289.

*•.

e-

in

n......

<«r

Bet der graphischen Ermittelung in Fig. 288 u. 289 itt die zweite Annahme gemacht worden ; die Eigengewichte, welche auf die Auflagerpunkte A und B kommen, find fortgelaffen, weil fie ■ unmittelbar von den Auflagern aufgenommen werden, demnach das Syftem nicht belaften. Alsdann find die am Syftem wirkenden äufseren Kräfte in der Reihenfolge der Knotenpunkte aufgetragen : zuerlt die Laften der oberen Gurtung i, 2, j . . . 7; an den Endpunkt von 7 iff getragen; letzteres fällt mit der Kraftlinie /, 2, 3 ... 7 zufammen, wie überhaupt alle äufseren Kräfte hier in diefelbe Kraftlinie fallen. Der gröfseren Deutlichkeit halber find aber die Laften / bis 7, D\, ferner die Laften der unteren Gurtung und D₀ je etwas feitwärts verfchoben aufgetragen. Wir erhalten Dy = ff v. ; 8 bis 14 = 7. X ; D₀ = X jx p fällt demnach eigentlich auf a, wonach fich alfo das Kraftpolygon fchliefst.

Fiir die Conftruction des Kräfteplanes find felbftverttändlich als Grenzpunkte der einzelnen äufseren Kräfte die Punkte auf der Linie a a' einzuführen, welche mit den gezeichneten auf gleicher Höhe liegen. Der Kräfteplan ill nun genau, wie früher angegeben, in Fig. 289 conftruirt, worüber keine weiteren Bemerkungen noting find.

Die Conftruction der Spannungen durch volle Schneebelaftung ift in gleicher Weife vorzunehmen; dabei find natürlich die Belattungen der unteren Knotenpunkte gleich Null.

ß) Belattung durch Winddruck. In Fig. 291 u. 292 find die Kräftepläne fowohl für den von der Seite des beweglichen, wie für den von der Seite des fetten Auflagers kommenden Winddruck conftruirt. Auf den Auflagerpunkt und

P'ig. 290.

N5\¹⁰/ASJJ0

Do

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NJ 420

ArK¹⁰

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AÜ43o

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mm

Fig. 291.

rr

jn

S&ę-

ig

k\

Irt

den Firftpunkt kommen bei gleicher Entfernung aller Knotenpunkte die Hälften der auf die anderen Knotenpunkte entfallenden Belattungen; bei anderen Entfernungen der Knotenpunkte find die Belattungen diefer Punkte aus den auf fie kommenden Dachflächen gleichfalls leicht zu ermitteln.

Zunächft find nun die Auflagerdrücke, wie in Art. 208 (S. 208) gezeigt, conftruirt, worauf fich der Kräfteplan in bekannter Weife ergiebt. In Fig. 290 find die äufseren Kräfte für die Belattung der linken Dachhälfte ausgezogen, für die Beladung der rechten Dachhälfte punktirt.

Es möge hier darauf aufmerkfam gemacht werden, dafs auf der nicht belafteten Seite fämmtliche Diagonalen die Spannung Null, die oberen, fo wie die unteren Gurtungsftäbe fämmtlich je gleiche Spannungen erhalten. Die Richtigkeit ergiebt fich aus folgender Betrachtung.

Wenn fich in einem unbelafteten Knotenpunkte (Fig. 293) drei Stäbe fchneiden, von denen zwei in eine gerade Linie fallen, fo ift, wenn Gleichgewicht ftattfindet, X— Xy Y cos cp = 0 und Y sin <p = 0, d. h. Y — 0, alfo auch X— Xy — 0> d. h. X = Xy. Die Spannungen in den beiden in eine gerade Linie fallenden Stäben find alfo einander gleich ; die Spannung im dritten Stabe ift gleich Null.

Xg.

D'₀

R/

ei

(c’

m;

/n;

H'

efèb-

Fig. 292.

(»/

7ï

*0

Falls der Wind, wie in Fig. 290 durch die ausgezogenen Pfeile angedeutet ift, die linke Seite be-laftet, fo wirkt auf den Knotenpunkt G keine äufsere Kraft; mithin wird e' = f und ï — 0, Auch auf H wirkt keine äufsere Kraft; da nun i‘ — 0 ift) alfo als nicht vorhanden zu betrachten ift, fo folgt auch nf = 0 und a' = b‘. Eben fo ergiebt fich weiter a' = V — c' = d‘ ; e‘ — f — g‘ = h*\ i* — n* — k‘ = o' — I' = p‘ — 0.

B e i f p i e 1. Berechnung eines englifchen Dachftuhles (Fig. 294) von nachfolgenden Haupt-mafsen : Stützweite L — 16m; Firfthöhe h —

t-H

t = 0,5 ;

223.

Beifpiel.

1,6

Jl\ — 1,6 m; tg ß = — 0,2;

= 8,16m ;

sin a —

X 8,94

e = h — hx = 2,4^; X = [/4² + 8² = 8,94m;    1,₆* -j- 8²

sin ß = —r~"" =    -    0,196 ;

Xj    8,16

— 0,447 m ; cos a =■

X 8,94

- = 0,895 ;

-= 0,98 ; die Binderweite ift 4,3 ® ; die Dachdeckung ift Eifenwellblech auf Winkel-

8,16

COS ß r= — —

eifen ; das Gitterwerk befteht aus Pfoften und nach der Mitte zu fallenden Diagonalen.

Die Belattungen ergeben fich wie folgt. Auf einen Knotenpunkt kommt eine Grundfläche von

4,3 . 8,94

Fig. 293.

= 9,61 qm.

Xi

2.4,3 = 8,6 qm, eine fchräge Dachfläche von 4,3 — =

4

Mithin ift nach der Tabelle auf S. 20 das Eigengewicht für 1 qm Grundfläche,

ausfchl. des Bindergewichtes, gleich 28 kg. Rechnet man das Gewicht des Binders für 1 qm Grundfläche mit 17 kg, fo wird das Eigengewicht für 1 qm Grundfläche = 23 -J- 17 = 40 kg. Demnach ift die Knotenpunktsbelaftung durch das Eigengewicht = 8,6.40 == 344 kg , durch Schneedruck = 8,6 • 75 = 645 kg, die fenkrechte Knotenpunktsbelaftung durch Winddruck = 9,61 ■ 72 = 692 kg, wofür abgerundet W= 700kg gefetzt werden foil. Der Firftknotenpunkt und der Auflagerknotenpunkt erhalten nur je 350 kg fenkrechte Windbelaftung.

a) Spannungen durch die lothrechten Latten. Für die obere Gurtung ergeben fich die Spannungen durch das Eigengewicht, bezw. volle Schneebelaftung aus Gleichung 308 zu

P • 8,94 2.2,4

Wir erhalten: für Eigengewicht P — 344kg , fonach = — 1,sg25 . 344 (8 — ni) — — 640 (8 — /«);

für Schneebelaftung P — 645 kg , mithin X*n = — 1,8625 . 645 (8 — ni) — — 1200 (8 — ni). Für m

Xm =

(8 — ni) — — 1,8625 P (8 — ni).

wird Xg — — 4480 XP = — 8400

—    3840    — 3200    — 2560 kg;

—    7200    — 6000    — 4800 kg.

Für die untere Gurtung ift nach Gleichung 310: Zm —

P . 8,1 6

(9 — ni) — 1,7 P (9 — ni).

2 . 2,4

Für Eigengewicht ift Zfn = 1,7 . 344 (9 — ni) = 585 (9 — ni) ,

zJm - 1,7 . 645 (9 — ni) = 1096,5 (9 — ni).

für Schneelaft ift Handbuch der Architektur. I. 1, b. (3. Aufl.)

Sonach wird für m

4095

=

Zp —

Z\ ift nicht nach der Formel berechnet (vergl. darüber die Bemerkung in Art. 217, S. 219). Für die Diagonalen ilt nach Gleichung 313

3510

7677

6579

2925 kg ; 5481 kg.

y=r —

9,6

V 16² -j- 4 (m. 2,4 — 4)² = — 0,104 P\/256    4 (2,

4)² .

Wir erhalten für m — 2 '■ Kj — ~ 0,io4 P \/256 -j- 4 (0,s)² = — 1,672 P;

Eigengewicht:    Ff =    — 575 k& ; Schneelaft:    Ff =    —    1079 kg;

für m    = 3 : F₃ = —    0,i 04 P    l/256 + 4    (7,₂~- 4)² =    — 1,79

Eigengewicht:    Ff —— 616 kS ; Schneelaft:    Yf =    —    1155kg;

für ;«    = 4: F₄ = —    0,io4 P    \/'256 -f 4    (9,6 — 4)² =    — 2,os    F;

Ff = — 698 kg; Schneelaft: Yf = — 1310 kg;

Eigengewicht :

Die Spannungen in den Pfoflen ergeben fich aus Gleichung 314

Eigengewicht :

Schneelaft :

für m '= 2 :

Ff = 172 kg; Ff = 344 kg ;

Vf — 323 kg ; Vf = 645 kg.

Fig. 294.

Die Spannungen im Mittelpfoften (für m — 4) hnd nach Gleichung 315 Ff = 1950 kg, Vf — 3657 kg.

ß) Spannungen durch Windbelaftung an der Seite des beweglichen Auflagers (Fig. 294). Die lothrechte Seitenkraft der Knotenpunlds-belaftung ift bei den mittleren Knotenpunkten gleich 700 cos a = 700 . 0,895 = 626kg, beim Firft- und Auflagerknotenpunkt je gleich 313kg; die wagrechten Seitenkräfte find bezw. 700 sin a. = 700 • 0,447 = 312 kg und 156 kg. Die lothrechten Höhen der oberen Gurtungsknotenpunkte über AB find bezw. Im, 2 m, 3 m und 4m; die Knotenpunkte der unteren Gurtung liegen bezwr. um 0,4 m, 0,8 m, 1,2 m und 1,6 m über der wagrechten Linie AB. Es ift

NosN

2 w

Neos a

WfZZ//

Neos a

Neoscc

X,

S)

T'*'

Nsin a

C’²-4'P

t.8

O.

Yj

12

I I

1.2

Nsin <x

aS

as—As___Jt-___

-L --16

77

Z>₀ =

(3 • 626 -f 2 ■ 313) 12 — (3 • 312 + 2 ■ 156) 2

16

1722 kg,

(3 • 626 + 2 ■ 313) 4 + (3 • 312 -f 2 ■ 156) 2

16

782 kg,

//= 8 . 812 4-2 . 156 = 1248 kg.

Für die Stäbe der oberen Gurtung ergeben fich die Gleichungen der ftatifchen Momente: wenn E der Momentenpunkt ift,

0 — Xj . 0,6 cos a 4- (D₀ — 313) .2 — 156 ■ 0,4,

woraus

Xx = — 5132 kg;

für den Momentenpunkt F

0 = x₂ . 1,2 cos r/ 4- (Z?₀ — 313) • 4 — 156.0,8 4- 312.0,2 - 626.2, woraus X₂ = - 4023kg; weiters eben fo für die Momentenpunkte G und y

0 — X₃ . 1 ,s cos « 4- (Z)₀ — 313). 6 — 156.1,2 4“ 2.312 • 0,3 — 2 • 626.3, woraus X₃ = — 2916 kg ; 0 = X₄.2,4 cos a 4- (E>₀ — 313). 8 — 156 . 1,6 4~3 • 312.0,4 — 3 ■ 626 • 4, woraus X₄ = — 1806 kg. Die Momentengleichung für den Punkt y heifst, wenn das Bruchftück rechts von dem durch den Stab yK gelegten lothrechten Schnitte betrachtet wird,

0 = //. 1,6 — P>₄ . 8 — X₅ . 2,4 cos a, woraus X₃ = — 1982kg.

Diefelbe Spannung findet in fämmtlichen Stäben der oberen Gurtung rechts der Mitte ftatt (vergl Art. 222, S. 224).

22 7

In ähnlicher Weife erhält man für die untere Gurtung:

—    156 .    — Zj . 0,6

—    156 •    — 626 . 2 — 312 . 1 — + . 1,₂

—    156 .    — 2.626.3 — 2.812 . 1,5 — Z₄ . l,s

0 = {Po -0 = Po -0 = Po —

CO CO CO

cos

ß , woraus Z\ = 4527 kg = Z₂

cos

woraus

cos

z₃ = 3197 kg;

woraus

Z₄ = 1857 kg.

Betrachtet man wieder das Bruchftück rechts von dem durch den Stab JK gelegten lothrechten Schnitte, fo heifst die Momentengleichung fiir Punkt K

0 -H. 3 — Dx . 6 + z₅ . 1,8

Eben fo grofs ift die Spannung in fämmtlichen Stäben der unteren Gurtung rechts der Mitte (vergl. Art. 222, S. 225).

Um die Spannungen in den Diagonalen zu beftimmen, find die Hebelsarme diefer Spannungen für den Punkt A, welcher für alle Diagonalen links der Mitte Momen-tenpunkt ift, conftruirt. Man erhält y₂ = 1,17 m , jr₃ = 3,3 m und

Fig. 295.

1313

y\ = 5,8m.

cos

woraus

Z₅ = 537 kg.

Die Spannungen ergeben fich aus den Momentengleichungen,

wie folgt :

0 = Y‘i- l,i7 + 626 .2 + 312. 1,

0 = V₃ . 3,3 + 2 • 626.3 + 2.312 . 1,5 , woraus V₃ = — 1422 kg ; 0 = F₄ . 5,8 + 626 . 3.4 + 3 • 312 . 2,

Die Spannungen in den Diagonalen rechts der Mitte find gleich Null* (vergl. Art. 222, S. 225).

woraus

V₂= — 1337 kg;

woraus

F₄ = — 1618 kg.

Für die Spannungen aller Pfoften links der Mitte ift A der Momentenpunkt; man erhält:

0 = 626 . 2 + 312 . 1 — V₂.4,

0 = 2 • 626.3 + 2 . 312 . 1,5 — Fg . 6,

Für die Ermittelung der Spannung im Mittelpfoften (Fig. 295) ift die Summe der lothrechten Kräfte im Firftknotenpunkt gleich Null zu fetzen ; fonach

0 = Vą + 313 + (A₄ + Ag) sin ci — V₄ + 313 — (1806 + 1982) 0,447

woraus

^2 = + 391 kg ;

F₃ = + 782 kg.

woraus

U₄ = 1380 kg.

Die Spannungen in den Pfoften rechts der Mitte find gleich Null (vergl. Art. 222, S. 225).

woraus

Fig. 296.

313

XX

626

2.4,

312

dc

Xb \6²6

y

S3

le - -2,0 - * —2,0—+ -2/2- -?

; .b f-

'6

iP----Jfrfr

X₈

-H

7

323

v) Spannungen durch Windbelaftung von der Seite des feiten Auflagers (Fig. 296). Die Beladungen der einzelnen Knotenpunkte der rechten Hälfte find eben fo grofs, wie diejenigen der linken Knotenpunkte unter ß waren. Wir erhalten

+> =

(3 ■ 626 + 2 - 313) 4 + (3.312 + 2 . 156) 2

16

= 782 kg

- (B • 626 + 2 ■ 313) 12 — (3 ■ 312 + 2 . 156) 2

16

1722 kg

= 3 • 312 + 2 . 156 = 1248 kg.

In der oberen Gurtung findet man

0 = X₁ . 0,6 cos « + Z>₀ . 2 ,

woraus

782 . 2

0,537

= — 2912 kg.

Derfelbe Werth ergiebt fich nach Art. 222 (S. 225) für X₂, Xg und X₄. Weiters ift

Af₅ = — 2738 kg;

0 —    Afg    .    2,4    cos    rj. —|—    Dq    . 8    — 156    . 2,4

0 =    x₆    .    1,8    cos    a +    (A>[    —    313)    6    +    —    156)    1,2    + 2 • 312.0,3 -    2.626.3,

0 =    Xj    .    1,2    cos    a +.    (Z?₄    —    313)    4    +    —    156)    0,8    + 312.0,2 — 626    . 2,

0 =    Afs    .    0,6    cos    a +    (Z>j    —    313)    2    +    (Af,    —    156)    0,4,    woraus X%=    —    6061    kg.

In der unteren Gurtung ergiebt fich

0 = Zy . 0,6 cos ß — Z>₀ . 2, woraus = 2660 kg.

woraus

woraus

woraus

X% = -3845 kg; X₇ = - 4953 kg;

Diefelbe Gröfse haben Z2, Zg und Z₄. Weiters findet man 0 =    (Z>₄ — 313) 6 + (II\    —    156)    3 — 2.626.3 — 2.312 . U — Z₅. l,₈

0 =    (4 — 313) 4 4 (4    —    156)    2 — 626 . 2 — 312 .    1 — Z₆ . 1,₂

0 =    {Di — 313) 2 4 (Äi    —    156)    1 — Z₁ . 0,e

cos ß, woraus Z₅ — 4 3990 kg; cos ß, woraus Zfi = 4 5320kg;

Z₁ — 4 6650 kg.

Die Hebelsarme für die Ermittelung der Spannungen in den Diagonalen find oben angegeben ; hiernach findet Katt

cos

woraus

0 = Y₁ . y₂ 4 312 . 1 4 626 . 2,

0 = Fg . 4/3 4 2 . 312 . 1,5 4 2 • 626 . 3, 0 = Y₅ . y₄ 4 3 • 312 . 2 4 3 . 626.4,

woraus

F₇ =■ - 1337 kg;

U₆ = — 1422 kg ; Y₅ = — 1618 kg.

woraus

woraus

Die Spannungen in den übrigen Diagonalen find gleich Null.

In den Pfoften find die Spannungen Fj, V2 und Fg gleich Null; F₄ wird durch die Aufftellung der Gleichgewichtsbedingung erhalten, welche befagt, dafs die algebraifche Summe der lothrechten , am Firftknotenpunkte wirkenden Kräfte gleich Null fein mufs, d. h. aus

0 = F₄ 4 313 4 XA sin a 4 w₅ sin a = F₄ 4 313 - (2912 4 2738) . 0,447 wird F₄ = 2212 kg. Ferner ift

0 = F₅ . 6 — 2 . 626 • 3 — 2 . 312 . 1,5 0 = F(i . 4 — 626 . 2 — 312 . 1

F₅ = 782 kg;

woraus

woraus Ffi = 391 kg.

8) Zufammenftellung der Stabfpannungen. Für die Querfchnittsbeftimmungen find die gefundenen Spannungen in nachftehender Tabelle zufammengeftellt.

Bezeichnung des Stabes

Spannung durch

Eigen

gewicht

Schneelaft (voll belüftet)

Wind

links

Wind

rechts

P\

Obere Gurtung:

Stab Nr. i

-    4480 — 3840

-    3200

2560

8916

7712

7538

9845

Untere Gurtung: Stab Nr. i u. 2    .

»    7 u. 8

+ 4095 4 3510 4 2925 + 2925 -t- 3510 4- 4095

4- 7677 4- 6579 4- 5481 4- 5481 + 6579 4- 7677

444444

H-⁴ CO 00 »-* Cn CO Or CO DO

-a -a

Cr* <OT Ctt CO CO CO

—i -a

Diagonalen:

im Felde 2

jo co

[>- r-H

10 co

698

— 698

616

575

—    1079 - 1155

1337

—    1422

—    1618

— 1618

—    1422

—    1337

575

616

698

698

616

575

2416

2577

2928

2928

2577

2416

Pfoften :

zwifchen Feld 2 u. 3 »    »    3 u. 4

Mittelpfoften zwilchen Feld 5 u. 6 »    »    6 u. 7

44444

M b œ 03 H •J Cn ^ <1 DO O

44444

CO lO h (M iC CO CD

10 CO

CO CO CO CO

444

CO C 03 00 OO CD O DO >-*

444

( c DO

(M (M h T-H OO Ci O CO

44444

ffl K H

-0

^ DO

t—* co

^4 ^ g

44444

H    Ol    M

-o    ^    od    -a

H    M    Ol    M    H

►P*    -.1    40    -~J    hfi.

Kilogramm

229

b) Deutfche Dachftühle.

224.

Ermittelung

der

Der deutfche Dachftuhl kann als ein englifcher Dachftuhl mit nur einem Knotenpunkt in jeder Dachhälfte aufgefafft werden (Fig. 297); man wird demnach

die in demfelben durch Eigenlaft und Spannungen, volle Schneelaft entftehenden Spannungen aus den Formeln für den englifchen Dachftuhl ableiten können.

Für die obere Gurtung ift in die Gleichungen 307 u. 308 ftatt 2 n die Zahl 4 einzufetzen und für m der Reihe nach 1 und 2; alsdann erhält man

Fig. 297.

* ■>

'7

r>o y

X,

'a\

Xx = -

D

kJ

3 P\

2 cos a (tg a — tg ß)

.    .    319.

cos a (tg a — tg ß)

Die allgemeine Gleichung 309, bezw. 310 für die untere Gurtung gilt nicht

für m — 1 (fiehe Art. 217, S. 219). Für m — 2 und 2« = 4 übergeht Gleichung 309, bezw. 310 in

und Z =

3 P\

2 cos ß (tg a — tg ß)

Für die Diagonalen giebt die Gleichung 313 für m — 2

i_

•    •    320.

Y= -

V y + 4 (2e - hy

321.

Für den Pfoften ift Gleichung 315 anzuwenden, und es ergiebt lieh für n = 2

2 /*

2 tg a

tg a - tg ß

) = ^(²

-¹) = ^

•    322.

Fig. 298.

Fig. 299.

2-\ I43O

-7t.

> y 43°.

b,

3 y 43°

D₀

f*

D₀

d'

D,

a’

c'

f-%

ayt

Fig. 300.

<r

N/3²\

Fig. 301.

nP65o

b.

X3/630 .K

D,

à\

a’

y/7////.

z (N)

/fN)

y/323 7 B

■y

9X3

■b

230

Für fchiefe Beladungen durch Winddruck find die Spannungen, wie beim englifchen Dach-ftuhl gezeigt, zu ermitteln.

Die graphifche Ermittelung der Spannungen im deutschen Dachfiuhl für die Belaftungen durch Eigengewicht und Winddruck

Fig- 3°²-

R’y

\a'

•f

Ie

der

einen, bezw. der anderen Seite zeigen Fig. 298 bis 302.

von

a¹

225.

Ermittelung

c) Dreieckdächer.

Die Aufhellung der Gleichgewichtsbedingungen für die einzelnen Knotenpunkte

der

Spannungen.

ergiebt (Fig. 303), da DQ = Dx = —- ift, die Werthe der Stabfpannungen.

LA

Es ift 0 = X cos a -j- Z cos ß und 0 = D₍₎ -j- X sin a -(- Z sin ß, woraus

Fig-. 303-

P\

2 cos a (tg a — tg ß)

P\

■    323-

2 cos ß (tg a — tg ß)

Sowohl X} wie Z nehmen mit wachfendem e ab; für den Materialverbrauch ift alfo ein lichft grofses e günftig.

Do

Ar'

P,

inög- 'JW

s/XZ/y/Z/,

<r -

,ß

Ferner ift P -f- K-j- 2 W sin a = 0, woraus

Phx h — hx

So lange hx pofitiv ift, d. h. E über der Wagrechten AB liegt, ift auch V pofitiv, d. h. Zug; für hx = 0 ift auch V — 0, d. h. wenn AEB eine gerade Linie ift, hat die Stange CE keine Spannung; wird hx negativ, d. h. liegt È unter der Linie AB, fo ift V negativ, d. h. Druck.

Die Spannungen durch Windbelaftung find, wie beim englifchen Dachfiuhl gezeigt, vermittels der Ritter fchen Methode, bezw. durch Aufhellung der Gleichgewichtsbedingungen zu ermitteln. Bequemer ift, befonders für diefe Belaftungsart, •die graphifche Ermittelung.

V=P

Qü.

Ph

tg a - tg ß

■ ■ 324-

d) Franzöfifche, Polonceau- oder l'V/e^mann-Dachhühle.

226.

Einfacher

Polouceau-

Dachftuhl.

227.

Zufammen-

gefetzter

Polottceau-

Dachftuhl.

Die Berechnung und die Conftruction der Stabfpannungen ift hier nach Ermittelung fämmtlicher äufserer Kräfte für die verfchiedenen Belaftungsarten in der allgemein gezeigten Weife (fiehe Art. 170, S. 169) vorzunehmen; die Berechnung gefchieht meiftens bequem vermittels der Momentenmethode, die graphifche Ermittelung nach Cremona. Die Formeln für die einzelnen Stabfpannungen werden nicht einfach, fo dafs von der Aufhellung von Formeln hier abgefehen werden foil.

Ueber den einfachen Polonceau-Dachftuhl braucht demnach hier nichts weiter

Befondere Aufmerkfamkeit dagegen erfordert der zufammen-

gefagt zu werden.

gefetzte Polonceau-Dachftuhl (fiehe Art. 215, S. 217). Bei demfelben ift es nämlich

für eine Anzahl von Stäben nicht möglich, die Schnitte fo zu legen, dafs nur drei Stäbe vom Schnitte getroffen werden; beim graphifchen Verfahren ftellt fich eine entfprechende Schwierigkeit heraus. Wir werden uns defshalb hier nur mit dem zufammengefetzten Polonceau-Dachftuhl befchäftigen.

I) Berechnung der Spannungen. Bei der Momentenmethode ift der Momentenpunkt fo zu wählen, dafs für denfelben alle unbekannten Kräfte mit Ausnahme einer einzigen das Moment Null haben, mithin nur eine Unbekannte in der

Gleichung verbleibt. Ift es möglich, den Schnitt fo zu legen, dafs mit Ausnahme einer einzigen fämmtliche Stabrichtungen fich in einem Punkte fchneiden, fo ift diefer Punkt als Momentenpunkt für die Ermittelung der Spannungen in demjenigen Stabe zu wählen, der nicht durch diefen Punkt geht. Trifft aber der Schnitt vier oder mehr Stäbe, von welchen lieh nicht alle mit Ausnahme eines einzigen in einem Punkte fchneiden, fo mufs man eine Reihe von Stabfpannungen vorher beftimmen, um diefe nicht mehr als Unbekannte in der Momentengleichung zu haben. Man ermittele alfo zunächft die Spannungen jener Stäbe, bei denen Schnitte möglich find, die nur drei Stäbe treffen ; diefe Spannungen werden dann als Bekannte eingeführt, und in den Momentengleichungen bleiben nur noch die gefuchten Unbekannten. Um z. B. die Spannungen in GN, GR, RE und EF, welche Stäbe durch den Schnitt IIII getroffen werden, zu finden, ermittele man zunächft diejenige in EF. Man fchneide nach //////; alsdann ift für EF der Firftpunkt C der Momentenpunkt und demnach die Spannung H in EF leicht zu finden. Es ift

Fig. 304.

m, c

F Al

V/

lI

G„

-“N

f\

n ni

%.

H = —, wenn M das Biegungsmoment der äufseren Kräfte für C ift. Nun find für

den Schnitt IIII nur noch drei Unbekannte vorhanden. Um die Spannung X in GN zu beftimmen, dient die Momentengleichung für Punkt R, in welcher nur X als Unbekannte verbleibt; für die Spannung in GR ift C, für diejenige in RE ift G der conjugirte Punkt. Nachdem diefe Spannungen ermittelt find, ift für Schnitt II nur noch die Spannung in GE unbekannt, da auch diejenige in KE leicht gefunden wird; man kann demnach einen beliebigen, nicht auf der Richtungslinie von GE liegenden Punkt als Momentenpunkt annehmen.

Es empfiehlt fich, ftets zuerft die Spannung H im Stabe EF zu ermitteln und dann diefen Stab durch die beiden äufseren Kräfte H in E und F' (nach Fig. 305)

Fig. 305.

zu erfetzen. Natürlich find für jede geänderte Beladung andere Werthe für H auszurechnen und einzuführen; alsdann werden nur noch drei Stäbe mit unbe-

kannten Spannungen getroffen, fo dafs fich die Momentenpunkte Die Schnitte

leicht ergeben.

»ll

können beliebig krumm fein ; das allgemeine Gefetz (vergl. Art. 4, S. 6) bleibt dabei giftig und damit auch das Verfahren.

Die vorftehenden Entwickelungen gelten fowohl für lothrechte, wie für fchiefe Beladungen.

Bei lothrechten Belaftungen ergeben fich ferner die vollen Beladungen des ganzen Binders wiederum als die ungünftigften ; für die Diagonalen allerdings in demfelben Sinne, wie oben beim englifchen Dache nachgewiefen, nämlich dafs bei voller Beladung auch diejenigen Punkte beladet find, deren Beladuug in den Diagonalen die Spannung Null erzeugt. Der Nachweis id leicht zu führen, foil aber hier, um den verfügbaren Raum nicht zu überfchreiten, fortbleiben.

2) Graphifche Ermittelung der Spannungen. Bei der Condruction des Cremona fchen Kräfteplanes ergeben fich ähnliche Schwierigkeiten, wie bei der Berechnung. Wenn man nämlich beim Aneinanderreihen der kleinen Kraftpolygone bis zum Knotenpunkt E (Fig. 306) gekommen id, fo find an diefem drei Stäbe mit nicht bekannten Spannungen; das Verfahren id alfo nicht ohne Weiteres anwendbar. Die Schwierigkeit wird, ganz wie oben, dadurch befei-tigt, dafs man zuerd die Spannung H des Stabes EF bedimmt und diefelbe als in A, bezw. F wirkende äufsere Kraft einführt. Dadurch erreicht man auch, dafs die Stäbe zwifchen E und C, fo wie zwifchen C und F zu Randdäben werden. Bevor demnach für den zufammengefetzten Polonceau-Dachduhl der Kräfteplan gezeichnet werden kann, id H zu ermitteln. Diefe P>-mittelung erfolgt entweder auf dem Wege der Rechnung, wie foeben gezeigt, oder auch, wenn doch alles Uebrige condruirt wird, mittels Zeichnung. Wir werden das einzufchlagende Verfahren für die verfchiedenen Beladungsarten zeigen.

a) Belattung durch das Eigengewicht, bezw. volle Schneelad. Man kann //vermittels der Schnittmethode beltimmen, indem man das Seilpolygon der äufseren Kräfte für einen beliebigen Pol conltruirt, einen Schnitt fo durch den Träger legt, dafs aufser EF nur noch zwei Stäbe getroffen werden, den Angriffspunkt der Querkraft für diefen Schnitt fucht und nun, wie oben in Art. 175 (S. 171 )

Fig. 306.

kC

1"

---------

w,.

------f/P-

r-

•k

"•L

■U.

P,

Fig. 3°7-

442200

J42200 <Ł

J’ 5^20°

2^2200 E

l'.

C ÖA2200

n’

Do

142200 /,

Je

k)

nr

T 7^2200

D,

er

a’

e’

gezeigt, zerlegt. Die Kraft Q wird dann fehr weit feitwärts fallen, weil der Schnitt nahe der Mitte liegt,, und wenn man fich auch durch Hilfsconftructionen helfen kann, fo dürfte doch die folgende Conflruction empfehlenswerther fein.

Die Spannung H im Stabe E F (Fig. 306) ift bei voller Beladung (und der hier vorausgefetzten zur Mitte fymmetrifchen Dachform) offenbar genau doppelt fo grofs, als die Spannung    welche in EF

bei Beladung nur der einen Dachhälfte dattfindet. Die Gröfse diefer Spannung Hj wird • nun folgender-

mafsen ermittelt. Man legt einen Schnitt II durch das Dach derart, dafs an der einen (hier der rechten) Seite deffelben gar keine Latten liegen ; alsdann wirken auf den Theil rechts vom Schnitte nur die Spannungen der drei durchfchnittenen Stäbe und der Auf lagert! ruck Dy. Zwei von diefen Stäben fchneiden lieh im Firftpunkte; die in ihnen wirkenden Spannungen können alfo durch eine Mittelkraft R erfetzt werden, welche durch den Firttpunkt C geht; demnach halten die drei auf das Bruchftück wirkenden Kräfte Dj, Hy und die Mittelkraft R der beiden Stabfpannungen daffelbe im Gleichgewicht, fchneiden fich alfo in einem Punkte. Durch den Schnittpunkt a von Hy und Dy geht alfo auch R ; R geht aber auch durch C\ die Kraft R hat demnach die Richtung Ca. Nun können wir Dy nach den beiden bekannten Richtungen von Hy und R zerlegen ; Dy wird mit Plilfe des Seilpolygons conftruirt und ift (Fig. 306) gleich e £. Man erhält Hy = £ yj und R = yj s.

Die Kraft H, welche der Beladung des ganzen Daches entfpricht, ift dann gleich 2 X C **]• Es bedarf wohl kaum der Erwähnung, dafs in obiger Conftruction als Beladung des Firftknotenpunktes nur die Hälfte der anderen Knotenpunktsbelaftungen einzuführen ift. Die Laft im Firftknotenpunkte ift defs-

Fig. 308.

halb hier mit 4' bezeichnet.

aH--*

J'

n'

k’i

V'

77

r\

b'

l\h

Der Kräfteplan ift nun zu conftruiren, indem ftatt des Stabes E F die äufseren Kräfte H in den Punkten E und F wirkend eingeführt werden. Man trage die Laften /, 2 ... 6, 7 an einander (Fig. 308); auf 7 folgt Dy — ß y, dann die Kraft H im Punkte F gleich y 0 und H im Punkte E gleich 8s; s fällt mit y zufammen. Endlich ift an s der Auflagerdruck Dq = y a anzutragen , w'omit fich das Kraftpolygon lchliefst. Nun ift der Kräfteplan nach dem

in Art. 176 (S. 172) angegebenen Verfahren in Fig. 308 conftruirt, wobei vom Knotenpunkt A ausgegangen ift.

Für die Belaftung nur der einen Dachhälfte mit Schnee ift Hy, wie oben gezeigt, zu ermitteln und alsdann der Kräfteplan ohne Schwierigkeit zu verzeichnen.

Wenn der Dachbinder unfymmetrifch ift, fo kann das gezeigte Verfahren mit geringen Abänderungen gleichfalls Verwendung finden. Die Kraft H im Stabe EE ift die Summe der Spannungen H\ und H\\, Avelche durch links bezw. rechts vom Schnitte II liegende Laften hervorgerufen werden. Man ermittele zuerft den Theil H\ , welcher durch die Belaftung nur der Knotenpunkte links vom Schnitt II erzeugt wird, genau wie in Fig. 306 gezeigt ift; nur ift auch im Firftknotenpunkte die volle Belaftung einzufetzen. Dann beftimme man den Theil H\\, welcher durch die Belaftung nur der Knotenpunkte rechts vom Schnitt hervorgerufen wird; zu diefem Zweck fuche man den durch diefe Belaftung erzeugten Auflagerdruck Dq auf und zerlege ihn, wie oben Dy, hier alfo in H\\ und eine durch C gehende Kraft. Die in E E auftretende Spannung H ift gleich H\ -j- Hu ; der Kräfteplan kann nun leicht gezeichnet werden.

ß) Windbelaftung von der Seite des beweglichen Auflagers. Die Ermittelung der Auflagerdrücke wird, wie in Art. 208 (S. 208) gezeigt, vorgenommen; die Gröfse der Kraft H (im Stabe EE, Fig. 309) ergiebt fich wieder durch Betrachtung des Trägertheiles an derjenigen Seite des Schnittes II, an welcher die Winddrücke nicht wirken. Nachdem fodann die H als äufsere Kräfte eingeführt find, ift der Kräfteplan in gewöhnlicher Weife zu zeichnen. Die Conftruction ift in Fig. 309 vorgenommen.

y) Winddruck von der Seite des feften Auflagers. Fig. 310 zeigt die Conftruction des Kräfteplanes für diefen Fall; nach dem Vorftehenden ift er ohne befondere Erklärung verftändlich.

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e) Sicheldächer.

Die Gurtungen können bei den Sicheldächern nach beliebigen krummen Linien geformt fein; gewöhnlich find beide Gurtungen Vielecke, welche Parabeln oder Kreifen eingefchrieben find. Die Beftimmung der Auflagerdrücke ift im Vorhergehenden gezeigt worden; die Stabfpannungen ergeben fich durch Rechnung oder Conftruction ohne Schwierigkeit. Hier foil nur die Gefetzmäfsigkeit der Spannungsänderungen für das parabolifche Sicheldach und für lothrechte Belattungen gezeigt werden.

228.

Form

der

Dachbinder.

-f.....-Vj:

FT

Fig. 311-

C.

'es-

Die

chungen der beiden Curven heifsen, wenn die Pfeilhöhen h und h₁ find, nach Art. 189 (S. 191) für A als Anfangspunkt der Coordinaten (Fig. 311)

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Glei-

{L x — x²) und yx —

1) Stabfpannungen bei lothrechter Belaftung. a) Für den Stab EF (Fig. 311) der oberen Gurtung ift G der Momentenpunkt, und wenn das Biegungsmoment für diefen Punkt mit Mx bezeichnet wird, ift X r 4- Mx = 0, sPannunsen

7| T    '    durch lothrechte

woraus X —--— .    Belaftung.

y=-

L²

L²

•    •    325-

229.

Ermittelung

der

Nun ift r = (y — yx) cos 0 = Fig. 312.

jj (k - /li) & * -

x² )cos a

4

(Lx — x²) cos o;

alfo

X cos a = —

Mx L²

4 f ( L x — x²)

•    326.

y-y,

Für den Stab J G der unteren Gurtung (Fig. 312) ift E der Momentenpunkt, und wenn das Biegungsmoment für diefen Punkt

mit    bezeichnet wird

Nun ift

M=

d. h.

4

w = (?l — Yjj) cos o/ — —f{L k — S²) COS g',

Z cos a' =

M§ L²

32 7.

Aus den Gleichungen 326 u. 327 folgt:

a) Für volle, gleichmäfsig über die wagrechte Projection vertheilte Belaftung/ auf die Längeneinheit ift Mx — (L x — x²) und M= = ~- (L Ę, —    alfo

p L²

X COS G — —■

8/

und Z cos g' =

p L²

8/ ’ ‘

•    •    328.

d. h. die wagrechten Seitenkräfte der Gurtungsfpannungen find bei der angegebenen Belaftungsart in beiden Gurtungen conftant, und

zwar

gleich dem Gröfstmomente,

dividirt durch die Mittenhöhe der Sichel. Bei der Parabel find innerhalb der Grenzen, welche bei den Dächern Vorkommen, cos a und cos o' nahezu confiant. Das foeben gefundene Ergebnifs ftimmt mit dem in Art. 190 (S. 191 ) für die Parabelträger ermittelten überein. Durch Aufhellung der Gleichgewichtsbedingung für einen Knotenpunkt der oberen Gurtung, etwa F, ergiebt fich ferner (Fig. 313)

P-

d. h.

0 = Xm cos om — Xm_l cos om _ x -f- Ym cos <p„

+ y,n cos oder Ym — 0 .    .    .    .    329.

Für die angegebene Belaftung find daher bei den parabolifchen Sicheldächern die Spannungen fämmtlicher Diagonalen gleich Null.

b) Alle zu den Gurtungsftäben gehörigen Momentenpunkte liegen zwifchen den lothrechten Linien der Auflager A und B (Fig. 311); für alle diefe Punkte find die Biegungsmomente bei lothrechter Belaftung pofitiv (fiehe Art. 156, S. 150); mithin erzeugt jede lothrechte Belaftung in den Stäben der oberen Gurtung Druck, in denjenigen der unteren Gurtung Zug. Gröfster Druck, bezw. Zug für lothrechte Belaftung wird demnach in allen Stäben bei voller Belaftung des ganzen Dachbinders ftattfinden.

ß) Für die Spannungen in den Diagonalen ergiebt fich nach demfelben Verfahren, welches in Art. 191 (S. 192) angewendet ift, um die Beanfpruchungsart der Diagonalen des Parabelträgers zu ermitteln: Jede Belaftung zwifchen dem durch eine Diagonale gelegten lothrechten Schnitte und jenem Auflager, nach welchem die Diagonale zu fällt, erzeugt Zug in derfelben; jede Belaftung zwifchen dem Schnitte und demjenigen Auflager, nach welchem die Diagonale fteigt, erzeugt in derfelben Druck, Gröfster Druck, bezw. Zug finden demnach ftatt, wenn nur die Druck-, bezw. Zugabtheilung der betreffenden Diagonalen belaftet ift. Es ift nicht noting, bei einem Dache diefe verfclnedenen, jedenfalls für die meiften Diagonalen überhaupt wohl nicht vorkommenden Belaftungsarten der Berechnung zu Grunde zu legen; es genügt eine Belaftung nur der einen Dachhälfte durch Schnee als un-günftigfte lothrechte Belaftung einzuführen. Die hierbei fich ergebenden Spannungen find mittels der Ritter fchen Methode leicht zu finden.

7) Bezüglich der Spannungen in den Pfoften ergiebt fich, wie oben, folgendes Gefetz : Gröfster Druck, bezw. Zug findet in einem Pfoften bei der Belaftung ftatt, welche in derjenigen Diagonalen den gröfsten Zug, bezw. Druck erzeugt, die mit

dem Pfoften in einem Knotenpunkt der nicht belafteten Gurtung zufammentrifft. Auch hier genügt es, als zufällige lothrechte Beladungen nur die Belaftung des ganzen Daches und diejenige der einen Dachhälfte anzunehmen.

Fig. 314.

Null

Bei Belaftung des ganzen Dachbinders mit der gleich-mäfsig über die wagrechte Projection vertheilten Belaftung p ergiebt fich die Spannung aller Pfoften durch Aufftellung der Gleichgewichtsbedingung für einen Knotenpunkt der unteren Gurtung. Es ift

^m-i    ain 1 G

(Füg. 314), da die Spannung in der Diagonalen alsdann gleich Null ift,

p Z.²

0 = K*-f Zm sin n'm — Zm_x sin a'm

und

8/

(tg o'm - tg <Ym _ 1).

Fig. 3¹5 -

- V-

Wird (mit geringem Fehler) die Curve als ftetig gekrümmt angefehen und werden die Richtungen der Stäbe als parallel zu den in den Mitten der unteren Gurtungs-ftäbe an die Parabel gelegten Tangenten eingeführt, fo ift

tg a',„ =

4 hl

L²

(L — 2 xm) und tg    =

4 hx

L²

(L,    2 xm _ i),

fonach

0 = VĄ

p L² 4 hx

8/ L²

2 (xm

- xm) = V -

P hx

a, woraus V —

p hx a

330.

V nimmt ab, wenn hx abnimmt; für = 0 ift V = 0.

2) Stabfpannungen bei einfeitiger S chneebelaftung. Bezüglich der Belaltung durch einfeitige Schneelaft ift Folgendes zu beachten. Man braucht nicht für beide Belaftungsarten, diejenige des ganzen Daches und diejenige der einen Dachhälfte, die Spannungen zu berechnen ; vielmehr genügt für fymmetrifch zur

feitiger Belaltung, um diejenigen zu erhalten, welche bei voller Belaltung ftattfinden, und gleichzeitig zu ermitteln, welche Belaftungsart die gefährlichere ift. Die Belaltung der linken Dachhälfte erzeugt etwa (Fig. 316) im Stabe EF die Spannung g‘ ; die Belaltung der rechten Dachhälfte erzeugt in demfelben Stabe die Spannung g“. Die volle Belaltung hat offenbar im Stabe EF die Spannung g‘ -j- g“ zur Folge. Liegt nun NO genau fymmetrifch mit E F, fo wird die Spannung n‘ in NO bei der erlteren Belaftungsart genau fo grofs fein, wie g". Es ift aber

230.

Ermittelung

der

Spannungen

mittleren Lothrechten angeordnete Conftruction die Kenntnifs der Spannungen bei ein- durch einfeitige

Schneelaft.

gtota.1 — g‘ ■T g" — g¹ + »'•

Die durch die Belaltung des ganzen Daches in einem Stabe entltehende Spannung ilt alfo gleich der Summe derjenigen Spannungen, die durch Belaltung der einen Dachhälfte in dem betrachteten Stabe und in dem fymmetrifch zur Mitte liegenden Stabe entliehen. Wenn die fymmetrifch zur Mitte liegenden Stäbe bei der Belaftung einer Dachhälfte in gleichem Sinne beanfprucht werden, alfo beide Zug oder

beide Druck erhalten, fo ilt die Summe diefer Spannungen gröfser, als jede einzelne, d. h. die volle Belaltung des Daches ilt ungünlti-ger, als die einfeitige. Werden beide Stäbe in entgegengefetztem Sinne beanfprucht, fo ilt die Summe beider kleiner, als die gröfsere von beiden, demnach die einfeitige Belaltung als ungünftigere einzuführen.

Fig. 316.

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Dabei ilt

zu beachten, dafs in letzterem Falle beide Stabfpannungen als ungünltige einzuführen find, da nicht nur die Maximal-, fondera auch die Minimalfpannungen von Wichtigkeit find. Wenn ein Mittelfeld mit zwei fich kreuzenden Zugdiagonalen vorhanden ilt, fo gilt die vorltehende Entwickelung ebenfalls ; jedoch ilt ftets nur diejenige Diagonale des Mittelfeldes als vorhanden zu betrachten, welche bei der betreffenden Belaftung Zug erleidet.

Was foeben vom Sicheldach angegeben wurde, gilt felbltverltändlich von jedem aus zwei fym-metrifchen Hälften zufammengefetzten Dachltuhl.

Falls der Binder nicht fymmetrifch zur lothrechten, durch den Firlt gelegten Linie angeordnet ift, fo ermittele man nach einander die Spannungen, welche in fämmtlichen Stäben durch einfeitige Schnee-belaftung der links vom Firlt gelegenen Dachfeite hervorgerufen werden, fodann diejenigen, welche durch einfeitige Schneebelaltung der rechts vom Firlt gelegenen Dachfeite erzeugt werden. Die durch volle

238

Schneebelaltung des ganzen Daches hervorgerufenen Spannungen find gleich den Summen der bezüglichen Einzelfpannungen. Durch Vergleich der Einzelfpannungen und der Summen findet man für die einzelnen Stäbe leicht die ungünfligften Schneebelaltungen und die letzteren entfprechenden Spannungen.

3) Stabfpannungen bei Belaftung durch Winddruck. Windbelaftung entftehenden Stabfpannungen find fowohl für den Fall, dafs der Spannungen Wind von der Seite des beweglichen Auflagers kommt, wie für den Fall zu er-

durch

Winddruck.

231.

Ermittelung

Die durch

der

Fig. 317.

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232.

Gegen

diagonalen.

mitteln, dafs der Wind von der Seite kommt, an welcher das feile Auflager liegt. Die Berechnung ift nach Früherem leicht durchzuführen.

4) Gegendiagonalen. Aus dem Belaftungsgefetz für die Diagonalen geht hervor, dafs jede Diagonale fowohl Zug, wie Druck erhalten kann; will man dies

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233-

Beifpiel.

234-

Spannungen.

235-

Ungünftigfte

Belaftung.

24O

vermeiden, fo find Gegendiagonalen anzuwenden, worüber das im Kapitel »Träger« (Art. 186, S. 187) Gefagte auch hier gilt.

Beifpiel. Für das nachftehend näher befchriebene Sicheldach find in Fig. 317 bis 319 die Stab-fpannungen ermittelt, und zwar zeigt Fig. 318 den Binder und die Spannungsermittelung für Belaftung durch das Eigengewicht, Fig. 319 die Spannungen für einfeitige Schneelaft, Fig. 317 diejenigen für Wind, belaftung von der Seite des beweglichen, bezw. fetten Auflagers.

Die Hauptmafse und Belaftungen des Dachftuhles find: Stützweite Z = 24m; Anzahl der Felder gleich 6; Feldweite gleich 4m; Pfeilhöhe der oberen Parabel h — 4,8 m, der unteren Parabel = 2,4 m ; die Binderweite ift 4,2 m ; die Dachdeckung Eifenwellblech auf Eifenpfetten.

Die Ordinaten der beiden Parabeln ergeben fich aus den Gleichungen 325 :

für x =    4

ift y — 2,07 y i = 1,33

16

4,27

2,13

2,67 m, 1,33 m •

Ferner ift tg a, =    ’°⁷- = 0,gg75

4

«! =    33u40',

tg a₂ =

4,27 - 2,67

— 0,4 , tg a₃ =

4,8 - 4,27

:= 0,1325 ;

a₂ = oo 22°,

X₂ = y4²    1,6² = 4,3i m

a₃ = o; 7°30' ;

X₃ = \/4² —0,53 ² = 4,04 m.

X| = \J4² -}- 2,07² = 4,8i m

Die Belaftung durch das Eigengewicht beträgt für Iqm wagrechter Projection der Dachfläche 42 kg, demnach für den Knotenpunkt G = 4,o, . 4,2.42 = 705,6 = eo 700kg; die Belaftung durch Schnee für den Knotenpunkt S ift gleich 4.4,2 . 75 = 1260kg; die Belaftung durch Winddruck ergiebt fleh nach Gleichung 7 folgendermafsen :

«₃ = 7° 30'

v = 36 kg,    #

N = 4,2 Xj . 83 = 00 1680kg,    = 4,2 X₂.64 = oo 1160kg, W₃ = 4,2 X₃ . 36 = 00 610 kg.

für a, = 33° 40', v = 83 kg,

«₂ = 22°,

v = 64 kg,

Aus den Werthen von TVj, A4> und A3 ergeben fleh leicht die Knotenpunktsbelaftungen. Von Wj kommt die Hälfte auf den Knotenpunkt 0, die andere Hälfte auf den Knotenpunkt /; ähnlich verhält es fich mit II und III. Die beiden in einem Knotenpunkte (7, bezw. II) wirkenden Laften find alsdann leicht zu einer Mittelkraft zu vereinigen, wie in Fig. 317 gefchehen.

f) Pultdächer.

Die Pultdächer find Balkendächer, welche man fich aus den Satteldächern, bezw. Tonnendächern dadurch entftanden denken kann, dafs die Hälfte an der einen Seite der lothrechten Mittelaxe fortgelaffen ift. Die Ermittelung der Belaftungen, der Auflagerdrücke und der inneren Spannungen, fei es auf dem Wege der Rechnung, fei es auf dem der Conftruction, ift genau in derfelben Weife vorzunehmen, die in den vorftehenden Artikeln gezeigt ift, wefshalb hier nicht weiter darauf eingegangen zu werden braucht.

3. Kapitel.

Sprengwerksdächer.

Entfprechend den Bemerkungen in Art. 205 (S. 207) follen als ungünftigfte lothrechte Belaftungen nur die Schneebelaftung des ganzen Daches und diejenige einer Dachhälfte der Berechnung zu Grunde gelegt werden, ferner die einfeitige

241

Windbelaftung als ungünftigfte fchiefe Belaftung. Bei der Schneebelaftung ift fodann für jeden Stab zu unterfuchen, ob die Belaftung des ganzen Daches oder diejenige der einen oder der anderen Hälfte die ungünftigere ift. Zu diefem Zwecke genügt nach Art. 230 (S. 237) die Beftimmung der Stabfpannungen bei einfeitiger Schneebelaftung.

Aus der Gröfse und Art der Beanfpruchungen fämmtlicher Stäbe bei diefer Belaftung find alsdann, wie dort gezeigt ift, die ungünftigften lothrechten Belattungen, fo wie die Gröfsen der ungünftigften Spannungen leicht zu ermitteln.

236.

Berechnung

der

Die Berechnung der Spannungen erfolgt, wenn die Auflagerkräfte ermittelt find, nach der Momentenmethode genau, wie bei den anderen Dächern. Es handle fich für eine beliebige lothrechte Belaftung (Fig. 320) um die Spannungen X, Y, Z Spannungen.

Fig. 320.

P,

G

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F,

k.

TI

in den Stäben EF, EK, GK. Für EF ift K der Momentenpunkt, und für das Trägerftück zwifchen A und dem Schnitte / / wird

0 = Vx — Hu — (x — tj₄) -{- Xr,

woraus

X= -

[Vx - Hu — P₄(x — 7j₄)].

Für G K ift E der Momentenpunkt, und es wird

0 = VF — Hv — Zz, woraus Z

X-(Vx‘ -Hv).

Endlich ift y der Momentenpunkt für EK, und es wird

woraus

0 — Vw — Hd — PL (w — 7j₄) — Yy,

Y = — [ Vw — Hd — (zu — t)₄)].

Man kann auch, was oft einfacher ift, die Gleichgewichtsbedingung für das Trägerftück zwifchen C und dem Schnitte II aufftellen; felbftverftändlich ergeben fich diefelben Refultate.

Für fchiefe Belattungen ift das Verfahren genau das gleiche.

237.

Graphifche

Ermittelung

der

Spannungen.

Sollen die Spannungen auf graphifchem Wege ermittelt werden, fo wird, nachdem für die angenommenen Belattungen die Lagerkräfte der Punkte A und B ermittelt find, für jede Hälfte der Kräfteplan nach Cremona in mehrfach erörterter Weife conftruirt. In Fig. 321, 322 u. 323 find diefe Kräftepläne für Belaftung durch Eigengewicht, einfeitige Schneelaft und Winddruck conftruirt.

Handbuch der Architektur. I. i, b. (3. Aufl.)

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4. Kapitel.

Ausleger- oder Kragdächer.

238.

Auflager-

drücke.

Die Ausleger- oder Kragdächer find Dächer, welche, wie die Ausleger- oder Kragträger (fiehe Art. 158 bis 161, S. 1 51 bis 154), an ihrem einen Ende unterftützt find, am anderen Ende frei fchweben. Demnach mufs auch hier, falls Gleichgewicht ftattfinden foil, Seitens der Wand, an welcher das Auslegerdach befeftigt ift, ein Auflagerdruck und ein Moment geleifhet werden.

1) Auflagerdrücke. Für loth rechte Belaft ungen ift der Auflagerdruck im Punkte A (Fig. 324)

A = s (P)

Das Seitens der Wand zu leiftende Moment mufs dem refultirenden Momente

331.

der äufseren Kräfte, d. h. demjenigen von X (P) und A genau gleich fein und entgegengefetzte Drehrichtung haben. Da D₀ = S (P) ift und beide Kräfte einander parallel lind, fo bilden fie ein Kräftepaar mit dem Momente M₀ = x E (P). Die-felbe Gröfse hat alfo das von der Mauer zu leiftende Moment. Wir denken uns

diefes Moment durch zwei gleiche, parallele und entgegengefetzt gerichtete Kräfte H in den Punkten A und B gebildet ; alsdann ift Hh =    = x₀ S (P) und daraus

332.

*(P)x 0

Fig. 324-

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27PJ

Ueber die Ermittelung von Dq auf graphifchem Wege braucht nichts weiter gefagt zu werden. Um II zu conftruiren (Fig. 324), fuche man die Mittelkraft von Px, R%, /g... auf bekannte Weife ; alsdann wirken auf das Dach 4 Kräfte : £ (/*), Z>q, II im Punkte A und H im Punkte B. Faffen wir je zwei von diefen vier Kräften zu einer Mittelkraft zufammen, fo geht die Mittelkraft von H und Dq durch A, diejenige von £ (/*) und der in B wirkenden Kraft II durch a; beide halten das Dach im Gleichgewicht; ihre Richtungen fallen alfo in eine gerade Linie, in die Linie aA. Man trage fonach die Laften i, 2, 3 . . . an einander zu as, ziehe durch a eine Linie parallel zur Richtung von R, durch s eine Linie parallel zur Richtung von II; alsdann ift e£ = H und £a — R. Um nun das Kraftpolygon der äufseren Kräfte zu vervollftändigen, trage man an £ die Kraft Z>q = £ 7] = a e und an yj das in A angreifende II = -qa. Damit fchliefst fich das Kraftpolygon.

Bei der Belattung durch Winddruck (Fig. 325) entfteht im Punkte A ein fchiefer Stützendruck, welcher in eine lothrechte Seitenkraft Dx und eine wagrechte

Fig- 325-

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zu erzeugen beftimmt

Seitenkraft Hx zerlegt werden kann. Aufserdem mufs von der Wand ein Moment geleiftet werden, welches in Bezug auf A als Momentenpunkt demjenigen der Windlaften gleich, der Drehrichtung nach entgegengefetzt iffc. Um diefes Moment bringen wir in B eine Kraft H an, welche fich aus der Bedingung

— S (N) r, woraus H= ~ S (N).

Dx — ïi (N) cos a und Hx — H £ {N) sin a = X (N) (—j- -(- s^n a)

0 = Hh

Ferner wird

Die Conftruction der Kräfte Hy, Dy und H erfolgt in ähnlicher Weife, wie bei lothrechter Belaftung. Man vereinigt E (W) und die in B angreifende Kraft H zu einer Mittelkraft, welche durch b geht, und Hy mit Dy zu einer zweiten Mittelkraft, welche durch A geht. Beide Kräfte halten das Dach im Gleichgewicht, haben alfo die Richtung bA, bezw. Ab.

Ift a 0 = E (W), fo ziehe man durch 8 eine Parallele zur Richtung von H, durch a eine Parallele

Fig. 326.

fgh

7S

(a

11

.4.

\ c.

\/

'm n

fo P

Do

(o

s<4

*1(P)

-H

Fig. 327.

~>//

/o *

e/gh

LL

As

1/

i.

3'

'm

n,

\c

'0

zur Richtung von W\ man erhält als Schnittpunkt s, und es ift 8 e = H, sa. — IV. Nun zerlege man e a in Dy und Hy, fo wird g £ — Dy, = //j.

2) Stabfpannungen. Um die Stabfpannungen zu ermitteln, find hier nur Belaftung durch das Eigengewicht, durch volle Schnee- und volle Wind-belaltung in das Auge zu faffen.

Die Berechnung für die ver-fchiedenen möglichen Formen ift nach der Momentenmethode ohne Schwierigkeit durchzuführen, und zwar fowohl wenn die Laften lothrecht, als wenn he fenkrecht zur Dachfläche gerichtet find ; es braucht darauf hier nicht weiter eingegangen zu werden.

Das graphifche Verfahren ift in Fig. 326 u. 327 für einen Ausleger-Dachftuhl, und zwar für Belaftung durch Eigengewicht und durch Winddruck , durchgeführt. Zuerft find die äufseren Kräfte, wie oben gezeigt, ermittelt, in der Reihenfolge der Knotenpunkte an einander getragen, und dann ift der Kräfteplan verzeichnet, der ohne Weiteres verftändlich ift.

239.

Stab-

fpannungen.

246

5- Kapitel.

Kuppel-, Zelt- und Thurmdächer.

a) Kuppeldächer.

240.

Allgemeines.

Die Kuppelfläche entlieht durch Drehung einer Curve um eine lothrechte Mittelaxe ; fie ift alfo eine Umdrehungsfläche.

Fig. 328.

Während man früher die Kuppeldächer aus einer Anzahl radial geftellter Binder conftruirte, find bei den neueren, von Schtuedler erfundenen und vielfach mit beftem Erfolg ausgeführten Kuppeldächern fämmtliche Conftruc-tionstheile in die Kuppelfläche verlegt. Eine Anzahl von Sparren wird in der Richtung der Meridiane der Kuppelfläche angeordnet

und in verfchiedenen Höhen durch wagrechte Ringe mit einander verbunden; letztere find den Parallel-kreifen der Kuppelfläche eingefchriebene Vielecke.

In den fo entftehenden Vierecken find alsdann, wegen der ungleichmäfsigen Belaftung, noch Diagonalen angeordnet, und zwar meiftens gekreuzte Zugdiagonalen. Gewöhnlich ift eine Belaftung der Kuppelmitte durch eine fog. Laterne vorhanden.

Die ganze Conftruction bildet demnach ein der Kuppelfläche eingefchriebenes Polyeder; in Fig. 328 find Anficht und Grundrifs derfelben dargeftellt (letzterer nur für ein Viertel der Kuppel). Man nennt folche Kuppeln Schwedler iche oder Flechtwerkkuppeln.

Die von Schzvedler³⁵) angegebene Berechnungsweife diefer Kuppeln kann nur als eine Annäherungsrechnung betrachtet werden : fie legt nur lothrechte Laften und der Hauptfache nach gleichförmig vertheilte Belaftung ganzer oder halber Ringzonen zu Grunde. Bei diefen Annahmen wird die Berechnung fehr einfach, führt aber trotzdem zu Ergebniffen. welche fleh in einer grofsen Zahl ausgeführter Conftructionen feit einer längeren Reihe von Jahren vollauf bewährt und allen Kräfteangriffen gewachten gezeigt haben. Defshalb foil diefe Berechnungsweife, welche in den aller-meiften P'ällen für die Praxis genügt, nachftehend vorgeführt werden (Art. 241 bis 245).

Eine neuere, auf der Theorie des Raumfachwerkes beruhende Berechnungs-

weife der Flechtwerkkuppeln, und zwar für ganz beliebige Belattungen, ift von Müller-Breslau 3 6) aufgeftellt worden.

Nach Vorführung der Schwedler ichtn Berechnungsweife follen in Art. 246 bis 249 die Grundlagen derjenigen von Müller-Breslau angegeben werden.

1) Berechnungsweife von Schwedler.

a) Beladungen und Auflagerdrücke.

Die hier zu betrachtenden Kuppeln find fo flach, dafs der Winddruck nur von geringer Bedeutung ift; derfelbe foil defshalb, unter Zugrundelegung einer mittleren Dachneigung, in allen Theilen der Kuppel confiant angenommen werden. Hier wird nur die lothrechte Seitenkraft ü (vergl. Art. 30, S. 23) des Winddruckes berück-flchtigt; die in die Dachfläche fallende Seitenkraft kann vernachläfflgt werden. Endlich ift es empfehlenswerth, alle Belattungen auf das Quadr.-Meter der Grundfläche, alfo der wagrechten Projection des Daches, zu beziehen.

Die Latten greifen in den Knotenpunkten der Conftruction an; demnach find die auf die einzelnen Knotenpunkte entfallenden Flächen zu berechnen und mit diefen die Belattungen für die Einheit der Grundfläche zu multipliciren.

Wären keine Ringe angeordnet, fo würden die einzelnen Sparren fchiefe Drücke auf die Auflager ausüben und von diefen erleiden ; durch einen Ring, gegen

welchen fleh fämmtliche Sparrenfiifse fetzen, den fog. Mauerring oder Fufsring, werden die waget rechten Seitenkräfte der in den unterften Sparren-£t ftäben (S₄ in Fig. 329) vorhandenen Spannungen aufgehoben, fo dafs bei den angenommenen Belattungen als Auflagerdrücke nur lothrechte Kräfte wirken. Entfprechend den im folgenden Artikel vorzuführenden Annahmen braucht die Berechnung der Auflagerdrücke nur für Belattungen vorgenommen zu werden, bei welchen ganze Ringzonen belaftet find. Wenn der Grundrifs der Kuppel ein regelmäfsiges «-Eck ift, und demnach n Sparren vorhanden find, fo kann genommen werden, dafs bei den erwähnten Belattungen alle Sparren gleiche Latten tragen. Die Kuppel trage eine Laterne, deren Gewicht im Eigengewicht der erften Ringzone mit enthalten fei. Die Eigengewichte der ganzen Ringzonen feien bezw. (Fig. 329) Gv G₂, G.j, G₄ . . . und die zufälligen Latten der ganzen Ringzonen Pv Pv P₃, jP₄ . . .; alsdann ift, wenn der Stützendruck auf jeden Sparren DQ beträgt, für volle Belattung der ganzen Dachfläche

«Ą = G, + C, + G, + C₄ + ...+/»+/>, + />, + Ą + ... = ï (S) + S (/>).

Wenn etwa nur die drei obertten Zonen voll belaftet find, fo wird n DQ‘ == Gx -f- G₂ -j- Ga -f G₄ -f- Px -f P₂ -|- P3 fein. Auf diefe Art find die Auflagerdrücke leicht zu ermitteln.

241.

Beladungen.

242.

Auflager

drücke.

Fig. 329.

it

Do

■H

an-

³⁶) In: Beitrag zur Theorie des räumlichen Fachwerks. Centralbl. d. ßauverw. 1892, S. abdruck erfchienen.) — Vergl. auch:

Kofahl. Beitrag zur

Hübner. Bemerkungen über das räumliche Fachwerk. Ebendaf. 1897, S. 477, 632, 634.

MüLLER-Breslau, H. Beitrag zur Theorie der Kuppel- und Thurmdächer etc. Ebendaf. 1898, S. 1205, 1233.

201. (Auch als Sonder-

Theorie der Kuppeldächer. Zeitfchr. d. Ver. deutfeh. Ing. 1896, S. 1133; 1898, S.

713-

248

ß) Stabfpannungen.

21) Ungünftigfte Beanfpruchung der einzelnen Stäbe. Es follen, nach Schzvedler, für die Grenzen der Spannungen die folgenden vereinfachenden An-(pannungcn. nahmen gemacht werden:

243-

Berechnung der Stab-

a) die Sparren erhalten den gröfsten Druck, wenn die ganze Kuppel voll be-

laftet ift;

6) ein Ring erhält feinen gröfsten Zug, wenn der innerhalb deffelben befindliche Kuppeltheil voll belaftet, der Ring felbft mit feiner Zone aber unbelaftet ift; bei der entgegengefetzten Belaftungsart treten die entgegengefetzten Grenzen ein;

c) die Diagonalen zwifchen zwei Sparren erhalten ihren gröfsten Zug, wenn die halbe Kuppel auf einer Seite des durch die Mitte der Diagonalen gehenden Durchmeffers voll, die andere halbe Kuppel nur durch das Eigengewicht belaftet ift.

23) Spannungen in den Sparren. Wir betrachten nur zwei Belaftungs-arten, nämlich die Belattung der ganzen Kuppel durch zufällige Laft und die Belattung der Kuppel durch Eigengewicht.    Die zweite Belaftungsart ergiebt die

Minimalfpannungen. Die Maximalfpannungen der Sparren find die Summen der bei den beiden angeführten Belaftungsarten fich ergebenden Spannungen. Die Formeln für beide Belaftungsarten unterfcheiden fich nur durch die Gröfse der Latten.

Fig. 33°-

Fig- 331-

Was zunächft die

Rn

⁴1

s„-

H,

'"W

Km-L

zufällige Belattung betrifft, fo find im m-ten

-/

7/„,

-------

Knotenpunkte P>

(vom Laternenringe gerechnet) in E (Fig.

330 u. 331) folgende Kräfte im Gleichgewicht: die Spannungen der Sparren Sm_x und Smf die Laft ~ Pm,

an

4-4

p-'

HP

Letztere find einander, der Symmetrie gleich und haben in der wagrechten Ebene des m-ten Ringes die Mittel-Die algebraifche Summe der lothrechten Kräfte für den Punkt E ift

endlich die beiden Ringfpannungen Rm. wegen kraft Hm.

gleich Null; mithin

- Pm + Sm sin rJ-m ~

11

sin aOT_

woraus

sm

1 sin a.nl1

sin n.m

n sin am

Für den erften Knotenpunkt, den Knotenpunkt am Laternenringe, für J, ift Sm-x — 0; mithin folgt der Reihe nach für nt = 1, 2, 3 ... .

P\ sin al 11 sin sin a₂

1 P,

n sin

; ^ -

Px + Pj sin «2

11 sin a₂ sin a,{

P. + P, .

n sin a₂

11 sin a₂ ’

P*

11 sin a₃

P, + P, + P» .

11 sin a₃

oder allgemein

Sm = -

334-

n sin nm

Eben fo ergiebt fich die Spannung in den Sparren für eine Belaftung durch das Eigengewicht zu

S' ' — °1 —

Gx

(G-1 + ^2) .

S(G)

n sin ax

■ - SJ =

n sin a.m

• 335.

Die Gleichgewichtsbedingung, nach

©) Spannungen in den Ringen, welcher die algebraifche Summe der wagrechten Kräfte im Punkte E gleich Null

ift, lautet (Fig. 331):

i-

0 = Hm -j- Sm _ ! cos a.m _ ! — Sm cos a,„, woraus Hm = cos am — Sm _ 1 cos am _

Da Hm die Mittelkraft der beiden Ringfpannungen Rm ift, fo ergiebt fich

2 sin ß

fonach Rm = -

Hm = 2 sin ß

Fig. 33²-

woraus

Rm =

Nun ift (Fig. 332) ß =

360°

7t

2 sin —

Wird in diefe Gleichung der

ft

~~ J:

TTt

r;

für Hm gefundene Werth eingefetzt, fo folgt Sm cos am — Sm _ ! cos <xm

■ Rm —

2 sin —

■ • 336.

72

Wir beftimmen nach Gleichung 336 die Ringfpan-nung durch das Eigengewicht und die Maximal- und Minimal-Ringfpannung durch zuiällige Belaftung.

Durch das Eigengewicht wird

7)1

X (G) cos am

7)1 — 1

R* =

72 sin CLm

+ -¹

S (G) cos am _ !

n sin a,„ _ 1

2 sin —

77

771

S (£) cotg aw — S (£) cotg a

Man erhält

R* — —

±'-77l

2 77 sin

■    •    337-

72

für den Laternenring (;m = 1):    = —

6^ cotg a,

TT ^

2 72 sin —

77

für den Ring 2 (772 = 2) : Rf = —

(gi -f G₂) cotg a₂ — 6^ cotg «L

_    . 7T

2 72 sin —

72

für den Ring 3 (772 = 3) :    = —

(6; + g₂+ g») cotg q₃ - (gt + g₈) cotg q,

2 72 sin —

etc.

250

Für den Mauerring ift S,„, alfo das erfte Glied im Zähler gleich Null; mithin, wenn für den Auflagerpunkt m — p ift,

P-i

X (G) cotg ap _

(Gx -f-    -f- Gp _ i) cotg ap __ i

2 « sin

- • 71 2 « sin —

■    •    339-

Um die durch zufällige Belaftung erzeugten Ringfpannungen zu ermitteln, fetzen wir in die Gleichung 336 die Werthe für Sm und Sm _ x ein. Es foil ©(" (A) die zwifchen den Knotenpunkten 1 und m befindlichen zufälligen Laften bezeichnen, wobei © ausdrückt, dafs nicht alle Knotenpunkte 1 — m belaltet zu fein brauchen ; im

m

Gegenfatz dazu foil X (P) andeuten, dafs alle Knotenpunkte von 1 bis m belaftet 1

find. Man erhält demnach allgemein für zufällige Belaftung aus Gleichung 336

R,n = -

(P) cotg am — ©r ¹ (P) cotg «,„ _ x

2 n sin —

. . 340.

Diefe Gleichung ermöglicht die Feftftellung der für die einzelnen Ringe un-günftigften Belaftungen (unter Vorausfetzung der Belaftung ganzer Zonen) und die Ermittelung der gröfsten Druck- und Zugfpannungen in den Ringen. Der gröfste Druck wird ftattfinden, wenn im Zähler das erfte Glied möglichft grofs, das zweite Glied möglichft klein ift. Jede Belaftung eines der Knotenpunkte 1 bis (m — 1) hat fowohl ein Wachfen des erften, wie des zweiten Gliedes zur Folge; da aber cotg a,„ _ 1 ftets gröfser ift, als cotg a.m, fo wächst das zweite Glied mehr, als das erfte, d. h. jede Belaftung des Knotenpunktes 1 bis (m — 1) verringert den Druck, vergröfsert alfo den Zug. Die Belaftung des Knotenpunktes m vergröfsert nur das erfte Glied, alfo den Druck. Die Belaftung der aufserhalb des m-ten Ringes liegenden Ringe ift nach der Gleichung ohne Einflufs auf die Spannung im m-ten Ringe. Daraus folgt, dafs in den Stäben eines Ringes (des #z-ten) der gröfste Druck ftatt-findet, wenn die Knotenpunkte 1 bis (z;z — 1) unbelaftet, die zum Ringe gehörigen Knotenpunkte dagegen belaftet find. Da die Belaftung der äufseren Ringe ohne Einflufs ift, fo kann man fagen : Gröfster Druck findet ftatt, wenn der innere Kuppeltheil unbelaftet, der äufsere Kuppeltheil, einfchliefslich des betrachteten Ringes, belaftet ift. Daraus folgt dann weiter, dafs gröfster Zug in den Stäben des zzz-ten Ringes auftritt, wenn nur der innere Kuppeltheil, ausfchliefslich der Zone, zu welcher der m-te Ring gehört, belaftet ift. Die hier gefundenen Ergebniffe ftimmen demnach mit den in Art. 243 (S. 248) gemachten Annahmen über die ungiinftigften Belaftungen überein.

Man erhält

min____

*- VI    -

Pm cotg am

und Rpm

max —

S (P) (cotg aw_! — cotg am)

2 n sin —

2 n sin —

• . 341.

Es ergiebt fich

25I

für den Laternenring (m = 1) : R*min — —

Px COtg «1

2 n sin —

für m = 2 : R{min =

_ P2 cotg «2 2 n sin

und R[

max

_ Px (cotg ai — cotg a₂) .

2 n sin —

342.

für m = ‘d: R{min

Ascotga,

2 n sin —

und Äf

max

(Pi + P%) (cotg a2 - cotg as)

2 11 sin

etc.

für den Mauerring : R*min = 0 und R^

tnaA

2 n sin

• 343-

Spannungen in den Diagonalen. Neben dem Durchmeffer, welcher für die ungünftigfte Diagonalenbelaffung die belaftete und unbelaftete Kuppelhälfte trennt, liegt ein belafteter und ein unbelafteter Sparren. Nehmen wir nun an, dafs die Spannung im erfteren fo grofs ift, als wenn die ganze Kuppel voll belaftet wäre, im zweiten fo grofs, als wenn die ganze Kuppel nur durch das Eigengewicht belaftet wäre, und machen wir die im Knotenpunkte anfchliefsende Diagonale ftark genug, um den ganzen Spannungsunterfchied zu übertragen, fo wird diefelbe jedenfalls zu ftark, ift alfo als ausreichend zu betrachten.

Im oberften Sparrenftück find die gröfsten und kleinften Druckfpannungen bezw.

\max —

P, ± G,

n sin o.x

und S

G.

\mi?L -

n sin ax

Die Differenz beider Spannungen iff Ax = —

Px

Diefelbe foil durch

n sin aj

die Diagonale übertragen werden. Bezeichnet man die wirkliche Länge der Diagonale und des Sparrens bezw. mit d und s, fo iff allgemein

Y=- A

mithin

y,=

Px_ dx

n sin aL ’ s₁

Px -f- P₂ d₂

n sin a₂ ’ s₂

Pj ~ł~ Py 4~ Pą d-.\

■    •    344-

n sin a₃

n sin a.

244.

Graphifche Ermittelung der Stab-fpannungen.

Auf graphifchem Wege laffen fich die Spannungen in den einzelnen Stäben einer Kuppel in folgender Weife ermitteln.

a)    Sparrenfp annungen durch das Eigengewicht. Die Latten in den einzelnen Knotenpunkten feien i, 2, j, 4, J (Fig. 333); man trage diefelben zu einem Kraftpolygon a ß f 8 e £ an einander. Im Knotenpunkte y wirken 1, die Sparrenfpannung 5^ und die Mittelkraft H\ der Ringfpannungen Rj. Die Zerlegung der Kraft 1 nach den beiden Richtungen von 5^ und Hx ergiebt ß to = ^, to a = Hy Am Knotenpunkt F wirken nun 2, S^, und H<±\ bekannt find jetzt 2 und Ą ; man erhält

Yjto = Hi- Eben fo ergeben fich die übrigen Sparrenfpannungen.

b)    Spannungen in den Sparren durch zufällige Belattung. Die Conftruction ift in gleicher Weife, wie unter 0 vorzunehmen, nachdem die in den einzelnen Knotenpunkten wirkenden zufälligen Latten genau wie oben aufgetragen und behandelt find.

c) Ringfpannungen durch das Eigengewicht. Die Zerlegung der für diefe Belattung gefundenen Werthe von II ergiebt ohne Schwierigkeit die Werthe für Rf R% . . . wie in Fig. 333 gezeichnet. Die Conttruction empfiehlt fich für die vorliegende Ermittelung nicht fehr, weil fie der fpitzen Schnittwinkel wegen nur ungenaue Refultate giebt, die Schnittpunkte vielfach nicht mehr auf die Zeichen-

Fig. 333-

.y

fr---Hj---»

sS

s₄

IV

D₀

-iL

łk

u/

Sc

S,

17

s.

X,

St

S'

fläche fallen. So ift Hy in Fig. 333 im fünffach verkleinerten Mafsftabe aufgetragen, um Ry ftruiren.

zu con

ti) Ringfpannungen durch zufällige Belattung. Maximalfpannung im Ringe II findet

ftatt, wenn

nur die Ringzone / belattet itt. Es fei (Fig. 334 a) ab=z-^-; alsdann wird bf —

= Hy.

Im Knotenpunkt F (Fig. 335) find S\ , und H^ im Gleichgewicht, d. h. das Kräftedreieck für Punkt F wird bgf. Darin itt H% = gf und gi — if = Ri max.

Im Ringe III itt Maximalfpannung, wenn die Zonen zu den Ringen / und II belattet find ;

Di

alsdann wirken in F die Kräfte = fb, 2 — bc — ——, 52' und H^¹. Man erhält leicht = hf,

S2 = c h. In E find dann    -Sg und im Gleichgewicht und H§ =kh, woraus

Eben fo wird R^

4

Minimalfpannung im Ringe I findet bei voller Kuppelbelattung ftatt ; alsdann wirkt in y die

p

— ——, und es wird, wenn (Fig. 334Ô) ab — i ift, ia — Hy. Die Zerlegung in die beiden n

Ringfpannungen ift dann in gleicher Weife wie oben vorzunehmen. Für Ring II findet Minimalfpannung bei einer Belattung der Zonen II, III, IV ftatt; / ift unbelaftet ; mithin ift alsdann gleich Null (fiehe

D

Gleichung 334). Ift bc ——— = 2, fo wird hb — H^. Eben fo wird weiter für die Minimalbelaftungen der einzelnen Ringe H§ — kc, Ily — md, H§ — ne.

e) Die Conttruction der Spannungen in den Diagonalen ift fo einfach, dafs diefelbe nicht weiter gezeigt zu werden braucht.

Kraft i

max

— on — m o etc.

Rf

3 max

-kl-Ih.

Fig. 334-

a) *■

h n-

fr

6\

s,

Sa

Si

■°k

cA

d\

ßPvia:

et

"s

y?f+

Fig- 335-

A Sj

S,

Beifpiel. Ein Kuppeldach von nachfolgenden Hauptmafsen und Belauungen iu zu conflruiren :

245-

Durchmeffer des zu überdachenden kreisförmigen Raumes gleich 47m, demnach der Durchmeffer des dem Mauerring umfchriebenen Parallelkreifes 2 L — 48m; Scheitelhöhe der Kuppel h — 8m; es find 6 Ringe mit den Halbmeflern 4, 8, 12, 16, 20 und 24m und n — 32 Sparren anzuordnen. Das Eigengewicht ill

h

zu 70kg für lüm Grundfläche anzunehmen; als mittlere Dachneigung ill ——

Beifpiel.

= — einzuführen,

6

und es ergiebt fleh hieraus nach Art. 28 (S. 21 ff.) als Belallung durch Schnee für 1 qm Grundfläche

2 L 48

Fig. 336.

24m-

fr

20-

fr

16

12

T---

-----

t----

ai ¹

y₅

is

75 kg, als Belallung durch Winddruck (flehe Art. 30, S. 23) für 1 qm Grundfläche u = 64 kg, fo dafs die gefammte zufällige Belallung für lqm Grundfläche abgerundet 140 kg beträgt; die Laterne wiegt 2000kg.

Die Kuppelfläche fei durch Umdrehung einer cubifchen Parabel der Gleichung hx³

4X 1

>k.____Al

le

x — 4

y = 0,04 h — y — z = 7,96

0,30

7,70

12

16

20

1,00

7,00

2,38

5,62

X³ = 0,00058 x³

24³

entllanden. Man erhält für die ver-fchiedenen, durch die Ringe vor-gefchriebenen Eckpunkte des Vieleckes (Fig. 336):

4,64

3,86

r3

8,0

Ferner ill

^1—^2 — y\ — 0,26 m ’    = Vs — y% — 0,7 m ! A₃ = y₄ —■ y₃ = 1,38 m ; A4 = y₅ — y₄ = 2,26 n» ;

A5 = JVfi — y5 = 3,sg m.

X₄ — y/ 4² -J⁻ Aj² — 4,oi m ; X*2 = 4,o6 m ; X₃ = 4,23 m ; X4 = 4,59 m ; X5 = 5,22 m-

Ai

sin a₍ = —-i- =

Xi

4

-T— = 15,38 ; cotg a₂ = 5,7 ; cotg a₃ = 2,9 ; cotg a₄ = 1,77 ; cotg a₅ =

0,0648 ; sin c*2 = 0,1724 ; sin 013 = 0,32 ; sin a₄ = 0,492 ; sin = 0,644.

cotg «1 =

AX

1,19.

4^- = 5° 37,5'; Sin — = Sin 5°37,₅' = 0,o₉₈ ;

32

2 n sin —

64.0,098

— 0,16.

Die Eigengewichte, bezw. zufälligen Belattungen der einzelnen Ringe find:

Laternenring: Gx - 2000 + 6² « . 70 = 9913kg, Px = 6² n . 140 = 15826 kg;

2.    Ring:    G2    — (10²    —    6²) tt    .    70 =    14067kg,    P₂    = (10² —    6²)    «    .    140 = 28122kg

3.    Ring:    C₃    = (14²    —    10²) n    .    70 =    21 100kg,    P₃    = (14* —    10²)    ir    .    140 = 42186kg

4.    Ring:    Ga    = (18²    —    14²) it    .    70 =    28133kg,    PĄ    = (18² —    14²)    ic    .    140 = 56248kg

5.    Ring:    Gs    = (22²    —    18²) it    .    70 =    35168kg,    A    = (22² —    18²)    it    .    140 = 70304kg.

Die Spannungen in den Sparren, welche durch das Eigengewicht hervorgebracht werden, find nach Gleichung 335 :

Sf =

Gl

9913

n sin ai

Gi H- Gg

32.0,065

23980

= — 4766 kg;

n sin 0-2

Gl + G'l + G₃

32.0,1724

45080

n sin a₃

Gl -f~ Gj - G₃ -]- G₄ _ n sin <x₄

G| -f- G2 + G₃ -f- Ga -j- G₅ _ n sin (X5

Die durch zufällige Belattung erzeugten Sparrenfpannungen betragen :

Sf = -

32 . 0,3 2 73213

32 • 0,492

108381

32 . 0,644

= — 4346 kg;

= - 4402 kg ;

= — 4651 kg;

= - 5258 kg.

sf = -

P\

15826

s{ = -

n sin a\

Pi-VP‘1

2,08

43948

= — 7608 kg;

n sin a-2

5,517

= — 7966 kg;

s( =

P\ + Pl + P3

86130

n sin cr.₃

= — 8400 kg;

10,24

P\ + ^2 4- p3 + Pj ₌ _ 142373

15,7 4

sp ___P\ P'i ~i~ P* ~l~ Pj ~f~ P5 ___ 212677

⁵    n sin 005

Die Ringfpannungen, welche durch das Eigengewicht hervorgerufen werden, find nach Gleichung 338 :

Sp - —

n sin a₄

20,6i

= — 9045 kg;

= — 10 319 kg.

Laternenring: R* = — 9913 • 15,38 . 0,ie = — 24396kg;

2.    Ring:    R(    =    — (    23980.5,7. — 9913 .    15,38    )    0,ie = +    2524kg;

3.    Ring:    Rf    =    — (    45080.2,9 — 23980    .    5,7    )    0,ie = +    953kg;

4.    Ring:    Rf    =    — (    73213 .    1,77 — 45080    .    2,9    )    0,ie = +    183kg;

5.    Ring:    Rf    =    — (108381 .    1,19 — 73213    .    1,77)    0,ie = +    98kg;

Mauerring: Rf = 108381 . l,i9 . 0,ie = 20636 kg.

Die Maximal- und Minimalfpannungen in den Ringen, durch zufällige Belattung erzeugt, betragen nach Gleichung 342 :

Laternenring : Rf min = _ 15 8 26.15,38.0,i 6 = — 38 932 kg und R{ max - 0 ;

2. Ring : R{ min - _ 28122 • 5,7.0,i e = - 25 647 kg,

Rpmax — 15 8 26 (15,38 — 5,7).0,16 = + 24514kg;

'•U.

Fig. 337-

o*

255

3.    Ring: Ąmin — — 42182.2,9.0,16 = — 19572 kg,

R{max - 43 948.2,8.0,1 e = -f- 19 689 kg ;

4.    Ring: Ąmin = — 56243.1,77 • 0,i6 = — 15 926 kg,

lĄmax — 86 130.1,13.0,16 = 4- 15589kg;

5.    Ring: Ąmin - — 70304-1,19.0,16 = — 13386kg,

R{max- 142373.0,58.0,16 = 4- 13212kg;

Mauer ring : Ąmin — 0 und Ąmax — 212677.1,19 • 0,16 = 4" 40 494kg.

Was fchliefslich die Spannungen in den Diagonalen betrifft , fo braucht nur die am ftärkften beanfpruchte Diagonale berechnet zu werden, weil felbft diefe noch fehr fchwach wird. Gewöhnlich macht man dann alle Diagonalen gleich ftark.

Die gröfste durch zufällige Beladung erzeugte Sparrenfpannung ift durch die Diagonale zu übertragen (fiehe Art. 243, S. 251); diefelbe ift = — 10319kg, und eine Diagonale hat demnach höchftens diefe Kraft aufzunehmen. Die Spannung in den Diagonalen wird daher

10319.7,02

F5 —

fein.

5,22

= 13877 kg

Man könnte noch für einige der oberen Diagonalen die Spannungen auffuchen, was nach dem Vorftehenden keine Schwierigkeit macht. Für die Querfchnittsbeftimmungen kann nun, wie bei den früheren Beifpielen, eine Tabelle aufgeftellt werden.

Bezeichnung des Stabes

Bezeichnung des Stabes

py)

P\

P‘1

Sparren:

Ringe:

■Si

S₂

s3

7 608

7966

8400

9045

— 10319

— 24396 + 2524 +    953

4-    183

Diagonalen :

— 38932 + 24514 + 19689 4- 15589 98    -j- 13212

4-20636    + 40494

13877

Kilogramm

Kilogramm

2) Verfahren von Müller-Breslau.

In jedem durch zwei Sparren- und zwei Ringftäbe gebildeten Trapez des Kuppelflechtwerkes fei nur eine Diagonale vorhanden, welche fowohl Zug wie Druck aufnehmen kann. Handelt es fleh um eine Conftruction mit gekreuzten Diagonalen, deren jede nur Zug aufnehmen kann, fo nimmt man genau, wie in Art. i86 (S. 187) bei den Trägern mit Gegendiagonalen gezeigt ift, zunächft nur eine, die bei der betreffenden Beladung auf Zug beanfpruchte, Diagonale als vorhanden an. Ergiebt fleh durch die Berechnung, dafs diefe Diagonale Druck erhält, fo tritt an ihre Stelle die Gegendiagonale, und das Ergebnifs kann durch eine Verbefferungsrechnung leicht

richtig gefleht werden.

Die in der Diagonale ac auftretende Spannung Y (Fig. 338) wird in der Ebene des betreffenden Feldes in jedem der beiden Knotenpunkte in zwei Seitenkräfte zer-/UY legt, welche bezw. in die Richtung des anfchliefsenden C Ringftabes und diejenige des anfchliefsenden Sparrenftabes fallen. Diefe Seitenkräfte flehen in ganz beftimmtem,

246.

Vor

bemerkungen.

Fig- 338.

a ^oY

X₀Y

,1)

Die Werthe von co und X kann man leicht durch Rechnung oder Zeichnung finden ; graphifch, indem man das Trapezfeld in wahrer Gröfse aufzeichnet, auf der Diagonale eine beliebige Länge für Y abträgt (etwa a f in Fig. 340) und das dem Felde ähnliche Trapez ad' fb' mit af als Diagonale conftruirt ; alsdann find feine Seiten :

ab' — (ùu Y, fd' = co₀ Y, d'a = X₀ Y b'f= KY,

co und X haben in den Feldern der verfchiedenen Zonen und allgemein auch in den Feldern derfelben Zone verfchiedene Werthe ; diefem Umftande ift in

Gleichung 345 durch die Zeiger Rechnung getragen.

247.

und

ri7

Ermittelung der Stab-

fpannungen. betrachteten Sparrenzuges DER . . . fällt, die Kraft P' und in eine zu diefer Ebene

256

durch die Form des Trapezes vorgefchriebenem Verhältnifs zu Y. Im oberen Knotenpunkte a zerlegt fich Y in die Seitenkräfte:

w₀ Yt welche in die Richtung des Ringftabes a b. und X₀ V, welche in die Richtung des Sparrenftabes a d Eben fo bezeichnen wir die Seitenkräfte von Y am unteren Knotenpunkte c mit coUY, bezw. \UY.

Verfährt man in diefer Weife mit jeder Diagonale und adclirt die erhaltenen Seitenkräfte zu den in den Ring-, bezw. Sparrenftäben wirkenden Spannungen Rv R₂ . . ., S'₁, S₂ . . ., fo hat man bei den Unterfuchungen, zunächft wenigftens, nur mit Kräften in den Ring- und Sparrenftäben zu thun ; die Diagonalen find vorläufig ausgefchaltet. Die Summenfpannungen in den Sparrenftäben follen mit ©, diejenigen in den Ringftäben mit 9Î bezeichnet werden, wobei die Zeiger die gleichen find, wie bei den mit lateinifchen Buchftaben bezeichneten Spannungen. Demnach ift (Fig. 339)

fällt.

s:

Fig. 339-

'Ri

Yg

¹ \R

r₆

8 8\ /8

@8 — Ą + \) 7

©V = SV + XV Y₈' + XV Y/ 9^8 — ^8 + W0 ^8 X* ⁼ K +    7* + ®o/

•    •    345•

s;

Y?

s;

co

Cd

Im Knotenpunkte E (Fig. 341) wirke eine äufsere Kraft P in beliebiger Richtung. Man zerlegt P in eine Seitenkraft, welche in die lothrechte Ebene des

fenkrechte Seitenkraft P" (in Fig. 341 im Grundrifs angegeben). Fig. 341 zeigt den Sparrenzug D E F im Grundrifs und Aufrifs. Die Aufrifsebene ift durch DEF gelegt. Auch weiterhin, insbefondere bei der Berechnung des Beifpieles in Art. 248, foil jeder Sparrenzug vor der graphifchen Zerlegung der Kräfte in die Zeichenebene gedreht werden, wodurch fich die Arbeit wefentlich vereinfacht. Im Punkte E halten einander nunmehr die Kräfte ©, ©', P' und H im Gleichgewicht; H ift die Mittelkraft der im Punkte E wirkenden Ringftabfpannungen und 9î„_i und der Seitenkraft P"\ diefe drei Kräfte wirken in einer wagrechten, durch E gehenden Ebene, alfo auch ihre Mittelkraft H. Diefe Mittelkraft H mufs aber auch in die Ebene des

Sparrenzuges DEF fallen; denn die fämmtlichen aufserdem noch vorhandenen Kräfte ©, <&' und P' fallen in diefe Ebene; das Gleichgewicht verlangt alfo, dafs auch die letzte Kraft H in diefe Ebene falle. Geht man nun vom Laternenringe aus, fo ift für den oberften Punkt © gleich Null ; mithin find aus der bekannten Kraft P'

Fig- 341-

leicht durch Zerlegung H und ©' zu finden. Im Grundrifs kennt man jetzt H und P" ; daher können auch hier die beiden fehlenden Kräfte (9Î„ und 9L-i) durch Conftruction eines Kraftpolygons gefunden werden. Bei den weiter unten folgenden Knotenpunkten ift aber © nach Vorffcehendem bereits ermittelt, und man hat wiederum für jedes Kraftpolygon nur zwei Unbekannte.

In Fig. 341 ift aß = © und ßy = P‘ durch vorherige Conftruction gefunden, bezw. gegeben; die zu ©' und H gezogenen Parallelen vervollfiändigen das Kraftpolygon. Es ift yd — <5' und Sa = H. An H ift nunmehr in S die Kraft Pu — Ss gelegt und £ da die Mittelkraft von H und P“ gleich derjenigen von 9U_x und 3î„ ift, fo geben die durch a und e gell zogenen Parallelen zu 9L-i und 9U die Kräfte 9î„ = s C und 9î«-i = £ a. Das Kraftpolygon a C s S a gehört zum Grundrifs; man kann aber beide Kraftpolygone, wie in Fig. 341 gefchehen ift, vereinen, wobei man das eine um die Linie aS in die Ebene des anderen gedreht denkt.

Aus den Werthen ©, 9L X und co können nun die Werthe S, R und Y ermittelt werden, indem man zunächft für die Knotenpunkte ohne Diagonalen die Werthe

für 5 und R auffucht und fo" eine Reihe

/3Ÿ

/C

p;

n-i

p"

P"

im

Pf

pp y

Fig. 342-

S₅

St

/A

Y'

m' /y

von bekannten Gröfsen erhält, durch deren Einführung in die Gleichungen 345 alle Unbekannten beftimmbar werden.

Das vorgeführte Verfahren foil an S' einem Beifpiele gezeigt werden.

Beifpiel. Die in Fig. 342 im Grundrifs und Aufrifs dargeftellte Kuppel über achteckiger Grundfläche, bei welcher der Durchmeffer des umfchriebenen Kreifes 20m beträgt, fei links der lothrechten Schnittebene A A nur mit dem Eigengewicht , rechts von der Ebene A A voll belaftet. Die Knotenpunktslaften betragen

248.

Beifpiel.

r₂

S3 \ /n3

durch Eigengewicht allein

y' /r:

Y'

T4

S’ I

v's'

/R?

■6>

S>

s'

7 r:

vn

Y'

'6

S7

'a

insgefammt

im Laternenring: G^rnöOOkg,    — 1500ks;

im mittleren Ring: C2 = 800k&, G<i-j-P% = 2500kg.

Die Latten werden als lothrecht angenommen; die diefer Belattung entfprechenden Stab-fpannungen find zu ermitteln.

Zunächft find nach Fig. 340 die Zahlenwerthe für ui₀, X?,, üiUl X« der oberen Felder und t»₀', X₀', u»?/, X?/ der unteren Felder ermittelt. Man erhält

(U₀    =    0,94,

01« = 0,39,

U>₀' = 0,96,

(Uu = 0,67 ,

Stäbe der oberen Felder. In den Knotenpunkten I, III, V, VII des Laternenringes

Xq - 0,8 ,

X« = 0,8,

X0‘ — 6,6,

X»' “ 0,6.

Handbuch der Architektur. I. x, b. (3. Aufl.)

17

treffen nur je drei Stäbe zufammen; die Zerlegung wird ganz, wie in Art. 247 gezeigt ift, vorgenommen. In jedem der Knotenpunkte I und III wirkt die Laft G — 500 kg, und man erhält durch graphifche Zerlegung

Sx = S₃ = — 1050 kg

und

Ä\ = Ä>₈ =    = — 1230kg.

In den Knotenpunkten V und VII wirkt die Belattung Gx -j- Px — 1500kg, und man erhält wie vor

SÖ = S~ = — 3150kg

und

S ₄ = Ih = ^6 = *7 = — 3700 kg.

Nunmehr find die Knotenpunkte mit Diagonalen zu betrachten.

Knotenpunkt II. Es wirken: Knotenpunktlaft Gx — 500kg; ferner die Stabkräfte

©2 — *8> 4~ *o *1 4~ *o12’

3^1 — -^1 ~t“    *1»

9*2 — ^'2 4~ “*0 *2'

Die graphifche Zerlegung von Gx in ©₂, 3ij und 3î₂ ergiebt wie oben

©₂ = — 1050 kg

und

Hieraus folgt

und

= Ä₂ = — 1230kg.

ui₀ Ft = S1 — Rx = 0,

u>₀ V> = %₂ — A\, = 0,

S₂ = ©₂ = — 1050 kg.

Eben fo ergiebt fich durch Betrachtung des Knotenpunktes VI:

F₆ = y₅ = 0 und 5₆ = — 3150 kg. Knotenpunkt IV. Knotenpunktslaft G\ -j- Px — 1500kg; demnach ©4 = 64 + X₀ r₄ + X₀ V₃ = — 3150 kg,

»3 = /f₃ + w₀ *3 = — 3700 kg

*1 = 0, V2 = 0.

9I4 =#4 + w₀ K₄ = — 3700 kg.

Oben war gefunden: R$ = — 1230kg und R4 r= — 3700kg; demnach ift

u>₀ F₄ = — 3700 + 3700 = 0,

E₄ = 0;

= — 2627 kg;

w₀ F₃ = — 3700 + 1230 = — 2470kg, 2470

0,94

S4 = — 3150 -j- 0,8.2627 = — 1050 kg. Knotenpunkt VIII. Knotenpunktslaft G, = 500kg; mithin

<S₈ = ■% + \ VS + >-oF7 = - 1050 kg,

9t₈ = ^8 -f ai₀ v₈ = — 1230 kg,

3i~ = JRf -j— Wq F₇ — — 1230 kg.

Oben ifl gefunden: R₈ — — 1230kg und = — 3700kg; daher wird

to₀ V₈ = — 1230 + 1230 = 0,

*8 — 0;

= -f- 2627 kg;

*7 =

u>₀ F₇ = — 1230 + 3700 = + 2470 kg, 2470

0,94

ss = — 1050 — 0,8.2627 = — 3150kg.

Demnach ift in den oberen Feldern

J?[ = — 1230 kg, R₂ = — 1230 kg, R₃ = — 1230 kg, Ä’A = - 3700 kg, Ag — — 3700 kg, A\ = — 3700 kg, A>T = — 3700 kg, Rg = — 1230 kg,

5₁    = — 1050 kg,

5₂    = - 1050 kg,

5₃    = - 1050 kg,

5₄    = — 1050 kg,

5₅    = — 3150 kg,

5₆    = — 3150 kg, •S'; = — 3150kg, ■%= — 3150 kg,

*t = 0;

*2 = 0;

F₃ = — 2627 kg; *4 = 0;

*"5 = 0;

>6 = 0;

v₇ = 4- 2627 kg; *8=0.

Stäbe der unteren Felder. In den Knotenpunkten II', IV, VI', VIII' fetzen keine Diagonalen an. Die graphifche Zerlegung erfolgt hier, genau wie in Art. 247 (S. 256) gezeigt ift. Man erhält

und

und

und

und

und

Knotenpunkt

IF: S₂ = — 1050kg

G₂ — 800 kg

Knotenpunkt VIIF : 5g = — 3150kg ,

54 = — 1700kg;

R\ —— 150kg und R₂ —— 150kg.

G₂ = 800 kg

Knotenpunkt IV': 5₄ =— 1050kg ,

•%'    — 2800 kg;

R₇' = + 1350kg und Rs' = -f 1350kg.

G₂ -[- P₂ = 2500 kg

Knotenpunkt VF: 5"g = — 3150 kg,

Ą' = - 3880 kg;

R₃' = — 1950 kg und R₄ = — 1950 kg.

G₂ 4- P₂ = 2500 kg

S₆‘ = — 5050 kg;

R§ — — 550 kg und Ag' = — 550 kg . In den Knotenpunkten mit Diagonalen ergiebt fich das Folgende. Knotenpunkt F: .Sj = — 1050kg, Yx — 0 , Fg = 0

G₂ — 800 kg ;

= S\ 4- X₀' F,' 4- X₀' Fg' = - 1700kg 3t,' = Rx' 4- rn/Fj' = — 150kg,

3tg' r= Rs' 4- u>₀'R₂' = — 150 kg.

Oben war gefunden: Rx = — 150kg und R₈ = -|~ 1350kg; demnach ift

«,</ Yx' = — 150 4- 150= 0

und

Fj' = 0;

«V Ys' = — 150 — 1350 = — 1500 kg,

*8< =

1500

0,96

= — 1560 kg;

54 = — 1700 4- 0,6 . 1560 = — 760 kg;

daher

und

Yx — 0 und Yh' = — 1560 kg. Knotenpunkt V':    =—3150kg, G₂ 4~ P₂ = 2500kg

alfo

fomit

und

und

und

260

Oben war gefunden : R§ = — 550 kg ; demnach Y$ = 0 ; R₄' = — 1950kg ;

«V ly = — 550 + 1950 = + 1400 kg,

= + 1460kg;

5₅' = — 5050 - 0,6.1460 = — 5930 kg.

*V =

1400

0,96

Knotenpunkt III': 0₃ = — 1050kg -f X« F₃ = — 1050 — 0,8.2627 = — 3150kg

G‘2 = 800 kg,

V₂ = 0 und F₃ = - 2627 kg;

©₃' == 5₃' y- y v₂' 4- V *y = — 28ookg,

f₂ 4- y f₂' = -4 1350 kg,

%/ = R₂' 4-

9*3' = /lV +    3 3 + y& = + 1350 kg .

(Uw

Es ill

tu» F₂ = 0

CU» Fg = —0,39 . 26 27 = — 1025 kg.

Oben war gefunden : R₂ — — 150kg und R§ = — 1950kg; daher ilt ü»₀' F/ = 1350 4- 150 = 4- 1500kg

1500

0,96

tüo'Fg' = 4 1350 4- 1950 4- 1025 = 4- 4325 kg, A — = 4 4510 kg;

0,96

5₃' 4- 0,6 • 1560 4- 0,6.4510 = — 2800 kg •S3' = — 6410kg.

Knotenpunkt VII': Fg = 0 , F- = 2627kg

— -j“ 1560 kg ;

1 3' = -

4325

demnach

G<2 + P₂ — 2500 kg ;

e₇ = S₇    -4 >>«    lr6    +    F₇ = — 3150 + 0,8 • 2627 = — 1050 kg

©7' = -V    + V    I⁷?'    ~4    V Iß' = — 3880kg,

9îg' — Rfi    4- o>u    1 g    4-    u>o' Fg' = — 1950kg,

9*7' — R₇    ”4 <u*    F₇    4"    u)q' F₇' — — 1950 kg.

fomit wird

Oben ill gefunden: R§ = — 550kg, R-‘ = 4- 1350kg und F₇ = 2627kg; alfo

F« — 0,39 . 2627 = 1025 kg ;

und

««„' Fg' = — 1950 -4 550 = — 1400 kg

Fg' = -

1400

0,96

= — 1460kg;

1350 + 1025 + cu₀' F₇' = — 1950 kg, u>₀ Y~‘ = — 1950 — 2375 = — 4325kg,

4325

0,96

= — 4510kg;

S-‘ = — 3880 -4 0,6 (4510 4 1460) = — 300kg.

Die Spannungen in den unteren Feldern find daher: 7?l' = — 150kg,

R₂ —— 150 kg,

= — 1950 kg,

= — 1950kg,

R₅' = — 550 kg,

R₆' = — 550 kg,

RJ = -I- 1850 kg,

Rs' = + 1850kg,

760 kg

•Sy = —

S₂' = — 1700kg,

*%' = —

S₄‘ = — 3880 kg, S₅' = — 5930 kg, Sß = — 5050 kg,

•sy = -■%' = —

6410kg,

300kg,

2800kg,

S--₄ls-|łs-HS-HKr-tSrthHS-< 00^    CO j łC>

11 11 11 11 11 11 11 11

3    i?    i"    3    3    i

o    °    o    000

co    rH    CO    CO    ł-H    co

o ÏÏ    "    S o 2    3    i2

201

Die Spannungen im Fufsring können auf den gefundenen Werthen leicht ermittelt werden. Es wird empfohlen, von den 8 Auflagern eines um das andere als feftes Auflager zu conftruiren.

Wenn kein Knotenpunkt ohne Diagonalen vorhanden ift, wenn z. B. die Anordnung nach Fig. 343 vorliegt, fo ift die Ermittelung der Diagonalen-Spannungen Anordnung

auf gleichem Wege leicht durchführbar.

Man zerlege die Knotenlaft im Knotenpunkte / in die Stabkräfte

= ^8 + wo ^

©1 = Sx +

ferner die im Knotenpunkte II wirkende Belaftung in die Stabkräfte

+ wo

©2 = ^2 + *0*i

Fig. 343-

8»

und R. :

1 ■>

249.

Andere

der

Diagonalen.

y;

S>

s'

R/

'1

Y,

Si

Ri

IV

Rs

VL

S8

s;

und R₂.

Man kennt alfo aus der Zerlegung am Knotenpunkt II, Rx aus der Zerlegung am Knotenpunkte I\ mithin kann man Y₁ aus der Gleichung ö)₀ Y₁ = 9ïx — Rx

finden. In gleicher Weife ergeben fich alle Diagonalfpannungen.

3) Erzeugende Kuppelcurve.

Die erzeugende Curve ift in den meiften Fällen eine Parabel (Fig. 344) der hx²

Gleichung y =

Fig. 344-

*—

- - x---

, bei welcher der Anfangspunkt der Coordinaten im Scheitel C liegt, die halbe Spannweite gleich r, die Pfeilhöhe gleich k gefetzt ift, oder eine cubifche Parabel der

h x³

250.

Parabel-

Kuppel.

Gleichung y =

Letztere Curvenform hat den

w*

*■

_1_

4

r3

Vortheil, dafs in den Zwifchenringen bei gleichmäfsig vertheilter Belaftung die Spannung Null herrfcbt und dafs die Spannungen in den Sparren nahezu confiant find, was fich folgendermafsen ergiebt.

Die Spannung im Sparrenftab FF (Fig. 345) ift durch Betrachtung des Theiles zwilchen dem Scheite] C und dem durch die Sparrenmitte gelegten Schnitte II zu ermitteln. Die algebraifche Summe der auf diefes Stück wirkenden lothrechten Kräfte ift gleich Null, daher, wenn die beladende Grundfläche mit und die Belaftung für 1 qm der Grundfläche mit g bezeichnet wird, S sin a = gFy Nun ift

gX²TZ

-= S cos o. tg a.

n    s

Fig- 345-

y;'

■i

x'^ TZ

F, —--, mithin S sin a =

¹ n

Wird ftatt des Vieleckes die ftetig gekrümmte Curve der Berechnung zu Grunde gelegt, fo ift

-ft

h x³    dy

y — ■—— und tg a = —— dx

3 /;r!

mithin

•f - -

- - JC

2.xX

3 h x²

g n F Zn h ’

d. h. S cos a ift confiant. Da aber wegen der flachen Neigung der Kuppel der Winkel er. fehr klein ift, fo ändert lieh auch cos a fehr wenig; die Spannung ift daher im ganzen Sparren nahezu conllant.

S cos a

/y 3

woraus S cos a —

346.

2Ó2

Betrachtet man nun einen Knotenpunkt E (Fig. 331) und fetzt die algebraifche Summe der in ihm wirkenden wagrechten Kräfte gleich Null, fo wird 0 — £>m cos rj.,,1 — Sm — 1 cos a-m — 1 — da nach Gleichung 346 S cos a confiant ift. Die Ringfpannung ift dann

woraus Hm — Sm cos o.m — Sm _ 1 cos _i = 0 ,

347-

2 sin

Die obigen Angaben find damit bewiefen.

Noch möge bemerkt werden, dafs der theoretifche Materialaufwand bei einer nach der cubifchen Parabel gekrümmten Kuppel nur ²/ä desjenigen Materialaufwandes beträgt, der fich bei einer nach der gemeinen Parabel gekrümmten Kuppel ergiebt.

Fig- 346.

4) Winddruck auf die Kuppel.

251.

Winddruck auf die Kuppel.

Bei fteilen Kuppeln ift es nicht angängig, nur die lothrechte Componente n des Winddruckes (vergl. Art. 30, S. 23) zu berückfichtigen ; man mufs in fol-chen Fällen die wirklich auf die Kuppel übertragenen Windkräfte kennen.

Der Winddruck gegen eine beliebige Ebene (Tangentenebene an die Kuppel) ergiebt fich folgendermafsen (Fig. 346). Durch einen Punkt A im Raume werden drei Coordinatenaxen gelegt, welche fenkrecht zu einander flehen ; die AkAxe fei wagrecht und parallel zu der gleichfalls wagrecht angenommenen Windrichtung gelegt. Im Punkte P der Ebene wird die Normale PN errichtet, aufserdem die Linie P W parallel zur Windrichtung gezogen. Die durch PN und P W gelegte Ebene fchneide die gegebene Ebene in der Linie TT\ der Winkel WPT werde <p genannt. Alsdann ift nach Art. 29 (S. 22) der Winddruck auf die Flächeneinheit der Ebene

Fi'

-fr

Np

Fig. 347-

P/

P"

n — p sin rp = p cos t{i ; n ift normal zur Ebene gerichtet.

Die Coordinaten eines beliebigen Punktes P der Kuppelfläche feien x, y, z (Fig. 347); die W-Axe liege parallel zur Windrichtung. Der Normalfchnitt mit der Fläche, welcher im Punkte P durch die Normale PN und PW geht, habe den Krümmungshalbmeffer p und den Krümmungsmittelpunkt 0 mit den Coordinaten a, b, c. Die Coordinaten des

07

it

...

V,

¹ / <- -1

; :    ! :/: s

---1__----V. -U.---I —

A L<

---

/>

rd I

v.

o'

-V--

• •• >

y.

/b

/*

Y

• >P'

\ÿ..

Punktes P, bezogen auf den Punkt 0, feien £, 7], Ç ; endlich bilde die Normale und der Krümmungshalbmeffer OP mit den Coordinaten-Axen die Winkel bezw. a, ß, 4. Alsdann ift nach Fig. 347

ferner = a, alfo hier

cos y = ■—

cos a = —

7]

COS ß = —

p

PT'

n — p . cos a =

Zerlegt man n nach den Richtungen der Coordinaten-Axen, fo erhält man als Seitenkräfte von n

nx = n cos a

ny

348.

nz — n cos y

und, da

i = x — a ,    r\— y — b und Ç = z — c

4(^-

p²

p

ny = —y    — £)

p

11 z =~(x-a) (z — c)

nx =

a)²

ift,

349-

Die Gleichungen 348 u. 349 geben die Seitenkräfte des Winddruckes an einem beliebigen Punkte P der Kuppelfläche, bezogen auf die Flächeneinheit, ausgedrückt in den Coordinaten des Punktes P und des Krümmungsmittelpunktes des in Betracht

Fig. 348.

kommenden Normalfchnittes, fo wie dem betreffenden Kriimmungshalbmeffer p. Durch Integration können die auftretenden Winddrücke ermittelt werden.

V.l

Ti

V..

If

Um den auf einen Knotenpunkt des Kuppelfachwerkes entfallenden Winddruck zu ermitteln, genügt es, die Gröfse n deffelben für die Flächeneinheit im Knotenpunkte felbft zu ermitteln und diefes n mit dem Inhalt der Kuppelfläche zu multipliciren, welche diefem Knotenpunkte zuge-wiefen ift. Ift die Abfciffe des betreffenden Knotenpunktes x, fo ift

(x — a)

Für die Kugelkuppel (Fig. 348) find alle Normalfchnitte gröfste Kreise der Kugel; alle p find gleich dem Kugelhalbmeffer r. Wählt man den Mittelpunkt der Kuppel als Anfangspunkt der Coordinatenaxen, fo werden a = b = c = 0, und es werden

ny = 7F (^)

11 z —

72-

Beifpiel. Für das in Fig. 349 dargeftellte, einer Halbkugelkuppel eingefchriebene Polyeder über einem Zwölfeck fei r — 10m, der Wind komme von links. Dann find die Werthe von n für die be. zeichneten Punkte wie in nachflehender Tabelle angegeben (für / = 120 kS für 1 qcm) ;

Fig. 349-

i n m ff

ii’

2Ó4

.1

11 — P —

r

nx —— Ar

350.

IV'

IV''

Punkt I

1'" 11

n'/

-LU.

in

mZ

w ₄ 17 h" Ir

-r \ \-\—

vm\

vr

IV

w’"

IV’

MH

Tn

VI

vf

;;

VI"

VI

1'

I"

P"

Punkt II

IP IP⁷

IP"

- = 0,32

0,71    0,94

- = 0,29

0,62 0,82

0,88

p X

n --= 38

85    113    120 k&

74    98    106 kg.

Punkt III

IIP

III" IIP"

- = 0,17

0,36

0,47

0,5

« = £l₌ 20

43

56

60 kg.

2Ó5

Danach kann man leicht die auf die einzelnen Knotenpunkte entfallenden, fenk-recht zur Kuppeloberfläche gerichteten Winddrücke berechnen. Näher ift auf diefen Gegenftand in der unten genannten Abhandlung des Verf.³⁷) eingegangen.

b) Flache Zeltdächer.

Die Zeltdächer bilden Pyramiden, in den meiden Fällen regelmäfsige Pyramiden. Man kann fle aus einer Anzahl radial gedellter Binder, welche unter die fog. Grate kommen, conftruiren ; alsdann wird die Berechnung eines jeden Binders unter Zugrundelegung der auf ihn entfallenden Beladungen fo vorgenommen, wie bei den Balkendächern gezeigt id. Neuerdings legt man auch bei den Zeltdächern — zumal den flachen — alle Condructionstheile in die Dachflächen, wie bei den Schwedler fohen Kuppeln, fo dafs fleh eine entfprechende Condruction ergiebt. In diefem Falle

(Fig. 350) werden eine Anzahl Binder-fparren A C, Af C, A„ C, B C, B/C, Bn C... angeordnet ; zwifchen denfelben befinden fleh wagrechte Ringe E, Er, Elf, E/tf. . . und in den viereckigen Feldern der Dachflächen, wegen der ungleich-mäfsigen Beladungen, Diagonalen. Auch hier wird oft in der Dachmitte eine B Laterne angeordnet, welche fleh auf einen Laternenring dützt, gegen den fleh die oberen Sparrenenden lehnen. Wir werden hier nur die der Kuppel-condruction entfprechende Anordnung betrachten. Obgleich die gröfsere oder geringere Neigung der Dachflächen keinen grundlegenden Unterfchied bedingt, follen die Zeltdächer dennoch in flache und deile Zeltdächer eingetheilt werden, weil bei den erderen die Beladung durch Schnee, bei den letzteren diejenige durch Wind die mafsgebende zufällige Beladung id.

Zu den flachen Zeltdächern gehören die Circus- und Theaterdächer, die Dächer über Panoramen, Locomotivfchuppen etc., zu den Heilen hauptfächlich die Thurmdächer.

Die flachen Zeltdächer der vorbefprochenen Anordnung find weiter nichts, als Kuppeldächer mit gleichem Neigungswinkel a in der ganzen Dachfläche. Man erhält alfo unter denfelben Vorausfetzungen für die Beladungen, wie in Art. 243 (S. 248) die hier geltenden Stabkräfte, indem man in die dort gefundenen Werthe datt der veränderlichen Winkelwerthe v.m—\, a,„, einfetzt.

252.

Zeltdächer.

Fig- 35°-

A„

B.

a;« + l • •

. den condanten Winkelwerth a

G₂ . . . Gm . . .

Spannungen in den Sparren. Wiederum mögen G die Eigengewichte der ganzen Ringzonen, Pv P₂ ... Pm . . . die zufälligen Beladungen derfelben fein; alsdann find, falls n Sparren vorhanden find, die Beladungen der

Q

einzelnen Knotenpunkte bezw. ——,

n 11

253-

Berechnung der Stab-fpannungen.

G‘2

Gm

11

. . . und

P,

P,n

11

Flg- 351-

Fig. 352.

m-i

Qt

^    . rr

m    ‘ >n

SjSf

Qt A

, s,A^

Qm

•h.

HtHt

S'

m

Rm

m-i

m-l

*Sfm

SL

r-i

m.

Do

çci

'K

Allgemein wirke in einem Knotenpunkte m (Fig. 351) die Laft Qm\ alsdann wird allgemein

S,n = -

2(0

1

sin a

35 r•

Die Sparrenfpannungen durch das Eigengewicht werden erhalten, indem der

G.    G^    G„

Reihe nach für Qv Q₂, QA erhält

bezw. ——,

ii

. . . eingefetzt wird. Man

VI

2 iß)

1

n sin a

352.

= 1, 2, 3 . . . wird

G\ + G‘i .

er _ _

’ °2 —

Aus der Gleichung 340 ergiebt fich, dafs die Sparrenfpannungen durch zufällige Laft am gröfsten bei voller Beladung lind, und zwar wird

i__

n sin a

n sin a

• Sg — — 1 A

n sin a

etc.

353-

max zu

2(/>)

1

n sin a

354-

und für m — 1, 2, 3 . . .

max __

11 sin a

Sp" 1 °2

m-tr

p.+i\

« sin a

-etc. 355.

Falls keine Laterne vorhanden ift, gelten die Gleichungen 351 bis 354 ebenfalls; nur ift überall in die Summen auch Q₀ aufzunehmen, d. h. der Theil der Firftbelaftung, welcher auf den Sparren entfällt. (Allerdings gilt dies nur für angenäherte Berechnung.)

Spannungen in den Ringen. Die algebraifche Summe der in E (Fig. 352) wirkenden wagrechten Kräfte ift gleich Null; bezeichnet Hm die Mittelkraft der beiden Ringfpannungen Rm, fo ift daher

0 = Hm -(- Sm _ i cos a — Sm cos a,

woraus folgt:

H,n = (Sm — Sm _ 1) cos a = —

S (ß) - S (ß)

1 1

sin a

cos a = — Qm cotg a.

2 6y

7Ü

Nun ift Hm — 2 Rm sin ß und, da nach Art. 243 (S. 249) ß = — ift,

Qm cotg a

R,n =

TT

-*■ m

2 sin —

2 sin

11

Die Beladung durch das Eigengewicht erzeugt demnach eine Spannung

Gm cotg a

Rs — —

Jvm —

2 11 sin —

357-

Falls ein Laternenring vorhanden ift, fo gilt die Gleichung 357 auch für diefen. Für denfelben ift m demnach für m = 1, 2, 3 . . .

VJ

— 1 und X ( Q) = 0, fo wie X (Q) - Q 1    1

Wir erhalten

Gx cotg a

2 « sin —

; Æf = -

G₂ cotg a

11

2 72 sin

etc.

■ ■ 358-

72

Die Gleichungen 357 u. 358 ergeben, dafs in fämmtlichen Ringen durch das Eigengewicht Druck erzeugt wird; die Gleichung 356 gilt aber nicht für den Mauerring. Am Knotenpunkt A (Fig. 351) wirken die Kräfte = X (0, Hr und ; mithin ift Sr _ x cos a -j- Hr = 0, woraus Hr — —    _ 1 cos a. Ferner ift

r — 1

Sr

Z>₀ -f- SV_ 1 sin a = 0, woraus SV_! =

S«2)

1

sin oc

und da =

Hr

Daher wird Hr — X (0 cotg a 1

2 sin —

ift, wird

72

S (ö) cotg a

2 sin —

359*

72

Der Mauerring erhält alfo Zug.

Das Eigengewicht erzeugt in demfelben die Spannung

2 72 sin

.    .    360.

Die gröfste durch zufällige Beladung erzeugte Spannung findet in einem Ringe nach Gleichung 356 ftatt, wenn Qm feinen gröfsten Werth hat. Da Q, aufser beim Mauerring, nie negativ wird, fo ift die Ringfpannung durch zufällige Belaftung, ab-gefehen vom Mauerring, ftets Druck. Demnach wird

Px cotg a

2 72 sin —

J^P min —— _

. RPmin ₌

P₂ cotg a

72

O •    ⁷¹

2 72 sin —

etc. ;

72

allgemein

Rimi"= -

Pm cotg a

2 72 sin —

.    361.

268

Weiters ift R/>max — R*»

— R*

- J V VI

— 0. Die gröfste Druckfpannung in einem Ringe findet alfo fchon ftatt, wenn nur die betreffende Zone belaftet ift; die Belattung der übrigen Zonen iff auf die Ringfpannung ohne Einflufs. Man kann demnach auch fagen, dafs die gröfste Ringfpannung in allen Ringen bei zufälliger Belattung des ganzen Daches flattfindet.

lax

max

Im Mauerring findet der gröfste Zug durch zufällige Belattung bei voller Belattung ftatt; derfelbe ift

max

_ (pi +    • • • + pr -1) cotg «

2 n sin —

362.

Druck findet in demfelben nicht ftatt.

Spannungen in den Diagonalen. Für diefelbe Belaftungsart, welche bei den Kuppeln zu Grunde gelegt ift, ergiebt fich der Spannungsunterfchied in zwei benachbarten Sparren, zwifchen denen die Belaftungsgrenze liegt, zu

- MS

n sin a

und die Spannung in der Diagonalen, welche diefelbe übertragen foil, zu

VI

Y=

n sin a

.y

in welchem Ausdruck d, bezw. .y die Längen der Diagonale und des Sparrens bezeichnen. Demnach wird

Yi =

PA d.

n . sin a

4 J,    P<t d%_

n . sin a

etc.

•    •    363.

Fig. 354-

Fig. 353-

Sl

S,

R₀

S,

Die Berechnung kann auch nach dem Verfahren von Müller-Breslau vorgenommen werden, welches in Art. 246 bis 249 (S. 255) für die Kuppelflechtwerke vorgeführt ift.

*-------ob—

S    S? Cu    s,

FT

sc

ob

vT

ST

Um die Stabfpannungen mittels Zeichnung (Fig. 353 u. 354) zu ermitteln, feien die Belattungen der einzelnen Knoten-

254-

Graphifche Ermittelung der Stabfpannungen. punkte i, 2, s, 4 ! alsdann ergiebt ficli

t>

leicht, wenn aß = /, ß*[ = 2, y 8 = J>, 8t = 4 gemacht wird, ß £ = A, C a = Zfi,

269

Y 7] =■ ^2, 7] C = IB o0’ = Sg, 0¹ 7] = Hg, s v. = 64, v. 0 = H^ ; ferner s a = R₀, a y. == /Vg, £ /. = X a = R^, 7] JJL = (J. C = -7?2> 0¹ v = VT] = 7?g , v. o = o 0 = R± und a g = c y. = R^ (= Mauerringfpannung).

Je nachdem nun die Kräfte i, 2,3, 4. die Eigengewichte oder die zufälligen Latten bedeuten, erhält man die durch die eine oder andere Belattung erzeugten Spannungen. Die Spannungen in den Diagonalen find leicht zu conttruiren.

c) Steile Zeltdächer oder Thurmdächer.

Als lothrechte Belaftung ift hier nur das Eigengewicht einzuführen. Eine Beladung durch Schnee findet nicht ftatt, weil wegen der grofsen Steilheit des Daches der Schnee nicht liegen bleibt. Diefe lothrechte Belaftung erzeugt, da die Con-ftruction eben fo, wie bei den flachen Zeltdächern, aus Sparren und Ringen zu-fammengefetzt wird, Spannungen, welche genau, wie dort gezeigt wurde, zu berechnen find. Auf diefe Berechnung foil defshalb hier nicht weiter eingegangen werden. Dagegen fpielt der Winddruck hier eine grofse Rolle, und die durch diefen erzeugten Spannungen fallen ^berechnet werden. Zunächft foil die Berechnung für ein vierfeitiges Pyramidendach, alsdann für ein achtfeitiges Pyramidendach gezeigt werden.

i) Vierfeitiges Pyramiden dach.

Der Winddruck auf eine Pyramidenfeite ift am gröfsten, wenn die Windrichtung im Grundrifs fenkrecht zur betreffenden Rechteckfeite fteht. Alsdann ift der Winddruck für 1 qm fchräger Dachfläche (Fig. 355 u. 356) nach Gleichung 7:

v = 120 sin (« -f- 10°); die vom Winde getroffene fchräge Dachfläche ift

²55-

Beladung.

Fig. 355-

Fig- 356.

CA~*>

--T--

F=-2

2 sin a ’

mithin der Gefammtdruck gegen eine Pyramidenfeite a h v 2 sin a

Wir denken uns nun in der Symmetrie-Ebene II einen ideellen Binder ABC (Fig. 355) und beftimmen die darin durch den Winddruck entfliehenden Spannungen ; wir nehmen vorläufig die Wagrechten und Diagonalen, wie in Fig. 356 gezeichnet, an. Auf ein oben befindliches Kreuz wirke ein Winddruck W in der Höhe e₀ über dem Firftpunkt C\ aufser-dem wirken in den Knotenpunkten C, E, F, G . . . die Kräfte N₀ ,    , N%, N₃ . . . fenkrecht zur Dachfläche ; die Gröfse diefer Kräfte

ift leicht aus den auf die bezüglichen Knotenpunkte entfallenden Dachflächen zu ermitteln.

C4j

4'

►\

Fig- 357-

N,

E-

Ei

Ei

sl

M. nr

Si

JI

A,

r -cJa

nA>

YA

\ ²¹

//, Xk

IE

-O-

-X

.    364.

Ÿ'M \

\l    : -

■Ą-----* 1

o>--

---x

Ci

B-i

yyyyyyy!'.

"s

f j

BIß A

wm.

W(e{) + ex)

cx sin a

27O

a) Berechnung der Spannungen im ideellen Binder. Um die Sparrenfpannung (Fig. 356) an der Windfeite zu erhal-Spannungen ten, lege man einen beliebigen Schnitt durch CE, etwa nach IIII, und betrachte das Bruchftiick oberhalb des Schnittes. Wählt man 7 als Momentenpunkt, fo heifst die Gleichung der ftatifchen Momente (Fig. 358):

256.

Berechnung

der

Fig- 358-

-iv

im ideellen Binder.

0 = cx sin a — W (e₀ -j- ex) — W₀ «₀.

Nun ift

cj = —

sin cf.

und cos (180 — 2 a) =

*0

= — cos 2 a, daher

f.------ J.

K - - c- -

n₀ — — C 7 cos 2 a = — Man erhält hiernach

e\

sin cf.

(cos² cf. — sin² a) =

t\ (sin² et. — cos² cf.)

sin cf.

N, ex (sin² a — cos² a) cx sin² a

Für irgend einen Sparren F G ift K der Momentenpunkt, und für Ss ergiebt fich der Werth

c₂ sin

— £ W (e₀ -f- G + ^₂) H“ -^o (;/o + wi) 4“ ^'1 J

— W₂ cotg a.

Für irgend einen Sparren KL auf der Unterwindfeite ift G der Momenten

punkt und

— £ W (<?o + G + e₂ + eA) +

^0 (fi H⁻ G H⁻ fi) "1“ ^1 (e2 + en) + -^2 eci

c.A sin

Eben fo ergeben fich leicht alle Sparrenfpannungen, fowohl auf der Windfeite, wie auf der Unterwindfeite.

sin c/.

Die Sparren auf der Windfeite werden gezogen ; diejenigen auf der Unterwindfeite werden gedrückt.

Die Spannungen in den Wagrechten und Diagonalen werden gleichfalls mittels der Momentenmethode ermittelt. Um die Spannung H.x in G L zu finden, fchneide man fchräg nach //////; alsdann ift C der Momentenpunkt, und es wird

ei ~h (fi -j~ eg) -f- Na (ex -f- e₂ -f- q)

We ₀

(fl + G + G) sin a

_L

Die Spannung Ylf endlich in der Diagonalen G K wird, da für G K wiederum C der conjugirte Punkt ift, durch die Momentengleichung für C gefunden. Man erhält, wenn yA der Hebelsarm von Y₃ für den Momentenpunkt C ift,

We,

y-6

257-

Graphifche

Ermittelung

der

Spannungen im ideellen Binder.

__ Nx ex -|- 7V₂ (ex -f- e₂) _ sin cf.

Ob die Diagonalen und Wagrechten Druck oder Zug erhalten, hängt wefent-lich von der Gröfse des Moments W e, ab. lit W — 0, fo werden bei der gezeichneten Richtung der Diagonalen die Wagrechten gedrückt, die Diagonalen gezogen. Bei der entgegengefetzten Windrichtung findet entgegengefetzte Bean-fpruchung ftatt.

ß) Graphifche Ermittelung der Spannungen im ideellen Binder. Wird zunächft von der Kraft W abgefehen, fo ergiebt fich ohne Schwierigkeit der in Fig. 359 gezeichnete Kräfteplan, worin alle Stabfpannungen, welche durch Wincl-druck erzeugt werden, enthalten find.

Fig. 359-

Fig. 360.

*Lc

To

N,

C’

/V

IV

a Y ŚLIA

b\7 \h

■Wt-

ńd

\f

\\l\\

III

Bi

\J

tie

Cl

N,

d\

Jk

VI

zv

Falls noch ein Winddruck W vorhanden ill, fo empfiehlt es fich, für die graphifche Beftimmung der Spannungen ftatt der wirklich vorhandenen Stäbe E C und J C zwei Stäbe E C und J C einzuführen , wobei C‘ der Schnittpunkt der Kraft W mit der Mittel-Lothrechten (Fig. 360) ift; die Ermittelung kann dann für den Thurm mit der Spitze EO C‘ P y nach der Crevioncü fchen Methode erfolgen. Die Spannungen in EC und y C können mit geringem Fehler denjenigen, welche fich für EO und Py ergeben haben, gleich gefetzt werden.

Y) Zurückführung der Spannungen im ideellen Binder auf die wirklichen Stabfpannungen. Die bisher berechneten Spannungen finden im ideellen Binder A CB (Fig. 361) ftatt. Jede Spannung in einem Stabe des ideellen

Binders wird nun durch zwei Stab-m fpannungen der beiden wirklichen Binder geleiftet, deren Ebenen mit derjenigen des ideellen Binders den Winkel (90 — o) einfchliefsen.

Die Spannung S in irgend einem Sparren des ideellen Binders wird durch zwei Spannungen S' erfetzt; demnach ift 5=2 5' cos (90 — 8) = 2 S' sin 8, woraus

N.

e\

v_

ZV

'//Mm.

Fig. 361.

7t

»vVjj

158-

Wirkliche

Stab-

fpannungen.

Fig. 362.

>/

Ml

Mh/'

/ / -M

>0-1

s/Cfs

Cs*/\

si

.v

• 365-

________->D?

eben fo

©' =

F'erner wird H= 2 H', woraus

2 sin ô

• 366.

H' =

2 ’

Y = 2 Y' cos e,

•    367-

woraus

Y' =

2 cos e

368.

272

Auch auf graphifchem Wege ifl die Zurückführung leicht. Man conftruire (Fig. 362") den Winkel

Man trage demnach die Werthe für

(90 — 8), bezw. e. Ift <£_ r m n — 90 — 8, fo ift m r — —

— und

m n

~    sin 5

— auf der Linie mn ab, projicire diefe Abfchnitte auf m r\ alsdann erhält man in den Pro-jectionen die gefuchten wirklichen Sparrenfpannungen. Eben fo ift die Divifion durch Cos s vorzunehmen.

Wenn die Diagonalen in den beiden gegenüber liegenden Seitenfeldern ver-fchiedene Richtung haben, fo nehme man nichtsdeftoweniger zunächft an, clafs in beiden Feldern gleich gerichtete Diagonalen feien, genau wie in Fig. 361. Darauf erfetze man die nur vorläufig angenommene durch die wirklich im Felde vorhandene. In der vorläufig angenommenen Diagonale b d (Fig. 363) fei die Spannung zu Y ermittelt; foil die Diagonale bd fortgelaffen und durch die Diagonale a c erfetzt werden können, fo mufs die Spannung in b d gleich Null fein ; in der Diagonale a c mufs alfo eine Kraft Z herrfchen, welche in bd die Zufatzfpannung von gleicher

Fig. 364.

Fig- 363.

(0

L,

7 Y'

Y'

Y'

259-

Beladung.

■c

im

Gröfse Y*, aber entgegengefetztem Sinne mit der bereits in b d herrfchenden Spannung erzeugt. Bringt man in a und c je die Kraft Z — mn an (Fig. 364), fo erhält man die Gröfse der in den Stäben des Trapezes wirkenden Spannungen aus dem Kräfteplan. Es ift L = o n, 0 = m o, U = np und R = p m, und wegen der Gleichheit der Diagonalen des Trapezes ift Z = Y (abfolut genommen). Erfetzt man alfo die Diagonale b d mit der berechneten Spannung Y durch die Diagonale a c, fo herrfcht in letzterer der gleiche Zug. Die durch die Kräfte Z in den Stäben des Trapezes und des übrigen Fach Werkes hervorgerufenen Spannungen addiren fich zu den bereits in denfelben vorhandenen und durch die Berechnung ermittelten. Diefe Zufatzfpannungen find für die Stäbe des betreffenden Feldes im Kräfteplan der Fig. 364 verzeichnet, für alle übrigen Stäbe des Fachwerkes find fie gleich Null. Denn für jeden diefer übrigen Stäbe ift der Einflufs beider Kräfte Z zu be-rückfichtigen. Die Refultirende beider Z ift aber gleich Null, alfo auch ihr Einflufs auf die Stabfpannungen aufserhalb des Feldes, in welchem fie wirken.

Das vorftehend angegebene Verfahren, mit Hilfe des ideellen Binders die Stabfpannungen zu ermitteln, ift alfo auch anwendbar, wenn die Diagonalen zweier gegenüber liegender Felder entgegengefetzte Richtung haben.

Wenn einfache Diagonalen angeordnet werden, fo erhält jede derfelben Zug und Druck; will man nur gezogene Diagonalen haben, fo find Gegendiagonalen anzuordnen, worüber das Erforderliche bereits mehrfach gefagt ift.

2) Achtfei tiges Pyramidendach.

Wir nehmen hier die Windrichtung, der einfachen Rechnung halber, wagrecht an und berechnen aus demfelben Grunde den Winddruck fo, als wenn die Seitenflächen lothrecht ftänden. Der dabei gemachte Fehler ift gering. Wenn die Wind-

Fig- 365-

m

pah

> P-l^cosysiny n |

ppy—.^.f'liccĄ.

richtung im Grundrifs fenkrecht zur Seite m n (Fig. 365) angenommen wird, die Seitenlange des regelmäfsigen Achteckes an der Unterkante der Pyramide mit a, die Höhe der Pyramide mit h und der Druck für die Flächeneinheit mit p bezeichnet wird, fo ift der Druck gegen die Fläche F demnach

w=

p a h-

- ■ 369-

Der Winddruck auf die Fläche Fx (Fig. 366) ergiebt fich unter obigen vereinfachenden Annahmen folgendermafsen. Die (lothrecht gedachte) Fläche fchliefst mit der angenommenen Windrichtung (Fig. 365) einen Winkel (90 — y) ein;

mithin ift der fenkrechte Winddruck auf die Fläche

Fig. 366.

für die Flächeneinheit nach Art. 31 (S. 24) 11 — p sin (90 — y)

oder

n = p cos y ,

und der Winddruck auf die ganze Fläche

pah

₂ cos y •

Diefe Kraft zerlegt fich nun in eine Seitenkraft,

fr---Mît--"

welche diefelbe Richtung hat, wie IV, und in eine fenkrecht hierzu ftehende. Die erftere ift (Fig. 365)

pah cos² y

wv=

•    •    370-

Ein genau gleicher Winddruck wirkt (Fig. 366) auf die andere Fläche Fx\ mithin ift der gefammte auf Umkanten der Pyramide wirkende Winddruck

W-i- 2 Wx — k (1 + 2 cos² 45°)

(■+•-)

L\2 Iw

— pah. .    .    371.

Der Angriffspunkt diefer Kraft liegt in der

Höhe — über der Grundfläche der Pyramide, o

Für irgend einen Pyramidentheil (Fig. 367) von der Flöhe z erhält man, wenn die Seite des Achteckes, welches für diefen Theil die Grundfläche bildet, mit x und die ganze Breite der Grundfläche mit y bezeichnet wird,

Wz—p x z .    .

Wz greift in der Höhe — über diefer Grundfläche an.

O

alfo x — z und h

n\ F

■ 372.

Nun ift — = ^

Wg = p --z*

Der Zuwachs der Kraft Wz, welcher auf einen Streifen von der Höhe dz

entfällt, ift demnach d Wz — 2 pz dz, und die Windbelaftung für die Höheneinheit wird

Handbuch der Architektur. I. i, b. (3. Aufl.)

•    373-

iS

d wz

274

„ a

= 2/xs

374-

260. Thurm-Fachwerk.

Daraus folgt, dafs die Laftvertheilung nach dem Gefetze des Dreieckes von der Spitze bis zur Bafis des Thurmes ftattfindet.

Das achtfeitige Pyramidendach mit 8 Sparren auf 8 Fufspunkten ift ein ftatifch unbeftimmtes Fachwerk. Könnte man die Spitze fortlaffen, fo wäre es ftatifch beftimmt; die Berechnung würde dann genau fo vorgenommen, wie dies in Art. 246 bis 248 (S. 255 bis 257) für die Kuppel gezeigt ift. Durch das Aufbringen der Spitze mit 8 Sparren wird das Fachwerk fünffach ftatifch unbeftimmt (es erhält 5 überzählige Unbekannte). Diefe vielfache ftatifche Unbeftimmtheit kann man dadurch vermindern, dafs man die Spitze nur aus 4 Sparren conftruirt, indem man alfo im oberften Theile des Thurmes nur immer einen um den anderen Sparren bis zur Spitze reichen läfft. Der oberfte Theil des Thurmfachwerkes bildet dann eine vierfeitige Pyramide. Die für die äufsere Erfcheinung erforderliche achtfeitige Pyramide auch in dem oberften Theile des Thurmes wird dann durch Anbringen entfprechend geformter Holzfutter auf die Ringe der vierfeitigen Pyramide erreicht. Eine folche Conftruction ift bei den Thürmen des Domes zu Halberftadt (conftruirt von Cramer) ausgeführt und in Theil III, Band 2, Heft 4: Dachftuhl-Conftructionen (Art. 234, S. 315) diefes »Handbuches« zu finden. Die in der vierfeitigen Pyramide wirkenden Spannungen können dann mit genügender Genauigkeit berechnet werden, wie in Art. 255 bis 258 (S. 269 bis 271) für das vierfeitige Pyramidendach gezeigt ift; diefe Spannungen werden darauf als äufsere, das achtfeitige Pyramidendach belaftende Kräfte eingeführt.

Die in nachftehenden Artikeln vorgeführte Berechnungsweife der achtfeitigen Thurmpyramide nimmt auf die ftatifche Unbeftimmtheit keine Rückficht. Die Sparrenberechnung ift möglich, wenn man annimmt, dafs in einem wagrecht genommenen Querfchnitt durch den Thurm (Fig. 367) in den einzelnen Querfchnittspunkten die Spannungen auf die Flächeneinheit fich verhalten, wie die Abftände der betreffenden Querfchnittspunkte von der Null-Linie des Querfchnittes. Da die Quer-fchnittsflächen aller 8 Sparren naturgemäfs gleich grofs gemacht werden, fo kann man auch fagen: Es wird die Annahme gemacht, dafs die Sparrenfpannungen fich verhalten, wie die Abftände der Schwerpunkte der Sparren-querfchnitte von der Null-Linie des ganzen Thurmquer-fchnittes.

Fig. 367.

4(S;SJcosa-<r

■IV

e,o

261.

Spannungen in den Sparren.

Stabfpannungen. Aufser Wz wirke auf das Thurmkreuz (Fig. 367) noch ein Winddruck W in der Höhe e₀ über der Spitze; alsdann ift das Moment des Windes, bezogen auf die wagrechte, in der Grundfläche des betreffenden Thurmftückes gelegene Schwerpunkts-axe II des Querfchnittes (in der Höhe z unter der Spitze)

Mz = Wz + W (e₀ +*)...    375-

Diefes Moment mufs durch die Spannung der Sparren an der betrachteten Stelle aufgehoben werden.

it - X-

SL-*

—- von der

Sind die Spannungen in den vier Sparren /, 2, 5, 6, welche um -

LJ

X

Axe II abftehen, diejenigen in den vier um —- von der Axe II abftehenden

Sparren 3, y, 7, 8 gleich S₂, fo ift, wenn mit geringem Fehler der Sparrenwinkel gegen die wagrechte Ebene gleich a gefetzt wird, das Moment der Sparrenfpannungen für die Axe / / (die Null-Linie des Gefammtquerfchnittes) 2 y sin a -f- 2 S'₂ # sin a. Demnach mufs

fein.

Mz = 2 vSx j sin a -j- 2 S'₂ .jr sin a Nach Art. 2fo wird angenommen, dafs ftattfindet:

J'

-, d. h, S. = S. — ;

daher wird

Mz

I ■* x 2 = 2 Sj sin a -j--

2 S‘₁ sin a

(x² 4-y²)

fein, woraus folgt:

Mzy

376.

•s,=

377-

Mz x

2 (;r² -j-y²) sin rJ-

Fiir Mz find der Reihe nach die Werthe einzuführen, welche fich bei den ver-fchiedenen Höhen z ergeben. Diefe Spannung kann in jedem Sparren fowohl als Zug, wie als Druck ftattfinden, da der Wind von allen Seiten kommen kann. Sq ift ftets gröfser als S₂. Die gröfste Spannung, welche durch Winddruck in allen Sparren erzeugt wird, hat alfo den Werth

p max

Mzy

2 (x² -j- y²) sin a

378.

Wenn die Pyramide über einem regelmäfsigen Achteck errichtet ift, fo ift y = x -j- 2 x cos 45 ⁰ = x . 2,414, und es wird dann

p max

Mz . 0,177 ,r sin a

bezw.

p max

= -F

Mz . 0,427

379-

y sin a

Auf einen beliebigen Theil der vom Winde voll getroffenen Pyramidenfeite O B' C' (Fig. 368^) entfalle der Wincldruck N; auf die entfprechenden Theile der angrenzenden Seitenfläche O A‘ B‘ und 0 C'D' entfalle je der Winddruck N'. Nach Ringen und

262.

Spannungen in den

Früherem ift N' — N cos 45⁰ =

’N

I/2

In B wirkt dann —-, bezw.

Li

N'

ö~» wie in

Diagonalen.

Fig. 368 Æ gezeichnet ift; desgleichen in C.

und

N'

—— zerlegen lieh in B, bezw. in C in Seitenkräfte, welche

U

Die Laften —

in die Ebenen O B‘ A\ O B⁴ C' und O O D* fallen. Aus Fig. 368 c ergiebt fich im

N    • N'

Punkte B, wenn a ß = — und ß 8 = —— ift, die Grölse der Seitenkräfte T, bezw. V und T":

N'

2 cos 45°

/V

T = Ya+ Ss =— +

21/2    2 21/2

N N 1/2 2 cos 45°    2 '

AT/

2 1/2

[l + 2]=l,o.*

= N.

Für Punkt A erhält man:

AT'

= CP = ^~

2I/2

= 0,35 4 A⁷,

T"=8C =

A⁷'

A^'l/2 AT

2 cos 45°

In der Seitenfläche O B' C\ welche vom Winde voll getroffen wird, find die Spannungen der Ringftäbe von B und C aus je gleich T. Die Gröfse von T hängt

von der Gröfse der Kraft N, d. h. von der Gröfse der auf den betreffenden Stab entfallenden, vom Winde

getroffenen Fläche ab. Die Diagonalen in diefer Seitenfläche werden bei

Fig. 368.

a) hr-

b)

diefer Beladung nicht be-anfprucht.

N' Ä

A T"

AViv

N'

In der Seitenfläche Win 4= OA'B' wirkt Seite des Grates OB'

von

de,- ricTitung

VIII

VII

C~) —I —1 CD

(des Windgrates) aus die Beladung 7/, von der Seite des Grates O A' (des Unterwindgrates) aus die negative Beladung TJ auf das Fach werk. Diefe Beladungen müffen durch das in der Seitenfläche O B'A' liegende Fachwerk auf die feden Auflagerpunkte A' B‘ gebracht werden. Das Fachwerk diefer Seitenfläche wirkt dabei wie ein Freiträger (flehe Art. 158, S. 15 i³⁸). Die Beladungen, fowohl von der Seite des Grates OB' (des Windgrates), wie des Grates O A' (des Unterwindgrates), nehmen von der Spitze nach dem Auflager entfprechend dem Gefetze des Dreieckes (linear) zu (flehe Art. 259, S. 273). Der Winddruck gegen die Fläche / von der Spitze bis zu einer Höhe z unter derfelben

X z

id mit den Bezeichnungen in Fig. 367 : Nz = p —— und, da ;r =

Li

c)

Km

D'

p a

2 -h

Sonach id die pofitive Beladung des Fachwerkes in der Seitenfläche //, bezw. VIII auf die Höhe z unter der Spitze mit Rückficht auf Gleichung 380

³⁸) Siehe bezüglich nachftehender Ableitung: MÜLLER-Breslau, H. Beitrag zur Theorie des räumlichen Fachwerks. Centralhl. d. Bauverw. 1892, S. 257. — Auch als Sonderabdruck erfchienen : Berlin 1892.

A'

a,

y.....

a.

..v.....

Fig. 369.

Vm

lm+i

410m

ärn

m. km

die negative Beladung deffelben Fach werkes

T„‘ = 0,854 ^ 2*

■ 382.

In Fig. 369 id das Fachwerk der Seitenfläche VIII (O CD') des leichteren Verdändniffes

.y.

.+1

<.....

"bm

.jj halber mit wagrechter Axe als Freiträger gezeichnet. Die Beladungen find nach Gröfse und Vertheilung darüber, bezw. darunter angegeben; dabei id die auf die Einheit der fchraffirten Flächen entfallende Beladung (y₀, bezw. yu) fo gewählt, dafs die Abmeffungen b und £ der Beladungsdreiecke diefelben find, wie diejenigen des Freiträgers. Die gelammte Beladung von der Seite des Windgrates folgt aus

Gleichung 381 für z == h\ de id T0/'= l,oe dann aus der Bedingungsgleichung:

¹ • Die Einheitsbeladung y₍₎ folgt

2 sin a

— 1,06

pah

y₍₎ = 1,06 p sin a ;.........

eben fo ergiebt dch die Einheitsbeladung der unteren Fläche zu

yZ = 0,3 5 4 / sin a.........

Das Gleichgewicht am m-ten Knotenpunkte der oberen Gurtung bedingt: Dm cos = 0,n + 1 cos ß — 0m cos ß.

Bedeuten Mm) bezw. Mm punkte m, bezw. m — 1, fo id nach Fig. 369

383.

384-

die Momente der äufseren Kräfte für die Knoten-

Om + 1 cos ß =

und

Om cos ß =

mithin

Dm cos <pm = -7—

Im

Bezeichnet dm die Länge der Diagonale, pw die Höhe des betreffenden Feldes in der Dachfchräge gemeffen, fo id cos <p„t =

Im—1

Dm =

N M?

, alfo

•u — 1 \

Im- 1 /

Ferner id

Mm =

Mn

b g c

wm 's)H    in i    \    1 r

T T^'_Y“)’ aif0 b„

tc

~~ 6

(Yo — Y *)>

und eben lo

mithin =

Dm =

^Z(y.-y„);

- (Tü — T u) -~rL und> da p« = im —im-1 ift,

(T» — lu)

(6y;g ~|~    -1)

P/«

dm .

Mit em —

im “I⁻ im

wird

Dm =

3— (Tu - lu)

385-

Vorftehende Entwickelung gilt für jede Seitenfläche; nur find für y₀ und yw die bezüglichen Werthe einzufetzen. Für die voll vom Winde getroffene Seitenfläche / ift y₀ — yw = Null, alfo alle Z) = 0 ; für die Seitenwand II, bezw. VIII ift

(ïo — lu) = 0,7ou p . sin a;

t )n d7H

alfo

Dm — 0,7 0 6 p . sin a

Setzt man =

sin a

fo wird

Dm =

0,706 P Z>m d,n

386.

Ringfpannungen. Um die Ringfpannungen (d. h. die Spannungen der Pfoften im Freiträger der Fig. 369) zu beftimmen, ermittelt man zweckmäfsig getrennt die Beiträge, welche durch die Belattungen yy und diejenigen, welche durch die Laften y„ erzeugt werden. Für y„ — 0 fei im m-ten Ring-ftabe die Spannung Rm ' ; das Gleichgewicht am in-ten

Knotenpunkte der unteren Gurtung führt zum Kraftpolygon

Fig. 370.

in Fig. 370 Es ergiebt fleh —

m-j-1

Gleichung 385 ift für yw = 0 :    =

⁽ m -\-1 I»i _)_ 1 y₀

alfo

RJ =

_ Iin -f-1

dm -f-1 m -|-1 d>n -)- 1

Nach

To ;

a)

lm+i

,3>.

]J1\

!\

..y.

JIi+1

dm

JTL-1

RaNp km-

mVi m

jifl

P'ür y„ = 0 ergiebt die Betrachtung des m-ten

Knotenpunktes der oberen Gurtung aus dem Kraftpolygon Rm" ₌ bm D„t dvl

^in dVI lu ,

in Fig. 370b

Nach Gleichung 385 ift

b) Rm

im+i

Fm

für y₀ = 0 : Dm — —

fomit

Um+rF®

OmTFoi

Rm" =

£m Im — 1 lu

Somit wird die Ringfpannung durch die gemeinfame Belaftung y₀ und yw

Im -f-1 t-m -j- 1 To    ^vi Im — 1 "(u

Da der Wind von allen Seiten kommen kann, fo ift zu unterfuchen, in welcher Seitenfläche die Diagonal- und Ringfpannungen am gröfsten werden können; die erhaltenen Werthe find der Conftruction der Diagonalen und Ringftäbe in allen Seitenflächen zu Grunde zu legen.

Rm = -

r[

• •    387.

"X......Ä......X " T

Fig. 371.

Z=6,5

5,0

Z|;9,5

2₃-18,5

.Ÿ.. //1

\ io

fflU

ft

,y.

3,0

Zu den vor fliehend ermittelten, durch den Wind hervorgerufenen Stab-fpannungen kommen noch diejenigen durch das Eigengewicht; diefe find nach Art. 253 u. 254 (S. 265) leicht zu finden.

,V...

fr

JL-42m

3,;8

•*

3,8

4>;o

40

Beifpiel. Der in Fig. 371 im Grundrifs und Aufrifs dargeltellte Thurm über einem regelmäfsigen Achteck hat eine Höhe h = 42 m ; die Seite der achteckigen Grundfläche ift a — 5)8 m. Die Spannungen der Sparren, der Ring- und Diagonalftäbe find bei einem Wind-42,6® druck p = 120kS auf das Quadr.-Meter normal ; getroffener Fläche zu ermitteln.

:    a) Sparrenfpannungen.

werden von der Spitze nach der Grundfläche hin mit /, 2, 3 ... g, 10 bezeichnet, die zu j den einzelnen Feldern gehörigen Werthe z bis zur Mitte der Höhe des betreffenden Feldes gerechnet. Man erhält nach Gleichung 375 die Gröfse des Windmoments, welches die Sparren-fpannungen erzeugt, zu

263.

Beifpiel.

Die Felder

-F-

LG

Mz = Wz

CD

j + *r{eQ+ z).

.....14,0 m

.....a=5,8m'i^

y.

Nach Gleichung 373 ift aber :

p a z²

Wz =

a.

4-

der Winddruck auf das Thurmkreuz wird zu W = 250 kS und die Höhe deffelben über der Spitze zu e₀ = 4,o m angenommen.

., -p a z%

Mz = -T— — + 1000 -f 250 *

Alsdann ift

x.

und mit - =

120

5,8

3    ' 42    5,52

Mz — (5,52 2³ -j- 250 z -j~ 1000) kgm.

Die Berechnung ergiebt folgende Tabelle : 12,5    15,7    19,3    23,1    27    31    35,25    39,75 Met.;

Mz = 4140    8100    14900    26800    45500    74800    116400    178200    251700    357620 Kilogr.-Met.;

X— 0,90    1,31    1,73    2,17    2,7    3,19    3,73    4,28    4,8G    5,5 Met. J

S= 828    1113    1548    2178    3032    4212    5616    7284    9320    11700 Kilogr.

Diefe Werthe können fammtlich fowohl Zug wie Druck bedeuten.

a = 6,5

9,5

ß) Diagonalen. Gröfste Beanfpruchung der Diagonalen findet in den Seitenflächen II und VIII (Fig. 368) flatt. Nach Gleichung 386 ift

Dm —

0,706 p

zm dm —

0,706 • 120

Zj/i dju ,

Dni — 00 28 zm df/t,

Das Verzeichnen der Seitenfläche ergab folgende Werthe für dm, woraus dann die ebenfalls in der Tabelle verzeichneten Werthe von D fich ergaben:

Zm — 6,5 dm — 3,2

fomit

9,5

12,5    15,7    19,3    23,i    27

31

35,25    39,7 5 Met. ;

7,i Met. ;

D = 588    912    1230    1815    2610    3240    4190    5200    6170    7960 Kilogr.

3,4

3,5

4,1

4,8

5,0

5,5

5,95

6,2

Auch diefe Werthe können, falls nicht Gegendiagonalen angeordnet find, Zug und Druck bedeuten.

28O

y) Ringfpannungen. Nach Gleichung 387 ift Rm — — -- _p 1 em 4. 1 y₀ — em bm — 1 J«)-

In der Seitenfläche VIII ift y₀ = 1,06p sin a, yM= 0,354/sin a,

alfo

z,u 4-1 sin rj.

und

em —

zni

sin a

(1,06 b1tl-)-1 Zm-J_ 1 - 0,354 bm — 1 Zm).

Man erhält für die verfchiedenen Werthe von m die in nachftehender Tabelle flehenden Zahlen:

Rm =

ni —

2 7    31    35,25    39,75 Met.;

4,05    4,6    5,2    5,8 Met. ;

23,1    27    3 1    35,25 Met.;

4,6 Met. ;

Rm — — 558 -888 - 1327 -2026 -2780 -3666 -4723 -6036    - 7484 Kilogr.

I’m —l — 0,7 2

12,5

1 95 9,5

1,1

15,7

19,3

2,4

3,0

12,5    15,7

1,55

1 ,95

3,0

3,5

4,05

Die Ringfpannungen in Fläche / find wefentlich kleiner, als diejenigen in Fläche II, bezw. VIII; mithin find diefe, d. h. die in vorftehender Tabelle ermittelten Werthe für die Berechnung zu Grunde zu legen.

3) Standfeftigkeit der Thurmdächer.

264.

Verankerung.

Durch die Windbelaftung werden die Sparren an der Windfeite auf Zug, diejenigen an der Unterwindfeite auf Druck beanfprucht \ durch das Eigengewicht erhalten alle Sparren Druck. Wenn der im unterllen Sparrenftück mögliche gröfste Zug in Folge des Winddruckes gröfser ift, als der durch das Eigengewicht erzeugte Druck, fo ift Gleichgewicht nur möglich, wenn auf den Sparren Seitens des Auflagers ein Zug ausgeübt wird, welcher wenigftens fo grofs ift, wie der gröfste im Sparren herrfchende Zug. Diefer Zug Seitens des Auflagers wird durch Verankerung der Sparren mit dem Thurmmauerwerk erzeugt, und das Gewicht des an den Anker gehängten Mauerwerkes, welches als Zug auf den Sparren wirkt, mufs wenigftens fo grofs fein, wie der gröfstmögliche Zug in demfelben. Es empfiehlt fich, die Verankerung weiter hinabzuführen, etwa fo weit, dafs das Mauergewicht doppelt fo grofs ift, als der gröfste Zug im Sparren.

Literatur.

Bücher über »Statik der Dachftühle«.

Ritter, A. Elementare Theorie und Berechnung eiferner Dach- und Brücken-Conftructionen. Hannover 1863. — 5. Auf!. 1894.

Unwin, W. Wrought-iron bridges and roofs etc. London 1870.

CORDIER, E. Equilibre ßabile des charpentes en fer, bois et fonte. Paris 1872.

FabrÉ, V. Théorie des charpentes, donnant des régies pratiques pour la conftrudion des fermes et autres appareils en bois et en fonte. Paris 1873.

Cargill, Th. The firains upon bridge girders and roof truffes etc. London 1873.

Schreve, S. A treatife on the flrength of bridges and roofs etc. New-York 1873.

Tetmajer , L. Die äufseren| und inneren Kräfte an ftatifch beftimmten Brücken- und Dachftuhl-Conftructionen. Zürich 1875.

Nicour, Ch. Calcul d’un comble en fer du fyßeme Polonceau. Paris 1875.

Schwedler, W. Die Conftruction der Kuppeldächer. 2. Aufl. Berlin 1878.

Trelat, E. La rigidité dans les combles. Paris 1878.

Deutfche bautechnifche Tafchenbibliothek. Heft 10: Berechnung der Dachwerke. Von W. Jeep. Leipzig 1876.

Weyrauch, T- J- Beifpiele und Aufgaben zur Berechnung der ftatifch beftimmten Träger für Brücken und Dächer. Leipzig 1888.

MÜLLER-Breslau, H. Beitrag zur Theorie des räumlichen Fachwerks. Berlin 1892.

Foeppl, A. Das Fachwerk im Raume. Leipzig 1892.

I. Theil, 2. Abtheilung:

DIE STATIK DER HOCHBAU-CONSTRUCTIONEN.

5. Abfchnitt.

Gewölbe.

265.

Allgemeines.

Die Gewölbe find aus einzelnen Theilen mit Hilfe von Verbindungsmaterialien zufammengefetzte Bau-Conftructionen, welche bei lothrechten Belaftungen fchiefe Drücke auf die flützenden Constructionstheile ausüben. Indem wir die verfchiedenen Gewölbearten³⁹) hier als bekannt vorausfetzen, bemerken wir, dafs wir uns im vorliegenden Abfchnitt hauptfächlich mit den Tonnen-, bezw. Ivappengewölben, den Kreuzgewölben und den Kuppelgewölben befchäftigen werden, auf welche alle anderen Gewölbearten leicht zurückgeführt werden können.

Der allgemeinen Unterfuchung foil das Tonnen-, bezw. Kappengewölbe zu Grunde gelegt werden; dabei wird ftets, falls nichts Anderes bemerkt wird, ein Gewölbeftück betrachtet werden, deffen Abmeffung fenkrecht zur Bildfläche gleich der Einheit, alfo gleich lm ift. Alsdann fällt die Kraftebene mit der mittleren lothrechten Ebene zufammen. Das Tonnen-, bezw. Kappengewölbe wirkt wie ein krummer Balken, welcher den Gefetzen der Elafticitätslehre unterworfen ift.

i. Kapitel.

Stützlinie und Mittelkraftslinie,

a) Allgemeines.

266.

Kämpfer

drücke.

Für die Ermittelung der im Gewölbe auftretenden inneren Kräfte ift zunächft — genau wie bei den früher behandelten Bau-Conftructionen — die Kenntnifs der äufseren auf das Gewölbe wirkenden Kräfte nöthig, alfo der Belaftungen und der Auflagerkräfte. Die Belaftungen find in den meiften Fällen gegeben, bezw. aus den Tabellen in Art. 21 bis 27 leicht zu beftimmen. Schwieriger ift die Ermittelung der Auflagerkräfte oder, wie fie hier heifsen, der Kämpferdrücke. Bei den bisherigen Conftructionen genügten zu ihrer Beftimmung die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen; hier ift dies nicht der Fall. Wird ein beliebiges Gewölbe (Fig. 372) betrachtet, fo wird bei jedem Auflager — hier Kämpfer genannt — auf das Gewölbe eine Anzahl von Kräften übertragen, deren Mittelkraft eben der gefuchte Kämpferdruck ift; von jedem diefer Kämpferdrücke ift aber weder Gröfse, noch

282

Richtung, noch Angriffspunkt (A, bezw. B) bekannt. Wir haben demnach in den Kämpferdrücken 6 Unbekannte : D, Dv a, a.v c, cx (wenn c und cj die Abftände der Punkte A und B von den inneren Laibungspunkten der Widerlager bezeichnen). Da die Statik ver-mittels der Gleichgewichtsbedingungen fefter |f§§||

log- 37²-

,D

Kd

267.

Stützlinie.

Körper nur 3 Gleichungen zur Verfügung

ftellt, fo iff: die Ermittelung der Kämpferdrücke auf rein ftatifchem Wege nicht möglich. Die Aufgabe wird gelöst, indem man das Gewölbe als elaftifchen Bogen auffafft und annimmt, dafs bei den durch die Belüftungen erfolgenden Formänderungen die Widerlager und die anfchliefsenden Bogenenden genau unveränderte Lage behalten. Diefe mit der Wirklichkeit nahezu übereinftimmende Annahme giebt weitere 3 Gleichungen, fo dafs jetzt für die 6 Unbekannten 6 Gleichungen vorhanden find.

Für die einfachen Fälle des Hochbaues, bei denen faff: ffets eine ruhende Belattung in Frage kommt, brauchen die Flafticitätsgleichungen nicht aufgeftellt zu werden. Vorläufig werde angenommen, dafs die Kämpferdrücke nach Gröfse, Richtung und Lage auf irgend welche Art gefunden und bekannt feien.

Itt letzteres der Fall, fo find alle äufseren, auf das Gewölbe wirkenden Kräfte bekannt; demnach können die fämmtlichen äufseren Kräfte, welche an der einen Seite eines beliebigen, fenkrecht zur Bildebene genommenen Querfchnittes II des Gewölbes (Fig. 373) wirken, zu einer Mittelkraft vereinigt werden.

Betrachtet man etwa denjenigen Gewölbetheil, welcher links vom Querfchnitte //, alfo zwifchen dem linken Widerlager und dem Querfchnitte II liegt, fo fei R diefe Mittelkraft. Damit Gleichgewicht vorhanden fei, mufs im Querfchnitt II eine Anzahl innerer Kräfte wirken, deren Mittelkraft gleiche Gröfse, gleiche Richtung, gleichen Angriffspunkt und entgegengefetzten Sinn hat, wie die Kraft/?.

Mit der Kraft R kennt man alfo auch die Refultirende der hier thätigen inneren Kräfte. Zerlegt man R in eine Seitenkraft P, welche parallel iff: zu der an die Bogenaxe im betrachteten Querfchnitte gezogenen Tangente, und in eine zu erfterer fenkrechte Seitenkraft Q, fo h'eifst die erttere die Axialkraft, die zweite die Transverfalkraft

Fis- 373-

v*;-

■R

oder Querkraft. Die Querkraft itt für die hier zu betrachtenden Fälle von geringer Wichtigkeit; von wefentlicher Bedeutung dagegen itt Gröfse und Lage von P. Die durch die Axialkraft in den einzelnen Punkten des Querfchnittes II erzeugten Druck-, bezw. Zugfpannungen können ohne merkbaren Fehler nach den in Art. 126 (S. ui) für Stützen berechneten Gleichungen beftimmt werden. Man erhält demnach die Spannung a in einem um z von der Mittellinie entfernten Punkte nach Gleichung 102

Mz

Fiz

.    .    388.

M itt das Moment der äufseren Kräfte für den Punkt 0, d. h. für denjenigen Punkt, in welchem die Mittellinie des Gewölbes den Querfchnitt II fchneidet; hier alfo iff: M = Pi, da Q in Bezug auf 0 kein Moment hat. Die pofitiven Werthe für a find hier Druckbeanfpruchungen ; die negativen Werthe bedeuten Zug.

Von hervorragender Bedeutung für den Werth von o ift die Gröfse von i oder, was daffelbe ift, die Lage des Punktes E, des Schnittpunktes der Mittelkraft R mit dem von ihr beanfpruchten Querfchnitte. Man hat defshalb für die Punkte E eine befondere Bezeichnung eingeführt: die Stützlinie. Die Stützlinie ift die Ge-fammtheit aller derjenigen Punkte, in denen die Gewölbequerfchnitte von den auf fie wirkenden Mittelkräften gefchnitten werden.

Den verfchiedenen Belaftungsarten entfprechen verfchiedene Mittelkräfte für die einzelnen Querfchnitte; daraus folgt, dafs bei demfelben Gewölbe jeder Belaftungs-art auch eine befondere Stützlinie entfpricht.

Zerlegt man das Gewölbe in eine Anzahl von Theilen (Fig. 374), ermittelt die Kämpferdrücke (D und Dx), fo wie die Belaftungen der einzelnen Theile (Gv G₂, G., . . . Gę) und fetzt zunächft D mit der erften Laft Gx zu fammen, diefe letztere mit G₂ und fährt fo bis zum rechten Kämpfer fort, fo erhält

man ein Vieleck o III III IV V VI 7, welches man die Mittelkraftslinie oder das Refultanten-Polygon nennt. Aus der Mittelkraftslinie ergeben fich fofort einzelne Punkte der Stützlinie, nämlich die Schnittpunkte der einzelnen Mittelkräfte mit den bezüglichen Quer-fchnitten, hier die Punkte 0, /, 2, 3, 3 und 7. Je kleiner die einzelnen Theile des Gewölbes angenommen werden, defto mehr nähert fich die Mittelkraftslinie einer ftetig verlaufenden Curve, der fog. Seilcurve.

Die Ermittelung der Form und Lage der Stützlinie auf ftatifchem Wege fetzt nach Obigem die Kenntnifs der Kämpferdrücke oder wenigftens dreier von den fechs Unbekannten voraus, welche die Kämpferdrücke nach Gröfse, Richtung und Lage beftimmen; denn alsdann find nur noch drei Unbekannte vorhanden, welche mit Hilfe der Statik ermittelt werden können. Mit Hilfe der Elafticitätstheorie der Gewölbe hat Winkler folgenden wichtigen Satz gefunden, den wir hier nur angeben wollen, wegen des Beweifes auf unten ftehende Quellen⁴⁰) verweifend.

Bei conftantem Querfchnitt ift unter allen ftatifch möglichen Stützlinien nahezu diejenige die richtige, welche fich der Bogenaxe durchfchnittlich am meiften nähert, wenn man das Wort »durchfchnittlich« im Sinne der Methode der kleinften Quadrat-fummen deutet. Somit ift diejenige Stützlinie nahezu die richtige, für welche die Summe der Quadrate der Abweichungen von der Bogenaxe ein Minimum ift. Läfft fich demnach eine Stützlinie conftruiren, welche mit der Mittellinie des Gewölbes zufammenfällt, fo wird diefe die richtige fein.

Conftruirt man alfo die Mittellinie des Bogens derart, dafs fie für die gegebene Belaftung mit der unter gewiffen Annahmen conftruirten (demnach möglichen) Stützlinie übereinftimmt, fo ift diefe Mittellinie die richtige Stützlinie — natürlich nur für die angenommene Belaftung. Da es fich aber im Hochbau meiftens um conftante Belaftungen handelt, fo ift diefe Ermittelung in der Regel genügend.

268.

Mittelkraftslinie

oder

einer Mittelkraft zu- Refuitanten-

Polygon.

Fig. 374-

jrr

'C,

S'-*

ç ffBBi

269.

Ergebniffe

der

Elafticitäts

theorie.

⁴⁰) Winkler, F. Beitrag zur Theorie der Bogenträger. Zeitfchr, d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover. 1879, S. 199. Lage der Stützlinie im Gewölbe. Deutfche Bauz. 1879, S. 117 u. 127.

284

Wir werden weiter unten fehen, dafs es in vielen Fällen, in denen die Auf-fuchung der genauen Stützlinie fchwierig iff, genügt, gewiffe Grenzlagen der Stützlinie zu ermitteln ; da aber die Stützlinie leicht aus dem Refultanten-Polygon con-ftruirt werden kann, fo wird für alle diefe Fälle zunächft das Refultanten-Polygon oder die Mittelkraftslinie aufgefucht.

b) Mittelkraftslinie und Seilcurve.

270.

Horizontalfchub im Gewölbe.

Jede Verbindungslinie zweier Eckpunkte der Mittelkraftslinie (/ //, II III, III IV. . . in Fig. 374) giebt nach der Erklärung in Art. 268 (S. 283) Lage und Richtung der Mittelkraft aller an der einen Seite der betreffenden Fuge wirkenden äufseren Kräfte. Es giebt alfo z. B. III IV die Richtung und Lage der Mittelkraft aller rechts von der Fuge 3 wirkenden Kräfte, d. h. der Kräfte Dx, Gx, G., G„ : da fämmtliche äufsere Kräfte einander im Gleichgewichte halten, fo fällt die Mittelkraft aller links von der Fuge 3 wirkenden Kräfte gleichfalls in die Linie III IV; in derfelben halten fich demnach die beiden Mittelkräfte im Gleichgewichte. Genau eben fo verhält es fich auch mit jeder anderen Fuge.

Betrachtet man nun einen Theil des Gewölbes (Fig. 375) und unterfucht feinen

Fig. 375-

Gleichgewichtszuftand, fo wirken auf denfelben nicht nur die Kräfte D, Gv G₂, Ga, fondern auch die Kräfte, welche in der Fuge 3 3 vom anderen Theile des Gewölbes übertragen werden. Die Mittelkraft der letzteren iff aber nach dem Vorftehen-

1,

den gleich der Mittelkraft aller auf den anderen Theil wirkenden äufseren Kräfte, d. h. hier von Dv Gv G₅, G₆.

Diefe fällt in die Linie III IV (Fig. 374). Wenn alfo die Mittelkraftslinie bekannt iff, fo find ftets auch Lage,

Richtung und (wie weiter unten nachgewiefen wird, auch) Gröfse derjenigen Kraft bekannt, bezw. leicht zu finden, welche in der betreffenden Fuge auf das Gewölbe-Bruchftück übertragen wird. Alles Vorftehende gilt feibftverftändlieh auch, wenn die einzelnen Gewölbetheile unendlich fchmal werden und die Mittelkraftslinie zur Seilcurve wird; dann fällt die

Mittelkraft an jeder Stelle in die Richtung der Tangente an die Curve.

Fig. 376.

Die Kämpferdrücke D und Dl haben lothrechte und wagrechte Seitenkräfte ; in diefer Beziehung kann man die Gewölbe als Sprengwerksträger anfehen. Diefe wagrechten Seitenkräfte, welche auf das Gewölbe nach innen, auf die ffützenden Seitenmauern nach aufsen, alfo fchiebend wirken, gefährden das Bauwerk. Wenn die Belaftungen nur lothrecht wirken, fo haben diefe wagrechten Seitenkräfte im ganzen Bogen bei derfelben Belaftung gleiche Gröfse. Denn das Gleichgewicht eines beliebigen Bruchftückes (Fig. 376) verlangt, dafs die algebraifche Summe aller wagrechten Kräfte gleich Null fei. Die beiden einzigen wagrechten Kräfte am Bruchftiick find aber die Seitenkräfte H und H. von D und R. Daher mufs ftattfinden :

0 = H- II

woraus

H — Hy

Da Schnitt mn beliebig gewählt war, fo gilt das Vor

'nn>

ftehende ganz allgemein.

Man nennt diefe wagrechte Seitenkraft den Horizontalfchub des Bogens, bezw. des Gewölbes. Die

Auch graphifch ergiebt fich die Gröfse von H leicht.

Man ermittele die Mittelkraft X ((7) aller an der einen Seite des durch den Scheitel gelegten Schnittes II wirkenden Latten (Fig. 377); alsdann wirken auf das Gewölbettück drei Kräfte: X (<7), H und D. Da diefelben das Gewölbettück im Gleichgewicht halten, fo fchneiden fich ihre Richtungslinien in einem Punkte, d. h. D mufs durch den Punkt a gehen, in welchem fich die beiden anderen Kräfte, H und X (G) fchneiden. Da D auch durch A geht, fo ift die Richtung von D durch Linie A a be-ftimmt. Nun halten fich in a drei Kräfte im Gleichgewicht, deren Richtungen bekannt find, von deren einer [X (Ć7)] auch die Gröfse bekannt ift. Man trage X (G) nach beliebigem Mafsftabe auf (= uß) und ziehe durch a und ß Parallelen zu bezw. den Richtungen von II und D\ alsdann erhält man

H — y a und D — ß y.

Die Ermittelung von H für das unfymmetrifche, bezw. das unfymmetrifch belaftete Gewölbe wird in Art. 273 u. 275 vorgeführt werden.

271.

Seilcurve durch drei gegebene Punkte.

285

Ermittelung der Gröfse und Lage diefes Horizontalfchubes ift bei der Berechnung der Gewölbe die wichtigfte Aufgabe.

Die Gröfse des Horizontalfchubes ift fowohl von der Beladung, wie auch von der Form und Lage der Mittelkraftslinie, bezw. Seilcurve abhängig. Diefe Abhängigkeit ftellt fich für das fymmetrifch zur Scheitelfuge geftaltete und eben fo belaftete Gewölbe folgendermafsen dar.

A CB fei (Fig. 377) die Seilcurve. Legt man durch denjenigen Punkt der-felben, in welchem die Tangente wagrecht ift, d. h. durch den Scheitel, einen

Schnitt II und unterfucht das Gleichgewicht des Gewölbeftückes an der einen Seite diefes Schnittes, etwa des Stückes A C, fo mufs, wie eben entwickelt, die Kraft, welche in II auf das Bogenftück übertragen wird, in die Richtung der Tangente fallen, demnach wagrecht fein. Diefe Kraft ift alfo das gefuchte H. Da auch A ein Punkt der Seilcurve ift, fo mufs durch A die Mittelkraft aller der-

£------H---jenigen Kräfte gehen, welche rechts von

der Kämpferfuge wirken, d. h. die Mittelkraft von X(C) und H\ diefe Mittelkraft mufs demnach für A als Drehpunkt das ftatifche Moment Null haben. Da nun das ftatifche Moment der Mittelkraft ftets gleich der algebraifchen Summe der ftatifchen Momente der Einzelkräfte ift, fo mufs auch ftattfinden :

x₀ £ {G) - Hh == 0,

Fig- 377-

CH

—^——5

y h

y----

2(G)

2(G)

woraus folgt

Z(G)

3^9-

- Wie in Art. 266 (S. 281) gezeigt, giebt die Statik fefter Körper für die Ermittelung der unbekannten äufseren Kräfte und damit auch der Seilcurve nur drei Gleichungen, wählend fechs Unbekannte vorhanden find. Man kann aber die Seilcurve dadurch feft legen, dafs man durch die Conftruction drei Bedingungen fchafft, welche durch drei Gleichungen ausgedrückt werden und fo die fehlenden Gleichungen bieten. Am einfachften gefchieht dies, indem man drei Punkte vorfchreibt, durch welche die Seilcurve gehen mufs, etwa durch Einlegen von Keilen u. f. w. in drei

Betrachtet man nämlich zunächft (Fig. 378) die linke Gewölbehälfte und nimmt

dabei allgemein an, dafs die von der rechten Hälfte im Scheitel übertragene Kraft die Seitenkräfte H₂ und V₂ habe, fo mufs, weil die Mittelkraft von 2>{G), H₂ und V₂ durch A verläuft,

286

Fugen (Fig. 378). Wenn alfo drei Punkte vorgefchrieben find, durch welche die Seilcurve verlaufen mufs, fo ift der ganze Lauf der Seilcurve und damit auch die Gröfse des Horizontal-fchubes gegeben. Auch wenn zwei Punkte der Seilcurve und aufserdem in einem diefer Punkte die Richtung beftimmt ift, welche die Tangente an die Curve haben foil, ift Alles bekannt. Wird die Seilcurve in diefer Weife

Fig. 378-

'K

K-

Hr*

CC-T-+H,

(i—'

2(G)

KG)

feft gelegt, fo wirken die beiden Theile des Gewölbes auf einander genau eben fo, wie die beiden Theile eines Sprengwerkdaches (fiehe Art. 210, S. 211¹).

Wenn bei einem Gewölbe zwei Kämpferpunkte und ein Scheitelpunkt für den Verlauf der Seilcurve vorgefchrieben find und fowohl die Kämpferpunkte wie die Laften fymmetrifch zur Scheitel-Lothrechten find, fo verläuft die ganze Seilcurve, bezw. Mittelkraftslinie fymmetrifch zu diefer Linie, fo ift alfo auch die Tangente an die Seilcurve im Scheitel wagrecht. Es genügt demnach, für ein folches Gewölbe eine Hälfte zu unterfuchen.

0= Via — H₂h + x ₀£(G)

fein. Wird die rechte Gewölbehälfte betrachtet, fo wirken auf diefelbe im Scheitel H₂ und V₂ in gleicher Gröfse, aber in entgegengefetztem Sinne, wie auf die linke Hälfte; der Symmetrie wegen ift die Belattung diefer Hälfte ebenfalls E(C) im Ab-ftande x₀ vom Kämpfer B\ mithin findet ftatt:

0 =V₂a + H₂h-x₀Z(G).

Die Addition beider Gleichungen giebt: 0= V₂ . 2 a, woraus

K = 0

folgt. Demnach ift die Kraft, welche die beiden Gewölbehälften im Scheitel auf einander übertragen, in der That wagrecht, alfo ift auch die Tangente an die Mittelkraftslinie im Scheitel wagrecht.

Man findet die Gröfse von H₂ = H leicht, wie Gleichung 389 :

Wenn für die Seilcurve drei Punkte oder zwei Punkte und eine Richtung vorgefchrieben find, fo ift nach Vorftehendem der Verlauf der Seilcurve beftimmt; alsdann mufs alfo auch eine graphifche Conftruction diefer Linie möglich fein. Es ift

oft wünfchenswerth, den ganzen Verlauf derfelben zu kennen, und defshalb foil nachftehend gezeigt werden, wie die Seilcurve, bezw. Gleichgewichtslinie conftruirt wird. Bei allen folchen Unterfuchungen ift es zweckmäfsig, die Laften durch Flächen darzuftellen. Man denkt fich zu diefem Zwecke die gegebenen Nutzlaften durch Mauerkörper von demfelben Einheitsgewichte erfetzt, wie dasjenige des Gewölbes ift. Wenn die Abmeffung fenkrecht zur Bildfläche gleich der Einheit (= 1 m) ift, fo bedeutet demnach 1 in der Anfleht 1 cbm Mauerwerk, alfo ein entfprechendes Gewicht. Diefe in Mauerwerk verwandelte Nutzlaft kommt zum Eigengewichte des Gewölbes hinzu, fo dafs man als Darftellung der Belattung etwa die in Fig. 379 fchraffirte Fläche erhält.

Fig- 379-

im

272.

Seilcurve für

zur Scheitel-Lothrechten angeordneten und belafteten Bogen.

Bei dem zur Scheitel-Lothrechten fymmetrifch geltalteten und fymmetrifch be-lafteten Bogen, bezw. Gewölbe ift nach Art. 271 die Seilcurve fymmetrifch geftaltet; fymmetrifch mithin ift es ausreichend, eine Hälfte derfelben zu conftruiren. Diefe Conftruction

Fig. 380.

te.

kp'

ift in Fig. 380 vorgeführt. Die Be-laftungsfläche fei dargeftellt, und es fei vorgefchrieben, dafs die Mittelkraftslinie durch C und A gehe, aufser-dem in C wagrecht fei.

ST

/ Gj

3*R

'/ff

0,

Man zerlege die Belaftungsfläche in eine Anzahl lothrechter Lamellen, deren Gewichte Gg, Gg, Gą . . . Gj durch Multiplication der Flächengröfsen der einzelnen Lamellen mit der (fenkrecht zur Bildfläche gedachten) Einheit und dem Einheitsgewichte der Belattung ermittelt werden. Diefe Gewichte haben ihre Angriffspunkte in den Schwerpunkten der einzelnen Lamellen. Die Gewichte Gg, Gg,

p\

if

G:

G,

G4 . . . G| werden nun zu einem Kraftpolygon a ß y * • - "fi an einander getragen, und ihre Mittelkraft wird nach Gröfse und Lage gefucht. Die Gröfse derfelben ift avj. Um die Lage derfelben zu erhalten, conftruire man mit einem beliebigen Pol 0j ein Seilpolygon ; die Mittelkraft geht dann durch den Schnittpunkt der äufserften Seilpolygonfeiten , d. h. derjenigen, welche vor Gg vorhergeht und der jenigen, welche auf G₍ folgt. Es empfiehlt fich, den Pol auf der durch a gehenden Wagrechten

zu wählen (hier ift Gj als Pol genommen) und die erfte Seilpolygonfeite durch G zu legen. Das Seilpolygon

6

in Fig. 380 für Pol Gj ift C, VI', V⁴, IV⁴, III⁴, //', I⁴; die Mittelkraft S (G) mufs durch den Punkt E gehen

und lothrecht fein. Nachdem nunmehr die auf die Hälfte des Gewölbes wirkenden Einzellaften durch ihre Mittelkraft R erfetzt find, wirken auf diefen Gewölbtheil nur noch drei Kräfte : R, die Kraft im Scheitel G und der Kämpferdruck D im Punkte A. Des Gleichgewichtes wegen müffen fie fich in einem Punkte fchneiden ; die Scheitelkraft geht durch C und ift bei der vorgefehenen Belaftung und Conftruction wagrecht, fchneidet fich alfo mit R im Punkte E; durch diefen Punkt mufs alfo auch die Kämpferkraft gehen; da diefe aber auch durch A geht, fo ift ihre Richtung durch die Punkte A und E beftimmt.

R zerlegt fich alfo im Punkte E in die beiden Kräfte II und D. Die Gröfsen von II und D werden erhalten, indem man durch a die Parallele zu II’, durch v] die Parallele zu AE zieht; dann wird t^O — D und O a — II.

288

Man erhält nun die Mittelkraftslinie, indem man die in C angreifende Kraft II zunäclilt im Schnittpunkte VI mit fo zu einer Refultirenden zufammenfetzt; Gröfse und Richtung derfelben find durch Oß im Kraftpolygon gegeben; die durch VI parallel zu 0 ß gezogene Linie giebt ihre Lage. Wo die Mittelkraft fich mit Cg fchneidet, d. h. in Punkt V, fetzt man fie mit diefer Kraft zufammen. Gröfse und Richtung diefer neuen Mittelkraft giebt O y im Kraftpolygon ; die Lage wird erhalten, indem man durch V die Parallele zu Oy zieht. Indem man fo weiter condruirt, erhält man im Kraftpolygon Gröfse und Richtung aller Mittelkräfte, im Seilpolygon C, VI, V, IV, III, II, I, A die Mittelkraftslinie. Als Contrôle dient, dafs die Mittelkraftslinie durch A geht.

Bei einem beliebig geftalteten Bogen mit beliebiger Beladung (Fig. 381) er-giebt fich die durch drei vorgefchriebene Punkte A, C, B verlaufende Mittelkrafts-

unfymmetrifche Ünie> wie folgt.

Bogen.

273-

Mittelkraftslinie für

Man kann die Conftruction als aus zwei ungleichen Hälften beftehend auffaffen, welche einander im Scheitelpunkte C dützen. Der Kämpferdruck in A befteht aus zwei Theilen ; demjenigen, welcher durch die Beladung nur der linken Hälfte erzeugt wird, und demjenigen, welcher durch die Beladung der rechten Hälfte hervor-

nur

gerufen wird. Eben fo verhält es fich mit dem Kämpferdruck in B. Nimmt man zunächd nur die linke Hälfte beladet, alfo die rechte Hälfte gewichtslos an, fo hat wie beim Dreigelenk-S. 211) B die

Fig. 381.

\/T

>r-

yRl__

dach (fiehe Art. 210, der Kämpferdruck von Richtung ß C. Eine gleich gröfse

•D

iRr\

! JW

y.T

\/t

und gleich gerichtete Kraft wird der rechts liegenden Hälfte

A/ś

s\

B/>

von

in C auf die linke Plälfte übertragen ; auf diefe Hälfte wirken aufserdem noch die Refultirende

Vylyy/,

'i.

Ah

Gt\

G₃

Ta’f

+ Rr

der Laden fo, fo, fo und der Kämpferdruck von A. Die Gröfse und Lage der Refultirenden von fo, fo und fo findet man leicht durch Aufträgen der Laden zu einem Kraftpolygon und Verzeichnen eines Seilpolygons für einen beliebigen Pol. Der Schnittpunkt a der vor fo vorhergehenden und der auf fo folgenden Seilpolygonfeite giebt einen Punkt der Refultirenden R[. Da letztere lothrecht id, ziehe man eine lothrechte Linie durch a ; alsdann id diefe die Refultirende Ri. Die in C wirkende Kraft mit der Richtung B C fchneidet die Refultirende in Punkt E\ durch diefen Punkt mufs auch die dritte auf die linke Hälfte wirkende Kraft, der Kämpferdruck von A gehen. Man ziehe AE\ alsdann wird Ri im Punkt E durch die beiden diefer Beladung ent-fprechenden Kämpferdrücke rx und r₂ aufgehoben. Die Zerlegung im Kraftpolygon ergiebt rx = 7]a und

r1 = 8 T|-

/foi

Gz

G₃

f.

weiter die Kämpferdrücke r₃ und r4, welche in A, bezw. B durch Da für diefe Beladungsweife die linke Hälfte ge-

In gleicher Weife bedimmt man die Beladung nur der rechten Hälfte erzeugt werden.

wichtslos id, fo fällt 7-3 in die Linie Ä~C\ Rr geht durch a{\ 7-3 fchneidet fich mit Rr in E{, und durch Ex mufs auch die dritte auf die rechte Hälfte wirkende Kraft, der Kämpferdruck rA von B gehen. g’Ç = Rr, und die Zerlegung von Rr ergiebt C d = 7-4 und d S = 7g. beladet; demnach wirken im linken Kämpferpunkt A fowohl 7\ wie 73, im rechten Kämpferpunkt B

7-3 und 73 giebt als Kämpferdruck bei A die Kraft Ax — 0 a,

Es id

In Wirklichkeit find beide Hälften

fowohl r-2 wie 74. Die Zufammenfetzung

diejenige von 7’₂ und r₄ als Kämpferdruck bei B die Kraft Bx — ^0. Um eine einfache Figur halten, id an -rj : O yj = 7-3 und an d : d O — gelegt und fo das Parallelogramm 0 7) 8 d gezeichnet. Die Mittelkraftslinie ergiebt fich nun leicht

von

zu er-

indem man der Reihe nach Ax mit fo, fo . . . eben fo zu-

¹

) Neuerdings ift die Anordnung dreier Gelenke, zweier Gelenke an den Kämpfern und eines Gelenkes im Scheitel, bei den grofsen Brückengewölben vielfach ausgeführt worden, insbefondere von Kopeke und Leibbrand. — Man vergl. hierüber : Fortfehritte der Ingenieurwiffenfchaften. 2. Gruppe, Heft 7: Gewölbte Brücken. Von K. v. Leibbrand. Leipzig 1897.

fammenfetzt, wie für das fymmetrifche Gewölbe in Art. 272 (S. 287) gezeigt worden ift. Die Mittelkraftslinie ift das Seilpolygon für den Pol O. Als Contrôle diene, dafs die Mittelkraftslinie durch C und B verlaufen mufs.

aus

274.

V erbefferungen.

Beim Verzeichnen der Mittelkraftslinie handelt es fich meiftens darum, diefer Linie die Stützlinie zu conftruiren, d. h. die Punkte zu finden, in denen die einzelnen Gewölbequerfchnitte von den auf fie wirkenden Mittelkräften gefchnitten werden (fiehe Art. 268, S. 283). Da aber die Gewölbequerfchnitte nicht, wie in hig. 380 u. 381 angenommen war, lothrecht find, fondern radial verlaufen, fo ift eine Verbeflerung nöthig. Man kann zunächft auf die wirkliche Querfchnittslage dadurch leicht Rückficht nehmen, dafs man die Lamellengrenzen entfprechend der

Fig. 3S2.

Fig. 383.

Fig. 384.

P_t_

o'

O'

ST

S'

Lage der Querfchnitte wählt (P'ig. 382). Das Verfahren zur Ermittelung der Gleichgewichtslinie bleibt genau, wie oben gezeigt; nur ift die Ermittelung der Schwerpunkte für die einzelnen Lamellen etwas umftändlicher als dort.

Es können aber auch die Conftructionen in Fig. 380 u. 381 benutzt werden, wenn nur die nachftehend befchriebenen Verbefferungen vorgenommen werden.

Die der richtigen Querfchnittslage entfprechende Lamellengrenze fei pqr (Fig. 383); bei der loth-rechten Theilung fei tu als Grenze angenommen und dabei fei die Kraft R, welche til in E fchneidet, als Mittelkraft aller rechts von tu wirkenden äufseren Kräfte gefunden. Um nun den Punkt der Stützlinie zu finden, welcher in qr liegt, braucht man nur die Mittelkraft aller rechts von qr wirkenden Kräfte aufzufuchen und ihren Schnittpunkt mit q r zu ermitteln. Diefe gefuchte Kraft ift offenbar die Mittelkraft von R und dem Gewichte gn des Gewölbetheiles p q r u t. Es fei R — O 8 und gn = 8 s ; alsdann ift die gefuchte Mittelkraft Ry = Os, geht durch p und ift parallel zu 0 e. Diefe Kraft Ry ift in Fig. 383 gezeichnet; fie fchneidet die Fuge qr in y.; fonach ift y. ein Punkt der richtigen Stützlinie.

Ganz ähnlich ift zu verfahren, wenn die lothrechte Lamellengrenze an der anderen Seite der wirklichen Fuge liegt (Fig. 384).

Die Mittelkraft aller an der einen Seite von ts wirkenden Kräfte, R, enthält das Gewicht des Stückes tsrqp bereits; um alfo die Mittelkraft R\ welche auf die Fuge qr wirkt, zu erhalten, mufs man R mit dem negativ genommenen, alfo nach oben gerichteten Gewichte gn‘ zufammenfetzen. Es fei R = O y und gn = y 8 ; alsdann wird R' 2= O 8, geht durch den Punkt X, in welchem fich R und gn‘ fchneiden, und ift parallel zu 0 8. Der richtige Punkt der Stützlinie ift y..

275-

im unfymmetrifchen Gewölbe.

In Art. 270 (S. 285) ift gezeigt worden, wie der Horizontalfchub in einem fymmetrifch zur Scheitelfuge geformten und belafteten Gewölbe durch Rechnung Horizontaifchub gefunden werden kann. Auch beim unfymmetrifchen Gewölbe macht, wenn drei Punkte für den Verlauf der Mittelkraftslinie vorgefchrieben find, die Berechnung des Horizontalfchubes keine Schwierigkeit. Das Verfahren entfpricht genau demjenigen, welches für die Ermittelung der Auflagerdrücke beim Sprengwerksdach mit drei Gelenken in Art. 210 (S. 211) vorgeführt worden ift.

Handbuch der Architektur. I. x, b. (3. Aufl.)

290

Fig- 385-

Die Mittelkräfte der Laften auf dem linken, bezw. rechten Gewölbe-theile feien Gv bezw. G₂; die Entfernungen diefer Laften von den Kämpferpunkten feien bezw. gx und g₂ (Fig. 385). beiden Theile übertragen im Punkte C. auf einander eine Kraft, deren Seitenkräfte bezw. V₂ und H2 feien. Alsdann ergiebt die Betrachtung der Gleichgewichtszuftände beider Gewölbe-theile die Gleichungen :

Die

Wm

’VA-

cr

.-*1

Bl

G,

H₂hx -f V₂ cx — Gxgx (linker Theil, Drehpunkt Ä)\ H₂h₂ — V₂c₂ = G,,gt> (rechter Theil, Drehpunkt ß).

Man erhält

h₂ = h=

£ 1 £2 I    g< > (■ ₁

39°‘

276.

Stabilität.

277.

Stabilität

gegen

Kanten.

2. Kapitel.

Tonnen- und Kappengewölbe.

Die Zerftörung des Gewölbes kann erfolgen:

1)    durch Umkanten eines Gewölbetheiles um eine innere oder äufsere Kante^

2)    durch Gleiten einzelner Gewölbetheile längs der Fugen und

3)    durch Zerdrücken der Wölbfteine.

Wenn die Lage der Stützlinie bekannt ift, fo können alle auf die Standficher-heit des Gewölbes bezügliche Fragen leicht beantwortet werden. Dabei ift zu beachten, dafs, falls für den Verlauf der Mittelkraftslinie drei Punkte vorgefchrieben find, welche in Fugen liegen, diefelben entfprechend der für die Stützlinie gegebenen Erklärung auch Punkte der Stützlinie find.

Im Hochbau handelt es fich faft ftets nur um die Ermittelung des im Gewölbe wirkenden Plorizontalfchubes, weil diefe Kraft hauptfächlich die Mauern, welche das Gewölbe, bezw. den Bogen ftützen, gefährdet. Wäre die Stützlinie bekannt, fo wäre auch der Horizontalfchub bekannt. Die Ermittelung der genauen Lage derfelben ift aber nach Art. 266 (S. 281) nur mittels der Elafticitäts-Theorie der Gewölbe möglich, und diefe Ermittelung ift fehr umftändlich. Es ift aber auch ausreichend, gewiffe Grenzlagen für die Stützlinie und damit gewiffe Grenzwerthe für den Horizontalfchub fett zu legen.

Soll das Gewölbe ftabil fein, fo mufs die Stützlinie ganz im Gewölbe liegen.

Wenn die Refultirende R aller an der einen Seite des Querfchnittes N 0 wirkenden Kräfte (Fig. 386) die Verlängerung des Querfchnittes etwa im Punkte b fchneidet, fo hat diefe Kraft in Bezug auf 0 ein Moment M—Re, welches eine

ift.

291

Drehung des oberhalb N 0 liegenden Gewölbetheiles um 0 erftrebt. Diefe Drehung kann nur durch eine andere, entgegengefetzt drehende Kraft W (in Fig. 386 punk-tirt) aufgehoben werden, d. h. durch einen Zugwiderftand der Gewölbefafern. Die

Wölbfteine können aber einen folchen, wenn von der Zug-fefbgkeit des Mörtels abgefehen wird, nicht leiften, fo dafs alfo keine Kraft vorhanden ift, welche das Gleichgewicht berftellen könnte. Der oberhalb der Fuge befindliche Ge-wölbetheil würde demnach um 0 kanten und einftürzen. Eine Aufhebung der Kraft R ift erft möglich, wenn die-felbe den Querfchnitt N 0 fchneidet ; alsdann erzeugt fie in einzelnen Theilen des Querfchnittes Druckfpannungen, welche R aufheben. Soll alfo das Gewölbe nicht um 0 kanten, fo mufs der Schnittpunkt der Mittelkraft R mit dem Ouerfchnitte, d. h. der Schnittpunkt der Stützlinie mit dem Ouerfchnitte, in das Gewölbe fallen. Was aber vom Querfchnitt N 0 gilt, gilt von allen Querfchnitten. Das Gewölbe ift alfo nur dann gegen Kanten ftabil, wenn die Stützlinie ganz im Gewölbe liegt.

In Art. 126 bis 132 (S. iii bis 120) ift gezeigt worden, wie fich die Spannungen für Stützen ergeben, falls auf diefelben Axialkräfte und Momente wirken. Mit hinreichender Genauigkeit können die dort gefundenen Formeln auch gebraucht werden, um die Spannungsvertheilung in den Gewölbequerfchnitten zu ermitteln. Die Spannung in einem Punkte, welcher um z von der fenkrecht zur Bildebene errichteten Schwerpunktsaxe des Querfchnittes abfteht, ift demnach nach Gleichung 102

Fig. 386.

N,

«1

278.

Stabilität

gegen

Zerdrücken.

C¹+-r>

Hier handelt es fich nur um rechteckige Ouerfchnitte von der Höhe d und

~    d'à

der Breite 1 (fenkrecht zur Bildebene); mithin ift F=d .1 und J-——; daher

12

12 £s

d'¹

)•

• 391-

Da P hier ftets Druck ift und wir P als pofitiv einführen

pofitiven Werthe von a Druck, die negativen Werthe Zug. Der gröfste Druck omax findet für die in Fig. 387 gezeichnete Lage der Kraft P in den Punkten U ftatt, für welche z

feinen gröfsten Werth —— hat; der kleinfte Druck <smin in den

d

Punkten P, für welche z feinen kleinften Werth--—- hat; dem-

-à

nach wird

12 a d

fo bedeuten die

Fig. 387.

JcPp-

Vk

X,

^max —    7

und

.    .    392.

rs„lin wird zu Null, wenn 1--. - = 0, d. h. wenn £ = —

d    6

In den am wenigften gedrückten Punkten V findet alfo die Spannung Null

d

ftatt, wenn die Mittelkraft den Querfchnitt in der Höhe -Z- über der Mittellinie des

Gewölbes fchneidet. Schneidet die Kraft P, alfo die Stützlinie, den Querfchnitt unterhalb D, fo ergiebt fich leicht aus Gleichung 391 (indem man — £ ftatt -f- £ einführt), dafs der gröfste Druck in den Punkten V, der gröfste Zug in den Punkten U ftattfindet. In U findet demnach die Spannung Null ftatt, wenn die Stützlinie den Querfchnitt in dem Abftande — unterhalb der Schwerpunktsaxe fchneidet.

o,nax und Qmin haben gleiches Vorzeichen für diejenigen Werthe von £, für welche gleichzeitig ftattfindet

j> 0 und 1 —

> 0, d. h. für' £ j>--und £ <j +

So lange alfo der Schnittpunkt der Mittelkraft nicht weiter von der Gewölbemittellinie entfernt ift, als —7-, d. h. fo lange der Schnittpunkt im inneren Gewölbedrittel liegt, haben omax und o„tin gleiches Vorzeichen, find demnach a„mx und Qmin Druck; dann findet aber im ganzen Querfchnitte nur Druck ftatt. (Vergl. Art. 128, S. 114.)

Ift dagegen £ gröfser als —, fo findet in der am meiften gezogenen Fafer

Zugbeanfpruchung flatt; dann gilt die Gleichung 391 für die Druckvertheilung nicht mehr, weil diefe unter der Annahme einer Beanfpruchung aller Querfchnittspunkte entwickelt worden ift; falls aber hier einzelne Punkte des Querfchnittes auf Zug beanfprucht werden, fo kann man auf Beanfpruchung aller Querfchnittspunkte nicht mit Sicherheit rechnen. Die dann geltenden Gleichungen find in Art. 129 (S. 116)

entwickelt. Falls £ gröfser als —■ - ift, mit anderen Worten, falls die Stützlinie einen

Querfchnitt aufserhalb des inneren Drittels fchneidet, etwa im Abftande c von den zunächft gelegenen äufseren Punkten, fo vertheilt fich nach Gleichung no (S. 117) der Druck P auf eine Breite 3 c, wobei der Maximaldruck doppelt fo grofs ift, als wenn fich der Druck über die gedrückte Fläche gleichmäfsig vertheilte. Wir erhalten alfo (Alles auf Centimeter bezogen)

■v/.i

3.100 . c

393-

Wird die gröfste, im Wölbmaterial zuläffige Druckbeanfpruchung für die Flächeneinheit mit K bezeichnet, fo kann Gleichung 393 benutzt werden, um zu ermitteln, wie weit fich die Stützlinie der inneren oder äufseren Gewölbelaibung nähern darf. Man erhält als Bedingungsgleichung :

•    •    394-

woraus c =

300 K •

ais

Damit ift als Bedingung für die Stabilität des Gewölbes gegen Druck gefunden: Soll das Gewölbe genügende Sicherheit gegen Druck bieten, fo darf der Abftand der Stützlinie von den Gewölbelaibungen an keiner Stelle kleiner werden, 2 P

300 K ‘

Da P für die verfchiedenen Gewölbeftellen verfchiedene Werthe hat, fo ergeben fich für diefelben auch verfchiedene Gröfsen von c. Meiftens wird es jedoch genügen, den Gröfstwerth von P, der fich an den Kämpfern ergiebt, einzufetzen und dann den für c erhaltenen Werth im ganzen Gewölbe gleich grofs anzunehmen. Man kann in diefer Weife leicht die beiden Linien conftruiren, zwifchen denen die Stützlinie verlaufen foil.

Die Forderung, dafs in allen Punkten fämmtlicher Querfchnitte nur Druckbeanfpruchung ftattfinden foil, ift erfüllt, wenn fämmtliche Querfchnitte von ihren zugehörigen Mittelkräften im inneren Gewölbedrittel gefchnitten werden, d. h. wenn die ganze Stützlinie im inneren Drittel verläuft.

Der Einfturz des Gewölbes kann endlich auch dadurch verurfacht werden, dafs ein Theil deffelben längs des anderen gleitet. Die Mittelkraft aller auf den Ge-wölbetheil oberhalb der Fuge U V (Fig. 388) wirkenden Kräfte fei gleich 7?; alsdann ift Gleichgewicht nur möglich, wenn Seitens der Fuge eine genau gleich grofse und gleich gerichtete Kraft mit entgegengefetztem Sinne auf den betreffenden Gewölbetheil

wirkt. Wir zerlegen R in eine Axialkraft P—R cosy und eine Querkraft T = R sin 7. Die Axialkraft P wird, wenn ihr Schnittpunkt mit der Fuge nicht zu nahe an die Faibungen fällt, durch die fenkrecht zum Querfchnitt gerichteten axialen Spannungen, die Querkraft T wird * durch den Reibungswiderftand an der Berührungsfläche U V aufgehoben. Nennt man den Reibungs-Coefficienten f, fo ift der Reibungswiderftand W=f P =f R cos 7. Gröfser kann W nicht werden ; Gleichgewicht gegen Verfchieben ift alfo nur möglich, wenn ftattfindet: T <Lf R cos 7, d. h. R sin 7 R cos 7 und tg 7

Wird der Reibungswinkel mit <p bezeichnet, fo ift f= tg cp, und alsdann heifst die Bedingungsgleichung für das Gleichgewicht:

tg 7 ^ tg' rf oder 7 <7 cp

Sobald 7 gröfser wird, als der Reibungswinkel, kann T nicht aufgehoben werden, und dann findet ein Abgleiten des betrachteten Gewölbetheiles ftatt.

Diefelbe Schlufsfolgerung gilt auch, falls R nach oben um den Winkel 7 von der Senkrechten zur Fuge abweicht; nur ift dann das Beftreben vorhanden, den oberen Gewölbetheil nach aufsen zu verfchieben. Was für die Fuge U V gilt, gilt für alle Fugen, fo dafs folgendes Gefetz ermittelt ift: Soll das Gewölbe gegen Gleiten ftabil fein, fo darf an keiner Stelle der Winkel, welchen die Mittelkraftslinie mit der betreffenden Fugenfenkrechten bildet, gröfser fein, als der Reibungswinkel für die betreffenden Materialien.

In den meiften Fällen kann man ohne grofsen Fehler ftatt der Mittelkraftslinie die Stützlinie einführen und als Bedingung für die Stabilität des Gewölbes angeben, dafs die Tangente an die Stützlinie nirgends einen Winkel mit der Fugenfenkrechten einfchliefst, welcher gröfser ift, als der Reibungswinkel.

Man kann den Reibungs-Coefficienten f zwifchen 0,6 und 0,7 5 liegend annehmen, welchen Werthen die Winkel cp = 31 bis 37 Grad entfprechen. Bei frifchem Mörtel kann der Winkel cp bis auf 27 Grad hinabgehen (/ bis auf 0,51). Die Tangenten an die Stützlinie bilden aber nur feiten fo grofse Winkel mit den Fugenfenkrechten , fo dafs, wenigftens im eigentlichen Gewölbe, die Stabilität gegen Gleiten feiten in Frage kommt.

Betrachtet man die eine Hälfte eines fymmetrifch geftalteten und fymmetrifch belafteten Gewölbes (Fig. 389), auf welche aufser der Belaftung G noch der Hori-zontalfchub H im Scheitel wirkt, nimmt zunächft als Angriffspunkt von H den Punkt C beliebig und aufserdem an, dafs die Stützlinie die Kämpferfuge in A fchneide, fo geht die Mittelkraft von G und H durch A, und nach Art. 270 (S. 285) ift

Stabilität

gegen

Gleiten.

Fig. 388.

U/

7j

395-

280.

Grenzlagen der Stützlinie und Grenzwerthe des Horizontal-fchubes.

H' = G

Da -It- > -4-, fo ift auch H' > H

h    h

Man fieht, einer Vergröfserung des Horizontalfchubes entfpricht ein Flacherwerden der Stützlinie, und es ergiebt fich in gleicher Weife, dafs einer Verringerung von H ein Steilerwerden der Stützlinie entfpricht. Offenbar find nun fehr viele Stützlinien möglich, welche fämmtlich durch C gehen und ganz im Gewölbe verlaufen, demnach mit der Stabilität deffelben vereinbar find. Dem kleinften Werthe

Fig. 391-

H= -

Fig. 389.

Il '

//

Diefen Annahmen, bezw. diefem Werthe des Horizontal fchubes entfpricht eine ganz beftimmte Stützlinie, etwa CEA, die in Fig. 389 voll ausgezogen ift.

Conftruirt man ein zweites Mal unter Beibehaltung des Funkes C die Stützlinie für einen anderen Kämpferpunkt, etwa A\ fo ergiebt fich etwa die punktirte Stützlinie CE A.\ und der zugehörige Horizontalfchub wird

*---g---%

fr‘/A

-5

VG

Fig. 390.

El

ZJc*

F”

/F

£7

7F’

A-

AA’

H mit dem Angriffspunkt C entfpricht diejenige diefer Stützlinien, welche an

von

aus

irgend einer Stelle die innere Gewölbelaibung berührt (CFA in Fig. 390); denn eine weitere Verringerung von H würde zur Folge haben, dafs die Stützlinie bei F dem Gewölbe nach innen herausfiele. Nun kann aber jeder Punkt der Scheitelfuge Angriffspunkt der Kraft H fein; es fleht alfo nichts im Wege, einen anderen, höheren Punkt der Scheitelfuge als Angriffspunkt von H anzunehmen, mithin die ganze Stützlinie um das entfprechende Stück parallel fich felbft nach oben zu ver-fchieben. Jetzt kann der Horizontalfchub weiter verringert werden, und man kann damit fo weit fortfahren, bis die Stützlinie gleichzeitig die äufsere und die innere Laibung berührt. Diefe Stützlinie fei (Fig. 390) etwa C E F' A'. Eine weitere Verringerung von H hat die Folge, dafs die Stützlinie bei F* das Gewölbe verläfft; ein weiteres Hinauffchieben der Stützlinie ift auch nicht möglich, weil bei einem

folchen — follte es fo weit fortgefetzt werden, dafs bei F die Stützlinie wieder in das Gewölbe fällt — bereits vorher die Stützlinie bei E aufserhalb des Gewölbes gefallen wäre.

Die gezeichnete Stützlinie O E' F' A* entfpricht alfo .dem Minimum von H und heifst defshalb die Minimalftiitzlinie. Es ergiebt fich demnach: Die Minimalfhützlinie hat jederfeits mit den Gewölbelaibungen zwei Punkte gemeinfam, und zwar liegen die Berührungspunkte mit der äufseren Laibung über denjenigen mit der inneren Laibung.

Bei flachen Bogen fällt gewöhnlich der Berührungspunkt mit der äufseren Laibung in die Scheitelfuge, derjenige mit der inneren Laibung jederfeits in die Kämpferfuge; die beiden Berührungspunkte E mit der äufseren Laibung können zufammenfallen.

In gleicher Weife erhält man die Stützlinie, welche dem Maximum von H entfpricht, die Maximalftützlinie [C” F" F" A" in Lig. 391). Die Maximal-ftützlinie hat jederfeits des Scheitels mit den Gewölbelaibungen zwei Punkte gemeinfam, und zwar liegen die Berührungspunkte mit der inneren Laibung über denjenigen mit der äufseren Laibung; die beiden erfteren können zufammenfallen.

Bei flachen Bogen fallen die beiden Berührungspunkte mit der inneren Laibung in die Scheitelfuge, die Berührungspunkte mit der äufseren Laibung in die Kämpferfugen.

In Lig. 392 ift CA die Minimal- und CA' die Maximalftützlinie. Die entfprechen-den Werthe von H find

Wenn wir demnach auch die wirkliche Lage der Stützlinie und die wirkliche Gröfse von H durch die Gleichgewichtsbedingungen allein nicht ermitteln können, fo haben wir doch jetzt Grenzen fowohl für die Lage der Stützlinie, als auch für die Gröfse des Horizontalfchubes gefunden. Der Horizontalfchub kann nicht gröfser fein, als E,nnx,

Fallen Maximal- und Minimalftützlinie nicht zulammen, fo ift eine Anzahl von Stützlinien möglich, welche folchen Werthen des Horizontalfchubes entfprechen, die zwifchen H, gröfser der Unterfchied diefer beiden Werthe ift, defto mehr Stützlinien find möglich, defto gröfsere Aenderung darf H erleiden, ehe das Gewölbe einftürzt, defto ftabiler ift alfo das Gewölbe. Man kann demnach fchliefsen : Ein Gewölbe ift ftabil, wenn eine Maximal- und eine Minimalftützlinie möglich ift und beide nicht zufammenfallen. Die Stabilität ift um fo gröfser, je gröfser die Unterfchiede diefer beiden Stützlinien find, bezw. je gröfser der Unterfchied II,

Fig. 392.

IImin

I II

A\

//

/.

A*

k-

und H,

max

und nicht kleiner, als

na.x

— Hmin ift-

G g'

u • ³⁹⁶-

und Hmin liegen. Je

Im vorhergehenden Artikel war abfolut feftes Material angenommen, und es

konnte defshalb eine Berührung der Stützlinie und der Gewölbelaibung als möglich vorausgefetzt werden. In Wirklichkeit darf nach Art. 278 (S. 291) die Stützlinie

2 P

281.

Praktifche

Grenzlagen

der

Stützlinie.

nicht näher an die Laibungen treten, als dafs der Abftand noch c —

300 K

ift. Bei

einer Berührung der Laibung durch die Stützlinie würde an diefer Stelle c = 0, und

2 P

— 00 fein.

hier

ift,

da nach Gleichung 393: a„

Man ftellt defshalb die Bedingung, dafs eine Maximal- und eine Minimalftütz-

iax —

300 c

*nuix —

296

300 K

linie möglich fei, welche wenigftens um

und dafs beide nicht zufammenfallen.

von den Gewölbelaibungen abftehen,

Wenn im inneren Drittel des Gewölbes, in der fog. Kern fläche, eine Maximal- und eine Minimalftützlinie möglich ift und beide nicht zufammenfallen, fo ift dies noch günftiger.

Die Stabilität gegen Gleiten erfordert, dafs die Tangente an die Stützlinie an keiner Stelle einer gröfseren, als den Reibungswinkel mit der Fugen-Senkrechten mache. Diefer Bedingung mtiffen alfo auch die Maximal- und Minimalftützlinie genügen.

h • T.r-i b Für    häufig vorkommende Bogenformen ergeben fich die Horizontalfchiibe

für verfchiedeneunter Annahme fymmetrifcher Form und Belaftung, fo wie unter der weiteren An-Bogenformen. nahme einer mittleren Stützlinie folgendermafsen.

Gg

1)    F lach bogen (Fig. 393«). Nach FTtiherem ift H —

2)    Scheitrechter Bogen. Man kann die Tragfähigkeit des fcheitrechten Bogens als eben fo grofs annehmen, wie diejenige eines Flachbogens, deffen Mittel-

Fig- 393-

«)

bo

WJ

ÜjLAL

Fig. 394-

i§

punkt auf der Lothrechten der Scheitelfuge liegt und deffen innere Laibung durch die unteren Punkte der Kämpferfugen, deffen äufsere Laibung durch den oberften Punkt der Scheitelfuge geht. Dann wird nach P'ig. 393^

H=-

G g

3) Halbkreisbogen. Eine halbkreisförmige Mittelkraftslinie für lothrechte (hier nur in Betracht kommende) Belaftung giebt es nicht; denn bei derfelben miiffte die Tangente an jedem Kämpfer, alfo auch die Mittelkraft an diefer Stelle, lothrecht fein. Da aber die Mittelkraft ftets eine wagrechte Seitenkraft (den Horizontalfchub) hat, fo kann fie nie lothrecht fein. Defshalb kann die Mittelkraftslinie nicht einen vollen Halbkreis vorftellen. Man mufs daher die unteren Theile des Bogens als zum Widerlager gehörig betrachten und berechnet den Horizontalfchub H für den zwifchengefpannten Flachbogen (Fig. 394). Der Winkel © wird zvveckmäfsig etwa gleich 60 Grad gewählt; H ergiebt fich dann, wie unter 1.

283.

Stabilität

der

Bei den Widerlagern, bezw. Mittelpfeilern der Gewölbe kann man, genau wie bei den Gewölben felbft, von einer Stützlinie fprechen, wenn man diefelbe als Ge-wideriager fammtheit der Punkte erklärt, in welchen die einzelnen Querfchnitte der Widerlager,

und Pfeiler.

bezw. Pfeiler von den auf fie wirkenden Mittelkräften gefchnitten werden. Alsdann gelten die in Art. 276 bis 279 (S. 290 bis 293) aufgeftellten Sätze auch hier und können folgendermafsen ausgefprochen werden: Soll das Widerlager, bezw. der Pfeiler gegen Kanten, Zerdrücken und Gleiten ftabil fein, fo mufs die Stützlinie ganz im Widerlager, bezw. Pfeiler liegen, darf die Mittelkraft an keiner Querfchnitts-ftelle eine gröfsere Druckbeanfpruchung erzeugen, als der Baufloff geftattet, und darf endlich der Winkel der Mittelkraft mit der Senkrechten zur F'uge an keiner Stelle gröfser fein, als der Reibungswinkel.

1) Widerlagen Die vom Gewölbe auf ein Widerlager ausgeübte Kraft R ift nach Gröfse und Richtung gleich dem Kämpferdruck, welcher auf das Gewölbe wirkt, dem Sinne nach demfelben entgegengefetzt. Wenn R bekannt oder angenommen ift, fo kann die entfprechende Widerlager-Stützlinie leicht durch Zu-fammenfetzung diefer Kraft R mit den Widerlagerlaften conftruirt werden. Für R und H find aber nach Obigem nur gewiffe Grenzen bekannt. Wenn nun das Widerlager für die Grenzwerthe von H habil ift, fo offenbar auch für die Mittel-werthe. Ift es alfo möglich, für den Maximal- und Minimalwerth von H je eine Widerlager-Stützlinie zu conftruiren, welche obigen Bedingungen genügt, fo ift das Widerlager ftabil. Da die Maximalwerthe von H nur in Folge künftlicher Ver-

gröfserung des Horizontalfchubes auftreten, fo ift es meiftens ausreichend, den Nachweis unter Zugrundelegung eines mittleren Werthes von H zu führen, d. h. eines folchen Werthes, welcher einer mittleren Gewölbe-Stützlinie entfpricht.

Auf dem Wege der Rechnung kann man die Stabilität des Widerlagers folgendermafsen unter-fuchen. Man fucht die Punkte, in welchen die Stützlinie die einzelnen Fugen fchneidet, und ermittelt die in denfelben hervorgerufenen Druckfpan-nungen. Die Unterfuchung foil für die P'uge II (Fig. 395) gezeigt werden. Die Mittelkraft aller oberhalb von / / wirkenden Kräfte fchneide die

Fig- 395-

j-g-*

ï-g’-î

Ik

G,

‘Ć-

--j-d-----)

«r-*/

R’

Fuge im Punkte E; dann ift E ein Punkt der Stütz-linie. Die Lage von E ift bekannt, wenn x, der Ab-ifand von der äufseren Mauerkante, bekannt ift. Auf das Widerlager wirken in A : der Kämpferdruck R, deffen wagrechte, bezw. lothrechte Seitenkraft H,

bezw. F ift. Es ift H =

und V — G. Aufser diefen Kräften wirkt als

belaftend auf die Fuge II noch das Gewicht der Mauer, fo weit fie oberhalb II liegt, d. h. Gv Die Mittelkraft von H, V (= G) und Gx ift R', und diefe Kraft geht durch E, hat alfo für den Drehpunkt E das ftatifche Moment Null. Demnach ift auch die algebraifche Summe der ftatifchen Momente der Einzelkräfte für E als Drehpunkt gleich Null, alfo

0 =63 (,g' — x) -f- G (d — e — x) — Hr ,

woraus

g' + G (d - e) — Hr

G+ Gx

folgt. Wenn fich für .ar ein negativer Werth ergiebt, fo bedeutet dies, dafs die

Ul.Y

284.

Lagerfugen.

285.

Lagerfugen parallel .zur Axe der Kappen.

298

Kraft K' den Querfchnitt links von der Aufsenkante der Mauer fchneidet, dafs alfo Kanten eintreten mufs.

Die lothrechte Seitenkraft der Mittelkraft R' ift offenbar P— Gx -(- G. Nachdem in E der Schnittpunkt der Mittelkraft mit der Fuge gefunden ift, kann man die gröfste in der Fuge durch diefe Belattung erzeugte Druckfpannung ermitteln, wie in Art. 127 bis 130 (S. 112 bis 117) für verfchiedene Querfchnittsformen gezeigt ift. Wenn der Querfchnitt ein Rechteck von der Länge b (fenkrecht zur Bildfläche gemeffen) ift und die Kraftebene denfelben in der Hauptaxe fchneidet, fo ift für

. d

x<~z

2    P

3    xb

X und b find in Centimetern, P in Kilogramm einzufetzen ; alsdann erhält man a„ in Kilogramm für das Quadr.-Centimeter. In ganz derfelben Weife kann man die Unterfuchung für eine Anzahl von Fugen führen.

2) Pfeiler. Die Stabilitätsunterfuchung eines zwifchen zwei Gewölben befindlichen Mittelpfeilers wird entfprechend vorgenommen.

Die Punkte E können auch leicht graphifch ermittelt werden, indem man R mit Gl zu R' zufammenfetzt und in gleicher Weife weiter für die verfchiedenen Fugen verfährt.

3. Kapitel.

Kreuz- und Kuppelgewölbe,

a) Kreuzgewölbe.

Die Einwölbung erfolgt beim Kreuzgewölbe bekanntlich entweder fo, dafs die Lagerfugen parallel zu den Längsaxen der einzelnen Kappen laufen, aus denen das Kreuzgewölbe befteht, oder fo, dafs fie im Grundrifs fenkrecht oder nahezu fenkrecht zu den Graten verlaufen. Das ftatifche Verhalten ift bei den beiden Anordnungen verfchieden.

1) Die Lagerfugen laufen zu den Längsaxen der Kappen parallel. Bei den hier vorzunehmenden Berechnungen foil die vereinfachende, genügend genaue Annahme einer über die Grundfläche gleichmäfsig vertheilten Belaftung q auf die Flächeneinheit gemacht werden. Für die Ermittelung der Seilcurve und damit auch des Horizontalfchubes werden ftets drei Punkte angenommen werden.

Der nachfolgenden Unterfuchung foil ein Kreuzgewölbe über rechteckigem Raume zu Grunde gelegt werden ; die Anwendung für ein folches mit quadratifchem Grundriffe ift dann leicht.

Zerlegt man jede Kappe durch fenkrecht zur Längsaxe gelegte, lothrechte Ebenen in einzelne Streifen, welche im Grundrifs Paralleltrapeze bilden (Fig. 396), und betrachtet man zwei folche Streifen GE und EF, die fleh im Punkte E des Grates treffen, fo ergeben fleh die auf diefe Streifen in ihren Scheiteln übertragenen Horizontalfchiibe folgendermafsen. Bezeichnet man die Pfeilhöhen der Seilcurven in den Streifen bezw. mit fx und f₂, die Horizontalfchübe mit bezw. d hi und dh₂, fo erhält man nach Fig. 396

r\

gV

d.x

E\

oe-

Fig. 396.

■b

T”"

->s

V.

q zv ² d x

q x² d w

“2/T

Der Punkt E ift der gemeinfame Kämpferpunkt für die beiden Bogen GE und EF\ die in diefem Punkte auf den Gratbogen von den beiden Bogen übertragenen Kräfte haben je eine wagrechte Seitenkraft, welche dhx, bezw. dk₂ ift, und eine lothrechte Seitenkraft, deren Gröfsen

dvx = q x dw und dv₂ — qwdx find. Die lothrechten Seitenkräfte addiren fich einfach in E zu einer abwärts wirkenden Kraft:

d h, —

und dh„ =

2 /₂

397-

ü = q (x dw -f- w dx). li ift alfo gleich dem halben Gewichte der anfchliefsenden Streifen (gleich dem Gewichte der in Füg. 396 fchraffirten Fläche). Die beiden wagrechten Kräfte zerlegen fich (Fig. 397) in je eine Seitenkraft, welche in die Richtung der Diagonalen A C fällt, und in eine Seitenkraft fenkrecht zur erfteren. Soll die Mittelkraft von dhx und dh₂ in die lothrechte, durch die Diagonale

gelegte Ebene fallen, fo müffen fich die zuletzt genannten Seitenkräfte d hx sin a und d h₂ cos a aufheben ; fomit mufs d hx sin a = dh% cos a

'd\

ff JL

Y

qx.dxu.

Fi§- 397-

dh sin a

dk<r~Y~yf

dhcos a

dhsina'

2

dk₂

*~rr

dhcosa

2

fein, daraus

Nun ift

daher

tg a =

d h₂ w²dx.fx x² dw .f₂

d hx

w = x tg a und div = tg a d x,

tga =

x² tg ²a . dx ,fx

x² tg a . dx . f₂

fi

= tg a . J 2

Damit obige Bedingung erfüllt fei, mufs daher

/.

= 1,

d. h. fx =/₂

fein. Soll alfo die Mittelkraft beider Horizontalkräfte im Grundrifs in die Richtung der Diagonalen fallen, fo find für die Seilcurven der beiden zufammengehörigen Streifen gleiche Pfeilhöhen einzuführen.

Damit diefe gtinftige Kräftewirkung möglich fei, müffen die zufammengehörigen Streifen annähernd gleiche Scheitelhöhen haben. Wenn die Scheitellinien MS und S N der Kappen (Fig. 396) wagrecht find, fo kann fx = f₂ fein ; aber auch wenn MS nach einer geraden oder gekrümmten Linie anfteigt, ift es möglich und zweck-mäfsig, der Linie 5 N die entfprechende Form zu geben, bei welcher die Werthe f der einzelnen Streifen den Werthen f₂ nahezu gleich find. Wenn die Bedingung fx = f₂ nicht erfüllt ift, wenn beifpielsweife dhx sin a ~^> dh₂ cos a ift, fo wirkt der Ueberfchufs A h — dhx sin a — dhcos a wie in Fig. 398 gezeichnet ift. A h zer-

legt fich in eine Seitenkraft A^ in der lothrechten Gratebene und eine Seitenkraft A w, welche parallel der Längsaxe der Kappe ASD (Fig. 396) wirkt. Die Kräfte Aw beanfpruchen den Schildbogen A MD. Man erhält

A zv =

Fig. 398.

zUi

j/f

sin a

= dh

d h₂

tg a

Mit den in Gleichung 397 gefundenen Werthen von dhx und dh₂ erhält man

qx² ( 1

r-tg a (7

ft

Für die weiteren Unterfuchungen wird angenommen, dafs fx —f₂, alfo A zu = 0 fei.

Betrachtet man ein Viertel des Gewölbes (Fig. 399), und zwar das Stück MS NA, fo wirken auf daffelbe die Belaftung q für die Einheit der Grundfläche, alfo im Ganzen G=qab im Schwerpunkt 0 des Rechteckes M S N A\ aufserdem wirken in den Scheiteln der einzelnen Ge-wölbeftreifen die Kräfte d hx, bezw. dh₂, endlich der Kämpferdruck auf den Gratbogen in A. Diefe Kräfte müffen den Ge-wölbetheil im Gleichgewicht halten. Die den einzelnen Streifen entfprechenden Seil-curven find, weil die Beladungen gleich-mäfsig über die wagrechte Projection vertheilt find, Parabeln, und man kann annehmen, dafs fich in allen Streifen des-felben Gewölbetheiles (A SB, bezw. ASD in Fig. 396) diefelbe Seilcurve bildet. Dann ift, wenn Cx und C₂ noch zu beftimmende Feftwerthe find, bezw.

x² = CiA und zv² = C₂f₂.

Werden diefe Werthe in die Gleichung 397 eingeführt, fo ergiebt fich

q Cx dzv

Fig- 399-

IWÎTTT

—?»

//

4\

-X:—h---

aY

fr

und d h₂ =

q C₂ d x

•    •    398.

Die in den Scheiteln der Gewölbeftreifen wirkenden Horizontalkräfte haben

alfo auf die ganze Länge des Gewölbes für die Längeneinheit die gleiche Gröfse (find confiant). Man erhält demnach die auf die gefammten Scheitelftrecken G N, bezw. S' M ausgeübten Horizontalkräfte zu

q Cx a

qC\b

und H₂

Diefe Mittelkräfte liegen in den Mitten der bezüglichen Scheitelftrecken, weil alle Einzelkräfte gleich grofs find. Beide Kräfte Hx und H„ fchneiden fich in der Mitte der Diagonale A S, d. h. in der Lothrechten des Punktes 0. Wird die Pfeilhöhe der Seilcurve im äufserften Gewölbeftreifen (A B, bezw. A D) mit c bezeichnet, fo ift b² = Cxc und a² = C₂c\ hiernach wird

und H₂ =-~-

H. =

■    •    399-

u _ q

Hl~~2 ~c

H₁ und H₂ fetzen fich in ihrem Schnittpunkte zu einer Mittelkraft H zufammen, welche im Grundrifs in die Richtung der Diagonalen A S fällt; diefelbe ift

a b {ö cos a -J- a sin a).

H = H₁ cos a -(- /Z, sin a =

Nun ift cos a =

\/a² -f b ²

gab (b² -|- tz²)

und sin a =

<7 « b

; mithin wird

l/zz² -f Ć²

2 c \/a² -ft a²

Diefe Kraft H vereinigt fich in der Lothrechten des Punktes 0 mit dem Gewichte G— gab zu der auf den Kämpfer wirkenden Mittelkraft. Damit ift die auf einen jeden Eckpfeiler des reckteckigen Kreuzgewölbes wirkende Kraft gefunden; fie hat eine wagrechte und eine lothrechte Seitenkraft, deren Gröfsen find:

2c

gab

2c

Va² + b²

400.

V =~q a b

401.

Wenn das Gewölbe quadratifchen Grundrifs hat, fo bleibt alles Vorftehende giltig; nur ift b = a einzuführen, fo dafs man erhält: Beim Kreuzgewölbe über quadratifchem Raume mit einer Seitenlange 2 a ift der Horizontalfchub am Grat

g a³

c \ 2 ’

und die lothrechte auf jeden Pfeiler übertragene Kraft

V = g a² .

402.

403.

Die graphifche Ermittelung von H läuft auf die Zerlegung von G — g a b (bezw. g a²) in die beiden Kräfte H und R hinaus. Ift in Fig. 399: G = rjd-, fo ift ■z, Yj = H und H x = R.

2) Die Lagerfugen find im Grundrifs fenkrecht zu den Graten. Der Unterfuchung wird wieder ein Gewölbe über rechteckigem Raume zu Grunde gelegt. Daffelbe werde durch lothrechte Ebenen, welche im Grundrifs fenkrecht zu den Graten gerichtet find, in Streifen zerlegt; dann befteht jeder Streifen aus zwei Theilen, welche fich im Grat treffen. Für jeden Theil ftellt der Grat den einen Stützpunkt dar; die anderen Stützpunkte werden bei den innerhalb des Viereckes LMNO (Fig. 400) liegenden Streifen durch die entfprechenden Streifen der benachbarten Gewölbeviertel gebildet, bei den aufserhalb diefes Viereckes liegenden Streifen einerfeits durch die Streifen des benachbarten Gewölbeviertels, andererfeits oder beiderfeits durch die Gurtbogen A B, B C, CD, DA.

o) Es werde zuerft ein Streifen FEG aus dem Viereck LMNO betrachtet. Die Belaftung für die Einheit der Grundfläche fei wiederum <7; alsdann ift (Fig. 400)

g zx ² d w

286.

Lagerfugeil fenkrecht zu den Graten.

dh

und d =

2/,

.    .    404.

2/1

wenn fx und f₂ die Pfeilhöhen der betreffenden Seilcurven find. Im Punkte E wird auf den Grat nur eine lothrechte Kraft übertragen, falls dhx — dh

A _ V

d. h. wenn

fx

zx²

ift.

Nun ift z₂ = w tg a und zx =

für dhx = d hę, :

w

--; mithin ift die Bedingung

b^ ’

405-

alsdann ift die im Punkte E auf den Gratbogen übertragene lothrechte Kraft dvl = qdw (zx -j- ^₂)i diefelbe ift gleich dem Gewichte des Streifens FEG. Da

aber zx -f- z% =

cos a

ift, fo wird

d u₁ =

q y dw

= qy tg a dy

406.

cos a

Im Punkte £ wirken die beiden wagrechten Kräfte dhx in den Richtungen der anfchliefsenden Streifen; fie zerlegen fich in je zwei Seitenkräfte, welche in der Längsrichtung der Kappe, bezw. fenkrecht zu diefer Richtung wirken. Die beiden

Fiç. 400.

--X

>1

.0

H"

lyljf

-_X-

/-X/S

i'

N”

//

i''

'/

K /*

a-

>V,'

_+

/■s

' M"

/f x

/^4 <$

N vA//

/fS«P

KVÄ /

^    / \X G yA

Hłi^intr.t ^Eyśy > dll r sin a /

f A*

dii.X:

dli

"d/=2 dh^COSa

Ûi₃sin&«

dliySina

ie

d|'-2 dk₃.C0Sa

letzteren haben je die Gröfse dhx sin a und heben einander auf; die beiden erfteren fetzen fich zu einer Kraft dl) = 2dhx cos a zufammen. Wird für dhx der obige Werth eingeführt und beachtet, dafs w — zx tga, alfo dzv — d zxX.g v. ift, fo er-giebt lieh

d l) =

q zx ² sin a d zx

Unter gleichen Annahmen, wie in Art. 285 (S. 298), wird zx² = Cfx und dl) — q C sin a dzx \ ferner, weil zx= y cos a und dzx — cos a dy ift,

dl) = q C sin a cos a dy.

Jeder Doppelftreifen EGE/ innerhalb der Grenzen x — 0 bis x — b übt eine wagrechte Kraft dh auf den Scheitel des Gurtbogens aus.

ß) Nunmehr werde ein Streifen HJK unterfucht, welcher aufserhalb des Viereckes LMNO liegt, aber an der einen Seite fich gegen den entfprechenden Streifen des benachbarten Gewölbeviereckes lehnt (Fig. 400). Es kann angenommen werden, dafs die Seilcurve im Punkte K eine wagrechte Tangente hat; im Punkte H ift dies nicht der Fall. Wir ergänzen das Stück J H des Streifens durch ein Stück, welches bis zur Verlängerung der Linie ZW reicht, und nehmen an, dafs im Punkte H" diefes Streifens die Seilcurve eine wagrechte Tangente habe. Der Horizontalfchub im Streifen HJ ift eben fo grofs, wie im Streifen H" J. Werden die Pfeilhöhen der betreffenden Seilcurven mit f₃ und f₄ bezeichnet, fo ift

dh, =

und d h

q d zv z ₃ ²

2/,'

Soll, wie oben, d h,A = d h₄ fein, fo mufs

, 2

34

= tg ⁴a =

fein, d. h. die Pfeilhöhen müffen im gleichen Verhältnifs zu einander ftehen, wie oben unter a (Gleichung 405).

Im Punkte f wird auf den Grat eine lothrechte Beladung übertragen, welche dem Gewichte des ganzen Streifens H" J K gleich ift ; denn der im Punkte H vom Gurtbogen auf den Streifen wirkende Gegendruck hat eine nach unten gerichtete lothrechte Seitenkraft, die dem Gewichte des Streifens H H" gleich ift.

Demnach wirkt in J als Beladung auf den Grat

A ₌

d t>₂ = q dw (s₈ + fo) = q w dw {^~~ -f tg

und, da w — y sin a, alfo dw = sin a dy ift,

d ü₂ = q y tg a dy

407.

Im Punkte K wirken zwei Kräfte dh.v deren Mittelkraft fich zu

dl)' = 2 d h?< cos a = ergiebt. Mit w = z.A tg a, alfo dw — tg a dz.s erhält man

sin a d z.:< .

dl)' =

/b

cos a

Setzt man wiederum zs² = Cf.,, fo wird

dl)' = q C sin a dz,^ und, weil z₃ =y cos a oder dz₃ = dy cos a ift,

dl)' — q C sin a cos a ffj.

Die Summe aller Kräfte dl) und dl)', welche von ausgeübt werden, ift demnach

den Streifen bis L" M" N"

und, weil sin a =

Va² + b²

^ = q Ca sin a cos a und cos a =

1/Æ² -f b²

ift ,

q a² b C

a² -j- b²

408.

Y) Betrachtet man endlich einen Streifen F"E“G", welcher fich beiderfeits gegen die Gurtbogen ftützt, fo hat man hier beiderfeits ergänzende Gewölbeftiicke hinzuzufügen, welche bis zu den verlängerten Halbirungslinien des Gewölbes reichen.

Die beiden in E auf den Grat übertragenen wagrechten Kräfte find, wenn die

Fig. 401.

obigen Bezeichnungen (mit Abänderung der Zeiger) beibehalten werden,

dhh =

2/*

dh = lAüLüL 2 /„

Sollen fich wiederum die beiden wagrechten Kräfte in E“ aufheben, fo mufs

/« _ 5,i²

u.

z** s

F"/

w'

r = tg =

fein. Die in E“ auf den Grat

ff, 5.5

b‘v

übertragene lothrechte Laft ift alsdann (vergl. die Angaben unter ß)

d t)₃ = q dw (fo + fo). Nun ift

Tg;

vT

(5.5    —

cos a

und    = sin a e/j, alfo

9 y*

.sin« dish

■■■

d y, =

cos a

dh.cosa d'h. cos a

= ^5 dy . tg a , .    .    409.

genau wie in den Formeln 406 u. 407.

Die im Punkte G“ auf den Gurtbogen ausgeübte Kraft dh,. zerlegt fich in «ine fenkrecht zum Gurtbogen gerichtete Seitenkraft dhh cos a und eine folche, we -he im Grundrifs in die Richtung des Gurtbogens fällt: dk. sin a. Letztere wird du. h eine gleich grofse, entgegengefetzt gerichtete Seitenkraft im fymmetrifch zur Mitte liegenden Punkte aufgehoben; die erftere ift

d h{) cos a = Setzt man wieder fo ² = Cfh, fo wird d /fo cos a =

5.5²

2/5

cos a .

q dw C

cos a .

Nach Fig. 401 ift cos a =

, ze; = p — 2/ cos a und du> = — cos a du, cos ²a du .

Là

Die auf den Gurtbogen wirkende wagrechte Kraft ift alfo auf die ganze Grundrifslänge confiant, und zwar entfällt auf jede Hälfte <5 der Breite

alfo

71

dh. cos a = —

0

ff

cos ²a du=z

qC

cos ²a /; .

Die gelammte auf den Gurtbogen übertragene, wagrechte Kraft ift demnach in der Axe des Gewölbes ASB (vergl. Gleichung 408)

q a² b C a² + b² ’

gleichmäfsig über die Grundrifslänge 2 b vertheilt wirkt:

Diefe Kräfte greifen in verfchiedenen Höhen an ; die Lage von ^g₂ folgt aus den Höhen der Stellen, an welchen die einzelnen Gewölbeftreifen fich an den Gurtbogen fetzen. An diefen Stellen wirken aufser den wagrechten auch lothrechte Seitenkräfte nach aufwärts ; diefelben find gleich den Gewichten der zu ergänzenden Gewölbeftreifen.

Die gefammte, normal gegen den Gurtbogen A B wirkende Horizontalkraft ift

{a² -f- b²) = q Cb,

410.

q C b a² + b2 (&i) — qCb\

eben fo erhält man als gefammte Horizontalkraft, welche normal gegen den Gurtbogen A D wirkt,

411.

(§1/) = qCa

Wird die Pfeilhöhe fA der Seilcurve, welche durch M" gelegt ift, mit e bezeichnet, für welchen Streifen z.à den Werth a cos a annimmt, fo ergiebt fich

a² b²

; fomit

a² cos ²a = Ce , d. h. C =

q a² b* e[a² -f- b²) q a* b2 e{a² -j- b²)

Die Kräfte § werden entweder durch gleiche, entgegengefetzt gerichtete, vom achbargewölbe ausgehende Kräfte aufgehoben, oder fie werden von der Mauer •aufgenommen, gegen welche fich das Gewölbe fetzt.

S) Die Beladung des Gratbogens ift nach Vorftehendem lothrecht; nach Gleichung 406, 407 u. 409 nimmt fie von der Mitte des Gewölbes von A bis zum

Kämpfer des Gratbogens bei A entfprechend den Ordinaten

e (a² -j- b²)

(S/) =

(£>//) —

Fig. 402.

412.

I n lllihihw

ii I i life

pm

^rttTTTjT* einer Geraden zu. In allen drei qa+b^abF °ben betrachteten Abtheilungen ¹    ^ ift fie auf die Grundrifslänge dw

dv = q dw

•k-

cos a

demnach ift auf die Längeneinheit des Gratbogens im Grundrifs die Beladung

d t)

qy

dw

-----Va²+t)²—------A-----\/äVF

Handbuch der Architektur. I. i, b. (3. Aufl.)

cos a

y hat feinen gröfsten Werth für den Kämpferpunkt;

für diefen Punkt ift

3°6

y = ST=a + A

q (a² 4- b²)

tg a

b b a² -j- b²

An diefer

Stelle ift die Einheitsbelaftung

Wird die Pfeilhöhe der Seilcurve im Gratbogen gleich c angenommen, fo ift der Horizontalfchub im Grat

a cos a

Rh =

q (a² -f- b²) [/a* -j-b²    1/ a² + b²    \/a² -f b²

q{a² + b²)²\Za² + b²

413.

Die lothrechte Seitenkraft der vom

Kraft ift

6 a b c

Gratbogen auf den Eckpfeiler ausgeübten

Rv —

q (a² + b²) \/a² 4- b² l/«² -f b²

q (a²    b²)²

.    .    414.

2 ab

e) Standficherheit der Eckpfeiler. Für die Unterfuchung der Stand-ficherheit der Eckpfeiler find weiter noch die Kräfte in das Auge zu faffen, welche

2 ab

Fig. 403.

qa.tg a

rr

----Hr--«T3---j

—k—■

le

"b

i)

le-

____2,_______i________3,_______j

von den Gurtbogen auf die Eckpfeiler übertragen werden ; diefelben follen nur fo weit befprochen werden, als fie vom Kreuzgewölbe hervorgerufen werden; vom Eigengewicht der Gurtbogen kann hier abgefehen werden.

Von den einzelnen Gewölbeftreifen werden nach Vorftehendem Kräfte auf die Gurtbogen übertragen, welche nach oben gerichtete lothrechte Seitenkräfte haben; diefe letzteren rufen im Gurtbogen negative (nach innen gerichtete) Horizontalkräfte hervor, aufserdem im Pfeiler negative (nach unten gerichtete) lothrechte Kräfte. Die lothrechten, auf die Gurtbogen wirkenden Seitenkräfte der Gewölbfchiibe find gleich den Gewichten der Ergänzungsftreifen ; auf die Hälfte des Gurtbogens A M"B (Fig. 400 u. 401)' wirkt demnach als negative Gefammtlaft das Gewicht des

q b2 2 tg a

dem Gefetze des Dreieckes (Fig. 403), ift alfo über dem Scheitel gleich Null, über A gleich

Ergänzungsdreieckes AM/JT, d. h. die Laft

; diefelbe vertheilt fich nach

qb

Eben fo erhält man als Belattung des halben Gurtbogens A L D die

tg a

Laft des Ergänzungsdreieckes AL U (Fig. 401), d. h. die Laft

q a ² tg a

(Fig. 403) ;

über A und D ift die Belattung für die Längeneinheit gleich q a tg a ; über L ift

die Einheitsbelattung gleich Null. Fig. 403 zeigt die Belattung. Demnach entfällt auf den Eckpfeiler A die negative Zufatzlatt A Rv-= — ^

qb²

qa² tg a

2 tg a

und

mit tg a = —

415.

A/^~ .    2 a b ⁺ ^

Die in Fig. 403 angegebenen Belattungen erzeugen in den Gurtbogen die Horizontalfchübe

A Æ=-

qb²b

2 tg a . 3 A

und A H₂

■ q a² tg

2.3 c“

welche fich zu einer in der Richtung des Grates wirkenden Mittelkraft A Rh ver

einen. Es ift

Fig. 404.

A Rh — — (A Hx cos a -j- A H₂ sin a), b'A cos ²a a 'A sin ²a

CL

A Rk =

cf sin a

c“ cos a

.    416.

Für c‘ = c“ — c wird

& H,

A Rh = -

q {aü -f- bG)

6 a b c \R a² -|- b²

■ • 417,

Vereinigt man die für A Rv und A Rh gefundenen Werthe mit den Werthen derjenigen Kräfte, welche vom Grat auf den Eckpfeiler übertragen werden, d. h. mit den Ausdrücken der Gleichungen 413 u. 414, fo erhält man, wenn man

R)i,~f- A R/t = H und Rv -|- A Rv — V

fetzt,

H^üsl+p! vir+ÿ

babe

Für c' — c“ — c ergiebt fich

(f

+ -£)

418.

2r

\/ a² -f b² ;

■    •    419-

ferner

mit einfachen Umformungen erhält man

V ~ q ab

420.

Die auf den Eckpfeiler Seitens ■ des Kreuzgewölbes ausgeübte Kraft hat alfo, falls man c' — c" — c fetzen kann, als Seitenkräfte

für das Kreuzgewölbe über rechteckigem Raume : q a b

2c

\/ a² -f- b² und V — q a b\

für das Kreuzgewölbe über quadratifchem Raume:

V = q a².

und

q

c 1/2

Die auf die Eckpfeiler ausgeübten Kräfte find alfo genau gleich grofs, mögen die Lagerfugen den Längsaxen der Kappen parallel laufen oder im Grundrifs fenkrecht zu den Graten angeordnet fein. -•    -

Man nehme H im inneren Drittel der Scheitelfuge des Gratbogens wirkend an.

.    .    421.

Rds

3°8

b) Kuppelgewölbe.

Die Kuppelfläche entfteht durch Drehung einer krummen Linie um eine loth-rechte Axe. In den folgenden Unterfuchungen follen die im Inneren des Kuppelgewölbes auftretenden Kräfte unter der Annahme ermittelt werden, dafs die Be-laftung eine ruhende und über die einzelnen zwifchen den Parallelkreifen liegenden Ringe fo vertheilt fei, dafs ein jeder Ring entweder voll belaftet oder ganz belaftet ift. Weiter wird die Kuppelfläche als die Gleichgewichtsfläche angenommen ; demnach werden die auf ein beliebiges Kuppeltheilchen wirkenden inneren Kräfte in die be- x

— JfT

treffenden Berührungsebenen der Kuppelfläche fallen. Daraus ergeben fleh dann die inneren Kräfte oder Spannungen, welche, in der Kuppel wirkend, im Stande find, das Gleichgewicht aufrecht zu erhalten.

a88-    Der Anfangspunkt der Coordinaten foil in den Scheitel

Gleichgewichts-der Kuppel (Fig. 405) gelegt und die lothrechte Axe als F-Axe, bedingunge». ejne jm Scheitel S' fenkrccht zu erfterer errichtete Axe als

287.

Voraus

fetzungen.

Fig. 405.

un-

S'

W-Axe gewählt werden. Irgend ein Kuppeltheilchen MN 0 P (Fig. 406), welches oben und unten durch Parallelkreife, rechts und links durch Meridiane der Kuppel begrenzt ift, wird auf feinen Gleichgewichtszuftand unterfucht. Das Theil-chen MN O P ift in Phg. 406# in der Anficht, in Fig. 406Æ

im Grundrifs, daneben im abgewickelten Zuftande dargeftellt. Auf MN wirkt für die Längeneinheit die Tangentialfpannung T, und da MN (vergl. den Grundrifs in P'ig. 406O x d 10 Längeneinheiten enthält, fo wirkt auf MN die Kraft 7xdiü. Auf 0 P wirkt ( T-\-dT) (x -f- d x) d co; auf MP und NO wirken die Ringfpannungen, welche für die Längeneinheit gleich R feien, alfo auf ds Längeneinheiten die Gröfse Rds haben. Aufserdem wirkt noch die veränder-

Fig. 406.

Tx.duj

a)

r\

liehe Belaftung p für die Flächeneinheit der Kuppelfläche, d. h. auf MN OP die Laft pds . xdoi. Um fämmtliche auf das Theilchen wirkende Kräfte in einer Ebene zu erhalten, ermittelt man die Mittelkraft der beiden Ringfpannungen Rds] fle ift = 2 Rds sin ———,

und, da wegen der Kleinheit von ——— die

d to . ,

-, wird

2 ’

Gröfse sin

d où

Rds.dev-^

\dr]P

' yÖ) wpds.xdu> (F 'dT)(x'dx)du>

Rds

\o

Pjdx

Pr *

!\

Die Aufhellung der allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen für MN 0 P ergiebt nun

0 = T x d w cos x — (T -j- d T) (x -j- d x) d 10 cos (t -j- d x) -j- R d s d io.

Führt man die Multiplication durch und läfft die unendlich kleinen Glieder zweiter und dritter Ordnung fort, fo bleibt

O = T x sin z dz — d Tx cos z — Tdx cos z Rds = — d (Tx cos z) R ds\ daher

R d s = d {T x cos t)

422.

Ferner i ft

0=pdsxdto— T x d to sin z -f- ( T -f- d T) ('x -[- d x) d o) sin (z -j- d z) ; sin (t -j- d t) = sin z -f- cos z d z.

Durch Ausmultipliciren und Fortiaffen der unendlich kleinen Glieder zweiter und dritter Ordnung erhält man Q = p x d s    d ( T x sin t); daher

423-

— p x d s = d (Tx sin t)

Die beiden Gleichungen 422 u. 423 geben Auffchlufs über die Gröfse dèr gleichzeitigen Werthe von T und R, welche irgend welchen Belattungen und Gleichgewichtsflächen entfprechen.

289.

Kugelförmige

Kuppel.

Die erzeugende Linie i(t bei der Kugelkuppel ein Kreis. Die bezüglichen Werthe von T und R werden alfo erhalten, wenn in die Gleichungen 422 u. 423 für x und ds die Werthe eingeführt werden, welche dem Kreife entfprechen. Nach Fig. 405 ift x — r sin z und d s = r d z\ mithin, wenn noch die Annahme gemacht wird, dafs p für die ganze Kuppel conftant ift,

— p r sin z .

r d z = d (Tr sin z sin z) und jd (Tr sin² t)

p r² j

•r

sin z dz.

Als untere Grenze ift der Werth t₀ von z einzuführen, welcher dem oberen Endpunkte der Erzeugenden entfpricht; hier ift diefer Endpunkt S, und es wird t₀ = 0 ; dempach ift

Tr sin² z =

-f-p r² ^cos z^j = — p r² (1

— cos r),

I'= -

p r ( 1 — cos t)

p r (1 — cos z)

1 -f- cos z

Wird diefer Werth in die Gleichung 422 für R eingefetzt, fo erhält man

sin² z

1 — cos² z

• 424-

Rds — Rrdz = d

1 I COS T

r sin z cos z

sin t cos z

1 -f- cos t ’

425-

cos 2 z -f- cos³ z

(1 -|— cos t)²

Die Werthe der Gleichungen 424 u. 425 gelten für oben gefchloffene Kugelkuppeln. Die Spannungen im Scheitel werden für t = 0 erhalten. Für letzteren Werth ift

426.

2~ und A'o =

d. h. die Meridianfpannungen und Ringfpannungen find für die Längeneinheit im Scheitel gleich grofs; dafelbft findet fomit nach allen Richtungen ein gleicher Druck

p y

für die Längeneinheit ftatt.

Für die Halbkugelkuppel ift am Aequator z = —, daher

ro fl

T — — p r und Rn — pr .

427.

290.

Halbkugel

kuppel.

p r

Die Meridianfpannung nimmt alfo vom Scheitel nach dem Aequator von —-

U

bis auf p r zu, bleibt aber ftets Druck, da 1 -f- cos z nie negativ werden kann. Am Aequator ift T lothrecht gerichtet, da T gleiche Richtung mit der Tangente an die Erzeugende hat. Die Summe aller Tn ift gleich dem Gewichte der ganzen Kuppel,

da die T n

die Auflagerdrücke darftellen. Es ift E

p ■=. 2 r ²/ Tz. Die Ringfpannung R

und das ganze Kuppelgewicht ift gleich

u

= p r . 2 r Tz = 2 p r* tu,

p y

geht vom Druck    im Scheitel zum Zug pr am Aequator über, demnach für

» •    1j

irgend einen näher zu beftimmenden Winkel durch Null. Ift diefer Winkel z₁, fo cos 2 xx -f- cos³ t1 (1 -f- cos tx)²

ift 0 — p r

, woraus fich ergiebt

cos t₁ = 0,o i s und tx = 51° 50/

428.

In allen Ringen, deren zugehörige Winkel x kleiner als xj find, findet Druck, in den Ringen, deren Winkel gröfser find als xj , findet Zug flatt. Nimmt man auf die Zugfefligkeit des Mörtels keine Rückficht, fo können die einzelnen Theile eines Ringes keinen Zug auf einander ausüben. Ohne folchen kann aber bei den letzteren Ringen Gleichgewicht nicht ftatt-finden; ohne Hilfsconftruction ift daher das Gleichgewicht nicht vorhanden. Solche Hilfsconftructionen find entweder umgelegte eiferne Ringe oder die Hintermauerung. Letztere leiftet die auf den Kuppelring wirkenden Ringkräfte R\ auf diefelbe wirken fonach nach dem Princip von Wirkung und Gegenwirkung die Kräfte R in entgegengefetztem Sinne ; diefelben find bei Berechnung der Hintermauerung zu berückfichtigen. Betrachtet man ein Bogenftück st (Fig. 407), welches zum Winkel dou gehört, fo ift die Mittelkraft der beiden R die nach aufsen gerichtete

Kraft h gleich 2 R sin —

2

Wir führen die abkürzende Bezeichnung

Fig. 407.

— R d oj.

cos

ein ; alsdann wird

(1 +

cos

X)²

• 429-

ä’ = p. p r und h — jx p r d io

Für die Längeneinheit des x d u> langen Bogens ift alfo die nach aufsen auf die Hintermauerung wirkende Horizontalkraft in Folge der Ringfpannungen

[Lp r dw __ [Lp r x d ud

Aus Vorftehendem folgt noch, dafs bei.der, Halbkugelkuppel die Hintermauerung wenigftens bis zu derjenigen Höhe hinaufreichen mufs, welche dem Winkel x^ = 51° 50' entfprieht.

Aufser den Kräften f) (nach Gleichung 431) wirken auf die Widerlager noch die Meridianfpan-nungen T, welche dem gröfsten zur Kuppel gehörigen Winkel z entfprechen. T hat eine wagrechte Seitenkraft T cos z und eine lothrechte Seitenkraft T sin z. Die erftere wird durch die    TcosT.xdw

Widerlager oder durch einen eifernen Ring aufgehoben. Die Spannung in cliefem Ringe, ergiebt fich dann wie folgt. Auf den Bogen ^ t (Fig. 408)

, • 431-

/cos r

430-

Fig. 408.

Rsin r

IV

-----

s---

/'

-J

von der Länge xd co wirkt nach aufsen T cos z ;r d w, und diefe Kraft foil durch die beiden Ringfpannungen W aufgehoben werden; es ift demnach

T cos z x d (ü = 2 W sin —₀— = W d co ;

U

W — T x cos z =

p r r sin z cos z    p r ² sin t cos z

1 cos z

Die vorftehend entwickelten Werthe für T und R entfprechen einer Gleichgewichtsfläche. Man kann diefe Werthe als genügend genaue Mittelwerthe annehmen ; immerhin find aber gröfsere und geringere Werthe denkbar, welche anderen in der Kuppel möglichen Gleichgewichtsflächen entfprechen, die nicht mit der Mittelfläche des Kuppelgewölbes zufammenfallen.

Die graphifche Ermittelung der Werthe von T und R an den verfchiedenen Stellen der Kuppel kann nun in ähnlicher Weife durchgeführt werden, wie bei den Ermittelung, anderen Gewölbearten gezeigt ift, indem man beftimmte Bedingungen für die Stützlinie vorfchreibt. Man unterfucht zu diefem Zwecke den einem Centriwinkel a ent-fprechenden Kuppeltheil und geht dabei vom Scheitel, bezvv. vom Laternenring aus.

1 -f- COS T

.    .    432.

291.

Graphifche

Stellt man die Bedingung, dafs die Stützlinie im inneren Drittel verbleiben foil und kein Gleiten ftattfindet , fo erhält man eine folche, indem man vom oberften Kuppelringe ausgeht, folgendermafsen (Fig. 409). Die Belattung des oberften, zum angenommenen Centriwinkel gehörigen Kuppeltheiles fei

gl (=z a ß) ; aufser wirken auf diefen Theil noch die beiden Spannungen R ds, welche von den Nachbartheilen im Ringe ausgeübt werden. Diefe beiden Rds werden genau, wie in Fig. 406., zu einer Mittelkraft vereinigt, welche in derfelben Ebene wie gi liegt, d. h. in der Ebene, welche den zum Centriwinkel a gehörigen Kuppeltheil lialbirt. Diefe Mittelkraft ift in Fig. 409 mit hy bezeichnet; /z} ift vor der Hand nur der Richtung nach bekannt ; Gröfse und Lage von hi find unbekannt. Die Mittelkraft von hy und gi foil die Fuge 1by im inneren Drittel fchneiden und mit der Senkrechten zu diefer Fuge keinen gröfseren Winkel, als den Reibungswinkel cp einfchliefsen. Man ziehe nun durch den unterften Punkt des inneren Drittels der Fuge öj Aj, eine Linie, die den Winkel cp mit der Senkrechten zur Fuge einfchliefst ; diefe Linie fchneide die Richtungslinie von

Fig. 409.

a.

W,

'b

cu

IVu

*4

!*'*'•?--*ö;hr-*a:r\o.

in /; alsdann hat die durch / gelegte Kraft /zj den kleinften Werth

1/1

/-

welcher obigen Bedingungen entlpricht. nämlich /zj nach abwärts unter Beibehaltung von Cf, fo würde/zj (da ja gi denfelben Werth behält) gröfser werden; rückte gleichzeitig Cj hinauf, fo würde /z^ erft recht gröfser. Rückten und Cj gleich viel hinauf, fo bliebe /z^ unverändert, behielte alfo den kleinften Werth. Alles dies ergiebt fich

Rückte

<5<

/.

ohne Schwierigkeit durch Verzeichnung eines Kraftdreieckes für gi, hi und Kraft /; hy kann aber endlich nicht weiter nach oben rücken, wenn nicht auch <4 nach oben rückt, weil fonft der Winkel von / mit der Senkrechten zur Fuge gröfser als cp wird. — Wenn der Schnittpunkt von /z| mit der Mittellinie des erften Steines oberhalb des inneren Drittels

fiele, fo wären an diefer Stelle auch die Ringfpannungen nicht mehr im inneren Drittel; da auch diefe im Drittel liegen follen, fo würde man hi bis zum oberen Endpunkt des inneren Drittels hinabzurücken und den fich dann ergebenden Schnittpunkt von /zj und gi mit ci zu verbinden haben, wobei der Winkel der Mittelkraft / gegen die Fugen-Senkrechte kleiner als cp würde.

Auf den zweiten Stein wirken nun / und g% ; aufserdem die Mittelkraft der Spannungen R im zweiten Ringe. Die Mittelkraft von I und ift aus dem Kraftpolygon zu entnehmen (ys Oy y) ; fie geht durch den Schnittpunkt der Schnittlinien diefer beiden Kräfte. Die Refultirende diefer Kraft und der Kraft foil wiederum im inneren Drittel verbleiben; eben fo foil auch der Schnittpunkt von mit der punktirten Halbirungslinie diefes Steines nicht aus dem Drittel herausfallen. Der kleinfte Werth von hçy, welcher diefen Bedingungen entfpricht, ift derjenige , bei welchem h2 durch den oberen Grenzpunkt des inneren Drittels der Steinfchwerlinie, d. h. durch geht, die Gefammtmittelkraft von P g2 und h2 aber die Fuge b% im unteren Grenzpunkte c<i des inneren Drittels fchneidet. Die Verbindungslinie von c~y mit et}, dem Schnittpunkte der Mittelkraft von I und g% mit h<^ ergiebt die Richtung der Gefammtmittelkraft //; die Gröfse erhält man durch Ziehen einer Linie y 0% durch y parallel zur Richtungslinie von II. Der Winkel, welchen II mit der Fugen-Senkrechten zu    einfchliefst, ift kleiner als cp, alfo die Con-

ftruction brauchbar. Wäre der Winkel gröfser als cp, fo wäre h2 fo weit hinabzurücken und zu ver-gröfsern, bis der Winkel höchttens gleich cp ift. ln diefer Weife erhält man durch Weiterconftruiren eine mögliche Stützlinie, welche auch mit der Wirklichkeit nahezu übereinttimmen dürfte.

Literatur.

Bücher über »Statik der Gewölbe«.

DlETLEiN, J. F. W. Beitrag zur Statik der Kreuzgewölbe. Halle 1823.

Tellkampf, H. Beitrag zur Gewölbetheorie. Frei nach Carvallo. Hannover 1853.

Scheffler, FI. Theorie der Gewölbe, Futtermauern etc. Braunfchweig 1857.

Fabre, V. Théorie des voûtes élaftiques et dilatables d’une application fpéciale aux arcs métalliques.

Paris i860.

Hagen, G. Ueber Form und Stärke gewölbter Bogen. Berlin 1863.

IIÄNEL, v. Zur Theorie der Tonnengewölbe. Stuttgart 1868.

Fontaine, H. Stabilité des conßructions. Extrait de la notice fur la théorie des voûtes. Befançon 1870. Ortmann, O. Die Statik der Gewölbe mit Rückficht auf ihre Anwendung. Halle 1876.

Fabian, W. Ueber Gewölbstheorien mit befonderer Berückfichtigung auf den Brückenbau. Leipzig 1876. BoNNIN, R. Etude fur la fiabilité des voûtes en maçonnerie. Evreux 1876.

Perrodil. Réfifance des voûtes et arcs métalliques. Paris 1879.

Gobert, J. B. Nouvelles recherches fur la théorie des voûtes. Paris 1879.

Foeppl, A. Theorie der Gewölbe. Leipzig 1880.

Durand-Claye , A. Vérification de la fiabilité des voûtes et des arcs; application aux voûtes fphériques.

Paris 1880.

Ungewitter, G. G. Lehrbuch der gotifchen Konftruktionen. 3. Aufl. von K. Mohrmann. Leipzig 1892. Gnuschke, II. Die Theorie der gewölbten Bogen etc. Berlin 1892.

AUTHENRIETH, E. Die ftatifche Berechnung der Kuppelgewölbe. Berlin 1894.

Tolkmitt, G. Leitfaden für das Entwerfen und die Berechnung gewölbter Brücken. Berlin 1895.

Siehe auch Theil III, Band 2, Heft 3 (Abth. III, Abfchn. 2, B: Gewölbte Decken)

diefes »Handbuches«.

Nachtrag.

Auf S. 5 find nachftehende W’erke nachzutragen:

Smith, H. Graphics: or the art of calculation by drawing lines, applied to mechanical engineering.

London 1889 — 91.

Bovey, H. T. Theory of fiructures and ftrength of materials. London 1893.

Pillet, J. Traité de fiabilité des conßructions etc. Paris 1895.

VoNDERLINN, J. Statik für Bauhandwerker etc. Stuttgart 1896.

Desgl. auf S. 204:

Hehne, W. Eiferne Träger und Säulen. Hilfsbuch zur ftatifchen Berechnung. Halle 1890.

Cousins, R. H. A theoretical and practice treatife on the ftrength of beams and columns. London 1890.

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