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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Band III2

Heft 11.

ENCYKLOPÄDIE

DER

MATHEMATISCHEN

WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCHLUSS IHRER AWENDUNGEN.

HERAUSGEGEBEN

IM AUFTRAGE DER AKADEMIEN DER WISSENSCHAFTEN ZU BERLIN, GÖTTINGEN, HEIDELBERG, LEIPZIG, MÜNCHEN UND WIEN SOWIE UNTER MITWIRKUNG ZAHLREICHER FACHGENOSSEN.

IN SECHS BÄNDEN.

BAND I: ARITHMETIK UND ALGEBRA, IN 2 TEILEN.........

-    II: ANALYSIS, IN 3 TEILEN . . .

— HI: GEOMETRIE, IN 3 TEILEN . . {

—    IV: MECHANIK, IN 4 TEILBÄNDEN. {

j RED. VON W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG.

, H. BURKHARDT f(1896-19l4), W.WIRTINGER { (1905—1912) IN WIEN, R. FRICKE f (1914-1930) l UND E. HILB f (1919—1929)

W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG UND H. MOHRMANN IN DARMSTADT.

F. KLEIN f (1896-1925) UND C. H. MÜLLER IN HANNOVER.

—    V: PHYSIK, IN 3 TEILEN.....A. SOMMERFELD IN MÜNCHEN

—    VI, 1: GEODÄSIE UND GEOPHYSIK, f PH. FURTWÄNGLER IN WIEN UND

IN 2 TEILBÄNDEN .... 1 E. WIECHERTf (1899-1905) IN GÖTTINGEN.

—    VI, 2: ASTRONOMIE, IN 2 TEILBÄNDEN { £    ^

BAND III2. HEFT 11.

S.1533

W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG, III C 10b: SPEZIELLE ALGEBRAISCHE FLÄCHEN. II. TEIL: FLÄCHEN VIERTER UND HÖHERER ORDNUNG .......................

AUSGEGEBEN AM 27. MAI 1931.

VERLAG UND DRÜCK VON B. G. TEUBNER IN LEIPZIG 1931

Bisher erschien: Bd,I (vollständig); B<1.1! (vollständig); Bd.IIIn (vollständig); Bd. III in (vollständig); Bd. III21 (vollständig); Bd. III2 n, Heft 7—11; Bd.III3 (vollständig); Bd. IVn (vollständig); Bd. IVi n, Heft 1—3; Bd. IV21 (vollständig); Bd. IVsn (vollständig); Bd. V (vollständig); Bd. VI ia (vollständig); Bd. VIib (vollständig); Bd. VI2a (vollständig)

Bd. VI2b, Heft 1-4.

Jeder Band ist einzeln käuflich, dagegen werden einzelne Hefte nicht abgegeben. Der Bezug der ersten Lieferung eines Bandes verpflichtet zn seiner vollständigen Abnahme.

TTMIT».

Aufgabe der Encyklopädie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Form, aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der mathematischen Methoden seit dem Beginn des 19. Jahrhunderts nachzuweisen. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt auch ausgiebig die Anwendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie, die verschiedenen Zweige der Technik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß sie einerseits den Mathematiker orientiert, welche Fragen die Anwendungen an ihn stellen, andererseits den Astronomen, Physiker, Techniker darüber orientiert, welche Antwort die Mathematik auf diese Fragen gibt. In 6 Bänden werden die einzelnen Gebiete in einer Reihe sachlich angeordneter Artikel behandelt; jeder Band soll ein ausführliches alphabetisches Register enthalten. Auf die Ausführung von Beweisen der mitgeteilten Sätze muß natürlich verzichtet werden. — Die Ansprüche an die Vorkenntnisse der Leser sollen so gehalten werden, daß das Werk auch demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht. — Eine von den beteiligten gelehrten Gesellschaften niedergesetzte Kommission, z. Z. bestehend aus den Herren

W. v. Dyck - München, 0. Holder-Leipzig, M. Planck-Berlin, W. Wirtinger-Wien, steht der Redaktion, die aus den Herren

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besteht, zur Seite. — Als Mitarbeiter an der Encyklopädie beteiligen sich ferner die Herren I. Band:

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W.Fr. Meyer-Königsberg i.P.    ...

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Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften.

Unter der Abteilung Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften nimmt die Redaktion des Jahresberichts der Deutschen Mathematiker-Vereinigung ihr aus dem Leserkreise angehende Verbesserungsvorschläge und Ergänzungen (auch in literarischer Hinsicht) zu den erschienenen Heften der Eneyklopädie auf. Diesbezügliche Einsendungen sind an den Herausgeber des Jahresberichts Herrn Prof. Dr. D. Bieberbach, Berlin-Dahlem, Gelfertstraße 16, zu richten, der sioh mit den betr . Bandredakteuren wegen der Veröffentlichung der Notizen in Verbindung setzen wird.

Die akademische Kommission zur Herausgabe der Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften.

COPYRIGHT 1931 BY B. G. TEUBNER IN DEIPZIG.

Dz.I. 236

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III CIO. SPEZIELLE ALGEBRAISCHE ELÄCHEK

III C 10b. FLÄCHEN VIERTER UND HÖHERER ORDNUNG.

Von

W. FR. MEYER

IN KÖNIGSBERG IN Pli.

Inhaltsübersicht.

fCATEDRA i» **■ OEOMETR ff *WVKRE&JNej*

I. Einleitung und Übersicht. Reziproke Erzeugung der jF₄, F~, ... durch Flächen niederer Ordnung nach Reye und v. Escherich. Rationale und andere Kurven, nebst ihren Invarianten, auf besonderen F±. Die Kanoni-sierung der F₄ und Reyes Dekaeder. Sonderfälle. Eorinentheoretisches. Übertragungsprinzipien.

1.    Einleitung und Übersicht.

2.    Reziproke Erzeugung der F±, F&, ... durch Flächen niederer Ordnung nach Reye und v. Escherich.

8. Rationale und andere Kurven, nebst ihren Invarianten, auf besonderen F₄.

4.    Die Kanonisierung der Ft und Reyes Dekaeder. Sonderfälle.

5.    Formentheoretisches. Übertragungsprinzipien.

II. Kummers Untersuchung über F± mit Scharen von Kegelschnitten.

0. Einleitung. Hilfssätze.

7.    Erster Hauptfall (I): Die Ebenen H sind vom Typus T₀. Die Fi mit einer Doppelgeraden g. Die Dupinsche Zyklide. Die Fi mit zwei Selbstberührungspunkten.

8.    Zweiter Hauptfall (II): Die H sind vom Typus Tx. Die Steinersche Fläche S. 0. Dritter Hauptfall (III): Die H sind vom Typus T₂. Die Fi mit Doppelkegelschnitt C*. Die fünf Kummerschen Kegel.

III. Die Fi mit Doppelkegelschnitt.

10.    Die Abbildung der Fi auf eine Ebene nach Clebsch. Die 16 Geraden auf der F±.

11.    Die Vieren und Doppelvieren.

12.    Die Kegelschnitte auf der _F₄.

13.    Die Kurven 3. Ordnung auf der Fi.

14.    Die rationalen Kurven 4. Ordnung auf der Fi und ihre Beziehung zu den Vieren zweiter Art.

15.    Fall eines Knotenpunktes D₂ auf der Fi.

Encyklop. d. math. 'Wissenscli. III 2.

99

Äkc. Nr.

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16.    Die zur Bestimmung der 16 Geraden g dienende Gleichung 5. Ordnung.

17.    Erzeugung der durch zwei projektive ,F₂-Büschel. Die synthetischen Untersuchungen von Juel und Pöbek.

18.    Die vier Kuspidalpunkte der F₄. F₄ mit Kuspidalkegelschnitt.

10. Die Zeuthenache Tangentenprojektion der F₄ von einem Punkte des Doppelkegelschnitts aus. Die Projektion der F₄ von der Spitze eines Kummerachen Kegels aus. Erzeugung der F₄.

20. Die Segreache Projektion vom S₄ aus. Die Veronese sehe Konstruktion.

IY. Zykliden.

21.    Die Zykliden als F₄ mit dem Kugelkreis als Doppelkegelschnitt.

22.    Die Untersuchung von Casey.

23.    Einführung der pentaphärischen Koordinaten nach Farboux.

24.    Konfokale Zykliden.

25.    Zykliken und Fokalflächen.

26.    Transzendente Darstellung der Zykliden nach Fomsch.

27.    Die Fupinsche Zyklide.

28.    Fokalkurven und Abstandsrelationen.

29.    Die Krümmungslinien auf den Zykliden.

Y. P₄ mit einer Doppelgeraden.

30.    Einleitung.

31.    Vorstufen zu einer F₄ mit g.

32.    Die 16 Geraden auf der Fläche.

33.    Abbildung der Fläche auf eine Ebene.

34.    Die Kegelschnitte auf der Fläche.

35.    Die vier Kuspidalpunkte. F₄ mit einer Kuspidalgeraden.

36.    Spezielle F₄ mit einer Doppelgeraden.

VI. P\ mit dreifachem Punkt und solche mit einer dreifachen

Geraden.

37.    F₄ mit dreifachem Punkt und ihre Abbildung auf die Ebene.

38.    Erzeugung der Fläche durch zwei projektive -Büschel.

39.    Die Untersuchung von Hohn.

40.    F₄ mit dreifacher Geraden und ihre Abbildung.

41.    Die F₄ mit ij als Achsenfläche einer kubischen Raumkurve.

VII. Die Steinersche Fläche.

42.    Einleitung.

43.    Abbildung der Fläche auf eine Ebene.

44.    Normaldarstellungen der Fläche.

45.    Weiteres zur Abbildung der Fläche.

46.    Die Haupttangentenkurven der Fläche.

47.    Der Satz von Lie.

48.    Die Sätze von Farboux, Picard und Castelnuovo.

49.    Verallgemeinerungen der Weierstraßachen Darstellung der Fläche.

50.    Metrische Beziehungen.

51.    Die Krümmungslinien auf der Fläche.

52. Einleitung.

58. Die Typen rationaler _F₄.

IX. Flächen vierter und höherer Ordnung mit einer endlichen Anzahl

von Geraden.

54.    Flächen ohne Singularitäten mit einer endlichen Anzahl von Geraden.

55.    Flächen mit Singularitäten mit einer endlichen Anzahl von Geraden.

X. Flächen 4. Ordnung mit weniger als 16 Doppelpunkten.

56.    Einleitung.

57.    Die Untersuchungen von Gayley.

58.    Fi mit zwei Selbstberührungspunkten. Fi mit vier uniplanaren Doppelpunkten.

59.    F± mit vier beliebigen Doppelpunkten.

60.    Die Weddlesche Fläche 4. Ordnung.

61.    F± mit acht assoziierten Doppelpunkten.

62.    Das Cayleysche Symmetroid. Die desmische Fläche 4. Ordnung.

63.    Die Untersuchung von Höhn über FA mit 9 bis 15 Doppelpunkten.

XI. Die Weddlesche und die Kummersche Fläche.

64.    Das allgemeine lP₂-Gebüsch. Die Kegelspitzenfläche und ihre Bildfläche.

65.    Das _F₂-Gebüsch mit sechs Grundpunkten.

66.    Die Weddlesche Fläche und die Kummersche Fläche als ihre Bildfläche. Invariante Darstellung beider Flächen.

67.    Die Kummersche Fläche als Projektion vom Si aus.

68.    Die 16 und 16 z/₂, syzygetische und azygetische Tetraeder der Kummer-schen Fläche. Normaldarstellungen. Die lineare Konstruktion von H. Weber. Die Kummersche Konfiguration.

69.    Liniengeometrische Behandlung der Kummerschen Fläche. Die Kummersche Fläche als Singularitätenfläche eines quadratischen Komplexes und als Brennfläche einer quadratischen Kongruenz.

70.    Die Haupttangentenkurven der Kummerschen Fläche.

71.    Transzendente Behandlung der Kummerschen Fläche.

72.    Konfigurationen, die der Kummerschen Fläche zugleich ein- und umbeschrieben sind.

73.    Das Cayleysche Tetraedroid und die Wellenfläche.

74.    Die Haupttangentenkurven und die Krümmungslinien auf der Wellenfläche.

XII. Regelflächen vierter und höherer Ordnung.

75.    Einleitung über Regelflächen 4. Ordnung B-Fi.

76.    Die abwickelbare B-F₄.

77.    Die B-F± mit dreifacher Geraden^⁷. Unterarten.

78.    Die B-F± mit irreduzibler kubischer Doppelkurve.

79.    Die Molirmannsche Untersuchung der B-Fi mit irreduzibler kubischer Doppelkurve von S₅ aus.

80.    Die B-Fi mit reduzibler kubischer Doppelkurve.

81.    Die B-F± vom Geschlecht 1 mit zwei windschiefen Doppelgeraden.

82.    Die Polaren - Methode von Wong.

83.    Die Regelflächen 5. Ordnung.

84.    Die Regelflächen sechster und höherer Ordnung.

XIII. Metrisch bemerkenswerte Flächen vierter und höherer Ordnung.

85.    Aus Flächen 2. Ordnung abgeleitete Flächen vierter und höherer Ordnung.

86.    Andere bemerkenswerte metrische Flächen vierter und höherer Ordnung.

87.    Algebraische Minimalflächen.

Literatur.

A. Die einschlägigen Abschnitte in den Lehrbüchern.

L. Cremona, Preliminari di una teoria geometrica delle superficie, Bologna Mem. (2) 6 (1866), p. 91; (2) 7 (1867), p. 29. Deutsch von M. Curtze, Allgemeine Theorie der Oberflächen, Berlin 1870. Das Original gab in erweiterter Form heraus:

B. Guccia, Geometria superiore, Palermo 1890.

G. Salmon-W. Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes, 2. Teil, 3. AufL, Leipzig 1880 {„Salmon-Fiedler“).

G.    Salmon, Analytic Geometry of three dimensions. Yol. II. 5. ed. by A. P. Rogers, London 1915 (vergriffen). Französische Ausgabe von 0. Clxemin, Paris 1892.

A. B. Basset, Geometry of surfaces, Cambridge 1910.

Th. Beye, Geometrie der Lage, 2. Abt. 1868, 3. Abt. 4. Aufl. Leipzig 1910 {„Reye“).

H.    E. Timerding, Repertorium der höheren Mathematik, Bd. II, 2, Leipzig 1922. Kap. 35 „Besondere _F₄“ (von Timerding) {,,Timerding“).

jH T. Baker, Principles of geometry, Cambridge, vol. III (1923), Ft, Fh usf., vol. IY (1925), Ausdehnungen auf den Raum Sn {„Baker“).

B. Monographien.

G. Darboux, Sur une classe remarquable de courbes et surfaces algebriques (Zykliden), Paris 1873, 2. ed. 1896 {„Darboux“).

Th. Reye, Synthetische Theorie der Kugeln und linearen Kugelnsysteme (Zykliden), Leipzig 1879.

G.    Loria, Ricerche intorno alla geometria della sfera e loro applicazione allo studio ed alla classificazione delle superficie di quarto ordine aventi per linea doppia il cerchio imaginario all’infinito, Torino Mem. (2) 36 (1884); Torino Atti 20 (1885), p. 505.

K. Rohn, Die Flächen vierter Ordnung hinsichtlich ihrer Knotenpunkte und ihrer Gestaltung, Preisschrift der Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886 [Auszug in Math. Ann. 29 (1887), p. 81] {„Rohn“).

H.    T. Hudson, Kummers Quartic surface, Cambridge 1905 (ohne Literaturangaben) {„Hudson“).

G. M. Jessop, On Quartics with singulär points, Cambridge 1916 {„Jessop“).

Der voraufgehende Artikel wird mit „Fs“ zitiert.

Bezeichnungen.

Es gilt das in „F₃U Angegebene, mit einigen Ergänzungen.

Ein v-facher Knotenpunkt einer Fläche werde jetzt genauer mit Dv, entsprechend eine v-fache Ebene mit Av bezeichnet, mit tv eine an v Stellen (v = 0, 1, 2, 3, 4) berührende Tangente der Fläche, mit Tt eine an i Stellen (i — 0, 1, 2, 3) berührende Tangentialebene; also im besondern t₀ eine beliebige Gerade, T₀ eine beliebige Ebene.

Das Zeichen für die Normkurve im Sn ist Nn = Nn. Büschel, Netze, Gebüsche von Gebilden werden durch _B, _ZV, G angegeben. Im besonderen bedeute noch Kn einen Kegel nteT Ordnung,    einen linearen resp. quadratischen

Geradenkomplex, eine quadratische Geradenkongruenz (2,2).

Eine Regelfläche nteT Ordnung wird mit B-Fn bezeichnet, ihre Regelstrahlen

mit h.

Unter C, C, ... wurde eine doppelte, dreifache .. . Kurve auf einer Fläche verstanden; im besonderen also unter g, g,. . . eine doppelte, dreifache ... Gerade.

Linienkoordinaten im Raume werden genauer mit 7t resp. p angegeben, je nachdem sie als Achsenkoordinaten resp. Strahlenkoordinaten aufgefaßt werden.

1.    Einleitung und Übersieht. Reziproke Erzeugung der Fi9F₆,... durch Flächen niederer Ordnung nach Reye und y. Escherich. Rationale und andere Kurven, nebst ihren Invarianten, auf besonderen F₄. Kanonisierung der Fi und Reyes Dekaeder. Sonder-

Fälle. Formentheoretisches. Übertragungsprinzipien.

1. Einleitung und Übersicht. Das eigentümliche Gepräge der Theorie der Fs (s. Art. „F₃“) nebst ihrer Fülle geometrischer Eigenschaften beruhte auf zwei, sich selbst wieder gegenseitig bedingenden Hauptmomenten. Einmal ist es der Umstand, daß für eine Fs die j0esseschela) und Steinersche Fläche zusammenfallen, woraus die Lehre vom Pentaeder entspringt. Andererseits die Existenz einer endlichen Anzahl von Geraden auf der Fs, sowie von dreimal berührenden Ebenen. Daran lehnten sich die Erzeugungen der F₃, sowie ihre Abbildung auf eine Ebene von selber an.

la) Die Hesse sehe Fläche H einer Fn, deren Gleichung durch das Verschwinden der Determinante der zweiten Ableitungen von Fn geliefert wird, schneidet aus Fn die parabolische Kurve aus. Ein besonderes Verhalten weist H in den Knotenpunkten und vielfachen Kurven von Fn auf, wie K. Hohn, Math. Ann. 23 (1884), p. 80 näher ausführt. Sei JDk ein ft-facher Knotenpunkt der Fn, so werden der Reihe nach folgende Fälle untersucht: 1. ein allgemeiner Hk\

2.    der Soncferfall, wo der Tangentenkegel des Hk eine mehrfache Kante besitzt;

3.    ein biplanarer und ein uniplanarer Z>₂; 4. ein einfacher Punkt der Fn, dessen Tangentenebene aus Fn eine cn mit dk ausschneidet; 5. die Doppel- und Rückkehrkurven.

Für eine Ft erfahren die Ergebnisse geeignete Spezialisierungen.

Bei den _F₄(.F₅,...) treten diese Momente und überhaupt die Theorie der punktallgemeinen Fläche in den Hintergrund. Die Hessesche und Stelnersche Fläche sind jetzt verschieden. Zwar lassen sich deren allgemeine Eigenschaften sowie überhaupt die Polarentheorie der Fn, wie sie zuerst L. Cremona (s. Lit.) systematisch entwickelt hat, für die Einzelfälle n = 4, 5,... spezialisieren. Indessen gelangt man so zu wenig Ergebnissen, die von spezifisch geometrischem Interesse wären, was damit zusammenhängt, daß eine auch nur annähernde Übersicht über die Gestalten der in Betracht kommenden Gebilde unmöglich erscheint. So ist denn auch die reziproke Erzeugung einer F± durch Flächen niederer Ordnung (s. Nr. 2) nach Th. Heye und 6r. v. Escherich zwar von theoretischem Interesse, erweist sich aber zur Ableitung konkreter Eigenschaften der F₃ wenig geeignet. Desgleichen ist auch die von Th. Heye (s. Nr. 4) herrührende Ausdehnung des Sylvesterschen Pentaeders der Fs zu einem „Dekaeder“ der F± usf'. mehr von formalem Werte.

Was andererseits Gerade auf einer allgemeinen Fn angeht, so existieren solche für n > 3 überhaupt nicht mehr, ebensowenig wie allgemeine F und gewisse andere C (s. Nr. 3), vielmehr treten sie erst auf gewissen speziellen F auf, und ihr Auftreten gestaltet sich sehr verschieden, je nachdem die F singuläre Kurven besitzt oder nicht (s. Abschn. IX).

Endlich sei auch hinsichtlich der Theorie der Transformationen, insbesondere der Cremonaschen, sowie der linearen OScharen auf der Fläche nach Severi u. a. auf deren allgemeine Darstellung verwiesen (s. Art. III C 6b, 6r. Castelnuovo und F. Enriques, Die algebraischen Flächen vom Gesichtspunkte der birationalen Transformationen aus; IIIC 11, L. Berzolari, Algebraische Transformationen). Wir beschränken uns daher im folgenden auf gewisse Typen spezieller F± (und anhangsweise auch von F₅, ...), insbesondere auf solche, die zu ihrem Teile an der Weiterentwickelung der höheren Raumgeometrie beigetragen haben.

Nach einer vorläufigen Übersicht über das Auftreten gewisser C auf _F₄ und der damit verknüpften Invarianten (s. Nr. 3) wird auf die grundlegende Kummersche Abhandlung über jF₄ mit Scharen von C2 näher eingegangen.

Die wichtigsten dieser Fi} nämlich die jF₄ mit einem Doppelkegelschnitt C₂₎ werden im Anschlüsse an die Abbildungsmethode von Clebsch (s. Abschn. III) näher verfolgt, und weiter deren metrische Repräsentanten, die Zykliden Z (s. Abschn. IV). Die Methode von Clebsch ist dann weiterhin von ihm selbst, von Noether u. a. auf Fi mit einer Doppelgeraden g, F₆ (F§,...) mit singulären Kurven ausgedehnt worden (s. Nr. 52). Synthetisch und systematisch hat sie, besonders hinsichtlich der endlichen Anzahl auf ihr liegender Geraden, Sturm (s. Nr. 52) untersucht.

In dieser Hinsicht steht ihnen gegenüber eine Reihe vereinzelter merkwürdiger F± (_F₅, ...) mit einer endlichen Anzahl von Geraden, im übrigen aber ohne singuläre Punkte und Kurven.

Daran schließt sich, in Verallgemeinerung des Früheren, eine Übersicht über die rationalen, d. i. auf eine Ebene eindeutig abbildbaren

(s. Nr. 53). Ein weiterer Abschnitt ist den wichtigsten D₄ mit < 16 Knotenpunkten D₂ gewidmet.

Den eigentlichen Kernpunkt des Ganzen bildet aber in Verbindung mit der Weddleschen F± die Theorie der Kumm ersehen Fläche Km mit der Maximalzahl von 16D₂ nebst ihren Unterarten, des Tetra-etroides T₀ und der Wellenfläche Wx (s. Abschn. XI). Von besonderem Interesse ist hier die Durchdringung mit der Liniengeometrie der quadratischen Komplexe und Kongruenzen (s. Nr. 69 ff.), sowie der Darstellung durch hyperelliptische Funktionen von zwei Variabein (s. Nr. 71).

Eine besondere Beachtung verdienen auch die Fi mit einem kubischen Knotenpunkte D₃ (s. Abschn. VI), unter denen wieder die Steiner -sehe Fläche S eine besondere Rolle spielt (s. Abschn. VII), sowie die _F4 mit einer dreifachen Geraden (s. Abschn. VI). Daran schließt sich eine systematische Betrachtung der Regelflächen B-F± (s. Abschn. XII) und anhangsweise der B-Fb und B-F₆. Den Schluß bildet die Aufzählung einer Reihe von metrisch ausgezeichneten D₄, insbesondere solcher, die der Theorie der F₂ entspringen (s. Abschn. XIII).

Um auf die allgemeine D₄ zurückzukommen, so diene als Definition deren Gleichung in homogenen Punktkoordinaten xi,xk,xvxm. Denkt man sich diese Gleichung etwa nach xm entwickelt, so nimmt sie die Gestalt an

(1)

Fi = CQxfn + ClXm + CA + C3 Xm + C4 = 0, wo cv (y — 0, 1, ... 4) eine beliebige ternäre Form der Ordnung v in xi, xl bedeutet. Die Fi führt also 1 —{— 3 —f— 6 —f— 10 —J— 15 == 35 Koeffizienten mit sich, oder hängt, in anderer Sprechweise, von 34 Konstanten ab.

so

m)

An diese Darstellung mögen sich gleich einige vorläüfige Bemerkungen über das Auftreten einfachster Singularitäten in der Koordinatenecke Am anschließen. Geht vorab die D₄ einfach durch A verschwindet c₀, und (1) beginnt mit dem Gliede cxx?m\ die Gleichung = 0 ist dann die der Tangentialebene T der F± in Am.

Verschwindet weiter cx identisch, so daß (1) mit dem Gliede c%x\t beginnt, so besitzt die Fi in Am einen Knotenpunkt 2. Ordnung D₂.

Dieser ist ein eigentlicher resp. biplanarer resp. uniplanarer, je nachdem die Gleichung c₂ = 0 einen irreduzibeln (ein- resp. nnllteiligen Kegel 2. Ordnung, oder aber ein Paar getrennter (reeller resp. konjugiert imaginärer) Ebenen, oder endlich eine Doppelebene darstellt, wofür sich die algebraischen Kriterien leicht angeben lassen (s. Nr. 31). Verschwindet auch c₂ identisch, so daß sich (1) reduziert auf c₃xm -f- c₄ = 0, so liegt in Am ein kubischer Knotenpunkt JD₃ vor; die 12 gemeinsamen Kanten der beiden Kegel c₃ = 0, <?₄ = 0 liegen dann auf der F± (s. Nr. 37). Die weiteren sukzessiven Ausartungen des Ds in Am werden wiederum durch die entsprechenden Ausartungen der kubischen Form c₃ bedingt. Verschwindet endlich auch noch c₃ identisch, so reduziert sich die F± auf den Kegel 4. Ordnung c₄ — 0, ein Fall, der im folgenden ausgeschlossen werde.

2. Reziproke Erzeugung der JF₄, JF1,. . . durch. Flächen niederer Ordnung nach Reye und v. Escherich. Th. Reye¹) hat systematisch, mit synthetischen Hilfsmitteln, die Erzeugung von Fn aus Flächen geringerer Ordnung untersucht und sie insbesondere auf _F₄, F₃, ... angewendet.

Der nächstliegende Weg, die Erzeugung einer Fn durch zwei projektiv zugeordnete Büschel Bp und Rq von Fp und F } für pJrq = n, erwies sich für die allgemeine Fn als ungeeignet.

Bei einer _F₄ läge ein doppelter Ansatz vor.

Einmal die Erzeugung durch einen Fx-Büschel Rx und einen ihm projektiv zugeordneten .F₃-Büschel JB₃. Diese setzt aber die Existenz einer Geraden g auf der jF₄ voraus; eine solche F± hängt aber nur von 33 Konstanten ab (s Nr. 4).

Andererseits die Erzeugung der F± durch ein jF₂-Büschel JB₂ und ein ihm projektiv zugeordnetes Fs'- Büschel JB₂. Dies würde wiederum die Existenz mindestens einer 0₄ auf der F± voraussetzen; aber auch eine solche F± hängt nur von 33 Konstanten ab (s. Nr. 3). Aus diesen Gründen stellt sich Reye die verwandte Aufgabe, die klassische Steiner-sche Erzeugung einer F₂ durch ein Strahlennetz²) und ein ihm reziprok zugeordnetes i^-Netz W/ zu einer analogen Erzeugung von F₃, Fa, ... auszubauen. Zu dem Behuf bedarf man vorab für die Erzeugung einer Fn+1 einer s}Tnthetischen Definition resp. Konstruktion einer solchen reziproken Zuordnung eines ^-Netzes und eines Fn-Netzes Nv

Dies geschieht schrittweise mittels Polarenbildung.

Im nächsthöheren Falle n — 2 adjungiere man der Figur eines «/-Netzes Nx und eines P₂-Netzes N₂ einen beliebig, aber fest gewählten Punkt P₀ und denke sich bezügl. P₀ das Netz Nx der Polarebenen II der P₂ des Netzes N₃ konstruiert. Bezieht man dann, wie bei Steiner, die beiden Netze Nx und Nx reziprok aufeinander, so heißen dann auch die beiden Netze Nx und N₂ „reziprok zugeordnet“ oder kurz „reziprok“, und die Eigenschaften dieser Zuordnung erweisen sich als unabhängig von der Auswahl des Punktes P₀. Im nächsten Fall eines (/-Netzes Nx und eines P₃-Netzes N₃ reduziere man wiederum mittels Polarenbildung das Netz N₃ auf ein P₂-Netz N₂, beziehe nach obiger Regel die beiden Netze Nx und N₂ reziprok aufeinander, so sind damit auch die beiden Netze Nx und JV₃ reziprok einander zugeordnet usf. So gelangt man allgemein zur reziproken Beziehung zweier Netze von Fp und Fq. Über die noch weitergehende Ausdehnung durch G. v. Escherich s. u.

Sind nun auf diesem Wege ein (/-Netz Nx und ein Pw-Netz Nn

als Ort der

reziprok aufeinander bezogen, so erscheint eine Ps n Schnittpunkte je einer g in Nx mit der zugeordneten F in Nn.

Umgekehrt beweist dann Heye, daß eine solche Erzeugung einer beliebig vorgelegten Fn + 1 stets, und auf noch mannigfaltige Art, ausführbar ist; als Zentrum des (/-Netzes Nx ist jeder beliebige Punkt der Fn + 1 wählbar. Insbesondere erscheint so eine P₄ als überdeckt mit unendlich vielen Reihen von 27 Punkten als Grundpunkten von Po-Netzen.

Es empfiehlt sich, die entsprechende algebraische Entwickelung an die Seite zu stellen.

Der Vollständigkeit halber werde mit dem einfachsten Falle der P₂ begonnen.

Sei die Koordinatenecke Am das Zentrum des (/-Netzes Nx, während das P₁-Netz A⁷/ aus irgend drei partikulären, linear-unabhängigen Fl: yL = 0, yk — 0, yl — 0 aufgebaut sei. Die Gleichung von Nx lautet dann in drei homogenen Parametern v

(1)

K = ’viyi + vhyk +    = (vy) = 0.

Irgendein Individuum g des Netzes Nx werde festgelegt durch die homogenen Koordinaten xi,xkyxl seiner Spur in der Ebene E(ocm — 0) als seine Parameter; ein laufender Punkt P auf g bestimmt sich durch Angabe des Wertes der nichthomogenen Koordinate nach dem Schema

(2)

N(xiy xk, xx\ xjm).

Man bestimme zunächst den Schnittpunkt (xv xk, xt\ xm) irgendeiner

F₁ von Nt mit irgendeiner g in N, so daß die beiden Wertsysteme der (vif vk, vt) und (xi7 xk, x{) als gegeben anzuseben sind. Dann liefert den noch fehlenden Wert von xm die in xm lineare Gleichung (1). Nunmehr seien die beiden Netze N und N₁ reziprok aufeinander bezogen, so daß die vif vk, vl beliebig, aber fest gegebene Linearformen l in den xi7 xk, xl seien:

0 = i, Je, l).

QVr = lr{xt) Xk, X,)

Setzt man diese Werte der v in (1) ein, so ergibt sich unmittelbar als die Gleichung der gesuchten F₂

F₂ = (xy) = (ly) = 0.

(3)

(4)

Die Substitutionen (3) lassen sich bei geeignetem Koordinatensystem so normieren, daß man einfach setzen kann

QVr = xr

(3')

(r == i, Je, T),

womit (4) übergeht in

(4')

F₂ = (xy) = 0.

Umgekehrt ist ersichtlich, daß man die Gleichung einer vorgelegten, durch Am gehenden F₂, und noch in mannigfaltiger Art, nach xif xk, x{ so anordnen kann, daß sie die Gestalt (4') annimmt.

Die obige Entwickelung läßt sich formal vereinfachen, indem sich die drei Gleichungen (3) in eine einzige zusammenziehen lassen. Man deute zu dem Behuf die v in (1) als Linienkoordinaten in einer Hilfsebene H. Dann drücken die Beziehungen (3) aus, daß zwischen den beiden Ebenen E und H eine Korrelation r besteht; jedem Punkte (xi} xk, xt) in E ist linear eine Gerade (vif vk, vt) in H zugeordnet, und vice versa. Führt man daher auch in E Linienkoordinaten (uv uk, ut) ein, so läßt sich das System (3) ersetzen durch die eine in den u und v bilineare Korrelationsgleichung

r = J£arsurvs = \u, VJ = [u, x] = 0.

Ordnet man hier nach den u, so lassen sich die xr linear in den vs ausdrücken:

(5)

(6)

Gxr = arivt + arkvk -f arlvv Die Umkehrung nach dem v liefert Beziehungen von der Gestalt

QVr = airXi + KkrXk + Vl = lr{XiXkXl) J

das sind aber wieder die Ausgangsgleichungen (3). Aus der Korrelation F (5) geht aber rückwärts wieder die Reziprozität (3) hervor.

Dies Verfahren ist ohne weiteres auf die Erzeugung einer Fn + l ausdehnbar. Es genüge, den Fall n — 3 als Typus zu betrachten. Während das ^-Netz N (2) bleibt, ersetze man das F^-Netz Nx (1)

(7)

durch ein Netz N₃ von F₃

(8)

^3 = vt*i +    + Vi = (ve) = 0,

wo die z vorgegebene quaternäre kubische Formen in xi7 xk, xv xm bedeuten. Man bestimme vorab die drei Schnittpunkte Pt, P₀, P₃ irgendeiner g(xi}xk,x,) in Nt mit irgendeiner F₃(vif vk} v{) in N₃. Die gesuchten xm-Werte der drei Punkte F sind die Wurzeln der in xm kubischen Gleichung (8).

(9)

Nunmehr seien wieder die beiden Netze N und N₃ reziprok aufeinander bezogen mittels dreier Beziehungen von der Gestalt (3). Die Einsetzung der v in (8) führt unmittelbar zur Gleichung einer P4 F, = {vz)^{lz) = 0 als Ort der Schnittpunkte irgendeiner g in N mit der ihr vermöge (3) reziproken F₃ in N₃.

Wie oben kann man sich der kanonischen Darstellung (3) qvr = xr bedienen, womit (4) die Normalgestalt annimmt

(9')

P₄ = (xz) = 0.

Liegt umgekehrt eine durch Am gehende P₄ vor, so läßt sich ihre Gleichung in noch mannigfaltiger Art nach xi7 xk, xx so anordnen, daß sie in der Normalgestalt (9') erscheint.

Auch die Zusammenziehung der drei Beziehungen (3) in eine einzige Korrelation P (5) vollzieht sich ganz wie oben im Falle n = 1.

Damit hat man die algebraische Bestätigung des Pq/eschen Satzes: „Eine vorgelegte, durch Am gehende, im übrigen beliebige P₄ läßt sich, auf noch mannigfaltige Weise, erzeugen als Ort der Schnittpunkte eines (/-Netzes N mit einem zu ihm reziproken P₃-Netze N₃.“ Dann erscheint die Gleichung der P₄ in der Normalgestalt (xz) = 0. Dabei läßt sich die Reziprozität durch eine Korrelation F ersetzen. Analoges gilt für eine Fn+V

Dem oben entwickelten Grundgedanken hat Gr. v. Fscherich³) die weiteste Ausdehnung gegeben, die die früheren Untersuchungen über Projektivität und Korrelation, Reziprozität und Apolarität als Sonderfälle umfaßt⁴), unter möglichster Vereinfachung des Rechenapparates.

3)    G. v. Fscherich, Wien Ber. 75 (1877), p. 523; ib. 85 (1882), p. 526, 893; ib. 87 (1884), p. 1036. In den ersten drei Abhandlungen wird die allgemeine Theorie entwickelt mit Anwendungen auf Fi, Fh, . . .; die letzte bringt die Konstruktionen.

4)    Man vgl. etwa: Th. Heye, Math. Ann. 1 (1869), p. 455; 2 (1870), p. 475; H. Valentiner, Tiddskr. f. Mat. (4) 3 (1879), p. 223; F. Schur, Math. Ann. 18 (1881), p. 1; W. Fiedler, Zürich Viertelj. 24 (1882), p. 186; E. de Jonquieres, Paris C. R. 105 (1887), p. 1203; 106 (1887), p. 526, 907; 107 (1888), p. 209; P. W. White, Cambr. Phil. Soc. Proc. 21 (1920), p. 116 (mit Ausdehnungen auf den Sn).

Seien in irgendeinem Raume Sr zwei lineare „Flächensysteme“ gegeben von den Ordnungen p, q und den Parameterreiben Xr, fis (r = 0, 1,..., 7; s = 0,1,..., Je) vermöge der Gleichungen

JX-F?’ = 0,

= 0,

(5) die einmal abhängt in der Ordnung q von den Achsenkoordinaten nik einer Geraden g = (uv), andererseits in der Ordnung r von den Koordinaten x eines Punktes F. Das Verschwinden der Komitante K von (1) läßt sich geometrisch doppelt deuten. Entweder geht man von irgendeiner Raumgeraden g(d) aus und denkt sich auf ihr die r Wurzeln von K — 0 als Punkte P, Px, P2, P3,. . . markiert. Dann stellt die Gleichung K = 0 nicht nur die Gesamtheit jener Punkt-r-tupel dar, sondern sie liefert auch ein System von Flächen Fr niedrigster Ordnung r, das jene Punkt-r-tupel aus den Raumgeraden g ausschneidet.

F± = (<p + 2lp2y—4p2(ip + Xcp + X2p*) = <Px — 4p2ipx = 0,

Hält man eine der beiden C2, die mit bezeichnet se

B" = m^\b,-bi) + bib\

(Vi, Vic Vi+u — ß, «)

(8) c3 = xkcp2(xk, xv xj + xxxm{xQ + 6) faX" — xmx[) = 0.

XlXmU + XlU + Xn9z + fi = 0,

4 = & — & + Vv ti = yiJryk — y„

s=Vj+Vi+VJ

+ (x^x^bß H (- x*x(xkbp H )

(xyxz) = 0.

Ol == (Po2 aoV2 °aiVl)(P35 a6V2 3 £JÖ V3),

G=2xtxuftu = 0,

+ 2^31^24= 0.

i/rw

(10) p01 :p02 :p03: p12 :p13 : p23 = <y*: <70<q: j {p0 <?2 — öf): 3 <?0 ö2 :öxö2:ö |.

Ft = q*Ga-(x* + y* + z*y = 0,

llffi«“ 1

¹

   Th. Beye, Math. Änn. 1 (1869), p. 455; ib. 2 (1870), p. 475. In der ersten Abhandlung werden der fteihe nach die Fi, Fb, ... untersucht, die zweite entwickelt die allgemeine Theorie.

²

   Im Texte wurde die kürzere Bezeichnung „Netz“ der sonst üblicheren „Bündel“ vorgezogen.

= o.

(io,)

JX-F?’ = 0,

Diese werden als „reziprok“ definiert, wenn die Parameter lr, ps an eine feste bilineare Relation (ii) gebunden sind.

Ist dann irgendein partikuläres Wertsystem (g/) der u. vorgegeben, so genügen vermöge (10^) die l einer linearen Bedingung. Die lineare oo*-Schar (10^) reduziert sich damit auf eine oo^-fache, die man aus i linear unabhängigen Individuen F zusammensetzen mag, von denen nur vorausgesetzt wird, daß sie, wenn auch erst evtl, nach Erfülltsein gewisser Bedingungen, ein gewisses Gebilde C(p') gemein haben, dessen Dimension jenachdem gleich Null, Eins usf. sein kann. Bei variierenden Reihen (ft') erzeugt C(p') so eine Fläche Fn der Ordnung n = p -j- q.

Man erkennt, wie die Beziehung (11) die Verallgemeinerung der früheren Korrelation r (8) ist. Ohne hier auf die allgemeinen Untersuchungen des Verfassers über die Möglichkeit einer reziproken Erzeugung einer vorgelegten Fn einzugehen, begnügen wir uns mit dem Falle der F± im S₃. Man gelangt dann zu einer zweiten reziproken Erzeugung, wenn man in obigem den Indizes p, q,, i, Je die speziellen Werte Zwei beilegt. Einem partikulären Wertsysteme (g/) der g. entspricht dann ein F₂-Büschel JBW mit einer Basiskurve Cp. Variiert das System (g/), so trifft jede G₂ der zweiten Schar die reziproke Cp der ersten Schar in einer Reihe von acht assoziierten Punkten, deren Ort eine F± ist, deren Gleichung die „Netzgestalt“ annimmt

(12)

F± =    Hp + GW HW = (GH) = 0.

Umgekehrt beweist v. FschericJi, daß sich eine vorgelegte F± auf diese Weise, und zwar in noch mannigfaltiger Art, erzeugen läßt. Es existieren unendlich viele Kurven U₄, die die F± in Reihen _B₁₆ von 16 Punkten derart treffen, daß sich die U₁₆ je in zwei assoziierte Teilreihen It₈ und U₈ zerlegen lassen, wo durch jede eine die 04 nicht enthaltende F₂ hindurchgeht.

Es ist nützlich, die Figur auch von transzendentem Standpunkt aus zu betrachten.

Man denke sich auf der Ci einen elliptischen Normalparameter u ausgebreitet. Sind dann u{ (7=1,... 16) die Argumente der 16 Schnitt-

punkte (0₄, F₄), so gilt nickt nur

16

(13)

= 0,

i— 1

sondern die u lassen sich auch in zwei Reihen ur(r—1,... 8), us(s=9,... 16) so zerlegen, daß man zugleich hat

16

(14)

= 0;

5=9

r = 1

die wieder rückwärts (13) nach sich ziehen.

Faßt man zusammen, so erhält man den Satz von v. Escherich:

„Eine F₄ läßt sich noch auf eine zweite Art und noch auf mannigfaltige Weise erzeugen durch zwei reziproke i^-Netze; die Gleichung der Fi erscheint dann in der Netzgestalt (12) und die F± als überdeckt mit unendlich vielen Reihen von assoziierten Punktoktupeln.“

Auf Grund dieser beiden reziproken Erzeugungen einer _F₄ ist es v. Escherich weiterhin gelungen, nach Analogie der F₃ (s. „F₃“, Nr. 20) eine _F₄, die durch 34 vorgegebene Punkte gehen soll, punktweise mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.

Wie freilich zu erwarten, gestaltet sich die wirkliche Ausführung äußerst umständlich, so daß der erkenntnistheoretische Wert des Verfahrens mehr auf der Möglichkeit der Konstruktion beruht, als auf deren Realisierung im einzelnen.

3. Rationale und andere Kurven, nebst ihren Invarianten, auf besonderen Fr Die _F₂ und Fs zeichnen sich dadurch aus, daß auf ihnen Scharen rationaler Kurven Rn einer jeden Ordnung n liegen. Eine Ausnahme bildet nur der Fall n — 1 bei den F₃, insofern es nur eine endliche Anzahl (= 27) von Geraden gab (s. Art. „F₃“, Nr. 2). Ähnliches gilt auch für Kurven C vom Geschleckte 1,2,....

Auf diesem Umstande beruht es vornehmlich, daß die allgemeinen jF₂ und Fs eine so umfangreiche Reihe einfacher, schöner und durchsichtiger geometrischer Eigenschaften aufweisen.

Diese Erscheinung hört nun bei allgemeinen Fn (n 4) auf, woraus umgekehrt wieder folgt, daß die Ableitung spezifischer Eigenschaften solcher Fn ungemein erschwert wird.

Allgemein hat die Natur der auf einer F± gelegenen Kurven K. Rohn4a) untersucht.

Man beachte vorab, daß für eine Fn (n > 3) die Anzahl der verschiedenen (7-Familien mit steigender Ordnung n rasch wächst. Deren 4a) K. Hohn, Leipzig Ber. 49 (1897), p. 631. Ygl. auch die voraufgehende Abhandlung von Rohn über die C auf Fs , ib. 46 (1894), p. 84; Art. „Fsu, Nr. 15.

Untersuchung wird aber dadurch erleichtert, daß die zugehörigen Restkurven Ck) niedrigster Ordnung zumeist zerfallen.

Die F± zeichnen sich dadurch aus, daß, wenn Ordnung und Geschlecht einer C auf F± vorgegeben sind, von solchen nur eine einzige Familie mit irreduziblen Ck) existiert, daneben aber auch noch Familien mit reduziblen Ck) möglich sind.

Die Teile letzterer Ck) sind entweder alle rational, oder es ist ein irrationaler Teil darunter, oder auch es existieren mehrere äquivalente elliptische Teile.

Dabei übersteigt die Anzahl dieser Teile stets die Anzahl der wirklichen Zh der reduzibeln CH

Enthält die Ck) mehrere äquivalente elliptische Teile, oder auch mehrere sich je nicht treffende rationale, und liegt die Ck) mit der Ur-C auf einer Fläche Fx der Ordnung A, so schneidet die Gesamtheit der Fx aus der F± nur eine Teilschar aus.

Weiter wird der Zusammenhang zwischen den Ck) verschiedener Ordnung verfolgt. Sodann werden die Konstantenanzahlen der C bestimmt; hierbei werden auch C mit mehrfach zählenden Teilen berücksichtigt.

Danach werden die C- Familien auf F± in vier Kategorien eingeteilt, für die Tabellen aufgestellt werden.

Beachtenswert ist eine Tabelle, die alle C bis zur Ordnung 24 umfaßt.

Im folgenden beschränken wir uns auf einige spezielle Arten von G auf besonderen F±.

F± keine Bn (n — 1, 2, ...) liegen

Wir betrachten zunächst das Auftreten rationaler Kurven Bn. Eine einfache Abzählung¹) lehrt, daß bereits auf einer allgemeinen — von 34 Konstanten abhängigen kann. Man denke sich auf einer Bn einen Parameter A ausgebreitet, so daß die Koordinaten eines laufenden Punktes der Bn rationale ganze Funktionen von A werden; einem Werte von A entspricht nur ein Punkt der Bn und umgekehrt. Die 4n Punkte, in denen eine Bn eine F± trifft, hängen daher von einer Gleichung /‘4b(A) = 0 der Ordnung 4n ab, mit voneinander unabhängigen Koeffizienten. Die Forderung, daß die Bn ganz der FA angehöre, ist somit gleichwertig mit dem identischen Verschwinden jener Gleichung. Dies involviert An -f- 1 unabhängige Bedingungen, während doch eine allgemeine Bn nur von An Konstanten abhängt. Es muß also eine gewisse Invariante Jn der B\ verschwinden und umgekehrt, so daß der Satz gilt:

„Damit eine Bn auf einer F± liege, ist das Verschwinden einer gewissen Invariante Jn der F± notwendig und hinreichend.“

Das Bildungsgesetz dieser Jn ist bisher nicht ermittelt worden; noch weniger weiß man, ob diese Jn etwa ein vollständiges resp. relativ vollständiges oder ein Fundamentalsystem bilden, und wie sich andere Invarianten der F± durch jene ausdrücken. Für den Fall n — 2, wie vorab bemerkt sei, ist ersichtlich, daß die Existenz einer B₂ = C2 auf einer F± stets die einer zweiten nach sich zieht, nämlich der Restkurve der Ebene E((7₂) (s. auch Nr. 6). Dies tritt auch in der Gleichung einer F± mit einer C₂ hervor, die von der Form sein muß

(1.)

F^ = F₂G₂ — FXF₃ = 0.

nach sich, so daß auch für das Auftreten

Allgemein lege man durch eine auf der jF₄ gelegen gedachte Rn eine F niedrigster Ordnung q, so zieht die Existenz der Fin zugleich die einer Restkurve C einer solchen das Verschwinden der Invariante Jn charakteristisch ist (s. Art. IIIC 9, Rohn-Berzolari, Algebraische Raumkurven und abwickelbare Flächen).

Es ist nützlich, die Natur dieser Restkurven für die niedrigsten Werte von n = 1,2, ... 6 direkt zu untersuchen.

In den Fällen n = 1 bis 4 geht mindestens eine F₂ durch die Rn und in den beiden weiteren Fällen n — 5, 6 mindestens eine F₃. Man wird daher umgekehrt von einer F₂ resp. F₃ ausgehen und durch eine auf ihr gelegen gedachte Bn eine im übrigen beliebige _F₄ legen und sodann die Restkurve mittels der Abbildung der F₂ resp. F.ä auf eine Ebene bestimmen (s. Art. „F₃l, Nr. 11).

Der Fall n = 1.

(ll)

Die Gleichung der jF₄ hat die Gestalt FtFz - F^F' = 0;

die F± ist also erzeugbar durch ein Ebenenbüschel und ein ihm projektiv zugeordnetes F₃-Büschel, und umgekehrt.

Man greife auf einer F₂ eine erzeugende Gerade g heraus und lege durch sie eine F^ die Restkurve ist eine C₇.

Bei der (stereographischen) Abbildung der F₂ auf eine Ebene H mit zwei Fundamentalpunkten Alf A₂ (s. „F₃IC, Nr. 16, Note 67) ist das Bild des Schnittes C₈ der F₂ mit einer beliebigen Fi eine c₈ mit d\ in At und A₂, und das Bild einer g auf F₂ eine Gerade cx durch einen der beiden Fundamentalpunkte, etwa Av Somit ist das Bild der Restkurve C₇ eine c₇ mit dB in Aj und d₄ in A₂. Eine solche c₇ hat aber das Geschlecht p — lb — 3 — 6 = 6.

Mithin ist auch die fragliche Cn eine vom Geschlecht 6, und

es gilt:

„Das Verschwinden der Invariante Jx einer F± ist zugleich charakteristisch für die Existenz einer (und damit unendlich vieler) auf der F₄.“

Der Fall n = 1 ist auch dadurch ausgezeichnet, daß man durch g ein Büschel von Ebenen legen kann, die aus der jF₄ noch eine c3 ausschneiden. Also ist das Verschwinden von Jx auch charakteristisch für die Existenz einer und damit unendlich vieler c₃ auf der JP₄.

Die Invariante Jx läßt sich in normierter Gestalt leicht bilden. Eine (nicht nullteilige) F± läßt sich stets darstellen durch eine Gleichung von der Form cxF₃ 4- cxF₃ -f- c₃"F₃ — 0, wo die c ternäre Linearformen in xk, xl sind. Denn diese Gleichung besagt lediglich, daß die Fläche F± die Koordinatenecke Am enthält. Dann aber wird Jx einfach die Determinante der c. Denn deren Verschwinden ist notwendig und hinreichend dafür, daß die drei Formen c linear abhängig werden; damit reduziert sich aber die Gleichung der Fx auf die Gestalt (lt).

Der Fall n = 2 (s. die obige Gleichung (1₂)).

vom Geschlecht p — 10    — 2-3 = 4. Eine    solche c₆ ist rational trans

formierbar in eine c₆ mit 6d₂. Hiervon kann man sich auch direkt überzeugen. Durch die C₆ läßt sich auch eine F₃ legen. Geht man wieder umgekehrt von einer allgemeinen F₃ und deren Abbildung aus, so ist in der Tat das Bild des Schnittes der F₃ mit einer beliebigen F₂ eine ce mit d₂ in den sechs Fundamentalpunkten Ai (i = 1,... 6) (s. Art. „Fs“, Nr. 11). Projiziert man eine allgemeine von einem beliebigen Baumpunkt aus, so ergibt sich als Projektion eben eine c6 mit 6c?₂; durch die geht eine einzige F₂, die Fläche ihrer Tri-sekanten. Liegt im besonderen das Projektionszentrum auf dieser F₂, so wird die Projektion eine obige c₆ mit zwei d₃. Man hat also:

„Das Verschwinden der Invariante J₂ einer Fx ist zugleich charakteristisch für die Existenz einer (und damit unendlich vieler) C₆⁽⁴⁾

auf der F±.u

Dies steht in Übereinstimmung mit der Gleichung (1₂).

Anders verhält es sich mit der Frage nach dem etwaigen Auftreten von Kurven C^\

vom

Geschlecht Drei (s. Art. VF₃% Kr. 1,11) auf einer aDgemeinen FA. Eine solche C₆⁽³⁾ erscheint am einfachsten als Schnitt von zwei F₃, die noch eine (irreduzible) C₃ gemein haben.

Wählt man bei der Abbildung einer der beiden F₃ als Bild der C3 eine r₆, mit d₂ in den sechs Punkten A, so wird das Bild der CP eine allgemeine Normalkurve (mit p = 3) durch die A. Algebraisch läßt sich eine CP darstellen durch das simultane Verschwinden der Determinanten einer Matrix von der Gestalt \Ai,JBi,Ci,Di\ (i — 1,2,3) mit quaternären Linearformen als Elementen. Somit ist eine durch eine Cp darstellbar durch eine vierreihige Determinante mit beliebigen quaternären Linearformen als Elementen

F^=\ABCD\ = 0.

(1.0

Geometrisch sagt diese Darstellung aus, daß eine solche Fx erzeugbar ist durch quadrilineare Zuordnung von vier Ebenengebüschen.

Von diesem Gesichtspunkt aus hat eine solche jF₄ mit einer Cp zuerst F. Schur²) synthetisch untersucht und festgestellt, daß sie, wenn auch nur von 33 Konstanten abhängig, im übrigen mit den allgemeinen _F₄ die wesentlichsten Eigenschaften gemein hat. Damit ergibt sich zugleich, daß auch für die Existenz einer CP auf einer F± das Verschwinden einer gewissen Invariante, die mit J₂ bezeichnet sei, charakteristisch ist. Dann aber existieren auch unendlich viele Cp auf der F±, da, wie die Abbildung der F₃ zeigt, jede weitere F\ durch die Cp die vorgelegte Fi noch in einer solchen Cp als Restkurve schneidet.

Der Fall n — 3.

Sei jetzt J₃ = 0; die Fi besitze eine (irreduzible, gewundene) C₃. Man lege wiederum durch die C₃ irgendeine F₂, so ergibt sich eine Restkurve Cs. Um deren Natur zu erkennen, gehe man wieder umgekehrt von einer gegebenen F₂ aus und lege durch eine auf ihr befindliche C₃ eine im übrigen beliebige F±. In der Bildebene H ist das Bild der C₃ entweder eine c₂ durch einen der beiden Punkte A, etwa A1} oder aber eine r₃ mit d₂, etwa in A₁ und dt in A₂.

Diese Bildkurve ist zu einer c₈ mit dA in Ax und A₂ zu vervoll

ständigen.

Die Ergänzungskurve ist also im ersten Falle — nach Absonderung der Geraden (Ax, A₂) — eine c₅ mit d₂ in At, d₃ in As, also eine cP vom Geschlecht 2, wie sich im zweiten Falle direkt ergibt.

Die Raumkurve C₅ ist also ebenfalls vom Geschlecht 2, eine Cp; eine solche wird von einem beliebigen Punkte aus in eine cp mit 4d2 projiziert, und die durch sie gehende F₂ ist die Fläche der Trisekanten.

Zu einer solchen cp mit 4d₂ gelangt man wieder direkt durch den Schnitt der F₂ mit einer allgemeinen F₃, die mit F₂ eine Gerade

100

g gemein hat (s. Art. „F₃“, Nr. 11). Das Bild von g in H ist eine clt etwa durch Alf und die Bestkurve wiederum eine c⁽₅²⁾ mit d₂ in Alf d₃ in A₂. Bedient man sich andererseits der Clebschscken Abbildung der F₃ und sei das Bild von g etwa eine Gerade ca — (Ai, Aß), so wird das Bild der Kestkurve in der Tat eine cf* mit 4d₂, in Av . . ., A (und d₁ in Ai} Aß). Es ergibt sich somit:

„Das Verschwinden der Invariante J₃ einer P₄ ist zugleich charakteristisch für die Existenz einer (und damit unendlich vieler) C auf der Fi.“

Hier lassen sich weitere Folgerungen anknüpfen.

Algebraisch ist eine C₃ darstellbar durch das simultane Verschwinden der drei Determinanten einer Matrix Ai} B,, C{ | (i = 1,2). Somit ist eine P₄ mit C₃ darstellbar als dreireihige Determinante von der Gestalt

¹

Vgl. auch die Ansätze bei 0. Tognoli, Giorn. di mat. 11 (1873), p. 180.

²

F. Schur, Math. Ann. 18 (1881), p. 1.

Enoyklop. d. math. Wiasensch. III 2.

(1.)

= 0,

wo F₃, 6r₂, H₂ quadratische Formen sind. Zu einer weiteren geometrischen Eigenschaft einer solchen P₄ mit C₃ gelangt man, wenn man von irgendeinem (variierenden) Punkte P der P₄ an die C₃ die einzige Sekante s legt, die die P₄ in einem Restpunkte Q treffe. „Dadurch ist auf der P₄ eine (1, l)-deutige involutorische Punktverwandtschaft (P, Q) hergestellt.“

Hierauf gestützt, kann man eine _F₄ mit C₃ explizite irrational in der Weise darstellen, daß die Koordinaten eines Punktes P der Fi als ganze Formen in drei Parametern a, ß, x erscheinen, wo x eine quadratische Irrationalität der a, ß ist.

Um eine solche Gestalt in einfachster Darstellung zu gewinnen, wähle man die C₃ als Normkurve N₃ — N₃ (s. Art. „F₃“, Nr. 12, 19). Bezeichnet man daher jetzt die Koordinaten eines Punktes mit x₃, x₂, x1; x₀, so wird die implizite Normaldarstellung einer P₄ mit Nz

F%, Gr ₂, F£₂

9 Xq , X±, X₂

X'd x2J 3 x₃

Auf der N₃ sei ein Parameter X ausgebreitet: Eine Sekante, die zwei Kurvenpunkte (a), (ß) verbindet, sei mit s(a, ß) bezeichnet; man schneide die P₄ mit einer solchen. Die Koordinaten eines laufenden Punktes von s sind

(2) x₃ : x₂ : xx : x₀ — cc³ -j- xß³: 3 (a² -f- xß²) : 3 (a -j- tß) : 1 -f- t.

(l's)

F± =

= 0.

Zunächst ergibt eine leichte Rechnung, daß man, nach Einsetzung von (2) in die Teildeterminanten 3x₀x₂— x\, 9x₀x₃— xxx₂, 3x₁xs — x\, abgesehen von dem gemeinsamen Faktor 2 (a— ß)², die Werte 1 cc -f- ß, aß erhält. Andererseits hat man (2) in die quadratischen Formen F₂, G₂, U₂ einzutragen. Es genügt die Betrachtung einer der Formen, etwa von F₂ — F. Schreibt man symbolisch F = (ax)², so geht der symbolische Faktor (ax) vermöge (2) über in die kubische binäre Form (ax)³ -f- x(aß)³, wo eine Verwechslung der binären Symbole a mit den quaternären nicht zu befürchten ist. Die Quadrierung von (ax) liefert

(«ß)⁶ -J- 2x(aa)³(aß)³ -f- x²(aß)⁶.

Die Bedeutung der drei hier auftretenden Formen liegt auf der Hand. Die Fläche F₂ — F trifft die N₃ in sechs Punkten, deren X-Argumente die Wurzeln der binären Form f₆ = (aX)⁶ sind. Durch Einsetzung von X = a und X = ß ergeben sich (aa)⁶ und (aß)⁶, während (aa)s(aß)3 diejenige Polarform ist, deren Verschwinden aussagt, daß das Punktepaar (a, ß) harmonisch liegt zum Paar der Schnittpunkte von s mit F. Bezeichnet man analog G₂ mit (bx)², H₂ mit (cx)², so gelangt man zur Bestimmung der beiden Restschnittpunkte P, Q von s mit der P4 zu der in t quadratischen Gleichung (3) cp(x) = {aß(aa)e + (a + ß)(ba)⁶ + (c«)⁶}

-f- 2r {aß(aa)³(aß)³ -f- (a -J- ß)(ba)³(bß)s -f- (ca)³(cß)³} + t² {aß(aß)⁶ + (a -f- ß)(bß)⁶ + (cß)⁶} = 0,

die sich auch leicht in realer Gestalt schreiben ließe.

Damit ist in der Tat durch Kombinierung von (2) mit der Bedingung (3) die gesuchte Darstellung der Fi (lg) erreicht. Von dieser algebraischen irrationalen Darstellung der P₄ kann man zu einer korrespondierenden transzendenten durch hyperelliptische Funktionen von zwei Variabein übergehen (s. Nr. 26, 71).

Der Fall n = 4.

Durch eine allgemeine P₄ geht eine einzige P₂. Umgekehrt gehe man wieder von einer P₂ aus und einer auf ihr befindlichen P₄; durch letztere lege man eine im übrigen beliebige P₄.

Das Bild der P₄ in der Ebene H ist eine r₃ mit d₂ in einem der beiden Punkte A, etwa Ax, oder auch eine r₄ mit dx in Ax, und d₃ in A₂. Im ersteren Falle ist die Ergänzung der r₃ zu einer c₈ mit r/₄ in Ax und A₂, nach Absonderung der Geraden (Ax, A₂), eine rx mit dx in Ax und d₃ in A₂. Im letzteren Falle gelangt man von einer solchen r₄ zur obigen r₃ zurück.

100*

Somit ergibt sieb:

„Denkt man sieb die Bedingung = 0 erfüllt, so zieht die Existenz einer jß₄ auf der Fi die einer zweiten solchen i?₄ nach sich: beide zusammen bilden den vollen Schnitt der F± mit einer F₂. Über den Fall einer elliptischen 0₄ s. u.

Der Fall n — 5.

ml

Durch eine allgemeine JS₅ geht als Fläche niedrigster Ordnung eine F₃. Man lege also eine Fs und irgendeine auf ihr befindliche jB₅ zugrunde. Das Bild einer solchen Eb ist eine r₃ mit d₂ in Aif dt in Ak und Av oder auch eine r₄ mit d₂ in Aif Ak, Al} und d₁ in oder endlich eine rh mit d₃ in Aif d₃ in Ak, Av Am, und d₁ in An. Andererseits ist das Bild der Schnittkurve Cn der F₃ mit einer beliebigen F± eine c₁₂ mit d₂ in allen sechs A.

In ersterem Falle ist die Ergänzungskurve zur r₃ eine c₉ mit d2 in Aif d₃ in Ak, Alf d± in Am, An, A . Eine solche c₉ hat das Geschlecht jp = 28 — 1 — 2-3 — 3-6 = 3. Somit ist auch auf der F± die Ergänzungskurve der Eh eine vom Geschlecht 3.

Dies bestätigt sich in den beiden andern Fällen, was nicht weiter ausgeführt werde.

Damit hat man:

„Ist die Bedingung J₅ = 0 erfüllt, so zieht die Existenz einer E-0 auf der _F₄ die Existenz einer (und damit unendlich vieler) nach sich, und umgekehrt. Zwei solche Kurven E₅ und 0₇⁽³⁾ bilden den vollen Schnitt der F± mit einer Fs.

Der Fall n = 6.

Durch eine allgemeine E₆ geht eine einzige F₃. Sei also umgekehrt vorgelegt eine F₃ nebst irgendeiner Ee auf ihr, durch die man eine im übrigen beliebige F± lege.

Das Bild der E₆ ist eine r₃ mit d₂ in Ai} dl in Ak, oder eine r4 mit d₂ in Ai} Ak, Av oder eine r₅ mit d₃ in A.} d₂ in Ak, Av Am, usf., bis zu einer r₉ mit d₂ in Ai} d₃ in Ak, d± in Alt Am, An, A . In der Tat ist auch letztere Kurve rational, denn sie besitzt das Geschlecht p = 2 8 — 1 — 3 — 4-6 = 0.

Wählt man etwa den ersten Typus der r₃, so ist die Ergänzungskurve zu einer c₁₂ mit d₄ in allen sechs A eben eine rg von der oben angegebenen Art.

Mithin ist die Ergänzungskurve zur E₆ im Schnitte (F₃, FA) wiederum eine solche E₆, und umgekehrt.

Man hat daher:

„Für J₆ — 0 zieht die Existenz einer E₆ auf der F± die Existenz

einer zweiten solchen Re nach sich. Beide Kurven bilden zusammen den vollen Schnitt der _F₄ mit einer Fs.“

Elliptische Cn auf der Fk.

Auch hier beschränken wir uns auf die einfachsten Fälle.

Der niedrigste, aber wichtigste Fall ist n — 4.

Durch eine Ci geht noch ein Büschel von F₂: Die Existenz einer Ci auf einer F± zieht daher die Existenz von unendlich vielen weiteren solchen nach sich. Dies geht auch unmittelbar aus der Gleichung der Fi hervor, die von der Gestalt sein muß

f,~f₂g'₂-f;g₂ = o.

Diese ist übrigens gleichwertig mit der andern

(in

Ft=2a,Fr = 0.

Denn spaltet man die linke Seite von (1") in zwei Aggregate von je zwei Quadraten und zerlegt jedes der beiden Aggregate in das Produkt von zwei ^-Faktoren, so gelangt man zu der Darstellung (1'') zurück, und entsprechend vice versa.

Die Darstellung (1₄) sagt geometrisch aus, daß die F± erzeugbar ist durch projektive Zuordnung von zwei F₂-Büscheln.¹)

Noch G. Salmon (s. „Salmon-Fiedler3. Aufl. [1882] Nr. 340) nahm an, daß eine allgemeine F± der Darstellungen (1₄, 1]') fähig sei.

Indessen wies G. Valentiner²), indem er zugleich die Fragestellung zugleich erheblich verallgemeinerte, nach, daß jene Annahme unzutreffend sei.

nur dann

erfüllt ist.

Schon Th. Heye (s. Nr. 2) hatte betont, daß eine Fp+q durch zwei projektiv zugeordnete Büschel von Fp und Fq erzeugbar sein kann, wenn sie unendlich viele Schnittkurven Cpq = {F , Ff) enthält. Indessen hat Reye nicht weiter untersucht, ob und wann die obige Bedingung für eine F,

Valentiner geht so vor. Sei etwa pi>q. Man setze zur Abkürzung

er)

an =

= % — —

Dann ergibt sich zunächst A als die Anzahl der Punkte einer Fq, die eine C — (Fq, Fp) auf ihr bestimmen.

Weiter setze man

= an — an-p — ®n ®npq    ®n—p    ®n — q ""f~ ®n

Dann werden die Bedingungen aufgestellt, daß eine Fn eine Cpq enthält, sowie daß eine Fn durch A resp. anpq Punkte einer Gpq geht.

Daß diese Bedingungen notwendig und hinreichend sind, läßt sich an der Hand einer speziellen Cpq nachweisen, die, zusammen mit einer Cqn_p, den vollen Schnitt mit einer gewissen Fq bildet. Wählt man dann insbesondere die Fq als ein g-tupel von Ebenen, so läßt sich der obige Satz durch vollständige Induktion erhärten. Alsdann folgt aber, daß eine Fn(n^> 4) mit einer G nicht die allgemeine Fläche ihrer Ordnung sein kann. Endlich wird auch die Anzahl der Konstanten ermittelt, von der eine Fn mit einer Gpq abhängt, nämlich

apJT°qJr an-p + an-q - ttp-q ~ ün

npq

— 1 (für n < p -f- q),

-p-q

(für n p -f- q).

— 1 (n >p + q, p > g).

-p-q

Für n — 4, p — q = 2 ergibt sich die Anzahl 33 = 34 — 1. Mithin muß eine gewisse (bisher noch nicht aufgestellte) Invariante der F± verschwinden, damit letztere eine (und damit unendlich viele) 6^ besitzt. Es gilt also der Satz:

„Das Verschwinden einer Invariante JY einer jF₄ ist charakteristisch für die Existenz einer (und damit unendlich vieler) (7₄ auf der F±, und damit für die Darstellbarkeit (1₄) oder auch (1"), oder, was geometrisch auf dasselbe hinauskommt, für die Erzeugbarkeit der F₄ durch zwei projektiv zugeordnete i^-Büschel.“

Im übrigen ist bei der Methode von Valentiner zu beachten, daß sie sich auf volle Schnittkurven G beschränkt. Der allgemeinere Fall, wo eine G (auf einer Fn) als Partialschnitt von drei resp. vier Flächen erscheint, ist erst durch die allgemeine Restkurventheorie von M. Noether und G. Ralphen erledigt worden.

Das Ergebnis Valentiners für die Konstantenzahl hat A. Cayley⁹) einfacher direkt abgeleitet. Sind Fr, Fs, Ft, Fu, mit r -f- s = t -f- u vorgelegte beliebige quaternäre Formen, so läßt sich die Anzahl der Konstanten in der Form FrFs — Ft Fu dadurch ermitteln, daß sie in die ihr kongruente Gestalt gebracht wird

(Fr + aF,)(Ft + ßFt) - F,(F. + aF. + ßFr + aßF,), wo die cc, ß gewisse willkürliche Hilfsformen sind.

4. Die Kanonisierung der JF₄ und Reyes Dekaeder. Sonderfälle. Die F₃ (s. Art. „Fs“, Nr. 3) besaß ein „Pentaeder“, d. h. die Form Fs ließ sich (auf eine einzige Art) als Aggregat von fünf Kuben dar-

9) A. Cayley, Tiddskr. f. Mat. (4) 4 (1880), p. 145.

stellen. In Note 12 daselbst war auf einen Beweis hingewiesen, den Th. Heye¹⁰) mittels „höherer Momente“ geführt hatte.

Da das mechanische Prinzip des Beweises auch auf P₄ (und Fn) ausdehnbar ist, sei jetzt näher darauf eingegangen.

Schon 0. Hesse¹¹) hatte gezeigt, daß ein starrer Körper K hinsichtlich seiner Momente M auf oo⁶ Arten durch vier Massenpunkte w. (i = 1, 2, 3, 4) ersetzbar ist. Der erste Punkt ist willkürlich wählbar, dann ist seine Masse mlt und die Ebene Ex der drei andern Punkte bestimmt. In dieser Ebene ist ein zweiter Punkt beliebig annehmbar, womit seine Masse m₂ und die Gerade gu der beiden Restpunkte bestimmt ist. Wählt man endlich noch auf dieser Geraden irgendeinen beliebigen Punkt als dritten Massenpunkt, so ist alles festgelegt.

Dabei haben die vier Massen m, dieselbe Gesamtmasse M und

denselben Schwerpunkt S wie der Körper K.

Die rein geometrische Figur der vier Punkte zeigt ganz die Eigenschaften eines Poltetraeders einer P₂. In der Tat existiert nach Hesse ein nullteiliges Ellipsoid E mit dem Zentrum S, für das die obigen vier Massenpunkte die Ecken eines Poltetraeders sind. Für alle Tangentialebenen von E und nur für diese verschwinden die Momente M von K.

Hieran knüpft Beye die Frage, ob auch hinsichtlich seiner nten Momente Ma ein Massensystem K durch eine endliche Anzahl von Massenpunkten (m^ ersetzbar sei? Hierbei ist Mre¹²) hinsichtlich einer Ebene E definiert durch das Integral frndm, unter r den Abstand eines Punktes P des Systems von E verstanden. Oder genauer: wenn man sich die Gleichung von E in der Pesseschen Normalform gegeben denkt, ist

(1)

Mn=f(ax + ßy + yz — p)ndm.

Die Entwickelung nach Potenzprodukten der x, y, z liefert ein Aggregat von v —    ¹ j Gliedern.

Hieraus folgt, daß sich Mn für jede Ebene bestimmen läßt, wenn es für r (unabhängige) Ebenen Er bekannt ist.

Soll einen vorgegebenen Wert M haben, so umhüllen die zugehörigen E eine Fläche Pn resp. P2ra, je nachdem n gerade oder ungerade ist; und jede beliebige E gehört zu einer solchen Fläche (M).

10)    Th. Heye, J. f. Math. 72 (1870), p. 293; ib. 78 (1874), p. 114, 123.

11)    0. Hesse, Analytische Geometrie des Raumes, Leipzig 1869, 2. Aufl.;

Yorles. 25.

12) Der Fall n — 2 .ist eingehender verfolgt worden durch F. Buffini, Bol. Mem. (4) 4 (1884), p. 123.

resp. n.

Unter dieser Schar von Flächen (M) ist diejenige von besonderer Bedeutung, für deren Tangentialebenen T das Moment Mn verschwindet-sie heißt die „nt& Nullfläche Pnu.

Hieran schließt sich die Theorie „äquivalenter'' Systeme, bei denen für jede E die Ma übereinstimmen.

Die nte Nullfläche gestattet eine einfache Berechnung der Mn und M q(q<n).

Diese Entwickelungen lassen sich noch ausdehnen auf Momente Ma hinsichtlich einer Gruppe von h Ebenen.

Der Hauptsatz lautet, daß ein Massensystem hinsichtlich seiner M.a durch v Massenpunkte ersetzbar ist, in besonderen Fällen schon

durch

INS S

Als Anwendung dienen die Fälle n = 3 und n — 4; das System ist dann (noch auf unendlich viele Weisen) durch 6 resp. 10 Massenpunkte ersetzbar.

Hierin ist bereits, wenn man zur dualistischen Figur übergeht und den algebraischen Kern herausschält, die kanonische Potenzsummendarstellung der F₃ durch ein Hexaeder und die der F± durch ein Dekaeder enthalten.

Die oo² Hexaeder des ersteren Falles sind keine andern als die später von L.Cremona und E. Beltrami (s. Art. „F₃‘, Nr. 12, 18) genauer untersuchten „Polarhexaeder" der F₃, die als Spezialfall das „Pentaeder" einschließen.

In der zweiten Abhandlung wird die algebraische Entwickelung einfacher und durchsichtiger gestaltet durch Heranziehung der Apolari-tätstheorie (s. „_F₃", Nr. 12, 19).

Damit ergibt sich fast unmittelbar der obige Satz über die F₃, nebst verschiedenen Ergänzungen.

Das System ließ sich hinsichtlich seiner M₃ auf oo² Weisen durch sechs Massenpunkte ersetzen. Durch je sechs solche ist eine C₃ bestimmt; diese oo² C₃ haben fünf Grundpunkte gemein, durch die allein bereits das System ersetzbar ist.

Dualistisch gelangt man so zu den oo², dem Pentaeder einbeschriebenen Klassenkurven JTS; diese U₃ sind zur F₃ apolar.

Nunmehr betrachten wir den Fall n ===== 4 mit zehn Massenpunkten. Man spalte von diesen irgendeinen ab und lege durch die neun übrigen, die durch sie bestimmte F%.

Die Polare der F₃ muß sich auf den zehnten Punkt reduzieren, wenn die verlangte Ersetzbarkeit des Systems durch die zehn Punkte stattfinden soll.

Die weitere Untersuchung zeigt, daß von den zehn Punkten irgendeiner noch ganz willkürlich und ein zweiter auf der jF₂ beliebig wählbar ist, womit die ganze Figur (einschließlich der Massen mt) festgelegt ist.

Die kanonische Darstellung ist somit noch mit fünf willkürlichen Parametern behaftet.

Dies stimmt mit einer direkten Konstantenabzählung überein. Denn ein quaternäres Aggregat von zehn Biquadraten linearer Formen führt 4 • 10 = 40 Koeffizienten mit sich. Da andererseits die Anzahl der Koeffizienten einer F± 35 beträgt, so ergibt die Differenz 40 — 35 = 5 die Anzahl der Darstellungsparameter.

Es gilt somit der Reyesehe Satz:

„Eine allgemeine F± ist, auf noch oo⁵ Weisen, als Aggregat von zehn, und nicht weniger, Biquadraten darstellbar:

10

(2)

Die Figur der zehn entsprechenden Ebenen heißt das „Reyesehe Dekaeder“.

Die Net/csche Methode hat später Eiv. Rodewig¹³) in rein algebraischer Form entwickelt und verschiedentlich ergänzt.

In besonderen Fällen kann die kanonische Darstellung der F± Modifikationen erfahren.

Dies tritt z. B. ein, wenn eine irreduzible kubische Klassenkurve JT₃ existiert, die zur F± apolar (konjugiert) ist, so daß jede zweite Polare Fs der Fi apolar ist zu jeder der U₃ einbeschriebenen Fläche <p₂. Wählt man die r₃ als Normkurve N₃ = N₃ (s. „F₅“, Nr. 19 und'

Note 14)

(3)

x₃ : x₂: xt : x₀ — A⁸: 3A²: 3A : 1, u₃ : u.₂ :    : u₀ = 1 : — A : A² : — A³,

so ist das algebraische Kriterium für die apolare Beziehung zwischen der N₃ und einer F± leicht angebbar. Die Form F± sei mit Poly-nomialkoeffizienten geschrieben, und xg³x%*x“¹ x%° irgendeines der auftretenden Potenzprodukte.

Dann müssen alle Produkte dieser Art mit gleicher Exponentensumme s = a₃ -f- a₂ -f- ax -f- «o denselben literalen Koeffizienten as besitzen und umgekehrt, so daß sich deren Anzahl auf 13 reduziert.

Eine solche zur N₃ apolare F± trifft die Ordnungskurve Nz in 12 Punkten, deren A-Argumente von einer Gleichung 12. Ordnung

/ia(^) = ao H“ l^cqA -j- 12₂a₂A³ -j- • • • -f- «i2^¹² — 0

13) Ew. Bodeteig, Giorn. di mat. 64 (1926), p. 81.

die 12i die zu 12 gehörigen Binomialkoeffizienten be-

abhängen, wo

zeichnen und die literalen Koeffizienten ai genau mit den obigen von

F± übereinstimmen. Umgekehrt ist bei beliebiger Wahl von (4) auch die F₄ eindeutig bestimmt.

Ist die Form fu eine allgemeine ihrer Ordnung, so läßt sie sich kanonisch darstellen als Aggregat von 7 12ten Potenzen auf oo² Arten, als solches von 8 Potenzen auf oo³ Arten, als solches von 9 auf oo5 Arten und als solches von 10 Potenzen auf oo⁷ Arten usf.

Aus einer jeden solchen kanonischen Darstellung der fu (X) läßt sich aber eine korrespondierende der F±(x) durch einen einfachen Polarisationsprozeß³) herleiten.

(5)

Sei irgendeine der kanonischen Darstellungen der fn (A) fl,{l)=üeiQl —4)“, so bilde man die Gleichung der N₃-Ebenen 2. im Punkte ki

(6)

²i = ^3 — ^2 K + Xl    = ⁰*

Dann lautet die zu (5) parallel laufende kanonische Darstellung der F±

(7)

Fl==2ci2*.

Andererseits kann aber auch die /j₂ von besonderer Beschaffenheit sein derart, daß sie bereits durch weniger als 7 12te Potenzen darstellbar ist, wofür die invarianten Bedingungen bekannt sind.

So z. B. wenn die Kanonizante von /j₂ verschwindet, ist eine eindeutige Darstellung der fn durch 6 volle Potenzen möglich, usf. So kann man heruntergehen bis zu solchen /j₂, die Aggregate von drei 12te Potenzen sind, und dementsprechend die korrespondierende JF₄.

Faßt man zusammen, so ergibt sich:

„Ist die JF₄ von der besonderen Art, daß eine zu ihr apolare jT₃ existiert, die man als Normkurve N₃ = N₃ wähle, so ist eine kanonische Darstellung der _F₄ als Aggregat von Biquadraten bereits in der Weise möglich, daß 10 Potenzen mit 7 Parametern, 9 mit 5, 8 mit 3, und 7 mit einem Parameter auftreten. Die bezüglichen darstellenden Ebenen sind stets Ebenen der U₃ == N₃.

Trifft die W₄ die N₃ in 12 Punkten, die von einer Gleichung 12. Ordnung    — 0 abhängen, so entspricht jeder kanonischen

Darstellung (5) der /j₂ eine solche (6) der F±.

Genügt aber die Form fn im besondern solchen Bedingungen, daß für sie bereits eine Darstellung durch 6, 5, 4, 3 volle Potenzen existiert, so findet das Entsprechende für die zugehörige F± statt.“

Einen allgemeinen Satz über die kanonische Darstellung einer

gerader Ordnung im Sn, als Aggregat von (2y)ten Potenzen von Linearformen L, verdankt man Sylvester.14a)

Zu dem Behuf dehnt er den von ihm früher eingeführten Begriff der invarianten Katalektikante K einer binären f₂ (s. Art. I B 2, W. Fr. Meyer, Invariantentheorie) auf den allgemeinen Fall einer F2r in n -f- 1 homogenen Yariabeln aus.

Auch dann erscheint die Katalektikante K als Koeffizienterdeter-minante der rfea Ableitungen von F₂ . Die Invariante K verschwindet für ein Aggregat (2^)ter Potenzen von Formen L, solange deren Anzahl < n^j ist.

Hieraus läßt sich folgern, daß im allgemeinen, d. h. für K =j= 0,

Potenzsummen von L

eine F2r] stets als Aggregat von

(n nj vollen

darstellbar ist, dagegen als Aggregat von ^    — 1 solcher Potenzen

nur dann, wenn K verschwindet.

Im besonderen bestätigt sich so die Darstellung einer allgemeinen durch 6 Potenzen, für K. — 0 durch 5 Potenzen; in letzterem Fall liegt die Clebsch-Lürothsche c₄ vor (s. Art. „F₃“, Nr. 20), wo K mit der von Clebsch angegebenen Invariante übereinstimmt. Sodann die obige Eeyesche Darstellung einer Fi (im S₃) durch 10 Biquadrate, und für K = 0 durch 9 solche. Endlich sei noch der Fall einer Fi im Si erwähnt als Summe von 15 Biquadraten und für K = 0 von 14 solchen.

Bei Heranziehung der Apolaritätstheorie erhält das Sylvester sehe Verfahren eine einfache geometrische Bedeutung. Danach stellt das Verschwinden von K die notwendige und hinreichende Bedingung dafür dar, daß eine zur F2l] apolare 0^ existiert; letztere berührt dann

die durch Nullsetzen der L dargestellten    nj — 1 Lineargebilde.

Zugleich erkennt man, wie der Prozeß fortsetzbar ist. Soll eine kanonische Darstellung einer F₂ ^ durch nur ^ — 2 Potenzen von

L möglich sein, so muß eine cxP-lineare Schar von zu F2)j apolaren 0n existieren oder, algebraisch, es müssen alle ersten Minoren von K verschwinden, u. s. f.

Auf Grund einer direkten, auf dem Prinzip der Koeffizientenvergleichung beruhenden Methode bestätigt Johnson¹^) verschiedene Einzelergebnisse, insbesondere über F± im Sz und $₄. Hierbei werden auch Fälle von F ungerader Ordnung berücksichtigt.

14 a) J. J. Sylvester, Paris C. R. 102 (1886), p. 1552. A. R. Johnson, Quart. J. 22 (1387), p. 158.

Es sei darauf hingewiesen, daß sich die kanonische Darstellung ungerader Ordnung (abgesehen vom binären Falle) wesentlich komplizierter gestaltet. Dies zeigt sich schon im Falle der quaternären F₃ (s. Art. „F₃“, Nr. 3, 19). Bei einer allgemeinen F₃ existiert eine oo⁵-lineare Schar von zur F₃ apolarer Ö>₂, und innerhalb dieser wieder eine oo⁴-lineare Schar solcher, die einem Pentaeder, eben dem Sylvestersehen, einbeschrieben sind.

von Formen F,

2 17-4-1

Diese oo⁴-Schar von zerlegt sich von selbst in oo² oo²-Scharen, deren Individuen je einer der dem Pentaeder einbeschriebenen oo² F3 einbeschrieben sind; damit tritt eine Reduktion der Figur auf die oo²-Schar der einem Pentaeder einbeschriebenen und zur F₃ apolaren r₃ ein.

5. Formentheoretiselies. Übertragungsprinzipien. Die projektive Invariantentheorie lehrt, wie man bei einer vorgelegten quaternären Urform F±, oder allgemeiner, einer Reihe von Urformen der Ordnung <^4, auf symbolischem wie unsymbolischem Wege unbegrenzt viele Komitanten, das sind Invarianten, Kovarianten, Kontravarianten, Zwischenformen usf., bilden kann und diese, wenigstens für gewisse Grade, in den Koeffizienten der Urformen in vollständigen, relativ vollständigen, assoziierten und anderen Systemen anordnen kann.

Indessen hat die Geometrie aus diesen Ansätzen bisher nur wenig Nutzen gezogen.

Wir begnügen uns daher mit der Zusammenstellung einiger Ubertragungsprinzipien, die man je nach Bedarf verwenden kann (s. „F₃“ Nr. 12).

Da ist in erster Linie das klassische Übertragungsprinzip für

Invarianten von A. Clebsch, das hier zwei Formulierungen zuläßt, je nachdem man von dem binären oder ternären Gebiete als Stamm

(1)

gebiet herkommt. Die F± sei in symbolischer Schreibart F± = (axy= (a xf= (a'xf= • • •, und entsprechend die weiteren Urformen in quaternären Symbolen b, b',    . .., c, c, c",. . . usf.

Andererseits gehe man von einem korrespondierenden Systeme von binären Urformen aus:

(2)

f\ = (aXy = (a'A)⁴ = (n'/l)⁴ = ■ • • usf.

mit binären Symbolen a, b, c, . . . Irgendeine Invariante i dieser Urformen (2) läßt sich symbolisch darstellen als Aggregat von Produkten, deren q Faktoren „Klammerfaktoren“ der Typen (aa'), (ab), . . . sind, wo die Vielfachheit des Auftretens der einzelnen Symbole einfachen Regeln unterliegt.

Ersetzt man jetzt die einzelnen Klammerfaktoren (aa), (ab) . . . durch, mit zwei Reihen von Ebenenkoordinaten u, v geränderte vier-reihige Determinanten von den Typen (aa'uv), (abuv), . . ., so geht i über in eine quaternäre Komitante J der Urformen (1). Führt man noch die Achsenkoordinaten 7tik = (uv)ilc der Geraden g = (u,v) ein, so gilt der Satz von Clebsch:

„Die Gleichung J — 0 stellt einen Geradenkomplex K der Ordnung q dar, dessen Individuen die Urüächen F, G, . . . in solchen Punktreihen treffen, daß für sie die binärinvariante Bedingung i = 0 erfüllt ist.“

Um die Form J in den Achsenkoordinaten %ik von g oder auch in den komplementären (ihnen proportionalen) Strahlenkoordinaten Pim⁼ (xy)im auszudrücken, hat man nur jeden der Faktoren vom Typus (aa'uv) zu entwickeln, wie folgt:

(3)

(aa uv) = ^(aa)iknlm

Einige einfachste Beispiele mögen zur Illustration dienen. Liegt nur eine einzelne Urform _F₄(1) vor, so liefert die Gleichung 6r₂ = (aa'uvy = 0 den Komplex 4. Ordnung der Geraden g, die die jF₄ in äqui-anharmonischen Punkten treffen 5 Gs = (aa'uv)² • (aa'uv)² - (aa'uv)² = 0 den Komplex 6. Ordnung, dessen Gerade die jF₄ in vier harmonischen Punkten treffen, endlich die Diskriminantengleichung Gl — 27 G²Z — 0 den von Am aus an die F± gehenden Tangentenkegel (s. auch Nr. 19). Sind Fi~(ax)i— 0, G4:=(bx)i= 0 zwei verschiedene vorgelegte F±, so erhält man in (abuv)⁴ — 0 den Komplex 4. Ordnung, dessen Gerade aus den beiden Flächen konjugierte Punktquadrupel ausschnei-den usf.

Andererseits sei

(4)

c₄ = (cx)⁴ = (c'xY = (c"xy = (c"xY = • • •

eine ternäre Urform 4. Ordnung. Eine Invariante Jc der 0₄ ist darstellbar als Aggregat von c-Produkten, deren 6 Faktoren Klammerfaktoren der Typen (cc c"), (cc c”), . . . sind, und analog verhält es sich, wenn eine Reihe von ternären Urformen der Ordnungen <i 4 vorliegt.

Ersetzt man jene Klammerfaktoren durch mit Yariabeln u geränderte vierreihige Determinanten der Typen (cc'c'u), (cc'c'"u) usf., so geht Jc über in eine Kontra Variante J — J(u) der Urformen (1). Damit hat man den zweiten Satz von Clebsch: „Es liefert J(u) — 0 die Gleichung einer Fläche oter Klasse Fa(u), deren Tangentialebenen die quaternären Urflächen (1) in solchen Kurven (7₄ . . . schneiden, für die die Bedingung Jc= 0 erfüllt ist.“

Hat man z. B. drei Flächen 4. Ordnung: F± = (ax)⁴ = 0, Gi = (bx)⁴ = 0,    (cxY — 0, so ist (abcu)⁴ — 0 die Gleichung einer

P₄, deren Tangentialebenen aus den drei gegebenen P₄ solche 0₄-Tripel ausschneiden, daß ihre trilineare Invariante verschwindet.

Dieses Ubertragungsprinzip von Clebsch läßt sich in seiner doppelten Gestalt auf Kovarianten ausdehnen.

Es liege etwa wieder eine binäre Urform f±(l) vor, so ist eine Kovariante Je darstellbar als Aggregat von Produkten, deren Faktoren teils p Klammerfaktoren vom Typus (ad), teils r Linearformen vom Typus (ad) sind. Ersetzt man wieder wie oben die (ad) durch (aduv) usf., dagegen die (aX) durch korrespondierende quaternäre Linearformen (ax) usf., so geht Je über in eine Konnexform

¹

   Diese Erzeugung ist verschiedentlich weiter verfolgt worden, vgl. u. a. Th. Beye, Math. Ann. 1 (1869), p. 455; H. Burrande, Nouv. Ann. (2) 9 (1870), p. 440; L. Cremona, „In Memoriam D. Chelini“, 1881, p. 413; E. de Jonquieres, Paris C. R. 107 (1888), p. 209.

²

   G. Valentiner, Tiddskr. f. Mat. (4) 3 (1879), p. 22; Dissert. Rjöbenhavn 1881.

³

W. Fr. Meyer, Apolarität und rationale Kurven, Tübingen 1883, Abschn. 3.

(5) die einmal abhängt in der Ordnung q von den Achsenkoordinaten nik einer Geraden g = (uv), andererseits in der Ordnung r von den Koordinaten x eines Punktes F. Das Verschwinden der Komitante K von (1) läßt sich geometrisch doppelt deuten. Entweder geht man von irgendeiner Raumgeraden g(d) aus und denkt sich auf ihr die r Wurzeln von K — 0 als Punkte P, Px, P₂, P₃,. . . markiert. Dann stellt die Gleichung K = 0 nicht nur die Gesamtheit jener Punkt-r-tupel dar, sondern sie liefert auch ein System von Flächen Fr niedrigster Ordnung r, das jene Punkt-r-tupel aus den Raumgeraden g ausschneidet.

Ist andererseits ein Punkt F(x) vorgegeben, so erhält man vermöge _BT = 0 die r—1 Geraden g, die P mit den r—1 übrigen Punkten P*, P₂, P₃, . . ., Pr_t verbinden, und zugleich bei Variieren von P ein System von Komplexen niedrigster Ordnung p, dessen Gerade eben jene Verbindungslinien sind.

Ähnlich verhält es sich im ternären Falle. Eine Kovariante Je0 der ternären Grundformen (4) ist darstellbar als ein Aggregat von Produkten, deren Faktoren teils 6 Klammerfaktoren der Typen (cc c"), . . . sind, teils r Linearformen der Typen (cd), . .. Man ersetze die ersteren Faktoren durch solche der Typen (cc'c'u), die letzteren durch quaternäre Linearformen (ax),. . . Damit geht hc über in eine Zwischenform K\(u), (x)\ von der Ordnung 6 in den u und von der Ordnung r in den x. Das Verschwinden von K läßt wiederum eine doppelte Deutung zu.

Eine beliebige Ebene (u) schneide die Urflächen (1) in einer Reihe von Kurven C, .. .; man denke sich innerhalb der Ebene (u) die zu ihnen kovariante Kurve kc verzeichnet. Variiert die Ebene (u),

so wird die Gesamtheit der Kurven Jcc durch eine Fläche Kr= K[(x)] = 0 niedrigster Ordnung r ausgeschnitten. Andererseits geht durch irgendeinen Punkt P(x) ein Kegel von Ebenen (u), und die Gesamtheit dieser Ebenen gehört einer Fläche <?ter Klasse Ka — K[(uJ] = 0 an. Diese beiden Übertragungsprinzipien erweisen sich als nützlich zur kürzesten Darstellung gewisser Raumtransformationen. So z. B., wenn man einem Punkte P stets den zu ihm bezüglich aller F eines Netzes konjugierten Punkt Q zuordnet (s. Art. „Fz“ Nr. 3). Ferner, wenn man einem Punkte P die ihm bezüglich aller P\ eines Büschels zugehörige Polargerade p zuweist (s. Nr. 82).

Im allgemeinen ist aber das Gebilde K = 0 zu kompliziert, um einen direkten Nutzen zu gewähren. Man wird ihm daher näherkommen, wenn man gewisse in ihm enthaltene Teilgebilde für sich studiert. Da liegt es am nächsten, wenn man im „binären“ Falle der Geraden g(it) = (uv) die Bedingung auferlegt, stets durch einen festen Punkt P₀

die Ebene (u) stets eine feste Gerade g₀ enthält.

Die zugehörige Rechnung gestaltet sich im Anschluß an die obige einfach. Im binären Fall hat man nur bei der Darstellung (3) irgendeines Determinantenfaktors vom Typus (aa'uv)

(a a uv)

den Punkt y als den festen Punkt P₀ anzusehen; man gelangt dann sofort zur Gleichung P[(V)] — 0 der Fläche, die erfüllt ist von den auf den durch P₀(y) variierenden Geraden g aufgetragenen Punktreihen h = 0.

Im ternären Falle greife man ebenfalls einen Determinantenfaktor vom Typus (cc'cu) heraus und betrachte die Ebene (u) zunächst als Verbindungsebene dreier Punkte P(x), Q(y), P(#)> so daß die ui als dreireihige Determinanten (xyz)klm erscheinen. Damit nimmt (ccc'u) die Gestalt einer dreireihigen Determinante an:

c(x), c'(x), c"(x)

(ccc'u) ==    c(y), c (y), c"(y) ■

c(z), c'(z), c"(z)

Hier ordne man nach den Elementen der ersten Reihe und entwickle wiederum die drei Minoren nach den (yz)a — pik.

Nimmt man nunmehr die Gerade (p) als die feste Gerade g₀ und betrachtet den Punkt P(x) als variabel, so liefert die Gleichung

(3)

(5)

zu

laufen¹⁵), und entsprechend im „ternären“' Falle, wenn

^ (aa )ikPik —- Jzj(aa )ik(xy)a

15) W. Franz Meyer, Berlin Math. Ges. 28 (1929), p. 100; Giorn. di mat. 67 (1929), p. 1. Man vergleiche den Ansatz bei II. M. Jeffery, Brit. Ass. 18 (1878).

K — 0 direkt das Aggregat der endlichvielen Ebenen durch g₀, die aus den Urflächen je eine solche Reihe von Kurven C ausschneidet, zu denen die Kurve kc in kovarianter Beziehung steht.

So einfach diese beiden Prozesse formal verlaufen, so erweisen sie sich doch zur näheren Erkenntnis der geometrischen Eigenschaften der in Rede stehenden Flächen und Ebenenaggregate als weniger geeignet. Man schlage zu dem Behuf lieber einen unsymbolischen Weg ein. Im binären Falle normiere man den festen Punkt P₀ als eine Koordinatenecke, etwa Am, und ordne dementsprechend die Gleichungen der Urflächen (1) nach xm wie folgt:

(6')

a₀x*m + atxl -f a₂xl + a₃xm + a₄ = 0 usf.,

wo die ar ternäre Formen der Ordnung r in den xi} xkf xl bedeuten. Irgendeine Gerade g durch Am bestimmt sich durch ihre Spur (xv xk, x{) in der Ebene xm = 0, während ein laufender Punkt P auf g durch Angabe des Wertes der nichthomogenen Yariabeln (Parameters) xm festgelegt wird.

Damit läßt sich den Gleichungen (1') eine doppelte Deutung beilegen. Einmal stellen sie wie bisher die Urflächen selbst dar und mögen dann genauer durch P₄ (xv xk, xt, xm) — 0 usf. bezeichnet sein.

Faßt man andererseits die Gleichungen (1) als solche in der einen Unbekannten xm auf, was durch die Schreibweise P₄(^m) = 0 usf. hervortrete, so liefern sie bei festgedachten xi: xk, xl vermöge ihrer ^m-Wurzeln die Punktreihen, die auf der Geraden g(xi,xk,xl) durch die Urflächen (1') ausgeschnitten werden.

Diese doppelte Auffassung übertrage man auf irgendeine binäre Kovariante k der Ordnung v der Formen P₄(xm) usf.:

(6)

= 0,

10 + V

k(,Xm) = KXm + K+l + • ' • + & mit w als Leitgewicht. Die Gleichung k(xn~) — 0 liefert wiederum auf g die Reihe der v Punkte (&), die den Wurzeln von kix^ — 0 entsprechen. Dann gilt sofort der Satz:

„Die quaternäre Gleichung k(xif xk, xv xm) = 0 ist die der Fläche K, die bei variierender Geraden g durch die Punktreihen (k) erfüllt wird.“

Die Eigenschaften dieser kovarianten Fläche K lassen sich in jedem Einzelfalle aus ihrer quaternären Gleichung ablesen.

Analog verfahre man im ternären Falle. Die feste Gerade g₀ werde als Koordinatenkante alm (x. = 0, xk = 0) gewählt. Entsprechend ordne man die Urformen (1') nach Formen in den beiden nichthomogenen Yariabeln xv xm abnehmender Ordnung an usf. Dann gelangt man wiederum direkt zu einer übersichtlichen Darstellung des Ebenenaggregats K = 0.

(a₀a₂ — a*)a* H----

Einige einfache Beispiele mögen zur Illustration dienen.

Es liege zunächst eine einzelne Urfläche _F₄ (1) mit den Koeffizienten a vor. Man bilde die iZmesche Form h(xm) der binären Form

KXm)

0)

Der Ort der Wurzelpunkte von h — 0 auf der Geraden g durch Am ist eine Fläche 6. Ordnung Hz, deren Gleichung mit h — 0 übereinstimmt. Die Fläche Hz hat in Am einen D₂ mit dem Tangentenkegel a₀a₂ — a\ — 0 usf.

Weiter betrachte man die beiden Invarianten g₂ und gz von Fi(xrn) ig₂=a₀ai—4:a₁a₃+ 3 a§,

9z⁼⁼⁼

«0 ®2 Cbi) Ct§ dy> öfg

Dann liefert g₂ = 0 den „äquianharmonischen“ Kegel 4. Ordnung K4 mit der Spitze Am) dessen Kanten die F± in äquianharmonischen Punktquadrupeln treffen. Entsprechend bestimmt gz — 0 den „harmonischen“ Kegel 6. Ordnung K₆ mit der Spitze Amf dessen Kanten aus der F± vier harmonische Punkte ausschneiden.

Jetzt werde der F± eine zweite Fläche 4. Ordnung 6r₄ mit Koeffizienten b adjungiert. Wir fassen einmal die zweite Überschiebung 7^' von F±(xj, G±(xJ .ins Auge:

h' = (aQ\ — axb ₀)a% + • •

Die zugehörige Fläche Hs ist von der 5. Ordnung, die durch Am einfach hindurchgeht, mit der Tangentialebene azbx— ax&₀ = 0.

Andererseits sei die Invariante c die vierte Überschiebung von

^4 Om) Und ^OmÜ

(9)

= 0.

<10)

i — a₀bi— 4bz -f- 6a₂b₂

4azbx-\- aj)₀.

Die Gleichung i = 0 ist zugleich die des Kegels 4. Ordnung J = 0, dessen Kanten beide Urflächen in konjugierten Punktquadrupeln schneiden.

Sodann adjungiere man der F₄ eine Fz mit Koeffizienten b. Man bilde die lineare Kovariante l von .F₄(:rm) und Fz(xm)

(11)

l = xm{a₀b₃ — 3atb₂ + 3a₂bt — azb₀) -|----.

Die zugehörige kovariante Fläche L — LA der 4. Ordnung besitzt in Am einen D₂ mit dem Tangentenkegel

a₀bz — 3axb₂ -j- 3a₂b₁ — azb₀ = 0.

Weiter trete an die Stelle der Fz eine F₂ mit Koeffizienten b. Man

101

Encyklop. d. math. Wissenscb. III 2.

bilde die quadratische Kovariante q von F^xF) und F₂ (xm) a = Oo&₂ —    + a₂b₀) H—

(12)

Die zugehörige Fläche Q = ist von der 4. Ordnung und besitzt in Am einen D₂ mit dem Tangentenkegel

a₀b₂ — 2a₁b₁ -f- a₂b₀ = 0.

Endlich adjungiere man der F₄ eine vorerst nicht durch Am gehende Ebene Ft mit der Gleichung

(13)

= xmQo~ir Qi = 0.

Für die beidenUrformenF^jJjF^a^) bilde man die erste Überschiebung & ^oder auch die erste Polare vonF₄(;zOT) in bezug auf das Argument —

aA+ >daixrn + Sa₂xm + a₃, axxl + 3a₂x*m -f- 3a₃xm -f a,

Qi

Qot

= ^K(»i-fliPo) H----

Die zugehörige Fläche K = 2sT₄ ist eine Fläche der 4. Ordnung, die durch Am einfach hindurchgeht, mit der Tangentialebene aQQt— «^„ = 0. Diese bemerkenswerte Fläche ist als eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen ersten Polare F₃ der F₄ in bezug auf den festen Punkt Am anzusehen. Diese Fläche K geht durch die Schnitte der F₄ mit der Fx, sowie mit der ersten Polare von Am in bezug auf die ^. Umgekehrt ist K hierdurch und durch die Forderung, Am zu enthalten, eindeutig bestimmt.

(14a)

Ersetzt man die Koordinatenecke Am durch einen beliebigen Punkt Y(y) und schreibt Fx* =F für F₄, Fx — E für F1} F^y für die Polare von Y in bezug auf F\ so lautet die Gleichung der Fläche K K = FxlEy — FxZyEx = 0.

Faßt man hier die Ebene E als lineare Polare eines Punktes Z(z) in bezug auf die Fläche F auf, so geht (14 a) über in

(14 b)

F EEEE FxiFz3y - Fx3yFz3x — 0.

Hieraus liest man ab, daß K auch den Punkt Z enthält. Da aber zu einer vorgegebenen Ebene E 3³ = 27 Linearpole Z (in bezug auf F) gehören, so liegen auch diese 27 Punkte auf der Fläche K.

Die Fläche K geht im besonderen in die F₃ über, wenn man der Ebene F₁ (13) die Forderung auferlegt, durch Am selbst hindurchzugehen, so daß p₀ verschwindet, und die Gleichung der F₁ sich reduziert auf q₁ = 0, und damit als Gleichung der Polare F₃ entsteht (indem sich der Faktor p₁ absondert)

(14')

F₃ = aQ x*m + 3 ax x*m + 3 a₂ xm + a₃ xm = 0.

Somit wäre die allgemeinere Fläche K = als „Polare der F± in bezug auf den festen Punkt Am und die feste Ebene Fx“ zu bezeichnen.

Es sei noch bemerkt, daß sich diese Entwicklung ohne weiteres auf den Fall einer Fm im Sn ausdehnen läßt.

Zum Schlüsse werde noch auf einige Figuren hingewiesen, die aus einer vorgelegten F± durch das Prinzip des Schneidens und Pro-jizierens hervorgehen. Zu den Gleichungen dieser Figuren gelangt man mittels eines elementaren symbolischen Ubertragungsprinzips¹), wobei aber die Symbolik lediglich als ein Mittel zur Abkürzug der Rechnung erscheint.

Man schreibe wieder symbolisch

(1)

F± = (a%y = 0.

werden. Damit

klm

Eine Gerade g = (e, rj), als Schnitt zweier Ebenen s, rj gedacht, schneide die _F₄ in einem Punktquadrupel ($): Sx, S₂, S₃, S₄. Es soll dies Quadrupel durch eine einzige Gleichung in Ebenenkoordinaten u dargestellt werden. Zu dem Behuf sehe man, wie schon früher, einen variabeln Punkt P(x) als Schnitt dreier Ebenen (u), (v), (w) an, so daß die xi die dreireihigen Determinanten (uvw) geht die symbolische Linearform (ax) über in die vierreihige Determinante (ouvw).

Demnach sagt die Gleichung

(15)

(auvwy= 0

aus, daß sich drei Ebenen (w), (v), (w) auf der _F₄ treffen. Wählt man jetzt die beiden Ebenen (v), (w) als die beiden festen Ebenen (e), (rj), so nimmt (15) die besondere Gestalt an

(15')

J^(w) = (aer]uy= 0.

Hier lassen sich wieder die Koordinaten 7t resp. p der festen Geraden g = (f, rj) einführen vermöge der Umformung

(2)

(«Mq)=2(au)a7tlm = 2'

Damit stellt aber (15') unmittelbar die gesuchte Gleichung des Punktquadrupels S dar, aufgefaßt als ausgeartete Fläche 4. Klasse

Weiter denke man sich das Punktquadrupel S von irgendeinem festen Raumpunkte Q(y) aus durch vier Gerade ('s) = sx, s₂, sS) s4 projiziert. Man hat dann nur das zu obigem Verfahren dualistische einzuschlagen. Die Gleichung (15') wird dadurch die des Geradenquadrupels (s), aufgefaßt als ausgearteter Komplex 4. Ordnung.

101

So kann man fortfahren, indem man die Figur von neuem dem Prinzip des Projizierens und Schneidens unterwirft; die Gleichungen der so entstehenden Gebilde lassen sich stets mittels verhältnismäßig einfacher Determinantenbildungen konstruieren.

Die Gleichung (15) gestattet noch eine zweite Anwendung. Yon den drei Ebenen (u), (v), (w) werde jetzt die eine (w) = (f) als eine feste angesehen, während die beiden anderen (w), (v) und damit auch ihre Schnittgerade g — (uv) — (p) = (q) beweglich bleiben. Demgemäß hat man die Umformung vorzunehmen

(2')

(asuv) =2(«4?(m=2(«£Ur

Die feste Ebene e schneidet die F₄ in einer Kurve 4. Ordnung c₄. Faßt man diese c₄ im Raume als speziellen Komplex 4. Ordnung auf, d. h. als Inbegriff der Raumgeraden g, die sie treffen, so ist die Gleichung der c₄ unmittelbar gegeben durch

(15a)

c₄ = (asuv)* — 0.

Betrachtet man wiederum in den pik — (xy\k den Punkt y als einen festen Punkt Q, so liefert (15a) auch die Gleichung des von Q an die c₄ gehenden Projektionskegels. Diesen Kegel kann man von neuem schneiden, entweder mit einer festen Geraden oder aber mit einer festen Ebene; die Gleichungen der so entstehenden Gebilde lassen sich sofort hinschreiben usf.

Bezüglich der Anwendung des obigen Übertragungsprinzips auf die F₃ siehe Art. „F₃CC Nr. 12.

Mögen die Ergebnisse dieser Übertragungsprinzipiep, denen noch die dualistischen an die Seite zu stellen sind, im Hinblick auf die gesamte projektive Invariantentheorie der F₄ nur bescheiden sein, so ist dem gegenüber zu bedenken, daß einmal die obigen Entwickelungen ohne prinzipielle Schwierigkeit beliebig weiter ausgebaut werden können, andererseits die algebraische Bildung selbst so grundlegender geometrischer Invarianten, wie sie in Nr. 3 als existierend nachgewiesen wurden, bisher noch nicht gelungen ist.

II. Kummers Untersuchung über F₄ mit Scharen von Kegelschnitten.

6. Einleitung. Hilfssätze. Die erste systematische Untersuchung einer ausgedehnten Gattung von F₄, nämlich solcher, auf der Scharen von C₂ liegen, verdankt man F. E. Kummer,²) Auf diese werde daher näher eingegangen.

Es sei vorausgeschickt, daß auf einer allgemeinen, von 34 Konstanten abhängigen P₄ keine C₂ liegt (s. Nr. 3). Liegt aber mindestens eine C₂ auf einer Fi — wofür das Verschwinden einer gewissen Invariante J₂ notwendig und hinreichend war —, so auch noch eine zweite, von der Ebene der ersten ausgeschnittene.

Als Grundlage der Untersuchung dient bei Kummer der allgemeine, geometrisch¹⁸) evidente Hilfssatz: „Besitzt irgendein ebener Schnitt einer Fn an einer Stelle P₀ einen d₂, so ist P₀ entweder ein (eigentlicher) Berührungspunkt einer Tangentialebene T der Fn, oder aber ein Z)₂ der Fläche selbst.“

Um zunächst die in ein Paar von F₂ zerfallenden P₄ im folgenden auszuschließen, benutzt Kummer den — wie er sagt, algebraisch leicht beweisbaren — Satz:¹⁹)

„Schneiden alle durch einen beliebig, aber fest gewählten Raumpunkt $o gehenden Ebenen aus einer P₄ C₂-Paare aus, so zerfällt die P₄ in ein P₂-Paar, mit Ausnahme des Falles, wo die P₄ ein Kegel K± mit der Spitze Q₀ ist.“

Daraufhin lassen sich die besonderen Fälle, wo eine Ebene aus einer Fi eine c₄ mit I> 4d₂ ausschneidet, leicht übersehen, da die e4 dann ersichtlich zerfallen muß. Im Falle von 4c?₂ — wenn nicht drei derselben in einer Geraden g liegen — artet die c₄ in ein c₂-Paar aus. Tritt aber jener Spezialfall ein, so zerfällt die c₄ in die g und eine r₃. Im Falle von bd₂ zerfällt die c₄ weiter in eine c₂ und ein #-Paar; endlich im Falle 6d₂ in vier Gerade.

Man bezeichne irgendein Individuum der gedachten, die P₄ in C₂- Paaren schneidenden Schar von Ebenen mit H; ferner mit Ti (i = 0, 1, . . .) eine die P₄ an i Stellen einfach berührende Tangentialebene (also im allgemeinsten Falle i — 0 mit T₀ eine beliebige, die P₄ nirgends berührende Ebene).

Damit bieten sich drei Hauptfälle (I), (II), (III) dar, je nachdem sie vom Typus T₀, T1; T₂ sind.

18)    Besitzt eine Fn — F einen oder mehrere _D₂ und schneidet man die F mit einer Ebene (m), deren Punkte explizite dargestellt sind durch QXi — a^l -f-biiL-\-civi so ergibt sich für den ebenen Schnitt cn eine in Ä, fr, v ternäre Gleichung cn = c = 0. Dann zerfällt die Diskriminante _DC der Form c in ein Produkt von Faktoren, deren erster die Klassenform (&(u) von F ist, während das Verschwinden eines der weiteren Faktoren besagt, daß die Ebene (u) je einen der _D₂ enthält. Das ist das algebraische Äquivalent für den Satz des Textes, der auch analog für den Sn (inkl. n — 2) gilt. Es wäre wünschenswert zu untersuchen, wie weit der Satz des Textes auch für transzendente und topologische Flächen seine Gültigkeit behält.

19)    Wie weit entsprechende Sätze für Flächen höherer Ordnung bestehen, scheint noch nicht in Betracht gezogen zu sein.

Der weitere Fall; wo die H vom Typus T₃ sind, liefert nichts Bemerkenswertes; berühren aber die H die _F₄ längs einer (variierenden) Geraden g, so wird die _F₄ zu der abwickelbaren R-F± (s. Nr. 76), dem Ort der Ebenen einer l~₃, wo ersichtlich jede T außer der g, die dann eine Doppelgerade g wird, noch eine C₂ ausschneidet.

7. Erster Hauptfall (I): Die Ebenen H sind vom Typus T₀. Die Fi mit einer Doppelgeraden g. Die Dupinscbe Zyklide. Die F₄ mit zwei Selbstberührungspunkten. Jede H der Schar enthält dann 4 D2 der F±. Man hat wiederum vier Unterfälle zu unterscheiden, je nach der Anzahl der festbleibenden D₂.

Erster Unter fall (I₀): „Keiner der 4_Z)₂ ist für alle H derselbe.“ Dann schneidet jede Ebene E eine c₄ mit 4d₂ aus, und e3 tritt der oben ausgeschlossene Fall F^~F₂' Ff ein.

Zweiter Unterfall (Ix): „Einer der 4 D₂ ist für alle H derselbe.“ Die drei anderen D₂ erfüllen von selbst eine Cs. Somit schneiden alle Ebenen H durch den festen D₂ die F± in C₂-Paaren, und es liegt wiederum der ausgeschlossene Typus F± = F₂ - Ff vor.

Dritter Unterfall (I₂): „Zwei der 4_Z)₂ sind fest.“ (Fi mit C₂ und zwei resp. vier D₂, die Dupinsche Zyklide.) Die beiden anderen D2 erfüllen dann eine C₂. Umgekehrt, besitzt eine F± eine C₂ und (außerhalb dieser) noch zwei D₂ — deren Verbindungsgerade d sei —, so schneidet das Büschel von H durch d lauter C₉- Paare aus der Fläche

F± aus.

Ein Ausnahmefall tritt nur ein, wenn d die C₂ trifft (s. u.). Legt man zunächst eine _F₄ mit einer C₂ (ohne weitere Df) zugrunde, so sei letztere der Schnitt einer Ebene p = 0 mit einer F₂: cp = 0, und cp — 0 eine weitere beliebige F₂. Dann hat die Gleichung einer _F4 mit einer C₂ ersichtlich die Gestalt³)

(I)

Fi=Ecp*—4p*cJj = 0.

Sollen nun noch zwei D₂ existieren, deren Verbindungsgerade d (die die C₂ nicht treffe) der Schnitt zweier Ebenen q = 0, r — 0 sei, so nimmt (I) im besonderen die Form an

ft)

F± eee cp²— 4p>2qr — 0,

und umgekehrt.

Die beiden D₂ werden von d aus cp ausgeschnitten. Das H-Büschel

7. Erster Hauptfall (I): Die Ebenen H sind vom Typus T₀ usw. 1571

durch d schneidet die Cg-Paare aas; insbesondere die beiden Ebenen q, r zwei sich deckende C₂: diese beiden Ebenen sind also singuläre T der F±} die sie je längs einer C₂ berühren.

Noch spezieller kann die jF₄ ein zweites Paar von Z)₂ besitzen, so daß dann zwei H-Büscbel existieren, die C₂-Paare ausscbneiden. Man kann der Gleichung einer solchen F± die Gestalt geben

(V)

Fi = (p² -f- qr — st)² — 4p²qr = (p²— qr — st)² — 4p²st = 0,

oder auch irrational

(O

p Yür "h Vst = 0-

Die beiden H-Büschel sind {q,r) und ($,£); die vier Ebenen q, r, s, t sind wiederum singuläre T, die die Fi je längs einer C₂ berühren.

Die C₂ ist dargestellt durch p — 0, qr — st = 0 und die beiden D₂-Paare durch q = 0, r = 0, p²— s£ = 0; s = 0, t = 0, p²— qr= 0. Nun gibt es aber sechs Yerb in dungsgeraden je zweier der _D₂; indessen erkennt man leicht⁴), daß vier derselben die C₂ treffen, also auf der Fa liegen, so daß die beiden obigen H-Büschel die einzigen sind, die 0₂- Paare ausschneiden.

Ein ausgezeichneter metrischer Repräsentant dieser Gattung von _F₄ ist die Dupinsche Zyklide ZQ⁵) (s. Nr. 28). Dupin fand sie als diejenige F, deren beide Scharen von Krümmungslinien Kreise sind. Für diese Z₀ fällt die C₂ in den „Kugelkreis“ K; von den beiden ü₂-Paaren ist höchstens eines reell. Die Gleichung der ZQ lautet am einfachsten in irrationaler Gestalt

(I₂"') Z₀ eee Yiax — eJcf+ Vf + Y(ex — ak)²— W —b²= 0.

Dritter Unter fall (I₃): „^>3 der vier D₂ sind fest.“ (jF₄ mit einer Doppelgeraden, F± mit zwei Selbstberührungspunkten.) Dann liegen diese D₂ entweder in einer Doppelgeraden g, und umgekehrt schneiden bei einer F± mit g alle H durch g C₂ aus eine solche g der Schnitt zweier Ebenen p — 0, q — 0, so kommt der Gleichung der Fi die Gestalt zu

) (s. Abschn. Y). Ist

(W

Fi =P*<P + %M<Pi + 2V2 = °-Oder aber es rücken einige der vier festen D₂ zusammen. Der bemerkenswerteste Fall ist hier der, wo zweimal zwei 1)₂ in D, D' zusammenrücken, so daß die H durch deren Verbindungslinie d, die C₂-Paare ausschneiden, sich in zwei festen Punkten (D, D') berühren, also die F± zwei Selbstberührungspunkte auf weist.

Die Gleichungsform einer solchen Fi lautet (s. auch Nr. 58)

(1.0

F±= <p² — f±(p, q) = 0,

wo /*₄ eine binäre Form 4. Ordnung in p, q ist. Die beiden Punkte D, F' sind die Treffpunkte der Geraden (p, q) mit cp. Den vier Wurzeln von entsprechen vier H als singuläre T, die einander deckende C₂ ausschneiden.

Man beachte, daß eine solche F± im allgemeinen keine C₂ besitzt, sondern nur dann, wenn zwei der singulären T koinzidieren.

8. Zweiter Hauptfall (II): Die H sind vom Typus Tj. Die Steiner-sclie Fläclie S. Irgendeine H der Schar enthält drei _D₂ der _F₄, falls nicht der Berührungspunkt T der T₄ mit zweien der _D₂ in einer Geraden g liegt, die dann der Fi angehören muß (s. u.).

Man hat wiederum Unterfälle zu unterscheiden je nach der Anzahl der festen, in einer H liegenden D₂.

Erster Enterfall (IIJ: „Die H gehen nicht alle durch einen festen D₂.“

Dann erfüllen die drei anderen, mit H variierenden D₂ eine kubische Doppelkurve Gs (s. Nr. 76). Liegt aber wieder der Berührungspunkt T mit zweien der D₂ in einer g, so liegt eine R-F± vor (s. Absehn. XII). Es gilt also:

„Alle jF₄ mit einer C₃ — exkl. die R-F± — werden von allen T in C₂-Paaren geschnitten; im Falle der R-F± aber schneiden die T je eine g nebst einer r₃ aus.“

Man hat folgende Sonderfälle zu unterscheiden:

(IIa) Die C₃ ist irreduzibel;

(II/3) die C₃ zerfällt in einen Kegelschnitt C₂ und eine ihn treffende

23) Es kann auch noch, was Kummer nicht erwähnt, eine zweite, zur ersten windschiefe — und ihr eventuell unendlich benachbarte -- Doppelgerade existieren (s. Nr. 81). Dann gibt es zwei Büschel von H, die Scharen von Ct aus der _F₄ ausschneiden, die dann zu einer B-FA wird.

8. Zweiter Hauptfall (II): Die H sind vom Typus Tr Steinersche Fläche S. 1573 Gerade g nach dem Schema

C3 = V + g\

(II/) die 0₃ zerfällt in drei Doppelgerade g, gly g₂:

03 = 9 + 9! + g₂-

Die beiden ersten Fälle führen wiederum zu B-Fi (s. Abschn. XII). Der dritte Fall spaltet sich abermals in drei Unterfälle:

(IIj^) Alle drei g koinzidieren uud bilden eine dreifache Gerade g; (IIy₂) Zwei der g sind windschief und werden von der dritten getroffen ;

(IIy₃) Alle drei g treffen sich in einem Punkte, der dann ein dreifacher Punkt D₃ der P₄ ist.

Die beiden ersten Fälle ergeben wiederum nur P-P₄(s. Abschn. XII). Im dritten Falle wird die P₄ von allen oo² T in 0₂-Paaren getroffen; es ist das der einzige Fall, wo oo² H existieren (s. Abschn. VII). Der Gleichung einer solchen P₄ läßt sich die Gestalt geben

(Hy)

P₄ = Aq²r² + Br²p² -f- Cp²q² -f- 2Dpqrs = 0.

Hierbei sind die drei g die Schnittlinien der drei Ebenen p, q, r.

Zweiter TJnterfall (II₂): „Die Schar der H geht durch einen festen P₂.“

Dann erfüllen die beiden veränderlichen D₂ eine (7₂; alle H = T durch den festen P₂ schneiden C₂-Paare aus.

Die zugehörige P₄-Gleichung ergibt sich, wenn man in (I): cp² — 4p²ty = 0, die beiden Flächen 2. Ordnung ep und ip so wählt, daß ^ ein Kegel wird, dessen Spitze auf cp liegt, und so den festen D₂ liefert, die obigen T sind zugleich die des Kegels ip.

NB. Man könnte auch den Kegel der Flächentangenten im P₂ als einen solchen ansehen, dessen T zugleich solche der P₄ sind. Indessen fallen deren Berührungspunkte alle in den P₂ selbst; jede der ausgeschnittenen c₄ hat daselbst eine Spitze und noch zwei weitere d₂, bleibt aber irreduzibel.

Fritter TJnterfall (IV): „Die Schar H = T geht durch zwei feste P₂ “

Durch jeden Raumpunkt P gehen oo¹ H = T, die einen Kegel

6. Ordnung K₆ umhüllen, der auch die P₄ umhüllt. Rückt der Punkt P auf die P₄ selbst, so reduziert sich der K₆ auf einen und liegt endlich P speziell auf einer der drei g, so reduziert sich der P₄ auf einen K₂. Diese P₄ hat J. Steiner — in Rom, daher auch der Name „Römische Fläche“ — gefunden, aber nichts darüber veröffentlicht, sondern nur eine Konstruktion der Flächen K. Weierstraß mitgeteilt.

Letzterer⁶) Lat daraufhin eine explizite Darstellung der Fläche gegeben, so daß die homogenen Koordinaten eines Flächenpunktes beliebige quadratische Formen in drei homogenen Parametern werden.

Merkwürdigerweise meint Kummer, dem die Methode der Abbildung von Flächen ferner lag, daß sich aus dieser Darstellung der Fläche die wesentlichen Eigenschaften nur schwer würden ableiten lassen (s. jedoch Abschn. VII).

Noch ist zu erwähnen, daß die Verb indungsgerade der beiden Z)2 auf der Fi liegen kann; im übrigen bietet dieser Fall nichts Beachtenswertes.

9. Dritter Hauptfall (III): Die H sind vom Typus T₂. Die F\ mit Doppelkegelschnitt C₂. Die fünf Kummerschen Kegel. Eine solche T2 geht noch durch zwei D₂ der jF₄. Die Schar der H = T₂ kann nicht durch einen festen Punkt gehen, also sind beide D₂ veränderlich und erfüllen eine C₂, und umgekehrt. Es gilt also:

„Eine F± mit C₂ wird von allen T₂ in C₂-Paaren geschnitten.“ Die Gleichung einer solchen F± mit C₂ war bereits unter (I) auf

gestellt:

(III)

F± = cp² — 4 p²ifj — 0.

Diese läßt sich sofort auch in die Gestalt bringen

¹

W. Franz Meyer, Töhoku Math. J. 32 (1930), p. 97.

²

E. E. Kummer, Berlin Ber. Juli 1863 = J. f. Math. 64 (1865), p. 66.

³

Hier kann auch, was Kummer nicht besonders erwähnt, der Spezialfall eintreten, daß der Doppelkegelschnitt C₂ in zwei (inzidente) Doppelgerade gx, g2 zerfällt. Dies tritt offenbar dann und nur dann ein, wenn die Ebene p die Fläche qp berührt (s. Nr. 15). Über die Fälle, wo die — eigentliche oder auch zerfallende — C₃ zu einem Kuspidalkegelschnitt wird, s. Nr. 18.

⁴

   Man nehme zunächst den Fall an — den Kummer nicht besonders erwähnt —, daß außer den zwei D₂ (die mit D und D' bezeichnet seien), deren Verbindungslinie d die <7₂ nicht trifft, noch ein weiterer Z>₂ = D" (außerhalb Cf) existiere. Dann schneidet die Ebene (DD'D") aus der Fi eine c₄ mit 5 d₂ aus, die also in eine c₂ und zwei c, zerfallen muß. Diese beiden cx treffen sich ersichtlich im Punkte K". Somit treffen die beiden Geraden (Z), D") und (D\ D") die C₂, liegen also auf der I<\. Wiederholt man diese Betrachtung für einen vierten D₂ = D'" — wo die Gerade (D'\ D'") die C₂ nicht treffe —, so hat man das Ergebnis des Textes.

⁵

   Die Bezeichnung Z₀ ist gewählt, um die Dupinsche Zyklide von der allgemeinen Zyklide Z (s. Abschn. IV) zu unterscheiden.

⁶

K. Weierstraß, J. f. Math. 64 (1865), p. 77. Ygl. die synthetischen Ergänzungen von II. Schroeter, ib. p. 79.

(HT)

F± = (<p + 2lp²y—4p²(ip + Xcp + X²p*) = <Px — 4p²ipx = 0,

unter X einen Parameter verstanden, und wo cpx und ipx zur Abkürzung dienen.

Die Flächen berühren die Fi je längs einer C₄. Bestimmt man im besonderen X so, daß ^ ein Kegel K₂ wird, so umhüllt ein solcher K₂ die jF₄ doppelt, so daß jede T des K₂ die F± in zwei verschiedenen Punkten berührt, und damit ein 0₂-Paar ausschneidet. Wie man leicht erkennt, ist die fragliche Bedingung fh(X) — 0 für X von der 5. Ordnung. Somit gilt:

„Es gibt im allgemeinen für eine Fi mit C₂ fünf Kegel K₂, deren T die F doppelt berühren und aus ihr C₂-Paare ausschneiden; man erhält damit die Gesamtheit der auf der jF₄ gelegenen C₂.“

Das sind die fünf, später nach Kummer benannten Kegel.

Sonderfälle. Für eine imaginäre Wurzel von fh(X) = 0 wird auch die Schar der zugehörigen T imaginär. Im Falle einer Doppelwurzel treten an Stelle der zwei Scharen von T₂ zwei singuläre T der _F₄>

10. Die Abbildung der Fi auf eine Ebene nacb Clebsch.

1575

die sie längs der 0₂ berühren, oder aber eine Schar von T₂, die durch einen festen Z)₂ gehen.

Hat im besonderen, wie im ersten Hauptfalle, die F± noch ein oder zwei Paare von _D₂ — deren Verbindungsgeraden die C₂ je nicht treffen — so bleiben von den fünf Scharen von T₂ nur drei resp. eine übrig; die anderen werden zu singulären T.

So hat bei der Eupinsch&a. Zyklide Z₀ (I'") die /g(A) — 0 zwei Paare gleicher Wurzeln, denen die vier singulären T entsprechen; dagegen liefert die fünfte Wurzel wieder einen eigentlichen K₂, dessen T C₂- Paare ausschneiden.

Diese letzteren erweisen sich nach H. A. Schwarz²⁵) als Kreise, so daß die Zyklide ZQ sogar auf vier verschiedene Arten durch einen beweglichen (veränderlichen) Kreis erzeugbar ist.

Was endlich die R-F± anbelangt (s. Abschn. XII), so enthalten deren T₂ zwei erzeugende Gerade, schneiden also noch eine C₂ aus, die im besonderen wieder in ein g-Paar zerfallen kann.

Faßt man das Wesentliche zusammen, so führen die eigentlichen F± mit Scharen von C₃ — abgesehen von R-F± — auf folgende vier bemerkenswerte Typen:

a)    Fi mit (evtl, auch zerfallender) Ca, die noch mit 1 bis 4D2 behaftet sein kann;

b)    _F₄ mit einer #;

c)    Fi mit zwei Selbstberührungspunkten;

d)    die Steiner sehe Fi.

III. Die JF₄ mit Doppelkegelschnitt.

10. Die Abbildung der F± auf eine Ebene nach. Clebsch. Die 16 Geraden auf der Fr Unter den von Kummer aufgefundenen _F4 haben sich die mit Doppelkegelschnitt C₂ als die bedeutsamsten erwiesen Dieser Gattung von Fi ist daher der größte Teil der Literatur gewidmet, die sich überhaupt mit F± beschäftigt. Es wird daher ein näheres Eingehen auf diese jF₄ gerechtfertigt sein. Wenn auch der metrische Sonderfall der Zykliden (s. Abschn. IV) lange vorher bekannt war, so hat auf die allgemeinen _F₄ mit einem Doppelkegelschnitt 0₂, nebst einigen ihrer Unterarten, doch erst F. E. Kummer (s. Nr. 8) hingewiesen, als solche jF₄, auf denen gewisse Scharen von C₂ liegen.

25) Nach einer Mitteilung von H. A. Schwarz an Kummer. Das Ergebnis folgt übrigens unmittelbar aus der Definition der Zyklide Z₀. Denn die fraglichen Paare von C₂, die durch die T des fünften K₃ aus der _F₄ ausgeschnitten werden, treffen den Doppelkegelschnitt K je zweimal, sind also Kreise.

Die Aimmerschen Ergebnisse werden im folgenden, bei Vergleichung mit anderen weitergehenden, unter neuen Gesichtspunkten wieder erscheinen.

Die erste systematische Untersuchung der mit C₂ rührt von A. Clebsch¹) her. Er stützt sich — im Anschluß an die von ihm früher (s. Art. „F₃“, Nr. 11) durchgeführte (1, l)-deutige Abbildung der allgemeinen F₃ auf eine Hilfsebene A — auf eine analoge Abbildung. Unter Beschränkung auf den Fall einer F± mit einer reellen, irredu-zibeln C₂ geschieht deren Abbildung dadurch, daß den ebenen Schnitten c₄ der _F₄ — die in den beiden Schnittpunkten mit der C₂ zwei d2 besitzen, also elliptisch sind — die c₃ eines Gebüsches G mit fünf Grundpunkten („Fundamentalpunkten“) Ar (r = i, h, l, m, n) entsprechen, und umgekehrt.

Sind also X₂, l₃ drei homogene Parameter, die als Punktkoordinaten in der Ebene A gedeutet werden, und /’i(2₁, A₂, l₃) — /i(A) (i — 1, 2, 3, 4) vier beliebige (linear unabhängige) ternäre kubische Formen mit fünf gemeinsamen Verschwindungsstellen A, so lautet die Abbildung

(1)

9Xi fi (^1> ^2 7 ^s)

In der Tat entspricht so der Gesamtheit der Ebenen (ux) = 0 und ihren Schnitten mit der _F₄ ein Gebüsch G: (uf) = 0 von c₃ mit fünf Grundpunkten A. Da sich irgend zwei Individuen von G noch in vier variierenden Punkten treffen, so entsprechen letztere den vier Schnittpunkten der jF₄ mit einer Geraden, und vice versa. Umgekehrt weist Clebsch nach, daß sich irgendeine F± obiger Art auf diese Weise abbilden läßt. Es ist nützlich, den Unterschied dieser Abbildung von der der F₃ hervorzuheben.

Bei letzterer bildeten sich die oo³ ebenen Schnitte ab auf das Gebüsch G' der c₃ durch sechs Grundpunkte At (t — i, Je, l, m, n, p) die umgekehrt das Gebüsch G' eindeutig bestimmen.

Hieraus ließen sich Existenz und Eigenschaften der auf der F3 liegenden Clf C₂, C₃, . . . nebst ihren Schnittpunkten und Konfigurationen ablesen.

wegläßt,

so

p’

Reduziert man die Figur in der Ebene A, indem man irgendeinen der sechs Fundamentalpunkte A von G', etwa A daß ein Gebüsch G von c₃ durch die fünf Punkte A{, . . ., An übrigbleibt, so ist man in der Lage, Inzidenzsätze für C auf der F₃ in entsprechende auf der JF₄ überzuführen. Andererseits beachte man,

daß durch fünf Punkte A vorab eine oo⁴-lineare Schar von 6₃ geht. Um von dieser Schar zu einem Gebüsch Gr zu gelangen, hat man die Koeffizienten aller in der Schar auftretenden c₃-Formen ein und derselben linearen Relation mit konstanten Koeffizienten zu unterwerfen.

Oder auch, geometrisch gesprochen, man adjungiere der Figur der fünf Punkte A eine beliebig, aber festgewählte Kurve 3. Klasse y₃ und lege den c₃ durch die fünf A die Bedingung auf, zu dieser y3 apolar zu sein.

Ist irgendeine der c₃ durch die fünf A symbolisch dargestellt durch (ax)³ = 0, die y₃ durch (yu)³ = 0, so lautet die fragliche Bedingung (ay)³ — 0, d. h. die bilineare Invariante von c₃ und y₃ verschwindet.

Vermöge dieser Apolaritätsanschauung lassen sich manche der Clebschschen. Überlegungen einfacher und durchsichtiger gestalten und gestatten überdies, den Ergebnissen eine gewisse Abrundung zu verleihen.

In Analogie zur Theorie der F₃ seien die zehn Verbindungsgeraden (Ar, As) mit crs und der Verbindungskegelschnitt der fünf Punkte A mit Bp = B bezeichnet.

Hieraus folgt sofort, daß auf der Fi genau 16 Gerade g liegen.

Den 5 Fundamentalpunkten Ar entsprechen 5 Gerade ar so, daß irgendein Linienelement durch Ar sich eineindeutig abbildet auf ein solches der Geraden ar.

Den 10 Geraden crt entsprechen 10 Gerade, die ebenfalls mit crs bezeichnet seien. Endlich ist das Bild des Kegelschnitts Bp= B eine letzte Gerade bp — b.

Diese 16 Geraden g auf der F± sind gleichberechtigt und werden daher von Clebsch durch die Ziffern 1, 2, . . ., 16 unterschieden. Da aber durch die Abbildung eine der Geraden, nämlich bp = b, bevorzugt wird, erscheint die oben gewählte Bezeichnung zweckmäßiger. In der Tat sind die Tabellen, die Clebsch u. a. von den Vieren und Doppelvieren (s. u. Nr. 11) aufstellt, wenig durchsichtig.

Das Kriterium windschiefer und inzidenter #-Paare läßt sich der Abbildung sofort entnehmen. Windschief sind g-Paare der Typen Oit »*), («»<*,), (P,cik), (cik, c,.,); solcher „Dupel“ oder „Zweien" gibt es 80.

Inzident sind #-Paare der Typen (ai}b), (aif cik), (cik, cJm)] solcher „Inzidenzpaare" gibt es 40.

Als Kontrolle diene, daß sich aus den lQg im ganzen = 80 -f- 40 Paare bilden lassen.

Im einzelnen hat man von „Dupeln“ 10 des Typus (aif ak), 30 vom Typus (ai} ckl)} 10 vom Typus (b, cik) und 30 vom andererseits von Inzidenzpaaren 5 vom Typus (aif b), 20 vom Typus (a., cik) und 15 vom Typus (cik, clm).

Typus (cu> cuJ]

Weiter liest man den Satz ab: „Jede der 16# wird von genau 5 der anderen getroffen.“ So trifft

a{ die Geraden b, ca, ciV cim, cin‘,

ak) am> an1 aii afc> Clm> Gln1 Cmn'

Umgekehrt sind dies die 16 einzigen „Quintupel“ oder „Fünfen“ windschiefer #, die also je eine gemeinsame, der ungehörige Transversale besitzen. Sie seien kurz mit „5“ bezeichnet.

11. Die Vieren und Doppelvieren. Für die weitere Theorie der mit C₂ sind von Bedeutung die aus den 16# herstellbaren windschiefen „Quadrupel“ oder „Vieren“, die kurz mit „4“ bezeichnet seien. Diese zerlegen sich in zwei verschiedene Arten oder Gruppen; bei der ersten, den „4X“, existiert stets noch eine weitere #, die sie zu einer „5“ ergänzt, hei der zweiten, der „4₂“, nicht.

Man ordne die „4“ in einer Tabelle, etwa nach der Anzahl der je auftretenden a.

In der ersten Spalte steht die Abzählnummer; in der zweiten die jeweils zu einer „5“ ergänzende # (die also bei den Typen „4₂“ fehlt); in der dritten Spalte die vier Elemente der „4“; in der vierten der Typus; in der letzten die Anzahl.

Dann hat man die Tabelle (I):

I.

c3 r£2 c8 rO

^4    N. N.    N,

S*    2° 2°

^ ^ J⁵ J5 3 ~ ~ 3 § §

»P    ^ a»

10

30

20

20

20

10

Diese Vieren „4^ und „4₂“ lassen sich, wiederum je m Paare von Doppelvieren „4“ zusammenfassen. Bei der ersteren Gruppe (At) treten immer zwei Typen von „4/* zusammen, so daß jede # der einen Vier die in derselben Spalte stehende g der zweiten Vier trifft, dagegen

zu deren drei anderen g windschief ist. Bei der zweiten Gruppe (A₂) treten immer zwei Typen von „4₂“ so zusammen, daß sich die obige Regel gerade umkehrt: jede g der einen Vier ist windschief zu der in derselben Spalte stehenden g der zweiten Vier, trifft aber deren drei andere g. Die Gruppe (Ax) enthält 40 Doppelvieren und weist drei Untertypen (Al)t (A''), Ui) auf; die Gruppe (A₂) enthält 20 Doppelvieren mit zwei Untertypen (A₂'), (A").

In beiden Tabellen gibt die erste Spalte den Untertypus an, die zweite das zugehörige Paar von Nummern der Tabelle (I), die dritte das Paar der Doppelvieren, die vierte die beiden je inzidenten Transversalen, endlich die fünfte die Anzahl.

Dann sind die beiden Tabellen die folgenden:

Ui)

M-

fcO

co

Ol

t-

O» ^ W W O) K Po-"

^ a -T-    ^ i⁵

s    *•    s

f    S    f

^    ^

~    s s s

f jf    sa

rO

Oi

vH

IsO

OS

Oi

c3 oä r°

(M iT.

o s 5 s

?S-    **• Ä-

:?    :? f

J⁵^

Cr'

O    O

vH    vH

Die Gruppe (Ax) der „4X“ läßt sicli auch dadurch charakterisieren, daß jede „4/* eines Paares eine der F± angehörige Transversale (in der vorletzten Spalte) besitzt, so daß diese beiden Transversalen ein Inzidenzpaar bilden, von denen die eine die g der einen „4“ trifft, die der anderen nicht. Gemäß dieser Regel sind die 40 „4/* der Gruppe Ui) den 40 Inzidenzpaaren von g (1, l)-deutig zugeordnet.

Dagegen besitzt keine der beiden „4₂“ eines Paares der Gruppe (A₂r) eine auf der F± gelegene Transversale.

Innerhalb der Gruppe (A^ lassen sich wiederum zwei „4X“ derart zusammenfassen, daß sie gerade alle 16# erschöpfen; zwei solche „4xli heißen „komplementär“ und bilden zusammen eine „Doppelacht 8“, so daß von letzteren fünf existieren. Zu jeder „4X“ in (Ax) gehören vier komplementäre.

ai °k Cki Ckm

cni °nk am

vier komplementäre des Typus (M"), nämlich eben die oben angegebenen. Endlich gehören zu irgendeiner „4t<( von (A['); z. B.

fr Cik Cil Cim

an Clm Ckm Cnl

vier komplementäre derart, daß eine vom Typus (M₁') ist, die drei anderen vom Typus (A'^):

ai ak <*i

^i n Cji n n Cm n

Auch dies mag im einzelnen bestätigt werden. Zu irgendeiner

Ä“ von (A)> z- B-

ak

am

Ck

mn

gehören vier komplementäre des Typus (A'")f die durch die Indizes i, Ti, l, m unterschieden seien:

fr Cik Cil Cim Cim Cfcm Ckl fr Cli Clk Clm

an Ckm Cim Cik

Desgleichen gehören zu jeder „4X“ von (M"), z. B.

, (*)

(0

&

j; (*»)

a

fr Cki Ckl Ckm

an Clm Cim Cil i Cm k Cm l Gn Ckl Cil Cik

(A)

(A)

ai ai Ckn Cmn Cin Cln Ctk ttm

& J?

f

•P f

J⁵ ^

Einfacher gestaltet sich eine solche Zusammenfassung von „4₂“ in der Gruppe (A₂).

Zu irgendeinem Paar von (A₂'), z. B.

a'i Ckl Ckm Ckn ak Cil Cim Cin

gehört als einzige komplementäre eine in (A's') enthaltene

«l am an <>ik Cmn Cln Clm ^

und vice versa.

Man hat also im ganzen in (A₂) zehn solcher Paare von „4₂“. Diese Konfigurationen der 16 g nebst verwandten verfolgt weiter J. Pereno,²)

Andererseits hat L.Berzolari³) — nach vorgängiger Untersuchung der Gruppierung der 16 g, im Zusammenhänge mit den fünf Kummer-schen Kegeln (s. Nr. 9) — windschiefe Vierseite V aus den 16 g gebildet, derart, daß vier solcher V alle g erschöpfen; sie bilden dann eine „Quateme“ Q.

Solcher Q gibt es drei Arten:

1.    die 16 Ebenen E der V einer Q „erster“ Art Q₁ zerlegen sich in zwei Gruppen von acht, die je durch einen „Kummerscheu Punkt“ (d. i. Spitze eines Kummerschen Kegels) gehen;

2.    die 16 E der zweiten Art, Q₂, teilen sich in drei Gruppen von resp. 8, 4, 4; wiederum gehen die E jeder Gruppe durch einen Kummerschen Punkt;

3.    die 16 E der dritten Art, Q₃, zerlegen sich in eine Gruppe von acht durch einen Kummerschen Punkt, und vier Paare, deren Schnittgerade je durch einen der vier weiteren Kummerschen Punkte laufen.

Im ganzen gibt es 110 Q: 10 Qt, 60 Q₂ und 40 Q₃.

Die Verbindungsebene H von zwei inzidenten g ist eine dreifache Tangentialebene T₂, deren es also 40 gibt (s. auch Nr. 10). Aus ihnen lassen sich 708 Oktaeder herstellen, derart, daß die H eines jeden alle 16 g enthalten. Die verschiedenen Arten dieser Oktaeder werden in Beziehung gesetzt zu den fünf Kummerschen Punkten. Aus den 16 g werden auch noch andere Vielseite gebildet.

Hieran schließen sich zwei Perspektive Erzeugungen der P₄, die beide zu einer Konstruktion der 16 g führen.

12. Die Kegelschnitte auf der _F₄. Wir kehren zurück zur Abbildung der P₄ und suchen die Bilder der auf der Fi gelegenen Kegelschnitte C₂.

Der Doppelkegelschnitt Cr₂ selbst bildet sich ersichtlich ab als ein ausgezeichnetes, mit c₃ bezeichnetes Individuum des Gebüsches Cr, derart, daß jedem Punkte P der C₂ ein Punktepaar ($/, Q₂) auf c3 entspricht; die Geraden ($/, Q₂) laufen alle durch einen ausgezeichneten Punkt Q₀' der c₃. Weiteres s. u.

Abgesehen von der C₂ gibt es noch oo¹ C₂ auf der P₄. Da die Ebene E einer solchen C₂ noch einen zweiten Kegelschnitt C₂ ausschneidet, sind stets zwei solche C₂ als „komplementäre“ (oder „ko-planare“) einander zugeordnet.

Der Gesamtschnitt '(CJ₂, C₂) einer solchen Ebene E mit der P4 läßt sich als eine zerfallende c₄ mit vier d₂ ansehen. Von diesen fallen zwei in die Schnittpunkte von E mit der C₂, sind also D₂ der

Fläche, während die beiden anderen die Berührungspunkte einer die jF₄ zweimal berührenden Tangentialebene E == T₂ sind; umgekehrt schneidet jede der oo¹ T₂ der F± zwei komplementäre C₂ aus (s. auch Kummer in Nr. 6). Somit gilt der Satz:

„Die oo¹ T₂ einer F₄ mit C₂, und nur diese, schneiden aus der Fläche C₂- Paare aus.“

Das Bild eines solchen (7₂-Paares ist offenbar eine solche im Gebüsche G, die zerfällt in irgendeine durch je einen Fundamentalpunkt Ap und eine, jener cjp (1, l)-deutig zugeordnete cW durch die übrigen A.

Man beachte, daß eine cf> genau acht von den Bildkurven der 16 g der Fi je einmal trifft, während die übrigen acht von der zugeordneten c^ je einmal getroffen werden; das entsprechende gilt also von dem C₂-Paare auf F±. Denn die c}*‘) geht durch A{, trifft den Kegelschnit B = B noch in einem Restpunkte und überdies die sechs Geraden ckv ckm, ckn, clm, cln, cmn; dagegen geht c» nicht durch Ak, Av Am, An und trifft die vier übrigen c-Geraden je nur in einem dieser A. Und gerade umgekehrt verhält es sich mit der cjfl

Vergleicht man dies mit der Gruppe (At) (s. Nr. 11) der Doppelvieren „4X“, so sieht man, daß jede der beiden obigen „Achten“ gerade ein Paar komplementärer „4₄“ liefern, die alle 16 g erschöpfen.

Nun war je ein Paar (c®, c|i}) = cjf> das Bild eines in zwei C2 zerfallenden ebenen Schnittes c₄ der F±. Die Koeffizienten aller dieser oo¹ c₃W-Formen genügen daher (s. oben) ein und derselben linearen Relation mit konstanten Koeffizienten. Seien A, g die Parameter der beiden Büschel (c₄) und (c₂) — der Index i werde jetzt unterdrückt —, so ist die Gleichung der c₃ = c₃(A, g) von der Gestalt

(2)

c₃ = c₃ (A, g) = (c₄ -J- A ) (c₂ -f- (i c₂) == 0.

Somit sind die beiden Büschel projektiv aufeinander bezogen; man darf diese Zuordnung so normieren, daß sie die Gestalt A — g — 0 erhält. Versteht man dann unter c1} c/, c₂, c₂ geeignete Individuen beider Büschel, so lautet die Zuordnung einfach

(2')

ci + ^ci = 0, c₂ -f- lc₂ — 0.

Im besonderen hat man die drei zugeordneten Paare A = 0), cx und c₂; A = oo), ct' und c₂'; A = 1), ct -f- ck und c₂ -f- c₂.

Diesen drei Paaren zerfallender c₃ in G entsprechen drei ebene Schnitte der JF₄, deren Ebenen analog mit E₀, E», Ej bezeichnet seien, so daß man die Zuordnungen hat

C1C2 E₀,

ci ^2

Hierbei beachte man noch, daß

(Ci ~f~ C± ) (c₂    C-2 ) = c₂ ~r C1 C2 ~f~ (Cl c2 “f- C2 C1 ) •

Damit hat man als vierte Zuordnung für eine gewisse Ebene E'

^1^2 + ^2^1    ^ }

wo die vier E-Formen an die Identität geknüpft sind

F' = e F E

I— L--£    I— Q    I—00»

Multipliziert man andererseits die rechte Seite von (2) aus, so gilt

(2)

C₃(l,    :- ^1^2 ~l⁻ ^(^1^2 “1“ ^2^1 ) ~f~ ^ ^1 ^2 ⁼⁼

(2a)

Mithin lautet die entsprechende Ebenenrelation E₀+AE' + A²Ee. = 0.

Diese 00¹ Ebenen E umhüllen daher einen Kegel K₂ mit der expliziten Gleichung

(2a')

'2

= 0.

iF₂ = 4 E₀ E*. — E

Hinterher kann man überall den Index i wieder hinzufügen, so daß zu jedem der fünf Fundamendalpunkte A ein solcher Kegel K₂ gehört. Das sind ersichtlich die fünf Kummersclaen Kegel K₂ (s. Nr. 9).

Weiter bemerke man, daß die beiden projektiv zugeordneten Büschel (2) von c₄ und c₂ als Ort ihrer Paare von Schnittpunkten eine c₃ erzeugen mit der Gleichung

(3)

c₃ Cj c₂    c₂ c₄ — 0.

Diese c₃ ist das Bild einer (7₄, längs deren ein Büschel von F₂ die jF4 berührt. Faßt man zusammen, so hat man den Satz:

„Innerhalb des Gebüsches G ist für jeden der fünf Fundamentalpunkte A sein Strahlbüschel (c₄) dem c₂-Büschel (c₂), mit den vier übrigen A als Grundpunkten, projektiv zugeordnet. Je zwei dadurch einander zugeordnete komplementäre* Individuen c₄, c₂ sind die Bilder von zwei komplementären* (,koplanaren*) auf der _F₄ gelegenen C₂, und deren Ebenen umhüllen je einen der fünf Kummerschen Kegel K₂.

Diese 00¹ Ebenen sind zweimal berührende Tangentialebenen T2 der Fi, und deren oo¹ Paare von Berührungspunkten durchlaufen eine (7₄ — das Bild der aus der projektiven Zuordnung der (c₄)- und (c₂)-Büschel hervorgehenden c₃ —, längs deren ein Büschel von F₂ die F± berührt. Damit sind zugleich alle C₂ auf der F± erschöpft.**

Durch das obige ist eine längere Entwicklung bei Clebsch wesentlich gekürzt.

Nunmehr betrachten wir genauer die schon oben erwähnte c₃' in G, das Bild des Doppelkegelschnitts C₂ auf der F±. Man führe mit

Clebsch auf der c₃' ein geeignet normiertes elliptisches Integral⁴) 1. Gattung u als Argument (oder Parameter) ein. Die fünf Grundpunkte A. mögen die Argumente ui erhalten, mit 'Su, = s. Weiterhin mögen die Argumente ausgezeichneter Punkte der c₃ in Klammern beigefügt werden.

Man betrachte zunächst den Kegelschnitt Bp = B, das Bild der Geraden bp — b auf der P₄. Durch b lege man das Ebenenbüschel E(&). Jede Ebene E desselben trifft die C₂ in zwei Punkten, von denen der eine, der Inzidenzpunkt Fb (C₂, b) von C₂ und b, fest ist, während der andere, P, mit E variiert. Jeder dieser beiden Punkte ist das Bild eines Punktepaares ($/, Q₂) auf c₃.

Das Bild der Schnitte von E(6) mit der P₄ ist im G ein c₃-Büschel; dessen Individuen zerfallen aber in den festen Kegelschnitt B und eine variable cv Nach dem Apolaritätsprinzip bilden diese cx selbst ein Büschel mit einem festen Zentrum B₀'(u₀') auf c₃.

Andererseits trifft cs' den Kegelschnitt B in einem Restpunkt B₀ (u₀ = — s). Mithin ist das Bild von Pb (auf C₂) das Punktepaar (.B₀, Bq) auf c₃. Folglich ist das Bild des laufenden Punktes P (auf C₂) ein variierendes Punktepaar ($/, Q₂) auf c₃, derart, daß alle Geraden (Qx Q₂) = (ii, u) durch das feste Zentrum B₀' laufen.

Im besonderen muß, für P = P₆, die Gerade (P₀, B₀') aus der c3 den Restpunkt B₀' ausschneiden, d. h. die Tangente t₀' von c₃ in B₀', geht durch B₀. Man hat also u₀ -f- 2u₀' = 0. Der reelle Punkt u₀'

kann daher nur eines der beiden Argumente > y "f* y besitzen. Die

Normierung von u darf dahin getroffen werden, daß u₀' den Wert -|-erhält.

Überdies geht

aus obigem hervor, daß jedes Individuum c₃ in G die c₃ in zwei Punktepaaren (Qx, Q₂), (Q”) trifft, so daß die Geraden (Qx, Q%') nnd (Qx", Q₂") durch das Zentrum B₀' laufen.

Markiert man umgekehrt auf c₃ zwei beliebige Punkte Qx, Qx", so ergänzen sich diese vermöge der Geraden B₃), (Qx"Bq) durch zwei Restpunkte Q₂, Q₂". Die neun Punkte Aif (Qx, Q₂), (Qx", Q₂") sind die Grundpunkte eines c₃-Büschels in G, das dem Ebenenbüschel durch die beiden Bildpunkte Plf P₂ auf C₂ entspricht.

Dies dehnt sich ohne weiteres aus auf den Schnitt der P₄ mit

Flächen beliebiger Ordnung. Als Muster diene eine Fi} die aus der C₂ vier Punkte P1} P₂, P₃, P₄ ausschneide und aus der P₄ eine C₈. Die Bilder der vier Punkte Pf (i — 1,. . 4) sind vier Punktepaare (Q!, Q.") auf c₃\ so daß die vier Geraden Q") durch B₀' gehen. Das Bild der C₈ ist eine c₆ = cjp vom Geschlecht Fünf mit d₂ in den A, die die c₃ noch in den vier Punktepaaren ($/, Q") trifft. Und umgekehrt.

Im besonderen kann die Bild-c₆ in zwei c₃ durch die A zerfallen, die im allgemeinen nicht in G enthalten sind; die C₈ auf der P₄ zerfällt dann in zwei 0₄. Es gilt also:

„Eine nicht in G enthaltene c₃ ist das Bild einer U₄ auf jF₄. Zwei solche c₃ zusammen sind das Bild eines (7₄-Paares auf der F±, das dann und nur dann von einer F₂ ausgeschnitten wird, wenn die vier Yerbindungsgeraden der je vier Restpunkte der beiden c₃ auf c3 durch B₀' gehen.“

Analog verfahre man mit den zehn Geraden cik in der Bildebene nebst ihren Bildgeraden ca auf P₄.

Sei P(cik) der Treffpunkt von cik mit der C₂, so schneidet das Ebenenbüschel (cik) aus C₂ wiederum, außer dem festen Punkte P(cik), noch einen laufenden Punkt P aus. Die Bild-c₃ des Ebenenbüschels (ctjt) zerfallen jetzt in die feste Gerade cik und ein c₂-Büschel mit den Grundpunkten Av Am, An, C'ik(iQ.

2-

Andererseits trifft cik die c₃ in einem festen Restpunkte Gik(uik). Somit ist (Cik, G-k) das Bildpunktepaar des Punktes P(cik) auf C

Zur Bestimmung der beiden Argumente uik, u'ik dienen die Re-

lationen

Ui + Uk “f“ Uik —    ¹¹ ik + Uik + % = 0,

wo u₀' = -

co <N

Somit wird

(4)

<k = — 0* + wt),

Da nach dem Apolantätsprinzip die beiden Punkte Cik und JB₀ als bekannt anzusehen sind, so ergibt sich Cik als Schnittpunkt der Geraden (Cik, P₀') mit cik.

Verfährt man ähnlich mit den fünf Fundamentalpunkten At selbst nebst ihren Bildern, den Geraden ai auf der P₄, so erkennt man, daß dem Inzidenzpunkte P(ai) auf C₂ dasjenige Punktepaar auf c₃ entspricht, das sich zusammen setzt aus Ai (u.) selbst und dem Restschnittpunkte C/(m/) der Geraden (Aif P₀') mit c₃. Aus u{ -J- w/ + u₀' = 0

(u₀' = yj ergibt sich

,___    s

ui = — ui~F’

13. Die Kurven 3. Ordnung C₃ auf der Fr Wir kommen zur Abbildung der C₃ auf F±. Bilder solcher (irreduzibler) C₃ sind:

a) Das Netz der cx. Eine solche allgemeine cx trifft die 10 Geraden cik je einmal, die c₂ — B zweimal, während sie keinen der A enthält. Die entsprechenden Inzidenzen finden für die C₃ auf der jP₄ statt.

Ckm> Clmi

ß) Ein Netz von c₂ mit irgend drei der A, etwa Ai} Ak, Al} als Grundpunkten. Eine solche c₂ sei mit c⁽₂m>ra) bezeichnet. Sie geht nicht durch Am, An, trifft auch die drei Geraden cik, ciV ckl in keinem weiteren Restpunkte; dagegen trifft die c⁽₂m>n) die Geraden ct cin, ckn, cln je noch einmal, endlich die cmn zweimal.

Solcher c₂-Netze gibt es — 10. Das Analoge gilt wiederum auf der F±.

y) Ein Netz von r₃ = rf mit d₂ in A{ und dx in Ak, . . ., An. Denn jede c₃ in G trifft eine solche noch in drei variabeln Restpunkten.

Eine rf trifft die Geraden cik, cu, cim, cin in keinem weiteren Restpunkte, ebensowenig die c₂ — dagegen trifft die die sechs Geraden ckl, ckm, ckn, clm, cln, cmn je noch in einem Restpunkt.

Solcher r$- Netze gibt es fünf, entsprechend den fünf A.

Die Zusammenfassung ergibt für die C₃ auf der Fi den Satz: „Entsprechend den 16 g der Fi gibt es auf der jF₄ 16 oo² stetige gleichberechtigte Scharen von C₃.

Innerhalb jeder Schar trifft irgendein solches Individuum C₃ eine erste der g zweimal, zehn andere einmal, die letzten fünf gar nicht.“ Im übrigen gilt das in Nr. 3 für F± mit einer C₃ angegebene hinsichtlich einer expliziten irrationalen Punktdarstellung der Fläche.

Aber auch die gegenseitigen Inzidenzen dieser C₃ auf der F± lassen sich der Abbildung leicht entnehmen. Denn aus ihr folgt:

a) Eine cx trifft jedes Individuum der zehn c₂-Typen (ß) zweimal und jedes Individuum der fünf r₃-Typen (y) dreimal.

ß) Eine d™’n'⁾ trifft jede cx vom Typus (a) zweimal, sechs c₂ vom Typus (ln) zweimal, drei c₂ vom Typus (kl) dreimal, drei r₃ (y) vom Typus r⁽(\ r⁽₃\ r{S> zweimal, und zwei r₃ vom Typus r⁽₃m\ rW dreimal.

y) Eine rf trifft eine cx (a) dreimal, sechs c₂ (ß) vom Typus (mn) zweimal, vier c₂ vom Typus (in) dreimal, und vier r₃ vom Typus rW zweimal.

Die Zusammenfassung ergibt für die C₃ auf der F±:

„Jede C₃ irgendeiner der 16 Scharen trifft jede C₃ von zehn anderen Scharen zweimal, und jede C₃ der fünf übrigen Scharen dreimal.“

Endlich das Verhalten der C₃ einer und derselben Schar zueinander regelt sich durch den Satz:

„Innerhalb einer und derselben Schar von C₃ treffen sich je zwei Individuen nur einmal/⁴

14. Die rationalen Kurven 4. Ordnung JK₄ auf der und ihre Beziehung zu den Vieren zweiter Art. Nunmehr seien auch noch die auf unseren F₄ mit C₂ in Betracht gezogen. Deren Bilder sind folgende Gebüsche der drei Typen:

a)    c₂ = c⁽₂m>n\ durch irgend zwei Grundpunkte Am, An‘

b)    r₃ = r^n\ mit d₂ in A., dx in Ak, A„ Am;!

C) ^4 = r<in’n), mit d₂ in At, Ak, At und dx in Am, An.

Es gibt 10 Typen (a), 20 Typen (b) und 10 Typen (c), also im ganzen 40. Somit gilt:

„Auf der F± mit C₂ gibt es 40 gleichberechtigte oo³-Scharen

von _ß₄.“

Man suche weiter die Inzidenzen dieser i?₄ mit den 16 g.. Aus der Abbildung liest man ab:

a) Eine jß₄, als Bild einer d™'n\ trifft die 16 g nach dem Schema: 0-mal 1-mal

2-mal

Ciki Cil> Ckl) b-

b) Eine J?₄, als Bild einer r^n\ trifft:

0-mal

an1 Cik> Cil; Cim"i

1-mal

ak} av am'l CkV Ckmi Clmi Cinl ^7

2-mal

Q'i't ^kn1 ^ln> ^mn‘

c) Eine als Bild einer    trifft:

0-mal

Cik> CiV Ckl'l ^7

1-mal

2-mal

°ii Q'ki ai’l {'mn’

Hieraus erkennt man leicht den Zusammenhang mit den Vieren „4₂“ und Doppelvieren „4₂“, s. oben Nr. 11.

Man greife etwa eine Bi des Typus (a) heraus. Die 16 g ordnen sich dann zu „4₂“ und „4₂“ an wie folgt:

ai> ak> av Cmn Cik) CiV Ckl>

{'imi {'kmi ^Imi Cin> Ckn’ Cln) ttm

Also hat man:

„Greift man aus irgendeiner der 40 oo³-Scharen von i?₄ auf der JP₄ mit C₂ ein beliebiges Individuum heraus, so trifft dieses vier der

16 g gar nicht, vier andere zweimal und die acht übrigen einmal. Dann bilden die beiden ersten Quadrupel eine „4₂“, desgleichen die letzteren acht g die komplementäre „4₂“. Auf diese Weise sind die 40 Scharen von jß₄ den 40 Vieren zweiter Art „4₂“ eineindeutig zugeordnet.“

Auch die gegenseitigen Inzidenzen der J?₄ entnimmt man sofort der Abbildung. Es genügt, etwa von einer c£"»n> des Typus (a) auszugehen. Die Anzahlen der jeweiligen freien Schnittpunkte mit allen 40 c der Typen (a), (b), (c), nach Untertypen geordnet, mögen in einer Tabelle zusammengefaßt werden:

Untertjpus

Anzahl der c

Anzahl der freien Schnittpunkte

TH c£> CO sq

C2

c(m,i)

$,*)

r{m,n)

r{i,m)

rZ

rV,k)

(m, n) r(i, n)

(<»*)

Faßt man das Wesentliche zusammen, so hat man:

„Eine beliebige JR₄ irgendeiner der 40 oo³-Scharen auf der F% trifft eine Bi derselben Schar zweimal, die Iü₄ von sechs anderen Scharen dreimal, die von zwanzig weiteren Scharen viermal, die von zwölf weiteren fünfmal, endlich die der letzten Schar sechsmal.“

15. Fall eines Knotenpunktes D₂ auf der F±. Es werde nun auch der Fall eines D₂ — D einer F± mit C₂ (s. Kummer, Nr. 7) in der Abbildungsebene untersucht.

Dann müssen irgend drei der fünf Fundamentalpunkte A, etwa Ai} Ak, Av auf einer Geraden, die mit cm bezeichnet sei, liegen (und umgekehrt).

Das auf die c₃' als Bild der C\ Bezügliche bleibt im wesentlichen

erhalten.

Innerhalb G zerfalle eine c₃ derart, daß sich die Gerade cai abspaltet. Dann bilden die Ergänzungskegelschnitte c₂ = ein Netz N mit zwei Grundpunkten Am, An. Irgendeine c₃ in G trifft eine solche c^m’n) noch in vier variabeln Punkten.

Dem Netze N muß im Raume ein Ebenenbündel mit dem Zentrum I) entsprechen; in der Tat schneidet ja jede Ebene durch D die Fa in einer r₄ mit drei d₂, deren einer in I) liegt, während die beiden anderen, P1} P₂, der C₂ angehören.

Die cf in der Bildebene schneidet die c^n) ebenfalls in vier weiteren Punkten. Das sind gerade die obigen; sie zerfallen in zwei Paare (Qi, Qi), (Qi", Qi"), so daß die Geraden (Qf, Qf), (Qf', Qf') durch das Zentrum Bo auf der cf laufen (s. oben Nr. 12).

Die Gerade cikl ist das Bild von JD selbst.

Der Geraden cmn entspricht auf der P₄ eine Gerade cmn = &; desgleichen sind cim, ckm, clm, cin, ckn, cln die Bilder der sechs gleichbe-zeichneten g auf P₄.

Weiter sind Am, An Bilder der beiden g: a-m, an.

Endlich sind Ai} Ak, Al die Bilder der drei durch B gehenden (und auf dem Tangentenkegel von D liegenden) Geraden a{, ak, av

die C₂

einem Kuspidalkegel-

zu

Wegen der weiteren Fälle des Auftretens von zwei bis vier P₂, sowie des Falles, wo die C₂ in zwei inzidente Gerade zerfällt — jedoch mit Ausnahme des Falles, wo schnitt (s.'Nr. 17) wird —, sei auf die ausführliche, unter Anwendung und Weiterführung der Clebschschen Methode erfolgte Behandlung von G. Korndörfer⁵) verwiesen.

16. Die zur Bestimmung der 16 Geraden g dienende Gleichung 5. Ordnung. Mittels nicht ganz einfacher algebraischer Rechnungen, die auf geeigneter Kombinierung der Gleichungen zweier der fünf Kummerschen Kegel beruhen, führt Clebsch die Bestimmung der 16 g, die zunächst von einer Gleichung 16. Ordnung f₁₆ = 0 abhängen, zurück auf die einer Gleichung 5. Ordnung fh — 0. Die letztere Gleichung ist also eine Resolvente der ersteren. Diese f₆ = 0 erweist sich zugleich als die für die fünf Kummerschen Kegel.

Denkt man sich die f₅ vollständig aufgelöst, so bedarf es nur noch der Auflösung quadratischer Gleichungen, um die 16 g einzeln darstellen zu können.

Es ist aber auch von Interesse, den geometrischen und gruppentheoretischen Zusammenhang zwischen den beiden obigen Gleichungen und zwei verwandten, der f₂₈ = 0 für die 28 Doppeltangenten t₂ einer c₄ und der /*₂₇ = 0 für die 27 g einer F₃, zu verfolgen (s. auch „F₃“ Nr. 22).

Die zugehörigen gruppentheoretischen Betrachtungen hat C. Jordan³¹) ausgeführt; im besonderen hat im Anschlüsse daran F. Geiser u) den Zusammenhang zwischen der /j₆ — 0 und der f₅ = 0 synthetisch illustriert und ergänzt.

Vermöge der Geiserschen Tangentenprojektion (s. „Fs“, Nr. 16) der. F₃ von einem ihrer Punkte P aus auf eine Ebene 77 entsprang eine c₄ (vom Geschlecht p — 3) mit 28 t₂. Dabei waren 27 dieser t2 den 27 g der F₃ (1, l)-deutig zugeordnet, während sich die 28te t₂ als Spur der Tangentialebene der F₃ in P ergab.

Algebraisch besagt dies, daß sich die Gleichung f₂₈ = 0 nach Adjunktion irgendeiner ihrer Wurzeln auf die Gleichung f2n = 0 reduziert, und entsprechend die Gruppe der ersteren auf die der letzteren. Die Gleichung f₂₇ = 0 besitzt keine Resolvente geringerer Ordnung.

Geht man wiederum von irgendeiner der 27 g, g — g₀, der F3 als einer bekannten aus, d. h. adjungiert man irgendeine Wurzel der f₂₁ = 0, so spaltet sich die verbleibende Gleichung f₂₆ == 0 rational in eine Gleichung 10. Ordnung f₁₀— 0 und eine 16. Ordnung f₁₆ — 0.

Die erstere entsprach denjenigen 10 g der F₃ (genauer den 5 inzidenten (/-Paaren), die g₀ treffen; die letztere den noch übrigen 16 g, die g₀ nicht treffen.

Diese Gleichung f₁₆ — 0 ist zugleich die, von der die Bestimmung der 16 g einer P₄ mit C₂ abhängt.

Die Gleichung /j₀ = 0 kommt, nach Auflösung von fünf gleichberechtigten quadratischen Gleichungen — die die Spaltung der 10 g in die 5 Inzidenzpaare bewirkt — zurück auf eine Gleichung 5. Ordnung % = 0.

Denkt man sich abermals von dieser f₆' = 0 irgendeine Wurzel adjungiert, die einem Inzidenzpaare (<g1}g₂) korrespondiere, so hat man auf der F₃ die Figur von drei Geraden g₀, g1} g₂, die von einer dreifachen Tangentialebene der F₃ ausgeschnitten werden.

Die vier weiteren (/-Paare, die gQ treffen, entsprechen den Wurzeln einer f₈ = 0, auf die sich die f₁₀ — 0 reduziert, während die beiden gl und g₂ treffenden 4 (/-Paare zusammen den Wurzeln der /j₆ = 0 zugeordnet sind.

2'

Hieraus schließt man, daß die zur Bestimmung der 10 g₀ treffenden g dienende Gleichung f₅' — 0 gleichberechtigt (d. i. gruppentheoretisch gleichzusammengesetzt) ist mit der Clebschschen Gleichung f₅ — 0 für die 16 g einer P₄ mit C

31) G. Jordan, Paris C. R. 68 (1869), p. 656; J. f. Math. 70 (1869), p. 182; Traite des substitutions, Paris 1873. — F. Geiser, J. f. Math. 70 (1869), p. 249. Vgl. auch J. Pereno, Ann. di mat. (2) 21 (1893), p. 57.

17. Erzeugung der F₄ durch, zwei projektive jF₂-Büschel. Die synthetischen Untersuchungen von Juel und Bobek. Glebsch gibt auch einige mit der Abbildung der Fi mit C₂ eng zusammenhängende projektive Erzeugungen der Fläche an. Merkwürdigerweise erwähnt er dabei nicht die fruchtbarste, die Erzeugung durch zwei projektiv zugeordnete F₂Büschel.

Diese Erzeugung läßt sich an die Clebschsche Abbildung anschließen. Die C₂ auf der F₄ bildeten, entsprechend den fünf Kummer-schen Kegeln K₂, fünf oo¹-Scharen (s. Nr. 12). Deren Bilder waren die Geraden dp durch Ai und die Kegelschnitte dp durch Ak, Av Am, An. Zu jeder C₂ auf F₄ gehörte eine koplanare, die beiden Bilder waren zwei projektiv entsprechende Individuen der beiden Büschel dp und dp.

Das Bild der C₂ war eine ausgezeichnete c₃' im c₃-Gebüsch G

Eine durch die C₂ gehende F₂ schnitt die F₄ in einer Restkurve C₄- deren Bild war eine (nicht in G enthaltene) c₃ durch die fünf A. Zerfällt im besonderen die C₄ in zwei C₂, so auch die Bild-c₃ in eine dp und dp. Der Index i werde jetzt wieder unterdrückt.

¹

A. Clebsch, J. f. Math. 69 (1867¹), p. 142, nebst einer Note, enthaltend den Beweis eines Hilfssatzes über Funktionaldeterminanten, ib. p. 355.

²

J. Pereno, Ann. di mat. (2) 21 (1893), p. 57.

³

L. Berzolari, Ann. di mat. (2) 13 (1885), p. 81.

Encyklop. d. math. Wissensch. III 2.

⁴

S. die systematische Untersuchung von A. Harnack, Math. Ann. 9 (1875), p. 1. Im Texte ist die Normierung von u so getroffen, daß das MheZsche Theorem für die 3 k Schnittpunkte (i = 1, 2,..., 3 k) der cs mit einer ck die Gestalt annimmt ^u,- = 0 (mod. co, co'), unter co, co' die reelle resp. rein imaginäre Periode von u verstanden.

⁵

G. Korndörfer, Math. Ann. 1 (1869), p. 592; 2 (1869), p. 41; 3 (1870), p. 496; 4 (1871), p. 117

Hält man eine der beiden C₂, die mit bezeichnet sei, fest, so liegt ein F₂-Büschel vor, das die F₄ noch in einer beweglichen C2 schneidet.

Das Bild der C]j⁰⁾ sei eine c|°); dann überstreicht das Bildbüschel der C₂-Schar die ganze Ebene, wie C₂ die ganze F₄ überstreicht.

Das Verfahren werde wiederholt für ein zweites F₂-Büschel mit fester Gp und variierender C₂.

Es ist zu zeigen, daß die Individuen beider C₂-Scharen sich decken. Die Bilder der Gesamtschnittkurve irgendeiner F₂ des einen oder andern Büschels sind dargestellt durch Gleichungen von der Gestalt

(1)

c₃'4⁰⁾(ci + Xgi) = o,    + pO = °-

Für X = pc und nur dann, wenn also die beiden i^-Büschel projektiv aufeinander bezogen sind, fallen die entsprechenden Restkurven C₂, C2 beider Al,-Büschel zusammen.

Zu demselben Ergebnis gelangt man auch direkt von der Kummer-scheu. Gleichung (s. Nr. 7) der F₄ aus:

F₄=cp² — 4x²mf = 0.

(2)

Die Gleichung eines F₂-Büschels durch die C₂ (cp = 0, xm = 0) und eine feste Cp lautet

(3)

cp + 2xmr + X(cp + 2xmr') = 0.

Hier ist das Paar der Ebenen von C₂ und O₂⁽⁰⁾ dargestellt durch

*m(r — r') = xmdr =

(4)

wo dr zur Abkürzung steht.

CO

Die rechte Seite soll mit (r — s)² -j- drds zur Übereinstimmung gebracht werden. Die Vergleichung führt zu

(8)

r s = p, r — r — tr, s — s'=tg.

Bei einteiliger C₂, wo alle auftretenden Linearformen reell sind, sind bei beliebig angenommenem s die drei übrigen Formen r, r, s bestimmt, was sich auch durch eine einfache Konstruktion veranschaulichen läßt.

Ist aber die C₂ nullteilig, so werden r und — s, sowie tr und ts konjugiert imaginär, so daß (8) die Gestalt annimmt

r = ~ ia, r — / = <?-}- ix,

(8')

Somit hat man als einfachste Darstellung zweier solcher projektiver _F„-Büschel

j (<P + 2xm0 + ¹ • 2xmdr = °;

\2xmds -j-    + ² xms) = 0.

Das Ergebnis ist also eine F± mit der Gleichung

Fi = (q> + ²zmr)(<p + 2xms) — 4 zfndräa = 0.

Diese ist noch auf die Gestalt (2) zu bringen. Man hat sofort

(qp + xm(r + s)}² — x*m{(r — sf—£drds}

= 0.

(5)

(6)

(6')

F —

--

= <P

Bei vorgegebenen <pmf ipm hat man geeignete Linearformen r, s, r, s zu ermitteln, die (6') genügen.

Zu dem Behuf beziehe man Tpm auf ein Dreieck, von dem zwei Seiten Tangenten tr und ts sind und die dritte Seite die Polare p von deren Schnittpunkt, so daß die Gleichung von ipm in der Gestalt erscheint

— s — y — ia, s — s' — 6 — it,

woraus sich nach willkürlicher Wahl von a wiederum r, s, r', s bestimmen.

Die Erzeugung der F± mit C₂ durch zwei projektive jF₂-Büschel hat C. JueP²) direkt auf synthetischem Wege untersucht.

Die F± entsteht als Ort der Schnittkurven (7₄ der projektiv zugeordneten Individuen zweier W₂-Büschel (a) und (/3), die alle einen irreduzibeln (ein- resp. nullteiligen) Kegelschnitt go gemein haben, der sich als der Doppelkegelschnitt C₂ der _F₄ erweist. Hieraus ergeben sich sofort die C₂-Scharen auf der jF₄, sowie die Restschnittkurven C₄' der F± mit einer beliebigen, durch co gehenden F₂.

32) C. Juel, Tiddskr. f. Mafc. (4) 4 (1880), p. 81, 113.

Die fünf Kummerschen Kegel K₂ entstehen als die Enveloppen der Ebenen E solcher Restkegelschnitte, in denen sich (ce) und (ß) — außer in o — schneiden. Daraufhin lassen sich die 16 Geraden auf der Fi, die doppelt berührenden Tangentialebenen T₂, sowie die Kurven 3. und 4. Ordnung auf der F± diskutieren. Ferner kann die F± von C₂-Ebenen berührt werden längs solcher C₄, die durch die vier Rückkehrpunkte (Kuspidalpunkte s. Nr. 18) auf der C₂ gehen. Diese „einbeschriebenen“ Flächen haben verschiedene besondere Eigenschaften. Berührt z. B. eine F₂ eine solche Fläche längs eines ganzen Kegelschnitts, so schneidet sie die F± in zwei (7₄. Von diesen Flächen kann man auch zu den fünf Kummerschen Kegeln K₂ zurückgelangen.

Den Schluß bildet die Untersuchung einer Reihe von geometrischen Ortern, die zu der F± in enger Beziehung stehen. So gibt es fünf Systeme von F₂ durch die C₂, die die Fi in je zwei Punkten berühren. Der Ort der Pole, die der Ebene der C₂ in bezug auf die F₂ eines einzelnen Systemes entsprechen, ist wiederum eine Fs. Nimmt man die Pole nur in bezug auf die Flächen durch einen gegebenen Punkt, so erhält man einen einzigen Kegelschnitt. Berühren andererseits die Flächen eine feste Ebene, so erhält man eine U₄, und dies gilt auch, wenn die Flächen eine feste Gerade berühren.

Damit gewinnt der Verfasser auch die Mittel für verschiedene Anzahlbestimmungen.

So gibt es von Kegelschnittflächen, die sich in der C₂ und zwei anderen C₂ schneiden, und außerdem

1.    durch zwei gegebene Punkte gehen, 10;

2.    durch einen Punkt gehen und eine Gerade oder Ebene berühren, 20;

3.    zwei Gerade oder Ebenen berühren, 40;

4.    eine Gerade und eine Ebene berühren, 40.

Unabhängig von Juel hat auch K. Hobele³³) die nämliche Erzeugung der F± mit C₂ zugrunde gelegt.

Wir beschränken uns daher, anzuführen, daß er auch die Sonderfalle der F± mit einem bis vier J)₂ berücksichtigt. Die erforderlichen Konstruktionen werden im einzelnen ausgeführt; auch wird die Beschreibung eines Fadenmodells für die 16 g hinzugefügt.

J. Cardinaolu) leitet aus der Erzeugung einer F± mit C₂ durch zwei projektive F₂- Büschel jBlt B₂ die Hauptformen dieser JF₄ her.

Greift man aus JB₁ und jE>₂ je zwei beliebige Individuen heraus, so bestimmen diese ein _F₂-Gebüsch G in einem ersten Raume Ss.

33)    E. Bobelc, Wien Ber. 90 (1884), p. 923, 1168.

34)    J. Cardinaal, Amst. Yersl. (3) 8 (1891), p. 88.

Sei weiter 0 ein fester Punkt, so bilden die Polarebenen ot in bezug auf die Individuen in G ein E'-Gebüsch G' in einem zweiten Raume S₃, das zu G in projektiver Beziehung steht. Hieraus erwächst eine Punkttransformation 2. Grades T₂ zwischen beiden Räumen S₃, S3 Vermöge dieser T₂ korrespondiert der F± mit C₂ im S₃ eine Fläche 2. Ordnung F₂ im S₃, und den Kegeln innerhalb G, deren Spitzen die Kernfläche K bilden, Ebenen, die eine Fläche 2. Klasse &₂' berühren.

Behufs Klassifikation der F₄ mit C₂ werden zunächst drei Hauptfälle unterschieden, je nachdem die (ein- resp. nullteilige) C₂ irreduzibel ist, oder aber in ein Paar (reeller resp. konjugiert imaginärer) Geraden zerfällt, oder endlich in eine doppeltzählende Gerade ausartet.

Jeder dieser drei Hauptfälle zerlegt sich wieder in acht Unterfälle. Zu dem Behuf unterscheide man hinsichtlich des Gebüsches G, ob dasselbe „allgemein“ ist, d. h. keiner besonderen Bedingung genügt, oder aber, wenn die F₂ in G, außer der C₂, noch einen gemeinsamen Grundpunkt besitzen. Die Zeichen für diese beiden Fälle seien w resp.yn Bei der Regelfläche F₂, die bei willkürlicher Gestalt und Lage durch das Zeichen w' charakterisiert sei, trenne man wieder die beiden Sonderfälle ab, wenn sie ein Kegel wird oder aber eine besondere Lage im S₃ einnimmt; die bezüglichen Zeichen seien Je, b.

Man hat dann für die obigen acht Unterfälle das Schema:

Faü I II III IV V VI VII VIII

rO

Jeweils werden die Lage der Flächen K₂, F₂ und die Kurven auf der erzeugten F± untersucht. Von den besonderen Lagen der Fläche F; werden 13 unterschieden, je nachdem F₂ die Fläche K berührt oder in speziellen Kurven schneidet.

Daran schließen sich noch Bemerkungen über die Fälle, wo die F± eine Zyklide Z ist oder aber in eine Regelfläche F-F± ausartet.

18. Die vier Kuspidalpunkte der F±. F± mit Kuspidalkegelschnitt. Man knüpfe wieder an die Kummersche Gleichung (s. Nr. 7) einer Fi mit C° an:

(1)

F^ = cp²- 4p²ip = 0, deren C₂ der Schnitt (cp, p) war. Man unterwerfe (1), für p = xm, wiederum der Kummerschen Umformung (s. Nr. 9)

(10

F± = (<P + 2/i^)² — 4x²m(cpp + x²m(i² + il>)

= <p²m — ±x²mipm.

Diese läßt sich dazu verwenden, um cp zu einem Kegel zu machen.

Sei a

der Koeffizient von x²m, A die Determinante D von cp und . Es wird dann D^ ~ A -f- 2 p cc

2~~~i hierbei ist vorausgesetzt, daß <p

weder selbst ein Kegel ist, noch die Ebene xm — 0 berührt. Wählt man noch die Spitze dieses Kegels (px als Koordinatenecke Am und normiert <p₄ zu xixl — x\, so läßt (1') die ausgezeichnete Darstellung zu

mm

der Minor von a

mm

schwindet nur für p = p₄ == —

mm

und ver-

(2)

_F₄ ee (x{x, — x%y — 4xltm = 0, und Ax genügt den Bedingungen (2).

Der Koeffizient von xf wird x?, d. h. der D₂ in A, wird ein uni-planarer und zugleich ist xp ein in ein Ebenenpaar ausgearteter Kummerscher Kegel K₂. Ist dagegen Ax ein beliebiger, nicht der Fläche xp angehöriger Punkt der Cl} also c₀ =j= 0, so wird der Koeffizient von x²

/y* 2 _ A n /y»2

*"i

Somit zerfällt der Tangentenkegel des JD₂ in Ax in ein Paar von Tangentialebenen T, T' der Fi, das harmonisch ist zur Ebene (ocm — 0) der C₂ und der Tangentialebene x{ = 0 (in At) des über C₂ stehenden Kegels mit der Spitze Am. Dieser Tangentialkegel (T, T') des D2 in At wird dann und nur dann ein uniplanarer, wenn c₀ verschwindet; die beiden Ebenen T, T' fallen dann zusammen und zwar in die Ebene xt = 0, und man ist zum Spezialfalle (1') zurückgelangt.

Endlich beachte man noch, das jede Ebene durch einen unipla-naren Z)₂ der C₂ die F± in einer c₄ mit Spitze in D₂ schneidet, und umgekehrt.

Daher heißt ein solcher uniplanarer D² der C₂ ein „Kuspiddl-punM“ (oder „Rückkehrpunkt“) der F±. Somit gilt der Satz:

„Eine F± mit C₂ besitzt vier Kuspidalpunkte, die Schnittpunkte der C₂ mit der Fläche xp.¹¹

Man frage jetzt nach der Bedeutung der vier Schnittpunkte der C₂ mit (p, für die also zugleich

(3)

(4)

cp — 0, p — 0, xp = 0.

Ordnet man noch xp nach xl} so nimmt damit (1) die Gestalt an (« — x!f — 4 x²m(c₀x² + cxxx + Cg) = 0.

Überdies werde jetzt die Ecke At (auf c₂) so gewählt, daß sie auch auf xp liegt. Dann verschwindet die Konstante c₀ — und vice versa — und (1') reduziert sich auf

(!')

(1")

= (xixi — X!Y — 4^(ci xi +    = 0.

Nunmehr entnimmt man auch der Gleichung (1) die Beziehung der fünf Kummer-hLegel K₂ zu den vier Kuspidalpunkten.

Nach Kummer ließ sich (1) um formen wie folgt:

(la)

F, = (cp + 2Xp²)² - 4pW + lep + AV)

= <pI —    = o.

Für fünf Werte von X artete ^ in einen Kummer-K₂ aus. Diese fünf K₂ gehören also dem Netze N (cp, p², ifS) an.

Die acht Grundpunkte von N rücken viermal zu je zweien auf C₂ in die vier Kuspidalpunkte. Mithin hat man:

„Die fünf Wwwwerschen Kegel Ks gehen alle durch die vier Kuspidalpunkte und berühren sich in ihnen.“

Man untersuche jetzt den singulären Fall, wo jeder Punkt des C2 zu einem Kuspidalpunkt wird und damit die C₂ zu einem „Kuspidal-Jcegelschnitte“ der Fi.

Zu dem Behuf wähle man wieder xm — 0 als Ebene p, während die beiden Formen cp und ip beliebig seien. Dann schreibt sich (1) explizite

(5)

F4k = (P² —

= (aA + «A + «a)² — ^xUKxi + M* + h)

wo a₂ und c₂ als irreduzibel vorausgesetzt sind.

Im allgemeinen waren die vier Kuspidalpunkte die Schnittpunkte von C₂ mit ip‘, also außerhalb der Ebene xm= 0 die gemeinsamen Lösungen von

(6)

a₂ — 0, c₂ = 0.

Dann sind oo¹ gemeinsame Lösungen von (6), wenn etwa a₂ als gegeben betrachtet wird, dann und nur dann möglich, wenn entweder c₂ identisch verschwindet, oder aber c₂ mit a₂ übereinstimmt. In ersterem Falle erhält ^ den Faktor xm, so daß (5) die spezifische Gestalt annimmt

(?)

F^-cp*- 4x*mq = cp²—4,x*m(q₀xm + qt).

Umgekehrt ist für jede F± vom Typus (7) ihre C₂ ein Kuspidalkegel-schnitt.

In letzerem Falle müßte sein

(8)

c₂ — ci₂.

Es fragt sich, ob auch jetzt die Form F± (5) auf die Gestalt (7) gebracht werden kann. Zu dem Behuf verfahre man vorerst umgekehrt; man versuche (7) so umzuformen, daß c₂ nicht mehr identisch verschwindet, wohl aber gemäß (8) mit a₂ übereinstimmt. Zu dem Behuf schreibe man an Stelle von (7)

(7') F₄ == (cp + 2 x²J² — 4:x²m(cp + x²m + q₀xm + qt) = cp²n — 4x²mi[>m.

Hier ergibt die explizite Entwicklung von ipm nach xm

(9)

= Xm(a 0 + 1 + 2o) + Xm(ai + £l) + tt2‘

Da <z₂ auch in cpm das freie Glied ist, so ist damit zunächst die Bedingung (8) erfüllt. Weiter müßte sein

(10)

— ao + 1    \ = ai + <7l>

oder auch umgekehrt

(10')

ffo = &o — «o — 1; qt=h~ai-

Geht man jetzt wieder rückwärts, nimmt für qQ und qx die Werte (10'), so ist man in der Tat von (5) aus, mit der Bedingung (8), zu der gewünschten Darstellung (7) gelangt; man hat nur noch cp durch cpm = (a₀ + 2)^ + axxm + a₂ zu ersetzen.

Vereinigt man beide Ergebnisse, so gilt der Satz:

„Die Gleichung einer F± mit Kuspidalkegelschmtt läßt sich stets auf die Gestalt bringen

(I)

F₄ = qp*-4*5,2 = 0, und umgekehrt stellt (I) stets eine solche F± dar.“

Auf dem Kuspidalkegelschmtt cp = 0, xm — 0 existieren zwei ausgezeichnete Punkte, für die auch q — 0, also innerhalb xm— 0 die Schnittpunkte von «₂ = 0 mit qx = 0. Bedient man sich wieder der Kummerschen Umformung 11)    Fa = (cp + 2/L<)² — 4xl{cp l -f l²xl + xmq),

= <pf — %xl$x,

so gelangt man, wie im allgemeinen Falle, zu den fünf ÜTMmwierschen Kegeln K₂. Diese gehören dem .F₂-Netze N(cp, x²m, xmq) an, dessen acht Grundpunkte zu je vier innerhalb xm = 0 in jene beiden Punkte a₂=0, q₁ = 0 zusammenrücken. Zugleich ist ersichtlich, daß alle C₂ -der Fi den Kuspidalkegelschnitt a₂ in den beiden Punkten treffen und in ihnen je eine feste Ebene berühren.

Überdies folgt aus der Darstellung (I) der F±, daß die Tangentenebenen T der F± in den oo¹ Kuspidalpunkten der C₂ alle durch einen festen Punkt gehen. Dieser Punkt ist die Spitze des ausgezeichneten Kegels cpt, und obige T sind zugleich die Tagenten ebenen dieses Kegels.

Umgekehrt hat daraufhin C. Crone¹) die F± mit Kuspidalkegelschnitt C₂ durch Bewegung einer veränderlichen C₂ erzeugt, die zwei feste Ebenen in zwei festen Punkten berührt; sie läßt sich also vermöge einer geeigneten Kollineation in eine Rotationsfläche überführen. Es werden im besonderen Umrisse und Realitätseigenschaften solcher

103

_F₄ verfolgt. Variiert man die Stellung der erzeugenden C₂, so lassen sich die in drei Arten unterscheiden:

1.    die C₂ ist einteilig und trifft eine gewisse Ebene E₀ in zwei reellen Punkten;

2.    ditto, aber die beiden letzteren Punkte sind nicht reell;

3.    die C₂ ist nullteilig.

Die Ebene E₀ ist eine, die jF₄ längs einer erzeugenden C₂ berührende. Die Gattungen 2. und 3. lassen sich auf die erste zurückführen vermöge einer speziellen, nicht reellen Transformation, bei der aber reelle C₂ einander entsprechen.

Um die Verschiedenheiten in den Gestalten der jP₄ besser zu übersehen, ist eine Reihe von Zeichnungen der c₄ mit zwei Spitzen beigegeben, die durch die Schnitte der jF₄ mit Ebenen entstehen.

Sodann werden die Haupttangentenflächen untersucht; durch jeden Punkt gehen vier solche, von denen zwei reell sind. Insbesondere wird die Realität gewisser Haupttangentenflächen, die in Kegel ausgeartet sind, studiert.

Es folgt die Betrachtung des Umrisses c₆ der _F₄, von irgendeinem Punkte aus gesehen. Die c₆ ist zugleich eine y₆ mit acht Spitzen und acht Wendetangenten, und ist mit sich selbst kollinear mit dem charakteristischen Doppelverhältnis — 1. Für jede solche c₆ liegen die vier Geraden durch das Kollineationszentrum, die je zwei Spitzen enthalten, äquianharmonisch.

Im besonderen wird das Projektionszentrum in der Ebene C₂ gewählt, wobei sich schon alle Formen der c₆ ergeben. Diese hat null bis drei Zweige; höchstens vier Spitzen und vier Wendetangenten sind reell.

Endlich werden noch die C₂ betrachtet, in denen eine Tangentialebene eines Kummerschen Kegels die JF₄ schneidet; in dem Berührungspunkte der Ebene haben die C₂ eine Berührung 2. Ordnung. Es schließt sich wieder die Realitätsuntersuchung an.

Eine Ergänzung zu dieser Arbeit von Crone bildet die von J. JBe7a.3G) Wie oben, wird zunächst von der Kummerschen Gleichung einer F± mit C₂ ausgegangen: cp² — 4p²ip = 0, mit p — 0, cp — 0 als C₂, wo die vier Schnittpunkte der C₂ mit die Kuspidalpunkte sind. Liegt aber der Kegelschnitt (cp, p) auf ty, so daß man ip = cp -f- ppv setzen kann, so tritt der Fall des Kuspidalkegelschnittes C₂ ein.

Setzt man zur Abkürzung

U=(cp — 2p)², q = — 4(pv -f p),

36) O. Bela, Math. Ann. 19 (1881), p. 291.

so nimmt die Gleichung der F₄ die Doppelgestalt an F,= U² + psq = 0,

CO

= (Z7-h 2p²)² — i)²(A²i>²+ 22 U—pq).

2-

Hieraus lassen sich noch andere Gleichungsformen der F₄ nebst Erzeugungsweisen ableiten. Die Tangentialebenen längs der C₂ gehen durch einen festen Punkt und umhüllen einen Kegel K

Es folgt die Untersuchung der ebenen Schnitte der _F₄, sowie der umschriebenen Kegel, weiter der ebenen c1? c₂, c₃, die auf der _F4 liegen. Die Hesse sehe Fläche der F₄ zerfällt in die F₂ = U und eine gewisse zweite F₉ — H. Ferner werden C₃ und C₄ auf der jF₄ studiert. Jeder der 8 g der Fläche ist eine oo²-Schar von C₃ zugeordnet, als Schnitte der F₄ mit F₂, die noch die C₂ und die betreffende g enthalten. Die C₄ auf der F₄ bilden eine oo³-Schar-, es sind die Schnitte der F₄ mit F₃ durch C₂. Andererseits gehören der F₄ uoch 12 oo¹-Scharen von jR₄ an.

Historisch sei bemerkt, daß auf das Vorkommen eines Kuspidal-kegelschnitts einer F± zuerst A. Cayley³⁷) hingewiesen hat. Bald darauf entwickelte L. Cremona³⁸) eine allgemeine Methode zur Abbildung von F mit einer Kuspidalkurve, ohne indessen ein Beispiel hierfür anzugeben. Erst etwas später³⁹) gelangte er zu zwei solchen, eben der -F₄ mit einer kuspidalen C₂, und einer F₆ mit einer kuspidalen (7₄. Beide Flächen werden aus der F₃ mittels einer gewissen quadratischen Crmowatransformation abgeleitet.

Über die Behandlung der _F₄ mit Kuspidalkegelschnitt vom 54 aus durch C. Segre s. Nr. 20.

19. Die Zeutliensclie Tangentenprojektion der von einem Punkte des Doppelkegelsclmitts aus. Die Projektion der von der Spitze eines Kummerschen Kegels aus. Erzeugung der _F₄. F. Geiser-(s. Art. „F₃“ Nr. 16) hatte an eine F₃ von einem ihrer Punkte aus den Kegel AT₄ der Tangenten gelegt, und ihn mit einer Projektionsebene II geschnitten. Die Spur war eine allgemeine c₄ (vom Geschlecht drei). Damit war eine fruchtbare Methode gewonnen, um die Geometrie auf der F₃ auf Grund der bekannten Eigenschaften der c₄, insbesondere von deren Doppeltangenten t₂, zu studieren.

Daraufhin hatte H. G. Zeuthen seine voraufgehenden Untersuchungen über die verschiedenen Gestalten der c₄ in Beziehung gesetzt zu den

37)    A. Cayley, Lond. Math. Soc. Proc. 3 (1871), p. 181.

38)    L. Cremona, Ist. Lomb. R. 1871, p. 140, 159; Gött. Nachr. 1871, p. 29.

39)    L. Cremona, Math. Ann. 4 (1871), p. 213; Bologna Mem. (3) 2 (1872),

p. 117.

103

Gestalten der F₃ und konnte so eine übersichtliche Klassifikation der letzteren liefern.

Auf die P₄ mit C₂ hat Zeuthen²) die Geisersche Methode in zwei umfangreichen Arbeiten übertragen, und hat dadurch die Mittel gewonnen, nicht nur die Ergebnisse von Clebsch, (s. Kr. 10) über die Geometrie auf der Fläche auf synthetischem Wege wieder zu gewinnen, sondern auch, wesentlich weitergreifend, in die Raumverhältnisse außerhalb der Fläche Einsicht zu erhalten. Insbesondere werden Form und Zusammenhang solcher P₄, sowie die Realität ihrer 16 Geraden g und ihrer fünf Kummerachen Kegel K₂ diskutiert.

Sei P irgendein Punkt der zunächst als einteilig vorausgesetzten C₂, so lege man von P aus die oo¹ Tangenten t an die P₄. Diese t bilden — wie bei der F₃ — einen allgemeinen Kegel 7T₄ der Ordnung 4 und vom Geschlecht 3. Schneidet man den K± mit irgendeiner festen Projektionsebene 17, so wird der Schnitt — oder auch der scheinbare Umriß der P₄ von P aus — eine allgemeine c₄. Hieraus werden in der ersten Abhandlung, in der die Grundlagen entwickelt werden, verschiedene allgemeine Eigenschaften der P₄, ihrer 16 g und 5 K₂ abgeleitet.

Die Tangentialebenen T der K₂ schneiden nach Kummer (s. Nr. 9) die Fi in zwei C₂- deren Projektionen sind 10 der durch Clebsch bekannten 63 Systeme von viermal berührenden c₂ der c₄. Da solche c₂ auch weiterhin eine wesentliche Rolle spielen, seien sie kurz mit cf) bezeichnet.

Daneben wird eine zweite Art von Berührungsprojektion der P4 mit Vorteil verwendet, indem das Projektionszentrum in die Spitze eines der 5 K₂ verlegt wird. Der Umriß der P₄ zerfällt dann in die doppelt zählende Spur des Ks und, als „eigentliche" Projektion, eine (elliptische) c₄ mit 2 d₂. Hieraus geht eine einfache Konstruktion der P₄ hervor, die zugleich eine Abbildung der P₄ auf eine Doppel-P2 liefert.

Weiter werden die von Zeuthen und C. Crone früher (s. Art. „Ff Nr. 16) gewonnenen Ergebnisse über die verschiedenen Figuren der (allgemeinen) c₄ und ihrer cf- Systeme, speziell der Doppeltangenten t₂,

19. Die Zeuthensche Tangentenprojektion der Fi usw. Erzeugung der _F₄.    1601

herangezogen und für die Gestalten der Fi und ihrer Realitätsverhältnisse verwertet.

Bei einteiliger C₂ läßt sich auf diesem Wege in jedem Einzelfalle die Anzahl der reellen g und die der reellen K₂ bestimmen. Man gelangt so zu einer Einteilung der P₄ in 6 Gattungen, die im einzelnen untersucht werden. Auch die jeweils auftretenden reellen C2 auf der P₄ sowie ihre imaginären g werden verfolgt.

Am Schluß erfolgt, unter Benutzung des Kontinuitätsprinzips, die Übertragung der Ergebnisse auf den Fall einer nullteiligen C₂.

Diese Grundzüge wurden in der zweiten Abhandlung weiter entwickelt. Der Verfasser macht es sich geradezu zum Programm, auf Grund der obigen Projektionsmethode, die Verhältnisse auf der P4 direkt aus den verschiedenen Systemen von der c₄ und ihren gegenseitigen Beziehungen abzuleiten. Dabei wird von dem Kontinuitätsprinzip — dessen Verwendung, da es sich nur um algebraische Gleichungen und deren geometrische Deutung handelt, durchaus zulässig ist — durchgehends Gebrauch gemacht. Auf diese Weise lassen sich projektive Eigenschaften, die zunächst nur für bestimmte Realitätsverhältnisse entwickelt waren, auf den allgemeinen Fall ausdehnen.

Die von einem Punkte P der C₂ an die P₄ gehenden Tangenten t bildeten einen allgemeinen Kegel K±, der von einer festen Ebene II in einer c₄ geschnitten wurde. Die Projektion c irgendeiner Kurve C auf der P₄ berührt die c₄ in den mit C₂ gemeinsamen Punkten. Umgekehrt lassen sich zu einer vorgegebenen c₄ in II in noch mannigfaltiger Art zugehörige P₄ mit C₂ herstellen.

Die beiden Tangentialebenen T, T' der P₄ in P schneiden aus II zwei Doppeltangenten t₂ der c₄ aus; die 26 übrigen t₂ rühren von den P₄ zweimal berührenden und durch P gehenden Ebenen T₂ her. -Von diesen 26 T₂ schneiden 10 die P₄ in C₂-Paaren und liefern so 10 weitere t₂- endlich die 16 übrigen T₂ enthalten je eine der 16 g — und außerdem noch eine r₃ — und führen zu den 16 übrigen t2 der c₄. Bei einteiliger C₂ und reellen T, T' der P₄ in P treten die eben angegebenen Eigenschaften fast ohne weiteres in Evidenz. Dabei empfiehlt es sich, „sichtbare“ und „unsichtbare“ Punkte der P4 zu unterscheiden.

Mittels Bestimmung gewisser charakteristischer Anzahlen gelingt es, ein einfaches arithmetisches Kriterium aufzustellen, das zu entscheiden gestattet, ob zwei gegebene Punkte der P₄ entweder zugleich sichtbar resp. unsichtbar sind, oder aber der eine sichtbar, der andere unsichtbar

Läßt man hinterher den Projektionspunkt P auf der C₂ variieren, so ergeben sich einzelne C₂- Scharen auf der P₄, die in Scharen von

<?(⁴) projiziert werden. Je zwei dieser Scharen sind „konjugiert“ (oder „komplementär“), indem sie die Enveloppe ihrer Ebenen gemein haben. Dabei bestimmt ein Punkt in 17 genau zwei cf> einer bestimmten Schar. Entsprechend geht durch irgendeinen Punkt der _F₄ eine C2 irgendeiner Schar und eine andere der konjugierten Schar. Die Ebenen solcher Cj-Paare umhüllen daher Kegel K₂, deren Anzahl fünf ist, da von jedem P der C₂ zehn T ausgehen. Diese fünf K₂ sind daher die Kummerschen K₂, deren Kanten die P₄ doppelt berühren.

Yon den C₂ eines Systems werden von P aus sechs in Paare von Doppeltangenten t₂ der c₄ derselben Schar projiziert. Zwei dieser sechs Paare enthalten zusammen die vier t₂, die von den beiden T der P₄ in P und den beiden an den betreffenden K₂ gehenden T in 17 ausgeschnitten werden. Die übrigen vier Paare rühren von ^-Paaren der P₄ her, die den K₂ berühren. Dasselbe gilt für das konjugierte System und seine Projektion. Die Anordnung der 16 g ist dieselbe wie die von 16 g einer P₃, die eine siebzehnte nicht treffen (s. Art. „Fs“, Nr. 16).

Weiter schneiden die T in P und die Paare der T an die fünf K₂ die sechs 4'Paare einer Schar aus. Da je zwei von ihnen ihre acht Berührungspunkte auf einer haben, so folgt für die P₄:

„Die vier Haupttangenten in P, und die vier Berührungspunkte der beiden T₂ durch P, die denselben K₂ berühren, liegen auf einem Kegel 2. Ordnung.“

Aus dem bekannten Satze, daß die sechs d₂ der 4_Paare einer Schar auf einer c₂ liegen, folgt für die P₄:

„Der Kegel, von dem fünf Kanten einen Punkt P der C₂ mit den Spitzen der Kummerschen K₂ verbinden, enthält auch die Tangente der C₂ in P.“

Für die Geometrie auf der P₄ ist von Bedeutung, daß jede c in 17, die die c₄ überall berührt, als Projektion von zwei verschiedenen C der F₄ angesehen werden kann. Von solchen C werden insbesondere die (7₃ untersucht. Die durch P gehenden C^-Systeme projizieren sich in Systeme von c^⁴⁾; solcher oo¹- Systeme gibt es 32; variiert P auf der C₂, so entstehen 16 oo²-Scharen. Da ferner der von P ausgehende Projektionskegel die C₂ in den vier ,Kuspidalpunkten der P4 trifft (s. Nr. 18), so folgt, daß die fünf K₂ diese Punkte enthalten.

Neben die bisherige Projektion von P aus stellt sich eine andere, von der Spitze T eines der fünf K₂ aus. Sieht man von dem doppeltzählenden K₂ ab, so ist der Tangentenkegel ein (elliptischer) K₄, der von 17 in einer c₄ mit zwei d₂ geschnitten wird. Deren acht t₂ sind die Spuren der von T aus an die vier anderen K₂ gehenden T.

Nunmehr wendet sich Zeuthen zur Klassifikation der P₄, die reelle Punkte P auf ihrer C₂ haben. Letztere zerlegt sich in zwei Gebiete: Das eine „eigentliche“ mit reellen T in ihren P, das andere „isolierte“ mit imaginären T. Beide Gebiete grenzen in den Kuspidal-punkten aneinander.

Andererseits hatte Zeuthen früher für die c₄ sechs Arten ermittelt; je nachdem der Projektionspunkt P dem einen oder anderen Gebiete angehört, hat man es mit verschiedenen Arten von c₄ zu tun. Sodann werden die verschiedenen Realitätsmöglichkeiten diskutiert.

Wieviel reelle Systeme von c^⁴⁾ für die sechs c₄ Arten sich ergeben, und wieviel reelle und imaginäre 4~Paare in jedem Systeme, entnimmt man einer von G. Grone³) angegebenen Tabelle. So ergeben sich sechs Arten von P₄; für jede wird die Zahl der reellen g (16, 8, 4, 0) und die der reellen K₂, sowie die Stellung des isolierten Gebietes der C₂ gegen dieselben bestimmt. Zuletzt wird noch eine einfache Erzeugung der P₄, nach dem Muster einer von „Darboux“ für die Zykliden Z (s. Abschn. IV) angegebenen, aufgestellt.

Man lege durch einen festen Punkt T eine variierende Gerade g, die zwei feste P₂, die mit <?₂ und S₂ bezeichnet seien, in Punktepaaren (S, S') und (D, D') trifft. Sodann bestimme man die beiden Punktepaare (Af₄, M₂) und (Af/, M₂), die (P, D') und (T, S) resp. (P, S') harmonisch trennen. Diese beiden Paare (Af1; Af₂) und (Af/, M₂) erfüllen eine P₄, deren C₂ die Berührkurve des von T an die <?₂ gehenden Berührkegels ist, während der von d₂ ein K₂ der P₄ wird. In dem Sonderfalle, wo <3₂ eine Kugel mit dem Zentrum T ist, entsteht eine Zyklide.

Die Schnittkurve Ci (<?₂, d₂) trennt die Punkte von <?₂, denen reelle Punktepaare der P₄ entsprechen, von den anderen. Berück- v sichtigt man die verschiedenen Gestalten der 0₄, so gewinnt man ein zweites Einteilungsprinzip für die P₄, das auch die Fälle mit null-teiliger C₂ umfaßt.

Nunmehr mögen wieder einige analytische Ergänzungen hinzugefügt werden. Um die Eigenart der Zeuthensohen Tangenten-Pro-jektion besser zu erkennen, empfiehlt es sich, vorab einige Vorstufen in Betracht zu ziehen. Punktkoordinaten seien xi7 xk, xv xm, und die Gleichung einer beliebigen P₄, nach xm entwickelt, mit bzw. ohne Binomialkoeffizienten geschrieben

= aA + ±aA +    + 4 azxm + a₄

=    + \x*m -f l)₂xl + b,Xm + &₄ = 0,

wo zunächst a₀ — bQ 4= 0 sei, also die Koordinatenecke Am nicht der F₄ angehöre.

Von Am aus werde der Tangentenkegel K an die _F₄ gelegt und mit der Projektionsebene xm — 0 geschnitten. Die Gleichung von K ergibt sich sofort durch Nullsetzen der Diskriminante D der als in xm biquadratischen, binären Form aufgefaßten Form F₄(xm) (s. Nr. 5). Man kennt die invariante Darstellung von D. Sind g₂ und g₃ die beiden Invarianten von F₄(xm)

e ö⁵ e*

r-i G* CO

e    «    ö

O w IN

ö    ö    e

(2)

g₂ = aQa₄ — Aaxaz + 3a§, g₃ =

so wird D

(3)

F = g\-21g\.

Damit erhält man als Gleichung des Kegels K und zugleich seiner Spur in der Ebene xm = 0

(4)

K=D = 0.

Da jedes Glied in D (3) vom Gewichte 12 bez. der a ist, stellt (4) einen Kegel 12. Ordnung K₁₂ dar. Die Struktur der Projektion c12 läßt sich aus der rechten Seite von (3) ablesen.

Beim nächsten Schritt nehme man an, Am sei ein einfacher Punkt der Fso daß a₀=0 (aber nicht ax =0). Dann treten für g₂ und g₃ die Reduktionen ein

g₂ = 3a| — 4oqa₃, — g₃ = a\a₄ — 2axa₂a₃ + a\.

Jetzt fällt in D (3) auch das mit der ersten Potenz von ax als Faktor behaftete Glied axa\a₃ heraus, so daß aus D der Faktor a\ heraustritt, während der zweite Faktor mit D' bezeichnet sei:

D = a[D'.

(2,)

(3,)

Mithin spaltet sich vom ursprünglichen Kegel KX2 die Tangentenebene T (ax = 0) in Am doppeltzählend ab, und der K₁₂ reduziert sich auf einen Kw

(4')

K₁₀ = D'= 0.

Hier läßt sich D' einfacher darstellen. Die Form F₄(xm) in (1) reduziert sich wegen a₀= b₀—0 auf die in xm kubische binäre Form

= x⁵mbx + x\b₂ -f xmb₃ + b₄.

Dann muß JD' mit der Diskriminante dieser kubischen Form übereinstimmen, und man erhält als Gleichung des Kegels Kxo (4a) K₁₀ = D' = 4(3&x&₃ - b*)(U₂b₄ - ft») - (9bx\ - b₂b₃f = We — cf = 0

(!')

Die Struktur der rechten Seite sagt aus, daß die Kurve c₄ die Projektionskurve c₁₀ 20mal berührt, die Kurve c₆ 30mal, so daß die 20 -j- 30 = 50 Berührungspunkte von der Kurve c₅ ausgeschnitten werden.

Im nächsten Falle sei Am ein einzelner Knotenpunkt D₂ der Fläche F±. Dann verschwindet (außer a₀ = b₀) ax = bx identisch, und °,₂ = b₂ — 0 liefert den Kegel K₂ der Tangenten in _D₂. Damit reduziert sich Z)'(4a') auf

¹

C. Crone, Dissert. Kjöbenhavn 1881.

Encyklop. d. math. WisseMeh. III 2.

²

H. G. Zeuthen, Festsckr. Kjöbenhavn 1879. [Eine italienische Übersetzung von G. Loria befindet sich in Ann. di mat. (2) 14 (1887), p. 31.] Den scheinbaren Umriß einer Fi von einem D₂ aus (sowie verwandter Flächen) als „Übergangskurve“, unter Heranziehung der Zweiteilung der hyperelliptischen Funktionen, untersucht A. Clebsch, Math. Ann. 3 (1870), p. 45. Die Tangentenprojektion einer F₄ tritt übrigens schon bei E. Kummer (s. Nr. 8) auf, in besonderer Anwendung auf die Steinersche Fläche S (s. auch Abschn. VII).

³

C. Crone, Tiddskr. f. Mat. (3) 5 (1875), p. 161.

(4")

B" = m^\b,-bi) + bib\

= &|(46₂^— 6§).

Vom Tangentenkegel K₁₀ (4a') sondert sich also der Kegel b₂ — 0 doppeltzählend ab, und es verbleibt als eigentlicher Projektionskegel ein Kr:

(4a")

K₆ eee 4&₂&₄— b\ = 0.

Hier ist, wie es sein muß, die rechte Seite die Diskriminante (bez. der abermals reduzierten Form Fx:

(1")

Fi =    3 + K

Wiederum sind in der Projektionsebene b₂ = 0 und &₄ = 0 Berührkurven der Projektionskurve c₆, deren Berührpunkte auf der Kurve b₃ — 0 liegen.

Umgekehrt läßt sich jede c₆ mit einem sechsmal berührenden Kegelschnitte als Tangentenprojektion einer _F₄ mit _D₂ auffassen. Das ist auch der Ausgangspunkt in der Preisschrift von K. Rohn (s. Nr. 63).

Dies findet nunmehr seine Anwendung auf den Hauptfall, wo eine JF₄ mit C₂ vorliegt und Am irgendein D₂ der C₂ ist. Die Gleichung der _F₄ ist dann nach Kummer (s. Nr. 9) von der Gestalt

(5)

Fi = 9² + xi²t = o,

cp = xmdx -f d₂, t = tfne₀ + 2xmex -f ea.

(6)

Hier seien die Koeffizienten dX} d₂, ex, e₂ explizite entwickelt: dt = dtxt + dkxk + dtxv d₂ = ditxt* + 2dikxixk -|----,

⁶1 = eiXi H- ehXk~\~ eiXV

e₂ = eux* + 2eikXtXk -]----.

Ordnet man jetzt Fi nach xm, so ergibt sich ' (5')    F. = xl(d\ + e₀xf) + 2xm(dt d, + e+₍») + (dl + e,x?)

= ** a, + 2xn«s + a₄=0.

Die Diskriminante D (bez. x^) erhält damit den Wert

(7) D = cc₂cci —    = (d\ + eQx?){dl + e₂x?) — (dxd₂ -f exx*f.

Hier tritt rechts der Faktor x? heraus, d. h. geometrisch, vom früheren Projektionskegel K₆ (4 a") sondert sich, doppeltzählend, die durch xi — 0 dargestellte Ebene der G₂ ab, wie es sein muß. Es verbleibt also als „eigentlicher“ oder „Zeuthenschev“ Projektionskegel Ki resp. dessen Spur c₄ in der Projektionsebene

(I) K± = e₄ = (e₀d\ + e₂d{ — 2d₁d₂e₁) -f- x?{e₃e₂ — ef) = 0.

Hier haben die beiden Klammerausdrücke eine einfache Bedeutung. Einmal ist e₀e₂ — e\ die Diskriminante der Form    deren Ver

schwinden liefert also den von Am aus an die F₂ — 0 gehenden Berührkegel E. Andererseits ist e₀tf| -f- e₂d\ — 2d₁d₂e₁ die Resultante der quadratischen Eormen cp(xm) und il>(xm)] das Verschwinden von E stellt den über der Schnittkurve C₄(qp, stehenden Kegel 4. Ordnung mit der Spitze Am dar.

(I')

Die Gleichung (I) schreibt sich somit kurz

Ei = c4c = E x?E = 0,

so daß die Struktur der c₄ auf der Hand liegt.

an

Ist insbesondere Am einer der vier Kuspidalpunkte (s. Nr. 18), für den rp, xi} ijj zugleich verschwinden, so verschwindet das konstante Glied e₀ in ip. Damit nimmt (F) die Gestalt

(I")

2T₄ = c₄ EE d₁ (e₂dy — 2d₂ej + x?e\ = 0,

wo dx — 0, ex — 0 die Spuren der Tangentialebenen von qp, in

Am sind.

Weiter trete jetzt der Fall einer Kuspidal-C^ (s. Nr. 18) ein, so daß jeder Punkt auf C₂ ein uniplanarer D₂ wird, oder auch, daß jede Ebene die Fi in einer c₄ mit zwei auf C₂ gelegenen Spitzen trifft. Nach früherem (Nr. 18) läßt sich dann die Gleichung der F± auf die Gestalt bringen

(8)

Fjy = cp² + x?v = 0.

Die oben in (5) auftretende Form ^ = x\fi₃ -f- 2xmex -f- e₂ besitzt jetzt den Faktor xi} so daß man setzen darf

(9)

e₀ = 0, 6y = c₀ xi, e₂ = Cy xi.

Damit tritt in (I") der Faktor xi heraus, und es verbleibt als Projektionskurve eine c₃ mit der Gleichung

cn

c₃ = dy(dyCy — 2d₂c₀) -f- c²^³ = 0.

Es ist dann die Gerade dx — die Spur der T von cp in Am — eine Wendetangente, und die Spur der C₂ (qp, v), deren Gleichung dyCy — 2d₂c₀— 0 ist, oskuliert die c₃ dreimal, so daß die drei Oskula-tionspunkte auf der Geraden x{ — 0, der Spur der C₂, liegen.

(lÄ)

^ = (10,). ^+(10,). («,+ *,*)

— (lOm) • {ei + djd^ + 2didil).

Aus (11,), (11+ (11,) geht hervor, daß Ciy Ck, zugleich mit den Ausdrücken (10) verschwinden, d. h., daß, wie auch geometrisch ersichtlich, die Projektionskurve c₄ einen d₂ erhält.

Aber auch das Umgekehrte läßt sich an der Hand von (10) und ' (11) ohne Schwierigkeit beweisen, was dem Leser überlassen bleibe, daß die Existenz eines d₂ der c₄ die eines D₂ der _F₄ nach sich zieht. Somit gilt:

„So oft die _F₄ mit C₂ einen weiteren D₂ erhält, so oft ist auch dessen Projektion von einem Punkte der C₂ aus ein d₂ der Projektionskurve c₄, und umgekehrt.“

Besitzt im besonderen die _F₄ mit C₂ vier D₂ (s. Kummer, Nr. 7), also auch die c₄, so muß die letztere zerfallen, entweder in zwei c₂, oder aber (im singulären Falle) in eine cx und eine r₃.

Wir wenden uns jetzt zur analytischen Behandlung der Zeuthen-schen Erzeugung der Fi mit C₂. Die Gleichungen zweier fester F2 seien, nach xm geordnet,

F = aA + %<hxm +«₂=0,

Endlich sei noch der Fall in Betracht gezogen, wo die F± mit einer C₂ noch einen _D₂ außerhalb besitzt (s. Kummer, Nr. 7), etwa in der Koordinatenecke A.. Es sind dann der Form _F₄ in (5) die vier weiteren Bedingungen aufzuerlegen, daß die Koeffizienten von xf, xfxk, x?xl} x?xm verschwinden. Somit muß sein gemäß (6)

ea + d‘ii = 0 eik + 2dudik ~ 0, en + %diidil = 0,

ei + d.dit ⁼ o.

Andererseits stelle man die Koeffizienten Gi, Ck, Cx von xf, x?xk, x*xt in der Form c₄ (I) auf.

Der Koeffizient 0, läßt sich leicht auf die Gestalt bringen Q == (eo + 0(eü + du) — (ei + dfä^)²,

(10,)

j (io,o

(10,)

(10J

(11)

oder auch, da eai-j- df{ und et -f- didii die linken Seiten von (10m) sind, kürzer

(10) und

(11.)

Gi = (10,) • (&₀ + d?)    (10m)².

Ähnlich ergeben sich für Ck und C, die Darstellungen iCl = (i0i):dtdk+(10J.(et+d*) — (10J • {ek + dk(lu + 2didik),

(H*)

Im folgenden werde das von W. F. Meyer angegebene Übertragungsprinzip herangezogen (s. Nr. 5). Durch die Koordinatenecke Am werde eine variierende Gerade g gelegt, die die Ebene xm = 0 im Punkte (x₀ xk, xv 0) treffe; der laufende Punkt auf g wird durch den Parameter xm bestimmt. Den beiden Schnittpunkten von g mit F und G mögen die Parameterwerte a, a und ß, ß' entsprechen. Indem wir zugleich die Zeuthensehe Erzeugung verallgemeinern, werde noch eine beliebige, vorerst nicht durch Am gehende Ebene E adjungiert mit der Gleichung

(13)

Pi    0.

E = XmQ0

zu.

Po

Dem Schnittpunkte R von E mit g kommt dann der Wert xm~ —

Man suche zwei Punktepaare (Mlf Jf₂), (MX} M₂) auf g, die zugleich harmonisch sind zu den Paaren (ß, ß') und (R, a) resp. zu (R, a). Die beiden Paare (R, a), (R, a) bestimmen sich durch die Wurzeln der Gleichungen

(14)

(14')

(Ri «) = Om ~ “)(XmQo — Ql)

= XiQo — Xm(Ql + «Po) + “Ql = °; (R, «0 = xliQo — xm(Qi + “Qo) + “Qi = 0.

Dann erhält man die Gleichungen der beiden Paare (MXf M₂), (Mx M₂') durch Nullsetzen der Funktionaldeterminanten von G(l) mit (14) resp. (14')

(Mi, M.₂) == x²mp₀₁ + xmp₀₂ + p₁₂ = 0,

(Mit Mt) = XlA>01 +    + Pl2 = ⁰-

Hier sind die pik die Determinanten der Matrix

(15)

(15')

(16)

²Qo, — (Qi+*Qo)> ² “Qi

b.

woraus die durch Vertauschung von cc mit a hervorgehen.

Durch Multiplikation von (15) und (15') ergibt sich als Ort der Punktepaare (Mp, üf₂), (Jf/, Jf₂') eine in den Koeffizienten von F, G, E rationale Gleichung vom vierten Grade in xm

(17)    (Mu M,) ■ (Mt', M’) = K= xtPmPm + ■•• = <*„ + ••• = 0. Da die linke Seite eine in xm binäre Kovariante des Systems (F, G, E) ist, genügt die Berechnung des Leitgliedes Jc₀

(18)    Tc₀ =.p₀₁K

= {0Qoh + QiK) + «PoM • {(^Qo\ + Qih) 4~ “' Qo^o)

= (2p₀&x + ?i^o)²+ (+ QM + aa'po^o-

Man setze hier für a -f- a und aa gemäß (1) ihre Werte a a — —    ,

aa — —, und entwickle derart, daß in den einzelnen Gliedern nur a°

Leitglieder von Kovarianten resp. Invarianten auftreten. Zu dem Behuf bilde man zunächst die Resultante Ra von G und E

(19)

Ra= aoQl + 2aiQoQi + a*Ql-

Dann ergibt sich als seminvariante Darstellung von ]c₀

(20)

Ra + ^QoQai(,Qo^i + qM>

wo

= (ah)a-'

Um von hier aus zur typischen Darstellung der Kovariante K (17) selbst zu gelangen, hat man nur in (20) die einzelnen Leitglieder von (binären) Kovarianten durch letztere selbst zu ersetzen (während die Invarianten bleiben). Nun ist b₀ das Leitglied von G, p₀ das von E, q₀₁ das der Funktionaldeterminante (F, G):

(21)

(F> G) = loA + Sos*™ + in,

und    Qi K das der Funktionaldeterminante (E, G):

Po

(E, G) =

(22)

— Qi xm \ + h = xm(\.Qi + \Qo) + (^iPi +    9a)*

Damit wird die typische Darstellung von (17)

(II)

K=RaGi — 4E • (Ft G) • (G, E) = 0.

Der gesuchte Ort der beiden Punktepaare (Mt, Jf₂), (M₁\Mir) ist also eine F₆ mit _D₂ in Arn, deren weitere Eigenschaften sich aus (II) ablesen lassen, sobald man die geometrische Bedeutung des Verschwindens der einzelnen Faktoren kennt.

Nun stellt Ra = 0 den Kegel mit der Spitze Am dar, der den Schnittkegelschnitt (F\ E) projiziert. Sodann ist (.E, G) == 0 eine Fs, ' der Ort der Doppelpunkte der Involutionen, die die Gerade g aus den Individuen des Büschels (F, G) ausschneidet. Endlich entsteht die F₂: (Gf E) = 0 als Ort des vierten harmonischen Punktes von R in bezug auf die Schnittpunkte (g, F).

Läßt man hinterher im besonderen die Ebene E durch Am selbst gehen (also R — Am), so daß p₀ — 0, so sondert sich in (II) der Faktor ab, d h. geometrisch, von der F₆ spaltet sich die Ebene E doppeltzählend ab. Damit reduziert sich die F₆ auf die nach der Zeuthenschen Vorschrift entstehende F±, die nunmehr leicht diskutierbar ist.

Für p = 0 reduziert sich Ra auf cLqq\, E auf — px, (E, G) auf Qi(xnfio 4" &i)    Qi G₀, wo G₀ die Polare von Am bez. G bedeutet.

Mithin wird die Gleichung der F±, wenn man noch bequemer a₀—1 nimmt,

Fa=G²—4G₀-(F,G) = 0.

(II a)

Hier erscheint rechts die Segresehe Form (s. Nr. 20) einer F± mit C₂-letztere ist der Schnitt von G mit der Ebene 6r₀, also der Berührkegelschnitt des von Am an G gehenden Berührkegels. Von (Ha) aus gelangt man aber auch .zur ursprünglichen Kummerschen Darstellung (s. Nr. 9). Denn (F, G) gestattet die Umformungen

F₀, F G₀, G

(210    (■F; G) =

= GF₀-G₀F

F₀, Ft

G₀, G₁

Setzt man dies in (Ha) ein, so entsteht

_F₄ = 6r²— 4 G₀(G₂F₀ — G₀F)

= (G-2F₀G₀y-4Gl(FZ-F),

oder auch, da F„ — F mit der Diskriminante Da = a\ — a₂ von F ühereinstimmt,

(Ha)

F, = (G-2F₀Goy-4GlDa^O.

Hieraus liest man noch ab, daß Da = 0 der Berührkegel von Am an F, einer der fünf Kummerschen Kegel ist, in Übereinstimmung mit Zeuthen.

Endlich sei noch der Zeuthenschen Tangentenprojektion der Fi mit C₂ von der Spitze eines Kummerkegels K₂ aus gedacht. Zu dem Behuf greife man zurück zum Falle (1) der allgemeinen Fi} der das Projektionszentrum Am nicht angehörte. Die binäre Diskriminante D der Form FA(xm), gleich Null gesetzt, lieferte den von Am aus an die jF₄ gehenden Tangentenkegel 12. Ordnung K₁₂₇ resp. dessen Spur in der Ebene xm — 0.

Jetzt sei im besonderen die F± eine solche mit C₂, welch letztere man in der Ebene xm = 0 annehme. Die Kummersehe Gleichung der jF₄, nach xm geordnet, hat die Gestalt (22)    F,= <p*~

= (aA + 2aA+ %)² —    + 2ca+ c₂) = o.

(23)

Die rechts stehende, in xm biquadrische binäre Form laute abgekürzt ==    + 4«!^ -f 6a₈3* + ⁴cc₃xm -f a₄.

Dann ist bekanntlich die Diskriminante D von der Struktur

(24)

F> = <*₄( ) + «*( )•

Da aber im vorliegenden Falle a₄ = a\, u₃= axa₂, so tritt aus _D der Faktor a\ heraus. Geometrisch ist a₂ = 0 die Gleichung der ü₂; von der Spur des Kegels jK₁₂ spaltet sich also die C₂ doppeltzählend ab,

wie es sein muß, da ja jeder Punkt der C₂ ein D₂ der P₄ ist, der vermöge der Tangentenprojektion in einen d₂ übergeht.

Nunmehr werde das Projektionszentrum Am als Spitze eines iÜMwmerkegels K₂ gewählt und il> = 0 als Spitze des letzteren. Dann reduziert sich die Form auf xfnc₂ und die Form P₄ (22) auf

(22')

F&m) = M+ 2^^+ a₂Y— 4 x²mc₂.

Demnach erhalten die Koeffizienten a in (23) die Werte

(23')

«o    ao ^2    ü (®o    I ^    ^ ^2);

a₄ — a|, «₃ = ata₂.

Die Diskriminante _D von (22') ist in ihre Faktoren zu zerlegen. Einmal hat D, wie oben bemerkt, den Faktor a\ und analog auch den Faktor a\. Sodann muß auch der Faktor c\ auftreten, da für c₂= 0 die Form P₄(a;m) das Quadrat einer quadratischen Form (<p) wird, also zwei Doppelwurzeln besitzt.

Geometrisch leuchtet das gleichfalls ein. Denn c₂ = 0 liefert die Spur des Kegels K₂, und jede Kante von X₂ berührt die Fläche Fi zweimal (s. Nr. 9). Mithin existiert eine Zerlegung von D von der Struktur

(25)

D = a\a\c\c^

so daß c₄=0 die „eigentliche“ Projektionskurve ergibt. Berechnet man auf Grund von (23') die beiden Invarianten g₂ und gz der Form F±(%m)i bildet sodann gemäß (3) D — g\ — 21 g\, und entwickelt nach Potenzen von c₂, so stellt sich in der Tat heraus, daß die Koeffizienten von c\, c\, c\, c\ verschwinden und eine Zerlegung vom Typus (25) resultiert, wo der Restfaktor c₄ die Gestalt annimmt

(26)

(c₂ — A)²— 4 a\c₂, wobei A = a₀a₂—a\ die Diskriminante der Form g>(xm) bedeutet. Die Kurve c₄ ist also eine elliptische (mit zwei d₂).

20. Die Segresehe Projektion vom S₄ aus. Die Veronesesche Konstruktion. Schon Steiner und Plüclcer haben elliptische c₄ mit zwei d₂ untersucht, indem sie die Kurve als Projektion der Schnittkurve C₄ zweier F₂ von irgendeinem Raumpunkt P₀ aus ansahen. Als Sonderfall erscheinen die (elliptischen) c₃, wenn man den Projektionspunkt P₀ auf die C₄ selbst rücken läßt.

Und doch hat es längerer Zeit bedurft, bis man den $₄ zu einer analogen Projektion für die P₄ mit C₂ benutzte. Dies scheint zuerst durch G. Veronese⁴²), der schon vorher⁴³) die Gesetze des Projizierens

42)    G. Veronese, Yen. Ist. Atti (6) 2 (1884), p. 1841.

43)    G. Veronese, Math. Ann. 24 (1884), p. 313.

und Schneidens höherer Räume systematisch untersuchte, geschehen zu sein.

Im $₄ haben zwei Über-i^, Fp und G^\ eine oo ^Mannigfaltigkeit M£³⁾ der Ordnung 4 gemein. Projiziert man letztere von irgendeinem, zunächst nicht ihr seihst angehörigen Punkte P₀ in einen S₃, so erscheint als Projektion eine P₄ mit C₂ (s. Art. „F₃“, Nr. 16). Hieraus leitet Veronese folgende Konstruktion einer P₄ mit C₂ her. Man markiere auf einer festen Geraden drei Punkte V, V', S. Durch S lege man eine variierende Raumgerade ln. Überdies seien zwei feste F₂, F und F', gegeben; einer der beiden Schnittpunkte von h mit F resp. Fr sei A resp. A'. Die beiden Geraden (F, A) und (F' A') mögen sich in einem Punkte X treffen. Dann erzeugt X eine P4 mit C₂.

Auch die Tangentialebene T der Fi in X läßt sich leicht bestimmen. Seien Ta und Ta, die Tangentialebenen von F und F' in A und A', so ist die Verbin dungsebene von X mit der Geraden (Ta, Ta) die gesuchte T.

Die C₂ erhält man in Analogie zu den zwei d₂ einer bizirku-laren c₄, indem man von P₀ aus die oo¹ Sehnen an die Mp legt. Daraus gewinnt man noch eine Konstruktion der C₂, die man auch unabhängig vom $₄ ausführen kann.

die bekannten Eigen-

nur

Während sich Veronese auf diese Konstruktionen beschränkte, hat fast gleichzeitig C. Segre in einer umfangreichen Arbeit⁴⁴) aus dem obigen Projektionsgrundgedanken eine systematische, fast erschöpfende Theorie der P₄ mit C₂ entwickelt. Nicht schäften dieser Flächengattung werden so auf einfache und natürliche Weise wiedergewonnen, sondern auch viele neue hinzugefügt. Vor allem führt den Verfasser seine Methode zu einer vollständigen Klassifikation der P₄ mit C₂; er gelangt zu 70 verschiedenen Arten, von denen nur etwa die Hälfte vorher bekannt war.

Außer den 18 Arten bei allgemeiner (irreduzibler) C₂ ergeben sich 5 Arten, wo die P₄ nur von der dritten Klasse ist; sodann mehrere Arten mit Kuspidal-(7₂ (s. Nr. 18), wo sich beide Schalen der Fläche in zwei Punkten der C₂, den „elos-Punkten“, berühren. Auch die P₄ mit einer in zwei inzidente Doppelgerade gu g₂ zerfallenden C₂ werden eingehender als bisher untersucht. Von Interesse ist dabei der Sonderfall, wo der Punkt (jjlf g₂) ein Dz der P₄ ist, von dem wieder die Steinersahe Fläche S (s. Abschn. VII) ein Unterfall ist.

44) C. Segre, Math. Ann. 24 (1884), p. 313. Weitere Ergänzungen finden sich bei Th. Heye, Math. Ann. 55 (1902), p. 257; TI. F. Baker, London Math. Soc. Proc. (2) 11 (1912), p. 285; V. H. Bao, ib. (2) 17 (1919), p. 272.

Auch die weiteren Fälle, wo eine der beiden Doppelgeraden, oder auch beide, kuspidal werden, werden genau berücksichtigt. Ferner wird für jede Art der Fi die Verteilung der 16 g, sowie der oo¹ C₂-Scharen auf der Fläche bestimmt, nebst der zugehörigen Abbildung niedrigster Ordnung. Weiter werden im besonderen die Arten an-allagmatischer Fi — die durch Inversion in sich übergehen — ermittelt; das Auftreten singulärer Punkte wird eingehend untersucht usf. Eine fruchtbare metrische Anwendung erfährt die Methode für die Zykliden Z (s. Abschn. IV) — für die die C₂ der nullteilige Kugelkreis K wird —, insbesondere für deren Fokaleigenschaften. Während übrigens bei Darboux u. a. ein Brennpunkt einer Zyklide Z eine sie doppelt berührende Nullkugel ist, erscheint hier allgemeiner ein Brennpunkt der Z als eine sie längs einer C berührende Nullkugel. Es sei noch darauf hingewiesen, wie die fünf Kummerschen Kegel K₂ (s. Nr. 9) direkt den fünf Überkegeln    des Fl-Büschels (F^\    im Si

entsprechen. Läßt man hinterher im besonderen den Projektionspunkt P₀ auf die    selbst rücken, so geht die F± in eine allge

meine F₃ über (s. Art. „F₃“ Nr. 16).

Indem wir wegen weiterer Einzelheiten auf die Arbeit von Segre selbst verweisen, seien dessen synthetischen Entwicklungen einige analytische hinzugefügt.

Man bezeichne Punktkoordinaten im $₄ mit xv xk, xv xm, xn und wähle den Projektionspunkt als wte Koordinatenecke An, den Projek-tions-$₃ als xn = 0. Ordnet man dann die Gleichungen der beiden Über-P₂ nach xn, so nehmen sie die Gestalt an

(1)

F^ = F=xlB₀ + 2xnBl+B₂= ,

= G eee xl G₀ -j- 2 xn Gx -j- C₂ — ,

wo die Br, Cs quaternäre Formen in xt, xk, xv xm der Ordnung r resp. s bedeuten. Im Büschel JB{F, G) befindet sich ein durch An gehendes Individuum F' mit der Gleichung

(2)

F'= xnPoi+P₀₂= °,

wo Pik~ (.Btyik- Umgekehrt läßt sich das Büschel _B auch aus F und etwa F (mit JB₀ =}= 0) zusammensetzen. Die Gleichung der Projektion P₄ der    (F, G) ergibt sich durch Nullsetzen der Resultante

von F und G

(3)

-U₄=Po²2— ⁴PolPi2= 0.

Die C₂ auf der P₄ ergibt sich als Ort der Spuren der durch An gehenden Sekanten der M^\ Diese Sekanten sind zugleich die auf F' liegenden, durch An gehenden Geraden. Letztere werden gemäß (2)

104

Encyklop. d. math. Wissensch. III 2.

durch. p0l = 0, p₀₂ = 0 geliefert. Mithin sind dies auch im S₃(xn— 0) die Bestimmungsgleichungen der C₂

C 2) P01 ~ 9, P02 ⁼

Dies bestätigt sich auch sofort algebraisch an der Hand von (1) und (3). Denn pni p₀₂, p₁₂ sind

~~~    B₂p₀₁,

CoPl2 = @iPo2 ^2Poi ■

Verwendet man etwa die erstere (mit B₀ =f= 0), so geht (3) über in eine in p₀₁ und p₀₂ quadratische, homogene Gleichung, woraus hervorgeht, daß die F± eine C₂: p₀₂ = 0, p0i = 0 besitzt.

Man wird nun die „Segresche“ Gleichungsform (3) der F± in die ursprüngliche Kummersche (s. Nr. 9)

F± = 9p² — 4 p^ip = 0

(4)

(5)

(6)

an

zwei lineare Identitäten gebunden

überführen wollen, und umgekehrt. Indem wir, wie es erlaubt ist, die Konstante B₀ gleich 1 annehmen, haben wir vermöge (5) den Wert von pl2:

(5)

P12 — -t*iPo2 B₂ Poi

in (3) einzusetzen. Dann ergibt sich durch einfache Umformungen Fl=PÖ2 ^PoifölPcZ ^2-Poi)

= O02 — ^PoaBiPm) + 4 B₂pI,

= (p₀₂ — 2B₁p0iy— 4p^B» - B₂).

(?)

Setzt man hier

(8)

p₀₂ — 2B₁p₀₁ = 90, p₀₁ = p, B\ — B₂ = $

so ist man in der Tat zur Kummerschen Gleichungsform (6) zurückgelangt.

Ein wenig schwieriger gestaltet sich die Umkehrung. Sei also jetzt (6) vorgelegt, so bedienen wir uns einer Modifikation des Kum-merschen Verfahrens (a. a. O.), um von (6) aus zu den fünf Kegeln K2 zu gelangen. Versteht man unter q eine beliebige Linearform, so forme man (6) um, wie folgt:

(9)

((p + 2pq)²— 4p(pq² + pil>-\-(pq).

Dann besitzt die rechte Seite bereits die Struktur von (3); man hat nur noch zu zeigen, daß sich die drei Bildungen cp -f- 2pq, p, pq² -f-pip -j- cpq als zweireihige Determinanten p₀₁, Pq%,pn einer Matrix (BO) (mit B₀— C₀ = 1) darstellen lassen. Zu dem Behuf stelle man eine zu (5) analoge Identität auf, suche also zwei Formen Blf B₂ so zu bestimmen, daß man hat

cpq -f pq* + pf

(10)

(<P—²M) — B₂p.

In der Tat ergibt sich

(io')

<pi + P1¹+p'i> = q{<p + 2pq) —

Wählt man demnach

Bk = ff, B₂ =    — V,

so ist (10) befriedigt. Nunmehr wähle man C\, 0₂ so, daß \ p₀₁EEp=C, —

\ Po2 =    4~ %P ff = ^2-^2

(11)

(12)

wird, dann ergibt sich

<?i = A+P=P + ff,

^2    : <P “h ^PQ. B₂ = (p %pg 4~ ff²— *!>•

Als Kontrolle dient die Darstellung von jp₁₂; wie leicht zu bestätigen, kommt

(12')

(13)

Pn = ff + M² + P*l> = Bl — P₂ C\ •

Endlich werde auch die Veronesesche Konstruktion analytisch behandelt. Ohne die Rechnung im einzelnen auszuführen, genügt es, zu zeigen, daß die Konstruktion auf eine _F₄ in der $<?$reschen Gestalt (2) führt. Man wähle auf der Koordinatenkante (Al} Am) noch einen festen Punkt als Einheitspunkt E (0, 0, 1, 1).

Durch Am lege man eine variierende Gerade g, die zwei gegebene Fs: F, G (1) in den Punktepaaren A,A\ B, B' treffe, mit den xm-Werten cc, a, ß, ß'. Die Spur von g in xm — 0 sei der Punkt (yif yk, Vv 0), so daß A(a) und B(ß) die Koordinaten (y., yk, yv cc), (yif yk, yv ß) erhalten. Demnach wird (yi} yk, yl -f- q, cc) ein laufender Punkt auf der Geraden (A„ A), und (yi} yk, yt-{- 6, ß -j- tf) ein solcher auf der Geraden (E, B).

Für den Schnittpunkt B{x) beider Geraden wird also q = a — cc — ß, d. h. P besitzt die Koordinaten

(Vi, Vic Vi+u — ß, «)

mit den Bedingungen F(a) = 0, G(ß) — 0. Schreibt man lieber nichthomogen xi=yi=^ 1, so folgt aus (14)

Vk = xk> « = xm> ß = yt+ — %v Die Einsetzung in F(a) = 0, Giß) — 0 führt zu zwei quadratischen Gleichungen in yr Die Elimination von yl liefert so in der Tat die gewünschte Gleichung P₄ = 0 in der $effreschen Gestalt (2).

Das Segresche Verfahren läßt noch eine andere fruchtbare Auffassung zu. Die Form P₄(2) trat als Resultante der beiden in xn binären Formen P(^M), G(xn) auf. Bildet man andererseits die Funktionaldeterminante & = (F, G)

(14)

&    (F, G) :: -- P₀₁X^ -j- pQ., Xn -f“ Pl2,

104

so erscheint P₄ auch als Diskriminante der Form ©. Dies besagt geometrisch, daß sich die Fläche P₄ im S₃ auch erzeugen läßt durch Tangentenprojektion (von An aus) der durch © = 0 dargestellten Mannigfaltigkeit. Letztere ist ersichtlich eine F^\ die durch An einfach hindurchgeht. Es liegt somit eine Verallgemeinerung der Geiser-schen Tangentenprojektion einer F₃ im SB vor (s. Art „Fs“, Nr. 16), und es gilt:

„Die Segresche Projektionsfläche P₄ mit C₂ ist zugleich die Tangentenprojektion einer Fjf> = ©.“

Von dieser © lassen sich auf Grund des W. Fr. Meyerscken Übertragungsprinzips (s. Nr. 5 und Art. „F₃C Nr. 12) weitere Eigenschaften angeben. Legt man durch den Punkt An in $₄ eine variierende Gerade g, so wird diese von den Individuen des Büschels B(F, G) in den Punktepaaren einer Involution getroffen. Sind Dlf P₂ deren Doppelpunkte, so ist der Ort derselben eben die Fläche ©.

Im besonderen läßt sich © auch auffassen und definieren als Ort der Berührungspunkte der von An aus an die Individuen von B gehenden Tangenten; es ist das eine Verallgemeinerung einer Steiner-schen Erzeugung der F₃ im S₃ (s. Art. „F₃‘ Nr. 12).

Ferner befand sich in B ein durch An gehendes Individuum F' (3). Auf F' gehen oo¹ Gerade durch An, die durch p0i — p₀₂ = p12 — 0 dargestellt sind; diese Geraden gehören zugleich der Fläche © an. Legt man weiter von An aus die Tangenten an ©, so ist der Ort der Berührungspunkte die obige M^(F, G).

Umgekehrt gehe man von einer beliebigen, allgemeinen, durch An gehenden F^ aus mit der Gleichung

(15)

FA = G xl + c₂ xn + c₃ = 0.

(16)

Durch einen beliebigen Punkt P einer solchen F^\ z. B. P = An, geht eine endliche Anzahl (= 6) von Geraden, die auf der FA liegen. Denn für P = An bestimmen sich diese sechs Geraden durch die sechs gemeinsamen Lösungen der drei Gleichungen Cj = 0, c₂ — 0, c₃ = 0.

Und diese liefern im S₃ die sechs Schnittpunkte der C₂ (ct = 0, c₂= 0) mit der Fä (c₃ — 0), die, mit An verbunden, jene sechs Geraden ergeben.

Es gibt aber im besonderen eine endliche Anzahl von Punkten P0 auf der FA, durch die oo¹, der F^> angehörige Gerade gehen. Wählt man einen solchen Punkt P₀ wieder als Ecke An und zugleich als Zentrum der Tangentenprojektion, so kommt man gerade zu der obigen Konstruktion zurück. VonP₀=Mn aus gehen oo³ Tangenten an die

ein Mittel gefunden, um die Geometrie

man

F^\ deren Berührungspunkte eine    erfüllen. Durch diese M!f>

geht ein Büschel JB (F} 6r), das mit dem ursprünglichen übereinstimmt. Dies bestätigt sich auch leicht algebraisch.

Sollen die drei Gleichungen (16) oo¹ gemeinsame Lösungen besitzen, d. h. soll die F₃ (c₃ = 0) die C₂ (cx = 0, c₂ = 0) enthalten, so lassen sich Formen a1} a₂ angeben, so daß c₃ als lineare Kombination von cx und c₂ erscheint in der Gestalt

C₃ = c₂

Man bestimme zwei weitere Formen bx, &₂, so daß man hat G —    ) ^2    ^2

(17)

(18)

also umgekehrt

(18')

cc₂cx.

=<i + <h> h

so werden in der Tat die drei Formen c die Determinanten pilc der Matrix

C₂ -j- «₂,

(19)

ö⁵ i-a⁵

h-i H-*-

a

to U>

wie bei (1). Damit hat auf einer allgemeinen F^ auf die Geometrie einer _F₄ mit C₂ zu übertragen, und vice versa.

Es sei noch darauf hingewiesen, daß A. Weiler44a) im Anschluß an die Segresehe Projektion den Fall einer F± mit Kuspidalkegel-schnitt weiter verfolgt hat, unter besonderer Berücksichtigung des Sonderfalles, daß die beiden clos-Punkte koinzidieren.

Am Schlüsse dieses Abschnittes seien noch einige andere Betrachtungsweisen der F± mit C₂ erwähnt.

Mit Hilfe eines quadratischen Nullsystems vollzieht A. AmesedeF⁵) die Abbildung einer F± mit 0₂ und einem D₂ auf eine F₂, die früher Korndörfer³⁰) direkt nach der Methode von Glebsch ausgeführt hatte. Dabei ist ein quadratisches Nullsystem dadurch bestimmt, daß jedem Punkte eine mit ihm inzidente Ebene, seine „Nullebene“, zugeordnet ist, und vice versa jeder Ebene ein mit ihr inzidenter Punkt, ihr „Nullpunkt“, derart, daß die Nullpunkte der Ebenen eines Netzes eine F₂ erfüllen.

Sodann erscheint die Fi mit C₂ bei A. del BeA6) als Fundamentalfläche eines speziellen Punkt-Ebenen-Konnexes (1, 2), oder auch als konjugierte Polare eines solchen Konnexes und einer F₂.

44a) A. Weiler, Ztschr. Math. Phys. 30 (1885), p. 17.

45)    A. Ameseder, J. f. Math. 93 (1884), p. 62.

46)    A. del Be, Rom Line. Rend. (5) 2 (1893), p. 211.

Was weiter die Klassenform einer F± mit C₂ betrifft, so begnügte man sieb mit dem Hinweis, daß jene Form identisch verschwindet. Das Entsprechende findet allgemein statt für die Klassenform einer Fn mit einer Doppelkurve C. Den inneren Grund für dieses identische Verschwinden von <&v hat 0. Chisini¹ 2) aufgedeckt; indem er die Ordnungsform Fn als Grenze einer singularitätenfreien Fläche ansieht, etwa eines Büschels Fn -j- XFn', wo Fn' singularitätenfrei ist und der Parameter X gegen Null konvergiert. Damit erscheint auch die Form 0r als Grenze eines Klassengebildes.

Dann zeigt sich, daß das identische Verschwinden von <DV nach erfolgtem Grenzübergange nur von einem gewissen, gegen Null konvergierenden Faktor herrührt, der noch insoweit unbestimmt ist, als er von der Art der Annäherung an die Grenzfläche Fn abhängt.

Befreit man sich, vor Vollziehung des Grenzprozesses, von diesem Faktor durch Division, so zerfällt der nunmehr nicht identisch verschwindende Restfaktor von (&v seinerseits wieder in drei Faktoren, die, gleich Null gesetzt, folgende Gebilde liefern: 1. die Enveloppe der die Fn eigentlich berührenden Ebenen; 2. doppelt zählend, die Berührungsebenen der Doppelkurve C; 3. dreifach zählend, die Spitzen der Kurve C.

Endlich sei im besonderen erwähnt, daß Lackner^¹ a) für eine Fi mit zwei (inzidenten) Doppelgeraden und vier isolierten Z)₂ die Haupttangentenkurven ermittelt hat. Indem er die F± in geeigneter Weise auf eine Doppelebene abbildet, gehen die Haupttangentenkuiwen der Fläche über in eine Schar von Kegelschnitten und lassen sich daraufhin einfach konstruieren.

IV. Die Zykliden.

21. Die Zykliden als Jf{ mit dem Kugelkreis als Doppelkegelschnitt. Obschon sich nach DarbouxiS) die Zykliden, die mit Z bezeichnet seien, ohne weiteres als metrischer Sonderfall der jF₄ mit C2 erklären lassen, indem für sie die (nullteilig vorausgesetzte) C₂ mit dem Kugelkreise K zusammenfällt, so hat doch die historische Entwicklung der Z einen wesentlich anderen Weg eingeschlagen, indem

die elementargeometrische Durchdringung mit der Kugeltheorie in den Vordergrund gestellt wurde.

Bei dieser spezifischen Entwicklung ist es oft schwer, Eigenschaften der Z als solche von .F₄ mit C₂ wiederzuerkennen.

Im übrigen ist wohl keine Gattung von _F₄ so ausgiebig behandelt worden wie die Z, so daß eine vollständige, alle Gesichtspunkte berücksichtigende Darstellung⁴⁹) derselben ein umfangreiches Werk werden würde. Es kann sich daher hier erst recht nur darum handeln, die Hauptmomente herauszugreifen.

22. Die Untersuchung von Casey. In einer ausführlichen Arbeit hat J. Casey⁵⁰) die Grundzüge der Theorie der Z selbständig von der Theorie der Kugeln aus entwickelt.

Jeder ebene Schnitt der Z ist eine „bizirkulare“ c₄, d. h. eine solche, die in den zwei — konjugiert imaginären — Kreispunkten d2 besitzt.

Seien ar — 0 (r — i, 1c, l, m) die Gleichungen von irgend vier Kugeln (die nicht einem Netze angehören), der „Grundkugeln“, so ist die Z dargestellt durch eine beliebige quadratische Gleichung in den Variabein a

z=22ar,*r*. = 0.

(1)

(r, s = i, 1c, l, m)

Denn sie genügt ersichtlich der obigen Definition in allgemeinster Weise. Die Z läßt sich auch auffassen als Enveloppe einer Kugel (ax) — 0, wo die Parameter x an eine quadratische Bedingung geknüpft sind

(2)

Diese Kugel schneidet die Jacobiana der vier Grundkugeln orthogonal derart, daß ihr Zentrum die F₂ (2) erfüllt.

Man hat daher auch folgende elementare Definition der Z:

„Eine Z ist die Enveloppe einer Kugel, deren Zentrum sich auf einer vorgegebenen F₂ bewegt und die eine vorgegebene Kugel K orthogonal schneidet.“

Der Verfasser nennt K die „erzeugende“ Kugel und die F₂ die „fokale“ F₂.

Tritt im besonderen in (1) eines der a garnicht auf, so reduziert sich die Z, die dann „binodal cyklide“ heiße, auf eine solche mit zwei

49)    Bezüglich, der Einzeldarstellungen von „Darboux“, „Beye“, „Loria“, „Salmon-Fiedler“ (Kap. 7) s. Lit. Weiter sei noch erwähnt Gr. Darboux, J. Ec. Norm. (2) 1 (1872), p. 273; G. Humbert, J. Ec. Pol. 55 (1885), p. 127.

50)    J. Casey, London Trans. 161 (1871), p. 585; London Math. Soc. Proe. 19 (1871), p. 496. Zur Theorie der Pokal-P), vgl. auch H. Hart, Mess. (2) 14 (1884), p. 1.

P₂; sie ist die Enveloppe einer Kugel, deren Zentrum eine feste C2 durchläuft und die eine gegebene Kugel K orthogonal trifft.

Verfolgt man im allgemeinen Falle die Kugeln, deren Zentra einer erzeugenden Geraden der fokalen F₂ angehören, so schneiden sich dieselben in einem Kreise, der auf der Z liegt. Die Z erscheint also auch als Ort eines von nur einem Parameter abhängenden Kreises. Ist im besonderen die Fokal-i^ ein Kegel K₂, so entspricht jeder Kante von K₂ ein Kreis. So entsteht eine Reihe von Kreisen, die auf einer gegebenen Kugel K liegen und zur Enveloppe eine sphärische C± („sphero-quartic“) haben, den Schnitt der Kugel K mit dem Kegel K₂.

Diese 0₄ stellt sich dar als eine Grenzform der Z und hat Eigenschaften, die denen der Z analog sind. Die (7₄ ist die Enveloppe eines variabeln Kreises, dessen Zentrum auf einem gegebenen Kreise der Kugel liegt, der einen gegebenen sphärischen Kegelschnitt auf der Kugel orthogonal schneidet.

Da irgendein Kreis die Z und damit den Kugelkreis K in zwei Punkten trifft, die als D₂ der Z anzusehen sind, so läßt sich die Fläche Z auch definieren als eine P₄, die von jedem Kreise in vier veränderlichen Punkten getroffen wird. Die Z erscheint so als direkte Verallgemeinerung der Kugel, als einer F₂, die von einem Kreise in zwei veränderlichen Punkten getroffen wird.

Man kann diesem Satze nach W. Fr. Meyer“¹) eine noch anschaulichere und elementarere Fassung geben. Für die Kugel gilt ersichtlich der Satz:

„Hat eine F₂ die Eigenschaft, daß für irgendeinen partikulären Punkt P₀ außerhalb der F₂ das Produkt s₁s₂ der von P₀ aus gerechneten Sekantenabschnitte s1} s₂ auf den durch P₀ gehenden Geraden konstant ist, so gilt das nämliche für jeden Punkt P des Raumes und die F₂ ist eine Kugel.“

Analog läßt sich aus der Gleichung (1) der Z folgern:

„Hat eine P₄ die Eigenschaft, daß ein partikulärer, nicht auf P4 gelegener Punkt P₀ existiert, so daß für alle durch P₀ gehenden Geraden g das Produkt p — sx s₂ s₃ s₄ der vier von P₀ aus gerechneten Sekantenabschnitte s₁, s₂, s3} s₄ konstant ist, so gilt dies auch für jeden Raumpunkt P, und die Fi ist eine Z.u

Will man sich auf reelle Abschnitte s1} s₂, s₃, s₄ beschränken, so bedarf sowohl die Lage von P₀, wie die Auswahl der durch ihn gehenden Geraden g einer gewissen Einschränkung.

51) W. Fr. Meyer, Ber. Deutsch. Math.-Ver. 38 (1929) (Aufgabe). Eine Lösung von Gruber, ib. 39 (1930).

23. Einführung der pentasphärischen Koordinaten nach Dar-boux. Die analytische Behandlung der Z wird wesentlich einfacher und übersichtlicher, wenn man mit G. Darboux (1. c.) pentasphärische Koordinaten si (i = 1, . .., 5) einführt. Zunächst bilde man die mit Konstanten multiplizierten Potenzen pt eines Punktes in bezug auf fünf beliebige Kugeln; solche pi sind überzählige Koordinaten, die an eine quadratische Identität gebunden sind. Wählt man statt der pi geeignete lineare Verbindungen sv so kann man es erreichen, daß die Identität zwischen den sf die Normalgestalt erhält

(3)

2>,' = 0.

Solche s{ heißen spezifisch „pentasphärische“ Koordinaten eines Punktes; man sollte sie auch „Darbouxsehe“ nennen. Entsprechend hat man es in der Ebene mit „tetrazyklischen“ Koordinaten zu tun.

Die Gleichungen s{ — 0 stellen fünf „Grundkugeln“ oder „Orthogonalkugeln“ dar, die sich zu je zweien orthogonal durchsetzen; vier der Grundkugeln sind (bei reellen Koeffizienten) stets einteilig, die letzte nullteilig. Man darf z. B. setzen bei rechtwinkligen Koordinaten x,y,0

(4)    s₁=2rx, s₂ = 2ry, s₃=2rz,    — x² -f- -f z²—r³,

sh = i(x² -f- y² + #² + r2)-

Drei der Kugeln sind hierbei in die Koordinatenebenen x — 0, y — 0, z = 0 ausgeartet; der Anfangspunkt 0 ist der Mittelpunkt der beiden übrigen Kugeln =0, s₅ = 0, mit den Radien r, ir.

Jede Kugel (inkl. Ebene und Punkt) ist darstellbar durch eine lineare Gleichung zwischen den s und umgekehrt; die Orthogonalitätsbedingung für zwei Kugeln ist bilinear in den Koeffizienten usf.

Jede Z ist darstellbar durch eine homogene quadratische Gleichung in den s und umgekehrt.

Im besonderen hat man die eindeutig bestimmte Darstellung

(5)

Z =    9)5/ = 0,

wo, mit Rücksicht auf (3), der Parameter p willkürlich bleibt. Die Z geht durch Inversion in bezug auf irgendeine der fünf Grundkugeln in sich über. Solche Flächen heißen nach Moutard⁵²) „anallagmatische“. Umgekehrt ist eine anallagmatische eine Z.

Zu jeder der fünf Grundkugeln sind oo² Kugeln orthogonal, die die Z doppelt berühren; deren Mittelpunkte erfüllen je eine F₂₎ eine „Leitfläche“ der Z (s. Nr. 21). Unter diesen oo² Kugeln befinden sich oo¹ Ebenen. Diese gehen durch das Zentrum der zugehörigen Grund-

52) Moutard, Nouv. Ann. (2) 3 (1864), p. 306, 536.

kugel und stehen senkrecht auf den Kanten des Asymptotenkegels der zugehörigen Leitfläche.

Die oo¹ Ebenen umhüllen daher je einen Kegel 2. Ordnung K₂: das sind die fünf Kummerschen Kegel der Z.

Die oo¹ Ebenen, die die Z doppelt berühren, schneiden sie in Kreispaaren. So ergeben sich zehn Kreisscharen auf der Z (die aber nicht alle einteilig sind).

Die fünf Leitflächen der Z sind konfokal; deren Fokalkurven heißen die ebenen Fokalkurven der Z. Sie sind zugleich die Doppellinien der abwickelbaren Fläche, die der Z längs ihres Doppelkegelschnitts K umschrieben ist.

Von den ebenen Fokalkurven der Z sind zu unterscheiden die sphärischen, in denen die Grundkugeln von den zugehörigen Leitflächen geschnitten werden. Die Punkte dieser Kurven lassen sich an-sehen als Punktkugeln, die die Z doppelt berühren.

24. Konfokale Zykliden. Mit Hilfe der pentasphärischen Koordinaten gelangt man mit Darboux (1. c.) auch leicht zum Begriff der konfokalen Z.

Die der Gleichung einer , Schar konfokaler Mittelpunktsflächen 2. Ordnung nachgebildete Gleichung

(6)

L_

Zlj X — a.i

mit dem Parameter 2 liefert eine solche Schar konfokaler Z. Wie bei den F₂ schneiden sich diese Z orthogonal, und von ihnen gehen drei durch jeden Raumpunkt. Sie bilden also ein „isothermes“ Flächensystem.

Es gilt auch dieses Analogon zu den F₂, daß jede Z der Schar (5) von den anderen in den Krümmungslinien — die also algebraische G sind — geschnitten werden (s. Nr. 29).

25. Zykliken und Fokalflächen. Die Zykliden Z haben ein doppeltes Analogon in Kurven, je nachdem letztere ebene oder aber doppelt gewundene sind. Im ersteren Falle werde das Zeichen £, im letzteren das Zeichen Z verwendet. Zusammen führen sie den Namen „Zykliken“; die Kenntnis ihrer Haupteigenschaften ist bei eingehender Untersuchung der Z unerläßlich. Auch hier ist G. Darboux (1. c.) als Hauptautor anzusehen.

Die Z sind die Schnittkurven einer Kugel mit einer F₂‘ die £ sind bizirkulare c₄ mit zwei d% in den beiden (konjugiert imaginären) Kreispunkten.

Eine Z läßt sich auf vier verschiedene Arten ansehen als Enve-loppe von Kreisen, die einen festen Kreis auf einer gegebenen Kugel, den „Direktorkreis“, rechtwinklig schneiden und deren sphärische Zentra auf einem sphärischen Kegelschnitte, dem „Deferenten“, liegen. Diese Kreise werden auf der Kugel ausgeschnitten durch die Tangentialebenen je einer der vier, die Z enthaltenden Kegel 2. Ordnung.

Daher geht eine Z durch eine Inversion J wieder in eine solche über; wählt man im besonderen als J'-Zentrum die Spitze eines jener Kegel und den sJ-Modul geeignet, so geht Z in sich über und heißt (s. oben) nach dem Vorgänge von Moutard anallagmatisch.

Andererseits läßt sich Z auch durch passende J in einen sphärischen Kegelschnitt überführen.

Die vier Direktorkreise schneiden sich zu je zweien orthogonal, die vier Deferentenkegelschnitte sind konfokal.

Jede der vier Scharen doppelt berührender Kreise enthält vier Nullkreise (d. i. vom Radius Null); ihre Mittelpunkte sind die „Brennpunkte“ von Z, die Schnittpunkte je eines Paares von Direktorkreis und Deferent. Von diesen 16 Brennpunkten können aber nur vier reell sein. Zwischen den Abständen eines beliebigen Punktes von Z von drei Brennpunkten desselben Direktorkreises besteht eine lineare Relation.

Die Mittelpunkte der Z doppelt berührenden Nullkugeln durchlaufen die „Fokallinien“, selbst vier Z-Kurven, die auf vier Kugeln liegen, die orthogonal sind zur Urkugel.

Jede dieser Fokalkurven hat die drei anderen nebst Z zu Fokalkurven; es findet wieder eine gewisse Abstandsrelation statt.

Von den 16 Brennpunkten sind zwölf durch' die vier anderen bestimmt. Durch jeden Punkt einer Kugel gehen zwei sich rechtwinklig durchsetzende Z mit gegebenen Brennpunkten.

Dies findet seine Anwendung auf die Zykliden Z. Hierbei sei bemerkt, daß die Eigenschaften der Z durch Spezialisierung aus der Kummer^ohen Fläche Km (s. Abschn. XI), mit der sie projektiv verwandt sind, ableitbar sind. Indessen erfordert eine direkte Behandlung der Z einfachere Hilfsmittel, und man kann dann umgekehrt durch Verallgemeinerung zur Km (wie auch zur allgemeinen F₃) übergehen. Die Definition der Z bei Darboux ist die Caseysche (s. Nr. 22): Sie sind die Enveloppen von Kugeln K, die eine feste Grundkugel KQ, die „Direktrix“, orthogonal schneiden, während ihre Mittelpunkte auf einer festen F%, der „Deferente“ (bei Casey „Fokal-jF₂“) liegen. Eine solche Erzeugung ist auf fünf Weisen möglich; die fünf Direktrizen bilden ein Orthogonalsystem und die fünf Deferenten ein konfokales.

Damit ergeben sieb die weiteren Analogien mit den Zykliken: Die Z sind anallagmatisch und durch Inversion in F₂ transformierbar; die Brennlinien sind fünf Z, in denen jede Direktrix die zugehörige Deferente schneidet, usf. Die Brennlinien führen zu den Systemen konfokaler Z (s. Nr. 24).

Bei der elementaren Behandlung der Z ist die Inversion J das Haupthilfsmittel. Eine tiefere Einsicht in die ganze Theorie der Z gewinnt man indessen durch passende projektive Verallgemeinerung der Inversion J. Man gehe von einer festen F₂ aus und einem festen Punkte 0. Irgendeinem Punkte A wird (1, l)-deutig involutoriscb ein anderer Punkt A' derart zugeordnet, daß sich in ihm die Gerade ’ g — {A, 0) mit der Polarebene % von A bzw. F₂ trifft, oder auch, was auf dasselbe hinauskommt, daß A' auf g zu A harmonisch liegt in bezug auf die beiden Schnittpunkte von g mit F₂. Diese quadratische Verwandtschaft (M, Ar) ist die in Rede stehende verallgemeinerte Inversion c7₀; sie geht wieder in J über, wenn man im besonderen die F₂ als Kugel mit dem Zentrum 0 wählt.

Diese JQ erweist sich als nützlich bei der Diskussion singulärer Fälle. Man beachte ferner, daß vermöge J₀ jede K treffende Gerade Je wieder in eine solche übergeht, wodurch sich die Betrachtung der Fokaleigenschaften der Z durchsichtiger gestaltet u. a. m. Hierbei wird der Begriff der abwickelbaren „Fokalfläche“ von Bedeutung, der sich allgemein für eine beliebige Grundfläche F aufstellen läßt.

Die Erzeugenden h dieser (nullteiligen) Fokalfläche treffen K und berühren F.

Dies gilt auch, wenn man an Stelle der Grundfläche F eine Grundkurve G setzt. Die Erzeugenden der abwickelbaren Fokalfläche treffen K und C. Die Doppelkurven dieser Fläche sind in beiden Fällen die „Fokalkurven“; jeder Punkt einer solchen ist ein „Brennpunkt“ von F resp. C.

Die Rückkehrkurve einer Fokalfläche ist eine „Minimalkurve“, für die jeder Bogen die Länge Null hat.

Die Normalen der Fokalfläche fallen mit den Erzeugenden zusammen, so daß jede Kurve auf der Fokalfläche als eine Krümmungslinie anzusehen ist. Da die Fokalfläche einer Urfläche F diese selbst längs einer Kurve berührt, so ist diese eine Krümmungslinie von F, der Schnitt von F mit der unendlich benachbarten konfokalen Fläche.

Durch Inversion geht die Fokalfläche einer Fläche in die der transformierten Fläche über. Hieran reiht sich noch eine große Reihe von Nebenbetrachtungen und Verallgemeinerungen, auf die hier nicht eingegangen werden kann.

26. Transzendente Darstellung der Zykliden nach Domscli. Die Zykliden gekoren zu den Gattungen von Flächen, deren Punkte sich explizite durch hyperelliptische Funktionen von zwei Variabein darstellen lassen. Das nämliche gilt auch von den P₄ mit C₂ überhaupt (s. oben), der Weddle&ch&n. Fläche und der Kummerschen Fläche (Abschn. XI), von dem System konfokaler P₂ und anderen Gebilden. Vorab sei bemerkt, daß sich die Entwicklungen von Domsch5S) vermöge einer geeigneten Kollineation auf die P₄ mit beliebiger irreduzibler ein- oder nullteiliger C₂ direkt übertragen lassen.

Man kann auf zwei Wegen zu der gewünschten transzendenten Darstellung gelangen.

Entweder direkt, wobei man sich zweckmäßig pentasphärischer Koordinaten bedient.

Oder aber indirekt, indem man davon ausgeht, daß die Fs — wie auch die Kummersche P₄ — vermöge gewisser Transformationen in Zykliden Z überführbar sind und dann die als bekannt angesehenen Darstellungen der ersteren Fläche auf die Z überträgt.

Domsch schlägt diesen zweiten Weg ein, der den Vorzug größerer Anschaulichkeit besitzt. Vorab wird die Transformation eingehend untersucht, die ein System konfokaler F₂ in ein solches konfokaler Z überführt. Sei K eine feste Kugel, P ein beliebiger Punkt und n die Polarebene von P bez. K. Diese Ebene 7t läßt sich als Kugel mit unendlich großem Radius auffassen. Man bestimme dann in dem Kugelbüschel (K, 7t) die beiden Punktkugeln (sc. vom Radius Null) mit den Mittelpunkten P₄, P₂. Damit ist eine (1, 2)-deutige Korrespondenz C zwischen den Punkten P und den Punktepaaren Px, P₂ festgelegt, die die Grundlage des Ganzen bildet. Mit Hilfe der C lassen sich einmal die gestaltlichen Verhältnisse der Z verfolgen, andererseits die Dar-bouxsehen Entwicklungen (s. Nr. 28), die auf der Anwendung der hyperelliptischen Funktionen auf ein System konfokaler P₂ beruhen, auf die Z übertragen.

Hierbei entsprechen den gemeinsamen Tangenten zweier konfokaler P₂ die gemeinsamen, doppelt berührenden Kreise zweier konfokaler Z. Nunmehr wird die klassische Pies che Transformation¹) 2] des Geradenraumes in den Kugelraum herangezogen. Vermöge dieser Tj läßt sich die Kummersche Fläche Km (s. Nr. 71) auf die Z abbilden. Damit geht aber auch die Verteilung hyperelliptischer Parameter auf Km in eine entsprechende auf Z über. Hierbei spielen auch Kurven ³ 4

eine Rolle, die durch gewisse, zwischen jenen Parametern festgesetzte Beziehungen bestimmt werden.

Entsprechend den drei verschiedenen Parameterverteilungen auf Km (s. Nr. 71) ergeben sich ebensoviele auf Z. Die Art der gewonnenen Ergebnisse sei durch ein Beispiel illustriert.

Die 16, gleich Null gesetzten ©-Funktionen liefern auf Z entweder 5 (7₄, eine C₈ und 10 C₁₆, oder 4 C₈ und 12 Ci, oder endlich 16 g, deren jede K trifft.

Diese drei Fälle entsprechen gerade den obigen drei Parameterverteilungen.

Es folgen noch einige weitere Anwendungen auf die Km. Führt man die beiden oben erwähnten Transformationen hintereinander aus, so erhält man eine solche, die ein System konfokaler F% direkt in ein gewisses System von Km überführt. So gelangt man u. a. zu Schließungssätzen, wo an Stelle eines Polygons eine geschlossene Reihe von Hyperboloidstücken tritt.

27. Die Dupinsehe Zyklide. Ch. Dupin⁵⁴) gelangte zu dieser Fläche mit 4Z)₂, als er die Flächen bestimmte, deren Krümmungslinien Kreise sind (s. auch bei Kummer, Nr. 7). Die Z₀ ist erzeugbar als umhüllt durch die Kugeln, die drei gegebene Kugeln berühren. Sie werden aber zugleich von unendlich vielen Kugeln einer zweiten Schar berührt, so daß die Z₀ von zwei Kugelscharen umhüllt wird. Die Berührungskreise bilden auf Z₀ zwei orthogonale Kreisscharen, eben die Krümmungslinien.

Jede der beiden Kugelscharen ist in einem Kugelnetz enthalten. Es ist jeweils die Potenzachse des einen Netzes die Ahnlichkeitsachse der anderen Kugelschar.

Diese beiden (windschiefen) Achsen stehen aufeinander senkrecht, und die beiden Ebenen, die je durch eine Achse senkrecht zur anderen gelegt werden, sind Symmetrieebenen der Z₀.

Liegen im besonderen beide auf der Z₀, so reduziert sich diese auf eine (zirkulare) Fs (s. Art. „Fs“, Nr. 16). Dann ist in jeder der beiden Kugelscharen eine einzige Ebene enthalten, die von den Kugeln der anderen Schar in den Punkten einer der beiden Achsen berührt, wird.

Im allgemeinen Falle dagegen sind in der einen Kugelschar zwei reeUe, in der anderen zwei imaginäre Ebenen enthalten, die sich je

54) Ch. Dupin, Applications de Geom. Paris 1822. Bezüglich weiterer Literatur sei einmal auf Note 48) hingewiesen, sodann auf: A. Mannheim, Nouv. Ann. 19 (1860), p. 67; Moutard, ib. (2) 3 (1864), p. 306, 536; A. Enneper, Ztschr. Math. Phys. 14 (1869), p. 393; H. Lemonnier, Nouv. Ann. (2) 9 (1870), p. 514.

in einer der beiden Achsen schneiden. Diese Tier singulären Tangentialebenen, die die ZQ in Kreisen berühren, treten an die Stelle von vier der fünf Kummerscken Kegel. Der fünfte dagegen bleibt erhalten und liefert zwei weitere Kreisscharen auf der Z₀ (s. Nr. 9).

CI. Maxwell⁵⁵) hat die Gestalten der ZQ verfolgt und durch stereoskopische Zeichnungen wiedergegeben. Falls die ZQ zwei reelle D₂ aufweist, bieten sich zwei Typen dar:

1. die FLornzyldide; sie setzt sich aus zwei, in den D₂ zusammenstoßenden Hörnern zusammen:

2. die Spindelzyhlide; sie besteht aus zwei Schalen, die eine spindelförmig, die andere melonenförmig und die erstere umschließend.

Zwei Sondertypen von Z₀ entstehen, wenn die beiden Z)₂ koin-

zidieren.

Alle diese Z₀ gehen aus einem Rotationskegel (resp. Rotationszylinder) durch Inversion hervor und sind daher einfach diskutierbar. Hat aber die Z₀ keine reellen Z)₂, so ist sie eine RingzyJdide; ein Sondertypus ist der Kreisring (Torus).

Wählt man die beiden Symmetrieebenen als z — 0, y — 0, so nimmt, für q² = x² -j- y² -f- z² und a, b, c, d als vier Parameter, die Gleichung der Z₀ die Gestalt an

(1) Z₀ = p⁴—^a • xg²-\-^ab - q² — (» + b)(c -f- d)y²

— (b -f- c)(a -f- d) z² — y^abc ■ x -f- abcd = 0.

28. Fokalkurven und Abstandsrelationen. Wir kommen jetzt zu den „Fokalkurven“ der Z₀; sie sind der Ort der Zentren der beiden Kugelscharen in ihren Symmetrieebenen. Das ist, wie bei den kon-fokalen Fl} eine Ellipse und Hyperbel, wo jede durch die Brennpunkte der anderen geht.

Die Kegel, die von den Punkten je der einen Fokalkurve die andere projizieren, sind Rotationskegel, die die Krümmungskreise der Z₀ enthalten.

Zwischen den Abständen, die von den beiden Brennpunktepaaren — jF, F₁ auf der Hyperbel, F', Fx' der Ellipse — der Fokalkurven, und zwei laufenden Punkten der letzteren — Q auf der Hyperbel, R auf der Ellipse — bestimmt werden, bestehen einfache Relationen. Zunächst hat man die elementarbekannten Beziehungen

(2)

FQ — F±Q = konst., F' R -f- FX'R = konst.

55) CI. Maxwell, Quart. J. 9 (1868), p. 111. Ygl. auch die Darstellung bei F. Klein, Vorlesungen über höhere Geometrie, Göttingen (autographiert) 1893; 3. Aufl., herausg. von W. Blusclike, Berlin 1926, § 13.

(5')

PB -f- PP/ = konst.

Damit hat man eine elementare Konstruktion der Z₀, die vom Punkte P erfüllt wird, und zwar so, daß (PQ) die Normale der Z0 in P liefert.

Läßt man also die obigen Konstanten variieren, so erhält man eine Schar paralleler ZQ. Man erhält deren Gleichung unmittelbar aus (1), wenn man die a, b, c, d ersetzt durch a -j- A, b — A, c -j- A, d — A.

29. Die Krümmungslinien auf den Zykliden Z. Wie in Nr. 25 betont, sind nach G. Darboux⁵) die Krümmungslinien auf einer Zv-klide Z deren Schnitte mit den konfokalen Zykliden.

Da sich zwei bizirkulare c₄ — indem sie in zwei festen Punkten (den Kreispunkten) d₂ besitzen — noch in acht beweglichen Punkten treffen, so haben zwei Zykliden, außer dem doppelt zählenden Kugelkreise K, noch eine C₈ als Restschnittkurve gemein. Somit sind die Krümmungslinien auf einer Z gewisse C₈, die daraufhin genauer untersucht werden. Eine tiefere Einsicht in deren Eigenschaften erhält man aber mit Darboux (1. c.), wenn man sich, ähnlich wie bei der Inversion (s. Nr. 25), einer geeigneten projektiven Verallgemeinerung bedient.

Die gewöhnliche Normale n einer Fläche F in einem Punkte P, mit der Tangentialebene T, läßt sich im projektiven Sinne charakterisieren als diejenige durch P laufende Gerade, die zu T bezüglich des Kugelkreises K — aufgefaßt als eine ausgeartete <&₂ — konjugiert ist.

Sodann gilt

(3)

QB — FQ — BF' — konst.

Man nehme weiter auf der Geraden (QB) den Punkt P so an, daß stets

PQ — jFQ = konst.,

(4)

dann ist auch

(5)

PB — BF' = konst.,

oder auch

Ersetzt man hier K durch eine beliebige aber fest gewählte „absolute“ Fläche <P₂, so tritt an Stelle von n die „verallgemeinerte“ Normale n', und entsprechend an Stelle der gewöhnlichen Krümmungslinien C die „verallgemeinerten“ 0'; als Ort der bei Variieren von P auf F entstehenden Treffpunkte benachbarter n . Wählt man im besonderen im Falle einer Zvklide Z (oder auch allgemeiner einer P₄

mit C₂) die Fläche als eine der Z eingeschriebene, so gehen die Kurven C' über in die „Darbouxsehen Krümmungslinien“ G" auf Z.

Ihre Behandlung basiert auf der Diskussion ihrer Differentialgleichung, falls man als Variable die Linienkoordinaten der verallgemeinerten Normale verwendet (s. Nr. 73).

G. Humbert⁶ 7) hat den Zusammenhang zwischen den Darboux-schen Krümmungslinien C" auf Z mit den einbeschriebenen genauer verfolgt und das bemerkenswerte Ergebnis abgeleitet, daß jene G" von der Auswahl der einzelnen einbeschriebenen Ö>₂ ganz unabhängig sind.

V. Fx mit einer Doppelgeraden g.

an.

30. Einleitung. Diese Art von F± schließt sich an die mit C2 Sie treten schon bei Kummer auf (Nr. 7) als solche, die von oo¹ Ebenen — nämlich den Ebenen durch die g — in C₂ geschnitten werden.

A. Clebsch5S) hat diese F± dann eingehender behandelt und M. Noether⁸) einige Ergänzungen dazu gegeben. Kummer gibt die durchsichtige Gleichungsform

(1)

wo

F± = x⁹cp + 2xixt1> + x\i = 0,

<p, i[f} 1 beliebige quadratische Formen sind; die g ist: {xi — 0,

Zunächst treten in (1) 3 • 10 == 30 Koeffizienten auf; es ist aber leicht zu sehen, daß unter den zugehörigen Potenzprodukten der x sechs zweimal Vorkommen und eines (xfxf) dreimal. Die Anzahl der untereinander verschiedenen Potenzprodukte reduziert sich somit auf

22. Man hat daher:

„Eine JF₄ mit vorgegebener g erfordert 13 Bedingungen, bei unbestimmt gelassener g nur 9.“

Jene 13 Bedingungen sagen eben aus, daß gewisse 13 Potenzpunkte der x in der Gleichung der F± wegfallen.

Jeder Punkt P' (0, 0, rr/, x^) auf g ist ein D₂ der jP₄. Es läßt sich das auch algebraisch bestätigen, indem alle vier Ableitungen der Form Fi (1) für einen solchen Punkt P', d. i. für xi — xk — 0, verschwinden. Denn diese Ableitungen enthalten immer nur solche Glieder, die entweder durch xi oder durch xk teilbar sind.

105

31. Vorstufen zu einer F± mit g. Es ist nützlich, die P₄ (1) mit einer g allmählich entstehen zn lassen. Man gehe aus von einer P₄, die zwei reelle D₂⁶⁰), etwa in Ax und Am, besitzt. Dann müssen die acht Potenzprodukte xf, xAm, x³xi} x³xk, xfxm, x³mx{, x³mxk) x³mxx wegfallen. Mithin treten umgekehrt außer den in (1) angegebenen Gliedern noch die folgenden fünf auf

/y*2 /y>2    /y»2 /y« /y*    /y>2 /y> r/>    /y* /y*    /y»2 m m

U/mJ/k⁹V

so daß, wie es sein muß, eine P₄ mit zwei gegebenen Z)₂ von 26 Konstanten ahhängt.

Legt man einer solchen P₄ mit zwei _D₂ die weitere Bedingung auf, irgendeinen dritten Punkt P' der Geraden g (x. — xk = 0) zu enthalten und damit diese selbst, so erfordert dies das Wegfallen des Gliedes x²x²m, so daß noch die vier Produkte x²xixm, x²xkxm, x²nxixl) x²mxkxx verbleiben. Versteht man daher unter A ein beliebiges lineares Aggregat derselben

(2)

A = aimX1XiXm + Xk m X1 X/kXm + ®ilXlXiXl + aklX\nXkXV

so nimmt die Gleichung der P₄, die die Gerade g enthält und auf ihr zwei D₂, in Ax, Am, die Gestalt an

F±=xl(p + 2xixiil> + x\i -j-A = 0.

Weiter verlange man, daß diese Fi in irgendeinem dritten Punkt P' (0, 0, xx, x'm) auf g einen D₂ besitze.

Es müssen dann wiederum für P' alle vier Ableitungen der Form P₄ (3), oder auch, was genügt, der Form A verschwinden. Sei Ar die die Ableitung von A nach xr. Dann verschwinden Ax und Am von selbst für x{ — xk — 0. Es treten also die beiden Bedingungen hinzu

(4)

( A = aim⁹l + V'm = °> t Ak = akm⁹i + akl⁹i = °-

Somit darf man setzen, unter p, <? willkürliche Parameter verstanden, aim ~ Q⁹m) aii ⁼⁼ Q⁹l 1

akl = — (rx{.

(5)

Xkm = ^⁹ m>

Damit nimmt A die spezifische Gestalt an

A = XxXm { QX^Xi + <^Ka⁹l⁹k — 9⁹i⁹m⁹i ~ GXl⁹m⁹k)

= xxxm{xxx'm — x;xj{gxt + exk).

Nunmehr schneide man die P₄ (3) mit irgendeiner Ebene Et durch g

(6)

Solange die Fi auf g nur zwei D₂ (in A₀ Am) besitzt, ist der Schnitt mit Er eine c₄ mit d₂ in Am und Al} deren Gleichung (oder vielmehr die ihrer Projektion von Ai auf die Ebene xi — 0) durch Einsetzung von (7) in die Gleichung der F± erhalten wird.

spaltet sich in c₄

so

Enthält die FA die Gerade g, wie in (3), der Faktor xk ab, d. h. die c₄ zerfällt in g und eine c₃, die durch Av Am geht und g noch in einem dritten, mit dem Parameter x in

(7)    variierenden Punkte Fix) trifft. Gemäß (6) ist die Gleichung dieser c₃ von der Gestalt

¹

   0. Chisini, Rom Line. Rend. (3) 26, (1917), p. 575.

47 a) A. Lackner, Wien Ber. 121, Ila (1912), p. 2519.

²

   G. JDarhoux, Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algebriques, Paris 1873, 2. Anfl. 1896. Der Darhouxsehe Standpunkt tritt auch selbständig bei E. Laguerre hervor in einer Reihe seit 1868 erschienener Abhandlungen, s. Oeuvres II, Paris 1905, p. 41, 54, 164.

³

P. Domsch, Dissert. Leipzig 1885 = Arch. Math. Phys. (2) 1, p. 193;

⁴

2, p. 225.

⁵

Vgl. weiter G. Darboux, Paris C. R. 92 (1881), p. 29.

⁶

   G. Humbert, J. Ec. Pol. 55 (1885), p. 127.

⁷

   A. Clebsch, Math. Ann. 1 (1868), p. 260; vgl. G. Darboux, Bull. math. astr. 3 (1872), p. 221, 251, 281.

⁸

   M. Noether, Math. Ann. 3 (1870), p. 101, 175; 4 (1871), p. 547.

Encyklop. d. math. Wissensch. III 2.

⁹

i - XXk’

60) Über die verschiedenen Formen eines Z)₂ und ihre gegenseitige Überführung s. K. Rohn, Math. Ann. 22 (1883), p. 124.

(8)    c₃ = xkcp₂(xk, xv xj + xxxm{xQ + 6) faX" — xmx[) = 0.

Dann und nur dann, wenn dieser Restpunkt P(r) fest ist, d. i. mit F\0, 0, Xj, x'r/i) zusammenfällt, besitzt, wie (6) lehrt, die FA einen dritten P₂ in P'. Auf einer Geraden g einer FA können also drei D2 liegen, ohne daß damit schon g zu einer Doppelgeraden g würde.

Die Forderung eines vierten Z>₂ aber auf g, oder, was auf dasselbe hinauskommt, die Forderung, daß sich von der c₃ abermals die Gerade g abspaltet, ist algebraisch damit gleichwertig, daß die Gleichung

(9)

XQ + 6 = 0

in x identisch erfüllt ist. Dann aber verschwinden p und 6 einzeln, und man gelangt von (3) zu (1) zurück.

32. Die 16 Geraden auf der Fläche. Man schneide jetzt auch die P₄ (1) mit einer beliebigen Ebene Et = E(x) des Büschels (7). Eine solche Et schneidet aus der P₄ noch eine C₂ aus mit der Gleichungsform

(10)

«>(«*> xv Xm)    = °-

au (²), an (³); akm (³)

Z)(t)= akl (3), au (2), alm (2) = 0.¹)

akm(ß),    amm(²)

Auf der P₄ existiert also, wie schon Kummer (s. Nr. 7) angab, eine co¹-Schar von C₂, die von dem Ebenenbüschel mit der Achse g ausgeschnitten wird. Unter diesen C₂ befindet sich eine endliche Anzahl solcher, die in ein Geradenpaar zerfallen. Für solche muß die Determinante !)(•r) der Form c₂ (10) verschwinden. Fügt man jedem Koeffizienten ars seinen Grad in x in Klammer bei, so wird die Gleichung D{x) — 0

(11)

Da die linke Seite den Grad 8 in x erhält, so gilt der Satz:

„Auf einer FA mit g befinden sich 16 Gerade g, die sich in acht,

105

jeweils mit g inzidente Paare zerlegen. Je zwei g, die verschiedenen Ebenen angehören, sind windschief.“

Ist umgekehrt g irgendeine Gerade auf der P₄, die die g treffen muß, so schneidet die Ebene (<g, g) die zugehörige Inzidenzgerade aus.

33. Abbildung der Fläche auf eine Ebene. Wir kommen zur Abbildung der P₄ (1) mit g auf eine Ebene.

Da jede E aus der P₄ eine c₄ mit einem d₂ (auf g), also vom Geschlecht 2, ausschneidet, so müssen auch die c des Abbildungsgebüsches G solche vom Geschlecht 2 sein, und je zwei solche c müssen sich in vier variierenden Restpunkten treffen.

Diesen Bedingungen genügt nach Glebsch⁵⁸) ein c₄-Gebüsch G mit neun Grundpunkten, von denen einer, A₀₎ ein d₂ ist, während die acht übrigen Ai7 . . ., Ar einfache Punkte dt sind. Die acht Grundpunkte Aif . . ., Ar sind die Bilder von acht windschiefen g (= av . . ., ar) der Fa.

Andererseits liefern die acht Verb indungsgeraden von A₀ mit irgendeinem der A (A₀, At) (t — i,. . ., r) = cot die acht weiteren g der P₄. Je ein Paar (af, cot) ist ein Inzidenzpaar.

Eine Gerade cot ergänzt sich mittels der durch alle 9 Fundamentalpunkte gehenden c₃, die mit c₃' bezeichnet sei, zu einer c₄ in G. Andererseits bildet diese c₃' aber auch zu jeder beliebigen Geraden durch A₀ die Ergänzung zu einer c₄ in G.

Somit ist die c₃ das Bild der g, derart, daß irgendeinem Punkte P auf g zwei mit einem A₀ inzidente Punkte Q, Q' auf c₃ entsprechen und umgekehrt.

34. Die Kegelschnitte auf der Fläche. Die Bilder der c₁ (A₀) auf der P₄ sind die oo¹ C₂, die von den Ebenen des Büschels (g) ausgeschnitten werden. Es ist dies aber auch die einzige stetige Schar von C₂ auf P₄, da eine stetige Schar von c₄ in G nicht anders zerfallen kann als wie oben angegeben.

Im besonderen befinden sich unter diesen oo¹ C₂ die acht Inzidenzpaare von g. Indessen existiert auf der P₄ noch eine endliche Anzahl von C₂ == C₂ anderen Charakters.

Man entnimmt der Abbildung, daß es drei Arten von Bildern solcher C₂ gibt. Erstens:

cc) Die 28 Geraden cik = (A-, Aj.

Diese ergänzen sich jeweils zu einer c₄ in G vermöge der „komplementären“:

a) 28 r⁽j'k\ mit d₂ in A₀, und dt in den 6 übrigen Av . . ., Ar.

Je ein solches Paar (cik, rfy®) ist das Bild von zwei koplanaren C₂ der P₄. Yon deren vier gemeinsamen Punkten liegt einer auf g.

In der Bildebene trifft cik die c₃' in einem Restpunkte Cik, dessen Yer-bindungsgerade mit A₀ einen weiteren Restpunkt Cik liefert.

Dann ist das Paar {Gik, G'ik) das Bild des auf g gelegenen Schnittpunktes der beiden C₂.

Andererseits treffen sieb cik und Hp) in drei Punkten, den Bildern der drei weiteren Schnittpunkte beider C₂.

Als weitere Bilder von C₂ auf Fi hat man:

ß) Die c₂ =    durch A₀ und vier der Grundpunkte A:

A A

Eine solche    ergänzt sich mit der „komplementären“

durch A₀ und die vier übrigen A zu einer c₄ in G.

Auch jedes solche c₂-Paar (ß) ist das Bild von zwei koplanaren C₂ der Fi. Die c₃' trifft die    in einem Restpunkte C(i,k’l,m\

dessen Yerbindungsgerade mit A₀ einen weiteren Restpunkt C'^k>l,m) ausschneidet. Das nämliche Paar G, C’ ergibt sich für die komplementäre d”’p’q’r^ und liefert das Bild des auf g gelegenen Schnittpunktes der beiden C₂, während deren drei übrige Schnittpunkte den (außer A₀) gemeinsamen Punkten der cfy*'¹,™) und dp-p'<1'r) entsprechen.

Nun gibt es = 70 Arten, wie man aus 8 Elementen i, . .

4 herausgreifen kann, die sich in 35 Paare vom Typus (i, h, l, m), (n, p, q, r) zerlegen.

Damit ist man zu 70 = 2 • 35 weiteren C₂ (ß) auf F± gelangt. Hiermit sind zugleich alle Möglichkeiten erschöpft, wie eine c₄ in G zerfallen kann.

Es gibt aber in G noch eine ausgezeichnete rationale c₄ = r[ mit d₃ in A₀, und d₁ in den acht übrigen A.

Auch diese r₄' wird von einer beliebigen c₄ in G in zwei variierenden Restpunkten getroffen, ist also das Bild einer weiteren C₂ (y) auf F±.

Das Bild der koplanaren C₂' ist ersichtlich der Punkt A₀ selbst.

Die c₃ trifft die r₄' in einem Restpunkte C₀, während der Restschnittpunkt der Geraden (A₀, C₀) mit c₃' in A₀ selbst fällt, so daß (.A₀, C₀) die Tangente der c₃ in A₀ ist.

Eben dieses Paar (A0} C₀) ist das Bild des auf g gelegenen Schnittpunktes beider G₂ (y). Die drei Tangenten der r₄' in d₃ (A₀) entsprechen den drei weiteren Schnittpunkten beider C₂.

Paßt man zusammen, so hat man den Satz:

„Auf einer Fi mit g existieren außer der früheren stetigen oo¹-Schar von C₂ noch 2-28-|-2*35-{-2*l = 2-64 = 128 einzelne Kegelschnitte C₂, die sich in 64 Paaren koplanarer anordnen. Diese 64 Paare zerlegen sich in drei Arten gemäß den jeweils komplementären Bildern:

ct) Die 28 Geraden cik — (A{, Ak),

a) die komplementären 28 mit d₂ in A₀ und in den sechs übrigen Av . . ., Ar;

ß) die c₂ = cf*'¹’™') durch A₀ und irgend vier der A, etwa Ait..A

ß') die komplementären c^p>2’r) durch A₀ und die vier übrigen A-y) die c₄ = r[ mit d₃ in A₀ und d₁ in den acht übrigen A, y') der Punkt A selbst.“

Aus der Abbildung läßt sich aber auch entnehmen, welche der 16 g von irgendeiner der 128 C₂ getroffen werden, sowie die gegenseitigen Schnittverhältnisse von C₂ verschiedener Arten.

Wir begnügen uns mit der Anführung einiger Ergebnisse.

Je sieben windschiefe g der Fi werden zusammen mit g von einer C₂ auf F± getroffen, die noch einer achten g begegnet.

Auch so gelangt man zu den 128 C₂', die zu je zweien in 64 dreimal berührenden Ebenen T liegen. Je zwei solche koplanare C2 treffen zusammen alle 16 g.

Jede der 128 C₂ wird von 28 anderen doppelt geschnitten, mit denen zusammen sie dieselben zwei g trifft; von 70 anderen C₂ einfach, mit denen zusammen sie dieselben 4 g trifft; endlich von 28 C₂' gar nicht, mit denen zusammen sie dieselben 6 g trifft.

35. Die vier Kuspidalpunkte der P₄ mit g. Die F\ mit einer Kuspidalgeraden. Unter den möglichen Spezialfällen der Fl mit g ist bemerkenswert der, wo die g zu einer Rückkehrkante (Kuspidalgeraden) wird. Während die _F₄ mit g im allgemeinen eine Q₂₀ ist, reduziert sie sich im vorliegenden Falle auf eine <Z>₁₂.

Yorab sei darauf hingewiesen, daß eine F± mit g im allgemeinen vier Kuspidalpunkte besitzt.

Um sie zu bestimmen, entwickele man in der Gleichung (1) die drei quadratischen Formen cp, ijj, % nach xt und xm, also etwa für cp

(12) cp = aitx* + 2btixtxm + citx*m + ltixt + miixn + qu,

wo die a, b, c Konstante sind, die l, m lineare Formen in xi} xk und die q eine quadratische in xi7 xk.

Man bediene sich eines beweglichen Koordinatensystems derart, daß drei Ecken Am, A., Ak desselben festbleiben, während die vierte Ecke A{ (des früheren festen Systems) durch einen variierenden Punkt Aj (0, 0, 1, u) auf der Kante (A₀ Am) ersetzt wird.

Verfährt man analog mit ip und %, so geht die ursprüngliche Grlei chung Fi (1) über in

Fl = <² {aHx² + 2aikxixk + akkxl)

+ 2p(pu*i* +    + hA)

“1“ ^²{CiiXl "f" ^CikXiXk “f" CkkXT) } H~ ' ’ * = x, ²(a -f- 2gb -{- g²c) -J- • • • — 0,

wo a, b, c feste quadratische Formen in xi} xk sind.

Soll jetzt die Ecke A[ der Forderung genügen, ein Kuspidalpunkt der _F₄ zu werden, so muß der in A[ liegende Z)₂, der im allgemeinen ein biplanarer ist, in einen uniplanaren ausarten, d. h. die Diskrimi-nante D(g) des Faktors von x/² in (14) muß verschwinden, und umgekehrt. Somit ergibt sich für die Kuspidalpunkte der Fi auf g (#t. = xk = 0) (14) die Bestimmungsgleichung in dem Parameter g

(15)

35. Die vier Kuspidalpunkte der Fi mit g. Die mit einer Kuspidalgeraden. 1635

Die zugehörige Koordinatentransformation lautet xt: xk: xl: xm = x[: xk': x[: x{g — xm.

Dies setze man in (12) ein und ordne nach x[, so kommt, wenn man auf das Glied mit x{² achtet,

<t =    + 26.# + c_.fi²) + • •

(13)

nur

(12')

D(g) = ac — b² = 0.

Den vier Wurzeln dieser Gleichung entsprechen die vier Kuspidalpunkte der Fi (1).

Soll jetzt weiter die g zur Kuspidalgeraden werden, so daß jeder JD₂ auf g ein uniplanarer wird, so muß die Gleichung (15) in g identisch erfüllt sein, und umgekehrt.

Diese Forderung ist aber gleichwertig mit der anderen, daß der durch die drei quadratischen Formen a, b, c dargestellte Kegelschnitt mit dem Normkegelschnitt seiner Ebene zusammenfällt. Oder auch, man darf den Parameter g so normieren, daß das Koeffizientensystem der aH, bH, cH, ... in (14) die Werte erhält: 0, 0, g,²; 0, g, 0; 1, 0, 0. Geht man zurück zur ursprünglichen Gleichung (1) resp. (12), so erkennt man, daß die in xt} xm quadratischen Aggregate Civ Cik, Ckk innerhalb der op, ip, v die Gestalt annehmen

rH

Ci

cu = x²mg\ cik = xtxmg, Gkk = x*f

und damit das entsprechende Aggregat C in der Gleichung der F₄ selbst (17) G = x*zlti* + 2xixkxJxmg + x\x{ = (xtxmg + xkx,)\

+ %) + ••••

Führt man hier wieder mittels (13) statt xm die neue Koordinate x{(i — xm ein, so beginnt der nach x{ geordnete Klammerausdruck in (17) mit

(18)

Während also der Kuspidalpunkt auf g variiert, dreht sich seine Tangentialebene um g.

Zusammenfassend hat man den Satz:

„Soll die Doppelgerade g (x. — xk — 0) einer Fi (1) zu einer Kuspidalgeraden werden, so ist dazu notwendig und hinreichend, daß sich das Aggregat der in xv xm quadratischen Glieder in Fl als volles Quadrat von der Gestalt (17) darstellen läßt.

Durchläuft dann der Kuspidalpunkt die Kuspidalgerade, so dreht sich seine Tangentialebene um die Kuspidalgerade.“

36. Spezielle F± mit einer Doppelgeraden. Von der Liniengeometrie aus gelangte J. Flücker⁶²) zu einer Fi mit g und acht einzelnen D₂.

Es gibt dann vier Ebenenpaare, die die acht D₂, jede Ebene vier von ihnen, enthalten. Durch die g gehen vier Ebenen, die die Fi längs einer Geraden berühren, die jeweils zwei der acht D₂ enthält. Die F± ist zugleich eine (&₄.

Eine FA mit g und vier weiteren (nicht in einer Ebene gelegenen) _D₂ hat W. Frahm⁶³) durch geeignete Modifikation des Clebschschen Verfahrens auf eine Ebene abgebildet.

Daß auf der (gewöhnlichen) g der Reihe nach ein, zwei, drei Punkte D₂ zu D₃ werden können, ohne daß die g zu einer ~g wird, daß aber das Auftreten eines vierten solchen Ds die g zu einer ~g macht, wird in Abschn. VI gezeigt.

Es sei noch hingewiesen auf eine von M. Noetheru) entdeckte, beachtenswerte F₆ mit einer g und einer Cif die das Geschlecht — 1 besitzt.

62) J. Plücker, Neue Geometrie des ßaumes, I, Leipzig, p. 168. Ygl. die weiteren Ausführungen bei A. Clebsch, Math. Ann. 1 (1868), p. 253; 2 (1869), p. 1; F. Klein, ib. 2 (1870), p. 371; A. Cayley, London Math. Soc. Proc. 3 (1871),

p. 281.

63)    W. Frahm, Math. Ann. 7 (1874), p. 512.

64)    M. Noether, Math. Ann. 21 (1883), p. 399.

YI. mit dreifachem Punkt und solche mit einer dreifachen

Geraden.

37. i\ mit dreifachem Punkt und ihre Abbildung auf die Ebene. Unter den auf eine Ebene II abbildbaren F± sind auch bemerkenswert die mit einem D₃.²) Sei zunächst, im einfachsten Falle, der D₃ ein einzelner gewöhnlicher dreifacher Knotenpunkt.

Dann geht die Abbildung unmittelbar hervor durch Projektion der Fi vom D₃ aus auf eine Ebene TI. die man als Koordinatenebene xm = 0 wähle. Verlegt man noch den D₃ in die Gegenecke Am} so nimmt die Gleichimg der jF₄ die Gestalt an

(i)

= xma ₃ —    = 0,

wo a₃, ai ternäre Formen in xit xk, x} der Ordnung 3 resp. 4 bedeuten. Die Gleichung a₃ = 0 liefert im Raume den Tangentenkegel K₃ des D₃ (in der Ebene II dessen Spur), während a₄ = 0 den Schnitt von II mit der jF₄ darstellt, im Raume den über dieser Kurve stehenden Kegel Jf₄.

Die beiden Kegel K₃ und haben 12 Kanten gemein; das sind die 12 Geraden g der Fv Deren Spuren in II seien mit Ar (r — 1, 2, . . ., 12) bezeichnet; diese spielen die Rolle der Fundamentalpunkte in II bei der Abbildung.

Irgendein ebener Schnitt der F± projiziert sich in eine c₄ durch die 12 Punkte A, und umgekehrt. Damit hat man den Satz:

„Die Abbildung der F± mit D₃ auf eine Ebene II vollzieht sich durch ein Gebüsch G von e₄ (mit dem Geschlecht p — 3) mit 12 auf einer festen c₃ gelegenen Grundpunkten A, den Fundamentalpunkten der Abbildung, und umgekehrt.“

Man beachte hierbei, daß ein „allgemeines“ c₄-Gebüsch bereits durch 11 beliebig angenommene Grundpunkte bestimmt ist; ein solches Gebüsch führt auf eine gewisse rationale F₅ (s. Abschn. VIII und IX). Liegen aber im besonderen 11 solche Grundpunkte A auf einer vorgegebenen elliptischen c₃, so schneidet jene c₄ durch diese 11 Grundpunkte As (s = 1,. . ., 11) noch einen festen 12ten Grundpunkt aus der c₃ aus.

Dies bestätigt sich leicht, wenn man wieder (s. Nr. 14) auf der c₃ einen elliptischen, geeignet normierten Parameter u einführt. Eine c₄ trifft die c₃ in 12 Punkten Ar, deren Argumente ur seien. Dann unterliegen die 12 ur der Bedingung = 0. Man hat also für den

/o/fv: yj Q Hi)

12ten Grundpunkt —ul2 =^u;. Damit ist man zum obigen, bei der

lt

s = 1

Abbildung der P₄ mit D₃ auftretenden c₄-Gebüsch zurückgelangt.

Diese Abbildung ist in einfachen Formeln festzulegen.

Irgendein Punkt P(x) der P₄ liefert vermöge seines Projektionsstrahles p den Bildpunkt Q. Man gebe Q in der Ebene xm — 0 die Koordinaten yif yk, yr Die Lage von P auf p wird durch Angabe des Parameters xm bestimmt, wo gemäß (1)

a*(y)

(2)

«s (y)

Damit hat man die Abbildungsformeln

(3)

xi:xk:xl:xm = y,a₃ (y) : yka₃ (y) : yta₃(y) : a/p).

Einige einfache Anwendungen der Abbildung mögen folgen. Jeder der 12 Grundpunkte A ist das Bild der entsprechenden Geraden g auf der P₄, deren Spur er ist; genauer, den Linienelementen auf g entsprechen die Linienelemente durch A.

Die c₃ ist das Bild des J)₃. Legt man durch den D₃ irgendeine Ebene E, so schneidet diese die P₄ in einer r₄ mit d₃ an der Stelle D₃. Die drei Tangenten des d₃ treffen die c₃ in drei Punkten, die auch auf E liegen. Somit ordnen sich die Punkte der c₃ (1, l)-deutig den durch D₃ gehenden Linienelementen auf der P₄ zu. Eine beliebige Gerade cx in TI ist das Bild einer P₄ auf P₄, da jede c₄ in G die c4 in vier variabeln Punkten trifft.

Nun ergänzt sich die cx mit der c₃ zu einer c₄ in G. In der Tat ist ja nach obigem die cx die Projektionsspur einer Ebene E durch _D₃, die aus der P₄ eine r₄ mit d₃ ausschnitt. Somit reduziert sich die gesuchte P₄ auf eine ebene Kurve r₄. Den Tangenten cx der c₃ entsprechen die Schnitte der P₄ mit den Tangentialebenen des K₃.

Geht im besonderen die cx durch einen der Punkte A, so entspricht ihr eine in die betreffende Gerade g und eine r₃ (mit d₂ in D₃) zerfallende r₄.

Endlich entspricht einer Geraden cik — (Aif Ak) die Rest-(7₂, die die Ebene (gi} gk) aus der P₄ ausschneidet. Diese = 66 C₂ sind die einzigen auf der P₄.

Einer c₂ durch 5 der A entspricht eine C₃ auf P₄, die Restschnittkurve des durch die 5 Geraden g gehenden Kegels 2. Ordnung. Diese

— 792 C₃ sind die einzigen (irreduziblen) C₃ auf der P₄.

Einer c₂ durch nur 4 der A entspricht eine P₄ auf P₄ mit d2 in P₃, die Restschnittkurve eines Kegels 2. Ordnung durch die 4 Geraden g.

(7)

1639

38. Erzeugung der Fläche durch zwei projektive jF₂-Büschel.

38. Erzeugung der Fläche durch zwei projektive _F₂-Büschel. Die Existenz von _R₄-Scharen auf der Fläche muß zu deren Erzeugung durch zwei projektiv zugeordnete F₂-Büschel führen.

Man mache demgemäß den Ansatz

aiXm ®2> C2

Xm ""f~ ^2> d2

Soll diese Form mit der ursprünglichen (1) übereinstimmen, so müssen die dort gegebenen Formen a₃, a₄ in die Gestalt zu bringen sein

Q₃ .    Q j d₂    C₂,

= b₂ C₂    tt.2 •

Zu dem Behuf greife man aus den 12 Schnittpunkten A der beiden Kurven a₃, a₄ irgend vier heraus, entweder alle reell oder ein Paar reell, ein zweites konjugiert imaginär oder endlich beide Paare konjugiert imaginär. Durch diese vier Grundpunkte lege man ein Kegelschnittbüschel (c₂, d₂). Dann existiert auf der Kurve a₃ ein bestimmter Punkt («j, &j), so daß die a₃ als erzeugt erscheint durch projektive Zuordnung der beiden Büschel (c₂, d₂), (a1} &x), womit die erste Darstellung in (5) erzielt ist.

Sodann treffe irgendein Individuum des Büschels (c2f d₂) die Kurve a₄ in einem zweiten Quadrupel von Punkten, durch die man ein Kegelschnittbüschel (a₂, b₂) derart lege, daß a₄ erzeugt erscheint durch projektive Zuordnung der beiden Büschel (c₂, d₂), (a₂₎ &₂), womit man zur zweiten Darstellung in (5) gelangt.

Ersichtlich entsteht jetzt die F± (1) durch die beiden projektiv zugeordneten F₂- Büschel

(4)    F,=

(5)

= Xm(aid2 —    + («2^2

b₂ c₂).

ai xm + % + AC₂ == 0

\ Xm + ^2 + 4d₂ = 0

a\ Xm 4“ a2 + Xm +    = 0,

c₂ + pd₂ = 0.

Die spezifische Eigenart dieser beiden Erzeugungen der jF₄ mit D₃ (in Mto) liest man unmittelbar aus ihren Darstellungen (6^) resp. (6^) ab. So liegen im ersteren Falle als Grundkurven der beiden F₂-Büschel zwei i?₄ vor, die an derselben Stelle (Am) einen d₂ besitzen; die projektive Zuordnung beider Büschel ist dabei so zu treffen, daß sich die beiden, je eine der beiden J?₄ von dem d₂ aus projizierenden Kegel K₂ einander entsprechen.

(6,)

resp.

(6„)

39. Die Untersuchung von Rohn. Den F± mit Dä hat K. Mohn⁶⁵) eine eingehende Untersuchung zuteil werden lassen, zugleich mit besonderer Berücksichtigung der gestaltlichen Verhältnisse. Auch er legt die Gleichung (1) zugrunde. Solche F₄ mit festem Ds (in Am) heißen Monöide“ Jf₄; die 12 auf ihr gelegenen Geraden gi} . . ., g₁₂ — die geüleinsamen Kanten der beiden Kegel K₃ (az — 0) und W₄ (a₄ = 0) — heißen „Hauptgerade“.

Jl.

Da die Gleichung (1) von 24 Konstanten abhängt, kann man neun der g (gu .. ga) beliebig annehmen; sie bestimmen den K₃.

Auf dem K₃ lassen sich noch g₁₀ und gn beliebig wählen, womit gn bestimmt ist. Es bleiben dann noch vier Konstante zur Verfügung; dementsprechend kann man die Mi noch durch vier beliebig angenommene Punkte legen.

Wie oben (Nr. 37) lege man irgendeine der 66 Ebenen Eik (g., gk)] sie schneidet als Restkurve eine durch Am gehende    aus. Eine

Oj’V und C&m) ohne gemeinsamen Index treffen sich noch in einem weiteren Punkte.

Durch je fünf der g, z. B. git gk, gv gm, gn, geht ein Kegel K₂, der aus der M₄ noch eine, durch Am gehende C₃ ausschneidet; solcher C₃ gibt es 792 (1. c.). Zwei C₃ mit verschiedenen Indizes treffen sich noch in fünf Punkten. Durch beide C₃ läßt sich also eine F₂ legen? die noch die, die beiden letzten Indizes führenden C₂ ausschneidet.

Analog werden K₂ Büschel durch vier der g betrachtet, gewisse K₃ u. a. m.

Wann besitzt die M₄ eine weitere, nicht durch Am gehende Ge

rade g?

Dann und nur dann, wenn irgend drei der Hauptgeraden in einer Ebene liegen, die eben dann noch eine g ausschneidet. Solcher g kann es aber nicht mehr als 19 geben; in der Tat läßt sich eine Mi mit 19 g konstruieren.

Nunmehr wird die Möglichkeit von Singularitäten der J/₄ außerhalb des jD₃ untersucht.

Ein D₂ kann nur eintreten, wenn mindestens zwei der Hauptgeraden koinzidieren, wenn also K₃ und längs dieser g, auf der der D₂ liegt, eine (gewöhnliche) Berührung haben.

Fallen h der Hauptgeraden zusammen, so erhält die 3f₄ einen F)k, der die Klasse der Fläche um Je erniedrigt.

Ein uniplanarer D₂ kann nur eintreten, wenn die Mi eine Doppelgerade g, also noch eine weitere Singularität in Am besitzt. ³

Trotz dieser verwirrenden Mannigfaltigkeit von weiteren Singu-laritätsmöglichkeiten gelingt es, eine einfache Regel über das gleichzeitige Auftreten solcher Singularitäten aufzustellen. Man zerlege die Zahl 12 auf irgendeine Art in ganzzahlige Summanden, dann entspricht dieser auch eine bestimmte Art von ilf₄. Zu jedem Summanden 1 gehört ein ü₂, zu jedem Summanden 2 ein Z)₃, zu jedem Summanden 3 ein biplanarer Dä usf.

Die Gestalten dieser verschiedenen Arten der Gattungen von üf4 werden verfolgt; von Interesse ist eine Mi mit 6 D₂, als Spezialfall des Symmetroides (s. Nr. 62).

Bei dieser gestaltlichen Diskussion erweist es sich als zweckmäßig, folgenden Begriff einzuführen.

Zwei F heißen „gestaltlich gleich“, wenn sie durch stetige Änderung der Konstanten ihrer Gleichungen ineinander ilberführbar sind, ohne daß inzwischen eine Singularität verschwindet oder neu auftritt.

Dann zerlegen sich alle Jf₄ mit denselben Hauptgeraden in zwei Gruppen. Die M₄ jeder Gruppe sind gestaltlich gleich, und die eine Gruppe besteht aus Spiegelbildern der anderen. Auf diese Weise lassen sich alle iüf₄ mit gleichem Tangentenkegel Ks in Am gestaltlich vergleichen, indem man den Hauptgeraden alle möglichen Lagen erteilt,

Weiterhin sind dann noch die M₄ mit verschiedenen Ks zu vergleichen, wobei es einen wesentlichen Unterschied macht, ob der einteilig oder zweiteilig ist; nebst der Lage der Hauptgeraden entscheidet dies die Gestalt.

Daraufhin lassen sich die zunächst ohne weitere Singularitäten, dann aber auch mit solchen, bis ins einzelnste verfolgen.

Am Schluß finden noch die Sonderfälle der Steinerschen Fläche (s. Abschn. VII), sowie der Fi mit einer dreifachen Geraden g~ (s. Nr. 40) ihre Berücksichtigung.

m’

40. F₄ mit dreifacher Geraden g und ihre Abbildung. Der nächste Schritt würde sein, zu einer jF₄ mit zwei Z)₃, etwa in Ax und überzugehen. Da dann in der Gleichung der F₄ xx und xm nur linear auftreten dürfen, muß sie die Gestalt haben

¹

Eine übersichtlichere Ableitung der Gleichung (11) findet sich bei W. Fr. Meyer, Giorn. di mat. 67 (1930), p. 1.

²

Über die verschiedenen Gestalten eines Dk und ihre Deformationen vgl. K. Rohn, Math. Ann. 24 (1884), p. 55.

³

K. Mohn, Leipzig Ber. 1884, p. 1.

(1)

4 -

wo die g binär in xit xk sind.

Die Gerade (Av Am) ist dann eine g.

Erst wenn man an irgendeinen dritten Punkt auf (Alf Am) die Forderung stellt, ebenfalls ein D₃ der F₄ zu sein, existieren oo¹ solche; jeder Punkt von (Al} Am) ist ein Z)₃, und die Gerade selbst eine drei-

XlXmU + XlU + Xn9z + fi = 0,

fache Gerade ff. Man kann dann der Gleichung der die Gestalt geben Fi = x?a -f- oc^xj) -j- xtx^c + %j*d = 0,

(2)

unter a, b, c, d Linearformen aller x verstanden.

Zunächst treten in (2) 4 • 4 = 16 homogene Koeffizienten auf. Aber von diesen kommen drei (die von xfxk, x?x%} xtx%) zweimal vor. Mithin hängt eine _F₄ mit gegebener ff von 34 — 22 = 12 Konstanten ab, oder auch, es gilt:

an eine Fif eine vorgegebene Gerade g als drei-zu besitzen, involviert 22 (lineare) Relationen zwischen

„Die Forderung fache (ff)⁶⁷)

den Koeffizienten. Läßt man die Lage der ff unbestimmt, so vermindert sich die Zahl 22 um 4.“

Jede Ebene E durch cf schneidet eine Restgerade h aus, die F4 ist also eine Regelfläche F-F^ und die h sind deren Regelstrahlen (s. Nr. 77).

(3)

Sei die Gleichung des E-Büschels durch ff EW = Bi —    = 0,

so werde der zugehörige Regelstrahl entsprechend mit h(x) bezeichnet.

Nach Einsetzung von (3) in (2) sondert sich, wie es sein muß, der Faktor x\ ab, und es bleibt zur Bestimmung von h(x) eine in xk, xl} xm lineare Gleichung von der Gestalt

(4)

VaO) + b/s(v) + xmgs (r) = 0.

Durch Kombinierung von (4) mit (3) erhält man für die Achsenkoordinaten 7t von Ji die explizite Darstellung

(5) ⁷¹ik ‘ ⁷¹il ‘ ⁷¹ im * ⁷¹kl ' nkm * ^Irn ⁼ fi : 9$ : \ :    :    T^3 '

Eine beliebige Gerade %' trifft die F± in vier Punkten, die von einer biquadratischen Gleichung in x abhängen.

Man markiere auf ff einen beliebig, aber fest gewählten Punkt

Im

F' mit der Koordinate x(.

(6)

Für die durch P gehenden Regelstrahlen h erhält man gemäß (4) — wenn man hinterher xk = xf — 0 setzt — die kubische Gleichung *//»(*) + B'mgz{x) = 0.

Läßt man nunmehr P' auf ff variieren, so stellt die Gleichung (6) ein Büschel (oder auch eine Involution) kubischer Gleichungen dar mit dem Parameter x[m. Durch jeden Punkt Pr auf ff gehen somit drei Regelstrahlen h, deren Argumente x die Wurzeln der kubischen Gleichung (6) sind.

67) Vgl. „Salmon-Fiedler“, Kap. 6, Nr. 326ff., und A. Armenante, Ann. di mat. (2) 4 (1870), p. 50.

Behufs Abbildung der Fi mit g~ auf eine Hilfsebene J7 (xm — 0) von irgendeinem D₃ auf 7f aus, etwa Am, wende man wieder das Mittel der Projektion von JD₃ aus an (s. Nr. 37).

Irgendein ebener Schnitt der F± projiziert sich in eine r₄ mit d3 in Av der Spur von 7f, die noch durch drei feste Punkte Hx, H₂, H₃ — die Spuren der drei durch Am gehenden Regelstrahlen h — einfach hindurchgeht.

Da es von r₄ mit festem d₃ und drei festen dx noch eine lineare oo⁵-Schar gibt, so vollzieht sich die Abbildung der _F₄ mittels eines Gebüsches G' von r₄ der angegebenen Art; dabei sind die Koeffizienten aller Formen r₄ in G' an zwei feste lineare Bedingungen geknüpft. Indessen läßt sich diese Abbildung vereinfachen, wenn man die ganze Figur in der Ebene einer quadratischen Transformation T₂ unterwirft, mit Fundamentalpunkten in At und zweien der ZT-Punkte, etwa H₂, ü₃, während Hx in einen anderen Punkt FL übergehe.

Damit geht das Gebüsch Gr von r₄ über in ein anderes Gebüsch G von r₃ mit d₂ in At und dx in H, und man hat den Satz:

„Die einfachste Abbildung einer A₄ mit J geschieht mittels eines Gebüsches G von r₃ mit einem festen d₂ und einem festen dx als Grundpunkten.“

Hieraus folgt eine explizite Darstellung der JP₄ in zwei nicht homogenen Parametern 2, [i von der Gestalt

(^)

9xi = ^(2, p),

wo die rechts stehenden ternären Formen c in 1 quadratisch, in g, linear sind. Macht man noch mit einer dritten Variabein v homogen und sind L, M, N die Koordinatenecken, so ist L der feste d₂ und M der feste dx.

Umgekehrt führt eine Darstellung vom Typus (7), wo die Formen C« im übrigen beliebig, wenn nur linear unabhängig, gegeben seien, zu einer Abbildung einer F± mit ~g-

Ordnet man die rechten Seiten von (7), einmal nach 2, das andere Mal nach g-, so erscheint die F± ebensowohl als Ort von oo¹ Regelstrahlen ln, wie als Ort von oo¹ C₂. Die Bilder der h sind die Geraden cx des Büschels (A}) und die Bilder der C₂ sind die Geraden cx des Büschels (H). Jede C₂ trifft jede li einmal. Man erhält die C₂ auf der _F₄ direkt als Restkurven der durch irgend zwei von drei zusammengehörigen h gelegten Ebenen.

Im allgemeinen sind die drei von irgendeinem Punkte von g ausgehenden Regelstrahlen hx, h₂, h₃ nicht inzident. Man frage, wann

dieser Sonderfall, etwa zunächst für den Punkt Am, eintritt. Dann sind auch die Spuren Hx, H₂, H₃ inzident, und umgekehrt.

Vermöge der T₂ geht dann das Gebüsch G' yon c₄ über in ein Gebüsch G mit einem d₂ in At = X, dessen eine Tangente fest ist. Wählt man als diese feste Tangente des d₂ etwa die Seite v — 0, so muß für alle Individuen c in G der Koeffizient von verschwinden, und umgekehrt.

Aus der Invarianz dieser Eigenschaft von G' resp. G folgt, daß die Inzidenz von drei Regelstrahlen hx, h₂, h₃ unabhängig ist von der Lage des Projektionszentrums auf ~g. Sind also für irgendeinen Punkt P' auf If die drei durch ihn gehenden Regelstrahlen inzident — was nur eine einzige Bedingung erfordert — jeden Punkt P von J statt.

Dies mag auch rechnerisch bestätigt werden. Man ordne die Gleichung der P₄, wie im allgemeinen Falle eines einzelnen D₃ (s. Nr. 37), nach xm

so

findet das gleiche für

(8)

^ = «A + fi = 0.

Hier sind jetzt, im Falle einer g~ (xi = xk — 0), die beiden von xm freien Formen c₃, c₄ von spezifischer Eigenart.

In c₃ treten nur x{ und xk auf; c₃ ist also eine binäre kubische Form in xif xk und c₃ — 0 stellt drei Gerade hX7 h₂, h₃ durch Al dar, die Spuren der drei durch Am gehenden Regelstrahlen hx, h₂₇ h₃. Andererseits ist c₄ in xt linear, also von der Gestalt

^ = xi9a+f^

wo wiederum g₃, binär in xi7 xk sind. Die Kurve c₄ = 0, der Schnitt der P₄ mit xm = 0, ist, wie es sein muß, eine r₄ mit d₃ in Ar Die Gleichung (8) der P₄ nimmt nunmehr die Gestalt an

-^4 = /*4 + Xl9z + XnJh =

Schneidet man wiederum die P₄ mit den E-Büschel (3) x₍ — txk = 0, so reduziert sich (8') auf (4).

Man schneide jetzt die P₄ vorab mit einer beliebigen, nicht durch Am gehenden Ebene

(9)

(8')

(10)

E, = vAi + vkxk + vixi —    = 0.

Projiziert man die Schnittkurve von Am aus auf xm = 0, so erhält man eine r₄ mit d₃ in A{

A = Jh(vixi + vkcck + vtx{) +    + xtg₃)

= {Jh(ViXi + Vk3Ck) + h) + xi(ß₃ +hVl) = 0.

Diese oo³ r₄ gehen noch durch drei feste Punkte Hx, H₂₇ H₃, die Spuren der drei durch Am gehenden Regelstrahlen ht, h₂, h₃. Nunmehr lege

(11)

man der Ebene die Beschränkung auf, durch einen festen Punkt P'(0, 0, x{, 1) = P'(xf) der g~ zu gehen, betrachte also das Büschel der Ebenen E' — EV(P'). Die Gleichung einer solchen lautet gemäß (10)

K = ViXi + VkXk + xi — XlXm = 0.

Die Projektion des Schnittes hat also zur Gleichung

rl = g₃(y}.xi + vkxk — xlQ + xt(g₃ — xt'fs) = 0.

Hieraus geht hervor, daß, bei festem P auf g, das Tangententripel der r/ in d₃ (A{) stets das nämliche ist

g₃ — xlfz = o.

Variiert dagegen P' auf so liefert (15) eine kubische Involution von Tangententripeln durch Ar

Es ist noch zu zeigen, daß die Restschnittpunkte des Tripels (15) mit der r/ (13) bei fest gedachtem Pr zusammenfallen mit den Spuren der durch P' gehenden Regelstrahlen 7i/, Jt₃, h₃.

Man schneide, wie oben, die P₄ mit irgendeiner Ebene Et durch 7f

Et = Xt — txk = 0.

Nach Einsetzung in die Gleichung (8') der P₄ ergibt sich

Ei = XkfM + xifM + Xm⁽h 0) = 0.

(12)

(13)

(15)

(3)

(16)

Die beiden Ebenen Et und Ei treffen sich in einem Regelstrahl li.

Um dessen Treffpunkt P'(x{') auf ~g~ zu bestimmen, hat man in (16) xi — xk = 0 zu setzen. Damit reduziert sich aber (16) wieder auf (15).

In der Tat gehört so zu jedem gegebenen x ein Punkt P'(xt') auf g~, umgekehrt aber zu gegebenem P' ein Tripel von t-Werten. Zusammenfassend hat man:

„Die oo³ Projektionsbilder der ebenen Schnitte einer P₄ mit g {xi = xk — 0), für Am als Projektionszentrum und xm = 0 als Projektionsebene, bilden ein Gebüsch von r₄ mit d₃ in Al — der Spur von g~ — und drei dk in drei festen Punkten Hlf H%, H₃, den Spuren der durch Am gehenden Regelstrahlen h₂, li₃.

Dagegen bilden die Tangententripel dieser oo³ r₄ in At nur eine lineare ocd-Schar, die kubische Involution (15). Für jedes Bündel von Schnittebenen, dessen Zentrum auf lJ liegt, ist das Tangententripel fest.“

41. Die mit g als Achsenflaehe einer knbiselien Raumkurve. Ein bemerkenswerter Repräsentant der P₄ mit g~ tritt bei den kubischen Raumkurven C₃ auf. Liegt noch eine feste Raumgerade g vor, so gehen von jedem Punkte P auf g drei Achsen ax, a₂, a₃ der Kurve aus. Diese sind ersichtlich die Regelstrahlen einer P₄ mit g = g.

Encyklop. d. math. Wissensch. III 2.

Es sollen die Abbildungsformeln aufgestellt werden.¹) Man wähle die C₃ als Normkurve JV₃ = N₃ (s. Art. „F₃‘, Nr. 19);

(a)

x₃ : x₂x± : x₀ — X⁵ : 32²: 3 X : 1.

Von irgendeinem Raumpunkt (x) gehen drei Ebenen Xx, X₂₇ X₃ an die N₃, wo die elementarsymmetrisehen Verbindungen der X mit den x übereinstimmen. Spaltet man die X in ein festes Paar (a, ß) und ein variierendes Element g, so sind, für 6₂ : 6X : 6₀ = aß : a ß : 1, die Koordinaten eines laufenden Punktes (ja) auf der Achse a(a, ß)

00

x₃:x₂:xx: xQ = g<5₂'. <5g “1~    + #*<?<> • <V

Hieraus folgen als Strahlenkoordinaten pa der Achse a

(C) Pol " Po 2 • Po 3 :Pl2 " Pl 3 : P23 = 0O ’ <*0^1 * &0&2 ’ ^1    ^0^2 : ^1^2 ’ ö2⁻

Nunmehr möge die Achse a variieren, doch so, daß sie stets eine feste Gerade g trifft (oder allgemeiner, einem festen linearen Komplex K angehört). Damit sind die 6 an eine quadratische Bedingung gebunden

(d)

c₂(<?) = 0.

Diese läßt sich wiederum ersetzen durch eine explizite Darstellung in einem Parameter X

(e)

<?₂ : 6₁ : Gq — f₂ (X) : g₂ (X) : h₂ (A).

Setzt man dies in (b) ein, so gelangt man gerade zu den früheren Abbildungsformeln (7) einer F± mit g~ zurück.

Um von einer solchen Parameterdarstellung zu der impliziten Gleichung der zugehörigen F± zu gelangen, hat man aus (b) X und g zu eliminieren. Dies geschieht am einfachsten so: Man fasse einen Raumpunkt (x) als Zentrum eines Ebenenbündels (r), (s), (t) auf, so daß die x{ den Determinanten (rst)kl& proportional werden.

Man schneide das Gebilde (b) der Reihe nach mit den drei Ebenen (f), ('s), (t), so gelangt man zu drei Gleichungen der Form

(f) Cr = {, ;r) = 0,

'S HL

CO

c, = (x, [I] ) = 0, ct= (X, g-1) = 0,

wo nur die Grade in den X, g, sowie den ri7 si7 angegeben sind.

Man bilde jetzt die Resultante R (bez. X, g) der drei Formen (f) — was auf die Bildung von Resultanten biquadratischer binärer Formen in X zurückkommt. R ist in den Determinanten der Koeffizientenmatrix (bez. X, g) von (f) vom Grade vier, also auch im besonderen in den Größen (rst)klm — xi7 womit die gesuchte Gleichung der F± gefunden ist.

schnitt 3.

TII. Die Steinersche Fläche.

2*

42. Einleitung. Dieser Fläche ist bereits im Art. „Fz“, Nr. 13, gedacht worden. Dort erschien sie als Reziproke zu einer Fs mit vier D Aber auch innerhalb der Theorie der Fi nimmt S eine charakteristische Stellung ein.²) Entweder, wie schon hei Kummer (Nr. 8), als mit drei in einem Punkte — der dann von selbst ein Z)₃ wird — zusammenstoßenden Doppelgeraden g, mit der merkwürdigen Eigenschaft, daß auf ihr eine oo²-Schar von C₂ liegt, in denen die Fläche von deren Tangentialebenen T geschnitten wird.³) Oder aber umgekehrt, wie im folgenden, im Anschluß an Nr. 37, läßt sich die S als _F₄ mit einzelnem Z)₃, durch den drei Doppelgerade gl7 g₂, gz laufen, erklären.

Seien letztere vorerst als reell und verschieden angenommen, so verlege man sie in die drei von Am ausgehenden Koordinatenkanten, dann hat die Gleichung von S ersichtlich die Gestalt

'(1)

S = a{xlxf + akx?x? -f    + bxmxtxkxt = 0.

Gegenüber der allgemeinen Gleichung einer F± mit 7)₃ (in Am) (s. Nr. 37) zeichnet sich die S dadurch aus, daß die Spur des Kegels Kz in der Ebene xm — 0 in drei Gerade, die Koordinatenseiten xi = 0, xk — 0, xt = 0 zerfällt, und die des Kegels AT₄ eine ri mit d₂ in den Koordinatenecken A{, Ak, Al ist.

Ton den 12 g der allgemeinen F± mit D₃, den Schnittkanten der beiden Kegel Kz und 7T₄, fallen jetzt je vier in eine der drei g.

43. Abbildung der Fläche auf eine Ebene. Behufs Abbildung der Fläche S auf eine Ebene JT (xm = 0) wende man zunächst wieder die Methode des allgemeinen Falles an, die Projektion vom ü₃ aus auf 77. Irgendein ebener Schnitt der S ist eine r₄ mit drei d₂ auf den drei g. Eine solche r₄ projiziert sich wiederum in eine r₄' mit drei d₂

in A, A, A-

Die Abbildung vollzieht sich also mittels eines gewissen Gebüsches Gr' solcher r₄'. Von r₄' in 77 mit drei festen d₂ gibt es noch eine lineare oo⁵-Schar; soll sich diese auf ein Gebüsch G' reduzieren, so müssen die Koeffizienten aller r/ an zwei feste lineare Bedingungen gebunden sein.

Dieses Gebüsch G' von r± läßt sich in Ansehung der Abbildung von S durch ein einfacheres Gebüsch G von c₂ ersetzen. Man hat zu dem Behuf, wie in Nr. 40, nur die ganze Figur einer (1, l)-deutigen quadratischen Transformation T₂ mit Fundamenfcalpunkten in Aif Ak, Al zu unterwerfen.

Damit geht das Gebüsch G' der über in ein Gebüsch G von c₂ ohne gemeinsame Grundpunkte, von dem wiederum gilt, daß die Koeffizienten in allen c₂ von G zwei festen linearen Bedingungen unterliegen. Oder auch, in geometrischer Sprechweise, die oo³ c₂ in G müssen apolar (konjugiert) sein zu zwei festen Kurven zweiter Klasse y₂ und damit zu allen Individuen von deren linearer Schar 27.

Indessen kommt diese Eigenschaft jedem beliebigen Gebüsch G von c₂ zu, d. h. man kann G aus irgend vier linear unabhängigen Individuen c^p (r = 1, 2, 3, 4) linear zusammensetzen.

Seien yi} yk, yl wiederum die Koordinaten eines Punktes der Ebene ]J (ccm — 0), so hat man als einfachste Abbildung von S

(2)

9%r = 4r)(«A 24 > yi) = c<2r)(y),

so daß sich die oo³ ebenen Schnitte von S auf das Gebüsch G der cp abbilden. Die Gleichungen (2) sind aber keine anderen, als die bereits von Weierstraß⁴) (s. auch Nr. 8) erkannten zur einfachsten expliziten rationalen (quadratischen) Darstellung von S in drei homogenen Parametern.

Die Fruchtbarkeit dieser Abbildungsdarstellung tritt aber erst hervor, wenn man das Gebüsch G der cP zugleich mit der obigen apo-laren Schar 27 in projektivem Sinne als ein Ganzes auffaßt. Umgekehrt kann man von einer beliebigen linearen Schar 27 von Klassenkegelschnitten y₂ in IT ausgehen; dann ist G dadurch rückwärts als die Gesamtheit der zu den y₂ in 27 apolaren c₂ bestimmt.

Dieser Auffassung läßt sich eine weitere Vertiefung dadurch erteilen, daß man die Schar 27 als Grundlage einer seit Steiner (s. Art. „FA, Nr. 13) wohlbekannten (1, l)-deutigen involutorischen quadratischen Klassentransformation T₂ betrachtet. Jede Gerade g in der Ebene II besitzt in bezug auf eine y₂ in 27 einen Pol, und der Ort dieser Pole ist eine Gerade g', und rückwärts gelangt man so wieder von g' zu g. Die Verwandtschaft T₂ ist somit die der bezüglich 27 „konjugierten“ Geradenpaare (g, g'). Umgekehrt läßt sich eine solche gegeben gedachte T₂ als Grundlage des Ganzen ansehen; denn in der T₂ existieren vier sich selbst entsprechende Gerade („Einheitsgerade“), die als gemeinsame Tangenten der Schar ZJ letztere bestimmen. Diese vier Geraden bilden ein Yierseit Sl, dessen Diagonaldreiseit (Hauptdreiseit) z/ zu Seiten die Fundamentalgeraden von T₂ besitzt.

(3)

Die T₂ läßt sich invariantentheoretisch einfach darstellen (s. Nr. 5). Seien irgend zwei Individuen <p, ^ der Schar ZJ gegeben durch <p = (mk)² = 0, il> = (ußY — 0, so erhält man irgendein Geradenpaar (g, g') von T₂ mittels

(4)

(uci)(ua) = 0,    (uß)(u'ß) = 0.

(5)

Löst man hier etwa nach den u- auf, so kommt QU; = (ucc)(uß)(aß)kl, oder, wenn man diese drei Gleichungen durch Multiplikation mit kontra-gredienten Yariabeln xi und Addition zu einer einzigen zusammenzieht,

(5')

K = {ua)(uß){aßx) — 0.

Diese Gleichung stellt einen Konnex K(u, x) dar, der die wesentlichsten Eigenschaften der T₂ unmittelbar erkennen läßt. Irgendeiner Geraden g(u) entspricht derjenige Punkt (x), in dem g von der Bildgeraden g'(u) getroffen wird. Umgekehrt ist einem Punkt (x) ein Paar von Geraden g(ii), g’{u) zugeordnet, deren Schnittpunkt er ist.

Zugleich ist im ersteren Falle der Punkt (x) der Berührungspunkt des einen, g berührenden Individuums in ZJ. Und im letzteren Falle sind die beiden durch den Punkt (x) gehenden Geraden g, g', die Tangenten desjenigen Individuums in der linearen oo², dem Hauptdreiseit z/ einbeschriebenen Schar von Klassenkegelschnitten, das dem Punkte (x) kollinear zugeordnet ist.

Dreht sich eine Gerade g um den Punkt (x), so umhüllt die Bildgerade g' eben jenes Individuum, das also kürzer als T₂-Bild von (#) bezeichnet werden kann.

Deutet man in bekannter Weise den Konnex (5') als Differentialgleichung, so stellt letztere unmittelbar die Schar ZJ dar.

Was endlich die invariantentheoretische Struktur des Ausdruckes K angeht, so liegt hier ersichtlich eine Erweiterung des Clebschschen Ubertragungsprinzips (s. Nr. 5 und Art. „Fau, Nr. 12) vor.

In der Tat, geht man zu zwei binären quadratischen Formen zurück

(3')

/■=(ß2)², g = {ßlj

und bildet deren Funktionaldeterminante so gellt K aus © direkt gemäß der Clebschschen. Regel hervor. Denn damit gehen die beiden binären linearen Faktoren (aX), (ßl) über in die beiden ternären Linearfaktoren (ua), (uß), und der binäre Klammer-faktor (aß) in die mit den x geränderte Bildung (aßx).

Hand in Hand damit geht die geometrische Deutung.

Das Verschwinden von © liefert das zu den beiden Wurzelpaaren von f und g harmonische Paar, oder, was auf dasselbe hinauskommt, die Doppelelemente der Involution (f, g). Geht man nun wiederum in der Ebene von einem beliebigen Punkte (x) aus, so bilden die von ihm an die Schar 2(cp, cp) gehenden Tangenten eine Involution, deren durch © = 0 gelieferte Doppelelemente eben die beiden sich in T2 entsprechenden Geraden g, g sind.

Faßt man das Wesentliche zusammen, so hat man den Satz:

„Die projektive Geometrie auf der Steinerschen Fläche S ist das räumliche Äquivalent der projektiven Geometrie der ebenen quadratischen Verwandtschaft T₂.“

Einige Einzelheiten mögen noch zur Erläuterung dienen.

Die vier gemeinsamen Tangenten von 2J, die vier Einheitsgeraden (i — 1, . . ., 4) in T₂, sind die Bilder der vier Doppelebenen A^ von S.

Das Hauptdreieck A als Ganzes ist das Bild des ü₃ von S-, je drei koplanaren Linienelementen durch D₃ entsprechen drei Linienelemente auf den Seiten von A, deren Punkte mit den Ecken von A auf einer c₂ liegen.

Einzeln sind die Seiten von A die Bilder der drei g• jedem Punkte auf einer g entspricht ein Punktepaar (P, Q) auf der bezüglichen Seite von A. Diese oo¹ Punktepaare bilden eine Involution, deren Doppelelemente die beiden A-Ecken der Seite sind. Greift man von den Kanten des durch die vier Doppelebenen A}. gebildeten Tetraeders T je ein Paar von Gegenkanten heraus und legt an sie vom J)₃ aus die Leitgeraden, so sind diese drei Leitgeraden eben die drei Doppelgeraden g.

Wählt man zugleich T als Koordinatentetraeder, so wird die Klassengleichung von S von der Gestalt

(?)

*•=i

Irgendeinem ebenen Schnitte von S entsprach eine c₂ des Gebüsches 6r und umgekehrt. Eine solche c₂ artet nur dann in ein Geradenpaar (c1; c/) aus, wenn dieses ein Paar (g, g') in T₂ ist. Dann zerfällt aber auch die Bild-r₄ auf S in zwei C₂, so daß von deren vier Grundpunkten drei auf den g liegen, während der letzte, das Bild des Punktes (c±, c/) = (g, g), der Berührungspunkt einer Tangentialebene von S ist und umgekehrt. Damit ergibt sich der Satz (s. Art. „F₃“, Nr. 13): „Die Tangentialebenen der Fläche S schneiden die oo² (7₂-Paare aus ihr aus.“

Das obige Verfahren gestattet aber auch, den verschiedenen Sonderfällen, die hinsichtlich der drei g eintreten können, gerecht zu werden.

So können von den Seiten von A zwei konjugiert-imaginär werden, und damit auch zwei der g und umgekehrt. Die Gleichung von S nimmt dann die Gestalt an

(1) S = xmxx{x? + xf) + a^x? + xff + X{(akx? + a.x*) = 0.

Weiter können irgend zwei Seiten von A oder sogar alle drei koin-zidieren und entsprechend wiederum zwei der g oder alle drei.

Im ersteren Falle wähle man als gx = g₂ die Kante {xt — 0, x{ = 0) und als g% die Kante (xk = 0, xt — 0), so gehört zu S die Gleichung

<8)

S = cxmxiX? — (a x? + lx*xl) = 0.

Schneidet man eine solche S mit irgendeiner Ebene (ax) = 0 in einer r₄, so wird die Gleichung von deren Projektion auf die Ebene xm ~ 0

r₄ = (cciXi + akxk -f ajXjxM* + {ax? + Ix'xf) = 0.

<80

Diese r₄ besitzt in der Ecke Ak {xi — xt = 0) einen Berührknoten {tacnode).

Fallen endlich alle drei g zusammen, etwa in die Kante {xt — xt — 0), so nimmt die Gleichung von S die Gestalt an

9)    S = cxmx? — a(x? — Xix{y = 0.

Der Schnitt mit einer Ebene {ax) — 0 führt zu einer r₄, deren Projektion auf die Ebene xm = 0 die Gleichung hat

(9')

OÄ + akxk + cciXi) x? -f a(xf: — x^)² = 0.

Eine solche r₄ besitzt in der Ecke Ak {xi = x% — 0) einen Schmiegknoten (oscnode).

Läßt man in beiden Fällen die Ebene (a) geeignet variieren, so gelangt man, wie Moore und Neelley ausgeführt haben⁷²), zur Gesamtheit aller projektiv verschiedenen Typen von r₄ mit tacnode und oscnode. Zugleich lassen sich die Invarianten der r₄ in übersichtlicher Weise durch die Koordinaten ai der Schnittebene ausdrücken.

44. Normaldarstellungen der Fläche. Wir kehren zurück zu dem „allgemeinen Falle“, wo die vier Einheitsgeraden und damit auch die Seiten von A reell ausfallen. Wählt man A in der Hilfsebene als Koordinatendreieck [yi — 0, yk = 0,    = 0) und irgendeine der vier

72) L. T. Moore und J. H. Neelley, Amer. J. Math. 50 (1928), p. 467.

Geraden    etwa tm, als Gerade y{    yk ~\~ yl = 0, so kann man    setzen

(10)

— L = Vi + Vk + Vv    4 = — Vi + Vk + Vv

¹

W. Fr. Meyer, Apolarität und rationale Kurven. Tübingen 1883, Ab

²

   Yon weiterer Literatur sei erwähnt: L. Cremona, J. f. Math. 63 (1864), p. 315; 67 (1867), p. 1; Ist. Lomb. Eend. 4 (1867); E. Lampe, Dissert. Berlin 1864; A. Clebsch, J. f. Math. 67 (1867), p. 1; E. Sturm, Math. Ann. 3 (1871), p. 76; E. Beltrami, Bologna Mem. (3) 10 (1879), p. 232; K. Eolm, Math. Ann. 24 (1884), p. 149; E. Laguerre, (Euvres II, p. 275, 281, 319. Besonders sei hingewiesen auf die Monographie von F. Gerlaldi, La superficie di Steiner, Torino 1881.

³

   Th. Vahlen, Acta Math. 19 (1895), p. 199, liefert einen einfachen Deter-minantenbeweis für den Satz des Textes.

⁴

K. Weierstraß, J. f. Math. 64 (1865), p. 66; vgl. die Ergänzungen von H. Schroeter, ib. p. 79; A. Cayley, ib. p. 172; London Math. Soc. Proc. 3 (1871), p. 190; ib. 5 (1873), p. 14.

4 = & — & + Vv    ti = yiJryk — y„

so daß die t an die lineare Identität gebunden sind

0.

(11)

Damit erhält man für S die einfachste Parameterdarstellung

(12)

⁼⁼ 44

und im Anschluß daran, als einfachste implizite Gleichung von S in der irrationalen Gestalt,

(13)

s =2Vxi= 0-

*

Führt man die rechten Seiten von (12) aus, wobei zur Abkürzung y? -J- yl -f- y% — s gesetzt werde, so kommt

4² =«-- ²ytyk — ²yiVi +

(12')

tl = s— 2yiyk + 2ytyt — 2ykyn t? = 5 -f 2 yiyk — 2 yiVl — 2ykyl, s + ² yiVk + 2    + 2yky, ■

Durch Umkehrung ergibt sich

(14)

4s = y^tr\ 8yiyk = — t? — t* -f t* + tl, usf.

Führt man demgemäß neue Raumpunktkoordinaten z ein vermöge

— % — S, + usf.,

(15)

so lautet in ihnen die Parameterdarstellung von S

(16)    egm = Vi + vt + y?> <52i = ²yky» 6eh*=2yiyli 6zl = 2yiyk.

An die Darstellung (2) knüpfen sich weitere Bemerkungen. Zunächst fragt es sich, wie man von (2) aus durch Elimination der Größen p, A, y zur Gleichung der S zurückgelangt. Zu dem Behuf frage man, wann sich drei Ebenen (rx) — 0, (sx) = 0, (tx) — 0 in einem Punkte (x) der S treffen, so daß = (rst)klm wird. Dies führt zu drei c₂-Glei-chungen, die je in den r, s, t linear sind

(17)

4r)(r; A, y) = 0,    l, y) = 0,    A, y) = 0.

Man stelle in bekannter Weise die Resultante JR bez. A, y der rechten Seiten von (17) auf, indem man die Ableitungen Jx, J^ Jv der Jacobischen Determinante J nach A, y und einer homogenen Variabein v gleich Null setzt und aus ihnen und (17) die Quadrate und

Produkte der X, y, v eliminiert. Die Resultante R ist vom vierten Grade in den dreireihigen Determinanten der Koeffizientenmatrix bez. X, y von

(17).

Diese dreireihigen Determinanten gehen aber von selbst über in vierreihige vom Typus (abcx), wo die Kolonnen der a, b, c der ursprünglichen Koeffizientenmatrix von (2) angehören. Daraufhin liefert R = 0 direkt die gesuchte Gleichung von S.

Sodann lassen sich die vier Darstellungsformeln (2) formal in eine einzige zusammenziehen, indem man mit kontragredienten Variabein u multipliziert und addiert

(18)

?(«*)

Hier ist die rechte Seite linear in den quaternären u, quadratisch in den ternären y, also symbolisch geschrieben

(19)

S = (ucc)(ay)².

Diese Form S läßt sich mit A. Goller™) als einzige Grundform der ganzen Theorie verwenden; die projektiven Eigenschaften der Fläche S werden gleichwertig mit dem Verschwinden gewisser Komitanten der Form S (19). Auf diesem Wege untersucht Goller die Asymptotenkurven (s. u. Kr. 46) der Fläche, ihre JTessesche Fläche u. a. m. (s. Art. „F“, Kr. 13, Kote 46).

Sodann gestatten die rechten Seiten von (2) noch eine andere Auffassung, indem man sich dieselben hervorgegangen denkt aus quaternären (quadratischen) Formen Cp zk, zv zm), wo man hinterher die z wieder durch Linearformen in ternären Variabein y ersetzt.

S.d

und.

Deutet man diesen algebraischen Vorgang geometrisch, so gelangt man zu der synthetischen Erzeugung der S durch Th. Reye¹*): Man hat nur die Raumpunkte eines Ss' kollinear auf ein F₂-Gebüsch eines zu beziehen, so entsprechen den Ebenen Flächen S. Umgekehrt hat hierauf Reyeu) die Abbildung der Fläche S gegründet. Einem Punkte des einen Raumes entspricht eine Gruppe von acht assoziierten Punkten im anderen, einer Geraden eine einer Fn eine Ft im besonderen einer Ebene eine S.

Die analytische Ausführung findet sich bei V. Snyder und F. R. Sharpe.¹ 2 3) Synthetische Ergänzungen rühren von A. Jophe⁴) her.

Der Formelapparat vereinfacht sich, wenn man mit E. Timer ding’¹¹') das P₂-Gebüsch als ein solches mit gemeinsamem Poltetraeder wählt. Der mannigfachen Erweiterungen der Weierstraßschen Formeln (2) auf Flächen höherer Ordnung und in höheren Räumen ist in Art. „F₃“, Nr. 13, Note 48a gedacht worden.

45. Weiteres zur Abbildung der Fläche. Bezüglich der Abbildung der Fläche S durch das c₂-Gebüsch G seien noch einige Ergänzungen hinzugefügt.

Die vier gemeinsamen Tangenten (t. = 0) der zu G apolaren Schar 2J bildeten ein Yierseit ß; auf den Seiten von dessen Hauptdreieck Zl liegen je zwei Gegenecken von 61, und diese sind die Doppelelemente der zugehörigen „iß-Involution“.

Jede c₂ in G trifft die Seiten von A in Punktepaaren der zugehörigen iß-Involution. Umgekehrt, trifft eine c₂ irgend zwei der Seiten in Punktepaaren der .ß-Involution, so auch die dritte und ist dann in G enthalten. Diese Regel überträgt sich ohne weiteres auf Schnitte von S mit Fn. Die Bilder sind c2n, die die Seiten von A in n Pnnkte-paaren der ß-Involution treffen usf.

Die in Geradenpaare (g} g) zerfallenden c₂ in G waren die Bilder der von den Tangentialebenen von S ausgeschnittenen C₂-Paare. Ist der Punkt P(g, g) beliebig vorgegeben, so ergeben sich g und g, indem man die auf zwei der Seiten von A befindlichen ^-Involutionen von P aus projiziert und dann das den beiden Geradeninvolutionen gemeinsame Paar bestimmt.

46. Die Haupttangentenkurven der Fläche. Das Bild irgendeiner nicht in G enthaltenen c₂ ist eine P₄ auf S; dies gilt also im besonderen von den irreduzibeln Individuen y₂ der Schar 2J oder auch den „Inkegelschnitten“ von Sl. Deren Bilder P₄ sind aber nach G. Dar-boux'¹⁸) die Haupttangentenkurven von S.

Dieser bemerkenswerte Satz geht fast unmittelbar aus den elementaren Eigenschaften der Yerwandtschaft T₂ hervor.

Je zwei Gerade g, gr entsprachen sich in T2> wenn sie bez. 2J konjugiert waren; sie bildeten zugleich die zerfallenden c₂ in G. Sei etwa die Gerade g gegeben, so wird sie von einer bestimmten y₂ der Schar 2J in einem Punkte Pr berührt; dann geht g ebenfalls durch P₁. Andererseits sind g, g die Bilder der beiden C₂, die auf S von der Tangentialebene im Bildpunkte P (von Px) ausgeschnitten werden. Die Tangenten der beiden C₂ in P sind die beiden durch P laufenden ⁵ 6

46. Die Haupttangentenkurven der Fläche. — 47. Der Satz von Lie. 1655

Haupttangenten h von S. Wandert jetzt g als Tangente längs der obigen ya, so haben y₂ und g im jeweiligen Berührungspunkte Px die Fortschreitungsrichtung gemein, und die y₂ in H sind die einzigen Kurven dieser Art. Somit sind in der Tat die y₂ in H die Bilder der Haupttangentenkurven auf S, die sich als Kurven P₄ weiterhin diskutieren lassen.

47. Der Satz von Lie. Wir stellen noch einige Sätze allgemeineren Charakters über die S zusammen und verweisen wegen weiterer Einzelheiten wiederum auf Art. „P₃“, Nr. 13.

S. Lie'¹⁹) hat den Satz aufgestellt:

„Der Ort der Pole irgendeiner festen Ebene s in bezug auf alle auf einer S gelegenen C₂ ist wiederum eine S. Berührt im besonderen s die S, so reduziert sich der Ort auf eine F₂. Der Satz bleibt auch gültig, wenn die gegebene S in eine P-P₃ ausartet.“

Die Lie sehe Fläche sei mit Ss bezeichnet. Cr. Koenigs⁷ 8) findet den Satz unabhängig von Lie und gibt einen analytischen Beweis. Er bemerkt weiter, daß die Doppelberührebenen T von S einfache Berührebenen T von Se sind, und daß Ss die Schnittkurve ($, s) enthält.

A. Brambilla⁹) stellt eine Art von Reziprozitätsgesetz auf: „Berührt eine Ebene rj die Ss, so berührt auch s die S}j.“ Er gibt auch Ausdehnungen des Zh'eschen Satzes auf „zweidimensionale S“ im $₄ und S₅.

D. Montesano¹⁰) untersucht die Beziehungen zwischen den beiden Flächen S und Ss genauer; er fragt auch nach den Ortern, die bei Variieren der Ebene e von den g, dem D₃ und den Doppelberührebenen T der S£ beschrieben werden.

Sein Ausgangspunkt ist eigenartig. Es liege eine F₃ zugrunde und ein fester Raumpunkt P (außerhalb der F₃). Durch P lege man irgendeine Gerade g und denke sich auf ihr die drei vierten harmonischen Punkte Q in bezug auf je zwei der drei Schnittpunkte von F3 mit g bestimmt. Bei Variieren von g erfüllen die Punktetripel Q eine kubische Fläche M₃. Das Auftreten irgendeines _Z)₂ der F₃ bewirkt auch das eines entsprechenden D₂' der M₃ und vice versa.

Hat also im besonderen die F₃ vier P₂, ist also die Reziproke zu einer S, so findet das nämliche für die M₃ statt.

Dualistisch ist somit bei gegebener Ebene e jeder S eine zweite, eben die Ss zugeordnet, womit der Lie sehe Satz durchsichtig bewiesen ist.

Bei Variieren von s beschreiben die g von Ss singuläre lineare Komplexe, die die g von S zu Achsen haben; der D₃ beschreibt den Raum doppelt und die T von Ss entsprechen sich in einer (nicht in-volutorischen) Oemowa-Transformation.

Erweiterungen anderer Art gibt C.Bosati.⁸³) Man denke sich irgendeine C*₄ auf S herausgegriffen. Der Ort der Pole der Sehnen von C4 in bezug auf die durch ihre Treffpunkte gehenden C₂ von S ist wiederum eine S. Zerfällt im besonderen die Ci in zwei 0₂, so zerfällt der in Rede stehende Ort in die Ebenen der beiden C₂ und eine F₂. Ist andererseits die (7₄ eine Haupttangentenkurve auf S, so fällt der Ort mit S zusammen u. a. m. Artet die S in eine B-F₃ aus, so erfahren diese Sätze gewisse Modifikationen.

Der Verfasser leitet seine Sätze her durch geeignete Projektion der im S₅ gelegenen zweidimensionalen Veronese sehen Fläche

Xy x₂ ‘ x₃:    ‘ x₃: x₆ =    : X^ • ^3 • ^2 ^3 •    ^3" ^1 ^21

die zuerst Gr. Veronese⁸⁴) genauer untersucht hat.

Für den .Lieschen Satz hat W. Franz Meyer einen invariantentheoretischen Beweis geliefert (s. „F₃l, Nr. 13). Sei S wiederum dargestellt durch

QXi = c(i)(K, K> lt)-Die oo², auf S gelegenen C₂ ergeben sich hieraus bei Ersetzung der Xr, durch beliebige Linearformen eines Parameters X

= ak^ ~f" ßk

Für ur = {aß)st geht damit (a) über in

QXi = ft{X) = cyl² + 2b{X -f c,..

(a)

oo

(Je = r, s, t).

(c)

Für die Schnittpunkte Xt, X₂ einer solchen C₂ mit einer Ebene s hat man die Gleichung

(d)

X²(as) -j- 2X(bs) -{- (cs) — 0, oder auch für 6₂:    : <?₀ == X₁X₂: Xt -f- X₂: 1

d₂: 6X: <3₀ — (cs) : — 2(be) : (as).

(dO

0)

Nun hat der Pol B'(x) von s bez. C₂ die Koordinaten QXf ⁼ O'i62 "I⁻    “f“ ct6₀.

Setzt man hier die Werte der <? aus (d') ein, und ordnet nach den sf, so ergibt sich für den gesuchten Ort der Pole P'(cc)

QXr = mir + GVkr + GVlr + SmV

83)    C. Bosati, Torino Atti 35 (1900), p. 12.

84)    Gr. Veronese, Rom Line. Mem. (3) 19 (1884).

wo unter rjrs die in den Koeffizienten bilineare, in den Yariabeln u quadratische Kontra Variante der Formen und zu verstehen ist, so daß im besonderen für r — s i]rr die Klassenform von cM wird.

Dann stellt (f) die gesuchte Se dar. Das Beweisprinzip ist ausdehnbar auf Formen <ß höheren Grades und in mehr Parametern, sowie auf den Sn.

48. Die Sätze von Darboux, Picard und Castelnuovo. Eine Reihe weiterer Sätze bezweckt, wenn man von den R-F absieht, wie es im folgenden stets der Fall sei, die Fläche S auf Grund gewisser, auf ihr gelegener C-Scharen zu charakterisieren.

Schon Kummer (Nr. 8) hatte erkannt, daß die S die einzigen Fi mit einer oo²-Schar von C₂ sind.

Diesen Satz verallgemeinert G. Darboux, im Anschluß an seine Untersuchung¹¹) über C₂, die mit einer Fi einen möglichst hohen Kontakt haben, dahin, daß überhaupt eine F mit oo² C₂ eine S ist.

Eine weitere Verallgemeinerung rührt von E. Ricard¹²) her („Picards eher Satz“). Danach ist die S auch dadurch charakterisierbar, daß sie eine F mit ebenen rationalen Schnitten ist. Picards erste Mitteilung (1878) hierüber deutet den Beweis nur an; erst 1886 erfolgt eine ausführlichere Begründung.

Indessen stellte G. B. Guccia¹³) eine Lücke im Picardschen Beweise fest, und er ersetzt ihn daher durch einen anderen unter Ausdehnung der Methoden, die M. Noether¹⁴) zur Untersuchung der F mit Scharen rationaler G verwendet hatte.

Noch allgemeinere Gesichtspunkte treten bei G. Castelnuovo¹⁵ 16) auf. In einer ersten Arbeit geht er aus von Eigenschaften ebener c, die bei eindeutiger Transformation erhalten bleiben. Daraufhin untersucht er solche Familien von F, deren ebene Schnitte ein vorgegebenes Geschlecht p besitzen. Für p <j 2 ergibt sich, daß solche Flächen rational sind. Für p — 0 resultiert als Spezialfall der Picardsche Satz.

In abermaliger Erweiterung unter Benutzung eines Hilfssatzes von L. Kronecker beweist Castelnuovo, daß die irreduzibeln F, die von Ebenen in einem oo²-System reduzibler C geschnitten werden, Flächen S sind („Castelnuovoseher Satz“). Auf den SA hat den Picardschen Satz E. H. Moore⁸⁰) ausgedehnt.

49. Verallgemeinerungen der Weierstraßschen Darstellung der Fläche. Die Weierstraßsche Darstellung (2) der S ist verschiedentlich verallgemeinert worden.

So hat G. Koenigs⁹¹) überhauptF mit Scharen von C₂ untersucht, derart, daß durch jeden Punkt der F n C₂ gehen.

Den Fall mit doppelter (7₂-Erzeugung, insbesondere Kreiserzeugung, verfolgt eingehend E. Cosserat.⁹²)

Mit Hilfe dieser Methode haben G. Veronese, E. Ascione, E. Cosse-ratn) die S auch als Projektion vom $₄ aus untersucht.

Andererseits hat man das Analogon der S im Sn in Betracht gezogen. A. Tanturri⁹⁴) studiert den Fall n — 4, den allgemeinen Fall A. Brambilla.⁹⁴)

mit A. Brambilla⁹⁵) die

Endlich läßt sich die Weierstraß sehe Darstellung der S in der spezifischen Form (12) ausdehnen, indem man vier Quadrate linearer Ternärformen durch wte Potenzen ersetzt; es ist beachtenswert, daß sich auch jetzt noch die Haupttangentenkurven als Inkegelschnitte eines Vierseits abbilden.

Ferner haben sich an die irrationale Darstellung (13) der S weitere Untersuchungen angeschlossen.

So hat C. Segre⁹⁶) mittels der geometrischen Eigenschaften der Transformation qx- — x? die Haupteigenschaften der S abgeleitet.

und untersucht die so entstehende F₈.

Aus der irrationalen Darstellung der S leitet A. Boberts⁹⁸) drei orthogonale Transformationen ab, die S in sich überführen.

91)    G. Koenigs, Paris C. R. 105 (1887), p. 407; J. Ec. Norm. (3) 5ä (1887), p. 177. Vgl. G. Jung, Palermo Eend. 4 (1890), p. 253; Ed. Weyr, Monatsh. Math. Phys. 2 (1891), p. 351.

92)    E. Cosserat, Paris C. R. 124 (1887), p. 1004; 130 (1900), p. 311, 385 (im besonderen doppelte Kreiserzeugung). Vgl. H.Sisam, Amer. J. Math. 30 (1908), p. 99.

93)    G. Veronese, Rom Line. Mem. (3) 19 (1884), p. 19; E. Ascione, Rom Line. Rend. (5) 6, (1897), p. 162, 240; E. Cosserat, s. Note 92).

94)    A. Tanturri, Giorn. di mat. (2) 14 (1907), p. 45, 291; A. Brambilla, Napoli Atti (2) 9 (1899), p. 185.

95)    A. Brambilla, Torino Atti 20 (1885), p. 781; Lomb. Ist. Rend. (2) 21 (1888), p. 334, 541; Palermo Rend. 2 (1888), p. 176. Vgl. G.Lazzeri, Veneto Ist. Atti (6) 6 (1888), p. 171.

96)    C. Segre, Giorn. di mat. 21 (1883), p. 358.

97)    A. Brambilla, Giorn. di mat. 35 (1897), p. 1.

98)    A. Roberts, Mess. 11 (1885), p. 132.

öO. Metrische Beziehungen. Eine metrische Spezialisierung liegt bei K. Merz") vor, indem er bei rechtwinkligen x, y, z die Gleichung

VJ+Vf+V

= 1 zugrunde legt. Vermöge der Transformation

£² — x, rf — y, £² = z (s. Segre oben) wird die S abgebildet auf ein Oktaeder. Die Ebenen desselben erscheinen als Ort der Doppelgeraden eines gewissen Strahlensystems.

noch elliptische (7₄, wie das für die S schon „Cre-

2n + l

Auch sei noch hingewiesen auf eine gewisse _F₄ als projektive Verallgemeinerung der S bei P. L. Schonte.¹⁰⁰) Auf einer solchen P4 liegen weder C mona“ und „Sturm“ gezeigt hatten.

Die P₄ auf S studiert G. Armenante.¹⁰¹) Eine Konstruktion der Tangentialebene gibt J. Bowe.101a‘)

Noch seien einige weitere metrische Eigenschaften der S erwähnt. JE. Amigues¹⁰²) betrachtet die S als eine gewisse „Mittelpunktsfläche“.

Der Umriß der S von irgendeinem Punkte einer der drei g aus ist nach Cayley-Sharp¹⁰⁰) eine Ellipse.

Bei W. Schmidt¹⁰¹) erscheint die S als Ort der Punkte, für die die Summe der auf zwei feste windschiefe Gerade gefällten Lote gleich deren kürzestem Abstand ist. Ersetzt man diesen durch eine beliebige Konstante, so entsteht eine allgemeinere P₄ (s. Nr. 86).

51. Die Krümmungslinien auf der Fläche S. Behufs Bestimmung der Krümmungslinien von S, deren Gleichung wieder in der irrationalen Gestalt

¹

   A. Goller, Progr. Ludwigs-Realschule München 1902.

²

   Th. Heye, J. f. Math. 86 (1878), p. 84; Math. Ann. 48 (1896), p. 113. Vgl. auch „Heye“, p. 140.

³

   V. Snyder und F. B. Sharpe, Amer. Math. Soc. Trans. .19 (1898), p. 275.

⁴

   A. Joplce, Arch. Math. Phys. (3) 18 (1910), p. 133.

⁵

   H. JE. Timerding, Ann. di mat. (3) 1 (1917), p. 98.

⁶

   G. Darboux, Soc. phil. B. 10 (1873), p. 37.

⁷

   S. Lie, Arch. Math, og Nat. 3 (1878), p. 84. Der Satz war schon 1869 der Universität zu Kristiania eingereicht, s. M.Noether, Math. Ann. 53 (1900), p. 3.

⁸

   G. Koenigs, Soc. math. Fr. Bull. 16 (1888), p. 15.

⁹

   A. Brambilla, Napoli Rend. (3) 4 (1898), p. 19.

¹⁰

   B. Montesano, Napoli Rend. (3) 5 (1899), p. 88.

¹¹

   G. Darboux, Bull. Math. Astr. (2) 4 (1880), p. 348.

¹²

   E. Picard, Paris Soc. Phil. 1878, p. 127; J. f. Math. 100 (1886), p. 71.

¹³

   G. B. Guccia, Palermo Rend. 1 (1887), p. 165.

¹⁴

   M. Noether, Math. Ann. 3 (1871), p. 161.

¹⁵

   G. Castelnuovo, Rom Line. Rend. (5) 3, (1894), p. 22.

¹⁶

   E. H. Moore, Amer. J. Math. 10 (1887), p. 27.

(13')

s=Vj+Vi+VJ

angenommen sei, entwickelt G. Darboux¹⁰⁵) eine allgemeinere Methode. Zugrunde liegt das JDupmsche Theorem, wonach sich die Flächen eines oo³-orthogonalen Systems in ihren Krümmungslinien schneiden (s. Art. III D 9, JE. Salkowshi, Dreifach orthogonale Systeme). Es liege ein oo¹-Flächensystem mit einem Parameter u vor in der Gestalt

(«)

x + r + z=u,

99)    K. Merz, Dissert. Techn. Hochsch. Zürich 1914; Schweiz. Naturf. Ges. 1914, p. 102. Siehe auch die historischen Notizen von K. Merz, Ens. Math. 19 (1917), p. 89.

100)    P. L. Schoute, Amsterdam Ak. 4 (1896), p. 224, 272.

101)    A. Armenante, Giorn. di mat. 12 (1874), p. 250.

101a) J. Bowe, Amer. Math. Soc. Proc. 12 (1911), p. 295.

102)    E. Amigues, Paris C. R. 86 (1878), p. 38.

103)    A. Cayley-Sharp, Educ. Times 39 (1883), p. 31.

104)    W. Schmidt, Progr. Realgymn. Lüdenscheid 1889.

105)    G. Dari)Oux, Paris C. R. 84 (1877), p. 382.

X'X" = 2(X"—a)(X"—lS) usf.

wo X, Y, Z je nur von x, y, z abhängen, und überdies drei Bedingungen genügen von dem Typus

(ß)

Eine solche Schar (a) gehört nach einem Satze von J. A. Serret einem oo³-Orthogonalsysteme an (s. Art. III D 3, B. v. Lilienthal, Kurven auf einer Fläche, Nr. 35).

Es wird zunächst untersucht, wie sich die beiden anderen Scharen des Systems als Enveloppen von Flächen ergeben, die sich durch eine gewisse Quadratur bestimmen lassen. Sodann wird die Erweiterung verfolgt, wenn auf den rechten Seiten der Bedingungen (ß) an die Stelle des Faktors 2 eine beliebige Konstante 2 h tritt.

Daraus läßt sich folgern, daß sich unendlich viele algebraische oo³-orthogonale Flächensysteme angeben lassen, deren drei Scharen der nämlichen Gleichungsform genügen und sich nur durch die Parameterwerte unterscheiden.

Dies findet im besonderen seine Anwendung auf die Fläche S (13') sowie auch auf die F₃ mit 4 Z)₂ (s. „F₃‘, Nr. 13) mit der Gleichung

— -j- — -f- —--1 = 0 und allgemeiner auf die Fläche mit der Glei-

x y z

= 0.

drang £)” + (£)"+ (£)“- 1

VIII. Rationale Flächen vierter und höherer Ordnung.

52.    Einleitung. Rationale Flächen oder auch solche vom Geschlecht Null sind solche, die sich durch ein homaloides Gebüsch von Kurven in einer Ebene mit einer endlichen Anzahl von Grundpunkten A („Fundamentalpunkten“) auf die Ebene abbilden lassen (s. Art. III C 11, L. Ferzolari, Algebraische Transformationen).

Diese Abbildung ist eine (1, l)-deutige mit Ausnahme der Fundamentalpunkte A- letzteren entsprechen Kurven G auf der Fläche, oder genauer, die Linienelemente durch einen Punkt A korrespondieren (1, l)-deutig den Linienelementen auf G. Vermöge einer solchen Abbildung lassen sich die homogenen Koordinaten eines Punktes P einer rationalen Fläche F darstellen als Formen derselben Ordnung in drei homogenen Parametern und umgekehrt; diese Parameter sind die Punktkoordinaten in der Bildebene.

53.    Die Typen rationaler JF₄. Wir beschränken uns in der Hauptsache auf die rationalen P₄, da man solche höherer Ordnung nur unvollständig kennt.

In den voraufgehenden Abschnitten ist bereits eine Reihe rationaler P₄ behandelt worden; diese besaßen entweder eine mehrfache Kurve oder aber einen D₃.

M. Noether¹) bewies, daß alle Fi mit einer mehrfachen Kurve rational sind.

Zu diesen Typen rationaler Fi tritt zunächt noch der einer _F4 mit Selbstberührungspunkt (s. auch Nr. 7), der durch Noether und L. Cremona erledigt wurde.² 3)

Die Abbildung geschieht durch ein Gebüsch G von c₆ mit 7 d₂

und 4 d±.

Man beachte hierbei, daß G ein c₆-Gebüsch von besonderer Art ist. Durch sieben beliebige Punkte als d₂ geht, da eine allgemeine c6 von 27 Konstanten abhängt, eine oo⁶-lineare Schar von cs, also durch vier weitere einfache Punkte nur ein Netz. Die obigen 7 —f- 4 Punkte sind somit an die Bedingung geknüpft, daß eine c₆, die in den sieben ersteren Punkten d₉ besitzt und noch durch drei weitere der vier

letzteren Punkte einfach hindurchgeht, auch den vierten Punkt enthalten muß.

Irgend zwei c₆ in G treffen sich in 36 — 4*7 — 4 = 4 variierenden Punkten, wie es sein muß.

Die Theorie der rationalen jF₄ brachte Noetherm) dadurch zum Abschluß, daß er zeigte, wie nur noch zwei weitere Typen existieren.

Die Form der F±- Gleichung für den ersteren Typus lautet

(1) F4t == flx\ + 2{/jxs(xs + gf) + gs}    + xf + 2x\\

+ Xl\ + X3^3 + ^4 = 0,

wo die f} g, h binäre Formen in xlf x₂ mit dem jeweiligen Index als Ordnung bedeuten.

Die Abbildung vollzieht sich durch ein Gebüsch G von c₇ mit einem d₃ und 9 d₂ als Grundpunkten.

Bezüglich der Grundpunkte von G tritt eine ähnliche Erscheinung ein wie soeben.

Da eine allgemeine c₇ von 35 Konstanten abhängt, so gibt es nur ein Netz von c₇, die an einer beliebigen Stelle einen d₃ besitzen und an neun weiteren beliebigen Stellen d₂- denn man hat 35 — 6 — 3-9 = 2. Soll aber statt des Netzes ein Gebüsch G eintreten, so müssen die zehn Grundpunkte einer gewissen Bedingung unterliegen. Andererseits treffen sich irgend zwei Individuen von G in 49 — 9 — 9-4 = 4 beweglichen Punkten, wie es sein muß.

107

Der letzte Typus ist charakterisiert durch die Gleichungsform

(2) F± = x\x\ — 2(xs xtfx + g₃) xx — x\xt + x\\ + x₃\ + \

wo wiederum die f, g, h Binärformen in xX) x₂ sind.

Das Abbildungsgebüsch G besteht aus c₉ mit 8 d₃, einem d₂ und einem dx. Auch hier sind die Lagen der zehn Grundpunkte einer Beschränkung unterworfen.

Denn da eine allgemeine c₉ von 54 Konstanten abhängt, so wären bei beliebiger Lage der Grundpunkte 8 - 6 —3 —{— 1 = 52 Bedingungen zu erfüllen, so daß dann nur ein Netz von c₉ existierte.

Andererseits treffen sich irgend zwei c₉ von G in 81 — 8-9 — 4 — 1=4 beweglichen Punkten, wie es sein muß.

IX. Flächen vierter und höherer Ordnung mit endlich vielen

Geraden.

54. Flächen vierter und höherer Ordnung ohne Singularitäten mit einer endlichen Anzahl von Geraden. Mangels einer systematischen Kenntnis dieser besonderen FA) Fb,. . . — kennt man doch nicht einmal die jeweilige Maximalanzahl von Geraden auf der Fläche — beschränken wir uns darauf, eine Reihe von beachtenswerten Typen herauszugreifen.

Zunächst die F±.

Wie schon in Nr. 3 hervorgehoben, erfordert das Auftreten einer Geraden g auf einer F± eine invariante Bedingung für die Konstanten der Fläche, so daß auf einer punktallgemeinen Fi keine g liegen kann.

Die Gleichung einer Fx mit einer vorgelegten g (xi = 0, xk — 0),. wo fünf Bedingungen zu erfüllen sind, hat die Struktur

(1)

Fi=xiF₃ + xkGz=0.

Im nächst höheren Falle von zwei Geraden gx, g₂ ist zu unterscheiden, ob diese windschief oder aber inzident sind; im ersteren Falle sind zehn, im letzteren neun Bedingungen zu erfüllen.

Bei zwei windschiefen Geraden

9i 0* =0, xk= 0), g₂ (xl =0, xm = 0) ist die Gleichung der jF₄ von der Gestalt

(2 a)

Fi = x^F, + xixmG₂ + xkxxH₂ + xkxrnL₂ = 0.

Dagegen bei zwei inzidenten Geraden

9i0,- == 0, xk = 0), g₉(xt = 0, xt = 0)

(2 b)

F± = xxFa -j- xkxxG₂ = 0.

Wir gehen über zu F± mit drei Geraden gx, g₂, g₃. Man hat wieder die drei Hauptfälle zu unterscheiden, wo entweder alle drei g windschief sind, oder aber nur zwei, oder endlich, wo je zwei der g inzident sind.

Erster Fall. Alle drei g sind windschief, so daß etwa

9l(a = 0, a' = 0), g₂(xt = 0, xk = 0), g₃(x, = 0, xm = 0).

Es sind 15 Bedingungen zu befriedigen. Gemäß (2 a) muß die Gleichung der F₃ von der Struktur sein (3 a) F± = a fax^ + xtxm\ + xkxxcx + xkxmdx)

+ ci’ix^a; + xtxrX + ockxX + xkxmdx) = 0.

Zweiter Fall. Nur zwei der drei g, gx und g₂ sind windschief. Es treten zwei Unterfälle ein, je nachdem die dritte Gerade g₃ nur eine jener beiden, oder aber beide trifft; bei ersterem sind 14, bei letzterem 13 Bedingungen zu erfüllen.

Im ersteren Unterfalle seien die isolierte Gerade g = g₃ (a = 0, a = 0), die beiden anderen g₁{xi= 0, xk—0), g^X—Q, xi = 0). Man hat gemäß (2 b) die Gleichungsform

(3 b) Fi = a(xiFi + xkxiFi) + F {xiX + xkx,Fi) = 0.

Im zweiten Unterfalle seien die beiden windschiefen Geraden wieder gx ixi =0, xk = 0), g₂ {xl =0, xm = 0), dagegen die dritte, beide treffende, g₃ etwa {xk = 0, xm — 0).

Es entsteht die Gleichungsform (3 b') F± == xixl{xkF₁ + xrnF\) + xiXm{xk Gx + xm Gx)

+ XkXliXkFl + XmFl) + XkXmiXkFl + XmF\) =

Dritter Fall. Je zwei der drei g sind inzident. Dann liegen entweder alle drei g in einer Ebene (xm = 0), also

9i(xm=°, xi = °);    ^(xm=°> xk=°), fh(xm=°, xi = °),

oder aber sie laufen durch einen Punkt (Mm), also

9i (xi = xk = 0), g₂ (xi =0, x% = 0), g₃ (xk — 0, xx = 0).

Die Gleichungsformen der Fi werden

(3 c)

Fa = xm F₃ -J- xixkxlF₁ = 0,

resp.

(3 c)

F₄ — xkxxF₂ —f- XjXjGy “f⁻ x^xk3₂ 0.

Mithin besitzen diese letzteren F± einen D₂ im Punkte Am, in dem die drei Geraden g zusammenstoßen.

Hieran schließen sich die Fälle, wo durch einen D₂ mehr als drei Gerade der Fi gehen; sie seien hier gleich mit behandelt, wenn sie auch ihrer Natur nach zu Nr. 55 gehören.

107*

Eine vierte Gerade treffe die Ebene xm = 0 in einem Punkte Q(yi, yk, yv 0). Man ordne demgemäß in (3 c') die Formen Fa, G₂, H₂ nach xm,

(4) F₂ e= x²ma₀ + xmax + a₂, G₂ = x*mb₀ -|----, H₂ = x%mc₀-\----.

Die Gerade — (Am, Q) trifft die Fs in zwei Restpunkten, die von der in xm quadratischen Gleichung abhängen

(5)

\ViVi + co ViVi)

4- ««{«iG/)m4—} 4- K{y)VkVi4—} = °-

Soll gA der F₄ angehören, so muß (5) in xm identisch erfüllt sein, so daß man einzeln hat

(6)

«oVkVi 4- hViVi 4- wVk = °>

«1 {y) VkVi 4— =    % (y) VkVi 4— = °-

Bei gegebener Geraden g, d. h. bei gegebenem Punkte Q(y), lassen sich in mannigfaltiger Weise Wertsysteme der a₀, b₀, c₀, sowie der in    a₂, . . . auftretenden Koeffizienten angeben, die (6) erfüllen.

Analog verhält es sich mit einer fünften Geraden g₅, die durch den Punkt R(z) in xm= 0 festgelegt sei. Soll auch gh der Fl angehören, so treten zu (6) drei weitere Bedingungen hinzu, die aus (6) durch Vertauschung der y mit den z hervortreten.

2*

Die Konstanten a₀, b₀, c₀ sind jetzt an zwei lineare homogene Bedingungen gebunden, sind also im allgemeinen bestimmt, und verschwinden nicht zugleich, d. h. der Punkt Am bleibt noch ein D

Dieser Fall tritt z. B. bei der Wedäleschen Iläche ein (s. Nr. 65).

Es werde zu einer sechsten Geraden ge durch Am übergegangen, die durch einen Punkt S (s) in der Ebene xm — 0 bestimmt sei. Hier sind zwei Fälle zu unterscheiden. Die drei Konstanten a₀, b₀, c0 unterliegen jetzt drei Bedingungen von dem in (6) angegebenen Typus. Entweder, „im allgemeinen“, sind die drei Punkte Q, R, S beliebig, d. h. sie liegen nicht mit den drei Koordinatenecken Ai} Ak, Al auf einer c₂. Dann liegen drei in a₀, b₀, c₀ lineare homogene Relationen mit nichtverschwindender Koeffizientendeterminante vor. Mithin verschwinden die a₀, b₀, c₀ einzeln, d. h. die jF₄ besitzt in Am einen _D₃ (siehe Nr. 37), und ihre Gleichung nimmt die Form an

(7)

F± = xmaä + a₄=0.

Oder aber im besonderen, jene Determinante verschwindet, die a₀, b₀, c₀ verschwinden nicht zugleich und sind bestimmt; der D₂ in Am bleibt ein solcher.

Ordnet man die Gleichung der jF₄ nach xm, wie folgt Fi = ^mK₂ -f- xmKs + W₄ == 0,

so ist die Gleichung des von Am an die Fi gehenden Tangentenkegels K₂ des D₂

(9)

K, — (Iq Xj,xl -(- b₀xlxi -j- Cq xiXj, 0.

Die sechs Geraden g sind jetzt Kanten dieses Kegels K₂ und zugleich solche des kubischen Kegels K₃ und des biquadratischen K₄.

Mehr als sechs Gerade durch Am könnte die F± nur in dem singulären Falle besitzen, wenn die Form K₃ identisch verschwindet, dann würden die acht gemeinsamen Kanten der beiden Kegel K₂ und Fl4 auf der F± liegen.

Wir kehren zurück zu F± mit windschiefen Geraden. Indem die Fälle mit vier, fünf, sechs solchen Geraden übergangen seien, werde der Fall von sieben solchen Geraden ins Auge gefaßt. Da die Existenz solcher, beliebig gegeben gedachter sieben Geraden auf einer F± 7-5 = 35 unabhängige Bedingungen involviert, so müssen jene sieben Geraden einer gewissen Abhängigkeit unterliegen. Diese hat Cayley⁴ 5) näher untersucht. Wie später E. Wakefordn0) ausgeführt hat, steht eine solche Fi mit sieben windschiefen g in enger Verbindung mit einer gewissen kubischen Raumtransformation T₃ (s. „F₃“, Nr. 11).

Man gehe von vier beliebigen windschiefen Geraden h1} . . ., \ aus. Durch diese geht ein Gebüsch G von F₃, dessen Gleichung sei

(10)

G = J?u!F₅® = 0.

K-

Man ordne den F₃ dieses Gebüsches G das Gebüsch der Ebenen E(w') eines zweiten Raumes kollinear zu. Dadurch wird eine kubische Cre-monasahe Punkttransformation T?j zwischen beiden Räumen festgelegt. Umgekehrt korrespondiert dabei das Gebüsch der Ebenen E(u) des ersten Raumes einem Gebüsche G' von Flächen 3. Ordnung F₃ im zweiten Raume, wiederum mit vier gemeinsamen Geraden hf,. . ., Eine beliebige Gerade g des ersten Raumes geht vermöge der T3 über in eine C₃, die die vier Geraden li zu Sekanten hat, und vice versa.

Von besonderem Interesse ist eine gewisse jF₄ mit zehn windschiefen Geraden g. Diese jF₄ ist der Ort der Spitzen der Kegel eines „allgemeinen“ jF₂-Gebüsches G, d. h. eines solchen ohne gemeinsame Grundpunkte, und steht in engster Verbindung mit der Theorie der „allgemeinen“ ebenen rationalen Kurven 6. Ordnung r₆, d. h. solcher, die zehn d₂ besitzen. Es werde von diesen rG ausgegangen.⁶) Die Parameterdarstellung einer solchen r₆ lautet

(11)

QXt = fiW

wo die binäre Formen 6. Ordnung in A sind.

Zu diesem Netz yon Formen f gehört ein apolares Gebüsch von Formen cp derselben Ordnung, das sich zusammensetze aus

(12)

<Pa = (a*)⁶. <Pb = (P 'O⁶; 9C = (cX)*> <Pd = (<**)*>

mit realen Koeffizienten a₀, alf. . ., aG usf.

Bedeuten Xx, . . ., A₆ irgend sechs Parameterwerte und sk (Je = 0, 1,. . ., 6) deren homogene elementarsymmetrische Verbindungen, so bilde man vermöge Polarisation nach den Xx, . . ., X₆ aus (12) die vier Linearformen

(13)

(as) = J?atst, (bs) = J>bksk,

(cs) = 2cksk, (ds) = ^dksk.

Dann besagt das „Schnittpunkttheorem“ daß die sechs Punkte (Aj),..., (A₆) der r₆ dann und nur dann auf einer Geraden liegen, wenn die vier Bedingungen erfüllt sind

(14)

(as) = 0, (bs) == 0, (cs) = 0, (ds) — 0.

A₆ in zwei Reihen von je

Man spalte weiter die sechs Werte X drei, etwa Xx, X₂, X₃ und A₄, A₅, X₆, und bezeichne deren elementarsymmetrische Verbindungen mit <?r resp. rt. Setzt man dann

(A₀ = a₀(i₀ + • • • + a3^3>

A₁ = ax6₀-{-•■■ +

A₂ = a₂ (3₀ + • • * + «5^3?

A₃=a₃<?₀-j-----f-a₆«y₃ usf.,

so nehmen die Gleichungen (14) die Form an

(as) = StfAt = 0, (bs) = ^SxiBi — 0 usf.

(* = 0, 1, 2, 3).

Eliminiert man hieraus die t, so ergibt sich als Kriterium für die Inzidenz dreier Punkte (Xx), (X₂), (X₃) der r₆ die Bedingung F,= \Aiy Bif Ct, D,| = 0,

die also von derselben Struktur ist wie die Gleichung (s. Nr. 65) der Kegelspitzenfläche eines F₂- Gebüsches, nur daß hier zwischen den Koeffizienten A, B, C, J) gewisse Gleichheiten bestehen. Nunmehr ziehe man die kubische Normkurve N₃ = N₃ (s. Nr. 3) heran. Die Koordi-

(15)

(14')

(16)

l? • •

naten xi irgendeines Raumpunktes F(lx, l₂, 2₃), von dem die drei (Schmiegungs-) Ebenen XXf X₂, X₃ an die N₃ gehen, fallen mit den <Si zusammen.

Dem Gebüsch (12) der Formen cp, oder auch dem der Formen (14')₇ ist ein F₂- Gebüsch 0 (Fa, Fb, Fc, Fd) (1, l)-deutig zugeordnet. Die Gleichungen der Fa, . . ., Fd ergeben sich aus (14) für <?,-= ri7 so daß man hat

(17)

Fa =^xixkai+k = (ax)² = 0 usf.

i,/c

Andererseits ist der Normkurve N₃ eine oo² Schar U von Flächen

2. Klasse 0 einbeschriehen, die sich aus drei Individuen 0a, 0^, 0y zusammensetzen, deren Gleichungen sind

0a = u₀u₂ — u² = (ua)² = 0,

(18)

0p = u₀u₃ — uxu₂ = (m/3)² = 07 0y = uxu₃— u\ = (uy)² = 0.

Dann bestehen die zwölf Beziehungen zwischen den Flächen F und 0 («k)²= 0₇    (ba)² —    0,    (ca)²— 0₇    (da)²— 0,

(19)

(aß)² — 0,    (&/»)>_    0,    (cß)² = 0,    (dß)² = 0,

0,    (6y)*=    0,    (cry= 0,    {dyf= 0.

Diese sagen aus, daß jede Fläche F des Gebüsches G apolar ist zu jeder Fläche 0 der Schar 2J, oder kurz, daß das Gebüsch G apolar ist zur Normkurve N₃.

Vermöge (14') ist je ein Punktepaar (<?), (r) der Fläche F± konjugiert zu G, d. h. zu jeder Fläche in G. Man hat damit den Satz: „Beschreibt man der Normkurve N₃ ein beliebiges, durch (1) dargestelltes Netz von Hexaedern um, so erfüllen deren Ecken die Kegelspitzenfläche F± eines F₂- Gebüsches G. Je ein Paar von Gegenecken eines solchen Hexaeders ist konjugiert in bezug auf die F₂ des Gebüsches G, oder auch, das Hexaeder ist ein ,PolhexaedeP von G.u

Sei ferner d₂(a{, ß() irgendeiner der zehn d₂ der r₆ (1). Da das Paar (ai} ß{) mit jedem Punkte 1 der r₆ ein Inzidenztripel bildet, so folgt: „Auf der Fläche F± liegen zehn windschiefe Gerade gt (ai} ß.), die zugleich Achsen der Normkurve N₃ sind.“ Weitere Gerade auf der F± existieren nicht.

Endlich beachte man noch, daß die Fläche F± die Normkurve N3 in zwölf Punkten trifft, die von einer Gleichung ®(X) = 0 abhängen, wo © die Funktionaldeterminante der Formen f (oder auch der Formen cp) bedeutet. Die Gleichung &(l) — 0 liefert andererseits für die r₃ deren zwölf Wendepunkte.

Es handelt sich nun um die Umkehrung der bisherigen Entwickelungen, indem man jetzt von einem allgemeinen F%- Gebüsch G (ohne Grundpunkte) ausgeht. Gibt es dann eine kubische Kurve JT₃, die zu G apolar ist?

Da eine JT₃ von zwölf Konstanten abhängt, andererseits zwölf Bedingungen vorliegen, so können nur zwei Fälle eintreten; entweder gibt es eine endliche Anzahl von U₃, oder aber im allgemeinen keine r₃, wenn jedoch im besonderen eine, so auch unendlich viele.

Der letztere Fall kann nicht eintreten. Denn nach Nr. 65 befinden sich in G zehn Ebenenpaare, und deren zehn Schnittachsen wären dann die gemeinsamen Achsen von oo _T₃, was ausgeschlossen ist. Mithin gibt es eine endliche Anzahl von zu G apolaren rs, wo diese Anzahl nur gleich Eins oder Zwei sein kann.

Hier greift die vielseitige Untersuchung von A. B. Cöble⁷) ein. Er bringt die kubischen Kurven C₃ = jT₃ und die r₆ in einen direkten Zusammenhang. Man denke sich zwei beliebige Kurven C₃, C₃ gegeben und auf jeder einen Parameter X, resp. X' ausgebreitet. Man lege etwa durch C₃ das Netz N' von _F₂, so schneidet dieses auf C3 ein Netz von Punktsextrupein f₆(X) von der Form (1) aus, das also durch eine r₆ repräsentiert werden kann. Analog entsteht vice versa eine re'. Sieht man dual die beiden kubischen Kurven als Klassengebilde (Gewinde) rä) r₃ an und operiert entsprechend mit den einbeschriebenen Flächen 2. Klasse so bildet sich die Raumfigur von neuem ab auf ein Paar von r₆. Im ganzen treten also als Bilder der Raumfigur (C₃, C₃) = (U₃, r₃) vier gleichberechtige rationale Kurven 6. Ordnung vom Typus r₆ (1) auf.

Legt man nun etwa das Paar (JT₃, F₃') zugrunde, so korrespondieren wie früher deren zehn gemeinsamen Achsen die zehn d₂ der r₆.

Dann aber weist Coble nach, daß auf diese Weise, bei beliebiger Lage der C₃, C₃, in der Tat das allgemeinste Netz (1) von binären Formen f₆ (X) entsteht.

Es sei noch darauf hingewiesen, daß Cöble auch transzendente Hilfsmittel heranzieht, indem er die Figur (0₃, C₃) zu den AheZschen Modularfunktionen vom Geschlecht p = 4 in enge Beziehung setzt.

Faßt man das obige zusammen, so ist die Umkehrfrage jetzt beantwortet, und es gilt der Satz: „Zu einem F₂-Gebüsch gehört ein einziges Paar von _T₃, so daß deren zehn gemeinsame Achsen die Schnittlinien der zehn in G enthaltenen Ebenenpaare sind. Die Kegelspitzenfläche Fi von G enthält jene zehn Geraden (und keine wei-

teren), und G ist das zu rs wie zu r₃ apolare F₂- Gebüsch. Überdies erscheint die F± als Ort der zehn Paare yon Gegenecken von je oo², jT₃ resp. rs' umbeschriehenen Hexaedern, und jedes solche Punktepaar ist konjugiert in bezug auf G.u

Auf die Sonderfälle, wo sich die zehn d% der r& zu-höheren Singularitäten vereinigen, werde nicht eingegangen und nur erwähnt, daß im Falle eines d₅ die Fi sich zur LTesseschen Fläche H(FS) einer F3 spezialisiert (s. Art. „F₃“} Nr. 19).

Der bisher behandelte Fall einer _F₄ mit zehn g ist, vom Standpunkte der ebenen rationalen Kurven rn aus, nur das Anfangsglied einer Kette von Fi} Fh, . . . mit einer endlichen Anzahl von Geraden g.in) In der Tat, geht man von einer allgemeinen rn aus, die also

(n — 1) (n — 2)

<4 besitzt und durch QXi=ft®{X) dargestellt ist, stellt

das Schnittpunkttheorem auf und leitet aus ihm, ähnlich wie bei der r₆, das Inzidenzkriterium für irgend drei Punkte der rn ab, so gelangt man zu dem Satze:

„Eine allgemeine ebene rationale Kurve rn (n ^ 6) führt zu einer Fn mit ——~~ — (und nicht mehr) Geraden, die Achsen einer rs

sind. Die Fn erscheint als Ort der Ecken eines Netzes von w-flachen, die der F₃ umbeschrieben sind. Die Gleichung der Fn erhält man durch Nullsetzen einer «-reihigen Determinante, mit quaternären Linearformen als Elementen, deren Koeffizienten kettenförmig aufsteigen.“

Zu einzelnen FA mit einer besonders hohen Anzahl von g gelangt F. Schur¹¹⁵); so zu einer „symmetrisch-tetraedralen“ F± mit 48 g, und zwei weiteren Fi mit 52 resp. 64 g.

Systematisch wird die Lagerung endlich vieler g auf einer Fn in zwei Arbeiten von G. Affolterlu) untersucht, indem er sie je nach der Natur der Restkurven in zwei Hauptgruppen einteilt. Man gehe von den durch eine g auf einer Fn laufenden Ebenen aus, für die die Restkurve cn_₁ irgendwie zerfällt. Eine Gruppe von g auf der Fläche heißt von der wten Klasse, wenn durch jede g der Gruppe u Ebenen gehen, für die die Restkurve cn_x in gleicher Weise ausartet. So z. B. bilden die 27 g einer F₃ eine Gruppe 5. Klasse.

Bezeichnet man ferner eine nicht der Fn angehörige Schnittachse zweier Ebenen, von denen jede durch eine g der Fläche geht, als eine ⁸ 9

„Kante“, so enthält eine (/-Gruppe • „erster Art“ keine Kante, durch die mehr als zwei, eine g der Fläche enthaltende Ebenen gehen.

Dagegen heißt eine (/-Gruppe von der „zweiten Art“, wenn durch eine oder mehrere Kanten mehr als zwei solcher Ebenen gehen.

In der ersten Abhandlung werden zunächst Fn mit (/-Gruppen erster Art verfolgt, wo die Degeneration der Restkurven eine vollständige ist. In der zweiten Abhandlung bestimmt der Verfasser diejenigen Gruppen erster Art, wo die Degeneration der Restkurven keine vollständige ist. Es wäre wünschenswert, wenn diese allgemeinen Entwicklungen einmal abgerundet und andererseits von ihnen konkrete Anwendungen gemacht würden.

55. Flächen vierter und höherer Ordnung mit Singularitäten und einer endlichen Anzahl von Geraden. Die Methode, mittels deren Clebsch die F₃₎ die F± mit einer C₂ resp. g auf eine Ebene eindeutig abgebildet hatte, ist von ihm selbst, sowie von M. Noether, A. Gayley, L. Cremona, Gr. Darboux u. a. auf höhere Fälle ausgedehnt worden. (S. Art. III C 11, L. Berzolari, Algebraische Transformationen.)

Wir beschränken uns auf F& mit mehrfachen C. Eine solche enthält eine endliche Anzahl von Geraden:

1.    wenn sie eine dreifache Gerade 7f enthält,

2.    wenn zwei windschiefe doppelte Geraden gx und g₂ in der Fläche liegen,

3.    wenn sie eine doppelte kubische Raumkurve C₃ besitzt,

4.    wenn sie eine doppelte Ci erster Spezies hat,

5.    wenn sie mit einer doppelten Raumkurve 5. Ordnung C₅ behaftet ist, die einen dreifachen Punkt d₃ besitzt.

Während bei der Abbildung dieser Flächen die endlichvielen Geraden gewissermaßen als Nebenprodukte auftreten, werden sie von R. Sturm¹¹⁵) mit synthetischen Mitteln direkt abgeleitet. Dabei werden ihre Anzahl und Lage, ferner die Kegelschnitte auf der Fläche und sonstige Singularitäten, die eventuell noch auftreten können, eingehend untersucht.

Auch Flächen von allgemeinerer Form werden berücksichtigt. So die Fn mit einer (n — 2)-fachen Geraden, die stets eine endliche Anzahl einfacher Geraden besitzen, sowie überhaupt Fn, die eine — durch die Ordnungzahl n beschränkte —- Anzahl vielfacher Geraden besitzen. Letztere Flächen sind dann ausführlicher von J. de Vriesu6) untersucht worden.

115)    R. Sturm, Math. Arm. 3 (1871), p. 249.

116)    J. de Vries, Arch. Teyler (2) 8 (1902), p. 235; Amsterdam Yersl. 10 (1902), p. 742.

56. Einleitung. — 57. Die Untersuchungen von Cayley.

1671

Was Flächen mit nur singulären Punkten und einer endlichen Anzahl von g betrifft, so sei (s. Nr. 39) an die P₄ mit einem Ds erinnert, von denen K. Föhn nachwies, daß zu den zwölf durch den Dä selbst gehenden g eventuell noch eine, zwei bis zu 19 weiteren hinzutreten können.

X. Flächen 4. Ordnung mit weniger als 16 Doppelpunkten.

56.    Einleitung. Die Theorie dieser P₄-Typen ist so vielgestaltig, daß wir auf die eingehende Monographie von „Jessop“ (s. Lit.) verweisen müssen. Im folgenden seien nur einige solcher Typen hervorgehoben, deren Studium die Entwickelung der Flächen höherer Ordnung wesentlich beeinflußt hat. Yorab sei bemerkt, daß die Fi mit einem, resp. unendlichvielen P₂ resp. Z)₃ bereits in den Abschnitten Y, YI, YII behandelt sind.

Eine Anzahl von bemerkenswerten P₄ mit 11 bis 16 d₂ tritt 'in den verschiedenen Arbeiten von Kummer¹¹¹) auf.

57.    Die Untersuchungen von Cayley. In einer systematischen Theorie hat A. Cayley¹⁰ 11) die Grundlagen entwickelt. Eines seiner Hauptergebnisse ist überraschend. Das Auftreten eines P₂ an einer bestimmten Stelle involviert für eine F vier Bedingungen. Man sollte also erwarten, daß P₄ mit acht P₂ in acht beliebig gewählten Punkten existieren, da die Anzahl 8 • 4 = 32 der Bedingungen noch um zwei geringer ist als die der Konstanten der P₃. Cayley zeigt aber, daß nicht mehr als sieben D₂ einer P₄ willkürlich angenommen werden können.

Es seien sieben Punkte P1} . . ., P₇ beliebig vorgegeben, so gibt es noch eine lineare oo⁶ Schar von P₄, die in ihnen D₂ besitzen. Die verfügbaren sechs Konstanten suche man so zu bestimmen, daß diese Fi noch weitere D₂ erhält.

Hinsichtlich des Auftretens eines achten D₂ in einem Punkte P8 können zwei verschiedene Fälle ein treten. Entweder sind die acht Punkte P1?. . ., P₈ assoziiert, d. h. die Grundpunkte eines F₂-Netzes, so daß P₈ bereits durch die Plf%. . ., P₇ mitbestimmt ist (s. u. Nr. 61), oder aber P₈ muß der Bedingung unterliegen, einer gewissen P₆ anzugehören, so daß eine solche P₄, nach Wahl von P₈, noch von vier Konstanten abhängt. Diese lassen sich weiter so bestimmen, daß noch ein neunter, resp. zehnter P₂ hinzutritt.

Eine größere Anzahl von D₂ ist nur dann möglich, wenn die sieben Ausgangspunkte gewisse Bedingungen erfüllen. Yon besofifferem Interesse ist die eine F₄ mit zehn D₂. Hierher gehört das „Symme-troid“ (s. unten auch Nr. 62), d. h. eine _F₄, die darstellbar ist durch Nullsetzen einer symmetrischen Determinante 4. Ordnung, deren Elemente quaternäre Linearformen sind. Nebenbei sei bemerkt, daß die bei Kummer auftretende F₄ mit elf D₂ ein Sonderfall des Symme-troides ist.

Verbindet man irgeneinen der zehn D₂ eines Symmetroides mit den neun weiteren durch Gerade, so sind letztere die gemeinsamen Kanten zweier kubischen Kegel Ks, Ks', die zusammen den vom ersten D₂ an die F₄ gehenden Tangentenkegel Ke bilden.

Allgemein liege eine F₄ mit h JD₂ vor, so greife man irgendeinen der D₂ heraus und lege von ihm aus den Tangentenkegel Ke an die _F₄, der die übrigen li — 1 D₂ enthalten muß. Dieser K₆ ist in erster Linie für die Natur der F₄ und insonderheit der Je — 1 übrigen D2 maßgebend.

Hieraus geht u. a. eine neue Eigenschaft des Symmetroides hervor. Es liege überhaupt eine F± mit zehn D₂ vor. Hat dann ein einziger derselben die Beschaffenheit, daß der von ihm ausgehende Tangentenkegel K& in zwei kubische Kegel AT₃, K₃' zerfällt, so trifft dies auch für die neun anderen Z>₂ zu, und die F₄ ist ein Symmetroid.

Weiter werden noch F₄ mit 13 bis 16 D₂ behandelt, wobei die Kummerschen Ergebnisse verschiedene formale Ergänzungen erfahren. Durchweg werden die Lagenbeziehungen zwischen den D₂ und den K₆ durch Diagramme erläutert.

58. Fi mit zwei Selbstberübrungspunkten. F₄ mit vier uni-planaren Doppelpunkten. Die F₄ mit zwei Selbstberührungspunkten (die nicht (1, l)-deutig auf eine Ebene abbildbar ist) fand zuerst Kummer (s. Nr. 7) unter denen, die eine Schar von C₂ besitzen. In der Tat schneidet das Büschel von Ebenen durch die beiden Selbstberührungspunkte Paare von sich berührenden C₂ aus der _F₄ aus, die die obige Schar bilden.

Für vier singuläre Tangentialebenen des Büschels fallen die C2 eines Paares zusammen. Die Gleichungsform für die F± lautet

(1)

F₄ = F₂\x„ x₂, a?₃, x^) /mOHj ^2)

Die Gleichung einer F₄ mit vier reellen uniplanaren _D₂, die man in die Koordinatenecken verlege, erhält man in der Gestalt (2)    F₄ = (ci₄₂x₄x₂ -j— ci±3x₄X‘, —|— • • •    g>3₄x^x2) -J— 2 ux₄x₂x§x₄

= F₂² -f- 2ax₁x₂x₃xi = 0.

Die vier Z)₂ in den Ecken Ar (r = i, k, l, m) sind also in Doppelebenen Tr ansgeartet; es ist z. B. die Gleichung von Tm

Tm = Vi + akmXk + a>im*l =

(3)

Diese vier Ebenen T sind aber zugleich die vier Tangentialebenen der Fläche F₂ in den A, so daß sich deren Eigenschaften unmittelbar auf die jF₄ (2) übertragen lassen.

Es seien einige dieser Eigenschaften der vier Ebenen T angeführt. Die Spurgerade von Tm in der Ebene xm= 0 sei mit tm bezeichnet, so daß, in dieser Ebene gedeutet, die Gleichung (3) zugleich die von tm ist:

L = aimXi + akmXk + aimXl = 0.

Man beachte dabei, daß diese vier Spurgeraden t ungeändert bleiben, wenn man die F₂ in (2) durch die oo⁴-lineare Schar ersetzt

2^ixi + 22aikxixk = ⁰

mit willkürlichen Konstanten av Man bestimme die Schnittpunkte tm mit den Seiten des Dreiecks (Ai} Ak, M;), z. B. mit (Af Ak), die als Koordinatenkante im Raume durch xt — 0, xm = 0 dargestellt

(3')

(4)

von

(i =f= k),

ist. Für den Schnittpunkt hat die Koordinate xik — auf der Kante gemäß (3) den Wert

(5)

Xik

ak m

aim

Auf der nämlichen Kante {xl =0, xm — 0) befindet sich noch ein zweiter Spurpunkt, der mit der Geraden lt (oder auch der Ebene Tz). Er heiße der „Nebenspurpunkt“, und xik sei seine Koordinate. Dann

folgt aus (5): xik =— a~~• Somit hat man für die drei Nebenspurpunkte auf den Seiten des Dreiecks (At) Ak, At)

Xki =

(6)

Xik = —

akl

ali

aki

an’

Hieraus geht hervor, daß die drei Nebenspurpunkte in der Ebene xm — 0 ebenfalls einer Geraden angehören; diese sei mit t'm bezeichnet und heiße die zu tm gehörige mte „Nebengerade“.

Die Gleichung von t'm wird

alk

00

oder auch

& = £- + ^- + -P- = 0,

ak l

ali

aik

tm — xxii^i, -j- xkakiakl -f- x}aHalk — 0.

Bildet man jetzt durch Multiplikation von (4) und (7 a) die Gleichung

(7 a)

des Geradenpaares (tm, t'fl) und setzt noch zur Abkürzung

Pi = aikaiiaim>

Pa = Pim = anakm + aim⁽hi (h    = 1, 2, 3, 4),

(8)

so kommt

(⁹) tJl = xiPi + xlPk + xiPi + xixkaikPa + xkxiakiPki

+ XlXiailP il⁼⁼ 9-

Hieraus folgt sofort, daß die yier Geradenpaare (t, t') auf einem Hyperboloide Cr₂ liegen, dessen Gleichung lautet

(10) G₂ = (x?Pi-\-----f- xlpj

+ {xixk(aaPa+ aimPm) H----} = 0.

Somit gilt für die F^ (2) mit vier uniplanaren D₂ in den Koordinatenecken A der Satz:

„Die vier Doppelebenen T der Z)₂ in den A schneiden die Gegenebenen des Tetraeders (A) in vier Geraden t, die auf einem Hyperboloide Cr₂ (10) liegen. Dieses schneidet auf jeder Gegenebene noch eine zweite Gerade t' (7 a) aus.“

Für dieses Hyperboloid möge auch die Klassengleichung P₂ = 0 angegeben werden.

Die Fläche jT₂ besitzt die vier Gegenebenen als Tangentialebenen mit den Erzeugenden t, t', also mit deren jeweiligem Schnittpunkt T als Berührungspunkt. Setzt man weiter zur Abkürzung

\da=d

(11)

~    aikaim    aiiakm

dkl ~ dim    ~    akiaim    aikaim

dli = dkm    ~    aiiakm    akiaim>

Im

so hat man auf Grund von (4) und (7 a) für die Koordinaten x£m\ xk~m\ xini) des Punktes Tm die Werte

xi[m): xk[m) ‘ xim) = akidu •• andn ■ aikdik-

Damit ergibt sich als Gleichung der Klassenfläche jT₂

F% = 2dil (uiUk    UlUm aik)

UiUk °im + «l<*ik, UM akm + UkUm    + UtUm »*,

(12)

(13)

aikaimi

aiiakm}

aimail

= 0.

Auf die vorliegende Fi (2) sei auch die Methode der Tangentenprojektion (s. Nr. 19) von irgendeinem der vier uniplanaren Z>₂, etwa in Am, auf die Gegenebene (xm — 0) angewendet.

ou

Zu dem Behuf ordne man die Gleichung (2) nach xm Fi == {xjm + IcJ² + 2axmxixkxl

= xlt + %xm(tmK + ax&xd + k*m + 0,

wo

(14)

K = x%xkaa + xkxi<*ki + xixiau-

Hier stellt, wie oben in der Ebene xm = 0, die Gleichung (3') tm= 0 die Spur der Doppelebene des Kegels K₂ im D₂ (Am) dar, und km = 0 den Schnittkegelschnitt der F₂ mit der Ebene xm = 0, längs dessen die letztere die F± berührt.

Um den gesuchten Tangentenkegel    der von Am aus an die

F± geht, oder auch seine Spur Up in der Ebene xm — 0, zu erhalten, hat man die Diskriminante der in xm quadratischen Gleichung (2m) gleich Null zu setzen. Dann ergibt sich als Gleichung von Up

(15) Up = (tmkm + axtxkstü*— = xixkxi(%tmkm + axtxkx^

= xixkxAm) = o.

Damit ergibt sich der Satz:

„Liegt eine jF₄ (2) mit vier uniplanaren Z)₂ in den Koordinatenecken A vor, und legt man von irgendeinem der D₂, etwa Am, die Tangenten an die jF₄, so treffen diese die Gegenebene xm — 0 in den Punkten einer Ubergangskurve U-p. Diese Kurve 6. Ordnung zerfällt aber in die Seiten des Dreiecks (Ai} Ak, A,) und eine Kurve 3. Ordnung dp. Letztere geht einmal durch die drei Spurpunkte der Doppelebene des JDa(Am) in den Seiten des Dreiecks und berührt andererseits den Berührungskegelschnitt km der Ebene xm — 0 mit der Fi in den Ecken des Dreiecks. Bei Variieren der Konstanten a in der Gleichung der Fi bilden die Kurven dp das c₃-Büschel durch jene neun Grundpunkte.“

59. JP₄ mit vier beliebigen Doppelpunkten. Es ist nützlich, einer F± mit vier uniplanaren Z)₂ in den Ecken A eine _F₄ mit vier allgemeinen D₂ in den A gegenüberzustellen. Die Gleichung einer solchen Fi ist von der Form (1) F\ == {x?x\bik H-----h

¹

   M. Noether, Math. Ann. 3 (1871), p. 161; 4 (1871), p. 547.

²

   M.Noether, Gott. Nachr. 1871, p. 267; L.Cremona, Math. Ann. 4 (1871), p. 213; „In Memoriam Chelini“, Milano 1881, p. 413.

³

   M. Noether, Math. Ann. 33 (1889), p. 546. Vgl. G. Jung, Ann. di mat. (2) 15 (1887), p. 277; D. Montesano, Napoli Rend. (3) 6 (1900), p. 158.

Encyklop. d. math. Wissensch. III 2.

⁴

   A. Cayley, London Math. Soc. Proc. 3 (1871), p. 19, 198.

⁵

   E. K. Wakeford, London Math. Soc. Proc. (2) 21 (1921), p. 98; vgl. dazu die Bemerkungen von H. F. Baker, ib. p. 114.

⁶

W. Fr. Meyer, Apolarität und rat. Kurven. Tübingen 1888, Abschn. III.

⁷

A. B. Coble, Amer, J. Math. 41 (1919), p. 43; ib. 46 (1924), p. 143.

⁸

   F. Schur, Math. Arm. 18 (1881), p. 1; J. f. Math. 95 (1883), p. 207 (sym-metrisch-tetraedrale Fi mit 48 g); Math. Ann. 20 (1882), p. 84 (F₄ mit 52 resp.

. 64 g). Ygl. hierzu P. Veronese, Math. Ann. 19 (1881), p. 161.

⁹

   G. Affolter, Math. Ann. 27 (1886), p. 277; 29 (1887), p. 1.

¹⁰

   JE. JE. Kummer, Berlin Berichte 1864, p. 216, 246; Berlin Abh. 1866 („Über algebraische Strahlensysteme“); Berlin Ber. 1872, p. 474.

¹¹

   A. Cayley, London Math. Soc. Proc. 3 (1871), p. 19, 198, 234, 281.

+ (x^x^bß H-----(- x*x₍xkbp H----)

+ 4 bxfoXtXn = 0.

Die Gleichung des Tangentenkegels Km des D₂(Am), oder auch seines Spurkegelschnitts km in der Gegenebene xm = 0, lautet

(²) Km = X?\m + Xl\m + Xi\m

+ XkXMt + XiXA?] + XiXkhiT] = °-

Dieser trifft die Kante (xt =0, xm= 0) in dem Punktepaar (ik)(”*) mit der Gleichung

Dieselbe Kante wird aber auch von resp. kt in einem „Nebenpunktepaar“ (ik)® geschnitten mit der Gleichung

(3')

[ilf) = x²bü + xl\x + xtxtbß = 0.

Man bilde jetzt durch Multiplikation von (3) und (3') die Gleichung für das Aggregat der beiden Punktepaare (ik)®, (ik)(m) und füge noch den Faktor bik hinzu, so ergibt sich (4) (ik)®(ikf® =    + x*qk + x?xkq® x*x*qik + xtx*q^t

wo zur Abkürzung gesetzt ist

(5)

Q-i — ^i/iAAro> Q-k — KAAm,

q8 = baQ>tmb<Z+btlbW),

Qik = KAAm + hvfikl + &JW) usf.

Das nämliche Verfahren sei auf die fünf übrigen Kanten angewendet. Aus der Struktur von (4) liest man den Satz ab:

„Liegt eine Fi mit vier D₂ in den Ecken A eines Tetraeders T vor, so befinden sich auf jeder der sechs Kanten, z. B. (Ai} AÄ), von T zwei Punktepaare, die von den Tangentenkegeln der beiden D₂ in Ax und Am ausgeschnitten werden. Diese 4 • 6 = 24 Punkte sind Grundpunkte einer oo¹²-linearen Schar von Flächen 4. Ordnung.“

In der Tat geht durch jene 24 Punkte zunächst eine Fläche 4. Ordnung 6r₄ mit der Gleichung

(6)    = (xt% -j-----h 4qj + (x*x*qik b-----b z*x*qln)

+ (?t*xkq$ + xtx*q$ b-----b z*xmq® +    = 0.

Fügt man hier der rechten Seite noch die 13 Potenzprodukte x?xkxv . . ., x^nxkxv xixkxlxm mit willkürlichen Koeffizienten hinzu, so entsteht die oo¹²-lineare Schar des obigen Satzes.

Der Schnitt der Fi (1) mit irgendeiner der vier T-Ebenen, z. B. xm — 0, muß in zwei Kegelschnitte zerfallen, von denen der eine km ist, während der zweite, der „Nebenkegelschnitt“, mit k'm bezeichnet sei. Auch die Gleichung von k'm ist leicht aufzustellen.

(ik)® in

zu bilden sind. Multipliziert man diese drei Gleichungen noch

Die drei Seiten des Dreiecks (Ai; Ak, At) werden der Reihe nach von den Kegeln Kf®, KW, KkF in den Nebenpunktepaaren (ik)®, (kl)®, (li)W geschnitten, deren Gleichungen nach dem Muster von

(3')

mit resp. bik, bkl, bH, so erkennt man, daß jene drei Nebenpunktepaare in der Tat auf einem Kegelschnitte k'm liegen mit der Gleichung

(⁷) Kn = xihiAi + x!hAi+ X*bltblk + x^bjj®

+ wAM} ~b xixfhAif o.

Zur Kontrolle bilde man das Produkt der beiden Gleichungen (2) mit (7) für hm und Jem, so gelangt man zu der Gleichung für den Schnitt der Fläche F± (1) mit der Ebene xm = 0.

Es gilt daher auch der Satz:

„Besitzt eine T₄ in den vier Ecken A eines Tetraeders T Doppelpunkte, deren Tangentenkegel die bezüglichen Gegenebenen von T in vier Kegelschnitten Tii (i — 1, 3, 3, 4) schneiden, so geht durch diese noch ein Büschel von Flächen 4. Ordnung 6r₄. Letztere schneiden aus jeder der vier Ebenen noch einen Restkegelschnitt Je' aus.“

Es ist nützlich, den beiden Sätzen Konstantenabzählungen hinzuzufügen. Im ersteren Falle liegen 6 • 4 = 24 gewisse Punkte auf den Kanten eines Tetraeders T vor. Soll eine Fläche 4. Ordnung durch 24 beliebige Punkte gehen, so involviert das ebenso viele (lineare) Bedingungen, so daß es solcher Flächen noch eine lineare oo¹⁰-Schar gibjfc.

Da aber durch obige 24 Schnittpunkte der vier Tangentenkegel K mit den Kanten von T noch eine linear oc¹³-Schar von Gi ging, so folgt, daß die zugehörigen 24 Bedingungen an drei Syzygien gebunden sind.

Ähnlich verhält es sich im zweiten Falle mit dem Büschel von G₄ durch die vier Spurkegelschnitte Je der Kegel K. Soll ein gegebener (irreduzibler) Kegelschnitt einer Fläche 4. Ordnung angehören, so involviert das neun (lineare) Bedingungen. Im Falle von vier, je zueinander windschiefen Kegelschnitten würde das zu 4 • 9 = 36 Bedingungen führen, so daß eine solche Fläche gar nicht existierte. Vergleicht man dies mit dem für die vier Kegelschnitte Je tatsächlich existierenden Büschel von 6r₄ (6), so erkennt man, daß auch die 36 zugehörigen Bedingungen genau drei Syzygien unterliegen müssen.

Behufs weiterer Untersuchung der durch eine mit vier D₂ gebildeten Figur werde die kubische, (1, l)-deutige involutorische Punktverwandtschaft T₃ (s. Art. ,,-Fg“, Nr. 11)

(8)

gxixJ=ci

herangezogen, die bequemer in der Normalgestalt

<80

(fxixt= 1

verwendet werde.

Sei wieder T das Koordinatentetraeder mit den Ecken A, so geht vermöge der T₃ eine beliebige Gerade g über in eine C₃ durch die A (und vice versa), eine beliebige Ebene E in eine F₃ mit D₂ in den A, und eine beliebige Fs durch die A wieder in eine solche. Die Ausübung der T₃ auf die Gleichung (1) einer Fi mit vier D₂ in den A zeigt sofort, daß die Gleichung ihre Struktur nicht ändert. Es gilt also allgemein der Satz:

„Besitzt eine wenigstens vier D₂, die ein eigentliches Tetraeder T bilden, so geht die F± vermöge einer T als Fundamentaltetraeder wieder in eine solche Fi über.“

Denn die etwaigen weiteren Z)₂ der _F₄ gehen vermöge der Ts ebenfalls in solche über.

Man frage jetzt im besonderen, wann die jF₄ (1) vermöge der normierten Tz (8') in sich selbst übergeht. Dazu ist notwendig und hinreichend, daß je zwei „komplementäre“ Koeffizienten in (1) gleich werden, d. h. daß die Beziehungen erfüllt sind

(9)

usf.:

Im1

Wl =    = 2cik, usf-,

so daß sich die Anzahl von 19 Koeffizienten in (1) auf 10 reduziert, und die Gleichung der vermöge Tz automorphen FA mit 4 D₂ in den A lautet

(10)    F± = bik(x?x\ + x?x?n) -1-----f- 2cikxixi(xls + xl) H----

+ 4 bxixkxlxm = 0.

Entsprechend reduzieren sich die beiden Gleichungen (2), (7) für die Kegelschnitte Tim, Tt'm auf

(11)    Ttm = x*bkl + x\bu + x?bik + 2xixkcik + 2xixlcil + 2xkxtckl = 0,

(ir)    + x!hAi + x?bnblk + 2xixkbikcik + 2xixlbilcil

-j- 2xkxlbklckl — 0.

Stellt man die weitere Forderung auf, daß irgendein Paar der vier Kegelschnitte Ti, Ti', z. B. Tim, Ti'm, zusammenfällt, so ist das ersichtlich nur so möglich, daß die drei Koeffizienten bik, biv bkl einander gleich werden, also gleich Eins gesetzt werden können. Dann aber fallen auch die drei übrigen Paare (Ti, Ti) je zusammen und alle vier Kegelschnitte Ti begeh auf einer Fläche 2. Ordnung F₂ mit der Gleichung

(12)    F₂ = x* + X* + x? + xl + 2xixkcik H-----b ^xtxmCjm = 0.

Die Gleichungen der vier Kegelschnitte Ti — Ti, z. B. von Ttm — k'm, reduzieren sich jetzt auf

(13)    Tim=Ti'm = x* + x* + x? + 2xixkcik + 2xixlcil + 2xkxlckl = 0, und die der F± auf

(14)    F± = x*x* -|-----b x*xl + 2cttxixk(x* + XD H----

+ 4 bxtxkxtxn = 0.

Endlich sei noch die weitere Forderung gestellt, daß von den sechs Koeffizienten c je zwei „komplementäre“ zusammenfallen, daß also die drei Beziehungen bestehen

(90

Cik ~ Clm = a) Cil ~ Ckm =    Cim ~ Ckl ~ C-

Geometriscli bedeutet das, daß die F₂ (12) apolar ist zu den drei Flächen 2. Klasse

n.uk — utum = 0, Ujtij — ukum = 0, uium — ukux = 0.

Jede derselben ist in sieb dual und dadurch bestimmt, daß sie zwei Paare von Gegenkanten des Tetraeders T enthält und überdies den Einheitspunkt E(l, 1, 1,1) enthält. Diese drei Flächen seien als die „Einheitsflächen“ (2. Grades) von T bezeichnet. Letzterer Punkt E war aber einer der acht sich selbst entsprechenden Punkte der Verwandtschaft Ts (8'). Offenbar sind diese acht Punkte gleichberechtigt und man könnte an Stelle von E auch irgendeinen der sieben anderen wählen, wozu nur unwesentliche Vorzeichenänderungen der Koordinaten xt erforderlich wären.

Damit reduziert sich endlich die Gleichung der Fi auf die Form

(15) F± = xfxl H-----f- + 2a{x.xk(xt² + x?n) -f x%xm{x? + x*)

H-----b ^xixkxlxm = 0

und die Form F₂ auf

(16)

F2 = Xi + • ■ ’ + xm + 2 a{xiXk -f- X{Xm) + ■••== 0.

Für die so eingeschränkte Fi (15) vereinfacht sich die Gleichung (6)

des 6r-Büschels mit dem Parameter % zu

(17) G₄    + O?«{^{xf -f x[) + xpjx* + x'l)}

+ 4 J?(l + a*){x*x* + x?xl)

+ 4₋2’(a + 26c) {x&ix* + x*) + xpjx* -f xf)} + 4xxixix,xm = 0.

Diese Gleichung hat eine große Ähnlichkeit mit einer der Normalgleichungen der Kummerschen Fläche Km (s. Nr. 68). Bezieht man nämlich diese auf ein syzygetisches Tetraeter als Koordinatentetraeder, so lautet ihre Gleichung

(18)

WO

(19)

| F₂ = J£x* + 2^a(xixk + xtxj \ Tc = a² + b² -f- c² — 2abc — 1.

Entwickelt man die rechte Seite von (18), so gelangt man gerade zur Gleichung (17), falls beilegt

man

noch dem Parameter % den speziellen Wert

(20)

jc — a² -f- b² -f- c² -f- 2 abc -j- 1 = 2(a²b²c²) — Tc.

Hieraus folgt der Satz:

„Es liege eine F± mit vier D₂ in den Ecken A eines Tetraeders T vor mit folgender Eigenart. Die Fi gehe erstens in sich über verlos*

1680 III C 10 b. W. Fr. Meyer. Flächen vierter und höherer Ordnung.

möge einer kubischen Punktver wandschaft T₃ mit den A als Fundamentalpunkten und F als irgendeinem (reellen) ihrer acht sich selbst entsprechenden Punkte.

Zweitens sollen die Tangentenkegel in den D₂ die bezüglichen Gegenebenen von T in vier, einer F₂ angehörigen Kegelschnitten k schneiden.

Drittens soll diese F₂ zu den drei auf E als Einheitspunkt bezogenen Einheitsflächen 2. Klasse apolar sein. Dann befindet sich in dem Büschel von Flächen 4. Ordnung 6r₄, die die Ebenen von T längs der Kegelschnitte k berühren, ein Individuum, das eine Kummersche Fläche ist, mit T als einem syzygetischen Tetraeder.

Umgekehrt gehört zu einer Kummerschen Fläche mit T als einem ihrer syzygetischen Tetraeder ein Büschel von Flächen 4. Ordnung P4 mit D₂ in den Ecken von T, das überdies die drei obigen Eigenschaften besitzt.“

Die beiden obigen Tetraeder sind zwei reziproke syzygetische Tetraeder der Km (s. Nr. 68).

60. Die Weddlesehie Fläche 4. Ordnung. Die Weddlesche Fläche Wd (s. auch Nr. 65) ist eine solche mit 6 D₂ in sechs beliebigen Punkten Px, . . ., P₆, und zwar ist sie der Ort der Spitzen der durch die sechs Punkte gehenden Kegel 2. Ordnung. Die Wd wird daher auch kurz als „Kegelspitzenfläche“ bezeichnet. Sie tritt zuerst bei Weddle¹¹⁹) auf, der einige ihrer Eigenschaften angibt. Man kann die Wd auch auffassen als Ort der Spitzen der in Kegel ausgearteten P₂ eines Gebüsches G mit sechs Grundpunkten Px, . . ., P₆. Diese Auffassung erweist sich insbesondere als fruchtbar für die Theorie der Kummer-sehen Fläche Km mit 16 D₂ (s. Nr. 66).

Deutet man nämlich die vier homogenen Parameter, die in der Gleichung irgendeines P₂-Individuums von G auftreten, als Punktkoordinaten in einem zweiten Raume, so erfüllen die Punkte, deren Koordinaten Parameter von Kegeln in G sind, eine „Bildfläche“ der Wd, so daß beide Flächen (1, l)-deutig aufeinander bezogen sind. Diese Bildfläche ist eben die Kummersche Fläche Km.

Die Fläche Wd hat C. Hierhoher ¹²°) eingehender untersucht. Er stellt ihre Gleichung in der Gestalt auf

(1)    Wd =2(Ai — ak) xixk(aixi — V?) = ⁰ 0;k = 1,2,3,4; i4= k).

Auf der Wd liegen 25 Gerade. Einmal die 15 Geraden gik, die je zwei

119)    Weddle, Cambr. Dubl. Math. J. 5 (1850). Vgl. A. Cayley, Paris C. B. 52 (1861), p. 1216; London Math. Soc. Proc. 3 (1870), p. 67,

120)    C. Hierhölzer, Math. Ann. 4 (1871), p. 172.

Punkte Pif Pk verbinden, andererseits die 10 Geraden gikl — gmnp, die Scbnittachsen je zweier Gegenebenen (ikl) und (mnp) des Sechsecks der Grundpunkte Gr (r = i, . . ., p).

Auf der Fläche Wd liegt auch die durch die sechs Grundpunkte bestimmte kubische Kurve 0₃. Hierauf beruht (s. Nr. 3) die explizite irrationale Darstellung, die Bateman¹ 2) für die Punkte der Wd angegeben hat.

Diese C₃ liegt aber auch der von E. Hunyadym) herrührenden transzendenten Darstellung für die Punkte der Fläche durch Thetafunktionen von zwei Yariabeln zugrunde.

61. _F₄ mit acht assoziierten Doppelpunkten. Diese F₃ besitzen 8 D₂ in acht assoziierten Punkten, d. h. den Grundpunkten eines F₂-Netzes (cp, if>, jg); sie sind von Cayley³) eingehend untersucht (s. auch Nr. 57). Man erhält ihre Gleichung durch Nullsetzen einer beliebigen, in den homogenen Größen cp, i\>, % quadratischen Form oder, in Cayleys Bezeichnung,

Fi = (cp, f %)² = 0.

(1)

Schließt man nullteilige Flächen aus, so läßt sich der Gleichung (1) die kanonische Gestalt geben

(10

FA = tp² — cpx = 0.

Tritt der Sonderfall ein, daß eine der beiden Flächen cp, %, etwa die erstere, in eine doppeltzählende Ebene u ausartet, so daß (1') übergeht in

(2)

F± = il>² — u²cp = 0

vor

ein metrischer Sonderfall ist.

so liegt eine F± mit C₂ und vier weiteren D₂ (tl> = 0, cp — 0, u — 0) (s. Nr. 7), von der wiederum die Dupineche Zyklide (s. Nr. 27)

Zerfällt noch spezieller in (2) die Form cp in zwei Linearformen u, v, deren eine u ist, so daß sich (2) spezialisiert zu

(3)

F± = cp² — u³v = 0,

so hat man die jF₄ mit einem Kuspidalkegelschnitt (s. Nr. 18).

nung.

hält man durch Nullsetzen einer symmetrischen vierreihigen Determi-

62. Das Cayleysche Symmetroid. Die desmische Fläche 4. Ord-Die Gleichung des Symmetroides Fl, einer mit 10 D₂, er-

nante, deren Elemente quaternäre Linearformen aik sind

(1)

= | aik j = 0.

Sie ist zuerst von Cayleylu) genauer untersucht (s. auch Nr. 57 und Nrr. 65, 66).

Ihre Eigenschaften treten am übersichtlichsten hervor, wenn man die aik auffaßt als Koeffizienten in der Gleichung eines allgemeinen Gebüsches G mit vier homogenen Parametern . . ., Xi

(2)

&=22 xixk(Kbik + K Kk + h Kk + K Kk)

i k

= 22wkaik = 0.

i k

Man deute die 2 als Punktkoordinaten in einem zweiten Raume S₃'. Dann erscheint die Gleichung (1) als Bedingung dafür, daß eine F„ in G in einen Kegel K₂ ausartet. Die Spitzen dieser Kegel erfüllen die „Kegelspitzenfläche“ 4. Ordnung F±, und deren Punkte P sind den Punkten P' des Sjmmetroides Fl (1, l)-deutig zugeordnet. In diesem Sinne erscheint also das Symmetroid Fl als „Bildfläche“ der Kegelspitzenfläche F± und kann als eine Vorstufe zur Kummerschen Fläche Km (s. Nr. 66) angesehen werden.

Im jF₂- Gebüsch G (2) gibt es, als ausgeartete Kegel, zehn Ebenenpaare, deren Schnittachsen — die der Kegelspitzenfläche F± angehören — den 10 D₂ des Symmetroides Fl (1) entsprechen.

Daß die Fl (1) 10 D₂ besitzt, läßt sich nach Clebsch™) auch direkt aus der Determinante (1) entnehmen, insofern es zehn Wertsysteme der 2 gibt, für die alle ersten Minoren zugleich verschwinden.

Nach A. B. Coble™) lassen sich die beiden Flächen F± und Fl durch eine Cremonatransformation ineinander überführen, was zu der Figur zweier kubischer Kurven C₃, C₃' in enger Beziehung steht (s. Nr. 54).

Sind im besonderen die aik in (1) die zweiten Ableitungen einer kubischen Form F₃, so geht das Symmetroid (1) über in die Hesse sehe Fläche H(F₃) der F₃ (s. Art. „F₃U, Nr. 3).

Spezialisiert man andererseits die Gleichung (1) dahin, daß rechts die vier Diagonalelemente au identisch verschwinden, so treten zu den zehn bisherigen D₂ noch vier weitere hinzu, indem jeder der vier Schnitt-

124)    A. Cayley, London Math. Soc. Proc. 3 (1871), p. 44.

125)    A. Clebsch, J. f. Math. 59 (1861), p. 193. Clebsch führt den Beweis nur für den speziellen Fall, wo das Symmetroid zur Hesse sehen Fläche einer Fs wird; sein Verfahren ist aber auf den Fall des allgemeineren Symmetroides ausdehnbar, s. Cayley, Note 124).

126)    S. Note 112).

punkte von drei Ebenen des Typus aik = 0, au — 0, aim = 0 zu einem neuen TU wird.

In diesem Falle läßt sich, wie die Entwicklung der Determinante einfachsten irrational darstellen vermöge der

(1) lehrt, die Fläche Gleichung

am

(3)

Sodann werde auf eine beachtenswerte _F₄ mit 12 _D₂ hingewiesen, die „desmische“ Fläche. Ihre 12 D₂ sind die Ecken dreier „desmischer'* Tetraeder; solche sind nach C. Stephanos¹²⁷) dadurch definiert, daß sie — als ausgeartete Flächen 4. Ordnung aufgefaßt — einem _F₄-Büschel angehören.

Die desmische Fi ist auch dadurch bemerkenswert, daß sie, nach G. Veronese¹²⁸), die Reziproke ist zu der projektiven Verallgemeinerung der Zentrafläche¹²⁹) einer Fs. Letztere Verallgemeinerung ist, wie W. Stahl¹³⁰) gezeigt hat, eine Fläche der 4. Klasse und der 12. Ordnung.

Endlich sei noch erwähnt, daß den F± mit 13 T)₂ B. Levi¹³¹) eine eingehende Untersuchung hat zu Teil werden lassen.

63. Die Untersuchung von Rohn über mit 9 bis 15 Doppelpunkten. Einen wesentlichen Beitrag zur Theorie der F₄ mit einer endlichen Anzahl von T)₂, insonderheit derer mit 9 bis 15 Z)₂, sowie der JF₄überhaupt, hat K. Hohn¹³²) in seiner Leipziger Preisschrift geliefert.

Seine Untersuchung zerfällt in zwei Hauptteile.

Der erste Teil ist den 7)₂ gewidmet, die überhaupt bei einer F± auftreten können, und den möglichen Beziehungen zwischen diesen Br

Das Haupthilfsmittel besteht in der ausgiebigen Betrachtung des von einem als existierend angenommenen T)₂ an die F± gehenden Tangentenkegels K₆ (s. auch Nr. 19 und 31) und seines Schnittes mit einer festen Projektionsebene IT.

Es werde, wie früher, der D₂ in die Koordinatenecke Am (#t. = 0, xk = 0, xt = 0) verlegt, und die Ebene 17 in die Koordinatenebene

127)    G. Stephanos, Bull. Math. Astr. (2) 3 (1879), p. 424. Vgl. H. Schröder, Ztschr. Math. Phys. 28 (1883), p. 178.

128)    G. Veronese, Rom Line. Mem. (3) 9 (1881).

129)    Über diese Zentrafläche Biehe G. Salmon, Quart. J. 2 (1858), p. 207; A. Clebsch, J. f. Math. 62 (1863), p. 64; A. Cayley, Cambr. Phil. Trans. 12 (1873), p. 319; F. Caspary, J. f. Math. 81 (1876), p. 143; 83 (1877), p. 72; „Salmon-Fiedler“, p. 337 ff.

130)    W. Stahl, J. f. Math. 101 (1887), p. 73.

131)    B. Levi, „Sulla superficie del quarto ordine con 13 punti doppi“, Torino 1904.

132)    K. Hohn, Leipzig Ber. 1884, p. 52; Preisschrift der Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886.

xm = 0. Ordnet man demgemäß die Gleichung der Fi nach xm, so nimmt sie die Gestalt an

(1)

vl +    + % = 0,

wo ur (r = 2, 3, 4) eine ternäre Form der Ordnung r in xv xk, xl bedeutet. Die Gleichung des Tangentenkegels K₆ oder auch seiner Spur 1c₆ in der Ebene IT lautet dann

(2)

T₆ = u₂ w₄ — ul — 0.

Dies ist eine ebene Kurve 6. Ordnung von der spezifischen Eigenart, daß sie von einem Kegelschnitt c₂ (u₂ = 0) überall, also in sechs Punkten berührt wird; diese lassen sich von einer c₃ (u₃ = 0) derart aus der Jc₆ ausschneiden, daß in deren 12 Restschnittpunkten eine c4 (w₄ = 0) die &₆ berührt.

Umgekehrt läßt sich jede, im übrigen beliebig vorgegebene c₆ in der Ebene IT, die von einer c₂ in sechs Punkten berührt wird, als Spur des Tangentenkegels K₆, der von einem D₂ (in Am) einer _F₄ an diese Fläche geht, auffassen. Solcher zu c₆ = Jc₆ zugehöriger gibt es noch eine lineare oo⁷- Schar, die linear ineinander transformierbar sind.

Durch Betrachtung aller Spezialisierungen dieser c₆ kann man zu allen F± mit mindestens einem ü₂ gelaugen, und aus den Eigenschaften der jeweiligen c₆ auf das eventuelle Auftreten weiterer _D₂ der F± und ihrer Beziehungen zueinander schließen.

Die als endlich vorausgesetzte Anzahl der D₂ kann jeden Wert von 1 bis 16 annehmen; der Maximalwert 16 führt zur Kummerschen Fläche Km (s. Absch. XI).

Die verschiedenen Arten der ce mit sechsmal berührendem Kegelschnitt werden daraufhin genau diskutiert; unter diesen c₆ beanspruchen ein besonderes Interesse die mit resp. 8, 9, 10 <f₂, und unter diesen wiederum die letzteren mit 10 d%, wo die ce rational wird.

Nunmehr erfolgt die systematische Übertragung der Eigenschaften der c₆ auf die Fi mit _Z)₂, die daraufhin sachgemäß klassifiziert werden. Ist die Anzahl der D₂ größer als sieben, so ist deren Lage nicht mehr willkürlich, sondern gewissen Bedingungen unterworfen (s. auch Cayley in Nr. 57).

Der zweite Teil der Abhandlung beschäftigt sich mit den gestalt-lichen Verhältnissen der in Rede stehenden _F₄.

Hierbei kommt einmal der Umstand zur Geltung, daß jede Gerade, die mit einer F± mehr als vier Punkte gemein hat, ihr ganz angehören muß (s. Nr. 3).

Sodann spielt eine wesentliche Rolle die „Methode der Grenzfälle“. Man gehe von den Grenzfällen aus, wo die Fi irgendwie ausartet, z. B.

in eine doppelt zählende F₂ oder, wo sie bereits eine gewisse Anzahl von Z)₂ besitzt; durch stetige Deformation dieser „Grenzflächen“ werden dann die „allgemeinen“, einschließlich derer ohne D₂, abgeleitet.

Drittens zieht der Verfasser auch mit Vorteil die Eigenschaften der Strahlensysteme heran, die von den Doppeltangenten t₂ der F± gebildet werden.

Wir begnügen uns hier mit der Angabe der gestaltlichen Hauptformen, deren eine F± ohne J)₂ fähig ist. Es können auftreten:

1.    Zwei ineinanderliegende Ovale;

2.    F± ohne reellen Punkt (nullteilige jP₄);

3.    1 bis 12 auseinanderliegende Ovale;

4.    Ein Ring (vom Zusammenhang p), der evtl, noch von 1 bis 11 Ovalen begleitet sein kann;

5.    Zwei Ringe mit p = 1;

6.    Zwei „halbpaare“ F±- Teile mit p = 1;

7.    Ein halbpaarer Teil vom Zusammenhang p und evtl, noch 1 bis 11 Ovale.

Hierbei ist unter einem „paaren“ Flächenteil ein solcher zu verstehen, auf dem sich nur paare O-Züge befinden; unter einem „un-paaren“ Teile ein solcher mit nur unpaaren C-Zügen; endlich unter einem „halbpaaren“ Teil ein solcher mit paaren und unpaaren G-Zügen.

Wenn auch so, wie der Verfasser hervorhebt, noch keine vollständige Einsicht in die gestaltlichen Verhältnisse der F± gewonnen ist, so doch ein allgemeiner Überblick.

Wenn man den hier auftretenden Gestaltenreichtum bedenkt, der über 1000 charakteristisch verschiedener Typen umfaßt, so wird man in der Tat bezweifeln, ob eine völlig befriedigende Übersicht überhaupt erreichbar ist.

XI. Die Weddlesche und die Kummer sehe Fläche. Das Tetraedroid und die Wellenfläche.

64. Das allgemeine _F₂- Gebüsch. Die Kegelspitzenfläche und ihre Bildfiäche. Da die Grundlage dieses Abschnitts durch ein F₂- Gebüsch mit sechs Grundpunkten gebildet wird, mögen einige Hilfsentwicklungen über ein allgemeines Gebüsch vorausgeschickt werden (s. auch Nrr. 54, 57).

Seien F, H, L, M vier beliebige, linear unabhängige F₂, so bilde man aus ihnen mittels vier Parameter l, p, v, q ein Gebüsch G mit der Gleichung

Soll im besonderen ein Individuum (A, ₍ii, v, q) von G ein Kegel K mit der Spitze (x) sein, so ist dazu notwendig und hinreichend, daß alle ersten Ableitungen G{ der Form G für ein Wertesystem (x) zugleich verschwinden

(2)

Gt = XFi + 11H, + vL, +    = 0.

Von hier aus kann man in zwei Richtungen Vorgehen.

Einmal eliminiere man aus (2) die Parameter, so ergibt sich die Gleichung einer _F₄ =

Fi=\F„Sl,Ll,Ml\=0.

Diese Fl ist der Ort der Spitzen (x) aller in G enthaltenen Kegel K und wird daher als „Kegelspitzenfläche G“ bezeichnet.

Die Gleichung (3) läßt sich auch symbolisch in einfacher Gestalt schreiben. Setzt man F = (ax)², so erhält man sofort

(3)

(4)

H= (hxf, L = (ex)², M = (dxj

Fl = (ax)(bx) {cx) {dx)(abcd) = 0.

Die Gleichung (3) läßt aber noch eine andere Auffassung zu. Man stelle die Bedingungen dafür auf, daß ein Punkt (x) zum Punkte (x) in bezug auf alle Individuen (A, [i, v, q) in G konjugiert sei, so hat man das System der in (V) und (x) symmetrischen Polargleichungen

&xx' =    + pH-x* + v^xx' + qMxx, = 0.

Da diese Gleichung in den Parametern identisch zu erfüllen ist, löst sie sich in die vier Einzelgleichungen auf

H-xxf — 0;    -^XX' ~ M-xxf ⁼ 0.

Je nachdem man hier die x oder die x eliminiert, erhält man die nämliche Gleichung (3), nur einmal in den x, das andere Mal in den x' geschrieben. Hieraus folgt:

„Jedem Punkte (x) der Fl als Spitze eines Kegels K im Gebüsch G ist ein anderer Punkt (xr) der Fl (1, l)-deutig involutorisch zugeordnet. Je zwei solche Punkte (x) und (x) sind konjugiert in bezug auf alle F₃ des Gebüsches G. Zu jedem Kegel K mit der Spitze (x) gehört (1, l)-deutig involutorisch ein Kegel LC, mit der Spitze {x).

Nunmehr greife die zweite, an (2) anknüpfende Betrachtung Platz. Schreibt man real

(3')

(5)

(&')

xx'

= 0,

\F = lS2aikxtxkt H=2l2bikxixk, ^ L = 2^EcikXiXk, FL = ^/j£/dikxixk} und setzt, für r, s = i, k, l, m,

(6)

so lautet das Eliminationsresultat

(3)

F±(l, ii,v,Q) = \Gra \ = 0,

wo

Girs\ eine symmetrische yierreiliige Determinante ist.132a)

Deutet man die Gleichung (8) in einem zweiten Raume (l, n, v, q), so stellt sie wiederum eine Fläche 4. Ordnung F±' dar. Beide Flächen

132a) Man kann auch, was für manche Zwecke vorteilhaft ist, die Parameter 1, ft, v, q als Koordinaten einer Ebene deuten. Es liegt dann der duale Standpunkt vor, den Th.Beye vertritt, J. f. Math. 86 (1878), p. 84, s. auch „Heye“, Vortrag 28. Vgl. auch Darboux¹¹³).

Da Beye den Gebrauch von Koordinaten verschmäht, adjungiert er der Figur des ^-Gebüsches G einen beliebig, aber fest angenommenen Punkt, und ordnet dann die Polarebenen JI' dieses Punktes in bezug auf die P₂ in G diesen in einem zweiten Raume S₃' projektiv zu. An die Stelle der Bildfläche F'[ von P4 tritt jetzt eine Fläche 4. Klasse

Einem _F₂-Büschel B in G, mit einer 0₄ als Basis, entspricht eine Gerade g', einem Fs-Netze IV in G, mit einer Basis von 8 assoziierten Punkten, ein Punkt P'.

Das Bild einer beliebigen Ebene E ist eine Steinerscke Fläche S', die daraufhin genauer untersucht wird (s. auch Nr. 44).

Das Bild einer beliebigen Geraden g ist eine C₂'; liegt aber im besonderen ein „Hauptstrahl“ s vor, d. i. die Verbindungsgerade irgend zweier assoziierter Punkte, so reduziert sich ihr Bild auf eine Gerade s'.

Die Spitzen der Kegel in G erfüllen die Kernfläche K±; deren Punkte bilden sich (1, l)-deutig ab auf die Tangentialebenen T' der und damit zugleich auf deren Berührungspunkte P'.

Die Bilder der 10 Ebenenpaare in G, deren Achsen der j5T₄ angehören, sind singuläre T' der

Die Geraden s' sind die Doppeltangenten t₂' der cßj; sie bilden eine Kongruenz ® (28,12) der Ordnung 28 und der Klasse 12.

Hierauf werden der Reihe nach die Sonderfälle diskutiert, wo das Gebüsch G 1, 2, . .., 6 Grundpunkte Gi besitzt. Hierbei ist zu beachten, daß jede durch einen Grundpunkt Gi gehende Gerade gt ein Hauptstrahl ist.

Das Bild von Gt selbst ist eine Ebene «/, das des Kegels in G mit der Spitze in eine C₂ in ec- .

Das Bild des Geradenbündels (Gt) ist eine Kongruenz, die stets von der zweiten Klasse ist, während ihre Ordnung bei einem einzigen Grundpunkt gleich 7 ist und mit jedem weiteren Grundpunkte um Eins sinkt.

Man gelangt so, wenn man wieder die dualen Gebilde heranzieht, zu sechs von Kummer11,1) untersuchten Kongruenzen 2. Ordnung.

Jeder Verbindungsgeraden von zwei Grundpunkten entspricht einPg auf $₄.

Im Falle von sechs Grundpunkten, wo die d>₄ wieder in die Kummersche Fläche Km übergeht, entstehen so 15 P₂. Ein 16ter Z)₂' ist das Bild der durch die Grundpunkte gehenden und auf der Ki — als Haupttangentenkurve — gelegenen Cs.

In allen Fällen ist die <P₄ zugleich die Brennfläche je einer der zugehörigen Kongruenzen; im besonderen erscheint so die Km als Brennfläche von sechs Kongruenzen (2, 2). (S. auch Nr. 69.)

Fl und Fl' sind (1, l)-deutig aufeinander bezogen: Einem Punkte (x) der F/ als Spitze eines Kegels K im Gebüsche G entspricht ein Bildpunkt {X, y, v, p) der Fl', wo X, y, v, p die zum Kegel K in G gehörigen Parameterwerte bedeuten.

Auch auf der Fläche Fl' findet zwischen deren Punkten eine (1, l)-deutige involutorische Beziehung statt; jedem Punkte (X, y, v, p) als Bild eines Kegels K in G entspricht ein Punkt (X', t(i', v, p') als Bild des Kegels K' in G.

Die Fläche „F“ heiße daher die „Bildfläche“ von Fl.

Nun sind die Koeffizienten arg, brs, crs, drs der Linearformen Grs völlig beliebig angenommen, d. h. die symmetrische Determinante \Grs\ enthält im übrigen ganz beliebige quaternäre Linearformen der X, y, v, p als Elemente. Dies liefert den Satz:

„Eine symmetrische vierreihige Determinante mit quaternären Linearformen in vier Punktvariabein X, y, v, p als Elementen läßt sich, gleich Null gesetzt, als Bildfläche Fl' der Kegelspitzenfläche Fl eines F%- Gebüsches auffassen.“

Diese Fläche Fl' hat zuerst A. Cayley von anderen Gesichtspunkten ausgehend (s. Nr. 62) eingehend untersucht und mit dem Namen „Sym-metroid“ belegt. Er stellt vor allem fest, daß sie 10 D₂ besitzt.

Heye⁴) hat den Zusammenhang dieses Satzes mit dem jF₂-Gebüsch hergestellt, indem er ihn auf den Satz zurückführt, daß sich in einem J^₂-Gebüsch G zehn Ebenenpaare als zerfallende Kegel K befinden.

Sei ein solches etwa F= xixk — 0, so entspricht ihm das Parametersystem A = 1, y — v — q — 0.

Für letzteres verschwinden aber alle ersten Minoren der Determinante \Grs\.

Andererseits zeigt Reye direkt, daß alle ersten Minoren einer symmetrischen Determinante vom Typus | Grs\ für zehn Wertsysteme der Variabein X, y, v, p zugleich verschwinden. Nunmehr werde noch ein Hilfssatz herangezogen, der gleich allgemein ausgesprochen werde:

„Liegt eine w-reihige Determinante D vor mit w-ären Linearformen in Variabein xi als Elementen, und verschwinden für ein gewisses Wertsystem der Variabein xi alle ersten Minoren zugleich, so ist der entsprechende Punkt der durch D — 0 im Sn_t dargestellten Mannigfaltigkeit Fn ein Z)₂.“

31)

In der Tat, bildet man die Ableitung Di =    , indem man in be

kannter Weise der Reihe nach die Elemente jeder Reihe nach xi differenziert und dann mit den zugehörigen ersten Minoren multipliziert,

so erscheint Di als ein Aggregat von Gliedern, deren jedes einen ersten Minor als Faktor besitzt.

Somit verschwinden für das in Rede stehende Wertsystem der x alle ersten Ableitungen von _D, d. h. der entsprechende Punkt der Fn ist ein Z>₂.

Folglich gehört zu jedem der in G enthaltenen zehn Ebenenpaare, als Kegel K auf gefaßt, ein D₂ der Fl'. Endlich, beachtet man noch, daß, unter (E1? E₂) irgendeines der zehn Ebenenpaare in G verstanden, jeder Punkt auf der Achse (Ex, E₂) als Spitze eines Kegels 2T, nämlich des in (E1; E₂) ausgearteten, angesehen werden kann, so folgt, daß die Achsen der zehn, in G enthaltenen Ebenenpaare ganz auf der Fläche Fl liegen.

Faßt man zusammen, so ergibt sich der Satz:

„Im jF₂-Gebüsch G befinden sich als ausgeartete Kegel K zehn Ebenenpaare, deren Achsen ganz auf der Kegelspitzenfläche Fl liegen. Diesen zehn ausgearteten Kegeln entsprechen auf der Bildfläche Fl' zehn Punkte, die für sie D₂ sind.“

65. Das Fef Gebüsch mit sechs Grundpunkten. Behufs näherer Einsicht in die Struktur eines F%- Gebüsches mit sechs, zunächst reell angenommenen Grundpunkten (von denen keine vier inzident seien), frage man zunächst nach den algebraischen wie geometrischen Beziehungen der zehn Ebenenpaare zueinander, deren jedes alle sechs Punkte enthält.

Man nehme irgend vier der sechs Grundpunkte als Ecken Av Ak, Av Am des Koordinatentetraeders T; die beiden weiteren Punkte seien mit Y(y) und Z(z) bezeichnet. In bezug auf T hat man zwei Typen der zehn Ebenenpaare zu unterscheiden. Einmal die vier Paare (Aif Ak, At), (Am, Y, Z), andererseits die sechs Paare (A., Ak, Y), (Al; Am, Z) nebst dem jeweiligen komplementären (durch Vertauschung von Kund Z hervorgehenden) (Ai} Ak, Z), (Av Am, Y), so daß man drei solcher Doppelpaare hat.

Die zugehörigen Gleichungen, für prs = (;yz)rs, lauten '(! J Fm = Xm(Xyz)m = Xm{XiVkl + XkPli + XlPik) = 0;

(lf*)    Fik = 0*SO«(s*)lm = XiXlVhZra + XkXmVA ~ XiXmV^l

— XkWm = °>

(*! J    Flm = (Xy)lrn(XZ)ik =    + XkXmVlZi ~ XiXnM

nebst den durch zyklische Vertauschung der Indizes daraus hervorgehenden. Zwischen diesen zehn quadratischen Formen bestehen gewisse lineare Identitäten mit numerischen Koeffizienten.

Um diese aufzustellen, gehe man aus von der identisch verschwindenden Determinante

¹

   H. Bateman, London. Math. Soc. Proc. (2) 3 (1905), p. 225.

²

   E. Hunyady, J. f. Math. 92 (1882), p. 304; vgl. F. Caspary, Paris C. R. 112 (1891), p. 1356; Bull. Soc. Fr. math. (2) 15 (1891), p. 388; F. SehottJcy, J. f. Math. 105 (1889), p. 238; G. Humbert, J. de Math. (4) 9 (1893), p. 466.

³

   A. Cayley, Quart. J. 10 (1870), p. 34; 11 (1871), p. 111.

⁴

Th. Beye, J. f. Math. 77 (1874), p. 269; 82 (1877), p. 54.

(2)

(xyxz) = 0.

Entwickelt man die Determinante nach den Elementen der ersten Reihe, so ergibt sich als erste Identität

(I)

J5>, = 0.

Entwickelt man andererseits die Determinante (2) nach dem Laplaceschen Satze, so gelangt man zur zweiten Identität

(ii)

22Fit = o.

Weiter betrachte man irgendeine der drei gleichberechtigten Differenzen

(3)    Du = Fa-F,

etwa die erste. Gemäß (lm) und (l,7c), (1,TO) wird explizite

(4)    Dik — Fik Flm = xixlpkm -f- xkxmpit xixmpkl xkXjPim

= Xi(XkPml + XlPkm + XmPlk) + Xk{XiPlm + XlPrni + XmPil)‘ Gemäß (1OT) und (I) folgt hieraus eine dritte Art von Identitäten Dik = Fik — Flm = Ft -f- Fk = — Fm),

Du =    — Fmk = Fi-\- Ft = — (Fk -f- Fm),

Dim = Fim —Fkl = F,-\-Fm= — (Fk + Ft).

(III)

Iml

T) = F _F

J-'il - ^il    M i

mk>

T) = JP _ 7)'

J-'im--¹ im _L in

Daraufhin lassen sich sofort die Fif. . ., Fm durch die Fik, . . linear ausdrücken.

Denn durch geeignete Addition ergibt sich 2F{ =

2Fk =

(III')

Dik + Du + D Dik DiX D 2Fl= — Dik -f- Dix D 2Fm= — I)ik — T)il -f- I)im.

Durch Addition dieser Darstellungen gelangt man wieder zu (I) zurück. Somit gilt zunächst:

„Zwischen den zehn quadratischen Formen Fi} . . ., Fik, . . . bestehen fünf unabhängige lineare Identitäten mit numerischen Koeffizienten, die durch (III') und (II) angegeben sind,“

Indessen läßt sich die Darstellung (III') noch vereinfachen. Denn die Kombinierung mit (II) führt (III') über in (III") F₍ = Fa + Fn + Fim = - CF„ + Fml + Flm) usf.

Daß hiermit alle linearen Identitäten mit numerischen Koeffizienten zwischen den Fi} . . ., Fik,. . . erschöpft sind, erkennt man, wenn man

irgend vier lineare unabhängige Formen herausgreift, etwa Fik, F% Fim, Fkl, und durch sie etwa Fm linear ausdrückt, wie es möglich sein muß, da ja alle zehn Formen einem ,F₂-Gebüsch angehören. Man bilde also den Ansatz

(5)

Vm^ m - ^ikFik “t“ ^lmFlm “f" ^imFim “f" ^klFkl)

und ermittele die Verhältnisse der Koeffizienten vm, Xik,....

Da links die Koeffizienten von xkxv xixk, x{xx verschwinden, muß es auch rechts sein, und man hat die drei Bedingungen

(6*,)

KkViZm + \raVmZi ⁼

(6a)

^im Vm Zl H“ KlVl^m ~ ^ ) i^ik Kl)ykSm i^im Km)VmZk ~ 0-.Die beiden ersten liefern, unter q, g zwei Proportionalitätsfaktoren verstanden,

f (6h)

l (6A)

^ik    QVinZi) ^Im    QViZmJ

^im~ ^yxZm1 ^kl⁼⁼

und nach Einsetzung in (Qit)

(s;,)

Q PkD 6 Pik-

Damit erhalten die vier Größen Xa, . . die endgültige Form

(?)

| ^ik ~ PklVmZi) ^Im ⁼

1 'k' m ⁼ Pi k yi Zm ) ^kl ~    PikVm^l'

Durch Eintragung in (5) bestimmt sich der letzte Faktor vm, indem die Koeffizienten von xixm, xkxm, xxxm rechts mit den entsprechenden in Fm proportional werden müssen.

Die Vergleichung führt in der Tat jedesmal zu demselben Werte

von vm

(8)

vm = y^A — ykymzFi-

Trägt man die Werte von X und von vm aus (7) und (8) in (5) ein, so wird die gewünschte Identität

(9) (jmv™ — ykynFA)Fm =Pki(ymziFik — J

+ Pik(yizmFim — ymSiFn)

und analog für Fi} Fk, Fr

Nunmehr läßt sich auch Fmk (oder auch Fix) in F, Fkl ausdrücken.

Aus (llm) ergibt sich, nach Multiplikation mit vm,

ik)

F F

-Lim)

im)

mk

= VmFm ~ VmFim ~ VmFlm-

Nach Eintragung von vmFm aus (9) ergibt sich

VmFmk = KkFik + Flm(hm - Vm) ~\~Fim(hm - Vm) + KlFkV

Km    Vm PimVkZl’

Hier ist

^im    ^m PlmVkZi'

Nach Einsetzung dieser Werte, sowie derer von lik und Xkl wird die gewünschte Identität

(10) {yiylzkzm — ykymz^Fmk = pklymetFik —pimyk^Flm

— PlmVkZiFim —PikVmZlFkV

Hinterher lassen sich die bisherigen Darstellungen formal vereinfachen, wenn man den Punkt Z als Einheitspunkt F(l, 1,1,1) normiert.

F

kV

iml

Es genüge die Darstellung des Gebüsches G in Fik, Flm, F'

Diese lautet explizite

(IY) G = XiXl {yk(lik    ^kl) ym(^im Km) }

4" XkXm {Vii^ik Km) ~ Vl(.Kl Km) 1    XiXm(.KkV’k 4“ Kmül)

XkXl(KkVi 4~ KmVm) + XiXk(Kmym 4~ KlVl)

+ XlXm (.^imVi + KlVk)'

66. Die Weddlesche Fläche und die lummersche Fläche als ihre Bildfläche. Invariante Darstellung beider Flächen. Yon dem allgemeinen F₂- Gebüsch G der Nr. 64 ausgehend, könnte man nun der Reihe nach die Sonderfälle diskutieren, wo G 1t (k = 1, 2, . . ., 6) Grundpunkte besitzt (die allen F₂ in G gemeinsam sind). Ohne auf die Zwischenfälle näher einzugehen, begnügen wir uns mit folgendem Hinweis. In G mögen einer oder mehrere (bis zu sechs) Grundpunkte auf-treten.

Man wähle einen solchen als Koordinatenecke Ai} so daß die vier Bedingungen au — bu = cH — du = 0 erfüllt sind (und umgekehrt). Dann verschwinden in der Determinante Fl = \Fi} Hif Li, M.| für Ai die Elemente der iten Reihe, d. h. Ai gehört der F± an (wie auch geometrisch ersichtlich ist). In der Tat ergeben sich die Parameterwerte K? Pi> vn Qi des Kegels in G mit der Spitze Ai aus den drei linearen Gleichungen

Gir = lair -f pbir -f- vcir -j- Qdir = 0 (r = k, /, m). Andererseits verschwindet in der Bilddeterminante F± =\Grs\ nach Yoraussetzung das Element Gu identisch. Entwickelt man daher die Determinante [ Grs\ nach den Elementen der iten Reihe und Kolonne, so erscheint \Grs\ als eine quadratische Form in Gik, Gu, Gim.

Mithin verschwindet \Grs\ für die Parameterwerte Xv fii: vi} gi von in der 2ten Ordnung, d. i., der Bildpunkt von A{ ist ein D₂ der Bildfläche Fl'. Somit gilt:

„Jeder Grundpunkt des Gebüsches G gehört der Kegelspitzenfläche Fl einfach an, und sein Bildpunkt auf der Bildfläche Fl' als ein _Z)₂.“

Läßt man daher im F₂- Gebüsch G der Reihe nach 1, 2, .

• •>

6 Grundpunkte zu, so besitzt die Bildfläche Fder Reihe nach 11, 12, .. ., 16 Da.

Der letzte Fall ist der wichtigste, da er zur Kummerschen Fläche¹) (s. Nr. 68) mit 16 D₂ führt. Umgekehrt läßt sich also letztere stets als Bildfläche der zu einem Fa- Gebüsch G mit sechs Grundpunkten gehörigen Kegelspitzenfläche auffassen.

Nunmehr gehen wir gleich zum letzten und wichtigsten Fall über, einem F₂- Gebüsch G mit sechs beliebigen Grundpunkten (von denen keine vier inzident sind) und knüpfen zu dem Behuf wieder an Nr. 65 an. Umgekehrt ist dann, nach Annahme der sechs Grundpunkte, das Gebüsch G völlig bestimmt. Auf die zugehörige Kegelspitzen fläche F₄r hat zuerst Th. Weddle (s. Nr. 61) hingewiesen und ihre einfachsten Eigenschaften abgeleitet. Diese Fläche wird daher „ Weddlesche Flächeil genannt; sie sei mit Wd bezeichnet.

Eingehender ist diese Fläche später von C. Hierhölzer (Nr. 60) untersucht. Wie in Nr. 65 seien vier der sechs (als reell angenommenen) Grundpunkte als die Koordinatenecken Ai} Ak, Ap Am gewählt, und die beiden übrigen mit Y(y) und Z(z) bezeichnet.

Man erkennt sofort, daß auf der Wd 10 -f- 15 = 25 Gerade g liegen; einmal die 15 Verbindungsgeraden je zweier der sechs Grenzpunkte, andererseits die Achsen der zehn in G enthaltenen Ebenenpaare. Aus der ersteren Eigenschaft folgt zugleich, daß die sechs Grundpunkte D₂ auf Wd sind; jeder von ihnen ist die Spitze eines Kegels K, der durch die fünf von dem Grundpunkte nach den fünf anderen laufenden Geraden als Kanten bestimmt ist.

Durch die sechs Grundpunkte geht eine kubische Raumkurve C₃, die ebenfalls ganz auf der Fläche Wd liegt. Denn von jedem Punkte der C₃ aus projiziert sich letztere durch einen Kegel K, der durch die sechs Grundpunkte geht.

Um die Gleichung der Fläche Wd aufzustellen, könnte man von dem in Nr. 64 durch die vier Individuen F = Fik, H = Flm, L =Fim, M = Fkl bestimmten Gebüsch G ausgehen, und von hier aus die Gleichung Wd = |Fi} Hi7 L{, Mi| = 0 bilden. Indessen würde die so erhaltene Gleichung einmal in ihrer Struktur unsymmetrisch ausfallen und überdies mit einem fremden, von den y.f zi abhängigen (und in diesen quadratischen) Faktor behaftet sein.

109

Hierhoher umgeht diese Schwierigkeit vermöge einer einfachen Abzählung.

Konstruiert man eine Fi so, daß sie in den sechs Grundpunkten P₂ besitzt (was 24 Bedingungen involviert) und weiter die zehn Verbindungsgeraden je zweier von fünf der Z)₂ enthält (was zehn weitere Bedingungen erfordert), so ist eine solche Fi bereits eindeutig festgelegt, muß also mit der Wd übereinstimmen und daher auch die fünf Geraden, die den sechsten Grundpunkt mit den übrigen verbinden, enthalten.

Daraufhin wird die Gleichung der Wd direkt aufgestellt in der

Gestalt

(I)

Wa =

xi ’

Xi> Vi> &i\    0,

oder auch, unter Vermeidung der Nenner,

(i)

Wd = IVMXlXm, Xi> Vi> Zi\ = °-

Aus dieser Darstellung lassen sich die oben angegebenen Eigenschaften unmittelbar ablesen.

Entwickelt man rechts nach dem Laplacesehen Satze, so hat man, wenn man noch zur Abkürzung setzt

(i)

Vizi — Pa (yz'hk =Pu>

die ausgeführte Darstellung

(Ia)

Wd =22XirXkPa (.PlXra ~ PmXl) =

i k

0.

Man unterwerfe jetzt die Wd der (1, l)-deutigen involutorischen kubischen Punkttransformation P₃ (s. Nr. 59 und Art. „Fz“, Nr. 13)

(2)

GX^X- — 1.

Einem Punkte P(x) entspricht dabei ein Punkt P'(x'), so daß P und P' konjugiert sind in bezug auf das P₂-Netz durch die acht Einheitspunkte F{xi = ei = + 1).

Die Koordinatenecken A{ sind die vier Fundamentalpunkte der Ts. Einer Geraden durch A{ entspricht wieder eine solche, einer beliebigen Geraden g eine C₃ durch die vier A und vice versa, einer P₂ durch die vier A wieder eine solche.

Somit geht das F₂- Gebüsch G vermöge der Tz in ein ebensolches Gebüsch G über, nur daß an Stelle der zwei letzten Grundpunkte Y(yt),

Z(z.) die transformierten Y'

treten.

Ferner geht jeder Kegel K in G mit der Spitze P über in einen Kegel K' mit der Spitze P'.

Hieraus folgt:

„Vermöge einer (1, l)-deutigen involutorisclien kubischen Punkttransformation T₃ mit den Koordinatenecken als Fundamentalpunkten geht die Weddlesche Fläche Wd (II über in eine ebensolche, nur daß an Stelle der beiden letzten Grundpunkte Y, Z die transformierten Y', Z' treten.“

(I) die transformierte Gleichung

aus

Dies muß sich auch an der Gleichung (I) direkt bestätigen lassen. Vermöge der T₃ (2) entsteht

(I')

Wd = PiXi, xT> Vi,

= 0.

Andererseits ersetze man in (I) direkt die Punkte Y, Z durch Y', Z', so entsteht die Gleichung

(I")

Wi' =

X*> yt > zt

Pi

Beide Gleichungen (F) und (I") müßten übereinstimmen, also ineinander überführbar sein.

Nun liefert die Laplacesche Entwicklung von (F) explizite

0.

22xixkPnAPixL Pmxi) =

i k

Andererseits multipliziere man die ite Reihe (i = 1, 2, 3, 4) in (I") mit p. und entwickle dann wieder nach dem Laplaceschen Satze, so entsteht in der Tat die nämliche Gleichung (F).

die Gerade (F, Z)

Noch sei bemerkt, daß die Grundkurve C₃ der Wd vermöge der T₃ übergeht in die Gerade {Y'yZ'), und vice versa in die Grundkurve C₃ der W'd.

Weiter gelten für die Wd als eine P₄ mit einer C₃ die in Nr. 3 gemachten Angaben hinsichtlich der Restkurven C₆, sowie der irrationalen expliziten Parameterdarstellung der Fläche.

Letztere gestattet hier für die Wd eine spezifische Vereinfachung. Durch die Grundkurve C₃ geht ein F₂-Netz N. Sei N etwa linear zusammengesetzt aus den drei Flächen H, L, M, und sei F irgendeine weitere, nicht in N enthaltene F₂ innerhalb G, deren geeignete Auswahl noch Vorbehalten bleibe. Nun bildeten je zwei Punkte P, Q, die bezüglich aller Individuen in G konjugiert waren, ein zusammengehöriges Punktepaar auf der Kegelspitzenfläche F/ eines Gebüsches G.

Im vorliegenden Falle der Wd sind also zwei solche Punkte P, Q einmal konjugiert bez. N (d. h. aller Individuen in N)} andererseits bez. F.

Aber (s. Art. „F“, Nr. 11) zwei, bez. N konjugierte Punkte liegen stets auf einer Sehne s der C₃, und zugleich harmonisch zu den beiden Treffpunkten von s mit der C₃, und umgekehrt.

109

Hieraus folgt:

„Auf irgendeiner Sehne s der C₃ betrachte man einmal die Involution der zu den beiden Treffpunkten von s mit der C₃ harmonischen Punktepaare, andererseits die Involution J₂ der bez. F konjugierten (also zu den beiden Schnittpunkten von s mit F harmonischen) Punktepaare. Das diesen beiden Involutionen gemeinsame Paar P, Q liefert die beiden Restschnittpunkte von s mit der Weddleschen Fläche Wd, und umgekehrt.“

Daraufhin läßt sich die gewünschte irrationale Darstellung der Wd auf Grund der Hierholzerschen. Gleichung (I) der Wd, sowie der expliziten Darstellung der C₃ unschwer ableiten.

Die Parameterdarstellung der C₃ lautet

Pi

(3)

QXi =

_ &

1

wo zur Abkürzung steht. Der nichthomogene Parameter sei mit

f⁴

v bezeichnet. Die Sekante s verbinde zwei Cg-Punkte (?/), (y"), und die Einsetzung von deren Koordinaten in irgendeine Form werde entsprechend durch einen resp. zwei Akzente angegeben.

Die vier Grundpunkte A{ haben die Parameterwerte v{ — — und

zu den beiden weiteren Y, Z gehören die Werte oo, 0. Diese sechs Werte sind also die Wurzeln der Form 6. Ordnung

fi

(4)

Ein laufender Punkt auf der Sekante s hat, unter t einen Parameter verstanden, die Koordinaten

(5)

Qxi =

A(/T ⁺ r)'

Den beiden Restschnittpunkten P, Q von s mit Wd entsprechen dann zwei, nur durch das Vorzeichen verschiedene Werte von t, Wurzeln der Gleichung

(6)

x ²f" — f = 0.

Damit wird die gesuchte irrationale Darstellung der Weddleschen Fläche Wd

(?)

QX^Pi^f + Tjr)-

Die Bedeutung der Grundkurve C₃ für die Weddlesche Fläche Wd tritt noch mehr hervor, wenn man die C₃ als Normalkurve N₃ — N₃ wählt (s Nr. 3 und Art. „F₃‘, Nr. 19). Indem die Koordinaten jetzt zweckmäßiger mit den Indizes 3, 2, 1, 0 versehen werden, lautet die explizite Darstellung der N₃ resp. N₃

x₃ : x₂ : xx : x₀ — A³ : 3l²: 3A : 1, u₃ : u₂: ux : u₀ = — 1 : 1: — l²: Ä³.

Das P₂-Netz N durch Ns setzt sich linear aus drei Individuen H: L, M zusammen

H = Sx₀x₂ — x\ — 0, L = 9x₀x₃ — xxx₂ = 0 M = dxxx₃ — x\ — 0,

wo die linken Seiten die Determinanten der Matrix

(9)

sind.

3x₀,Xi, a?s

*®i > *®s i ^ xa

Die sechs Grundpunkte des F₂- Gebüsches G werden durch sechs Werte des Parameters A bestimmt, die man sich als Wurzeln einer beliebigen Gleichung 6. Grades

(10) f(X) — a₀ -j-    -J- 15a₂A² -j-----J- 6a₅A⁵ -fi* a₆A⁶ = (aA)⁶ = 0 gegeben denke.

Es wird sich zeigen, daß diese Gleichung (10) das Fundament in der invariantentheoretischen Behandlung der Weddleschen — und weiterhin der Kummerschen. — Fläche bildet. Vorab sei bereits bemerkt, daß diese Behandlung der früheren erheblich überlegen ist, insofern sie von irgendwelchen Realitätsbeschränkungen unabhängig ist und auch irgendwelche Koinzidenzen der Grundpunkte, d. i. der Wurzeln von /“(A), gestattet.

Das F₂- Gebüsch G durch die sechs Grundpunkte setze man wiederum linear zusammen aus dem Netze N (H, L, M) in (9) und einer geeigneten, nicht in N enthaltenen F₂, die mit F bezeichnet sei. Als eine solche empfiehlt sich die zu N₃ apolare (konjugierte) Fläche F durch die Grundpunkte mit der Gleichung

(11)    F(cc) = a₀x²₀ + 2a₁x₀x₁ + {2a₂x₀x₂ + a₂x²)

+ (2% x₀x₃ -f 2a₃x₁x₂) + (2aix₁x₃ + a₄z²)

-f- 2a₆x₂x₃ -j- a&x\ = (ax)² — 0.

Der laufende Punkt einer Sekante s(a, ß) der N₃ hat die Koordinaten

(12)    x₃ : x₂ : x± : x₀ — a³ -f- xß³: 3(«² xß²) : 3(a -f- xß) : 1 -j- x.

Den beiden Schnittpunkten von s mit F entsprechen zwei Parameterwerte x, x", die die Wurzeln der Gleichung werden

(13)

««) + *() + *W) = o,

wo der Koeffizient von x nur an gedeutet ist. Andererseits sind 0, oo die x- Parameter der beiden Treffpunkte (a) und (ß) von s mit N₃. Nun waren die beiden Restschnittpunkte P, Q von 5 mit der Fläche Wd zu jenen beiden Punktepaaren harmonisch; ihre Parameterwerte xx, x₂ sind also die Wurzeln der Gleichung (14)

Mithin lautet die gesuchte irrational-explizite Darstellung der Weddle-schen Fläche W*

(II) xs:x₁:x₁:x₀ = «sVf(ß) + ßy'Vf(a) ■ 3(a²Vf(ß) + ß‘Vfi«))

■ 3 {«vm + ßVM) ■■ VW) + vw>-

Die Vergleichung mit der früheren Darstellung (7) zeigt die formale Ähnlichkeit, wie es nicht anders sein kann; während aber dort eine künstliche und nicht einfache Rechnung erforderlich war, ergibt sich (II) fast ohne Rechnung.

Man wird nun auch die rationale implizite Gleichung der Wd auf Grund der C₃ — N₃ in invarianter Gestalt zu haben wünschen.

Zu dem Behuf normiere man die drei Formen (9) mit dem Faktor 2 und schreibe F = A, sowie

B=2(3z₀z₂— z[)    = 2 cp,

(9')

C = 2(9 z₀z₃ — z₁z₂) — 2ip, D = 2(Sz₁z₃ — zf) =2%.

Auch mögen vorübergehend die Indizes i, k, l, m statt 0, 1, 2, 3 verwendet werden.

Nun war die Gleichung der Wd

Wd = lAiB,CtD<\ = 0-

Aus (9') entnimmt man die Werte der Br, Cr, Dr (r = i, k, l, m)

= °,

= ⁹^i>

(I)

(15)

Bi = Sztf Bk= 2zk, Bj — 3zi}

Ci = 9zm, Ck = zl7    Gt — zk,

D, = 0, Dk = 3zm, = — 2xl} Dm = ?jzk.

Entwickelt man die Determinante (I) nach den Ar (r = i, k, l, m), so ergibt sich

(16)

| A{, Bi7 Ci7 Di\ =^ArAr,

wo die Ar die Determinanten der Matrix (15) sind.

Damit ergibt sich die Gleichung der Wd in der Gestalt

(lb)    Wd = Ai(2zkcp — 3 z^) + 3At(x,<p — 3 zt%)

+ 3Al (— XkX + 3xm<P) + Am(3xm^ — 2 XlX) = °*

Diese ist noch einiger Modifikationen fähig auf Grund der beiden Identitäten

(17)

3xiX — xkt + £,<p = 0,

XkX — Xdk + 3 Xm⁽P = °-Ordnet man dagegen (Ib) nach den cp, ip, %, so kommt die andere Darstellung

(lc)    Wd = -z(?ziAk + 3zkAl + 2zlA^

+ 9>(ßxkÄi + 3xkAl + 9 X1AJ —³^(XiAi — XmAm) = °-

Hieraus ist ohne weiteres ersichtlich, daß die Fläche Wd die Grundkurve C₃ = N₃ enthält, da die rechte Seite von (Ic) mit cp, ip, % zugleich verschwindet.

Wir kommen zur invarianten Darstellung der Kummersehen Fläche. Gemäß Nr. 64 war die Kummersche Fläche, die mit Km bezeichnet sei, die Bildfläche der Weddleschen Fläche Wd mit der Gleichung

(i)

J^=s|GU = 0.

Im Anschluß an Nr. 66 werde auch Km in invarianter Form aufgestellt. Schreibt man die Indizes i,~k,l,m wieder als 0, 1, 2, 3, so hat man zunächst, wenn die Parameter des jF₂-Netzes N mit v1} v₂, v3 bezeichnet werden, die Darstellung

a₂ -f- ?>vx, a₃ -f- 9v2 a₂ + 2vx, a₃ — v₂, ß₄ + 3v₃

<z₂ -j- d^i, ßg V₂,    (%£

az + ÖV₂, a₄ -f- 3v₃,

Diese Determinante wird man, etwa mittels des Laplacesehen Satzes, nach den Potenzprodukten der v entwickeln.

Macht man noch mit einer vierten Variabein v₀ homogen und ordnet nach Potenzen von v₀, so ergibt. sich eine Darstellung von der Struktur

(X)

°o>

au

ai

«5

ß₆

(Ia)

= cx +    + C₂vl + OgVo + o₄ = 0,

wo die C ternäre Formen in vx,v₂,v₃ von der durch den Index angegebenen Ordnung sind.

Diese Koeffizienten müssen sich darstellen lassen als invariante Komitanten der binären Grundform f₆ (A), deren Wurzeln die sechs Grundpunkte (auf der Ns) des J^-Gebüsches lieferten (s. Nr. 66). Zunächst ist ersichtlich, daß CQ mit der Determinante jA\ der zur N3 apolaren Fläche F — A übereinstimmt

a₀

(lo)

(X 2 O g

ß₂ Clo ß₄ ß'5 Q. g    Cl'ß

die zugleich die Sylvestersche Katalektikante der Grundform f₆ ist.

Das Verschwinden von C₀ bedeutet, daß die Fläche F = A ein Kegel K des Gebüsches G wird.

Im folgenden empfiehlt es sich, die Größen v1} v₂, v₃ als Punktkoordinaten in der Ebene v₀ — 0 anzusehen, bezogen auf einen Norm-kegelschnitt N₂ (= N₂)

(2)

N₂ = vxv₃ — v\ = 0.

Führt man neben r₂ noch die Variable v₂ ein, so daß

(3)

2 v₂ — v₂,

(2)

so geht (2) über in die übliche Gleichung von N2 N₂ = 4Viv₃ — v₂² = 0,

oder auch explizite

(2 a)

v₃ : v₂':    = X²: 2 X : 1.

In der Ebene v₀ = 0 existiert eine zum Klassennormkegelschnitt N2 apolare und durch die sechs Punkte, die den Wurzeln von f₆(X) — 0 auf N₂ entsprechen, gehende c₃ = c₃ mit der Gleichung

(4) c₃ = v\a₀ + v₂³a₃ + v\a₃ + ‘dv\v₂at + 3 v\v₃a₂

+    + 3v|    + ßviv'vg^ = 0.

Verschwindet wie oben im besonderen C₀ = \A\, so läßt die Form f₆ (A) die kanonische Darstellung als Summe von drei sechsten Potenzen zu. Entsprechend erscheint dann, wie durch Polarisation der f₆ hervor-geht, die Form c₃ als Summe von drei Kuben. Das Letztere bedeutet aber geometrisch, daß die Kurve 3. Ordnung c₃ eine äquianharmo-nische ist.

Nunmehr entwickele man behufs Ermittlung der weiteren Koeffizienten C1} . . ., Gi in (Ia) die Determinante Km in (I') nach dem Laplacesehen Satze, so erhält man zunächst für

(5)

Pik =

ak

ai + l> ak + \

ein Aggregat von der Struktur

— A + a₂ + B₁ -\-B₂ — Ct — C₂,

(6)

wo einzeln

A = CPoi — 2«ovi)(P45 — 2a₆v₃),

A = {P23 + 3a₂v₃ — Sa₃v₂ + 3a₄vt + 9(vtv₃ + vf)}²;

B₁ = (p₀₃    3a₀v₃    9a₁v₂)(p3i    a5v2 ~f" 9v₃),

(?)

A = (Pl2 — aiV2 — a2Vl + 6vD(P25 + 3a6Vl — ⁹«5Vl);

¹

Diesen Standpunkt haben wohl zuerst Darboux17S), Th. Heye¹™*) und R. de Paolis betont, Rom Line Rend. (4) 6₂ (18 90), p 3. Die (1, l)-deutige Beziehung zwischen den Punkten der Wd und Km hat F. Schottky eingehend verfolgt, besonders in transzendenter Hinsicht, J. f. Math. 105 (1899), p. 269.

Encyklop. d. math. Wissensch.. III 2.

Ol ⁼⁼ (Po2 aoV2 °aiVl)(P35 a6V2 3 £JÖ V₃),

< 0₂ = (p₁₃ -f- 3a₁v₃ — 9a₂v² -j- 2a₃vl -j- 18v1lv₂)

¹    • (Pg 4 + 2a₃v₃ — 9aAva + 3a₅v₁ + 18v₂v₃)

Man berechne jetzt hieraus den Koeffizienten von in (Ia), eine Linearform in vly v₂, v₃,

(8)

G1 =nvl + ?2V2 + VzV3-Die Ausdrücke für die Koeffizienten y lassen sich linear in den ersten Minoren von \A\ bilden. Bedient man sich für die Koeffizienten von

A und f₆ der zweiten Bezeichnung aik = ai+h, und ist entsprechend ars der Minor von ars in \A\, so erhält man einfach

(9) yx = 2{a₂₂    3ßi₁₃), y₂ = 2(- a₀₃    • «₁₂), y₃ = 2(an 3a₀₂),

wo die im folgenden nicht in Betracht kommenden numerischen Faktoren in y₂ nur angedeutet sind. Nun geht aus der Herleitung der Form Km hervor, daß die Darstellung (Ia) eine typische sein muß, d. h. die Koeffizienten C₀, Gx, ..., Ci sind (in vx, v₂, v₃) ternäre Invarianten von f₆ und N₂.

Demnach repräsentiert die Gleichung Cx — 0 eine invariante Gerade, und deren Schnittpunkte mit N₂ müssen sich bestimmen lassen durch die Wurzeln derjenigen quadratischen Kovariante f₂(jl) von die in den Koeffizienten der letzteren kubisch ist.

Um f₂ (2) zu bilden, gehe man aus von der Polarform

(10)

(a+⁴(<z2)² = ++(2) -f- 4psAx(X) + • • •,

wo

(11)

d-iW = ai ^ + 2<*i+1A -f- ai+2

Dann wird die Invariante g₂ der in p biquadratischen binären Form (10) diejenige biquadratische Kovariante fx(/1) von f₆(2), die in den a quadratisch ist

(12) /+,l) = A₀At — 4Ax A₃ + 3A² = (p₁₂ — 3p₀₃) + 22(pox — 2p₁₃)

+ ^²(Po5 + Pu — 8p₂₃) + 2 X³(pxh — %P₂i) + ^(jPsi —

= &₀ + 4bxX + • • • + &₄2⁴.

Schreibt man hier p für 2 und bildet die bilineare Invariante der beiden in p biquadratischen Formen (10) und (12), so gelangt man zu der gesuchten Kovariante /*₂(2)

(13)

fzW — (^0^4 + ^4^0) — 4(6^3 + b₃Ax) + Qb₂A₂.

Entwickelt man die rechte Seite nach Potenzen von 2, so ergibt sich in der Tat

(14)

/ä (2) = y i —    + y₃V

und diese geht aus Cx vermöge (2ar) hervor.

Ähnlich läßt sich der Koeffizient C₂ von r² in (Ia) behandeln. Da C₂ = 0 ein bez. N₂ invarianter Kegelschnitt c₂ sein muß, trifft er N₂ in vier Punkten, deren Argumente die Wurzeln der in den a kubischen biquadratischen Kovariante sind. Diese Kovariante muß also mit ^4(2) in (12) übereinstimmen. Daraufhin lassen sich die Koeffizienten ca in C₂

(15)

Gt = v\cn + 2vlv₂c₁₂ -i----

(16u)

leicht berechnen. Für das Leitglied cu ergibt sich

cii = ^(Pos ^P₁₂).

Schneidet man C₂ mit N₂, d. h. wendet (2 a') an, so stellt sich in der Tat heraus, daß die „Schnittpunktform“ bis auf den Faktor 3 mit der Kovariante /^₄ zusammenfällt. Weiter notiere ma*i noch den Wert von c19 (16.)

C12 - ® (^Pl3    P04:)-

Der Kegelschnitt C₂ — 0 läßt sich nun noch genauer bestimmen. Br gehört dem Büschel B von c₂ an, das durch die vier Grundpunkte /*₄(A) = 0 geht. Denkt man sich den in B enthaltenen, zu N₂ apolaren Kegelschnitt c₂ (mit denselben Koeffizienten wie    herausgegriffen,

so muß sich C₂ als lineare Kombination von c₂ und dem Produkt g₂N2 darstellen lassen, wo g₂ die quadratische Invariante von f₃ ist

(17) g₂ = a₀a₆ — 5 oqa₅ -f I5a₂a₄ — 10a| = pQ3 — 5pu + 10p₂₃.

Stellt man andererseits C₂ explizite auf, so ergibt sich die gewünschte Darstellung

(18)

^2 = C2 + T ff2^2'

Weiter ergibt sich als Koeffizient C₃ von v³ in (Ia) durch explizite Entwicklung in homogenen Koordinaten s₀, slf s₂

(19)

C₃ = a₀s³₀ + a₃s\ -f a₃s\ + 3a₁5^s₁ + 3a₂s₀s\ + 3a₂s*s2 + 3a*>slh + 3a₄5₂s^ + 3a₄s; s₀ + 6a₃s₀s₁s₂.

Die Gleichung C₃ — 0 liefert also gerade die oben schon erwähnte, zu N₃ apolare c₃, die durch die den Wurzeln von f₆ — 0 entsprechenden sechs Grundpunkte auf N₂ geht.

Endlich erhält man für das freie Glied 0₄ in (Ia) ohne weiteres

(20)

<?₄ = 4 • 9 • 9 • N₂\

Damit ist die typische Darstellung der Form Km in der Gestalt (Ia) im einzelnen durchgeführt. Aus (Ia) bestätigt man noch, daß den sechs Kegeln K des Gebüsches G — durch die sechs Grundpunkte f₆(X) — 0 auf Ws — sechs I)₂ auf der Fläche Krn entsprechen. Man bilde zu dem Behuf die ersten Ableitungen der Form Km nach den v.

Man erkennt sofort, daß

verschwindet für v₀ = 0, C₃ = 0

dKm

dv₀

und die drei weiteren Ableitungen für v₀ — 0, N₂ — 0. Die sechs gemeinsamen Lösungssysteme von vQ = 0, C₃ = 0, N₂ = 0 sind aber gerade die Wurzeln von /^(A) = 0.

ü₄ (20) hervor, daß die Ebene v₀ = 0 eine Doppelebene A₂ der Fläche Km ist (s. Nr. 68).

von

Überdies geht aus dem Faktor N₂

67. Die Eummersche Fläche als Projektion vom $₄ aus. Der bisherigen Erklärung der Kummerachen Fläche Km als Bildfläche der Weddleschen Fläche Wd werde jetzt eine solche von ganz anderem Charakter gegenübergestellt.

Nach dem Vorgänge von F. Geiser (s. Art. „Ff¹, Nr. 16) und Zeuthen (s. Nr. 19), die an eine Fz (von einem ihrer Punkte aus) resp. an eine F± mit C₂ (von einem Punkte der C₂ aus) den Tangentenkegel legten, hat C. Segre¹³⁵) auch die dreidimensionale kubische „Fläche“ Ff) im behandelt.

(1)

Sei die Gleichung einer durch die Koordinatenecke An gehenden Ff) F^ = Flx^n + 2FA+Fa = 0,

wo Fr (r — 1, 2, 3) eine quaternäre Form der Ordnung r sei.

Legt man von An aus die Tangenten an die Ff), so erfüllen diese einen „Kegel“ Kf) der Ordnung 6 mit der Gleichung

(2)

K^ = FXF%-Fl — 0.

Im S₃ (xi} xk, xv xm) gedeutet, stellt (2) auch die Spur des Kegels im

135) C. Segre, Torino Atti 22 (1887), p. 791; Torino Mem. (2) 39 (1888). Ygl. G. Castelnuovo, Yen. Ist. A. (6) 5 (1889), p. 1249; (6) 6 (1889), p. 525; (7) 2 (1891), p. 855. In den beiden ersten Arbeiten wird die Graßmannache Erzeugung der Fs (s. Art. „F&‘> Nr. 7) auf den Si (und weiterhin auch auf den Sn) ausgedehnt.

Danach entsteht eine gewisse spezielle Fs im Si durch drei kollinear aufeinander bezogene Netze von S₃, ist also durch eine Gleichung von der Gestalt \ABC\=0, mit Linearformen als Elementen, darstellbar. Eine solche Fs besitzt sechs Z)₂ und es gibt drei verschiedene oo²-Systeme von Geraden, die der Fs angehören. Im besonderen läßt sich die kollineare Zuordnung so wählen, daß noch vier weitere D₂ hinzutreten, womit die Fs in die Segre sehe Fs übergeht.

Die dritte Arbeit enthält eine systematische Untersuchung der Liniengeometrie des S±. Eine Gerade wird durch zehn homogene Koordinaten X>ik~ (xU)ik festgelegt, die an drei unabhängige Relationen gebunden sind.

Yor allem handelt es sich um die linearen Geradenkomplexe K,, sowie um Büschel, Netze, Gebüsche derselben und die damit verknüpften singulären Erscheinungen.

Ein spezieller Kx besteht aus den oo⁵ Geraden, die eine Ebene S₂ treffen.

Yon besonderem Interesse ist die Theorie der Gebüsche von K,. ln einem solchen Gebüsche sind fünf spezielle K, enthalten, von denen vier den letzten mitbestimmen; das ist eine Verallgemeinerung des Segreachen Satzes (im Texte) über die fünf Ebenen cc. Die allen Individuen des Gebüsches gemeinsamen oo² Geraden erfüllen die Segre sehe Fs, die so eine neue Beleuchtung erfährt.

Es wird auch festgestellt, daß die V₃ rational ist, indem deren ^-Schnitten die lineare oo⁴-Schar von F₂ mit fünf Grundpunkten in einem Bild-$s zugeordnet wird.

Umgekehrt legt diese Abbildung behufs Ableitung der Eigenschaften der Vs zugrunde E. Eragoni, Giorn. di mat. 40 (1902), p. 255.

8t dar, also eine Fläche 4. Ordnung P₄

(2')

Ft=zFtFz—Fl- 0.

Auf der F<⁴⁾ liegen oo² Gerade g (s. Nr. 20); durch einen „allgemeinen“ Punkt der Pj⁴⁾, z. B. An, gehen sechs solcher g, die sich durch die gemeinsamen Lösungen der drei Gleichungen

(3)

F1 = 0, Fs — 0, f₃ = 0

bestimmen.

Im S₃ bedeuten diese Gleichungen der Reihe nach eine Ebene E, eine F₂ und eine P₃; die gemeinsamen Lösungen sind also die sechs Punkte Pi (i — 1, . . ., 6), in denen der Schnittkegelschnitt C₂ von E und F₂ die F₃ trifft, und somit die sechs obigen, von An auf der F ausgehenden Geraden gt die Geraden (An, PJ. Da für die Koordinaten eines Punktes Pi die linke Seite von (2') in der zweiten Ordnung verschwindet, so sind die sechs Punkte Pi sechs Knotenpunkte _D₂ der P₄, die auf C₂ liegen.

Umgekehrt läßt sich ersichtlich die Gleichung einer P₄ (im Ss) mit sechs auf einem Kegelschnitte C₂ liegenden P₂ auf die Form (2') bringen. Es gilt also zunächst der Satz:

„Legt

man an eine kubische dreidimensionale Mannigfaltigkeit F^ im $₄ von einem beliebigen Punkte der Ffft aus den dreidimensionalen Tangentenkegel und schneidet diesen mit einem S₃, so ergibt sich eine Fläche 4. Ordnung Fi mit sechs auf einem Kegelschnitt gelegenen D₂. Umgekehrt läßt sich eine solche P₄ auf noch mannigfaltige Art als Tangentenprojektion einer Fim S₄ von einem ihrer Punkte aus auffassen.“

Auch die Kummersche Fläche Km mit 16D₂ besitzt solche Sex-tupel von P₂ und zwar 16 (s. Nr. 66).

Andererseits beachte man, daß, wenn im besonderen die Pj4) Knotenpunkte P₂ besitzt, jeder solche D₂ bei der obigen Tangentenprojektion in einen P₂ der P₄ übergeht.

Soll also im besonderen die P₄ zu einer Km werden, so müßte entsprechend eine F^ im $₄ hergestellt werden, die 10 P₂ besäße; diese würden sich dann in der Tat in zehn weitere D₂ der P₄ projizieren.

Hier setzt die Untersuchung von C. Segre ein.

Er stellt zunächst fest, daß die Maximalanzahl der einer ange-hörigen D₂ eben gleich zehn ist, und daß solche Ff \ und zwar im wesentlichen in nur einer Art, existieren. Damit ist bereits der Satz bewiesen:

„Die Kummersche Fläche Km läßt sich auffassen als scheinbarer Umriß einer im $₄ mit 10 D₂ von einem ihrer Punkte aus.“

Zu einer solchen F^ kann man auf verschiedene Weise gelangen. Die einfachste legt die oo² Geraden g einer Pj⁴⁾ zugrunde.

Man denke sich vier allgemein gehaltene „Ebenen“ F@> im $₄ gegeben, die mit a{ (i = 1, . . ., 4) bezeichnet seien. Damit im $₄ eine Gerade g eine Ebene (in einem Punkte) trifft, ist eine Bedingung notwendig und hinreichend. Es gibt also oo² g, die die vier Ebenen ai treffen. Segre beweist nun den eigenartigen Satz:

„Die oo² Geraden g im $₄, die vier gegebene Ebenen a{ (i = 1, . . „ 4) treffen, treffen auch noch eine fünfte Ebene cc₅, und die zehn Punkte, von denen je einer zweien der fünf Ebenen gemeinsam ist, sind zehn D₂ einer FW, die durch die oo² g erzeugt wird.“

Diese 10 _D₂ der Fif> bilden eine an sich bemerkenswerte Konfiguration. Nach obigem liegen auf jeder der fünf Ebenen a, die offenbar ganz der FW angehören, vier der D₂. Solcher Gruppen von fünf Ebenen gibt es aber nicht nur eine, sondern sechs, zu denen im ganzen 15 Ebenen gehören.

Dementsprechend enthält die F^> sechs oo²-Systeme von Geraden g derart, daß durch jeden Punkt der F^ eine Gerade jedes Systems geht — das sind die eingangs betrachteten sechs Geraden — und in jedem S₃ zwei Gerade jedes Systems liegen. Die läßt sich daraufhin auch erzeugen durch drei „Netze“ (rx), (r₂), (r₃) von S₃, je mit einer der Geraden r als Träger, die derart projektiv verbunden sind, daß sich immer drei Tripel entsprechender S₃ in einer Ebene schneiden, die die Geraden r1} r₂, r₃ trifft.

Die FW geht durch 15 involutorische Kollineationen, deren jede eine Ebene der FW als Achsenebene besitzt, in sich über.

Die als Umriß der FW erscheinende Kummersche Fläche AL tritt

6    TI 1

aber bei dieser Methode zugleich als Brennfläche von Strahlensystemen auf (s. Nr. 69). Es gilt nämlich der Satz:

„Die Projektionen der sechs oo²-Geradensysteme der F|⁴⁾ siud die sechs Strahlensysteme, von denen Km die Brennfläche ist.“

Wie bei der F₃ und Fi mit C₂, stehen die F^ und ihre Tangentenprojektion, die Km, derart in gegenseitiger Beziehung, daß man aus den Eigenschaften je eines der beiden Gebilde die korrespondierenden des anderen ableiten kann.

Verlegt man allgemeiner das Projektionszentrum außerhalb der F^⁴\ so ist der Umriß die allgemeinste F₆ = $₄, die den Schnitt einer F₂ und F₃ zur Kuspidalkurve hat, und 10 _D₂ besitzt, die sich zu je vier auf 15 doppeltberührende Ebenen verteilen. Die Fläche ist Brennfläche für sechs Strahlensysteme (3, 2).

Man projiziere die F^ wiederum von einem ihrer Punkte aus auf einen S₃, andererseits aus einem ihrer D₂ in einen S₃. So gelangt man zu einer ein-zweideutigen Punktverwandtschaft zwischen S₃ und S₃.

Dann ist die Ubergangsfläche eine Fläche 4. Ordnung, aber auch die Doppelfläche; letztere besitzt 9 D₂, die Schnittpunkte je dreier Erzeugenden einer F₂.

Diese Entwicklungen finden einen gewissen Abschluß, wenn man eine Fjf\ sofern sie nur mindestens eine Ebene besitzt, selbst wieder als Projektion einer Mannigfaltigkeit M(von einem ihrfer Punkte aus) ansieht, die die Basis eines Büschels von F^ im S₅ ist, analog Nr. 16 im Art. „Fa“.

Andererseits lassen sich aber die M^> als quadratische Komplexe K₂ des S₃ deuten.

Somit entsteht eine neue Beziehung zwischen den obigen Fif insbesondere der Kummersehsn Fläche Km und den Komplexen K₂.

Insbesondere läßt sich nach dieser Methode ein tetraedraler K₂135a)

135 a) Sind pik = (%y)ik die sechs Koordinaten einer Geraden, zwischen denen also die Relation P=pikp m -\-PnPmk PimPki — ⁰ besteht, so ist ein tetraedraler Komplex Kt — die Gesamtheit der Geraden, die die Ebenen eines festen Tetraeders, etwa des Koordinatentetraeders, nach konstantem Doppelverhältnis schneiden — durch eine Gleichung von der Form

-Kf:==z PikPlm. "f" ^PimPkl ~~ ®

dargestellt. Man deute die pik als Punktkoordinaten xr (r = i, Je, Z, m, n, p) in einem SB. Dann stellen die beiden Gleichungen P — 0, Kt = 0 zwei Über-J^ dar, die eine dreifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit M 4. Ordnung gemein haben.

Projiziert man diese M von einem partikulären ihrer Punkte aus auf einen S4, (Xp — 0) und läßt in dessen Punktkoordinaten xk, xt, Xm, cpn noch gewisse konstante Faktoren eingehen, so läßt sich die Gleichung der Projektion in der Normalgestalt schreiben

Vs = xixkxn — xxxm s = 0, wo s = 2Jx,

Dies ist in der Tat die Segresehe V₃. Einmal erhält man neun _Z)₂, indem man von den beiden Produkten xixkxn und xxxms je zwei Faktoren einzeln gleich Null setzt. Der zehnte _D₂ berechnet sich, indem man diejenige gemeinsame Lösung der fünf, gleich Null gesetzten, ersten Ableitungen von Va nach den x bestimmt, für die keiner jener sechs Faktoren verschwindet. Demgemäß erhält der zehnte J)₂ = E₁ die Koordinaten (1, 1, —1, —1, 1).

Es ist nützlich, die Koordinaten der zehn P₂ in einer Tabelle zusammen

zustellen :

(¹ii)

(²i*>

(3«)

(b'n)

(2f„)

(1*») (² kn) (³Ara)

©©©©©©—|iH

xl

iH tH

so auf einen Doppelraum abbilden, daß dessen Ubergangsfläche die K wird.

Durch Tangentenprojektion der Vs von einem ihrer Punkte aus geht, wie im Texte, eine Km als Grenzfläche hervor. Dieser entspricht rückwärts innerhalb des Kt eine Grenzkongruenz, die daraufhin (s. Nr. 71) E.A. Weiß, Berlin Math. Ges. 27 (1928), p. 48 durch & - Funktionen &(u,v) (p = 2) dargestellt hat Der Gleichförmigkeit halber führe man s als sechste überzählige Koordinate xP ein, so daß man das Matrixschema hat

I Xi xk xn

I xl xm XP

Yon den 15 Ebenen, die je sechs 2)g tragen, erhält man zunächst neun durch gleichzeitiges Nullsetzen je eines x der ersten und zweiten Reihe; eine solche Ebene läßt sich also durch zwei Indizes festlegen, z. B. — 0, xl = 0 durch [z Z]. Die sechs übrigen Ebenen sind gerade die durch den zehnten Dä = Ex gehenden. Deren Gleichungen sind, bei Abkürzungen mittels dreier Indizes, die folgenden:

[7, kl] = [7, nm] [7, nl] = [7, km] [7c, 7 7] = [7c, nm] [k,nl] = [7c, im] [■n, 7 ZJ = [n, k m] [n, kl] — [n, im]

a;*+^ = °» xn + xm = °i xn+xl = °>    +    =

xi+xi = 0, xn + xm = Q,

xn + xl=°, xl+xm = °5 Xi+xi = 0, xk + xm = 0, xk + ar, — 0, xi-\-xm = 0

Auch die 10 _D₂ lassen sich durch zwei Indizes angeben. Zunächst erhält man die Gleichungen von neun der _D₂ durch gleichzeitiges Nullsetzen je zweier x beider Reihen der Matrix. Somit bestimmen die beiden übrigen Indizes den D z. B. (np): Xj =0, xk — 0, xx = 0, xm = 0. Dem zehnten D₂ = E₁ ist das Zeichen (Zm) beizulegen. Zur Vergleichung mit den Bezeichnungen der 15 Ebenen und 10 Di in Nr. 67 dienen die beiden folgenden Schemata:

I. Die 15 Ebenen.

8t

Sk

Skn

Dni

Du Dkl

Dkm Dnm D.m Dim

(il) (km) (np) (im) (kp) (nl) (ip) (kl) (nm) (Im)

Sodann sollen noch in der neuen Bezeichnung die Sextupel der Ebenen angegeben werden, die durch je einen der neun Ds (exkl. Et = (Im)) gehen. Es sind nur zwei Typen zu unterscheiden, je nachdem der Index p auftritt oder nicht. Als Repräsentanten mögen (np) und (il) dienen:

(n p)    [7 Z], [& m];    [7 m],    [7c 7];    [n, 7 7],    [«,7 m];

(il)    [km], [np]’,    \kp],    [nm]-,    [7c, 7Z],    [n, 7Z].

Bei den 15 Ebenen, insofern sie je ein Quadrupel von _D₂ tragen, sind wiederum nur zwei Typen zu unterscheiden, je nachdem die Ebene durch

68. Die 16 D₂ und 16 A₂, syzygetische und azygetisclie Tetraeder der Kumm ersehen Fläche. Normaldarstellungen. Die lineare Konstruktion von H. Weber. Die Kummersehe Konfiguration. Nach Untersuchung einer Reihe von F± mit < 16 D₂ (s. Abschn. X) stieß E. E. Kummer¹⁵⁶) bis zu der nach ihm benannten Fläche mit der Maximalzahl von 16 _D₂ vor. Sie sei wieder mit Km bezeichnet. Unter Benutzung verschiedener Gleichungsformen der Fläche leitet er die Grundeigenschaften ihrer Singularitäten ab.

Es kommt 16 mal vor, daß 6 J)₂ auf einer C₂ liegen, deren Ebene dann eine Doppelebene A₂ der Fläche ist. Umgekehrt kommt es 16mal vor, daß 6 A₂ Tangentenebenen eines Kegels K₂ sind, dessen Spitze ein D₉ der Fläche ist. Die Fläche Km ist also in sich dual.

Bei der verwirrenden Mannigfaltigkeit von Auffassungen und Ergänzungen, deren die Km fähig ist, erscheint es zweckmäßig, eine der einfachsten, als Bildfläche der Weddle&ohen Fläche (s. Nr. 66), in den Vordergrund zu stellen.

Die sechs Grundpunkte des F₂-Gebüsches G seien wieder die Koordinatenecken Ai} ein Punkt A (at), während der letzte Punkt B als Einheitspunkt E{ 1) gewählt werde. Bedient man sich noch der Abkürzungen ars — ar — as, lrs = lr —    (r, s — i, Je, l) und zeichnet

einen der vier Indizes, etwa m, aus, so lautet die Gleichung des Gebüsches G mit den Parametern Xi7 Xk, Xv km

(1)

G =    + «(m) = o,

wo

(2)

xiam(xkaim + xiamk + zmakt), usf.,

| FJO

I    xixlcalaik + xkx^aiak; + x.x.a^

Setzt man dies in (1) ein und ordnet nach den Potenzprodukten der x, so geht (1) über in

(3)

G=2xtxuftu = 0,

E₁ — (Im) geht oder nicht. Als Repräsentanten mögen \n, il] und [il] dienen: [n, il] = [n, lern] I (il), (/cm); (np), (Im) ¹

[•**]

(lem), (np); Qcp), (nm)

Endlich seien noch die sechs Negreschen Pentaeder (s. Nr. 67), deren fünf Ebenen sich zu je zweien in den zehn D₂ treffen, kurz charakterisiert. Diese lassen sich am übersichtlichsten durch fünfreihige symmetrische Matrizes, mit Lücken in der Hauptdiagonale, darstellen. Auch sie zerlegen sieb in zwei Typen von je drei Pentaedern, je nachdem die beiden, durch E₁=(lm) gehenden Ebenen eines solchen dem einen oder dem anderen der beiden Tripel (St, Sm, Stm), (Sin, Skn, Sik) angehören. Ihre explizite Aufstellung darf dem Leser überlassen bleiben.

Es braucht kaum bemerkt zu werden, daß die obigen Typenunterschiede nur darauf beruhen, daß das Indizespaar l, m formal ausgezeichnet worden ist. 136) E. E. Kummer, Berlin Ber. 1864, p. 246, 495.

WO

(4)

fik ^maiaik H⁻ ^ikamaim> fkl ⁼⁼ ^maiakl ~f" ^kiamai fli :== ^makaii H“ ^Uamak fim — amakl 1 fkm ⁼ ^kamaii > fl

— Kamaik'

Die Gleichung der Km ergibt sich durch Nullsetzen der Determinante der quadratischen Form G (3), lautet also136a)

(I)

Km = \ ftu \ = 0

(/;*—o),

wo man noch in der letzten Kolonne und Reihe den gemeinsamen Faktor om unterdrücken kann. Entwickelt man die Determinante in (I) und setzt zur Abkürzung

Xi -finifkl) ^ k -fkrnfli>    ^l - flm.fi

so lautet die explizite rationale Gleichung der Km

= n² + rk + r? ~ 2rirk — 2riri — 2rkri = °-Formal noch übersichtlicher lautet die irrationale Gleichung

Km = Vri + Vrk + Vr, = 0.

Schreibt man hinterher wieder den Buchstaben x statt 2, so zeigt die Ausführung der Produkte r in (5); daß man erhält

ri = Xiakl { Viakl + 0* — Xf)Vim }

= Xi {XmaAl + (Xk — Xfamaimaki) Usf-Abkürzung die Ausdrücke ein

A = ak<,

Bk = amakmaii)

so daß die B an die Identität gebunden sind

7)    B. + B. + B^O,

so lautet die irrationale Gleichung (Ib) der K explizite

(5)

(Ia)

(Ib)

<50

Man führe demgemäß zur

*4» == aiah >

Bi = amaimakl 1

At — aiaijc >

Bl = amairnaik

(Ih)

12Vxr(xmAr + (xs — xt)Br) = 0.

r = i

Hierbei ist die Km auf ein „azygetisches“ Tetraeder bezogen (s. u.).

136 a) Zu einer derartigen irrationalen Darstellung der Km gelangt A. Cayley, J. f. Math. 78 (1871), p. 292, auf Grund der Riemannschen Theorie der Doppeltangenten einer ci. Daraufhin werden sechs — den zweiten Ableitungen von f entsprechende — in zwei Tripel zerlegte überzählige Koordinaten eines Raum-punktes eingeführt, zwischen denen zwei geeignet normierte Identitäten bestehen. Aus der so sich ergebenden irrationalen Darstellung der Km lassen sich die ■Gleichungen der 16 A₂ ahlesen. Eine modifizierte Darstellung gibt Cayley, ib. 94 (1883), p. 270.

Encyklop. <1. math. Wissensch. III 2.

Nach Gayley¹³⁷) läßt sich die Gleichung (Ib) so umformen, daß man die Gleichungen der 16 A₂ ohne weiteres ablesen kann. Führt man neue Variable y derart ein, daß man hat

(8)

Vi ■ 24 ‘ Vi • ym = Ci%i: Ghxk: Ctxt: — CtCkCtxmt

so geht (Ib) über in

(Ib')

^YyrBr{yrC,-y.ar) -yf = 0.

Es werden dann die Gleichungen von 8 A₂

' 24 = 0,

Vi i Vk | Vi _ n * *t ⁺

KVk^l Vl

*4 = 0, Vi = ym = 0;

(9)

Vm

— 0, usf.

Die übrigen 8 A₂ ergeben sich hieraus gemäß einer gewissen Vertauschungsregel.

Man führe nämlich noch Größen Gr', C ” ein gemäß

cr = c;c:

(10)

(r = i, 1c, l),

mit den Identitäten

(10')

2c;=o, 2c;'=o,

so hat man nur in den obigen Gleichungen (9) die Cr mit den Gr' resp. G ” zu vertauschen, um die weiteren 8 A₂ zu erhalten.

Wir kommen zu den Beziehungen der 16 _D₂ und 16 A₂ der Km zu den Grundpunkten und Geraden der Wd. Die Punkte der Km und Wd waren nach Nr. 66 (1, l)-deutig aufeinander bezogen.

Läßt man die beiden Bäume der Wd und Km zusammenfallen und bezeichnet die sechs Grundpunkte des F₉- Gebüsches G mit 1, 2,. . ., 6, so entsprechen diesen auf der Km 6 Z>₂: (1), (2), . . ., (6), dagegen die zehn übrigen den zehn Ebenenpaaren (ikl), (mnp), usf. Man kann daher

diese 10 _D₂ der Km entsprechend bezeichnen mit

mit (ikl) resp. (mnp), usf. Hält man hier etwa den ersten Index i — 1 fest, so entsprechen den zehn Kombinationen zu je zweien der fünf übrigen gerade die 10 D₂.

Durch die sechs Grundpunkte i,...,p ging eine bestimmte C₃. Ist (i, k) irgendeine der 15 Verbindungsgeraden je zweier der sechs Grundpunkte, so geht durch C₃ ein jF₂-Netz N, und durch (i, k) ein ein Netz Nik von F₂ innerhalb des Gebüsches G.

Diesen 16 Netzen entsprechen die 16 A₂ von Km, jeweils als Ort der Punkte, die den F₂ eines Netzes entsprechen.

oder noch kürzer

Diese 16 A₂ berühren die Km je längs einer C₂ und enthalten je sechs J)₂ auf einer solchen.

So gehen durch die C₃ die sechs Kegel K₂, die aus je einem der sechs Grundpunkte die übrigen projizieren; die Ebene A₂(0), die dem .F₂-Netz JSf entspricht, enthält die den sechs K₂ entsprechenden D₂. Ferner ist die Gerade (i, Je) in vier der zehn Ebenenpaare enthalten und liegt auf zweien der sechs K₂', die A₂(i,Jc) enthält also die sechs jenen besonderen F₂ entsprechenden Z)₂. Dual ist jeder D₂ in sechs der A₂ enthalten.

2-

Durch jede der 15 Verbindungslinien der sechs D₂, die einer A2 angehören, geht immer noch eine weitere A₂ hindurch. Die 120 Verbindungsgeraden von je zwei der ü₂ fallen zusammen mit den 120 Schnittlinien je zweier der A

Damit lassen sich die gegenseitigen Inzidenzen der 16 D₂ und 16 A₂ in einem einfachen Schema festlegen.

In der Ebene A₂(0) liegen die D₂

(0)1

(i), (Je), (l), (m), 0), O); und in irgendeiner der 15 A₂(iJe) die J)₂

(He) j (i),    (Je)', (iJel) = (mnp), (iJcm) — (Inp), (iJen) — (Imp),

(iJep) = (Imn).

Umgekehrt gehen durch einen JD₂(i) die 6 A₂

(0

(0), (iJe), (il),    (im),    (in), (ip)

und durch einen B₂(iJeT) = J)₂(mnp) die 6 A2 (iJel) = (mnp) \ (iJe), (il),    (Jel)',    (mn),    (mp),    (np).

Beim ersten Schema gehören die 6 J)₂ je einer C₂ an, beim zweiten die 6 A₂ als Berührungsebenen einem Kegel K₂.

Hieraus geht hervor, daß die Schnittachse irgend zweier A₂ zwei jD₂ trägt, und daß dual durch den Verbindungsstrahl irgend zweier D2 zwei A₂ gehen.

Es zeigt sich das deutlich an den beiden folgenden Schemata wo bei jedem drei Typen zu unterscheiden sind.

Die Achse [(0), (*&)] trägt die beiden J)₂ (i), (Je)',

„ (ihn), (iJep)',

„ (i),(iJel).

Durch den Strahl \_(i), (Ä)]

,    w    „    ko,

»    »    V    (Hern)] „    „

gehen die beiden A₂ (0), (iJe)'

v v v » (ßfyt

» (^0, (np).

Nunmehr seien die syzygetischen und azygetischen Tetraeder be

trachtet.

tlO*

1712 IllClOb. W. Fr. Meyer. Flächen vierter und höherer Ordnung.

Nach H. Weber¹³⁸) existieren zwei ausgezeichnete Arten von Tetraedern, die sich aus ,Z)₂ und A₂ hersteilen lassen. So bilden die vier Punkte (i), (k), (1), (ikl) ein Tetraeder T1? dessen Ecken Z)₂ und dessen Seiten A₂ sind; diese A₂ sind (0),(ik), (il), (kl). Solcher „azygetischer“ oder „Bosenhainscher“ Tetraeder gibt es 80. Auf ein solches Tetraeder T1 als Koordinatentetraeder war oben in (Ib) die Gleichung der Km bezogen.

Andererseits betrachte man ein Tetraeder T₂ vom Seitentypus [(0), (ik), (Im), (np)]. Hier sind die Seiten A₂, die Ecken aber keine D₂. Jede der sechs Kanten trägt zwei _D₂ nach der Tabelle

(0), (ik) | (0, (*),

(0), Qm) I Q), (m),

(0), (np)    (n), (p)

(ik), Qm) (ikp) — Qmn), (ikn) — (Imp),

(ik), (np) (ikl) = (npm), (ikm) — (npl),

' Qm), (np) \ Qmi) = (npk), Qmk) — (npi).

Es verbeiben also noch als die vier letzten Zh (iln) = (kmp), (ilp) = (kmn), Qmn) = (klp), (imp) = (kln). Diese vier ü₂ bilden die Ecken des zu T₂ „reziproken“ Tetraeders T₂'. Dessen Ecken sind Z)₂, während seine Seiten keine A₂ sind. Durch dessen Kanten gehen dual je zwei A₂, daß sind eben die, die nach Ausschluß der Seiten-A₂ von T₂ noch übrig bleiben.

Diese Tetraeder T₂,T₂' heißen „syzygetische“ oder„CröpeZsche“ Tetraeder. Im ganzen gibt es 60 solcher Tetraeder, oder auch 30 Paare (T₂, T₂r).

Zwei reziproke syzygetische Tetraeder umfassen zusammen alle 16 D₂ und 16 A₂.

Andererseits lassen sich die azygetischen Tetraeder Tt in Gruppen von vieren anordnen, deren Ecken und Seiten alle 16 D₂ und 16 A2 erschöpfen. Eine solche Anordnung ist z. B.

(p)    (imn)    (ilp)    (ikp).

138) H. Weber, J. f. Math. 84 (1878), p. 332.

Durch irgendeinen der 16 D₂ des ersten Schemas gehen je die sechs A₂, deren Symbole eine Zeile und eine Spalte bilden, ausgenommen das der Zeile und Spalte gemeinsame Element. Analog liest man aus dem zweiten Schema die in einer A₂ liegenden sechs D₂ ab.

Jede Zeile und jede Spalte des ersten Schemas ergibt die Seiten, und die analoge Zeile oder Spalte des zweiten Schemas die Ecken eines azygetischen Tetraeders. Eine solche Anordnung der 16 D₂ und A₂ heißt eine „Viervier“

Wählt man ein syzygetisches Tetraeder als Koordinatentetraeder, so erhält die Gleichung der Km nach Kummer¹³⁹) die Gestalt (s. auch Nr. 71)

(11)

<P² — 1 ^Tixixkxlxm = 0,

WO

(12)

9> =

J2V + 2j?ak (xtxk + xtxj,

k

l = ^a² — 1 — 2 akatam.

Aus der Kummerschen Gleichung (11) der Km lassen sich die Inzidenzeigenschaften der aus den 16D₂ und 16 A₂ bestehenden Figur direkt ableiten. Es zeigt sich, daß diese Eigenschaften lediglich von der relativen Lage einer Fläche 2. Ordnung zu einem Tetraeder (Vierflach) T₂, das als Koordinatentetraeder gewählt werde, oder auch, was auf dasselbe hinauskommt, von den zwölf Punkten, die cp aus den Kanten von T₂ ausschneidet. Dabei lassen sich diese zwölf Punkte auch ohne Bezugnahme auf eine Fläche cp direkt und elementar konstruieren.

Da die Indizes i, Je, l, . . . bereits für die Z)₂ und A₂ Verwendung finden, seien Punktkoordinaten mit xr, xs, xt, xu bezeichnet, also die Ecken von T₂ mit Ar, As, At Au, und die entsprechenden Ebenenkoordinaten mit vr7 vs, vt, vu.

Unter der Koordinate irgendeines Punktes auf einer Kante von T₂, z. B. (xt= 0, xu == 0), sei das Verhältnis xrs= — verstanden, wo

die Indizes stets in natürlicher Folge genommen seien. Wählt man einen beliebigen Raumpunkt als Einheitspunkt E(l, 1, 1, 1), und projiziert diesen mittels einer Ebene durch irgendeine Kante auf deren Gegenkante, so heiße die Projektion auf letzterer deren (positiver) Einheitspunkt; der zugehörige negative Einheitspunkt bestimmt sich dadurch, daß das Paar der beiden Einheitspunkte harmonisch liegt zum Eckenpaar der Kante.

Bezieht man die Punktreihen irgend zweier Gegenkanten, z. B. (xt =0, xu— 0) und (xr =0, xs = 0) derart projektiv aufeinander, daß sich die in natürlicher Folge genommenen Ecken Ar und As, At und Au entsprechen, sowie die beiden positiven (und damit von selbst auch die beiden negativen) Einheitspunkte, so besitzen irgend zwei zugeordnete Punkte gleiche Koordinaten werte xrs= xtu, und umgekehrt.

Die Fläche <p werde zunächst mit den drei in irgendeiner Ebene von T₂, etwa xu— 0, gelegenen Kanten geschnitten. Nimmt man als Muster die Kante (xt =0, xu — 0), so sind die Koordinaten der beiden Schnittpunkte die Wurzeln a, a der Gleichung

zr² + 2axrxt -f x* = 0,

so daß a, a die Werte — a+r®²— 1 erhalten, wo au = 1, a -f- a = — 2 a ist. Dabei entspreche der Wert a einem beliebig, aber fest gewählten Vorzeichen der Quadratwurzel.

Analoges gelte von den Punktepaaren ß, ß', resp. y, y der beiden anderen Kanten. Die Relation au = 1 besagt geometrisch, daß das Paar (a, a) harmonisch liegt zum Paare der Einheitspunkte auf der Kante usf. Vermöge der obigen Projektivitäten entstehen dann als Schnittpunkte von cp mit den drei Gegenkanten die gleich zu bezeichnenden Paare (a, a) usf.

Umgekehrt lassen sich diese sechs Punktepaare auf den Kanten von T₂ direkt und unabhängig von der Fläche cp bilden.

Man markiere auf den drei Kanten irgendeiner Ebene von T₂, z. B. xu — 0, beliebig drei Punkte a, ß, y (sc. außerhalb der Ecken). Nach Wahl des Einheitspunktes E sind dann die weiteren neun Punkte auf Grund der obigen harmonischen Konstruktionen festgelegt. Bei gegebenem T₂ hängt somit die ganze Figur von sechs Konstanten ab. Nunmehr werden die zwölf Kantenpunkte zu gewissen zwölf D₂ einer Km gemacht.

Die Indizes r, s, t, u seien so gewählt, daß der Reihe nach die Ebenen xu = 0, xt = 0, xs = 0, xr= 0 mit den A₂-Ebenen (0), (ilc), (Im), (:np) zusammenfallen, d. h. mit den Ebenen irgendeines syzyge-tischen Tetraeders.

Auf Grund der früheren Inzidenzschemata lassen sich dann die Koordinaten der zwölf auf den Kanten von T₂ gelegenen _D₂, sowie der zwölf, sie je zu vier verbindenden A₂-Ebenen („Inzidenzebenen“) angeben. Dies zeigen die beiden folgenden Tabellen, wo der Einfachheit halber nur die Argumente a, ß, y verwendet sind.

(A) Tabelle der Raumkoordinaten der zwölf Z)₂ auf den Kanten von T„.

xs

xr

(0

I (*)

(!) (m)

0)

O)

(ihl) (imn) (ihn) (ihp) (Um) (inp)

(B) Tabelle der Koordinaten der zwölf Inzidenzebenen.

Vt

vr

(ü)

~ß

aß

(hm)

aß

~ß

(in)

ay

(hp)

ay

{ln)

~ß

ßy

(mp)

-ß

ßy

(hl)

aß

-ß

(im)

~ß

aß

(hn)

ay.

(ip)

ay

"Os

Die vier nocii fehlenden D₂: (imp), (iln), (Up), (-imn) bilden die Ecken Aß, Aß, Aß, Au' des zu T₂ reziproken Tetraeders (Vierecks) T₂.

Auf Grund der Tabellen (A) und (B) lassen sieb die Koordinaten der vier D₂ berechnen. Setzt man zur Abkürzung

A = a -f- ßy, B — ß -f- ay, f = y aß, A = aßy -j- 1, so sind die Koordinaten der D₂ in der folgenden Tabelle enthalten.

(C) Tabelle der Koordinaten für die Ecken des reziproken

Tetraeders T₂'.

xr

xs

Xt

xu

(imp) = Aß

(iln) = Aß

(Up) = a;

(imn) = Aß

Die Matrix der Koordinaten ist symmetrisch und bat vier gleiche Diagonalelemente A. Faßt man das bisherige zusammen, so bat man den Satz:

„Man wähle einen beliebigen Raumpunkt E als Einbeitspunkt eines Koordinatentetraeders T₂ mit den Ecken Ar, Ar, At, Au, und bestimme durch Projektion die sechs positiven Einheitspunkte auf den Kanten und damit auch die sechs negativen.

Sodann markiere man auf den drei Kanten in irgendeiner Ebene von T₂, z. B. xu= 0, drei beliebige Punkte a, ß, y nebst den drei zugehörigen a, ß' y derart, daß je ein Paar (a, a) usf. harmonisch liegt zum Paar der Einheitspunkte auf der Kante. Vermöge geeigneter projektiver Zuordnung der Punkte je zweier Gegenkanten von T₂ ergeben sich auf den drei Gegenkanten der obigen drei weitere Punktepaare mit denselben Koordinaten (a, a') usf. In jeder Ebene von T2 liegen die drei Punktepaare auf einem Kegelschnitt C₂, und diese vier C₂ gehören einer bestimmten Fläche zweiter Ordnung 90 an.

Es existieren dann zwölf Inzidenzebenen derart, daß immer vier der obigen zwölf Punkte, auf zwei Paaren von Gegenkanten, einer solchen Ebene angehören. Diese zwölf Inzidenzebenen gehen sechsmal zu zweien durch die Kanten eines zweiten Tetraeders T₂' mit den Ecken Aß, Aß, Aß Aß. Die zwölf Punkte, zusammen mit den vier Ecken von Tß, bilden die 16 E₂, und die zwölf Ebenen, zusammen mit den vier Ebenen von T₂, die 16 A₂ einer bestimmten Eummer-schen Fläche Km, für die T₂ und T₂' reziproke syzygetische Tetraeder sind.“

Zur Bestimmung dieser Km dient folgende Regel. Es gibt ein Büschel B von F±, die die Ebenen von T₂ längs der Kegelschnitte C2 berühren. Greift man in B dasjenige Individuum heraus, das irgendeine Ecke von Tg⁷ enthält und damit von selbst die vier Ecken von J₂' als D₂ besitzt, so ist dieses Individuum die Kummersche Fläche Km mit den obigen 16 Punkten und 16 Ebenen als Z)₂ und A₂.“

Mit Rücksicht auf die Reziprozität der beiden Tetraeder T₂ und T₂' wird man T₂⁷ als ein neues Koordinatentetraeder (xr\ x', x't, xu') einführen, wo die Wahl des neuen Einheitspunktes E' noch Vorbehalten bleibe.

Die einfachste aller Koordinatentransformationen, die T₂' in T2 überführen, lautet auf Grund der Tabelle (C)

(D)

• qxt = Axr' + A»/ + Bx' + T xj QXS — kx' -f- A#/-j- Tx' -j- Bxu'

QXt == Bxr' -f- Tx' -f- Axt~\~ l\xu'

■ QXU= Vxr' + B<+ Az/ + Axu'.

Behufs Umkehrung hat man die vier verschiedenen Minoren der Koeffizientendeterminante von (D) zu berechnen. Man führe die zu den A, A, B, T „konjugierten“ Werte A', A', B', U ein gemäß

(E) A'= ccßy— 1, A' = a — ßy, B'= ß — ay, V — y — aß,

so daß umgekehrt die zu den letzteren konjugierten Werte wieder die A, A, B, T werden.

Dann ergibt sich, daß die Minoren von A, A, B, T in (D) eben den konjugierten Größen (E) proportional sind.

Damit erhält man als Umkehrung der Koordinatentransforma

tion (D)

(D⁷)

Q'xr' = A'xr -j- A'xs -[- B'xt -f- T xu q'x' = Kxr -f- A'xs + Vxt + B'xu Qrxt' = B'xr -}- r'xs -j- A'xt-\- A xu q'xu' — r'xr -j- B'xs -f- Kxt -j- A'xu.

Die Reziprozität der beiden Tetraeder T₂, T₂' tritt in der Struktur von (D) und (D⁷) deutlich hervor; die alten Koordinaten der Ecken von T/ sind konjugiert zu den neuen Koordinaten der Ecken von T₂. Man sollte daher lieber die beiden Tetraeder als „konjugierte“ statt als „reziproke“ bezeichnen.

Überdies liest man aus (D) und (D⁷) ab, daß die Einheitspunkte E, E' der beiden Tetraeder T₂, T/ zusammenfallen.

Man bestimme jetzt die neuen Koordinaten der zwölf D₂ auf den Kanten von T₂. Es genügt, als Muster etwa den Punkt (?’) auf der

Kante xt — 0; xu = 0 mit der Koordinate xrs= cc zu betrachten. Aus (D') folgt für die neuen Koordinaten von (i)

(F)    (0

Xr

• x» : xt = xü

= «A' -f A': aA' -f A': aB' + T : «r + B'.

Nach Einsetzung der Werte von A', A', B',* P aus (E) vereinfachen sich die rechten Seiten von (F), so daß (F) übergeht in

(Fi)

#: x't : x;

: — y : — ß.

Vergleicht man dies mit der Tabelle (B), so erkennt man, daß die neuen Koordinaten von (i) übereinstimmen mit den alten Koordinaten der Inzidenzebene (im). Fährt man so fort, so ergibt sich, daß vermöge der Korrelation

(GO

ff'v/ = xx, oder auch <?u; = xj

(X = r, s, t, u)

2-

die neuen resp. alten Koordinaten der 16 JD₂ übereinstimmen mit den alten resp. neuen Koordinaten der 16 A

Dies läßt sich noch genauer verfolgen. Die Tabellen (A) und (B) zeigen, daß sich die zwölf Punkte _Z)₂ auf den Kanten von T₂ in drei syzygetische Tetraeder vom Typus T₂ zerlegen, derart, daß bei jedem immer nur eines der drei Argumente cc, ß, y auftritt, und entsprechend die zwölf Inzidenzebenen A₂ in drei syzygetische Tetraeder vom Typus T/, derart, daß immer gerade die beiden anderen Argumente auftreten. Je eiues der ersteren Tetraeder ist reziprok zu dem entsprechenden letzterem, und jedes dieser drei Tetraederpaare geht ineinander über vermöge der Korrelation (G).

Verbindet man dies mit dem früher eingeführten BegrifF einer „Viervier“ und seiner Reziproken, so ergibt sich durch Zusammenfassung der Satz:

„Zerlegt man die Figur der 16 D₃ und 16 A₂ einer JTwmwerschen Fläche Km auf irgendeine der 20 gleichberechtigten Arten in eine Viervier syzygetischer Tetraeder und ihre reziproke, so existiert eine bestimmte Korrelation, die jedes der vier Paare reziproker Tetraeder ineinander überführt. Wählt man irgend eines dieser vier Paare als ein Paar von Koordinatentetraedern mit demselben Einheitspunkt, so läßt sich die Korrelation in der Normalform (G) darstellen.“

Die auf ein Tetraeder T₂' bezogene Klassengleichung139a) der Km ist also genau von derselben Form, wie die auf ein Tetraeder T₂ bezogene Ordnungsgleichung.

139 a) Eine direkte Ableitung der Klassengleichung findet sich bei A. Cayley und J. C. Sharp, Ed. Times 11 (1884), p. 110.

Man vergleiche die obigen, auf dem ursprünglichen Tetraeder T2 als Koordinatentetraeder beruhenden Rechnungen mit den ergänzenden der Nr. 59, die an das Koordinatentetraeder T₂' als ursprüngliches anknüpften.

Wir gelangen zur Weber-Schroeterschen linearen Konstruktion der 16 D₂ aus sechs derselben. Nach H. Weber¹³⁸) lassen sich aus gewissen sechs der 16 D₂ die übrigen linear konstruieren, was H. Schröderuo) näher ausgeführt hat.

Diese Konstruktion, unter Verwendung einiger Vereinfachungen, ist folgende. Aus den 16 D₂ lassen sich sechs solche herausgreifen, die ein eigentliches Sechsek bilden (von dem keine vier Ecken inzident sind), z. B.:

(13) (7), (7c), (7), (ihm) = (Inp), (ilm) = (hnp), (klm) = (inp).

Jeder weitere Z)₂ aber ist mit dreien in (13) inzident.

zunächst durch Verbindung

man

Aus den sechs _D₂ in (13) leitet acht A₂ ab, nach dem Schema

(o) = [(*•), (*), m

(ik) = [(7), (7c), (ikn)],

W“K0; (0, 0^)1

(14)

(kl) = [(k),    (l),    (klm)],

((im) = [(7), (imk), (iml)],

< (km) = [(7c), (Jcml), (7cm7)], ((7,w) ₌ [(7)₇ (lmk), (Imi)],

- (np) = [(npi), (npk), (npl)].

Hieraus gewinnt man wieder zwei weitere _D₂, (m) und (ikl), als Schnittpunkte dreier Ebenen

(15)

(ikl) = [(ik), (77), (kl)],

(m) = [(7 m), (km), (Im)].

Damit sind jetzt acht D₂ und acht A₂ bekannt.

Um zu den beiden weiteren Z>₂, (n) und (p), zu gelangen, betrachte man in der Ebene (0) die vier bekannten D₂ (7), (k), (l), (m). Auch die Verbindungsgerade cnp der beiden gesuchten D₂, (n) und (p), kennt man als Schnittlinie der A₂-Ebenen (0) und (np).

140) H. Schröter, J. f. Math 100 (1887), p. 231. Eine einfache lineare Konstruktion gibt auch Th. Beye, J. f. Math. 86 (1878), p. 209. Ausgehend von einem (räumlichen) Sechseck legt er den Satz zugrunde, daß durch ein Fünfeck ein Polarsystem bestimmt wird. Von den Eigenschaften der KummerBchen Konfiguration wird hierbei nichts vorausgesetzt, vielmehr werden jene aus der Konstruktion selbst hergeleitet.

Nun sollen die sechs D₂ in der Ebene (0) einer c₂ = c^¹'^ an

gehören.

Das Kegelschnittbüschel mit den vier Grundpunkten {%), (k), (T), (m) schneidet daher auf der Geraden cnp eine Jnvolution J aus, der das gesuchte Paar (n), {p) als Elementenpaar angehören muß. Diese Überlegung wiederhole man entsprechend für die Ebene (np). In

dieser liegen die vier bekannten D%

(16) (npi) = {Mm), {npk) = {Um), {npl) = {ikm), (npm) = {iM).

Wiederum sollen diese vier Punkte mit den beiden Restpunkten {n), {p) einer c₂'— c₂'(nP) angehören. Legt man daher ein zweites Kegelschnittbüschel in der Ebene (np) mit den vier Punkten (16) als Grundpunkten, so schneidet dieses aus der Geraden cnp ebenfalls eine Involution J' aus, der das gesuchte Paar {n), {p) als Elementenpaar angehören muß. Damit ergibt sich aber das gesuchte D₂-Paar (n), {p) auf der Geraden cnp als das den beiden Involutionen J und J' gemeinsame Punktepaar, das sich in diesem Falle linear konstruieren läßt.

Die noch fehlenden I)₂ und A₂ erhält man nunmehr ohne weiteres je als Schnittpunkte von drei bekannten A₂-Ebenen, resp. als Yerbindungsebenen von drei bekannten D₂.

Hiermit ist die gewünschte lineare Konstruktion geleistet. Man beachte noch, wie sich bei Entwicklung dieser Konstruktion die der Reihe nach auftretenden 16 D₂ und 16 A₂ von selbst zu einer Yiervier auf bauen. Es genüge die Betrachtung der D₂. Vermöge (14) und (15) war man zu acht bekannten Z>₂ gelangt

(17)

{%), {k), (J), {ikl); {m), {ikm), (Um), {1dm).

Diese beiden Quadrupel bilden bereits zwei azygetische Tetraeder. Ordnet man die acht übrigen, nunmehr ebenfalls bekannten J)₂ in zwei Quadrupeln wie folgt

(170

{ikn), {iln), (imn), (p),

(ikp), {ilp), {imp), {n),

so bilden diese wiederum zwei azygetische Tetraeder, und in (17) und (17') zusammen hat man die in Rede stehende Yiervier.

Die Figur der 16 D₂ und 16 A₂ wird als „Kummersche Konfiguration“ bezeichnet. Diese ist weiterhin, unter den mannigfaltigsten Gesichtspunkten, auch ganz unabhängig von der Kummerschen Fläche Km, weiter verfolgt worden.¹)

69. Liniengeometrisclie Behandlung der Kummersehen Fläche. Die Kummersche Fläche als Singularitätenfläche eines quadratischen Komplexes und als Brennfiäehe einer quadratischen Kongruenz. Die Fläche Km tritt unter zwei Gesichtspunkten in der Liniengeometrie auf, einmal als Singularitätenfläche quadratischer Komplexe K₂, andererseits als Brennfläche gewisser quadratischer Kongruenzen ^

Ein quadratischer Komplex K₂ wird nach J. Plüclcer¹⁴²) durch eine quadratische Gleichung zwischen Linienkoordinaten geliefert. Hieraus geht hervor, daß die durch irgendeinen Punkt P laufenden Geraden von K₂ die Kanten eines quadratischen Ordnungskegels sind, und dual die in irgendeiner festen Ebene E gelegenen Geraden von Kg die Tangenten eines Klassenkegelschnitts sind.

Legt man jetzt dem Kegel resp. Kegelschnitt die Bedingung auf, zu zerfallen — in ein Paar von Ebenen resp. Punkten —, so ist der Ort der Punkte P eine Fläche 4. Ordnung P₄, und die Enveloppe der Ebenen E eine Fläche 4. Klasse P₄.

Aber diese beiden Flächen fallen nach F. Klein¹⁴³) zusammen, und zwar in eine in sich duale, allgemeine Kummersche Fläche Km, und diese heißt daher die „Singularitätenfläche“ des Komplexes K₂. Die Km erscheint zugleich als Singularitätenfläche von oo¹ K₂ (siehe Nrr. 70, 71).

Die Gleichung der Km geht direkt aus irgendeiner der 15 gleichberechtigten Normalgleichungen des K₂ hervor. Die Km ist gemäß der Definition der Singularitätenfläche der Ort der Punkte, deren Komplexkegel in ein Ebenenpaar degeneriert. Für pik = {xy)ik lautet eine Normalgleichung des K₂

(1)    ^2 = anPv2 + • • • + ^34^34    2ap₁₂pu -j- 2&£>g₃pi4

¹

F. Klein, Math. Ann. 2 (1869), p. 198; 5 (1872), p. 295; 27 (1886), p. 106. E. Caporali, Rom Line. Mem. (2) 1878. Th. Heye, J. f. Math. 86 (1878),

+ 2^31^24= 0.

Man denke sich nach den y geordnet und dann die Diskriminante A (y) — A gleich Null gesetzt. Es ist A eine dreireihige Determinante p. 84, 209. jR. de Paolis, Rom Line. Rend. (4) 6₂ (189 0), p. 3. E. Ciani, Giorn. di mat. 34 (1898), p. 177; Ist. Lomb. Rend. 35 (1897), p. 285; Giorn. di mat. (36) (1898), p. 68; Ann. di mat. (3) 2 (1898), p. 53. V. Martinetti, Giorn. di mat. 34 (1896), p. 192; 35 (1897), p. 235; Palermo Rend. 16 (1902), p. 196. H. E. Timerding , Math. Ann. 54 (1901), p. 498. L. Berzolari, Rom. Line. Rend. 16₁ (1907), p. 726; Palermo Rend. 24 (1907), p. 1.

142)    J. Plüclcer, Neue Geometrie des Raumes 1 (1868); 2 (1869), hrsg. von F. Klein, Leipzig. Bezüglich der im folgenden zur Verwendung kommenden liniengeometrischen Hilfsmittel sei auf den Art. III C 8, K. Zindler, Algebraische Liniengeometrie, verwiesen.

143)    F. Klein, Math. Ann. 2 (1870), p. 218.

1722 IIIC 10 b. W. Fr. Meyer. Flächen vierter und höherer Ordnung, von der Struktur

(2)

A = a₁₂x\ + al3x\ + auxf, — a₁₂x₂x ₂ + (b — c)x₃x±, — a₁₃xtx₃ + (a — b)x ₂xi

Entwickelt man rechts, und führt noch n£ue Koordinaten X{ ein vermöge

-^i — Xi Vaikauaim>

(3)

so ergibt sich die Gleichung der Km in der einfachen Form

(4)    =    X?, + XIXJ) + vX₁XsXsXi = 0.

Dies ist aber gerade die Struktur der Göpelschen Relation zwischen vier ff- Funktionen (s. Nrr. 69 u. 71).

Auf andere Weise geht Cayleylu) vor, der die Kenntnis der 16 D₂ voraussetzt (s. Nr. 68). Er zeigt zunächst, daß sich die Koordinaten der 16 D₂ der Km hei geeigneter Wahl des Koordinatentetraeders durch nur vier Größen ai} ak, al} ccm ausdrücken lassen.

Man gehe von der natürlichen Anordnung (af, ak, av am) aus, und leite aus ihr durch Umstellung die drei weiteren her

i.ak> ail am> ai)> iav am1 ai> Uk) ?    aV ak> Ki) •

Aus jedem dieser vier Quadrupel gehen drei andere nach der nämlichen Regel hervor: Man halte das erste Element fest und ändere von je zweien der drei folgenden das Vorzeichen, z. B. beim ersten Quadrupel

(aO akl aV am)) (Ki> ^kl ai> arn)l    KV    ttm) f

(ai> ak) ai> am)‘

Dann hat man in diesen 16 Quadrupeln gerade die Koordinaten der 16 D₂. Gayley bildet dann direkt die Gleichung der Km. Führt man noch mit JBorchardt (s. Nr. 71) gewisse lineare Verbindungen p, g_, r, s der Koordinaten als neue ein, so erkennt man, daß die Form der Cayley&cheTX Gleichung keine andere ist als die ursprünglich von Kummer aufgestellte (s. Nr. 68)

(5)

(6)

0²— 16 Kpqrs — 0, wo, für a, b, c als Konstante, 0 und K die Ausdrücke sind 0=J£p² +    2 a (ps + qr),

K=a*+b²-\- c²—2abc— 1.

Sei g eine nicht zu K₂ gehörige Gerade, so wird g von unend-vielen Geraden von K₂ getroffen, die man nach obigem entweder in

144) A. Cayley, J. f. Math. 73 (1871), p. 292.

Scharen von Kegelschnittstangenten oder von Erzeugenden quadratischer Kegel ordnen kann, so umhüllen¹⁴⁵) diese Treffgeraden eine „zu g gehörige Plückersche Komplexfläche“. Es soll deren Gleichung gebildet werden.

Für pik — y^k— ykzi sei die Gleichung des Komplexes K₂

CO

= <P(Ptt) = o.

Ist weiter (w) irgendein Raumpunkt, so betrachte man einen laufenden Punkt (z -f- Aw) — (A) auf der Geraden {(#), (w)). Der Komplexkegel dieses Punktes (A) ist dargestellt durch

= 0,

(8) <p {Vi{zk +    — Vhißi + ^wi)} — Vzz 4“    4-

eine in den y quadratische Gleichung, die durch das Wertsystem (z -f- Xw) doppelt erfüllt wird; andererseits läßt sich (8) auch als eine in X quadratische Gleichung ansehen.

Bildet man in letzterem Sinne die Diskriminante Dk bez. X und setzt sie gleich Kuli

(9)

D = <Pzz<Pww — faO* = ⁰> so hat man die Komplexfläche; sie ist yon der Ordnung 4 und gemäß der dualen Natur der Linienkoordinaten auch von der Klasse 4.

Die acht Grundpunkte des P₂-Netzes cpzz— 0, <pzw— 0, cpww— 0 sind D₂ der Fläche; durch sie gehen die Komplexkegel der Punkte von g. Es ist also g eine Doppelgerade der Fläche, die Punkte in ihr sind Doppelpunkte ihrer ebenen Schnitte, und die Ebenen durch sie Doppelebenen ihrer Berührkegel.

Den acht J)₂ entsprechen dual acht Doppeltangentialebenen A₂, die längs Kegelschnitten berühren und von den Komplexkegelschnitten in den Ebenen der Geraden berührt werden. Für eine Ebene durch g und einen der D₂ reduziert sich der Komplexkegelschnitt auf den Punkt P₂ und einen weiteren Punkt, d. h. die acht D₂ liegen viermal zu zweien in Ebenen durch g. Entsprechend gehen die acht A₂ viermal zu je zweien durch Punkte auf g. Jene sind die singulären Ebenen E1?. . ., E₄, diese die singulären Punkte Elf . . ., E± von g.

Die Verbindungslinien s{ der den Ef angehörigen Paare (i, i) von D₂ treffen g in vier Punkten Pt.; der zu Pi bez. der beiden D₂ vierte harmonische Punkt sei P/. Dualistisch seien <?f die Schnittlinien der durch die Ei gehenden Paare der A₂: \i, i'].

Die A₂ enthalten je vier D₂, und durch die P₂ gehen je vier A₂. Dann lassen sich die acht D₂ den acht A₂ mittels linearer Komplexe

145) J. Flucher¹**), 1, p. 168f. Als eine spezielle Fi mit einer g (s. Nrr. 33, 36) wird die Komplexfläche auf eine Ebene abgebildet von F. Klein, Math. Ann. 2 (1869), p. 371; vgl. A. Cayley, London Math. Soc. Proc. 3 (1871), p. 281.

(algebraisches) quadratisches Strahlensystem (Kongruenz) ist definiert als Gesamtheit von oo² Geraden g derart, daß durch jeden Punkt zwei der g gehen und in jeder Ebene zwei der g liegen. Jede Gerade g der wird von zwei benachbarten „getroffen", d. h. genauer, der kürzeste Abstand ist von der dritten Ordnung unendlich klein; der Pußpunkt dieses Abstandes auf g ist dann der obige „Treffpunkt" und heißt „Brennpunkt".

so zu ordnen, daß jedem _Z)₂ die vier A₂ entsprechen, in denen er liegt. Dabei sind die singulären den singulären E., und die singulären s{ den singulären 6₍ durch denselben Komplex zugeordnet. Mithin ist in bezug auf ihn das ganze Singularitätensystem, und überhaupt die ganze Komplexfläche sich selbst konjugiert. So sind das Büschel der singulären Ebenen und die Reihe der singulären Punkte einander projektiv (s. auch Kr. 36).

Wir kommen jetzt zur Auffassung der Km als Brennfläche. Ein

); die Geraden der ®₂ sind die Doppeltangenten der Km. Umgekehrt läßt sich eine vorgelegte Km noch auf sechs verschiedene Arten als Brennfläche einer ansehen. Die sechs

146

Es gibt also auf jeder Geraden der $₂ zwei Brennpunkte; deren Ort ist die zweimantlige „Brennfläche". Diese Brennfläche einer $₂ erweist sich als identisch mit der Kr

zugehörigen linearen Komplexe (s. Kr. 70) sind paarweise in Involution.

Aus der Auffassung der Km als Singularitätenfläche eines X₂ ergibt sich eine Reihe bemerkenswerter Folgerungen. Die schon oben betonte Dualität der Fläche in sich äußert sich einmal in den Eigenschaften der Kummerschen. Konfiguration der 16 D₂ und 16 A₂ (s.Kr.68).

Sodann ist nach F. Klein¹⁴⁷) für irgendeine Gerade g das Doppel-verhäitnis ihrer vier Schnittpunkte A{ (i — 1, 2, 3, 4) mit der Km gleich dem Doppelverhältnis der vier an die Fläche gehenden Tangentialebenen Br Klein¹⁴⁷) gibt für diesen Satz auch einen direkten Beweis.

Im allgemeinen Falle, wo g dem K₂ nicht angehört und die vier Punkte A. getrennt sind, zerfällt für jeden A{ der Komplexkegel in ein Ebenenpaar (a., «/) und für jede Ebene B₈- die Komplexkurve in ein Punktepaar (Bi7 B-). Die acht Punkte B{, B-, und die acht Ebenen ai7 a! bilden eine Konfiguration 8₄. Die ersteren sind die acht D₂ der Komplexfläche; die Verbindungslinien (B., B/) und die Schnittachsen (aif a/) gehören der Komplexfläche an. Modifikationen treten ein, wenn z. B. g dem K₂ angehört, wo dann vier der acht D2 in die Punkte A, fallen.

146)    F. Klein und S. Lie, Berlin Ber. 1870, p. 891 = Math. Ann. 23 (1884), p. 579. Vgl. auch Nrr. 67, 70.

147)    F. Klein, Math. Ann. 7 (1874), p. 208.

Weitere Besonderheiten finden statt, wenn g die Km berührt, wo F. Klein¹*⁸) sieben Fälle unterscheidet.

Ferner führte die Auffassung der Km als Singularitätenfläche F. Klein¹ 2) zu dem Satze, daß es 16 Kollineationen und 16 Korrelationen gibt, die die Km in sich überführen.

Im Zusammenhänge mit gewissen, der Km zugleich ein- und umbeschriebenen Konfigurationen (s. Nr. 72) gelangte F. Klein³) zu 32 weiteren solchen „automorphen“ Transformationen der Km.

G. Fano⁴ 5) legte sich die Frage vor, ob damit alle automorphen Transformationen der Km erschöpft seien. Dies ist nicht der Fall; er fand vielmehr, daß noch unendlich viele weitere solcher Transformationen existieren. Er geht dabei von allgemeineren Gesichtspunkten aus. Die Grundlage wird durch den Satz gebildet, daß, wenn auf einer _F₄ vom Geschlechte 1 eine Kurve Gn vom Geschlechte 2 liegt, so auch ein ganzes Netz solcher (s. auch Nr. 3). Die Kurven dieses Netzes schneiden sich je in den Punktepaaren einer rationalen Involution J, die eine Abbildung der F± auf eine Doppelebene mit einer Verzweigungskurve c₆ gestattet (vgl. Nr. 19). Die Geraden, die die Punktepaare von J verbinden, bilden eine rationale Kongruenz. Dies findet seine Anwendung auf den besonderen Fall n — 6, der u. a. durch eine Km realisiert wird. Dann ergibt sich, daß die Km oo¹ birationale automorphe Transformationen gestattet, die eine diskrete Gruppe bilden. Hiermit wird die Auffassung als Brennfläche einer quadratischen Kongruenz verknüpft (s. oben). Im besonderen erzeugen dann die sechs zugehörigen J eine Gruppe G₃₂ von 32 birationalen automorphen Transformationen, von denen 16 mit den 16 Kleinschen Kollineationen zusammenfallen. Diese Cr₃₂ führt auch jede Haupttangentenkurve der Km in sich über (s. Nr. 70).

70. Die Haupttangentenkurven der Kummerschen Fläche. Von liniengeometrischen Gesichtspunkten ausgehend haben F. Klein und S. Lie15%) die Haupttangenten kurven der Km untersucht. Als Grundlage diente die oo¹- Schar (s. Nr. 69) der quadratischen Komplexe K₂, deren jeder dieselbe Km zur Singularitätenfläche besitzt.

111

Für irgendeinen der K₂ liegen die beiden Punkte, die in einer Tangentialebene T der Km die ausgeartete Komplexkurve repräsentieren, auf der Schnittkurve (T, Km) und liegen zugleich mit dem Berührungspunkte der T auf einer Geraden, der zugehörigen „singulären“ Geraden.

deren singuläre Gerade

Durchlaufen diejenigen Punkte der K eine Haupttangente ist, eine Haupttangentenkurve, die sich als eine C₁₆ = ri6 erweist, so gehört zu jedem der oo¹ erzeugenden K₂ eine Haupttangentenkurve der Km, womit ihre Gesamtheit erhalten wird. Jede dieser Kurven hat 16 Spitzen in den 16 D₂, und 16 statio-

näre Ebenen in den 16 A₂ der Km, sowie 6 • 16 — 96 stationäre Tangenten. Entsprechend den in der oo¹-Schar der K₂ enthaltenen sechs doppelt zählenden linearen Komplexen Kx gibt es sechs ausgezeichnete Haupttangentenkurven C₈ — P₈, ohne Spitzen und stationäre Ebenen.

Andererseits erscheint die Km auch als Brennfläche (s. Nr. 69) eines je einem der sechs K^ angehörigen Geradensystems des einen Systems seiner Doppeltangenten.

F. Klein⁶) vollzieht auf Grund seiner vier Parameter einer Geraden (s. Nr. 71) eine direkte Integration der Differentialgleichung der Haupttangentenkurven.

S. Lie⁷) legt seine später so bekannt gewordene „Geraden-Kugel-Transformation“ zugrunde, eine Berührungstransformation, die inzidente Gerade in sich berührende Kugeln überführt, und die Krümmunglinien einer Fläche in die Haupttangentenkurven einer anderen. Auf diesem Wege werden von neuem die wesentlichsten Eigenschaften der Haupttangentenkurven der Km gewonnen.

Unter Benutzung der Kleinschen Linienkoordinaten liefert Th. Eeye⁸) einen neuen, rechnerischen Beweis für den Hauptsatz von Klein und Lie. Überdies gelangt er so zu weiteren Angaben für die charakteristischen Anzahlen der Haupttangentenkurven. Eine solche ist vom Geschlechte 17, vom Range 48 und besitzt 72 scheinbare Doppelpunkte.

Für die sechs ausgezeichneten Kurven reduzieren sich diese Anzahlen auf resp. 5, 24, 16. Ferner wird festgestellt, daß sich die Berührungspunkte der 96 stationären Tangenten gleichmäßig auf die

Das Hauptergebnis ist aber der Satz, daß sich die Hauptangenten-kurven der Km durch F± ausschneiden lassen. Genauer ist jede dieser Kurven die Grundkurve eines F±-Büschels, und diese ocJ-Büschel gehören einem Netze an.

sechs ausgezeichneten Haupttangentenkurven verteilen. Überdies wird eine vollständige Ableitung der verschiedenen Gleichungsformen gegeben.

Die verwickelte Rechnung, die zu diesem Satze führt, hat C. Segre¹⁶⁶) durch einfache synthetische Betrachtungen ersetzt.

Daß die Haupttangentenkurven der Km nach G. Fano durch die 32 linearen Kleinschen automorphen Transformationen in sich übergehen, ist schon in Nr. 69 betont worden.

71. Transzendente Behandlung der Kummerschen Fläche. C. W. Borchardt¹⁵¹) hat die Km durch die Göpels che biquadratische Relation zwischen vier Funktionen mit zwei Yariabeln dargestellt. Göpel¹⁵⁸) hatte gewisse 16 Funktionen aufgestellt, die durch einfache Substitutionen in die 16 entsprechenden Weierstraß sehen h,(v₁, v^) in zwei Argumenten vly v₂ übergehen. Diese zerlegen sich in sechs „gerade" (i — 0, ..., 5), und zehn „ungerade" &rs (r=%=s,r,s — 0,...} 4). „Nullwerte" heißen die 16 hieraus für vt = v₂ = 0 hervorgehenden Funktionswerte.

Vermehrt man die v1} v% um „Perioden", so bleiben die Verhältnisse, bis auf das Vorzeichen, ungeändert. Vermehrt man um halbe Perioden, so gehen aus irgendeinem der & die 15 übrigen, jeweils bis auf einen gewissen Exponentialfaktor, hervor.

Göpel hat gewisse 60 Systeme von je vier der herausgehoben, die durch eine homogene biquadratische Relation verbunden sind. Je vier dieser „Göpelschen“ Relationen gehen aus einander durch Vermehrung der Argumente um halbe Perioden hervor; eine von solchen vier Relationen enthält nur gerade tl, die anderen zwei gerade und zwei ungerade, und in den vier Relationen treten alle 16 & auf.

(I)

Als Repräsentanten kann man die erste Relation wählen; solcher Repräsentanten gibt es also 15. Bezeichnet man die vier in einer solchen Relation auftretenden mit x, y, z, w, deren Nullwerte mit x₀, Vo> &o> wo> ⁸⁰ schreibe man die Relation kurz ®(x, y, e, w] x₀, y₀, 0O> wo) = °-

156)    C. Segre, J. f. Math. 98 (1885), p. 301.

157)    C. W. Borehardt, J. f. Math. 83 (1877), p. 234. Bezüglich der im folgenden zur Verwendung gelangenden Hilfsmittel aus der Theorie der at-Funk-tionen sei auf die Artikel IIB 6, 7 von A. Krazer und W. Wirtinger verwiesen.

158)    A. Göpel, J. f. Math. 35 (1847), p. 277.

111

Dann verschwindet nicht nur die Form 0 für x = x₀, y = y₀, z — z₀, w — Wq, sondern auch ihre ersten partiellen Ableitungen &x, 0y, 0z, 0W. Deutet man jetzt x, y, z, w als homogene Koordinaten eines Raumpunktes P, so stellt 0 = 0 eine P₄ dar, die in P₀(rr₀, y₀, z₀, w₀) einen _Z)₂ besitzt. Da die Form 0 aber bei gewissen Vertauschungen der Variablen ungeändert bleibt, so gehen aus P₀ noch 15 weitere D₂ der Fi hervor. Diese P₄ erweist sich daher als die Kummersche Fläche Km. Führt man Linearverbindungen der x, y, z, w als neue Koordinaten p, q, r, s ein und setzt, unter a, b, c Konstante verstanden, <p    -f- 2 ^a(ps -f- qr),

(1)

(10

K = J£a²—2abc— 1, so geht (I) über in die Kummersche Gleichung der Km (s. Nr. 68) P₄ = cp² — 16 Kpqrs = 0.

Somit lassen sich die nichthomogenen Koordinaten eines Punktes der Fläche darstellen als Quotienten.

Es sei noch bemerkt, daß sich diese & -Quotienten nach Formeln, die Rosenhain¹⁵⁹) aufgestellt hat, ersetzen lassen durch algebraische Funktionen zweier Parameter |, rj, die nur Quadratwurzeln aus ganzen Funktionen je eines dieser Paramter von einer Ordnung <1 6 enthalten.

Im wesentlichen zu denselben Ergebnissen gelangt A. Cayley¹⁶°) auf einem anderen Wege. Auch er legt die 16 Gleichungen zugrunde, die Göpel für die Quadrate der 16 &(u, u') gegeben hat. Aus ihnen hatte Göpel zunächst zwischen je fünf der -fr² lineare Relationen hergeleitet, die sich aber nach Rosenhain auf solche zwischen nur vier &² reduzieren lassen.

Cayley stellt letztere Relationen direkt auf, und zeigt ihren Zusammenhang mit der Kummerscken Fläche Km. Hierbei entsprechen die 16 ll² den 16 P₂ der Fläche; linear verbundene ll² entsprechen solchen P₂, die in derselben singulären Tangentialebene (Doppelebene) A₂ liegen.

Ferner lassen sich nach Göpel und Rosenhain die Verhältnisse je zweier der 16 ft² rational ausdrücken durch x, x und eine quadratische Irrationalität j/X resp. ]/A', wo X von der Form ist X = x(l — x)(l — lx)( 1 — mx)( 1 — nx).

Cayley legt statt dessen die allgemeine Form 6. Ordnung X zugrunde vom Typus

X = f₂(x)g₃(x),

fz 0) = (a — x)(b — x)(c — x), gs(x) = (d — x)(e — x)(f—x).

159)    G. Bosenhain, J. f. Math. 28 (1844), p. 249; 29 (1845), p. 1.

160)    A. Cayley, J. f. Math. 83 (1877), p. 210, 220; 84 (1877), p. 235.

Dann wurden die 16 fi-² proportional einmal sechs Formen vom Typus [a~\ = (a— x)(a— x), andererseits zehn Irrationalitäten vom Typus

(3)

[fff] = {x -lr-x'f (Vf»0)&0*0 — V/sOO9s0)}*

Cayley fügt eine Tabelle dieser Funktionen [a\ [fg] hinzu für die besonderen Werte von x, x' = 0, oo, ab, ac usf. Auf dieser Grundlage wird dann Borchardts Darstellung der Kummerschen Fläche Km mittels der Göpelsehen biquadratischen Relationen zwischen vier gewissen -fr² in modifizierter Form von neuem abgeleitet.

Diese Untersuchungen von Borchardt und Cayley setzt H. Weber1&V) in Beziehung zu den Charakteristiken der    in zwei Argumenten

vlf v₂. Diese Untersuchung ist zunächst analog mit den von ihm früher⁹ 10) für die Absehen Funktionen vom Geschlecht 3 durchgeführten Entwickelungen.

Die ^{vx, v₂) mit der Charakteristik j^¹’    } — [dM werden mit

tels bekannter Doppelsummen definiert. Eine Charakteristik [g, K\ heißt gerade oder ungerade, je nachdem gx \ -f- g₂h₂ gerade oder ungerade ist; je nachdem sind die    v₂) gerade oder ungerade Funk

tionen der vx, v%. Es gibt sechs gerade und zehn ungerade Charakteristiken ; die ersteren seien bezeichnet mit (ßt) (7=1,..., 6).

Unter der Summe (co -J- co') zweier Charakteristiken (co) = (g, li) und (co') — (g, Ji) werde die neue

(co + ca’) = {

91    9i'x

92    9i \

bei Reduktion der Elemente mod. 2 verstanden.

Für diese Summen werden fünf einfache Yerbindungs- und Zerlegungsgesetze aufgestellt. Mit Hilfe dieser Gesetze wird gezeigt, daß sich 16 Systeme von je sechs tt² finden lassen derart, daß zwischen je vier ll² eines Systems eine homogene lineare Gleichung besteht.

Ferner besteht zwischen drei Produkten von je zwei & mit derselben Charakteristikensumme eine homogene lineare Relation; solcher gibt es 120. Hieraus lassen sich die Göpelsehen Relationen 4. Ordnung ableiten.

Die Beziehung zu den hyp er elliptischen Integralen wird gewonnen, indem man zwei solche für vx und v₂ einsetzt

vi =

J VfW) ’

"9x0 dz

VfW) ’

1730 III C 10 b. W. Fr. Meyer. Flächen vierter und höherer Ordnung.

wo /j, gx binäre Formen in z der 1. Ordnung sind, f₆(ß) eine solche der 6. Ordnung. Dann lassen sich die Quotienten zweier algebraisch durch z₁ und z₂ darstellen.

Setzt man jetzt irgend vier der '9'² proportional Punktkoordinaten p, q, r, s, so erhält man eine FA mit vx, v₂ als Parametern. Das Nullsetzen irgendeiner ■O- liefert einen ebenen Schnitt der F±. Für die F₄ ergeben sich 120 gleichberechtigte Darstellungen. Die Fi ist die allgemeinste mit 16 D₂, also die Kummersche Fläche Km. Die obigen 16 ebenen Schnitte sind Doppel- C₂, die je sechs X>₂ tragen.

Von diesen 16 Doppelebenen A₂ gehen 16 mal je sechs durch einen D₂; mittels der Charakteristiken läßt sich entscheiden, ob eine bestimmte A₂ durch einen bestimmten _D₂ geht, oder nicht.

Bezüglich der Lagen Verhältnisse der A₂ und D₂ (s. Nr. 68) ergibt sich weiter:

1.    Durch irgend zwei D₂ gehen zwei A₂;

2.    die Tripel von D₂ zerfallen in zwei Klassen von 320 resp. 240,

je nachdem ihre Ebene eine A₂ ist, oder nicht;

3.    die Quadrupel (Tetraeder T) von vier.Z)₂ zerfallen in drei Klassen;

a)    80 „Tj erster Art“ mit vier D₂, die zusammen alle 16 D2 enthalten;

b)    60 „T₃ zweiter Art“, ohne A₂;

c)    1440 „T₃ dritter Art“ mit genau zwei A₂.

Die 16 D₂ lassen sich auf 15 Arten in vier T₂ zusammenfassen, deren jedes die drei anderen bestimmt. Zwischen gewissen Systemen von sechs D₂ bestehen gewisse projektive Beziehungen; stehen sechs D₂ nicht in einer solchen Beziehung, so bilden je vier derselben ein T₂.

Das Hauptergebnis ist dann: „Aus sechs D₂ der letzteren Art lassen sich die übrigen linear konstruieren.“ Diese Konstruktion hat H. Schroe-ter¹¹ 12) im einzelnen ausgeführt (s. Nr. 68). Das der Km polar entsprechende Gebilde ist wieder eine Km.

Am Schlüsse wird der Sonderfall der Wellenfläche Wt (s. Nr. 73) und ihrer projektiven Umformungen behandelt, wo viermal vier D₂ in einer Ebene liegen. Die entsprechenden gehen vermöge einer quadratischen Transformation in elliptische über.

Die vielseitigste hierher gehörige Untersuchung verdankt man K. Rohn.16i) Sie nimmt ihren Ausgang von der Liniengeometrie (s. Nr. 69). Sind x{ — 0 {% — 1,.. ., 6) sechs lineare, je in Involution stehende Komplexe Kx mit der Identität 'Sx.-Fernsehen¹³) Linienkoordinaten, so läßt sich die allgemeinste Gleichung eines quadratischen Komplexes K₂ auf die Form bringen

0, also die die

(5)

Dann ist durch

(6)

*3*’ = 2

®?

eine Schar konfokaler K₂ dargestellt. Die Wurzeln yon (6) sind die „elliptischen“ Linienkoordinaten eines Punktes. Sieht man in (6) die x₍ als gegeben an, so ergeben sich vier A-Werte; umgekehrt, sind letztere gegeben, so haben die vier entsprechenden konfokalen K₂ 32 Gerade gemein, die sich aber nur durch die Vorzeichen ihrer Koordinaten unterscheiden.

Die K₂ der konfokalen Schar (6) haben dieselbe Singularitätenfläche P₄, die von den Geraden, berührt wird, für die je zwei der vier X koinzidieren.

Diese P₄ ist die Kummer sehe Fläche Krn. Alle Tangenten in einem Punkte P der Km gehören zwei konfokalen Komplexen K₂(Xx) und K₂(jl₂) an. Durch Xx und X₂ werden also je 32 Punkte der Km bestimmt. Die Kurven Xx — konst, X₂ — konst sind die beiden Scharen der Haupttangentenkuryen. Aus dem Studium der X folgt eine große Reihe weiterer Beziehungen.

Vor allem werden die Lagenbeziehungen und gestaltlichen Verhältnisse der Km untersucht; es empfiehlt sich zu dem Behuf die Ableitung der Km aus einer doppeltzählenden, einem Tetraeder einbeschriebenen P₂ mittels Variieren der Konstanten. So gelangt man zu den Lagegesetzen der 16 D₂ und 16 A₂, usf., unter besonderer Berücksichtigung der Realität.

Auf dieser geometrischen Grundlage erwächst nun in naturgemäßer Weise die transzendente Behandlung der Km.

Die 32 Punkte {Xl, X₂) werden durch Einführung hyperelliptischer Funktionen derart getrennt, daß die Vieldeutigkeit auf Unterschiede in den Perioden zurückkommt. Sodann wird die Verteilung der Xlf X2 auf die 16 Felder mit hyperbolischer Krümmung und die 16 Felder mit elliptischer Krümmung genauer untersucht.

Nunmehr läßt sich der Zusammenhang des bisherigen mit der Borchardt- Cayleysehen Darstellung einsehen.

Der von Hohn erzielte Fortschritt kennzeichnet sich vor allem darin, das die Darstellung der Km eine eindeutige wird, gegenüber der dortigen 16-Deutigkeit. Umgekehrt läßt sich diese Vieldeutigkeit vermöge einer gewissen quadratischen Transformation beseitigen, womit der Zusammenhang zwischen jenen 16 Darstellungen aufgedeckt wird.

In einer zweiten Arbeit von Rohniee) wird die quadratische Transformation der hyperelliptischen Funktionen für sich behandelt; hierbei werden alle Transformationen, die dieselben Bedingungen zwischen den & liefern, als gleichwertig angesehen. Die Zuordnungen der -fl, sowie der Perioden, werden sodann an der TDmmerschen Fläche Krn interpretiert, und führen so zu manchen Ergänzungen der früheren Darstellung. Hingewiesen sei noch auf die Eigenschaften der Parameter gewisser Punktgruppen auf der Km, sowie auf die der Kurven, längs deren die Km von anderen Flächen berührt wird.

Dadurch erscheinen die identischen Relationen zwischen den unter allgemeinerem Gesichtspunkte.

In einer dritten Arbeit¹⁴ 15) geht Hohn auf die verschiedenen Gestalten der Km — und im Anschluß daran der Ii-F₄ mit zwei Doppelgeraden — näher ein, unter besonderer Berücksichtigung der Realitätsverhältnisse. Das Hauptergebnis ist, daß es acht verschiedene Km> und sieben verschiedene E-Fi gibt. Zunächst werden wieder die sechs ATfe7wschen Linienkoordinaten xt zugrunde gelegt. Sodann setzt die topologische Behandlung ein. Diese führt auch zu den Gleichungen der acht Km-Arten in Punktkoordinaten; aus einer der Gleichungen lassen sich die übrigen durch imaginäre lineare Transformationen herleiten. Hierbei ist zu beachten, daß die übliche quadratische Relation zwischen Linienkoordinaten durch reelle lineare Transformation auf die Gestalt

(7) gebracht werden kann. Um die linke Seite in eine Summe von sechs Quadraten überzuführen, bedarf man einer imaginären Substitution S. Solcher S hat man nach Klein16b) vier zu unterscheiden, die zu ebensoviel Typen von Koordinatensystemen führen.

Die Fläche Km wird wieder als gemeinsame Singularitätenfläche

hi — %

eingeführt. Vermöge der vier obigen Typen von Koordinatensystemen werden die verschiedenen Gattungen von Km bestimmt. Die Km wird

einer konfokalen Schar von quadratischen Komplexen

dann und nur dann reell, wenn die imaginären Komplexe des kon-fokalen Systems paarweise konjugiert sind. Beim ersten Typus (I) sind die sechs Konstanten Je reell, beim zweiten (II) vier, beim dritten (III) zwei, beim vierten (IV) keine; die nicht reellen sind stets paarweise konjugiert. Die einzelnen Typen ergeben wieder Unterabteilungen: Ia, Ib, Ic, Ha, Ilb, III, IVa, IVb. So sind bei der ersten (Ia) alle 16Dj und 16 A₂ reell; die Fläche besteht aus acht Teilen von tetra-edrischer Form. Bei der zweiten (Ib) ist weder ein D₂ noch eine A2 reell; die Fläche besteht aus zwei Teilen, deren jeder mit einem ein-schaligen Hyperboloid Ähnlichkeit hat. Bei einer dritten Gattung (Ha) sind acht D₂ und acht A₂ reell; die Fläche besteht aus vier tetra-edrischen Teilen. Bei einer vierten Gattung (Hb) verhält es sich wie bei (Ib), nur daß die Fläche jetzt aus einem einzigen Teile besteht.

imaginäre Flächen auf.

nur

Bei einer fünften und sechsten Gattung (III), (IV a) hat man vier reelle D₂ und vier reelle A₂; bei der ersteren sind die beiden Teile tetra-edrisch, bei der letzteren ähnlich einem Ellipsoide resp. zweischaligem Hyperboloide (wie bei der Wellenfläche). Endlich weisen die beiden letzten Gattungen (Ic), (IVb)

Bei der topologischen Behandlung dienen die Grenzfälle, wo die Fläche zerfällt, als Ausgangsflächen, aus denen dann durch Deformation (Variation der Konstanten) die einzelnen Gestalten hervorgehen.

Von besonderer Bedeutung ist der Grenzfall einer doppelt zählenden F₂. Auf ihr greife man acht Erzeugende, je vier aus einer Schar, heraus; die 16 Schnittpunkte vertreten dann die D₂ und die 16 zugehörigen Berührungsebenen die A₂, und die Erzeugenden selbst die Berührungskegelschnitte in den D₂. Die Erzeugenden teilen (je nach ihrer Realität) die F₂ in Felder, die denen der Km entsprechen.

Als Sonderfälle der Km treten die obigen M-F± auf; fünf Arten gehen aus dem Typus (I) hervor, und zwei weitere aus dem Typus (II).

Damit darf die Frage nach den Gestaltsverhältnissen der Km als vollständig beantwortet gelten.

Unabhängig von Hohn entwickelt auch 6r. Darboux¹⁶) den Zusammenhang der Km mit den A’(v₁, v₂) von den KleinBchen Linienkoordinaten aus. Wie bei Weber (s. oben) wird auch der Sonderfall der Wellenfläche berücksichtigt.

Darboux fügt aber noch eine einfache geometrische Interpretation des obigen Zusammenhanges hinzu.

Die Methode gilt zunächst allgemein für F±, die wenigstens einen Dt, besitzen.

Projiziert man die Punkte (x, y, z, t) der F± von einem solchen D₂ aus auf eine Bildebene E, etwa t — 0, so wird dadurch, wie bei Glebsch (s. Nr. 19) die Fi auf die doppelt gedachte E abgebildet. Die Übernang-skurve, in der beide Blätter von E Zusammenhängen, ist eine c₆ (s. Nr. 63).

Damit gelangt man bereits zu einer irrationalen Darstellung der Fif bei der nur eine einzige quadratische Irrationalität auftritt.

In dem besonderen Falle der Km zerfällt aber die c₆ in sechs Gerade, die einen Kegelschnitt Ti berühren. Bei passender Wahl des Koordinatentetraeders wird Ti zum Normkegelschnitt y² — xz = 0. Eine Tangente desselben hat zur Gleichung xm² -f~    -j- z — 0 mit

dem Parameter m.

Zwei Tangenten (m — p, und m = pj bestimmen einen Schnittpunkt (p, pt) mit den „Normkoordinaten“ p, p1# Seien jetzt a, &,..., f die Parameter der obigen sechs Tangenten und setzt man wie früher

fz 0*0 = (a — x)(b — x) (c — x), fh(x) = {d — x)(e — x)(f— x), so hat man als irrationale Darstellung der Km (8) x : y : e : t = (a — p)(a — pj : (b — p)(b — px) : (c — p)(c — pj : R,

wo

(9)

R==

Vfa(Q)9a(Qi)±Vfs(9i)9s (?)

Q — Qi

ähnlich wie bei Borchardt und Cayley.

An Darboux schließt sich noch eine modifizierte Darstellung für die Koordinaten der Punkte der Km durch irrationale Funktionen zweier Parameter durch F. Brioschi.¹⁷) Er geht hierbei aus von den 15 algebraischen Funktionen, die sich durch die Beziehung zwischen zwei & ausdrücken lassen, und verwendet dann Eigenschaften dieser algebraischen Funktionen, die von C. Weierstraß aufgestellt waren.

Faßt man zusammen, so hat man drei Arten von Parameterdarstellungen der Km zu unterscheiden (s. auch Nr. 26).

Einmal hat man nach Cayley und Weber vier geeignet ausgewählte v₂), die den Koordinaten yt der Km proportional sind.

Diese fh² ersetzt sodann Borchardt durch vier linear unabhängige ©t. 2. Ordnung, mit der Charakteristik ^ ^, die in den -fr² linear sind.

Vermöge quadratischer Transformation der © geht hieraus die Bor-chardtscke Darstellung der Km durch hyperelliptische Funktionen hervor.

Drittens hat man die, der Liniengeometrie entstammende Klein-Rohnsche Darstellung

¹

   F. Klein bei J. FlücJcer¹⁴²) im letzten Abschnitt von Bd. 2.

²

   G. Klein, Math. Ann. 2 (1870), p. 218. Die 16 Kollineationen bilden eine Gruppe Cr₁₆, deren vollständiges Invariantensystem E. Study aufgestellt hat, Leipzig Ber. 44 (1892), p. 122.

³

   F. Klein, Math. Ann. 27 (1887), p. 142.

⁴

   G. Fano, Lomb. Ist. Bend. (2) 39 (1906), p. 1071.

⁵

   F. Klein und S. Lie, Berlin Ber. 1870, p. 891 = Math. Ann. 23 (1884), p. 579. Vgl. weiter S. Lie, Math. Ann. 5 (1871), p. 145; F. Klein, ib. p. 257, 278.

Encyklop. d. math. Wissensch. III 2.

⁶

   F. Klein, Göttinger Nachr. 1871, p. 44.

⁷

   8. Lie, Kristiania Verh. S. 1871, p. 57, 182. Bezüglich der Geraden-Kugeltransformation vgl. etwa die elementare Darstellung bei F. Klein, Vorlesungen über höhere Geometrie. 3. Aufl., Berlin, hrsg. von W. Blaschke, § 71.

⁸

   Th. Beye, J. f. Math. 97 (1884), p. 242. Über die eingeschlagene Methode vgl. auch die voraufgehende Arbeit, ib. 95 (1883), p. 330.

⁹

   H. Weber, J. f. Math. 84 (1878), p. 332.

¹⁰

   H. Weber, Preisschrift Berlin 1876.

¹¹

   H. Schröder, J. f. Math. 100 (1887), p. 231.

¹²

   K. Föhn, Dissert. München 1878. jRohn hat auch im math. Seminar der techn. Hochschule München drei Gipsmodelle der Km verfertigt. Verlag A. Brill, Darmstadt 1877.

¹³

F. Klein, Math. Ann. 5 (1872), p. 261. Vgl. auch die weiteren Ausführungen in zwei Abhandlungen von C. Segre, Torino Mem. (2) 36 (1884).

¹⁴

   K. Hohn, Math. Ann. 15 (1879), p. 315.

¹⁵

   K. Hohn, Math. Ann. 18 (1881), p. 96.

¹⁶

G. Darboux, Paris C. R. 92 (1881), p. 685, 1193.

¹⁷

F. Brioschi, Paris C. R. 92 (1881), p. 944.

ct-

i/rw

von der aus man durch Einführung der doppelten Argumente wiederum zur Darstellung durch hyperelliptische Funktioneil gelangt.

Eine vollständige Übersicht findet man bei W. Reichardt.169a)

Auf den inneren Zusammenhang der transzendenten Darstellungen der Fi mit C₂, insonderheit der Zykliden Z (s. Nr. 26), der Weddle-schen Fläche Wd (s. Nr. 66) und der Kummerschen Fläche Km ist schon früher hingewiesen. Diese Zusammenhänge, die sich auch auf einige verwandte Gebilde, so auf eine F₂, und die gemeinsamen Tangenten zweier F₂ erstrecken, hat neuerdings E. A. Weiß¹™) einheitlich zusammengefaßt. Man kann diese Gebilde entweder unabhängig voneinander untersuchen und mit den entsprechenden fr-Relationen in Verbindung setzen, oder aber von der Parameterdarstellung eines dieser Gebilde ausgehen und die der übrigen durch geeignete Transformationen daraus gewinnen.

Die Abbildung von P. Domsch⁵³) (Nr. 26) führt eine Schar von F₂ in eine Schar konfokaler Z über. Die Z ihrerseits hängt vermöge der Lieschen¹⁵⁴) Geraden-Kugel-Transformation mit der Km zusammen. Von der Km, die man als Fi oder tP₄ ansehen kann, führt eine von Th. Reyexn) und R. de Paolism) herrührende, und unabhängig von diesen durch F. Schottky¹⁷²) mit der -fr-Theorie verknüpfte Abbildung — oder auch eine von G. Darbouxl73) behandelte Verwandtschaft zur Wd.

169 a) W. Reichardt, Nova Acta Leop. 50 (1887), p. 1887.

170)    E. A. Weiß, J. f. Math. 159 (1928), p. 191.

171)    Th. Reye, J. f. Math. 86 (1879), p. 84, 209; R. de Paolis, Rom Line. Rend. (4) 6₂ (1890), p. 3.

172)    F. Schottky, J. f. Math. 105 (1889), p. 233. Die 16 fr zerlegen sich in

6 gerade fr,. (r = i,..., p) und 10 ungerade &ikl — fr dukte vom Typus Fikl — &i&k9,l&ikl. Diese lassen sich durch vier geeignete lineare Verbindungen x, y, z, w linear ausdrücken, die dann Koordinaten' einer

mnp

. Man bilde die 20 Pro-

W., sind.

Die 20 Verbindungsebenen (ikl) je dreier der sechs Grundpunkte G{ des zugehörigen _F₂-Gebüsches entsprechen den 20 Gleichungen Fikl — 0. Die mit dem Produkte II der geraden fr multiplizierten 16 fr² verschwinden in allen G{. Aus diesen 16 Ausdrücken lassen sich vier linear unabhängige X, V, Z, W auswählen, durch die die anderen linear ausdrückbar sind.

Das Quadrat der Funktionaldeterminante der X, Y, Z, W ist in letzteren rational und liefert, gleich Null gesetzt, die Gleichung der Km.

173) G. Darboux, Bull. Math. Astr. 1 (1870), p. 348 (Sur les systemes de coniques et de surfaces du second ordre). Hier finden sich bereits bemerkens-

Weiter hat F. Casparylu) aus den Relationen zwischen den Elementen orthogonaler Matrizen die Göpelsche¹⁵⁸) biquadratische Relation hergeleitet, und so den Zusammenhang zwischen solchen Matrizen und der Km hergestellt.

Es sei noch bemerkt, daß E. A. Weiß¹⁷⁵) unter Deutung der Elemente orthogonaler Matrizen als Koordinaten von Ebenen resp. Geraden die Km und Z liniengeometrisch auf den ahgebildet hat.

Unabhängig von den bisher skizzierten Überlegungen hat 0. Staude¹⁷⁶) die Parameterdarstellung der gemeinsamen Tangenten zweier F% abgeleitet.

Diese Kette gegenseitiger Zusammenhänge schließt Weiß¹°), indem er die Staude sehe Parameterdarstellung durch eine gewisse quadratische Transformation aus den beiden Parameterdarstellungen der Wd gewinnt.

Unter Zugrundelegung der Schottkyschen Darstellung der Wd wird zunächst in Anlehnung an G. HumberW⁷) die Casparysahe²) Para

werte Hinweise auf die gegenseitigen Beziehungen zwischen der Kegelspitzenfläche F' eines U₂-Gebüsches G und ihrer Bildfläche F", im Sinne von Nr. 66. Hierbei erscheint F' als Ort der bezüglich aller F₂ in G konjugierten Punktepaare.

Die 10 Achsen der 10 Ebenenpaare in G gehören der Fläche F' an, andererseits entsprechen den 10 Achsen 10 I)₂ der Bildfläche F". Mit jedem Grundpunkte G{ von G wächst diese Anzahl der JD₂ um Eins; bei sechs Grundpunkten 6rt- wird F" zur Kummerschen Fläche Km mit 16 Z)₂. Auch die gegenseitige Beziehung zwischen den Räumen von F' und F" wird studiert; so entsprechen den Ebenen des ersteren Raumes Fs mit 4 Dä im letzteren Raume, u. s. f.

Die Methode ist rein synthetisch.

174)    F. Caspary, J. f. Math. 94 (1883), p. 74. Ygl. Note 178).

175)    E. A. Weiß, Zusatz zu einer Abhandlung von E. Study über Lies Kugelgeometrie, Berlin Ber. 1926, p. 381.

176)    0. Staude, Habilitationsschrift Leipzig 1883 = Math. Ann. 22 (1884),

p. 1, 145.

meterdarstellung abgeleitet. Sodann führt eine Abbildung von der Wd zn den gemeinsamen Tangenten zweier F₃. Diese Abbildung vermittelt endlich den Übergang von den Schottkyscken Ausgangsformeln zur Parameterdarstellung jener gemeinsamen Tangenten.

72. Konfigurationen, die der Kummerschen Fläche zugleich ein-und unbeschrieben sind. Als eine Anwendung der transzendenten Darstellung der Km hatte Hohn (s. Nr. 71) verschiedene mit ihr verbundene Konfigurationen untersucht. Diese Sätze werden von F. Klein¹⁷⁹) im Zusammenhänge dargelegt und weitergeführt.

Wie bei 1lohn ist die Grundlage die konfokale Schar von quadratischen Komplexen K₂

x\

(i)

mit Km als Singularitätenfiäche. Denkt man sich eine Gerade g durch ihre Koordinaten x₍ gegeben, so trifft g die Km in vier Punkten 1, 2,

3,    4, und zugleich gehen durch g vier Ebenen I, II, III, IV. Zu ihrer Bestimmung dient die Gleichung (1) mit ihren Wurzeln als elliptischen Koordinaten von g.

Jeder Zerlegung der vier Punkte in zwei Paare entspricht rational eine solche der vier Ebenen. Entsprechen sich z. B. die Paare (1, 2); (3₇ 4) und (I, II)₇ (III, IV), so heißen sie bez. Km „konjugiert“.

Ein der Km zugleich ein- und umschriebenes Tetraeder T, für das je zwei seiner Ebenen und die zwei Ecken ihrer Kante konjugiert sind, heißt „ausgezeichnet“. Ein solches Tetraeder T, deren es oo⁵ gibt, steht zu den vier Wurzeln von (1) in enger Beziehung.

Nimmt man für ein T eine Ebene E (als Ebene von ATTO) beliebig an, ferner auf der Schnittkurve von E mit Km drei Ecken von T, so

Fn umbeschreiben. Sodann werden die Cin bei vorgegebenem n hinsichtlich ihrer Scharen und Familien verfolgt. Adjungiert man noch evtl, ein bis vier C'₂, so läßt sich eine Cin als voller Schnitt der Km mit einer Fläche F erhalten. So gelangt man zu 216 Scharen von C₆, zu 32 Familien von Cs, usf.

Es sei noch auf eine andere Arbeit von Humbert, Paris C. R. 120 (1895), p. 863, hingewiesen, wo eine gewisse, durch Abelsche Funktionen (p = 3) definierte Fe in Zusammenhang mit der Km und der Theorie der ebenen Kurven

4.    Klasse y₄ gebracht wird.

178)    F. Caspary, Paris C. R. 112 (1891), p. 1356. Hier tritt, gegenüber Schottky¹⁷²), die Vereinfachung ein, daß die Koordinaten einer Wd Produkte von nur drei 9 (darunter einer ungeraden) werden.

In einer anschließenden Arbeit, Bull. Math. Astr. (2) 15 (1891), p. 308, werden statt der & hyperelliptische Funktionen 1. Gattung eingeführt, die zu einfacher, expliziter wie impliziter Darstellung der Wd führen. Hier findet man auch ausführliche Literaturan gaben über die Wd.

179)    F. Klein, Math. Ann. 27 (1886), p. 106.

Man führe noch eine zweite, 32-blättrige Fläche Fx ein, die zu der Proportion y X — xx : ]/X — %₂ : • • •: ]/X — x₆ gehört. Die v werden

V y-e—y-i

ist T bestimmt, und mittels konjugierter Paare einfach konstruierbar. Aus solchen T setzen sich weitere Konfigurationen zusammen, die wiederum der Km ein- und umbeschrieben sind.

So entsteht u. a. eine gewisse Konfiguration (16)e, die von D₂ und A2 einer neuen Kummerschen Fläche K'n gebildet wird. Jedes T, daß sich aus Ebenen und Ecken der Konfiguration bilden läßt, ist bez. Km ausgezeichnet. Zwischen Km und K'm besteht volle Gegenseitigkeit. Setzt man

f(X) = (A 3^) . . . (A Jfg), so seien die beiden zu Km gehörigen hyperelliptischen Integrale vx, v₂

rjx

J 1

Diese werden auf der zu ]//‘(A) gehörigen zweiblättrigen Riemannschen Fläche F hinerstreckt, wobei als untere Grenze etwa der Yerzwei-gungspunkt x₆ genommen werde. Man hat dann für v₁ und v₂ je die fünf Perioden

(2)

(3)

vm*

'S

1dl

vm

(4)

Fi

%

2J dv mit    = 0

xe

hierbei von der Form f dv, bei geeigneter Normierung der Wurzelvorzeichen.

Jeder g(Xx, A₂, A₃, A₄) entspricht ein Punktquadrupel auf Fx. Für A₃ = A₄ erhält man eine Tangente der Km, für Xs = A₃ = A₄ eine Haupttangente, für Xx — A₂, X₃ = A₄ eine Gerade durch einen i)₂ oder in einer A₂, usf.

Im Falle einer Tangente seien u, u" die beiden ungleichen u-Para-meterpaare, dem Berührungspunkte gebe man die Parameter U—ux—ax, U₂ = u₂— u" und der Berührungsebene die Parameter ( Ut) = ux -f-ux, (U₂) = < + <.

Umgekehrt gehört zu jedem Paare Ux, U₂ resp. (Ux), (JJ₂) stets nur ein Punkt resp. eine Ebene der Km.

Mit Hilfe dieser neuen Parameter werden zunächst die hyperelliptischen c₄ untersucht, die die Ebenen von Km aus ihr ausschneiden; diese c₄ lassen sich auf die Fläche F eindeutig beziehen.

An einer solchen e₄ werden die Integrale v hinerstreckt und das Abelsehe Theorem für Schnitte mit Geraden (und Kegelschnitten) aufgestellt. Hieraus erwächst das entsprechende Theorem für den Schnitt von Km mit einer Geraden. Ferner lassen sich so die Kongruenzen angeben, denen die Parameter einer Geraden zu genügen haben, damit sie durch einen gegebenen Punkt von Km geht, usf.

Konjugierte Punkte und Ebenen sind jetzt dargestellt durch (ü), (U) + 2v₁ + 2v₂-    (U) + 2vt, (ü) + 2v₂.

Mit diesen transzendenten Mitteln lassen sich die obigen Konfigurationen einfach und übersichtlich behandeln, wobei sich eine Reihe von Verallgemeinerungen von selbst anschließt.

Zugleich ergeben sich damit 32 weitere Transformationen, die die Km in sich überführen (s. Nr. 69).

73. Das Cayleysche Tetraedroid und die WellenfLäche. Das Tetraedroid Tc ist ein besonderer Fall der Km] die 16 D₂ liegen zu je vier auf den Seiten eines Tetraeders und bilden in ihnen vollständige Vierecke, deren Diagonalpunkte in den bezüglichen Ecken liegen. Diese Fläche hat Cayley m) gefunden und in zwei weiteren Abhandlungen³ 4) eingehend untersucht, in der letzteren als Spezialfall der Km. Aus einer einfachen Raumtransformation leitet die Fläche Timerding⁵) her.

Die vier Tangentialkegel in den einer Tetraederseite angehörigen D₂ sind zugleich Tangentialkegel einer F₂, von der das Tetraeder ein Poltetraeder ist. Die Koordinaten der 16 D₂ bilden eine Matrix von der Form

(1)

|0,    + aik> + an> ± ai

wo ar

Legt man also durch zwei Paare von Z)₂, die mit einer bestimmten Tetraederecke inzident sind, die Verbindungsebene, so enthält diese noch ein drittes Paar von _Z)₂.

Die so erhaltenen Ebenen bilden dual vier vollständige Vierflache, deren Scheitel die vier Tetraederecken sind, während ihre Dia-

Das fragliche Kriterium lautet dann, daß die sechs, den u, v gemeinsamen Verzweigungspunkte in Involution liegen, wobei sich beide Integrale auf elliptische 1. Gattung reduzieren.

Auch die sechs Grundpunkte des zugehörigen Fi -Gebüsches liegen dann auf ihrer C₃ in Involution. Überdies gehören dann der Wd (außer den bereits vorhandenen 25 g) noch zwei weitere g an.

182) H. E. Timerding, Ann. di mat. (3) 1 (1898), p. 95.

gonalebenen mit den Seiten des Tetraeders zusammenfallen. Die Gleichungen dieser Ebenen lauten

(2)

+ aimXk ± ^mkXl ± aA ~ 0, USf.;

sie stellen die 16, je sechs D₂ enthaltenden Doppelebenen A₂ dar, entsprechend der allgemeinen Theorie der Km. Die Gleichung der Fläche Tc lautet mittels einer fünfreihigen Determinante

2    /yi2    /V 2    sy% 2

'"k l    m

(3)

Tc= x*

aik

au

w>

ist also in den x² quadratisch. Auf Tc liegen zwei Scharen von U₄, die das Grundtetraeder zum Poltetraeder haben.

Es gibt eine transzendente explizite Darstellung der Tc in elliptischen Funktionen su, cu, du, mit den Argumenten u, v und den Moduln x, l

(4)

xx : xa : xz : x± — su(x, u)du(l, v) : cu(x, u)cu(X, v)

: du(x, u)su(l, v) : 1.

Die beiden obigen Scharen von CA fallen mit den Parameterkuryen u — konsf, v = konst. zusammen.

Gewisse _F₄ lassen sich nach K. Rohn¹⁸³) auf mehrere Arten als Tetraedroid Tc ansehen.

Wir kommen zur Wellenfläcbe Wr Die Fresnel sehe Wellenfläche TFj¹⁸⁴) ist wiederum ein (metrischer) Spezialfall des Tetraedroids Tc. Es sind für sie nur vier der D₂ reell. Bei der ungemeinen Ausdehnung der Literatur beschränken wir uns auf das Wesentlichste.

Fresnel gelangte zu ihr (1827) bei der Untersuchung der Fortpflanzung des Lichtes in doppelt brechenden Medien. Geometrisch erzeugt er die Fläche, indem er im Mittelpunkte eines Ellipsoides auf dessen Zentralschnitten Lote gleich den Achsenlängen der Schnittellipse abträgt. Damit erhält er die Gleichung der Wv wenn q* — x³y³s3 gesetzt wird, in der übersichtlichen Gestalt

(5)

— 1=0.

£>²— as

183)    K. Rohn, Leipzig Ber. 1884, p. 10. C. Segre, ib. p. 132, fügt den Fall hinzu, wo sich eine Fi auf sechs Arten als Tc ansehen läßt. Vgl. auch E. Ber-tini, Lomb. Ist. Rend. (2) 29 (1896;, p. 566.

184)    J. Fresnel, Paris Mem. 7 (1827), p. 126. Yon weiterer Literatur sei erwähnt: M. Ampere, Ann. Chim. Phys. 39 (1828), p. 113; A.Cauchy, Exerc. de math. Bd. 5 (1830); Paris C. R. 13 (1841), p. 319; J. PlücJcer, J. f. Math. 19 (1839), p. 1, 91. Ein Literaturverzeichnis (bis 1896) gibt G. Loria, II passato e il presente delle principali teorie geometriche, Torino 1896, p. 114 ff. — Bezüglich der Einzeleigenschaften der W, sei auf „Salmon-Fiedler“, p. 323 ff., verwiesen.

Die Hauptebenen x = 0, y = 0, 0 = 0 schneiden die Wt je in einer Ellipse und einem Kreise-, in der E» wird der Kreis der Kugelkreis K. Sei, wie üblich, <x² > b'² > c², so ergeben sich in

(6)

■    l/«² — b~

x = ±c

-c²>

y = o,

die Koordinaten der vier reellen Z)₂. Hieraus geht die von H. TKe&er¹⁸⁵) gegebene Darstellung durch elliptische Funktionen hervor.

Bezüglich der Krümmungslinien der s. Nr. 74.

Auch die Klassengleichung der    nimmt eine einfache Ge

stalt an. Setzt man <?² = u? -f- v² -f- w², so hat man

^^=i +

CO

IV²

&²ff² —

c²g* —

t = °;

die ist also eine <p₄, wie es sein muß.

74. Die Haupttangentenkurven und die Krümmungslinien auf der "Wellenfläclie. Die Differentialgleichungen dieser Kurven lassen sich zwar durch Spezialisierung aus denen der entsprechenden Kurven auf der Kummerschen Fläche Km (s. Nr. 70) herleiten, und so im besonderen auch die geometrischen Eigenschaften der ersteren Gattung für die Wx gewinnen.

Es empfiehlt sich aber auch, nach dem Yorgange von G. Darboux¹⁸⁶), ein direktes Verfahren, das überdies manche neuen Gesichtspunkte eröffnet.

Seien Fix, y, 0) irgendein Punkt einer zunächst beliebigen Fläche F, n die orientierte Normale mit den Richtungskosinus p, q, r, und

p qr xy z ⁷

so daß ^pp' — 0, so

p', q\ r die Determinanten der Matrix

lassen sich die sechs Größen p, . . ., p,. . . als homogene Strahlenkoordinaten von n ansehen. Dann nehmen die Differentialgleichungen der Haupttangentenkurven (a), resp. der Krümmungslinien (b), die elegante Gestalt an

(a)

^>dpdx — 0,

0>)

^dpdp = 0.

Dies finde seine Anwendung auf die Wellenfläche Wx mit dem Mittelpunkte 0.

Die Gerade OP treffe W, auf derselben Seite in einem zweiten

185)    H. Weber, J. f. Math. 84 (1878), p. 332. Vgl. A. Cayley, Quart. J. 3 (1860); Ann. di mat. (2) 20 (1892), p. 1; 0. Böhlen, Ztschr. Math. Phys. 24 (1879), p. 400; 25 (1880), p. 346; 27 (1882), p. 160; G. Darboux, Paris C. ß. 97 (1882), p. 1133; E. Lacour, Nouv. Ann. (3) 17 (1898), p. 266.

186)    G. Darboux, Paris C. R. 97 (1883), p. 1039, 1133.

Punkte Pjj die parallelen Tangentialebenen in P, seien T, Tx, und a, ß' die Quadrate der Abstände yon 0 und T resp. Tx. Endlich seien /3, a die Quadrate der Radienvektoren (OP) resp. (OP₁). Bedeuten a, b, c gewisse Konstanten, so besteht die Identität

(c) x(x — ß)(x — ß') — (x — d)(x — b) (ix — c) =

abc

au

(x — cc)(x — «'),

die zwei Relationen zwischen den a, ß, a, ß' liefert. Setzt man dann

(d)

% = C(^a)mi(^rLJh(a ~ ß)ni(.a — ß'y*’ usf->

wo y, z aus x hervorgehen, indem man die Konstante C durch C', G" und entsprechend a durch b, c ersetzt, so liegt in (d) die explizite Darstellung einer Fläche vor, die die Wellenfläche W{ als Sonderfall (m₁ = n₂ = 0, m₂ = n₁ = |) enthält.

Aus (d) ergeben sich die Größen p, q, r durch

(e) p =

n'(a—ßy-'<a-ßj-h, »rf-

Genügen dann noch die Exponenten in (d) der Bedingung

(f)

mi + ni +    == 0,

wie es bei der Wt der Fall ist, und setzt man zur Abkürzung

(g)

f(x) = (x — a)(x — b) (x — c),

so

lautet die „elliptische^ Differentialgleichung der Haupttangenten-

kurven

(a')

(dß)s    (dßT

m    f(ß') ’

wo die Yariabeln ß, ß' bereits separiert sind.

Vermöge des Additionstheorems der elliptischen Integrale erster Gattung ergibt sich aus (a') die algebraische Beziehung zwischen ß und ß'.

Diesem Ergebnis gibt Darboux eine einfache geometrische Deutung. Die Geraden, die die Seiten eines Tetraeders T nach konstantem Doppelverhältnis K treffen, erfüllen bekanntlich einen quadratischen Komplex, den sogenannten „tetraedralen“.

Mithin sind die durch einen festen Raumpunkt Q gehenden Geraden des Komplexes die Kanten eines Kegels 2. Ordnung K₂ mit der Spitze Q.

Unter Anwendung auf die Wellenfläche W{ seien die Seiten von T die drei Hauptebenen x = 0, y — 0, z — 0 nebst E«,, und Q gehöre der an. Legt man endlich noch dem Kegel K₂ die Bedingung auf, die W{ zu berühren, so beschreibt die Spitze Q eine Haupttan-

gentenkurve der TFZ; läßt man hinterher die Konstante % variieren, so hat man die ganze Schar der Haupttangentenkurven.

Es werden auch noch gewisse weitere Flächengattungen mit derselben Eigenschaft angegeben.

Weniger einfach verhält es sich mit den Krümmungslinien der Wr

Ein Versuch von P. Zech¹⁸⁷), deren Differentialgleichungen direkt zu integrieren, mißlang, wie¹⁸⁸) E. Combescure und F. Brioschi feststellten. Durch geeignete Wahl von Parameterkurven brachten beide Autoren die Gleichung der Krümmungslinien auf gewisse kanonische Formen.

JDarboux (1. c.) untersucht zuvörderst die Krümmungslinien einer beliebigen Fläche oder auch ihrer Projektionen auf eine Tangentialebene in der Nähe eines Nabelpunktes. Diese Kurven sind im allgemeinen nicht algebraisch, sondern nur dann, wenn drei gewisse, in der Gleichung auftretende Konstante A, B, C rationale Zahlwerte besitzen. Diese Bedingung ist aber hei der erfüllt.

Somit sind die Krümmungslinien der W{ in der Nähe eines Nabelpunktes algebraisch und haben die Gestalt gewisser C₁₀. Hieraus läßt sich aber noch kein Schluß auf den Gesamtcharakter der Kurven ziehen.

Die Differentialgleichung der Krümmungslinien der Wt läßt sich auf die einfache Form bringen

dccdß ^2f(a) -f- (ß — a) j f'ip)

Sie hat die bemerkenswerte Eigenschaft, daß ihre Gestalt bei Vertauschung von ß mit ß' ungeändert bleibt.

In dem besonderen Falle, wo sich die kubische Form f(x) auf eine quadratische reduziert, läßt sich die Gleichung (b') integrieren. Setzt man

xf(x) = cp(x), v = a(ß — a), w = qp(“⁾-

und führt neue Variable y, p derart ein, daß

dy

— W = -A- , dp ’

da

w a-wdü=y’

so geht (V) über in

da

dw —P’

— „ii

P dp ’

oo

Es fragt sich nun, wann tritt bei der der obige Spezialfall ein?

187)    P. Zech, J. f. Math. 54 (1857), p. 72; 55 (1858), p. 94.

188)    E. Combescure, Ann. di mat. 2 (1859), p. 278; F. Brioschi, ib. p. 285. S. auch Art. „Fs“, Nr. 23, Note 117.

Dies ist erstens der Fall, wenn, gemäß der Konstruktion der Wl aus einem Ellipsoide, an die Stelle des letzteren ein Zylinder tritt.

Oder aber, wenn sich das Ellipsoid, und damit auch die W{ selbst, nur wenig von einer Kugel unterscheidet, wie das bei den in der Optik vorkommenden Wellenflächen Wx in der Tat der Fall ist.

Hier lassen sich also die Krümmungslinien der Wt als bekannt

ansehen.

Dagegen können, wie Darboux aus seinen Entwicklungen folgert, die Krümmungslinien der Wx im allgemeinen keine algebraischen Kurven bestimmter Ordnung sein.

Eine vollständige Lösung der Aufgabe wäre wünschenswert.

XII. Regelflächen vierter und höherer Ordnung.

75. Einleitung über Regelflächen 4. Ordnung    Der erste,

der sich mit B-FA und ihrer Erzeugung beschäftigte, scheint M. Chcts-les¹⁸⁹) gewesen zu sein; er studiert auch Kurven auf der Fläche. Sodann hat sie A. Cayley¹⁹⁹) in einer Reihe von Arbeiten nach verschiedenen Richtungen hin untersucht.

Eine vollständige Klassifikation ihrer 13 Arten gelang aber erst auf rein geometrischem Wege L. Cremona¹⁹¹), dessen Abhandlung von 1868 immer noch als grundlegend anzusehen ist. Bei der Einteilung wird das Verhältnis der R-F± zur jeweiligen Reziprokalfläche, sowie die Natur der Doppelkurve berücksichtigt. Liniengeometrisch hatH. Voss¹⁹²) die 1R-Fi untersucht und insbesondere das Auftreten singulärer Torsalgeraden verfolgt. Eine übersichtliche Ableitung der Cremonaschen Er-

189)    M. Chasles, Paris C. R. 53 (1861), p. 888.

190)    A. Cayley, London Trans. 153 (1863), p. 453. In einer zweiten Arbeit, ib. 154 (1864), p. 559, werden bei der Klassifikation acht Arten von B-F± unterschieden und ihre Gleichungen diskutiert. — In einer dritten Arbeit, ib. 189 (1869), p. 111, werden vier weitere Arten hinzugefügt.

191)    L. Cremona, Bologna Mem. (2) 8 (1868), p. 235.

192)    A. Voss, Math. Ann. 8 (1874), p. 54. Bezüglich der Torsalgeraden vgl. auch B. Sturm, Math. Ann. 6 (1873), p. 255; H. Schubert, Math. Ann. 17 (1880), p. 574; F. E. Björling, Stockholm öfs. 15 (1888), p. 587; Stockholm Vet. Bih. KV. Sturm und Schubert bestimmen die Anzahl der Torsalgeraden ht einer B-Fn, vom Range r, als 2 (r — n), ersterer direkt, letzterer mittels einer Formel aus der ab-zählenden Geometrie.

Man beachte noch den charakteristischen Unterschied zwischen einer Torsalgeraden ht und einer beliebigen Erzeugenden h einer B-F. Bei einer beliebigen h sind deren Punkten P ihre Tangentialebenen T projektiv zugeordnet. Für eine ht artet aber diese Projektivität aus; es gibt einen ausgezeichneten Punkt P' auf ht, dem alle T entsprechen, und vice versa eine ausgezeichnete Ebene T', der alle P entsprechen.

gelmisse von einem einzigen Transformations-Gesichtspunkte aus (s. u. Nr. 82) hat neuerdings Wong gegeben.

76. Die abwickelbare jß~JF₄. Sie hat zur Rückkehrkante eine (irreduzible) kubische Raumkurve C₃ — F₃, deren Tangenten t die R-F± erzeugen, während die Tangentialebenen T der R-F± längs der jT₃ zugleich deren (Schmiegungs-)Ebenen 2J sind und ein „kubisches Ebenengewinde“ bilden. Die Ebene U schneidet jeweils aus der R-F± noch eine C₂ aus, den Ort der Spuren der t in 2J. Das sind die oo¹ C₂ auf der R-F± (s. Kummer, Nr. 6).

Wählt man die C₃ = jT₃ als Normkurve _ZV₃ = N₃ (s. Nr. 3)

(1)

JV₃) j x₃ : x₂ : xt : x₀ = X³ : 3 X² : 3 X : 1,

N₃) \ u₃ : u₂ : % : u₀ = 1 : — X : A² : — A³, und bezeichnet die Determinanten der Matrix

xx

(2)

3 x₃ x2 x₂ x₁ 3x₀

mit cp, ip, i, so daß

(3) cp = Zxxx₃— x\, ^ = ^^2 — 9£₀#₃, % = ?>XqX₂ — x\, so erhält man als Gleichung der R-Fi

(4)

-j- 4 cpx = 0.

Diese R-Fx ist vom Geschlecht Null.

77. Die jR-Fx mit dreifacher Geraden g. Unterarten. Diese Flächen sind als _F₄ mit oo¹ J)₃ bereits in Nr. 40 berücksichtigt worden, insbesondere hinsichtlich ihrer Abbildung auf eine Ebene, so daß wir uns hier auf einige Ergänzungen beschränken können.

Die Fläche läßt sich geometrisch am einfachsten erzeugen als Ort der Schnittlinien der Ebenen E eines Büschels B mit den Ebenen 2J eines auf B projektiv bezogenen kubischen Gewindes die Achse von B wird zur Tf der Fläche. Stellt man das Gewinde rz allgemein dar durch eine Gleichung von der Form

(5)

r •— Uq X³ —j— 3 ux A² —j— 3 u₂ X -j— u₃ = 0,

wo die u beliebige Linearformen der x bedeuten, und das Büschel B mit der Achse (xi — xk = 0) durch

(5')

B = xi — Xxk = 0,

so liefert die Elimination von X als Gleichung der R-Fx mit der g (Xi = xk = 0)

(6)

u₀x³ + 3uxxfxk + 3^^! -f u₃x³ = 0.

Dies war aber gerade die frühere (Nr. 40) zugrunde gelegte Darstellung einer F± mit g"- man gelangt also umgekehrt von (6) ans sofort wieder zu den beiden projektiv bezogenen Gebilden B und jP₃ zurück.

Fallen im besonderen zwei von den drei X-Wurzeln der Gleichung (5) zusammen, so gelangt man zu einem „Torsalpunkt“ der F± auf ~g. Ist also F(X) die Diskriminante von (5) bez. X, so liefert Z) = 0 die vier Torsalpunkte, die Schnittpunkte von g~ mit der abwickelbaren R-F± von r₃ (s. oben Nr. 76). Yon jedem der Torsalpunkte gehen zwei benachbarte Regelstrahlen h der Fläche aus; deren Verbindungsebene ist eine „Torsalebene“ der Fläche, die sie längs der ganzen Geraden h berührt.

Unterarten der R-F± mit g. Im allgemeinen (s. Nr. 40) liegen die drei von irgendeinem Punkte der g~ ausgehenden Regelstrahlen hl7 h₂, h3 nicht in einer Ebene.

Die Gleichung der Fläche läßt sich dann, vermöge geeigneter Wahl des Koordinatentetraeders, auf die Normalgestalt bringen

(6.)

(.9 =f= 0),

xfxj, -f x\xmm — qx?x* = 0

wo 1 = ax{ -f- bxk und m = cx{ -j- dxk Linearformen in xf und xk bedeuten.

Liegen dagegen im besonderen die drei Regelstrahlen h₂, 7^3 einmal, und da dann die Konstante p den Wert Null annehmen muß, stets in einer Ebene, so reduziert sich die Gleichung (6a) auf

(6,)

Xi³xtl -f x*xmtn = 0,

und die Gerade x, =    — 0 gehört als einfache Leitlinie e der Fläche

an. Umgekehrt führt die Forderung einer solchen Leitlinie e für die Fläche (6a) eben zur vorliegenden Fläche (6^).

Führt man in (6^) die Parameter = X

xi

= g ein, so stellt

(ßp) eine (3, l)-deutige Korrespondenz zwischen X und g dar, und umgekehrt läßt sich eine beliebige solche Korrespondenz vermöge geeigneter linearer Umformung von g in die Gestalt (6^) setzen. Damit hat man:

„Der Typus (6^) von R-F± mit einer dreifachen Geraden g~ und einer einfachen Leitgeraden e läßt sich erzeugen durch die Schnittgeraden entsprechender Ebenen in einer (3, l)-Korrespondenz der beiden Büschel (jg) und (e), oder auch dualistisch, durch die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte in einer (3, l)-Korrespondenz der beiden Punktreihen (g) und (e). Und umgekehrt.“ Diese Fläche ist also ihre eigene Reziproke..

Andererseits verlange man, daß in (6a) die beiden Linearformen l, m einander proportional werden, so daß die Resultante R = ad — bc

von l und m verschwindet. Dann verwandelt sich (6a), für l = ax{ + *>xk, in

(⁶r)

KXiXl + xtxm) — Qxix! = 0.

Die gf berührt jetzt die abwickelbare Fläche des Gewindes jT₃, und von den drei durch einen beliebigen Punkt von ~g gehenden Regelstrahlen    h₃ fällt immer einer, etwa ht, in die |P.

Diese Fläche ist erzeugbar als Ort aller Geraden, die entsprechende Punkte einer festen Geraden g und eines zu dieser in einer (1, 2)-Kor-respondenz stehenden Kegelschnittes k verbinden; hierbei ist angenommen, daß sich k und g in einem Punkte treffen, der als Punkt von g nicht mit einem der beiden ihm auf k entsprechenden Punkte zusammenfällt.

Ein noch speziellerer Fall bietet sich dar, wenn sich die Gleichung der R-F± in die Gestalt bringen läßt

/y» (/y» 2 /y* I _ /y> 2 /yi _ /y» 4 ..... A

^kKri    J'm) *1

Die Ebene xk = 0 enthält nur die Tf und berührt die R-F± längs ihr, ist also eine „Torsalebene“.

Es folgt weiter der Typus

Xk)(XiXl + Xkxj — QX*X* = 0

Durch jeden Punkt der ~g geht (außer dieser) nur ein Regelstrahl h. Für zwei Punkte von ~g fällt h mit cf zusammen, entsprechend den Wurzeln von — 0. Diese beiden Punkte koinzidieren in dem Sonderfalle

fl\Xi, Xk){XiXl + XkXm) ~ QXiXt = 0

(6.)

(6.)

(p =4= 0).

(6t)

(p + 0).

Yon den drei durch die ~g gehenden Mänteln der Fläche koinzidieren zwei zu einem „Kuspidalmantel“.

Eine beliebige Ebene schneidet die Fläche in einer r₄, deren d3 auf ~g aus einer Spitze besteht, durch die ein weiterer Kurvenzweig geht.¹⁹³)

Damit sind die R-F± mit einer g~ erschöpft.

Bei den weiteren Fällen tritt stets die Erscheinung ein, daß die Punkte der — irreduziblen oder auch reduziblen — Doppelkurve G (2, 2)-deutig aufeinander bezogen sind. Dies läßt sich nach K. Rohn¹⁹⁴) bei Berücksichtigung der Realitätsunterabteilungen mit Vorteil verwerten.

Vermöge linearer Umformung läßt sich die obige (2, 2)-Korrespondenz auf eine symmetrische Gestalt bringen, die sich dann weiterhin spezialisieren läßt.

193)    K. Rohn, Math. Ann. 24 (1884), p. 147.

194)    K. Rohn, Math. Ann. 28 (1887), p. 284.

Auf diese Weise gelingt die Einteilung und die Aufstellung der Gleichungen für die verschiedenen R-F₄ in ungezwungener Weise.

Die Doppelkurve C kann der Reihe nach bestehen aus einer C₃, einer C₂ und g, einer (f, aus zwei g, endlich aus einer Selbstberührungsgeraden. Für zehn dieser Flächenarten hat K. Rohn Fadenmodelle anfertigen lassen.

78. R-F₄ mit irreduzibler kubischer Doppelkurve. Es kommen zunächst die FA mit einer — irreduziblen oder reduziblen — C₃ in Betracht. Die grundlegende Arbeit verdankt man Clebsch,¹⁹⁵) Mit Ausnahme der Steinerschen Fläche S, wo die C₃ in drei durch einen Punkt laufende g zerfällt (s. Abschn. VII), liegt stets eine R-FA vor. Allgemein gilt₇ daß die Regelstrahlen h der R-FA Sekanten der C₃ sind und einem linearen Geradenkomplex Kx angehören.

Hauptfäll. Die C₃ ist irreduzibel.

Man hat zwei Unterfälle zu unterscheiden, je nachdem der Komplex Kx allgemein oder speziell ist; die beiden Flächenarten seien kurz mit R resp. R' bezeichnet. Zunächst kommen die R in Betracht. Wie in Nr. 76 (s. auch Art. „F₃‘, Nr. 11) wähle man die C₃ wieder als Normalkurve N₃

(a)

x₃ : x₂ : xx : x₀ = 2³: 3 X²: 3 X : 1,

und setze

(b) cp₃ = dx₁x₃ — x\,    (p₂ = x₁x₂ — 9x₀x₃, <px = 3xQxt — x*.

Das durch die N₃ gehende i^-Netz N ist demgemäß dargestellt durch

?>x₃

xx

(«)

N = y₃cp₃ + q₂<p₂ +    =

x₂

3#₀ = 0.

Qi

Eine FA mit N₃ als Doppelkurve ist somit durch eine allgemeine quadratische Gleichung in den cp dargestellt

22<lr,lPr'h = ⁰

(?)

(ns = 1,2,3).

Trifft ein Regelstrahl h der R-FA die N₃ in zwei Punkten lx, X₂, und setzt man <?₂ : 6t : 6₀ — XxX₂ : Xx -f- X₂ : 1, so genügen die 6 der quadratischen Gleichung

(7')

«22«? + «11«? + «00 «0 + 2«Si «₂«i +    = 0.

Die beiden von einem Punkte der N₃ ausgehenden Regelstrahlen hx, h2 koinzidieren, wenn der Parameter X der Bedingung genügt

(8)

(«oo4~ 2a₀₁X -f- an)(anX² -f- 2a₁₂X -j- a₂₂)

— {«oi^ 4" («n + «02)^ 4“ «12}² = 0-Dies liefert die vier Kuspidalpunkte auf der Ns.

Der lineare Komplex Kx, dem die li von R angehören, hat in Strahlenkoordinaten pa = (xy)a die Gleichung

(9) C^ooPoi 4“ auPoB 4~ aiiPiB “1“ ^ aisPl8 "4" (^11 4“ 2«₀₂)^₁₂

4“ 2 a0ip₀₂ = 0.

Die Ebene, die zwei von irgendeinem Punkte P der Ns ausgehende Regelstrahlen \ verbindet, schneidet aus der R noch eine C₂ aus. Analog schneidet eine Ebene, die zwei von einem zweiten Punkte P' der N₃ ausgehende hX} li₂ verbindet, eine C₂ aus. Diese beiden C₂ sind projektiv aufeinander bezogen und die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte sind die Regelstrahlen h der R.

Umgekehrt ist die Fläche R, wie schon Clebsch¹⁹⁵) erkannte, erzeugbar durch die Verbindungslinien h entsprechender Punkte von zwei projektiv aufeinander bezogenen, sich nicht treffenden Raumkegelschnitten C₂, C₂.

Hinterher läßt sich hieraus die C₃ von R bestimmen. Man ermittele einmal die zwei Punktepaare, die auf jedem Kegelschnitt den Schnittpunkten seiner Ebene mit dem anderen entsprechen; andererseits die zwei Schnittpunkte der Verbindungslinien dieser Paare entsprechender Punkte.

Die durch diese sechs Punkte festgelegte C₃ ist die gesuchte Doppelkurve von R.

Der Sonderfall der Fläche R' tritt ein, wenn der Komplex Kx in einen speziellen ausartet, also die Bedingung erfüllt ist S = a₀₀a₂₂ + an(an + 2a₀₂) — 4=a₀₁a₁₂ = 0.

Die von allen Geraden von Kl getroffene feste Gerade e wird eine einfache Leitlinie der Fläche R'. Man hat also:

„Die Fläche R' entsteht als Ort der eine gegebene Gerade e treffenden Sekanten einer gegebenen C₃.“

Jede Ebene durch e trifft die C₃ in drei Punkten, deren Verbindungsgeraden die drei in der Ebene liegenden Regelstrahlen der R' sind. Für vier Ebenen fallen zwei dieser drei Regelstrahlen zusammen.

Es ist auch vorteilhaft, sich nach dem Vorgänge von W. Fr. Meyer (s. Art. „F₃“, Nr. 11, 12) einer Abbildung auf eine (<?)-Ebene zu bedienen, in der ein Punkt (<?) = (2₁, Jl₂) auf einen Normkegelschnitt N₂ — N₂ bezogen ist.

Diese Abbildung erscheint in zweifacher Gestalt.

Einmal entsprechen durch Kombinierung von (7') und (9) den oo⁵ linearen Komplexen Kx (1, l)-deutig die oo⁵ Kegelschnitte c₂ der (ö)-Ebene. Artet im besonderen der Komplex Kx in einen speziellen aus, als Ort der eine feste Gerade e treffenden Geraden, so daß die

1750 III C 10 b. W. Fr. Meyer. Flächen vierter und höherer Ordnung.

Bedingung (7a) erfüllt ist, so sagt das in der (ö')-Ebene aus, daß die dem Kt entsprechende c₂ ein „Schließungskegelschnitt“ des Normkegelschnitts N₂ wird, d. h. daß es ein und damit oo¹ eigentliche „Schließungsdreiecke“ A gibt, die N₂ um- und c₂ einbeschrieben sind. Sind Xx,X₂,X3 die Argumente (auf N₂) der Seiten eines solchen Dreiecks A, so treffen sich die drei Ebenen Xlf X₂, X₃ der N₃ in einem Punkte P auf der Leitgeraden e\ gleitet A längs N₂, so durchläuft P die Gerade e.

Somit sind im besonderen die oo⁴ speziellen linearen Komplexe K\ (1, l)-deutig auf die oo⁴ Schließungskegelschnitte c₂ von N₂ bezogen.

Bei der zweiten Auffassung der Abbildung erscheinen die c₂ der (<?)-Ebene als Bilder der Regelflächen P resp. B' selbst, insofern die Fläche definiert wird als Ort der Sekanten der jV₃, die einem gegebenen, allgemeinen resp. speziellen linearen Komplexe Kx angehören.

Der laufende Punkt (x) einer Sekante Ä₂) hat die Koordinaten

x₀ : xt i x₂ : x₃ = 1 -f- x : 8(2X + tX₂) : 3 (Af -f- rA|): X\ xX\. Damit hat man als Linienkoordinaten pik der Sekante 1₁₇ X₂)

¹

G. Humbert, J. de math. (4) 9 (1893), p. 468. Die Km erscheint hier als Sonderfall der „hyperelliptischen“ Flächen F, deren Punktkoordinaten x, y, z sich als eindeutige, vierfach-periodische Funktionen von zwei Parametern u, v darstellen lassen.

²

Diese Darstellung läßt sich überführen in eine solche durch Quotienten von fr’s qter Ordnung, die geeignet normiert werden.

Die Kurven auf F erhält man durch Nullsetzen von fr-Funktionen.

Im Falle der Kra (q = 2) werden die homogenen Koordinaten xi, ..., xm proportional vier (= 2²) linear unabhängigen geraden fr(it, v) 2. Ordnung mit der Charakteristik Null. Jedem Punkte P der Km entsprechen, wie bei Cayley und Weber, zwei Paare (w, v), (— u, — v).

Daraufhin werden die Kurven C auf der Km eingehend untersucht, indem fr beliebiger Ordnung gleich Null gesetzt werden.

Es gibt nur Cin gerader Ordnung auf Km. Längs einer C2n läßt sich eine

³

   A. Cayley, J. de math. 11 (1846), p. 291 (Sur la surface des ondes).

⁴

   A. Cayley, J. f. Math. 65 (1866), p. 284; ib. 87 (1879), p. 161. — Ein einfaches Kriterium dafür, daß sich eine Km auf eine Tc reduziert, hat J. J. Hutchinson angegeben, Annals Math. 11 (1897), p. 198; Amer. Math. Soc. Bull. (2) 4 (1898), p. 327.

⁵

Die Punkte der Km, wie auch der zugehörigen Wd, waren darstellbar durch hyperelliptische Funktionen (p = 2) von zwei hyperelliptischen Integralen vt, r2 (s. Nr. 71).

(10) p₀₁ :p₀₂ :p₀₃: p₁₂ :p₁₃ : p₂₃ = <y*: <7₀<q: j {p₀ <?₂ — öf): 3 <?₀ ö₂ :öxö₂:ö |.

Sollen diese Sekanten s einem gegebenen linearen Komplexe Kx (9) angehören, so gelangt man unmittelbar zur c₂-Gleichung (7') und vice versa. Die Regelstrahlen h der Fläche B resp. B' bilden sich so (1, 1)-deutig auf die Punkte der c₂ ab.

Dies läßt sich noch genauer verfolgen. Die bisher nur schematische (e')-Ebene werde als eine Raumebene E gewählt, die die N₃ in drei reellen getrennten Punkten E1} E₂, E₃ treffe.

Die abwickelbare P-P₄ der JSf₃ (s. Nr. 76) schneidet E in einer r4 mit drei Spitzen in Elf E₂, E₃, deren Tangenten sich in einem Punkte E treffen, Auf die Ebene E werde die quadratische Punkttransformation T₂ angewendet mit Fundamentalpunkten in Ex, E2f E₃, und E als einem sich selbst entsprechenden Punkte.

Vermöge dieser T₂ geht die r₄ über in einen dem Dreieck A (Pt) einbeschriebenen Kegelschnitt („Inkegelschnitt“), der als Normkegelschnitt N₂ — N₂ von E zugrunde gelegt werde. Jeder Tangente X der r₄ als Spur einer Ebene X der N₃ entspricht (1, l)-deutig eine Tangente X von N₂.

Eine beliebige Sekante (Xx, X₂) treffe E in einem Punkte B'. Dann ist das P₂-Bild von P' gerade derjenige Punkt P, von dem die Tangenten Xt, X₂ an N₂ gehen, der also mit P(Xx, A₂) = P(<?) zu bezeichnen ist.

Nunmehr ist der Übergang von der Fläche B resp. B' zum Kegelschnitte c₂(<?) in E, und umgekehrt, einfach zu vollziehen.

Die Fläche B resp. B' schneidet die Ebene E in einer r₄' mit drei d₂ in Ex, E₃, E₃. Vermöge der T₂ geht die r₄' direkt in die c₂(<?) über. Umgekehrt, liegt eine c₂(<?) in E vor, so ist ihr T₂-Bild eine r[ mit drei d₂ in Ex, E₃, Fs. Durch diese geht eine einzige FA mit N3 als Doppelkurve, und diese ist die in Rede stehende B resp. B'.

gewissen Abschlüsse gebracht, in-

zu einem

79.    Die Mohrmannsche Untersucliung der H-F± mit irreduzibler kubischer Doppelkurve. Die Theorie der beiden Flächenarten B, B' hat II. Mohrmann¹⁹⁶) dem er zugleich die Arbeiten seiner Vorgänger einer Kritik unterzieht.

So ist die Clebschsche¹⁹⁵) Erzeugung der B durch zwei projektiv bezogene C₂ auf die B beschränkt, da die B' überhaupt keine (irre-duzibeln) C₂ enthalten.

In der Tat sind die B und B' als Punktgebilde wesentlich verschieden. Zu dem Behuf werden die B und B' als Projektionen gewisser Normalflächen Fx, F± im S₆ aufgefaßt.

Die Fx tragen doppeltbinäre Gebiete, sind eindeutig abbildbar auf eine eigentliche F₂ im S₃, und gestatten eine mit der Gruppe der Kreisverwandtschaften holoedrisch-isomorphe Kollineationsgruppe.

Dagegen tragen die Fx Jonquieressche Gebiete 2. Ordnung und 2. Art, und gestatten eine, mit der automorphen Kollineationsgruppe eines Kegels 2. Ordnung holoedrisch-isomorphe Kollineationsgruppe.

Bohn19i) hatte die symmetrische doppeltquadratische Korrespondenz J zugrunde gelegt, die die Erzeugenden h der B unter den Punkten der C₃ hervorrufen. Aber es fehlt der Spezialfall der kubisch-zyklischen J mit verschwindender Invariante S, und eben dieser führt zur B'.

Sturm¹⁹²) hat die B synthetisch untersucht. Er beachtet aber nicht, daß zwei Spezialfälle der J, der obige und das Zerfallen in zwei bilineare, nicht-involutorische Korrespondenzen, einander teilweise überdecken, also nicht ausschließen.

80.    Die jR-JF₄ mit reduzibler kubischer Doppelkurve. Nunmehr sind die Fälle zu erörtern, wo die C₃ reduzibel wird.

h durch

Der Fall (a): Die C₃ zerfällt in einen Kegelschnitt h und eine ihn treffende Gerade g. Man ordne die Punkte von h und g in einer (2, 2)-deutigen Korrespondenz derart zu, daß der Inzidenzpunkt sich selbst entspricht. Die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte sind die Regelstrahlen der B-Fx. Man normiere die Punkte (z) von zx:z₃:z₃:zx = l²: A: 1: 0 und die Punkte y von g durch yx: y₂ : y₃ y± — 0 : 0 : l’: 1, so wird die Verbindungslinie von {z) und (y) ein Regel-

strahl h der P-P₄, wenn die Bedingung erfüllt ist l²l'² -f all' + hl -f c = 0.

(10)

Die Gleichung der Il-Fx wird dann

(11) (xxx₃ — x^f -f- a{ocxx₃ — xf)x₂x± -f- (&^i + cx₂) x₂x\ = 0.

Man kann die Fläche auch erzeugen durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte eines Kegelschnitts F und einer Geraden g, wenn diese in einer (2, l)-Korrespondenz stehen, und sich nicht treffen.

Der Fall (ß): Haben dagegen F und g einen Punkt entsprechend gemein, so fällt F mit dem Doppelkegelschnitt k zusammen; in (10) und (11) erhält dann die Konstante c den Wert Null. Auf k gibt es einen, auf g zwei Kuspidalpunkte.

Der Fall (y): Die C₃ zerfällt in drei Doppelgerade¹⁹⁷), von denen die eine gx, die beiden andern g2J g₃ trifft (die selbst windschief sind). Man wähle die drei Geraden als Koordinatenkanten

gx(xx = x₂ = 0), gi(x₁ = xi = 0),    g₃(x₃ =    = 0).

Dann wird die Gleichung der B-F±

(12)

x\x\ -f axxx₂x₃x₄ -}- (bx₁ + cx^)x₂x\ = 0.

Es ist gx ein doppelter Regelstrahl, während g₂, g₃ doppelte Leitlinien der Fläche werden.

Die Fläche ist erzeugbar als Ort der Geraden, die zwei windschiefe Geraden g₂, g₃ und einen Kegelschnitt k, der weder mit g2 noch mit g₃ einen Punkt gemein hat, treffen.

Oder auch als Ort der Geraden, die zwei feste Gerade g₂, g₃, und eine C₃, die mit jeder dieser Geraden einen Punkt gemein hat, schneiden.

Oder auch als Ort der Verbindungslinien entsprechender Punkte von zwei projektiv bezogenen C₂, falls die Punkte, in denen jede dieser C₂ die Ebene der andern trifft, paarweise einander zugeordnet sind. Die Schnittlinie beider Ebenen ist der doppelte Regelstrahl gx.

Oder endlich als Ort der Verbindungslinien entsprechender Punkte einer Geraden g und eines Kegelschnitts k, die in einer Korrespondenz (1, 2) stehen, derart, daß die beiden Punkte, die der Spur P von g in der Ebene von k auf k entsprechen, mit P in einer Geraden g2 liegen. Diese beiden Geraden gx, g₂ sind Doppelgeraden; die dritte, g₃, geht durch denjenigen Punkt O von g₂, in dem sich die Verbindungslinien der Punktepaare schneiden, die auf k den einzelnen Punkten von gx entsprechen, und geht ferner durch den Schnittpunkt der Ge-

81. Die JR-F₄ vom Geschlecht 1 mit zwei windschiefen Doppelgeraden. 1753

raden, die die Schnittpunkte von k und irgendeiner Ebene durch gx mit den entsprechenden Punkten auf g₂ yerbinden.

Auf g₂ und g.₃ liegen zwei Kuspidalpunkte.

Der Fall (d). Fallen im vorigen Falle im besonderen P und 0 zusammen, so auch g₂ und g₃.

Die Gleichung der Fläche wird

(13)    x\(ax\ + 2bxxx₂ -J- cx%) -f- aqOi— x₂xs)(dx₁ -f- ex₂)

+ (xtxA — x₂x₃f = 0.

Hierbei ist xx — x₃ — 0 der Doppelstrahl gx, und xx = x₂ = 0 die doppelt zu zählende Leitlinie g₂ — gz-

81. Die H-F₄ vom Geschlecht 1 mit zwei windschiefen Doppelgeraden. Während die obigen P-P₄ alle vom Geschlecht 0 waren, gibt es noch einen Typus vom Geschlecht 1 mit zwei windschiefen — evtl, auch koinzidierenden — Doppelgeraden.

Man wähle sie als Koordinatenkanten

9i Oi =    = 0); 9 2 Os = a?₄ = 0).

Die Gleichung der Fläche lautet, je nachdem man nach xx, x₂ oder nach x₃, xx ordnet,

(14)    x\(ax\ + 2bx₃xx -f- cxf) -f- 2xxx₂ia x\ -j- 2b'x₃xx -J- c x\)

-j- x\(a" x\ -f- 2b" x₃xx -f- c"x$)

= x\(ax\ -j- 2a xxx₂ -f- a"xl) -f- 2x₃xx{bx\ -j- 2b'xtx₂ -f- b"%l) + x\{cx\ -f- 2c'x₁x₂ -{- c'xf) = 0.

Betrachtet man die beiden Verhältnisse -— = A und — = g als Para-

meter der Punktreihen auf g₂ resp. gx, so erscheint (14) als doppeltquadratische Gleichung in A und g.

Somit erscheint die Fläche als Ort der Verbindungslinien entsprechender Punkte von zwei in einer (2, 2)-Korrespondenz stehenden Geraden g1} g₂. Durch jeden Punkt von gx gehen zwei Regelstrahlen, die mit g₂ in einer Ebene liegen und vice versa.

Auf jeder der beiden Doppelgeraden gx, g₂ liegen vier Kuspidal

punkte.

Die Fläche ist auch erzeugbar als Ort der Strahlen, die zwei gegebene Gerade gx, g₂ und eine ebene c₃, die gx wie g₂ einmal schneidet, treffen.

Dieser letzteren Erzeugung kann man sich auch in dem Sonderfalle bedienen, wo gx und g₂ in eine Gerade g koinzidieren.

Es treffe g die c₃ in 0. Die c₃ steht zu g in einer (2, ^-Korrespondenz derart, daß die Punktepaare von c₃, die den einzelnen Punkten

von g entsprechen, mit 0 stets in einer Geraden liegen, wodurch das Strahlenbüschel (0) auf die Punktreihe (g) projektiv bezogen wird.

Die Fläche ist der Ort der Yerbindungslinien entsprechender Punkte von c₃ und g.

Wählt man g als Kante (xt = x₂ — 0), so nimmt die Gleichung der Fläche die Gestalt an

(15) f±(xx, x₂) + f₂(xx,x₂) ■ (xtxt — x₂x₃) + (x₁xi — x₂x₃y = 0, wo f\ und f₂ binär in x₁, x₂ sind.

82. Die Polaren-Methode von Wong. Von einem einheitlichen und natürlichen Prinzip aus hat Wong19s) die P-P₄ hergeleitet.

Es handelt sich um die liniengeometrische Ausdehnung der schon öfter benutzten quadratischen Punkttransformation T₂ der Ebene auf den Raum. Es liege ein F₂-Büschel B(F, G) vor. Man ordne jedem Punkte P als seine „Polare“ p die gemeinsame Schnittlinie seiner Polarebenen in bezug auf die Individuen in B zu. Durchläuft P irgendeine Raumkurve (7, so beschreibt seine Polare p eine gewisse R-F.

Dies werde im besonderen auf die P-P₄ angewendet. Seien die Gleichungen von F und G

F = ^j^aikxixk = (ax)² = 0,

G=22f>tkXtxk = (bx)² = 0;

der Punkt P habe die Koordinaten (;y). Versteht man unter Fr, Gr (r =    die ersten Ableitungen von F, G, so bestehen zwischen

den x und y die beiden Beziehungen

2xiFi(y) = ^ytFt(x) = (ax) (ay) = 0,

2'*i (y) = 2'yt &i (x) = (bx)(by) = 0.

Sind 7tik die Achsenkoordinaten der Geraden p, so folgt aus (17):

F{(y), Fk(y)

&i(y)>

Diese Darstellungen (18) lassen sich auch in eine einzige zusammenziehen. Bedeutet r irgendeine p treffende Gerade mit den Achsenkoordinaten rlm — (uv)lm, so läßt sich (18) ersetzen durch die Gleichung des linearen Komplexes, dessen Geraden p treffen,

(Ttr) == (ay)(by)(abuv) = |F,(y), G{(y), ui} = 0.

Analog zur T₂ liegt in (19) eine Erweiterung des Clebschschen Übertragungsprinzips auf Komitanten vor (s. Nr. 5).

(16)

(17)

(18)

(19)

Q*n = (ay)Q>y)(ab)ik =

198) B. C. Wong, California Univ. Publ. 1 (1924), p. 371.

Eine Gerade g, deren Punktreihe von einem Parameter X abhänge, trifft die beiden Flächen F, G in zwei Punktepaaren f=(aXy = 0, g = (bX)² — 0, und das Büschel JB in der Involution J: —|— pg — 0. Die Doppelpunkte Dx, D₂ von J bestimmen sich durch die Wurzeln der Funktionaldeterminante ® von f, g: @ = (aX)(bX)(ab) = 0.

Vermöge des TJbertragungsprinzips gehen (aX), (bX) über in die quaternären Linearformen (ay), (by), und der binäre Klammerfaktor (ab) in die geränderte Determinante (abuv), so daß & — 0 übergeht in (19).

Läßt man jetzt die Gerade g variieren, so wird die Gesamtheit der Punktepaare D₂ direkt durch (21) dargestellt.

Es durchlaufe zunächst der Punkt P(y) eine feste Gerade g(y), die als Schnitt zweier Ebenen (ay) = 0, (ßy) — 0 gedacht sei. Kombiniert man diese beiden Gleichungen mit (17) und eliminiert die y, so ergibt sich

(20)

I Ft(x), G,(x), af, ßß = 0,

d. i. die Gleichung einer P₂. Beschreibt also ein Punkt P eine Gerade g, so durchläuft die Polare p die Erzeugenden (der einen Schar) einer JR-FS (20).

Aber auch explizite läßt sich diese Schar der p leicht darstellen. Man bestimme die Punkte P(y) auf g durch einen Parameter t,

gemäß

(21)

QVr = fr 0) =    + dr

(r — i, k, l, m)t

so hat man für die Schar der p als Erzeugende der P-P₂ (20) (22) wo die rechten Seiten quadratische binäre Formen in t sind.

Nunmehr durchlaufe der Punkt P(y) einen Raumkegelschnitt C₂, der gedacht sei als Schnitt einer festen Ebene (ay) = 0 mit einer festen P₂: F₂(y) — 0. Man löse dann zunächst die drei Gleichungen

(23)

2ViFi(x) = 0,    ^y^x) = 0, (ay) = 0

nach den y auf

(24)

Fk(x), P,(x), Fm(x)

nVi = G-Jx), G,(x), Gm(x) = (FGa)

klm'

tn

Die Einsetzung dieser Werte der y in F₂(y) — 0 liefert als Ort der Geraden p eine P-P₄

(25)

P-F, = F₂[(FG)] = 0.

Deren explizite Darstellung vollzieht sich wie oben die der E-F₂.

QVr = 9r 00 = art2 + ²&rT +

Man stelle die C₂ explizite dar mittels eines Parameters t

(r = i, k, l, m).

(26)

Die Einsetzung in (22) liefert die Regelstrahlen p der P-P₄

(27)

rä^W], Ft\g,(r)]

<?,(#,(*)], <?,&,(*)] ' wo die rechten Seiten biquadratische binäre Formen in x sind.

Durchläuft also ein Punkt P eine C₂, so beschreibt seine Polare p eine P-P₄, die durch (23) resp. (27) dargestellt ist.

Überdies läßt sich aus obigem eine einheitliche direkte Erzeugung der P-P₄ durch zwei projektiv zugeordnete F₂-Büschel entnehmen. Zu dem Behuf hat man nur die Erzeugung der C₂ durch zwei projektiv bezogene Geradenbüschel zugrunde zu legen. Dies überträgt sich auf die Erzeugung der P-P₄ wie folgt.

Es liegen zwei F₂-Büschel Bl und JB₂ vor, deren Basiskurve je in eine Gerade und eine C₃ zerfällt. Die beiden Büschel Bx, B₂ lassen sich projektiv so aufeinander beziehen, daß sich je zwei zugeordnete Individuen in einer ü₄ schneiden, die wiederum in eine Gerade p und eine C₅ zerfällt. Dann ist die P-P₄ der Ort der Geraden p.

Die Geraden p bilden einen tetraedralen Komplex, indem sie die Ebenen des gemeinsamen Poltetraeders des Büschels JB nach konstantem Doppelverhältnis treffen. Wählt man dieses Tetraeder als Koordinatentetraeder („allgemeiner Fall“), so vereinfacht sich die Rechnung erheblich. Es ist hierbei vorteilhaft, die C₂ innerhalb ihrer Ebene auf ein Dreiseit von Geraden g zu beziehen und entsprechend die F-Fi auf deren drei Bild-P₂.

Den oo² Punkten Y einer Ebene u entspricht eine Kongruenz von Geraden p, die Sekanten einer bestimmten Cs sind; jede C in u geht über in eine JR-F durch die C₃.

Nach diesem Verfahren hat Wong¹⁹⁸) sämtliche 12 Cremonaschen Typen von R-F± hergeleitet. Läßt man zunächt das P₂-Büschel B ein allgemeines sein und variiert in geeigneter Weise die Lage der 0₂, so gelangt man bereits zu neun Typen der P-P₄.

Behufs der drei noch übrigen Typen hat man das Büschel B geeignet zu spezialisieren, etwa so, daß sich die Individuen von B längs einer festen Geraden berühren. Man legt dann wieder der Gleichung von B eine spezifische Normalform zugrunde.

Es sei noch darauf hingewiesen, daß die P-P₄ als ausgeartete Kummersche Flächen auch als Singularitätenflächen spezieller quadratischer Komplexe K₂ studiert werden können. Unter den 58 projektiv verschiedenen Gattungen von K₂ befinden sich nach A. Weiler¹*) 38 solche, die eine R-F± zur Singularitätenfläche haben.

Läßt sich im besonderen ein K₂ durch lineare Kongruenzen erzeugen, so bilden deren Direktrizen die Erzeugenden h einer R-Fi} die der Singularitätenfläche angehört. Umgekehrt, falls die Singularitätenfläche eine R-F₄ ist, muß jede ihrer h Direktrix einer des K₉ sein.

Daraufhin lassen sich diese bestimmen und konstruieren.

83. Die Segelflächen 5. Ordnung. Diese hat in einer vielzitierten Abhandlung H. A. Schwarz²) behandelt, und vollständig klassifiziert. Je nach der Natur der Doppelkurve gelangt er zu 15 verschiedenen Arten; für zehn derselben ist das Geschlecht gleich Null, für vier weitere ist p — 1, und für die letztere p — 2.

Die Doppelkurve ist der Reihe nach:

1.    eine vierfache Gerade;

2.    eine C₆ mit X>₃;

3.    eine dreifache Gerade und eine (7₃;

4.    eine dreifache Gerade, ein Kegelschnitt und eine Doppelerzeugende;

5.    eine dreifache und eine zweifache Gerade nebst zwei Doppelerzeugenden; hierbei können im besonderen die beiden ersteren Geraden koinzidieren;

6.    eine zweifache Gerade und eine Ch mit _D₃;

7.    eine zweifache Gerade, eine mit d₂ und eine Doppelerzeugende;

8.    ein Kegelschnitt und eine R± mit _D₂;

9.    drei Kegelschnitte, die je zwei Punkte gemein haben, von denen einer allen drei Kegelschnitten angehört;

10.    eine Doppelerzeugende und eine C₅ mit D₂;

11.    eine U₅;

12.    eine dreifache Gerade und ein zweifacher Kegelschnitt;

13.    eine dreifache und eine zweifache Gerade nebst einer Doppelerzeugenden;

14.    eine zweifache Gerade und eine (7₄;

15.    eine dreifache und eine zweifache Gerade, die evtl, auch koinzidieren können.

113

84. Die Regelflächen sechster und höherer Ordnung. Einen ersten Versuch in der Klassifikation dieser Flächen B-F₆ macht J. Bergstedt}⁰⁰) Indem er sich im wesentlichen der Schwarz sehen Methode bedient, gelangt er, ohne Anspruch auf Vollständigkeit zu erheben, zu neun verschiedenen Arten.

Weiter dringt K. Fink²⁰¹) vor. Die Haupteinteilungsgesichtspunkte bleiben das Geschlecht^ der Fläche B-F₆, und die Natur ihrer Doppelkurve.

Vorab wird allgemein das Maximum von p einer B-Fn durch Ermittlung der Anzahl der D₂ derjenigen Restkurve C bestimmt, die durch eine zwei erzeugende Gerade enthaltende Ebene ausgeschnitten wird.

Im Falle n = 6 werden sodann für jede mögliche Beschaffenheit des irreduzibeln Bestandteils von C das Geschlecht und die Ordnung der Doppelkurve C angegeben, sowie die Erzeugung der R-F₆ als Ort der Verbindungsgeraden entsprechender Punkte zweier aufeinander bezogenen Kurven.

Insbesondere werden im Falle p = 0 Ordnung und Geschlecht der G nebst der Anzahl ihrer D₃ ermittelt. Für p = 1 beschränkt sich Fink auf Spezialfälle.

Methoden. Zugrunde wird gelegt der Komplex K

neue

Behufs einer vollständigen Klassifikation der B-F₆ verwendet A. Wiman²⁰²)

niedrigster Ordnung, dem die Regelstrahlen der Fläche JR-F₆ angehören; dieser Komplex wird in geeigneter Weise auf den Punktraum abgebildet, so daß sich die Fläche in eine Kurve C transformiert (vgl. auch hinsichtlich der R-F± Nr. 82).

Die Abbildung wird so gewählt, daß die Komplexkegel stets in Gerade übergeführt werden, die selbst einen gewissen, leicht bestimmbaren Komplex bilden. Hierbei wird die Doppelkurve C der B-F₆ abgebildet auf die Sekantenregelfläche der Bildkurve, die diesem Komplex angehört. Die Vereinfachung der gestellten Aufgabe besteht darin, daß erst die Eigenschaften jener Sekantenregelflächen für sich untersucht, und dann auf die Doppelkurve C übertragen werden.

Die Fundamentalgebilde der Abbildung werden naturgemäß so bestimmt, daß die Ordnung der Bildkurve einen kleinsten Wert erhält; es treten dann nur die drei Fälle ein, wo diese Ordnung gleich resp. 3, 4, 5 wird. Als Hilfskomplex läßt sich ein tetraedraler K benutzen, der sich mittels eines Fs-Büschels B einfach auf den Punktraum abbilden läßt, in dem K von den Polargeraden der Punkte bez. B gebildet wird (s. Nr. 82).

200)    J. Bergstedt, Lund Akad. Afh. 1886.

201)    K. Fink, Dissert. Tübingen 1887.

202)    A. Wiman, Dissert. Lund 1892.

In dem Sonderfalle, wo die R-F₆ Leitgerade besitzt, geht K in einen speziellen linearen Komplex über; eine der F₂ in B artet in ein Ebenenpaar aus.

Enthält ein allgemeiner linearer Komplex die Erzeugenden h der R-F₆, so hat die Sekantenregelfläche eine C₂ als Leitkurve, und umgekehrt.

Es werden daraufhin für die verschiedenen Arten der R-F, fol

gende Anzahlen ermittelt:

Mit einer Leitgeraden    1

Ohne Leitgerade    1

Eine R-F₆ ohne zwei Leitgerade hat also höchstens das Geschlecht 2.

Überdies werden allgemein für eine B-Fn ohne dreifache Kurve und Leitgerade die Anzahl t der Z)₃ und die des Geschlechtes P der C ausgedrückt durch die Ordnung n der Fläche, das Geschlecht p und die Zahl f der JD₂

CO CO

co

00 T—I

t\S

t = j-(n — 4) {(» — 2)(n — 3) — 6p),

P =    — 3)(n — 4) -f- p(n — 5) — /.

Mithin muß p ^\{n — 2)(n — 3) sein.

Entsprechende Formeln gelten für JR-F mit einer Leitgeraden.

XIII. Metrisch bemerkenswerte Flächen vierter und höherer Ordnung.

85. Aus Flächen 2. Ordnung abgeleitete Flächen vierter und höherer Ordnung. Vorab mögen zwei Arbeiten von F.F. Kummer besprochen werden, da sie allgemeinere Gesichtspunkte enthalten. Beidemal wird die Einhüllende einer Schar von F₂ betrachtet.

Sei zunächst²⁰³) eine quadratische Schar von F₂ vorgelegt mit dem Parameter A

(1)

A²gp —j— 2 Xip —j— ^ = 0.

Dann ist die Einhüllende die P₄

(2)

P₄ = */>² — cpx = 0.

Diese Gattung von P₄ umfaßt eine Reihe bekannterer, so die Fi mit C₂ (Abschn. III), die Kummersche Fläche Km (Abschn. XII), die P₄ mit acht assoziierten B₂ (Nr. 61), die Steiner&che Fläche S (Abschn. VII), die P-P₄ mit kubischer Doppelkurve (Nr. 78 ff.) u. a.

Während im allgemeinen die Doppeltangenten t₂ einer P₄ ein

113*

Strahlensystem (12, 28) bilden, so ist es für die F± (2) charakteristisch, daß das System in zwei zerfällt: (a) (4, 12), und (ß) (8, 16).

Das System (a) besteht aus den Erzeugenden aller einhüllenden F„ enthält also im besonderen die Kanten der acht, in der iF^-Schar (1) existierenden Kegel.

Adjungiert man der Fi (2) noch die Scheitel jener acht Kegel, so erhält man die vollständige Brennfläche des Strahlensystems (a).

Dies ist der Spezialfall eines allgemeinen Gesetzes. Man betrachte das System der Doppeltangenten t₂ einer Fn. Dann zerfällt die Brennfläche dieses Systems in die Fn selbst, und die abwickelbare Fläche der doppelt berührenden Ebenen T₂ der Fn.

Kehren wir zur Fi (2) zurück, so enthält das System (a) auch die Kanten der acht Kegel, die gebildet werden von den durch die acht Grundpunkte des Netzes (cp, i\>, %) gehenden Strahlen; diese acht Grundpunkte sind D₂ der F±. Diese acht Kegel sind die Orte der durch die _Z)₂ gehenden Tangenten der F±.

Die von den T₂ der F₂ (2) eingehüllte abwickelbare Fläche ist eine jF₉₆, die aber zerfällt in jene acht doppelzählenden Kegel 6. Ordnung und eine F±₈.

In gewissen Fällen kann das System (cc) der Ordnung 4 in zwei Systeme 2. Ordnung zerfallen. Man kann auf diese Weise alle Strahlensysteme 2. Ordnung erhalten, die Brennflächen, aber keine Brennkurven haben, exkl. die der Klasse 7.

Das Obige findet dann noch seine Anwendung auf die Kummer-sche Fläche Km

(3)

Kra = <?² —pqrs = 0, wobei verschiedene Modifikationen eintreten.

Als Spezialfall der Km erscheint die Hemers che Fläche S. Es werden am Schlüsse einige Gipsmodelle der Km beschrieben.

(4)

Beim nächsten Schritt²⁰⁴) liegt eine kubische Schar von F₂ vor X³cp -j- 3A²^ -f- 3A% —J— co = 0.

Die einhüllende Fläche F dieser Schar erhält man durch Nullsetzen der Diskriminante der in X kubischen Form (4)

(5)

F = 4(^² — (px)(x² — 9®) “ (<PC5 “ tPxY = 0-

Diese Fläche F ist eine F₈, die insofern ein bemerkenswertes Seitenstück zur Kummerschen Fläche Km bildet, als auch sie zu sich selbst dual (reziprok) ist. Diese F₈ erscheint auch als Brennfläche eines Strahlensystems (3, 3), falls die drei durch irgendeinen Punkt gehenden Strahlen des Systems nicht inzident sind.

Die F₈ hat eine Wendekurve Cs, zwölf singuläre, längs U₂ berührende Tangentenebenen T, sowie zwölf _D₂, die auf sechs Schnittachsen der zwölf T liegen. Jede dieser T ist in vier Punkten Schmie-gungsebene der C₈, die zugleich auf den Berührungs-(7₂ der T liegen.

In einem Zusatze bemerkt Cayley m), daß die obige F₈ zu einer Gattung von Flächen gehört, die er³ 4) als Schnitte von drei gewissen, projektiv bezogenen Komplexen erhalten hat.

Das Kummerache Verfahren ließe sich fortsetzen, indem man ein-hüllende Flächen von biquadratischen, . . . F₂- Scharen betrachtet. Diese Flächen scheinen aber zu kompliziert zu sein, um noch Interesse zu erwecken. Vgl. indessen (weiter unten) eine spezielle biquadratische F₂-Schar als Enveloppe der Parallelflächen des Ellipsoides.

Ist im besonderen in der Gleichung (2) eine der beiden quadratischen Formen cp, % das Quadrat einer Linearform p, so spezialisiert sich die F± (2) zu einer F± mit C₂; für p = 0 als E«,, und i/j als einen Minimalkegel tritt die Reduktion auf eine Zyklide Z ein. Als ein bemerkenswerter Unterfall der letzteren bietet sich die Inverse einer zentrischen F₂ in bezug auf deren Mittelpunkt als Pol dar. Macht man x, y, z noch mit q homogen, so sei die Fs, mit dem Anfangspunkt als Mittelpunkt, dargestellt durch

(6)

F₂= G₂ q⁵ = 0,

wo G₂ eine quadratische Form in x, y, z ist. Vermöge der Inversion bez. 0 geht (6) über in die Fi

¹

a) A. Weiler, Ztschr. Math. Phys. 27 (1882), p. 257; J. f. Math. 95 (1883), p. 140. In einer früheren Arbeit, Math. Ann. 7 (1873), p. 145, hatte Weiler die 58 Gattungen quadratischer Komplexe aufgestellt.

²

199) jH. A. Schwarz, J. f. Math. 67 (1866), p. 23.

Encyklop. d. math. Wissensch. III 2.

³

   A. Cayley, ib. p. 309.

⁴

   A. Cayley, London Math. Soc. Proc. 2 (1870).

⁵

   A. Cayley, Quart. J. 11 (1871), p. 283.

(?)

Ft = q*Ga-(x* + y* + z*y = 0,

also in eine leicht zu diskutierende Z. Ist im besonderen (6) ein Ellip-soid mit den Halbachsen a, b, c, so geht (7) über in

(7')

l) — (x² + y* + *²)² = 0.

Diese F± tritt in der Mathematik deformierbarer Körper als „Elastizitätsoberfläche“ auf.

Cayley m) untersucht die Zentralinverse einer zentrischen F₂, indem er deren Gleichung auf verschiedene Formen bringt.

Im Falle eines Ellipsoides studiert Cayley¹) die parabolische Kurve der in Rede stehenden Fläche, d. i. den Schnitt mit ihrer Afesseschen Fläche. Nach Abspaltung von vier doppelt zu zählenden Geraden, den

K treffenden Kanten des Asymptotenkegels des Ellipsoides, bleibt als „eigentliche“ parabolische Kurve eine Cs.

Das Problem der Quadratur der Elastizitätsoberfläche hat, nach dem Vorgänge von K. G. J. Jacöbi, Ed. Hutt²) eingehend behandelt.

Indem er innerhalb des Doppelintegrals der Quadratur zwei geeignete neue Variable einführt, läßt sich die Integration nach der einen algebraisch ausführen; die Integration nach der zweiten Variabein führt auf ein elliptisches Integral.

Dies Ergebnis dehnt Hutt weiterhin auf irgendeine Parallelfläche zur Elastizitätsoberfläche aus. Weiter bietet sich als ein eigenartiger metrischer Unterfall von (4) dar in der Schar konfokaler Mittelpunkts-.^

_ + _ii_

l ‘ c* — l

Nach Heraufmultiplikation der Nenner und Verwendung von Summenabkürzungen, wie 2x² — x² -f- y² -f- z² u. a., nimmt (8) die Gestalt an

(8') Fq² + A²{J*V — q² 2 a²} —2 x\b² + c²) — q² 2b² c²}

-f- {q²a²b²c² -J-2%*b²c²} = 0.

(8)

as — l

y\

t? —

Die zugehörige Fs (5) besitzt nur oo¹ reelle Punkte, nämlich die der beiden einteiligen Fokalkegelschnitte der Schar (8).

Diese beiden Fokalkegelschnitte nebst dem dritten (nullteiligen), sowie dem Kugelkreise K sind Doppelkegelschnitte C₂ der F₈. Daraufhin läßt sich die Form F₈ als Summe von (7 resp. 10) Quadraten darstellen.

Die F₈ ist auch insofern bemerkenswert, als sie nach F. Geiser³) zusammenfällt mit dem Ort der Spitzen {x, y, 3, q) der an das Ellip-soid (a, b, c) gehenden Rotationskegel. Dies setzt Geiser in Beziehung zum Hauptachsenproblem des Ellipsoides (oder allgemeiner, einer zentrischen Fa).

Diese drei Hauptachsen hängen von einer gewissen kubischen Gleichung /^(A) = 0 ab. E. E. Kummer³) hatte gezeigt, daß die Diskri-minante von fs als Summe von Quadraten darstellbar ist.

Auf Grund der Quadratsummendarstellung der Form F₈ liefert Geiser einen neuen Beweis des Kummersdhen Satzes, wobei zugleich dessen innerer Grund anschaulich hervortritt.

Es werde noch auf einige weitere, den zentrischen F% und im be-

sonderen dem Ellipsoide entspringende Flächen höherer Ordnung ein

gegangen.

Da kommt vor allem die vielfach (s. „Salmon-Fiedler“, Nr. 273) untersuchte Parallelfläche des Ellipsoides in Betracht. Hierbei sei bemerkt, daß S. Roberts⁴) für die Parallelfläche einer zentrischen Fs Ordnung, Klasse und einige Singularitäten bestimmt hat.

Weiter zeigt Cayley211 a), daß sich diese Fläche als Enveloppe einer biquadratischen Schar von F₂ ansehen läßt. Ist die Gleichung des Ellipsoides

(9)

2L* ₊ £ ₊ £!_i= V*’

a² ' 5* ¹ eä

-1 = 0,

und h der Abtsand zwischen Ellipsoid und Parallelfläche, so lautet die Gleichung der Schar mit dem Parameter p

(10)

= 0.

Bringt man die Nenner herauf, so ergibt sich links eine biquadratische Form /₄(p). Durch Nullsetzen von deren Diskriminante erhält man die Gleichung der Parallelfläche; diese erweist sich also als eine F₁₂. Sind g₂ und g₃ die Invarianten von /*₄(p), so wird die Gleichung

(11)

Fi2= gl — 27g\ = 0.

Hier stellt g₂ = 0 eine FA, und gs = 0 eine F₆ dar; deren Schnittkurve, eine C2i, ist die Kuspidalkurve der Fn.

Eine eingehende Untersuchung der Parallelfläche verdankt man Th Graig.⁵) Die Fläche ist eine Fu (s. oben bei Cayley) mit einer Cu als Kuspidalkurve.

Nach Aufstellung der Gleichung der F₁₂ werden die Krümmungsparameter u, v des Ellipsoides als unabhängige Variable eingeführt. Es ergibt sich dann für a = b — c, ß = c — a, y = a — b die einfache explizite irrationale Darstellung der F₁₂

(12)

X = 1    + u) + v (i | h-\/abc\

V    — ßy \ ' a V uv J

usf.

Nach Diskussion der Hauptschnitte der Fläche wird dann ihre Kuspidalkurve Cu untersucht. Diese zerfällt in die drei Fokalkegelschnitte des Ellipsoides, den Kugelkreis K und 16 Tangenten des letzteren. Sodann hat J. C. Malet²¹²³') die negative Fußpunktfläche F" einer

zentrischen F₂ untersucht. Vorab wird als Vorbereitung der Fall der Ebene, also einer zentrischen c₂ behandelt.

Die gesuchte Kurve erweist sich als eine r₆ mit vier d₂ und sechs Spitzen. Die Spitzen liegen auf einer c₂, ihre Tangenten berühren eine y₂; die acht Tangenten in den vier d₂ berühren eine y₂, und die sechs Berührungspunkte der drei Doppeltangenten t₂ liegen auf einer c₂.

Rechnung und geometrische Deutung verlaufen analog bei dem Raumproblem, nur daß hier naturgemäß die Singularitäten der fraglichen F₆ komplizierter sind.

Das in Rede stehende Problem läßt sich verallgemeinern. In der Ebene suche man den Ort der Mittelpunkte eines veränderlichen Kreises, der einen gegebenen Kreis orthogonal schneidet und eine gegebene Kurve c berührt. Andere Unterfälle dieser Verallgemeinerung sind die Parallelkurve von c nebst ihrer negativen Fußpunktkurve, sowie der Ort des Mittelpunktes eines Kreises, der die c und einen festen Kreis berührt.

Entsprechende Ansätze werden für den Fall des Raumes gemacht.

Weiter sei die „Gegenfußpunktsfläche“ F' des Ellipsoides erwähnt. Allgemein, bei beliebiger Urfläche F, versteht Th. Craig2u) unter der Fläche F' den Ort der Fußpunkte der Ebenen, die man durch einen festen Punkt P₀, den Pol, senkrecht zu den Normalen von F legen kann.

Für das Ellipsoid (9) als Urfläche und dessen Mittelpunkt als Pol erweist sich die fragliche Fläche F' als eine F₁₀.

Die Ableitung ihrer Gleichung erfolgt durch eine umständliche Elimination. Aus der Gleichung lassen sich einige Gestaltsverhältnisse der Fläche ableiten.

Eine einfachere explizite Darstellung ergibt sich, wenn man, wie oben, die Krümmungsparameter u, v des Ellipsoides als Parameter einführt. Damit gewinnt man die Fundamentalgrößen 1. Ordnung der Fläche F\ aus denen man weitere Eigenschaften derselben ableiten kann.

Die Fläche F' hängt mit der Urfläche F und deren Fußpunktfläche F" nach einem einfachen Gesetze zusammen:

Die beiden Normalen in entsprechenden Punkten der beiden letzteren Flächen treffen sich in dem entsprechenden Punkte der ersteren Fläche.

Zu einer eigentümlichen Fläche gelangt L. Glaisher21S), indem er nach dem Ort der Mittelpunkte der Sehnen konstanter Länge eines Ellipsoides fragt.

Yorab wird die analoge Frage in der Ebene für eine Ellipse erörtert. Es ergibt sieb als Ort eine c₄, die eingehend diskutiert wird. Für das Ellipsoid ergibt sich als Ort ein räumliches Gebiet, das von Teilen einer gewissen Fe begrenzt wird. Ist die Gleichung des Ellip-soides E, wie in (9), gegeben, und & die konstante Sehnenlänge, so lautet die Gleichung der Fe

= 0.

(13)

x²

a²(a²E² + k*)

Irgendeiner der drei Hauptschnitte der Fe zerfällt in eine c₄ der obigen Art und eine Ellipse, die zu dem zugehörigen Hauptschnitt des Ellip-soides ähnlich und ähnlich gelegen ist.

Zwischen diesen beiden Kurven verläuft jeweils der Streifen des Ortsraumes.

Es wird noch auf gewisse Analogien zwischen der F$ und der Wellenfläche hinsichtlich Gleichungsform und Gestalt hingewiesen.

Im Falle eines Rotationsellipsoides treten gewisseVereinfachungen ein.

Bezüglich mehr elementarer Eigenschaften von, aus einer F% (resp. Gs) abgeleiteten metrischen Flächen höherer Ordnung (positive und negative Fußpunktfläche, Parallelfläche, Torusfläche u. a.) sei auf „Sal-mon-Fiedler“, Kap. IY verwiesen.

86. Andere bemerkenswerte metrische Flächen vierter und höherer Ordnung. Ohne Anspruch auf Vollständigkeit sollen hier nur einige beachtenswerte Typen metrischer F± herausgehoben werden. Bei W. Marx2U) liegt die stereometrische Aufgabe zugrunde, drei gegebene Raumgerade a, b, c durch eine Ebene nach einem Dreieck A mit vorgeschriebenen Winkeln a, ß, y zu schneiden. Man verbinde einen beliebig, aber fest gewählten Punkt A auf a mit einem auf b variierenden Punkte B durch eine Strecke s. Über s konstruiere man ein Dreieck A der gesuchten Art. Dann beschreibt die dritte Ecke von A einen Kreis, und dieser Kreis beschreibt bei (auf b) variierendem Punkte B eine Fi mit einem Doppelkegelschnitt, der selbst ein gewisser Kreis durch A ist. Diese Fi wird diskutiert; ihre vier Schnittpunkte mit der Geraden c führen zu den vier Lösungen der obigen Aufgabe.

zur

2*

A. Sucharda²¹⁵) untersucht eingehend „Rückungsflächen“, die entstehen durch Parallelverschiebung eines (unveränderlichen) Kegelschnitts C längs eines festen Kegelschnitts C₀. Diese Flächen gehören Gattung der Fi mit C

214)    W. Marx, Dissert. München 1880.

215)    A. Sucharda, Casopis 13 (1884), p. 1, 161; ib. 15 (1886), p. 149; Wien Ber. 97 (1888), p. 1083; ib. 99 (1890), p. 549; ib. 101 (1892), p. 585.

In einer ersten Arbeit (1884) sind im besonderen C und C₀ Kreise, deren Ebenen orthogonal sind. Es werden für eine solche „Kreis-rückungsfläche“ ihre Symmetrie Verhältnisse, ihre C₂, ihre Kurve der parabolischen Punkte und ihre Kuspidalpunkte diskutiert, sodann ihre Polarflächen, ihre Steinerache Fläche u. a. m. In einer zweiten Arbeit (1886) werden C und C₀ als beliebige Kegelschnitte angenommen. Es handelt sich vor allem um die Ermittelung der 16 Geraden g der Fif und deren Anordnung. Als Hilfsmittel dient die Geiserache Verallgemeinerung215 a) der Inversion (s. Nr. 25): Jedem Punkte X entspreche ein Punkt Y derart, daß ihre Verbindungsgerade p durch einen festen Punkt P₀ geht, und das Paar (X, Y) durch die Schnittpunkte von h mit einer festen F₂ harmonisch getrennt wird. Als zu transformierende Rückungs-P₄ wird im besonderen eine durch zwei gleichseitige Hyperbeln C, CQ bestimmte gewählt, und als F₂ ein die C₂ enthaltendes Rotationshyperboloid.

Die Transformierte der P₄ ist eine F₈, die sich aber nach Absonderung einer Ebene und eines Doppelkegels auf eine spezielle F3 reduziert, in deren 27 Geraden die 16 der F± enthalten sind. Je vier dieser 16 g fallen in eine Gerade zusammen.

Die Methode ist auf den allgemeinen Fall übertragbar.

In drei weiteren Arbeiten²¹⁵) werden Rückungs-i^ mit einem Mittelpunkt untersucht; diese entstehen, wenn C und CQ zentrische Kegelschnitte sind. Es werden (1889) wiederum die Singularitäten der F± ermittelt u. a. m. Die P₄ enthält zwei Systeme unter sich und mit C resp. C₀ kongruenter und homothetischer Kegelschnitte. Im besonderen wird (1888) die Normalenfläche F längs eines solchen verfolgt. Der Richtungskegel von F ist ein Kegel 2. Ordnung. Alle hierher gehörigen Berührungsaufgaben sind mit Zirkel und Lineal lösbar. Die Fläche F ist erzeugbar aus zwei ebenen c in (1, 2)-Korrespondenz. Die Fläche ist eine F₆ vom Geschlecht 0 und vom Range 10. Als Doppelkurve tritt eine C₁₀ auf, die aber in eine C₂ (in E«) und eine Gs zerfällt.

Beachtenswert ist, wie in einer letzten Arbeit (1892) genauer ausgeführt wird, daß sich die ziemlich verwickelten Singularitäten der Fläche in Paaren von reziproken anordnen lassen.

Zu einem metrischen Repräsentanten einer P₄ mit zerfallender C2 und vier isolierten D₂ führt eine stereometrische Aufgabe bei W. Schmidt.²¹⁶) Die P₄ ist der Ort der Punkte, deren Entfernungen

215a) F. Geiser, J. f. Math. 70 (1869), p. 249.

wo

216) W. Schmidt, Progr. Realgymn. Lüdenscheid 1889. Den Sonderfall, die beiden Geraden g₁, gt inzident sind, hatten bereits A. Luchterhandt, Progr.

lL) l₂ von zwei gegebenen windschiefen Geraden gtt g₂ eine konstante Summe Ti besitzen. Die vier P₂ bestimmen ein windschiefes Rechteck, dessen Diagonalen gx und g₂ sind, während die Seiten der P4 angehören, womit alle g der Fläche erschöpft sind. Die P₄ besteht aus zwei, in den D₂ zusammenhängenden Mänteln, von denen aber nur der endliche (mit elliptischer Krümmung) der Aufgabe entspricht; für die Punkte des unendlichen Mantels (mit hyperbolischer Krümmung) ist lx — \ — Ti.

Für Ti < ö, wo 8 den kürzesten Abstand zwischen gx und g₂ bedeutet, verschwindet der endliche Mantel. Für den Grenzfall Ti — ö resultiert die Steinersche Fläche S (s. Art. „P₃“, Nr. 13).

Zu einer speziellen P₄ mit 0₂ führt eine instruktive Aufgabe aus der Differentialgeometrie. Man suche mit F. Rudio²¹⁷) eine Fläche F, deren Krümmungsmittelpunktsfläche aus zwei konfokalen (Mittelpunkts-) P₂ besteht. Sei a² > Z>² > e², so stellt

(1)

y =1

^1/ a² — % X

ein konfokales P₂-System dar. Durch irgendeinen Punkt P(x, y, z) ==» P(A, u, v) gehen drei solcher F, die elliptischen Koordinaten von P sind. Yom Punkte P, der auf der P₂(P) liegt, gehen zwei Gerade tx, t₂ aus, die P₂ (X) und eine weitere P₂(g.) des Systems (1) berühren.

Setzt man zur Abkürzung

2?

wo

A, u, v, die Wurzeln von (1),

Vf(u)

(1 — u) (fl — u) ⁷

vm

wo f{y) = (a²— v)(jb²— v) (c²— v), so erhält man für die Richtungskosinus |, 7], % von t1} resp. t₂ die Werte

(3)

t—

— -j--■ —-----1 Usf.

u ¹ er — v u — vj

Das Strahlensystem

(4)

x'=* x + qI;

wird zum Normalensystem einer Fläche P, sobald man q den Wert beilegt

(5)

1 r f*du , rdv \

p=lli ~ü Tr

Diese Fläche F ist die in Rede stehende P₄ mit (7₂.

Friedrich-Wilhelm-Gymn. Berlin 1861, und ausführlicher B. Gantzer, Progr. Stendal 1876, untersucht. Die Gestaltsverhältnisse der Fläche sind im wesentlichen dieselben, wie im allgemeinen Falle.

217) F. Budio, J. f. Math. 94 (1883), p. 240; ib. 105 (1888), p. 85. Ygl. auch F. Klein, Höhere Geom., 3. Aufl., hrsg. von E. Blaschke, Berlin 1926, § 6.

Die Methode und ihr Ergebnis lassen sich, wie in einer weiteren Arbeit²¹⁷) gezeigt wird, ausdehnen auf die Mittelpunktsfläche F eines Strahlensystems 4. Ordnung und 4. Klasse, dessen Brennfläche aus zwei konfokalen F₂ besteht.

Eine einfache stereometrische Aufgabe führt L. Heffter⁶) zu „Isogonalflächen“ 4. Ordnung. Sind in der Ebene zwei Punkte Px und P₂ gegeben, so ist bekanntlich der Ort der Punkte P, deren Verbindungslinien mit Px, P₂ einen konstanten Winkel <p einschließen, ein System von zwei Kreisen, daß man auch als eine zerfallende e₄ („Isogonalkurve“) auffassen kann.

Für den Raum bieten sich, wenn wiederum zwei Punkte Px, P2 gegeben sind, drei verschiedene Ausdehnungen dar.

Erstens, die „Isogonalfläche J (Px, P₂)“, als Ort der Punkte P, deren Verbindungslinien mit PXf P₂ einen konstanten Winkel cp bilden. Zweitens, die „Isogonalfläche J^g, A)u, als Ort der Punkte P, für die die Ebene (P, g) mit dem Strahle (P, Ä) einen konstanten Winkel <p bildet. Drittens, die „Isogonalfläche J(p{gxy <7₂)“, als Ort der Punkte P, für die die beiden Ebenen (P, gx) und (P, g₂) einen konstanten Winkel cp einschließen.

Diese drei Arten von Flächen, die stets von der 4ten Ordnung sind, werden geometrisch wie analytisch eingehend untersucht.

Im ersten Falle ergibt sich offenbar die Rotationsfläche der in

zwei Kreise zerfallenden c₄. Im zweiten Falle gelangt man zu einer P₄, die die Gerade g als Doppelgerade und den Punkt A als D₂ besitzt. Im dritten Falle resultiert eine P-P₄. Daß die Fläche eine P-F sein muß, erkennt man, wenn man sie so entstehen läßt, daß eine variierende Ebene Ex des Büschels (gf) stets mit einer, ihr projektiv zugeordneten Ebene E₂ des Büschels (g₂), die mit Ej den Winkel cp bildet, geschnitten wird. Die Fläche besteht paaren, die von g₂ an die, aus Ei (07) — oder auch, die von gx an

aus allen Tangenten-der Fläche Jip(gx, A₂) vom Büschel die, aus der Fläche Pcp(gs, Ax) vom Büschel E₂(^₂) — ausgeschnittenen Kreise gehen.

Hierbei bedeuten Ax und A₂ die Endpunkte der kürzesten Entfernung d zwischen gx und g₂. Die Gestalt dieser P-P₄ variiert, je nach

dem der Winkel cc(gx, gf) = cp ist.

Für a < cp besteht die P-P₄ aus zwei in sich geschlossenen Mänteln, die sich in gx und g₂ durchsetzen. Für a > cp existiert nur ein einziger Mantel, der sich längs der Geraden gx und g₂ durchsetzt, die aber nicht ihrer ganzen Ausdehnung nach der Fläche reell angehören.

Im Grenzfalle a — cp wird die Gerade d = (A1} Aa) zu einer Doppelerzeugenden der 1l-F±. Man hat wiederum einen einzigen Mantel, der sich in den drei Geraden d, gx, g₂ durchsetzt, wo gt und g2 ihrer ganzen Ausdehnung nach der Fläche angehören. Es wird auch der andere Grenzfall berücksichtigt, wo gx und g₂ inzident sind; die R-Fi artet dann in einen „Isogonalkegel“ aus.

In einem Nachtrage²¹⁸) setzt der Verfasser auseinander, wie man von den verschiedenen .F₄-Formen ein anschauliches Bild gewinnen kann, und beschreibt Modelle und Apparate, die von W. Schmidt in Gießen ausgeführt sind.

Von größerer Bedeutung als diese speziellen Untersuchungen sind die über Flächen mit Symmetriebenen EW, die sich mit denen regulärer Körper decken. Solche Flächen mögen kurz „symmetrische“ heißen und mit F® bezeichnet werden. Es sei von vornherein betont, daß durch das Studium dieser Flächengattungen auch die Theorie der KW wesentlich gefördert wird.

Die beiden grundlegenden Abhandlungen sind die von F. Lecornu und jE. Goursat,²¹⁹)

In der ersten wird, zunächst unabhängig von der Zahl und Anordnung der Ew, die Gleichungsform der F® bestimmt. Als Grundlage dient der Satz:

„Haben drei (algebraische) Flächen L = konst., M = konst., N = konst. gerade so viel gemeinsame Punkte, als zur Herstellung der Symmetrie erforderlich ist, so ist jede F® als ganze Funktion von L, M, N darstellbar.“

L, M, N heißen „symmetrische Elemente“. Für die weiteren Rechnungen werden vorab solche drei Elemente möglichst einfach ausgewählt: L — x² + y² + z², M und N je als Produkt der Abstände eines Punktes von den E^ eines auf die beiden einfachsten Arten zu wählenden symmetrischen Systems.

Für m, n als die Ordnungen von M, N erweist sich die Zahl der Ew des zugehörigen ZW gleich m -f- n—1. Nunmehr werden, im Anschluß an die fünf regulären KS*\ drei Typen solcher symmetrischen Systeme unterschieden: Der „tetraedrische“ Typus (I), der „kubo-okta-edrische“ (H), und der „ikosi-dodekaedrische“ (III).

(I)

Beim Typus (I) mit sechs Ew ist zu setzen

M = xyz,

— (x + y + z)(x -f y — z)(x -y-f z){— x + y + z).

219) E. Lecornu, Acta math. 10 (1887), p. 201; E. Goursat, Ann. l5c. Norm. (3) 4 (1887), p. 159, 241, 316.

Die Gleichung der zugehörigen FW lautet

(r) pw = cp {x² -f- y² + 2*, x²y² + y²z² + z2x2, xy&} = o.

Für besondere Fälle bestehen verschiedene Beziehungen zu anderen Zweigen der Geometrie.

Beim Typus (II) mit neun Ew hat man (II) M = x²y²z², N = z⁴ + y⁴ + s⁴ — 2x²y² — 2y²z² — 2z²x².

Die Gleichung der zugehörigen FW läßt sich auf die einfache Form bringen

(IF)

F& = (p(x², y², z²) = 0.

Im besonderen ergibt sich so eine biquadradische FW. Vermöge der Substitution x² = X, y²=Y, z² — Z geht sie in eine Rotations-F2 über. Die Lage der P₂ der P₄, sowie ihrer 24 reellen Geraden, wird diskutiert.

In diese Klasse von FW gehört auch die „pseudosphärische“ P₄, xi + yA +    ⁼ h un<i die F₆: -j; -j-    •

Beim Typus III mit 15 EW setze man, unter X den Wert |(]/5— 1)

verstanden,

M = (z² — X²y²)(y² — X²x²)(x² — X²z²),

(III) < N — (y² — Xlz²)(z² — A⁴#²)(;r² — Xiy²)(x⁴‘ -f- y⁴ -f- #⁴

— 2x²y² — 2y²z² — 2z²x²).

Die zugehörige FW- Gleichung ist wiederum

(HI')

<p(L, M, N) = 0.

Es braucht kaum erwähnt zu werden, daß algebraischen FW hei allen drei Typen stets algebraische Gleichungen <p = 0 entsprechen, und vice versa.

Wir kommen zur Goursatschen weitergreifenden Untersuchung.²¹⁹) Diese zerlegt sich in drei Teile. Der erste deckt sich im wesentlichen, abgesehen von der Auswahl der speziellen Probleme, mit den Methoden und Ergebnissen von Lecornu.

Außer den obigen drei KW-Typen werden aber auch noch die der regelmäßigen Pyramide und Doppelpyramide berücksichtigt.

Ferner werden mit Vorteil Minimalkoordinaten s — x -f- iy, s — x — iy verwendet, und mit deren Hilfe die Klassengleichung der FW aufgestellt. Instruktive Beispiele werden durch gewisse Fs, P₄, F6 geliefert.

Der zweite Teil ist den symmetrischen Minimalflächen MW gewidmet. (Bezüglich der allgemeinen Theorie der Minimalflächen siehe Art. III D 5, R. v. Lilienthal, Besondere Flächen, Kap. 6.) Ist P irgend-

ein Punkt einer zunächst beliebigen Minimalfläche M, p(s, s) sein sphärisches Bild, so entspricht jeder Kurve auf M als Ort von Punkten P seine sphärische Bildkurve als Ort der Punkte p.

Dadurch läßt sich jede Minimalkurve r vermöge der „charakteristischen Variabein“ 6 = — ^ — i ^ durch eine „charakteristische Funktion F{p)u darstellen.

Aus der Kurve JT wird gemäß der Absehen Theorie (s. Nr. 87) durch Translation einer zweiten solchen Kurve T' jede M erzeugt* aus der charakteristischen Funktion von JT läßt sich die von JT' ableiten. Nunmehr trete die Bedingung ein, daß die M zu einer wird. Hierbei sind zwei Arten von Symmetrie zu unterscheiden. Entweder entsprechen zwei symmetrisch zu einer E⁽b gelegenen Kugelpunkten zwei symmetrisch gelegene Flächenpunkte, oder aber zwei symmetrisch zur Y-Achse gelegenen Kugelpunkten entsprechen zwei symmetrisch zur K-Ebene gelegene Punkte der Fläche. Die Minimalkurve r muß dann derart sein, daß ihr symmetrisches Gegenbild entweder mit r selbst, oder aber mit deren konjugierter Kurve r zusammenfällt.

Für jeden der Körper KW werden T, rr nebst den zugehörigen charakteristischen Funktionen F(p) bestimmt.

Den beiden obigen Arten von Symmetrie korrespondieren dann

die Bedingungen F (<?) = F(p) resp. — <j²jF ^= F(p).

Diese beiden Bedingungen erweisen sich für algebraische M® je als hinreichend (für transzendente aber nicht).

Im dritten Teile werden die Gleichungen der F® funktionentheoretisch behandelt. Weiter wird die Symmetrie der Typen (I) und (II) auf den Sn, insbesondere den ausgedehnt.

Endlich wird noch auf eine Verallgemeinerung der Theorie hingewiesen. Es handelt sich dann um Flächen, die, ohne die Symmetrie eines KW zu besitzen, durch alle einen in sich überführenden Rotationen ebenfalls in sich übergehen.

E. Ciani²²°) macht auf eine Lücke bei Goursat aufmerksam. Es handelt sich für die E⁽b eines Büschels B um die Maximalzahl von EW, die eine F^ haben kann, ohne eine Rotationsfläche zu sein, deren Achse die Achse von B ist. Für den Fall der Ebene hatte Ciani das analoge Problem bereits in einer voraufgehenden Arbeit behandelt.

Die beiden Hauptergebnisse sind:

1. Eine Fn kann v (< n) E eines B zu E^ haben, aber nicht mehr als w;

220) E. Ciani, Rom Line. Rend. (4)    (1890), p. 399.

2. Alle F einer ungeraden Ordnung, mit einer geraden Anzahl von EM in B, enthalten eine gx, durch die alle zur 5-Achse senkrechten Geraden gehen.

Hiervon wird im besonderen eine Anwendung auf die symmetrischen F₃ gemacht (s. auch Art. „F₃{, Nr. 23).

zur

Den drei von Goursat angegebenen Typen, von denen der erste Doppelpyramide gehört, der zweite tetraedrisch ist, und der dritte eine einzige besitzt, fügt Giani noch zwei weitere Typen hinzu:

4.    die F₃ mit zwei orthogonalen E^;

5.    die F₃ mit drei unter dem Winkel ~ gegeneinander geneigten

E«.

Außer diesen fünf Typen symmetrischer Fz existieren keine weiteren.

Im Falle der Doppelpyramide wird die F₃ nebst ihrer Afesseschen Fläche H genauer untersucht. Dabei tritt ein Spezialfall auf, wo das Problem der 27 g der Fs nur von der Lösung einer kubischen Gleichung abhängt.

Nach Juhel Renoy²²¹) wird eine Fjf> mit drei je zueinander senkrechten E(,) und doppeltem Asymptotenkegel von jeder doppelt berührenden Ebene sowie von jeder doppelt berührenden F% mit demselben Asymptotenkegel in zwei Kegelschnitten geschnitten. Indessen hat diese Doppeleigenschaft mit der Symmetrie nichts zu tun, denn jede F₄ mit C₃ wird von einer doppelt berührenden Ebene, sowie von einer doppelt berührenden, durch die 0₂ gehenden F₂ in zwei Kegelschnitten geschnitten Der Schnitt ist beidemal eine r₄ mit vier d₃, zerfällt also in zwei c₂ (s. Nr. 9).

Eine große Reihe spezieller F^\ insbesondere hexaedrischer F^> mit neun EW, unter Berücksichtigung ihrer reellen Geraden, wird von E. Lebon²³²) diskutiert. Als Sonderfälle seien etwa die „Kuboide“ und „Oktaedroide“ erwähnt, die die Kanten eines Würfels resp. Oktaeders enthalten.

Mehrere Arbeiten hat auch S. Mangeot⁷) den FW und gewissen Verallgemeinerungen gewidmet. Es sei hier nur auf letztere eingegangen, da die Betrachtungen über die FW nicht über die von Lecornu und Goursat hinausgehen.

221)    Juhel Benoy, Nouv. Ann. (3) 7 (1888), p. 282.

222)    E. Lebon, J. de math. spec. (3) 3 (1889), p. 103, 134, 159, 193, 219,

241, 282.

Es liege eine feste zentrische P₂ vor; auf der Normalen n in irgendeinem Flächenpunkte P denke man sich zwei gleiche (variierende) Längen von P aus abgetragen. Der Ort der Endpunkte heißt eine bez. F₂ symmetrische Fläche. Ist die Gleichung der F₂

02

tH

(?)

so ist die Gleichung der symmetrischen Fläche von F von der Form F = cp(xa, yb, 8°) = 0.

Daraufhin werden die algebraischen F weiter verfolgt.

Das Verfahren ist auf eine beliebige Urfläche, die dann selbst eine F^> sein mag, ausgedehnt.

Bezüglich der zahlreichen speziellen metrischen algebraischen Flächen, die der Theorie der Komplexe und Kongruenzen entspringen, sei auf den Art. III C 8, K. Zindler, Algebraische Liniengeometrie, verwiesen.

87. Algebraische Minimalflächen. (Über die allgemeine Theorie der Minimalflächen s. Art. III D 5, JR. v. Lilienthal, Besondere Flächen, Kap. 6.) L. Henneberg²²*) fragt nach dem Minimal wert der Klassenanzahl v für eine reelle algebraische Minimalfläche. Zu dem Behuf beweist er vorab das Kriterium: Je nachdem irgendein eine Minimalfläche berührender Zylinder als Orthogonalschnitt die Evolute einer algebraischen oder aber transzendenten Kurve besitzt, ist die Fläche selbst algebraisch oder aber transzendent.

Daraufhin läßt sich zeigen, daß der gesuchte Minimalwert von v gleich Fünf ist.

In der Tat existiert eine solche Minimal deren Ordnung (irrtümlich, s. u.) als 17 angegeben wird.

Diese erfährt eine eingehende Behandlung durch C. Schilling22h) Zugrunde liegt die allgemeine Uesche Theorie der Minimalflächen; danach wird eine solche unter geometrischer Deutung einer Weier-straßsehen Integraldarstellung erklärt als Ort der Mittelpunkte der Strecken, die irgend zwei Punkte zweier gegebener Minimalkurven verbinden.

Indessen läßt die Piesche Theorie hier, wo es sich im besonderen um die Bestimmung charakteristischer Anzahlen algebraischer Minimalflächen handelt, verschiedene vereinfachende Modifikationen zu.

Die algebraischen Minimal-(P₅ sind alle einander ähnlich und lassen ⁸ 9

114

sich durch zwei (komplexe) Parameter s, st rational explizite darstellen vermöge

x = (h + sf) ~ (l + sj + ³(⁵ “ ⁵i) “ (fiS + «D*

(!)

* [(?> sf) + ³ (l ~~ r) + ³ ^    ^    ^ ~~    ’

³ (/» + b) + ³(s2 + si>

Die reellen Punkte entsprechen konjugierten Werten von s und sx. Setzt man daher s — reiq, Sj = re~iq, so wird die reelle <P₅ dargestellt durch ' x = 2(r~³ — r³) cos 3q — 6(r~¹ — r) cosq,

(n

< y — 2 (r~³ — r³) sin 3 q -j- 6 (r~¹ — r) sin q,

, z = 6 (r~² -f- r²) cos 2 q.

Im einzelnen werden diskutiert die Schnitte der Fläche mit den Koordinatenebenen und E«., eine Schar von einhüllenden Zylindern

6. Ordnung, und ihre Singularitäten.

Die Fläche besitzt eine Doppelgerade (die 0-Achse), fünf dreifache Gerade, zwei Doppelkurven c₅ in den beiden Symmetrieebenen, und vier Rückkehrkurven C₆.

Die Ordnung der &₅ ist gleich 10 (nicht 17, wie Henneberg angegeben hatte).

Ein stereoskopisches Bild eines Modelles ist beigefügt.

Nunmehr gehen wir noch kurz auf einige allgemeinere Untersuchungen über algebraische Minimalflächen ein. Zur Abkürzung sei eine Minimalfläche mit M, eine algebraische mit Ma bezeichnet; eine abwickelbare Fläche mit A, eine algebraische mit Aa; endlich der Kugelkreis, wie früher, mit K.

Es handelt sich nach 8. Lie²²⁶) vor allem um Kriterien dafür, ob eine vorgelegte M eine Ma ist oder nicht, und im ersteren Falle darum, deren charakteristische Anzahlen (Ordnung, Klasse, Rang usf.) zu ermitteln.

Für die algebraischen Zwecke empfiehlt es sich, mit Liem) die oben angegebene Erklärung einer M durch folgende, im wesentlichen gleichartige, zu ersetzen: Sind zwei Minimalkurven (7₀, K₀ gegeben, die einen Punkt P₀ gemein haben, so entsteht die allgemeinste M durch Translation von C₀ längs K₀, indem P₀ die K₀ durchläuft, oder auch vice versa.

Die M ist dann und nur dann reell, wenn C₀ und K₀ konjugiertkomplex sind, und algebraisch dann und nur dann, wenn C₀ und K₀

226)    S. Lie, Arch. for Math, og Nat. 2 (1877), p. 295.

227)    8. Lie, ib. 3 (1878), p. 166.

beide algebraisch sind. Kann C₀ durch Translation in K₀ übergeführt werden, so überdecken die Minimalkurven der Fläche diese doppelt; letztere heißen „Doppelflächen“

Der Kegel von Tangenten, die von einem Punkte auf K an eine M gehen, zerfällt im allgemeinen in mehrere Kegel, deren jeder die M längs einer Minimalkurve berührt. Dies führt zu einer einfachen Formel für die Klasse einer Ma.

Ebenso wird eine allgemeine Methode zur Bestimmung der Ordnung einer Ma entwickelt.

In einer zweiten Arbeit werden weitere Kriterien für die ent-wickelt. Es sei etwa das folgende angeführt. Enthält eine M eine ebene Krümmungslinie c, so ist die M dann und nur dann eine Ma, wenn die c die Evolute einer algebraischen Kurve ist.

Umgekehrt berührt jede Ma oo³ Evoluten algebraischer Kurven längs des Ortes der Krümmungsmittelpunkte.

Weiter¹⁰) wird gezeigt, daß die Tangentenkegel einer Ma diese nach oo³ algebraischen Kurven berühren.

Insbesondere lassen sich in jedem algebraischen Kegel oo⁰⁰ Ma einbeschreiben und bestimmen.

Eine vierte Arbeit¹¹) knüpft an den oben²²⁴) erwähnten Satz von Henneberg an, daß der orthogonale Querschnitt eines jeden, einer Ma umbeschriebenen Zylinders, die Evolute einer algebraischen Kurve ist.

Lie stellt das allgemeine Problem („.Liesches Problem“), alle Aa zu bestimmen, denen sich Ma einbeschreiben lassen. Sieht man eine erste solche Aa als bekannt an, so lassen sich in der Tat alle übrigen (oo⁰⁰) Aa dieser Art bestimmen.

Für besondere Fälle werden einfache Konstruktionen der Aa an

gegeben.

In zwei umfangreichen Abhandlungen¹² 13) werden die bisherigen Entwicklungen von Lie zusammengefaßt und weitergeführt. In der ersten sind die verschiedenen Methoden zur Bestimmung der Klasse und Ordnung einer Ma zusammengestellt. In der zweiten Abhandlung wird der Zusammenhang zwischen der Krümmungstheorie algebraischer Kurven und der Theorie der einer Aa einbeschriebenen Ma systematisch entwickelt.

Eine allgemeine Erledigung des Lieschen Problems verdankt man G. Darboux2S1), und zwar gleich in drei Arten von Lösungen.

Die erste Lösung ist analytisch und beruht auf der Weierstraß-schen Integraldarstellung der M.

Die zweite Lösung verfährt geometrisch und dringt bis zur Konstruktion der Berührungskurven (Aa, Ma) vor.

Am eigenartigsten ist die dritte ²³²) Lösung, sie sich geometrischer wie analytischer Hilfsmittel bedient. Geometrisch geht sie von einer, von A. Eibaucour²³³) herrührenden Entstehung der M aus, die sich durch besondere Einfachheit und Anschaulichkeit auszeichnet.

Gegeben seien zwei durch den Kugelkreis K gehende abwickelbare Flächen. Sei t eine gemeinsame Tangente, und ß der Mittelpunkt von deren Strecke zwischen den beiden Berührungspunkten. Man errichte in ß die zu t senkrechte Ebene E, dann ist die Einhüllende der E die allgemeinste M.

Indem Darboux noch einen weiteren Hilfssatz über Regelflächen heranzieht, leitet er durch Rechnung folgende Lösung des Problems ab. Um alle Ma zu erhalten, die einer vorgelegten Aa einheschrieben sind, bestimme man vorab alle E-F, deren Erzeugende h senkrecht auf den Ebenen von Aa stehen, und für die der Schnittpunkt jeder h in der entsprechenden Ebene von Aa liegt.

Die Rückkehrkanten der beiden Aa, die jeder der E-F und K umbeschrieben sind, sind die Minimalkurven jT, Jri; durch deren Translation (gemäß Lie) die gesuchten Ma entstehen.

Von der Weier straßschen Integraldarstellung der M geht auch 0. Vivanti²³⁴) aus. In jener treten zwei willkürliche Funktionen F(u), Fx (v) auf; die M ist nur reell, wenn F und Fx konjugiert komplex sind, und den reellen Punkten der M entsprechen dann konjugiertkomplexe Werte der Variabein u, v.

Es wird zunächst gezeigt, daß für die von Henneberg2U) und Schilling²²³) studierte Minimal-^ die Funktion F(u) den Wert besitzt

(2)

F(u) — (u

-) (u + -) 4 •

UJ \    U / u‘

Es wird nunmehr der allgemeinere Fall betrachtet

(S)

l \ß l

w² ’

wo die Exponenten a, ß Q> 1) ganzzahlig sind, und ß ungerade ist. Behufs Untersuchung der zugehörigen Ma wird das Integral H gebildet

n du u *

232)    G. Darboux, ib. 104 (1887), p. 728.

233)    A. JRibaucour, Brux. Mem. cour. 44 (1882).

234)    0. Vivanti, Ztscbr. Math. Phys. 33 (1888), p. 137.

wo die Exponenten m, n (^> 0) ganzzahlig sind, aber nicht zugleich verschwinden.

H ist nur dann algebraisch, wenn wenigstens eine der Zahlen m, n ungerade ist. Hieraus wird abgeleitet, daß die zu (3) gehörige M nur dann algebraisch (und zwar rational) wird, wenn a und ß ungerade sind.

Für die so entstehenden Ma werden Ordnung, Klasse und Singularitäten ermittelt.

Die einzige, rein geometrisch vorgehende Untersuchung der Ma rührt von B. Sturm²³⁵) her. Es empfiehlt sich, vorab die Liesehe Mittelpunktserzeugung der M zu verallgemeinern. Gegeben seien zwei beliebige Kurven P, P1? und eine Fläche F werde definiert als Ort der Mittelpunkte P der irgend zwei Punkte von P\ Px verbindenden Strecken. Es wird dann direkt untersucht, wieviele solcher Punkte P auf einer beliebigen Geraden g liegen, und wieviel Berührungsebenen durch g an die Fläche F gehen. Damit bestimmt sich Ordnung und Klasse der F.

Der besondere Fall der Flächen M tritt ein, wenn die Tangenten von r und Px den Kugelkreis K treffen, und die M wird zu einer Ma, wenn P und Px algebraisch sind.

Auf diesem Wege werden auch die Eigenschaften der Henneberg-Schillingsehen Minimal-<P₅ abgeleitet.

Endlich sei noch auf eine Untersuchung der Ma durch B. Glaser²³³) hingewiesen.

Handelt es sich nur um die spezifischen Eigenschaften der Ma, so läßt sich die allgemeine Lie sehe Translationstheorie der M nach verschiedenen Richtungen vereinfachen. Man gehe wieder aus von zwei Minimalkurven P, P,. Eine solche P läßt sich wiederum bestimmen durch eine gewisse ebene Kurve y. Letztere wird vermöge einer Inversion in sich transformiert, womit eine entsprechende Transformation der M resp. Ma verknüpft ist. Damit ergibt sich eine eigenartige Entstehung der Ma, die es gestattet, Ordnung, Klasse, Rang und Singularitäten direkt zu diskutieren.

Dies findet seine Anwendung u. a. auf eine von A. Fnneper²³¹) gefundene Minimal-P₉.

Symmetrische algebraische Minimalflächen sind bereits in Nr. 86 berücksichtigt worden.

235)    H. Sturm, J. f. Math. 105 (1889), p. 101.

236)    B. Glaser, Dissert. Tübingen 1891.

237)    A. Enneper, Gott. Nachr. 1867, p. 297; Gött. Abh. 29 (1882), p. 41, 68.

¹

   A. Cayley, Quart. J. 15 (1877), p. 141.

²

   Ed. Hutt, Progr. Tilsit 1868. Die Jacobische Quadratur findet sich in J. f. Math. 39 (1850), p. 299.

³

   F. Geiser, J. f. Math. 77 (1876), p. 47. Bezüglich des JtMwmerschen Satzes s. J. f. Math. 26 (1843), p. 268.

⁴

   S. Roberts, London Math. Soc. Proc. 4 (1872), p. 57. 211a) A. Cayley, Mess. 5 (1870), p. 191.

⁵

   Th. Craig, J. f. Math. 93 (1889), p. 251.

212 a) J. C. Malet, Dublin Trans. 1878 (zwei Abhandlungen).

⁶

L. Heffter, J. f. Math. 105 (1895), p. 1; Ztschr. Math. Phys. 41 (1896), p. 163.

⁷

S. Mangeot, Paris C. R. 112 (1891), p. 1497; Nouv. Ann. (3) 10 (1891), p. 235; Ass. Fr. 20 (1891), p. 221; Paris C. R. 114 (1892), p. 1463; Soc. Math. Fr. Bull. 20 (1892), p. 84.

⁸

   L. Henneberg, Ann. di mat. (2) 9 (1879), p. 54.

⁹

   C. Schilling, Dissert. Göttingen 1880,

Encyklop. d. math. Wissensch. III 2.

¹⁰

   S. Lie, ib. 4 (1878), p. 224.

¹¹

   8. Lie, ib. 4 (1878), p. 340.

¹²

   8. Lie, Math. Arm. 14 (1879), p. 341; 15 (1879), p. 465.

¹³

   G. Darboux, Paris C. R. 102 (1886), p. 1513.

114

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Cy.

Literatur- Nachträge.

Zu Abschnitt VIII.

Einige spezielle rationale Flächen:

Fb mit Cs: A. Clebsch, Math. Ann. 1 (1869), p. 284.

F₆ mit zwei windschiefen g: A. Clebsch, ib. p. 307.

Fh mit C₄: A. Clebsch, Gott. Abh. 15 (1870), Math. Ann. 3 (1871), p. 71; M. Noether, ib. 3 (1871), p. 198, 568; L. Cremona, ib. 4 (1871), p. 215, 218.

T/y

x m + n +1

mit zwei windschiefen Geraden der Vielfachheiten m, n: G. B. Guccici, Assoc. Fr. 9 (1880), p. 191.

Eine Reihe rationaler F₆, die außer isolierten vielfachen Punkten evtl, noch eine g oder eine C₂ besitzen: S. E. Hill, Math. Rev. 1 (1896), p. 1; D. Montesano, Napoli Rend. (3) 6 (1900), p. 158; (3) 7 (1901), p. 67; (3) 13 (1907), p. 66; A. Pensa, Dissert. Torino 1899, Ann. di mat. (3) 6 (1901), p. 249.

Rationale F mit C₂-Scharen, nebst ihrer Abbildung: P. del Pezzo, Palermo Rend. 1 (1887), p. 241; G. Castelnuovo, ib. 4 (1890), p. 73, durch Projektion aus dem Sn (n'^> 3); Th. Heye, Math. Ann. 48 (1897), p. 113, durch Abbildung bekannter Flächen mittels eines F₂-Gebüsches.

Einige dieser Flächen auch bei: G. Koenigs, Ann. Ec. Norm. (3) 5 (1888), p. 177; Paris C. R. 105 (1887), p. 407; 109 (1889), p. 364; E. Cosserat, Paris 0. R. 124 (1887), p. 1004; 130 (1900), p. 311, 385; L. Godeaux, Ens. math. 15 (1913), p. 310; C. H. Sisam, Amer. Math. Soc. Bull. (2) 22 (1916), p. 381; Amer. J. Math. 38 (1916), p. 373.

Eine Reihe obiger F mit oc C₂ wird auch erhalten bei der Lösung des Problems, alle F gegebener Ordnung mit oo C₂ zu bestimmen:

Fs: M. de Franchis, Rom Line. Rend. (5) 15₂ (1906), p. 217, 284; Palermo Rend. 35 (1913), p. 47; C. H. Sisam, Amer. J. Math. 30 (1908), p. 99; E. G. Togliatti, Rom Line. Rend. (5) 21₂ (1912), p. 35; Ist. Lomb. Mem. (3) 12 (1916), p. 243; G. Marletta, Catania Acc. Gioenia A. (5) 8 (1915), Nr. 14.

F₆: G. Marletta, Rom Line. Rend. (5) 24₂ (1915), p. 109, 359; Palermo Rend. 40 (1915), p. 217; E. G. Togliatti, Rom Line. Rend. (5) 24₂ (1915), p. 307, 329, 388; Ist. Lomb. Mem. (s. oben).

F₇: Gels. Grimaldi, Giorn. di mat. (3) 7 (1916), p. 341.

F₁ mit elliptischen Büscheln von C₂ (deren Ebenen kein Büschel bilden): Gels.

Grimaldi, Palermo Rend. 42 (1917), p. 80.

Fs mit oo C₂, deren Ebenen kein Büschel bilden: M. Bartolo, Catania Acc.

Gioenia A. (5) 12 (1918), Nr. 11; Gels. Grimaldi, ib. (5) 11 (1918), Nr. 9.

Fä desgleichen: S. Bagonesi, Acireale Acc. Dafnica A. (2) 4 (1914—15), Nr. 5.

F₈ mit einem elliptischen Büschel von C₂: Concettina Lango, Catania Acc. Gioenia A. (5) 15 (1925), Nr. 2bis.

F₆ und F₇ mit einem Büschel von cs (deren Ebenen kein Büschel bilden): G. Marletta, Palermo Rend. 41 (1916), p. 180.

F₆ mit einem Büschel von c₃ in Ebenen eines Büschels: G. Marletta, Palermo Rend. 42 (1917), p. 116.

F₆ und F₇ mit einem Büschel von rs, deren Ebenen kein Büschel bilden: A. Cata-liotti, Catania Acc. Gioenia A. (5) 11 (1918), Nr. 8.

Zu Abschnitt XII.

Rationale Regelflächen B-F und ihre ebene Abbildung: A. Armenante, Ann. di mat. (2) 4 (1869), p. 50; vollständig bei A. Clebsch, Math. Ann. 5 (1872), p. 1. Durch Reduktion der Abbildung auf eine Minimalordnung vermöge quadratischer Transformationen gibt Clebsch eine Klassifikation der rationalen B-Fn gemäß der Ordnung m der Leitkurve niedrigster Ordnung. Leitkurve einer B-F ist eine einfache Kurve, die jede Erzeugende in einem Punkte trifft. Dabei kann die Zahl m

variieren von 1 bis ~ resp. n ^ \ je nachdem n gerade oder ungerade ist.

Diese analytisch bewiesenen Ergebnisse von Clebsch leitet synthetisch ab

C. Segre, Torino A. 19 (1884), p. 355, durch Projektion einer B-Fn im Sn + 1.

Im besonderen untersuchen die rationalen B-F

m+n

mit zwei geradlinigen Leitkurven der Ordnungen m, n: L. Cremona, Ann. di mat. (2) 1 (1867—68), p. 248; G. Pittarelli, Rom Line. Rend. (4) 7₁ (1891), p. 391, 452; (5) 3₂ (1894), p. 264.

(Herrn L. Bersölari, der auch die Nachträge geliefert hat, und Herrn E. A. Weiß bin ich wegen verschiedener Ratschläge zu Dank verpflichtet.)

(Abgeschlossen im August 1930.)

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