WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Lehrbuch

der

Hydrodynamik

von

Dr. W. Wien,

Professor der Physik an der Universität Würzburg.

Mit 18 Figuren.

r dar ^ öffentlichen Arbeiten

I i «tV*^

Leipzig

Verlag von S. Hirzel 1900.

Das Recht der Uebersetzung ist Vorbehalten.

: 11

Akc. Nr.

1U-IM9

Vorwort.

Die Hydrodynamik ist neuerdings in Deutschland vernachlässigt worden. Nur einige Probleme, wie die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit wurden bei uns weitergeführt, während früher die Hydrodynamik gerade in Deutschland durch die bedeutendsten Mathematiker und Physiker die grösste Förderung erfahren hat. Der Grund liegt, wie mir scheint, in erster Linie an den divergenten Richtungen, in denen sich die beiden, früher eng zusammengehenden Wissenschaften der Mathematik und Physik augenblicklich bewegen. Der streng kritischen Richtung in der Mathematik sagen die physikalischen Anwendungen nicht zu und andrerseits beschäftigt sich die Physik mehr mit rein experimenteller Forschung oder auf theoretischem Gebiet mit solchen Fragen, die der Prüfung durch die gegenwärtig vorzugsweise ausgeübten experimentellen Methoden unmittelbar zugänglich sind.

Indessen ist gerade die Hydrodynamik am wenigsten abgeschlossen. Hier stimmen die thatsächlichen Vorgänge mit den theoretischen Folgerungen vielfach so ungenügend überein, dass die Technik sich für ihre Zwecke eine besondere Behandlungsweise hydrodynamischer Aufgaben, die meistens den Namen Hydraulik führt, zurechtgemacht hat. Bei dieser lassen nun sowohl die Grundlagen als auch die Schlussfolgerungen soviel an strenger Methode zu wünschen übrig, dass die meisten Ergebnisse keinen höhern Werth als den rein empirischer Formeln mit sehr beschränkter Giltigkeit besitzen.

Um diese grosse Lücke auszufüllen, ist ein weiterer Ausbau der Hydrodynamik als ein dringendes wissenschaftliches und praktisches Bedürfniss anzusehen.

Für den Mathematiker bietet sich ein Arbeitsfeld von unbegrenzter Ausdehnung, um für die Lösung specieller hydrodynamischer Probleme die Kräfte der neugeschaffenen analytischen

Methoden anzuspannen. Auch auf die reine mathematische Analyse kann die Prüfung durch die Anwendung nur wieder anregend zurückwirken.

In dem vorliegenden Lehrbuch habe ich versucht, eine Uebersieht über den gegenwärtigen Stand der Hydrodynamik dadurch zu geben, dass ich aus allen ihren Gebieten eine Anzahl der Ergebnisse namentlich auch neuerer Forschungen gegeben habe. Vollständigkeit zu erstreben war bei dem riesigen Umfang der Literatur von vornherein ausgeschlossen.

Ich habe das Hauptgewicht auf die speciellen Probleme gelegt. Ohne den Werth der allgemeinen Betrachtungen unterschätzen zu wollen, musste ich berücksichtigen, dass doch die Ergebnisse naturgemäss ebenfalls zu allgemeiner Natur sind, um grossen Nutzen in einzelnen Fällen gewähren zu können.

Die am Schluss jedes Abschnittes gegebenen kurzen Literaturangaben machen ebenfalls keinen Anspruch auf Vollständigkeit; sie sollen nur den Zweck haben, den Leser zu orientiren.

Von grossem Nutzen war mir das vortreffliche Lehrbuch von Lamb (Hydrodynamics; Cambridge 1895), das mir namentlich die Uebersiclit über die schwer zugänglichen Arbeiten der englischen Forscher, denen die meisten neueren Fortschritte der Hydrodynamik zu danken sind, erleichterte. So habe ich namentlich in dem Abschnitt über Ebbe und Fluth, der, ausser den grundlegenden Arbeiten von Laplace, fast nur englische Untersuchungen enthält, vieles aus Lamb geschöpft.

Am Lesen der Correctur hat sich Herr Dr. Seitz betheiligt, wofür ich ihm hier meinen besten Dank ausspreche.

Wenn es durch diese Darstellung gelingen sollte, das Interesse der deutschen Mathematiker und Physiker an der Hydrodynamik wieder zu heben, so würde der Zweck des Buches erreicht sein.

Würzburg, im April 1900.

W. Wien.

Bezeichnungen.

Es ist davon Abstand genommen mit vollständig einheitlicher Bezeichnung, sodass dieselben Buchstaben immer dasselbe bedeuten, zu arbeiten. Abgesehen davon, dass die drei zur Verfügung stehenden Alphabete bei weitem nicht ausgereicht hätten und die Anwendung vieler Indices nothwendig geworden wäre, erschien es mir auch zweckmässiger, die Bezeichnungen, die sich schon in der Literatur eingebürgert haben, beizubehalten.

Abgesehen von einigen Formeln, bei denen die Bezeichnungsweise gleichgiltig ist, bezeichnen durchweg

t die Zeit,

x, y, z die rechtwinklichen Coordinaten eines Punktes, u, v, w die Componenten der Geschwindigkeiten parallel den x, y, z,

g, y, £ die Componenten der Drehungsgeschwindigkeiten um Axen, die den x, y, % parallel sind, r, t) die radialen und tangentialen Geschwindigkeiten bei Einführung von Cylindercoordinaten, q den Radius der Cylinderfläche,

r den Radius der Kugelfläche (beziehentlich die Entfernung zweier Punkte),

co die Drehungsgeschwindigkeit eines starren Körpers, il den Drehungswinkel,

X, Y, Z die Componenten der äusseren Kräfte,

Xx, Yy, Z% die Componenten der normalen Drucke,

Xy— Yx, Yx = Zy, Zx — X% die Componenten der tangentialen Drucke.

Das Potential der äusseren Kräfte ist im allgemeinen mit iß, anfangs um Verwechslungen zu vermeiden, mit V bezeichnet.

Der Druck ist mit p bezeichnet. Bei der Theorie der Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit bezeichnet dem allgemeinen Gebrauch entsprechend p die Drehungsgeschwindigkeit um die a>Axe.

Berichtigungen.

s.

s.

s.

s.

s.

s.

s.

Ls ist zu setzen:

9, Z. 1 v. u. dx statt d,

15, Z. 12 y. u. dS statt ds,

18, Gleichungen 29) k² statt sk²,

73, Z. 14 v. o.

113, Z. 13 v. u. R²n sta 169, Z. 14 v. o. 2t statt ,

142, Z. 12 v. u. Punkten statt Punkt.

R*

+ V/’I — (rÿ) j₂ + V/>I

r²Jt

Seite

Iiihaltsverzeichniss.

I. Die Grundlagen.

§ 1. Das Coordinatensy stem. Die allgemeinen Gleichungen der Gestaltsänderung continuirlich verbreiteter Massen.

Dilatationen

Die allgemeinste Veränderung eines kleinen Theiles . .

§ 2. Die Gleichung der continuirlichen Strömung und die Druckkräfte.

Die Gleichung der continuirlichen Strömung...........

Normale und tangentiale Drucke............... .

Die von den .Druckkräften herrührenden beschleunigenden Kräfte . .    .

Beschränkung für die Componenten der tangentialen Drucke.....

Hauptdrucke.......................

Reibungsconstanten.....................

Die allgemeinen Bewegungsgleichungen.............

Die Energiegleichungen...................

§ 3. Grenzbedingungen.

Bedingung, dass die Oberfläche aus Stromlinien gebildet wird Bedingung für die Druckkräfte. Gleitungsconstante.... Dimensionen . .................

§ 4. Die Differentialgleichungen von Lagrange.

Ableitung der Differentialgleichungen von Lagrange......

Umformung der Continuitätsgleichung............

§ 5. Die Transformation von Clebsch.

Darstellung der Geschwindigkeiten durch drei Functionen, die ein allgemeines Integral für den Druck ergeben............

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QO

O H N CO ß to

T—l rH    l i-H r-ł

I> OO 05

1—I r—t i—t

CM

§ 6. Uebertragung bekannter Bewegungen auf geometrisch ähnliche Formen.

Seite

Uebertragung von bekannten Bewegungen auf geometrisch ähnliche Formen der Bewegungen..................

Geringerer Einfluss der Compressibilität in grossen Räumen......

25

27

§ 7. Mathematische Hülfssätze.

Sätze aus der Potentialtheorie...........

Stetigkeit der Potentialfunctionen.........

Potential einer Doppelschicht...........

Der Green’sche Satz................

Dixichlet’s Princip...............

Die Jacobi’sche Transformation für orthogonale Coordinaten

29

31

33

34

35

36

§ 8. Elliptische Coordinaten.

Definition der elliptischen Coordinaten..............

Ableitung der für die Jacobi’sche Transformation nothwendigen Ausdrücke Die Gleichung dcp = 0 für elliptische Coordinaten.........

39

41

42

§ 9. Ringcoordinaten.

Definition der Ringcoordinaten.....

Die Gleichung d<p = 0 für Ringcoordinaten

43

46

§ 10. Entwicklung der hydrodynamischen Gleichungen aus dem Hamilton’schen Princip.......

47

Literatur

52

II. Allgemeine Bewegungen nicht reibender Flüssigkeiten.

Constanz der Rotationsbewegung................

Wirbellinien.......................

Wirbelfäden.......................

Anwendung der Potentialtheorie auf die Wirbelbewegung......

Energie der Wirbelbewegung; gerade Wirbellinien.........

Kreisförmige Wirbelringe...................

Unstetigkeit der Drehungsgeschwindigkeit............

Berechnung der Potentiale zur Darstellung kreisförmiger Wirbelringe bei

unstetiger Drehungsgeschwindigkeit.............

Ein einzelner dünner Wirbelring................

Anwendung der Gleichungen für die Theorie der Cyklonen......

Cyklonen, bei denen die Drehungsgeschwindigkeit unabhängig von der

vertikalen Richtung ist..................

Abhängigkeit der Drehungsgeschwindigkeit von der Vertikalen ....

55

56

57

59

61

63

65

67

69

71

72

Seite

Begrenzung dieser Cyklonen durch eine Ebene und einen vertikalen Cylinder 76

Begrenzung durch zwei horizontale Ebenen............

Gerade Wirbellinien in einem von festen Wänden begrenzten elliptischen

Cylinder.....'..................

In sich zurücklaufende Strömungen in einem von festen Wänden begrenzten kreisförmigen Cylinder.................

Literatur .........................

78

80

81

83

III. Strömungen ohne Drehung der Flüssigkeitstheilchen.

84

Geschwindigkeitspotential...................

Anwendung des Green’schen Satzes...............

Unmöglichkeit der Bewegung in einfach zusammenhängenden Räumen

ohne Unstetigkeiten und ohne Bewegung der Oberfläche.....

In sich zurücklaufende Strömungen in mehrfach zusammenhängenden Räumen 86

Unstetigkeitsstellen.....................

Functionen eines complexen Arguments.............

In sich zurücklaufende Strömungen zwischen concentrischen elliptischen

Cylindern...............

Strömung durch eine elliptische Oeffnung.....

Strömung zwischen Flächen zweiten Grades ....

Strömung um ein dreiaxiges Ellipsoid......

Bewegung einer Kugel in einer Flüssigkeit ....

Bewegung eines beliebigen Körpers.......

Bewegung eines Ellipsoids ohne Drehung.....

Drehung eines Ellipsoids...........

Strömungen zwischen nicht concentrischen Röhren .

Strömungen in der Axe eines dünnen Ringes . . .

Discontinuirliche Bewegungen...... .

Die Gleichung constanten Drucks.......

Flüssigkeitsstrahlen.............

Strahl aus einem Spalt...........

Eine feste Wand in einem Strom.......

Druck auf die Wand............

Arbeit für die Bewegung der Wand......

Ausfluss eines cylindrischen Strahles......

Obere Grenze für die Zusammenziehung des Strahles Untere Grenze...............

In sich zurücklaufende Strömungen um eine geschlossene Unstetigkeitsfläche der Geschwindigkeit.....

Verschiedene Formen dieser Unstetigkeitsfläche Dynamische Aenderung des Drucks; Anwendung auf den Luftdruck. .    .    124

Strömung um eine feste Wand Literatur........

85

85

86

87

88

89

90

91

94

95

96

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98

98

101

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107

108

. 109 . 110

111

113

114

. 115

123

124

IV. Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit.

§ 1. Bewegung in einfach zusammenhängenden Räumen.

Seite

Die Differentialgleichungen von Thomson und Tait und von Kirchhof!. .    127

Anwendung des Hamilton’schen Princips

Das Ellipsoid, dessen Hauptaxen die Richtung der einfach fortschreitenden

Bewegung ohne Drehung angeben......

Zerlegung der lebendigen Kraft........

Specielle Formen der lebendigen Kraft.....

Andere Form der Differentialgleichungen.....

Drei allgemeine Integrale..........

Sechs weitere Integrale . ..........

Umformung der Gleichungen.........

Zurückführung der allgemeinen Gleichungen auf drei

Minimalsatz für stationäre Bewegungen.....

Minimalsatz für nicht stationäre Bewegungen . .    .

Vereinfachung des Ausdrucks der lebendigen Kraft bei symmetrischer

Massenvertheilung und symmetrischer Form..........

Bewegung eines Rotationskörpers, wenn keine Kräfte wirken.....

Drehende Schwingungen des Rotationskörpers...........

Vollständige Umdrehungen..................

Bewegung unter dem Einfluss äusserer Kräfte...........

Bewegung eines Umdrehungsellipsoids..............

Widerstand der Flüssigkeit gegen die Beschleunigung einer Scheibe und eines Stabes......................

. 129

130

130

132

134

135

137

137

. 138

139

141

142

142

145

146

146

147

148

Abhängigkeit des Widerstandes von der Form .    .    .

Bewegung zweier Kugeln in einer Flüssigkeit ....

Scheinbare Kräfte zwischen den Kugeln......

Anziehung einer fallenden Kugel durch eine feste Wand

150

150

»O o

§ 2. Bewegung fester Körper in mehrfach zusammenhängenden Räumen, die mit incompressibler Flüssigkeit gefüllt sind.

Das Hamilton’sche Princip bei mehrdeutigem Geschwindigkeitspotential . 157 Einwirkung zweier Ringe auf einander Vergleich mit elektrodynamischen Kräften Allgemeiner Ausdruck für die Kräfte, die die Ringe auf einander ausüben 163 Literatur

159

161

163

V. Theorie der Wellen.

Theorie niedriger Wellen. . . Fortpflanzungsgeschwindigkeit .

Stehende Wellen......

Gruppengeschwindigkeit . . .

166

168

168

§ 1. Theorie der Wellen an der Grenze zweier Flüssigkeiten.

Endliche Tiefe einer Flüssigkeit.....

Abbildung durch die Lemniskate.....

Entwicklungen der lemniskati sehen Abbildung Einfluss des Windes und der Wellengeschwindigkeit auf die Wellenform . 183

Die Energie der Wellen.........'.....

Gleichgewicht der Wellen............

Verminderungen der lebendigen Kraft durch Wellenbildung Aenderung der Gesammtenergie durch Wellenbildung . .

Strömung des Tiefwassers den Wellen entgegen bei endlicher Tiefe . . . 196 Einfluss des Windes auf die Geschwindigkeit niedriger Wellen .... 197

Seite

[>• t>-T-i TH

172

173

. 175

178

. 179 . 181

ISO

189

191

. 193

§ 2. Näherungsmethode für die Theorie der Wellen an der Oberfläche einer Flüssigkeit.

199

Näherungsmethode von Rayleigh Einfluss der Wellenform auf die Fortpflanzungsgeschwindigkeit .... 200

§ 3. Einfluss von Ungleichmässigkeiten eines Strombettes auf die Gestalt der Oberfläche.

Periodisches Profil des Strombettes .

Gestalt der Oberfläche eines Stromes Beliebige Gestalt des Strombettes. Zerlegung nach Fourier’schen Reihen. 202

Ansteigen des Strombettes......

Ein senkrechter Abfall im Strombett .    .

Theorie der Brandung........

Brandung ohne Bildung stehender Wellen Brandung mit Bildung stehender Wellen .

Einfluss einer kleinen symmetrisckenUnebenheit auf die Gestalt der Oberfläche 207 Einwirkung von Druckkräften auf eine Welle der Oberfläche eines Stromes 208 Periodische Einwirkung äusseren Druckes Zerlegung einer beliebigen Druckvertheilung in Fourier’sche Reihen . . . 209 Einwirkung auf eine Fläche von geringer Ausdehnung Behandlung der bestimmten Integrale ......

201

202

202

204

205

205

206

208

. . 210

. 211

§ 4. Einzelne Wellen.

Näherungstheorie für die Einzelwellen........

Unmöglichkeit eines Minimums der Wellenlinie . . . . Fortpflanzungsgeschwindigkeit und Form der Einzel wellen

JO

IC

§ 5. Wellen, bei denen die Bedingung constanten Druckes streng erfüllbar ist.

Seite

Anwendung und Umformung der Gleichungen von Lagrange Specielle Voraussetzung für die Bewegung . .    . . . .

Genaue Erfüllung der Druckgleichung.........

Wellen von Cykloidenform.............

217

218

219

220

§ 6. Schwingungen einer Flüssigkeit in einem prismatischen Gefäss.

222

223

Theorie kleiner stehender Schwingungen einer Flüssigkeit in einem prismatischen Gefäss....................

Literatur.........................

VI. Ebbe und Fluth.

§ 1. Fluthwellen in Canälen.

Voraussetzungen der Theorie für Wellen in flachen Canälen . .

Ebene Fluthwellen..................

Reflexion ......................

Einführung störender Kräfte..............

Entgegengesetzte Phase der Wellen gegenüber den störenden Kräften . . 230

Fluthwellen von grosser Höhe..........

Fluthwellen in Canälen von veränderlichem Querschnitt

. . 225

226

227

228

231

232

§ 2. Fluthwellen auf ebenen, flachen Gewässern.

^ CO I> 00 CO CO CO CO CQ (M (M

Fluthwellen auf ebenen, kreisförmig begrenzten Gewässern ....

Freie Schwingungen..................

Erzwungene Schwingungen................

Störende Kräfte, die von der Schwingungszahl abhängen.....

§ 3. Ebbe und Fluth einer ebenen Wasserfläche mit Berücksichtigung der Erddrehung.

239

Einführung der Erddrehung in die Gleichungen.........

240

Veränderung der Wellenhöhen durch die Erddrehung.......

Einfluss der Erddrehung auf kreisförmig begrenzte Wasserflächen . .    . 241

§ 4. Ebbe und Fluth der Weltmeere.

Bewegungsgleichungen der Flüssigkeit, die eine sich drehende Kugel bedeckt 242

Pie Gleichung der Continuität..........

Einführung der störenden Kräfte; Gleichgewichtstheorie

Halbtägige Fluthen..............

Verschwinden der täglichen Fluthen........

244

245

247

Fluthen von langer Periode Literatur.......

Seite

251

253

VII. Reibung der Flüssigkeiten.

$

Minimalsatz für die durch Reibung verzehrte Energie . . . Aufhebung des Einflusses der Trägheit durch äussere Kräfte

256

257

§ 1. Die Kugel.

Integration der Gleichungen für eine mit constanter Geschwindigkeit bewegte Kugel unter Vernachlässigung der quadratischen Glieder .    . • . 258

Widerstand der Flüssigkeit; Ableitung der Kraft, die erforderlich ist, den

Widerstand der Reibungskräfte zu überwinden.........

Bestimmung des Reibungscoefficienten..............

Drehende Schwingungen einer mit Flüssigkeit gefüllten in einer zweiten

Flüssigkeit befindlichen Hohlkugel.............

Bestimmung des Reibungs- und Gleitungscoefficienten durch Schwingungsbeobachtungen .....................

Pendelschwingungen einer Kugel................

Dämpfung und Aenderung der Schwingungsdauer durch Reibung. , . . 269

259

260

260

266

267

§ 2. D er Cylinder.

Die Differentialgleichungen für Cylindercoordinaten.........

Integration der Gleichungen für einen unendlichen Cylinder......

Drehende Schwingungen eines mit Flüssigkeit gefüllten Cylinders, wenn

der Gleitungscoefficient Null ist............. .

Strömung in cylindrischen Röhren................

Bestimmung des Reibungs- und Gleitungscoefficienten........

Drehende Schwingungen eines endlichen mit Flüssigkeit gefüllten Cylinders, wenn der Gleitungscoefficient Null ist ...........

DO DO

h-¹ o

(N CO r'- d- t-OQ CM

O

I -

CM

§ 3. Einfluss der Reibung auf die Wellenbewegung.

Einfluss der Reibung auf Wellen an der Oberfläche einer Flüssigkeit . . 278 Einfluss sehr kleiner und sehr grosser Reibung

Dämpfung der Wellen.........

Einfluss der Reibung bei flachem Wasser Aenderung der Wellengeschwindigkeit. . .

Einfluss der Reibung auf ebene Schallwellen bei freier Ausbreitung . . . 285 Einwirkung der Reibung auf Schallwellen in einer cylindrischen Röhre . 286

281

282

. 283 . 284

§ 4. Fluthreibung.

Einführung der Reibung zwischen Erde und Meer

Verzögerung des Eintritts der Fluth.....

Mit der Fluth fortschreitende Strömungen . . .

290

291

§ 5. Einfluss der Reibung auf flache Cyklonen.

Einführung der Reibung an der Erdoberfläche

Central aufsteigender Luftstrom.....

Windgeschwindigkeit.........

Ablenkungswinkel vom Gradienten ....

Seite

292

293

294

295

§ 6. Hydraulische Theorie der Strömungen in Canälen.

Voraussetzungen für die Theorie frei fliessenden Wassers......

Aufstellung der Gleichungen................

Näherungsmethoden....................

Bestimmung der Oberfläche frei fliessenden Wassers........

Literatur........................

296

297

298

301

301

VIII. Gleichgewicht rotirender flüssiger Massen.

Oberfläche einer rotirenden Flüssigkeit unter dem Einfluss der Schwere . 303 Anwendung der Differentialgleichungen von Lagrange auf die Bewegung eines flüssigen, gravitirenden Ellipsoids .

Sieben allgemeine Integrale der Gleichungen Weitere Integration specieller Fälle; Symmetrie in Bezug auf eine Axe . 307 Ausführung der Integrationen Discussion der Gleichungen, wenn keine Rotation vorhanden ist ... . 313 Schwingungen des Ellipsoids ....

Hinzukommen einer Rotationsbewegung Rotation ohne Gestaltsänderung .    .    .

Fortschreitende Abplattung.....

Rotation eines dreiaxigen Ellipsoids ohne Gestaltsänderung um die kleinste Axe Literatur

304

: 306

311

314

. 314

316

317

. 317 . 319

I. Die Grundlagen.

Die Hydrodynamik hat die Aufgabe, die Bewegungserschei-nungen der Flüssigkeiten darzustellen. Als wesentlichste Eigenschaft der Flüssigkeiten bezeichnen wir die, dass sie Formänderungen keinen oder sehr geringen Widerstand entgegensetzen. Die Hydrodynamik bildet also einen Theil der Mechanik deformir-* barer Körper.

Für die Behandlung dieser liegt die Vorstellung zu Grunde, dass die Körper den Baum stetig erfüllen, und die Frage nach der allgemeinsten Gestaltsänderung bestimmter Theile ist daher eine geometrische Aufgabe.

Die Bewegungen der Flüssigkeiten werden im übrigen von den allgemeinen Gesetzen der Mechanik beherrscht. Diese müssen demnach vorausgesetzt werden. Durch die Bewegungen üben nun angrenzende Fliissigkeitstheile Kräfte aufeinander aus, die dem Princip der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung unterliegen und zu den von aussen her auf jedes Theilchen wirkenden hinzukommen.

Ausser den Gleichungen der Bewegung liefert die Bedingung der Unveränderlichkeit der Masse eine hinzuzufügende Gleichung. Dadurch ist die Bewegung im allgemeinen vollständig bestimmt, wenn die Anfangsbedingungen genügend vorgeschrieben sind. Sind diese, wie es meistens der Fall ist, nicht gegeben, so können sie ersetzt werden durch die Beschränkungen, die der Bewegung der Flüssigkeit durch Anweisung eines Baumes von bestimmten Grenzen auferlegt werden. In speciellen Fällen ist die Bewegung durch die Bewegung an der Oberfläche des Baumes vollständig bestimmt. Sonst müssen noch weitere Bedingungen hinzugefügt werden.

Die Aufgaben der Hydrodynamik sind daher ausschliesslich mathematischer Natur, und die Grenzen des von ihr zu erschliessen-

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

den Gebietes der Bewegungserscheinungen sind von den Hülfs-mitteln festgelegt, die von der Analyse geliefert werden. Jeder wirkliche Fortschritt dieser würde auch eine unmittelbare Erweiterung irgend eines Gebietes der Hydrodynamik ermöglichen.

GOO

Das Coordinatensystem und die allgemeinen Gleichungen der

Gestaltsänderung.

Bevor wir zu der Aufstellung der Differentialgleichungen der Hydrodynamik schreiten, müssen wir die Richtungen des gewählten

Coordinatensystems festlegen und die allgemeinste mögliche Bewegung eines kleinen Tlieils eines deformirbaren Körpers ableiten.

Das Coordinatensystem ist durch /Tfy ^ die Figur 1 erläutert. Die Richtungen ^ *    der Pfeile parallel den Axen geben die

Richtungen der positiv wachsenden Coordinaten, die Richtungen der Pfeile um die Axen geben die Richtungen der positiven Drehungen.

Wir nehmen zwei rechtwinklige Coordinatensystemè als gegeben an, so dass die Coordinaten desselben Punktes im- einen x, y, z, im anderen x, y', % sind. Beide mögen denselben Anfangspunkt haben. Dann ist

Fig. i.

und auch

x — ax x    -ff a₂    y -f-    «₃    %

y ®    + &    y ' +    ßz    *'

* *= 7i x    + r₂    y +    /₃    *

1)

x — x -j- y + 7, % y = a₂ x + ß₂ y + 7₂ *

* = «3 ® + ßz y + 73 X.

Da nun die Entfernung des Punktes vom Anfangspunkte der Coordinatensysteme ’Yx'¹ -j- y ² + z² = ~\fx²-\- y\ + z² ist, so ergeben sich folgende Gleichungen:

«i² + «2 ² + «32== 1 ßl² +/?2² + /?3² = l

7i ² + 72² H- 7s² = 1

2)

«i² + ft² + 7i²=l «2² + Ä² + 72² =l «3² + &² + 73² =l Wir bezeichnen mit einer Dilatation in drei aufeinander senkrechten Richtungen solche Veränderungen der Coordinaten der materiellen Punkte, bei denen die Coordinate x um das Stück exx, y um E.₂y, z um esz wächst, wo die ê constante, sehr kleine Grössen sind.

4)

Es seien x, y, z die Coordinaten eines materiellen Punktes vor der Ausdehnung, x, y, z die Richtungen, parallel denen die Dilatation erfolgt. Ferner seien xx, y{, zt die Coordinaten nach der Ausdehnung.

Dann ist nach 1)

*i ==    «i    (1    +    £i)    x    +    «2    (1    +    z-i) V    +    «3    (1 + £3) *

Vi ⁼    ft    (1    +    «i)    *    +    ß2    (1    +    e2) .V    +    ft    (1 + %) Z,

Zi =    7[    (1    +    £1)    x    +    y₂    (1    +    e2) V    +    73    (1 + ^3) x >

also nach 2)    mit Rücksicht auf    3)    und 4)

ÖX=XX— X=x{aßE\ + CL-i £₂ + «₃²£₃) +y(fllft£l +«2&e2 + «3ft<%)

+ « («l 7l £1 + a2 72 £2 + «3 73 £3)

öy—yv — y=x(ßla[sl + fta₂£2 + ß‘ia3£s)+y(ßi²h + ft2£2 + ft² h)

5)

+ * (ßi 7l £1 + ft 72 £2 + ft 73 £3) '

(y, «t +7-2 «2 £2+73 «3 £3 ) +y (7l ft £1 +72 ßi'£2+73 ft £3 )

+ «(7i2£i + 722£2 + 7s2£3)-

Hier sind die Grossen ôx, ôy, öz von derselben Ordnung wie

die s.

Aus den Gleichungen 5) folgt

bôx

bx

My

èy

()ÔZ

bz

«i2£i+«22e2+«32£3>i(^ + -g|)⁼ft 7i £i + ft 72 £2 + ft 7,s h ft 2£l+ft2£2+ft2£3f (^T + ^)⁼⁼⁼7i«1£1 + 72«2£2 + 73«3£3 6)

) = «l ft £i + «₂ft£₂ + «3ft £3

= 7l2£l+722£2 + 73 ²£3, ï(^ +

bôx

bôz _bôy

by bz

bôx

bôz

bz bx

6 a)

bôy

bôx

Betrachten wir nun eine Drehung eines Theiles des Körpers. Zunächst nehmen wir eine solche um eine der z-Axe parallele Drehungsaxe an. Die Coordinaten derselben seien x₀, y₀. Bei einer sehr kleinen Drehung beschreibt der Punkt x, y einen Bogen, dessen Länge sehr klein ist und dann als gerade Linie angesehen werden kann. Bezeichnen wir den kleinen Drehungswinkel mit 3, so sind die Projectionen des Bogens auf die Axen der y und x die Grössen § (x — x₀) und d (y — 2/o)- Da durch die Drehung in dem durch die Pigur angedeuteten Sinne die ar-Coordinate verkleinert, die «/-Coordinate vergrössert wird, haben wir durch die Drehung die Aenderung dx — — (y — y₀)%, dy = (x — x₀)% hervorgerufen. So lange die Drehungswinkel unendlich klein sind, so dass die Bögen noch als gerade betrachtet werden können, setzen sich Drehungen um die drei Coordinataxen einfach wie Verschiebungen zusammen.

Wir erhalten also folgendes Schema, wenn um alle drei Axen Drehungen mit den Winkeln £, t), i stattfinden:

dx = {% — %)t) — {y—y^h dy — {x x₀) l — {% — «o)£ dz = (vy — 2/o)£ — (« — *o)l>

Für die Punkte, für die das Doppelverhältniss x — x₀ : y — y₀ : z — z₀ = £ :    %

gilt, verschwinden dx, dy, dz; dadurch ist also die Lage der Drehungsaxe der resultirenden Drehung dargestellt, da diese dadurch definirt ist, dass die in ihr liegenden Punkte durch die Drehung ihre Lage nicht ändern.

Aus den Gleichungen 7) folgt ^    bdz

2 = ~by    bt

„    bdx    bdz

~    bdy    bdx

Xo_

Fig. 2.

bdy

7)

8)

da

bdx

bz

bdx

bdy

bdy

bdx

bdx

by «

te“-?

sind.

Wenn wir die Drehungswinkel J, t), § als beliebig ansehen, können wir diese so wählen, dass

böx

bÿ -

böx

bx

böy

bx

werden. Dann sind

böy    bdy

bx T    ö*

bdx

öi»    bx

böx

bdx

by    ö&

Addiren wir also die ersten drei rechtsstehenden, von den Drehungen herrührenden Grössen 8) zu den Gleichungen 6), so erhalten wir die folgenden Ausdrücke, wenn wir 6a) und 5) berücksichtigen, die erste Reihe mit x, die zweite mit ?/, die dritte mit * multipliciren und zu drei entsprechenden Gruppen addiren:

böx

böx

xn + y x ix + y iÿ +

böx

by

böy

böy

% Y¹

bx

10)

böx

böx

böx

als Aenderung der drei Coordinaten durch Ausdehnung und Drehung. Durch Yerschieben des Anfangspunkts können wir immer bewirken, dass x, y, z unendlich klein sind.

Wir setzen nun

öx = x₂— x , Öy — y₂— y , öz = z₂— «

-1,

böx

bx₂

böy

by₂

böx

bx2

öx    bx

. ödx_bx%

by    by

öx ôx

böy_öj/2

’ by

böx

bx₂

11)

böx

bx₂

bx bx

böy_by₂

’ bx bx

böx

bx<

Die allgemeinste mögliche, unendlich kleine Veränderung wird

durch die Gleichungen ausgedrückt:

>    .    . ö«2    , bx2 . <te₂

æ2=a + æ₂=a+^æ + ^-î/ + -^z

y 2 =b + 2/2 — b +    y + ö*

' . .0*

«2 = c + *2==c +

Die Grössen a, b, c bedeuten eine Verschiebung der Coordinaten ohne sonstige Veränderung. Berücksichtigen wir, dass die Ausdrücke 10) mit Rücksicht auf 11)

12)

bx

ö*

by

2    i 0*2

t y + wz-

bx₂

Ö £C₂

bx X by ùcX +

oy₂

Ôî/

0*2

0*2

werden, so würden durch diese Ausdrücke die Veränderungen der Coordinaten gegeben, die ein Punkt durch die Ausdehnung und die Drehung erfährt. Dieselbe Veränderung wird durch die Gleichungen 12) ausgedrückt, wenn man a = b = c = 0 setzt.

Die allgemeinste mögliche Veränderung durch Deformation lässt sich daher zusammensetzen durch eine Ausdehnung, eine Drehung und eine Verschiebung ohne sonstige Veränderung.

Die Veränderungen durch Ausdehnung und Drehung sollten klein sein. Betrachten wir die in einem Zeitelement dt vor sich gehenden, so ist diese Bedingung erfüllt. Wir führen dann die Geschwindigkeiten ein und können dann die endlichen Veränderungen erst durch die Integration der Differentialgleichungen erhalten. Wir setzen

$ = §dt    l) = r\ dt 5 = £ dt

dx

Tt—U

dy

~dt~V

dz

Tt==w

dann folgt aus 8)

bw bv

^ ^    by    bz

~     bu    bw

~ s. _ bv    bu

bx

13)

§ 2.

Die Gleichung der continuirlichen Strömung und die Druckkräfte.

Wir gehen jetzt dazu über, die bestimmenden Gleichungen der Hydrodynamik abzuleiten. Die Componenten der Geschwindigkeiten werden wir wie oben so auch fortdauernd mit u, v, w bezeichnen. Die Dichtigkeit mit s. Die rechtwinkligen Coordinaten mit x, y, z.

Betrachten wir Fig. 3 ein rechtwinkliges Parallelepipedon mit den Kantenlängen dx, dy, dz. Durch die Seitenfläche dy dz strömt während dt die Flüssigkeitsmenge dt s u dy dz ein. An den gegenüberliegenden Seite ist die Coordinate x um dx gewachsen, dort ist also die ausströmende Menge nicht dtsudydz, sondern

dt ^su -f-    (su) dx^ dy dz.

zurück die Menge

dy

dz_

dxr

Fig. 3.

Es bleibt also in dem Raumelement

— dt ^ (su) dx dy dz.

Das entsprechende findet an den anderen Seiten statt, und die ge-sammte zurückgebliebene Flüssigkeitsmenge ist also

ö (su) . dx ~*

Diese Menge muss also gleich der Aenderung der Flüssigkeitsmenge des Yolumelements während dt sein. Diese Menge ist

s dx dy dz.

Ihre Aenderung während dt ist

(s dx dy dz) dt oder, da dxdydz unverändert bleibt,

— dt

ö (sv) b (sw)

' <W

by

^ dxdydz.

^ dt. dx dy dz.

Durch Gleichsetzen beider Ausdrücke ergiebt sich

ö (siv)

bs b (su) . bt + ~öF“ +

ö (sv)

by

14)

Ist die Flüssigkeit nicht zusammendrückbar, so ist s constant. Dann wird wie Gleichung

ÖW . ÙV . }>w    „

14 a)

to + ty + w —u-Hierdurch ist eine bei allen Flüssigkeitsbewegungen nothwendig zu erfüllende Gleichung gegeben.

Wir definiren als Druckkräfte solche Kräfte, die auf die Oberfläche eines Körpers wirken, und unterscheiden gleich im allgemeinen Falle normale Druckkräfte als solche, die in der Richtung der Normale wirken, von tangentialen, die in der Richtung der Tangente der Oberfläche wirken.

Sei n die nach dem Innern des Körpers gerichtete Normale. Dann ist Xx der normale Druck, wenn die Normale parallel x ist, Xy und X% sind die Componenten des tangentialen Druckes, wenn die Normale parallel y oder « liegt.

Bezeichnet man mit Xn die Componente des Gesammtdruckes, der auf ein Element wirkt, dessen Normale n ist, so ist dieser Druck aus normalem und tangentialem zusammengesetzt. Die Componente des normalen Druckes parallel x ist Xx = Xn cos nx, wo nx die Richtung bezeichnet, die die Normale n mit der x-Axe bildet.

Die tangentialen Drucke sind Xy — Xn cos ny, X% = Xn cos nz, wo nz und ny entsprechende Bedeutung haben.

Aus den drei Gleichungen folgt, da cos² nx + cos² ny + cos²m;

= 1 ist,

Xn — Xx cos nx -j- Xy cos ny + X% cos nz.

15)

Hierzu lassen sich die entsprechenden hinzufügen:

Yn — Yx cos nx + Yy cos ny + Y% cos nz Zn — Zx cos nx -f- Zy cos ny + Z% cos nz.

Die eigentlichen Bewegungsgleichungen lassen sich aus New-tonschen Gleichungen der Mechanik direct ableiten.

Nach diesen ist die Masse eines Körpers multiplicirt mit der Beschleunigung gleich der Summe der beschleunigenden Kräfte. Die Beschleunigung wird durch die Zunahme der Geschwindigkeit während des Zeitelements dt gemessen.

Die beschleunigenden Kräfte, die auf einen kleinen Raum-theil der Flüssigkeit einwirken, sind erstens die äusseren Kräfte, wie z. B. die Schwere, ausserdem die Druckkräfte, die auf die Oberfläche des betrachteten Körperelements einwirken.

Als Raumelement nehmen wir wieder ein unendlich kleines Parallelepipedon, dessen Kanten den Coordinataxen parallel sind (Fig- 3).

Bei der Aufstellung der Bewegungsgleichungen müssen die beschleunigenden Kräfte so verlegt werden, dass sie alle auf den im Mittelpunkt des Parallelepipedons liegenden Schwerpunkt einwirken. Die Aenderung der Geschwindigkeit dieses Punktes misst dann die Beschleunigung.

Die normalen Druckkräfte Xx, Yy, Z% wirken proportional der Grösse der Fläche, also auf jede Seitenfläche des Parallelepipedons so ein, als ob die ganze Kraft nur im Mittelpunkte der Seitenfläche angreifen würde. Da nun der Schwerpunkt des Körperelements auf der in der Richtung der Kraft durch ihren Angriffspunkt liegenden Geraden sich befindet, so wirken alle die normalen Druckkräfte so, als ob sie im Mittelpunkt des Parallelepipedons angreifen würden.

Auf den Seitenflächen des Raumelements, dessen Coordinaten x + dx, y + dy, z + dz sind, liegen die Richtungen der Kräfte in der Richtung der nach aussen zeigenden Normalen. Ihre Grösse ist also

G + -ST

G +

(Zx +

dYy

ô Z%

dx^ dy dz dy ^ dz dx dz ^ dx dy,

während auf die anderen die Kräfte

Xx dy dz Yy dx dz Zx, dx dy

wirken.

Die Componenten der gesammten beschleunigenden Kraft, die von den normalen Drucken herrührt, sind also

ÖX

^ dx dy dz dx dy dz

Ö7,

t    --dx dy dz.

Ebenso wirken auf die Seitenflächen, deren Coordinaten x + dx, y + dy, % + dz sind, die tangentialen Componenten

*YX

dx J dy dz

und

ö Zx

Die tangentialen Kräfte üben im allgemeinen auf das Volumelement Drehungsmomente aus.

Um die x-Axe drehend wirkt das Moment (Kraft multiplicirt mit dem Hebelarm)

Zy dx dx . dy — Y% dx dy . dx,

um die y-Axe

Xx dx dy . dx — Zx dy dx . dx,

um die «-Axe

(X/ + dy} dx dx ( Y% + - J dx} dx dy

und —

und

( Zy H—dy} dx dx

(v* +

dx} dx dy.

während sie an den anderen Flächen, wo die Normale die entgegengesetzte Richtung hat,

Yx und Zx Xy und Zy Yx und Xx sind.

Zusammen geben sie

bXx

dx dy dx ^

dxdydz(^- + b-X)

dxd»dz(-w+ *-§-)■

by bx

sdxdydx ist die-Masse des Volumelements. Bezeichnen wir noch mit X, Y, Z die Componenten der auf die Masseneinheit wirkenden Kräfte, so lauten die Gleichungen der Bewegung:

bXx bXy bXx bx    by bx

= sr — V

du

s dt

dv

sXt

dw

= sX —

bx

b Y y _ d T* by bx

16)

sdt = sZ-~te

bzx bZy bzx

by

bx

Yx dy dx . dx — Xy dx dx . dy.

Denken wir uns nun eine geschlossene Fläche in der Flüssigkeit, so dass das betrachtete Volumelement in dem von ihr umschlossenen Raum liegt. Auf diese Oberfläche mögen beliebige Druckkräfte einwirken, die auch Drehungen des ganzen umschlossenen Volumens im allgemeinen bewirken können. Wir nehmen dann

an, dass die ins Innere sich fortpflanzenden Druckkräfte nicht auch die einzelnen Volumelemente für sich drehen können.

Dies ist aber nur der Fall, wenn die Drehungsmomente verschwinden, wenn also

17)

Xy — Fr, Zx — Xx) Y» — Zy sind.

Diese Gleichungen sind für die Mechanik wägbarer Körper immer erfüllt. Dagegen sind sie nicht giltig bei den Spannungen, wie sie im Innern magnetisirter Körper auftreten können.

Nach den bisherigen Betrachtungen erleidet im allgemeinen jedes Flächenelement gleichzeitig tangentiale und vertikale Drucke. Es giebt aber an jeder Stelle drei aufeinander senkrechte Flächenelemente, für die die tangentialen Drucke Kuli sind. Es bleibt dann nur ein senkrechter Druck übrig, den wir mit p bezeichnen wollen. Für jedes dieser Flächenelemente ist

Xn—p cos nx, Yn—pL cos ny, Zn — p cos nx.

Also ist nach 15)

18)

Eliminirt    man aus den    Gleichungen    die cos    nx,    cos ny    und cos nx,

so sieht man, dass die Determinante

19)

weil wegen der Gleichung cos² nx fl- cos² ny

verschwinden muss fl- cos ²nx — 1 die Grössen cos nx, cos ny, cos nx nicht gleichzeitig verschwinden können.

Es ergiebt sich also für p eine cubische Gleichung, deren Wurzeln die auf die drei Flächenelemente wirkenden Drucke ergeben.

Berücksichtigt man die Gleichung 17), so hat man dieselben Gleichungen wie bei der Bestimmung derHalbaxen der allgemeinen. Fläche zweiten Grades, deren Gleichung

XxX² fl- Yyy² fl- Zxx¹ fl- 2 Y%yx fl- 2 Zxxx fl- 2 Xyxy — A'¹    20)

ist, wenn x, y, x die Coordiiiaten eines Punktes bezeichnen.

Setzen wir nämlicli x — q cos nx, y — q cos ny, % — q cos nz,

so ist

— Xx² cos² nx + Yyl cos² ny -f- Z*² cos² nz + 2 Y% cos ny cos nz

+ .2 Zx cos nz cos nx + 2 Xy cos nx cos ny. 21)

q ist dann der Radiusvector, der mit den Coordinaten die Winkel cos nx, cos ny, cos nz bildet. Für die Axen der Flächen zweiten Grades ist dieser Radinsvector ein Maximum oder Minimum.

Nun ist ()² = æ² + y² + z²; wenn dies einen Grenzwerth annehmen soll, so muss x z^ — 0, y -j- z^ = 0 sein. Andererseits ist nach der Gleichung der Fläche

öa;

Xx X -f- Xy y Xz %

ZxX Zy y +

dz

dy

Yx X + Yy y -|- Yxx

Zxx -\- Zy y -f- Z% x

dz

Eliminirt man 'X- und so erhält man dx o y’

Xx x -j- Xy y ~h X% z — x 2.

22)

Yx x + Yy y + Y%z = y 1

Zx x    Zy y -j- Z% z = % X

und es ergiebt sich für 1, wenn man die erste Gleichung mit x, die zweite mit y, die dritte mit % multiplicirt, alles addirt und die Gleichung der Fläche berücksichtigt,

A² = q²1.

Die Halbaxen erhält man aus 22) durch Elimination von x, y, z. Es ist X gleich einer der Wurzeln der Gleichung

X%

Xx - X Xy

Yx

Yy - X Yx

23)

Zx

Zy

z% — X

und die Halbaxen p,, p₂, p₃ ergeben sich aus der Gleichung

Die Gleichung 23) wird identisch mit 19), wenn X = p gesetzt wird. Die Normalen der Flächenelemente senkrechten Druckes sind also parallel den Hauptaxen der Fläche, deren Gleichung 20) ist.

Da nun die drei Axen der Flächen zweiten Grades senkrecht aufeinander stehen, so gilt dies auch für die Normalen der Flächen-

eleinente, die nur senkrechten Druck erleiden. Diese drei Drucke bezeichnen wir mit pl} p₂, p₃.

Setzen wir nun

Xx = p, ax ² + p₂ a₂ ² + p₃ «₃ ²

Zz =Pi Yi2 + Pi Y-i1 + Pz 7z'2 Yz = Zy = PißiYi ~k

rP + * (fl&i-

u* - (£)’+ (ir+ <w - o:y+ d)2+ ©2

e.r+ a.:) + (;•')- *.($’+ *2 (S2+ ê)2-

3)

Q = WQ — © ist,

1.

Æ=ï+w

yu-y , y//yy ß2 *2(i-t UH (i -*2) (i -&%*)

= 11 5ÏÏ + “& + "’&

«22 33 = «lt 51

J y («i—/?)2+ {Wi—y)2 — [Gi—«) / +(®i—Æ) m(tot—y)»]*. 7 5)

i mr+ (i)2]+ und bei Vernachlässigung von Grössen zweiter Ordnung

Vaß+\

Sei

1 i '' fch\!

Um die Winkelgeschwindigkeit œ an einem Orte mit d

z= o.

yV

. fß _j_ îiÿ2

24)

Zz =Pi Yi² + Pi Y-i¹ + Pz 7z'2 Yz = Zy = PißiYi ~k P'ißzYz + PzßzYz Zx = Xx = P\ 7i «! + _P₂/2«2 + Pz 7z «3 Xy= Yx=plalßi + P₂a₂ß₂ + p₃a₃/?3 wo av, ßt, Ji u. s. w. die Winkel bezeichnen, welche die Drucke p{ u. s. w. mit den Coordinataxen bilden, so gelten hier die Gleichungen 15), weil die Druckrichtungen senkrecht aufeinander stehen. Wir erhalten dann mit Berücksichtigung von 4) die Gleichungen

(Xx -P\)a\ + XyßI -j- XxYi = 0

W«, + (Yy —P\)ß\ + r*n =0 Zxa{ -f- Zy ßi -f- (Z~ p) Y\ — 0

und zwei symmetrische mit den Indices ₂ und ₃.

Es sind also pt, p₂, p₃ die Wurzeln der durch die Determinante dargestellten cubischen Gleichung.

Vergleichen wir diese mit der Gleichung 19), so erhellt, dass durch die Ausdrücke 24) die verlangten Drucke dargestellt werden.

Es sind also alle Drucke auf pu p₂, p₃ zurückgeführt. Bei den Flüssigkeiten machen wir nun die Annahme, dass die Unterschiede der drei Drucke pt, p₂, p₃ den Dilatationsgeschwindigkeiten

— ,    ~ proportional sind. Der Proportionalitätsfactor hängt

von der Natur der Flüssigkeit ab; ausserdem sollen sie noch der Geschwindigkeit der Volumänderung, die ein Fltissigkeitstheilchen erleidet, proportional sein. Dies giebt eine zweite Constante, die aber nur bei zusammendriickbaren Flüssigkeiten Bedeutung hat. Wir setzen demnach

b 2

P - ² ~Si (£1    ® (£!    £‘²    ^

bl

P - ² ~Jt (⁸2 + ® (el + £2 + £3))

P — 2 ^ (e₃ + @ (ą + e₂ + e₃)).

25)

Pi =

Pz =

Ist k² = 0, so ist Pi = p₂ — p-i —P'i dann sind überhaupt keine tangentialen Drucke vorhanden, wie dies hei ganz reibungslosen Flüssigkeiten der Fall ist. Die Constanten k und S sind die

Reibungsconstanten. Setzen wir diese Werthe von p{, p.₂, p₃ in die Gleichungen 24) und berücksichtigen die Gleichungen 6) des § 1, so erhalten wir, wenn wir wieder ôx = udt, ôy — vdt, Ô& = wdt machen,

*-»*(£+»(b-+    + £))■

T, = P- «>(£+«(£ +    + £))

*-l- »^+»(5+ +9) *—*’(*+*)

**(£+s)

Setzen wir diese Ausdrücke in die Gleichungen 16), so erhalten wir

ö²w\

+ "SP";

+ '4,G+!+sG + ²«)

. b²v \

_j_ &(— 4-^4- —Ï

' \ôæ² ' by² ' b%²)

+ ‘’s(s + S + £)<‘ + *s>

Ist die Flüssigkeit nicht zusammendrückbar, so ist

A4 + Yy + Z* = 3p

Xx =

Yx =

Zx = A4 =

26)

du

S~dt~

dw

S~dt

S*+'£2(S ⁺

= sZ

b²U

öy²

b²v

by²

bp

~bx

bp

27)

by

bp

der Druck p das arithmetische Mittel aus den drei senkrechten Drucken. Nehmen wir an, dass dies auch für zusammendrückbare Flüssigkeiten gilt, so ist

27 a)

6> = --§.

du dv dw dt ’ dt’ dt

einzusetzen und erhalten dann für die hydrodynamischen Gleichungen die am meisten gebräuchliche Form.

Schliesslich haben wir für

die vollständigenW erthe

y—

1 ö» bu . bu . bu . bu

îbï ⁼ bï + üu + ïïv + üw~

bv . bv . bv    bv    k² .

1ZÜ⁼ bi + Txu + Ęv + Uw-~vlJv —

1 bp

Sä ;

Au —

KM)

K¹-1)

Kï—(H-2S)

„    1 bp bw . bw bw . bw k²    .

Z—»Ł = ■¥ + &“ + ïj v + S*' 7 _Aw -

i)s . b(us) , b[vs) i öDcs)    „ ds bs . bs , bs , bs    .

M +-5T + V ⁺ V = °> 3f“3ł + 5“+5,* + Sw' 27b)

Hier ist zur Abkürzung für die vielfach vorkommenden Differentialausdrücke ein zusammenfassendes Zeichen gebraucht, das wir auch später anwenden werden. Es soll hiernach allgemein

27c)

.    b²œ . b²<p b²q>

A V œ + tyä + öD“ sem<

Wir stellen folgende Betrachtung über die Energie einer in einem geschlossenen Baum befindlichen Flüssigkeitsmasse an.

Zunächst gehen wir von den allgemeinen Bewegungsgleichungen aus.

' Multipliciren wir die Gleichungen 16) mit ôx, ôy, öz und addiren sie, und bilden das Integral über einen geschlossenen Baum, dessen Oberfiächenelement ds und nach aussen gerichtete Normale n ist, so erhalten wir bei partieller Integration

j' J* j‘s dx dy dz ^

il-.r

dt²

ôx +

d²y

dt²

ôy + w0%)

fffsdxdy dz (X0x + Yôy + Zöz) ~fdS(Xnóx + Ynô,y+Znö%)

+///***[*£ +    +    f )

+ &(£ +

bôx

~bz

) • vc,: • An-

Die linke Seite giebt die Arbeitsleistung bei der Beschleunigung. Auf der rechten Seite stehen, 1. die Arbeit der äusseren Kräfte,

2.    die Arbeit der auf die Oberfläche wirkenden Druckkräfte, und

3.    die Arbeit, die bei der Deformation geleistet wird. Die letzte Arbeit giebt in einer Flüssigkeit die durch Beibung in Wärme verwandelte Energie an und die Compressionsarbeit

(àôx . d&y dâz\

p (.r + hj + U)'

Wir multipliciren von den Gleichungen 27 b) die erste mit u, die zweite mit v, die dritte mit w und addiren sie; wir setzen ferner q² = u² v² -f- w², bilden das Integral über einen geschlossenen Raum und integriren partiell nach x, y, %, so erhalten wir, wenn die X, Y, Z partielle Ableitung nach x, y, % einer Function V sind,

sr r

+ wbt) =

■f is[(p-»r+£{*)(«

cos nx v cos ny -j- w cos nz)

4«£+4l+1) +4Ł+r)+«« (s+I+ r)}

²(² *S+«(^ + K) + “fô + s) + ²®* (s +1 + r)}

k-y2iv

cos nx

cos ny

+« (r +r) + * (r+D + ²    1 + ë))H

+(s+I:)²+(|+i:)V2<“₊|+9²}

+/ffdxdyd%[P fë + | + S) + F¥~l“lf]'

Setzen wir in dem obigen Ausdruck ôx—^'dt, öy—^ dt, öz=⁽^ dt,

so erhalten wir für die Energie, welche durch die Reibung während dt verbraucht wird, den Ausdruck

dt ///***(* r + r» | + z~~t + (r +1)

fff[4£Y+KW⁺my+m+w'

— —dtk²

+& + uï+ (r + W+² C +1 + r)*1 * * *•

Wir können dann die Raumintegrale in folgender Weise zu-sammenziehen. Es ist in jedem Raumelement

y ü (■sq²)dxdydx=^

— öl ’

Erhaltung der Energie. Grenzbedingungen.

17

wenn L und F die kinetische und potentielle Energie bezeichnen. Wir können dann unsere Gleichung in folgender Form schreiben:

^ I J j'dx dy dz (L -f- F) dt =j dS (u cos nx + U cos ny fl- tu cos n%) dt

Jjj'dxdydzR,

wo die Werthe u, t), tu, R zusammenfassende Bezeichnungen sind.

Das Raumintegral auf der rechten Seite giebt den während dt durch die Reibung in dem ganzen Raume verzehrten Energie-vorrath.

Auf der linken Seite steht die Aenderung des Energievorraths selbst. Die Gleichung spricht dann aus, dass sich der Energie-vorrath der in dem geschlossenen Raume befindlichen Flüssigkeit, abgesehen von der durch die Reibung zerstörten Energie, nur durch Strömung von Energie durch die Oberfläche verändern kann.

Man kann it, U, tu die Componenten der strömenden Energie

nennen.

V71

3.

(ircnzhediiigungen.

In den meisten hydrodynamischen Aufgaben hat man es mit einer begrenzten Flüssigkeit zu thun. Für diese Grenzen gelten Bedingungen, welche die möglichen Bewegungen der Flüssigkeit in bestimmter Weise einschränken.

Im allgemeinsten Falle wird die Oberfläche der Flüssigkeit durch eine Gleichung bestimmt, welche die Coordinaten und die Zeit enthält:

fix, y, *,0 = 0.

Betrachten wir hier die Zeit als unabhängige Variable, so ist

V , pf Ô* , bf by . V ô*    n

' bx bt ' by bt ' bz bt

Die Oberfläche macht nun die Bewegung der Flüssigkeits-

theilclien mit und deshalb ist

— w zu setzen.

bx    by

bt—u’ it

Wir haben also die Gleichung

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

bf . bf . bf . bf . W + “S + ® ïÿ + w S = °'

28)

Denken wir uns bei constanter Zeit in die Flüssigkeit Linien gezogen, die an jeder Stelle der Geschwindigkeitsrichtung parallel laufen. Diese Linien wollen wir Stromlinien nennen. Dann sagt die Gleichung 28) aus, dass die Oberfläche zu jeder Zeit aus Stromlinien zusammengesetzt ist.

Die Oberfläche der Flüssigkeit ist eben dadurch defmirt, dass durch sie niemals Flüssigkeit hindurchströmen kann.

Auch im Innern der Flüssigkeiten können solche Flächen aufgesucht werden. Dieselben haben ein wesentliches Interesse nur dann, wenn die Geschwindigkeiten an beiden Seiten der. Fläche verschiedene Werthe haben. Eine solche Unstetigkeitsfläche wird sich im allgemeinen in der Flüssigkeit verschieben.

Ausser der durch die Gleichung 28) ausgesprochenen Grenzbedingung ist noch eine zweite zu berücksichtigen, die sich auf die Druckkräfte bezieht. Nach dem Princip der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung müssen die Druckkräfte, die der berührende Körper auf die Flüssigkeit ausübt, den Druckkräften das Gleichgewicht halten, mit welchen die Flüssigkeit auf den Körper wirkt.

Die Kraft, welche der berührende Körper auf die Flüssigkeit ausübt, muss durch eine Hypothese näher bestimmt werden.

Die allgemeinste bisher gemachte Annahme beruht auf der Vorstellung, dass die tangentiale Kraft der relativen Geschwindigkeit der Flüssigkeit und des Körpers an der trennenden Fläche proportional ist. Der senkrechte Druck muss immer an beiden Seiten gleich sein, wenn das Princip der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung erfüllt sein soll.

Xn, Yn, Zn sind die Componenten des gesammten Druckes in der Richtung der Normale n der Trennungsfläche.

Xncosnx + Yn cos ny -j- Zncosnz ist der senkrechte Druck, also (Xn cos nx -f- Yn cos ny + Zn cos nz) cos nx u.s.w. die Componenten des senkrechten Druckes. Also sind Xn — (Xn cos nx + Yn cos ny + Zn cos nz) cos nx u. s. w. die Componenten des tangentialen Druckes. Nennen wir die Geschwindigkeiten des Körpers ux, vx, wx, so haben wir nach den gemachten Annahmen zu setzen.

sJc^

Xn — (Xn cos nx    +    Yn cos ny -)- ZH    cos    nz)    cos    nx== — (ux— u)

sk²

Ot — «0 29)

Yn — (Xn cos nx    +    Yn cos ny + Zn    cos    nz)    cos    ny =

sJc²

Zn — (Xn cos nx    +    Yn cos ny + Zn    cos    nz)    cos    nz = (wx— w).

Grenzbedingungen. Die Gleichungen von Lagrange.

19

Hier bezeichnet l eine Constante, die von der Natur der sich berührenden Körper abhängt.

Die Reibungsconstante ^ hat die Dimension wenn L eine Länge, T eine Zeit bezeichnet.

Da die Geschwindigkeit die Dimension [    , der Druck die

Dimension    hat, so hat die Constante l die Dimension [L\,

ist also eine Länge. Dagegen hat die zweite Reibungsconstante 0 keine Dimension; sie ist eine reine Zahl.

Die Constante l wird häufig als Gleitungscoefficient bezeichnet. Ist l Null, so haftet die Flüssigkeit fest an dem berührenden Körper, weil dann w, =u,    — v, w] = w sind.

Ist l unendlich, so ist

Xn : in : Zn = cos nx : cos ny : cos n%.

Wir haben es dann nur mit einem senkrechten Druck zu thun.

7/.

4.

Die Differentialgleichungen von Lagrange.

Für einzelne Fälle ist es zweckmässig, den Differentialgleichungen einer reibungslosen Flüssigkeit eine andere Gestalt zu geben. Wir können diese nach 27) in der Form schreiben:

d²x

dt²

d²!/

r--¹

dt²

dt²

Wir setzen nun fest, dass die Coordinaten x, y, & eines identischen Flüssigkeitstheilchens als Functionen ihrer Anfangswerthe a, b, c zur Zeit t = t₀ und der Zeit t angesehen werden soll.

Auch der Druck p ist dann als Function von a, b, c und t anzusehen, so dass

u. s. w. ist.

bp bp bx dp by . bp bz ba bx ba ' by ba ' b% ba

Um nun in den Gleichungen nur Differentialquotienten des Drucks nach den unabhängigen Variabeln a, b, c zu haben, multipliciren

Wir betrachten das Integral

j‘ j J‘F (a, b, c) da db de

und führen die neuen Variabein xx, yx, %x ein, welche Functionen von a, b, c sein sollen.

Dann wird

yx, zx ) dxx dyx dzx.

j j J“F (a, b, c) da db dc = j'j'j'fFx (x

Fx entsteht aus F, wenn man a, b, c durch xl, yx, %x ausdrückt, und die Function f tritt durch die Transformation von da db de hinzu. Bilden wir zunächst das Differential dxx, so ist dabei dyx und dzx gleich Null zu setzen, weil diese Variahein von xx unabhängig sind. Wir haben also

dxx

wir die Gleichungen erst mit    dann mit ||, ^

und addiren jedesmal. Wir erhalten auf diese

end-

bx by bz bc’ ôe’ öc

lieh mit Weise

( dP-x    \ bx    ( dïy    y'l    èÿ    / d^z    \ bz    1 bp

\m~X)Ya^\M~¹)Ya⁺\W~Z)Ta ⁺ l'¥a

( dJkx    tA ö«    ,    / <Py    v\    ö?/    / d*z    \ bz

\W “ Aj ÔÔ + \W ““ ¹ ) bb +    ~ z j u +

_ _£i    + m — y\^ + (~—z) ~ 4-1-

\ćfó²    /    '    v^²    /    Öß    '    V6?<²    / öc    '    s bc

Die Gleichung der Continuität muss für die Gleichungen von Lagrange besonders umgeformt werden.

= 0-

8 I ^ ✓O \/Z>

1 bp

u~~° ³⁰)

1 bp

= 0.

“Tïf*+ &<» + &* ⁰-&*+■&* + &* ⁰-&*+&*+&*•

und hieraus folgt

da —

by\ bzx byx d%t

bb be    bc bb

dxx,

WO

Die Gleichungen von Lagrange.

21

rf r|s ri F

IN i«

Ö»!

bc

öc

ist.

öc

Denkt man sich nun clie Integration nach xx beziehentlich a ausgeführt, so behält man nur noch die Yariabeln b,.c und?/,, zx. Man erhält also

àyi

*/i = -tidb + dc 0 = h^-db +

und hieraus

bzx

db =

öc

Ö?/l bZy

___d]Ji Ö*i

öö bc öc bb

und schliesslich

Ö*i

Also wird

da db dc —

dxy dyi dzY

Setzen wir nun in derselben Weise äxdydz — xx — x = öxx

dx\ dyx dxi

Vi — V == àyx

so wird

à Sx

ô&/t

b&z

bx ^ ôæ

da die ôxu ôy{, âzx unendlich klein sind, so ist n _ a | bâx! . bôyy . bôz

— ¹ +    -t-

Nun seien x, y, £ Functionen von a, b, c und i; xx, yx, zx dieselben Functionen von a, b, c und t + dt, so ist

Ôxx = ^jjrdt.

by

by bz

bz

Wir haben dann

dxx dyx dzx = D{ da db de dx dy d» — D da db de,

wo D die Determinante für die x, y, » ist. Andererseits ist

bD

Dx = D -f- ^ dt.

Da nun

dx dy d% = j) dxx dy{ dzx

und

D₂ = nach dem Früheren ist,

so folgt

= 1 + L CDdt + ly CDdt + Ł CDdL

Da nun

bt = v

cv OS

= w sind.

so wird

i_ ÖD    bu , bv bW'

D bt    bx ' by ' bz

Hier sind die Geschwindigkeiten als Functionen von x, y, », t anzusehen. Dann haben wir zu setzen

dx

dy

dx

dt’ V — dt’ W — dt

und sprechen damit aus, dass wir die Coordinaten x, y, » auf ein bestimmtes Flüssigkeitstheilchen beziehen. Dann haben wir auch

dD

'jf zu schreiben.

Dagegen ist

du bu . bu dx bu dy bu dz bu bu . bu . biv dt — bt + bi dt    ■+ by dt    + H dt    ⁼ bt    + büs    U + by V + bï    W’

weil die Geschwindigkeit in der Weise, wie wir sie hier ausdrücken, sich auf einen bestimmten Ort bezieht und sich erstens der Zeit nach, dann aber auch dadurch ändert, dass das Flüssigkeitstheilchen während der Bewegung den Ort wechselt.

Die Gleichungen von Lagrange. Transformation von Clebsch.

23

Für die Gleichung der Continuität können wir demnach auch schreiben, da ebenso

bs

äs bs bs ,    ,    „„

dt ⁼ it+&u + ^v + hiw Ist’

äs    (bu , bv    _

+s U + ïy + u) =⁰

dt

bs

oder

A_ds . s dD

U “ dt + D dt

31)

(sD).

Die Transformation von Clebscli.

Wir kehren nun zu den allgemeinen Gleichungen 27) zurück. Da die Dichtigkeit der Flüssigkeiten immer eine Function des Druckes ist, so können wir setzen

also

fi

32)

h P_ 1    bp    bP_ 1 bp    bP_ 1 bp

<te    s    ite ’    by    s by ’    <te    s bz

Eine erhebliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Dichtigkeit als constant 'angesehen werden kann, wie es bei den tropfbaren Flüssigkeiten mit grosser Annäherung der Fall ist. Dann ist die Continuitätsgleichung einfach

bu

= 0.

bx

by

bv . bw bz

Eine weitere sehr erhebliche Vereinfachung bringt die Vernachlässigung der Reibung mit sich.

Die äusseren Kräfte werden in weitaus den meisten Fällen ein Potential haben. Ausnahmen kommen vor, wenn magnetische Kräfte auf Flüssigkeiten wirken, die von elektrischen Strömen durchflossen sind, und bei nicht conservativen Wirkungen, wie Reibung und Erwärmung.

Setzen wir in der Gleichung 27)

k² — 0 und X —

bV

Ite

Œ'

bV

Z = V-

bz ’

V-P=^+ x ^ + ł(^² + ^² + ^²)

34)

so kann man das allgemeine Integral. der Gleichungen für den Druck p bilden, wenn man setzt

dtp

V = -J

o y

und erhält dann zwei Bedingungsgleichungen für <p, x, ty-Wir setzen nun

bœ , bxp U==ÙC + ¹ bx

bxp

Ô (f)

blj!

33)

und erhalten

du

bu

__, ±f hn i u

èæ bx btbx ' bx dt) '

(i öf) + iöt[(öl+ ^öl)²+    ¹ ly) + (w + ^bxf\

Setzt man dagegen die Ausdrücke für u, v, w in die ersten Gleichungen, so erhält man

&<p    , b ( bxp\    b (bcp    bxp    .    bpp    bxp_ .    bcp    bxp\

bt    '    bxbx' by by' bxbx ' ^ Vöce bx '    by    by    '    bx bx)

_ b²<p

btbx ¹ bx

bV_bP

bx bx

cc N:

Yx^v

by

-j- KJ

und

= 0 sind.

bip bipbrp dtp dtp bcpbxp    rIô^Vj_ (bxpy ,(bxp\ïp

+ * UW ⁺ \bÿ) + W J

Hierzu kommt die Gleichung der Continuität

(A<p + XAy + ^ ^    | ^    ^ s

bs bsfbpp    bxp\ bsSbjp bxp\ bsfby btp\ _ q

' ö£ ' öa? v ôæ ' % bx) ' by \ by ' % by) ' bx v. bx ' bx)

Die beiden ersten Gleichungen erhält man auch, wenn man die zweite und dritte der Bewegungsgleichungen in derselben Weise behandelt.

Multiplicirt man die zweite Bedmgungsgleichung mit so lässt sieli die Gleichung für den Druck schreiben:

v—p=

hę

bt

+ dfê)M!)²+6f)²]

35)

Bilden wir die Drehungsgeschwindigkeiten rj, $ der Flüssig-keitstheilchen, so ist

b%    bip_bip    ô/

by    by    bz

9 n    __    bx    bip    bip    bx

Zł]~    bz    b* ~bźbx

Die Function ist hier ganz fortgefallen. Sie gieht nur den Anthpil der rein fortströmenden Bewegung ohne Drehung. Dagegen rührt die Drehungsgeschwindigkeit von den Functionen % und ip her.

'Wenn keine Drehung vorhanden ist, also ip und % fortfallen, sind die Bedingungsgleichungen von selbst erfüllt und wir haben dann aus der Continuitätsgleichung die eine Bedingung

sriS'

+ fa

(s + Ł (s lf) + Ł (s If) ⁼ °*

§ 6.

Uebertr*agung bekannter Bewegungen auf geometrisch «ähnliche

Formen.

Aus den allgemeinen Gleichungen lassen sich Schlüsse ziehen in Bezug auf die Veränderungen, welche ein hydrodynamisches Problem durch Verschiedenheit der Dimensionen erleidet.

Nehmen wir an, ein bestimmtes Problem sei für eine Flüssigkeit und für vorgeschriebene Dimensionen gelöst. Wir setzen nun für eine andere Flüssigkeit, indem wir mit ą, e₂> % drei Con-stanten bezeichnen

k]² — £[k²    Sl—£-₂S    Ui==£₃U    v[=£.iv    = £%W

x\ =

£l    £l    fl

£2 £3

Pi = £I h P

— x y, —-ij z, =-«

J1    £2 £3    *2 «?3

t = ——

¹    £2 G ’ und setzen diese Werthe in die Gleichungen 27) ein, wenn wir die äusseren Kräfte Kuli setzen. Wir erhalten dann dieselben Gleichungen wie für die erste Flüssigkeit, indem bei den drei

ersten der gemeinschaftliche Factor £y- heraustritt, bei der vierten

der Factor . Jede für die eine Flüssigkeit gefundene Lösung gilt also auch für die zweite.

Die Constanten £, und e₂ sind durch die Katur der zweiten Flüssigkeit bestimmt, die dritte e₃ ist willkürlich.

Für compressive Flüssigkeiten kommt noch die Beziehung zwischen Druck und Dichtigkeit hinzu. Beschränkt man sich auf geringe Dichtigkeitsveränderungen, so ist

dp — a²ds,

wo a eine Constante bezeichnet (die Schallgeschwindigkeit in der Flüssigkeit). Hierdurch wird dann die Constante f₃ bestimmt, indem für die zweite Flüssigkeit

a\ — a² f| sein muss.

Es müssen sich also alle Geschwindigkeiten ebenso ändern wie die Schallgeschwindigkeiten, wenn eine Uebertragung der Lösungen möglich sein soll.

Bei incompressibeln Flüssigkeiten fällt diese Beziehung fort. Dafür tritt eine andere hinzu, wenn eine freie Oberfläche vorhanden und die Schwere wirksam ist.

In diesem Fall muss der gemeinsame Factor — 1 sein.

Dann können den Gleichungen auch noch beliebige unveränderliche äussere Kräfte hinzugefügt werden.

Aus diesen Betrachtungen lässt sich noch folgern, dass in grossen Räumen der Einfluss der Compressibilität der Flüssigkeiten geringer wird. Aus der Gleichung

dp — a² ds

folgt nämlich, dass grösseren Werthen von ^, nämlich der Com-

pressibilität, kleinere Werthe der Schallgeschwindigkeit entsprechen. Verkleinern wir also die Constante e₃, d. li. vergrössern wir die Dimensionen des Raumes, so verkleinern wir die Schallgeschwindigkeit nach dem Früheren und vergrössern die Compressibilität, wenn die Vorgänge analog ablaufen sollen. Also hat die

Uebertragung von Bewegungen auf geometrisch ähnliche Formen.

27

grössere Compressibilität in grösseren Räumen denselben Einfluss •wie eine kleinere in kleineren Räumen, und der Einfluss unveränderter Compressibilität ist in grösseren Räumen geringer. Diese Schlussfolgerung ist von der grössten Wichtigkeit für die Vorgänge in der Atmosphäre. Denn sie gestattet uns Betrachtungen, die für incompressible Flüssigkeiten angestellt sind, auch auf die Vorgänge im Luftmeere anzuwenden.

COO

Mathematische Hülfssätze.

Wir wollen für die weiteren Betrachtungen einige allgemeine Sätze ableiten.

Es sei ein beliebig gestalteter, endlicher, geschlossener Raum gegeben; dS sei ein Element der Oberfläche, n die nach aussen gerichtete Normale. Wir betrachten zwei Punkte mit den Coordi-naten x, y, z, xx, yx, zx, von denen der erste in der Oberfläche des betrachteten Raumes liegt. Beide Punkte sollen sich mit einer Kraft anzieh'en, die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung abnimmt.

Die Kraft auf den Punkt x, y, z in der Richtung n ist dann

cos rn,

wo r² = (x — xx)² + (j — yx)² -)- (z — zx)² ist. Wir bilden das Integral

dS

dS N =

cos rn:

dS

cos r n ist das Element einer mit dem Radius Eins

um xx, yx, zt

von

gelegten Kugel, das von dem das Element dS begrenzenden, xx,yx,zy ausgehenden Kegel ausgeschnitten wird. Je nachdem der Kegel in den Raum ein- oder austritt, hat die Normale positive oder negative Richtung und daher ist auch cos rn positiv oder negativ.

Liegt also der Punkt xx, y{, zt ausserhalb des Raumes tritt der Kegel ebenso oft durch die Oberfläche aus als ein, und wir erhalten bei der Integration über die ganze Oberfläche eben

so

soviel Elemente der Kugelfläche mit positivem als mit negativem Vorzeichen. Also ist in diesem Falle der Gesammtwerth Null.

Wenn dagegen der Punkt xl, yx, z[ innerhalb des betrachteten Paumes liegt, so tritt der Kegel einmal öfter aus als ein.

Der Kegel muss aber immer irgendwo die Oberfläche durch-schneiden. Man bat also die ganze Kugeloberfläche bei der Integration

\ cos rndS — 4 ti.

Denken wir uns jetzt den betrachteten Raum mit Masse erfüllt und bezeichnen ein Massenelement mit dm — s dxl dy₁ dz so ist

36)

_J'dm

eine Function, deren negative partielle Ableitungen nach den Coordinaten die Componenten der anziehenden Kräfte aller Massenelemente auf den Punkt x, y, z ergiebt. Denn es ist

dm(x— x{)

093

dm

hx

„ cos rx

bSS

f"dm

J*

cos ry

öS3

dm

bz

cos rz.

Ebenso ist

ÖS3

bn

dm dr _

r² dn

Cdm    ,T

/ r2- cos rn — N,

wenn wir unter N die Summe der Kräfte auf den Punkt x, y, z parallel n verstehen. Bilden wir jetzt

ff

NdS =

dS dm

cos rn,

so ist wieder

also

dS cos rn — 4 ji,

4 nj*dm — 4 xiM,

NdS =

wenn wir mit M die Gesammtmasse bezeichnen.

Wir betrachten jetzt ein rechtwinkliges Parallelepipedon mit den Kanten dx, dy, dz. Für die Seitenflächen parallel der yz-Ebene mit der Coordinate x ist

Nx =

_ Ô33 _ Ö33 hn ôæ ’

für die mit der Coordinate x fl- dx ist

-W, + dx

rP + * (fl&i-

Lor» ' ox \ox J J

Wenn wir nun das

N dS über die Oberfläche des Parallel-

epipedons, deren Fläche dzdy beträgt, erstrecken, so liefern diese beiden Seiten zusammen

fo/²

Ebenso erhalten wir von den anderen Seitenflächen dx dy dz und —    dx dy dz.

Demnach ist nach dem Vorigen

Jiß dxdy dz = — 4 nM = — 4ns dx dy dx

und

37)

überall, wo s = 0, ist auch

ZÜß = 0.

Es lässt sich leicht nachweisen, dass die Potentialfunction iß mit ihren ersten Differentialquotienten überall stetig ist, auch wenn der Punkt x, y, z im Innern der anziehenden Masse liegt. Führen wir Polarcoordinaten ein und setzen

x = x + r sin fr cos 6 y = y + r sin fr sin Q % = z + r cos fr ,

so sind & und fr die geographische Länge und Breite auf einer um x, y, « gelegten Kugeloberfläche mit dem Radius r. Auf der Fläche wählen wir vier Punkte mit den Winkelcoordinaten fr, 0; fr + dfr, 0; fr, 0 + dfr; fr + dfr, 0 + d&. Werden die Punkte durch kürzeste Linien verbunden, so erhalten wir ein Flächenelement

r dfr . r sin fr d 0.

Legen wir nun eine zweite Kugelfläche im Abstande dr von der ersten, und verbinden die gewählten Grenzen des Flächenelements durch radiale Strahlen mit dem Mittelpunkte, so erhalten wir ein Kaumelement

rdfr.r sin fr d0 . dr.

Also wird

sr sin fr dfr d0 dr.

Hieraus geht hervor, dass der Beitrag des Baumelements, in welchem der Punkt x, y, £ liegt, Null ist, weil dann r verschwindet. Deshalb ist 95 überall endlich und stetig.

Andererseits ist

Ö3S

s dx dy' dz' ( x — x )

dx

s dx' dy d% (y — y)

öS*

s dx dy' dx' (z — z)

oder

öas

fff

s cos 0 sin² fr d& dfr dr

5 sin 0 sin² fr dO dfr dr

fff

s sin fr cos fr dß dfr dr.

dz

Die Integrale bleiben also ebenfalls endlich, wenn der Punkt x, y, % ins Innere der anziehenden Masse rückt.

Wir können auch schreiben

dx

jJJ d% dy dz s

J j' J'dx dy dz

(f)

dx’

r r Cdx dy dz ds

JJJ r    ^’

oder bei partieller Integration über die Oberfläche des mit Masse erfüllten Raumes

ÖSS

dS

Cc

cos nx +

f f idx dy dz' bs

J J J r ôæ' ‘

38)

Der Differentialquotient von SS ist hier dargestellt als zusammengesetzt aus den Potentialfunctionen einer in dem Raum mit

der Dichtigkeit vertheilten Masse und einer über die Oberfläche mit der Dichtigkeit s verbreiteten Masse.

In derselben Weise folgt

öSS

öas

/«I cos ny+ff'J*#**

f ds i ».«+//bs

bz

Nehmen wir als einen Theil der Oberfläche die «/«-Ebene an, so dass dort cos nx = 1, cos ny — 0, cos n% — 0 ist.

Nach Gleichung 37) und 38) ist dann

bz' "

ö CdS bxj r

zlSß =— 4 jts — —

öS,

öS3₂

dy ' bx y

wenn wir

«i =

ff'M*is

bx'

by

bz'

^ J* j* j*dx’ dy dz' bs

setzen.

Wir haben nun gesehen, dass die Potentialfunctionen von der Form der SS überall stetig sind. An der Oberfläche des mit Masse erfüllten Raumes ist s unstetig, indem es von dem-Werthe Null beim Hindurchgehen durch die Oberfläche plötzlich einen endlichen Werth annimmt. Es ist erstens J SS unstetig, dann aber auch

_ b_ fdSs t bxj r

= 0 ist.

Dass überall, wo s = 0 ist, die Gleichung zfSS = 0 thatsäch-licli erfüllt ist, folgt daraus, dass A f

Wir denken uns jetzt eine Oberfläche beiderseits mit Masse von entgegengesetzten Vorzeichen belegt (z. B. positiver und negativer Elektricität), und zwar sollen die Dichtigkeiten beider überall gleich sein. Die Potentialfunction der einen Massenbelegung würde

J'dS

sein, die der zweiten, die sich in unendlich nahem Abstande dn befindet

dS dn ;

mit 6 = sdn bezeichnen wir die Dichtigkeit der Doppelschicht und nehmen sie als endlich an; die Dichtigkeit s jeder Schicht ist dann unendlich gross.

Die Potentialfunction der Doppelschicht ist also

b-

Nun ist

ödS-^-

bn

39)

1 ör _ bn    r‘l bn    r²

cos rn:

dS cos rn ist die Projection von dS auf eine Kugel, die um den Punkt x, y, % mit dem Radius r durch den Punkt x', y, % gelegt ist. dS cos rn

^•2

ist das entsprechende Flächenelement auf einer Kugel

mit dem Radius Eins, oder die Grösse, in welcher das Flächenelement einem in x, y, % befindlichen Auge erscheint.

An einer Seite der Fläche wird der Cosinus dasselbe Vorzeichen haben, wenn die nach der Fläche vom Punkte x, y, & gezogenen Linien die Fläche nur einmal schneiden. Schneiden sie die Fläche öfter, so kann man sie in einzelne Stücke zerlegen, die nur einmal geschnitten werden, und die Betrachtung auf die einzelnen Stücke anwenden. Auf der anderen Seite hat dann der Cosinus das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist daher

O dm,

®“±/

wenn wir mit dm das Element der Kugel mit dem Radius Eins bezeichnen. Geht man mit dem Punkte x, y, z unendlich nahe an die Fläche heran, so ist die scheinbare Grösse eines unendlich kleinen Stückes der Fläche die Halbkugel, auf diesem Stück kann man o als constant betrachten und erhält

28 = + 2 jio .

Geht man also in der Richtung der Normale durch die Fläche hindurch, so ändert 28 seinen Werth um 4jtö, weil man einmal in der Richtung der Normale der einen Fläche und in der entgegengesetzten der zweiten Fläche fortschreitet.

Das Flächenstück, das in dem Punkte x, y, £ als Halbkugel erscheint, nehmen wir als Kreisfläche mit dem Radius R an und legen den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt, den Punkt x, y, % in die z-Axe. Beim Hindurchgehen durch die Fläche rückt also dieser Punkt in der r-Axe vor. Gleichzeitig ist & dann die Normale. x\lso ist

28==-

ds = 2 ji

R

jW)

Q dQ

WO Q²

x² -j- y² ist. Hieraus folgt

28 = 2 7i 6

Für unendlich kleine * ist hei negativem « 28 = — 2 3t ö,

hei positivem

28 = +

was mit dem schon Gefundenen übereinstimmt. Dagegen ist

bz

(yR²+*²)³ ’

also für unendlich kleines &

Der Differentialquotient ist also endlich und stetig.

Wir gehen nun zur Ableitung des zuerst von Green aufgestellten, für die Hydrodynamik sehr wichtigen Satzes über.

Aus den identischen Gleichungen

_ bU bV ~ bx bx

&(*.£)

b²V

bx 2

Wie,», Lębrbucb d. Hydrodynamik.

_ bU bV ”¥ ¥ _ ö r/ ö F ⁻ ö*

b²V

è (O è g::)

folgt durch Integration über einen geschlossenen Raum

. bUbV\

+ TT TT )

by²

b²V

ÖÄ-²

I I I dx dy dz (

= — fl fdx dy dz U AV + j f ü

bU ÖF bUbV bx bx ' by by

dz dy

40 a)

+//

dx d z U

bV

bV

by

Nun ist

dz dy = dS cos nx

dx dy = dS cos nz, da dxdy u. s. w. die Projectionen von dS sind. Andererseits ist

dz dx — dS cos ny

cos nx — ^n,

by

bz

cos nz = \ • bn

cos ny = -öw,

Die drei letzten Integrale geben also zusammen

b V by by bn

Durch Vertauschung von U, V wird die linke Seite der Gleichung nicht verändert, also muss auch sein

/ dSü(

à F bx bx bn

b V dz bz bn

bV

dSU V •

bn

I I j XJ AVdxdy dz-— f d SU

bV

bn

I j j V A U dx dy dz

dSV

bU

40 h)

bn

Dies ist der zuerst von Green aufgestellte allgemeine Satz. Genügen die Functionen U und F den Gleichungen

AU= 0 und AV — 0,

so ist

I dS(

bV

Tn ~~

Das Integral

f f (dxdy dz {{*£)²+ (^)V (3f)

muss, da es aus lauter positiven Werthen besteht, einen kleinsten Werth annehmen. Die Möglichkeit, dass hierin eine Unbestimmtheit liegt, diese Annahme demnach als Grundlage für den folgenden Satz nicht streng ist, bezieht sich auf Fälle, die keine physikalische Bedeutung haben. Da der Satz aber sich auch in ganz strenger Weise ableiten lässt, wird es für unsere Zwecke genügen, den älteren von Direchlet herrührenden Beweis zu benutzen.

<jp, + lupy und bezeichnen mit cpx den Werth

Wir setzen cp

von <p, für den die Summe der Quadrate den kleinsten Werth annimmt, und mit h eine Constante.

Man hat dann

CD (%y+ CA GU (£)’+(£)’

+ 2 h (

+ **[(£)■+ cm

bpi b<p₂

bx bx

d(f, bp2 ö// by

h(pt b(p2 <A bx

Wenn Acp{ = 0 ist und der Werth von ç ist an der Oberfläche vorgeschrieben, so muss dort <p₂ = 0 sein, weil auch cp{, der kleinste Werth von 9), diesen Werth an der Oberfläche annehmen muss. Dann ist also nach 40 a)

b(p{ btp2 bx bx

b(pi bcp2 bx bx

= 0.

bcpi b(p-2 by by

Dies ist aber die Bedingung des Minimums. Denn sonst könnte man das Glied

/b(px bcp-2 , b<pi b(p₂ , öcpi bcp₂\

V ôæ bx by by ' bx bx J

durch passende Wahl von h negativ und grösser als das folgende Glied werden lassen und dann würde

sein, was der Voraussetzung widerspricht. Die Bedingung

■sjIjdxiydx \ 1 ) G)V (‘:'i 1

ist daher gleichbedeutend mit der Gleichung A cpi=0 und ⁽P = ⁽P\

sowie vorgeschriebenen Werthen an der Oberfläche. Dieser Satz leistet für die von Jacobi herrührende Transformation orthogonaler Coordinaten wichtige Dienste, wenn wir von einem System x, y, % zu einem anderen u, t>, in übergehen.

Wir setzen

u* - (£)’+ (ir+ <w - o:y+ d)²+ ©²

so werden

ou 1

bi U ’

n : s*

/O /O

¹⁻¹

Ölt 1

die Cosinus der Winkel, welche die auf der Fläche u = const errichtete Normale mit den Coordinataxen x, y, % bildet. Dieselbe

u. s. w.

Bedeutung haben ^ ~

Es ist also

/öu ob

ôæ

öu öb by by

öt»

— COS utl,

wenn wir mit ut) den Winkel bezeichnen, den die Normalen mit einander bilden. Schneiden sie sich senkrecht, so ist cos ut> = 0. Also

öu öb hu _öb , öu öb_ hx bx ' by by ~ bz bz

Schneiden sich die Flächen u = const, i) = const, in = const gegenseitig senkrecht, so kommen noch zwei Gleichungen hinzu:

öb öib bx bx

öib öu bx bx

= 0.

öb öib

Ji bz

öui Ölt ö ■. ö;,

42)

öb öib by by

= 0.

öib öu by by

Durch den Schnittpunkt der Flächen wird im allgemeinen ein

Punkt fest bestimmt. Denken wir uns einen zweiten, unendlich

«

nahe gelegenen Punkt, so wird dieser bestimmt, wenn man sich die Flächen in der Richtung ihrer Normalen verschoben denkt. Die Projectionen dieser Verschiebungen auf die Richtungen der Normalen sind, wenn dx, dy, dz die Projectionen auf die Axen çc, y, % bezeichnen

Die Entfernung beider Punkte ist also

<fa2 +    + dJ = (f)²+ (f) + (®)

43)

44)

und das Yolumelement

du du dw ll SS SB~ ’

45)

Andererseits ist

,    bx du , çnbx du . arx bx cl\V

<fa = U§iÜ + ®5ö»+SKä5» ®

*“U5* + »5* + ®5r

46)

U U U ^ sind daher die Cosinus der Winkel, welche die x,y,x mit der Normale von u bilden. Dasselbe gilt von den anderen. Dieselben Cosinus waren öu Wir haben also

ÔU = I I 2 _ bx    öu

bx ^ öü ÖlD __

bx

öx

bx

bx

u. s. w.

öu

X- = U²

by

öu = U²

bx

Öl)

öü

ö*

= ar²

47)

Öll)

ÖlD

bx

ölu

bx

=m

Hieraus ergiebt sich auch

cov co vc-:)²

U-

/'ö.rV-    /Ö//V2 , (b*y

Vöü/ ' vöü/ ' Vöü/

SS²

48) *

fôæ\2 i (àyX¹ i f^Y²_ i

Ulu) + Uu.J ⁴ w — m

Quadriren wir die Gleichung 46), subtraliiren die Gleichung 44) so ergiebt sich bei Berücksichtigung von 48)

Da die Coeflicienteil von du d\), dl) dm, dm du einzeln verschwinden müssen, weil die du, du, diu einzeln gleich Null sein können, so folgt

ôæ    bx    . v    by    by    .    bz    bz

öu    öu    T    öu    tu    +    öu    öu

50)

/'bx bx . Uu ÖÖ +

by by öu ÖD

. bz Ö£\ + Öu ÖöJ

l bx bx . r \M öu +

du dl)

bx bx ÖD ötu

by by ÖU Öko

+1 L)dvdm

by by ÖU) öu

. bz ö*\

+ Ölt) öüj

dtü du = 0.

49)

ôæ    ôæ    .    by    by    .    bz    bz_ „

ÔÏ)    ÖU)    +    W    Öl'l)    +    ÖU    Ô tu — U ôæ ôæ by by . bz bz „

ôiu lut ' ôtu ôu ' ôlu ôu

Nun ist auch

b(p    b/p    ôu

ôæ    ôu    ôæ

b/p ôtt by    ôu    by

bip_ bip    ôu

bz    ôu    bz

bip

ôu

bip

b/p

ÔU

bip

ÔU

+ +•

b/p ôlu ô tu ôæ

bip ôtu ôtu by

btp ôtu ôtu bz

Also nach 41) und 42)

e.r+ a.:) + (;•')- *.($’+ *² (S²+ ê)²-

Nun ist, wie wir gesehen haben, das Integral

fj fdxdudz [(|f)²+ (!f)²+ (|f)²]

ein Minimum, wenn Acp = 0 ist und (p an der Oberfläche vorgeschriebene Werthe hat, so dass dort öcp verschwindet.

Also ist bei Berücksichtigung von 45)

äJJf

du dU diu

r U /    ® I ö^pI ^ i 23 /öqpVD

LSS23 V.ÔU/ ^ 28U VW/ ^ USS \bw) J’

oder

bip bâip

ôu ôu

j j j rfu dX) dxv Im Ju Nh + M (

SB

U SS

l btp b d</Yt

Vôtu ôtu /J

Integrirt man diese Gleichung partiell und berücksichtigt, dass 6<p an der Oberfläche verschwindet, so erhält man

0 ⁼f fJ du dl) dW ^ (”Ä Tu) + öp (mi tu) + Ł (tng Z)\ (UfK

Diese Gleichung ist allgemein nur zu erfüllen, wenn

51)

ö / 11    .0/58 à(p\ , ö / SB Öy\

öu 1.58 SB öu / ⁺ öp VTO 00/ öip \f»W

Aus der Gleichung, die aus 40 b) entsteht, wenn V — 1, U = cp gesetzt wird

Jj

dû dv dm 1158 SB

A<p

und der eben abgeleiteten folgt, dass in das Parallelepipedon, das durch die Flächen u + du, 0 + du, lu + diu und u, U, lu begrenzt wird, die Flüssigkeitsmenge tritt, die einerseits ausgedrückt wird durch

[öu (m öu) + L (\m öp) + L (uli F)) l dn di) dW:

andererseits durch

Acp •

du dp dip 1158 SB

so dass allgemein

«*® tr. (m I») + i (

58 àq USB öp

) + L (ins lm)l = A'f ist- ⁵²⁾

sr.

8.

Elliptische Coordinaten.

Die elliptischen Coordinaten werden nun in folgender Weise definirt. Es sei die Gleichung gegeben

53)

f= ä^+z + W+! +    —1=0 a² > 5² > c².

Die Entfernungen der Brennpunkte dieser Fläche zweiten Grades vom Mittelpunkte sind

yV — F, yV — c², ybl — c²,

also unabhängig von £. Alle durch Variation von e erhaltenen Flächen haben daher gleiche Brennpunkte und heissen hiernach confocale.

Ist

oc    — e²,

so sind die Coefficienten alle positiv, wir haben es mit einem Ellipsoid zu thun.

Ist

—    e² > £ > - b²,

so sind nur die Coefficienten von x² und y² positiv, die Fläche wird von der a^-Ebene und ihr parallelen in Ellipsen, von Ebenen, die parallel der zy- und zx-Ebene liegen, dagegen in Hyperbeln geschnitten und nur von der x- und y - Axe in reellen Punkten. Sie ist ein einsclialiges Hyperboloid.

Ist

—    b² > e > — a²,

so wird die Fläche nur durch die x-Axe in reellen Punkten geschnitten. Sie ist ein zweischaliges Hyperboloid.

Geht £ von oo bis — c², so geht f von — 1 bis oc, also durch den Werth Null hindurch. Eine Wurzel der Gleichung liegt also zwischen oc und — c².

Geht £ von —e² bis —b-, so geht /von — oc bis + oc. Eine zweite Wurzel liegt zwischen — c² und — b'².

Dasselbe gilt für die dritte Wurzel, die zwischen — b² und — a² liegt.

Kleiner darf £ nicht werden, weil sonst die Coordinaten imaginär werden. Jedem Punkte x, y, z entsprechen also drei Wurzeln der Gleichung f(s) = 0. Sie bilden die elliptischen Coordinaten des Punktes und wir bezeichnen sie mit £,, £₂, £₃. Dabei soll

oc    £t — c²

—    e²    £₂ )> — b²

—    b² 'J> e₃ > —• a² sein.

Sind die Coordinaten x, y, z gegeben, so sind die £,, f₂, £;i eindeutig bestimmt. Umgekehrt sind durch die £t, £₂, f₃ nur x², y², z² bestimmt, die Vorzeichen bleiben unbestimmt.

Nach bekannten algebraischen Kegeln ist

£).

53 a)

f(a² + £) {b² + e) (e² + fi) = (ą — e) (fi₂ — £> (fi₃

Setzen wir hier nach einander e gleich — a², — b², — c², so erhalten wir

x² =

(ft² + £i) (ft² -£• e₂) (ft² + £3)

2/2 ₌

(ft² — b²) (ft² — c²)

(b² + Ei) (&² + £2) (b² + £3) {b*— c²j (a² — b²)

(c² + 61) (fi² + £2) C² + £3) (ft² — C²) (b² — G²)

54)

Ferner erhalten wir

àf

¹ , ¹ , ¹ , ¹

7 + e^=~i +    + W+

und hieraus, wenn wir £ nach einander gleich el} £■>, £3 setzen, mit Berücksichtigung von 53) und 53 a)

/'GAv +

£2 —

c² 4~ e) ’

U²

(«² + £0²

A² d- £i)²

(ft² + £₂)²

y²

(b² + £2)²

x²

(ft² + £3)²

!il

0b² + £₃)²

_ __    (£1 — £2) (gj — £3)

(e² + £i)²    (ft² + £,) (b² + £j) (c² + fj)

____ _    (£2 — £3) (£1 — £2)__

(r² + £ï)²    (ft² + £2) (b² + £2) (c2 + £2)

(£1 — £3) (£2 — £3)_

(ft² 4~ £3) (b² 4- £3) (c² 4~ £3)

z²

z²

z²

(c² + £3)²

Ferner ergiebt sich aus den Gleichungen 54)

bx

0£;

_ l æ — * «² + tl

bx

Ö£₂

_ 1 æ — * ft² + £2

55)

by

ày

Ô£₂    ^ b² 4- £₂

Ö£₃

56)

bz

bz

0£₂    ² C² 4- f₂

Aus den identischen Gleichungen

,Ö£i * c² 4- £1

0£₃    J C² 4- £3

f(h) — f(ßi) = 0, f(s t) — f(s ₃) = 0, f(s₂) — /’(e₃)

0 folgt

X²

z²

(ft² 4- £1) (ft-² + £2)

(b² 4* £1) (b² 4~ £2)

(c² 4- £1) (c² 4- £2)

x²

z²

(«² 4- £2) (ft² 4* £3)

(b² 4" £2) (b² 4~ £3)

(c-² 4- f₂) (e² 4~ £3)

57)

x²

G²

(ft² 4- £1) (ft² 4* £3)

= 0.

0b² 4- £1) (b² 4- £3)

Aus diesen beiden Gleichungssystemen folgt, dass die Gleichungen 50) erfüllt sind, wir es also mit orthogonalen Coordinaten zu thun, haben.

Für die It, 33,225 erhalten wir folgende Werthe aus 48), 55) und 56)

1^2 — 4 A £i) {b² + £1) (g² + £1)

(£1 — £2) (£1 — £3 J

(c² 4- £i) (e² 4- £3)

m? _ A G² + £2) G² + £2) (g² + £2)

57)

(fl — £2) (f2 — £3)

4 G² +    G² + £3)

(f2 — f3) (£1 — £3)

Wir führen nun die drei Grössen en e₂, e₃ ein, von denen die erste nur von slf die zweite nur von s₂, die dritte nur von s3 abhängt. Dann ist

d ( U_ b<p \ JU_ ÔV , ö /JU \ djp det V»SB biJ ~ SS SB de! ' dei VB©J öe,

11 b²<p fde,\2 . U b<p d²ey . b / 11 4 bcp dey — 3ŚIŚ JĄ J ⁺ M de\ ds\ -ł“ ôf! VSSW de, da ’

Wir bestimmen e, durch die Gleichung

S'lcv

59)

( lL * A ₌ 0

1 V9SSB dej u’

dies ist möglich, weil

ll²

SS² SB²

;___(a² H~ £1) G² 4~ £1)    (c²    ~f~ £1) (£2 fą)²_

* G² +    f₂) {b² + a) G² + £2)    G²    + £3) G²    + f₃) (c²    + £3)

ist.

Wir erfüllen die Gleichung 59), wenn wir

dey _

diy~

/G² + £1) G² + £1) G² + £1) setzen und erhalten entsprechende Ausdrücke für e₂ und e₃. Die Gleichung Atp = 0 wird nach 51), 58), 59)

U fdey\^b²(p . SS (de₂\¹ b²<p . SB /de₃\2 b²^ „

SSÜ Tef + SBU fei M ⁺ U* VÄ/ öef - ü

60)

61)

oder

= 0.

II²(I)'w+*²(S)²m+S⁸²(S)²

Setzen wir die erhaltenen Werthe aus 57) und 60) ein, so erhalten wir schliesslich

O2

fs) + (£i — h) ją + (£i —

b²<p

be?t

= 0.

Diese Umformung der Differentialgleichung A<p — 0 ist für alle die Fälle zweckmässig, wo cp oder

bp

an Flächen zweiten Grades constante Werthe annehmen soll. Diese Flächen zweiten Grades

gehen für die Grenzwerthe der elliptischen Coordinaten in folgende über.

Für e,

+ oc, so stellt die Gleichung eine Kugel mit dem

Radius 1Fdar. Nähert sich dem Werth —c², so ist

z² — 0

a²

— c² b² — c² —

62)

Dies ist das ebene Flächenstück, das in der æ?/-Ebene von der Ellipse mit den Haihaxen \~a² — c² und 'j/6²— c² von aussen begrenzt wird. Entfernt sich ą vom AVerthe —c² in negativer Richtung, so ist

, V²    = ₁

a2_c² ' b²_e² ^

Hierdurch wird das ebene Flächenstück dargestellt, welches von derselben Ellipse von innen begrenzt wird. Beide zusammen stellen die ganze xy-Ebene dar. In die innere Fläche der Ellipse degenerirt das Ellipsoid, in die äussere das einschalige Hyperboloid der elliptischen Coordinaten.

Die xz-Ebene entsteht durch Abflachen des einschaligen

= 1 und

z² — 0

63)

Hyperboloids innerhalb der Hyperbel _ b2 — y.

%²

— a²

durch Abflachen des zweischaligen Hyperboloids ausserhalb derselben. Endlich entsteht die ?/-r-Ebene durch Erweiterung des zweischaligen Hyperboloids.

ccn

CO

Jiin gco ordinalen.

Diese von Riemann eingeführten Coordinaten erhält man durch die Gleichungen

y = q sin />

X = q cos &

— j __    l-«²

^    1 + 2 s cos A + f²

die auch durch die Gleichung

1 _ c

so er-

ersetzt werden können; 6 ist constant. Eliminirt man 1 hält man

Q² +    — 26p y + b² = 0.

Die Curven £ = const sind hiernach Kreise, die in der Ent-1 + e2 1 — £²

p-Axe mit dem Radius

fernung + b

vom Anfangspunkte der Coordinaten auf der

2 bs — s²

±t

geschlagen sind. Die beiden Kreise, die den Durchschnitt der «p-Ebene mit dem Hinge bilden, haben die Gleichungen

(p + aj² + = R2 (p — a)² + z'² — R²*

Der erste Kreis liegt im Abstande — a, der zweite im Abstande -\- a vom Nullpunkt. Wir haben für den ersten

-»Sil

?-±|, b =

oder £² =

für den zweiten

2b e £² — l

£>1

R = Ya² — b²,

G5)

2 bs 1 — £²

E=-\"a 2“— b2.

Da wir den ganzen Kaum durch Umdrehen der Halbebene erhalten, ist entweder £ ^> 1 oder e < 1 zu wählen, so dass also thatsächlich die Kadien der beiden Kreise gleich sind.

Ist £ = 1, so ist die Entfernung des Mittelpunktes des zugehörigen Kreises unendlich.

Ist £ = oc, so ist % = 0, p = — b; dieser Kreis hat sich in einen Punkt zusammengezogen.

Geht also e von 1 bis oc, so erhalten wir auf der Seite der negativen p ein System von Kreisen, deren Mittelpunkte auf der p-Axe liegen und der Ä-Axe immer näher rücken. Gleichzeitig wird ihr Kadius immer kleiner.

Ist £ < 1, so wird p positiv; für £ = 0 wird p — b, % — 0. Geht £ von 0 bis 1, so erhalten wir auf der Seite der positiven p ein System von Kreisen, deren Radius von Null bis Unendlich wächst, genau entsprechend den Kreisen auf der negativen Seite.

Da wir die Punkte des Raumes durch Umdrehung der Halbebene um die %-Axe, wobei der Winkel & von 0 bis Zn wächst,

erhalten, so können wir bei dieser Darstellung entweder e von 0 his 1 oder von 1 bis oc geben lassen; X hat von 0 bis 2jt zu geben. Wir führen diese Coordinaten in die Gleichung Atp = 0 ein. Dabei haben wir zunächst

i i cV

⁺ 7¥

Dann ist

b²cp

bp²

1 b²<p ~p² b»²

b² cp

bz²

und setzen <p =

bfp ₌ b(pi 1    _ j (pi

^9    Y p * y Q

vV

_b²(pi 1

V" ¥•' /<>

Die Differentialgleichung wird also

b²<pi

1 b<pi

yy ¥

3jPi

b²cp

öp²

be

+ \<P\ = o.

66)

setzen wir zur Abkürzung q -f- %i = 0 x = s (cos X + i sin X)

n — zi — 6 x — s (cos X — i sin X),

so ist

b(p\ _bcpp    ö(7    ,    b<p\    ba' _b(pi    b(px

bp    bo    bp    '    bo'    öp    i><7 ■ bo'

b²<p\ _b²(pi b²(pi    b²<pi

bo² — do² + bo’² + ² Jobo’

bcpi _b(py    bo    .    btpi

bz    bo    bz    '    bo’    bz

(b<pi b<pi\ Uo ~ bo)

b²<p\

b²<pi

Ó^)²

_ à²<P\ ik-²    bo²

b²⁽Pi

Ö²^Pl , ₀ Ö²^t ba'² ^ ² bobo’

bz²

= 4.

Nun ist

*>²<Pi

bobo’ t 1 — r

bT+r

r ,1 — %

⁶ = h T+T'

do — — 25

dr

ferner

(1 + r)²

e²(^ + ^) = 0 + «')’

XX — £l

do = — 2 b

b²(pi

bobo

log x = log s + li 2 log £ — log X + log X

dr

(1 + r')²

= (1 — tt')²

b²<pj

brbr'

log x = log s — Xi ‘lii — log x — log x

also

*’(& + £)

bcpi _ Ö^Pi    Öf    Öfjp,    bl

öt    be    dt    '    b/.    bx

_ ₁ bipi e .    1 bcpi 1

² be x^ 2 i bx x

d²ff _ !    i²    I    ! b(p\    e b²<pi 1

bxbx’ ⁴ Ö£² zx' ⁴ öe xx ⁴ bX² xx' ’

i i^ł i ¹ ąv>y

V Ô£² ' £ Ô£ ' £² Ö/L² /

_ (1 - f²)²

Die Differentialgleichung wird demnach (l — £²)²

ß²⁽Pl , 1 ö^pi 1 b²<p{\ b²<pi , l Ô£² + £ FT + £² “ôl²“/ + “0^ + T

= 0.

67)

AVir setzen nun symmetrische Vertheihing aller Verhältnisse

= 0. Ferner schreiben wir

um die ^-Axe voraus. Dann ist

b<p

çpj = sin nXq)₂,

wo ep₂ nur noch von e abhängt. Dann haben wir (1 — f²)² fd*<p₂ ,    1 d<pi n² \

Ydëï + l-dV — T'V²)^

= 0.

68)

Setzen wir nun

1 — £2 2f

- == s

. d(p₂ 1 ds £³

so ist

d²(f>2    i    1 d<p>2 _d²ip₂    (f² + l')²    |    d(p2 s

de²    ^~    £ ^?£    ds² 4f⁴    '    ds e²

(e² + l)² __ 1 + s2 4f⁴    —

und daher die Gleichung 68)

s² (1 + s²) ^ + d2 *»- (»²*²-i) % = 0.

AVir können nun setzen

b<p 1 bip

bp    p bx

Dann hat ip der Gleichung zu genügen

b²ip 1 bip ^ b²ip Q bp

bip_    1 bip

p bp

bp²

bx²

= 0.

Setzen wir hier ip — ip, ~\f~q,    = sin n?.rp₂, so erhalten wir

für*ipl dieselbe Gleichung

(1 — f²)² fd²tp2 ,    1 dtp2

4    \ off²    '    £ rff

’p-i/ + 1^2 = 0.

69)

§ io.

Entwickelung der hydrodynamischen Gleichungen aus dem Hamilton’s dien Princip.

Die gegebene Ableitung der hydrodynamischen Gleichungen ist die gewöhnliche und hat den Vorzug, dass die einzelnen Schritte unmittelbar der Anschauung zugänglich gemacht werden können. Nachdem aber die wesentlichen Begriffe, die in der Hydrodynamik Vorkommen, einmal festgestellt sind, ist es vom Standpunkte der strengen Methode aus von Wichtigkeit, die Gleichungen aus dem allgemeinsten Princip der conservativen Systeme, dem von Hamilton aufgestellten, zu entwickeln und die Nebenbedingungen festzustellen, die für diese Ableitung erforderlich sind.

Nach diesem Princip ist der Mittelwerth der Differenz der lebendigen Kraft und potentiellen Energie, für eine kurze Zeit berechnet, kleiner für den wirklichen Ablauf der Veränderungen, als auf allen anderen Wegen, die von derselben Anfangslage in dieselbe Endlage führen. Also ist

0 = ój'dt(L ^0

-F)

70)

wo L die lebendige Kraft, F die potentielle Energie bezeichnet. Die Variation ist so auszuführen, dass Anfangs- und Endlage festgehalten werden, dass also die Variationen der Coordinaten für t — t₀ und t = tx verschwinden.

Aus dem Hamilton’schen Princip ergeben sich nur die Gleichungen der Bewegung. Die Bedingung der continuirliehen Strömung (S. 7) muss als besondere, für die Hydrodynamik charakteristische Forderung hinzugefügt werden.

Bei der wirklich ausgeführten Bewegung der Flüssigkeit ist

ö(#s)

bs . Ô (<us)    .

¥ “*--ôæ--'

Wenn wir nun die Coordinaten jedes Flüssigkeitstheilcliens um die Grössen ôx, öy, öz variiren, so dass wir uns die Flüssigkeit

by

. b (ws) bz

= 0.

71)

jetzt auf anderen, benachbarten Bahnen strömend denken, so muss bei der Ueberführung aus der unvariirten Bewegung in die neuen Bahnen auch die Bedingung der Continuität erfüllt sein. Es muss also

b (öxs)

b(öys)

b(özs)

bx

by

bz

= 0 sein.

72)

Wir denken uns nun die Flächenelemente dzdy, dzdx, dxdy mit der Flüssigkeit verbunden, wenn die Variationen ausgeführt werden, so dass dieselben durch die Variation Verschiebungen erfahren.

Die durch ein Flächenelement dy dz strömende Flüssigkeit ist su dy dz. dt. Die Fläche dy dz verschiebt sich bei der Variation um

böx

die Strecke

bt

dt. In Folge dessen strömt die Menge s dy dz dt

weniger hindurch. Also ist dies die Veränderung der hindurchströmenden Flüssigkeit in Folge der Variation. Dies giebt

73)

ó (su dy dz) = s dy dz.

Was nun die Variation der Grösse sudy dz betrifft, so müssen wir berücksichtigen, dass sich die Grösse su auch dadurch verändert, dass wir durch die Variation an andere Stellen des Baumes gelangen, an denen su andere Werthe hat, so dass die ganze Veränderung

ö (su)

by

<% +

b (st/)

öz ist.

Das Flächenelement dydz wird selbst durch die Variation noch Veränderungen erleiden, und zwar wird es sich um die %- und y-Axe dreh en können. Dadurch treten die Stromcomponenten

v, w durch dasselbe hindurch. Die Drehungswinkel sind

und

böx

bz

böx

by

• Für unendlich kleine Drehungen sind die durch die Drehung

eintretenden Strömungen v und w den Drehungswinkeln proportional und zwar ist diese Strömung der von u herrührenden entgegengesetzt gerichtet, also haben wir hierdurch die Veränderung der Strömung um

böx

böx

Ausserdem ändert das Flächenelement bei der Variation seine Grösse durch Ausdehnung, Aus dy wird dy +

SV

by

böy

by

dy, aus dz wird

[dz + dz. Die Veränderung der Strömung durch diese Aus-

(V + fcl sd«dz-

dehnung ist

SU

Wir haben also

ô [sw di) dz] = |d (su)

b (su)

è (su)

also nach 73)

+ *•(■&+£)

—■ sv

bór,

by

sir

b% /

dy dx,

bór

— sdydx.

Hiëraus ergiebt sich unter Berücksichtigung von 72)

bór

bór

bór

bu,

bu

bór vc* ,,

H⁻ W v— ■—• 5— OX -

' bz dr

°u = W + " ,U; + ”

In der Gleichung 70) haben wir zu setzen

by

°y-u <*• ⁷⁴ >

ÔL =

ô ^ g j j js (w² v¹ Ą- w-) dxdydx

Den Druck p können wir als die Kraft definiren, die durch Compression eines Volumenelements um den Betrag

(bór bóy ö<fc\

Vte + ~by + -fo) dxdydx

die' potentielle Energie um die Grösse

bóy

f bór , >• ( +

*/

+ dx dy dx

verändert. Ausserdem wird die potentielle Energie durch die äusseren Kräfte geändert. Sind deren Componenten X, Y, Z, so wird die Energie verändert um den Betrag

s (Xôx V Yôy ~\- Zöx) dx dy dz,

weil durch die Variation gegen die äusseren Kräfte Arbeit geleistet wird. Wir nehmen an, dass die Kräfte ein Potential haben,

und setzen

bV

br

Das Hamilton’sche Princip wird also

Z= —

bV

bx '

0= dl

ör

by

oy +

bV

bx

öx |

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

+ *(£ + % + £)+*'{•(•’+ •*+ «’)}]•

Hier sind die Integrationen über den ganzen von der Flüssigkeit erfüllten Raum auszudehnen. Die Variationen müssen so ausgeführt werden, dass die Grenzen der Flüssigkeit dabei nicht geändert werden. Dies ist nur dann der Fall, wenn die Veränderungen parallel der Normale der Grenzfläche verschwinden. Wir haben also für die Oberfläche die Bedingung

75)

öx cos nx + öy cos ny + ch cos nx — 0,

wo nx, ny, nz die Cosinus der Winkel bezeichnen, die die Normale mit den Coordinatenaxen bildet.

Führen wir die Variationen aus, so ergiebt sich mit Berücksichtigung von 72)

__i

' bz )

(n² + V² + W²)    + ^'))y^ “1“    + SU Ötl -j- SV Sv -f- SW (hcj = 0.

böy

by

Die Glieder, bei denen Differentialquotienten der Variationen Vorkommen, werden partiell integrirt und zwar nach dem Schema

IJ ( dxdydz%x ⁼ fflP<Pdydz — fjj dx dydz (p

(p, tp sind stetige Functionen von x, y, z. Da die Integrationen durch die Oberfläche des Raumes begrenzt werden, so sind für die ausgeführte Integration die Werthe an der Oberfläche einzusetzen. Ist ds ein Element der Oberfläche, so wird dydz = ds cos nx, da dydz die Projection von ds ist. Wir haben also

j j fdxdydzip^ = J ds cos nxip(p— fjj dx dy dz (p fffdxdyd znp j = f \

ff fdxdydxv\I⁼f¹

ds cos ny ipcp —

ds cos nz Unp —

fffdxdydz(f) t/

J ffdx dydz ff)

76)

by>

Mit Berücksichtigung von 74) ergiebt sich hiernach, wenn wir u cos nx ~j- v cos ny -f- w cos nz — q

setzen, folgende Gleichung

0 ⁼jdtj jdydz[sĘ<%+ ^ <f* )

to

bx

n*ày)

by

bôx

bôx . bôx , bôx .    l__

+ SM w + su Tx + suv -ày + SUW —SU

bôy

. ö (sffe)^ .    / bôx

+ S ) : ''U •

Tyÿy

bv r

bô})

Ö//

Ôtf&\ ' bx)

bu

bx

bv

ôx — su

bu

bu

— su -

xÔX

bx

bv

i bôy . bôy , uu» , «wt

+ ”¥+“' ¥ + “ hy+SVW É

, bôx . bôx . bôx ,    ₀bôx

+sw-it- + mw-& + svw + sw^~

h

⁼Jdtj j jdx dy dz{s (lidx + lÿ +\l <*%)

^0

+ 2 \jx (u1 + v2 + w ') ^x + j {u -~\-nx-Yw²) ôy + g- (u² -f- v² -j- w²) ôx ] __ ôx — hpôv — *Pâz

Vi(/    \ KJ U    \ KJ /o

by v    o*

-SV 5— ôx-SV

bx

—sv v ôz

bx

— sw

bw

bx

ôx — sw

bw

by

r,    bw j, ^

ôy— sw ôx>

ôx — 2 SM

bu

bu.

ôz

ôx— SV \ ôx— sw

bu

Ô*

ôx — su

bv

ÔX-SM

bw

c- ôx

bx

— su

bu

bx

ôx — su

bu

by

ôy— su

bu

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ôx

bv

sTt°y~

br

bv

bu

bv

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ïxàu-î™

bv r

ÔX - SV

ôx — sw

J W ri    b w r

rySy-sw^ôz

ri    bs p    ôs r    bs ji

ôx — uw ₍y Ox — v ^ ôy — uv ôy

ôs (.    r, ôs j, \

sr ôx — w zr ôz(

by    bx )

+jj dl d S ! —    (w² + v¹ + w²) (ôx cos nx + ôy cos ny -{- ôx cos nz)

10

+ ■•:./ (ôx u + Ôy v -\- ôz w) -{- p (ôx cosnx - |- ôy cos ny + r) : cos nz)\ IJ J fdx dy dz s (u ôx -{- v ôy + w Ôz)

su

sw

— sv

i»â»

— sv

bx

b 10

Tt

ôz —

su

b 10

Jx

ôx — SV

bw

by

ôx — 2 sw

bw

bx

bu

bx

ôx — sw

bv

ày

ôx

bw

— sw

bs r    , ôs .

—    u ^ dx — u¹ g x ôx — uv

i) ôs fi    bs p

—    vL 3- ôy — vw <~ôy

by J    bx J

X ôx — sw

OX

bw

ôs

ôÿ

ôs

w ht ô~—

uw

bs

x- ôx — vw bx

An der Oberfläche gilt die Bedingung 75) und die, dass die Variationen in der Richtung der Geschwindigkeiten verschwinden, also uöx + vöy + wöz — 0 ist, ferner werden für t = t₀ und t = /, die Variationen Null, also verschwinden die beiden letzten Integrale. Da die Variationen willkürlich sind, so können wir zuerst öz = öy = 0, dann öx — öz — 0, endlich öy = öx = 0 setzen und erhalten, da der Factor von öx verschwinden muss, wenn das Integral verschwinden soll

bV

+ w2) - S (5 + “ S + * + W r) I s («² + *² + w'²) - “ [I + “ + ® 1/ + W

, (bu bv Ö7(>5q A

+s U + v/⁺ rU ⁼ °-

bp

bx öx

4- S

2 öx

Ö.S

Mit Rücksicht auf 71) haben wir also

bV 1 bp    bu    bu    . bu    .    bu

öx “ V Öx ⁼ bi + u öx + v by ⁺

und wenn wir die Factoren von öy und öz verschwinden lassen,

bv , bv , bv , bv ⁼ bt +Ubx+V by +W U

öF__ t bp by s by

bV    1 bp    bw    biv    . bw    .    bw

bz~T bz, ⁼ bt + u bx + vby+w Tz

Ist die Flüssigkeit incompressibel, so fällt bei dieser Ableitung die Veränderung der potentiellen Energie durch Druckänderung fort. Dann spielt der Druck nur die Rolle des unbestimmten Factors, der durch die Bedingung, dass bei der Variation die

= 0 erfüllt sein muss, eingeführt wird.

Gleichung

du

bv

bw

bx + by

Die allgemeinen Gleichungen für die Bewegung der Flüssigkeiten ohne Berücksichtigung der Reibung sind zuerst von Euler aufgestellt (Hist, de l’Acad. de Berlin 1755). Auch die Gleichungen, welche jetzt den Namen von Lagrange tragen, sind von ihm zuerst aufgestellt (Comment, acad. Petrop. T 14, 1759).

Die Berücksichtigung der Reibung rührt von Navier her (Mein, de l’Acad. 6, 1823). Später gelangten Poisson (Memoire sur les Equations générales de l’équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides; Journal de l’école Polytechnique 13, 1821) und Stokes (On the théories of the internai friction of Üuids in motion; Camb. Trans. 8. 1845) zu den Be-

bz

wegungsgléichungen reibender Flüssigkeiten. Während die beiden ersteren von molecularen Hypothesen ausgehen, benutzt Stokes nur die allgemeinen Gleichungen der Formänderung continuirlich verbreiteter Massen.

Der Greensche Satz ist zuerst abgeleitet in dem Aufsatz „Essay on electricity and magnetism Nottingham 1828, Art. 3“. Die von Clebsch herrührende Transformation befindet sich in der Abhandlung „Ueber die Integration der hydrodynamischen Gleichungen“; Crelle’s Journal Bd. 56, S. 1.

Die Methode zur allgemeinen Transformation der Gleichung J(p = 0 für orthogonale Coordinaten rührt von Jacobi her (Crelle’s Journal 36, 1847).

Die elliptischen Coordinaten sind von Lamé eingeführt (Suides surfaces isothermes dans les corps solides homogènes en équilibre de température; Liouville 2, 1837); die Bingcoordinaten von Blemann (Ges. Werke S. 407).

Dass der Druck bei der Anwendung des Hamilton’schen Princips auf die Bewegung nicht zusammendrückbarer Flüssigkeiten die Holle des integrirenden Factors spielt, war schon Lagrange bekannt. Der Weg, die allgemeinen Gleichungen aus dem Hamilton’schen Princip zu entwickeln, ist von Helmlioltz angedeutet (Ges. Abh. III, S. 497).

Die Darstellung der Hauptdrucke und die hieraus sich ergebende der allgemeinen Bewegungsgleichungen rührt von Kircli-hoff her (Mechanik, 11 Volles.).

Die Uebertragung bekannter Bewegungen auf geometrisch ähnliche Formen ist von Helmlioltz gegeben (Ges. Abh. I, S. 160 ff.).

II. Allgemeine Bewegungen nicht reihender Flüssigkeiten.

Wir betrachten jetzt die Bewegung einer nicht reibenden Flüssigkeit, setzen also die Reibungsconstante k — 0.

Wir haben dann also die Gleichungen

b (SS - P)

bu

b (35 — F)

by

-j- v

bv

+ wü +

b (SS - P)    .

—-« +v

b/r

+ Wbz +

bs . b (us) . b (vs) . b (ws)

Ft +    + ~w +

bz

srir ~ir

1)

= 0.

2)

Wir differenziren die erste Gleichung nach ;/, die zweite nach x, und subtrahiren sie. Führen wir dann die Dreliungs-geschwindigkeiten nach Gleichung 13) Abschnitt I ein, so ergiebt sich mit Berücksichtigung der Gleichung 2)

b£ . ÔÇ , b'Ç    _bu bv bu bu öv bv bv bu . bw bv

bt ¹ bx V by ' W bz bx bx by ‘ bx by by by ' bx bz

. bu bv    bv bu

by bz bz bz    bz bz

= £    + c — + C - - = d<Q

* bz ' bz ' * bz ' ’ s dt dt

bu- bu

3)

oder

s (I)    +    + S

⁵    (s) ⁼ ^ + ^Fy + SFy•

Sr Sri Sr ⁸-

bw

-T- und bz

Addiren wir zu der Gleichung 3) anstatt

t    i hw hiv    hw öw

G16 vrllGClGr t— t—--%—    >

ox Oy    Oy Ox

<W hv hv hu

hz dz    hz hz

so erhalten wir

so ist

s»th=s-r +A^ + G-"’

dt    \s J    s hx    ¹    '    hy    1    3 hz

/ £\    hu    ,    hu    ,    hu

* U = ê 5Ï + n 8j, + s &

d    f n\    >.hv    .    hv    .    y.

s dt    [s )    — S hx    +    V    ùy    + S *

Wenn also für ein Flüssigkeitstlieilchen g = rj — Ç = 0 sind,

und

«;i a-

5)

= 0;

dÇ dr; dt,

dt ⁼ dt — dt

Flüssigkeitstlieilchen, die einmal keine Rotationsbewegung haben, bekommen auch im Laufe der Zeit keine Rotationsbewegung.

Denken wir uns durch jedes Flüssigkeitsteilchen eine Linie gezogen, die mit der Richtung der Drehungsaxe übereinstimmt. Eine solche Linie nennen wir eine Wirbellinie.

Bezeichnen wir jetzt die Coordinateri eines Fliissigkeits-tlieilchens zur Zeit t mit x, y, x, die dazu gehörenden Drehungsgeschwindigkeiten mit B„rj, Ç, die Dichtigkeit mit .<?, die entsprechenden Werthe zur Zeit t + dt mit xx, yx, zn ^, rfo, C1; Dann sind die Componenten der Verschiebung

*-

X, — x, yx — y, xx — « ,

während dt, also

xl — x = udt yx — y — vdt xx — x = wdt.

Hieraus folgt

hu

dt =

hv

hx

dt —

hw

dt —

hu

\ * dt —

hy

m =

hv

hy

- dt =

hw

sr~ dt =

hy

hw

-- dt — hz

AVir erhalten also aus den Gleichungen 5), wenn wir berücksichtigen, dass

hz

-c— dt =

hz

— 1.

+ dt ( ! )dt==Ji l + dt (I ) dt —    7 + dt ( .s ) di

die folgenden:

?!

⁵¹ ist, «1

li

ô*i . ös-,

by    b%

Es seien nun x -j- dx, y + dy, z -j- dz die Coordinaten eines zweiten Flüssigkeitstheilchens zur Zeit t, ferner + dxx, yx -f- dy z, + dzx seine Coordinaten zur Zeit t -j- dt. Dies Theilchen soll zur Zeit t auf der durch das erste Theilchen gehenden Wirbel-linie liegen. Ist e eine unendlich kleine constante Grösse, so sind nach den Erörterungen S. 4

«1

V± _

i '/rr

IJ

6)

K~ X

Cc -r;

dx —

e|

E tj

dz — —

die Projectionen des Stückes der Wirbellinie beiden Theilchen verbindet. Setzen wir diese Werthe von

welches die

n

> —>

s

£

• in die obige Gleichung, so erhalten wir mit Berücksichtung der Gleichungen

Cc (Tu

* ⁼ fre = !!£

Es sind also dxx, dy,, di, die Projectionen der Linie, welche die beiden Flüssigkeitstheilchen zur Zeit t + dt verbindet und gleichzeitig Projectionen eines Stückes der neuen durch xx, //,, zx zur Zeit t -j- dt gehenden Wirbellinie.

Hieraus folgt, dass alle Flüssigkeitstheilchen, die einmal auf einer Wirbellinie liegen, immer mit ihr verbunden bleiben.

Hie resultirende Hrehungsgeschwindigkeit ist

= Yêl + VÎ + £! » also

*? + */! +    =2l|!.

Also verändert sich mit der Zeit der Abstand zweier Flüssigkeitstheilchen in demselben Verhältnis, wie der Quotient von Hrehungsgesclnvindigkeit und Dichtigkeit,

dz u. s. w.

dx

dz

Denken wir uns durch die Flüssigkeit eine Fläche gelegt, die überall senkrecht auf den Wirbellinien steht, und schneiden wir aus dieser Fläche ein unendlich kleines Stück aus. Die Wirbellinien, welche durch dies Stück gehen, schneiden nun aus der Flüssigkeit einen Faden aus, den wir einen Wirbel fad en nennen wollen.

Ein Wirbelfaden bleibt immer aus denselben Flüssigkeits-theilchen zusammengesetzt.

Wir legen durch den Wirbelfaden senkrecht zu den Wirbellinien zwei Schnitte durch benachbarte Fliissigkeitstheilchen, deren Abstand

dl[ — ^fdx\ -f- dy\ -f- d%\

und deren Querschnitt co sein soll. Dann ist zunächst codl{, die zwischen beiden Schnitten liegende Flüssigkeitsmenge, unabhängig von der Zeit.

Andererseits ist ö, proportional der Grösse .v, dl{, also ändert sich auch die Grösse 0, co nicht mit der Zeit.

Das Product aus Drehungsgeschwindigkeit und Querschnitt bleibt der Zeit nach constant.

Aus den Gleichungen 13) Abschnitt I folgt durch theilweise Integration über einen geschlossenen Raum

"⁼//''fikdvdz{ix+h+s)

j*dS (cos

nx | -J- cos ny tj -j- cos n%

dS cos nö. ö

6 a)

wenn wir §'² +    S²⁼ °² setzen.

Wir nehmen nun als den geschlossenen Raum, über den integrirt wird, einen durch die beiden Querschnitte oo{ und co2 begrenzten AVirbelfaden. An den Seitenflächen verschwindet cos nö. Sind die Drehungsgeschwindigkeiten an den Querschnitten öt und ö₂; so ist, da dort

cos nO —

1 und 1 ist,

OJ j Ö| —— QJ-) Ö>2 •

Das Product aus Drehungsgeschwindigkeit und Querschnitt ist also auf der ganzen Länge des Fadens constant.

Hieraus folgt, dass der Wirbelfaden niemals in der Flüssigkeit aufhören kann, sondern entweder in sich zurückläuft oder an der Begrenzung endet.

Ist die Bewegung durch die Geschwindigkeiten u, v, w gegeben, so sind durch die Gleichungen 13) Abschnitt I die Drehungsgeschwindigkeiten g, 7], £ bekannt. Aber auch umgekehrt kann man aus gegebenen Werthen von g, 7], £ und den Bedingungen an der Oberfläche der Flüssigkeit die AVertlie von u, v, w finden, wenn man sieli auf die Betrachtung nicht zusammendrückbarer Flüssigkeiten beschränkt. Die AVertlie von g, 7], £ müssen der Gleichung

by

^ + by + bx genügen. Ausserdem haben wir die Gleichungen

btv

bv

by bx

bu

bw

by '

AVir setzen nun

_b<p    bW    b V

U-~bx⁺ by ~ Tx

_ b<p    bU    ölF

v ~ by +    ~ Tx

b<p    .    b V    bU

7)

by

Setzen wir diese AVerthe in die vorigen Gleichungen und berücksichtigen die Gleichung der Continuität, so erhalten wir

Atp = 0 A V — — 2r\

8)

J U — — 2 £

Nach Gleichung 37) Abschnitt I werden diese Gleichungen durch die Ausdrücke integrirt

2n

[ffdx' dy dz £

J J J r

fffdx dy dx y

J J J ~r

i fff ^x' dy £ 2*7 J J ~T~

bU

bW

bx

r = Y{x — x'y² -f {y — y)¹ + .(* — % yl.

Hier bedeutet x die Entfernung des Volumenelements dx dy dz von dem Punkte x, y, z, auf den U, V, W sich beziehen. £, rj, £ sind hier als Functionen von x', y , % anzusehen. Im Unendlichen verschwinden U, V, W und somit auch v, v,- w. Wenn g, r\, Ç an irgend eine Stelle Sprünge im Werthe erleiden, so ist dies auch bei AU, A V, AW der Fall und umgekehrt. Dabei bleiben aber u, v, w stetig, weil U, V, W und die ersten Differentialquotienten stetig bleiben.

bU

= 0 ist ebenfalls erfüllt, weil

Die Gleichung

bU bV àæ ' by

Da nun

+ W ^ + 2\f ffdx' dy> dz' [gèx(r) + //,4( > )⁺ ■*bz7 ‘

öl

öl    öl    öl

r    r    r _ ?

bx    bx'    by    by'    bz    bz'

so folgt durch partielle Integration über einen geschlossenen Kaum bU . bV . bW

Ô7

by

bz

7, ,

cos nx ff- y cos ny ff- £ cos nz)

( ' + Vy + gl) •

Da nun im ganzen Kaum

, *n i K

bx ⁺ by + W

und an der Oberfläche nach 6 a)

g cos nx ff- rj cos ny ff- Ç cos nz — 0,

so ist auch die Gleichung

bU

¹ Sh

ff~

bW

erfüllt.

Wenn man die Werthe der Geschwindigkeitscomponenten u, v, w nach den Gleichungen 7) bildet, so liefert jedes Raumelement dx, dy, dz' beziehentlich den Beitrag

dx dy dx!

T'f

dx dy dz'

2n

'/Or

«hi

ö¹

r

Yz

Ô-

•i :

bx

Ô¹

dx dy dz f ^ r

~v ^

Multiplicirt man die erste Gleichung mit £, die zweite mit ?], die dritte mit 'Ç und addirt alle drei, so erhält man die Summe Null. Die resultirende Geschwindigkeit steht also senkrecht auf der Richtung der resultirenden Drehungsaxe im Element dx dy dx.

x — X r3

= cosrz ist, so findet man

durch Multiplication der einzelnen Glieder mit cos r.r, cos ry, cos rz und Addition ebenfalls die Summe Null. Die Richtung der resultirenden Geschwindigkeit steht also auch senkrecht auf r. Für die resultirende Geschwindigkeit ergiebt sich

X —x'

Berücksichtigt man, dass ^- = — -—— = cos rz

— cos rx

dx dy dz \f/ d y

2n f V 0/y

ö-\²

Berücksichtigt man, dass

I²

«sä -ł

u. s. w. ist und dass

1\2

öd

₌ I² (

r4 ^

ist, und bezeichnet den Winkel, den die Drehungsaxe im Element dx' dy' dz' mit der Richtung r bildet mit #, so ist

[(

zyi _j_ (// — //') -]

(x—x)2\

u. s. w..

g(x — x) + Tj (// — y) + g [z — z)

r YF + n¹ Ï b²

\f (s² + nl + S²) r’¹ — (x — x) +y {y — y) + Ç f* — *')}' Y    ~    r² (g2 + 1/2 + Ç²)

so ergiebt sich die resultirende Geschwindigkeit

dx dy d%

2n

ŸP+ nl+

sin &

ÿ*2

Die lebendige Kraft der Flüssigkeit ist bei constanter Dichtigkeit

dxdy dz (u² + v² -f- w²).

(dtp ö IF ö F\

U V dx ' dy dz )

Setzen wir hierin

u² —

dU dW Tz ~ dx

W (tf + ,\r — ö

Durch partielle Integration ergiebt sich

w² —

IV

iO i

L ==

SŁ.

[u cos nx -f- v cos ny -j- w cos nx)

⁺ ij

[v cos nx — w cos ny) -f- V (w cos nx + W (u cos ny — v cos nx)]

u cos nx)

j j jdxdydz (/7g + Vrj + IFg).

Ist die Flüssigkeit von unendlicher Ausdehnung, so kann man sie in eine Kugelschale von unendlich grossem Radius II eingeschlossen denken. Da dS wie R² zunimmt, u, v, w wie j,₂ ah-nehmen, q>, U, V, W wie p abnehmen, so verschwinden die Integrale, die über die Oberfläche zu erstrecken sind, und es ist

S fff dxdydz (US + Vrj + WQ.

Wir gehen jetzt zur Betrachtung einzelner Aufgaben über, hei denen Wirbelbewegungen auftreten. Der einfachste Fall ist der, wo nur eine Rotation um geradlinige.und parallele Axen vorhanden sind, die der v-Axe parallel sein mögen. Es ist also

lu lv IP IW W Ix ~ Ix ~~~ Ix lz~^ ^

Die Gleichungen 4) gehen

dt

lv

au

= 0,

^ ^    Ix ly

Die Drehungsges'chwindigkeit eines identischen Flüssigkeits-theilchens bleibt constant. Ferner ist

dt

IW

IW

Ix

" “2*

J"J'J'dx'dy’dx’

r- = (x — x)² fl- (y — y)² -f- (x — % )².

Wir können nun den Punkt x, y, z in die ;r?/-Ebene legen, weil W von x unabhängig ist. Dann ist £ = 0. Ferner setzen wir r² *= o² -j- %², Da

nun

so wird, da die Grenzen —% und % im Unendlichen liegen,

₌

X²

dx!

Yq² + x’²

= log

*’ + W +

— -t- yV² + »'²

ist,

Yq¹ + v² = * Ui +

irr

Das Integral ist wegen des unendlich grossen Werth es voii % unendlich, kann aber geschrieben werden

W = * | I I'dx dyX log 2 * — j f dx dy £ log q]

Hier ist der erste Theil unendlich gross aber constant, der zweite ist variabel und endlich. Deshalb sind die Differentialquotienten von W endlich.

Es ist hiernach

ÖIF

by

\ jJ dx'dn' £

(x— x)

e²

Jedes Flächenelement dx' dy liefert also einen Beitrag zu u

'Ç(x — x) dx’ dy.

von der Grösse —

ç iy—y)dx <iy_

zu v von der Grösse

TC () ²

n ^)²

Diese Geschwindigkeit steht senkrecht auf der Richtung (>, und die resultierende Geschwindigkeit ist

Ç dx’ dy

Haben wir in einer Wassermasse mehrere Wirbelfäden von unendlich kleinem Querschnitt, und bezeichnen mit mx, m.,, w:i . .. die Producte aus Drehungsgeschwindigkeit und Querschnitt, so ist nach dem eben erhaltenen Resultat, wenn die Indices sich auf die einzelnen Wirbelfäden beziehen,

m{ ux -f- mi u2 4~ m u?,

m₂

(Ui—!h) 7t o‘(₂

(Vi—îh) KQl 3

Auf der rechten Seite heben sich die Glieder wechselseitig fort, also ist die Summe der linken Seite Null.

Ebenso verschwindet die Summe m, vx -f- m₂ v₂ + . . . .

Wir bezeichnen 2m mit M und mit

und

/W

0/3 —//l) 7tg‘{s

+ w₃

+ «*₂

(te—ya)

ilh—lh)

nQ'U

2m v

die Oomponenten der Geschwindigkeit des Schwerpunkts der Grössen m, , m₂ .... Der Schwerpunkt der Wirbelfäden bleibt dann bei der Bewegung unverändert.

Haben wir es mit zwei Wirbelfäden von unendlich kleinem Querschnitt zu thun, so treibt jeder den anderen in einer Richtung fort, die senkrecht auf der Verbindungslinie steht. Da der Schwerpunkt ungeändert bleibt, so werden sie sich um diesen drehen. Ist die Rotationsgeschwindigkeit in beiden dieselbe, so liegt der Schwerpunkt zwischen ihnen. Bei entgegengesetzter Richtung liegt er auf der Verlängerung der Verbindungslinie. Wenn in diesem Falle das Product aus Drehungsgeschwindigkeit und Querschnitt gleich ist, so fällt der Schwerpunkt ins Unendliche und es schreiten dann beide Wirbelfäden senkrecht zu ihrer Verbindungslinie mit gleicher Geschwindigkeit fort.

Der einfachste Fall gekrümmter Wirbelringe ist der, wo vollständige Symmetrie aller Bewegungen um eine Axe vorhanden ist. Dann sind alle Wirbellinien Kreise.

Wir setzen

y — q sin ff — x cos ff — tj q sin ff

jI — v = x sin ff + t) p cos ff.

Dann sind wegen der Symmetrie um die «-Axe die Grössen v, t), P, 35 von ff unabhängig und die Gleichungen 1) werden

x = q cos ff,

dx

dt ~u

a (g - P)

ev

! <-î

ris'

IC

Ô«0

Ö«

10)

1t)

„ öl) . öl) . 2t)v .

°=ï4 + ws*⁺? ⁺ '

Die Gleichung der Continuität wird

Es existirt also eine Function ip von der Art, dass

r =¹ ^ g ö® ’

bip

bg

Die Cosinus der Winkel, welche die Normale der Linien ip — const mit der g- und %-Axe bildet, sind

öip

Ô1p

cos ng =

0(1

K(tr+Cr

, cos nz =

Ö®

K(X)+CT'

Es ist also

r cos ng + w cos n% — 0.

Die Richtung der resultirenden Geschwindigkeit Vr- + wl steht also senkrecht auf der Normale der Linie ip = const, die Strömung erfolgt überall parallel diesen Linien.

Hierdurch wird die Gleichung der Continuität identisch erfüllt, Ist l) = 0, so finden nur Bewegungen parallel g und % statt. In diesem Falle erhalten wir durch difterenziren der beiden ersten Gleichungen und subtrahiren

10/ Ö²t/’ • p bt v ö^²

1 àip , b²ip\ . bip ö r 1 /bhp g bg ' 0®v ‘ Ö® Ö(jL^)²VÖ()²

+ S)I

bg

+ öS)]

ötp ô r Wö²rp

öp ö® L()² vö()²

12)

1 bip ę bg

Beschränken wir uns im Folgenden auf stationäre Bewegungen, so ist in der Gleichung 12)

⁰ (¥y __ 1 ô,f .    __ a

bt V ö(J² g bg ' bz²J ’

und die dann übrigbleibende Differentialgleichung giebt als allgemeines Integral

b²ip _    1

bg² g

wenn F eine beliebige Function des einen Argumentes ip ist. Man sieht dies leicht, wTenn man erwägt, dass

O/

■'S

Ô®²

= f’%),

13)

= 0 und ip = cp³ + CyQ- + c₂

wo c, ct und c₂ Constanten sind.

r = 0.

w — — 3 CQ

Eine solche Bewegung kann stattfinden in einem unendlichen Cylinder vom Radius q. Man hat dann nur Strömungen parallel der Axe des Cylinders.

Wenn die Drehungsgeschwindigkeiten unstetig sind, d. h. in einzelnen Theilen der Flüssigkeit endliche Werthe haben und in den anderen verschwinden, so ist die Darstellung der Geschwindigkeiten durch die Potentialfunctionen der einfachste Weg, weil diese Functionen die Unstetigkeiten ohne weiteres berücksichtigen.

Wir hatten

b r 1 /ö²y> bz Lp² v öp²

b r 1 fb²ip

öp U² yöp²

.    ö²yA i _ dF    bip

bz²JJ    dip    bz

1    bip    .    Ö²yA~|

q    bp    bz²)j

1 bip 9 d9

_dF bip

dip bp

ist, und diese Werthe in die Gleichung einsetzt. Für den Druck erkalten wir

14)

$ — P = const +

27 [(io) + (jz) ] —fHv>)dy>-

15)

Man überzeugt sich durch Ausführung der Differentiationen leicht von der Dichtigkeit der Behauptung.

Ferner ist

2₍j = ör_____=

ô* Öp

ö ist unabhängig von #. Und wir können setzen £ — —ö sin 0-, r) — o cos &. a ist die Drehungsgeschwindigkeit um Axen, die den kreisförmigen Wirbellinien parallel sind.

Ist a überall constant, so ist nach 16)

bw

1 / b²lp Q \bp²

bp

+ ^)=(F(V).

16)

g = — ö sin 0-Daher ist w — 0 und nach 7)

rj — o cos &

£ = o.

bV

ötr

ö V bU

U    bz

W~~ bx

by

Z7 =

-ifff

a sin Q-'p' dp' dz' d&’

F= +

2jt

fff

o cos fr' od(/ dx dfr'

2qq cos (fr— fr') + (z—z')².

Die gestrichenen Buchstaben beziehen sich auf das Yolum-element. Die Integration in Bezug auf fr' ist von 0 bis 2^r zu nehmen. Führt man anstatt fr' die Grösse fr'—fr als unabhängige Variabein ein und berücksichtigt, dass das Integral

r² — q'² -f q²

C    sin (fr’—fr) d (fr’—fr)

J    P ²— 2pö⁷cos (fr—fr')

- ■»

= 0 ist.

weil das unbestimmte Integral eine Function von cos (fr — fr') ist und daher für —fr und 2 jr— fr denselben Werth annimmt ergiebt sich

so

F cos fr — U sin fr =

’ / ' / V cos (fr¹— fr) d (fr'—fr) q c/(/ dx ’

und

F sin fr + U cos fr = 0.

Also ist

— © sin fr = U,

© cos fr — V;

ferner

öS

u —--x~

dz

= r cos fr also ist, da sin fr = —

cos fr ,

cos fr = ~

ö©

v — — v sin fr

dz

— t sin fr,

q’

ö©

1 dw

- X :=z::= - x- . W

dz () dz ⁷

's Cs)

© G² + y²)

• 16a)

Da nun

Ô©_öS x

dx    dç Ç ’

ö® ö® y

dy    dç q

ist, so wird

ÖS

\ d-ip 1 ö (©(>)

Ç) Ö(>    Q d()

Also folgt weiter — ip = ©p; ©p = const sind demnach die Stromlinien.

w — z

d(j

's (Sl

16 h)

Führen wir für U— & die neue Variable Jt — 2 & ein und bemerken, dass über den ganzen Umlauf des Winkels &'—integrirt wird, man also in Bezug auf ihn von 0 bis 2Jt integriren kann, so ist

er

2

l f j ogdgdxjf

(1 — 2 sin² ß) dß

U(~—V² + (? + P )² — 4(>(/ sin² ß

setzen wir

2

dß

Ul — x¹ sin² ß

E —J'dßY 1 — x¹ sin² ß, o

so sind K und E die vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung in Bezug auf den Modul x.

Das Integral @ lässt sich daher auf die Form bringen

7t

WO X¹ —

⁴<V

(*-V)²+G +F)²

ist.

Differenzirt man @ nach z und nach V,so erhält man gleiche Ausdrücke mit entgegengesetztem Vorzeichen. Man erhält also entgegengesetzte Werthe, wenn man unter den Integralzeichen in dem Factor von ö g' dz dg die gestrichenen Buchstaben mit den ungestrichenen vertauscht. Bildet man also das Integral

ff“

6g dg dz

über denselben Raum erstreckt, wie das über g und V zu nehmende, so kommen paarweise entgegengesetzte Werthe vor, die sich gegenseitig aufheben. Es ist also

oder nach 16 a)

ff 0^ g dg dz j J ög x dg dz = 0 ~ ff    'dt

Nun ist, wie wir gesellen haben 6 dg dz von der Zeit unabhängig, wenn es auf bestimmte Flüssigkeitstheilchen bezogen wird. Daher ist

-fijr J IGQ² dçdz — 0

l jÖQ^dQ dz

= const.

Setzen wir

ffo² a dę dz

ff odę dz

= R²,

so ist R eine mittlere Entfernung sämmtlicber vorhandenen Wirbelringe von der %-Axe.

Wenn in einer unendlichen Flüssigkeit sich nur ein Wirbelring befindet, dessen Querschnitt unendlich klein gegen den Radius des Ringes ist, so bleibt dieser Radius unverändert.

Es ist nun

bst

_ {z-z)² + q'²—ę²

bx

2z (z—z)

% bz    (z—z')² + (() + q')²

Hieraus folgt

2 ( bx

vV

Andererseits ist

bę

bx

bz

Z²—Z² -f- Q²-Q²

(z-z’)² + (ę +7)2

■'S (Sł

ô©_ö©    bx    .

dç — te    b^ “ *•

ô©_ ô©    bx

bz    bx    bz

x ändert sich nicht, wenn die gestrichenen mit den ungestrichenen Buchstaben vertauscht werden. Ebensowenig ändert sich -• Daher nimmt

ö© 'ô® , i&^bJZs bx bx\

^ ôç ‘ bz '    ^    bx V. ^ bę ^ bz)

bei der Vertauschung den entgegengesetzten Werth an. Es ist also ebenso wie vorher

ff( Q Ę + * ^ + i @) dQ dz = ⁰

oder nach 16 a) und 16b), da

d®    « • *

Q = WQ — © ist,

16 c)

j J (wg²— r *(> — \ <Sg) ödgdz = 0.

Betrachten wir einen Wirbelring von unendlich kleinem Querschnitt dg dz und wollen die Fortbewegung dieses Ringes untersuchen, so müssen wir die Bewegung der Flüssigkeitstheilchen verfolgen, die sich in seiner unmittelbaren Umgebung befinden. Die Entfernung eines Flüssigkeitstheilchens vom Wirbelring ist

r ==    — z)² + (g — g')².

Wählen wir ein Flüssigkeitstheilchen in der Nähe des Wirbelrings, für das g — g und % — % sehr klein ist, und setzen wir

I j*tdz dg a

x¹ —

1 _ (* — %’)² + (p — g)²

(* - 0² + (ç + (>y¹ so ist annähernd

Schreiben Avir x² == 1 —x², so ist x eine unendlich kleine Grösse. Nun gelten für die elliptischen Integrale folgende Reihenentwickelungen

log (*) +(t)s [log G)-l]

(loS V — o)x'² • • • •

Beschränken wir uns auf das erste Glied, so ist

^=log£

unendlich gross auch gegen E, und wir haben bei Yernachlässigung von Grössen zweiter Ordnung

also

w—

IQ' Q/\ OS

i (Sl I (Sl

(* — *0² + (ç — e')²_

16 [(*_*')2 + (p + (/)²]»

m / (z — ż)

TC V(* — Z)² + (<0 + e')²

\ m ( Q + ol_

' n V(* — O² -ł- (g + g’)²

2n

log

(z — z')

{z — z)² + {g — g’)².

(«» — Q)

(z — z)² + {g —

(O²)'

Wenn z — z, ę — ę von der Ordnung s unendlich klein sind, so ist r und w von der Ordnung — unendlich gross. @ ist unendlich von der Ordnung log e.

Wir setzen nun die mittleren Coordinaten des Wirbelringes (>₀ und z₀ fest nach den Gleichungen

also ist

(>₀ ² Ijodędz—j I ę -odę dz

I (q²0dę dz —j jozę²dędz,

J J Ozę²dędz

= "oQo

² j J odę dz

= «0 Po2 m-

Differenzirt man diese Gleichung nach der Zeit, so wird, da odę dz und ę₍₎ von der Zeit nicht abhängen

m o°²    — J J oę ² dędz ^

dt

■ dę dz.

Hiernach wird die Gleichung 16 c)

j'@ęO dę dz + 0 j j zę ^ Odę dz.

9

“<*» .u =

Wenn m endlich sein soll, so muss 0 von der Ordnung sein,

weil dz dę von der Ordnung s - ist.

Ziehen wir von der letzten Gleichung die Gleichung

*o

j j Oę ^ dę dz — 0

ah, so erhalten wir

9 a"()

mQ« dt

\j'&ę Odę dz -}- >11 j ę ^ (z — z₀) Odę dz.

Nun ist * — *o von der Ordnung e, ^ ist von der Ordnung - • Daher ist das zweite Glied endlich. Da @ von der Ordnung log e unendlich ist, so ist das erste Glied und damit Ordnung unendlich. Ein kreisförmiger Wirbelring von kleinem

dzo

dt

von dieser

Querschnitt und endlichem Radius schreitet daher mit grosser Geschwindigkeit parallel seiner Axe fort.

Mit den kreisförmigen Wirbelringen hängt eng eine Klasse von stationären Flüssigkeitsbewegungen zusammen, die von besonderem Interesse für die Theorie der Cyklonen sind. Auch hier herrscht im wesentlichen Symmetrie um eine Axe.

Von wesentlich bestimmendem Einfluss ist hierbei die Drehungsgeschwindigkeit um die Symmetrieaxe bei stationärer Bewegung.

Eliminirt man aus den Gleichungen 10) die Grösse Sß — P, so fällt die Drehungsgeschwindigkeit aus dem Resultat ganz heraus, wenn ^ verschwindet. Dann gilt die Gleichung 12). Die

Drebungsgeschwindigkeit um die Axe der Cyklone hat also keinen Einfluss auf die radialen und axialen Geschwindigkeiten, wenn die Drehungsgeschwindigkeit unabhängig von der vertikalen, der Cyklonenaxe parallelen Coordinate ist.

In diesem Falle giebt die dritte der Gleichungen 10)

(/(>

7- ,llso

wo c eine Constante bezeichnet. Die Drehungsgeschwindigkeit hat in diesem Fall einen einzigen möglichen Werth, wenn sie nicht Kuli ist. Sie nimmt nach aussen hin ab, wie das Quadrat des Abstandes von der Axe. In der Nähe der Axe selbst wird die Drehungsgeschwindigkeit unendlich. Es folgt hieraus, dass in einer nur horizontal begrenzten Flüssigkeit eine von der verti-calen Coordinate unabhängige Drehungsgeschwindigkeit nur existiren kann, wenn die Drehungsgeschwindigkeit an einer bestimmten Cylinderfläche unstetig wird. In dem inneren Cylinder muss dann c = 0 sein, im äusseren kann c von Null verschieden sein.

Durch die Function F(ip) werden nach 16) die Wirbellinien um die Cyklonenaxe bestimmt.

kxp ist; k bedeutet

Der einfachste Fall ist der, wo F(tp) eine Constante.

Wir haben dann die Gleichung

17)

lcQ²1p .

b²xp    1 bip . b²xp __

brt²    Q bo ' bx²

Setzen wir ip = cp sinmx, wo rp eine Function von q ist, so verschwindet

q d()

*si

n mx

u. s. w. sind.

Die beiden Constanten b und b₀ sind willkürlich.

Für q — ~\fß = 0 wird a unendlich, für den inneren Raum muss daher b und somit auch c verschwinden.

Das Verhalten im Unendlichen lässt sich leicht bestimmen. Wird y ß sehr gross, so verschwindet in der Differentialgleichung m² gegen kß und wir haben

*a£ + »£ + ï«*-o.

deren allgemeines Integral

ist.

_ G_ sin i y kß — C' cos £ y kß

Es ist also

= C sin -g- yîcQ² — C' cos kç2 = yicQ |(7 cos | ykQ²-\- C' sin ^ y&p²}

m cos rm>

UH

für %= 0 und %= — • "Wir können also die Flüssigkeit durch zwei horizontale Ebenen eingeschlossen denken, deren Abstand ^ ist. Die Gleichung 17) wird

d²cp 1 dcp dp²    dp

Setzen wir nun cp = aß, Q — ~\f ß, so ist die Gleichung 18)

da    (m²—kß)

•    4    a

— (m² — Icq²) cp = 0.

18)

d²a

= 0.

19)

² dß

Das Vorzeichen von k muss positiv sein, weil sonst die Geschwindigkeiten im Unendlichen unendlich gross werden.

Die Gleichung 19) lässt sich durch eine Reihe von folgender Form integriren:

a = c (1 ciy ß + «2 ß² V • • •) ß + ~q U W ß U ^2 ß¹ • • • deren Coefficienten bm²    o b —

4    , znl —

bn m² — kb

3 a,c, 2.3&₂

b\ m² — kb₀

5a₂ß

|(7 sin \ ykQ² — C' cos ] w — yk sin mz |(7 cos yJcq² + (f sin £ y&p²j.

Ist die Höhe des betrachteten Cylinders h gross gegen den Radins des Cylinders q = R, an dem die Unstetigkeit der Drehungsgeschwindigkeit stattfindet, so gelten die gewonnenen Ausdrücke im inneren Cylinder in der Nähe der Grenzfläche. Da aber r für q = 0 unendlich werden würde, so muss für den inneren Raum C' verschwinden. Die Ausdrucke 20) gelten auch für den äusseren Cylinder; wenn der Radius der Cylinderfläche, die diesen

begrenzt, q — 9v, so klein ist, dass gegen    vernachlässigt

werden kann.

Wir beschränken uns auf die Behandlung dieses Falles.

Da der Druck innen und aussen für q = R denselben Werth haben muss, so muss, wenn wir mit dem Index 1 den inneren, mit 2 den äusseren Raum bezeichnen, nach 15)

Durch diese Gleichung wird der constante Factor im Werthe von <pt durch den von <p₂ bestimmt, so dass die Geschwindigkeit im inneren Raum durch die im äusseren bestimmt ist. Dagegen bleibt das Vorzeichen gleichgiltig. Es kann also die Geschwindigkeit aussen die entgegengesetzte Richtung wie innen haben.

Es verschwindet rt für q — 0. r, soll ausserdem für q = R, r₂ soll für (> = R und q = verschwinden.

Daraus folgt

VK

— R²’

sin | YK R1 = 0, i YĘ R²

ferner

also

C₂ sin| yl₂R²

C-2 COS \ Yh = fl C₂ sin^yX,9D— C₂ cos^y^^² = 0,

tgiY^ß^tgi

i yijSR² = i yęr¹ + »

Aus der Druckgleichung folgt

(Cf + C'\)k₂ = C{ku

c, = c₂

RI

— R²) cos

R²n

m² — R²

Es sind also alle Grössen bis auf C₂, welches die absolute Geschwindigkeit bestimmt, durch R, Di und m ausgedrückt. Die zwischen der Cylinderfläche p und p — R aufsteigende Flüssigkeitsmenge ist

Q

2 Jt (tpR —■ 1p e)

2 Jt j"wçdQ K

die durch die Cylinderfläche zwischen den Ebenen % — 0 und % — x strömende

2 Jt

j'QXdz

= 2 jt (ipx — ipo).

Es bildet also die axiale und radiale Bewegung im äusseren und inneren Raume zwei Systeme, die für sich abgeschlossen sind, da keine Flüssigkeit durch die Unstetigkeitsfläche gehen darf. In der Nähe dieser Grenze steigt die Flüssigkeit auf oder sinkt herab. In der Nähe der Cylinderaxe findet dem entsprechend ein Herabsinken oder Aufsteigen statt. Im äusseren Raume bei

*-v

ITt² —R²

im inneren bei

//

Q Y²'

ist die Verticalgescliwindigkeit Null. Durch das Hinzukommen der Drehungsgeschwindigkeit l>ewegt sich die Flüssigkeit in Spirallinien auf das Centrum zu oder von ihm fort.

Wenn die Drehungsgeschwindigkeit l) von % abhängt, so beeinflusst sie die axialen und radialen Strömungen. Es giebt dann die dritte der Gleichungen 10) oder

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn wir p'-fi = f(ip) setzen, wo f eine beliebige Function von ip ist. Differenziren wir jetzt die, erste der Gleichungen 10) nach %, die zweite nach q, und substraliiren, so erhalten wir

Setzen wir f(ip) ip =<= cpz — y, wo cp und y nur von q abhängen, so ist

mp, um den einfachsten Fall zu behandeln,

bxp r ö /I /b²xp    1 bxp

Lö^v(>²Vö(j²    p '

bxp b r 1 Zb²xp 1 bip ö²V;ä~] ' bp bx Lp² v ö(>² p bp ‘ bx²)J

bx

b²ip

bx²

hä    ²fM df~\

J) (j³ dxpJ

21)

1 / b²xp    1 bxp

p² Vöp²    p bp

b²xp

bx²

\ x Zd²tp

)    p² v/ff-

1 dtp

p dp

\    ¹ {&z _ AM

)    p² \dp² p dp )

bxp

bx ~V’

bxp_ btp

Tp — Yp * “ s '

Die Gleichung 21) wird also in zwei Tlieile zerfallen, von denen der eine den Factor & hat, der andere nur von q ahhängt. J eder muss für sich verschwinden nämlich:

f d rl Zd²tp

*v^U²U²

und

1 (öjPVl    dtp 1 fd²tp 1 dtp\

p dp )J    dp p² v dp²    pdp)

_ M~i 1    ¹ ( fP<p

dp)J    dp p²\dp²

2a²<p²\

1 fd²y p² Vd(>²

Die erste Gleichung lässt sich schreiben

dtp 1 dZ 1 dtp V dp p dp\p dp )

— <p

1 dtp p dp

= 0.

oder

₉:t\- ł(-dł))

r dp (o dp \p do J )

2a²tp²

<p -

1 d / I dtp\ p dp V p dp )

2a²tp²

<>³

0.

Lässt man den gemeinschaftlichen Factor <7 - fort und inte-grirt, so erhält man

oder

oder

r-l :

ÄßM ₊

dp \p dp)

a²(p

d²tp 1 dtp dp² p dp

Wir können also die zweite Differentialgleichung schreiben

<h ay , 2a²<p%

dp p²

+ ct-rp = 0.

— cp

d²/

.dp²

)]

P³

a-

Diese Gleichung lässt sich nach q integriren und wir

erhalten

(>²

/&Z _ 1    ,

\dQ² q dp) '

a>/

— const.

Einen Specialfall erhalten wir, wenn wir const = 0 setzen. Dann genügt cp und % derselben Differentialgleichung. Wir können also setzen

ip — <p (z — B),

wo B eine Constante bezeichnet.

Dann ist ip = 0 für z — B, die Flüssigkeit strömt parallel der Ebene z = B.

Die Differentialgleichung zur Bestimmung von cp lässt sich schreiben, wenn wir

<p = Y Q<Pi

also

setzen

1 d<p_d<pi    1

Q dQ    d(3

d²<pi d<pi 1

d^ y q

d(>'²

i <p i

¥(V7)³

-i

<p\

(V7)³

Für unendlich wachsendes q geht die Gleichung über in

d²<pi

dp²

+ a²<pl= 0,

deren allgemeines Integral

Gy cos ag + C₂ sin ap ist. Für unendliches p würde also

r-l I Ca

(*-*)(

Oi cos (tę + 0₂ sin ap

(7<?y

aCx sin ap — aC₂ cos a(j\

7?    ¹

sein und daher verschwinden, ebenso wie

v_ 1 dtp_ Ci cos aę -f- C₂ sin üq

yQ

¹ — 7 ö» — ~~

Ein particuläres Integral der Differentialgleichung lässt sich durch eine unendliche Reihe gewinnen.

Wir haben, wenn G eine neue Constante bezeichnet

<p = CQ (1 — Ya + 2.4.0 “ 2X476.6.8 +

Das zweite particuläre Integral wird für g — 0 unendlich und für unseren Zweck unbrauchbar.

Es ist also für g = 0

= 0.

- i|2 = _2C und r =

Q OQ    Q OZ

Die Gleichung der Stromlinien lautet <p (z — B) = const.

Da (p für g — 0 verschwindet, so folgt, dass alle im Endlichen liegenden Stromlinien, für die die Constante endlich ist, für % = oo sich der 2-Axe asymptotisch nähern.

Ausserdem verschwindet (p für unendlich viele Werthe von g. Ist der kleinste Werth g = g₍₎, so nähern sich alle Stromlinien - für % = oo dieser Cylinderliäche asymptotisch.

Die Drehungsgeschwindigkeit

) {z — B)

t) = aC ^1

a²p²__a⁴p⁴

2.4 — 2X0

ist also für p = 0 endlich und sie verschwindet für % — B. Sie nimmt proportional dem Abstande von der Ebene % = B zn. Die Constante a bestimmt den Werth g₀ und ihr ist die Drehungsgeschwindigkeit proportional. Setzen wir ag = y, so ist ag₀ = y0 die kleinste Wurzel der Gleichung

y⁴

2.4    " 2.4.4.6

Es ist also dann

^Ty K¹ ~ 2A + 2X0 ' ‘ ') b = aC (% — B) |

2.4.4.6

7²

2.4.4.6

2.4

Durch Yergrösserung der Constante G werden alle drei Geschwindigkeiten in demselben Verhältnisse grösser. Aendert man

aber a, so ändert sich p₀

. Für y

y₀ verschwinden r und lj.

Hier kann also die Flüssigkeit durch eine verticale Cylinderfläche vom Radius g₀ abgeschlossen werden, innerhalb dessen sich die ganze Bewegung abspielt. Dagegen verschwindet w nur für % = B. Unten wird die Flüssigkeit durch eine horizontale Ebene abgeschlossen, während sie nach oben hin in der Nähe der Begrenzungsfläche ein und in der Nähe deUAxe ausströmt.

Wird nun a kleiner, so wird p₀ grösser, r grösser, t) in demselben Verliältniss kleiner, w bleibt constant.

Bei gleichbleibenden Werthen der Verticalströmung nimmt bei grösser werdendem Radius der Cyklone die Radialströmung in demselben Verliältniss zu, die Drehungsgeschwindigkeit im umgekehrten Verhältnis ah.

Für den Druck ergiebt sich

— B¹

J Q³

um

Ein anderes Beispiel für den Einfluss der Drehungsbewegung die Cylinderaxe auf die radiale und axiale Bewegung ist das folgende.

Wir setzen

ip = 5f()² sin nz.

Dann ist

h²xp __ èz²

n'² sin nz g²

(\hp ~ c\j² Q

und die Gleichung 21) giebt

-—• 2 n'¹ sin nz cos nz p5( -n -f- 2 51² n³ sin nz cos nz g = 0,

woraus a — n folgt.

Für den Druck ergiebt sich

5l²cos2 nz + ^ g n + const,

0. Hier strömt die Flüssigkeit

für z — 0 und nz = ir. ist rp parallel den beiden Ebenen.

Die Stromlinien — const, soweit sie im Endlichen liegen, nähern sich für g—x asymptotisch sowohl der Ebene z—0 als auch

• Im Unendlichen wird also die axiale Strömung unendlich

gross, weil sich dort alle Stromlinien zusammendrängen. Die Drehungsgeschwindigkeit ist

l) = a 51 sin nz = w 51 sin nz.

Die radiale Geschwindigkeit ist

n 51 () cos nz,

die axiale

2 51 sin nz.

1 bxp _

Das Yerhältniss der axialen Geschwindigkeit zur Drehungsgeschwindigkeit ist dem Abstand der beiden Ebenen von rein radialer Strömung proportional.

Die Höhe dieser Cyklone % — ⁷¹ = ⁷¹ nimmt zu, wenn a kleiner J    n a

wird, gleichzeitig wird r und t) kleiner, während w constant bleibt.

Bei gleichbleibenden Werthen der Yerticalströmung nimmt mit zunehmender Höhe der Cyklone die Radialströmung und die Drehungsgeschwindigkeit in demselben Yerhältniss ab.

Die Stromlinien sind in Eig. 4 gezeichnet.

Fig. 4. Stromlinien einer Cyklone mit horizontaler Ausströmung.

Wir wollen jetzt ein Beispiel von geraden Wirbellinien geben, wo die Drehungsgeschwindigkeit überall constant ist. Dies Beispiel wird ausserdem zeigen, dass sich die Form von Clebsch für die Geschwindigkeit noch in anderer Weise erreichen lässt.

Wir gehen wieder auf die hydro dynamischen Gleichungen 1) zurück, in denen wir w = 0 zu setzen haben. Dann ist nach 7)

bW

bW

U===~W> '

ô (SS — P) __ bW b*W __ bW b*W b*W bx    by bxby bx by²    ' btby

b (iS — P) _ bW b*W bW b*W_ b*W by bx²    ' bx bxby btbx

Differenzirt man die Gleichungen nach x und y und subtrahirt, so bleibt

bx

by

bAW , bW bAW _ bW bAW bt ~ by bx    bx by

= 0.

22)

Ist = 0 und AW=f{W), wo f eine beliebige Function

von W ist, so wird die Gleichung erfüllt.

Dann ist

dir.

SS — P — const +

Die Function f kann auch eine Constante sein. Dies ist der Fall, wenn wir setzen

W=a₁ x¹ + a₂ y² + 2a₃ xy,

wo ax, a₂ , a₃ Constanten sind.

Hier sind die Stromlinien Ellipsen und wir müssen uns die Flüssigkeit durch einen elliptischen Cylinder mit festen Wänden eingeschlossen denken, weil sonst die Geschwindigkeiten im Unendlichen unendlich grosse Werthe annehmen würden. Dann ist

(®i + ch) •

Ferner wird

SS — P — const — 2 («] + a₂) TU + 2 {(af + af) x² + (a\ + af) y¹ + 2 a;i (aA + «₂) xv)

— const + 2 (af — % a₂) (x² + y²). Wir können dapn setzen

b<P

bW

U by % bx

b<P

bW

Dividirt man diese Gleichungen durch x > differenzirt die erste nach y, die zweite nach x und addirt, so erhält man

d fl ôTF\ ,ô/l öIF\ dy Vz by ) ' dx dx )    ’

oder

a7tt ôy ô W ôy ô W _ ₍    .    \

JJ,x⁼ Ł + 4 w ~2(a*+ ai) 1'

Setzen wir

X = bi x2'+ h V² + ² h XV » so ist die Gleichung erfüllt, wenn

2»₃ &3 «2 — «1 ’

hd bleibt eine beliebige Constante.

Dann ergiebt sich für <P durch Integration

®    log [bl x² + 6.₂ y¹ + 2 6₃ zt/j

&3æ + ⁶2 y —

b₂=-

«2— »,

ist;

»t —

»3 63

b₂

G J/^ 1 +

+ .4* + B

4«1

(»₂ —»0²

log

&3 * j/¹ +

4aj

(»₂ —»,)²

4«I

(»₂ —»,)²

wo A und B zwei beliebige Constanten sind.

Die Gleichung für den Druck lässt sich schreiben

2} — P=

Dies ist eine andere Integralgleichung als sie sich aus der Form von Clebsch ergeben würde. In der That sind hier auch die Bedingungsgleichungen für jene Form nicht erfüllt.

Einen Fall möglicher Flüssigkeitsbewegung, der mit dem betrachteten nahe zusammenhängt, erhalten wir, wenn wir in der Gleichung 22) f(W) = — xW setzen, also AW = — xW erhalten; führen wir in diese Gleichung die Cylindercoordinaten ein, so ergiebt sich

dp²

1 Ô2 W

p2 0^2

Ö2 W 1 dW

' Q dp

+ xW = 0.

Setzen wir

W = <p sin m &

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

so wird die Gleichung

1 cl<p

Q djQ

Hier schreiben wir q ² = x q 2 und erhalten

d²cp

m²

dp

X)<P

- 0.

h-

ff²

) y = o.

Diese Gleichung wird durch Bessel’sche Functionen integrirt und zwar ist

<p = Qm [c Jm ((/) + c, %tl ((/)] , wo c und (\ Constanten bedeuten.

Hier ist

Jm (q ) — [

<*    ( r!\ = rfw3(g)

S (<>') = Jq Oq) [log -f -

(>'⁴

2(2 m + 2)

2.4.(2m    2) (2m + 4)

+ -■)

0,5772157] +2K(P')-p₄ ((>') + M(e'H

Das Integral Jm ((/) bleibt für q = 0 endlich und verschwindet im Unendlichen. Das Integral %n ((/) wird für q = 0 unendlich und verschwindet ebenfalls im Unendlichen. Beide Integrale verschwinden ausserdem für unendlich viele Werthe von q.

Die Darstellung von (q) als m ter Differentialquotient gilt natürlich nur für ganzzahlige m. Da die Geschwindigkeiten wieder dieselben Werthe annehmen müssen, wenn ff einen Umlauf gemacht hat, so haben nur ganzzahlige Werthe von m physikalische Bedeutung.

Wir können die Bewegung in einen endlichen Cylinder mit festen Wänden eingeschlossen denken, müssen dann aber die Constante c₁ gleich Null setzen. An der Wand des Cylinders muss r verschwinden. Also muss dort Jm ((/) Null sein. Man hat hierfür die kleinste Wurzel der Gleichung Jm{Q) = 0 zu wählen. Ist der Radius R gegeben, so bestimmt sich hieraus die Constante x.

1 zerlegt sich der Cylinder in zwei gleiche Hälften, in denen die Stromlinien in sich zurücklaufen. Für m = 2 laufen die Stromlinien in jedem Quadranten in sich zurück. Bei grösseren

Für m

Werthen von m erhält man immer kleinere Gebiete in sich zu-zückkehrender Strömungen. Nimmt man beide Integrale zu Hülfe, so kann man die Bewegung zwischen zwei concentrische Cylinder-fläch'en einschliessen.

An beiden muss dann (c Jm [(/] + cy %n [(/]) Null sein.

Die grosse Vereinfachung, welche in dem Falle, wo keine Drehungen der Flüssigkeitstheilchen vorhanden sind, die hydrodynamischen Gleichungen erfahren, so dass man sich nur mit der einenContinuitätsgleichung zu beschäftigen braucht, hat die früheren Mathematiker veranlasst, sich nur mit den so vereinfachten Problemen zu befassen. Erst Helmlioltz hat in seiner berühmten Abhandlung über die Wirbelbewegungen (Crelle’s Journal Bd. 55) auch solche Bewegungen, hei denen Drehungen Vorkommen, aus den allgemeinen Gleichungen abgeleitet. Der wesentliche Fortschritt der Helmholtz’schen Behandlungsweise lag in der ausgiebigen Anwendung der in der Mitte des Jahrhunderts ausgebildeten Potentialtheorie. Naturgemäss treten hierdurch der Hydrodynamik ursprünglich fremde, der Vorstellung von Fernkräften entnommene Begriffe in den Vordergrund.

Ueber die Strenge des Beweises der Folgerungen S. 56 vgl. Stokes (Math, and Phys. Papers II S. 18, 1883).

Weitere Specialuntersuchungen über Wirbelbewegungen sind angestellt von W. Thomson (On the vibration of on columnar . vortex; Phil. Mag. Sept. 1880); Greenhill (On plane vortex motion; Quart. Journ. Math. XV, 1877); Love (On the stability of certain vortex motions; Proc. London math. soc. XXV, 1893); Keusch (Ueber Ringbildung in Flüssigkeiten; Pogg. Ann. 110, 1860); J.

J. Thomson (On the motion of vortex rings; London 1883); Kirchhof! (Ein elliptischer Wirbelcylinder; Mechanik S. 263); Hicks (On the steady motion and the small vibrations of a liollow vortex; Phil. Transact., 1884; On a spherical vortex; Phil. Transact., 1894).

Die Theorie der Wirbelatome, die auf den entwickelten Gesetzen der Wirbelbewegung beruht, ist von W. Thomson aufgestellt (Phil. Mag. Juli 1887).

ü*

III. Strömungen ohne Drehung der Flüssigkeitstheilchen.

■jf.

1.

Stetige Bewegungen.

Die Untersuchung der Bewegung unzusammendrückbarer Flüssigkeiten wird erheblich vereinfacht, wenn keine Drehungen der Flüssigkeitstheilchen vorhanden sind. Es folgen dann nämlich aus Gleichung 13) des ersten Abschnitts die Gleichungen

bw bv by ö*

bu

bw

bz bx

bu

n—bv__

U“ öä by

Diese Gleichungen sind gleichbedeutend mit der Existenz einer Function cp, so dass

b<p

1)

bcp

W = x-bz

ist, wie auch aus den Gleichungen 33) Abschnitt I folgt, da ip und x verschwinden. Die Function cp nennen wir Gescliwindig-keitspotential.

Die Continuitätsgleichung

bu

bw

i ^    .

+ by + Tx

geht über in die Gleichung

b²<p b²<p b²(p bx²    by² bz²

Acp — ü.

Die Clebscli-Transformation zeigt, dass die allgemeinen Gleichungen ohne weiteres integrabel sind, indem die Gleichung 35) des ersten Abschnitts jetzt

+ * 'CU ($)²+ Uri

33-

2)

p d<p

s    dt

wird. Wir schreiben jetzt 33 für V.

Alle Untersuchungen solcher Strömungen beschränken sich daher auf die Behandlung der Gleichung

Acp — 0

und die Erfüllung der Grenzbedingungen.

Da diese Gleichung die in der Potentialtheorie vorkommende ist, so sind auch die oben entwickelten Sätze dieser Theorie ohne weiteres auf hydrodynamische Probleme anwendbar.

Ein Beispiel bietet der Green’sche Satz Gleichung 40) Abschnitt I. Setzen wir U — cp, V = const, so ist hiernach mit Berücksichtigung von A cp = 0

dS

àcp

= 0.

3)

Diese Gleichung sagt uns, dass in einen geschlossenen Raum ebensoviel Flüssigkeit aus- wie einströmt.

Aus dem Green’schen Satz folgt weiter, wenn wir cp = U = V setzen

4)

j'jjdxdydz [(!f)> (|f) + (yf)²] = fdS<p

t)(p

Wird an der Oberfläche

bn

= 0, so verschwindet das Integral auf der rechten Seite. Es muss auch die linke verschwinden. Da diese eine Summe von Quadraten enthält, muss jedes Glied verschwinden, d. h. im Innern der Flüssigkeit ist keine Bewegung vorhanden. Wenn in einem einfach zusammenhängenden Raum Bewegungen der Flüssigkeit Vorkommen, ohne dass Unstetigkeiten der Geschwindigkeit vorhanden sind, so muss an der Oberfläche eine Bewegung parallel der Normale vorhanden sein.

Dieser Schluss ist nicht ohne weiteres zulässig, wenn die Oberfläche des geschlossenen Raumes unendlich gross ist. Für diesen Fall folgt aus der Gleichung ausgedehnt über eine unendlich grosse Kugelfläche. Wenn daher die Flüssigkeit im Unendlichen ruht, so kann eine Bewegung in derselben nur durch bewegte Oberflächen hervorgerufen werden.

Dagegen können in sich zurücklaufende Strömungen in mehrfach zusammenhängenden Räumen Vorkommen, wo cp vieldeutig wird. Werden diese Räume durch Querschnitte in einfach zusammenhängende zerlegt, so finden dabei Strömungen durch diese Querschnitte statt.

So ist das Potential einer Doppelschicht Gleichung 39) Abschnitt I an dieser Doppelschicht unstetig, während die Differentialquotienten stetig sind. Das Potential ist daher vieldeutig und stellt als Geschwindigkeitspotential eine in sich zurücklaufende Strömung dar.

Die Folgerung, dass keine Bewegung der Flüssigkeit, solange sie unbegrenzt ist, erfolgen kann, wenn im Unendlichen die Geschwindigkeiten Null sind, gilt nur, wenn das Geschwindigkeitspotential und seine Differentialquotienten überall stetig und endlich sind.

Setzen wir dagegen z. B.

<P =

r — ~\fx² fl- y² fl- z²,

so haben wir für die Componenten der Geschwindigkeit

-la

5)

^•3

wenn man die Integration über eine unendlich grosse Kugelfläche vom Radius R und eine beliebige im Endlichen liegende Fläche ausdehnt, dass das Integral über die Kugelfläche ausgedehnt einen endlichen Werth haben muss. Es muss also, da die Kugelfläche

von der Ordnung R² unendlich wird,

ö<p

von der Ordnung ^ an

dieser Fläche sein, dann ist cp von der Ordnung Ł und es verschwindet

èn

J dScp

à(p

Tn

^3 ⁶¹ >

Wir haben dann Strömungen, die radial vom Punkte r = 0 ausgehen. Für r — oc verschwinden u, v, w. Im Punkte r — 0 sind die Geschwindigkeiten aber unendlich. Wir haben hier einen Ein- oder Ausströmungspunkt der Flüssigkeit. Durch jede Kugelfläche strömt dieselbe Flüssigkeitsmenge Ajia.

Setzen wir

q — \~y² + v²

cp = a log g

5 a)

so ist A(p — 0 und

(>2 »

tc — —^ •

P²

Hier haben wir ein Aus- oder Einströmen der Flüssigkeit auf der Linie g = 0. Durch jede Cylinderiläche von der Länge Eins strömt die Flüssigkeitsmenge 2jta.

Ein unendlich langer Oylinder mit kreisförmigem Querschnitt in eine strömende Flüssigkeit getaucht, giebt den Stromlinien eine sehr einfache Gestalt. Die Flüssigkeit soll im Unendlichen mit der Geschwindigkeit a strömen. Das Geschwindigkeitspotential muss dann das Glied a% enthalten, wenn die Strömung parallel der z-Axe erfolgt. Führen wir Cylindercoordinaten ein, so haben wir

cp — (gp, + ag) cos

<P i =

wo <p{ nur von g abhängt. Die Gleichungen A <p — 0 gieht da (py fjir p = cc verschwinden muss. Für g = R muss

à<p

= 0 sein. Also ist c = aR².

cp =

-(f+0

cos

Ueber diese Strömungen können sich noch in sich zurücklaufende überlagern. Setzen wir

cp — arctg

, so ist Acp — 0.

Dann ist tp = log g. Die Stromlinien sind daher concentrische Kreise um die Cylinderaxe.

Das Geschwindigkeitspotential ändert bei jedem Umlauf seinen Werth sprungweise um 2ji.

Für alle Flüssigkeitsbewegungen, die parallel einer Ebene vor sich gehen und bei denen ein Geschwindigkeitspotential vorhanden ist, tritt eine grosse Vereinfachung der Darstellung ein durch Anwendung von Functionen eines complexen Arguments. Wenn wir die Beziehung haben

cp -j- xpi = F{x + iy),

so ist auch x Ą- iy eine Function von cp + xpi.

Aus der Functionentheorie folgt dann

bcp öip bcp öip

ö.r    by ’ bx>

bx

und hieraus weiter

b²? bx² '

b²cp

by²

bcp bxp . b(p bxp _ „

bx bx by by

= 0,

(&)*+ (!’) -

àhP , àhp = 0 ö#² ' by²

7)

/ö«Y² (byÿ

\byj) \bxpj

Wenn cp das Geschwindigkeitspotential in einer Flüssigkeit bezeichnet, so ist die Continuitätsgleicliung von selbst durch diese Beziehung erfüllt. Die Function t/; ist die Strömungsfunction. Aus der letzten eben abgeleiteten Gleichung folgt, dass die Linien cp — const und xf) — const sich senkrecht schneiden. Da nun die Flüssigkeit senkrecht zu den Linien cp — const strömt, so stellen die Linien xp = const die Stromlinien dar.

Bei dieser Darstellung hat man die Functionen des complexen Arguments so zu wählen, dass die Grenzbedingungen erfüllt sind.

In sich zurücklaufende Strömungen zwischen concentrischen elliptischen Cylindern erhalten wir in folgender Weise.

Wir setzen

b cos ß {cp + xpi) — x -j- yi.

Dann ist

x²

z>²(

= 1.

h² cos² ßcp

y²

= l.

b² sin² ßcp

Die Linien xp = const sind also Ellipsen mit den Haihaxen

Die Linien cp = const sind orthogonale Hyperbeln. Die Stromlinien sind also in sich zurücklaufende Ellipsen und das Geschwindigkeitspotential cp ändert bei jedem Umlauf seinen Wert sprungweise um 2jt.

Für xp = cjc geht die Ellipse in einen Kreis mit unendlichem Badius über. Die Geschwindigkeit wird für xp = oc

jße~H

Für tp = 0 gellt die Ellipse in eine gerade Strecke von der Länge b über. Die Endpunkte entsprechen den Werten \p = 0, ₍p = 0 und (p = Jt. Hier wird die Geschwindigkeit unendlich gross.

Die Benutzung elliptischer Coordinaten führt zu Strömungen, die senkrecht zu Flächen zweiten Grades erfolgen.

AVir gehen von der Differentialgleichung aus Gleichung 61) Abschnitt I

8)

(«2—«3) ^ + Ol“ £3)^ + Oi —— 0.

£|

Setzt man zunächst <jp = e, const, so ist die Gleichung erfüllt. Für die Gleichungen f, = const ist daher et = const und auch (p = const. Die Stromlinien sind die Kurven, die die Flächen = const senkrecht schneiden. Dies sind die Schnittlinien der Flächen s-, = const und e₃ = const.

Das Quadrat der Geschwindigkeit ist nach 57) und 60) Abschnitt I

Ol— e₂) Fl — 63)

&V+ (sD’+ Gl)=u W= I)²

+ ,L y² . +_—__

-r (62 + Cl)2 -r (C2 + fl)2j

(a² H- eA) (&²+ c₂) (°² H" £3) (

(«² + e 1)²

Im Unendlichen ist e₁ — r², r~ = x‘¹ + y'¹ -j- z¹, die Geschwindigkeit ist dort also gleich

2 const ^2

Man kann diesen Ausdruck benutzen, um die Strömung durch eine elliptische Oeffnung zu bestimmen. Für den Grenzwerth = — e² erhielten wir die Ellipse

10)

x²    .    W²

__I    - u

a²—c² ' Â² — e²

während der übrige Theil der xy-Ebene durch r₂ =— c² dargestellt wurde. Dieser Theil kann durch eine feste Wand gebildet werden, weil die Stromlinien seine Schnittlinien mit den Flächen e₃ = const sind.

In der Oeffnung ist « = 0. Dort sind also e₂ und t₃ die Wurzeln der Gleichung

a² + e

Es ist daher

e2 + £3 = — («² +&2) + «² + y2 e₂ £3 = a¹})'¹ — x²b² — ißa¹.

Das Quadrat der Geschwindigkeit ist nach 9)

e⁴ — c² [u² -j- 6² — (er² -f- ?/²)] -j- a² b² — x² b² — y² a²

Für die Ellipse, welche den Rand der Oeffnung bildet, deren Gleichung lautet

b²—c2    1

a² — c²

verschwindet der Nenner; am Rande wird die Geschwindigkeit also unendlich. Es ist dies mathematisch dieselbe Aufgabe, wie die Yertheilung statischer Elektricität auf einer Scheibe, auf welche die elektrostatischen Kraftlinien von allen Seiten zulaufen. Für diese Kraftlinien treten hier die Stromlinien ein. Die Flüssigkeit strömt also von allen Seiten auf die elliptische Scheibe zu oder von ihr fort. Die Scheibe muss also die Flüssigkeit einsaugen oder ausströmen. Ohne diese Unstetigkeitsstelle würde in dem einfach zusammenhängenden Raume keine Bewegung möglich sein, da die Flüssigkeit im Unendlichen ruht.

Betrachtet man noch die Fälle bei denen

<p — e₂ und <p = e₃ ist,

so sind die Stromlinien die Schnittlinien der Hyperboloide mit den Ellipsoiden.

anweisen

Hyperboloid begrenzt wird. Die Stromlinien sind dann in sich zurücklaufende Linien, die um das Ellipsoid herumlaufen. Das Quadrat der Geschwindigkeit ist

Ist (p — e₂, so sind die Stromlinien die Schnittlinien der Ellipsoide mit den zweischaligen Hyperboloiden. Wir können dann der Flüssigkeit einen zweifach zusammenhängenden Raum der durch ein Ellipsoid und ein zweischaliges

(fi — f₂) (f₂    £3)

Sie wird unendlich für die Ellipse, welche die elliptische Scheibe begrenzt, und für die Hyperbel; im ersten Fall wird e, = e₂ , im zweiten e₂ = s₃. Sie liegen ausserhalb der Flüssigkeit. Die Be--

wegung der Flüssigkeit ist liier ohne Unstetigkeitsstelle möglich, weil sie einen zweifach zusammenhängenden Raum erfüllt.

Ist (p = e₃, so sind die Stromlinien die Schnittlinien der Ellipsoide mit dem einsclialigen Hyperboloid. Wir erhalten dann einen zweifach zusammenhängenden Raum innerhalb jedes Hyperboloids.

Hier ist das Quadrat der Geschwindigkeit

W — £3) F2 — G)

Sie wird unendlich für die Hyperbel, für die s₂ — £a ist, die aber ausserhalb der Flüssigkeit liegt.

Wir gehen jetzt zur Behandlung der Strömung über, in der ein dreiaxiges Ellipsoid ruht.

Wir setzen

11)

9> = * (c,x — «,),

c, und uv sind Constanten. x soll in unendlicher Entfernung vom Ellipsoid verschwinden. Dann ist dort

bw

bx~~Ul

die constante Geschwindigkeit der Strömung parallel der a>Axe. Es folgt weiter

42

Ci

= xAx + ²

I'./'

= 0.

12)

An der Oberfläche des Ellipsoids muss

bcp

bn

verschwinden.

Wir können dies mit Hülfe der elliptischen Coordinaten erreichen, wenn x nur von ex abhängt. Dann ist nach Gleichungen 47) und 56) Abschnitt I d% öt! j Wkc d%

bx

de\ bx    Y ofl + £1 de y

also haben wir

U² dx a² + ei de 1

oder

fl² dx a¹ + ei de 1

= 0.

13)

Wir setzen nun

tt] dz _

33 S8 dey *² »

wo X\ nur von £i > Xi nur von £3 un(^ e2 abhängt, dann haben wir nach bl) Abschnitt I

(a² -f- £f) {b² + fi) (c² + £1) (62 — £3)²    _ (dXy

{ct² + £2) {b² £₂) (c² + £2) (u² + £3) (b² + £3) (c² + £3) v^£i /

-5-1—, also

«²+£ 1 ’

—— y 2 -y 2

Al A2 >

nach 13)

Xi =

x! = —

NM

(£2 — Z'i)²

(a² -(- £2) (b²    £₂) (c² + £2) (c² + ^3) (b² + £3) (c² + £3)

Daher ist

"'z ^____

d£i (a² + £i)yr(a² + £,) (b² + Si) (c² + £,)

Für t = 00 ist 1 — 0 , also

*    1(a2 + £i)Vr(a2 + £i)(è2 + £i)(c2 + £i)

de i

14)

Das feste Ellipsoid, an dessen Oberfläche soll, sei durch ^ = 0 bestimmt. Also ist dort

^ — (r y — u\ hx bSi~ ^X ui)

è(p

verschwinden

also nach

0£i

+ ci x = ° »

und für e{ — 0

(cg—ui)

a² + si

QO

s/,

dsi

2 Ci

Ui

(ff'² + £, ) Y(ff ² + 8\ ) (b² + E, ) (c² + £t )    <*?bc a²

Setzen wir

abc

GO

h

dsi

[n² -f- Si) Y(a² + £1) {b² + £|) (c² -f £,)

= A,

so ist

ux abc

C| 2 — A

und

X Ui ab c f_dsj

A J («² + 61) V(«² + fi) F²

+ fi) (c2 + fi)

— xu{.

15)

Ein Ellipsoid in strömender Flüssigkeit.

93

so

Haben wir es mit einem Rotationsellipsoid zu thun, dessen Symmetrieaxe der Strömung im Unendlichen parallel ist haben wir

. ô²œ .    1 ôœ . ô²œ

ôæ²

= 0.

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn wir

Ö<jp

hx

1 hip h<p 1 ötp _

Q Ô05    Ô(»’ ę hę

setzen, wo dann tp der Gleichung

*2 4. ^ _ o dp ' hx²

genügen muss. Die Linien tp — const sind die Stromlinien.

Für die Kugel werden die Strömungen naturgemäss am einfachsten. Dann ist a = b = c — R und

h²ip

hę²

■'ö 11-*

- 0 + £)

V = (l — ^r)'

Der Druck in der Flüssigkeit ist

?=00»‘ + *    [(£)’+ (t)V Uff

<p = —

r¹ = x² -f- y² -j- x¹

16)

Die Geschwindigkeit kann von der Zeit abhängen, wenn auf die Flüssigkeit beschleunigende Kräfte einwirken. Es sei

öä

für r — oc ist

hm

Yx — ~u i-

Da hier auf alle Flüssigkeitstheilchen dieselbe beschleunigende Kraft einwirkt und der Einfluss der Kugel verschwindet, so ist

du-i

ÔS3

ht

hx

Legt man einen Schnitt durch die Symmetrieaxe, so wird die kreisförmige Schnittfläche der Kugel durch die Symmetrieaxe und die auf ihr senkrecht stehenden Linien in vier Quadranten zerlegt. An entsprechenden Punkten dieser Quadranten hat die

Geschwindigkeit an der Oberfläche dieselben absoluten Werthe. Die Druckkräfte auf die vier Quadranten, die von den Quadraten der Geschwindigkeiten herrühren, halten sich also im Gleichgewicht.

Für die Componenten der Druckkräfte auf die ganze Kugelfläche parallel den Coordinatenaxen bleiben also die Druckkräfte auf das Element dS

+ | © xdS

übrig. Um die Componenten selbst zu erhalten, haben wir mit dem Richtungscosinus

R’

fe^

fei *

zu multipliciren und über die Kugelfläche zu integriren. Wir erhalten dann

sG

x² dS

sG

2R

\JxydS

.s G

xx dS.

2 R

Führen wir Polarcoordinaten ein, so ergeben die Integrationen

fxydS=f.

xx dS = ü

^ IPx.

Eine ebenso grosse Kraft muss auf die Kugel ausgeübt werden, wenn sie unter dem Druck der Flüssigkeit in Ruhe bleiben soll. Da es nur auf die relative Geschwindigkeit zwischen Flüssigkeit und Kugel ankommt, so muss dieselbe Kraft in entgegengesetzter Richtung ausgeübt werden, um die Kugel in der Flüssigkeit zu beschleunigen. Ist die Dichtigkeit der homogenen Kugelmasse s, so ist die im ganzen für die Bewegung der Kugel aufzuwendende beschleunigende Kraft

Är= —

17)

R*ji (s + |)©.

18)

Der Einfluss der Flüssigkeit ist derselbe, wie die Yergrösserung der Dichtigkeit die Kugel um die halbe Dichtigkeit der Flüssigkeit. Wenn die Geschwindigkeit der Kugel relativ zur Flüssigkeit constant

ist, so halten sich alle auf die Kugeloberfläche einwirkenden Kräfte im Gleichgewicht.

Um die Bewegung eines beliebig gestalteten Körpers in einer Flüssigkeit zu bestimmen, werden wir später von allgemeinen dynamischen Principien ausgehen. Wenn man im allgemeinen die Bewegung der Flüssigkeit bestimmen will, die durch die Bewegung des festen Körpers hervorgerufen wird, hat man in folgender Weise zu verfahren.

Es seien u, v, w die Componenten der Geschwindigkeit des festen Körpers, p, q, r die Componenten der Drehungsgeschwindigkeit in Bezug auf ein mit dem Körper fest verbundenes Coordi-natensystem.

19)

u + zq — yr v fl- xr — zp w + W — xq

sind dann die Componenten der Geschwindigkeit eines Punktes, dessen Coordinaten x, y, z sind. Also ist

(u -j- zq — yr) cos nx + (v fl- xr — zp) cos ny -f- (w -f- yp — xq) cos nx.

die Componente der Geschwindigkeit eines Punktes der Oberfläche parallel zur Normalen. Diese Componente muss Lmit der Geschwindigkeit der Flüssigkeit an diesem Punkte übereinstimmen,

ist also gleich Für <p gilt die Gleichung A<p = 0 und die Bedingung, dass es im Unendlichen verschwindet. Es ist also cp linear zusammengesetzt aus sechs Ausdrücken, welche die u, v, w, p, q, r als Factoren enthalten. Setzen wir v — w=p — q — r — 0, so haben wir z. B. beim dreiaxigen Ellipsoid den S. 91 behandelten Fall, wenn wir dort die Flüssigkeit ruhen lassen und das Ellipsoid mit derselben Geschwindigkeit in entgegengesetzter Dichtung bewegen. Es war nach Gleichung 15)

u abe x

f_____

J (a² + £|) t/~(a² -f- £1) (&² + £1) (c² +

00

Bezeichnen wir nun mit £2 das Integral

abc I ds

a²+£i    i²+£ 1

C²+£i

y (a²-t-£,) (&² + £i)(e²+£i)

20)

so ist

Schreiben wir entsprechend

oo

B — abc

G = abc

f    _

J (P² + fi) "j/" («²

CO

J (c* + ei)lA(u2 0

+ fi) (^² + fi) (e² + fi)

r/fl

22)

+ fi) (b² + fi) (c² + ei)

so ist, wenn u = w= p = q — r—§ sind,

2:0

bił

^“2“si ’

daher auch, wenn nur p = q — r = 0 sind,

24)

w Ö22 . y öß .    Ö22

r/> = 2^ öä + 2 - B bj, + 2 Tx '

Um den Einfluss der Drehungen des Ellipsoids zu erhalten, setzen wir zunächst u = v — w = q — r = ö und

25)

<jp = y%'y. •

Dann ist

= 0 —z/* +    +

oder wenn wir wrieder annehmen, dass % nur von e, abhängt

tuyifö ₀~ [(sßly dtJ +

<h

i/fi

= 0.

Setzen wir wieder wie in Gleichung 13)

¹¹ ^

*² iß 2S tff, ’

SO folgt

dl.

(/fl

G>² + fi c² + fi)

Xl =

X. =0

(/;² + fi)(e2 + fi)

0² + fi) (&² + fi) (c² + fi) (f₂ - fa)2 ⁴ G² + f₂) (/'² + f₂) (c² + f₂) (o² + f₃) (b² + f-i) (r² + f₃)

d7. __

Cl

dei [b² + fl) 0² + Ei)Y(«² + fl) (6² + fl) (C² + fl)

X=ci

J (P + fi) (e² + fi)>A(a² + fi) (/'² + fi) (c²+ fi)

dei

26)

c, ist eine Constante.

An der Oberfläche muss

4^ = p (y cos nz — « cos ny)

sein. Dies ist gleichbedeutend mit ôœ ( àz

An der Oberfläche ist wieder £j = 0. Daher

ö?/ t y

óą    Y ft² ’ óą

= i y*x (p +    + y% % *

<V/i

Sf,

Ferner ist für = 0

dy ₌ ci r/ft b²c²abc

(B- G)<h

abc (b² — e²)

Wir erhalten demnach

fi

yzp(b² — c^jabc    C

(f ~W + c2)fB— C) + 2(A²-o²)J {p + f?1)(C2 + £l)-^(ß2 + Cl) (p_|_ £l)(c2 + £l)

de

•27)

Hierdurch wird die Bewegung der Flüssigkeit bestimmt, die durch die Drehung des Ellipsoids um die a>Axe verursacht wird. Ist b = e, so ist = 0. Die Drehung eines Rotationsellipsoids um seine Symmetrieaxe hat keinen Einfluss auf die Bewegung der Flüssigkeit. Daher haben Drehungen einer Kugel um eine beliebige Axe keinen Einfluss auf die Bewegung der Flüssigkeit. Für sie ist das allgemeinste Geschwindigkeitspotential

»I

»1

28)

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

Die Ring-Coordinaten können wir dazu benutzen, die in sich zurücklaufenden Strömungen zu bestimmen, die sich um einen cylindrischen Stab um seine Axe herum hersteilen können, während die Flüssigkeit von aussen durch eine cylindrische Röhre, die aber mit dem Stabe nicht concentrisch ist, eingeschlossen ist.

Um wieder unsere gewöhnlichen Bezeichnungen für cylindrische Anordnung beizübehalten, setzen wir jetzt für q + xi die Variable x -f iy. Für s setzen wir , für 1 jetzt ncp, wo n eine Constante' bezeichnet. Da jetzt x + iy eine Function von ip -j- icp ist, so ist die Continuitätsgleichung erfüllt.

Die Linien ip> = const, die Stromlinien, sind dann die excentrischen Kreise, die wir betrachtet haben, und ein beliebiger von ihnen kann die Röhrenwand darstellen. Nimmt ncp um 2 ji zu, so gelangen wir wieder an den Ausgangspunkt zurück. Die Innie cp = 0 ist das Stück der y-Axe, das von der Röhrenwand und der Oberfläche des Stabes begrenzt wird und der x-Axe am nächsten liegt. Dasselbe Stück entspricht auch dem Werthe ncp = 2er. An diesem Querschnitt ändert sich also der Werth von ncp sprungweise um Ix.

Der Radius des inneren Stabes kann unendlich klein werden, wenn s = oc oder s = 0, also ip — + oo ist.

Mit Hülfe der Ring-Coordinaten können wir auch die Bewegung der Flüssigkeit um sehr dünne Ringe mit kreisförmigem Querschnitt untersuchen.

Wir setzen in Gleichung 68) Abschnitt I

29)

<P2 = V"i — e² 0>₃ »

so erhalten wir die Differentialgleichung £(1 - s-‘) A + [(2« + 1) - (2» + 3) £²] ^ — e (2» + 1) W = 0, 30)

und wenn fi — 1 — e² ist, d²(p-s

fi (1 — y)

dpi¹

+ [1 — in + ²) lA — ł (n + ł) % — ⁰ •

31)

Diese Differentialgleichung lässt sich durch die Gauss’sche hypergeometrische Reihe integriren. Es ist nach Gauss’scher Bezeichnung

F (a, ß, y, fi) — 1 + ~ fi +

«(« + !) ß(ß+l) 1 • 2. y (y + 1)

fi² +

0>₃ = c Vb F (n + h h U P) t

also

(e ist eine Constante)

£-)

und nacli 64) Abschnitt I

c yr+2

2 + e'² £w F sin w2.

Wir wollen nun eine möglichst einfache Bewegung untersuchen. Die Strömung sei im Unendlichen parallel der z-Axe und der Querschnitt des Ringes verschwindend klein. An der Ringoberfläche

für £ = £₀ muss ^ verschwinden. Um diesen Bedingungen zu

genügen, nennen wir ut die Geschwindigkeit im Unendlichen parallel der z-Axe und setzen

<P =

£ COS

32)

2 + E -£n F + ^ z]

cp = c r sin n 2 "jAl -f- 2 s cos = c sin ni 'j/' 1 + 2e cos 2 + s'² sn F

2be Ui sin X

(1 + 2e cos X e²)

bcp

bz

bz

Im Unendlichen muss und ^ gleich uy und u{ ^ werden. Ferner muss die Linie p = 0 eine Stromlinie sein, weil Symmetrie

für p = 0

b<p

um diese Linie vorhanden sein soll. Es muss also

verschwinden. Die Linie p = 0 wird durch die Gleichung e und 2 <C 3T für positive z, 2 )> x für negative z ausgedrückt. Nun ist

Ve

dF

dtp

^ =c sin nX

[nF¹-¹ + (2rc+l) ewcosA + (« + l)fM^¹]F+fn(l+2£cos2+£²) /l + 2e cos X + £²

2bUj (1    f²)    -1    .

(1 + 2e cos 2 + f²)²J X

und allgemein

also

dF

F-i) sF(n + l f, 2, 1    £²).

(IW

Für £ = 1 ist F — 1 und — — {n + -|) und = 0 , für 2 <C n und 2

b<p

jc .

Das Unendliche für q und % wird dargestellt durch s — 1 und l — n. Für diese Werthe wird

b<p

“ Ul Te ’

wenn n eine ganze Zahl, also sin nit = 0 ist, andererseits

()<P

also ist ira Unendlichen

<p= ux x.

£² < 1

Die hypergeometrische Reihe convergirt, solange 1 hleibt. Wir setzen jetzt s — e₀ für die Oberfläche des Ringes. Ist a die Entfernung der Mittellinie von der Symraetrieaxe, so ist der Radius des Querschnittes der Ringfläche nach 65) Abschnitt I

2a s₀

Æ=ï+w

An der Ringoberfläche muss = 0 sein. Wenn der Radius R verschwindend klein ist, so ist

R — 2a e₀ .

Für verschwindende Werthe von £ divergiren die hypergeometrischen Reihen. Es ist aber

F (a, ß, /, fî) = (1 — fi)r ~ “ “ ß F (7 — a, y — ß, y, ft).

Die rechtsstehende convergirt für [i — 1, wenn die linksstehende divergirt, und zwar ist

F (a, ß, 7, fi) = wo ll(v) die Gammafunction

II (y — 1) U (a ß — y — 1) (1 — ß)r ~ a~ß

n{a — i) n{ß— i)

99

n(v -1) =

( v—l

r e

0

~xdx

bezeichnet. In unserm Fall ergieht sich für verschwindendes £ und n = 1

F (f, I, 1, 1 — e²) = ~n

(IF

Discontinuirliche Bewegungen.

Während bei den meisten Betrachtungen über die Bewegungen der Flüssigkeiten die Voraussetzung zu Grunde gelegt wird, dass die Geschwindigkeiten in der ganzen Flüssigkeit stetig sind, betrachten wir nun solche Bewegungen, bei denen an bestimmten Flächen die Geschwindigkeiten unstetige Wertlie annehmen. Solche Flächen verhalten sich ganz wie freie Oberflächen; sie müssen aus Stromlinien gebildet werden und der Druck muss an ihnen beiderseits constant sein.

Bisher ist es nur gelungen, solche Bewegungen unter der Voraussetzung zu behandeln, dass nur Geschwindigkeiten parallel einer Ebene vorhanden sind. Nehmen wir diese als die a^y-Ebene und nennen (p das Geschwindigkeitspotential, so ist nach S. 88

35)

b²ip    b²ip b²tp . b²ip

bx² ' by²    bx² by²    ’

also

Es ist dann also für verschwindendes £₀

2b

bip

be

sin l

itel

33)

und da = 0 sein soll 0£

bip

Ferner ist digkeit — 2 ut cos 1.

b).

— c — bii\ e* x R²n

⁼ V

2uv R cos 1, also die tangentiale Geschwin-

34)

bip

bx

bip

by

bip

bip

36)

by

Die Differentialgleichungen werden integrirt, wenn wir x + iy = F (<p + iip)

bx

setzen.

Die Stromlinien haben die Gleichung ip = const.

Die Geschwindigkeit kann an einer Linie der a??/-Ebene unstetig sein, wenn für sie

tp — const und    const ist.

Die letzte Gleichung ist durch die Coiistanz des Drucks bedingt. Ferner ist

bx

by

b<p_

bx ⁼

b<p

b(p

also

f " . ÆV’ IM ł U?)

V ôæ / ' V by )

(l)²+ (H)²’

($)’+ (W

Wir können also in der Unstetigkeitslinie auch

36 a)

setzen. In den folgenden Betrachtungen lassen wir der Einfachheit halber einen constanten Factor, der die Dimension einer Geschwindigkeit hat, fort.

Wir setzen

37)

wt + Z) = F(,p + ię) + 1 F‘{lf + ^ - ¹

=•F (g) + irp) + i y 1 — F'¹ (<p -f- irp) bx ,    . by __

by

bx

^ bip'

Ist nun für einen constanten Werth von tp die Function F (<jp + irp) reell und << 1, so ist hier

bcp

bip

bx

= F{<p + irp)

b(p

also

(SMS)"¹-

es sind dann also die gestellten Bedingungen erfüllt.

Das Gebiet von cp irp soll eine einwerthige Function des Gebiets x + iy sein. Verzweigungen müssen daher durch Querschnitte in einfach zusammenhängende Gebiete verwandelt werden. Für diese Querschnitte muss rp constant sein; denn alle Grenzen müssen durch Stromlinien gebildet werden. Innerhalb des Gebietes soll x V iy und <p -f- iip überall unendlich und stetig sein,

Das Gebiet von rp + D/; ist begrenzt von geraden Linien ip = const, welche den Grenzen der Flüssigkeit entsprechen und von den Linien (p — + oo, welche den im Unendlichen liegenden Theilen der strömenden Flüssigkeit entsprechen. Die Grenzlinie des Gebietes von x + iy darf sich nicht seihst schneiden. Die Theile der Grenzlinie, an denen

ist, können freie Grenzen sein, die übrigen müssen von festen Wänden gebildet werden. Endlich muss der Druck einwerthig

sein, also darf Es sei

dÿc + iy)

d (cp -1- irp)

nicht mehrwerthig sein.

F (rp -f- ity) — k e

Die Linien ip = Ü und ip — n begrenzen das Gebiet. Für \p = 0

wird. F (cp) — k + e~ ⁹, für rp = — log (1 — k) also F (cp) = 1.

d (x + iy) d (<p + iip)

(p =.— log (1 + k), ip = TT. Beide Punkte liegen nicht mehr im Gebiet rp + iip. In diesen Yerzweigungspunkten schliessen sich die freien an die festen Grenzen.

Für ip — n rp <i — log (1 + k) ist

Dies ist ein Yerzweigungspunkt für

hx

, k< 1.

39)

• Dasselbe gilt für

h<p = k~e Cp — y(& —e-9)2_"i = 0, y = const = 0.

x = krp + e~(p — k log (— k + e⁻⁹ + y"(fc —e —»)² —l)

+ y 1 — P arcsin [& + (1 — k²) ef] + y (k — e ~ ⁹ )² — 1.    40)

Für cp — — log (1 + k), e ~rf = 1 + k wird -^log (1 + k) + 1 + k + •

An dieser Stelle beginnt die freie Grenze, da jetzt nur krp e~'p noch reell bleiben. Yon hier an wird der absolute Werth von k—kleiner als Eins. Das Yorzeichen der Quadratwurzel im Ausdruck für bestimmt sich daher, daß für rp = x = + oo wird.

Für die freie Grenze haben wir

hy

h<p

— cc

= /c — e

& log k + k ist,

ôæ

b<p

x = kcp + e

— cp

_

b<p

— y 1 — (Æ — e— 9P)².

Es ist

für (jp = — log L An dieser Stelle wo æ kehrt die Linie um und geht wieder zurück, indem für cp — oc wieder x — oc wird.

Die weitere Begrenzung ist die Linie cp hier für cp

oc. Wir haben

oc nach 37)

bx

also ist

bip

bip

i [2 k -f (cos ip — i sin ip)],

öa;

= 2 e-f sin ip, x — — 2 e~f cos ij) + G{ ,

die Grösse Gv ergiebt sich daraus, dass diese Linie sich an die vorige für ip = ji anschliessen muss. Ebenso

= 2 k + 2 ß-f cos ip, y= 2 k ip + 2 er'f sin ip -f- C₂.

Hieran schliesst sich die Linie ip = 0. Für cp > — log (1 —k) ist

x = k cp —• c~'f + Cs

/l —(* + f-»)l + 0„

die Constanten (7₃, C₄ sind durch den Anschluss an die vorige Linie zu bestimmen. Soweit ist die Linie eine freie Grenze; für cp <C — log (1 — k) ist

bip

by

bp,

x — f [k + e-9 + y (k + e-v)² — 1] dcp + Gô

y = Q-

Die Gleichung

bx

= k + e~T

° — by

hat keine reellen Wurzeln. Es schreitet daher x von — oc für cp — — oc bis x — oc für cp — oc ohne Umkehr fort.

Endlich ist für cp = -f- oc

+<Ä = i(⁴-,'VT--F)

und da x + iy gleich einer Function von {cp + ity) sein muss, so ist

Y1 —k² xp + k <p + C5 y = — yr — k² cp + k xp + C₆ ,

wo Ch und C₆ unabhängig von cp und xp sind.

Aus dieser Gleichung folgt bei constantem xp dy _ >A —Æ²

dx

Die freie Grenze bildet im Unendlichen mit der Horizontalen einen AVinkel, des Cosinus k ist. (Fig. 5).

Setzen wir k — 1, so kommen wir auf einen Strahl der parallel der x-Axe läuft.

Ist k = 0, so ist

feste Wand

jc

feste WcuuL

'A

Fig. 5.

x -f- iy = — e~^    + Ye~² Op +^) — \

-f- arctg Y⁶~²    ^ — 1 + const.

41)

Die Vorzeichen und der Quadrant des arctg bestimmen sich am einfachsten in folgender AVeise:

Aus der Gleichung

a + ßi = arctg (a + bi)

folgt

tg a (1 + tg² iß) -f- tg iß{ 1 + tg» a)

1 — tg² a tg² iß

Hun ist tg a reell, tg iß rein imaginär, also ist

tg « (1 + tg² iß)

1 — tg² a tg² iß ’

sind nun a und b von derselben Ordnung unendlich, so muss, da tg iß nicht unendlich werden kann, tg a unendlich werden und

von der Ordnung , ¹ unendlich klein werden. Es ist also

%    ° tg«

bis auf verschwindende Grössen arctg [a -f- bi) —    •

a -f- bi.

bi =

tg iß (1 + tg² a)

1 — tg² a tg² iß ¹

Also ist für cp = — oc

x +iy =

e“(<p +    ± 6~(cp +    + | + const.

Wir wählen nun die Constante cp = —■ oo

so, dass für ip = ji und

für ip

x — 2 wird.

Dann muss für tp = x und cp -< 0 sein x = e~f + Y'e~ 2<f’ — 1 + x — arctg yer 0 und <p <C 0

y er² f — 1 -\- arctg ye~2<p — 1 —    ,

weil für cp — — oo

= + 2 e~ff

sein muss für rp — x und Dann ist für

0.

ip — je und (p < 0

e—<f _|_ ye~~ ²⁽f — 1 — arctg ye~²v — 1 -f-

x —

V = 0.

Für ip — jv , (p = 0 ist

CC a

x — 1 -j-    , y — 0.

Diese feste Wand geht von x = oo his

x == 1 +    •

Für tj) = jt und <p positiv ist

CCi a

x — e~f -j-

y — yï — e~2(f — % log Für ip = jc, cp — -(- oo ist

1 + y 1 — e- ²v

1 — Vl — e-

a: =

y = 1 — leg 2 — ?>.

Hält man nun cp = constant und lässt ip von jr his 0 gehen,

so ist

x -f- iy = i

i y i _ ₆—2 (<p+²₁

=    log 2 —i {cp + irp) — g •

cc

log

TT

Daher

x = xp —j, y = 1 log 2 — (jp.

— oo in einem Strom von

Die Flüssigkeit strömt also für y der Breite jr.

Für xp = 0, <p — oc ist

7t

y = 1 — log 2 — <p.

Geht nun für xp = 0 der Werth von cp von oo bis 0 haben wir

so

7t

y — y 1 — G~ *i> — | log Für <p — xp — 0, wird

1 + Vl —

7t

Ist xp

x — — 1 —g⁻1 y ■—- 0.

0 und geht tp von 0 bis — oc, so ist — e~f —    2<p — 1 + arctg Ÿ~e~ ²f — 1 — ~

y = o.

Für xp — 0, tp = —oo ist

x — — 2 e~f

y = 0.

Ist (p = — oo und geht xp von 0 bis jc, so ist x — — 2 e~? cos xp

y =

2 e—? sin

Hieraus folgt

æ² + y² = 4 e-²*.

Diese Begrenzung ist also ein um den Punkt x = 0 mit dem Radius 2e~')p geschlagener Halbkreis. Die Geschwindigkeit ist

fdmf)⁵

Für xp — jt, <p = — oo, ist

x = 2 6 v

y =*» 0,

Dadurch ist Anschluss an den Ausgangspunkt erreicht. Die Verzweigungspunkte, wo sich die freien an die festen Grenzen anschliessen, sind cp = 0 und ip = 0 und xp = jc, also

— 2 > y

und x —

1 + f, y = 0.

Der Strahl tritt also zwischen den Punkten

cc a

und x = 1 +

te a

aus,

während die übrigen Theile der x-Axe feste Wand sind. Die freien Grenzen sind die Linien

xp = jt, (p von 0 bis oo

y = Y1 —    2<r —A log

1 + Y1 — e- 2ir

1 - V1 — e~²''

feste, Wand,

ip = 0, fjp von 0 bis oo

= ¹—

to S

42)

freie Grenze

freie, Grenzt’

y — Y 1—e~2?'— log

tdi-¹

1 + Yl — e~ 2(f

Sie liegen also symmetrisch zur/y-Axe. Für <p und y =oc hat der Strahl die Breite n. Er zieht sich also von der Breite 2 -f- Jt auf die Breite n zusammen. (Fig. 6). Für ein weiteres Beispiel setzen wir

Fig. 6.

F {<P +    =

43)

Y ⁽p + ixP

Dies Gebiet soll durch die Linie der positiven <p und ip = 0 begrenzt sein. Die Verzweigungspunkte sind tp = 0, ■yrçp= + l; sie liegen also auf der Begrenzungslinie. Durch Integration folgt

1 + arcsin    iip.

2 Y y +    v (fp + if) j/" ^ _|1 jy

Die feste Wand liegt zwischen

Yl> = — 1 und W = + f für ip — 0.

Sie liegt auf der geraden Strecke

rc a

y -    0, x = 2 -f⁻ 2 und x = — 2 —    ,

hat also die Länge 4 + jt.

Für cp >> 1 beginnt die freie Grenze. Für sie ist

x = + 2 ) cp + arcsin ~ÿ~cp

y= cp

V'-l

Die freien Grenzen liegen symmetrisch zur y-Axe.

Da an den festen Grenzen F ( cp -\- ńp) reell ist, so ist

dx

bcp v ’

wenn v die Geschwindigkeit bezeichnet. Der Druck ist

An der freien Grenze ist v = 1 und der Druck constant 6’₀. (7₀ ist der Druck in der ruhenden Flüssigkeit. Also ist

C' — 2 = CQ

V = G) + 2 ^

Auf jedes Element dx der festen Wand übt also die bewegte Flüssigkeit gegenüber der ruhenden einen IJeberdruck aus von der Grösse

V²).

(1 — v²) dx.

Da nun an der Wand ip constant ist, so ist

7dV■

Der Ueberdruck ist also y ü — v^dfp, der gesummte also nach 37)

dx =

25

’JYj —!<*»>=»*•

0

Dieser Druck ist dem Quadrate der Geschwindigkeit u an der freien Grenze proportional.

Ist also die Länge der festen Grenze L, so ist der Druck, den sie durch den Strahl erfährt, wenn s die Dichtigkeit der Flüssigkeit ist

sti²Ln 4 + 7T

Durch diesen Ausdruck wird die Kraft gemessen, welche auf die feste Wand ausgeübt werden muss, um sie an ihrer Stelle zu halten. Denkt man sich andererseits am ganzen System die Geschwindigkeit u in entgegengesetzter Richtung ertheilt, so bewegt sich eine feste Platte in einer unbegrenzten Flüssigkeit, an den Discontinuitätsflächen beiderseits ruhende Flüssigkeit zurücklassend. Für unendlich grosse Werthe von und ip wird x und y unendlich und

&p

-j- i

dtp

hx

also -v- — 0

dtp

h<p

dy dy

dtp

dx

= 0.

dtp

Die Geschwindigkeit ist im Unendlichen für x und im positiv Unendlichen für y von derselben Grösse wie an der freien Grenze. Im Falle der bewegten Platte ruht also dort die Flüssigkeit. Die Arbeit, welche hei der Bewegung der Platte geleistet wird, ist in der Zeiteinheit

su³ Ln 4 -j- n

und wird dazu verbraucht, den hinter der Platte sich vergrössern-den Raum mit bewegter Flüssigkeit zu füllen.

Die Versuche, die Gestalt eines aus einer kreisförmigen Oeff-nung austretenden Strahles mathematisch zu bestimmen, sind bisher nicht gelungen. Dagegen kann man für die Verengerung des Querschnittes, die nach den Entwicklungen S.'108 im Verhältnis^

2 + A    sPaltförmige Oeffnungen eintritt, obere und untere Gren

zen aufstellen, wenn man die Dimensionen der Oeffnung als verschwindend klein gegen die des Gefässes betrachtet. Sei (p das Geschwindigkeitspotential, c die vertikale Ausflussgeschwindigkeit in der Oeffnung, so erhält man einen angenäherten Ausdruck

45)

_ 1 fcdS.

2nJ r ’

dS ist ein Element der Oeffnung, r die Entfernung dieses Elementes von dem betrachteten Punkte.

Für Punkte, die in der Oeffnung liegen, ist der Dift'erential-quotient nach der Normale

dn

Druck auf die Wand; Ausfluss eines cylindrischen Strahls.

111

Für Punkte des horizontalen Bodens ist

^'=0.

o n

Da die Dimensionen der Ausflussöffnung unendlich klein sind, so ist die Differenz cp — cpl in endlicher Entfernung von der Oeff-nung unendlich klein, in der Oeffnung ist cp — <py Null, es ist daher die Differenz cp — <p,, ebenso wie ihre Ableitungen nach den Coordinaten überall verschwindend.

Nehmen wir die %-Coordinate in der Dichtung der Axe des Strahles an und setzen überall Symmetrie um diese Axe voraus, so haben bei Einführung von Cylindercoordinaten

R 2 7£

kff

0 . 0

e q dp' dff

+ (>² fl- F² —    cos ff

Der Radius der Oeffnung ist R. In der Oeffnung sei % = 0. Daher ist hier, wenn wir für {f setzen je — 2 A

R 2 n

(p =

kfl

0 0.

cq dp' dff

y*² fl- Q² fl- q' — 2 pp' cos ff

ff

0 0

c p' dp' dff'

((? fl- (O² — 4 pp' sin² ff'

Mit Hülfe der Landen’sclien Substitution der elliptischen Integrale ergiebt sich die Beziehung

da

yi-p² sin²« l+J»

dw

4jo

(H-D²

sin² w

ft | OJ Ç

da

2 I —    --

J yi — p² sin² a o

Hieraus finden wir

c g dp ' dff’

y?² — p’² sin² ff'

und die Geschwindigkeit senkrecht zur Axe

eg' dg dfh’

(yg² — g"¹ sin² #)³

Nun ist c in der ganzen Oeffnung positiv, weil die Geschwin-. digkeit überall denselben Werth hat.

()<p

Es ist also der absolute Werth der Geschwindigkeit grösser als

R 2n

2ne²J J

0 0

Das Doppelintegral ist die mittlere Ausflussgeschwindigkeit in der Oeffnung multiplicirt mit der Grösse der Oeffnung R²jt] also gleich

Y :lghR²xa,

wo a das Verhältniss des verengerten Querschnittes zur Oeffnung bezeichnet. Die Geschwindigkeit 2 gh im verengerten Querschnitt, wenn h die Höhe der Wassersäule bezeichnet, folgt hei kleinen Geschwindigkeiten im Gefäss, aus der Erhaltung der Energie.

Das über den Boden des Gefässes erstreckte Integral

9.

46)

ist also grösser als

~ ghR²x.

Nehmen wir den Strahl als sehr dünn an, so können wir von der Wirkung der Schwere auf ihn absehen. In endlicher Entfernung von der Oeffnung nach dem Innern des Gefässes hin können wir die Beschleunigung vernachlässigen.

In einem Querschnitt des verengerten Strahles ist die Beschleunigung in der Zeiteinheit gleich der hindurchströmenden Wassermasse multiplicirt mit der erreichten Geschwindigkeit, also

sS' Y. Y2.9^ = sy 2gh,

wenn S’ die Grösse des Querschnittes und h die Höhe der über ihr stehenden Wassersäule bezeichnen.

Obere Grenze für die Zusammenziehung des Strahls.

113

Diese Beschleunigung wird hervorgerufen durch die auf die Wassermasśe wirkenden beschleunigenden Kräfte, nämlich den auf die Oeffnung wirkenden hydrostatischen Druck sSgh, wo S die Grösse der Oeffnung bezeichnet. Wir nehmen an, dass der Abstand des betrachteten Querschnittes klein ist gegen die Höhe der Wassersäule. Die zweite Kraft ist der Druck, den die Ge-fässwand auf die Wassermasse ausübt. Wir haben also

47)

2ghS' = ghS + iJdS (||)\

wo die Integration über den festen Boden des Gefässes zu erstrecken ist.

ergiebt

Die erste Näherung für die Zusammenziehung des Strahles

S’

a ~s

tc—

Nun haben wir aber gefunden Gleichung 46)

ifds(^y>^ghWx,

da nun r¹ n = S ist, so haben wir

48)

oder da a 1 sein muss

« > 4 — y 12

49)

«> 0,536.

'S 'S

Um eine obere Grenze für a zu gewinnen, entwickeln wir und erhalten

nach Potenzen von

a (>2a+²

CQ

dQ — 2^iaaa

ßia + 2

q2 a + 2 ’

50)

WO

51a = (2 Q + 1) [

1,3- (2 a — 1) ~i 2 2.4... 2a J ’ a a

B2a + ²

cg

dg,

?Io =1 ist.

Betrachten wir nun die Reihe bis zu einem bestimmten Werthe von a — cf, so haben wir

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

gross muss, also

Am Rande der Oeffnung ist die Geschwindigkeit genau so wie am Rande des Strahls, weil der Druck constant sein

b<p

b(p

bp

2Ua (f)²“

a = aj -F 1

Da nun q E ist, so ist der absolute Werth von

bcp

io

kleiner als

iy<T⁺+(T⁺"

z a.«,.

«i + l

51)

= y 2gh.

Es ist also

2%aaa — y 2gh .

Hiernach lässt sich der oben aufgestellte Ausdruck schreiben

0 = 0ir//?\²⁰ + 2

+ ?₌₀[(e)

Nun ist die durch die Oeffnung strömende Flüssigkeit

= 2 Jt

R

j*CQ dg

= 2jiR²a₀ =2 Sa₀.

Dieselbe Menge strömt durch den Querschnitt des verengerten Strahls

= S' y 2 gh,

also ist

S’

2a₀

ywh

Nun ist

an <i «o oder <C V 2 gh

to’ a

also

b(p

bp

und

<vöi(©"'⁺+ MST'

R

te R

(ff®)

52)

Für a = 2 ergiebt sich

53)

«<0,71.

Weitere Glieder der Reihe geben keine grössere Annäherung.

Nach den Erörterungen S. 86 können in einer Flüssigkeit, die allseitig von festen Wänden in einen einfach zusammenhängenden Raum eingeschlossen ist und keine Drehungen der Theile enthält, überhaupt keine Bewegungen eintreten, wenn die Geschwindigkeiten überall stetig sind. Dagegen können sich innerhalb der Flüssigkeit geschlossene Flächen ausbilden, an denen die Geschwindigkeiten Sprünge erleiden und die mit den andern Grenzflächen zusammen einen mehrfach zusammenhängenden Raum einschliessen. In diesen mehrfach zusammenhängenden Räumen können dann in sich zurücklaufende Strömungen stattfinden.

Derartige Bewegungen kommen in der Atmosphäre vor und sind nicht immer wie bei den Cyklonen auf Drehungsbewegungen zurückzuführen. In sich zurücklaufende Windströmungen, die ein ruhendes Luftgebiet umkreisen, können nur durch die Bildung von Unstetigkeitsflächen erklärt werden.

Ein Beispiel solcher Bewegungen wollen wir im Folgenden betrachten.

Wir betrachten x -f- iy als Function von cp -f- ipi und setzen

*y_ _

hcp

wo a Constanten bezeichnen.

Aus dem Additionstheorem der elliptischen Functionen folgt

hx

h<p

a sin am (cp -j- iip)

54)

dx ,    . dy    sin am <p cos am, ixp A am ixp + sin am ixp cos am cp A am <p

'<<•/>    ⁰    1 — k² sin² am <p sin² am itp

h(p

hier bedeutet k den Modul der elliptischen Functionen. Hieraus folgt

(£)W

sin² am (p cos² am iip A² amiip— sin² am ixp cos² am (pA² am <p (1 — k² sin² am (p sin² am ixp)²

Setzen wir hierin

tp =

wo

2

■-Sr,

da

— (1 —k²) sin² a

ist,

so ist

JC

sin am i —

yT

cos am i

A am i ~ = yi + k

cos² am cp — 1 — sin² am cp ,

A² am cp = 1 — k² sin² am cp , also für diesen Specialwerth von ip, wenn wir sin am cp = z setzen,

yu-y , y//yy ß2 *²(i-t UH (i -*²) (i -&%*)

: \jkpj    4,(1,7p AZ*)²

55)

⁼ T'

Nach Gleichung 36a) ist also für den Werth

der Druck constant. Diese Stromlinie kann eine freie Oberfläche darstellen.

Wir bähen demnach, wenn wir <p -j- iip — i setzen

a j sin am i di

^ log [A am {cp + iip)

k cos am (cp + iip)]-

Man überzeugt sich leicht von der Dichtigkeit der Integration, wenn man das Integral differenzirt und die Formeln

= cos am, i A am x,

d sin am m%

dX

d A am m y    .    .

dX

- = — sm am i A am i,

d A am m y    7 0 .

dX

--— = — kl sm am i cos am

berücksichtigt.

Um die Bewegung der Flüssigkeit, die durch diese Beziehung dargestellt wird, besser zu übersehen, setzen wir

G Ti — A am {cp + ipi) — k cos am {cp -f- ipi)

oder bei Anwendung des Additionstheorems

A am, <p A am, ipi — k cos am cp cos am ipi 1 — k² sin² am cp sin² am ipi

ix =

k sin am <p sin am xpi { J am <p 4 amxpi — k cos am <p cos am \pi }

1 — k² sin² am m <p sin² am m xpi

Hieraus folgt

/—:—--2"-    A am <P A am xpi — k cos am <p cos am xpi

'    y 1 — k² sin² am <p sin² am xpi

k sin am <p sin am xpi

Betrachten wir ö und r als rechtwinklige Coordinaten, so ist zunächst für xp — 0 und <p = 2 K, wo K das elliptische Integral

erster Gattung zwischen den Grenzen 0 und ^ in Bezug aut den

Modul k bedeutet, sin am <p = 0, also r = 0. Hierdurch wird also die positive ö-Axe dargestellt. ö kann niemals negativ werden, solange k positiv und reell und <C 1 bleibt. Da nämlich sin am xpi eine rein imaginäre Grösse ist, können wir für sie ie setzen und erhalten

_y\—k²%² yi+s²k² — k y\—%² y\+^²

⁽⁾    1 + k² z² £²

Der Nenner von o ist stets positiv. Ferner ist A am (p und A am xpi stets positiv, ausserdem, da k positiv, reell und < 1 ist, so ist

I⁷ i - /r²F² > Y1 — F² und ^'l -j- £²k‘l > Yk'¹ + e²k‘ź,

sodass also das erste Glied des Zählers immer grösser als das zweite ist. Für r = 0 ist, je nachdem <p = 0 oder cp — 2 K ist,

6 = A am ipi y k cos am xpi.

Die Curven xp ----- const schneiden also die ö-Axe in zwei Punkten ö| und t»₂. Das Product dieser beiden Abstände

'    (>! 0₂ — A² am xpi — k² cos² am xpi — 1 — k² •

ist unabhängig von xp, also für alle Curven von derselben Grösse. Geht man vom Punkte (p = 0 aus, so erhält man eine Curve, für die r positiv bleibt bis <p den Werth 2K erreicht, von da ab wird sin am <p negativ und auch r negativ bis für xp = AK wieder der Ausgangspunkt erreicht ist. Wir erhalten so eine geschlossene Curve, die ganz auf der Seite der positiven o liegt. Da ol 0, = 1—k² ist, so schneidet die Curve, welche durch ö = 0 geht, die ö-Axe zum zweiten Mal im Unendlichen.

cos am (cp — xpi i) sin am (cp — xpi i)

Für {<p 4- ipi) — iK' und = 2 K -j- iK' werden die elliptischen Functionen unendlich.

. Setzen wir (cp + ipi) = (<p — iipt) -f- iK' und berücksichtigen,

dass

z . . Trf\    i A am a    , , ~ rr , • Tr*\    i A am a

CQsam(a-f-tK — —    --, cosam (a-\- lK-\-iK )=-r—--,

'    ¹    '    k sinamcc’    v 1    ’    ' k sinama¹

, A am (a + 2/f+ iK')——i

A am (a + i K') — — i so ergiebt sich

cos am a sin am a

cos am a

sin am « ’

57)

A am (<jp — tp! i)\ sin am (<p — xp, i)) ’

Nun ist bekanntlich

sin am a — a —

co

1 + 14*2 jci

1.2.3.4.5

a⁵ ... .

cos am a — 1 —

1.2

1 + 4^2 1.2.3.4

cc⁴

A am a — 1 —

1.2

li2 (4 + &²)

1.2.3.4

a⁴

' Lassen wir <p und ipi gegen Null convergiren, so ist

{(<p—iipxy ¹-2^²)

(p — ixp i

also

to «

Nun war

— (* + yi)

x -f iy — \ log (<t + ti), 6 + xi — ea Daraus folgt

58)

* = f 1°S V°² + t2>

a , x

y = karct« s-

Da die Curven ip — const alle auf der Seite der positiven o liegen, so befindet sich der Pol 6 — 0, r — 0 des Radiusvector Yd² + T² ausserhalb dieser Curven. Lassen wir den Radius-vector einen Umlauf auf der Curve machen, so geht arctg T und damit y bis zu einem Maximum, kehrt dann um, geht zu einem Minimum und kehrt schliesslich zu dem anfänglichen Werth zurück. Dasselbe ist mit der Grösse yö² + t² der Fall. In der a;i/-Ebene erhalten wir also eine geschlossene Curve.

In der Nähe des Werthes ö = t = 0 war

ö² + t² =

V>i

Also ist

59)

« = y log [ł V<P² + f! (1 — &²)] >

T arct^i-

Wenn also cp und ip, sich der Null nähern, wird x negativ unendlich.

Setzen wir

<p + ipi = 2K -}- <pr — xpvi + iK', so wird nach den Formeln 56) und 57)

cos am (cpi — ixpi)

sin am (//>, — ixpi)

6 + ri — — i |

A am (<?! — ixpi) 1 sin am (cpi — ixp)) ’

also für verschwindende Werthe von (<p,— Dp,)

2 i Up\ + ixpi) (<PÏ + ^1)

0 + ri — —

also

{<Pi — ®>i)

2ipi

(<p\ + v>ï)

2<5Pi

Ö² -f- T² =

{<P Î + xp\)

{(p ï + v>!)

Es wird also für verschwindende Werthe von gp, und tp,

• 60)

£C =

??•! »

log

irv\ + ipï'

61)

demnach unendlich für gp, = ip, = 0.

Für endliche Werthe von <pl und verschwindende von ipt erhalten wir

sin am xpi = sin am (K' — w,)i= — ]    -—=,

v    ri/    k sin am xpi % ’

also nach Gleichung 56) und den Formeln 57)

sin am ip, i,

(cos am <pi A amxpii — A am cos am xp\i)

sin² am

sin am <pi . a sin am xpii ’

Linie ip{ = ₉ die geschlossene Curve entspricht, an welcher in

der ^jy-Ebene der Druck constant ist.

In der ao/-Ebene ist diese letztere ebenfalls eine geschlossene Curve, während dem unendlich grossen Kreise zwei gerade Linien

entsprechen mit den Gleichungen y — Hb ^, da + oo die äusser-

sten Wertlie sind, die tg T erreicht.

Diese äusseren geraden Begrenzungslinien sind als feste Wände zu denken.

Die Wertlie, welche die Geschwindigkeit der Flüssigkeit dort hat, untersuchen wir in folgender Weise.

In der Nähe des Werthes ö = t = 0 war <p — ip^ =0 und

nach 58)

ä-, a

also für ip{ — 0

i sin am i/>, i sin² am <pi

(cos am <jp, — A am ),

A am <pi — cos am <pi

sin am <p{

Hier ist o stets Null, dagegen r endlich.

Für x]\ .== K' entsprechen daher endlichen Werthen von <p[ endliche Werthe von x und o = 0.

Eliininiren wir aus der Gleichungen 59), so erhalten wir

2 o    i

oder

ö²+ r²

n> i

(-£)*+*■

V’i

Wir haben also einen Kreis, der den unendlich grossen Radius

vom Punkte o

¹ hat und dessen Mittelpunkt im Abstand ¹

ipi

0,

x — 0 auf der ö-Axe liegt.

Dieser Kreis entspricht dem Stück von <jp der Linie ip]

0 bis (p = 4 K, K, der <p ty>-Ebene, während demselben Stück der

log [ł Vv² + vî C1 — *²)]-

Nun ist

bx

bx

b(p

bcp

1:

bx    {àx\2

\ àwj '

bip

rM²+ (

\Öcp/ ' \<W

fl •

Die Geschwindigkeiten werden also mit cp und xpx Null. In der Nähe des Werthes çpA = xpx = 0 war nach 60)

*.=f log

y Pi + ii>i ’

bip

(te

a s-

«Pl,

bip

Auch hier nähern sich die Geschwindigkeiten mit abnehmenden cpi und xpx dem Wertlie Null.

Alle unendlich grossen Wertlie.von x werden nun, wie wir gesehen haben, durch die Umgehung dieser Punkte dargestellt. Im Unendlichen ruht also die Flüssigkeit.

Ferner ist nach 54) für endliche Werthe von cp und

ixp = i (K' — xpx )

in der Nähe von xpx = 0

bx__a cos am ipA A am ipyi

bip k

sin am <p

by

Für xpx

. a cos am <p A am <p bip    k sin² am ip

0 ist demnach

sin am xpl i.

bx

bip Je sin am ip ?

by

bip

und daher

bip

^ = o.

sin am cp,

An den im Endlichen liegenden festen Wänden strömt die

k

Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit ^ sin am cp, also an beiden in entgegengesetzter Richtung.

Die Form der Curven für die freie Grenze hängt vom dem Modul k der elliptischen Functionen ab.

jr'

Setzen wir den zu diesen Curven gehörenden Werth xpx = ^ in die Gleichungen 58) ein, so erhalten wir

a -i

x = jlog

j arctg y Je sin am cp .

Verschieben wir den Nullpunkt um die Strecke ” log y 1 + k

Ô/,

yi + Je (A am ip — y Je cos am ip)

yï+ k sin² am ip

in der Richtung der x-Axe, so erhalten wir, wenn wir y& sin am <jv = z setzen

yi — x²k -f- ~\fk — x²

yr+^

Oj -i

r ]°8

V = ± | arctg «.

Durch Elimination von % ergiebt sich

es-' a

log ^j/'cos²

Hieraus geht zunächst hervor, dass die Curve symmetrisch zur a>Axe liegt, weil die Abstände y auf der positiven und negativen Seite gleich gross sind.

Für % — 0 ist «/ = 0

log (1 + Vk).

Dies sind die grössten und kleinsten Werthe von x. Für sin am cp — 1 ist % = y~k,

2ic los r+r ⁼ ä los ^ ~k)’ y = ±j arc% V*-

Dies sind die Grenzwerthe von y.

Da

floer /l-kx² + yk X² lQ(y Ÿï-kx² - ^k - X²\

V ⁶ Y¹ + %2    y i + *²    /

= l log (1 - k)

ist, so liegt die Curve symmetrisch zur Linie

x== 2k ^

In Figur 7 und 8 sind die beiden Curven constanten Drucks, die dem Modul k — \ und k = 0,01 entsprechen, gezeichnet. Für den Grenzwerth k — l wird der eine Werth von x immer unendlich gross, der andere bleibt endlich und zwar

Vl — *².

y i -f- x²

Die Grenzwerthe von y sind y =    ™, während die festen

Wände bei y — i ^ ^ liegen.

Die Curve erstreckt sich einseitig ins Unendliche. Sie ist in Fig. 9 gezeichnet.

freie' Crre/,Ze

freie

feste* WajuL

festes Waivds

Fig. 7.

Fig. 8.

Wenn k gegen Null convergirt, wird

*-iV

k cos²

• () Je

y — sin² — y

— y²-

— Je

Die Curve ist also ein Kreis

vom Radius —Die Wände

y k

liegen hier im Unendlichen.

Innerhalb des Raumes, der von der betrachteten Stromlinie begrenzt wird, kann, wie schon erwähnt, die Flüssigkeit ruhend angenommen werden. An der Unstetigkeitsfläche muss der Druck beiderseits constant sein.

Im Unendlichen ruht die Flüssigkeit. Wenn dort der constante Druck p₀ herrscht, so ist der Druck an der Unstetigkeitsfläche nach 36 a) und 55)

frei*

Qrefl^i

feste- WcuuL

Fig. 9.

P=Vo —

IC'H

Herrscht in der innern ruhenden Flüssigkeit der Druck ;/₀,

so muss

Po = Po — 2 «2

sein. Haben wir z. B. eine Geschwindigkeit an der Unstetigkeits-lläche von 20 m , so würde, wenn wir die Dichtigkeit der Luft

im Vergleich zum Wasser gleich Ga annehmen, bei einem Druck p₀ = 760 mm Quecksilber

sec

p₀ = 758,1 mm Hg sein.

Man sieht hieraus, dass auch bei starken AVinden die Aende-rungen des Barometerstandes durch rein dynamische Wirkungen gering sind.

Auch der innere Raum ist, wenn wir unsere Functionen in ihn hinein fortgesetzt denken, von einer bestimmten Flüssigkeits-bewegung erfüllt. In diesem Falle könnte die Flüssigkeit im äussern Raum ruhen. AVir haben dann die Variabein ip von

gehen zu lassen.

0, so haben wir nach 56)

0 — A am cp — k cos am (p.

Aendert sich cp von 0 bis 4 71, so durchläuft der entsprechende Punkt in der tfr-Ebene die Strecke von 1 — Je bis 1 + k auf der ö-Axe hin und zurück. In der ay-Ebene entspricht dies der Strecke zwischen den Punkten

0 bis

K'

Ist ip

x = 0,

log (1 — k) und x = £ log (1 +7).

Diese Strecke kann also die Schnittlinie einer festen Wand mit der xy-Ebene sein, die die Breite ^ log j ^ hat.

Für ip — 0 ist

Ö(/>

= a sin am cp ,

<V/

bep__1

ôæ i)x

àcp

a sin am <p

In der Nähe von cp — 0, ip — 0 ist

« SK KO

by

brp

a (cp + iip)

a Yw + v²)

Dort, wo die Flüssigkeit den scharfen Rand der Wand zu umfiiessen hat, wird die resultirende Geschwindigkeit unendlich. Die Stromlinien schmiegen sich der festen Wand beiderseits an und die Geschwindigkeit ist an jedem Punkte der Wand an beiden Seiten von gleicher Grösse und entgegengesetzter Richtung.

In den Figuren ist die feste AVand im innern Raum einge

zeichnet.

■I

<Vp

öx a (<p² -f- ip²)

è(p _ xp

by a (cp² -Ą- xp²) ’

Dass die Bewegungsgleichungen der Flüssigkeiten sich wesentlich vereinfachen, wenn die Geschwindigkeiten partielle Ableitungen einer Function sind, war schon Euler und Lagrange bekannt. Die älteren Mathematiker haben daher hydrodynamische Probleme fast nur unter dieser Voraussetzung behandelt. Thatsächlich kommt diesen Bewegungen eine besondere Bedeutung insofern zu, als sie .diejenigen sind, die ausschliesslich durch conservative Kräfte hervorgerufen werden können. Sie spielen daher in der Natur eine bedeutende Rolle, solange von nicht conservativen Vorgängen, wie Reihung und Wärmeleitung, abgesehen werden kann.

Die Bewegung einer Kugel in einer Flüssigkeit ist zuerst von Dirichlet behandelt (Berl. Monatsber. 1852), die eines Ellipsoids von Clebscli (Crelle, Bd. 52 und 53).

Die Bewegung bestimmter Formen des Ringes in einer Flüssigkeit ist von Hicks (Phil. Trans. 1881) und Dyson (Phil. Trans. 1893) behandelt.

Für die discontinuirlichen Bewegungen ist das erste Beispiel von Helmholtz gegeben (Ges. Abh. I, S. 146). Die oben gegebenen drei Beispiele rühren von Kirchhoff her (Ges. Abh., S. 420 und Mechanik 22 Vorles.). Die Methode, für die Zusammenziehung eines ausfliessenden cylindrischen Strahles obere und untere Grenzwerthe abzuleiten, ist von F. Kötter entwickelt (Arch. d. Math. u. Phys. [2] Bd. 5).

Die Verwendung der Kirchhoff’schen Betrachtungen über den Druck, den ein Flüssigkeitsstrahl auf eine feste Wand ausübt, auf den Widerstand, den ein mit constanter Geschwindigkeit bewegter Körper, durch Bildung von Unstetigkeitsüächen

in der Flüssigkeit erfährt, rührt von Lord Rayleigh her (Phil. Mag. Dez. 1876).

Eine weitere Bearbeitung des Problems der festen Wand hat Bobyleff gegeben (Wied. Beibl. VI, S. 163). Er untersucht den Druck, den ein Flüssigkeitsstrahl auf eine feste Wand ausübt, die von zwei gleich grossen Ebenen, die unter einem Winkel zusammenstossen, gebildet wird.

Während das Ergehniss der Theorie, dass bei continuirlicher Bewegung der Flüssigkeit ein Körper in einer reibungslosen Flüssigkeit überhaupt keinen Widerstand erfährt, in schroffem Widerspruch mit der Erfahrung steht, scheint die Annahme, dass ein solcher Widerstand durch Bildung von Unstetigkeitsflächen hervorgerufen wird, diesen Mangel an Uebereinstimmung erheblich zu verringern. (Vgl. die Experimente von Vince, Phil. Transact. ,1798 und die Berechnung von Lord Rayleigh, a. a. O.)

Eine Methode, die Flüssigkeitsstrahlen ohne Anwendung der Functionen complexer Variabein zu behandeln, rührt von Planck her (Wied. Ann. 21, S. 499, 1884); doch ist es bisher nicht gelungen, dadurch zur Ableitung neuer Fälle von Strahlbildung zu gelangen.

IV. Die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit.

§ i.

Bewegung in einfach zusammenhängenden Bäumen.

Die Differentialgleichungen der Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit, die einen einfach zusammenhängenden Raum erfüllt, sind von Thomson und Tait und Kirchlioff zuerst aufgestellt worden.

Wir werden der Darstellungsweise Kirchhoff’s folgen und einige Ergebnisse der neueren Forscher anschliessen, die sich auf Grund der Kirchhoff’schen Analyse vielfach mit diesem Problem beschäftigt haben. Die Flüssigkeit sei incompressibel, reibungslos und ohne Wirbel.

Kirchhoff hat die allgemeinen Differentialgleichungen aus dem Hamilton’schen Princip abgeleitet. Wir wollen die immerhin langwierige Entwicklung hier nicht wiederholen, sondern die mathematische Form der Gleichungen aus ihnen ohne weiteres einleuchtenden Aussagen ableiten.

Das Coordinatensystem der x, y, % soll mit dem Körper fest verbunden bleiben; u, v, w sind die Componenten der Geschwindigkeit, p, q, r die der Drehungsgeschwindigkeit des festen Körpers. Ferner bezeichnen wir mit U, b, tb, f>, q, r die Bewegungsmomente der entsprechenden Bewegungen, so dass wir haben

bL

bL

bu

bv ’

to

bL

bL

bL

i)

^ bp ’    ^ bq ’

wenn wir unter L die lebendige Kraft des ganzen bewegten Systems verstehen.

br ’

vor.

Ist anfänglich keine Drehung vorhanden, so tritt doch hei der Vorwärtsbewegung des Körpers im allgemeinen eine Drehung ein. Während dt rückt der Körper um die Strecke udt, v dt, w dt Der Zuwachs, den das Bewegungsmoment der Drehung um

die x-Axe p erfährt, ist Xtwdt— 1uv dt.

Besitzt der Körper schon Drehungshewegung, so drehen sich die Axen des Coordinatensystems mit und es tritt eine entsprechende Aenderung der Bewegungsmomente ein.

Die Richtung der x-Axe nach Ablauf von dt bildet mit der ursprünglichen Richtung der y- und x-Axe Winkel, deren Cosinus die Werthe haben

' r dt und — qdt.

Die Aenderung des Bewegungsmoments u hierdurch ist

U r dt — lu y dt.

Diejenige des Moments p ist

qr dt — x q dt.

Kennen wir X, Y, Z, 2, 9JÎ, die Componenten der äusseren Kräfte, die die Momente it, u, lu, p, q, r zu vergrössern streben, so ist

^ = Ür — Xdq + X, j    — -rlu + qr — Xq + 2

und ebenso

di)

2)

dq

U r + Y, = wir — wu -j- Xp — pr +    ,

Up + Z, djt = vlt — wU + p<7 — qp -f- 9L

Wirken keine äusseren Kräfte., so erhält man eine Lösung dieser Differentialgleichungen, wenn man setzt

p — q — r — 0 und u : v : w = u : ü : tu ,

dann folgt aus den Gleichungen 1) und 2), dass u, v, w constant sind.

Wir nehmen ausser dem mit dem Körper verbundenen Coor-dinatensystem noch ein zweites, im Raume festes, an: das der *u .%> *i-

Ist sdx dy dz die Masse eines Theils des ganzen Systems, so ist nach dem Hamilton’schen Princip allgemein

M=wp

dm

dt “ ¹¹ i

U'Usl t> . UjU\ r>    , d'X\ p

sj J* j' dx dy dx' ^

ntôx‘ + iüây< + Tüôx i

wo L die lebendige Kraft, F die potentielle Energie bezeichnet. Verschwinden die Variationen ôxi, ôyx, öx{ für t — tö und t = tx, so erhält man die übliche Form des Princips. Wir können die Variationen zur Zeit t₀ beliebig vorschreiben, durch die Variationen, die wir dem festen Körper auflegen, sind aber die Variationen der Flüssigkeit zur Zeit t mitbestimmt und nicht mehr verfügbar. Da aber ein Geschwindigkeitspotential existiren soll, so ist

dx\ _ b(p dyx _ b(p d%i _ bcp

dt ite, ’ dt ö//, dt    ’

also die linke Seite von 3) wird bei partieller Integration

sf f fdx' dy dx' ^

b<p

s;&> +

b(p

¥,

s J d S (p (ôx

cos nx{ -j- ôyt cos ny{ -j- ôz, cos nxx )

7'/.A (

dâx

+ dx dy dx .

Nun ist

o-

bâx

bx

ày

Ôrf?/l , Ô($*l _ i *    -

ite ’

wenn die Flüssigkeit nicht zusammendrückbar ist, und an der Oberfläche verschwindet die Variation normal zur Oberfläche

öx{ cos nx{ -j- öyx cos nyx -j- öx{ cos nxx ,

weil die Oberfläche vorgeschriebene Gestalt hat, also ist auch die linke Seite der Gleichung 3) gleich Null.

Die lebendige Kraft des festen Körpers ist eine homogene Function zweiten Grades von w, v, w, p, q, r mit constanten Coeffi-cienten. Nun ist die lebendige Kraft der Flüssigkeit eine Function von derselben Art.

Wiep, Lehrbuch d. Hydrodypapjilj.

ft)=

Es ist also die gesammte lebendige Kraft eine homogene Function zweiten Grades von u, v, w, p, q, r. Sind nun p, q, r Null und betrachtet man u, v, w als rechtwinklige Coordinaten eines Punktes, so ist die Gleichung

L — const

die Gleichung eines Ellipsoids. Lässt man die Coordinataxen in die Hauptaxen a, b, c fallen und ebenso die Mittelpunkte übereinstimmen, so ist

2 L = au² -f- bv² -f- cw2 ft = bv,

ft) — cw.

U = au,

In diesem und nur in diesem Falle verschwinden, wenn nur u von Null verschieden ist, ft und ft). Es verschwinden dann r/p dą dx dt ’ dt ’ dt

seihe gilt, wenn nur v oder w von Null verschieden ist.

In jedem festen Körper lässt sich ein dreiaxiges Ellipsoid construiren, dessen Axen die ausgezeichnete Eigenschaft haben, dass der Körper in ihrer Biclitung ohne Drehung durch die Flüssigkeit fortschreiten kann.

Die lebendige Kraft ist nach dem Vorausgehenden von folgender Form

2L~all w² + 2a₁₂ uv-\-1an uwĄ-la^^ up +2al5 uq +2a₁₆ ur + a₂₂ V<1 +20-23 vw + 2u₂4 vp +2a2bvq +2a2[ivr + ariw² Ą-^a^^wp -\-1a^hwq -j-2a₃₆w;r + «44-P² + «65 ?²+ «66 *'²+2a₄₅p<?+2a₄₆pr +2a₆₆ qr.

Die Zahl der Constanten a beträgt 21.

Hieraus folgt

, so dass also der Körper keine Drehung erfährt. Das-

4)

ÖL

^ = a₄ j u + at 2 v + ay 3 w + fv ft “ ôF===ai2w + «2₂î; + a^3 w + fi 4a) f₂ —a2ip -\-a2h q-\- a2(i r 4b)

= anu + fl2S» + a8Sw + /3

/3 — az\P + «35 9 + «36 r •

Lösen wir diese Gleichungen in Bezug auf u, v, w auf, indem wir u, ü, ft) als neue Unbekannte einführen, so erhalten wir

Da nun p, q, r nur in den f Vorkommen, diesé aber bei der

Bildung der Differentialquotienten ^    ^

^ unabhängig von p, q, r, demnach

Bewegung ohne Drehung; Zerlegung der lebendigen Kraft.

131

«n «13 fi — » v = PJ «12 «23 fl    ¹⁵

«13 «33 fi    ft

ir

all al 2 «13 «12 «22 «23 «13 «23 «33

Nun ist

bL bL bu .

öu    bu öu

bv , ÖL bw öu ' bw öu

bu

= u5* + »

bw

5)

+ ro5u'

berausfallen, so ist

b*L

b*L

Ö2L

öu bp

öu bq öu br

= 0.

Dasselbe gilt für die Grössen

Es können also in dem

bL bL öb ’ öS'

Ausdruck für L als Function von u, ü, in, p, q, r keine Glieder von der Form up u. s. w. Vorkommen.

Er zerfällt also in zwei Theile, von denen der eine eine homogene quadratische Form von u, l), to, der andere eine solche von p, q, r ist. Wir setzen

L = E (u, b, tü) + G (p, q, r).

Man kann nun dem Ausdruck für L durch Verlegung des Coordi-natensystems an einen ausgezeichneten Punkt im Körper besondere Eigenschaften zutheilen.

Dieser Punkt hat die Coordinaten

bw

öw'V t [bu br) ’ Y Vör

bw

'V    (àv Ö?A

/’    Vöj0    bq)‘

Y (ö?

Diese Differenzen sind also Null, wenn wir den Punkt mit dem Anfangspunkt der Coordinaten zusammenfallen lassen.

bp

MH

Hiernach ist also

«11 «12 «15 «12 <\2 «25 «13 «23 «35

«U «₁₃ «₁₆

«12 «23 «26 «13 «33 «30

«1 2 «13 «1 0 «22 «23 «26 «23 «33 «3 6

«11 «12 «14 «12 «22 «24

«13 «23 «34

«11 «13 «14 «12 «23 «24

«13 «33 «34

«12~«i3 « 15 «22 «23 «25 «23 «33 «35

Wir wollen zur Abkürzung diese Gleichungen schreiben

Aä ⁼ A2 > Al ⁼ ^

Wenn wir jetzt u, l), U), p, q, r als unabhängige Variable betrachten, so ist

13 )

A2 '— Ai •

6)

bG _ ÖL bu    .    ÖL öt>    ,    bL    bw    . bL

bp bu bp    '    bv bp    '    bw    bp    ' bp ’

ÖL

wo

bp

der Differentialquotient nach p von L, als Function von

u, v, w, p, q, r betrachtet, sein soll.

Es ist also nach 1)

bO ,    bu .    ,    bv    . ,    bw

dp —V -    u bp +    *    bp + lu    ö)T

Bezeichnen wir die Determinanten

«12 «13 «14 «22 «23 «24 «23 «33 «34

«11 «13 «15 «12 «23 «25 ! > «13 «3 3 «3 5

«11 «12 «16 «12 «22 «26 «13 «23 «3 6

6 a)

mit 1)

A2 > A3

so wird

bCr

^-P=TT“ + ¥".+

îf - 1 = ID ¹¹ + ^ “ '+ T W

+ +■%«>.

Die Gleichungen 7) sind aber mit Rücksicht auf 6) gleichbedeutend mit den folgenden

bG_ r — ••

ôr L J)

Ai

ff)

7)

sind hiernach gleich den partiellen Differentialquotienten einer Function F zu setzen. Und zwar ist

F = 27) ^ i u‘² +    ïu‘²⁾

+ ]> (U₁₂UÜ + D₁₃un> + Dn inu).

Der Ausdruck F verschwindet identisch, wenn die Grössen

a25 > a3o> alö > a2G > a'36

Specielle Formen der lebendigen Kraft.

133

bG

>)

ö (W A _ ⁵ (

m Vbq ~~ A) öö l«v ~

ô (bG_ \ ô /öf/_ \ dit V.Ô/*    7 ötu VÖ£ ül *

A(^_pV= -rô--cii au W    ôu vô₂ v ‘

Die Grössen

bG

bO

bG

r;

bp

bq

br

al4> a2i> a2\j a15 >

verschwinden, was in einer besondern Eigenschaft des Körpers begründet ist.

Ebenso ergiebt sich

bL bL bu , bL bv . bL bw

ôu    bu ôu ' bv öu T öw ölt

ö«< , . bv . \ biv

= ¹¹ 5ÏÏ + “& + "’&

oder

{!

a2 2 ö23 a23 a33

flj₂ a₂₃ | a13 a33

j ®12 °22

cin a₂ 3

U)

9)

bL 1

al2 a13    ¹¹

rr-_r; ’v

öu ⁼ D a'n a'M — D

a23 ff33

Also ist

bL 1 U — öu — D

a\ 2 ö i 3 f\ a22 a23 ft al 3 a:\ :t h

Diese Differenz ist frei von it, b, lu. Mit Kücksicht auf die Gleichungen 4 b) und 6 a) können wir auch schreiben

i Dj2 i Di 3

U - -T—

ÖU

P + TT « + Bä ’■

und ebenso

Setzen wir in F anstatt der Yariabeln u, ö, tu die Variabein p, q, r ein, so ist

ÖFi

bL öFx

V öb öq ’ W ölb ör

Betrachten wir L als Function der Variabein u, t), tu, b, q, r, so haben wir nach den Gleichungen 4 a) und 4 b)

ÖL

u öu öp

ÖL ÖFX

11)

«1 2 a\ 3 «1 4 «1 5 «1 6 ' ü

. — U

«22 ‘ a₂₃ .

«24    •    •

«25    •

. —tu

•    “P

•    — q

«11 «12 «13 • • * *

«12......

«13......

. 12)

«26 •

Nun ist

ÖL __ ÖL öu    .    ÖL öv    ,    ÖL    öw    ÖL    öp    .    ÖL    öq .    ÖL    ör

öu ' öu ölt    '    'öv öu    '    öw    öu    ' öp    öu    '    öq    öu '    ör    öu

ör

öu .    öv .    ^    öw    .    öp .    öq    ,    v,,

^ ¹¹ ÔÏÏ + Ü öu +    lU H    + * öu +    *    öu    +    r öu

also nach 12)

Ebenso ist

bL

12 a)

Hieraus und aus den Gleichungen 2) folgt für den Fall, dass keine äussern Kräfte wirken

V — tt- u. s. w.

Öb

dVL

ÖL

ÖL

bL

= t) T-

ÖL

bL

ÖL

du

ÖL

ÖL

ör ’

c?m

ÖL

ÖL

-ÎT = U — D

dt

öq

dp

&[.§•

= ID

+    rôci

ÖL ÖL , ÖL . ÖL . e5-u5» + rto->>ö7 ¹³)

Ölb

ÖL

ÖL

ÖL

ÖL

Differenziren wir diese Gleichungen nach u, b, tü, p, q, r und addiren sie, so erhalten wTir

ô fdu\ . ö fdü\ ö    ô fd\>\ ö /dq\ . ô fdx\

ôïï UÜ + 5» trf/J + Ô» W + Veit) + Uq Kdt) + bi Ut) = 0 •

erstens mit dann mit endlich mit

Multipliciren wir die Gleichungen 13) der Reihe nach u, v, w, p, q, r, u, b, ln, 0, 0, 0,

P, q, r, W, ö »,

so erhalten wir erstens mit Rücksicht auf 12 a)

14)

du , di) , d\v . dü , da , dx „

MS + ',-S + M’rö+^* + «d( + ''-S = ⁰>

da aber L eine homogene Function zweiten Grades ist, so haben wir

ÖL

ÖL

Sb

ÖL

ÖL

ÖL

+ p bp +    +rfr

— uw -j- wb -f- wtb -f- pp + ?q + rr

und

, dxi . dx . dm . dp . dq . dx + *4 + ’S + "4+),i + «i+rS'

Andererseits ist

dL ÖL du , ÖL dv öLdw ÖL dp ÖL dq ÖL dr

dt    öu dt ôv dt ' öw dt ' öp dt • öq dt ■ ör dt

Unsere Gleichung 14) giebt also bei Berücksichtigung von 1)

L — const.

dL

dt ~ ⁰

Zweitens erhalten wir

15)

du

dX>

dm

¹¹ St + ¹³ ~dt + *° dt = 0

16)

und drittens

du

di)

diu

rZp

dq

dx

* ~dt + 9 dt + r 1t + u ~dt + d* + * W ⁼ °*

17)

oder

17 a)

u² + b² + tü² — const pu + qb -f rtb = const

Bezeichnen wir die Cosinus der Winkel, welche die Axen des im Körper festen Coordinatensystems der æ, y, % mit den Axen des im Raume festen Systems xx, yx, xx bilden, nach folgendem Schema

S5 R R H

CO KO >-*•    >-»

Die durch die x-Axe und a^-Axe gelegte Ebene steht senkrecht auf der Axe der Drehung, welche den Winkel av verändert. Also liegt diese Drehungsaxe in der y «-Ebene. Der Winkel ax wird daher durch die Drehungen r, q um die y- und um die z-Axe verändert. Nach der Zusammensetzung von Drehungen (vgl. S. 4) erhalten wir die Gleichungen

— = «₂r — a,q

da₂

dt =a *P — «ir

da?

al⁽l a2 P

%'-A'.-Aî ^- = Ap —ftf = ßt q — ßiv

dß3

dt

dy i

~df ⁼⁼ Ï2r 7₃ ?

dy 2

~dt — Y$P 7ir

18)

dy?,

dXy

19)

^ = ax u + «₂ v + aiw Jlf = ß\ W + ß₂ v + W 7^ = 7iW + 72^ + 73

Zwischen den a, ß, y bestehen sechs Gleichungen nach 3) Ab-schn. T. Die obigen zusammen mit 2) achtzehn Gleichungen haben also zwölf von einander unabhängige Integrale, von denen wir drei bereits kennen. Sechs weitere Integrale ergiebt die Bedingung, dass die Componenten der Bewegungsmomente nach dem im Raume festen Coordinatensystem nach dem Satz vom Schwerpunkt, nicht von der Zeit abhängen dürfen, wenn keine Kräfte wirken. Bezeichnen wir mit a, ß, y die Coordinaten des Anfangspunktes der x, //, % in Bezug auf das System x,, y{, zl, und berücksichtigen, dass ein Theil des Moments der Drehungsbewegung von den Momenten der fortschreitenden Bewegung veranlasst

wird, wenn die Anfangspunkte der Coordinatensysteme nicht zusammenfallen, so erhalten wir folgende Gleichungen

or, U -j⁻ cc₂b -f- ce, il) =⁼ A

20)

& u + /?2 b + $3 W) — B

7i » + 72 ⁰ +    7:î to = c

or, P + ai f| +    a:î t = A'    +    By    —    Cß

21)

ßi P A ßi ll +    ß-j r = B    -J-    G a    —    Ay

7i P + 72 q +    h r = O'    +    Aß    —    Ba

wo A, B, C, A', B', C’ Constanten sind. Die [Glieder By — Cß u. s. w. sind die Beiträge der fortschreitenden Bewegung zu den Momenten der Drehungsbewegung in Bezug auf das Coordinatensystem xt, ?/,, «,. Durch passende Bestimmung der Lage der «-Axe lässt sich erreichen, dass die Constanten A, B verschwinden. Multipli-cirt man dann die ersten drei Gleichungen der Reihe nach erstens mit a,,    dann mit a₂, ß₂, 7₂, endlich mit cr₃, ß₃, y₃ und addirt

sie jedesmal, so erhält man nacheinander

7-2

013

NS

IO

Die neun Winkel, deren Cosinus wir mit den a, ß, y bezeichnet haben, kamPhnan durch die Polarwinkel ersetzen, die sich durch die Gleichungen bestimmen

/( = cos y sin 0 «3 = cos ô sin 0

/₃ = cos 0

/₃ = COS 0.

23)

y₂ = sin & sin y ß₃ = sin ô sin 0

y und ô sind hier die geographische Länge, wenn einmal die dann die %-Axe [als Erdaxe angesehen wird, während 0 die geographische Breite ist.

Es sind dann nach den Gleichungen 3) und 4) Abschnitt I

er, =    — cos    ô cos    y    cos    0 —    sin    ö sin y

23 a)

ß{ —    — sin    6 cos    y    cos    0 +    cos    ô sin y

a-, =    — cos    ô sin    y    cos    0 -f-    sin    ô cos y

ß., =    — sin    ô sin    y    cos    0 —    cos    ô cos y .

Wir haben also

tgd =

dö _a₃ dß₃ — ß₃ da₃

cos² ö

dö —

«3 dßa — ßs dcc3 1 -Yl

Andererseits ist nach 18)

dft = (ft ? — ß-iP) dt, d«₃ = («) q — a₂p) ausserdem nach 23) und 23 a)

7l — ß‘Sa2    ft tt3 >

Hieraus folgt

72 = ft «3 — ft «i,

7? + 7l + 7l = !•

und nach 22)

«W    YiP + Yi <1

dt ri + y\

_ n W + vq — ⁰ uï+tiâ‘

24)

Denken wir uns zu « und ß passende Constanten hinzugefügt, so können wir erreichen, dass Â, B' verschwinden.

Die beiden ersten der Gleichungen 21) geben

a (ft P + ft Q + ft t)

ß — ~Q ia\ P + «2 <1 + «3 r) während wir für y aus 19) erhalten

dy    .

7iu + ï2v + nw

=    (UW +    + w4t>).

25)

26)

Wenn also u, v, w, p, q, r als Functionen der Zeit bekannt sind, so sind damit nach 22), 23), 24), 25), 26) y, d, O, «, ß, y als Functionen der Zeit bestimmt und damit das Problem erledigt. Da wir neun Integrale der Gleichungen 13) gefunden haben, so sind zur vollständigen Integration nur noch drei Gleichungen erforderlich.

Gehen wir zunächst zu den Integralgleichungen 15) und 17 a) zurück und setzen

it² + ö² + ft)² = Const. = J2 up + uq + ft>r = Const. = JJX.

27)

Für stationäre Bewegungen verschwinden die linken Seiten der Gleichungen 2); daraus ergieht sich

rt> = çft) u. s. w.

— ^ft) -f-

oder wenn X eine beliebige Constante bezeichnet

q = X t>

p — Xu

qï — 0 u. s. W.

r — XXV.

Setzen wir diese Werthe in die drei letzten Gleichungen, so ergiebt sich

(u — Xp) t) = (v — ^q) u u. s. w., so dass also, wenn p eine beliebige Constante ist,

u ~ Xp — pu v — 2q = pu

Xv — ptü ist.

Diese Gleichungen lassen sich in einen Minimalsatz zusammen-fassen, indem man die Bewegungsmomente als unabhängige Variable behandelt und

27 a)

o — ô (L — XJJx — ^ J'¹) setzt.

Die Variation nach u ergiebt, wenn man die Gleichungen 12) berücksichtigt

u — Xp — pu — 0.

Die Variation nach p ergiebt

p —    = 0.

Bei der thatsäcblich eintretenden stationären Bewegung ist also die lebendige Kraft kleiner als bei jeder anderen stationären Bewegung, die bei denselben Werth en von J und Jx möglich ist.

Für nicht stationäre Bewegung ergiebt sich aus dem Hamilton-schen Princip ein Minimalsatz, aus dem die Integralgleichungen geschöpft werden können, wenn noch ein weiteres Integral bekannt ist.

Bezeichnen wir allgemein mit pa Coordinaten, mit qa —

Geschwindigkeiten, so sind die Bewegungsmomente sa —

wir mit H die Differenz der potentiellen und kinetischen Energie bezeichnen. Sind Pa die äusseren Kräfte des Systems, so lauten die Differentialgleichungen der Bewegungen

p _ àH _ d “    dt Vôça/

Multipliciren wir jede Gleichung mit qa und bilden die Summe über alle a, so wird

ö?a

öpa

dpa

lit

, wenn

Nun stellt — 2 Pa -J“ dt die Arbeitsleistung der Kräfte Pa

während dt dar, um welche die Energie des Systems zunimmt, also ist die Energie

''O

bH . d/ ' bH\ qa + (U {2 q„

d /Tr v, ö \    -1 dff öl/ rfyja ,

=    «* 5 )>.weü7« ”5F„ a, +

2 Pa Qa —    2

n ®Pa

,bH (l qc. bqa dt

bH dqa bqa dt

ist.

qa

Setzen wir die äusseren Kräfte gleich Null, so wird die Bewegungsgleichung durch Variation des Integrals

t.

<r> = / ml

gewonnen.

Schreiben wir

t.

<I>

dt { H— 2 (qa

__ dpa

dt

)if)

und verlangen, dass ö<Pl = 0 werde und dass für t = t₀ und = t, die öp verschwinden, betrachten ferner pa und qa als unabhängige Variable, so ergiebt die Variation nach dem Parameter pa

döpa bH dt bqa

Sdt (

^0

intregirt man das zweite Glied partiell und berücksichtigt, dass für t = t₀ und = t{ , die öp — 0 sind, und dass qa — ist, so wird

bH_ d

bpa dt

es ergieht sich also dasselbe Resultat, wie aus der Hamilton’schen Form. Variirt man nach qa, so erhält man

und damit qa =

dt

Aus dieser Form erhält man also sämmtlicke Gleichungen des Problems. Wir können <PV die Gestalt gehen:

t.

vc/jöa dH\

,dfEqaf •

■•i

J dt (qa — *0

Ö2 H

‘o/

Wenden wir diese Gleichung aut* unseren Fall an, so haben wir E — L, die resultirenden Bewegungsmomente sind J und und wir nennen die Coordinaten, in deren Richtung sie wirken, ê und ë,. Dann ist

=Jdt{

dt

J—

d\'

dtJ')

28)

*0

die Function, deren erste Variation hei der thatsächlichen Bewegung verschwindet.

Wir wollen uns im Folgenden auf die Betrachtung der einfachsten Beispiele, bei denen sich die mathematischen Ergebnisse noch verhältnissmässig einfach übersehen lassen, beschränken.

Die Componenten der Geschwindigkeit nach den Axen x, y, % hei der gerade vorhandenen Lage des Coordinatensystems sind bekanntlich

29)

u -f- zq — yr v -f- xr — zp tv + yp — xq .

Es ist also, wenn dm ein Massenelement des Körpers be

zeichnet,

J dm (u + xq — yr)² -f- (v -f- xr — zp)² + (w + yp — xq)2 : jdm (V² -pF² -p w²) -p 2 (vr—

wq) I dmx -p 2 [wp — ur)J dmy +2 {iiq—vp)JdmzĄ-p'¹ Jdm(y ²+F²) -p y¹ j dm(z²+x²) Ar²J dm (x²-\-y-)

Wenn nun die Massenvertheilung des Körpers symmetrisch zur xy-Ebene ist, so entspricht jedem Massenelement in der Entfernung % ein gleiches in der Entfernung — %. Es fallen also die Glieder fort, die unter dem Integralzeichen % enthalten, also die Glieder

uq — vp , qr, rp .

Findet noch ausserdem Symmetrie zur xz-Ebene statt, so verschwinden die Glieder

wp — ur, qr, pq .

Es ist dann die lebendige Kraft des festen Körpers

2L=-a₁₁M²+022«’² + «33 W‘* + «44P² + «55 ?² + «06 ^

31)

2 qrJdm yz—2 rpJ

dm xx —

j'dm xy.

+ 2a₃₅^ + 2«2₆w.

Wir setzen das Geschwindigkeitspotential der Flüssigkeit <p = urpx + v<p₂ + wçd₃ -j- Jjcpi + q<pb + rg>₆ ,

dann sind an der Oberfläche des Körpers nach 29)

= y cos n% — * cos ny u. s. w., und in Folge der Glei-

bn

= cos nx

u. s. w., chung 4) Abschnitt III

bn

s jdS<p, 4l²-

An den Punkt % und — % haben dann hei der Symmetrie um die xy -Ebene ^ gleiche und    ^

gesetzte Werthe. Daraus folgt dieselbe Eigenschaft für die cp. Man sieht daraus, dass dieselben a verschwinden, wie bei der lebendigen Kraft des festen Körpers. Jedes <p genügt der Gleichung A(p — 0.

Ist der Körper ein Rotationskörper, so muss die lebendige Kraft ungeändert bleiben, wenn wir für v schreiben —w, für q schreiben —r und v für w, q für r. Dies ist gleichbedeutend mit einer Drehung des Coordinatensystems um einen rechten Winkel um die sc-Axe. Also ist die gesammte lebendige Kraft:

%L == a₄₁ w² + a₂₂ (v² + w²) + a₄₄p² + abh (q² + r²).    32)

«11 —

sJdSq)\

bn ⁷

«12 =

entgegen-

In diesem Falle ist die Integration von Kirchhoff vollständig durchgeführt worden.

Wir beschränken uns hier zunächst auf den Fall, wo p — q = w = 0 sind; die Gleichungen 2) geben dann

dv

a22    — ranu >

«5 5 ~dt⁼ («11    «22) uv *

du

«11    — ra22 v

Da hier nur Drehung um die s-Axe stattfindet und w — 0 ist, so bleibt die æ?/-Ebene im Raume an derselben Stelle.

Setzen wir

u — 21 sin am ht

so ergiebt sich durch Differenziren und Einsetzen in die obigen Gleichungen

r — (E cos am et,

33)

/c²«22    = aY ! 21 © ,

«55 £ ® ⁼⁼ («22    «1 1 ) 2123 .

Hier bedeutet Je den Modul der elliptischen Functionen. Von den fünf willkürlichen Constanten bleiben zwei unbestimmt.

Die Gleichungen werden auch erfüllt, wenn die drei elliptischen Functionen anders auf die Grössen u, v, r vertheilt werden. Bei vorgeschriehenen Werthen der Constanten a giebt es aber immer nur eine Vertheilung, bei der alle Grössen reell sind • und Je <C 1).

Setzen wir nun

34) .

CCy = COS fr ,

ßx — sin fr 7i =72 =7s =0.

«3=0

Ä=o

Legen wir die a;-Axe in die Richtung des resultirenden Bewegungsmoments, so ist B = 0 und die Gleichungen 20) geben

'    axvu cos fr — a₂₂v sin fr = A

au u sin fr -\- a₂₂v cos fr = 0.

35)

Hieraus folgt

A cos fr — au u, Ferner ist

— A sin fr — a₂₂v

d&

dt

xx « + x cos fr — y sin fr, yx — ß + x sin fr + y cos fr 36)

und die Geschwindigkeit des Anfangspunktes der Coordinaten

dß

= u sin ß- -j- v cos bl

da    Q    .

— u cos # — v sm &,

öder

da A c, n . A cos² ß- H--

dt an    «22

sin² ß

dß _ dt

(—

V«n

«22

) sin ß- cos ß,

^ — (£ cos am et.

Aus 33) und der letzten Gleichung ergieht sich «22 33²

dß

) 1Ar + §M] + ~AW ¹ + const • ³¹ )

/«n 31²

Ae

VehA;²

Hier bedeuten E und K die vollständigen elliptischen Integrale zweiter und erster Gattung und S die von Jacobi detinirte Reihe

O (u) — 1 — 2q cos + 2qA cos — 2ç⁹ cos + •••(; ferner ist

JT

&' (u) —

du ’

-71^

K' =

d<p

J y 1 — (1 — k²) sin cp

Für die Constanten ergeben sich folgende Gleichungen nach 34)

«ii²3t²

«22² 33² ’

Setzt man t — 0 , so ist nach 33) v = 93 , u = Ó , nach 35) also cos 0 = 0 und demnach sin ß = — 1

A — + «22 ® •

Æ² =

«22 33

«ii 31

ß²«22a55 = all («12 — a\\) ^²*

Endlich ergieht sich

38)

ß —jä («22 — «i i)    35 cos «wi et

# = — arcsin J am e#. Wir können auch schreiben

k² =

«h «55 h²

«22 («22 — «11) 33²

«11) 55² < «u«55©² sein

Da & positiv und reell und kleiner als Eins sein muss, so folgt hieraus, dass a₂₂>>an und «₂₂ («22 muss.

Die Function A am 8t schwankt zwischen den Werthen + 1 und -j- "j/" 1—k². Also schwankt # zwischen den Werthen — y

und — arcsin \ \ — k² hin und her. Je kleiner k ist, um so kleiner sind die drehenden Schwingungen, die der Körper bei seiner Fortbewegung ausführt. Nach 36) und 38) macht der Körper in derselben Periode hin- und hergehende BeAvegungen in der Richtung der y - Axe, dabei sind seine grössten Entfernungen von der x-Axe nach beiden Seiten gleich gross.

Die Geschwindigkeit des Körpers in der Richtung x setzt sich nach 37) zusammen aus einer constanten Geschwindigkeit und einer periodischen, die in derselben Periode wie die andern die Geschwindigkeit bald zu bald abnehmen lässt, wozu noch Schwingungen höherer Periode und kleiner werdender Amplitude entsprechend den Gliedern der Reihe S (8t) hinzukommen.

Wir setzen zweitens

d&

v = 53 cos am 8 t

dt

u = 51 sin am s t,

Dann ergiebt sich

«22 e53 = «n 51(5 ,

«, j £SJ — a₂₂ 51(5 ,

a₅₅ 8&k² = (a₂₂ — «,,) 5153 .

Hier findet sieli für a

5l² — «₂₂53²) {E—K)

«22 53

Ak². JT

«ul² — a-2₂S² 0"(ef)

39)

fi- const

ferner

«₂₂ 33 = «lt 51

(«22 — «n) «22 332 «55 «11 ©²

«1 1 ) «22 23² < «55 «11 sein. '

k² =

J = «22 ^ >

Hier muss «₂₂ )>«n, («22 ' Weiter ist

fAÆ² (a22

= — k /I «ra e t a₂₂ «

# = —

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik

(I

aA 1 )    © A am 8t

am et

)•

10

dQ.

Da -₍j = ^Aamst stets positiv bleibt, so ändert die Drehungs-

gescliwindigkeit niemals ihre Richtung. Der Körper macht also vollständige Umdrehungen in derselben Drehungsrichtung. That-sächlich wird auch der Drehungswinkel 0 mit unendlich wachsender Zeit unendlich gross.

Wirken auf den Körper Kräfte, so lassen sich die Differentialgleichungen nur in den einfachsten Fällen integriren. Wirken dieselben Kräfte auf Körper und Flüssigkeit, so ist zu bemerken, dass in dem einfach zusammenhängenden Raum keine Bewegungen der Flüssigkeit unter dem Einfluss conservativer Kräfte ein-treten können, wenn der Raum, den der Körper einnimmt, von Flüssigkeit erfüllt wäre. Die Kräfte, die auf die äussere Flüssigkeit wirken und diejenigen, die auf die Flüssigkeit wirken, die die Stelle des Körpers einnimmt, halten sich also im Gleichgewicht. Daher werden die Gesammtkräfte, die auf das ganze System wirken, sich zusammensetzen aus den Kräften, die auf den Körper wirken und den negativ genommenen Kräften, die auf die vom Körper verdrängte Flüssigkeit wirken würden. Deshalb fällt z. B. der Einfluss der Schwere fort, wenn der Körper dieselbe Dichtigkeit wie die Flüssigkeit besitzt.

Nehmen wir an, dass nur in der Richtung x eine constante Kraft wirkt, so ergiebt die erste der Gleichungen 2), wenn wir voraussetzen, dass keine Drehung und keine Bewegung senkrecht zur Kraftwirkung vorhanden ist,

41)

<7 = 0 d bL dt hu

bL

-< = Xt -f- const.

Da in diesem Falle 2L = a₁₁w² ist, so haben wir '    allu = Xt + const.

Die Constante an hängt von der Form des Körpers ab. Würde keine Kraft wirken, so würde der Körper mit constanter Geschwindigkeit durch die Flüssigkeit fortschreiten. Ist die äussere Kraft von bestimmt vorgeschriebener Grösse, so bängt die Grösse

dn

flt, die Beschleunigung des Körpers, von der Constanten ax,, also von seiner Gestalt ab. Es wird von Interesse sein, diesen Ein-

fhiss der Flüssigkeit auf die Bewegung des Körpers in der Abhängigkeit von der Form seiner Oberfläche in einigen einfachen Fällen zu untersuchen.

wenn m

Die lebendige Kraft des Körpers selbst ist seine Masse ist.

ifdS(p vr

Die lebendige Kraft der Flüssigkeit ist nach Gleichung 4) Abschnitt III

An der Oberfläche ist

u cos nx.

bcp _ bn

Wir betrachten jetzt ein Umdrehungsellipsoid, dessen Umdreliungs-axe a, dessen zweite Axe c sein möge; a soll der x-Axe parallel sein. Nach 20) und 21) Abschnitt III ist dann an der Oberfläche

Ax

V = ucpl,

A = ac²

CO

0

dsi

2 ac² (l

(a²+fi) (c²+f,)y à²+f.

e²—à²'»    y"c²—ä²

arctg

■j/c²—a²\

für c^> a

2ac² f 1    .

a² — c² \a

2 y a² —e²

-, a — Tfa² — c²\

0g a

42)

für c<ö.

Ist nun die Gleichung der Ellipse, wenn wir p² == z² + y²

setzen

Q = ~ "y/a² — x¹

so ist

dSx cos nx = 2 ji

j QX²

c dx

= 2x °² f

a²J

x²dx =

c²a.

Daher

au — m H⁻    o 2 ■ 43)

au'²’

2 L = mu² + cla ^

Lassen wir c unendlich gross werden, während das mit c²a proportionale Volumen ungeändert bleibt, so wird

4 = 2,

10*

also a u unendlich. In diesem Falle ist a unendlich klein; wir haben es also mit einer unendlich dünnen Scheibe zu thun, die in der Richtung ihrer Normale fortschreitet. Um hier endliche Beschleunigungen zu ertheilen, muss die Kraft X nach 41) unendlich gross sein. Denken wir uns a unendlich klein, dagegen c

endlich, so ist in erster Näherung 2 — A = ji “, also au — -f sc³,

die beschleunigende Kraft muss der dritten Potenz des Radius proportional wachsen, wenn die Scheibe dieselbe Beschleunigung erhalten soll. Man erhält hierdurch auch ein Maass für den Widerstand, den eine Flüssigkeit der Bewegung eines festen Körpers entgegensetzt, der aber eine ganz andere Bedeutung bat, wie der Widerstand durch Bildung von Unstetigkeitsflächen (s. Seite 110).

Setzen wir dagegen in der zweiten Gleichung a unendlich gross, so ist

44)

ai i = m ■

Hier ist c unendlich klein und demnach haben wir hier einen sehr langen dünnen Stab, der in der Richtung seiner Axe fortschreitet. Hier ist die Beschleunigung dieselbe, als oh die Flüssigkeit nicht vorhanden wäre.

Denken wir uns jetzt die Beschleunigung anstatt in der Richtung x in der Richtung y wirken. Dann haben wir anstatt ai, die Constante o₂₂, anstatt u die Geschwindigkeit v einzuführen. Ferner ist

<p = vcp₂

= v cos ny ,

B = c²a

CO

f.

de,

J (c²+fi)² Ya²+e 1 0

e² — a² G²

e²a

-yf C1 — „2-|

arctg --->

CS

c~A> a

c²a

a² — c²

2 /«² —

— -/a² ~ e2 a 4- Y u7, — c2

45^

a^> c.

Da nun

JdSy

cos ny =

f fdx dy Vx + © + (i)

. y cos ny

iff

d% dy y²

Yc²- (y² + %²)

oder,

wenn x — q cos#, y — o sin#- gesetzt wird,

in C

Vf

(p³ sin² {fdffi/ę _47t

c² — p²

ac¹ ist.

so folgt

2L = mv- +    ac² ^

, 4 7TS a‘22 - m "T" *3“

Bv²

4G)

ac²_——

ac 2 — B

Setzen wir liier c= ^c, so wird B — 0 und a,n — m. Wenn die Hache Scheibe in der Richtung ihres Radius bewegt wird, ist die Beschleunigung dieselbe, als ob keine Flüssigkeit vorhanden wäre. Setzen wir a = ?c, so wird

B= 1

4 ns a c2 3

a 22 = m +

Die Beschleunigung, die ein dünner Stab von einer constanten äusseren Kraft erfährt, wenn er senkrecht zu seiner Axe durch die Flüssigkeit bewegt wird, ist proportional seinem Volumen und von den Dimensionen unabhängig, solange das Volumen constant gehalten wird; sie ist dieselbe, als wenn der Körper sich im leeren Raum bewegte und seine Dichtigkeit um die Dichtigkeit s der Flüssigkeit vermehrt wäre.

Setzen wir c¹a = n und differenziren die Gleichungen nach a unter der Bedingung, dass n constant bleibe, so erhalten wir

9 — $ log

da

a — J/«²

a ^> c

dA

³ (*•+:v> Vi

- arctg

VI

da

dB

dA

da    ^ da

c^> a

Hier ändern sich also die Werthe von A und B schnell. Der Werth des Widerstandes gegen die Beschleunigung ändert sich also schnell, wenn die Form des Ellipsoids sich der Kugel nähert,

öd

und langsam in der Nähe des Werthes y — 0.

Die Bewegung zweier Kugeln in einer Flüssigkeit, deren Radien klein im Vergleich zum Abstand sind, lässt sich durch successive Annäherung bestimmen.

Das Geschwindigkeitspotential <p setzen wir zunächst aus zwei Theilen zusammen, von denen jeder die Bewegung der Flüssigkeit bestimmt, wenn nur die eine der beiden Kugeln vorhanden wäre.

Dann ist

<Pi = w + ?>r

die erste Näherung.

Die zweite Annäherung erhalten wir, wenn wir <P2 — $2 + ⁽P2

setzen und vorschreiben, dass an der ersten Kugeltiäche

bn

Nun ist

ö®22_Sitn bB

Isa ~~ ”3 bä (2 — B)>'

"i bet22 i • i *. •    • i Ö-d. Öd . .

und gleichzeitig mit ô ; y ist negativ unendlich, wenn n — a³, a = c wird, das Ellipsoid also in eine Kugel übergeht und zwar ist dann

_ 8nn öd. ba 3 ba (2 — d.)²

Es verschwindet also

ÖC'| j

ba

I 0<Pl" _ A

+ ⁰

und an der zweiten

btpi" . btpi

bn

bn

= 0.

Die dritte Annäherung wird nach demselben Princip *P'i ⁼⁼ % + 9b >

wo an der ersten Kugelfläche

<W bn

und an der zweiten

<W' , à<P2 n toT +    — ⁰

zu setzen ist.

Durch einen solchen unendlichen Process, dessen Convergenz daraus folgt, dass hei grösser werdender Entfernung der Kugeln die gegenseitige Beeinflussung immer kleiner wird, erreicht man, dass an beiden Kugeln

ist.

Die Coordinaten des Mittelpunktes der einen Kugel seien x, y, %, die des andern x”, y",    . Ferner sei

r ² = (x — x')² + (y — y Y + [z — z')2 r"² = (x — x'Y + (;y — y”)² + (z — z")².

Dann ist nach 28) Abschnitt III

bx

R' 3

hy'

-f- w

48)

//

<p ! =

ii'n ,,

// , //

O'l

» "M¹⁻¹

r" •

dz"

Hier sind u, v, w\ u", v", w" die Componenten der Geschwindigkeiten beider Kugeln; 7?' und R" ihre Halbmesser. Ferner ist

und

à<P2_

ön

Tte = “S" cos nx +    cos mJ + ztcos nz

ö²-l

tr T

R" 3

btp i

~ ön ⁼⁼~~2~]U'~^Ä+ v"

ö² „ r

ö²¹

i " r

+ W Ubx

cos nx

R"³' „ 2 u

ö²¹

+ «"

ö²

I "

\-W ;

ö²

cos ny

ö²

r"

ö²

2”

bxbx

F v"

tf

r

b²-.

r"

bx²

cos nz.

Wir können dann cp\ nach Analogie von 48) bilden und er-

halten

,    R'*R"3

2 ⁼⁼⁼    4

ö²

bybx

bxbx bx

+ v"

r"

by²

50)

+ \u”

ö²4

r

ö«ö.r

+ v"

cv    O*'

^    N3

r"

ö² !, d \

r r •

<k<²

Der Werth von q>"₂ wird erhalten, wenn die Grössen, welche einmal gestrichelt sind, mit denen vertauscht werden, die zweimal gestrichelt sind und umgekehrt.

Die lebendige Kraft der Flüssigkeit ergiebt sich durch folgende Betrachtung. Wenn jede Kugel nur allein da wäre, so würde die lebendige Kraft im Zeitelement dt durch Beschleunigung jeder Kugel vermehrt um die geleistete Arbeit, nämlich nach

de

17) Abschnitt III f jis R² ^ cdt, wenn c die resultirende Geschwindigkeit ist, also ist die lebendige Kraft für die Geschwindigkeit c

I Jts R’’

C

}■

o

^ dt= I jts R‘ic'²= -3 Jts R:] (u - -j- v ² -f- w -)

und ebenso für die zweite Kugel.

Die zweite Näherung, in welcher die gegenseitige Einwirkung der Kugeln vorkommt, erhält man am einfachsten aus dem Werth der lebendigen Kraft

b(p

Nun ist an der Oberfläche jeder Kugel

by

bn

— u cos nx + v cos ny + w cos nz .

Die partiellen Ableitungen nach x, y, z können durch die negativ genommenen nach x, y, % beziehentlich x", y”, z” ersetzt werden.

Wenn der Abstand der Kugeln gross ist im Vergleich zu ihren Radien, so kann man den Abstand der beiden Mittelpunkte

a = Y (x — x”)² fl- (?/ — y')² fl- — k')¹

einführen.

Nun ist an der Oberfläche

x — x — — R’ cos nx,

R' cos ny, z — z

y — y =

Entwickeln wir ], nach dem Taylor’schen Satz

R' cos nz.

so haben wir

»i

tt

R”³ I ,, a    ,,

2 \“ 00.' + ^

h/

IÏR" 3

Ö²

ö²¹

Ô2 1

tt CI . tt

U Wi + t>

èx'ày'

a    tt a

~r w a 'x >

OX 0%

cos nx

R'R" s

à²

ô²

à²

2 \U èy'àx

+ v”

W*

1—1

51)

ày’bz

co s ny

R'R"*

ô²¹

tt Cl . tt

u m* + v

ô²

dz’ày

fl- w’

CV

cos nz.

Aus den Relationen

à¹

x — x"

öl,

r

z"

r"3

U. S. w.

folgt leicht, dass unter der Voraussetzung, dass die Radien der Kugeln klein gegen den Abstand sind, an der Oberfläche der ersten Kugel <p" klein gegen çp/, und cp./' klein gegen <p₂', dagegen ip” und (p-2 von derselben Grössenordnung sind. Berücksichtigen wir nur Glieder erster und zweiter Ordnung, wodurch die gegenseitige Beeinflussung der Kugeln in erster Näherung berücksichtigt wird, so haben wir für die Oberfläche der ersten Kugel

do

<P = <P\ + 9>l" + <P2 =

(u cos nx fl- v cos ny fl- w cos nz)

ài

Bildet man nun das Integral

bcp

über beide Kugeltläcben und führt Polarcoordinaten ein, so sieht man, dass nur die Glieder nicht verschwinden, die die Quadrate der Richtungscosinus enthalten, und es ergieht sich für die lebendige Kraft der Flüssigkeit

sic (u² + v² -j- w¹) -f-    (u" - -f- v" ~ + w"²)

ö²-

ö²^

- R'3R"3    ^ + (v'w' + VW) ^

ö²-

53)

Ô² —

+    W2+ (wu ^wu)Mbx

ö²-

3 R'R"³

à²-¹

Ô²--

ô²-

Mby'

cos nx

3 R'R”³

Ö²

ö²-

Ô²-

n d . n d . n d

u WM + v W² + w WM,

cos ny

3 R’R”³

ö²-

Ö2¹

ö²-

,, a n a na

u MM + v MW + w M²

cos n% .

Ô2- 1

+ ww Wi + (uv +W v)teW'\ •

Der Ausdruck vereinfacht sich wesentlich, wenn die Kugeln nur in der Richtung ihrer Verbindungslinien sich bewegen. Ist diese Richtung die x-Axe, so sind nur u und u von Null verschieden. Dann ist

L — sjt

R" 3

„ R'³R"³

"² — 2mm —^3

54)

~3~ U

Bewegen sich beide Kugeln in derselben Richtung senkrecht zur Verbindungslinie, so ist R'³u³

L — sjt

R''³u"³

nR’m"3

a³

55)

Um die Bewegungsgleichungen der wir zu setzen

Kugeln zu finden, haben

dz

dx

dt

dx

dt

dy

dt

dz '

dt

Ist L die gesammte lebendige Kraft, so sind

(£)

A SU

6L + X’

A. ».

(w) = u- + x"

Sr A

dL

à?/

+ v',

ÖL

+ Y"

56)

cy

/C

G fs

cy cy

Sri A

ôL

— dz

die Bewegungsgleichungen und X , Y, Z u. s. w. die äusseren Kräfte, die diese Bewegung unterhalten. Wenn die Geschwindigkeiten constant sind, so haben wir bei Bewegung der Kugeln parallel der Verbindungslinie

R'*R"*

ÔL

-r, = — ISJIU

0 u

Sri A

/O /O

R’W"3 {x — x"y

hL    n >

— 0 SJIU u

= §sxu"

6 Sltu'WW*

(x — x"y

57)

hx'

JR’W’z

(x — x’y

daher

X' — - 6.9JT

u"*R'*R"3

o⁴

58)

Da die Kraft X' verschwindet, wenn die erste Kugel allein vorhanden ist, so ist X' die Kraft, die auf die erste Kugel aus-geübt werden muss, um die constante Bewegung zu unterhalten, wenn die zweite Kugel sich bewegt. Es ist also — X' die Kraft, die scheinbar von der zweiten Kugel ausgeübt wird.

Führen beide Kugeln in der Richtung ihrer Verbindungslinie kleine Schwingungen aus, so verschwindet der Mittelwerth von

Jt (öa') über eine ganze Schwingung genommen. Es ist also nach

57) X' gleich dem Mittelwerth von

59)

— 6jis

KW* , »

—— u u . a⁴

Bei der constanten Geschwindigkeit sind die scheinbaren Kräfte, die die beiden Kugeln auf einander ausüben, nur dann gleich und entgegengesetzt, wenn u = + u". Aus dem Vorzeichen für diese Kräfte folgt, dass die Kugeln sich scheinbar ab-stossen.

Bei der periodischen Bewegung sind die Kräfte immer gleich und entgegengesetzt. Solange u und u" gleiches Vorzeichen haben, stossen sich die Kugeln scheinbar ab, hei entgegengesetztem ziehen sie sich an.

Bewegen sich die Kugeln senkrecht zur Verbindungslinie, so ist nach 55) und 56)

60)

₀    „,K*R" 3

A = ósJiu z , a⁴

die Kugeln ziehen sich also scheinbar an. Bei periodischer Bewegung ziehen sie sich an, so lange ihre Geschwindigkeiten gleich gerichtet sind und stossen sich ab, wenn sie entgegengesetztes Vorzeichen haben.

— ic", so ist Symmetrie

— V ,10

Ist R' = R”, u

in Bezug auf die cr/y-Ebene vorhanden. Dann kann diese Ebene durch eine feste Wand ersetzt werden.

Wenn eine Kugel in der Nähe einer festen Wand parallel zu dieser fällt, so wird sie von der Wand mit einer Kraft

61)

„ 7?G Ssjru²

scheinbar angezogen. Hier bedeuten dann u die Geschwindigkeit der Kugel, R ihr Radius und a die doppelte Entfernung von der Wand.

con

NS

Bewegung fester Körper in mehrfach zusammenhängenden Räumen, die mit incompressiblcr Flüssigkeit gefüllt sind.

Wenn die Körper in der Flüssigkeit mehrfach Zusammenhängen, so sind auch die mit der incompressiblen Flüssigkeit erfüllten Räume mehrfach zusammenhängend. Die Bewegung der Flüssigkeit ist dann durch die Bewegung der festen Körper nicht vollständig bestimmt. Sie wird es erst, wenn man durch Querschnitte die Räume in einfach zusammenhängende verwandelt und

die Unstetigkeit vorsclireibt, die das Geschwindigkeitspotential an den Querschnitten erfahren soll. Die Anwendung des Hamilton-schen Princips auf solche Bewegungen darf daher nicht nur die Bewegung der festen Körper berücksichtigen, sondern muss auch die von den festen Körpern unabhängige Bewegung der Flüssigkeit in die zu variirende Function aufnehmen. Wir bilden die Variation der Grösse

bk

L dt =

*i

sJ'J'J'J'dtdxdydz

u² -1- »² + w²

fo

mit der Vorschrift, dass die Anfangs- und Endlage der Körper zur Zeit t = t₀ und t=t{, ebenso wie tQ und t{ selbst, constant gehalten werden. Wir erhalten dann hei der Variation

<1

söJl dt =

sjdt j j j dx dy dz {11 *0

döx

dt

. dôii . döz\

+ v-à + w~û) ■

Durch partielle Integration ergiebt sich

söj L dt — s

dx dy dz (11 Öx -f- vöy -)- wóz)

<1

Ix dy dz (^2 öx + ^ öy +

d²z

öz\ •

7 "7.

t«

Wir haben nun, wenn p wieder den Druck bezeichnet

bp_ d²y

by S dt² ’

Durch Einsetzen dieser Grössen lässt sich die partielle Integration der einzelnen Glieder nach x, y, « ausführen und wir erhalten

dt²

bp

d²x

bp

dP~%

bz S dt²

bk

sö IL dt =

s j y" j dx dy dz (uöx -j- vöz -j- wöz)

cos nl.

+Jdtj‘dSp öl

4

n ist die nach aussen gerichtete Normale und öl die virtuelle Verschiebung der Flüssigkeitstheilchen an der Oberfläche. Die Integration ist über alle Grenzflächen der Flüssigkeit, also über die Oberflächen sämmtlicher Körper auszudehnen. Der Ausdruck

j"dSp cos nx

ist der Druck, den die Flüssigkeit auf die festen Körper ausübt. Er ist gleich und entgegengesetzt dem Druck, den die. festen Körper auf die Flüssigkeit ausüben. Aus diesem Gliede lassen sich also die Kräfte, welche die Körper ausüben, in der üblichen Weise herleiten. Man sieht aber, dass diese Kräfte im Allgemeinen nicht durch die Variation der lebendigen Kraft erhalten werden, solange das Glied

to

J j j dx dy dz (uöx -f- vöy -j- wöz)

nicht verschwindet. Es gehen dann die Vortheile, die die Anwendung des Hamilton’schen Princips mit sich bringt, verloren. Wenn man nun auch die Vorschrift macht, dass die Anfangslage für die Körper sowohl wie für die Flüssigkeit nicht variirt wird, so zeigt das eben betrachtete Glied an, dass durch die weitere Vor

schrift der Constanz der Endlage der festen Körper die Endlage der Flüssigkeitstheilehen im Allgemeinen variirt. Wenn kein Ge

schwindigkeitspotential vorhanden ist, so verschwindet das Glied niemals.

Ist ein Geschwindigkeitspotential vorhanden, so wird es

⁵ [///* d,J dz (s + % 0,J + s 0]

to

| j'dS öl (p cos nl

Ist das Geschwindigkeitspotential mehrdeutig, so ist es an bestimmten Flächen (welche den Raum in einen einfach zusammenhängenden verwandeln) unstetig. Dann muss die Integration über die Körperoberflächen und diese Querschnitte ausgedehnt werden. Durch die Vorschrift, dass Anfangs- und Endlage nicht variirt werden soll, kann die Variation der Endlage eines der Körperoberfläche anliegenden Elüssigkeitstheilchens nur tangential ausgeführt werden; daher ist cos wZ — 0. Es verschwindet also das Integral über die Oberflächen der Körper. Es verschwindet aber nicht an den Querschnitten und ein vollständiges Verschwinden des betrachteten Gliedes findet nur statt bei der Existenz eines eindeutigen Geschwindigkeitspotentials.

Wir wollen im Folgenden die Kräfte betrachten, die zwei unendlich dünne Hinge, die sich in einer Flüssigkeit befinden, vermöge der Druckkräfte der Flüssigkeit auf einander ausüben. Der Druck ist

62)

Diese wirksam werdenden Kräfte können durch die elektrodynamischen Kräfte ausgedrückt werden, welche in den Ringen fliessende elektrische Ströme auf einander ausüben würden. Das Geschwindigkeitspotential fjo an einem Ort x, y, % ist durch dieselben Bedingungen bestimmt, wie das Potential von galvanischen Strömen, die mit der Stärke J in den Ringen fliessen, in Bezug auf einen Magnetpol von der Stärke Eins am Ort x, y, z. Nach der Am-père’schen Regel kann das Potential der Ströme ersetzt werden durch das einer magnetischen Doppelschicht, die an einer Fläche anliegt, welche von den Strömen begrenzt wird. Beim Hindurchgehen durch diese Schicht ändert das Potential sprungweise seinen Werth um AjiJ. Sonst ist es überall stetig und eindeutig und genügt die Gleichung A(p = 0, an der Oberfläche der Bedingung

= 0. Durch dieselben Bedingungen wird auch das Geschwindigkeitspotential bestimmt.

Bezeichnen wir mit dS ein Oberflächenelement der Ringe, mit cos nx, cos ny, cos nz die Richtungscosinus der nach aussen gerichteten Normale, mit Uy, Vy, iv{ die Geschwindigkeitscomponenten der Flüssigkeit an der Oberfläche und setzen

iy — uv cos nz — Wy cos nx

63)

ix — wv cos ny — vv cos nz

ix — Vy cos nx — Uy cos ny.

Diese ix, iy, ix sehen wir als Componenten elektrischer Ströme an, die in der Oberfläche fliessen. Berechnen wir die elektrodynamische Kraft, die auf den im Flächenelement dS befindlichen

Strom von allen übrigen ausgefülirt wird, so sind die Componenten dieser Kraft

X=dS ('kV — iyW),

Y = dS (ixW — ixU)

Z=dS (iyü — ixV),

64)

wo

U= fdS'

’i'x (!J — y) - i’y (* — *')

f<dS'

i’x (z — z) — i% (x — x)

65)

i’y (x — x) — ix (y — y)

die Componenten der Kräfte auf einen Magnetpol von der Stärke Eins sind. Die Integrationen beziehen sich auf gestrichelte Grössen. Setzen wir nun allgemein

dx dy dz ,

C= —

kffJi

dx' dy dz,

66)

kff

- dx dy dz'

so ist nach den Sätzen der Potentialtheorie in ganz analoger Weise, wie bei den Betrachtungen S. 58

v = AB,

w = AC

bA

bB

bC

67)

Setzen wir

bB _ ÔÇ bz by

bC_bA

bx bz

ö^L _

by bx ’

68)

so ist

= JA = u

bN _ bM by bz

bL

bN

bz bx

bM __ bL bx by

— AB = v

— A C — w.

Setzt man in die vorigen Gleichungen die Ausdrücke für

ö¹

Ô¹

A, B, G ein, berücksichtigt, dass =--^

-,, u. s. w. ist, so er

gi eht sich durch partielle Integration, wenn überall ^ = öp • ,

= S I8t’

dw du dx dz ’

#\ïï

dw

ày’

ils', f    .    ,

r (wx cos ny — t\ cos nz),

1 fd&

4nJ r

(ux cos nz — wx cos nx),

70)

fdS'

J r

( v{ ' cos nx — ux ' cos ny).

Es ist also

drf [(y — y) (vi'cos

— {z — z) (ux cos nz — vx cos nx)\

nx

— ux cos ny)

u. s. w.

Also ist

— 4 xu = U,

— 4xv ==V,

— 4 x w = W.

71)

Fliessen die galvanischen Ströme in einer unendlich dünnen Schicht an der Oberfläche der Ringe, so ist an der äusseren Oberfläche

U — 4 XUy ,

72)

V — 4 XV y ,

W — 4 XWy ,

und an der inneren nach bekannten elektrodynamischen Gesetzen U — V — W — 0. Suchen wir die elektrodynamischen Kräfte, die auf ein Element dS einwirken, so nehmen diese Kräfte von innen nach aussen von 0 bis zu den Werth en — 4 xu{, — 4xvx, — 4 xwx zu. Um die Gesammtkraft zu finden, haben wir daher die Mittel-werthe —2xux, —1xvx, —2xwx einzusetzen.

Wenn sich die Ringe bewegen, so sind für ux, v{, wx die relativen Geschwindigkeiten einzusetzen. Die Componenten der Geschwindigkeiten eines bestimmten Punktes der Ringoberfläche seien a, ß, y. Dann sind die Componenten der elektrodynamischen

11

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

Kraft, wenn wir ix = Jl, iy = Jm, i% = Jn setzen, (wo nun in den i in 64) auch die relativen Geschwindigkeiten einzusetzen sind; l, m, n sind die Kichtungscosinus) :

X = 2 JtJdS [m (w] — y) — n (vx — ß)], Y = 2nJdS [n {uY

7)],

a) — l (w,

Z—2jrJdS[l (vx— ß)—m{uy— «)]. '

Die Geschwindigkeit normal zur Oberfläcke*muss Kuli sein. Daher ist

73)

(ux — a) cos nx + (vy — ß) cos ny -f- (w{ — y) cos nz — 0. 74) Es ist daher, wenn man den Werth von J bildet,

</= y '(% — a)² + (vy — ß)² + (wy — y)².

Setzen wir X² + Y² + Z² — R², so wird nach 73) mit Berücksichtigung der Gleichung l² -f- m² -j- n² = 1

2n;tó,:

J y («i—/?)²+ {Wi—y)² — [Gi—«) / +(®i—Æ) m(tot—y)»]*. 7 5)

In den Gleichungen 63) haben wir auch anstatt Uy, vx, wx zu setzen

Uy — a, t\ — ß, — y;

multiplizieren wir die dann entstehenden Gleichungen mit ux — a, vY — ß, Wy — y und addieren, so ergiebt sich

ix {uy — a) + iy (vy — ß) + ix (wy — y) = 0.

Die Strömung an der Oberfläche steht also nach 74) senkrecht auf der Normale und nach 76) senkrecht zu den fingirten elektrischen Strömen. Parallel den letzteren darf an der Oberfläche keine Strömung stattfinden, weil diese Stromlinien nicht durch den Querschnitt gehen würden, an dem die Potentialfunction unstetig ist.

Es ist also auch

76)

(■Uy «) l + (Vy ß) m -\- (Wy /) 11 = 0 .

Also bleibt

2§ss ⁼ ("i — «)² + (°i — Ä² + (»1 — r)²

(s - ß) + (If - d²⁺ (tl - d2 und nach 62)

2(7 2 p

Also

pdS =

Co

/■O ⁷⁰

Ct-

H 'S

■Co

Sind die Oberflächen der Ringe unendlich klein, die Ringe unendlich dünn, so sind die Geschwindigkeiten an ihnen sehr gross. Es ist daher I?, welches die quadratischen Glieder der Geschwindigkeiten enthält, gross gegen die linearen. Die Grössen U, V, W sind die Componenten des Potentials der in den Oberflächen fmgirten Ströme auf einen Magnetpol mit dem Magnetismus Eins. Das Potential jedes Ringes ändert bekanntlich seinen Werth um — 4 jtJ, wenn es den Ring einmal umkreist. Das Geschwindigkeitspotential ändert sich dabei ebenfalls um einen constanten Werth, der k sein möge. Nach den Gleichungen 71)

w = — 4jcW,

u = — 4 JtU

v = — 4 jiV

ist also J — k.

Wenn also die Ringe sich nicht bewegen, so ist nach 78)

f- mul-

4:71

die Wirkung der Ringe auf einander gleich der mit

tiplizierten elektrodynamischen Wirkung von Strömen, die mit der Intensität k (dem Sprung des Geschwindigkeitspotentials an jedem Querschnitt, der den Raum in einen einfach zusammenhängenden verwandelt) in jedem Ringe fliessen. Bewegen sich die Ringe, so hängt die Intensität der Ströme noch von den Geschwindigkeiten a, ß, y ah.

Die allgemeinen Bewegungsgleichungen eines Körpers, der sich in einer Flüssigkeit bewegt, sind von Thomson und Tait (Natural philosopliy Art. 320 und Uebersetzung Bd. I S. 296) und Kirchhoff (Ueber die Bewegung eines Rotationskörpers in einer Flüssigkeit ; Crelle Bd. 71 1869, Ges. Abh. S. 376) aus dem-Hamil-ton’schen Prinzip entwickelt.

Kirchhoff hatte auch die Kräfte abgeleitet, welche von zwei Ringen, die in eine Flüssigkeit tauchen, scheinbar auf einander ausgeübt werden. (Ges. Abh. S. 404.)

Dann hat aber Boltzmann (Crelle Bd. 73; 1871) gezeigt, dass diese Ableitung der äusseren Kräfte, wie die Anwendung des Hamilton’schen Prinzips unrichtig sind, wenn die Flüssigkeit einen mehrfach zusammenhängenden Raum erfüllt. Von ihm rühren die exakten Ausdrücke für die Kräfte her, welche zwei Ringe in einer Flüssigkeit auf einander ausüben. Eine Yerall-

gemeinerung des Hamilton’schen Prinzips, so dass es auch die Fälle einschliesst, wo die Flüssigkeit mehrfach zusammenhängende Räume erfüllt, ist von C. Neumann gegeben (Hydrodynamische Untersuchungen, Leipzig 1883).

Eine ähnliche Modification rührt von C. Larmor her (Proc. Lond. Math. Soc. 15, 1884).

Weitere Untersuchungen sind von J. Purser (Phil. Mag. Nov. 1878), Basset (Hydrodynamics, Cambridge 1888 cap. VIII, Lamb, Hydrodynamics, Cambridge 1895 cap. VI) angestellt.

Die Minimalsätze 27a) und 28) und die Zerlegung der lebendigen Kraft hat H. Minkowski abgeleitet (Ueber die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit; Beri. Ber. 25. Oct. 1888).

Die Integration der allgemeinen dynamischen Gleichungen ist für einen Rotationskörper vollständig von Kirchlioff durchgeführt (a. a. 0.).

Dann hat Clebsch gezeigt (Math. Ann. 3, S. 238), dass das Problem auf Quadraturen zurückgeführt ist, sobald ausser den drei gegebenen Integralen (15) und (17 a) noch ein viertes, von t freies Integral bekannt ist. Er hat dann Fälle aufgesucht, wo das vierte Integral ebenfalls eine homogene, quadratische Function von p, q, r, u, v, w ist. Er wurde hierbei auf den Fall geführt, wo die lebendige Kraft die Form hat

1L~ Ax u² + A₂ v² + A₃ w² + Btp² + B₂ q² + P₃ r², wo zwischen den Coefficienten die Gleichung besteht

-4-3

D + Mi-i) = °-

H. Weber (Math. Ann. 14, S. 173) hat dann unter der Annahme, dass Jy = 0 ist (vgl. Gleichung 27), sämmtliche, die Lage des Körpers bestimmende Grössen durch Thetafunctionen zweier Veränderlichen dargestellt, deren Argumente lineare Functionen der Zeit sind.

Ohne diese beschränkende Voraussetzung hat dann F. Kötter (Crelle, Bd. 109, S. 51) das Problem für diesen Specialfall vollständig erledigt.

Die Bewegung eines Körpers, wenn u = v — w — 0 sind, lässt sich ebenfalls vollständig geben. (Lamb, Hydrodynamics, S. 180; Craig, The motion of a solid in a fluid; American Journ. of Math. II, 1879.)

Weitere specielle Fälle sind behandelt von Larraór (On hydro-kinetic symmetry, Quart. Journ. Math. XX, 1885), Lamb (Hydro-dynamics, S. 182 ff.);

Gfreenhill (On the motion of a cylinder through a frictionless liquid ander no forces; Mess, of Math., Bd. 9, 1880);

W. Thomson (Hydrokinetic solutions and observations; Phil. Mag. Xov. 1871), Basset (On the motion of a ring in an infinite liquid; Proc. Camb. Phil. Soc. 6, 1887).

Die Bewegung zweier Kugeln in einer Flüssigkeit und die gegenseitige Einwirkung, wenn die Kugeln Schwingungen ausführen, ist von Bjerknes behandelt (Mémoire sur le mouvement simultané de corps sphériques variables dans un fluide indéfini et incompressible, Christiania 1871) und von AV. Thomson (Proc. Royal Soc. 19, 1869; Phil. Mag., Xov. 1870). Von diesem rührt auch das Erge.bniss her, dass eine in einer Flüssigkeit fallende Kugel von einer festen Wand angezogen wird.

Y. Theorie der Wellen.

Die Theorie der Weilen an der freien Oberfläche einer Flüssigkeit ist für den Fall, dass keine Drehungen in der Flüssigkeit vorhanden sind, als eine Näherungstheorie zu bezeichnen. Nur in dem Falle, dass Drehungen der Flüssigkeitstheile Vorkommen, lassen sich für eine bestimmte Wellenform die physikalischen Grenzt)edingungen an der Oberfläche streng erfüllen. Da aber Drehungsbewegungen durch conservative Kräfte nicht hervorgerufen werden können, so sind die gewöhnlich an der Wasseroberfläche vorhandenen Wellen solche, bei denen die Existenz eines Geschwindigkeitspotentials vorausgesetzt werden muss.

Die Näherungsmethoden, welche angewandt werden müssen, um die Bedingung constanten Drucks an der freien Oberfläche einer oder gleichen Drucks für die Trennungsfläche zweier Flüssigkeiten zu erfüllen, zeigen, dass immer geringe Unterschiede des Drucks hei den angenommenen Wellenformen Zurückbleiben, welche also die Gestalt der Welle beständig verändern müssen. Es scheint daher zweifelhaft, ob es überhaupt eine Wellenform giebt, für die die Bedingung des Drucks mit Strenge erfüllbar ist und ob daher Wellen von ganz unveränderlicher Gestalt überhaupt vorhanden sind.

Die Theorie sehr niedriger Wellen, bei denen die quadratischen Glieder der von der Wellenbewegung herrührenden Geschwindigkeiten gegen die linearen vernachlässigt werden können, gestaltet sich sehr einfach. Um so verwickelter werden die Näherungsmethoden, wenn es sich um Wellen von beträchtlicherer Höhe handelt und die Ergebnisse lassen sich sehr schwer diskutieren. Da die Frage aber für die Meteorologie von erheblicher Bedeutung ist, so muss dieser Weg trotz der geringen mathematischen Eleganz eingeschlagen werden.

Die Theorie der Wellen von unveränderter Gestalt und con-stanter Fortpflanzungsgeschwindigkeit wird wesentlich vereinfacht, wenn man die Bewegung auf das Coordinatensystem bezieht, das mit den Wellen fest verbunden bleibt. In Bezug auf dieses Coordinatensystem ist dann die ganze Bewegung stationär.

Wir setzen dann, indem wir die ganze Bewegung parallel der aa/-Ebene annehmen (vgl. S. 87),

— ia (y + ix) ,

.    •    , m(y4-ix)

cp fl- up = Ae

wo A, B, a, m Constanten bezeichnen.

Hieraus folgt

<p = (Ae y + Be tp = (Aemy —Be

— my

) cos mx fl- ax',

) sin mx — a y.

Nun soll in der Richtung y die Schwere wirken und die æ-Axe in der Oberfläche der ruhenden Flüssigkeit liegen. In der Entfernung y — h befinde sich eine horizontale feste Wand, an der ip constant sein muss. Hieraus folgt zunächst

— my

1)

mh

Ae —Be

— mli

In der Oberfläche soll ebenfalls ip constant sein. Wir nehmen hier ip — 0 an und setzen A und B als klein voraus.

Da hiernach die Wellen sehr niedrig sind, so sind die AVertbe von y in der Oberfläche ebenfalls klein. Dann ist in erster Näherung für die Oberfläche

a y = (A — B) sin mx

2)

const

. /.    2 mhx

= A (1 — e ) sm mx.

Für den Druck haben wir

i mr+ (i)²]+ und bei Vernachlässigung von Grössen zweiter Ordnung

= — gy — A a (1 fl- emh) m sin mx fl- const

r (1— e2mh)    , 2mh, .

I — g---- A — Aa (1 fl- e )m\ sin mx fl- const.

Der Druck ist also constant, wenn

ist.

q e2mh— 1 e2mh+ 1

Nach Gleichung 2) ist die Wellenlänge X = ~-

In der Entfernung h haben wir eine constante horizontale Strömung von der Geschwindigkeit a.

Fügen wir dem ganzen System eine Geschwindigkeit — a parallel der x-Axe hinzu, so ruht die Flüssigkeit für y = h und die Weilen schreiten mit der Geschwindigkeit — a fort.

Wir erhalten dann in Bezug auf ein festes Coordinaten-system x, y

2mh —

cos m

(x fl- at).

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit a ist im Allgemeinen von der Wellenlänge abhängig. Nur wenn X sehr gross gegen die Tiefe h wird, ist nach 3)

4)

a    Y gh.

Wenn die Tiefe unendlich wird, ist

5)

Befindet sich an der Stelle x' =0 eine verticale feste Wand, so muss dort

hx

verschwinden. Wir haben dann

6)

cp — A (eUj fl- emh my) [cos m (.x fl- at) — cos m (x —at)).

Hierdurch ist die B,eflexion eines zweiten in entgegengesetzter Richtung schreitenden Wellenzuges ausgesprochen.

Wir können auch schreiben

<P = —

2A (e"y fl- emh my) sin mx sin mat.

Hierdurch wird ein System stehender Weilen dargestellt. Ist a eine ganze Zahl, so kann in der Entfernung ^ eine zweite feste Wand vorhanden sein.

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Wellen kann scheinbar verschieden sein von der Geschwindigkeit einer Anzahl von Wellen als Ganzes genommen. Einzelne Wellen einer solchen

Gruppe schreiten schneller fort als die ganze Gruppe, so dass beständig neue Wellen am hinteren Ende der Gruppe entstehen und am vorderen verschwinden.

Die einfachste Form solcher Gruppen lässt sich nach Lord Rayleigh durch Uebereinanderlagerung zweier Wellensysteme von etwas verschiedener Wellenlänge und Fortpflanzungsgeschwindigkeit gewinnen. Sei ?/, die Erhebung eines Wassertheilchens über die Horizontale, so haben wir

?/, = (sin ml (x — axt) fl- sin m₂ (x — a₂t))

0-

m₂a₂ — m.\ct\

= 2?t sin

x _ ÜÏÎ1 + “*» cos (üi

Wenn mx nahe gleich m₂ ist, so ist auch a, nahe gleich a₂ und in Folge dessen m₂ — mi und a₂ — av klein, der Cosinus also ändert seinen Werth langsam. Wir haben es also mit einer Wellenlinie zu thun, deren Amplitude langsam von 2 A auf 0 sinkt und wieder ansteigt. Dadurch werden Gruppen von Wellen dargestellt, die von nahe wellenfreiem Wasser von einander getrennt sind. Symmetrische Punkte zweier Gruppen sind um die Strecke

einander entfernt, die Geschwindigkeit der Gruppe also    ——'fl¹.

Ist v?₂ =m fl- dm, =m, entsprechend m₂a₂ — ma fl- d (ma), at =a, so haben wir beim Grenzübergang für die Gruppengeschwindigkeit d (ma)

An

m₂ —

von

dm

== a fl- m

da

da

dm

dl

Die Gruppengeschwindigkeit ist also immer kleiner als die Wellengeschwindigkeit, wenn diese mit zunehmender Wellenlänge zunimmt, wie es bei den Wasserwellen nach 5) der Pall ist. Auf ganz flachem Wasser müssen Gruppengeschwindigkeit und Wellengeschwindigkeit übereinstimmen. Auf tiefem Wasser ist die Geschwindigkeit der Gruppen halb so gross wie die der Wellen.

§ I-

Theorie der Wellen an der Grenze zweier Flüssigkeiten.

Wir gehen nun gleich dazu über, die Theorie der Wellen an der Grenze zweier Flüssigkeiten zu entwickeln und zwar nach einer Näherungsmethode, die zuerst von Helmholtz gebraucht wurde. Die Voraussetzungen sind folgende: Es sind zwei Flüssig-

keiten über einander gelagert, beide strömen in einer bestimmten Entfernung von der Wellenlinie horizontal. Die horizontale Strömung der oberen Flüssigkeit bezeichnen wir mit a,, die der unteren mit — a₂. Legen wir dann dem ganzen System eine Geschwindigkeit a₂ bei, so bringen wir die tieferen Schichten der unteren Flüssigkeit zur Ruhe, während die Geschwindigkeit der oberen Flüssigkeit ax -f- a₂, die der Wellen a₂ ist. wegungen sind parallel der xy-Ebene. Die y-Axe ist senkrecht, die æ-Axe horizontal gerichtet und zwar liegt diese in der Trennungslinie der Flüssigkeiten, wenn keine Wellen vorhanden sind. Die Gestalt der Wellen hängt nur von den Werthen der Geschwindigkeiten av und a₂ ab.

Alle Be-

Ausser der Bedingung, dass die Flüssigkeiten in bestimmter Entfernung horizontal strömen, ist noch die zu erfüllen, dass die Trennungslinie Strömungslinie für beide Flüssigkeiten ist. Diese Forderung muss im Gegensatz zu den gewöhnlich angewandten Theorien mathematisch streng erfüllt werden, weil selbst ein geringes Uebereinandergreifen der angrenzenden Stromlinien beider Flüssigkeiten physikalisch die Bedeutung des Hineinpressens der einen in die andere haben würde, wodurch unendliche Druckkräfte entstehen müssten.

Die Bedingung der Gleichheit des Drucks an beiden Seiten der Trennungsfläche kann dagegen nur annähernd erfüllt werden.

Bezieht sich der Index 1 auf die obere, 2 auf die untere Flüssigkeit, so muss in der Oberfläche xp₁ und xp₂ constant sein. Wir wählen die Constante so, dass hier t/;, = ip₂ = 0 ist. Da nun

8)

ist

p = const - sgy - is [(gy + G)² |

und

(öaf) (ö?/)²⁼ (ö?0 wenn n die Normale bezeichnet, so ist an der Oberfläche

oder

P\ =lh

9)

const = (s[ — «₂)^ + .K    — ł«₂ (y£) •

Es werden nun y + ix und tp fl- ń/ als eindeutige Functionen einer complexen Veränderlichen # fl- iy dargestellt; y = h soll dann die Gleichung der Oberfläche sein, wo h constant ist. An der Oberfläche muss xp constant sein, und an der horizontalen Strömungslinie muss xp und y constant sein.

Die allgemeinen conformen Abbildungen der Theorie.

171

Wir haben zunächst

bip

by    bip bd    bip __

bx    bd bx ’ by

- . *y M ₌ o

bd ' by bd    ’

Tn der Oberfläche ist tp und r\ constant; also = 0 und

bx

CT |

/O

bx

•s

by bd bx lx

. bip bd ⁺ U by

by bd by by

= 0.

/ bipy Uy)

rf^V₊ (àn²i

LV bx J ' \by J J r] = h ôvV-4

\byj \by) n = h.

10)

Wir führen nun noch eine Variable o + xi ein, die mit y -j- ix durch die Gleichung -

em(,J+ix) = 6+ xi

11)

zusammenhängt. Hieraus folgt

m (y + ix) = log (ö -f- xi), 0 = e"J cos mx, x = e%J sin mx,

= | log (ö² + r²),

— arctg x~.

Wenn wir in ör-Ebene eine geschlossene Curve betrachten, die den Punkt o = r = 0 umgiebt und wir lassen den Radiusvector

yV² -j-r² vom Werthe arctg z — 0 bis 2 ji einen Umlauf machen, so geht mx von 0 bis 2 jr. Lassen wir den Radiusvector weiter gehen, so wächst mx weiter, während \~c²-{-x² die früheren Werthe wieder annimmt. Wir erhalten also in der xy-Ebene eine periodische

Linie, deren Wellenlänge im Allgemeinen ist.

Liegt die Curve symmetrisch zur ö-Axe, so haben wir auch symmetrische Wellen. Wellenthal oder Wellenberg liegen dann

an den Punkten arctg ~ = 0 oder jt, weil dort das Maximum oder

Minimum von _|/"ö² + x² liegt. Liegt die Curve auch symmetrisch zur r-Axe, so liegt Maximum oder Minimum an dem Punkte

arctg z = 0 oder | • lange — •

° m

my

12)

mx

Daher ist in diesem Falle die Wellen-

Wir entwickeln nun m (?y -j- ix) = log (ö -f- Ti) nach der Reihe log (1 + %) = « — z¹ + z³--)-••••

Wir können dann mx und my im allgemeinen auf folgende Form bringen als Function der complexen Veränderlichen l) -f- iji

= const + 7] + ^ e~’‘ cos ~ e~ ²'' cos 2 0 + . . . .

+ 33] e cos d■ + ^ e²’’ cos 2# -j- . . .

= const — & + 31] e sin &■ + 3t₂ e~ ²'‘ sin 2 $• + ... .

— 33] e¹ sin # — ^ e2,;

* Ferner setzen wir im Allgemeinen

VH + i<Pi ₌₌_m{yjr    9(₁ e“ h cos (l + yi) + ^ e “ 2,1 cos 2 (4 + ^)

cos hi    cos 2 hi

+ Const + 33] e cos ($+yi) +■ ®² e2/i cos 2 _(£ + ?*) cos hi    cos 2 hi

my

mx

b₂

also

13)

13 a)

sin ’2& ... .

14)

^² — — my -f- 3t] e Äcos # cos 1/i    e 2Ä cos 2# cos 2yi -|-

cos hi    cos 2 hi

-j- const -f- 33] eh cos & cos yi -f-    e 2h cos 2Ü cos 2yi

cos hi    cos 2 hi

15)

Für rj — h ist ip2 füllt. Ferner ist

0. Hiermit ist die eine Bedingung er-

cos & cos hi

cos 2S-cos 2 hi

Also sind die 35 immer erheblich

h soll immer positiv sein, kleiner als die 3t. Wird das Glied mit cos 3# vernachlässigt, so entscheidet die Grösse der Glieder

2^3

2t, %

2 hi cos hi

2 (% e~ dh — ^e3h) + (31] e~ h — 33] e h) (3t₂ e

cos

cos 2 hi ’

— 2h

- ą «2h)

im Vergleich zur Einheit über den Grad der Annäherung. Für die untere Flüssigkeit ist r\ <t h. Daher convergirt die Reihe 14) immer. Für x — — oe ist

y>2_

= — my

Üxp2

Die Flüssigkeit strömt also im Unendlichen mit der constanten Geschwindigkeit av Wir setzen zur Abkürzung

msia\

9 («2 — si) ‘

Dann wird die Bedingung gleichen Drucks

17)

msva\

9 O2 — *1)

Die im Werthe von y vorkommende Constante kann zu C hinzugefügt werden und kommt daher nicht in Betracht.

Wenn g positiv gerechnet wird, wirkt die Schwere in der Richtung der negativen y\ dann muss bei stabilem Gleichgewicht $2 > s, sein. Wir können aber auch die obere Flüssigkeit als die dichtere annehmen, wenn gleichzeitig — g für g gesetzt wird. Beziehen wir dann den Index 1 auf die dichtere Flüssigkeit, so erhalten wir eine Vertauschung von und 0.

Die seitliche Begrenzung des betrachteten Raumes wird durch zwei in der Entfernung einer Wellenlänge senkrecht gezogene Linien bestimmt. Wegen der Periodicität müssen die Geschwindigkeiten an diesen Linien dieselben Wertlie annehmen. Diese Vorschrift ersetzt die sonst nöthigen Grenzbedingungen, dass ip an diesen Linien vorgeschriebene Werthe besitzen muss, wenn . die Bewegung bestimmt sein soll. Hiernach ist

1px - IpX -f- A 1

bip__bip

bxx ôæz-j-P

bxp bx by by ’ by ’ by

periodisch

Diese Gleichungen sind erfüllt, wenn ip, nach der Wellenlänge sind.

Die Form der Entwicklung für x und y enthält schon die Beschränkung auf symmetrische Weilen, für unsymmetrische Weilen lässt sich die Bedingung gleichen Drucks auch nicht annähernd erfüllen und diese Wellen müssen daher, wie es scheint, die Gestalt schnell mit der Zeit verändern. Es lassen sich zur Untersuchung der Wellenform drei verschiedene Curvenarten in der (j-r-Ebene benutzen: 1) die Ellipse, 2) die Lemniskate, 3) die Curven, welche durch Abbildung elliptischer Functionen entstehen. Wir setzen hiernach zunächst

19)

m{y-\-xi) _ ö _|_ T4- _ [cos    —- COS t] ,

wo £ eine reelle Constante ist,

sin rji — i

é* + e~ n

, die Linien fr — const Hyperbeln. Der Punkt

Es sind also die Linien rj — const Ellipsen mit den Halbaxen ev + e~ n en -f- e~ n

ö == x = 0 liegt in der Entfernung cos e vom Mittelpunkte der Ellipse.

Eür die obere Flüssigkeit sei nun

21)

Vh + i(Pi = — byh — %bx (fr + rji) ,

h wird if\ — 0, für

Nun ist

(<J + COS f)²

cos² r/i

(a + cos e)2 cos² &

T²

sin² rji

T²

sin² a

= 1.

oder

Hieraus folgt

ö = cos fr cos rji — cos s, x = i sin fr sin rji

wo by eine Constante bezeichnet. Für rj rj — cc wird nach 19)

my — rj —

jh

by

by

= mby = a y.

Die obere Flüssigkeit strömt also im Unendlichen mit der Geschwindigkeit Oy. Für fr — e, rj = 0 wird

my = + log (fr — e) + log sin e .

Durch Bildung der logarithmischen Leihe 13) ergiebt sich

22)

(y -f- ix) — rj ■— ifr — 22¹

cos rte.

⁰⁰ eai+ ni)

a = l

Nach dem gegebenen Schema der Druckgleichung 18) kann man diese bei Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung

als e “ auf die Form bringen

23)

5I₀ + cos fr + ?(₂ cos 2fr = 0.

Durch Nullsetzen der Coefficienten erhalten wir die Gleichungen, aus denen noch die Constante C zu eliminiren ist.

Setzen wir

— Ç,, so erhalten wir als Ergebniss

1 — £² cos² s — $ — D (1 — I £²) = 0,

2 cos² e + 1 — Q (4 cos² s — Ç²) = 0.

cos

hi

24)

Die Wellenhöhe ist

2Sl0* (!

)'

25)

Bei Vergleichung von Wellen gleicher Höhe muss

S_J >*2 2 b

C² COS² 8 =

1 + US2 40 -

26)

denselben Werth haben.

Für die Abbildung durch elliptische Functionen bezeichnen

wir mit

K das vollständige elliptische Integral erster Gattung in Bezug auf den Modul k,

K' dasselbe Integral in Bezug auf den Modul \r\ — k² = Je, ~nK

q die Grösse e Wir setzen nun

X + Yi = log sin am [& + (j] — h) i] +

27)

ferner setzen wir zur Abkürzung

2K( , . K'n\

H I '<    " Kl)

=v

sin² am, u cos² am iv z/² am iv — sin² am iv cos² am u z/² am u (1 — Je² sin² am u sin² am iv)²

A"

für Tj = h wird v—~—

X = i log Ferner wird log sin am

sin am iv =

yT

, cos am iv A am iv =

*² (1 + k)² + (1 — z²) (1 — Je'² z²) _

le (1 -f- lez²)²

= łlog

s-¹

(1 + Je)

+ m) + iKr~\ = iog

Je sin am

2K

für {) = ?] = 0 unendlich wie

l0gi-l0g^+l0g-U,

wie aus der Potenzenreilie für sin am S. 118 folgt. Also wird der reelle Theil gleich

i ¹ i 2K

log - — log

k    7t

+ log

29)

Endlich wird

log sin am für d- = t] — 0 negativ unendlich wie

‘n    + ¥)

log ²^V + log (ö- + yi).

■ 30)

Wir setzen nun

2 k

(;y + xi) = log (a + ri) — log sin am -    (#• + rji) -f- log e₀

wo log c₀ eine Constante bezeichnet,

tpi + i <fi

31)

tp‘2 ~f~ < ⁽p2

log sin am (# + (;rj — h)i) + ~ ']

[^² (* + (V~h)i) + *f²]

= log sin am

32)

Dann ist nach 28) für r\ = h, rpl = tp₂ = 0.

Die Module kx und k₂ bestimmen sich durch die Vorschrift, dass im Unendlichen die Strömung horizontal laufen soll.

Setzen wir

Ki K'

Ki h + ^ = K’

also h — g 0^- — so wird nach 29) für rj = ^ ^ , # = 0

my = log & — log ~

| log ą — log — log J/V² +

CM i £

A",

2A',

)-

log J/V² + (î?

A" 7t Vi A 2/

= oc-

bi

Also ist für x = <x>

jÊ = mbi = <h •

Wir setzen weiter

= also q₂ = e~ih.

Dann ist nach 30) für & = v\ = 0

2 ___

— oc

my = log — + log y #² + V¹ + log co = — = !og ²-~ + log Y&² + V² — ł log jp

Es ist also

y = — oo.

^ = b₂ m = — a₂ für # = rj — 0 ,

Aus der Druckgleichung folgen dann bei Vernachlässigung von Grössen von der Ordnung

— eh —2h    3 eh 2 2h

e , qe ,qe , qe

die beiden Gleichungen

1 — 4e + 12g e — qe +4q e — 12g

33)

— 2(Sß + D) (1 — qe" — Sq + 8?V*) = 0

(§-25ß)ge⁴* + «--20) = O,

Diese Gleichungen bleiben auch für negative g giltig. Setzen wir

— 7t

*K

= — g,

. Nun ist

so ist der zu gehörende Modul

sin am(v, 1

k’ sin am

A am

( •*)

— = cos am ^

- K,h).

Negative g geben also die durch die Function cos am dargestellten Wellenformen. Dabei bleiben q{ und q₂ ungeändert. Die Wellenhöhe ist.

12

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

Während bei Abbildung durch elliptische Functionen die beiden Parameter k und h frei verfügbar sind, können wir mit ihrer Hülfe auch Wellen auf einer Flüssigkeit von endlicher Tiefe darstellen, wobei dann aber die Entfernung der horizontalen Grenze von der Niveauebene durch diese beiden Parameter ausgedrückt wird. Ist also die Tiefe gegeben, so ist nur noch ein Parameter unbestimmt.

Wir setzen

— h — «(#’ + irf),

für r) — h ist ipl =0. Nach 28) und 31) wird für K' Tt

1 ~ K 4 ’

34)

35)

my = | log ^ + log c₀

In der Entfernung £), von der Niveauebene strömt die obere Flüssigkeit horizontal. Ihre Geschwindigkeit ist aber nicht constant. Es ist nämlich

ty 1

_ ötp! brj

ö?/    ö?7 ö?/    öii 7ö?/\ 2 f ôæ\ 2

U) +U)

Für r\ — ^ ~ wird

p- — 0

0 Tj

n= - log

Tt °

cos am

2K .    2K

— m A am — ih

.7

h-*

sin am

— ih( 1

Tt V

—k² sin² am

^ = 1 + 4 q cos 2i9- + 4 q cos 4# +

also

Öl/li

mby

01/

1 -j- 4 YÏcos 2# + 4q cos 4 & + . . .

36)

Dabei ist

ilog 7 + e

— 8/i

4 8h,

ferner

37)

2G. = f (1 + e)

2$ =

1 — e — 4e~4Æ [1 —g³ —3(g²-£)]-2£l[l-e —8e~4/G(l ~ <Q]

• 37 a)

Um die conforme Abbildung durch Lemniskaten zu benutzen, setzen wir

38)

ö + ri = Z= y ft) + 1 .

Die Riemann’sche Fläche der complexen Yariabeln in ist zwei-blättrig mit einem Verzweigungspunkte für in = — 1 und einem für in = oo. Kreisen in der in-Ebene entsprechen Lemniskaten in der Z-Ebene, dem einen Blatte der in-Ebene entsprechen die positiven Theile der Z-Ebene, dem anderen die negativen. Da Z eine eindeutige Function von ln sein muss, so muss es durch eine neue Variable ersetzt werden, sodass den beiden Blättern ein Blatt entspricht, ohne dass die Beziehung zwischen Lemniskaten und Kreisen zu gelten aufhört.

Durch die Beziehung

39)

+ 1

tu + a⁴

wird der erste Verzweigungspunkt in den Punkt £ = 0 gelegt. Kreisen in der In-Ebene entsprechen Kreise in der Ç-Ebene. Setzen wir dann

40)

so entspricht den beiden Blättern der g-Ebene ein Blatt der g-Ebene. Den Kreisen der g-Ebene entsprechen wieder Kreise der ft-Ebene.

Diese Abbildung gilt aber nur für das innere Gebiet eines Kreises beziehentlich einer Lemniskate von bestimmtem Bereich. Es ist nämlich der Punkt lt) == — 1 sowohl für die Z-Ebene als auch für die ^-Ebene ein Verzweigungspunkt.

Aber der zweite Verzweigungspunkt liegt für ^ bei in — — a⁴, für Z bei in = oo. Also sind die Blätter der in-Ebene ausserhalb des Kreises ln = — a⁴ nicht mehr für § und Z dieselben.

Für die Abbildung des äusseren Gebiets wählen wir die Beziehungen

41)

W~z²—!, S = è V».

Kreisen in der in-Ebene entsprechen wieder Kreise der 3-Ebene. Der innere Verzweigungspunkt liegt für Zbei in = — 1, für % bei m = 0, also sind die Blätter innen nicht identisch, dagegen liegt der äussere Verzweigungspunkt für beide bei in = oo. Im Folgenden soll sich, der Index 1 auf den äusseren, 2 auf den inneren Raum beziehen. Wir setzen die complexe Variable g = j -f- ity. Wir haben also

42)

Z₂=ö₂ + z₂i=(h + it)₂) Yi_“Ï2 + a}₂)2'

Hieraus ergiebt sich folgende Gleichung

(ïi + bl)²=

Gl + rj)²

Gl + t!)2 + 2 (»4 _ 1) (<;| _ ri) + (»< - 1)2 »

43)

ferner

44)

ö[ + Tyi — l/"a⁴ (jj + a'bi)² + 1,

woraus

(ö| + rf)²—2 (öf — rf) + 1 = a⁸ (jf + bf)² folgt. 45) Die beiden Gleichungen 43) und 45) gehen für

ï! + bi = ll + bl =^2

über in

46)

(ö² + T²)² — 2 (ö² — T²) + 1 — a⁴ = 0

die Gleichung der Lemniskate, der Grenzkurve beider Abbildungen. Setzen wir nun

ï + ft) = ei<'’+,i),

so entsprechen den Kreisen j² + t)2 = const gerade Linien rj = const.

Also entspricht auch der Lemniskate 46) eine Linie r\ = const und zwar ist hier

— 2h

=    , also cl = e .

Wir verschieben in der öz-Ebene das Coordinatensystem

parallel der o-Axe um die Grösse e~l. Dadurch bekommt die Lemniskate eine excentrische Lage und wir gewinnen einen neuen Parameter.

Es ist dann

(V2 + V) = const + log    —

— ł log [1 —    +

Yeih — 1

47)

Reihenentwicklung der lemniskatischen Abbildung.

181

Wir entwickeln nun nach 13)

{y₂ + »2*) ⁼ const + i& — r\

e— tä+rt—l

/e4A- 1

UH

e — 2i# + 2ri — 21

e4A — 1

•• +

3 W9-+ 3-1 — 3/

¥(/e4A-"i7³ •'

Die Reihe convergirt für l 0 und r] = h. Weiter setzen wir

V>2 + l(p2

Ô2

= const + m (y₂ + ix₂) -f-

— î) — l + 2h

Y7h- 1

e2i& — 2<) — 2l + 4h

e4A — 1

1: —

e3ii? — 3<) — 3i + 6h

We4h— l)³

YVe4h- 1

_ 1. g2i (& + t]i)

48)

für i] = h wird ip₂ constant. Für ij = 00 ist y₂ — — 00 und nach 48)

V>2

f>2

= my₂,

02/2

= mb₂ — a₂.

Für den Raum 1 haben wir nach 44) zu setzen

fc, +*,*) = log [ye⁴‘ + 2i”-²’+ l-e-‘] = const iQ- — rj |- log [V" 1 + e~ 2*& + 2n -

— 2    -(- 2 n — 4 h

Th

2A_ !    —    + 2rç — 2« — 4*

■2 e

Die Reihe convergirt für positive l und y = h^> 0. Für ?] = — 00 wird

_ß— l — i& + n — 2äj

— 3ttf —    3>) — 6Ä

49)

(V\ + ix\) = log (e**    ") =    —

Wir setzen

(V>i + ^1) '

= Const + i&- — // ,

also

— mb[ = — av für y = 00 .

ół/n _ tyi

Für rj — h wird constant. Somit sind alle Grenzbedingungen ausser der Druckgleichung erfüllt. Diese wird wie früher mit

t    _ g fa

Vernachlässigung von Grössen von der Ordnung e erfüllt und

_2 h

il= ß setzen, die

— a, e

ergiebt, wenn wir zur Abkürzung e beiden Gleichungen

50)

4 ccß — 1 -]- ($J3 ~k Q) (1 — 2 n/3) — 0 , 2/3 — 1 — (ß — 2) — 0(3/3 — 2) = 0.

Hieraus findet sieb

c-N _ 1 — 6 aß + ß

^    2/?(l—2aß) ‘

Die Wellenhöhe ist

II=Ll°s

Vaß⁺\

Wir können die gewonnenen Ergebnisse dazu verwerthen, den Einfluss des Windes auf die Gestalt der Wellen zu untersuchen.

Die Geschwindigkeit der Wellen ist a₂, die des Windes a{ -fl a₂. Die erste Annäherung für die Gleichheit des Drucks, die sich unabhängig von der Wellenform ergiebt und aus Gleichungen 24), 33) und 50) übereinstimmend hervorgeht, ist die Gleichung

51)

Xg (s₂ — «i)

27t

Hieraus folgt, dass bei kleinem a, der Werth von a₂ gross sein muss und umgekehrt. Da nun s, die Dichtigkeit der Luft ist, s₂ die des Wassers, so muss ax Verhältnissmässig gross im Vergleich mit a₂ sein, wenn er denselben Einfluss haben soll. Die Gleichung 51) ist gleichbedeutend mit der ersten der Gleichungen 24), wenn wir Ç² vernachlässigen. Die Gleichung lautet dann

$ + O = 1.

Grosse Werthe von D bedingen daher kleine von ^3, haben also nach 17) kleine von a, und somit geringe Windgeschwindigkeit, aber grosse a₂, also grosse Wellengeschwindigkeit zur Folge. Kleine Werthe von Q entsprechen grossen von $J3, also grosser Windgeschwindigkeit.

Nun folgt aus der zweiten der Gleichungen 24)

2 cos²e + 1

4cos²e — Ç²

¹    | fi i ¹ y

4cos²e ' 4cos²e W ' 4cos²e/

Grossen Wertlien von cos s und kleinen von £ entspricht daher kleines O, kleinen Werthen von cos e und grösseren von £ entspricht grösseres D.

Bei grossen Werthen von £ hat man in der ör-Ebene Ellipsen grosser Excentricität; bei grossen Werthen von cos e liegt der Pol des Radiusvector O'¹ + t² weiter vom Mittelpunkt der Ellipse entfernt. Ellipsen grösserer Excentricität entsprechen spitzeren Wellen. Es ist nämlich bei grösserer Excentricität bei gleicher Wellenhöhe der Werth von cos e kleiner. Bei grösserer Excentricität der Ellipse und kleinerer Entfernung des Pols vom Mittelpunkt nimmt der Werth des Radiusvector in der Nähe seines Maximums schneller ah. Es entspricht dies also Wellen mit spitzeren Köpfen.

Spitzere Wellen entsprechen also grösserer Wellengeschwindigkeit und kleinerer Windgeschwindigkeit.

Genauer können wir diesen Einfluss der Windgeschwindigkeit bestimmen, wenn wir die Ergebnisse der Abbildung durch elliptische Coordinaten und die Lemniskate mit einander vergleichen.

Wir setzen dabei die Wellenhöhe H fest und ebenso den

Werth von ^ oder Q und ermitteln dann aus den Gleichungen 24) und 50) die dazu gehörenden Werthe von O oder die hierbei sich ergebende Verschiedenheit entspricht der Verschiedenheit der entsprechenden Wellenform.

Ist die Wellenlänge gegeben, so werden Unterschiede im Werthe von nur durch die Verschiedenheit der Geschwindigkeit bedingt, mit der die Luft den Wellen vorauseilt, während O dann nur von der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen abhängt.

Einige Wellenformen, die solche Unterschiede in der Form erkennen lassen, wie sie zu verschiedenen Werthen von al und a2 gehören, sind in den folgenden Figuren gezeichnet; ax und a₂ sind die horizontalen Strömungen, wenn als obere Flüssigkeit Luft, als untere Wasser angenommen wird.

oder annähernd

Dann ist = 773,4. Die Wellenlänge 1 ist gleich 1 m angenommen.

aÿ und ax' sind dieselben Geschwindigkeiten, wenn die beiden

Flüssigkeiten Luft von der Temperatur 10° und 0° sind. Hier ist ~ = fff. Die Wellenlänge ist gleich 100 m angenommen.

Zwei Wellen bei gleicher relativer Geschwindigkeit beider Flüssigkeiten ax und verschiedener Geschwindigkeit sind in Fig. 10 gezeichnet.

Fig. 10.

2.

1.

g = 0,2502 O = 0,7660 cos e = 0,9926    $ = 0,1964

Ł °’⁵⁰⁶⁷

% = 15,39 m/sec a/= 1,060 m/sec ax a₂ = l,194m/sec a₂ =2,246m/sec a₂

C-.I

O = 0,6607 $ = 0,1964

Ł 0,5067

= 15,39m/sec ax = l,060m/sec = 1,015 m/sec a₂ = 1,909 m/sec.

Die Curve 3 ist mit Curve 1 fast identisch, die Unterschiede sind so klein, dass sie in der Zeichnung nicht mehr deutlich her-vortreten können; 3a ist eine hierzu gehörende Stromlinie der Luft.

Bei der Curve 4 ist ax = 0, dagegen die Wellengeschwindig-keit gross. Demgemäss tritt hier eine besonders grosse Verschiedenheit in der Form hervor.

3cl

Dg. 11.

4.

3.

Q = 0,7660 $ = 0,0877

a = 0,03482 /? = 1,833

ff=A₀,5°67

£ = 0,3328    0 = 0,9915

COS £ = 0,7513    $ = 0

ff = ^ 0,5067

at = 10,285 m/sec a,'=0,708 m/sec a₁ = o₂' = 0

a₂ = 1,194 m/sec a₂'=2,242 m/sec «₂ = 1,243m/sec ö₂'=2,338m/sec.

Die Curven 5 und 6 haben gleiche Wellengeschwindigkeit, zu 6 gehört ax = 0. Der hier hervortretende Unterschied in der Form ist nur durch die verschiedene Windstärke ax + a₂ bedingt.

Fig. 12.

5.

6.

a = 0,05245    iß = 0

ß= 1,300    0 = 0,8421

cos 8 = 0,884    0 = 0,8421

£ = 0,288 iß = 0,1281 ax— 12,43m/sec ax — 0,856m/sec al — al' = 0 a₂= l,146m/sec a₂' = 2,156m/sec a₂ = 1,146m/sec a₂' = 2,156m/sec

ff = A 0,517.

Wir sehen hieraus, dass die relative Geschwindigkeit beider Flüssigkeiten a₁ und die Wellengeschwindigkeit a₂ in entgegengesetzter Weise die Wellenform beeinflussen: zum grösseren ax und kleineren a₂ gehören dieWeilen mit runderen Köpfen, zum kleineren ax und grösseren a₂ die spitzeren Wellen. Hierdurch wird das oben gefundene Resultat bestätigt.

Die Angaben von Beobachtern, nach denen ein umgekehrter Einfluss stattfinden soll, sind zunächst als bedeutungslos anzusehen. Das Beobachten mit blossem Auge kann bei den vielfach zusammengesetzten Wellensystemen der freien See zu keinen sicheren Ergebnissen führen. Sehr erwünscht wären photographische Aufnahmen der Wellen bei gleichzeitiger Messung von Windstärke und Wellengeschwindigkeit. Ferner ist nicht zu übersehen, dass die gefundenen Ergebnisse für Wellen gelten, bei denen die Druckgleichheit angenähert herrscht, die sich also annähernd im Gleichgewicht befinden. Wellen, die nahe daran sind zu branden, können natürlich ein sehr verschiedenes Verhalten zeigen.

Dasselbe Ergebniss, wie oben, lässt sich auch noch dadurch gewinnen, dass man die obere und untere Flüssigkeit vertauscht. Dann sind auch ^ß und O zu vertauschen und man erhält nun da, wo vorher starker Wind und geringe Wellengeschwindigkeit war, jetzt schwachen Wind und grosse Wellengeschwindigkeit und umgekehrt, während die Figuren umzudrehen sind.

Die Betrachtung der Energie der Wellen ist von grosser Wichtigkeit, weil sich die Bedingung des stationären Zustandes so definiren lässt, dass bei constanten Geschwindigkeiten der Horizontalströmung die Energie des Systems ein Minimum sein muss.

Wir nennen pt und p₂ die Werthe, die % und ip₂ an den horizontalen Grenzen haben. Da rp{ und ip₂ an der Trennungslinie verschwinden sollen, so ist

àrpi

ày

dy = P i,

wenn die Intégration zwischen den Grenzen genommen wird, die y an der Trennungslinie und an der horizontalen Grenze hat.

Da ^ die Geschwindigkeit parallel x ist, so bedeutet p die Flüssigkeitsmenge, welche durch einen beliebigen Querschnitt der oberen Flüssigkeit fliesst. Dasselbe gilt für p₂.

Die lebendigen Kräfte haben nun die Werthe

f fdxdy [(ff) + Cw) ]

⁵²/fdXdy K*®) ⁺ fê²)²]

2 Ly = Sy

52) 2 L₂ =

wo die Integrale über die von den Flüssigkeiten eingenommenen Räume zu erstrecken sind.

Die x-Axe liegt in der horizontalen Grenzlinie. Sind Wellen vorhanden, so ist die potentielle Energie durch die aus den Wellen-thälern in die Wellenberge gehobenen Flüssigkeitsmengen bedingt. Da dann die Flüssigkeitsmenge über der x-Axe gleich der unter ihr fehlenden ist, so muss

rdx=o

sein, wo y = f (x) die Gleichung der Wellenlinie ist.

Die in dem Streifen von der Breite dx und Höhe y über die Niveaufläche gehobene Wellenmenge hat die potentielle Energie

die gesammte potentielle Energie für eine Wellenlänge ist also

x 4- X

f = § (s2 — si )jy2(Ix •

Wir bilden nun zunächst die Variation der Differenz beider Energien F — L unter der Voraussetzung, dass p, und p₂ constant gehalten werde. Bei der Variation sollen verschiedene Wellen-formen verglichen werden, die wir uns stetig in einander übergeführt denken. Wir denken uns das Linienelement dS der Grenzlinie um ön in der Richtung der Normalen verschoben und zwar nach der oberen, weniger dichten Flüssigkeit hin. Es ist dann

53)

s₂gdxj y dy o

= f s₂y²dx

6F = g(s₂ — s{)jyöndS.

Die Werthe für die lebendige Kraft können wir schreiben nach Gleichung 4) Abschnitt III

2L₂ — s₂

//**[&)'+<&)*}—>f-

s'.fJdx iy KS)⁺ (v) 1⁼ ~Sif

54)

dS

da n für Raum 2 die nach aussen, für 1 die nach innen gerichtete Normale ist. Die Integrale rechts sind über die Wellenlinie, die horizontale Begrenzung auf die Länge der Welle und zwei verticale Linien zu erstrecken.

Da nun für die unvariirte Wellenform und ip₂ an der Grenze

verschwindet, an den Verticalen ⁽<x- = verschwindet, wenn wir

bn bx

sie in einen Wellenberg oder ein Wellenthal legen, so bleibt nur das Integral über die horizontale Grenze. Dort ist

55)

<L=Pi,

bip bxp

bn    by

Es ist also

x Ą- X

— <P 0*0] Pi »

oder

— jiS[ •

2 jcbl bedeutet den Unterschied des Geschwindigkeitspotentials für die Länge einer Welle, da Ebenso findet sich

(p(x+X) — (p {X)

— — at = mbl — -j- bl ist.

JIS<2 b₂p₂ •

Die Variation der lebendigen Kraft rührt nun von der Verschiebung der Wellenlinie her, während der Werth von xpx, ip₂, also auch pj, p₂ ungeändert bleibt. Dabei muss die Vorschrift festgehalten werden, dass rp{ und tp₂ auch an. der neuen Grenze verschwinden. Dies bedingt eine Variation des Werthes von rp an der Wellenlinie, während p, und p₂ nun constant gehalten werden.

Die erste Aenderung ist einfach gleich der Breite des durch die Verschiebung gewonnenen oder verlorenen Streifens, an jeder Stelle multiplicirt mit dem Quadrate der resultirenden Geschwindigkeit und dem Factor Also

*/M

dS ön.

Da hier die tp unverändert gelassen wurden, so ist an der neuen Grenze

w — ^El Sn ri — ön 0n’

Da aber ipt und tp₂ Kuli sein sollen, so muss ip₁ und xp₂ im ursprünglichen Raume so variirt werden, dass

^2 = ~

ön

ôn.

werden.

Kun ist

I/fdxdy [©) + (§) ]

und die Aenderung in Folge der Variation von ip

oder nach partieller Integration und Berücksichtigung von Aip = 0 und der Richtung von n

— si

Ölp₂

ön

äip₂ dS,

wenn wir an der horizontalen Grenze dp₁ = dp₂ = 0 annehmen.

Die gesammte Variation ist also nach Berücksichtigung der Werthe von öxp

ÔL =

■?

dSön.

Schliesslich muss noch die Bedingung erfüllt werden, dass die Menge Flüssigkeit ungeändert bleibt, also

jdSön

= 0 ist.

Bezeichnet c eine Constante, so ist

ö(F—L)— —JdSönfa — s₂) y + | (jjf) — | (^) + c} ,

-fidSön (p₂

also

— Pi)-

Es ist also

57)

ä(F—L) = 0,

wenn p₂ — P\ ist.

Wenn p₂ px ist, und die Oberfläche der Druckdifferenz folgt, so ist ön positiv, und es wird F — L verringert, das System nähert sich also einem naheliegenden Minimum; entfernt sich aber von einem Maximum. Es entspricht also ein Minimum des Werthes F — L stabilem Gleichgewicht.

Die Werthe p und b sind den mittleren Strömungsgeschwindigkeiten an den horizontalen Grenzen proportional und hängen sonst nur von der Form des von der Flüssigkeit eingenommenen Baumes ab. Es ist also

p = Z>91,

wenn 91 eine Grösse bezeichnet, die nur von der Gestalt des Baumes abhängt. Nun war nach 56)

s p²

2 r

L = |p& =^bm =

Wenn also 91 eine Aenderung d91 erfährt, so wird, wenn b unverändert bleibt

ÔL = ^F¹Ô 91

ôb = 0.

Dagegen

ÖL = — ö$i = - | &² ÔÏÏ, öp = 0. Es ist also, wie wir gesehen haben,

d(F—A) = 0, %= dp₂= 0

und auch

Ö(F+L) = 0,

d&₁₌= dè₂ = 0;

58)

■ 2tc •

da nun a = ~^-b ist, so ist also auch = öa,₂ = 0.

Aus diesen Sätzen kann man folgenden Schluss ziehen. Wenn die Energie einer Flüssigkeitsmenge bei ebener Grenze und constant gehaltenem Wertlie der Strömung an den horizontalen festen Grenzen grösser ist als beim Vorhandensein von Wellen, so ist die ebene Grenze ein Zustand labilen Gleichgewichts.

Die durch die obigen Abbildungen dargestellten Wellenformen ergeben aber einen grösseren Energievorrath als hei ebener Grenze und es erscheint zweifelhaft, ob andere Wellensysteme möglich sind.

So lange solche nicht aufgefunden sind, kann man die Entstehung der Wellen nicht einer gleichmässigen Windströmung zuschreiben, sondern muss sie auf periodischen Wechsel des Windes zurückführen.

Da sich aus diesen Betrachtungen noch andere wichtige Folgerungen ziehen lassen, so mögen sie hier noch mitgetheilt werden.

In Bezug auf das Coordinatensystem möge die obere Flüssigkeit die Horizontalströmung ax, die untere a₃ — a₂ haben. Gehen wir dann dem ganzen System die Geschwindigkeit a₂, so ist die absolute Geschwindigkeit

der oberen Flüssigkeit ax + a₂, der unteren Flüssigkeit a₃, der Wellen a₂.

Da die Geschwindigkeiten nur als Quadrate erscheinen, so kann ax oder a₃ — a₂ das Zeichen wechseln, ohne die Resultate zu beeinflussen. Dann laufen die Wellen dem Wind entgegen.

Bezeichnen wir die Entfernungen der horizontalen Grenzlinie von der x-Axe mit und $g₂ und integriren über die Länge einer Welle, so findet sich nach 52)

Wir setzen nun

P2 (a3    “2) (§2 ~~ r2)'

pi = % (§! — rx)

Dann ist

60)

I * {§1 (ai + «2)² — (ai + 2 «2) ax rt} L₂ =| X |§2 al — («a — aï) *2}-

Die Glieder, die den Factor r enthalten, bedingen die Veränderung der lebendigen Kräfte in Folge der Wogenbildung. Setzen wir % = 0, so ist

Li = *|r ftl r2>

Da L₂ positiv ist, darf r₂ nicht negativ werden. Dasselbe gilt Setzen wir nun a₂ = 0, so folgt unmittelbar, dass die

^ (pi “H 2æ₂) “H a\ §ij > L₂——1 |p₂ (% ~f" aï) a\ §2}'

tol?

59)

von rx.

lebendigen Kräfte durch die Wogenbildung verringert werden. Dies Resultat ist auch von allgemeinerem Interesse, weil es unabhängig ist von der Gestalt der Wellenlinie.

Jede Strömung, die auf einer Seite durch eine horizontale, auf der andern durch eine periodische Linie begrenzt ist, hat geringere lebendige Kraft, als die Strömung zwischen zwei horizontalen.

Wir können dieselben Ergebnisse durch Anwendung der Schwerpunktssätze gewinnen.

Die Geschwindigkeit des Schwerpunkts in der Richtung der horizontalen Strömung ist ^ •

Die Gesammtenergie für die obere Flüssigkeit ist

Pi ai er X,

also die lebendige Kraft der Bewegung relativ zum Schwerpunkt

[fcai — & (Ir) ]'

Geben wir jetzt dem Schwerpunkt die Geschwindigkeit a2 hinzu, so ist die lebendige Kraft der fortschreitenden Bewegung

f¹ (|r⁺ “²) & ■

Durch Addition beider ergiebt sich L

Man sieht hieraus, dass die Bewegung des Schwerpunkts der durch die Wellen eingedämmten Strömung geringer ist als a₂, die Bewegung bei horizontaler Grenze. Durch Hinzufügen von — a2 wird die Bewegung bei horizontaler Grenze für die untere Flüssigkeit aufgehoben, für die Bewegung beim Vorhandensein von Wellen bekommt der Schwerpunkt eine etwas grössere Geschwindigkeit in der Richtung —a₂, der Schwerpunkt der ganzen Wassermasse bewegt sich also in der Richtung der Wellen fort. Und zwar mit der Geschwindigkeit

§2

Hier würde jetzt a₂ die Geschwindigkeit der Wellen sein. Die fortschreitende Bewegung des Schwerpunkts ist bei grosser Wassertiefe, also grossen Werthen von Jp₂ klein, bei flachem Wasser kann sie aber sehr beträchtlich werden.

Wir betrachten nun den Energievorrath für die einzelnen Wellenformen.

Für die Abbildung durch elliptische Coordinaten ergiebt zunächst aus der Bedingung, dass die x-Axe in die horizontale Trennungslinie fällt

h = 2e 2Ä cos² e + e ih cos²2e + . . . Für i] — y — oc wird

Lh)’

also ist

r> =

2    .    — 4 h

COS £ + e COS

und

^ = ^{2cos2e(sœ

e ‘''j+cos^hhpj

3cos²£

Der Werth der potentiellen Energie wird J.₌^=i*)re->*co₈*£ + ₄-⁴*(₃oosV-

Der Unterschied im Energievorrath bei ebener Grenze von dem bei ruhenden Wellen ist

s₂ Xa% r₂

Auf r\

Ist D positiv, so ist die Energie bei ebener Grenze grösser. In dem betrachteten Ealle ist

X ,

- (e

7t '

2    «    — 4 h i-f-v /    4

COS £ + 6    [3 (cos £ - COS

²£)+3])}

(cos² £ + 4COS⁴£ — 20COS⁶ fi) .

__ ,yA³(s₂ — g,)ß ih 4 7l²

1) ist positiv, wenn cos£ <(0,5875 ist, sonst negativ. Nun ist aber

$ i 4coa²e S²(cos-£ i "I“ lticos*!:)

16 cos⁴e

(l +

2cos²e

)•

^ darf nicht negativ werden; Ç² ist eine kleine Grösse, also muss

COS²£>|,

cose> 0,7071

sein.

Es ist also D bei diesen Wellen immer negativ, der Energievorrath grösser als bei ebener Grenze.

Der Unterschied tritt erst bei Berücksichtigung von Gliedern

von der Ordnung e~ih auf.

Bei der Abbildung durch elliptische Functionen ist bei der oben benutzten Annäherung

bi =«i    — (log

4

log co r= — h — log _]_ (₆~

— f¹2 = — «2 &> — [log

IcK

+ log C₀} h

2 ih

K, "y/”Je 2 ~~K

log Co] b₂

also

r* = -n {log + log «„} = ( {log UU — log <%} ■

13

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

JS un ist

\²

{l + iq + 2q* . .

Vernachlässigt man höhere Glieder, so ist

7-2

-= 16 — 128? + 704?²,

CO, a

'/

t-2

log - = 4log 2 — 8? + 12?²

und

X r/    2 h    2/k₉ I 1 / — 8Ä ₀ 4 8h .    2,-.

n LG    ~    )² + ł0    — 3? e +2?)]

n L(e    —    )²+ (?e

Die potentielle Energie ist

L(e    — ?e )² + i(e    — qe )²— 2?(e    — qe )²].

Setzen wir qeh = £, so ist

A³,r/(s₂ —gt) e“ 8A Jf— 21 (1 — g«) + 14 (e² — c3) ₊ 25 (e - g*)

167t²

Wir haben in erster Annäherung

2 ($ + O) = 1

ri =

(«a — gi)A³

47t²

8Ä + 2?²)].

1 — g- 8e~4/ł(e-e²)

Da weder sß noch O negativ werden dürfen, so kann e nicht in die Nähe des Werthes 1 gelangen, wenn es kleiner als 1 bleibt. Ist £ klein, so wird D negativ.

Ist £ = 1, so ist die Oberfläche horizontal, da q — q± — q%, jp = y == my + const werden.

Ist £ grösser als 1, so wird, wenn wir £ = 1 + ô setzen,

— 8 h

21^ + 804³ + 964² + 324+ 16 1 — 8e-4Ä(l + 4)

d = —    (g2—gQe

167t²

Für kleine Werthe von ô ist D negativ. Für'grosse müssen wir auf die Gleichungen 33) zurückgehen. Danach ist

— 1 + 12? + 4e~4fe(3 + 34-f 4²) — l + 8e~4Ä(l + 4)

also

2($ + Q) =

2D=(f-2<ß) (1 + d) + f,

oder

2$

— l + 12? + 4e~4A(3 + 3d + d²)

— 1 +8e

(1 + d)

«0

2$ = — i^ + H+e

- 4k (12+ 6 «y — 2 rf2)\ _ — 1 + 8(1+ d)e~ 4/1    /

Für grosse Werthe von d könnte D positiv werden, wenn

*

6 ih (1 + d) — q 1 ist«

(?0⁸ = [{t + <D«

von

Wenn aber q O £ ist, so kann d nickt so gross werden, dass der Zähler in dem Werthe von negativ würde, weil dann der Werth — 2/']³ oder von e~6k nicht mehr vernachlässigt werden darf. Dann würde zunächst ^ negativ werden, was unzulässig ist. Es sind also auch hier nur die negativen Werthe von D zulässig.

Ist q und damit £ negativ, so ist, wenn wir jetzt — £ = 1 + d

setzen

und

2$ (2 + d) =

2 + $ d + | d² + e~ 4/t (16 + 36 d + 18 d² + 2 d³)

2 + d + 8 e— 4 A (2 + 3 d + d²)

(«2 — Si) e

16tt²

50 + 21 6> + 130 d* + 296 d³ + 304 d² + 160 dl 2 + d+8e~4Ä(2 + 3d+d²) j

Für positive Werthe von d ist daher D immer negativ. Ist d negativ, so kann es höchstens gleich — 1 werden. Dann müsste, wenn D positiv werden sollte, der Zähler in der Klammer negativ sein. Dies ist aber für keinen Werth von — d, der unter 1 liegt, der Fall.

Für den Fall endlicher Entfernung der einen Strömungslinie erhalten wir aus 37) und 37a)

£⁴)]

rx = Xne-ih[i — £² + |e“4/i(l

r₂ = 4 e”4Ä [⁽¹ ~ £)² +* e~ih (£4 - ³ + 2 e2)] »

r₀ und die potentielle Energie haben denselben Werth wie im letzten Fall.

Daher ergiebt sich

e~ 8Ä l³g (s₂ — s,> f— 21 — 28 s + 58 f² + 10 e³ + 12 f⁵ — 37 e*)'

107t²

1 + £

13*

£ darf nicht grösser als 1 werden, weil sonst die horizontale Strö-mungslinie die Wellenlinie schneidet. Negative Werthe von € sind hier ausgeschlossen. Für e <f 1 hleibt D negativ.

In allen betrachteten Fällen hat daher die Wellenhildüng die Energie vergrössert, allerdings in sehr geringem Grade und erst hei höheren Wellen bemerkbar.

Wenn wir das Yorzeichen von g umkehren, haben wir den Index 1 und 2 zu vertauschen. Wir ziehen noch einige Schlüsse für Wellen auf flachem Wasser. Vgl. S. 178.

In erster Annäherung ist dann

und nach 37 a) für höhere Wellen

Es gehören hier zu einer bestimmten Wellenlänge ein bestimmtes, iß, also auch bestimmte Luftströmung.

* nicht mehr

Wird die Wellentiefe klein gegen X, so ist e gegen 1 zu vernachlässigen. Bei geringerer Wassertiefe ist iß grösser, also die Luftströmung grösser, wenn X unverändert bleibt. Die Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Wassers ist, wie

wir gesehen haben, |²- • Nehmen wir die Strömung an der horizontalen Bodenebene gleich Null an, so ist bei fortschreitenden Weilen dem Schwerpunkt die Geschwindigkeit — a₂ zu ertheilen, es bleibt ihm dann noch die Geschwindigkeit

q₂e~~ ⁴[1 — g²+ je~ih (1 — f⁴)]

-    J log i -|- e— 4Ä (1 — e²) + I e~ 8Ä (1 — g⁴)

£

in der Lichtung der Wellen.

Bleibt der Schwerpunkt in Buhe, wie man es bei den Verhältnissen, die bei den Wasserwellen Vorkommen, als wahrscheinlich betrachten muss, so hat das Wasser an der horizontalen

Grundfläche eine mittlere Geschwindigkeit gegen und die Wellengeschwindigkeit ist a₂ ^1—, die des Windes ci^ —(- ü₂ ^1 —

a₂r₂

a₂r₂

•$2

den Wellen ent-

Strömung des Tiefwassers den Wellen entgegen. Aus 37 a) erhalten wir in erster Näherung

log j-

Bei dieser ersten Näherung fallen alle typischen Unterschiede der Wellenform fort. Es sind dieselben niedrigen Wellen wie im § 1 nur mit Berücksichtigung des Windes und endlicher Tiefe.

Setzen wir

so haben wir

«1*2/ + a\si = («2 — sl) fu

Nun ist die absolute Windstärke w = ai-fa₂, je nachdem die Wellen entgegen oder mit dem Winde fortschreiten.

Dann ist

a2 —

Gl)

ist w — 0, d. h. ruht die Luft ganz, so ist

a₂ —

e-o

27t

1 + y?

Es wird also

a-i =

si

ai

w²y -¹-

•s₂

(i

~ + y

s2

Wenn der Wind den Wellen entgegenströmt, d. h. beim oberen Vorzeichen im Werthe a₂, wird a₂ stets kleiner als a₂; dann verringert also der Wind die Wellengeschwindigkeit.

w darf nicht grösser sein als wenn die Wellen noch stabil sein sollen. Ist w — 2a₂, so ist ü₂ —a₂, wenn der Wind mit den Wellen läuft, d. h. es ist von gleichem Einfluss, ob die Wellen mit der Geschwindigkeit a₂ der Luft vorauseilen, oder um ebensoviel Zurückbleiben.

Ist der Wind stärker als dieser kritische Werth, so ist die Geschwindigkeit der Wellen kleiner, im entgegengesetzten Fall grösser als bei ruhender Luft. Ist

so kann a₂ nicht mehr negativ werden und es existiren keine Wellen von der vorgeschriebenen Wellenlänge, die gegen den Wind laufen. Ist die Wassertiefe klein gegen die Wellenlänge, so ist 7 — cc

j/ai

W² Si

Y s₂

Die Wellengeschwindigkeit ist hier dieselbe, ob der Wind gegen die Wellen oder mit ihnen läuft; sie wird in beiden Fällen durch den Wind verringert. Hier

muss

I ; .. I

V S₂) 27t

«1

sein.

₂2n

>■(/

]•

Setzen wir die Dichtigkeit der Luft = 0, so wird

a₂ —

VÉ-

Setzt man für 7 seinen Werth

2 n §₂

«T

■i n

r~

ein, so stimmt der Werth von a₂ mit dem aus der gewöhnlichen

Theorie abgeleiteten überein, wo von dem Einflüsse der Luft abgesehen wird.

Ferner ist in diesem Fall

<h = V~9§

wenn die Wellenlänge gross gegen V₂ ist, dagegen

a₂ — Q‘2

•KO-3»

wenn s₁ von Null verschieden und w = 0 ist. Also bewegen sich niedrige Wellen auf ganz flachem Wasser etwas langsamer in ruhender Luft als wenn die Luft nicht vorhanden wäre.

§ 2.

Näherungsmetliode für die Theorie der Wellen an der Oberfläche einer Flüssigkeit.

Lord Rayleigh hat einen andern Weg der näherungsweisen Berechnung eingeschlagen. Es seien A, a, m Constanten und

62)

<p + itp = a (x + iy) — iAe

im (x4- iy)

also

— my

63)

ip = ay — Ae

Für grosse Tiefen, woÿ = cc ist, haben wir eine horizontale Strömung von der Geschwindigkeit a. Für u und v ergiebt sich

u=a-\-Ame mycosmx, u2Jrv‘¹=a² -\- 2aAme mycosmx-\-m² A²e

= a² -f- 2 am (ay — ip) -j- m²A²e

cos mx.

— 2 my

— 2 my

— my

sin mx,

also ist an der Oberfläche

v=—Ame

GO

— 2my

= const Ą-gy— \ (u²-\-v²)= C-\-(g—a²m)y-\-amip— \m²A²e

Da in der Oberfläche constant sein muss, so folgt, dass bei Vernachlässigung von A², g = a²m

Dies kann als erste Näherung gelten.

Wir setzen nun ip als constant voraus und berechnen aus 63) y als Funktion von x durch stufenweise Näherung.

“=KI

sein muss.

. 64)

Die erste Näherung würde geben, wenn e entwickelt wird,

— my

nach Potenzen

cos mx 4-a

a i-e

Am

cos mx

^ cos mx -f- ^ (l — ^~cosmx-\-    cos²w?a^

indem wir die höheren Potenzen vernachlässigen.

Den zweiten Näherungswerth berechnen wir aus der Formel

ip — cty —

cos mx.

Berücksichtigen wir auch hier nur Glieder von der Ordnung A¹ im Vergleich zur Einheit und wählen den constanten Werth von ip so, dass für mx — mji die Grösse y verschwindet, nämlich

f =

JßlTl    •

2    , so wird, wenn wir nach der Methode der unbestimmten

Coefflcienten y = 5t, cos mx + 5t₂ cos ‘Imx + 5t₃ cos 3mx bilden,

ccp

m²J.²\

ä²^ /

cos mx —

roi²

'2a²"

cos 2 mx-\- — ^ cos 3 mx .    65)

Für a ist die nächste Näherung zu erhalten, wenn wir in der Gleichung 64) die Exponentialfunction entwickeln und die quadratischen und höheren Glieder vernachlässigen. Dann ist

= const + (g — ma¹ + m^A¹) y,

p ist constant, wenn

a²= — + m²A2 m '

ist. Nun ist m — also

//X

a=\ 2n

Aendert man den Werth von A, so ändert man den Werth von a und nach 65) die Wellenform. Auch hierdurch lässt sich also der Einfluss der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen auf ihre Form ableiten, doch ist der wesentliche Einfluss des Windes ausser Betracht geblieben.

+ ~ Ä-‘--r A2

66)

Näherungsmethode ohne Berücksichtigung d. Windes; Einfluss d. Strombettes. 201

yyi

3.

Einfluss von Ungleiclimässigkeiteii eines Strombettes auf die Gestalt der Oberfläche.

Wir untersuchen jetzt den Einfluss von Ungleiclimässigkeit der Grundfläche auf die Oberflächengestalt eines constant fliessenden Stromes.

Sei

67)

y = — h fl- 5t cos mx

die Gleichung der Grundfläche, und y — 0 die horizontale Wasseroberfläche.

68)

Die Gleichung der gestörten Oberfläche setzen wir 2/ = 93 cos mx.

Ferner sei a die mittlere horizontale Geschwindigkeit des Stromes. Wir nehmen wieder und daher auch 53 als klein an. Dann ist

69)

cp — ax — [A (eny + e my) + B (emy— e~my)\ sin mx,

f = ay - [A (emy-e-my) + B (emy + e~my)\ cos mx.

Die Bedingung an der Oberfläche ist if) — 0 für y = 51 cos mx, und an der Grundfläche = const für y = — h -j- 51 cos mx. Die letzte giebt

nr    i / mh — mh.    ,    _ , mh .

av l = — Aie — e ) fl- B (e + e

— mh

)•

70)

Die erste

a53 = 2 B.

Der Druck ist

p = const — gy -j- ma [A (e¹'¹¹ + e

An der freien Oberfläche soll p — const sein. Daraus folgt #53 = 2 maA.

2 b

Nun ist 53= a und aus der Gleichung 70) ergiebt sich

— my

) + B([emy— e my)] cos mx. 71)

71)

53 =

ßmh _j_ e— mh

72)

Wenn also das Strombett periodisch steigt und fällt, so erhalten wir aucli eine wellenförmige Oberfläche. Die AVeilenhöhe an der Oberfläche verhält sich zur AVellenhölie der Bodenlinie wie

e mh e— mh

wo a₂ die AVellengeschwindigkeit ist, die bei gleichmässiger Tiefe h und der Wellenlänge der Bodenlinie auftreten würde (vgl. S. 198). Wenn also die Geschwindigkeit der Strömung über die wellenförmige Bodenlinie dieser AVellengeschwindigkeit gleich ist, so wird die Höhe der Oberflächenwellen unendlich. Für höhere AVellen ist unsere Lösung nicht anwendbar und man wird daher für diesen Fall Brandung der Wellen vorauszusetzen haben.

Die Lösung ist auch anwendbar, wenn wir beliebige Gestaltung der Bodenlinie voraussetzen. Dann ist die Gleichung der Bodenlinie nach der Fourier’schen Reihe zu zerlegen. Ist diese Gleichung

y = — h+ 2t f ix)

so haben wir

f (x) =    dm j f (k) cos m (x — k) dk

0    — co

und die Gleichung der Oberfläche ist

00

co

dm

emh e— mh

/' (k) cos m (x — k) dk

__

a²m

(emh — e~mh\

l 2 ~)

73)

00

Wir wollen diese Gleichung auf den Fall anwenden, dass f (x) = arctg ex ist.

Da arctg ex = — arctg (— ex) ist, so können wir setzen

CO

co

23t

U 7t

dm sin mx

arctg !ik sin mk dk

ßmh e— mh

^nh _j_ g— mh,

a²m

Schreiben wir

œ

: / arctg ek sin mk dk o

Ansteigen des Strombettes.

203

so ist

dU

de

GO

■ß

0

k sin mk dk_

1 + eV — 2e2 ⁶

also ist

u = Jt

2m ⁶

und

ao

sin mx e t dni

emh + e

— mh

_ 9_

Setzen wir h²m² = — Q², so ist der Nenner des Bruches unter dem Integralzeichen

gh

in •

^cos 0

Setzen wir diesen Ausdruck gleich Null, so hat er nur reelle Wurzeln, so lange a'^'Ÿgh bleibt. Wenn a <^'ÿgh ist, so ist die Wurzel im ersten Quadranten imaginär, die anderen bleiben reell. Bezeichnen wir diese Wurzeln der Reihe nach mit 0 @₂, . . . Sn • • SO ist

0a²

74)

0-$)

CM Î1H

3: S

Beide Ausdrücke für W werden für verschwindendes 0

gh

Wir zerlegen nun ^ in Partialbrüche

N₂

hbn²

Uhri¹

0\

01

Dann ist

Nn = —

K¹-®

H¹-®

COS 0n

K¹-®

sin 0n

0n

gh

Ö0 (0=0n)

a²

—: COS² On

COS 0n

Wir haben dann, wenn wir u — hm schreiben,

00

y — 2212bn

• XU Jl£

sin e

du

bn =

cos On

gh

— COS² On

sin On

/ a²

"tgh

COS² On —

0'

Wir setzen nun e = oo; dann besteht das Strombett aus zwei parallelen Horizontalen, die für x = 0 in senkrechtem Abfall Zusammenhängen, dessen Höbe ist.

Zunächst ist

00

XU

cos -j- du

u²

co: a

(O n e

l + On²

76)

Daraus folgt, wie sich leicht durch Differenziren nach x verificiren lässt,

y = + 21 Jt 2bn e

Das obere Zeichen gilt für positive x, das untere für negative.

Wir haben es hier mit einer Störung an der horizontalen Oberfläche zu thun, die nur in der Nähe des Abfalls der Bodenlinie merklich ist.

Integral

Wenn a² < gh ist, so ist iO^ reell. Dann haben wir das

GO

cos

XU

du

u²

Sr- 8

für positive x,

¹ 0\

für negative x.

Wir können für bn schreiben

bn —

sin 0 gh ( gh\

aV

und erhalten

Fig. 13.

Es folgt hieraus, dass die Oberfläche der Flüssigkeit für x — 0 unstetig wird. Die physikalischen Voraussetzungen sind nicht mehr erfüllt, es muss Brandung eintreten.

In Fig. 13 ist die Linie der Oberfläche für folgendes Beispiel gezeichnet.

h = 5 m a = 7,83 m/sec

x <T 0.

ÎJ =

2 51 7t ©i

e«i _ e- ©> gh

cos

x- 0i —■ 51 JT A 6ro e

n    h = 2

77)

oo

y =

n = 2

-² = 1 25 gh l,Zo’

wobei sich ergehen

für

0, = 0,759 0₂ = 4,538 0₃ = 7,751 0₄ = 10,922

2,648 b₂ = — 0,225

h = b₄ = — 0,092

0,130

X =    0

rr = 1

z = 2,5 x = 5 z = 10 a: = 20

LO

1,79

*T OO

0,127

Die Höhe des Abfalls im Strombett beträgt bei der Zeichnung 5t jt = 0,5 m.

Man siebt aus der Figur, dass durch Auflaufen der Strömung auf eine scharfe Erhöhung des Strombettes die Oberfläche zerrissen wird, so dass Ueberstürzen des Wassers erfolgen muss.

In diesem Beispiel war a²^>gh-, hier findet nur einfache Brandung ohne Bildung stehender Wellen statt. Wir betrachten nur ein zweites Beispiel, wo a² <C gh ist.

Die mittlere Tiefe ist wieder h = 5m, und der Abfall im

Strombett üDr = 0,5 m. Ferner ist ^ = 0,8. Für die erste Wurzel

der Gleichung ist 0==i0l zu setzen, für die anderen 0— 0₂ u. s. w. Dabei ist

p v) p

'bo 'bi Tis» "bo

OO CO w oo

-4

CC ¹

b₂ = — 0,2308 b,= b₄ = — 0,092

h =

0,165

0,041

Hieraus folgt

für

für

2(jr

x — — 0 x — — 1

x — — 2,5 x — — 5

-    0,117

-    0,068

0,022

- 0,004

QO ZJl

1,467

1,421

1,283

0,892

0,335

10

17,71

20

—    0,284 1,409

—    1,294

26,56

• Fig. 14.

Hier tritt also Brandung ein, indem ein Ueberstürzen nach rückwärts nothwendig wird; gleichzeitig entsteht in der Richtung des Stromes ein System stehender Wellen, deren Wellenlänge

ist.

2 Tth

07

Die erste Art der Brandung ohne stehende Wellen wird bei massig schnell fliessenden Strömen nur in ziemlich flachem Wasser auftreten können. Bei langsamerem Fliessen und tieferem Wasser wird immer die Bildung stehender Wellen hinter der Brandungsstelle eintreten.

Wie bei allen diesen Problemen, wo der Druck an der freien Oberfläche die Bewegungsform bestimmt, hat die Richtung der

Strömung keinen Einfluss. Es wird jedoch durch diese letzten Lösungen ein Wellenzug dargestellt, der an der Abfallstelle des Bodens beginnt. In Wirklichkeit wird der Wellenzug immer in der Richtung mit dem Strom verlaufen, weil ein stromauf gehender Wellenzug eine anderweitige Erregung voraussetzen würde.

Haben wir es mit einer einzelnen Unebenheit des Flussbettes von sehr kleiner Ausdehnung zu thun, so ist

co

% Jf (k) dk

- CO

die Fläche, die von dem Profil der Unebenheit eingeschlossen wird und cos m (x — k) = cos mx.

Wir haben also dann

00

dm cos mx

a²m

71 / emh _j_ ß— mh

r, (emh_ ~mh)

Nach derselben Methode ergiebt sich wie vorher

00

cos

XU

du

7th

A bn

A bn 6

On

für a²t> gh

78)

und

0\

sin J &l -j- ^ A bn On 6

-f-

On

79)

für a² < gli und x positiv,

On

für negative x.

Wir haben also hier ein ganz ähnliches Resultat, wie hei plötzlicher Aenderung der Tiefe. Bei grosser Geschwindigkeit ist auch hier eine Unebenheit der Oberliäclie in der Nähe der Unebenheit des Bettes, hei kleiner Geschwindigkeit ein einseitiger

y—h

2bn &ne

Wellenzug. Doch verläuft hier die Oberfläche stetig und für a ² )> gh symmetrisch zur y - Axe.

In ganz analoger Weise lässt sich das Problem behandeln, den Einfluss zu bestimmen, der von Druckkräften, die an einer Stelle der Oberfläche eines Stromes, dessen Geschwindigkeit a ist, angreifen, auf die Form der Oberfläche ausgeübt wird. Ausserdem sollen noch Widerstandskräfte auf die ganze Oberfläche wirken. Diese Kräfte sollen proportional den Geschwindigkeiten angenommen werden.

Wir setzen

a), Y = — g — cv, Z — — cw.

80)

X— — g (u

Setzen wir diese Ausdrücke in die Gleichungen 27 b) Abschnitt I, wenn k— 0 — 0 ist, so fallen sie heraus, wenn in der Flüssigkeit keine Rotation, wie aus der Bildung der Ausdrücke 4) Abschnitt II folgt, vorhanden ist. Die Flüssigkeit nimmt unter dem Einfluss dieser Kräfte daher auch im Laufe der Zeit keine Rotationsbewegung an. Wir haben also ein Geschwindigkeitspotential ep.

Wir erhalten für den Druck

Nun sei

— im (x -f- iy)

fp -]- itp = a (x + iy) — iAe

also

cp — ax — Ae'y sin mx,

r . my

ip = ay — Ae cos mx]

A ist wieder sehr klein, und bei Vernachlässigung der Quadrate der Geschwindigkeiten wird

Co

= G — gy + Aey (c sin mx -f- am cos mx).

Setzen wir für die Oberfläche ip = 0, so ist dort der Druck C+A[c sin mx + (am — ^ cos mx Dieser Druck entspricht also einer Oberfläche von der Form

cos mx,

Aeussere Einwirkung auf eine Stelle der Oberfläche. Daher entspricht einem Druck

am, —

!)-«]

eine Oberfläche

A imx y = — e v a

und einem Druck

imx

= C + be

eine Oberfläche

bAeimx

a [(om- !)-«]

und einem Druck

= C fl- b cos mx

eine Oberfläche

h [(■»»-1)

a    c²J

cos mx —

81)

Eine- beliebige Vertheilung des Drucks auf der Oberfläche lässt sich nach dem Fourier’schen Satz bestimmen.

' Ist der Druck

= C+bf(x),

so ist

CO

GO

/' (^) =

\ j dm Jf (k)

0    — oo

cos m (x — k) dk

und demnach

co

co

— I dm

f (k)    — ^ cos m (x — k) — c sin m

(x — k) J dk

an

Nehmen wir wieder an, dass der Druck nur auf eine Fläche von geringer Ausdehnung wirkt, so ist

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

00

b Jf (Je) dk

- 00

die Grösse des Gesammtdrucks und wir lial)eu

GO

pi. [(“”-!)

/ dm

cos mx —

c sin mxJ

an

82)

Wir beschränken uns auf die Behandlung des bestimmten Integrals für den Fall, dass der Widerstand an der Oberfläche und damit c verschwindend klein ist.

Wir haben dann

CO

T. [dm, cos mx \ am--— |

83)

Pi _____V__a/

j + c²

Zur Bestimmung dieses Integrals gehen wir aus von dem

Integral

00

- 00

¹dm \ am — — |

V aj

— 2gm g² c2 a* a²

cos mx

yv²

--'- X

je a sin — e a

m²

a²

a²

ü für x < 0 (Vgl. Bierens de Haan, Bestimmte Integrale, T. 202 Nr. 13)

00

/»

'dm (am —

2 gm.

m²--~~

a²

CO

dm (am -j-

cos mx

c²'

00

dm

cos mx

m² —

CO

cos mx    Idm

/ ma , ‘Jgm    g²    e²

•J    a²    a⁴    a²

2 gm g² . c²

a²

a⁴

a²

am —

m² —

l)

a)

cos mx

2 gin g 2 a² ^ a⁴ '⁺‘

Es ergiebt sich also

Behandlung der bestimmten Integrale.

211

dm

fam — cos mx + e²

7t . qx

sin

V C²

- X

«2 ⁶

00

84)

rH

am 4-

aj

cos mx

(”+f0 +

c²

»²

Das erste Glied rechts stellt einen Wellenzug mit der Wellen-2ry⁷-, der entsprechend dem Widerstand an der Oberfläche c

länge gedämpft wird.

Setzen wir diesen Widerstand unendlich klein, so haben wir

CO

GO

dm

{am — cos mx

(am—|)‘ + c²

n . qx

— — sm ' „

1 / dm cos mx

«2

9_

a2

x >* 0

00

85)

1 / dm cos mx

//

m -p

Schreiben wir nun

X (m + f²)

= m, .«(Zw = du,

dm

du

so haben wir

CO

00

CO

( dvi cos wæ

= COS

m 4~

f!

gx /cos udu ^ gx

sin udu

a²

a²

Man bezeichnet gewöhnlich

.9

a² * icos u

J

a;

du = Ci

(gx\    ( sin_

l a²)’ J u

0

-du

(©•

Tafeln für die Functionen Ci und Si sind von Glaisher auf-gestellt. (Tables of the numerical values of the sine-integral, cosine-integral; Phil. Transact. 1870.)

Da ferner

00

du =

ist, so erhalten wir aus 85)

cos

5«(5) + ™5«(?)]}

für x ?> 0

86)

und

»=-?{-isin? + s [

cos

? « (?) + »

(?)]}

für x << 0.

Hieraus folgt, da

Ci

(?)

= Ci

(-?h

Si

(?)

= Si

(-?)

ist, dass die Oberfläche symmetrisch zur y-Axe liegt.

Für x — 0 wird Ci negativ unendlich von der Ordnung log x.

Das Ergebniss ist eine Folge der Annahme, dass ein endlicher Druck auf eine kleine Fläche der Oberfläche einwirkt.

•JjT.

4*«.

Einzelne Wellen.

Einzeln laufende Wellen auf flachen Canälen sind zuerst von Scott Russell genauer beobachtet worden. Ihre Länge beträgt nach diesen Erfahrungen das zehnfache der Tiefe des" Canals und sie besitzen nur dann Stabilität, wenn sie als einzelner Wellenberg fortschreiten, nicht aber, wenn mir ein Wellenthal vorhanden ist.

Die «-Axe liege in dem Boden des Canals.

Wir setzen dann o — x -)- iy

cp + irp

#(<0 =j' fiß) do.

Dann ist nach dem Taylor’schen Satz ⁽I>{x -f- iy) = <P(x) -(- iy ⁽I> (x) —

1.2

<P"(x)

~ 1.2.3

$"'(*) . . .

also

(fi — <I> (.7')

y²

*"{x) +

V²

1.2.3.4

v> = yf(x)

f'(x) . . .

87)

1.2.3

für y — 0 ist xp = 0; die Flüssigkeit strömt dort also horizontal. Ferner ist

ôœ

Tx ~u — f(x) — o A«) • • •

ty =    ~V== yf(*) - 1X5 A(*) • • •

88)

Ist c eine Constante, so müssen an der Oberfläche die Gleichungen gelten

tp — const und

U¹ -ff V² = c

Nun ist, wenn wir y als Function von x ansehen

dy dx__dy

dx dt dx U ’

wir haben also

2 gy-

88 a)

[' + (I)²] “² =c - ²W>

c — 2 yy

und nach 88) yf —

?/3

1.2

f...

e//²—2.V//3

• 89)

Die weitere Rechnung folgt aus der Annahme, dass y so mit x sieli ändert, dass die Differentialquotienten schnell an Grösse abnehmen.

Als erste Näherung folgt aus 87)

«« l-S

Setzen wir diesen Werth in die linke Seite von 89) ein, so erhalten wir unter der Voraussetzung, dass xp constant ist,

»a A,)

1.2    dx²

Die zweite Näherung erhalten wir, wenn wir für f nun f -f- ô setzen und den ersten Werth in 87) einsetzen, nämlich

3! dx² »

sodass wir jetzt haben

V> [l

y» &

y dx²

(4)1

'cy² — Sh/y/³

'•(tr

oder, wenn wir nur

V>²(l

Glieder    und ^ berücksichtigen,

ł00’+ł»ś)-^

2«/³.

Setzen wir

cfjf = y/,    = yf ~r~ ⁼ ~r '/) so erhalten wir die

«æ J 1 dx² dy dx ,u‘ ’ ¹

dy

Differentialgleichung

C'U² — 2 y///³,

²{¹ — iV² + î y 2ÿ O/²)}

.deren Integral lautet

■3 Ct) ~ cy +

cy² — gy*

\p²

90)

wo G constant ist,

In grosser Entfernung von der Welle soll nun das Wasser mit der horizontalen constanten Geschwindigkeit a horizontal strömen. Da die Constante -c an der ganzen Oberfläche denselben Werth hat, so ist nach 88 a)

c — a¹ + 2 gl.

I bedeutet die Tiefe des Canals. Andererseits ist ty der Unterschied der Werthe, den die Strömungsfunction am Boden und an der Oberfläche hat, also

adl — al.

Setzen wir diese Werthe in 90) ein, so ergiebt sich

G² + 2 gl) y² — yy3 a²l²

cc'm-

m - ‘ + cy 4

91)

Theorie der Einzelwellen.

215

di/

muss für v = l verschwinden, weil dort die Oberfläche hori-

dx    J

zontal ist und muss für y = h verschwinden, wo h den Werth an dem höchsten Punkte der Welle bezeichnet. Wir haben also

0 = 1 + « + ++

0=1 + <7Ä +

(a² + 2ffl) h² — gh2 a²l²

Hieraus folgt

G— —

a² = gh,

für die Wurzeln der kubischen Gleichung

2h + l . (2l + h)y* — y* hl

0 = hl² — yl (2h + 0 + (2/ + h) y² — y³.

Diese Gleichung lässt nämlich sich schreiben

0 = (ä — y) (i — y)'¹',

die kubische Gleichung hat daher nur die beiden Wurzeln l und h und es wird nach 91)

Es verschwindet

dy

dx

0 = 1 -y

hl

hl²

und

(s)²+ w & -1)2 % = iJw>r{2h + ¹-^}-

92)

Aus der ersten Gleichung folgt, dass y weil sonst dy

h negativ sein muss,

^ imaginär werden würde. Für y — h ist

d²y _ 3 (h — l)²

daß —

WM⁻'

Es ist also bei diesem Werthe ein Maximum der Curven vorhanden und es kann bei einem Minimum die Druckgleichung

erfüllt werden. ^ verschwindet für

nicht

2h + l V    3

Die Wellenlinie hat einen Wendepunkt bei zwei Drittel ihrer Höhe über die Horizontale y = l.

Ferner ergiebt sich durch Integration der Gleichung 92) y wird gleich l, wenn x — + oc ist. Die Wellenlinie nimmt immer langsamer an Höhe ab und erreicht die Horizontale erst im Unendlichen. Es giebt daher keine eigentliche Weilenlänge. Ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist Y'in Uebereinstimmung mit den Beobachtungen Russells. Wenn die Höhe der Welle grösser

ist als , so würde durch den Druck eine Vermehrung der Geschwindigkeit a auf YZgh eintreten müssen, oder hei constanter Geschwindigkeit das Gleichgewicht der Welle auf hören. Nun ist

/, hm l — /.

a² = gh, also die grösste Höhe hm — l — oder %

Die Höhe der Welle kann also niemals grösser sein, als die Tiefe des Wassers.

Lösen wir die Gleichung 93) nach y auf, so erhalten wir

4 (h — l)_

94)

cos²

-f-V

a parallel der x-Axe er-

In Fig. 15 ist die Welle für l = 0,56, h — l = j gezeichnet. Auch hier erhalten wir dadurch, dass wir dem ganzen System eine Geschwindigkeit

Fig. 15.

theilen, eine einzelne, mit der Geschwindigkeit Y^gh laufende Welle auf ruhendem Wasser. Diese Geschwindigkeit ist von Scott Russell (Rep. of Brit. Ass. 1844) durch die Beobachtung bestätigt.

§ 5.

Wellen, bei denen die Bedingung constanten Brucks streng

erfüllbar ist.

Die einzige Weilenform, bei der die Bedingung des Drucks an der Oberfläche sich bisher hat streng erfüllen lassen, lässt sich nur mit Hülfe der Differentialgleichungen von Lagrange darstellen. Diese Gleichungen sind bisher noch gar nicht zur Anwendung gekommen, weil ihre Form erheblich complicirter ist als die Euler’sche. Nur in gewissen Fällen bieten sie, wie im vorliegenden Fall, Yortheile, weil die Bedingung der freien Oberfläche (Gl. 28, S. 17) liier einfach durch die Betrachtung zu ersetzen ist, dass die Theilchen der Oberfläche nur in dieser ihre. Lage verändern können. Wenn daher die Coordinaten x, y, £ eines Theil-chens zur Zeit t die Gleichung der Oberfläche erfüllen

f ?J, M) == 0,

so muss diese Gleichung auch durch a, b, c, 1₀ erfüllt werden, wo a, b, c Grössen sind, die zur Zeit t₀ den Ort eines Flüssigkeits-theilchens bestimmen. Setzt man also x, y, % als Functionen von a, b, c, t ein, so darf die Gleichung t nicht mehr enthalten. Es ist also die Gleichung der Oberfläche eine Gleichung, in der nur a, b, c Vorkommen dürfen.

Die allgemeinen Bewegungsgleichungen 30) Abschn. I lassen sich noch durch eine Transformation auf eine einfachere Form bringen. Wir nehmen an, dass die äusseren Kräfte ein Potential haben und setzen

bV bx

Dann integriren wir die Gleichungen nach dem Schema

dx hx dt ba

dt.

1.......i '' fch\!

^ baj /

^0 ^0

Schreiben wir daher zur Abkürzung

-Hp

^0

i[(f)²+(|)²+G)²]),

05)

so werden die Gleichungen

dx hx dy hy . dz ÖA _ dt ha ' dt ha . dt haj    ha

hF

hF

dx hx . dy hy dt hb dt hb

sir

dy hy dz hz dt ho ' dt ho

hF

öc

Wir setzen nun

x — a = Ac

“⁶sin(«a — ßt), y — b=Ae ab cos (aa—ßt), % = c 97)

und setzen zur Abkürzung aa — ßt — fr.

Die Bewegung geht dann überall parallel der æ/y-Ebene vor sich. Die obigen Differentialgleichungen 96) und 31) Abschnitt I lauten für diesen Fall

= 0,

d {hx hy hx hy\ dt V'l« hb    hb ha)

dx hx dt ha

dy hy dt ha

hF

dx hx dt hb

dy hy\ _

~dt Wf~~~hb> 10

dF

~dt~J~ ⁹⁹ ~

Nun ist zunächst

= 1 + Aae~ub cos#,

= — AaeTab sin #, also ist

« i.e \/z>

*{(£)’+fê)’+(£)T

= — Aae ab sin #, = 1—Aae~ab cos#,

~jt = — Ae ab ßcos&,

dy

dt- = Ae abßsmV-,

= 1—A²a²e 2ab

hx hy ôæ hy ha hb hb ha

von t unabhängig. Ferner ist

Ae “⁶/?cos

*}

hF

jde ab ß sin

bF

*0

clF

Der Bedingung ^    ^ ist Senü^

Es folgt daraus

Ae~ ab cos = — —- I 6 a    s *

+ const.

Für die freie Oberfläche nehmen wir b — 0 an. In ihr muss

— 2 ab

A²ß² — g (Ae

— ab

cos 5 + b)

p constant sein. q — — ist. Dann ist

j    a

Dies ist nur der Fall, wenn - c “⁶ = ge ab.

j)₀ ist der Druck an der Oberfläche für b = 0.

Ist die Flüssigkeit, abgesehen von der freien Oberfläche, unbegrenzt, so variirt a zwischen —- oo und -f- oo, b zwischen ü und oo.

Die Flüssigkeit ruht also

(Ix

dy

Für b — oc verschwindet und in grosser Tiefe. Aus den Gleichungen

— 2 ab

dt'

, (x — a)² Ą- (y — b)² — A²e

— 2 ab

folgt, dass jedes Flüssigkeitstheilchen sich in einem Kreise bewegt,- dessen Radius Ae~~ub ist. Diese Kreise sind also in der Nähe der Oberfläche am grössten und nehmen nach der Tiefe schnell an Grösse ab.

Die Determinante

bx by bx by ba bb bb ba

A²a² e

— 2 ab

darf nicht Null werden. Deshalb muss

A <-

(X

sein.

Der Druck ist nicht nur in der Oberfläche für b — 0 constant, sondern für jeden Werth von b. Man erhält daher die Curven p = const, wenn man aus den ursprünglichen Gleichungen a elh minirt als Gleichungen zwischen x und y.

= cos

Ae

x — — = VA²e 2ab— (;j — b)² H— arccos a    ' a

Schreibt man x =

Dies ergiebt

t, so erhalten wir eine Gleichung

zwischen x und y, die von der Zeit unabhängig ist. Der Anfangspunkt der x und also auch die Curve der freien Oberfläche schreitet mit der Geschwindigkeit parallel der a:-Axe mit der Geschwindigkeit

«•i»

ohne Aenderung der Form, fort. Jedes Flüssigkeitstlieilchen bewegt sich in einem Kreise, dessen Radius, mit der Tiefe des

Wassers abnimmt. In Fig. 16 sind die Oberfläche und einige Curven gleichen Drucks sowie einige Kreisbahnen der Fllissig-keitstheilchen gezeichnet.

der Abstand

Die Curve ist eine gedehnte __Cycloide. Der Radius des rollenden Kreises ist 1 a r

Fig. 16.

des sie beschreibenden Punktes ist

Ae

— 2 ab

Sie schneidet die Abscissenaxe nicht und hat in den Punkten

x = o + £? + 2« _

’ — a ¹ — ß

abwechselnd untere und obere Culminationspunkte.

Die hierdurch dargestellte Wellenlänge hat die Wellenlänge

27t

Aus der Form der Druckgleichung bei Vergleichung mit Gl. 34) Abschn. I geht hervor, dass für diese Bewegungsform kein Geschwindigkeitspotential vorhanden ist.

Die Drehungsgeschwindigkeit ergiebt sich in folgender Weise. Es ist

£ ! $5 /o ko

n /<W öa . bb\ Via by ' bb by) ’

Setzen wir die gewonnenen Werthe ein, so erhalten wir

— 2 ab — 2 ab

bu

2C= !

bx by

ba

ày~

also

bu

ïy~

bx    bb    1 bx

bb ’ by    D ba ’

/ àe bu bx bu\ 1 n ,

(ba bb — bb U) D Und ebeilS0

bv

bx

/by bv by bv\ 1 \tbVa~TaYb) D'

2 A^aiße 1 — A*a*e

Obwohl die Bedingung des constanten Drucks bei diesen Wellen genau erfüllt ist, scheint es doch nur eine besondere Form dynamischen Gleichgewichts zu sein, die in Wirklichkeit wenigstens hei den Wellen an der Oberfläche des Wassers niemals vorhanden sein wird. Denn die Drehungen, wie sie für diese Bewegungsform verlangt werden, können durch die nichtconservativen Vorgänge, die überhaupt nur Drehungen Hervorrufen können, kaum hervorgerufen werden.

Aber ein zweiter Grund, weshalb diese Wellen in Wirklichkeit nicht Vorkommen werden, liegt darin, dass wir es in der Natur immer mit Wellen zu thun haben, die an der Trennungsfläche zweier Flüssigkeiten entstehen, niemals aber mit einer freien Flüssigkeitsoberfläche, die an den leeren Baum grenzt. Die Gestalt der Oberfläche muss daher eine solche sein, dass auch die obere Flüssigkeit noch Bewegungen ausführen kann, die mit den allgemeinen hydrodynamischen Principien vereinbar sind. Die Bewegungen einer oberen Flüssigkeit, die sich der betrachteten Wellenlinie anpasst und an der Trennungslinie die Bedingung gleichen Drucks erfüllt, führt zu Werthen der Geschwindigkeit, die mit zunehmender Entfernung von der Wellenlinie immer grösser und grösser werden und schliesslich ins Unendliche wachsen.

Bemerkenswerth ist aber auch hier, dass die Höhe der Wellen eine beschränkte ist. Diese grösste Höhe entspricht den

Werthen b = 0, A = — • Sie ist 2 A. Das Verhältniss der Wellen-

a

länge zu dieser grössten Höhe ist jt. Die Drehungsgeschwindigkeit ist in diesem Grenzfall an der Oberfläche unendlich.

Schwingungen einer Flüssigkeit in einem prismatischen Gfefäss.

Von Wellenbewegungen bei veränderlicher Tiefe haben sich ausser den betrachteten sehr wenige Fälle behandeln lassen. Zu diesen gehören die stehenden Wellen einer schweren Flüssigkeit in einem prismatischen Gefässe. Unter der Voraussetzung, dass die Bewegung nur von den beiden Coordinaten « und y abhängt, • setzen wir

q -f- ity — [l — cl [;x + iy — i (x -f- iy)] — i ® (x -f- iy)²J sin nt,

woraus folgt

98)

qj = [1 — a (x y) + a²xy] sin nt, ip =    (x — y) — y (x¹ — y²)J sin nt.

Es wird if> — 0 für x = y, und x + y = -- •

Die Flüssigkeit kann hiernach durch zwei, sich rechtwinklig schneidende Ebenen begrenzt werden. Die Entfernung der Schnittlinie von der ««-Ebene ist gleich * • Die Flüssigkeit soll im

Gleichgewichtszustände der ««-Ebene parallel sein. Während der Bewegung sollen die Abweichungen von der Gleichgewichtslage ebenso wie die Geschwindigkeiten sehr klein sein.

Die Schwere wirke in der Richtung der positiven y. Dann giebt die Bedingung constanten Drucks an der Oberfläche, wenn die Quadrate der Geschwindigkeiten vernachlässigt werden

gy —

$ = const

by

gcn>

CO

ist, so folgt

bip

b²ip

y by bt²

Diese Bedingung giebt

für y = 0 .

ag = n².

also gleich der eines Pen-

Die Schwingungsdauer ist gleich

2n

Y a9

dels, dessen Länge der grössten Tiefe der Flüssigkeit gleich ist.

Für y — 0 ist

()<P

ty

= (— a + a²x) sin nt.

die grösste

Die Breite des prismatischen Gefässes, in dem sieli die Flüssigkeit befindet, ist an dem ruhenden Wasserspiegel

bep

Tiefe des Wassers • Nun ist in der Oberfläche

x==~- An dieser Stelle finden keine vertikalen Bewegungen des

AVassers statt. Für x > — hat

a

/eichen wie für    Die Oberfläche führt Schwingungen aus

für y — 0 eine lineare’ Function von

x ist, so bleibt die Wasseroberfläche hei den Schwingungen eine Ebene. Die inneren Flüssigkeits-theilchen bewegen sich in gleichseitigen Hyperbeln, deren Asymptoten die Gefässwände bilden.

In der Fig. 17 bedeuten die stark ausgezogenen Linien die Wände, die schwache Linie die horizontale Oberfläche, die punktirten die Lage der Oberfläche nach

jeder halben Schwingung, die punktirten Hyperbeln die Stromlinien.

um die Linie x — —■ Da

ty

= 0 für

(Up

ty

das entgegengesetzte Vor-

Fig. 17.

Die erste Theorie der AVeilen rührt von Lagrange her (Mec. analytique Abschn. XI). Später hat Poisson (Mémoire sur la théorie des ondes; Mém. de l’Acad. royal des sciences 1816) die Ausbreitung der AVellen, die von einer plötzlichen Erschütterung ausgehen, behandelt. Ueber diese sehr verwickelte Theorie haben W. Thomson (On the waves produced by a single impulse in water of any depth; Proc. Royal Soc. Febr. 1887) und W. Burn-side (On deep-water waves, resulting from a limited original disturbance; Proc. Lond. math. soc. 20, S. 22; 1888) geschrieben.

Die' Gruppengeschwindigkeit ist von Lord Rayleigh eingeführt (Theory of sound I, S. 246).

Die Wellen von endlicher Höhe, deren Form eine Cycloide ist, sind zuerst von Gerstner (Theorie der AVellen; Prag 1804;

Gilbert’s Annalen 32, 1809), später unabhängig von Rankine (Lond. Phil. Transact. I, S. 227, 1883) behandelt.

Die im § 1 durchgeführte Näherungstheorie stammt in ihren Grundzügen von Helmholtz (Beri. Ber. 25. Juli 1889; 17. Juli 1890). Der Einfluss des Windes auf die Wellengeschwindigkeit bei tiefem Wasser ist von W. Thomson bestimmt (Phil. Mag. (4) 42, S. 369,1871). Die Wellenbildung durch Unebenheiten des Strombettes ist ebenfalls von W. Thomson behandelt (On the stationary waves in flowing water; Phil. Mag. Oct. Nov. Dec. 1886 und Jan. 1887). Die Bildung stehender Wellen durch äussere Einwirkung auf eine Stelle der Oberfläche ist von Lord Rayleigh entwickelt (On the form of standing waves on the surface of running water; Proc. Lond. math. soc. 15, S. 69, 1883). Die Einzelwellen sind von Scott Russell (Report on waves; Rep. ofBrit. Ass. 1844) auf Canälen beobachtet Avor-den. Die Theorie stammt von Boussinesq (Compt.rend., 19 Junil871) und Lord Rayleigh (Phil. Mag., April 1876). Die SchAvingungen einer Flüssigkeit in einem primatischen Gefäss sind von Kirchhoff behandelt (Ueber stehende Schwingungen einer schweren Flüssigkeit, Ges. Abh., S. 428; Kirchhoff und Hansemann, Wied. Ann. 10, S. 337, 1880).

Die Frage nach Erregung und Stabilität der Wellen ist noch als offen zu betrachten. Keine der bisher hierüber angestellten Betrachtungen sind als entscheidend anzusehen. (Vgl. Lamb, Hydrodynamics, Art. 224, 225; W. Thomson, Hydrokinetic solutions and observations, Phil. Mag., Nov. 1871.)

Die Transformation der Gleichungen von Lagrange rührt von H. Weber her (Ueber eine Transformation der hydrodynamischen Gleichungen, Crelle Bd. 68; 1868).

VI. Ebbe und Elutli.

§ i.

Fluthwellen in Canälen.

Die Theorie von Ebbe und Fluth muss auf den dynamischen Charakter der Eluthwellen Rücksicht nehmen und stützt sich dann auf folgende Annahmen. Die Tiefe der Wassermasse h ist klein im Vergleich zur Länge der Fluthwelle; ebenso sind die Abweichungen des Wasserspiegels von der Horizontalen als klein anzusehen. Die störenden Kräfte sind periodisch. Die vertikale Coordinate ist y.

Betrachten wir zunächst Störungen, bei denen alle Bewegungen parallel einer Ebene der x, y vor sich gehen. Die Gleichung der Continuität ist dann

1)

bu , bv A bx^ bt/ = ö’

Nennen wir i] die Erhebung des Wassers über die Horizontale, so ist, da das Druckgefälle als unabhängig von der vertikalen Coordinate und die horizontale Bewegung als unabhängig von der Wassertiefe angenommen wird,

bp

bt]

Yx gs Ÿ'

2)

Da nun mit Vernachlässigung der quadratischen Glieder

3)

bu

S bt    ö.r

ist, so haben wir

bt]

bio

■] Yx — ~ bt

und v =

4)

an der Oberfläche.

15

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

Integriren wir die Continuitätsgleichung 1) nach y, so erhalten wir

bu

bu

oder annähernd

brj

OS;

a I s

4 a)

Durch Elimination von u folgt

b²T]

b²y

bt2 fJ,t bx²

5)

Haben wir es mit einem Canal von beliebig geformtem Querschnitt, dessen Fläche S ist, zu thun, so Üiesst in der Zeit dt aus dem zwischen x und x -j- dx liegenden Raum die Wassermenge

— dx

b{uS)

bx

parallel der rr-Axe aus. Parallel der y-Axe, wenn b die Breite der Wassermasse an der Oberfläche bedeutet, fiiesst nach 4) die

Menge bdx aus der Oberfläche aus. Wir haben also die Gleichung

b{uS) by j

öx    ¥ ; ’

Die Differentialgleichung ist die bekannte der schwingenden Seiten. Die allgemeine Lösung ist

6)

fj = f {at — x) + /i {at + x),

wo a = ~\/~yh ist, f eine beliebige Function eines Arguments ist.

Es werden hierdurch Störungen dargestellt, deren gleiche Phasen mit der Geschwindigkeit a fortlaufen. Diese Geschwindigkeit haben wir für sehr niedrige Wellen schon für den Fall geringer Wassertiefe im Vergleich zur Wellenlänge abgeleitet. ¥ach dieser Formel ergeben sich folgende Geschwindigkeiten für verschiedene Tiefen

100 m 500 „ 1000 „ 5000 „

10000 „

31,3 m/sec

Diese Geschwindigkeiten sind die bei ungestörter Ausbreitung eintretenden und entsprechen den Eigenschwingungen des Systems. Bei den thatsächlichen Erscheinungen der Ebbe und Flutb hat man es mit erzwungenen Schwingungen unter dem Einfluss störender äusserer Kräfte zu thun, hei denen die Periode der Eigenschwingungen von entscheidender Bedeutung ist.

Nacli der Analogie der Zurückwerfung der Lichtwellen lässt sich auch die Beflexion der AVasserwellen an einer Stelle, wo eine plötzliche Aenderung in den Dimensionen der Wassermasse ein-tritt, ableiten.

Diese Stelle liege bei « = 0. Wir haben dann zu setzen

Vi ⁼ U K* — x) + fr Kt + x) >

rj₂ = fd (a₂ t — x) ,

ui = ~ fe K t — x) — ~ fr («i t + X) ,

«2 =

fd (a₂t — x).

Hier bezieht sich der Index 1 und 2 auf die beiden Seiten der Unstetigkeitsstelle, c, r und d auf die einfallende, refiectirte und durchgehende Welle.

An der Grenze muss die Horizontalströinung stetig sein, d. h. es muss blhlul = b₂h₂n₂ sein. Dies giebt

[fe KO — fr KO] =

fd KO-

b\h i

«2

Ausserdem muss der Druck gleich sein. Dies ist nur der Fall, wenn die Abweichung der Oberfläche von der Horizontalen an der Unstetigkeitsstelle beiderseits gleich ist. Also ist

Vl = % °der fe KO + fr KO — fd KO •

Eliminirt man fr, so ergiebt sich

2bihi /. _ (b\h\    . b^h-i\ .

a, '⁶ V a\ a-₂ ) 'd ’

woraus sich das Verhältniss der Amplituden ergiebt.

Die einfachste Uebersicht über die weiteren theoretischen Schritte lässt sich aus dem Problem der Schwingungen des Wassers in einem rings geschlossenen Canal unter dem Einfluss periodischer Kräfte gewinnen. Es ist dasselbe Problem, das auch bei den Schwingungen einer gespannten Saite auftritt. Wirkt auf die

15*

Wassermasse eine störende Kraft in der Richtung der Horizontalen, so haben wir

~~ bx

ip + X*=s

8)

und die Elimination von >j aus 2) und 4 a) ergiebt b²u y bhi . èX 1

w ' —    ⁺ ir

Uie Nebenbedingungen sind, dass u = 0 für x — 0 und x = l wird. I ist dann die Länge des Canals. I)ie freien Schwingungen für X = 0 ergeben aus der Gleichung 8)

a² = gh

b²u . n²u

W + A² == ⁰ ’

u — sin ^ x + B cos ~ x^ cos {nt -f 6).

Da u für x = 0 verschwinden soll, muss B = 0 sein. Ausserdem soll u — 0 für x = l sein. Dies giebt

nl — = QJT

oder

u = cos {nt -f- ó) A sin —■

Dies sind bekanntlich stehende Wellen mit Knotenpunkten für ganzzahliges Yerhältniss von x : l.

2 jt

Hat nun die äussere störende Kraft die Periode — , so

n

haben wir

bX

= 2t cos {nt + ö),

wenn die Kraft in der horizontalen Richtung wirkt. Die Gleichung 8) giebt dann

ö²«

St

bx²

n²

+ P U — — a2

und

u — ^-f- A sin + B cos cos {nt + ö).

Die Bedingung u = 0 für x — 0 giebt

die "Bedingung u = 0 für x — l giebt

nl\

cos — 1 .

a )

a = J (f —

. . nl A sin —

Es ist also

.    22t , nl

A=a>

2 21 . nx .

—r sin 5- sm 0 a² 2a    2a

n (/ — x)    cos [nt -(- Ó)

cos

nl

2a

Hier sind keine Knotenpunkte vorhanden, wir haben u= 0 nur an den Enden. Solange ~    ist, hat die Strömung u dieselbe Richtung

wie die störende Kraft, wenn es ^ ist, die entgegengesetzte;

nl

ist

2a

n}, so stimmt die Periode der störenden Kraft mit der

der Eigenschwingung überein und die Amplituden werden unendlich.

Wir gehen jetzt zur Betrachtung der Fluthwellen in einem Canal über, der parallel dem Aequator der Erde liegt.

Ist r der Radius der Erde, A der Mittelpunkt, C der Mittelpunkt des die Flutli erregenden Himmelskörpers, so ist das Potential der Gravitation im Punkte B

eM

wenn s die Gravitationsconstante, I/dieMasse des Himmelskörpers bezeichnet. Der Winkel d ist die geocentrische Zenithdistanz, R die Entfernung des Himmelskörpers. Dann istL=yr²+ R¹— 2 r 7? cos//, nach Potenzen von Z

Fig. 18.

Entwickeln wir

so wird

^*2 t ^2 cos &    -j- I

Die tangentiale Beschleunigung im Punkte B ist hiernach

^ ₂ sin // — § sin 2 fr'j sM.

Andrerseits beschleunigt der Körper die festen Massen der Erde e ^ parallel AC. Die tangentiale Componente

L~

cos

² /> ) .

eö

im Betrage von hiervon im Punkte 7? ist

7?2

sin ff-.

eM

Die relative Beschleunigung des Wassers gegen die feste Erde ist also

»,W

eMr

R²

sin 2 ff-.

Wir können nun unsern Canal betrachten, auf den die störende Wirkung des Himmelskörpers in der Weise einwirkt, dass er in derselben Ebene fortschreitet und also in 24 Stunden den Winkel & von 0 bis 2 jt ansteigen lässt.

so

Rechnet man also ff* von einem Punkte x — 0 im Canal wird, wenn die Umlaufszeit des Himmelskörpers T ist,

ff- — 2.7T

C-t)

zu setzen sein. Hier ist l die Länge des Canals, nach dessen Ablauf die Periode zu Ende ist, also 2str.

Unsere Differentialgleichung 8) wird

b²u QtieMt bx² TW~

Hieraus ergiebt sich für u zMr

Da in der Gleichung für die Beschleunigung der Winkel 2 ff auf-tritt, so ist die Periode halbtägig. Ferner ist

ua² T

b²u

W²

u = -f

cos 4 Jt

COS \jt

gl

Das Vorzeichen von rj wechselt, wenn ~

das heisst wenn

rf 2 >

die Tiefe des Wassers so gross ist, dass die freie Welle in derselben Zeit um die Erde läuft wie der störende Körper. Ist a²<,|,₂, so hat

die Fluthwelle entgegengesetzte Phase wie die störende Kraft, es ist also niedriges Wasser unter dem Standort des Himmelskörpers. Dies ist bei allen vorhandenen Meerestiefen der Fall.

Bei den Fluthwellen von stark steigender Amplitude ist die Voraussetzung kleiner Wellenhöhe und kleiner Geschwindigkeiten nicht mehr erfüllt. Man kann nach dem Vorgang von Lamb die

Helmholtz’sche Theorie der Combinationstöne hierauf anwenden, um weitere Näherungen zu erhalten.

Wir haben die Gleichungen

hu hu    h?j

aï + “5--⁹ 5

&0+’)“]

bei gleichförmigem Querschnitt.

Diese Gleichungen integrirt man, indem man setzt

u = eul + £²«₂ + £³w₃ -j-.....

V = £7h +    + fi3% +.....

und die Glieder, welche gleiche Potenzen von e enthalten, zum Verschwinden bringt.

Wir erhalten auf diese Weise

hr]i

-3 0,7,

4- u ô“'- = _ n ^

'    ¹ bx    J öx ’

Tf + hi (u' w2) =

und

h U\

ht

h?]

— ~~ht

àrji _ , hui

—    hx

hu|

W + u' öx ~ ~k

Jt + hx ^ % + w2 V\ ) = — h ~³.

Schreibt man nun vor, dass yv = II cos nt für x = 0 sei, so ergiebt sich'

n = H cos n (< — ) — ïfrn^-x sin 2n(j —    +.....,

(/ n II²

ö r/ IIn

hx    a

g öx ’

sin n

+■

gn²H²

h?i2

öx ’

x cos 2n

sin 2 n f/ — ^

(*-)•••

«³

ö//

Die Werthe von x, für die ^ verschwindet, liegen nicht mehr

in gleichen Abständen von einander. Wir haben also keine constante Wellenlänge mehr. Da x noch ausser der Verbindung

* vorkommt, sind die Wellen überhaupt nicht mehr stationär.

Ferner sind sie, da sowohl sinus wie cosinus vorkommt, unsymmetrisch in Bezug auf beide durch einen Wellenberg gelegte

Verticale.

Bei stationären Wellen lassen sich keine Gleich-

gewichtsbedingungen für unsymmetrische Wellen finden. Solche unsymmetrische Wellen sind immer an die Bedingung des nicht stationären Zustandes gebunden.

Von grosser Wichtigkeit ist das Problem der Steigerung der Fluthwellen heim Eindringen in schmaler oder flacher werdende Canäle.

Wir hatten für einen Canal von beliebigem Querschnitt nach 6) und 4)

brj

bu

bt    g bx

Ist h die mittlere Tiefe, so ist hb = S. Eliminiren wir i], so erhalten wir

(hbu)

b²u ej ö2 bß — b öV²

und für

10)

(«sD-

Nimmt die Breite des Canals z. B. proportional der Entfernung von der Mündung ah, wo x = l ist, so haben wir b — x zu setzen. I3ie Tiefe h sei constant.

Wenn an der Mündung des Canals durch die offene See die Fluthwelle

^² Y. 9 b

bß    b bx

?] = II cos nt

unterhalten wird, so haben wir zu setzen

7] — f cos nt

und erhalten

Setzen wir ^    so ist die Lösung der Gleichung die für

x = 0 endlich bleibende Bessel’sche Function f/₀ {%). Ihr Verlauf giebt die Zunahme der Wellenhöhe, deren absolute Höhe durch die Gleichung

11=

gegeben ist, wo II die Höhe der Fluthwelle an der Mündung des Canals in die offene See ist.

Um gleichzeitigen Einfluss von Höhen- und Breitenabnahme des Canals zu berücksichtigen, setzen wir

b = b{x, h — b₂x,

G^sD-

so wäre b{l und b₂l die Breite und Tiefe an der Mündung, also ö²»/_

Ö£² ö*

Wieder ist rj = cos ntf(x).

Wir erhalten für f die Differentialgleichung

= 0.

Setzen wir — k², so ist das Integral, das für x = 0 endlich bleibt,

Je² . Je* 1.2 * ' 1.2.2.3

f=c( 1

1.2.2.3.3.4

Auch diese Function ist periodisch nach x, ebenso wie im vorigen Falle haben wir eine Zunahme der Wellenhöhe hei Entfernung von der Mündung. Bedeutender Einfluss ist aber nur bei bestimmten Dimensionen zu erwarten. Bei halbtägigen Perioden

ist nämlich die Grösse — in meter⁻¹ ausgedrückt 1,107 • 10 ⁹, so-

dass entweder die Grösse b₂ also die Tiefe des Wassers sehr klein oder l sehr gross sein muss, wenn überhaupt volle Perioden zu Stande kommen sollen.

Indessen hängt die Fluthbildung in solchen Canälen sehr von dem Gesetz ab, wie sich die Tiefe ändert. Nehmen wir die Breite des Canals constant gleich b und Ji = hox² an, so würde die Tiefe an der Mündung ha — hol² sein.

Die Differentialgleichung 10) giebt dann

U§) + jf= o.

< 1 ist.

Es ist dann auch keine Periode vorhanden. Die Amplitude nimmt

solange

f = Gx

4 n²

fjh₀

aber stark von der Mündung an zu und wird für x = 0 unendlich. >> 1, so ist das vollständige Integral

cs o K «4

Ist

f—\ Cx cos [m log x] + C₂ sin [m log .«]} x~ *

n²    .

'0

h    Ï*

Hier würde f für x — 0 ebenfalls unendlich werden. Daher sind in diesen beiden Fällen die Schwingungen im Canal nicht vollkommen bestimmt, sondern werden es erst, wenn die Grösse der Amplitude sowohl für x = l als auch in der Nähe des Werthes x = 0 vorgeschrieben ist.

C03

2.

Fluthwellen auf ebenen, flachen Gewässern.

Wenn die Bewegung von zwei Coordinaten x und % abhängt, so haben wir nach Analogie von 4) und 4 a) die Gleichungen

bi]

y

und erhalten durch Elimination von w und u

b²r] __

w

Setzen wir i] — f cos nt, x — q cos #, % = q sin #, so erhalten wir die Gleichung

bn

b?j

bw

bt    9 bx

bi]

bt g bx ’

. fbu . bw\ h [fix + bx )

11)

gh (lä + Hl) •

12)

i öy

^ w*

Setzen wir weiter f = fx cos et#, so wird die Gleichung , 1 <lf\ _

‘ g dg

öy

hg²

i-¹

Qa /O I/O

d*f dg²

+ k*f = 0,

o,

die bekanntlich durch Bessel’sche Functionen integrirt wird und giebt

fi = {H\ (kę) + ĄSa (Icq)} Qa.

Hier ist wie S. 82

Ja (kQ) = 1 —

g²lc²

2 (2 o + 2)

gW

2.4 (2 a + 2) (2 a + 4)

dnJ (kg) k‘ln (dg2)n’

So (kg) =

- 3 (kç) = J₀ (kç) .[log a kg) — 0,577216]

+ 2 [J₂ (kg) - ł JA (kg) + ł (kç) ....].

Man kann mit diesen Lösungen leicht die Fluthwellen auf einer Wasserfläche berechnen, die von zwei concentrischen Kreisen begrenzt wird. Seien die Radien dieser Kreise Jf, und R₂. Für g = 7i’, und g = R₂ müssen dann die normalen Componenten der Geschwindigkeit verschwinden.

Nun ist

sin nt

sin nt.

Die normale. Comp on ente ist daher

—_L sinnt    , YöA

n S    ö(> ' öx öp/

Also muss für g = Il{ und g Wir haben also

— — sin nt ~ ■ n    dg

R₂ die Grösse

df

dg

— f Null sein.

und

-fQ [e* (fli* (*p) + Ą3« (*e)}], ₌

| [> (ff,/. (kç) + Ąfc (*,)}]

R1

= 0,

woraus das Yerhältniss der Constanten Hv und H₂ zu bestimmen ist. Die Constante k ergiebt sich aus der Gleichung

<L ro4Ä)\i

dg L>

La Ä)\l

dg L tcia (kg)fj e = R,

Ist Rt — 0, d. h. füllt das Wasser die ganze Fläche des Kreises I?₂ aus, so muss Il₂ Kuli sein, weil die Function ^ für g = 0 unendlich wird. Dann haben wir die Gleichung

-s~' ».

R„

und die Werthe von. k sind durch die Wurzeln dieser Gleichung bestimmt und zwar sind die kleinsten für n = 0

k Ri

7t

1,22, 2,23, 3,24...

Ist a = 0, so ist f unabhängig von &. Die Wellen sind symmetrisch um den Mittelpunkt angeordnet. Ist ci = 1, so ist

f=fx cos .

Jetzt ist die Bewegung symmetrisch in Bezug auf die Linie & — y und — ^7t

T'

Diese Bewegungen sind ganz analog den auf S. 82 beschrie-

benen.

Sehr einfach gestaltet sich die Berechnung der Wellen, wenn die Wassermasse ein Rechteck bildet. Wir setzen dann

q — II cos myx cos m₂% cos nt

und erhalten

Ferner ist

II q m, .

u =    —- sm m, x cos    sm nt, w

n    1    z

Daher ist die Schwingungsdauer

2 7t

T= —

Y gh (li + /»)

In der folgenden Tabelle ist die Dauer freier Schwingungen in Stunden auf einer rechteckig begrenzten Wassermasse für verschiedene Dimensionen in Metern gegeben:

10³

10⁴

10⁵

10⁶

h= IO²    4    =    10³    T— 0,0125    0,0176    0,0177    0,0177

h = 10²    /₂ = 10⁶    T= 0,0177    0,177    1,76    12,54

/*=10⁴    4    =    10³    T = 0,0125    0,00176    0,00177    0,00177

h = 10⁴    Z₂    =    10⁶    T = 0,00177    0,0177    0,176    1,254

Wirkliche Fluthwellen unter der Einwirkung kleiner störender, der Zeit und dem Raum nach veränderlicher Kräfte, deren

Freie und erzwungene Schwingungen.

237

Potential $ ist, lassep sich aus den Gleichungen 11) gewinnen, wenn wir setzen

bu

bjj __ Ô3S bt    9 bx bx ’

bw

brj

03$

13)

bt    ^ bx, bx

Wir haben dann in unsere Gleichung für ?j die Grösse // + — einzusetzen.

Die Differentialgleichung für i] ist dann

b²y . b²t]    1 b²rj     / b2<$$ . ö²il$\

bx² ' bx²    <jli bt²    vbx² ' bx²)

und an der Grenze muss

k h⁺f)

Die gezwungenen Schwingungen ergeben sich am einfachsten für die kreisförmige Wasserfläche. Hier war

i] == HJa (kç) Qa cos nt cos ad.

Wir werden also der Amplitude der gezwungenen Schwingungen den Factor cos nt cos ad ebenfalls beilegen. Setzen wir

. SS n ff—

so haben wir

= 0 sein.

= f₂ cos ad cos nt,

i) = f cos ad cos nt

14)

(/) — f ) cos ad cos nt ;

ö/₂

und

b()

= 0 für q = R

ïP ⁺ ï*-?/1 + *v_0-

Jede Function f₂ von q, welche die erste Bedingung erfüllt und überall endlich und stetig bleibt, erzielt einen bestimmten Werth von f. Der Werth von a ist durch die Periode der äusseren Kräfte bestimmt. Es giebt daher unendlich viele verschiedene Functionen, welche die Bedingungen erfüllen. Bestimmt wird das Problem erst durch Vorschriften über die Form der Function zu einer beliebigen Zeit, oder durch die Forderung, dass die Form der Wellen mit denen bei freien Schwingungen übereinstimmt. I11 dem letzten Falle muss

f= const QaJa (kç)

sein, und daraus folgt

f₂= Bq* — CJa Qa (kQ).

Ö233    ^    jl bV8 = n

ôp²    q b@    p² öS-²

Die Grenzbedingung ergiebt Ba Ra

kG 4 ^()at7a c = Ä» also G =

BaRa~¹

dem nach

/• =

BaRa~¹

* £ !**<*», = ß

für die freie Schwingung ist -j- [on Ja (/.*(>)] _ R = 0 ; stimmt also die

Periode der störenden Kraft mit der Periode Eigenschwingung überein, so wird, wie bei allen Schwingungsproblemen, die Amplitude unendlich. In Wirklichkeit verhindern die Reibungskräfte eine Steigerung der Flutliwelle über eine gewisse Grösse. Will man ohne Einführung der Reibungskräfte ausdrücken, dass die Wellen endliche Grösse behalten, auch wenn die Periode der Störung der Eigenschwingung sich nähert, so muss man eine Abhängigkeit der störenden Kraft von der Schwingungszahl annehmen, so dass diese Kuli wird, wenn Eigenschwingung und gezwungene Schwingung übereinstimmt.

Kehmen wir wieder den Fall einer rechteckig begrenzten Wassermasse und setzen

r\— — = IIt cos mxx cos m₂% cos nt, 7J — II cosn^x cosm₂z cos nt. Die Grenzbedingung ergiebt m]

(tj7t

a₂7t

— h ’    4 '

Andererseits giebt die Differentialgleichung 14)

also

Ifj (m\ -\- m !) = k²H,

= (H — I/, ) cos mlx cos m₂z cos nt

und

ß cos m{x cos m₂z cos nt.

Durch die Dimensionen sind mx und m₂ bestimmt. Durch die Periode der störenden Kraft ist k² und durch die Gleichgewichts-oberHäche die Constante C und somit auch rj vollständig bestimmt. Für die Uebereinstimmung der Periode würde man II = II{ und

einen beliebigen absoluten Werth von H, dabei — — 0 , also eine

vollkommen freie Schwingung haben. Dies entspricht den that-sächlichen Verhältnissen besser als die unendlich anwachsende Amplitude.

ZOO

CO

Ebbe und Flutli einer ebenen Wasserfläche mit Berücksichtigung der Erddrehung.

Die bisherigen Entwicklungen für die Theorie von Ebbe und Elutli sind nur für die langsamen Schwingungen verhältnissmässig wenig ausgedehnter Wasserflächen brauchbar. Für die grossen Weltmeere treten noch zwei andere Momente hinzu, die nicht ausser Acht gelassen werden können, nämlich erstens die Umdrehung und dann die Kugelgestalt der Erde.

Wir werden zunächst den Einfluss der Umdrehung besonders behandeln und folgen der Darstellung von Lord Kelvin. Später werden wir die Ebbe und Fluth einer Wassermasse untersuchen, die eine sich drehende Kugel bedeckt.

Wir nehmen also zunächst die Wassermasse noch so klein

an, dass sie als eben angesehen werden kann und mit einer con-stanten Winkelgeschwindigkeit co um eine vertikale Axe, die y-Axe, sich dreht.

Der Einfluss der Erddrehung wird berücksichtigt, wenn wir zu den äussern Kräften parallel den Axen der x und % die Componenten

m²x — 2 cow,

C0²Z + 2 (OU

hinzufügen (Kirchhoff, Mechanik, 9. Vorlesung, Gl. 5).

Die durch die Centrifugalkraft hinzukommenden Glieder sind

•    (t) ^

die partiellen Ableitungen von „    (x- -f- z²) und können zum

Druck p binzugenommen werden.

AVir haben so nach 1!) die Differentialgleichungen bei Vernachlässigung der quadratischen Glieder

srir

IO

R-| 8 R-l « SO Iso so so

iß

Die Gleichung der Continuität ist wieder

h {hu) ö (hu)    hrj

hx    ' hx ~    ht'

Eine Lösung dieser Gleichung ist

-// — He cos (nt — mx) .

Dann giebt die letzte Gleichung

— 4 io2 gh

17)

m² — ß'²— —

Nun ist

b²g

und

Eliminiren wir iv, so erhalten wir aus den ersten Gleichungen

+ ⁴®²“ =-#(sS + 2ra8ï)

b²g \ btbx)

O/

tO

cs

b% .    .    9

+ imw =

bg

16)

(] (îo>

Ist h constant, so ergieht die Gleichung der Continuität

1 bg h bt

Differenciren wir die erste der Gleichung 16) nach x, die zweite nach % und addiren, so erhalten wir

bu . bw _ èæ bx

* (S +1)

b²g

bt2

+ 4 cobj.

bx btbx

und somit nach 16) w Null, wenn 2com = ßn ist. Aus 17) folgt ^2

dann m² =    •

gh

Wir haben dann nur Bewegung parallel der æ-Axe, für u findet sich

H(/m — ßx / ,    x

~n- e cos (nt — mx).

Die Grösse ^    9^> ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der

Wellen, die hiernach durch die Drehung nicht beeinflusst wird. Die Wellenhöhe ist dagegen abhängig von %.

Laufen die Wellen in der Richtung der positiven x und gehen wir in der Richtung der positiven % vor, so nehmen bei positiver Drehung die Wellenhöhen ab.

In schmalen Canälen, in denen die Fluthwelle parallel den Ufern läuft, muss ein derartiger Einfluss der Erdrotation bemerkbar sein.

Die Grösse ß

2 CD

•    u 7t

ist für co — Stunden, h = 1000 m

YVh

noch sehr klein. Der Unterschied in der Wellenhöhe an den Ufern eines 100 km breiten Canales ist ungefähr 1 : 0,868.

Führen wir Cylindercoordinaten und r und Ï) für u und w ein, so gehen die Gleichungen 16) über in

+ 4oUr =— q

_ b²g ht²

^    ₄ co²ï) =

vö^² ' g bg ‘ g² bo-²) y

18)

àt²

-f- 4m²ij.

19)

Setzen wir nun

rj — f cos (nt — m-fr) ,

so giebt die Gleichung 19)

^Lor\dl_(

dg² g dg V

m²

n² — 4 cd²

Q²

()h

)f= o.

Wir werden wieder auf Bessel’sche Functionen geführt, denn das allgemeine Integral ist

f— gm {-4.Jm (gk) H⁻ B*Sm (o^’)}

Je²

n² — 4co²

gh

Die Lösung entspricht Fluthwellen in einer von zwei Kreisen mit den Radien p = Bl und g — R₂ begrenzten Wasserfläche mit Weilen, die tangential laufen und deren Amplitude von g abhängt. Die Grenzbedingungen ergeben

⁰ = Tg {^w \AJm W + B%m (?*)]}, = Rl 0 = jr jpw \j4Jm (gk) + B%1 ((>&)] ₌

Tę (»"3"fe*)), ₌ h_ (pm3m(Pi))t = Si

aus dieser Gleichung ist k zu bestimmen. Ist Rl = 0, so ist

f — gm A Jm (gk), also bestimmt sich k aus der Gleichung

ff [pm Jm (gk)] — 0 .

also

Jm ((>/£))

-Rj

dg

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

16

Um die Winkelgeschwindigkeit œ an einem Orte mit der geographischen Breite 7 zu erhalten, ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde mit sin 7 zu multipliciren. Wenn n² grösser ist als 4 co, so wird k imaginär und die Reihe für Jm (qJc) enthält nur positive Glieder. Es verschwindet dann die Function und ihre Ableitung für keine Werthe ausser ç — 0, wenn m 2 ist.

Es sind dann die Grenz!)edingungen nicht mehr erfüllbar. Alle reellen Werthe von k führen also auf schnellere Eluthperioden als der Winkelgeschwindigkeit der Erde an dem betreffenden Orte entspricht.

§ 4.

Ebbe und Flutli der Weltmeere.

Wir gehen nun zur Entwicklung der Theorie der Fluthwellen auf einer flachen Wasserfläche, welche die Oberfläche einer sich drehenden Kugel bedeckt. Für die Ableitung der Differentialgleichungen folgen wir Lamb (Hydrodynamics, S. 344). Seien 7 und a die geographische Länge und das Complément der Breite, 3 die radiale Entfernung eines Wassertheilchens von der Meeresoberfläche, wenn keine Fluth vorhanden wäre, R der Erdradius, so sind die Componenten der Geschwindigkeit relativ zur festen Erde, wenn wir p = (R fl- ft) sin a setzen,

da

u —    + b) dt ’

dy

di

V~Q dt

Die lebendige Kraft des ganzen Systems ist also, wenn co wieder die. Winkelgeschwindigkeit der Erde ist

(ff + 0 + I)' e² + (I)²

Die Bewegungsgleichungen leiten wir nach dem allgemeinen Schema von Lagrange

— + Pa ab,

ùpa

d /öL'v ÖL dt Vö^a/

wo pa eine beliebige Coordinate, qa ihr Differentialquotient nach der Zeit und Pa die Componente der äussern Kraft bezeichnet, die pa zu vergrössern strebt.

Wir haben nun, wenn wir berücksichtigen, dass

Ist nun 05 das Potential der Erde, 05t das der äussern Kraft,

so ist

P- =

-a(f+ « + **).

P*=-Ty (f+* + ®.).

Px =

g?|ö-

9 n (h/-da +

* 1.0a dt ' Ö£ dt)

!Ta\ ~ Tä⁼ (ß+ ä)‘²~pr —

d{Q²) _

dt

ist,

/ ÖL

dt

ÖL

(    \ dy\2 öp

l® + dt) ?ha’

\ dt)

20)

ÖL

dt

di

hdt

ÖL _

öj cfó²

( i dy\l öp

r + «jp Sj■

- 4 (f +* + «.)•

Wir erhalten also folgende Gleichungen, wenn wir die quadra-_ tischen Glieder von u, v, Cjf vernachlässigen,

S    Iso

/O /O /O /O

— 2 cov cos a =

— «Vs Ł (? + * + *1 — i“²?²).

|(f+æ+S8₁-t®V).21)

di

-f- 2 cou cos a -f- 2 co ^ sin a = —

'D |

— 2GW sin a = — ^    + 05 + 05t — i<»y²) •

Nehmen wir nun die Meerestiefe als sehr klein gegen den Erdradius an, so ist 7? + ft durch R zu ersetzen.

Wir nehmen nun an, dass die vertikalen Geschwindigkeiten vernachlässigt werden können. Dann giebt die letzte der Gleichungen 21)

(f+ æ + sB.‘-i«>v) = o.

Schreiben wir

<21

so ist g die Beschleunigung der Schwerkraft vermindert um die der Centrifugalkraft, also

vr Q² = const + gl

und an der Oberfläche

— Y Q² — const -f- grj\

r] ist wieder die Entfernung eines Wassertheilchens in der Oberfläche von der Niveaufläche. Wir haben also

j    — yCo²q² = const + grj -f- 35].

Da nach der Annahme die Grössen nicht von § abhängen, so gilt diese Gleichung für die ganze Wassermasse. Wir haben also

— 2cov cos « = — ± ~ (grj + ©J,

(grj + SS, ).

22)

+ 2 cou cos a —

Q ö/

Um die Gleichung der Continuität abzuleiten, betrachten wir ein Volumelement mit der Tiefe h und den Coordinaten a, /; a, / + d/; a + ôa, y; a + ôa, y + dy; so sind seine Abmessungen h, R sin ady, Rda. Die in Richtung a fliessende'Wassermasse ist

uR sin ahdy , die in Richtung y fiiessende Rvhda.

Da die Geschwindigkeiten nicht von § abhängen, strömt in das Volumelement die Wassermenge

(uhR sin a) dy ■ da -f- ^ (vhR) da ■ dy.

An der freien Oberfläche strömt das Wasser vertikal mit der Geschwindigkeit || aus, aus dem Volumelement also die Menge

¥'

R sin ady Rda ^

Durch Gleichsetzen erhalten wir

Ô (uh sin a)

ÔT]

___J__ (

ö£    R sin a v ôa

oder da p = R sin a n?t,

()?]

/ ö(uhg) ö(vh)\ V Rtxx ' öy /

23)

¥ = —

Wir nehmen weiter an, dass die Meerestiefe nur von « abhängt und beschränken die Abhängigkeit von der Zeit und von y

auf den Factor e ^    ~ x ^ , wo % die Phase bestimmt. Dieser

Factor ist in Uebereinstimmung mit der störenden Kraft Gleichung 27 a). Wir erhalten dann

inu — 2 c.ov cos a —

R öa

(grj + $0,

inv + 2 cou cos a

oder

sin (nt -f- my) R(n² — 4 a)² cos² a)

cos (nt -f- my)

R (;n² — 4a>² cos a)

(g y + SSi)

[ n ^(5r,^+^i) + 2o?mcotscc(5,/^+^i)] [2 ™ ^ (grj + SSJ cos « + (g V + $1)] ■

R sin a

24)

Wir gehen nun zunächst dazu über die störenden Kräfte, welche die Erscheinungen der Ebbe und Eluth erzeugen, genauer zu untersuchen und dann die einzelnen Gruppen in unsere Theorie einzuführen.

(1 — 3 COS² d)

tc —

Wir hatten für das Potential des .störenden Körpers gefunden eMR²

IJ wo die Zenithdistanz des störenden Körpers ist.

Ist nun 7] die Erhebung über die Niveaufläche, so folgt aus dem Princip, dass die Wassermasse ungeändert bleiben muss,

JrjdS — 0 ,

wenn das Integral über die ganze zusammenhängende Wassermasse erstreckt wird, deren Oberfläche S sei.

(1 — 3 cos² #)

7] — 0 —

Nun würde die statische Erhebung des Wassers sein ₁ eMR²

wo C sich aus Constanz der Wassermasse ergiebt.

Es ist also

! fdS (1 — 3 cos² #)

wo die Integration über die mit Wasser bedeckten Theile der Erde zu erstrecken ist.

Sind wieder « und 7 die Winkelcoordinaten, 7 der Stundenwinkel, ô die Déclination des störenden Körpers, so ist nach den Pegeln der sphärischen Trigonometrie

cos & = cos ô cos « + sin ô sin « cos (7 — 7),

(7= 21 cos 27 sin²d + 33 sin²d sin 27 + 4 (S cos 7 sind cos ô + 4® sin 7 sin ô cos ô + |-(£ (3cos² ô — 1),

wo 21 = 3ö jdS sin²« cos 27,    = SbdS sin²« sin 27,

^ = SbJ^dS sin « cos « cos 7,    © = 3bJ'dS sin « cos « sin 7,

dS = sin « da dy,

@ = 3bJdS (3cos²« — 1),

1 sMR2 z SL³

Daher wird die Gleichung 25)

— C + y sin² « sin² ô cos 2 (7 — 7)

sind.

26)

+ Y sin 2 «hin 2 ô cos (7 — 7)

+ 4 (3cos²d— 1) (3 cos² a— 1).

ist, wenn die Flüssigkeit sich nicht bewegt.

Dies ist der Werth von 7], wenn u = v — 0 sind. Ans 22) folgt, dass r] — — -¹

An einem bestimmten Orte auf der Erde sind « und 7 gegeben. Dagegen ändert sieb der Stundenwinkel um 2 jc innerhalb vierundzwanzig Stunden. Das erste Glied hat also halbtägige*, das zweite tägliche Periode] und durch sie wird die halbtägige und tägliche Mond- und Sonnenfluth dargestellt.

tc| a,

und stellt

Das dritte Glied ist periodisch in Bezug auf

also durch die Aenderung der Déclination des störenden Körpers die vierzehntägige Mond- und die halbjährige Sonnenfluth dar. Diese bezeichnet man afe die Fluthwellen von langer Periode. Die Grösse C hängt nur von den Winkeln 7 und ô ab und fällt daher aus den Gleichungen 21) ganz heraus. In unserer dynamischen Theorie spielt sie keine Polle, wohl aber in der Gleichgewichtstheorie. Wenn die Wasserfläche die ganze Erde bedecken würde, so wäre G — 0. So ist C von Null verschieden und ändert seinen Werth mit dem Standort des störenden Gestirns.

Für die Darstellung der halbtägigen Fluthwellen folgen wir einer Darstellung W. Thomsons. Setzen wir u und v aus den Gleichungen 24) in die Gleichung 23) ein, so erhalten wir, wenn wir g n -j-    = £ setzen,

1 d_ sin « da

h sin a

n²    9

— COS²«

4(w²

CI + ^>S.ootga)

n²    ₉

i«“⁰⁰⁸ “

/2m w , dt , cotga<£ +

m²1, sin² a

27)

4 <o² J?²

Wir setzen nun g — sin « und nehmen h als constant an.

Dann ist die Gleichung der Flüssigkeitsoberfläche nach der Gleichgewichtstheorie zur Zeit t

27 a)

^    ^ sin² d sin² a cos [nt — 2 (7 — 7)],

m = 2

und die Differentialgleichung 27) wird

und da die halbe Periode der Erde die der Störung ist, so ist 4<»² = n²

2 /, <n dX    <

P ^    ^ dfj.²    P du

4 (o²R²%'^

9h

(8 — 2^

== — AgA cos [nt — 2 (7 — 7)],

4<w² R² ßi

g'h

28)

toj“

sin² d

4<w² J?² • ,    *| v •    , .

j— ist. Die gestri-

wo g = Çcos[nt— 2(7 — 7)], A =

dielten Grössen enthalten den Factor cos [nt —- 2 (7 •— 7)].

Die Differentialgleichung vereinfacht sich, wenn wir wieder

„ = Lr*i n «■

einführen.

Dann erhalten wir die Gleichung, wenn wir

4 co² R²

g'h

= sin² d setzen.

^²(1 — g¹) 0 — g^ — (8 — 2 g² — ag⁴) ?j = —S^g².    29)

"Wir setzen jetzt

n = K₂^ + KAp* +    + . • . . K2a[i** + • • •

Dann ist K₂ = § ,

2 Ct (2 Cl -(- 6) Ä2 a+4 — 2 CI (2 Q -j- 3) -^2 a+2    & K₂ a = 0 .

Hierdurch sind alle Coefficienten mit Ausnahme von K₄ bestimmt. Dieser wird durch die Bedingung bestimmt, dass die Strömung überall stetig ist. Wir haben

2 ei + 3

2a + 6

Wenn nämlich Ä^ad-2 nicht unendlich klein gegen/Ça bei unendlich wachsendem a ist, so verschwindet das zweite Glied gegen das erste und wir haben

Ä2a+4

-£2 a+2 —

2a (2a+6)

K2a.

30)

und

K₂a+2 —

2a + l 2a + 4

Ä2a+4 — |“j7ß ^2a+²

Kza = (1 — |a) Ki a (lim a = 00).

Entwickeln wir nun (1 — fi²)i und bilden das Yerhältniss zweier auf einander folgender Glieder für unendlich wachsende Stellenzahl, so finden wir für das Yerhältniss der Coefficienten von ^2a+² und (i2a

-£2(1+2

K%a

(1_Ä)'

Die Summe von 7] + (1 — ^²)ł = f wäre endlich und dann wäre 7] für \i — 0 endlich.

Es ist also

ł-a_

rj—f— y 1 — iw²

di] _ c?/⁻ .    [a

dp.    dfA '

Nun ist für fi — 1 endlich. Es bleibt also ^ für = 1 endlich. Dies ist unzulässig, weil wegen der Symmetrie der halb-

da

dt]

tägigen Eluth auf der nördlichen und südlichen Halbkugel — 0 sein muss für fi — 1. Es muss also £20+2 gegen K2a verschwinden.

(l~ für (.i = 0 zum Verschwinden,

Thatsächlich bringt man —

wenn man K₄ nicht unbestimmt lässt, sondern die Bestimmung von ?j so einrichtet, dass man einen Coefficienten der Reihe K₂a+i mit möglichst grossem a gleich Null annimmt. Dann ist dąs Ver-Ä2a+2 Kaa

malige Anwendung dieser Gleichung ist dann

hältniss von

— durch die Gleichung 30) bestimmt. Durch aber-

K₂ g K-ia—2

und damit Kx erhält. In

so fort bis man das Verhältniss —

bestimmt und

/f2_

diesem Falle ist die Reihe immer convergent und zwar so con-

i£2a-t-2 der Werth von ij und

vergent, dass

für grosses a klein ist. Dann ist aber auch

drj

d(x

für fi — 1 endlich, und somit verschwindet

für fi — 1.

Laplace hat die Rechnung für drei verschiedene Tiefen der See durchgeführt und zwar für 2206 m, 8827 m, 17654 m.

Die entsprechenden Werthe von a sind 40,    10, 5.

Er erhielt folgende Reihen

V    = § {fi² + 20,1862 fi⁴ + 10,1164 fi& — 13,1047 fi⁸

—    15,4488 fi'° — 7,4581 fin — 2,1975 fin

—    0,4505 |M¹⁶ — 0,0687 ₍a¹⁸ — 0,0082 fiw

—    0,0008 fi²² — 0,0001 fi2i},

V    = & {fl² + 6,1960 fl⁴ + 3,2474    + 0,7238 fi

+ 0,0919 fi¹⁰ + 0,0076 fi¹² + 0,0004 fiu),

r\ = £ {^² + 0,7504 fi⁴ + 0,1566 fiö + 0,01574 fi8 + 0,0009 fi¹⁰}-

An den Polen, wo fi = 0 ist, findet keine Ebbe und Fluth statt. Am Aequator ist

V = ~ 7,434 ®, =    11,267 ®,

=    1,924 ®.

Im ersten Falle hat die Fluth entgegengesetzte Phase, wie die störende Kraft. Es ist Ebbe, wenn der störende Körper durch den Meridian geht und Fluth, wenn er am Horizont steht.

Für kleine Werthe von //, also in der Nähe der Pole, ist die Phase der Fluthwelle auch im ersten Falle dieselbe wie die des störenden Körpers, wie bei den anderen Fällen durchweg. Bei diesen nimmt die Fluth dauernd von den Polen zum Aequator zu. Die Coefficienten von zeigen, wie viel grösser der thatsächliche Werth der Fluth ist als die Fluthhöhe ohne Rücksicht auf die Bewegung der Flüssigkeit.

Die freien Schwingungen ergeben sich, da dann K₂ = $q₂ = 0 ist, aus der Reihe

rj = K₄ -p K₆ + Kg fi-

und wieder findet sich

Kza + 2 _

K2a

4a (a + 3)

2 q -f- 3 K%a 4 2q + 6 K2a + 2

Hieraus ergiebt sich

Kt

K₂~

¹⁶ h -1)

JT’

Wenn hei der Berechnung der freien Schwingungen ⁶

sich

dem Werthe f nähert, so wird

unendlich, also Kx und damit r\

unendlich, wenn nicht § = () ist. Es stimmen dann wieder die Perioden der gezwungenen und freien Schwingungen überein.

Aus der Laplace’schen Berechnung ergiebt sich für den ersten Fall

K₂

Ke    10,116    K₈ _

Kt    20,18fr»    Ke

13,1047 10,116 »

im zweiten Fall

Ks

Ke 3,247 Kt ~ 6,196 »

Man sieht hieraus, dass zwischen beiden Fällen

0,7238 Ke 3,247

— == f wird,

also 7] mit veränderter Tiefe auf unendlich steigt, dann auf — oc springt und schnell gegen den negativen Werth convergirt.

Wenn a etwas grösser ist, als der kritische Werth, für den r] = oo wird, so ist 7] für sehr kleine fi, also nahe an den Polen,

K\

positiv und geht durch Null zu sehr grossen negativen Werthen über. Es sind dann kleine Parallelkreise um die Pole, innerhalb deren die Elutli directe Phase mit kleiner Fluthhöke hat, während für den übrigen Theil entgegengesetzte Phase mit grosser Fluth-höhe vorhanden ist. Für den ersten berechneten Fall liegt der trennende Parallelkreis mit verschwindender Flutli bei 18° nördlicher und südlicher Breite. Wird die Meerestiefe noch kleiner, so wird Kx unendlich und bei weiterer Verringerung gehen wieder Parallelkreise mit verschwindender Fluth von den Polen aus. Dann ist die Fluth am Aequator in clirecter Phase, zwischen den Parallelkreisen in entgegengesetzter, und an den Polen wieder in directer.

Für die täglichen Fluthen haben wir

asi

= y sin 2a sin 2d cos (y — y — nt).

Hier ist n — co zu setzen, obwohl beim Mond diese Annahme einen Fehler von des Werthes bedingt. Es ist m — 1.

Wenn wir diesen Werth von in die Differentialgleichung einsetzen, so erhalten wir als Integral

Es erhält nämlich £ den Factor sin 2«. Dadurch wird das

das zweite +

erste Glied dann —

sin² a

sin² a

• Es ist daher

rj — 0, also überhaupt keine Fluthwelle vorhanden. Dies wichtige Eesultat der dynamischen Theorie wurde von Laplace abgeleitet und damit die Erklärung für die geringe tägliche Fluthhöhe gegeben, während die blosse Betrachtung des Gleichgewichts eine erhebliche Fluthwelle verlangt. Wenn indessen auch ^ verschwindet, so verschwinden doch keineswegs u und v, so dass Strömungen durch die tägliche Fluth hervorgerufen werden, aber keine Veränderung der Oberfläche.

Wenden wir uns jetzt zur Theorie der Fluthwellen von langer

Periode.

Hier ist

0= Y (ł — cos2 <*)•

Die Fluth ist unabhängig von y. Daher ist m = 0. Setzen wir cos a = /q, so geht die Gleichung 27) über in

4 ö>²ä²

— = + G (-j — cos² a) cos nt

«²=îS> «-

g'h

• 31)

Diese Differentialgleichung ist schon von Laplace abgeleitet; er hielt aber ihre genauere Discussion für entbehrlich, weil nach seiner Meinung clie Fluthwellen langer Periode aus der Gleichgewichtstheorie gefolgert werden könnten. Wir werden zeigen, dass diese Annahme irrthümlich war.

Es sei

2a +1

[X\- ff² dfly

So ist und

£=COnst — ö'²Bl    — 0²BS)    ... i (P₂a—3 —6²i?2a + l) !Ą2a...

Setzt man diese Reihen in die Gleichung ein, so ergiebt sich für die Coefficienten*

JD

const = — I Cg +    , und wenn Cg = (7, ist,

— Bx (l —‘273 ö² «) + i «G = 0,

B‘2a + 1 — B^a — l(l

ö² —

2ci (2a -J- 1)

a Bio. — 3 = 0.

2a (2a -f- 1)

Es lässt sich nun durch eine ähnliche Schlussweise, wie sie schon oben benutzt wurde, beweisen, dass das Verhältnis der B-ia + i Bia —

Coefficienten

- mit wechselndem a gegen Null convergiren

muss.

Aus der Gleichung

■52a +1 Bia — l

2 a (2 a +1)

ö² a -f-

-52a — 3

2a (2a+ 1) Bia-i

folgt, dass für unendlich werdendes a B2a + 1 — Bia - 1

Wir haben also in der Gleichung für ^ q2 die Glieder B2a {[Ąa + (Ąa +1

wird.

— schliesslich

2a+ 2

1 -f*l

7i = — (7: 0,3137 am Pol,

0.0,2363 am Aequator.

wo f (fi| ) eine endlich bleibende Grösse bezeichnet. Also wird ~

^    VT— für [ix = 1 unendlich werden.

Benutzen wir wieder das Näherungsverfahren von Laplace von einem bestimmten i?2a +1 = 0 für grosses n auszugehen, so sind

— endlich auch für /q — 1.

und

wieder die Werthe von Es folgt also

{§ _ 1 +1 («

0²Ą) Pi

Eür h — 2206 m erhalten wir

welle

— =    = 0,1520 — 1,0041 fi\ + 1,5228 n\ — 1,2187 [Ą

+ 0,6099 fif — 0,2089 fi{° + 0,0519 11\² — 0,0098 + 0,0014 ^l⁶ — 0,0002 [i{⁸ . .

Nach der Gleichgewichtstheorie soll die Amplitude der Flutli-

<h

am Pol

— f C für /q — 1, am Aequator + £ C für /q == 0 betragen.

Aus der eben durchgeführten dynamischen Theorie ergiebt sich rj = — C . 0,1037    für ,<q = 1,

G . 0,1529    für /q = 0.

Eür die Tiefe h = 8827 m ergiebt sich

Ql-3 .

und

= 0,2363 — 1,0016 /zf + 0,5910 [ij — 0,1627 -f 0,0258 — 0,0026    + 0,0002 (il²

V =

Hieraus folgt, dass die wirkliche Amplitude nicht die Hälfte der aus der Gleichgewichtstheorie folgenden beträgt.

Die erste Erklärung der Ebbe und Fluth als Folgerung aus der Gravitationstheorie ist von Newton gegeben. Die mangelhafte Uebereinstimmung mit der Erfahrung führte zur Anwendung der dynamischen Theorie, die für einen die ganze Erde bedeckenden Ozean für die halbtägigen und täglichen Fluthen von Lapläce abgeleitet wurde (Mécanique céleste L. IY). Die Berücksichtigung des Umstandes, dass das Weltmeer nicht die ganze Erde bedeckt, ist von Thomson und Tait eingeführt (Nat. Phil. Art. 808; diese Correction ist übrigens von geringem Einfluss. Ygl. G. H. Darwin, Proc. Royal. Soc., 1. April 1886). Ueber die Theorie von Laplace vgl. W. Thomson (Phil. Mag., Sept. 1875), Airy (Encyclop. Metrop.; Tides and waves; Sect. YI, 1845), Eerrel (U. S. Coast survey Rep. 1874, S. 154). Die Eluthen langer Periode sind behandelt von W. Thomson (Phil. Mag. Oct. 1875), G. H. Darwin (Proc. Royal. Soc., 5. Nov. 1886). Der Einfluss der Erddrehung auf die Ebbe und Eluth ebener Wasserflächen ist ebenfalls von W. Thomson untersucht (Phil. Mag., Aug. 1880). Die Theorie der Fluthwellen auf kreisförmig begrenzten Wasserflächen ohne Rücksicht auf die Erddrehung rührt von Rayleigh her (Phil. Mag., April 1876).

Ueber die Schwingung einer Wassermasse, die eine ruhende Kugel bedeckt, vgl. Lamb (Hydrodynamics Art. 190—193). Fluthwellen in Canälen von veränderlicher Breite und Tiefe sind untersucht von Green (Camb. Trans., 6, 1837); Airy (Tides and Waves, Encyclop. Metrop. Art. 260); Lamb (Hydrodynamics Art. 181, 182).

Die einfache Theorie der Fluthwellen in Canälen von rechteckigem Querschnitt ist bearbeitet von Airy (Tides and Waves, Art. 192); Stokes (Camb. and Dub. Math. Journ. IY, 1849).

Ueber die Anwendung der Riemann’schen Theorie ebener Schallwellen von endlicher Schwingungsweite und der Helmlioltz-schen Theorie der Combinationstöne vgl. Lamb (Hydrodynamics, Art. 183 und 184).

VIL Reibung der Flüssigkeiten.

Wir gehen hei den Betrachtungen dieses Abschnittes auf die allgemeinen hydrodynamischen Gleichungen zurück, die wir auf S. 15 abgeleitet haben. Setzen wir (-) = — | entsprechend Gleichung 27 a) Abschnitt I, so lauten diese Gleichungen

1 bp    bu    .    bu    , bu    ,    bu    k²    .

ÏS ⁼ ¥ + “to+'I+"'S_ï‘i"

t k² b (bu . ö# .

— » 7 bx, ' bÿ bzj ’

1    bv    .    . bv    bv    k²    .

-,    =-& + “    +v^ + wh-ja’’

j    b (bu ö»    ümA

~à s by    Vèæ    '    by    bz ) ’

1 bp    biv    .    bw    . bw    .    bw

7 ¥ ⁼ ¥~ ' U bx "F v b], +    — Ś

j k² b    (bu    .    bv .    <W\

+    bz)’

bs . ö (su)

¥ + +

✓©I/o*    !

4-    « I «

1)

- Aw

b (sv) è (sw) J by ' bz

Sie genügen nicht dem Gesetz der Erhaltung der Energie, weil ein Theil der lebendigen Kraft der Flüssigkeit durch die Reibung beständig in Wärme verwandelt wird. Dieser Betrag ist nach den Entwicklungen S. 16 während des Zeitelements dt

= 0.

1 a)

+ *(£ + £)+ *($ + £)]

///[* (rA + * (I)² +² (£)’ + (I +1)²

= — dt Je²

. (bw . öw\2 /öw . è»~\2

+ \jx + u) +    + ö*J

⁺ ¥ ⁺w) \^xdvd^'

Wir nennen diesen Betrag Qdt. Nehmen wir nun an, dass die Geschwindigkeiten so klein sind, dass wir die Grössen u ^u

u. s. w. gegen die linearen vernachlässigen können und dass

bsx ’

v

ày

die Flüssigkeit von allen 'Seiten durch feste Körper begrenzt sei. An diesen Grenzflächen setzen wir den Gleitungscoefficienten (vgl. S. 19) gleich Null. Dann hat die Flüssigkeit an diesen Flächen die vorgeschriebenen Geschwindigkeiten der festen Körper.

Unter diesen Bedingungen bilden wir die Yariation der Grösse indem wir die Geschwindigkeiten als unabhängige Yeränderliche ansehen unter der Bedingung, dass die Flüssigkeit nicht zusammen-drückbar ist. Wir haben dann die Bedingung

0 — d|+ öfffdxdyd*F(% + % + w)>

wo F eine beliebige Function von x, y, % ist. Bilden wir nun die Yariationen und schafi'en die partiellen Differentialquotienten von öu, öv, öw durch partielle Integration fort, so erhalten wir Oberflächenintegrale, deren einzelne Glieder mit öu, öv, öw multiplizirt sind. Diese verschwinden also an der Oberfläche, weil dort die Werthe von u, v, w fest vorgeschrieben, die Yariationen also Null sind. Es bleibt dann das Baumintegral, wenn die Gleichung

b/r

Y- = 0

öw , bv .

bx ' by ' ö&

berücksichtigt wird,

p s)6u + (h — p tf) <*'■

⁺ (Jm,_ps)H

übrig. Da die Yariationen öu, öv, öw von einander unabhängig sind, so haben wir

0 = k²

■f fj'dx dy dz ^

Au —

bF

n— =.k²Au

bx

bF

■jt— «= k²Av,

by    ’

bF

-k- = k²Aw.

bz

Diese Gleichungen stimmen mit 1) überein, wenn

ferner ißs — p = — F und

= 0 sind.

<W_ ö» _öz«?

Wenn also die Flüssigkeit ringsum an den begrenzenden Körpern festhaftet und die äusseren Kräfte ein Potential haben, so ordnen sich bei kleinen Werthen der Geschwindigkeiten im stationären Strome die Strömungen so an, dass die durch Reibung verbrauchte Energie ein Minimum wird.

Bei fast allen Problemen, für deren Behandlung die Kräfte der Analyse ausreichen, muss man sich auf die Beschränkung einlassen, dass die quadratischen Glieder der Geschwindigkeit vernachlässigt werden können. Ist die Bewegung stationär, so ist diese Vernachlässigung gleichbedeutend mit der Vernachlässigung der Trägheit der Flüssigkeit. Dann gilt der eben abgeleitete Satz.

Diejenigen Bewegungen, welche für unendlich kleine Geschwindigkeiten aus den Gleichungen für reibende Flüssigkeiten abgeleitet werden, sind auch im allgemeinen Fall möglich, wenn die Einflüsse der quadratischen Glieder durch äussere Kräfte aufgehoben werden.

Die Grösse dieser Kräfte ist leicht zu bestimmen. Es ist

+* %+w Z=G <“² + *² +wV> - ²*£ + 2wr‘-

Nimmt man den rechts stehenden Ausdruck zu den äusseren Kräften hinzu, so werden die von der Trägheit herrührenden Glieder

bu

bu

bu

uYxJrVYy + WU

fortfallen. Das Glied | (u² + v² + w²) kann zum Druck hinzugerechnet werden. Dann bleiben für die Componenten der äusseren Kräfte, welche den Einfluss der Trägheit aufheben, die Ausdrücke

X — 2 [wi] — vQ, 7 = 2 («g — tog)

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

Z —1 (v§ — urj).

17

Hieraus folgt

uX -f- v Y -f- wZ = 0 , gX+^Y-f- gX = 0.

Die Richtung der Resultante dieser äusseren Kraft steht also in jedem Punkte senkrecht auf der Richtung der Geschwindigkeit und der Drehungsaxe des Flüssigkeitstheilchens.

*/7j

Die Kugel.

Die allgemeine Integration der Gleichungen für eine reihende Flüssigkeit lässt sich im Falle der Begrenzung durch eine endliche Fläche nicht durchführen. Man pflegt daher die Glieder zu vernachlässigen, welche die Quadrate der Geschwindigkeiten enthalten. Betrachten wir ausserdem die Flüssigkeit als nicht zusammendrückbar, so erhalten wir die Gleichungen (die äusseren Kräfte sind auf die Schwere beschränkt)

- Au,

s ’

--Av

1 hp s hx ht

1 hp

hu

hr

hu

h»

h/r

>■

3)

hw

V s hz ht

- Aw.

Hieraus folgt zunächst Ap — 0.

Nehmen wir noch die Bewegung als stationär an, so können wir setzen

u=h(p

hx

hœ

V-Ty'

und w die Bedingung erfüllen lassen

Aw — 0.

Dann, ist

p = Je¹ A(p ,

hw‘

sr = -

Setzen wir w —— ⁽':, wo c eine Constante und r²=x² -f- y² + x²

ist, so ist die Bedingung erfüllt. Dann muss also

sein.

,    cz

= - -r.

Bewegung einer Kugel mit constanter Geschwindigkeit. Da Ar = -, A 1 — 1 = 0 ist, so können wir setzen

Ö-    V

. ₇ r o or

cp = a% + b    + g »

wo a und b wieder Constanten bedeuten.

Hieraus folgt

u — 3b

4)

V 00 r⁵ 2 r³ ’

3*2

r—i

tO; »

Setzen wir nun

36

6 c a ~~ R* ■" 21V

daher

a A'³

b = W-

c = f aR,

so ist u = v = w — 0 für r = 'R. Den Gleitungscoefficienten setzen wir gleich Null. Wir haben es mit der Bewegung einer Flüssigkeit zu thun, die in grosser Entfernung mit der Geschwindigkeit a strömt und in der eine Kugel mit dem Radius E ntht. Denkt man sich das Coordinatensystem mit der Geschwindigkeit — a bewegt, so haben wir . die Bewegung einer Kugel mit der constanten Geschwindigkeit a in einer ruhenden Flüssigkeit.

Die Kraft, die auf die Kugel wirken muss, um die constante Geschwindigkeit gegen die Reibungskräfte aufrecht zu erhalten, ist

J ZndS =J \zx cos Ex + Zy cos Ey -f- Z% cos Ex) dS.

Bei der Bildung von j*dSZn kommt man einfacher zum Ziel,

wenn man berücksichtigt, dass die auf eine geschlossene Fläche wirkenden Druckkräfte die Summe Null haben müssen, wenn die Bewegung stationär sein soll. Man kann daher den Raum durch die Kugel und eine zweite mit grossem Radius r begrenzt denken. Dann haben die Druckkräfte auf die grosse Kugel denselben

Werth mit entgegengesetztem Vorzeichen wie JdSZn.

Für un-

endlich grosses r ergiebt sich aus den Gleichungen 4) und den Gleichungen 26) Abschnitt I

& — - 3/a5-!

Zy~ — 3Æ²C yf,

Z~,= -We~

5)

Es ergiebt sich dann

yZndS — — 3 &²e    %² dS

= — 4 Jik²c = — 6jtlc²Ba.

6)

Zur Bestimmung der Reibungsconstanten k² würden wir diesen Vorgang in der Weise verwerthen können, dass wir eine Kugel, die nur wenig mehr spezifisches Gewicht als die Flüssigkeit hat, in dieser langsam sinken lassen und die Geschwindigkeit bestimmen, die die Kugel unter dem Einfluss der Reihung erreicht. Wenn das Gewicht der Kugel M ist und M' ihr Gewicht in der Flüssigkeit, so würde

(M— il/') g = ftjik²Ra /² =

(M— M')g 6nBa

sein.

7)

Wir betrachten jetzt eine geschlossene feste Kugelschale, die in einer unbegrenzten Flüssigkeit drehende Schwingungen ausführt und im Innern von einer zweiten Flüssigkeit gefüllt ist. Wir setzen

bip

dann haben wir nach 3) die Gleichung zu erfüllen

k² a

S =T ^

Nehmen wir an, dass ip nur von r — ~\f x² + y² + z² ahhängt,

bip

bx

bip

p = const ;

8)

9)

so ist

bip x ~~brV

n. _ bip y H — w— “ or r

es ist also dann lj = ~ ^ die Drehungsgeschwindigkeit um die

z-Axe. Da l) nur von r ahhängt, so dreht sich jede unendlich dünne Kugelschale mit constanter Winkelgeschwindigkeit.

10)

Bestimmung des Reibungscoefficienten. Drehende Schwingungen einer Kugel. 261 Die Differentialgleichung 9) wird

11)

ö (rtp)_lc² ö² (np)

dt

s br²

Ein partikuläres Integral ist

xp ==

-f- mr_ßcnt — mr

12)

woraus folgt

13)

k² ,

— »r. s

Für die äussere Flüssigkeit muss t) für r — oo verschwinden, es muss hier

V>1 = —

jfent — ms

sein.

14)

Für die innere Flüssigkeit muss l) für r — 0 endlich bleiben. Daraus folgt

Aent ,

^2 = — 0

w₂r

15)

Denn für r — 0 ist

~ . nt

xp₂ = 2 Ae m₂.

Die Componenten der Drucke an der inneren Kugeloberfläche sind, da cos nx — —

, cos nxj —

—, cos nx = — r ⁷

öl)

An = k²y i;,

16)

Y, = - kh> ^

z= o.

An den beiden begrenzenden Kugelflächen ist nach Gleichungen 29) Abschnitt I (vgl. die Berichtigung)

An = (u-y —— u) -y,

Yn = K — i)) y.

Setzen wir die Winkelgeschwindigkeit des Gefässes gleich co, so ist

Xn = k'²y II = y 2/ (<Ö — lj)

— Yn~ k²x ^ = y x (co — i}).

oj — t) sein.

18)

Es muss also an den begrenzenden Oberflächen dr

Denkt man sich die Geschwindigkeit jenseits der Wand fortgesetzt mit derselben Zunahme, wie sie in der Nähe der Wand

die Zunahme der Geschwindigkeit für

vorhanden ist, so ist l die Länge l.

Die Gleichung 18) bestimmt den Werth von l so, dass in dieser Entfernung die Geschwindigkeit der Flüssigkeit gleich der des Gelasses wird.

Für die innere Flüssigkeit haben wir

b-2 —

m₂ Aent

y2

(e^ + e-m*r) -

Aent

y3

w₂r

01)2

dr

= Ae

nt rml {em-r - e~ m*r)

3 m:

r²

( nhr i

(e

— n>2r

w₂r

, ³ r

+ (ß

«—*)]•

Setzen wir nun

19)

n — a -J- ßi, m₂ — a,₂ + b₂i = ö₂e

so ist

1)2 =

o-₂Ae,ä + & +    *

[(6

(a₂ + b₂i) r

Aßt* + ßi) 1 r («₂ + b,i) r    - (o, + b₂i) r,

-Jz- Ie — e J

01)2

— («*FV)rF2**6 « )

dr

(Jfli+ib₂)r+2Hi

3 o₂ / (a* F r F v"

y («sFVFFF) jj_ ^(«2+Mr_

Wenn /,•§ klein ist, so ist bei nicht zu kleinem Werth des Moduls von n, der Modul von m, also ö, gross. Wir können

dann in den Werth en von tj₂ und y uns auf die ersten Glieder

beschränken und erhalten, wenn wir nur die reellen Glieder berücksichtigen, für die Oberfläche der inneren Flüssigkeit r — R₂ setzen

und die Glieder mit dem Factor c~ a"Ri vernachlässigen,

o₂Aeui ■+

Rl

olAeat + a*K*

1)2 =

01)2

R\

cos (ßt -f- b₂R₂ + t₂),

cos (ßt -(- b₂R₂ -j- 2 t₂ ).

Hieraus ergieht sich also für die Grenzbedingungen 18)

20)

co — ~—^- {cos (ßt + b₂R₂ -f- t₂) + lö₂ cos (ßt -\- b₂R₂ + 2r₂)|.

Dieser Ausdruck lässt sich zusammenfassen in folgenden

co = 33₂ e 'ł cos (ßt + b₂ R₂ + t₂ + d₂)

4 0*2    ^2

1 + 4^2 cosr₂ ’

Aus dem gewonnenen Ausdruck der Drehungsgeschwindigkeit,

der den Factor e wellenartige Ausbreitung der Schwingungen nach dem Innern der Kugel erhalten.

Da nun nach 13) die Beziehung besteht

tg ô₂ =

lö₂ =

er₂ Aea*

RI

21)

y 1 +1\ 0§ + 2/₂ö₂ cos r₂.

ut “j“ Cl2 R

. cos (ßt + b₂r) enthält, folgt, dass wir

m²,

tą

a + ßi = ~,²- (af — b\ + 2 a₂b₂%), 02

so ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ß    2a₂k\

bi

s2

2ö₂ cos t₂

nach 19).

22)

2n

. Hält man durch äussere

Die Schwingungsdauer ist T =

Kräfte die Amplitude constant, so dass a = 0 ist, so ist a₂ — b₂,

/2= — b\ und die Wellenlänge ist gleich

s2

2n_271 k₂y n_2 k₂y 7t y T

bi    yßs₂

yy

Sie ist also der Quadratwurzel - aus der Schwingungsdauer proportional.

Da in den vollständigen Ausdrücken noch ein Glied mit dem Factor e~ar cos (ßt — br -\- r) vorkommt, so existirt eine Welle,

welche in entgegengesetzter Richtung fortschreitet, also von innen nach aussen. Diese Welle bringt die beim Hineingehen der ersten Welle nicht ganz vernichtete Energie zurück.

Für die äussere Flüssigkeit haben wir nach 14)

fl = —

ßent —mir

rr

m\Bent-m'r

ör ⁼ “

und weiter entsprechend 19)

ij, = + ä (<M’‘

3 nhBent~m'r

,.3

rl

i — (a, -f- bLi) r

— («i+V)»⁻

),

Öl),

ße(<*+ßi)t ,    2t{

p2    |Öie

I 3ffi ßT₁t — («! + &!*) r 23) "I r

+ ^2 ⁶

}•

Da l hier das entgegengesetzte Vorzeichen hat, da die Normale nach aussen gerichtet ist r = Rl, wenn wir uns wieder auf die Glieder erster Ordnung beschränken,

OiBeat~a

so

folgt hieraus an der Grenze

co =

B\

[~llöl cos(ßt—blRl +2r₁) + cos(^ — b{Ri + d)], 24)

der sich ebenso wie der oben erhaltene 21) zusammenfassen lässt.

Das Drehungsmoment, das von der Kugel auf das Wasser ausgeübt wird, ist

jD = —

fdS (Xny — Ynx) =

— k²

J*dS (x² + y²)    •    25)

25 a)

Ist nun & der Winkel, den R mit der %-Axe bildet, so ist x² -j- y² = R² sin² #, dS = 2jrÄ²sin & d&

D = — 1 jck²Ri

Für den äusseren Raum ist das entgegengesetzte Vorzeichen zu wählen.

Bezeichnen wir weiter das Trägheitsmoment der schwingenden

Kugel mit K, die ablenkende Kraft, die proportional dem Ablenkungswinkel sein soll, mit e²i2, so ist

25 b)

K*§ = -c-‘Si + Dt +D

wo Dy und D₂ die Drebungsmomente sind, die die äussere und innere Flüssigkeit auf die Kugel ausübt.

Die Erfüllung dieser Gleichung ergiebt zwei neue Gleichungen,

Je²

durch welche ö₂ und r₂ und damit - und Z₂ bestimmt sind. Die Je²

Constanten -- und Z, setzen wir als bekannt voraus.

^1

Wir hatten nun folgende Beziehungen nach 13) und 19)

— m² = a + ßi,

T i

m₂ = a₂ -f- b₂ i — ö₂ e *, mL — ety + by i = öy el\

also

« + ßi = — 0²G2n.

Der Drehungswinkel co ist nun derselbe und durch 21) und 24) zweimal ausgedrückt.

Wir haben also

$₂e cos (ßt + b₂ R₂ + t₂ -f- ö₂)

= 3?, 6 COS (ßt by Dy A Tj "F “F ê).

e ist die Phasenänderung, die wir hinzufügen müssen, damit Ueber-einstimmung in der Phase stattlindet; e bestimmt sich aus der Gleichung

26)

Ausserdem ist

k\

a -F ßi = —    =    - m\ .

s2 ⁵1

Ferner folgt 33, = 33₂, also haben wir

33₂ = <hA^~ yi + /l ö| + 2?₂Ö₂ cos t₂

/T P ^1 -^1

= 33, = ^

26 a)

5ï

B y 1 + Zf öf -F 2 Z, ö, cos r,.

tg d₂ —

1-2 6-2 sin x 1 H⁻ h °2 cos r ’

_h Qi sin x

1 + fi Oi cos x ’

27)

JĄ

- tff C

8i,t_k² o\ e²^¹

•s'i

s2

/c²

also T, = r₂, ö

Æ²

« =

-² ö| cos 2 r , «2 ^

ß = v öl S^n 2 r,

y ²

è₂ = ö₂ sin r ,

&i = ö, sin t ,

28)

28 a)

a₂ = ö₂ cos r,

a, = O, cos r.

ao)

Wir haben für den Drehungswinkel 12 der Kugel = 33 ß⁴ cos (ßt + b.₂ R₂ + t + d₂) = 0

Ô22

w = v=‘°Jißj8e'“cos (# + h ik + 3t + <y, ofJ% ® ß,< C0S (#* + Ô2 T + <y •

Setzen wir diese Ausdrücke und die für Dy und I)₂ in die Differentialgleichung 27) und zerlegen die Glieder so, dass sie den

Factor —

22 =

| (ßt + b₂ R₂ -j- ri) enthalten, so erhalten wir mit Berücksichtigung von 26) zwei Gleichungen

T K ^² i LA + oi

cos

C 7£ä] 53 cos 2 r = —| x {ä ä;| ö| R\ e cos (r — d₂)

cos (r — dt)}

J 33 sin 2r == § :t {ä k\ ö| R\ e‘lR* sin(r—d₂) sin (t — d, )}.

Die Grössen K, c, Ry, R₂,    ’ ly setzen wir als bekannt voraus.

Unbekannt sind die 6 Grössen d, 6, a mit dem Index 1 und 2

und r, ^, L, A, B, a, ß, 33, im Ganzen 14 Grössen. Zu ihrer Be-s2

Stimmung sind je zwei Gleichungen 26a), 27), 28), 30), 31) und Gleichung 29), zusammen 11 Gleichungen vorhanden. Drei Grössen müssen durch Beobachtung bestimmt werden, die Schwingungs-

— B k\ öl R\ e

— al Ri

r K ol kl L S‘2

C² S'2

31)

o\ kl

— B k\ ö\ R{ e

— a, Ri

2jt

dauer , das logarithinische Dekrement — a T und die Amplitude

Ö S2 <

• ol k\

Wir betrachten jetzt eine Kugel, die in einer reibenden Flüssigkeit ohne Gleitung langsame Schwingungen auf einer geraden Linie ausführt.

Wir setzen

ÏHU+V) = by dz ’

so ist die Continuitätsgleichung identisch erfüllt, ferner

11 —

d²(U+V) ~bxW ’ *

(U/2

,32)

Ô2 U

Setzen wir diese Ausdrücke in die Gleichungen 3), so erhalten wir

AU= 0

33)

ÙV

°Tt=kiAr-Wenn U und V nur Functionen von r sind, so ist

xz d r dr

r 0 r

1 d (U+ V)

dr

b(U+ V)

dr

1 ö (U+ V)

34)

dr

dr

dr

z d²U P    S r dr dt

Wenn für r — R die Grösse

/O

d(U+ V)

dr

35)

verschwindet, so ist dort

2 d ( U + V)

ör

Den Gleichungen 33) genügen wir durch

Bent+

Aent

mr

36)

wenn

sn

m'²— T²

ist.

Die Drucke, welche die Kugel auf die Flüssigkeit ausübt, sind in der Sichtung der s-Axe

Z=jdS (Zx

cos rx + Zy cos ry + Z% cos r%),

■/"{» - 1« (s + r) + » (s + *) +² - &}•

Setzen wir hierin die Werth e für u, v, wund integriren über die Kugelfläche, so erhalten wir

Mit Rücksicht auf die Bedingung 35) für r = R und die Gleichung m² — ergiebt sich

3 Aent _

~rt — ~

1 b ( U+ V)

br

)~S

b²U

br bt

Be«(+mK(3_

Z = ent+mR 4» ^2m2₅    _ 9 _ m2^2).

Nehmen wir für die Kugel die Differentialgleichung der Bewegung eines Pendels für sehr kleine Amplituden an, so ergiebt sich für diese

und

37)

-,Td²%    «,    „

gM²L

Hier ist c² =

, wenn keine Luft vorhanden ist, wo M die

Masse der Kugel, L den Ahstand des Schwerpunktes von der Drehungsaxe, K das Trägheitsniomeht bezeichnen.

Setzen wir die erhaltenen Werthe in die Gleichung 37) ein und berücksichtigen, dass

dx>

dt~Wr=R

ist, so erhalten wir Mkimi

271 k*rn²R QRm _ ₉ _ w2£2) ₌ o.

Die Schwingungen der Kugel sollen einfach periodisch sein. Dann ist

-j- c² —

38)

n = a -f- ßi

zu setzen. Setzen wir

4jrRZs = M',

Dämpfung und Aenderung der Scliwingungsdauer durch Reibung. 269 der Masse der verdrängten Flüssigkeit, so ist für Je² — 0

n² (ji + y) + c² = 0.

Ohne Reibung, durch das Anhaften der Flüssigkeit an der Oberfläche, wird die Wirkung die sein, als oh die Masse des

Pendels um ^ vergrössert wäre. Dann folgt

yW

c² fl +

m+mx-^ï

Berücksichtigen wir bei kleinen Werthen von k² in der Gleichung 38) noch das Glied mit ß³, so erhalten wir

M Yn* + c² +    Ÿni sB* — Qn Yn* B²k y s = 0 .

Nach dem Newton’schen Näherungsverfahren ergiebt sich, wenn nur Glieder erster Ordnung berücksichtigt werden,

Srcli^k y s 2M + W ’

2"

_ ®1    _|_ ÿ ₊ $2; ₌

Y2 2M+31’

Nun ist die Schwingungsdauer ohne Reibung T₀ — Die durch Reibung veränderte Schwingungsdauer beträgt

2n= T (, i JL J

⁰ V 4RYs 2M + M' und das logarithmische Dekrement beträgt

a -j- ßi.

Ai'

39)

jir

2i? Ys 231+ M

§ 2.

Der Cylinder.

Wir führen zunächst in die allgemeinen Differentialgleichungen cylindrische Coordinaten ein, indem wir setzen

Q cos t) , V = Q sin /)

d(>

dt = x

da

Dann ergiebt sieb für nicht zusammendrückbare Flüssigkeiten ör . ör . . ör .    ör    . ₉

⁼ Jt + r ^ u + w u

&    , ö fx\

~~ v vv ⁺ ô? W '

1 bp

¹ _

p² öd²

1 M I ö ²r 4 p öd ' ö&²/

1 1 ö/> _ Öl) öl) , h öl)    Öl) 2rl)

” s 7² öd — Ô* + ¹ ö(> + 9 ^    ^

_ & fM) ,i M i_i^ i i^j.

S \Ö()² ' () Ö() ' ()² Öd² (>³ Öd ' dx²J

40)

1 ön ö*c . öw . . bw .

"TS“ V + t^ + ’>to + wST

. - (§ +

Die Continuitätsgleichung wird

+ r 4. *± i ^ ₌ o.

' Q ' Öd ' Ö&

Die Oomponenten der Drehungsgeschwindigkeit um Axen, die den Richtungen der Coordinaten parallel sind, werden

ör 1 öd ę

ör

ö(i

Co ^ to

bw

1 ö w () Ö()

1 ö²?r (>² öd²

. ö%\ + hx²)'

41)

ör dw

1 div öl)

q öd    ^ ö* ’    à«-    ö(> ’

die der Druckkräfte parallel den Richtungen der Coordinaten

/ Öl) 1 örX V(> dp T“ -ç öd/ ’

+ «)

Aus diesen Gleichungen ergiebt sich der Fall, wo die Gleichungen vollständig integrabel sind, wenn die Grössen nur von der Coordinate q und t abhängen. Dann ist

öl)

0 A.. + ² 9

Ö(l

42)

2 k¹ öl'

R, =p

^=j>-2i2(l + P

Zx —p — 2 k¹

0(1 ’

ÖW

Ö& ’

ör

B» = — k¹

Z» = —

, also x = — 9

Ö()

wo c eine Constante bezeichnet. Ferner

c öl) . 2c

e²

« _ *?    ₊1    , »s

'    s \öo² ‘ o öo/ ^ 0Ć ’

Bewegung eines unendlichen mit Flüssigkeit gefüllten Cylinders. 271

bw

ht

1 bp    _ c bw

■'Ö

* s k    (j bp

1 bp    c² . ₉ .

— 7    — Q*) +

fix

ist ebenfalls eine Constante.

Beschränkt sich die Abhängigkeit bei t) von t auf den Factor e~nt, bei w auf den Factor e~nd, so haben wir die Differentialgleichungen

do²

(³-S)

d\)

dp

/2 es    s \

Uv“/!²™)

44)

0-ë)

są    CjS    bp 1

k2 w ~    k²    bz k² »

die durch allgemeine Bessel’sche Functionen integrirt werden.

Ist g von Null verschieden, so wird r für q — 0 discontinnir-lich, dort findet Ein- oder Ausströmen der Flüssigkeit statt.

• Ist = c = 0, so wird

d²/r

dw

dp

dp

[« j> (<- t) + ® s. (p V)! e~n,<

«=[sw (« v";s) + s,3« (p N,sj]e

— n.t

45)

wo die 51, 51 Constanten und die Bessel’schen Functionen

A (.r) =

i r

— I 6

⁷¹ J

0

ix e°s <f sin*a d

Sa(*) =

j ex cos‘i(f sin²“ icpdcp sind.

Für q = 0 bleiben nur die Functionen J endlich.

Handelt es sich also um einen mit Flüssigkeit gefüllten Cylinder, so sind 53 und 53j gleich Null zu setzen. Man kann also für (> = R die Werthe von t) und w vorschreiben und erhält die Bewegung einer Flüssigkeit innerhalb eines unbegrenzten Cylinders, der periodische Schwingungen sowohl parallel der &-Axe als drehende um diese Axe ausführt.

nutzen

Dann ist zweckmässig für J die Reihenentwicklung zu be

Ja (sc) = (l

xi

2 (2a + 2) “ 2.4 (2a + 2) (2a + 4)

46)

Da n complex ist, erhält man, wenn wieder n = a -{-'iß gesetzt wird, für q — R

Ei («2— ßi + 2aßi) s²

R² [a -j- iß) s ~2l2a + 2)W

Nehmen wir w — 0 an, sodass nur drehende Schwingungen vorhanden sind, so ist bei Beschränkung auf die reellen Glieder, wenn der Gleitungscoefficient l — 0 ist,

1i²as 2.4 . k²

R² ßs

2 .4.k² 2.4.4.6.A⁴’

Ist K das Trägheitsmoment des unendlichen Cylinders für die Längeneinheit, so ist, wenn il der Drehungswinkel des Cylinders ist,

2.4 (2a + 2) (2a + 4) h*

+.....)•    47)

R⁴ (a² — ß²) s2 2.4.4.0 . Æ⁴

. . COS ßt

2 RAaßs²

. sin ./3/J •

t) = ^ für p = 7? und d²&

/f

dt²

= - c²& + D,

wo D der Drehungsmoment der reibenden Flüssigkeit ist. Es ist nach 43) D = — 2 A²jr R»

d\)

D — — 2R³jtk² 7-

d()

Hieraus ergeben sich die Gleichungen, wenn wir uns auf die angegebenen Glieder der Reihe beschränken,

0 = (l

R² as " SA-²

R² ß² as K E* g*ß*Ks*

4 k²

48 k⁴

0 = (l

sR²ß

~~~8k²

R² as

8 k²

Ä⁴ («²— 192 /c⁴

) [K(a² — ß²) + c²] + R*xk² ^

R²(a³— 3aß²)s

24 k²

[A>²—/?²) + c²](l

R² as 12 k²

R²(ßa²—ß²)s

24/a²

In dem betrachteten Falle sind keine Vernachlässigungen gemacht, und man kann die Rechnung durch Benutzung weiterer Glieder der Reihe bis zu jeder Genauigkeit treiben, ohne an sehr kleine Geschwindigkeiten gebunden zu sein. Praktisch stehen der Anwendung sehr langer Cylinder, bei denen die Wirkung der Endflächen vernachlässigt werden kann, erhebliche Schwierigkeiten entgegen.

Ist in 44) c = 0, Wj =0 und t) — 0, so haben wir die Differentialgleichung bei stationärer Bewegung

d²w . dw 1 _ s    _ 1 dp

hę² ' dç Q    k² Cl - k² dz

= Ci .

49)

Hieraus folgt

50)

w =    A log q + B.

Wir haben Strömung parallel der z-Axe.

Nun ist nach 26) Abschnitt I

Xx

bw

hw

= P, Yv = p, z.,=p, Xy = 0, z,=.-k^,

also, da die Normale parallel q, cos n% = 0 ist,

Yn = p cos ny

und

Xn — P cos nx,

Zn — 0 ,

Xn cos nx + Yn cos ny = p.

Setzen wir in den Grenzbedingungen 29) Abschnitt I u{ = vx — wx = 0,

so sind die ersten beiden, da u = v = 0 ist, identisch erfüllt. Die dritte giebt, da Z<> = — k² ^ ist,

dw

Tq — Jw‘

Die strömende Flüssigkeit denken wir uns von zwei parallelen Cylinderflächen mit den Radien Rx und P₂ begrenzt.

Wir haben dann nach 50)

■'s I

dw _ CiQ

ITq — 2

An der inneren Cylinderfläche ist die nach der Flüssigkeit gerichtete Normale parallel q. Die Grenzbedingung giebt also dort

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

i B? + A log Ą + B-— l    ‘

An der äusseren Cylinderfläche ist die Normale parallel — q. Dort haben wir

51a)

tV-R! + ^iogĄ + b = — i(^ + -0-

Bei den Yersuclien kommt es auf die in der Zeiteinheit durch die Bohre strömende Flüssigkeitsmenge an, wenn die Druckdifferenz an der Ein- und Ausströmungsstelle gegeben ist. Die Constante c/ bestimmt sich durch diese Druckdifferenz, da durch sie das Druckgefälle gemessen wird. Ist die Länge der Röhre L, so ist nach 49)

. '_PL —Po

Cl ~ Lk2

und die durchströmende Flüssigkeitsmenge in der Zeiteinheit

Q — 2 JtJwędę .

R[

Eliminiren wir A und B aus den beiden durch die Grenzbedingungen gelieferten Gleichungen 51) und 51a) und führen die Integration aus, so ergiebt sich

rc (Po —PL)

(Ri — R\

\ 8

L~2 log É ~~ 0 ~2ą) (R‘² _

Lk²

I — R\\~\- / (^i F R?)

+¹ (st⁺D

+

Ist l = 0, also keine Gleitung vorhanden, so haben wir gXp (Po — Pl) , Ri Hf

log

52)

(RI - R*)t m R₂

lo«3g

53)

Ist Rx = 0, so wird

Tt (Po —PL)

+ 4/Bf}.

54)

Wenn wir zur Betrachtung eines endlichen, mit Flüssigkeit gefüllten, Cylinders übergehen, so müssen wir in den Differential-

Strömung zwischen Zwei concentr. Röhren. Drehungen e. endl. Cylinders. 275

gleichungen die quadratischen Glieder vernachlässigen. Wir beschränken uns auf drehende Schwingungen und setzen l = 0.

Wenn die quadratischen Glieder vernachlässigt werden und alle Grössen von & unabhängig sind, so können wir in 40) r = w = 0 setzen und behalten die Gleichung

55)

to) __ k² / ö²i) , S    1 ö2i)\ <

ht s Vôp² ' Q h() ' hz²)

Der Anfangspunkt des Coordinatensystems liege in der Mitte des Cylinders, sodass % — + h die Endflächen sind.

Die Flüssigkeit soll nun das Innere des Cylinders erfüllen und keine Gleitung an den Wänden stattfinden.

Der Differentialgleichung 55) genügt die Lösung

56)

t) = (A cos mz + B sin mz) Jxe nt,

wenn

d²J\

dQ²

56 a)

ns

ist.

57)

J2 — W²

Jj ist wieder die Bessel’sche Function, die für q = 0 endlich bleibt.

Nun muss t) für q = R und z — + h unabhängig von q und % Werden, wenn die oberflächlichste Schicht fest an der Wand haften soll, also keine Gleitung stattfindet.

Zu dem Zwecke muss nach bekannten Analogieen t) in eine trigonometrische Reihe entwickelt werden.

Wir setzen

e 11 = J ToiTh + Äfaa sm 1 2--TT V ■

a = 1, 2, 3 .... 00.

Für % — + h haben wir ent\) = A. Es muss aber auch ent\) = A für q = R sein. Dies ist der Fall, wenn

,,    .    / 2 a — 1 h —

— ^ Ma sin ^ g

Ji (Pa 9) (PaR) ’

58)

cos qz cos qh

— * h

IT⁷¹)

ist.

Bestimmen wir nach den Regeln der Fourier’schen Integrale die Coefficienten, so ist

aa =

16?²A²

(2 a — 1) 7t ' Aq²h² — (2 a — l)²rc²

58 a)

R

p²

JQ% (PQ) dp

o

Hieraus ergiebt sich, wenn man das Integral in die Bewegungsgleichung 59) einsetzt, hei Berücksichtigung von 58 a) und 58h)

0 = Kn + — + jik²R⁴q tg qh — 2jtkW2aa²

n    n

Aus der Differentialgleichung folgt

₀ ns

P*

₀ ns

i

Daher ist

/2a — 1

V 2

»b)

</²

aa (2 a — 1) 7t paP

Nach 27) und 43) ist nun die Bewegungsgleichung des cylin-drischen Gefässes, wenn wieder 52 den Drehungswinkel, K das Trägheitsmoment und c²i2 das Drehungsmoment bezeichnen,

{**/($)*,-«

— h

+[(I),₌(sh₌j} •

0

K^S = — c²S2 — 2 jtk'¹

dt²

Nun ist wieder

dśi

dt    = R ’

also haben wir

0 = Kn + ~* + JiJc²E⁴q tg qh

(2a-l)_7ty(>3Ji    .

ö

ihR³

59)

2jtk2f[j(paR) ((2a — 1) 7t

f (PaR)

also

Nun folgt aus der Differentialgleichung 56 a)

1 d q³ dp

Oe) =

p³ dp

dJi(PQ)\

KQ dQ )

J\'{pR)

Ji (pR)

Wir setzen nun

n — a -f- ßi,

Pa — da + r ai,

j/~ a±-/cc² + i?² J

und nehmen an, dass der Werth von pR gross gegen die Einheit ist.

Aus der Theorie der Bessel’schen Functionen folgt, dass für pQ — oo

— Y JcpaQ Jv (Pa(f) = COS paQ — sin paQ ist, also — yJipaQ Ji (paÇ) = — Pa (sinpaQ + COS paç) fül* PaQ = OG.

Es ist also

Ji(paę)

(PaQ)

= Pa

sin paQ -j- cos paQ sin paQ — cos paQ

= Pa

tg PaQ + 1

tg PaQ — 1

Nun ist

wenn e

— 2 tR

tg paR = tg (öa + Tai) R = i, gegen Eins vernachlässigt werden darf. Also ist

3Hgsf“-** für^B = °°-

Wir haben also schliesslich die Gleichung, da auch tg qh = i

gegen Eins vernach-

gesetzt werden kann, wenn die Grösse e lässigt wird,

— 2 th

c² (a — ßi)

+ jck²RA (yi — s)

(a + ßi) (a a + rai) [pa -

o = JT (a + ßi) +

«² + ß²

61)

+ 32 R^hsU

(2 a - l)² n {aa² + Ta²)²

Es ergeben sich also schliesslich zwei Gleichungen

0 = Ka +

nkR*ysy-a + Ÿ-±-

{aaa — ßxa) [pß -    ^ ~ (0*a + ccra) ^

c²a

«² + ß²

(2 a — 1)2 TC (Oa² -j- Ta²)²

0 = Kß

c²ß

a² + ß²

+ 32 R³hsü

+ jckRA Y s y a_±Y^ + ß²

)²] + (ccoa — ßTa) ^

(ßoa -j- «7a) jjp « — ^ g

(2 a - l)² n (<Ta² + Ta²)²

und zwar ist

Öo —

63)

sa

~k~²

Ta =

Aus der Gleichung für die Bewegung des Gefässes

. — nt .

t) = Ae = Ae

-(« + #)*

folgt, dass

27t

= T die Schwingungsdauer und aT das logarithmische Dekrement ist.

vs.

3.

Einfluss der Reibung auf die Wellenbewegung.

Wenn die Bewegung parallel einer Ebene xy vor sich geht, werden die Gleichungen 1), wenn die Flüssigkeit nicht zusammen-drückbar ist, da die Continuitätsgleichung die Gleichungen

Ölt»

u — -A-

öip

jx verlangt,

1 bp_ b²xp    .    öip    ö²i/»    öip    b²ip

s hx    bybt    '    by    bxby    öcc    by²

_ *1    bip bhp^    k² b A

by bx² ' bx bxby    s bx T

ü. ArP

by

1 bp _ ö²i/>

9 s by

und nach Elimination von p

*Ar + S- — 3T — - àâ<6 = 0. bt ¹ by bx bx by s T

bxbt

TT =1 AA'P ist

Man erfüllt diese Gleichung, wenn Aip eine beliebige Function von y und

Wir erfüllen diese beiden Bedingungen durch die Annahme

65)

iax + nt , . — ay .    „ — ßyx

ip = e    (Ae -{-Be    )

Dann ist die Wellenlänge 1 = ~ und

iax — ay nt

= + gy — ni Ae

+ const.

Hierdurch ist eine Wellenbewegung für unendliche Wassertiefe dargestellt, die der oben ohne Reibung behandelten gleich wird, wenn k verschwindet. Ohne Reibung muss B — 0 sein und die

Gleichung n = ^ (ß²— ß²) fällt fort.

Um die Bedingungen an der Oberfläche zu erfüllen, legen wir die Axe in die horizontale Oberfläche ohne Wellen und setzen die Wellenlinie an der Oberfläche

iaX -f- nt

66)

V = Ge

Hieraus folgt in der Oberfläche, wenn die Abweichungen von der horizontalen sehr klein sind.

bxp_ dy

öa? dt

= n Ge

iax nt

= — iae

iax -f- nt

(A + B)

67)

c=

= [- (A +    —Ant] e^ + n‘.

Ist die Wellenhöhe, wie wir schon angenommen haben, sehr niedrig, so ist der Cosinus des Winkels, den die Wellennormale mit der y-Axe bildet, cos ny nahe gleich Eins, cos nx = e ist eine sehr kleine Grösse.

Also ist

An — sXx -f- Xy

Yn — eYx + Yy.

Die Bedingung an der Oberfläche ist, da hier vollständige Gleitung angenommen werden muss, nach § 3, Abschnitt I

= £ , also eXx -f- Xy = e^Yx sYy.

Xn

cos nx

Yn cos ny

Hieraus folgt zunächst, dass Yx = Xy von der Ordnung e sein muss, also annähernd Null. Dann muss der Druck constant längs der ganzen Wellenlinie sein.

Daraus folgt

Yy = const.

Es ist also

daher

und hieraus

„ _b²rp    d²ip

u — 5^2 -

by² »

p = — 2/c²

b²rp

68)

bxby

+ const,

2 Aa² + (cc² + ß²)B = 0, f (A + fl) + nA = - ^ a (Aa + Bß)

69)

eine bereits von Lamb abgeleitete Gleichung. Nun ist

ß² = ™² + a2-

Aus diesen beiden Gleichungen ist der Werth von n zu eli-Dann kann man ß durch die übrigen Grössen aus-

miniren.

drücken.

Der Werth von ß ist im Allgemeinen complex. Es ist für kleine Reibung

f«⁴

+ «⁴

und annähernd

S1l

__ is Vda_2a².

k²

Es ist also

xp =

Ae

— ay

+ Be

~ (1 + i)

Der reelle Theil Yon ip hat also die Form

k² t

ip = Aie

— ay — 2 a² —

cos

(ax -j- ~Y ga t)

V-

71)

y — 2a² — t

cos (ax + 1Y ga t -j- j/"g    yj.

Da

im Allgemeinen complex ist, so sind At und Bx Con-

stanten, die von A, B, a, ß, g, k² abhängen. Die Bewegung besteht also aus zwei Tbeilen, von denen jeder mit zunehmender Zeit und Zunehmen der Tiefe stark abnimmt. Der zweite ist aber noch periodisch in Bezug auf die Yerticalrichtung und zwar

ist die Länge der Periode 2 x y ~

~2.F~

yV

Bei sehr grosser Reibung ist n reell und annähernd

_

2k²a

und ß = l/"a²

ff«²

2&⁴a

Bei grossem /c wird die Bewegung sehr langsam sein und nach der Tiefe in demselben Verhältniss abnehmen wie bei kleiner Reibung.

Zur genaueren Bestimmung,von n setzen wir

k²a² __

s Yga

in die Gleichung 68), so haben wir die Gleichung

sn -f- 2 k² a²

S YffCC

— m,

72)

haben

(m²-\- 1)² = (w — ö) 16 ö.³.

Ist die Reibung klein, so ist ö eine kleine Grösse und wir

m — + i,

2 k²a²

n = i Y9a

•    2 TC

Nun ist — die Wellenlänge X, der Dämpfungsfactor ist also

2 k? 4 n²

T ~F ¹

wie wir sclion gefunden haben, die Dämpfung nimmt also mit der Wellenlänge stark ab. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit

vi=v

2 7t

wird durch die Reibung nicht beeinflusst.

Ist die Reibung sehr gross, so ist m² gross gegen Eins, und wir haben nach 72)

m⁴— 16 ö³ m -f- 16 ö⁴= 0.

Eine Wurzel der Gleichung ist m — 2 ö.

In der ursprünglichen Gleichung können wir also den genaueren Werth durch das Newton’sche Verfahren ermitteln. Nennen wir den genauen Werth der Wurzel m + e, so ist

.    ₀ ^    1 8 <r² + 1

m -s = 2 ö — —    ₀ , Q,

a 16 a² -f- 8 ’

■yfga

1 8ff²+l

a 16 <r² + 8 ’

gas 8k* a*gas2 k²a² 16/c⁴«⁴-)- 8gas² als genauerer Werth für sehr starke Reibung.

Wir haben dann keine periodische Bewegung mehr, die Wellenform geht allmählig in die horizontale Gleichgewichtslage über.

Die Drehungsgeschwindigkeit ist

wenn

yl = Brnr⁺"> ist.

Wenn also a nahe gleich ß ist, so wird die Drehungsgeschwindigkeit verschwindend klein.

Von Interesse ist es noch für die Theorie der Wasserwellen, die Zeit zu berechnen, die bei bestimmter Wellenlänge erforderlich ist, um die Amplitude bis auf den zehnten Theil zu ver-

47x²t

s^² ergiebt sich, wenn

— 2 Je²

kleinern. Aus dem Dämpfungsfactor e 1-2

~ = 0,018

cm²

sec

angenommen wird,

t in Stunden

X in Metern

0,045

1,125

4,505

112,51

450,5

T—I LO

10.

Bei den sehr langen Wellen der freien Meere wird es demnach Tage lang dauern können, bis die vom Sturm erregten Wellen sich beruhigen. Doch wird hei hohen Wellen die dann auftretende Brandung eine stärkere Schwächung des Wellenschlags bedingen.

Um den Einfluss der Reibung bei sehr dachem Wasser zu erhalten, setzen wir

v — <r+”‘ U

so dass

_e-« (!/-*))} i 73)

= 0 für y — h ist. h ist also die Wassertiefe.

Dann ist die Wellenlinie

/-j 'laCG Ylt { j / — ah    ah\ , -r~t / ßh

y = Ce \A (e — e ) + B (e

—“ (y—h)

) + B (e¹

ß{y—h)

r>),

daher

nC = — ia

ia iax 4-nt ( . , — ah ah\ ,    -r. / — ßh ßK\

~ e \A(e — e ) + B(e — e )/.

Ferner ergiebt sich

— B (a² + ß²) (e (y -h) — e~Hy~ h)).

Ist h sehr klein, so können wir e“ und erhalten in der Oberdäche für y — 0 entsprechend Gleichung 68)

⁰w = -t²-¹«³ + Bß o² + ^ïh-

Für den Druck ergiebt sich

— iaX —

— « {y — h)

(y —

Ce

= gy + ni Ae

iax -4- nt , a (y — h)

(«

-f- e

— « (y — h)

und aus der Gleichung

bx by

— 2 k² Ä

folgt in der Oberfläche

f (Ja + Bß) + 'f = - ^ {Aa + Bß}.

Nimmt man als Grenzbedingung ein festes Haften der Flüssigkeit am Boden an, so ist ^ = 0 für y — h, also Aa -j- Bß — 0,

woraus A — B — 0 folgt, sodass dann eine derartige Wellenbewegung überhaupt unmöglich ist. Lässt man die Möglichkeit des Gleitens offen, so ergiebt sich aus den beiden Gleichungen 75)

Bß

durch Elimination von mit Berücksichtigung der Gleichung

ß2₌₌₌™+a2>

2 a²k²

+ ia

j///Ä

4 «²/c⁴

2 71

s²

a = -T-

76)

Der Dämpfungsfactor ist auch hier

21c² 4jt2 s A2 ¹

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist

77)

1Ö71²/c⁴

s²A²

Bei flachem Wasser wird die Geschwindigkeit der Wellen durch die Reibung verkleinert.

Ist —^2 > gh, so sind keine Schwingungen mehr vorhanden. Ferner ist

a² +

ß² — — a² + -p

— 3a⁴ +

s²a²

~w

gh

V‘

4 a²hx

s² ’

a² -f-

So lange Schwingungen vorhanden sind, ist die Bewegung auch nach y periodisch und zwar bei kleiner Reibung auf die Länge

2 nk Y 2

Wir nehmen nun unendlich kleine ebene Schallwellen parallel der a-Axe an. Die Differentialgleichungen 1) und 1 a) geben dann, wenn wir die quadratischen Glieder der Geschwindigkeiten vernachlässigen

co No (O ,/o

b(su) = 0

79)

'    Ö35

1 bp_bu ₄ k² b²u

.    s bx    s s bx²

Wir setzen nun p — a²s, wo a² eine Constante bezeichnet und

s = s₀ (1 + a) ;

ö wird ebenso wie u als sehr klein angenommen. Berücksichtigen wir nur Glieder erster Ordnung, so ist

Ö<7

bu

bt    bx ’

0(7

1 bp _ s bx    bx

Durch Elimination von t> ergiebt sich

ö% ₄ k² b³u bx² 44 s₀ bt bx²

a² —

bu    ₄ k² b²u

bt    ^ s₀ da;²

b²u

bt²

= 0.

80)

Setzen wir

int -f- ax

u — Ae

so nehmen wir damit an, dass die Bewegung durch äussere Kräfte der Zeit nach constant gehalten wird. Wir finden dann

n² -f a²a² -f- i f j- na² — 0 ,

n²

a² — —

n² (a² — i f ~ n)

a² + i $ j- n ⁶0

,    .ß k⁴n² ’

a⁴ + 4⁶- —«■

⁹    «o²

= |Oi + M-

uw

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen ist

J/i + V

kW

s₀²«⁴

kW

s₀²«⁴

81)

²0+y|S)

nb\

Wenn keine Reibung vorhanden ist, so ist sie gleich a. Durch die Reibung wird also die Geschwindigkeit etwas verkleinert. Der Dämpfungsfactor wird in erster Näherung

ri¹ k²

n²k²

₆ ia*s₀X=e ¹ a^T²^

wenn T die Schwingungsdauer bedeutet.

Man sieht also, dass die Wellen mit geringer Schwingungsdauer schnell an Stärke abnekmen.

In einer cylindrischen Röhre ist der Einfluss der Reibung weit stärker. Es sind hier unter der Voraussetzung, dass die Luft an den Wänden fest haftet, die Grenzbedingungen nur zu erfüllen, wenn auch noch radiale Bewegungen angenommen werden.

Wir haben dann die Gleichungen

bw

i h _i_    +

bt ^ bx ' by ^

bu    a k² A

bv    . k² a

dv

*’ Au,.

bx

ba

— -t— a² —

bx

bo

82)

by

_n 2— — 4

bxa ~ bt    *

Aus den drei letzten Gleichungen ergiebt sich durch Differentiation und Berücksichtigung der ersten

₄ k² bAa J s₀ öif

b²a

bw

s₀

W = a~Aö +

83)

Setzen wir

also

n²

so ist, wenn 0 den Factor e

int

enthält,

1-2

n² + a²y +    — iny = 0 .

so

7 ist eine Constante. Wir setzen nun

ö<r

w = §( ^ + Bux,

•-*£ + **. w = 21 ąz + Bwl,

84)

und erhalten, da auch u, v, w den Factor ent enthalten,

4    _ Q ^ SQ

Aux = £ -p- ux,

4    _ o ins^

A Vi = £ -p- v\ >

in Sn k²

85)

Awx =

Nun ist

iw

*‘a²y

86)

in

9    1    4    •

Alle Grössen sollen nur von cc und = V^2/² H~ abhängen

und die Abhängigkeit von a; soll sich auf den Factor e '' beschränken. Dann ist

(«²— +

O I Q,

'O I/O

= 0,

Ö²Mt . 1 ö^/₁ „

“W + p    ~~' ü‘

?/    *    Öff

t -, w — t —, r = sil p’    p

sich die Gleichungen für und wx in eine zusammen

87)

Wir setzen v =

5p

-f- Bïx, dann ziehen

Die erste Gleichung 82) giebt mit Berücksichtigung von 83 a), 84) und 86)

oder

hui ört* . öx ' ön '

'S

, öri . r.

= 0.

Differenziren wir diese Gleichung nach q, so ergiebt sich mit Berücksichtigung von 88)

hu

hu.

= cc -v-hç

„2_ .a îü*

4 k2

89)

Es ist also

in

y aö + Buy,

in öu 7 ö(»

h U]

ins₀ hq

90)

oder

1 1 ha _ cc (T h p

1 hll\

«² î k2

ins₀ U y Ôfl

wenn r — u — 0 sind.

Eür q — R müssen u, r verschwinden.

Sowohl ö als uy genügen der Differentialgleichung

d² Jo

dq

? + łS+«v*-°>

sind also BessePsche Functionen. Wir haben zu setzen

für ö

q\ — a² +

«²

, , ₄ *2 . » oJ + | - m ⁶o

₃ in s₀

*~W'

a ist für lange Wellen und kleine Reibung eine kleine Grösse; ^ ist die Wellenlänge ohne Reibung. Im ersteren Falle ist also

q eine kleine Zahl. Die Reihe für Jü ergiebt bei Berücksichtigung nur des ersten Gliedes

für Uy

ql=a² —

Reibung von Schallwellen in cylindrischen Röhren.

289

Im zweiten Falle ist a¹ klein, das imaginäre Glied bei kleiner Reibung gross, wenn die Schwingungszahl n nicht zu klein ist. Wir haben also

4- «⁴

— ß² +

1 / q «²«o²

Y 16 W

+ M⁴

Der reelle und imaginäre Theil von q₂ sind sehr gross bei kleiner Reibung.

Nun ist allgemein

(mo) =

— q-tQ COS (p

(2e°s2I - 0

d(f.

Setzen wir 2q.Lo cos² = u, so haben wir für grosse Werthe

von q₂ę

J; 0'?₂P) =

J-i

TC Y'iQqiJ Yu 0

e?,e

du

eq-{‘

/’(!)•    92)

Nach der Theorie der Gammafunction gilt diese Beziehung, wenn der reelle Theil von iq₂ç positiv und unendlich ist.

Die Gleichung, die an der Grenze zu erfüllen ist, nämlich Gleichung 90) lässt sich schreiben

1 Ö log 6 a dp

ß² - 2

i ns₀

l log Uy a d log U\

dp    q₂'i dp

Es wird dann, wenn wir die Näherungswertlie aus 91) und 92) einsetzen

( ₉ . ra²\ ü , a O' + ad 2 a + q.

= 0.

93)

Wenn keine Reibung vorhanden ist, so ist

. n

a — i — •

Dies ist die erste Näherung. Setzen wir nun als nächste Näherung

cc ~\~ {•

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

19

VII. Reibung der Flüssigkeiten, fest, so ist nach dem Newtonsclien Näherungsverfahren

290

SS ¹ §

df

mit f (a) bezeichnen.

wenn wir die Gleichung 93) mit f («) und

Berücksichtigen wir nur Glieder erster Ordnung, so ergiebt sich

da

Ra y s₀

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen ist demnach n (.

h “ V¹

und der Dämpfungsfactor

•S'e

j i ~\fnk Ra y s₀

VT-

R y n y.s-o

ynkx

Vï= a\ + * •

VT)

94)

Vf

eaix— e Ra Ys₀

95)

Durch die Reibung an den Wänden ist also die Dämpfung in Röhren weit stärker als in freier Luft.

CÖO

Fluthreitnmg.

Zur Bestimmung der Flutlrreibung kann man mit den gewöhnlichen Differentialgleichungen nicht auskomm en, weil die innere Reibung der Flüssigkeiten bei ausgedehnten Gewässern eine geringe Rolle spielt für Wellen von grosser Länge. Es kommt dort noch die Reibung zwischen dem festen Erdkörper und der Flüssigkeit in Betracht, deren Grösse allerdings unbekannt ist. Wenn wir den durch die innere Reihung bedingten

8 7t²k²(

Dämpfungsfactor e länge von zwei Erdquadranten die Amplitude in 2 • 10U Jahren auf den zehnten Theil, also die lebendige Kraft auf den hundertsten Theil gesunken sein.

Für die Berücksichtigung der Reibung zwischen Erde und Meer gehen wir nach Lamb von der Gleichung 5) Abschnitt Y

*2s annehmen, so würde bei einer W ollen-

d²rj__

96)

dt² ~

aus, der das Glied — Je a^f zugefügt ist. Hier bedeutet das Je die

Reibungsconstante, welche ausdrückt, dass die gedachte Reibung der Geschwindigkeit proportional ist.

Setzen wir

7] — Ae

so wird

Ti- -f- Jen -j- m²a² = 0 ,

71—-

\ Je + i (7)1-a - —\ Jc ²),

so dass wir haben

7j — Ae

cos

/>

-— mxf.

Nehmen wir eine äussere Kraft hinzu, wie sie vom Monde

ausgeht,

B sin 2 [cot + * ^

wo co die Winkelgeschwindigkeit der Erde und r ihren Halbmesser bezeichnen.

cos 2

Dann ergiebt sich für die Erhebung über die Horizontale Bra²

Ba²

gk’cor

/y 2<J [y(a² — oa²r²)² + ]- Je'² 0)²r*\ sin 2 s cos 2 (cot + ~

tg 2e =

j Ic'atr2 ^ a² — (o²r² ’

a¹ — gJi.

Durch diese Reibung erfährt also die Fluthwelle eine Phasenverzögerung um den Winkel 2 s. Wenn gh == a² co²r², so ist ohne Reibung die Axe des Flutliellipsoids senkrecht zur Verbindungslinie mit dem flutherregenden Körper. Dann ist

^ <C £ <C y und e — y für Je — 0. Die Axe des Flutliellipsoids

wird also der Drehungsrichtung der Erde entgegengesetzt um den Winkel s verschoben und der Eintritt der Fluth durch die Reibung beschleunigt. Wenn a² > mV², so ist £ = 0 für Je' = 0 und der Eintritt der Fluth wird verzögert.

Bei dieser Theorie ist die tangentiale Druckcomponente in der horizontalen Oberfläche Null gesetzt. Thatsächlich bedingt die Erhebung und Senkung eine Druckkraft Xy, welche aus der Gleichung

dXy dy

sich ergiebt. Ist der Niveauunterschied sehr klein, so ist dXv = Xdy — Xrj die resultirende Druckkraft.

Bilden wir den Mittelwerth über die ganze Periode T= , so ergiebt sich

T

nJdt (Xrj) o

ß²a² sin² 2 e

(or

98)

Durch den Einfluss der Reibung hebt sich diese tangentiale Kraft in der Periode der Welle nicht auf, sondern giebt Veranlassung zu Strömungen zweiter Ordnung, welche mit der Fluth fortschreiten.

Einfluss der Reibung auf flaclie Cyklonen.

Bei ausgedehnten sehr flachen Cyklonen spielt der Reibungs-widerstand an der Erdoberfläche und die Erdrotation eine erhebliche Rolle.

Das Problem muss dann durch die Annahme vereinfacht werden, dass die Geschwindigkeiten nur von der Entfernung vom Centrum, nicht von der vertikalen Coordinate abhängen.

Vertikale Geschwindigkeit soll nur innerhalb eines Kreises vom Radius R vorhanden sein und ihr Werth nur in der Con-tinuitätsgleichung berücksichtigt werden. Die innere Reibung wird vernachlässigt und die Reibung an der Erdoberfläche proportional der Geschwindigkeit angenommen.

Die Gleichungen 40) nehmen dann folgende Gestalt an

d , x    <W

^0v)= -Q

Diese Werthe sind in die zweite der Differentialgleichungen 99) einzusetzen. Wir erhalten dann

= 0, q>R.

liier bedeuten Je die Reibungsconstante an der Erde, 7 das Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit der Erde in den Sinus der geographischen Breite.

Setzen wir nun w = ex, sodass die vertikale Geschwindigkeit an der Erdoberfläche für x = 0 verschwindet, so haben wir

^ (rp) = — QG für q<R Hieraus folgt

(IC

d (r^ = 0 für Q > R.

do

'S I

für q <^R, r = — für q )> Ti.

Für q R muss c — 0 sein. Da r überall stetig sein muss zu setzen

ist

wir erhalten also

(><R

100)

L>2c

2(,

; e > R-

fi C+?+¥)-*•*

Die Integrale dieser Differentialgleichung sind

k' (>2 Ç2 ₆ c R²

ey R2 le g²

Q²

101)

ç> < R •

Da nun l) nicht unendlich werden darf, so muss für negatives c die Constante Gl — 0, für positives c die Constante C₂ = 0 sein.

Wenn c positiv ist, so steigt die Flüssigkeit im inneren Baum auf; wir haben es mit einer Cyklone zu thuu; ein negatives c entspricht einer Anticyklone.

Der Unterschied zwischen beiden ist in der Reihung begründet; es ist daher die Cyklone nicht einfach eine Umkehrung der Anticyklone.

Die Geschwindigkeit Ij muss ebenfalls für q =E stetig sein. Dies gieht für die Cyklone

9 k'~c

102)

cy

Die Windgeschwindigkeit ist

w = yw + tîv>

QC

i + (/?C=a)

Cb

₂^r

q<R

»J/Ü +

y2

für die Cyklone

Ic 2

q>R

QC

V*

103)

y2

ok' - e) 2

(> < R

r²

1(»² _ A\²

A*'¹“' ')

für die Anticyklone.

Im äusseren Gebiet (q y> R) ist die Windstärke hei kleinen absoluten Werth en von c, also schwachem Winde, an gleichen Orten bei der Cyklone stärker als bei der Anticyklone.

Der Unterschied ist am grössten für —

k’-c

bei der Anticyklone. Setzt man £' = 0,00008, 7 = 0,00006, so würde sich die Windgeschwindigkeit bei der Cyklone zu der bei der Anticyklone verhalten wie ^13 : 2. Für

1< —

l (ül _ i)

C 6C \R2 '<

<2

lc — c

würde die Cyklone stärkeren Wind haben als die Anticyklone, dann aber die Anticyklone überwiegen.

Windgeschwindigkeit ; Ablenkungswinkel bei den Cyklonen.

295

von c

Für die Cyklone muss 2 k >> c sein, weil für grössere Werthe die Geschwindigkeit im Centrum unendlich wird. Nimmt man den Reibungscoefficienten 1c = 0,00008, so erhält man den Maximalwerth, den die Geschwindigkeit des aufsteigenden Stromes

für die Cyklone erhalten kann, nämlich e = 0,16 ™c- Bei der

Anticyklone ist die Geschwindigkeit des absteigenden Stromes unbeschränkt, weil dann c negativ ist.

Unter dem Ablenkungswinkel versteht man den Winkelnden die Windrichtung mit dem sogenannten Gradienten (der Richtung grössten Druckgefälles), in diesem Falle also mit + (6 bildet. Bezeichnen wir ihn mit a, so ist

— ei

SOi'S.

für die Cyklone

2y

— k’-c

₍><R

104)

}l l'9² _ A

für die Anti-q > R cyklone.

Der Druck ergiebt sich aus den Gleichungen 99) durch elementare Rechnung, die aber bei der Cyklone für das innere, bei der Anticyklone für das äussere Gebiet zu ziemlich umständlichen Ausdrücken führt.

cp

Hydraulische Theorie der Strömungen in Canälen.

Die Strömung der Flüssigkeiten durch Röhren und Canäle folgt dem Poiseuille’schen Gesetze [Gleichung 53)] nur so lange, als die Geschwindigkeit nur parallel den Wänden von Null verschieden ist. Dies ist aber nur bei engen und langen Röhren der Fall. Nach den Untersuchungen von Reynold’s scheint bei einer gewissen Geschwindigkeit, die um so kleiner ist, je weiter die Röhren im Vergleich zur Länge sind, plötzlich die Bildung von Wirbelbewegungen einzutreten, wodurch Strömungen in der Richtung der Normalen der Wände hinzukommen und dann hört die Uebereinstimmung mit Poiseuille’s Gesetz auf. Es ist vorläufig nicht möglich, eine befriedigende hydrodynamische Theorie der dann eintretenden Strömungen zu geben. Bei der grossen Wichtigkeit der Frage für die Theorie sowohl, wie namentlich für die Anwendung mögen hier einige Betrachtungen Platz finden, die von einigen Forschern unter Heranziehung einer Anzahl hypothetischer Yoraussetzungen angestellt sind, die allerdings den Nachtheil haben, einer exakten Behandlung nicht zugänglich zu sein.

Die Strömung soll stationär sein und der Querschnitt der Flüssigkeit rechteckig oder cylindrisch.

Die æ-Axe soll in der Richtung der Bewegung und in der Mittellinie der Röhre liegen. Die £-Axe sei nach unten gerichtet und bilde mit der Vertikalen den Winkel a. Die Flüssigkeit strömt dann unter dem Einfluss der Schwere. Damit die Strömung stationär sei, muss die Verzögerung durch die Reibung und Wirbelbildung der Beschleunigung durch die Schwere gleich sein. Bezeichnen wir den Coefficienten dieser Reibung mit F, so erhalten wir

105)

für den rechteckigen Querschnitt F + sgx sin a = 0 ,,    ,, cylindrischen

Nun hängt F ab

1)    von der Geschwindigkeit längs der Wand und wird F in erster Näherung u₀ proportional sein.

2)    Von der Bildung der Wirbel in der Nähe der Wand, wodurch Energie verzehrt wird, diese wird proportional dem Radius F angenommen.

3)    Von der Veränderung der Wirbelbildung nach dem Innern der Flüssigkeit zu. Diese Bildung wird constant sein, wenn die Flächen, durch die hindurch sie sich ausbreitet, dieselbe Grösse haben wie dies bei dem rechteckigen Querschnitt der Fall ist und umgekehrt proportional dem Radius bei kreisförmigem Querschnitt.

4)    Von der Veränderung der Geschwindigkeiten beim Fortschreiten zu benachbarten Punkten; die einfachste Annahme

du

oder

dz

dp

ist F proportional dem Differentialquotienten

zu setzen.

Bezeichnet h die halbe Höhe des rechteckigen Querschnitts, so ist also zu setzen

Strömung in Kanälen. Voraussetzungen.

297

ö?«

-, T,    . B R bu

„der F=scjAu, ₂

An der Grenze der festen Wand und der Flüssigkeit ist F gleich der Reibung zwischen den beiden Substanzen. Diese Reibung sei proportional

1)    der Geschwindigkeit,

2)    der vorbeiströmenden Flüssigkeitsmenge.

Hiernach ist zu setzen

F = sgAu₀h

106)

107)

— F — s<jDul.

A und B sind Constanten, die von der Beschaffenheit der Flüssigkeit und der Wand ahhängen.

Mit Hülfe der Gleichungen 105) und 106) und der Grenzbedingung 107) ergiebt sich, wenn U die mittlere Geschwindigkeit bezeichnet, u{ diejenige in der Mittellinie ist: einmal

yh siu a

u=

dann für kreisförmigen Querschnitt

108)

Ä si

l_ , Yll (

Y2B ~ SA V

f¹ + {>yn) vu •

Wb 5.3aJ V 2

()3

1?3

sin a

t—VB U — BX

S111 «

oder

A = 0,00064, B = 0,00081 , für z — h ist

108 a)

uv — u=

,/B

⁵ 6 A

sin a,

u₀ =

~Ÿ~h sin a •

Diese Formeln sind in Uebereinstimmung mit empirischen Formeln von Darcy (Darcy, Les fontaines publiques de la ville de Dijon).

Bei dem Canal mit rechteckigem Querschnitt verlegen wir die æ-Axe in die freie Oberfläche, die sich herstellt, wenn das Gefalle constant ist, also h unabhängig von x ist. Ist h mit x variabel, so wird das Gefalle ebenfalls veränderlich. Ist die Bewegung nicht stationär, und bezeichnen wir mit ^ die Beschleu-

nigung, so tritt an Stelle der Gleichungen 105) und 106) die Gleichung

h‘hi .    hh hu \

Ahuo öP + sm a~ hx~Tt g’

wie man leicht sieht, wenn man beide Gleichungen nach z diffe-renzirt und beachtet, dass jetzt die Beschleunigung von Null verschieden ist.

Wenn ausser den Strömungen u noch vertikale Strömungen mit der Geschwindigkeit w vorhanden sind, so ergiebt die Gleichung der Continuität

109)

hu . hw

hx

Chu ₇

w — — / ^ a% .

Für die cylindrische Röhre ergiebt sich, wenn man    Fq)

bildet und mit p den Druck in der Axe bezeichnet, sodass p — p -f- sgz cos a ist,

R²w₀

Wir bezeichnen mit II den Werth, den h überall annehmen würde, wenn kein veränderliches Gefälle vorhanden wäre.

Multipliciren wir die Gleichung 109) mit dz oder die Gleichung 110) mit dp und integriren von II—h bis & oder von 0 bis Ix, berücksichtigen die Bedingung an der Grenze z = II und setzen

hu 1

ht g '

110)

t-h !*Si

H

dz oder U’ =

Ti

.93.' ^

&\w

H—h

so erhalten wir, wenn wir z — II setzen

1 hp’ sg ö(>

Die Formeln 108) können wir mit Berücksichtigung des Umstandes, dass u = u₀, Yh sin a — yrßu₀ für & = h wird, schreiben

“ = i + Ł ( i __ *2>|

it₀ L ^ 2A\l hV'

oder

Bu\ = ^sin a

111)

c? S

3~A

(l-gy Ula)

Näherungsmethoden für die Strömungen in Canälen.

299

Nehmen wir an, dass für die Beschleunigungen weder die Reibung noch die Druckunterschiede in Betracht kommen, sondern im Wesentlichen die AVirbelbildung maassgebend ist, so haben wir

hu

hu

hu

⁰ — ht +UhxJrW öV

Hier vernachlässigen wir das zweite Glied gegen das erste und setzen die Geschwindigkeit u = const ä, dann ist

_ hu hh _

hx hh hx h dx ’

u dh

sodass wir haben

₉ 1 dh Tt ~~ U h dx'

111b)

Setzen wir andererseits u — const R², so ist

2 2 dB U R dx

hu

Wir berücksichtigen diese Gleichungen, indem wir den er-

hu

haltenen Werth von ^ in die Gleichungen 109) beziehentlich 110)

1 hp sg hx

entnehmen wir aus 111). Dann integriren wir die Gleichungen 109) und 110) von II — h bis % und von 0 bis q, dann zum zweiten Mal von II bis % und von q bis R, beachten, dass für % = II — h der

verschwindet und erhalten

einsetzen. Den Werth von sin a — ^ oder den von sin a —

Werth von

u ~ Ui) i J* G² i

u₀ ^ 2AW~r

2z _ 2Hz _ 2H h h* ' ■ h

und

un

Uq

CO CO

dh 1 dx Ag

0 -r.)-Ck

Mhr-fh

x II—h    H—h

a o    o

2dz\ dz h) h

112)

g dg

R R'

Vernachlässigt man das Glied auf der rechten Seite, so erhält man für h — H die früheren Formeln lila). Betrachtet man u² = (1 + e) U²,

IP

diese als erste Näherung und setzt sie in die jetzt erhaltenen ein, so erhält man als zweite Näherung für h = II

= i + s!+2ii

45 A

ii+²

l1T7 j dxAg

ta

oder

113)

te

25il

(. , 4B\ dR 1 V + Ul) dxÄg

dh

zu berechnen. Wir beschränken

Diese Formeln erlauben

dx

uns auf den Canal mit rechteckigem Querschnitt.

Wir bilden zu dem Ende den Mittelwerth von u², nämlich

h

jiu-dx] u² wird aus den Formeln lila) entnommen und er-<j

h sin a

~B~

ü² =

>—L

giebt, wenn ausdrücken

wir u₀ = y

mittelst der Formeln 108) durch U

und daraus nach 111b)

bU

(1 -f- t) dh àt    h dx

U2.

114)

Aus den Formeln 113) und 111) ergiebt sich, wenn man Glieder zweiter Ordnung vernachlässigt

U' =

bü

bt

Bul = bU² —

x dh g dx

U² — ^sin a

dh

dx

)u

115)

\b = 0,0004

ix — 0,00036, h sin a = 0,0004 U².

Durch den Querschnitt ha des Canals (a ist seine Breite) tliesst überall die Wassermenge Q — Uka. Betrachten wir das constante Gefälle als erste Näherung, so ist h = II und

Bu² = b U² = II sin «,

bU²H²a² — b Q² — sin «HW = bü²h²a².

Setzen wir diese 'ersten Näherungswerthe ein, so erhalten wir aus 115) und 114), da nach der letzten Gleichung

ist,

sin a H³

7A

dh

bf, {h³ - II³) si

dx

oder

bgh³ — (1 -|- s -f- x) II³ sin a

116)

dx

_ aji³ — bi II3 dh ~ «₂ (h³ — II³)

- bg śm a, a y

wo zur Abkürzung at gesetzt ist.

Wir können auch schreiben

(V)

•

Ul

dx__{by — «|) H³

dh a<i «2 (ä³ — 11³)

und erhalten durch Integration

Hierdurch ist die Gestalt der Oberfläche des fliessenden Wassers bestimmt. Doch ist hier auf die hydrodynamische Bedingung, dass der Druck an der Oberfläche einen constanten Werth haben muss, überhaupt keine Rücksicht genommen, sodass diese Entwicklungen kaum grösseren Werth als den empirischer Formeln haben.

Ueber die Ableitung der Bewegungsgleichungen für reibende Flüssigkeiten vgl. S. 52.

Der Minimalsatz der verzehrten Energie bei schwacher stationärer Strömung rührt von Helmholtz her (Ges. Abh. I, S. 223), die Einführung äusserer Kräfte, welche die Trägheit auf heben, von Rayleigh (Phil. Mag., Oct. 1893). Die Bewegungen einer Kugel in einer reibenden Flüssigkeit ist behandelt von Stokes (Transact. of the Cambr. Phil. Soc. 9, 1851), O. E. Meyer (Grelle, Bd. 73), Kirchlioff (Mechanik, 2(5. Vorlesung). Die drehenden Schwingungen einer mit Flüssigkeit gefüllten Kugel sind von Helmholtz abgeleitet (Ges. Abh. I, S. 196), die eines Cylinders von O. E. Meyer (Wied. Ann. 43, S. 1, 1891); die beiden letzten Bewegungen sind zur Bestimmung der Reibungsconstante verwendet worden, die Schwingungen einer mit Flüssigkeit gefüllten Hohlkugel von Piotrowski (Helmholtz, Ges. Abh. I, S. 172), die eines Cylinders

von Mützel (Wied. Ann. 43, S. 15, 1891). Die Strömungen in einem langen Cylinder sind zur Bestimmung der Reibungsconstanten von Poiseuille (Compt. rend. 15, S. 1167, 1842) benutzt worden. Diese experimentellen Ergebnisse wurden aus der Hydrodynamik abgeleitet von Hagenbach (Pogg. Ann. 109, S. 385, 1860) und F. Neumann (Einleit, in die theoret. Physik S. 246, 1883).

Die Ergebnisse der beiden Methoden zeigen noch immer keine vollkommene Uebereinstimmung. Aus den Piotrowski’schenWerthen ergab sich ein von Null verschiedener Werth für den Gleitungs-coefficienten, während alle anderen Beobachter fanden, dass der Gleitungscoefficient an festen Körpern verschwindet. Ygl. W. König (Wied. Ann. 25, S. 618, 1885), O. E. Meyer (Wied. Ann. 32, S. 642, 1887). Nach den Beobachtungen von Warburg ist sogar der Gleitungscoefficient zwischen Quecksilber und Glas gleich Null, trotzdem hier keine Benetzung stattfindet (Pogg. Ann. 140, 1870). Eine Wiederholung der Piotrowski’schen Versuche und namentlich Versuche darüber, ob künstlich (elektrolytisch) entwickelte Gasschichten den Gleitungscoefficienten verändern, wäre dringend erwünscht.

Die oben gegebenen Resultate über den Einfluss der Reibung auf die Wellenbewegung sind zum Theil von Lamb abgeleitet (Hydrodynamics Art. 302). Die Veränderung der Fortpflanzungsgeschwindigkeit und die Dämpfung der Schallwellen durch Reibung sind von Helmholtz angegeben (Ges. Abh. I, S. 383).

Die durch die Fluthreibung verursachten Strömungen sind von Hertz abgeleitet (Ges. Abh. I, S. 223). Die Theorie flacher Cyklonen mit Berücksichtigung der Reibung an der Erdoberfläche rührt von Oberbeck her (Wied. Ann. 17, S. 128, 1882) und ist von Pockels vervollständigt (Meteorolog. Zeitschrift).

Dass die Strömung in weiteren Röhren aufhöre der gewöhnlich angenommenen Theorie zu folgen, wonach nur Bewegungen parallel der Axe vorhanden sind, ist von Reynold’s (Phil. Trans. 1883) beobachtet. Hiernach ist Uebereinstimmung mit der Theorie nur in Röhren zu erwarten, in denen die Geschwindigkeit einen bestimmten, vom Radius der Röhre und den Reibungscoefficienten abhängigen Werth nicht übersteigt. Die Theorie ist vorläufig nicht im Stande, hiervon Rechenschaft zu geben. Noch schwieriger ist das Problem frei fliessender Gewässer. Die sehr hypothetische, oben gegebene Theorie rührt von Boussinesq her (Compt. rend. 71, S. 389, 1870 und 73, S. 34 u. 101, 1871).

VIII. Gleichgewicht rotirender flüssiger Massen.

Das Problem der Gleichgewichtsform rotirender flüssiger Massen ist von grosser Wichtigkeit für die Frage nach der Gestalt der Himmelskörper.

Sehr einfach ist die Aufgabe, wenn die Flüssigkeit mit con-stanter Drehungsgeschwindigkeit lj₀ um die 2-Axe rotirt und die

äusseren Kräfte ^^^ wirken. Nach den Gleichungen 10) Abschn. II ist

‘»-fl —

dp

ô (S —P)

1)

und

$ — P +    = const.

Wenn eine freie Oberfläche vorhanden ist, so ist die Flüssigkeit als incompressibel anzunehmen und es ist dann P — const in dieser Oberfläche. Also ist

const

. fß _j_ îiÿ²

die Gleichung der Oberfläche.

Ist z. B. $8 = — gz, also die Schwere allein in der Richtung — % wirksam, so ist

2)

2 9% = P H P² •

Die Oberfläche der Flüssigkeit ist ein Rotationsparaboloid.

Bei den ausgedehnten Massen der Himmelskörper kommt die Verwicklung hinzu, dass die einzelnen Theile der flüssigen Massen sich nach dem Newton’schen Gesetze anziehen.

Die nicht stationäre Bewegung eines solchen Ellipsoids ist zuerst von Dirichlet mit Hülfe der Lagrange’schen Differentialgleichungen behandelt worden und wir wollen seinen Entwicklungen im Wesentlichen folgen.

Die wesentliche mathematische Grundlage bildet die Tliat-saclie, dass den Gleichungen genügt wird, wenn die Coordinaten eines Flüssigkeitstheilchens linearen Ausdrücken der Anfangs-werthe gleichgesetzt werden, deren Coefficienten nur Functionen der Zeit sind.

Wir setzen also

3)

x = a{a -j- ßyb + /jC, y = a₂a + ß₂b + y₂c,

- == a^a + & b + y:tc.

Der Mittelpunkt des Ellipsoids DleiHt nach dem Satz vom Schwerpunkt an seiner Lage.

Es ist nun zu zeigen, dass durch diese Ausdrücke die Differentialgleichungen 30) Abschnitt T befriedigt werden und sich so bestimmen lassen, dass eine freie Oberfläche möglich ist, auf der ein constanter Druck herrscht und dass die einzelnen Theile der flüssigen Masse sich nach dem Newton’schen Gesetz anzfehen.

Der Anfangspunkt der Coordinaten falle in den Mittelpunkt des Ellipsoids und die anfängliche Oberfläche habe die Gleichung

r-2

4)

= l.

a2 4- h2 JL A2 + B2 +

Die Continuitätsgleichung ergiebt sich für die Anfangszeit, wenn wir die Gleichung nach t differenziren und dann

(Yr

+ S +

du

da

dn>

de

bilden als

da\

<iy-i

—i i - ⁽'ß‘i i ;■/

dt dt dt

= 0.

Der Vorzug der Lagrange’schen Gleichungen zeigt sich in der Bedingung der freien Oberfläche. Diese ist erfüllt, wenn die Gleichung 4) die Oberfläche zu jeder Zeit darstellt. Setzt man x, y, & ein, so ergiebt sich leicht, dass die Oberfläche zu jeder Zeit ein Ellipsoid ist.

Das Potential der anziehenden Kräfte ist eine homogene Function zweiten Grades der Coordinaten. also

iß = H — Ka² — Lb² — Mg¹ — 2 K'bc — 2 L'ca — 2 M'ab,    6)

wo die Coefficienten Functionen der Zeit sind.

Der Druck ist

£)•

p — const + f (

7)

a² ’ b2 A² — B²

Hiermit genügen wir der Bedingung constanten Drucks in der Oberfläche. Setzen wir die Ausdrücke für x, y, % in die Gleichungen 30) Abschnitt I ein und beachten, dass

bx

ist; dass ferner die Coefficienten von a, b, c einzeln verschwinden müssen, so erhalten wir

d²a\

d²ao ,

+ a2 dt² ^ a?> 1 dt² '    2 dt² '    ³

d²a₃

2/'

= — 2Ä- +

= — 2 M\

ai -Jł + «2    + «3 “Jf = — 2A',

+ &    = — 2L +ÿ,

+ & pyl + & ^ = — 2Z'>

«1

dt²

dt²

A²’

d²cci ¹ dt²

ßi

ßi

d²ßs

dt²

dßßi

dt²

d²Yi

dt²

+ ßi

dt²

8)

r> wt + ft

dt²

+ 73

d²y{ . d²y₂ .

ft A + ft A + ft

d2y-³ = — 2 M +

dt²

C~2*

Wien, Lehrbuch d. Hydrodynamik.

20

Drei Integrale dieser Differentialgleichungen erhält man, wenn man die Gleichungen, welche K', L’, M' enthalten, von einander abzieht, nämlich

O dYi dA I O    ÛA \ Q    — m

dt G dt '    ² dt ^² dt ' ^ dt    dt    ’

« M _j_ y ^«3 __    ^ __ ß

ß2 dt + ^3 & a3 dt ~ L’

'S .

9)

da,    dyx . dcc₂

ri m— «i -w + 72 -dt -

wo 9(, 33, G Constanten sind.

Ferner liefert das Princip der Erhaltung der Flächen drei Integrale

== const

///(■*

dt

,r ^0 dx dy dz

= const

j I j{x %- y % tedy dz

— const.

Drückt man x, y, z durch a, i, c aus und berücksichtigt, dass

b-dadb de — ~ B\

5

a - da db de —

A²,

c²da db de =

4?t ABC

c-2, a» = —3

ca da dbdc — 0

///

ab da db de = 0

ff

ist, wenn man die Integrationen über das Ellipsoid erstreckt, so erhalten wir

7(“)

^² («3 Ir - “i t) + ⁵² (A f - A f )

— const

+ ^² G $

ItA

dtf I

10)

= const

dß2

dt

ftf)

±Zl\

dt J

Ein siebentes Integral liefert der Satz der lebendigen Kraft. Nach diesem ist

— 72

= const.

F + L = const,

11)

wenn L die gesammte lebendige Kraft und F die potentielle Energie der Fltissigkeitsmasse bezeichnen, deren Berechnung durch einfache Integrationen geschieht.

Um den Werth der Grössen K, L, M zu bestimmen, hat man in dem für s$ gegebenen Ausdruck die x, y, z durch a, b, c zu ersetzen.

Im allgemeinen Eall führt das zu ziemlich verwickelten Ergebnissen. Die Integration der allgemeinen Differentialgleichungen, welche nach Elimination von f auf 8 Gleichungen zweiter Ordnung führt, wird durch die Kenntniss der sieben Integrale auf ein System neunter Ordnung zurückgeführt.

Die vollständige Lösung ist daher nur unter speciellen Voraussetzungen zu erwarten. Für die wirkliche Ausführung der allgemeinen Integration hat Biemann eine besondere Umformung angegeben, durch welche das allgemeine System auf Eins siebenter Ordnung zurückgeführt wird.

Wir beschränken uns hier auf die Behandlung der von Dirichlet untersuchten Specialfälle. Wir nehmen an, dass Anfangs in Bezug auf die Gestalt der Oberfläche, also auch auf die Bewegung Symmetrie hinsichtlich einer Axe stattfindet, dass also zunächst B = A ist. Die Geschwindigkeiten sind

b _i_ <fZl c ⁰ ' dt

» + dw

da₃    . dß3 , dy₃

w = -x a + Jr b + me-

Durch eine Drehung des Coordinatensystems um die c-Axe um einen Winkel d darf für t — 0 an den Geschwindigkeiten nichts geändert werden; wenn

dai

u — “dt

v==Tt

CL -j⁻

dßi

dt

d(x₂ , d ß2 a+ Tt

12)

ay = a cos # — b sin 9 , by = a sin 9- + b cos , die neuen Coordinaten sind, so müssen

uv — u cos 9- — v sin 9-,

Vy = u sin 9 + v cos & >

die neuen Geschwindigkeiten sein und iv muss ungeändert bleiben.

Daraus folgt für t = 0

dai _ dß2 dt dt

da-.

dt    dt

dy\

da₃

dt

dt

dt

dßi

dt

= 0.

13)

Hierzu kommt dann noch die Gleichung

da\ , dß2 dys dt ' dt ' dt

Daher können wir für t = 0 setzen u = la + ntb,

Die Bewegung besteht aus einer Strömung parallel der e-Axe mit der anfänglichen Geschwindigkeit — 2/c, aus einer Drehung um die c-Axe mit einer Winkelgeschwindigkeit m, aus einer radialen Strömung von der c-Axe fort mit der Geschwindigkeit

; yw+ b².

Aus der Symmetrie der Geschwindigkeiten folgt, dass die Symmetrie in der Lage zu jeder andern Zeit besteht. Es muss daher

= 0.

v — — ma Ib ,

w = — 2 Ic.

14)

Cty    1

7i = 72 =«3 = ^ = 0

sein. Die Gleichung der Continuität für beliebige Zeit erfüllen wir nach Gleichung 31) Abschnitt I, wenn wir die Determinante D = 1 setzen.

In unserm Falle ist

«2 = — ß\ »

X> = (o,2 +

dann ist die Dichtigkeit gleich Eins. Daher ist

Zf =

da\-dt a

d<X2 7 ~Htb

_ dA a + b dt a ^ dt ⁰

a = al73a; -

⁶ = ßl7*X + «1/32/

c = — x 15 a)

73

und

15b)

% ("² + ?/²) + ^

ist die Gleichung der Oberfläche.

Das Potential iß ist das der gravitirenden Kräfte des Ellip-soids. Bei einem dreiaxigen Ellipsoid, dessen Halhaxen A, B, C sind (vgl. Kirchhoff, Mechanik, 18. Vorlesung), ist

oo

y²

iß = xABC dSj

A²-\-£ i    -B² + C² + £|

~\f{A² + £}) {B² fi) (C² + f|)

16)

In unserm Falle ist also

oo

x²

A²

+ fi

C²y\ + f,

iß = xA²C\ dt

7b

(~ + fi) Y G²rl + fi

17)

oder nach 15) und 15 a)

co

iß = xA²Cl 7:pif,

a² + b²    c²y\

A² + fi73    G²yl + fi .

(A² + fi 73) ~\f G²y\ + f!

18)

Hiernach ist also

oo

x jd£i

0

y±

(A² + fi7₃)² yC²7| + fi ’

00

M=xJ de

0

Ti

(A²+f,7₃)yr((7²7l+£₁)³

K' = H = M' = 0 .

Hiernach sind vier der Differentialgleichungen 8) identisch erfüllt. Die andern rednciren sich auf die drei folgenden

d*at    R d*ßx _    2 f

+ & ~sw —    2 L +»

20)

r.$ — wr+§i,

= 0.

„    _ o l²«i

Dazu kommt die Gleichung

20 a)

(«i + ßl) 73 = 1 •

Die Integration dieser vier Gleichungen liefert die vollständige Lösung. Die dritte Gleichung lässt sich nach t integriren und giebt

«,l-Äff = const=

co .

21)

Aus der vierten folgt

d«i , n dßi___1

¹    "> Pl dt ~~    2y\ dt

«.£ + a£ + GA + (f)²=

22)

+ £($)²- ²³>

2y| dß

Quadrirt und addirt man die Gleichungen 21) und 22), so • folgt mit Berücksichtigung von 20 a)

fê)²+(f)²} = “² +

4 yî

(f)²

und 23) wird hierdurch

f/²«!

°i W

1

2y|

+ Ä    C°l K + ïfj (w) '

Wir erhalten also aus 24) und 20)

+ iii (¥) ~ 032/3 = X2 ~ 2 L>

/3

24)

1 ^²y₃

2y\ dt2

25)

26)

zur Bestimmung von /₃ und f.

Die Werthe von L und M sind nach 19)

nA²C

<72

<7²yi-

2)/C!

Ä²

log

Oys —

0²yl~

73--

73

M — — 2 jt

A19ïï

Cy₃ —

^²7l - — 73

CVs

log

V°*-£

Cy₃-j/ C²7l

C² >

A²

;,₃ >

und

27)

7tA²C-

1/ — +

73__ Oy%_

A²

o²y?t - -

73

V⁰hi~f>

arctg

VA-

V 73

- C-tyl

^73

M— —

2nA²Cy%

A2

C²yl — —

73

Oys

Vcv'-yi

arctg

V^-Oyl

V 73__

Cy₃

7 il

c² < A².

Multipliciren wir die Gleichung 25) mit /§, die Gleichung 26) mit <A Und addiren sie, so erhalten wir mit Berücksichtigung der Werth e von L und M

f (;{2 + cyi)

= 2 Ji

28)

Multipliciren wir die Gleichung 26) mit , die Gleichung 25) A²

mit — und ziehen sie von einander ah, so ergiebt sich d²y₃ __ 3 A3

dt²

4 ÿj

G?)² + a‘A'²

(LA² — G²M)

= 2 ji

gt&t (A² — C273) A2Ç

29)

0'

(A2 + 73 *02 V((72ys+ et)3

Multiplicirt man diese Gleichung mit 2 ^ und integrirt nach t, so erhält man die Energie des Systems

de\ A²Cy₃

= const. 30)

(A ²+ y₃fi) VG²y‘i + G

Wir führen nun zur Abkürzung die Bezeichnungen ein

u = yz^c,

oc

F («) =

ehr

ojy₃

so werden die drei erhaltenen Gleichungen 28), 29), 30) m (² + ä = 2 jr (1 — x²) + ^ (^)²,

0 + Ł³) W “ 4«~⁴ (w) + ²‘7r (Ł K

/'

31)

yl⁴    («)

da

) — 0, 32)

33)

0 + 2VO (w) + 4jt {Ł Y Fi' a ~    } — const •

Hier ist die letzte Gleichung das Integral der vorletzten. Für die Discussion ist es aber zweckmässig, beide Gleichungen zu verfolgen.

Es ist

F(a) =

“jAG¹

arctg

² y*-¹

CO

F(a) =

Yi~h

aYi

a> 1

a³

für a — 1 ist F(l) = 2.

Discussion der Gleichungen, wenn keine Rotation vorhanden ist.

313

Für sehr grosse und sehr kleine Werthe von « wird F(a) klein. Bildet man

dF

da

(WO I

0

cc

odo

(1 + ao)²

(r⁺s)

so ergiebt sich, dass f{a) nur ein Maximum für a = l hat.

Die Werthe von F (a) liegen zwischen Null und 2 und zwar hat die Gleichung F(a) = const zwei Wurzeln, von denen eine grösser, die andere kleiner als 1 ist.

Betrachten wir zunächst den Fall, dass keine Rotation vorhanden, also co — 0 ist. Dann haben wir die Gleichungen

35)

m (2a + i) = ² * + I (3 w)'

36)

= 0,

(ft² 4«⁴VdW

37)

= const.

Wenn zur Zeit t = t₀ keine Bewegung vorhanden war, also

<ta = 0 ist, so ist

dt

const = — 4 jc F (ct₀), also

Es ist also immer F(a) )> F(«o)-

Ist y₃ = .1 für t = t₀, fällt also die Symmetrieaxe mit der z-Axe zusammen, so wird a₀ —

Ist die ursprüngliche Gestalt der flüssigen Masse eine Kugel, so ist «o = 1. Da aber F( 1) der Maximalwerth von F ist, so muss auch a immer gleich Eins sein. Die Kugelgestalt bleibt also immer bestehen. Ist a₀<1, so ist A )> C und a₀ <Ü « <C «u wo «, die zweite Wurzel der Gleichung

F (cc) — F(a₀) = 0

bedeutet. Es muss also a alle Werthe von a₀ bis a\ periodisch durchlaufen; «j ist dann 1.

Die Bewegung besteht also aus Schwingungen, bei denen die Flüssigkeit abwechselnd die Gestalt eines abgeplatteten und eines verlängerten Ellipsoids annimmt.

Wenn die Anfangsgeschwindigkeit von Null verschieden ist, so ist der Charakter der Bewegung nach gewahrt, wenn nur für t — t₀ ist

wenn dagegen

für t = t₀ ist, so kann

^ nicht verschwinden.

Dann ist nämlich die Constante der Gleichung 37) positiv

und da F (a) immer positiv bleibt, so kann const 4- 47t F (cc)

nicht kleiner

werden als

1 + s¹

2cc³

Es wird also, wenn ^ > 0 ist, a mit wachsendem t immer

grösser. Es wird daher y₃ immer grösser, nach 15a) verlängert sich das Ellipsoid immer mehr und mehr.

Ist Anfangs ^ negativ^ so bleibt es aus demselben Grunde

immer negativ und a nimmt mehr und mehr ab. Das Ellipsoid plattet sich also mit wachsender Zeit immer weiter ab.

Für f ergiebt sich aus 35)

38)

2a +

Es bleibt also immer positiv. Es kann die Bewegung der Flüssigkeit im leeren Raum bestehen, weil nach 7) der Druck im Innern nie negativ wird, auch wenn der constante Druck auf die Oberfläche Null ist.’

Wenn co von Null verschieden ist, so ist immer Rotationsbewegung vorhanden. Wir setzen zur Abkürzung

«co²

A⁴

2n

Ö*

und demnach

dF_ dtp

A⁴

(O²

G⁴ da da

und wenn a den Werth von a, der der Gleichung*

CD²

2,7t

A⁴ _dF

C⁴ rr da

— f'

genügt, bezeichnet, so gehen die Gleichungen 31), 32), 33) in die folgenden über

{2a + à) i¹ + 2VO

l¹ + à) (f )²+bo + (1 + 2V3) (î)₀²] • 4i)

D²

d²a

dt²

39)

dtp

da

40)

Aus der letzten Gleichung folgt, dass sein muss. Da F endlich bleibt, kann a nicht über eine gewisse Grenze wachsen. Diese Grenze hängt vom Werthe von co ab. Wenn co endlich ist, kann das Ellipsoid sich nicht unbegrenzt verlängern. Es ist dies eine Folge der Centrifugalkraft.

Für die weitere Discussion haben wir drei Fälle zu unterscheiden.

Erstens

dF

für « = 0 positiv unendlich, ^ ist also negativ

Aus der Definition von ip folgt, dass % = 0 für a = 0 ist. Ferner ist -j-

da

zwischen a — 0 und a — a , daher nimmt ip beständig ab, wenn a von 0 bis a wächst und erhält für a — a einen negativen

Werth, der zugleich ein Minimum ist. Es muss also = 0 und «o = a sein.

Daher ist auch nach 32)

A*

2 7t

c<

Nun ist

| co

co

o do

a+««)²J/(t + -3

3’

nur positiv, wenn ß₀ < 1. Also muss a₀ <C 1 sein.

Aus der Bedingung ip < ip(a) folgt, da ip(a) der kleinste Wertli ist, den tp(ct) haben kann, ip — ip(a) = ip(a₀), also a — a₀. Wir haben also in diesem Falle eine constante Rotation eines abgeplatteten Ellipsoids um die kleine Axe ohne Gestaltsänderung. Lassen wir die x-Axe und die Symmetrieaxe zusammenfallen,

so ist

7s = 1 »

al — a

Daher

Die Gleichung

2a

dF

da

I 2 d2F (\ + “ 0 = °

ein Maxi-

Jbi

da

hat nur eine Wurzel a = 0,2246 . . . , für welche a²

»

muni wird. In unserem Falle darf also nicht grösser als dieser

numerische Werth sein. Im allgemeinen genügen daher der Gleichung

27t = «o -^'Oo)

zwei Werthe von «₀. Es existiren also zwei verschiedene Ellip-soide und für den Grenzwerth fallen beide zusammen. Dieser Fall ist zuerst von Mac Laurin behandelt. Da 1 —F'(a) a² >> 0 bleibt, hat f immer einen positiven Werth. Auch in diesem Fall kann sich die Flüssigkeit im leeren Raum befinden.

Der zweite Fall ist

2d»

(S)3<o-

Rotation ohne Gestaltsänderung. Fortschreitende Abplattung Die letzte Bedingung ist nur erfüllbar, wenn tp₀ <C 0 bleibt,

also

«0 CU²

FM > ~~2n

A4

Cl

ist.

Die Gleichung tp(a) = f(a₀) + (l + ^₃) (;|)[

bat zwei

Wurzeln a, und a₂, da es ein Minimum mit negativem Vorzeichen für a = a hat. Es ist daher ax <V ct <C «₂. Da nun immer nach 41)

^    + (l + 2«s) (J|)₀

bleiben muss, so muss a zwischen den Grenzen ax und «₂ bleiben. Hier kann, wenn co genügend gross ist,

CU²

V «*>•+£< l)²

;    »I*

^ O

r—I

werden und f nach 39) einen negativen Werth erlangen. Dann ist der Druck an der Oberfläche von Null verschieden und die Bewegung kann nicht im leeren Raum vor sich gehen.

Da ip = 0 für a = 0 ist, so hat die Gleichung

* - % + 0 + sO öD„²

nur eine Wurzel, wenn im dritten Fall

> 0 ist.

% + 0 + äiO (a)!

Da a nicht unbegrenzt wachsen kann, wenn t wächst, so wird es unbegrenzt mit t abnehmen, das Ellipsoid sich also mehr und mehr abplatten.

um eine Axe rotirt, lassen sich am übersehen.

Die andern Fälle', in denen das Ellipsoid wie ein fester Körper

besten in folgender Behandlung

Wir setzen

a cos cot -f- b sin cot, y — — a sin cot + b cos cot,

so folgt

d²x

<Py _ dt 2

— cohj

hx

ha

cos cot

hx

hb ⁼

sm cot

hy

Źa~

— sin cot ,

hy

P = cos cot.

hx hy hx hy ha hb hb ha

der Zeit unabhängig sein. Diese Bedingung ist hier erfüllt. Das Potential ist nur eine Function von a, b, c, da das Ellipsoid seine Gestalt nicht ändert. Nämlich

Nach der Gleichung der Continuität muss

von

$ = const — Ka² — Lb² — Ale². Die Differentialgleichungen 30) Abschnitt I geben

— co² + 2/i —

A*~ ⁰--m² + 2L — B2

Hieraus findet man

2/'— A² (2K— co²) = B² (2L — co²) =2 MC²

oo = Y

2 (KA² — LB²) A2 — B2

(L — K)

A* — 52

Setzt man für K, L und M ihre Werthe, so wird die letzte Gleichung

= MC².

^00

ds\

(1 + ft) O+ft) O + Z2) (1 + Ä)

de 1

JY^l +    (1 + Ä) 0 ⁺ ft) (* + ft)

Hierdurch ist ein bestimmtes Verhältniss der Axen A, B, C des Ellipsoids vorgeschrieben. Und zwar ist, wie man unmittelbar sieht, C die kleinste Axe. Es ist dies der von Jacobi entdeckte Fall. Das Ellipsoid dreht sich um die Axe C mit der Winkelgeschwindigkeit

Rotation eines dreiaxigen Ellipsoids olme Gestaltsänderung.

319

00 =

2 7t

00

£idsi

Das erste Beispiel des Gleichgewichts gravitirender flüssiger Massen ist von Mac Laurin gegeben (De causa physica fluxus et refluxus maris; 1740). Weitere Untersuchungen sind von d’Alem-bert und Laplace angestellt (Mécanique céleste, III, Cap. 3). Dass auch ein flüssiges Ellipsoid mit drei ungleichen Axen, das um die kleinste Axe rotirt, sich im Gleichgewicht befinden kann, hat Jacobi gezeigt (Pogg. Ann. 33; 1834).

Genauere numerische Daten über dies Ellipsoid finden sich bei Darwin (Proc. Royal. Soc. 5. Nov. 1886; Phil. Transact.; 1887). Von sehr allgemeinen Gesichtspunkten aus ist das Problem des Gleichgewichts bei unveränderlicher Gestalt des Ellipsoids von Poincaré behandelt (Acta. math. VII; 1885).

Die Untersuchung des Gleichgewichts bei veränderlicher Gestalt der Oberfläche ist zuerst von Dirichlet aufgenommen (Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik; Gott. Abh. VIII; 1860; Grelle, Bd. 58). Der wesentliche Inhalt dieser Abhandlung ist in dem vorstehenden Abschnitt wiedergegeben. Weitergeführt wurde die Untersuchung von Pie mann (Gott. Abh. IX; 1861); Dedekind (Crelle, Bd. 58); Greenhill (Proc. Cam. Phil. Soc. III; 1879; IV; 1880).

BIBLIOTEKA POllIECHHIGZiU

KRAKÓW

Druck von August Pries in Leipzig.

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