MATHEMATISCHPHYSIKALISCHE BIBLIOTHEK

BAND 41

A. WITTING

EINFÜHRUNG IN DIE INFINITESIMALRECHNUNG

EINFÜHRUNG IN DIE INFINITESIMALRECHNUNG

§8. INTEGRATIONSREGELN

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EINFÜHRUNG IN DIE INFINITESIMALRECHNUNG

II: DIE INTEGRALRECHNUNG

ZWEITE AUFLAGE

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VERLAG B.G.TEUBNER §]} LEIPZIG UND BERLIN

Mathematisdi-Physikalische Bibliothek

Gemeinverständliche Darstellungen aus der Mathematik u. Physik. Unter Mitwirkung von Fachgenossen hrsg. von Dr. W. Lietzmann

Direktor der Oberrealschule zu Göttingen

und

Dr.A.Witting

Studienrat, Gymnasialprof .in Dresden Fast alle Bändchen enthalten zahlreiche Figuren, kl. 8. Kart, je M. 2.— Hierzu Teuerungszuschlag des Verlages 120% (Abänderung vorbeh.) u. d. Buchhandl. Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Bändchen in zwangloser Folge herausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an den mathematisch-physikalischen Wissenschaften haben, es in angenehmer Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene hinaus zu belehren. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung solcher elementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung oder besonderes wissenschaftliches Gewicht haben, teils sollen sie Dinge behandeln, die den Leser, ohne zu große Anforderungen an seine Kenntnisse zu stellen, in neue Gebiete der Mathematik und Physik einführen.

Bisher sind erschienen (1912/20):

Der Begriff der Zahl in seiner logischen und Theorie und Praxis des logarlthm. Rechenhistorischen Entwicklung. Von H. Wie- schiebers.VonA.Rohrberg.2.Aufl.(Bd.23) ieitner. 2., durchgeseh. Aufl. (Bd. 2.) Die Anfertigung mathemat. Modelle. (Für

Ziffern undZiffernsystemc. Von E.Löffler. Schülermittl.Kl.) VonK.Giebel. (Bd.16.) 2., neubearb. Aufl. 1: Die Zahlzeichen der Karte und Kroki. Von H. Wolff. (Bd.27.) alten Kulturvölker. (Bd. 1.) II: Die Z. im Die Grundlagen unserer Zeitrechnung. Von Mittelalter und in der Neuzeit. (Bd. 34.) A. Baruch. (Bd. 29.)

Die 7 Rechnungsarten mit allgemeinen Zah- D*e mathemat. Grundlagen d. Variations- u len. Von H. W i e 1 e i t n e r. 2 Auf!. (Bd. 7.) Vererbungslehre Von P. Rieb e s e 11. (24.)

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Wahrscheinlichkeitsrechnung V. O. M e i ß - Beispiele zur Geschichte der Mathematik.Von n e r. 2. Auflage. I : Grundlehren. (Bd. 4.) a. W i 11 i n g und M. G e b h a r d. (Bd. 15.) II: Anwendungen. (Bd. 33.)    ^    Mathematiker-Anekdoten. Von W. Ahrens.

Vom periodischen Dezimalbruch zur Zahlen- 2. Aufl. (Bd. 18.) theorie. Von A. Leman. (Bd. 19.) Die Quadratur d. Kreises. Von E. Beutel.

Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Aus- 2. Aufl. (Bd. 12.) blick auf das Fermatsche Problem. Von Wo steckt der Fehler? Von W.Lietzmann W. Lietzmann. 2. Aufl. (Bd. 3.)    und V. Trier. 2. Aufl. (Bd. 10.)

Darstellende Geometrie des Geländes und Geheimnisse der Rechenkünstler. VonPh. verw. Anwendungen der Methode der Maennchen. 2. Aufl. (Bd. 13.) kotierten Projektionen. Von R. Rothe. Riesen und Zwerge Im Zahlenreiche. Von 2., verb. Aufl. (Bd. 35/36.)    W.Lietzmann. 2. Aufl. (Bd. 25.)

Methoden zur Lösung geometrischer Auf- Was ist Geld? Von W.Lietzmann. (Bd.30.) gaben. Von B. Kerst. (Bd. 26.)    Die Fallgesetze. V.H.E.Timerding.(Bd.5.)

Einführung in die projektive Geometrie. Von lonentheorie. Von P. Bräu er. (Bd. 38.) M. Zacharias. (Bd. 6.)    Das Relativitätsprinzip. Leichtfaülich ent-

Konstruktionen in begrenzter Ebene. Von wickelt von A. Angersbach. (Bd.39.) P.Zühlke. (Bd. 11.)    Drehtsich die Erde? VonW.Brunner. (17.)

Nichteuklidische Geoir“**¹“ **“'    Tkonri® <f»r Pinneteqbewegung. Von P.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

s mit einfach. Instru-ch. 2. Aufl. (Bd. 14.) eh die Geschichte der chberger. (Bd.40.)

ebene. Von W. Die

Einführung ln die N Luckey. I. Teil:

(Bd.28.) II. Teil : Die2 maschine. (Bd. 37.)

1 Biologie. Winkelessen.

Doehlemann, Mathen mann.

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Verlag von b. vi. i euunei m    und Berlin

Preise freibleibend.

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BIBLIOTEKA POLîTECHMÎGZBA

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NEWTON

Sibi gratulentur mortales taie tantumque extitisse humani generis decus.

(Mögen sich die Sterblichen Glück wünschen, daß eine solche, eine so große Zierde des Menschengeschlechts erstanden ist.)

MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE BIBLIOTHEK

HERAUSGEGEBEN VON W. LIETZMANN und A. WITTING 41

EINFÜHRUNG IN DIE INFINITESIMALRECHNUNG

II: DIE INTEGRALRECHNUNG

VON

Prof. Dr. ALEXANDER WITTING

OBERSTUDIENRAT AM GYMNASIUM ZUM HEILIGEN KREUZ IN DRESDEN

ZWEITE AUFLAGE

MIT 1 PORTRÄTTAFEL 85 BEISPIELEN UND AUFGABEN UND MIT 9 FIGUREN IM TEXT

1921

LEIPZIG UND BERLIN VERLAG UND DRUCK VON B. G.TEUBNER

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SCHUTZFORMEL FÜR DIE VEREINIGTEN STAATEN VON AMERIKA: COPYRIGHT 1921 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG

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ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES OBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN

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VORWORT

Die Integralrechnung, in die dieses Bändchen einführt, schließt sich eng an die in Bd. 9 dieser Sammlung behandelte Differentialrechnung an. Sie ist gegen die erste Auflage, in der infolge Platzmangels sehr gekürzt werden mußte, erheblich erweitert, insbesondere ist der Logarithmus hier von der gleichseitigen Hyperbel her behandelt, was ja aus vielen Gründen für den Anfänger von Vorteil ist. Den Anschluß an die früher allgemein übliche Einführung vermittelt eine Betrachtung über das organische Wachstum. Daran schließt sich die Exponentialfunktion mit den wichtigsten Anwendungen. Manche wertvolle Ratschläge von Fachgenossen, für die ich auch hier herzlich danken möchte, sind der neuen Auflage zugute gekommen.

Diesem Bändchen ist das Bild von Newton (4.1.1643 bis 31. III. 1727) beigegeben und darunter ein Teil der langen und eindrucksvollen Grabinschrift aus der Westminster-Abtei zu London gesetzt.

Dresden, Herbst 1920.

A. Witting.

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INHALTSVERZEICHNIS

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ERSTES KAPITEL

§ 1. Einleitung.....................

§ 2. Ein arithmetischer Hilfssatz.............

§ 3. Anwendungen. Das bestimmte Integral........

§ 4. Ein goniometrischer Hilfssatz und seine Anwendung . . 11 § 5. Integrale zwischen beliebigen Grenzen. Das Integral als Funktion der oberen Grenze. Der Zusammenhang zwischen dem Differentialquotienten und dem Integral. . . 12 § 6. Geometrische Überlegungen. Konstruktion der lntegral-

ZWEITES KAPITEL

§ 7. Das unbestimmte Integral.........

§ 8. Integrationsregeln.............

§ 9 Beispiele für partielle Integration......

§ 10. Beispiele zur Integration durch Substitution .

18

21

23

25

DRITTES KAPITEL

28

§11. Die gleichseitige Hyperbel.......

§ 12. Der natürliche Logarithmus......

§ 13. Der Differentialquotient des Logarithmus § 14. Die Integration rationaler algebraischer Brüche .... 35

§ 15. Die Exponentialfunktion...............

§ 16. Anwendungen der natürlichen Exponentialfunktion und des Logarithmus....................

30

32

37

38

VIERTES KAPITEL

§ 17. Die Bogenlänge ebener Kurven . .

18.    Oberfläche und Inhalt von Umdrehungskörpern .... 44

19.    Die Guldinschen Regeln .............

§ 20. Die Bestimmung von Flächeninhalten durch lineare Messungen. Die Simpsonsche Regel...........

Anhang: Aufgaben zur Integralrechnung..........

42

46

47

ERSTES KAPITEL

§ 1. EINLEITUNG

In Bd. 9 dieser Sammlung gingen wir bei der Einführung in die Differentialrechnung von geometrischen Betrachtungen über die Tangenten krummer Linien aus. Neben dieses Tangentenproblem, das auch in der geschichtlichen Entwicklung der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert eine hervorragende Rolle gespielt hat, tritt nun für uns jetzt erst als zweite, geschichtlich aber ältere Hauptaufgabe die der Inhaltsberechnung. Schon aus der Elementarmathematik, wie sie in den Schulen gelehrt wird, ist es bekannt, daß man z.B. bei der Ausmessung der Kreisfläche und bei der Berechnung des Pyramideninhalts nicht ohne infinitesimale Betrachtungen auskommt. Der Kreisfläche nähert man sich durch die Inhalte der regelmäßigen um- und eingeschriebenen Vielecke von wachsender Seitenzahl, bei der Pyramide verwendet man meist das Cavalierische Prinzip. Auch die Formeln 4irr² und yTTr³ für Oberfläche und Inhalt einer Kugel können nur durch ähnliche Grenzübergänge gewonnen werden.

In allen diesen Fällen ist das Wesentliche, daß zunächst eine Summe aus einer bestimmten Anzahl endlicher Größen berechnet und dann, sei es durch Zahlenrechnung wie beim Kreis, sei es durch Buchstabenausdrücke, der Grenzwert untersucht wird, dem die Summe zustrebt, wenn ihre Glieder immer kleiner werden, während zugleich ihre Anzahl immer mehr wächst. Der Leser möge sich das an den oben angeführten Beispielen und vielleicht an noch anderen, deren er sich aus seinem bisherigen Unterricht erinnert, klar machen. Wie sich in der Differentialrechnung die systematische Anwendung des Grenzbegriffs außerordentlich fruchtbar erwies, so wollen wir auch hier auf eine allgemeine Methode hinsteuern, die wir aber erst durch ein Beispiel vorbereiten, das im Vergleich zu den elementarsten Fällen schon reichlich allgemein ist.

Sei nämlich als Aufgabe die Berechnung der Fläche F vorgelegt, die von dem Bogen OA der kubischen Parabel y = x³, der x-Achse und der Ordinate des Punktes A gebildet wird. A möge die Koordinaten x= 1, y= 1 haben. Wir teilen die Abszisse etwa in 5 gleiche Teile und zeichnen die in der Fig. 1 dargestellten Rechtecke, von denen immer eine

1,0

Ecke auf der Kurve liegt. Die A Summe der schraffierten Rechtecke ist kleiner als die gesuchte Fläche/⁷; addiert man aberdienicht gestrichelten Rechtecke, so erhält man eine größere Fläche, ln Zahlen bekommt man, da jede wagerechte Rechteckseite 0,2 ist :

0,2 (0,2³ + 0,4³ + 0,6³ + 0,8³) < F

0,2    0,4    0,6    0,8    1,0

Fig. 1.

<0,2 (0,2³ + 0,4³ + 0,6³ + 0,8³

+ i,o³).

Teilt man hingegen in 10 gleiche Teile, so ergibt sich:

0,1 (0,1³+0,2³+0,3®+• • •+0,8® + 0,9³) < F< 0,1 (0,1³ + 0,23 -f- 0,3³ -f- • • • + 0,8³ + 0,9® + 1,0®).

Diese Summen müßten nun immer ausgerechnet werden, und man könnte sich also, indem man immer kleinere Teile nimmt, immer näher an F heranpirschen — und zwar von beiden Seiten her. Auf solche und ähnliche Berechnungen ist man manchmal angewiesen, wenn man nicht über Formeln verfügt, durch die die auftretenden Reihen addiert werden; wir werden uns in § 20 noch damit befassen. Hier in unserm Beispiel handelt es sich um eine Aufgabe, deren Anfänge sich schon bei Archimedes finden, deren Lösung man aber erst den großen bahnbrechenden Mathematikern der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts verdankt: Fermat, Roberval, Pascal, Wallis. Wir erledigen sie in den folgenden Paragraphen.

§ 2. EIN ARITHMETISCHER HILFSSATZ

Ist m eine ganze positive Zahl und a>b > 0, so ergeben sich aus der Identität

a.« + i_öu + x

die Ungleichungen¹)

<(H+ l)a“.

Setzt man hier b = k, a — kĄ- 1, so erhält man aus der ersten Ungleichung

(H+ l)V¹<(k + l)w + ¹ — fe" + 1; nimmt man hingegen a = k, b — k — 1, so gibt die zweite Ungleichung

fcw+1 - (k - iy<+1 < (n + l)/zu.

Es ist demnach

&“⁺¹ — (k — D'<+1 < (M + Dfr“ < {k + D"⁺¹ “

Schreibt man die Ungleichungen für k== 1, 2, 3,...n untereinander:

<(H + 1) 1*“ < 2“⁺¹ — 1M+1

<(n + D 2'“ < 3“⁺¹ — 2,u+1

P+¹

2<<+¹ — P+¹

n^+¹-(n-D“⁺¹<(M+ D^‘ <(n + D^⁺¹-n/<+1 und addiert, so bekommt man

7r“,⁺¹ < (n + 1) (1m + 2m + ••• + nD < (n + D/<+1 “ 1"⁺¹.

Dividiert man nun durch (jli + l)n^⁺¹, so folgt

1 \¹“⁺¹

1* + 2“ -(-----1- n'¹

[(>+ł)

u + i

Läßt man n immer größer werden, so wird 1 : n immer kleiner, und die rechts stehende obere Grenze nähert sich immer mehr der links stehenden unteren Grenze 1 :(|u-t-1), da die

w+i

eckige Klammer nach 1 konvergiert. Daher gewinnt man für positives ganzes p die Formel²)

(I)

lim l²“ -f- 2²“ -----p nu

n =»

nfi+1

P + l’

z. B. ist der Grenzwert

~2 für p = 1,

-g- für p = 2 usw.

§ 3. ANWENDUNGEN. DAS BESTIMMTE INTEGRAL

aT

Fig. 2.

Eine einfache Anwendung der zuletzt gewonnenen Formel , bietet uns die Berechnung der Fläche, die von J einem Bogen OA der Parabel pter Ordnung y = / und den Koordinaten a und ct des Endpunktes A begrenzt wird. Teilt man die Strecke a in n gleiche Teile (in Fig. 2 sind es 4) und errichtet in den Teilpunkten die Ordinaten, so kann man zwei Summen von Rechtecken bilden, zwischen denen die gesuchte Fläche F liegt:

“(£Y₊“(?£y‘ ₊ ... ₊ £(!!^ >F>-n \ n) ² n \n )    ¹    ¹ n \ n /    n

«r

oder

nu + l

> F> a‘‘⁺¹ (

1« _f_ 2^ H-----h n²“

n“ ⁺¹

Läßt man n unendlich groß werden, so nähern sich die beiden Grenzen einander immer mehr und die Faktoren von a'<+1 konvergieren nach dem Werte 1 : (p + 1). Daher ist

a • a'ł,

p “F i

p “F 1

d. h. die Fläche ist der (p-F l)le Teil des aus den Koordinaten des Endpunktes gebildeten Rechtecks.

au -i-¹ =

Damit ist auf einen Schlag die mühselige Rechnung des Beispiels in § 1 erledigt. Dort war p =3, a= 1, also F--j-.

Zu einer neuen und bequemeren Bezeichnungsweise gelangen wir, wenn wir

7T ⁼ A*

setzen und die zu den einzelnen Teilpunkten gehörigen Or-dinaten y1} y.2t... yn nennen. Dann ist

F=lim(i/₁Ax + i/₂Ax-|-z/sAx-f-----j-ÿ„Ax)=lim 'S¹ yAx

ax = 0    a* = oaJ

a

= lim V/Ax 0

Die „Grenzen“ 0 und a beim Summenzeichen 21 bedeuten offenbar, daß die Werte von y = xu für alle Zwischenwerte der Abszisse von x — 0 bis x = a gebildet werden sollen.

man sich

Für dieses Symbol lim J^i/Ax bedient

AX —0 ö

nach dem Vorgänge von Leibniz des kürzeren Symbols

fydx.

0

fydx wird gelesen: das Integral ydx von 0 bis at

o

Das dabei angewandte Zeichen / ist eine früher viel gebrauchte Form des s: hier hat es den Namen Integral erhalten.

0 und a heißen die Grenzen des Integrals, der Ausdruck selbst ein bestimmtes Integral — „bestimmt“, weil die Grenzen gegeben sind.

Das Ergebnis stellt sich nun so dar:

(II)

a

j*x^dx =

a/i + i

n-\r\

(p eine positive ganze Zahl).

a

Für (li = 0 wird

fdx = a;

für p = 1 erhält man den trivialen Fall des Dreiecksinhalts, für |u = 2 kommt die gemeine Parabel.

Ein zweites Beispiel bietet uns die Berechnung des Kegelinhalts V. Sei ein Polygon, ein Kreis oder eine sonst von einer Linie umschlossene Fläche als Grundfläche G eines Kegels (oder einer Pyramide) gegeben. Führen wir im Abstande x von der Spitze einen ebenen Querschnitt Gx parallel zur Grundfläche, so ist, wie in der elementaren Stereometrie

Gx — -fi G.

Wir teilen nun die Höhe h in n gleiche Teile ^ =

und schließen den Kegel (die Pyramide) in zwei Treppen ein, deren einzelne Stufen Zylinder (Prismen) von der Höhe Ax sind. Die genauere Ausführung sei dem Leser überlassen; das Ergebnis ist

gelehrt wird,

v-/

0

X*

h²

Gdx

— — ₌ 1. Gh h² 3    3 un’

eine bekannte Formel der Elementarmathematik, deren Herleitung nur mit Hilfe von Infinitesimalbetrachtungen möglich

Q

ist. Den konstanten Faktor p nimmt man vor die Summe,

ehe man Ax nach Null konvergieren läßt!

Weitere leichte Beispiele bilden die Berechnungen von Schwerpunkten und von Trägheitsmomenten einfacher Figuren. Sei z. B. das Trägheitsmoment J einer Strecke AB = a in bezug auf eine in ihrem Endpunkt A senkrecht zu ihr stehende Achse gesucht. Ist m die Masse der Längeneinheit und Ax = a:n, so wird das Trägheitsmoment eines Teilchens, das sich von x bis x -f- Ax erstreckt (von A aus gemessen), zwischen mx²Ax und m (x + Ax)²Ax liegen.¹) Daraus ergibt sich leicht²):

1)    Die Masse des Teilchens ist m A x, da m als Masse der Längeneinheit definiert war!

anstatt Ax!

2)    Führe die Untersuchung nochmals ausführlich durch unter Verwendung von ^

a

J = m/ :

0

wenn wir die Masse ma der ganzen Strecke M nennen.

Auch das Volumen einer Halbkugel vom Radius r können wir berechnen. Wir ersetzen sie zunächst in bekannter Weise durch eine Folge von n Zylinderschichten

Fig. 3.

Ti (r² — x²) Ajc (Fig. 3), so daß die so entstandene „Kugeltreppe“ den Inhalt

von der Höhe — = Ajc und dem Inhalte

r    r    r

^ TT (r² — x²) Ajc = irr² ^Ajc — tt ^VAjc o    o    o

hat. Dann wird die Halbkugel selbst das Volumen

tt r²

r    r

' j dx — tt J*x²dx = b    o

irr³ —

tt r³ =

«n |ro

TTr³ haben.

§ 4. EIN GONIOMETRISCHER HILFSSATZ UND SEINE ANWENDUNG

Die Summe S der Reihe

cos a + cos 2 a + cos 3 a + • • • -f- cos n a

kann man dadurch bestimmen, daß man 2 S sin a bildet und nun die Formel

2 cos k a sin a = sin (k + 1) a — sin {k — 1) a auf alle Glieder der Reihe anwendet. Man erhält dann:

2 S sina = sin2 a + (— sin a-j-sin 3 a) + (—sin 2 a-f-sin4 a)•+-+ • • * + (— sin (n — 2) a ■+• sin n a) -f (— sin (n — 1) a + 4 sin (n + 1) a) = - sin a 4 sin n a 4 sin (n 4 l)a,

also wird

_sin (n -|- 1) a 4 sin n a — sin a

2 sin a

Setzt man hier a = A x und na = nAx = q> und multipliziert die letzte Gleichung für S noch mit Ax, so folgt

sin A x

(sin (cp + A x) + sin qp — sin A x)

Geht man zur Grenze Ax = 0 über, so sieht man, daß aus SAx ein Integral entsteht, und man bekommt

(HI)

J cos xdx —

o

sing).

Ganz auf demselben Wege gewinnt man

qp

(IV)

j*sin xdx =

0

1 — COS <P.

§ 5. INTEGRALE ZWISCHEN BELIEBIGEN GRENZEN DAS INTEGRAL ALS FUNKTION DER OBEREN GRENZE

DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN DEM DIFFERENTIALQUOTIENTEN UND DEM INTEGRAL

Als Hauptergebnis unserer bisherigen Betrachtungen halten wir fest:

Der Inhalt einer Fläche, die von der Kurve y — f(x), den Koordinatenachsen und der Ordinate einer beliebigen Abszisse x = a begrenzt wird, läßt sich ausdrücken als das bestimmte Integral:

a

Jydx.

o

Eine naheliegende Verallgemeinerung ist die Berechnung der Fläche F, die zwischen der Kurve y = f(x), der x-Achse und zwei beliebigen Ordinaten zu x = a und x = b enthalten ist. Wir finden sie sogleich als Differenz:

* ^ =Jydx —Jydx. o    o

b

Hierfür schreiben wir kürzer F

=jydx.

a

Dieses bestimmte Integral mit den Grenzen a und b ist eine feste, wohldefinierte Größe, wie aus seiner geometrischen Deutung als Fläche ohne weiteres hervorgeht.

X

F(x) =J ydx.

a

Jetzt wollen wir einen Schritt weiter tun und es als Funktion seiner oberen Grenze auffassen lernen. Der Sinn dieser Aussage leuchtet sofort ein: halten wir die untere Grenze a fest und ändern die obere b, so nimmt auch das Integral immer neue Werte an; dadurch ist ja eben gerade eine funktionale Abhängigkeit zwischen dem Integral und seiner oberen Grenze festgelegt. Um dies deutlicher hervortreten zu lassen, schreiben wir:

Betrachten wir in diesem neuen Gewände die beiden Formeln (II) und (III), in denen a = 0 ist:

X

ft'dx =

0

X¹*' ⁺ *

M + l

und

cos xdx = sinx,

so fällt uns auf, daß die mit dem Symbole dx behaftete Funktion unter dem Integralzeichen, der Integrand, der Differentialquotient der rechtsstehenden Funktion ist. In der Tat hat man ja

dx

= x*

und

d sin x

J-=C0SX.

Ist das allgemein so, oder trifft es nur hier, gewissermaßen zufällig, zu?

Sei y = f(x) irgendeine Funktion, die graphisch eine vernünftige Kurve darstellt (Fig. 4) und in dem betrachteten Intervall nicht unendlich wird; ist ferner OA = a, AB = f(a), Q ein veränderlicher Punkt auf der Abszissenachse, OQ—x, QP ■= y und sei endlich die veränderliche Fläche

ABPQ=*F(x)~z.

14 Der Zusammenhang zwischen Integral u. Differentialquotienten

Pi

dz

dx

Q Q,

Fig. 4.

Wir denken uns die Fläche F(x) dadurch erzeugt, daß die Ordinate AB nach rechts hin verschoben wird, so daß .4 mit konstanter Geschwindigkeit aut der Achse, B auf der Kurve wandert. Dann sieht man, daß z eine Funktion von x ist, die für x = a den Wert Null hat. Wir wollen nun die Änderungsgeschwindigkeit von z bestimmen, denn überall, wo eine Bewegung vorliegt, fragen wir nach der Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit wird aber durch den Differentialquotienten gegeben. Lassen wir x um QQX = Ax zunehmen, so nimmt y um UP₁ =Ay, zumAz=QQ₁P₁Pzu, und man erkennt leicht, daß :

yAx < Az < yAx + Ax • A y;

also ist

v<^<y + Au-

Lassen wir nun Ax nach Null konvergieren, so verschwindet auch A y und die beiden Grenzen rücken zusammen, d. h.

wir haben das Ergebnis = y.

Wir finden also:

X

2 =/ydx ist diejenige Funktion der oberen Grenze

a

x, die für x—a Null wird und deren Differentialquotient nach x die Funktion y ist.

Es muß noch angemerkt werden, daß als Folge dieser ganzen Auffassung für die Fläche z eine negative Zahl herauskommt, wenn die Ordinaten negativ sind. Wenn wir also die von der Sinuskurve und der Achse umschlossene Fläche für die Grenzen x — 0 bis x — 2tt berechnen wollen, so ergibt sich Null, da sich der positive Teil, der über der Achse liegt (von x — 0 bis x = tt), gegen den unter der Achse befindlichen negativen Teil glatt weghebt.

§ 6. GEOMETRISCHE ÜBERLEGUNGEN KONSTRUKTION DER INTEGRALKURVE

Bei der Wichtigkeit des letzten, für die Integralrechnung grundlegenden Ergebnisses wollen wir versuchen, es auch aut anderem, geometrisch anschaulichem Wege zu gewinnen. Zu diesem Zwecke gehen wir auf die Entstehung des Differentialquotienten und des Integrals zurück. Da hat- ~fr~i ö a jz ; d*\ j* \b ten wir zuerst einmal zu einer gege-    ^

benen Kurve#=f{x) die abgeleitete Kurve gezeichnet. Wir teilen, um das nochmals auszuführen, etwa die Strecke von x = a bis x = b in n gleiche Teile Ax — in Fig. 5 sind es vier —, die Ordinaten mögen glt yif yd, z/₄, y, die Kurvenpunkte mögen Pu P₂, £3» P heißen. Dann ziehen wir die Sehnen 1, 2, 3, 4 und die Parallelen zur Abszissenachse, tragen etwa links vom Nullpunkt die Strecke OA = 1 auf und ziehen durch A Parallelen zu den Sehnen nach der y-Achse; die dort abgeschnittenen Stücke sind die Tangenten der Steigungswinkel der Sehnen. Tragen wir diese Stücke in einem senkrecht darunter liegenden Koordinatensysteme als Ordinaten auf, so ergeben sich die Punkte P*v P₂, P*s, P\ mit den Ordinaten

V2

y-Vj

Fs'

dx dx dx dx

Fig. 5.

Vi =

y-2—yi

y —y*

Ax »

Daher ist

y[Ax + yl Ax + yl Ax + y\Ax = iy—yx) 1= P0 • 1—PQRS, wenn wir die Rechteckseite QR — 1 machen. D. h. aber:

Die Summe der Rechtecke der unteren Figur ist gleich dem Rechteck der oberen Figur gebildet aus der Differenz der Endordinaten und der Einheitsstrecke, einem Rechteck, das sich übrigens zusammensetzt aus den einzelnen Schichten mit den Höhen y₂ — lh usw. Man erkennt leicht: für den Fall, daß ein Steigungswinkel stumpf, sein Tangens also negativ ist, geht das betreffende Rechteck subtraktiv in die Figur wie in die Rechnung ein; ferner aber ist sofort ersichtlich, daß der Fall, wo der Steigungswinkel ein rechter ist, einfach auszuschließen ist, denn dessen Tangens wird ja unendlich groß, und dann ist die vorstehende Betrachtung nicht mehr anwendbar.

Wenn wir nun in beiden Figuren das Ax immer kleiner werden, n also wachsen lassen, so ändern sich die gesternten Punkte und die Rechtecke der unteren Figur immerfort, bis sie schließlich für lim Ax = 0 in die Punkte P{t P2 ... der abgeleiteten Kurve übergehen und die schraffierte Fläche der unteren Figur endlich die von dem Bogen der abgeleiteten Kurve, den Endordinaten y[ und y' und der Abszissendifferenz x — jq begrenzte Fläche wird. In der oberen Figur rücken die Ordinaten immer enger zusammen, die Sehnen nähern sich immer mehr den Tangenten, aber die Fläche PQRS bleibt unverändert von derselben Größe und Form (g — yf) • 1, nur setzt sie sich aus immer mehr übereinander geschichteten Rechtecken zusammen. Daraus geht aber hervor, daß die Fläche der unteren Figur bei abnehmendem Ax ihre Form so ändert, daß ihre Größe konstant gleich (y — yß • 1 erhalten bleibt, daß wir also ihren Grenzwert von vornherein schon haben! Betrachten wir nur die numerischen Werte, so dürfen wir den Faktor 1 weglassen und können nun das Ergebnis kurz schreiben:

(V)

Jy'dx-

y-Vu

wobei wir aber nicht vergessen wollen, nochmals ausdrücklich darauf hinzuweisen, daß wir den Fall #'=00 in dem Intervall von xt bis x ausgeschlossen und von vornherein angenommen hatten, daß die Kurve y — fix) eine sogenannte vernünftige Kurve war.

Die eben abgeleitete Grundformel der Integralrechnung sagt aus:

Steht unter dem Integralzeichen eine Funktion f(x), die sich als Ableitung einer Funktion F(x) darstellen läßt, so ist das bestimmte Integral gleich der Differenz derjenigen beiden Werte, die F(x) für die Grenzen des Integrals annimmt:

b

(VI) ff(x)dx = F(b) — F(a), wenn f(x) = F'(x), immer unter Beachtung der mehrfach angegebenen Voraussetzungen!

Damit ist z. B. die Gültigkeit der Formel (II) (S. 9) für beliebiges reelles p mit alleiniger Ausnahme des Wertes p = — 1 bewiesen.

Aufgaben. Berechne und stelle geometrisch dar:

x²dx,

sin xdx,

dx

Vl — x*'

‘iläev

Versuchen wir jetzt auch das Integral als Funktion seiner oberen Grenze graphisch darzustellen, so sehen wir zunächst, daß derjenige Wert von x, für den das Integral Null sein soll, also die untere Grenze, beliebig gewählt werden kann. Im übrigen muß man dann offenbar genau umgekehrt verfahren wie bei der Darstellung der abgeleiteten Kurve.³) Es mögen also (Fig. 6) P[, Pg, P₃' • • • Punkte der gegebenen Kurve y — z'=f(x) sein. Wir machen OA= 1 und ziehen durch A diejenigen Geraden, die auf der ÿ-Achse Strecken gleich den Ordinaten der Punkte P[, Pg, Pg • • • abschneiden. Diese mit 1,2,3 • • • bezeichneten Geraden geben die Richtungen der Tangenten in den zugehörigen Punkten Pu P₂, P» ... der

Kurvez=.F(x),der Integralkurve, an. Man nimmt etwa Pj beliebig an, zeichnet die durchgehende Tangente und sorgt im Weitergehen dafür,daß die andern Ordina-ten in den vorgeschriebenen Richtungen 2,3*”über-schritten werden. Das geht aber am einfachsten, wenn man mitten zwischen jezweiOrdi-naten neue Ordi-naten einschiebt und die Parallelen bis zu diesen hin zieht. Eine geringe Übung, die dem Leser aber sehr empfohlen sei, wird die Zweckmäßigkeit und verhältnismäßige Genauigkeit der Methode erweisen. Aufgabe. Bestimme durch graphische Integration der Fläche eines Viertelkreises vom Radius 2 die Zahl tt!

Anleitung. Als Längeneinheit wählt man etwa 5 cm, den Viertelkreis aber nimmt man nacheinander in verschiedenen Lagen (Fig. 7) gegen die Achsen an und vergleicht die erhaltenen Ergebnisse miteinander.

Fig. 7.

/V

IŚ

t

Pj

Fig. 6.

ZWEITES KAPITEL

§ 7. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

Betrachtet man die obere Grenze eines Integrals als variabel, die untere Grenze als unbestimmt, so nennt man ein solches Integral unbestimmt, gibt bei ihm die Grenzen über-

haupt nicht an und fügt nur, um die Unbestimmtheit des Wertes anzudeuten, eine additive Konstante mit Hilfe eines Buchstabens hinzu. So schreibt man z. B.

Jx²dx = yJC³ -J- C.

Sowie man die untere Grenze, etwa a, festsetzt, erhält die willkürliche Konstante C einen bestimmten Wert, denn für x — a muß ja das Integral Null sein: {a³ + C = 0.

Also ist

i*³

łt³-ia³.

X

— — \-a³,J*x²dx =

a

b

- Tfl3; fx²dx =

Das bestimmte Integral kann also aus dem unbestimmten leicht gefunden werden, und es stellt sich hier als eine Differenz dar. In der Tat folgen ja aus dem Begriff des Integrals als Grenzwert einer Summe oder als Fläche ohne weiteres die Beziehungen

(VII)

(VIII)

(IX)

wobei a, b, c beliebige konstante Werte von x darstellen und wobei selbstverständlich immer vorausgesetzt wird, daß y in allen diesen Intervallen reell und endlich bleibt. Die Festlegung des Wortlauts der durch die letzten drei Formeln ausgedrückten Sätze und ihre anschauliche Begründung durch Zeichnung überlassen wir dem Leser, der den Begriff des Integrals um so fester erfassen wird, je genauer und gewissenhafter er dabei zu Werke geht. Ein Ergebnis⁴) dieser Überlegungen sei aber doch angegeben:

Das bestimmte Integral kann ermittelt werden, indem man das unbestimmte für die obere und für die untere Grenze berechnet und den letzteren Wert vom ersteren abzieht; die willkürliche Konstante hebt sich bei der Subtraktion weg.

Beispiele sind etwa in leicht verständlicher Schreibweise:

b* — a*

71

Jsin xdx — j'—

COS X

T = [c°sa:]"= !-(-!) = ²

b

/>

(x+p)d x Vx* + 2 px + q

— [Yx* + 2 px + q\

=Vb'i + 2pb + q — Y a* -\- 2p aq.

Wir sind damit imstande, jedes Integral ff(x)dx zu berechnen, wenn wir die unter dem Integralzeichen stehende Funktion f(x) als Differentialquotienten einer Funktion F{x) kennen und zunächst auch nur dann.

Als wichtige weitere Formeln können wir demnach buchen :

/"

/"

(X)

(XI)

(XII)

(XIII)

cos*x

sin*x

dx

= tan x 4- C

= — cot x + C

yi—x*

i“

= arcsin x + C

= arctan x Ą- C;

l+x*

sie folgen ohne weiteres aus den Formeln für die Differentialquotienten der rechts stehenden Funktionen (vgl. Teil I). Die additive Konstante muß wegen des Fehlens der unteren Grenze überall hinzugefügt werden.

¹

Ersetzt man rechts alle a durch b, so wird jedes der (u -f-1) Glieder f»w, und die Summe erhält einen kleineren Wert; die Summe wird dagegen vergrößert, wenn man jedes b durch die größere Zahl a ersetzt.

²

Sie hat noch einen weiteren Gültigkeitsbereich als nur für ganzes positives p; aber wir brauchen sie nur unter dieser Ein* Schränkung.

³

Siehe Teil I § 3.

Math.-phys. Bibi. 41 : Wittlng, Integralrechnung

⁴

Vgl. Formel (VI) und den dortigen Satz.

§8. INTEGRATIONSREGELN

Wir hatten aut mehrfache Weise gesehen, daß die Integration als eine Umkehrung der Differentiation betrachtet werden kann. Es erhebt sich also ganz naturgemäß die Frage, in welcher Gestalt die besonderen Regeln, die wir bei der Differentiation zusammengesetzter Funktionen aufgedeckt hatten, hier bei der inversen Operation verwendbar werden. Was die Summe mehrerer Funktionen anlangt, so ist es ja leicht bewiesen¹), daß das Integral einer Summe von Funktionen die Summe der Integrale der einzelnen Funktionen selbst ist. Ebenso haben wir schon in § 3 darauf hingewiesen, daß ein konstanter Faktor, der unter dem Integralzeichen steht, vor dieses Zeichen gesetzt werden kann. Es ergeben sich so die Formeln

f(u + v)dx **Jtidx +fvdx,

faydx =* ajydx

Wie steht es aber nun mit der Produktformel? Wir hatten die Formel für die Differentiation von uv aus der Gleichung²)

A y = A (uv) = (u -f- Au) (v + Av) — uv =

= vAu -f uAv •+- AuAv

(XIV)

(XV) gewonnen. Aus ihr folgt

uAv — A (uv) — vAu — AuAv

oder

A (uv)

Ax-v^xAx

A v a

Bilden wir nun durch Grenzübergang die unbestimmten Integrale, so erhalten wir:

(Axf.

lim

A* = 0

uv

[Ax2

Au A v A x A x

A*].

- lim

A X = 0

1)    Führe diesen Beweis analytisch durch und mache ihn dir geometrisch klar.

2)    Siehe Band 9 S. 28.

Der letzte Ausdruck wird aber wegen des voranstehenden Faktors A x verschwinden, und so entsteht endlich die wichtige Formel

J uv'dx — uv —J vudx.

(XVI)

Das durch diese Formel angedeutete Integrationsverfahren nennt man partielle Integration oder Teilintegration; es ist eine der fruchtbarsten Methoden bei der Berechnung der Integrale.

Eine weitere wichtige Formel liefert uns die Regel für die Differentiation der Funktion einer Funktion. Es war (Teil I, § 11) u — qp(x) und y = f(u) = f{cp(x)) gesetzt worden;

dann ergab sich: y’ = ^

Reduktionsformel der Integralrechnung läßt sich in doppelter Form schreiben:

Die entsprechende

(XVII)

oder

Jf(u) du = J f((p(x)) J f((p(x))dx= Jf(u)

8J 5* Ä.I

8 I H H 1 8

ö.    Ö.

S    X

man nennt dies Integration durch Substitution.

Zunächst sei bemerkt, daß dieses Verfahren nur anwendbar ist, wenn sich die Werte der Veränderlichen u und x in dem Integrationsbereich umkehrbar eindeutig entsprechen, d. h. wenn jedem Werte von u ein Wert von x entspricht und ebenso auch jedem Werte von x nur ein Wert von u. Zum Beweise der ersten Formel von XVII bilden wir den Differentialquotienten nach x. Links müssen wir erst nach u differenzieren, was f(u) ergibt, und dann nach x, was f{u) ^ liefert;

das. aber ist gleich dem Differentialquotienten /"(cp(x)) cp'(x) der rechten Seite. Nun können sich die beiden Integrale nur noch durch eine additive Konstante unterscheiden, die bei der Ansetzung der unteren Grenzen der Integrale berücksichtigt werden muß; das soll in Beispielen des § 10 geschehen. Ganz Entsprechendes folgt für die zweite Formel von (XVII).

§ 9. BEISPIELE FÜR PARTIELLE INTEGRATION

In den folgenden Beispielen soll gezeigt werden, wie For- • mel XVI anzuwenden ist. Da wir dabei die Integration als Umkehrung der Differentiation behandeln, so sind wir, wie bei jeder inversen Operation, auf ein Versuchen angewiesen. Es entsteht bei manchen Aufgaben sogar die Möglichkeit, verschiedene Wege einzuschlagen.

/arcsin xdx.

Beispiel 1.

Wir kennen bisher keine Funktion, deren Differentialquotient arcsin jc wäre. Setzen wir aber u = arcsin jc, v = 1,

so ergibt sich: u also wird

ÿ l — x²’

v = x,

xdx

Das letztere Integral aber ist leicht zu ermitteln, da doch d\/ l — x*

arcsin xdx = x • arcsin jc —

JC

dx

yi—x*

/arcsin xdx — x • arcsin jc + Vl — x² + C,

wobei wir die beim unbestimmten Integral auftretend liebige Konstante mit C bezeichnet haben.

ist. Also wird nun

J*:c sin xdx.

aę De-

Beispiel 2.

Hier setzen wir erhalten demnach u — 1,

und damit fx sin jcdjc — — jc cos jc

= — jc cos jc + sin jc + C. Wählen wir aber in dem gegebenen Ausdrucke u = sin jc, v — jc,

U— COS*, D = jJC²

so wird

u — jc, v — sin jc,

V = — COS JC

♦ Oherrealscbi

cos jcdjc

und damit kommt

jx sin xdx = {x² sin x — \J x² cos xdx.

So gelangen wir also nicht zum gewünschten Ziele, denn das Integral auf der rechten Seite ist uns unbekannt. Aber wir können aus dieser Gleichung unter Benutzung des vorher ausgewerteten Integrales der Funktion x sin x jetzt finden:

Jx² cos xdx = x² sin x — 2jx sin xdx

= (jc² — 2) sin x -f- 2x cos x -f- C.

J*cos²xdx.

Beispiel 3.¹)

u = cos x, v = cos x, u = — sin x, v = sin x.

Wir setzen also

Daher wird J cos² xdx = cos x sin x +J*s\n² xdx

— cos x sin x +f( 1 — cos² x) dx. Folglich ist 2J cos² xdx = cos x sin x 4-Jeix, also endlich ^/cos² xdx = y (jc + sin x cos x) + C. Entsprechend J^sin² xdx = y {x — sin x cos x) + C.

Beispiel 4.

2pr^sin³qpd<p.

o

Dieses Integral erhält man, nebenbei bemerkt, bei der Berechnung dès Winddruckes gegen einen Kreiszylinder mit Radius r und der Höhe 1, wenn p den Winddruck senkrecht zur Flächeneinheit und tp den Winkel zwischen einer Kreistangente und der Windrichtung bedeutet.

Partielle Integration u = sin² cp, v — sin 9, u = 2 sin qp cos 9, v — — cos 9,

Wir setzen

erhalten

also Jsm*<pdcp = — sin²cp cos qp + 2Jsin 9 cos²9^9

= — sin² 9 cos 9 + 2/sin 9 (1 — sin² 9)^9

= — sin² 9 cos 9 + 2/sin cpdq> — 2/sin⁸ 9^9.

Daher wird nun

3/sin³ 9 dcp «= — sin² 9 cos 9 — 2 cos 9 + C,

also endlich

2prjsin³ 9^/9 = — ypr [sin²9 cos 9 + 2 cos 9]/

0

= - TP? [- 2] = {pr.

Angemerkt sei noch, daß man dies Integral auch unter Verwendung der goniometrischen Formel

sin³ 9 = -f- sin 9 — -j sin 3 9

behandeln kann. Man erhält dann leicht:

^/sin⁸ 9g?9 = — -f- cos 9 + ^ cos 39 + C.

§ 10. BEISPIELE ZUR INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION

Als einfachstes Beispiel bietet sich uns die Potenz einer linearen Funktion von x dar. Wir setzen also y = (ax + b)m} so daß u = ax + b wird. Dann ist x = (u — b) : a und

55 *=    » folglich wird

J (ax + b)mdx —J11

— du =

a

um + l

a(m + 1)

+ C.

Ist die untere Grenze etwa x₀, so wird u₀ — ax₀-F b und die Formel lautet:

X    ll

j*[ax-\-b)mdx — ^J i

X₀    Uo

umdu =

(ax + b)m + l (ax₀ + b)m +¹

a(m + l)

o(m+ 1)

Ist der Integrand, d. h. die Funktion, die integriert werden soll, sin {ax + b), so setzt man natürlich ax + b = u und dx 1

erhält    somit wird

du a '

jsin (ax -j- b)dx —    ssin u du — — cos (ax + b) + C.

Allgemein folgt daraus: kennt man

Jf(x)dx =

F(x), so ist

J*f(ax + b)dx=F(ax + b)-\-C.

Weiter behandeln wir das

IntegralJ

dx

(* + <0⁸+l

• Setzen

dx

wir hier x + a = u, so ist ^ — 1 und es wird C du

J-

In ähnlicher Weise verfahren wir, wenn der Nenner nicht (x + a)²-f- 1, sondern allgemeiner x²+ 2ax + b lautet. Wir verwandeln ihn zunächst in die Form (x + a)² + b — a2 und führen nun u so ein, daß wir wieder auf arctan kommen. Das geschieht durch die Substitution

(x + a)² + b — a² — (b — a²) (u² + 1).

Dann wird x + a = u]/b — a² und wir müssen demnach die Bedingung stellen, daß die Wurzel reell ist, b>a² und daß wir sie etwa mit dem positiven Vorzeichen nehmen wollen.

Nun ist ^ = ]/b — a² und es ergibt sich: r_dx

fj *

dx

(x + ay+l

x²-f 2 ax-\-b

— arctan (x + a) + C.

Yb — q²- du (b-a*) (ua+I) Yb^rp

arctan

Yb — ai

FC.

Weitere Beispiele sind:

J*V ax + bdx;

I Y ax + b dx = J-j iu²du = ~V(ax +b)³-\-C

— ~ij du — —₂]/a²x² + b² + C.

; ax -f- b = u²,

dx _ 2u du a ’

dx

* du a² ’

f'Va-x² + b²

Als Beispiel für eine trigonometrische Substitution wollen wir noch das Ellipsensegment berechnen. Aus der Gleichung der Ellipse mit den Achsen a und b ergibt sich für den Abschnitt S zwischen den Ordinaten der Punkte xx und x₂:

xdx

X₂    X₂

fydx=f^V?

X,    Xi

— x²dx.

dx

Setzt man hier x = a sinu, so wird ^ = a cosu, y = bcosu und man bekommt

Ul

a² cos²udu

a .o

u.,

= abj cos²udu

«i

T\

-W

=    [« + sin u cos u

Insbesondere erhält man für = 0, u₂ = \ n die Fläche eines Viertels der Ellipse \nab, für die ganze Ellipsenfläche demnach nab.

Allgemeine Regeln, um mit Hilfe einer Substitution zum Ziele zu gelangen, gibt es nicht; aber manchmal gelingt es, wertvolle Eigenschaften eines Integrales durch Substitution zu gewinnen. Ein Beispiel, das wir später benutzen werden,

X

Cdx

Sei das Integral \ — vorgelegt! Setzen dx 1    ®

wir hier cx = u, so wird ^ = —, die Grenzen werden ca

möge das erläutern.

und cx und es entsteht

X    cx    cx    cx

l'dx Ccdu 1 _ ( du _ rdx

J ~x —J U ' C ~J U ~J X '

a    ca    ca    ca

Wir haben hier zuletzt die Integrationsvariable statt u wieder x genannt, was offenbar ohne Einfluß ist. Wir sehen aus der Gleichung, daß sich das vorgelegte Integral nicht ändert, wenn man seine beiden Grenzen mit einer beliebigen Konstanten c multipliziert.

DRITTES KAPITEL

§ 11. DIE GLEICHSEITIGE HYPERBEL

Die gleichseitige Hyperbel, deren Gleichung wir in der einfachsten Form xy = 1, oder y — x~¹ annehmen, spielt in der Geschichte der Mathematik des 17. Jahrhunderts eine bedeutsame Rolle. Wohl hatte man bei der Hyperbel, wie bei der Ellipse und Parabel, schon im Altertum viele Eigenschaften aufgedeckt, man konnte vor allem auch ihre Tangenten konstruieren, aber es war nicht gelungen, wie bei den andern Kegelschnitten (vgl. §3 und § 10), den Flächeninhalt eines Segments zu berechnen. Diese Aufgabe, die um die Mitte des 17. Jahrhunderts auf mehrfache Weise gelöst wurde und zu einer belangreichen Erweiterung der bis dahin bekannten Funktionen führte, wollen wir jetzt in Angriff nehmen. Da für x = 0 die Ordinate y = oo wird, so können wir das Integral, das uns den Flächeninhalt liefert, nicht von der unteren Grenze x = 0 aus berechnen, wir müssen eine andere Grenze wählen, und zwar wollen wir x — 1 herausgreifen. Die obere Grenze sei ein beliebiger Punkt P mit den

Koordinaten x und y =— • Bezeichnet man den Scheitel

mit S und seine Projektion auf die x-Achse mit A, so ist OA = 1, SA — 1 und es handelt sich daher um die Berechnung der Fläche A QPS. Diese Fläche ist eine Funktion von OQ — x. Wir wählen als Funktionszeichen hier den Buchstaben / und schreiben demnach:

1)

Fläche AQPS

l(x).

Blicken wir auf die Formel (II) (S. 9) und beachten das am Schlüsse von § 6 auf S. 17 Gesagte, so haben wir hier gerade den dort ausdrücklich ausgenommenen Fall. In der Tat ist hier eine Lücke auszufüllen. Bilden wir die Differentialquotienten von x³, x², x\ x°, x~\ x~²,... so erhalten wir der Reihe nach 3x², 2x, 1,0, — x~², — 2x~³, . .. es fehlt also x~* in dieser Reihe. Um die neue Funktion l{x) kennen zu lernen, studieren wir ihre Eigenschaften. Ein Zahlenwert ergibt sich sofort aus der Definition, Z(l) =0. Jetzt kommt uns die am Schlüsse von § 10 gelehrte Tatsache zustatten,

daß

X    CX

Cdx^ Cdu J x J u

1    c

2)

oder auch

Xi    Xl*2

fdx^fdx J X J X

1    X.

Wl

.4

cx

Fig. 8.

ist, die in geometrischer Ausdrucksweise besagt, daß der Flächeninhalt zwischen den Ordinaten 1 und x (oder 1 und jc₂) gleich dem zwischen den Ordinaten c und cx (oder xx undjctx₂) ist. Verschiebt man also das Flächenstück unter der Hyperbel entlang der — jc-Achse und dehnt es in dem 0 Maße aus, wie die Höhe verringert wird, so bleibt seine Größe erhalten (s. Fig. 8). Nach dieser Formel 2) aber ergibt sich sofort die wichtige Gleichung :

*2    *1    *1*2 x,x₂

3)

1 1 1 *! 1

Das bedeutet aber für unsre unbekannte Funktion Z eine Funktionalgleichung:

4)

l(x i) + l(x₂) = 1{X\ x₂).

Eine solche Gleichung nennt man ein Additionstheorem, und wir erkennen, daß unsere Funktion dasselbe Additionstheorem hat, wie der gemeine Logarithmus. Weiter aber sehen wir, daß sie auch alle andern Eigenschaften mit dem Logarithmus gemein hat. Setzen wir nämlich x, =x» = x, so folgt aus 4) sofort Z(x²) = 2 l{x), und fortfahrend gewinnen wir für ein positives ganzzahliges n die Gleichung

5)

/(*”) = nl{x),

l(x) = nl(Ÿx)

die wir noch durch den Schluß von n auf n + 1 sichern können. Denn es wird l{xn + 1) = l(x^_ • x) = l{xn) + l(x) = (n+ l)/(x). Setzen wir in Gl. 5) y x an Stelle von x, so

erhalten wir:

oder

6) und wenn wir die Formeln 5) und 6) verbinden, so ergibt sich für jede rationale positive Zahl — die Gleichung

7) das bedeutet aber, daß die Formel 5) für alle rationalen, positiven Exponenten gültig ist. Da man jeder irrationalen reellen Zahl durch rationale Zahlen beliebig nahe kommen kann, und offenbar einer beliebig kleinen Änderung der oberen Grenze unseres Integrals auch stets eine beliebig kleine Änderung der Funktion (der Fläche!) entspricht, so gilt die Formel 5) auch mit beliebiger Annäherung für irrationale positive Exponenten.¹) Schreiben wir in Formel 4) x an Stelle

von Xj und setzen x₂ — —, so erhalten wir:

;w + ;(i) = /U) = o>

'(I) — Hx)

also wird

und daraus ergibt sich allgemein:

8)

l(x~n) = — n/(x), d. h. die Gleichung 5) besteht auch für negative Exponenten.

§ 12. DER NATÜRLICHE LOGARITHMUS

Die Funktion l{x), die alle Eigenschaften eines Logarithmus hat, nennt man den natürlichen Logarithmus und bezeichnet sie entweder mit dem bloßen Buchstaben l ohne

1) Eine strengere Darlegung gehört nicht in eine erste Einführung.

die Klammern, die wir bisher anwandten, oder auch durch lg oder ln oder log nat. Wir wählen die Bezeichnung lg und schreiben demnach:

(XVIII)

Kennen wir den natürlichen Logarithmus für irgendeine positive Zahlp, dann können wir mit Hilfe einer Tafel der gemeinen Logarithmen den natürlichen Logarithmus für irgendeine positive Zahl x finden. Wir brauchen ja nur einen Exponenten n so zu bestimmen, daß pn = x wird. Daraus folgen die beiden Gleichungen lgx = nlgp, log* = nlogp. Dividiert man beide Gleichungen durcheinander, so ergibt sich:

1)

d. h. wir erhalten den natürlichen Logarithmus irgendeiner positiven Zahl x, wenn wir ihren gemeinen Logarithmus mit einem von x unabhängigen, bestimmten Faktor multiplizieren,

den man gewöhnlich mit ^ bezeichnet; er ist der Quotient des

<z>‘

0,1 [l0,l    10,2    ■*" 11,oj <

< F < 0,1 [yö|ö + TÖ/f ÎÔ72 ^ lö^] oder ausgerechnet 0,094 86 < F < 0,09577.

natürlichen Logarithmus durch den gemeinen Logarithmus irgendeiner positiven Zahl (außer der Zahl 1). Mnennt man den Modul des Systems der gemeinen Logarithmen. Wählen wir die Zahlp = 1,1 = 11:10, so erhalten wir lg 1,1 =lg 11 —lg 10, also die Fläche zwischen den Ordinaten der Punkte x= 10 und x — 11, wo die Hyperbel schon recht flach ist. Unsere beiden Rechtecksummen liefern, wenn wir das Intervall iri 10 gleiche Teile zerlegen, für die Fläche F die Ungleichungen haben:

’r'1

„ö"e .

lg 1,1 - 0,09531.

Das arithmetische Mittel der beiden Rechtecksummen ist, wie man an einer Figur leicht erkennt, die Summe der Trapeze, die man erhält, wenn man die Sehnen der Hyperbel zieht, also auch etwas größer als F, und damit bekommt man angenähert

§ 13. DER DIFFERENTIALQUOTIENT DES LOGARITHMUS

(XIX)

Der Differentialquotient des Logarithmus Nun ist log 1,1 ä 0,04139, also wird der gesuchte Faktor

M ~ pn§5 œ num '°g °’³⁶²² ~ ²’³⁰²⁶'

Multipliziert man also die gemeinen Logarithmen mit dieser Zahl 2,3026, so erhält man die natürlichen Logarithmen.²)

In Fig. 9 ist die Kurve der natürlichen Logarithmen mit der gleichseitigen Hyperbel eingezeichnet; die links von der Ordinate des Punktes x = 1 entstehenden Flächen sind negativ zu rechnen, sie werden ja durch eine Bewegung der Anfangsordinate A S nach links hin erzeugt.

*'A

T*r-

igx

jL

--‘R

Fig. 9.

Aus der Grundformel (XVIII) ergibt sich zufolge der Definition des Integrals ohne weiteres eine wichtige Formel, die wir in der Differentialrechnung in Bd.I nicht gefunden hatten: d\gx

Will man nun einen beliebigen Logarithmus mit der Grundzahl a differenzieren, so muß man zunächst den Zusammenhang dieses Logarithmus mit dem natürlichen kennen. Bezeichne ich den a-Logarithmus von x mit 2, so besteht die Gleichung = x. Logarithmiere ich diese einmal nach a, ein zweites Mal nach dem natürlichen System, so entstehen die beiden

Gleichungen H = alogx und £lga = lgx, durch'deren Division man erhält:

alogx

lg a

Differenziert man diese Gleichung, so kommt die allgemeine Formel

(XX)

d alogx

x lg a

Mit diesen Formeln ist uns ein neues großes Gebiet eröffnet, in das wir nun einen kleinen Vorstoß machen wollen. Zunächst erlaubt uns Formel (XIX), in einem beliebigen Punkte P der logarithmischen Kurve (vgl. Fig. 9) die Tangente zu konstruieren. Wir brauchen nur auf der Ordinate PR — 1 anzumerken und durch R die Parallele zur x-Achse zu ziehen, die in T die y-Achse trifit. P T ist dann die gesuchte Tangente.

Sodann haben wir die Möglichkeit, logarithmische Ausdrücke zu differenzieren; einige Beispiele mögen hier kurz angegeben werden, deren genauere Ausführung dem Leser überlassen sei.

y = lg (an — x”)

nxn

y = lg(x+Vl + x²)

-l

y'= —

y = \gV 2 ax — x-a — x

a⁷¹ — xn

y'=

2 ax — x-

v Ÿ1+X*

y = \g(a-j-x -p)/ 2 a x -j- x²) 1

y = Y2ax + x* ’

y = lgYx* — a2 , x y — x²—a*

y = lg sin x y — cotx

y — lg cosx y — — tan x

y = lg tan x

'= 2 y sin2x’

Es kommt dabei eine Formel in Anwendung, die auf der Differentiation der Funktion einer Funktion beruht. Ist u eine Funktion von x, etwa u = cp(x), so heißt die Formel

d\gg>(x)

(XXI)

d\gu _u

dx

oder

qp'(x)

dx

cp (x)

Endlich aber sind wir auch imstande, eine große Anzahl von Integrationen auszuführen. Obige neun Differentiationsbeispiele geben umgekehrt ebenso viele Beispiele zur Integration; um nur an dreien das vorzuführen, schreiben wir:

fy==^+VT+7)₊c

oder z. B. als bestimmtes Integral:

i

=ig(i +V2I;

r dx

J'

j tan a: dx = — lg cos* -\- C

oder mit bestimmten Grenzen:

tan x dx = — lg cos -j- — y lg 2.

Der Formel (XXI) steht dann zur Seite als Gegenstück die allgemeine Formel

(XXII)

cp'(x)dx

= lgqpU) + c.

In Worten: Ist der Integrand ein Bruch, dessen Zähler der Differentialquotient des Nenners ist, so ist das Integral des Bruches der natürliche Logarithmus des Nenners.

So erhält man z. B. leicht die Formel

*COS 4- a) dt

<pW

./

a sin

= 2^tlg [Sin    + °) + b] + a

Ist ferner der Integrand    so bildet man daraus

cos

*    2 cos* ~

. x ’ tan

: da nun

2cos*4

Integration von Brüchen x

der Differentialquotient von tany ist, so folgt:

¹

Berechne das Integral auf anderem Wege mit Hilfe der Formel cos*x = (1-{-cos2x) : 2.

²

Vermehrt man eine Zahl x um 1%, so entsteht die Zahl x • 1,01, deren natürlicher Logarithmus lgx-{-lg 1,01 ist. Nun ist lg 1,01 = 2,3026 • log 1,01 = 0,00995 = 0,01, d. h. also: vermehrt man eine Zahl um /°/₀, so wächst ihr natürlicher Logarithmus angenähert um 0,01.

./i^=|K,anT + c-

Alle diese Formeln bedeuten geometrisch gewisse Flächeninhalte.

§ 14. DIE INTEGRATION RATIONALER ALGEBRAISCHER BRÜCHE

Bei einem rationalen algebraischen Bruch sind Zähler und Nenner Polynome mit einer endlichen Zahl von Gliedern, die nach fallenden Potenzen von x geordnet seien. Wir betrachten zuerst den einfachsten Fall.

I. Der Nenner ist ein linearer Ausdruck ax + b,

Falls der Zähler keine Konstante, sondern ein Polynom nten Grades in x ist, dividieren wir aus; wir erhalten dann einen ganzen Quotienten vom Grade n — 1 und im allgemeinen einen Bruch mit konstantem Zähler; so ist z. B.

(6x³- 13x² + 9* - 4) : (2x - 3) = 3x² - 2x-Hl-f

2x— 3

Die Integration gestaltet sich nun sehr einfach gliedweise:

=J (3*s - 2x + li 4

=    - x~ + +ilg(2x - 3) + C.

6xs— 13jc*-F9x — 4

2x — 3

2x — 3

)d x

Ebenso ergibt sich:

aX + bdx

cx -f d

-/(t

ad — b c

c(cx-\-d)

ad — bc

c*

lg {cx + d) + C.

II. Der Nenner ist ein quadratischer Ausdruck.

Wir dividieren wieder aus, bis ein Bruch übrigbleibt, dessen Zähler höchstens linear in x ist. Wir können es ferner durch

Kürzen stets erreichen, daß der Koeffizient von x² im Nenner 4* 1 ist. Dann haben wir die Aufgabe auszuführen:

dx.

mx-\-n

x*+px + q

Der Nenner läßt sich nun bekanntlich immer in zwei lineare Faktoren zerlegen. Lösen wir nämlich die Gleichung x² 4* px 4- g = 0 auf und nennen wir die Wurzeln a und ß, so ist

x¹ 4- px 4“ q = (x — a)(x — ß).

Wir haben die bekannten drei Fälle zu unterscheiden.

I. Die Wurzeln a und ß sind reell und verschieden (/r — 4 q > 0). Dann kann man immer zwei Zahlen A und B so bestimmen, daß identisch (d. h. für alle Werte von x)

A____B

x — et ' x — ß

mx -f- n

mx -f- n

.xs4-p*4-(7 (x —a)(x —ß)

wird. Wir multiplizieren dazu die Gleichung mit dem Hauptnenner und erhalten m x 4- n = A (x — ß) 4- B (x — a). Setzen wir hier nun x = a, so ergibt sich A = (ma -f- n) : (a — ß); setzen wir x = ß, so folgt B — (mß 4- n) : (ß — a). Damit aber haben wir sofort:

J x*-\-Px + q

ma 4- n /* dx a — ß J x — a

[(ma 4- n)lg(x-a) — (mß 4- n)lg(x — ß)] 4- C.

mx 4- n

dx =

mß -f n

a-ß

J*

dx

-ß

2. Die Wurzeln sind reell und gleich (pi — 4 <7 = 0, a = ß). In diesem Falle bestimmt man die Konstanten A und B so,

mx 4- n_

(x^öp ~ {x~—

B — m, also wird Cmx-|-n

J

daß

A    B

vwird. Man findet A=ma-f-n,

dx = —

ma-\-n

— 4- m lg (x - a) 4- C.

3. Die Wurzeln sind konjugiert komplex (p² — 4 <7 < 0). Dieser Fall ist leicht auf eine schon früher erledigte Integration zurückzuführen, indem man mx 4- n = -y (2x 4- p)

4* (n — setzt. Denn dann wird

+ («

2-f.

2 J ■

ULZ-) f

2 ).! :

^+*-dx

**+P* + <7

dx

** + />* + 4

Das erste Integral liefert einen Logarithmus und das zweite nach einer in § 10 entwickelten Formel einen Arkustangens.

Wenn der Nenner eine Funktion höheren Grades als des zweiten ist, so läßt sich stets eine analoge Partialbruchzerlegung ausführen, sofern man die Wurzeln des Nenners kennt.

§ 15. DIE EXPONENTIALFUNKTION

Wenn wir in Fig. 9 durch den Scheitel S der Hyperbel eine Parallele zur .v-Achse ziehen, so muß sie die logarith-mische Kurve schneiden, denn diese Kurve entfernt sich immer mehr von der Achse, da die Logarithmen stetig über jeden Betrag hinaus wachsen. Nennen wir den Schnittpunkt E und seine Abszisse e, so ist e die Zahl, deren natürlicher Logarithmus 1 ist. Der Zahlenwert ist sofort zu finden, denn der gemeine Logarithmus von e ist nach § 12 Gleichung (1).

log e = M ~ 1: 2,3026 ~ 0,43429

|e = 2,71828 ... ist die Grundzahl der natürlichen (XAlll) I Logarithmen ; wenn ex = y ist, so ist x *■ \gy.

also:

Man bezeichnet eine Potenz mit konstanter Grundzahl und

veränderlichem Exponenten als Exponentialfunktion; insbesondere heißt sie die natürliche Exponentialfunktion, wenn die Grundzahl e ist. Da wir den Differentialquotienten des Logarithmus kennen, so können wir auch die inverse Funktion, eben die Exponentialfunktion, differenzieren, denn die beiden Differentialquotienten sind reziprok.¹) Es ergibt sich also:

dg

dx

dx ^ " dg ^ ‘ g wir erhalten demnach die belangreichen Formeln

(XXIV) ^ = e-v und j e*dx = ex + C.

1) Vgl. Teil I § 16.

Die natürliche Exponentialfunktion ist also ihren sämtlichen Differentialquotienten gleich.¹) Für die beliebige Exponentialfunktion ax ergeben sich sofort die Formeln*)

(XXV) ~ = a-' lg a und

Einige Beispiele, die auch praktischer Anwendung fähig sind, seien hier angeschlossen:

1.

y = aceax y = {x -f- n) x7,~ lex

öS öS

_ ceax.

2.

= A⁷,e*;

K>| O

*);

3.    g

4.    y — e~'x (a sin tu a: -f b cos wa);

y — e~/x [— (aX -F bw) sin uua -p (am — frX) cos uuaJ

5.    Jxexdx = xex—( exdx = xex — e³⁷ -f- C

— I ex cos xdx

fic + e

6. * I o? sin xdx =

J ex Cosa‘.dx = ex cos a -p1 ex sin xdx;

e? sin x

aus den beiden letzten Gleichungen erhält man durch Subtraktion und Addition die Ergebnisse:

/ ex sin xdx — ye* (sin a — cos a) -p C; Je* cos xdx = \ex (sin a -p cos a) -p C.

§ 16. ANWENDUNGEN DER NATÜRLICHEN EXPONENTIALFUNKTION UND DES LOGARITHMUS

Die Funktion y = eax hat den Differentialquotienten y = aeaxt d.h. dieser Differentialquotient ist der Funktion y proportional. Auf dieser Tatsache beruhen im wesentlichen alle praktischen Anwendungen der Exponentialfunktion, wie an einigen Beispielen sofort klar werden wird.

1)    Vgl. das Verhalten der Differentialquotienten des Sinus und des Kosinus.

2)    Setze a — ea, dann wird ax = eax ! Was ist a?

i. Das Zinseszinsengesetz. Wenn ein Kapital k in einer gewissen Zeit p°/₀ Zinsen gibt, so sind diese Zinsen dem Kapital proportional. Bei der üblichen Art der Zinsenberechnung der Sparkassen werden die Zinsen, die in einem Jahre aufgelaufen sind, wieder zum Kapital geschlagen, das sich also aller Jahre gewissermaßenruckweise vermehrt und dann wieder verzinst wird. So erhält man in n Jahren den

Wert k (l -f-    , wobei n eine ganze Zahl sein muß. Es

drängt sich uns nun die Frage auf, ob und in welcher Weise ein stetiges Wachstum des Kapitals mit der Zeit durch Formeln dargestellt werden kann. Nennen wir das veränderliche Kapital y zur Zeit x, so muß die Änderung A y in der Zeit Ax dem augenblicklichen Werte y und der Zeit A x proportional sein. Bezeichnet man den Proportionalitätsfaktor mit X, so entsteht die Gleichung A y = \y A x. Dividiert man die Gleichung durch Ax und geht zur Grenze über, so kommt die Gleichung

1)

= \y, also ist y = ke‘ x,

denn dann wird y = \ke/x — \y. Setzen wir hier x = 0, so erhalten wir den Anfangswert yQ = k des Kapitals. Messen wir die Zeit x in Jahren, so folgt aus dem Vergleich mit der gewöhnlichen Verzinsung in einem Jahre die Beziehung

k ( 1 “ł” ioö) ⁼ ke'y und daraus ergibt sich:

2)

X =lg (¹ +lbö)‘

Man nennt diese Art der Zunahme einer Größe y organisches Wachstum, da man sich vorstellt, daß das stetige Wachsen in der Natur, z. B. bei Pflanzen, innerhalb einer gewissen Zeit so erfolgt.¹)

Andere Beispiele folgen weiter unten, vorher aber wollen wir an diese Betrachtung noch eine Überlegung anknüpfen, die uns zu einem bemerkenswerten Grenzwerte führt. Wir können nämlich jenes organische Wachstum des Kapitals k auch noch anders darstellen.

Wir gehen von der Gleichung Aÿ = XyAx aus und

denken uns das A x als den mten Teil eines Jahres A x = — •

Jahre wird demnach das Anfangskapital den Betragt 11 -f — )

erreicht haben. Läßt man jetzt m über alle Grenzen wachsen, so wird nach einem Jahre der Wert fee'¹ herauskommen; also hat man, wenn man durch fe kürzt, die wichtige Beziehung¹)

lim (t + —Y - ek.

m = oo X    '

(XXVl)j

Diese Formel kann man auch durch Reihenentwickelung — auf die wir jedoch nirgends eingegangen sind—unmittelbar finden und zur Definition der Größe e benutzen; so pflegt man meist vorzugehen und von hier aus alle früheren Ergebnisse und Formeln für die Differentiation des Logarithmus und der Exponentialfunktion abzuleiten.

2. Das Erkaltungsgesetz. Wenn ein Körper an allen Punkten seiner Oberfläche dieselbe Temperatur hat, die um OGrad höher sei, als die konstante Temperatur seiner Umgebung, so gibt er (nach Newton) in jedem Augenblick an die Umgebung eine der Temperaturdifferenz 9 proportionale Wärmemenge ab. Die Temperatur des Körpers wird mithin in jedem Augenblick eine dieser Temperaturdifferenz proportionale Abnahme erleiden. Bezeichnen wir die Zeit mit t, so ist demnach zunächst A0 = — aQ A t, und daraus ergibt sich die dQ

Gleichung = — a0, so daß also das Newtonsche Erkaltungsgesetz:

3)

Q — %e~at oder lg 0O — \gQ = at

folgt; dabei ist ersichtlich 0O der zur Zeit t = 0 vorhandene Temperaturüberschuß. Hat man durch Beobachtung zu den Zeiten tv und t₂ die Temperaturüberschüsse 0j und 0₂ des

mit Hilfe der

/ 1 \m

1) Berechne für X = 1 den Wert von (1 -j- — j

Logarithmentafel für m = 1, 5, 10, 50, 100, 1000 und vergleiche diese Werte mit e = 2,71828...

Körpers über die Temperatur der Umgebung gefunden, so ergibt sich durch Subtraktion die Gleichung

7/ %

lg ei — lg e2 = a (4 — *i),

und man findet

4)

CD <X>

*(VKrrp

t-t

3. Die barometrische Höhenformel. Nachdem Torncelli (1608—1647) 1643 das Quecksilberbarometer erfunden hatte, schloß Pascal (1623—1662), daß die Barometersäule beim Besteigen eines Berges sinken müsse, weil der Luftdruck geringer werde — was Périer 1648 bei Besteigung des Puy de Dôme bestätigte. Dieses Sinken des Barometers kann man zur Messung von Höhen verwerten. Wir nehmen an, daß überall dieselbe Temperatur herrscht und wollen die Beziehung zwischen dem Barometerstand b und der Höhe h aufsuchen. Wenn wir um die Höhe A h steigen, so sinkt die Barometersäule auf einen Betrag b + A b, wo also Ab negativ ist; da 13,6 das spez. Gew. des Quecksilbers ist, so ist die Druckverminderung 13,6 ’Ab. Bezeichnen wir das spez. Gew. der Luft an dieser Stelle mit s, so folgt die Gleichung 13,6* A b — — s • Ah. Nun sagt das Gesetz von Boyle (1627—1691), daß das Produkt aus Druck und Volumen einer bestimmten Gasmenge bei derselben Temperatur immer denselben Wert hat; da das spez. Gew.dem Volumen umgekehrt proportional ist, so folgt demnach für zwei Zustände b} s und b₀, s₀ die Beziehung b:s = b₀:s₀. Berechnen wir darauss und setzen diesen Wert in die frühere Gleichung ein, so ergibt sich

Ab

b b-Ah. Gehen wir jetzt zur Grenze über und

bezeichnen der Kürze halber den konstanten Faktor mit p, so erhalten wir die Gleichungen

5)    - uh; b = b₀e~f,h; h = £ Ogb₀ - lgb).

Wählen wir insbesondere = 76 cm als Barometerstand bei der Meereshöhe h = 0 m, so ist s₀ = 0,001293 gr. cm“³, und es wird p ~ 1: 799381. Nimmt man die gemeinen Logarithmen statt der natürlichen, so tritt noch der Faktor 2,3026 hinzu, und man erhält nach Division durch 100 das Ergebnis in Metern:

6)

h ~ 18400 (1,8808 - log 6) Meter.

VIERTES KAPITEL

§ 17. DIE BOGENLÄNGE EBENER KURVEN

Die Bestimmung der Länge des Bogens einer ebenen Kurve, die sogenannte Rektifikation, ist ebenfalls eine Aufgabe, die von der Integralrechnung in allgemeinster Weise gelöst wird. Wir gehen, wie bei der elementaren Berechnung des Kreisumfanges, von einem Sehnenvieleck aus, bezeichnen den Bogen als Funktion von x mit s und lassen x um Ax wachsen; dann wächst y um Ay} und die dadurch bestimmte Sehne nennen wir As. In dieser Annahme liegt ein grundsätzlicher Unterschied zu der elementaren Kreisberechnung; dort geht man von Vielecken mit lauter gleichen Seiten aus, hier sind die Stücke Ax der Abszissenachse alle untereinander gleich und die zugehörigen As untereinander verschieden. Aus dem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten As, Ax, Ay ergibt sich As² = Ax² + Ay\ Dividiert man diese Gleichung durch Ax², zieht die Quadratwurzel und geht zur Grenze über, so kommt

(XXVII)

und s

£:=j/l + (^)²

*2

= jv 1 + y'²dx.

Es mag nochmals daran erinnert sein, daß die Formeln nur für sogenannte „vernünftige“ Kurven gelten und daß bei dem Integrale y zwischen den Grenzen xt und x₂ nicht unendlich werden darf.

Beispiel 1. Der Kreisbogen. Die Gleichung des Kreises x² + y² = r² liefert bekanntlich y — — x : y, also erhält man für den Bogen:

C/3

H | Sn

O.

Ht.

R.

le

I«

[arcsin ?r

Nehmen wir jq = 0, x₂ = r, so ergibt sich als Bogen des Viertelkreises:

daher ist der ganze Kreisumfang 2 irr.

Beispiel 2. Der Parabelbogen. Aus der Parabelgleichung

es ist dann

x² = 2p y folgt 2x — 2 py';

a. «

Setzt man xx = 0, rechnet also den Bogen vom Scheitel aus, so wird das Integral für die untere Grenze gleich Null, und der in eckige Klammern geschlossene Ausdruck stellt den Bogen vom Scheitel bis zum Punkte x, y dar.

Beispiel 3. Der Bogen der Neilschen Parabel. Die Gleichung der Neilschen Parabel, die der Leser selbst zu zeich-

nen

gebeten wird, lautet y² = pxä oder y—YpxDaraus folgt y' = yVpx‘ Der Bogen vom Anfangspunkt bis zum Punkte x, y ist also

9 px

21p

(> + W-

Beispiel 4. Der Bogen einer Kettenlinie vom tiefsten Punkte (x = 0) bis zum Punkte x, y. Die Gleichung der Kettenlinie ist

mithin folgt nach leichter Rechnung:

5=2/ dx

4+ (em -

,em -f e

m) dx

my'=yÿ²— m².

_r-)-

Nun ist aber für x = 0, wie man sofort sieht, y = m, und somit ist die Bogenlänge gleich der einen Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete die Ordinate des tiefsten Punktes und dessen Hypotenuse die Ordinate des oberen Endpunktes ist. Man erkennt aber weiter, daß man die Bogenlänge auf der Tangente des Endpunktes abschneiden kann durch das Lot, das man vom Fußpunkte der Ordinate des Endpunktes auf die Tangente fällt, und daß dieses Lot die konstante Länge m hat.

Der Leser wird gebeten, die besprochenen Kurven zu zeichnen und an ihnen Tangenten zu konstruieren, sowie Flächenberechnungen auszuführen.

§ 18. OBERFLÄCHE UND INHALT VON UMDREHUNGSKÖRPERN

Dreht man eine Kurve um die x-Achse des Koordinatensystems, so beschreibt die Sehne As den Mantel eines Kegelstumpfs, der nach bekannter elementarer Formel

TT As (y -b y + A y) — 2ttz/As + TtAyAs

ist. Beim Übergang zum Integral verschwindet das zweite Glied, da es ja zwei verschwindende Faktoren A y und As hat, und man erhält für die Oberfläche die Formel

b    b

(XXVII!) O = 2 nj y ds = 2 ctj y Y\ + y'² dx.

a    *    a

Für den Rauminhalt des Kegelstumpfs ergibt sich : y Ax [y² + y(y + Ay) + (y + Ay)²]

= ttz/²Ax -b y AxAl/ (3 y -b A y).

Daher gewinnt man nach ähnlicher Überlegung wie vorher die Formel für das Volumen:

(XXIX)

V = njy²dx.

Wir wollen diese Formeln an einigen Beispielen erläutern — die Kugel überlassen wir dem Leser zu eigner Betätigung.

1. Der Kreisring. Der Mittelpunkt des Kreises habe die Koordinaten x — 0, y = a, die Gleichung des Kreises ist also

x² + (y — a)² = r², mithin ist y' — — x : (y — a).

Die Oberfläche wird sich aus zwei Teilen Ot und 0₂ zusammensetzen, die wir dadurch voneinander trennen können, daß wir in dem Ausdruck y — a + Vr² — x² für den einen Teil (den äußeren mit sogenannter positiver, kuppelförmiger Krümmung) die Wurzel mit dem positiven Vorzeichen nehmen, für den inneren (mit negativer, sattelförmiger Krümmung) mit negativem Vorzeichen. Es ergibt sich:

x*

°‘} = 2tt f(a ±Vr² - x²) dx}/1 +

-fr

4- r] dx = 2Tr j ar • arcsin y ± rxj

= 2ttar ± 4Trr².

Es ist demnach

Ox = 2ît²ar -f 4îtr² und 0₂ = 2tt²ar — 4ttr².

Ol -f Oa = O = 4TT⁸ar.

Addieren wir die beiden Werte, so entsteht die Gesamtoberfläche

Lassen wir in der Formel für Oi die Strecke a = 0 werden, so finden wir die Kugeloberfläche.

Für den Rauminhalt der beiden Teile erhalten wir den Ausdruck:

} = frJ (a² ± 2a]/r² — x² -f- r² — x²) dx

— r

— Tr £(a² -f r²) x — y ± a (xj/r² — x² + r² arcsin |⁺^

= 2Trr (a² -fr²)-3

2 rr C i

TT

TTr³ -f- 2Tra²r± n²ar²

CO 00

Tr r³ + 4îra²r.

2.Das VolumendesDrehungsellipsoides. IstdiegroßeAchse der Ellipse mit der Gleichung y² — b² (a² — x²) : a² die Drehachse, so erhält man ohne weiteres die Formel für das Volumen V :

*1

*fy²äx = ^r

Xi

=    (^2 — x₅) (3 a² — X² - Xi x₂ - x²).

Eine weitere Umrechnung ergibt, wenn man noch x₂~xx—h setzt und die Gleichung der Ellipse beachtet:

v = \ h (syl 4- 31/| 4- ^r-).

Das Volumen des ganzen Ellipsoïdes erhält man für y, = 0, y»= 0, h = 2 a:

V = in ab².

Für a — b kommt der Kugelinhalt.

3. Ein besonderes einfaches Beispiel bietet der Körper dar, der durch Umdrehung der Parabel y²= 2px um die x-Achse entsteht, das Rotationsparaboloid. Wir überlassen die Berechnungen dem Leser.

§ 19. DIE GULDINSCHEN REGELN

Die Formeln (XXVIII) und (XXIX) lassen noch eine bemerkenswerte Deutung zu. Wenn man sich die Kurve von der Länge s, den „Meridian“, gleichmäßig so mit Masse bedeckt denkt, daß die Längeneinheit 1 cm gerade 1 g Masse hat, so ist s zugleich die Maßzahl ihrer Masse. Bezeichnet nun r\ den Abstand des Schwerpunktes der Kurve von der x-Achse, so ist zufolge der Bedeutung des Schwerpunktes

b

l)

ns =Jyds

(XXVIII a)

und die Formel (XXVIII) nimmt daher die Form an: o = 2irns.

Ist ferner n* der Abstand des Schwerpunkts der rotierenden Fläche F von der x-Achse und ist die gleichmäßige

Die Guldinschen Regeln

47

Massenbelegung so, daß 1 cm² 3 mit 1 g Masse bedeckt ist, so hat man

2)

n *F

y‘³ dx.

Um die Richtigkeit dieser Beziehung einzusehen, bedenke man, daß die Fläche F in Rechtecke von der Höhe y und der Breite Ax zerlegt war, deren Inhalt yAx ist und deren Schwerpunkt jedesmal im Mittelpunkt des Rechtecks liegt, daher den Abstand \y von der x-Achse hat. Deshalb ist das statische Moment eines jeden solchen Rechtecks y/Sx-\y, somit stellt die rechte Seite der Gleichung 2) den Grenzwert der Summe aller dieser statischen Momente dar. Der Schwerpunkt ist aber doch gerade dadurch definiert, daß man die ganze Masse F in ihm vereinigt denkt und sein statisches Moment r|*F der Summe jener statischen Momente gleich setzt. Führt man den so gewonnenen Wert von p* in die Gleichung (XXIX) ein, so ergibt sich:

27T11 *F.

(XXIX a)

Die beiden Formeln (XXVIII a) und (XXIX a) faßt man zusammen in den sogenannten Guldinschen Regeln *) :

Die Oberfläche einer Umdrehungsfläche ist gleich der Länge s eines Meridians multipliziert mit dem Wege 2irr) seines Schwerpunktes.

Das Volumen einer Umdrehungsfläche ist gleich dem Inhalt F der rotierenden Fläche mulipliziert mit dem Wege 2irr) * ihres Schwerpunktes.

§ 20. DIE BESTIMMUNG VON FLÄCHENINHALTEN DURCH LINEARE MESSUNGEN DIE SIMPSONSCHE REGEL

Wenn eine Kurve durch Zeichnung gegeben ist und man soll ein Segment berechnen, das außer von dem Kurvenbogen von zwei Ordinaten und einem Stück der Abszissenachse begrenzt ist, so kann man vielfach mit Erfolg aus linearen Messungen die Größe der Fläche finden. Ein Beispiel haben wir ja schon bei der gleichseitigen Hyperbel in §12 ausgeführt und in § 1 war bereits darauf hingewiesen. Man teilt die Strecke (b — a) von x = a bis x = b in n gleiche Teile von der Größe (b — a):n — h, errichtet in den Teilpunkten die Ordinaten p₀, ylf p₂,... yn und kann jetzt eine der folgenden Vereinfachungen eintreten lassen:

1.    Man bildet die „innere Treppe“, deren Inhalt

¹

Ermittle die Größen y und \ für verschiedene Werte von p; berechne und zeichne den Verlauf für p = 33 j für einige Jahre.

²

Guldin lebte 1577—1643; die Regeln sind aber bereits von

³

Pappus (4. Jahrh. n. Chr.) gefunden worden.

ist.

f⁷! = Myo + tfi H----t-tfn-i)

2.    Man bildet die „äußere Treppe“, deren Inhalt

ist.

^2 = h(yl + ya + • • + yn)

3.    Man berechnet die einzelnen Streifen als Trapeze, indem man also die Kurvenbogen durch ihre Sehnen ersetzt; die Summe Fs der Trapeze ist das arithmetische Mittel aus Ft und F₂. Es ergibt sich für die Fläche F:

F ~ Fz = HjVo + Ux + 02 H----+ Vn-1 +iyn)

4.    Häufig wird die Annäherung noch größer, wenn man, statt je zwei aufeinanderfolgende Kurvenpunkte geradlinig zu verbinden, immer durch drei aufeinanderfolgende Kurvenpunkte einen Parabelbogen legt, dessen Achse parallel der p-Achse ist, was nur auf eine Art möglich ist. Zur Ableitung der Formel betrachten wir zunächst die Parabel £² = 2pr\. Das Segment, das sich von der Abszisse £₀ bis zur Abszisse

⁼    + 2/ł erstreckt, ist

4

hdl=fidl

₌ [ü(s₀+ 2 hy _ j|_ L6pJ|₀    6 p    6 p

= *[§ + <

£o + hy ,    (S₀ + 2 h)

2p

2p

2p

’]

L

— 3 Oio + 4 ni + na).

Verschiebt man die l-Achse um ein Stück q und bezeichnet die neuen Ordinaten mit y — n -f- qf so wächst die Fläche des Segments um 2hq, und man bekommt für das neue Segment zwischen den Ordinaten y₀ und y.₂ die Formel

2 h q + § [0/o — q) + 4 (p, — <7) + (pa — 9)] = |(p₀+4pi +y2),

also denselben Ausdruck wie vorher, der sich nur aus der Breite h und den drei Ordinaten zusammensetzt. Ist also n eine gerade Zahl, so bildet man diese Ausdrücke aus den Ordinaten y₀, yx, y₂; y₂, ÿ₃, yA; ... ; ÿn_₂, yn_x, yn und addiert alle; es ergibt sich für die Fläche F somit der vierte Näherungswert:

F~ F₄ =

c*j| Sr

[tfo + ⁴0/i + #3 + ya H----+ yn-\)

+ 2 (ya + z/₄+y₆ +-■ + y„_₂) + y j.

Diese Formel heißt die Simpsonsche Regel¹); sie läßt sich leicht in Worte kleiden. Der Leser führe das Beispiel von

S. 31 weiter durch.

Da jedes bestimmte Integral als Flächeninhalt gedeutet werden kann, so enthalten die obigen Formeln zugleich Vorschriften zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale.

ANHANG

AUFGABEN ZUR INTEGRALRECHNUNG 1. Stelle eine Tabelle von unbestimmten Integralen als Umkehrungen der Formeln der Differentialrechnung her.

Berechne:

2.

3.J\ax 4- b) dx; J3 (2 ax -f- b) (ax² -j- bx 4- c)² dx.

4.

ax 4-b

---dx.

Yax*-\-2bx -f- c

Tt

5.

6.

ja cos (ax 4- b) dx;    J*-

0    0

J cos² x dx; tfcos³xdx; fsiryxdx.

cos²(ax-f- b)

dx.

8.

7.

5    2

,/t* f

2

2x + 7 x* + 7x + 5

cfx;

3

r djc J

5x — 3

9. Untersuche

dx

(X_l) (X — 2) (x — 3)

J*dx geometrisch, insbesondere im

Falle ab - ßT = 0! (§ 14,1.) 10 .J xe~x*dx

12.

Jlgxdx.

arcsin xdx (trigonometrische Substitution und

11.

fié*

dann Teilintegration oder umgekehrt).

bn + 1 — an + 1

13. Bestimme den Grenzwert von

für n = — 1

b

(0 < a<b) unter Zuhilfenahme der Formel für fxndx.

14.    Berechne Oberfläche und Inhalt eines Rotationskegels.

15.    Ermittle den Wert von

f dx 1/

0

= [arctan x] = -j

1 +x*

a)    nach der Trapezformel,

b)    nach der Simpsonschen Regel;

zerlege dazu die Strecke auf der x-Achse in 10 gleiche Teile und rechne auf 5 Stellen genau. Vergleiche die er-

TT

haltenen Werte mit dem Werte von

Elemente der Mathematik. Von Dr. E. Borei, Prof, an der Sorbonne zu Paris. In 2 Bdn. Dtsch. Ausg. besorgt von Geh. Hofrat Dr.weil. Prof. a.d.Univ. Heidelberg. I.Bd.: Arithmetik u. Algebra nebst d. Elementen d. Differentialrechnung. 2. Aufl. Mit 56Textfig. u. 3 Taf. [XVI u. 404 S.] 8. 1918. Geh. M. 18.—, geb. M. 22.—. II Bd. : Geometrie Mit einer Einführung in die ebene Trigonometrie. 2.Aufl.M.442Fig.i.Textu.2Taf. 8.1920.Geh.M. 16.—,geb.M 20.— Grundlehren der Mathematik. Für Studierende u. Lehrer. In 2 Teilen. Mit vielen Fig. gr. 8. I. Teil: Die Grundlehren der Arithmetik u. Algebra. Bearb. von Geh. Hofrat Dr. E. Netto, weil. Prof, an der Univ. Gießen, und Dr. C. Färbet, weil. Oberrealschulprof. in Berlin. 2 Bände. I. Band: Arithmetik. Von C. Färbet. Mit 9 Fig. [XV u. 410 S.] 1911. Geb. M. 22.— II. Band: Algebra. Von E. Netto. [XII u. 232 S.] 1915. Geb. M. 18.—. II. Teil: Die Grundlehren der Geometrie. Bearb. von Geh. Reg.-Rat Dr. W. Frz. Meyer, Prof, an der Univ. Königsberg, und Realgymnasialdir. Prof. Dr. H. Thieme. 2 Bände. I. Band: Die Elemente der Geometrie. Bearb. von H. Thieme. Mit 323 Fig. [XII u. 394 S.] 1909. Geb. M. 11.—. II. Band, [ln Vorb.] Höhere Mathematik für Ingenieure. VonProf.D x~J.Petry. Autor, dtsch. Bearb.v.Geh.Hofrat Dr.R.Ft icke, Prof. a. d.Techn. Hochschule in Braunschweig und F. Süchttng, Prof, an d. Bergakademie in Clausthal. 3. Aufl. Mit 106 in d. Text gedr. Fig. [XVI u. 450 S.] gr. 8. 1919. Geh. M. 20—, geb. M. 22.—

„Hier ist ein Lehrmittel entstanden, das bei der Reichhaltigkeit der in die mathematischen Aufgaben hineingearbeiteten Sammlung von Anwendungsbeispielen weit mehr bietet als ein gewöhnliches Lehrbuch der Integral- und Differentialrechnung.“ (Zentralbl. d. Bauverwaltg.)

Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung und ihrer Anwendungen. Von Geh. Hofrat Dr. R. Friche, Prof, an der Techn. Hochsch. Braunschweig. In 2 Bänden, gr. 8. I. Bd. : Differentialrechnung. 2. u. 3. Aufl. Mit 129 in den Text gedr. Fig., einer Sammlung von 253 Aufg u. einer Formeltab. [XII u. 388 S.] 1921. II. Bd.: Integralrechnung. 2. u. 3. Aufl. Mit 100 in den Text gedr. Fig., einer Sammlung von 242 Aufg. u. einer Formeltab. 1921.

Das Problem des Unterrichts in den Grundlagen der höheren Mathematik an den Technischen Hochschulen ist seit mehr als zwei Jahrzehnten nicht nur wiederholt besprochen und in Monographien behandelt, sondern hat auch die Gestaltung der neueren Lehrbuchliteratur wesentlich beeinflußt. Auch das vorliegende Lehrbuch ist aus dieser Bewegung hervorgewachsen.

Vorlesungen über Differential- u. Integralrechnung. VonHofratDr. E. Czuber, Prof. a. d. Techn. Hochsch.Wien. gr. 8. I.Bd. 4., Sorgfalt, durchges. Aufl. Mit 128 Fig. [XII u. 569 S.] 1918. Geh. M. 16.—,geb.M.24.—. II. Band. 4.,sorgf.durchges.Aufl. M.i i9Fig. [XIu. 599S.] 1919. Geh.M.20.—,geb.M.24.—

„Die Darstellung ist ungemein klar und einfach, die Anordnung des Stoffes musterhaft, die Anwendungen, besonders aus dem Gebiete der Geometrie, vortrefflich ausgewählt und vielfach durchausoriginell. Auch dieAusführung der zahlreichen Figuren ist znloben.“( Archiv d.Math.u.Phys )

Lehrbuch der darstellenden Geometrie für Technische Hochschulen. Von Hofrat Dr. E. Müllet, Prof. a. d. Techn. Hochschule Wien. I. Bd. 2. Aufl. Mit 289 Fig. u. 3 Taf. [XIVu. 370 S.] gr. 8. 1918. Geh.M.21.—, geb. M. 24.— II. Bd. Mit 328 Fig. [X u. 361 S.] 1919. Geh. M. 21.—, geb. M. 24.— II. Band auch in 2 Heften erhältlich: i.Heft. 2. Aufl. Mit 140 Fig. [VII u. 129 S. | 1919. Geh. M. 7.40. 2. Heft. 2. Aufl. Mit 188 Fig. [VII u. 233 S.] 1920. Geh. M. 14.—

„ . . . Das meisterlich geschriebene Werk ist als eins unserer besten Lehrbücher zu bezeichnen und den Studierenden der technischen Hochschulen aufs angelegentlichste zu empfehlen.“    (Archiv der Mathematik und Physik.)

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Thomas Simpson 1710—1761.

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Math.-phys. BibL 41 : Wilting, Integralrechnung