WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Sammlung Göschen

Zentral-Perspektive

Von ■

Architekt Hans Freyberger

Neubearbeitet von

Professor J. Vonderlinn

Gewerbeschulrat u. Baugewerksclmldirektor a. D.

Zweite, verbesserte Auflage

Mit 1B2 Mguren

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Berlin und Leipzig

Walter de Gruyter & Co.

vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp 1923

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AlleTlechte, insbësondere das Übersetznngsrechfc, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

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Druck von

C. G. Röder G. m.b.H., Leipzig. S19423.

Inhalt.

Seite

I. Kapitel. Geschichte und Zweck der Perspektive ................

II. Kapitel. Zeichnen nach der Natur.....

III.    Kapitel. Perspektivische Konstruktionen mit

Benutzung von Grund- und Aufriß .    13

Allgemeine Bemerkungen.........

Das Durchschnittsverfahren:

a)    Verwendung eines Sehstrahles.......

b)    Verwendung eines Sehstrahles und einer

gegen die Bildebene unter 45° geneigten Wagerechten..............

c)    Verwendung eines Sehstrahles sowie einer

gegen die Bildebene unter einem beliebigen Winkel geneigten Geraden........

IV.    Kapitel. Freie Perspektive..........

Das Augabstandspunktverfahren:

a)    Verfahren mit Verwendung des ganzen Aug-

abstandes...............

b)    Verfahren mit Verwendung eines verkleinerten

Augab Standes..............

Das Fluchtpunkt verfahren:

a)    Die Fluchtpunkte sind zugänglich.....

b)    Die Fluchtpunkte sind unzugänglich ....    90

V. Kapitel. Vermischte Aufgaben .......

VI.    Kapitel. Perspektivische Konstruktionen ganz

allgemeiner Art..........

Darstellung von Punkt, Gerade und Ebene 114 Vermischte Aufgaben......

VII.    Kapitel. Schattenperspektive . . .

VIII. Kapitel. Spiegelperspektive ....

IX. Kapitel. Luftperspektive.....

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I. Kapitel.

Geschichte und Zweck der Perspektive.

1. Zweifellos haben die alten Kulturvölker, welche jene herrlichen Bauten schufen, deren Reste noch heute unsere Bewunderung erregen, die Kunst der Zeichnung wohl verstanden. Aufgedeckte Wandmalereien in Pompeji und an anderen Orten, figürliche und landschaftliche Darstellungen auf Vasen zeigen uns deutlich, daß den Griechen und Römern die Gesetze der perspektivischen Erscheinungen nicht fremd waren, und dies ist ja auch nicht zu verwundern bei Völkern von solch scharfer Beobachtungsgabe, wie die Griechen und Römer sie besaßen. Ist ja doch die Natur der beste und vollkommenste Zeichner, mit dessen Hilfe auch heute noch ein großer Teil unserer Künstler die perspektivischen Grundgesetze sich aneignet. Wissenschaftliche Werke über Perspektive sind aus dem Altertum nicht bekannt. Die Literatur über Perspektive hat sich vornehmlich im Mittelalter ausgebildet und bis in die neueste Zeit weiter entwickelt. Überaus zahlreich sind die Werke über Perspektive vom Beginn des 14. Jahrhunderts bis zum heutigen Tage. Von Jan van Eyck angefangen bis zu unserem großen Geometer Steiner ist es eine stattliche Reihe von Künstlern und Gelehrten, welche die Materie der Perspektive bearbeitet und ihre Konstruktionsverfahren so vervollkommnet haben, daß wir i heute imstande sind, jede überhaupt lösbare Aufgabe der Perspektive zu lösen.

Unter den Deutschen hat wohl zuerst Albrecht Dürer in seiner „Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit“, Nürnberg 1525, die hauptsächlichsten Grundgesetze der Perspektive angegeben. Weitere eingehende Bearbeitung und Ausbildung erfuhr die Perspektive in Italien und Frankreich, und namentlich auch England.

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Fig. 1.

2. Der Hauptzweck der Perspektive ist wohl der, in ein und derselben Abbildung die drei Ausdehnungen eines Körpers, Länge, Breite und Höhe, dargestellt, d. h. den Körper so gezeichnet zu erhalten, wie ihn ein Beschauer von einem bestimmten Standpunkt aus sehen würde. Den gleichen Zweck verfolgt auch die Parallelperspektive; sie vereinfacht sich ihre Aufgabe aber dadurch, daß sie den Standpunkt des Beschauers in unendlicher Ferne voraussetzt, ein Standpunkt, der in Wirklichkeit nicht eingenommen werden kann, worin auch der Grund zu suchen ist, daß parallelperspektivische Bilder nie recht befriedigen.

II. Kapitel.

Zeichnen nach der Natur.

3. Eine gute Vorübung für das Studium der perspektivischen Grundgesetze und Konstruktionen ist das freihändige Zeichnen nach der Natur. Die hierbei gemachten Wahrnehmungen erleichtern außerordentlich das Verständnis für die Perspektive. Zunächst fällt dem Be-

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Fig. 2.

obachter sofort die Begrenzung des Gesichtsfeldes auf. Denkt man sich, ohne das Auge zu bewegen, durch letzteres nach den äußersten noch wahrnehmbaren Punkten des Gesichtsfeldes Strahlen gezogen, so bilden diese einen Kreiskegel, den Sehkegel, mit einem Öffnungswinkel von etwa 30 bis 40 Grad. Die Achse dieses Kegels kann man als die Sehrichtung bezeichnen. Alles, was nun innerhalb

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dieses Kegels sich befindet, kann von dem Auge wahrgenommen und von dem Beobachter gezeichnet werden. In wagerechtem, ebenem Gelände scheinen sich Himmel und Erde nach einer wagerechten Linie zu durch-schneiden. Diese Linie bildet die Gesichtslinie (s. Fig. 1). Alle innerhalb des Sehkegels liegenden wagerechten Begrenzungslinien von Gegenständen haben gegen die Gesichtslinie eine besondere Lage, je nach ihrer Lage zur

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Fig. 5.

Sehrichtung. Sind diese Linien zur Sehrichtung parallel, so scheinen sie alle nach einem Punkte zusammenzulaufen und zwar nach dem Durchschnittspunkte der Achse des Sehkegels mit der Gesichtslinie, nach dem Augpunkte (s. Fig. 2, 3 u. 4).

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Fig. 6.

Sind die Linien aber senkrecht zur Sehrichtung, so erscheinen sie dem Beobachter als parallellaufend zur Gesichtslinie (s. Fig. 5 u. 6). Alle übrigen wagerechten und unter sich parallelen geraden Linien haben eine gewisse Neigung zur Gesichtslinie: sie steigen an, wenn sie unter, sie fallen gegen die Gesichtslinie, wenn sie über der letzteren gelegen sind. Man überzeugt sich hiervon, wenn man etwa den Zeichenstift mit ausgestrecktem Arme in Augenhöhe wagerecht und senkrecht zur Sehrichtung vor sich hin hält und nun die Lage der Linien zu jener des Zeichenstiftes beobachtet.

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4. Sind an einem Gegenstand lotrechte Begrenzungs-linien vorhanden, so erscheinen diese auöh dem Beobachter als lotrecht; alle übrigen geraden Linien, Reiche weder wagerecht noch lotrecht verlaufen, erscheinen dem Beobachter als schräge ansteigende bzw. abfallende Linien, die, wenn die Linien unter sich parallel sind, entweder nach einem über oder unter der Gesichtslinie liegenden Punkte zusammenzulaufen scheinen. Krumme Linien erscheinen in der Regel ebenfalls krumm, kreisförmige Linien erscheinen dem Beobachter als elliptische Linien und zwar

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Fig. 9.

in verschiedener Breite, je nach der Lage der Kreislinien im Gesichtsfelde bzw. gegen die Gesichtslinie (s. Fig. 7, 8 u. 9).

Auch bezüglich der Größen- und Gestaltsverhältnisse gewahrt man Unterschiede; gleich große Gegenstände erscheinen verschieden groß und zwar um so kleiner, je weiter sie vom Auge des Beschauers entfernt liegen. Je nach der Lage eines Gegenstandes zur Sehrichtung erscheint seine Gestalt dem Beschauer verschieden.

III. Kapitel.

Perspektivische Konstruktionen mit Benutzung von Grund- und Aufriß.

Allgemeine Bemerkungen.

5.    Ist irgendein Körper, z. B. das Prisma A, durch Grund- und Aufriß in A₁ und A₂ dargestellt (s. Fig. 11), und wählt man eine Projektionsebene B etwa so wie angegeben, d. h. parallel zu der vorderen Begrenzungsfläche von A und zieht von einem beliebig außerhalb B angenommenen Punkte 0 nach allen Ecken des Körpers Strahlen, welche die Projektionsebene B treffen, so erhält man in letzterer ein Bild des Körpers, welches eine Zentralprojektion des Körpers aus dem Punkte 0 als Projektionszentrum und der Ebene B als Bildebene genannt wird. Der Aufriß dieses Bildes ist durch die Strecke V • 6', der Grundriß durch die Strecke 4r • 7' dargestellt.

6.    Um eine Vorstellung von der Gestalt des Bildes zu gewinnen, kann man die Bildebene parallel zu sich selbst nach Y±Z₂ verschieben und dann in die Aufrißebene umlegen; man erhält dann Figur A' als Bild des Körpers A (s. Fig. 12). Projiziert man das Projektionszentrum recht-

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Fig. 12.

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Fig. 10.

winklig auf die Bildebene nach 0'₂ bzw. 0[ und verschafft sich diese Projektion nach der Umlegung der Bildebene in die Aufrißebene, so ergibt sich der Punkt 0₃.

Denkt man sich nun in 0₃ eine Senkrechte zur Bildebene, also jetzt zur Aufrißebene gleich der Länge der Strecke 0₂0’₂ errichtet, bringt in deren Endpunkte 0 das Auge an und sieht auf das Bild A', so macht dieses auf den Beschauer den gleichen Eindruck, den das Prisma hervorbringen würde, wenn es vor ihm stände. Man bezeichnet darum das Bild A! als die „Perspektive¹⁴ des Körpers A, oder als das „perspektivische Bild“ desselben und zwar gesehen von einem Auge, das sich in einem Abstande gleich 0₂0₂ senkrecht zur Bildebene über dem Punkte 0₃ befindet.

7.    Das in Fig. 12 gestrichelt gezeichnete Rechteck stellt die rechtwinklige Projektion des Körpers A in die Bildebene dar. Der Punkt 0Z, d. h. die rechtwinklige Projektion des Auges auf die Bildebene soll für die Folge der Augpunkt heißen. Es ist ein Unterschied zwischen der Bezeichnung Auge und Augpunkt: ersteres bezeichnet den im Raume befindlichen Standpunkt des Beschauers, letzterer ist ein in der Bildebene liegender Punkt, nämlich der Aufriß des Auges.

Die Linie Y\ stellt die Schnittlinie der Grundrißebene mit der Bildebene dar und soll für die Folge kurzweg die Grundlinie heißen. Die durch den Augpunkt 0₃ parallel zur Grundlinie gezogene Gerade H heißt die Gesichtslinie ; sie stellt den Schnitt der das Auge enthaltenden wagerechten Ebene mit der Bildebene dar. Der Abstand der Geraden H und G ist gleich dem Abstand des Auges von der Grundebene und heißt die „Augenhöhe“.

8.    An dem in Fig. 11 dargestellten Prisma befinden sich drei Richtungen von geraden Begrenzungslinien, welche gegen die Bildebene eine besondere Lage haben, nämlich: 1. Die Linien 1-4, 2-3, 5-6 nnd 7*8; sie sind wagerecht und parallel zur Bildebene, ihre Perspektiven laufen parallel zur Grundlinie. 2. Die Linien 1 - 6, 2-7, 3-8 und 4 - 5; sie sind lotrecht, ihre Perspektiven sind ebenfalls lotrecht. 3. Die Linien 1-2, 3-4, 6 1 und 5*8; sie stehen senkrecht zur Bildebene, ihre Perspektiven schneiden sich, gehörig verlängert, im Augpunkt. Vorstehende Ergebnisse lassen sich in folgende Sätze zusammenfassen:

„Alle zur Bildebene parallelen, wagerechten, geraden Linien haben als Perspektiven Linien parallel zur Grundlinie.“

„Alle lotrechten Linien haben lotrechte Perspektiven.“

„Alle zur Bildebene senkrechten Linien haben Perspektiven, die sich im Augpunkt schneiden.“

9. Vergleicht man die Gestalten der Begrenzungsflächen des Körpers A mit den Gestalten ihrer perspektivischen Bilder, so findet man, daß die Flächen V • 6' • 5’ • 4' und 2' • 7' - 8' - 3' ebenfalls Rechtecke sind und zwar ähnlich den Rechtecken 1-65-4 und 2 - 7 - 8 - 3 am Körper A. Alle übrigen Rechtecke des Prismas bilden sich jedoch nicht mehr als Rechtecke, sondern, wie die Fig. 12 zeigt, als Trapeze ab. Würde das Prisma A etwa mit seiner vorderen Fläche 1 - 6 - 5 - 4 in der Bildebene selbst gelegen sein, so hätte sich diese Fläche bei der Abbildung ungeändert erhalten. Vorstehendes läßt sich wieder wie folgt als Satz ausdrücken:

„Die Perspektiven aller zur Bildebene parallelen, ebenen Figuren sind den Figuren ähnlich. Liegt die Figur in der Bildebene, so fällt ihre Perspektive mit ihr zusammen.“

In Fig. 12 ist weiter noch zu ersehen, daß die Perspektive eines Punktes und sein Aufriß auf einer Geraden nach dem Augpunkt liegen, was übrigens auch schon in dem Satze über die zur Bildebene senkrechten Geraden enthalten ist.

Weitere Sätze lassen sich wie folgt ableiten.

10. Es sei wieder ein prismatischer Körper gegeben, aber jetzt so gegen die Bildebene gestellt, daß zwei seiner Flächen gegen die erstere eine Neigung von 45° einnehmen. Die Bildebene ist wieder durch die Ebene Bj B₂ dargestellt, das Auge durch 0± und 0₂, Fig. 13. Mittels der Strahlen durch die Körperecken im Grund- und Aufriß nach 0₁ und 02 ergeben sich Grund- und Aufriß der Perspektive. Durch Verschiebung der Bildebene nach YXZ₂ und Umlegung in die Aufrißebene erhält man schließlich das perspektivische Bild A' so, wie Fig. 14 es zeigt. An diesem Bilde erkennt man sofort folgende Eigentümlichkeiten: Die Perspektiven der lotrechten Körperkanten sind wieder lotrecht, dagegen sind keine Perspektiven parallel zur Grundlinie mehr vorhanden, weil der Körper keine zur Bildebene parallelen, wagerechten Kanten besitzt. Auch sind im perspektivischen Bilde keine Rechtecke mehr zu sehen, weil keine der ebenen Begrenzungsflächen des Körpers parallel zur Bildebene gerichtet ist. Dagegen sind jetzt am Körper wagerechte, unter 45° zu der Bildebene geneigte Gerade vorhanden, deren Bilder gehörig verlängert in zwei Punkten d;i und d!s auf der Gesichtslinie sich schneiden. Mißt man de n Abstand dieser Punkte d₃ und d!s von dem Punkte , so ergibt sich hierfür eine Länge, welche gleich ist dem Abstande 0} 0[ des Auges von der Bildebene. Dieser Abstand soll für die Folge kurzweg mit „Augabstand“ bezeichnet werden. Die beiden Punkte d;i und d's heißen „Aug abs t an ds punkte“.

Vonderlinn, Zentralperspektive.

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Fig. 14.

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Daß solche Punkte vorhanden sein müssen, sieht man ohne weiteres sofort ein, wenn man eine der in Betracht kommenden Körperkanten, z. B. die Kante 2*4, nicht als eine Strecke, sondern als eine gerade Linie von unbegrenzter Länge auffaßt. Läßt man z. B. den Punkt 4 auf der Linie 1 • 4 in der Richtung 1 • 4 immer weiter fortrücken, wie dies durch die gestrichelte Linie angedeutet ist, und zieht in jeder Lage des Punktes 4 einen Strahl nach 0, so erhält man hierdurch in der Bildebene das Bild des jeweiligen Punktes 4. Unter den verschiedenen Lagen von 4 befindet sich auch die unendlich ferne Lage und in diesem Falle wird der Strahl nach 0 im Grundriß parallel zu 1-4, im Aufriß parallel zur Grundlinie, d. h. er fällt in die Gesichtslinie. Im Grundriß erhält man den Punkt als Grundriß der Perspektive des unendlich fernen Punktes von 1 • 4, Überträgt man diesen Punkt in der gleichen Weise wie die übrigen Punkte nach Fig. 14, so kommt er nach d₃ auf die Gesichtslinie zu liegen und zwar links von 0₃ und es ist, da das Dreieck 0₁0[dl (s. Fig. 13) gleichschenklig rechtwinklig ist, die Strecke 0\0[ = 0[dx, Fig. 13, = 0₃d₃, Fig. 14.

Für die Prismenrichtung 1 • 2 erhält man in gleicher Weise einen Augabstandspunkt d[ (Fig. 13) bzw. d₃ rechts von 0₃ auf der Gesichtslinie ; (s. Fig. 14). Einen Punkt d3 oder d!s, in welchem die Perspektiven von parallelen Geraden Zusammentreffen, bezeichnet man allgemein als einen ,,Fluchtpunktu. Man kann also in bezug auf das vorstehend Ausgeführte den Satz aussprechen:

„Die Perspektiven aller wagerechten gegen die Bildebene unter 45° geneigten Geraden besitzen als Fluchtpunkt einen der beiden Aug-abstandspunkte.“

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Für alle Geraden, welche von dem Auge aus nach links gerichtet sind, gilt der links liegende, für die nach rechts gerichteten Geraden der rechts vom Augpunkt liegende Augabstandspunkt.

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11. Gibt man dem Körper, z. B. dem Prisma A, eine noch allgemeinere Lage gegen die Bildebene, etwa die in Fig. 15 dargestellte, bei welcher die Seitenflächen verschiedene Neigungen gegen die Bildebene einnehmen, so kann man wieder wie in den früheren Fällen verfahren und erhält dann das in Fig. 16 verzeichnete perspektivische Bild A'. Hieran erkennt man, daß die lotrechten Körperkanten wieder lotrechte Bilder haben und daß die Bilder der übrigen wagerechten Körperkanten in zwei auf der Gesichtslinie liegenden Punkten f₃ und /' zusammenlaufen. Diese Punkte stellen die Bilder der unendlich fernen Punkte der betreffenden Körperkanten dar und man erhält sie zunächst im Grundriß (s. Fig. 15), indem man durch 0₁ zu den Richtungen 1 • 2 und 1 • 4 Parallele zieht, deren Schnittpunkte mit dem Grundriß Bx der Bildebene ermittelt und diese Punkte nach Fig. 16 überträgt; es ist also ö₃/₃ Fig. 16 = 0[ fx Fig. 15 und 0₃ /' Fig. 16 = Ö\J[ Fig. 15. Die Linien V • 2', 3' • 4', 5' • 8' und & • 7' schneiden sich in f!à, die Linien T • 4\ 2! • <3', 5' • & und 7' • 8' in /₃. Die Punkte /₃ und /.J heißen die Fluchtpunkte der betreffenden Prismenkanten, allgemein läßt sich das Vorstehende als Satz ausdrücken:

„Die Perspektiven von wagerechten, parallelen Geraden besitzen auf der Gesichtslinie einen gemeinschaftlichen Fluchtpunkt in dem Durchschnittspunkt des durch das Auge gezogenen Parallelstrahles zur Richtung der parallelen Geraden mit der Bildebene.“

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12.    Nach dem bisher angegebenen Verfahren kann man für jeden ganz beliebig gestalteten Körper (s. z. B. Fig. 17) für ein gegebenes Auge 0\0₂ und eine Bildebene B±B₂, wenn Grund- und Aufriß des Körpers bekannt sind, das perspektivische Bild konstruieren: Man zieht durch das Auge nach allen Ecken des Körpers Strahlen, bestimmt deren Schnittpunkte mit der Bildebene, verschiebt letztere nach YjZa und legt sie dann in die Aufrißebene um, so ergibt sich das perspektivische Bild A' des Körpers (s. Fig. 18).

13.    An dem in Bede stehenden Körper finden sich außer den bis jetzt bekannten Linien solche von ganz allgemeiner Lage gegen die Bildebene, wie z. B. die Linien 5 • 6 und 6 • 7 usw. Um die Perspektiven solcher Linien zu erhalten, ermittelt man die Perspektiven ihrer Endpunkte und verbindet diese miteinander. Die am Körper auf tretenden lotrechten Linien haben wieder lotrechte Perspektiven; jene der auftretenden wagerechten Linien vereinigen sich in den Fluchtpunkten /₃ und f!s, deren Ermittelung mittels des Grundrisses (Fig. 17) wie früher erfolgt.

14.    Auf Grund der im vorangegangenen entwickelten Sätze kann man eine ganze Anzahl von Verfahren anführen, nach welchen die perspektivischen Konstruktionen ausgeführt werden können. Am gebräuchlichsten ist für praktische Zwecke das Durchschnittsverfahren, welches darin besteht, daß man durch jeden Punkt des Baumes einen Strahl nach dem Auge und etwa noch eine wagerechte gegen die Bildebene unter irgendeinem Winkel geneigte Gerade zieht und die Perspektiven dieser beiden Linien ermittelt; in ihrem Schnitt liegt die Perspektive des Baumpunktes. Die verschiedenen hierbei auftreten-den Möglichkeiten sollen im nachstehenden erörtert werden.

Das Durchschnitts verfahren.

a) Verwendung eines Sehstrahles.

15.    Zur Darstellung der Perspektive eines Punktes, z. B. a (s. Fig. 19), zieht man durch den Grundriß einen Sehstrahl; dieser liefert auf B₁ den Grundriß a[ (s. Fig. 19) des perspektivischen Bildes des Punktes. Durch den Aufriß a₂ zieht man gleichfalls einen Sehstrahl und projiziert auf diesen den Punkt a[ nach a<₂, dann ist a!₂ das perspektivische Bild von a.

Ist eine lotrechte Strecke ab (s. Fig. 19 u. 20) perspektivisch darzustellen, so ermittelt man den Punkt bf₂ in gleicher Weise wie a!₂.

b) Verwendung eines Sehstrahles und einer gegen die Bildebene unter 45° geneigten Wagerechten.

16.    Man zeichnet (s. Fig. 19) durch den Grundriß ax die Linie axex unter 45° gegen B₁ geneigt, projiziert ihren Schnittpunkt ex nach e₂ auf G, wenn der Punkt a in der Grundebene liegt, zieht durch e₂ nach dem Augabstands-punkt d!₂ rechts von 0₂\ diese Linie schneidet auf dem Aufriß a₂0₂ des Sehstrahles die Perspektive al₂ von a aus.

Liegt der Schnittpunkt der 45°-Linie durch ax mit Bx rechts von 0[, z. B. in hx, so zieht man durch h₂ nach dem Augabstandspunkt d₂ links von 0₂.

Liegt der darzustellende Punkt nicht in der Grundrißebene, sondern in einem beliebigen Abstande über oder unter derselben, z. B. in b₂ (s. Fig. 20), so projiziert man die Punkte gx oder ix auf die durch b₂ zu G gezogene Parallele Gx nach g₂ oder i₂ und von diesen Punkten nach dem Augabstandspunkte rechts bzw. links von 0₂; letztere Linien liefern auf dem Sehstrahl b₂0₂ das perspektivische Bild b₂ von b.

Anmerkung 1. Durch das unter b) genannte Verfahren erspart man sich den Grundriß des Sehstrahles.

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Fig. 20.

c) Verwendung eines Sehstrahles sowie einer gegen die Bildebene unter einem beliebigen Winkel geneigten Geraden.

17.    Man zieht durch a-, eine gegen B₁ unter einem beliebigen Winkel oc geneigte Gerade axkx (s. Fig. 19) und durch 0X eine Parallele hierzu bis zum Schnittpunkt f[ mit Bx, dann ist j[ der Grundriß des Fluchtpunktes der Geraden f[ projiziert man nach f₂ auf H, ebenso kx nach k₂ auf G. Die Verbindungslinien a₂0₂ und k₂f!2 liefern durch ihren Schnittpunkt a₂ die Perspektive des Punktes a.

Liegt der Aufriß eines Punktes b in einer Parallelen Gx zu G in einem Abstande h von letzterer, so projiziert man k± nach l₂, dann liefern l₂f₂ und b₂0₂ durch ihren Schnittpunkt b₂ die Perspektive von b.

18.    In Fig. 19 ist noch eine zweite, unter dem Winkel ß gegen die Bx geneigte Linie «₁m₁, die nebenbei senkrecht zu a±kx steht, gezogen; zu ihr gehört der Fluchtpunkt f± bzw. /₂. Projiziert man mx nach m₂, so liefert die Linie m₂f₂ auf a₂0₂ die Perspektive a₂ von a\ entsprechend gibt n₂f₂ auf b₂0₂ die Perspektive b₂ von b.

Bei der perspektivischen Darstellung eines Körpers nach dem Durchschnitts verfahren wird man häufig alle oder mehrere der unter a bis c bezeichneten Hilfslinien benutzen, je nachdem dies zweckmäßig erscheint.

19.    Aufgabel. Es ist der in Fig. 21 und 22 durch Grund- und Aufriß dargestellte Körper perspektivisch zu zeichnen.

Auflösung. Die Bildebene sei durch eine lotrechte Kante 1*3 des Körpers gelegt und schließe mit den wagerechten Körperkanten die Winkel von 30° bzw. 60° ein. Das Auge sei durch 0± und 02i die Grundlinie durch

Fig. 22.

Fig. 21.

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Fig. 23.

G und der Augabstand durch die Strecke 0{0[ gegeben*). Man kann nun jeden einzelnen Punkt mittels der Sehstrahlen konstruieren, wie dies z. B. für die Punkte 2 • 4 und 5 • 6 angedeutet ist. Man zieht durch die Grundrisse 2 • 4 und 5 • 6 die Sehstrahlen nach 0₁ und projiziert deren Schnittpunkte 2[ • 4[ und 5[ • 6[ auf die zugehörigen Aufrisse der Sehstrahlen nach 2' • 4' bzw. 5' • 6'. Im vorliegenden Beispiele ist es zweckmäßig, auch die Fluchtpunkte der wagerechten Körperkanten zu benutzen. Man zieht durch 0X die Parallelstrahlen zu den genannten Körperkanten bis zum Schnitt mit der Bildebene und projiziert diese Punkte auf H. In Fig. 23 ist nur der links von 0₂ liegende Fluchtpunkt /₂ zugänglich. Der rechtsseitige Fluchtpunkt f!₂ liegt rechts von 0₂ auf H in einem Abstande gleich 5 x 0[ f[, unter der Voraussetzung, daß 0X0[ = 5x 0"0[ ist.

Mit Benutzung eines der beiden Fluchtpunkte und des Sehstrahles ergibt sich nun die Perspektive eines jeden Punktes, z. B. 5 und ö, wenn man die eine oder andere durch 5 bzw. 6 gehende wagerechte Körperkante bis zum Schnitt ax oder \ mit der Bildebene verlängert, den Aufriß a₂ bzw. a[ oder &₂ bzw. b!ż ermittelt, nach den zugehörigen Fluchtpunkt zieht und diesen Strahl zum Durchschnitt bringt mit dem durch den Aufriß von 5 bzw. 6 gezogenen Sehstrahl.

20. Aufgabe 2. Die in den Fig. 24 und 25 durch Grund- und Aufriß dargestellte Gebäudegruppe ist perspektivisch zu zeichnen, wenn der Standpunkt des Beschauers sich in 0X0₂ befindet und B₁ die Bildebene darstellt.

*) Den Augabstand wählt man in der Regel nicht kleiner als das größte waeerechte bzw. lotrechte Körperausmaß.

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Fig. 26.

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Auflösung. Die Konstruktion wird in gleicher Weise ausgeführt wie im vorigen Beispiel. Im vorliegenden Falle kommen fünf verschiedene Hauptrichtungen von Linien vor, nämlich die Lotrichtung, sodann die Richtungen der wagerechten Kanten der Gebäude A und G; die wagerechten Richtungen von D sind die gleichen wie bei A. Man bestimmt zunächst auf Bx die Fluchtpunkte f₁ und /( für A, dann g₁ und g\ für G, hierauf die zugehörigen Aufrisse /₂, /₂, g₂ und g!₂ auf H. In Fig. 26 ist die perspektivische Konstruktion für die Punkte 1, 2 und 3 aus-geführt. Durch den Grundriß von 1 ist eine Parallele zu der einen Hauptrichtung gezogen und der Schnittpunkt ax mit Bx ermittelt. Zufällig trifft der Aufriß des Punktes 1 auf die Wagerechte durch ax, daher fällt a₂ mit ax zusammen. Die Perspektive der Linie 1 • ax geht daher durch ax nach /₂. Der Sehstrahl durch 1 nach 0X schneidet Bx in 1[. Im Schnitt-der Lotrechten durch 1[ mit dem Strahle axf₂ liegt die Perspektive 1' des Punktes 1. In-gleicher Weise wird jeder andere Punkt der Gebäudegruppe ermittelt, z. B. der Punkt 2: Durch den Grundriß von 2 ist eine Parallele zur einen Hauptrichtung gezogen, sie liefert auf Bx den Punkt bx, dessen Aufriß in liegt. Der Sehstrahl durch 2 ergibt auf Bx den Punkt 2[. Auf der Lotrechten durch 2[ und auf der Linie l₂g₂ liegt die Perspektive 2’ von 2. Ebenso ist die Perspektive von 3 unter Benutzung eines Parallelstrahles durch 3 zu einer der Hauptrichtungen von D konstruiert worden.

Anmerkung 2. Für die Folge soll die Bildebene von vornherein mit der Aufrißebene zusammenfallen. Die Grundlinie G tritt dann an die Stelle der Projektionsachse als Schnittlinie von Grund- und Aufrißebene. Da das Auge vor der Bildebene sich befindet, der darzustellende Gegenstand aber hinter ihr, so werden bei einer Umlegung

der Grundrißebene in die Bildebene die Grundrißpunkte unterhalb der Grundlinie G zu liegen kommen und ihre Abstände von letzterer geben die Abstände der Raumpunkte von der Bildebene an.

21. Das Wesentlichste bei der Konstruktion des perspektivischen Bildes eines Gegenstandes nach dem Durchschnittsverfahren war die Benutzung des Sehstrahles als Hilfslinie; hierzu war außer dem Grundriß des Gegenstandes auch der Grundriß des Auges erforderlich. Es gibt nun aber noch eine Reihe von Konstruktionsverfahren, bei welchen man zur Ermittelung des perspektivischen Bildes eines Punktes des Grundrisses des Auges nicht bedarf. Hierzu gehört zunächst das Augabstandspunktverfahren.

IV. Kapitel.

Freie Perspektive.

Das Augabstandspunktverfahren.

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a) Verfahren mit Verwendung des ganzen Augabstandes.

22. Bei ihm benutzt man durch jeden Punkt zwei Hilfslinien, von denen die eine wagerecht und zur Bildebene unter 45° geneigt erscheint, die andere zu ihr senkrecht steht. Das Bild çler ersteren Geraden geht durch einen Augabstandspunkfc* das der letzteren nach dem Augpunkt, im Schnitt beider liegt das perspektivische Bild des darzustellenden Punktes.

Ist nun durch a₂e₂ (s. Fig. 27) der Aufriß einer lotrechten Strecke dargestellt, so wird nach der Umlegung der Grundrißebene in die Bildebene der Grundriß dieser

Strecke als der Punkt sich darstellen, dessen Abstand von G den Abstand der Strecke ae von der Bildebene bezeichnet. Ist ferner durch 0₂ der Augpunkt gegeben und bezeichnen d₂ und d₂ die beiden auf H liegenden

Fig. 27.

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Fig. 28.

Augabstandspunkte, so vollzieht sich die Konstruktion des perspektivischen Bildes des Punktes a sehr einfach: Man zieht durch % die 45°-Linie axb, ihre Perspektive ist ld₂, das perspektivische Bild von axa₂ ist die Verbindungslinie a₂0₂, welche auf b₂d₂ das perspektivische Bild a\₂ von a liefert.

Mittels der 45°-Linie axc ergibt sich cd!₂ und damit auf a₂0₂ wieder das Bild a!₂. In gleicher Weise verfährt man für den Punkt e und erhält das Bild e’₂.

23.    Kennt man den Aufriß e₂ eines Punktes e, sowie seinen Abstand von der Bildebene, so ist der Grundriß ex zur Konstruktion des perspektivischen Bildes von e nicht erforderlich; man braucht ja nur durch den Aufriß e2 eine Parallele zur Grundlinie zu ziehen und auf dieser von e₂ aus entweder nach rechts oder links die Strecke e₂g bzw. e₂h gleich dem Abstand des Punktes e von der Bildebene abzutragen und nach dem Augabstandspunkte links bzw. redits von 0₂ zu ziehen, um im Schnittpunkt einer dieser Linien¹ mit e₂0₂ das perspektivische Bild e!2 von e zu erhalten.

24.    Die im vorstehenden unter 23 angegebene Konstruktion läßt noch eine Verallgemeinerung zu. Zieht man nämlich durch den Aufriß a₂ eines Punktes a (s. Fig. 28) eine Linie a₂c in ganz beliebiger Richtung, macht a₂c gleich dem Abstand des Punktes a von der Bildebene, zeichnet durch 0₂ eine Parallele zu a₂c nach der entgegengesetzten Richtung von a₂c und trägt 0₂d' gleich dem Augabstande ab, so liefert die Verbindungslinie cd' auf a₂0₂ die Perspektive a!₂ des Punktes a. Zeichnet man ganz allgemein um den Punkt a₂ als Mittelpunkt einen Kreis Ka mit einem Halbmesser gleich dem Abstand des Punktes a von der Bildebene, um den Augpunkt 0₂ einen

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Kreis Kd mit einem Halbmesser gleich dem Augabstande, zieht in beiden Kreisen Ka und Kd zwei parallele entgegengesetzt gerichtete Halbmesser, z. B. a₂g und 0₂d'", so trifft die Verbindungslinie gä'" der Endpunkte dieser Halbmesser die Verbindungslinie a₂0₂ in dem perspektivischen Bilde a!₂ des Punktes a. Aus vorstehendem ergibt sich folgender Satz:

,,Das perspektivische Bild eines Punktes ist der innere Teilungspunkt der Verbindungsstrecke seines Aufrisses mit dem Augpunkte im Verhältnis des Abstandes des Punktes von der Bildebene zum Augabstande.“

Im folgenden soll nun. an einer Reihe von Aufgaben das Augabstandspunktverfahren geübt werden.

25. Aufgabe 3. Ein Quadrat 1 - fr- 3 • 4 (s. Fig. 29) der Grundrißebene, das mit einem Seitenpaar parallel zur Grundlinie gerichtet ist, soll in Perspektive gesetzt werden.

Auflösung. Durch die Aufrißecken 1-4 und 2-3 gehen Linien nach dem Augpunkt; die Quadratdiagonalen 1 - 3 und 2 - 4 schneiden G in 9 und 10. Die durch diese Punkte nach den Augabstandspunkten gehenden Linien liefern die Quadratecken V\ 3' und 2\ 4'.

Die beiden Quadratseiten 1' - 2' und 3' - 4' sind parallel zu G. Die beiden anderen haben den Punkt 0₂ zum Fluchtpunkt.

Aufgabe 4. Das Quadrat 5-6-7 -8 (s. Fig. 29) liegt in einer beliebigen wagerechten Ebene Gx; es soll in Perspektive gesetzt werden.

Auflösung. Man verfährt in gleicher Weise wie in Aufgabe 3, nur projiziert man jetzt die Punkte 9 und 10 nach 11 und 12 auf G₁ und zieht von da nach den Augabstandspunkten dl und d₂.

26.    Aufgabe 5. Das Quadrat 1 - 2 - 3 - 4 (s. Fig. 29) ist Grundriß eines rechtwinkligen Parallel-epipeds von der Höhe h\ es soll letzteres in Perspektive gesetzt werden.

Auflösung. Man verfährt wie in Aufgabe 3 und 4 und verbindet die Endpunkte der Perspektiven beider Quadrate durch lotrechte Linien.

27.    Aufgabe 6. Ein Quadrat der Grundrißebene, dessen Seiten unter 45° gegen die Bildebene geneigt sind (s. Fig. 30), soll in Perspektive gesetzt werden.

Auflösung. Von den Aufrißpunkten 1 bis 4 zieht man nach 0₂; durch die Schnittpunkte 9 und 10 der Seiten 2 • 3 und 1 • 2 mit G nach den Augabstandspunkten d₂ und d₂. Hierdurch sind die Ecken 1' •2' und 3' bestimmt. Die vierte Ecke 4' ergibt sich im Schnitt der Linien 1 'd₂ und 3'd₂.

28.    Aufgabe 7.    Das Quadrat liegt in einer

wagerechten Ebene Gx (s. Fig. 30).

Auflösung. An Stelle von G tritt Glf sonst bleibt die Konstruktion wie in der vorigen Aufgabe.

29.    Aufgabe 8. Das Quadrat 1 • 2 • 3 • 4 (s. Fig. 30) ist Grundriß eines rechtwinkligen Parallel-epipeds von der Höhe h; es soll letzteres in Perspektive gesetzt werden.

Auflösung. Man verfährt wie in Aufgabe 6 und 7 und verbindet die Eckpunkte der Perspektiven beider Quadrate durch lotrechte Linien.

Anmerkung 3. Hat ein Körper mit rechteckigen wagerechten Begrenzungsflächen eine solche Stellung zur Bildebene, daß die eine Schar der wagerechten Rechtecksseiten zur Bildebene parallel, die andere hierzu senkrecht steht, so nennt man diese Stellung Parallelstellung

im Gegensatz zur Diagonalstellung, welche vorliegt, wenn die genannten Kechtecksseiten zur Bildebene unter 45° geneigt sind. Das Prisma in Fig. 29 befindet sich in Parallelstellung, jenes in Fig. 30 in Diagonalstellung.

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Fig. 31.

30. Aufgabe 9. Der in Fig. 31 durch Grund-und Aufriß in Parallelstellung angedeutete Körper ist in Perspektive zu setzen.

Auflösung. Man zeichnet die Perspektiven aller an dem Körper auftretenden Quadrate mittels Aug- und

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31.    Aufgabe 10. Der in Aufgabe 9 genannte Körper ist in Diagonalstellung (s. Fig. 32) in Perspektive zu setzen.

Auflösung. Man konstruiert die Perspektiven der einzelnen Quadrate mittels der beiden Augabstandspunkte d₂ und d₂. Die Perspektiven der Quadratdiagonalen sind zur Grundlinie G parallel, bzw. gehen sie durch den Aug-punkt.

32.    Aufgabe 11. Ein Kreis K der Grundrißebene (s. Fig. 33) ist in Perspektive zu setzen.

Auflösung. Im vorliegenden Falle berührt K die Grundlinie G\ man zeichnet nun um den Kreis ein ihn berührendes Quadrat ab ce, dessen eine Seite mit G zusammenfällt, zieht darin die beiden Diagonalen und durch deren Schnittpunkte mit K Senkrechte zu G. Hierdurch ist der Kreis in acht gleiche Teile geteilt. Man zeichnet die Bilder der Quadratdiagönalen nach den beiden Aug-abstandspunkten d₂ und d₂ oder, wenn nur einer dieser Punkte zur Verfügung steht, das Bild bd₂ der einen Diagonale, ferner die Bilder der beiden Quadratseiten ae und bc nach 0₂, wodurch die Quadratecken abe₂ bestimmt sind; e₂c₂ ist parallel zu G. Zieht man noch ac₂ und außerdem die Bilder der beiden Hilfslinien 8 • 6 und 2 • 4 nach 0₂, so erhält man von dem Kreise die Bilder der Punkte 1-5, 2-4, 8-6; die Diagonalen ac₂ und be₂ liefern den Schnittpunkt m₂, durch welchen eine Parallele zu G zu ziehen ist, um auf ae₂ und bc₂ die noch fehlenden Punkte 7' und 3' des Kreisbildes K' zu erhalten.

Auf die angegebene Art erhält man stets acht Punkte des elliptischen Kreisbildes, das zur Verzeichnung von K' vollständig ausreicht.

Anmerkung 4. Von dem elliptischen Kreis bilde K' lassen sich in einfacher Weise die Hauptachsen ermitteln.

Man halbiert die Linie 1 - 5' in n', zieht d₂n' bis nach G, so trifft die durch den Schnittpunkt von d₂n' mit G gezogene 45°-Linie den Kreisdurchmesser 1 - 5 in einem Punkte n, dem der Punkt n' als perspektivisches Bild entspricht. Ein Kreis dessen Mittelpunkt auf G liegt und die beiden Punkte n und n' enthält, liefert auf G zwei Punkte g und h, durch welche die Hauptachsen von K' hindurchgehen ; ihnen entsprechen in K die beiden den Punkt n und die Punkte h und g enthaltenden Kreissehnen 9-10 und 11-12. Die Bilder von 9-10 und 11 -12 geben die Scheitel 9' -10', 11' • 12' der Ellipse K\

33.    Mit Bezugnahme auf das in 23 Gesagte ist auch die Aufgabe der perspektivischen Teilung gelöst, soweit es sich um zur Bildebene senkrechte gerade Linien handelt. Die Aufgaben können in folgende zerfallen:

1.    Man soll die wahre Länge einer perspektivisch dargestellten Strecke ermitteln.

2.    Man soll auf einer perspektivisch dargestellten Linie eine Strecke von bestimmter Länge abtragen.

3.    Man soll eine perspektivisch dargestellte Strecke in eine beliebige Anzahl gleicher Teile teilen.

4.    Man soll eine perspektivisch dargestellte Strecke in einem gegebenen Verhältnis m\n teilen.

Alle diese Aufgaben können mittels des Augabstands-punktes gelöst werden.

34.    Aufgabe 12. Man soll die wahre Länge einer perspektivisch gezeichneten Strecke a₂g!2 bestimmen (s. Fig. 34).

Auflösung. Liegt der eine Endpunkt a₂ der gegebenen Strecke auf 6r, so schneidet die Verbindungslinie d₂g₂

auf G den Punkt g aus und es ist a₂g die wahre Länge der Strecke ag.

35. Aufgabe 13. Man soll auf der perspektivisch gezeichneten Linie a₂0₂ (s. Fig. 34) eine Strecke von gegebener Länge auftragen.

Auflösung. Liegt a₂ auf G, so trägt man auf G von a₂ aus die gegebene Länge nach a₂g an und zieht gd₂, so ist a₂g₂ 'die[Perspektive einer Strecke von der Länge a₂g.

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36.    Aufgabe 14. Man soll eine perspektivisch gezeichnete Strecke a₂g₂ (s. Fig. 34) in eine beliebige Anzahl, z. B. fünf gleiche Teile teilen.

Auflösung. Liegt a₂ auf G, so zieht man d₂g₂ bis nach g, teilt die Strecke a₂g in fünf gleiche Teile und zieht durch die Teilungspunkte b, c, e, / nach d₂, so ergeben sich hierdurch die perspektivischen Teilungspunkte b’ c’ pf f

37.    Aufgabe 15. Man soll auf einer perspektivisch gezeichneten Geraden a₂0₂ (s. Fig. 34) eine

Strecke l von gegebener Länge n mal, n — 5, auftragen.

Auflösung. Liegt a₂ auf G, so trägt man von a2 aus auf letztere Linie die Strecke l fünfmal ab, und zieht durch die -ich ergebenden Punkte b, c, e, / und g nach d₂. Diese Verbindungslinien schneiden auf a₂0₂ die Punkte b₂, c₂, Cg,/g und g₂ so ab, daß die Strecken a₂b₂, b₂c₂, c₂e₂, Cg/g, /g(/g einander perspektivisch gleich sind.

38. Aufgabe 16. In irgendeinem Punkte einer perspektivisch gezeichneten Geraden a₂0₂ (siehe Fig. 34) ist a) eine Lotrechte oder b) eine zur Grundlinie G Parallele von bestimmter, gegebener Länge perspektivisch zu zeichnen.

Auflösung. Man zeichnet in a₂ auf G eine Lotrechte a₂h₂ oder die Wagerechte a₂h" gleich der wahren gegebenen Länge und zieht h₂0₂ bzw. h"0₂. Soll nun etwa in c₂ die Lotrechte oder Wagerechte von der Länge a₂h₂ oder a₂h" gezeichnet werden, so zieht man c₂k₂ lotrecht oder c₂k2 wagerecht, dann ist c₂k₂ == c₂k'₂ perspektivisch gleich a₂h₂, d. h. eine lotrechte Strecke a₂h₂ erscheint in dem Abstande in welchem der Punkt c von der Bildebene entfernt liegt, nur mehr in der Höhe c₂k₂. Eine Wagerechte von der Länge a₂h" erscheint bei Cg nur mehr in der Länge der Strecke c₂k'₂. Alle die in Fig. 34 gezogenen Lotrechten und Wagerechten sind perspektivisch gleich lang und zwar gleich a₂h₂ h2w. a₂h''.

Anmerkung 5. Liegt der eine Endpunkt des perspektivischen Bildes a₂b₂ einer zur Bildebene senkrecht gerichteten Strecke ab nicht mehr auf G (s. Fig. 35), so schneiden die Verbindungslinien a₂d₂ und b₂d₂ auf G die wahre Länge ab der Strecke ab an. Statt des Aug-

abstandspunktes d₂ auf H könnte man auch irgendeinen _ anderen Punkt, z. B. d", des Kreises Kd zur Konstruktion benutzen. Man braucht dann nur a₂b₂ bis zum Schnitt c mit G zu verlängern, durch c eine Parallele zu 0₂d" zu ziehen, so liefern die Verbindungslinien d"a!₂ und d"l’₂

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Fig. 35.

auf der genannten Parallelen die Endpunkte a" und b" einer Strecke a"b", gleich der wahren Länge der Strecke ab.

39. Aufgabe 17. Von einem Würfel ist das perspektivische Bild a₂b'₂ (s. Fig. 36) einer Kante gegeben.. Die eine die Kante ab enthaltende Würfelfläche liegt in der Grundrißebene. Man

soll das perspektivische Bild des Würfels zeichnen.

Auflösung. Man verbindet die Endpunkte a₂ und b2 der Würfelkante mit d₂ und zieht außerdem durch a₂ die Wagerechte a!₂b", so stellt a₂b" die perspektivische Länge der durch a gehenden lotrechten und der zweiten wagerechten Würfelkante dar. Macht man also a'₂c[ = a₂f₂

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Fig. 36.

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40. Aufgabe 18. Ein kreisrunder Mauerkörper, dessen Gestalt aus dem Grundriß in Fig. 37 ersichtlich ist, soll perspektivisch gezeichnet werden.

Auflösung. Man zeichnet die perspektivischen Bilder der Kreise K und Kx unter der Voraussetzung, daß ihre Ebenen durch die Geraden G, Gx, G₂ und G₃ bestimmt sind. Unter der Annahme, daß der Mauerkörper aus einzelnen Steinen hergestellt ist, welche mittels lotrechten, die Zylinderachse enthaltenden Stoßflächen aneinanderstoßen, erscheinen die Perspektiven der Stoßfugen teils

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als fotrechte Linien, teils als Linien, welche nach dem perspektivischen Bilde des Mittelpunktes der obersten Begrenzungskreise gerichtet sind.

41.    Aufgabe 19. Der in Aufgabe 18 bezeichnete Körper ist als Gewölbe mit zur Bildebene senkrecht stehender Achse gedacht. Man soll seine Perspektive zeichnen, wenn ein lotrechter Schnitt durch das Gewölbe mit der Bildebene zusammenfällt.

Auflösung. Die Kreise K und Kx (s. Fig. 38) liegen in der Bildebene und stellen sich in wahrer Größe dar. Die Mittelpunkte der übrigen Kreise liegen auf der Verbindungslinie m₂0₂ in n!₂, 0!₂, p₂ und ergeben sich, wenn man m₂p parallel zu H zieht und die Strecken m₂n = no = obgleich den Abständen der Kreisebenen voneinander abträgt und von den Punkten n, 0 und p nach ä!₂ zieht. Die Wagerechten durch n'₂, 0l₂, p!₂ schneiden auf den Linien a0₂ und 10₂ die zu den Mittelpunkten n₂, 0!₂, p!₂ gehörigen Kreishalbmesser ab.

42.    Aufgabe 20. Der in Aufgabe 18 bezeichnete Körper ist als Gewölbe mit wagerechter, zur Bildebene paralleler Achse gedacht. Man soll seine Perspektive zeichnen (s. Fig. 39).

Auflösung. Die Konstruktion des perspektivischen Bildes eines jeden Kreises erfolgt in gleicher Weise, wie in Aufgabe 18 gezeigt worden ist, unter Benutzung der Geraden 8, Sl9 S₂ und S₃ als Schnittlinien der Kreisebenen mit der Bildebene.

43.    Aufgabe 21. In einer zur Bildebene senkrechten, lotrechten Mauer ist ein Fenster angebracht, dessen Ausmaße einerseits durch einen lotrechten Schnitt A durch die Fensterachse,

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andererseits durch die Umlegung B der inneren Fensterwand mit der Projektion des Fensters diese in die Bildebene gegeben sind (siehe

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Fig. 40). Man soll die Perspektive der Wand mit dem Fenster zeichnen.

Auflösung. Man kennt von jedem Punkte den Aufriß und seinen Abstand von der Bildebene, womit die Perspektive eines jeden Punktes bestimmt ist. Im vorliegenden Falle ist der perspektivische Grundriß des Fensters ermittelt worden; die wirklichen Perspektiven der einzelnen Punkte liegen dann lotrecht über ihren perspektivischen Grundrissen und auf den Verbindungslinien der Aufrisse mit dem Augpunkt, z. B. der Punkt T in der Lotrechten durch 2' auf 2 • 0₂ und der Verbindungslinie 1 • 0₂ usw.

44. Aufgabe 22. Ein Tonnengewölbe mit zur Bildebene senkrecht stehender Achse mit Stichkappen und Gurtbogen ist perspektivisch zu zeichnen, wenn die erforderlichen Ausmaße bekannt sind (s. Fig. 41).

Auflösung. Das Tonnengewölbe ist durch den Halbkreis A, die Stichkappe durch B, der Gurtbogen durch C festgelegt, wenn durch a₂c der Abstand der Lotrechten ab und durch a₂g, a₂h die Abstände der lotrechten zur Bildebene parallelen Begrenzungsflächen des Gurtbogens von der Bildebene gegeben sind. Die Konstruktion der einzelnen Punkte erfolgt in der gleichen Weise, wie in der vorhergehenden Aufgabe. Um z. B. den Punkt F zu erhalten, der in einem Abstande gleich a₂c von der Bildebene entfernt liegt, zieht man cd₂ bis zum Schnitt a! mit a₂0₂. Die Lotrechte durch a' liefert auf b₂0₂ den Punkt b'. Projiziert man nun den Schnittpunkt 1 der durch b₂ zu G gezogenen Parallelen mit A auf G nach 1, zieht durch lezteren Punkt 1 nach 0₂ und durch a' parallel zu G\ so ergibt sich der perspektivische Grundriß V von F,

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45. Das Aufträgen von lotrechten Strecken in vorgeschriebenen Abständen von der Bildebene zeigt das in Fig. 42 dargestellte Beispiel einer Bogenstellung in einer zur Bildebene senkrechten und einer hierzu parallelen lotrechten Wand.

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Fig. 42.

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Auf der Grundlinie G sind von a₂ aus die Abstände der einzelnen darzustellenden Punkte von der Bildebene abgetragen. Mi ttels des Augabstandspunktes d₂ ergeben sich dann auf a₂0₂ die perspektivischen Grundrisse; die wirklichen Höhen der einzelnen Punkte über der Grundrißebene sind auf der Linie a₂b₂ aufgetragen und können mittels Linien nach dem Augpunkt perspektivisch auf die betreffenden Lotrechten übertragen werden.

Punkt 1 ist die Konstruktion deutlich zu ersehen. Die Strecke a₂l gibt auf G den Abstand des Punktes 1 von

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der Bildebene an, die Strecke a₂b₂ ist sein Abstand von der Grundrißebene. Von 1 auf G ist nach d₂ gezogen bis zum Schnitt 1" mit a₂0₂. Die Lotrechte durch 1" liefert auf b₂0₂ die Perspektive T.

Die Punkte 1 in der Wand B ergeben sich, wenn man von 1 auf G nach 0₂ zieht bis zum Schnitt mit den Geraden C und D; die Lotrechten in diesen Schnittpunkten enthalten die Punkte 1'. Die Linie b₂0₂ schneidet die Schnittlinie von A und B in einem Punkte c, die Wagerechte durch c enthält den in B liegenden Punkt 1\ die durch letzteren nach 0₂ gezogene Linie liefert den in der lotrechten Ebene durch D liegenden Punkt T.

In Fig. 42 erkennt man deutlich, wie die perspektivischen Bilder gleich langer Lotrechten sich immer mehr verkürzen, je weiter die Linien von der Bildebene abstehen.

b) Verfahren mit Verwendung eines verkleinerten Augabstandes.

46. Die bisherigen Konstruktionen nach dem Augab-standspunktverfahren setzen das Vorhandensein eines Aug-abstandspunktes auf der zur Verfügung stehenden Zeichenfläche voraus. Wird der Augabstand aber sehr groß, so kann es leicht Vorkommen, daß der Augabstandspunkt über die Grenze der vorhandenen Zeichenfläche hinaus-fällt, also unzugänglich wird. In diesem Falle versagen die bisherigen Konstruktionen. Man hilft sich dann in folgender Weise:

Ist a₂ der Aufriß eines Punktes a (s. Fig. 43) und a₂a± sein Abstand von der Bildebene, so erhält man mit Benutzung des Augabstandspunktes d₂ und dem Abstand a₂ax in bekannter Weise die Perspektive a[ des Punktes a.

Nimmt man nun auf H einen Punkt ~~ in der Mitte von

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Fig. 43.

halben Abstand des Punktes a von der Bildebene ist.

Man kann also auch den Punkt zur Konstruktion des

perspektivischen Bildes des Punktes a benutzen; man zieht a₂0 und trägt auf G die Strecke a₂f gleich dem halben

Abstand des Punktes a von der Bildebene ab. Die Verbindungslinie / liefert auf a₂0₂ die Perspektive a!₂ von a.

Die gleiche Konstruktion läßt sich in jeder Höhenlage über oder unter G ausführen, z. B. für den Punkt b₂\ b₂g gleich a₂/ gleich dem halben Abstand des Punktes b von der Bildebene.

Anstatt die Punkte / und auf G bzw. H zu benutzen,

kann man auch um 0₂ mit einem Halbmesser gleich dem halben Augabstande einen Kreis* und um a₂ einen Kreis Ke mit einem Halbmesser gleich dem halben Abstande des Punktes a von der Bildebene beschreiben. Zieht man dann in diesen Kreisen zwei parallele, entgegengesetzt gerichtete _

Halbmesser 0₂ ~~ und a₂g, so liefert die Verbindungslinie d!    ^

—f-g auf a₂0₂ ebenfalls das perspektivische Bild von a.

Dieses Verfahren bezeichnet man als Augabstandspunktverfahren mit verkleinertem Augabstande. Hierbei kann

die Strecke 0₂ irgendein Bruchteil des Augabstandes,

z. B. % oder ¹/₄ sein ; dann wird aber auch die Strecke a₂f denselben Bruchteil des Abstandes des in Bede stehenden Punktes von der Bildebene betragen müssen. Einige Beispiele sollen die Anwendung des Verfahrens zeigen.

47. Aufgabe 23. Die in Fig. 44 im Aufriß, in Fig. 45 im Grundriß gegebene Säule ist perspektivisch zu zeichnen unter Benutzung des halben Augabstandes.

Auflösung. Die Konstruktion wird ganz in der Weise, wie in46 gezeigt worden, ausgeführt, und zwar konstruiert

Fig.»46.

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man die in den Wagerechten I bis VII gelegenen Quadrate bzw. Kreise. Die lotrechte Kante durch g ist in der Bildebene angenommen. In Fig. 46 ist die Konstruktion der Perspektiven der Punkte a und ebenso e und / angegeben.

Der Abstand a₂ax (Fig. 45) wird mittels eines Hilfswinkels oc (s. Fig. 47) gehälftet. Es ist Fig. 47 pq =/pr

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Mittels der Linien e₂0₂ und f₂0₂ und der Parallelen durch a₂ und b!₂ zu G ergeben sich e₂ und /₂' usw.

In Fig. 48 ist die Konstruktion des perspektivischen Bildes einer lotrechten Strecke a₂b₂ noch besonders

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Fig. 54.

Fig. 53.

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b ^ und c ~ auf a₂0₂ die Perspektiven 3' und c!₂ von 3 und

c. Alles übrige ist aus der Figur ersichtlich.

48.    In Fig. 51 ist ein lotrechter Schnitt durch den Scheitel eines Kreuzgewölbes parallel zu einer Stirnfläche gezeichnet, letztere als Bildebene gewählt und die durchschnittene Gewölbehälfte perspektivisch dargestellt, und zwar unter Anwendung von ein Drittel Augabstand. Die Konstruktion vollzieht sich in gleicher Weise wie in den vorhergehenden Aufgaben.

49.    In Fig. 52 ist ein Kugelgewölbe über quadratischem Grundriß, das auf vier quadratischen Pfeilern aufruht, unter Annahme von ein Viertel Augabstand perspektivisch gezeichnet, wobei die Bildebene mit der vorderen Begrenzungsfläche der Säulenkapitäle zusammenfallen soll.

50.    In Fig. 54 ist das in Fig. 53 durch Grund- und Aufriß dargestellte Dachtürmchen unter Anwendung von halbem Augabstand in Perspektive gesetzt. Die Maßstäbe der Figuren verhalten sich wie 1: 3.

Anmerkung 6. In den Figuren 55—73 ist eine Anzahl von Übungsbeispielen zusammengestellt, welche der Leser nach den vorangegangenen Erörterungen über das Aug-abstandspunktverfahren selbständig bearbeiten kann. Be-

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züglich des Beispieles in Fig. 71—73 mag noch bemerkt werden, daß über dem rechtwinkligen Grundriß (Fig. 71) ein Quadratnetz gezogen ist, das perspektivisch dargestellt wird. In dieses perspektivische Netz werden die darzustellenden Punkte nach dem Augenmaße eingetragen. Die Länge der Quadratseite wird zweckmäßig auch als Einheit für den Höhenmaßstab festgesetzt, wodurch dann das Aufträgen der Höhen in jeder perspektivischen Tiefe leicht erfolgt. In der Figur 73 ist für einzelne Punkte dieses Aufträgen der Höhen gezeigt.

In den Fig. 55, 56, 57, 61, 62, 63,64 und 73 ist mit ganzem Augabstand konstruiert, in den Fig. 58 und 67 mit ein Drittel Augabstand. In den Fig. 59 und 60 treten nur Linien auf, welche zur Bildtafel parallel oder senkrecht gerichtet sind. Die hintere Abgrenzung der Körper ist parallel zur vorderen in beliebigem Abstande von der Bildebene anzunehmen.

In den Fig. 66, 68, 69, 70 ist halber Augabstand verwendet.

Das Fluchtpunktverfahren.

a) Die Fluchtpunkte sind zugänglich.

51. Bei diesem Konstruktions verfahren benutzt man zur Bestimmung der Perspektive eines Punktes entweder zwei beliebige, aufeinander senkrecht stehende wagerechte Linien A₁ und Bx (s. Fig. 74), bestimmt deren Fluchtpunkte /2 und /₂, indem man die durch das Auge gedachte wagerechte Ebene um ihren Schnitt H mit der Bildebene in letztere umlegt und durch das umgelegte Auge 0' Parallelen zu den Grundrissen Ax und B₁ bis zum Schnitt /₂ und /₂ mit H zieht. Die Perspektiven A' und- B₂ gehen durch die Schnittpunkte c und e von Ax und B₁ mit G und durch die Fluchtpunkte /₂ und /₂ bzw. und schneiden sich in der

Perspektive a!₂ des Punktes a. Liegt der darzustellende Punkt l nicht in der Grundrißebene G, sondern in einer beliebigen Wagerechten 7, so projiziert man die Punkte c und e nach c' und e' auf 7 und verfährt im übrigen wie vorhin.

Anmerkung 7. Anstatt der Geraden Ax und Bl kann man auch nur eine von ihnen, etwa A₁ oder Bx, sowie

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Man erhält dann mittels eines der Fluchtpunkte f₂ und /₂ oder eines der Augabstandspunkte d₂ und df₂ das perspektivische Bild eines Punktes. In Fig. 74 sind die diesbezüglichen Linien angedeutet.

52.    Das Fluchtpunktverfahren wird man vornehmlich verwenden bei parallelepipedisch geformten Körpern, indem man die Fluchtpunkte der wagerechten Körperkanten bestimmt und diese zur Konstruktion des perspektivischen Bildes der einzelnen Punkte am Körper, wie vorstehend angegeben, verwendet. In Fig. 75 und 76 sind einzelne Beispiele nach dem Fluchtpunktverfahren ausgeführt. Fig. 75 zeigt den schon früher in Fig. 31 und 32 behandelten Körper; in Fig. 76 ist ein rechtwinkliges Parallelepipe d in beliebiger schräger Stellung seiner wagerechten Kanten zur Bildebene perspektivisch gezeichnet. Die Konstruktionen sind so deutlich ausgeführt, daß sie aus den Figuren entnommen werden können.

Anmerkung 8. Bezüglich der Bestimmung der Fluchtpunkte der wagerechten Körperkanten soll hier noch einiges bemerkt werden. Anstatt in 0₂ senkrecht zu E den ganzen Augabstand aufzutragen, kann man auch einen Bruchteil desselben, z. B. ¹/₄ (Fig. 75) oder % (Fig. 76), davon

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benutzen und durch den Endpunkt — oder — Parallele

zu den wagerechten Körperkanten ziehen. Man braucht

dann nur die Strecken 0₂^~, 0₂^ (Fig. 75), 0₂ ^,0₂ -1

(Fig. 76) viermal bzw. dreimal von 0₂ aus auf E abzutragen, um die richtigen Fluchtpunkte f₂ bzw. f₂ zu erhalten.

Bestimmung der wahren Länge einer perspektivisch gegebenen wagerechten Strecke. Teilungspunkt, Teilungskreis, Neigungswinkel einer wagerechten Geraden mit der Bildebene, perspektivische Teilung.

53.    Ist a'₂ b₂ das perspektivische Bild einer wagerechten Strecke (s. Fig. 77) und 0' das umgelegte Auge, so ergibt

sich im Schnitt der verlängerten a₂b₂ mit 0 und H bzw. der Schnittpunkt c der Geraden ab mit der Bildebene, sowie ihr Fluchtpunkt f₂. Die Verbindungslinie 0'f₂ liefert die Umlegung des Parallelstrahles der Geraden ab in die Bildebene. Eine Parallele durch c zu 0'f₂ gibt daher die Umlegung der Geraden a b in die Bildebene. Zieht man von 0' nach a₂ und b₂, so liefern diese Verbindungslinien auf der umgelegten Geraden ab die Endpunkte ax und bx der Strecke ab, d. h. axbx ist die wahre Länge von ab. Zieht man noch 0₂a₂ und 0₂b₂, so treffen diese Linien die Grundlinie G in den Punkten a₂ und b₂, den Aufrissen der Punkte a und b und es stehen die Verbindungslinien a₂ax und b₂bx senkrecht zu G. Beschreibt man um f₂ einen durch 0' gehenden Kreis Kt bis zum Schnitt t mit H, so wird, wenn man ta₂ zieht bis zum Schnitt a" mit G, ca" = cax sein, ebenso ist, wenn man tb₂ bis zum Schnitt b" mit G zieht, cb" = cbx.

Würde man auf dem Kreise Kt einen willkürlichen Punkt q wählen und von f₂ nach diesem Punkte q und durch c eine Parallele hierzu ziehen, so würden die Verbindungslinien qa₂ und qb₂ auf der letztgenannten Parallelen ebenfalls eine Strecke gleich der wahren Länge von ab ausschneiden.

54. Umgekehrt läßt sich nunmehr auch auf einer perspektivisch gezeichneten Linie cf₂ von einem Punkte a2 aus eine Strecke von gegebener Länge perspektivisch antragen. Man verschafft sich den Punkt 0\ zieht durch c eine Parallele zu 0'f₂, sowie die Linie 0'a₂ bis zum Schnitt ax mit der genannten Parallelen und trägt nun auf letzterer von ö^die gegebene Strecke nach a± bx ab. Die Verbindungslinie \0' liefert auf cf₂ den Punkt b₂, so daß die Strecke a₂b₂ perspektivisch gleich der Länge ax bx ist.

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Fig. 77.

Jeder auf dem Kreise Kt angenommene Punkt spielt dieselbe Rolle wie der Punkt 0', insbesondere auch der Punkt t auf H. Mit Hilfe von t erhält man den Punkt b2 ebenfalls; man zieht ta!₂ bis zum Schnitt a" mit G, trägt a"b" gleich der gegebenen Strecke ab und verbindet b" mit t\ b”t liefert auf cf₂ den Punkt V₂.

Vonderlinn, Zentralperspektive.

Anmerkung 9. Der Kreis Kt heißt der zur Geraden cf₂ gehörige Teilungskreis; jeder auf Kt gewählte Punkt ist ein Teilungspunkt der Geraden cf₂.

55. Mit Zuhilfenahme der Fluchtpunkte ergibt sich nun auch in einfacher Weise die Lösung der Aufgabe der Winkelermittelung einer zur Bildebene geneigten wagerechten Geraden mit der letzteren, sowie zweier solcher Geraden unter sich.

Soll z. B. der Winkel der Geraden a b (s. Fig. 77), die durch ihre Perspektive af₂ b₂ gegeben ist, mit der Bildebene ermittelt werden, so braucht man nur den Fluchtpunkt /₂ von ab mit dem umgelegten Auge 0' zu verbinden, so schließt letztere Linie mit H den Winkel w der Geraden a b mit der Bildebene ein. Soll ferner etwa in al₂ auf der Geraden ab eine perspektivische Senkrechte errichtet werden, so zieht man durch 0' eine Senkrechte 0₂fn zu 0't₂ bis zum Schnitt mit H und erhält in fn den Fluchtpunkt für alle auf der Geraden ab senkrecht stehenden wagerechten Geraden; die Verbindungslinie a!₂fn ist die gesuchte perspektivische Senkrechte. Den Punkt fn nennt man den Normalenfluchtpunkt der Geraden ab.

Soll weiter auf der Geraden a₂fn eine Strecke von gegebener Länge perspektivisch angetragen werden, so kann man diese Strecke entweder auf der Senkrechten durch a1 zu axbx gleich a₁g₁ abtragen und gx0' ziehen, oder man verschafft sich den auf H liegenden Teilungspunkt der Senkrechten zu ab, indem man um fn den Kreis Kt> durch 0' zeichnet und seinen Schnitt t' mit H ermittelt; zieht man nun t' ar₂ bis zum Schnitt h mit G, trägt hi gleich der gegebenen Länge ab, so liefert die Verbindungslinie itf auf a!₂fn den Punkt g₂ ebenfalls. Das Anträgen eines von 90° verschiedenen Winkels an eine gegebene Gerade der

Grundrißebene soll in der folgenden Aufgabe gezeigt werden.

Anmerkung 10. Aus dem in Nr. 55 Gesagten ergibt sich, daß der Fluchtpunkt einer zu einer perspektivisch gegebenen wagerechten Geraden senkrechten Geraden, eine ganz bestimmte Lage auf der Gesichtslinie besitzt, die bei gegebenem Augabstand in einfacher Weise ermittelt werden kann. Ist nun aber der Augabstand nicht

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Fig. 78.

gegeben, so kann jeder beliebige Winkel als perspektivisches Bild eines wagerechten rechten Winkels angesehen werden, vorausgesetzt, daß der Augpunkt bekannt ist und zwischen den Fluchtpunkten der gegebenen Winkelschenkel liegt. Man braucht ja nur (s. Fig. 78), wenn /g «g /₂ der fragliche Winkel ist, über /₂ f₂ als Durchmesser einen Halbkreis zu beschreiben, der von der Senkrechten zu E durch 0₂ in 0' so getroffen wird, daß die Länge 0₂ 0' den gesuchten Augabstand D darstellt.

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56. Aufgabe 24. Es soll die Perspektive eines in der Grundrißebene G liegenden Parallélogrammes gezeichnet werden, wenn gegeben ist

die Perspektive a₂b₂ einer Seite ax bx desselben (s. Fig. 79); außerdem kennt man den Winkel bei a seiner Größe nach. Die zweite durch a gehende Parallelogrammseite soll eine Länge gleich y3 von ab besitzen.

Auflösung. Man bestimmt die Umlegung 0' des Auges 0, sowie den Fluchtpunkt f!₂ von a!₂b!₂ auf H. An f₂ 0' trägt man in 0' den gegebenen Winkel W an und verlängert den zweiten Winkelschenkel bis zum Schnitt /2 mit H, dann ist /₂ der Fluchtpunkt der zweiten durch a gehenden Parallelogrammseite. Nunmehr bestimmt man mittels der Teilungskreise Kt und Kf die Teilungspunkte t und i! auf H. Die Verbindungslinien tf a!₂ und t'b₂ schneiden auf G die wahre Länge eg der Seite ab ab. Diese Strecke teilt man in vier gleiche Teile, zieht la!₂ bis zum Schnitt h mit G, trägt die Strecke hi = ³/₄ der Länge eg ab, so schneidet die Verbindungslinie it auf a!₂f₂ die Parallelogrammecke d₂ aus. Damit ist das perspektivische Bild des Parallelogramms bestimmt.

Verlängert man a!₂ b₂ und a’₂ d!₂ bis zum Schnitt k und l mit G und zieht durch k und l Parallelen zu 0'f'₂ bzw. ö'/₂, so erhält man hierdurch die umgelegten Parallelogrammseiten a±bi und a₁^₃; die Ecken cx und d₁ lassen sich auf verschiedene Weise ermitteln: entweder trägt man von a± aus die Strecken eg und hi auf den Parallelogramm-seiten nach a₁6₁ und a₁d₁ ab und zieht durch bx und dx Parallelen zu a₁d₁ bzw. axbx, oder man verbindet die Ecken a\₂, b₂ und d!₂ mit 0f, so liegen auf diesen Verbindungslinien ebenfalls die Ecken %, bx und dx\ auf den Parallelen durch bx und dx zu dx und ax bx ergibt sich wieder die Ecke cx. Auch der Augpunkt 0₂ läßt sich zur Bestimmung der wahren Gestalt des Parallélogrammes benutzen. Man

zieht durch die Ecken a!₂,b!₂, c₂\ d₂ nach 0₂ bis zum Schnitt mit G und durch letztere Schnittpunkte Senkrechte zu

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bl. Aufgabe 25. Das in Fig. 79 perspektivisch gezeichnete Parallelogramm ist durch Teilung seiner Seiten in zwölf gleiche Parallelogramme zu zerlegen.

Auflösung. Will man die Parallelogrammseiten ab und ad in vier bzw. drei gleiche Teile teilen, so braucht man nur durch die Teilungspunkte 1-2-3 auf eg bzw. 1 - 2 auf hi nach den Teilungspunkten t' und t zu ziehen; es ergeben sich hierdurch die Teilungspunkte V -2' - 3' auf a₂ b₂ bzw. V - 2' auf a₂ df₂. Zieht man nun durch diese Teilungspunkte nach den zugehörigen Fluchtpunkten /2 und /g, so ist dadurch das Parallelogramm a₂b₂c₂d₂ in 12 einander gleiche Parallelogramme zerlegt.

58. Aufgabe 26. Von einem Würfel, der mit einer Fläche in der Grundrißebene aufliegt, ist das perspektivische Bild a₂b₂ einer Kante gegeben (s. Fig. 80). Man soll das Bild des Würfels zeichnen.

Auflösung. Man verlängert a₂b₂ bis zum Schnitt f2 bzw. i mit H undćr, zieht 0' f₂ und senkrecht hierzu durch 0' die Gerade 0'/₂. Nunmehr bestimmt man die beiden Teilungspunkte t und t'. Die Verbindungslinien t' a₂ und t'b₂ liefern auf G die Punkte c und d, womit die wahre Länge der Würfelkante bestimmt ist. Mittels des Teilungspunktes t überträgt man diese Länge auf die Linie a2 f0 nach a₂h₂. ta₂ liefert auf G den Punkt e, eg = cd, gt schneidet a₂f₂ in h₂. Durch Ziehen von h₂ f₂ und b₂ f₂ ergibt sich Macht man ferner auf der Lotrechten durch i die Strecke ik gleich der wahren Länge der Würfelkante, so schneidet kf₂ auf der Lotrechten durch a₂ die Würfelecke l₂ aus, womit auch die noch fehlenden Würfelecken m₂, n₂ und q₂ bestimmt sind. Die Umlegung der untersten wagerechten Würfelfläche ergibt sich in bekannter Weise.

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59. Aufgabe 27. Der in Fig. 81 und 82 im Grund-und Aufriß gezeichnete treppenförmige Unterbau soll in Perspektive gesetzt werden. Standpunkt und Bildebene sind aus Fig. 81 zu ersehen.

Auflösung. Die Lotrechte, auf welcher der Augpunkt liegt, ist in Fig. 81 durch den Punkt 0[, in Fig. 83 durch die Linie 0[ 0₂ gegeben. Der Maßstab der Fig. 83 ist doppelt so groß wie jener der Fig. 81 und 82. In Fig. 83 ist 0₂ 0' senkrecht zu E und gleich ÖJ)[ Fig. 81 gleich ¹/lD angetragen. Überträgt man nun aus Fig. 81 die Abstände

0[f[ und 0[ f₁ nach 0₂^~ und 0₂^~ (Fig. 83), bestimmt die

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Teilungspunkte — und — , so sind damit auch die wirklichen

Fluchtpunkte und Teilungspunkte, nämlich /|,/₂, t' und/,

bestimmt, wenn man Ö₂ f₂ = 4 0₂ ~ usw. abträgt. Die

Konstruktion des perspektivischen Bildes des Körpers kann nun nach dem Bisherigen mittels der Flucht- und Teilungspunkte vorgenommen werden. In Fig. 84 und 85 ist das Abtragen von Längen auf perspektivisch gegebenen Linien, sowie das Aufträgen von Höhen auf Lotrechten in verschiedenen Abständen von der Bildtafel besonders herausgezeichnet.

In Fig. 83 ist zunächst der Grundriß des Körpers perspektivisch gezeichnet. Aus Fig. 81 entnimmt man die Strecke 0[dl und überträgt sie in doppelter Größe nach 0[d (Fig. 83), zieht df₂; ferner überträgt man die Strecke Ö[e₁ (Fig. 81) in doppelter Größe nach Ö[e (Fig. 83) und zieht nach f₂, wodurch die Perspektive a₂ bestimmt ist. Entnimmt man aus Fig. 81 die Längen exbx und dx

überträgt sie in doppelter Größe nach el bzw. dc (Fig. 83), so liefern die Verbindungslinien et und lt' die perspektivischen Bilder c₂ und l₂. Das Aufträgen der Höhen geschieht auf der Lotrechten eg. Von hier überträgt man sie mittels des Fluchtpunktes /' auf a₂g₂, von wo sie mittels der Fluchtpunkte f₂ und /₂ auf alle in den Flächen agi und agc liegenden Lotrechten übertragen werden können.

b) Die Fluchtpunkte sind unzugänglich.

60.    Bei den im vorstehenden angeführten Konstruktionen war das Vorhandensein der Fluchtpunkte auf dem zur Verfügung stehenden Zeichenblatte Vorbedingung. In vielen praktischen Fällen, wie bei der Herstellung der Perspektiven von Architekturstücken, z. B. Ansichten von Gebäuden, sind diese Fluchtpunkte auch tatsächlich vorhanden, weil man auf solch großen Brettern zeichnet, daß die Fluchtpunkte darauf noch Platz finden, oder weil man die Gesichtslinie mittels am Beißbrette befestigter Leisten so weit verlängert, daß darauf die Fluchtpunkte vermerkt werden können. Manchmal hat man aber die Fluchtpunkte doch nicht zur Verfügung und es entsteht die Aufgabe, nach unzugänglichen Fluchtpunkten gerade Linien ziehen und auf diesen gegebene Strecken perspektivisch auftragen zu müssen. Hierfür gibt es aber mannigfache Lösungen, von welchen einige der wichtigsten angegeben werden sollen.

61.    Aufgabe 28. Eine wagerechte Gerade A (s. Fig. 86) ist durch ihr perspektivisches BildAg gegeben. Man soll:

a) durch einen Punkt a von A eine Senkrechte zu A zeichnen;

b) von a₂ aus auf A₂ eine Strecke von gegebener Länge perspektivisch auftragen. Auflösung a). Man verbindet a₂0₂ und nimmt auf

a₂0₂ einen Punkt a" so an, daß 0₂ a" = — a₂0₂ist;im

71

vorliegenden Falle sei 0₂ a =^a₂0₂. Durch a"₂ zieht

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Fig. 86.

man eine Parallele Gx zu G und betrachtet Gx als Grundlinie für eine Bildebene, welche nur halb so weit vom Auge absteht als die ursprüngliche Bildebene. Für G₁ als Grundlinie und ~ als Augabstand löst man nun die entsprechende

Aufgabe. Man zieht durch a" eine geometrische Parallele A " zu A₂ und betrachtet diese als perspektivisches Bild

für die neue Bildebene, dann ist der Schnittpunkt der

f£

Fluchtpunkt von A . Bestimmt man die Umlegung 0

f

von 0, so liefert die Senkrechte durch 0” zu 0" den

/ ^

Normalenfluchtpunkt -^-für die Gerade A . Eine geo-

metrische Parallele zu B” durch a₂ gibt das perspektivische Bild B₂ einer durch a₂ zu A geführten Senkrechten.

Auflösung b). Um von a₂ aus auf Af₂ eine Strecke l von gegebener Größe perspektivisch abzutragen, benutzt man wieder die geometrische Parallele AMan be-

t'    __

stimmt zu A” den Teilungspunkt—, trägt auf Gx a” c}

t'    ^

— ^ l ab, zieht — c₁₉ so liefert diese Verbindungslinie auf

A2 den Punkt b”. Durch Ziehen von 0₂ b " ergibt sich auf A₂ der gesuchte Punkt bf₂, so daß a!₂ b₂ perspektivisch gleich der Länge l ist. Man hätte b₂ auch dadurch erhalten können, daß man a₂b'₂ = 2 • a"b₂ abträgt.

62. Aufgabe 29. Auf der Geraden B₂ (s. Fig. 86) ist von a₂ aus eine Strecke von gegebener Länge l perspektivisch abzutragen.

Auflösung. Die Lösung bleibt dieselbe wie in Auflösung b) der Aufgabe 28. Man benutzt die geometrische

Parallele B ” zu B₂ und den zugehörigen Teilungspunkt ~.

68. Aufgabe 30. Eine Gerade^. (Fig. 87)ist durch ihr perspektivisches Bild A₂ gegeben. Man soll:

a)    durch einen Punkt a₂ von A₂ eine perspektivische Senkrechte zu A₂ ziehen;

b)    auf A₂ vom Punkte a₂ eine Strecke von gegebener Länge perspektivisch auftragen.

Auflösung a) und b). Die Lösung ist dem Wesen nach die gleiche wie in Aufgabe 28. Man zieht a₂0

macht a₂0₂ = | a₂ 0₂, ebenso a±0₂ =    dann geht

durch ax die Linie Gx. Die geometrische Parallele durch

a" zu A₂ liefert den Fluchtpunkt-^- . Hiermit ist auch der / ^

Fluchtpunkt der zu A senkrechten Geraden bestimmt .

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Mittels der Fluchtpunkte ~ und ^ ergeben sich die Tei-

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Strecke = l abzutragen, zieht man a" — bis zum Schnitt

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cx mit Gx, trägt cxdx = ^ l ab und zieht dx —

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bindungslinie auf A₂ den Punkt b" liefert; 0₂ b₂ schneidet auf A₂ den Punkt b₂ so aus, daß a₂ V₂ perspektivisch

= l ist. Zieht man a" -y und durch a₂ eine geometrische o

Parallele B₂ hierzu, so ist B₂ perspektivisch senkrecht auf A!>.

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Fig. 88.

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Anmerkung 11. Würde man 0₂t' =3 0« — abtragen,

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t'a!₂ bis zum Schnitt c mitćr ziehen und cd = 1 auftragen, so erhielte man im Schnitt von t'd mit A’₂ ebenfalls den Punkt b₂.

64. Aufgabe 31. Es ist die Aufgabe 26 zu lösen, unter Anwendung eines Augabstandes =    , d.h.

o

bei nichtzugänglichen Fluchtpunkten.

Auflösung. Ist a₂b₂ die gegebene Würfelkante, so verschafft man sich Gx, ebenso a" b" wie früher. Hiernach ergeben sich dann mittels des umgelegten Auges 0" die

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Fluchtpunkte und , ebenso die Teilungspunkte —

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und —. Mittels der genannten Punkte konstruiert man 3

jetzt den zur Kante a!₂bf₂ gehörigen Würfel. Verbindet man dessen Ecken a₂ bis i₂ mit 0₂ und verlängert diese Verbindungslinien über die Würfelecken hinaus um das Doppelte ihrer Längen, so ergeben sich hierdurch die Würfelecken a₂ bis i₂.

Anmerkung 12. In Fig. 88 sind mittels der Teilungs-t'    t

punkte — und — die wirklichen Teilungspunkte t' und t o    o

bestimmt worden; ferner ist auch der linksseitige Fluchtpunkt /₂ ermittelt, 0₂f₂ = 3 oj^- . Damit lassen sich dann

ebenfalls die Würfelecken c₂ bis i₂ ermitteln. Man zieht t'b₂ und erhält hierdurch auf G den Punkt b ; macht man a₂c = a’J), zieht a₂ f₂ und ct, so ergibt sich hierdurch der Punkt c\. Probe: 0₂, cf₂ und c₂ müssen in einer Geraden liegen, 0₂c₂ = 3 0₂ c", c₂ e₂ parallel zu c”₂ e” usw.

Anmerkung 13. Hat man sehr viele Linien nach einem unzugänglichen Fluchtpunkt zu ziehen, so kann man sich auch des folgenden Verfahrens bedienen. Ist m n das perspektivische Bild einer Geraden mit unzugänglichem Fluchtpunkt, so fällt man von zweien ihrer

Punkte, etwa n und m (s. Fig. 89), Senkrechte zu H und teilt die Strecken mo und np in die gleiche, aber beliebige Anzahl gleicher Teile und verbindet die gleichbezeichneten Teilungspunkte 2*2, 2-2 usw. Die Teilstrecken kann man über E hinaus nach oben beliebig fortsetzen und nun

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Fig. 89.

zwischen je zweien der Verbindungslinien nach dem Augenmaße Linien ziehen, welche genau genug durch den Fluchtpunkt von mn hindurchgehen.

Die Teilung kann auch auf beliebig schiefschneidenden geometrischen Parallelen, z. B. zwischen H und F G, ausgeführt werden. Soll durch einen gegebenen Punkt p (s. Fig. 89a) eine Linie nach einem unzugänglichen Flucht-punkt, d. h. nach dem Schnittpunkt zweier Geraden 11 und aa' gezogen werden, so wählt man auf H einen Punkt b beliebig. Hierdurch ist das Dreieck abp bestimmt. Durch a' zieht man a'b' und a'p' parallel zu ab bzw. ap, wodurch der Punkt p' festgelegt wird. Die Verbindungslinie ppr geht durch den Schnittpunkt von H und aa'.

Fig. 89 a.

Anmerkung 14. Ist ein beliebiger Winkel b'₂a'₂c'₂ (s. Fig. 90) als perspektivisches Bild eines wagerechten rechten Winkels so gegeben, daß die Fluchtpunkte der Winkelschenkel unzugänglich sind, so kann man auch in diesem Falle, wenn der Augpunkt 02 bekannt ist, den Augabstand und die zur perspektivischen Konstruktion erforderlichen Punkte, wie Tei-lungs- oder Augab-standspunkte, in einfacher Weise wie folgt konstruieren:

Man zeichnet eine Parallele zu H, welche die Schenkel des gegebenen Winkels in den Punkten b₂ und c₂ trifft, zieht a₂0₂, welche b₂ c₂ in Ol durchschneidet, und beschreibt über b-₂ c!₂ als Durchmesser den Halbkreis K, welcher von de* Senkrechten durch 0!₂ zu b!₂ c'₂ in 0' getroffen wird.

Will man nun den Augabstand D bestimmen, so macht man O^h = 0'₂ 0', zieht a'₂h bis zum Schnitt d₂ mit H, so ist 0₂d₂ = D. Zur Ermittelung der Teilungspunkte für die Winkelschenkel a'₂ c’₂ und a'₂ b'₂ beschreibt man um c'2 und b’₂ Kreise durch 0’, welche auf b!₂ c!₂ die Punkte e und

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g ergeben. Die Verbindungslinien a!₂e und a^g liefern auf H die Teilungspunkte t und t'.

Würde der Punkt d₂ außerhalb der Zeichenfläche liegen, so könnte man einen Bruchteil des Augabstandes etwa

— ermitteln, wenn man 0₂ 0r in Q" halbiert, 0'₂i = 0₂0' abträgt und a₂i bis zum Schnitt mit H zieht; dann ist

V. Kapitel.

- Vermischte Aufgaben.

65. Im vorangegangenen sind nunmehr alle Mittel gegeben, um das perspektivische Bild irgendwelchen Körpers darstellen zu können, sobald dessen Ausmaße sowie seine Lage zur Bildebene bekannt sind. Welches Verfahren zur Konstruktion des Bildes benutzt wird, hängt von der Beschaffenheit des Körpers selbst ab. Häufig wird man bei einem und demselben Körper mehrere Verfahren zu gleicher Zeit benutzen, je nachdem das eine oder andere schneller zum Ziele führt.

Anmerkung 15. In Fig. 92 ist der in Fig. 91 im Aufriß skizzierte Körper perspektivisch dargestellt, wobei das Bild des rechten Winkels an der vorderen untersten Ecke beliebig angenommen ist.

Anmerkung 15a. Das in Fig. 92 angewandte Verfahren zur Ermittelung der zur Konstruktion des perspektivischen Bildes erforderlichen Flucht- bzw. Teilungspunkte soll im nachstehenden erläutert werden. Der Punkt a₂, (s. Fig. 92a) ist die angenommene Körperecke und a'a₂f das Bild eines rechten Winkels. Man wählt den Punkt p beliebig und zieht nach / und den unzugänglichen Fluchtpunkt g mittels der beiden ähnlichen Dreiecke pa₂b und p' a'V. Ist p' bestimmt, so zieht man 0₂p und nimmt auf dieser Linie den Punkt 0₂ etwa so an, daß po₂ — \ po2 ist. Eine Parallele zu H durch o₂ liefert auf p j und pg

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Fig. 91.

die Punkte /' und g'. Schlägt man über f'g' einen Halbkreis, so ergibt sich auf der Senkrechten durch o₂ zu f'g' im Schnitt mit dem Halbkreise der Punkt 0'. Die Linien O'g' und 0'f' bilden die Umlegungen der Schenkel des

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Fig. 92 a.

rechten Winkels bei Mittels der Kreisbögen um /' und g' durch 0' ergeben sich die Teilungspunkte t[ und t₂\ durch Ziehen von p t[ und p tf₂ gewinnt man auf E die gesuchten Teilungspunkte t₁ und t₂. In der Fig. 92 a ist durch 0' noch die Halbierungslinie des Winkels g'O'f eingezeichnet, wodurch in ln! bzw. h der Fluchtpunkt für die genannte Winkelhalbierende gegeben ist. Nunmehr

kann für ein Quadrat von gegebener Seitenlange = a₂i = a₂k mit der Ecke a₂ und den Seiten a₂ / bzw. a₂ a' das perspektivische Bild gezeichnet werden. kt₂ gibt auf a₂a'

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Fig. 93.

den Punkt ¥, ¥f und a₂h schneiden sich in V,it, liefert auf a₂ / die noch fehlende vierte Quadratecke V. In gleicher Weise ergeben sich die Quadrate des Körpers Fig. 91 in Fig. 92, wobei die Höhenlagen aus Fig. 91, die in halb so

großem Maßstab wie Fig. 92 gezeichnet ist, entnommen und auf die Lotrechte durch die vorderste Körperecke aufgetragen sind.

Anmerkung 15b. Eine Parallele durch / (s, Fig. 92a) zu f'O' und die Senkrechte durch 0₂ zu E schneiden sich in dem umgelegien Auge 0", so daß also die Strecke 0₂0" den wirklichen Augabstand darstellt, also = 3 ü!j)' ist, Es ist ferner 0₂ tx = 3 0₂1[, 0₂t₂ = 3 0₂1₂ und 0₂ h = 3 0₂ h'<

66,    Aufgabe 32. Ein senkrechter Kreiskegel,-dessen Grundfläche in einer zur Bildebene senk-; rechten, zur Grundrißebene aber geneigten Ebene liegt, ist perspektivisch darzustellen, wenn der Halbmesser des Grundkreises, die Kegelhöhe, sowie die Lage des Mittelpunktes des Grundkreises in dessen Ebene gegeben sind.

Auflösung. Ist durch G (s. Fig. 93) die Spur der Grundkreisebene gegeben und letztere in die Bildebene umgelegt und der Mittelpunkt des Grundkreises in mx angenommen, so beschreibt man um m₁ mit dem gegebenen Halbmesser den Kreis K±, teilt ihn, wie angegeben, in acht gleiche Teile und ermittelt die Perspektiven der Kreispunkte mittels des Augpunktes 0₂ und eines auf der durch 0₂ zu G gezogenen Parallelen angenommenen Augabstandspunktes d₂ in bekannter Weise; ebenso bestimmt man die Perspektive m₂ von mi. Trägt man dann in a₂ auf der Senkrechten zu G die Kegelhöhe nach a₂s₂ an, zieht s₂0₂ und durch m₂ eine Parallele zu a₂s₂, so ergibt sich hierdurch das perspektivische Bild s2 der Kegelspitze. Die Tangenten von an K₂ begrenzen den perspektivischen Umriß des Kegeis.

67.    Aufgabe 33. Von einer Kugel kennt man den Aufriß ihres Mittelpunktes, dessen Abstand

von der Bildebene, sowie den Halbmesser. Man soll das perspektivische Bild der Kugel zeichnen.

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Fig. 94.

Auflösung. Ist mL (s. Fig. 94) der Aufriß des Kugelmittelpunktes, so zieht man m₂02 und errichtet in 0₂ und m₂ Senkrechte zu m₂0₂\ auf der ersten Senkrechten trägt man den Augabstand 0₂0', auf der zweiten den Abstand m₂m des Kugelmittelpunktes von der Bildebene ab. Zieht man m0\ so durch-\d schneidet diese Linie \ m₂0₂ im perspektivi-\ sehen Bilde m₂' des j Kugelmittelpunktes l£\ m. Beschreibt man um m mit dem Kugelhalbmesser den Kreis K und zieht von 0' Tangenten an K, so durchschneiden diese m₂0₂ in den Punkten a!₂ und &₂, den perspektivischen Bildern der Berührungspunkte a und &, der von 0' an K gezogenen Tangenten.

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Fig. 95.

Die Punkte a₂ und b'₂ bilden die Endpunkte der großen Achse des elliptischen Umrisses A₂ des Kugelbildes. Zieht man ab, so trifft diese Linie den zu 0₂m₂ senkrechten Kreisdurchmesser gh von K in c und das perspektivische Bild c₂ von c liegt auf m₂ 0₂ und auf 0' c und liefert den Mittelpunkt der Ellipse A₂. Die perspektivischen Bilder g₂ und h₂ von g und h liegen auf m₂0₂\

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Fig. 95 a.

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sie stellem die Brennpunkte der Ellipse A₂ dar, womit letztere vollständig bestimmt ist. Man braucht ja um g₂ und f^Kreise mit einem Halbmesser gleich a' c₂ zu beschreiben, so liefern diese in ihren Schnittpunkten i₂, k₂ die Endpunkte der kleinen Achse von A₂.

Anmerkungl6. Die kleine Achse von A₂ bestimmt sich auch noch in etwas anderer Weise. Man zielr durch c eine zu 0₂a₂ parallele Kreissełme ef und bestimmt die perspektivischen Bilder e₂ und f₂ auf m₂0₂. Die Strecke e'₂f₂ ist gleich der kleinen Achse von A₂.

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Fig- 96.

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Anmerkung 17. In den Fig. 95 und 96 ist die Perspektive einer Kugel noch in anderer Weise als in Aufgabe 33 ermittelt worden. In Fig. 95 wurden lotrechte, in Fig. 96 wagerechte Kreise der Kugel benutzt, deren perspektivische Bilder konstruiert und an letztere eine umhüllende Linie gezogen, welche den Umriß des Kugelbildes darstellt.

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Fig. 96 a.

Konstruktions verfahren für Fig. 95.

Ist m₂ (s. Fig. 95a) der in der Bildebene angenommene Kugelmittelpunkt und K der in der Bildebene liegende Kugelkreis, so ist durch m₂ der zur Bildebene senkrecht gerichtete Kugeldurchmesser de' mittels des Augabstands-punktes d abgetragen. Teilt man nun die Strecke a₂b2 in eine Anzahl gleicher Teile, überträgt diese mittels d auf eV, so stellen diese Punkte die Mittelpunkte von zur Bildebene parallelen Kreisen dar, die gezeichnet werden können, wenn ihre Halbmesser bekannt sind. Die sie umhüllende Linie bildet den elliptischen Umriß der Kugel.

Dem Mittelpunkte g₂ von m₂b₂ entspricht auf de' der Punkt %' als perspektivisches Bild eines Punktes i auf dem zur Bildebene senkrechten Kugeldurchmesser ce, der von m ebenso weit absteht wie g₂. Der zur Bildebene parallele Kugelkreis mit dem Mittelpunkte i hat einen Halbmesser gleich der halben Sehne g₂h\ sein perspektivisches Bild ist der um ir beschriebene Kreis K", dessen Halbmesser i'k mittels der Linie dh auf der Parallelen durch i' zu g₂h abgeschnitten wird.

Auf die gleiche Art können alle übrigen zur Bildebene parallelen Kugelkreise ermittelt werden, deren Mittelpunkte die Teilungspunkte auf dem Kugeldurchmesser d d sind. In der Fig. 95a ist noch der dem Punkte l₂ entsprechende Kreis K'" mit dem Mittelpunkte n' und dem Halbmesser n'p eingezeichnet.

Konstruktionsverfahren für Fig. 96.

Ist der Kugelmittelpunkt m₂ als in der Bildebene liegend vorausgesetzt, dann ist K der in der Bildebene liegende Kugelkreis. Ist nun a₂b₂ der Aufriß des größten wagerechten Kugelkreises, so zeichnet man das zu a₂b2 gehörige Quadrat mittels y₃ Augabstands a₂c = a₂e = | m₂ a₂. Die Linien durch c und e nach d/₃ liefern auf 0₂a₂ die Punkte c' und e', womit das Quadrat ddd'c" bestimmt ist. Mittels der unter 45° gegen a₂ b₂ geneigten Geraden m₂h ergeben sich der Punkt g und im Schnitt von g0₂ mit den Quadratdiagonalen zwei Punkte 6 und 8 des Kreisbildes.

Auf den Parallelen zu a₂b₂ durch 6 und 8 und den Quadratdiagonalen liegen die Punkte 4 und 2. Es ist noch

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Fig. 97.

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für einen zweiten 'Kreis i₂k₂ das perspektivische Bi]d, in gleicher Weise, wie eben beschrieben, konstruiert.

68. Aufgabe 34. Ein Kreisring, der im Grund-und Aufriß gegeben ist, soll perspektivisch dargestellt werden.

Auflösung. Es sei durch E±, E₂ die Bildebene, durch 0₁₉ 0₂ das Auge bezeichnet. Zur Gewinnung des perspektivischen Bildes hat man vom Punkte 0 aus an den Kreisring einen Tangentenkegel zu zeichnen und dessen Schnitt mit der Bildebene aufzusuchen, so bildet diese Durchschnittslinie den perspektivischen Umriß des Ringbildes. Im vorliegenden Falle ist die Bildebene, nach Ermittelung der Durchschnittspunkte der einzelnen Tangenten von 0 an den Kreisring mit der Bildebene, nach E[ verschoben und dann in die Aufrißebene nach Ez umgelegt worden. Die Konstruktion der Berührungslinie eines Tangentenkegels mit der Oberfläche eines Umdrehungskörpers ist in Anmerkung 18 besonders angegeben. Auf die dort angegebene Weise bestimmt man in Fig. 97 die Berührungslinien C und D des Tangentenkegels mit der Spitze 0 und der Ringoberfläche. Die Bestimmung der Schnittpunkte einzelner Tangenten mit der Bildebene ist aus Fig. 97 zu ersehen, z. B. für die Tangenten durch die Punkte e und /. Unter den Mantellinien des Tangentepkegels gibt es im vorliegenden Falle vier, welche die Kurve D in den Punkten i, 2, 3, 4 berühren. Die Schnittpunkte dieser Mantellinien mit der Bildebene bilden für den Umriß des perspektivischen Bildes „Spitzen“, d. h. Rückkehrpunkte I', 2', 3' und 4' (s. Fig. 97 a). Die Lage der Punkte 1 • 2 • 3 • 4 läßt sich nur annähernd feststellen, indem man von 02 aus Tangenten an D₂ zieht, desgleichen von 0± aus an D±.

Anmerkung 18. Die Aufgabe, an einen Umdrehungskörper die Berührungslinie des Tangentenkegels mit gegebener Spitze zu ermitteln, kann in einfacher Weise wie folgt gelöst werden: Ist A (s. Fig. 98) die Meridiankurve eines Umdrehungskörpers, so wählt man auf A einen beliebigen Punkt a und legt durch ihn einen Parallelkreis K,

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Fig. 99.

dessen Aufriß die Senkrechte K₂ zu D₂ ist. Zeichnet man ferner durch a₂ eine Normale zu A₂, welche die Achse D2 in einem Punkte m₂ trifft, und um m₂ als Mittelpunkt einen die Linie A₂ in a₂ berührenden Kreis B₂, so ist letzterer die Meridiankurve einer die Oberfläche des Umdrehungskörpers nach dem Kreise B berührenden Kugel. Legt man von 0 aus an diese Kugel einen Tangentenkegel, so berührt dieser die Kugel nach einem Kreise, dessen Ebene die Ebene des Meridians A nach einer Geraden bc schneidet, deren Aufriß die Verbindungslinie b₂ c₂ der von 0₂ an B₂ gezogenen Tangenten ist. b₂c₂ trifft K₂ in einem Punkte d₂, dem auf A₁ der Punkt d₁ als Grundriß entspricht. Die durch dx zu m₁0₁ gezogene Senkrechte schneidet auf K₁ zwei Punkte ex und f₁ aus, welche dem Berührungskreise des Tangentenkegels aus 0 an die Kugel B und damit an die Oberfläche des Umdrehungskörpers A angehören. In gleicher Weise kann man für jeden Parallelkreis die auf ihm liegenden Punkte der Berührungskurve ermitteln.

In Fig. 97 ist die Konstruktion der Berührungskurve des Tangentenkegels aus 0 für den Parallelkreis K₂ in der eben beschriebenen Weise durchgeführt.

Anmerkung 19. Für einen Umdrehungskörper läßt sich das perspektivische Bild auch mit Zuhilfenahme einer hinreichenden Anzahl von Parallelkreisen ermitteln, indem man deren perspektivische Bilder konstruiert und sie durch eine berührende Umrißlinie einschließt. Fig. 99 zeigt ein Beispiel dieser Art. Die Konstruktion der perspektivischen Bilder der einzelnen Parallelkreise vollzieht sich geradeso, wie in Anmerkung 17 beschrieben.

VI. Kapitel.

Perspektivische Konstruktionen ganz allgemeiner Art.

69.    Im vorangegangenen sind die Mittel zur Lösung aller Aufgaben der Projektionslehre im Sinne der Zentralprojektion gegeben. Einige dieser Aufgaben sollen im nachstehenden behandelt werden.

Darstellung von Punkt, Gerade und Ebene.

70.    Ein Punkt wird entweder durch seinen Aufriß a2 und sein Bild a₂ (s. Fig. 100), oder durch ersteren und

seinen Abstand a₂a' von der Bildebene gegeben (s. Fig. 101). Aufriß und Bild liegen stets auf einer Geraden nach dem Augpunkt.

Fig. 100.

Eine gerade Linie wird entweder durch zwei beliebige ihrer Punkte a und b (s. Fig. 102), oder aber durch ihren Schnittpunkt s mit der Bildebene, d. h. durch ihre Spur sowie durch' ihren Fluchtpunkt f₂ gegeben (s. Fig. 103).

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Fig. 101.

Eine gegen die Bildebene beliebig geneigte Ebene wird in der Begel dargestellt durch ihre Schnittlinie # mit der

Darstellung von Punkt, Gerade und Ebene.

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Fig. 104.

der gegebenen Ebene. Spur und Flucht einer Ebene sind parallele Gerade (s. Fig. 104). Steht die Ebene auf der Bildebene senkrecht, so geht ihre Flucht Q'₂ durch den Augpunkt (s. Fig. 105).

Selbstverständlich kann eine Ebene auch durch andere Bestimmungstücke gegeben sein, z. B. durch drei nicht

in einer Geraden liegende Punkte, durch zwei sich schneidende oder parallele Gerade, durch einen Punkt und eine nicht durch letzteren hindurchgehende Gerade. Es lassen sich dann stets Spur und Flucht der Ebene konstruieren.

Vermischte Aufgaben.

71. Aufgabe 35. Gegeben ein Punkt a durch seinen Aufriß a₂ und seinen Abstand von der Bildebene (s. Fig. 106); gesucht sein Bild.

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Auflösung. Man zeichnet durch 0₂ eine Gerade 0₂0f gleich dem Augabstand D, zieht jy hierzu durch a₂ eine Parallele a₂ar gleich dem gegebenen Abstand. Die Verbindungslinie a'0' liefert auf a₂ 0₂ das Bild a!2 von a.

72. Aufgabe 36. Gegeben ein Punkt a durch seinen Aufriß a₂ und sein Bild a2 (s. Fig. 106); gesucht sein Abstand von der Bildebene.

Fig. 106.

Auflösung. Man zeichnet durch 0₂ und a₂ zwei Parallele, macht erstere gleich 0₂0' = D und zieht 0r al, so trifft diese die zweite Parallele in a', die Strecke a₂a' ist der Abstand des Punktes a von der Bildebene.

73. Aufgabe 37. Eine Gerade ab ist gegeben durch zwei Punkte a und b (s. Fig. 102); gesucht Spur und Flucht der Geraden.

Auflösung. Sind die Punkte je durch Aufriß a₂ und b2 und Bild a\ und b!} gegeben, so ist der Schnittpunkt von

a₂b₂ und a₂b₂ die Spur s der Geraden ab. Eine Parallele durch 0₂ zu a₂b₂ liefert auf a!₂ b!₂den Fluchtpunkt /₂'.

74. Aufgabe 38. Eine Gerade A ist gegeben durch Spur und Flucht; außerdem sind auf der

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Fig. 107.

Geraden zwei Punkte a und b durch ihre Bilder a’2 und gegeben (s. Fig. 107). Man soll den Winkel der Geraden mit der Bildebene und die wahre Länge von ab konstruieren.

Auflösung. Man verbindet 0₂f₂, zieht 0₂ 0' senkrecht zu 0₂f₂ und gleich D, so ist 0'f₂ der umgelegte Parallelstrahl zur Geraden A und bildet mit 0₂f₂ den Neigungswinkel w der Geraden A mit der Bildebene. Zieht man durch s eine Parallele S zu 0₂f!₂, so ist S die Spur einer die Gerade A enthaltenden, zur Bildebene senkrechten Ebene. Eine durch s zu 0' f’₂ geführte Parallele A" stellt die Umlegung der Geraden A mit der sie enthaltenden projizierenden Ebene dar, und es schneiden die Verbindungs-

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linien 0'a₂ und 0'b₂ auf A" die Punkte q" und ft” so aus, daß a"b" die wahre Länge der Strecke ab darstellt.

Anmerkung 20. Beschreibt man um mit f₂0' einen Kreis, so ist jeder Punkt dieses Kreises ein Teilungspunkt für die Gerade A, insbesondere auch der Punkt t (s. Fig. 107) auf 0₂f₂. Die Verbindungslinien ta₂ und tb₂ liefern daher auf 8 die Punkte a' und so daß a'b' ebenfalls die wahre Länge von ab darstellt.

75. Aufgabe 39. Eine gegen die Bildebene beliebig geneigte Ebene ist durch Spur 8 und Flucht Q₂ gegeben (s. Fig. 104). Gesucht ist der

Neigungswinkel W der Ebene SQ₂ mit der Bildebene.

Auflösung. Man fällt von 0₂ eine Senkrechte 0.₂q₂ auf Q₂, macht 0₂0' senkrecht zu 0₂q₂ und gleich D und zieht 0'q₂, so schließt letztere Linie mit 0₂q₂ den Neigungswinkel W der Ebene SQ₂ mit der Bildebene ein.

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76. Aufgabe 40. Eine Ebene ist durch drei Punkte a, &, c (s. Fig. 108) dargestellt; gesucht Spur und Flucht der Ebene.

Auflösung. Man bestimmt die Spuren und Fluchten der Verbindungslinien der drei Punkte. Die Verbindungslinie der ersteren gibt die Spur S, die der letzteren die Flucht Ql der Ebene.

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Fig. 110.

77. Aufgabe 41. In einer Ebene SQ'₂ (s. Fig. 109) ist ein Dreieck 1-2-3 gegeben. Man soll dessen wahre Gestalt bestimmen.

Auflösung. Man verlängert zunächst die Dreiecksseiten bis zur Spur und Flucht der Ebene, bestimmt den Winkel W der letzteren mit der Bildebene und legt die Parallelebene durch 0 zur gegebenen Ebene in die Bildebene um, dann gelangt 0 nach 0". Zieht man ferner durch die Spuren a, &, c der Dreieckseiten Parallele zu

den Strahlen Ô"/'" 0" gl und 0"h!₂, so treffen sich erstere in den Ecken 3, 2, 1 des Dreiecks.

Anmerkung 20a. Eine Parallele durch 0" zu chl durchschneidet die Gerade c • 2 in einem Punkte r, dessen perspektivisches Bild der unendlich ferne Punkt / von c2' ist. Zieht man durch r eine Parallele zu S, so erhält man eine Gerade R, deren Bild R' in unendlicher Ferne gelegen ist.

78. Aufgabe 42. In einer Ebene SQ₂ ist eine Gerade A durch Spur s und Flucht f!₂ und auf ihr ein Punkt a!₂ gegeben (s. Fig. 110). Im Punkte a ist auf der Geraden A eine Senkrechte B zu errichten und auf beiden Geraden A und B eine Strecke von bestimmter Länge von a aus abzutragen.

Auflösung. Man fällt 0₂q'₂ senkrecht zu Q!₂, bestimmt 0", zieht 0" fl und senkrecht hierzu durch 0" die Linie 0" g’₂, dann ist die Verbindungslinie alg!? die gesuchte Senkrechte B!}. Bestimmt man mittels der Kreisbögen um f!₂ und g!₂ durch 0" die Teilungspunkte t und t', so braucht man nur ta'₂ und t'a!₂ zu ziehen und von deren Schnittpunkten b und d mit 8 die Strecken bc = de gleich der gegebenen Strecke abzutragen, dann liefern die Verbindungslinien tc und t'e auf A!₂ und B'₂ die Punkte e[} und e!₂, so daß a^cl und a!₂e!₂ einander perspektivisch gleich sind.

Anmerkung 21. Zieht man durch a!₂ eine Parallele zu #, so werden die Strecken a^c' und a!₂e' gleich lang. Man kann sich daher das Abtragen der gegebenen Strecke auf S von d aus ersparen. Man braucht ja nur, wenn bc abgetragen und tc gezogen ist, die Strecke a!₂e' = a!₂c'

abzutragen und e't' zu ziehen, so ergibt sich hierdurch auf a₂ @2 ebenfalls der Punkt e₂.

79. Aufgabe 43. In einem Punkte a₂ einer Ebene SQ₂ist eine Senkrechte zu letzterer zu errichten

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und auf ihr von a aus eine. Strecke von gegebener Länge abzutragen (s. Fig. 111).

Auflösung. Man bestimmt^ und 0', zieht 0'n₂ senkrecht zu q!₂0f, so ist n₂ der Normalenfluchtpunkt der Ebene SQ₂. Die Verbindungslinie a₂n₂ ist daher das Bild der

gesuchten Senkrechten. Ermittelt man den Teilungspunkt t auf g₂n₂,    #2a2 bis zum Schnitt d mit S und durch

d eine Parallele U zu qf₂n2i so kann man nunmehr ta₂ bis zum Schnitt e mit U ziehen, eg gleich der gegebenen Strecke auf U abtragen und gt verbinden. Letztere Linie liefert auf a₂n₂ den Punkt g₂ so, daß a!₂ g!₂ perspektivisch gleich eg ist.

Fig. 112.

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Anmerkung 22. Man könnte durch a₂ auch eine ganz beliebige Gerade bc' der Ebene SQ₂ ziehen, cf2 mit n!₂ verbinden, durch b eine Parallele T zu c₂n2 ziehen und auf c₂n₂ den Teilungspunkt t' ermitteln. Die Verbindungslinie t' a₂ ergibt dann auf T den Punkt e' welchem aus auf T die

gegebene Strecke nach e'g' abzutragen ist. Die Verbindungslinie g't' gibt ebenfalls den Punkt g₂.

80. Aufgabe 44. Zwei Ebenen

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Fig. 113.

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TU₂ sind gegeben; gesucht ihre Schnittlinie.

Auflösung. Die Schnittpunkte x von S und T und y₂ von Q₂ und U₂ liefern Spur und Flucht der Schnittlinie (s. Fig. 112).

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Fig. 114.

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Fig. 115.

81. Aufgabe 45. Eine Ebene und eine Gerade sind je gegeben durch Spur und Flucht; gesucht der Schnittpunkt beider.

Auflösung. Man legt durch die Gerade sf!₂ eine projizierende Ebene Tü!₂ (s. Fig. 113). Deren Schnittlinie

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₄    Fig. 116.

y2 z liefert auf sf₂ den Schnittpunkt x!₂ der Ebene SQ₂ mit der Geraden s f'₂.

82. Aufgabe 46. Von einem Punkte a ist auf eine Ebene SQ₂ eine Senkrechte zu fällen und deren Länge vom Punkte a bis zu ihrem Fußpunkte zu ermitteln (s. Fig. 114).

Auflösung. Man bestimmt den Normalenfluchtpunkt n'₂ der Ebene, zieht n₂a₂ und ermittelt den Schnittpunkt b₂ dieser Linie mit der Ebene SQ₂. Im übrigen verfährt man wie in Aufgabe 43. Die gesuchte Länge ist gleich der Strecke ab.

83.    Aufgabe 47. Gegeben zwei Ebenen, gesucht ihr Winkel.

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Auflösung. Sind Q₂ und T₂ die Fluchten der gegebenen Ebenen (s. Fig. 115) (ihre Spuren sind zur Winkelbestimmung nicht erforderlich), so bestimmt man die Normalenfluchtpunkte n₂ und p₂ beider Ebenen und legt die Ebene Onp in die Bildebene um; es gelangt dann 0 nach 0"" und die beiden Linien n₂ 0"" und p₂ 0 den Winkel w der beiden Ebenen ein.

84.    Aufgabe 48. In der Ebene SQ₂ (s. Fig. 116) ist eine Gerade A₂ gegeben und auf ,ihr ein Punkt a₂. Punkt a ist Ecke eines rechtwinkligen Dreibeines von gegebener Länge, von welchem eine Seite mit A₂ zusammenfällt. Man soll das Bild des Dreibeins zeichnen.

Auflösung. Man zeichnet zunächst in der Ebene SQ2 durch den Punkt a eine Gerade t>₂ senkrecht zu A₂, hierauf bestimmt man den Normalenfluchtpunkt n₂ der Ebene SQ₂ und erhält hierdurch in der Verbindungslinie n₂a₂ das Bild der dritten Seite des Dreibeines. Mittels der Teilungspunkte t, t' und t" trägt man nunmehr die gegebene Länge von a[ auf den Geraden A₂, B₂, C₂ perspektivisch ab. Man zieht ta₂ bis zum Schnitt h mit S und macht hi gleich der gegebenen Strecke, ti liefert auf A₂ den Punkt i₂. Zieht man t'a₂ bis h, macht kl = hi, so liefert lt' auf B₂ den Punkt V₂. Zieht man endlich q!} a₂ bis zum Schnitt p mit S und durch p eine Parallele zu 0₂n₂, verbindet ferner t"ji₂ bis zum Schnitt r mit der genannten Parallelen, so ist rs = hi abzutragen;

st" liefert auf C₂ den Punkt s₂. Das Dreibein ist nunmehr gezeichnet.

85. Aufgabe 49. Von einem Würfel kennt man eine Ecke d durch Bild d₂ und Aufriß d₂, außerdem die Fluchtpunkte der Würfelkanten sowie

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Fig. 117.

die Länge einer Kante; gesucht das Bild des-Würfels.

Auflösung. Die drei Fluchtpunkte a'₂, b₂ und c₂ bilden ein Dreieck, dessen Höhenschnittpunkt den Augpunkt 02 darstellt. Mittels eines über einer der Dreieckshöhen ’ beschriebenen Halbkreises K ergibt sich der Augabstand D\ die Punkte d₂ und d₂ können nun auf einer durch 0₂,

gehenden Geraden beliebig gewählt werden. Hierdurch sind aber dann die Bilder der drei an der Ecke d₂ zusammenstoßenden Würfelkanten gegeben und man kann auf ihnen von d!₂ aus mittels der Teilungspunkte V, t" und V" die gegebene Kantenlänge perspektivisch abtragen. (d₂f parallel 0₂c₂, e f = gegebene Würfelkantenlänge, Verbindungslinie Vf liefert f₂.) Zieht man durch d!₂ Parallele zu den drei Dreieckshöhen 0₂ c₂, 0₂ b₂, 0₂ a₂, so ergibt sich zunächst /'. Macht man dann ^ <7" = d₂hf" = d₂f, so liefern g" t" und h"'V" die Würfelecken g₂ und h₂.

86. Aufgabe 50. Man bestimme die Spur einer der Würfelflächen und lege letztere in die Bildebene um.

VII. Kapitel.

S cha tt enp er sp ektiv e.

87. Bei der Darstellung des Schattens in perspektivischen Zeichnungen kann man entweder so verfahren, daß man zuerst im rechtwinkligen Grund- und Aufriß die Schattenkonstruktion ausführt und hierauf die einzelnen Punkte der Schattengrenzen in die Perspektive überträgt, oder aber man konstruiert unmittelbar in den perspektivischen Zeichnungen die Schatten. Im folgenden sollen einige dieser Konstruktionen gezeigt werden. Selbstverständlich gelten die geometrischen Regeln auch für die Schattenkonstruktionen in der Perspektive. Was zunächst die Lichtstrahlen anbetrifft, so werden im allgemeinen diese wieder als zueinander parallel vorausgesetzt; in diesem Falle besitzen sie einen gemeinsamen Fluchtpunkt, den Lichtstrahlenfluchtpunkt. Benutzt man auch die perspektivischen Bilder der Grundrisse der Lichtstrahlen als perspektivische Grundrisse, so gehört auch zu den letzteren ein auf der Gesichtslinie liegender Fluchtpunkt, der Grundrißfluchtpunkt. Lichtstrahlenfluchtpunkt und Grundrißfluchtpunkt liegen stets in einer Senkrechten zur Gesichtlinie.

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Fig. 118.

Ist in Fig. 118 die Grundrißebene E₁ und eine zur Aufrißebene parallele Ebene E₂ perspektivisch abgebildet und eine lotrechte Gerade ab gegeben und ihr Schatten auf die Ebenen E₁ und E₂ perspektivisch darzustellen, so zeichnet man durch a₂ einen Lichtstrahlengrundriß nach dem Grundrißfluchtpunkt V und durch bf₂ einen Lichtstrahl nach dem Lichtstrahlenfluchtpunkt l".

Vonderlinn, Zentralperspektive.

•Beide Lichtstrahlen treffen sich z. B. in b' ; b' ist der Schlagschatten des Punktes b auf die Ebene E₁ in perspektivischer Darstellung. In Fig. 118 ist eine lotrechte Gerade cd dargestellt und ihr Schatten konstruiert. Hier fällt der Schatten des Punktes d auf den hinter der Ebene E₂ liegenden Teil der Ebene E₁ und hat als solcher keine Bedeutung, weil der Lichtstrahl schon vorher die Ebene E₂ getroffen hat und dort Schatten hervorruft. Man erhält diesen Schattenpunkt d", in dem man durch den Schnittpunkt e' von c!₂V mit S eine Lotrechte zieht. Die Linie c!₂e'd" ist der Schlagschatten der Linie cd auf die beiden Ebenen E± und E₂. Der Schnittpunkt d des Lichtstrahlengrundrisses mit 8 ist der Schlagschatten eines Punktes e von ed. Der untere Teil ce ruft Schatten auf Elf der obere ed solchen auf E₂ hervor.

Anmerkung 23. In Fig. 118 bezeichnet V den Grundrißfluchtpunkt, V den Lichtstrahlenfluchtpunkt. Durch Umlegung der projizierenden Ebenen OV und 01" sind die Winkel w und cp der Grundrisse der Lichtstrahlen und der letzteren selbst mit der Bildebene bestimmt worden.

Bei perspektivischen Zeichnungen kommt es manchmal vor, daß man eine Beleuchtung durch eine im Endlichen befindliche Lichtquelle voraussetzt. In diesem Falle ist die Lichtquelle dargestellt durch einen Punkt, und es enthalten die perspektivischen Bilder der Lichtstrahlen das perspektivische Bild des leuchtenden Punktes (s. Fig. 126), während die Lichtstrahlengrundrisse durch den perspektivischen Grundriß l[ der Lichtquelle hindurchgehen (s. Fig. 126).

88. Aufgabe 51. Es ist der Schlagschatten einer lotrechten Geraden ab auf die Ebenen Ex und E zu konstruieren (s. Fig. 119).

Auflösung. Man bestimmt die Schnittlinie einer durch ab parallel zur Lichtrichtung gelegten Ebene mit der Ebene E. Diese Schnittlinie trifft den Lichtstrahl durch b in dem Schattenpunkt b°. Zur Ausführung der angedeuteten Konstruktion bestimmt man den perspektivischen Grundriß einer zweiten Geraden der Ebene E,

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Fig. 119.

etwa der Linie 0₂f₂ in 0₂f{, zieht ferner durch a' den Lichtstrahl nach V und durch dessen Schnitt d[ mit 0₂j[ die Lotrechte d[d₂. Die Verbindungslinie cxd₂ liefert auf b₂l" den Punkt b°. Der Gesamtschatten von ab auf die Ebenen E± und E ist der Linienzug a₂ cx b °.

89. Aufgabe 52, Ein rechtwinkliges Parallel-epiped, das mit einer Fläche in der Grundriß-

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ebene aufliegt, ist gegeben (s.Fig. 120). Es ist sein Schatten auf die Ebene E und auf eine Bildebene parallele Ebene V zu konstruieren.

Auflösung. Die Konstruktion vollzieht sich in der gleichen Weise wie in der vorigen Aufgabe. Schatten ruft der Linienzug b₂ gl h'₂ e!} d' hervor, man erhält hierfür als Schatten b₂if g"h" e"¥ d₂.

90.    Aufgabe 53. Die in Fig. 121 im Auf- und Seitenriß dargestellte Schornsteinendigung ist perspektivisch zu zeichnen und die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Zur perspektivischen Darstellung des Körpers hat man die Maße aus den Fig. 121 zu entnehmen und dreifach vergrößert zu verwenden.

Die Konstruktion des Schattens ist aus Fig. 122 zu ersehen. Die Lichtstrahlenfluchtpunkte sind V und ?". Zur Ermittelung der Schlagschatten auf die Dachfläche A verfährt man in gleicher Weise, wie in Aufgabe 51 gezeigt wurde. Z. B. liefert die Hilfsebene durch die Kante 1 • 7 mit der Ebene A die Schnittlinie 7 a[ und auf dieser den Schattenpunkt 1°. Die Hilfsebene durch 6 • 4 ergibt die Schnittlinie 6-411 -mit A und hierauf die Schattenpunkte 4° und 6° usw.

91.    Aufgabe 54. Für die in Fig. 123 perspektivisch gezeichnete Körperzusammenstellung ist die S chatten konstruktion auszuführen, unter der Voraussetzung, daß?' und?" die bezüglichen Lichtstrahlenfluchtpunkte darstellen.

Auflösung. In der Zeichnung ist die Konstruktion hinlänglich deutlich verzeichnet, so daß eine weitere Beschreibung überflüssig ist.

Aufgabe 54a. Für den in Fig. 123a dargestellten zylindrischen Gewölbebogen ist die Schattenkonstruktion für die Lichtrichtung ?'?" auszuführen.

Auflösung. Die Verbindungslinie 0₂l" ist die Flucht einer zur Licht- und Zylinderrichtung parallelen Ebene. Legt man parallel hierzu etwa an den Kreis M₂ eine Tangente, so geht durch ihren Berührungspunkt g₂ mit M2 und durch 0₂ die Linie der Selbstschattengrenze g₂h₂ der

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Fig. 123 a.

zylindrischen Gewölbeleibung. Es wird Schatten von dem Linienzug i₂, c₂, 1, 2, 3, 4, g₂ auf die Gewölbeleibung, sowie auf die Flächen A und B hervorgerufen. Eine durch e₂ b₂ parallel zur Lichtrichtung geführte Ebene schneidet die Fläche des Begrenzungskreises N₂ nach einer zu l" 0₂ parallelen Geraden und diese den kG Kreis N₂ in 4f. Die durch 4' gezogene Linie 4'-0₂ liefert auf M₂ den Punkt 4, dessen Schatten 4° im Schnitt des Lichtstrahles l"4 mit e₂b₂ liegt. Ein weiterer Punkt von M₂, etwa 2, ergibt den Schatten 2° auf die Fläche A. Zieht man durch ;k<auf b₂k den Grundrißlichtstrahl V3, so ergibt sich auf M[ der Punkt 3, dem auf M₂ der Punkt 3 entspricht l"3 liefert auf b₂k den Schlagschattenpunkt 3°. Zum Punkt 1 gehört der Schlagschattenpunkt 1° auf B, zu c2 der Schlagschattenpunkt c°. Der Gesamtschlagschatten ist begrenzt durch i₂, c°, 1°, n> 2°, 4°, g₂.

Aufgabe 54b. Eine Ebene SQ₂ ist gegeben (s. Fig. 123b). Man soll durch einen Punkt a₂ der Ebene eine zu letzterer senkrechte Gerade ah von beliebiger Länge zeichnen    und ihren

Schatten auf die Ebene 'SQ!> 'konstruieren für eine gegebene    Lichtrich

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durch 0₂ senkrecht zu S₂ und er- 1 mittelt den Normalenfluchtpunkt q> n!₂ der Ebene, zieht durch n₂ nach ~~ a₂ und nimmt b₂ auf letzterer Linie beliebig an. Die Linie V l" trifft Q₂ in c₂ und es ist a₂ c₂ die Projektion der Lichtrichtung auf die Ebene SQ₂\ der durch h₂ nach l" gezogene Lichtstrahl liefert auf a₂c₂ den Schlagschatten h₀ des Punktes h auf die Ebene SQ₂. Es ist also a₂h₀ der Schatten von ah auf die Ebene SQ₂.

Fig. 128 b.

92. Aufgabe 55. Für den in Fig. 124 perspektivisch dargestellten senkrechten Kreiskegel ist die Schattenkonstruktion auszuführen für eine durch L" dargestellte Lichtstrahlenrichtung.

Auflösung. Im vorliegenden Falle ist der Lichtstrahlenfluchtpunkt l" als unzugänglich angenommen und ersetzt durch die Gerade L", zu welcher der durch s'2 geführte Lichtstrahl parallel sein soll. r'₂ ist der Fluchtpunkt der Lichtstrahlenprojektion auf die Grundkreisebene des Kegels. Man zieht also und durch s!₂

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Fig. 124.

eine Parallele zuL", so liefert diese den Schlags chattenpunkt s°.

Anmerkung 24. Es kann auch der Fall ein treten, daß die Fluchtpunkte V und l" ins Unendliche fallen,

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Fig. 125.

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dann sind die Lichtstrahlen parallel zur Bildebene; die perspektivischen Grundrisse sind parallel zur Grundlinie G oder S, die perspektivischen Bilder selbst zu einer beliebig gewählten Richtung.

93. Aufgabe 56. Für die in Fig. 125 gezeichnete Darstellung ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

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Fig. 126.

Auflösung. Die Lichtrichtung ist parallel zur Bildebene angenommen und die Konstruktion des Schattens für einzelne Punkte angedeutet.

94. Bei zentraler Beleuchtung vollzieht sich die Schattenkonstruktion in gleicher Weise wie bisher, es gehen aber jetzt die perspektivischen Bilder der Lichtstrahlen durch das perspektivische Bild der Lichtquelle, die Grundrißbilder der Lichtstrahlen aber durch das Grundrißbild der Lichtquelle. Einige Beispiele sollen diese Konstruktionen erläutern.

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Fig. 127.

95. Aufgabe 57. Gegeben eine lotrechte Strecke ab oder cd (s. Fig. 126), gesucht der Schatten auf eine wagerechte bzw. lotrechte Ebene.

Auflösung. Die Lichtstrahlen durch l[ und 1'₂ schneiden sich in V und es ist a₂ V der Schlagschatten der Geraden a b auf die Ebene Ex. Für die Gerade c d liefert der Licht-

strahl durch V₂ auf V₂ den Punkt d" und es ist der Schatten von cd der Linienzug c[e' d".

96. Aufgabe 58. Für das in Fig. 127 gezeichnete Prisma ist die Schattenkonstruktion aus zu-führen.

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Fig. 128.

Auflösung. Die Lichtquelle ist durch l[ V₂ gegeben und die Schattenkonstruktion aus Fig. 127 vollständig zu ersehen.

97. Aufgabe 59. Für die Darstellung in Fig. 128 ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

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Fig. 129.

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Auflösung. Zunächst ist für die zylindrische Bogenleibung die Selbstschattengrenze zu ermitteln. Zu diesem Zwecke legt man (s. Fig. 128) durch die Lotrechte l[ l2 eine Ebene parallel zur Bildebene und bestimmt deren Schnitt K₂h₂h[g[g₂ mit der verlängert gedachten inneren Gewölbeleibung und den Flächen A, A' und B. Eine Tangente durch V₂ an K₂ berührt in i₂ und bestimmt dadurch die Linie 0₂i₂k₂n₂, von welcher die Strecke Tc₂n2 die gesuchte Selbstschattengrenze darstellt. Von dem Linienzug ^2, 3, 2, J, c[, p gelangt Schlagschatten auf die Gewölbeleibung sowie auf die Flächen A und B. Die Ebene durch b₂, e₂, V₂ schneidet aus dem Gewölbe die Linie 3 • 3' aus, b₂3' ist parallel zu l₂i₂ und bestimmt auf M2 den Punkt 3. Der Lichtstrahl 3l₂ liefert auf e₂b₂ den Schlagschatten 3° des Punktes 3 auf die Grenzlinie eb zwischen Gewölbeleibung und Wand A. Die übrigen Punkte von M₂ werfen ihre Schatten auf A und B z. B. Punkt 2 nach 2°, Punkt 1 nach 1°, c₂ nach c°. Die S chlags chatten-begrenzungen auf B und A schneidet sich auf der Schnittlinie der Flächen A und B in 4.

98. Aufgabe 60. Für die Darstellung in Fig. 129 ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Die Lichtquelle ist durch l[l'₂ gegeben. Die Konstruktion ist aus der Figur 129 zu ersehen.

VIII. Kapitel.

Spiegelperspektive.

99. Bei landschaftlichen oder architektonischen Darstellungen treten häufig die Erscheinungen der Spiegelung auf, z. B. wenn infolge eines in der Umgebung vorhandenen stehenden Gewässers die daran anstoßenden Gebäude, Bäume usw. sich widerspiegeln. Bei der Abbildung solcher

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Gegenstände müssen dann auch die Gesetze der Spiegelung entsprechende Berücksichtigung erfahren.

(s. Fig. 130) ein Punkt eines Gegenstandes, z. B. das Wipfelende eines Baumes, AB eine spiegelnde Fläche, so wird ein von a ausgehender Lichtstrahl etwa in c die Spiegelfläche treffen und von dieser unter dem gleichen

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Fig. 180.

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Winkel &, unter dem der Lichtstrahl die Spiegelfläche ' trifft, zurückgeworfen werden und nach einem in 0 befindlichen Auge gelangen; letzteres sieht somit ein Spiegelbild von a in a\ so daß wegen der Gleichheit der Winkel (x die Strecke ab = a'b ist. Ein in 0' befindliches Auge sieht das gleicÿrfyâpiegeÿjld af von a, weil hier ein Lichtstrahl ad unter^Uÿ WiiCßl ß nach 0' zurückgeworfen wird Das Spiegelbild von C wird hiernach durch C' dargestellt sein, welche Figur symmetrisch liegt zu C hinsichtlich der

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