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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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CALCUL I)U BÉTON ARMÉ

ôfientlicîiôfi Àrbsitenjjj

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MÉTHODE

DE

CALCUL DU BÉTON ARMÉ

AVEC BARÈMES

POUR EN DÉTERMINER LES DIMENSIONS

I’AR

A. NIVET inoénieur E. G. P. (1863)

FABRICANT DE CHAUX HYDRAULIQUES A LA GRAVE PAR LUXÉ (CHARENTE)

ET A MARANS (CHARENTE-INFÉRIEURE) INGÉNIEUR-CONSEIL POUR LES CONSTRUCTIONS EN BÉTON ARMÉ -ZjZ

SfîeBtlicliee ArWiten

PARIS (vi”)

II. DUNOD et E. PINAT, ÉDITEURS 49, QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS, 49

1908

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à

BIBLIDTEKA POLÜEGHHIGZNA

KRAKÔW

Akc. Nr.

Ui

J

PRÉFACE

Appelé par mon industrie à faire des essais journaliers de résistance sur les agglomérants, chaux et ciments, j’ai fait construire, en 1889, un appareil qui donne les résultats de flexion, traction, cisaillement et compression sur une éprouvette de dimensions

Om,02 X 0m,02 X Om,II.

Ces résultats, fournis par la même éprouvette, avec le même instrument de mesure, sont comparables, et m’ont conduit à la loi suivante pour les agglomérants soumis à des efforts de flexion, au moment qui précède la rupture, dans une pièce prismatique : « Le plan des fibres neutres partage la hauteur « du prisme suivant le rapport inverse des racines carrées des « coelficients de traction et de compression. »

Cette même loi parait se vérifier pour tous les corps homogènes non clivables, le rapport seulement change, et ce rapport est une caractéristique de la matière.

C’est cette observation qui a donné lieu à l’étude qui suit sur « une méthode de calcul du béton armé. »

J’ai fait, le 7 août 1905, une communication sur ce sujet au congrès tenu à Cherbourg par l’association française pour l’avancement des sciences : cette communication, forme le chapitre I de cet ouvrage.

Cette étude était presque terminée, lorsque parurent les instructions ministérielles du 20 octobre 1906 relatives à l'em-

Il    PIIÉFACE

ploi du béton armé, et, plus tard, en février 1907, le volume édité par MM.Dunod et Pinat, comprenant les expériences de la co mmission du béton armé.

De l’examen de ces documents, il résulte que la méthode développée ci-après, n’est pas en désaccord avec les conclusions de la commission, et qu’elle répond aux exigences de l’art. 10 des instructions ministérielles, puisqu’elle indique des calculs théoriques.

Ces calculs sont basés sur une position bien définie du plan des fibres neutres confirmée par de nombreux essais, et sur des sections réelles, non sur des hypothèses.

MÉTHODE DE CALCUL DU BÉTON ARMÉ

38AEl*

CHAPITRE III

347,5o

ANNEXE

MÉTHODE DE CALCUL DU BÉTON ARMÉ

CHAPITRE PREMIER (■)

I. — Nous avons pris une série de prismes chaux et ciment à base carrée de om,02 de côté et de om,n de longueur, et placé ces prismes sur deux appuis distants de on\io ; appliquant au milieu de l’intervalle sur ces prismes des efforts croissant jusqu’à rupture, nous avons observé la moyenne des charges qui ont produit la rupture :

P = i9k<?,5.

Nous avons déterminé la moyenne des ruptures des mêmes prismes à l’arrachement :

T =r 16^,79

et la moyenne des efforts d’écrasement :

C = 169^,25.

Appelons / = 0,10 la portée du prisme entre scs deux appuis, a — om,02 sa base, et II = om,02 sa hauteur.

La formule théorique de la flexion plane donne, en appelant R la résis-

(l) Extrait des comptes rendus de l'Association française pour l’avancement des sciences (Congres de Cherbourg- 1905).

A. Nivet. — Méthode de calcul du Béton armé    i

tance d’un solide par mètre carré, tant à la traction qu’à la compression, la relation suivante :

(0

R_ 3PZ ¹¹ - 2ÔÏF

dans le cas d’un solide chargé d’un poids P appliqué au milieu de la portée /.

Cette formule est basée également sur l’hypothèse que les fibres situées du côté du point d’application du poids P sont comprimées jusqu’au milieu de la hauteur du prisme, et celles de la seconde moitié tendues, le plan des fibres qui ne sont ni comprimées ni tendues, qu’on appelle plan des fibres neutres, se trouvant au milieu du prisme.

Pour appliquer la formule (i) aux prismes expérimentés, il faudrait remplacer R par T et C, c’est-à-dire, par deux quantités très différentes, car C est, en général, pour les agglomérants, égal à T X io, ainsi qu’on a pu le voir plus haut.

La formule théorique de la flexion plane n’est pas applicable dans le cas des agglomérants.

*2- — Toutefois introduisons dans la formule (i) la quantité C, nous trouverons une valeur de II que nous appellerons IIC, nous aurons :

3PZ

(^)

C = 2aII? ’

baisons le même calcul en remplaçant R par T et soit II, la hauteur correspondante :

(3)

3P/

T = _ - .

2aH,²

Si nous mettons, dans les formules (2) et (3), les valeurs C, T, P, l et a trouvées plus haut, nous aurons :

Hc === Om,OOQ2 158

H, — om,080764.

La formule (2) détermine la hauteur Hc d’un prisme hypothétiq dans lequel les résistances à la compression et à la traction seraient égales

— des

-• *"■ ''.ïnàtàciqé V-..

ue

et égalés à C, l’axe des fibres neutres étant au milieu, à la distance — deux bases    rio,v‘

•distance — des deux bases.

3. — Si nous soudons la moitié comprimée du prisme Kc avec la moitié tendue du prisme H,, nous aurons un solide qui devra avoir même résistance que les prismes hypothétiques Hc et H(> et que les prismes •expérimentés, et se rompre sous la même charge P.

C’est ce que confirme l’expérience, car le solide ainsi formé n’est autre que le prisme qui a servi à faire les essais.

H H,

En effet, si nous additionnons ~ et -- , nous aurons une hauteur très approchée de H.

<4)

f Hc

1 ²

= om,0046079

Hc

Ih

— = om,oi5382

Total. . .    om,0199899 = 0,02.

4. — Dans le solide ainsi formé par la moitié du prisme Hc et la moitié du prisme H, soudées par le plan de leurs fihres neutres, ce plan

commun

partagera la hauteur II dans le rapport •

D’ailleurs, si l’on divise l’une par l’autre les formules (2) et (3) qui ont servi à calculer Iîc et H,, on obtient :

n¹ hi

-c’est-à-dire que le plan des fibres neutres partage la hauteur du prisme suivant le rapport inverse des racines carrées des coefficients de compression et de traction.

Ainsi qu’on l’a vu, dans les agglomérants, le coefficient de compression est égal à io ibis celui de traction :

G = 10 T.

La proportion devient :

(5)

i = ^io == 3,iGa.

On peut donc, à l’aide des formules (4) et (5) calculer II, et llf, et, portant ces valeurs dans les équations (2) et (3), obtenir les quantités T et G lorsque l’expérience a donné P, c’est-à-dire, déterminer, sans essai direct, ces deux coefficients.

Aussi pouvons-nous annoncer, par un calcul simple, à chaque expérience, les charges qui détermineront l’arrachement, et l’écrasement d’une éprouvette de chaux ou ciment, lorsque nous connaissons l’effort qui a produit la rupture par flexion, et, rarement, l’expérience nous donne un démenti, si l’éprouvette ne présente pas de défaut d’homogénéité.

Nous avons pu faire les memes observations pour des prismes de glace à — 7⁰, et pour divers métaux et alliages.

H,

5. — Dans chaque cas le rapport jy change, mais il paraît être fixe pour chaque nature de corps entre certaines limites : ce serait une caractéristique de chaque matière.

H,

Pour la glace à — 7⁰ on a ~ = 1,829.

ÎTe-

Pour l’acier

Ge dernier rapport peut être vérifié en considérant les courbes tracées par la flexion sur un prisme d’acier poli (courbes de Luders). La limite des plissements observés sur la portion comprimée, et des arrachements produits sur la partie tendue est facile à observer : celte limite est le lieu des fibres qui n’ont été ni comprimées ni tendues, lieu des fibres neutres.

L’expérience, dans chaque cas, parait être d’accord avec la théorie, et l’on a le droit de supposer que, dans l’instant qui précède la rupture des solides considérés, l’effort imposé à la fibre la plus tendue est près d’atteindre T, tandis que celui qui sollicite la fibre la plus comprimée tend vers G, la rupture se produisant au moment où ces deux limites sont atteintes.

6. — C’est sur cette observation, qui permet de trouver la position du plan des fibres neutres, que se base la méthode que nous allons développer.

On peut, en effet, déterminer, d’une façon rationnelle, les divers éléments des ouvrages en béton armé en se servant d’un artifice de calcul basé sur les considérations qui précèdent qu’on étend aux poutres uniformément chargées.

La formule théorique de la flexion plane est’:

(?) dans laquelle :

R est la résistance par mètre carré tant à la tractjon qu’à la compression ;

v la distance à l’axe des fibres neutres de la fibre la plus éloignée ;

[X le moment fléchissant de la section considérée ;

I le moment d’inertie de la poutre par rapport à l’axe des fibres neutres qui passe par le milieu de la section dans le cas d’une poutre rectangulaire.

Supposons que la coupe de la poutre perpendiculairement à l’axe ait pour hase a, pour hauteur II, et que cette poutre soit chargée d’un poids P par mètre courant, sur une portée /, le moment fléchissant maximum

pp

sera, au milieu de la pièce, -g- , et le moment d’inertie par rapport à l’axe

ail³

horizontal de la coupe sera égal à —, on aura alors ;

(8)

3 P/²

— 4 a II²

ou

J> CW

a *o te

Comme cette formule suppose que le coefficient de compression est égal à celui de traction, elle n’est plus applicable lorsque ces coefficients sont différents, ce qui est le cas des mortiers et bétons de ciment.

Le calcul des dimensions d’une poutre en béton ne peut donc se faire par la formule (8).-

7. — Nous emploierons l’artifice de calcul qui nous a servi pour le cas d’une poutre chargée d’un poids unique en son milieu, et nous

obtiendrons les hauteurs — et de la portion comprimée et de la partie tendue par les formules :

Hc² =

Si nous divisions, comme précédemment, ces expressions l’une par l’autre, nous aurons également :

3PZ²

3P/²

mc

4aRt

R,

<■

et comme R,, = io R,, il vient :

= IIC \fio = IIC 3,162.

La partie inférieure de la poutre, au-dessous du plan des fibres neutres atteindrait donc une hauteur considérable, et aurait surtout un poids énorme.

8. — Il y a avantage, en conservant la partie de la poutre située au-dessus du plan des fibres neutres, et qui travaille à la compression, à remplacer la partie inférieure par du fer ou de l’acier, dont la résistance à la traction est quatre cents fois plus grande pour un poids seulement trois fois plus élevé.

On place le fer ou l’acier dans le béton à une distance telle, au-dessous du plan des fibres neutres, que la résistance nécessaire soit obtenue par la traction du métal seul, négligeant ordinairement la résistance très faible du béton à la traction.

On emploie des tiges ordinairement rondes noyées dans le mortier qui ne servira, dans cette partie de la poutre, qu’à maintenir le métal à la distance utile.

Les barres sont coudées à leurs extrémités afin d’éviter qu’elles puissent glisser dans leur gaine de ciment ; elles font corps avec le mortier.

La dilatation des deux corps est peu différente, car, tandis que celle du ciment est représentée par o,oooo'io83 par mètre et par degré, les dilatations du fer et de l’acier sont 0,00001182 et 0,000011G0.

Divers systèmes d’entretoises perpendiculaires à l’axe des poutres relient les barres à la masse du béton pour éviter des décollements.

Telles sont les principales dispositions qui constituent le « béton armé ».

C’est en généralisant l’artifice de calcul indiqué plus haut que nous chercherons les dimensions des divers éléments qui composent un système de béton armé, par exemple, un plafond.

9. — Un plafond se compose d’un hourdis général, et de poutres supportant ce hourdis.

Ce système peut présenter, pour la même résistance, un certain nombre de solutions, qui dépendent des différentes données ou sujétions de la construction qu’on établit.

On a diverses conditions à remplir : la charge par mètre carré, la hauteur totale que l’empoutrerie ne doit pas dépasser, c’est-à-dire l’encombrement maximum ; il arrive aussi que l’on veuille disposer les poutres, dans certains édifices, de façon à obtenir une division en caissons destinés à l’ornementation.

Quel que soit le système employé, les divers éléments doivent former un tout, un bloc, dont les différentes parties travailleront pour obtenir la résistance imposée.

10. — Figurons une coupe du hourdis et d’une poutre :

Soit XY le plan des fibres neutres [ficj. i). Si nous rapprochons XY du hourdis, il faudra que ce dernier ail une épaisseur suffisante pour résister à la moitié du moment fléchissant maximum, et cette épaisseur

X.

.C. . .

Fig. i.

devra être augmentée ; si, d'un autre côté, nous éloignons XY du hourdis, son épaisseur pourra être diminuée, mais, par contre, il faudra augmenter la distance bc du plan des libres neutres à l’axe des barres de fer composant l’armature, ou augmenter leur section, si l’on n’est pas libre d’augmenter la hauteur totale df.

Quelles dimensions donnerons-nous au hourdis?

il. — Nous calculerons la hauteur de ce hourdis, que nous désignerons par a, en le doublant d’un hourdis hypothétique v! situé à même distance que a de l’axe neutre XY 2), en supposant, comme précé-oc

Y.

Si

a’

Fig. 2.

demment, que la résistance, par mètre carré, de a', qui travaillera à la traction, soit la même que celle de a à la compression.

Nous adopterons 25 kilogrammes par centimètre carré pour résistance du béton à la compression au bout de sept jours, nous aurons :

= aSoooo kilogrammes.

Soit H la hauteur totale du système, et h, l’intervalle compris entre les deux hourdis a et a', le moment d’inertie, sur la largeur a, sera :

(9)

a (IP — h³)

12

On aura, en appliquant la formule (7)

(10)

. 3HP/*

K — ha (IP — h³)

R, P, l étant connus, il faut chercher II et h.

La résolution d’une semblable équation est indéterminée. Nous pouvons ajouter une condition, en imposant la hauteur C du hourdis, c’est-à-dire

= C.

Il — h

Cette hypothèse conduit à une équation du 3° degré.

12. —Nous pouvons simplifier davantage le calcul, en admettant

II

un rapport qui réponde à des résultats pratiques déjà obtenus, ce qui permet d’éliminer une des inconnues.

Posons (])

('O

Le calcul devient facile; on a, en réduisant :

(12)

GP r-

et

(t3)

11 _ 7«II!

¹¹=v/

6P l²

7aR‘

On suppose a = i.

P est le poids de la surcharge par mètre carré augmenté du poids de l’empoutrerie qu’on évalue d’abord approximativement d’après des données pratiques connues, quitte à vérifier et corriger suivant les résultats obtenus.

I est la portée d’un mur à l’autre suivant la direction des poutres principales ;

— sera la distance du plan des fibres neutres à la partie supérieure du hourdis, dont l’épaisseur sera

(') On peut prendre pour ^ un rapport quelconque > i : soit j- == n. La formule (io) devient :

3 HP/2

4a

IP _

H3

ou

R =

Aatl² n³ — i

TP

' et

_    /3 P/2    /    «3

— V 4«u ’Vn* —r

On peut obtenir toutes les solutions en multipliant les valeurs du tableau H par

/ n?

V n³ — I*

C’est ainsi que les résultats du tableau IIS qui correspondent à la proportion

fin S

peuvent être obtenus en multipliant les chiffres correspondants du tableau H par

v/f ⁼

1,0695

et divisant le produit par 2, puisque le tableau HS donne j ■

13- — Supposons que la hauteur imposée pour l’empoutrerie soit A (fig. 3), la distance du plan des fibres neutres à la base inférieure de la poutre sera

A — -.

La portion de la poutre située au-dessous de XY devra résister par traction à la moitié du moment fléchissant par la résistance seule des

X

----4 — j---T-----

^1 &l|<M H”

Z . 1

"‘U-J

Fig. 3.

barres, qui seront noyées dans le béton à une distance d de la base suffisante pour laisser sous les liges de fer une petite épaisseur de mortier.

Représentons la partie métallique, dont il faut déterminer la surface, par une bande de fer, de la largeur a de la poutre, et de hauteur i à

F

trouver ; appelons —

la distance de l’axe XY à la base zv de celte bande

de fer, - la distance de la base supérieure de cette bande à l’axe XY, nous aurons

v—(= i.

Nous nous servirons, pour calculer f, de la formule (io) en remplaçant II par F et h par f.

F étant connu, nous aurons :

(i4)

,    ³ /4aRF³

f= V---;

— 3 FF/²

R sera égal à ioooooooks résistance de i mètre carré de fer à la traction.

F — f

Connaissant f, nous aurons —, et la surface métallique nécessaire sera (J) :

F-/

a —-⁴ .

Nous remplacerons la bande hypothétique par un certain nombre de tiges rondes dont la somme des sections sera égale ou supérieure à la surface trouvée, et dont les axes seront placés sur la médiane horizontale de la bande de fer, ou placés symétriquement par rapport à cette médiane.

14. — L’armature des poutrelles, si l’on en prévoit, et celle du liour-dis seront calculées suivant les mêmes principes.

Pour les poutrelles on calculera la hauteur du hourdis qui devra résister par compression à la moitié du moment fléchissant maximum en

employant la formule (8) qui donne, en appelant ~ celte hauteur :

3P/²

(i5)

IL = \/

Il peut se présenter deux cas : ou bien la hauteur est plus petite que l’épaisseur ^ du hourdis, déjà calculée par la formule (i3), et le plan XY ne sortira pas de l’épaisseur ^ de ce hourdis; ou -¹’ sera plus

grand que et l’épaisseur ^ serait insuffisante pour résister à la moitié du moment fléchissant maximum imposé aux poutrelles.

Dans ce cas, il faut abaisser le plan XY. On emploiera alors la formule (io) en choisissant, par tâtonnement, un rapport qui donne pour la plus petite valeur possible qui permette d’équilibrer la moitié de ce moment fléchissant en faisant travailler le hourdis de hauteur ^ à la compression.

(•) La même formule et les tableaux qui suivent peuvent servir au calcul des

poutres double T de hauteur F, de largeur A d’ailes, et d’épaisseur d’ailes —— , en ne tenant pas compte de la résistance de l’âme.

La formule (i4) pourrait s’écrire :

r 4³/F [4<iRF2 —3P/²]

⁴ ~ V ⁻    fôiR

C’est pour la simplification des calculs que la forme (i4) lui a été conservée. .

15. — Le calcul de l’armature du hourdis lui-même sera donné par les formules (i5) et (i4).

10. — Appliquons ces calculs à un exemple.

Soit un plancher des dimensions suivantes : i4ra,io sur 7m,io divisé en quatre travées soutenues par trois poutres de om,3 largeur (Jig. 4).

H- *

si

V-

Fig. l\.

Les travées elles-mêmes forment quatre caissons séparés par des poutrelles de om,io largeur.

La hauteur du hourdis, augmentée de celle des poutres principales, sera, en tout om,5o, et celle du hourdis et des poutrelles om,4o.

La surcharge sera 8ook? par mètre carré.

La charge totale P, par mètre carré, se composera de la somme de la surcharge et du poids du système total, soit 800 4- 4oo = 1 200ks.

11 y aura lieu de vérifier, après les calculs, si le poids présumé, 4ookg, ne s’éloigne pas de la vérité.

Nous calculerons d’abord l’épaisseur du hourdis au moyen de la formule (i3) sur im largeur.

Nous avons les données suivantes :

P = I 200*"

Form. (i3)

/ = 7“, 10 a = im Il = 200 000

H — o,4554i9

= o, 113853 = o,n. 114 -4

La ligne XY esl à om,228 du plan supérieur du hourdis (fig 5).

N« Si

.........X

te:

Fig. 5.

Calculons la partie inférieure des poutres principales, qui travaille à la traction entre XY et leur base. Nous emploierons la formule (i4).

Nous avons :

P = i 200 X 3.Go — 432ok? l — -]m, [O

a = om,3 11= ioooooook?

F = o,444

Form. (i4) f = y

'4 a RF³ — 3FPZ*

4a R

Cette formule nous donne :

f = 0,398653

et

o,3

l-l

= o,oo68o2o5

correspondant à six barres de om,o38 diamètre.

Calculons maintenant les poutrelles : elles supportent, sur une portée de 3,3o, une largeur du hourdis de im,8o ; leur largeur est om,io, et la hauteur totale, poutrelle et hourdis, est om,4o.

Le poids supporté par mètre carré est 1 200 kff.

Il faut d’abord calculer la position du plan XY au-dessous du plan supérieur du hourdis déjà connu, de hauteur 0,114, en employant la formule (i5).

Nous aurons :

P = 1 200 / = 3,3o

Form. (i5) Il =

3PZ*

4air

R = 260000

II == 0,198 - = 0.099:

Cette hauteur 0,099 étant plus petite que l’épaisseur o, 114 du liourdis déjà calculé, l’axe XY ne sort pas de ce hourdis : c’est, du reste, ce qui arrive dans la plupart des cas (fig- 6).

x__i

PS

Cette formule donne :

~.x,

. J&Li

Fig. 6.

F

Dans le cas actuel, nous avons — = o,25i et F = o,5o2. La surface métallique sera obtenue par la formule (i4). Nous avons les données suivantes :

— 3FP /*

4aR

P = 1 200 x 1,80 = 2 i6olg l = 3,3o

a = 0,1 R = x o 000 000 F = o,5o2.

Nous obtenons

Form. (i4) /= V/^RF /

f=o,ttg

et

F-/

o, 1 = 0,000600,

surface qui correspond à deux barres de om,oi9 de diamètre ou une seule de om,02S.

Mieux vaut en employer deux.

Il nous reste à examiner comment nous calculerons l’armature du hourdis lui-même de hauteur om,i i/j, dont la partie inférieure travaille à la traction sur une portée de im,70, distance d’une poutrelle à l’autre.

Dans ce cas, le hourdis n'aura à supporter que son propre poids, plus la surcharge imposée de 8ookff (fin. 7).

Ci

Sil.

Fia. 7.

C’est la formule (i5) qui donnera la position XY. Nous avons :

Form. (,5) H = y/m.

P = i ioo = 1,70

= 260000.

Cette formule donne :

II = 0,0976578

et

~ = 0,0488288 = om,o4y.

Le nombre et la section des barres à noyer dans le béton seront obtenus par les éléments suivants :

P = 1 100 I ~ 1,70

a — t F == 0,08 R = io 000 000.

D’où :

Form. (14) /= y/

³ /4a RF³ — 3FPP

4aR

/ = 0,0850667

et

L-f

X 1 = 0,0004671,

correspondant à

ou

10 barres de 0,008 diamètre 0,009    —

On peut souvent, dans ce cas, remplacer les barres de petit diamètre

par un treillis métallique, pourvu que la section des fils coupés sur un mètre de largeur représente la même surface.

11 peut même y avoir avantage, car le treillis travaille dans tous les

sens.

Les poids du béton et du fer de ce plancher seront :

Béton

Fer

37 547ks>75 1 720^,93

Poids total .

39 268kg,G8

soit, par mètre carré : 392ks.

Le poids de 4ookg que nous avions prévu pour le poids propre du plancher est donc suffisant.

17. — Lorsque la décoration de l’édifice ne demande pas de caissons, il est plus simple et plus logique de ne pas employer de poutrelles et de ne prévoir que des poutres principales plus rapprochées et placées perpendiculairement à la plus petite dimension du plancher.

Cherchons celte solution pour le même plafond :

Le hourdis se calculera de la même manière et avec les mêmes éléments.

Nous pourrons, pour la partie inférieure, calculer une seule poutre, et la diviser ensuite en un certain nombre de poutres équidistantes ; plus elles seront rapprochées, et plus le hourdis travaillera à la compression dans de bonnes conditions, et moins il y aura de chances de fissures.

Supposons que nous prenions comme largeur totale des poutres ^ de la longueur du plafond, soit, dans le cas actuel, ira,4o, nous aurons, pour le calcul de l’ensemble des poutres, les éléments suivants :

For ni.

4«R

P = I 200 x 14,10= 16 920kg l — 7,10

a = 1,4o R = 1 o 000 000 F = o,444.

(.4) f ={/***>

On en déduit

/= 0,396607

On obtient :

^ == o,o335 i45 = o,o34-Il en résulte pour F la valeur om,i 10 (fig. 8).

ly

et

Y_ f

—x 1,40 = 0,020875

20 barres de om,o3o diamètre

Om,O20 —

Si nous divisons par 10 la poutre de im,4o, nous aurons 10 poutres de om,i4 de largeur dont chacune sera munie de •

2 barres de om,o3o diamètre

,Om,O20    —

Cette division formera 11 intervalles de im,28 et la portée du hourdis, d’une poutre à l’autre, sera im,i4.

Ce hourdis n’aura à soutenir que son propre poids et la surcharge sur im,i4 de portée.

Nous prendrons, comme précédemment, pour P, la valeur 1 iookg.

Nous déterminerons la distance de XY à la partie supérieure du hourdis à l’aide des données suivantes :

correspondant à :

et

et

20

P = 1 100

l = 1,14

a = 1

R = 200000.

Form. (i5) II = y/

3 P/²

4aR’

i.|N

Fig. 8.

L'armature métallique du hourdis sera donc donnée par les éléments suivants :

P = 1 100 l = 1,14

Form. (i4) /= y

V4aRF³ — 3F P/²

R = 10000000 F = 0,110.

4«R

A. Nivet. — Méthode de calcul du Béton armé

Poids total

39 73ôkg, 10

38 i23kg,45 1 Gi 1 ,70

et

On obtient :

f = o, 120674

5-£ = 0,000 tG3

correspondant à G barres de om,oo6 diamètre. Les poids de ce système sont :

Béton...........

Fer............

soit par mètre carre : 397kg,35 <C 4ooltg.

18. — Comparaison entre les poids du plancher calculé plus haut et ceux du meme plancher du système Hennebique construit à la manutention militaire de La Rochelle.

Méthode Nivet

Sans poutrelles

Méthode Ilennehique Avec poutrelles Avec poutrelles

ca

.    .    38t23ks,45

1 G11 ,70

37 547^,70

i 720 ,q5

32 65okg »

1 328 ,/|5

Totaux . .    39 735kg,i5

Par mètre carré. . 3Q~kg »

39 2G8ks,70

33 978^, 45

3o3k* »

34okg »

19. — Comparaison des principales dimensions (avec poutrelles).

Hauteur du hourdis......

Surface d’armature du hourdis

—    des    poutres

—    des    poutrelles

om,i i4 om2,ooo4G7 om2,006802 om2,oooGoo

Méthode Nivet Méthode Ilennehique O*, IO

Om 2,000393 o"'²,000074 om2,000090

= o,i34-

Rapport entre les poids des deux méthodes. 3p3 — 34o

iiÉiËÉ

CHAPITRE II

20. Limites rte portée et rte charges. — Les tableaux qui suivent ont été obtenus en appliquant les formules ci-dessus entre les limites suivantes :

im à i5m pour les portées ; i ookg à 2 4ookg pour les hourdis ;

iookg à 12 oookg pour les armatures supérieures et inférieures.

Les calculs ont été poussés, pour les armatures, jusqu’à i2oookgparcc qu’on utilisera, pour les nervures, une fraction seulement de la largeur, un dixième, par exemple, de sorte que l’armature pouvant supporter 12 oookg, réduite à un dixième, s’emploiera pour supporter un plancher chargé de i 2ookg.

Ces limites sont suffisantes pour le calcul des planchers ordinaires et des petits ponts : les grands ouvrages nécessitent des projets complets dans lesquels on peut appliquer les formules précédentes.

21. Coefficients de résistance rtn béton et des armatures. — La résistance prévue pour le béton dans les calculs des tableaux est 2Ôkg par centimètre carré pour des mélanges de oookg ciment, 4oo litres de sable et 8oo litres de gravier, gâchés avec 8,8 °/₀ d’eau par rapport au poids des matières sèches.

Celte résistance est un minimum, mais les mêmes tableaux peuvent être utilisés pour des résistances plus élevées, en multipliant les surfaces des hourdis et des armatures par des rapports ci-après déterminés.

22. — Les hauteurs II des hourdis sont calculées par les formules (8) et (12) :

6P P

3 PP 4all

suivant qu’on a à faire le calcul d’un hourdis comprenant le plan des fibres neutres, que j’appellerai hourdis ordinaire (lettre H des tableaux), ou suivant qu’il s’agit d’un hourdis dont l’épaisseur est égale à la moitié de la distance du plan des fibres neutres à sa surface supérieure, auquel je donnerai le nom de hourdis à nervures (lettre IIS des tableau x%

Dans les formules ci-dessus, si, au lieu de R = 25ooookg nous adoptons un coefficient différent R', on aura :

(8)

ou

(12)

4«R

'6P F

3 P/²

H' = y

IL

Si nous prenons les rapports jj , qui sont les memes dans les deux cas, nous aurons :

H' =

4aR'

ou

4aR' ’

IL

rr -

v/ •

Iûh

ou

(iGj

IL =

H\/ •

23. — Les normes suisses et allemandes acceptent les résistances de 3okg et de 35kg par centimètre carré pour le béton.

Les instructions du ministre des Travaux publics de France, en date du 20 octobre 1906, admettent que l’on peut appliquer différentes valeurs de R. Soit :

44k*,8

5okg,4

56kg

valeurs qui sont égales aux dosés à

28

100

des résistances à 90 jours de bétons

3ookg

35okg

Valeurs de II

Multiplicateurs

a5ks

3o

35

V'i

5o

0,913 o,845 o,7 ^ 0,700 o,648

4ookg

de ciment, avec 4oo litres de sable et 800 litres de gravier.

On obtiendra les hauteurs de hourdis correspondant à ces différentes résistances en multipliant les chiffres des tableaux II et IIS par les coefficients suivants, calculés au moyen de la formule (16).

24. — La même circulaire ministérielle indique, pour la résistance du fer, 9ks par millimètre carré, et, pour celle de l'acier doux, i2ks.

Les tableaux qui suivent prévoient iokff.

Les formules qui déterminent la surface des armatures métalliques sont plus complexes que les précédentes ; elles ne sont pas multiples du terme 1\, mais, si on considère le peu d’épaisseur que donnent ces calculs pour les bandes métalliques, et la distance relativement grande de leurs centres de gravité au plan des fibres neutres, on peut admettre que la

résistance est sensiblement proportionnelle aux surfaces elles-mêmes, et

R'

l’on fera varier leur hauteur suivant le rapport —, R' étant la résistance adoptée, soit pour le fer, soit pour l’acier doux : on aura, en employant les résistances indiquées par la circulaire ministérielle, les multiplicateurs suivants :

Valeurs de 1\

Multiplicateurs

o.885

La circulaire ministérielle décline d’ailleurs toute responsabilité sur les limites de résistance qu’elle indique, et laisse aux ingénieurs le soin de les choisir. Les constructeurs devront, soit expérimenter les matériaux, soit obtenir des fournisseurs des coefficients de résistance garantis.

25. Largeur efficace <lu hourdis supérieur dans les planchers à nervures. — L’instruction ministérielle, relativement aux planchers à nervures, admet que l’action d’influence de la résistance

du hourdis ne doit pas s’étendre au delà des ^ de l’écartement des nervures L, ou de ^ de leur portée / ; cela revient dans le cas le plus général où L

est plus petit que à augmenter de ^ la charge totale par mètre carré, ou la résistance du héton, en la portant de 25oooo à 312 5oo, chiffre encore inférieur à ceux qui sont admis par les normes suisses ou allemandes, ou au moins égal à ces résistances.

Aussi pourra-t-on faire travailler à 200000 par mètre carré la largeur entière des hourdis à la compression, ainsi que le prévoient les calculs des tableaux ci-après.

Pour les constructions civiles, il apparaît que les résistances de 25, 3o et 35 kilogrammes par centimètre carré ne doivent pas être dépassées : elles correspondent au quart de la résistance du béton à l’écrasement au bout de 28 jours. Dans ces travaux, on décoffre ordinairement les ouvrages dans ce délai, et même avant ; les planchers sont mis aussitôt en service, au moins pour la circulation des ouvriers, et quelquefois des matériaux; ils ne sont pas éprouvés ; la fabrication du béton et le pilonnage sont moins surveillés que dans les travaux d’administration : il 11’y a pas lieu, dans ce cas d'admettre de trop fortes résistances.

26.    Charges permanentes, surcharge. — Outre les dimensions des hourdis et armatures, les tableaux donnent leurs poids. Ce sont les éléments qui permettent de calculer les charges permanentes : les surcharges se trouveront dans la différence entre les charges totales pour lesquelles les pièces sont calculées, et les poids des divers éléments constituant l’ouvrage, dont la somme représente la charge permanente. Il sera facile, grâce à ces indications, de trouver par différence les solutions qui correspondent aux surcharges exigées, et de les obtenir en cherchant la combinaison qui présente le plus d’économie, avec le moindre encombrement, ou qui répond aux conditions d’encombrement demandées.

27.    Armai tires supérieures. — Les calculs des armatures supérieures sont les mêmes que ceux des armatures inférieures, puisqu’on admet que la résistance du fer à la compression est la même que celle de traction, mais, dans ce cas, il n’y a pas lieu d’avoir égard au poids du béton, lorsque ces armatures viennent se noyer dans un hourdis, dont le poids est déjà compté, au-dessus du plan des fibres neutres.

ne

28. —On remarquera que les tableaux indiquent, pour les petites charges, des poids totaux, béton et fer, qui dépassent la charge indiquée en tête de chaque colonne : il semblerait illogique de se servir de ces calculs, puisque la pièce, formée avec les éléments ainsi calculés, pourrait se soutenir elle-même. Les calculs, dans ce cas, ne sont utiles que pour les armatures supérieures, qui, débarrassées du poids mort du béton, peuvent concourir à la résistance de l’ensemble.

29. Disposition des tableaux. — Les tableaux indiquent, pour chaque calcul d’armatures, la surface métallique nécessaire. C’est là le renseignement le plus important : on a mis, en face, le diamètre des barres à placer, sur la largeur de i mètre, en supposant 20 barres, écartées de om^o5 et placées de façon que leurs axes soient à la distance F du plan des fibres neutres. En réalité, c’est sur le milieu de la bande métallique que les centres des barres devraient se trouver, mais il n’y a pas d'inconvénient à les placer à la distance F, la résistance en est un peu augmentée.

On a également prévu l’emploi de 4o et de Go barres par mètre, placées deux à deux ou trois à trois l’une au-dessus de l’autre : dans le premier cas, on pose l’une des barres au-dessus de la ligne F, l’autre au-dessous, de façon à ménager entre leurs circonférences om,o2 d’écartement minimum. Si l’on emploie 60 barres, trois pai trois, l’axe de la barre médiane sera à la distance F du plan des fibres neutres, et les autres au-dessus et au-dessous, à la même distance de la ligne F, toujours en ménageant entre les circonférences un vide de om,02 au moins.

30. —Les auteurs des projets pourront d’ailleurs prévoir des tiges en plus ou moins grand nombre, placées dans les mêmes conditions de distance au plan des fibres neutres, pourvu que la somme de leurs sections égale au moins la section totale indiquée par les calculs.

Il y aura souvent avantage, car la division en 20, 4o ou 60 barres pareilles conduit souvent à des excès de matière, qui peuvent être évités par un choix différent et plus judicieux du nombre et des surfaces des armatures. Un barême spécial (45) indiquant les sections et les poids des fers de om,ooi à om,o4o de diamètre facilitera ce travail.

31. Moments fléchissants. — Les tableaux donnent les dimen-

p/2

sions correspondant au moment fléchissant maximum -g- d’une pièce chargée d’un poids P uniformément réparti, de portée l.

Les mêmes tableaux permettront de trouver les dimensions correspon*

Pp

dantes à des moments fléchissants différents, de la forme —, en substi-

n

tuant à la charge P, une charge P' telle que l’on ait :

P'P P/²

CN

S’d s agit, par exemple, de poutres encastrées, les moments fléchis—

pp

sanls sont : à l’encastrement — , les fibres tendues se trouvant à la par-

p/2

tie supérieure, et, au milieu, les fibres tendues, dans ce cas, sont à la partie inférieure.

On cherchera P' et P" au moyen des égalités :

PT P/2 ~8” ⁼ Ta

et

PT PP

8    2/4

d’où :

P' =

et

P" =

et l’on appliquera les dimensions que donneront les tableaux pour les

2 I

charges ^ et ^ P avec la portée l.

— Il est peu probable qu’on trouve P' et P" dans ces tableaux : ces charges seront comprises entre deux valeurs de P, inscrites en tête des colonnes.

On pourra cependant se servir des tableaux en interpolant entre les charges, et entre les dimensions indiquées pour les mêmes valeurs de /.

On pourra également interpoler entre les diverses valeurs de L Si nous comparons, en effet, les diverses valeurs des surfaces indiquées pour la même portée, suivant les différentes valeurs de P inscrites en tête de chaque colonne, nous verrons que ces valeurs sont à peu près proportionnelles aux charges, et la courbe qui les représente est sensiblement une ligne droite.

Pour obtenir la surface répondant à une valeur P' comprise entre P et P -t- n qui figurent en tête des colonnes, il suffira d’augmenter la plus

P'_p

petite surface de —-— <7, <7 étant la différence des surfaces du béton ou des barres métalliques correspondant à P et P 4- 11.

Si, pour la même charge P, nous cherchons les différentes valeurs de surface métallique pour une portée l' située entre deux autres / et l -+- /?, inscrites sur les tableaux, nous pourrons également interpoler : en effet, dans la courbe qui représenterait les diverses valeurs successives de ces surfaces, les ordonnées sont très approximativement égales au carré des abscisses : si nous traçons cette courbe, nous aurons une parabole y = x'¹, et, en interpolant entre / et / 4- 11, nous substituerons, à la courbe, la corde cjui joindra les deux points correspondant à / et / 4- 11, pour une même valeur de II ; les ordonnées de cette corde seront un peu plus élevées que celles de la courbe elle même, ce qui augmentera un peu les surfaces calculées, et, par conséquent, les résistances.

33* — Ces considérations permettent de faire varier le nombre ou la section des barres métalliques proportionnellement à la valeur des moments fléchissants qui se succèdent dans les différentes parties d’une même poutre.

34. — Une autre série de tableaux indique les formules à l’aide desquelles on obtient les valeurs des moments fléchissants, des efforts tranchants, des réactions des appuis, et des flèches, suivant les différentes positions et charges des poutres. En face de chaque valeur des moments fléchissants, se trouvent les multiplicateurs qu’il y aura lieu d’employer pour trouver les valeurs de P' qui devront être substituées à celles de P pour obtenir les surfaces métalliques correspondant à chacun de ces moments fléchissants (38 à 44).

35. Des piliers ou colonnes. — Dans les piliers ou colonnes en béton armé, les surfaces de béton et d’armatures seront calculées de façon que la somme des résistances égale la charge à supporter.

Il y a lieu, en outre, d’éviter le flambement, soit des armatures dans le béton, soit de l’ensemble.

Pour faire le calcul de la surface totale, on choisira des dimensions telles que le diamètre, si c’est une colonne, ou le plus petit coté, si c’est un pilier de section rectangulaire, soient supérieurs au vingtième de la hauteur.

On connaît la pression que doit supporter ce solide, et on calculera la surface totale de béton nécessaire pour supporter celte charge, en appliquant l’une des résistances admises (23).

36» — On pourra remplacer une partie de cette surface par quatre ou un plus grand nombre de barres dont les surfaces seront comprises entre g

et -g de la surface du béton qu’elles seront appelées à remplacer.

Les armatures elles-mêmes seront entretoisées par des barres ou des ligatures transversales, placées à des distances ne dépassant pas 20 fois leur plus petite dimension. Le volume de ces armatures transversales divise par la hauteur du pilier produit une section qui vient, pour le calcul de la résistance, s’ajouter à celle des armatures longitudinales. Si l’on donne à ces armatures transversales la forme circulaire, et qu’on les rapproche, ou si l’on emploie une barre, contournée en spirale, et reliée aux armatures longitudinales, on obtiendra des piliers en béton fretté, inventés par Monsieur Considère : dans ce cas le volume des frottes divisé par la hauteur du pilier produit une section qui correspond à la résistance d’une surface de béton 32 fois plus grande. La section fictive totale du pilier, représentée par S (1 -+- 15.9/ -+- Zisf) ne devra pas supporter, par centimètre carré, un effort plus considérable que celui adopté pour le béton : dans celte formule, on a : S section du pilier; st section des armatures longitudinales; s, section du frettage.

On cherchera, si on adopte une section rectangulaire, à se rapprocher de la section carrée.

—Les hourdis que supportent ces piliers peuvent être chargés irrégulièrement, les charges elles-mêmes peuvent se déplacer, surtout dans les ponts; il arrive que la résultante des charges peut être excentrée et même sortir de la section du pilier qui est alors chargé en porte à faux. Les piliers sont alors soumis à des efforts de flexion qu’il faut calculer

comme s’il s’agissait d’une poutre.

Toutes les fois que ce sera possible, il y aura avantage à enlretoiser

ces piliers en les reliant par le milieu, par exemple, de façon que les efforts de flexion, qui peuvent agir sur un pilier, soient combattus par la résistance du ou des piliers voisins. Cette précaution ne peut s’employer dans une colonnade, mais elle peut être pratiquée dans les palées d’un

pont, où elle est d’autant plus utile que ces recevoir des chocs, soit de bateaux, soit d épaves dans les ponts

palées sont susceptibles de

sur rivières, soit de véhicules circulant dans les passages inférieurs.

Les armatures longitudinales devront dépasser légèrement les deux bases du pilier : s’il en était autrement, surtout, si les armatures longitudinales n’atteignaient pas les deux bases, on ne pourrait compter que sur la résistance du béton seul.

de

Cl

PP

*~j ! co

<a

!n &V3

"T y

Ct

H____

FORMULES GÉNÉRALES

Efforts tranchants :

Moments fléchissants :

I'

p. —--x{l — cc) ;

::

Réactions aux appuis :

Flcche :

Qa = Qb — -

VI

5 PP

384E1

Valeurs de x

Valeurs correspondantes de T .

PI

Pt

Valeurs correspondantes de [jl . Multiplicateurs.......

PP

Î31). — Poutre reposant sur deux appuis chargée d’un poids p en un point M.

diagramme Je T ²i --Ut.

"S

S.

«Ni

ajM N₂

ici

<--

Diagramme Je T^ Py,! --------^2 1—

---X

___d!_.

---

L_

----x

FORMULES GÉNÉRALES d >• d'

Efforts tranchants :

de O à M . T j = Py

de M U : T₂ =

Moments fléchissants :

de O à M :

Pi =

de Mal:

pd

Réactions des appuis :

Qa = —

pd'

Qb =

_ Pd .

T’

Flèche :

Si d>d' f =

9 i/3 EU

v/(

~l a-

a-! a.

h partir de a

Si d < d' / =

pd!³d / /

oTTeO y/ (

a.' sa.

x =d'

v/î

Oc te

à partir de 6

Valeurs de x

,1

Valeurs correspondantes de T .

■f

pd'

(')

pd

Valeurs correspondantes de p. .

(') La plus forte de3 valeurs et •

Valeur de p. au centre :

Pc = —

pc valeur de p ramenée au centre :

Pc — -

pdd'

pd'

::

Pc =

_Pçl₌₌_piï x _ _ 4 I 1    4

pd'

Si l’on a divers poids :

P P i Pi P3

on calculera :

Pc Pic Pic Pic

et Ton aura :

Pc -

pcd'    pied'{ -t~p:cd\...

d'dt' d₂'

sont les distances à l’appui le plus rapproché.

VF'

Q« = Qb = --

Flèche :

,0

Ci¹ T?

U"

0,21 I l

0,789/;

VI

_çr__

-sJ

----^

2

Qb=-l;

de fJL

Via.

mejej.

N |C

FORMULES GENERALES

Efforts tranchants :

T = P (l x) ~

Moments fléchissants :

Réactions des appuis :

Valeurs de x

38AEl*

0,211/

0,789/

Valeurs correspondantes de T.

VI

Valeurs correspondantes de (A.

P/2

PP

Multiplicateurs

es ,co

MÉTHODE DE CALCUL DU DETON ARME

3l

41. — Poutre droite encastrée « «ne extrémité et reposant sur un appui à l'autre extrémité chargée d'un poids P par mètre courant.

,-f

d\

oc

-3H

->1

FORMULES GÉNÉRALES

ElTorts tranchants :

3 PI

T = P (l — x) — —g- ,

Moments fléchissants :

[X =

Réactions des appuis :

Q« = —

5 PI

~8

Q* = -

3 P/

8"’

Flèche :

PP

f8TE!

a/ = 0,5780 L

5t

Valeurs de x

Valeurs correspondantes de T.

5Pi

3 Pi

+ -8-

3Pi

" "8~

Valeurs correspondantes de >jl. Multiplicateurs .......

PP

8~

9PF

128

i(i

42. •— Poutre encastrée à une extrémité, libre à l’autre, portant poids p à l’extrémité libre.

un

b\

4-

'Diagnamme de T

FORMULES GÉNÉRALES

Efforts tranchants :

Moments fléchissants :

é== p (l — x);

pl³_

3EI

Valeurs de x

Valeurs correspondantes de T . , Valeurs correspondantes de u .

C,

c-

>t

<3

ajr**

FORMULES GÉNÉRALES

Efforts tranchants :

T = P (/ — x) ;

Moments fléchissants :

_ P(/ — xf .

PP

PI

Valeurs de x

Valeurs correspondantes de T .

Valeurs correspondantes de p. . Multiplicateurs.......

PP

PP

“8

<■

JC

- -w

■s.

Æ'

f/y

$7'

rr^

FORMULES GÉNÉRALES

Efforts tranchants :

Moments fléchissants :

•j. == (2— *) ^ (/ — æ) + /.]

Valeurs de x

Valeurs correspondantes de T .

VI + p

p/2

Valeurs correspondantes de [J. .    .    .    ----h pl

S1 « I»

Surface en mmq. de barres rondes de o,ooi à o,ol\o

Diamètres

Poids

de ao barres

Surface en mmq. de barres rondes de 0,001 à o,o4o

Diamètres

Poids

des ao barres

mmq.

0,785 3,14s 7,069 12,566 19,635 28,274 38,484 5o,265

63,617 78,540 95,o33 ¹¹3,697 132,732 i53,938

176,71.5

201,062

226,980

254,469 288,529 314,159

mètres 0,001 0,002 o,oo3 o. 00 4 o,oo5 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,01 2 o,oi3 o,oi4 o,oi5 0,016 0,017 0,018 0,019 0,020

kilog. O, I 3 2 O, 189 ¹ >099

¹ -<>5'i 3,o6o 4,4 00 5,980 7.820

O.()°⁰

12,220

l4,78o

17,580

20,640

23,940

27,480

31,260

35,3oo

3i),58o

44,ioo

48,86o

mmq.

346,361 38o,i33 415,476 452,889 490,874 530,929 572,555

615,7.22 660,620 706,858 754,758 8o4,248 855,299 907,92° 962,113 1 017,880 1 075,210 1 i34,i10 194,590 1 256,6 4o

mètres 0,02 I 0,022 0,023

0,02 4

0,025

0,026

0,027

0,028

0,029

o,o3o

o,o3i

o,o32

o,o33

o,o34

o,o35

o,o36

0,0.37

o,o38

o,o39

o,o4o

kilog.

53,86o 59,120 64,620 70,360 76,340 82,580 8q,o4o 95,760 102,720 109,940 117,410 125,080 i33,o58 i41,200 149,667 158,3oo 167,270 176,380 185,835 i95,44o

R = a5oooo

II =

3 PP

/ , portée de im à i5m P, charge totale par m. cp de 100 a 2 !\oo p , poids du hourdis (*)

H

hauteur du hourdis divisé par 2

(]) Les chiffres gras indiquent les poids de la moitié du hourdis ? .

Valeurs de l

P = IOO

200

3oo

1)00

600

Valeurs de /

II

eu

eu

45

60

0,009

22.50

0,012

30

o.015

75

85

85

120

37.50

i5o

0.017

0,017

42.50

0,024

60

o.o3o

75

o,o35

x3o

0,026

65

0,037

i85

92.50

o.o45

22-5

112.50

Q,o52

42.50

i₇5

87.5 C

260

0,019

0,039

130

o,o58

95

io5

47.50 ï 95

97.50

0,021

0,042

290

145

0,064

52.50

'MD

Ifl OO O « CO I—t CO r—t

o,o35

o,o43

175

87.50

2l5

107.50

260

0,049

0,061

122.50 3o5

152.50

0.060

0.075

3oo

150

0,069

345

172.50

385

365

0,o5.2

130

0,073

182.50

0.090

0,061

0,069

3o5

152.50 345

172.50

0,086

°,°99

43o

215

o.io5

0,078

390

195

o, 111

10

0,087

0,09.5

12

o, 10.4

x3

o, 113

i4

0,1 2X

o. x3o

435

217.50 475

237.50 5.20 260 565

282.50 6o5

302.50 65o 325

0,123

o, i36

0,1.48

o, 160

0,172

o, x85

4g5

247.50 555

277.50 615

307.50

3~5

187.50 45o 225 525

262.50 600

0,087

0,1 o4

0,121

680

340

74o

370

800

400

860

430

925

462.50

o. 120

o. i35

o.i5o

o.i05

0.180

0.19.5

0.210

0.225

435

0,077

192.50

o,o85

4a5

212.50

217.50

5.20

260

°)C>97

0,116

485

53o

242.50

300

o, 139

6o5

302.50 695

342.50

o, 136

o,i55

675

332.50

7,00

375

8.25

412.59

000

459

975

487.50 io5o

525

1125

562.50

58o

290

680

340

775

387.50

0,106

0,127

o, 170

0,156

0,173

0,191

0,208

0,225

0,242

0.260

780

390

0,17.4

870

435

8x5

407.50 955

477.50 io4o

520

1125

562.50

0,193

0,213

0,2 32

o,25i

I2IO

605

i3oo

0,271

0,290

₉65

482.50 ioi5

507.50 1160

580

1255

627.50 i355

677.50 i45o

725

0,191

0,212

o,233

o,255

0,276

0,297

o,3i8

265

035

317.50

7'io

370

85o

425

1)55

477.50

IOIO

505 1165 582.50

1270

637.50

i38o

690

1485

742.50

iSgo

795

10

i3

x4

i5

II

a =■ I

R = 260 000

II =

3 PF

4aR

5‘

1    , portée de im à i5m

P, charge totale par m. q. de 100 a 200 0 poide du hourdis (')

— hauteur du hourdis divisé par 2

2

(1) Les chiffres gras indiquent les poids de la moitié du hourdis — .

Valeurs' de l

7OO

SCO

900

IOOO

I IOO

1200

Y aleurs de l

CL,

II

LO

•2

a.

0,02:3

o,o46

0,069

0,092

o, 115

o,i 37

115 57.50 s3o 115 345

172.50 46o 230

57 5

287.50 685

342.50

800

0„03*4 "

0,0 4if>

0,073

0,098

O, 1 32

0,l47

1 20

i3o

60

0,036

65

135

145

I 5o

. 0,160

400

o,i 83

0,206

10

0,239

0,2 5.2

9¹5

457.50 io3o

515 114 5

572.50

1.260

630

0,171

0,196

0,220

0,3.45

3 \ 5

122.50

365

182.50

49°

245

610

305

735

367.50

855

427.50

9³°

0,003

0,078

(),io4

o, i3o

o, 156

0,182

465

0,208

260

130

390

195

520

260

65o

325

780

390

0,027

o,o55

0,082

o, 110

0,137

67.50

275

137.50

0,0.29

o,

72.50

285

142.59

o,o3o

0,060

410

205

0,086

43o

215

0,090

75

3oo

150

45o

225

12

0,3 7.5

187,5

687.50

0,369

i3

0,398

i4

0,321

1490 745 16o5 802.50

0,294

o,318

<>,343

1100 550 1225

612.50

134 5

672.50

1470

735 15qo 795 1715

857.50

0,234

0,260

0,286

0,3 13

0,338

o,364

1720

860

i335

qio 455 Io4o 520 1170 585 i3oo 650 14 3o 715 156o 780 1600 845 1820 910

¹9⁵°

975

V)

I

o,i64

0,192

0,219

0,246

0,374

o,3oi

0,3.29

o,356

o,383

55o

225

685

342.50 820 410 960 480

io45

522.50

I23o

615

1370

685

i5o5

752.50

164 5

822.50

1780

0,115

o,i44

0,172

0,201

<),23o

0,359

0,387

o,316

0,345

5₇5

287.50

0,120

Goo

300

7.20

360

860

430

o,i5o

0,180

75o

375

890

i9l5

957.50

3o55

1027.50

0,373

0,403

ioo5

502.50 1 i5o

525

1.395

647.50

i435

717.50

i58o

790

1725

862.50

i865

932.50 2010 1005 2i55 1077.50

0,210

0,270

o,3oo

o,33o

o,36o

o,3qo

0,420

qoo

450

io5o

525

1200

600 i35o 675 i5oo 750 iG5o 825 13oo 650

i9So

975

2IOO

1050

2 2 5o

1125

io

12

i3

i4

METHODE DE CALCUL DU BETON ARME

BARÊMES

l, portée de im à i5m

P, charge totale par m. q. de 100 à 24ookg p, poids du hourdis (*)

a — 1

R = 2 5o 000

5=3

CO *îj

'T—

Y, hauteur du hourdis divisé par 2

(1) Les chiffres gras ind'quent les poids de la moitié du hourdis — .

Valeurs de l

i3oo

l/|00

i5oo

IOOO

1700

l800

Valeurs de l

a.

a I c;

«la

a.

w) K

a.

a ; Cl

o,o3x

i56

78

0,062

3l2

156

0,o32

o,og4

468

234

o,o65

0,125

6.25

312.50

°,°97

o,i3o

0,156

780

390

0,187

q35

0,162

0,219

0,2 50

0,281

462.50 1095

547.50 I25o

625

i4o5

702.50 i56o

o,i₉4

0,227

0,259

0,291

10

780

0,3.2 4

0,343

12

0,375

i3

o,4 06

i4

o,43₇

1715

857.50 1875

937.50 2c3o 1015 2i85 1092.50

0,356

0,389

0,4.21

o,454

S ! I iiS si si ils sp g s s s⁵ * s,

+ JO UJ tO 4- l—' cO 00 CD 00 C30 Ci <1 OÎ LC CIO    «W

o, o 3 4

0,067

0,101

0,134

o, 168

0,201

o,235

0,268

0,302

0,335

o,36(j

o, 4 02

o,436

i68

84

335

o, 35

i₇3

86.50

o,o36

167.50

5o3

0,069

346

173

0,071

251.50

670

335

838

419

ioo(J

503

1174

537

i341

670.50 ï5oç)

754.50

i677

838.50

i844

922

20x2

1006

0,104

0,139

o,i₇3

0,208

0,242

0,277

o,3i 2

o,346

o,381

519

259.50

T79

89.50

357

178.50

532

0,087

0,073

0,107

268

693

346.50

o,i43

357

0,i47

816

408

893

1089

519.50

1212

606

i386

693

i559

779.50

X73.2

866

i9°5

952.50

0,179

0,21.4

0,280

0,286

0,321

0,357

0,893

446.50

0,i8.4

i83

91.50

36₇

183.50

551

275.50

735

367.50

9T9

459.50

234o

1170

0,470

2180

1090

235o

1175

o,416

o,4 5o

o,485

2078

1039

1126

242.5

1212.50

o,4 28

o,464

1071

535.50 x 2 5o

625

1428

714

1606

803 1785

892.50 1964

982 214 2 1071 232 1 1160.50 2 5oo

0,2 20

0,357

0,294

0,331

0,367

o,4o,4

o,44 x

0,478

110.2

551

1286

643

1470

735

i653

826.50

j 887

918.50 2021

1010.50 2205

1102.50

2388

1194

10

12

x3

25x6

1258

o,5oo

3898

1299

O ce 05 iO t- co

<N O CO rH C* r-H

o,5i4

r^oo c 00

L'" 00 iO O

10 N r- co

« rH CS r—I

CT

II

l, portée de im à i5m

P, charge totale par m. q. de ioo à 24ooKg p, poids du hourdis(¹)

a = 1

R = 25oooo

II =

hauteur du hourdis divisé par 2

4 «R

(!) Les chiffres gras indiquent les poids de la moitié du hourdis — •

Valeurs de l

1900

2000

2100

2200

2 000

2400

Valeurs de l

«IC

“O

o,.

SJ I «

a.

« ! 1=3

C ! es

a.

0,037

187

93.50

o,o38

97

0,0 '|0

*99

99.50

o,o4i

203

101.50

0,o42

208

104

0,052

212

106

.2

0,07.5

373

186.50

387

°,°77

5 60

0,112

280

0,116

o,i49

746

373

o, 155

193.50

581

290.50

725

362.50

0,079

0,1 U)

o, 159

³97

198.50 5',5

272.50

0,081

0,122

4oG

203

609

4 io

o,o83 ,

207.50

o,o85

304.50

O, 125

744

372

o, 162

81.2

406

o, 166

623

311.50

0,127

831

415.50

0,170

318

849

424.50

0,187

9.33

466.50

0,194

968

484

0,198

99²

496

0,203

1 o 10 508

io38

loi o

0,208

519

• 0,212

505

0,224

1119 559.50

0,2.32

0,261

i3o6

653

1162 581

i356

0,238

0,271

678

0,299

o,336

i4g3

746.50 i679

839.50

1866

0,278

1191

595.50 1389

694.50

0,2-44

0,284

o,3io

0,349

1049

774.50 1743

871.50

0,817

0,357

1584

792

1786

893

0,32.5

o,36G

10

0,873

933

0,387

i₉36

968

0,897

o,410

200.2

1026

0,426

2l3o

1065

0,487

n)84 992 2183

1041.50

o.'ioO

o,447

12

o.'i'iS

i3

o,'t85

i4

0,022

2239

1119.50

2426

1213

261.2

1306

o,465

o,5o3

2324

1162

2.118

1259

2.381

0,476

o,5i6

0,54.2

o,50o

² 799

1399.50

o,581

2711 1355.50 2906 1452 50

o,556

0,595

1160.50

2080

1290

.2778

1389

2976

1488

0,487

0,528

0,569

0,609

12 H)

609.50 1422

711 162 5

812.50 1828

914 2ü3 I

1015.50 2 234 1117

2',38 1219 2640 1320 2843

1421.50 3o'i7

1523.50

0,249

0,29!

0,332

0,37.4

o,415

o,457

0,4.98

o,54o

o,581

0,623

1 a46

623

i454

727

1661

830.50 1869

934.50

0,255

0,397

0,339

0,382

i *2 7 3

636.50 i ',85

742.50

i(»()7

848.50

I<)O0

954.50

2027

1013.50

0,4 2/1

2121

1010.50

10

2284

a333

1142

2'19 2

1246

2700

1350

2907

1453.50 3115

1557.50

0,467

0,509

0,552

0,094

o,036

1166.50 a 546 1273

2 7 58

1379

2()₇°

1435

3187

1593.50

12

i3

i4

i5

IIS

a — 1

R = 2 5oooo

II =

7 «R

Kl'*

/, partie de 1 à 15 mètres ;

P, charge totale par m. q. de 100 à 2400.

P, polds de y (⁴).

(f) Les chiffres gras indiquent le poids de •

Valeurs de /

P — 100

200

3oo

■e>

5 00

000

Valeurs de l

».

a5

35

o,oo5

12.50

45

0,007

17.50

0,008

05

4o

20

80

0,009

45

5o

55

22.50

0,010

25

0,011

0,009

22.50

o,oi3

32.50

0,0 iC)

40

9⁵

io5

0,01.4

70

35

0,020

100

120

0,019

50

0,024

60

42.50

i4o

0,021

95

i3o

160

0,028

70

o,o3i

0,019

0,023

42.50

115

57.50

0,026

65

165

0,03.2

80

o,o33

135

0,027

67.50

160

0,039

82.50

MP

97.50

23o

o,o'« o

o,o48

0,032

80

o,o46

115

0,0 56

0,037

i85

92.50

0,062

260

0,042

210

105

130

2₉5

o,o64

200

100 .2 4 o 120 280 140 320 160

3 60

o,o37

o,o.46

o,o56

0,06 5

0,074

i85

92.50 23o ' 115

280

0,0.41

0,062

52.50

155

77.50 2o5 102.50 260

0,023

o,o34

o,o45

27.50

n5

57.50

170

85

140

0,062

325

162.50

370

0,072

185

o,o83

130

31 o

155

3 60

180

415

207.50

0,067

0,068

0,079

0,091

225

112.50

285

142.50

34 o

170

3₉5

10

o,o46

23o

115

0,009

0,06 5

o,o5i

255

127.50

280

142.50 325

162.50

3 60

0,072

0,080

0,072

180

0,088

180

4 00

200

44o

22o

o,o83

0,093

415

207.50

0,093

465

232.50

o,io4

465

197.50

455

227.50

5io

232.50

0,10.2

255

5io

5.20

260

570

0,113

12

o,o56

140

3₉5

3oo

0,079

197.50

i3

425

0,096

0,060

150

o,o85

212.50

3.25

0,104

4    80

240

5    20

260

0,102

0,111

255

0,114

285

0,I2§

565

282.50

626

312.50

10

555

277.50

0,12.4

620

310

o, 136

680

340

i4

o,o65

162.50

345

0,092

4 60

230

0,112

5 60

280

0,120

i5

0,069

172.50

0,098

490

245

0,120

600

300

o, i3o

600

300

65o

325

o, 13 5

o,i45

675

337.50

0,147

735

726

362.50

0,159

0,13g

695

347.50

0,155

77⁵

367.50

79⁵

397.50

85o

i3

i4

387.50

0,170

425

i5

IIS

l, portée de 1 à 10 mètres;

P, charge totale par m. q. de 100 à 2400 ;

Cl — I

R = 200000

II =

\/

61

7 ail

p, poids de ^ (t).

(!) Les chiffres gras indiquent le poids de

Valeurs de l

700

800

000

IOOO

I IOO

1200

Valeurs de l

K '-o-

“a

60

0,012

30

65

0,013

1 20

0,02.4

60

32.50

i3o

0,0x4

7°

7⁵

35

0,1)1 0

37.50

o,oi 5

37,50

o,ôx6

0,087

i85

92.50

0,026

65

0,028

i4o

i55

70

o,o4g

245

o,o3g

x₉5

92.50

0,029

72.50

o,o3i

77,50

0,061

122.50 3o5

152.50

0,052

260

130

0,04.2

0,0 56

365

0,06 5

325

162.50

0,073

0,086

0,098

o, 110

10

0,122

0,135

182.50 43o 215

49°

245

55o

275

610

305

675

337.50

°,°79

0,092

o,io5

o, i i 8

o, i3i

3₉ 5

0,069

197.50

o,o83

4 60

230

502.50

251.25

5₉o

295

655

327.50

°>°97

o, 111

o, 125

0,139

2X0

105

280

140

345

172.50 4x5

207.50 485

242.50 55o

0,0.44

0,069

0,073

0,088

0,102

275

626

312.50

0,117

o, 13 2

695

347.50

220

110

?g5

147.50

365

182.50

44o

220

5io

255

585

292.50

66o

330

' o,o46

0,061

0,077

0,092

0,107

0,123

0,138

23o

115

3o5

152.50

385

192.50

4 60

230

535

287.50 6x5

307.50

690

345

0,632

o,q48

o,o64

0,080

o ,.09 6

0,112

0,128

o,x44

0,147

735

0,1.44

720

360

o,i 53

765

0,146

73o

365

8o5

382.50

0,154

770

385

845

o, 160

x3

0,169

x4

o,x₇x

367.50

790

397.50 855

427.50

o,i5₇

0,170

o,i83

785

392.50

835

0,161

402.50

0,169

422.50

0,176

835

0,167

417.50

417.50 915

457.50

0,181

905

°,T7⁶

88o

440

0,184

Q20

460

0,192

452.50

0,190

f)5o

475

0,200

o,x₉4

x5

0,184

(120

460

0,196

980

490

0,208

970

485

io4o

520

0,205

102 5

512.50

0,215

i ioo

0,2 20

550

o,23o

1000

500

1075

537.50 1 i5o

575.50

0,208

0,224

0,24 x

I IIiif If IIIg Il If!1111 § g ?I! § ? s ?

LO

CO

O»

OC

LO

CO

o»

BAREMES

48

MÉTHODE DE CALCUL DU BETON ARME

HS

/, portée de 1 à i5 mètres ;

P, charge ï&lale par m. cj. de 100 à 2400;

II

p, poids de — (*).

a = 1

R = 260000

\/

6 PP

7 ail

( ) Les chiffres gras indiquent le poids de •

IÔOO

17OO

] SOO

Valeurs de l

Valeurs de l

IOOO

1400

i5oo

G h®⁻

c_

S 8s-

93

9⁵

98

84

0,0x7

42

0,017

86.5o

43.25

0,018

90

45

0,019

o,o33

167

83.50

o,o35

17.3

0,037

46.50

i85

92.50

0,019

o,o38

42.50

0,020

49

19¹

196

95.50

0,039

98

o,o5o

a5o

125

0,o5.2

86.50

259.50

129,75

o,o36

0,0.54

*79

89.50

269

134.50

o,o56

0,067

CO CD CO r-H

246

0,069

173

359

0,074

278

139

370

185

0,057

0,076

286

143

382

191

0,069

0.079

293

147.50

3₉3

196.50

0,072

179.50

463

o,o83

417

0,100

208.50

5oo

250

0,087

o, io4

584

0,117

292

0,121

43.2.50

216.25

5i9

259.50

605.50

302.75

0,090

0,108

0,125

448

224

538

269

627

0,09,3

O. T 1 1

0,13o

231.50

555

277.50

0,095

o, 115

648

324

o,i34

477

238.50

57.3

286.50

0,098

0,118

to —^ -p> o CP «

58₉

294.50

668

334

0,1,37

687

343.50

068

o, 134

334

0,138

692

346

0,143

313.50

7l7

358.50

0,148

7'n

370.50

o, 153

763

786

381.50

0,1.57

393

833

o, x5o

751

375.50

0,156

10

<M⁽»7

835

417.50

0,17.3

o,i84

918

409

0,190

12

0,200

1000

500

t o35

0,208

i3

0,217

517.50

0,22,5

779

389.50

815

407.50 9,52 476

io38 519 11.2 5

562.50

0,161

0,179

0,197

0,21,5

0,2.33

807

0,167

403.50

846

423

986

0,185

0,20 4

416.50

926

463

1018

0,172

0,191

85₉

834

429.50

o,i77

417

954

982

509

0,210

477

io5o

525

<V9<>

0,216

491

1080

540

10

i4

0,23.4

i5

o,25o

11(>8 584 I 2.52

626

0,242

0,260

12X1

605.50

1298

649

0,2 51

0,269

493

1026 513 106 5

532.50

12.75

627.50

13 4 5

672.50

0,222

0,241

0,259

0,278

1111

555.50

120 4

602 1.296 648 i38₉

694.50

0,229

0,248

0,267

0,286

114 5

572.50 I24l

620.50

o,236

0,2.55

1178

589

i336

668

0,27.3

14 31

715.50

0,29.5

x.277

638.50 i375

687.50 i473

736.50

i3

i4

A. Nivet. — Méthode de calcul du Béton armé

HS

a — 1

14 = 2 5 0000

S-

. /(HT-

V 7^

l, portée de 1 à i5 mètres;

P, charge totale par m. q. de 100 à 2400;

p, poids de — (').

(*) Les chiffres gras indiquent le poids de

4H S

Valeurs

Je l

1900

2000

2100

2 200

2000

2 4 OO

Valeurs de l

SX.

4^1 S

•£"*1 5

4>s] 3

101

0,020

50.50

1 o4

106

0,02 i

52

0,02 x

53

0,022

202

212

o,o4o

101

0,041

0,061

3o3

151.50

106

311

o,o4a

106

0,0/|3

54.50

217

108.50

0,022

55.50

0,023

X 1.4

57

222

0,081

4 0.4

202

5o4

0,062

o,o8.3

155.50

o,o64

H-¹

ta

0,08 5

318

326

o,o44

111

o,o45

227

113.50

109

4 2.4

212

o,oG5

0,087

163

333

434

217

0,067

166.50

0,068

34o

170

444

0,101

252

6o5

o, U)4

CD OC

53o

o, x 06

265

0,109

543

271.50

0,089

o, 111

222

454

0,091

227

555

277.50

621

o, x 21

0,161

0,18.2

302.50 706 353 807

403.50

908

0,124

0,145

0,166

310.50

725

362.50

0,1.27

o,i.48

636

318

74 a

371

o,i3o

0,152

651

666

0,113

517

258,50

325.50

760

380

o,i33

o,i55

680

333

777

o,i36

340

828

414

0,170

844

422

868

388.50

o,i5g

794

397

0,174

434

888

0,178

444

0,181

002

451

454

o, 186

932

466

g55

0,19¹

477.50

0,195

977

488.50

0,200

999

10

0,202

1009

504.50

0,207

io35

517.50

io36

499.50

0,204

1021

510.50

0,2X2

0,22.2

111 o

555

0,228

'3g

12

0,24.2

i3

0,262

1211 605.50 131.2

656

0,248

0,269

i4

0,282

706

1513

756.50

0,290

569.50

iî42

621

13    4 6 673

¹4    4 < >

724.50

1553

771.50

0,233

0,255

0,276

0,297

1011

505.50

1167

583.50

1.278

639

1378

0,217

0,239

0,261

518

1194

597

i3o3

0,222

0,244

1110

555

0,227

1134

567

10

1221

610.50

0,249

1248

624

689

0,282

1485

742.50

i5gx

795.50

o,3o4

651.50

1411

705.50

l5.20

760

1628

0,266

0,289

o,3i 1

i332

i36i

666

0,272

680.50

12

i443

721.50

0,295

1554

777

0,317

i474

737

1587

i3

i665

832.50

793.50

1701

850.50

x4

Cil

SOOJJOçI

S90JJOJ

Poids

61.96

30.98

Poids

79.56

39.78    1

00g

20 barre-

0,007

0001

20 barres

0,011

Surface

métallique

Poids

58.80

29.40 0,00072506

Surface

métallique

Poids

74.44

37.22 0,0018503

400

20 barres

0,006

9°°

20 barres

0,010

Surface

métallique

_î__•--«--1 _ !__•_ t--t -9

25kS

Poids

58.80

29.40 o,ooo56o48 85.16

42.58

Surface

métallique

Poids du béton par m. q.

Poids

74-44

37.22 0,00156233

3 00

20 barres

0,006

0,012

Surface

métallique

Poids

56.12

28.06 0,000407376

74.44

37.22 0,002179205

008

20 barres

0,010

Surface

métallique

Poids

69.80

34.90 o,ooi3ii97

200

20 barres

çoo'o

0,010

oo L

20 barres

0,009

Surface

métallique

Poids

52.30

26.10 o,ooo263i6 58.80

29.40 0,00131197

74.44

37.22

Surface

métallique

Poids

65.64

32.82 0,001098775

F = om,oi

001

20 barres

o,oo3

900^0

0,010

009

20 barres

0,008

Surface

métallique

0,00012826

o,ooo56o48

o,ooi56233

Surface

métallique

SOOJJOJ

ç6ggo6ooo‘o I

SDOjJOJ

Poids

ei*901

53.06

124-44

62.22    2

179,16

89.58 3

SOOJJOJ

ff«!

53

Poids

111.96

55.98

168.92

81.26

OOC

20 barres

Surface

métallique

0,0008228 o,oo5

o.ooi45oi 0,010

0,0046189    0,018

OOO T

20 barres

0,007

0,016

Surface

métallique

0,0006687

0,0087004

Poids

iO i>

Poids

c 00 C 00

C- Oi CT. <t ^ lO ^rf O* »- LO iO D>

20 barres

o,oo4

0,009

0,015

9°°

20 barres

0,007

çio'o

.■J

Surface

métallique

5okS

Poids

par m, q.

103.90

51.95 0,00024i55 1i5.64

57.82 0,00112098 i35.16

67.58 o,oo3i2465 188.20

94.10

Surface

métallique

0,0008975

o,oo3i2465|

Poids

cg 3 ^ s

OC >h o

C LO v-t [N

xA

-r —

T-

Poids du béton

OOO

20 barres

i;oo‘o

0,008

510*0

0,019

800

20 barres

0,006

gio'o

Surface

métallique

0,00019115

0,00081455

0,0020962

o,oo53584i

Surface

métallique

0,0005273

0,00263190

* SScoS^SmS

*o    « h oc -d co ai - o

Ch    o lO C iO - O I>

Poids

108.80

54.40

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67.58

200

20 barres

o,oo3

0,006

600 ‘ O

o,oi3

700

20 barres

0,006

0,01 2

Surface

métallique

0,0001266

0,0008273

0,00128245

0,00263l95

Surface

métallique

o,ooo458i5

ççigieoo‘o

Poids

S 2 as %S <g §

W r-H CO I-H - ld c. ai O lO C lO — lO h- lO

Poids

108.80

54.40

129.56

64.78

F := 0'“,02

OOI

20 barres

o,oo3

o,oo4

0,007

o^ooo

OO9

20 barres

0,006

0,011

Surface

métallique

$99).T0J

1 0,0000629

2 0,00024155

3 0,0008978

o6oeiioo‘o| t

Surface

métallique

(;oo6gooo‘o

0,0018068

S93JJ0J

CJl

4S>

saQ^aoj

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co

so^joj

c*l

co

Poids

i53.go

76.95

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82.82

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92.58

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114.58

c O c 00 c O

GC <1- O I> C' r-H

OOQ

20 barres

o,oo4

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0,012

0,018

OOOI

20 barres

0,006

0,011

0,019

Surface

métallique

0,0002113

o,ooo88445

[0,0021753

0,0045996

Surface

métallique

(>,0004288

0,0018963

o.oo555o6

Poids

153.90

76.95

161.96 80.98

179.56

89.78

204.96 102.48

Poids

i56.is

78.06

179.56

89.78

229.16

114.58

<a

20 barres

t;oo‘o

0,007

0,011

c io‘o

00G

20 barres

o,oo5

0,011

0,018

Surface

métallique

Poids du béton par m. q. 75^

3oo

200

Poids

20 barres

162.20

76.10 o,oooi6855

158.80

79.40 0,0006987

169.80

84.90 0,00168265 191.28

95.64 o,oo3365i5

Surface

métallique

o,ooo3848

0,00168145

o,oo4637

Poids

156.12 78.06 174.44 87.22 229.16 114-58

Surface

métallique

Poids

20 barres

Surface

métallique

o,oo3

0,006

600 9)

o,oi3

800

20 barres

o,oo5

0,010

o,ot8

o,oooi26o5i

0,00061765

0,0012383

ÇgVgEOO'O

Surface

métallique

o,ooo34io5

0,0014733

0,00487655

152.20

76.10

i56. i2 78.06 1,65.64 82.82 17444

87.22

« SgÆg'^SP.S

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0,00 3

g 00‘o

0,008

0,010

00Z,

30 lwrres

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0,009

o,oi5

0,03 4

0,0.000964

0,00034io5

0,0008019

0,0014733

Surface

métallique

0,0002975

0,0012714

0,0032963

0,0089178

^ |S q g ‘fg

’o C o" CO CD O C0 H O PL, LO c> 10 t> >0 t> *0 00

Poids

1.16.12

g <â- § g S g

ÊS'i é§

HH    M    «    --I

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001

20 barres

0,002

0,00.4

o, 00 5

0,007

009

20 barres

o,oo5

0,009

0,014

0,023

Surface

métallique

0,0000679

0,0001685

o,ooo3548

0,0006988

Surface

métallique

o,ooo2543

çeioioo'o

0,0037102

0,0078696

S901.I0J

c«î

CO

6901.10J

CO

SdÇtyJOj

CT

CO

S901.1OJ

Poids

202.20

101.10

208.80

104.40

219.80

109.90

235.16

117.58

Poids

206.12

103.06

215.64 107.82    2 241.28

120.64    3

279.16 139.58    4

OOO

20 barres

o,oo3

0,006

0,009

0,012

OOOI

20 barres

o,oo5

0,008

o,oi3

gio‘o

Surface

métallique

0,0001285

CgÇ°C°00<0

0,0011853

o,oo2i855

Surface

métallique

Poids

202.20

101.10 208.80 104.40 215.6 4 1C7.82 229.56 114.78

Poids

203.90

101.95 0,00026255 215.64

107.82 0,0010429 241.28

120.64 0,0024897 279.16

139.58 0,00489635

O 01/

20 barres

o.oo3

900*0

0,008

0,01 [

<)00

20 barres

o,oo4

0,008

o,oi3

gio*o

Surface

métallique

0,000ioo4

o,ooo4o66

0,0009345

0,00160025

Surface

métallique

Poids du béton par m. q. ioo^S

.‘)00

OOK

oids

20 barres

Surface

métallique

CD

•3

20 barres

Surface

métallique

Poids

202.20

101.10 206.12 103.06 211.96 105.98

224.44

112.22

o,oo3

0,0000752

o,oo5

o,ooo3o365

0,007

OIO'O

800

0,00069.4

0,0012812

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CT H CT r-H CT r-H CT r—I

0,002

o,oo4

900‘o

0,008

700

Poids

20 barres

203.90

101.95 0,00022705

2i5.64

Surface

métallique

107.82 0,0009345 235.i6

117.58 0,002337

263.52

131 26 0,0045895

o,oo4

0,008

0,012

0,016

Poids

203.90

101.95    0,0002016

211.96

IO5.98 0,0009345

229.56

114.78 0,00x9476

254.96

127.48 0,0037447

20 barres

0,00 4

4oo*o

0,011

o,oi5

200.98

100.49 0,0000001

202.20

101.10 0,0002016 203.90

101.95 o,ooo45835 208.80

104.40 0,00082705

Surface

métallique

Poids

202.20

101.10 0,00017625 211.96

105.98 0,00072055

224.44

112.22 0,00168115 247.88

123.94 0,0031896.3

F = o'",o5

OOI

20 barres

0,002

o,oo3

o,oo4

0,006

G 00

20 barres

o,oo3

0,007

0,010

0,014

Surface

métallique

SOOJ.IOJ

co4eeooo‘o g çooiooo‘o z eçsoooo'o 1

4 o,ooo4o66

Surface

métallique

SOO^JOJ

6091000* o 1

919000*0 z

3 0,00143o25

4 0,0027447

LO

03

6901J OJ

Poids

252.20

126.10 256.12 128.06    2

265.64

132.82    3

274.44 137.22    4

SOO).IO₍|

Poids

253.90

126.95

261.96 130.98 279.56 139.78

304.96 152.48

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20 barres

o,oo3

o,oo5

0,008

0,010

0001

20 barres

o,oo4

0,007

1 io‘o

cio'o

Surface

métallique

Poids

250.98

125.49 0,0000895 256.12

128.06 o,ooo36o85 261.96

130.98 o,0008406 269.80

134.90 0,0014912

Poids 253 90

126.95    0,0001745

261.96

130.98 0,0007294

274.44

137.22 0,0016821,4 297.88

148.94 o,oo3i2845

Surface

métallique

20 barres

0,002

o,oo5

0,007

0,009

900

20 barres

o,oo4

0,007

0,010

0,014

1T“

Surface

métallique

Poids du béton par ni. q. = I2.5kS

00C

200

Poids

20 barres

250.98

125.49 0,00007155 253.90

126.95 0,0002881 258.80

129.40 o,ooo6o495

265.64

132.82 o,ooii8235

Poids

253.90

126.95    0,00016145

261.96

130.98 o,ooo65285

274.44

137.22 o,ooi5ii

291.28

145.64 0,0027875

Surface

métallique

0,002

700‘o

0,006

goo'o

800

20 barres

0,00 4

0,007

0,010

o,oi3

Poids

250.98

125.49 o,oooo5375

253.90

126 95 0,0002156 256.12

128.06 0,00048895 261.96

130.98    0,00087845

Surface

métallique

Surface

métallique

Poids

252.20

126.10 o,oooi4345

2.58.80

129.40 o,ooo58io5

269.80

134.90 o,ooi336i5 285.16

142 58 0,0024537

20 barres

0,002

o,oo4

o,oo5

0,007

ooZ,

20 barres

o,oo3

0,006

Ooo'o

0,012

Surface

métallique

ç4cgoooo‘o

o,oooi4345

o,ooo3247

o,ooo58io5

Surface

métallique

^ ^ 5 2. ^ ^ o

6 LO C l6 PO CD CD 00 iO (M IC (M iO <M lO <M

CNJ H

Cq r-H cq I-H cq I-H

Poids

2.52.20

126.10 o,oooi2545 2 58.80

129.40 0,0002073 265.64

132.82 0,0011633 279.56

139.78 0.00212665

F = om,Q7

001

20 barres

0,001

0,002

o,oo4

coo‘o

009

20 barres

goo'o

900*0

0,008

0,0! t

Surface

métallique

0,0000125

0,00007155

o,oooi6i45

0,0002881

Surface

métallique

0,0001075

o,ooo4348

cie66ooo‘o

CgÇ0gI°⁰‘0

S0O).IO₍T

SOOJ.IOJ

S381.10J

Poids

261.96 130.98    1

397.88

148.94    2

S80^JOJ

S8CVJJ0J

^1

Poids

27444

137.22

Poids

291.20

145.60

ooeg

20 barres

Surface

métallique

Poids

3ooo

20 barres

3 38.80

o.ooO 119.40 o,ooo054i5 0,007 291.28

145.64 0,0027184    0,014

0,013

7000

6000

20 barres

0,010

2COO

20 barres

o,oi3

Surface

métallique

Poids

20 barres

269.80

134.90 0,00131585

Surface

métallique

Poids

285.1G

142.58 o,oo23o88

0,009

Surface

métallique

Poids

338.80

119.40 0,0005617 379.50

139.78 o,oo23o88

Surface

métallique

Poids

305.04

132.82 0,0011s415

00011

20 barres

0,012

Surface

métallique

Poids

279.5O

139.78 0,003io54

OOÇS

20 barres

o,oo0

0,01 1

000g

20 barx-cs

0,008

00001

20 barres

0,011

Surface

métallique

Poids

356.12

128.06 0,0004697

37444

137.22 0,00190.45

3l2.52

156.26

Surface

métallique

Poids

365.04

132.82 0,0009340

Surface

métallique

Poids

379.50

139.78 0,001914

2000

20 barres

o,oo5

0,010

0,0 iO

45oo

20 barres

0,008

oooti

20 barres

0,01 r

Surface

métallique

Poids

356.12

128.06 0,0003782 3O9.80

134.90 0,00150975 391.28

145.64 o,oo35862

Surface

métallique

Poids

2O1.9O

130.98 o,ooo84o0

Surface

métallique

Poids

90',100‘f) ZZ'LSI

'/T'A

F = 0m,07

OOQI

20 barres

coo‘o

0,009

o,oi3

ooot/

20 barres

0,007

000g

20 barres

0,010

Surface

métallique

c:6G9kooo‘o 1

3    0,001I24i5

3 0,0026188

Surface

métallique

SOOJJOJ

I 0,00073l5

Surface

métallique

s <*91 «KM

1 o,ooi5o47')

SOOJ.IOJ

CS!

CO

Poids

§ 2 g SS S § S S

CO ~ L.O 'C 00 ^rr (N O* M CO fO CO fO CO c> *0 O CO»“HCOr-HCOr-HCOrHCOr-i

00 c

20 barres

o,oo3

çoo‘o

0,007

0,009

0,01 I

Surface

métallique

0,00006966

0,0003796

0.0006339

0,0011397

0.00180776

Poids

33.5.98

162.99

338.90

164.45

333.80

166.90

345,64

170.32

349.44

174.72

20 barres

0,003

o, 00 4

0.006

0,008

0,010

Surface

métallique

o,oooo556

0,0003333

o,ooo5o5a5

0,000917

0,0014341

Poids

'-se*

• • • •

par m. q.

335.98

162.99

338,90

164.45 331.13 163.56 336.o6 168.48 340.64

170.32

349-44

174.72

JZ

Poids du béton

3oo

20 barres

0,003

o,oo4

0,00 5

0,007

0,008

OIO'O

Surface

métallique

o,oooo3655

o,oooi4655

o,ooo33i15

0,0006931

0,0009,3335

o,ooi355a

Poids

326.98

162.99 337.30 163.60 331.1 a 165.56

333.80 166.90 336.96

168.48

344.80

172.40

349.44

174.72

200

20 barres

0,003

900‘o

o,oo5

0,006

0,007

0,009

0,010

Surface

métallique

0,0000378

0,0001114

l/iredoo‘o

0,0004489

0,00070,545

o,ooioa3i

0,0014o45

Poids

3 a 5, a 4

S    %g    S g    -3 : g i g %$    s-    g    cg    S    := g

w    ir: eq    t>M    x «4 « iQ en cô c 06    o    o    v-    eq    01 «si-

CD    C’ CD    c* CD    ^COîOCOfCCOCOCO    t>    O    c>

i—I CO r-H CO r—ICO»-HCOi—tCOi-HCOrHCOrHCOr-iCOi—I

F — 0,09

OOI

20 barres

0,001

0,003

o,oo3

0,004

o,oo5

0,006

0,007

0,008

0,009

O.OIO

Surlace métal lie} ie

0,0000139

0,0000556

0,00013535

0,0003333

0,00034990

csçoçooo‘o

0,00074430

0,000907

0,001i5435

0,001434I

SOOJJOJ

ce

Poids

3.38.90

164.45

333.8o

166.90

349.44

174.72

333.8o

136.90

OOOI

30 barres

o,oo4

0,006

0,010

00 g g

0,006

Surface mêlai lique

0,0001531

0,000 56.3 4 5!

0,00138G.4

0,000.49145

000 L

340.64

o.00099405 0,008    170.32

354.56

177.28

12000

0,001732,5    0,011

Poids

337.30

163.60 331.13 165.56 344.80 172.40

333.8o

166.90

00G

20 barres

o,oo3

o,oo5

Goo'o

000 c

900*0

Gooo

Surface

métallique

0,00013535:

o,ooo5o565l

0,0011.5435

o, 0004306

34o.64

0,0008.4925 0,008    170.32

354.56

177.28

OOOI I

.0,011

0,00158.28

Poids

3.37.30

163.60

333.80

166.90

344.80

172.40

331. i a 165.56

340-44

174.72

800

20 barres

0,00 3

0,006

Goo'o

2 5 00

çoo‘o

0,010

000g

Surface

métallique

0,0001114

0,0004489

0,00I033l

0.00034995

0,001 43 '11

336.96

0,00070.445 0,007    168.48

349.44

174.72

OOOO I

0,010

0,0014341

Poids

3.37.20

163.60 331.13

165.56 340.64 170.32

354.56 177.28

331.13 165.56 344.8o

172.40

700

30 barres

o,oo3

çoo o

0,008

0,011

0005

o, 00.5

Goo'o

00 c y

Surface

métallique

0,000097.4

0,0008923

o,oqo8436

0,00161365

0,0003795

0,00113 ç) 7

336.96

0,0006389    0,007    168.48

349.44

174.72

OOOG

0,0012814 0,010

Poids

337.30

163.60 331.1.3 165.56 336.96 168.48

349.44

174.72

3,38.90

164.45

340.64

170.32

F = 0,09

OO9

20 barres

900*0

o,oo5

0,007

0,010

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o, 00 4

0,008

4 000

Surface

métallique

0,0000835

o,ooo3385

o 0007638,5

0,0013749

0,000.3093

0,00084920

333.8o

o,ooo56245 0,006    166.90

344 80

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0,0011897 | 0,009

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60

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co

Cf

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Ci

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20 barres

0,002

o,oo4

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SlSiSSSiliHISSsHSi

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0,009

0,011

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0,020

0,023

0,026

0,027

Surface

métallique

Poids

425.98

212.99    0,0000625

427.20

213.60 o,ooo25i

o,ooo56g

ÇOEOIOO'O

o,ooi6i4

0,002359

0,003273

0,004371

o,oo568435

0,0072505

0,009127

0,01i4o8

r.

20 barres

0,002

o,oo3

433.80

216.90

44o.64

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449-44

224.72 454.56

227.28

466.28 233.14 479.96 239.98

495.60

247.80 5i3.2o

256.60 543.24 271.62

565.72 282.86 5go.i6 295.08

63o.44

315.22

0,006

0,008

0,010

0,011

glO'O

o,oi5

0,017

0,01g

0,022

0,024

0,026

0,029

>H

f ~â8*

sr

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3oo

200

Surface

métallique

Poids

20 barres

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427-20

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o,ooo454i

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çggeioo'o

0,001869

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o,oo343

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o,oo56

0,0069785

0,008692

iocoio£o

0,012764

43i.I2 215.56 436 96 218.48 44o.64 220.32

449-44

224.72 46o.i6 230.08 466.28 233.14 479.96 239.98 496.60 247.80 5o4-16 252 08

522.72 261.36 543.24 271.62 565-72 282.86 690.iG 295.08

Surface

métallique

Poids

20 barres

0,002

o,oo3

çoo£o

0,007

goo£o

0,010

0,012

o,oi3

o,oi5

0,017

gio‘o

0,020

0,022

0,024

0,026

425.98

212.99    o,oooo375

427.20

213.60 0,000143

o,ooo33g8

0,0006476

0,0009555

0,001388

g6o6ioo£o

o,oo25255

o,0032435

0,004073

i66i/oo‘o

gii900‘o

o,oo-3-

ÇIIggOO'O

0,010/181

428.90

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433.8o

216.90 436.96 218.48 44o.64 220.32 444-8o 222.40 454-56 227.28

460.16 230.08 472.88 236.44

4?9-9⁶

239.98

487.52

243.76

504.16 252.08 5i3.20 256.60 532.72 266.36

0,002

o,oo3

0,004

0,006

0,007

0,008

0,009

0,011

0,012

o,oi4

qio‘o

0,016

gio‘o

0,019

o,oai

Surface

métallique

Poids

ggoooo'o 66'51S gO-çg'/

42.5.98

212.99 0,0001o65

0,000226

o,ooo4o3

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0,0009172

o,ooi2565

0,001654

0,002Il3

o,oo26365

o,003229

0,003895

o,oo4643

o,oo54785

o,oo64i2

SS 8.5 !Siï ®S «" 4 S3S3SS8 “S"* Sï

ÉSls5§3§ SSII saisis 38III

CO M CD

co co

<M

<M Cf

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OOI

20 barres

eoo£o

0,002

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o,oo4

çoo‘o

0,006

0,007

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0,009

0,010

0,010

0,011

0,012

o,oi3

o,oi4

Surface

métallique

o,ooooi3

çoooo£o g

o,ooon3

0,000205

o,ooo3i45

o,ooo4o4i

0,00062

0,0008347

çggoioo'o

0,0012826

o,ooi56i

0,001869

0,0022085

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10

ei

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20 barres

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Surface

métallique

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o,ooo5o5

0,00115g

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o,oo33435

o,0049795

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0,009793

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20 barres

o,oo3

0,006

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0,011

o,oi4

0,017

0,020

0,024

0,027

Surface

métallique

Poids

427.20

213.60 o,oooix3

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216.90 o,ooo454i 44o 64

220.32 o,ooio335 454.56

227.28 0,001869 472.88

236.44    0,0029876 487.52

243.76 o,oo4431

5i3.20

256.60 0,0062645 543.24

271.62 0,0085918 5go.i6

295.08 o,oii45i5

630.44

315.22

20 barres

o,oo3

900*0

0,008

0,011

0,014

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0,019

0,022

0,026

0,029

Surface

métallique

çgoiooo'o

o,ooo4o3

0,0009172

o,ooi654

o,oo26365

o,oo38g5

0,0054785

0,007457

0,009948

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Poids

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ts

20 barres

o,oo3

çoo‘o

0,008

0,010

o,oi3

o,oi5

0,018

0,021

0,024

0,027

Surface

métallique

Poids

437.20

213.60 0,0000875 43l.I2

215.56 o,ooo3525 436.96

218.48 o,ooo8o45 444.8o

222.40 |o,ooi44i

454.56

227.28

0,002291

466.28

233.14 0,0033726 487.52

243.76 0,004719 5i3.2o

256.60 0,00637g

543.24

271.62 0,0084285 565.72

282.86 0.0109875 6o3.o8

301.54

OI‘b.0 = J

OO

20 barres

o,oo3

çoo‘o

0,007

0,009

Surface

métallique

0,000075

SOO}JO(I I

2 b,ooo3o7

3 o,ooo6845

4    0,00123

5    0,0018395

6    0,0028605 I o,oi3

1 io‘o

0,019

7    o,oo4ooi5 I 0,016

8    o,oo53525

9    0,0070125    0,022

0,024

0,027

10 0,009034

I 1 p,01 1529

SOOJJOJ

Poids

oooo

20 barres

433.80 0,006    216.90

454-56 227.28    2

495.6o

247.80    3

554.24 277.12    4

659.82

329.91    5

I io‘o

0,017

0,023

o,o3i

■ CO

Surface

métallique

P¹ V'/⁰⁰⁰*⁰

ÇlglOO'o

0,004296

(>,oo83o2

o,oi49745

Poids

43i.I2

215.56

449.44

224.72 ',87.52 243.76

532.72 266.36 616.52 308.26

oooc

20 barres

coo‘o

0,010

gio'o

0,021

0,028

Surface

métallique

(>,000378

o,ooi5474

o,oo3Ôâ5

0,00691i5

o,oi2o3g5

Poids

43 1.12

215.56

449.44

224.72

472.88

236.44

5i3.20

256.60

554.24

277.12

000 5

20 barres

o,oo5

0,010

0,014

0,019

0,023

Surface

métallique

<>,ooo3i45

0,0012825

(>,0029875

o,oo56o5

0,0079755

Poids

4a8.3o

214.15

444.80 222.40 466.28 233.14 495.60

247.80 554.24 277.12 6o3.o8 301.54

3000

20 barres

o,oo4

0,009

o,oi3

0,017

0,023

0,027

Surface

métallique

ICSOOO'O

0,00I0205

0,00235g

0,004370

o,0072505

gO^IIO'O

Poids

cg 2 %3 £ S SS S S 5 S

oo <1- zd cd ^ i> idco cd v- t> o 00

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CM

CO

<M

10

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20 barres

o,oo4

0,007

0,011

CIO'O

0,019

0,023

0,028

Surface

métallique

0,000188

0,0007610

3 0,001748

4 o.oo32oo5

çigcoo‘o C

6 0,007946

7 0,0117a

SOO^.IOJ

Poids

436.96

218.48

239.98

554.2-4

ZYLLZ

oooq

20 barres

Le ofco

0,015

0,0 2 3

Poids

436.96

218.48 0,0007616 472.88

236.44 o,oo32oo5

543.2.4

271.62 0,007946

Surface

métallique

ooeq

20 barres

0,007

o,oi4

0,022

Poids

436.96

218.48 0,000697 472.88

236.44    0,002917 53.2.72

266.36 0,0071655

630.44

315.22

Surfa«e

métallique

ooog

20 barres

0,007

o,oi4

0,021

0,029

Surface

métallique

Poids

433.8o

216.90 o,ooo6.255

460.16

230.08 o,ooa6365 522.72

281.36 o,oo64 12 6o3.o8

301.54 o,oi3i59

45oo

20 barres

0,006

0,012

0,020

0,027

Surface

métallique

Poids

433.8o

216.90 0,000669

46o.i6

230.08 0,002359

5o4.i6

252.08 0,0006895 577.68

288.84 0,01i4o8

10

oooy

20 barres

900 o

0,01 2

gio'o

0,025

Surface

métallique

coçooo‘o

0,002 I 2.25

0,0049795

0,0091585

SDOJJOJ

.2

S0OÎJOJ

es

CO

S0O1JOJ

Poids

444.8o 222.40 5o4 • 16

252.08

63o.44

315.22

85oo

20 barres

600 ‘o

0,018

0,029

12000

|20 barres] Poids

454.56

227.28    1

532.72

266.36    2

0,011

0,021

CT.

O'

Surface

métallique

0,001086

0,004673

0,012371

Surface

métallique

Poids

444.80 222.40 .490.60

247.80

6o3.o8

3oi.54

Poids

44g.44

224.72    0,0017625

5.22.72

261.36 0,0069115

000g

20 barres

0,009

0,017

Li;o‘o

I lOOO

20 barres

0,010

0,020

Surface

métallique

0,0010205

0,004371

0,01i4o8

Surface

métallique

Poids

44o.64

220.32

495.60

247.80

090.16

295.08

Poids

449.44

224.72 o,ooi4i465 5i3.20

256.60 0,00624

r*5oo

20 barres

goo‘o

0,017

0,026

ooooi

20 barres

0,010

0,019

Surface

métallique

cçç6ooo‘o

0,004073

o,oio48i

Surface

métallique

Poids

44o.64

220,32

487.5.2

243.76

577.68

288.84

Poids

444.80

222.40 0,0012820 5i3.2o

256.60 o,oo56o5

oooZ,

20 barres

0,008

0,016

0,025

ooejG

20 barres

0,009

0,019

Surface

métallique

0,000891

0,0037785

o,oo()6oo5

Surface

métallique

Poids

44o.64

220.32

479-9°

239.98

560.72

282.83

Poids

444.80

222.40 0,001225

5o4 ■ 16

252.08 0,005.291

644.88

322.44

F = On\ 10

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20 barres

0,008

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20 barres

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Surface

métallique

o, 000826

0,0084870

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Surface

métallique

0,00115g

0,004975

0,0133915

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S09J.IOJ

A. Nivet. — Méthode de calcul du Béton armé

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Poids

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20 barres

368.76

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métallique

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Poids

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métallique

Poids

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0,002692

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métallique

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Poids

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Surface

métallique

Poids

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0,0006795

0,0009275

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683.80

341.90 686.96 343.48

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349.72

70 4.56

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710.16

355.08 0,008275 716.28

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IOI3.20

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521.62 1073.72 536.86 1io3.o8 551.54 n3o.44 565.22

i3o8.48

654.24 1331.44 665.72 i4o6.i6

703.08

2000

20 barres

£00*0

o,oo5

0,007

0,010

0,012

çio‘o

0,017

0,019

0,022

1/50*0

0,027

0,029 4o barres

0,023

0,024

0,037

Surface

métallique

0,0000835

o,ooo334

0,000754

o,ooi3i45

0,002118

o,oo3161

0,0042

VC('ÇOOcO

0,007079

o,oo88445

6y§oio‘o

0,013113

o,oi566i5

0,0179275

0,0318785

Poids

937.30

463.60 g3i.12 465.56 g33.8o 466.90

944.80 472.40 94 9 ■ 4 4 474.72 966.28 483.14

979-9^

489.98

995.60

497.80

I0l3.20

506.60 1032.72

516.36 .

1043.24

521.62 1077.68 538.84 1io3.oo 551.50

1144.88

572.44

i3o8.48

654.24

OOOl

20 barres

o,oo3

coo‘o

0,006

0,009

0,010

o,oi3

0,015

0,017

6io‘o

I 50*0

0,022

0,025

0,027

o,o3o

4o barres

o,o23

Surface

métallique

o,oooo685

0,0003.55

o,ooo5645

0,001007

O,OOl4645

0,0032845

0,008126

o,oo4i 115

o,0052 435

o,oo653

0,0074645

o,oog6oi5

0,01i4o8

o,oi34i4

o,oi56355

Poids

925.98

462.99 938.90 464.45 g.'il .13 465.56 936.96

468.88

944.80 472.40

949.44

474.72

960,16

480.08

973.88

486.44

979-O¹» 489.98 99.4.60

497.80 1004.16

502.08

1033.73

511.36

io43.24

521.62

1065.73 532.86

iogo.16

545.08

I OOO

20 barres

0,003

o,oo4

o,oo5

0,007

6oo‘o

0,010

0,013

0,014

010*0

0,017

0,Ol8

0,020

0,022

0,024

0,036

F = om,3o

Surface

métallique

O,oooo4l5

0,000167

0,000376

9699000*0

6t/oioo‘o

0,0015655

0,00207

0,0027155

o,oo3459

0,004288

ÇI 55C00*0

0,0062575

0,007401

o,oo86565

IgOOIO‘0

-- 1

S90JJOJ

C-l

CO

oc

Ci

Poids

938.90

464.45

936.96

468.48

9.54.56

477.28

979-9°

489.98

1004.16

502.08

io43.24

521.62

1077.68

538.84

1 i3o.44

565.22

1331.44

665.72 14o6.i6 703.08 1489.76 744.88

45oo

20 barres

0,00.4

0,007

0,011

0,015

0,018

0,022

0.025

0,029 4o barres

0,024

0,027

o,o3o

Surface

métallique

0,0001876

0,000759

LoLioo'o

o,oo3i6i

o,004842

QLoLoo'o

0,009816

0,01255g

0,01705.25

0,021752

0,027375

Poids

028.QO 464.45 936.96 468.48

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486.44 99.5.60 497.80

1022.72

511.36

1065.72

532.86 1116.52 558.26

1286.48

643.24

i355.36

677.68

i433.o4

716.52

0001;

20 barres

o,oo4

0,007

0,010

0,014

0,017

0.020

0,03 4

0,0.28

4o barres

0,022

0,025

0,028

Surface

métallique

0,000167

0,0006695

o,ooi5655

0,0027155

0,004288

0,0062575

o,oo86565

ÇOgÇIIO'O

0,0149385

0,018963

0,02372

Poid|s

927.20

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I0l3.20

506.60

1 o 4 3. .2 4

521.62 1090.16 545.08 1 i3o.44 565.22

i3o8.48 654.24 1355.36 677.68 1433.04 716.52

35oo

20 barres

o,oo3

0,007

600‘o

o,oi3

0,016

0,019

0,022

0,0.26

0,029 4o barres

0,023

0,025

0,028

Surface

métallique

0,000146

ççgçooo'o

0,00l3.24

0,0023705

o,oo3738

o,oo54455

0,007516

0,009988

0,0123365

0,016288

0,019259

0,02 4 24 \ 3

Poids

927.20

463.60

933.80

466.90

944.80 472.40 960.16 480.08

979-96 489.98 1004.16 502.08 1032,72 516.36

10.54.24

527.12 1 io3.o8 551.54 1144.88

572.44

133 i.4i 665.72 i38o.3.2 690.16 i46i.12 730.56

3ooo

20 barres

o,oo3

0,006

0,009

0,013

ÇIO’O

0,018

0,031

0,023

0,027

o,o3o

4o barres

0,024

0,026

0,039

F = om,3o

Surface

métallique

çeiooo'o

çioçooo‘o

COI Iioo'o

0,0020275

ee6igoo‘o

0,00464-2

0,0063935

0,00819

0,0108975

0,0137475

0,016973

0,020234

o,025o865

Poids

93 r.12

465.56

944.80 472.40 966.28 483.14 99.3.60

497.80 1 o43.2.4

521.62

1090.16

545.08

1286.48 643.24 138o.32

690.16 14 61.12 730.56

°°Q9

20 barres

çoo'o

0,009

o,oi3

0,017

0,022

0,026

4o barres

0,022

0,026

0,029

Surface

métallique

0,0002725

0,0010915

0,002478

o,oo4465

0,0071.53

o,oio4o3

o,oi4656

0,020142

0,0262645

Poids

93l.I2

465.56 9-4 4.8o 472.40 966.28 483.14 995.60 497.80 1032.72 516.36 1077.68 538.84

II44.88

572.44

1355.36

677.68 1433.04 716.52

0009

20 barres

çoo'o

0,009

o,oi3

0,017

0,02 I

0,025

o,o3o

4o barres

0,025

0,028

Surface

métallique

o,ooo255

0,001007

0,0022845

eux t/00‘0

o,oo652

0109600*0

o,oi34i4

o,oi836i5

0,0238375

Poids

928.90

464.45

94o.64

470.32

960.16

480.08

987.52

493.76

1033.72

511.36

1065.72

532.86

n3o.44

565.22

ooçg

20 barres

^oo‘o

0,008

0,012

0,016

0,020

0,024

0,029

4o barres

0,023

0,027

o,o3o

Surface

métallique

0,0002295

0,0009226

çi6oeoo‘o

0,0037605

0,0060735

0,008750

çg6ieio‘o

0,0164545

0.0214675

0,0277255

Poids

028.00

464.45

94o.64

470.32

954.56

477.28

979-9⁶

489.98

1013.20

506.60 io54.24 527.12 1io3.o8 551.54

1286.48

643.24

i355,i6

677.58

i46i.I2

730.56

000g

20 barres

o,oo4

goo'o

0,01 x

010*0

0,019

0,023

0,027

4o barres

0,022

0,025

0,029

on\3o

Surface

métallique

0,0002085

o,ooo838

0,001899

o,oo34i

o,oo54o35

0,00791

0,011

0,014733

O,Oig2365

0,0246675

SOÇVJJOJ

co

i>

00

Ci

GO

soo|.iocl

r5

oo

Poids

931.12 465.56 960.16 480.08

979-9⁽>

489.93

1022.72

511.33

1077.68

538.84

1286.48

643.24 i355.i(i 677.58 1489.76 744.88

OOOO

20 barres

o,oo5

0,012

o,oi5

0,020

0,025

4o barres

0,022

Cf,O O

o.o3o

Surface

métallique

o,ooo35

0,00143

0,003.219

0,0068955

ç6g^6oo'o

0,014ig5

0,0192455

0,0278000

Poids

9³¹ • 13 465.56 949-44

474.72

979-9°

489.98

1 o 13.2 o 506.60 1065.72 532.86 i'i 3 0.4 4 565.22

1355.16 677.58 14 61.12 730.56

8000

20 barres

QOO‘0

0,0.10

o,oi5

6xo‘o

0,024

0,029

4o barres

0,025

0,029

Surface

métallique

o,ooo334

0,0013455

o,oo3i6i

o,oo5535

o,oo88445

o,ot3oi3

0,0185275

0,025388

Poids

931.12

465.56

‘ 944.8o 472.40 972.88 486.44 1013.20 506.60

1054.24

527.12

1ii6.52

558.26

133i,44 665.72 i433.o4 716.52

7000

20 barres

o,oo5

0,009

0,014

0,019

0,023

0,028

4o barres

0,024

0,028

Surface

métallique

o,ooo3i3

0,0012Ôo5

0,002817

0,0061765

0,008259

gieeioo'o

0,017212

0,023485

Poids

981.12

465.56

944.8o

472.40

972.88

486.44

1004.16

502.08

1054,24

527.12

1io3.o8

551.54

i3o8.48

654.24

i4o6.i6

703.08

000L

20 ban es

o,oo5

0,009

0,014

0,018

0,023

0,027

4o barres

0,023

°,°27

F = om,3o

Surface

métallique

0,000292

9!IIOO'O

0,0026725

0,00482

0,007678

0,011335

0,015922

o,02i638

Poids

983.80

466.90 966.28 483.14 1 o 16.16 508.08 1065.72 532.86

1286.48

643.24

i38o.32

690.16

20 barres

0,006

0,012

0,Ol8

0,034

Ko barres

0,022

0,026

Surface

métallique

ÇIQOOO'O

0,002027

0,004642

0,008469

0,014342

0,0202284

Poids

933.80

466.90

954.56

477.28

995.60

497.80

1054.24

527.12 1 i3o.44 565.22

1355.36

677.68 1489.76 744.88

! 20 barres

900*0

0,01 I

0,017

0,023

0,029

4o barres

0,025

o,o3o

Surface

métallique

o,ooo46

o,ooi856

o,oo4244

0,0077245

o,oi24655

çi/igxo-o

0,02704

CO CD v.- O I ^ CO c: CO ce H n CO CO lO C’’ oo 05 ce H c LO ^ CO <t Ci<f CO    O LO H- lO

133 i.a4

665.72 1433.o4 716.52

20 barres

0,006

0,011

0,Ol6

0,021

0,037

4o barres

0,024

0,028

Surlace

métallique

§i^ooo‘o

o,ooi6855

0,0038475

0,006987

0,01I2875

0,0l68l45

0,0240765

j <g s s s js g rrs *§ s

CO CD V“ I> I ^ CO C¹ CO CO rH J? CC©iChO0O3COH QlO G" CT- *CJ- O <3- CTi <t O LO - LO

i3o8./|8

634.24 1433.0-4 716.52

oocO

20 barres

0,006

1 io‘o

gio'o

0,02 I

0,027

4o barres

0,023

0,028

Surface

métallique

0,000897

0009100*0

o,oo365

0,00661

0,01o685

0,01587

0,022937

Poids

981,12

465.56

949.44

474.72

979-9®

489.98

1022.72

511.36

1090.16

545.08

1286,48 643.24 14 06.16

703.08

F = om,3o

9000

20 barres

o,oo5

0,010

cio‘o

0,020

0,026

4o barres

0,022

0,027

Surfa ce métallique

0,000376

cciçioo‘o

0,003459

0,0062575

IgOOIO'O

O,0149385

0,031244

8o

S991JO₍Y

Poids

1175.34 587.62    1

1177.20 588.60    .2

'/

10

12

i3

i4

i5

00

>-

1177.20

588.60

1179.90

589.45 r 181.13

590.56 1i83.8o 591.90

1186.96

593.48

1190.6/1

595.32

1199.44

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1229.96

614.98

1237.52 618.76

r----ô9z- T

l'cjs’IsS

ooq

20 barres

0,001

o,oo3

o,oo3

0,00/1

çoo‘o

goo*o

£oo‘o

§oo‘o

0,010

0,01 I

0,012

o,oi3

o,oi4

o,oi5

910*0

65oks

4o barres par im

OS

Le -J

Poids du béton par m. q. =

Surface

métallique

Poids

20 barres

1175.2/4

587.62 0,0000115

1475.98

587.99 o,oooo65

col/ 1000*0

Ç0C5000*0

0,0003915

o,ooo564

0,0007685

000100*0

0,001283

[0,001575

606IOO‘O

0,002276

0,0026765

coi 1goo‘o

0,003,0795

1177.20

588.60

1179.90

589.45

1181.12

590.56

1183.80 591.90

1186.96 593.48 1190.6/4 595.32

1194.80 597.40

1194.80 597.40

"99-44

599.72

1204.56

602.28

1210.16

605.08

1216.28

608.14

1222.88

611.44

0,001

0,002

o,oo3

0,00/1

o, 00 5

0,006

£oo‘o

0,008

6oo‘o

0,009

0,010

0,011

0,013

o,oi3

o,oi4

002    *09 *

><

Surface

métallique

Poids

1175.24

587.62 0,0000135

"75.98 587.99 o,oooo5

CCI1000*0

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gigooo‘o

o,ooo449

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0,00152.4

o,0018166

0,00.2135

o,oo2.48o5

o,oo2853

1177.30

588.60

1179.90

589.45

1179.90

589.45

1181.12

590.56

1183.80 591.90

1186.96

593.48

1190.64

595.32

1190.64

595.32

1194.80

597.40

"99-^4 599.72 i2o4.56 602.28 12o4-56 602.28 13IO.16

605.08

3oo

[20 barres

0,001

600*0

goo'o

o,oo4

0,00.4

0,000

0,006

0,007

0,008

0,008

0,009

0,010

0,01 I

0,011

0,01.2

Surface

métallique

>*'

Poids

117.5.3/4

587.62 o,oooooq5

117,5.98

587.99 0,0000875

IgOOOO'O

ÇIOOO‘0

o,ooo2345

o,ooo3375

0,0004367

0,0006025

o,ooo8i5

0,0009/12

0,001144

o,ooi359

çeigioo'o

gt^cgioo*⁰

0,002182

1175.98

587.99

1177.20

588.60

1179.90

589.45

1179.90

589.45

1181.12

590.56

1181.12

590.56

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595.32

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1194.80

597.40

"99-44

599.72

r*---Teë *

20 barres par im

so

i.-J

Poids du béton par m. q. = 587k»,5o

200

20 barres

0,001

0,002

0,002

o,oo3

o,oo4

o,oo4

çoo'o

coo‘o

900*0

0,007

0,007

0,008

0,009

0,009

0,010

Surface

métallique

Poids

oeoooo'o Z9'L$Ç

\ 6 • o £ 11

900000*0 S9'Zi89

tjZ'çLi 1

o, 000066

0,0001

0,0001565

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£ogooo‘o

0,0003975

0,0006075

£59000*0

0,000769

eo6ooo‘o

Çigi100*0

0,0012325

91^100*0

1175.98

587.99

1175.98

587.99

1177.20

588.60 1177.20 588.60

¹179.90

589.45

"79-9°

589.45

1181.12

590.56

1181.12

590.56

1181.12

590.56

1183.80 591.90

1183.80

591.90

118Ü.96

593.48

1186.96

593.48

F == om,4o

§1

PC

001

20 barres

0,001

0,001

0,003

0,002

o,oo3

o,oo3

0,00.4

t/00‘0

çoo‘o

000*0

çoo‘o

0,006

0,006

0,007

0,007 !

Surface

métallique

SOOJ.10,1

1 0,000008

oeioooo'o g

0,000028

çoooo*o

0,000078

çeiicco‘o

[0,000162

çg61ooo‘o

0,0002535

o,ooo3i3

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0,000449

0,000,5.395

0,0006145

0,0007555

10

ei

i3

i4

CI

soo; jO(i

CO

LO

ce

cq

CO

»o

Poids

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r199.44

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1 2 o 4.5 6 602.23 1216.28 608.14 1222.88 611.44

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1282.72

641.36

OO G

20 barres

0,002

o,oo3

0,006

0,006

0,007

0.009

0,010

0,011

o,oi3

o,oi4

0,016

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gio'o

0,020

0,021

Surface

métallique

0,000028

0,0001125

0,0002625

eicÿooo‘o

0,0007066

c4ioioo‘o

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o,oo23o45

0,002853

o,oo34625

o,oo413 5

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0,0066745

0,0903396

Poids

1176.98

587.99

1177.20 588.60 1178.90 589.45 1181.12 590.56 1186.96 593.48

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1222.88

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618.76

i245.6o

628.80

1264.16

627.08

r 272.72

636.33

SOO

20 barres

0,002

o,oo3

t^oo‘o

coo'o

0,007

0,008

0,009

o,oi 1

0,012

o,oi3

o,oi4

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0,017

0,018

0,020

Surface

métallique

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0,0001

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ço6ooo‘o

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o,ooi6i3

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elogoo'o

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o,oo432o5

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Poids

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587.99

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588.60

1178.90

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1194.80

597.40

¹199.44

599.72

i2o4.56

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OO L

20 barres

0,002

o,oo3

o,oo4

0,006

0,006

0,008

6000

0,010

0,011

0,012

0,014

cio'o

0,016

0,017

0,018

Surface

métallique

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0,0000875

0,000197

o,ooo35i

ÇgVÇOOO'O

0,000798

cegoioo'o

o,ooi4i

0,001788

0,002212

0,0026826

0,00320I

0,0037676

o,oo4382

o,oo5o/|8

Poids

1176.98

537.99

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595.32

1194.80

597.40

1199.44

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1222.88

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OO9

20 barres

0,002

o,oo3

i;oo‘o

coo‘o

0,006

0,007

0,008

0,009

0,010

0,011

o,oi3

o,oi4

o,oi5

0,016

0,017

r = Om,4o

Surface

métallique

ç8ioooo‘o

0,000076

0,000169

çoogooo‘o

0,00047

çsg90oo‘o

0,000923

0,001249

0,0014986

o,ooi8g3

0,002296

0,002737

COECgOO'o

o,oo37445

o,oo43ia5

sao].ioj j

eq

CO

i-O

GO

CO

S391J0J I

cq

co

îo

GO

cq

CO

^t

»o

Poids

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OOÇS

20 barres

o,oo3

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4o barres

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Surface

métallique

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o,ooo3i3

eççLooo'o

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o,oo5i3o5

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o,oo8i3g

6g66oo‘o

0,01ig5

o,oi4i85

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Poids

1177.20

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1263.20

631.60 1282.72

641.36

i3o4-24

652.12

1327.68

663.84

i353.o8

676.54

1894.88

697.44

1536.48

768.24

2000

20 barres

o,oo3

o,oo4

0,006

0,008

0,010

o,oi3

o,oi5

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0,019

0,021

0,023

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0,027

0,000

4O barres

0,022

Su rface métallique

0,000065

9091:000*0

o,ooo564

900100*0

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o,oo3iio5

cegoiyoo‘0

961900*0

o,oo6456

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o.oi 3512.5

o,oi5i865

Poids

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587.99

“79-90

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1222.88

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OOCI

20 barres

0,002

o,oo4

0,006

0,007

0,009

0,011

o,oi3

ÿio'o

çio*o

gio;o

0,020

0,022

0,023

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0,027

Surface

méiallique

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o,oo48o2

o,oo584o5

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gçsgoo'o

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o 011158

Poids

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587.99

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OOOI

20 barres

0,002

o,oo3

o,oo5

0,006

goo‘o

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o,oi3

910*0

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gio‘o

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Surface

métallique

o,oooo3i

oçciooo‘0

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çigi100*0

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o,oo2.564

o,oo3i755

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o,oo6323

^6e4oo‘o

w°d I

cq

CO

iO

00

cq

CO

SO^JOJ

CS

CO

00

Ci

C<!

Poids

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20 barres

o,oo3

900*0

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o,oi3

0,Ol6

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Surface

métallique

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Poids

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i3o4.24

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i353.o8

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i6o5.36

802.68

i683.o4

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oooi;

20 barres

o,oo3

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çio'o

gio‘o

0,021

0,023

0,027

o,o30

4o barres

0,023

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g?;o‘o

Surface

métallique

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gigiioo‘o

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O,oo3i755

o,oo46o55

o,oo63i3

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o,oio6855

o,oi33745

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Poids

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n83.8o

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1536.48

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3joo

20 barres

o,oo3

900*0

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métallique

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599.72 1 216.28 608.14 1229.96 614.98 1 254.i6 627.08 1272.72 636.36 l3o.'|.2 4 652.12 134o.i6 670.08 1366.52 683.26

1536.48 768.24 i58i.44 790.72 i63o.32 815.16 i683.o4 841.52

000c

20 barres

o,oo3

o,oo5

0,008

0,010

0,013

0,015

0,018

0,020

0,023

0,026

0,028

4o barres

0,022

0,024

0,026

0,028

Surface

métallique

0,00009.4

0,0003755

0,0008.475

CIIÇIOO'O

0,002322

o,oo34365

0,0047035

c6g1900*0

o,oo8o535

g666oo‘o

o,oi2o56

o,oi4536

0,017297

o,o2o38j 5

0,0238175

S0OJJOJ

CO

iO

00

85

Poids

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1190.64

595.32

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631.60

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697.44

1581.44

790.72

i683.o4

841.52

65oo

20 barres

o,oo4

goo‘o

0,011

o,oi4

0,019

0,022

0,026

o,o3o

4o barres

0,024

0,028

Surface

métallique

çgoeooo‘0

o,ooo8i55

0,001824

o,oo3o355

glECOO'O

0,0075975

ÿ6$70I0‘0

coç6gto‘o

ç6eogio‘o

o,022g525

Poids

¹¹79•9° 589.45 1186.96 593.48 i2o4.56 602.28 1222.88 611.44 1254.16

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i63o.32

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855.44

OOO9

20 barres

o,oo4

0,007

0,011

o,oi4

gio'o

0,022

0,025

0,029

4o barres

0,023

0,026

0,029

Surface

métallique

0,0001875

0,000753

0,001703

o,oo3o46

0,004802

çi669oo‘o

0,0096455

0,0128025

o,oi65i35

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Poids

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ngg.44

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611.44

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i366.52

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i536.48

768.24

i6o5.36

802.68

i683.o4

841.52

°°Q9

20 barres

o,oo4

0,007

0,010

o,oi4

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0,021

0,024

0,028

4o barrés

0,022

0,025

0,028

Surface

métallique

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0,00069

6gçioo‘o

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0,0043925

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o,oo88o35

0,01x6675

o,or5o22

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0,0234355

Poids

1179.9° 589.45 1186.96

593.48

1199.44

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618.76

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636.36

i3o4.24

652.12

i34o.i6

670.08

1394.88

697.44

1581.44

790.72

i63o.32

815.16

1710.88

855.44

oooq

20 barres

o,oo4

0,007

0,010

o,oi3

0,016

0,020

0,023

0,026

ogo'o

40 barres

0,024

0,026

0,029

p == om,4o

Surface

métallique

o,oooi565

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o,ooi4i6

0,002532

o,oo3985

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0,007969

o,oio5465

0,013554

çjÿgoLio'o

ÇE^OIEO'O

0,025654

S0OJ.TO J

cq

co

JO

00

Poids

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i6o5.36

802.68

i683.o4

841.52

85oo

20 barres

o,oo5

0,009

o,oi3

0,017

0,021

0,026

o,o3o

4o barres

0,025

0,028

Surface

métallique

0,0002605

g9oioo‘o

0,00242

o,oo43435

0,006874

0,01006

0,0i39685

ciôggio^o

0,0240265

Poids

1178.90

589.45

1190.64

595.32

1216.28

608.14

i245.6o

622.80

1282.72

641.36

1327.68

663.84

i38o.44

690.22

1081.44

790.72

i656.i6

828.08

OOOg

20 barres

o,oo4

goo‘o

gio'o

0,017

0,021

0,025

0,029

/Jo barres

0,024

0,027

Surface

métallique

C0ÇE000<0

çooioo‘o

0,002276

ÇEgO^OO'O

gçVgoo'o

o,oog4385

ÇEgOgio'o

0,017484

0,022737

Poids

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1272.72

636.36

i3i5.72

657.86

i366.56

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i558.48

779.24

i63o.32

815.16

1710.88

855.44

7OOO

20 barres

o,oo4

goo‘o

0,012

0,016

0,020

0,024

0,028

4o barres

0,023

0,026

0,039

Surface

métallique

0,0002345

0,000942

gEgIE00‘0

o,oo38.225

o,oo6o4

0,0088496

giESio'o

0,016291

0,02114

0,025025

Poids

1178.00 589.45 1190.64 595.32 1210.16 605.08 1287.52 618.76 1263.20 631.60 i3o4.24 652.12 i353.o8 676.54

1536.48

768.24

i6o5.30

802.68

1710.88

855.44

7OOO

20 barres

t;oo‘o

0,008

0,012

0,016

0,019

0,023

0,027

4o barres

0,022

0,025

0,029

F = om,4o

Surface

métallique

0,000219

0,000879

0,0019885

o,oo3563

ÇÇE9Ç00‘0

0,008207

o,oii35i

giioio‘o

0,0195715

0,02483

S80}.10CT

zc

Poids

1181.12

590.58

1199.44

599.72 ¹229.96 614.98

1272.72

636.36

i34o. 16

670.08

i536.48

768.24

i63o,32

815 16

12000

20 barres!

o, 00 5

0,010

çio‘o

0,020

0,026

4o barres

0,022

0,026

Surface

métallique

Poids

1181.12

590.56 o,ooo3755

1199.44

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1229.96

614.98 o,oo34365

1263.20

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i3i5.72

657.86 0,009998

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697.44

o,oi.4536

o,o2o38i5

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802.68

1710.88

855.44

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20 barres

o,oo5

0,010

çio‘o

0,019

0,024

o,o3o

4'o barres

0,025

0,029

Surface

métallique

Poids

1181.12

590.56 o,ooo3445

1194.80

597.40 o,ooi3845 1222.88

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652.12 0,008992

i366.5.2

683.26 o,oi323i

1581 -44

790.72 o,oi85o25 1656.16

828.08 0,026061

00001

20 barres

çoo‘o

0,009

0,014

0,019

0,023

0,028

4o barres

0,02.4

0,027

Surface

métallique

Poids

1181.12

590.56 o,ooo3i3

1194.80

597.40 0,0012.58 1222.88

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1254.16

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652.12 0,008139

i353.o8

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0,022419

i558.48

779.24 0,016602

i63o.32

815.16

oocG

20 barres

çoo o

6oo‘o

0,014

gio‘o

0,023

0,027

4o barres

0,023

0,026

Surface

métallique

Poids

1181.12

590.56 0,0002975 ij 94.80

597.40 0,001195 1216.28

608.14 0,0027085

1254.16

627.08 0,00.48675 1293.24

646.62 0,0077155

i353.o8

676.54 o,oii3i55

I536.48

768.24 0,015737

i6o5.36

802.68 o,o2o8345 1710.88

855.44

F = om,4o

QOOO

20 barres

o,oo5

0,009

o,oi3

0,018

0,022

0,027

4o barres

0,022

0,025

0,029

Surface

métallique

0,000281,5

çigiioo‘o

o,oo2564

çgogi/oo'o

0,007294

0,010686

o,014639

0,019697

0,0260195

soo).io₍j

ce

oc

Poids

1425.24

712.62    1

1425.98

712.99    2

10

i3

i4

ci

ce

oe-^E^i

713.60

14 28.90

714.45 14 31.12 715.56

1.433.80

716.90

1436.96 718.48 14 4 0.6 4 720.32 14 4 4•80 722.40

1444.80 722.40

1 449-44

724.72 i454.56 727.28 146o. 16 730.08 1466.28 733.14 1472.8Sj 736.44

ÎmU-

Ol£

hwls

ooç

20 barres

0,001

eco'o

o,oo3

1,00*0

çoo‘o

0,006

0,007

goo‘o

0,009

0,009

0,010

0,01 I

0,012

0,013

o,oi4

tjo barres par î*

Poids du béton par m. q. = 770k°

4oo

Surface

mélallique

Poids

20 barres

i4a5.24

712.62 0,0000125 1425.98

712.99 o,oooo5

0,0001125

0,0002

o,ooo313

coç^ooo'o

o,ooo6i4

0,0008025

0,0010165

0,0012,46

o,ooi52i5

0,001763

0,0021255

0,0024745

0,002845

1427.20 713.6o 1428.90 714.45 1428.90 714.45 1431.12 715.56

1433.80 716.90

i486.96 718.48 i44o.64 720.32 i44°.64 720.32

1444.80 722.40

1449.44

724.72

i454.56

727.28

i454-56

727.28

1466.28

733.14

0,001

EOO'O

o,oo3

t/00 ‘o

o,oo4

coo‘o

0,006

0,007

0,008

goo‘o

0,009

0,010

0,01 I

0,011

gio‘o

U---

~0~9Z

Surface

métallique

Poids

14 3 5. .‘2 4

712.62 0,00001 i425.g8 712.99 o,oooo4

6oooo‘o

0,00016

çeooo'o

o,ooo36o5

0,000491

0,0006415

CEIgOOO‘o

1/00100*0

0,0012075

0,001449

cio4ioo‘o

çç46ioo‘o

0,0022708

1427.20

713.60 1427.20 713.60 1428.90 714.45 1431.12 715.56 1431.12 715.56

1433.80 716.90

1436.96

718.48

1436.96

718.48

i44o.64

720.32

1444.80

722.40

1444.80 722.40

1449.44

724.72

1454.56

727.28

ooe

20 barres

0,001

0,002

o,oo3

o,oo3

o,oo4

000*0

çoo‘o

0,006

0,007

0,007

goo‘o

o 009

0,009

0,010

0,011

Surface

mélallique

k--

“ ~~sWz~ _

20 barres par im

----• «

Poids du béton par m. q. = 7l2kS,:>0

Poids

142 5.24

712.62 0,000007 1425.96 712.99 o,oooo3

0,0000675

0,00012

0,0001875

0,00027

o,ooo368

o,ooo48i

0,000609

0,0007026

0,0009275

cgoioo'o

0,001255

0,0014735

0,001698

142.5.98

712.99 1427.20 713.60 1427.20 713.60 1428.90 714.45 1428.90 714.45 14 31 ■ 12 715.56 i433.8o 716.90

1433.80 716.90

1486.96 718.48

1436.96 718.48

1440.64

720.32

1440.64 720.32

1444.80 722.40

2 00

20 barres

0,001

0,002

0,002

o,oo3

o,oo3

0,00 4

o,oo4

o,oo5

900*0

goo'o

0,007

Loo'o

0,008

§00*0

0,009

Surface

métallique

Poids

1420.2/4

712.62 o,ooooo5

14 2 5.24

712.62 0,00002

0,000045

goooo'o

0,000125

0,00018o5

o,ooo245

o,ooo32

o,ooo4o55

logooo-o

0,0006065

ee4ooo‘o

0,000848

0,000984

,0,00113

1425.98

712.99 1425.98 712.99 1425.98 712.99 1427.20 713.60 1427.20 713.60 1428.90 714.45 1428.90 714.45 1428.90 714.45 1431.12 715.56 I 43 1.12 715.56

1433.80

716.90

1433.80

716.90

i433.8o

716.90

SI

V = om,5o

OOI

20 barres

0,001

0,001

0,002

0,002

0,002

o,oo3

o,oo3

0,00 4

o,oo4

o,oo4

çoo*o

coo'o

0,006

0,006

0,006

Surface

mélallique

SCO) JO J

I 0,0000025

2 0,00001

3 0,0000225

o,oooo4

0,0000625

6oooo‘o

0,0001225

91000*0

0,0002025

0,00025

p,ooo3i3

0099000*0

p,ooo4a3

0,00049

o,ooo5635

10

12

i5

0°

SDOJ.IOJ

C]

CO

LO

oo

C¹

CO

Poids

1425.98 712.99

1427.20

713.60 1428.90

714.45 14 31.12 715.56

1.433.80 716.90

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OIOfO

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20 barres

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1699.44

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1733.88

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20 barres

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Poids

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837.99

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ooçg

20 barres

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C-

co

îo

Cî

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00

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Cl

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oc

«M

CO

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1944.80

972.40

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1949.44

974.72

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en

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--05£~ ”

♦ • •

- t •

€» © •

S»'

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o,oo3

o,oo3

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0,007

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6oo‘o

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0,010

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çoo‘o

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0,007

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<ol

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3oo

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0,002

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o,oo3

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o,oo5

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1925.24

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1925.98

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1927.20

963.60

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964.45

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965.56

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1933.80

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iq36.q6

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20 barres pour im

om,7o

ose

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200

100

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o,oo3

o,oo3

o,oo4

o,oo4

coo*o

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goo'o

Surface

métallique

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965.56

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1931.12 965.56

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0,001

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o,oo3

o,oo3

o,oo3

o,oo4

o,oo4

700*0

o,oo5

çoo‘o

çoo‘o

çoo‘o

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cgioooo'o

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oç800oo*o

çt/l 1000*0

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Il 0,0002I05

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o,ooo3o2o

p,ooo35o5

o,ooo4o.2o

S¹

i4

S¹

O!

CO

LO

00

05

C!

CO

îo

Poids

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20 barres

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0,01 I

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o,oi4

o,oi5

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métallique

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o6geooo£o

o,ooo45i5

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1065.22

2808.48

1154.24

2355.36

1177.68

2433.04

1216.52

2489.76

1244.88

2709.24

1354.62 2791.32 1395.66

85oo

20 barres

o,oo4

0,007

0,010

0,013

0,016

0,019

0,023

0,026

0,029

4o barres

0,023

0,02 5

0,028

o,o3o

60 barres

0,027

0,029

Surface

métallique

0,000152

0,000608

0,0013715

0,002447

o,oo38365

o,oo56o5

0,0076095

P:⁰⁰9997

0,0127535

0,015889

0,019329

p,o23325

0,0278015

0,082712

o,o38i6i5

Poids

1028.00

964.45

1936.96

968.48

1949.44

974.72 1966.28 983.14 1987.52 993.76 2013.20 1006.60 2o43.24 1021.62 2077.68 1038.84

59-91ie

1058.26

2286.48

1143.24

2355.36

1177.68

24o6.i6

1203.08

2460.88

1230.44

2633.o4

1316.52

2749.56

1374.78

000§

20 barres

o,oo4

0,007

0,010

o,oi3

0.016

0,019

0,022

gso‘o

0,028

4o barres

0,022

çso‘o

0,027

0,029

60 barres

0,025

geo'o

Surface

métallique

0,0001435

0,0006725

9065100*0

p,0023oi

o,oo36o85

o,oo522o5

0,007145

0,0094085

o,0119766

0,014912

o,oi82365

0,021915

o,o2593i5

0,029579

p,o35655

Poids

1927.20

963.60

1933.80

966.90

1944.80

972.40

1960.16

980.08

I979-96 989.98 2004-16 1002.08

203.2.72

1016.36

2065.72 1032.86 2io3.o8 1051.54 2x44-88 1072.44

a33i.44 1165.72 238o.32 1190.16 2433.o4 1216.52 2489.76 1244.88

2709.24

1354.62

-5oo

20 barres

o,oo3

0,006

6oo‘o

0,012

910*0

0,018

0,021

0,024

0,027

o,o3o

ko barres

0,024

0,026

0,028

o,o3o

60 barres

0,027

Surface

métallique

o,oooi34

o,ooo5365

0,001212

o,oo2i56

o,oo3383

0,0048895

0,0066895

0,00879

goeiio‘o

0,013941

0,0170196

o,02o458

0,024528

0,027502

o,o33i2

Poids

1927.20

963.60

ig33.8o

966.90

1944.80

972.40

1960.16

980.08

I979-9⁶

989.98

2004.16 1002.08 2023.72 1011.36

2o54a4

1027.12

2090.16

1045.08

2x3o.44

1065.22

23o8.48

1154.24 2355.36 1177.68 2406.x6 1203.08 2489.76 1244.88

2670.48

1335.24

7OOO

20 barres

o,oo3

900*0

600 *o

C 10*0

o,oi5

gio‘o

0,020

0,028

0,026

0,02g

4o barres

0,023

0,025

Lzo'o

o,o3o

60 barres

0,026

Surface

métallique

0,000125

9009000^

0,0011285

0,002011

o,oo3x535

6991,00*0

o,oo62355

0,00819

SC'/Oio'⁰

0,012975

o,oi583

0,019014

0,022449

0,0264485

0,0307^7

Poids

1927.20

963.60

1933.80

966.90

i944-8o

972.40

ig54.56

977.28

19-2.88

986.44

1996.60

997.80

2023.72

1011.36

2o43.24

1021.62

2077.68

1038.84

2ii6.52

1058.26

2286.48

1143.24 3 3 31.44 1165.72 238o.32 1190.16 2433.04 1216.52

2033.o4

1316.52

F = om,7o

°°Ç9

20 barres

o,oo3

0,006

6oo*o

0,011

o,oi4

0,017

0,020

0,022

0,025

0,028

ko barres

0,022

0,024

0,026

0,028

60 barres

0,025

Surface

métallique

0,000116

99t;ooo‘o

o,ooio48

0,001867

0,0029325

0,0042295

0,0067825

0,007592

0,0096665

gioeio'o

o,oi4649

0,0176835

0,02084

0,0244435

0,0280975

Poids

1n28.no 964.45 1940.64 970.32 i960. i6 980.08

1979-9e 989.98 2013,20 1006.60 2o54.a4 1027.12 2io3.o8 1051.54 2i44.88 1072.44

2355.36

1177.68

2406.16

1203.08

2.519.64

1259.82

CS    i—l    C<1    H    CS i—l    CO i—I

12000

20 barres

o,oo4

goo‘o

0,012

o,oi5

0,019

0,023

0,027

o,o3o

ko barres

0,025

L(,o‘o

o,o3i

60 barres

0,027

o,o3o

o,o33

o,o35

Surface

métallique

0,00021.45

0,0008695

0,00191.25

o,oo34645

çi9^çoo‘o

0,007891

o,oio83i5

o,oi4io55

0,018297

0,022894

0,028556

o,o34o4

0,0.401607

o,o4838

0,0569785

Poids

1928.90

964.45

1940.64

970.32

19.54.S6

977.28

!979-9⁶

989.98

2004.16

1002.08

2043.2.4

1021.62

2065.72

1032.86

2i3o.44

1065.22

2331.44

1165.72

238o.32

1190.16

2460.88

1230.44

2670.48 1335.24 2791.32 1395.66 2879.46 1439.73 3o22.20 1511.10

00011

20 barres

o,oo4

0,008

0,011

o,oi5

0,018

0,022

j/eo‘o

0,029

ko barres

0,02-4

0,026

0,029

Go barres

0,026

0,029

o,o3i

o,o34

Surface

métallique

0,0001965

0.0007875

0,001777

o,oo3i35

0,004981

(>,0072195

0,0099026

sçogio‘o

0,0166940

p,02o86i5

0,025643

o,o3o94o5

0,0369625

o,o43738

o,o5i42i

Poids

IQ28.9O

964.45

1986.96

968.48

1954.56

977.28

1972.88

986.44

199.5.60

997.80

2032.72 1016.36

2066.72 1032.86 2ii6.52 1058.26

2286.48

1143.24

2355.36

1177.68

2433.o4

1216.52

2489.76

1244.88

2709.24

1354.62

2791.32

1395.66

2925.48

1462.74

10000

20 barres

6,00.4

0,007

0,011

0,014

0,017

0,02 1

0,02.4

0,028

4o barres

0,022

0,025

0,028

o,o3o

60 barres

0,027

0,029

o,o32

Surface

métallique

0,0001785

0,000716

p,ooi6i45

0.0028805

o,oo45225

ooçç9o<ro

0,0089785

b,Oll8235

0,015107

p,oi88545

0,023098

0,0278755

çVgeggo'o

o,o392335

o,o45g46

Poids

1928.90

964.45

1986.96

968.48

¹949.44

974.72

1972.88

986.44 1995.60 997.80

2023.72

1011.36

2065.72

1032.86 2io3.o8

1051.54

2286.48

1143.24

2331.44 1165.72 238o.3a 1190.16 2460.88

1230.44

2670.48

1335.24 2791.32 1395.66 2879.46

1439.73

ooqG

20 barres

^oo'o

0,007

0,010

0,014

0,017

0,020

0,024

0,027

4o barres

0,022

0,02.4

0,026

0,029

60 barres

0,026

0,029

o,o3i

Surface

métallique

0,0001695

0,00068

o,ooi5335

(>,0027355

0,0042935

0,006217

o,oo85i8

O,ÔI12125

0,014319

0,01786

b,o2i8585

0,026365

goi/ico'o

0,0370285

|o,o433o7

Poids

1928.90

964.45

1936.96

968.48

1949.44

974.72

1966.28 983.14 t995.6° 997.80 2023.72 1011.36 2o54.2.4 1027.12 2090.16 1045.08

2i.44.88

1072.44

2331.44

1165.72

2880.3.2

1190.16

2460.88

1230.44

2670.48

1335.24

2749.56

1374.73

2834-64

1417.32

F = om,7o

oooü

20 barres

o,oo4

0,007

0,010

0,013

0,017

0,020

0,023

0,026

o,o3o

Ko barres

0,024

0,026

0,029

60 barres

9so‘o

0,028

o,o3o

Surface

métallique

o,oooî6i

o,ooo644

0,00146

0,0026905

o,oo4o38

0,005871

0,008057

o,oio6o3

o,oi35345

0,0168715

0,0206395

0,024858

0,029592

o,o34856

0,040713

S90ÎJ0J |

es

CO

IO

co

Cj

es

CO

»o

CHAPITRE III

46. Désignation «les colonnes «les divers tableaux —

Nous allons, par quelques exemples, donner la marche à suivre pour calculer, à l’aide des tableaux qui précèdent, différents ouvrages, dans les meilleures conditions d’économie et d’encombrement.

Nous désignerons par la lettre H le tableau des hourdis simples, dans lesquels le plan des fibres neutres est situé dans le hourdis lui-même; chaque colonne sera désignée par la charge en kilogrammes, et chaque ligne par la portée :

II — 4oo — 5

indiquera la partie supérieure du hourdis simple capable de supporter 4oo kilogrammes sur une portée de 5 mètres.

Nous désignerons par :

HS — 4oo - 5

les mêmes données pour la partie supérieure du hourdis à nervures.

Les tableaux servant à calculer les hourdis armés seront désignés par la valeur de F, la charge, et la portée ; ainsi :

o,4 — 4oo — 5

déterminera le hourdis capable de supporter 4oo kilogrammes, avec une portée de 5 mètres, et dans lequel les axes des barres d’arma-om,4

ture se trouveront à o’ du plan des fibres neutres.

47. Exemples «le calculs. — Ceci posé, cherchons la meilleure solution qui conviendra pour un plafond de 5 mètres de portée, 6 mètres de longueur, pouvant supporter une surcharge de 25o kilogrammes par mètre carré. C’est le cas d’une chambre à coucher.

Faisons d’abord le projet pour un plafond, sans nervures, d’épaisseur uniforme :

La partie située au-dessus du plan des fibres neutres sera donnée par :

II — 900 — 3.

La portion de hourdis ainsi définie a une hauteur de om,i3o, pesant 325 kilogrammes, et peut supporter une surcharge de 900 — 65o = 25o.

Nous en faisons un croquis, avec indication des dimensions et des poids (fig. 9).

20 barres de

o,oi 4 = 2 3k»94

JM l³⁰- -

275

= 325

2 12.5(5

lotal bcton.

Fer.....

Poids total .

537.50

23.94

56i.44

Fig. 9

Cherchons maintenant la solution pour la partie [inférieure ; il faudra chercher naturellement la moindre épaisseur, nous trouverons une solution dans la colonne :

0,1 — 8oo — 5.

Le poids de ce hourdis inférieur est de 236kg,44> dont 23ks,94 de fer, il peut supporter une surcharge de :

800 — 472,88 = 387,12 > a5o.

Sa hauteur est om,o85.

Le poids total de ce hourdis est de 56ik%44, dont 23ks,94 pour 20 barres de o,oi4 diamètre.

Ce poids est trop élevé.

48. — Cherchons maintenant la solution que donnera un plafond à nervures.

Nous trouvons :

IIS — 600 — 5

hourdis de om,o57 hauteur, pesant i42ks,5o, et pouvant porter une surcharge de 600 — 280 = 3i5 > 25o.

Nous calculerons les nervures en supposant qu’elles sont placées à des distances de i mètre, et que leur largeur est égale à om,io, ou un dixième de la portée entre nervures. Ces nervures seront la dixième partie du hourdis armé, pouvant porter 260 X 10 = 2 5oo kilogrammes par mètre carré sur 5 mètres de portée. Cherchons encore la solution dans le tableau 0,10, nous la trouverons dans la colonne :

0,1 — 3 5oo — 5

qui correspond à un hourdis armé pesant 329^,91, et pouvant supporter par mètre carré une surcharge de 3 5oo — 669,82 = 2840,18 > 2 5oo avec 20 barres de om,o3i. Prenant le dixième de ce hourdis, nous aurons une nervure de om,o85 de hauteur, armée de deux barres de o,o3i.

Cette nervure pèsera 32kg,99, et l’armature 11ks,74 {fL(J- 10).

Csj! ---

*1%:

fci

20 barres de

o,oo3 = 1,099 2 barres de

S7

199

o,o3i = 11,74 Total fer.

12,839

B = i4a.5o cibcd B = i4.a5 B — 21.25 Total béton. 178.00 Fer .... 12.83g Poids total. 190.839

Fig. 10

40. — Il reste à calculer l’armature du hourdis supérieur, qui devra ■supporter une surcharge de 25o kilogrammes, sur une portée de i mètre; on trouvera la solution dans la colonne :

II — /|0O — 1

indiquant un hourdis de om,oi7 hauteur, pesant 42kg,5o et pouvant porter :

4oo — 85 = 3i5ks 7> 2 5ok".

Le plan des fibres neutres sera compris dans l’épaisseur du hourdis. La hauteur de ce hourdis étant déjà fixée à om,o57, si nous plaçons le plan des fibres neutres à om,oi7 du plan supérieur, il reste om,o4o pour la partie à armer.

On trouvera la solution dans la colonne :

0,0a — 5oo — 1

hourdis de ora,o4o hauteur, pesant ioikg,io, pouvant porter :

5oO 202,20 = 297kg,8o > 20Okg

comprenant 20 barres de om,oo3, du poids de ikg,ogo. Les barres, jusqu’au diamètre o,oo3, pourront être remplacées par un tissu métallique

(80).

Il n’y aura que ce dernier poids à ajouter aux poids déjà déterminés puisque le hourdis de om,oo7 est déjà compté.

Il y a lieu d’ajouter aussi le poids de la poutre, située entre le hourdis et la nervure inférieure, au-dessus du plan des fibres neutres, indiqué par les lettres a, b, c, d. Ce poids est de i4kg>20 (//</. 10). Le poids total de cette disposition est iyok%83<) par mètre carré, au lieu de 586kg,38, donné par la première solution. L’encombrement même est moindre, puisque la hauteur totale du plafond à nervures est om,i9Q, au lieu de om,2i5.

Le poids du fer aussi est moindre, i2Ilg,83g au lieu de 23kg,g4.

Le plafond de 6 mètres aura cinq poutres à un mètre d’axe en axe ‘).

486¹s. Usage des tableaux pat¹ interpolation et corrections des résistances du béton et du métal. — Reprenons les solutions données par les nos 48 et 10, en utilisant les tableaux par interpolation : (32)

IIS — Goo — 5

correspond à une surcharge de 315 kilogrammes au lieu de 25o kilogrammes et à une hauteur de 0,007 (48),

IIS — 5oo — 5

ne permettrait, pour une hauteur de 0,062, qu’une surcharge de 5oo — 2G0 — 2^0 kilogrammes

au lieu de 260 kilogrammes.

La différence est de 10 kilogrammes.

La différence entre 3i5 et 24o étant de 76 et celle des hauteurs 0,067 — 0,062 — 0,006,

MÉTHODE DE CALCUL DU BETON ARME

il y a lieu d’ajouter à la hauteur donnée par

HS — 5oo — 5

la différence

o,oo5 x

= 0,00182.

\f io

7^

La hauteur du hourdis serait donc o,o5382 au lieu de 0,067 (*).

20 barres de

o,oo4 = 1.954 2 barres de

0,026 = 8.26 Total fer. 10.214

USE

£2J

«2

L___îiQ_

I--H

ISS I

B = 87.50 abcd =    8.70

B = 21.26

Total béton.

Fer.....

Poids total .

117.50 10.2 i4

¹2 7.714

Fig. io6is

Il y a lieu de faire une autre correction, si l'on admet, comme l’indique la circulaire ministérielle, qu’on puisse faire travailler le béton à la compression jusqu’à 56 kilogrammes par centimètre carré. La hauteur o,o5382 sera réduite à (33)

o,o5382 x 0,648 — o,o3488.

Soit om,o35.

Pour le calcul des nervures, la solution sera placée entre

0,1 — 35oo — 5

qui permet une surcharge de 284ok",i8, au lieu de 2000, et

0,1 — 3ooo — 5

qui donne :

3ooo— 616,52 = 2483,48.

La différence est

2840,18 — 2483,48 == 356,70.

, soit :

(i) Dans l’interpolation des surfaces de béton, il est piU8 cxact de multiplier la différence j par la racine carrée du rapport ^    ^

Pour répondre à la surcharge cle 2 5oo, il faut ajouter 16,62 à 2483,48. D’un autre côté la différence des surfaces métalliques est :

0,0149740 — 0,0120395 = 0,0029350.

Il faudra ajouter à 0,0120395 la différence

= o,oooi342

0,0029350 X

16,62

356,70

La surface métallique sera

0,0120395    0,0001342 = 0,0121737.

Il y a encore lieu de faire une réduction pour faire travailler le métal, qui sera de l’acier, à 12 kilogrammes par millimètre carré, au lieu de 10. La surface devra être multipliée par o,885 (24) et deviendra om,0121737 X 0,885 — 0,0107738

correspondant à 20 barres de 0,026, soit, pour la nervure de om,io, 2 barres de 0,026, pesant 8kg,26.

49bis- — Calculons maintenant l’armature du hourdis : La colonne

II — 4oo — 1

permettant une surcharge de 315 kilogrammes avec une hauteur de 0,017, il y aura lieu de prendre la différence entre cette surcharge et celle donnée par :

Il — 3oo — 1

qui est de

3oo — 76 — 2 25

avec 0,015 de hauteur.

La différence entre les surcharges est de :

315 — 225 = 90.

La différence des hauteurs est :

0,019 — o,oi5 = 0,004.

Il faut obtenir 260 kilogrammes au lieu de 226, soit 25 kilogrammes de plus ; il faudra augmenter 0,015 de

4/25

o,oo4 X ~= =0,00210818. v9°

La hauteur sera om,oi7i ;

Faisant la correction de la résistance du béton de 25 kilogrammes à 56 kilogrammes, nous aurons :

0,0171 x 0,648 — 0,011. Il restera au-dessous du plan des fibres neutres o,o35 — 0,011 == 0,024.

pour la partie à armer :

0,02 — 4oo — 1

donnerait une solution en permettant une surcharge de :

4oo — 103,90 = 296,10.

En interpolant entre

0,02 — 4oo — 1

et

0,02 — 3oo — 1

nous obtiendrons par les mêmes calculs que précédemment, une surface métallique suffisante :

0,02 — 3oo — 1

permet une surcharge de

3oo — 103,90 = 196,10.

Différence entre les surcharges :

296,10 — 196,10 = 100. La différence entre 25o et 196,10 est :

260 — 196,10 = 53,90.

La différence entre les surfaces métalliques est :

0,00024155 — 0,00019115 = o,oooo5o4. Il faudra ajouter à 0,00019115

o,oooo5o4 X

53,90

100

= 0,0000271656 ;

nous aurons

0,00019115 -b 0,0000272 = o,ooo2i83i56

surface qui, multipliée par o,885, pour faire travailler l’acier à 12 kilogrammes, au lieu de 10 kilogrammes (24), nous donnera 0,00019021 correspondant à 20 barres de 0,004 pesant ikg,g54 ; au lieu de 20 barres de o,oo3 pesant ikg,OQ9.

La diminution des épaisseurs de ciment amène naturellemént une augmentation du poids de métal.

Les résultats obtenus dans les exemples qui suivent pourront être modifiés d’après les mêmes considérations ; toutefois, il faudra considérer qu’en faisant travailler le béton à 56 kilogrammes, les décintremcnts ne pourront être faits que très tardivement, un ou deux mois après confection, et que les ouvrages ne pourront être éprouvés et mis en service qu’au bout de trois mois.

50- — Souvent on sera forcé, si les poutres sont perpendiculaires à la façade, d’augmenter la distance de 1 mètre adoptée ci-dessus entre les nervures. Les calculs seront les mêmes, la largeur des nervures changera et sera augmentée, ainsi que son armature, en proportion de l’écartement; il n’y aura que l’armature du hourdis, perpendiculairement aux nervures, qui sera augmentée pour répondre à une portée plus élevée.

51. — Supposons, par exemple, qu’on porte à 2 mètres l’écartement des nervures.

Elles auront om,20 de largeur, et seront armées de quatre barres de om,o3i. Quant à l’armature du hourdis, on la calculera en déterminant d’abord la hauteur de la partie supérieure, qui se trouvera dans la colonne

II — 5oo — 2

qui comprend un hourdis de om,o39 hauteur, du poids de 97^,5o permettant une surcharge de

5oo — 190 = 3o5ks >> 25o

iNl

Si

20 barres de 0,009 = 9k»,90

Fin. 11

Il restera, au-dessous du plan des fibres neutres om,i8 pour la partie inférieure du hourdis à armer (fig. 11).

Nous pourrions trouver la solution dans la colonne

0,02 — 4oo — 2

qui définit un hourdis de om,2o de hauteur, pesant 5j)kg,9C>, et permettant une surcharge de :

4oo — 119,80 == 28okg,20 7> a5o kilogrammes.

Armé de 20 barres de om,oo9 pesant 9^,900, celte solution rapproche trop l’armature de la surface inférieure du hourdis.

52. — Plusieurs autres solutions se présentent :

On peut armer le hourdis, à la partie supérieure, et à la partie inférieure ainsi qu’il suit : nous pouvons dans la hauteur ora,o57 du hourdis, faire passer le plan des fibres neutres à o,o3o de la surface supérieure; nous trouvons dans la colonne :

o,o3 — 5oo — 2

un hourdis pouvant supporter :

5oo — i65,G4 = 334kg,36 7> 260 kilogrammes

avec 20 barres de om,oo8.

Il restera au-dessous de XY une hauteur de 0,027. La meme colonne

o,o3 — 5oo — 2

indiquera également 20 barres de 0,008 à placer au-dessous de XY. Ces 4o barres pèseront i5k“,6i (fuj. 12).

20 barres de 0,008 = 7^0,82 »    = 7    ,82

a.

CSfSI ©

----K*----

---- -*

---s*

5kg,()',

Total .    .

Fin. 12

Le poids du plafond sera augmenté de la différence du poids des fers soit 15,64 — 1,099 X 2 — i3k8,/|42. Cette solution introduit un poids de fer assez considérable.

5£L — Pour éviter ce surcroit coûteux, on est conduit a placer des nervures de mètre en mètre, par exemple, perpendiculairement aux

nervures principales, que nous appellerons poutres, tandis que nous donnerons le nom de poutrelles à ces nervures secondaires.

Ces nervures auront à supporter le poids du hourdis, sur 2 mètres de portée, et la surcharge :

La colonne

Iis _ 400 — 2

indiquerait un hourdis de om,019 du poids de 4 2k, 5 qui laisserait une surcharge possible de 4oo — 96 = 3o5 > 25o, mais il y aurait au dessous de ces om,oi9, dans le hourdis de om,o57, une hauteur de ora,o38 de béton qui pèse 96 kilos qu’il faut aussi supporter, et qui viennent s’ajouter à la surcharge, pour la porter à 345k> 3o5. Il faudra appliquer la solution qui sera donnée par la colonne

I1S — 5oo — 2

qui laissera une surcharge disponible

5oo — io5 = 3q5k 7> 345K

CM *

ao barres de o,oo3 = iks,og9 _

a barres de 0,012 = ik?,758

7o_

13= i7kg,5o

Fig. i3

La hauteur du liourdis sera om,02i, et le plan des fibres neutres sera om,o42 au-dessous de la surface supérieure du hourdis [fiy. i3). Si, de om,o5ÿ, nous retranchons ora,02i, il restera en réalité, à soutenir, en plus de la surcharge de 25o kilos, un poids de béton de om,o36 de hauteur, soit 90 kilos, en tout 34o kilogrammes.

La poutrelle se composera du dixième du hourdis armé capable de supporter 3 4oo kilogrammes,

C’est la colonne

0,1 — 4 000 — 2

qui donnera la solution en offrant une surcharge de avec 20 barres de om,oi2.

La poutrelle aura om,io de largeur, om,o85 de hauteur au-dessous de XY et om,070 sous le hourdis, elle sera munie de deux barres de om,oi2, pesant 1^,768.

Le poids du plafond ne sera augmenté que de ik?,758 de fer, et du béton de la poutrelle, soit i7k?,5o, en tout i9ks,258.

L’armature du hourdis de om,oo7 restera la meme, elle sera dirigée perpendiculairement à la première, et parallèlement aux poutres.

54. — On pourrait trouver des solutions plus économiques en augmentant la hauteur des poutres ce qui diminuerait surtout les dimensions des armatures, mais il faut, considérer qu’en augmentant l’encombrement, on est amené à surélever d’autant tout l’édifice, et que la dépense totale serait certainement plus grande.

Dans lés ponts, la même raison n’existe pas, et on est libre de chercher l’économie dans de grandes hauteurs de poutres.

55. Poids isolés. — Supposons que, sur le plancher précédemment décrit (46 à 5o), nous placions un poids de 800 kilogrammes, à im,5o d’un des appuis, et entre deux poutres, à om,25 et om,j5, de ces deux poutres A et B (firj. i4).

JBL

£_,ooo_

Fig. 14

Les fractions de cette charge portées par chaque poutre seront : pour la poutre A :

800 X 0,75 = 6ookg

pour la poutre B :

800 x 0,25 = 200kg

La poutre A peut supporter 280 kilogrammes par mètre courant(48) ; son moment fléchissant maximum est, au centre, de

a85kg x 5²

= — 890,626.

Le moment fléchissant maximum déterminé par la charge de 600 kilogrammes à im,5o de l’appui est (3g)

= — G3o

600 x i,5o x 3,5o

appliqué à im,5o de l’appui.

= — 45o.

Le moment fléchissant de cette charge, au milieu de la poutre, est (3g) Goo X i,5o

Le moment fléchissant de la surcharge, par mètre courant, est, à im,5o de l’appui, pour la poutre A (38)

--— X ï,5o X (à — I,5o) = — 748,12.

Ajoutons les deux moments fléchissants : au milieu de la poutre, nous aurons :

890,626 H- 46o = I 34o,G25

et à im,5o de l’appui :

63o -+- 748,12 — 1 378,12

Le moment fléchissant maximum de l’ensemble est donc 1378,12 à im,5o de l’appui. Cherchons la charge P' capable de produire ce moment fléchissant pour une poutre de portée l, nous poserons :

P'P P P

— = T 378, 12

On aura

p

P' = - 8

11

= 65,12

_ 1 878,12

~ ~¥5~“

et

lv = 55,12 x 8 = 440,96

La poutre ayant 0,10 de largeur, il faut chercher la solution pour un liourdis armé pouvant porter 4 4og,6 sur 1 mètre de largeur. ire solution. Nous la trouverons à la colonne

liourdis de o,i35 hauteur qui peut porter

55oo — 827,68 = 4672,32    44oq,6

avec 20 barres de 0,02b soit pour la poutre 2 barres de 0,02b (/h/, ib).

50. — Une autre solution consistera, si l’on ne veut augmenter la hauteur de la poutre, à la mettre plus large, de om,20 de largeur, par exemple (Jig. 16). La surcharge sera alors de moitié, soit

= 2 204,8.

4409.6

20 barres de o,oo5 = 20 barres de o,oo3 —

3kg,o6

¹    ,090

-H-*

157_

B = l/|2kg,30

r oor

A;

jt

SL

B = 14 ,25

-f

2 barres de 0,025 =

7 ,63

' ZGT ---SZT

B = 33 ,75

k?>7⁸9

__

Fig. 15

Fe

j()okg,5o ,7⁸9

Total .

202kS, 289

3k?,o6

i42ks,5o

¹ >°99

OOL

— 2oa__

--->

2 S ,5o

4 barres de 0,028 =19 ,15

°ol

t\2 ,5o

26k=,3o9

__*_ J/

2i3kS,5o

Fig. 16

Fe

= 23 ,3oq

236ks,8o9

total. .    .

2° solution. La colonne

0.1 — 3 000 — 5

donnera la solution avec un liourdis pouvant supporter 3 000 — 616,62 = 2 383,38 ]> 2 20/1,8

On aura une poutre de om,20 de largeur et 4 barres de 0,028 ( ficj. 16). On peut aussi dans ce cas placer une poutre intermédiaire.

Il y a lieu également de renforcer le hourdis supérieur pour qu’il puisse supporter 44oks,g6.

Celui qui est prévu (48) ne peut porter que 3i5 kilogrammes, il faut supporter la différence, soit :

440,96 — 315 = 126,96

Afin de ne pas changer l’épaisseur de ce hourdis, on emploiera une armature supérieure :

0,2 — 200 — 5

qui ajoutera à ce hourdis 20 barres de o,oo5 perpendiculaires à l'armature des 20 barres de o,oo4 qu’il possède déjà, et placées au-dessus de celte armature.

Ces barres pourront être placées jusqu’à o,5o, de chaque côté de la poutre A.

La poutre B se calculera par les mêmes considérations.

57. — Supposons que nous ajoutions sur le même plancher un poids de 800 kilogrammes placé symétriquement par rapport à la première charge.

Le moment fléchissant maximum sera au centre de la poutre, il se compose de :

800,625

45o

45o

Moment dû à la surcharge par mètre carré.....

»    » ire charge isolée transportée au milieu .

2e

Total

1 790,625

Cherchons la valeur de P' correspondante :

P'P _

78~-

P_ 1 790,625

n ~~    25

P' = 71,625 X 8 = 573

?P =

790,625

71,620

La solution sera donnée par

pouvant porter sur t mètre de largeur

7000 — 88o,44 — 0 119.06 >> 5780

et, sur 0,10, largeur de la poutre, 61 iks,q5, avec deux barres de 0,029.

B = i42k8,5o

20 barres de 0,006 = hle,!\o

20 barres de o,oo3 = i ,099

LO O

^!0Q_ _

B == 14 ,a5

Jl

-r

I C\J|

B = 33 ,₇5

2 barres de 0,029 = 10 ,27

Total .    . Fe

i5k‘,₇C₉

Total B

i9oks,5o

Fig. 17

Fe= i5 ,769

Poids total.

.    .    2o6kk,26g

On renforcera le hourdis qui, au lieu de 3i5 kilogrammes, devra porter 5y3 kilogrammes. Soit une différence :

573 — 315 = 258

La colonne

0,2 — 3oo — 5

donnera la solution, avec 20 barres de o,ooG, à placer à droite et à gauche de l’axe de la poutre A à om,5o de chaque côté.

58. — Dans la plupart des cas, lorsqu il y aura des charges isolées, surtout de chaque côté du milieu de la portée, le moment fléchissant maximum sera au milieu de la poutre.

La valeur du moment fléchissant de ces charges pt p₂ p₃ etc... a pour expression, au milieu de la poutre : (39)

t¹! =

d' étant la distance de plt à l’appui le plus rapproché. Ecrivons :

Ptd'

ni =--Y X

le moment fléchissant s’obtiendra en multipliant par ~ la quantité :

T — P ic-

On appelle cette quantité : valeur de la charge ramenée au centre.

On peut ainsi ramener au centre toutes les charges isolées qui se trouvent le long de la poutre, et le moment fléchissant maximum sera :

P\C p₂c -t- P)C -h .......J

59. Balcon. — Calculons un balcon de 2 mètres, en porte à faux, supportant une charge P par mq, de 25o kilogrammes, et une balustrade p de 20 kilogrammes par mètre courant.

Le moment fléchissant maximum est à l’encastrement, il est la somme des moments dus à la charge par mq, et au poids de la balustrade (44)-Cette somme a pour expression :

PP •-

Posons :

— 55o

P'/² P r,

— = i37,5o n

et

P' =

PX8 =

II

I IOO

P' est la charge par mètre carré d’un hourdis de 2 mètres de longueur capable de produire un moment fléchissant maximum égal à 55o. On obtiendra ce hourdis au moyen de deux demi hourdis armés :

0,1 — 2 000 — 2

donnera la solution en supportant ;

2800 — 444,8o — 1 555,20 > 1 100

On aura ainsi un hourdis d’une hauteur de om,i7o, armé de 20 barres-de om, 009, en haut, et 20 barres semblables en bas (fig. 18).

2i2,5o X 2 = 425 9,90 X 2 = 19,80

Le poids du béton sera .

de fer ....

444,8o

Total par mq

Ce balcon serait très lourd.

60. — On peut placer un hourdis plus mince sur des poutres distantes de 1 mètre et formant le dixième d’un hourdis d’un mètre capable de supporter 1 100 X 10= 11000 kilogrammes.

0,1

12 000 — 2

donnera un hourdis pouvant porter :

12 000 — 532,72 = 11 4G71is,28 y> 11 000

soit un supplément de 467^,28.

Doublons ce hourdis, prenons-en le dixième, nous aurons une poutre de 0,170 de hauteur, 0,10 de largeur, armée de 2 barres, de 0,021 en, haut, et autant en bas. Cette poutre pèsera :

Pour le béton Pour le fer

Total

2t,o5 X 2 = 42,5o 5,39 x 2 = 10,78

53,o8

61. — Le hourdis s’étendra entre deux poutres, il portera une surcharge de 200 kilogrammes sur 1 mètre de portée ; il sera donné par

II — 4oo — 1

pour la partie supérieure, avec 0,017 hauteur, et pesant 42ks,5o par mètre carré (fig. 19). L’armature inférieure est donnée par :

0,1 — 4oo — 1

avec om, 10 hauteur pesant 25 kilogrammes et 20 barres de 0,006 pesant 4*5,40. La hauteur totale de ce hourdis est 0,027, et il pèsera :

42,5o -h 25 h- 4,4o = 71,90

La poutre prévue ci-dessus n’ayant qu’un excédent de résistance capable de supporter 467^,28 X 0,10 = 46kg,73 ne suffira peut-être pas 4. porter le poids du hourdis, qui est de 71^,90 ; il manquera

71,90 — 45,73 = 25,17.

Il y aurait donc lieu d’augmenter les armatures de la poutre..

Nous sommes conduits à faire une interpolation.

BALCON DE 2™ PORTÉE

O •    |#

°ol

4o barres de 0,009 —

H-

= 425

°0)

•1

Fig. 18

Fe= 19,80

Poids total. ,    .    444,8o

20 barres de 0.006= 4,4°

“—-x-

s

y,B= 4a, 5o B = 2 5

4 barres de 0,021 =10,77

O.Ll

B= 42,5o

Total Fe .    .    .    15,17

__^___ A

1*-

Total B =1.10, Fe= 15,17

Fig. 19

Poids total ....    125,17

T2 0 barres de 0,006= 4,4o

BALCON DE i™,5o PORTÉE

jriY1 B= 4a’⁵°

B= 25

°0

4 barres de 0,018= 7,916

JPJSL

--I

B= 42,5o

Total Fe.    .    .    i2,3i6

Total B=t 10 Fe= i2,3i6

Fig. 20

Poids total .    ,    .    .    122,316

et chercher la surface suffisante métallique pour soutenir, sur 2 mètres de portée :

11 467,28 + 251,70 Prenons la différence des surfaces métalliques entre :

11 719,98.

o, 1 — 12 000 — 2

et

0,1 — 11 000 — 2

elle est de

0.0069115 — 0,00624 = 0,0006715

Les charges correspondantes sont :

11 ooo

i^ooo et

La différence est 1000.

La surface métallique à ajouter à 0,00624 pour 719,98 sera donnée par (82)

"foocT X 0,0006716 = 0,000494728.

On aura :

0,00624 + 0,00049728 = 0,006734728

correspondant à 30 barres de 0,021

L’armature de quatre barres de 0,021 sera donc suffisante.

Les piliers de la balustrade seront scellés, dans les poutres, à ora,io de 1 extrémité.

0 £. — Supposons que la largeur du balcon ne soit que im,5o, nous ferons le calcul des dimensions, en employant l’interpolation, entre 1 mètre et 2 mètres, des résultats donnés par les tableaux.

Le moment fléchissant maximum sera à l’encastrement, et aura pour valeur :

PP

n = ——h pl = 318,76

Posons :

T>'/*    P

~ = ¹ V- — 308,76

o    n    ‘

P' = PX8=i i3a,8o.

Prenons la colonne :

0,1 — 12 000.

En interpolant entre les surfaces métalliques 0,0069115010,0017620, indiquées pour 12000—1 et 12000 — 2,nous aurons, pour im,5o, une surface moyenne de om,oo4337, qui correspond à 20 barres de om,oi7, avec un excès de om,0002426, et le hourdis pèsera 2 480 (Jig. 20).

Ce hourdis pourra donc supporter une charge de :

i2 000 — 496,60 = 11 5o4,4o    11 3a8

A. Nivf.t. — Méthode de calcul du Béton armé

Doublons ce hourdis, et prenons le dixième, nous aurons une poutre de 0,170 bailleur, 0,10 largeur, armée en haut et en bas, ào,o5 du plan des fibres neutres, de quatre barres de 0.017.

Celte poutre pèsera :

pour le béton .    ,

pour l’armature .

Total

21,26 x 2 — l\2,5o 3,53 X ² — 7.06

49,50

03. — De hourdis supérieur sera le même que dans l’exemple précédent, il pèsera 71^,90. Mais l’excès de résistance, entre la poutre qui peut supporter 1 i5oks,44, et la charge, qui est de 1 162,80, n’est que

de 17,64 <C 71.90.

La poutre ne pourrait supporter ce hourdis.

L’insuffisance est de 54,26.

L’interpolation entre les surfaces métalliques

et

o, 1 — 11 000 — 2

0,1 — 11 000 — 1

donne pour im,5o une surface métallique de 0,003827.

La différence avec 0,1 — 12000 — i,5o est de

0,004337 — 0,003827 = o,ooo5io.

On aurait la même différence entre

0.1 — 12000 — i,5o

et

o, r — i3ooo — i,5o

et l’augmentation de surface métallique, pour une insuffisance de 54 a,60, serait de :

= 0,000276726.

o.oooSio X 542,6o

1 000

Les 20 barres de 0,017 n’ayant qu’un excès de 0,0002426, il y aura lieu d’avoir recours à des barres de 0,018.

64. Pont- — Calculons un pont de trois travées égales (fuj. 21), de 10 mètres, portant une surcharge de 4oo kilogrammes par mètre carré.

La charge permanente se compose, outre le poids des poutres, du poids de l’empierrement, que nous supposerons de om,2o d’épaisseur, pesant 5oo kilogrammes par mètre carré.

La surcharge, fixée à 4oo kilogrammes par mètre carré, suivant les exigences de la circulaire ministérielle du 29 août 1891, suffit pour tenir compte des charges roulantes.

Nous aurons donc une charge totale de 900 kilogrammes par mètre carré sur la chaussée.

Les trottoirs pèseront 600 kilogrammes par mètre carré, mais comme la surcharge n’y dépasse pas 3oo kilogrammes, la charge totale sera la meme que sur la chaussée, soit P = 900 kilogrammes.

Fig. 21

- T---

__5. SO

-±-LQO

(>5. — H y a lien, dans un pont à plusieurs travées, de proportionner l’armature aux différents moments fléchissants auxquels les poutres sont soumises dans leurs différentes sections.

Calculons ces moments :

Soient : a₀, a,, a₂, ta₃, les moments fléchissants aux appuis : ils sont liés par les relations (formule de Clapeyron) :

RP ■j

Po + 4 P, -h p₂ = —

eu

ÎO

2 PI

SL

Multiplions par 4 les deux membres de la première de ces équations, nous aurons, u,₀ et étant nuis, en retranchant la 2° équation :

10

CU

__±

1!

CO

c

ÏB

ai

__a.si

r—*

d’où

,    ,    4P l²

4 Mi + ¹ b> ;^₂ — ——

p/*

4    -+- k₂ — ——

r 3 P/2 i5f*₂ = —

1;

'Ph O,

PP

a-

dl

9"

II

tS' C

1X2 ~~ 10

Par symétrie nous aurons aussi :

P/²

ai

o

ii__

a. p

JL|°

lÉ

35

M.

-r-' Â

11

Ph

L-^li__mj&q    J

nPl

II

Fig. aa

(H>. — Calculons maintenant les efforts tranchants aux appuis Tc, T,, T₂, Tr Ils sont donnés par les formules suivantes, [i₀ et tis étant nuis :

PI²

•V — !*0 “P Pl

p/2

T.Z = Ki + -f - K₂ T

T = Ao —

2 pz

—5~

PI

PP

1    - K₂ + ~ K3

T 2 Pi

J 2 = 5 T, = o.

if -

n.

rL

---JT

07. — La valeur, en un point x quelconque, des moments fléchissants, est, entre o et 1 :

rp , P.T²

K — Ko !<>* “P 2

2 PI²

ÏO

eu

--TT

ç>

entre 1 et 2 :

rp ,    P#²

K — Ki — Piæ H--—

entre 2 et 3

ai

eu

30

rp ^ PX²

K = Ka — l₂a; H--—

ZL

l To-±

08. — Cherchons les points où cesmomenls fléchissants sont nuis : Nous aurons de o à i, ad étant nul ;

Px² ,r

_--!> = O

d’où

_ 2 T₀ 41

X — -p- —    •

Le maximum de .u aura lieu, dans celte travée pour :

x~~5

et sera égal à

Entre i et 2, nous aurons, pour o, = o

pH

“ML

+!

•P»

Ph ! «

sIg

!—

on obtient deux valeurs de x

x' = 0,72,5 l x" — 0,270 l

Le moment fléchissant maximum sera, dans cette travée, pour x =

4o

69. liourdis. — Calculons le liourdis :

Pour n’avoir pas de trop fortes épaisseurs de béton, nous chercherons à obtenir une partie importante de la résistance par des armatures supérieures, et à n’attribuer à la résistance propre du liourdis qu’une fraction de la charge.

Nous proportionnerons les surfaces d’armatures aux moments fléchissants.

cO

Calculons d’abord les sections pour.Je moment fléchissant corrcspon-

PP

dant au milieu de la travée centrale, et qui a pour valeurs /|Q , nous

ajouterons ensuite les armatures nécessaires pour résister aux moments

P/²    .

fléchissants positifs des valeurs IO qui correspondent aux appuis(/?</. 23).

POUTRE MÉDIANE

*°!

si

T39

347,00

20 barres

deo, oo4 — iks,g54 -==^ o,v

t"

OJ

abcd B

3 4,₇ 5

Ù99

360

9°

2 barres

de 0,022 ;

___i__i.

Fig. 23

Total fer 7VeS64

Total béton Fer

47 2k*, '! 5 7 ,864

Poids total .

48o"*, 1 t 4

Posons :

P 'P

P/²

T ~ 4ô

on trouve

P' =

P X 8 P

-P- = > = l8ülis

/jo 5

Cherchons le hourdis :

IIS — 900 — 10.

nous donnera un hourdis de 0,109 hauteur, pouvant supporter

900 — 695 = ao5 180.

Il pèsera 3'i7ks,5o par mètre carré.

Ce hourdis régnera sur toute la longueur du pont.

70. Poulre sur les appuis intermédiaires. — Pour calculer la poutre, nous chercherons la charge P' correspondant au moment fléchissant maximum qui est sur les appuis, nous aurons :

FP t.

10

et

^-⁸ = 7,0"*

IO    '

Cherchons le hourdis armé qui pourra supporter 7 200 kilogrammes avec une portée de 10 mètres :

0,6 — 9 5oo — 10

donnera la solution, avec une poutre de om, 1 o largeur sur om,36o hauteur, armée de quatre barres de 0,027 pouvant porter

q5o — 210,61 = 734,39 7> 720

Elle pèsera 107^,81 dont 90 kilogrammes béton et 17^,81 fer (fiy- 2.4) Ces armatures seront prolongées jusqu’à 2m,75 de l’appui, sur-la travée centrale, et jusqu’à 2 mètres sur les travées'extrêmes.

71. Poutre au milieu. — Pour le milieu de la poutre centrale

PP

dont le moment fléchissant est et P' = 180 kilogrammes

0,6 — 3 5oo — 10

donne la solution avec un hourdis pouvant supporter

3 5oo — 1 793,24 = 1 806,76 7> 1 800

La poutre aura om,io largeur, 2 barres de 0,022, et ne devrait avoir que o,335 hauteur au-dessous du plan des fibres neutres (fig. 23), mais, afin d’avoir partout une poutre d’égale hauteur, on maintiendra la hauteur om,36o, et l’on mettra les deux barres d’armature à la suite des barres inférieures de la poutre calculée pour les points d’appui ; ces deux barres, qui auront om,02 2 diamètre, se trouveront ainsi abaissées de om,o25, ce qui augmentera la résistance.

COUPE SUR LES APPUIS INTERMÉDIAIRES

20 barres de

o,o 16 = 31,2 G

B = 347,5o

2 0 barres de o,oo4 = 1

,954 =^

*0

Ci'.

-*■

6'

C\J

100

abcd B = 34,7»

r-K-

4M

4 barres de 0,027 = 17,81

k-

U-

Fig. a4

Fer total 5i,024

Béton total Fer

47V* 5 51 ,oa4

523,374

Poids total.

Dans cette partie médiane du pont, sur une longueur de 4m>5o, la poutre pèsera i24kg>75 béton, plus 5kg,Qi fer, et suffira, avec le liourdis supérieur déjà calculé, à assurer la résistance.

72. Poutres des travées extrêmes.— Dans les travées extrêmes, la charge P' sera :

P'P ₂PPp,

-g-= ^5-¹ =av(i-

POUTRE DES TRAVÉES EXTRÊMES

20 barres

'“T

de 0,009 = 9,90 j ^    ^

28

QqI

20 barres de o,oo4 =

,654 ¹

139_

B=347,5⁰

cm

139^

abcd 13= 3.'i,75

h99_

14,07

4 barres de o.oa4

Total fer 25,924

Fin. 2 5

Total Lcton 473,20

'*5,9^1

fer

Poids total. .    .    498,17*1

Le hourdis armé, dont le dixième donnera la poutre, devra supporter 5 760 kilogrammes.

donnera la soin lion avec un liourdis armé pouvant porter, avec !\o barres de 0,024 (fig. 25) :

8000 — 2o8i,44 — 5 918,66 >> 5 760

dont on prendra le dixième.

7li. — Calculons maintenant les armatures à placer dans le liourdis supérieur, au dessus du plan neutre, pour résister aux moments fléchissants aux appuis, et dans les travées extrêmes.

liourdis sur les appuis. — La surface supérieure du liourdis est à 0,278 du plan neutre.

2\7,00.

La charge à supporter est 900 kilogrammes plus le poids de liourdis

¹

Voir, plus loin, pour le calcul des « Efforts tranchants », et celui des « Armatures transversales », les paragraphes qui portent ces titres (n⁰³ OO et 03)..

347,5o

o,5 — 1 5oo — 10

donnera la solution avec 20 barres, de 0,016, pesant 3ikg26, placées à 0,260 au dessus du plan neutre.

Ces barres seront prolongées jusqu’à 2U%75 sur la travée centrale et jusqu’à 2rn, vers les extrémités (fig. 24).

74. Hour<lis des travées extrêmes. — Le liourdis supérieur résistant par compression à 180^,67 (T I-)» l’armature supérieure des poutres, aux travées extrêmes, devra supporter :

576 — 180,67 = 395,33 o,5 - 5oo — 10

donnera la solution avec 20 barres de 0,009 PesanI 9Ug>9⁰⁰ {fig- ²5).

7î>. Armatures du liourdis. — Il restera à calculer l’armature du liourdis de 0,13q de hauteur sur 1 mètre portée.

La surcharge est 900 kilogrammes : outre celte surcharge, il y a lieu de soutenir le poids permanent du liourdis, soit 347,5o en t°ut ¹ 247,60.

JI — 1 3oo — 1

donne une hauteur de liourdis de o,o3i pouvant supporter 1 3oo 7> 1 247,00. Il pèse 78 kilogrammes mais le poids de cette partie du \\ourdis à été compte dans la charge de 1 247,60.

L’armature inférieure sera donnée par

0,1 — i 5oo — i

liourdis de o,o85 avec 20 barres de o,oo4, pesant 1Uî?,954 • La hauteur disponible sous le plan neutre est de

o,i3() — o,o3i = 0,108    o,o85

Ces barres pourront être abaissées de o,o385, pour être portées à 0,00 au dessous du plan médian (7H).

76. Porte à faux des trottoirs.— Calculons le porte à faux des trottoirs de chaque côté des poutres de rive.

Si nous prévoyons 7 poutres, ce porte à faux sera de 0,2b, avec surcharge de 900 kilogrammes, et charge de la balustrade évaluée à 5o kilogrammes par mètre courant.

Le moment fléchissant, en supposant que ce porte à faux soit encastré, serait :

P/²

soit

900 x 0,25"

-4- 5o X 0,26 = 70,75.

77.— Pour que ce porte à faux soit considéré comme encastré, il faut que le moment fléchissant que peut donner le hourdis soit au moins égal à 70,70 pour une portée de 1 mètre. Calculons P' :

P 'P P ,2 r

T = n ¹ = 7°-7⁵

= 56G

70,70 x 8

Cherchons la hauteur de hourdis simple, travaillant à la compression, qui donne ce moment fléchissant, sur 1 mètre de portée.

II — 700 — 1

donnera un hourdis pouvant supporter

700 — 115 — 585 > 5GG

et la face inférieure du liourdis sera à om,023 du plan neutre ; il restera au dessus de ce plan.

om, 139 — o'NoaS = 0,1 iG

Si nous cherchons la hauteur de béton, travaillant à la traction, qui peut donner le même moment fléchissant, nous trouvons (7) cette hauteur égale à

o,oa3 x 3,162 = 0,076 <é o, 116

Le liourdis, même sans armatures inférieures ni supérieures suffira. Nous prolongerons d’ailleurs dans l’intérieur de ce liourdis, les armatures du porte à faux, ce qui augmentera la sécurité.

78.— Nous pouvons donc calculer le porte à faux comme encastré. Posons

P7² P

Li- ₌ L /* ₌ 08,75

8 n p

— = noo et P;

I z= 0,25

= 1392 x 8 = 8800

Nous faisons passer le plan des fibres neutres au milieu du liourdis, de om,i3g que nous prolongeons pour former le porte à faux.

0,09 — 9000 — ^

donnera la solution, par interpolation, avec une surface d’armatures de o,ooo3ao4, soit 20 barres de o,oo5, qu’on prolongera à o'n,5o au delà de la poutre de rive. Ces barres seront placées à o,o45 au dessus du plan médian, ou plus haut. Pour l’armature inférieure, nous avons déjà 20 barres de o,oo4 dans le liourdis que nous continuerons, et dont la surface métallique qui est de on,<I 0002614 à son centre de gravité situé à om,o5o du plan médian du liourdis.

Cherchons la surface nécessaire pour compléter l’armature.

La Colonne

o, 1 — 9000 — y

donnera, en interpolant, une surface métallique de

Retranchant

Il reste

0,00028670 0,00025 14o

o,oooo3535

HH

correspondant à 20 barres de 0,001 à intercaler entre les barres de o,oo4- On prolongera en barres de 0,001 à o,a5 an delà de la poutre de rive.

Cette partie en porte à faux pèsera, outre le poids du hourdis du tablier, par mètre courant :

20 barres de 0,000 sur 0,7b longueur. » 0,001 sur o,5o Main courante.

20

2kg,356

5oK--.

Total

52kg,356

79. Iléa<îlioiîs îles appuis.— Les réactions des appuis A.₀, A A₂, A₃, sont données par les formules :

2 PI

A₀ =

A, = T₀ - T, - PI = -

11PI

10

A₂ = T, - T₂ — P/ = —

11 Pi

10

2 PI

A₃ - T, - T, - PI =

Les appuis intermédiaires sont plus chargés, et supportent :

nP!

10

Il y a lieu, pour le calcul des réactions des appuis, d’ajouter le poids du hourdis supérieur et des poutres, qui ne sont pas compris dans la charge de 900 kilogrammes.

En effet, les charges que nous avons choisies dans les tableaux étaient augmentées du poids des éléments de hourdis et de poutres, dont les moitiés ont composé les différentes parties du tablier, et les dimensions de ces divers éléments suffisent, et au delà, pour supporter la surcharge et le poids du tablier.

80. — C’est cetle somme totale qui va être soutenue par les appuis, il y a donc lieu d’ajouter, à la charge de 900 kilogrammes par mètre carré, le poids moyen du mètre carré du tablier.

(1) On pourra remplacer les armatures de 0,001 par une toile métallique (80).

Nous avons tous les éléments pour calculer ce poids. En réunissant tous ces éléments, nous arrivons, pour le poids total de un mètre de largeur de tablier au chiffre de i5i02kM>3, soit par mètre carré :

5o3k*,4i4

en chiffres ronds :

5oo

P sera donc :

900 -t- 5oo — i4oo

La charge sur l’appui intermédiaire sera : 11PZ

10

ou

11 X iéoo X 10

10

= io./joo

8t. Pieux intermédiaires.— Supposons que nous posions le pont sur des pieux en piéton armé.

Quelles seront la section et l’armature de ces pieux?

Ils auront une résistance de 20 kilogrammes par centimètre carré de béton, ce qui donnerait, en supposant qu’on n’emploie pas d’armatures, une surface de béton :

i5 4oo 20

Faisons porter par le béton les deux tiers de la charge, nous aurons, pour le béton, une surface de 0,04107. La différence

o,oGiG — 0,04107 = o,o2o53

devra être remplacée par une surface métallique équivalente quinze fois plus petite (36), soit :

0,02 o53

— = 0,00 i3Gq

Nous aurons comme surface totale :

0,04107 x 0,001369 = 0,042439

et pour côté du pieu :

y/0,042439 = 0,2059

Ce pieu sera armé de 4 barres de :

o,ooi36q

,—- = 0,000043

soit 4 barres de om,oai.

Le pieu pèsera par mètre courant

Béton

Fer

ioG

TO>77

82. Pieux extrêmes. — Les pieux des culées auront les dimensions suivantes :

Ils supporteront :

= 56oo

i x i4oo x io

et auront, à 25 kilogrammes par centimètre carré, une surface de béton de :

56oo

— 2 24Cmrl

Conservons pour le béton les deux tiers de cette surface, soit o,oi4o4> ajoutons le tiers de cette surface divisé par i5, qui donne une surface métallique de :

= 0,000498

0.00747

' i5 ~

Nous aurons pour le côté du pieu :

v/0,01494 -+- 0.000498 = o,i32

L’armature se composera de quatre barres, dont la surface sera ⁰i⁰°°A9§ — 0,0001245, correspondant à un diamètre de o,oi3.

Ce pieu pèsera par mètre courant :

.    38ke,C>

4 ,13

Béton......

Fer........

83. — Ces pieux seront entretoisés, après enfoncement, par un chapeau général qui entretoisera également les poutres : il sera bon de les relier aussi, à mi-hauteur, par des traverses horizontales, auxquelles on pourra donner, ainsi qu’au chapeau, la forme de voûtelettes, dans un but d’ornementation ; les porte à faux, en face la ligue des pieux, pourront être, dans le même but, supportés par des corbelets.

Ces nouveaux organes pourront être légèrement armés, quoiqu’il n’y ait pas nécessité,

84. Emplois des barèmes pour des charges doublées.— Si l’on veut éviter l’emploi de poutres de om, 10 de largeur, qui, pour des hauteurs dépassant ora,4o, semblent disproportionnées, on peut employer des poutres de om,20 de largeur, en supposant que l’on ait deux poutres de om,io accolées, chacune supportant la moitié de la charge par mètre carré.

C’est aussi un moyen de permettre de se servir de barêmes précédents pour des charges doubles de celles pour lesquelles ils sont prévus.

Faisons l’application de cette méthode pour le pont que nous venons de calculer.

COUPE SUR LES APPUIS INTERMÉDIAIRES

20 barres deo,oiG=3 r,a6

fl

-H

20 barres deo.oo/i== i. 0 5 'i

139

B=34₇,5o

ftî

rO

-H

200

133

bacd 13:

Gq,5o

KJ

te

+-

349

8 barres

de o,o3o—/|3,o6

210

B=i<>5

_ jr__y_

Total fer ₇G ₇₇/|

Fig. 26

Béton total 5:»2

fer

Poids total. .    .    598,₇/'»

La partie supérieure ne change pas.

Nous avons trouvé, pour le calcul de la poutre sur les appuis : (70)-

P' = 720 kilogrammes.

En employant deux poutres de om,io, chacune aura à soutenir

= 36o kilogrammes.

La Colonne

o,3 — 55oo — 10

donnera la solution avec une poutre de 0,21 de hauteur sous le plan neutre, pouvant supporter 55o — 148,98= 401,02 > 36o elle sera armée de 4 barres de o,o3o (fig. 26).

Cette poutre doublée aura om,2o largeur, 0,349 hauteur, et pèsera :

i74,5o

43,98

218,48

Béton .    .    .

8 barres de o,o3o

Total

La poutre om,io largeur, etom,499 hauteur, primitivement prévue, ne pesait que 124,75 béton, et 17,81 fer, en tout 142,56.

La dépense est sensiblement plus élevée.

r    pj2

80. — Appliquant la même méthode au moment fléchissant ,

au milieu de la poutre centrale, nous aurons P' = 90 kilogrammes au lieu de 180 (71).

10

o,3 — 2000

donnera

200 — 107,37 = 92,63 7> 90

armé avec 2 barres de 0,022 (fifj. 27).

La poutre aura om,20 largeur, 0,349 hauteur, et pèsera :

= i74,5o = 11,82

i86,3a

Béton

4 barres de 0,022 Total

au lieu de 124,76 béton et 5,90 fer donnant un total de i3okfî,65.

10

Nivet. — Métliod; de calcul du Béton armé

Poids total. . . .    535,₇₇4

87. — La poutre, dans les travées extrêmes où le moment fléchissant 2 P l²

est , donnera pour P la valeur 676 kilogrammes dont la moitié est

288 kilogrammes (72).

C’est

o,3 — 45oo — 10

qui donnera la solution, avec un liourdis dont le dixième supportera :

45o — 1^0,62 = 309,38 7> 288.

Cette poutre sera armée de 4 barres de 0,027 (fl(J- 28).

La poutre aura donc o1u,20 largeur, om,349 hauteur,

8 barres de 0,027.

Béton Fer .

Total

POUTRE MÉDIANE

-H

20 barres de o,oo4

1,93/1

2(iS ||j lis, S

139

B = 34₇,5o

CO

cH

CM

139

abcd B = 69,5o

3 U9

013

g,

4 barres

de 0,022 =: 11,82

Total fer    13,₇₇4

Fig. 27

Béton total

523

fer

i3,₇₇4

174,60 35, Gi

210,11

HH

Au lieu de 124,75 béton plus 14,07 fer en tout i38,82. L’armature supérieure sera la même.

POUTRES DES TRAVÉES EXTRÊMES

20 barres de 0,009 :

9,9°

901

00 T CM I.

20 barres de 0,00 4 :

139

3/i7,5o

z°k?

ûj

cH

200

733

abcd B

69,50

Si

*71

8 barres

de 0,027 ⁼ 35,6o

21

CM

B = io5

Total fer

Fig. 28

47,454

Total béton 5a 2

47,454

fer

569,454

Poids total. *

88. — Les résultats précédents ont été facilement obtenus, presque sans calculs, par simple lecture, à l’aide des barêmes ; ces résultats sont trop élevés, puisque chacun est fourni par la charge supérieure à la charge exigée.

Ces tableaux serviront, en tout cas, de guides pour résoudre tous les problèmes avec approximation par excès.

Nous avons vu qu’ils donnent aussi le moyen de corriger les résultats, et de se rapprocher aussi près que possible delà solution théorique, par interpolation, et à l’aide des multiplicateurs dont il a été parlé précédemment (23 et 24), et de ceux qu’on peut calculer facilement dans chaque cas particulier.

MÉTHODE DE CALCUL DU BETON ARME

i48

Les exemples ci-dessus ont été choisis de façon à montrer toutes les solutions que peuvent faciliter les tableaux, et les ressources qu’ils offrent pour l’établissement des projets.

Lorsque l’on étudie un projet à l’aide de ces documents, il sera bon de faire des croquis indiquant les résultats obtenus, à mesure qu’ils seront calculés.

&&bis. Vérification et correction des calculs. —Les calculs ci-dessus doivent être contrôlés par la formule théorique R = -p.

Ces calculs ont été faits en plaçant de chaque côté d’un plan origine, qu’on admet comme plan des fibres neutres, les moitiés de deux solides pouvant équilibrer le moment fléchissant. La partie comprimée de cet assemblage comprend un hourdis en béton, et la partie tendue se compose d’armatures métalliques, noyées dans une poutre du même béton. La somme des résistances des deux éléments devra être égale ou supérieure au moment fléchissant à chaque point.

Si le plan neutre se trouve dans le hourdis, soit - sa distance au plan

qui termine ce hourdis vers les fibres comprimées, la formule R = prendra la forme :

fl IL U

distance ^ égale à la hau-

Si le plan est au-dessous du hourdis, à une teur du hourdis lui-même, proportion adoptée dans le calcul des barêmes, la formule sera :

7alI²R

P⁶ ~ ~lï8~‘

F — /

Enfin, pour les armatures métalliques, soit — ^ l’épaisseur de la

bande métallique remplacée par les barres, nous aurons la relation :

\xa =

fl(F:i —f)R

6F

Prenons pour exemple le plafond (48) (fiy. io).

Vérifions les calculs du hourdis : ce hourdis avec son armature et la surcharge supporte 393kg,6o sur une portée de i mètre, le moment fléchissant sera

49.20

393,60 x 1

f* —    g    -

La ligne neutre est à om,oi5 du plan supérieur, on a :

II = o,o3,

R = 260000

et

alLR o , ^ .

= —g— = 07,50 < 49,20

Cherchons maintenant le moment fléchissant [ia dû à l’armature, on a

a = i,

F = o,o5,

R = iooooooo

L’armature se compose de 20 barres de o,oo3 :

—= o,oooi4i38,

d’où

/= 0,04971724,

et

6F

= 70,3667.

Ajoutons [Xh et ixa et prenons la moitié :

= 58,9335 7> 49,2.

Nous avons vu que [Xb est faible, mais compensé par l’excès de [xa. Tl y a lieu aussi de considérer que R peut être élevé, et qu’en portant sa valeur à 328000 kilogrammes, résistance encore au-dessous des normes suisses, allemandes et françaises, iXb atteindrait rx.

Vérifions la poutre elle-même : son poids et la surcharge ayant pour valeur 44ok°,829 sur 5 mètres de portée, on a [X — 1 727,60

ub =    — I 895,20 > I 727,50.

Vérifions l’armature, nous avons a = 0,1, F — 0,1, R = 10000000 F — f

et —= o,ooi5o95i6 d’où f — o,o3oi9

= 1 545,8i <C 1 727,50

«(F³ — /*)R

6F

et

= I 720,01 << I 727,50.

C’est presque l’égalité, [xa est faible, et, si l’on emploie du fer, on pourra augmenter légèrement le diamètre des barres, mais si l’on se sert d’acier, ce qui est le cas général, avec le coefficient R = 12000000, [Xa prendra la valeur 1 864,972 >> 1 727,60.

Tous les calculs doivent être contrôlés ainsi.

CHAPITRE IY

89. Armatures en toiles métalliques.— On peut remplacer les armatures de petit diamètre par des toiles métalliques acier, dont les fils sont placés, soit parallèlement à l’axe des poutres, soit avec une inclinaison de 45°. Ces toiles doivent être à mailles assez grandes pour laisser passer les graviers dont se compose le béton, et ne pas former un plan de clivage.

Elles ont l’avantage d’armer le béton dans deux sens perpendiculaires, et, grâce aux ondulations formées par les croisements des fds, n’ont pas tendance au glissement : Elles sont plus faciles à placer et à caler, pendant le damage du béton, que de simples fils.

Nous en citons quelques exemples :

Ecartement des fils

Diamètre des fils

en mm.

en mm.

Poids au m. q.

Surfaces métalliques par i m. de largeur

IO

1,8

20

2,2

3o

4o

5o

?5

100 1 25 i5o

Ct £> fi» Oo OJ OO 10 42» O 4> O 42-

3kV*o 3, 20 3, 3o

3, 200 2, 800 2, 700 2, 5oo 2, 700

0,000177 0,000190 0,000189 0,000177 . 0,000182 0,000109 o 000102 0,00015i 0,000153

Ces toiles peuvent remplacer les armatures de om,ooi à om,oo3, l’armature de o,oo3 donnant une surface de o,oooi/ji .

DES EFFORTS TRANCHANTS

90.— Si Ton consulte les épures sur lesquelles sont indiquées les formules générales des efforts tranchants (38 à 44), ainsi que leurs expressions aux points singuliers, où ces valeurs ont leur maximum, on verra que, dans la plupart des cas, les dimensions imposées par les moments fléchissants maximum, qui servent généralement à fixer les éléments des poutres et hourdis sur toute leur portée, sont plus que suffisantes pour assurer la résistance de l’ensemble au cisaillement produit par les efforts tranchants maximum.

11 n’y a donc pas lieu, en général, de se préoccuper de la valeur de l’effort tranchant, à moins que l’on ne proportionne les sections des poutres, et de leurs armatures, aux variations des moments fléchissants, ce qui arrive pour les poutres continues, reposant sur plusieurs appuis.

Dans ce cas, il y aura lieu de vérifier la résistance au cisaillement pour les sections réduites.

Cette résistance est la somme de la résistance au cisaillement de la surface de béton, et de celle des armatures, dans la coupe considérée.

91.— La résistance du béton au cisaillement peut-être évaluée, d’après plusieurs centaines d’essais faits par Fauteur, à 0,187 de résistance à la compression.

Toute la section du béton coopère à cette résistance, qui représente 0,137 X ²5, ou 3k”,425 par centimètre carré, lorsque l’on réduit à 25 kilogrammes la résistance du béton à la compression.

93. —La circulaire ministérielle indique le coefficient 0,1, chiffre un peu faible, si l’on considère qu’il multiplie une limite de résistance déjà réduite, et fixée, par la même circulaire, à 0,28 de la résistance de rupture.

A la résistance du béton vient s’ajouter celle des armatures longitudinales évaluées de 0,75 à 0,80 de la traction admise pour le métal.

Prenons, comme exemple de calcul de l’effort tranchant, le plancher calculé plus haut (48). L’effort tranchant maximum se trouvera au raccordement de ce plancher avec les murs, sur lesquels s’appuient les

poutres. Il a pour valeur —- (38). Le poids du mètre carré de ce plancher est 191 kilogrammes, la surcharge 25o kilogrammes; nous avons donc P — 44 iks -

L’effort tranchant sera :

441 X 5

= I1200.

La coupe du plancher (fig. 10) donne une surface de béton de 7i2cra2, qui résistera au cisaillement, en prenant le coefficient de la circulaire, à 2kg,5 par centimètre carré, soit 1780 kilogrammes.

La surface d’armature est de i5o9mra2 ; elle résistera, par millimètre carré, à i2kg x 0,8— 9kg,6o. Soit en tout

i4486kg,4.

La résistance totale au cisaillement sera donc i6266kg,4 > 1 i8o5.

ARMATURES TRANSVERSALES OU ÉTRIERS

03. — Les forces élastiques qui agissent dans les bétons armés sont complexes. L’équilibre existe, tant que les forces intérieures et extérieures ne dépassent pas l’adhérence du béton sur lui-même (91), et l’adhérence entre le fer et le béton qui l’enrobe, laquelle est évaluée à 9 kilogrammes environ par centimètre carré de surface extérieure des barres prismatiques.

Lorsque cette adhérence est détruite, les barres glissent dans la masse du béton, qui gonfle et se clive.

Il faut donc combattre la tendance aux glissements des armatures dans le béton, et le cisaillement du béton sur lui-mcme.

04. — Les forces intérieures sont produites par le retrait qui s’opère dans le ciment pendant la prise et le durcissement, retrait qui est de omm, 20 à omm, 25 par mètre. Le béton diminuant de longueur comprime l’armature, qui, réagissant, détermine une tension dans le béton.

Ces forces intérieures peuvent, suivant les rapports entre les surfaces de béton et de métal, atteindre des valeurs importantes. Dans une poutre de 4” X o,4 X 0,2, armée de quatre barres de om,0228, essayée au laboratoire des Ponts et Chaussées, on a trouvé un raccourcissement de omm,25 à omm,4o par mètre, au milieu, correspondant à une compression de 8 à 9 kilogrammes par millimètre carré, pour le fer, équilibrée par une tension du béton, qui devait atteindre i5 kilogrammes par centimètre carré, c’est-à-dire, presque la tension de rupture à la traction du mortier du même ciment, au bout de 90 jours.

C’est une des raisons qui indiquent qu'il n’y a pas lieu de compter sur là résistance du béton à la traction, dans le calcul des bétons armés.

Quant à la compression des armatures, malgré son importance, la circulaire ministérielle n’en tient pas compte dans les calculs.

9*>.— Dans les pièces soumises à la flexion, les armatures longitudinales tendent à glisser dans leurs alvéoles. Pour les pièces reposant sur deux appuis, la tendance au descellement, qui est nulle près de ces appuis, devient considérable vers le milieu.

Dans ces poutres, l’effort tranchant tend non seulement à cisailler la pièce, mais il se produit, aux extrémités, une tendance au glissement des fibres comprimées sur les fibres tendues, dont la valeur est considérée comme égale à l’effort tranchant, et qui, composée avec la résistance de l’appui, donne une résultante oblique, qui peut produire des fissures inclinées, se dirigeant vers le centre de courbure de la pièce.

96.— Dans le cas de poutres continues, reposant sur plusieurs appuis, c’est sur les appuis que la tendance au descellement se manifeste le plus, et là, l’effort tranchant, qui est nul au milieu, a son expression la plus forte, et vient se composer avec la tension longitudinale, pour produire également des efforts obliques, et des fissures perpendiculaires à la direction de ces efforts.

Aussi doit-on placer, auprès des appuis, dans les deux cas, des armatures transversales, sous forme d’étriers qui embrassent les armatures longitudinales, et dont les branches s’étendent de chaque côté des barres, jusque dans les hourdis. Ces branches peuvent être inclinées l’une d’un côté, l’une de l’autre, près des appuis, afin de lutter contre les efforts obliques. Pour combattre ces efforts obliques, on relève aussi, vers les appuis, les armatures longitudinales.

La section totale des étriers devra être calculée de façon que la somme de leur résistance au cisaillement, de la résistance au cisaillement du béton sur lui-même, et de l’adhérence des armatures longitudinales, soit supérieure à l’effort tranchant.

Ces armatures transversales servent aussi à relier les différentes couches superposées de béton ; elles sont surtout utiles, lorsque le damage a été interrompu.

Ainsi disposées, elles ont peu d’action sur les glissements des armatures longitudinales, qui peuvent se déplacer librement dans le repli de ces étriers.

Prenons, pour exemple de calcul, le même plancher (48). La tendance au glissement, près des murs, est égale à l’effort tranchant, soit *i2o5 kilogrammes.

Elle est combattue par :

i° La résistance au cisaillement du béton sur lui-même, dans nne section horizontale de la poutre, soit sur un mètre :

o,io x ioo = iooocm2 x 2,5o = 25ook?.

2° L’adhérence au béton des armatures dont le périmètre est 9cni2,74, «oit pour les deux armatures :

9,74 X 2 x 100= 1948e1112 x 2,5o = 487oks.

Ces deux résistances ont pour somme 7870 kilogrammes qui, retranchés de ii2o5 kilogrammes, laissent une insuffisance de 3835 kilogrammes, à combattre par l’effort de cisaillement des armatures transversales, qui est de 9ks,6o par mètre carré.

Ces armatures devront avoir, sur 1 mètre de longueur de poutre, une

= 899,47, soit 4oo

3835

. Si nous prenons pour

armatures des fers plats de om,o4o sur om,ooi, nous aurons, dans le premier mètre, 3 étriers sur chaque armature, avec excès d’une armature.

section totale de -

9,60

mm 2

On augmente généralement le nombre de ces armatures aux extrémités des poutres reposant sur deux appuis, parce qu’on ne peut pas compter absolument sur la liaison des armatures longitudinales et transversales.

07, — 11 semble que ces armatures transversales pourraient être mieux utilisées, si elles étaient solidarisées avec les armatures longitudinales, de façon à s’opposer par toute leur surface encastrée dans le béton aux glissements de ces dernières.

C’est dans ce but que l’auteur a pris des brevets pour une forme particulière de ces armatures, qui présentent des renflements de distance en distance, et, pour un système de liaison des étriers aux barres, par emboutissage de ces étriers sur les saillies, quelconques, que peuvent présenter les armatures longitudinales.

Les renflements des armatures longitudinales s’opposeront déjà à leur tendance à glisser dans le béton, qui entoure leur périphérie, et, en outre, leur liaison rigide avec les étriers fera participer à cette résistance au glissement, non seulement le mortier qui enrobe l’armature, mais la masse toute entière du béton.

98.— L’adhérence périphérique qui est, au plus, de 9 kilogrammes pour les barres unies, s’élèvera à des chiffres beaucoup plus élevés, par suite de cette double action, et l’on pourra obtenir du métal un effort qui tendra vers sa limite d’élasticité, tandis qu’avec des barres prismatiques, il glisse souvent avant d’avoir atteint tout l’effort qu’il peut donner, ou l’on est conduit à trop multiplier les barres pour augmenter la surface de contact.

Les renflements des étriers permettront une soudure plus intime des différentes couches de béton, qu’ils empêcheront de s’éloigner.

rO

Tï!

Coupe ab Coupe c d

CI

Ie

’as^ssas5LsssSS==*

\r

h---—

cf x 10

Fig. 29

99. — En outre, les armatures à renflements s’encastreront dans le béton, grâce à leurs formes, sans qu’il soit nécessaire de pratiquer à leurs

extrémités des crochets ou des queues de carpe ; elles pourront s’ajouter les unes aux autres, au moyen de manchons spéciaux, qui les relieront, soit rigidement entre elles, suivant le prolongement de leurs axes, soit en laissant un espace, qui permettra la dilatation, ou un certain jeu, quipeut être jugé utile, par exemple, dans les poutres interrompues sur les appuis.

Les formes de ces armatures spéciales, et leur assemblage sont indiqués dans le dessin ci-dessus (jig. 29).

FLÈCHES

100. — Les formules à l’aide desquelles on détermine les flèches sont de la forme

P/n

El

K LL

dans lesquelles E représente le coefficient d’élasticité, [ le moment d’inertie ; K et n ont des valeurs qui changent suivant les cas.

Suivant qu’on considère les surfaces métalliques ouïes surface de béton, le terme E prend les valeurs suivantes :

Pour le béton. Pour l’acier .

E₆ = i,5 x 109 Em = 22 x 10⁹

101. — L’instruction ministérielle conseille de faire intervenir, pour le calcid des déformations, toute la surface du béton, celle qui travaille à la compression, et celle qui est soumise à des efforts de traction ; quant aux armatures parallèles aux poutres, elles peuvent être transformées en surface de béton, de 8 à i5 fois plus grandes, à ajouter à la surface du béton lui même, augmentant l’épaisseur des hourdis, et la hauteur des. nervures.

On applique à la somme le coefficient d’élasticité.

Ej=i,5x io⁹

Si nous appliquons celte règle au plafond calculé précédemment (48), nous obtiendrons une flèche de :

om,oo538G97

en multipliant par 8 la surface métallique.

Si nous donnons à la surface supplémentaire de béton une valeur égale à i5 fois la surface métallique, la flèche sera :

om,oo473o3

Si nous doublons le liourdis symétriquement de chaque côté du plan des fibres neutres, nous aurons une flèche de :

0,00377527

Si nous calculons la flèche en doublant l’armature métallique symétriquement de chaque côté du plan des fibres neutres, nous trouverons la valeur:

om, 00/10643

Ces résultats ne s’éloignent pas sensiblement les uns des autres.

Le premier indique la flèche maximum qui ne devra pas être dépassée. C’est la solution conforme aux données de l’instruction ministérielle.

ANNEXE

INSTRUCTIONS

RELATIVES A L’EMPLOI DU BÉTON ARMÉ

CIRCULAIRE DU MINISTRE DES TRAVAUX PUBLICS DU 20 OCTOBRE 1906

I. — DONNÉES A ADMETTRE DANS LA. PRÉPARATION DES PROJETS

A. — Surcharges

Article premier

Les ponts en béton armé seront établis de manière à pouvoir supporter les surcharges verticales et les actions du vent imposées aux ponts métalliques de memes destinations par le règlement du 29 août 1891.

Art. 2.

Les combles en béton armé seront, sauf exception justifiée, soumis, au point de vue des surcharges, au règlement du 17 février 1908, relatif aux halles métalliques des chemins de fer.

Art. 3.

des plus grandes

vue

Les planchers et autres parties des bâtiments, les murs de soutènement, les murs de réservoirs, les conduites sous pression et tous autres ouvrages intéressant la sécurité publique seront calculés en surcharges qu’ils auront à supporter en service.

B. — Limites de travail ou de fatigue Art. 4.

La limite de fatigue à la compression du béton armé à admettre dans les calculs de résistance des ouvrages ne devra pas dépasser les vingt-huit centièmes (0,28) de la résistance à l’écrasement acquise par le béton non armé de même composition, après quatre-vingt-dix jours de prise.

La valeur de celte résistance mesurée sur des cubes de vingt centimètres de côté sera spécifiée au devis de chaque projet.

Art. 5

Lorsque le béton sera fretté ou lorsque les armatures transversales ou obliques qu'il portera seront disposées de manière à s’opposer plus ou moins efficacement à son gonflement sous l’influence de la compression longitudinale qu’il supporte, la limite de fatigue à la compression prévue à l’article précédent pourra être majorée dans une mesure plus ou moins large suivant le volume et le degré d’efficacité des armatures transversales, sans que la nouvelle limite puisse, quel que soit le pourcentage du métal employé, dépasser les soixante-centièmes (0,60) de la résistance à l’écrasement du béton non armé telle qu’elle est définie à l’article

Art. 6.

La limite de fatigue au cisaillement, au glissement longitudinal du béton sur lui-même et à son adhérence sur le métal des armatures sera prévue égale à dix centièmes (0,10) de celle spécifiée à l’article 4 pour la limite de fatigue à la compression.

7-

Art.

La limite de fatigue tant à l’extension qu’à la compression qui ne pourra pas être dépassée pour le métal employé aux armatures est la moitié de sa limite apparente d’élasticité telle qu’elle sera définie au devis de chaque projet. Toutefois pour les pièces supportant des chocs ou soumises à des efforts de sens alternes telles que les hourdis, cette limite sera réduite aux quarante centièmes (o,4o) au lieu de moitié de la limite apparente d’élasticité.

Art. 8

Pour les pièces soumises à des efforts très variables, les limites de travail ci-dessus définies seront abaissées d’autant plus que les variations seront plus grandes, sans que la diminution exigée puisse être de plus de 25 p. ioo.

Les limites de travail seront également abaissées pour les pièces soumises à des causes de fatigue ou d’affaiblissement dont les calculs de résistance n’ont pas tenu compte, notamment à des actions dynamiques, comme celles que supportent les pièces placées directement sous les rails des voies ferrées.

II. — CALCULS DE RÉSISTANCE

Art. 9

Dans les calculs de résistance des ouvrages en béton armé, il sera tenu compte non seulement des plus grandes forces extérieures, y compris les notions du vent et de la neige, que ces ouvrages pourront avoir à supporter, mais aussi des effets thermiques et de ceux du retrait du béton, toutes les lois qu’il ne s'agira pas d’ouvrages librement dilatables dans le sens théorique du mot ou de ceux que l’expérience permet de regarder approximativement comme tels.

Art. io.

Les calculs de résistance seront faits selon des méthodes scientifiques appuyées sur les données expérimentales et non par des procédés empiriques. Ils seront déduits soit des principes de la résistance des matériaux, soit de principes offrant au moins les mêmes garanties d’exactitude.

Art. ii

La résistance du béton à l’extension sera mise en compte dans le calcul des déformations. Mais pour déterminer la fatigue locale dans une section quelconque, cette résistance sera regardée comme nulle dans la section.

Art. 12.

Pour les pièces comprimées on s’assurera qu’elles ne sont pas exposée» à flamber. Toutefois, on pourra s’en dispenser pour les pièces dont l’élancement (rapport de la hauteur à la plus faible dimension transversale) est inférieur à 20 et dont la fatigue à la compression ne dépasse pas. la limite définie par l’article 4-

Art. i3.

Le devis devra indiquer les qualités et dosage des matières entrant dans la composition du béton ; quant à la proportion d’eau à employer pour le gâchage, elle devra être surveillée avec soin et strictement suffisante pour donner au béton la plasticité nécessaire pour le bon enrobage des armatures et le remplissage de tous les vides.

III. — EXÉCUTION DES TRAVAUX

Art. i4.

Les coffrages ainsi que l’arrimage des armatures présenteront une rigidité suffisante pour résister sans déformation sensible aux charges et aux chocs qu’ils seront exposés à subir pendant l’exécution du travail et jusqu’au décoffrage et au décintremcnt inclusivement.

Art. i5.

Sauf dans le cas exceptionnel où le ciment serait coulé, U sera toujours à prise lente et damé avec le plus grand soin par couches dont l’épaisseur sera en rapport avec les dimensions des matériaux employés et les inter- > valles des armatures et ne dépassera pas om,o5 après damage, à moins qu’on n’emploie des cailloux.

Art. 16.

Les distances des armatures entre elles et aux parois des coffrages seront telles qu’elles permettent un parfait damage du béton et son serrage contre les armatures. Ces dernières distances, même quand on n’emploie que du mortier sans gravier, ni cailloux, devront toujours être

d’au moins i5 à 20 millimètres, de façon à mettre les armatures à l’abri des intempéries.

Art. 17.

Lorsqu’on emploiera, pour les armatures, des fers profilés et non des barres rondes, on prendra des dispositions spéciales pour que leur enrobage se fasse parfaitement sur tout leur périmètre et notamment dans les angles rentrants.

Art. 18

Lorsque l’exécution d’une pièce aura été interrompue, ce qu’on évitera autant que possible, on nettoiera à vif et on mouillera l’ancien béton assez longtemps pour qu’il soit bien imbibé avant d’être mis en contact avec du béton frais.

Art. 19

En temps de gelée le travail sera interrompu si l’on ne dispose pas de moyens efficaces pour en prévenir les effets nuisibles.

A la reprise du travail on opérera la démolition de tout ce qui aura subi les atteintes de la gelée, puis on procédera comme il est dit à l’article précédent.

Art. 20.

Pendant quinze jours au moins après son exécution, l'on entretiendra dans le béton l’humidité nécessaire pour en assurer la prise dans de bonnes conditions.

Le décolfrage elle décintrement seront faits sans chocs, par des efforts purement statiques et seulement après que le béton aura acquis la résistance nécessaire pour supporter sans dommage les efforts auxquels il est soumis.

IY. — EPREUVE DES OUVRAGES

Art. 21.

Les ouvrages en béton armé qui intéressent la sécurité publique seront «prouvés avant d’être mis en service. Les conditions des épreuves ainsi que les délais démises en service seront insérées au cahier des charges.

A. Nivet. — Méthode de calcul du Béton armé

i6a

AXSEXJE

Les flèches maximum que les ouvrages ne devront pas dépasser seront aussi, du moins autant qu’on le pourra, insérées au cahier des charges.

L’âge que le béton devra avoir au moment des épreuves sera de même fixé par le cahier des charges. Il sera d’au moins 90 jours pour les grands ouvrages, de 45 jours pour les ouvrages de moyenne importance et de 3o jours pour les planchers.

Art. 22.

Les ingénieurs profiteront des épreuves pour faire non seulement toutes les mesures de déformation ou de vérification des conditions du cahier des charges, mais aussi autant que possible celles qui peuvent intéresser la science de l'ingénieur.

Pour les ouvrages de quelque importance on emploiera des appareils enregistreurs.

Art. 23.

Les ponts en béton armé seront éprouvés de la manière prescrite pour les ponts métalliques par le règlement du 29 août 1891.

S’il paraissait convenable d'apporter certaines dérogations aux prescriptions de ce règlement, elles devront être justifiées et insérées au cahier des charges.

Art. 24.

Les combles seront éprouvés de la manière prescrite par le règlement du 17 février iqo3 sauf dérogations à justifier.

Art. 26.

Les planchers seront soumis à une épreuve consistant à appliquer les charges et surcharges prévues soit à la totalité du plancher, soit au moins à une travée entière.

Les surcharges devront rester en place pendant 24 heures au moins. Les flèches ne devront plus augmenter au bout de i5 heures.

Le Ministre des Travaux Publics, des Postes et des Télégraphes.

Loirs BARTIIOU.

Paris, 20 Octobre-1906.

BIBL19TEKH PCL1TECHH1CZHA

K8AKÜW

TABLE DES MATIÈRES

Préface,

Pages

CHAPITRE PREMIER

Rapports entre la rupture à la flexion et les coefficients de traction et de compression ......................

Position du plan des fibres neutres dans les mortiers.........

Formules théoriques...................

Considérations qui ont conduit à l’emploi du Béton armé.......

Application à un plancher à caisson..............

Calcul du hourdis....................

»    des poutres...................«

»    des poutrelles..................*

Armatures du hourdis.................

Plancher sur poutres ou nervures...............

CHAPITRE II

Limites de portées et de charges adoptées pour les Barêmes.......

Coefficients de résistance du Béton et du métal adoptés pour les Barêmes .

Normes suisses et allemandes................

Coefficients adoptés par les instructions du ministère des Travaux publics de

France, en date du 20 octobre 1906.............

Tableaux de multiplicateurs permettant d’utiliser les Barêmes pour les différentes résistances autorisées................

Largeur efficace des hourdis................

Charges permanentes. Surcharges...............

Armatures supérieures..................

Disposition des tableaux..................

Moments fléchissants ...................

Formule permettant d’utiliser les Barêmes pour des moments fléchissants diffé-

PZ²

rents de -5-....................

o

Des interpolations entre les charges et les portées inscrites dans les Barêmes

Des piliers, pieux ou colonnes................

Béton fretté.....................

us ffi Cl W M

O*

co vr in o

CS CS cs CS

MÉTHODE DE CALCUL DU BETON ARME

Pages

Charges excentrées des piliers................

Poutre droite, reposant sur deux appuis, chargée d’un poids P par mètre cou-

2t>

Poutre droite, reposant sur deux appuis, chargée d’un poids p, en un point M. Poutre droite, encastrée à ses deux extrémités, chargée d’un poids P par mètre

courant ......................

Poutre droite, encastrée à une extrémité, et reposant sur un appui à l’autre

extrémité, chargée d’un poids P par mètre courant........

Poutre encastrée à une extrémité, libre à l’autre, portant un poids p à l’extrémité libre.....................

Poutre encastrée à une extrémité et libre à l’autre, portant un poids P par

mètre.......................

Poutre encastrée à une extrémité et libre à l’autre, portant un poids P par

mètre courant, et un poids p à l’extrémité libre.......

Surfaces, poids des barres rondes de om,ooi à om,o4o de diamètre .    .

Tableaux ou Barêmes H

28

3o

33

33

34

35

IIS

3G à 43 44 à 5i 5i à 110

CHAPITRE III

Désignation des Colonnes des divers tableaux...........

Exemples de calcul de planchers...............

Usage des tableaux par interpolations et corrections des résistances du béton

et du métal .....................

Poutrelles ......................

Poids isolés......................

Balcon.......................

Pont........................

Emploi des Barêmes pour des charges doubles...........

n4

”9

121

i3o

144

CHAPITRE IV

Armatures en toile métallique ................

Des efforts tranchants..................

Armatures transversales ou étriers..............

Fers spéciaux pour armatures longitudinales et transversales. Brevets Nivet. Flèches .......................

*49

150

151

154

155

ANNEXE

Circulaire du Ministre des Travaux Publics, du 20 octobre 1906 .

.    .    i57

TABLE ALPHABÉTIQUE

Armatures en toiles métalliques . longitudinales . inférieures (calcul des) supérieures .... transversales ....

Pages-

i49>

10

22

a6-i5i;

Arrachement

Balcon (calcul d’un) Béton armé. .

» fretté

126-

26.

Charges doubles (emploi des Barêmes pour le calcul des)

» par mètre carré...........

» permanentes............

ramenées au centre ..........

i44

22

124

25-

Colonnes

Compression

Désignation des colonnes des tableaux Dilatations du béton, du fer, de l’acier Disposition des tableaux.....

Ol

Ecrasement. Efforts tranchants. Encombrement

iGG

MÉTHODE DE CALCUL DU BETON ARME

Fers spéciaux (Brevets Nivet)

Flambement......

Flèches .....

W    t-»    P

en 10 ^ ^ CJT en ^ g

Flexion d’un prisme..................

» plane....................

Formules des moments fléchissants, efforts tranchants, réaction des appuis des

poutres droites dans les différents cas qui peuvent se présenter ....    27- 34

x- 5

11

Hôurdis (calcul des) ,

(Instructions ministérielles relatives à l’emploi du Béton armé

i57

11

Moment d’inertie , fléchissant

5- 3i

Nervures............

Normes de l’État français, suisses et allemandes,

21

20

1*

Piliers et pieux. Plafond .... Plancher (calcul d’un) à nervures ,

25

ni

21

Poids isolés.......

Pont (calcul d’un).....

Portées.......

Position du plan des fibres neutres

Poutrelles.......

Poutres........

121

i3o

i4

encastrées .    .

Prismes (essais sur les)

24

-Rapports entre les coefficients de traction et de compression Résistance du Béton............

TABLE ALPHABÉTIQUE

ec

Pages-

Surcharges ....................

Surfaces, poids des barres rondes de om,ooi à om,o4o de diamètre.

35

Tableaux ou Barèmes H

IIS

36- 43 44- 5i 5i-i io-

Traction

ERRATA

Page 2/4, dernière ligne — au lieu de : y = x2 lire : de la forme : y = nx~.

Page 25, 3e ligne — au lieu de : II

lire : P.

Page 85, colonne o,4 | 65oo | 4

1222.88

au lieu de : o,oo3o355 | o,oi4 | 611.44

Ï229.₉6

lire : o,oo33o45 | o,oi5 ] 614.98

v⁹⁶

y

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