WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Integralre

Von

Prof. Dr. Fr. Junker

Mit 86 Figuren‘im Text

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Sammlung Gösch^^^nb

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Höhere Analysis

Zweiter Teil

Integralrechnung

Von

Dr. Fr. Junker

Rektor des Realgymnasiums und der Oberrealschule in Göppingen (Württemberg)

Mit 86 Figuren im Text

Dritte, verbesserte Auflage

Neudruck

;.Ü

Berlin und Leipzig

Vereinigung wissenschaftlicher Verleger Walter de Gruyter & Co.

vormals G. J. Gösciien-sclre Verlagskandlung — J. Guttontng, Verlags-bm-Uhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp.

1920

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Alle Rechte, n a tu e ti 11 i c h das Übersetzungsrecht von der Verlagshandlung Vorbehalten.

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Druck von Julius Beltz in LaDgensalza.

Inhalt.

I. Abschnitt.

Seite

Integration einfacher Differentiale. Integrationsmethoden.

$ 1. Aufgabe der Integralrechnung. Begriff des unbestimmten

Integrals........................

§ 2. Geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals . .

§ 8. Integration einfacher Integralformen...........

§ 4. Integration einer Summe oder Differenz........ .

§ 5. Integration durch Substitution..............

§6. Integration durch trigonometrische Substitution. . . . .

$ 7. Teilweise Integration...................

§ 8. Integration durch allmähliche Reduktion........

$ 9. Integration durch unendliche Reihen..........

IL Abschnitt.

Integration rationaler Differentiale.

sa a

$ 10. Hilfssätze aus der Algebra...............

§ 11. Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen......

$ 12. Partialbruchzerlegung bei mehrfach vorkommenden Wurzelfaktoren im Nenner...............

III. Abschnitt.

Integration irrationaler Differentiale.

113. Die Irrationalität besteht nur in gebrochenen Exponenten von x oder in der nten Wurzel aus einer linearen

Bftea

Funktion von x.....................

§ 14. Ausdruck zweiten Grades unter einer Quadratwurzel .

§ 15. Beispiele zum vorigen Paragraphen ..........

$ 16. HOhere tanszendente Integrale und Funktionen . . . .

TV. Abschnitt.

Integration transzendenter Differentiale.

§17. Transzendente Differentiale.....f.........

§ 18. Integration transzendenter Differentiale durch Sub

stitution........................

§ 19. Integration transzendenter Differentiale durch allmäh liehe Reduktion § 20. Integration transzendenter Differentiale durch Rationali sierung................... ..... .

Seite

52

63

67

59

V. Abschnitt.

Bestimmte Integrale.

§ 21. Das bestimmte Integral.................

§22. Das bestimmte Integral als eine Summe von unendlich

kleinen Größen.....................

§ 23. Lehrsätze über das bestimmte Integral.......v . .

§ 24. Integration bis x = oo oder bis und. über eine Unstetigkeitsstelle von f(x)...................

S 25. Darstellung von ~ durch ein unendliches Produkt. . . § 26. Einige weitere bestimmte Integrale ...........

VI. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie der Ebene.

§ 27. Quadratur der Kurven in rechtwinkligen Koordinaten .

§ 28. Quadratur in Polarkoordinaten.............

§ 29. Näherungsformeln zur Quadratur der Kurven.....

§ 30. Rektifikation ebener Kurven in rechtwinkligen Koordinaten ..........................

§ 81. Rektifikation in Polarkoordinaten............

§32. Teilung von Flächen und ebenen Kurven........

VH. Abschnitt

Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie des Baumes.

S§S

V-f vH 9

' § 33. Kubatur begrenzter Räume .... S 34. Kubatur von Rotationskörpern . .

§ 35. Kubatur von zylindrischen Räumen

f86. Oberflächenberechnung (Komplanation) von Rotationskörpern . .    ......................

§ 87. Oberfläche von Zylinderflächen.............

§88. Rektiflkation der Ru umkurven..............

VIII. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Statik.

§ 89. Momente eines Punktsystems..............

§ 40. Schwerpunkt von krummen Linien...........

§ 41. Schwerpunkt von ebenen Figuren............

§42. Öchwerpunkt einer beliebigen Figur...........

§ 43. Schwerpunkt von räumlichen Gebilden.........

§ 44. Erste Guldinische Regel.................

§ 46. Zweite Guldinische Regel................

Seite

110

113

117

120

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125

128

131

132

136

IX. Abschnitt.

Das Doppelintegral und seine Anwendung.

§ 46. Das unbestimmte Doppelintegral............

§ 47. Das bestimmte Doppellntegral und seine geometrische

Bedeutung.......................

§48. Doppelintegrale mit veränderlichen Grenzen ......

§ 49. Oberflächenberechnung mit Doppelintegralen......

§ 60. Anwendung von Polarkoordinaten............

C5    ©CD

co ^

149

161

X. Abschnitt.

Exkurs auf das Gebiet der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

§ 51. Die verschiedenen Arten von Differentialgleichungen § 62. Die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

mit getrennten Veränderlichen.............

§ 68. Homogene Differentialgleichungen...........

§64. Vollständige Differentialgleichungen..........

§ 56. Partikuläre und singuläre Lösungen..........

§56. Differentialgleichungen erster Ordnung nten Grads . . . § 67. Die gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung .........................

§ 68. Planetenbewegung....................

178

180

J

u .

'

'■y

/

4

L Abschnitt

Integration einfacher Differentiale. Integrationsmethoden.

§ 1. Aufgabe der Integralrechnung. Begriff des unbestimmten Integrals.

Die Integralrechnung beschäftigt sich mit der Aufgabe, zu einem gegebenen Differential die ursprüngliche Funktion aufzusuchen. Sie ist daher als Umkehrung der Differentialrechnung anzusehen. Beispielsweise du

ist der Quotient —— = 4x³ offenbar durch Ableitung dx

nach x hervorgegangen aus y = xi .

Man nennt y — x* das Integral des Differentials dy = 4 x⁸ dx und schreibt

y = J& x³ dx — xA .

Erklärung. Das Integral des Differentials dy = f(x) dx , geschrieben

(1)

y = / f(x) dx = F(x)

und gelesen: „Integral f(x)dx ist die Funktion, welche nach x abgeleitet f(x) liefert. Dasselbe ist somit deä* aiert durch

(2)

dy djf(x)dx

dx

dx

f(x) = F(x).

Fügt man zur Funktion F(x) additiv eine beliebige Konstante G hinzu, so folgt aus

y = Jf(x) dx = F(x) + C

durch Ableitung nach x:

dy _ d{F{x) + C}

dx

dx

F\x).

Die durch Integration aus f(x)dx unmittelbar hervorgegangene Funktion F(x) kann also um eine beliebige Konstante vermehrt (oder vermindert) werden, ohne daß sie ihre Eigenschaft als Integral von f(x)dx verliert. Es folgt hieraus der

Lehrsatz: Das Integral eines gegebenen Differentials f(x)dx ist bis auf eine willkürlich wählbare Konstante G eindeutig bestimmt, d. h. außer F(x) ist auch F(x) -j- G Integral von f(x)dx . Die Konstante G heißt die „Integrationskonstante“ und

y = J f(x) dx = F(x) -f C

ftuch das „unbestimmte Integral“ von f(x)dx .

So ist y = a x² -}- C das unbestimmte Integral von 2 a x dx , da man stets dasselbe Differential erhält, welchen Wert man auch der Konstanten G geben mag.

§ 2. Geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals.

Das aus dy = 2axdx durch Integration hervorgegangene unbestimmte Integral

y = ax* + G

stellt die um y = G in der Richtung der y -Achse verschobene Parabel y a x² dar und bei willkürlichem C somit eine Schar von solchen, die sämtlich in den Schnittpunkten mit einer Parallelen zur y-Achse gleiche Neigung gegen die *-Achse besitzen (Fig. 1); denn diese ist bestimmt durch

2 ax.

dz

dy d(ax²-\-C)

dx

Es gilt daher der

Lehrsatz: Das unbestimmte Integral

*x

y = f f(x)dx -|- C = F(x) + G

Fig. 1.

desDifferentialsd?/ = f(x)dx stellt eine Schar von kongruenten ebenen Kurven dar, die erzeugt -wird, indem man die Hauptkurve y = F{x) in der Eich-tung der y-Achse verschiebt.

§ 8. Integration einfacher Integralformen.

Um ein gegebenes Integral J f(x) dx = F(x) zu bilden, hat man in den Formeln der Differentialrechnung diejenige Funktion F{x) zu suchen, für welche F\x) = f(x) ist.

Indem man die Formeln der einfachsten Differentiale dF{x) = f(x)dx in F(x)=ff(x)dx umschreibt, erhält man die folgenden Integralformen, in denen der Kürze halber die Integrationskonstante G weggelassen ist.

r*

xPdx =

xn + l

(3) /

ax dx — -

ax

la

fdx

⁽²⁾ Jt=1x

(4) fexdx = e?

(5) jcosxdx — sina:

/"

(7)

cos²*

= tg*

(6) j sin* dx — —cos* = —ctg*

r dx (3)    ~

sin²*

d(Au±Bv)=(Ad£±B^)dx.

oder

Hieraus folgt durch beiderseitige Integration

(2)

(9)

(10)

f dx

J

r_dx

J

1 -j- x*

= arc tgx — — arc c tgx

= arc sina; = —arc cos a;.

(i)

yi — x²

§ 4. Integration einer Summe oder Differenz.

Nach § 24 der Differentialrechnung*) ist d(Au4-Bv) du dv

Adi±Bdi

dx

Au±Bv-f(Ad£±Bd£jdX.

Setzen wir hierin u = J f(x) dx , v = J<p(x)dx, woraus sich ergibt

du

dv

Tx = f{x)' Tx-f™

so geht die Gleichung (2) über in

(3)    A J f(x) dx    (p(x) dx =J[A f(x) + B(p(x)] dx ,

womit gewonnen ist der

Lehrsatz: Das Integral einer Summe bzw. Differenz ist gleich der Summe bzw. Differenz der Integrale der einzelnen Glieder.

Für B — 0 geht die Gleichung (3) über in

AJf(x) dx = JA f{x) dx .

*) Dritte Auflage, S. 45.

Lehrsatz: Ein konstanter Faktor unter dera Integralzeichen darf vor dasselbe gesetzt werden.

Beispiele.

1. f(a₀ -f- «i x -f- 02 x² + ... + an x") dx = G + a₀x

+ Yai a;2 + -^a2a::3+ ••• + n 1 anxn+1 .

2.

Aus 1:1 + x² = 1 — x² ~i~ x⁴ — x⁶ -j- ... folgt durch Integration

X³ X⁵ X⁷ ,

= arc tgx = X — y + ----- + ...

dx

und hieraus beispielsweise für x = 1 : * = i_ ¹

■3 + 5^

Ï.-T+-”

3. j(A cosx ^ Bsinx)dx — Asinx ^Bcosx + (7.

⁴ Kax,+i⁺

dx = ^-x⁴ + 2b fx 4

+ carcsinx + G.

§ 5. Integration durch Substitution.

Soll das Integral ermittelt werden Jf\(p(x)]dxy so ist es häufig zweckmäßig, durch die Substitution <p(x) — y eine neue Yeränderliche einzuführen. Folgt hieraus durch Auflösung nach x

x = ip(y), so ist dx = y'(y) dy und geht das Integral über in

jfiy) v>'(y) dv = F(y) + o.

Setzt man nach Ausführung desselben wieder <p{x) = y, so ergibt sich als gesuchtes Integral F[<p{z)] + C.

Erklärung. Man nennt den hierdurch angezeigten Weg zur Ermittlung eines Integrals „Integration durch Substitution“. Dieses Verfahren wird stets mit Vorteil an gewendet, wenn unter dem Integralzeichen eine Funktion von einer Funktion auftritt.

Die folgenden Beispiele werden die Fruchtbarkeit dieser Methode dartun.

1. J(a + bx)ndx = \jvndy

yn ₊ l

(a -f 6

2.

dx

3.

dx

=    -\(a + bx).

J y b

: [ÉL = \y = l(a + x)

J y

[a + b x = y\

4.

[a + z = y]

n

(a -f b x)2 +

»t⁺')

6.

j^dx = jJe»dy = j

ekx

[kx = y\

r    1

6.    / sin(a -f bx)dx =—-cos(a + &£)

Ma + bx — y\

7.    jcos(a + bx) dx — y sin(a + bx)

f    dx

J cos²(a + bx)

f    dx

⁹- -

8.

1

= —tg(a + bx)

sin²(a -j- bx)

= —ictg(a + bx)

0

f dx

10.    -—

J (

dy

-f

a² + x² a J 1 y²

= — arctgy = — arctgf —) a    a \a)

[x = ay]

11.

f    = f ^ . ₌ arc Œ arc sin

jy«² —- x² J fl-y²    W

^s¹²- I,

xdx

13.-

a² -\-bx2 f xdx

J ya² — x²

[x = a ?/] [bx² = y]

14.    Jtgx dx — —1 cosx

15.    Jctgxtfx-Isinx

[y«² — x² = y] [cosx = y]

16.

/=-■«&)

["i - *] ■

§ 6. Integration durch trigonometrische Substitution.

Häufig ist es vorteilhaft, trigonometrische Funktionen durch Substitution einzuführen, wie die folgenden Beispiele zeigen.

Setzi^man bx — a sin<p t woraus folgt £ocos<pi<p, so geht das Integral über in

dx

f_dx

yö^^a^sln²^

\a² — b² x²

J

1    . (bx\

7 ““Uv ■

a² + b²x*

2. Hat man zu integrieren

, so kann b cos² <p '

man setzen bx = a tg 99, woraus folgt dx —

Das gegebene Integral geht alsdann über in

bx

3. Um

dx

a

bx =—

dx = —

cos 99 a tg (p

x^bax³ — as rp — arc cos

zu ermitteln, setze man

fâ-

dann folgt hieraus

b cos (p

d(p und das Integral geht über in

fa= =t

8-1 «

— arc cos

(ä-

§ 7. Teilweise Integration.

d(uv)    dv , du , ,

Aus —V-¹ = w --f- v —— folgi

dx    dx dx

dv

uv

u~dx + [v^dx ax J dx

und somit

(1)

/(“ )Äa-

a.! a.

uv —

oder

Judv — uv—Jvdu .

Erklärung. Man nennt die durch (1) angezeigte Integration die Methode der „teilweisen oder partiellen Integration“.

Das folgende Beispiel wird dieselbe erläutern.

1.    Um Jxsioxdx zu bilden, setze man x = &mxdx = dv, woraus folgt dx = du, —cosrc = v, so geht das Integral über in

fx sina: dx = —xcosx -}- Jcosx dx — x oosx + sina: + C

2.    f\xdx = xlx—jxd\x = x\x — x

3.    fxlxdx — ^ J\xd(x²) = ^a:²la: — \jx%d\x = \ x² la: — Jx dx = | x²\x — ^ a;²

0*2    /v*2

= T(21a:-l) = -(la:²-l)

xaxdx

5.

arc sina: dx — x arc sina: —

xdx

yl — a;²

= x arc sina: + /l — a:²

6.    Jare cos x dx = x arc cos x — yi — a:²

7.    f arc tga; dx = x arc tga; — ^1(1 + x2)

8.    jaxcctgxdx = xaxcctgx -f- ^1(1 + x*)

'V'-    9. JxaxcBinxdx geht mit du = xdx

v = arc sina:, dv —

a;²

dx

}1 — x²

/j*2

x arc sina: dx = — arc sina: —

über in

x²dx

2J yi _ x%

Das letzte Integral kann auf die gleiche Weise

x dx ,

weiterbehandelt werden. Setzt man du — —

also u = yi — x² und v — x, so folgt Ç x²dx

yi — X*

yi — x²

1    _ i r_

= — rry 1 — x² — — / yl — x²dx

-r-i |<M

yn⁻

x² dx = —

²J yi — x³

rH |(M

da;

yi — x²

T-t |<M

x²d

ik

yi—xa

a;² da;

somit ist

yr- a;³ ’

x²dx

x²dx

— a;² — arc sina; -f- -jr J    2    2

— 4-a;yi — a;² — 4- arc sina;,

4    4

1(2*»-

§ 8. Integration durch allmähliche Reduktion.

1. Die teilweise Integration liefert häufig das Mittel, Integrale gewisser Funktionen auf einfachere derselben. Ait zurückzuführen und dieselben durch eine Art von Reihenentwicklung zu ermitteln.

²J yi—x²

yi — a;²

oder

'é

x²dx

yi — a;²

daher

x arc sina; dx =*=

1) arc sina; + ^-«yi —

Integration durch allmähliche Reduktion. Beispielsweise erhält man J₂ — Jsina(pd<p ——Jsincp dcoscp

= —emcpco&cp + fcos²cpdcp — — smcpcoscp + j( 1 — sin²ç?)rfç>

—• —sin 99 cos cp -j- 99 — J₂ .

Hieraus folgt 2 J₂ = —sin 99 cos 9? -f- 99,

J₂ —    (99 — sin99 cos99).

u

Erklärung. Man nennt diese Art der Ermittlung eines Integrals „Integration durch allmähliche Reduktion“.

2. Die Reduktionsformeln für Jn = JsinM 99 dcp und «/_„ = Jsin⁻" 99 dcp • (n > 0).

Mit Hilfe der teilweisen Integration erhalten wir

Jk=jsin cp sin*'¹99 dcp = — Jsin*⁻¹99 dcos99 = —cos 99 sin*⁻*99 + (k — 1 )j sin*⁻² 99 cos² 99 dcp = —cos99sin*⁻*99 + (k — l)[/*_₂ — «4].

Hieraus folgt die Reduktionsformel

kJk = —COS99 sin*⁻¹ 99 -j- (k — 1) J/i-2 oder Jk = —cos99 sin*⁻¹ 99 + — —- Jk

—also

(1)

-2 •

Für k — n

«4»-2 —

Junker, Integralrechnung.

-2

2 Jn-X

1    .    , t n

-j«-,

4

Jn-4 “

--cos93sin“⁻⁰cp Ą--

n — 4    n

J₂ = —^cos93sin93 +^93,

und für ein gerades n als letzte Gleichungen J4 = — I cos cp sin³ 9? -f J </2 bzw. für ein ungerades n J₆— —^cos93siu⁴93 4-3 J3 , J-i == —^cos93sin*93 —-|cos93.

1,^

Werden diese Gleichungen der Reihe nach mit 1 n — 1 n — 3

n n — 2 ’ ’ ’

n — 1 n — 3

’ro — 2“*"7 *

multipliziert und addiert, so ergeben sich die allgemeinen Endformeln:

tx) für ein gerades n

Jsinnq) d(p —

1    , ln —

—cos93smM_1ç3--•

n    n n —

n — 1 n —

^cos<psinn-89?

u

jCOS9?sinM_59?— ...

(2)

Cg tH

. . . ~ • ^-cosgpsin’çj

' ^2 ‘ "TT T ' ^(cos?,sinï’-')4f'

ß) für ein ungerades n

yśinMę9 dcp = — cos 93 sinw ~¹93 —— • -1 cos 93 sinw ~ *93

”    ^ ^-^cos^sin¹¹⁻⁵^—

•^rä-'-y-lc^staV

n — 1 n — 2 ' ’ '

Setzt man in der Formel (1 ) k — 2 = —i, k = —i + 2 und ersetzt man nachträglich wieder i durch k, so ergibt sich die Reduktionsformel

(3)

rH I g tH I g

1-1 g

-J I 00

* T * 4"⁰⁰⁸ 9⁹(s^nV+2) •

0 u

(4) J-i—jsm~kcpdcp

1 COS (p

k — 1 sin*⁻¹9? k —

Y J-k+i )

wo k als positiv vorausgesetzt ist. Auf ähnliche Weise wie oben erhält man auch hierfür die beiden Endformeln: y) für ein gerades n

dcp

COS Cp

sinwç?

n — 1 sin" ⁻¹

to 'S

1 n — 2 cos cp n— 1 n — 3 sin,,_3ç?

(5)

6    4 cos 90

n — 1 n — 3    *5    3 sin⁵«??

n — 2

4    2 cos cp

n — 1 n — 3    3    1 sinç> ’

dcp

<3) für ein ungerades n 1 cos cp

sin"ç>

(6)

1 n — 2 cosç? n—1 sin"⁻¹ cp n — 1 n — 3 sin"~³cp 1    n — 2    5 cos cp

— 1 n — 3    4 sin⁴ç>

1 n — 2

6    3 cos cp

n — 1 n — 3***4    2 .sin²<p

+ ltg

3.    Mit Hilfe der Formel für die partielle Integration erkalten wir ebenso die Reduktionsformel

JxPePdx = a^e* — kJ cd¹'¹ & dx ,

und wenn wir dieselbe wiederholt auf die Integrale jxt-i-eFdx , fxp-^eFdx ,..

Endformel

(8) Jod ex dx = od e* — kod~xex -f- k(k — l)xk~² d — ...

= e?(xk — kxk~¹ -f- k(k—l)a^~² — ...).

4.    Ist k von 1 verschieden, so gilt ebenso die Rekursionsformel

fe^dx

(⁹> iir-

welcher die Endfortnel entspricht:

(?)

. an wenden, schließlich die

1 ^fePdx

(k — 1) xk ~¹ k — 1 J xk~¹ *

(10)

Ce? dx    e* j x

! xk    xk\k— 1

(k — l)(k- 2)

x³

(k - 1) (k - 2) (k - 3)

■}

5. Ähnliche Rekursionsformeln ergeben sich mit Hilfe der teil weisen Integration auch für die folgenden Integrale:

(11)    Jæ*sinxdx — —xkcosx -f kJod~x cosxdx

(12)    Jxkcosxdx = a;*sina; — kJod~x sinxdx

sina;

(13) f

a:⁻*sina; dx =

cos xdx

(k — 1) od

od~x

(14)jx~k cosa; dx —

cosa;

sin xdx

od~x ’

(k — l)a^⁻¹ k — 1 für welche sich entsprechende End formein bilden lassen.

§ 9. Integration durch unendliche Reihen.

Läßt sich ein Integral Jf(x) dx nicht in endlicher Form darstellen, so ist es häufig zweckmäßig, die Funktion f(x) mit Hilfe des Maclaurinschen Satzes oder auf irgend eine andere Weise in eine nach Potenzen von x fortschreitende Reihe zu entwickeln und diese zu integrieren. Erhält man nach Maclaurin die Reihe

f(x) = aQ + ax x -f a₂ x² + ...,

welche innerhalb eines gewissen Gebietes konvergent sei, dann ergibt sich hieraus durch Integration die weitere Reihe

r    xa

J f(x) dx = C + a₀ x -f- ax — -j- • •

welche in demselben Gebiet konvergent ist

Beispiele. k²x k?x²

1.

. . dx

JVdx=f\7 + k + 2 1

_ , . kx 1 k²x² . 1 ksx3 = 0+\x + — + J.

2 !    '3    3 !

fcosx [( 1

■J^rdx=JG

x    x³    x⁵

--------L

2 ! ^ 4 !    6 ! ~

1 x² 1    a;⁴ la;⁶

— G -\-\x —2 ' 2~\    ' 4~\ —g“ *    -ł⁻ • • •

Anmerkung. Die vorstehenden Potenzreihen liefern das Mittel, neue transzendente Funktionen, wie

re** , fcosx /—dx, / —

J X J X

dx usw., fur spezielle Werte von x nähe

rungsweise zu berechnen.

II. Abschnitt.

Integration rationaler Differentiale.

§ 10. Hilfssätze aus der Algebra.

Die rationalen Funktionen einer Veränderlichen x zerfallen in ganze und gebrochene Funktionen. Vgl. Differentialrechnung § 4.

Ist

f(x) = a₀ -|- at x -f- Oj x² + • • • 4~ an xn

eine ganze rationale Funktion, so kann das Integral des Differentials fix) dx unmittelbar nach § 4 gebildet werden. Eine (unecht) gebrochene rationale Funktion von der

Form

f(x)

b₀ + b₁x + b₂x* + ...+ bmxm

F(x)

aQ + X + «2    4" • • • 4“ an ’

wo m^n angenommen ist, kann auf dem Wege der gewöhnlichen Division in eine ganze Funktion und eine echtgebrochene Funktion zerlegt werden. So ist beispielsweise z³-f 1 x* -3x+2

Zerlegt man alsdann den echtgebrochenen Teil einer solchen Funktion nach § 11 in Partialbrüche von der

Ix - 5

x² — 3 x -f- 2

Form

-j-..., so kann das Integral des

/■(*)

Differentials ^j-{dx ebenfalls gebildet werden. So ist

F(x)

beispielsweise identisch 7x — 5

x² — 3 a; 4- 2 x — 2 x — 1

daher ist

(:X³ -f- 1) dx

x² — 3 x -f- 2

= j(x+3)dx+Jly-

= ^-\-3x+9l(x — 2) — 21 (x — 1),

u

iéï)dx

Die Zerlegung einer echtgebrochenen Funktion in Partialbrüche erfordert noch die Kenntnis folgender Lehrsätze. Ist F(x) =*= 0 eine „algebraische Gleichung“, so gilt der „Fundamentalsatz der Algebra“: Jede algebraische Gleichung wten Grades

F(x) = a₀ x -|- a₂ x* + ... + an xn = 0

hat mindestens eine (reelle oder imaginäre) Wurzel x — a, für welche also F(a) = 0 ist.

Erhält man bei der Division von x — a in F(x) die Funktion cp (x) als Quotienten und R als Rest, so gilt die Gleichung

F(x) = (x — a) cp (x) + R .

Da nun für x — a F(a) = 0 ist, so folgt hieraus R =» 0 . Es ist somit F(x) = (x — a) cp (x). Hieraus schließt man, daß auch die Gleichung cp (x) = 0, welche vom (n — l)ten Grad in x ist, mindestens eine Wurzel x = b besitzt. Es ist somit q> (x) = (x — b)ip (x), wo xp (x) vom (n — 2)ten Grad in x ist usw. Daher schließt man, daß die Gleichung F(x) = 0 nicht nur eine, sondern stets n Wurzeln hat. Sind dieselben a, b, c, p, so läßt sich F(x) auf die Form bringen:

F(x) = an(x — a)(x — b).. .(x — p) .

Lehrsatz: Die ganze Funktion nten Grads läßt sich als Produkt von n „Linearfaktoren“ x — a, x — b,..., x — p darstellen.

Werden mehrere Wurzeln von F(x) — 0 einander gleich, treten z. B. die Wurzeln a, 6, c,...bzw. X /ai-, r-, . . .-fach auf, so ist

F(x) — an (x — a)¹ (x — b)t* (x — c)v..

wo X -\- fi -F v    — n ist.

Ist eine der Wurzeln von F(x) — 0 komplex, also von der Form xx — a -f- i b, wo i= ]/— 1 die „imaginäre Einheit“ bedeutet, so läßt sich beweisen, daß neben F(a -f i b) — 0 auch F(a — ib) =: 0 ist. Diese Tatsache wird ausgedrückt durch den

Lehrsatz: Besitzt eine algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten die komplexe Wurzel =a-fî6, so wird sie auch durch die hiezu konjugierte Zahl x₂ — a— ib befriedigt. Dabei ist sowohl die Summe dieser (imaginären) Wurzeln als auch deren Produkt eine reelle Zahl:

xi + x% — 2 a , xt x₂ — a* -f-    •

§ 11. Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen.

L Um das Differential

f(x)

F(x)

dx, wo

m    M ₌ bO + hl X + ^2 X* + • ♦ • + b™ X™

' '    F(x) aQ -f- ax x + a₂ x² + . . . -f a» %n ’

und w<n ist, integrieren zu können, zerlege man durch Auflösung der Gleichung F(x) — 0 den Kenner F(x) in seine n Linearfaktoren

F{x) = (* - d) (x - b) (x - c).. .(x - n)

die zunächst sämtlich verschieden sein sollen, und suche hierauf den Bruch als Summe von n-Einzelbrüchen oder Partialbrüchen-mit den Nennern x— a, x — b x — c

x — n darzustellen. Bezeichnet man die

Zähler dieser Brüche mit A, B, (7, ..., Ar, so kann man setzen:

(2)

~i--r 4~

x — b

f(x)

F(x) x — a

wo die Brüclie rechts sofort integriert werden können. Man erhält

(3)/

f(x) dx

F(x)

Al(x—a) +B\(x—b) + .. . 4-Nl(x—n).

Hierbei ist zu bemerken, daß an Stelle von l(a; — a) auch l(a — x) gesetzt werden darf, denn es ist

l(x — a) = l(a — x) 4-1(—1) ,

wo 1( — 1) als Teil der Integrationskonstanten angesehen werden kann.

Multi pliziert man die Gleichung (2) mit dem Nenner F(x) = (x — a) (x — b). .. (x — n) durch, so nimmt dieselbe die Gestalt an: f(x) — A (x — b)(x — c). . . (x — n)

(4)

4- B(x — a)(x — c)... (x — n) -\-4- F(x — a) (x — b). . . (x — m),

, N unmittelbar in der

welche zu erkennen gibt, daß für x — a, x — b, ..., x = n sämtliche Glieder der rechten Seite mit Ausnahme des ersten, zweiten, . . wten verschwinden. Setzt man daher der Reihe nach x — a, x — b, .. ., x — n, so erhält man die Zähler A, B,

Form

f(a)

(a — b) (a — c). .. (a — n)

(5)

(b — a)(b — c). . .(b — n)

Aw>

(n — a) (n — b). . . (n — m)

Anmerkung. Da die Gleichung (4) eine identische ist, so müssen die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x auf beiden Seiten einander gleich sein. Auf diesem Wege ergeben sich n lineare Gleichungen, aus denen sich die Zähler A, B,.. .Webenfalls ermitteln lassen.

Beispiele. 1. Das Integral zu ermitteln:

r f(x) dx    f

3xs — 10 £c + 4

x³ — x² — 4 x + 4

dx .

x — 2 , = 2 , c = —2 ist, so —4 , f(—2) = 36 und

Da der Nenner m die Lmearfaktoren x — 1 x + 2 zerfällt, also a = 1 erhält man f( 1) = —3 , f{2) daher nach (5)

Ai)

-3

(1 — 2)(1 + 2)    -3

A2)

-4

(2 - 1)(2 + 2)    4

A-2)

30

( — 2 — 1)(—2 — 2) 12

Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen. Es ist somit

f{x)

x -f- 2

F(x) x — 1

lmdX “ 1(a: - - *(* - 2) + 31(* + 2) + 0

li. Jf(ekx)dx==jff(z)Y’

+ i(o-i>)srw + ...

(2)

,2X3

a<9 + "]

j^dx + ■“ 0

Vï/

lmdX “ 1(a: - - *(* - 2) + 31(* + 2) + 0

+ 0.

(x — l)(æ -{- 2)³

2. Das Integral zu bilden:

f f(x) dx ₌ r J F(x) J .

2x -f 34

xz — 2 x² — llx 12

Der Nenner enthält die Linearfaktoren x — 4, x — 1, x + 3 , daher kann man setzen

2x + 34

x³ — 2 x² — 11 x + 12

Hieraus folgt

2 x + 34 = A (x — 1) (x -f 3) + B (x — 4) (x -f 3)

+ C(x — 4)(cc — 1)

oder

2 x + M = x²(A + B + C) + x(2 A - B - 5 C)

-SA - 12B+ŹC.

Zur Bestimmung der Zähler erhält man also die Gleichungen

A+B + C= 0

2A-B- 5C= 2 , — SA - 12B+ 4(7 = 34 ,

(7=1.

welche aufgelöst geben A = 2 , B =■= — 3

Daher ist

f(x) dx

x + 3

= 2 l(æ — 4) - 8 l(x - 1) + l(aj + 3) + 0.

II. Die Zähler A ,B, G, .. ,,Nder Partialbrüche (2) lassen sich auch durch Ableitung bestimmen.

Ist a eine Wurzel der Gleichung F(x) = 0 , so enthält Fix) den Faktor (x — a) und kann somit auf die Form gebracht werden:

F(x) = (x — a) <p{x).

Um nun aus dem gesamten Bruch (1) einen Partialbruch mit konstantem Zähler und dem Nenner (x — a) abzusondern, setze man

w(x)

f(x)

F(x) x — a    9:{x)

oder

f(x) = A cp{x) + (x — a) xp{x).

Hieraus folgt für x — a :

<p(a) '

f(a)=A<p(a) und A —

Die Berechnung von (p(a) läßt sich umgehen, denn aus F(x) — (x — a) cp(x) folgt durch Ableitung

F\x) = cp{x) -F (x — a) (p\x)

und hieraus für x = a :

cp (a) — F'(a), d. h. es ist A

fip)

F'(a) ■

Sind also a, b, c, ..n die Wurzeln von F(x) = 0

so ist

f(a)

F'la)

B F\b) ’ °

f{n)

F(»V

F\c) ’

Der Ausdruck (2) nimmt somit, in Partialbrüche zerlegt, die Gestalt an:

f(x)

f(a)

(6)

F(x) (x - a) F\d) ^ (x — b) F\b)

f(n)

(;x — n) F\n)

woraus ersichtlich ist, daß die Integration des Differentials

fix)

dx auf Logarithmen führt.

Multipliziert man die Gleichung (6) mit F(x) durch, so erhält man die „Interpolationsformel von Lagrange“

(7)

mm , mm

(x - a) F'{a) ^ (x ~ b) F'(b) f(n)F(x)

(;x — n) F\n)

welche dazu dient, eine den Grad n nicht erreichende rationale Funktion f(x) zu bestimmen, welche für die n Zalilenwerte o, b, c, . .n der Veränderlichen z die Werte f(a), f(b), f{c)₎ .. ., f(n) annimmt.

Beispiel. Es sei das Differential zu integrieren:

—4 a;²— 16 a; + 38 x³— 3 a:²— 6a; + 8

Durch Auflösung der Gleichung F(x) — 0 erhält man als Wurzeln — 2 , 4, 1. Daher kann man setzen

7TÏ +

F(x)

dx =

dx .

F{x)

Zur Bestimmung der Zähler A, B, C bilde man nun F\x) = 3æ² — 6a; — 6, dann ist F/( — 2) = 18 , F'(i) = 18, r(l) - -9 ; f(-2) = 54 , f{4) - -90 , f(\) =18 und somit

54

-90

^ = Ï8 = ³’£= 18

-5, C =

18

-9

= —2 .

Daher ergibt sich die Partialbruchzerlegung

f(x)

F(x)

£c+2 X — 4 x — 1

f(x) dx

und als Integral des Differentials

— der Ausdruck

’f{x) dx

F(x)

= 3\{x + 2) - 5 l(x - 4) - 2 l(x - 1) + G

(x + 2)²

(x — 4)⁵(x — 1):

fC.

HI. Treten im Nenner imaginäre “Wurzelfaktoren auf, so kann .man die Zerlegung in Partialbrüche in derselben Weise vornehmen wie oben.

Hat man zu der Wurzel a -j- * b der Gleichung F(x) = 0 oder zu dem Faktor (x — a — ib) von F(x) als Nenner eines Partialbruches den Zähler

(8)

f(a + i b) F'(a + ib)

erhalten, so erhält man nach § 10 zu der konjugierten Wurzel a — ib oder zu dem konjugierten Wurzelfaktor x — a + i b von F(x) notwendig den Zähler

(9)

f(a — i b)

F'(a - ib)

=~p — iq

Partialbruchzerlegung rationaler Punktionen. 31

und alsdann durch Vereinigung der beiden konjugierten Partialbrüche

(10) >-*1

x — a — i b

Die Integration liefert alsdann

no Pf

2 j)(x — a) — 2 b q x — a + ib    (x — a)² + b²

2 (x — a)

d(x — a)

{x — a)² + b²

= p l{(æ — a)² -j- fc²} — 2 q arc tg— - .

Dieses Resultat kann angeschrieben werden, sobald p -f- i q bekannt ist.

Enthält also der Nenner imaginäre Linearfaktoren a ib und a — i b, so bestimmen sich die Zähler der betreffenden Partialbrüche nach (8) und (9), und es können alsdann die betreffenden Partialbrüche unmittelbar nach (11) angeschrieben werden.

(x — a)² -j- b²

dx —

2bgJ,

Beispiele.

j durch Partialbruchzerlegung

Ç dx

1. Das Integral I—— auszuwerten.    ^ '

Der Nenner xs— 1 zerfällt in die Linearfaktoren

x³ —

rH <N

(M

V5).

Daher ergibt sich die Partialbruchzerlegung

X -J-

rH IW

rH |C>3

Nun ist f(x) = 1, F(x) == 2c³ — 1, F\x) = 3 a:², daher C== F(l) “ 3*’

ai

+ /ä) ³ (- + (- -

F'

i-i KM

rH KM

Ml <s>.

mi <s>.

Ml

rH KM

Ml *».

somit ist nach der obigen Bezeichnung p = —

V3

q —    , daher ergibt sich als gesuchtes Integral

6

2a;+l

V3

r 3/^

2. Ermittle ebenso das Integral /——

J •

a: dx

a:⁴ + 1

dx .

3.

Das Integral /-J *

a:³ + 1

zu ermitteln.

§ 12. Partialbruchzerlegung bei mehrfach vorkommenden Wurzelfaktoren im Nenner.

1. Lehrsatz: Enthält der Nenner F(x) den Faktor (x — a) Ä-fach, so läßt sich der Bruch

in zwei Teile von der Form zerlegen:

F(x)

(1)

f{x)

fi (*)

F(x)

[x — a)

(x — a)k ~¹ cp (x)

wo A eine Konstante und fx{x) eine rationale Funktion von x ist, deren Grad kleiner als der Ton f(x) ist.

Bringt man die rechte Seite der Gleichung (1) auf gleiche Benennung, so folgt durch Vergleichung der beiderseitigen Zähler

(2)

f(x) = Ak(p{x) + (x — a) fx (x).

Hieraus folgt, daß, wenn f(x) vom Grad m ist, /j(z) nicht höher als vom Grad m — 1 sein kann, und weiter für x = a:

f(a)

f(a) — Akrp{a) oder Ak =

womit A bestimmt ist.

Setzt man den Wert von Ak in (2) ein, so ergibt sich für ft(x) der Ausdruck

fi(x) =

f(x) rp(g) — f(g) cp(x)

(x — a) 99 (a)

dessen Zähler durch x — a teilbar ist, welche Werte die Funktionen f und cp auch annehmen mögen.

Wie sich aus

fix)

F(x)

der Partialbruch

Ak

ab-

(x — a)k

scheiden läßt, so kann auch das zweite Glied auf der rechten Seite der Gleichung (1) weiter zerlegt werden:

fi(x)

Ak-i

Ux)

(x — a)k~¹ cp{x) (x — a)*_1 Man findet

(x — a)k~²<p(x) ‘

fiix) = Ak.l(p{x) + (x — a)f₂(x)

und hieraus Ak_ k ==

fi («)

cp(a)

usw.

Junker, Integralreoknuug.

Fährt man so fort, so gelangt man zu folgender Darstellung des Bruches (1):

/'(*)

s&k

A-l

^k-2

k-l

(3)

(x — a)k 1 (x — a)

(x — a)

yj(x)

(p(x)

k-2

und erhält den

Lehrsatz: Enthält die echtgebrocheneFunktion

f(x)

den Faktor (x — a) Ä-fach im Nenner, so

läßt sich dieselbe in der Form (3) in Partialbrüche zerlegen.

2. Berechnung der Zähler Ak, Ak_j, ..., A₁ . <x) Enthält der Nenner außer (x — a)k keine weiteren Faktoren mehr, so kann man setzen

f(x)

sh

sh-1

(x — a)k

(x — a)

{x - a)

k-l

sh -2

k-2

(x — a)

Hieraus folgt, indem man mit (x — a)k durchmultipliziert,

f(x) = Ak + Ak~i(x — a) + Ak.₂{x — a)² + ...

+ At (x — a)Ä_1 .

Wird diese Gleichung (k — l)-mal nach x abgeleitet und in den erhaltenen Ableitungen x = a gesetzt, so resultiert ein System von Gleichungen, aus denen sich ergibt

4k = f(a)₁ Ak_i =

womit man als Integral des obigen Ausdrucks erhält

/,

f(x)

(x — a)

7 dx =

4

Ak

(k — \) (x — a)

4-1

4-2

A-l

(k — 2) (x — a)

--f- l(x — a) .

a

Beispiel.

x² + 4 A ₃    A    Al

(x - 2)³ ~ (x - 2)3 + (x - 2)2 + x - 2 '

— 2A. .

f(x) = x² + 4 = yj₃ + A (x — 2) + Al (x — 2)2 /"'(x) — 2 x = A -f- 2 A (x — 2) f"(x) = 2

Hieraus folgt für x = 2

A = 4

somit ist

(x - 2)²

x² + 4

(*-2

i«*-

/?) Der Nenner enthalte außer (x — a)* noch andere ein- oder mehrfach vor kommen de Wurzeifaktoren, deren Produkt 9o(x) sei. In diesem Falle setze man

f{X)

A- 1

(x — a)k 9s (x)    (x — a)

(x — a)

4-1

yj(x)

woraus folgt

f(x) = <p(x){J* + Ji_i(x — a) -f ... -f Ay (x — a)*-¹}

+ xp (x) (x — a)*.

Wird diese Gleichung &-mal nach x differentiiert und hernach überall x = a gesetzt, so ergibt sich ein System von Gleichungen, aus denen sich die Zähler A berechnen lassen.

Sind hierbei die in cp (x) enthaltenen Faktoren sämtlich verschieden, so ist es zweckmäßig, die denselben entsprechenden Partialbrüche nach § 11 zuerst zu bestimmen und dieselben mit dem Ausdrück links zu vereinigen, wodurch der entstehende Bruch mit den Faktoren von (p{x) vereinfacht werden kann.

Beispiele.

f(x)

3 x — 4 x²

A₂

F(x) (x — l)²(x-j- 2)    (x— l)² x—1

F\x)=2(x—l)(x+2) + (x-l)², 5

Es ist somit 3 x — 4 x²

/*(—2)

CO CO

F'(—2)

22

4l

(x - l)² (a; + 2) ' 9 (x + 2) (x - 1)

und

11 — 14s

^8 + A{X — 1) , A₂--

, A₁—~

14

somit ist 3x—4x²

/i

dx

14

22

(x—l)²(x-j-2)

2. Das Integral

3(05— 1)    9

x*dx

(x² - 1)

zu ermitteln.

Man erhält unmittelbar die Partialbruchzerlegung 2 x² — 1

x⁴

(x² — l)² .

(x² - l)²

(*- !)

B,

(x + 1)

X -J- 1

Hieraus folgt

2x² — 1 = J₂ (x + l)² + Ą (x — 1) (x + l)² + B₂ (x — 1) + Bx (x + 1) (x — 1)

und hieraus durch Ableitung

4 a; = 2 J, (x + 1) + Ą {(* + l)² + 2 (x — 1) (x + 1)} + 2B₂(x - 1) +Ą<(*- 1)* + 2(x— l)(x + 1»

Setzt man in diesen Gleichungen zunächst x — dann x = — 1, so folgt

1 = 4Ą

— 4 = -ŁB₂ + 4Ą

1 = 4A2 4 — 4 A₂ -f- 4 Aj und hieraus

Ą-J, Ą = -

CO

U».

A — —

^2 — ₄

Daher ist

x⁴

(x² - 1)

-1 +

4 (x - 1)2 T 4 (x — 1) ' 4 (x -f 1)2.

x⁴dx

4(x + 1) ² x³ — 3 x    3 x    1

2 (x* — 1)    4 x + 1 ‘

4(x + 1) (x² - 1)2 = x - 4(x - 1)

- jl(x + 1) =

III. Abschnitt.

Integration irrationaler Differentiale.

§ 13. Die Irrationalität besteht nur in gebrochenen Exponenten von x oder in der wten Wurzel aus einer linearen Funktion von x.

Erklärung. Das Differential f(x)dx heißt irrational, wenn in der Funktion f(x) die Veränderliche x unter einem oder mehreren Wurzelzeichen auf tritt.

Im folgenden sollen nur die Fälle besprochen werden, in denen sich die irrationalen Differentiale durch Änderung der Veränderlichen in rationale Differentiale verwandeln lassen.

a) Enthält die Funktion f{x) nur ganze und gebrochene Exponenten von x, deren kleinstes gemeinschaftliches Vielfache k sei, so setze man

x — ik, dx = k tk~¹ dt,

dann wird

(1)

f(x) dx = kf(ik) tk~l dt

ein rationales Differential und kann daher nach den Methoden des vorigen Abschnitts integriert werden.

Beispiele.

Man setze x = t¹, dx = 2 t dt, dann

1.

dx

x +

geht das gegebene Integral über in

2 t dt

Ebenso erhält man für x = t²:

2.

11-^ œ 4    _ 4 l(|/^ -f- l) .

/1 + y *

3.

o?.r

yä^ y®

. Man setze x = *⁶, so folgt dx = 6 t⁵ d

und

dx

re*⁵^ afp** cd

ji,+‘s ‘+¹ j\

hl-

y^

4.

(2)

fx + a I i^x

b) Ist das zu ermittelnde Integral von der Form

J = ff(x, V)dx >

die nte Wurzel aus einer linearen

Funktion von x ist, so setze man

(3)

a 4* « x

b + ßx

= yn oder x —

b yn — a

oc — ßyn ’

dann folgt hieraus durch Differentiation

(4)

dx — n(<x b — ßa)

yn~¹dy

(<% — ß yny womit das Integral (2) übergeht in

J — n(otb — ß a)

byn — a \ yn~x dy

*-ßyn ’ V)J*-ßyny ’

d. h. in ein solches einer rationalen Funktion von y allein, das nach dem vorigen Abschnitt behandelt werden kann.

Lehrsatz: Enthält das Integral (2) keine andere Irrationalität als die nie Wurzel aus einer linearen Funktion von æ, so geht dasselbe durch die Substitution (3), bzw. (4) in das Integral einer rationalen Funktion von der Form (5) über.

Beispiel. Das Integral

zu ermitteln.

xdx

y a -\-bx

= y₂J(y² - a)dy = 3yM -3ay)

⁼⁼yy^hx~ 2a)ia + bx.

Übungsbeispiele.

2 I-71-

== y a + b x .

J]/a + b xdx —    y (ci -J- bx)³ .

Setzt man y a + bx = y, so folgt hieraus a -\-bx — y² und bdx — 2ydy, womit das Integral übergeht in xdx

~ja -\-bx

fa bx

‘7—

2.

3.

Jx yśTa

— xdx =

2 ,-

— (x — 2 a)(3 x -f 4 a) ]2 a — -LO

4.

^ ^ ~ dx = y a² — x² + a arc sin^-.

5.

f(b + x)Yä

— xdx —

j(a — x)l —+ b)(a — x)%.

6.

dx

-= — arc tg

x^x — a ya

§14. Ausdruck zweiten Grades unter einer Quadratwurzel.

1. Enthält das zu integrierende Differential neben rationalen Ausdrücken von x keine andere Irrationalität als die Quadratwurzel aus einer ganzen Funktion zweiten Grades in x, ist dasselbe also von der Form

W = y a + 2 b x + c x²

und a, 6, c reelle Konstanten sind, von denen c nicht verschwinden soll, so gilt auch hier der

Lehrsatz: Ist f(x,W) eine rationale Funktion von x und W läßt sich das irrationale Differential f(x, W)dx durch Einführung einer neuen Veränderlichen stets auf ein rationales Differential zurückführen und daher nach den Methoden des vorigen Abschnitts integrieren.

Wie eine einfache Überlegung ergibt, kann die Funktion f(x, W) stets auf die Form gebracht werden:

f(x, W) dx

wo

wo

W = ]/a + 2 b x + c z² ist, so

(1) f(x, y«+ 2bx-\-cx²) = F(x) -f

<p(x)

y) (x)ya + 2 bx + cx²

wo F(x), (p(x), y)(x) ganze rationale Funktionen der Veränderlichen x sind.

Der erste Teil rechts kann als rationale Funktion von x nach den Methoden des vorigen Abschnitts unmittelbar integriert werden.

Entwickelt man alsdann im zweiten Teil der Glei-nach der Methode der gebrochenen rationalen Funktionen in Partialbrüche, so erkennt man, daß dieser Teil nur Glieder von der Form

chung (1) den Bruch

cp(x)

vK*)

(2)

£Cn

oder

(x - k)n IV

enthalten kann, wo W =    + 2 bx + ex² gesetzt ist.

Die Integrale dieser Funktionen aber können mit Hilfe zweier Reduktionsformeln auf das Integral

"dx

dx

^a-\-2bx-{-cx²

zurückgeführt werden.

Um dies zu zeigen, differentiiere man den Ausdruck xn~¹ W nach x:

(& + c x)

/yW — 1

dx .

d(xn~¹ W) — (w — 1) xn~² Wdx -J--

cn

Diese Beziehung geht umgeformt über in

/Y»W — 1

d(xn~¹TV)-b(2n-l)—

xndx

— 2

dx—a(n—l)—çy-dx

und gibt integriert die Reduktionsformel

b(2n — 1) Cxn~l dx a{n — 1) fxn~ ² dx

j W en J W

xn dx

—x*~xW-

cn

cn

welche für jeden ganzzahligen Wert von w^O Gültigkeit

hat.

3,2,1 gelangt man

Durch fortgesetzte Anwendung dieser Formel für n = w , n — 1 , n — 2 , . schließlich zu dem Integral

f dx

J(x- k)m W ’

wo m — m, m — 1, .. ., 3, 2, 1 sein kann. Setzen wir hierin x — k = z, x = k Ą- x, so wird dx = dz und

a -\- 2bx cx² = a-f 2 b(k + *) + c(& + ²)³

= a -f- 2 b k -j- c k² -j- 2 (b + c k) % -f- c z2 = a' -f 2 b' z + cz², und es geht das obige Integral über in

dz

dx

(x k)m W J zm ya' -|- 2 b z -t- cz²

d. h. in ein solches von der Form

(3)

"dx

dx

y a + 2 bx cx²

<p(f)

Die von den Partialbrüchen aus Glieder der Funktion (1) sind von der Form

xp{x)

herrülirenden

f dx

Jxm W

Da die Formel (3) für alle möglichen "Werte von n, also auch für negative, gültig sein muß, so können wir n — 2 = —m setzen. Alsdann ergibt sich nach einiger Umformung die weitere Reduktionsformel

xm W

(4)

- -_/2L ₊ 4₍aM_8)[-dx

a(m — 1) \xw#~1 v    J xm

+ —

~lw

die für alle Werte von 2 brauchbar ist, für m = 1 dagegen kein Resultat liefert. Für m = 2 läßt sich das

Integralj' mit der Substitution — ~dx

x²W

überführen in

r_dx

J !

xW '

Das letztere geht

dx

—i- — dz über in

dz

2b

x²

d. h. in ein solches von der Form (3).

Wir gelangen deshalb zu dem

Lehrsatz: Die in dem Integral der Funktion (1)

//•(*, TF)ä'-/W*.+fZ||

nach Zerlegung der Funktion

(p(x)

yj{x)

in Partial-

brüche auftretenden Einzelintegrale von der Form

oder

xndx

(x — k)m W lassen sich sämtlich auf das Integral

(5)

ß? ₌ L

Jw 1

dx

a -f- 2bx cx²

zurückführen.

2. Um bei der Ermittlung dieses Integrals imaginäre Faktoren nach Möglichkeit zu vermeiden, sollen folgende Fälle unterschieden werden:

a) Ist c> 0, also positiv, so setze man

Ą- 2bx cx² = t + æ/tT ,

dann ergibt sich

t²-\-2tx^c=a-\-2bxmui2tdt-\-2xpcdt-\-2tpcdx=2bdx} woraus folgt

dx =

und

'dx

dt

b — vfc

--4=

fc

cx-fcW) oder

J b — tpc

--4=i (6+

fc

= il(b + cx + feW) .

fc

Ist der Koeffizient c unter dem Quadratwurzelzeichen positiv, so läßt sich das Integral (4) auf einen Logarithmus zurückführen. b) Ist c < 0 , also negativ, so ist

Lehrsatz :

ß-h

e dx

|!(b² — ac) — (b -j- cx)²

Setzt man hierin b + cx

p² —

so geht das Integral über in

dx =*

ac

—p²-acdt c

__1 f dt

Jw    y=ijyr=<i

1    . b 4-cx

= arc sin -    —.

p² — ac

Lehrsatz: Ist der Koeffizient c des Gliedes cx2 unter dem Quadratwurzelzeichen negativ, so läßt sich das Integral auf einen Arcussinus zurückführen.

(6)

f=i

Die Formel (6) ist unbrauchbar, wenn b² — ac = 0 ist, was nur eintreten kann, wenn neben c auch a negativ wird. In diesem Fall ist -f- 2 bx + cx² — |a -f x |/c und

(7)

'dx

dx

JF

r = 4=l (xfc + ^a).

x yc + ]/a yc

Das Integial ist imaginär.

3. Setzt man y an Stelle von TF, so stellt die Gleichung

(8) y = ^a-\-2bx-{-cx² oder cx² — y²-\-2bx-\-a = 0

a) für c>0 eine symmetrisch zur x-Achse liegende Uyperbel mit den Asymptoten

N.

y.

Vs

-J

r b

y ~ ~\~xyc-\ -

fc

Fig. 2.

ist bei veränderlichem t durch

dar; b) für c<0 und b² — ac^O eine Ellipse bzw. einen imaginären Kegelschnitt dar. Im ersten Fall

y — xrfc -\-t

ein Parallelstrahlenbüschel angezeigt, dessen Strahlen parallel zu einer Asymptote der betreffenden Hyperbel sind und diese daher nur noch in einem im Endlichen liegenden Punkt schneiden können. Die Koordinaten dieses

dx

Punktes wie auch das Differential — lassen sich deshalb

y

rational durch den Parameter t ausdrücken: a — t²

= xfc + t, dx =

afc — bt

(t^c-b)

dt.

Im zweiten Fall c < 0 und b² — a c > 0 stellt die Gleichung (8) eine zur æ-Achse symmetrisch liegende Ellipse dar, welche dieselbe in den Punkten y — 0 , x — <x und y = 0, x = ß schneiden möge. Dann ist deren Gleichung auch angegeben durch

t/2 ₌ c (x — <x) (x — ß) .

Bei veränderlichem t stellt alsdann y = t(x — a) ein Strahlenbüschel durch den einen jener Punkte (<x , 0) dar,

rJJ

((KO)''

({(■O)

Fig. 3.

\

dessen Strahlen die Ellipse je nur noch in einem Punkte

dx

treffen, dessen Koordinaten sich mit dem Differential —

rational durch den Parameter t ausdrücken lassen. Man erhält

— cß

p—'y=

t* (X

tc(<x — ß)

i² — c

dx =

2c(<x — ß) tdt

{t² - c)

§ 15. Ubungsbeispiele.

a) Um das Integral

dx

/ ^ dx=JK + a»

auf das

Integral zurückzuführen, setze man J W.

₁xn~¹ + an_₂xn~² + ...

71-

Cd 'T

+ 0dx + oc₀)W+ ßj—

wo (Xn-i, oin-21 • • • > &i ,    5 ß Zahlenkoeffizienten be

deuten, die sich berechnen lassen, indem man vorstehende Gleichung differentiiert und nach Wegschaffung des Nenners W die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x auf beiden Seiten miteinander vergleicht. Wie dies im einzelnen Fall ausgeführt wird, soll an folgendem Beispiel gezeigt werden.

dx — (<x₂ æ² + «i * + <%₀) yl — x²

1. Zur Reduktion des Integrals setze man 3x³-2x²-\-5x-\-2

/i—a:²

— X² 5

dann ergibt sich nach beiderseitiger Differentiation und Wegschaffung des Nenners

3 a;³ — 2x²-\-5x-j-2 = (2a₂x-}- aj (1 — a;²)

— (<x₂ a;² + ax x -f- <%₀) % + ß und hieraus durch Koeffizientenvergleichung 3 = — 3cc₂, — 2 = — 2, 5 = 2oc₂ —<x₀, 2 = oc₁+ß, woraus folgt oc₂ = —1, a₁ = l,<x₀==— 1, ß — 1 .

dx = (—x² -\- x — 7) /l — x3 -f- arc sina;.

Es ist daher 3x³ — 2x²-\-bx-\-2

yi-*²

2.

Weitere Reduktionen: xdx

//3 +

2x — 5x²

5 ₅yö

arc sin

3.

x² dx

)fa -f- 2 bx -f- cx²

2 c 2 c²

4.

+ T?V»—*lw

foa² + x²dx = jW + jl{x + W)

dx = W + arc sin — 2    2    a

- x — a    a²    . a — x

ax — x² dx = —-— W--— arc sin-

2    2    a

!ï±±W-jHx + a+W).

Verstellt man unter c eine positive Zahl, so gelten folgende Integrale:

5.

6.

7.

8.

9.

a² — x² dx

a² — x²

//2

ax Ą- x²dx —

dx

a-\-2bx-\-cx²

dx

fc

f -\- 2bx — cx² fc

= — arc sin

cx — b

f² -J- ac

10.

dx

y a² -f- x²

\{x + f² -j- x²)

11.

dx

x

= arc sin —

12.

xdx

} a -f 2 bx + cx2 c

daher ist für c y 0

J u i. \ nSj L: f v r al r e c h b u n

x dx

— JF + —pl(& + cx — VcW) cfc

13a.

J \a 2bx cx2    c

und für c < 0

13b.

/---W+-^=

\a-\-2bx-\- cx% c    c ]/ — c

b) Integrale von der Form

arc sin

b -f- cx

1b*

— ac

dx

£ = —, dx = ~~ % ’    z*

J (x — k)m y«+ 2 b x -f- cx²

werden durch die Substitution x —

auf solche von der vorigen Art zurückgeführt, wie die folgenden Beispiele zeigen:

14.

dx

dz

]/ 2 .t - 3 a;²

f2z—S

=—pz—3

f?’

15.

dx

(x — 3))/^2_2a:-h3

/6

16.

dx

(x — l)² y 1 — x³

~y

17.

dx

xya-4-2ix-j-cx²

)rl +2z œ J_x a + bx + fa']V

für a> 0.

f    dx    1

/-; .    ______ “    UTC Sin

; x }' a -f 2 b x -f- c r*    — «

für a < 0 .

18.

a bx

a /•

J ^A+2Bz + Cx²' G = a -j- 2 bp + cp² ge-

J (x — p)k y» -f- 2 b x -|- c x²

wo A = c , J5 = 6 + c^, setzt ist.

§ 16. Höhere transzendente Integrale und Funktionen.

In den vorhergehenden Paragraphen ist die Integration der algebraischen Differentiale f(x)dx für folgende drei Fälle behandelt worden. Es war f(pc) von der Form

2. f{x) — (p[x,

1. f{x) = (p(x) gleich einer rationalen Funktion von x, j* ! a + b x

c dx/

3. f[x) — cp(x,

Die Integrale dieser Funktionen sind, wie wir gesehen haben, durch algebraische, logarithmische und zyklome-trische Funktionen darstellbar. Dies ist jedoch nicht mehr der Fall, wenn fix) entweder die Quadratwurzel aus einer den zweiten Grad übersteigenden ganzen Funktion von x oder höhere Wurzeln aus nichtlinearen Funktionen enthält. Funktionen dieser Art werden .als höhere transzendente Funktionen bezeichnet.

Erklärung. Enthält die Funktion fix) die Quadratwurzel aus einer ganzen Funktion dritten oder vierten Grades von x, so wird

/f{x, y« -j- b x -f c x² -f- d x³ + e x⁴) dx

nach Legendre als „elliptisches Integral“ bezeichnet. Ein solches Integral ist außer durch algebraische, logarithmische und zyklomotrische Funktionen noch durch elliptische Funktionen darstellbar

4*

dx

%r~¹dz

Treten noch höhere Funktionen unter dem Wurzelzeichen auf, oder sind in f höhere Wurzeln aus nichtlinearen Funktionen von x enthalten, so gelangt man zu den sogenannten „hyperelliptischen Funktionen“, die wie auch die elliptischen Funktionen aus dem Kreise unserer Betrachtungen weggelassen werden sollen, da ihr Studium den Rahmen der Elementarmathematik überschreiten würde.

TV. Abschnitt

Integration transzendenter Differentiale.

§ 17. Transzendente Differentiale.

Erklärung. Ein Differential f(x)dx heißt transzendent, wenn f(x) einzelne oder mehrere der transzendenten Funktionen a*, e*; sincc, cos x,_ tgx, ctgx] arcsinæ, arc cos x, arc tgx, arcctgx enthält

Bei der Integration transzendenter Differentiale kommen hauptsächlich folgende Methoden in Betracht: a) Integration durch Substitution einer neuen Veränderlichen;

ß) Reduktion der Integrale auf einfachere derselben Art mit Hilfe der teilweisen Integration nach der Formel

du

u — dx — uv — dx

v — dx:

J dx

y) Integration durch Rationalisierung des gegebenen transzendenten Differentials (siehe § 20);

<5) Integration durch Reihenentwicklung.

§ 18. Integration transzendenter Differentiale durch Substitution.

a) Ist f eine algebraische (rationale) Funktion der elementaren transzendenten Funktionen

ex, sin9?, cos99, tg<p, ctg9?, arcsin«, arccos«, arctg«, arc ctg«,

so lassen sich die folgenden transzendenten Integrale durch die beigefügten Substitutionen direkt in Integrale algebraischer (rationaler) Funktionen überführen.

1. Jf(ekx) ekx dx — -^Jf(x)dx, x = ekx, dx = kdct dx.

²- =ff(z) dz> *

3.    J f(smcp) C0S90 dcp — f f(x) dx ,

dx = COS99 dcp .

4.    Jf(coscp) sinç? dcp — — Jf(x) dx, x — cos^ dx = —sin9? dcp.

=jA*) dx,

dx

— 1«, dx = —

x = sin cp

5.

dcp

cos² cp

dx = d tgcp —

dcp

cos²9? *

6.

dcp

sin²99

= -fA*) dx

* = ctg cp ,

dx — d ctg cp = —

dcp

sin²9? '

—fo)

dx, x = arc ctgx ,

f ,    . dx

1 + x²

dx — d arc ctgx — —

10. f( arcctgx)

1 + x² ’

b) "Wie die folgenden Integrale transzendenter Differentiale in solche algebraischer Differentiale übergeführt werden können, zeigen die beigefügten Substitutionen:

¹

1 (t -}- 1) = 2 \{^~x -j- l) .

z = eix

7.

f( arc sin x)

dx

y i — x²

dx = d arc sinx ==

f(z) dz , z = arc sinx

dx

]/l — x²

8.

Jf(

arc cosx)

dx

yi -«²

dx = d arc cosx ==

=— if(z)dz, x = arc cosx,

dx

y i — x²

r    dx c

9. J f(arc tgx) ₁    -₂ = J f{x) dz    z

dz = d arc tgx =

- 'S

= arc tgx ,

1 + x² *

li. Jf(ekx)dx==jff(z)Y’

d^ = kdx.

12.    f(sin<p) dcp = f(z)

dz

yi — x² ’ <p — arc sinx , dcp —

dr

fl— ’

13.    //"(cos99) dcp =—jf(z)

dz

cp = arccos^ , dcp =

dz

1+z²’ (p = arc tgz , d(p =

yi-*²

« = tgç> ,

1 -f *² *

15. Jf(ctgç>) dcp = —Jf{z)    dZ

1 + z² ’

99 = arc ctgs , dcp =

z = ctgç? ,

1 + *²*

Setzt man * = sin99 , so folgt hieraus:

cos 99 = yr—&²

= V¹ -*²

tg99 =

yi — z² '

Ctg cp

dz

daher ist allgemein

16. Jffawcp, COS99, tg99, ctgcp)d(p

- /5{* 9

yi — *²

yi — ä² ’

yi — ** ’

Man sieht hieraus:

Jedes transzendente Differential, “welches die trigonometrischen Funktionen sin 99, cos 99, tgg9, ctg 99 enthält, läßt sich durch Substitution in ein algebraisches Differential überführen.

56

Integration transzendenter Differentiale. Beispiele.

1.

2.

r    ça x    _

(eax + y?)d* =--f 2]/ë* .

fjr=TJx-²¹V

— 1) — X .

3.

r_dx

J <

4.

/,

e* + e~x ex dx

= arctge® .

2 {f - l)² '

5.

6.

7.

J (e® — l)8 J((? + e~x) dx = ex — e~x . f dx

J sin²* r_dx_

J <

=*= —ctgx.

COS²X

= tg*.

dcoax

cos*

= —1 (COS *) .

Jctgx dx = l(sin*) .

10. jtgkxdx = —-|-1(cosä;*) .

11.

/'

12.

=J( 1 — sin²*)(ia: = y-|-jsin 2 * .

sin⁸* dx = —    (2 + sin²®) cos* ,

cos²* dx

sin²*

= —ctg*.

cos²*

§ 19. Integration transzendenter Differentiale durch allmähliche Reduktion.

1. Integrale von der Form

jxm gkx dx

werden durch die teilweise Integration nach der Formel judv = uv — jv du

gelöst. Setzt man

u — xOT

dv = eh * dx =

\delcx »

so folgt hieraus, wie schon aus § 7 zu ersehen ist, die Reduktionsformel

(1)

/*■

e* x dx =

xmeix

Je

HS

xm-iekxdx .

Beispiele.

1.    Jx exdx = ex{x—1).

2.    jx² ex dx = ex(x² — 2 x + 2) .

3.    Jx³ ex dx = ex (x³ — 3 x² 6 a: — 6) usi.

2. Integrale von der Form J f (Ix) dx werden auf solche der vorigen Art zurückgeführt, indem man setzt

(2)

x = \x , x = e* , dx — ezdx

jf(lx) dx — jf (x) e² d* .

Beispielsweise ist

1.    Jlxdx = Jxe²dz =    — 1) — x(lx — 1).

2.    J(lx)² dx — jx² ezdz = ez (z² — 2 z -j- 2)

= x {(lx)² — 2 lx + 2} .

3. J{lx + l}rfx = xlx .

. ÛO

3.    Wie schon in § 8 weiter ausgeführt worden ist, lassen sich auch die folgenden Integrale durch allmähliche Reduktion ermitteln.

JsmmxdXi Jcosmxdx} Jsinmx cosmx dx x ^ ^ Jxksmxdx, Jxkcosxdx.

4.    Auch die folgenden Integrale können mit Hilfe der teilweisen Integration ermittelt werden.

Jx = Jeaxcosbxdx , J₂ = Jeax smbxdx .

Man erhält nach dieser Methode

«4=4

«4 = —

a f

sin&æ —— / eax smbxdx ,

1    , a f

— ea*cos bx 4- —/< b    bj

ax

eax cosbxdx ,

woraus sich ergibt

Jx = eax

acosbx + bsinbx

a sinb x — bcosbx

. «4 =

a² + b²

5. Integrale, welche Kreisfunktionen enthalten, wie z. B. J/(arc sina:) dx, werden durch die Substitution

« = arc sin« , x = sin« , dx = cos xdz

zurückgeführt auf

a² -f- b²

j/(arc sina:) dx — Jf(z) cos« dz ,

die nach 1. oder nach § 8 zu behandeln sind.

Beispiele hierzu finden sich in § 7, Nr. 5—9.

rdjc

6. Der Integrallogarithmus J — kann nur durch Reihenentwicklung näherungsweise ermittelt werden,

§ 20. Integration transzendenter Differentiale durch Rationalisierung.

Die Methode der Rationalisierung eines Differentials f(x)dx ist mit Vorteil anwendbar, wenn f(x) eine rationale Funktion der elementaren trigonometrischen Funktionen sing?, cos 9?, tgg?, ctg 9?

ist.

Setzt man in einem Kreis vom C Radius 1 die Koordinaten des Punktes P:

OA = x

'r

0 •*- J OP-OC• j

AP = y,

so ist

(1) cos cp — X

sm (p = y ,

tg<p = —

ctg 9? =

Zieht man nun CP, so ist /_ OCP = und man tg-^- =    — = A oder 9? — 2 arctgA setzt, so folgt

u 1 -p X

1 - A2 1 -f A² ’

sin cp —

wenn

(2)

1 + A² ’

cos 9? =

, ctgcp = -

-A²

2T“>

2dX

tg?> = ₁ _ ^

womit angezeigt ist, daß durch die Substitution (1) jede rationale Funktion der elementaren transzendenten Funktionen sin cp , cos cp, tgg?, ctg cp als rationale Funktion des Parameters A dargestellt werden kann. Somit gilt der Satz: Jedes transzendente Differential f{<p)d(p₎ \ welches nur trigonometrische Funktionen der Veränderlichen <p rational enthält, läßt sich als rationales Differential darstellen.

1 + A*

Bestimmte Integrale. Beispiele.

60

1.

itgf

J sm<r> JA    2

d(p

dv + j)

= ltg

3.

ftgydcp =j-

2 A 2dX

— A² 1 + A²

₌ iLti⁸ „ i-L

1 — A² cosç?

-/i

dF

dF

- A²

t -f A*

= —1 COS (p

4.

Jctgqod<p = —Jtg(j ~ v)d(j- ⁽p)

— 1 sin g?.

Y. Abschnitt.

Bestimmte Integrale.

§ 21. Das bestimmte Integral.

Bezeichnet man mit F(x) eine Funktion, deren Ableitung f(x) ist, so heißt J f(x) dx — F(x) -f- C das unbestimmte Integral der Funktion f(x) mit der Konstanten G. Diese läßt sich bestimmen, indem man der Veränderlichen x einen Wert beilegt, durch welchen das Integral verschwindet. Ist a ein solcher, also

Jf(a) da — 0, so ist auch F(a) + G — 0 und G

= -m.

Wir erhalten alsdann das bestimmte Integral

j f(x) dx = F(x) — F(a)

a

wo x die obere und a die untere Grenze heißt.

a

J f(x) dx

Lehrsatz:    Das bestimmte Integral

zwischen den Grenzen a und b wird erhalten indem man ohne Rücksicht auf die Konstante das unbestimmte Integral ermittelt und die Differenz der Werte bildet, welche dasselbe bzw. für x = a und x = b annimmt.

(1)

jf(x) dx = F(a) - F(b) .

Beispiele.

i.

i“'

= a³ + — a³ + — a³ =

71

2. ¹

sin xdx = —cosæ

71    -

= — COS^ + cosO = 1 .

*■Ir-

«

x² + a²

—arc tg- = — {arctg 1 —arc tgO) = ™

,c

§ 22. Das bestimmte Integral als eine Summe von unendlich kleinen Größen.

Es sei y — f(x) eine Funktion von x, welche innerhalb des Gebietes x = x bis x — a eindeutig, endlich und stetig ist, dann zeigt die durch y — f(x) dargestellte ebene Kurve zwischen den Punkten P und Q mit den Abszissen x und a einen stetigen Verlauf. Der Inhalt der Fläche PABC, der von den Ordinaten y = f{x), b = f(a), der Abszissenachse und dem Kurvenbogen PQ begrenzt ist, sei U. Teilt man die Strecke AB = a — x

Q.

'!/

Mm

P.

SS

II

+JC

Jl

CL

CL

1 ig. 6.

Fig. 6.

(Fig. 5 und 6) in n gleiche Teile A x und errichtet man in den Teilpunkten Lote, welche den Bogen PQ in den Punkten P₁, P₂, . . . treffen mögen , dann ist*) der Flächeninhalt U näherungsweise angegeben durch

P» — A x {f(x) + f(x -j- A x) + / (x -j- 2 A x) -f- ;. .

(1)

+ f{x + [n — 1] A)} oder Uń — A x {f(x -f A x) -f f{x + 2 A x) + ...

-f f(r -} r> A x)} ,

*) Sammlung Göschen, Ihh 8V, £ 7Ö.

D. best. Integral als Summe v. unendl. kl. Größen. 68

wo Un bzw. U'n eine Summe von Rechtecken darstellt, die kleiner bzw. größer als U ist:

Un<U> U'n.

Durch Subtraktion der Gleichungen (1) erhält man U'n — Un — Ax {f(x -f n A x) — f(x)} .

Läßt man hierin n immer größer uud damit A x immer kleiner werden, so nähert sich die rechte Seite dieser Gleichung mehr und mehr der Grenze 0, d. h. es ist lim(£7'- Un) lim Un = limî/n .

Zufolge dieser Gleichung kann aber die Ungleichung (2) nur bestehen, wenn

(2)

(3)

(•*)

oder

n — oo

(5)

lim J7n = U = lim £7' ist. Es ergibt sich somit der

Lehrsatz: Jede der beiden Summen (1) nähert sich mit unendlich wachsendem n dem Grenzwert £7, der geometrisch den Inhalt der Fläche PABQ darstellt.

AVie die Gleichung (1) zeigt, kann dieser Inhalt als eine Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Rechtecken angesehen werden.

Entwickelt man in dem Ausdruck für Un jede der Funktionen f(x + i A x) nach Potenzen von i Ax und faßt die Koeffizienten gleicher Potenzen von A x zusammen, so läßt sich lim£7n, wie in § 78 der Differentialrechnung gezeigt worden ist, durch die Potenzreihe darstellen:

limf7„ = {a — x) f(x) + <77 (a ~ x)² f(x)

3!

+ 777 (a - xY m + • •

welche unter den gegebenen Voraussetzungen konvergent ist und den Grenzweit U besitzt. Es gilt somit der Lehrsatz: Der Inhalt U der Fläche PABQ ist ausgedrückt durch die konvergente Potenzreihe

U— (a — x)f(x)+~(a - x)*f(x)+^{a - x)⁵ f"(x)+ ...

Ist nun J f{x) dx = F(x) + C das unbestimmte Integral des Differentials f{x)dx, so folgt hieraus durch Ableitung

(7)    f(x)=F'(x), f'(x) = F"(x), f”(x) = F'"(x),...

Entwickelt man alsdann den Ausdruck F(x) -f- C mit Hilfe des Taylorschen Lehrsatzes nach Potenzen von x -j- h, so folgt

h    7/²

F(x + h) + C= F(x) + 0+ T F\x) + 27 F'\x) +...,

oder wenn wir h = a — x setzen und die Bedingungen (7) berücksichtigen,

F(a) = F(x) + (a — x) f{x) +    (a — x)*f{x) + ...

oder

F{a) - F(x) == lim 14, - U.

Da nun der Annahme gemäß F{x) das unbestimmte Integral des Differentials f{x)dx ist, so stellt nach dem vorigen Paragraphen F(a) — F(x) das bestimmte Integral desselben Differentials zwischen den Grenzen a und x dar. Es ist daher

(8)

77= lim 77n = ff(x) dx = F(a) - F(x)

woraus die Sätze folgen:

Lehrsätze über das bestimmte Integral. Lehrsatz: Das bestimmte Integral

J f{x) dx == F(a) — F(x)

des Differentials f(x)dx stellt geometrisch den Inhalt der Fläche U dar, der von den Ordinaten y = f(x), b — f(a) der Punkte P und Q mit den Abszissen x und a, der Abszissenachse und dem Bogen QP der Kurve y — f(x) begrenzt wird.

Nach den Gleichungen (6) und (8) läßt sich das bestimmte Integral des Differentials f(x)dx auch alsGrenzwert einer Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Elementen betrachten, welche in (1) mit Un oder Uń bezeichnet ist.

Vergleicht man (6) und (8) miteinander, so gelangt man zu dem weiteren

d

Lehrsatz: Das bestimmte Integral jf(x)dx des

X

Differentials f(x)dx läßt sich in eine konvergente nach Potenzen von (a — x) fortschreitende Potenzreihe entwickeln, deren Koeffizienten durch Ableitung von f{x) erhalten werden.

jf{x) dx — {a — x) f(x) +    x)² f'(x)

1

Dieser Satz kann dazu dienen, ein bestimmtes Integral mit endlichen Grenzen nur mit Hilfe der Differential-reclinung zu berechnen.

'    § 23. Lehrsätze über das bestimmte Integral.

1. Aus Formel (1) des § 21 ergibt sich durch Vertauschung der Grenzen a und b unmittelbar der

J u nVpr, Integralrechnung.

Lehrsatz: Ein bestimmtes Integral geht in seinen entgegengesetzten Wert über, wenn man die Grenzen miteinander vertauscht Es ist

a    b

£fix) dx = — Jf{x) dx .

(1)

2. Zunächst folgt der weitere Lehrsatz: Ein bestimmtes Integral wird stete gleich Null, sobald die Grenzen einander gleich werden.

(2)

J fix) dx = 0„.

a

3. Nach § 21 ist der Wert des bestimmten Integrals zwischen den Grenzen a und b :

I f(x) dx = F(a) - F(b) .

Da nun jederzeit in identischer Weise die Gleichung erfüllt ist:

F(a) - F(b) = F(a) - F{c) + F(c) - F(b)

so folgt auch

a    a    t

(3)

jf(x) dx = Jfix) dx £f(x) dx .

Lehrsatz: Anstatt die Integration von der Grenze b bis zur Grenze a direkt auszuführen, kann man auch eine oder mehrere Zwischengrenzen c einführen und zunächst von der Grenze b bis zur Grenze c integrieren und nachträglich die Integration von c bis a fort-setzen.

Integration bis x — oo usw.

G7

Geometrisch bedeutet die Formel (3), daß man den Flächeninhalt PABQ auch als Summe der Flächenteile PA CB und RCBQ betrachten kann: denn es ist Fläche

=j f{x) dx ,

a

Fläche B CB Q — j f(x) dx 0

PACB

b | 'm

■—"-• 7////////////V,

woraus man durch Addition er- 0 hält

'J

•////WM,

a.

PABQ = PA CB + BCBQ oder

Fig. 7.

a    c    «

J f(x) dx = f f(x) dx Ą- j f(x) dx .

b    k b    e

§ 24. Integration bis x — oo oder bis und über ein« Unstetigkeitsstelle von f(x).

a) Integration bis x = oo.

Ist die Funktion f(x) eindeutig und stetig für alle Werte von x 5? b , so kann man auch eine der Grenzen, z. B. die obere, unendlich groß werden lassen.

Erklärung. Nähert sich hierbei das Integral einem bestimmten Grenzwert

Hm {F(x) - F(b)> ,

* = oo

lim f f(x) dx = •=°

b

so heißt derselbe der Wert des Integrals für (die obere Grenze) x = oo.

In derselben Weise sind auch die FäHe zu behänd Jn, in denen die untere Grenze gleich -}-ao oder eine der Grenzen —oo wird.

§*

I f{x) dx — lim {F(a) — F{x)) J    x= +oo

+ oo

+ oo

Jf(cc) dx

= lim F(x) — lim F(x) .

x = +oo

-OO

y * j+jç2

+ JC

vlg. 8.

y’ihci

* JO

Fig. 9.

Ein solches Integral kann einen endlichen und bestimmten Wert erhalten oder auch unbestimmt werden, wie die folgenden Beispiele zeigen.

Beispiele.

+ oo

1.

= Y — arctgfc .

(Fig. 8.)

+ oo

2.

1 + æ²

(Fig. 0

-OO

- oo

3.

ax dx = —

ÊT -

, a>l .

(Fig. 10.)

Hierdurch ist der Flächeninhalt angegeben, der von der Exponentialkurve y — ax, der y-Achse und der negativen x-Achse begrenzt wird.

4. Unbestimmt wird der Wert des Integrals

OO

Jcosx dx — sin {x —

<X

oo) — sina = unbestimmt.

b) Integration bis zu einer Unstetigkeitsstelle von f(x).

Es kann auch der Fall eintreten, daß f(x) selbst für eine der Grenzen unstetig wird.

Erklärung. Wenn die Funktion f(x) für x — a durch Unendlich werden selbst unstetig wird, so bezeichnen wir den Wert des Integrals mit

x-a    x

• oo

-JC

Fig. 10.

*!/

U-tL*

Jf(x) dx = lim j'f{x) dx =

b    b

lim {F(x) — F(b)}x=a

für den Fall, daß sich hierbei überhaupt ein bestimmter Grenzwert ergibt. Ist dies nicht der Fall, so darf die Integration nicht bis x = a ausgedehnt werden.

Beispiele.

1.

x dx

J /a² — xa

o

2.

x² dx

/4^-*    ⁷¹ *

dx

3.

c) Integration über eine Unstetigkeitsstelle von f(x) .

Erklärung. Wird die Funktion f(x) für einen Wert x = c unendlich, der zwischen den Grenzen des Integrals b und a liegt (6 < c < a), so versteht man unter <iem letzteren den Grenzwert, nach welchem die Summe

ff(x) dx — lim ff(x) dx -j- lim / f(x) dx

J    X=CJ    *=CJ

b    b    x

*(/

H~

Fig. 11.

konvergiert.

Ein solches Integral kann einen endlichen und bestimmten Wert haben; es kann aber auch unendlich oder unbestimmt werden.

_ Beispiel. Die bino-

'•* mische Hyperbel 5. Ordnung, deren Gleichung

y*(x — l)² — 1 == 0 oder y =

ist, hat in x = 1 einen unendlich fernen Punkt. Der Inhalt des schraffierten Flächenstücks ist angegeben durch

dx

dx

(X - 1)?

)(X- 1)}

o

3(*-l)i [J + 3(x-l)ä

3 - 31—

—3y^I + 3 VI — 6 .

durch ein unendliches Produkt. ^1

Darstellung von

§ 25. Darstellung von — durch ein unendliches Produkt.

Integriert man unter der Voraussetzung eines positiven n in den Formeln (2) und (3) von § 8 zwischen deD

so folgt

71

Grenzen 0 und —

tu

1. für ein gerades n:

(1)

T

Jsmncp dcp = o

col y

tM 03

05 Ol

•n — 3 n — 1 ’ n — 2

2. für ein imgerades n:

71

(2)

T

Jsmn(pd(p =» 2

o

4    6    8

* 3 ' 5 ’T***w- 2

Da nun die Funktion sin 95 von 0 bis ^

positiven echten Bruch darstellt, so gilt für jedes ganzzahlige k > 0 :

stets einen

71

fl

( 3)    sin*cp > sin*⁺¹ cp und Jsin*cp dcp > jsin*⁺¹ cp dcp .

Setzt man nun hierin und in den Formeln (1) und (2) k=2n— 1 , k = 2 n ₎ so folgt

2 n — 2 ^

■" 2 n — 1    ‘ 2”

CM ICO

o»|

-oj 05

71    1

05 Ol

(*)

CO

5 2ra — 1    2    4

>_3 ' V

co |t>

oder nach einiger Umformung

4 6 6

' "ö" * 5 Y    2n-l*2»+r

Nun ist aber leicht zu erkennen, daß sich die beiden rechten Seiten dieser Gleichungen für w = oo der gleichen Grenze nähern; daher ist

}•

ik\ n t f² 2    4    4    2 w — 2

⁽⁾    3"T"‘ 2»-l ‘ 2n-l

71

Lehrsatz: Die irrationale Zahl — läßt sich darstellen durch das unendliche Produkt

(6)

CO y

<M tH

oo | co

CO

CO I>

00 [>

§ 26. Einige weitere bestimmte Integrale.

1. Mit Hilfe der teilweisen Integration erhält man die Rekursionsformel

-/=

— 1 r xn~² dx

» J /i - x* ’

Ist hierin n eine gerade Zahl, so gelangt man durch fortgesetzte Anwendung dieser Formel schließlich zu dem Integral

yi-x*

dx —

— — xn-x^l — x² + — n ’

— arcsinx,

— x²

für ein ungerades n schließlich zu dem folgenden:

=* — y~i — X®.

f xdx

Je nachdem n gerade oder ungerade ist, ergeben sich schließlich die beiden Endformeln

xn

dx

]/l — x2 (w— !)(«—3)...5

n — 1

-xn~³ 4- ...

n(n - 2)    ^

n(n—2)...4

a:J-+

n(n— 2)...4- 2

arcsinx + C.

cc”

yi —

dx

= -}/l -;r²(—

[ n

(w — 1) (n — 3)... 4 • 2

W~¹    g.-» I

n(n — 2)    ⁺"‘

) + c•

w (w — 2). .. 5 • 3 • 1 Nimmt man hierin das Integral zwischen den Grenzen 1 und 0, so folgt

a) für ein gerades n:

i

⁽¹⁾ /|/T^5 0

b) für ein ungerades n:

xn dx

(n — 1) (n — 3)... 5 • 3 n n(n — 2)... 4 • 2

(2)

xn dx

(n - 1) (n - 3)... 4 - 2

yl — x²

n(n — 2).. . 3 • 1

2. Nach der Binomialformel

(a + b)n = an -f- ^ j an_1 b -J-

CG s

an~²b² +

erhält man

(1 — £²cos²9?)^ = 1 — -^£²cos²<p — 2~~J fi4cos⁴g?

1-3

2-4-6

£⁶ COS⁶Cp — . .

Durch Integration und Benutzung der Formel (1) in § 25 für n = 2 , 4, 6 , ... ergibt sich hieraus das bestimmte Integral

Mia

(3)

/yi— e²w&cpd(p= yjl    ^-(274) 3f4

0    ¹

\2 -4= - 6/

Ö£⁶ —

das wir bei der Quadratur und Rektifikation der Ellipse und einiger anderer Kurven verwenden können (§ 30, 5). Ebenso erhält man die weitere Formel

31

(4)

Jp — e² cos¹<pd<p = nh — (^ f8—(2T4)

0    ¹

(±A\

\2 • 4 • 6/

Öfi⁶-

die wir ebenfalls später gebrauchen können.

YI. Abschnitt

Anwendung der Integralrechnung aut die Geometrie der Ebene.

§ 27. Quadratur der Kurven in rechtwinkligen Koordinaten.

Erklärung. Wie schon in der Differentialrechnung ¹) §11 imd § 69 ausgeführt wurde, versteht man unter der

Quadratur einer Kurve in rechtwinkligen Koordinaten die Berechnung des Flächeninhalts £7, der von den Ordi-naten zweier Kurvenpunkte P und Q, dem zugehörigen Kurvenbogen uud der Abszissenachse begrenzt wird.

*y

Lehrsatz: Nach Formel (8) bzw. (6) in § 22 ist der schraffierte Flächeninhalt U (Fig. 12) angegeben durch das bestimmte Integral

(1) u = / f(x) dx -- F(a) - F(b)

b

bzw. durch die konvergente Po- 0 tenzreihe

öl ,

#/////////////////

+JC

Fig. 12.

(2)

U-.(a-b)f(b)+±(a-byr(b)

¹

Sammlung Göschen, Bd. 87.

+ i(o-i>)srw + ...

Beispiele.

1. Quadratur der Parabel y = ax¹.

a x¹ dx =

~ar

b

CI

= ~wxy •

woraus für b = 0 folgt: £7 =

3

2. Quadratur der Spitzpunktsparabel y¹ = p¹x* .

= p(x% dx — — p x

t ⁵

f    p (x% — b%)

5 \b

woraus für b —

3. Sind m und n ganze positive Zahlen, so stellt yn — a xm eine binomische Parabel dar, die von der mten oder wten Ordnung ist, je nachdem w>w oder w> m ist und durch den Ursprung hindurchgeht.

Sind x und y die Koordinaten eines Kurven punkts P, so ist der schraffierte Flächeninhalt (Fig. 13) angegeben durch

U= a* x” =

m -f- n

1 « + 1 an xn —

xy .

JC

JO

"A**'

JC

Fig. 13.

Fig. 14.

Da nun Rechteck DOAP—xy ist, so ergibt sich für den nichtschraffierten Teil desselben der Inhalt

DOP =

xy .

vz -f- n

Lehrsatz: Fällt man von einem Punkt der parabolischen Kurve yn — axm Lote auf die beiden Achsen Ox und Oy, so teilt die Kurve das Rechteck DOAP in zwei Teile DOP und OAP, die sich wie vi zu n verhalten. DOP : OAP — m:n .

4. Sind m und n ganze positive Zahlen, so ist durch xmyn = a eine binomische Hyperbel (m + w)ter Ordnung dargestellt

Wird n > m vorausgesetzt, so ist der Inhalt des schraffierten Flächenteils (Fig. 14), der sich ins Unendliche erstreckt, angegeben durch

X

Ln ~ ™ — aW x n

1 n—m

:-xy.

n—m

ndx =--anX n

n— m

Das schraffierte Flächenstück zwischen der y- Achse und der Ordinate PA wird endlich, solange n > ra ist; es / wird aber unendlich, sobald n < m oder n = m ist, z. B. für x²y = a oder xy — a .

5. Quadratur der Ellipse

4 ₊ £_i_o.

y I uk\ \

a²

Fig. 15.

U.

-hi*

x₀

a² — x²dx

= (— a6arcsin--\- — /a² — -c²)

\2    a    2 a    1

x₀

*0

o* — x²dx =

Beschreibt man um O mit O A = a einen Kreis, so ist — a²arc sin— -f /a² — x² .

Li    du

*0

Für x₀ = 0 und x = a ergibt sich hieraus als Flächen-

71

inhalt des Ellipsenquadranten U= — ab und somit als

4

Inhalt der ganzen Ellipse U = nab .

Ist b = a, so geht die Ellipse in einen Kreis über, für welchen wie bekannt U = na² ist.

6. Quadratur der Hyperbel — — ~ — 1 = 0.

a² b²

Es ist y — — y*² — a² (Fig. 16) und

U= —

*«

to| ö, ö I

to| H

Hl

te

H

*0

ft

'7

.T 'JT

y

j&Li

-x

Fig. 17.

Fig. 16.

Für x₀ = a folgt hieraus

îid*+ »}.

2 \a ' b f

7. Die Exponentialkurve (Fig. 17) y = ax hat den Flächeninhalt

-/

*0

a*

ax dx = -—

la

*0

8. Für die Sinuslinie (Fig. 18) y = sihæ ist

x

U — J sin xdx *0

Fig. 18.

= — cosæ -f cosa^ .

Für x₀ = 0 und x = n ergibt sich als Inhalt eines Abschnitts U = 1 + 1 •= 2.

9. Für die Kurve dritter Ordnung (Fig. 19), welche die Gleichung besitzt:

y² x — a² (a — x) — 0 oder y — a

ergibt sich als Flächeninhalt über 0 x :

R.- /«

a — x

---------dx

yax — x²

= a²(arcsin"|/ — + — 1lax — x² ] V ) a a'    Jo

!i

I ÜCL

\*0

JO

(vgl. § 15) und hieraus für x = a als Inhalt der Fläche zwischen y-Achse, x-Achse und Kurve ^

⁷¹ 2 2° •

Daher hat die ganze Fläche zwischen y- Achse und Kurve den Inhalt J = 2Ua = na². jj Ein Flächenstreifen parallel zur x-Achse zu den Ordinaten 0 und y hat den Inhalt

-jxdy=J-

0

Ui

dy

a³

a² + y²

Fig. 19.

y

= a² arc tg~ •

71

Für y — oo folgt hieraus UU = Ua = — o².

u

Daher ist ebenso wie oben J — 2 UU — n a².

10. Für die Zykloide (Fig. 20), deren Gleichung in Parameterform x = a (cp — sin cp), y = a (1 — cos<p) ist, erhalten wir dx — a{l— coscp)dcp und als Flächeninhalt

Fig 20.

t    *P

— fudx = a* / (1— cos cp)² dy o *    “

= cfij’1 — 2 cos cp + cos²9?) d<p o

{^(p — 2 sinç? + -jjj- sin Ç? cos .

= a²

Für 93 = n folgt hieraus als Inhalt eines ganzen

Zykloidenabschnitts

Ui„ =*£ydx —

§ 28. Quadratur in Polarkoordinaten.

Erklärung. Unter der Quadratur in Polarkoordinaten versteht man gewöhnlich die Berechnung des Flächeninhaltes U, der von dem Kurvenbogen PQ, den Radienvektoren OP und OQ mit den Azimuts <p und <x begrenzt ist.

Die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten sei

wo r den Radiusvektor zum Kurvenpunkt P und cp das zugehörige Azimut bezeichnet. Läßt man alsdann das Azimut 99 um die unendlich kleine Größe d<p zunehmen, so unterscheidet sich das zugehörige Flächenelement OPP/ — dU

—-dcp nur um

von dem elementaren Kreissektor OPD =

n .....T +m p

p\

J)

/’

'A

ST

Fig. 22.

Fig. 21.

eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung. Dieser darf deshalb an Stelle des ersteren gesetzt werden. Es ist also

(1)

dU =

-jr2d<P >

woraus sich durch Integration als Inhalt des Flächen-stiicks U (Fig. 22) ergibt

-!/•

<p

(2)

Lehrsatz: Ist die Gleichung einer Kurve in Polarkoordinaten gegeben r = f(cp), so ist der Inhalt der Fläche OPQ, welche vom Kurvenbogen PQ, den Radienvektoren OQ und OP (Azimut (X bzw. cp) begrenzt wird, angegeben durch das bestimmte Integral (2).

Junker, Integralrechnung.

Beispiel.

1. Die Lemniskate hat die Gleichung r² == a² cos 2 cp .

Es ist somit

ci

— Ja² cos 2 99 dcp = —

0

—- a² sin 2 oc . 4

7//////}/'////////////////,

CL

Für cc =

Fig. 23.

~{r = Q) folgt hieraus U =

Der Flächeninhalt, der von den beiden Schleifen der Lemniskate eingeschlossen wird, ist gleich dem Quadrat über OA = a der halben Symmetrieachse.

2. Die Kardioide (Fig. 24) hat die Gleichung r = 2 a (1 -f- cosç?)

daher ist

v    <p

⁼~2 J^a2(^-\~GOS(p)²d(p = 2a² ((l-\-2cos(p-\-cos²<p)d(p 0    0

= a² (3 99 + 4 sin cp + sin cp cos 99) somit ist die halbe Kardioidenfläche

71

= jjr*d<p =

3na² , also U = 6 na² ,

<Vy

V

/

D

/

/

/

%

4

6

m

A

u

V.

V

_

za

. y.

za

Fig. 24.

P

s

b.

/'

- -■    _b \\ b

°k•«.. " Ji Tu m J

•ff

Fig. 26.

«*

3. Allgemeinere Kardioiden (Fig. 25) ergeben sich, wenn man auf den von 0 aus gezogenen Strahlen von der Peripherie des Kreises aus eine beliebige Strecke b heraus- oder hereinträgt. Die äußere, bzw. innere Schleife erhält alsdann in Polarkoordinaten die Gleichung

r — 2 a cos cp + b Die erste derselben gibt für r = 2a + 6 und r = 0

bzw. r = 2 a cos cp — b .

daher ist der halbe

cp — 0 und cp₀ = arc cos Flächeninhalt der ersten Schleife angegeben durch

«Po

= Y/(4 a²cos²ç? + 4 a b cos cp + b²) dcp o

<p*

= ^jr*d(p 0

1 . <?« = — (2 a² -f- b²) cp -j- a² sin cp cos cp + 2 a b sin cp

*    o

«■=    (2 a² -f à²) arc cos    ^ 6 ]/4 a² — b².

Somit ist

U — (2 a² + 6²) arc cos    b y 4 a² — 6² .

Ebenso ergibt sich für den Inhalt der inneren Schleife

U' = (2 a² -f- b²) arc cos    ^ b y 4 a² — è² .

Aus beiden Formeln erhält man für i = 0 U — na2 als Inhalt eines Kreises vom Radius a, wie zu erwarten war.

4. Die in Fig. 24 dargestellte Kurve (Kardioide) läßl sich auch als Fuß punktskurve des Kreises (Fig. 26) erzeugen, deren Pol in der Peripherie liegt.

Diese erhält die Gleichung r = OD + DP = a cos cp + a oder r = a (1 -f- cos (p) ,

deren rechte Seite bis auf den Faktor 2 mit der Gleichung der Kardioide übereinstimmt.

T:

mro~r ,l

Fig. 26.

Fig. 27.

Der Inhalt dieser Kurve ist daher nach 2:

CO

to| S5

to| oo

Man sieht hieraus, daß die Fläche zwischen Fußpunktskurve und dem ergänzenden Kreis gleich der halben Kreisfläche ist.

Der Pol 0 kann auch innerhalb oder außerhalb des Kreises liegen.

Im ersten Fall ist, wenn 0 von der Peripherie die Entfernung b hat (Fig. 27),

r = OP = MB — MD = a — (a — b) cosç?.

Der Flächeninhalt der ganzen Kurve ist demnach

2 71

2 71

l\n

i oi

— b) cos ij> dcp

= n a² -f ^ (a — b)² ,

u

•wobei der zweite Ausdruck den Inhalt der Fläche angibt, welche zwischen Kreis und Kurve liegt.

Im zweiten Fall, wenn 0 außerhalb des Kreises hegt, erhält die Kurve einen Doppelpunkt im Pol und nimmt die Gestalt von Fig. 25 an, deren Inhalt berechnet worden ist.

§ 29. Näherungsformeln zur Quadratur der Kurven, a) Rechtecksformel.

Teilt man wie in § 16 oder § 78 der Differentialrechnung*) die Strecke A₀An = a — b in n gleiche Teile

a — b

(Fig. 28) von der Länge ô =- und zieht man

TI

durch die Teilpunkte A₀ , A₁, A₂, ... , A„ Parallelen zur «/-Achse, welche die Längen

y₀ = f(b) » Vi = fib + ô) > 2/2 = f(b + ² à),..., yn = f{a)

erhalten mögen, so läßt sich der Inhalt der Fläche P₀ A₀ An Pn näherungsweise als Summe von n Rechtecken von der Breite <5 durch jede der beiden Formeln ausdrücken.

(1) oder

Un = <5 (z/₀ + 2/l + 2/.2 fł~ • • • + Vn-l)

Uh — à{yx + y?, + y₃ + • •. + yn) , wo Un die Summe der kürzeren (schraffierten), IT die Summe der längeren Rechtecke darstellt. Ist U der wahre * Inhalt der Fläche P₀ A₀ An P„, so ist stets Un<U<U'n.

Wie schon in § 78 der Differentialrechnung*) gezeigt

worden ist, wird der Fehler, den man begeht, wenn man Uu oder U'n an Stelle von U setzt, um so kleiner, je größer n wird. Im Grenzfall ist

lim JJn = U — lim .

n=oo

b) Trapezformel.

Eine größere Annäherung an U wird bei endlichem n gewöhnlich erzielt, wenn man das arithmetische Mittel von

U    -ÆL

y    fiy¹

W = oo

Tn

il

ps

mil

mfM

ĄąmąmĄ

O ^ M A i jli .//j    « JLa

Fig. 29,

Un und Uń bildet und dieses an Stelle von Usetzt (Fig. 29).

Po

II

Rill Ï

_ ¹—'—\lyW/jhr///, h/mmA_

n\. Jl jl.jUji* ÄT*

Fig. 28.

Un

Po

UZ

(2)

-*(*

II n

2" + 2/1 4- Z/2 + • • • + Vn-\ + -g-j .

Geometrisch stellt diese Formel eine Summe von n Trapezen , Z7₂, U₃ , ..., Un von der Höhe <5 und den Grundlinien y₀ , y₁, y₂ ,..., yn dar. Die Formel (2) heißt deshalb auch Trapezformel.

c) Die Simpsonsche Regel gründet sich auf die Verwendung der Parabel y = a x² + ßx + y

zur näherungsweisen Berechnung von U.

Legt man durch die Punkte P₀, Plf P₂ , welche in diesem Fall die Koordinaten x₀ y₀, x₁ yx, x₂ y₂ haben sollen, obige Parabel, so gelten die Gleichungen y₀ = ocxl + ßx₀ + y 2/i = otxj + ßxx +y y 2 = a x\ 4- ß x₂ + Y > aus denen sich die Koeffizienten <x, ß, y eindeutig berechnen lassen.

(3)

Diese Parabel wird sich zwischen den Punkten P₀, Pl, P₂ im allgemeinen näher an die Kurve schmiegen, als dies für die Rechtecke in a) und die Trapeze in b) der Fall ist.

.Näherungsweise kann also zwischen diesen Punkten die Parabel an Stelle der Kurve gesetzt werden. Der Inhalt der beiden ersten Flächenstreifen ist alsdann näherungsweise

Ut + U₂

*2

=yi> x*+ß

®0

X + y) dx = ^ {x\ — xl)

+ -j(*2 - xl) 4- y{x₂ - x₀).

Sętzt man hierin x₂ — x₀ = 2 ô und benutzt die Gleichungen (3), so geht diese Formel über in

“ "g Ü/o + ⁴ V\ + Vi) •

Wählt man n gerade n = 2r und bildet ebenso U₃ + Z7₄, Un-1 + Un und addiert die erhaltenen

U* + Ü9t..

Ausdrücke, so ergibt sich als dritte Näherungsformel

Ô (

(4)

U = -g- |(2/o + y-2 r) + 2 (?/₂ + î/₄) + «

+ 4(2/1 + 2/8 + • • • + y%t-i

welche als „Simpsonsche Regel“ bekannt ist.

Beispiel. Für <5=1, h₀ ; \    h₁₀ = 4;

4,3; 4,1; 8,7 ; 3,1 ; 2,9; 3,2; 3,6 ; 4 ; 3,9; 3,1 ergibt sich nach den Rechtecksformeln

Un = 36,8 , K = 35,9 und hieraus nach der Trapezformel

K=\(Un + U'„) = 36,35 .

Die Simpsonsche Regel endlich gibt U= 36,5.

§ BO. Rektifikation ebener Kurven in rechtwinkligen Koordinaten.

Erklärung. Unter der Rektifikation einer Kurve versteht man die Berechnung der Länge s des Kurvenbogens QP zwischen den Punkten Q und P mit den Abszissen b und a .

Ist y = f(x) die Gleichung der gegebenen Kurve, so ist nach § 71 der Differentialrechnung*) das Linienelement angegeben durch

(1)    ds = ~ÿdx² + dy² = j/l -f- dx .

Durch Integration folgt hieraus als Länge des Kurvenbogens PQ (Fig. 30)

(2)

= /yi+ y'²dx = /y 1 + f'(x)²dx .

Lehrsatz: Die Länge des Kurvenbogens zwischen den Punkten P und Q mit den Abszissen a und b ist angegeben durch das bestimmte Integral (2).

Beispiele.

1. Für die Asteroide (Sternkurve) (Fig. 31), deren Gleichung x% -{-    ist, erhält man

y' = —x~i(a% —

y = (ai — xi)$ ds = il -j- y'² dx — aix~i dx ,

JC

CL

cl

Fig. 30.

Fig. 81.

somit ist

s — f a*x~* dx = ^-a.

i ²

Ganzer Umfang S = 6 a .

2. Die Kurve (Fig. 32) hat die Gleichung

9 ay² = x(x — 3 a)² ;

* ~ 3 g-[/a?

3    (/ a ’

daher ist y

y' =

also

6' —

IG

(er — a)²

Lax

der =

2^äx

»18

Für die halbe Schleife erhält man mit x — 3 a :

= 2 mß.

2 s = 4a/3 .

3. Für die Parabel (Fig. 3 3), deren Gleichung æ² == 2p y

Ganze Schleife

x²    x

ist, ergibt sich y = — , y — — und somit als Länge

d.*> Kurvenbogens OP (vgl. § 15,4)

*<x

•»

*x

Fig. 32.

Fig. 33.

OP — s =

1 + — dx = --f]\lp² -f x² dx o

x²

=    +*) + j y«²+^²}o

jo ₁ "/a;² + j?² + *

⁼ Y¹

4. Die Kettenlinie (Fig. 34) hat die Gleichung

daher ist y' =

*)

und

=    (.T

- a² = .AR.

1 + y'²dx =    + ⁶ a) dx

o

e~ T) = 1/ÿ*

yP <jcy)

ïï\

a>

Fig. 84.

Der Bogen der Kettenlinie vom tiefsten Punkt A derselben bis zu einem beliebigen Kurvenpunkt P{xy) ist gleich y^/² — a² , wo y die Ordinate dieses Punktes ist.

5. Rektifikation der Ellipse. In Funktion eines Parameters t lassen sich die Koordinaten eines Ellipsenpunktes P (Fig. 35) darstellen durch

9k

a.

As

0

D iE

fj

Fig. 36.

= a cos t =*= —a sin tdt

y = b sin t , dy — b cos t dt.

Bezeichnet man mit s die ganze Länge der Ellipse,

so ist

71

2 2

= J+ y'² dx — a ;/yi o    o

— £²cos ²tdt

ia² — b²

WO £ =

die numerische Exzentrizität bezeichnet.

Dieses Integral ist als ein elliptisches nicht in endlicher Form darstellbar. Entwickelt man jedoch die Quadratwurzel nach Potenzen von cos²f mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, so folgt

7t

CG

£²

£⁴

6⁶

— — cos²ź — — cos⁴1 — — cos⁶t — .. . )dt 2 8 16 /

£⁸ —

womit der Bogen der Ellipse durch eine konvergente Potenzreihe dargestellt ist. — Für a — b oder e — 0 geht die Ellipse in einen Kreis über, dessen Quadrant

S    71

bekanntlich einen Bogen von der Länge — = — a besitzt.

4    2

§ 31. Rektifikation in Polarkoordinaten.

Wendet man Polarkoordinaten an : x—r cos<p, y—r sinç?, so folgt hieraus

dx = drvosçp — r sin cpdcp, dy — drs'nup + r cos cp dtp.

Setzt man diese Werte in ds² — dx² + dy² ein, so ergibt sich für das Linienclement der Ausdruck

und hieraus durch Integration als Länge des Kurvenbogens PQ(Fig. 36)

(2)

-/NST

d<p.

Fig. 36.

Lehrsatz : In Polarkoordinaten ist die Länge P des Kurvenbogens PQ = s zwischen den Punkten P bzw. Q vom Azimut <x bzw. (p angegeben durch das bestimmte Integral (2).

Beispiele.

1. Für die Spirale des Archimedes ist r = a (p r' = a , also

v_ y_

= Jya² ç>² 4* a² dcp — ajy<p² -f- 1 dtp o    o

= -^{<P Vv² + ¹ + l(<P +    + !)} •

Vergleiche § 15, 4.

2. Für die Kardioide (Fig. 24) ist

r = 2 a(l -f- COS99) , r'= — 2 a sin9?,

= J}V² -f- r'² dtp = 2 a^y2 (1 + cos99)    ,

0    0

= 4 aJG0S~^ dtp =

0

8 a sin-Ç-.

2

Für <p — n ergibt sich hieraus als halber Umfang

g

der Kardioide - = 8a, woraus folgt S — 16a.

Li

3. Für die allgemeine Fußpunktskurve des Kreises (§ 28), deren Gleichung r = a — (a — b) cos cp ist, ergibt sich als Kurvenlänge

S — 21/a² + (a — b)² — 2 a (a — b) cos cpdcp o

= 2(2 a-

— A⁸ cos²^- d(p

u

wo A² = 4 a (a — b) : (2 a — b)² gesetzt ist.

Dies ist ein elliptisches Integral und läßt sich als solches in ähnlicher Weise wie der Ellipsenbogen (§ 29), durch Reihenentwicklung berechnen. Man erhält nach § 26, Formel (4)

rH |(M

3 • A⁴ —

4. Für die Länge eines Zykloidenabschnitts erhält man

2 71

S = a j^2 (1 — cos9?) dcp = 2 a j’sin^ dtp = 8 a . o    o

§ 32. Teilung von Flächen und ebenen Kurven.

a) Für rechtwinklige Koordinaten.

Nach § 27 ist der Inhalt U der Fläche BCDA dar-

a

gestellt durch die Formel U = £f(x) dx .

Ist nun ME — y die Ordinate des Punktes M₎ welche dieselbe halbiert, so ist offenbar

0    a

(1)

j f(x) dx = J f(x) dx

0    X oder, wenn F(x) das Integral Jf(x)dx bezeichnet,

F(x) - F(b) « F(a) - F{x)

Jt oder

(2) F(x) - i(F(a) + F(b)} .

| ~2

—»— hm/////

CL

Fig. 37.

Soll die Fläche B CDA durch die Ordinate y des Punktes M 73b in zwei Teile zerlegt werden, die sich verhalten wie m : n, so berechnet sich die zugehörige Abszisse aus

(3)

x    a

j f(x) dx : J f(x) dx =

m F(a) -f- n F[b)

m-

m ; n oder aus

Ist ebenso M der Mittelpunkt des Bogens AB (Fig. 37), dessen Koordinaten x, y sein sollen, so berechnet sich die Abszisse dieses Punktes aus der Gleichung

cc I Cd

co

Co

©*<

oder, wenn F(x) =* j ds gesetzt wird, aus

Der Punkt M teilt den Bogen AB im Verhältnis m : n, wenn die Bedingung besteht:

(4)

’ x a f ds : Jds — b %

m : n oder wenn

m F(a) -j- n F(b)

m -j- n

Lehrsatz: Die Abszisse des Punktes M, dessen Ordinate y die Fläche BCDA, bzw. den Bogen BA im Verhältnis m : n teilt, berechnet sich als Wurzel der Gleichung (3), bzw. (4).

b) Für Polarkoordinaten.

'U

-rJpgs.

Ist die Gleichung der Fläche in Polarkoordinaten r, Ço gegeben: r — f((p), so berechnet sich das Azimut rp, dessen Radiusvektor OP=r die Fläche AOB (Fig. 38) halbiert, aus

(X    y)

f r² dep — fr² dtp v    ß

cf.

JC

Fig. 38.

oder wenn <&(<p) = fr²d<p 0 gesetzt wird, aus

#(v0 = ł {$(«) + ®(ß)} •

Soll sich die Fläche OAP : OBP = m : n verhalten, so erhält man das Azimut ip des gesuchten Vektors OP

aus

(5)

OL

n f r⁸ d<p — v

<P(xp) =

¥

mfr*d(p oder

n <P(«) -f tn &(ß)

aus

JuuVer, Intagralrechaung

Ist xp hieraus berechnet, so ergibt sich der Wert des zugehörigen Vektors aus der Gleichung r — f(xp).

Ebenso berechnet sich das Azimut xp desjenigen Yektors, der den Bogen AB im Verhältnis m : n teilt, aus der Gleichung

(6)

<x    y>

njds = mjds oder v»    ß

n <P(oc) + m <P(ß)

aus

<P(xp)

Beispiele.

1. Die Fläche der Parabel y —px% durch eine Parallele zur y-Achse im Verhältnis m : n zu teilen.

Man berechnet die Abszisse x des Punktes P aus

x    a

n jp x² dx — m Jp x² dx

0 *

und erhält

«OL.

f m -f- n

also x =

x³ =

w + n

2. Fläche und Bogen der Kardioide r = 2 a( 1 -f cos9?) durch einen Radiusvektor zu halbieren.

Die Fläche wird durch einen Vektor vom Azimut y halbiert, wenn die Bedingung stattfindet:

XV    71

J r* dcp — Jr² dcp

0    xp

woraus sich als (transzendente) Bestimmungsgleichung für xp ergibt:

cos xp sin xp + 4 sin xp —

Der Radiusvektor (r, yj) halbiert den Bogen der Kar-dioide, wenn

y    71

Jds — Jd

0    yj

s oder wenn nach § 3T

2 sin ~ = sin = 1 oder

u    u

-^-=60° und r

ö

3. Den Kreisquadranton OAB (Fig.3 9) durch Paralleleir zu OB in n gleiche Teile zu teilen.

Ist PG = y die ktd Teilgerade, so | _/ff^ verhält sich Fläche    ° t~/C 1'f

-!-ł

-2a(l + i) =

3 a ist.

\B

BOCP : CPA — k : n — k)

daher erhält man zur Berechnung der Abszisse x des Punktes P die Gleichung

01 x C JŁ

Fig. 89.

*__a

(n — k) J y a² — x² dx = kj^a² — o    x

(» — k) |x y a² — x² + a² arc sin—j

x² dx oder

— a2 2

— x y a² — x² — a² arc sin—|

oder

^.Aa2.

2 n x

Setzt man hierin — = cos cp und demgemäß

x

= sin<j" und arcsin—

a

«ya² — x² -4- a² arc sin— = a

ya² — a:²

“*“2’

Anwendung auf die Geometrie der Ebene, so geht unsere Gleichung über in

cos 95 sin 93 -<P + J    = 0 »

die zur Berechnung des Winkels 93 dient.

4. Den Quadranten der Lemniskate r² = a² cos 2 <p durch einen Radiusvektor r, cp zu halbieren.

Man erhält als Bedingungsgleichung zur Berechnung

von 93:

J20s 2 93 d(p = Jcos2 93 dcp

0    <p und hieraus sin 2 93 == 1 — sin 2 93 oder 2 sin 2 93=1,

ji

sin 2 93 — g >

wodurch eine einfache Konstruktion angezeigt ist.

Soll die Fläche allgemein durch einen Radiusvektor im Verhältnis m : n geteilt werden, so berechnet sich das zugehörige Azimut 93 aus

n sin2 93 = m (1 — sin2 93),

93 =

1    . m

— arcsin--

2    m -4- n

und der Vektor selbst aus

r² = 2 a² cos 2 93 =

2 a²

• /n² -f 2ra«,

4__

y2 m n -f- n² .

r = al/—-

) m + n

YIL Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie des Raumes.

§ 33. Kubatur begrenzter Räume.

Erklärung. Unter der Kubatur eines Volumens versteht man gewöhnlich die Berechnung eines Rauminhalts, der von ebenen oder gesetzmäßig gekrümmten Flächen oder von beiden begrenzt ist.

oc-a

jr-r

jc-b

Ua

Eine Ebene x — x parallel zur t/«-Ebene schneide aus dem Körper (Fig. 40) eine Scheibe ABC vom Flächeninhalt Ut heraus, der mit Hilfe der gegebenen Flächengleichung F(x yz) = 0 in Funktion von x ausgedrückt werden könne:

Fig. 40.

um = f(x) .

Alsdann unterscheidet sich der Rauminhalt, der von der Fläche F(xy%) und den Ebenen x und x -f- dx begrenzt wird, um eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung von dem Inhalt des Zylinders, der als Grundfläche U und als Höhe dx hat. Dieser Zylinder darf daher an Stelle der Scheibe gesetzt werden. Die Summe aller dieser Scheiben zwischen den Ebenen x — b und x = a ist alsdann angegeben durch

a    a

= [ Uxdx = J f(x) dx .

(1)

Lehrsatz: Der Rauminhalt V, dervondenbei-den Yertikalebenen x = b und x = a und der Fläche F begrenzt wird, ist durch das bestimmte Integral (1) ausgedrückt.

Beispiele.

|/2

c²

b²

1. Die Gleichung a; = —— -j—-

stellt ein Paraboloid dar, welches die Ebene in x = 0 berührt und die xx- bzw. xy-Ebene nach den Parabeln x² = c²x bzw. y² = b²x schneidet. (Fig. 41.)

xaXoc

'y

Fig. 41.

Jeder ebene Schnitt U parallel zur y x- Ebene ist eine Ellipse, welche in der Entfernung x von dieser Ebene den Inhalt U= n b cx hat. Der Rauminhalt Vdes Para-boloids zwischen den Ebenen x = 0, x — a ist alsdann nach Formel (1)

V — Ti bcxdx

X²    71

= jibc— — —a²bc .

u    u

0

2. Das dreiachsige Ellipsoid (Fig. 42) hat bekanntlich die Gleichung

-1=0.

Ein Querschnitt, parallel zur t/s-Ebene in der Entfernung x gelegt, schneidet dasselbe nach einer Ellipse

— Va² — x2 a

dem

mit den Achsen

Inhalt 17 =

durch

Der Inhalt des ganzen Ellipsoids ist somit angfirehen

+a

dx = 7i ab c o

woraus für c = b = o als Inhalt einer Kugel vom

4

Radius a hervorgeht V = — na³.

-a

y\

Fig. 42.

Ö «

to to

ii

JC

PL

Fig. 43.

3. Das einmantelige Hyperboloid (Fig. 43) hat die Gleichung

ïî ₊ »!

a² ^ b²

Ein Schnitt senkrecht zur *-Achse in der Entfernung * von der x y -Ebene gibt eine Ellipse von den Halbachsen — l4-² + c², — )'x² + c2 c    c

und dem Inhalt U — n f f ? * -j- cB) .

x²

C²

Der Rauminhalt des eimnanteligen Hyperboloides ist

daher F

nabh

Für h = c folgt hieraus F ==

4. In der Entfernung c (Fig. 44) von der Ebene eines Kreises vom Radius a liegt parallel zur Kreisebene eine Leitlinie. An dem Kreisumfang und der Leitlinie gleitet beständig senkrecht zu derselben eine Gerade hin. Gesucht ist das Yolumen des erzeugten Konoids.

!\

'i\ /\V

11

iii VT-H

!/

rfd'j/'à-ÿ-âE

L l/a '

'y

Fig. 44.

Fig. 45.

Es ist U — y • c = c)/a² — x² , dF = Udx, also

+a    +a_

V = J Udx = cj]/a² — æ² dx =* 7ica* .

-a    -a

Schneidet die Leitlinie von der æ-Achse bzw. «-Achse die Stücke a' und c ab, so ist (Fig. 45)

U=y-x

+a

-/

Udx = c

— ye(l+ ) »

+a

./V»»—** ( i-f)

daher auch

dx = n c a*.

§ 34. Kubatur von Rotationskörpern.

In der ««/-Ebene liegt die Kurve (Fig. 46) y = f(x).

Dreht sich dieselbe um die x-Achse, so beschreibt irgend ein Punkt P derselben mit den Koordinaten x y einen Kreis vom Radius «/, der somit den Inhalt hat:

(1)

U=ny* = nf*(x).

JL

sr.-f

Fig. 4a

dV =*■ Udx — nypdx — n f²(x)dx .

Hieraus ergibt sich durch Integration als Inhalt des Drehungskörpers zwischen den Ebenen x = b und x — a:

Legt man in der Entfernung dx von derselben eine weitere Ebene senkrecht zur x-Achse, so schneidet diese aus dem erzeugten Umdrehungskörper einen zweiten Kreis aus, der mit dem ersteren und der Drehungsoberfläche einen Raum ein-schiießt, der sich nur um ein unendlich Kleines höherer Ordnung von dem Inhalt Q [AU-jf Udx des Zylinders unter- U scheidet, der zur Grundfläche U und zur Höhe dx hat. Dieser darf also an Stelle jenes Rauminhalts gesetzt werden. Es ist

¹

   2

0 folgt: U = — p X* — -

5    5

(2)

a    a    a

(3)

— J Udx = JiJy³ dx = njf²(x)dx .

Lehrsatz: Dreht sich eine ebene Kurve y = f(x), die in der ««/-Ebene liegt, um die «-Achse, so beschreibt die Fläche BCDA zwischen den Kurvenpunkten A und B mit den Abszissen

a und b einen Rotationskörper, dessen Inhalt durch das bestimmte Integral (3) angegeben ist.

Beispiele.

1. Die Parabel y = px² erzeugt bei der Drehung um die x-Achse «inen Umdrehungskörper, dessen Inhalt zwischen den Ebenen x = 0 und x = x angegeben ist durch

= 7i Jy² d x — jz Jj o    o

p² x⁴ dx = ~-p² x³ — ^-xy² . o    o

2. Dreht sich die schleifenförmige Kurve a² y² = x² (a² — x²)

um diex-Achse, so ist der Inhalt des erzeugten Rotationskörpers zwischen den Ebenen x — 0 und x = x

vom Inhalt V =

Die ganze Schleife beschreibt somit einen Körper 4    14

— 71 a³ = — • — ji a³ .

3. Durch Drehung der Cissoide (2 a — x) y² = x3 um die x-Achse wird ein Körper erzeugt, der den Inhalt

a

besitzt: Va

dx — 8 Ti a³

r x³

2 a — x

4. Der Rotationskörper der Asteroide (Fig. 31), deren Gleichung x% + y* = o* ist, hat den Rauminhalt

= ”J-

0

V,

|}/a⁴x²-l-y    .

= 7t f('i* — x'sY dx 3°    (a²

-377X -

Der ganze Inhalt des erzeugten Körpers ist somit

7i a³ — ——

32

i>5

105

5. Die Zykloide hat die Gleichungen x — a(t — sin*, y = a{ 1 — cos*) .

Bei der Drehung um die x-Achse erzeugt dieselbe 0\ a einen Rotationskörper vom

Inhalt V

— 7i J y² dx .

Fig. 47.

Nun ist dx = a(l — cost) dt, daher ist auch

V = jiaY(1 — cos t)³dt = 7i a³ {t — 3 sin*

+ -f (* -J- sin* cos*) — sin* cos² * — f sin*} ^ .

Der erste Abschnitt * == 2 n erzeugt daher einen Rotationskörper vom Inhalt V2n = 5 tt² a³.

6. Die Kurve (Fig. 47) by² -j- ax² — x³ — 0 beschreibt bei der Drehung um die x-Achse einen Rotationskörper, dessen Inhalt ist:

x = na

7i a⁴

V2b

(3 w⁴ — 4 n³ + 1).

= -^-J(x³ — ax²) dx =

§ 35. Kubatur von zylindrischen Räumen. Gegeben seien die Kurven y — f(x) in der xi/-Ebene und x = (p{x) in der xx-Ebene.

Gesucht sei der Rauminhalt V, der von den Zylinderflächen y = f{x) , x = o? (x) und den beiden parallelen

Ebenen x = a und x — b eingeschlossen wird (Fig. 48). Eine Ebene x = x senkrecht zur x-Achse schneidet aus dem Körper ein Rechteck PABB von den Seiten PA = z — cp(x) und PB — y — f(x) heraus, welches den Inhalt U = y % = f(x) <p(x) hat. Der Inhalt des Körpers zwischen den Ebenen x = b und x = a ist somit angegeben durch

(1)

V = fyzdx=J f(x) (p(x) dx .

b    b

Lehrsatz: Der Inhalt des zylindrischen Raumes, der von den beiden Zy-x-a, linderflächen y = /’(£) ~x %> — <p(x) t den Ebenen x— b und x = a, der zæ-Ebeneund derart/ -Ebene eingeschlossen wird, ist angegeben durch das bestimmte Integral (1).

Beispiele.

1. Den Inhalt des Körpers zu bestimmen, der von den beiden Zylinderflächen y² = x{2 a — x), z² = 4 ax der zx- und xy-Ebene begrenzt wird.

Man erhält y — ]/x (2 a. — x), z = 2 "fax ,

Tt

'z

Z* V/xf

AD

'y

yftxjj. Fig. 48.

2 a

V = J2^a x²(2 o

a — x) dx

2a

— 2 ~fäjx^2 a o

— xdx.

Setzt man ^2 a — x =»<, x = 2 a — t*} dx — —2 t dt so ergibt sich nach § 14 bzw. 15

|-f(2a

■|a/(²

a — x)z ,

— xdx —

— x)³ —

32

daher ist V = — a³V2 .

15

2. Der Rauminhalt, der von den beiden parabolischen Zylinderflächen z¹ = a x , y² — bx, der Ebene x — x und der xx-Ebene eingeschlossen wird, ist angegeben durch

Ml «

3. Den Rauminhalt (Fig. 49) zu bestimmen, der von der Ebene z — x tgcc, der Zylinder-

0Â

<i

JC

'!/

'y

Fig. 49.

Fig. 50.

fläche x² Ą-y² = a², der xy- und der zx-Ebene begrenzt wird.

Es ist y = f = y a³ — x⁸, x = <p = x t g a , daher

=JtgtX'xfa2 o

—x²dx= —

-£-(a²—x³j^tgoc =ia⁸tga.

Man erhält

v—/ ya² — x² y

o

aæ

— x² dx = J (a — x) ^ax + x² dx o

a²cc — æ⁸

~ÿax 4- x²

a.

x¹

+ ^a^jax + x²

3 ⁺ 12

~LaH{j+x+^+^)\o

°y

<*.

-h

JC

5. Den Rauminhalt (Fig. 51) zu berechnen, der von den beiden Zylinderflächen x = ya² — x², y — ya² — x² und den drei Koordinatenebenen begrenzt ist.

Es ist iv

=Jyzdx o

Fig. 51.

“/(a!

o

— x²) dx =

ja3

16

V=

somit

— a*.

3

§ 36. Oberflächenberechnung (Komplanation) von Rotationskörpern.

In der x y-Ebene liegt die Kurve y = f(x) (Fig. 52). Wird dieselbe um die æ-Achse gedreht, so beschreibt irgend ein Punkt P derselben einen Kreis vom Radius

Oberflächenberechnung von Rotationskörpern. 111

y = f{x), dessen Umfang 2 n y = 2 n f{x) ist. Die Sehne PP'= ds, welche den Punkt P mit dem benachbarten Punkt P' verbindet, beschreibt hierbei eine reifförmige Fläche, deren Inhalt

dU = 2 nyds= 2 n f(x) ds

ist. Hieraus ergibt sich aber durch Integration als Oberfläche des Umclrehungskörpers, den der Kurven bogen B A zwischen den Punkten B und A mit den Abszissen b und a beschreibt,

(1)

X'b

E.

\\

-iu—...

X.

ds

Fig. 62.

{2)U—2nj yds —2n J f(x)ds.

Nun ist bekanntlich ds = yi -f- y'² dx , daher ist diese Oberfläche auch angegeben durch

(3)

U = 2 7iI f(x) y 1    y'² dx .

Lehrsatz: Der Kurvenbogen AB zwischen den Ebenen x = a und x=b beschreibt bei der Drehung um die a;-Achse eine Rotationsfläche, deren Oberfläche durch das bestimmte Integral (3) angegeben ist.

Beispiele.

1. Oberfläche der Halbkugel, erzeugt durch Drehung eines Viertelkreises um die x-Achse.

Es sei x² + ?ya = a* die Gleichung eines Kreises vom Radius a, dann ist

a    a___

U = 2 7i I y ds = 2 7i J fa² — x²ds .

0    O

Anwendung auf die Geometrie des Raumes. a dx

, daher

Nun ist ds =

ya² — x²

a

U = 2 n Ja dx — 2 n a*. o

Die Oberfläche der ganzen Kugel ist daher, wie bekannt, 0 — 2U=4:jia².

2. Rotationsoberfläche der Sinuslinie y — sina: :

X

Z7, = 2 7t J y ds . o

Eb ist y'= cosx, ds = yl -f- cos²xdx , daher

25    _ X

Ux=*2 7if sinxy 1 -f cos²-cdx = —2 jijfY+cös^xdcosx o    o

= —2 71

|^^yi+cos²a: + -^-l(cosa; + yi-fc₀s²a:)|.

Ein Abschnitt der Sinuslinie beschreibt somit bei der Drehung tun die x-Achse die Oberfläche

+ 2 71

fê + ^l(l + y2)}=2^/2 + jjl(3 + 2/2).

* + 2*da:

3. Fläche, erzeugt durch Drehung der Parabel y²=2px um die x- Achse.

Es ist y — ^2px somit cc

jo -f- 2 a:

dx — 2 7i

u.-znfißr*-)/ 2x

0 '

=-^nfy(p + 2x)^p+2x.

16 Tr a² / sin³^d^-

J U Li

= — y * a² cosÇ ^2 + sin²-|^ •

Für 99 = 2 Tr folgt hieraus als Oberfläche eines rotierenden geschlossenen Zykloidenabschnitts

32

Oberfläche von Zylinderflächen.

4. Rotationsfläche der Asteroide x% -f- y« — a* .

Man erhält -^-0

=2

0

dx —

6 , -na\

12    3

~—n a² = — • 4 n a² . 5    5

somit 0 =

5. Für die Zykloide x=a{cp—sin<p), y=a(l—cosçj) ergibt sich dx = â( 1 — cos 95), dy = a sin 99,

sin 99 — cos 9? ’

»'“Ï

ds =

99

2 a sin-^- d(p , somit ist

U%n— — Tia² = — • 4?ra² .

§ 37. Oberfläche von Zylinderflächen.

1. Gegeben seien die beiden Zylinderflächen y — f(x) und x — cp{x), die sich nach der Raumkurve PQ durchdringen mögen.

Gesucht ist der Inhalt der Scheitelfläche PGDQ sowie derjenige der Stirnfläche PA BQ (Fig. 53).

Hat der Punkt T die Koordinaten xyx, so darf der Flächenstreifen TS bis auf eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung mit einem Rechteck von der Breite

Junker, Integralrechnung.

Fig. 5a

ds — dx² + dz² und der Länge y verwechselt werden, daher ist näherungsweise das Element der Zylinderfläche PCDQ:

(1)

düzx = yds = y

]M§)

dx .

Ebenso ergibt sich für das Element der Zylinderfläche PABQ:

(2)

dUyX = zds =

*1Mi)

dx ;

(Q

'0*0)

Fig. 54.

somit ist Scheitelfläche PCDQ angegeben durch

Lehrsatz: Die Oberfläche der Zylinderfläche PCDQ bzw. PABQ ist angegeben durch das bestimmte Integral (3) bzw. (4).

Oberfläche von Zylinderflächen.

115

2. Ist an Stelle der Zylinderfläche x = cp (x) die allgemeinere Fläche x = F(xy) gegeben, welche die Zylinder-fliche nach der Kurve PQ schneiden möge, so ist die Oberfläche PABQ == U des letzten Zylinders dargestellt durch

U = fxds = fF(xy)Jl + f²dx

(5) oder

U = fF(x,f)fL+fïdx.

X

.    Beispiele.

1. Rauminhalt, Stirn- und Scheitelfläche der Durchdringung der beiden Zylinder y² = a x — x², x² — 4 ax (Fig. 54) zu berechnen.

a) Der Rauminhalt ist nach § 35

a    x _

ax — x² dx

V = jyxdx — / ]/4ax] o    o

= 2 Jx y«²

o

— axdx — -—a³.

15

a

ß) Stirnfläche Uvx = Jxds .

o

Dabei ist

y = ja x — x², y'— somit Stirnfläche

2 yax — x²

, ds —

a dx

2 y« x — x²

Uvx

= a l/äf-

y x dx

Ą l'a x — x²

a

y) Scheitelfläche Uzx— J y ds^ .

o

/— f dx = alla -r=

of*~ x

Dabei ist

= 2 a².

fi ‘--i

n i—    . a

i == 2 y ax , x = __ yax

116 Anwendung auf die Geometrie des Raumes, somit Scheitelfläche

Ut

ax — x²

j/l + — dx =Ji x o

a² — x² dx

= - Va² - æ² + -^arcsin- “ = ^-a² . 2 ¹    2 a o 4

JO-<JL

JC

2. Durchdringung von Kreiszylinder und Kugel (Fig. 55)

y = y« x — cc² ,

« = y«² — æ² — y² = y«² — aæ.

a — 2 x 2 fa x — x²'

Man erhält y'=

a dx

ds =

2 fax — x²

somit ist der Inhalt der zylindrischen Stirnfläche

Fig. 66.

a    a

ra=Jtds^^Jfä²

0 0

— ax-

dx

fax — SC²

afa fdx '    : = a².

²Jfac

3. Durchdringung der Zylinderfläche y² — ax — x2 x² + y² x²

mit der Kegelfläche

Man erhält wie in Nr. 2

a²

c²

y = fax — x² ,

ds

adx

2 fax — x²

und somit für die ganze Oberfläche des Zylinders zwischen æy-Ebene und Segelfläche

2*7=2

adx

2~]/ax—a;²

2 c^a?—ax = 2 ac>

§ 38. Rektifikation der Ranmkurven.

Eine Raum kurve kann als Schnittlinie zweier Flächen, z. B. zweier zu den Koordinationsebenen senkrechter Zylinderflächen betrachtet werden, dann ist sie dargestellt durch die Gleichungen

x = x , y = f(x)

Sind die Koordinaten eines Punktes im Raum in Funktion eines Parameters t ausgedrückt,, so läßt sich eine Raumkurve auch darstellen durch die Gleichungen

. x = <p(ß), y =    0

Sind alsdann P und P' zwei benachbarte Punkto derselben mit den Koordinaten xyz, x Ą- A x, y + A y, % + A z , so ist deren Entfernung angegeben durch

As — ^A æ² + A y² + A z² .

Rücken die beiden Punkte P und P' unendlich nahe zusammen, so ergibt sich hieraus als Linienelement der Raumkurve

(1)

(2)

(3)

(4) ds =

(5)

ds =

* = g{x).

Z(0-

dx oder auch

dt .

Durch Integration folgt endlich hieraus als Länge des Kurvenbogens PQ (Fig. 56) zwischen zwei Punkten P und Q mit den Abszissen x₀ und x :

s =J fl + f'² + g'²dx

*o

x = <p(f)

Ï =- /V^'² + w'² + x'2 dt •

oder

X0 — <p{to)

Beispiele.

1. Die Schraubenlinie (Fig. 57) hat die Gleichungen x = r cos t , y — rsmt

z = t, daher ist 2 71

Lz.

.....ö\t

ri— -

Po

T~7*

JC

Fig. 56.

x' = —r sin<

Fig. 57.

y' — r cos t ,

somit 6' =

r² -J-

dt — 2^ y4 Tir² -f h² • t.

2. Die im vorigen Paragraphen, Aufgabe 2, auftretende sphärische Kurve hat in Polarkoordinaten die Gleichungen

z — a cos —

x = |-(1 + eosQ , î/ = |-sin<

Hieraus folgt

a

-sini

y' = jCOSt ,

a . t

2Sm2-

Der in Figur 55 gezeichnete Teil dieser Raumkurve erhält die Länge

71

71

s = j]/x'² + y'² -f- z'² dt = y*j/ o    o

a² a²

- + Tsin ²-dt

71

toi a

1 -j- sin² ~ dt.

Û

Dieses Integral ist ein elliptisches und kann auf die Form gebracht werden:

7t

to| a

Toosi,l<i(

welche zeigt, daß das Integral am einfachsten durch Reihenentwicklung zu ermitteln ist.

3. Die Länge der Schnittkurve der beiden Flächen

2 x8 3~ä²'

vom Ursprung bis zum Punkt P (’xyx) zu berechnen.

¹

Man berechne den Rauminhalt (Fig. 50), der von

²

den Zylinderflächen y — /’(r) — y® (a — z)

³

* = <p(jf) =«= ya² — æ⁸ und der ta:-Ebene begrenzt wird.

,2X3

X + J v*-x + y-

TLU. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Statik

§ 39. Momente eines Fnnktsystemes.

Erklärung. Hat ein materieller Punkt P<, in welchem wir uns die Masse vereinigt denken können, von einer festen Geraden g die Entfernung pi, so heißt das Produkt

(1)

Mr — p\ mi

das „Moment rter Ordnung“ der Masse mi in bezug auf die Gerade g.

.. , m„ gegeben (Fig. 58), die von g

ds = ]/ ¹ +

a⁴

a²

-(■+¥)

dcc.

Durch Integration folgt hieraus

Man erhält

,    2 z²

y= —r-

a²

und daher nach Formel (4)

Sind mehrere Punkte P₁, P₂, . . ., Pn mit den Massen m

die Entfernungen px, p₂ , ... , pn haben sollen, so heißt ebenso

i-r

(2) Mf = ^pï nu — mxp\ + m₂p\ + .. . + mnprn

das ,,Moment rter Ordnung des Punktsystems Plt Pa, ..

Pn“ in bezug auf die „Momentach.se“ g. Für r = 0 geht die Gleichung (2) über in

(3)

i = n

M₀ = jy¹ mi = m₁ +m₂ + ... + mn,

»=i

wo M₀ die Gesamtsumme des Massensystems darstellt.

fTltj

Für r = 1 heißt

i-n

P₃ 'Pi ''Pt

(4) M₁ = ^pimi=pi m₁

+ P2 m2 + • • • + Pn das „statische Moment des Punktsystems P₁, P₂ , .. . , Pn“ in bezug auf die Momentachse g.

Wählt man p so, daß

'TLS

Pe

Pi

m₇

Fig. 68.

p 2 mi*= 2 Pi rtii oder

Ps

m3

(5)

2 pi mi    M,

M₀

P== 2mi ™

ist, so heißt pM₀=p2mi das statische Moment des Schwerpunktes.

Für r = 2 heißt

(6)    M₂=* 2ptmi=plm₁+plm₂ +...+plmn

das „Trägheitsmoment“ des Massensystems in bezug auf die „Trägheitsachse“ g.

Denkt man sich die Massen m₁, m

.., mn nicht

in einzelnen Punkten der Ebene liegend, sondern auf einer Kurve, einer Fläche oder auch im Raum stetig verteilt, so treten an Stelle der Summenformeln (2) bis (6) Integrale, wie die folgenden Paragraphen zeigen werden.

§ 40. Schwerpunkt von krummen Linien.

1. Nehmen wir an, irgend eine Masse sei auf einer Kurve stetig verteilt und die Dichte der Belegung sei konstant und gleich g, so ist g ds die Masse, welche längs des Kurvenelements ds verteilt ist. Die statischen Momente dieser Masse in bezug auf die beiden Koordinatenachsen sind alsdann

gyds, bzw. gxds .

Durch Integration ergeben sich hieraus die statischen Momente des ganzen Kurvenbogens zwischen den Punkten P und Q mit den Abszissen a und b (Fig. 59)

a    a

j ! -Z— •

(1) fgyds, bzw. jgxds. • b    b

~5S

Fig. 59.

Erklärung. Der Schwerpunkt eines Gebildes ist derjenige Punkt, in welchem man sich die Masse des ganzen Gebildes vereinigt denken kann. Hat derselbe die Koordinaten £ und tj, so sind

(2)

a

rjjgds,

bzw

a

. $Jgds

die statischen Momente des Schwerpunktes des Bogens P Q in bezug auf die x-Achse bzw. y-Achse. Da nun im Falle des Gleichgewichts die entsprechenden Momente von (1) und (2) einander gleich sein müssen, so ist

oder

rjjgds = Jgyds , £jgds =jgxds

a    a

£ =Jxds : fd

a    a

V =Jyds :Jds,

womit die Schwerpunktskoordinaten des Bogens PQ bestimmt sind.

Lehrsatz: Die Schwerpunktskoordinaten eines Kurvenbogens zwischen den Punkten P und Q mit den Abszissen a und b sind dargestellt durch die Ausdrücke (3).

r-

/y>\"

2. Ist die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten gegeben:?* == f(<p), so ist gdsr sin99 das Moment des Elements ds in bezug auf die Polarachse x und ebenso gdsrcoscp das Moment desselben in bezug auf die ?/-Achse. Das Moment des ganzen L>

Bogens in bezug auf die Polarachse ^ bzw. y-Achse ist daher

tx    a

Ç — Jr coscp ds : jds

(4)

, rj = Jr sin cp ds : jds .

Die zugehörigen Polarkoordinaten A, yj des Schwerpunkts S berechnen sich alsdann aus

tgv> — I •

æ-vp+v".

Beispiele.

1. Für den Schwerpunkt des Yiertelkreisbogens er-

s>bt sich „

2. Jfür den Schwerpunkt des Asteroidenbogens (Fig. 61) erhält man mit Berücksichtigung von § 30 Beispiel 1

xds :

a

Jxds = fxä& x~b dx — a+frJx* dx — $■ a² ;

o

somit ist

Ç = t] = %a² : %a =    .

*ä

JL

*JC

Fig. 62.

Fig. éi.

3. Die Koordinaten des Schwerpunkts des (oberen) Bogens der Kurve 9 ay² = x(x — 3 a)² (Fig. 62) vom Ursprung bis zum Punkt mit der Abszisse x zu berechnen.

Man erhält für den oberen Kurvenbogen zwischen x = 0 und x = 3 a, für welchen y positiv ist,

3yfa = (Sa — x)]/x,

somit

y' =

2 fax ’

s — I ds — o

x+_3a,/x

3    ] a

Jyds —    (3 flx²+ 9 a² x — x³).

o

Daher ist

x (3 x + 5 a)

6(x + 3a) ’ ’ ~

7

3 a folgt hieraus £ = — a , 5

■f.-

3 ax² -j- 9 a² x — x³

6 a (x + 3 a)

Für x =

ötx

4. Für den Schwerpunkt des Bogens der Zykloide x = a (cp — sin cp), y = a (1 — cos (p)

erhalten wir

2 71

2 TV

£ ==j'xds :Jds = o o

8 Tr a²

2 7f

t] —Jy ds :Jds o o

32 a2 3-8a ~ ¥a *

§ 41. Schwerpunkt von ebenen Figuren.

Denkt man sich die Fläche PA BQ (Fig. 63) durch Parallelen zur y- Achse in Streifen von der Breite dx geteilt, so ist der Inhalt eines solchen bis auf eine unendlich kleine Größe zweiter Ordnung durch das Produkt y dx angegeben. Ist die Dichte der Flächenbelegung konstant und gleich q , so ist q y dx dessen Masse

y

und sind — • gy dx, bzw. x> Qydx die Massenmomente

u

jenes Streifens in bezug auf die x-Achse, bzw. y- Achse,

Die Momente der ganzen Fläche in bezug auf diese Achsen sind daher angegeben durch

bzw.

jfsy*dx ,

i

Jgxydx.

b

Sind daher £ und r\ die Koordinaten des Schwerpunkts der Fläche PABQ, so gelten die Gleichungen

rjjgydx=~jQy²dx, çjgydx =J

b    b    b    b

Qxytlx ,

woraus folgt

(1)

£ — jxydx : Jydxt

'b    b

a    a

y = j’y² dx:Jydx . b    b

‘"S“*

0 ^    7/ (Ix. JL

Lehrsatz: Die Koordinaten des Schwerpunkts der Fläche PABQ sind angegeben durch die Gleichungen (1).

Fig. us

Beispiele.

1. Den Schwerpunkt der Fläche der Parabel y* = 2px zu bestimmen.

Man erhält

jx j/2 p xdx B    3

= — X , YJ = -

5    ’    ' r

f ]'? )> r J.r

CC ; 00

x dx

2. Für den Schwerpunkt des Kreisquadranten (Fig. G4) x² + y² = erhält man nach Formel (2)

Ź/ss/Ay//////;

Pig. 64.

71

3. Für den Schwerpunkt des Ellipsen-quadranten (x — a cos*, y = b&int) erhält man

71

a    J

Jxydx = a²bJs

o    o

h,dx=afis

0 0

a² b

sin²* costdt = ——

7%

iH | <M

sin³* dt —

ab2 3 ’

a    2

sin²1 dt =

Jydx = abJs

o    o

laher ist

a²b

7i    4 a

: — ab = -—

b² n 4 b y = —— : — ab — —— '    3    4    3 7i

*    3*4

Für den Schwerpunkt der halben Ellipsenfläche ist

3 71

éb

!==0

’-lü-

4. Den Schwerpunkt der Zykloidenflâche zu bestimmen.

Es ist x = a(t — sinż) , y — a(l — cosf), also dx = a( 1 — cost) dt, dy — — asintdt und

2 71

jxydx = a³f (t — sinż)(l — cosf)²dt — Sn²a³ ,

2 n    2 jt

Jydx = a²^(1 — cos f)² dt — 3 n a² ,

2 n    2 n

\jy²dx — iaSJ(1 — cost)sdt — \na² .

Daher ist

f = Jxydx:Jydx =

rj = ^fy²dx:fydx =

3 n² a⁸

= na,

3 n a 2\na*    5

8*'

Sna²

§ 42. Schwerpunkt einer beliebigen Figur.

Es sei der Schwerpunkt der Fläche U (Fig. 65) gesucht, die von den beiden Kurven y = f{x) und y = <p(x), sowie den beiden zur «-Achse senkreckten Geraden x = a und x = b begrenzt wird.

Man erhält als Flächeninhalt

Fig. 66.

'U-<P\(Xf.

X.

(!)    U=£{f{x) - <p{x))dx,

und als Moment in bezug auf die y-Achse nach § 41

My = Jx {f(x) — <p(x)} dx .

Zur Berechnung des Moments in bezug auf die x-Achse sei bemerkt, daß das Rechteck \f{x) — cp (æ)] dx an Stelle des elementaren Flächenstreifens zwischen den Ordinaten zu den Abszissen x und x + dx gesetzt werden darf und dieses Rechteck die Schwerpunktsordinate \ \f{x) + 99 (r)] besitzt; daher ist

oder

(3)

M* =Jł if(x) + <p(x)){f(x) — <P(X)} dx

a

= y/{/² - <p²}dx •

b

Mx

Es ergeben sich somit als Schwerpunktskoordinaten

(4)

AL

Mx

u ’ V = 1T

Lehrsatz: Die Schwerpunktskoordinaten der Fläche, welche von den beiden Kurven y = /(æ), y — cp(x) und den beiden Parallelen zur «/-Achse x = b und x — a begrenzt wird, sind angegeben durch die bestimmten Integrale (4).

Beispiele.

1. Die beiden Parabeln y² = 2 px und x² = 2py

oder

x²

y —12 px — f und y = —— =* cp

2p

schneiden sich im Punkt P mit den Koordinaten x = y = 2 p . Gesucht ist der Schwerpunkt des (linsenförmigen) gemeinschaftlichen Flächenstücks (Fig. 66) beider Kurven. Man erhält

Junker, Integralrechnung.

daher ist

if TT

⁶    3 ⁴    2    ⁹

= jP‘:JP wp-

2. Den Schwerpunkt der halben gemeinschaftlichen Fläche A OP der beiden Kreise f — y — /a¹ 2 — x¹ und (p = y = a — y a¹ — x² (Fig. 67) zu bestimmen.

Man erhält nach vorstehenden Formeln

a¹

(nach 1)

2 px —

x¹\    4

2 p)    8

2p

(nach 8)

Mx =

co| l-i

Ii2px~ T^)dx-

CD |lO

2p

(nach 2)

My

=Jx(^f2~px - ^~)dx =

o    ^

CO Uc "

/.

‘2/>

kW

X-y-hv

Fig. 66.

Fig. 67.

Mh

to| &

— x² — a\dx —    ,

Mx = ±.J (2 aja² - x² - a^

dx = 24    ⁷¹ “ ³ V^) •

Daher ist

*>r

il,

Mx

to a

2(4*-3/3)’ ’ P

§ 43. Schwerpunkt von räumlichen Gebilden.

Schneiden die Ebenen x = x und x dx aus der Fläche f eine Scheibe vom Inhalt Udx aus, so ist xUdx das Moment dieser Scheibe in bezug auf die

a

y «-Ebene und £xUdx die Summe der Momente sämt

licher Scheiben von x = b bis x = a oder das Moment des ganzen Körpers in bezug auf die y «-Ebene. Ist daher £ die Schwerpunktsabszisse des Körpers, so muß

£/Udx = JxU dx

sein, woraus sich ergibt

(1)

Oy

a

-l

x Udx :

Udx .

Lehrsatz: Die Schwerpunktsabszisse! des räumlichen Gebildes, das von der Fläche f und den Ebenen x — a und x = b eingeschlossen wird, ist ausgedrückt durch das bestimmte Integral (1).

Dreht sich beispielsweise die ebene Kurve % = fix) in der x x-Ebene um die x-Achse, so beschreibt sie einen Rotationskörper, für welchen U = nx² — nf²(x) ist.

Der Schwerpunkt desselben hat von der yx- Ebene die Entfernung

(2)

£ = Jx f²(x) dx : ^ f²(x) dx .

Beispiele.

1. Für das Paraboloid (Fig. 68) x = %-z -f- ist

b¹    c²

U = 7i b cx , daher hat der Schwerpunkt desselben von der y%-Ebene die Entfernung

£ = n b cjx² dx : n b c Jx dx

x-aYjc

'u

a³ a² 2 ⁼ “3 ¹ 2 ⁼"S ö *

Fig. 68.

2. Die schleifenförmige Kurve a²y² = x²(a² — x²) erzeugt bei der Drehung um die x-Achse einen Rotationskörper, dessen Schwerpunkt von der yx-Ebene die Entfernung hat:

a    a

fxy²dx    j(a²x³ — x⁵)dx

o    o_ 5

a

Jy² dx o

J (a² x² — x⁴) dx o

§ 44. Erste Guldinische Regel.

Gegeben sei die Kurve y = f(x) in der xy-Ebene. Dreht sich dieselbe um die x-Achse, so beschreibt

beispielsweise der Punkt P mit der Ordinate y einen Kreis, dessen Inhalt

(1)

U — ny² = n f²(x)

ist. Der Inhalt des auf diese Weise erzeugten Rotationskörpers zwischen den Ebenen x = b und x = a ist alsdann nach § 84

(2)

Udx

= Tijy² dx = 2 TiJ^- dx .

b    b

J)

jf, J

___ Ws

Fig. C9.

Fig. 70.

Nun ist nach § 41 ~

<u

Jif dx das Moment der Fläche

b

DABC (Fig. 69) in bezug auf die x-Achse. Ist daher y die Ordinate des Schwerpunktes dieser Figur (Meridianfigur), deren Inhalt F sei, so ist

(3)

r\F — Mx

daher ist

a

= 2 7ij-^-dx — 2 Ti Mx — 2nrjF.

b

Es gilt somit der

Lehrsatz:    Der Rauminhalt des Rotations

körpers, der durch Drehung einer Figur — Meridianfigur (Fig. 69 und 70) um eine in ihrer Ebene liegende Achse erzeugt wird, ist gleich dem Inhalt dieser Figur (hier DABC) multipliziert mit dem Weg 2 nrj , den ihr Schwerpunkt S bei der Drehung beschreibt.

Dieser Satz heißt „die erste Guldinische Regel“ und gilt für jede beliebige Figur, welche Umgrenzung dieselbe auch haben möge.

a.

Fig. 72.

Fig. 71.

Sind in Formel (4) V und F bekannt, so läßt sich hieraus die Ordinate rj des Schwerpunkts der Meridianfigur berechnen.

(3)

r] = V: 2n F.

In vielen Fällen ist diese Art der Ermittlung des Schwerpunkts ebener Figuren sehr einfach (s. Beispiel 4).

Beispiele.

-^-/3 , daher V = -y- a³.

o    4

so ist F =

1. Ist die Meridianfigur ein gleichseitiges Dreieck (Fig. 71) von der Seite a, das um eine Seite gedreht werde, a² /w ji*

2.    Rauminhalt des von dem Rechteck ABCJD (Fig. 72) bei der Drehung um die Seite BC —b beschriebenen

Wulstes V =

7    „ a

ab • 2 re — = Jia²b .

3.    Bei der Drehung um die Bahnlinie beschreibt nach § 34 ein Zweig der Zykloide x = a(qp — sinqc), y = o(l — cos 93) eine Rotationsfläche vom Inhalt

16 7i a³

5 Tr² a³.

±= 7i Jy² dx =

M'î-

0

Nun ist nach § 41, 4 die Schwerpunktsordinate des gedrehten Zweiges rj — und dessen Flächeninhalt nach §27, 10 11% n = 3 tz a² \ daher ist auch nach der Guldinischen Regel

V = 2 7i r] • U2n 7i • ^ a- 3 7i a² = b Ti² a³.

⁷¹    2

2“

4. Dreht sich ein Halbkreis vom Inhalt U —

um seinen Durchmesser, so beschreibt er eine Kugelfiäche vom Inhalt F = -§- 7zas , daher ist nach Formel (3) die Entfernung des Schwerpunktes der Halbkreisfläche vom zugehörigen Durchmesser

2 71F

71 a² 3 n'

§ 45. Zweite Guldinische Regel.

Nach § 36 beschreibt der Zweig AB der Kurve (Fig. 73) y — f(x) bei der Drehung um die æ-Achse einen Rotationskörper, dessen Oberfläche angegeben ist durch

a

(1)

jyds .

y z?

jc-b

TL

T'.

Nun ist nach §40 yds das Moment des Elements ds in bezug auf die cc-Achse. Das

^ pj-L

a

Integral J yds gibt die Summe

b

x aller dieser Momente von x — b bis x = a an, die nach § 40

a

gleich r]Jds ist, wo r\ die Schwerpunktsordinate des Bogens AB (Fig. 73) und

a

[ds = s die Länge desselben bezeichnet. Es ist daher

a    a

= 2 nj y ds — 2 nr] j ds oder 0=2nrjS, b    b

(2) O

Fig. 73.

d. h. die bei der Drehung um die æ-Achse von dem Bogen AB beschriebene Fläche ist gleich der Länge s dieses Bogens mal dem Weg seines Schwerpunktes.

Dieser Safez gilt stets, ob der Bogen AB eine geschlossene Figur darstellt oder nicht, ob er gesetzmäßig krummlinig oder unregelmäßig gestaltet ist. Er repräsentiert die „zweite Guldinische Regel“:

Eine geschlossene ebene Kurve (Fig. 75) beschreibt bei der Drehung um eine außerhalb des Umfangs in ihrer Ebene liegende Achse einen Flächeninhalt, der gleich dem Produkt aus dem Umfang der Meridianfigur und dem Weg ihres Umfangschwerpunktes ist.

Aus Formel (2) folgt rj .= 0 : 2 tis .

Die zweite Guldinische Regel kann also auch analog der ersten zu Schwerpunktsbestimmungen von Kurvenbögen benutzt werden. Siehe Beispiel 3 und 4.

-•Oj

ta

Fig. 74.

Fig. 76.

Beispiele.

1.    In § 40 erhielt man als Koordinaten des Schwer-

2 a

punkts des Yiertelkreisbogens £ = rj — —. Da dessen

_

7t

Länge s = —a ist, so beschreibt derselbe bei der Drehung um eine der Achsen die Fläche

2 a Ti

0 — 2 jit] s = 2 7t £ s ■= 2 Ti * — • — a = 2 n a² ,

71 Li

was bekanntlich der Flächeninhalt einer Halbkugel ist

2.    Für den Zykloidenbogen ist nach § 30 bzw. § 40

S = 8a ,    £ — Ti a

Eine Schleife der Zykloide beschreibt daher bei der Drehung um die Scheiteltangente bzw. die Bahnlinie einen Rotationskörper, dessen Oberfläche angegeben ist durch

64

0— 2n£ • & = 16 ti³ a*, bzw. 0 = 2nr]S = ~~~na³.

ö

t-- — •

i 7 ;

Fig. 76.

3. Dreht sich ein Halbkreis vom Radius a (Fig. 7 6) und von der Länge s — na um seinen Durchmesser, so beschreibt er eine Kugel, deren Oberfläche 0 — 4 n a³ ist. Der Schwerpunkt des Halbkreisbogens hat daher vom Durchmesser die Entfernung

^    2 ns

4. Dreht sich ein Kreisquadrant um einen Halbmesser, so beschreibt der zugehörige Bogen von der Länge

2 nas

Jl

— a eine Halbkugel, deren Oberfläche 0 =

u

ist. Der Schwerpunkt S eines Yiertelkreisbogens hat daher von den beiden äußeren Halbmessern die Entfernungen (vgl. § 40, 1)

IX. Abschnitt.

Das Doppelintegral und seine Anwendung.

§ 46. Das anbestimmte Doppelintegral.

1. Wie man eine Funktion y = F(x) zwei- oder mehrfach nach x ableiten kann und dabei erhält

0= /•(*),

so ergibt sich auch umgekehrt durch Integration || = '    F"(x) dx + Ci = j f\x) dx + Gx

und hieraus durch weitere Integration V = /{/F"{x) dx -f- dx Ą- C2 — ff f(x) dxdx C, x + C₂ = A(x, Ox, C₂)

wo (7j und C₂ die Integrationskonstanten bezeichnen, die zunächst beliebig gewälilt werden können.

Erklärung. Unter dem zweifachen Integral des Differentials f(x)dxdx versteht man eine Funktion F(x, C0 C₂) von x, welche zweimal nach x abgeleitet f(x) gibt.

d*F

- fl*) •

2. Enthält die Funktion f(xy) zwei Veränderliche x und y, die unabhängig voneinander sein sollen, so versteht man unter dem zweifachen Integral

p—/ff(xy)dx dy =

wo rechts dy an Stelle von dy gesetzt ist. Erhält man bei, der Ausführung dieses Integrals, wobei x als Konstante anzusehen ist,

dF

dx

=Jf(x y) dy = 0(x y) + g(x)

wo g(x) eine willkürliche Funktion von x allein oder eine Konstante sein kann, so folgt hieraus durch weitere Integration

F =Jff{xy)dxdy =fG(xy)dx + fg(x)dx + y>{y) ,

wo bei der Integration y als konstant anzusehen ist und xp(y) von y allein abhängt oder eine Konstante bedeutet. Führt das Integral J 0(xy)dx auf H(xy) und jg(x)dx auf <p(x), so ist das unbestimmte Doppelintegral allgemein dargestellt durch

F(xy) =/{/f{x y) dx) dy = H(xy) + cp{x) + yj(y).

Dasselbe enthält demnach an Stelle der Konstanten zwei willkürliche Funktionen (p(x) und yj (y).

Das bestimmte Doppelintegral und seine geometrische Bedeutung.

1. In der xy- Ebene liege ein Viereck ABGD (Fig.77), dessen Seiten durch x — x{ x = a, y — y, y — b bestimmt sind.

eine Funktion F(xy), welche nach x und y abgeleitet f{xy) liefert.

dF

d*F

f(xy)

dx dy

Hieraus folgt beispielsweise

ÔX Ô dy 6y dx

dF

dx

*=ff(xy)dy,

§47.

Alsdann sei x = f(xy) eine Funktion von x und y, welche für alle Punkte jenes Vierecks, sowie im Innem desselben eindeutig und stetig ist.

Es soll der Rauminhalt V bestimmt werden, der von der Fläche x = f(xy), den Ebenen x = x,x = a)y = y, y — b und der xy-Ebene begrenzt ist.

/X-«'

B yb C Fig. 77.

Teilt man AD — a — x in m gleiche Teile von der

Länge Ax = --— und ebenso AB — b — y in n gleiche

m    6 — y

Teile von der Länge A y —- und legt man durch

aie Teilpunkte Ebenen parallel zur yx- Ebene, bzw. parallel zur xx-Ebene, so wird der Raum F in m n Säulchen zerschnitten, welche näherungsweise als Prismen von der Grundfläche

Ax Ay =

wo

n — 1 ist,

und den Höhen x* h — f(x k Ax, y h A y) k= 0 , 1, m — 1, h = 0, 1, .. betrachtet werden können. Durch Addition dieser tun Prismen ergibt sich für V näherungsweise der Ausdruck

Vmn = A xAy{f(xy) + f(x + A x, y) + f(x, y + A y) + f(x + 2 A x, y) + f(x + A x, y + A y)

(1) + /fa » V + 2 A y)} + ...

+ /fa + [m — 1] A x, y) + ...

+.f{⁴, V + [w — 1] A y)} ,

der dem wahren Wert F um so näher kommt, je größer m und n gewählt werden. Beim Übergang zur Grenze für m = oo und n = oo ist

(2)

lim F

= V.

Um diesen Grenzwert zu erhalten, entwickle man in (1) jede der Funktionen f(x -\- k Ax , y -\-h A y) nach Potenzen und Produkten von A x und A y und setze

x . b — y

-, Ay--rr

n

dann ergibt sich auf ganz ähnliche Weise wie in § 78 der Differentialrechnung⁴) für lim Vm „ die Reihenentwicklung

lim Ymn = (a-x)(b-y)lf(xy)+^₁((a-x)^+(b-y)^Q

⁽³⁾

⁺3l

wodurch der Rauminhalt V ermittelt ist.

Lehrsatz: Der Rauminhalt F, der von der Fläche x = f(xy), den vier Ebenen x = x, x = a, y = y, y — b und der æ^-Ebene begrenzt ist, läßt sich durch eine konvergente Potenzreihe von der Form (8) darstellen, deren Grenzwert F ist.

Setzt man hierhin x = 0, y = 0, so folgt weiter: Der Rauminhalt F, der von der Fläche⁴ =/'(æy), den Ebenen x = a und y — b, sowie den drei Koordinatenebenen begrenzt ist, ist angegeben durch die Reihe

¹

}'a¹ — x¹ — a)dx = — (An — 3 1^3)

²

1 u

³

ns

⁴

Sammlung Höschen, B<1. 87.

, 1 /söV , 3 ⁺ 3iräF»Hr2o1

+ b²

dx dy

x=0, j/ = 0

a<9 ⁺ "]

Beispiel. Ist x = f{xy) = Ax² Ą-By² die Gleichung eines Paraboloids, welches die xy-Ebene im Ursprung berührt, so ist der Rauminhalt, der von dieser Fläche, 4en Ebenen x = a, y — b und den Koordinatenebenen begrenzt ist, angegeben durch

d²f

oy²

) =y(4a»+B6²).

Setzt man nach c — A a² -f- Bb², so ist

r= —

3 '

2. Denken wir uns in x = f(x y) die Variable x — x konstant, so hat in Figur 77 die Fläche PABQ den Inhalt

(5)

=f f(x ,y)dy.

v=y

Legt man nun parallel zu dieser Fläche in der Entfernung dx eine weitere Ebene, so schneiden dieselben aus dem Raum V eine Scheibe aus, deren Rauminhalt bis auf eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung durch

Ux dx =

(jf(x, V) dyjdx

angegeben ist. Der Inhalt aller dieser Scheiben Ux U₂ Us..., die von x — x bis x = o durch Ebenen parallel zur

y x-Ebene in der Entfernung dx voneinander gelegt werden können, ist angegeben durch das Doppelintegral

J(/ f(x, y) dyj dx,

wo bei der letzten Integration y und b als Konstante an-zuselien sind.

Da man zu dem gleichen Resultat gelangen muß, wenn man den Raum V durch Ebenen parallel zur xx-Ebene zerlegt und die erhaltenen Scheiben summiert, so folgt

(6) r-

y)dv)dx “/(/ZK y)dx)dy,

x \y    /    y \x    / wo, bei der Integration nach x, bzw. y, dy und y, bzw. dx und x als konstant anzusehen sind.

Ergibt sich bei der folgenden Integration

ff(xy)dy = Q(x, y) + G,

wo x als konstant gedacht ist, so ist das bestimmte Integral (5) angegeben durch

DŁ-/.f{x ,y)dy=* G(x, b) — G(x, y). y

Hieraus folgt weiter durch Integration nach x :

« / 6    \    a    a

= / /A*»    ==/ö(®, i)dx —/G(x, y)dx .

x \y    Ix    x

Die beiden Integrale rechts snd offenbar von derselben Form und können durch Yfrtauschung von b und y ineinander übergeführt werden. Erhält man

jG(x, y) dx = F{x, j/) + C,

a

/G{x, y)dx = F{a, y) — F(xt y) ,

%

und wenn man hierin b mit y vertauscht,

f G(x, b)dx — F(a, &) — F(x, b) .

X

Das Doppelintegral V zwischen den Grenzen a, x und b, y ist somit dargestellt durch

(6) F= ///-(x,    = J?(o, 6) - F(a, y) - F{x, b)

+ F{x, y).

Die rechte Seite dieser Gleichung gibt zu erkennen, daß sich das Integral nicht ändert, wenn man a mit x und gleichzeitig b mit y vertauscht. Ein Doppelintegral bleibt somit seinem Werte nach ungeändert, wenn man die oberen Grenzen mit den unteren vertauscht.

Der Wert des Doppelintegrals geht jedoch in den entgegengesetzten über, sobald man nur die Grenzen eines Integrals miteinander vertauscht.

3. Es erübrigt noch zu zeigen, daß die Entwicklung (3) von lim Vm n mit dem Doppelintegral (5) bzw. (6) übereinstimmt.

Nach der Definition des Doppelintegrals ist

f(x > V ) =

(7)

ô² F

dx dy

Hieraus folgt

df d*F df d*F d*f d*F öx dx²dy’ dy dxdy²' dx² dx*dy''' Entwickelt man alsdann F(x + k, y h) nach Potenzen und Produkten von k und h, ebenso F(x -|- k, y),

10

so ist

Junker, Integralrechnung.

F(x, y + h) nach Potenzen von k, bzw. h und setzt nachträglich k — a — x, h = b — y, so folgt

dF

F(a, b) = F(x y) + (a - x) -Q- + (b — y)

dy

d*F

+łi {<4"_ *)’ U'+2(a - *)⁽⁶ - y)

6F 1

— F(a, y) = -F(xy) — {a — x)j^——{a — x)

dxdy

d² F

dx²

- F(x, b) — F(xy)

F(xy) = F(xy)

Nach Addition dieser Gleichungen und mit Berücksichtigung von (7) und (7') ergibt sich unmittelbar

F(a, b) - F(a, y) - F(x, b) + F(x, y) = limFmn

oder

lim F

— V= f jf{xy)dx dy,

womit die Übereinstimmung der Reihenentwicklung (3) mit dem Wert des bestimmten Doppelintegrals (6) gezeigt ist.

§ 48. Doppelintegrale mit veränderlichen Grenzen.

In der xy-Ebene (Fig 78) liege eine krumme Linie, welche die Gleichung y = <p(x) besitzen und die x- Achse im Punkte x — a, die y-Achse im Punkte y = b schneiden möge. Ferner sei gegeben die Fläche z = f(x y), welche für alle Punkte des Kurvenbogens AB oder innerhalb der Figur OAB eindeutig und endlich sei. Sodann werde über OAB als Basis ein senkrechter Zylinder

konstruiert, dessen obere Begrenzungsfläcbe von der Fläche % — f(x y) gebildet werde und dessen Inhalt V sei. Legt man hierauf in der Entfernung OD — x eine Ebene parallel zur y «-Ebene, so ist der Inhalt der Fläche GDEF angegeben durch das Integral

CDEF = ff(xy)dy ,

0

wo x als konstant zu betrachten ist. Legt man alsdann parallel zu dieser Ebene eine zweite Ebene in der Entfernung x -f dx von der y x-Ebene, so schneiden beide Ebenen aus dem Raum V eine Scheibe aus, deren Inhalt bis auf eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung richtig angegeben ist durch

5S

SO y S*-*

tr

Fig. 78.

(1)

= (jf(xy)dyjdx.

Durch Summation aller derartigen Scheiben von x = 0 bis x — a ergibt sich alsdann der Inhalt V, der nunmehr ausgedrückt ist durch das Doppelintegral

(2)

«/ V = 9>(x)    \

=/ \Jf(*y)dy)

dx .

Legt man die Ebenen parallel zur * «-Ebene, so läßt sich V auch berechnen durch

Lehrsatz: Der Rauminhalt V, der von der Zylinderfläche y = cp(x) oder x = xp(y), der xy-Ebene und der Fläche x = f{xy) begrenzt wird, ist angegeben durch jedes der beiden Doppelintegrale (2) oder (3).

Beispiel.

Zur Berechnung des Oktanten des dreiachsigen El-

y2 %2

a²

e²

lipsoids — f- —- — 1 = 0 erhält man

x²

X = f(xy) = und in der x y- Ebene die Kurve y = (p{x) = kJ/ 1

al

Daher ist

a²

a²’

10

Für das innere Integral, in welchem x als konstant anzusehen ist, erhält man den Ausdruck

— y²

+ ï(1_S)arosin

6j/l

a²

der nach Einführung der Grenzen übergeht in

7i b²

^1 —    . daher ist

y nhc

1---\clx —

nabe

a²

Das Gesamtvolumen des Ellipsoids ist daher 8 V— fnabc .

§ 49. Oberflächenberechnung mit Doppelintegralen.

Es sei z = f(xy) die Gleichung einer krummen Fläche und r(xyz) ein beliebiger Punkt derselben. Die in letzterem errichtete Flächennormale hat nach § 79 der Differentialrechnung¹) die Gleichung

wo

4?:

cLU

dz df

dz df ’ dy dy~q

gesetzt ist. Der Winkel y, den die Normale mit der z-Achse macht, ist bestimmt durch ff'&

cos y =-

i;

dx dx

0}

jc-a

Fig. 79.

y i + p² ~t¹ ?

Um die Oberfläche U desjenigen Teils der Fläche z — f(xy) (Fig. 79) zu berechnen, welcher oberhalb der stark gezeichneten Kurve y = cp(x) oder x = xp(y) in der xy-Ebene liegt, teile man die letztere durch Ebenen parallel zur yz - und z x- Ebene in unendlich kleine Rechtecke dx dy. Das über einem solchen liegende Element d U der Fläche z = f(xy) kann ohne Fehler als

eben und als in der Tangenten ebene liegend angesehen werden. Der Winkel, den letztere mit der x y - Ebene macht, ist gleich dem Winkel y, den die Flächennormale mit der «-Achse macht. Die Projektion des Flächenstücks dU auf die xy-Ebene ist somit dargestellt durch dxdy = dUcosy ,

woraus folgt

= dx dy yi -f- p² -f- q² .

dU —

dxdy

cos y

Aus diesem Differential läßt sich U in Form eines Doppelintegrals angeben.

Lehrsatz: Der Flächeninhalt U ist dargestellt durch jedes der beiden Doppelintegrale

oder

= / \J yi +P² + f dxJ dy .

Beispiel.

Die Oberfläche eines Kugeloktanten zu berechnen. Die Gleichung der Kugel sei ‘

x² + y² +    — a³ = 0 ,

dann ist

x = f(x y) = y«³ — x² — y² ,

dz

p~Tx

ja² — x² — î/

Va»-xa

y = <p(x) = j/a² — cc² ,

_    _    — y

dy ya² — x² — y

dx

5’

£7= a

/ y«* — «² — f/²

Die ganze Kugel hat daher die Oberfläche 0=8 C/= 4 Tr a².

§ 50. Anwendung von Polarkoordinaten.

Eine zur z-Achse parallel laufende Zylinderfläche (Fig. 80) habe in Polarkoordinaten die Gleichung r = f(cp) und werde nach oben durch die Fläche z —F(r, cp) begrenzt.

Es ist der Rauminhalt dieser Zylinderfläche und der Inhalt ihrer oberen Begrenzungsfläche zu bestimmen.

Das in Fig. 80 schraffierte Element der xy- Ebene hat in Polarkoordinaten den Inhalt rdcpdr und demgemäß das zugehörige Element des Zylinders den Rauminhalt dV = xr dcp dr — F(r, <p)rdrdcp .

Daher ist das von dem zu r = f{<p) gehörigen Zylinder, der :rr/-Ebene und der Fläche z — F(r, cp) begrenzte Volumen ausgedrückt durch

2ji/ fiep)    -w

(1)

Das innere Integral ist

= arc sin ^

dy

Vo»-a^

]-a² — x² ₀

Nach Eintragung der Grenzen geht U über in

^a² — x² — y²

ü~a2.

- dx =

-a2 2 a *

= J «J I F(r, cp) r dr\ dcp .

Lehrsatz: Das von der æy-Ebene, der Zylinderfläche r = f(<p) und derkrummenFläche:s = F(r, cp) begrenzte Volumen ist dargestellt durch das Doppelintegral (1).

Bezeichnen wir wieder wie im vorigen Paragraphen das über dem schraffierten Element rdcpdr der xy -Ebene liegende Element der Fläche F mit d U, so ist ebenso wie dort

dü

rdrdcp

cos y y

Jt-CL

JÛ

r-f (Ft

Fig. 80.

wo y den Neigungswinkel der zu dU gehörigen Normalen der Fläche F(r, cp) bezeichnet. Die Oberfläche U selbst ist somit ausgedrückt durch

/(«*) r dr

cos y

Lehrsatz: Das über der Zylinderfläche r°*=f{(p) liegende Stück der krummen Fläche * = F(r, <p) hat den Inhalt U, der durch das Doppelintegral (2) ausgedrückt ist.

(2)

-//

0 lo

■d<p.

Beispiele.

1. Inhalt und Oberfläche der Kugel zu berechnen. Liegt der Mittelpunkt der Kugel im Ursprung 0, so hat diese die Gleichung

x² + y² + &² — a² — 0

und schneidet die xy-Ebene nach einem Kreis, dessen Gleichung x² y² — a² = 0 ist. Führt man Polarkoordinaten x — r cos93, y = t sincp ein, so ist

x = F{r, cp) = y«² — r², r — f{cp) = a .

Daher ist

in / a

■1(1*

a² — r² • rdr

\    in

J dcp = j°^d(p = \na*

und V =    71 a³. Nun ist

daher

y«² — r² = y«² — x² — y²

dz

dx

r cos cp

P ~ dx~ ya2 _ ra ’ q~dy~

r sin cp

ya² — r²

und demnach

cos y =

y«² — r²

yi +p² + ?

Nach Formel (2) ist somit

2ji

2 jt

ardr

lo

]/a² — r²

dcp — la² dcp — 2 n a²

und U — 4 n a%.

2. Inhalt und Scheitelfläche des Körpers zu berechnen, der von der xy-Ebene, der Kegelfläche

z²

x² -f- y²

c²

a²

und der Zylinderfläche y² — ax x² = 0 begrenzt wird.

Führt man Polarkoordinaten x = r cos99, y = r sin 99 ein, so findet man

x — F(x, cp) = — y»² -j- î/² = —s, r = /*(ç?) = a cos <p.

Daher ist nach Formel (1)

71

a cos <p

— r ' r dr • dçp

=J^ca² cos³cp dqp — 0

I ca2 »

also F == f ca².

S x    c    c

Ferner ist p —    = — cos 99, 9 = — sin 99, somit

c cc    a    a

cos y —

yi + p² + q² ya² -}- c² '

daher ergibt sich nach Formel (2) für die halbe Scheitelfläche der Ausdruck

71

2 , OCOSip    \

’/ /eF'" 0^0 !

dtp = — y«² -j- c²y*3os²9? rfçj, 0

woraus nach Ausführung der Integrale folgt

y — ^ a yo² + c² , U=~a ya² -f c* ,

Die verschied. Arten v. Differentialgleichungen. 155 X. Abschnitt

Exkurs auf das Gebiet der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

§ 51. Die verschiedenen Arten von Differentialgleichungen.

1. Erklärung. Eine Gleichung, welche Veränderliche und deren Differentiale zugleich enthält, heißt eine Differentialgleichung.

Enthält dieselbe nur eine unabhängige Veränderliche, so liegt eine gewöhnliche Differentialgleichung vor.

So ist beispielsweise 9o [x, y,    = 0 oder

rp (x, y, y*) = 0 eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, cp (x , y , y' , y") = 0 eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung, allgemein

• •> y(ri)) ⁼⁼ 0 eine gewöhnliche Diffe-

<P (xi V, y', y"

rentialgleichung nter Ordnung.

Die Gleichung

d*y

₆f| + 11^_6y = 0

dx²    dx

dx³

repräsentiert eine gewöhnliche (lineare) Differentialgleichung dritter Ordnung.

2. Ist die Zahl der abhängigen Veränderlichen größer als 1, so erhält man gewöhnlich ein System von simultanen Differentialgleichungen.

Sind y und % Funktionen von x, so stellen die beiden Gleichungen Idy dz

\Tx'y

<P

’ dx' X

*r°,

(dy dx

*'*’*•*

ein simultanes System von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Veränderlichen x dar, die man beispielsweise erhält, indem man die beiden Gleichungen einer Raumkurve nach x differentiiert.

3. Erklärung. Sind die abhängigen Veränderlichen Funktionen von mehreren unabhängigen, so heißt die Gleichung eine partielle oder eine totale (oder auch exakte) Differentialgleichung, je nachdem die partiellen Ableitungen oder die totalen Differentiale der Veränderlichen, welche als unabhängige zu betrachten sind, auf-treten.

§ 52. Die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung mit getrennten Veränderlichen.

Erklärung. Die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung (1) integrieren, heißt eine Funktion F(xy C) = 0 suchen, welche, nach x differentiiert, wieder auf die Differentialgleichung (1) führt.

Da bei der Integration eine Konstante G auftritt, so erhält man gewöhnlich nicht nur eine einzige Lösung, sondern ein System von Integralkurven F{xy , C) = 0,

die zusammen die allgemeine Lösung oder das allgemeine Integral ausmachen.

Jedem speziellen Wert von G entspricht eine Lösung, die man als partikuläre Lösung bezeichnet. dv

Da — — tg oc die trigonometrische Tangente des ax

Winkels <x ist, den die Kurven tangente im Punkt P{xy) mit der Abszissenachse macht, so ist durch die Differentialgleichung (1) jedem Punkt der Lösungskurven die in demselben stattfindende Fortschreitungsrichtung zugeordnet.

Es sei die Differentialgleichung f(xyy') — 0 gegeben und die allgemeine Lösung F(x y G) — 0 gesucht.

Durch Differentiation erhält man hieraus

dF

ÔF

(2) dx + -3— dy = 0 oder Mdx + Ndy = 0

dy

womit die allgemeine Gestalt einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung illustriert ist.

Ist in dieser Gleichung M bzw. N nur eine Funktion von x bzw. y allein, ist die Gleichung also von der Form

M(x) dx + N(jy) dy = 0 ,

so heißt die Differentialgleichung eine solche mit separierten Veränderlichen. Durch Integration folgt hieraus

(3)

j M{x) dx -J- J N(y) dy + (7 = 0

als allgemeine Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung mit separierten Veränderlichen.

Lassen sich in einer Differentialgleichung erster Ordnung die Veränderlichen trennen, so kann man die allgemeine Lösung unmittelbar durch zwei Integrationen (Quadraturen) gewinnen.

Wie die Trennung (Separation) der Veränderlichen gewöhnlich bewerkstelligt wird, soll an folgenden Beispielen gezeigt werden.

Beispiele.

1. Die Kurven zu bestimmen, deren Subtangente gleich der zugehörigen Abszisse ist

Nach § 60 des ersten Bändchens ergibt sich als Differentialgleichung

oder

dy dx

—--- 0 .

Durch Integration folgt hieraus

ly — Ix — Ic oder y = cx ,

wo c die Integrationskonstante bedeutet. Man sieht hieraus, daß jede gerade Linie durch den Ursprung die geforderte Eigenschaft besitzt.

2. Für welche Kurve ist die Subtangente gleich dem nten Teil der zugehörigen Abszisse?

Die gewöhnliche Differentialgleichung lautet

oder

dy dx — -n—= 0 .

Durch Integration ergibt sich hieraus als allgemeine

Lösung

ly — nix — Ic oder y — cxn .

Die binomische Parabel nteT Ordnung hat die verlangte Eigenschaft.

3. Die Kurven zu bestimmen, deren Subtangente gleich a ist.

V

—r == a oder

Man erhält als Differentialgleichung dy dx

y'

oder y = ce a .

Durch Integration folgt hieraus x

ly — — = Ic , ly — lo =

Für ein System von Exponentialkurven ist die Subtangente konstant.

4.    Für welche Kurve ist die Subnormale konstant und gleich a?

Nach § 69 der Differentialrechnung ist die Subnormale Sn = y y\ daher lautet die gegebene Differentialgleichung

yy' = a oder ydy — a dx = 0 .

Hieraus folgt direkt durch Integration

--ax-\-G=0 oder y⁸ — 2ax-\-G=0.

u

Die Parabel ist die einzige Kurve, deren Subnormale konstant ist. (Vgl. § 69 der Differentialrechnung.)

5.    Für welche Kurve ist die Fläche zwischen der Kurve, der Abszissenachse und der Ordinate zum Punkt

P(xy) gleich

n

-;—XV ?

m n    *

-;—xy

m-\-n

Man erhält als Bedingungsgleichung Jydx

o

und hieraus durch Differentiation nach x :

n    . T ,    ₇ ,    dy    dx

--— (xdy 4- v dx) oder n--m — = 0 .

m + nv ⁹    *    ’    y    x

Die Integration dieser Gleichung gibt

nly — mix = Ic oder yn = cxm ,

d. h. die parabolischen Kurven haben die verlangte Eigenschaft (Siehe § 27.)

§ 53. Homogene Differentialgleichungen.

1. Für gewisse Fälle lassen sich auch Differentialgleichungen erster Ordnung mit nichtseparierten Veränderlichen (durch Substitution) auf solche mit separierten Veränderlichen zurückführen.

y dx =

Dies ist zunächst für die homogenen Differentialgleichungen der Fall.

Erklärung. Eine homogene Differentialgleichung M(x y) dx + N(x y)dy — 0

ist eine solche, in welcher M und N homogene Funktionen gleichen Grades von x und y sind.

Dies vorausgesetzt, läßt sich die Gleichung auf die Form bringen:

(1)

dy ₌ _ M{xy) dx N(xy)

Setzt man hierin y — x %, so folgt hieraus durch

dz

Differentiation — = x — Ą- % — œ(z), woraus die neue dx dx

Differentialgleichung entspringt:

dy

dx

(2)

dz

x    çp{%) — z ’

in welcher die Veränderlichen getrennt sind. Durch Integration ergibt sich schließlich hieraus

+ G.

Beispiele.

1. Für welche Kurve ist die Subtangente gleich y — ax , wo i und y die Koordinaten des Berührungspunktes bezeichnen?

Man erhält als Differentialgleichung

'⁼U'<

— y— ax oder y dx ={y — ax)dy ,

die zu der eben behandelten Klasse gehört Setzt man y = xx , so folgt hieraus

dy

dx

dx

= Xd~x + X

y — a x

oder nach Substitution von y — xx die Differentialgleichung

dx (x — a)dx

adx

dx

x(a-\-l)    (a+ l)(x — a— 1) ’

in welcher die Veränderlichen getrennt sind. Durch Integration erhält man

x x — x² dx

Ix —

Ä'TjT i {a Ix + l{x — g—1)}-f-IG oder

xa+1xa(x — a — 1) — G oder ya(y — ax — x)— (7=0.

2. Für welche Kurve ist das Lot vom Ursprung auf die Tangente gleich der Abszisse x des Berührungspunktes? Man erhält als Differentialgleichung

(y² — x²)dx — 2 x y dy = 0 .

Da diese homogen ist, so setze man y=*xx,y'=x'x-; dann folgt aus

dj£ _ y² — x²    dx

dx 2 xy die Differentialgleichung

= x-—\- x =

dx

x² — 1

2x

dx

= 0,

2 xdx

s² + 1

in welcher die Veränderlichen getrennt sind. Durch Integration ergibt sich hieraus

l x +    + 1) = / o oder x(x² -f l) = c

oder

** -j- y* — c x = 0 .

11

Junker, Integralrechnung.

Jeder Kreis, dessen Mittelpunkt auf der x- Achse liegt und der die y- Achse im Ursprung berührt, hat somit die verlangte Eigenschaft (Fig. 81).

2. Durch dieselbe Substitution lassen sich auch Gleichungen von der Form integrieren:

(4) y' + P(x) y + Q(x) = 0 .

P,

OA'OB*JC r

Fig. 81.

Setzt man nämlich y = cp(x)z) wo cp eine Funktion von x allein sein soll, so folgt hieraus

dy dz    dcp

dx    ^ dx    Z dx '

womit (4) übergeht in

(5)

dz

f’Tx + x

(Üf + ^ + O-⁰-

Da nun cp willkürlich ist, so kann man diese Funktion dcp

so bestimmen, daß —--(- Pep — 0 ist.

dx

dcp

Hieraus folgt nun — Pdx — 0 und nach Inte-9

gration dieser Gleichung

lcp-\-jPdx = Q oder Aus (5) folgt weiter

dz ----dx ,

cq „ r fpdx z = —J — dx -}- C — —J Qe    dx-\-C

und mit Berücksichtigung von y = cp z endlich

-[Pdxt    . fpdx \

— e \G — jQe rfx} .

Beispiele.

dann ist P *= — 1 ,

1. Es sei y'— y + x = 0 , Q = x , somit

cp — ex und y = ex{C — Jxe~xdx}.

Nun ist jxe~xdx — — xe~x— e~x , daher ergibt sich als gesuchtes Integral

y = Oe* + x -f- 1 .

2. Für welche Kurve ist y' = --— ?

Bringt man diese Differentialgleichung auf die Form (4 )

1 , daher ist

= 0 , so ist P = —— , 0 = x

rp — elx = x und y = x[^C — j”—j    — /x) .

§ 54. Vollständige Differentialgleichungen. 1. Erklärung. Es sei

(1)

Pdx + Qdy = 0

die gegebene Differentialgleichung, in welcher P und Q Funktionen von x und y sein sollen. Dieselbe wird eine exakte oder vollständige (auch totale) Differentialgleichung — und der Ausdruck Pdx-\- Qdy ein vollkommenes Differential — genannt, wenn sie durch Differentiation einer Funktion f(xy) — f entstanden ist. Alsdann ist die Gleichung (1) identisch mit der folgenden :

(2)

df df

¹

Sammlung Göschen, Bd. 87.

j^dx +    ■“ ⁰

n*

und es heißt f(xy) = 0 das vollständige Integral derselben. Vergleicht man die Gleichungen (1) und (2) miteinander, so folgt

df

P=tx'

Öy

und hieraus

(3)

dP d*f dQ dy dx dy dx *

Dies ist die Bedingung, daß (1) eine vollständige Differentialgleichung ist.

Lehrsatz: Das Differential (2) ist das totale Differential einer Funktion f} sobald die Bedingung erfüllt ist:

(4)

dP_ dQ dy dx '

Ist diese Bedingung erfüllt, so setze man

Sf

— = P und integriere f = jPdx

wobei das in P enthaltene y zunächst noch als konstant an gesehen werden kann. Da nun in der zu addierenden Konstanten noch eine Funktion 99 (ij) von y enthalten sein kann, so ist diese noch zu dem erhaltenen Integral hinzuzufügen.

f — JPdx + <p(y).

Der "Wert von 9? wird ermittelt, indem man dieses Integral wieder differentiiert und das Resultat mit der gegebenen Differentialgleichung dz = Pdx -f Q dy vergleicht

Beispiel.

Für die Differentialgleichung dx — (3 xi — a y — y²) dx -j- (— ax Ą- 2by — 2xy)dy

ist die Bedingung (3) erfüllt; daher stellt dz das totale Diffeiential einer Funktion f(xy) — f dar, die man au3

df

—- = 3xJ — a y — y2 ex

ermitteln kann, indem man unter Voraussetzung eines konstanten y bildet

x = f = f(3x² — ay — y²)dx + q>(y)

— x² — ax y — x y² -j- cp{y) .

Bildet man das totale Differential dieser Funktion

ïb

dx = (3 x² — a y — y²) dx -f- ^— ax — 2 x y +

und vergleicht man dasselbe mit der gegebenen Differentialen 09

gleichung, so folgt = 2 by und hieraus dy

<p=f2bydy+C=by²+0.

Das gesuchte Integral lautet daher

x — x³ — axy — xy² -\-by* + G.

(4)

2. Ist jedoch für das Differential 31 dx + N dy — 0 6M dN ■

die Bedingung    nicht erfüllt, so ist (4) auch

kein vollkommenes oder exaktes Differential.

In diesem Fall multipliziere man die Öleichung (4) mit dem Faktor fx, der eine Funktion von x oder y oder

von beiden oder auch eine Konstante sein kann, wobei man erhält

(ß)

fiMdx + fiNdy — 0 .

Läßt sich dann der Faktor /.i so bestimmen, daß die Bedingung erfüllt wird:

(6)

dy

dx

so ist (5) ein exaktes Differential.

Erklärung. Die Funktion /x(xy), mit der mau die Differentialgleichung (4) multiplizieren muß, damit deren linke Seite ein exaktes Differential wird, heißt der „integrierende Faktor“ oder auch der „Eulersche Multiplikator“.

Betrachtet man beispielsweise

a) ^ *= G oder b) — = C7 oder c) arctg—

x¹    y    x³ als vollständiges Integral, so erhält man hieraus durch Differentiation als zugehörige vollkommene Differentialgleichung

a)    (xdy — 2ydx) = 0

b) —^{xdy — 2ydx) = 0

c) ^~y^dy -2ydx) = 0 .

Für die Gleichung

x dy — 2 y dx 0

Ist daher die Bedingung (3) nicht erfüllt Sie wird aber zu einer vollkommenen Differentialgleichung, wenn

man sie mit einem der (integrierenden) Faktoren

x⁴ -f y\²

X⁴

oder

--oder

V¹

x¹ -t- y²

multipliziert. Wir erhalten

somit die Lehrsätze:

Jede Differentialgleichung von der Form (4) besitzt einen integrierenden Faktor, durch dessen Zusatz die linke Seite derselben zu einem vollkommenen Differential wird.

Es gibt nicht nur einen, sondern unendlich viele integrierende Faktoren.

Kennt man zwei verschiedene integrierende Faktoren

und , so ist der Quotient — = G das vollständige

fr

Integral der Differentialgleichung.

Für das obige Beispiel ist

fr = ~3 » fr=~

x⁴ + y²

daher ist

oder

V²

x⁴

oder ^

x²

■ er

fr

y²

y²

3. Zur Bestimmung des integrierenden Faktors diene folgende Betrachtung. Da nach Voraussetzung die linkt Seite von (5) ein vollkommenes Differential ist, so folgt d(fxM) _ d(fiN)

oder

dy

dx

(?)

dM ÔN

dy

als Bestimmungsgleichung für /x. Da dies eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung ist, so ist die Bestimmung von /je aus derselben gewöhnlich schwieriger als die Integration der gegebenen Gleichung selbst. Zur Integration der letzteren genügt aber irgend eine Lösung von (4), und es ist häufig möglich, eine solche zu ermitteln. Insbesondere ist dies der Fall, wenn sich fx als eine Funktion von x oder von y allein darstellen läßt.

Ist beispielsweise fx nur von x abhängig, so ist d ix

dy

= 0, womit die Gleichung (7) übergeht in

dfx

dx

1 (dM dN\ N \dy dx)

Hieraus folgt durch Integration

lp=fXdz + (C), [x — efXda .

Der integrierende Faktor /x läßt sich als eine Funktion

¹ (dM dN]

\dy dx)

eine Funktion

von x allein ansehen, wenn —

N

von x allein ist Setzt man diese gleich X, so ist

fXdx

(x = eJ

Beispiel.

Für obige Differentialgleichung xdy — 2 y dx *= Q ist M = — 2 y, N = x, daher

)-

und

1 (dM dN N\dy dx

r"¹ 1*8

oder fx =

§ 55. Partikuläre und singuläre Lösungen.

1. Erklärung. Jedem Wert der Konstanten C(C = 0, 1,3,..., Cx , C₂, .. .) in der allgemeinen Lösung F(xyC) = 0 der Differentialgleichung <p(xyy')=* 0 entspricht eine Lösung, die man als „Partikularlösung“ oder als „partikuläres Integral“ bezeichnet.

Außer den unendlich vielen Lösungen, welche den wechselnden Werten von G entsprechen, kann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung noch eine „singuläre“ Lösung besitzen, welche dadurch charakterisiert ist,

a)    daß sie sich nicht durch partikularisierende Konstante bilden läßt;

b)    daß sie im allgemeinen ohne jede Integration durch reine Eliminationsprozesse ermittelt werden kann.

Geometrisch stellt die singuläre Lösung eine Kurve dar, welche von den partikulären Kurven umhüllt wird.

Bekanntlich hat das Tangentenpaar, das man vom Punkt P(£ rj) an den Kreis x² -j- y² — r² = 0 ziehen kann, die Gleichung -

(x £ + y rj — r²)² — (æ² + y* — r²) (£² + rj* — r²) = 0,

wo mit x, y die laufenden Koordinaten bezeichnet sind.

Setzt man hierin !; = x Ą- dx, rj = y dy, so hat das Tangentenpaar mit dem Kreis zwei unendlich benachbarte Punkte gemeinsam, d. h. die Verbindungslinie von P{x y) mit P(x -j- dx, y + dy) ist Tangente an den d v

Kreis, wenn — =p der Gleichung genügt: dx

(y dx — x dy)* — r* (<ix² -f- dy²) — 0 , die auch geschrieben werden kann:

v(æy j p) = y% ~r% ~ 2 x yp + ix* —    = o.

Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung zweiten Grades, deren partikuläre Lösungen durch die unendlich vielen Tangenten an den Kreis x² + y² — r² == 0 angegeben sind. Die Umhüllungslinie dieser Tangenten oder der Kreis selbst repräsentiert ihre singuläre Lösung.

2. Das singuläre Integral aus dem allgemeinen Integral herzuleiten.

Die gegebene Differentialgleichung (p{xyyr) = 0 besitze als allgemeine Lösung F(xy C) = 0 .

Nimmt man hierin an, G sei eine Funktion von x, dann erhält man durch Ableitung

ÔF    dF    dy_    dF    dC    _

6x    dy    dx~^    dC    dx

dF

Bestimmt man nun G so, daß -j— = 0 ist, oder

O 0

wenn man sich diese Gleichung nach C aufgelöst denkt, daß G — f(x) ist, so ist

F{xy, f(x)} = 0

das gesuchte singuläre Integral von <p(xy y') = 0 .

Wird C als Funktion von x und y betrachtet, so folgt durch Ableitung

ÔF/ÔG , dC d G\dx

• y'j = o.

dF dF

dy

TÏ ⁺ TÏ'y +

Hierin läßt sich nun C ebenfalls so bestimmen, daß

dF

= 0 ist. Folgt hieraus G = f(x y), so ist F{xy, f{xy)} = 0

die singuläre Lösung von <p(xy y') — 0.

Die Ableitung y' berechnet sich alsdann aus ÔF ÔF ,

= 0,

dy V

falls G nicht so bestimmt ist, daß gleichzeitig

dx

cF

wird.

dx

= 0,

dF

oy °

Lehrsatz: Das singuläre Integral <P(xy) = 0 der Differentialgleichung <p(xyy') = 0 enthält keine partikularisierende Konstante und ergibt sich immer durch Elimination von C aus

F{xyC) = 0

ÔF

dC

Hieraus geht auch hervor, daß <p(xy) = 0 die Umhüllungslinie der Kurven des Systems F(xyC) = 0 ißt. Vergleiche hierüber § 77 der Differentialrechnung*). Sind xy die laufenden Koordinaten, so ist

f x -f- yy — r² = 0

die Gleichung der Tangente im Punkt P(^rj) an den Kreis £² + rj² — r² = 0. Setzt man nun | = ^r² — y1 und nachträglich y = (7, so hat die Tangentenschar, welche die allgemeine Lösung der Differentialgleichung darstellt, die Gleichung

F(x y G) = y G + x yr² — G² — r² — 0 . Hieraus folgt

dF

Cx

dC

y —=====

l'r² — C*

oder C =

ry

ry*

somit ist

4». r*

r%y

r² = 0

y^²+y

oder æ² y% — r² = 0 die singuläre Lösung der gegebenen Differentialgleichung, wie zu entarten war.

3. Endlich kann das singuläre Integral auch aus der Differentialgleichung selbst hergeleitet werden.

Wie aus den obigen Betrachtungen hervorgeht, ist die singuläre Kurve als Umhüllungslinie der partikulären Kurven anzusehen. Dieselbe kann somit auch als der geometiische Ort des Schnittpunkts zweier konsekutiver Partikulärkurven ermittelt werden. Je zwei derselben schneiden sich im allgemeinen in einem Punkt, in welchem sich zwei verschiedene Tangenten an die beiden Kurven ziehen lassen. Soll die singuläre Kurve durch denselben hindurchgehen, so müssen die beiden Partikulärkurven unendlich wenig voneinander abweichen und die beiden Tangenten ihres Schnittpunkts zusammenfallen. Dies ist aber der Fall, wenn neben

<p(x yp) — 0    auch noch

V £)

ist. Erhält man aus der letzten Gleichung p = y(xy), so stellt

<p(xy, vO = 0

die singuläre Lösung der Differentialgleichung dar

Lehrsatz: DiesinguläreLösung derDifferential-gleichung <p{xy, p) = 0 ergibt sich stets durch

dy

Elimination von p — y' — aus

CL Ou

(p{xy, p) = 0 und

22-0.

dp

Durch partielle Ableitung der Differentialgleichung in 1. folgt

d cp

-r— = — 2xy -\-2{x² — r²)p — 0 und hieraus p

dp

xy

x²—r² '

Substituiert man diesen "Wert in <p(xy, p) = 0 , so ergibt sich auch hier als singuläre Lösung der Kreis

x² -j- y² — r² = 0 ,

wie es sein soll.

Anmerkung. Sind M und N rationale Funktionen von x und y, so hat, wTie leicht zu erkennen ist, eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ersten Grades von der Form Mdx -f- Ndy = 0 keine singuläre Lösung.

§ 56. Differentialgleichungen erster Ordnung nten Grades.

Erklärung. Eine Differentialgleichung erster Ordnung ntea Grades ist von der Form

(i)

wo /i, /à i • • •, fn Funktionen von x und y oder auchkonstante Zahlen sein können.

Bei der Integration einer solchen kommen hauptsächlich zwei Methoden in Betracht.

a) Die Methode der Zerlegung ist anwendbar,

d u

wenn sich die Differentialgleichung (1) nach — = y'

auflösen läßt Die auf diesem Wege resultierenden Wurzeln der Gleichung (1)

dy

(2) J^*=9i{xy)

dy

dy

Tx=g.{*y)

stellen n lineare Differentialgleichungen erster Ordnung dar, welche sich nach den Methoden der vorigen Paragraphen auflösen lassen. Ergeben sich hierbei die Integrale

<Pl (X y Cl) = 0 5 ^₂(X7/C₂) = 0 , <pn(xycn) — 0,

so ist das allgemeine Integral der Differentialgleichung (1) dargestellt durch

(3)

<Pi (* y ^1) • <p₂ (x y°2) • • • yc») *

worin

C1 — e2 — • • • cn — 0

gesetzt werden darf, ohne daß die Allgemeinheit der Lösung dadurch beeinträchtigt wird.

DieallgemeineLösungder Differential gleichung(l) ist somit angegeben durch

(4) F(xy C) ee <px (xy C) cp₂[xy C) .. . <pn(xyC) — 0 .

Beispiele.

1. Für welche Kurve ist das Quadrat der Subtangente gleich dem Rechteck aus den Koordinaten des zugehörigen Kurvenpunktes?

Nach § 69 der Differentialrechnung*) ist die Subtangente ausgedrückt durch

Differentialgleichung eine solche vom zweiten Grad

oder

dy

77 j

daher erhalten wir als

y dy

dx x ’ dx

und

f.

JJL

_ fy /Î

Differentialgleichungen erster Ordnung nten Grades. 175 welche die beiden Integrale gibt:

)ly - )!x = C\ , fy + fx= ą .

Das allgemeine Integral ist daher dargestellt durch

F(xyC) =E [y% -    - 6) (yi + arł — (?) - 0

oder durch y — æ — 2 C }ry + (7² = 0 .

2. Für welche Kurve ist das Quadrat der Subnormale y y ' gleich dem Rechteck aus den Koordinaten des zugehörigen Kurvenpunktes?

Man erhält als Differentialgleichung

= — oder

y² y'² — xy oder

dy

dy

,dx,

dx ~

welche die beiden Lösungen gibt:

yf — Ą , y$ + x% = C₂ .

Die allgemeine Lösung ist daher F(xyC) = y* - x⁸ - 2 Cyf + C² = 0 .

b) Die Methode der wiederholten Differentiation wird zur Lösung der gegebenen Differentialgleichung (1) benutzt, wenn sich dieselbe leicht nach y oder x auflösen läßt.

Oibt dieselbe nach y aufgelöst die Gleichung

dy

y = fix, p)

gesetzt ist, so folgt hieraus durch Ableitung nach x: dx    dx dp dx ’

(5)

dy

W° * = dx

d. h. eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades zwischen x und p von der Form

<P

(6*)

Führt dieselbe auf das Integral

(7)

J{x,p, C) = 0 ,

so ergibt sich durch Elimination vonp aus dieser Gleichung und der gegebenen Gleichung (5) das gesuchte allgemeine Integral der Differentialgleichung (1)

(8)

F(x y G) — 0 .

Läßt sich andererseits die Differentialgleichung (1) nach x auflösen und somit auf die Form bringen:

(9)

* = f(y,p),

so folgt hieraus durch Differentiation nach x

i    ^

dyP ^ dp dx'

oder da

dp dy

dp

dy dx P dy

ist,

1 df . df dP

¹^T/ ⁺ Tp'dy'P-

Man erhält also auch auf diesem Wege eine lineare Differentialgleichung zwischen y und p von der Form

(10)

<P

(„„a-..

Differentialgleichungen erster Ordnung nten Grades. .177 welche das Integral

J(y p c) — o

geben möge. Durch Elimination von p aus dieser Gleichung und der gegebenen Differentialgleichung erhält man ebenfalls das allgemeine Integral

F(x y C) — 0 .

o) Ist die Differentialgleichung von der (Clairautschen) Form

(H)

y = xp + cp{p),

so folgt hieraus durch Differentiation

P    dx dp dx

oder

(12)

dp

dx

dp

Der erste Faktor gleich Null gesetzt: — = 0 gibt

CL X

(13)

integriert p = G und demgemäß als allgemeines Integral y = x C + cp(C) .

(14)

Setzt man den zweiten Faktor gleich Null: . dcp

dp

05 + ~ = 0 ,

so läßt sich hieraus und aus (11) p eliminieren. Man erhält alsdann eine Lösung der Differentialgleichung (11). welche keine Konstante enthält und als singuläre Lösung derselben zu bezeichnen ist.

12

Junker, Intejrralrecvhnung.

Man sieht hieraus, daß das allgemeine Integral der Differentialgleichung (11) von der Form ist:

y = xC+(p{C)

und unmittelbar angeschrieben werden kann.

Die singuläre Lösung derselben erhält man durch Elimination von p aus

dtp

dp

Fig. 82.

Geometrisch stellt das allgemeine Integral (1) eine Schar von Geraden (partikuläre Lösungen) dar, welche eine Kurve umhüllen (Fig. 82), die durch das singuläre Integral ausgedrückt ist.

Beispiele.

1. Eine Gerade schneidet von den Achsen zwei Stücke ab, deren Summe, Differenz, Produkt und Quotient konstant gleich a ist. Welches sind die Kurven, die von dieser Geraden umhüllt werden?

Nehmen wir an, die umhüllende Gerade berühre die gesuchte Kurve im Punkt P(x y), so hat sie als Tangente an dieselbe die Gleichung

v - y — x) •

Für j/ = 0 bzw. f = 0 ergeben sich hieraus als

Achsenabschnitte — (p x — y) bzw. y —

p x. Daher er-

halten wir die Differentialgleichungen:

Differentialgleichungen erster Ordnung wten Grades. 179 a) für die Summe:

ap

— xG —

aC

b) für die Differenz:

y = xp

ap

= xC

1 +P'y

c)    für das Produkt:

y = Xp + äf^p , y = x G + a/ — G,

d)    für den Quotienten:

ap=--1 , ay + x= C.

Dieselben sind von der Clairaut-schen Form und erhalten daher

1 + C”

SĄ

die nebenstehenden allgemeinen Lösungen.

Fig. 83.

Die siDgulären Lösungen obiger Differentialgleichungen sind in den beiden ersten Fällen angegeben durch

a)

(x — y)³ — 2 a(x + y) + a² = 0 ,

b)

{x + yY — 2 a(x — y) -f a² = 0 ,

und stellen gewöhnliche Parabeln dar, die symmetrisch zu den beiden Medianen liegen (Fig. 83) und die Koordinatenachsen in den Punkten (a, 0), (0, a), (0, — a) berühren. Im dritten Fall ergibt sich als singuläre Lösung die gleichseitige Hyperbel

c)

4 x y — a² = 0 ,

die in der Figur 83 punktiert gezeichnet ist.

Die Differentialgleichung d) ist linear und besitzt daher keine singuläre Lösung.

2.    Zu beweisen: Der eine Schenkel eines rechten Winkels, dessen Scheitel beständig auf einer Geraden gleitet und dessen anderer Schenkel durch einen festen Punkt geht, umhüllt eine Parabel.

3.    Eine Strecke von konstanter Länge a gleite beständig mit ihren Endpunkten auf den Koordinatenachsen hin. Welche Kurve wird hierbei umhüllt?

Man erhält als Differentialgleichung der Geradenschar

y — px

ap

f

und als zugehörige singuläre Lösung f f    .

Dies ist die Gleichung der Asteroide.

§ 57. Die gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

mögen hier auch noch kurz berührt werden, weil sie in der Mechanik eine wichtige Rolle spielen, a) Eine solche ist von der Form

(1)

/■(*> y, y\y") = o.

Sie enthält neben der ersten Ableitung y\ wodurch für jeden Punkt P(xy) der Ebene eine gewisse Fort-schreitungsächtung bestimmt ist, noch die zweite Ableitung y'\ wodurch demselben außerdem noch die Krümmung der Lösungskurven in dem betreffenden Punkt zugeordnet ist. Näherungsweise ergibt sich als geometrische Lösung ein Kreisbogenpolygon, das im Grenzfall in die Lösungskurve übergeht.

Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung enthält zwei willkürliche Konstanten.

Wie schon im ersten Bändchen § 8 2 ff. ausgeführt worden ist, ist die Bewegung eines Punktes in einer Geraden angegeben durch eine Differentialgleichung von der Form

(2)

d²x

x‘⁼ d? = f{x^’

wo x den zur Zeit t zurückgelegten Weg und x" die erlangte Beschleunigung bezeichnet. Wir unterscheiden hierbei drei Fälle.

1. Die Beschleunigung sei konstant und gleich A. Dann ist

d²x

r =» A oder

'(§)

dt²

dt

= A oder dx' = A dt.

Durch Integration folgt hieraus als erstes Integral mit einer Konstanten Cx:

dx

x‘= u-At + c'

und durch weitere Integration als zweites Integral mit zwei Konstanten Cx, C₂ :

x — \ At² Cx t + (7a ,

wodurch einerseits die Geschwindigkeit, andererseits der Weg in Funktion der Zeit ausgedrückt ist.

Für A = g = 9,81 erhält man die Formeln des freien Falles, wie sie in Bändchen 87, § 82 aufgestellt worden sind.

2. Die Beschleunigung sei nur abhängig von der Zeit. Dann ist

d²x

dt2

— fiß) oder d (^r) = A0 di •

Hieraus erhält man durch Integration unmittelbar die beiden Integrale

dx

x'=-jj-= f f(t) dt + Cx,

x — j {/f(t) dt -j~ Cx)dt + C₂ .

3. Die Beschleunigung soll nur von der Entfernung x des bewegten Punktes abhängen. Dann ist

d²x

dt²

,    dx    dx    ,    . ,

oder    —--—    dt    —    fix) dx

dt    dt    'w

oder x'dx' =— f{x) dx .

a/²

= / f{x) dx + Ci

Durch Integration folgt hieraus als erstes Integral 1 (dx\2 2\dt)

woraus sich die Geschwindigkeit des bewegten Punktes berechnet :

— ^ f2ff(x)dx + Ci = W.

Daraus erhält man dt = dx: W, also als zAveites

Integral

=fw + 0>

womit die Aufgabe gelöst ist.

Bei kleinen Schwingungen ergibt sich beispielsweise

die Differentialgleichung = —k²x₁ deren Integrale

auf die Form gebracht werden können:

x' — — == y^T- k²x² , x = ^ sin k(t — b) ,

we a und b die Integrationskonstanton bezeichnen.

dt²

ist, wie schon im Bändchen 87 ausgeführt worden ist, die Bewegung eines Punktes in der- Ebene bestimmt. Nach § 84 desselben ergeben sich für den schiefen Wurf die beiden Differentialgleichungen

d²y

dt²

b) Durch ein System von zwei simultanen Differentialgleichungen

d²x

d²y

Ti² = ~⁹ ’

woraus unmittelbar durch Integration die vier Integrale

dx

dy

x'⁼ir = c" y--jT = -9‘+-c*

x = Qt C₃ , y = —| g t² -f C₂ / + CA mit den Konstanten Cy, C₂ , Cä , C₄ hervorgehen.

§ 58, Planetenbewegung.

1. Ein materieller Punkt /'(Planet) (Fig. 84) von der Masse m bewege sich nach dem Newtonscheu Gravitations-gesetz frei um die Sonne -S, deren Masse M sei. Der Einfachheit

Fr.xy.LJ

halber werde vorausgesetzt, daß die Bewegung in einer Ebene stattfindet, und angenommen, daß bei Beginn derselben (t — 0) der Punkt P die x-Achse mit der Ge- £ schwindigkeit v₀ passiere, die in diesem Augenblick normal zur x-Achse gerichtet ist. Nach Newton ist alsdann die Größe der Kraft, mit welcher sich Planet und Sonne anziehen, ausgedrückt durch

rA

-A

'r'.o

L-o

Fig. 84.

₇ Mm

k—— .

r³

Befindet sich der materielle Punkt zur Zeit t im Punkte P(xy) , dessen Radiusvektor r — PS mit der x-Achse den Winkel cp mache (Fig. 84), so gelten die dynamischen Differentialgleichungen

d²y —m—-

d²x

~m~di² = PB ⁼ ^C0S(P j oder, da cosg? =

d²x m ——

dt²

, Mm x

——-    r\/ -*    «

r² r ’

— PA = -Rsinç? V

, sing? = ist,

Mm y

dt²

d²y m—— — —k

dt²

welche nach Division mit m übergehen in

(2)

x" = —kM ~

wobei noch die Gleichung besteht:

x² -\- y² — t²

(3)

2. Multipliziert man die Gleichungen (2) mit

.    ^ dx

2x = 2 ——

, bzw. 2 y' = dt    u

dt ’

so ergibt sich durch Addition

M

2x'x"+ 2y'y" = -k — (2xx'+ 2yyf)

r³

oder

d{x'² + y'2)    M d{x² + y²)

-fC —------

dt

dt

oder

dr

d(x'² + y'²) =—2 le M —.

Durch Integration folgt hieraus als erstes Integral der Differentialgleichungen (2) das Prinzip der lebendigen Kraft

x'* + y'* = 2k--pT

T

oder

(4*)

t>² =

2 k—+r,

r

worin sich die Konstante JT durch die Bedingung ermitteln läßt, daß, für t = 0 xf = 0 , y' — v₀, r = r₀ ist.

3. Werden andererseits die Gleichungen (2) mit — y bzw. x multipliziert und addiert, so folgt xy" — y x" = 0

und hieraus durch Integration als zweites Integral das Prinzip der Flächen

(5)

xy' —yx'= 2 ü.

Da für t= 0, x = r₀ die Geschwindigkeitskomponenten x' = 0, y' = v₀ gegeben sind, so ergibt sich hieraus

rovo

r₀ v₀ — 2 U, also U

womit U bestimmt ist.

Die Gleichung (5) kann auch in der Form geschrieben werden: xdy — ydx

dt

2U oder

x(y + dy) — y(x + dx)

dt

— 2U.

Hierin ist bekanntlich durch x(y -f- dy) — y(x-\- dx) das doppelte Flächenstück 2 df dargestellt, welches der Radiusvektor in der Zeit dt beschrieben hat. Daher ist auch

(6)

2 df

dt

dt

Man bezeichnet — = U — \ {x y' — y x') gewöhn

df

lich als Fläche n ge sch wind igkeit, des Radiusvektors r. Man kann daher sagen: Bei der Bewegung eines Planeten um die Sonne ist die Flächengeschwindigkeit konstant.

Durch Integration geht (6) über in f — Ut C oder, da C — 0 wird, in

(7)

f— Ut,

d. h. bei der Planetenbewegung sind die zurückgelegten Flächenräume proportional der Zeit. Diese Tatsache wird gewöhnlich ausgedrückt durch

das zweite Keplersche Gesetz: Bei der Bewegung eines Planeten beschreibt der Radiusvektor in gleichen Zeiten gleiche Flächenräume.

4. Um die Bahnkurve zu bestimmen, multipliziere man die Gleichungen (2) mit 2U=xy'—yx', dann erhalten wir

2Ux"~=—kM

x{xy' — yx 0

= —kM

i⁵«

dt ’

2 Uy" = —kM

y{xy'— yx')

4X-

yS

dt

und hieraus durch Integration

2Uy'= +kM— + A.

2Ux'= — kM— + B ,

„ r

Mit Berücksichtigung der anfänglich gemachten Annahmen ergibt sich hieraus B — 0 , A = r₀ v₀ — kM.

Werden beide Gleichungen mit —y, bzw. -\-x multipliziert und addiert, so ergibt sich ein weiteres Integral

aus der Gleichung 2 U{xy' — yx') — kMr -j- Ax odei 4 f/² = kMr Ar cos cp oder

(8)

4 TP

v =-

kM Ą- A cos cp ’

die für (7 =

4 £7*

kM ’

kM

die Gestalt erhält:

1 — £ COS Ç9 ’

und bekanntlich die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarkoordinaten r, cp darstellt, bezogen auf einen Brennpunkt als Pol.

Je nachdem £ = 0, 1, < 1, > 1 ist, ist derselbe ein Kreis, eine Parabel, eine Ellipse, eine Hyperbel. Somit gilt der Satz:

Bewegt sich ein materieller Punkt P unter dem Einfluß der Anziehung eines festen materiellen Zentrums S nach dem Newtonschen Gesetz, so beschreibt derselbe einen Kegelschnitt, in dessen einem Brennpunkt F sich S befindet.

Bei der Planetenbewegung ist die Bahnlinie eine Ellipse. Hierfür läßt sich dieser Satz auch aussprechen als

erstes Keplersches Gesetz: Die Planeten bewegen sich in Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Hat diese Ellipse (Fig. 85) die große Achse a, die kleine Achse b und die lineare Exzentrizität £, so folgt aus (8) für cp = 0 und cp = n :

4 U²

4 Iß

kM— A

e ~ kM+A ’

woraus sich ergibt ±U²kM

(9) a =

4Z7*

&²J/2 — A² ’

und hieraus 4 a = kMb² : L ² .

5. Nach Formel (7) ist f — Ut, also auch F⁷ = C7T, wenn i^⁷ den Inhalt der ganzen Ellipse und T die Umlauf szeit bezeichnet Es ist also auch nab = UT, woraus folgt

T² =

n²a²b²    4ji²

-U^=kMa ■

Pcrihd

JC

Fig. 85.

ist ebenso

Für einen anderen Planeten mit der großen Achse o,

n-g-t.

also auch

(10)

T² : T\ = a³ : af .

Hieraus folgt aber das

dritte Keplersehe Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Achsen ihrer Bahnen.

ein, so ist

6. Führt man Polarkoordinaten

cc = rcos99, y = rsmq)

x' — r' cosç? — r&mcpcp', y' = r' sin99 + rcos<pq>' y x'² + i/'² = r'² + r² 9/² , xy' — y xf — r² cp ,

womit die beiden Prinzipien (4) und (5) in Polarkoordinaten die Gestalt erhalten:

(11)    r'² + r² ç/² —2k--1-T, r²ç/ = 2Ü.

T

Man erhält

r² r'z — 2 k Mr -j- r² r

~ = ~ i2kUr + r²I = -W, dt v    v

(12)

Ferner ist

dcp_2 U

dt    r²

also    dcp = —— dt = ——

v²

2 U rdr

r²

somit

~'°r

= 9 (r) •

(13)

rW

Durch die Gleichung (12) läßt sich r in Funktion der Zeit ausdrücken. Die Gleichung (13) stellt die Bahnkurve dar. Damit sind sämtliche Integrale der Differentialgleichung (2) ermittelt.

7. Zieht man im Punkt P des Kegelschnitts (Fig. 86), in welchem sich der materielle Punkt zur Zeit t befindet, die Tangente an die Bahnkurve, deren Neigungswinkel

gegen die æ-Achse <5 sei, und fällt man vom Pol £ das Lot SH auf dieselbe, so ist p = r sin(# — 99) und

x — r COS99, æ'= v* = vcos$ ,

y = r sinç; , y' = vy = v sin d ,

'P

■A

Fig. 86.

daher geht die Gleichung (5) über in

rv (cos 99 sin <5 — sin 99 cos <3) = 2 ü

oder in

■woraus folgt

rflsin(# — 99) = 2 U

r sin (# — 99) p

Es gilt daher der Satz: Die Geschwindigkeit v, die ein Planet zu irgend einer Zeit erreicht, ist dem Abstand der augenblicklichen Bahntangente von der Sonne umgekehrt proportional.

Dieser Abstand ist am kleinsten zur Zeit des Perihel8 und am größten zur Zeit des Aphels (Fig. 85). Daher ist auch die Geschwindigkeit der Planeten am größten zur Zeit des Perihels und am kleinsten zur Zeit des Aphels.

y

\

i-

A 4PL

' $

■ W*

*

W f

f';/    v ■

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