WYDZIALY POUTECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GtÖWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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HANDBUCH

DARSTELLENDE GEOMETRIE

Dreikantskonstruktionen.

Ramngeometrische Konstruktionen bei besonderen Lagenverhältnissen.

Parallelprojektion. Axonometrie.

Grundlagen und Methoden der perspektivischen Darstellung.

Perspektive Raumfiguren.

Pol und Polare. Das Dualitätsprinzip.

Die Ellipse.

Errichtet man in dem Schnittpunkt T von t mit x

denken. Die Evolute ist eine einfache Kurve und ka

Zyklische Kurven.

Umdrehungsfläclien.

Umdrehiingskegelschnittflächen.

Stenographische Projektion.

Krümmungskreis.

Schraubenlinien und abwickelbare Schraubenflächen.

Zwölftes Kapitel. Windschiefe Flächen.

Aus der Betrachtung der Grundrißprojektion der Fig

Vierzehntes Kapitel.

Zusätze.

HANDBUCH

DER ANGEWANDTEN MATHEMATIK

HERAUSGEGEBEN VON

De. H. E. TIMERDING

O. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN BRAUNSCHWEIG

ZWEITER TEIL

DARSTELLENDE GEOMETRIE

VON

J. HJELMSLEV

LEIPZIG UND BERLIN DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

DARSTELLENDE GEOMETRIE

VON

De. JOHANNES HJELMSLEV

O. PROFESSOR DER DARSTELLENDEN GEOMETRIE AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN KOPENHAGEN

MIT 305 ABBILDUNGEN IM TEXT

LEIPZIG UND BERLIN

DRÜCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

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COPYRIGHT 1914 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG

ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN

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YORWORT DES HERAUSGEBERS

Während für die „praktische Analysis“, die den ersten Band dieses Handbuches bildet, kaum auf eine vorliegende erschöpfende Darstellung verwiesen werden konnte und auch eine kurze Zusammenstellung der mathematischen Grundlagen von Geodäsie und Astronomie, wie sie der binnen kurzem erscheinende dritte Band gibt, nirgends zu finden ist, gibt es für die darstellende Geometrie, welcher der vorliegende zweite Band gewidmet ist, eine Fülle von Lehrbüchern. Trotzdem ist, was hier geboten wird, wie ich glaube, in keinem der vorhandenen Lehrwerke dem Wesen nach enthalten. Gemäß den Absichten, die unser Handbuch verfolgt, handelte es sich für uns nicht bloß um eine Behandlung der darstellenden Geometrie als einer zweckmäßigen Einführung in die technischen Wissenschaften, sondern auch um ein Hervorkehren ihrer selbständigen Bedeutung als einer besonderen Begründungsart der Baumgeometrie. Dadurch, daß sie zu gleicher Zeit hinüberführt zu den technischen Problemen, zeigt sie schöner und deutlicher als irgendein anderer Zweig der Mathematik die enge Verbindung von theoretischer Forschung und praktischer Anwendung. In diesem Lichte soll sie hier erscheinen. Sie soll so dem Techniker Gelegenheit geben., seine wissenschaftliche Auffassung zu vertiefen, und dem Mathematiker, den Weg zu finden von seiner abstrakten Wissenschaft zu den Aufgaben der Praxis.

Braunschweig, im November 1913.

H. E. Timer ding.

VORWORT DES VERFASSERS

Die darstellende Geometrie ist aus den Bedürfnissen der Kunst und der Technik erwachsen. Sie ist deshalb immer als angewandte Mathematik aufgefaßt worden und ist es tatsächlich im Hinblick auf den engen Anschluß ihrer Problemstellung an die Bedürfnisse der praktischen Konstruktionen, sie ist aber anderseits nach Form und Methode eine rein mathematische Disziplin. In dieser doppelten Bedeutung dürfte sie eines noch höheren Platzes innerhalb der mathematischen Wissenschaften würdig sein als sie bisher einnimmt. Ohne daß ihr praktischer Wert irgendwie beschränkt würde, könnte sie bei ihrem elementaren Charakter und wahi-haft geometrischen Geist dazu berufen sein, die naturgemäße Einleitung zum Studium der höheren Geometrie zu bilden. In dieser Bedeutung kommt sie namentlich für die Universitäten in Betracht, und da das vorliegende Lehrbuch wesentlich für Studierende der Universitäten, d. h. für künftige Lehrer der Mathematik bestimmt ist, mußte auf die wissenschaftliche Bedeutung der darstellenden Geometrie und die wissenschaftliche Exaktheit ihrer Behandlung besonderer Wert gelegt werden.

Über die Ausführung im einzelnen sollen nur wenige Worte vorausgeschickt werden. Als Grundlage der Konstruktionen im Raume dient die im ersten Kapitel behandelte einfache senkrechte Projektion auf die Zeichenebene. Wenn der Studierende diese kurze Darstellung sorgfältig durchgearbeitet hat, ergibt sich ihm die doppelte Projektion ganz von selbst, und die anderen Methoden, Parallelprojektion und Zentralprojektion, schließen sich, was die metrischen Konstruktionen anbetrifft, eng daran an.

Für die Kurvenlehre haben wir im siebenten und zehnten Kapitel ganz neue Grundlagen gegeben, die allgemeiner, natürlicher und vollständiger sind als die Entwicklungen, die man in den analytischen Darstellungen der Infinitesimalgeometrie gewöhnlich findet. Es ließe sich in dieser Hinsicht noch manches hinzufügen; bei dem beschränkten Raum war es aber nicht möglich.

Die entsprechende allgemeine Behandlung der Grundlagen der Flächentheorie würde einen breiteren Raum beanspruchen und über den elementaren Charakter unseres Buches hinausführen. Da der Umfang des Bandes ein möglichst bescheidener bleiben sollte, mußten wir darauf verzichten, diese Behandlung zu bringen. Wir haben deshalb die Untersuchungen auf spezielle Flächenklassen beschränkt und haben an mehreren Stellen nur kurze Andeutungen statt vollständiger Beweise geben können.

Die bestimmten praktischen Aufgaben, auf welche die darstellende Geometrie angewendet wird, haben wir überall nur so weit angedeutet, daß der matbematische Charakter dieser Anwendungen deutlich hervortritt. Die ausführliche Darstellung der Anwendungen hätte das Hineinziehen vieler technischer Einzelheiten notwendig gemacht und die geometrische Eigenart der Konstruktionen nur verwischt. Damit steht in Zusammenhang, daß die Figuren recht einfach geblieben sind; bei verwickelten Zeichnungen geht die Übersichtlichkeit verloren, die einzelnen Schritte lassen sich nicht mehr deutlich erkennen und in ihrem Zusammenhang verfolgen. Die Figuren sind durchweg als Erläuterungen des Textes und nicht als Zeichenvorlagen aufzufassen. Wer solche Vorlagen wünscht, wird übergenug in den am Schlüsse zitierten Sammlungen finden.

Das Buch setzt nur die elementarsten geometrischen Kenntnisse voraus. Die an einzelnen Stellen knapp gehaltene Form wird hoffentlich nur anregend auf den Leser wirken; wir halten es für gut, ihm die Freude der Selbsttätigkeit nicht ganz zu nehmen.

Es bleibt mir noch übrig, meinen besten Dank dem Herausgeber, Herrn Professor Timerding, auszusprechen, der durch Übersetzung und Durchsicht meiner Manuskripte und durch wertvolle Ratschläge mir eine unentbehrliche Hilfe geleistet hat.

Kopenhagen, im August 1913.

J. Hjelmslev.

INHALTSVERZEICHNIS.

Seite

' Erstes Kapitel.

Einfache Projektion.

Stereometr. Grundaufgaben .    1

Dreikantskonstruktionen. . .12 Projektion eines Kreises. . . 15

Seite

Perspektive ebene Felder. . 68 Perspektive Raumfiguren . . 75

Zweites Kapitel.

Doppelte Projektion.

Grundaufgaben......

Einfache Körper .....

Durchdringungen v. Polyedern 27 Raumgeometrische Konstruktion en bei besonderen Lagenverhältnissen Umprojizieren

Die Mittelebene. Perspektivische Affinität......

18

22

. 31

34

36

Drittes Kapitel.

Paral 1 elp roj ekt io n. Axonometrie.

Grundsätze der Parallelprojektion .........

Die allgemeine axonometrische

Darstellung.......

Kavalierperspektive.....

Orthogonale Axonometrie ■. . 50

40

42

48

Viertes Kapitel.

Grundlagen und Methoden der perspektivischen Darstellung.

Unendlich ferne Elemente . . 54 Zentralproj ektion Das Doppelverhältnis .... 64

Fünftes Kapitel.

Elemente der projektiven Geometrie.

Projektive Punktreihen und

89

94

Sechstes Kapitel. Kegelschnitte.

Einleitende Sätze.....

Allgemeine Eigenschaften der

Kegelschnitte......

Die Ellipse .

Die Parabel.

Die Hyperbel Perspektive Kegelschnitte. . 123 Schmiegungskreise.....129

Siebentes Kapitel.

Ebene Kurven.

101

108

113

117

. 120

135

Einfache Bögen ......

Die Momentanbewmgung einer ebenen Figur in ihrerEbene 142 Bögen mit monoton variierender Krümmung (Normbögen) .........

Rollkurven........

Zyklische Kurven.....

Hüllkurven........

57    Gegenpunktkurven, Brenn

kurven, Fußpunktkurven . 174

144

156

168

172

Seite

Seite

Achtes Kapitel.

Uindrehungsfl ächen.

Allgemeine Erzeugung der Kurven und Flächen . . . 175 Darstellung einer Umdrehungsfläche in Grund- und

Aufriß.........

Ebene Schnittkurven einer Umdrehungsfläche .... 182 Das einschalige Umdrehungshyperboloid .......

Anwendungen des Hyperboloids ..........

Umdrehungskegelschnittflächen .........

179

184

189

193

Elftes Kapitel.

Abwickelbare Flächen und andere Hiillflächen.

Allgemeine abwickelbare Flächen . .

Kegelflächen

Schraubenlinien u. abwickelbare Schraubenflächen . . 252

Leitkurven und Leitflächen . 260

Allgemeine Hüllflächen. Kanalflächen

. 234

239

262

Zwölftes Kapitel.

Windschiefe Flächen.

Neuntes Kapitel.

K egelschnittflächen. Die Tangentialebene und ihre

Lage zur Fläche.....

Pol und Polarebene . . . . Mittelpunktsflächen . . . .

Die Paraboloide......

Geradlinige flächen . . . Konstruktionen Stereographische Projektion Kreisschnitte.......

Kegelschnitt-

196

198

207

209

213

215

Zehntes Kapitel.

Rauinkurven.

Einfache Bögen im Raume . 219 Die Parallelprojektion eines einfachen Bogens .... 221 Die Schmiegungshalbebene . 224 Die Tangentenfläche eines einfachen Bogens .... 225 Einfache Raumkurven . . .227 Krümmungskreis

230

Erzeugung der windschiefen

Flächen.........

Tangentialebenen.....

Zentralpunkte und Parameter 272 Singuläre Erzeugende . . . 274

Leitflächen........276

Die Striktionslinie .... 276 Konoide ....

Das Zylindroid .

Schiefer Durchgang .... 283 Normalflächen

268

270

279

281

286

Dreizehntes Kapitel. Schraubenflächen und topographische Flächen.

Allgemeine Schraubenflächen 293 Gerade Schraubenflächen . .295 Schiefe Schraubenflächen . . 297 Topographische Flächen . . 300

Vierzehntes Kapitel.

Die Beleuchtung der Flächen.

Schattenkonstruktionen . . 305 Beleuchtungslinien

308

Literaturverzeichnis

Zusätze.....

Sachregister . . .

312

314

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Erstes Kapitel.

Einfache Projektion.

Stereometrische Grandaufgaben.

1.    Ein Punkt A im Raume ist bestimmt, wenn man seine senkrechte Projektion Ä auf die Zeichenebene samt der wahren Größe seines Abstandes von dieser Ebene kennt, wobei man indessen den Abstand mit einem bestimmten Vorzeichen zu nehmen hat, das angibt, ob der Punkt vor oder hinter der Zeichenebene liegt. Die Zeichenebene nennen wir auch Projektionsebene oder Bildebene, und die Projektion des Punktes werden wir gelegentlich auch als sein Bild bezeichnen.

Diese Darstellung denken wir uns nun im folgenden auf jeden Punkt des Raumes angewendet, so daß wir annehmen, die Punkte A, R, C . . . seien bekannt, wenn ihre Projektionen A', B, C'. . . und die zugehörigen Abstände (A), (B), ((7) . . . gegeben sind, und wenn wir davon sprechen, daß Punkte zu finden sind, die gewissen Bedingungen genügen, so meinen wir stets, daß die Projektionen der Punkte auf die Zeichenebene und die zugehörigen Abstände zu finden sind.

2.    Ein Lot der Zeichenebene heißt ein Projektionsstrahl oder Sehstrahl. Ein solcher wird in den Punkt projiziert, wo er die Zeichenebene schneidet (die Spur der Linie), und ist durch diesen Punkt allein bestimmt. Wenn zwei Punkte A und B auf demselben Projektionsstrahl liegen, so sagt man, daß A vor B (und R hinter A) liegt, wenn die Richtung von B nach A nach vorne (d. h. nach der Seite, die vor der Zeichenebene liegt) weist.

Haben zwei Punkte A und B verschiedene Projektionen Ä und B\ so wird die gerade Linie AR in die Linie ÄB' projiziert. Dreht man die projizierende Ebene ABA'B' um A' B' in die Zeichenebene hinein, so fallen A und B in zwei Punkte At und Bt (Fig. 1), die dadurch bestimmt sind, daß ÄA₁ und B'Bx senkrecht auf A'B' stehen und daß diese Strecken gleich den Abständen (A) und (R) der gegebenen Punkte werden. A₁R₁

Timerding, Handbnuh II

heißt dann die Umklappung (oder genauer die Hauptumklappung) von AB. Sie kann auf zwei Arten gebildet werden, da man die

Drehung nach der einen oder nach der anderen Seite ausführen kann.

■Bi

Durch diese Umklappung bestimmt man

1.    die Spur der Linie (ihren Schnittpunkt mit der Zeichenebene) als den Schnittpunkt S von ÄB' und AXB

2.    die Neigung der Linie gegen die Zeichenebene als den Winkel zwischen Ä B' und A₁B

3. die wahre Länge von AB als die Länge von AXB

Zieht man AtP 4h AB', so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck A₁PB₁, dessen Hypotenuse gleich AB ist, während die eine Kathete A^P gleich ÄB' und die andere gleich der Diffe-(A) und (H) wird. Folglich:

Die wahre Länge einer Strecke findet man als Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen eine Kathete die Projektion der Strecke und dessen andere Kathete die Differenz der Abstände der Endpunkte von der Zeichenebene ist.

Ist AB der Zeichenebene parallel, so sprechen wir von einer Frontlinie. In diesem Falle wird AB 4h A'B' 4h AXB

Strecken auf derselben geraden Linie sind ihren Projektionen proportional. Soll die Strecke AH in einem bestimmten Verhältnis geteilt werden, so kann man demnach die Projektion des Teilpunktes finden, indem man ÄB’ in jenem Verhältnis teilt.

Parallele Linien haben parallele Projektionen, da die projizierenden Ebenen der Linien parallel werden. Wenn die Umklappungen der Linien nach derselben Seite ausgeführt werden, so ergeben sie auch parallele Linien.

3. Eine zur Zeichenebene parallele Ebene heißt eine Frontebene. Sie wird durch ihren Abstand von der Zeichenebene (mit dem gehörigen Vorzeichen) vollständig bestimmt. Figuren in einer Frontebene sind ihren Projektionen kongruent.

Wenn ein Punkt um einen Projektionsstrahl gedreht wird, so durchläuft er einen Kreis, der selbst in einer Frontebene enthalten ist und dessen Mittelpunkt auf dem Projektionsstrahl liegt. Die Projektion des Kreises kann dann sofort gezeichnet werden. Soll der Punkt um einen gegebenen Winkel gedreht werden, so

renz von

Fig. 1.

-6

B'

1-

stellt dieser in der Projektion sich in der wahren Größe dar und kann deshalb unmittelbar abgetragen werden. So bestimmt man die Projektion des Punktes nach der Drehung; sein Abstand nach der Drehung ist derselbe wie vor der Drehung.

Eine zur Zeichenebene senkrechte Ebene heißt eine projizierende Ebene oder Sehstrahlebene; sie wird in ihre Spur, d. h. ihre Schnittlinie mit der Zeichenebene projiziert und durch diese Spur bestimmt. Die wahre Größe einer Figur in einer projizierenden Ebene findet man durch Umklappung in die Zeichenebene, wie es schon in Fig. 1 angegeben ist.

Jede zu einer projizierenden Ebene senkrechte IAnie ist eine Fronilinie und wird als eine zur Spur der projizierenden Ebene senkrechte Linie projiziert.

Hiernach läßt sich die Aufgabe lösen, die Avahre Größe der Projektion einer gegebenen Figur auf eine gegebene projizierende Ebene zu bestimmen.

4L. Eine Kugel ist bestimmt durch ihren Mittelpunkt G und die wahre Länge r ihres Radius. Alle zur Zeichenebene parallelen Radien der Kugel werden in der wahren Größe projiziert, während die anderen Radien bei der Projektion verkürzt werden. Hieraus folgt, daß die ganze Projektion der Kugel in einen Kreis c mit dem Mittelpunkt C' und dem Radius r fällt; c ist die Projektion des größten Kreises c der Kugel, der in einer zur Zeichenebene parallelen Ebene liegt, und heißt die Kontur oder der Umriß der Kugelprojektion (vgl. Fig. 2).

Nimmt man einen Punkt P' innerhalb c an, so ist dieser die Projektion von zwei Kugelpunkten. Diese Punkte kann man durch Umklappung einer durch P' und C gehenden projizierenden Ebene bestimmen. Man kann auch benützen, daß der Höhenunterschied von P und C sich als Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck gibt, dessen Hypotenuse r ist, während die andere Kathete P C' ist; man kann dann den Höhenunterschied sofort bestimmen, indem man auf P' C' in P' das Lot errichtet bis zu seinem Schnitt mit c.

Der Kreis c (und die Frontebene, in der er liegt) teilen die Oberfläche der Kugel in eine vordere und eine hintere Halbkugel. Man pflegt nun, um der Zeichnung eine größere Anschaulichkeit zu geben, die Kugel als undurchsichtig zu betrachten, so daß jeder Punkt P vorne auf der Kugel die Punkte hinter P verdeckt; und das Resultat hiervon ist, daß der Teil des Raumes, der hinter der vorderen Halbkugel liegt, unsichtbar wird. Wenn deshalb z. B. eine gerade Linie den unsichtbaren Raum durchzieht, so deutet man dieses in der Zeichnung au, indem man das betreffende Stück von der Projektion der Linie punktiert.

Eine beliebige projizierende Ebene, deren Spur s den Umriß der Kugel schneidet, schneidet die Kugel in einem Kreis. Der Durchmesser dieses Kreises ist gleich der Strecke, die s aus c ausschneidet, und der Mittelpunkt des Kreises hat denselben Abstand von der Zeichenebene wie der Mittelpunkt der Kugel. Die Umklappung des Kreises kann so leicht gezeichnet werden.

"'-Ai

s\

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's'

Soll man den Schnittpunkt der Kugel mit einer geraden Linie a finden, so kann dies geschehen, indem man die projizierende Ebene durch die Linie legt und den Kreis bestimmt, in dem sie die Kugel schneidet. Dieser Kreis schneidet die Linie a in den gesuchten Punkten, und diese werden so durch Umklappung der projizierenden Ebene bestimmt (Fig. 2).

■C

f.o

c'

Fig. 2.

5. Aus der Stereometrie ist bekannt, daß ein rechter Winkel, von dem ein Schenkel der Zeichenebene parallel und der andere kein Projektionsstrahl ist, als ein rechter Winkel projiziert wird. Allgemeiner kann man sagen, daß zwei zueinander senlcrechte Linien (ob sie sich schneiden oder nicht), wenn die eine der Zeichenebene parallel und die andere kein Projektions strahl ist, als zwei zueinander senkrechte Linien projiziert werden.

Dieser Satz findet unmittelbare Anwendung bei der Lösung-folgender Aufgabe: Gegeben ist ein Projektionsstrahl a und eine schräge Linie b (durch die Projektion b' und die Umklappung bl nach einer bestimmten Seite); den kürzesten Abstand der beiden Linien zu finden. Da der gesuchte Abstand zu a senkrecht ist, muß er der Zeichenebene parallel sein; da er zugleich zu b senkrecht ist, muß seine Projektion zufolge des genannten Satzes senkrecht zu b' sein. Die Projektion des Abstandes geht also durch den Punkt a, in dem a auf die Zeichenebene projiziert wird, und ist senkrecht zu so findet man die wahre Größe des Abstandes. Seine Lage im Raum wird mit Hilfe des Fußpunktes auf b bestimmt.

6. Eine schiefe Ebene kann durch ihre Spur s (ihre Schnittlinie mit der Zeichenebene) und einen beliebigen Punkt A in der

Ebene bestimmt werden. Die Frontlinien m der Ebene sind parallel zu s, und dasselbe gilt von ihren Projektionen. Durch jeden Punkt der Ebene geht eine solche Frontlinie. Die Linien in der Ebene, die zu den Frontlinien senkrecht sind, heißen Querlinien oder Falllinien. Sie werden in Linien, die zu s senkrecht sind, projiziert (nach dem Satze über die Projektion eines rechten Winkels). Durch jeden Punkt der Ebene geht eine Querlinie.

A„

n

Bn

Wir wollen nun zeigen, wie man einen beliebigen Punkt P in der gegebenen Ebene (s A) bestimmen kann (Fig. 3). Wir nehmen die Projektion des Punktes P' beliebig an und wollen den zugehörigen Abstand von der Zeichenebene bestimmen. Durch den gegebenen Punkt A ziehen wir die Querlinie t.

B';

T~

f°

Pi -

Ihre Projektion t’ oder A/S geht durch Ä und ist zu s senkrecht. Ihre Spur sei S und ihre Hauptumklap-pung tn, sie wird mit Hilfe von Ä An — (A) bestimmt.

Fig. 8.

Durch P ziehen wir nun eine Frontlinie f in der Ebene (f geht durch P' und ist zu s parallel); f schneidet t in einem Punkte B, dessen Abstand von der Zeichenebene B'Bn ist. Aber diese Länge gibt auch den Abstand des Punktes P von der Zeichenebene an. Der Abstand dieses Punktes von der Spur der Ebene ist derselbe wie der Abstand des Punktes B von dieser Spur, also gleich SBn. Der Winkel zwischen der gegebenen Ebene und der Zeichenebene ist gleich dem Winkel zwischen t' und tn.

Mit Hilfe der umgeklappten Querlinie tn (des Profils der Ebene) bestimmt man sonach

1.    die verschiedenen Punkte der Ebene,

2.    ihre Abstände von der Spur der Ebene,    ₀

3.    die Neigung der Ebene gegen die Zeichenebene.

Jede zu s senkrechte Ebene gibt durch Umklappung ein Profil der gegebenen Ebene und heißt deshalb eine Profüebene dieser Ebene.

Ist die Projektion einer Figur in der Ebene gegeben und soll man die wahre Gestalt der Figur finden, so kann man dies erreichen, indem man die Ebene um ihre Spur s in die Zeichenebene

hineindreht. Man nennt dies die Umklappung der gegebenen Ebene. Diese TJmklappung führt man mit Hilfe von Querlinien aus. Von jedem Punkte zieht man die Querlinie bis zur Spur der Ebene und klappt sie mit Hilfe des Profils um. In Fig. 3 ist z. B. der Punkt P mit Hilfe der Querlinie PT umgeklappt, die in Px T umgeklappt wird, wobei TP₁ — SB .

Wenn eine Linie in einer Ebene liegt, liegt die Spur der Linie auf der Spur der Ebene. In Fig. 3 ist die Projektion c einer Linie c in der gegebenen Ebene (sM), die durch P geht, gezeichnet. Der Schnittpunkt C von c und s ist die Spur der Linie. Soll die Linie durch Drehung der Ebene um s umgeklappt werden, so bleibt G fest, und die Umklappung der Linie ist CP₁.

Zu einem beliebig angenommenen P' gehört ein bestimmtes P₁ und umgekehrt; die Linie P’Px ist 1 s und wird von dieser Linie in einem konstanten Verhältnis geteilt. Zu einer beliebig gewählten Linie C gehört eine bestimmte Linie Cj und umgekehrt, c und Cj schneiden s in demselben Punkt (oder sind beide zu s parallel). Parallelen Linien C und d' entsprechen parallele Linien c₁ und dt und umgekehrt.

Diese Eigenschaften kennzeichnen die ganze Verknüpfung zwischen der Projektion und der Umklappung beliebiger Figuren in der gegebenen Ebene und können auf verschiedene Weise beim Übergang von der einen zur anderen Verwendung finden.¹)

7. Ein schiefer Kreiskegel, dessen Grundkreis k in der Zeichenebene liegt und dessen Spitze S gegeben, ist für uns zunächst die unendliche Fläche, welche die durch S gehenden und k schneidenden geraden Linien erfüllen. Die Projektionen dieser Linien gehen von S' aus und schneiden k. Sie erfüllen entweder die ganze Ebene oder nur einen Teil von ihr; im letzten Falle wird die Projektion des Kegels von zwei geraden Linien S'A und S'B begrenzt, welche die Umrißlinien der Kegelprojektion heißen, während wir die zu-

man

gehörigen Seitenlinien des Kegels als die TJmrißseitenlinien bezeichnen. Sie werden als die Tangenten von S' an Je bestimmt.

(SJ

S'

-Q\

Soll man einen Punkt auf dem Kegel mit der Projektion P' bestimmen, so geschieht das, indem man die zwei Seitenlinien sucht, deren Projektionen in die Linie S' P' fallen (Fig. 4); die Spuren dieser Seitenlinien fallen in die Punkte Q und R, in denen die Linie S'P' den Kreis Je schneidet, die Abstände der gesuchten Punkte von der Zeichenebene werden leicht durch Um-klappung bestimmt.

Fig. 4.

Indem man die Kegelfläche als undurchsichtig annimmt und für die Zeichnung ganz dieselben Regeln anwendet, wie sie früher für die Kugel angegeben sind, erkennt man, daß die Strecke SR sichtbar bleibt, während SQ unsichtbar wird. Läßt man B und Q gleichzeitig je einen der Bögen durchlaufen, die auf Je durch die Punkte A und B begrenzt werden, so erkennt man, daß die von der Strecke SR beschriebene Fläche sichtbar ist, während die von SQ beschriebene Fläche unsichtbar wird. Wir müssen also den kleineren von den beiden Bögen AB punktieren. Die Oberfläche des Körpers, der von dem unbegrenzten Kegel durch die Zeichenebene abgetrennt wird, wird durch die Linie SABBS in einen sichtbaren und einen unsichtbaren Teil zerlegt. Die Projektion des Körpers wird von der Linie S'ABBS' (dem Umriß) begrenzt.

Ganz ähnliche Betrachtungen gelten für Pyramiden, da man diese als Kegel, deren Grundflächen Polygone sind, ansehen kann. Hierbei muß man alle Kanten der Pyramiden ausziehen oder punktieren, je nachdem sie sichtbar sind oder nicht.

S'A\

wenn

Die Schnittpunkte einer geraden Linie a (Fig. 5), die durch ihre Projektion a und die Hauptumklappung ax gegeben ist, mit dem Kegel S(Jc), d. h. mit dem Kegel, der die Spitze S und den Grundkreis Je hat, findet man, indem man eine Hilfsebene durch S und a legt. Die Spur s dieser Ebene ist parallel zu A der Punkt von a ist, der von der Zeichenebene denselben Abstand wie S hat. So ergeben sich die Seitenlinien SQ und SB,

in denen die Hilfsebene den Kegel schneidet und auf denen die gesuchten Punkte liegen, wie es in der Figur angegeben ist.

iV'..

.-er'

Der Kegel SQc) hat längs jeder Seitenlinie SR eine Tangentialebene, deren Spur die Tangente von Je in R ist, die Tangentialebene selbst ist durch die Berührungslinie und die Tangente von Je bestimmt. Alle Tangentialebenen gehen durch S. Die beiden Tangentialebenen längs der Umriß-S' Seitenlinien sind projizierende Ebenen.

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-CS/

Mg. 5.

Soll man durch einen gegebenen Punkt P eine Tangentialebene an den • Kegel legen, so zieht man die Linie SP, ermittelt ihre Spur und legt durch diese Spur eine Tangente s an Je. Die gesuchte Tangentialebene ist dann durch die Spur s und den Punkt P (oder S) bestimmt. Die Aufgabe ergibt bis zu zwei Lösungen.

8.    Für Zylinder gelten ganz ähnliche Betrachtungen wie für Kegel. Ist die Grundkurve ein Kreis Je in der Zeichenebene, und sind die Seitenlinien einer gegebenen Linie a (die kein Pro-jektionsstrahl ist) parallel, so hat die Projektion des Zylinders zwei Umrißlinien, die zu a parallel sind und Je berühren. Längs jeder Seitenlinie hat der Zylinder eine Tangentialebene, die durch die Seitenlinie und die zugehörige Tangente der Grundkurve bestimmt wird. Die Schnittpunkte einer geraden Linie mit dem Zylinder findet man aus einer Hilfsebene durch die Linie, die den Seitenlinien parallel ist. Eine Tangentialebene durch einen gegebenen Punkt wird durch eine Linie, die man durch den Punkt parallel zu den Seitenlinien zieht, bestimmt; die Tangenten, die man von der Spur dieser Linie an Je legt, sind die Spuren der gesuchten Tangentialebenen.

9.    Soll man durch eine gegebene Linie AB (wobei A in der Zeichenebene und B beliebig angenommen wird) eine Ebene legen, die mit der Zeichenebene einen gegebenen spitzen Winkel bildet, so betrachtet man zuerst alle Ebenen, die durch B gehen und mit der Zeichenebene den gegebenen Winkel bilden. Die Spuren dieser Ebenen haben alle denselben Abstand von B' und müssen deshalb

einen bestimmten Kreis 1c mit dem Mittelpunkt B' berühren. Man zeichnet diesen Kreis und bestimmt die Spuren der gesuchten Ebenen als die Tangenten an ihn aus A. Alle die genannten Ebenen durch# sind Tangentialebenen eines Eotationskegels mit der Spitze# und dem Grundkreis 1c. Man kann also die gesuchten Ebenen deuten als die Tangentialebenen durch die Linie AL# an diesen Kegel.

Fig. 6.

10. Die Schnittlinie zweier Ebenen. Zwei projizierende Ebenen, deren Spuren nicht parallel sind, schneiden sich in einem Projek-tionsstrahl. Die Schnittlinie einer schiefen Ebene (sAl), die durch ihre Spur s und einen Punkt A gegeben ist, mit einer projizierenden Ebene, deren Spur p ist (Fig. 6), wird eine Linie, deren Projektion p und deren Spur der Schnittpunkt P von s und ^ p ist. (Ist s parallel zu p, so wird die Linie eine Frontlinie.) Einen anderen Punkt # der gesuchten Linie erhält man, indem man eine Frontlinie durch A in der Ebene (sA) zieht und ihren Schnittpunkt # mit der projizierenden Ebene bestimmt.

Die Umklappung der gesuchten Linie ist PBX (wobei B'B₁ — (AL) und _L p).

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Ist eine schiefe Ebene durch ihre Spur s und den Neigungswinkel a gegen die Zeichenebene (nach einer bestimmten Seite hin) gegeben und man sucht ihre Schnittlinie mit einer projizierenden Ebene, deren Spur p ist, so führt man dies am besten aus, wie in Fig. 7 angegeben.

Fig. 7.

Man zeichnet eine Querlinie SA in der Ebene, wobei A so angenommen wird, daß seine Projektion AL' auf p fällt, und A' S _L s. Der Abstand des Punktes A von der Zeichenebene wird durch das rechtwinklige Dreieck BA'Al ^ SA'A bestimmt, wo A B = ÄS auf p abgetragen ist und der Winkel Ä B Ax gleich dem gegebenen Winkel a ist. PAX ist die Umklappung der gesuchten Linie. Bei der Ausführung der Konstruktion ist es unnötig, die Linie AL'$ zu zeichnen, indem man durch den Zirkel unmittelbar den Abstand des Punktes A' von s bestimmen und auf p abtragen kann.

Die Schnittlinie einer schiefen Ebene mit einer Frontebene ist eine Frontlinie, die man mit Hilfe des Profils der schiefen Ebene leicht bestimmen kann.

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Fig. 8.

Von der Schnittlinie zweier schiefen Ebenen, deren Spuren a und b nicht parallel sind, liegt die Spur C im Schnittpunkt von a und b. Um einen neuen Punkt der Schnittlinie zu finden, zeichnet man zuerst die Profile p und q der beiden Ebenen, wie in Fig. 8 angegeben, und jb"- schneidet darauf beide Ebenen mit einer Frontebene,, die von der Zeichenebene einen passend gewählten Abstand h hat. Die beiden Schnittlinien m und n mit dieser Frontebene schneiden einander in dem Punkte _P, dessen Projektion P' und dessen Abstand von der Zeichenebene h ist.

Die Schnittlinie zweier schiefen Ebenen mit parallelen Spuren wird eine Frontlinie, die sich mit Hilfe einer gemeinsamen Profilebene der beiden Ebenen bestimmen läßt.

11.    Der Schnittpunkt einer geraden Linie mit einer Ebene wird gefunden, indem man die Schnittlinie der Ebene mit einer Hilfsebene durch die gegebene Linie bestimmt; diese Schnittlinie trifft dann die gegebene Linie in dem gesuchten Punkt. Als Hilfsebene wählt man gewöhnlich eine projizierende Ebene oder eine Ebene, deren Spur der Spur der gegebenen Ebene parallel ist.

12.    Wenn eine Linie auf einer Ebene senkrecht ist, so ist sie senkreckt auf allen Linien in der Ebene, also auch auf den

'■Al

Frontlinien der Ebene. Ihre Projektion muß deshalb auf den Projektionen der Frontlinien, insbesondere auch auf der Spur der Ebene senkrecht sein. Folglich:

"a¹

Wenn eine Linie auf einer Ebene senkrecht ist, ist ihre Projektion auf der Spur der Ebene senkrecht.

Fig. 9.

Hat man (Fig. 9) eine Ebene (sA) mit der Spur s, die durch den Punkt A geht, und man soll das Lot n der Ebene in A bestimmen

so kann man sofort die Projektion des Lotes n oder A'S _L s zeichnen. Die projizierende Ebene durch n schneidet die gegebene Ebene in und die gesuchte Linie muß in dieser projizierenden Ebene liegen und auf in A senkrecht stehen. Klappt man die projizierende Ebene um, so daß SA auf SAt fällt, so wird die Um-klappung nx des gesuchten Lotes JL SA₁ in Av Dadurch ist das Lot vollständig bestimmt. Seine Spur N ist der Schnittpunkt von n und nv

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene kann gefunden werden, indem man eine Profilebene durch den Punkt umklappt.

Eig. 9 zeigt auch, wie man durch einen gegebenen Punkt A der Linie NA eine Ebene senkrecht zu der Linie legen kann: die Umklappung NA₁ der Linie wird gezeichnet und in der projizierenden Ebene der gegebenen Linie AS JL AN bestimmt, worauf die Spur s der Ebene leicht gefunden werden kann.

13.    Die Tangentialebenen einer Kugel, die durch eine gegebene Linie a gehen, werden durch folgende Betrachtung bestimmt: die Radien nach den Berührungspunkten der gesuchten Ebenen müssen auf den Tangentialebenen, also auch auf a senkrecht sein, sie müssen deshalb in einer durch den Mittelpunkt 0 der Kugel senkrecht zu a gelegten Ebene enthalten sein. Man bestimmt daher zunächst diese Ebene, sucht ihren Schnittpunkt mit a und legt von diesem Punkte aus die Tangenten an den größten Kreis, in dem die Ebene die Kugel schneidet. Dies wird durch Umklappung ausgeführt. Jede dieser Tangenten bestimmt dann zusammen mit a eine Tangentialebene der Kugel.

14.    Der Winkel zwi-sehen zwei Ebenen (Fig.

P*c.

(F~ 'N~ s

10). Die Ebenen mögen die Spuren a und b und ihre Schnittlinie c die Projektion c und die Haupt-umklappung ct haben.

Mg. 10.

Man wählt einen Punkt C auf c (C' und G₁ seien Projektion und Umklappung dieses Punktes) und legt durch ihn eine Ebene senkrecht zu c. Diese Hilfsebene schneidet die gegebenen Ebenen in zwei Linien und der gesuchte Winkel wird durch den AVinkel zwischen diesen Linien dargestellt.

Die Spur s der Hilfsebene ist nach der in 12 angegebenen

Methode zu finden. Schneidet s die Linien a und b in A und B, so sind AC und BC die Schnittlinien der Hilfsebene mit den gegebenen Ebenen. Die wahre Größe des Winkels ACB wird durch Umklappung um s gleich ACnB (CnS = CXS) gefunden. Bei der Ausführung kann man die Linien C' Cx und SCX auslassen; man zieht AB _L c und trägt dann sofort SCn — Scx ab.

Zuweilen benutzt man auch den Umstand, daß der Winkel zwischen zwei Ebenen gleich dem Winkel zwischen ihren Normalen ist.

Will man sich versichern, daß eine Ebene auf einer anderen senkrecht ist, so muß man darauf achten, daß sie ein Lot dieser Ebene enthält.

Aus Fig. 10 erkennt man gleichzeitig, wie man in einem Dreikant, von dem zwei Kanten a und b in der Zeichenebene liegen, den Flächenwinkel an der dritten Kante c finden kann. Wie man die Flächenwinkel an a und b findet, ist aus dem Vorhergehenden (6) bekannt. Die wahre Größe der Seitenwinkel (ac) und (bc) findet man durch Umklappung um a und b (6).

¹

Beim Konstruieren muß man immer Messungen mit dem Zirkel der Zeichnung von Hilfslinien vorziehen. Man muß sich in dieser Hinsicht merken, daß der Abstand eines Punktes von einer Linie unmittelbar in den Zirkel genommen werden kann, ohne daß das Lot zeichnet. Dies kann man z. B. benutzen beim Übergang von einem beliebigen Punkte Pt zu dem zugehörigen Punkte P’. Man zieht zuerst PtT±s als geometrischen Ort für P'. Hierauf nimmt man das Stück Pt T in den Zirkel und trägt es auf dem Profil als SBn ab, worauf man, indem man die eine Spitze des Zirkels in Bn fest läßt, unmittelbar den Abstand des Punktes Bn von s mißt und TP' gleich diesem Abstand abträgt.

Dreikantskonstruktionen.

IS. Bestimmung des Breikants durch seine Seiten. Die eine Seite (ab) wird in die Zeichenebene gelegt. Von a und b aus werden

:'B

Fig. 11.

nun

die Winkel (am) und (bn) nach außen hin gleich den anderen beiden Seiten (ac) und (bc) angetragen. Die so entstehende Figur heißt die Abwickelung des Dreikants (Fig. ll). Es handelt sich nun darum, m und n um a und b zu drehen, bis sie in der dritten Kante c Zusammenstößen. Um dies auszuführen, wählen wir auf m und n zwei Punkte M und N im gleichen Abstande von dem Scheitel des Dreikants S. Diese Punkte stoßen bei der Drehung in einem Punkte C der dritten Kante zusammen und es handelt sich bloß darum, diesen Punkt zu finden. Die Kreise, die M und N bei den angegebenen Drehungen beschreiben, projizieren sich auf dieZeichenebene in die geraden Linien MA_La und NB±_b,

und der Schnittpunkt dieser Linien, C, muß deshalb die Projektion des gesuchten Punktes C sein. Der Abstand des Punktes C von der Zeichenebene ergibt sich als Kathete in dem rechtwinkligen Dreieck SC'Cv in dem die andere Kathete SC' bekannt und die Hypotenuse /SCj — SM — SN ist. In der Figur ist dies so ausgeführt worden, daß man gleichzeitig die Hauptumklappung SCt von SC erhält. Die Aufgabe hat zwei Lösungen, die zwei bezüglich der Zeichenebene symmetrisch liegende Figuren ergeben.

MC

"Vs

n\

mg. 12.

Wie man hierauf die Flächenwinkel des Dreikants finden kann, ist in 14 angegeben. Eine direkte Bestimmung des Flächenwinkels an c mit Hilfe der Abwickelung des Dreikants zeigt Fig. 12. Die Bezeichnung ist wie in Fig. 11. Eine zu c in C senkrechte Ebene schnei- S det die beiden Seitenflächen ac und b c in Linien, die bei der Abwickelung sich als zwei zu m und n senkrechte Linien MP und NQ darstellen; man hat damit die wahre Größe aller Seiten in dem Dreieck PCQ gefunden und kann dann leicht die Umklappung des Dreiecks zeichnen. Der gesuchte Flächenwinkel wird durch den Winkel PBQ dargestellt.

16.    Ist ein Dreikant durch eine Seite und die anliegenden Winkel bestimmt, so legt man die gegebene Seite (ab) in die Zeichenebene (Fig. 8), worauf die gegebenen Flächenwinkel sofort die Profile p und q für die Seitenebenen ac und bc bestimmen.

Man findet darauf die Schnittlinie dieser Ebenen.

17.    Konstruktion des Drei-

kants aus einem Winkel a, einer anliegenden Seite (ab) und der gegenüberliegenden Seite (bc). Man legt die Seite (ab) in die Zeichenebene (Fig. 13). Die Seite (bc)

Fig. 13.

denkt man sich um b auf die Zeichenebene in die Lage (bc^ umgeklappt und zeichnet sie so auf.

-V

Von der Kante c weiß man, daß sie auf dem Kegelmantel, der von cx bei der Drehung um b beschrieben wird, liegen muß, und zugleich, daß sie in einer bestimmten Ebene ac enthalten sein muß, welche die Spur a hat und den gegegebenen Winkel a mit der Zeichenebene bildet. Die Kante c entsteht also als Schnittlinie des Kegelmantels mit dieser Ebene. Eine projizierende Ebene mit der Spur s _L b schneidet nun den Kegelmantel in einem Kreis und die Ebene ac in einer geraden Linie; die gesuchte Kante c muß durch einen der Schnittpunkte dieses Kreises und dieser Linie hindurchgehen. Um diese Schnittpunkte zu finden, klappt man die projizierende Ebene um, worauf man den Kreis sofort zeichnen kann (sein Mittelpunkt sei B, sein Radius BGx) die Schnittlinie mit der Seitenebene (ac) wird dann bestimmt, wie früher angegeben (Fig. 7).

18. Konstruktion des Breikants aus einer Seite (ab), einem anliegenden Winkel a und dem gegenüberliegenden Winkele. Es ist am bequemsten, die beiden gegebenen Flächenwinkel an die Zeichenebene stoßen zu lassen. Deshalb denken wir uns die Seitenfläche ac in der Zeichenebene. Zunächst tragen wir den Winkel (a£q) = (ab) in der Zeichenebene ab (Fig. 14) und drehen ihn hierauf um a in eine Ebene, die den gegebenen Winkel a mit der Zeichenebene bildet. Dies läßt sich mit Hilfe

,'a\

'b

V-

Mg. 14.

Bn

tß'

Ä\

eines Profils ausführen. Die Linie b habe die Projektion b' und der Punkt B auf b den Abstand B’Bn von der Zeichenebene. Es handelt sich dann bloß darum, durch b eine Ebene zu legen, die einen gegebenen Winkel c mit der Zeichenebene bildet. (Vgl. hierfür 9).

19. Konstruktion des Breikants aus den drei Flächenwinkeln. Man zieht von einem Punkte A aus zwei Halbstrahlen p und g, die den Winkel a miteinander bilden, und denkt sich das gesuchte Dreikant so gelegt, daß die Seiten ebenen ab und ac projizierende Ebenen mit den Spuren p und g werden. Es handelt sich nun darum, eine dritte Ebene zu finden, welche die gegebenen Winkel b und c mit diesen projizierenden Ebenen bildet. Von 4 lassen wir noch die Halbstrahlen pl und gx ausgehen, den ersten _L p

und nach derselben Seite von p aus wie q, den zweiten _L q und nach derselben Seite von q aus wie p. Diese Halbstrahlen sind zu den projizierenden Ebenen senkrecht. Das in A auf der gesuchten Ebene errichtete Lot n kann man nun daraus finden, daß es die gegebenen Winkel b und c mit px und qx bilden muß. Die Konstruktion wird ausgeführt, wie in 15 angegeben. Ist n gefunden, so legt man eine beliebige Ebene _L n und benutzt sie als die dritte Seitenfläche des Dreikants. Dessen Seiten können dann durch Umklappung gefunden werden.

Projektion eines Kreises.

20. Durch senkrechte Projektion eines Kreises entsteht eine Kurve, die man als Ellipse bezeichnet. In Pig. 15 ist eine Ebene mit der Spur s und dem Profil p angenommen, die mit der Zeichenebene den Winkel a bildet. In der Ebene ist ein Punkt 0 gegeben. Soll man nun die Projektion eines Kreises in der Ebene mit dem Mittelpunkt 0 und gegebenem Radius zeichnen, so benutzt man, daß die Erontlinien der Ebene in ihrer wahren Größe projiziert werden, während die Querlinien im Verhältnis cos <x :■ 1 verkürzt erscheinen. Wir ziehen eine Frontlinie x und eine Querlinie y durch 0. Der Durchmesser ^ des Kreises, der auf x fällt, wird in der wahren Größe ÄAx projiziert, während der Durchmesser auf y mit cos a multipliziert erscheint. Die Strecke 0' B' findet man also, indem man den Kreisradius 0A = 0' Ä mit cos cc multipliziert. Dies läßt sich mit Hilfe des Profils leicht wie folgt ausführen: Man nimmt das Stück 0'A' in den Zirkel und trägt es als SP auf dem Profil ab, darauf s mißt man sofort den Abstand des Punktes P von s (ohne diesen Abstand zu zeichnen) und bringt nun das gefundene Stück in den Lagen O B' und 0' Bx die übrigen Punkte der Ellipse finden, indem man den Kreis über ÄAx als Durchmesser zeichnet, die Ordinate N'Mx errichtet und sie mit cos a multipliziert, wodurch jedesmal ein Punkt l\l' der Ellipse bestimmt wird. Die Tangente der Ellipse in M' schneidet x in demselben Punkt wie die Tangente des Kreises

an.

X.

\x

! [B 0

•;t y \.....

A-"' .v'

Mi \o

Fig. 15.

Auf ganz ähnliche Weise lassen sich

in Mx. Die Tangenten in B’ und Bt' sind zu x und die Tangenten in Ä und Ax sind zu y parallel, x und y sind Symmetrieachsen der Ellipse. Die Strecken Ä Ax und B'BX heißen die große und die Meine Achse, 0'Ä und O B’ die große und die Meine Halbachse. (X heißt der Mittelpunkt der Ellipse und die Linien durch 0' ihre Durchmesser. Die Endpunkte der Achsen heißen Scheitel.

21. In der Eig. 16 ist eine geometrische Konstruktion der Ellipse mit den Halbachsen OA und OB angegeben. Es sind die beiden Kreise über den Achsen als Durchmesser geschlagen, der

OB

wird. Die Tan-

Halbmesser OBS gezogen und der Schnittpunkt P der Linien durch B OA und #11 OB bestimmt. P ist dabei ein Punkt der Ellipse, da NP _

NS: ~ O A

OB

Fig. 16.

wird und so-

gente in P schneidet OA in demselben Punkt wie die Tangente an den großen Kreis in S. Aus • der Figur geht auch hervor, daß das Verhältnis MB _

MP ~ OA

mit konstant ist; hieraus schließt man, daß, wenn man die Ellipse um OH in eine Ebene dreht, die den Winkel a (cos a —

mit der Zeichenebene bildet, die Ellipse auf die Zeichenebene in einen Kreis über der kleinen Achse als Durchmesser projiziert wird. Die Ellipse ist dann in der neuen Lage der schräge Schnitt eines Rotationszylinders, dessen Normalschnitt der angeführte Kreis ist. Hieraus schließt man leicht:

Durch jede Ellipse kann man zwei Botationszylinder legen. Deren Achsen gehen durch den Mittelpunkt der Ellipse, liegen in einer Ebene, die durch die große Achse senkrecht zu der Ebene der Ellipse gelegt wird, und bilden einen Winkel mit der großen Achse, dessen Sinus gleich dem Verhältnis der Achsen ist.

22. Wir wollen nun noch die Ellipse als ebenen Schnitt eines Rotationszylinders untersuchen. Zwei gleich große Kreise in der Zeichenebene (Fig. 17) mögen die Mittelpunkte 0 und Ox und die gemeinsamen Tangenten PP. und QQV die der Zentralen

parallel sind, besitzen. Man beweist leicht, daß alle Punkte der Ebene, für welche die Summe der Längen der Tangenten an die beiden Kreise gleich P.P₁ wird, die beiden Strecken PPt und QQX erfüllen müssen.

Ai Qi

0,

'F

Pi

Fig. 17.

Bei der Drehung um 0 0₁ beschreiben die Kreise zwei Kugeln, während PPj und QQ₁ ein Stück eines Rotationszylinders beschreiben. Dieses Stück wird im Raume der geometrische Ort für die Punkte, für welche die Tangentenlängen an die zwei Kugeln die Summe PP₁ haben. Eine innere gemeinsame Berührungsebene, welche die Kugeln in F und Fx berührt, schneidet also den Rotationszylinder in einer Kurve, die in ihrer Ebene der geometrische Ort aller Punkte ist, für welche die Summe der Abstände von F und Fl gleich PPX wird. Aus der Figur erkennt man sofort, daß PP₁ = AF AFX — AF -\- FAx = AAt wird. Hieraus leitet man folgenden Satz her:

Für jede Ellipse finden sich auf der großen Achse zwei feste Pimkte F und Fv deren Abstände von einem beliebigen Punkt der Ellipse eine konstante Summe ergeben, die gleich der großen Achse der Ellipse ist. Diese beiden Punkte heißen die Brennpunkte der Ellipse und ihre Abstände von den Punkten der Ellipse heißen Brennstrahlen.

Sind die Achsen der Ellipse gegeben, so findet man die Brennpunkte daraus, daß die Brennstrahlen von den Endpunkten der kleinen Achse gleich der großen Halbachse werden müssen.

Man zeigt leicht, daß zu zwei beliebig gewählten Brennpunkten F und Fx und einer beliebigen Länge der großen Achse (>- FFt) eine bestimmte Ellipse gehört.

Zweites Kapitel. Doppelte Projektion. Grrundanfgaben.

23. Wenn eine Figur.4 B C... durch ihre ProjektionÄ B C .... auf die Zeichenebene zusammen mit den Abständen der verschie- • • denen Punkte von dieser Ebene dargestellt wird, ist es oft bequem, zur Angabe der genannten Abstände die gegebene Figur auf eine feste projizierende Ebene mit der Spur x (Fig. 18) zu projizieren und diese Projektion in die Zeichenebene (nach einer bestimmten Seite) umzuklappen. Die umgeklappte Projektion A" B" G" . . .

liegt dann so, daß die Yerbindungslinien Ä A", B' B", C' C" ... zm x senkrecht sind, während die Abstände der Punkte A", B", C"... von x die Abstände der Punkte A, B, C . . . von der Zeichenebene angeben. Die Zeichenebene wird als die Grundrißebene (erste Projektionsebene), ÄBr C' als die Grundrißprojektion, hingegen die projizierende Ebene durch x als die Aufrißebene (zweite Projektionsebene), A"B" C" ... als die Aufrißprojektion der gegebenen Figur bezeichnet. Die erste Projektion ist dabei die Projektion der Figur auf die Zeichenebene, die zweite Projektion dient nur zur Angabe der Abstände der verschiedenen Punkte von dieser Ebene (auch hinsichtlich des Vorzeichens).

Diese beiden Projektionen geben nun Anlaß zu folgender Betrachtung: Die Figur A B C ... im Raume kann man sich auch durch ihre Projektion auf die zweite Projektionsebene und die Abstände der Punkte A, B, C . . . von dieser Ebene bestimmt denken; diese Abstände sind gleich den Abständen der Punkte A', B, Cf,.. . von x. Wenn man nun die zweite Projektionsebene um x umklappt, dreht man sie um einen rechten Winkel und

/<?

-o fcrt

C"

Cio-

B'

Fig. 18.

läßt die Figur ABC . . . an dieser Drehung teilnehmen; derart kommt sie in eine solche Lage, daß ihre Projektion auf die Zeichenebene A"B" C ' . . . wird, während ihre Punkte die Abstände xÄ, xBxC' . . . (mit dem gehörigen Vorzeichen) von der Zeichenebene haben. Die Figur ABC kann also auf doppelte Weise (in zwei verschiedenen Lagen) mit Hilfe der zwei Projektionen A'B'C'... und A"B" C" . . . dargestellt werden, indem man, wie man sagt, zwei verschiedene Orientierungen benutzt:

1. Bei der ersten Orientierung geht man aus von Ä, B\ C'... als Projektionen auf die Zeichenebene und denkt sich von diesen Punkten aus in der Richtung senkrecht zur Zeichenehene die Abstände xA", xB", xC", . . . (mit Rücksicht auf das Vorzeichen) abgetragen, wodurch man zu den Punkten der dargestellten Figur gelangt.

2. Bei der zweiten Orientierung betrachtet man Ä\ B", C",... als Projektionen auf die Zeichenebene und denkt sich von diesen Punkten aus in der Richtung senkrecht zur Zeichenebene die Abstände xÄ, xB\ xC\ ... (mit Rücksicht auf das Vorzeichen) abgetragen. Die Figur, welche die so gewonnenen Raumpunkte bilden, hat eine andere Lage wie die ursprünglich gegebene Figur ABC . . ., aus der sie durch eine Drehung um x durch 90° hervorgeht. Aber da es im allgemeinen gar nicht auf die Lage der Figur im Raume, sondern nur auf ihre Gestalt ankommt, ist es klar, daß man diese Orientierung ebensogut wie die erste benutzen kann.

Die hier angegebene doppelte Darstellung einer Figur nennt man eine doppelte Projektion. Die erste Projektion heißt auch oft die horizontale, die zweite die vertikale Projektion, indem man sich den Grundriß horizontal und den Aufriß vertikal angenommen denkt. Dadurch wird die Ausdrucksweise häufig vereinfacht.

Die Achse x trennt die Zeichenebene in einen vorderen und einen hinteren Teil, und die Umklappung der zweiten Projektionsebene denkt man sich gewöhnlich so ausgeführt, daß der Teil der Ebene, der über der Zeichenebene liegt, hinter x fällt. Die Punkte, die über der ersten und vor der zweiten Projektionsebene liegen, bezeichnet man als die Punkte des ersten Quadranten; von jedem solchen Punkt liegt die Grundrißprojektion vor und die Aufrißprojektion hinter der Grundachse (trennenden Achse) x. Man gibt soweit wie möglich der darzustellenden Figur eine solche Lage, daß sie im ersten Quadranten liegt. Bei der Ausführung einzelner Konstruktionen kann man indessen auch Punkte der anderen drei Quadranten, die durch die beiden Projektionsebenen begrenzt werden, benutzen: der zweite Quadrant liegt über der Grundrißebene und hinter der Aufrißebene, der dritte Quadrant unter der Grundrißebene und hinter der Aufrißebene, der vierte Quadrant unter der Grundrißebene und vor der Aufrißebene. Von jedem Punkt der Grundrißebene liegt die ziveite Projektion auf der Grund-acbse, und von jedem Punkt der Aufrißebene liegt die erste Projektion auf der Grundachse.

Bei der Ausführung der einzelnen Konstruktionen läßt sich das im vorigen Kapitel Gebrachte voll verwerten.

24. Die gerade Linie. Ein Projektionsstrahl der ersten Projektion wird im Grundriß als ein Punkt, im Aufriß als eine zur Grundachse x senkrechte Linie dargestellt. Das Umgekehrte gilt für einen Projektionsstrahl der zweiten Projektion. Die Drehung um einen Projektionsstrahl läßt sich sofort ausführen, da sie in der einen Projektion in wahrer Größe erscheint.

Wenn eine Linie für keine der beiden Projektionen ein Projektionsstrahl ist, so werden ihre beiden Projektionen gerade Linien. In der Fig. 19 ist eine Linie a mit den Projektionen a

A,

--------

'a

---

Oj

A,

Fig. 19.

a"

und a" dargestellt. Von einem Punkt A der Linie liegt die erste Projektion Ä auf a und die zweite Projektion Ä' auf a" derart, daß A'A" _L x. Die Spur — x A₁ der Linie in der ersten Projektionsebene (die Grundrißspur) ist dadurch bestimmt, daß \ x Ay' auf der Grundachse x liegen muß, während die Aufrißspur A₂ dadurch bestimmt wird, daß As' auf x liegt. Die Winkel cc und ß, welche die Linie mit den beiden Projektionsebenen bildet, werden durch die Umklappungen at und a₂ bestimmt, indem man einmal die erste, das anderemal die zweite Orientierung benutzt. Der Teil der Linie, der in der Figur gezeichnet ist, liegt im ersten Quadranten. Nur dieser Teil der Linie wird in den beiden Projektionen ausgezogen; braucht man andere Teile der Linie, so müssen ihre Projektionen punktiert werden.

A,,

m'

Fig. 20.

Ist eine Linie zur Grundrißebene (Fig. 20) parallel, nennen wir sie eine Grundlinie oder Horizontale; ist sie zur Aufrißebene parallel, bezeichnen wir sie als eine Front-

linie. Ist die Linie zur Grundachse parallel, so werden ihre beiden Projektionen der Grundachse parallel.

25. Die Ebene. Eine Ebene TT wird im allgemeinen in doppelter Projektion durch ihre Spuren in den Projektionsebenen, pt und p₂, ihre Grundriß- und ihre Aufrißspur, dargestellt. Wenn die Ebene die Grundachse schneidet, müssen ihre beiden Spuren durch den Schnittpunkt gehen. Ist die Ebene zur Grundachse parallel, sind zu dieser auch beide Spuren parallel. Wenn die Ebene die Achse x selbst enthält, fallen beide Spuren in x und die Ebene muß dann auf andere Weise dargestellt werden, z. B. durch ihre Spur x und einen beliebigen Punkt, der in ihr liegt. Ist eine Ebene zur Grundrißebene parallel, nennen wir sie eine Grundebene oder Horizontalebene\ ist sie zur Aufrißebene parallel, bezeichnen wir sie als eine Frontebene.

An

P,

Mg. 21.

In der Fig. 21 ist eine Ebene mit den Spuren j)₁ und p₂ dargestellt. Wir benutzen die erste Orientierung und denken uns die Ebene gegeben durch ihre Grundrißspur pt und einen Punkt M, der auf p₂ angenommen ist. Wir haben dann die frühere Darstellung in einer Projektion (6). Die Querlinie A*Sj bestimmt ein Profil S₁An, das, ganz wie in 6 angegeben, zur Bestimmung der verschiedenen Punkte in der Ebene und zur Umklappung der Ebene in die erste Bildebene benutzt wird. Der Winkel, den die Ebene mit der Grundrißebene bildet, ist Ä S₁An.

Wenn eine Ebene eine projizierende Ebene für die Grundrißprojektion ist, wird p₂ _L x und px liefert sofort ein Profil der Ebene.

Die Schnittlinie zweier Ebenen wird gewöhnlich dadurch bestimmt, daß ihre Spuren als die Schnittpunkte der entsprechenden Spuren der Ebenen entstehen. Ist das eine Paar von Spuren parallel, so wird die Schnittlinie, wenn sie existiert, diesen Spuren, also auch der sie enthaltenden Projektionsebene parallel. Ist auch das andere Paar von Spuren parallel, und sind die Spuren nicht zu x parallel, so sind die Ebenen selbst parallel.

Weitere Methoden sind schon früher in 10 angegeben worden.

Eine Linie a (Fig. 22), die in einer gegebenen Ebene (p₁p₂) liegt und eine gegebene Grundrißprojektion a hat, bestimmt sich als Schnittlinie der Ebene mit der vertikalen Ebene durch a.

Besonderes Interesse haben die Grundlinien und Frontlinien in der Ebene. In der Fig. 23 ist eine Grundlinie a und eine Frontlinie b gezeichnet.

a"

'a

bi

Pf

Fig. 22.

Fig. 23.

Kennt man die eine Projektion A' eines Punktes A der Ebene, so kann man die andere Projektion A" finden, indem man eine Linie (z. B. eine Grundlinie) in der Ebene durch den betreffenden Punkt zieht (Fig. 23).

'b

j>l\

Pi

Fig. 24.

Der Schnittpunkt einer Linie a mit einer Ebene {p₁p₂) wird gewöhnlich gefunden, indem man eine projizierende Ebene (in der Fig. 24 eine vertikale Ebene) durch a legt und die Schnittlinie?) dieser Ebene mit der gegebenen Ebene bestimmt, b schneidet dann a in dem gesuchten Punkte.

Ist eine Linie zu einer Ebene senkrecht, so sind die Projektionen der Linie zu den zugehörigen Spuren der Ebene senkrecht (12).

Einfache Körper.

26. Bei der Darstellung von Körpern in doppelter Projektion muß die Zeichnung in jeder Projektion nach den früher angegebenen Regeln ausgeführt werden.

In der Fig. 25 ist ein Tetraeder AB CD dargestellt. In der Aufrißprojektion ist der Umriß A"B"C"L>"\ dieser wird voll

aus-

gezogen. Hierauf sieht man nach, welche der beiden Kanten AC und BD sichtbar ist, indem man die beiden Punkte dieser Kanten, deren Aufrißprojektionen zusammenfallen, im Grundriß betrachtet. So erkennt man, daß in der Figur die Kante BD vor der Kante AG durchgeht. B" D'" ist also auszuziehen,

D'j

^rsrHc'

A" C" zu punktieren.

Yb"

b‘

Fig. 25.

In der Grundrißprojektion ist der Umriß A'B'C'; der Schnittpunkt von B'C' und der Verlängerung von A'D' über D' hinaus ist die Grundrißprojektion zweier Punkte, von denen der eine auf der Linie AD, der andere auf B C liegt. Von diesen beiden Punkten ist der erste, wie man aus dem Aufriß erkennt, der obere. Also liegt AD über der Ebene ABC, und A'D' muß ausgezogen werden, ebenso auch B' D' und C' D'.

Die Schnittlinie des Tetraeders mit einer zur Aufrißebene senkrechten Ebene (p₁p₂) kann sofort gezeichnet werden, da die Aufrißprojektionen der Schnittpunkte dieser Ebene mit den Tetraederkanten im Aufriß unmittelbar gegeben sind.

27. Um den Schnitt einer beliebigen Ebene mit einem Polyeder (oder einem anderen Körper) zu finden, führt man eine Profilebene der gegebenen Ebene ein (indem man z. B. die erste Orientierung benutzt), projiziert das Polyeder auf diese Ebene und zeichnet die Projektion in der Umklappung. Man führt also in Wirklichkeit eine neue Projektionsebene ein, für welche die gegebene Ebene eine projizierende Ebene ist. In dieser neuen Projektion sind dann die Schnittpunkte der gegebenen Ebene mit den Polyederkanten sofort ersichtlich, und indem man diese Punkte in die ursprüngliche Projektion zurückführt, kann man den ganzen Schnitt leicht zeichnen.

In Fig. 26 ist so die Schnittlinie der Ebene (p± p₂) mit einer Pyramide gezeichnet worden, die auf der Grundrißebene aufsteht. (Bei der Zeichnung ist die Schnittebene als durchsichtig aufgefaßt.) Zugleich ist das Profil zur Umklappung des Schnittes in die Grundrißebene benutzt.

2Q. Soll man nun- die Abwicklung der Pyramide zeichnen, d. h. eine ebene Figur, die von den Seitenflächen der Pyramide gebildet wird, wenn man sie der Reihe nach in der Zeichenebene ausbreitet, so kann man sich z. B. die Pyramide längs einer Seitenkante und allen Grundkanten bis auf eine aufgeschnitten denken und sie dann in der Zeichenebene ausbreiten. Um die Abwicklung zu konstruieren, reicht im vorliegenden Falle hin, daß man die wahre Länge aller Seitenkanten bestimmt. Diese Längen findet man als die Hypotenusen in rechtwinkligen Dreiecken, von denen die Höhe der

...A

4-

\—_____a.

...V.

-V

"T

Pi

•v.

jFig. 26.

Pyramide eine gemeinsame Kathete bildet, während die andere Kathete jedesmal die Gi’undrißprojektion der betreffenden Kante ist. Da man dann alle Seiten der Seitendreiecke kennt, kann man diese konstruieren.

Der ebene Schnitt läßt sich leicht in die Abwicklung übertragen, da seine Ecken auf die Kanten in der Abwicklung fallen und auf diesen gefunden werden, indem man die wahre Länge eines der Stücke, in welche sie die betreffende Kante teilen, bestimmt.¹)

29. Abivicldung eines Prismas, dessen Seitenkanten der Aufrißebene parallel sind (Eig. 27). Man legt einen senkrechten Querschnitt (senkrecht zur Aufrißebene, mit der Aufrißspur p₂) durch das Prisma und klappt ihn in die Aufrißebene um. Denkt man sich nun das Prisma längs einer Seitenkante aufgeschnitten und, ohne auf die Endflächen einstweilen Rücksicht zu nehmen, die einzelnen Seitenparallelogramme in eine Ebene ausgebreitet, so fallen bei dieser Abwicklung die Seiten des Querschnitts in dieselbe zu den Seitenkanten des Prismas senkrechte gerade Linie.

v/

./

Pig. 27.

Man beginnt also damit (Pig. 27 a), daß man den Querschnitt abwickelt, indem man auf einer geraden Linie n seine Seiten der Reihe nach abträgt. In den Endpunkten der Seiten errichtet man Lote auf n und trägt auf diesen die Stücke ab, in welche die Seitenkanten des Prismas durch den

zeichnet vorliegende) Kreis läßt sich immer in eine endliche Anzahl geradliniger Stücke zerlegen, was in mannigfacher Weise geschehen kann; die Lage der Teilpunkte spielt dabei keine wesentliche Rolle, wenn nur die Teilstücke hinreichend klein sind. Ein „praktischer Kreis“ kann also immer als Polygon mit endlicher Seitenzahl aufgefaßt werden; die Ecken des Polygons haben aber keine vorausbestimmte Lage, was damit zusammenhängt, daß die geraden Linien, die als Seiten des Polygons (Tangenten des Kreises) gelten, sich so unmerkbar aneinanderreihen, daß je zwei aufeinanderfolgende dieser Linien nicht nur einen einzelnen Punkt, sondern eine ganze Strecke gemein haben. Es folgt hieraus sogleich, daß ein in der Praxis vorkommender Kreiskegel immer als Pyramide aufgefaßt werden kann, indem man eine hinreichend große Anzahl von Seitenlinien des Kegels auswählt, die als Kanten der Pyramiden benutzt werden sollen. Unter diesen Seitenlinien wird man dann immer die Umrißseitenlinien mitnehmen. Es bedarf nun keiner näheren Begründung, wie man ebene Schnitte eines Kreiskegels und dessen Abwicklung praktisch her-stellen kann. Aber viele hierher gehörende Fragen lassen sich doch einfacher und genauer durch weitergehende theoretische Untersuchungen beantworten (vgl. 276).

betrachteten Querschnitt zerlegt werden. Die wahren Längen dieser Stücke erkennt man unmittelbar aus dem Aufriß. So sind die Abwicklungen der Seitenflächen bestimmt, und man fügt hierauf die Endflächen an.²)

30. Den Schnitt einer Kugel mit einer Ebene zu finden (Eig. 28). In der Figur ist nur der Fall berücksichtigt, wo die

n_

Fig. 27 a.

Fig. 28.

gegebene Ebene zur Aufrißebene senkrecht ist. Dann stellt sich im Aufriß der gesuchte Schnittkreis als die geradlinige Strecke dar, welche der Umriß der Kugel von der Aufrißspur der Ebene abschneidet. Insbesondere bestimmen wir die Punkte, die auf den Umriß der Kugel fallen und in einer Höhe mit dem Mittelpunkt der Kugel liegen. Diese Punkte bilden den Übergang vom sichtbaren zum unsichtbai-en Teil des Kreises in der Grundrißprojektion. Von der Ellipse, als welche der Kreis sich im Grundriß darstellt, liefern die Schnittpunkte der Aufrißspur mit der Aufrißkontur die Endpunkte der kleinen Achse; die große Achse wird

gleich der Sehne, die von der Aufrißkontur der Kugel aus der Aufrißspur der Ebene ausgeschnitten wird.

Durchdringungen von Polyedern.

31. Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C gegeben (Eig. 29) und ein Punkt D der Ebene durch seine Grundrißprojektion D' bestimmt, so zieht man, um die zugehörige Aufrißprojektion D" zu finden, in der Ebene eine Linie durch _D, etwa die Linie A B, die B C in M schneidet, worauf man B" leicht A bestimmen kann.

C"

6----

,M'

Gleichzeitig wird so die Aufgabe gelöst, den Schnittpunkt der Ebene ABC mit einer vertikalen Linie, deren Grundrißprojektion JD' ist, zu finden, und wir können sagen, wir haben die Aufgabe dadurch gelöst, daß wir durch die vertikale Linie eine vertikale Ebene mit der Grundrißspur Ä B' gelegt und deren Schnittlinie AM mit der Ebene ABC bestimmt haben, worauf sich der gesuchte Punkt als der Schnittpunkt von AM mit der gegebenen vertikalen Linie ergibt.

32. Soll man den Schnittpunkt einer ebenen undurchsichtigen Breiecks fläche ABC mit einer schrägen Linie a bestimmen, so legt man in ähnlicher Weise eine vertikale Hilfsebene durch a, diese schneidet die gegebene Ebene in der Linie MN, und deren Schnittpunkt mit a ist der gesuchte Punkt S (Fig. 30). Die Zeichnung wird dadurch vervollständigt, daß man zunächst die Punkte von a und AC untersucht, welche dieselbe Aufrißprojektion ergeben, aus der Betrachtung der Grundrißprojektion erkennt man dann, welcher von diesen Punkten vorne liegt, und wo demnach die

Ä<

IM'

Fig. 29.

c"

nI

S>-"

C'

et"

M'\

y'S

Fig. 30.

Linie a" auszuziehen ist. Ähnliches gilt auch für die Grundrißprojektion a.

33. Ganz ebenso bestimmt man auch die Schnittpunkte einer geraden Linie mit der Oberfläche eines Polyeders. Man legt eine vertikale Ebene durch die Linie und bestimmt deren Schnitt mit dem Polyeder, dieser Schnitt trifft die gegebene Linie in den gesuchten Punkten. Statt der vertikalen Hilfsebene können wir natürlich auch, indem wir Grundriß und Aufriß ihre Rollen vertauschen lassen, eine zur Aufrißebene senkrechte Ebene benutzen. Das eine wie das andere ist unter Umständen zweckmäßig. Auch

--:- schräge Hilfsebenen können

in Betracht kommen (vgl. 7 |    und 11).

34. Wir haben nun die

O».

10

•ÄL-......

I)

Mittel in der Hand, um die Durchdringung zweier Polyeder zu konstruieren. Diese Durchdringung besteht im allgemeinen aus einem oder mehreren windschiefen Polygonen, deren Seiten Schnittlinien von Seitenflächen der Polyeder sind, und deren Ecken als Schnittpunkte der Kanten des einen Polyeders mit den Seitenflächen des anderen oder umgekehrt entstehen. Es kommt in der Hauptsache darauf an, diese Schnittpunkte zu finden. Die nähere Ausführung wollen !Iß'    wir durch ein paar Beispiele

\    erläutern.

i >8

1.Beispiel. JJieDurchdringung eines Tetraeders mit einem vertikal gestellten Prisma zu bestimmen (Fig. 31).

Fig. 31.

Die Schnittpunkte der Pyramidenkanten mit den Seitenflächen des Prismas sind aus dem Grundriß sofort zu entnehmen, die Schnitt-

punkte der Prismenkanten mit den Seitenflächen der Pyramide finden wir durch vertikale Hilfsebenen, die wir durch diese Kanten legen und die hier mit den Seitenflächen des Prismas zusammenfallen. Die näheren Einzelheiten bei der Konstruktion sind folgende: Die Seitenfläche des Prismas, deren Grundrißspur Ä B' ist, schneidet das Tetraeder in dem Di’eieck ABC, daraus finden wir alle Schnittpunkte der Pyramide mit den Prismenkanten, die in der genannten Seitenfläche liegen. Indem wir nun auch den Schnitt der Pyramide mit der Prismenfläche, deren Grundrißspur D'JE' ist, benutzen, finden wir alle Punkte, die in Betracht kommen. Es handelt sich nur noch allein darum, in welcher Reihenfolge sie zu vereinen sind. Dies zeigt sich am anschaulichsten, wenn wir jeden der Teile, in welche die Oberfläche der Pyramide durch ihre Grundrißkontur geteilt wird, für sich betrachten. Jeder dieser Teile wird von dem Prisma in einer gebrochenen Linie geschnitten, deren Grundrißprojektion bekannt ist, und deren Aufrißprojektion sich demnach leicht zeichnen läßt. Die beiden gebrochenen Linien setzen sich in der Figur zu einem einzigen Linienzug zusammen, ihre Ecken sind 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8 auf dem oberen Teil der Pyramide und 8, 9, 10, 11, 1 auf dem unteren Teil. (Die Zahlen sind nur im Aufriß angeschrieben).

2. Beispiel. Durchdringung zweier Pyramiden. In Fig. 32 ist nur eine einzige Projektion der Pyramiden gezeichnet. Die Ebenen der Grundflächen schneiden einander in einer Linie s und die Verbindungslinie ST der Spitzen in P und Q. Die Anordnung ist derart, daß die Grundflächen selbst von der Schnittlinie der Pyramiden nicht getroffen werden, so daß wir nur die Schnittlinien der Seitenflächen zu finden haben. Wir legen eine Hilfsebene durch die Linie ST; wenn diese Hilfsebene sich um ST dreht, durchlaufen ihre Schnittpunkte mit den beiden Pyramidenflächen deren ganze Durchdringung. Um die Ecken dieses Linienzuges zu finden, braucht man nur die genannten Hilfsebenen durch die Seitenkanten der Pyramiden hindurchzulegen. Eine solche Hilfsebene ist die Ebene Pß Q, die durch die Kante SI geht und s in ß schneidet. Sie schneidet das von T ausgehende Vierkant in den Linien TA und TF, und diese schneiden SI in zwei Ecken der gesuchten Durchdringung. Auf diese Weise kann man alle Ecken der Durchdringung finden.

Indessen treten so nicht alle Kanten der beiden Pyramidenflächen auf. In der Figur sind alle Ebenen durch ST, die mit den beiden Pyramidenfiächen Punkte gemeinsam haben, in dem Flächen-winkel enthalten, dessen Achse ST ist, und der auf der Linie 5 die endliche Strecke aß abschneidet. Das ganze Dreikant S nimmt also an dem Schnitt teil, wogegen wir von dem Vierkant T nur die beiden Teile gebrauchen, die den Stücken ABC und BEF

Q>V-

auf dem Umriß der Grundfläche der Pyramide entsprechen. Diese beiden Teile des Vierkants T (wir bezeichnen sie mit T(ABC) und T(BEF)) schneiden jede das Dreikant S

''

Xc

V-

L_

----*

Ff

IV

ii

f/

Fig. 32.

in einem geschlossenen Polygon. Lassen wir nämlich das Dreikant von einer geraden Linie durchlaufen, so schneidet diese Linie in jeder ihrer Lagen die Fläche T(ABC) in einem und nur in einem Punkt, .und wenn die Linie das Dreikant durchläuft, so durchläuft dieser Punkt einen geschlossenen Linienzug. Die Lagen der beweglichen Linien, die durch die Eckpunkte dieses Linienzuges gehen, sind teils Kanten des Dreikants S, teils schneiden sie eine Kante der Fläche T(ABC). Diese Lagen sind SI, SII, SIII, SIV, S V, wobei die Punkte I, II, III, IV, V in der natürlichen Reihenfolge auf der Grundfläche der Pyramide S angenommen sind. Dadurch wird der Schnitt 1, 2, 3, 4, 5 bestimmt. Auf ganz ähnliche Weise wird auch der Schnitt der Fläche 2'(BEF) bestimmt. In dem vorliegenden Falle durchbohrt die eine Pyramide die andere, in anderen Fällen wird der Schnitt ein einziges zusammenhängendes Polygon, aber die angegebene Methode kann auch dann zur Anwendung kommen.

Eine ähnliche Methode kann man benutzen, um die Durchdringung einer Pyramide mit einem Prisma, oder vielmehr einer räumlichen Ecke mit einer prismatischen Röhre zu bestimmen, indem man dann eine Linie durch die Spitze der Ecke parallel zu den Seitenkanten des Prismas zieht und Hilfsebenen durch diese Linie und die verschiedenen Kanten der räumlichen Ecke und des Prismas hindurchlegt.

Zur Bestimmung der Durchdringung zweier prismatischer Röhren benutzt man in analoger Weise Hilfsebenen, die zu den Kanten beider Röhren parallel sind.

Bei der Konstruktion ist es nützlich zu beachten, daß die Schnittlinien einer Seitenfläche des einen Polyeders mit zwei verschiedenen Seitenflächen des anderen einander auf der Schnittlinie der letztgenannten Seitenflächen schneiden. Bisweilen ist es leicht, die Schnittlinien einzelner Seitenflächen des einen Polyeders mit der Oberfläche des anderen Polyeders zu finden, was man immer benutzen sollte.¹)

¹

Was wir in 27—28 über Pyramiden gesagt haben, läßt sich vom praktischen Standpunkt aus auch für Kegel (z. B. Kreiskegel) unmittelbar verwerten. Jeder in der Praxis vorkommende (etwa ge-

²

Für die praktische Behandlung eines Zylinders kann man genau die gleiche Methode anwenden, indem man den Zylinder als, Prisma auffaßt (vgl. die vorhergehende Fußnote).,

Ramngeometrische Konstruktionen bei besonderen Lagenverhältnissen.

C”

35. Die bis jetzt angegebenen Methoden zur Behandlung der geraden Linie und der Ebene in doppelter Projektion erfordern eine Ergänzung für besondere Lagenverhältnisse.

Wenn eine gerade Linie zur Grundachse senkrecht ist, fallen ihre beiden Projektionen in ein Lot der Grundachse.

A'

....y

'A,

c' ■

:/c,

b'

■%

Fig. 33.

Die Linie ist dann durch ihre Projektionen nicht bestimmt, sondern muß durch zwei ihrer Punkte A, B festgelegt werden. Um einen dritten Punkt C zu bestimmen, wenn C' bekannt ist, und um die Spurpunkte der Linie zu finden, kann man die Umklappung A₁B₁ in der Grund-

1) Praktische Beispiele aus dem Gebiete der Architektur findet man z. B. bei G. Hauck, Vorlesungen über darstellende Geometrie J, Leipzig 1912, S. 90—93.

rißebene benutzen (Fig. 33). Das gleiche wird man tun, um den Schnittpunkt der Linie mit einer Ebene zu finden. Was die Beziehungen zwischen den Projektionen der Punkte dieser Linien

Ä C'

betrifft, so ist es nützlich zu beachten, daß —

auf verschiedene Weise zur Bestimmung von Punkten auf der Linie verwerten kann. Wenn eine gerade Linie auf der Grundachse nahezu senkrecht ist, muß man aus praktischen Gründen ähnliche Betrachtungen anwenden.

36. Die Schnittlinie zweier Ebenen (r₁ r₂) und (s₁ s₂) kann nicht immer durch ihre Spuren bestimmt werden; wenn z. B. die Schnittpunkte der Ebenen mit der Grundachse, wie in Fig. 34, nahezu oder genau zusammenfallen, kann man eine Ebene (p₁p₂) parallel zu (r₁ rg) legen und ihre Schnittlinie b mit der Ebene (s₁s₂) bestimmen. Die gesuchte Schnittlinie a ist hierauf £>arallel zu b zu ziehen.

A"C"

B"C"

, was man

r₂

fi/

So

Po

b'

p,

Eine Schwierigkeit, die sich öfter einstellt, ist die, daß man die Yerbindungsgerade eines Punktes P mit dem Schnittpunkt S von zwei Linien a und b braucht, die nahezu parallel sind. Man

kann sich dann helfen, indem man aus P die Lote auf a und b fällt und ihre Schnittpunkte B und A mit b bzw. a S verbindet (Fig. 35). Diese Verbindungslinie ist senkrecht auf der gesuchten Linie PS. PA, PB und PS sind nämlich die Höhen in dem Dreieck ABS. Dies ist in Fig. 36 benutzt, um die Schnittlinie der Ebenen (rxr₂) und (slsg) zu finden, indem die

Fig. 34.

!W

i {p

j/1

Fig. 35.

Linie von AL" nach A₂ hin auf diese Weise gezogen ist. Ferner ist A₂A₂' als die Höhe in dem Dreieck RSA₂ durch den Schnittpunkt der beiden anderen Höhen in diesem Dreieck bestimmt.

Eine andere Methode ist in Fig. 37 angegeben, wo die Ebenen (»⁻i ra) und (Sj S₂) mit einer horizontalen Hilfsebene, deren Aufrißspur t₂ ist, zum Schnitt gebracht sind. Die Schnittlinien der gegebenen Ebenen mit dieser Hilfs-ebene schneiden einander in A und die Punkte A₁ und A be-stimmen darauf die gesuchte Linie.

37. Endlich wollen wir bemerken, daß eine Ebene nicht immer bequem durch ihre Spuren dargestellt wird. Häufig muß man zwei beliebige einander schneidende Linien, zwei parallele Linien oder drei Punkte zur Bestimmung der Ebene benutzen. Wenn eine Ebene auf diese Weise gegeben ist, so kann man, indem man Linien in der Ebene parallel zu den Projektionsebenen zieht, die Richtungen der Spuren finden, worauf man dann imstande ist, Lote auf die Ebene fällen, da die Projektionen der Lote senkrecht zu den genannten Richtungen sind.

Eine Ebene, die durch

a₂

r2

s2

Ui

{l

At\

Fig. 36.

i/

/s2

zu

rl

einen Punkt P senkrecht zu einer Linie a gelegt wird (Fig. 38), kann bestimmt werden, indem durch P eine Frontlinie und

A7

f*t

A’

Fig. 37.

man

eine Grundlinie in der Ebene zieht. Die beiden Linien seien b und c(b' |1 x, b" ± a", c _L a, c" || x). Will der Ebene mit a finden, so kann dieses mit Hilfe einer Vertikal-ebene durch d geschehen. Die wahre Länge von PS lief ei t den Abstand des Punktes P von a.

Bisweilen ist es bequem, die wahre Größe einer ebenen Figur durch Umklappung in eine zu einer Projektionsebene parallele

man

den Schnittpunkt S

Timerding, Handbuch II

Ebene zu bestimmen. In der Fig. 39 ist die wahre Größe des Winkels {ab) durch Umklappung des Winkels in eine horizontale Ebene mit Hilfe einer Drehung um die horizontale Linie c be-

i\

C”

b"

’a

' \b'

A>

c”

B"

\ \ p" .

\ si /*

C'

-u'

b'

^A'\

......VP'

.ß'

t~A

C,

\K

Mg. 38.

Mg. 39.

stimmt. Die Spitze C stellt sich nach der Umhlappung im Grundriß durch einen Punkt Cx dar, der so liegt, daß C'P'C^A^ÄB' wird, während PCdie Hypotenuse in dem rechtwinkligen Dreieck ist, dessen eine Kathete C'P' ist, während die andere die Erhebung von C” über c" angibt.

Durch eine solche Umklappung kann man, wenn es sich um größere Figuren handelt, mit Vorteil ein Profil einführen, ebenso wie bei der Umklappung in eine Projektionsebene. Allgemein gilt die Regel, daß die Konstruktion ausgeführt wird, als ob c" die Grundachse wäre (und c in der Grundrißebene läge).

ümprojizieren.

38. Ist eine Figur ABC . . . durch zwei Projektionen ÄB'C' . . . und A"B"C" . . . dargestellt, so kann es, wie wir gesehen haben, bisweilen nützlich sein, die eine oder andere projizierende Ebene als neue Projektionsebene einzuführen. Wählt man z. B. eine projizierende Ebene bei der ersten Orientierung als neue Aufrißebene, so kann man durch Projektion auf sie und Umklappung der Projektion eine neue Darstellung A'"B'"C"' . . . und

eine dazu gehörende dritte Orientierung erreichen. Hierauf betrachtet man die Figur als gegeben durch die Projektionen ÄB' C'... Ä"B"'C"'..., und es wird nun in diesem System wieder möglich sein, eine neue Projektionsebene einzuführen, die eine projizierende Ebene bei der dritten Orientierung ist. Einen solchen Übergang zu einem neuen System von Projektionsebenen nennt man Umprojizieren.

P”

Bei praktischen Darstellungen ist es vielfach üblich, daß man neben den beiden Pro-

jektionen des Gegenstandes in Grundriß und Aufriß eine dritte Projektion (Seitenriß) auf eine Seitenrißebene (d. h. eine Ebene senkrecht zur trennenden Achse) aufzeichnet.

Achsen werden dann für gewöhnlich ausgelassen.

39. Durch Umprojizieren kann man erreichen, daß eine beliebige gerade Linie ein Projektionsstrahl in der letzten Orientierung wird. Man kann nämlich zuerst eine neue Projektionsebene parallel zu der Linie (insbesondere durch die Linie hindurch) einführen und darauf noch einmal eine neue Projektionsebene senkrecht zu der Linie.

aX !

b”

Die trennenden

\/xr

-A..

,1

A:-

to'V-

ä"

-pW

Fig. 40.

Dies ist in der Fig. 40 benutzt, um den kürzesten Abstand zweier ivindschiefen Linien a und b zu bestimmen. Wir projizieren so um, daß b ein Projektionsstrahl wird, und haben dann die Aufgabe auf eine bekannte Konstruktion zurückgeführt (5). In der ersten Orientierung ist die vertikale Ebene durch b als neue Projektionsebene eingeführt, so daß man das System ab' und a"b"' erhält. (Die Grundachse xx fällt mit b' zusammen.) b"' ist als Umklappung von b konstruiert, a" mit Hilfe von zwei Punkten bestimmt, und zwar sind die Spuren benutzt worden. Von dem System ab\ a'"b"' geht man nun weiter zu einem dritten über, indem man

auf eine projizierende Ebene bei der dritten Orientierung, die zu b senkrecht ist, projiziert, so daß x₂ _L b'" als neue Grundachse gewählt wird, b projiziert sich dann in dem Punkte bLV, während a sich als die Linie alv darstellt. In dem System a" b'" und aLVblv mit der Grundachse x% läßt sich nun der kürzeste Abstand sofort ziehen: AiyBLy ist das Lot von bLy auf aiv und Ä" B" ist parallel zu x,₂; darauf wird die Figur in die ursprüngliche Projektion zurückgeführt.

40.    Soll eine Figur durch einen gegebenen Winkel um eine beliebige Linie a gedreht wer den, so kann man ein ähnliches Umprojizieren benutzen. Wenn nämlich die Linie a ein Projektionstrahl ist, läßt sich die Drehung sehr leicht ausführen, und auf diesen besonderen Fall führt man den allgemeinen durch Umprojizieren zurück. Ist insbesondere die Linie a einer der gegebenen Projektionsebenen parallel, so braucht es natürlich nur einen Wechsel der einen Projektionsebene, um a in einen Projektionsstrahl überzuführen.

Das Umprojizieren wird auch als Hilfsmittel bei ungünstigen Lagenbeziehungen verwendet.

Die Mittelebene. Perspektivische Affinität.

41.    Bei einer doppelten Projektion liegen die Projektionen von Punkten des ersten und dritten Quadranten auf verschiedenen

Fig. 41.

Seiten der Grundachse, während die Projektionen jedes Punktes des zweiten und vierten Quadranten auf derselben zjyr- Seite der Grundachse liegen. Ein Punkt A, dessen Projektionen A\ A" zusammenfallen sollen, muß deswegen im zweiten oder vierten Quadranten (oder auf der Grundachse x) liegen, und da die Abstände xÄ, x A" die Abstände des Punktes von den Projektionsebenen bedeuten und somit gleich groß werden müssen, muß der Punkt A in der Ebene liegen, die den zweiten und vierten Quadranten halbiert. Diese Ebene heißt die Mittelebene und wird mit M bezeichnet.

Als Beispiel für die Aufgaben, welche die Mittelebene betreffen und sofort durch direkte Betrachtung der ersten oder zweiten Orientierung ihre Lösung finden, wollen wir nennen:

Die Spuren At, A₂ einer Linie zu finden, die durch einen gegebenen Punkt A geht und auf der Mittelebene senkrecht ist (es wird A'Ax = x A"; A₂ und At fallen zusammen).

Die Spuren einer Ebene zu finden, die durch eine gegebene Linie geht und zur Mittelebene senkrecht ist. Die Ebene muß ein Lot der Mittelebene enthalten, und ihre Spuren müssen deshalb in der Zeichnung die Verlängerung voneinander bilden.

Eine gerade Linie a schneidet im allgemeinen die Mittel-ebene in einem bestimmten Punkte, dessen Projektionen in den Schnittpunkt a a" zusammenfallen. Dieser Punkt M heißt die Mittelspur der Linie (Fig. 41). Ist a zu a" parallel, so wird a zur Mittelebene parallel. Fallen a und a" zusammen, ohne auf der Grundachse senkrecht zu sein, so liegt die Linie a in der Mittelebene.

Fig. 42.

42. Eine Ebene schneidet im allgemeinen die Mittelebene in einer bestimmten geraden Linie, welche die Mittelspur der Ebene heißt. Ein Punkt der Mittelspur wird sofort gewonnen in dem Schnittpunkte der Ebene mit der Grundachse. (Ist die Ebene der Grundachse parallel, so wird auch die Mittelspur, wenn sie existiert, der Grundachse parallel. Enthält die Ebene die Grundachse, so muß die Mittelspur mit dieser zusammenfallen.) Ein zweiter Puukt wird gefunden, indem man von einer Linie in der Ebene die Mittelspur bestimmt. In Fig. 42 ist insbesondere eine horizontale Linie a

der Ebene genommen worden.

DerZusammenhangzwischendenbeidenProjektionenM,7?,C'/... und Ä'B'C" . . . einer Figur in der Ebene ist nun dadurch charakterisiert, daß:

1. zu jedem Punkte Ä ein bestimmter Punkt A" gehört, derart, daß Ä und A" auf einer Linie von bestimmter Richtung (_L x) lieg

on

2.    jeder Linie n eine Linie a" zugeordnet ist, derart, daß a und a" die Mittelspur m in demselben Punkt schneiden (oder beide zu m parallel sind oder mit m zusammenfallen),

3.    parallelen Linien a und ?/ wieder parallele Linien a" und b" entsprechen.

Zwei Figuren einer Ebene, die in einer solchen Beziehung stehen, nennt man perspektiv affin oder parallelpcrspeTdiv: m heißt die Affinitätsachse, die Richtung A'A" die Affinitätsrichtung. Durch die Affinitätsachse m und ein Paar beliebig gegebener entsprechender

Punkte A', A", von denen nur keiner auf m liegen darf, ist die ganze Beziehung bestimmt (vgl. Fig. 43). Daß eine Perspektive Affinität (wie

die Beziehung selbst nennt) existiert, die den

man

i__________________m.

IH ;K

C/"\

B’

<A’

Fig. 43.

Bedingungen genügt, erkennt man daraus, daß man eine doppelte Projektion einführen kann, bei der A' und A" die Projektionen eines Punktes A im Raume sind, während m eine Linie der Mittelebene darstellt. Die durch den Punkt A und die Linie m bestimmte Ebene erzeugt durch die doppelte Projektion sofort die gesuchte perspektiv affine Beziehung. Daß diese durch m, Ä, A" eindeutig bestimmt ist, erkennt man daraus, daß einem gegebenen Punkte B\ der nicht auf der Linie A' A" liegt, ein bestimmter Punkt B” entspricht. Die Linie A'B' schneidet nämlich m in einem bestimmten Punkte M (oder ist zu m parallel) und B" bestimmt sich als der Schnittpunkt von A" 31 und B'B" || A' A" (wenn ÄB' m, wird die Linie durch A" parallel zu m und B' B" parallel zu A'A"). Zu einem Punkte C' auf der Linie A'A" findet man darauf den entsprechenden Punkt durch Benutzung der Yerbindungslinie B' C'.

. . in einem

Man beachte, daß m die Strecken A'A", B' B " konstanten Verhältnisse teilt.

Einen besonderen Pall der Perspektiven Affinität haben wir bereits bei der Untersuchung der Beziehung zwischen der Projektion und der Umklappung einer ebenen Figur gefunden (6).

43. Die Ebene, welche den ersten und dritten Quadranten halbiert, enthält alle Punkte, deren Projektionen symmetrisch zur Grundachse liegen. Von einer Ebene, die zu dieser Halbierungsebene parallel ist, fallen die Spuren in eine zur Grundachse parallele Linie s zusammen. Die Mittelspur m der Ebene wird zur Grundachse parallel und verläuft in der Mitte zwischen dieser und s. Von einer Figur in der Ebene liegen also die Projektionen symmetrisch zu m.

Den systematischen Aufbau der Methode der doppelten Projektion verdankt man Gaspard Monge, dessen Vorlesungen hierüber an der Ecole normale in Paris zuerst in dem Journal des ecoles normales Bd. I—IV (i795) veröffentlicht wurden. Die erste Ausgabe in Buchform erschien 1798—99 unter dem Titel: Geometrie descriptive. (Deutsche Ausgabe, Leipzig 1900, von Robert Haußner in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften, Nr. 117.) Auf diese Weise wurde nicht bloß der Name eingebürgert, den G. Schreiber (.Lehrbuch der darstellenden Geometrie nach Monges Geometrie descriptive vollständig bearbeitet, Karlsruhe 1828—29) dann in der heute noch üblichen Weise verdeutschte, es wurde auch diese Wissenschaft als ein feststehendes Lehrfach der technischen Ausbildung begründet. Vorher wurden die einschlägigen Kenntnisse meist mit dem Steinschnitt verknüpft; man vgl. vor allem F. A. Frezier, La theorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois ou Traite de stereotomie (Straßburg 1737—89). Unmittelbar nach Monges Vorlesungen und in merkbarer Abhängigkeit von ihnen erschien das kleine Buch von S. F. Lacroix, Complemcns des elemens de geometrie, Paris 1796. Das erste ausführliche Lehrbuch ist das von Monges Schüler J. N. P. Ha-chette, Traite de Geometrie descriptive, Paris 1822. Darauf folgte C. F. A. Leroy, Traite de geometrie descriptive suivie de la methode des plans cotes et de la theorie des engrenages (Paris 1842), Th. Oli-vier, Cours de geometrie descriptive, Paris 1843—47, und J. M. de la Gournerie, Traite de geometrie descriptive, Paris 1860—64. Diese Werke lassen die Entwicklung des Lehrbetriebes der darstellenden Geometrie an der polytechnischen Schule in Paris deutlich erkennen. Für seine weitere Ausgestaltung sind besonders kennzeichnend A. Mannheim, Cours de geometrie descriptive, Paris 1880, der die darstellende Geometrie nach der kinematischen Seite hin ausbaute, und M. d’Ocagne, Cours de geometrie descriptive et de geometrie infinitesimale, Paris 1896, die sie mit der Krümmungslehre der Kurven und Flächen verknüpfte. In Deutschland lehnte die darstellende Geometrie in Literatur und Unterricht sich lange Zeit eng an die französischen Werke an, bis durch B. Gugler, Lehrbuch der beschreibenden Geometrie, Nürnberg 1841, und K. Pohlke, Darstellende Geometrie, Berlin 1860, eine originellere Behandlung auf kommt und durch W. Fiedler, Die darstellende. Geometrie, Leipzig 1871, die organische Verschmelzung der darstellenden Geometrie mit der inzwischen ausgebildeten Geometrie der Lage versucht wird. Die wichtigeren deutschen Lehrbücher finden sich am Schluß zusammengestellt-

Drittes Kapitel.

Parallelprojektion. Axonometrie.

Grundsätze der Parallelprojektion.

(den Projektionsstrahlen), die alle die Eich-

44. Unter der Parallelprojektion einer gegebenen Figur ABC.... auf eine gegebene Ebene TT in einer gegebenen Bieh-tung r versteht man die Figur Ax B₁C₁ ... ., die von den Schnittpunkten der genannten Ebene (der Projektionsebene) mit den Strahlen AAV BBV CCX

tung r (die Projektionsrichtung) haben, gebildet wird. Ist die Projektionsebene zugleich mit der Projektionsrichtung (die man aber nicht der Ebene TT parallel voraussetzen darf) gegeben, so gehört zu jeder Figur im Kaume eine bestimmte Projektion. Ist insbesondere r _L TT, so geht die schräge Parallelprojektion über in eine senkrechte Projektion. Wir wollen zuerst einige Hauptsätze über die allgemeine Parallelprojektion anführen.

1.    Eine gerade Linie a. die kein Projektionstrahl ist, wird in eine gerade IAnie ax projiziert. Ist a jj TT, so wird ax |j a, ein beliebiges Stück der Linie wird dann in seiner wahren Größe projiziert. Ist a nicht jj TT, so geht ax durch die Spur von a in TT.

Die Ebene, die die durch die Punkte der Linie gehenden Projektion sstrahlen enthält, heißt die die Linie projizierende Ebene.

2.    Die Linien durch einen Punkt A werden in die Linien durch einen Punkt At projiziert; aber wenn gewisse Linien im Baume in Linien projiziert werden, die durch denselben Punkt gehen, so kann man nicht daraus schließen, daß auch die Linien im Baume durch einen Punkt gehen, vielmehr nur, daß sie einen bestimmten Projektionsstrahl schneiden.

3.    Parallele Linien, die keine Projektionsstrahlen sind, werden in parallele Linien projiziert (oder ihre Projektionen fallen in eine gerade Linie zusammen).

4.    Strecken auf derselben geraden Linie (oder auf parallelen JAnien) sind ihren Projektionen proportional.

Für jede gerade Linie im Raume gibt es also bei gegebener Projektionsrichtung und -ebene eine bestimmte Zahl, welche das Verhältnis zwischen der Projektion einer beliebigen Strecke auf der Linie und deren wahrer Länge angibt. Diese Zahl heißt das ProjeTctionsverhältnis der Linie. Sie ist dieselbe für alle zueinander parallele Linien.

5.    Wenn zwei ebene Figuren ABC . . . und A B C' ... in zwei verschiedenen Ebenen, deren Schnittlinie s sei, durch Parallelprojektion in einer gegebenen Richtung r auseinander hervor-g'ehen, so entspricht jedem Punkt der einen Figur ein bestimmter Punkt der anderen Figur, derart, daß die Verbindungslinie der beiden Punkte die Richtung r hat. Jeder geraden Linie der einen Ebene entspricht eine gerade Linie in der anderen Ebene, und zwei einander so entsprechende Linien schneiden sich immer auf s (oder sind zu s parallel).

Betrachtet man nun eine Parallelprojektion der zwei Figuren auf die Zeichenebene (Fig. 44), so entstehen in dieser zwei Figuren, A₁B₁C₁ ... und A\ B\ C\ . . die parallelperspektiv sind, wobei die Affinitätsachse und rx die Affinitätsrichtung wird.

4,

fii

Bi

So werden z. B. zwei ebene Schnitte desselben Zylinders (oder Prismas) in Parallelprojektion als parallelperspektive Figuren dargestellt.

Bi

Fig. 41.

6.    Wird eineFigur A15 (7... in der Ebene TT in eine andere Ebene TT! um die Schnittlinie der beiden Ebenen herumgedreht, so wird die so erzeugte Figur A B C' . . . die Parallelprojektion der gegebenen Figxir für eine Projektionsrichtung, die zu der Halbierungsebene T des Winkels zwischen den Ebenen TT, TT, senkrecht ist. Die beiden Figuren liegen nämlich symmetrisch zu L

Nach dem vorhergehenden Satz liefern dann die beiden Figuren durch Parallelprojektion auf die Zeichenebene zwei parallelperspektive Figuren. Wenn insbesondere eine ebene Figur ABC . . . in die Zeichenebene umgeklappt wird, so wird die entstehende Umklappung zu der Projektion A₁B₁C₁ . . . der gegebenen Figur parallelperspektiv.

45. Bei der Darstellung der Körper in Parallelprojektion

kommen dieselben Begeln bezüglich des Sichtbaren und Unsichtbaren zur Anwendung wie bei der senkrechten Projektion. Die Oberfläche jedes konvexen Körpers zerfällt in zwei Teile, einen sichtbaren und einen unsichtbaren, und die Grenze zwischen diesen erscheint als der Umriß der Projektionsfigur.

Die allgemeine axonometrische Darstellung.

46. Ein einziges in Parallelprojektion hergestelltes ebenes Bild A₁B₁C₁ . . . kann wohl eine gewisse Vorstellung von der

dargestellten Figur ABC... geben, aber sie nicht vollständig bestimmen. Wir wollen nun ein Verfahren angeben, wie man doch in einer solchen einfachen Parallelprojektion mit Hilfe der Projektionen xl, yt, z₁ und der zugehörigen Projektionsverhältnisse von drei gegebenen Achsen x, y, z (Koordinatenachsen) im Baume (Fig. 45), die einen Punkt 0 gemein haben, aber nicht in derselben Ebene lie-

zi

I r,

p/ Xj

P,

Fig. 45.

gen, die Lage eines beliebigen Punktes P im Baume vollständig angeben kann. Die Ebenen xy,

yz, zx heißen Koordinaienebenen.

Wir projizieren P in der Bichtung z auf die «?/-Ebene in P'. Da die Strecke PP' zu z parallel ist, wird ihr BildPjPj) \\z₁. Durch P' ziehen wir P'P°\\y: P/ P® ist dann (J^. P kann nun im Baume durch die Strecken 0P°, P°P' und P'Pbestimmt werden, deren Vorzeichen man in Übereinstimmung mit den Bichtungen x, y, z rechnet. Diese Strecken heißen die Koordinaten des Punktes P. Kennt man Pj und P/, so kann man PÜ finden, indem man P₁,P₁° ) yx zieht. Die Koordinaten werden dann im Bilde durch die drei Strecken

0₁P₁°, P₁°P₁/, P/P, dargestellt. Die wahren Längen der Koordinaten kann man finden, wenn die Projektionsverhältnisse der drei Achsen x, y, z bekannt sind.

Wir bemerken, daß auch die Projektionen P" und P"' des Punktes P auf die xz-Ebene in der Bichtung y und auf die yz-Ebene in der Bichtung x sofort im Bilde gefunden werden können. Man findet die Projektion P^' auf die #£-Ebene im Bilde unmittelbar als vierte Ecke des durch Pv Px\ P₁° bestimmten Par-

allelogramms. Das Bild P^" der Projektion auf die yz-Ebene wird gefunden, indem man P₁P₁'" gleich und parallel zuP₁°0₁ macht. Die Projektion P' auf die xy-Ebene nennen wir die Grundrißprojektion, die Projektion P" auf die a^-Ebene die Aufrißprojektion und die Projektion P'" auf die yz-Ebene die Seitenrißprojektion des Punktes P. Das Bild P1 wird als axonometrisches Bild bezeichnet.

zi

47.    Eine gerade Linie a kann man durch die Bilder und aj (axonometrisches Bild und Grundriß) darstellen (Eig.

Qrj

Bt

Qi

a\

Kg. 46.

46), ihre Spur P in der xy-Ebene wird durch den Schnittpunkt Pj von «j und ax' gegeben. Die Spuren Q und B in den anderen Koordinaten-ebenen findet man dadurch, daß die Grundrißprojektionen auf x und y fallen müssen.

48.    Eine Ebene kann man sich durch irgend zwei in ihr liegende Linien gegeben denken, insbesondere durch ihre Spuren in zwei Koordinatenebenen. In Eig. 47 ist eine Ebene dargestellt, die nicht durch den Koordinatenanfangspunkt 0 geht und alle drei Koordinatenebenen schneidet. Die

ri

y,

X,

Po

Pi

Fig. 47.

‘Bilder der Spuren sind _pt, qt und rv Sie begrenzen ein Dreieck, dessen Ecken auf den Koordinatenachsen liegen. Von jeder geraden Linie in der Ebene liegt die Spur auf der Spur der Ebene. Ein Punkt P der Ebene ist eindeutig bestimmt durch sein Bild Pv Man findet die zugehörige Grundrißprojektion, indem man z. B. das Dreieck P^P/ konstruiert, dessen Seiten der Reihe nach zu qx, xt, z± parallel sind.

Die Schnittlinie zweier Ebenen bestimmt man durch ihre Spuren, die man als die Schnittpunkte der entsprechenden Spuren

der Ebenen findet. In besonderen Fällen kann man aber die Schnittlinie nicht auf diese Weise bestimmen. Die allgemeine Methode ist dann die, daß man eine passende Hilfsebene einführt. Die

Spuren der Ebenen in dieser Hilfsebene schneiden einander in einem Punkte der gesuchten Linie, und auf dieselbe Weise kann man noch einen Punkt der Schnittlinie finden. Parallele Ebenen haben parallele Spuren.

Den Schnittpunkt einer Ebene mit einer geraden Linie bestimmt man daraus, daß er auf der Schnittlinie der gegebenen Ebene mit einer willkürlichen Hilfsebene, die durch die gegebene Linie hin-durcbgeht, liegen muß. In Fig. 48 ist auf diese Weise der Schnittpunkt der Linie c mit der durch zwei einander schneidende Linien a und b bestimmten Ebene ab bestimmt. Als Hilfsebene ist die Ebene cc benutzt. Sie schneidet a und b in zwei Punkten, deren Grundrißprojektionen die

Schnittpunkte von c mit a und b' sind. Die Verbindungslinie der gefundenen Punkte schneidet dann c in dem gesuchten Punkt.

Vi

cl

ai

Lj

b\ ~

a\

Fig. 48.

«1

A-

--f '

49. Was die Anlage der • Zeichnung betrifft, so kann man j z. B. festsetzen, daß das Koor-| dinatensystem so angenommen werden soll, daß die positiven Halbachsen sichtbar werden, wenn die Koordinatenebenen in ihrer ganzen Ausdehnung als xi undurchsichtig angesehen werden. Die positiven Quadranten der Koordinatenebenen werden dann sichtbar und jede der Halbachsen xv yx und zx fällt außerhalb des Winkels, der von den

anderen beiden begrenzt wird. Die Koordinatenebenen verdecken also jeden Punkt, von dem wenigstens eine Koordinate negativ ist.

M,

fi

Haben zwei Punkte A und B dasselbe axonometrische Bild, so kann man aus den Bildern der Grundrißprojek-tionen At' und Bt' ent-nelimen, welcher der Punkte sichtbar ist. Verläuft Ay'By in der Richtung der Halbachse zx, so wird B durch A verdeckt.

v;V

s,

<h

0,

ren

uf

Kl

y,

f,

In Fig. 49 ist ein Tetraeder durch die axonome-trische Ansicht samt der Grundrißprojektion dargestellt. Welche der zwei Kanten, de-Bilder einander innerhalb des Umrisses schneiden, sichtbar ist, ist aus der

,/si

.«,

Grundrißprojektion der Punkte auf diesen Kanten, die dasselbe axonometrische Bild haben, bestimmt.

B, 7Vi

Aj

P,

Fig. 50.

50. In Fig. 50 ist gezeigt, wie man den Schnitt einer Pyramide mit der Ebene (p q) bestimmen kann. Die Pyramide habe die Spitze S (mit den Projektionen St und Sy), und die Grundfläche AB CD liege in der xy-Ebene. Wir suchen die Schnittlinie von (pq) und der Seitenfläche SAB der Pyramide, indem wir die beiden Ebenen zuerst mit der xy-Ebene und darauf mit einer Ebene durch S parallel zur ««/-Ebene zum Schnitt bringen. Die Ebenen (pq) und SAB werden von der ««/-Ebene in den Linien p und AB geschnitten, diese Linien schneiden dann einander in einem Punkte F

der gesuchten Schnittlinie. Die zur xy- Ebene parallele Ebene durch S hat eine Aufrißspur MU\\x, die durch die Beziehung 0XMX = S₁'S₁ bestimmt wird. Diese Ebene schneidet die Ebene (pq) in die Linie us, die zu p parallel ist und durch TJ geht, während sie die Ebene SAB in einer zu AB parallelen Linie durch S schneidet. Hierdurch wird ein neuer Punkt V* der gesuchten Schnittlinie VVS bestimmt, damit aber ist die Seite ASBS der gesuchten

Schnittfigur bestimmt, und die Konstruktion kann leicht vervollständigt werden. Die Ebene (pq) ist in der Eigur als durchsichtig angesehen.

51. Im folgenden nehmen wir an, daß das Koordinatensystem rechtwinklig ist. Die Projektionsverhältnisse für die Koordinatenachsen sollen dadurch gegeben sein, daß auf a\ xx, yx und zt drei Strecken 0₁A₁ = l, 0₁B₁ — m und Ox C₁ = n abgetragen sind, welche die Bilder von drei gleich gi'oßen Strecken von der Länge k auf den Koordinatenachsen angeben (Fig. 51). Wenn nun der gegebene Punkt P die Koordinaten x, y, z hat und deren Projektionen durch xv yx und zx bezeichnet werden, so findet man

Vi ₌

C,

lZ2

1*2

/»•

Pj

p!

Pi

Fig. 51.

PS

(1)

5jl ₌

7c ’

*’ y

•

xv yx und zt liest man aus der Figur ab, und die wirklichen Längen können darauf konstruiert werden.

Wir wollen noch bemerken, daß wir durch die Gleichungen (l) auch xx, yx und zx konstruieren können, wenn x, y und z bekannt sind.

Ändert man in den Gleichungen (l) den Wert von k, so erhält man eine Figur, die zu der ursprünglichen ähnlich ist. Da man aber den Maßstab beliebig wählen kann, so ist an dieser Veränderung nichts gelegen, und man kann z. B. k — l annehmen. Dann erhält man für die Koordinaten des entsprechenden PunktesB„ der ähnlich transformierten Figur

(2)

y* = Vx h = h

•>

und man kann das zugehörige System x₂, y₂, Z₂ folgendermaßen aus xx, yv zx konstruieren (Fig. 51): Man läßt die Halbachsen x2 und xx zusammenfallen und nimmt die y₂- und £₂-Acbse in der Zeichenebene zu x₂ senkrecht an. Darauf trägt man OxB₂ = Ox C2 = OxAx auf y₂ und z₂ ah. Ist nun ein Punkt P der ursprünglichen Figur gegeben durch Pf und P₁", so errichtet man in I\° die Strecken Px° Pf und PX°P₂" senkrecht zu xx, derart, daß die Systeme Px° Pf Pf und Pf Pf' P₂" den Systemen Ox Bx B₂ und 0\ Ot C₂ ähnlich werden; es wird dann nach den Gleichungen (2) Ox Pf = x₂, Bf Pf = y₂, P₁° P₂" — z₂, und der Punkt P₂ der transformierten Figur ist somit durch Grundriß Pf und Aufriß P₂" in gewöhnlicher doppelter Projektion mit xx als trennender Achse dargestellt. Die angegebene Konstruktion läuft offenbar darauf hinaus, daß Pf und P₂" aus Pf und Pf' durch zwei perspektivische Affinitäten abgeleitet werden, deren gemeinsame Affinitätsachse xx ist, während die erste Affinität den Punkt Bx in P₂, die zweite Cx in C₂ überführt.

Mit Hilfe dieser Methode kann man von der allgemeinen axonometrischen Darstellung einer Figur zu einer gewöhnlichen doppelten Projektion übergehen, und durch diese Darstellung Aufschluß über wahre Größen der vorliegenden Figur erhalten.

UM

iM

1^1

- i

wAf

PN*

N.

Die wahre Bedeutung der axonometrischen Methode liegt aber wesentlich darin, daß sie durch ein einziges Bild eine anschauliche Darstellung des Gegenstandes liefert, aus welcher man unmittelbar mit Hilfe der drei Bichtungen xx, yx, und zx und der zugehörigen Maßstäbe die Dimensionen bezüglich der Hauptrichtungen des Gegenstandes ablesen kann, ohne daß man sich mit der Projektionsrichtung oder mit den Lagen-

beziehungen des Gegenstandes und der Zeichenebene irgendwie zu beschäftigen hat. Daß man dabei über die Richtungen xv yv zx und über die Maßstäbe nach den praktischen Bedürfnissen frei verfügen kann, wird aus dem im folgenden (243) zu beweisenden Pohlkeschen Satz hervorgehen¹). Als Beispiel weisen wir auf Fig. 52 ²) hin, bei der die Maßstäbe einander gleich angenommen sind. Man beachte die auffallend plastische Wirkung der Figur.

Von besonderem Fällen der Axonometrie, die zu speziellen Betrachtungen Anlaß geben, behandeln wir im folgenden noch die Kavalierperspektive und die orthogonale Axonometrie.

Kavalierperspektive.

52. Die Achsen x und z liegen dann in der Zeichenebene, und die zugehörigen Koordinaten werden in der wahren Größe dargestellt. Wir wählen außerdem für das Projektionsverhältnis der y-Achse den Wert so daß alle y-Koordinaten sich in halber Größe darstellen, aber die angegebenen Methoden werden natürlich von dieser besonderen Annahme nicht wesentlich beeinflußt.

Die Aufrißprojektion wird eine senkrechte Projektion auf die Zeichenebene und der Abstand der Aufrißprojektion eines Punktes von seiner schiefen Projektion (wie die axonometrische Projektion in diesem Falle gewöhnlich genannt wird) gibt den Abstand des

Punktes von der Zeichenebene in halber Größe an. Dies kann man zu metrischen Konstruktionen (Konstruktionen von wahren Längen und Winkeln) benutzen, indem man so die Behandlung unmittelbar auf die in dem ersten Kapitel aufgestellten Methoden zurückführen kann.

Fig. 53.

1. Beispiel. Den Abstand zweier Punkte A und B zu finden (Fig. 53).

Die Punkte seien durch ihre schiefen Projektionen Ax und Bx und ihre Aufrißprojektionen Ä" und B" bestimmt; sind sie auf andere Weise gegeben, so müssen die angeführten Pi*ojektionen erst bestimmt werden. Der gesuchte Abstand A" B2 wird als die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck bestimmt, dessen eine Kathete A" B" ist, während

die

andere B"Bi = 2\A"Al — B”B₁\ wird.

ai\ \

i.-V

2. Beispiel. Den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien a und b zu finden (Fig. 54) Die Linien seien bestimmt durch ihre schiefen

Projektionen und ihre Aufrißprojektionen. IhreAüf-rißspuren seien A und D,

Fig. 54.

ihr Schnittpunkt C. Um den Winkel (iab) = /.ACH zu finden, legt man den Punkt C durch Drehung um AB in die Zeichenebene um. Der gesuchte Punkt Cz liegt auf C"P_LAB in einem Abstande von P, welcher die Hypotenuse

in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten PC"

und C"C = 2 C"C₁ ist. Der Winkel AC₂B ist dann der gesuchte Winkel.

4£

//

3. Beispiel. Umläap-pung einer Ebene (pq) (Fig. 55).

'Aq

Ao

Auf p wählen wir einen Punkt A, den wir uns durch seine Projektion A" auf die V Zeichenebene und den Ab- ✓ stand 2 A" At von ihr be-    Flg'⁵⁵‘

stimmt denken. Dann läßt sich sofort das Profil PAS der Ebene zeichnen und die Konstruktion kann wie früher ausgeführt werden. Indessen ist es wichtig, zu beachten, daß, sobald der Punkt A umgeklappt ist (in der Figur auf Af), der Übergang von der schiefen Projektion zur Umklappung vollständig bestimmt

Timerding, Handbuch II

Ro

\^2 /q

Qi

\Yu \

--m₃

Pi

\ I ZA

\/ B,

Ai

Vi

Fig. 56.

ist. Wir wissen nämlich, daß die schiefe Projektion A₁BlC₁... einer Figur in der Ebene und die Umklappung A₂B₂C₂-.. derselben Figur affin perspektiv sind, wobei q die Affinitätsachse ist, und diese Affinität ist durch ein Paar entsprechender Punkte Ax und A₂ bestimmt. (Vgl. Fig. 56.) Man kann sie für die Umklappung aller anderen Punkte und Linien der Ebene benutzen. (In der Figur ist R₂Q₂ aus RlQl abgeleitet durch die Hilfsgeraden AtM || BtQv A₂M || JR₂Q₂.)

/6&

7\

//

//

,//

//

//

//

zi \

YZ

X,

4p“

/;

N.v<-

Or

,x] Orthogonale Axonometrie.

53. Hierbei wird eine senkrechte Projektion auf die Zeichenebene angewandt. Sind die Projektionen xu yv der Achsen gegeben, so sind die Richtungen der Achsen #, y, z im Raume bestimmt. Eine beliebige, zur Zei-

chenebene parallele Ebene (Grundebene) schneidet nämlich das Koordinatenkreuz in einem Dreieck XYZ (Fig. 57), von dem xly

z-

die Höben werden (12), und der Abstand 0-^0% des Anfangspunktes von jener Grundebene kann durch Umklappung der die Achse projizierenden Ebene in die Grundebene gefunden werden, indem 0₂ auf dem Halbkreis über ZXP als Durchmesser und auf dem Lot 0^0% von zx liegt. Damit findet man zugleich den Winkel y der z-Achse gegen die Grundebene (Zeichenebene). Außerdem haben wir die Umklappung der a^-Ebene in die Grundebene angedeutet; 0 fällt nach 0₃, während 0₁0₃=z₁ und der Winkel Xt0₃ Yt = 90° wird, womit die Umklappungen «₃ und y₃ von x und y bestimmt sind.

'x'

y.

'M

z'

Fig. 58.

Koordinaten von gegebener Größe können mit Hilfe der angeführten Umklappungen abgetragen werden. Aber es ist doch oft viel bequemer, folgendes Verfahren zu benutzen. Von einer festen Halbachse s aus tragen wir die Winkel (sx), (sy), (sz') mit demselben Scheitel S ab, die wir gleich dem Komplement der von den Achsen mit der Zeichenebene gebildeten Winkel machen. Soll ^ man nun zum Beispiel eine «-Koordinate von gegebener wahrer Größe abtragen (Fig. 58), so nimmt man diese Größe in den Handzirkel und trägt sie auf x von S bis M ab, mißt darauf direkt den Abstand des Punktes M von der Linie s (ohne ihn erst zu zeichnen) und hat damit die Projektion der «-Koordinate, diese kann man dann sofort auf x₁ abtragen. Ebenso trägt man die anderen Koordinaten ab.

p,

bl

Fig. 59.

Die Proj ektionsverhältnisse der Achsen werden durch die Cosinus der Winkel gegeben, welche die Achsen mit der Zeichenebene bilden, oder durch die Sinus der Winkel, welche sie mit der Normalen dieser Ebene bilden. Da die Cosinus der letztgenannten Winkel die Quadratsumme 1 haben, wird die Quadratsumme der drei ProjeTctions-verhältnisse gleich 2.

Was die besonderen Me-

Vi

thoden zur Auffindung von wahren Längen und Winkeln betrifft, so wollen wir uns mit ein paarBeispielen begnügen.

1. Beispiel. Der Abstand zweier Punlcte A und B kann als Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, von dem der Unterschied der ^-Koordinaten von A und B die eine Kathete und A B' die andere Kathete bildet, gefunden werden. Die erste Kathete ermittelt man durch x die Umklappung der z-Achse, die zweite durch die Umklappung der xy-Ebene.

2. Beispiel. In der xy-Ebenc sei eine gerade Linie a und ein Punkt P gegeben. Von P soll man ein Lot auf a fällen (Fig. 59).

Durch a legen wir eine Ebene parallel zu z. Ihre Spur in einer passend gewählten Grundebene sei s. Die gesuchte Linie b wird dann senkrecht zu dieser Ebene und ihr Bild b

p;ö

Fig. GÜ.

"7\*1

Pl

°>\7

¥ pJ

.1

senkrecht zu sx.

3. Beispiel. Durch einen gegebenen Punkt eine Senkrechte zu einer gegebenen Ebene mit den Spuren p und q zu ziehen (Fig. 60).

Die Spur der Ebene in einer Grundebene sei s. Das

1h

//

Sb.

//

axonometrische Bild der ge-< suchten Normale n₁ wird senk-xt recht zu s₁, während ihre Grundrißprojektion nf sich dadurch bestimmt, daß n A_p sein muß.

4.Beispiel. Umklappung einer Ebene (pq) (Fig. 61). Man zeichnet die Spur s

der Ebene in einer Grundebene. Die Ebene denkt man sich sodann bestimmt durch s und einen ihrer Punkte, z. B. den Punkt A auf der Grundrißspur der Ebene, der in demselben Abstande von der Grundebene wie 0 liegt (0₁ Ax J_ zt). Das Profil der Ebene t2 kann darauf gezeichnet und wie gewöhnlich benutzt werden (tx _L s1 schneidet st in S, AtA₂ ist _L tv und der Abstand des Punktes A2 von tt wird gleich 0₁ 0₂, worauf A₂S das gesuchte Profil ist).

Näheres über spezielle Fragen der Axonometrie findet man, außer in den bekannten Lehrbüchern der darstellenden Geometrie von Fiedler, Wiener, Rohn-Papperitz, in den folgenden Werken:

A. Sopwith, Treatise on isometrical drawing. London 1834.

0. Möllinger, Isometrische Projektionslehre. Solothurn 1840.

J. L. Weisbach, Anleitung zum axonometrischen Zeichnen. Freiberg 1857.

R. Skuhersky, Orthographische Parallelperspektive. Prag 1858. L. Burmester, Grundzüge der schiefen Parallelperspektive (Zeitschrift für Mathematik u. Physik, Bd. 16, S. 449) 1871.

G. Hauck, Grundzüge einer allgemeinen axonometrischen Theorie der darstellenden Perspektive (ebenda Bd. 21, S. 81).    1876.

R.Staudigl, Die axonometrische und schiefe Projektion. Wien 1875.

C.    Pelz, Zur wissenschaftlichen Behandlung der orthogonalen Axonometrie, (Sitzungsberichte der Wiener Akademie, Math.-phys. Klasse, Bd. 81, S. 300, Bd. 83, S. 375, Bd. 90, S. 1060). 1880—84.

J. Tesaf, Über den orthogonal-axonometrischen Verkürzungskreis (ebenda Bd. 81, S. 453).    1880.

D.    Tessari, Projezioni assonometriche ortogonali ed oblique. Torino 1882.

L. Berzolari, Süll' assonometria ortogonale. Pavia 1893.

A. Weiler, Neue Behandlung der Parallelprojektionen und der Axonometrie. Zweite Ausgabe. Leipzig 1896.

R. Schüßler, Orthogonale Axonometrie. Leipzig 1905.

Viertes Kapitel.

¹

   Ygl. d’Ocagne, Geometrie dtscriptive, Paris 1896, Chapitre II.

²

   Sie stammt aus dem Werke A. Choisy, L’Art de Bätir chez les Romains, Paris 1873 (pl. XVII).

Grundlagen und Methoden der perspektivischen Darstellung.

Unendlich ferne Elemente.

54:. Ein System von einander parallelen Linien, die zusammen den ganzen Raum erfüllen, heißt ein Parallelenbündel. Von den Linien eines Parallelenbündels sagt man, daß sie dieselbe Richtung haben. Aber wenn wir diese Ausdrucksweise gebrauchen, müssen wir wohl darauf achten, daß es sich hier nicht um die Bewegungsrichtung nach der einen oder anderen Seite auf der Linie handelt, sondern nur um die Stellung des Parallelenbündels im Raum

Definition I. Ein unendlich ferner Punkt ist die durch ein Parallelenbündel bestimmte Dichtung.

Ein unendlich ferner Punkt und ein gewöhnlicher (eigentlicher) Punkt sind sonach in Rücksicht auf ihre Veranschauungs-mittel (das eine Mal eine Richtung, das andere Mal ein kleiner Körper) vollkommen verschiedene Dinge.

Von einer geraden Linie sagt man, daß sie einen unendlich fernen Punkt U enthält (nach ihm hinläuft), wenn sie die Richtung des Parallelenbündels hat, das U bestimmt.

Jede Linie im Raume enthält einen und nur einen unendlich fernen Punkt. Es gibt nämlich ein und nur ein Parallelenbündel, das die Linie enthält.

Zwei parallele Linien enthalten einen und denselben unendlich fernen Punkt, und wir sagen deshalb von ihnen in Übereinstimmung mit dem gewöhnlichen Sprachgebrauch, daß sie sich in diesem unendlich fernen Punkt schneiden.

Von einer Ebene sagen wir, daß sie einen unendlich fernen Punkt U enthält, wenn sie eine Linie in der durch U bestimmten Richtung enthält. Indem wir diese Ausdrucksweise einführen, erreichen wir, daß wir als notwendige und hinreichende Bedingung, daß eine Ebene einen Punkt enthält, immer fordern können, daß die Ebene eine Linie enthält, die durch den Punkt hindurchgeht. Jede Ebene enthält unendlich viele unendlich ferne Punkte, die durch die verschiedenen Eichtungen der Linien in der Ebene bestimmt sind. Durch jeden dieser unendlich fernen Punkte gehen unendlich viele Linien der Ebene hindurch.

Definition II. Eine unendlich ferne Linie ist die Gesamtheit der unendlich fernen Punkte einer Ebene.

Hieraus folgt: Zwei parallele Ebenen enthalten eine und dieselbe unendlich ferne Linie. Denn zu jeder Linie in der Ebene findet man unendlich viele Linien von derselben Richtung in der anderen Ebene. Wir sagen von den Ebenen, daß sie sich in der unendlich fernen Linie schneiden.

Definition III. Die unendlich ferne Ebene ist die Gesamtheit aller unendlich fernen Punkte des Baumes.

Die unendlich ferne Ebene enthält sonach alle unendlich fernen Linien.

Die unendlich fernen Linien und Punkte samt der unendlich fernen Ebene heißen die unendlich fernen Elemente des Raumes.

55. Nachdem wir diese Definitionen aufgestellt und damit den aus der elementaren Geometrie bekannten Begriffen Punkt, Linie und Ebene eine weitere Ausdehnung gegeben haben, wollen wir untersuchen, welchen Einfluß diese Definitionen auf die Formulierung gewisser einleitender Sätze in der Geometrie haben.

1.    Es gibt eine und nur eine gerade Linie, die durch zwei ■willkürlich gegebene Punkte A und B hindurchgeht.

Dieser Satz kann unter allen Umständen aufrechterhalten werden. Ist nämlich A ein eigentlicher und B ein unendlich ferner Punkt, so sagt der Satz aus, daß man durch A eine und nur eine Linie von bestimmter Richtung ziehen kann. Sind A und B unendlich fern, so kann man mit Hilfe einer Ebene, die zu den durch A und B bestimmten Richtungen parallel ist, eine unendlich ferne Linie bestimmen, die A und B enthält. Es gibt unendlich viele Ebenen, die den beiden Richtungen parallel sind, aber diese Ebenen sind untereinander parallel und bestimmen deshalb nur eine einzige unendlich ferne Linie.

2.    Eine Ebene enthält jede Linie, die zwei Punkte A und B in ihr verbindet.

Zuerst setzen wir voraus, daß die Ebene nicht unendlich fern ist. Ist dann A ein eigentlicher und B ein unendlich ferner Punkt, den man nach dem Gesagten durch die Richtung einer gewissen Linie b in der Ebene bestimmen kann, so sagt der Satz aus, daß eine Linie, die durch A geht und parallel zu b ist, in der Ebene liegt. Sind A und B unendlich fern, so ist der Satz eine Folge von der Definition der unendlich fernen Linie. Ist die Ebene unendlich fern, sind also auch A und B unendlich fern, so folgt der Satz aus der Definition III.

3. Es gibt eine und nur eine Ebene, die drei nicht einer geraden Linie angehörende Punkte A, B und C enthält. Um zu zeigen, daß dieser Satz allgemein gültig ist, müssen wir drei verschiedene Fälle untersuchen:

1.    A und B sind eigentliche Punkte, G unendlich fern, dann bestimmen die Linien AB und AC die Ebene.

2.    A ist ein eigentlicher Punkt, B und C sind unendlich fern, dann bestimmen wieder AB und AC die Ebene.

3.    A, B und C sind alle unendlich fern, dann gibt es, da sie nicht auf einer unendlich fernen Geraden liegen sollen, keine eigentliche Ebene, die sie enthält, nur die unendlich ferne Ebene enthält sie alle. Damit ist der Satz vollständig bewiesen.

Endlich können wir noch folgende Sätze aufstellen:

Zwei Linien in derselben Ebene haben immer einen Punkt gemeinsam, der ihr Schnittpunkt heißt.

Brei Ebenen, die nicht durch dieselbe Linie hindurchgehen, haben drei Schnittlinien, die durch denselben Punkt gehen.

Hieraus geht schon hervor, welche Vorteile man durch die Einführung der unendlich fernen Elemente erlangt. Die Spaltungen, die in gewissen geometrischen Untersuchungen dadux-ch entstehen, daß zwei Linien derselben Ebene entweder einander schneiden oder parallel sind, zwei Ebenen entweder einander schneiden oder pai'allel sind u. dgl., können nun vermieden werden. Die besonderen Betrachtungen, die man fortwährend über parallele Linien und Ebenen anstellen muß, wenn man die Ausdrucksweise der elementai’en Geometi'ie beibehält, sind jetzt ein für allemal durchgeführt und die Resultate in unseren Definitionen und Sätzen über die unendlich fernen Elemente niedergelegt.

Die Gesamtheit aller gei'aden Linien, die durch einen und denselben Punkt hindurchgehen und eine bestimmte Kurve treffen, bildet eine Kegelfläche. Dagegen bilden die geraden Linien, die alle dieselbe Richtung haben und eine bestimmte Kurve treffen, eine Zylinderfläche; diese Linien enthalten aber alle denselben unendlich fernen Punkt, und somit ist die Zylinderfläche aufzufassen als eine Kegelfläche mit unendlich ferner Spitze.

56. Der Ausdruck unendlich ferner Punkt findet seine Erklärung durch folgende Beti’achtung:

Wenn eine gerade Linie a von einem ihrer Funkte A derart durchlaufen wird, daß dieser sich mehr und mehr von irgendeinem festen Punkt 0 auf der Linie entfernt, so nähert sich die Verbindungslinie des beweglichen Punktes mit einem festen Punkt B außerhalb a mehr und mehr einer bestimmten Grenzlage, ohne sie jedoch jemals zu erreichen. Diese Grenzlage ist die Linie b, die durch B geht und zu a parallel ist. Den Winkel zwischen AB und b kann man so klein machen wie man will, indem man den Abstand OA genügend groß wählt. Nach dem Vorstehenden soll aber b als die Verbindungslinie von B mit einem uneigentlichen Punkt von a betrachtet werden, und da sie die Grenzlage für die Verbindungslinie von B mit einem Punkte A von a ist, dessen Abstand von 0 ins Unendliche wächst, erscheint es natürlich, den uneigentlichen Punkt einen unendlich fernen Punkt zu nennen.

Zentralprojektion.

57.    Bei der Zentralprojektion wird ein Projektionszentrum 0 benutzt, das man als das Auge des Beschauers auffassen kann, und das nicht unendlich fern liegt, und eine Bildebene TT, die nicht durch 0 geht. Wir denken uns 0 vor der Bildebene und geben seine Lage im Baum durch seine senkrechte Projektion H auf TT (den Hauptpunkt) und den Abstand HO (die Distanz) an.

Ein beliebiger Punkt A, der von 0 verschieden ist, wird im Bilde dargestellt durch den Schnittpunkt Ä der Linie OA (des Projektionsstrahls) mit der Bildebene. Mit Ausnahme des Punktes 0 hat jeder Punkt A ein bestimmtes Bild A) insbespndere kann Ä auch unendlich fern liegen. Alle Punkte des Baumes, deren Bilder unendlich fern liegen, gehören einer Prontebene (d. h. einer zu TT parallelen Ebene) durch 0 an. Diese Ebene heißt die Ver-schwindungsebene. Sie teilt den ganzen Baum in zwei Halbräume; der eine von diesen, der TT enthält, umfaßt alle Punkte mit eigentlichen Bildern, das heißt Punkte, deren Bild auf derselben Seite von 0 liegt wie der Punkt selbst, während der andere Halbraum die Punkte umfaßt, die durch 0 von ihren Bildern getrennt werden. Der letztgenannte Halbraum (der Ver schwindungsraum) kommt bei der praktischen Anwendung nicht in Betracht, aber bei der Ausführung geometrischer Konstruktionen läßt es sich nicht umgehen, auch ihn heranzuziehen.

58.    Ein Projektionsstrahl stellt sich als ein Punkt dar, nämlich die Spur des Strahles in TT. Eine gerade Linie a, die kein Projektionsstrahl ist, wird durch eine gerade Linie a abgebildet, indem die

Projektionsstrahlen, die durch die Punkte von a gehen, eine Ebene durch 0 (die projizierende Ebene der Linie) erfüllen und diese die Bildebene in einer bestimmten Linie a schneidet (die unendlich fern liegt, wenn a in der Yerschwindungsebene enthalten ist).

Ist die Linie a nicht zu TT parallel, so läßt sie sich durch ihre Spur P und den Fluchtpunkt U', das heißt, das Bild des unendlich fernen Punktes U von a darstellen (Fig. 62). Die

-pr

Oi

II

Fig. 62.

Linie a bezeichnen wir dann durch (JP, U'). In der Figur sind die beiden Punkte P,U' angegeben und samt dem Hauptpunkte H und der Distanz d als bekannt angenommen. Das Bild der Linie ist PU' und ihre Lage im Baume ist dadurch bestimmt, daß sie durch P gehen und zu der Linie OU' parallel sein soll. Ihre Neigung gegen die Bildebene findet man sofort durch die Umklappung O^U' von OU' (H0₁ wird gleich der Distanz gemacht und senkrecht zu U'H gezogen). Das Stück PU' stellt den Teil der Linie dar, der hinter der Bildebene liegt, die Verlängerung dieser Strecke über P hinaus ist das Bild des endlichen Stückes der Linie zwischen der Bildebene und der Yerschwindungsebene. Die Verlängerung über U' hinaus hingegen liefert den Teil der Linie, der im Verschwindungsraume liegt. Wenn die Linie ein Projektionsstrahl wird, fallen P und U' zusammen.

Parallele Linien haben denselben Fluchtpunkt, ihre Bilder laufen also .in diesem Punkte zusammen. Von den Linien, die senkrecht zu TT sind, fällt der Fluchtpunkt nach H.

Einen Winkel zwischen zwei geraden Linien mit den Fluchtpunkten U',V' kann man sofort durch Umklappung von 0 um U'V' bestimmen.

59. Eine Ebene l~, die nicht zu TT parallel ist, wird durch ihre Spur p und die Fluchtlinie u, d. h. das Bild der unendlich fernen Linie der Ebene, dargestellt; u' ist sonach die Spur einer Ebene, die durch 0 zu T parallel gelegt ist, und wird deshalb parallel zu p. Wir bezeichnen die Ebene durch (p, u). Die Lage der Ebene im Baume ist dadurch bestimmt, daß sie durch p geht und zu der Ebene Ou parallel ist. Ihre Neigung gegen die Bildebene bestimmt sich deshalb durch das Profil EOx der letztgenannten Ebene (Fig. 63, wobei HT' _L u, HOt — d _L HT'). Der Streifen zwischen p und u stellt den ganzen Teil der Ebene dar, der hinter TT liegt, während die Fortsetzung des Streifens über p

hinaus den Streifen der Ebene liefert, der zwischen der Bildebene und der Verschwin dungsebene liegt. Endlich stellt die Fortsetzung des Streifens über u hinaus den Teil der Ebene dar, der im

T’

V'

V erschwin dungsraume liegt.

Wenn eine Linie in der Ebene liegen soll, so muß ihre Spur auf der Spur und ihr Fluchtpunkt auf der Fluchtlinie der Ebene

Jjf

A

ft

l’ig. 63.

liegen. Yon den Querlinien der Ebene fällt der Fluchtpunkt nach Tf (vergleiche Fig. 63). Die Frontlinien stellen sich parallel zur Spur dar.

Soll man durch den gegebenen Punkt A in der Ebene eine Linie senkrecht zu der in der Ebene gelegenen Linie (P, U') ziehen, so geschieht dieses, indem man den Fluchtpunkt V' der gesuchten Linie auf u so bestimmt, daß der Winkel TJ'OV' ein rechter wird. Man klappt zu dem Zweck 0 um u in 0₂ um (T'Og = T'0l=T'0). Dann bestimmt 0₂V'A_0₂U' den Punkt V.

Ebenso kann man einen Winkel von beliebiger Größe darstellen. Man zeichnet auch z. B. leicht in einer Ebene ein

Quadrat, von dem zwei Ecken gegeben sind, indem man außer den Winkeln des Quadrates auch den Winkel zwischen einer Diagonale und einer Seite benutzt.

Die Schnittlinie zweier Ebenen wird im allgemeinen dadurch bestimmt, daß ihre Spur und ihr Fluchtpunkt die Schnittpunkte der Spuren und Fluchtlinien der Ebenen sind. Den Winkel zwischen zwei Ebenen mit den Fluchtlinien u,v bestimmt man, indem man den Winkel zwischen den Ebenen Ou und Ov sucht (14).

60. Zur vollständigen Festlegung eines Punktes A muß man außer dem Bilde Ä des Punktes eine gerade Linie (P, TJr) zeichnen, die durch den Punkt geht. Man kann dann leicht eine neue Linie (Q,Vf) durch denselben Punkt finden, da die beiden Linien in derselben Ebene liegen müssen. (PQ || TJ’V').

Sind zwei Punkte 1 und £ durch ihre Bilder und zwei Linien (P, U') und ($, V'), auf denen sie liegen, gegeben, so kann man sofort das Bild der Verbindungslinien beider Punkte zeichnen, aber die Spur und den Fluchtpunkt dieser Linie hat man nicht unmittelbar. Man muß zunächst dui-ch B eine Linie (AI, U')

parallel (P,P') ziehen (QM || U'V') (Fig. 64). Darauf bestimmen die beiden Linien (P, U') und (M, U') eine Ebene mit der Spur PM, deren Fluchtlinie durch U' geht und zu PM parallel ist. Da diese Ebene die Linie AB enthält, geht ihre Spur durch die Spur B und ihre Fluchtlinie durch den Fluchtpunkt 8' der Linie.

Eine Frontlinie läßt sich bestimmen durch ihr Bild und eine Ebene, in der sie liegt, oder einen Punkt, durch den sie geht. Eine Frontebene ist durch einen ihrer Punkte bestimmt.

61. Der Schnittpunkt A der Linie (P,U') mit der Ebene (p,u) (Fig. 65) wird durch eine Hilfsebene (q,v')i die durch die Linie geht, ermittelt. Eine Linie ist zu einer Ebene parallel, wenn ihr Fluchtpunkt auf die Fluchtlinie der Ebene fällt.

/B‘

V'

Fig. 64.

uK

L,

;v

Fig. 65.

8‘

Jp

OP

Vr

II

9;

IT

Fig. 66.

Die Bedingung dafür, daß eine Ebene mit der Fluchtlinie u senkrecht zu einer Linie mit dem Fluchtpunkt V’ ist (Fig. 66), findet man sofort daraus, daß die Linie OU' zu der Ebene Ou senkrecht sein muß. IPlT muß demnach zu u' senkrecht sein und es in einem solchen Punkte JJX schneiden, daß der Winkel UtOJJ ein rechter wird. Dies kann man zur Konstruktion von TJ benutzen, wenn u bekannt ist, und umgekehrt.

62. Die wahre Länge einer beliebigen Strecke AB auf der Linie (P, ü') findet ebene. Stellt man die Parallelprojektion so her, daß OU' sich in

man

durch Parallelprojektion auf die Bild-

wahrer Größe darstellt, so muß auch die Strecke AB, die ja OU' parallel ist, sich in ihrer wahren Größe darstellen. Man wählt deshalb als Fluchtpunkt der Projektionsstrahlen einen solchen Punkt S', daß U'S' = U'O = ü'01 wird (Fig. 67). Die Parallelprojektion von AB fällt dann auf die durch jP zu U'S' gezogene Parallele, und das auf dieser Linie zwischen S'A' und S'B' liegende Stück AXBX ist die gesuchte wahre Länge. Der Punkt S' heißt ein Teilpmikt. Wenn A und B p dieselben Bilder haben, wendet man eine ganz ähnliche Parallelprojektion an, aber die Ausführung wird etwas anders, indem man zur näheren Bestimmung von A und B zwei verschiedene gerade Linien benutzen muß. Es ist in der Praxis oft unmöglich, den ganzen Abstand Zf 0 abzutragen, man wählt dann S' so, daß U'S' = U' 0, und die Parallelprojektion liefert dann

zu

0,

II

”,

Fig. 67.

S‘

auch ¹ von der gesuchten wahren Länge.

Soll man nur eine Teilung in einem gegebenen Verhältnisse ausfüh-so ist es ganz gleichgültig, wie S' wählt.

/Ä B

ren

~p-

man

Fig. 68.

u' T'

u¹

.1;

Ai

Liegt die Strecke AB auf einer Frontlinie, so stellt sie sich bei jeder Parallelprojektion auf die Bildebene in ihrer wahren Größe dar. Kennt man eine Ebene (p,u'), die die Linie enthält, so kann man den Fluchtpunkt S' auf der ül Fluchtlinie der Ebene annehmen und erhält dann die , j, gesuchte Länge AXBX auf der Spur der Ebene (vgl. Fig. 68).

\Hr-~

A\

7 ot

Fig. 69.

63. Die Umklappung einer Ebene führt man aus, indem man durch jedenPunkt der Ebene eine Querlinie zieht und diese umklappt. Durch V p den Punkt A (Fig. 69) ist so die Querlinie A T gezogen,

die p in K schneidet, sie wird in das Lot von p mit dem Fußpunkt K umgeklappt, und es handelt sich nun bloß darum, auf dieser Linie die wahre Länge von KA abzutragen. Dies erreicht man unmittelbar mit Hilfe des Teilpunktes 0₂ (T'0₂ — T' Ox = T'0 wird auf T'H abgetragen). Die Umklappung der Linie (P, U')

ist PP, (II 0,1/).

64. Wenn die Zentralprojektion in der Praxis zur Veranschaulichung eines Gegenstandes verwendet wird, muß dieser zunächst so aufgestellt sein, daß kein Stück von ihm in den Ver-schwindungsraum fällt, aber dies allein reicht nicht hin. Wenn das Bild einigermaßen anschaulich wirken soll, auch für andere Stellungen des Auges, als für die es konstruiert ist, so hat die Erfahrung gezeigt, daß man die Regel festhalten muß, keinen von den benutzten Projektionsstrahlen mit der Bildebene einen Winkel unter etwa 70° bilden zu lassen. Aus diesem Grunde muß man in der Regel mit einer ziemlich großen Distanz arbeiten und deshalb die Konstruktionen, die von der Größe der Distanz abhängen, so ausführen, daß man mit einem bestimmten Bruchteil der Distanz an Stelle der ganzen Distanz operiert. Wir haben bereits angegeben, wie man das ausführen kann, wenn es sich um die wahre Länge einer geraden Strecke handelt.

Eine andere praktische Schwierigkeit ist die, daß die Fluchtpunkte für gewisse Richtungen außerhalb des Zeichenblattes fallen. Man muß dann Hilfskonstruktionen einführen.

Hinsichtlich des Ausziehens geometrischer Zeichnungen gilt die Regel, daß von zwei Punkten auf demselben Projektionsstrahl der sichtbar ist, der 0 am nächsten liegt. Die Bildebene betrachtet man als durchsichtig.

65. Bei der praktischen Konstruktion perspektivischer Bilder kommt es gewöhnlich darauf an, das Bild eines Gegenstandes zu konstruieren, der in doppelter Projektion auf eine horizontale und eine vertikale Ebene vorgelegt ist.

Die Bildebene TT stellt man dann so auf, daß sie vertikal ist, und wählt das Projektionszentrum in passender Weise. Man kann sich nun bisweilen dadurch helfen, daß man die Konstruktion des perspektivischen Bildes einfach in der doppelten Projektion ausführt, indem man die Projektionsstrahlen nach den verschiedenen Punkten des Gegenstandes zieht und ihre Schnittpunkte mit TT sucht. Aus der doppelten Projektion führt man dann die so in TT gewonnene Figur entweder in wahrer Größe oder in entsprechender Vergrößerung in die Zeichenebene über.

Eine andere Methode besteht darin, daß man zuerst das per-

spektivische Bild von der Grundrißprojektion des Gegenstandes zeichnet und darauf die verschiedenen Punkte durch ihre Erhebung über die Grundrißebene festlegt, indem man die Aufrißebene als die Bildebene benutzt. In Fig. 70 ist so das perspektivische Bild eines rechteckigen Bloeks gezeichnet, der auf der

>,P

\H h

B'

--p-"

......•>.>

R : /;

^"Ä

P Q\

;/

Fig. 70.

Grundrißebene aufliegt. Die Fluchtlinie h der Grundrißebene, der Horizont, ist eine horizontale Linie durch den Hauptpunkt II. Die Projektion des Blocks auf die Grundrißebene ist ein Rechteck, das in der Umklappung gezeichnet ist, eine der Ecken ist mit Ax bezeichnet. Die früher beschriebene Methode für den Übergang von der Umklappung zum perspektivischen Bilde könnte man jetzt an wenden, indem man H0₂ gleich der Distanz senkrecht zu ii abträgt und den gefundenen Punkt 0₂ benutzt, wie früher angegeben wurde. Aber für sehr große Distanzen ziehen wir ein anderes Verfahren vor: Wir ziehen eine Linie (P, TJ') in der gegebenen Ebene so, daß PU' das Lot SH von Ji in einem

Punkte 0₂ schneidet, der so weit entfernt liegt, daß die Distanz H0₂ für den vorliegenden Zweck geeignet ist. (Der genaue Wert der Distanz spielt meistens keine Rolle, und wir wollen es hier direkt vermeiden, ihn unmittelbar zu benutzen.) Um nun At in das perspektivische Bild A' übei'zuführen, ziehen wir die Linien Ay Q senkrecht auf p und AXB parallel zu PU'. Diese beiden Linien gehen über in QH und BU', wodurch A' sofort bestimmt ist. Hierauf machen wir die vertikale Strecke QZ gleich der vertikalen Kante AB des Blocks, die Linie ZH bestimmt dann den Punkt B'. Auf diese Weise zeichnen wir leicht das ganze Bild des Blocks.

Wenn es nur auf die ungefähre Lage des Hauptpunktes und die ungefähre Größe der Distanz innerhalb gewisser Grenzen ankommt, kann man die direkte Annahme von beiden vermeiden, indem man in der Grundrißebene zwei Linien (P,U') und (T,V'), die in der Figur angedeutet sind, so auswählt, daß der unzugängliche Schnittpunkt 0₂ von PU' und TV' in einem Abstande von h liegt, der als Distanz geeignet ist, während die Projektion dieses Schnittpunktes auf h einen geeigneten Hauptpunkt liefert. Darauf zieht man durch A₁ die Parallelen zu PU' und TV und führt diese Linie über in die Linien durch Tf und V', wodurch Ä bestimmt wird. Die Höhe AB trägt man ebenso wie früher ab, indem man an Stelle von H einen beliebigen geeigneten Punkt von h verwenden kann.

Die hier angegebene Methode ist von solcher Allgemeinheit, daß wir sie ohne Schwierigkeit auf den Fall überführen können, wo das Projektionszentrum sich ins unendlich Weite entfernt. Die Zentralprojektion geht dann in eine Parallelprojektion über.

Das Doppelverhältnis.

66. Unter dem Doppelverhältnis (ABCD) für vier verschiedene eigentliche Punkte A, B, C und P auf einer geraden Linie versteht man das Verhältnis zwischen den beiden Verhältnissen, in die A und B die Strecke CI) teilen; also:

fAT>nT* AC BC (AB CD) -AD : Wb\

definiert, wenn man in diesem

als der Grenzwert für

das Vorzeichen der Abstände wird in der gewöhnlichen Weise bestimmt. Ist einer der Punkte unendlich fern, so wird (ABCD) AC BC AD : BD

Ausdruck den betreffenden Punkt durch einen veränderlichen Punkt

auf der Linie ersetzt, dessen Abstände von den anderen Punkten ins Unendliche wachsen. Der Grenzwert wird dann durch ein

BB

einfaches Verhältnis ausgedrückt; so erhält man, wenn A unendlich fern ist,

(.ABCB) =

BÖ ’

67. Sind M, B, C und B eigentliche Punkte, so kann man (ABCBi) durch ein einziges Verhältnis ausdrücken, indem man

BC BB

AC AB

auf denselben Nenner OB bringt, wo 0 ein beliebiger eigentlicher Punkt außerhalb der geraden Linie ist (Fig.

71). Die Linien OA und OB mögen von einer Linie durch (7, die zu OB parallel ist, in M und N geschnitten werden. Man findet dann, indem man MC und OB übereinstimmende posi- A tive Richtungen gibt,

die beiden Verhältnisse

und

Mi

/ ''4n

Fig. 71.

und

IC _ MC AB OB

BC NC BB ~ OB’

also

(AB CB) =

MC

NC’

Mi

■ß

Bei Parallelprojektion bleiben die beiden Teilbrüche des Doppelverhältnisses und damit dieses selbst ungeändert. Aber auch bei einer allgemeinen Zentralprojektion bleibt der Wert des Doppelverhältnisses ungeändert. Dies beweist man folgendermaßen: A, B, C und D mögen aus 0 in A\ B\ C’ und B' projiziert werden (Fig- 72). Drücken wir aber auf die angegebene Art die Doppelverhältnisse (A B C B) und (A'B'C'B') als einfache Verhältnisse aus, so wird:

MC _ MC' NC ~ NC'’

B\

:A

und folglich

(.ABCB) = (A'B'C'B').

7T

it

Fig. 72.

Fällt einer der projizierten Punkte, z. B. D', in unendliche Entfernung, so gilt der Satz auch. Dieses ist nämlich der Fall, wenn die gerade Linie, auf die man projiziert, dem Strahl OD parallel ist, also z. B. bei der Linie M'C'. Hier wird aber das 31' C'

Doppel Verhältnis gleich , und wir haben gezeigt, daß dies = (ABCD) ist.

68.    Liegen A, H, C und D auf einer unendlich fernen Linie, so wird das Doppelverhältnis {AB CD) als das Doppel Verhältnis {A'B'C'D') von vier Punkten Ä, B\ C' und D' definiert, die durch eine beliebige Zentralprojektion aus den gegebenen unendlich fernen Punkten entstehen. Daß der so bestimmte Wert unabhängig davon ist, welche Zentralprojektion man anwendet, sieht man aus dem soeben bewiesenen Satz. Man sieht auch leicht, daß dieser Satz bei der durch die Hinzunahme der unendlich fernen Punkte gegebenen Erweiterung der Definition der Doppelverhältnisse seine Gültigkeit behält.

69.    Wenn ztvei Punktquadrupel A, B, C und D und A', B’, C' und D' auf zwei verschiedenen Linien dasselbe Doppelverhältnis (ABCD) — {A’B'C'D') haben und A auf A' fällt, so gehen die Verbindungslinien BB\ CC' und DD' durch denselben Punkt.

Denn projizieren wir die beiden geraden Linien auf eine andere Ebene derart, daß die Linien, in die sie übergehen, parallel sind, so werden die Abstandsverhältnisse BC:BD und B'C' :B'D' einander gleich und die Verbindungslinien entsprechender Punkte laufen sonach durch einen Punkt, also müssen sie auch in der ursprünglichen Lage durch einen (eigentlichen oder uneigentlichen) Punkt hindurchgegangen sein.

Haben zwei Punktquadrupel A, B, (7, D und Ax, Bx, Cj, Dx dasselbe Doppelverhältnis {AB CD) = {AxBxCxDf) und A, B und C fallen bzw. mit A₁, Bx und Cx zusammen, so fällt D auch mit Dx zusammen. Denn verwandeln wir die Punkte durch Zentralprojektion derart, daß die Projektion von A unendlich fern wird, so werden die Abstandsverhältnisse der Projektionen B', C',D' und jBf, Cf, Df von B, C, D und Bx, Cx, Dx einander gleich, und da B' auf Bf und C' auf Cf fällt, so fällt auch D' auf Df.

70.    Wird {AB CD) — — 1, so sagt man, die Punktepaare AB und CD liegen harmonisch (oder sind harmonisch verbunden). Liegen sie auf einer eigentlichen geraden Linie, und ist D unendlich fern, so liegt C in der Mitte zwischen A und B.

Zwei harmonische Punktepaare liefern bei einer beliebigen Zentralprojektion immer wieder zwei harmonische Punktepaare.

Unter zwei harmonischen Strahlenpaaren ab und cd versteht man zwei Linienpaare, die durch denselben Punkt 8 gehen, in derselben Ebene liegen und von einer geraden Linie in zwei harmonischen Punktepaaren geschnitten werden. Sind a, &, c gegeben, so konstruiert rnan d auf folgende Weise (Fig. 73): Eine Parallele zu a schneidet b und c in B und G. Man trage BD= CB auf der Verlängerung von CB ab, dann geht d durch ;D. Die Konstruktion kann nicht angewendet werden, wenn der Schnittpunkt der Strahlen unendlich fern liegt. In diesem Falle schneide man die Strahlen durch eine beliebige gerade Linie und bestimme auf dieser den vierten harmonischen Punkt. Sind die Strahlen a und b des einen Paares aufeinander senkrecht, so halbieren sie die Winkel zwischen den Strahlen des anderen Paares. Dies geht unmittelbar aus unserer Konstruktion hervor.

kB

Fig. 73.

vC

Fig. 74.

daß die Punktepaare A C und

71. Ein vollständiges Vierseit ist eine ebene Figur, die aus vier geraden Linien (von denen keine drei durch denselben Punkt gehen) und ihren Schnittpunkten besteht (Fig. 74). Die vier Linien a, b, c und d heißen die Seiten, ihre sechs Schnittpunkte die Ecken des Yierseits. Die drei neuen Linien m, n, und p. durch die man je zwei einander gegenüberliegende Ecken verbinden kann, heißen die Diagonalen und ihre Schnittpunkte die Diagonalpunkte des Yierseits. Auf jeder Diagonale liegen zwei Ecken und zwei Diagonalpunkte. Diese beiden Punktepaare sind harmonisch verbunden.

Wir wollen z. B. beweisen,

un-

BD auf m harmonisch verbunden sind. Die Figur ab cd betrachten wir zu dem Zweck als die Zentralprojektion eines Parallelogramms, wobei B und D die Projektionen des Mittelpunktes und des endlich fernen Punktes derselben Diagonale werden; AU und BD sind dann die Projektionen von zwei harmonischen Punktepaaren und deshalb selbst harmonisch verbunden.

Ein vollständiges Viereck ist eine ebene Figur, die aus vier Punkten A, B, C und D (von denen keine drei auf derselben geraden Linie liegen) und den sechs Verbindungslinien je zweier

dieser Punkte besteht (Fig. 75). Die Punkte heißen die Ecken, ihre Verbindungslinien die Seiten des Vierecks.

A.

M,

Fig. 75.

Die Seiten haben drei neue Schnittpunkte M, N und P, welche die Diagonalpunkte heißen. Ihre Verbindungslinien heißen Diagonalen. Durch jeden Diagonalpunkt gehen zwei Sei-P ten und zwei Diagonalen. Diese zwei Linienpaare sind harmonisch verbunden.

ver-

Aus dem vorhergehenden Satze folgt nämlich, wenn man ihn auf das von den Linien AD, BC, CD und DA gebildete Vierseit anwendet, daß die Punktepaare BD und MMX harmonisch bunden sind, also ist das Linienpaar PB und PD mit PM und PMX harmonisch verbunden, w. z. b. w.

Perspektive ebene Felder.

72. Zwei ebene Figuren (Felder) ABC. . . und A₁B₁ C{ . . ., die in verschiedenen Ebenen TT und Tlj liegen, heißen perspektiv, wenn sie durch Zentralprojektion aus einem Zentrum 0, das in keiner der beiden Ebenen liegt, auseinander hervorgehen.

Jedem Punkt in der einen Ebene entspricht so ein Punkt in der anderen Ebene, und jedes Paar entsprechender Punkte AAX, BBX, CCX, ... liegt auf einem Strahl durch 0. Jeder geraden Linie in der einen Ebene entspricht eine gerade Linie der anderen Ebene, und die beiden Linien schneiden einander auf der Schnittlinie s der beiden Ebenen. Die Schnittlinie s entspricht sich selbst.

aus einem

Zeichnet man eine Projektion der beiden Figuren beliebigen Zentrum, das in keiner der beiden Ebenen TT und TT! enthalten ist, so entstehen zwei neue Figuren AB C' . . . und Ax Bx Ct ... in der Zeichenebene (Fig. 76), die ganz ähnliche Eigenschaften aufweisen wie die ursprünglichen Figuren: jedes Paar entsprechender Punkte ÄAX, B'BX, C'CX ... liegt auf einem Strahl durch 0, und je zwei entsprechende Geraden schneiden einander auf s\

Dies veranlaßt uns zur Aufstellung folgender Definition:

°v

II

fL.C'

Zwei Figuren derselben Ebene heißen perspektiv (oder homolog), wenn 1. jedem Punkte der einen Figur ein bestimmter Punkt der anderen Figur entspricht, so daß j edes Paar entsprechender Punkte q ' auf einem Strahl durch einen festen Punkt, das Zentrum, liegt, und 2. jeder bestimmten geraden Linie der einen Figur eine bestimmte gerade Linie der anderen Figur entspricht.

u,

. \c,

's'

Fig. 76.

Es läßt sich dann, wie wir sofort zeigen werden, aus diesen beiden Bedingungen ableiten, daß je zwei verschiedene einander entsprechende Geraden der beiden Figuren sich auf einer festen geraden Linie schneiden müssen.

Di

.....)'Mi

73. Wir wollen zunächst beweisen, daß zwei homologe ebene Figuren existieren, in denen drei beliebige in der Zeichenebene gegebene Punktepaare AAX, BB₁ und CCX aus zugeordneten Punkten bestehen, wenn nur die drei Punktepaare auf geraden Linien liegen, die durch denselben Punkt 0 gehen; dabei dürfen doch weder die Punkte A, B, G noch die Punkte Al, B₁, öx in eine ge- 0 'Lf rade Linie fallen, und es darf keiner der Punkte nach 0 fallen (vgl. Fig. 77).

Fig. 77.

Der Beweis folgt unmittelbar aus der Anschauung der gegebenen Figur, indem wir diese Figur als Projektion einer räumlichen Figur auffassen: Die Geraden OAAx, OBBx, OCCx betrachten wir als Projektionen von drei Geraden im Baume, die durch einen Punkt W gehen, aber nicht in derselben Ebene liegen; die Dreiecke AB C und A₁B₁C₁ sind dann Projektionen von zwei Dreiecken, deren Spitzen auf den genannten drei Geraden liegen, und welche in zwei Ebenen TT und TL gelegen sind. Durch Zentralprojektion aus dem Punkte

W können nun zwei Perspektive Figuren in den beiden Ebenen TT und TTj bestimmt werden, und es leuchtet ein, daß diese Figuren in der Projektion auf der Zeichenebene zwei Figuren in dieser Ebene erzeugen werden, welche genau die vorgeschriebenen Eigenschaften haben.

Die bei dem Beweise benutzten räumlichen Figuren könnten indessen auf mannigfache Weise gewählt werden, und wir müssen daher zeigen, daß die Zuordnung der beiden homologen Figuren ABC . . . und AlB₁C₁ . . . in der Ebene eindeutig bestimmt ist. Wählen wir in der Figur ABC einen Punkt Z>, und schneiden DB und A C einander in M, so ist der- dem Punkte M entsprechende Punkt M₁ bestimmt als der Schnittpunkt von OM und AlCi. BM entspricht nun BtM^, und der dem Punkte T) entsprechende Punkt B₁ wird deshalb als Schnittpunkt von OB und BlM₁ gefunden.

Die angegebene Konstruktion kann unbrauchbar werden, wenn eine der Seiten des Dreiecks ABC durch 0 geht. Aber in diesem Fall kann man durch B eine Hilfslinie ziehen, welche die beiden anderen Seiten des Dreiecks in zwei verschiedenen Punkten schneidet und nicht durch 0 geht. Die dieser Linie entsprechende Linie bestimmt dann B.

Da so einem beliebigen Punkt B der einen Figur nach den gegebenen Bedingungen immer nur ein Punkt der anderen Figur entsprechen kann, ist die Verknüpfung der beiden Figuren (die als perspektivische Kollineation oder Perspektivität bezeichnet wird) eindeutig bestimmt.

Da die beiden Figuren ABC . . . und A₁B₁C₁ . . ., wenn sie nicht ganz zusammenfallen, durch Projektion zweier Perspektiven Figuren in verschiedenen Ebenen TT und 11) erzeugt werden können,

-7

A..

müssen entsprechende Linien sich ^ auf einer bestimmten Geraden, der " ¹ Kollineationsachse oder Perspekti-vitätsachse, schneiden. Jeder Punkt der Kollineationsachse entspricht sich selbst. Dasselbe gilt vom Zentrum (KoUineationsZentrum) 0.

7®/

Fig. 78.

Die Kollineation ist auch vollständig bestimmt durch das Zentrum 0, die Kollineationsachse p und ein Paar entsprechender Punkte A und A₁, von denen keiner nach 0 oder auf p fallen darf (Fig. 78).

Man findet dann zu einem beliebigen anderen Punkt JS, der nicht in der Geraden OA enthalten ist, den entsprechenden Punkt Bl, indem man AB mit p in P schneidet und P mit A₁ verbindet. Aus dieser Verbindungslinie schneidet der Strahl OB den Punkt Bx aus.

Aus dieser Konstruktion geht hervor, daß kein außerhalb 0 und p gelegener Punkt sich selbst entsprechen kann, es müßte denn die Kollineation sich auf die Identität reduzieren.

74.    Die Kollineation kann auch durch drei Paare entsprechender Linien a und al5 & und blx c und cx bestimmt werden, deren drei Schnittpunkte auf einer geraden Linie p liegen. (Dabei dürfen jedoch weder die Linien a, 6, c noch die Linien at, bl, cx durch einen Punkt gehen, und keine der Geraden darf mit p zusammenfallen.) Die Kollineation ist nämlich sofort bestimmt, wenn man p als Kollineationsachse annimmt und den Schnittpunkten von a mit b und c die Schnittpunkte von at mit bl und ct entsprechen läßt.

Aus diesen Überlegungen und aus 73 folgt nun auch die Gültigkeit des D es argu es sehen Satzes: Lassen sich zwei Dreiecke einander so zuordnen, daß entsprechende Seiten sich in drei Punkten einer Geraden schneiden, so gehen die Verbindungslinien entsprechender Ecken durch denselben Punkt, und umgekehrt.

75.    Ist die Kollineationsachse unendlich fern, so sind irgend zwei einander entsprechende Geraden zueinander parallel. Die Figuren sind demnach ähnlich und ähnlich liegend. Ist auch das Zentrum unendlich fern, so sind die Figuren kongruent und können auseinander durch Parallelverschiebung erzeugt werden.

Ist das Zentrum unendlich fern, die Kollineationsachse aber nicht, so haben wir es mit perspektivisch affinen (parallelperspek-tiven) Figuren zu tun. Diesen Fall haben wir früher untersucht. Die unendlich ferne Gerade wird auch hier sich selbst entsprechen.

In allen anderen Fällen entspricht der unendlich fernen Geraden u der einen Figur eine eigentliche Gerade ux der anderen Figur, welche notwendigerweise der Kollineationsachse p parallel ist. Rechnen wir die unendlich ferne Linie aber zu der anderen Figur, so entspricht ihr eine neue zu p parallele Linie v. % und v heißen die Eluchtlinien der Kollineation.

Aus 0, p, A und Ax kann man die Fluchtlinien folgendermaßen konstruieren (Fig. 7 9): Man zeichnet ein Paar entsprechender Linien a und aL, indem man A und Ax mit einem beliebigen Pimkt von p verbindet. Der unendlich ferne Punkt U von a entspricht dem Schnittpunkt JJX von ax mit der Parallelen durch 0 zu a. Die Fluchtlinie ux ist dann die Parallele durch TJX zu p. Ebenso entspricht der unendlich ferne Punkt V₁ von a₁ dem Schnittpunkt V von a mit der Parallelen durch 0 zu ax und die Fluchtlinie v ist die Parallele durch

/äj

\U]

/A,

f u,

Fig. 79.

V zu p. Aus der Konstruktion geht \ j hervor, daß der Abstand des Zentrums von der einen Fluchtlinie gleich ist dem Abstand der Kollineationsachse von der anderen (mit entgegengesetztem Vorzeichen).

Aus der Konstruktion ergibt sich zugleich, wie die Kollineation durch 0, p und eine der Fluchtlinien, ut

oder v, bestimmt werden kann.

76. Das Doppelverhältnis, das zwei verschiedene entsprechende Punkte zusammen mit dem Zentrum 0 und dem Schnitt

zu

punkte von p mit der durch 0 und die beiden Punkte gehenden Geraden bilden, ist für alle Paare entsprechender Punkte dasselbe. Man geht nämlich von einem Paar entsprechender Punkte A, einem anderen Paar B, B₁ durch Projektion aus einem Punkte von p über (Fig. 78), und hierbei bleibt das genannte Doppelverhältnis ungeändert. Durch dieses konstante Doppelverhältnis, zusammen mit dem Zentrum 0 und der Achse p kann die Kollineation ebenfalls bestimmt werden; doch muß dabei vorausgesetzt werden, daß 0 nicht auf p fällt.

Ist das Doppelverhältnis gleich —1, so sind irgend zwei entsprechende Punkte mit dem Zentrum 0 und dem Punkte auf der Kollineationsachse p harmonisch verbunden. Die Kollineation heißt dann harmonisch oder mediatorisch.

77. Die Anwendung der ebenen Perspektivität beruht auf dem wichtigen Satz: Zwei Perspektive Figuren in verschiedenen Ebenen gehen durch Projektion auf eine dritte Ebene immer wieder in Perspektive Figuren über. Das Projektionszentrum darf dabei nur keiner der Ebenen angehören. Der Satz ergibt sich als unmittelbare Folge der Definition perspektiver Figuren.

Fassen wir z. B. die in Fig. 50 dargestellte Pyramide ins Auge. Die Grundfläche AB CD der Pyramide und der ebene Schnitt ABSCSDS bilden zwei Perspektive Figuren in verschiedenen Ebenen. Das Projektionszentrum ist dabei die Spitze S der Pyramide, und die Schnittlinie der beiden Ebenen ist p. Die axo-nometrischen Bilder A₁B₁C₁D₁ und Af Bf Cf Df der beiden

Figuren müssen demnach in der Zeichenebene eine Perspektivität bilden, deren Achse das Bild px von p ist, während ihr Zentrum nach Sx fällt. Da nun weiter die unendlich ferne Linie u, welche der Figur AB CD angehört, bei der räumlichen Perspektivität in die Gerade us der Figur ASBSCSDS übergeht, und da diese beiden Geraden u und us durch die axonometrische Abbildung in eine unendlich ferne Gerade ux und eine eigentliche Gerade ux übergeführt werden, so muß ux eine Fluchtlinie der ebenen Perspektivität darstellen. Die ganze Konstruktion der Schnittfigur AXBX CXDX läßt sich also auf die Konstruktion der zu Ax Bx Cx Dx homologen Figur in der durch Sx,px, uxs bestimmten ebenen Perspektivität zurückführen.

78. Als zweites Beispiel nehmen wir die Konstruktion der Umlegung einer ebenen Figur in die Zeichenebene.

Die umgelegte Figur und die ursprüngliche Figur sind im Raume parallelperspektive Figuren (44,6). Ihre Projektionen auf die Zeichenebene müssen deshalb auch perspektiv sein, d. h. die umgelegte Figur und die Projektion der ursprünglichen Figur sind perspektiv.

Betrachten wir genauer z. B. die Darstellung in Zentralprojektion (Fig. 69). Die Figur ABC... der gegebenen Ebene (p,u) und ihre Umlegung AXBXCX... sind im Raum perspektiv für ein unendlich fernes Zentrum, das durch die Richtung 00» dargestellt ist. Die Figuren A' B'C'... und AXBXCX... werden demnach perspektiv für das Zentrum 0₂ und die Perspektivitäts-achse p. Bei der räumlichen Perspektivität werden die unendlich fernen Geraden der beiden Ebenen ineinander übergeführt. Bei der ebenen Perspektivität wird somit u eine Fluchtlinie darstellen, und die ebene Perspektivität ist nunmehr durch das Zentrum 0₂, die Perspektivitätsachse p und die Fluchtlinie u der Figur A' B' C’ . . . vollkommen bestimmt und kann hiernach zur Kon

struktion der Figur AXBXCX . . . verwendet werden.

Die andere Fluchtlinie wird nach der früher angegebenen Regel bestimmt (75).

79. Wir betrachten noch die Umlegung eines ebenen Schnittes einer Pyramide S — AB CD, die in doppelter Projektion dargestellt ist (Fig. 80). Die Umlegung in die Grundrißebene soll vorgenommen werden, ohne zuerst den Schnitt selbst zu zeichnen. Die Schnittebene ist durch die Spuren ex und e₂ dargestellt.

Zunächst ziehen wir durch S eine Frontlinie; ihre Grundrißspur sei H. Eine Ebene durch S\J (ex c₂) hat die Grundrißspur u, die durch H geht und |j ex ist. Durch Umlegung dieser Ebene um u

wird der Punkt S nach 0 gelangen (S'0 _Lu , HO = S"H")’: diese Umlegung wird somit durch Parallelprojektion in die Richtung S0 erhalten werden können, und die Umlegung der gegebenen Ebene kann dann auch durch Parallelprojektion in die Richtung hergestellt werden. Da nunmehr die Grundfläche AB CD aus dem

S”

\2

\H”

A D’B’ C"

D'

ej

/\C'

Sy    j{h

........■.

B:

Fig. 80.

Schnitt der Pyramide mit der Ebene durch Zentralprojektion aus S abgeleitet werden kann, folgert man, daß Ä B' C’ D' und die Umlegung A₁ Bt Cl Dl des Schnittes eine ebene Perspektiyität bilden, deren Zentrum nach 0 fällt und deren Achse e₁ ist. Weiter ersieht man, daß der Geraden u der Figur A'B'C'D' bei der Zentralprojektion aus S die unendlich ferne Gerade der Schnittebene entspricht, und in der umgelegten Figur wird diese Gerade wiederum unendlich fern, also ist u eine Fluchtlinie der ebenen Perspektiyität, die der Figur A'B'C'D' angehört. Die umgelegte

Figur kann nun, ohne andere räumliche Betrachtungen hineinzuziehen, gezeichnet werden.

Was den ebenen Schnitt selbst anbetrifft, so sei nur beiläufig darauf hingewiesen, daß der Grundriß des Schnittes aus der Grundfläche der Pyramide hergeleitet werden kann durch eine ebene Per-spektivität, für welche das Zentrum nach S' fällt, die Achse nach und eine Fluchtlinie (die zu der Figur Ä JB' G' D' zu rechnen ist) nach u .

Perspektive Raumfiguren.

80. Zivei Raumfiguren heißen zueinander perspektiv, wenn

1. jedem Punkt A der ersten Figur ein bestimmter Punkt Ax der anderen Figur entspricht, derart, daß A, At mit einem festen Punkt 0, dem Perspektivitätszentrum, in einer Geraden liegen, wnd 2. jeder geraden Linie der einen Figur eine bestimmte gerade Linie der anderen Figur zugeordnet ist. Die Beziehung zwischen den beiden Figuren wird deshalb als eine Kollineation, genauer als eine perspektivische Kollineation bezeichnet.

Einen besonderen Fall solcher Figuren bilden ähnliche und ähnlich liegende Figuren.

Aus der Definition lassen sich sofort folgende allgemeinen Eigenschaften perspektiver Figuren ableiten:

1.    Jede Linie durch 0 entspricht sich selbst. Jedem Punkt der Linie entspricht nämlich wieder ein Punkt, der auf ihr liegt.

2.    Das Zentrum 0 entspricht sich selbst. Denn jede Linie durch 0 entspricht sich selbst.

3.    Jede Ebene durch 0 entspricht sich selbst. Entsprechende Figuren in einer solchen Ebene sind perspektiv (72).

4.    Jeder Ebene entspricht wieder eine Ebene. Zwei einander schneidenden Linien entsprechen nämlich wieder zwei einander schneidende Linien.

5.    Einer geraden Linie a, die nicht durch 0 geht, entspricht eine gerade Linie a₁₅ die ebenfalls nicht durch 0 geht.

Da die Linien, die durch 0 gehen und a treffen, auch a1 treffen müssen, liegen a und at in einer Ebene durch 0. Sind a und a₁ verschieden, so muß ihr Schnittpunkt sich selbst entsprechen. Also muß es außer 0 noch unendlich viele Punkte geben, die sich selbst entsprechen. Auf jeder geraden Linie, welche nicht durch 0 geht, liegt mindestens einer von diesen. Die Gesamtheit aller solchen Punkte kann also nicht auf einer geraden Linie liegen, und es gibt sicher drei nicht einer Geraden angehörende Punkte M, TV, P, die sich selbst entsprechen.

Von den drei Geraden MN, NP, PM gibt es nun wenigstens zwei, die nicht durch 0 gehen, und alle Punkte dieser beiden Geraden müssen sich selbst entsprechen, es fällt somit jeder Punkt der Ebene MNP mit seinem entsprechenden Punkt zusammen. Außer dieser Ebene und dem Punkt 0 kann es aber keinen Punkt geben, der mit seinem entsprechenden zusammenfällt, denn sonst müßten alle Punkte jeder Ebene, die durch diesen Punkt und 0 hindurchgeht, sich selbst entsprechen. Wenn wir die Identität ausschließen, können wir also sagen:

6.    Es gibt immer eine Ebene V, deren Punkte mit ihren entsprechenden Punkten zusammen fallen, und außerhalb dieser Ebene kann es nur noch einen solchen Punkt, das Zentrum, geben. Die Ebene T heißt die Kollineationsebene.

7.    Die Schnittpunkte entsprechender Linien und die Schnittlinien entsprechender Ebenen liegen in der Kollineationsebene.

8.    Wenn die unendlich ferne Ebene nicht sich selbst entspricht, müssen zwei eigentliche Ebenen und M⁷ existieren, die der unendlich fernen Ebene entsprechen, je nachdem man diese zu der ersten oder zu der zweiten Figur rechnet. und Y sind der Kollineationsebene parallel und heißen die Fluchtebenen der Kol-lineation. Der Abstand des Zentrums von der einen ist gleich dem Abstand der Kollineationsebene von der anderen. Dies läßt sich aus den entsprechenden Sätzen für die ebene Kollineation sofort ableiten. Ist die Kollineationsebene unendlich fern, aber das Zentrum nicht, so werden die Raumfiguren ähnlich und das Zentrum das Ähnlichkeitszentrum. Ist das Zentrum auch unendlich fern, so entstehen die Figuren auseinander durch Parallelverschiebung.

81. Wir wollen nun beweisen, daß wir eine räumliche perspektivische Kollineation oder, wie wir kürzer sagen wollen, eine Raumperspektive bestimmen können durch das Kollineationszentrum 0, die Kollineationsebene T und irgend zwei einander entsprechende Punkte A und A₁, die wir auf einem Strahl durch 0 annehmen, jedoch so, daß keiner von ihnen weder nach 0 noch in T fällt. Wir betrachten zunächst den Fall, wo 0 nicht in T fällt, und denken uns zu einem beliebigen Punkt B den entsprechenden Punkt B₁ dadurch bestimmt, daß (OKBBf) = (OHAAx), wobei K und H die Schnittpunkte von OB und OA mit der Ebene T bedeuten. Es leuchtet ein, daß die so hergestellte Beziehung im Raume eine perspektivische Kollineation ist. Es gibt also jedenfalls eine Raumperspektive, welche den gegebenen Bedingungen entspricht; daß es aber auch nur eine gibt, wird aus der Eindeutigkeit der folgenden Konstruktion hervorgehen, die für jede den gegebenen Bedingungen entsprechende Raumperspektive gelten muß: Um zu einem Punkte I?, der nicht auf AA₁ liegt, den entsprechenden zu finden, haben wir A und B zu verbinden und durch den Schnittpunkt S ihrer Verbindungslinie mit der Kollineations-ebene die Verbindungslinie mit Al zu ziehen, diese wird von dem Strahl OB in dem gesuchten Punkt Bx geschnitten. Es gibt also eine und nur eine Raumperspektive, die auf die angegebene Weise festgelegt wird.

Ist das konstante Doppelverhältnis (OHAAj) =— 1, so heißt die Raumperspektive eine harmonische (involutorische).

Der Fall, wo 0 in T liegt, kann durch eine Raumperspektive auf den Spezialfall zurückgeführt werden, wo 0 und T beide unendlich fern sind, in diesem Falle entstehen die Figuren auseinander durch Parallelverschiebung. Die Existenz der Raumperspektive ist somit auch in diesem Sonderfall erwiesen.

82. Wenn zwei Perspektive Baumfiguren so auf eine Ebene projiziert werden, daß die Kollineationsebene eine projizierende Ebene ist, entsprechen die Projektionen einander in einer ebenen perspektivischen Kollineation, deren Kollineationsaclise und Kollinea-tionszentrum durch die Projektion aus der Kollineationsebene und dem Kollineationszentrum der räumlichen Kollineation hervorgehen.

A>-

A-

-i Oy

ui

af

Fig. 81.

In Fig. 81 bedeuten A und A₁ zwei entsprechende Punkte in der Raumperspektive. Ihre Projektionen (in der Figur ist eine Parallelprojektion benutzt) auf die in der Figur angedeutete Projektionsebene sind Ä und Af. 0 und T werden in 0' und V projiziert. AA\ AtAj und 0 0' gehen durch denselben Punkt von T (der in der Figur unendlich fern liegt). Wir wollen nun beweisen , daß Ä und Aj durch eine ebene Perspektivität verknüpft sind. Liegt Ä fest, kann A sich auf dem Projektionsstrahl AA' bewegen; Ax bewegt sich dann auf dem Projektionsstrahl A₁Al\ also liegt auch Af fest. Weiter liegen Ä und Af auf einem Strahl durch den festen Punkt 0'. Beschreibt A' in der Projektionsebene eine gerade Linie a\ so wird der geometrische Ort für A die zu a gehörende projizierende Ebene, At liegt also in der entsprechenden Ebene, die auch eine projizierende Ebene

wird. Mithin durchläuft Af eine bestimmte gerade Linie af. Die Bedingungen dafür, daß Ä und Af durch eine Perspektive Kol-lineation verknüpft sind, sind also in der Tat erfüllt.

Soll man zwei Perspektive Raumfiguren in Grund- und Aufriß darstellen, so kann man die Kollineationsebene T senkrecht zur trennenden Achse wählen. Da T dann eine projizierende Ebene sowohl für die Grundriß- wie für die Aufrißprojektion wird, kann jede dieser Projektionen durch Anwendung einer ebenen Perspek-tivität konstruiert werden.

Die Raumperspektive findet überall da Anwendung, wo eine Raumfigur durch eine andere Raumfigur dargestellt werden soll. Dies ist z. B. bei den Reliefs der Pall, und man bezeichnet deshalb die Raumperspektive auch als Beidefperspelctive. Ebenso muß die Szene eines Theaters so eingerichtet werden, daß ihre wirkliche Form ein perspektivisches Bild des Raumes ist, der dargestellt werden soll.

83. Von besonderem Interesse ist der Grenzfall der Raumperspektive, den man erhält, indem man das Kollineationszentrum sich ins Unendliche entfernen läßt. Man erhält dann eine Beziehung zwischen zwei räumlichen Figuren, die man als perspektivische Affinität bezeichnet. Sie hat folgende charakteristische Eigenschaften :

1.    Jedem Punkt der einen Figur entspricht ein bestimmter Punkt der anderen Figur, und zwar jedem eigentlichen Punkte wieder ein eigentlicher Punkt.

2.    Einer geraden Linie entspricht wieder eine gerade Linie.

3.    Parallelen Linien entsprechen wieder parallele Linien.

4.    Jeder Ebene entspricht wieder eine Ebene, und parallelen Ebenen entsprechen wieder parallele Ebenen.

5.    Entsprechende gerade Linien und entsprechende Ebenen schneiden sich in einer bestimmten festen Ebene, der Affinitätsebene.

6.    Die Verbindungsstrecke entsprechender Punkte hat konstante Richtung und wird von der Affinitätsebene in konstantem Verhältnis geteilt.

Man hat bei diesem Satz den Ausnahmefall zu beachten, wo die Verbindungsstrecke entsprechender Punkte der Affinitätsebene parallel wird. Dann wird die Entfernung der beiden einander entsprechenden Punkte ihrem Abstand von der Affinitätsebene proportional. Dies ergibt sich aus dem folgenden Satz, der den genannten Ausnahmefall in sich begreift:

7.    Sind A, Ax und B, Bx zwei Paare entsprechender Punkte und werden durch zwei Parallele durch A und B die Punkte A₀,

B₀ auf der Affinitätsebene ausgeschnitten, so sind auch A₁ A₀ und BtB₀ einander parallel, und AAtA₀ und BB₁B₀ bilden zwei ähnliche und ähnlich liegende Dreiecke. (Der analoge Satz für die Ebene ist sofort ersichtlich.)

Yon Spezialwerken über Perspektive seien hervorgehoben:

G. Ubaldo, Perspectivae libri sex. Pisauri 1600.

G. Desargues, Methode universelle de mettre en perspective les objects donnes reellement. Paris 1636. Oeuvres de Desargues. Paris 1876.

A. Bosse, Traite des pratiques geometrales et perspectives.

Paris 1665.

Br. Taylor, New principles of linear perspective. London 1719.

J. H. Lambert, Freye Perspektive oder Anweisung, jeden perspektivischen Aufriß von freyen Stücken ohne Grundriß zu verfertigen. Zürich 1744 und 1759.

B. E. Cousinery, Geometrie perspective ou principes de projec-tion polaire. Paris 1828.

G. Schreiber, Malerische Perspektive. Karlsruhe 1854 u. ö.

J. M. de la Gournerie, Traite de perspective lineäire. Paris 1859 u. ö. (hier auch besonders die Theaterperspektive).

G. A. Y. Peschka und E. Koutny, Freie Perspektive in ihrer Begründung und Anwendung. Hannover 1868.

J. J. Pillet. Traite de perspective lineäire. 3. Aufl., Paris 1901.

Yon einem besonderen Gesichtspunkt geht aus:

G. Hauck, Die subjektive Perspektive. Stuttgart 1879.

Recht elementar und mehr für Künstler bestimmt sind:

G. Hauck, Malerische Perspektive und Schattenkonstruktionen. Berlin 1910.

P. Meisel, Lehrbuch der Perspektive. Leipzig 1908.

Über die geschichtliche Entwicklung vgl. M. Poudra, Histoire de la perspective ancienne et moderne. Paris 1864.

Die Reliefperspektive behandeln:

J. B. Breysig, Versuch einer Erläuterung der Belief Perspektive. Magdeburg 1798.

M. Poudra, Traite de perspective-relief. Paris 1862.

R. Staudigl, Grundzüge der Belief Perspektive. Wien 1868.

L. Burmester, Grundzüge der Beliefperspektive nebst Anwendung zur Herstellmig reliefperspektivischer Modelle. Leipzig 1883.

Über Photogrammetrie, d. h. die Lehre von der Rekonstruktion eines Gegenstandes aus einer oder mehreren perspektivischen Darstellungen (Photographien), vergleiche man:

F. Schilling, Über die Anwendungen der darstellenden Geometrie, insbesondere über die Photogrammetrie. Leipzig u. Berlin 1904, wo man auch weitere Literaturangaben findet.

Fünftes Kapitel.

Elemente der projektiven Geometrie. Projektive Punktreiken und Strahlenbiischel.

84. Yon den Punkten einer geraden Linie sagt man, sie bilden eine Punktreihe. Die Linie heißt der Träger der Punktreihe.

Zwei Punktreihen heißen projektiv, wenn 1. jeder Punkt der einen Reihe einem Punkt der anderen entspricht, und 2. jedes System von vier Punkten der einen Reihe dasselbe Doppelverhältnis wie die (in derselben Reihenfolge genommenen) entsprechenden Punkte der anderen Reihe hat.

Unter Perspektiven Punktreihen versteht man zwei Punktreihen, die durch Zentralprojektion auseinander hervorgehen. Perspektive Punktreihen sind gleichzeitig projektiv. Aber nicht alle projektiven Punktreihen sind perspektiv. In Perspektiven Punktreihen entspxücht der gemeinsame Punkt der Träger sich selbst. Umgekehrt, wenn die Träger zweier projektiver Punktreiken einen gemeinsamen Punkt haben, der sich selbst entspricht, sind die Punktreihen perspektiv. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte gehen dann nämlich nach einem früher bewiesenen Satz (69) durch denselben Punkt.

Wenn zwei Punktreihen zu einer dritten projektiv sind, sind sie auch zueinander projektiv. Dies folgt sofort aus der Definition.

Punktreihen mit demselben Träger heißen kollokal. Wenn drei Punkte der einen von zwei projektiven Punktreihen mit den ihnen entsprechenden Punkten der anderen Reihe zusammenfallen, so fällt jeder Punkt mit seinem entsprechenden zusammen. Dies folgt aus dem letzten Satze in 69.

85. Wenn zwei projektive Punktreihen ABC . . . und A₁B₁C₁ . . . auf zwei eigentlichen geraden Linien liegen und ihre unendlich fernen Punkte U und U₁ einander entsprechen, so sind die Reihen ähnlich oder verhältnisgleich. Da dann nämlich ( TJABC)

AC A, C, AB ~ A₁B₁

. Ist zugleich AB — AXBX

= ( TJ₁ Aj Bx Cj) ist, wird

so werden die Reihen kongruent. Umgekehrt sind zwei ähnliche Reihen derart projektiv, daß die unendlich fernen Punkte einander entsprechen. Damit zwei perspektive Reihen ähnlich werden, müssen entweder die Träger parallel oder das Perspektivitätszentrum unendlich fern sein.

Zwei (nicht identische) ähnliche kollokale Punktreihen haben immer einen Doppelpunkt (einen Punkt, der sich selbst entspricht), nämlich den unendlich fernen Punkt des Trägers. Dieses ist der einzige Doppelpunkt, wenn die Reihen gleichsinnig kongruent sind. In allen anderen Fällen haben sie noch einen zweiten Doppelpunkt (das ÄhnlichkeitsZentrum).

86. Unter Strahleribüschel versteht man die Gesamtheit aller geraden Linien (Strahlen), die durch einen bestimmten Punkt 0 gehen und in einer bestimmten Ebene liegen. 0 heißt der Mittelpunkt oder der Scheitel des Strahlenbüschels. Ist 0 unendlich fern, so heißt der Büschel ein Parallelbüschel. Den Strahlenbüschel, der durch die Strahlen von einem festen Punkte 0 nach den Punkten

A, B, C . . . hin gebildet wird, bezeichnet man mit 0(15 0...), und man sagt von ihm, daß er A, B, C ... aus 0 projiziert. In ähnlicher Weise bezeichnet man eine Punktreihe, die durch den Schnitt einer bestimmten Linie l mit den Linien a,b, c... entsteht, durch l(abc...).

Zwei Strahlenbüschel, die in derselben Ebene liegen und verschiedene Mittelpunkte haben, heißen perspektiv, wenn zu jedem bestimmten Strahle des einen Büschels ein bestimmter Strahl des anderen Büschels gehört, so daß irgend zwei zusammengehörige Strahlen eine bestimmte feste Linie p in demselben Punkt schneiden. p heißt die Perspektivitätsaehse. Perspektive Strahlenbüschel projizieren also eine und dieselbe Punktreihe (die auf der Per-spektivitätsachse liegt) derart, daß entsprechende Strahlen denselben Punkt der Reihe projizieren. Der Strahl, der die Mittelpunkte der beiden Büschel verbindet, gehört ihnen beiden an und entspricht sich selbst.

87. Zwei Strahlenhüschel heißen projektiv, wenn 1. jedem bestimmten Strahl des einen Büschels ein bestimmter Strahl des anderen Büschels entspricht und 2. zwei entsprechende Strahlen durch entsprechende Punkte zweier projektiver Punktreihen gehen.

Haben die Strahlenbüschel denselben Mittelpunkt und liegen sie in derselben Ebene, so heißen sie kollokal.

Projektive Strahlenhüschel werden von irgendwelchen geraden Linien, die nicht durch die Mittelpunkte gehen, in projektiven Punktreihen geschnitten. Denn diese Reihen sind perspektiv zu

Timerding, Handbuch II

denen, die zur Bestimmung der Strahlenbüschel benutzt werden, und darum wieder zueinander projektiv.

Kongruente Strahlenbüschel sind projektiv. Denn sie können von geraden Linien in kongruenten Punktreihen geschnitten werden.

Perspektive Strahlenbüschel sind projektiv.

Zwei projektive Sirahleribüschel abc ... und ax bx cx... mit verschiedenen Mittelpunkten in derselben Ebene sind dann und nur dann perspektiv, wenn der Strahl a, der ihre Mittelpunkte verbindet, mit seinem entsprechenden Strahl ax zusammenfällt.

!b

Zum Beweis verbinde man die Punkte bbx und ccx durch eine gerade Linie (Pig. 82). Diese schneidet die beiden Strahlenbüschel in projektiven Punktreihen, aber da diese Punktreihen drei Punkte A, B und C entsprechend gemein haben, fallen sie zusammen. Die Strahlenbüschel projizieren also eine und dieselbe Punktreihe

und sind deshalb perspektiv.

Fig. 82.

Wenn zwei projektive Strahlenbüschel drei Strahlen gemein haben, fallen sie ganz zusammen. Denn die Punktreihen, in denen sie von einer geraden Linie geschnitten werden, haben drei Punkte entsprechend gemein und fallen sonach zusammen.

88.    Man nennt eine Punktreihe projektiv zu einem Strahlenbüschel, wenn sie projektiv zu einer Punktreihe ist, die durch den Schnitt des Strahlenbüschels mit einer geraden Linie entsteht. Sie ist dann projektiv zu jeder Reihe, die durch den Schnitt des Strahlenbüschels mit einer nicht durch seinen Mittelpunkt gehenden geraden Linie entsteht.

89.    Unter einem Ebenenbüschel versteht man die Gesamtheit der Ebenen, die durch dieselbe gerade Linie (die Achse des Ebenenbüschels) hindurchgehen.

Ein Ebenenbüschel wird von allen geraden Linien, die die Achse des Büschels nicht treffen, in projektiven Punktreihen geschnitten. Denn durch Projektion aus einem Punkte der Achse werden die Punktreihen auf eine Ebene in Perspektive Punktreihen projiziert.

Zwei Ebenenbüschel heißen projektiv, wenn sie von geraden Linien in projektiven Punktreihen geschnitten werden. Zwei projektive Ebenenbüschel werden von beliebigen Ebenen, die nicht durch die Büschelachsen gehen, in projektiven Strahlenbüscheln geschnitten.

Zwei Ebenenbüschel heißen perspektiv, wenn eine Ebene existiert, die sie in demselben Strahlenbüschel schneidet.

Eine Punktreihe und ein Ebenenbüschel heißen projektiv, wenn jene zu der Punktreihe, die durch den Schnitt des Ebenenbüschels mit einer beliebigen geraden Linie entsteht, projektiv ist.

90. Projektive Punktreihen und Strahlenbüschel gehen durch eine beliebige Projektion wieder in projektive Reihen und Büschel über, wenn wir nur dafür sorgen, daß die Träger der Reihen und die Ebenen der Büschel nicht durch das Projektionszentrum hindurchgehen. Die Konstruktion projektiver Reihen oder Büschel im Raume kann deshalb direkt in der Zeichenebene ausgeführt werden, indem man bloß mit den Projektionen der Gebilde operiert. Wir wollen deshalb im folgenden nur die Konstruktionen für projektive Reihen und Büschel, die in derselben Ebene liegen, angeben.

91. Wir wollen zunächst nacliweisen, wie man auf zwei gegebenen Linien l und J₁ projektive Punktreihen derart konstruieren kann, daß drei willkürlich gegebenen Punkten A, B und C auf l drei willkürlich gegebene Pwnkte Ax,

B₁ und C₁ auf lt entsprechen (Fig. 83). Wir setzen voraus, daß keiner der gegebenen Punkte nach dem Schnittpunkt ;>< von l und lx fällt. Zur ^

Konstruktion

benutzen

G- y. .

\al

:'X

wir die Strahlenbüschel A (Ax B₁C₁ . . .) und A₁ (ABC...); diese Büschel müssen projektiv sein, und da AAX dem Strahl A₁A entspricht, werden sie auch perspek-tiv. Die Perspektivitätsachse p kann man sofort bestimmen, da sie durch die Schnittpunkte von ABX mit AXB und von ACX mit At C hindurchgeht. Man bestimmt hierauf ein beliebiges neues Paar entsprechender Punkte I) und D₁ in den beiden Reihen dadurch, daß ADX und AXB einander aufj? schneiden. Aus der Konstruktion geht hervor, daß der Punkt A, in dem l von p geschnitten wird, dem Schnittpunkt Xr von l und lx entspricht, eben-

Fig. 83.

so der Punkt Yx, in dem lt von p geschnitten wird, dem zu l gerechneten Schnittpunkt von l und lv

Die Linie p ist dieselbe, oh wir die durch Projektion aus A und A₁ entstehenden Strahlenbüschel benützen, oder oh wir die Reihen aus B und Bx projizieren. In beiden Fällen muß nämlich die Perspektivitätsachse durch den Punkt X und den Schnittpunkt von ABX und AXB gehen; also: p ist auch Perspektivitätsachse für die Strahlenbüschel B(AXBX Cx...) und BX(ABC...), ebenso auch für C(AXBXCX . . .) und CX(ABC . . .), usw.

Eine Linie, welche zwei einander nicht entsprechende Punkte der Punktreihen verbindet, heißt eine Krcuzliniq. Zwei Kreuzlinien heißen zusammengehörig, wenn die Punkte der Punktreihen, die sie verbinden, einander entsprechen. So sind z. B. ABX und AXB zusammengehörige Kreuzlinien.

Die gewonnenen Resultate können dann in dem folgenden Kreuzliniensatz zusammengefaßt werden:

Bei zwei projektiven Punktreihen mit verschiedenen Trägern liegen die Schnittpunkte aller Paare zusammengehöriger Kreuzlinien auf einer festen Linie p, der Perspektivitätsachse.

Dies kann man auf verschiedene Arten an wenden, um zwei projektive Reihen zu konstruieren. In der Fig. 84 ist z. B. eine

BBX und

A-

Konstruktion des Punktepaares DDX mit Hilfe der gegebenen Punktepaare AA CCX gegeben.

B,

Fig. 84.

Soll man projektive kollokale Puuktreihen durch drei Punktepaare bestimmen, so kann man die eine Reihe auf eine neue Linie projizieren, wodurch die Aufgabe auf die vorige reduziert wird.

Zwei projektive Punktreihen, die nicht kollokal sind, können auch durch eine Projektion der einen Reihe auf einen neuen Träger, die sie zu der anderen perspektiv macht, konstruiert werden.

92. Soll man zu einer Punktreihe einen projektiven Strahlenbüschel konstruieren, derart, daß drei gegebenen Punkten A, B und C der Punktreihe drei gegebene Strahlen a, b und c des Büschels entsprechen, so kann man den Strahlenbüschel mit einer geraden Linie l schneiden. Die so erzeugte Reihe Ax BXCX . . wird dann projektiv zu ABC . . . und die Aufgabe ist auf die Konstruktion dieser Punktreihen zurückgeführt.

Besonderes Interesse hat die Konstruktion, die man bekommt,

wenn die Linie l unendlich fern liegt und man dann den Satz über Kreuzlinien anwendet. Diese Konstruktion setzt voraus, daß weder der Träger der Reihe (ABC . . .) noch der Mittelpunkt des Strahlenbüschels unendlich fern liegt.

Für die praktische Ausführung trägt man die Punktreihe ABC .. . auf einer beweglichen Linie auf und verschiebt diese so lange, bis die drei Punkte AL, B, C auf die Strahlen a, 5, c fallen. Jeder Punkt der Reihe wird dann auf den ihm entsprechenden Strahl des Büschels fallen.

93. Zwei projektive Strahlenbüschel können durch drei gegebene Paare entsprechender Strahlen bestimmt werden, indem man sie mit geraden Linien schneidet und die so erzeugten projektiven Punktreihen konstruiert. Sind die gegebenen Strahlenpaare a und ax, b und &₁₅ c und cx und haben die Büschel nicht denselben Mittelpunkt, so kann man sie z. B. mit ax und a schneiden. Die Reihen ax (abc . . .) und a (axbxcx...) sind dann perspektiv und können sonach leicht konstruiert werden.

Wenn aber die Mittelpunkte der Strahlenbüschel nicht unendlich fern sind, wendet man mit Vorteil folgende Konstruktion an (Fig. 85): (abc . . .) wird mit einer zu « parallelen Linie in der Reihe (ABC . . .) und (axbxcx . . .) mit einer zu (AxBXCX . . .) so geschnitten, daß Bx Cx = BC wird. Die Reihen (ABC . . .) und (AXBXCX . . .) werden dann kongruent und man kann deswegen entsprechende Punkte in ihnen leicht finden.

Ci

A>

BS

Fig. 85.

ax parallelen Linie in der Reihe

Punktreihen auf dem Kreis and ihre Anwendung.

94. Wenn ein Punkt A einen Kreis durchläuft, so daß er sich immer in demselben Drehsinn bewegt, so drehen sich seine Verbindungslinien mit zwei festen Punkten P und Q des Kreises ebenfalls in demselben Sinn und beschreiben in derselben Zeit gleichgroße Winkel. Gelangt A bei der Bewegung nach P (oder Q), so betrachtet man die Tangenten in P (oder Q) als die Verbindungslinie von A und P (oder Q). Dann kann man sagen, daß, wenn A den ganzen Kreis durchläuft, PA und QA gleichsinnig kongruente Strahlenbüschel durchlaufen. Eine Punktreihe ABC . . . auf dem

Kreise wird also aus zwei Punkten P und Q des Kreises durch kongruente Strahlenbüschel P(ABG . . .) und Q(ABC. ..) projiziert. Betrachtet man PQ als zum Büschel P(ABC . . .) gehörig, so ist der entsprechende Strahl im anderen Büschel die Tangente in Q.

95. Zwei Punktreihen ABC.. . und A₁B₁C₁ . . . auf demselben Kreise heißen projektiv, wenn sie aus einem Punkte 8 des Kreises durch projektive Strahlenbüschel S{ABC . . .) und S(At Bx Cx . . .) projiziert werden. Aus dieser Definition folgt, daß die beiden Reihen auch aus zwei willkürlich gewählten Punkten P und Q auf dem Kreise durch projektive Strahlenbüschel projiziert werden. Denn P {ABC . . .) und Q {A₁BiC₁ . . .) sind zu S {ABC . . .) und 8 {A₁BlC₁ . . .) projektiv, und da die letzten beiden Büschel projektiv sind, gilt dasselbe auch von den beiden erstgenannten. Zwei projektive Punktreihen auf einem Kreise sind also durch drei Paar entsprechender Punkte bestimmt.

N...

dl

96. Pascalscher Satz: Die Schnittpunkte gegenüberliegender Seiten in einem Sechseck, das einem Kreis einbeschrieben ist, liegen auf einer geraden Linie.

r Mi

^\/    In der Fig. 86 ist ABCDEF ein

5 X einbeschriebenes Sechseck. Die Seiten // AB, BC, CD. DE. EF und FA sind der Reihe nach mit 1, 2, 3, 4, 5 und 6

Fig. 86.

//

5/

'C

3y

bezeichnet. Die Schnittpunkte, M von 1 und 4, Ar von 2 und 5 und 0 von 3 und 6, liegen dann auf einer geraden Linie. Der Beweis verläuft wie folgt: Die Büschel A (.DBFE) und C (DBFE) sind kongruent und werden also von DE und EF in projektiven Punktreihen geschnitten. Folglich ist (DMPE) projektiv zu (QNFE). Da aber E in diesen Punktreihen sich selbst entspricht, sind die Reihen perspektiv. Also gehen die Linien DQ, MN und PF durch denselben Punkt (das Perspektivitätszentrum), aber da D Q und PF einander in 0 schneiden, geht auch MN durch diesen Punkt, w. z. b. w.

s.

Br

"'S-

Fig. 89.

Läßt man zwei aufeinander folgende Ecken des Sechsecks zusammenfallen, so gilt der Satz auch, indem die Seite, die diese zusammenfallenden Ecken verbindet, in eine Tangente des Kreises übergeht. In den Figuren 87—89 sind folgende drei Fälle behandelt: 1. A und B fallen zusammen, 2. A fällt nach J5, C nach 2), 3. A fällt nach B, C nach D und E nach F.

v// /

\3

4l :

97. Wir wollen nun nach-weisen, daß von zwei projektiven Punktreihen auf demselben Kreis ein ganz ähnlicher Satz gilt wie der, den wir für projektive Punktreihen auf zwei ver- / schiedenen geraden Linien gefunden haben. Die Reihen denken \ wir uns dabei gegeben durch drei \

Paare entsprechender Punkte: A A und At, B und Bx, C und C\.

ßD

Fig. 90.

Jede Linie, die den Kreis in zwei einander nicht entsprechenden Punkten schneidet, nennen wir wieder eine Kreuzlinie. Zwei Kreuzlinien heißen zusammengehörig, wenn die eine von ihnen den Kreis in zwei Punkten schneidet, die den Schnittpunkten der anderen Linie mit dem Kreis entsprechen. Dann gilt der Satz:

Die Schnittpunkte zusammengehöriger Kreuzlinien liegm auf einer festen geraden Linie, der Perspektivitätsachse (Fig. 90).

Beiveis: Die Schnittpunkte von ABX und Ax B, B Cx und Bx C, GAX und CtA liegen nach dem Pascalschen Satze auf e er geraden Linie p; diese Linie ist die Perspektivitätsachse für ie Perspektiven Strahlenbüschel A(AXBXCX . . .) und Ai(KABC . . .). Ein beliebiges neues Punktepaar JDDX wird also daraus gefunden, daß ABX und AXD einander auf p schneiden. Hiermit ist bewiesen, daß jedes Paar zusammengehöriger Kreuzlinien, die von A und Ax ausgehen, einander auf p schneidet. Aber die Strahlenbüschel B (Ax B₁Gl . . .) und Bx (AB C . . .) sind auch perspektiv, und da ihre Perspektivitätsachse durch die Schnittpunkte von BAX und Bx A, B Cx und Bx G hindurchgeht, fällt sie mit p zusammen. Also schneiden auch irgend zwei zusammengehörige Kreuzlinien, die von B und Bx ausgehen, einander auf p. Auf diese Weise kann man nun fortfahren, bis man zu einem Paar Kreuzlinien kommt, die von einem beliebigen Paar entsprechender Punkte in den beiden Reihen ausgehen.

2?

Der Kreuzliniensatz kann auf verschiedene Arten zur Konstruktion der beiden Reihen verwendet werden. Die neben-stebende Fig. 91 zeigt die Bestimmung eines beliebigen Punktepaares D und I) Wenn p den Kreis schneidet, so entspricht jeder der Schnittpunkte sich selbst und heißt ein Doppelpunkt der beiden Reihen. Zwei projektive Punktreihen auf einem Kreise haben also zwei, einen oder keinen Doppelpunkt, je nachdem p den Kreis schneidet, berührt oder nicht trifft.

c.

i\

7\

\i

•i

ß, Cj Fig. 91.

98. Zwei kollokale proj ektive Punktreihen (iJSC...) und (Ax B₁G₁ . . .) auf einer geraden Linie kann man nun konstruieren, indem man sie auf einen beliebigen Kreis aus einem willkürlichen y} Punkte dieses Kreises projiziert (Fig. 92 ). Auf diese Weise erhält man die projek-r tiven Reihen (aßy . . .) und (ax ßx yx . . .) auf dem Kreise. Es wird dann ein neues Punktepaar in den Punktreihen auf dem Kreis konstruiert und aus 0 auf die gerade Linie zurückprojiziert, auf diese Weise gelangt man zu einem Paar entsprechender Punkte in den ursprüng-

liehen Reihen. Ein Doppelpunkt in den Reihen auf dem Kreis liefert einen Doppelpunkt in den ursprünglichen Reihen. Zwei kollokale projektive Punktreihen auf einer geraden Linie haben also entweder zwei, einen oder keinen Doppelpunkt.

99. Wir haben gleichzeitig eine neue Konstruktion für zwei projektive kollokale Strahlenbüschel 0 {ABC...) und 0 {A₁B₁Ci...) gefunden: Durch ihren gemeinsamen Mittelpunkt 0 wird ein Kreis gelegt, und es werden die Punktreihen, in denen dieser die Strahlenbüschel schneidet, konstruiert. Ein beliebiges Punktepaar in diesen Reihen bestimmt ein Strahlenpaar in dem Strahlenbüschel. Ein Doppelpunkt der Reihen bestimmt einen Doppelstrahl der Büschel. Zwei projektive kollokale Strahlenbüschel haben also entweder zwei, einen oder keinen Doppelstrahl.

Die angegebene Methode kann indessen nicht angewendet werden, wenn der gemeinsame Mittelpunkt der Strahlenbüschel unendlich fern liegt. In diesem Falle kann man sie aber durch eine beliebige gerade Linie schneiden und dann die angeführten Konstruktionen anwenden.

Involutionen.

100. Wir betrachten zwei projektive Punktreihen {ABC...) und {A₁B₁C₁ . . .) auf derselben geraden Linie. Ein beliebiger Punkt der Linie kann zu jeder der Punktreihen gerechnet werden. Wir lassen deswegen immer die Bezeichnung, die wir dem Punkt geben, andeuten, zu welcher der Reihen er gehört. Gehört er zur ersten Reihe, so bezeichnen wir ihn z. B. mit P; dann entspricht ihm ein Punkt P₁ der anderen Reihe. Soll er zur anderen Reihe gehören, so kann er mit Qt bezeichnet werden, es entspricht ihm dann ein Punkt Q der ersten Reihe. Q und Pt fallen nicht immer zusammen; man braucht, um dies einzusehen, nur zwei kongruente Reihen zu betrachten, von denen die eine aus der anderen durch Parallelverschiebung hervorgeht. Wir wollen nun aber den Fall näher untersuchen, wo Q und P₁ zusammenfallen. Wir setzen also von unseren Punktreihen voraus, daß der einem bestimmten Punkte P der ersten Reihe entsprechende (von P verschiedene) Punkt P1 der zweiten Reihe gleichzeitig als Punkt Q der ersten Reihe dem mit P zusammenfallenden Punkte Qx der zweiten Reihe entspricht. Wir wollen dann zeigen, daß jedes Paar entsprechender Punkte der beiden Reihen dieselbe Eigenschaft hat.

R und R₁ sei ein solches Punktepaar; fällt St nach R, so soll bewiesen werden, daß S nach R₁ fällt (Fig. 93). P₁Q₁R₁S₁

Averden aus 0 auf einen neuen Träger in P₂Q₂R₂S₂ projiziert. Diese letzte Reihe ist dann projektiv zu PQRS. Die Per-spektivitätsachse für diese Punktreihen geht durch 0, da PQ₂ und P₂ Q zusammengehörige Kreuzlinien sind. Die Kreuzlinie RS₂ schneidet nun die Perspektivi-tätsache in 0, und durch diesen Punkt muß sonach 11₂S gehen; also fällt S nach Rv w. z. b. w.

/TV'

'ßs

«2,    «F, RS, »,

Fig. 93.

Von den Pimktreihen sagt man, daß sie auf der geraden Linie eine Involution bilden (oder involuto-risch sind). Von den Punktepaaren sagt man, daß sie eine invo-Intorische Reihe bilden.

101. Kennt man von der Involution zwei Punktepaare AAX undBBV so ist sie bestimmt; denn die projektiven Reihen (AAXB...) und (A₁ABl . . .) sind bestimmt, da man drei Punktepaare A und Av Ax und A, R und Bx in ihnen kennt. Im folgenden setzen wir voraus, daß keiner der Punkte A, Av B und Bx unendlich fern ist. Des weiteren setzen wir voraus, daß keine zwei von diesen Punkten zusammenfallen.

Der Punkt 0, der dem unendlich fernen Punkt Ox entspricht, heißt das Zentrum der Involution. Ist zunächst 0 unendlich fern, so werden die beiden projektiven Reihen (AAXB ...) und (AXABX...) ähnlich mit einem bestimmten Ähnlichkeitspunkt M. Da nun

AM

_ A, M ÄtM ~ AM ’

wird dieses Abstandsverhältnis = + 1, und da A und Ax verschieden sind, müssen wir den Wert — 1 wählen. Die Punktreihen liegen also symmetrisch für den Punkt M.

Wir behandeln jetzt den Pall, wo 0 nicht unendlich fern ist; man findet dann (AB OOx) = (Ax Bx 0, 0) oder, da Ox endlich fern ist,

un-

folglich:

AO _ B,0 BÖ ~ Aj 0’

OA • 0AX = OB • 0BV

Das Zentrum der Involution hat also die Eigenschaft, daß das Produkt seiner

Abstände von einem beliebigen Punktepaar der Involution konstant ist. Dies Produkt heißt die Potenz der Involution. Wir finden danach folgende Konstruktion (Fig. 94). Wir wählen einen Punkt M beliebig außerhalb des Trägers der Involution und ziehen B N || A M und J-jWll BXM', MN geht dann durch 0, denn es wird OA _ OM _ OB1 OB ~ ~ON ~

folglich

OA • 04, = OB ■ OB

Man kann auch 0 daraus finden, daß es für zwei Kreise, von denen der eine durch A und Ax> und der andere durch B und B1 geht, dieselbe Potenz haben muß; 0 liegt also auf der Potenzachse dieser Kreise.

102. Ist die Potenz positiv, so hat die Involution zwei Doppelpunkte, deren Abstände von 0 gleich der mittleren Proportionale von OA und 0AX, OB und 0BX usw. sind. Nennt man die Doppelpunkte X und Y, so hat man

0I = - 0Y = VOA ■ OA

Jedes Punktepaar der Involution ist mit den beiden Doppelpunkten harmonisch verbunden, denn eswird(XY4M₁) = (XYA₁Ä). Also: Wenn eine involutorische Punktreihe zivei Doppelpunkte hat, so besteht die Involution aus allen Punktepaaren, die mit den Doppelpunkten harmonisch verbunden sind. Das Zentrum der Involution liegt in der Mitte zwischen den Doppelpunkten.

B\ p!A,

%—

Mg. 95.

Ist die Potenz negativ, so hat die Involution keinen Doppelpunkt. In diesem Falle schneiden die über AAX und BBX als Durchmesser beschriebenen Kreise (Fig. 95) einander in zwei Punkten M und Ar, deren Verbindungslinie (die Potenzlinie der beiden Kreise) durch das Involutionszentrum 0 A\ geht. Die beiden Kreise bestimmen einen Kreisbüschel, und jeder Kreis dieses Büschels schneidet ein Punkte -paar der Involution aus, also müssen die Winkel AMAV BMBX, GMCX... rechte sein, und man findet: Wenn eine involutorische Punktreihe keine Doppelpunkte hat, so existieren in der Ebene zwei Punkte M und N, aus denen jedes Punktepaar der Involution durch zwei aufeinander senkrechte Linien projiziert wird. Eine solche Involution wird am einfachsten durch

die Linie, auf der sie liegt, und einen der Punkte M und N dargestellt.

Wenn die Involution durch zwei Punktepaare AAX und BBX gegeben ist, so kann man unmittelbar erkennen, welcher der beiden gekennzeichneten Fälle eintritt. Nämlich wenn die Punkte des einen Paares die Punkte des anderen voneinander trennen, hat die Involution keinen Doppelpunkt. Wenn aber die Paare einander nicht trennen (von den Strecken AAX und BBX die eine ganz auf oder ganz außerhalb der anderen liegt), hat die Involution Doppelpunkte.

103. In dem Falle, wo zwei kollokale projektive Strahlenbüschel ein Paar verschiedene zusammengehörige Strahlen enthalten, die einander entsprechen, auch wenn sie vertauscht werden, hat jedes Paar entsprechender Strahlen in den Büscheln diese Eigenschaft. Die Strahlenbüschel werden dann nämlich von einer geraden Linie, die nicht durch ihren Mittelpunkt geht, in einer involutorischen Punktreihe geschnitten. Yon den Strahlenbüscheln sagt man, sie bilden eine Involution. Von den Strahlenpaaren sagt man auch, sie bilden einen involutorischen Büschel.

Zwei projektive Punktreihen auf einem Kreis bilden eine Involution, wenn jedes Paar entsprechender Punkte vertauscht werden kann. Ein involutorischer Büschel wird von einem beliebigen Kreis, der durch den Mittelpunkt des Büschels geht, in einer Involution

geschnitten.

104. In einer Involution auf dem Kreis gehen die Verbindungslinien entsprechender Punkte durch einen festen Punkt 0. Dieser Punkt heißt das Perspektivitätszentrum.

B ew eis (Fig. 96): AAX,BBV CCX seien drei beliebige Punktepaare der Involution. Wir wenden den Satz von den Kreuzlinien an, indem wir beachten, daß jetzt ' nicht bloß A Bx und Ax B,

Y\

AZ

ßi

i. Y

Fig. 96.

sondern auchMj? und AXBX und die analogen Verbindungslinien zusammengehörige Kreuzlinien bilden. So finden wir zwischen den

beiden Dreiecken ABC und AXBXCX die Beziehung, daß die Schnittpunkte entsprechender Seiten A B und Ax Bv B C und Bx Cv CA und CXAX auf einer geraden Linie (der Perspektivitätsachse)

liegen. Die Linien AAl5 BBX und CC₁ gehen also nach dem Des-arguesschen Satz durch denselben Punkt 0 (74).

■Liegt dieser Punkt außerhalb des Kreises, so hat die Involution zwei Doppelpunkte, nämlich die Berührungspunkte der Tangenten, die man von 0 an den Kreis legen kann. Dies sind gleichzeitig die Schnittpunkte der Perspektivitätsachse mit dem Kreise. Liegt 0 innerhalb des Kreises, so gibt es keinen Doppelpunkt. Der Greuzfall, wo 0 auf dem Kreise liegt, ist ohne Bedeutung.

Ist die Involution auf dem Kreis durch zwei Punktepaare AAX und BBX bestimmt, so kann man das Zentrum 0 sofort als den Schnittpunkt der Linien AAX und BBX konstruieren. Man findet dann neue Punktepaare, indem man den Kreis mit geraden Linien durch 0 schneidet.

105. Ein involutorischer Strahlenbüschel, dessen Mittelpunkt nicht unendlich fern liegt, wird durch zwei Paare zusammengehöriger Strahlen a, ax und b, bx bestimmt, indem man ihn mit einem Kreise durch den Büschelmittelpunkt schneidet (Fig. 97). Hierdurch entsteht auf dem Kreis eine Involution, von der man zwei Punktepaare AAX und BBX kennt und die übrigen Paare sofort konstruieren kann.

ff,

ai\ \

>Ao

Fig. 97.

Projiziert man dann diese jedesmal aus dem Büschelmittelpunkt, so erhält man immer zwei zusammengehörige Strahlen der Strahleninvolution. Wenn die gegebenen Strahlenpaare einander nicht trennen, so fällt der Schnittpunkt 0 von AAX und BBX außerhalb des Kreises, die Involution auf dem Kreis hat dann zwei Doppelpunkte und die Strahleninvolution zwei Doppelstrahlen p und g, die durch die Berührungspunkte der aus 0 an den Kreis gelegten Tangenten hindurchgehen. Trennen die beiden Strahlenpaare einander, so hat die Strahleninvolution keine Doppelstrahlen.

In jedem Falle enthält die Involution ein Paar zusammengehöriger Linien l und lv die aufeinander senkrecht sind. Diese Linien gehen durch die Endpunkte des Durchmessers, der durch O gezogen werden kann.

Fällt 0 in den Mittelpunkt des Kreises, so bildet jedes Strahlenpaar der Involution einen rechten Winkel. Wir sprechen dann von einer orthogonalen Strahleninvolution.

Liegt der Punkt 0 unendlich fern, so sind die Doppelstrahlen der Strahleninvolution aufeinander senkrecht, und die Strahlen eines beliebigen Strahlenpaares bilden mit ihnen gleiche Winkel. Wir sprechen dann von einer symmetrischen Strahleninvolution.

Da eine Strahleninvolution von einer geraden Linie, die nicht durch den Mittelpunkt des Büschels geht, in einer Punktinvolution geschnitten wird, muß jedes Strahlenpaar einer Strahleninvolution durch die Doppelstrahlen, wenn diese existieren, harmonisch getrennt werden. Das Strahlenpaar, das einen rechten Winkel bildet, besteht aus den Halbierungslinien der Winkel zwischen den Doppelstrahlen.

Ein involutorischer Strahlenbüschel mit unendlich fernem Mittelpunkt wird mit Hilfe der Punktinvolution konstruiert, in der der Büschel von einer willkürlichen geraden Linie geschnitten wird.

Eine Punktinvolution kann auch dadurch konstruiert werden, daß man sie auf einen beliebigen Kreis aus irgendeinem Punkte des Kreises projiziert und die so bestimmte Involution auf dem Kreis konstruiert. Diese Methode findet insbesondere Anwendung, wenn die gegebene Punktinvolution auf der unendlich fernen Geraden liegt.

Pol und Polare. Das Dualitätsprinzip.

Al1

106. An einen gegebenen Kreis ziehen wir durch einen Punkt P, der nicht auf dem Kreise liegt, die Sekanten und bestimmen auf jeder von ihnen einen Punkt P₁₅ so daß P und P₁ die Schnittpunkte der Sekante mit dem Kreise harmonisch trennen. Alle diese Punlcte P, liegen dann auf einer gewissen geraden Linie p, welche die Polare vonPbezügl. des Kreises heißt. P selbst heißt der Pol der Linie p (vgl. Fig. 98).

Fig. 98.

Daß die Punkte Py wirklich auf einer geraden Linie liegen, erkennt man wie folgt: Es ergibt sich auf dem Kreise eine bestimmte Punktinvolution, für welche P das Zentrum ist, und die Perspektivi-tätsachse dieser Involution⁻ enthält alle Punkte P,. Sind nämlich AA₁ rnidBB₁ zwei willkürliche Punktepaare der Involution, so geht die Achse p durch den Schnittpunkt M

von AB und AXBX und den Schnittpunkt B von AXB und ABX und infolge des Satzes vom vollständigen Yierseit (71) muß dann p die Linie AAX in einem solchen Punkte I\ schneiden, daß P und P, mit A und Ax harmonisch verbunden sind. Ebenso muß p die Linie BBX in einem Punkte P₂ schneiden, so daß P und P₂ mit B und Bx harmonisch verbunden sind. Der Satz ist damit bewiesen und wir haben gleichzeitig eine allgemeine Konstruktion für die Polare eines gegebenen Punktes gefunden: Durch P ziehen wir zwei Sekanten AAX und BBX, dann ist die Verbindungslinie der Diagonalpunkte M und B des vollständigen Vierseits AAXBBX die gesuchte Polare.

107. Aus der Definition folgt, daß die Polare des Mittelpunktes die unendlich ferne Gerade ist, weiter daß die Polare für einen wiendlich fernen Punkt ein Durchmesser ist, der zu der den Punkt bestimmenden Bichtung senkrecht ist.

Ist P ein beliebiger Punkt außerhalb des Kreises, so geht seine Polare durch die Berührungspunkte der Tangenten, die man von P an den Kreis legen kann. Liegt der Punkt innerhalb des Kreises, so fällt seine Polare ganz außerhalb des Kreises. In beiden Fällen ist die Polare senkrecht zu dem Durchmesser, der durch P geht.

Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, daß P nicht auf dem Kreise liegt. Wenn aber der Punkt P sich einem bestimmten Punkte A des Kreises nähert, z. B. indem P sich auf der Tangente a in A bewegt, so nähert sich seine Polare der Tangente a. Wir wollen deswegen durch Definition festlegen, daß die Polare eines Punktes auf dem Kreise die Tangente in diesem Punkte sein soll. So erhält jeder Punkt in der Ebene des Kreises eine bestimmte Polare.

-o'.

108. Wenn ein Punkt p P auf der Polare q eines anderen Punktes Q liegt, so liegt auch Q auf der Polare p von P.

Beweis: Wir setzen

Fig. 99.

zunächst voraus, daß weder P noch Q auf dem Kreise liegt (Fig. 99). Durch P ziehen wir dann eine Linie, die den Kreis in A und B schneidet. QA und QB mögen den Kreis außerdem in

AvBt schneiden. Man weiß nun, daß AXB± und AB einander in einem Punkte von q schneiden, also in P. Daraus folgt aber, daß die Polare von P durch Q geht. Liegt Q auf dem Kreise, so wird q die Tangente in Q, und da P auf dieser Tangente liegt, so geht seine Polare durch Q.

Zwei Punkte, von denen der eine auf der Polare des anderen liegt, heißen konjugiert. Ein Punkt ist konjugiert zu sich selbst, wenn er auf dem Kreise liegt.

109. Zwei verschiedene Punkte P und Q können nicht dieselbe Polare haben.

Beweis: 1. Liegt einer der Punkte auf dem Kreise, so ist seine Polare die Tangente in dem Punkte, und diese kann die Polare keines anderen Punktes sein als die ihres Berührungspunktes.

2.    Liegt einer der Punkte außerhalb des Kreises, so konstruiert man eine Polare mit Hilfe der aus dem Punkt an den Kreis gelegten Tangenten. Hieraus sieht man sofort, daß die Polaren nicht zusammenfallen können.

3.    Liegen beide Punkte innerhalb des Kreises, so schneidet die Linie PQ den Kreis in zwei Punkten A und Av Man sieht dann, daß die Polaren von P und Q diese Linie in zwei verschiedenen Punkten schneiden müssen und also nicht zusammenfallen können.

Fig. 100.

110. Jede gerade Linie a hat einen bestimmten Pol A. Beweis: Auf a wählen wir zwei Punkte M und N. Die Polaren m und n dieser Punkte sind nach dem eben Bewiesenen notwendigerweise verschieden und haben deswegen einen und nur einen Punkt A gemeinsam. Da A aber auf m und n liegt, geht seine Polare durch M und N, d. h. die Polare von A ist a. Ist a eine Tangente des Kreises, so fällt der Pol in den Berührungspunkt. Ist a eine Sekante des Kreises, so bestimmt sich ihr Pol als der Schnittpunkt der Kreistangenten in den Schnittpunkten von a. Liegt a ganz außerhalb des Kreises, so kann man den Pol auf folgende Weise konstruieren (Fig. 100): Aus dem Kreismittelpunkt 0 fällt man das Lot OB auf a, dann schneidet die Polare b von B das Lot in dem gesuchten Punkt A. Die Figur liefert zugleich eine Konstruktion für die Polare a eines Punktes A, der innerhalb des Kreises liegt.

111.    Wenn ein Punkt P eine Linie a durchläuft, so dreht sich seine Polare p um einen festen Punkt A, den Pol von a (108). Wir wollen nun beweisen, daß die von P

beschriebene Punktreihe projektiv zu dem von t p beschriebenen Strahlenbüschel ist.    l\\

orig. ioi.

Ist a ein Durchmesser des Kreises und wird dieser yon p im Punkte Px getroffen, so sind P und P₁ beständig harmonisch verbunden mit den Endpunkten des Durchmessers, sie beschreiben also projektive Punktreihen (102). Folglichist die Reihe (P) projektiv zu dem Büschel (p). Ist a kein Durchmesser (Fig. 101), so beschreiben OP und p kongruente Strahlenbüschel, da entsprechende Strahlen aufeinander senkrecht sind. Der Satz ist also vollständig bewiesen.

Gleichzeitig sehen wir, daß P und sein konjugierter Punkt P1 auf der Linie a (von der man indessen voraussetzen muß, daß sie keine Tangente des Kreises ist) projektive Punktreihen durchlaufen, und da jedes Paar entsprechender Punkte in diesen Reihen vertauscht werden kann, müssen sie eine Involution bilden. Mithin:

Die konjugierten Punktepaare auf einer geraden Linie a, die den Kreis nicht berührt, bilden eine Involution.

Wenn a den Kreis schneidet, so sind die Schnittpunkte die Doppelpunkte der Involution. Wenn a den Kreis nicht schneidet, hat die Involution keine Doppelpunkte. Das Zentrum der Involution ist in allen Fällen der Fußpunkt des Lotes, das man aus dem Kreismittelpunkt auf a fällt.

112.    Zwei gerade Linien in der Ebene des Kreises heißen konjugiert, wenn jede von ihnen durch den Pol der anderen geht. In der Figur 101 sind AP und AP± konjugierte Linien. Man erkennt, daß die konjugierten Strahlenpaare, die durch einen gegebenen Punkt A (der nicht auf dem Kreise liegt) hindurchgehen, einen involutorischen Büschel bilden, da dieser durch Projektion einer involutorischen Punktreihe entsteht. Lassen sich von A Tangenten an den Kreis legen, so bilden diese die Doppelstrahlen der Involution. Fällt A in den Kreismittelpunkt, so werden die konjugierten Strahlen zu konjugierten Durchmessern, und die Involution geht in eine orthogonale über.

113.    Aus den angeführten Sätzen über Pole und Polare geht hervor, daß man , mit Hilfe eines bestimmten Kreises eine solche Verknüpfung zwischen den Punkten und geraden Linien der Ebene

Timerding, Handbuch II

Verstellen kann, daß 1. jedem Punkte A (als Pol) eine bestimmte Linie a (als Polare) entspricht und umgekehrt, und 2. den Punkten einer geraden Linie die geraden Linien durch einen bestimmten Punkt entsprechen. Ferner werden projektiven Punktreihen immer projektive Strahlenbüschel entsprechen, und einer involutorischen Reihe auf einer geraden Linie wird ein involutorischer Strahlenbüschel zugeordnet sein.

Man kann hierauf ein wichtiges geometrisches Prinzip begründen, das Dualitätsprinzip, nach welchem aus einem geometrischen Satz ein neuer (der dual entsprechende) abgeleitet werden kann, indem man in dem ersten Satz „Punkt“ mit „Linie“, „ Verbindungslinie zweier Punkte“ mit „Schnittpunkt zweier Linien“, „Punkt auf einer Linie“ mit „Linie durch einen Punkt“ vertauscht.

Die Sätze vom vollständigen Vierseit und vom vollständigen Viereck bilden ein Beispiel für zwei dual entsprechende Sätze, ebenso die beiden Sätze über Perspektive Dreiecke.

Das Dualitätsprinzip kann unmittelbar nur auf solche Sätze angewendet werden, die sogenannte projektive Eigenschaften aus-drücken, d. h. solche Eigenschaften, die bei einer Zentralprojektion erhalten bleiben; aber in manchen Fällen gelingt es doch, Sätze, die nicht von der soeben angegebenen Art zu sein scheinen, durch Umschreibung auf eine solche besondere Form zu bringen, daß das Prinzip Anwendung finden kann.

2.

Da die Punkte des Kreises die Pole der in ihnen berührenden Tangenten sind, kann man durch das Dualitätsprinzip aus einigen bekannten Sätzen über die Punkte eines Kreises neue Sätze über die Tangenten ableiten.

i 11

ml

So entspricht dem Satz: h

i( j

.y

iw

³    „Die Strahlen aus zwei festen Punkten eines Kreises nach einem be-

Fig. 103.

Fig. 102.

4    weglichen Punkt dieses Kreises beschreiben projektive Strahlenbüschel“ der reziproke Satz: „Einebewegliche

Tangente schneidet zwei feste Tangenten in projektiven Punktreihen“.

114 Der dual entsprechende Satz zu dem Pascalschen Satz ist der Brianchonsche Satz:

Die Verbindungslinien gegenüberliegender Ecken eines beliebigen einem Kreis umschriebenen Sechsecks gehen durch denselben Punkt.

Bau eis. In der Pigur 102 sind die Ecken des Sechsecks mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 bezeichnet. Ihre Polaren I, II, III, IV, V und VI sind die Seiten eines einbeschriebenen Sechsecks,

also liegen die Schnittpunkte von I und IV, II und V, III und VI auf einer geraden Linie. Aber die

4'

Fig. 105.

Fig. 104.

Polare dieser Schnittpunkte sind die Linien 1 4, 2 5 und 3 6, die also durch denselben Punkt gehen müssen.

Von Interesse sind auch die besonderen Fälle, wo zwei aufeinanderfolgende Seiten zusammenfallen; die Ecke, in der sie „sich schneiden“, ist dann ihr gemeinsamer Berührungspunkt mit dem Kreise (vgl. Fig. 103—105).

Hilfskonstruktionen.

115. Bei der praktischen Ausführung von Konstruktionen stößt man oft auf die Schwierigkeit, daß ein Punkt, der bei der Konstruktion benutzt werden soll, unerreichbar wird, indem er als Schnittpunkt zweier Linien bestimmt wird, die sich innerhalb der Grenzen des Zeichen-papieres nicht schneiden. Wir geben hier nur zwei Beispiele für die Methoden, die dazu dienen, diese Schwierigkeit zu überwinden (vgl. 36).

■j

Fig. 106.

1. Beispiel: Zwei Linien m und n, von welchen die letzte den Kreis Je in N berührt, schneiden einander in einem

unzugänglichen Punkte S. Von S soll eine neue Tangente an den Kreis gezogen werden. (Fig. 106.)

Der Durchmesser ON schneidet m in A; der Durchmesser OB sei senkrecht auf m. Eine Linie durch N parallel zu AB schneidet dann den Kreis in dem Berührungspunkt der gesuchten Tangente; OS ist nämlich senkrecht auf AB, also auch auf 1VK.

'S

¥4-

/ •>

2. Beispiel: AneinenKreis sollen die Tangenten aus dem unzugänglichen Schnittpunkt S zweier gegebenen Linien m und n gelegt werden. (Fig. 107.)

Fig. 107.

Man bestimme den Pol N der Linie n bezüglich des Kreises. Die Polare s von S muß dann durchIVhindurchgehen und senkrecht zu dem durch S hindurchgehenden Durchmesser sein. Man konstruiert sie also ähnlich wie NNt in dem vorhergehenden Beispiel, s schneidet dann den Kreis in den Berührungspunkten A und B der gesuchten Tangenten.

Vgl. P. Zühlke, Konstruktionen in begrenzter Ebene (Mathem. Bibi. Bd. XI). Leipzig 1913. Hier findet man auch die weitere Literatur angegeben.

Sechstes Kapitel.

Kegelschnitte.

Einleitende Sätze.

116.    Jede Schnittkurve eines Rotationskegels mit einer eigentlichen Ebene, die nicht durch die Spitze des Kegels geht, heißt ein Kegelschnitt.

Das Wort Schnittkurve bezeichnet hier die Gesamtheit aller Punkte (auch der unendlich fernen Punkte), welche der Kegel mit der Ebene gemein hat. Da der Kegel den Inbegriff aller Punkte bedeutet, die auf den Seitenlinien (die unendlich fernen Punkte einbegriffen) liegen, kann jeder Punkt auf dem Kegelschnitt bestimmt werden als Schnittpunkt der Ebene mit einer Seitenlinie des Kegels. Der Punkt ist unendlich fern, wenn die Ebene der Seitenlinie parallel ist; die Schnittkurve hat also höchstens zwei unendlich ferne Punkte, kann aber auch nur einen einzigen oder keinen unendlich fernen Punkt enthalten. Um diese verschiedenen Fälle bequem darstellen zu können, benützen wir die durch die Kegelachse (a) senkrecht zur Schnittebene (Z) gelegte Ebene TT als Zeichenebene. In dieser Ebene zeichnen wir die Achse a, die beiden Seitenlinien e und et des Kegels, und die Spur s der Ebene Z (Fig. 108—110). Der ganze Kegel wird nun senkrecht auf die Zeichenebene innerhalb der beiden Winkel projiziert, die von e und e₁ begrenzt werden und die Achse a enthalten. Sowohl der Kegel wie auch die Schnittebene wird von der Zeichenebene symmetrisch geteilt, und die Gerade s wird somit eine Symmetrieachse der Schnittkurve.

117.    Wir betrachten nun nacheinander die drei in den Figuren dargestellten Fälle:

Erster Fall: s schneidet e und e₁ in zwei Punkten A und Av welche demselben Kegelmantel angehören (Fig. 108). Die Schnittkurve hat keinen unendlich fernen Punkt, weil es keine Seitenlinie gibt, deren Projektion zu s parallel ist. Wir zeichnen nun

zwei Kreise, welche e, e₁ und s berühren und deren Mittelpunkte auf a liegen, und wählen für die Berührungspunkte die in der

Figur angegebenen Bezeichnungen PQ, PxQi, FFV Man sieht dann ganz wie früher bei der Untersuchung des Zylinderschnittes (22), daß die von PQ durch Drehung um a beschriebene Ivegelzone der Ort aller Punkte ist, für welche die Längen der Tangenten an die von den bei-den Kreisen beschriebenen Kugeln -    ¹ die konstante Summe PQ haben. Die

gesuchte Schnittkurve ist nun ganz in dieser Zone enthalten und wird somit nach 22 eine Ellipse mit den Brennpunkten F, Ft und der großen Achse AAX. Die ganze Kurve wird senkrecht auf die Ebene IT in die Strecke AAX projiziert.

Ein beliebiger Punkt S der Ellipse werde nun in S' projiziert und falle, um a in die Zeichenebene umgeklappt, nach S₁ (S'St _L a). Die wahren Längen seiner Brennstrahlen sind dann P₁S₁=SF₁ und S₁Q₁ = SF. Die geraden Linien l und lv welche sich in die Schnittpunkte V und lx von s mit den Geraden QQ₁ und PPX projizieren, sind in der Ellipsenebene enthalten und werden als Leitlinien der Ellipse bezeichnet.

Es wird nun

P,

''S

4Iff

r Q,

ei

also

Fi

A}\

ft

Fig. 108.

SF=S₁Q₁, 81 = S'l\

SF^ S₁Ql    AtQ,

81 S'V    A/ ’

d. h. das Verhältnis der Abstände des beliebigen Punktes S der Ellipse von dem Brennpunkte F und von der Leitlinie l ist konstant. Indem wir das konstante Verhältnis mit c bezeichnen, haben

wir:

AXF _AF AXF—AF ÄJ ⁼ Al‘    Al ’

wobei die Strecken numerisch gerechnet sind, also

e==*h .

AÄX

Die Zahl e, die immer •< 1, wird als die Exzentrizität der Ellipse bezeichnet.

Es ist klar, daß auch die Abstände SF₁ und Slt das konstante Verhältnis e haben.

F.

Zweiter Fall: s schneidet e und e₁ in zwei Punkten A und Av welche 'verschiedenen Kegelmänteln angehören (Eig. 109). Die Schnittkurve enthält jetzt zwei unendlich ferne Punkte, indem der Kegel zwei Seitenlinien enthält, deren gemeinsame Projektion zu s parallel ist.

AI

Ql

\S

Die Kurve wird eine Hyperbel genannt; sie projiziert sich in die beiden Halbstrahlen, die durch Verlängerung der Strecke AAX entstehen, und besteht daher aus zwei Asten, die beide sich ins unendlich Ferne erstrecken.

pm

e.

Fig. 109.

Bewegt sich ein Punkt S stetig auf der Hyperbel derart, daß sein Abstand OS vom Kegelscheitel und also auch sein Abstand von irgendeinem anderen fest gewählten Punkt E ins Unendliche wächst, dann wird die Richtung OS und somit auch die Richtung ES sich einer Grenzlage nähern, welche einen unendlich fernen Punkt der Hyperbel darstellen muß.

Um die eigentlichen Punkte der Kurve zu untersuchen, stellen wir ganz ähnliche Überlegungen an wie im vorigen Palle: Wir zeichnen die beiden Kreise, die e, ex und s berühren und ihre Mittelpunkte auf a haben. Die vier Halbstrahlen, die durch Verlängerung der Strecken PQ und PlQ₁ entstehen, werden von den Punkten erfüllt, deren Tangentialentfernungen von den beiden Kreisen die konstante Differenz PQ haben. Die von den genannten Halbstrahlen durch Drehung um a beschriebenen Teile der Kegelfläche werden also alle Punkte im Raum enthalten, deren Tangentialentfernungen von den beiden von den Kreisen beschriebenen Kugeln dieselbe konstante Differenz haben. Die gesuchte Kurve wird daher, was ihre eigentlichen Punkte anbetrifft, der Ort aller Punkte ihrer Ebene, deren Abstände von den festen Punkten FFX die konstante Differenz PQ = AAX haben. F und Fx heißen die Brennpunkte der Hyperbel, A und Ax ihre Scheitel; die Symmetrieachse AAX heißt ihre Hauptachse (bisweilen wird auch die Länge AAX Hauptachse genannt). Die Mittelsenkrechte von FFX (und AA^) ist auch eine Symmetrieachse der Kurve und wird die Nebenachse genannt.

Die Exzentrizität

wird hier >> 1.

Die Leitlinien l und lx werden ganz wie bei der Ellipse bestimmt und die entsprechende Eigenschaft aufgestellt und bewiesen. FF,

AAt

Es ist leicht zu zeigen, daß in einer gegebenen Ebene eine

Hyperbel dadurch bestimmt werden kann, daß zwei beliebig gewählte (verschiedene) Punkte F, Fx ihre Brennpunkte sein sollen, während die Hauptachse AAX eine beliebig vorgeschriebene Länge (<X FF^) hat.

'F

'ei

'S

fs'

'St

Mg. 110.

Dritter Fall: s schneidet e in dem Punkte A und ist zu ex parallel (Fig. 110). Die Kurve hat einen und nur einen unendlich fernen Punkt, der in der gemeinsamen Richtung von s und ex liegt. Die ganze Kurve projiziert sich in einen Halbstrahl von s und wird eine Parabel genannt.

Um ihre eigentlichen Punkte zu untersuchen, zeichnen wir den die Geraden e, ex, s berührenden Kreis, dessen Mittelpunkt auf a liegt. Die Berührungspunkte seien P, Px und F. Durch Drehung um a beschreibt der Kreis eine Kugel, welche den Kegel in einem Kreis mit dem Durchmesser PPX berührt. Diese Kugel berührt die Schnittebene im Punkte F. Wir betrachten nun die Gerade l, deren Projektion auf die Zeichenebene nach dem Schnittpunkt X von s mit PPX fällt. Diese Gerade liegt in der Schnittebene und ist senkrecht zu s. Wird nun S durch Drehung um a

in die Lage <Sj auf ex kerumgedreht (S'S₁ _L a), so werden die Tangentialentfernungen der beiden Punkte S und &\ von der Kugel gleich groß und es wird SF — SXPX", es ist aber S₁P₁ = S'l' = Sl} also wird SF — Sl, d. b. ein beliebiger Punkt der Schnittkurve ist von F und l gleich weit entfernt. Umgekehrt muß jeder Punkt der Schnittebene, welcher gleich weit von F und l entfernt ist, auch zur Schnittkurve gehören.

F wird der Brennpunkt der Parabel genannt, l ihre Leitlinie, s ihre Achse und A ihr Scheitel.

Es ist sehr einfach zu zeigen, daß eine Parabel dadurch bestimmt werden kann, daß ein beliebig gewählter Punkt F ihr Brennpunkt, und eine beliebig angenommene Gerade Z, die nicht durch F geht, ihre Leitlinie sein soll.

\fc

118.    Tangente an einen Kegelschnitt heißt eine gerade Linie, die in der Ebene des Kegelschnittes liegt und nur einen Punkt P (den Berührungspunkt) mit dem Kegelschnitt gemein hat. Die Tangente muß also in der Tangentialebene des Kegels längs der Seitenlinie, die durch den betrachteten Punkt P der Kurve geht, liegen; sie ist somit die Grenzlage einer geraden Linie, welche P mit einem anderen gegen P konvergierenden Kurvenpunkt verbindet. Ist der Berührungspunkt unendlich fern, so heißt die Tangente eine Asymptote. Die Hyperbel hat also zwei Asymptoten; in diesen wird die Schnittebene von den Tangentialebenen des Kegels längs den zwei Seitenlinien, die zur Schnittebene parallel sind, getroffen. Jede der Asymptoten ist also Grenzlage einer Tangente, deren Berührungspunkt sich ins Unendliche entfernt. Da die Parabel nur einen unendlich fernen Punkt besitzt, hat sie auch nur eine Asymptote, aber diese ist unendlich fern, da die Tangentialebene längs der Seitenlinie ex (s. Fig. 110), die der Schnittebene parallel ist, diese in einer unendlich fernen Linie schneidet. Die Parabel berührt also die unendlich ferne Linie ihrer Ebene, und der Berührungspunkt wird durch die Richtung der Symmetrieachse s dargestellt.

\\

Fi

119.    Wenn man für einen beliebigen Punkt S einer Ellipse (Fig. 111) den einen Brennstrahl FtS um ein Stück SK gleich dem anderen Brennstrahl SF über S hinaus verlängert, so erhält man die Strecke FXK, deren Länge gleich der großen Achse ist.

Zeichnet man also den Kreis k mit dem Mittelpunkt Fi, dessen Radius gleich der großen Achse ist, so kann man die Ellipse dadurch charakterisieren, daß ihre Punkte alle gleich weit von F und Je abstehen. Wir nennen Je den zu F gehörenden LeitJereis. F liegt innerhalb Je.

Auf dieselbe Weise kann man bei der Hyperbel zu dem einen Brennpunkt F einen LeitJereis Je um F₁ beschreiben (Eig. 112),

dessen Radius der Hauptachse der Hyperbel gleich ist. Die Hyperbel wird dann, was ihre eigentlichen Punkte anbetrifft, der Ort aller Punkte der Ebene, die von F und Je gleich weit abstehen¹). F liegt jetzt außerhalb Je.

Wählt man einen Punkt K auf dem Kreise Je, so findet man den entsprechenden Punkt S der Hyperbel, indem man die Gerade mit der Mittelsenkrechten t zu JO¹ zum Schnitt bringt. Nähert sich K einem der Berührungspunkte TJ und V der beiden von F aus an den Kreis Je gelegten Tangenten, so rückt S in unendliche Entfernung, und die Richtungen FJJ und F^ V bestimmen somit nach 117 die beiden unendlich fernen Punkte der

FA

ü;

>%

"k\

■—"V\

Fig. 112.

't

--'F

Hyperbel.

Endlich wird man auch die Parabel in ähnlicher Weise er

zeugen können, indem der Leitkreis unendlich groß und mit der Leitlinie der Parabel zusammenfallend angenommen wird.

120.    Die gewonnenen Resultate sind sehr wichtig, wenn wir die Schnittpunkte eines Kegelschnittes mit einen' beliebigen gezeichnet vorliegenden Kurve bestimmen sollen. Man zeichnet dann den Leitkreis k, und durch Probieren mit dem Stechzirkel bestimmt man leicht die Punkte auf der gezeichneten Kurve, welche gleich weit von F und Je abstehen.

121.    Die Tangente im Punkte S läßt sich auch leicht gewinnen mit Hilfe der eben besprochenen Tatsachen. Es gilt nämlich in allen Fällen der Satz: Die Tangente t eines eigentlichen

1) Als Abstand eines Punktes von einem Kreise wird hier entweder der größte oder der kleinste Abstand von einem Kreispunkte bezeichnet.

Punktes S halbiert den Winkel zwischen den beiden gleich großen Abständen des Berührungspunktes S von dem Brennpunkt F und dem Leiikreis k.

Um dies zu zeigen, braucht man nur zu bemerken, daß kein anderer eigentlicher Punkt P als 8 auf der genannten Halbierungslinie dem Kegelschnitt angehören kann (s.Fig. lll). Es wird nämlich PK = PP\ und PAT kann nicht dem Abstande des Punktes P von dem Kreise gleich sein. Daß ferner die Halbierungslinie t keinen unendlich fernen Punkt mit der Kurve gemein hat, folgt für die Parabel einfach daraus, daß sie zur Achse der Parabel niemals parallel ist, und für die Hyperbel aus der oben angeführten Konstruktion der unendlich fernen Punkte der Hyperbel (119). Hierdurch ist der Satz vollständig bewiesen.

Wenn für die Hyperbel ein Punkt $ in unendliche Entfernung rückt (s. Fig. 112), so nähert sich die Tangente t in S der entsprechenden Asymptote (118). Die beiden Asymptoten sind also die Mittelsenkrechten der Strecken FTJ und FV. Sie gehen somit durch den Mittelpunkt von FF1: d. h. durch das Zentrum der Hyperbel.

122. Aus der angegebenen Tangentenkonstruktion schließt man nun weiter:

Die Gegenpunkte K des Brennpunktes F in bezug auf die verschiedenen Tangenten des Kegelschnittes liegen immer auf dem Leitkreis k.

Und: Die Projektionen von F auf die Tangenten des Kegelschnittes fallen auf den Kreis über der großen Achse (der Hauptachse) als Durchmesser.

Für die Parabel lautet jedoch der letzte Satz:

/t

8/

Die Projektionen von F auf die Tangenten der Parabel erfüllen eine zur Leitlinie k parallele Gerade, die gleich weit von F und k entfernt ist. Diese Gerade wird leicht als K'

's.

Scheiteltangente d. Parabel erkannt.

123. Für die Ellipse und Hyperbel läuft die in 121 genannte Tangentenbestimmung darauf hinaus, daß die Tangente den äußeren bzw. inneren Winkel der Brennstrahlen halbiert. Für die Parabel sei nur noch bemerkt, daß man, wenn der Brennpunkt F und die

Leitlinie h gegeben sind (Fig. 113), den beliebigen Punkt S der Parabel mit der zugehörigen Tangente t konstruieren kann, wenn man K beliebig auf Je annimmt, die Mittelsenkrechte t von FK konstruiert und den Schnittpunkt S von t mit dem auf Je in K errichteten Lot bestimmt.

Die Normale in S ist zu FK parallel und schneidet die Achse der Parabel in einem Punkte N derart, daß SN # KF wird. Die Projektion von SN auf die Achse wird Subnormale genannt. Diese Subnormale ist also gleich dem Abstand der Leitlinie von dem Brennpunkt.

Dieser Abstand wird als der Parameter der Parabel bezeichnet.

Allgemeine Eigenschaften der Kegelschnitte.

124.    Jeder KegelscJmitt Jcann durcJi Zentralprojektion aus . einem Kreis erzeugt werden.

Ein ebener Schnitt eines Rotationskegels ist nämlich die Zentralprojektion jedes Kreises auf dem Kegel für die Spitze des Kegels als Projektionszentrum. Ein Punkt des Kreises samt der zugehörigen Tangente wird in einen Punkt des Kegelschnittes samt der zugehörigen Tangente projiziert. Eine gerade Linie, die den Kreis in zwei Punkten schneidet, wird in eine gerade Linie projiziert, die den Kegelschnitt in zwei Punkten schneidet. Ein Punkt innerhalb (außerhalb) des Kegelschnittes ist ein solcher, der bei der Projektion aus einem Punkt innerhalb (außerhalb) des Kreises entsteht. Yon jedem Punkt außerhalb des Kegelschnittes können also zwei Tangenten an die Kurve gezogen werden, während durch einen Punkt innerhalb des Kegelschnittes keine Tangente geht.

Manche der in dem fünften Kapitel auseinandergesetzten Eigenschaften des Kreises können nun sofort auf einen beliebigen Kegelschnitt übertragen werden, indem man diesen als die Zentralprojektion eines Kreises betrachtet. Wir nennen zuerst und vor allem die Sätze von Pascal und Brianchon.

125.    Pascalscher Satz: Bei einem beliebigen, einem Kegelschnitt einbeschriebenen Sechseclc liegen die Schnittpunkte gegenüberliegender Seiten auf einer geraden Linie (PascalscJien Geraden).

Der Satz gilt auch für solche Sechsecke, bei denen zwei aufeinanderfolgende Ecken in einem Punkt zusammenfallen, indem dann die Tangente in diesem Punkt als eine Seite des Sechsecks betrachtet wird. Dieses kann in demselben Sechseck bis zu dreimal eintreten. Der Beweis für den Satz folgt sofort aus dem bereits bewiesenen analogen Satz für den Kreis (96), indem man

den Kegelschnitt durch Zentralprojektion aus dem Kreis hervorgehen läßt.

126. Anwendungen des Pascal-schen Satzes:

1. Kennt man fünf Punkte A, B, C,

I). E eines Kegelschnittes, so kann man den unbekannten Schnittpunkt F des Kegelschnittes mit einer willkürlich gegebenen Linie 1 durch A finden (Fig. 114).

Man benützt 1 als Seite in einem einbeschriebenen Sechseck, dessen Ecken M,

B, (7, Z>, E und F sind. Man kennt die fünf Seiten 1, 2, 3, 4 und 5 und soll die Seite 6 finden. Dies geschieht, indem man die Schnittpunkte (l, 4) und (2, 5) durch die Linie p verbindet und durch deren Schnittpunkt mit 3 die Gerade nach E zieht. Dies ist die Seite 6, und 6 und 1 schneiden sich in dem gesuchten Punkt F.

Läßt man 1 sich um A drehen, so durchläuft F den Kegelschnitt.

Ein Kegelschnitt ist also vollständig bestimmt durch fünf Punkte oder durch vier Punkte und die Tangente in einem oder durch drei Punkte und die Tan

/■2

ß\

5.

zt

A/

\    ! \E

\ P'\ A

\j «M

Fig. 114.

\6

p AP

■ '3

!/\

genten in zweien von ihnen. Der letzte Fall ist in Fig. 115 behandelt, wo A, B und C die drei gegebenen Punkte sind. Die gegebenen Tangenten in A und B sind mit 5 und 2 bezeichnet. Durch B ist eine Linie 1 gezogen, deren zweiter Schnittpunkt D mit dem Kegelschnitt bestimmt wird, indem man den Schnittpunkt Mx 1 und A C (d. h. 4) mit dem

Fig. 115.

von

Schnittpunkt von 2 und 5 durch die Linie p verbindet und aus A die Linie 6 nach dem Schnitt-

,-"6

K:.

punkt M von p und B C (d. h. 3) zieht; 6 und 1 schneiden sich dann in dem gesuchten Punkt D.

2. Von einem Kegelschnitt kennt man fünf Punkte A,B, C,T)

*<r.

-4

und E. Die Tangente in A zu finden (Fig. 116). Das einbeschriebene Sechseck AAJBCDE habe die Seiten 1, 2, 3, 4, 5 und 6, von denen 1 die unbekannte Tangente ist. Die Pascalsche Linie p, die (3, 6) und (2, 5) verbindet, schneidet 4 in einem Punkt, dessen Verbindungslinie mit A die gesuchte Tangente liefert.

127.    Brianchonscher Satz: Bei einem beliebigen, einem Kegelschnitt umschriebenen Sechsech gehen die Verbindungslinien gegenüberliegender Ecken durch denselben Punkt (Brianchonschen Punkt).

Der Satz gilt auch, wenn die aufeinanderfolgenden Seiten in eine Linie zusammenfallen, indem man den Berührungspunkt dieser Linie als eine Ecke des Sechsecks ansieht. Der Satz wird genau ebenso wie der Pascalsche Satz bewiesen.

128.    Anwendungen des Brianchonschen Satzes:

1. Man kennt fünf Tangenten a, b, c, d und e eines Kegelschnittes. Durch einen gegebenen Punkt 1 auf a soll die zweite

d.

5r

ßk'

'b

Fig. 117.

Tangente f gelegt werden (Fig. 117). Die sechs Tangenten werden als die Seiten eines umschriebenen Sechseckes angesehen, von weichem man fünf 3 Ecken 1, 2, 3, 4 und 5 kennt und weiß, daß die Ecke 6 auf e liegen muß. Die Linien 1 4 und 2 5 schneiden einander in dem Brianchonschen Punkt. Die Verbindungslinie von diesem und 3 trifft e in 6. 16 ist dann die gesuchte Tangente.

Aus der Konstruktion geht hervor, daß ein Kegelschnitt vollständig bestimmt ist durch fünf seiner Tangenten oder auch durch vier Tangenten und den Berührungspunkt einer von diesen oder durch drei Tangenten und die Berührungspunkte zweier von ihnen.

d,

c'

>b

6    1 a 2

Fig. 118.

2. Man kennt fünf Tangenten a, b, c, d und e eines Kegelschnittes. Den Berührungspunkt von a zu finden (Fig. 118). a wird als zwei zusammenfallende Seiten in ^ einem umschriebenen Sechseck angesehen, dessen übrige Seiten b, c, d und e sind. Der unbekannte Berührungspunkt 1 wird dann eine Ecke des Sechseckes. Die übrigen Ecken seien der Reihe nach 2, 3, 4, 5 und 6. Man verbindet dann 4 mit dem Schnittpunkt von 2 5 und 3 6, diese Linie schneidet den gesuchten Punkt 1 aus.

129.    Satz vom umschriebenen Viereck: In einem beliebigen, einem Kegelschnitt umschriebenen Viereck gehen die Diagonalen und die Verbindungslinien der Berührungspunkte gegenüberliegender Seiten durch denselben Punkt (Fig. 119).

Fig. 119.

Denn in dem Sechseck 1 2 3 4 5 6, das durch das Viereck zusammen mit den Berührungspunkten zweier gegen- 6 üherliegender Seiten gebildet wird, schneiden sich die Linien 14, 2 5 und 3 6 in einem Punkt, und durch diesen Punkt muß aus dem gleichen Grunde auch die Verbindungslinie der Berührungspunkte der beiden anderen einander gegenüberliegenden Seiten hindurchgehen. Kennt man also drei Tangenten a, b und c mit den Berührungspunkten A, B und 0, so kann man eine beliebige neue Tangente d und ihren Berührungspunkt D finden (Fig.

bl

k:

120), indem man einen Punkt 0 auf AC annimmt, ihn mit dem Schnittpunkt P von a und b und mit dem Schnittpunkt Q von b und c verbindet.

Kg. 120.

Die Schnittpunkte P₁ und Qx dieser Verbindungslinien mit c und a liefern durch ihre Verbindungslinie eine neue Tangente des Kegelschnittes, deren Berührungspunkt auf der Geraden B 0 liegt.

130.    Da zwei harmonische Punktepaare bei der Zentralprojektion wieder zwei harmonische Punktepaare liefern, so können die Hauptsätze über Pol und Polare für den Kreis sofort auf einen beliebigen Kegelschnitt übertragen werden.

1. Zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene des Kegelschnittes (aber nicht auf dem Kegelschnitt selbst) gehört eine bestimmte Polare, deren Punkte Px zu P bezüglich der Schnittpunkte des Kegelschnittes mit einer geraden Linie durch P harmonisch sind. Betrachtet man zugleich jede Tangente als die Polare ihres Berührungspunktes, so bekommt jeder Punkt in der Ebene des Kegelschnittes eine bestimmte Polare, ebenso wie auch jede gerade Linie in der Ebene einen bestimmten Pol besitzt.

Wenn ein Punkt auf der Polare eines anderen Punktes liegt, so liegt dieser andere Punkt auch auf der Polare des ersten Punktes. Die beiden Punkte heißen dann konjugiert. Zwei gerade Linien heißen konjugiert, wenn die eine durch den Pol der anderen geht. — Wenn ein. Punkt eine gerade Punktreihe durchläuft, so beschreibt seine Polare einen Strahlenbüschel, der zu der Punktreihe projektiv ist.

Ist der Kegelschnitt eine Ellipse oder Hyperbel, so wird der Pol der unendlich fernen Linie ein eigentlicher Punkt, der Mittelpunkt des Kegelschnittes. Die Polare eines unendlich fernen Punktes, der nicht auf dem Kegelschnitt liegt, wird ein Durchmesser, a. h. eine Linie, welche die Mittelpunkte aller in der Richtung nach dem Punkte hin gezogenen Sehnen enthält. Alle Durchmesser gehen durch den Mittelpunkt. Die Polare eines unendlich fernen Punktes auf dem Kegelschnitt wird eine Asymptote.

Ist der Kegelschnitt eine Parabel, so wird die unendlich ferne Linie eine Tangente von ihm. Ihr Pol fällt dann in den unendlich fernen Punkt der Parabel. Die Polare für jeden anderen unendlich fernen Punkt wird ein Durchmesser. Alle Durchmesser sind parallel und laufen nach dem unendlich fernen Punkt der Parabel hin. Der Durchmesser, der die Polare des unendlich fernen Punktes in der Richtung senkrecht zu den Durchmessern ist, ist die Achse der Parabel.

2.    Die früher gefundene Konstruktion für die Polare eines Punktes bezüglich eines Kreises kann direkt auf einen beliebigen Kegelschnitt übertragen werden. In einem beliebigen, einem Kegelschnitt einbeschriebenen vollständigen Viereck ist also jeder Diagonalpunkt der Pol für die Verbindungslinie der beiden anderen Diagonalpunkte. Die Diagonalpunkte sind deshalb paarweise konjugiert.

Aus Pig. 115 können wir durch Betrachtung des vollständigen Vierecks AB CD folgende Konstruktion für die konjugierten Punkte bezüglich eines Kegelschnittes ableiten: Wenn man aus zwei Punkten A und B des Kegelschnittes einen dritten Punkt C des Kegelschnittes auf eine Linie p projiziert, die der Verbindungslinie der Punkte A und B konjugiert ist (sie geht nämlich durch den Pol von AB), so erhält man ein Paar konjugierter Punkte Jf, Mv

3.    Satz über konjugierte Punktepaare: Die konjugierten Punktepaare auf einer geraden Linie, die keine Tangente des Kegelschnittes ist, bilden eine Involution. Wenn die Linie den Kegelschnitt schneidet, so sind die Schnittpunkte Doppelpunkte der Involution, Dieser Satz, der aus dem entsprechenden Satz für den Kreis (l 11) sofort abgeleitet werden kann, wird benutzt, um die Schnittpunkte einer geraden Linie mit dem Kegelschnitt zu finden, indem man auf der Linie die Involution der bezüglich des Kegelschnittes konjugierten Punkte bestimmt. Hat man zwei Paare konjugierter Punkte AAX und BB₁ gefunden, so können die Doppelpunkte nach der früher angegebenen Methode (102) konstruiert werden.

4. Konjugierte Strahlenpaare, die durch einen nicht auf dem Kegelschnitt liegenden Punkt hindurchgehen, bilden einen involu-torischen Strahlenbüschel. Hat der Büschel Doppelstrahlen, so sind diese Tangenten des Kegelschnittes (112). Bei der Ellipse und der Hyperbel kann man von konjugierten Strahlen durch den Mittelpunkt (konjugierten Durchmessern) sprechen. Diese bilden sonach einen involutorischen Strahlenbüschel. Ist der Kegelschnitt eine Hyperbel, so sind die Asymptoten Doppelstrahlen dieses Büschels. Jedes Paar konjugierter Durchmesser ist dann mit den Asymptoten harmonisch verbunden. Ist der Kegelschnitt eine Ellipse, so finden sieb in dem Büschel keine Doppelstrahlen. Ellipse und Hyperbel besitzen ein Paar konjugierter Durchmesser, die aufeinander senkrecht sind; diese Durchmesser sind die Achsen des Kegelschnittes.

Die Ellipse.

/ ..r

131. Wir haben früher (21) gezeigt, wie man eine Ellipse mit den Halbachsen OA und OB mit Hilfe von zwei Kreisen mit dem Mittelpunkt 0 und den Radien OA und OB konstruieren kann (Fig. 121). Ein beliebiger Strahl durch 0 schneide die beiden Kreise in P₁ und P₂; durch P₂ zieht man die Parallele zu OA und durch P₁ die Parallele zu OB, diese beiden Paralle- f len schneiden sich in einem ^

Q,

Punkte P der Ellipse. P und \\

......

Fig. 121.

Px sind entsprechende Punkte in einer Perspektiven Affinität mit der Affinitätsachse OA, und die Ellipse wird durch diese Affinität aus dem größten der beiden erwähnten Kreise abgeleitet.

Zwei konjugierte Durchmesser der Ellipse entsprechen hierbei zwei zueinander senkrechten Durchmessern des Kreises.

In der Figur ist 0Q± _L 0Pt; OQ und OP sind dann ein Paar konjugierter Halbmesser der Ellipse. Dreht man nun die Figur OQ2Q1Q um einen rechten Winkel herum, so daß Q₁ nach Pv Q2 nach P₂ fällt, dann gelangt Q in eine solche Lage R, daß P₁R Jj OA, P₂R || OB und OR _L OQ wird. Schneidet nun PR die Achsen OA und OB der Ellipse in X und Y, so liegt der Mittelpunkt M des Rechtecks RP₁PP₂ in der Mitte zwischen X und Y. Da XP — 0P₂ = OB, XR = 0PX = OA, finden wir folgende Konstruktion für die Achsen der Ellipse, wenn ein Paar konjugierter Halbmesser OQ und OP gegeben ist: OQ dreht man um einen rechten Winkel in die Lage OR, auf PR trägt man vom Mittelpunkt M aus MX = MY = MO ab, dann werden 0X und 0 Y die Achsenlinien und die Längen der Halbachsen gleich XP und XR oder YP. Man beachte, daß die große Achse immer in dem spitzen Winkel zwischen den gegebenen Durchmessern liegt.

132. Wenn eine Strecke XY von konstanter Länge mit ihren Endpunkten auf zwei zueinander senkrechten Achsen x und y gleitet,

r'-;;

v'

/ r-

ix

Fig. 122.

so beschreibt ein beliebiger Punkt P auf der IAnie XY eine Ellipse, deren Halbachsen die Längen PX und P Y haben. Die Achsenlinien der Ellipse sind x und y. Man k erkennt dies sofort aus der ! vorigen Figur, wenn man nur ! bedenkt, daß die Strecke XY, die ja gleich der Summe der / Halbachsenist, eine konstante Länge haben muß.¹) Läßtman umgekehrt X, Y und P feste Punkte sein, während der rechte Winkel xy sich so bewegt, daß seine Schenkel immer durch die Punkte X und Y hindurchgehen, so werden die Punkte der Ebene von xy, die nacheinander durch P hindurchgehen, eine Ellipse erfüllen. Dies wird in der Praxis beim sogenannten Ovalwerk²) benutzt, d. h. bei der Vorrichtung, die mit Hilfe einer Drehbank einen Körper so zu ge-

1)    Der Fall, wo P auf der Verlängerung von XY liegt, wird berücksichtigt, indem man in der Figur den Punkt Ps in die diametral gegenüberliegende Lage überführt.

2)    Vgl. z. B. F. Reuleaux, Lehrbuch der Kinematik, Braunschweig 1875, S. 316 und S. 336.

stalten erlaubt, daß seine Querschnitte Ellipsen werden (vgl. Fig. 122). Der Körper wird an einem Schlitten S befestigt, dessen Symmetrielinien x und y gezwungen sind, durch die Punkte X und Y hindurchzugehen. Dies geschieht, indem der Schlitten zwischen zwei Kulissen auf einer um X rotierenden Scheibe gleitet, während gleichzeitig zwei Arme, die vom Schlitten ausgehen, um eine Scheibe mit dem festen Zentrum Y greifen, so daß die Linien l auf dem Schlitten gezwungen werden, den Kreis k beständig zu berühren.

Hält man nun den Stahl am Punkt P fest, so werden die Punkte des Körpers, die nacheinander den Stahl passieren, auf einer Ellipse liegen.

ib

IM..--"

133.    Zur Konstruktion der Punkte und Tangenten einer Ellipse, von der ein Paar konjugierter Durchmesser AB und CD gegeben ist, benutzt man den Satz vom umschriebenen Viereck (129), indem man die Tangenten a, b und c in A, B und C für die drei ersten Seiten und eine beliebige neue Tan- . gente t für die vierte Seite in einem -umschriebenen Viereck 12 34 wählt 4/X (Fig. 123). Auf AC nimmt man f einen Punkt JA an; 1JA schneide c i......

Mg. 123.

in 3 und 2 JA schneide a in 4.

3 4 ist dann die gesuchte Tangente t. Ihr Berührungspunkt T liegt auf BM.

Di

Aus dieser Konstruktion folgt, daß eine Ellipse bei einer beliebigen Parallelprojektion, bei welcher die Ebene der Ellipse nicht von Projektionsstrahlen erfüllt wird, in eine neue Ellipse projiziert wird. T und t werden nämlich als Punkt und Tangente der Ellipse projiziert, für welche die Projektionen von AB und CD ein Paar konjugierter Durchmesser sind.

VZ> X

■M

Auf dieselbe Weise sieht man, daß das affin Perspektive Bild einer Ellipse wieder eine Ellipse ist.

M₀ 70

Mg. 124.

ZU

134.    Sucht man das affin Perspektive Bild eines Kreises, indem man für die Affinitätsachse einen Kreisdurchmesser J AB wählt, so kann man folgende Konstruktion anwenden (Fig. 124). Der AB senkrechte Kreishalbmesser 0DX gehe in OD über, dann lege man an eine beliebige Ordinate J/₀ JA-^ des Kreises das zu ODtD ähnliche Dreieck M₀M^M an, so werden die

Punkte M die entstehende Ellipse erfüllen. Yon dieser Ellipse sind OB und OB zwei konjugierte Halbmesser.

Auf solche Weise kann man manche Aufgaben über Ellipsen in Aufgaben über Kreise verwandeln. So kann man die Schnittpunkte der Ellipse mit einer geraden Linie l bestimmen, indem man die Schnittpunkte des entsprechenden Kreises mit der entsprechenden Linie lx sucht.

135. Eine andere Perspektive Affinität, bei welcher die Ellipse einem Kreise entspricht, zeigt Fig. 125. AB und CB

j>

's

io

Fig. 125.

/p

A,

sind konjugierte Durchmesser der Ellipse. Der Kreis \ ist so gezeichnet, daß er die Ellipse in A berührt und den Radius AOx = OC besitzt. Dieser Kreis entspricht der Ellipse in einer Perspektiven Affinität, von welcher die gemeinsame Tangente p in A die Achse und 0, Ox zwei homologe Punkte sind, denn in dieser Affinität muß die gegebene Ellipse einer anderen Ellipse entsprechen, welche die konjugierten Halbmesser 0XA (als OA entsprechend) und OlC₁ (als OC entsprechend), wobei OxCt # 0(7, besitzt, aber diese neue Ellipse fällt mit dem Kreis vtj zusammen. Diese affine Transformation kann auf dieselbe Weise wie die vorige verwendet werden. In der Figur ist z. B. ein Schnittpunkt M der Ellipse mit der Durchmesserlinie OP bestimmt, indem durch den Schnittpunkt der entsprechenden Linie 0XP mit kt die Linie MXM parallel zu Ox 0 gezogen ist. Zugleich ist der zu OM konjugierte Halbmesser ON dadurch bestimmt worden, daß der entsprechende Radius 0XNX des Kreises senkrecht zu 0₁JT₁ wird.

136. Wenn eine Ellipse e so parallel projiziert wird, daß ihre Ebene von Projektionsstrahlen erfüllt ist, dann wird ihre Projektion eine gerade Strecke. Wir wollen zeigen, wie man die

Endpunkte dieser Strecke findet, wenn die Projektionen 0‘Ä und O'JB' von zwei konjugierten Halbmessern der Ellipse gegeben sind (Fig. 126).

Der Kreis 7c' mit dem Mittelpunkt 0' und dem Radius OB' werde als Projektion einer Ellipse 7c angesehen, die den Halbmesser OB mit e gemein hat und nicht mit e in einer Ebene liegt. 7c und e sind im Raume die Parallelprojek- M tionen voneinander für die Projektionsrichtung AA₁, wobei Ax dadurch bestimmt ist, daß 0AX und OB konjugierte Halbmesser von 7c sind. Da so O'Af und O B' konjugierte Durchmesser von 7c' werden, muß 0'A\ senkrecht auf OB' sein. Ziehen wir also gerade Linien von allen Punkten auf k' par- qI-1 allel zu AfA', so schneiden diese Linien A'B' in den Projektionen der Punkte von e. Den einen Endpunkt M von der Projektion der Ellipse erhält man also, indem man die Tangente MN an k' parallel zu A'Af zieht. Nun sind aber die rechtwinkligen Dreiecke O'NM und A[0'Ä kongruent, da O'Af = 0'N und -^M — ^fA', mithin ist 0'M = A₁'A'. Die Hälfte der gesuchten Strecke findet man also als Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, von welchem die Projektionen 0' Ä und O B' der beiden konjugierten Halbmesser die Katheten sind.

137. Der Kreis ist die einzige Ellipse, bei welcher alle konjugierten Durchmesser aufeinander senkrecht sind.

Wenn zwei Ellipsen so beschaffen sind, daß jedes Paar konjugierter Durchmesser in der einen parallel zu einem Paar konjugierter Durchmesser in der andern ist, so sind die Ellipsen ähnlich und in ähnlicher Lage. Projiziert man sie nämlich auf eine Ebene so, daß die Projektion der einen Ellipse ein Kreis wird, so muß auch die Projektion der anderen Ellipse ein Kreis werden. Den Satz kann man auch so ausdrücken: Zwei Ellipsen, welche dieselben unendlich fernen konjugierten Punktepaare besitzen, sind ähnlich und in ähnlicher Lage.

\\N

<\

L.

B’

Sic

Fig. 126.

Die Parabel.

138. Konstruktion einer Parabel, von welcher zivei eigentliche Punkte A und B, die Tangente a in A und ein Durchmesser AU gegeben sind (Eig. 127).

Man sucht den zu B bezüglich a symmetrischen Punkt Bv außerdem die Projektion B₂ von B auf AU. Die Mittelsenkrechte

von BXB% schneide ATJ in einem Punkt M. Dann ist die Linie l, die in M senkrecht auf A TJ errichtet wird, die Leitlinie und der

zu M bezüglich a symmetrische Punkt F der Brennpunkt für eine Parabel, welche die gegebenen Bedingungen erfüllt.

Die Parabel ist nämlich dadurch charakterisiert, daß die Abstände jedes ihrer Punkte von der Leitlinie und vom Brennpunkt gleich werden. Der Abstand des Punktes B von l ist aber MB₂ = MB₁ = FB. Die Parabel geht also durch B. Daß sie a in A berührt, geht unmittelbar aus der Konstruktion hervor. Die Konstruktion liefert nur eine Lösung und kann immer durchgeführt werden, wenn die Linien a, AB und A TJ verschieden sind.

Die Tangente in B kann man finden, indem man den Pol P AB sucht (Fig. 128). P ist der Schnittpunkt von a und der Polare c des unendlich fernen Punktes auf AB. Aber diese Polare ist der

von

}B

/C'

B₂

*ü

Fig. 127.

Durchmesser, der die Sehnen von der Richtung A P halbiert, und ist deshalb durch den Mittelpun kt C von AP parallel zu AU zu ziehen. Die gesuchte Tangente b ist dann PP. Man sieht hieraus, daß man immer eine Parabel bestimmen kann, die zwei gegebene nicht parallele Linien a und b in gegebenen (eigentlichen) Punkten A und B berührt, von denen keiner in den Schnittpunkt von a und b hineinfällt.

139. Konstruktion der Punkte und Tangenten einer Parabel, zwei Tangenten a und b mit den Berührungspunkten A und

P,

s"C

Fig. 128.

wenn

B gegeben sind (Fig. 129).

Man wende den Satz vom umschriebenen Viereck an. a und b bilden das eine Paar gegenüberliegender Seiten, die unendlich ferne Linie und die gesuchte Tangente t das andere Seitenpaar in dem Viereck 12 34. Auf AP wird ein Punkt M angenommen. Die Linien Ml und il/2, d. h. die Parallelen durch M zu a und b bestimmen 3 und 4. 3 4 ist die gesuchte Tangente t und ihr Berührungspunkt T liegt auf der Verbindungslinie von M mit dem

unendlich fernen Punkt TJ der Parabel. Diese Verbindungslinie ist also parallel zu der Linie, die den Schnittpunkt von a und b mit dem Mittelpunkt der Strecke AB verbindet.

4,

:/m

TI

Fig. 129.

Die angegebene Konstruktion zeigt, daß die Parallelprojektion einer Parabel eine neue Parabel ist, wenn ihre Ebene nicht von Projektionsstrahlen erfüllt wird. T und t werden nämlich projiziert als Punkt und Tangente der Parabel, welche die Projektionen von a und b in den Projektionen von A und B berührt. Auf ähnliche Weise erkennt man, daß die affine Transformation einer Parabel eine neue Parabel liefert.

140. Konstruktion der Schnittpunkte einer Parabel mit einer geraden Linie.

1. Die Parabel sei gegeben durch die Punkte A und B, die Tangente 5 in A und den Durchmesser AU (Fig. 130). Die gegebene Linie 1 sei selbst ein Durchmesser der Parabel, also zu AU parallel.

iP

-i

6/1

Da die Linie 1 durch den unendlich fernen Punkt TJ der Parabel geht, kann der gesuchte Schnittpunkt C mit Hilfe des Pascalschen Satzes gefunden werden, wenn man diesen auf ein Sechseck anwendet, dessen Seiten 1, 2 (die unendlich ferne Linie),

3 (UB), 4 {BA), 5 und die bekannte Linie 6 (AC) sind. Die Pascalsche Linie p wird durch den Schnittpunkt von 1 und 4 parallel zu 5 gezogen, und 6 kann als die Verbindungslinie von A mit dem Schnittpunkt von 3 und p gefunden werden. Dadurch ist C bestimmt. Verschiebt man .1

Fig. 130-

un-

parallel, so erhält man durch die angegebene Konstruktion eine einfache Bestimmung der Parabel.

2. Die Parabel sei gegeben durch die Tangenten a und b und deren Berührungspunkte A und B. Die gegebene Linie l sei willkürlich, aber kein Durchmesser (Fig. 131).

ai‘y

J a

yX'A

.-■''"An'/?

l.

L\

/~>U

Die Durchmesser durch A und B mögen l in Ax und B₁ schneiden. Die Polaren at und bt dieser Punkte bestimmt man dadurch, daß sie parallel /    \ zu a und b sein sollen

! und die Durchmesser

•\

"X

'C

j durch A und B in solchen Punkten A und B₉ schneiden, daß AAS = AXA, BB₂ = BXB wird. at und bx schneiden einander in dem Pol L von l, und der Durchmesser durch L enthält den Mittelpunkt C der auf l ausgeschnittenen Sehne. C ist der Mittelpunkt der Involution, die von den konjugierten Punkten auf l gebildet werden, und da A} und A\ (der letztere Punkt ist der Schnittpunkt von und l) ein Paar konjugierter Punkte bilden, wird die mittlere Proportionale von CA1 und CA\ gleich dem Abstand des Punktes C von den gesuchten Schnittpunkten X und Y. Die Tangenten in X und Y sind XL und YL. Die Figur zeigt zugleich, wie man von einem gegebenen Punkt L die Tangenten an die Parabel ziehen kann.

TT-

Fig. 131.

Die Hyperbel.

141. Eine Hyperbel kann immer so bestimmt werden, daß sie durch einen ivillkürlich gegebenen (eigentlichen) Punkt A geht und zwei gegebene (eigentliche) nicht parallele Linien a und b (von denen keine durch A geht) zu Asymptoten hat. A, a und b müssen dabei natürlich in derselben Ebene, z. B. der Zeichenebene, liegen.

Beweis: Auf dem Rotationskegel, der durch a und b geht, und dessen Achse den Winkel {ab), der A enthält, halbiert, denkt man sich einen Punkt Ax bestimmt, dessen senkrechte Projektion auf die Zeichenebene A ist. Eine Ebene durch A₁ parallel zur Zeichenebene schneidet nun den Kegel in einer Hyperbel, deren senkrechte Projektion auf die Zeichenebene die angegebenen Bedingungen erfüllt. Daß die Hyperbel eindeutig bestimmt ist, folgt aus dem Pascalschen Satz.

■BC

3.

142. Für eine auf die angeführte Weise gegebene Hyperbel wollen wir auch den zweiten Schnittpunkt F mit einer gegebenen Linie 1, die durch A geht, suchen (Fig.

f'A

132). Wir wenden zu diesem Zwecke den Pascalschen Satz auf das Sechseck ABCDEF an, in dem B und C beide in den unendlich fernen Punkt von a,

[F

D und E in den unendlich fernen Punkt von b fallen. Die Seiten seien 1, 2, 3, 4, 5 und 6, wobei 6 unbekannt ist. Die Pascalsche Linie ist in der Figur mit p bezeichnet.

'PT

Fig. 132.

Aus der Figur sieht man, daß die auf der gegebenen Linie zwischen A und a und zwischen F und b abgeschnittenen Stücke gleich groß sind. Also: Wenn eine gerade Linie eine Hyperbel in zwei Funkten schneidet, so ist der Abstand des einen Punktes vom Schnittpunkt der Linie mit der einen Asymptote gleich und entgegengesetzt gerichtet dem Abstand des anderen Punktes vom Schnittpunkt der Linie mit der anderen Asymptote. Zugleich erkennt man: Her Berührungspunkt einer Tangente liegt in der Mitte zwischen den Schnittpunkten der Tangente mit den Asymptoten.

In Fig. 133, bei der die Hyperbel durch die Asymptoten a und b und den Punkt A bestimmt sein soll, ist auf der Linie AP ein neuer Punkt B der Hyperbel durch die Beziehung BQ = PA bestimmt, und gleichzeitig die Tangente AA2 in A durch die Beziehungen AA± [j a,

Fig. 133.

A₁A₂ — OAv Aus der Konstruktion folgt, daß die Parallelprojektion einer Hyperbel, wenn die Ebene

143. Konstruktion der Scheitelpunkte einer Hyperbel, wenn die Asymptoten a und b und ein ivillkürlicher Punkt M der Hyperbel gegeben sind (Fig. 134). Die Hauptachse der Hyperbel halbiert den Winkel (ab), der M enthält. Projiziert man M aus den unendlich fernen Punkten der Hyperbel auf die Achse, so erhält man zwei konjugierte Punkte P und Pt (130,2), und da der Mittelpunkt 0 dem unendlich fernen Punkt der Achse konjugiert ist, so liefert die mittlere Proportionale von OP und OP₁ die Länge OX= OY der reellen Halbachse; auf diese Weise findet man die

der Hyperbel nicht von Projektionsstrahlen erfüllt wird, eine neue Hyperbel ist. Projiziert man nämlich a, b und A in d, b' und A\ so enthält die Hyperbel, deren Asymptoten a und b' sind und die durch Ä geht, die Projektion B' eines willkürlichen Punktes B der gegebenen Hyperbel. Auf ähnliche Weise erkennt man, daß das affin Perspektive Bild einer Hyperbel wieder eine neue Hyperbel ist.

a.

x_______

Fig. 134.

Scheitelpunkte X und Y. Dasselbe Verfahren kann man auch an wenden, um die Schnittpunkte der Hyperbel mit einem beliebigen Durchmesser zu bestimmen.

144. Konstruktion der Schnittpunkte einer Hyperbel mit einer geraden Linie, die nicht durch den Mittelpunkt der Hyperbel geht. Die Hyperbel sei gegeben durch die Asymptoten a und b und

den Punkt M.

a.

,4m

L,

Fig. 135.

1. Ist die gegebene Linie l der einen Asymptote a parallel (Fig. 135), so schneide eine Linie durch M parallel zu a die Gerade b in M₁ und l schneide b in L. Trägt man dann auf b LLx = 0Jfj ab, so schneidet ML₁ die Linie l in dem gesuchten Punkt N.

2. Hat die gegebene Linie l eine beliebige andere Richtung (Fig. 136), so konstruiere man die Tangente m in M. Eine Linie durch M

parallel zu b schneide l in X; na an trage nun MX₁ = XM auf der Verlängerung von XM ah, dann ist X₁ konjugiert zu X. xv Die Polare X₁X₂ des Punktes X geht durch Xx und gleichzeitig durch den Schnittpunkt von m jjX und 6, denn dieser letzte Punkt ist der Pol von MX. XxX2 schneidet aber l in einem Punkte X₂, der zu X konjugiert ist. Da gleichzeitig der Mittelpunkt G des Stückes von l, das zwischen a und b liegt, auch der Mittelpunkt der auf l ahgeschnittenen Sehne ist, muß C der Mittelpunkt der Involution, welche die konjugierten Punkte auf l bilden, sein, und die mittlere Proportionale von CX und CX₂ muß gleich dem Abstand des Punktes C von den gesuchten Schnittpunkten werden.¹)

Fig. 136.

Perspektive Kegelschnitte.

145. Wir haben gesehen, daß die Parallelprojektion eines gegebenen Kegelschnittes ein neuer Kegelschnitt von der gleichen Art wie der gegebene wird (133, 139, 142). Nur kann in besonderen Pallen die Projektion auch eine gerade Linie oder ein Teil von einer solchen werden.

Insbesondere wird ein Kreis, dessen Ebene nicht von Projektionsstrahlen erfüllt wird, durch Parallelprojektion in eine Ellipse übergeführt. Gleichzeitig folgt unmittelbar aus der Definition der Kegelschnitte (116), daß ein Kreis durch Zentralprojektion aus einem Projektionszentrum, das auf der Achse des Kreises (d. h. dem Lot der Ebene des Kreises in dem Kreismittelpunkt) liegt, in einen Kegelschnitt projiziert wird.

Wir wollen nun beweisen, daß durch Zentralprojehtion eines Kreises, dessen Ebene nicht durch das Projektionszentrum hindurchgeht, immer ein Kegelschnitt entsteht.

Der Kreis k in der Ebene TT werde aus S auf die Ebene X projiziert. Die Projektion des Kreises sei mit s bezeichnet (Fig. 137). Durch Je legen wir einen Rotationskegel mit der Spitze Sv In einer perspektivischen Affinität, die durch die Affinitätsebene TT und die homologen Punkte S und S₁ bestimmt wird, entspricht dem Kegel, der 1c aus S projiziert, der Kegel, der Je aus 8t projiziert. Der Ebene X entspricht eine Ebene X1? die den Rotationskegel in

TT./ ' : k :

\ I i-P

\i,

Fig. 137.

S,

einem Kegelschnitt schneidet, und dieser Kegelschnitt entspricht der Kurve s. Da die Verbindungslinien entsprechender Punkte auf s und st parallel zu 8S₁ sind, ist s eine Parallelprojektion von slf und da st ein Kegelschnitt ist, muß s auch ein Kegelschnitt sein. Wir haben vorausgesetzt, daß die Ebenen X und Xx verschieden sind. Aber wenn X und Xj zusammenfallen, so werden s und einander in einer ebenen perspektivischen Affinität entsprechen, woraus man wieder sieht, daß s ein Kegelschnitt ist. Da man immer durch einen beliebigen Kegelschnitt einen Rotationskegel legen kann, kann man auf diese Weise auch nachweisen, daß die Zentralprojektion eines Kegelschnittes iviecler einen Kegelschnitt liefert.

146.    In einer ebenen Pcrspektivität entspricht jedem Kegelschnitt Je ein neuer Kegelschnitt Je. Denn die beiden entsprechenden Kurven Je und Je kann man als die Projektion von zwei Perspektiven ebenen Kurven in verschiedenen Ebenen ansehen, von denen die eine ein Kegelschnitt ist und deshalb die andere auch ein Kegelschnitt sein muß. Pol und Polare bezüglich Je entsprechen Pol und Polare bezüglich Je'.

Man beweist leicht, daß ein KegelscJmitt durcJi eine Baum-perspeJctive wieder in einen KegelscJmitt übergeJü. Für den Fall, wo alle seine Punkte in unendlich ferne transformiert werden, verweisen wir auf 150.

147.    DurcJi fünf willkürlich gegebene Punkte A, B. C, D und E in der Ebene kann immer ein KegelscJmitt gelegt werden, wenn bloß nicht drei oder mehr der gegebenen Punkte in einer geraden Linie liegen. Höchstens zwei der gegebenen Punkte können unendlich fern sein. Wenn der gesuchte Kegelschnitt existiert, kann die Tangente a im Punkte A (der ein eigentlicher Punkt sein soll), nach der früher angegebenen Konstruktion gefunden werden. Führen wir diese Konstruktion aus, so gelangen wir zu einer bestimmten Linie a, und wir brauchen bloß zu zeigen, daß ein Kegelschnitt existiert, der A in a berührt und durch B, 0 und B geht, denn ein solcher Kegelschnitt wird zufolge des Pascalschen Satzes auch durch E gehen. Beschreiben wir nun einen Kreis kv der a in A berührt, und schneiden die Yerbindungslinien AB, AG und AB diesen Kreis zum zweitenmal in Bv Cx und Bv so kann man eine Perspektivität bestimmen, deren Zentrum A ist und in welcher B, G und B der Reihe nach Bx, Ct und Bx entsprechen. In dieser Perspektivität entspricht \ einem Kegelschnitt, der a in A berührt und durch B, G und B geht. Damit ist bewiesen, daß der gesuchte Kegelschnitt existiert. Daß man durch fünf gegebene Punkte nur einen Kegelschnitt legen kann, folgt sofort aus dem Pascalschen Satz.

148. Man kann immer einen Kegelschnitt bestimmen derart, daß er fünf willkürlich gegebene Linien a, b, c, d und e der Ebene berührt, wenn bloß nicht drei oder mehr der gegebenen Linien durch denselben Punkt gehen. Wenn der gesuchte Kegelschnitt existiert, so wird der Berührungspunkt A von a ein bestimmter Punkt, der durch die früher angegebene Konstruktion gefunden werden kann. Es genügt also zu zeigen, daß ein Kegelschnitt existiert, der a in A und gleichzeitig b, c und d berührt. Dies tun wir auf folgende Weise: Wir nehmen einen Kegelschnitt (oder insbesondere einen Kreis) kx an, der a in A berührt. In einer Perspektivität, deren Kollineationsachse a ist und in welcher b, c und d Tangenten von kt entsprechen, entspricht kx einem Kegelschnitt, der a, b, c und d, und zwar a im Punkte A, berührt. Daß es nur einen Kegelschnitt gibt, der die gegebenen Bedingungen erfüllt, folgt aus dem Brianchonschen Satz.

149. Aus bekannten Sätzen für den Kreis (vgl. 94, 113) leiten wir durch Zentralprojektion folgende Sätze für einen beliebigen Kegelschnitt ab.

Aus zwei festen Punkten auf :

Zwei feste Tangenten eines einem Kegelschnitt werden die ; Kegelschnittes werden von den Punkte des Kegelschnittes durch übrigen Tangenten in projekti-projektive Strahlenbüschel pro- ven Punktreihen geschnitten, jiziert.

Wir wollen nun beweisen:

Von zwei projektiven, nicht ;

kollokalen und nicht Perspektiven | kollokalen und nicht Perspektiven

Von zwei projektiven, nicht

Punktreihen derselben Ebene berühren die Verbindungslinien entsprechender Punkte einen Kegelschnitt. Zeichnet man nämlich einen Kegelschnitt, der die Träger der Punktreihen a und b und irgend drei andere Verbindungslinien entsprechender Punkte berührt, so schneiden die Tangenten dieses Kegelschnittes auf a und b projektive Punktreihen aus, die mit den gegebenen Punktreihen zusammenfallen.

Strahlenbüscheln derselben Ebene liegen die Schnittpunkte entsprechender Strahlen auf einem Kegelschnitt. Legt man nämlich einen Kegelschnitt durch die Mittelpunkte A und B und irgend drei andere Schnittpunkte entsprechender Strahlen, so wird dieser Kegelschnitt aus A und B durch projektive Strahlenbüschel projiziert, die mit den gegebenen Büscheln zusammenfallen.

Diese Sätze zeigen u. a., daß die einem Kegelschnitt dualistisch entsprechende Figur ein neuer Kegelschnitt ist, derart, daß den Punkten und Tangenten des ersten Kegelschnittes die Tangenten und Punkte des ziveiten Kegelschnittes entsprechen.

150.    Ein unendlich ferner Kegelschnitt ist definiert als die Gesamtheit der unendlich fernen Punkte, deren Zentralprojektion auf eine beliebige Ebene ein Kegelschnitt ist. Die im Vorstehenden entwickelten projektiven Sätze gelten dann auch von unendlich fernen Kegelschnitten. Im folgenden wollen wir aber, wenn das Gegenteil nicht ausdrücklich betont wird, unendlich ferne Kegelschnitte außer Betracht lassen.

151.    Eine allgemeine Methode zur Lösung von Aufgaben über einen vorgelegten Kegelschnitt besteht darin, daß man eine Perspektivität bestimmt, in welcher der Kegelschnitt einem Kreis entspricht. Dadurch kann man die Aufgabe auf eine analoge Aufgabe für den Kreis zurückführen.

Hat man zur Bestimmung des Kegelschnittes k unter anderem eine Tangente a mit ihrem Berührungspunkt A (der nicht unendlich fern sei) gegeben, so kann man, wie früher gezeigt, eine Perspektivität mit dem Zentrum A (vgl. 147) oder der Achse a (vgl. 148) bestimmen, so daß k in dieser Perspektivität einem Kreis kx entspricht, der a in A berührt.

Hat man zur Bestimmung des Kegelschnittes k unter anderem zwei durch den eigentlichen Punkt S gehende Tangenten a und b (Fig. 138), so kann man einen Kreis kx, der a und b berührt, derart beschreiben, daß eine Linie, die durch den Schnittpunkt S von a und b geht und den Kegelschnitt schneidet, immer auch den Kreis schneidet, k und k^ entsprechen einander dann in einer

Perspektivität, deren Zentrum S ist. Denn berühren a und b den Kegelschnitt k in A und B, den Kreis kx in A₁ und B₁, und schneidet eine Linie durch S und einen Punkt C des Kegelschnittes den Kreis in zwei Punkten, von denen der eine Cx ist, so bestimme man eine Perspektivität derart, daß und C₁ der Reihe nach A, B und C entsprechen, dann entsprechen auch \ und k einander. Da nämlich kx die Linien 8 a und b in At und Bt berührt und zugleich durch C₁ geht, wird die entsprechende Kurve ein Kegelschnitt, der a und b in A und B berührt und durch C geht, der also mit k zusammenfällt. Wir müssen beachten, daß die Perspektivität auf zwei Arten bestimmt werden kann, indem wir an Stelle von Cx auch den anderen Schnittpunkt von S C mit dem Kreis wählen können.

A,

ky

kA

Fig. 138.

Uj

Af,

152. Hat man eine Perspektivität bestimmt, in welcher der Kegelschnitt k einem Kreis kt entspricht, so kann man unmittelbar die Aufgabe lösen, die Schnittpunkte des Kegelschnittes mit einer gegebenen Geraden zu bestimmen oder aus einem gegebenen Punkt ■ an k die Tangente zu ziehen.

Uj

Wir wollen noch zeigen, wie man die Perspektivität zu einer näheren Untersuchung des Kegelschnittes benutzen kann.

Ti

Fig. 139.

Wenn die zu kx gehörende Fluchtlinie ut keinen Punkt mit kt gemein hat, so enthält der Kegelschnitt keinen un- [B_ endlich fernen Punkt und ist deshalb eine Ellipse.

Wenn ux den Kreis in zwei Punkten schneidet, so entsprechen diese zwei unendlich fernen Punkten des Kegelschnittes, der also in diesem Falle eine Hyperbel wird. Berührt endlich ux den Kreis kx, so wird k eine Parabel. Wir untersuchen jeden dieser drei Fälle näher, indem wir uns die Perspektivität durch das Zentrum S, die Kollineationsachse p und die Fluchtlinie ux bestimmt denken.

1. In Fig. 139 ist k eine Ellipse. Man findet ihre Scheitel folgendermaßen: Der Kreisdurchmesser Ax Bx _L p entspricht einem Durchmesser AB der Ellipse. Denn der Pol von AXBX bezüglich kx liegt unendlich fern in der Richtung^?; der Pol von AB bezüglich k fällt in denselben unendlich fernen Punkt. Der Mittelpunkt 0 von AB ist der Mittelpunkt der Ellipse. Der entsprechende Punkt sei Ox. Man zieht nun Ox Cx || p bis zum Schnitt mit dem Kreis in    0 C || p entspricht Ox Cx, und es werden 0 C und

OA ein Paar konjugierte Halbmesser der Ellipse. Die Scheitel

können daraus nach der früher erörterten Methode gefunden werden (131).

ki

Ui

Al

\ ,■

Ui

2. Wenn Ux den Kreis kx schneidet, so entsprechen Q die Tangenten des Kreises in den Schnittpunkten den Asymptoten von k. Man kann so diese zunächst bestimmen und damit die Hauptachse der Hyperbel finden. Mit Hilfe der Perspektivität findet man dann die Scheitel als

die Schnittpunkte der gefundenen Hauptachse mit der Hyperbel.

/■A

P>

3. Berührt ux den Kreis kx in Ux (Fig. 140), ist also der Kegelschnitt eine Parabel, deren Achse die Richtung S Ux hat, so liegt der Pol P der Achse unendlich

Fig. uo.

fern in der Richtung SPA. S Ux. Der P entsprechende Punkt Px kann dann sofort bestimmt werden. Die Polare von Px bezüglich kx ist UXAX (senkrecht auf dem durch Px gehenden Durchmesser des Ki-eises), und diese Linie entspricht der Achse

der Parabel, die also durch Q geht und zu S Ux parallel ist. Die Achse der Parabel schneidet 6'^ in dem Scheitel A der Parabel.

153. In dem besonderen Fall, wo 8 auf kt liegt (Fig. 141) und deshalb k und \ einander in S berühren, bilden die Perspek-tivitätsachse p und die gemeinsame Tangente t in S gleich große Winkel (nach entgegengesetzten Seiten) mit jeder Achse des Kegelschnittes.

4ls

Pi

Je

Dies kann man folgendermaßen weisen: Eine Linie durch S parallel zu einer Achse des Kegelschnittes schneidet k und Jcx in entsprechenden Punkten P und I\. Die Tangenten PA und P₁A₁ entsprechen einander, und da sie gleich große Winkel nach derselben Seite hin mit der Linie PP₁ bilden (<$£ APS = ASP = <)C A₁P₁S), sind sie zueinander und zu der Perspek-tivitätsachse parallel, p und t bilden also gleich große Winkel mit SP, also auch mit jeder der Achsen des Kegelschnittes.

Der Durchmesser des Kreises durch P₁ ist senkrecht zu p. Die Strahlen aus S nach den Endpunkten dieses Durchmessers geben die Richtungen der Achsen des Kegelschnittes an. Dies kann man zur Bestimmung der Achsen benutzen, wenn der Mittelpunkt gefunden ist.

be-

Fig. 141.

Schmiegungskreise.

154. Ein veränderlicher Kreis, der einen Kegelschnitt k in einem festen Punkt A berührt und durch einen beweglichen Punkt B von k geht, konvergiert, wenn B sich A nähert, nach einer bestimmten Grenzlage, dem Schmiegungskreis des Kegelschnittes in A. Der veränderliche Kreis entspricht nämlich in jedem Augenblick dem Kegelschnitt k in einer Perspektivität, deren Zentrum A ist, und deren Achse durch B geht und (nach 153) eine kon stante Richtung hat. Nähert sich B dem Punkte A, so nähert sich auch die Perspektivitätsachse einer bestimmten Linie p, die durch A geht und zur Tangente in A bezüglich einer Parallelen zu einer Achse des Kegelschnittes symmetrisch ist.

Tim ex ding, Handbuch II

Ist A kein Scheitel von Je, so schneidet p den Kegelschnitt Je in einem neuen Punkt M, und der Schmiegungskreis ist dadurch bestimmt, daß er durch M geht und Je in A berührt.

zusammen.

Pol P im Schnittpunkt von p mit der Tangente in B (Fig. 142).

P ist dann auch der Pol von AB be-

Ist A ein Scheitel von Je, so fällt p mit der Scheiteltangente Von einer Sehne AB des Kegelschnittes liegt der

Fig. 142.

den Mittelpunkt C des Schmiegungskreises für den

man

züglich des Schmiegungskreises, und dessen Mittelpunkt C liegt auf der Linie PC _L AB. Ist der Kegelschnitt eine Ellipse mit den Achsen AAX und BB₁, so findet man gleichzeitig die Mittelpunkte C und Cx der Schmiegungskreise für A und B, indem man aus dem Pol P von AB das Lot auf AB fällt. P ist dabei die vierte Ecke des durch A, 0, B bestimmten Rechteckes (Fig. 143). Soll

Scheitel A einer Hyperbel finden (Fig. 144), so kann man B un-

f-4;

AK CA

Fig. 144.

Fig. 143.

endlich fern annehmen. Der Pol P von AB wird dann der Schnittpunkt der Hyperbel mit der Scheiteltangente. Die Senkrechte aus P auf AB ist senkrecht zu einer Asymptote und schneidet die Achse der Hyperbel in C.

155. Die Betrachtung der angegebenen Perspektivität zeigt, daß der Schmiegungskreis in einem Punkt A eines Kegelschnittes k, wenn man annimmt, daß A kein Scheitelpunkt ist, Je im Punkt A durchsetzt, d. h. wenn ein Punkt den Schmiegungskreis durchläuft, so tritt er beim Passieren von A von der einen Seite des Kegel-

Schnittes auf die andere über. Weiter erkennt man, daß ein Kreis, der Je in einem Punkte A berührt und gleichzeitig durchsetzt, der Schmiegungskreis in A sein muß.

Wenn A ein Scheitelpunkt des Kegelschnittes ist, so liegt der Schmiegungskreis entweder ganz innerhalb oder ganz außerhalb des Kegelschnittes.

P,

s.

,A

Ai

156. Eine sehr einfache Bestimmung des Schmiegungskreises für einen beliebigen Punkt einer Ellipse oder einer Hyperbel kann man mit Hilfe des folgenden Satzes finden (St einer scher Satz): Wenn ein eigentlicher Punkt P eine gerade Linie a durchläuft, die nicht ein Durchmesser des Kegelschnittes ist, so geht das aus P auf die Polare p dieses Punktes gefällte Lot entweder durch einen bestimmten Punkt oder berührt eine bestimmte Parabel (Fig. 145).

Fig. 145.

Beweis: p beschreibt einen Strahlenbüschel, dessen Mittelpunkt im Pol A von a liegt. Dieser Strahlenbüschel ist gleichzeitig projektiv zu der von P beschriebenen Punktreihe und zu einer von dem unendlich fernen Punkte Pl in der Richtung 1 p beschriebenen Punktreihe. Die von P und Pl durchlaufenen Punktreihen sind also projektiv, und die Linie PPt geht entweder (wenn die Reihen perspektiv sind) durch einen Punkt oder berührt (wenn die Reihen nicht perspektiv sind) einen Kegelschnitt, der a und die unendlich ferne Linie zu Tangenten hat, der also eine Parabel ist.

Wenn a zu einer der Achsen des gegebenen Kegelschnittes senkrecht ist, so geht die Linie PPX durch einen festen Punkt auf dieser Achse. Ist hingegen a zu keiner der Achsen des Kegelschnittes senkrecht, so berühren die Linien PPX eine Parabel. Die Achsen des Kegelschnittes und das aus A auf a gefällte Lot sind nämlich besondere Lagen von PPX, und diese drei Linien können nicht durch denselben Punkt gehen.

157. Wir nehmen nun an, daß die Linie a den gegebenen Kegelschnitt in A und B schneidet (Fig. 146), indem wir voraussetzen, daß A kein Scheitelpunkt des Kegelschnittes ist. a schneide die Achsen x und y des Kegelschnittes in X und Y, und M sei der Mittelpunkt von AB. Die aus A, 31, X und Y auf die Polaren dieser Punkte gefällten Lote sind der Reihe nach n (die

Normale in Ä), m (die Mittelsenkrechte von AB, weil die Polare von 311| AB), x und y. Bezeichnet man die unendlich ferne Linie mit u, so müssen also die sechs Linien n, m, a, u, x und y nach

2.

dem Steinerschen Satz die Seiten eines einer bestimmten Parabel um-,, _ .    schriebenen Sechseckes

ly] \\

ß    sein. Die Verbindungs-

'6

Fig. 146.

-j linien gegenüberliegender Ecken dieses Sechseckes müssen demnach nach dem Brianchonschen Satz durch denselben Punkt gehen. Läßt man nun A fest, während B sich A nähert, so bleibt n fest, m nähert sich n, a nähert sich der Tangente t in A, und die drei Seiten u, x und y erfahren keine Veränderung. Die Ecken des Sechseckes erreichen dann folgende Grenzlagen (Fig. 147): Der Schnittpunkt 1 von n und m wird der Mittelpunkt des Schmiegungskreises für A, der Schnittpunkt 2 von m und a wird A, der

,-'/2

in

Fig. 147.

Schnittpunkt 3 von a und u wird der unendlich ferne Punkt von t, die Ecke 4 ist der un-endlich ferne Punkt von x, x ^—>4 und y schneiden sich in 5, y und n in 6. Die Punkte 2, 3, 4, 5 und 6 sind bekannt, während 1 unbekannt ist. Aber da die Linien 14, 2 5 und 3 6 durch denselben Punkt B gehen müssen, erhalten wir für den Mittelpunkt 1 des Schmiegungskreises folgende Konstruktion: In dem Schnittpunkt 6 der Normalen n in A mit der einen Achse y errichten tvir ein Lot auf n und schneiden es mit dem Durchmesser durch A im Punkte B. Die Parallele durch B zu der anderen Achse x schneidet dann die Normale n in dem gesuchten Punkt.

158. Bei der vorstehenden Betrachtung kann man die Linie m ersetzen durch die Normale n, in B, da n, ny, a, u, x und y auch ein einem Kegelschnitt umschriebenes Sechseck bilden. Nähert sich B dem A, so nähert sich nx dem n, und die Grenzlage für den Schnittpunkt von nl und n wird derselbe Punkt 1, den wir früher gefunden haben. Also: Der Mittelpunkt des Schmiegungskreises für A ist die Grenzlage des Schnittpunktes der Normalen in A und der Normalen in dem Punkte B, der sich A nähert.

a-

xri

159. Unser Beweis für den Steinerschen Satz gilt auch in dem Falle, wo der gegebene Kegelschnitt eine Parabel ist. Aber die Anwendung des Satzes auf die Konstruktion des Schmiegungskreises wird in diesem Falle etwas anders, da k nur eine Achse x besitzt. Da das aus einem eigentlichen Punkte von a auf die Polare dieses Punktes gefällte Lot nie zu x senkrecht sein kann, wird die Achse der Steinerschen Parabel senkrecht zu x. Indem wir die früheren

Bezeichnungen wieder an wenden, berühren also n, w, a und x eine Parabel, deren Achsenrichtung senkrecht zu x

Fig. 148.

ist (Fig. 148). In dem Brian-chonschen Sechseck, dessen Seiten m, n, x, a, u und t sind, werden die Grenzlagen für die Ecken (Fig. 149): der gesuchte Mittelpunkt 1 des Schmiegungskreises, der Schnittpunkt 2 von n und x, 3 unendlich fern auf x, 4 unendlich fern in der Richtung senkrecht zu a:, 5 unendlich fern auf t, 6 im Punkte A. Die Konstruktion verläuft dann so: in 2 wird ein Lot

.5

auf n errichtet, in dessen Schnittpunkt R mit dem Durchmesser durch A ein Lot auf x und dieses bis zum Schnitt mit n im gesuchten Punkte 1 verlängert.

¹

Was die Kegelschnitte betrifft, so kann zur Ergänzung der kurzen Darstellung, die hier allein möglich war, etwa benutzt werden: Steiner-Geiser, Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung,

3. Aufl. Leipzig 1887.

t,

V\

Errichtet man in dem Schnittpunkt T von t mit x ein Lot auf x bis zum Schnittpunkt N mit w, so sieht man aus der Figur, daß der Radius des Schmiegungskreises Al =N2 wird.

Fig. 149.

Auf diese Weise erhält man noch eine neue Konstruktion. Man beweist ge- / nau auf dieselbe Weise wie vorhin, daß der Mittelpunkt des Schmiegungskreises die Grenzlage für den Schnittpunkt der Normalen in A und der Normalen in dem Punkt B, der sich A nähert ist.

160. Ist A ein Scheitelpunkt des Kegelschnittes k (Fig. 150), so schneidet die Mittelsenkrechte m von AB die Achse x in einem Punkte (7, der nach dem Steinerschen Satz auf jeder Linie liegt,

q\B

MV

Fig. 150.

die man durch einen Punkt der Linie p (die durch M .L.X zu ziehen ist) senkrecht zur Polare dieses Punktes zieht. Ebenso wird die Normale nl in B die Achse x in einem Punkt C\ schneiden, der auf jeder Linie liegt, die man durch einen Punkt der Linie q (die durch B _L x gezogen wird) senkrecht zu der Polare dieses Punktes ziehen kann. Läßt man B sich A nähern, so nähern sich p und q beide der Scheiteltangente in A. C und C1 nähern sich also derselben Grenzlage im Mittelpunkt des Schmiegungskreises für A. Wir haben damit in allen Fällen bewiesen, daß der Mittelpunkt des Schmiegun'gskreises für einen beliebigen Punkt A eines Kegelschnittes die Grenzlage für den Schnittpunkt der Normalen in A und der Normalen in dem sich A nähernden Punkt B ist.

Aus diesem Satze folgt sofort, daß der Radius des Schmiegungskreises in dem Scheitel einer Parabel gleich der konstanten Subnormalen, also gleich dem Parameter wird.

Siebentes Kapitel.

Ebene Kurven.

Einfache Bögen.

M}

m.2

'M

Tig. 151.

161. Wenn ein Punkt sich in der Ebene kontinuierlich aus einer Lage in eine andere bewegt, so daß er jede Zwischenlage nur einmal passiert, so beschreibt er einen Bogen oder eine Kurve (die Bahn des beweglichen Punktes). Derselbe Bogen kann auch so beschrieben werden, daß der Punkt die gleichen Lagen in der umgekehrten Beihenfolge durchläuft. Jedem Bogen entsprechen dergestalt zwei verschiedene Umlaufssinne. Jeder Punkt M des Bogens, der von seinen Endpunk- ^ ten A und B verschieden ist, teilt | den Bogen in zwei Bögen, MA und MB. Wir nehmen an, daß der Bogen MA in M eine bestimmte Halbtangente m₁ besitzt, die als eindeutig bestimmte Grenzlage aus einem von M ausgehenden Halbstrahl¹) entsteht, wenn dieser einen zweiten, beweglichen Punkt M₁ des Bogens MA enthält und Ml sich M unbegrenzt nähert. Ebenso setzen wir voraus, daß der Bogen 31B auch eine bestimmte Halbtangente in 31 besitzt, ferner daß die so festgelegten beiden Halbtangenten entgegengesetzt gerichtet sind, so daß sie sich zu einer geraden Linie, der Tangente in 31, ergänzen (vgl. Pig. 151).

Es sei l eine beliebige gerade Linie durch M, die von der Tangente verschieden ist. Wenn der Punkt Mt sich nach M hin bewegt, liegt der Halbstrahl M3I± zuletzt auf derselben Seite von

l wie die Halbtangente m1? der Bogen    selbst liegt also zu

Fig. 152.

letzt auch auf dieser Seite von l. Ebenso erkennt man, daß, wenn der Punkt Jf₂ des Bogens MB sich auf M zu bewegt, der Bogen MJf₂ zuletzt auf derselben Seite von l wie m₂ liegt. Man sagt deshalb, daß l die Umgebung von M in zwei verschiedene Teile zerlegt, einen auf jeder Seite von l. Hieraus folgt aber, daß der Bogen AB wenigstens einen Punkt P enthalten muß, dessen Tangente zu der Sehne AB parallel ist. Sucht man nämlich (Fig. 152) auf dem Bogen AB einen Punkt P, dessen Abstand h von der Linie ALIS so H groß wie möglich ist, so muß die gerade Linie, die durch P parallel zu der Sehne AB gezogen wird, die Tangente in P sein, denn sonst müßten nach den soeben angestellten Überlegungen Punkte des Bogens auf beiden Seiten vonp liegen, so daß der Abstand h nicht der größte sein könnte.

Auch in den Endpunkten A und B wrnllen wir die Existenz bestimmter Halbtangenten voraussetzen; in jedem von diesen Punkten finden wir nach unserer Definition nur eine Halbtangente, die mit ihrer Verlängerung zusammen die Tangente in diesem Punkte bildet. Bisweilen betrachten wir indessen auch diese Verlängerung als eine (uneigentliche) Halbtangente des Bogens.

Wenn ein Punkt M den Bogen AB von A nach B hin durchläuft, so kann man für jede Lage von M von einer bestimmten zu diesem Umlauf gehörenden Halbtangente sprechen; darunter wollen wir die bei diesem Umlauf nach vorwärts gerichtete Halbtangente verstehen, d. h. die Halbtangente des Bogens MB, solange M von B verschieden ist, und die uneigentliche Halbtangente, wenn M mit B zusammenfällt.

162. Wir wollen nun den Bogen AB von solcher Beschaffenheit voraussetzen, daß die vorwärtslaufende Halbtangente, die zu einem bestimmten Umlauf gehört, kontinuierlich und monoton variiert, d. h. wenn M den Bogen von A bis B durchläuft, soll die vorwärtslaufende Halbtangente ihre Richtung so stetig ändern, daß diese sich beständig nach derselben Seite dreht (wir schließen solche Bögen aus, die geradlinige Bestandteile enthalten). Ziehen wir von einem festen Punkt 0 aus einen Halbstrahl m in derselben Richtung wie die genannte Halbtangente in M, so soll dieser Halbstrahl sich kontinuierlich und beständig nach derselben Seite bewegen, so daß er jede seiner Lagen nur einmal passiert. Wir wollen zugleich annehmen, daß der von m beschriebene Winkel kleiner als 180° sei.

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, nennen wir den Bogen AB einen einfachen Bogen. Ein einfacher Bogen kann sonach nicht mehr als eine Tangente besitzen, die einer gegebenen Linie parallel ist. Wir schließen hieraus sofort:

1.    Die Tangente in einem Tunkt M des Bogens hat mit dem Bogen keinen anderen Punkt gemein als den Berührungspunkt. Hätte sie nämlich noch einen anderen Punkt M₁ mit dem Bogen gemein, so müßte auf dem Bogen MM₁ ein Punkt existieren, dessen Tangente der Linie MMX, also der gegebenen Tangente parallel ist (nämlich der Punkt größten Abstandes von MMX).

2.    Eine gerade Linie hat höchstens zwei Punkte mit dem Bogen gemein. Wenn nämlich drei aufeinanderfolgende Punkte M, P, Q des Bogens auf einer geraden Linie lägen, so müßten die Bögen MP und PQ Punkte enthalten, deren Tangenten beide der geraden Linie parallel wären.

■b

3.    Nimmt man zwei Punkte M und N auf dem Bogen an, so schneiden die Halbtangenten des Bogens MN in diesen Punkten einander in einem Punkte T derart, daß das Dreieck MNT den Bogen MN umschließt. Der Beweis wird folgendermaßen geführt (Pig. 153): Der Bogen MN hat keinen anderen Punkt mit der Tangente m in M gemein als den Berührungspunkt M, der Bogen muß also ganz auf der einen ^

Fig. 153.

Seite der Tangente m liegen.

Die durch N gezogene Parallele l zu m hat mit dem Bogen nur denPunkt N gemein, denn sonst müßte eine weitere zu m parallele Tangente existieren. Der Bogen liegt also auch ganz auf der einen Seite von l. Er liegt weiter aber auch auf einer bestimmten Seite der Linie MN. Hieraus folgt, daß er in dem Flächenstück liegt, das von der Strecke MN, der Halbtangente mx des Bogens in M und dem damit gleichgerichteten Halbstrahl lx der Linie Z begrenzt wird. Die Halbtangente nx in N muß deshalb in dem konvexen Winkel zwischen den Halbstrahlen lx und NM liegen, sie muß also mx in einem Punkte T schneiden, und da der Bogen auf einer bestimmten Seite von jeder der drei Linien MN, MT und NT liegen muß, nämlich auf der Seite, die jedesmal durch den dritten Punkt angegeben wird, ist der Bogen in dem Dreieck MNT eingeschlossen.

Aus diesem Satz folgt nun weiter:

Jeder Punkt P des Bogens hat eine Tangente, welche die Strecken MT und NT schneidet.

Durch einen beliebigen Punkt der Ebene kann man höchstens zwei Tangenten an den Bogen legen.

Jeder Punkt M des einfachen Bogens ist die eindeutig bestimmte Grenzlage des Schnittpunktes der Tangente in M mit der Tangente in einem beweglichen Punkt N, der sich M unbegrenzt nähert, oder des Schnittpunktes der Tangenten in zwei verschiedenen beweglichen Punkten, die sich beide M nähern.

Die Tangente ist die eindeutig bestimmte Grenzlage der Verbindungslinie zweier verschiedener Punkte N und P, die auf dem Bogen nach M konvergieren; auf dem Bogen NP findet sich nämlich beständig ein Punkt, dessen Tangente der Linie NP parallel ist, und da diese Tangente nach der Tangente in M konvergiert, tut es auch die Linie NP.

163. Wir werden es im allgemeinen nur mit solchen Kurven zu tun haben, die man sich aus einfachen Bögen zusammengesetzt denken kann (einfachen Kurven). Durch Zusammensetzung zweier einfacher Bögen können aber in der Umgebung eines Punktes vier wesentlich verschiedene Formen von Kurven entstehen:

Fig. 154.

1. Die Halbtangenten sind entgegengesetzt gerichtet; die Umgebung von M ist ein einfacher Bogen. Der Punkt heißt dann ein Konvexpunkt (Fig. 154).

Fig. 155.

2. Die Halbtangenten sind entgegengesetzt gerichtet; die Kurve wird in der Umgebung von M in zwei verschiedene Bögen geteilt, einen auf jeder Seite der Tangente. Der Punkt heißt dann ein Wendepunkt, die Tangente eine Wendetangente (Fig. 155).

3. Die Halbtangenten in M fallen zusammen; die Kurve besteht in der Umgebung des Punktes M aus zwei Bögen, die von M ausgehen und auf verschiedenen Seiten der Tangente liegen. Der Punkt heißt dann eine Spitze erster Art

(Fig. 156).

AI

Fig. 156.

Fig. 157.

4. Die Halbtangenten fallen zusammen; die Kurve liegt in der Umgebung von M auf der einen Seite der Tangente. Der Punkt heißt dann eine Spitze zweiter Art (Fig. 157).

Ferner kann bei der Zusammensetzung von einfachen Bögen auch ein Knick entstehen, indem die Halbtangenten in dem betrachteten Punkte nicht in dieselbe gerade Linie fallen, oder ein Doppelpunkt, nämlich ein Schnittpunkt zweier verschiedener einfacher Bögen, die beide zu der betrachteten Kurve gehören. Indessen läßt sich die Untersuchung der Kurve immer auf die Untersuchung der einfachen Bögen zurückführen, aus denen sie besteht.

164;. Ein einfacher Bogen AB hat eine bestimmte Länge, die man definieren kann als die kleinstmögliche Länge, die größer ist als der Umfang jedes dem Bogen einbeschriebenen konvexen Linienzuges (den Beweis für die Existenz der Bogenlänge übergehen wir). Die Bogenlänge ist der gemeinsame Grenzwert für einen dem Bogen einbeschriebenen konvexen Linienzug und einen ihm umschriebenen konvexen Linienzug, die beide dieselben Endpunkte haben wie der Bogen und sich so verändern, daß die Längen der einzelnen Stücke nach 0 konvergieren.

,D

Das Verhältnis der Bogenlänge zur Sehne AB konvergiert gegen die Einheit, wenn die Endpunkte A und B sich derselben Grenzlage nähern.

\i

Die Bogenlänge kann in einzelnen Fällen durch eine genaue Konstruktion mit Hilfe von Zirkel und Lineal gefunden werden. In der Praxis kann man den

Fig. 158.

Bogen durch eine einbeschriebene gebrochene Linie mit genügend kleinen Seiten ersetzen.x)

.............D

Zur Rektifikation eines Halbkreises benutzt man folgende Näherungskonstruktion (Fig. 158): AB sei ein willkürlicher Durchmesser eines Kreises, 0 dessen Mittelpunkt. Auf der Tangente in B wird der Punkt C so bestimmt, daß <$ZBOC= 30° wird. Darauf wird CD = 3 X Radius abgetragen. AD gibt dann, wie eine leichte Rechnung zeigt, mit hinreichender Genauigkeit die Länge des Halbkreises an.

Fig. 159.

In Fig. 159 ist gezeigt, wie man umgekehrt den Radius eines Kreises finden kann, dessen Umfang die gegebene Länge p hat. Man

zeichnet einen Kreis mit dem Durchmesser ~ und bestimmt in

1) Näheres über graphische Rektifikationen bei Chr. Wiener, Lehrbuch der darstell. Geom. 7, Leipzig 1884, S. 184—190.

der soeben angegebenen Weise dessen halben Umfang AB. OE sei senkrecht auf AB. Dann ist AE der Radius des gesuchten Kreises. Denn es wird

AE

AB    . p

i woraus AE = ~ *

A B ’    2 7t

Praktisch wird es sich empfehlen, ein für alle mal einen

2

Winkel herzustellen, dessen Sinus = — ist. In der Figur ist

<$CABC ein solcher Winkel. Durch einfache Messung mit dem Stechzirkel kann man dann den einer gegebenen Länge der Halbperipherie entsprechenden Durchmesser finden (und umgekehrt) (vgl. die Koordinatenabtragung S. 51).

165. Der Schmiegungskreis in einem Punkte A einer Kurve wird definiert als die Grenzlage eines veränderlichen Kreises, der die Kurve in A berührt und sie außerdem in einem beweglichen und sich dem Punkte A unbegrenzt nähernden Punkte JB schneidet. Der Radius p des Schmiegungskreises für einen Punkt A einer gegebenen Kurve kann oft auf folgende Weise bestimmt werden (Fig. 160): Von einem Punkte B der Kurve fällt man ein Lot BO auf die Tangente a in A. Ein Kreis, der a in A berührt und durch B geht, schneidet die Linie B C zum zweiten Mal in einem Punkte B derart, daß

AC*

CB

wird. Wenn nun B nach A konvergiert, während B C beständig auf a senkrecht ist, so konvergiert CB nach dem Durchmesser des Schmiegungskreises, so daß man hat:

AO

\D

CB =

i'ig. 160.

o r AC2

²e-llm cb '

Diese Formel gilt auch, wenn B C nicht beständig auf a senkrecht ist, falls es nur beim Grenzübergange nach der Normalen in A konvergiert.

166. Von einer ebenen Kurve sagt man, sie erstreckt sich ins Unendliche, wenn kein Kreis existiert, der sie ganz umschließt.

Wenn ein Punkt P sich kontinuierlich auf der Kurve bewegt, so daß sein Abstand von einem festen Punkt 0 ins Unbegrenzte

wächst und dabei OP sich einer festen Grenzlage nähert, so sagt man, daß der durch die Richtung dieser Grenzlage bestimmte und unendlich entfernte Punkt U auf der Kurve liegt. Erreicht gleichzeitig die Linie PU eine bestimmte Grenzlage, so heißt sie die Tangente der Kurve (Asymptote) im Punkte U. Der veränderliche Punkt P nähert sich dann bei seiner Bewegung mehr und mehr dieser Asymptote. Wächst der Abstand des Punktes 0 von PU ins Unbegrenzte, so sagt man, die Asymptote liegt unendlich fern. Man sieht leicht, daß es gleichgültig ist, wo man den Punkt 0 annimmt.

Wenn ein eigentlicher Punkt M auf einer ebenen Kurve Je durch Zentralprojektion aus einem Projektionszentrum, das außerhalb der Ebene der Kurve liegt, in einen unendlich fernen Punkt M' projiziert wird, so liegt dieser auf der Kurve 7c', in die Je projiziert wird. Ferner kann man leicht erkennen, daß die Tangente in M an Je als die Asymptote in M' an Je erscheint. Umgekehrt wird eine Asymptote von Je in eine Tangente von Je' projiziert.

Anmerkung*: Jede in der Praxis vorkommende Kurve (praJe-tische Kurve) wird von einem wirklichen Punkt, z. B. der Spitze eines Bleistifts, beschrieben; die Kurve läßt sich immer in eine endliche Anzahl geradliniger Stücke teilen..(vgl. die Fußnote S. 24, 25). Als Halbtangente einer praktischen Kurve MN in dem Punkte M müssen wir den von M ausgehenden Halbstrahl ansehen, welcher eine möglichst lange von M ausgehende Strecke mit der Kurve gemein hat. Um aber den Anschluß an die früher gegebene theoretische Definition (161) zu erreichen, können wir sagen, daß wir auch bei der praktischen Kurve die Halbtangente als Grenzlage eines Halbstrahles MMX auffassen können, nur so, daß, wenn Mx bei der Bewegung nach M hin eine gewisse Lage erreicht hat, der Halbstrahl MMX dann ganz von selbst alle die folgenden Lagen enthalten wird, dergestalt, daß die Grenzlage schon so praktisch erreicht ist.

Als SchmiegungsJereis einer praktischen Kurve MN in dem Punkte M müssen wir den Kreis ansehen, welcher einen möglichst langen von M ausgehenden Bogen mit der Kurve gemein hat. Auch hier erreichen wir den Anschluß an die theoretische Definition des Schmiegungskreises (165), wenn wir den nach M konvergierenden Punkt Mx nur so weit führen, daß der Kreis, welcher die Kurve in M berührt und durch Mx geht, den ganzen Kurvenbogen MMX enthält. Man wird bei dieser Auffassung des Grenzbegriffes auch für die praktischen Kurven die in 165 gegebene Formel an wenden können; man muß nur beachten, daß das

Resultat, wie bei allen praktischen Maßbestimmungen, mit einer gewissen Unsicherheit behaftet ist.

Unter Zugrundelegung der hiermit skizzierten praktischen Auffassung der Grenzprozesse wird man alle vorstehenden und nachfolgenden Untersuchungen über theoretische Kurven auch für praktische Kurven unmittelbar verwerten können.

Die Momentanbewegung einer ebenen Fignr in ihrer Ebene.

167. Wenn eine unveränderliche ebene Figur sich in ihrer Ebene beivegt, so kann man zwei willkürliche Lagen dieser Figur zur Deckung bringen durch eine Drehung um einen gewissen Punkt oder durch eine Parallelverschiebung.

Beweis: Ein Punkt A in der ersten Figur entspreche einem Punkt A₁ in der zweiten Figur. Der Punkt B in der ersten Figur, der mit At zusammenfällt, entspricht einem Punkte Bl der zweiten Figur, der so liegt, daß AB — AXBX wird. Sollte Bx wieder nach A fallen, so würde eine halbe Umdrehung um den Mittelpunkt von AAX die beiden Figuren zur Deckung bringen. Fällt aber Bx nicht nach A, so können noch zwei verschiedene Fälle eintreten:

Deckung.

zur

1.    A, A₁ und Bx liegen in einer geraden Linie. Dann bringt eine Parallelverschiebung (von der Größe und Richtung der Strecke AAjJ AB mit A₁B₁

2.    A, A₁ und Bx liegen nicht in einer geraden Linie. Dann bringt eine Drehung um den Mittelpunkt des durch A, Ax und Bx hindurchgelegten Kreises die eine Figur mit der anderen zur Deckung. Dieser Punkt, um den man die eine Figur drehen muß, um sie mit der anderen zur Deckung zu bringen, heißt der Bo-tationspol der beiden Figuren.

168. Wenn eine unveränderliche Figur sich in ihrer Ebene kontinuierlich bewegt, so gehen die in den einzelnen Punkten der Figur auf den von diesen Punkten beschriebenen Kurven errichteten Normalen in jedem Augenblick durch einen und denselben Punkt (den momentanen Rotationspol) hindurch.

Dies folgt aus dem vorangehenden Satz, indem man zuerst zwei verschiedene Lagen AB C... und A₁B₁ Cx... der beweglichen Figur betrachtet und darauf Ax Bx Cx .. . sich ABC... unbegrenzt nähern läßt. Die Mittelsenkrechten von AAX, BBX, CCX, ... bilden dann beständig einen Strahlenbüschel, und auch ihre Grenzlagen, die Bahnnormalen in A, B, C, . . . bilden deshalb einen Strahlenbüschel.

Man kann den Satz benutzen, um die Tangente an die Bahn,

die von einem willkürlichen Punkt C der beweglichen Figur beschrieben wird, zu konstruieren, wenn die Tangenten der Bahnen a und b für zwei Punkte A und B gegeben sind. Die Normalen von a und b in A und B schneiden einander in 0 (dem momentanen Rotationspol). OC ist dann die Normale der Kurve, die C beschreibt. Durch diese Methode kann nur die Bahnnormale in 0 nicht bestimmt werden. Dieser Punkt zeigt in allem ein besonderes Verhalten.

Der benutzte Grenzübergang zeigt zugleich, daß die betrachtete Bewegung von der Lage ABC . . . aus immer so vor sich geht, daß, wenn A sich auf seiner Bahn in einem bestimmten Sinne bewegt, sich die übrigen Punkte auch auf ihren Bahnen in bestimmtem Sinne bewegen, so daß eine bestimmte Halbtangcnte in A und ein bestimmter Momentanpol, der von A verschieden ist, bestimmte Halbtangenten in den übrigen Punkten (0 ausgenommen) liefern, nämlich dieselben, die man erhalten würde, wenn die Bewegung eine wirkliche Drehung um 0 wäre.

169. Wenn eine gerade Linie AB der Figur sich so bewegt, daß sie beständig durch einen festen Punkt geht, so beschreibt der Punkt C der geraden Linie, der im Augenblick in diesen festen Punkt fällt, eine Kurve, die die augenblickliche Lage von AB in C berührt. Dies ist sehr einfach zu zeigen: Beim Übergang zur benachbarten Lage A₁B₁ gelangt C nach Cx’, nähert sich nun A₁ Bt der Linie AB, so nähert sich auch die Linie CCX der Linie AB, womit der Satz bewiesen ist.

Bi

Wenn z. B. eine Strecke AB sich so bewegt, daß A eine gerade Linie a beschreibt, während die Linie AB durch den festen Punkt C hindurchgeht, so beschreibt B eine sogenannte Konchoide (Fig.

Cp:

Fig. 161.

161). Die Tangente dieser Kurve in B kann dadurch bestimmt werden, daß der momentane Rotationspol 0 für die Strecke AB der Schnittpunkt der Senkrechten von CA in C mit

der Senkrechten von a in A ist. OB ist dann die Normale der Konchoide, und die gesuchte Tangente steht auf OB in B senkrecht.

Aus 166 folgt sofort, daß die Gerade a eine Asymptote dei

Kurve ist.

Bögen mit monoton variierender Krümmung (Normbögen).

170. Die Tangenten in zwei Punkten M und N eines gegebenen einfachen Bogens mögen sich in Tschneiden (vgl. Fig. 162). Der Winkel e, den die vorwärtszeigende Halbtangente durchstreicht, wenn der Berührungspunkt den Bogen von 31 bis N durchläuft, heißt die Totalkrümmung des Bogens 31N] er wird dem Nebenwinkel des Winkels 31 TN gleich. Das Verhältnis zwischen s (in natürlichem Winkelmaß gemessen) und der Bogenlänge 31N heißt die mittlere Krümmung, während man den umgekehrten Wert dieses Verhältnisses als den mittleren Krümmungsradius des Bogens MN bezeichnen kann. Für einen Kreis ist die mittlere Krümmung unabhängig davon, welchen Bogen auf dem Kreis wir wählen; der mittlere Krümmungsradius ist der Radius des Kreises selbst.

Betrachten wir auf einem beliebigen einfachen Bogen einen festen Punkt M und einen beweglichen Punkt N, so verändert sich die mittlere Krümmung für den Bogen MN im allgemeinen mit N. Lassen wir N nach M konvergieren, so kann sich möglicherweise ein eindeutig bestimmter Grenzwert für die mittlere Krümmung herausstellen; dieser Grenzwert heißt dann Krümmung in 31 und ihr reziproker Wert der Krümmungsradius des Bogens in M.

Wir wollen insbesondere einen solchen einfachen Bogen AB betrachten, der in jedem seiner Punkte eine eindeutig bestimmte Krümmung hat und für den diese Krümmung kontinuierlich und monoton variiert, d. h. wenn ein Punkt M den Bogen von A bis B durchläuft, soll die Krümmung, wenn sie nicht konstant ist, sich kontinuierlich ändern und beständig wachsen oder beständig abnehmen. Einen solchen Bogen nennen wir einen Normbogen. Wenn ein Teil eines Normbogens konstante Krümmung hat, ist er ein Kreisbogen; wir betrachten aber im folgenden nur solche Normbögen, die keine Kreisbögen enthalten.

T,

N'

Die Tangenten in zwei Punkten 31 und N eines Normbogens mögen einander in T schneiden, während der Schnittpunkt der Normalen P sei (Fig. 162). tV Das Viereck 3ITNP ist konvex auf jeden

Fall, wenn    und ihm kann ein

P Fig. 162.

Kreis über TP als Durchmesser umschrieben werden. Man findet dann

MN sin g

Wenn nun N nach M konvergiert, so findet man

MN

TP =

lim

MN

sin £

= lim

wo q den Krümmungsradius in M bezeichnet, mithin lim TP = q.

Aber da T nach M konvergiert, konvergiert auch P nach einem bestimmten Punkte 0, der auf der Normalen in*M so liegt, daß MO — q wird, und, wenn p nicht Null und nicht unendlich ist, der konkaven Seite des Bogens in M angehört. Dieser Punkt 0 heißt der Krümmungsmittelpunkt und der Kreis mit dem Mittelpunkte 0 und dem Radius o der Krümmungskreis}') Dieser berührt die Kurve in M, hat in M dieselbe Krümmung wie die Kurve, und wenn p nicht 0 und nicht oo ist, fällt die konkave Seite des Kreises mit der der Kurve zusammen.

171. Der geometrische Ort für die Krümmungsmittelpunkte eines gegebenen Normbogens AB heißt die Evolute dieses Bogens. Wir wollen beweisen, daß diese Evolute ein einfacher Bogen ist, der alle Normalen des Bogens AB in den zugehörigen Krümmungsmittelpunkten berührt. Um aber diesen Beweis durchführen zu können, müssen wir zuerst die sogenannten Parallelkurven untersuchen.

Lassen wir einen Punkt AI den Bogen AB von A bis B durchlaufen, so führt die Normale des Bogens in Jf, als ein starres System aufgefaßt, eine ganz bestimmte Bewegung aus. Der Punkt M dieses Systems hat eine bekannte Bahn, nämlich den gegebenen Bogen AB. Die Bahnen der übrigen Punkte heißen Parallelkurven des Bogens AB. Es mögen nun (Fig. 163) A und B die Krüm-mungsmittelpunkte und Bi haben, wobei AAl < B B₁, so daß der Krümmungsradius von A bis B beständig wächst. Auf der Normalen in A betrachten wir einen Punkt P. Wenn die konstante Strecke AP sich so bewegt, daß A den gegebenen Bogen AB durchläuft, während AP beständig zu dem Bogen normal ist, durch -

1) Umgekehrt, falls für einen einfachen Bogen der Normalenschnittpunkt P einer bestimmten Grenzlage 0 zustrebt, wenn N nach M konvergiert, hat der Bogen den Krümmungsmittelpunkt 0. Nach 158 und 160 folgt hieraus z. B., daß der Schmiegungskreis eines Kegel Schnittes zugleich Krümmungskreis der Kurve ist.

Timerding, Handbuch II

läuft P die Parallelkurve PQ. Der augenblickliche Rotationspol (Momentanpol) für die bewegliche Strecke B wird Ax. Der Rotationspol für AP und eine neue Lage A'P' soll nämlich gleich weit von A und Ä entfernt sein und ebenso von den Normalen AP und A'P'. Er läßt sich deshalb bestimmen als der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von MM/mit der Halbierungslinie des Nebenwinkels von M OA', wobei 0 den Schnittpunkt der beiden Normalen bezeichnet. Konvergiert A' nach M, so konvergiert die erste dieser Linien nach der Nor-

Bi

'S

Fig. 163.

malen in M, die andere nach dem Lot auf dieser Normalen im Punkte Ax, da 0 nach Ax konvergiert; ihr Schnitt-

punkt konvergiert also nach Mn w. z. b. w.

Wenn nun P und M auf derselben Seite von Ax liegen (wie in der Figur), so haben die von P und M beschriebenen Bahnen gleichgerichtete Halbtangenten, und da AAX der Voraussetzung nach der kleinste Krümmungsradius des Bogens AB ist, so daß P und M in jedem Augenblick bei dem Verlauf der Bewegung auf derselben Seite des augenblicklichen Rotationspols liegen, haben die von Pund M durchlaufenen Bahnen in jedem Augenblick gleichgerichtete Halbtangenten. Da die von M durchlaufene Bahn ein einfacher Bogen ist, gilt dasselbe auch für die Bahn von P. Folglich:

Wenn P auf derselben Seite von Ax wie A liegt, wird die von P beschriebene Parallelkurve ein einfacher Bogen, der dieselben Normalen wie der gegebene Bogen hat.

172. Wir betrachten nun die Parallelkurve, die von einem zu Anfang mit Ax zusammenfallenden Punkt P beschrieben wird. Es ist zunächst klar, daß, sowie P bei der Bewegung aus Ax in irgendeine neue Lage A\ gelangt ist, die Parallelkurve dem Vorstehenden zufolge, jedesmal von dieser Lage aus gerechnet, ein einfacher Bogen ist; sobald man also weiter beweisen kann, daß die Halbtangente der Parallelkurve im Punkte Ax mit der Halbtangente des Bogens AB in M gleichgerichtet ist, ist bewiesen, daß die ganze Parallelkurve ein einfacher Bogen mit denselben Normalen wie der gegebene Bogen ist. Wir führen den Beweis folgender-

maßen: Der von Ax nach A\ gehende Halbstrahl ist sicher gleichgerichtet mit einer Halbtangente eines Punktes des Bogens AXA'V der zwischen Ax und A\ liegt, also ist er auch gleichgerichtet mit einer Halbtangente eines Punktes des Bogens AÄ. Aber wenn A' nach A konvergiert, konvergiert die letztgenannte Halbtangente nach der Halbtangente des Bogens 45 in 1 und der Halbstrahl A₁A\ folglich nach einer zu dieser Halhtangente parallelen Grenzlage. Hiermit ist in der Tat bewiesen, daß, wenn P nach Ax fällt, die von P beschriebene Parallelkurve ein einfacher Bogen ist.

173.    Betrachten wir jetzt auf der Normalen BBX einen Punkt R, der auf der Verlängerung von BBX über Bx hinaus liegt, so wird die Parallelkurve RS, die R beschreibt, wenn die Normale BBX sich in die Lage AA₁ zurückbewegt, ebenfalls ein einfacher Bogen; denn B und R liegen auf entgegengesetzten Seiten des augenblicklichen Rotationspols, die Halbtangenten der von B und R beschriebenen Bahnen sind deshalb entgegengesetzt gerichtet, und dies bleibt so während der ganzen Bewegung. Die von R beschriebene Parallelkurve RS ist also ein einfacher Bogen. Fällt R nach Bv so ergibt sich genau dasselbe, indem wir ganz ähnliche Betrachtungen anstellen wie vorher für den Fall, wo P nach At fällt. Die Parallelkurve BXA₂ (AA₂ = BBX) ist also auch ein einfacher Bogen.

•ß

Auf der Normalen in A haben wir nun alle Punkte untersucht mit Ausnahme von denen, die zwischen Ax und A₂ liegen, und es hat sich gezeigt, daß alle von den betrachteten Punkten beschriebenen Parallelkurven einfache Bögen sind, so daß die ^

a;

[p

Ci

Punkte, die auf der Verlängei’ung der Strecke AXA₂ über Ax hinaus (den Punkt Ax selbst mitgerechnet) liegen, Parallelkurven beschreiben, deren konkave Seite mit dem Bogen AB gleichgerichtet ist, während die Punkte, die auf der Verlängerung der Strecke über A₂ hinaus (A2 mitgerechnet) liegen, Parallelkurven beschreiben, deren konkave Seite dem Bogen AB entgegengesetzt ist.

4-2

B,

Fig. 164.

174.    Es bleiben pur noch die Punkte zu betrachten, die zwischen Ax und A2 liegen (Fig. 164). Ein solcher Punkt P wird, indem er der Bewegung der Normalen folgt, einmal in eine Lage Cx kom-

men, wo er der Krümmungsmittelpunkt für einen Punkt C des Bogens AB ist, und man kann dann aus dem Vorstehenden erkennen, daß der Teil der Parallelkurve, der dem Bogen AC entspricht, ein einfacher Bogen PC₁ ist, und ebenso, daß der Teil, der dem Bogen CB entspricht, gleichfalls ein einfacher Bogen CXQ • ist; aber die beiden einfachen Bögen haben in Cx dieselbe Halbtangente, die mit der Halbtangente des Bogens CB in C gleichgerichtet ist. Außerdem sind die konkaven Seiten der beiden Bögen voneinander abgewendet. Die ganze Parallelkurve hat also eine Spitze erster Art im Punkte Cv Folglich:

Jede Parallelkurve, die von einem Punkte zwischen A₁ und A2 beschrieben ivird, besteht aus zwei einfachen Bögen von der Art, daß eine Spitze erster Art entsteht, wo diese Bögen Zusammenstößen.

In allen Fällen haben die Parallelkurven dasselbe Normalensystem wie der gegebene Bogen AB.

175. Nachdem wir so die Parallelkurven untersucht haben, gehen wir nun über zur Betrachtung der Evolute, d. h. des geometrischen Ortes der Krümmungsmittelpunkte.

Für zwei beliebige Punkte M und N des gegebenen Normbogens AB seien die Krümmungsmittelpunkte Mx und Nt und es sei MMr •< NNV indem wir annehmen, daß der Krümmungsradius

von A bis B wächst. Es sei ferner die

Totalkrümmung des Bogens MN<C •

Ni

'S

Fig. 165.

Der Schnittpunkt S der beiden Normalen muß dann notwendigerweise so liegen, wie die Fig. 165 angibt, einerseits auf der Verlängerung von MMl über Mt hinaus und anderseits auf der Strecke NNV Dies zeigt sich daraus, daß die Parallelkurve MXM\ des Bogens MN ein einfacher Bogen ist, dessen konkave Seite in M nach derselben Richtung hin liegt wrie die des Bogens MN in Jf, und da die Linien MMt und NNX gleichzeitig Normalen beider Bögen sind, liegt ihr Schnittpunkt S auf derselben Seite der Punkte M und Mv Betrachten wir aber die Parallelkurve N₁N\ des Bogens NM, so liegt ihre konkave Seite in Nx nach der entgegengesetzten Richtung wie die des Bogens MN in N, und da die Linien MMi und NNl Normalen beider Bögen NXN\ und NM sind, muß der Schnittpunkt S zwischen N und Nx liegen.

Wenn nun N nach 31 konvergiert, konvergiert Nx nach Mv und der Halbstrahl M₁N₁ muß nach der Verlängerung von MMX über Mx hinaus konvergieren. Also hat die Evolute von MN in Mx eine bestimmte Halbtangente, die auf die Normale des gegebenen Bogens in M fällt und nach der Seite hin läuft, nach der die konkave Seite des Bogens liegt. Da die Richtung dieser Halbtangente sich beständig nach derselben Seite dreht, wenn M den Bogen 31Nund Mt gleichzeitig den entsprechenden Bogen MxNt der Evolute durchläuft, muß die Evolute ein einfacher Bogen sein. Also:

Nie Evolute eines Normbogens AB ist immer ein einfacher Bogen. Nie Normalen des Bogens AB sind die Tangenten der Evolute.

'b

176. Hilfssatz: Wenn ein Kreis mit dem Mittelpunkt Ozwei Punkte M und Nmit einem einfachen Bogen b gemein hat (Fig. 166), findet sich auf dem Stück 31N von b mindestens ein Punkt Q, der zwischen 31 und N liegt und für den die Normale durch 0 geht.

Fig. 166.

Enthält nämlich der Bogen 31N Punkte, die innerhalb des Kreises liegen, so muß sich auf ihm wenigstens ein Punkt Q finden, der von 0 weniger oder höchstens ebensoweit entfernt ist wie jeder andere Punkt des Bogens 31N-, in diesem Punkt Q hat der Bogen dieselbe Tangente wie der Kreis mit dem Mittelpunkt 0, der durch Q geht, so daß OQ eine Normale wird. Liegen von dem Bogen 31N keine Punkte innerhalb des gegebenen Kreises, so muß sich in jedem Falle (wenn der Bogen nicht ganz mit dem Kreis zusammenfällt) mindestens ein Punkt Q finden, für den der Abstand OQ ein Maximum wird, und für diesen Punkt wird OQ eine Normale.

man

Man benutzt diese Betrachtung zur praktischen Konstruktion der durch 0 gehenden Normalen eines gegebenen Bogens b, indem zunächst, wie die Fig. 166 zeigt, einen Kreis mit dem Mittelpunkt 0 zeichnet’ der den Bogen in zwei Punkten M und Nschneidet, und darauf den Radius des Kreises so verändert, daß die Schnittpunkte näher zusammenrücken. Um dann den Punkt Q zu finden, kann man den Kreisbogen 31N und die analogen Bögen der anderen Kreise halbieren, worauf man eine Kurve durch die gefundenen Mittelpunkte legt. Diese Kurve läuft nach dem Punkt Q, hin.

177. Wir können nun den Satz beweisen: Ein Normbogen bat höchstens drei Punkte mit einem Kreis gemein. Existierten nämlich vier gemeinsame Punkte N, P, Q (die in dieser Reihenfolge auf dem Bogen liegen), so könnte man von dem Mittelpunkt des Kreises eine Normale nach jedem der Bögen MN, NP, PQ, also mindestens drei Normalen ziehen. Es würden also von einem

/ 'A

Punkt drei Tangenten an die Evolute gehen, aber dies ist nicht möglich, da die Evolute ein einfacher Bogen ist.

Weiter erkennt man, daß von einem Kreis (Fig. 167), der durch drei beliebige Punkte M, N, P eines Normbogens AB gelegt wird, der Mittelpunkt 0 so liegt, daß von ihm zwei Normalen an den Bogen (nämlich eine an den Bogen MN und eine andere an den Bogen NP), also zwei Tangenten an den Bogen A₁B₁ der Evolute gehen. 0 muß deshalb in dem von dem Bogen AXB₁ und den Strecken und BXS begrenzten Flächenstück liegen.

Ebenso muß von einem Kreis, der den Bogen in A berührt und durch B geht oder den Bogen in B berührt und durch A geht, der Mittelpunkt auf dem Rande (AXS

M\ N

¹o 7S

'Bi

Fig. 167.

■B

oder BXS) des genannten Flächenstückes liegen.

Läßt man A fest, während B sich auf dem Normbogen nach A zu bewegt, so ändert das genannte Flächenstück sich derart, daß alle seine Punkte nach Ax hin konvergieren, während B gegen A konvergiert. Hieraus folgt:

1.    Der Krümmung skr eis in A ist die eindeutig bestimmte Grenz-iage für einen veränderlichen Kreis durch drei verschiedene Punkte M, N, P des Bogens, die alle auf beliebige Weise nach A konvergieren (M kann insbesondere in A festliegeu).

2.    Der Krümmungskreis in A ist die eindeutig bestimmte Grenzlage eines Kreises, der den Bogen in A berührt und durch einen nach A konvergierenden beweglichen Punkt B des Bogens geht. Der Krümmungskreis ist also gleichzeitig der Schmiegungskreis des Bogens (vgl. 165).

3.    Der Krümmungskreis in Aist die eindeutig bestimmte Grenzlage für einen Kreis, der durch A geht und die Kurve in einem anderen nach A konvergierenden Punkte berührt.

4. Wenn zwei verschiedene Punkte M und N des Bogens nach A konvergieren, so konvergiert der Kreis, der den Bogen in M berührt und durch N geht, nach dem Krümmungskreis in A. Dieser Fall umfaßt die beiden vorhergehenden als besondere Fälle.

Wir haben bei unserem Beweis die veränderlichen Punkte alle auf einer Seite von A angenommen. Man sieht aber sofort, daß die Überlegung hiervon nicht abhängig ist.

TL

,B

'\x

T'\

Fig. 168.

178.    Wir wollen nun die Lagenbeziehung des Krümmungskreises zum Kurvenbogen untersuchen. Es möge der Normbogen AB die Evolute A^B^ haben (AAt < BB^) und M ein beliebiger Punkt des Bogens sein (Fig. 168). Ein Kreis mit dem Mittelpunkt Ax, der durch M geht, kann außer M keinen Punkt mit dem Bogen gemein haben; dies folgt sofort aus dem Hilfssatz in 176, da von .4^ keine andere Normale an denBogen A B (d. h. keine Tangente an die Evolute) gezogen werden kann als MMr Da nun weiter die Normale des Bogens in M die i 4 Evolute in einem Punkt Mi berührt, so \ daß der Bogen AM und der zugehörige Evolutenbogen AlM₁ auf derselben Seite der Linie MM₁ liegen, muß der Winkel zwischen der Halbtangente des Bogens MA in M und der Strecke MAX ein spitzer sein, es muß der Bogen AM also auf jeden Fall in der Umgebung von M innerhalb des Kreises liegen und muß deshalb auch ganz in dem Innern des Kreises enthalten sein. Hiernach erkennt man leicht, daß der Bogen MB außerhalb des Kreises liegt. Also: Wenn ein Punkt M den Bogen AB von A bis B durchläuft, so nimmt der Abstand A^M beständig zu. Hieraus folgt, daß der Bogen AB ganz außerhalb des Krümmungskreises in A liegt.

Auf ganz ähnliche Weise zeigt man nun, daß, wenn ein Punkt M den Bogen AB von A bis B durchläuft, der Abstand BXM beständig zunimmt, woraus man schließt, daß der ganze Bogen AB innerhalb des Krümmungskreises in B liegt.

Der Krümmungskreis in einem Punkt M des Bogens AB, der zwischen A und B liegt, muß den Bogen AM einschließen, während der Bogen BM außerhalb des Kreises liegt. Also: Der Krümmungskreis berührt den Normbogen in M so, daß der Bogen in M von der einen Seite des Kreises zur andern übergeht.

179.    Da die Verlängerung der Strecke BlA₁ über Ax hinaus den Bogen AB in einem Punkte P schneidet, hat man zufolge der

vorstehenden Betrachtung

also

AAX<PAX, BBX>PBX,

(1)

BBX — AAl > AiB₁.

Daraus sieht man, daß der Krümmungskreis in B den Krümmungskreis in A umschließt. Folglich: Von zwei beliebigen Krümmtmgs-kreisen eines Normbogens liegt der kleinere immer ganz innerhalb des größeren.

Der Schnittpunkt S der Normalen AAX und BBX eines beliebigen Normbogens A B liegt so, daß sein Abstand von einem veränderlichen Punkt M, der den Bogen A B von A bis B durchläuft, beständig abnimmt, 2? Dies läßt sich auf ganz ähnliche Weise zeigen wie bei den analogen Betrachtungen in 178 (Fig. 169): Man geht von einem Kreis mit dem Mittelpunkt S, der AI enthält, und zeigt, daß dieser Kreis außer M keinen Punkt mit dem Bogen A B gemein haben kann, woraus man sogleich folgert, daß der Abstand SM entweder beständig wächst oder beständig abnimmt; da ferner der Punkt S auf der Verlängerung von AAX über Ax hinaus liegen muß, weil die Evolute AXBX ein einfacher Bogen ist, muß die Halbtangente des Bogens MB, jedenfalls für eine Lage von AI in der Nähe von A, einen spitzen Winkel mit AIS bilden, und es folgt, daß der Abstand SM beständig abnehmen muß. Man hat sonach

AS>BS.

Wenn nun S auf der Strecke BBX liegt, folgt hieraus weiter A Ax + AXS > BBX - BXS,

A<V

aus

MjS

Fig. 169.

oder

(2)

BBX — AAX < AXS + BXS

Daß diese Ungleichung auch dann gültig ist, wenn S nicht auf der Strecke BBX liegt, sondern auf der Verlängerung dieser Strecke über B hinaus, ist unmittelbar ersichtlich. Die Ungleichungen (l) und (2) kann man so zusammenfassen:

AxBx < BBX — AAX < AXS + BXS.

Dieses Ergebnis werden wir im folgenden (s. 181) auf den Beweis eines wichtigen Satzes über die Länge des Evolutenbogens anw enden.

Ar

Fig. 170.

180.    Indem wir beständig annehmen, daß der Normbogen AB von A bis B einen wachsenden Krümmungsradius hat, können wir folgendes wichtige Resultat ableiten: Schneidet ein Kreis mit dem Mittelpunkt 0 den Normbogen AB in drei Punkten M, N und P, die in dieser Beihenfolge einander auf dem Normbogen von A bis B folgen, so fällt der Teil des Normbogens, der zwischen M und N liegt, außerhalb des Kreises, während der Teil, der zwischen N und P liegt, in das Innere des Kreises fällt (Fig. 170).

Yon 0 geht nämlich eine Normale OB an den Bogen MN und eine Normale OS an den Bogen NP, und da nach dem Vorstehenden OB > ON > OS, ist der Satz bewiesen.

Dieses Resultat kann für die praktische Zeichnung von Normbögen verwendet werden. Kennt man nämlich vier aufeinanderfolgende Punkte M, N, P, Q eines Normbogens, so liegt der Bogen NP in dem kleinen sichelförmigen Flächenstück NP, das von zwei Kreisen, einem durch M, N, P gehenden und einem durch N, P, Q gehenden, begrenzt wird. Indem man diese Tatsache benutzt, kann man oft mit großer praktischer Sicherheit einen Normbogen zeichnen, wenn man nur eine geringe Anzahl von Punkten auf ihm kennt. Wie man hierbei auch Tangenten des Bogens, die man kennt, verwerten kann, ist sofort einleuchtend.

181.    Teilt man den Bogen AB (Fig. 171) in kleinere Bögen AM, MN, NB und wendet die in 179 gefundenen Ungleichungen auf jeden von diesen Bögen an, so findet man

A₁M₁ < MM₁ — AA₁<A₁S + MXS,

MXNX < NNX — MMX < Mx T + NXT,

NXBX < BBX — NNX < Vj TJ -f B] U und hieraus durch Addition

Umfang A₁M₁N₁B₁ < BBX — AAX < Umfang A₁STUBl.

Auf diese Weise erkennt man, daß B B₁— AAr kleiner als jede dem Evolutenbogen A₁B₁ umschriebene konvexe gebrochene Linie

4,

M]

mit den Endpunkten Ax und Bt und größer als jede dem Evolutenbogen einbeschriebene konvexe gebrochene Linie ist. Aber daraus folgt, daß die Größe BB₁ — AAt die Länge des Evolutenbogens angeben muß. Also: Die Länge der Evolute eines Normbogens ist gleich der Differenz der Krümmungsradien in den Endpunkten des Normbogens.

Tu

Fig. 171.

Bt

Den Normbogen kann man sich sonach dadurch entstanden denken, daß eine gerade Linie auf der Evolute rollt; ein Punkt dieser Linie beschreibt dann den Normbogen. Die verschiedenen Punkte der Linie beschreiben dabei eine Reihe Parallelkurven dieses Normbogens.

182.    In einem Endpunkt eines Normbogens kann der Krümmungsradius auch 0 oder unendlich werden. Aber diese Fälle verlangen keine wesentlich neue Betrachtung. Ist der Krümmungsradius unendlich, so wird die Normale in dem Punkt eine Asymptote der Evolute. Schließlich wollen wir bemerken, daß ein Normbogen sich auch ins Unendliche erstrecken, einen unendlich fernen Punkt haben kann. Der Krümmungsradius muß dann gleichzeitig, wenn der Punkt ins Unendliche rückt, ins Unendliche wachsen. Die Evolute berührt in diesem Falle die unendlich ferne Linie.

183.    Die Kurven, die in der Praxis irgendwelche Bedeutung haben, kann man sich gewöhnlich durch Zusammensetzung einer endlichen Anzahl von Normbögen entstanden denken (Normkurven).

4-

a_

Fig. 172 a.

'B

A]

'k

Fig. 172 b.

Soll die Kurve eine überall konti-'e nuierlich variierende Krümmung - haben, so müssen zwei aufeinanderfolgende dieser Normbögen, wo sie aneinanderstoßen, denselben Krümmungskreis haben. Die den einzelnen Normbögen entsprechenden Evolutenbögen bilden zusammen — die Evolute der ganzen Kurve, und jedes endliche Stück der Kurve kann man sich durch Rollen einer geraden Linie auf der Evolute entstanden

¹

Die sämtlichen auf einer und derselben Seite von M gelegenen Punkte einer Geraden, die durch M geht, bilden einen von M ausgehenden Halbstrahl. Eine Gerade wird durch jeden ihrer Punkte in zwei Halbstrahlen zerlegt.

denken. Die Evolute ist eine einfache Kurve und kann die gewöhnlichen Besonderheiten darbieten. In den Figuren 172 a, b, c ist gezeigt, wie die gegebene Kurve 7c beschaffen sein muß, damit die Evolute e a) einen Wendepunkt, b) eine Spitze erster Art, c) eine Spitze zweiter Art besitzt. Im ersten Falle bat die Kurve Je im allgemeinen eine Spitze zweiter Art, indem der Punkt A der Linie a, wenn dieselbe auf e rollt, zwei Bögen mit derselben Halbtangente in A beschreibt, deren konkave Seite dem Punkte B zugekehrt ist. Nur der Punkt B selbst beschreibt beim Rollen eine Kurve mit Wendepunkten. In dem zweiten Falle besteht die Kurve Je aus zwei Normbögen, die in A zusammenstoßen, ohne daß das Aussehen der Kurve irgendeine Besonderheit darbietet. Der Krümmungsradius von Je besitzt in A ein Maximum oder Minimum. Im dritten Falle bat die Kurve Je eine Spitze zweiter Art.

7c

e,

e.

Fig. 172 c.

SBt

>⁴

ij

:\Ai

■ I ''*3

Fig. 173.

CI

184. Eine Ellipse wird durch ihre Achsen in vier Quadranten zerlegt, von denen jeder ein Normbogen ist. Eine Hyperbel wird durch die Hauptachse in vier Normbögen und eine Parabel von ihrer Achse in zwei Normbögen zerlegt. Wir begnügen uns damit, die Ellipse zu betrachten. Die Fig. 173 stellt einen Quadranten dar. In zwei beliebigen Punkten A und B sind die Normalen gezeichnet, ihr Schnittpunkt ist S. Nach dem Steinerseben Satz ist das Sechseck 1 2 3 4 5 6, von dem die Ecken 3, 4 unendlich fern liegen und 1 mit S identisch ist, einer Parabel umschrieben und die Linien 1 4, 2 5 und 3 6 geben deshalb durch denselben Punkt B. Wenn B nach A konvergiert, konvergiert S nach dem Krümmungsmittelpunkt A₁ von A, und man erkennt aus der Figur, daß S bei diesem Grenzübergang sich in der Richtung von A nach 6 bewegt, d. b. S liegt auf der Stx-ecke AAV Ebenso zeigt man, daß S auf der Verlängerung des Krümmungsradius BB₁ liegt, und so läßt sich genau wie in 175 beweisen,

daß die Evolute des Ellipsenquadranten ein einfacher Bogen ist, woraus rückwärts folgt, daß der Ellipsenquadrant selbst ein Normbogen ist. (vgl. 178—17 9). Zur praktischen Zeichnung des Ellipsenquadranten

benutzt man in der Regel die Krümmungskreise in den Scheitelpunkten samt einem weiteren Punkt des

,!

Fig. 174.

-"A—i—-AA > ./ \ i / \ 'V

■.. } | \ / / /

oA—    V-/ ' " /

------\-------r /    /

tr

Bogens. Die ganze Evolute der Ellipse besteht aus vier kongruenten einfachen Bögen, die in den Krümmungsmittelpunk-- ten der Scheitelpunkte Zusammenstößen, so daß die Evolute vier Spitzen in diesen Punkten besitzt.

Die Fig. 174 zeigt außer der Evolute gleichzeitig drei innere Parallelkurven der Ellipse, eine ovale, eine andere mit vier Spitzen und eine dritte

mit vier Spitzen und zwei Doppelpunkten.

Mit Hilfe der Differentialrechnung kann man beweisen, daß jede algebraische Kurve (oder allgemeiner jede analytische reguläre Kurve) aus einer endlichen Anzahl Normbögen zusammengesetzt ist})

Rollkurven.

185. Wir betrachten diejenige Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene, welche durch das Rollen einer gegebenen Kurve r auf einer anderen gegebenen Kurve f bestimmt wird. Die Bahnen, die dann die verschiedenen Punkte beschreiben, beißen Rollkurven. Wir wollen zunächst zeigen, daß der augenblickliche Rotationspol (Momentanpol) im allgemeinen in den Berührungspunkt 0 der Kurven fällt.

Zuerst betrachten wir den Fall, wo eine der Kurven, z. B. f

1) Die vorstehenden Untersuchungen lassen sich also insbesondere auf diese Kurven anwenden. Sie gehen aber wesentlich weiter und sind vollständiger als die gewöhnlichen parallellaufenden Untersuchungen der Differentialgeometrie.

eine gerade Linie ist (Fig. 175). Die Kurve r sei wenigstens in der Umgebung von 0 eine einfache Kurve. Lassen wir r so weit auf f weiter rollen, bis der Punkt Mx von r in den Punkt M₂ von f

fällt (OJf₂ = OMx). Die Halbtangente txva.Mx (für den Umlaufssinn OM]) kommt dann mit dem Halbstrahl t2 von f (der in die Richtung OM₂ fällt) zur Deckung. Für die beiden Figuren Mxtx und M₂t₂ ergibt sich ein Rotationspol o, der als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten m von MXM₂ und der Halbierungslinie h des Winkels OTM₁ konstruiert werden kann. Wenn nun M₁ nach 0 konvergiert, so behaupten wir, konvergieren die Linien h und m nach der Normalen und Tangente der Kurve r in 0, und ihr Schnittpunkt konvergiert nach 0, so daß dieser Punkt wirklich der gesuchte Momentanpol ist.

Daß h nach der Normalen in 0 konvergiert, folgt daraus, daß T nach 0 und der Winkel OTMx gegen einen gestreckten konvergiert. Daß m nach der Tangente konvergiert, ist bewiesen, sobald man gezeigt hat, daß die Linie MXM₂ nach der Normalen konvergiert, und dies gelingt auf folgende Weise (Fig. 176): Auf der Tangente in 0 tragen wir in der Richtung OT die Strecken OA — der Sehne 0MX und TB = TM. ab. Wir finden dann

ti

Wt

--'SS-

m.

\ Ja

m₂

Fig. 175.

Fig. 176.

TM₂b

folglich

OA < 0MX < OB, OA < 0M₂ < OB,

die Strecke Mx M₂ liegt also innerhalb des Dreiecks A Mx R, und da die Richtungen MXA und MXB auf den Halbierungslinien der Winkel Mx OA und Mx TB senkrecht stehen, so daß sie beide nach derselben Richtung n, die mit der Normalen in 0 zusammenfällt, konvergieren, konvergiert auch MxMt nach dieser Richtung.

Wie man sofort sieht, gilt das Resultat auch für die Bewegung, bei der die gerade Linie f auf r rollt; die Bahn eines jeden Punktes von f heißt dann eine Evolvente von r.

m.

Daraus erkennt man u. a., daß jede Evolvente einer einfachen Kurve r eine Normkurve ist. Die Kurve r ist Evolute aller ihrer Evolventen.

186. Wir betrachten nunmehr den Fall, wo die Kurven r und f in der Umgebung von 0 einfache Bögen sind und ihre konvexen Seiten einander zukehren (Fig. 177). Wir tragen auf ihnen die gleichlangen Bögen 0Ml und OMt ab und finden den Rotationspol 0 für die beiden Figuren m_ M₁t₁ und M₂t% als den Schnittpunkt der Halbierungslinie li des Winkels TXTT₂ (dessen Nebenwinkel durch die Richtungen tx und tj bestimmt wird) mit der Mittelsenkrechten m

«V,

Fig. 177.

von

M₁Mi. Die erste Linie h konvergiert nach der Normalen n in 0; in dem Dreieck TXTT₂ konvergieren nämlich Tx und T₂ beide nach 0, während die Winkel des Dreiecks bei Tx und nach Null konvergieren, so daß auch die dritte Ecke T in allen Fällen

\M t

Fig. 178.

nach 0 konvergieren muß. Die andere Linie m konvergiert nach der gemeinsamen Tangente der Kurven in 0. Trägt man nämlich auf t eine den Bögen 0MX und 0M₂ gleiche Strecke OM ab (Fig. 178), so konvergieren die Richtungen MXM und MM₂ zufolge 185 nach derselben Normalenrichtung n und die Richtung MXM₂ muß deshalb auch nach n konvergieren, so daß die Mittelsenkrechte m von MXM₂ nach t konvergiert. Der Momentanpol ist also der Schnittpunkt von n und t, d. h. der Punkt 0.

187. Endlich betrachten wir den Fall, daß die Kurven r und f nach derselben Seite hin konvex sind, wobei wir indessen die Betrachtung so einschränken müssen¹), daß wir voraussetzen, die Kurven

sind Normkurven und haben in A verschiedene Krümmungskreise (Fig. 179). Wirtragen wie zuvor die gleich großen Bögen OM₁ und OM₂ ab und bestimmen den Momentanpol der Figuren Mxtt und M₂t₃. Nach dem Vorstehenden genügt es zweierlei zu beweisen: erstens, daß die Grenzlage für den Schnittpunkt T der Tangenten in M₁ und M₂ 0 wird, wenn Mx und M₂ nach 0 konvergieren, zweitens, daß die Richtung Mx M₂ nach der Normalen n in 0 kon-

fz

Cf

To

ls

vergiert.

Das erste beweisen

Fig. 179.

fT

wir wie folgt: die Tangenten in M₁ und M₂ mögen die Tangente t in Tx und T₂ schneiden. Das Dreieck TXTT₂ verändert sich nun so, daß Tt und T₂ nach 0 konvergieren, so daß die Seite TtT₂ gegen Null konvergiert. Wenn man daher zeigen kann, daß eine der anderen Seiten, z. B. TT₂ auch nach Null konvergiert, so ist klar, daß T nach 0 konvergieren muß.

Zu diesem Zweck untersuchen wir die Winkel des Dreiecks. Die Nebenwinkel der Winkel 0T₁3£l und OT₂M₂ bezeichnen wir mit a . und ß. Die mittlere Krümmung der beiden Bögen 0M₁ und 0M2 kann man, wenn die Länge der Bögen mit s bezeichnet wird, durch aß

— und j ausdrücken, und da von diesen Größen vorausgesetzt ist,

daß sie bestimmte voneinander verschiedene Grenzwerte haben, hat ihr Verhältnis einen bestimmten von 1 verschiedenen Grenzwert. a —

Das Verhältnis -

-CS

hat also einen bestimmten von Null ver

schiedenen Grenzwert jfc, und da TTt

sin a

J\Ti ⁼ sin (ct — ß)¹

findet man

TTS TXT%

Aber hieraus folgt, daß lim TT₂ — 0, so daß T gleichzeitig mit T₂ nach 0 konvergiert. (Wir haben Tv T₂ und T verschieden vorausgesetzt; ist dies nicht der Fall, so hat man ja unmittelbar TT₂ — 0; wir haben weiter vorausgesetzt, daß T nicht unendlich fern liegt, und diese Voraussetzung ist immer gestattet, wenn

lim

= lim

■co

man den Bogen OM₁ klein genug wählt, im anderen Palle würde

CC - ß

nämlich ——— beim Grenzübergang beständig den Wert Null annehmen können, wie klein auch s würde, und dies würde bedeuten,

daß die beiden Kurven in 0 dieselbe Krümmung haben.)

Es bleibt nun noch zu zeigen, daß die Richtung Ml M₂ nach der Normalen in 0 konvergiert. Wir tragen (Fig. 180) auf der Tangente

t die Strecke OM = OMx == OM2 ab und betrachten das Dreieck MtM₂M. Da MtM und M₂M nach der Normalen n in 0 konver-

Fig. 180.

W₂

gieren, sind die Krümmungsradien Qi und (>₂ von rund f m 0 nach 165 durch die Gleichungen bestimmt

031*

MM₂’

2qx — lim

also wird

OM* MMX ’

2q₂ — lim

o,    M 31,

- ~ hm MM. ■

Qi

Aber wenn lim

MM.

=f= 1, muß die Seite M₁M₂ in dem Dreieck MxM₂M nach derselben Richtung konvergieren wie die beiden anderen Seiten M₁M und M₂M. Sonst würde sich nämlich ergeben

MM.

lim

MM*    ¹’

Im folgenden wollen wir nun beständig voraussetzen, daß die

betrachteten Kurven r und f in ihrem Berührungspunkte 0 nicht zusammenfallende Krümmung skr eise besitzen, und wir können dann mit

-x.

Ai

M,

Bt

Pi

Fig 181.

Gewißheit behaupten, daß 0 der Momentanpol ist.

188. Um die Rollkurve zu konstruieren, die von einem Punkte Ax beschrieben wird, wenn r auf f rollt, wählen wir auf r eine Reibe Punkte MlN₁ . . . Pi? und finden auf f die entsprechen-

den Punkte M₂N₂ . . P₂, so daß die Bögen OM1? ONt, . . . OPt den Bögen OM₂, OJSf₂ ,... OP₂ der Reihe nach gleich sind (Fig. 181). (Wenn die Bogenlänge nicht exakt abgetragen werden kann, wählt man die Punkte so, daß die Sehnen OM₁ = MlN₁ = . . . OM2 = M₂N₂ . . . einer passend gewählten kleinen Strecke gleichgemacht werden.) Hierauf suchen wir die verschiedenen Lagen, die A₁ einnimmt, wenn MVNV ... P₁ nacheinander auf M₂,N₂, . . . P2 fallen. Für Px und P₂ führt man das so aus, daß man die Tangenten P₁B₁ undP₂P₂ zieht, den Kreisbogen AlB₁ mit dem Mittelpunkt Px schlägt und diesen in seine neue Lage A₂B₂ (mit dem Mittelpunkt P₂ und dem Radius AlP₁) überführt, wodurch A₂ bestimmt ist. Der Kreis B₂A₂ berührt die Rollkurve in A₂. Praktisch reicht es deswegen aus, Kreise mit den Mittelpunkten M₂, N₂, . . . P₂ und den Radien MXAV KXA^ . . . PlA₁ zu schlagen. Alle diese Kreise berühren die gesuchte Kurve, und diese ist deshalb graphisch mit hinreichender Genauigkeit bestimmt.

Aa

189. Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes einer Rollkurve (Fig. 182). Der Punkt Ax (4= 0) beschreibe die Rollkurve A₁A₂, wo A₂ der Lage von r entspricht, die diese Kurve annimmt, wenn Ml

nach M₂ gelangt (0M₂

Im₂

-F

Fig. 182.

= 0 Jfj). Die Normale in Aj ist die Linie Ax 0 und die Normale in A₂ ist A₂M₂. Die beiden Normalen schneiden einander in -ZV, und wenn M1 und M₂ nach 0, A₂ nach At konvergieren, konvergiert N nach dem Krümmungsmittelpunkt der Rollkurve in A₁. Wir wollen nun sehen, wie sich dieser Krümmungsmittelpunkt bestimmen läßt.

Den Normalen in At und A₂ gibt man solche positive Richtungen a und a₂, daß diese bei der Bewegung von At nach A2 kontinuierlich ineinander übergehen, und der Linie M₁Al, die bei der Rollbewegung in M₂A₂ übergeht, gibt man eine entsprechende positive Richtung av Die gemeinsame Tangente und Normale

11

Timerding, Handbuch II

der Kurven r und f in 0 versieht man mit den positiven Richtungen t und n, und zur Bestimmung der Winkel führt man einen

solchen positiven Umlaufsinn ein, daß (tn) = -f- ^ wird. Endlich erteilt man den Tangenten in Mx und M₂ solche positive Richtungen tt und t₂, daß sie beim Grenzübergang kontinuierlich in t übergehen.

Man findet dann folgende Beziehung zwischen den Winkeln: (««*) = (««x) + («x«₂) = (««i) + (Ms)>

woraus

(aa₂) = (fflflj) -f (tt₂) — (ttj.

Dividiert man diese Gleichung durch die Bogenlänge s — ÖM₁ = ÖM₂» so erhält man

(aat) ₌ (aßt) ,    _ (ttj)

s    s ' s    s

Lassen wir nun und M₂ nach 0 konvergieren, so konvergieren alle Glieder auf der rechten Seite nach bestimmten Grenzwerten. Zunächst hat man nämlich

(th)

(th) 1

p*’

wenn — OJR und p₂ = OF die Krümmungsradien von r und f im Punkt 0 bedeuten, mit bestimmten Vorzeichen (positiv in der Richtung n) genommen, und weiter findet man aus der Betrachtung des Dreiecks 0 Ax Mx

lim (üfi) ₌ Hm sin (aai) ₌ iim ein (gg~t «i)

OAt ’

lim

Pi’

lim

also

OM₁

lim^-

sin (ta) ÖA,

So erhält man schließlich lim

—+ -• Qi Q»

sin (ta)

UI,‘

Diesen Wert bezeichnen wir mit Je.

Aus der Betrachtung des Dreiecks NOM₂ folgt aber

sin (flas)

OMi

(1)

also

sin (OMs, a)

W^N ’

— lim

OM.

sin (0 Ms, a)

M^N

= Je.

Da nun der Zähler in dem Verhältnis

sin (OMi, a)

nach sin (ta)

M,N

konvergiert und sin (ta) und k nicht gleichzeitig Null sein können (weil ^ =j= q₂), konvergiert der Nenner M₂N beim Grenzübergang nach einem bestimmten Grenzwert, so daß N nach einem bestimmten Punkt Af auf a konvergieren muß. Die Existenz des Krümmungsmittelpunktes A\ ist damit bewiesen, und es wird sin (ta)

OA\

= k.

Die Formel (l) liefert

nun

-—l sin (ta) = —---—

A, )    v ' 9i    Ö2

Diese Formel bestimmt den gesuchten Krümmungsmittelpunkt Ax .

Betrachtet man verschiedene Punkte P auf a, so entspricht jedem ein bestimmter Krümmungsmittelpunkt P' auf a derart, daß

{öP ~ ~Ö~P~) Sin ^a) ⁼    "

wird. Fällt a mit n zusammen, so wird (ta) — 90°, also

(2)

tH | Q/

(3)

OP

TH i

Macht man OP —    (=f= 0), so erhält man OP = $)₂, also fäHt

von der Bahn, die von dem augenblicklich in den Kriimmungsmittel-punkt R der Kurve r fallenden Punkt P beschrieben wird, der Krümmungsmittelpunkt mit dem Krümmungsmittelpunkt F der festen Kurve f zusammen.

Vergleicht man (2) mit (3), so erkennt man weiter, daß jedes Punktepaar P und F' von n durch Projektion auf a ein paar zusammengehörige Punkte P und P' auf dieser Linie liefert.

Hieraus leitet man nun eine einfache Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes P' ab, der zu einem beliebig gegebenen Punkte P

/v

A......

....

"ö

Xp'

Q'

Fig. 183.

11*

von a gehört (Fig. 183). B und F werden auf a in Q und Q' projiziert, man findet dann (wenn a von t und n verschieden ist):

OP OP' OQ 0 (/

oder

OP OQ OP' OQ'

Hieraus folgt durch Vereinigung der Brüche

QP

Q'P'

OP ÖQ OP'OQ’

Die beiden letzten Faktoren OQ und OQ’ in den Nennern dieser Brüche sind unmittelbar zu Qli und Q'F proportional und können deshalb durch diese Werte ersetzt werden. Indem wir gleichzeitig die Brüche umkehren, erhalten wir

OP QE _ OP' • Q'F

QP

Q'P'

Aber diese Gleichung sagt aus, daß die Linien PB und P'F auf einer senkrecht zu a durch 0 gezogenen Linie p dieselbe Strecke

l£_

pr

Fig. 14.

OZ abschneiden. Man findet damit folgende Konstruktion: Man ziehe PB bis zum Schnitt mit dem auf a in 0 errichteten Lot und verbinde den Schnittpunkt Z mit F. Diese Verbindungslinie schneidet a in dem gesuchten Krümmungsmittelpunld ly (Euler-Savarysclie Konstruktion).

Aus der Konstruktion geht unmittelbar hervor, daß, wenn P die Linie a durchläuft, die von P und P' beschriebenen Punktreihen projektiv werden, und diese Punktreihen haben einen emsigen Doppelpunkt, nämlich 0.

Dieser Satz gilt auch dann, wenn a mit n zusammenfällt, da die Punktreihen auf der beliebigen Linie a durch Projektion der Punktreihen auf n entstehen. Für einen Punkt P von n kann man deshalb den zugehörigen Krümmungsmittelpunkt P' auf folgende Weise bestimmen (Fig. 184): Parallel zu der Tangente t wird BS₁ = OB und FS₂ = OF abgetragen, so daß S₁Si durch 0 geht. Die Linien SlP und S₂P' schneiden dann t in demselben Punkt T-da nämlich die Punktreihen (OBP . . .) und (OFP' . . .) projektiv sind, mit 0 als einzigem Doppelpunkt, werden die Strahlenbüschel St(OBP . . .) und S₂(OFP' . . .) zueinander perspektiv mit der Perspektivitätsachse t.

190. Die Konstruktion zeigt zugleich, wie man zu einem gegebenen Punkt P' den entsprechenden Punkt P finden kann. Läßt man P' auf n in unendliche Entfernung rücken, so fällt P in einen Punkt co, der dadurch bestimmt ist, daß die Linie S₁ co auf t ein Stück 0 U = OF (das mit FS₂ gleichgerichtet ist) abschneidet. In dem Punkt co hat die Bahn einen unendlich großen Krümmungsradius. Dasselbe gilt aber für alle Punkte, die aus co durch senkrechte Projektion auf die verschiedenen geraden Linien a durch 0 (die Linie t ausgenommen) entstehen. Alle diese Punkte liegen auf einem Kreis über Oco als Durchmesser, welcher der Wendekreis heißt. Der Punkt co selbst heißt der Wendepol. Die auf S. 162 gefundene Gleichung (l)

- + -

Qi Qi

lim

(aaf) sin (ta) s    ÖÄl

zeigt, daß der Winkel (aa₂) für hinreichend kleine positive Werte von s sein Vorzeichen beibehält, solange die Größe auf der rechten Seite ihr Vorzeichen nicht wechselt. Hieraus erkennt man, daß, wenn für ein Stück der von A± beschriebenen Rollkurve (Fig. 182)

sin (ta)

entweder beständig größer oder beständig

0At

0 Ax =(= 0 und

kleiner als —---— ist, die Normale und damit die Tangente für

Pi Ps

dieses Stück monoton variiert, so daß das Kurvenstück für Totalkrümmungen <C re ein einfacher Bogen ist; hierbei ist jedoch noch vorauszusetzen, daß die beiden Halbtangenten eines jeden Punktes des Kurvenstücks verschieden sind, und es wird diese Bedingung immer dann erfüllt sein, wenn bei der Rollbewegung die Kurve r auf der einen Seite von f liegen bleibt.

Alle Punkte innerhalb des Wendekreises beschreiben Bahnen, deren konkave Seite im Augenblick vom Momentanpol abgekehrt ist, während die Punkte außerhalb des Kreises Bahnen beschreiben, deren konkave Seite dem Momentanpol zugekehrt ist (vgl. Fig. 184).

Punkte, die im Augenblick auf der Tangente (aber außerhalb 0) liegen, beschreiben Bahnen, deren gemeinsamer Krümmungsmittelpunkt nach der Formel (2) S. 163 in dem Momentanpol liegt, und wenden die konkave Seite diesem Punkte zu.

Den Punkt, der im Augenblick im Momentanpol liegt, haben wir bisher von unseren Untersuchungen ausgeschlossen. Um auch über die von diesem Punkt beschriebene Bahn Aufschluß zu erhalten, betrachten wir die Figuren 175, 177, 179; indem der Punkt M₁ bei dem Rollen der Kurve r auf f sich dem Punkte M₂ nähert, wird der Halbstrahl M₂MX sich einer bestimmten Grenzlage n nähern, die auf die Normale der Kurve f in M₂ fällt; dies geht aus wesentlich denselben Betrachtungen hervor, die wir in 185—187 angestellt haben. Weiter ergibt sich ganz ebenso, daß bei Fortsetzung der Bewegung von Mx über den Punkt M₂ hinaus die dabei beschriebene Bahn genau dieselbe Halbtangente n haben muß, wenn nur die Kurve r bei der ganzen Bewegung auf der einen Seite von f liegen bleibt; die von Mx beschriebene Bahn wird dann in M₂ eine Spitze aufweisen. Den Krümmungsmittelpunkt erhalten wir als Grenzlage für den Schnittpunkt der beiden Bahnnormalen t2 und OMx (s. die Figuren), wenn Mx gegen M₂ konvergiert; in den beiden Fällen, die in den Figuren 175 und 177 dargestellt sind, wird die gesuchte Grenzlage, wie unmittelbar ersichtlich, nach J\I2 fallen. Der Krümmungsradius ist also Null. In dem dritten Falle (Fig. 179) stellen sich besondere Schwierigkeiten ein; der Krümmungsradius wird dann nicht immer Null sein.

191. Allgemeine stetige Bewegung in der Ebene. Wir betrachten eine beliebige, endliche Anzahl verschiedener Lagen 2V S.₂, 2₃, ... einer unveränderlichen Figur A, die eine vorgeschriebene Bewegung in der Ebene ausführt, wobei diese Lagen in der angegebenen Ordnung durchlaufen werden. Die Rotationspole für je zwei aufeinanderfolgende der Lagen 2V 2₂,... seien A, B, C, D,..., während die zugehörigen Rotationswinkel von 2X nach 2₂, von 2₂ nach 2₃ usw. die in Fig. 185 angegebenen Größen cc, ß, y, . . .

haben mögen. Wir konstruieren eine gebrochene Linie AB₁C₁D₁... derart, daß ABX = AB, BlC₁ = BC, C₁D₁ = CD usw. wird, während AB₁Cl==^.AB C₂, <^CB₁C₁D₁—^B CD₃ usw. wird. Denken wir uns dann die Figur 2X mit der gebrochenen Linie AB₁C₁D₁ . . . fest verbunden, während diese auf der gebrochenen Linie AB CD . . . rollt, so kommt 2X der Reihe nach in die Lagen

Ei

/Ci

-^2 1 ^3 ) ' ¹ •

C₂

,'Bj ..."

Dö: E4

Fig. 185.

Da man nun bei jeder praktisch vorkommenden Bewegung die Anzahl der Lagen -S₂,... so groß wählen kann, und entsprechend den Rotationswinkel A für zwei aufeinanderfolgende dieser Lagen so klein, daß die Bewegung durch diese Lagen vollkommen bestimmt ist, kann man die Bewegung einer Figur in einer Ebene praktisch immer dadurch zustande bringen, daß man eine bestimmte Kurve r auf einer festen Kurve f ohne zu gleiten rollen läßt und sich die bewegliche Figur mit der Kurve r, während diese auf f rollt, fest verbunden denkt. Dieses praktisch gewonnene Resultat hat aber bei theoretisch genau definierten Bewegungen nur eine beschränkte Gültigkeit.

Die Kurve f ist der geometrische Ort der momentanen Rotationspole für die verschiedenen Lagen der beweglichen Figur, während man eine bestimmte Lage von r als den geometrischen Ort aller Punkte der Figur erhält, die der Reihe nach in die momentanen Rotationspole fallen, r und f berühren sich beständig in dem momentanen Rotationspol. Die zwei Kurven heißen die Pölkurven der Bewegung.

"•'O

192. Beispiel: Eine Strecke AB gleitet mit ihren Endpunkten auf zwei gegebenen geraden Linien a und b, die sich in C schneiden (Fig. 186).

er---'-

c\

Fig. 186.

Den momentanen Rotationspol 0 findet man als den Schnittpunkt der Senkrechten auf a und b in A und B, CO ist daher ein Durchmesser des durch die Punkte ABC gehenden Kreises, und da die Länge

AB konstant ist und ebenso natürlich auch die Winkel zwischen A C und B C, ist der Durchmesser C 0 konstant. Der geometrische Ort für 0 ist daher ein Kreis f mit dem Mittelpunkt C und dem Radius CO.

Die Kurve r, die auf f rollen soll, um die gegebene Bewegung hervorzurufen, enthält die Punkte, die, indem sie sich mit der Strecke A B bewegen, der Reihe nach in die momentanen Rotationspole fallen. Aber da die Lage von 0 gegen AB dadurch charakterisiert wird, daß der Winkel zwischen A 0 und B 0 konstant ist, muß r der Kreis sein, der durch A, B und C hindurchgeht.

CA und /), weil OCA Peripherie-

von

Man sieht nun, daß die Bögen A 0 und Av 0 gleich groß werden (Ax ist der Schnittpunkt winkel im Kreise r und Zentriwinkel im Kreise f ist. Ebenso werden die Bögen BO und Bx 0 gleich groß. Wenn r auf f rollt, werden also wirklich die Punkte A und B die beiden Geraden a und b durchlaufen. Ein beliebiger Punkt P auf r durchläuft ebenso eine gerade Linie PC.

Ein beliebiger Punkt Q, der nicht auf r liegt, beschreibt eine Ellipse. Denn der Durchmesser ST von r, der durch Q geht, gleitet mit seinen Endpunkten S und T auf den beiden festen zueinander senkrechten Linien CS und CT (Vgl. 132).

Weitere Sätze über Rollbewegungen lindet man in folgenden

Werken:

L. Burmester, Lehrbuch der Kinematik I, Leipzig 1888.

A. Schoenflies, Geometrie der Bewegung in synthetischer Darstellung, Leipzig 1884.

A. Mannheim, Principes et developpements de geometrie cine-matique, Paris 1894.

Vgl. dazu Enzyklopädie d. math. Wissenscli. IV, 3, 9: Kinematik (Schoen flies-Grübl er).

¹

Weitergehende Untersuchungen findet man in der Abhandlung des Verfassers Die Geometrie der Wirklichkeit, Acta mathematica 1914.

Zyklische Kurven.

193. Die Bahnen der einzelnen Punkte bei der Bewegung, die dadurch bestimmt wird, daß ein Kreis r auf einem festen Kreis /"rollt, werden mit einem gemeinsamen Namen als zyklische Kurven bezeichnet. In dem Grenzfall, wo f in eine gerade Linie übergeht, heißen sie Zykloiden. Wenn r eine gerade Linie wird, heißen sie Kreisevolventen (eigentliche oder uneigentliche, je nachdem der sie beschreibende Punkt auf r liegt oder nicht).

In dem allgemeinen Falle, wo weder r noch /"unendlich groß werden, unterscheidet man zwischenEpizyldoidenundHypozykloiden,

je nachdem der Kreis r innerhalb oder außerhalb des Kreises f liegt. In Fig. 187 ist eine Konstruktion für die Punkte einer Epizykloide gegeben, die von einem augenblicklich auf der Zentralen der beiden Kreise liegenden Punkt A beschrieben wird. Wir tragen zwei gleich große Bögen OM und ON auf den beiden Kreisen ab und lassen r so weit rollen, daß M nach N kommt. Die neue Lage A₂ des Punktes A findet man auf folgende Weise: man dreht A um den Mittelpunkt B des rollenden Kreises r in der Anfangslage, bis es in eine solche Lage Ax kommt, daß M durch dieselbe Drehung nach dem anfänglichen Berührungspunkt 0 der beiden Kreise fällt; At liegt dann auf dem Radius jRM₁, wobei OMx = OM. Eine darauf folgende Drehung um den Mittelpunkt F des Kreises f, f die den Punkt 0 nach N bringt, führt den Punkt At in den gesuchten Punkt A₂ über.

Aß.

Fig. 187.

Die genannten beiden Drehungen führen nämlich r in seine neue Lage über. Ein Kreis mit dem Mittelpunkt N und dem Radius MA schneidet auch den Kreis, der den Mittelpunkt F hat und durch A± geht, in dem gesuchten Punkt A₂. Bei dieser Bestimmung muß man sich aber vor der Zweideutigkeit hüten, die dadurch entsteht, daß die genannten Kreise zwei Schnittpunkte haben. Man behalte der Sicherheit halber im Auge, daß <ßA₁FA₂ = <ßOF]¥ sein muß. (Vgl. auch 188).

Die hier betrachtete Kurve ist geschlossen, wenn der Kreis r nach einer gewissen Zahl von Umläufen um den großen Kreis in seine Anfangslage zurückkehrt, wenn also die Radien der beiden Kreise ein rationales Verhältnis haben. In der Figur ist die Zentrale BF eine Symmetrieachse der Kurve; sie schneidet die Kurve in einem Doppelpunkt P. Die konkave Seite der Kurve bestimmt man nach der früher angegebenen Regel (190). Je nachdem der die Kurve beschreibende Punkt A innerhalb oder außerhalb des Kreises r liegt, erhalten wir eine gestreckte oder eine verschlungene Epizykloide. In dem Grenzfalle, wo der Punkt A auf dem Kreise r liegt, bekommen wir eine gespitzte Epizykloide, die Kurve erhält überall da eine Spitze, wo der Punkt A auf den festen Kreis F fällt (190).

194. Geht der Punkt A bei der Bewegung in einen Punkt auf dem der augenblicklichen Lage von r entsprechenden Wende-

kreis über, so erhält die Kurve in diesem Punkt im allgemeinen einen Wendepunkt, es geht nämlich dann die Krümmung der Kurve von der einen Seite nach der anderen Seite über¹). Dies gilt aber nicht, wenn A in den Wendepol <a fällt, denn dann bleibt beim Rollen des Kreises r rückwärts und vorwärts der Punkt A außerhalb des Wendekreises; wenn A in den Momentanpol 0 fällt, entsteht wie oben genannt eine Spitze.

Damit der Punkt A eine Kurve mit Wendepunkten beschreiben kann, muß der Abstand RA der Größe nach zwischen Reo und

RO liegen. Gehen wir von einer Lage aus, wo der Punkt A auf der Zentralen RF der beiden Kreise liegt (Fig. 188), so wird ein Kreis mit dem Mittelpunkt R und dem Radius RA den Wendekreis in zwei Punkten Al und B schneiden. Der Bogen OM, den RB auf r abschneidet, werde auf f abgetragen, so daß

'f

Fig. 188.

T!

<A

ON = OM wird. Läßt man r so lange rollen, bis M nach N kommt, so wirdM bei der neuen Lage gerade auf den Wendekreis fallen. Denn die in Rede stehende Bewegung läßt sich durch zwei Drehungen aus führen, die erste um R, so daß A nach Ax kommt, und die andere um F, so daß 0 nach N kommt, und da die letzte Drehung ebenfalls den zu der anfänglichen Lage von r gehörenden Wende-kreis in den zu der neuen Lage von r ge-) hörenden Wendekreis überführt, erlangt Al eine Lage A₂ auf diesem letzten Wende-\ kreis; A.₂ ist also ein Wendepunkt auf der I von A beschriebenen Kurve.

0,

Fig. 189.

195. Jede Epi- oder Hypozykloide kann auf zwei verschiedene Weisen erzeugt werden. Wir wollen den Satz nur für den Fall beweisen, daß der beschreibende Punkt auf dem rollenden Kreise liegt. In Fig. 189

ist die Epizykloide AB dadurch erzeugt, daß r auf f rollt. BO schneidet f in Ov Man beschreibt nun einen Kreis rx, der durch B geht und f in 0X berührt. Da die drei Kreisbögen B0X, BO und 0 0X denselben Zentriwinkel haben, und die Summe der Sehnen BO und 00x gleich B0X ist, wird die Summe der Bögen BO

und 00x gleich dem Bogen B0V Da nun MO = BO, hat man

auch A0X — BÖX. Wenn der Kreis rx auf f rollt, beschreibt demnach B dieselbe Bahn, wie wenn r auf f rollt. Die Epizykloiden werden also auf doppelte Weise beschrieben, einmal indem der rollende Kreis dem festen Kreis anliegt, das andere Mal, indem er ihn umschließt. Aus B0X — BO — 00x folgt, daß der Radius von f gleich der Differenz der Radien von rx und r ist.

Bei den Hypozykloiden wird dagegen der Radius des festen Kreises gleich der Summe der Radien der beiden rollenden Kreise, durch die sich die Hypozykloide erzeugen läßt. Der rollende Kreis fällt jedesmal in den festen Kreis hinein. Das eine Mal umschließt er den Mittelpunkt des festen Kreises, das andere Mal liegt dieser Mittelpunkt außerhalb von ihm.

196. Jede gespitzte Epi- oder Hypozykloide ist ihrer Evolute ähnlich. Die Epizykloide k in Fig. 190 werde von einem Punkte A beschrieben, während r auf f rollt. Der Krümmungsmittelpunkt K werde nach der Euler-Savaryschen Konstruktion bestimmt, indem man die Senkrechte OB auf MO im

momentanen Berührungspunkte 0 mit AR in B schneidet, B ist dann der A diametral gegenüberliegende Punkt von r, und BF schneide MO im Punkte K. Das Verhält-FK FO

pp ist konstant. Daraus folgt,

daß die Evolute von k der von dem Punkte B beschriebenen Epizykloide ähnlich ist. Aber die von B beschriebene Kurve ist k kongruent, also ist die Evolute auch der Kurve k ähnlich.

nis

FB

Aj

Je

\f

\ "~W'a

0 i\ /

;K

Fig. 190.

Da man nun nach einem früher bewiesenen Satz (181) die Länge eines beliebigen Bogenstückes der Evolute finden kann, kann man auch die Länge eines beliebigen Bogens der gegebenen Epizykloide bestimmen.

Näheres über zyklische Kurven findet man in folgenden Werken F. Reuleaux, Theoretische Kinematik, Braunschweig 1875.

L. Burmester, Lehrbuch d. Kinematik, Leipzig 1888, I. Bd.,

II. Abschnitt.

Chr. Wiener, Lehrbuch d. darstellenden Geometrie, Leipzig 1887, II. Bd., VIII. Abschn.

Fr. Schilling, Über neue kinematische Modelle (Zeitschrift für Math, und Physik, Bd. 44, 1899, Bd. 51, 1904).

Fr. Schilling, Über die Anwendungen d. dar st. Geometrie, Leipzig und Berlin, 1904, S. 31—40.

G. Loria, Spezielle ebene algebraische und transzendente Kurven, Leipzig 1902, S. 461 ff.

Enzyklopädie der math. Wissenschaften, III D, 4: Besondere transzendente Kurven (Scheffers).

Hüllkurven.

'ai

Fig. 191.

Da die Linien AA1} A₁A₂, . der Systemkurven nähern (wobei wir voraussetzen, daß diese weder eine Sjiitze noch einen Doppelpunkt in dem betrachteten Punkte haben), erkennt man, daß die Hüllkurve jede der Systemkurven in ihren Schnittpunkten mit der konsekutiven Kurve

197. Hat man eine geordnete Reihe von unendlich vielen Kurven, die man sich durch kontinuierliche Änderung einer gegebenen Kurve konstruiert denken kann, so kann man unter Umständen von einem Schnittpunkte einer Kurve a des Systems mit ihrer konsekutiven Kurve sprechen. Man versteht darunter die Grenzlage des Schnittpunktes von a mit einer veränderlichen Kurve des Systems, die sich a unbegrenzt nähert, a kann mehrere Punkte mit seiner konsekutiven Kurve gemein haben, aber wir nehmen an, man könne einen so kleinen Bogen von a ins Auge fassen, daß nur ein Schnittpunkt in Betracht kommt. Unter der Hüllkurve des Systems versteht man dann den geometrischen Ort für die Schnittpunkte der konsekutiven Kurven des Systems. Praktisch wird man eine solche Hüllkurve bilden können, indem man in dem System eine Reihe von Kurven a, a1? a₂, . . . auswählt, so daß diese in der angegebenen Reihenfolge in dem Sj^stem aufeinander folgen. Die Schnittpunkte von je zwei aufeinanderfolgenden dieser ^ü-as Kurven (Fig. 191) bezeichnen wir mit A, At, A₂, ... Sie bilden eine Punktgruppe, die einander mit den Kurven a, alf a₂, . . . näher und näher rücken und so, indem ihre Anzahl gleichzeitig hinreichend groß wird, die gesuchte Hüllkurve bestimmen.

. sich gleichzeitig Tangenten

berühren. Dieses Resultat hat aber bei theoretisch genau definierten Kurven nur beschränkte Gültigkeit.

Jede einfache Kurve ist die Hüllkurve ihrer Tangenten.

198. Wir nehmen nun an, daß unser Kurvensystem durch Bewegung einer unveränderlichen Kurve a erzeugt sei (vgl. Fig. 191). Bei dem Übergange von a in die benachbarte Lage a₁ wird ein gewisser Punkt Ä auf a nach dem Schnittpunkt A von a und al gelangen. Da Ä' nach A durch Drehung um den Rotationspol der beiden Figuren a und at gelangt und da der hierbei beschriebene kleine Kreisbogen A'A sich der Berührung mit a nähert, berührt a seine Hüllkurve ip einem Punkte, dessen Normale durch den momentanen Rotationspol für die Figur a hindurchgeht. Man findet also die Punkte, in denen a die gesuchte Hüllkurve berührt, indem man aus dem momentanen Rotationspol die Normalen auf a fällt.

199. Beispiel: Die Hüllkurve einer Strecke AB von konstanter Länge, die mit ihren Endpunkten auf zwei zueinander senkrechten Linien a und b gleitet (Fig. 192).

Der momentane Rotationspol 0 ist der Schnittpunkt der Normalen von a und b in A und B. Das Lot OM von AB trifft AB in einem Punkte M der gesuchten Kurve. Von dem Kreis f liegt der Mittelpunkt C in dem Schnittpunkt von a und b, sein Radius C 0 schneidet die Strecke A B in ihrem Mittelpunkt N und ist ihr an Länge gleich. Der Kreis r über NO als Durchmesser geht durch den Punkt M hindurch.

OCM₁ — a, so wird der <L ONM — 2 a. Also wird der Bogen OM auf dem Kreise r in Gradmaß gleich viennal dem Bogen OMt auf dem Kreis f. Da gleichzeitig der Radius von r % des Radius von f ist, haben die Bögen MO und MxO dieselbe Länge. Der geometrische Ort für M wird also die Hypozykloide, die M beschreibt, wenn dieser Punkt dem im Kreise f rollenden Kreise r folgt. Die Hypozykloide hat vier Spitzen, die auf a und b liegen. Daß die gefundene Kurve die Strecke AB wirklich in allen ihren Lagen berührt, ist nun ganz klar. Die Kurve heißt eine Astroide.

Setzen wir nun

P.....A

/ ;j\

JL

A Mi

Fig. 192.

Gegenpunktkurven, Brennkurven, Fußpunktkurven.

200. Unter der Gegenpunktkurve einer gegebenen Kurve f bezüglich eines Punktes P versteht man den geometrischen Ort

für den Punkt Q, der zu P symmetrisch ist in bezug auf die Tangenten der gegebenen Kurve.

ft

-m

-«o

Die Gegenpunktkurve ist die Bahn, die Q beschreibt, wenn dieser Punkt mit der zu f bezüglich der Tangente t symmetrischen Kurve r fest verbunden ist und diese Kurve r auf f rollt (Fig. 193). Rollt nämlich r in die neue Lage rv so daß M nach Mv die Tangente m dieses Punktes in die Lage m₁ und Q nach Qx rückt, so findet man: die Figur PM₁m₁ ist symmetrisch zu QMm, und da diese mit QlM₁m₁ kongruent ist, sind die Figuren PMxmx und ft Mx ml symmetrisch, also liegen Pund ft symmetrisch zum^

Wenn demnach P ein leuchtender Punkt

Fig. 193.

M,

ist und f eine spiegelnde Kurve, welche die von P ausgehenden Lichtstrahlen zurückwirft, so werden die zurückgeworfenen Strahlen eine Kurve umhüllen, welche die Brenn-hurve für f bez. des Punktes P heißt. Der Lichtstrahl PO wird aber zurückgeworfen in der Richtung QO, wobei Q symmetrisch zu P bez. der Tangente i in 0 ist. Da QO nun die Normale der Gegenpunktskurve von f bez. P wird, sieht man, daß die Brennkwrve die Evolute der Gegenpunktkurve ist.

Kennt man den Krümmungsmittelpunkt F von f, so kann man durch die Euler-Sa-varysche Konstruktion den Punkt B finden, in dem QO die Brennkurve berührt (Fig. 194).

Fig. 194.

Unter der Fußpunktkurve von f bez. P versteht man den geometrischen Ort für die Projektion von P auf eine Tangente von f. Man erhält also die Fußpunktkurve, indem man die Gegenpunktkurve von dem Zentrum P aus in dem Verhältnis 1 : 2 ähnlich verkleinert.

Achtes Kapitel.

¹

Wir schließen dabei den Fall aus, wo der Wendekreis mit r zusammenfällt. Dieser Fall ist in 192 behandelt.

Umdrehungsfläclien.

Allgemeine Erzeugung der Kurven und Flächen.

201.    Für Raumkurven benutzen wir ganz ähnliche Definitionen der Begriffe Tangente und Halbtangente, wie wir sie bereits für ebene Kurven aufgestellt haben (161). Ein Bogen AB ohne Doppelpunkte wird im folgenden als gewöhnlicher Bogen bezeichnet, wenn jeder Punkt des Bogens, welcher nicht mit einem der Endpunkte A oder B zusammenfällt, zwei entgegengesetzte Halbtangenten aufweist, welche dann zusammen die Tangente in dem Punkte ausmachen; auch die Endpunkte A und B sollen bestimmte Halbtangenten haben, welche zusammen mit ihren Verlängerungen die Tangenten in A und B bilden. Jede Linie, die auf der Tangente im Berührungspunkte senkrecht steht, heißt eine Normale. Eine Ebene, die zu der Tangente im Berührungspunkte senkrecht ist, heißt eine Normalebene der Raum kurve in diesem Punkte.

Liegen von einem gewöhnlichen Bogen AB die Endpunlde A und B in einer bestimmten Ebene TT, so gibt es auf dem Bogen wenigstens einen Punkt P, der von A und B verschieden ist, und dessen Tangente zur Ebene TT parallel ist. Der Punkt P auf dem Bogen, dessen Abstand von der Ebene ein Maximum wird, muß nämlich die erwähnte Bedingung erfüllen (vgl. 161).

Bei der Zusammensetzung einer Raumkurve aus gewöhnlichen Bögen können Punkte auftreten, für welche die beiden Halbtangenten zusammenfallen. Man sagt, daß die Kurve in einem solchen Punkte eine Spitze hat.

202.    Wenn ein Punkt auf der Kurve sich auf ihr so kontinuierlich fortbewegen kann, daß sein Abstand von einem willkürlichen festen Punkt 0 im Raume ins Unendliche zunimmt, und die Linie OP gleichzeitig eine feste Grenzlage erreicht, so sagt man, daß der durch die Richtung dieser Grenzlage bestimmte unendlich ferne Punkt U auf der Kurve liegt. Hat gleichzeitig die

Linie P U eine bestimmte Grenzlage, so heißt diese die Tangente (Asymptote) der Kurve in U. Der veränderliche Punkt P nähert sich dann bei der Bewegung mehr und mehr dieser Asymptote. Wenn der Abstand des Punktes 0 von PU ins Unendliche wächst und dabei die Ebene OPU sich einer bestimmten Grenzlage nähert, so sagt man, daß die durch diese Grenzlage bestimmte unendlich ferne Linie eine Asymptote der Kurve im Punkte U ist. Die Wahl des Punktes 0 hat keinen Einfluß auf das Resultat.

In einer Raumperspektive, bei welcher U einem eigentlichen Punkt Ux entspricht, entsprechen die gegebene Kurve und ihre Asymptote einer neuen Kurve und deren Tangente in Uv Umgekehrt, wenn ein eigentlicher Punkt V auf der Kurve bei der Raumperspektive in einen unendlich fernen Punkt Vx übergeht, so geht die entsprechende Kurve durch diesen Punkt und ihre Asymptote in Vt entspricht der Tangente der ersten Kurve in V. Diese Sätze folgen unmittelbar aus unseren Definitionen, wenn man den Punkt 0 im Zentrum der Perspektive wählt. Die Resultate können in folgendem allgemeinen Satz zusammengefaßt werden :

Ein Punkt und die Tangente in ihm, die zu einer gegebenen Kurve gehört, gehen durch eine willkürliche Jiaumperspektive über in einen Punkt und die Tangente in ihm, die zu der entsprechenden Kurve gehört (vgl. 166).

203. Eine Fläche wird erzeugt durch die Bewegung einer Kurve, wobei die Kurve nicht Unveränderlich zu sein braucht. Aber selbst wenn die Kurve sich verändert, kann man sich doch denken, daß ihre einzelnen Punkte bestimmte Bahnen haben. Wenn ein Bogen b der Kurve sich aus einer Lage in eine andere bewegt, so durchläuft er ein gewisses Stück der Fläche (ein elementares Flächenstück), das die von den Punkten des Bogens b durchlaufenen Bahnen enthält. Wir setzen voraus, daß das elementare Flächenstück folgende Eigenschaften besitzt:

1.    Man kann es sich durch zwei Systeme von gewöhnlichen Bögen erzeugt denken, so daß durch jeden Punkt des Flächenstückes ein und nur ein Bogen jedes der beiden Systeme geht.

2.    Zwei beliebige Bögen verschiedener Systeme schneiden einander höchstens in einem Punkt, und ihre Tangenten in einem solchen gemeinsamen Punkt sind verschieden.

3.    Wenn ein Punkt P sich stetig auf der Fläche bewegt, so werden die Tangenten der beiden erzeugenden Kurven in P sich auch stetig bewegen.

Durch einen beliebigen Punkt A der Fläche mögen die beiden erzeugenden Kurven a und b gehen und außerdem eine beliebige Kurve c der Fläche (Fig. 195). Wir wollen daß die Tangenten der drei Kurven in A derselben Ebene angehören müssen. Eine neue erzeugende Kurve aus demselben System wie a sei mit ax bezeichnet und schneide auf b und c die Punkte Ax und Ax' aus. Eine Ebene durch M, Ax und Ax enthält dann die beiden Geraden AAX und AAX' und ist zu einer gewissen Tangente des Bogens AXAX' parallel. Wenn Ax sich auf der Kurve c dem Punkte a nähert, gehen die beiden erstgenannten Geraden AAX und MM/ in die Tangenten von b und c über, während die Tangente des Bogens AXAX nach unserer dritten Voraussetzung¹) in die Tangente von a übergeht. Es liegen also wirklich die drei Tangenten von a, b und c in derselben Ebene.

zeigen,

nun

Fig. 195.

Also: In jedem Punkt A des Flächenstückes findet man eine bestimmte Tangentialebene, d. h. eine Ebene, welche die in A berührenden Tangenten aller Kurven enthält, die auf der Fläche liegen und durch A gehen.

Das Lot auf der Tangentialebene im Berührungspunkt A heißt die Normale in A. Eine Linie, die eine Kurve auf der Fläche berührt, heißt eine Tangente der Fläche. Wenn die Tangentialebene in a mit der Fläche keinen durch A gehenden Kurvenbogen gemein hat, so sagt man, die Fläche sei in A konvex. Wenn hingegen die Tangentialebene die Fläche in einem oder mehreren durch A gehenden Bögen schneidet, so sagt man, die Fläche sei in A unkonvex.

204:. Man sagt, daß eine Fläche einen unendlich fernen Punkt TJ enthält, wenn sie eine Kurve enthält, die durch U geht. Wenn die in TJ berührenden Asymptoten aller Kurven der Fläche, die durch TJ gehen, in einer bestimmten Ebene liegen, heißt diese Ebene eine Asymptotenebene (eine Tangentialebene in TJ'). In einer Raumperspektive, die TJ in einen eigentlichen Punkt TJX überführt, entspricht die Asymptotenebene der in TJX berührenden Tangentialebene der homologen Fläche. Umgekehrt kann man aus der Existenz dieser Tangentialebene auf die Existenz der Asymptotenebene schließen.

205. Zwei Flächen können einander in einer Kurve schneiden. Die Tangente in einem Punkt dieser Kurve wird bestimmt als die Schnittlinie der Tangentialebenen der beiden Flächen in dem betreffenden Punkte. Fallen die Tangentialebenen zusammen, so muß die Aufgabe auf andere Weise gelöst werden. Wenn die beiden Flächen in jedem Punkte einer Kurve, die ihnen beiden angehört, dieselbe Tangentialebene haben, so sagt man, die Flächen berühren sich längs dieser Kurve.

Wenn zwei Teile derselben Fläche einander schneiden, so heißt die Schnittkurve eine DoppeVcurve der Fläche. Zwei Teile einer Fläche können längs einer Kurve 7c so zusammenstoßen, daß sie sich durch die Bewegung eines Bogens, der eine auf 7c liegende Spitze besitzt, erzeugen lassen, wobei die Tangente in der Spitze niemals mit der Tangente von 7c zusammenfällt und die zwei von der Spitze ausgehenden Zweige der Kurve jeder einen der beiden Flächenteile durchlaufen. 7c heißt in diesem Falle SpitzTcante der Fläche.

Der Kegel, den die von einem gegebenen Punkt an eine bestimmte Fläche gelegten Tangenten erfüllen, heißt der Fläche umschrieben. Er berührt im allgemeinen die Fläche längs der Kurve, die von den Berührungspunkten aller Tangenten gebildet wird. Der Kegel kann sich in besonderen Fällen in verschiedene einzelne Kegel, auch in mehrere Ebenen auflösen.

206. Eine Fläche bringt man zur Anschauung durch die Projektion einer Reihe von Kurven, die auf der Fläche liegen.

Folgende Kurven spielen in dieser Hinsicht eine besondere Bolle: 1. die Berührungskurve 7c der Kegelfläche, die der Fläche umschrieben werden kann und deren Spitze im Zentrum der Projektion liegt; 2. Doppelkurven d und Spitzkanten s der Fläche. Die Projektionen 7c, d' und s' von 7c, d und s heißen die Haupt-linien in dem Bilde der Fläche. Die Fläche wird als undurchsichtig angenommen, und die Projektionen der sichtbaren Teile aller Kurven werden voll ausgezogen, während man die Projektionen der unsichtbaren Teile punktiert. In den einfachsten Fällen, wo keine Doppelkurven oder Spitzkanten vorhanden sind, bildet die Kurve 7c oder ein Teil von ihr die Kontur oder den Umriß des Flächenbildes, nämlich die Begrenzung des Teiles der Bildebene, die von dem Bilde der Fläche erfüllt wird. Die Projektion einer Kurve auf der Fläche, die 7c in einem Punkte P schneidet und deren Tangente in P kein Projektionsstrahl ist, berührt// in der Projektion des Punktes P.

Will man nur einen Teil einer Fläche darstellen, so muß man natürlich das Bild der Begrenzung dieses Teiles zeichnen.¹)

1) Für die in der Praxis vorkommenden Raumkurven und Flächen (praTctiscTien Raumkurven und Flächen) gelten genau ebensolche Be-

Darstellung einer Umdrehungsfläclie in Grund- und Aufriß.

207. Eine Umdrehungsfläclie wird dadurch erzeugt, daß eine Kurve le sich um eine feste gerade Linie a, die Achse der Fläche, dreht. Bei der Umdrehung bleibt jeder Schnittpunkt von Je und a fest. Jeder andere Punkt von Je beschreibt einen Kreis, dessen Ebene zu a senkrecht ist und dessen Mittelpunkt auf a liegt. Alle diese Kreise heißen Par allellereise. Wenn die Fläche sich um a dreht, so verschiebt jeder Parallelkreis sich in sich selbst. Die ganze Fläche verschiebt sich auch in sich selbst und kann deshalb durch jede Kurve erzeugt werden, die alle Parallelkreise schneidet. Die Kurven, in denen die Fläche von den Ebenen durch a, den Meridian ebenen, geschnitten wird, heißen MeridianJeurven. Alle Meridiankurven sind kongruent und bestehen aus zwei symmetrischen Teilen, von denen, wenn der eine gegeben ist, der andere sofort gefunden werden kann.

Ist die erzeugende Kurve le ein gewöhnlicher Bogen, so hat jeder Punkt P der Fläche, der nicht auf der Achse liegt, nach 203 eine einzige bestimmte Tangentialebene. Man muß dabei aber voraussetzen, daß le den durch P gehenden Parallelkreis nicht berührt und nur einen Punkt mit ihm gemein hat. Die Tangentialebene in P läßt sich bestimmen durch die Tangente an Je und die Tangente an den Parallelkreis in P. Sie ist senkrecht zu der Meridianebene aP. Die Normale der Umdrehungsfläche in P muß also die Achse schneiden. Dreht man P um a, so schneidet die Tangentialebene a immer in demselben Punkt, dieser wird so die Spitze eines Rotationskegels, der die Fläche längs dem von P beschriebenen Parallelkreis berührt. Diese Kegelfläche kann in besonderen Fällen in eine zu a senkrechte Ebene oder eine Zylinderfläche mit der Achse a übergehen.

Die Normale in P beschreibt bei der Umdrehung um die Achse ebenfalls einen Rotationskegel, dessen Spitze auf der Achse liegt. Diese Spitze ist gleichzeitig der Mittelpunkt einer Kugel, welche die Umdrehungsfläche längs dem gegebenen Parallelkreis berührt.

Die geraden Linien, die durch die Punkte einer gegebenen merkungen, wie wir sie früher für ebene Kurven gemacht haben (S.141). Jede Tangente einer solchen Kurve hat ein endliches Stück mit der Kurve gemein, und jede Tangentialebene einer derartigen Fläche hat ein endliches Flächenstück mit der Fläche gemein. Die Kurve läßt sich aus einer endlichen Anzahl von geradlinigen Stücken zusammensetzen und die Fläche aus einer endlichen Anzahl ebener Flächenstücke.

Meridiankurve gehen und auf der Ebene der Meridiankurve senkrecht stehen, sind Tangenten der Parallelkreise. Also kann man längs jeder Meridiankurve der Fläche einen Zylinder umschreiben, von welchem die gegebene Meridiankurve ein senkrechter Querschnitt ist.    ,

Wenn die Meridiankurve die Achse a rechtwinklig schneidet, dann erfüllen die Tangenten in dem Schnittpunkt eine gewöhnliche Tangentialebene. Schneidet hingegen der Meridian die Achse a unter einem schiefen Winkel, so erfüllen die Tangenten im Schnittpunkt P einen Rotationskegel. Der Punkt P selbst ist ein singulärer (konischer) Punkt der Fläche.

Hat die Meridiankurve einen nicht auf a fallenden unendlich fernen Punkt U mit einer eigentlichen Asymptote p, so wird die Ebene TT, die wir 'durch p senkrecht zur Meridianebene legen, eine Asymptotenebene der Fläche im Punkt U. Die Asymptotenebene TT erzeugt bei der Drehung um a einen Rotationskegel, der ein Asymptotcnkcgel der Fläche heißt. Nur wenn p zu a senkrecht ist, geht der Asymptotenkegel über in eine Ebene, die die Umdrehungsfläche längs einer unendlich fernen geraden Linie berührt.

208. In Fig. 196 ist eine Umdrehungsfläche mit lotrechter (zum Grundriß senkrechter) Achse a dargestellt. Die Meridiankurve m (der Hauptmeridian) in der Ebene parallel zur Aufrißebene sehen wir als gegeben an. Ein Punkt P der Fläche, dessen

S" ‘

p"

/(.

•Ü

a"

ej

e\

Fig. 196.

Grundrißprojektion P' gegeben ist, wird mit Hilfe des Parallelkreises Je durch P bestimmt; die Grundrißprojektion dieses Parallelkreises kann sofort gezeichnet werden. Nachdem man die Grundrißprojektion Q' des Schnittpunktes Q von Je und m bestimmt hat, findet man leicht die Aufrißprojektion Q" (im vorliegenden Falle ergeben sich zwei Lösungen, aber in der Figur ist nur die eine angegeben) und damit

die Aufrißprojektion des Parallelkreises. P' findet man dann durch Hinauf loten von P' auf die Aufrißprojektion des Parallelkreises.

Die Tangentialebene TT in P findet man durch Drehung der Tangentialebene in Q. Von dieser letzten Tangentialebene ist die Aufrißspur e₂ die Tangente der Meridiankurve in Q" und die Grundrißspur ex' zur trennenden Achse senkrecht. Diese Grundrißspur dreht man um die Grundrißprojektion a der Achse herum, bis sie zu a P' senkrecht wird. Aus der so gefundenen Grundrißspur e₁ ist die Aufrißspur sofort zu finden. Man kann auch die Ebene TT daraus finden, daß sie die Tangente PS der Meridiankurve in P enthalten und auf der Meridianebene Pa senkrecht stehen muß.

209.    An eine gegebene Umdrehungsfläche soll eine Tangentialebene parallel zu einer durch ihre Spuren e₁ und e₂ gegebene Ebene gelegt werden (Pig.

Q7-

r«r—

e2

a”

.'-VT

V'

197). Die gegebene Ebene dreht man um die lotrechte Linie b, bis sie zur Aufrißebene senkrecht wird. Dies kann man auf zwei Arten erreichen; q2 und r₂ mögen die zugehörigen Aufrißspuren sein.

</

Q\r7a' )

V    Y

V    p>

il

Fig. 197.

Man zieht nun die Tangenten an den Hauptmeridian parallel zu q₂ und r₂, die Berührungspunkte seien Q und B. Der Berührungspunkt der gesuchten Tangentialebene liegt dann auf dem Parallelkreis durch Q bzw. B, und auf dem Parallelkreis wird der gesuchte Berührungspunkt P durch die zu ex senkrechte Linie a'P' bestimmt.

210.    Wenn die Umdrehungsfläche wie in den vorstehenden Figuren bestimmt wird, so fällt die Kontur im Aufriß mit der Projektion des Hauptmeridians zusammen. Aber es kann Teile des Hauptmeridians geben, die von der Fläche verdeckt werden und somit nicht zu der eigentlichen Kontur gehören. Dagegen gehört die Aufrißprojektion des höchsten und tiefsten Parallelkreises auf der Fläche (wenn solche Kreise existieren) mit zur Kontur.

Die Grundrißkontur wird durch die senkrechte Projektion des größten und kleinsten Parallelkreises auf der Fläche gegeben.

In der folgenden Fig. 198 ist eine Umdrehungsfläche dargestellt, deren Achse a eine schräge Frontlinie und deren Hauptmeridian m ist. Wir suchen die Kontur der Fläche im Grundriß. Längs dem Parallelkreis c legen wir an die Fläche eine berührende

Kugel mit dem Mittelpunkt 0. Der horizontale Hauptkreis Ti dieser Kugel schneidet den Parallelkreis in zwei Punkten, deren Tangentialebenen vertikal sind und deren Grundrißprojektionen somit zur Grundrißkontur gehören. Der eine dieser Punkte sei S. Die Tangente t der Kontur in S' ist die Grundrißspur der Tangentialebene in S und fällt mit der Tangente von Ti' zusammen, t schneidet a in der Grundrißprojektion der Spitze des längs dem Parallelkreis berührenden Kegels, a ist eine Symmetrielinie der Kontur. Die Punkte der Kontur auf a findet man aus den vertikalen Tangenten von m" und, wo solche nicht existieren, aus den Schnittpunkten von m" und a".

m"

V«'

Y'ä¹

-4'

Fig. 198.

Ebene Scbnittkurven einer Umdrebnngsfläcbe.

211. Um den Schnitt einer Umdrehungsfläche mit einer Ebene 17 zu bestimmen, schneidet man diese Ebene mit einer Reihe von Hilfsebenen, die zu der Achse der Fläche senkrecht sind. Jede solche Ebene schneidet die Fläche in einem Kreis, die Ebene T7 in einer geraden Linie. Dieser Kreis und diese Gerade schneiden einander in Punkten der gesuchten Kurve. Die Tangente in einem Punkte der gesuchten Kurve findet man als die Schnittlinie der Ebene TT mit der Tangentialebene der Fläche in dem betrachteten Punkt.

Steht die Achse der Umdrehungsfläche vertikal, so werden die Hilfsebenen horizontal, ihre Schnittkreise werden im Grundriß als Kreise dargestellt, und die Schnittkurve läßt sich sofort zeichnen. Dabei sind folgende Punkte besonders zu beachten:

1. Die Punkte A und B (Fig. 199), die in der Grundrißprojektion den Übergang vom sichtbaren zum unsichtbaren Teil der Kurve bestimmen, also die Punkte auf d,em Konturkreis Ti.

Die Grundrißprojektion der Schnittkurve berührt K in der Figur in Ä und B'.

2.    Die Punkte P und Q, die in der Aufrißprojektion den Übergang vom sichtbaren zum unsichtbaren Teil der Kurve bestimmen. Diese liegen auf

dem Hauptmeridian und werden gefunden durch den Schnitt dieses Hauptmeridians mit der Frontlinie /*, in der die gegebene Ebene TT die Ebene des Hauptmeridians schneidet. Die Aufrißprojektion der Kurve berührt in der Figur die Aufrißprojektion des Hauptmeridians in P" und Q".

3.    Die Scheitel der Schnittkurve. Eine Ebene durch a senkrecht zur Schnittebene teilt diese und die Umdrehungsfläche symmetrisch und ist deshalb auch eine Symmetrieebene für die Schnittkurve. Die Schnittlinie s dieser Symmetrieebene mit der Ebene TT ist also eine Achse der Kurve und, wenn sie Punkte der Kurve enthält, sind diese Scheitel der Kurve. (Wir nehmen an, daß die Kurve weder Spitzen noch Doppelpunkte enthält.) Die Scheitel finden wir also als die Schnittpunkte von s mit der Fläche. Wir drehen s um a in die Hauptmeridianehene hinein, wobei sie die Lage s₁ erreiche. Dann bestimmen wir die Schnittpunkte von s₁ mit dem Hauptmeridian und drehen nach s zurück.

' /■ \q

Fig. 199.

ii

fA¹'

T"U

B7

4. Unendlich ferne Punkte. Wenn die Umdrehungsfläche eine oder mehrere Asymptotenkegel besitzt, so bestimmen die Seitenlinien dieser Kegel, die der Schnittebene parallel sind, die unendlich fernen Punkte der Schnittkurve. Schneidet man also jeden der Asymptotenkegel mit einer Ebene, die der Ebene TT parallel ist und durch die Spitze des Kegels geht, so schneiden die Tangentialebenen des Kegels längs den gefundenen Seitenlinien die Ebene TT in den Asymptoten der Schnittkurve (vgl. 218).

212. Der Krümmungskreis in dem Scheitel M eines ebenen

Schnittes einer Umdrehungsfläche kann bestimmt werden, indem man die Schnittebene TT mit einer Kugel schneidet, welche die Umdrehungsfläche längs dem durch M gehenden Parallelkreis Je berührt.

Jl

Eine Kugel, die durch Je und einen Parallelkreis Je₁ geht, der einen Punkt Mx der Schnittkurve in der Nachbarschaft von M enthält, trifft nämlich die Schnittebene in einem Kreis, der die Kurve in M berührt und durch Mx geht, und dieser Kreis nähert sich dem Krümmungskreis in AT, wenn kx sich Je nähert.

Fig. 200.

In Fig. 200 ist die Fläche bestimmt durch die Achse a und die Meridiankurve m, die beide in der Zeichenebene liegen. Die Schnittebene TT ist senkrecht auf der Zeichen ebene und hat die Spur e. Der Krümmungsradius MK der Schnittkurve im Scheitelpunkt M ist dann die Projektion von MN auf e, wenn MN die Normale von m in M bezeichnet.

Das einschalige Umdrelmngsliyperboloid.

213. Ein einscltaliges TJmdreJiungsJiyperboloid wird erzeugt durch die Drehung einer geraden Linie f um eine Achse a, die f

nicht schneidet und zu f nicht senkrecht ist.

Zwei verschiedene Lagen der Erzeugenden, / und fx, können einander nicht schneiden. Fände sich nämlich ein Schnittpunkt S, so müßte dieser bei der Drehung von f in f\ entweder fest bleiben oder in einen anderen Punkt auf ft übergeführt werden. Das erste ist unmöglich, weil f die Achse a nicht schneidet, und das andere ist unmöglich , weil f auf a nicht senkrecht steht.

Der kleinste Parallelkreis (Kehlkreis) der Fläche ist der, dessen Radius der kürzeste Abstand von f und a ist. Parallelkreise, deren Ebenen von der Ebene des Kehlkreises gleichen

WM

y-

/f"

'V.,V

'M

r, \

V-

A\f

•B’

bk..

Fig. 201.

Abstand haben, sind gleich groß. Hieraus folgt: 1. Die Ebene des Kehlkreises ist eine Symmetrieebene der Fläche. 2. Der Mittelpunkt des Kehlkreises ist auch Mittelpunkt der Fläche.

In Fig. 201 ist a zum Grundi'iß senkrecht und f zum Aufriß parallel angenommen. A ist die Grundrißspur von f und B der Punkt von f\ der von der Ebene des Kehlkreises denselben Abstand bat wie A. Die von A und B beschriebenen Parallelkreise liefern dieselbe Grundrißprojektion k. Eine beliebige Erzeugende fx der Fläche findet man, indem man auf dem Kreise k gleiche Bögen AAX und B' Bx nach derselben Seite abträgt.

Da f bei der Drehung der Reihe nach alle Punkte der Fläche durchläuft, gehört zu einem beliebigen Punkt P auf der Fläche eine Lage von f. Die Tangentialebene in P enthält diese Erzeugende und ist senkrecht auf der Meridianebene durch P.

214. Da jede Meridianebene eine Symmetrieebene der Fläche ist, liegt auch die zu f bezüglich der Hauptmeridianebene symmetrische Linie g auf der Fläche. Sie hat die Grundrißspur M und schneidet den Parallelkreis durch B im Punkt N. Da die Gerade g alle Parallelkreise schneidet, durchläuft sie bei der Drehung um a die ganze Fläche. Jede Lage von g ist symmetrisch zu einer beliebigen Lage von f bezüglich einer Meridianebene. Denn M und N' liegen bei der Drehung beständig symmetrisch zu A und B' bezüglich eines Durchmessers von k. Das Umdrehungshyperboloid enthält also zwei verschiedene Systeme von geraden Linien. Zwei Linien desselben Systems schneiden sich nie, zwei Linien verschiedener Systeme schneiden sich immer. Durch jeden Punkt P der Fläche gehen zwei Erzeugende, eine von jedem System. Diese bestimmen die Tangentialebene der Fläche in dem Punkte P.

Wir sagen von zwei geraden Linien a und f, die einander nicht schneiden und nicht zueinander senkrecht sind, daß sie in Rechtsstellung sind, wenn ein Beobachter, der sich längs der einen Linie aufstellt, die andere vor sich rechts nach unten zeigen sieht. Im entgegengesetzten Falle sagen wir, die Linien sind in Linksstellung. Wenn eine Person den linken Arm in die Höhe streckt und den rechten Arm vorwärts schräg nach oben hält, können die beiden Arme zwei Linien in Rechtsstellung vorstellen. Streckt die Person hingegen den rechten Arm in die Höhe und den linken Arm vorwärts schräg nach oben, so stellen die Arme zwei Linien in Linksstellung dar. In Fig. 201 sind a und f in Rechtsstellung, a und g in Linksstellung. Die Erzeugenden des Systems f heißen deshalb Rechtserzeugende, während die Erzeugenden des Systems g Linkserzeugende genannt werden.

215. In Fig. 202 schneidet die Erzeugende f die Parallelkreise b und c in den Punkten B und C. Durch f sind zwei Ebenen gelegt, von denen die eine b und c in N₁ und die andere in N₂ und P₂ schneidet. Die Linien N₁P₁ und ZV₂P₂ sind dann Erzeugende des Systems g. Jede von ihnen liegt nämlich symmetrisch zu f bezüglich einer Meridianebene. Wir bezeichnen sie mit gx und g₂. Wenn nun f die Fläche durchläuft, während g₁ und g₂ fest bleiben, bleibt beständig IVjB || Px C und N₂ B || P₂ C. Die Ebenen gx f und g₂f beschreiben projektive Ebenenbüschel, da ihre Schnittlinien mit der Ebene von b kongruente Strahlenbüschel durchlaufen. Der bewegliche Schnittpunkt F der ] beweglichen Erzeugenden f und einer festen lc Ebene TT, die g₁ oder g₂ nicht enthält, ist deshalb beständig der Schnittpunkt entsprechender Strahlen der beiden projektiven Strahlenbüschel, in denen TT die genannten Ebenenbüschel schneidet. Sind die Strahlenbüschel nicht perspektiv, so wird der geometrische Ort für F ein Kegelschnitt. Sind die Strahlenbüschel perspektiv, so schneiden sich entsprechende Strahlen auf einer Erzeugenden g, und der Strahl, den die Büschel gemein haben, ist eine Erzeugende f. In diesem Falle schneidet TT die Fläche in zwei geraden Linien. Folglich: Eine beliebige Ebene IT schneidet das Umdrehungshyperboloid in einem Kegelschnitt oder in zwei geraden Linien.

N2

]B

2\

Pig. 202.

Da jede Meridianebene zu zwei Erzeugenden desselben Systems parallel ist, enthält die Meridiankurve zwei verschiedene unendlich ferne Punkte. Die Meridiankurve ist also eine Hyperbel. Der Mittelpunkt dieser Hyperbel fällt mit dem Mittelpunkt der Fläche zusammen.

In Fig. 201 bestimmen die Aufrißprojektionen der frontalen Erzeugenden die Asymptoten des Hauptmeridians. Die Scheitelpunkte X und Y liegen auf dem Kehlkreis. Die Fläche hat einen Asymptotenkegel, der wie gewöhnlich durch die Drehung der Asymptoten des Hauptmeridians um a bestimmt wird, und dessen Spitze deshalb im Mittelpunkt der Fläche liegt. Die Asymptotenebene ff' schneidet das Hyperboloid in den zwei geraden Linien f und g und berührt den Asymptotenkegel längs einer geraden Linie, die zu f und g parallel ist und zwischen ihnen in der Mitte liegt.

216. Ist das Hyperboloid durch seine vertikale Achse a und

eine beliebige Erzeugende f (Fig. 203) bestimmt, so kann man sofort den Radius des Kehlki*eises a'S'(A-f') bestimmen. Die Aufrißprojektion des Kehlkreises ist eine horizontale Strecke durch S", und der Scheitelpunkt A" des Hauptmeridians wird durch 0"A" (= a'S') bestimmt.

0>

Ia"

Hat f die Grundrißspur F₁, so werden die Asymptoten Xx 0" und Xj 0" des Hauptmeridians dadurch bestimmt, daß XXx —

x₂

XX₂ = FtS' wird, f schneidet die Hauptmeridianebene in einem Punkt F des Hauptmeridians.

a:

Eine beliebige Ebene durch f ist eine Tangentialebene des Hyperboloids, deren Berührungs-punJct der Schnittpunkt von f mit der zu der Ebene senkrechten Meridianebene ist.

■P’

ej

Fig. 203.

In Fig. 203 ist eine Ebene mit der Grundrißspur el angenommen. Ihr Berührungspunkt P bestimmt sich sofort, indem man a P' _L el zieht. Die Ebene ff" ist die Tangentialebene im Punkt F. Die Tangente des Hauptmeridians in F wird deshalb durch f" dargestellt. Wird e₁ _L f, so fällt der Berührungspunkt P in unendliche Entfernung. Die Ebene wird dann eine Asymptotenebene. Die Ebene ff' senkrecht zur Asymptotenebene heißt die Zentralebene der Erzeugenden. Ihr Berührungspunkt S liegt auf dem Kehlkreis und heißt der Zentralpunkt der Erzeugenden.

Wenn P sich längs f aufwärts bewegt, dreht ex sich nach links für einen Beobachter, der längs f mit dem Kopf nach oben liegt. Folglich: Wenn ein Punkt sich auf einer Flechtserzeugenden bewegt, so dreht sich seine Tangentialebene nach links. Wenn ein Punkt sich auf einer Linkserzeugenden bewegt, so dreht seine Tangentialebene sich nach rechts. Aus der Figur erkennt man, daß, wenn P die Erzeugende f mit konstanter Geschwindigkeit durchläuft, ex sich langsamer und langsamer dreht, je mehr P sich von dem Zentralpunkt S entfernt.

Da a P' und ex kongruente Strahlenbüschel beschreiben, wenn P die Erzeugende f durchläuft, so erkennt man: Die Punktreihe auf f ist projektiv zu dem Ebenenbüschel, der von den zugehörigen Tangentialebenen gebildet wird.

»

,.'"f

T'>'

Ü\

T" - ■

Fig. 204.

217. In Fig. 204 ist eine Parallelprojektion von a, f und dem kürzesten Abstand OS dieser Linien gezeichnet, a liegt in der Zeichenebene und f ist zu ihr parallel, f" ist die senkrechte Projektion von f auf der Zeichenebene, ff" ist die Asymptotenebene für f und die Zentralebene ist der Zeichenebene parallel. Wir wollen nun auf f einen Punkt T suchen, dessen Tangentialebene den Winkel zwischen der Asymptoten- und der Zentralebene halbiert. Die Normale TN in diesem Punkt soll also einen Winkel von 45° mit der Zeichenebene bilden. TT"N soll mithin ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck sein, und da T"N A- f", findet man, wenn p der Radius des Kehlkreises, und a den Winkel, den die Erzeugende mit der Achse bildet, bezeichnet,

ST = OT" — T"N • cot a = p cot a.

Trägt man also die Länge p cot a auf f vom Zentralpunkt S aus nach beiden Seiten hin ab, so gelangt man zu zwei Punkten, deren Tangentialebenen die Winkel zwischen der Asymptoten- und der Zentralebene halbieren. Die genannte Länge heißt der Parameter der Erzeugenden. Er ist gleich der Hälfte des Stückes, das von der Scheiteltangente des Hauptmeridians zwischen den Asymptoten liegt. Wenn man von einer Erzeugenden/'den Zentralpunkt, die Zentralebene und den Parameter kennt und zugleich weiß, ob f eine Rechtserzeugende oder Linkserzeugende der Fläche ist, so ist die Tangentialebene in jedem Punkt von f vollständig bestimmt. Man kennt nämlich die Tangentialebene in drei Punkten von f (S, T und dem unendlich fernen Punkt), und da die Punktreihe der Berührungspunkte zu dem Büschel der Tangentialebenen projektiv ist, kann die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt von f konstruiert werden.

Liegen zwei Umdrehungshyperboloide so, daß sie eine Erzeugende f gemeinsam liaben und diese auf beiden Flächen zu gleich gearteten Systemen gehört, haben ferner die Hyperboloide denselben Parameter, und schneidet der kürzeste Abstand der Achsen die gemeinsame Erzeugende f unter rechtem Winkel, so haben die Flächen in jedem Punkt von f dieselbe Tangentialebene. Von den Flächen kann man dann sagen, daß sie einander längs f

berühren. Dreht man jedes der Hyperboloide um sich selbst, so berühren sie einander beständig längs einer Erzeugenden. Hierauf beruht die Konstruktion der Hyperboloidverzahnung, mit Hilfe deren eine Rotation um eine Achse in eine Rotation um eine beliebige zu der ersten windschiefe Achse umgesetzt werden kann.

218. Das Umdrehüngshyperboloid wird von jeder Tangentialebene in zwei geraden Linien geschnitten. Ist die Ebene TT keine Tangentialebene, so wird ihre Schnittkurve mit der Fläche eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem eine zu TT parallele Ebene durch den Mittelpunkt den Asymptotenkegel in 0, 1 oder 2 Seitenlinien schneidet. Der letzte Fall ist in Fig. 205 behandelt, wobei TT die Spuren e₁ und e₂ hat und et zur trennenden Achse senkrecht ist.

TTj^ hat die Spuren e/ und e₂' und schneidet den Asymptotenkegel, dessen Grundrißspur Je ist, in zwei Seitenlinien, deren Grundrißspuren Pt und sind. Die Tangentialebenen des Kegels längs dieser Seitenlinien haben die Grundrißspuren P₁P₂ und Q₁Q₂ und schneiden die Ebene TT in den Asymptoten p und q der gesuchten Hyperbel. Bestimmt man noch den Schnittpunkt P von TT und f, so hat man genügend Stücke zur Bestimmung der Hyperbel. Weitere Punkte von ihr findet man, indem man die Schnittebene TT mit einer Reihe von Parallelkreisen oder Erzeugenden schneidet.

a"

fr

e₂

-h

Qy

Kr

r%,

Fi

i,----

a} /

y'k

i’ig. 205.

Anwendungen des Hyperboloids.

219. Konstruktion der Schnittpunkte einer Hyperbel (mit den Asymptoten p und q und dem Scheitel A) und einer geraden Linie g, die der Hauptachse der Hyperbel parallel ist (Fig. 206).

Wir benutzen die Zeichenebene als Aufrißebene, drehen die Hyperbel um ihre Nebenachse a und beschreiben so ein Hyperboloid; dieses enthält eine Fronterzeugende f, deren Aufrißprojektion

p ist, und deren Abstand von der Aufrißebene gleich OA wird. Das Hyperboloid wird von einer durch g senkrecht zur Zeichenebene gelegten Ebene in einem Parallelkreis k geschnitten, und dieser schneidet g in den gesuchten Punkten. k hat den Mittelpunkt C und geht durch einen Punkt P auf f. Die Um-

/'kn R\s

Fig. 206.

P" M 9 klappung kn von k in die Zeichenebene hat also den Mittelpunkt C und geht durch Pn (P"Pn — OA und _L g). kn schneidet g in den gesuchten PunktenM und N. Da die Tangentialebene in P die Erzeugende f enthält, ist P"R _L p die senkrechte Projektion der Normalen des Hyperboloids in P und RM ist mithin die Normale der gegebenen Hyperbel in M.

220. Konstruktion der Schnittpunkte einer geraden Linie b mit einer Umdrehungsfläche (Fig. 207).

Die Umdrehungsfläche habe die Achse a und den

e\

a'y

Q\

Hauptmeridian m. Wir setzen voraus, daß b weder a schneidet noch zu a senkrecht ist. Wir drehen b um a und beschreiben so ein Hyperboloid, dessen halber Hauptmeridian h sei. Die Schnittpunkte von h und m (vgl. 120) bestimmen die Parallelkreise, in denen das Hyperboloid und die Umdrehungsfläche einander schneiden. Diese Parallelkreise treffen b

in den gesuchten Punkten P und Q.

221. Konstruktion der Tangentialebenen, die durch eine gegebene Linie b an eine Umdrehungsfläche gehen (Fig. 208).

Wir setzen voraus, daß b weder a schneidet noch zu a senkrecht ist. Wir drehen b um a und beschreiben so ein Hyperboloid, dessen halber Hauptmeridian h sei. Da jede Ebene durch b eine Tangentialebene des Hyperboloids ist, wird die gesuchte Ebene eine gemeinsame Tangentialebene des Hyperboloids und der ge-

Fig. 207.

gebenen Umdrehungsfläche. Die Aufgabe ist dann die, an die beiden Flächen eine gemeinsame Tangentialebene zu legen, deren Berührungspunkt mit dem Hyperboloid auf b fällt. Man denkt sich die gesuchte Ebene um a gedreht, bis sie senkrecht zur Hauptmeridianebene wird. Nach der Drehung wird ihre Aufrißspur e₂' eine gemeinsame Tangente von h" und m", während ihre Grundrißspur et' zur trennenden Achse senkrecht ist.

h"

a\

"«f

P’

Fig. 208.

Man bestimmt deshalb zuerst eine gemeinsame Tangente der beiden Hauptmeridiane. Den Berührungspunkt Px auf h dreht man um a, bis er auf b in die Lage P kommt, die Tangentialebene des Hyperboloids in P ist dann eine der gesuchten Ebenen.

Ihre Grundrißspur ex ist senkrecht auf der Meridianebene durch P. In der Figur kann man noch eine zweite gemeinsame Tangente von li und m zeichnen. Die Aufgabe hat deshalb zwei Lösungen.

222. Konstruktion der gemeinsamen Tan'genten einer Hyperbel (mit den Asymptoten p und g und dem Scheitel A) und eines konzentrischen Kreises k (Fig. 209).

Lin

2\

ln.

\Ts

Kr

p>

-U

\k

Fig. 209.

Wir benutzen die Zeichenebene als Aufrißebene und erzeugen durch Drehung um a aus der Hyperbel ein Hyperboloid, aus dem Kreis k eine Kugel. Durch die Fronterzeugende f des Hyperboloids, deren Aufrißprojektion p wird, legen wir eine Tangentialebene T an die Kugel. Eine Ebene X durch den Mittelpunkt der Kugel senkrecht zup schneidet die Kugel in einem größten Kreis. Ferner schneidet sie f in einem Punkt P, dessen Abstand von der Zeichenebene P"A ist. Eine Tangente aus P an den größten Kreis berührt diesen in dem Punkte T, in dem

die gesuchte Tangentialebene T der Kugel diese berührt. Um T zu finden, klappen wir Z in die Zeichenebene um, der genannte größte Kreis fällt dann auf k und P nach Pn (JP"Pn — P"Ä). Eine Tangente aus Pn an k berühre den Kreis in Tn. T" findet man dann daraus, daß TnT" _LZ wird. Drehen wir die Ebene T um a, so bleibt sie beständig eine gemeinsame Tangentialebene der Kugel und des Hyperboloids, und wenn sie auf der Zeicbenebene senkrecht wird, wird ihre Spur eine der gesuchten gemeinsamen Tangenten. Dreht man also T um a bis in die Lage P auf k, so wird P der Berührungspunkt einer der gemeinsamen Tangenten. Man hat folglich nur noch T"R _L a zu zeichnen und die Tangente an k in P zu ziehen. Der Berührungspunkt dieser Tangente mit der Hyperbel bestimmt sich nach 142. Die übrigen gemeinsamen Tangenten findet man durch Spiegelung der gefundenen Tangente an den Achsen der Hyperbel.

223. Konstruktion der Doppelpunkttangenten des Schnittes eines Kreisringes mit einer Tangentialebene (Fig. 210).

Kreisring nennt man die ringförmige Fläche, die durch Drehung eines Kreises m um eine in der Ebene des Kreises liegende, aber

ez

hj.yw

\Q

7—......

Fig. 210.

den Kreis m nicht schneidende Achse a entsteht. In Fig. 210 liegen a und m in der Aufrißebene und a ist vertikal. Die Fläche wird von dem höchsten und tiefsten Parallelkreis in einen konvexen und einen unkonvexen Teil zerlegt. Die Tangentialebene in einem Punkt P des unkonvexen Teils habe die Aufrißspur e₂; sie schneidet die Fläche in einer Kurve, von der zwei Zweige durch P gehen, die also in P einen Doppelpunkt hat. Die Aufgabe ist nun, die Tangenten der Schnittkurve in diesem Doppelpunkt zu konstruieren. P₂ sei ein Punkt von m in der Nachbarschaft von P. Der Parallelkreis kt durch Pt treffe die Schnittebene in zwei Punkten M und V, deren Verbindungslinien PM und PN mit P in die gesuchten Tangenten übergehen, wenn kx sich k nähert. Aber vorläufig sind diese Verbindungslinien Erzeugende eines Umdrehungshyperboloids, dessen Achse a ist und

dessen Hauptmeridian h den Kreis m in P berührt und durch Px geht. h schneidet m in einem neuen Punkt Qx, der so liegt, daß I\Q₁ parallel zu der zu e₂ bezüglich einer vertikalen Linie symmetrischen Linie PQ wird (153). Das Hyperboloid enthält also den durch Qx gehenden Parallelkreis, und die Linien PM und PN müssen deshalb diesen Kreis schneiden. Wenn nun kx sich k nähert, nähert Qx sich Q, und die Grenzlagen von PM und PN müssen auch den Parallelkreis schneiden, der durch Q geht. Die gesuchten Tangenten sind also die Verbindungslinien von P mit den Punkten A und B, in denen die gegebene Schnittebene den durch Q gehenden Parallelkreis trifft. (In der Figur ist nur die eine Tangente PA gezeichnet.)

Wenn kx sich k nähert, konvergiert das genannte Hyperboloid nach einer solchen Grenzlage, daß sein Hauptmeridian im Punkte P den Krümmungskreis ni bekommt. Diese Grenzlage heißt das Schmiegungshyperböloid des Kreisringes in k. Eine beliebige Ebene, die durch P geht und nicht mit der Tangentialebene in P zusammenfällt, schneidet den Kreisring und das Hyperboloid in Kurven, die in P einen gemeinsamen Krümmungskreis besitzen. Wenn P auf dem kleinsten Parallelkreis des Kreisringes liegt, kann die angegebene Konstruktion nicht unmittelbar angewendet werden. Aber in diesem Falle findet man leicht die Asymptoten für den Hauptmeridian des Schmiegungshyperboloids durch die in Fig. 144 angegebene Konstruktion. Diese Asymptoten bestimmen dann die Richtung der gesuchten Tangenten.

¹

Bei dem Beweis brauchen wir so diese Voraussetzung nur für das eine der beiden Kurvensysteme zu machen.

Timerding, Handbuch II

Umdrehiingskegelschnittflächen.

224. Jeder Kegelschnitt k erzeugt durch Drehung um eine seiner Achsen a eine Fläche, die von jeder schneidenden Ebene in einem Kegelschnitt (oder in zwei geraden Linien) geschnitten wird. Diese• Fläche heißt eine Umdrehungskegelschnittfläche.

Wenn a den Kegelschnitt k nicht schneidet, so ist k eine Hyperbel und a deren zweite Achse. Die erzeugte Fläche wird dann ein einschaliges Hyperboloid, das wir bereits im Vorstehenden genügend behandelt haben.

Fig. 211.

Wir setzen also nun voraus, daß a den Kegelschnitt k in zwei Punkten A und B schneidet, von denen der eine (B) unendlich fern sein kann. Ein Kreis kx, der k in A berührt (Fig. 211), entspricht k in einer ebenen perspektivischen Kollineation mit dem Zentrum A und der Kollineations-

13

Timerding, Handbuch XI

achse p (_La). Bei der Drehung um a beschreibt k eine Fläche A und \ eine Kugel Ar A und \ entsprechen einander in einer räumlichen perspektivischen Kollineation, in der die genannte ebene Kollineation enthalten ist. Die Kollineationsebene ist die Ebene IT, die bei der Drehung von p beschrieben wird, und das Kolli-neationszentrum ist A. Ein beliebiger ebener Schnitt von A entspricht einem ebenen Schnitt von und muß deshalb ein Kegelschnitt sein. Da eine Tangentialebene von A einer Tangentialebene von At entspricht, ist A in allen Punkten konvex. Da die Kugel Ax keine geraden Linien enthält, kann auch A keine geraden Linien enthalten.

Außer dem einschaligen Umdrehungshyperboloid finden wir folgende Umdrehungskegelschnittflächen:

1.    Das Umärehungsellipsoid oder Sphäroid, das durch Drehung einer Ellipse um eine ihrer Achsen entsteht. Das Sphäroid ist ein verlängertes oder abgeplattetes, je nachdem die Drehung um die große oder kleine Achse der Ellipse stattfindet. Das verlängerte Sphäroid ist der geometrische Ort für alle Punkte im Raum, deren Abstand von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, eine gegebene Summe hat.

2.    Das Umdrehung spar dboloid, das durch Drehung einer Parabel um ihre Achse entsteht. Dieses enthält einen unendlich

fernen Punkt (in der Richtung der Achse), und die Tangentialebene in diesem Punkt ist unendlich fern. Die Fläche ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstände von einem festen Punkte (dem Brennpunkte) und einer festen Ebene (der Leitebene') gleich groß sind.

3. Das zweischalige Umdrehungshyperboloid. Dieses wird erzeugt durch die Drehung einer Hyperbel um ihre Hauptachse und ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, eine gegebene Differenz hat. Die Asymptoten der Hyperbel beschreiben bei der Drehung einen Rotationskegel (den Asymptotenkegel), der die Fläche längs einem unendlich fernen Kegelschnitt berührt. Die unendlich fernen Punkte der Fläche liegen in den Richtungen, die durch die Seitenlinien des Asymptotenkegels bestimmt werden. Der Asymptotenkegel wird ebenso wie beim einschaligen Umdrehungshyperboloid benutzt, um zu erkennen, ob eine gegebene Ebene die Fläche in einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel schneidet.

225. Die im Vorstehenden angegebenen Konstruktionsmethoden für allgemeine Umdrehungsflächen können natürlich auch auf die Umdrehungskegelschnittflächen angewendet werden. Aber

in manchen Fällen kann man leichtere Methoden finden und in allen Fällen muß man beachten, daß die Konstruktionen in der Hauptmeridianebene so weit wie möglich auszuführen sind, ohne den Hauptmeridian selbst zu zeichnen.

■ P’

*>•

Tm'

Qf

s.

1.    Beispiel. Die Schnitt-punkte eines Umdrehung sellip-soids und einer geraden Linie l zu finden (Fig. 212). Der Hauptmeridian des Ellipsoids habe die Halbachsen OA und OB (0A ist vertikal und OB fällt in die trennende Achse), OA sei die Achse der Umdrehungsfläche.

'Mi

Fig-, 212.

Durch eine leicht zu bestimmende perspektivische Affinität mit der Grundrißebene als Affinitätsebene geht das Ellipsoid in eine Kugel mit dem Radius OB über. I geht dabei in eine Linie l* über, die dieselbe Grundrißspur wie l hat und durch den M entsprechenden Funkt M* hindurchgeht. (M ist in derselben Höhe wie A angenommen, M* liegt daun in der Höhe OB über der Grundrißebene.) Die Grundrißprojektionen Iy und Q' der Schnittpunkte von l* mit der Kugel findet man nun durch Umklappung einer vertikalen Ebene durch l* (M'M*

= OB). P' und Q' sind zugleich die Grundrißprojektionen der gesuchten Punkte.

qiP" A

P¹

Fig. 213.

2.    Beispiel. Es ist ein zweischaligcs Umdrehungshyperboloid gegeben, dessen Achse a vertikal ist und in der Aufrißebene liegt. Der eine Scheitelpunkt sei A und die eine Asymptote des Hauptmeridians p. Man soll die Aufrißprojektion eines Punktes P der Fläche finden, wenn die Grundrißprojektion P' gegeben ist (Fig.

213). Man dreht die vertikale Linie durch den Punkt Pin die Hauptmeridianebene hinein, wobei sie die Lage s erlangt. Darauf bestimmt man nach 219 den Schnittpunkt Q dieser Linie mit dem Hauptmeridian und dreht dann Q zurück. Die Aufgabe hat zwei Lösungen.

Neuntes Kapitel.

Kegelsclmittfläclien.

Die Tangentialebene und ihre Lage zur Fläche.

226. Eine Kegelschnittfläche ist eine Fläche, die von jeder Ebene, wenn diese mehr als einen Punkt der Fläche enthält, in einem Kegelschnitte oder in zwei geraden Linien oder auch in zwei zusammenfallenden Linien geschnitten wird.¹) Wenn die Ebene die Fläche in zwei (verschiedenen oder zusammenfallenden) geraden Linien schneidet, so sagt man, die Schnittkurve sei ein uneigentlicher Kegelschnitt.

Im Vorstehenden haben wir bereits mehrere Beispiele für Kegelschnittflächen (Kreiskegel, Kreiszylinder und Umdrehungskegelschnittflächen) kennen gelernt. Wir wollen nun untersuchen, welche verschiedenen Formen von solchen Flächen überhaupt existieren. Zunächst müssen wir sicherstellen, daß die Fläche in jedem ihrer Punkte eine Tangentialebene hat. Dazu wird die Forderung hinreichen, daß die an der betreffenden Stelle berührenden Tangenten aller Kegelschnitte auf der Fläche, die durch den Punkt hindurchgehen, in einer Ebene enthalten sind.

227. Zuerst betrachten wir eine willkürliche Kegelschnittfläche K, die keine gerade Linie enthält. Die Fläche wird

Die Tangentialebene und ihre Lage zur Fläche

107

dann von jeder Ebene, die mehr als einen ihrer Punkte enthält, in einem eigentlichen Kegelschnitt getroffen. Hieraus folgt, daß keine gerade Linie mehr als zwei Punkte mit der Fläche gemein hat. Eine Tangente t an einen beliebigen Kegelschnitt auf K hat nur einen Punkt mit K gemeinsam und berührt deshalb jeden Schnitt der Fläche mit einer Ebene durch t. Legt man durch einen beliebigen Punkt P auf K zwei Ebenen und schneiden diese K in zwei Kegelschnitten, die in P verschiedene Tangenten t und tx besitzen, so wird die Ebene ttx die Tangentialebene in dem Punkte P. Denn die Ebene ttx kann nur den einen Punkt mit der Fläche gemein haben. Würde sie nämlich die Fläche in einem Kegelschnitte schneiden, so müßte dieser Kegelschnitt t und tx in P berühren, was unmöglich ist. Die Ebene hat deshalb auch nur einen Punkt mit einem beliebigen Kegelschnitt der Fläche, der durch P geht, gemein und enthält mithin die Tangente des Kegelschnittes in P. Folglich: Eine Kegelschnitt fläche, die keine gerade Linie enthält, hat in jedem ihrer Punkte eine bestimmte Tangentialebene. Die Fläche ist in jedem Punkte konvex. Da die Tangentialebene nur einen Punkt mit der Fläche gemein hat, können zwei verschiedene Punkte nicht dieselbe Tangentialebene haben.

228. Wir betrachten jetzt eine Kegelschnittfläche K, die mindestens eine gerade Linie /‘enthält und beweisen zuerst, daß eine solche Fläche unendlich viele gerade Linien enthält.

Jede Ebene, die durch f und einen Punkt A auf der Fläche gelegt wird, schneidet nämlich K in einer neuen geraden Linie, die durch A geht. Durch jeden Punkt von K geht also mindestens eine gerade Linie, die auf der Fläche liegt. Nehmen wir nun an, daß durch einen Punkt P auf f nur diese eine Linie f auf der Fläche gezogen werden kann, so muß eine beliebige Ebene, die durch P und noch einen Punkt der Fläche geht und /' nicht enthält, die Fläche in einem eigentlichen Kegelschnitt k schneiden. Die Ebene ft, die durch f und die Kegelschnittangente t in P bestimmt wird, kann dann nur die Linie f mit der Fläche gemein haben. Jede gerade Linie auf der Fläche muß nämlich k in dem Punkte schneiden, in dem sie die Ebene des Kegelschnittes trifft. Eine Ebene, die durch f und einen beliebigen Punkt Q auf k gelegt wird, schneidet die Fläche in einer neuen geraden Linie g, die durch Q geht und f in einem von P verschiedenen Punkt T schneidet. Man erkennt nun, daß durch T kein eigentlicher Kegelschnitt auf der Fläche gelegt werden kann, weil ein solcher Kegelschnitt eine Tangente im Punkte T hätte, die sowohl in der Ebene ft wie in der Ebene fg liegen müßte, was unmöglich ist. Jede Ebene durch

T schneidet also die Fläche in einer oder zwei geraden Linien, wenn sie mit der Fläche andere Punkte als T gemein hat. Die Fläche ist also ein Kegel mit der Spitze T. Folglich: Wenn auf einer Kegelschnittfläche ein Punkt existiert, durch ivclchen eine und nur eine gerade Linie geht, die in der Fläche enthalten ist, so muß die Fläche ein .Kegel sein.

Weiter wollen wir beweisen, daß eine Kegelschnittfläche K, die drei durch denselben Punkt P gehende gerade Linien f, g und h enthält, notwendigerweise ein Kegel sein muß.

Eine beliebige Ebene, die nicht durch P geht, schneidet die Fläche in einem Kegelschnitt. Schnitte sie sie nämlich in einer geraden Linie, so müßten f, g und h in derselben Ebene liegen, was unmöglich ist, und schnitte sie sie in zwei geraden Linien, so müßte eine der Ebenen fg, gh und hf die Fläche K in drei geraden Linien schneiden, was ebenfalls unmöglich ist. Alle geraden Linien der Fläche gehen also durch P, d. h. die Fläche ist ein Kegel mit der Spitze P.

Eine Kegelfläche hat eine bestimmte Tangentialebene in jedem Punkte, ausgenommen die Spitze.

Aus den gefundenen Sätzen folgt nun: Auf jeder Kegelschnittfläche, die gerade Linien enthält, aber kein Kegel ist, gehen durch jeden Punkt zwei und nur zwei gerade JAnten. Die zwei geraden IÄnicn, die durch einen beliebigen Punltt P der Fläche gehen, bestimmen eine Ebene, welche die Tangentialebene in P ist. Denn jeder eigentliche Kegelschnitt, der auf der Fläche liegt und durch P geht, hat nur diesen einen Punkt mit der Ebene gemein, und seine Tangente in P liegt also in der Ebene.

Die Fläche ist unkonvex in jedem ihrer Punkte.

Zivei verschiedene Punkte der Fläche können nicht dieselbe Tangentialebene haben, denn eine solche Ebene müßte die Fläche in mindestens drei geraden Linien schneiden.

Da eine Linie l, die nicht auf der Fläche liegt, höchstens zwei Punkte mit ihr gemein hat, und da durch jeden von diesen Punkten zwei gerade Linien der Fläche gehen, kann man durch l höchstens zwei Ebenen legen, welche die Fläche in geraden Linien schneiden. Hieraus folgt: Durch eine gerade LÄnie l, die nicht auf der Fläche liegt, kann man immer unendlich viele Ebenen legen, welche die Fläche in eigentlichen Kegelschnitten schneiden.

Pol und Polarebene.

229. Unter der Polar ebene eines Punktes P (des Pols) in bezug auf eine Kegelschnittfläche K versteht man eine Ebene, ivelche

die Polaren von P bezüglich aller eigentlichen Kegelschnitte der Fläche, deren PJbenen durch P gehen, enthält.

P,

r-,

ciL

Wir wollen beweisen, daß eine solche Ebene existiert, indem wir vorläufig voraussetzen, daß K keine Kegelfläche ist. Liegt zunächst P auf der Fläche, so sieht man sofort, daß die Polarebene existiert, indem die in P berührende Tangentialebene die Bedingung erfüllt. Nehmen wir aber an, daß P nicht auf der Fläche liegt, so kommt es darauf an zu zeigen, daß alle Punkte Pv die mit P bezüglich der Schnittpunkte der Fläche mit einer willkürlichen Linie durch P harmonisch verbunden sind, in einer und derselben Ebene liegen. Eine Linie lx durch P treffe die Fläche in zwei verschiedenen Punkten Cx und Dx (Fig. 214), deren Tangentialebenen und Ax einander in der Linie s schneiden mögen. Px sei mit P bezüglich Cx und T>x harmonisch verbunden. Ferner schneide eine beliebige andere Linie l₂ durch P die Fläche K in C₂ und D₂, und P₂ sei mit P bezüglich C₂ und I)₂ harmonisch verbunden. Wir setzen einstweilen voraus, daß die Ebene lxl₂ die Fläche in einem eigentlichen Kegelschnitt schneidet. Dieser muß dann durch Cx, Dx, C₂ und D2 gehen, und seine Tangenten cx und dx in den beiden erstgenannten Punkten liegen in den Ebenen Tx und Ax und schneiden einander in dem Punkte S auf s.

v₂

Die Polare vonPbezüglich dieses Kegelschnitts geht durch die Punkte P1? P₂ und S, die Linie PxP₂ muß also s schneiden.

Fig. 214.

Läßt man nun l₂ variieren, während fest bleibt, so muß die Linie Px P₂ eine Ebene beschreiben, die durch Px und s bestimmt ist. Gelangt l₂ in eine solche Lage, daß die Ebene lx l₂ die Fläche in zwei geraden Linien trifft, so müssen diese einander auf s schneiden; PXP₂ geht dann durch ihren Schnittpunkt und liegt mithin beständig in der Ebene Pxs. Hiermit ist vollständig bewiesen, daß P eine Polarebene hat, nämlich die durch s und Px bestimmte Ebene.

Hat der Punkt P die Polarebene TT, und schneidet eine beliebige Ebene durch P die Ebene TT in einer geraden Linie p und die Fläche in einem eigentlichen Kegelschnitt fc, so ist p die Polare

von P bezüglich k. So erkennt man, daß ein Punkt, der in seiner Polarebene liegt, auf der Fläche enthalten sein muß. Die Polarebene ist dann die Tangentialebene des Punktes.

Liegt P nicht auf der Fläche, und schneidet seine Polarebene die Fläche, so wird die Schnittkurve ein Kegelschnitt, der die Berührungspunkte aller Tangenten, die durch P gehen, enthält und damit die Berührungskurve eines der Fläche umschriebenen Kegels mit der Spitze P. Jeder umschriebene Kegel berührt also die Fläche längs eines Kegelschnittes. Legen wir durch zwei Punkte P, P', die nicht auf der Fläche liegen, eine Ebene, welche die Fläche in einem eigentlichen Kegelschnitt Je schneidet (was nach 228 immer dann möglich ist, wenn die Fläche kein Kegel ist), so schneidet diese Ebene die Polarebenen der beiden Punkte in den Polaren von P und P' bezüglich Je. Mit Hilfe der früher bewiesenen Sätze über Kegelschnitte beweist man dann leicht die folgenden Tatsachen:

1.    Wenn ein Punkt P in der Polar ebene TT' eines anderen Punktes P' liegt, so liegt P' auch in der Polarebene TT von P. Die beiden Punkte P und P' heißen dann konjugiert.

2.    Pie konjugierten Punktepaare auf einer geraden Linie, welche die Fläche nicht berührt und nicht auf ihr liegt, bilden eine Involution; wenn die IÄnie die Fläche schneidet, sind die Schnitt-punhte Doppelpunkte der Involution.

3.    Zivei verschiedene Punkte können nicht dieselbe Polarebene haben.

4.    Zu jeder Ebene TT gehört ein bestimmter Pol.

Nimmt man nämlich in der Ebene drei Punkte A, B, C an, welche nicht auf derselben Geraden liegen, so wird der Punkt P, der in den drei Polarebenen von A, B, C enthalten ist, der gesuchte Pol sein.

5.    Die Polar ebenen der PunJcte einer geraden Linie gehen ivieder durch eine gerade Linie hindurch und die Polarebenen der Punkte dieser Linie gehen durch die erste Linie. Der Satz folgt unmittelbar aus 1. und 4. Zwei miteinander so verbundene gerade Linien heißen reziproke Polaren voneinander.

230. Ist die Fläche K ein Kegel, so können die vorstehenden Sätze nicht alle aufrechterhalten werden. Ein beliebiger Punkt P, der nicht in die Spitze S des Kegels fällt, hat indessen immer eine bestimmte Polarebene, denn da die ganze Fläche durch Projektion eines Kegelschnittes, dessen Ebene durch P geht, aus der Spitze S entstehen kann, muß man die Polarebene von P finden können, indem man die Polare von P bezüglich des Kegel-

Schnittes aus der Spitze des Kegels projiziert. Man erkennt so aber auch, daß alle Punkte, die auf einem Strahl durch die Spitze liegen, (die Spitze selbst ausgenommen) dieselbe Polarebene besitzen. Im folgenden wollen wir die Kegelflächen außer Betracht lassen, wenn das Gegenteil nicht ausdrücklich hervorgehoben wird.

231. Wenn zwei parallele Ebenen eine Kegelschnittfläche in eigentlichen Kegelschnitten treffen, so können drei Fälle ein-treten:

1.    Die unendlich ferne Schnittlinie l der Ebene hat keinen Punkt mit der Fläche gemein. Die Schnittkurven sind in diesem Falle Ellipsen, und da diese Ellipsen auf der gemeinsamen unendlich fernen Geraden ihrer Ebene dieselbe Involution konjugierter Punkte bestimmen, so sind sie ähnlich und in ähnlicher Lage (137).

2.    I berühre die Fläche. Dann sind die Kegelschnitte Parabeln, und da sie parallele Durchmesser haben und in parallelen Ebenen liegen, sind sie ebenfalls ähnlich und in ähnlicher Lage.

3.    I schneide endlich die Fläche in zwei verschiedenen Punkten A und B. Die Schnittpunkte sind in diesem Falle Hyperbeln, und da diese durch dieselben unendlich fernen Punkte A und B hindurchgehen, haben sie parallele Asymptoten. Aber da die Asymptotenwinkel, die die Hyperbeln enthalten, nicht notwendig dieselben zu sein brauchen, brauchen die Hyperbeln nicht ähnlich zu sein (im elementargeometrischen Sinne des Wortes).

232. Aus der Lehre von Pol und Polarebene geht hervor, daß im Raume eine ebensolche Dualität existiert, wie wir sie früher für die Ebene entwickelt haben. Hat man eine bestimmte Kegelschnittfläche, z. B. eine Kugel, vor sich, so entspricht jedem Punkt als Pol eine bestimmte Ebene als Polai’ebene und umgekehrt. Den Punkten einer geraden Linie entsprechen die Ebenen durch eine gerade Linie. Man kann deshalb ein Bualitätsprinsip aufstellen, das darauf hinausläuft, daß man aus jedem Satz, der projektive Eigenschaften betrifft, einen neuen ableiten kann, indem man die Worte „Punkt“ und „Ebene“, „gerade Linie durch einen Punkt“ und „gerade Linie in einer Ebene“ vertauscht.

Mittelpunktsflächen.

233. Wenn der Pol der unendlich fernen Ebene ein eigentlicher Punkt 0 ist, wird dieser ein Mittelpunkt (Symmetriepunkt) der Fläche. Die Polarebene eines unendlich fernen Punktes Z7, der nicht auf der Fläche liegt, halbiert alle Sehnen von der Richtung L

uncl heißt eine Durchmesser ebene. Alle Durchmesserebenen gehen durch den Mittelpunkt.

Die reziproke Polare einer unendlich fernen Linie w, welche die Fläche nicht berührt und nicht auf ihr liegt, enthält die Mittelpunkte aller Kegelschnitte, in denen die Fläche von den Ebenen durch u geschnitten wird, und heißt ein Durchmesser. Alle Durchmesser gehen durch den Mittelpunkt.

Ein Durchmesser und eine Durchmesserebene heißen konjugiert, wenn der Durchmesser dieselbe Richtung hat wie das zu der Durchmesserebene gehörende Sehnensystem. Der Durchmesser enthält die Mittelpunkte aller Kegelschnitte der Fläche, deren Ebenen der Durchmesserebene parallel sind.

Drei Durchmesser heißen konjugiert, wenn jeder von ihnen der Ebene der beiden anderen konjugiert ist.

234. Da wir die Fläche als stetig voraussetzen, und sie sonach jeden Punkt enthält, dem sie beliebig nahe kommt, muß der Abstand des Zentrums 0 von den Punkten der Fläche einen bestimmten erreichbaren Minimalwert haben. Es sei A ein Punkt der Fläche, dessen Abstand von 0 diesen Minimalwert annimmt. Die Gerade OA ist dann Symmetrieachse eines jeden Kegelschnittes, in welchem die Fläche von einer durch OA gehenden Ebene geschnitten wird.

Die durch 0 zu OA senkrecht gelegte Ebene E ist somit eine Symmetrieebene der Fläche, und die zu E parallelen Ebenen schneiden auf der Fläche Kegelschnitte aus, deren Mittelpunkte auf OA liegen. Wenn diese Kegelschnitte Kreise sind, ist die Fläche eine Umdrehungsfläche mit der Achse OA; sind sie nicht Kreise, so haben sie gemeinsame Achsenrichtungen (231) und werden von den beiden durch OA gebenden Ebenen, welche ihre Achsen enthalten, symmetrisch geteilt. Die letztgenannten Ebenen sind daher auch Symmetrieebenen der Fläche. Also:

Jede Mittelpunkts fläche hat wenigstens drei Symmetrieebenen (Hauptebenen), die paarweise zueinander senkrecht sind. Ihre Schnittlinien heißen die Achsen der Fläche. Sie bilden ein System von drei konjugierten Durchmessern, die paarweise zueinander senkrecht sind.

235. Wir wollen im folgenden drei zueinander senkrechte Achsen x, y und z voraussetzen und können dann folgende typische Formen von Mittelpunktsflächen aufstellen.

1. Das Ellipsoid (Fig. 215). Alle drei Achsen schneiden die Flächen. Die Schnittpunkte heißen Scheitelpunkte der Fläche. Diese Scheitelpunkte sind die Scheitel der Ellipsen, in welchen

die je zwei Achsen der Fläche verbindenden Hauptebenen die Fläche schneiden. Diese drei Ellipsen heißen die Hauptschnitte der Fläche. Die Ebenen, welche zu einer Hauptebene parallel sind, schneiden die Fläche in ähnlichen Ellipsen, deren Scheitelpunkte auf den zu den anderen Hauptebenen gehörenden Hauptschnitten liegen. Die Fläche ist durch ihre Achsen vollständig bestimmt. Die Längen der drei Achsen können anderseits beliebig gewählt werden (vgl. 245).

7c

/--!.......-7\

-4

'Io

Fig. 215.

"/

Ai

l.

\B \

IM-

Fig. 216.

2.    Das einschaligc Hyperboloid. Hur zwei der Achsen, etwa x und y, schneiden die Fläche (Fig. 216). Der Schnitt der rr?/-Ebene wird eine Ellipse, während die anderen Hauptschnitte Hyperbeln sind. Die Fläche kann ebenso wie das Ellipsoid durch eine senkrechte perspektivische Affinität aus einer Umdrehungsfläche erzeugt werden, indem man eine Meridianebene der Umdrehungsfläche zur Affinitätsebene wählt. Die geraden Linien des Umdrehungshyperboloids entsprechen in dieser Affinität geraden Linien des allgemeinen Hyperboloids, auch die Asymptotenkegel entsprechen einander. Auf diese Weise kann man die wesentlichsten Eigenschaften der Fläche leicht ableiten.

3.    Das sweischalige Hyperboloid (Fig. 217). Nur eine der Achsen, etwa x, schneidet die Fläche. Die Schnitte in der rry-Ebene und xz- Ebene werden Hyperbeln mit derselben Hauptachse.

Die y^-Ebene schneidet die Fläche nicht, aber die zur yz-Ebene parallelen Ebenen, deren Abstand von dieser größer als die reelle Halbachse der Fläche ist, schneiden sie in ähnlichen Ellipsen. Die Fläche kann wieder durch eine senkrechte perspektivische

VT

•V

Mg. 217.

Affinität, für welche etwa die #£-Ebene als Affinitätsebene gewählt wird, aus einer Umdrehungsfläche erzeugt werden. Sie besitzt einen Asymptotenkegel, der längs des unendlich fernen Kegelschnittes berührt und enthält keine geraden Linien.

Bei den vorstehenden Untersuchungen haben wir die Kegelflächen ausgeschlossen. Es ist aber leicht zu zeigen, daß auch jede Kegelfiäche ö(/c), deren Scheitel ein eigentlicher Punkt 0 und deren Leitkurve ein beliebiger Kegelschnitt 1c ist, drei Symmetrie-ebenen besitzt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man 1c als Ellipse annehmen; auf dieser Ellipse gibt es dann zwei Punkte A und B derart, daß der Winkel AOB ein Maximum wird; es zeigt sich, daß die Ebene AOB eine Symmetrieebene der Kegelfläche ist, und man findet sonach leicht die beiden anderen.¹)

Die Paraboloide.

236. Wenn der Pol der unendlich fernen Ebene ein unendlich ferner Punkt U ist, besitzt die Kegelschnittfläche kein Zentrum, sondern berührt die unendlich ferne Ebene im Punkt U. Sie heißt in diesem Falle ein Paraboloid. Die Polarebene eines un-

1) Über die Konstruktion der Symmetrieebenen vgl. man Rohn-Papperitz, Lehrbuch d. darst. Geometrie, 3. Aufl., III, Leipzig 1906, S. 164 ff.

endlich fernen Punktes F, der nicht auf der Fläche liegt, halbiert alle Sehnen von der Richtung F und heißt eine Durchmesserebene. Alle Durchmesserebenen gehen durch TJ, d. h. sind der Richtung TJ parallel, und schneiden die Fläche in Parabeln mit der Durchmesserrichtung TJ. Jeder umschriebene Zylinder berührt die Fläche längs einer solchen Parabel.

Zivei parallele Durchmess er ebenen schneiden die Flüche in kongruenten Parabeln. Eine Ebene, welche den zwei Durchmesserebenen parallel ist und in der Mitte zwischen ihnen liegt, ist nämlich selbst eine Durchmesserebene und wird somit eine Symmetrieebene (mit schiefer oder gerader Symmetrie) für die beiden Schnitte.

Die reziproke Polare einer unendlich fernen Geraden u (welche die Fläche nicht berührt oder auf ihr liegt) heißt ein Durchmesser. Sie enthält die Mittelpunkte der Schnittkurven aller durch u gehenden parallelen Ebenen. Alle Durchmesser gehen durch den Berührungspunkt U der Fläche mit der unendlich fernen Ebene.

Um die Gestalt der Fläche näher zu bestimmen, betrachten wir einen eigentlichen Kegelschnitt 7c, der durch den Schnitt der Fläche mit einer Ebene senkrecht zur Richtung TJ entsteht (Fig. 218). 7c muß entweder eine Ellipse oder eine Hyperbel sein, da jede Parabel auf der Fläche durch TJ geht, x und y mögen die Achsen von h sein. Die unendlich fernen Punkte von x und y haben dann die Polarebenen y U und x TJ. Da jede dieser Ebenen auf dem System paralleler Sehnen, die sie halbiert, senkrecht steht, wird sie eine Symmetrieebene der Fläche, und wir finden: Jedes Paraboloid hat zwei aufeinander senkrechte Symmetrieebenen.

Die Schnittlinie z dieser Ebenen heißt die Achse der Fläche. Z geht durch TJ und schneidet die Fläche in einem eigentlichen Punkt M, dem Scheitel. Die Symmetrieebenen schneiden die Fläche in zwei Parabeln a und &, den Hauptschnitten des Paraboloids, die einen gemeinsamen Scheitel A und eine gemeinsame Achse z besitzen. Die beiden Hauptschnitte bestimmen die ganze Fläche. Da nämlich parallele Durchmesserebenen kongruente Schnitte liefern, kann die Fläche dadurch erzeugt werden, daß die unveränderliche Parabel b mit ihrem Scheitel auf a gleitet, während ihre Achse und ihre Ebene dieselbe Richtung beibehalten.

237. Es gibt zwei Arten von Paraboloiden:

1. Das elliptische Paraboloid. a und b sind beim Scheitel nach derselben Seite hin konkav (Fig- 218). Die Schnitte senkrecht zur Achse werden ähnliche Ellipsen, insbesondere können diese Schnitte Kreise sein, und die Fläche ist dann ein Umdrehungs-paraboloid. Im anderen Falle kann man sie durch eine perspektivische Affinität mit der a^-Ebene als Affinitätsebene aus einem Umdrehungsparabo-loid erzeugen. Das elliptische Paraboloid enthält keine geraden Linien.

■ a\

jj

-v-.

2. Das hyperbolische Paraboloid. a und b sind beim \    Scheitel nach entgegengesetzten

/    Seiten hin konkav (Fig. 219).

Fig. 218.

I*/

Ul

Fig. 219.

x Die Fläche muß dann unkonvex sein. Durch eine Raumperspektive, deren Zentrum der Scheitelpunkt A ist, und in welchem b einem Kreis b₁ entpricht, während die Fluchtebene Uj den Kreis bx berührt und senkrecht zur Achse der Fläche ist, geht das Paraboloid aus einem ein-schaligen Umdrehungshyperboloid hervor. Hierdurch läßt sich zunächst die Existenz der Fläche beweisen, außerdem leiten wir so folgende Eigenschaften her: Das hyperbolische Paraboloid enthält zwei Systeme von geraden Linien (Regelstrahlcn). Jeder Regelstrahl des einen Systems schneidet jeden Regel-strahl des anderen Systems. Durch jeden Punkt der Fläche gehen zwei Regelstrahlen, von jedem System einer. Diese beiden Regelstrahlen bestimmen jedesmal die Tangentialebene in dem Punkte. Jede Ebene durch einen Regelstrahl des einen Systems schneidet die Fläche in einem Regelstrahl des anderen Systems.

238. Werden die durch den Scheitelpunkt A gehenden Regelstrahlen mit /'und g bezeichnet (Fig. 222), und ist Z die Achse der Fläche, so schneiden die Ebenen fz und gz die Fläche in zwei unendlich fernen Regelstrahlen g₁ und fv Da alle Regelstrahlen des Systems, zu dem f gehört, gt schneiden müssen, werden sie parallel zu der Ebene fz. Ebenso werden alle Regelstrahlen des

Systems g parallel zu der Ebene gz. Die Ebenen fz und gz oder zwei andere zu ihnen parallele Ebenen heißen deshalb Bichtungs-ebenen.

Da das hyperbolische Paraboloid zwei unendlich ferne gerade Linien enthält, muß ein ebener Schnitt der Fläche wenigstens einen unendlichen fernen Punkt enthalten. Die Fläche kann deswegen keine Ellipse enthalten. Jede Asymptotenebene der Fläche enthält entweder /j oder gx und gehört deshalb zu einer der beiden Scharen von Richtungsebenen. Umgekehrt ist jede Richtungsebene auch eine Asymptotenebene.

Wenn die Hauptschnitte a und b kongruent sind, heißt das Paraboloid gleichseitig, f und g sind in diesem Falle aufeinander senkrecht, und dasselbe gilt von den Richtungsebenen. Dieses Paraboloid geht durch eine halbe Umdrehung um f oder g in sich selbst über.

Geradlinige Kegelschnittflächen.

239.    Der geometrische Ort für die Schnittlinien entsprechender Ebenen in ztvei projektiven (nicht kollokalen und nicht Perspektiven) Ebenenbüscheln ist eine Kegelschnittfläche. Eine beliebige Ebene, die keine der Büschelachsen enthält, wird nämlich von den beiden Ebenenbüscheln in projektiven Strahlenbüscheln geschnitten, und die entsprechenden Strahlen dieser beiden Büschel schneiden sich in den Punkten eines Kegelschnittes, wenn die Büschel nicht kollokal und nicht perspektiv sind. Die Schnittlinie der Fläche mit einer beliebigen Ebene ist also ein Kegelschnitt oder ein Linienpaar, und die Fläche selbst eine Kegelschnittfläche. Schneiden die Achsen der Ebenenbüschel einander, so wird die erzeugte Fläche ein Kegel, dessen Spitze in dem Schnittpunkt der beiden Achsen liegt. Schneiden die Achsen einander nicht, so wird die Fläche ein einschaliges Hyperboloid oder ein hyperbolisches Paraboloid. Das letztere dann, wenn eine der Büschelachsen unendlich fern ist, oder wenn die zwei parallelen Ebenen, die in den Ebenenbüscheln enthalten sind, einander in der projektiven Beziehung entsprechen.

240.    Die Verbindungslinien entsprechender Punkte in zwei projektiven Punktreihen mit windschiefen Trägern erfüllen eine Kegelschnittfläche. Wenn man nämlich die Punkte einer jeden der beiden Punktreihen aus dem Träger der anderen Punktreihe durch Ebenen projiziert, so erhält man zwei projektive Ebenenbüschel, und die Schnittlinien entsprechender Ebenen dieser Ebenenbüschel fallen mit den Verbindungslinien entsprechender Punkte der beiden Punktreihen zusammen.

Wenn die Punktreihen einander ähnlich sind, also ihre unendlich fernen Punkte einander entsprechen, so wird die erzeugte Fläche ein hyperbolisches Paraboloid. In den übrigen Fällen ist sie ein einschaliges Hyperboloid.

241. Eine gerade Linie, die sich so bewegt, daß sie beständig drei feste gerade Linien schneidet, von denen keine zwei in einer Ebene liegen, erzeugt eine Kegelschnittfläche. Man findet nämlich die Linien, welche drei gegebene gerade Linien schneiden, indem man aus zweien von diesen die Punkte der dritten durch Ebenen projiziert und diese Ebenen zum Schnitt bringt. Die so entstehenden Ebenenbüschel sind aber projektiv, weil sie dieselbe Punktreihe enthalten, und erzeugen deshalb eine Kegelschnittfiäche.

Sind die drei geraden Linien eigentliche Linien, die nicht derselben Ebene parallel sind, so wird die Fläche ein Hyperboloid,

fi

9,

fi

Fig. 220.

dessen Zentrum man auf folgende Weise bestimmen kann. Es seien fii fti fa drei gegebenen Linien (Fig. 220). Man bestimme dann eine Linie gv die f₂ und fs schneidet und zu /j parallel ist, eine Linie g2: die f f₃ und /j schneidet und zu fl₂ parallel ist, endlich eine Linie g₃, die /j und f₂ schneidet und zu f₃ parallel ist. Die Linien g₂, g₃ sind dann Erzeugende und die Ebenen fiffn f₂g₂ und fsff3 Asymptotenebenen der Fläche, da sie diese alle in zwei parallelen Linien schneiden. Den gesuchten Mittelpunkt 0 findet man darauf als den Schnittpunkt der drei Asymptotenebenen. Beachtet man, daß 0 der Mittelpunkt des Parallepipedons ist, von dem die sechs Geraden fv f₂, f₃, gv g₂, g3 Kanten sind, so sieht man, daß 0 der Mittelpunkt jeder der Hauptdiagonalen in dem windschiefen Sechseck t\g₂f₂gif₂g₂ wird. Den Asymptotenkegel kann man durch die drei Tangentialebenen f\⁽J\i U<J₂> fsds und die Berührungslinien dieser Ebenen finden, die der Reihe nach zu /j, f₂ und f₃ parallel sind.

Konstruktionen.

242. Für die Parallelprojektion eines Ellipsoids wird die Begrenzung eine Ellipse, deren Mittelpunkt die Projektion 0' von dem Mittelpunkt 0 des Ellipsoids ist. Der durch die berührenden Projektionsstrahlen gebildete Zylinder berührt nämlich das Ellip-soid längs einer Ellipse, deren Projektion die Umrißellipse ist. Wir wollen nun die Umrißellipse näher betrachten.

Die projizierende Ebene, die durch die eine Achse z des Ellipsoids geht, schneidet dieses in einer Ellipse e, deren eine Halbachse 0 C in z fällt, während die andere Halb-

achse OB in der xy-Ebene liegt (Fig. 221). Die Projektion B' von B kann man also finden als den Schnittpunkt der Projektion z von z mit der Ellipse, von welcher die Projektionen OÄ und ()' B' der beiden deren Halbachsen des Ellipsoids zwei konjugierte Halbmesser bilden. Die Konstruktion läßt sich nach 135 mit Hilfe einer affinen Per-

m'

\C

\n'

>r.

io'

an-

\x

><

Li

Fig. 221.

spektivität ausführen. Mit Hilfe von 0' C' und O B' kann man nun den Endpunkt M' des Linienstücks, in das e projiziert wird finden. Wie wir früher (136) gezeigt haben, ist nämlich 0'M die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, von welchem 0' Cf und O B' die Katheten sind. 0'M' wird dann ein Halbmesser der gesuchten Umrißellipse k.

Wir bestimmen nun den Halbmesser OW, der in dem Hauptschnitt der «y-Ebene zu OB konjugiert ist, indem wir zur Konstruktion beständig die angegebene Affinität benutzen. Die Tangentialebene des Ellipsoids in N ist sowohl zu OB als auch zu z parallel und mithin eine projizierende Ebene (die zu der z projizierenden Ebene parallel ist). Die Projektion N' von AT gehört deshalb mit zum Umriß, und da gleichzeitig die Umrißtangente in N die Spur der Tangentialebene des Ellipsoids in N und somit parallel zu z ist, werden 0'N' und 0! M' konjugierte Halb-

14

Timerding, Handbuch XI

messer der Umrißellipse, und diese ist derart vollständig bestimmt.

Die Konstruktion bleibt unverändert bestehen, wenn man für OA, OB und OG irgendwelche konjugierte Halbmesser des Ellipsoids nimmt.

243. Wenn nun wie in Fig. 221 der Umriß Je zugleich mit den Linien x und z samt dem Punkte C' gegeben ist, so ist die ganze Figur festgelegt, z schneidet nämlich zunächst Je in M', hierauf wird 0'N' als der zu 0'M' konjugierte Halbmesser bestimmt; da weiter O D' durch O'C' und O'M' bestimmt ist, sieht man leicht, wie man A' und B' finden kann.

So kann man erkennen, daß die Figur die Parallelprojektion eines jeden Ellipsoids bilden kann, das einem Zylinder mit der Spur Je in der Bildebene einbeschrieben ist, wenn man die Projektionsrichtung den Seitenlinien des Zylinders parallel annimmt. Ein derartiges Ellipsoid enthält nämlich notwendigerweise ein System konjugierter Halbmesser OH, OB und 00, die in O'A', 0'B' und O'C' projiziert werden. Zunächst wird nämlich 0' die Projektion eines Punktes 0 auf der Fläche (es gibt hierbei zwei Möglichkeiten, von denen wir aber nur die eine ins Auge fassen), und sodann kann man in der Durchmesserebene, die zu 00 konjugiert ist, einen Durchmesser x finden, dessen Projektion x ist. Damit sind aber, wie wir oben gesehen haben, alle Bedingungen erfüllt.

Unter allen Ellipsoiden, die durch die angegebene Figur dargestellt werden können, finden sich auch Kugeln, da jede Kugel, die einem durch Je hindurch gelegten Rotationszylinder einbeschrieben ist, die Bedingungen erfüllt. Drei konjugierte Halbmesser der Kugel sind aber gleich groß und paarweise aufeinander senkrecht, und wir haben somit den Pohllceschen Satz²) bewiesen:

Drei willkürliche Linienstücke O'A', 0' B' und O'C', die von demselben Punkt 0' ausgehen und in derselben Ebene liegen, aber nicht zu derselben Linie gehören, lassen sich immer als Parallelprojektion von drei gleich großen Strecken im Raume, die paarweise zueinander senkrecht sind, ansehen. Da man durch k im allgemeinen zwei Itotationszylinder legen kann, sieht man, daß die Projektionsrichtung auf zwei verschiedene Arten angenommen werden kann.

244.    Wird ein Ellipsoid in der Parallelprojektion durch die Projektionen O'A', O B' und O’C' von drei konjugierten Halbmessern dargestellt, so ist die Fläche dadurch nicht bestimmt, aber manche Konstruktionen lassen sich doch ohne weitere Kenntnis der Fläche ausführen. Bo ist z. B. klar, daß die Projektion der Schnitte der Fläche mit den je zwei der gegebenen Durchmesser verbindenden Ebenen vollständig bestimmt sind, und wenn man wie in 46 das durch die drei Halbmesser bestimmte Koordinatensystem zur Darstellung benutzt, so kann man den Schnitt der Fläche mit jeder Linie und jeder Ebene darstellen, ebenso wie man die Tangentialebenen an die Fläche durch eine gegebene Linie legen und ihr einen Kegel mit gegebener Spitze umschreiben kann.

Alle Konstruktionen, die man so ausführt, sind gemeinsam für alle Ellipsoide, die durch die gegebene Figur dargestellt werden, und da unter diesen Ellipsoiden sich auch Kugeln finden, kann man die Aufgaben lösen unter der Voraussetzung, daß die Fläche wirklich eine Kugel ist. Man kann also die Aufgaben immer auf die entsprechenden Aufgaben für die Kugel in doppelter Projektion zurückführen, indem man die Transformation in 51 benützt.

245.    Bei einer doppelten Projektion, hei der die Achsen des Ellipsoids so liegen, daß zwei der Hauptebenen den Projektionsebenen parallel sind oder mit ihnen zusammenfallen, kann die Fläche durch zwei senkrechte perspektivische Affinitäten mit diesen zwei Hauptebenen als Affinitätsebenen in eine Kugel verwandelt werden. Bei der einen dieser beiden Affinitäten bleiben die Grundrißprojektionen an ihrer Stelle, während die Aufrißprojektionen sich in ihren Vertikalen verschieben, bei der anderen bleiben die Aufrißprojektionen unverändert. Man kann den Schnitt der Fläche mit einer irgendwie gegebenen geraden Linie so leicht bestimmen, indem man zunächst den Schnitt der entsprechenden Kugel mit der transformierten geraden Linie bestimmt.

246.    Ist ein einschaliges Hyperboloid in einer beliebigen Parallelprojektion so gegeben, daß die zwei Halbachsen OA und OB in die Strecken O Ä tind O B' auf x und y' projiziert werden,

während die dritte Achse durch g dargestellt wird, und ist ferner eine der Asymptoten in dem Hauptschnitt der a?0-Ebene gegeben, so kann man unmittelbar die Projektion als von einem Umdrehungshyperboloid herrührend deuten, indem man die Projektion des Hauptschnittes der #y-Ebene als von einem Kreis herrührend auffaßt, und die in 51 angegebeneTransformation anwendet.

Ist das Hyperboloid in doppelter Projektion dargestellt, und die Achse z, die die Fläche nicht schneidet, senkrecht zum Grundriß, so kann man die Fläche durch eine Affinität, von der die a^-Ebene die Affinitätsebene bildet, in ein Umdrehungshyperboloid überführen. Ist die «-Achse der Aufrißebene parallel, so ändern sich bei dieser Transformation nur die Grundrißprojektionen.

247. In Fig. 222 ist die Parallelprojektion eines hyperbolischen Paraboloids gezeichnet, dessen Hauptebenen xz und yz sind.

rs?-’

—V 9

-7

—V-

f'

Eig. 222.

Der Scheitel A ist gegeben, und von den beiden Hauptschnitten a und b kennt man die Punkte M und P (M liegt auf der y-Achse und P ist ein willkürlicher Punkt der #£-Ebene). Symmetrisch zu M und P bezüglich der z-Achse findet man sofort die Punkte N und Q. Die Projektionen a und b' der Hauptschnitte kann man dann leicht zeichnen. Die Ebenen, die man durch P und Q parallel zur y^-Ebene legt, schneiden die Fläche in zwei Parabeln, c und d, die mit b kongruent sind. Ihre Projektionen c und d' sind ebenfalls kongruent mit b'. Die Punkte V und T, in denen c die xy-Ebene schneidet, kann man deshalb finden, indem man zunächst

auf b' die Punkte sucht, für welche der Abstand von der zu der xy-Ebene parallelen Tangentialebene des Scheitels gleich dem Abstand der Punkte V und Q von der x-Achse wird. Die #?/-Ebene schneidet die Pläche in einer Hyperbel mit den Scheitelpunkten M und N, die durch V und T geht. Diese Hyperbel kann leicht konstruiert werden. Die Schnittlinien f und g der Fläche mit der Tangentialebene im Scheitel A findet man, indem man auf den Parabeln c und d die Punkte bestimmt, deren Abstand von der xy-Ebene gleich OA wird.

Da eine umschriebene Zylinderfläche das Paraboloid längs einer Parabel berührt, wird der Umriß & der Projektion eine Parabel. Die Richtung der Erzeugenden des längs d der Fläche umschriebenen Zylinders wird durch die Tangente von a im Punkte Q gegeben. Eine Tangente von d' parallel zur Tangente von a in Q' berührt deshalb d' in einem Punkte S' des Umrisses. Denn in dem so bestimmten Punkte S auf d ist die Tangentialebene des längs d umschriebenen Zylinders, also auch des Para-boloids eine projizierende Ebene. Der Umriß berührt d! in S' Ebenso kann man auch den Punkt finden, in dem c von der Umrißkurve berührt wird. Diese ist so vollständig bestimmt, da man zwei ihrer Punkte mit den zugehörigen Tangenten kennt, z wird von ihr ein Durchmesser. Sie muß f' und g berühren, da die projizierenden Ebenen durch f und g Tangentialebenen der Fläche sind. Allgemein ergibt sich, daß die Umrißkurve die Projektion aller Erzeugenden der Fläche berührt.³)

¹

Die folgenden Untersuchungen zeigen, daß die Kegelschnittflächen dieselben Typen umfassen wie die aus der analytischen Geometrie bekannten reellen Flächen zweiten Grades. Es ist in der Tat klar, daß jede (nicht zerfallende) reelle Fläche, die in rechtwinkligen Koordinaten durch eine Gleichung zweiten Grades dargestellt werden kann, eine Kegelschnittfläche sein muß, weil jeder ebene Schnitt der Fläche durch eine Gleichung zweiten Grades dargestellt werden kann. Die Theorie der reellen Flächen zweiten Grades ist somit in der Theorie der Kegelschnittflächen enthalten. Daß aber auch jede Kegelschnittfläche eine Fläche zweiten Grades sein muß, geht ebenfalls aus den hier folgenden Untersuchungen hervor.

²

K. Pohlke, Darstellende Geometrie, Berlin 1860. 4. Aufl. 1876, S. 109 ff.

H. A. Schwarz, Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes, Journal für die r. u. a. Math. Bd. 63, S. 309—314, 1864.

Fr. Schur, Über den Pohlleeschen Satz, Journ. f. d. r. u. a. Math. Bd. 117, S. 24—28, 1897 (wo man auch eine einfache Konstruktion der Umrißellipse findet); Math. Annalen Bd. 25, S. 596 f., 1885 (hier die projektive Verallgemeinerung).

Fr. Schilling, Über den Pohlkeschen Satz, Zeitschrift f. Math, u. Phys. Bd. 48, S. 487—494, 1903, wo weitere Literatur zusammengestellt ist.

Th. Schmid, Zur Konturbestimmung d. Flächen 2. Grades (Pohlkes Satz), Wien. Ber. 113. Abt. Ha, S. 1423—33, 1904.

³

Zu diesem Abschnitt vgl. man Rohn-Papperitz, Lehrbuch d. darst. Geometrie, III. Bd., 3. Aufl, 1906, S. 161 ff.

Stenographische Projektion.

-JZ

Fig. 223.

248. Wenn eine konvexe Kegelschnittfläche aus einem ihrer Punkte S auf eine Ebene TT projiziert wird, welche die Tangentialebene Z in S in unendlicher Entfernung schneidet, so wird ein beliebiger Kegelschnitt 7c auf der Fläche, der nicht durch S geht, in einen Kegelschnitt Tc projiziert, der zu dem Kegelschnitt 7c₁, in dem TT oder eine dazu parallele Ebene die Fläche schneidet, ähnlich und in ähnlicher Lage ist (Fig. 223).

Beiveis: Die Ebene von Je schneide Z in der Linie l. Es mögen A und A₁ ein Paar konjugierter Punkte auf l sein, NM und S'A₁ sind dann reziproke Polaren bezüglich der Fläche, und die unendlich fernen Punkte Ä und At' dieser Linien sind deshalb konjugiert bezüglich der Fläche, also auch bezüglich Jcx. Da nun Ä und M/ bei der betrachteten Projektion die Bildpunkte von A •und At werden und diese letzteren Punkte bezüglich Je konjugiert sind, sind Ä und At' auch konjugiert bezüglich Je. Jc₁ und Je haben also die konjugierten unendlich fernen Punktepaare gemeinsam und sind deshalb ähnlich (137).

Der Mittelpunkt von Je ist der Pol der unendlich fernen Linie und deshalb der Bildpunkt des Poles L der Linie l bezüglich Je. Aber L liegt auf der Polare von l bezüglich der Fläche, und diese Polare ist die Verbindungslinie von S mit dem Pol der Ebene des Kegelschnittes Je. Folglich: Der MittelpunJet von Je ist der BildpunJct des Poles der Ebene, in der Je liegt.

249. Wenden wir diese Projektion auf eine Kugel an, so werden alle Kreise auf der Kugel wieder als Kreise abgebildet.

Sv

,B

l’ig. 224.

In diesem besonderen Falle wird die Abbildung gleichzeitig konform, d. h. die Winkel, unter denen zwei beliebige Kurven auf der Fläche einander schneiden, werden in ihrer wahren Größe dargestellt. Sind nämlich (Fig. 224) AB und AC Tangenten der Kugel in A, die in ÄB' und A'C' projiziert werden und die Tangentialebene in S in B und C schneiden, so findet man ■^C.B'A'C' = ^CBSC ~ <$C.BAC. Die beiden letzten Winkel sind gleichliegende Winkel in den zwei kongruenten Dreiecken BSC und BAC.

Die stereographische Projektion findet eine praktische Anwendung beim Kartenzeichnen. Will man auf diese Weise die östliche Halbkugel auf die begrenzende Meridianebene M abbilden, so wählt man das Pi’ojektionszentrum in dem Punkte der westlichen Halbkugel, dessen Tangentialebene zu M parallel ist. Die Meridiane werden dann als ein Kreisbüschel dargestellt, dessen Grundpunkte in den Nord- und Südpol fallen, während die Breitenkreise als ein Büschel von Kreisen dargestellt werden, die die Kreise des ersten Büschels unter rechten Winkeln schneiden.

250. Projiziert man ein elliptisches Paraboloid aus dem

unendlich fernen Punkt der Fläche, so wird in der vorhin charakterisierten Projektion die Ebene X unendlich fern, und die Bildebene TT kann man willkürlich wählen, nur nicht parallel zur Achse. Hieraus erkennt man, daß die Kurve, in der eine beliebige Ebene TT das Paraboloid schneidet, ähnlich ist zu der Kurve, in der dieselbe Ebene einen Zylinder schneidet, dessen Seitenlinien parallel zur Achse des Paraboloids sind und dessen Leitkurve ein ebener Schnitt des Paraboloids ist. Mit Hilfe dieses Satzes kann man sofort die Kreisschnitte des Paraboloids finden. In Fig. 225 ist C der Scheitelpunkt der Fläche, die Achse ist vertikal, und die horizontale Spur ist eine Ellipse mit den Halbachsen OA und OB. Die Ebenen, die den vertikalen Zylinder, der durch diese Ellipse geht, in Kreisen schneiden, schneiden auch das Paraboloid in Kreisen. Macht man AM _L OA und OM — OB, so geben OM und die dazu bezüglich OC symmetrische Linie OM' die Stellungen der Kreisschnitte des Paraboloids an.

M’

Fig. 225.

Die ebenen Schnitte eines Umdrehungsparaboloids gehen durch senkrechte Projektionen auf eine zur Achse der Fläche senkrechte Ebene in Kreise über.

Kreissclmitte.

251. Wenn ein Kegel und eine beliebige Kegelschnittfläche einen Kegelschnitt gemeinsam haben, so schneiden sie einander in noch einem Kegelschnitte oder berühren einander im besonderen Fall längs des gegebenen Kegelschnittes. Es ist dabei vorausgesetzt, daß die Spitze des Kegels nicht auf der Fläche liegt.

In einer harmonischen perspektivischen Kollineation, von welcher die Spitze des Kegels das Zentrum ist, während dessen Polarebene bezüglich der Kegelschnittfläche als Kollineationsebene gewählt wird, entspricht jede der beiden Flächen sich selbst. Der gegebene Kegelschnitt Ti entspricht dann einem neuen Kegelschnitt der auf beiden Flächen liegt. Insbesondere kann Jct mit lc zusammenfallen, dies geschieht, wenn die Polarebene der Kegelspitze mit, der Ebene von h zusammenfällt, die beiden Flächen berühren dann einander längs Tc.

Der Satz kann insbesondere auf zwei Kegel angewendet werden.

252. Wenn ein Kegel zweiter Ordnung und eine beliebige Kegelschnittfläche einander in zwei Punkten P und Q berühren, so besteht die Schnittkurve der Mächen, wenn sie überhaupt existiert, aus zwei Kegelschnitten, die beide durch P und Q hindurchgehen. Die beiden Kegelschnitte können insbesondere zusammenfallen, indem dann der Kegel der Kegelschnittfiäche umschrieben ist. Wir setzen voraus, daß die Kegelspitze S nicht auf der Kegelschnittfläche liegt; die Linie PQ ist dann in keiner der Flächen enthalten.

Sei B ein gemeinsamer Punkt der beiden Flächen, der von P und Q verschieden ist. B kann dann nicht auf PQ liegen, da PQ sonst auf den beiden Flächen liegen müßte, was der Voraussetzung widerspricht. B kann auch nicht der Tangentialebene in P oder Q angehören, sonst müßte nämlich BP oder BQ eine gemeinsame Gerade der beiden Flächen sein. Die Ebene PQB muß also notwendigerweise die zwei Flächen in eigentlichen Kegelschnitten treffen, aber diese Kegelschnitte müssen zusammenfallen, da sie durch P, Q und B gehen, und die Tangenten in P und Q für beide Kegelschnitte die Schnittlinien der Ebene PQB mit den gemeinsamen Tangentialebenen der Flächen in P und Q werden. Die Flächen haben also auf jeden Fall einen Kegelschnitt gemeinsam und deshalb nach dem vorhergehenden Satz im allgemeinen auch noch einen anderen Kegelschnitt.

253. Wenn eine Ebene TT eine Kegelschnittfläche in einem Kreise schneidet, so wird dieser auch von jeder zu TT parallelen Ebene in einem Kreise geschnitten, und die Mittelpunkte dieser Kreise liegen auf einem Durchmesser d. Ist d senkrecht zu TT, so muß die Fläche eine Umdrehungsfläche sein. Ist d nicht senkrecht zu TT, so muß eine Ebene durch d, die auf TT senkrecht steht, alle Kreise symmetrisch teilen, diese Ebene ist deshalb eine Symmetrieebene der Fläche. Folglich: Jeder Kreisschnitt liegt in einer Ebene, die zu einer Symmetrieebene der Fläche senkrecht ist.

Was wir hier ausgeführt haben, gilt für alle Kegelschnittflächen, auch für Kegel, und wir wollen es an wenden, um die Kreisschnitte eines Kegels mit vertikaler Achse zu finden (Fig. 226), dessen Spitze S und dessen Grundrißspur eine Ellipse mit den Halbachsen OA und OB ist [OB fällt in die trennende Achse). Wenn die zur Aufrißebene senkrechte Ebene T den Kegel in einem Kreis schneidet, so schneidet die zu T bezüglich der Symmetrieebene SOA symmetrische Ebene V den Kegel auch in einem Kreis. Da die beiden Kreise sich in zwei Punkten schneiden,

Hegen sie auf einer Kugel, und diese berührt den Kegel in den Schnittpunkten der Kreise. Der Kugelmittelpunkt fällt auf die Kegel-achse OS. Umgekehrt hat eine Kugel, welche den Kegel in zwei Punkten berührt und weitere Punkte mit der Fläche gemein hat, zwei Kreisschnitte mit ihm gemein. Wir finden deshalb die Stellung der Kreisschnitte durch folgende Konstruktion:

'' a

r''

Fig. 226.

Man drehe SA um die Kegelachse herum in die Aufrißebene hinein, auf der so entstehenden Linie SAX wähle man einen Punkt P₁ und schlage einen Kreis, dessen Mittelpunkt O auf SO liegt und der    in P₁ berührt. Die Kugel, von welcher dieser

Kreis ein größter Kreis ist, schneidet dann den Kegel in zwei Kreisen, deren Aufrißprojektionen a und b sind.

254. Wir suchen nun die Kreisschnitte eines Ellipsoids, dessen Halbachsen OA, OP und OG seien. (Fig. 227). In der Figur ist OA > OB >0(7 angenom- ^ men; 0, A, C liegen in der Aufrißebene, 0, A, B in der Grundrißebene.

y-A

Wenn wir zunächst die Kreisschnitte bestimmen wollen, deren Ebenen durch

y-'

Fig. 227.

’ . 0 den Mittelpunkt 0 gehen, und dabei benützen, daß jede der gesuchten Ebenen auf einer Symmetrieebene des Ellipsoids senkrecht steht, so sehen wir, daß die gesuchte Ebene durch eine der Linien OA, OB und OC hindurchgehen muß;

OA und 0 C (die größte und die kleinste Halbachse) liefern aber keine reellen Lösungen, hingegen kann man durch OB wirklich zwei Ebenen legen, welche die Fläche in Kreisen schneiden. Die Ellipse A C hat nämlich zwei Halbmesser, deren Längen gleich OB sind, denn der Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius OB schneidet die Ellipse in vier Punkten. Die Verbindungslinien e und e dieser Schnittpunkte mit dem Mittelpunkt 0 fallen mit den Aufrißprojektionen der gesuchten

Kreise zusammen. Die Kreise selbst sind die Schnittkurven des

Ellipsoids und einer Kugel mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius OB. Die anderen Kreise des Ellipsoids werden erzeugt durch dessen Schnitt mit Ebenen, die zu den gefundenen Ebenen parallel sind.

Die Punkte auf dem Ellipsoid, deren Tangentialebenen den Ebenen der gefundenen Kreisschnitte parallel sind, heißen Kugcl-punkte (Nabelpunkte). Das allgemeine Ellipsoid enthält vier Kugelpunkte.

255. Auf dem Hyperboloid kann man die Stellung der Kreisschnitte bestimmen, indem man die Kreisschnitte des Asymptotenkegels sucht. Eine Ebene TT, die den Asymptotenkegel in einem Kreis schneidet, schneidet nämlich auch das Hyperboloid in einem Kreise, denn der Asymptotenkegel und das Hyperboloid haben dieselbe Schnittkurve mit der unendlich fernen Ebene gemeinsam und haben sonach auch in dieser Ebene alle konjugierten Punktepaare gemeinsam; die beiden Schnittkurven in der Ebene TT haben also gemeinsame konjugierte Punktepaare auf der unendlich fernen Linie von TT und sind deswegen ähnlich. Das allgemeine zweischalige Hyperboloid enthält vier Kugelpunkte.

Auf dem einschaligen Hyperboloid kann man die Kreisschnitte durch das Zentrum auch dadurch bestimmen, daß man den Schnitt des Hyperboloids mit einer Kugel über der großen Achse der Kehlellipse als Durchmesser sucht. Dieses erkennt man durch eine ähnliche Überlegung, wie wir sie oben für das Ellipsoid angestellt haben. Die Konstruktion führt man am leichtesten aus, indem man die Schnittpunkte S und T der Kugel mit einem Regelstrahl des Hyperboloids bestimmt. Die gesuchten Ebenen gehen dann durch S und T hindurch. Das einschalige Hyperboloid enthält keine Kugelpunkte.

Wie man die Kreisschnitte eines elliptischen Paraboloids bildet, haben wir bereits in 250 angegeben. Das hyperbolische Paraboloid hat keine Kreisschnitte.

Zehntes Kapitel.

Raumkurven.

Einfache Bögen im Raume.

256. Unter dem Richtungshegcl eines Kurvenbogens im Raume verstehen wir einen Kegel, dessen Seitenlinien zu den Tangenten des Bogens parallel sind. Die Spitze des Kegels kann beliebig gewählt werden.

Der Bogen heißt einfach, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Kein Teil des Bogens darf eben oder geradlinig sein. 2. Jeder Punkt des Bogens muß zwei entgegengesetzt gerichtete Halbtangenten haben. 3. Der Bichtungskegel muß einfach sein, d. h. es muß wenigstens eine Ebene existieren, die ihn in einem einfachen ebenen Bogen schneidet, dieser Bogen kann dann als Leitkurve des Kegels benutzt werden. 4. Wenn ein Punkt M den gegebenen Bogen AB in einem bestimmten Umlaufssinne durchläuft, soll die Tangente in M ihre Bichtung beständig derart ändern, daß die zugehörige Seitenlinie des Bichtungskegels diesen kontinuierlich und monoton durchläuft (d. h. so, daß sie sich beständig nach derselben Seite hin auf dem Kegel bewegt). Die eine Mantelhälfte des Bichtungskegels bestimmt die Bichtung der vorwärtslaufenden Halbtangente, die andere Mantelhälfte die Bichtung der rückwärtslaufenden Halbtangente.

Da von dem Bichtungskegel höchstens zwei Seitenlinien einer gegebenen Ebene parallel sind, können von dem Bogen höchstens zwei Tangenten der Ebene parallel sein. So kann man erkennen, daß eine Ebene nicht vier Punkte P, Q, R, S mit dem Bogen gemein haben kann, denn sonst müßte (nach 201) jeder der Bögen IJQ, QR, RS (wenn P, Q, R, S einander in dieser Beihenfolge auf dem Bogen folgen) mindestens einen Punkt enthalten, dessen Tangente der Ebene parallel ist (dieses wäre nämlich der Punkt, der auf dem betrachteten Bogen von der Ebene den größtmöglichen Abstand hat). Folglich: Ein einfacher Bogen im Raume hat höchstens drei PunJcte mit einer Ebene gemein.

257. Unter der Schmieguiigsebene eines einfachen Bogens in einem Punkte M versteht man die Grenzlage, der eine Ebene zustrebt, wenn sie beständig die Tangente m in M enthält und noch durch einen anderen Punkt N des Bogens geht, der nach M konvergiert. Daß die Schmiegungsebene eindeutig bestimmt ist, erkennt man wie folgt (Fig. 228): Der Bogen MN muß einen Punkt P enthalten, dessen Tangente p der Ebene mN parallel ist (201). Der Richtungskegel enthält zwei Seitenlinien m₁ und^, die zu m und p parallel sind, die Ebene mN ist deshalb der Ebene m₁p₁ parallel. Wenn nun N nach M konvergiert, konvergiert auch P na.ch M und gleichzeitig konvergiert pt nach m1? so daß die Ebene mlp₁ nach der Tangentialebene des Kegels längs my konvergiert. Also hat die Ebene mN eine eindeutig bestimmte Grenzlage T, die der Tangentialebene rx des Richtungskegels längs mx parallel ist. Damit ist die Existenz der Schmiegungsebene bewiesen: Jeder Punkt M eines einfachen Bogens hat eine bestimmte Schmiegungsebene. Biese ist der Tangentialebene des Richtungskegels längs der dem Punkt M entsprechenden Seitenlinie parallel.

!P \w

N/p

fp

Mg. 228.

Eine Ebene, die drei beliebige Punkte A, B, C des Bogens enthält, ist zwei Tangenten p und q, einer an den Bogen AB, der anderen an den Bogen BC parallel, sie ist deshalb auch zwei Seitenlinien px und qt des Richtungskegels, mithin der Ebene die diese Seitenlinien bestimmen, parallel. Läßt man A, B und G nach einem bestimmten Punkte M konvergieren, so konvergieren die beiden Seitenlinien pl und qt gleichzeitig nach der Seitenlinie m₁ des Kegels, die der Tangente in M parallel ist, während die Ebene pxqx nach der Tangentialebene des Kegels längs ml konvergiert. Aber die Ebene ABC konvergiert damit nach der Schmiegungsebene des Bogens in M, folglich:

Wenn drei veränderliche Punkte A, B, C des Bogens nach dem Punkte M konvergieren, muß die Eibene ABC notwendigerweise nach der Schmiegungsebene in M konvergieren. Der Punkt A kann insbesondere in M fest liegenbleiben.

Auf ganz ähnliche Weise beweist man, daß eine Ebene, die durch einen festen Punkt M und die Tangente n in einen beweglichen Punkt N des Bogens gelegt wird, nach der Schmiegungsebene in M konvergiert, wenn N nach M konvergiert.

Die Parallelprojektion eines einfachen Bogens.

258. Wir wollen nun dazu übergehen, die Parallelprojektion eines einfachen Bogens AB zu untersuchen, indem wir diesen auf eine gegebene Ebene TT in einer Richtung, die wir vorläufig als zu keiner Tangente des Bogens parallel voraussetzen, projizieren. Jede Tangente des Bogens AB projiziert sich dann als eine Tangente der Projektion ÄB', und jede Halbtangente, die zu einem Umlaufssinne von HR gehört, projiziert sich als eine Halbtangente, die zu dem entsprechenden Umlaufssinne von Ä B' gehört.

>n

AL

0<

zum

Af‘

->mr

rag. 229.

Die Fig. 229 zeigt den Bogen AB mit einem Punkte M und der zugehörigen Halbtangente m (für den Umlaufssinn A B) samt der Projektion ÄB' des Bogens mit dem Punkte M' und der zugehörigen Halbtangente m', weiter erblickt man den Richtungskegel (die Mantelhälfte , die Umlaufssinne AB gehört) mit der Spitze die Seitenlinie ml || m und die Projektion des Rieh-tungskegels {mx' || m'). Denken wir uns, daß der Punkt M den Bogen AB von A bis B durchläuft, so durchläuft M' die Projektion ÄB', und m bleibt beständig zu m/ parallel, so daß seine Richtungsänderung ausschließlich durch mx' bestimmt wird. Da nun sich beständig nach derselben Seite dreht, solange die Tangentialebene des Richtungskegels längs keine projizierende Ebene wird, während es seine Bewegungsrichtung umkehrt, wenn es eine solche Lage passiert, für welche die genannte Tangentialebene eine projizierende Ebene wird, und dieses höchstens zweimal eintreten kann, so erkennt man, daß der Bogen A'B aus einfachen Bögen besteht, daß er jedesmal einen Wendepunkt bekommen muß, wenn die Schmiegungsebene von AB eine projizierende Ebene wird, und daß es höchstens zwei solcher Wendepunkte geben kann.

Der Bogen Ä B' kann möglicherweise einen Doppelpunkt besitzen, indem es einen Projektionsstrahl geben kann, der zwei Punkte M und N des vorgelegten Bogens enthält. — In diesem Falle werden M und N in denselben Punkt projiziert, und dieser wird ein Doppelpunkt der Projektion. Mehr als ein Doppelpunkt kann nicht Vorkommen, da es sonst zwei Projektionsstrahlen geben müßte, die je zwei Punkte des Bogens AB enthielten, und sonach eine projizierende Ebene, die vier Punkte mit dem Bogen gemein hat, was unmöglich ist.

259. Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, daß keine Tangente des betrachteten Bogens ein Projektionsstrahl ist. Wir geben nun

Bi

N'

iß’

M'

Fig. 230.

diese Voraussetzung auf, indem wir die Parallelprojektion in dem Falle untersuchen, wo der Bogen einen Punkt M enthält, dessen Tangente m ein Projektionsstrahl ist (Fig. 230). Die Spitze 0 des Richtungskegels liege außerhalb der Projektionsebene TT, und die Seitenlinie mx des Richtungskegels, die zu m parallel ist, werde von der Ebene TT im Punkte Mx geschnitten. Wir betrachten ein Stück AB des Bogens, das M enthält, so daß der zugehörige Teil des Richtungskegels die Ebene TT in einem einfachen Bogen Ax B{ schneidet, und wählen die Orientierung so, daß die Halbstrahlen, die von 0 nach dem Bogen AXBX gehen, den Halbtangenten des Bogens AB für den Umlaufssinn AB parallel sind. Es entspricht so die Halbtangente n im Punkte N dem Halbstrahl nx = ONt auf dem Richtungskegel; die Parallelprojektion n von n ist dann zu M₁N₁ parallel.

Wenn der Punkt N den Bogen AM von A bis M durchläuft, so durchläuft Nx den Bogen AXMX^ und der Halbstrahl Mx dreht sich beständig nach derselben Seite und konvergiert nach

der Halbtangente tx des Bogens MXAX in Mx, wenn H nach M konvergiert. Infolgedessen dreht sich auch der Halbstrahl n\ der MXNX parallel ist, nach derselben Seite in demselben Sinne und konvergiert nach dem Halbstrahl t || tx, wenn N nach M kon-vergiei’t; da ferner der Halbstrahl N'M' zu einer Halbtangente des Bogens JSJ'M' parallel ist, so wird dieser Halbstrahl nach t konvergieren, wenn N' nach M' konvergiert, und es folgt hieraus, daß die Parallelprojektion A'M' von AM ein einfacher Bogen wird, dessen Halbtangente s in M' zu t entgegengesetzt gerichtet ist. — Der durch den Umlauf ÄM' des Bogens Ä M' bestimmte Drehsinn in der Ebene TT ist derselbe wie der durch den Umlauf AXMX des Bogens AXMX bestimmte Umlaufssinn.

Ebenso beweist man, daß der Bogen JB'M' ein einfacher Bogen ist, dessen Halbtangente in M' ebenfalls s ist, während der dem Umlauf B' M' entsprechende Umlaufssinn übereinstimmt mit dem durch den Umlauf BXMX des Bogens BXMX bestimmten Umlaufssinn. Die beiden Bögen A M' und B'M' bilden deshalb in M' eine Spitze erster Art mit der Halbtangente s (vgl. auch 261).

Die Ebene mt wird die Schmiegungsebene in M, da sie der Tangentialebene mxtx des Richtungskegels parallel ist. Da die Schmiegungsebene mt die beiden Bögen A'M' und B'M' voneinander trennt, trennt sie auch die Bögen AM und BM. Folglich:

Die Schmiegungsebene teilt den Bogen in zwei Bögen, einen auf jeder Seite der Ebene.

Hingegen liegt bei jeder anderen Ebene durch die Tangente m die Umgebung des Punktes M auf derselben Seite der Ebene.

Wir vereinigen die für die Parallelprojektion des einfachen Bogens gefundenen Resultate in folgendem Satze:

Durch Parallelprojektion eines einfachen Bogens b im Baume entsteht eine ebene Kurve b', die aus einfachen ebenen Bögen besteht. Hat b eine Tangente, die ein Projektionsstrahl ist, so hat b' in dem entsprechenden Punkte eine Spitze erster Art, und die Tangente in dieser Spitze ist die Spur der Schmiegungsebene. Ist eine Schmiegungsebene eine projizierende Ebene, ohne daß die zugehörige Tangente ein Projektionsstrahl ist, so wird der dem Berührungspunkt entsprechende Punkt von b' ein Wendepunkt. Ist eine Sekante von b ein Projektionsstrahl, so entsteht ein Doppelpunkt von b'.

260. Eine feste Ebene TT, die durch die Tangente m in M geht, werde von der in einem anderen Punkte N berührenden Tangente n in einem Punkte S geschnitten. Wenn K dann nach M konvergiert, so konvergiert auch S nach diesem Punkte.

Dies zeigt man leicht mit Hilfe einer doppelten Projektion

(Fig. 231), bei der die Ebene TT zu der trennenden Achse senkrecht wird, während die Tangente m zu keiner Projektionsebene senkrecht ist. Man erkennt dann unmittelbar, daß S' und S" nach M' und M" konvergieren, d. h. 8 konvergiert nach M.

Die Schnittlinie der Schmiegungsebene A in einem Punkte A und der Schmiegungsebene B in einem anderen Punkte B konvergieren nach der Tangente - in A, wenn B nach A konvergiert. Die genannte Schnittlinie kann nämlich einerseits durch den Schnittpunkt S der Schmiegungsebene A mit der Tangente in B und andererseits durch ihre Richtung bestimmt werden. Diese Richtung wird gegeben durch die Schnittlinie s 'der beiden Tangentialebenen A1?    des Richtungs

kegels, die zu A und B parallel sind. Wenn B nach A konvergiert, konvergiert nach dem Vorstehenden auch S nach A, während s in die Seitenlinie des Kegels, die der Tangente in A parallel ist, übergeht. So erkennt man, daß die Schnittlinie von A, B auch nach dieser Tangente konvergieren muß.

m"

n"

s\

m!

J\r

Fig. 231.

Die Sclnniegungshalbebene.

261. Wir denken uns einen einfachen Bogen im Raume derart auf der Zeichenebene projiziert, daß keine Schmiegungsebene eine projizierende Ebene wird (Fig. 232). Wir betrachten nun

einen bestimmten Punkt M des Bogens und grenzen um ihn ein solches Teil Ai? des gegebenen Bogens ab, daß die Projektion ÄB' ein einfacher Bogen wird. Wir wählen ferner einen Punkt N auf dem Bogen AB und bezeichnen die Halbtangenten in M und N, die dem Umlaufssinne NM bzw. 31N entsprechen, mit m bzw. n. Die Halbebene, die von der Tangente in 31 begrenzt wird und die von den Punkten dieser Tangente ausgehenden, mit n gleich gerichteten Halbstrahlen enthält, bezeichnen wir mit m (n). Diese Halbebene konvergiert, wenn N in M übergeht, nach einer bestimmten G-renzlage. Ihre

VI

N/

Fig. 232.

B’

•n

Projektion auf die Zeichenebene ist einmal eine feste Halbebene, die von m begrenzt wird und den Bogen A' JB' enthält, und die Ebene, in der sie liegt, konvergiert nach der Schmiegungsebene in M. Die gesuchte Grenzlage der Halbebene wird also die Halbebene, die in der Schmiegungsebene liegt und auf die Zeichenebene in der Halbebene projiziert wird, die von m begrenzt wird und Ä B' enthält. Die so bestimmte Halbebene heißt die Schmiegungshalbebene in M.

Wir erkennen nun sofort durch eine analoge Betrachtung, daß die Halbebene m (W), die von der Tangente in M begrenzt wird und den Punkt N enthält, nach derselben Grenzlage konvergiert. Hieraus folgt aber weiter, daß eine beliebige Halbebene m (P), die von der festen Tangente in M begrenzt wird und einen beliebigen Punkt P der veränderlichen Halbtangente n enthält, nach derselben Grenzlage konvergiert. Denn die Halbebene m (P) liegt in dem konvexen Flächenwinkel, der von den Halbebenen m (n) und m (N~) begrenzt wird, und da nun diese beiden nach der Schmiegungshalbebene konvergieren, gilt das gleiche auch für die erstgenannte Halbebene.

Man beweist auf genau dieselbe Weise, daß die Halbebenen, die von der veränderlichen Tangente in N begrenzt werden und einen beliebigen Punkt des Halbstrahls m (den Punkt M mitgerechnet) enthalten, nach der Schmiegungshalbebene in M konvergieren, wenn N in M übergeht.

Die Tangentenfläche eines einfachen Bogens.

262. Die Fläche, welche von den Tangenten eines Bogens gebildet wird, heißt die Tangentenfläche des Bogens. Ihre Schnittkurve mit einer Ebene TT ist der geometrische Ort für die Schnittpunkte der Tangenten mit dieser Ebene. Wir setzen vorläufig voraus, daß der Bogen keinen Punkt mit der Ebene gemein hat.

Seien M, W, P drei aufeinanderfolgende Punkte des Bogens und Jfj, jVj und I\ die Schnittpunkte der im Umlaufssinne TNM genommenen Halbtangenten m, n und p mit der Ebene (Fig. 233). Lassen wir N und damit fest, während M und P nach N konvergieren, so konvergieren die Halbebenen piN^ und n^M^ nach dem vorstehenden gegen dieselbe Halbebene, nämlich die Schmiegungshalbebene des gegebenen Bogens in N. Aber die Spuren der beiden genannten veränderlichen Halbebenen in TT sind die Halbstrahlen P₃ und    , und diese beiden müssen also nach

einer gemeinsamen Grenzlage konvergieren. Daraus geht hei’vor, daß die gesuchte Schnittkurve im Punkte Nl bestimmte entgegen-

l'imerding, Handbuch II

gesetzte Halbtangenten hat, und daß die Tangente der Schnittkurve die Spur der Schmiegungsebene des gegebenen Bogens in N ist.

JV)

AL

JP

m;

p,

Fig. 233.

Wenn man weiter bedenkt, daß die Schmiegungsebene der Tangentialebene des Richtungskegels parallel ist, und daß die Spur dieser Tangentialebene in TT sich beständig nach derselben Seite dreht (solange keine Seitenlinie des Kegels zu TT parallel ist), so folgt hieraus, daß die Schnittkurve in der Umgebung von Nt ein einfacher Bogen sein muß.

263. Wir wollen nun annehmen, daß die Ebene TT einen Punkt M mit dem gegebenen Bogen gemein hat, aber die Tangente in M nicht enthält, und daß N und P ein voraufgehender und nachfolgender Punkt seien, mit den Tangenten n undp (Pig. 234).

N,

MfX

Vig. 234.

Lassen wir nun N und P nach M konvergieren, so konvergiert die Halbebene n (M) und p (M) nach der Schmiegungshalbebene in M, und ihre Spuren, die Halbstrahlen M und P₁JT, konvergieren also nach einer gemeinsamen Grenzlage, der Spur der Schmiegungshalbebene. Daraus folgt, daß die beiden Bögen MNX und MP₁ in M eine gemeinsame Halbtangente haben, so daß die Schnittkurve in diesem Punkte eine Spitze bekommt. Mit Hilfe des Richtungskegels erkennt man nun weiter, daß die Tangente der Schnittkurve sich nach derselben Seite dreht, wenn die Kurve in der RichtuDg N₁MP₁ durchlaufen wird. Die Spitze muß also von der ersten Art sein.

So findet man, daß die beiden Mäntel der Fläche, von denen der eine durch die vorwärts gehende Halbtangente, der andere durch die rückwärts gehende Halbtangente gebildet werden, so Zusammenstößen, daß längs des gegebenen Bogens eine scharfe Kante (BücTckehrkante oder Spitzkante) der Fläche entsteht.

Schneidet man die Fläche mit einer Ebene TT, welche die Tangente m in einem Punkte M der Spitzkante enthält, aber keine Schmiegungsebene ist, so schneidet die Ebene die Fläche zunächst in m, aber wie schon die Zeichnung vermuten läßt, außerdem in einer Kurve, von der 31 ein Wendepunkt und m die zugehörige Wendetangente ist (Fig. 235). Man beweist dieses durch ähnliche

Fig. 235.

kl

Überlegungen, wie sie bei den vorstehenden Untersuchungen verwendet worden sind.

Endlich wollen wir hervoi'heben, daß, wenn die Ebene TT die Schmiegungsebene in 31 ist, die Schuittkurve in der Umgebung von 31 ein einfacher Bogen wird.

Aus unserer Betrachtung geht hervor, daß die Tangentenfläche eines einfachen Bogens im Baume von einer beliebigen Ebene in einer einfachen ebenen Kurve geschnitten wird.

Einfache Raumkurven.

264. Unter einer einfachen Raumkurve verstehen wir eine solche Raumkurve, die man sich aus einfachen Bögen entstanden denken kann, indem zwei solche Bögen, wo sie Zusammenstößen, immer eine gemeinsame Tangente und eine gemeinsame Schmiegungsebene haben. Haben die beiden Bögen entgegengesetzt gerichtete Halbtangenten, so sind vier verschiedene Fälle zu unterscheiden, entsprechend den vier Hauptformen, welche die Projektion der Kurve in der Richtung der Tangente annehmen kann. Diese vier Formen sind in den Figuren 236a, b, c, d dargestellt, wobei in jeder Figur ein

15*

Stück der projizierenden Zylinderfläche gezeichnet ist. Die Lage der Schmiegungsebene zur Kurve erkennt man unmittelbar aus den Figuren.

Außer diesen vier Formen von einfachen Kurven kann man noch vier aufstellen, die dem Falle entsprechen, wo die zusammen-

Fig. 236 a.

Fig. 236o.

Fig. 236 b.

Fig. 236 d.

stoßenden einfachen Bogen gemeinsame Halbtangenten haben, so daß die Raumkurve eine Spitze bekommt. Wir überlassen es dem Leser, diese Formen analog den soeben betrachteten aufzuzeichnen.

In allen Fällen geht eine einfache Raumkurve durch Parallelprojektion in eine einfache ebene Kurve über.

265. Aus den Betrachtungen in 262—263 kann man ferner schließen, daß die Tangententläche einer einfachen Raumkurve von einer beliebigen Ebene in einer einfachen ebenen Kurve geschnitten wird.

Hiernach kann man weiter beweisen, daß durch eine perspektivische Haumtransformation eine einfache Baumkurve k immer in eine rin fache Baumkurve \ übergeht.

Für eine affine Transformation ist dies unmittelbar einleuch

tend, weil der Richtungskegel von k in den Richtungskegel von kx übergeht. Ist die Transformation nicht affin, so benutzt man folgende Überlegung: Die Fluchtebene in dem. System, zu dem k gehört, schneidet die Tangentenfläche von k in einer einfachen ebenen Kurve, und diese ist die Leitkurve für den Richtungskegel von 7^, wenn man die Spitze des Kegels im Perspektivitäts-zentrum annimmt. Folglich ist kt eine einfache Raumkurve.

Wir können nun ferner beweisen, daß eine einfache Raumkurve k durch Zentralprojektion in eine einfache ebene Kurve k' übergeht.

Eine perspektivische Raumtransformation, welche das Zentrum der Zentralprojektion in einen unendlich fernen Punkt überführt, führt die Kurve k in eine einfache Raumkurve kx über, während k’ gleichzeitig in eine Parallelprojektion von \ übergeht, also in eine einfache ebene Kurve, k' muß deshalb selbst eine einfache ebene Kurve sein (vgl. noch die Bemerkung in 266).

Ein wichtiger Satz, der gestattet zu beurteilen, ob eine vorgelegte Raumkurve eine einfache Kurve ist, ist der folgende: Wenn eine Raumkurve in jedem Punkte bestimmte entgegengesetzt gerichtete Halbtangenten hat, und ihre Tangentenfläche eine ebene Schnittkurve enthält, die eine einfache Kurve ist, so ist die Raumkurve selbst stets eine einfache Kurve.

Durch eine perspektivische Raumtransformation, welche den gegebenen ebenen Schnitt in die unendlich ferne Ebene überführt, geht nämlich die gegebene Raumkurve in eine einfache Raumkurve über.

266. BetrefFs der Zentralprojektion eines einfachen Bogens ist noch zu bemerken, daß ganz ähnliche Verhältnisse hinsichtlich der Entstehung von Wendepunkt, Spitze und Doppelpunkt obwalten wie bei der Parallelprojektion. Dieses folgt sofort aus den aufgestellten Sätzen über die Schmiegungsebene und Schmiegungshalbebene.

Eine Bemerkung müssen wir noch machen, welche den Fall betrifft, wo das Zentrum 0 der Zentralprojektion auf der Kurve selbst liegt (Fig. 237). In diesem Falle liefert der Punkt 0 ja nicht eigentlich eine Projektion, aber da die Linie OM nach der Tan-

gente in 0' konvergiert, wenn M nach 0 konvergiert, liegt es nahe, die Spur 0' dieser Tangente als Projektion von 0 aufzufassen. Tut man dieses, so erreicht man, daß man einen zusammenhängenden Bogen M'O'N' als Projektion des Bogens MON erhält. Hierauf ist die Tangente des Bogens M'O'N' in 0' bestimmt als die Grenzlage der Linie 0'M\ wenn M' nach 0' konvergiert, und diese Tangente ist folglich die Spur der Schmiegungsebene des gegebenen Bogens in 0. Die Halbstrahlen 0'N' und 0'M' konvergieren nach entgegengesetzt gerichteten Grenzlagen, und da M und N auf entgegengesetzten Seiten der Schmiegungsebene in 0 liegen, liegen M' und N' auf derselben Seite der Tangente in 0'. Der Bogen M' O'N' ist also in der Umgebung von 0' ein einfacher Bogen.

267. Den unendlich fernen Punkten haben wir bis jetzt noch keine besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Sie können bei den betrachteten Kurven ja nur in endlicher Anzahl Vorkommen, und jeder von ihnen kann mit Hilfe einer perspektivischen Baumtransformation untersucht werden. Da die Definitionen, welche unendlich ferne Punkte betreffen, beständig so getroffen werden, daß man sie durch Anwendung einer perspektivischen Transformation auf gewöhnliche Punkte zurückführt, bieten sie auch hier keinerlei Schwierigkeiten dar.

Krümmungskreis.

268. Der Schmiegungskreis für eine Raumkurve wird ebenso definiert wie für ebene Kurven. Er liegt in der Schmiegungsebene,

und sein Mittelpunkt gehört der Normalen an, die in der Schmiegungsebene enthalten ist. Diese Normale heißt die Hauptnormale. Faßt man eine ebene Kurve als eine spezielle Raumkurve auf, so ist die Ebene der Kurve als Schmiegungsebene aufzufassen und die Kurvennormalen, die in der Ebene liegen, als Hauptnormalen.

k’

\s

bI

a C-

Fig. 238.

Der Schmiegungskreis wird auch Krümmungskreis genannt, und sein Radius gewöhnlich als Krümmungsradius bezeichnet.

In Fig. 238 ist A ein fester, B ein beweglicher Punkt auf der Kurve Je. Ein Kreis, der die Tangente a in A berührt und durch B geht, möge die Linie BC (wobei C ein willkürlicher Punkt auf a ist) in JD schneiden. Man findet dann durch genau ebensolche Betrachtungen, wie sie bei den ebenen Kurven angestellt worden sind,

AC²

BC

CD =

Wenn nun B sich A und BC sich einer bestimmten Grenzlage s nähert, so nähert sich der veränderliche Kreis dem Krümmungskreis und dieser muß dann s in einem Punkte Dx schneiden, der durch die Beziehung bestimmt ist

AD, — lim

AC²

BC ‘

Ist B C beständig senkrecht auf a oder jedenfalls die Grenzlage von FC_La, so wird s die Hauptnormale in A und A Dx ein Durchmesser des Krümmungskreises. Zur Bestimmung des Krümmungsradius q hat man dann die Gleichung:

AC²

2q = lim

Durch senkrechte Projektion auf eine Ebene TT || a erhält man nun einen Bogen Jc\ dessen Krümmungsradius qx durch die Gleichung bestimmt ist:

o r A'C'²-2= lim -ß>n’ ’

aber da Ä C' == AC und lim

= cos«, wenn a die Neigung

B’C'

BC

der Hauptnormalen oder auch der Schmiegungsebene gegen die Ebene TT ist, so findet man

Vh

Q/| Qs

co

Projiziert man hingegen Je auf eine Ebene, die parallel zur Hauptnormalen ist und einen Winkel ß (=f= 90°) mit der Tangente bildet, so er-

= cos ß ist, mithin wird

hält man lim

BC

B'C'

= 1, während lim

A'C'

AG

-CÜ

269. Als ein wichtiges Beispiel für die Konstruktion des Krümmungskreises und der Schmiegungsebene einer Raumkurve in besonderen Punkten nehmen wir das folgende: Wir betrachten die Durchdringungskurve zweier Umdrehungsflächen, deren Achsen a und h in der Zeichenebene liegen und deren Meridiankurven m und n sind (Fig. 239). Man kann die Punkte der Durchdringungs-kurve mit Hilfe von Kugeln bestimmen, deren Mittelpunkt in dem Schnittpunkte S der Achsen liegt, wobei jede dieser Kugeln die Umdrehungsflächen in Parallelkreisen schneidet, die ihrerseits Punkte

X'i---'

z X',V-

der gesuchten Durchdringungskurve gemein haben. Die Tangente der Durch-/ dringungskurve in einem der gefundenen Punkte steht senkrecht auf der Ebene, die durch die Kor-

71    ¹

°/R

\ »J

ft

N\

\\

xs

Fig. 239.

malen der beiden Flächen in dem Punkte bestimmt wird. Die Schnittkurve wird von der Zeichen-ebene in zwei symmetrische Hälften geteilt, und von ihr liegen bei Fig. 239 zwei Punkte P und Pt in der Zeichenebene. In diesen Punkten (den Scheitelpunkten der Kurve) steht die Tangente senkrecht auf der Zeichenebene, es ist deshalb von Wichtigkeit, die Schmiegungsebene in diesen Punkten zu finden, da die Spuren der Schmiegungsehene die Projektion der Durchdringungskurve berühren. Wir betrachten den PunktP und einen benachbarten Punkt P* auf der Kurve. Zwei Kugeln, die gleichzeitig durch P und P* gehen, und deren Mittelpunkte beziehungsweise auf a und b liegen, schneiden einander in einem Kreise, der die Raumkurve in P berührt und durch P* geht. Dieser Kreis nähert sich, wennP* nach P konvergiert, dem Krümmungskreise in P. Aber bei diesem Grenzübergange konvergieren die Kugeln nach Kugeln, welche die Umdrehungsfläche längs der durch P gehenden Parallelkreise berühren. Die Radien dieser letzten Kugeln sind die Normalen PQ und PR der beiden Meridiankurven, und der gesuchte Krümmungskreis wird der Schnittkreis dieser Kugeln.

Das von P auf die Linie QR gefällte Lot PO bestimmt den Krümmungsmittelpunkt 0. Die Linie PO ist zugleich die Spur der Schmiegungsebene und berührt deshalb die Projektion der Schnittkurve auf die Zeichenebene.

Sucht man die Projektion der Kurve auf eine beliebige zur Zeichenebene senkrechte Ebene, so kann der Krümmungsradius der Projektionskurve in einem P entsprechenden Punkte unmittelbar aus der Formel (I) auf S. 231 gefunden werden.

270. Die Länge des Bogens im Raume wird ähnlich wie bei den ebenen Kurven definiert. Das Verhältnis zwischen dem Bogen und der Sehne nähert sich der Einheit, wenn der Bogen sich der Null nähert.

Wenn ein einfacher Bogen in jedem Punkte einen bestimmten mit dem Punkte stetig veränderlichen Krümmungsradius hat, so läßt sich zeigen, daß der Krümmungsradius der Grenzwert ist für das Verhältnis zwischen der Bogenlänge, wenn diese gegen Null konvergiert, und dem Kontingenzwinkel (d. h. dem von den beiden Tangenten in den Endpunkten des Bogens gebildeten spitzen Winkel). Auf den Beweis gehen wir aber nicht ein.

Elftes Kapitel.

Abwickelbare Flächen und andere Hüllflächen.

Allgemeine abwickelbare Flächen.

271. Wir betrachten ein geordnetes System von Ebenen, das wir uns durch die Bewegung einer Ebene erzeugt denken, und setzen dabei voraus, daß niemals die Ebene beim Übergang aus einer Stellung in eine andere beständig durch dieselbe Linie geht. Unter der Schnittlinie einer Ebene TT des Systems mit der konsekutiven Ebene verstehen wir die Grenzlage für die Schnittlinie zwischen TT und einer veränderlichen Ebene, die sich TT nähert, indem sie eine geordnete Reihe von Lagen durchläuft, die zu dem gegebenen System gehören. Die Gesamtheit der Schnittlinien aller Ebenen mit ihren konsekutiven Ebenen bilden eine Fläche, welche die Hüttflciche des Systems heißt. Die Fläche heißt abwickelbar, und die genannten geraden Linien heißen ihre Erzeugenden. Wenn alle Ebenen in dem gegebenen System durch einen Punkt A gehen, so gehen auch alle Erzeugenden durch diesen Punkt, und die Fläche wird eine Kegelfläche. Als Leitkurve für diese Fläehe kann man die Hüllkurve für die Schnittlinie der gegebenen Ebene mit einer festen Ebene, die nicht durch A geht, benutzen. Die Kegelfläche wird von allen Ebenen des gegebenen Systems berührt. Ist A unendlich fern, so wird die Fläche eine Zylinderfläche. Im folgenden lassen wir Kegel und Zylinder außer Betracht, indem wir voraussetzen, daß die veränderliche Ebene, die das gegebene System durchläuft, niemals beim Übergang aus einer Lage in eine andere durch denselben Punkt geht.

Schneidet man das gegebene System mit zwei Parallelebenen T und A, von denen keine zum Sj^stem gehört (Fig. 240), so umhüllen die Spuren c und d der beweglichen Ebene TT des Systems in T und A zwei Kurven i und Je, die als Normkurven (183) vorausgesetzt werden sollen. Ebenso setzen wir voraus, daß die Spur der beweglichen Ebene in jede andere zu T und A parallele

Ebene eine Normkurve erzeugt, c und d mögen die beiden Kurven i und ft in C und D berühren, eine neue Lage TTj der beweglichen Ebene TT möge die Spuren c₁ und dt mit den Berührungspunkten und D1 liefern, c und cx mögen sich in y, d und dj in S schneiden. Wenn TTj^ sich TT nähert, so nähert ihre Schnittlinie mit dieser Ebene sich CD, indem y sich C und 6 sich D nähert. Die Linie CD ist deshalb eine Erzeugende der Fläche. Jede Erzeugende der Fläche ist mithin die Verbindungslinie zweier Punkte auf den Kurven i und ft, deren Tangenten parallel sind. Man erkennt zugleich, daß alle ebenen Schnitte der Fläche, die zu T und A parallel sind, in den Punkten, die auf derselben Erzeugenden liegen, parallele Tangenten haben.

:(Mlr

C]

f,

C1

I)

Di

di

Fig, 240.

Jede Ebene TT des gegebenen Systems berührt die Hüllfläche längs der zu TT gehörenden Erzeugenden p.

Beweis: Wenn die Erzeugende^ sich p nähert (Fig. 240), so nähert sich die Ebene Cp₁ der Grenzlage cp] CCX nähert sich nämlich c und nähert sich p. Wenn nun eine beliebige Kurve, die auf der Fläche liegt und durch C geht, die bewegliche Erzeugende pt in JP₁ schneidet, so wird die Grenzlage für die Linie CP₁ in der Ebene cp, also in TT enthalten sein, d. h. diese Ebene ist die Tangentialebene der Fläche im Punkte C. Auf dieselbe Weise erkennt man, daß die Ebene TT Tangentialebene in jedem Punkte von p ist. Hiermit ist der Satz bewiesen.

Die Erzeugenden einer abwickelbaren Fläche sind Tangenten einer bestimmten Baumkurve.

Beweis: In den Ebenen T und A zeichnen wir die Normalen CM und DN der Kurven i und ft. Diese Normalen sind parallel.

Wenn p die gegebene Fläche durchläuft, so umhüllen GM und DN die Evoluten ix und 7^ der Kurven i und k, und die durch CM und DN bestimmte Ebene umhüllt eine neue abwickelbare Fläche, welche die Kurven \ und kx enthält. Eine Erzeugende MN der «neuen Fläche schneide CD in einem Punkte S. Wenn p die gegebene Fläche und MN die neue Fläche durchläuft, so beschreibt der Punkt S eine Kurve s, die auf beiden Flächen liegt, und deren Tangente in S deshalb die Schnittlinie der Tangentialebenen beider Flächen längs CD und MN ist, aber diese Schnittlinie ist eben p, und somit ist p die Tangente der Kurve s in S.

Unsere Fläche ist also die Tangentenfläche einer bestimmten Raumkurve s (der Spitzkante der Fläche); für den Fall, wo s eine einfache Raumkurve ist, haben wir somit bereits früher (262 ff.) wesentliche Eigenschaften der Fläche gefunden, und auf diesen Fall werden wir uns auch im folgenden beschränken.

272.    Die Tangentialebenen der abwickelbaren Fläche sind Schmiegungsebenen der Kurve s.

Beweis: Da p± eine Tangente von s ist, konvergiert die Ebene Spt, wenn px sich p nähert, nach der Schmiegungsebene der Kurve in S, aber sie konvergiert auch nach der Tangentialebene der Fläche längs p (vgl. auch 262).

Daß die Tangenten einer beliebigen einfachen Raumkurve immer eine abwickelbare Fläche bilden, folgt aus dem früher bewiesenen Satz, daß die Grenzlage der Schnittlinie einer Schmiegungsebene mit einer benachbarten Schmiegungsebene eine Tangente der Kurve ist (260).

273.    Der Richtungskegel der Spitzkante s heißt auch Richtungskegel der abwickelbaren Fläche. Die Erzeugenden des Richtungskegels sind mithin parallel zu den Erzeugenden der Fläche, und die Tangentialebenen des Richtungskegels sind parallel zu den Tangentialebenen der Fläche.

Der Richtungskegel bestimmt die unendlich fernen Punkte der Fläche. Doch kann die Fläche insbesondere eine oder mehrere unendlich ferne Erzeugende enthalten, und die derart bestimmten unendlich fernen Punkte der Fläche bilden eine Gesamtheit für sich, die nicht unter den durch den Richtungskegel bestimmten unendlich fernen Punkten enthalten ist.

Bei der Projektion der abwickelbaren Fläche ist in erster Linie die Projektion der Spitzkante von Bedeutung. Weiter kommen dieUmrißerzeugenden, deren Tangentialebenen projizierende Ebenen sind, in Betracht. Handelt es sich um eine Parallelprojektion, so

sind diese Umrißerzeugenden parallel zu den Umrißerzeugenden des Richtungskegels.

Eine DoppelJcurve der Fläche entsteht als der geometrische Ort der Punkte, von denen zwei Erzeugende ausgehen. Wenn zwei solche Erzeugende sich auf der Fläche bewegen, beschreibt nämlich jede von ihnen einen Teil der Fläche, und ihr Schnittpunkt eine Schnittkurve der beiden Flächenteile. In der Projektion der Fläche muß die Doppelkurve angegeben werden.

(Kg- 241)

bilden eine

274. Wir wollen nun erklären, warum die im vorstehenden beschriebenen Flächen abwickelbare Flächen genannt werden. Zunächst betrachten wir eine Reihe dicht aufeinander folgende Lagen der Ebenen, die die Fläche umhüllen; a, b, c, d, seien die Schnittlinien von je zwei aufeinandex-folgenden dieser Ebenen. Die so bestimmten schmalen Keile ab,bc,cd,

\b

Figur, die wir kurz als eine Polygonfläche bezeichnen wollen. Sie kann auf eine Ebene T abgewickelt werden, indem man diese erst mit ab zusammenfallen läßt, darauf b c durch eine kleine Drehung um b in die Ebene fallen läßt, darauf cd durch eine Drehung um c usw. Die Keile

Fig. 241.

ab, bc, cd,.....legen sich dann

der Reihe nach in die Ebene um und bilden in ihr eine zusammenhängende Figur abc d' . . . ., welche die Abwicklung der Polygonfläche heißt. Bei der Abwicklung der Polygonfläche beschreibt ein beliebiger Punkt P von ihr eine Kurve, die aus einer Reihe kleiner Kreisbögen besteht; der erste dieser Bogen entsteht durch die Drehung um b, seine Ebene ist senkrecht zu b. Der zweite Bogen entsteht durch die Drehung um c und liegt deshalb in einer zu dieser Linie senkrechten Ebene usw.

Wenn nun die Anzahl der Ebenen in der Polygonfläche ins unendliche wächst, indem die Keile ab, bc,... schmäler und schmäler werden, nähert sich die Polygonfläche mehr und mehr der abwickelbaren Fläche, und diese wird immer die genannte Eigenschaft behalten, daß sie auf einer Ebene rollen und derart auf diese abgewickelt werden kann. So erkennt man, daß auch die Fläche selbst auf der Ebene rollen und derart auf diese abgewickelt werden kann, d. h. die Fläche kann sich so bewegen, daß sie beständig die Ebene längs einer Erzeugenden berührt und alle Punkte auf der

1.    jeder Punkt A der Fläche in einen entsprechenden Punkt Ä der Ebene fällt,

Fläche im Verlauf der Bewegung in die Ebene übergehen, derart, daß

2.    zu jeder Kurve k auf der Fläche eine entsprechende Kurve k' in der Ebene gehört und entsprechende Bögen dieser Kurven gleiche Längen haben,

3.    die Winkel zwischen zwei Kurven auf der Fläche gleich den Winkeln zwischen den entsprechenden Kurven in der Ebene werden und insbesondere die Winkel, unter denen eine Kurve die Erzeugenden schneidet, unverändert bleiben.

Bei der Abwicklung beschreibt ein beliebiger Punkt P der abwickelbaren Fläche eine Raumkurve, von der die Normalebene in jedem Augenblick durch die Erzeugende hindurchgeht, bis zu welcher die Abwicklung gerade fortgeschritten ist, so daß die Kurve die Ebene T selbst unter einem rechten Winkel trifft.

Durch die Betrachtung der Polygonfläche und der zu ihr gehörenden Richtungspyramide erkennt man, daß die Abwicklung der Fläche und die Abwicklung ihres Richtungskegels so eingerichtet werden können, daß entsprechende Erzeugende bei der Abwicklung parallel bleiben.

276. Zwischen den Krümmungsradien q und in entsprechenden Punkten einer Kurve k auf einer abwickelbaren Fläche und der entsprechenden Kurve k' in der ebenen Äbivicklung der Fläche besteht folgende einfache Beziehung:

wenn a den Winkel zwischen der Tangentialebene der Fläche und der Schmiegungsebene der Kurve in dem betrachteten Punkt bezeichnet. Beweis: Die Fläche berühre die Ebene l~ längs der Erzeugenden

Je

fr

an-

Fig. 242.

_p, die einen Punkt A der /a gegebenen Kurve k enthält (Fig. 242), ein derer Punkt der Kurve sei B. Wenn die Fläche auf der Ebene rollt, gelangt B nach B' und der Bogen AB wird in den Bogen AB' abgewickelt. Der von B beschriebene Bogen BB' trifft f

unter einem rechten Winkel. Wir tragen nun auf der Tangente

a in A AB₁ — AB = AB' ab, und zeichnen die Bahnen BB₁ und B'B₁ bei der Abwicklung von Je und Je. Wenn B sich A nähert, werden die Seiten in dem krummlinigen Dreieck BXB'B unendlich klein, während der krummlinige Winkel B Bt B' den konstanten Wert a hat; die durch a und die Tangente des Bogens BBX in Bx bestimmte Ebene ist nämlich die Schmiegungsebene der Kurve Je in A. Da gleichzeitig der Winkel B B' B₁ in dem krummlinigen Dreieck beständig 90° beträgt, hat man

lim

= COSßf,

B'B,

BB\

wird, finden wir

aber da 2 p == lim    und 2px = lim

Ql = üm    =_

B'B. cos«’

w. z. b. w. Ist u = 0, so hat man ^ = p, woraus man erkennt, daß die Abwicklung der Spitzkante denselben Radius besitzt wie die Spitzkante selbst.

Daraus, daß das krummlinige Dreieck BBXB' den spitzen Winkel a enthält, geht gleichzeitig hervor, daß die konkave Seite von Je eben da liegt, wo die konkave Seite der Projektion von Je auf die Tangentialebene liegt. Weiter erkennt man, daß, wenn die Kurve Je einen Punkt A enthält, für den a = 90° wird, die Möglichkeit besteht, daß der A entsprechende Punkt von Je ein Wendepunkt wird. Die Bedingung dafür ist, daß cc, während der Punkt auf der Kurve Je die Stelle A passiert, entweder beständig wächst oder beständig abnimmt. Wenn der WinJcel zwischen der Schmiegungsebene und der Tangentialebene für jeden PunJct von Je ein recJder ivird, wird Je in eine gerade Linie ausgebreitet. Die Kurve Je ist dann eine geodätiscJie Kurve (kürzester Weg) auf der Fläche.

Kegelfläclien.

276. Der Mantel eines Rotationskegels wickelt sich als ein Kreisausschnitt ab. Da der Umfang des Grundkreises dieselbe Länge wie der Bogen des Ausschnitts hat, wird die Gradzahl dieses Bogens = 360° • sin w, wo u den Achsenwinkel des Kegels bezeichnet. In Fig. 243 a ist u== 30°. Die Abwicklung des Mantels wird dann ein Halbkreis. Ein hyperbolischer Schnitt des Kegels,

AP

N" i

[SXl

l/A' y

Fig. 243 a.

•''Tr

Fig. 243 b.

der durch eine Ebene e₁ea senkrecht zur Aufrißebene erzeugt wird, wird abgewickelt, indem man den Kegel längs der Erzeugenden SN aufscbneidet (Fig. 243 a, b). Der Scheitelpunkt A des Hyperbelastes fällt nach A*, wobei S*A* = S"A" wird. Der Krümmungskreis ~k der abgewickelten Kurve in A* hat den Radius A"cx = A"c : cos a (275). A"c ist nämlich der Krümmungsradius der Hyperbel im Punkte A, den wir nach 212 bestimmen. Der Wendepunkt P* der abgewickelten Kurve entspricht einem Punkte P der Hyperbel, in welchem die Tangentialebene des Kegels auf der Ebene der Hyperbel senkrecht steht (275). Man findet also P, wenn man durch das aus S auf die Ebene der Hyperbel gefällte Lot eine Tangentialebene an den Kegel legt und den Schnittpunkt der Berührungslinie SQX mit der Schnittebene sucht. Es ergeben sich zwei Lösungen, von denen aber nur die eine in der Figur angegeben ist. Den Qx bei der Abwicklung entsprechenden Punkt Q*x findet man, indem man von N* aus einen Bogen abträgt, der gleich dem Bogen NQx wird. Macht man darauf S*P* gleich der wahren Länge S"Px von SP, so erhält man den gesuchten Punkt P*. Die Tangente der Hyperbel in P hat eine Grundrißspur Q, die auf ex liegt, und da die Lage der Tangente zur Seitenlinie bei der Abwicklung erhalten bleibt, so kann man die Tangente in P* finden, indem man Q*x Q* = Qx Q auf der Tangente des abgewickelten Grundkreises abträgt, Q*P* ist dann die gesuchte Tangente. Man sieht leicht, daß die früher angegebene Bedingung (275) dafür, daß die gefundene Tangente wirklich eine Wendetangente wird, hier erfüllt ist.

Wir erkennen zugleich, wie man einen beliebigen Punkt der abgewickelten Kurve samt seiner Tangente finden kann. Die Methode läßt sich auch auf unendlich ferne Punkte anwenden. In der Figur ist noch die eine Asymptote konstruiert, indem der Kegel mit einer zu der Ebene der Hyperbel parallelen Ebene durch die Spitze geschnitten wurde.

277. Die DurchdringwngsTiurve zweier Kegel kann man dadurch konstruieren, daß man durch die Verbindungslinie der Spitzen Hilfsebenen legt, die beide Kegelflächen schneiden. Jede dieser Ebenen schneidet dann jede Kegelfläche in einer oder mehreren Seitenlinien, und diese Seitenlinien treffen einander in Punkten der gesuchten Kurve. In Fig. 244 a sind a und b die Spuren der Kegel in der Bildebene, A und B die Kegelspitzen, AB hat die Spur S. Eine Linie durch S, die a und b schneidet, ist die Spur einer der genannten Hilfsebenen. Einer der gesuchten Punkte in dieser Hilfsebene ist P, nämlich der Schnittpunkt von APX und BPV Die Tangente in P wird gefunden, indem man P mit dem Schnittpunkt T der Tangenten an die Spurkurven in Px und P₂ verbindet.

Eine der Hilfsebenen durch AB berührt den Kegel A(a)

16

Timerding, Handbuch II

längs AQX und schneidet den Kegel B(b) in zwei Seitenlinien. In dieser Hilfsebene erhält man also nur zwei Punkte der Schnittkurve, während man sonst vier erhält. Die Tangenten dieser zwei Punkte sind die Seitenlinien, in denen die Ebene den Kegel B(b)

\A

’a

//m w

i w b

\ \'d

6’

Fig. 2 Fla.

schneidet, und die Schmiegungsebene der Kurve in den zwei Punkten sind die Tangentialebenen des Kegels längs der genannten Seitenlinien.

Die Hilfsebene SABQ^ zerlegt den Kegel B(b) in zwei Teile, von denen nur der eine für die Durchdringung in Betracht kommt; jede Seitenlinie dieses Teiles der Kegelfläche (mit Ausnahme der begrenzenden Seitenlinien) hat mit der anderen Fläche zwei Punkte gemein. Man erkennt so, daß die Durchdringung aus einer einzigen geschlossenen Kurve besteht.

In Fig. 244b ist eine andere Orientierung dargestellt, bei der man von S zwei Tangenten an a ziehen kann, die b schneiden, so daß von der Kegelfläche B(b) zwei Stücke abgetrennt werden, die an der Durchdringung mit dem anderen Kegel nicht teilnehmen, während von den übrigen beiden Stücken jedes von dem Kegel A(a) in einer geschlossenen Kurve durchdrungen wird. Die

Durchdringungskurve besteht also in diesem Falle aus zwei verschiedenen geschlossenen Zweigen.

278. Wenn die Kegelflächen von der zweiten Ordnung sind, hat die Durchdringungskurve höchstens vier Punkte mit einer beliebigen Ebene TT gemein; dies folgt daraus, daß die beiden Kegel-

■"..A

Ni

- --

"x

/x /

Fig. 244 b.

schnitte, in denen die Ebene die Kegel schneidet, höchstens vier Punkte miteinander gemein haben (wenn sie nicht ganz zusammenfallen, in welchem Falle die Kegel einander in zwei Kegelschnitten durchdringen). Die Projektion der Schnittkurve auf eine beliebige Ebene hat deshalb auch höchstens vier Punkte mit einer geraden Linie gemein.

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem werden die Flächen durch zwei Gleichungen zweiten Grades dargestellt, welche Gleichungen die Raumkurve bestimmen. Wenn eine der Koordinatenebenen, z. B. die »«/-Ebene eine Symmetrieebene beider Flächen ist, werden die Gleichungen in z rein quadratisch, und die Projektion der Schnittkurve auf die »«/-Ebene wird durch eine Gleichung zweiten Grades in » und y dargestellt, sie ist also ein Kegelschnitt, ein Fall, der in der Praxis häufig vorkommt.

Durch eine perspektivische Raumtransformation kann man

16*

das gefundene Resultat leicht dahin erweitern, daß die Schnittkurve zweier Flächen zweiter Ordnung, die für einen Punkt 0 eine

gemeinsame Polarebene besitzen, aus 0 durch einen Kegel zweiter Ord-A₁ nung projiziert wird.

b₂

Fig. 245.

In der Fig. 245 ist z. B. die senkrechte Projektion zweier Rotationskegel gezeichnet, deren Achsen in der Zeichenebene liegen; die Spitzen sind A und B, und die Grundflächen werden in die Strecken A₁A₂ und B₁B₂ projiziert. Die Projektion der Schnittkurve ist ein Kegelschnitt, von dem man sofort vier Punkte kennt. Die Tangenten in diesen Punkten konstruiert man am leichtesten mit Hilfe der früher angegebenen Methode für die Schnittkurve zweier Umdrehungsflächen (269).

279. Wenn die Spitze des einen Kegels A (a) auf dem anderen Kegel liegt, aber die Kegel keine Seitenlinie gemein haben, so

fco

rC>

,1

CO

Ing. 246.

erhält die Schnittkurve in A entweder einen isolierten Punkt oder einen Doppelpunkt. Die Tangenten in dem Doppelpunkt sind die Schnittlinien des Kegels A(a) mit der Tangentialebene des anderen Kegels in A.

Haben die beiden Kegel eine gemeinsame Tangentialebene mit verschiedenen Berühvungslinien, so schneiden diese Berührungslinien einander in einem Punkte P, der für die Scbnittkurve im allgemeinen ein Doppelpunkt wird (Big. 246). Wir wollen nun zeigen, wie man die Tangenten in einem solchen Doppelpunkt P finden kann, indem wir vorläufig voraussetzen, daß a und b Kreise sind. In diesem Pall kann man beweisen, daß die Zentralprojektion der Schnittkurve aus P auf die Zeichenebene ein Kreis wird, der . dem durch a und b bestimmten Kreisbüschel angehört. Indem wir die Spur der Verbindungslinie AB der Kegelspitzen beständig mit 8 bezeichnen und annehmen (Fig. 247), eine willkürliche

'R

-S

Q]'M

Fig. m.

Linie durch S schneide a und b in 1\ und P₂, während Qv Q2 die Berührungspunkte der gemeinsamen Tangente seien, so gehen l\Qx und P₂Q.₂ durch eine Zentralprojektion mit dem Zentrum P aus den beiden Seitenlinien ÄPX und BP₂ hervor und ihr Schnittpunkt M ist ein Punkt auf der Zentralprojektion der Schnittkurve. Wir müssen nun zeigen, daß der geometrische Ort für M ein Kreis ist. Aus der Figur erhält man nach dem Satz des Menelaos, den man auf das von PXP₂ geschnittene Dreieck M Q₂ anwendet:

MP₁₌₌QsS Pj Q, MP, Ql S ' P,Q%

und da gleichzeitig

wird, findet man

₌

M Q, sin a

sin ß

MPj • MQ, Q,S Px Qi . P,Q, fas B M Pj • M Q, S sin a ‘ sin ß QtS r

Da die letzte Größe konstant ist, ist bewiesen, daß die Potenzen des Punktes M für die beiden Kreise ein konstantes Verhältnis haben. Der geometrische Ort für M ist also ein Kreis 7c, der zu dem durch a und b bestimmten Büschel gehört. Die Punkte des neuen Kreises kann man konstruieren, indem man durch S verschiedene Hilfslinien zieht. Zieht man z. B. die Tangente SU an a (Fig. 248), so gelangt man zu den Punkten M und N mit den Tangenten Q₂M und Q₂N, wodurch 7c vollständig bestimmt ist.

Ri

\\

<k

'T,

Fig. 248.

Die Spuren der gesuchten Doppelpunktstangenten sind die Punkte 1\ und 7⁷₂, in denen 7c die Verbindungslinie Qx Q₂ schneidet. Aus der Figur geht hervor, daß Tt und rf₂ mit Qx und Q₂ harmonisch verbunden sind, Qx liegt nämlich auf der Polaren von Q₂ in bezug auf 7c. Gleichzeitig erkennt man, daß die Spuren der beiden Schmiegungsebenen im Doppelpunkt die Tangenten von k in Tx und 1\ sind.

Wenn die Spuren der Kegel keine Kreise sind, so geht aus ganz ähnlichen Überlegungen hervor, daß man sie durch die Krümmungskreise ersetzen und darauf die vorstehende Konstruktion anwenden kann. Die Schmiegungsebenen können jedoch nicht auf diese Weise erhalten werden.

280. Haben zwei Kegel in der Projektionsebene eine gemeinsame Spur a, so schneiden sie einander in einer neuen Kurve s. Kann man von S aus Tangenten an a ziehen (Fig. 249), so geht die neue Schnittkurve durch die Berührungspunkte P und Q dieser Tangenten. Die Tangenten von s in P und Q müssen AB in einem Punkt Sx schneiden, der mit S bezüglich A und B harmonisch verbunden ist (279). Ist a ein Kegelschnitt, so wird auch s ein Kegelschnitt (251).

Haben zwei Kegel zweiter Ordnung mit verschiedenen Spitzen zwei gemeinsame Tangentialebenen, so besteht ihre Schnittkurve, wenn sie überhaupt existiert, aus zwei Kegelschnitten (252).

Diesen Satz kann man auch benutzen, um einen ebenen Schnitt eines gegebenen Kegels zweiter Ordnung zu finden, dessen

'.B

Fig. 249.

Projektion auf eine bestimmte Ebene ein Kreis wird. Man zeichnet einen Kreis, der die begrenzenden Seitenlinien der Projektion des gegebenen Kegels berührt und innerhalb dieser Projektion liegt, dann gibt es nach dem angeführten Satz zwei ebene Schnitte des Kegels, die in diesen Kreis projiziert werden. Wenn die Projektion des Kegels keine begrenzenden Seitenlinien aufweist, kann man indessen diese Betrachtung nicht anwenden.

281. Wenn zwei Kegel zweiter Ordnung keine gemeinsame Tangentialebene haben und die Spitze des einen Kegels nicht auf dem anderen liegt, so hat die Durchdringungskurve keinen Doppelpunkt. Trotzdem kann es auf der Projektion der Durchdringungspunkte Doppelpunkte geben, indem ein Projektionstrahl die Kurve in zwei Punkten schneiden kann. Fig. 250 hat man als Zentral-projektion oder Parallelprojektion von zwei Kegeln A(a) und B(b) zu deuten, deren Grundkurven a und b in derselben Ebene liegen. Wir wollen eine gemeinsame Sehne der beiden Kegel finden, die durch das Projektionszentrum 0 geht. Die Polarebenen Ap und Bq von 0 mögen einander in der Linie MN schneiden. N wird bestimmt mit Hilfe der Ebene ABqv welche die beiden Polarebenen in AQ und BN schneidet. Die projizierende Ebene durch MN schneidet die Kegelflächen in zwei Kegelschnitten, in bezug auf

welche MN die Polare von 0 ist. Da jeder dieser Kegelschnitte in einer Perspektiven Kollineation mit dem Zentrum 0 und der Kollineationsachse MN sich selbst entspricht, liegen ihre Schnittpunkte paarweise auf Geraden durch 0. Die Projektion der Durch-

Ja

Fig. 250.

co

''Ua

!A :/ :

/ \i /

A ?

>s

f«

Af \ \,,

dringungskurve beider Kegel enthält also höchstens zwei Doppelpunkte, die auf der Linie M'N' liegen müssen.

282. In dem Falle, wo die Polarebenen Ap und Bq des Punktes 0 zusammenfallen, werden die Punkte der ßaumkurve paarweise in denselben Punkt projiziert: der projizierende Kegel mit der Spitze 0 wird dann, wie wir in 278 gesehen haben, von der zweiten Ordnung.

Um die Punkte zu finden, deren Polarebenen bezüglich der beiden Kegel zusammenfallen, benutzt man, daß eine solche Polarebene durch A und B, also durch die Linie AB gehen muß. 0 muß deshalb auf der Schnittlinie s der Polarebenen desPunktes S liegen. Sucht man auf s ein Punktepaar, das bezüglich der beiden Kegel konjugiert ist, so erhält man die gesuchten Punkte 0. Wenn die Schnittkurve zweier Kegel A(a) und B(b) zweiter Ordnung keinen Doppelpunkt hat und nicht aus zwei Kegelschnitten besteht, findet man außer A und B höchstens zwei Punkte, aus

denen die Schnittkurve durch Kegel zweiter Ordnung projiziert wird.

Bei Fig. 244 b kann man zwei Punkte von der genannten Beschaffenheit finden, so daß die Baumkurve im ganzen auf vier Kegeln zweiter Ordnung liegt. Bei Fig. 244 a existieren die Punkte 0 hingegen nicht.

283. Unendlich ferne Punkte auf der Durchdringungskurve zweier Kegel entstehen als Schnitt paralleler Seitenlinien. Um solche Seitenlinien zu finden, verschiebt man den einen Kegel parallel, so daß seine Spitze mit der des anderen Kegels zusammenfällt. Die gemeinsamen Seitenlinien beider Kegel liefern dann die gesuchten Bichtungen.

Alles, was wir im Vorstehenden über Kegelflächen gesagt haben, kann man insbesondere auf Zylinderflächen anwenden, nur hinsichtlich der unendlich fernen Punkte bieten diese besondere Verhältnisse dar. Die Durchdringungskurve eines Kegels mit einem Zylinder, der keine unendlich ferne Seitenlinie enthält, kann nur dann einen unendlich fernen Punkt enthalten, wenn die Seitenlinien des Zylinders einer Seitenlinie e des Kegels parallel sind. Die unendlich ferne Spitze des Zylinders liegt in diesem Fall auf dem Kegel und wird entweder ein isolierter Punkt oder ein Doppelpunkt der Durchdringungskurve. Die Tangentialebene längs e schneidet den Zylinder in den Asymptoten der Schnittkurve. Hat der Zylinder eine unendlich ferne Seitenlinie, die den Kegel schneidet, so bestimmen die Schnittpunkte neue unendlich ferne Punkte auf der Durchdringungskurve.

Die Schnittkurve zweier Zylinder, die keine unendlich fernen Seitenlinien enthalten, kann keinen unendlich fernen Punkt enthalten, ausgenommen wenn die Seitenlinien der Zylinder parallel sind, in welchem Fall sich die Schnittkurve in lauter gerade Linien auflöst.

284. Die Durchdringungskurve einer Kegelfläche mit einer beliebigen anderen Fläche kann man bestimmen, indem man die verschiedenen Seitenlinien des Kegels mit der Fläche zum Schnitt bringt.

Soll man so die Durchdringung einer Kugel mit einem Kreiskegel, der auf der Grundrißebene aufsteht, finden, so handelt es sich bloß darum, die Schnittpunkte der Seitenlinien des Kegels mit der Kugel zu bestimmen. Dieses kann z. B. dadurch geschehen, daß man vertikale Hilfsebenen durch die Spitze S des Kegels legt, diese dann mit den in ihnen enthaltenen Seitenlinien des Kegels und dem Schnittkreise der Kugel in eine Frontebene herumdreht,

>7

;L

\.

■f

)kO

l’ig. 251.

in der sich die Schnittpunkte sofort bestimmen lassen, und darauf in die ursprüngliche Lage zurückdreht.

Um zu ermitteln, welcher Teil des Kegels an der Durchdringung teilnimmt, legt man von S aus einen Tangentialkegel an die Kugel, dieser Kegel schneidet die Grundrißebene in einem Kegelschnitt (in Fig. 251 einer Ellipse), dessen Brennpunkte in den Projektionen der Endpunkte des vertikalen Kugeldurchmessers aus S liegen; jeder dieser Endpunkte ist nämlich Brennpunkt in einem horizontalen Schnitte des Tangentialkegels. Diese Brennpunkte sind in der Figur mit 0' und F bezeichnet. Die Grundrißspur t einer zur Aufrißebene senkrechten Tangentialebene der Kugel, die durch 8 geht, berührt die Ellipse, und der zu 0' bezüglich t symmetrische Punkt L liefert einen Punkt des Leitkreises l, dessen Mittelpunkt F ist. Hierauf findet man durch Probieren die Schnittpunkte A und B der Ellipse mit dem Grundkreise des Kegels (120). Die Seitenlinien SA und SB bilden dann die Grenze zwischen zwei Teilen des Kegels, einem Teile, der die Kugel schneidet, und einem Teile, der außerhalb der Kugel liegt. SA und SB sind selbst Tangenten der Kugel. In der Figur ist die vertikale Hilfsebene durch SA benutzt, um den Punkt der Durchdringung, der auf dieser Linie liegt, zu bestimmen. In diesem Punkte berührt SA die Durchdringungskurve.

Doppelpunkte auf der Projektion der Durchdringungskurve findet man durch ähnliche Betrachtungen, wie wir sie bei Kegelflächen angewendet haben. In der Aufrißprojektion erhalten wir Doppelpunkte, indem wir die Schnittlinie der Ebenen, welche die zur Aufrißebene senkrechten Sehnen des Kegels und der Kugel halbieren, bestimmen. Diese Schnittlinie ist horizontal, und den gesuchten Punkt gewinnen wir aus ihr, indem wir durch sie eine horizontale Ebene legen und die Schnittkreise des Kegels und der Kugel mit dieser Ebene bestimmen.

Während die Konstruktion des Doppelpunktes im Aufriß auf diese Weise recht einfach ist, wird sie für den Grundriß etwas schwieriger. Die Durchmesserebene, welche die vertikalen Sehnen halbiert, ist für die Kugel die Ebene des horizontalen größten Kreises, für den Kegel die Ebene, die durch die begrenzenden Seitenlinien in der Grundrißprojektion bestimmt wird. Die beiden Ebenen schneiden einander in einer horizontalen Linie, deren Grundrißprojektion p sei. Auf dieser Linie muß der Doppelpunkt liegen. Seine Lage finden wir am einfachsten durch Probieren, indem wir uns durch die übrigen Punkte der Kurve eine vorläufige Vorstellung von ihrem Verlauf verschaffen und hierauf mit einem Punkt von p, den wir als den richtigen annehmen, die Probe machen, indem wir bloß die Punkte des Kegels bestimmen, die in diesen Punkt projiziert werden, und Zusehen, ob sie symmetrisch bezüglich der Ebene des horizontalen größten Kreises liegen.

Die Punkte der Durchdringungskurve auf dem Umriß der Kugel finden wir im Grundriß unmittelbar, indem wir den horizontalen größten Kreis der Kugel mit dem in seiner Ebene liegen-

den Kreise des Kegels schneiden. Im Aufriß finden wir die Punkte auf dem Umriß der Kugel als die Schnittpunkte des Kegels mit dem zur Aufrißebene parallelen größten Kreise der Kugel. Man ermittelt sie am besten durch Probieren. Ihre Grundrißprojektion soll auf der durch 0' parallel zur trennenden Achse gezogenen geraden Linie liegen. Die übrigen Punkte der Kurve in der Grundrißprojektion geben eine ungefähre Vorstellung von der Lage der Punkte, und man kann leicht so lange probieren, bis man die passenden Punkte gefunden hat.

Schraubenlinien und abwickelbare Schraubenflächen.

TT

um

Fig. 252.

285. Jede Kurve, deren Richtungskegel ein Rotationskegel ist, heißt eine Windellinie; wenn sie keine Spitzen hat, ist sie nach 256 überall einfach. Die Fläche, die von den Tangenten der Kurve gebildet wird, heißt eine Windelfläche. Hat der Kegel eine vertikale Achse, so haben die Kurve und die Fläche konstante Neigung, indem die Tangenten der Kurve und die Tangentialebenen der Fläche mit einer horizontalen Ebene einen konstanten Winkel bilden. Der Zylinder, der die Windellinie enthält und dessen Seitenlinien der Achse des Richtungskegels parallel sind, heißt der rektifizierende Zylinder der Kurve. Seine Seitenlinien schneiden die Kurve unter konstantem Winkel (dem Achsenwinkel des Kegels). Breitet man die Zylinderfläche aus, so wird also die Kurve rektifiziert (daher der Name) und, wenn gekehrt eine Ebene 17 (Fig. 252) auf der Zylinderfläche rollt, und die in der Ebene TT enthaltene Tangente t sich dabei mit bewegt, so durchläuft t der Reihe nach alle Tangenten der Windellinie, woraus folgt, daß die Spur der Windelfläche in einer zur Achse des Richtungskegels senkrechten Ebene eine Evolvente des in dieser Ebene liegenden Normalschnittes des Zylinders wird. Die Schmiegungsebene der Windellinie ist beständig senkrecht auf der Tangentialebene des Zylinders.

286. Ist der rektifizierende Zylinder ein Rotationszylinder, so heißt die Windellinie eine Schraubenlinie. Wickelt man eine Ebene

TT um einen Rotationszylinder herum, so legt sich jede zur Zylinderachse schräge gerade Linie dieser Ebene um den Zylinder als eine Schraubenlinie herum. Die Schraubenlinie kann deshalb durch eine Schraubenbewegung erzeugt werden, d. h. durch eine Bewegung, die sich aus einer Drehung um eine feste Achse (die Schraubenachse) und einer Verschiebung parallel zur Achse zusammensetzt, indem zwischen den Geschwindigkeiten dieser beiden Bewegungen ein konstantes Verhältnis vorausgesetzt wird. Der Teil der Schraubenlinie, der einer ganzen Umdrehung entspricht, heißt ein Schraubengang, die Verschiebung H längs der Achse, die zu einer ganzen Umdrehung gehört, heißt die Ganghöhe. Jeder Teil einer Schraubenlinie, der kleiner als ein Schrauhengang ist, ist ein einfacher Bogen (256). Die Schraubenlinie schneidet jede Seitenlinie des rektifizierenden Zylinders in einer Reihe von Punkten, von denen zwei aufeinander folgende immer den Abstand H haben. Die von den Tangenten der Schraubenlinie gebildete Fläche heißt eine abwickelbare Schraubenfläche. Ihre Spur in einer beliebigen zur Schraubenachse senkrechten Ebene ist eine Kreisevolvente.

Je nachdem die Tangente und die Achse der Schraubenlinie in Rechts- oder Linksstellung sind, nennt man die Schraubenlinie rechtsgängig oder linksgängig. In Fig. 253 ist eine rechtsgängige Schraubenlinie mit vertikaler Achse dargestellt, deren Grundrißspur A und deren Grundrißprojektion der Kreis k ist. Indem man diesen Kreis z. B. in acht gleich große Teile teilt, wobei A der erste Teilungspunkt ist, findet man leicht auf jedem Schraubengang acht Punkte. Ein Punkt C, dessen Grundrißprojektion C' dem Punkt A diametral gegenüberliegt, liegt in der Höhe H über A. Die Tangente in ihm schneidet die Grundrißebene im Punkt Cx, der von Cf um. die Hälfte des Kreisumfanges entfernt ist. Die Tangenten in den übrigen Punkten findet man auf ähnliche Weise.

Den Richtungskegel legt man so, daß seine Grundrißspur k wird. Die Spitze S bestimmt sich dann dadurch, daß die eine frontale Seitenlinie SR des Kegels zu CC^ parallel ist. Da die Dreiecke S"A"R'' und C"A"C₁" ähnlich sind, findet man

C" A"

S"A" _

A"R" ~ A"C\

Tr -

tc ■ A"R

also S A =

II

2 er

Diese Größe h heißt die reduzierte Ganghöhe der Schraubenlinie.

Die Schmiegungsebene der Schraubenlinie im Punkt C ist parallel der Tangentialebene des Richtungskegels längs SR, also senkrecht auf der Aufrißebene. Die Normalebene in C (_L CC^) ist

ebenfalls auf der Aufrißebene senkrecht und dasselbe gilt von der Hauptnormalen in C. Man sieht so, daß alle Hauptnormalen die Schraubenachse unter rechten Winkeln schneiden. Jede Haupt-normale ist eine Symmetrieachse für die Schraubenlinie. Bei einer

C"

D’\~

ßr

M A" R"

Y\

ß¹

|Ä

Pi

Bf' Cf

Ci

[P

Fig. 253.

Tt

halben Umdrehung um die Hauptnormale in C bleiben nämlich die Punkte C und die Tangente CC₁ samt der Schraubenachse unverändert, so daß die Schraubenlinie nach dieser Drehung mit sich selbst zur Deckung kommt. Die Aufrißprojektion der Schraubenlinie ist also symmetrisch bezüglich C" und hat an dieser Stelle einen Wendepunkt. Im Punkt I) ist die Hauptnormale parallel zur Aufrißebene und die Aufrißprojektion der Kurve hat deshalb

in R" einen Scheitelpunkt. Nehmen wir einen beliebigen Punkt B auf der Schraubenlinie an, für den im Grundriß der Bogen AB' gleich cp wird, so ergibt sich im Aufriß für die Projektion B" U" der Hauptnormale die Länge x = a sin <p, wenn wir A" R" = a setzen, und es wird A" U" = ß = hcp, also ergibt sich

•5

Die Aufrißprojektion der Schraubenlinie ist also eine sogenannte

Sinuslinie.

287. Da die Hauptnormale horizontal und die Grundrißprojektion der Schraubenlinie ein Kreis mit dem Radius A"R" ist, können wir sofort den Krümmungsradius q mit Hilfe der früher aufgestellten Beziehung (268) finden. Indem wir mit ß den konstanten Richtungswinkel der Tangente bezeichnen, finden wir

_ A''R"

Q cos² ß

Ziehen wir S"M _L S" R", so wird

R"M =

A"E' cos² ß ’

und dies ist also die Länge des Krümmungsradius. Daß q denselben Wert hat für alle Punkte der Schraubenlinie, weiß man ja von vornherein, da sich die Schraubenlinie bei der Schraubenbewegung in sich selbst verschiebt. Der geometrische Ort für den Krümmungsmittelpunkt wird eine neue Schraubenlinie von derselben Art wie die gegebene mit derselben Ganghöhe und mit einem Richtungskegel, dessen Seitenlinien zu den Seitenlinien des gegebenen Richtungskegels senkrecht sind. Zwischen den beiden Schraubenlinien besteht die merkwürdige Beziehung, daß die ursprüngliche Schraubenlinie auch der geometrische Ort für clie Krümmungsmittelpunlde der neuen Schraubenlinie ist.

Für den Krümmungsradius der Aufrißprojektion der Schraubenlinie im Punkte D" findet man den Wert

Qt=Q sin² ß = A"R" tg² ß = A"M.

288. Die abwickelbare Schraubenfläche wird von jeder horizontalen Ebene in einer Kreisevolvente geschnitten und kann deshalb erzeugt werden, indem man eine solche Evolvente um die Achse herumschraubt. Die Spitze der Evolvente durchläuft dabei die Spitzkante der Fläche, und jeder Doppelpunkt der Evolvente beschreibt eine Doppelkurve auf der Fläche. Da die Schraubenlinie durch eine halbe Umdrehung um eine Hauptnormale mit sich selbst zur Drehung kommt, gilt dasselbe von der Schraubenfläche. Hieraus folgt:

1.    Eine Ebene durch eine der Hauptnormalen schneidet die Fläche in einer Kurve, für welche diese Hauptnormale eine Symmetrieachse ist.

2.    Eine Ebene senkrecht zu einer Hauptnormale schneidet die Fläche in einer Kurve, die in dem Schnittpunkt der Hauptnormale mit der Ebene einen Mittelpunkt besitzt. Eine Ebene, die der Schraubenachse parallel ist, schneidet also die Fläche in einer Kurve, die unendlich viele Mittelpunkte hat. Die gemeinsame Grundrißprojektion dieser Mittelpunkte ist der Fußpunkt des Lotes, das man aus S' auf die Grundrißspur der Ebene fällt.

Man erhält einen Überblick über die Schraubenfläche in ihrer ganzen Ausdehnung, indem man ihre Meridiankurve (z. B. den Schnitt mit der frontalen Ebene durch die Achse) konstruiert.

Fig. 254.

Dies erreicht man, indem man die frontale Ebene mit den Tangenten der Schraubenlinie schneidet. Die Asymptoten der Meridiankurve bestimmen sich dabei durch die Aufrißprojektion der Tangenten in C und

E. Die ganze Meridiankurve besteht aus unendlich vielen Zweigen, die den bereits konstruierten kongruent sind. In Fig. 254 sind mehrere solche Zweige gezeichnet. Sie teilen die Ebene in eine Reihe krummliniger Vierecke, und da man die Schraubenfläche durch eine Schraubung der Meridiankurve um ihre Achse erzeugen kann, erkennt man, daß die Fläche den Raum in unendlich viele schraubenförmige Röhren teilt, die von den genannten Vierecken beschrieben werden, jede dieser Röhren wird von vier Flächenstreifen begrenzt, die längs der vier, von Doppelkurven (oder der Spitzkante) der Schraubenfläche gebildeten Kanten Zusammenstößen.

289.    Bei der Abwickelung der Schraubenfläche hat die Abwickelung der Spitzkante einen konstanten Krümmungsradius und wird also ein Kreis mit dem Radius q — B"M (Fig. 253). Man kann mit der Zeichnung dieses Kreises s* beginnen (Fig. 255). Indem man sich den Richtungskegel längs der zu der Tangente der Schraubenlinie in A parallelen Seitenlinie aufgeschnitten und so ausgebreitet denkt, daß diese Seitenlinie senkrecht zur Tangente von s* in A* zu liegen kommt, findet man leicht die Lage, welche die verschiedenen Erzeugenden der Schraubenfläche bei der Abwickelung einnehmen. Der Schraubengang AE deckt bei der Abwickelung einen Kreisbogen A* E* mit dem Gradmaß 360° • sin a, wenn a = 90° — ß den Achsenwinkel des Kegels

c*

"A.

V \B*

bedeutet

Er

v'

P*

c*

A*

der

'Bl

t;

Fig. 255.

(276). Der Bogen A*E* kann auch durch direkte Anwendung der Abwickelung Schraubenlinie bestimmt werden, indem seine Länge gleich der Länge eines Schrauben ganges, also — 2CC₁ wird. Die Grundrißspur der Schraubenfläche wird als eine Evolvente des Kreises s* abgewickelt. Der Punkt P auf der Tangente in B wird in P* übergeführt, und es wird B*P* = B%P₂ (wobei B" B₂ und P"P₂ horizontal gezogen sind). In den Figuren ist angegeben, wie man die Tangente an die Abwickelung c* einer beliebigen Kurve c auf der Schraubenfläche konstruieren kann. Das Prinzip ist dasselbe, das wir bereits auf Kegelflächen angewendet haben (vgl. 276).

290.    Die schräge Parallelprojektion einer Schraubenlinie auf eine zur Achse senkrechte Ebene ist eine Zykloide.

Wir projizieren auf die Grundrißebene und nehmen die Projektionsrichtung vorläufig parallel zu den Tangenten in den vordersten Punkten der Schraubenlinie an (Fig. 256). Wenn die von dem Kreis k und dem Punkte A gebildete unveränderliche Figur in vertikaler Richtung verschoben und gleichzeitig um den Mittel-

17

Timerding, Handbuch II

punkt des Kreises gedreht wird, so daß Je in die Lage Je* und A in einen neuen Punkt B auf der Schraubenlinie gelangt, bleibt das Verhältnis zwischen der Verschiebung und der Drehung konstant. Die Figur Je* B wird also durch die genannte Parallelprojektion in eine Figur Je₁*B₁ projiziert, die in der Grundrißebene aus JcA durch eine Verschiebung in der Richtung AEy in Verbindung mit einer Drehung um den Mittelpunkt von Zf, die der

e"

wj

fj

s"

—A--

Frr

s'

MC

El

'-ä~

Mg. 266.

Verschiebung proportional ist, erzeugt wird, und da eine Verschiebung von der Größe AEX einer ganzen Umdrehung des Kreises entspricht, wird der geometrische Ort für* B₁ eine Zykloide, die man erzeugt, indem man Je auf a rollen läßt. Die Projektion der Schraubenlinie wird also eine Zykloide, deren Spitzen in A und E1 liegen.

Ist die Projektionsrichtung nun durch eine beliebige Frontlinie f, die durch die Spitze S des Richtungskegels geht, gegeben, so betrachten wir einen Kreis IC mit dem Mittelpunkt S\ der durch die Grundrißspur Fx von f geht. Die unveränderliche Figur AMK schrauben wir ähnlich wie früher in die Lage BNK*, wobei B auf der gegebenen Schraubenlinie liegt, N liegt dann auf einer Schraubenlinie, deren Tangenten in den vordersten Punkten zu f parallel sind. Hieraus folgt, daß die Parallelprojektion

B₁N₁K₁* aus AMK entsteht, indem man K auf der zur trennenden Achse parallelen Linie m rollen läßt. Der geometrische Ort für Bx ist also eine Zykloide, und zwar eine gestreckte, wenn f (wie in der Figur) außerhalb des Richtungskegels fällt. Fällt /’ innerhalb des Richtungskegels, so ist die Zykloide verschlungen und hat Doppelpunkte. Diese Doppelpunkte entsprechen den Projektionsstrahlen, welche die Schraubenlinie zweimal schneiden; Man findet sie, indem man zunächst die Hauptnormalen bestimmt, die auf der Projektionsrichtung senkrecht sind. Diese Hauptnormalen sind zur Aufrißebene senkrecht, wenn die Projektionsrichtung, wie in der Figur, der Aufrißebene parallel angenommen wird. Eine von ihnen wird also im Aufriß durch den Punkt JE" dargestellt, und die Aufrißprojektion des Projektionsstrahles durch E" schneidet die Aufrißprojektion der Schraubenlinie in zwei Punkten, die in der Parallelprojektion Doppelpunkte liefern.

291. Alle Normalen einer Schraubenlinie, die zu einer festen Linie f senkrecht sind, treffen eine und dieselbe Linie, die zur Achse der Schraubenlinie parallel ist.

F>.

n’

'Fl

Die Linie f denken wir uns durch die Spitze S des Richtungskegels gelegt. Die Grundrißspur sei F₁. h sei die horizontale Projektion der Schraubenlinie (Fig. 257). Wir suchen die Normale n, die zu einem beliebigen Punkt B auf der Schraubenlinie gehört und zu f senkrecht ist. Da n zur Tangente der Schraubenlinie in B senkrecht ist, ist es / auch senkrecht auf der dazu par- / allelen Seitenlinie r desRichtungs- L kegels. Diese Seitenlinie habe \

die

Grundrißspur It₁ (S' Bt _L '

i’ig. 257.

S'B'). Da n so auf der Ebene rf senkrecht ist, wird die Grundrißprojektion von n zu der Grundrißspur B₁Fl der Ebene rf senkrecht. Dreht man nun S' h\ durch einen rechten Winkel um S' in die Lage S'F, so daß durch dieselbe Drehung nach B' fällt, dann ist FB' _L B₁ E\ und FB ist deshalb die Grundrißprojektion der gesuchten Normalen. So erkennt man, daß die Grundrißprojektionen dieser Normalen alle durch den festen Punkt F gehen. Die Normalen selbst schneiden mithin eine vertikale Linie at mit der Grundrißspur F. Ist f horizontal, so liegt F unendlich fern. Da F von dem Kreis k nicht

17 *

abhängt, sondern nur von der Schraubenachse und Ganghöhe, können wir denselben Punkt F für alle Schraubenlinien, die die gegebene Achse, die gegebene Ganghöhe und den gegebenen Schraubensinn haben, benutzen. Folglich: Bei einer beliebigen Schraubenbewegung schneiden alle Bahnnormalen, die zu einer gegebenen Linie f senlcrecht sind, eine und dieselbe Linie ax, die zur Schraubenachse parallel ist.

Leitkurven und Leitflächen.

292. Eine abwickelbare Fläche kann durch zwei Leitkurven bestimmt werden, d. h. zwei Kurven, die alle Tangentialebenen der Fläche berühren. Eine Tangentialebene TT der Fläche muß von jeder der beiden Kurven eine Tangente enthalten. Die Erzeugende, längs der die Ebene berührt, ist dann die Verbindungslinie der Berührungspunkte A und B dieser beiden Tangenten. Wenn nämlich eine andere Tangentialebene die Kurven in Ax und Bx berührt und man TTj sich TT nähern läßt, indem Ax und Bx sich A und B nähern, so nähern sich (nach 260) die Schnittpunkte von TT mit den beiden Tangenten in Ax und Bx den Punkten A und B und die Schnittlinie von TTj und TT nähert sich AB. (Fallen die Berührungspunkte A und B zusammen, so muß man die Erzeugende auf andere Weise bestimmen.)

Eine allgemeine Methode zur Bestimmung einer beliebigen Erzeugenden ist die folgende: Man wählt einen Punkt A auf der einen Leitkurve und zieht die Tangente a in diesem Punkt. Von einem beliebigen Punkt (z. B. A) auf a projiziert man die andere Leitkurve durch eine Kegelfläche. Eine Tangentialebene durch a an diesen Kegel ist dann eine Tangentialebene der Fläche, denn sie enthält eine Tangente jeder der beiden Kurven.

Gehen zwei oder mehr Tangenten durch jeden Punkt der Leitkurve, so wird diese eine doppelte oder mehrfache Kurve auf der Fläche. Gibt es auf der Kurve Teile, von deren Punkten man keine Erzeugende ausgehen lassen kann, so gehören diese Kurventeile in Wirklichkeit nicht zur Fläche.

In dem Falle, wo die Leitkurven eben sind und in parallelen Ebenen liegen, wird die Konstruktion sehr einfach, indem dann jede Erzeugende die Berührungspunkte von zwei parallelen Tangenten verbindet, und wir haben bereits (271) gesehen, daß der Punkt, in dem die Erzeugende die Spitzkante berührt, auf der Linie liegt, welche die Krümmungsmittelpunkte der Leitkurven für deren Schnittpunkte mit der Erzeugenden verbindet.

Die Leitkurve kann unendlich fern liegen und wird dann durch einen Richtungskegel gegeben. Die angegebene allgemeine Konstruktion der Erzeugenden läßt sieb auch auf diesen Fall anwenden.

Schließlich kann eine abwickelbare Fläche durch zwei Leitflächen bestimmt werden, d. h. durch zwei Flächen, die alle Tangentialebenen der abwickelbaren Fläche berühren. Wenn eine Ebene TT die zwei Leitflächen in A und B berührt, während eine andere Ebene sie in den Punkten Ax und Bx berührt, und man die Ebene TTj sich TT nähern läßt, indem sie beständig die beiden Flächen berührt, so daß Ax, Bx sich A, B nähern, dann strebt die Schnittlinie der Ebenen der Grenzlage TF zu (wir setzen voraus, daß A und B verschieden sind). Die Berührungspunkte Ax und Bx durchlaufen nämlich bestimmte Kurven auf den beiden Flächen, und die Tangenten ax und bx dieser Kurven in Ax und Bx schneiden die Ebene TT in Punkten, deren Grenzlagen A und B sind. Aber da TT! ax und bx enthält, strebt die Schnittlinie von TT! mit TT eben der Grenzlage AB zu. Wenn die eine Leitfläche sich auf einen Punkt reduziert, wird die abwickelbare Fläche eine Kegelfläche, die diesen Punkt zur Spitze hat und der anderen Leitfläche umschrieben ist.

293. Beispiel: In Fig. 258 sind in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (xyz) zwei kongruente Parabeln a und 6 mit gemeinsamer Achse z gegeben, a liegt in der ?/#-Ebene und 6 in der a:^-Ebene. Die Scheitel A und B liegen auf der £-Achse. Wir bestimmen eine beliebige Erzeugende auf der abwickelbaren Fläche, die a und b zu Leitkurven bat, und wählen zu diesem Zweck einen Punkt T auf der z-Achse, von dem aus wir Tangenten TB und TS an die zwei Parabeln ziehen. (Wir tun das, indem wir ABX — TA machen und BXB || y ziehen, ebenso wird BSX = TB, SXS \\ x.) Die Linie BS ist dann die gesuchte Erzeugende, ihre horizontale Projektion wird B'S'. Bezeichnet man die Suhnormale mit Je, so hat man

(SxSy = h ■ TSX, und (Bx B)² = Je • BXT

also

(.BS)² = k-RtS₁ + (BXSX)²,

und dies ist konstant, da BXSX = 2 ■ AB. Folglich hat BS eine konstante Länge, und da seine Projektion auf die £-Achse ebenfalls konstant ist, wird auch der Winkel, den BS mit der z-Achse bildet, konstant. Die gesuchte abwickelbare Fläche hat also konstanten Fall. Da B'S' konstante Länge hat, wird die Grundrißprojektion eine Astroide. Die Spitzkante selbst wird eine Raum-

3/

\R: ,

r-⁵

Fig. 258.

ICQ

\s'

—-a,

kurve mit Spitzen in den Parabelpunkten M, IV, H, $. In der Figur ist der Berührungspunkt C von 72$ mit der Spitzkante mit Hilfe der Grundrißprojektion konstruiert. Da die yz-Ebene eine Symmetrieebene für die Fläche ist, wird a eine Doppelkurve. Ebenso erkennt man, daß auch b eine Doppelkurve ist.

Allgemeine Hüllfläclien. Kanalflächen.

294. Nachdem wir im vorigen die Hüllflächen eines Systems von Ebenen untersucht haben, wollen wir nun zu den Hüllflächen eines beliebigen Flächensystems übergehen, d. h. zu den Flächen, die durch kontinuierliche Bewegung einer veränderlichen oder unveränderlichen Fläche erzeugt werden. Die Schnittkurve Je einer Fläche F des Systems und der konsekutiven Fläche heißt eine CJiaraJcteristiJdmie. Je ist die Grenzlage für die Schnittkurve von F mit einer anderen Fläche des Systems, die nach F konvergiert. Wir betrachten im folgenden nur ein elementares Flächenstück von F und setzen voraus, daß der zugehörige Teil der Charakteristiklinie eine einfache Kurve ist. Weiter setzen wir voraus, daß niemals die bewegliche Fläche beim Übergang aus einer Lage in eine andere durch eine feste Kurve geht. Die Hüllfläche wird dann definiert als der geometrische Ort aller Charakteristiklinien. Sie berührt für gewöhnlich jede Fläche F des Systems längs der zugehörigen Charakteristiklinie k. Ist nämlich A ein beliebiger Punkt auf k und legt man eine Ebene TT durch A, so schneidet diese Ebene die Flächen des Systems in einer Reihe von Kurven, deren Hüllkurve der Schnitt der Ebene mit der Hüllfläche ist. Da also TT die Hüllfläche und die Systemfläche F in zwei Kurven schneidet, von denen uns die Anschauung lehrt, daß sie einander in A berühren, und da dies für eine beliebige Ebene TT durch A gilt, sehen wir in der Tat, daß die Hüllfläche und die Systemfläche in A dieselbe Tangentialebene haben. Auf genauere Untersuchungen über die Gültigkeit des Satzes gehen wir nicht ein.

Wenn sich auf der Hüllfläche eine Kurve s findet, die alle Charakteristiklinien berührt, so läßt sich erwarten, daß s eine Spitzkante der Hüllfläche sein wird. Auf den Beweis hierfür können wir ebenfalls nicht näher eingehen, es mag genügen, auf die abwickelbaren Flächen und die auf den folgenden Seiten behandelten Beispiele hinzuweisen.

Eine gegebene Fläche kann man sich auf unendlich viele Arten als Hüllfläche erzeugt denken, so kann man z. B. eine Umdrehungsfläche erzeugen als die Hüllfläche der Zylinder bzw. Kugeln oder Kegel, die sie längs ihrer Meridiankurven bzw. Parallelkreise berühren. Doch ist hierzu zu bemerken, daß man unter Umständen durch eine solche Erzeugung fremde Elemente mit hineinzieht, die bei der ursprünglichen Fläche nicht enthalten sind. Z. B. kann man ein Umdrehungsellipsoid als die Hüllfläche der Zylinder erzeugen, die es längs seiner Meridian kurven berühren. Aber zu dieser Hüllfläche gehören auch die Tangentialebenen in den Scheitelpunkten des Ellipsoids.

Wenn eine Fläche als Hüllfläche erzeugt wird, kann man oft mit Hilfe dieser Erzeugung die Tangentialebenen finden, die eine gegebene Bedingung erfüllen. Soll man z. B. der Hüllfläche einen Kegel mit gegebener Spitze S umschreiben, also die Tangentialebenen finden, die durch S gehen, so kann man zu jeder Lage der erzeugenden Fläche die Tangentialebenen suchen, die durch S gehen und deren Berührungspunkte auf die zugehörige Charakteristiklinie fallen, diese Tangentialebenen erfüllen dann die gegebenen Bedingungen. Dies ergibt z. B. bei Umdrehungsflächen drei verschiedene Methoden (vgl. oben S. 263).

Wenn eine Fläche von einem Kreis erzeugt wird, dessen Ebenen beständig dieselbe Stellung haben, so kann man längs jedes der erzeugenden Kreise eine berührende Kegelfläche finden, deren Spitze auf der Tangente der von dem Mittelpunkt des Kreises beschriebenen Kurve liegt. Eine solche Fläche kann also auch als Hüllfläche einer Reihe von Kreiskegeln erzeugt werden. Hat der Kreis konstanten Radius, so gehen die Kegelflächen in Zylinderflächen über.

295. Die Hüllfläche einer unveränderlichen Kugel, deren Mittelpunkt eine gegebene Kurve c durchläuft, heißt eine Kanal-fläche, c heißt die Zentralkurve der Fläche. Zwei Lagen der Kugel K und Kx mit den Mittelpunkten 0 und 0₁ schneiden einander in einem Kreis, dessen Ebene auf OOl in der Mitte senkrecht ist. Wenn Ox sich 0 nähert, nähert sich diese Ebene der Normalebene von c in 0. Die Charakteristiklinie k ist also der größte Kreis der Kugel, der in der zugehörigen Normalebene der Zentralkurve liegt. Die Kanalfläche kann deshalb von einem Kreis k mit unveränderlichem Radius erzeugt werden, dessen Mittelpunkt eine Kurve c durchläuft, während seine Ebene die Normalebene von c ist.

Die Normalebenen der Kurve c umhüllen eine gewisse abwickelbare Fläche, welche die Polarfläche von c heißt. Nur wenn c eine gerade Linie oder ein Kreis ist, gibt es keine solche Fläche. Wenn die Normalebene von c in dem Punkt 0 auf der Polarfläche rollt, so durchläuft 0, indem es der Bewegung der Ebene folgt, die Kurve c, und wenn auch der Kreis k an der Bewegung teilnimmt, so erzeugt er die Kanalfläche. Jede Kanalfläche kann also von einem Kreis k erzeugt werden, dessen Ebene auf einer abwickelbaren Fläche rollt oder insbesondere durch eine feste Achse geht. Das letztere tritt ein, wenn c ein Kreis ist; die Kanalfläche wird dann ein Kreisring oder Torus.

Schneidet k bei seiner Bewegung die Berührungslinie seiner Ebene mit der Polarfläche, berührt k also selbst die Polarfläche (im allgemeinen in zwei Punkten), so bilden die Berührungspunkte augenscheinlich eine Spitzkante der Kanalfläche.

Die Normalen der Kanalfläche sind Normalen der Zentralkurve und umgekehrt.

Die senkrechte Projektion einer Kanalfläche auf eine beliebige Ebene TT wird begrenzt von zwei Kurven, die zu der Projektion c' von c auf die Projektionsebene parallel und im Abstand des Kugelradius verlaufen. Wir betrachten eine Lage der Kugel mit dem

Zentrum 0 (Fig. 259). Die Punkte der zugehörigen Charakteristiklinie, deren Tangentialebenen senkrecht zu TT sind, müssen auf dem größten Kreis der Kugel liegen, der zu TT parallel ist, also auf der zu TT parallelen Normale AB von c. Die Projektion von AB wird eine Normale von c' und QfÄ — (JB' wird gleich dem Kugel-

A.....

Ko

B’

Mg. 260.

Mg. 259.

radius. Wenn eine der parallelen Kurven eine Spitze bekommt, bedeutet dies im allgemeinen einen Übergang von einem sichtbaren zu einem unsichtbaren Teil der zugehörigen Kurve auf der Kanalfläche. Man sehe Fig. 260, wo ein Teil einer Kanalfläche gezeichnet ist.

r--

296. Schlangen fläche nennt man . eine Kanalfläche, deren Zentralkurve eine Schraubenlinie ist (Fig. 261). Wir denken uns die Fläche erzeugt von dem Kreis ft mit der Aufrißprojektion A" B"

(Fig. 262). Die von dem Mittelpunkt 0 beschx’iebene Schraubenlinie habe die Grundrißprojektion s'. Jcu gibt die Umdrehung des Kreises in die Frontebene durch 0 an. Wir wollen nun zeigen, wie man die Schnittkurve dieser Fläche mit einer horizontalen Ebene TT durch 0 finden kann. Die Fläche kann erzeugt werden durch eine Schraubenbewegung des gegebenen Kreises ft, wobei die Tangente der von 0 beschriebenen Schraubenlinie in 0 senkrecht zu der Ebene von ft ist. Nimmt man O'R _L A"B" und

PS # Q,0', welch letztere Strecke durch Rektifikation Kreises s' entsteht, so gibt 0"S % der Ganghöhe an. Die Tangente der Schraubenlinie in 0 schneidet nämlich eine horizontale Ebene, die um % der Ganghöhe unter 0 liegt, in dem Punkt, den man durch Abwickelung von V₈ des Kreisumfanges finden kann.

Vs des

von

/pu

P*

R(:

\\

<0:

M'

Fig. 262.

Wir wählen nun auf Je einen Punkt P, dessen Abstand von TT z. B. l/l6 der Ganghöhe ist, und schrauben diesen Punkt hinauf nach TT. Dann gelangt 0 nach Ol, indem man für den Bogen 0' 0/ V₁₆ des Umfanges nimmt. Die Grundrißprojektion von P nach dieser Schraubung ist Pt' (0/D = P*P" und DP=■ P"PM); P/ ist dann die Grundrißprojektion eines Punktes auf der gesuchten Kurve. Die Tangente ist senkrecht auf P, 0,, und da sie horizontal ist, ist ihre Grundrißprojektion _L O/P/. Gleichzeitig wird symmetrisch zu 1\' bezüglich O/D ein anderer Punkt 1\' samt der Tangente t% bestimmt. Der Durchmesser MN des gegebenen Kreises, der senkrecht auf der Schraubenachse steht, wird eine Symmetrieachse der gesuchten Kurve.

Man kann die gesuchte Schnittkurve auch auf einem anderen Wege bestimmen. Man kann die Schlangenfläche nämlich betrachten als die Hüllfläche einer Reihe kongruenter Rotationszylinder, deren Achsen die Tangenten der Zentralkurve sind, und deren Radius gleich dem Radius des erzeugenden Kreises wird. Die Schnittkurve der Fläche mit der horizontalen Ebene TT wird also die Hüllkurve für die Spuren der genannten Zylinder in dieser Ebene. Der Zylinder, von welchem k ein Normalschnitt ist, schneidet aber TT in einer Ellipse kx, von welcher MN die kleine Achse ist und deren große Achse auf die Tangente des Kreises s' in 0' fällt. Läßt man nun diese Tangente auf s' rollen und die Ellipse kx der Bewegung folgen, so werden die verschiedenen Lagen von kx eben die Spuren der genannten Zylinder, und die Hüllkurve von kx ist die gesuchte Kurve. Die in der Figur dargestellte Schlangenfläche hat keine Spitzkante; ist aber der Radius von k größer als der Krümmungsradius der von 0 beschriebenen Schraubenlinie, so entsteht auf der Fläche eine Spitzkante.

Zwölftes Kapitel. Windschiefe Flächen.

Erzeugung der windschiefen Flächen.

297. Eine Fläche, die durch Bewegung einer geraden Linie erzeugt wird und kein abwichelbares Flächenstüch enthält, heißt windschief. Jede Lage der beweglichen geraden Linie heißt eine Erzeugende der Fläche. Das einschalige Hyperboloid und das hyperbolische Paraboloid sind Beispiele von windschiefen Flächen. Wie wir gesehen haben, können diese Flächen von einer geraden Linie erzeugt werden, die auf drei festen geraden Linien gleitet, von denen keine zwei in derselben Ebene liegen. Die allgemeine windschiefe Fläche kann man sich auf ähnliche Weise erzeugt denken, indem man eine gerade Linie auf drei festen Kurven a, b und c, den Leitkurven, gleiten läßt.

Die Erzeugende f, die durch einen beliebigen Punkt A von a geht, kann man bestimmen als die Schnittlinie der beiden Kegel, die b und c aus A projizieren. Diese Kegel haben möglicherweise mehrere Seitenlinien gemeinsam, dann gehen durch A mehrere Erzeugende der windschiefen Fläche. Ist die Anzahl der Erzeugenden n, so beschreiben diese, wenn A sich bewegt, n verschiedene Flächenteile, die alle a oder einen Teil von a enthalten, man nennt deshalb dann a eine «fache Kurve der Fläche. Bei der Bewegung von A kann sich die Anzahl n verändern und möglicherweise A in eine solche Lage kommen, daß weiterhin kein Schnitt zwischen den Kegeln einti’itt. Es gibt dann einen oder mehrere Teile von a, die nicht zu der windschiefen Fläche gehören. Die gleichen Betrachtungen lassen sich auch für die anderen Leitkurven b und c anstellen.

Beispiel: a und b seien Kreise, die in parallelen Ebenen liegen, während c eine gerade Linie ist, die von diesen beiden Kreisen umschlossen wird (Fig. 264). Durch jeden Punkt von a oder b gehen dann zwei Erzeugende, also sind a und b Doppelkurven der

Fläche. Eine beliebige Ebene TT durch c schneidet a und b in je zwei Punkten und enthält also vier Erzeugende der Fläche. Von den sechs Schnittpunkten dieser vier Linien fallen vier auf a und b: während die übrigen im allgemeinen weder auf a noch auf b oder c liegen. Dreht man TT um c, so beschreiben die letztgenannten Punkte also eine neue Doppelkurve der Fläche. Um zu bestimmen, welche Teile von. c zu der Fläche gehören, müssen wir alle Punkte auf c finden, von denen aus man Linien ziehen kann, die a und b schneiden. Zuerst ermitteln wir, welche Punkte im Raum überhaupt diese Eigenschaft haben. Wir legen zu diesem Zweck eine Ebene T durch die Mittelpunkte von a und &, sie möge a in A und B, b in C und D schneiden (Fig. 263). Die Linien AB, BC,

5/A

&

\6

Fig. 263.

AC und BB teilen nun die Ebene T in mehrere Teile, und man erkennt sofort, daß nur die Punkte der Ebene, die in den mit den Zahlen 1 — 6 be-zeichneten Teilen liegen, die Bedingungen erfüllen können.

Dreht man T um die Verbindungslinie der Kreismittelpunkte, so beschreiben AG, BB, AB und BC zwei Kegelflächen, die beide die Kreise a und b enthalten; die von diesen Kegelflächen begrenzten Raumteile, die den genannten Ebenenstücken entsprechen, enthalten dann die sämtlichen gesuchten Punkte.

: 'oüi,

Jg&N\\ ¹

ii

W/'\

Die Teile von c, die zur Fläche geholfen, werden also begrenzt durch die Schnittpunkte von c mit den beiden Kegelflächen. Diese Schnittpunkte gibt Fig. 264 in Parallelprojektion an. c schneidet die Ebenen der Kreise in B und S. Die Spitzen der beiden Kegel sind P und Q. Um die Schnittpunkte M und N der Linie c mit der Kegelfläche P(a) zu finden, legen wir eine Ebene durch P und c. Diese Ebene schneidet die Ebene von a in R8₁ (*Sj ist die Spur von PS in der Ebene von a), und diese Linie schneidet wieder a in zwei Punkten, deren

Verbindungslinie mit P die zwei Erzeugenden sind, in denen der Kegel P(a) von der Ebene Pc geschnitten wird. Diese beiden Erzeugenden schneiden c in M und N. Auf ähnliche Weise bestimmen sich die Schnittpunkte M₁ und Ni von c mit der anderen Kegelfläche Q(a). Die in der Figur voll ausgezogenen Teile von c gehören zur Fläche, während die punktierten Teile nicht zur Fläche gehören. Durch jeden Punkt der brauchbaren Stücke von c gehen zwei Erzeugende, durch jeden der Grenzpunkte Jf, JV, Mt und iVj nur eine. Geht c durch P oder Q, so löst sich die Fläche in eine Kegelfläche und eine einfachere windschiefe Fläche auf. Geht c durch die beiden Punkte P und Q, so reduziert sich die ganze Fläche auf die durch a und b bestimmten Kegelflächen, ist also nicht mehr eine windschiefe Fläche.

Tangentialebenen.

298. Die Erzeugende f schneide die Leitkurven a, b und c in A, B und 0. Wir setzen voraus, daß die Leitkurven in diesen Punkten bestimmte Tangenten au bi und ct haben, und keine zwei von diesen Tangenten in einer Ebene liegen (Fig. 265). Unendlich ferne Elemente lassen wir vor-' läufig außer Betracht. Die Ebenen aif: \fi c\f sin<! die Grenzlagen, denen sich die Ebenen, welche Ä, B

'b

—£-\c    und C mit einer anderen Erzeugen-

& \    ___i C den ft der Fläche verbindet, nähern,

--g'C }'    ¹ wenn sich der Erzeugenden f

nähert, und sie sind also Tangentialebenen der Fläche in A, B und C. Betrachten wir nun einen neuen Punkt D auf /, so sehen wir, daß auch die Ebene, welche B mit /j verbindet, sich einer bestimmten Grenzlage nähert. Dies erkennt man daraus, daß die Punktreihe (ABCD) projektiv ist zu dem Ebenenbüschel /j(ABCD). Jeder Punkt von /'hat sonach eine bestimmte Tangentialebene, die f enthält, und die Punktreihe, die von den Punkten auf f gebildet wird, ist projektiv zu dem Ebenenbüschel, den die zugehörigen Tangentialebenen bilden. Mit Hilfe dieses Satzes erkennt man, daß jede Ebene durch f eine Tangentialebene in einem bestimmten Punkt von f ist. Da die Ebene nämlich zu dem genannten Ebenenbüschel gehört, entspricht ihr ein bestimmter Punkt der Punktreihe.

Was wir für die im Endlichen liegenden Elemente bewiesen

a,Ay

fi

b,

Fig. 265.

haben, gilt sofort auch für die unendlich fernen Elemente, da eine windschiefe Fläche durch eine Raumperspektive immer wieder in eine windschiefe Fläche übergeht.

P/f

C,

■>>- - .

\b

Fig. 266.

Aus dem gefundenen Satz erfolgt sofort eine Konstruktion für die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt D von f\ wenn die Tangentialebenen in drei Punkten A, B und C von f bekannt sind (Fig. 266). f schneide die Ebene TT in P, während die Spuren der drei gegebenen Tangentialebenen in TT der Reihe nach a, b und c seien. Die Spur d der gesuchten Tangentialebene bestimmt sich dann dadurch, daß der Strahlenbüschel (abcd) zu der Punktreihe (AB CD) projektiv sein soll. Die Konstruktion kann in einer perspektivischen Darstellung, wie sie die Figur gibt, sofort nach 92 ausgeführt werden.

Aus dem bewiesenen Satz folgt auch unmittelbar, daß zwei windschiefe Flächen, die eine Erzeugende gemein und in drei Punkten von ihr dieselben Tangentialebenen haben, sich längs der ganzen Erzeugenden berühren müssen.

Für eine beliebige windschiefe Fläche gilt somit auch der Satz, daß die Tangenten an eine Reihe paralleler Schnitte in Punkten derselben Erzeugenden f ein hyperbolisches Paraboloid bilden, das die Fläche längs f berührt. Nehmen wir die Schnitte senkrecht zu f an und drehen die Tangenten durch einen rechten Winkel um f herum, so gelangen wir zu den Normalen der Fläche längs /' es müssen also die Normalen einer windschiefen Fläche längs einer beliebigen Erzeugenden ein hyperbolisches Paraboloid bilden.

299. Wenn eine der drei Leitkurven a, b und c, z. B. c, unendlich fern ist, wird sie durch einen Kegel dargestellt, dessen Seitenlinien den Erzeugenden der windschiefen Fläche parallel sind, und der deshalb der Bichtungshegel der Fläche heißt. Ist insbesondere die unendlich ferne Leitkurve eine gerade Linie, so wird der Richtungskegel zu einer Dichtungsebene. Die Asymptotenebene, die zu einer Erzeugenden f gehört, ist parallel zu der Tangentialebene des Richtungskegels längs der zu f parallelen Seitenlinie,

die Asymptotebene ist also die Grenzlage für eine durch f parallel zu einer Erzeugenden fx gelegte Ebene, die sich f nähert.

Fig. 267 stellt in Parallelprojektion die Leitkurven a und b samt einer Erzeugenden f einer windschiefen Fläche dar, für welche die Ebene TT die Tangentialebene des Richtungskegels längs der zu f parallelen Seitenlinie ist. TT darf nicht durch f gehen. Längs f

'B

Sj.

Fig. 267.

kann man nun ein berührendes Paraboloid an die Fläche legen, yon dem die Tangenten der Leitkurven in A und B Leitlinien sind, während TT von ihm eine Richtungsebene ist. Schneiden die genannten Tangenten TT in Ax und Bv so wird A₁B₁ eine Erzeugende des Paraboloids; eine Erzeugende des Paraboloids, die zu dem anderen System gehört, teilt also AB und AxB₁ im gleichen Verhältnis. Um die Tangentialebene in C zu finden, bestimmt

A C AC

man deshalb auf A₁Bl einen Punkt Gv für den ^ ^ = j— wird

(CC₂ BBX, C₂C₁} AA₁). Da CCX dann eine Erzeugende des Paraboloids ist, wird die Ebene fCx die Tangentialebene in C. Ihre Spur c in TT geht durch Cx und ist parallel zu f.

Sucht man auf f einen Punkt S des Umrisses der Fläche, so lasse man in der Figur c mit f zusammenfallen, Cx fällt dann in den Schnittpunkt Sx von f und AXBX und S findet man, indem man SxSs AAt und S₂S BBX zieht.

Zentralpunkte und Parameter.

300. Die Ebene durch eine Erzeugende f, die auf der zu f gehörenden Asymptotenebene senkrecht steht, heißt die Zentralebene, ihr Berührungspunkt der Zentralpunkt der Erzeugenden. In

Fig. 268 ist f in Grund- und Aufriß dargestellt. Die Zentralebene ist vertikal angenommen. Der Zentralpunkt C und die Grundrißspur a der Tangentialebene im Punkt A sind gegeben. Die Grundrißprojektionen der Normalen in A und C stehen senkrecht auf a und f und schneiden einander in einem bestimmten eigentlichen Punkt P. Ein Umdrehungshyperboloid, dessen Achse eine Vertikale p durch P und von dem f eine Erzeugende ist, berührt die gegebene windschiefe Fläche längs f.

Cs

:A

\C

re

Fig. 268.

Die beiden Flächen haben nämlich in drei Punkten von f nämlich A, C und dem unendlich fernen Punkt, gemeinsame Tangentialebenen. Da nun die Normalen des Umdrehungshyperboloids, also auch die Normalen der gegebenen Fläche längs f die Achse p schneiden, gehen die Grundrißprojektionen der Normalen längs f durch denselben Punkt P. Also: Wenn die Zentralebene projizierende Ebene bei einer senkrechten Projektion ist, gehen die Projektionen aller Flächennormalen längs der dazu gehörigen Erzeugenden durch denselben Punkt. Dies kann man zu einer einfachen Konstruktion der Normalen und Tangentialebenen benutzen.

301.    Der Zentralpunkt von f ist die Grenzlage für den Fußpunkt F des kürzesten Abstandes FFX der Erzeugenden f von einer veränderlichen Erzeugenden fv die sich f nähert. In Fig. 265 bilden nämlich die Ebenen fxA, fxB, fxC, fxF für jede Lage von fx einen Ebenenbüschel, der zu der Punktreihe (AB CF') projektiv ist. Wenn fx sich f nähert, nähern sich die drei erstgenannten Ebenen den Tangentialebenen in A, B und C, während die vierte Ebene, weil sie ja in jedem Augenblick senkrecht ist zu einer Ebene, die man durch f parallel zu fx legt, sich der Ebene, die durch f geht und auf der Asymptotenebene senkrecht steht, also der Zentralebene nähert. Aber hieraus folgt, daß der Punkt F sich dem Berührungspunkt der Zentralebene nähert, was wir beweisen wollten.

302.    Unter dem Parameter der Erzeugenden verstehen wilden Abstand des Zentralpunktes von einem Punkt, dessen Tangentialebene den Winkel zwischen der Zentralebene und der Asymptotenebene halbiert. Wenn f den Zentralpunkt C und den Parameter CB hat (Fig. 269) und man CT — CB senkrecht zu f

Timerding, Handbuch II

abträgt, bilden die Linien, die man von T nach den Punkten der Erzeugenden zieht, miteinander dieselben Winkel wie die zugehörigen Tangentialebenen. Der Strahlenbüschel (cbud) ist nämlich projektiv zu dem Büschel der zugehörigen Tangentialebenen, und da die Winkel zwischen c, b und u ebenso groß wie die Winkel zwischen den zugehörigen Tangentialebenen werden, müssen auch die anderen zusammengehörigen Winkel gleich groß sein. Aus eitler solchen Figur kann man sofort ersehen, wie schnell sich die Tangentialebene dreht, wenn der Berührungspunkt sich mit gegebener Geschwindigkeit auf der Erzeugenden bewegt.

/-f

->7/

Fig. 269.

Singuläre Erzeugende.

303. Wenn in Fig. 265 die Tangenten bx und cx in B und C einer Ebene angehören, at aber nicht, so wird, wenn f\ sich f nähert, die Ebene ftA sich der Grenzlage fax nähern, während fxB und fxC sich derselben Ebene fb₁c₁ nähern. Dann muß sich aber auch die Ebene, die fx mit einem beliebigen neuen Punkt D von /' verbindet, derselben Ebene nähern. Dies erkennt man aus der Projektivität der Punktreihe (AB CD) und des Ebenenbüschels

/,

[' i........

■f-4.......

--r

Fig. 270.

fx(ABCD). Es hat also der Punkt A die Tangentialebene axf, alle anderen Punkte der Erzeugenden f dagegen haben dieselbe Tangentialebene fbxcv f nennen wir eine singuläre Erzeugende, die Ebene fb₁c₁ ihre Haupttangentialebene und A ihren Speerpunkt.

In Fig. 270 ist ein Teil einer windschiefen Fläche mit einer singulären Erzeugenden f dargestellt. A ist ein Grenzpunkt der Leitkurve, auf dem er liegt (er bildet den Übergang von einem brauchbaren zu einem unbrauchbaren Teil der Leitkurve). Diese Leitkurve ist eine Doppelkurve der Fläche, durch einen beliebigen Punkt P von ihr gehen zwei Erzeugende, die sich, wenn P nach A rückt, einander nähern und schließlich in /’ zusammenfallen. Ein

ebener Schnitt durch A bekommt in A eine Spitze, ein beliebiger anderer ebener Schnitt auf der Doppelkurve einen Doppelpunkt.

Sollen wir der Fläche einen Kegel mit der Spitze S umschreiben, so legen wir z. B. eine Ebene durch SP und ziehen eine Tangente von S an die Schnittkurve dieser Ebene mit der Fläche. Dreht sich die Ebene um SP, so durchläuft die Tangente die gesuchte Kegelfläche.

Wenn die Ebene sich A nähert, so nähert die Tangente sich offenbar der Lage SA. Nun ist die Linie SA in Wirklichkeit keine Tangente der Fläche, wenn nicht S in der Tangentialebene des Speerpunktes liegt, aber da sie die Grenzlage für eine Seitenlinie eines umschriebenen Kegels ist, so rechnet man sie zu diesem. Die Tangentialebene des Kegels längs SA wird Sf., denn diese Ebene ist die Grenzlage für die Tangentialebene des Kegels längs einer veränderlichen Seitenlinie. Wenn S nicht in die Tangentialebene des Speerpunktes fällt, so muß sonach die Berührungskurve des Kegels und der windschiefen Fläche die Erzeugende f in A berühren. Daraus kann man sofort folgern, daß die Projektion der singulären Erzeugenden den Umriß des benachbarten Flächenteils in der Projektion des Speerpunktes berühren muß.

Eine singuläre Erzeugende kann einen unendlich fernen Speerpunkt haben, aber in diesem Falle kann sie durch eine passende Raumperspektive in eine singuläre Erzeugende mit einem eigentlichen Speerpunkt übergeführt werden, und die gefundenen Sätze gelten auch in diesem Falle. Bei einer Parallelprojektion einer windschiefen Fläche werden also alle singulären Erzeugenden mit unendlich fernem Speerpunkt im allgemeinen als Asymptoten des Umrisses der Fläche dargestellt.

304. Der Zentralpunkt einer singulären Erzeugenden f wird definiert als die Grenzlage für den Fußpunkt F des kürzesten Abstandes FP\ von f und einer veränderlichen Erzeugenden fv die sich f nähert. Der Zentralpunkt fällt mit dem Speerpunkt zusammen, wenn dieser nicht unendlich fern liegt. Da nämlich der Ebenenbüschel fi(ABCF) beständig zu der Punktreihe {ABCF) projektiv ist und die Ebenen /jB und fxC sich derselben Grenzlage bxcx nähern, während fxF sich einer Lage senkrecht zu b₁Cl und /ji sich fax nähert, sieht man, daß F sich A nähert. Liegt der Speerpunkt unendlich fern, so fällt er nach wie vor mit dem Zentralpunkt zusammen, solange die Haupttangentialebene nicht zu der Tangentialebene des Speerpunktes senkrecht ist. Tritt dieses aber ein, so kann der Zentralpunkt in irgendeinen Punkt der Erzeugenden fallen. Wohin er fällt, bedarf einer besonderen Untersuchung.

Leitflächen.

305. Wenn eine windschiefe Fläche von einer Linie /"erzeugt wird, die beständig eine gegebene Fläche berührt, heißt diese Fläche eine Leitfläche der windschiefen Fläche.

Möge f die Leitfläche in A berühren und sei der geometrische Ort für A die Kurve Je. Wenn dann f nicht eine Tangente von k in A ist, so haben die Leitfläche und die windschiefe Fläche in A dieselbe Tangentialebene, denn die Tangentialebene beider Flächen muß sowohl f wie die in fl berührende Tangente von Je enthalten, f kann nun beim Übergang aus einer Lage in eine andere nicht beständig k berühren, selbst wenn die beiden Lagen einander noch so sehr benachbart sind, denn dies würde bedingen, daß das durchlaufene Flächenstück abwickelbar wäre. Es gibt also auf jedem noch so kleinen Bogen von Je Punkte, wo die beiden Flächen einander berühren. Wenn dann die Tangentialebenen der beiden Flächen sich kontinuierlich ändern, indem der Berührungspunkt A die Kurve Je durchläuft, so müssen die beiden Flächen einander in allen Punkten von Je berühren.

Soll man eine Erzeugende auf einer windschiefen Fläche mit den Leitkurven a und b und der Leitfläche T bestimmen, so kann man einen Punkt A auf a auswählen, und die Schnittlinie des Kegels A(b) und des T umschriebenen Kegels mit der Spitze A bestimmen, jede der gefundenen Linien ist dann eine Erzeugende.

Soll eine windschiefe Fläche durch eine Leitkurve a und eine Leitfläche T mit der Berührungskurve k bestimmt werden, so kann man einen Punkt B auf Je auswählen und die Schnittpunkte A von a mit der in B berührenden Tangentialebene von T aufsuchen, AB ist dann eine Erzeugende der Flächen. Insbesondere kann Je unendlich fern liegen, V wollen wir dann eine Asymptoten fläche der windschiefen Fläche nennen.

Die Gesamtheit der Asymptotenebenen der windschiefen Fläche umhüllen im allgemeinen eine abwickelbare Fläche, die abwickelbare Asymptotenfläche; diese kann insbesondere auch ein Asymptotenkeg cl werden. Bei einer Parallelprojektion der windschiefen Fläche werden die begrenzenden Erzeugenden der abwickelbaren Asymptotenfläche im allgemeinen Asymptoten des Umrisses der windschiefen Fläche.

Die Striktionslinie.

306. Der geometrische Ort der Zentralpunkte heißt die Striktionslinie. Auf jeder Erzeugenden f findet sich also für ge-

wohnlich ein und nur ein Punkt dieser Kurve, und die allgemeine Konstruktion dieses Punktes ist aus dem vorstehenden ersichtlich: Zuerst bestimmt man die Asymptotenebene, darauf dreht man sie durch einen rechten Winkel um f der Berührungspunkt der neuen Ebene ist dann der gesuchte Zentralpunkt. Hat die Fläche singuläre Erzeugende, so schneidet die Striktionslinie diese in den zugehörigen Speerpunkten, doch braucht dies nicht einzutreten, wenn der Speerpunkt unendlich fern liegt (304).

Hat die Fläche eine Richtungsebene TT, so sind alle Asymptotenebenen dieser parallel, die Zentralebenen sind also zu TT senkrecht, und die Striktionslinie wird die Berührungskurve eines umschriebenen Zylinders, dessen Seitenlinien senkrecht zu TT sind. Auf einem hyperbolischen Paraboloid wird demnach die Striktionslinie für jede Regelschar eine Parabel, deren Achse mit der Achse der Fläche zusammenfällt.

Hat die Fläche einen beliebigen Richtungskegel, so wird die Asymptotenebene zu dessen Tangentialebene parallel und die Zentralebene mithin parallel zu den Normalebenen des Richtungskegels. Ist der Richtungskegel ein Rotationskegel, so gehen alle diese Normalebenen durch die Kegelachse und die Zentralebene wird zu dieser Achse parallel. In diesem Falle wird also die Striktionslinie auch die Berührungskurve eines umschriebenen Zylinders, dessen Seitenlinien zu der Achse des Richtungskegels parallel sind. Jede windschiefe Fläche, deren Richtungskegel ein Rotationskegel ist, kann von einer beweglichen geraden Linie erzeugt werden, die beständig einen festen Zylinder berührt und die Seitenlinie unter einem konstanten Winkel schneidet. Die Berührungskurve der Fläche mit dem Zylinder ist die Striktionslinie. Ein Beispiel einer solchen Fläche bildet das Umdrehungshyperboloid, die Striktionslinie fällt dann mit dem Kehlkreis zusammen.

307. Auf einem allgemeinen einschaligen Hyperboloid hat jede Regelschar ihre Striktionslinie. Die beiden Kurven müssen zueinander symmetrisch bezüglich jeder der drei Hauptebenen sein. Yon jeder der Kurven gilt folgender Satz: Die Striktionslinie halbiert die Strecken auf den Regelstrahlen des Hyperboloids, die von zwei bestimmten Ellipsen auf der Fläche begrenzt werden, nämlich von den Berührungskurven der Rotationszylinder, die man dem Hyperboloid umschreiben kann.

In Fig. 271 sind OA und OB die Halbachsen der Kehlellipse, und die Frontlinie f durch B ist ein Regelstrahl der Fläche. Der Hauptschnitt der Fläche in der Aufrißebene ist eine Hyperbel h

mit der reellen Halbachse OA und der einen Asymptote f". Eine Kugel mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius OB schneidet die Aufrißebene in dem Kreis 1c. Eine gemeinsame Tangente von Je und h berühre h in S. Dann berührt der der Kugel in der Richtung dieser gemeinsamen Tangente umschriebene Zylinder das Hyperboloid in der Ellipse, in der die Ebene OBS die Fläche schneidet.

ha

-----1

/ • 7"j-J \

Ml

Die zu OBS symmetrische Ebene OBB schneidet das Hyperboloid in einer anderen Ellipse, die ebenfalls die Berührungskurve eines umschriebenen Rotationszylinders ist. Eine beliebige Erzeugende ft schneide nun die Ellipsen in den Punkten P undiP₁, deren Aufrißprojektionen auf B"B und B"S fallen. Die Tangentialebenen TT und TTj des Hyperboloids in diesen Punkten berühren die beiden Zylinder und sind also Tangentialebenen der benutzten Kugel mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius OB. Da nun die Asymptotenebene A für /j durch 0 geht, halbiert sie einen der Winkel zwischen TT und TT₁, während gleichzeitig die Zentralebene T den Nebenwinkel halbiert. T" und A sind also mit TT und TTj harmonisch verbunden und die Berührungspunkte von T und A sind mit P und Px harmonisch verbunden. Da nun der Berührungspunkt von A unendlich fern liegt, muß der Berührungspunkt von T in der Mitte zwischen P und Px liegen. Damit ist der Satz bewiesen.

Die Projektion der Striktionslinie kann leicht gezeichnet werden. Sie geht durch die Scheitelpunkte der Kehlellipse hindurch und ist symmetrisch bezüglich jeder Achse der Fläche. Die beiden Projektionen der Kurve haben deshalb zwei Symmetrieachsen. Die beiden Striktionslinien eines Hyperboloids liefern ein Beispiel für zwei Kurven, welche dieselbe Grund-, Aufriß- und Seitenrißprojektion haben und dennoch verschieden sind.

Konoide.

308. Jede windschiefe Fläche, die eine Richtungsebene und eine gerade Leitlinie besitzt, heißt ein Konoid. Man unterscheidet zwischen geraden und schiefen Konoiden, je nachdem die Leitlinie auf der Richtungsebene senkrecht steht oder nicht. Die Striktionslinie fällt auf einem geraden Konoid mit der Leitlinie zusammen, aber auf einem schiefen Konoid ist sie eine krumme Linie, nämlich die Berührungskurve eines umschriebenen Zylinders, dessen Seitenlinien auf der Richtungsebene senkrecht stehen. Bei einer senkrechten Projektion auf die Richtungsebene fällt also die Projektion der Striktionslinie mit dem Umriß der Fläche zusammen.

Wenn das Konoid durch die Leitkurve a, die gerade Leitlinie 1) und die Richtungsebene TT bestimmt ist, findet man eine beliebige Erzeugende, indem man einen Punkt A auf a annimmt und den Schnittpunkt B von b mit einer Ebene, die durch A parallel zu TT gelegt wird, bestimmt; AB ist dann eine Erzeugende der Fläche (vgl. Fig. 272).

Man sieht, daß das Konoid durch drei Leitkurven a, b und c (die letztere ist die unendlich ferne Linie der Richtungsebene) bestimmt ist. Die singulären Erzeugenden der Fläche müssen also durch solche Punkte A auf a gehen, deren Tangenten entweder b oder c schneiden (b und c sollen nicht in derselben Ebene liegen).

Ist a eine ebene Kurve, deren Ebene die Ebene TT in der Linie l und b in einem Punkt L schneidet, so kann man demnach die Punkte A, wo die singulären Erzeugenden die Kurve a schneidet, bestimmen als die Berührungspunkte der Tangenten von a, die entweder parallel zu l sind oder durch den Punkt L gehen. Von den auf die erstgenannte Weise bestimmten Erzeugenden liegen die Speerpunkte auf b, von den anderen unendlich fern. Diese letzten Erzeugenden bestimmen auch bei einer Parallelprojektion, bei welcher TT keine projizierende Ebene ist, die Asymptoten des Umrisses.

In dem Falle, wo eine Ebene, die wir durch L parallel zur Richtungsebene legen, die Ebene der Leitkurve a in der Linie s schneidet und s mit a zwei oder mehr Punkte gemein hat, wird s eine doppelte oder mehrfache Erzeugende der Fläche.

Ar

\b

77

I’ig. 272.

Wir wollen noch zeigen, wie man die Schnittpunkte des Konoids mit einer geraden Linie g finden kann. Wenn g die Leitlinie b (oder c) trifft, so geht durch jeden Schnittpunkt der Ebene bg (bzw. cg) mit der Kurve a eine Erzeugende des Konoids, die g in einem der gesuchten Punkte schneidet. Schneidet die Linie g keine der Linien b oder c, so legt man durch g und b ein Para-boloid, dessen Richtungsebene mit der Richtungsebene des Konoids übereinstimmt. Dieses Paraboloid schneidet im allgemeinen die Ebene der Kurve a in einem Kegelschnitt, und durch jeden Schnittpunkt dieses Kegelschnittes mit a geht eine gemeinsame Erzeugende des Konoids und des Paraboloids, die l in einem der gesuchten Punkte schneidet.

Das Zylindroid.

309. Wir betrachten zwei ebene nicht parallele Schnitte a und b einer beliebigen Zylinderfläche und lassen zwei Punkte dieser Schnittkurven, die auf derselben Seitenlinie des Zylinders liegen, einander entsprechen. Wenn nun der eine Schnitt a um ein beliebiges Stück parallel zur Schnittlinie der beiden Zylinderschnittebenen verschoben wird und so in die Lage ax gelangt, und entsprechende Punkte von «j und b wieder durch gerade Linien verbunden werden, so bilden alle diese Verbindungslinien eine windschiefe Fläche, die wir nach Frezier¹) ein Zylindroid nennen.²) Die Fläche hat die zwei Leitkurven aA und b und eine Richtungsebene parallel zu den Seitenlinien des Zylinders und der Schnittlinie der beiden Ebenen, aber die durch diese Leitkurven und die Richtungsebene bestimmte vollständige Fläche umfaßt im allgemeinen Flächenteile, die nicht zum Zylindroid gehören.

In Fig. 273 sind a und b vertikal angenommen, ihre Ebenen schneiden sich in der Linie s. a ist ein Kreis, dessen Umlegung in die Grundrißebene an wird. Die Seitenlinien sind der trennenden Achse parallel. Wir verschieben a um ein Stück Je vertikal nach aufwärts in die Lage av Die der Seitenlinie AB des Zylinders entsprechende Erzeugende des Zylindroids sei A₁B. Auf diesen beiden Linien betrachten wir zwei Punkte C und C₁, die senkrecht übereinander liegen, ihr Abstand CCX ist dann bestimmt durch die Gleichung

GC\ ₌ 9B

Je ~ AB'

Hieraus erkennt man, daß, wenn das letzte Verhältnis konstant ist, auch GC₁ konstant wird, also: Jede Ebene V durch s schneidet die beiden Flüchen in kongruenten Kurven, denn die Schnittkurve des Zylindroids kann aus der Schnittkurve des Zylinders durch

OS

eine vertikale Parallelverschiebung von der Größe Je abgeleitet

werden. Trägt man MN = k, wie in der Figur angegeben, ab, so wird die Ebene f durch s auf dieser Strecke das Stück NP —

CB

Je — CCl abschneiden. Dreht sich die Ebene T um s vou b

nach a, so wird der Abstand des Zylindroidschnitts von dem ebenen Zylinderschnitt beständig durch die Strecke NP dargestellt.

_ 9#

Pl

A:\

i*i

c;

Ti\

ZK

/!

'HZ /

/b*

//fe

-7N

//

ff

Fig. 273.

00

Man kann nun leicht die Tangentialebene des Zylindroids im Punkte Gx finden. Die Tangentialebene des Zylinders längs AB schneide s in S, die Tangente des Zylinderschnitts in]T₄ ist dann CS. Trägt man SSt — CCX ab, so erhält man einen Punkt der Tangente des zugehörigen Zylinderschnitts. Durch diese Tangente und^die Erzeugende AtBjist die Tangentialebene bestimmt. Umgekehrt kann man^auch leicht den Berührungspunkt

einer durch Ax B gellenden Ebene bestimmen. Soll man z. B. den Punkt Dx" des Umrisses der Aufrißprojektion der Fläche als den Berührungspunkt der durch AXB senkrecht zum Aufriß gelegten Ebene finden, so suche man den Schnittpunkt Tx dieser Ebene mit s und trage NQ — STX ab. s'Q schneidet dann die Grundrißprojektion der Erzeugenden in D/, worauf man Dx sofort findet. Der Punkt I)l ist der Zentralpunkt der Erzeugenden.

Die Verbindungslinien entsprechender Punkte auf ax und b, deren Tangenten vertikal sind, liefern singuläre Erzeugende der Fläche. Die Tangenten aller drei Leitkurven (d.h. die Tangenten von a1? b und die unendlich ferne Linie der Richtungsebene) liegen in diesem Falle in derselben Ebene, und diese Ebene ist die Tangentialebene der Fläche in jedem Punkte der betreffenden Erzeugenden. Beim Grenzübergang von der allgemeinen Erzeugen den Ax B zu einer singulären Erzeugenden sieht man, daß der Berührungspunkt JDX sich ins Unendliche entfernt, indem S 1\ und damit NQ ins Unendliche wachsen. Die Aufrißprojektionen der singulären Erzeugenden sind also die Asymptoten der Aufrißprojektion der Fläche.

Schiefer Durchgang.

310. Schiefer Durchgang (Biais passe) heißt die windschiefe Fläche, die zu Leitkurven zwei kongruente Kreise a und b in parallelen Ebenen und eine gerade Linie c hat, die auf den beiden Ebenen senkrecht ist und durch den Mittelpunkt C der Zentrale 00x beider Kreise geht. In Fig. 274 ist eine Parallelprojektion der Fläche gezeichnet, wobei die Projektionsebene den Kreisen parallel angenommen ist. Vorausgesetzt wird, daß a und b nicht Schnitte desselben Rotationszylinders sind und c die Kreise nicht schneidet. Die durch c und 00x bestimmte Ebene ist eine Symmetrieebene der Fläche, sie ist nämlich eine Symmetrieebene der Leitkurven; weiter sieht man, daß C ein Symmetriepunkt der Leitkurven ist und daher ein Mittelpunkt der Fläche. Die zu der Ebene der Leitkreise parallelen Ebenen nennen wir der Kürze halber Frontebenen, c möge die Ebenen der Leitkreise in D und E schneiden. Man konstruiert die Erzeugenden der Fläche, indem man Hilfsebenen durch c legt. Eine solche Hilfsebene schneide a in P und A, b in B und Q, PQ und AB sind dann Erzeugende der Fläche, und zwar werden sie infolge der Symmetrie bezüglich C parallel. Die Linien PB und QA schneiden ebenfalls die drei Leitkurven, aber da sie durch C gehen und somit bei der Bewegung

der Hilfsebene eine Kegelfläche mit der Spitze C durchlaufen, gehören sie nicht zu der windschiefen Fläche.

Die Linie MN, welche die Mittelpunkte von AP und BQ verbindet, ist parallel zu den beiden gefundenen Erzeugenden und

a,

\ kS

x''

x>

"vife

x\\

’R

v,

'V

/D /

yM

A<\

/V.M

P" ! •

Fig. 271,

geht durch C. Wenn wir die Hilfsebene drehen, so beschreibt sonach MN einen Richtungskegel der Fläche. Die geometrischen Örter für M und N werden Kreise über OT) und 0₁E als Durchmesser. Mithin ist der Richtungskegel der Fläche ein Kreiskegel. Benutzt man C als Spitze des Kegels, so kann der Kreis über Oi E als Durchmesser für den Grundkreis genommen werden.

Da der Richtungskegel nun bekannt ist, kann die Asymptotenebene für eine willkürliche Erzeugende des schiefen Durchgangs konstruiert werden. Jede Seitenlinie des Richtungskegels wird parallel zu zwei Erzeugenden der windschiefen Fläche, und man

kann deswegen sagen, daß der schiefe Durchgang einen unendlich fernen Doppelkegelschnitt besitzt. Eine singuläre Erzeugende entsteht, wenn die Tangenten in P und Q oder A und B parallel sind, also wenn OP und 0tQ dieselbe Richtung haben. Dies tritt ein, wenn 0, A und P in einer geraden Linie liegen; AP muß dann entweder ein Durchmesser oder eine Tangente des Kreises a sein. Man erkennt so zunächst, daß die Erzeugenden /j und die in der Symmetrieebene liegen, singuläre Erzeugende sind, ihre Speerpunkte liegen auf c. Des weiteren entsteht eine singuläre Erzeugende jedesmal, wenn die Hilfsebene die Leitkurve a (und b) berührt. Dies kann bei der in der Eigur dargestellten Fläche nicht eintreten, aber wenn D und E außerhalb von a und b fallen, ergeben sich zwei Hilfsebenen, die a und b berühren. Die in diesen Ebenen enthaltenen Erzeugenden sind singulär, sie sind Seitenlinien des Richtungskegels, dessen Spitze in C liegt, und teilen diesen Kegel in zwei Teile, von denen nur der eine für die windschiefe Fläche Bedeutung hat. Da die Asymptotenebene für jede der beiden Erzeugenden von der Haupttangentialebene verschieden ist, liegen die Speerpunkte unendlich fern, so daß die gefundenen Erzeugenden bei einer Parallelprojektion im allgemeinen als Asymptoten des Umrisses projiziert werden. Andere Asymptoten des Umrisses entstehen durch Projektion der Erzeugenden, deren Asymptotenebenen projizierende Ebenen sind. Von solchen findet man in der Figur im ganzen vier, indem der Richtungskegel zwei begrenzende Seitenlinien hat, und jeder von diesen zwei Erzeugende der windschiefen Fläche entsprechen.

311.    Die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt B der Erzeugenden PQ kann man finden, indem man beachtet, daß die Punktreihe (PQBS) (S ist der Schnittpunkt von PQ und c) projektiv zu der Reihe {P₁ QtSf) ist, die von den unendlich fernen Punkten auf den Spuren der zugehörigen Tangentialebene in einer Frontebene gebildet wird; P₁₅ Q₁ und St liegen also unendlich fern in Richtungen, die der Reihe nach senkrecht zu DP, O^Q (und OA) und parallel zu DP (und EQf) sind. Wir ziehen nun die Kreuzlinien PS₁ und Pt S, QSl und ff S und gelangen so zu den Punkten P₂ und der Perspektivitätsachse p. Die zu DP durch B gezogene Parallele schneide p in P₂, SB₂ gibt dann die Richtung der Spur der gesuchten Tangentialebene an. Der zu der Erzeugenden gehörende Punkt des Umrisses liegt auf p.

312.    Eine beliebige Erzeugende AB schneide die Leitkreise in A und B (Fig. 275); AD und BE sind dann parallel. Durch A und B ziehen wir in den Ebenen der beiden Leitkreise zwei

Linien a und b' senkrecht zu AD und BE. Wenn nun AB die Fläche durchläuft, so umhüllen a und b' zwei kongruente Ellipsen ax und bv D ist ein Brennpunkt für a1} E für bv Die Ebene

ab' berührt also beständig einen elliptischen Zylinder, dessen Grundkur-, ven ax und bx sind, v und da die Ebene AB DE auf ab' senkrecht steht, ist die Gerade AB die v Projektion von der Geraden DE auf der Ebene ab'. Daraus folgt: Der schiefe Durchgang ist der geometrische Ort für die Projektionen der festen Leitlinie DE auf die Tangentialebenen des Zylinders, dessen Grundkurven ax und bx sind. Alle Frontebenen schneiden deshalb die Fläche in den Fußpunktkurven einer Reihe kongruenter Ellipsen; durch die Betrachtung dieser Frontschnitte erlangt man einen guten Überblick über die Fläche.

Wir sind davon ausgegangen, daß D und E innerhalb von a und b liegen. Ist dies nicht der Fall, so erhalten wir an Stelle der Ellipsen ax und bx zwei Hyperbeln und die Fläche wird der geometrische Ort fürdie Projektionen derLeitlinie auf die Tangentialebenen eines hyperbolischen Zylinders. Die Frontschnitte sind dann die Fußpunktkurven für eine Reihe kongruenter Hyperbeln. Der Frontschnitt in der Ebene durch C wird insbesondere doppelt symmetrisch und hat die Form einer Lemniskate.

Tg.

"ä,

"V

!E

Fig. 275

Normalfläclien.

313. Eine Fläche, die von den Normalen einer gegebenen Fläche O längs irgendeiner Kurve k auf ihr gebildet wird, heißt eine Normalfläche von <t>. Die Normalfläche ist im allgemeinen windschief, sie kann aber im besonderen Falle abwickelbar, vielleicht sogar eben werden. Z. B. ist die Normalfläche einer Umdrehungsfläche längs eines Parallelkreises ein Kegel, während die Normalfläche längs einer Meridiankurve eine Ebene wird.

Man kann zeigen, daß auf jeder elementaren Fläche 0 unter

gewissen Voraussetzungen zwei bestimmte Kurvenscharen existieren, die Krümmungslinien, längs denen die Normalflächen abwickelbar oder eben sind und die einander unter rechten Winkeln schneiden. Nur auf der Kugel ist jede Kurve eine Krümmungslinie. Auf einer Umdrehungsfläche sind die Krümmungslinien die Parallelkreise und Meridiankurven. Auf einer Zylinderfläche sind es die Seitenlinien und senkrechten Querschnitte, auf einem Kegel die Seitenlinien und die Schnittkurven des Kegels mit den Kugeln um die Kegelspitze. Von einer beliebigen abwickelbaren Fläche wird die eine Schar von Krümmungslinien durch die Erzeugenden der Fläche gebildet, die andere Schar durch die Evolventen der Spitzkante. Umdrehungsflächen, Zylinderflächen, und abwickelbare Schraubenflächen haben also lauter ebene Krümmungslinien. Dasselbe gilt von jeder Fläche, die von einer unveränderlichen ebenen Kurve erzeugt wird, wenn die Ebene der Kurve auf einer beliebigen Zylinderfläche rollt. Solche Flächen heißen Gesims flächen.

Den Steinen in einem Gebäude gibt man nach Möglichkeit eine solche Form, daß die Flächen, die die Steine begrenzen, eben oder wenigstens abwickelbar sind und unter rechten Winkeln Zusammenstößen. Ist die äußere Begrenzungsfläche des Mauerwerkes gekrümmt, so sollen nach diesem Prinzip die Fugenlinien Krümmungslinien dieser Fläche, und die Flächen, die die Steine begrenzen und die Außenfläche treffen, die zu den Krümmungslinien gehörenden Normalflächen werden. Bei Umdrehungsflächen und Zylindern (Kuppeln und Tonnengewölben) kann man dies Prinzip leicht vollständig durchfühi’en. Aber bei Flächen, deren Krümmungslinien doppelt gekrümmt sind, wird dies im allgemeinen zu schwierig, und man muß in solchen Fällen für gewöhnlich andere Flächen als Grenzflächen der Steine benutzen.

314. Im folgenden wollen wir die Normalfläche einer Kegelschnittfläche längs eines zu einem Hauptschnitt parallelen Schnittes k oder, was dasselbe heißt, für die längs k berührende Kegelfläche untersuchen. Wir betrachten indessen nur den Fall, wo k eine Ellipse ist, k liege in einer zum Grundriß parallelen Ebene und habe die Halbachsen OA und OB (Fig. 276), von denen die erste in der Aufrißebene liege.

Die Spitze C des Kegels liegt vertikal über dem Mittelpunkt der Ellipse. Die Erzeugende f der Normalfläche, die dm'ch einen Punkt P von k geht, wird im Grundriß als Normale von k' dargestellt, während die Aufrißprojektion senkrecht auf der Spur C T der den Kegel längs OP berührenden Ebene ist. Transformiert man den Kegel durch eine Perspektive Affinität, von der die Auf-

rißebene die Affinitätsebene ist, in einen Rotationskegel, so wird CT auch die Spur der an diesen Rotationskegel längs CPt gelegten Tangentialebene, und f" wird die Aufrißprojektion der Normale des Kegels in Pv Also: Die Aufrißprojektionen der Erzeugenden der Normalfläche fallen mit den Aufrißprojektionen der Normalen des Rotationskegels längs einem Kreise lil zusammen und gehen deshalb durch einen und denselben Punkt r". So erkennt man, daß die Erzeugenden der Normalfläche alle eine zum Aufriß senkrechte gerade Linie r schneiden.

Cj

'Vf

k" j 0_PZ

]t

r,h

k'

B’

Kg. 276.

Auf genau dieselbe Weise kann man durch Projektion auf die Seitenrißebene erkennen, daß die Erzeugenden auch eine feste Linie s, die zu der trennenden Achse # parallel ist, schneiden müssen. s kann man konstruieren durch Umlegung von COB in die Aufrißebene (als COBn). Das Lot BnS von CBn bestimmt auf der Kegelachse CO einen Punkt S von s. T)ie Normalfläche hat also zwei gerade Leitlinien r und s, die zueinander rechtwinklig sind und zusammen mit der Leitkurve k die Fläche vollständig bestimmen.

r und s sind Doppellinien, die Ebenen Or und Os Symmeti'ie-ebenen und CO eine Achse der Fläche. Die vier Erzeugenden durch die Scheitelpunkte der Ellipse sind singuläre Erzeugende. Von den beiden in der Ebene Or enthaltenen singulären Erzeugenden liegen die Speerpunkte auf r, von den beiden in der Ebene Os enthaltenen auf s. Die Aufrißprojektion der Fläche wird von den beiden letztgenannten Erzeugenden begrenzt, der Umriß der Grundrißprojektion ist die Evolute der Ellipse.

315. In Fig. 277 ist die Grundrißprojektion der Fläche dargestellt, die Erzeugende f schneidet r und s in den Punkten B und S, k im Punkte P. Da r, s und k in drei parallelen Ebenen liegen, wird

BP _ B'P'

SP* S'P'

Damit ergibt sich zugleich der Beweis eines bekannten Satzes über dieNormalen einer Ellipse.

Wir könnennun auch zeigen, daß jede zum Grundriß parallele Ebene die Fläche in einer Ellipse schneidet. Schneidet die Ebene die Erzeugende f in M, dann findet man nämlich, daß die Verhältnisse

= const.

S' X\ s'

YP' B'P' BP

YN B'M' BM

\p i n

und

XN

S'P'

SP

II' S'M' SM

AI'

Fig. 277.

r'

konstant werden. Der geometrische Ort yon N ist also eine Ellipse w, die Je in einer perspektivischen Affinität mit der Affinitätsachse r entspricht, und der geometrische Ort von M' entspricht n in einer perspektivischen Affinität mit der Affinitätsachse s. Dieser Ort ist deshalb eine Ellipse m, und der Satz ist damit bewiesen.

Fig. 278 zeigt die Leitkurven &, r und s in Parallelprojektion. Die singulären Erzeugenden sind a, at, b und \, alle Ebenen senkrecht zur Achse 2 Ellipsen, die von

und bbx der Fläche symmetrisch geteilt werden. Die Scheitelpunkte dieser Ellipsen liegen immer auf den singulären Erzeugenden.

Einen guten Überblick über die Ellipsen erhält man, wenn man die von den Linien b, b1 gebildete Figur um die Achse in die Ebene aax herumdreht (&*, b* in Fig. 279); die Ellipsen, deren Mittelpunkte 0₁ und 0₂ sind, haben die Halbachsen 0₁A₁, 0₁JB₁ (oder 0\BX) bzw. OoMo, 0₂B₂. Nimmt man die Punkte Ox, 0₂ so an, daß

OxS BO,

OsS ~ rö₃

neue

P CO

die Fläche in

Symmetrieebenen aax

'S s

Fig. 278.

Bf

0,

wird, so ergibt sich ‘einerseits

A,0, _RO, A₂0₂ ~~BÖ₃

’a

andererseits

BfO, 0,S

b,o₂ - öfs’

also folgt

Fig. 279.

AxO, ₌

AAh B₉0 ’

B,Ox

d. b.. elliptische Schnitte, deren Ebenen den Abstand zutschen den Leitlinien der Fläche harmonisch teilen, sind ähnlich und in ähnlicher Lage. Wenn die eine Schnittkurve sich ins Unendliche entfernt, nähert sich die andere der Lage mitten zwischen den Leitlinien, also werden die Linien, die von.R (oder#) nach den Punkten diesesMittelschnittes hinführen, den Erzeugenden der Fläche parallel und bilden deshalb einen Richtungskegel der Fläche. Der Richtungskegel der Fläche ist also ein schiefer Kreiskegel. Unter den Ellipsenschnitten sind zwei Kreisschnitte kx und k₃ enthalten. Man findet sie, wenn man durch die Schnittpunkte der Linien b*. bx* mit a die Ebenen senkrecht zur Achse hindurchlegt.

m"

316. Wenn zwei Punkte M und N sich um dieselbe Achse z mit gleich großen, aber entgegengesetzten Winkelgeschwindigkeiten drehen, so erzeugt ihre Verbindungslinie im allgemeinen eine Normalfläche der beschriebenen Art

ä’V

k"

Mi

Oi

iw"

\!

Kg. 280.

DadieEbenenr M und zN sich gleich schnell nach entgegengesetzten Seiten drehen, muß die Halbierungsebene des von ihnen gebildeten Winkels fest liegen. Nehmen wir nun z in der Aufrißebene vertikal (Fig. 280), während eine der genannten Halbierungsebenen senkrecht zur Aufriß-

an

ebene sei, so beschreibt M den horizontalen Kreis ni mit dem Mittelpunkt 0 und N den horizontalen Kreis n mit dem Mittelpunkt 0X, den wir in der Grundrißebene annehmen können. Da aber das Verhältnis

0, M' 0₁N

OM" _ OxM OxN" ~ Ö₁N'

konstant ist, muß M"N" durch einen festen Punkt B" gehen, also scheidet MN eine feste Linie, die senkrecht zum Aufriß ist. Ebenso erkennen wir, daß MN eine zur trennenden Achse parallele feste Linie schneidet. Die auf die angegebene Weise erzeugte Fläche wird eine Normalfläche der beschriebenen Art, wenn die Kreise m und n nicht gleich groß sind. Der Kegel, von welchem die Fläche eine Normalfläche ist, hat seine Spitze in C in dem Mittelpunkt der Kugel, die man durch die Kreise m und n legen kann. Die Projektionen des Mittelpunktes dieser Kugel auf die vier singulären Erzeugenden liegen nämlich in einer Ebene mitten zwischen m und n. Die Ellipse /c, welche die Grundrißkurve des Kegels bildet, liegt also in der Mitte zwischen m und n und ihre Halbachsen werden gleich der halben Summe und halben Differenz der Radien der gegebenen Kreise.

¹

   Frezier, Coupe des pierres, liv. IV, chap.VII. Straßburg 1739.

²

   Das Wort hat leider heutzutage verschiedene Bedeutungen. In der Mechanik wird darunter nach dem Vorschläge von Cayley ein gewisses gerades Konoid verstanden (Plückersches Konoid, vgl. Rohn-Papperitz, Lehrbuch d. darst. Geom. 3. Aufl. 1906, Bd. III,

S. 233), von dem die Leitlinie b eine Seitenlinie und die Leitkurve a ein ebener Schnitt eines geraden Kreiszylinders ist.

Aus der Betrachtung der Grundrißprojektion der Figur kann man sofort folgenden Satz der ebenen Geometrie ableiten: Wenn zwei Punkte in der Ebene konzentrische Kreise mit gleich großen, aber entgegengesetzten Winkelgeschwindigkeiten durchlaufen, so ist ihre Verbindungslinie beständig normal zu einer festen Ellipse, deren Achsen die Summe und die Differenz von den Badien der gegebenen Kreise sind.

Mit Hilfe der gefundenen Erzeugung der Normalfläche zeigt man leicht, daß die Zentralprojektion der Fläche aus einem beliebigen Punkt der Achse auf eine Ebene senkrecht zur Achse eine Ellipsenevolute bildet.

Weiter erkennt man, daß der Zylinder, den man der Fläche in irgendeiner Richtung senkrecht zur Achse umschreibt, hyperbolisch ist. Denn eine Ebene TT, welche die Erzeugende MN enthält und zu der gegebenen Richtung parallel ist, schneidet den Kreis m in einem neuen Punkt Mx, und die Ebene enthält dann auch die Linie M₁N-, es hat aber MMX konstante Richtung, und da M und ArKreise mit gleich großen, aber entgegengesetzten Winkelgeschwindigkeiten durchlaufen, müssen Mx und N sie mit gleichen und gleichgerichteten Geschwindigkeiten durchlaufen. Hieraus folgt, daß MXN ein Umdrehungshyperboloid durchläuft (vorausgesetzt, daß MtN die Achse nicht schneidet), und da TT die Gerade MtN enthält, wird sie eine Tangentialebene des Hyperboloids. Hie gesuchte Zylinderfläche ist also einem Hyperboloid umschrieben, und deshalb hyperbolisch. Die senkrechte Projektion der Normal flache auf eine Ebene, die der Achse der Flüche parallel ist, ivird demnach eine Hyperbel.

317. Errichtet man in der Spitze eines gegebenen Kegels die Lote auf seinen Tangentialebenen, so entsteht ein neuer Kegel, den man den Normalkegel (Polarkegel) des ursprünglichen nennt. Dieser ist umgekehrt der Normalkegel von jenem. Eine beliebige Normalfläche des festen Kegels hat den andern Kugel zum Richtungskegel, und ihre Zentralebenen gehen alle durch die Spitze des Kegels hindurch. Die Striktionslinie der Normalfläche wird also die Berührungskurve eines umschriebenen Kegels, dessen Spitze in die Spitze des gegebenen Kegels fällt.

Dreizehntes Kapitel.

Schraubenflächen und topographische Flächen.

Allgemeine Schraubenflächen.

318.    Eine Schrauben fläche wird von einer Kurve 1c erzeugt, die man um eine feste Achse schraubt. Die Schraubung ist durch die Achse, die Ganghöhe und den Schraubensinn vollständig bestimmt. Da jede der Schraubenlinien, die von den Punkten der erzeugenden Kurve beschrieben wird, sich bei der Schraubung in sich seihst verschiebt, kann man dasselbe von der ganzen Fläche sagen, so daß diese von jeder Kurve erzeugt werden kann, die alle Schraubenlinien trifft. Als besondere Kurven auf der Schraubenfläche merke man sich die Grundkurven (ebene Schnitte senkrecht zur Achse) und die Meridiankurven (ebene Schnitte durch die Achse). Bei einer abwickelbaren Schraubenfläche ist die Grundkurve eine Kreisevolvente, die Form der Meridiankurve haben wir ebenfalls bereits untersucht (288). Eine Schraubenfläche mit kreisförmiger Grundkurve heißt eine gewundene Säule.

Die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt P der erzeugenden Kurve k bestimmt man durch die Tangenten von k und der von P beschriebenen Schraubenlinie (vgl. 203). Diese Bestimmung kann indessen nicht benutzt werden, wenn die genannten Tangenten zusammenfallen. Dieser Fall ist aber ausgeschlossen, wenn k eine Grundkurve oder Meridiankurve ist.

Längs jeder Schraubenlinie auf der Fläche kann man eine berührende abwickelbare Schraubenfläche legen, diese wird von allen auf der Schraubenlinie berührenden Tangentialebenen umhüllt. Diese abwickelbare Fläche kann insbesondere eine umschriebene Zylinderfläche werden.

319.    Im folgenden nehmen wir an, daß die Fläche rechtsgängig ist, und eine Grundkurve g in der Grundrißebene liegt, die Achse a der Fläche also vertikal ist. Die Schnittkurve der Fläche mit irgendeiner schiefen Ebene kann man bestimmen, indem man in der Ebene eine Reihe horizontaler Linien zieht, diese in die Grundrißebene niederschraubt, ihre Schnittpunkte mit g bestimmt und dann die gefundenen Schnittpunkte zurückschraubt.

deren

2x

0,v

-rs.

■a-

v>

Fig. 281.

Die Berührungskurve einer der Schraubenfläche umschriebenen Zylinderfläche Seitenlinien die Richtung s haben (Fig. 281), findet man durch Anwendung des früher bewiesenen Satzes über die Bahnnormalen bei der Schraubenbewegung (291). Da von allen Bahnnormalen, die senkrecht zu s sind, die Grundrißprojektionen durch 0 gehen (a 0 _L a'&j), so gehen auch von den Normalen der Schraubenfläche in den Punkten der gesuchten Berührungskurve die Grundrißprojektionen durch 0. Da gleichzeitig die Flächennormale in einem beliebigen Punkt sich im Grundriß als die Normale der Grundrißprojektion der durch den Punkt gehenden Grundkurve darstellt, so handelt es sich nur darum, aus 0 die Normalen auf die Grundrißprojektionen der Grundkurven zu fallen, die Fußpunkte dieser Normalen bilden dann die Grundrißprojektion der gesuchten Berührungskurve.

Ist g wie in Fig. 281 ein Kreis mit dem Mittelpunkt A, so liegen die Endpunkte B und Bx des durch 0 gehenden Durchmessers auf der Grundrißprojektion der Berührungskurve k. Dreht man g um a und zieht beständig den Durchmesser durch 0, so wird die Grundrißprojektion der ganzen Berührungskurve bestimmt. Da AB konstante Länge hat, kann die Tangente t von k mit Hilfe des momentanen Drehpols Ot leicht bestimmt werden.

Wenn g kein Kreis ist, kann man, nachdem B gefunden ist,, die Tangente von k bestimmen, indem man für einen Augenblick g durch seinen Krümmungskreis in B ersetzt. Wenn man die Lote aus 0 auf die Grundrißprojektion der Grundkurve nicht leicht fällen kann, wählt man eine Reihe von Punkten auf g und zeichnet die Normalen der Grundkurve in diesen Punkten. Darauf dreht man jeden der Punkte um a so lange, bis die zugehörige Normale durch 0 geht. Die so gefundenen Punkte gehören dann alle zu der Grundrißprojektion der Berührungskurve.

320. Da der umschriebene Zylinder die durch die Punkte der Berührungskurve gehenden Grundkurven berührt, berührt seine Grundrißspur die Parallelprojektionen der Grundkurven auf die Grundrißebene in der Richtung s, und diese Projektionen kann man erzeugen, indem man sich g zusammen mit einem Kreis (mit dem Mittelpunkt a und demRadius a S^) bewegen läßt, wenn dieser Kreis auf einer Linie durch 0 parallel zu s rollt (vgl. 290). Die Spur der Zylinderfläche wird so die Hüllkurve für die verschiedenen Lagen von g bei dieser Bewegung.

Gerade Schraubenfläclieii.

321. Eine Schraubenfläche, deren Erzeugende eine zur Schraubenachse a senkrechte Linie f ist, ist immer windschief. Nehmen wir(Fig. 282 a) die Achse vertikal an, so ist die horizontale Ebene eine Richtungsebene der Fläche, die Asymptotenebenen sind horizontal, die Zentralebenen vertikal, und die horizontale Projektion der Striktionslinie fällt mit dem Umriß der Fläche zusammen. Die Striktionslinie wird deshalb die von dem der Achse am nächsten gelegenen Punkt C von f beschriebene Schraubenlinie. Den Parameter CM für die Erzeugende /■findet man folgendermaßen: die Normale in M soll einen Winkel von 45° mit der Grundrißebene bilden. Die Grundrißprojektion einer solchen Normalen muß durch einen Punkt 0 gehen, der so liegt, daß

a 0 || f und a' 0 = ₂~ (gleich der reduzierten G-anghöhe h) wird

(319). Die Horizontalprojektion der gesuchten Normale OM ist dann _L f\ man sieht also, daß der Parameter in allen Fällen

m"

dL

a"

f"

s'N'

~r

Fig. 282 a.

gleich der reduzierten Ganghöhe ist. Hier-k aus findet man leicht die Tangentialebenen \ in den verschiedenen Punkten von f. Trägt man C'T = hJ_f' ab, so wird ^fiTN'C’ / gleich dem Winkel, den die Tangentialebene im Punkte Ar mit der Grundrißebene bildet.

ft

Fig. 282 b.

Die Berührungskurve h einer umschriebenen Zylinderfläche bestimmt man durch direkte Anwendung der allgemeinen Methode (319). k' wird so die Fußpunktkurve des horizontalen Umrisses der Fläche. Man vergleiche Fig. 2 8 2 b7 wo a' und 0 dieselbe Bedeutung haben wie in Fig. 281.

\a.

von k' ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel Aa B'. k ist also eine Schraubenlinie mit der Ganghöhe ^-77; die Wendelfläche enthält

322. Wenn f die Achse a schneidet, wird die Fläche eine Wendelfläche (ein besonderes Konoid), k' wird dann ein Kreis und k eine Schraubenlinie. Dies erkennt man folgendermaßen (Fig. 283 a): k liegt auf einem Rotationszylinder mit der Grundfläche k\ und wenn ein Punkt sich auf k von A bis B bewegt, so wird die Steigung B'B dieselbe wie bei der Wendelfläche, während die Drehung um die Achse der Zylinderfläche doppelt so groß ist wie die Drehung der Erzeugenden f um a, denn der Zentriwinkel AMB'

a\

unendlich viele Schrau- f "T7 benlinien, deren Achse \ jjFß'    von a verschieden ist,

A k'

Fig. 283 a.

Fig. 283 b.

indem jeder Botations-zylinder durch a die Fläche in einer Schraubenlinie schneidet.

Die Wendelfläche kommt in der Praxis häufig vor, sie wird z. B. als Begrenzungsfläche für flachgängige Schrauben (Fig. 283b) benutzt. Die vorspringenden Kanten der Stufen einer Wendeltreppe sind die Erzeugenden einer Wendelfläche, auch die Unter-

fläche einer Wendeltreppe ist gewöhn- ; lieh eine Wendelfläche. Schließlich \a wollen wir anführen, daß die Wölbung unter einer schrägen Brücke häufig aus Steinen gebildet wird, die die in Fig. 284 angegebene Form haben. Jeder Stein wird begrenzt von zwei Rotationszylinderflächen AB CD und Ax Bx C₁D₁ mit der Achse a (der Achse der Wölbung) und vier Wendelflächen AB AxBl, CD C₁D₁, B CBx Cx und AD AxDx, alle mit der Achse a. Die Wölbung kann dann aus kongruenten Steinen gebaut werden, nur an den Stirn- und Kämpferflächen muß die Form verändert werden.

A, A

WM ")B

Fig. 284.

Schiefe Schraubenflächen.

323. Wenn man eine gerade Linie f um eine Achse a schraubt, die zu f weder parallel noch senkrecht ist, wird die erzeugte Fläche entweder abwickelbar oder windschief. Die Bedingung dafür, daß sie windschief wird, ist die, daß die Schraubenlinie, die der a am nächsten gelegene Punkt von f beschreibt, f berührt. In Fig. 285 a, wo a vertikal und f eine Frontlinie ist, ist diese Bedingung nicht erfüllt, so daß die Fläche windschief wird. Der Bich tun gskegel der Fläche ist ein Rotationskegel mit vertikaler Achse, also ist die Asymptotenebene für f senkrecht zum Aufriß und die Zentralebene vertikal. Der Zentralpunkt wird der Punkt C von f. der a am

fl/

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2.r

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1 «CÜ >•

Fig. 285 a.

's""

nächsten liegt, die Tangentialebene in diesem Punkt wird nämlich durch f und die von C beschriebene Schraubenlinie bestimmt und ist mithin vertikal. Die Striktionslinie c ist daher die von C beschriebene Schraubenlinie. Man findet leicht neue Erzeugende der Fläche, indem man f um einfache Bruchteile eines Schraubenganges herumschraubt. In der Figur ist eine Erzeugende /j mit dem Zentralpunkt Cx gefunden, indem f um % Schraubengang herumgeschraubt wurde.

Man kann nun eine abwickelbare Schraubenfläche mit derselben Achse und derselben Ganghöhe wie die gegebene Fläche und mit einer Erzeugenden g: die parallel zu f ist und dieselbe Aufrißprojektion hat wie f bestimmen. Der Abstand der Linie g von a ist gleich dem Radius der Grundfläche des Richtungskegels, wenn man die Höhe des Richtungskegels der reduzierten Ganghöhe gleich macht. Die so gefundene abwickelbare Fläche wird die Asymptotenfläche der gegebenen Fläche.

Statt das System fg um a so zu schrauben, daß f die gegebene Schraubenfläche und g die abwickelbare Schraubenfläche beschreibt, kann man auch g die abwickelbare Fläche durchlaufen und f so folgen lassen, daß die Linie des kürzesten Abstandes von a und g beständig f schneidet. Daraus folgt, daß man die windschiefe Fläche dadurch erzeugen Hann, daß man sich f mit einer vertikalen Ebene durch g fest verbunden denkt und diese Ebene auf einem vertikalen Zylinder rollen läßt, dessen Grundrißspur u' ist. Alle Grundkurven der windschiefen Schraubenfläche sind also uneigentliche Kreisevolventen, deren Grundrißprojektionen dadurch erzeugt werden, daß alle Punkte von f' der Linie g' folgen, wenn diese

_ auf u rollt. Da die Flächennormale in

einem Punkt dieselbe Grundrißprojektion hat wie die Normale der Grundrißkurve in diesem Punkt, sieht man, daß die Grundrißprojektionen der Flächennormalen längs f durch den Punkt U' gehen. Geht man zu einer anderen Erzeugenden f\ über, so gehen die Grundrißprojektionen der Normalen durch einen neuen Punkt Uf.

Fig. 3S5 b.

Die Tangentialebene im Punkte P von f kann man nun bestimmen: ihre

Grundrißspur et geht durch die Grundrißspur der Erzeugenden und ist senkrecht zu der Grundrißprojektion P' U' der Normalen in P. Da die Ebene ff" eine Asymptotenebene ist, wird f" eine Asymptote des Umrisses der Aufrißprojektion. Der Punkt Q", in dem ff den Umriß berührt, ist die Aufrißprojektion des Berührungspunktes Q der Ebene fff, und da die Normale von Q sonach eine Frontlinie ist, wird Q'U₁/ parallel zur trennenden Achse und Q läßt sich leicht bestimmen.

Scharf gängige Schrauben (Fig. 285 b) werden von schiefen Schraubenflächen begrenzt, deren Erzeugenden die Achse schneiden. Die Grundkurve einer solchen Fläche ist eine archimedische Spirale, d. h. eine Spirale, bei welcher die Zunahme des Radiusvektor der Drehung proportional ist.

324. Die Berührungskurve einer umschriebenen Zylinderfläche von der Richtung s ist der geometrische Ort der Punkte, deren Normalen senkrecht zu s sind, die Grundrißprojektionen dieser Normalen müssen also durch den Punkt 0 gehen, den man wie in Fig. 281 bestimmt.

OVl"

<ß 71

!/

u’

Fig. 28G.

Der Punkt R von f, der mit zur Berührungskurve gehört, muß eine Normale haben, deren Grund- / rißprojektion durch U' und 0 geht, j R' ist deshalb der Schnittpunkt > von f' und U' 0. Auf ähnliche Weise findet man Punkte der Berührungskurve auf den anderen Erzeugenden. In Fig. 286 ist die Grundrißprojektion der Berührungskurve näher bestimmt. Eine Linie l durch 0 schneide u' in A und At. Die zugehörigen Punkte von c' seien B und B₁, die Tangenten in diesen Punkten schneiden dann l in zwei Punkten P und P₁ der gesuchten Kurve. Der Mittelpunkt M von PPX liegt auf dem Kreis m über Oa' als Durchmesser. Hat man den Kurvenast gezeichnet, den P durchläuft, so kann man demnach leicht den von Px durchlaufenen Ast finden. Die Kurve wird von der Linie Oa symmetrisch geteilt, und Q und R sind Scheitelpunkte der Kurve. P gelangt nach 0, wenn B der Berührungspunkt einer Tangente aus 0 an c' wird. Wenn also 0 wie in der Figur außerhalb von c liegt, bekommt die Kurve einen Doppelpunkt in 0. Die Tangenten im Doppelpunkte findet man als die Grenzlagen der Linie l, wenn

B sich einem der Schnittpunkte von m und c nähert. Wenn P auf den Kreis m, aber nicht nach 0 fällt, fällt Pt mit P zusammen, und die Kurve erhält dort wieder einen Doppelpunkt. Die so bestimmten Doppelpunkte findet man als die Schnittpunkte von m mit einem Kreis um den Mittelpunkt a', dessen Radius gleich Ya'P ■ a'S ist. Unendlich ferne Punkte der Kurve findet man in den Richtungen, die durch die aus 0 an u gelegten Tangenten gegeben werden.

Wenn 0 innerhalb von u' liegt (also s mit a einen kleineren Winkel bildet als f\ enthält die Kurve keine unendlich fernen Punkte. Liegt 0 auf a', ist also s einer Erzeugenden der Fläche

0^'

r-

-'1

Fig. 287.

parallel, so löst sich die Kurve auf in eine gerade Linie p (die Grundrißprojektion der Erzeugenden, die s parallel ist) als geometrischen Ort von P und eine sogenannte Stro-phoide als geometrischer Ort für Px. Die Stro-phoide wird aus 0, p und dem Kreis m auf folgende Weise konstruiert (Fig. 287): Man nimmt einen PunktP auf p an und schneidet OP mit m in M. Trägt man nun MP₁ — PM ab, so findet man einen Punkt der gesuchten Kurve. Wenn P sich ins Unendliche entfernt, nähert sich M dem Punkt 0, und der Abstand zwischen Px und p konvergiert nach 2 0 A. Man findet deshalb eine Asymptote der Stro-phoide parallel zu p im Abstand OH = AO von 0.

Topographische Flächen.

325. Bei der Darstellung eines kleineren Teiles der Erdoberfläche (einer topographischen Fläche) in einer Karte benutzt man ein einfaches Verfahren, indem man sich jeden Punkt durch seine Projektion auf eine horizontale Projektionsebene und durch eine beigeschriebene Zahl, welche die Höhe dieses Punktes über dieser Ebene angibt, die sogenannte Kote, bestimmt denkt. Zu jeder solchen Projektion (kotierter Projektion) gehört ein bestimmter Maßstab, mit dessen Hilfe alle Abstände der Karte zu messen sind. Eine gerade Linie kann durch die Projektionen und die Koten für zwei beliebige Punkte der Linie gegeben werden. Man kann dann leicht die Kote für irgendeinen Punkt der Linie berechnen, wenn die Projektion des Punktes gegeben ist, ebenso kann man umgekehrt einen Punkt der Linie mit gegebener Kote bestimmen, indem man beachtet, daß für zwei beliebige Punkte der Linie ein konstantes Verhältnis zwischen dem Abstand der Projektionen und dem Höhenunterschied der Raumpunkte besteht. Dieses Verhältnis (der Tangens des Winkels, den die Linie mit der Vertikalen bildet) kann durch die Länge i des Stückes der Projektion angegeben werden, dem auf der Linie selbst der Höhenunterschied 1 entspricht, diese Länge i heißt das Intervall der Linie. Eine Projektion der Linie mit Angabe einer Reihe von Punkten, deren Höhen aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind, heißt der Böschungs-oder G-efüllmaßstab (oder Maßstab) der Linie.

326. Eine beliebige Kurve wird angenähert durch ihre Projektion und die Koten für eine Reihe Punkte auf ihr dargestellt. In der Regel wählt man die Punkte so, daß zwei aufeinanderfolgende konstante Höhenunterschiede haben. In Fig.

'El

288 ist eine Kurve 7c dargestellt, die in einer vertikalen Ebene liegt und deren horizontale Projektion deshalb eine gerade Linie 1:' ist; auf der Kurve sind gegeben die Punkte 1, 2, 3,

A'i

"3/4/5

Fig. 288.

4,5,6 und 7. Von dem Punkt A in der Höhe 1, der der Kurvenebene an- rij gehört, wollen wir eine Tangente an die Kurve ziehen. Dies können wir durch Umklappung ausführen; A gelange dabei nach Al5 h nach 7cl5 die gesuchten Tangenten bestimmt man dann durch graphische Konstruktion. Die Berührungspunkte sind in der Umklappung Bx, Cx, D₁ und Ev Ohne Umklappung kann man die Aufgabe auf folgende Weise lösen. Durch A ziehen wir eine schräge Linie a. Wenn wir nun annehmen, daß die gesuchte Tangente t nicht horizontal ist, bestimmen a und t eine Ebene, deren horizontale Linien (Höhenlinien) a und t schneiden, und indem wir nun t als eine Sekante auffassen, die Je in zwei einander nahe benachbarten Punkten schneidet,

finden wir auch in der Ebene ta zwei einander nahe benachbarte Höhenlinien, die die Kurve schneiden. Man kann nun alle die Höhenlinien 1 1, 2 2, 3 3, . . ., die k und a schneiden, konstruieren, und es handelt sich darum, zu erkennen, wo zwei aufeinanderfolgende Linien nahezu parallel sind. Man erkennt aus der Figur, daß in der Nachbarschaft von 5 5 ein Übergang stattfindet zwischen Linien, die nach einer Seite, und solchen, die nach der anderen Seite konvergieren. Deshalb muß der gesuchte Punkt in der Nähe dieser Linie liegen. Weiter sieht man, daß 2 2 und 3 3 einander nahezu parallel sind, ebenso 6 6 und 7 7, so findet man die anderen Lösungen. Diese Methode kann man ohne wirkliche Ausführung der angegebenen Hilfskonstruktion anwenden, indem a durch einen beweglichen Maßstab ersetzt werden kann, und mit Hilfe eines Lineals kann man leicht. ermitteln, welche der Linien 11, 2 2, 33 . . . in Betracht kommen.

327. Eine schiefe Ebene kann durch ihre Höhenlinien, die ja parallel sind und deren Projektionen also auch parallel werden, dargestellt werden. Zwei der Linien sind hinreichend zur Bestimmung der Ebene. Es ist indessen einfacher, die Ebene durch eine Fallinie darzustellen, also eine Linie, welche die Höhenlinien rechtwinklig schneidet. Der Gefällmaßstab der Fallinie heißt auch der Böschungs- oder Gefällmaßstab (oder Maßstab) der Ebene und bestimmt diese vollständig. Er wird zum Unterschied von der Darstellung der Geraden doppelt ausgezogen. Die Schnittlinien zweier Ebenen bestimmt man durch horizontale Hilfslinien. Dies kann man indessen nicht tun, wenn die Höhenlinien der Ebene parallel sind, aber in diesem Falle ist die Schnittlinie der Ebene, wenn sie überhaupt existiert, wieder eine Höhenlinie. Die Maßstäbe der Ebenen sind dann parallele und ähnliche Punktreihen, bei denen entsprechende Punkte gleiche Koten haben. Die Projektion der gesuchten Schnittlinie geht durch das Perspek-tivitätszentrum dieser Punktreihen hindurch.

Den Schnittpunkt einer geraden Linie mit einer Ebene findet man, indem man durch die Linie eine Hilfsebene legt. Sollen eine Linie und eine Ebene zueinander senkrecht sein, so müssen die Maßstäbe parallel sein und das Produkt der Maßzahlen der Intervalle = 1. Die Winkel, welche die Linie und die Ebene mit der Vertikalen bilden, sind nämlich komplementär und das Produkt ihrer Tangens also = 1.

328. Eine beliebige topographische Fläche wird durch eine Reihe Höhenkurven (Niveaukurven, d. h. Kurven, die durch Schnitte mit horizontalen Ebenen entstehen) dargestellt. Man wählt sie

gewöhnlich so, daß zwei aufeinanderfolgende Kurven konstanten Höhenunterschied haben. In Fig. 289 ist die Fläche durch die Höhenkurven 2, 3, 4, . . . dargestellt-, es finden sich drei Punkte mit horizontalen Tangentialebenen, nämlich die Punkte 9 und 10, in denen die Fläche konvex ist, und der Punkt P mit der Kote 4, in dem die Fläche unkonvex ist, weswegen sie die Tangentialebene an dieser Stelle in der Kurve 4 schneidet. Die Schnittkurve der Fläche mit einer schiefen Ebene bestimmt man dadurch, daß man die Schnittpunkte der Höhenkurven der Fläche mit den ent-

■12

10

fyl

6»'/

yf

■7

/b'

15

Fig. 389.

sprechenden Höhenlinien der Ebene sucht. Die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt kann man bestimmen durch die Tangente der durch den Punkt gehenden Höhenkurve und die Tangente an einen beliebigen ebenen Schnitt durch den Punkt.

Linien stärksten Falles oder kurz Fallinien heißen die Kurven der Fläche, welche die Höhenkurven rechtwinklig schneiden (abgesehen von Punkten mit horizontalen Tangentenebenen, wo ein besonderes Verhalten eintreten wird). Ihre Projektionen müssen auch die Projektionen der Höhenkurven rechtwinklig schneiden. Wasserscheide {Kammlinie) heißt die Grenze zwischen Teilen, welche das Wasser nach benachbarten Vertiefungen senden. Binn-linie (Tallinie-¹)) heißt die Linie, der sich das Wasser bei seinem Fall mehr und mehr nähert.

Um zu ermitteln, welche Teile der Fläche man von einem gegebenen Punkt A übersehen kann, muß man der Fläche einen Kegel mit der Spitze A. umschreiben (Fig. 289), man legt dann einen vertikalen Schnitt b, dessen Ebene durch den Punkt A geht, durch die Fläche und zieht von A die Tangenten an b, wie wir es oben angegeben haben. So findet man jedesmal einen Punkt B der gesuchten Berührungskurve.

Soll man durch eine schräge Linie a eine Tangentialebene an die Fläche legen, so zieht man aus den Punkten 5, 6, 7, . . . der Linie Tangenten an die zugehörigen Höhenkurven 5, 6, 7, . . . und unter den so bestimmten Linien sucht man die auf, die mit ihren Nachbarlinien näherungsweise parallel sind. Jede der so bestimmten Linien liegt dann in der Nachbarschaft einer der gesuchten Tangentialebenen. Findet man insbesondere unter den genannten Linien eine, welche den Übergang von Linien, die nach einer Seite konvergieren, zu Linien, die nach der entgegengesetzten Seite konvergieren, bildet, so muß diese Linie in der Nachbarschaft einer der gesuchten Tangentialebenen liegen. Soll man an die Fläche eine Tangentialebene durch eine gegebene horizontale Linie a legen, so zieht man parallel zu a die Tangenten an die Höhenkurven, und an die von diesen Tangenten gebildete Zylinderfläche legt man die Tangentialebene durch a. Dies geschieht, indem man in einer vertikalen Hilfsebene die Tangenten durch die Spur von a an die Spur der Zylinderfläche zieht.

Über kotierte Projektionen und deren Anwendungen vergleiche man ferner:

Gr. A. Y. Peschka, Kotierte Ebenen und deren Anwendungen, Brünn 1877. (Zweite Ausgabe 1882).

Chr. Wiener, Lehrbuch d. darst. Geom., Bd. I, Leipzig 1884. S. 25 (Historisches) u. S. 100—103, Bd. II, Leipzig 1887, S. 388—402.

J. de la Gournerie, Discours sur l’art du trait, Paris 1855; Geometrie descriptive, Seconde Edition, löre partie, Paris 1873, Liv. III, 3öme partie, Paris 1864, Liv. X.

M. d’Ocagne, Cours de Geometrie descriptive et de Geometrie infinitesimale, Paris 1896, Chap. I.

Fr. Schilling, Uber die Anwendungen der darstellenden Geometrie, Leipzig u. Berlin 1904, S. 58—64.

Rohn-Papperitz, Lehrb. d. darst. Geom., 3. Aufl. Leipzig 1906,

III, S. 289.

R. Rothe, Darstellende Geometrie des Geländes (Math. Bibi., hrsg. v. Lietzmann u. Witting, XIV). Leipzig u. Berlin 1914.

¹

F. v. Dal.wigk, Vorlesungen über darstellende Geometrie 1, Leipzig u. Berlin 1911, S. 357.

Vierzehntes Kapitel.

Die Beleuchtung der Flächen. Schattenkonstruktionen.

329.    Um das Bild eines Gegenstandes anschaulich darzustellen, denkt man sich oft den Gegenstand beleuchtet (in der Eegel durch parallele Lichtstrahlen) und stellt in der Zeichnung die Wirkungen dar, die diese Beleuchtung hervorbringt. Die erste und wichtigste dieser Wirkungen ist die, daß die Oberfläche des Gegenstandes in einen beleuchteten und einen unbeleuchteten Teil zerfällt. Die Grenze zwischen den beiden Teilen, die Eigenschattenlinie, ist bei konvexen Körpern die Berührungskurve eines umschriebenen Kegels, dessen Spitze im Ausgangspunkt der Lichtstrahlen liegt, oder eines umschriebenen Zylinders, wenn die Lichtstrahlen parallel sind.

Der Teil des Raumes, der von den Verlängerungen aller der Lichtstrahlen ausgefüllt wird, die von der Oberfläche des Körpers aufgefangen werden, bestimmt den Schattenraum des Körpers, und wenn eine Ebene (oder eine andere Fläche) diesen Schatten durchsetzt, entsteht ein sogenannter Schlagschatten des Körpers auf der Ebene (oder Fläche). Bei einem unkonvexen Körper können einzelne Teile von diesem ihren Schlagschatten auf andere Teile des Körpers werfen. Auch die Randkurve einer Fläche kann den Schatten auf die Fläche selbst werfen.

330.    Bei der Darstellung in Grund- und Aufriß benutzt man oft mit Vorteil eine Strahlenrichtung, deren Projektionen beide einen Winkel von 45° mit der trennenden Achse bilden, das Licht denkt man sich von vorne oben links kommend. Die Lichtstrahlen fallen dann in die Richtung der einen Diagonale eines Würfels, dessen Seitenflächen den Projektionsebenen parallel sind, und auch die Seitenrißprojektion bildet einen Winkel von 45° mit der trennenden Achse. Die Lichtstrahlen sind parallel zu der Halbierungsebene I des von den positiven Teilen der Grund- und Aufrißebene gebildeten Winkels. Die Lichtstrahlenebene für eine Linie a,

20

Timerding, Handbuch II

die parallel zu I ist, wird ebenfalls parallel zu J, und der Schatten von a auf irgendeiner Fläche hat Projektionen, die zu der Symmetrieachse der Projektionen a und a" symmetrisch sind (43).

c“

a"

b'

a\

Sucht man z. B. den Schatten einer Linie a, die zur trennenden Achse parallel ist, auf einer vertikalen Zylinderfläche mit der Grundrißspur Je (Fig. 290), so konstruiert man die Aufrißprojektion at" des Schattens symmetrisch zu Je bezüglich der Linie s, die in der Mitte zwischen a und a" verläuft. Die Schatten \ und c₁₅ von zwei Linien b und e, von denen die erste senkrecht zur Aufrißebene, die zweite senkrecht zur Grundrißebene ist, werden im Aufriß durch die zwei geraden Linien bx" und c ” dargestellt.

br

Fig. 290.

Den Schatten einer beliebigen Kurve, die in der Frontebene durch a liegt, kann man dadurch finden, daß man von a{' aus die senkrechten Abstände der Kurvenpunkte von a in der wahren Größe abträgt. Den Schatten einer Kurve, der in einer beliebigen vertikalen Ebene liegt, kann man auf ähnliche Weise finden, indem man zuerst den Schatten einer Linie der Ebene, die parallel zu I ist, bestimmt.

331. Wenn eine Fläche von einer Bandkurve r begrenzt ist, die einen Schatten s auf die Fläche wirft, so ist es von besonderer Bedeutung, die Punkte von s zu finden, die auf r fallen, und darauf die Tangenten des Schattens in diesen Punkten zu bestimmen. Die Punkte selbst findet man daraus, daß ihre Tangentialebenen durch den leuchtenden Punkt gehen müssen, sie gehören also mit zu der Eigenscbattenlinie der Fläche. Ist die Fläche eine Kegelschnittfläche und die Kurve r eben, so kann man die gesuchten Punkte finden als die Schnittpunkte von r und der Polarebene des leuchtenden Punktes, oder: Durch die Spitze des längs r umschriebenen Kegels legt man einen Lichtstrahl, und aus dessen Spur in der Ebene von r zieht man die Tangenten an r, die Berührungspunkte sind dann die gesuchten Punkte.

Um die Tangente des Schlagschattens in einem der gefundenen Punkte zu bestimmen, benutzt man folgenden Satz: Die Tangen-

ten der Randkurve und ihres Schlagschattens sind mit dem Lichtstrahl und der in dem betreffenden Punkte an die Eigenschattenlinie gezogenen Tangente harmonisch verbunden. Wir wollen den Beweis dieses Satzes nur unter der Voraussetzung führen, daß die Fläche eine Kegelschnittfläche ist. In diesem Falle entsprechen r und s einander in einer involutorischen Perspektiven Kollineation, deren Zentrum der leuchtende Punkt und deren Kollineationsebene die Polarebene dieses Punktes bezüglich der Fläche ist. Der Satz folgt dann daraus, daß die Tangenten von r, s in dem betrachteten Punkt einander entsprechen, und die Tangente der Eigen schatten-linie in der Kollineationsebene liegt.

In Fig. 291 ist eine Paraboloidkalotte dargestellt, deren Achse OA senkrecht auf der Aufrißebene steht und deren horizontale Meridiankurve m ist. Die Kalotte wird von dem Parallel- S kreis r begrenzt. Wir beleuchten sie durch Strahlen, deren Projektionen einen Winkel von 45° mit der trennenden Achse bilden, und suchen den Schlagschatten s der Randkurve. Der Kegel, der das Paraboloid längs r berührt, hat die Spitze T{AT =

OA). Der Lichtstrahl durch T schneide die Ebene der Randkurve in S. Die Polare von S bezüglich r geht durch die beiden Punkte P und Q, in denen der Schatten beginnt. Da die Polarebene des leuchtenden unendlich fernen Punktes senkrecht zur Aufrißebene ist und die Linie PQ enthält, ist P" Q" die Aufrißprojektion der Tangenten der Eigenschattengrenze in P und Q. Aus dem Satz über die Tangente des Schlagschattens folgt dann, daß die Tangenten von s" in ,

P” und Q" bezüglich der Achse P" Q" symmetrisch zu den Tangenten von r" in denselben Punkten sind. Da nun gleichzeitig s ein Kegelschnitt ist und seine Aufrißprojektion ein Kreis wird, ist s" ein Kreis, der zu r" bezüglich P" Q" symmetrisch ist.

Ist 0₁ das Zentrum von s", so hat man:

;/,-s

Q"

\(h /

m< v

p\

T'?\\

vKo

' ; m\\

0 r’

Pig. 291.

0"0 = 2 - 0"M = 2 ⁽⁰ ^i- = 2    ⁾ \ ₌ O'R • ]/2

¹    0 S    O'T'yz

20*

indem B'B die Normale von m in B' bezeichnet. Hierdurch kann man 0₁ leicht bestimmen und s" sofort zeichnen.

332. Zur Konstruktion des Schlagschattens einer Kugel auf eine Ebene kann man benutzen, daß die Brennpunkte der Schlagschattengrenze, die natürlich ein Kegelschnitt wird, die Schlagschatten der Endpunkte des auf der Ebene senkrechten Kugeldurchmessers werden. Man sieht nämlich sofort, daß von dem Schlagschatten der Kugel auf eine Tangentialebene der eine Brennpunkt in dem Berührungspunkt der Tangentialebene liegt, und wenn die Ebene parallel verschoben wird, wird der Schlagschatten ähnlich und ähnlich liegend zu dem ursprünglichen.

Eine ausführliche Behandlung der Schattenkonstruktionen mit vielen praktischen Anwendungen findet man in dem Werke:

J.-J. Pillet, Tratte de perspective lineaire. Paris 1901, l^repartie. Man vergleiche ferner, außer den früher zitierten Lehrbüchern: Emil Müller, Lehrbuch der darstellenden Geometrie !. Leip

zig 1908.

J.    Hempel, Schattenkonstruktionen. Leipzig 1906.

K.    Volland, Technische Schattenkonstruktionen. Leipzig 1909.

Beleuchtungslinien.

333. Wir denken uns den Baum durch parallele Lichtstrahlen so beleuchtet, daß eine Ebene senkrecht zur Strahlenrichtung eine gleichmäßige Beleuchtung erhält. Die Beleuchtung, die man in einem beleuchteten Punkte der Fläche findet, ist dann proportional dem Kosinus des spitzen Winkels cc zwischen dem Lichtstrahl und der Normalen der Fläche in dem Punkte. Die Zahl i = 100 • cos ec heißt die Beleuchtungszahl in dem betrachteten Punkt. Der Teil der Fläche, der unbeleuchtet bleibt, wenn jede andere Beleuchtung als die gegebene ausgeschlossen ist, wird in Wirklichkeit von den zurückgeworfenen Lichtstrahlen bestrahlt, und man pflegt deswegen diesem Teil der Fläche eine Beleuchtungszahl zuzuschreiben, die einer Strahlenrichtung entgegengesetzt der gegebenen und einer halb so großen Lichtstärke wie die gegebene entspricht. In dem Punkte, wo der Winkel der Normalen mit der dem Lichtstrahl entgegengesetzten Richtung der spitze Winkel ec ist, setzt man also die Beleuchtungszahl = 50 • cos cc.

EineKurve, die alle Punkte der Fläche mit gleicherBeleuchtung enthält, heißt eine Beleuchtimgslvnie oder Isophote. Die Beleuchtungslinie ist also der geometrische Ort für die Punkte der Fläche, deren Normale einen gegebenen Winkel mit der Lichtrichtung bildet.

Ist die Fläche eine Kugel, so erfüllen die Normalen, die einen gegebenen Winkel cc mit der Lichtrichtung bilden, einen Rotationskegel, dessen Achse der durch den Mittelpunkt gehende Lichtstrahl ist, und dieser Kegel schneidet den beleuchteten Teil der Kugel in einem kleinen Kreis, der sonach die der Beleuchtungszahl 100 • cos cc entsprechende Linie wird. Die Beleuchtungszahl 100 findet man nur in einem Punkte, nämlich da, wo der Lichtstrahl durch den Mittelpunkt den beleuchteten Teil der Kugel schneidet. Teilt man den nach diesem Punkt hingehenden Radius in zehn gleich große Teile, dann schneiden die durch die Teilpunkte senkrecht zu dem Radius gelegten Ebenen die Kugel in den Beleuchtungslinien 10, 20, . . . 90. Die Beleuchtungslinie 0 ist die Eigenschattengrenze.

Die Beleuchtungslinien auf den abwickelbaren Flachen sind

Gerade.

334.    Auf dem vertikalen Rotationszylinder, dessen Grundrißspur k ist (Fig. 292), kann man die Beleuchtungslinien dadurch finden, daß die Punkte von k dieselbe Beleuchtung auf dem Zylinder haben müssen wie auf der Kugel,

's

Fig. 292.

von welcher k ein größter Kreis ist. Man ß/ kann die Konstruktion deshalb folgendermaßen ausführen: Durch den Mittelpunkt 0 von k zieht man den Lichtstrahl s mit der Grundrißprojektion s. Den Lichtstrahl legt man um s in die Grundrißebene um als sn und den Radius OS von der auf sn fallt, teilt man in zehn gleich große Teile. In jedem der Teilpunkte, z. B. in errichtet man ein Lot auf sn und in dessen Schnittpunkt A₁ mit s' wieder ein Lot auf s bis zum Schnitt mit k. Von diesen Punkten ist dann die Beleuchtung bekannt. So haben in Fig. 292 die Punkte B,C die Beleuchtung 30.

Die Beleuchtungslinien auf einem beliebigen vertikalen Zylinder bestimmt man, indem man zuerst die Beleuchtungslinie auf dem vertikalen Rotationszylinder sucht, dessen Grundkreis k den Radius OS = 100 mm • cos (s s) hat, wodurch man erreicht, daß der Abstand OAx in Millimetern gemessen sofort die Beleuchtungszahl für B und C angibt. Darauf benutzt man, daß die Berührungslinien für parallele Tangentialebenen der beiden Zylinder dieselbe Beleuchtung haben.

335.    Die Beleuchtungslinien eines Rotationskegels (Fig. 293)

kann man mit Hilfe einer Kugel finden, welche den Kegel längs des Grundkreises k berührt. In den Punkten, die auf k liegen, haben nämlich Kugel und Kegel dieselbe Beleuchtung. Klappt man den durch den Kugelmittelpunkt 0 gehenden Strahl s in die Grundrißebene um, so falle er naehsn. Auf sn trage man OnAn gleich dem Kugelradius ab. Die Senkrechten auf OnAn mögen s in S und At schneiden, dann teile man SAt in zehn gleiche Teile, in jedem Teilpunkt, z.B. in Jf, errichte man ein Lot auf s' bis zum Schnitt mit k (in M₁ und Jf₂). In diesen Punkten ist dann die Beleuchtung bekannt und die Seitenlinien des Kegels durch M₁ und M₂ sind die zu dieser Beleuchtungszahl gehörenden Beleuchtungslinien. St und S₂ haben die Beleuchtung 0, 0St und 0S₂ bilden also die Eigenschattengrenze. Diese Punkte kann man auch direkt bestimmen, indem man durch die Spitze des Kegels einen Lichtstrahl zieht und durch dessen Grundrißspur die Tangenten an k legt, die Berührungspunkte dieser Tangenten sind dann Sl und S₂.

0"

\fr

Ms,

\\

\ \ i

x\

Mi

/s

Fig. 293.

336. Auf einer Umdrehungsfläche mit vertikaler Achse (Fig. 294) kann man die Beleuchtungslinien finden, indem man eine Hilfskugel mit dem Mittelpunkt 0 in der Aufrißebene und mit dem Radius — 100 mm-cos (s" s) einführt, wobei s den Lichtstrahl durch 0 bedeutet, s klappt man um s" in die Aufrißebene um als Sn und trägt auf s" 100 mm ab. Die Projektion dieser Strecke auf sn bestimmt den Radius der Kugel. Auf der Umdrehungsfläche wählen wir einen Parallelkreis k aus und suchen z. B. die Punkte auf k, die die Beleuchtungszahl x haben, k gehe durch den Punkt M des Hauptmeridians, und dessen Tangente in M sei ATT, die Normale MN. Auf der Hilfskugel suchen wir einen entsprechenden Kreis kv indem wir den Radius 0Mt parallel zu MN zeichnen. Die Tangentialebenen der Kugel längs kt sind dann parallel zu den Tangentialebenen der Umdrehungsfläche längs k. Trägt man

s"

'Sfb

AO

fcö

Bis'

V'

's

Mg. 294.

auf s" die Strecke OS = x mm ab, so schneidet eine Ebene

nun

durch S senkrecht zu s den Kreis Jex in zwei Punkten Ax und Bx mit der Beleuchtungszahl xi und zieht man NA und NB parallel zu OAx und OBx, so gelangt man und B auf k.

zu

den gesuchten Punkten A

Näheres über die Theorie und zeichnerische Anwendungen der Beleuchtungslinien findet man in folgenden Arbeiten:

L. Burmester, Theorie und Darstellung der Beleuchtung gesetzmäßig gestalteter Flächen, Leipzig 1871. Zweite Ausgabe 1875.

Fr. Tilser, Die Lehre der geometrischen Beleuchtungskonstruk-tionen, Wien 1862.

E. Koutny, Theorie der Beleuchtung krummer Flächen vom 2. Grade hei parallelen Lichtstrahlen, Brünn 1867.

zun

R. Niemtschik, Direkte Beleuchtungskonstruktionen usw. (Sit-gsberichte der Wiener Akad., Math.-phys. Kl. Bd. 57. S. 678). 1868. D. Tessari, La teoria delle omhre e del chiaroscuro, Turin

1878—80.

J.-J. Pillet, Tratte de perspective lineaire, Paris 1901, 2

öme

partie.

Chr. Wiener, Lehrh. (L- darst:-Geopi. I, Leipzig 1884, S. 390ff

Literaturverzeichnis.

Neuere Werke in deutscher Sprache über darstellende Geometrie.

K. Rohn und E. Papperitz, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Leipzig, Veit. I. Band, 4. Aufl., 1912. II. u. III. Band, 3. Aufl., 1906.

Chr. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 2 Bände. Leipzig, Teubner 1884.

W. Fiedler, Die darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage. Leipzig, Teubner. 3. Aufl. 1883—88. I. Teil, 4. Aufl. 1904.

G. A. V. Peschka, Darstellende und projektive Geometrie. Wien, Gerold 1882—1885. Neue Aufl., I. Bd. Leipzig u. Wien 1899.

E.    Müller, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. I. Band. Leipzig, Teubner 1908. Technische Übungsaufgaben für darstellende Geometrie (Bautechnische Beispiele). 4 Hefte. Leipzig u. Wien, Deuticke 1910—11.

G. Loria, Vorlesungen über darstellende Geometrie, deutsch von

F. Schütte. Leipzig, Teubner. I. Band 1907. II. Band 1912.

F.    v. Dalwigk, Vorlesungen über darstellende Geometrie. I. Band. Leipzig, Teubner 1911.

G.    Hauck, Vorlesungen über darstellende Geometrie. I. Band. Leipzig, Teubner 1912.

T h. S c h m i d, Darstellende Geometrie. I. Band (Sammlung Schubert LXV). Leipzig, Göschen 1912. Maschinenbauliche Beispiele für Konstruktionsübungen zur darstellenden Geometrie. Leipzig, Göschen 1911.

J. Schröder, Darstellende Geometrie. I. Teil: Elemente (Sammlung Schubert XII). Leipzig, Göschen 1901.

Kürzere Darstellungen:

Chr. Beyel, Darstellende Geometrie. Mit 1800 Dispositionen zu Aufgaben. Leipzig, Teubner 1901.

A. Schoenflies, Einführung in die Hauptgesetze der zeichnerischen Darstellungsmethoden. Leipzig, Teubner 1908.

M. Großmann, Einführung in die darstellende Geometrie. 2. Aufl.

Basel 1912.

F. Schilling, Über die Amcendungen der darstellenden Geometrie. Leipzig, Teubner 1904.

R. Haußner, Darstellende Geometrie (Sammlung Göschen). Leipzig, Göschen. I. Teil 1902, II. Teil 1908.

Den Bedürfnissen der mittleren Fachschulen entsprechen:

J. Schlottke, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 3. Aufl. Leipzig, Degener, o. J. I. Spezielle darst. Geom. II. Schatten- und Beleuchtungslehre. III. Perspektive. IY. Projektive Geometrie.

E. Gevger, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Leipzig, Göschen 1906.

W. Eggers, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Leipzig, Seemann & Co. I. Teil, 3. Aufl. 1906, II. Teil, 2. Aufl. 1910. (Sehr viele Aufgabenbeispiele.)

M. Bernhard, Darstellende Geometrie. Stuttgart, Enderlen.

3. Aufl. 1909.

J. Vonderlinn, Darstellende Geometrie für Bauhandwerker. 2 Teile. Stuttgart, J. Maier 1894.

A. Kirschke, Die darstellende Geometrie des Maschinentechnikers. Leipzig, Seemann & Co. 1912.

Gubatz, Lüdeke und Weigel, 301 Aufgaben aus der darstellenden Geometrie für Maschinenbauer. Leipzig, Seemann & Co. 1900.

Zusätze.

Zu 161. Die zu dem Umlauf AB in Fig. 152 gehörende Halbtangente in P muß mit dem Halbstrahl AB gleichgerichtet sein; es müßten sonst die Bögen PA und PB außer P noch einen Punkt gemein haben.

Zu 171, 172. Daß die Parallelkurve keinen Doppelpunkt besitzt, d. h. daß P nicht dieselbe Lage Q zweimal passieren kann, ergibt sich daraus, daß die Parallelkurve nicht zwei verschiedene Bögen mit denselben Endpunkten Q,R enthalten kann; es müßten sonst diese Bögen je eine zu QR parallele Tangente haben, und das ist unmöglich, weil der Normbogen keine zwei parallelen Tangenten hat.

Zu 172. Man könnte hier den folgenden allgemeineren Satz aufstellen: Wenn für jeden von A verschiedenen Punkt AI eines Bogens AB der entsprechende Bogen MB ein einfacher Bogen ist, dessen Totalkrümmung <f a <f ISO⁰, so ist der ganze Bogen AB ein einfacher Bogen. Daß A kein Doppelpunkt ist, geht aus dem vorigen Zusatz hervor. Da ferner zwischen A und M auf dem Bogen AM ein Punkt N existiert, dessen Tangente der Linie AM parallel ist, und da die Richtung dieser Tangente, wenn AI nach A konvergiert, monoton variiert und ihr Drehungswinkel immer a <f 180⁰ ist, so wird sie einer bestimmten Grenzrichtung zustreben. Da aber die Linie AM sich derselben Richtung nähern muß, folgt hieraus, daß unser Bogen in A eine bestimmte Tangente hat, und gleichzeitig, daß die Tangente längs des ganzen Bogens AB monoton variiert.

Zu 163, 259, 263, 264. Wenn ein Bogen AB so beschaffen ist, daß 1. von jedem seiner Endpunkte A, B ein einfacher Bogen ausgeht, welcher dem gegebenen Bogen angehört, und 2. von jedem andern Punkte M des Bogens zwei einfache Bögen ausgehen, welche dem gegebenen Bogen angehören und auf verschiedenen Seiten von AI liegen, so läßt sich der Bogen AB in eine endliche Anzahl von einfachen Bögen zerlegen. In der Tat denken wir uns von A ausgehend der Reihe nach die möglichst großen einfachen Bögen AAIX, AIXM„, . . . auf dem Bogen AB abgetragen, so würde die Annahme einer unendlichen Anzahl solcher Bögen die Existenz eines Grenzpunktes P der Reihe Mt,Ms, . . . nach sich ziehen, und es wäre dann unmöglich, von P aus auf dem Bogen PA einen einfachen Bogen abzutragen, was unseren Voraussetzungen widerspricht.

Sachregister.

(Die Zahlen bedeuten die Seiten.)

einer ebenen

A.

Abstand eines Punktes von einer Ebene 11, eines Punktes von einer Geraden 33, zweier Geraden 4, 35, zweier Punkte 2, 48, 52, 60

Abwickelbare l¹ lache 234, mit zwei Parabeln als Leitkurven 261 Abivickelung einer Pyramide 23, 24, eines Kegels 24, 240, eines Prismas 25, eines Zylinders 26, einer Schraubenfläche 257 Achsen einer Kegelschnittfläche 202, 205

Achsenkonstruktion bei der Ellipse 114, 128, bei der Hyperbel 122, 128, bei der Parabel 117, 128 Ähnliche und ähnlich liegende Ellipsen 117, Punktreihen 80 Affinität in der Ebene 37, im Raume 78

Algebraische Kurve 156 Analytische reguläre Kurve 156 Astroide 173.

Asymptote, (Allgemeines) 141,176, einer Hyperbel 105, 107, einer Konchoide 143, einer Strophoide 300, eines ebenen Schnitts einer Umdrehungsfläche 183, 189, der Abwickelung Schnittkurve eines Kegels 241, der Durchdringungskurve zweier Kegel 249, der Meridiankurve einer abwickelbaren Schraubenfläche 256, des Umrisses einer windschiefen Fläche 275, 276, des Umrisses eines Zylindro-ids 283, des Umrisses eines schiefen Durchgangs 285

Asymptotenlcegel einer Umdrehungsfläche 180, eines Hyperboloids 186, 203, 204, 208,' 218, einer windschiefen Fläche 276 Asymptotenfläche einer windschiefen Fläche 276, einer schiefen Schraubenfläche 298 Axonometrie, allgemeine 42, orthogonale 50

Axonometrische Methode und ihre Bedeutung 47.

B.

Beleuchtungslinien einer Kugel 308, eines Rotationskegels 309, eines Zylinders 309, einer Umdrehungsfläche 310

Biais passe (Schiefer Durchgang) 283.

Brennkurve 174

Brennpunkt einer Ellipse 17, 102, einer Hyperbel 104, einer Parabel 105

Brennstrahlen 17, 105, 107

Brianchonscher Satz bei dem Kreis 98, bei Kegelschnitten 110.

C.

Charakteristiklinie bei allgemeinen Hüllflächen 263, beiKanalflächen 264.

D.

Desarguesscher Satz 71 Doppelpunkte einer Involution 91, 93, zweier projektiven Punktreihen 88, 89, einer ebenen

Ebener Schnitt eines Polyeders 23, einer Pyramide 23, eines Kegels 24, 101, 240, einer Kugel 26, der Tangentenfläche einerRaum-kurve 225 ff., einer Umdrehungsfläche 182, einer abwickelbaren Fläche 235, einer Schraubenfläche 293

Ellipsoid 202, 209—211, 217

Schnittkurve eines Kreisrings 192, der Durchdringungskurve zweier Kegel 244, 245, der Projektion eines einfachen Bogens 222, der Projektion der Schnitt-kurve zweier Kegelflächen 247, der Projektion der Schnittkurve einer Kegelfläche und einer Kugel 251

Doppelstrahlen zweier Strahlenbüschel 89, einer Strahleninvolution 93

Doppelte Erzeugende eines Konoids 280, Erzeugung zyklischer Kurven 170, Projektion 18 Doppelverhältnis 64 Drehung um eine Achse 2, 20, 36 Dreikantskonstruktionen 12 Dualitätsprinzip 98, 201 Durchdringung von Polyedern 27, von Kegelflächen 241—249, einer Kegelfläche mit einer anderen Fläche, insbesondere einer Kugel, 249—252, zweier Kegel mit gemeinsamer Spur 246, zweier Umdrehungsflächen 232

E.

Eigenschattenlinie (-grenze) 305, 307, 309

Einfacher Bogen in der Ebene 137, im Raum 219 Einfache Kurve in der Ebene 138, 314, Kurve im Raume 227, 314, Projektion 1

Elementares Flächenstück 176 Ellipse als Kreisprojektion 15, als ebener Schnitt eines Rotationskegels 101, als Perspektive Figur eines Kreises 115, 116, 128 Ellipsenkonstruktionen 113—116 Ellipsenquadrant als Normbogen 155

Dpi- und Hypozykloide 168—171 Euler-SavaryscheKonstT-aktion 165 Evolute eines Normbogens 145,148, 149, einer Normkurve 154, einer zyklischen Kurve 171, einer Ellipse 156, 291 Evolvente 157, 158

F.

Eailinien einer Ebene 5, 302, einer Fläche 303 Flachgängige Schrauben 296 Fluchtebene 76 Fluchtlinie einer Ebene 58 Fluchtlinien einer Kollineation 71, 72

Fluchtpunkt 58

Frontlinie u. -ebene 2, 20, 21 Fußpunktkurven 174

G.

Ganghöhe einer Schraubenlinie o.

Schraubenbewegung 253 Gefällmaßstab 301, 302 Gegenpunktkurve 174 Gemeinsame Tangenten einer Hyperbel und eines konzentrischen Kreises 191

Geodätische Kurve einer abwickelbaren Fläche 239

GeradlinigeKegelschnittflächenl'äl,

207

Gesims fläche 287 Gewundene Säule 293 Grundachse 19

Grundkurve einer Schraubenfläche

293

H.

Halbtangente 135, 141, 175 Harmonische Punkte und Strahlenpaare 66, 67, Kollineation (Perspektive) 72, 77 Hauptlinien in dem Bilde einer Fläche 178

Hauptnormale einer Raumkurve 230, einer Schraubenlinie 254 Haupttangentialebene 274 Hauptumklappung 2 Hüllflächen 262 Hüllkurven 172

Hyperbel als Schnitt eines Rotationskegels 103, als Perspektive Figur eines Kreises 128 Hyperbelkonstruktionen 106, 107, 120—123, 128

Hyperboloid 203, 207, 208, 211, 212, 218, 268, 277, 278 Hyperboloidverzahnung 189

I.

Involutionen 89, auf dem Kreis 92, 93

Involutorische Perspektive (Kolli-neation) 72, 77, Reihe 90 Involutorischer Büschel 92, 93

K.

übrigen Kegelschnittflächen 217, 218, der geraden Normalfläche 290, 291 Kreuzliniensatz 84, 87 Krümmungslcreis (oder Schmiegungskreis) eines Normbogens 145, 150, 151, eines Kegelschnitts 129, 130, 132, 133, 134, einer Rollkurve 161, einer Raumkurve und ihrer Projektion 231, einer Schraubenlinie 255, der Durchdringungskurve Umdrehungsflächen in besonderen Punkten 232, der Abwickelung einer Kurve auf einer abwickelbaren Fläche 239, 241, einer praktischen Kurve 141 Kugel 3, 11, 26, 211, 249, 308, 309 Kugelpunkte 218

zweier

Kanalflächen 264 Kavalierperspektive 48 Kegelfläche 6—8, einer anderen Fläche umschrieben 178, 261, 263, einer Umdrehungfläche umschrieben 264

Kegelschnitt 101—108, als Zentralprojektion eines Kreises 108 —113, 123

Kegelschnittfläch en (Allgemeines)

L.

196

Länge der Evolute 154 Lagenbeziehung der Schmiegungsebene zum Kurvenbogen 223, 228, des Krümmungskreises zum Kurvenbogen 151 Leitkreis eines Kegelschnittes 106 Leitkurven u. Leitflächen bei abwickelbaren Flächen 260, bei windschiefen Flächen 268, 276 Leitlinie eines Kegelschnitts 102, 104, 105

Kollineation 70, 75 Konchoide 143 Konforme Abbildung 214 Konjugierte Punkte 96, 97, 111,

112, 200, Strahlenpaare 97, 113,

Durchmesser 97, 113 Konoide 279

Konturbestimmung bei der Kugel 3, dem Kegel 6, Polyedern 22,

Umdrehungsflächen 182,

Ellipsoid 209, Paraboloid 212, abwickelbaren Flächen 236, Kanalflächen 264, 265, Schraubenflächen 295, 296, 299, windschiefen Flächen 272 Koordinatensystem 42, -abtragung 46, 51

Kotierte Projektion 300 Kreisprojektion 15, 123 Kreisring 192, 264    Kabelpunkt 218

Kreisschnitte einer Kegelfläche 216,    Nebenachse einer Hyperbel 104

eines Paraboloids 214, 215, der Niveaukurven 302

M.

23

Meridianebenenxi. Meridiankurven bei Umdrehungs- und Schraubenflächen 179, 293 Meridiankurve einer abwickelbaren Schraubenfläche 256 Mittele bene 36, -spur 37 Mittlere Krümmung 144 Momentanbewegung einer ebenen Figur, Momentanpol 142, 143 Momentanpol einer Rollbewegung 156—160

Normale einer Fläche 177, einer | Pol und Polarebene 198 windschiefen Fläche 271, 273 Normalen einer Schraubenlinie, die zu einer festen Linie senkrecht sind 259 Normalflächen 286 Normbogen 144 Normkurve 154

Polarfläche einer Raumkurve 264 Pollcurven einer Bewegung 167 Potenz einer Involution 91 Praktische Konstruktion perspektivischer Bilder 62, Kurven, Raumkurven u. Flächen 141, 178, 179, Zeichnung von Normbögen 153 Prisma 25

Profil einer Ebene 5 Projektion einer Raumkurve 221, 227, 229, 231 Projektionsverhältnis 41 Projektive (o. Perspektive) geradlinige Punktreihen in der Ebene 80, 83,88, im Raume 207, Punktreihen auf dem Kreis 86, 87, 88, Strahlenbüschel 81,    85,    89,

Ebenenbüschel 82, 83, 207

0.

Orientierung b. doppelter Projektion 19

Orthogonale Axonometrie 50, Strahleninvolution 93 Ovalwerk 114

P.

Querlinien 5

Parabel als Schnitt eines Rota- j tionskegels 104, 107, als per- I spektive Figur eines Kreises 128 Parabelkonstruktionen 107—108,

117—120

R.

Paraboloid, elliptisches 205, 215 | hyperbolisches 206, 207, 208,

Raumkurven 175, 219 Raumperspektive 76 Rechtserzeugende und Linkserzeugende eines Hyperboloids 185 Rechtsgängige und linksgängige Schraubenlinien 253

212, 218, 271, 272, 277 Parallele Durchmesserebenen eines Paraboloids 205, Schnitte einer Kegelschnittfläche 201 ParoZZeZkreise 179, -kurven einer ■■

Reduzierte Ganghöhe 253 Rektifikation eines Kreises 139

Ellipse 156, -kurven eines Normbogens 145,-Perspektive Figuren 37, -projektion 40, -projektion 1 einer Ellipse 115, 116, einer j Parabel 119, einer Hyperbel 121, | Reliefperspektive 78

einer Schraubenlinie 257 Parameter einer Parabel 108, einer Erzeugenden einer windschiefen Fläche 188, 273

Pascalscher Satz für den Kreis 86, f. allgemeine Kegelschnitte 108, 109, 119, 121

Perspektive Figuren (Perspektivi-tät, Perspektivische Kolline- | ation) 69, 70, 75 Perspektivische Affinität 37, 38 71, 78, Transformation einer einfachen Kurve 228 Plückersches Konoid 281 Pohlkes Satz 210 Pol u. Polare 94, 111

Richtungsebene 207, 271 Richtungskegel einer Raumkurve 219, einer abwickelbaren Fläche 236, einer windschiefen Fläche 271

Rinnlinie 303 Rollkurven 156

S.

Satz v. umschriebenen Viereck 111, 115, 118

Scharfgängige Schrauben 299 Schattenkonstruktionen 305 Scheitel eines Kegelschnitts 16, 104, 105, 122, 130, 134, eines

ebenen Schnitts einer Umdrehungsfläche 183, 184 Schiefer Durchgang 283, als Ort ! Strophoide 300

298, einer Normalfläche eines Kegels 292

Symmetrieebenen einer Kegelschnittfläche 202,    205, einer

Kegelfläche zweiter Ordnung

204

für die Projektionen einer festen I Symmetrische Strahleninvolution 94 Linie auf die Tangentialebenen eines Zylinders 286 Schlangenfläche 265 Schmiegungsebene eines einfachen Bogens 220,    223,    224, der

T.

Tangenten einer beliebigen Kurve 135, 175, eines Kegelschnitts 105, 106, 107, 109, im Doppelpunkte einer Schnittkurve 192, 244—246

Tangentenfläche einer Raumkurve 255 ff.

Tangentialebene (Existenzbeweis) 177, einer Umdrehungsfläche 179, 181, Kegelschnittfläche 196, abwickelbaren Fläche 235, eines Umdrehungshyperboloids 185, 187, einer windschiefen Fläche 270—272, einer Schraubenfläche 293, 296, 298; durch einen gegebenen Punkt an einen Kegel 8; durch eine gegebene Gerade an eine Kugel 11, an eine Umdrehungsfläche 190 Teilpunkte 61 Totalkrümmung 144

Schraubenlinie 253, in besonderen Punkten der Schnittkurve zweier Kegel 242,    246, der

Schnittkurve zweier Umdrehungsfläch en2 32,einer einfachen Kurve 228

eines

Schmiegungshalbebene 224 Schmiegungskreis 140 (s. Krümmungskreis)

Schmiegungshyperboloid Kreisringes 193

Schnittlinie zweier Ebenen 9, 21,

32, 33, 43, 59, 302 Schnittkurve (s. Durchdringung)

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene 10, 22, 44, 60, 302,

Kegel oder Zylinder 8, Dreiecksfläche 27, Kugel 4, Polyeder 28, Umdrehungsfläche 190,

U.

Umdrehungs&ächen 179, -hyper-boloid 184, 194, 195, -kegelschnittflächen 193 Umklappung einer ebenen Figur 6, 21, 23, 34, 49, 50, 52, 61, 73 Unendlich ferne Linie u. Ebene

55

Umdrehungsellipsoid 195, El-lipsoid 211, Konoid 280, Ellipse 116, Parabel 119, 120, Hyperbel 121, 122,189, beliebigem Kegelschnitt 106, 109, 112, 127 Schnittpunkte eines Kegelschnitts mit einer beliebigen Kurve 106 Schräge Brücke 297 Schraubenlinie u. -bewegung 253 Schraubenflächen 293 Singuläre Erzeugende einer windschiefen Fläche 274 Simuslinie 255 Speerpunkt 274

Unendlich ferne Punkte 54, einer Hyperbel 103, einer Parabel 104, 105, einer beliebigen Kurve 140—141, 175, einer Fläche 177, einer Umdrehungsfläche 180, einer Kegelschnittfläche 194, 203, 204, 207, einer abwickelbaren Fläche 236, einer windschiefen Fläche 271

Spitzkante (Definition) 178, einer abwickelbaren Fläche 236, einer Kanalfläche264, einerSchlangen-fläche 267

Steinerscher Satz 131 Stereographische Projektion 213 Striktionslinie 2 7 6, des Paraboloids 277, des allg. Hyperboloids 277, j eines Konoids 279, einer gerad- \ linigen Schraubenfläche 295, j Unendlich ferner Kegelschnitt 126

T.

Verschwindungsebene 57, -raum67 Vollständiges Viereck u. Vierseit 67—68

; Windelfläche 252 j Windellinie 252.

Z.

>Y.

Zeichnung von Normbögen 153 I Zentralebene u. Zentralpunkt 187,

272

Wendekreis 165

j Zentralprojektion 57, eines Kreises 123, eines Kegelschnitts 124, eines einfachen Bogens 229 138, zyklischer | Zentrum einer Involution 90 Kurven 170, der Abwickelung Zylinder 8, 16, 26, 41, 56 einer Kurve 239, 241    ! Zylindroid 281

Wendelfläche 296 Wendepol 165 Wendepunkte

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