BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Hochbautechnische

Bibliothek

aus

der Sammlung Göschen

Geologie von Dr. Edgar Dacqué.

I.    Allgemeine Geologie. Mil 75 Figuren.......Nr. 13

II.    Stratigraphie. Mit 56 Figuren und 7 Tafeln .... Nr. 846 Mineralogie von Prof. Dr. R. Brauns. Mit 132 Figuren. Nr. 29 Petrographie von Prof. Dr. W. Bruhns. Neubearb. von

Prof. Dr. P. Ramdohr. Mit 10 Abbild.........

Praktisches Zahlenrechnen von Prof. Dr.-Ing. P. Werk-

Nr. 173

Nr. 405

meister. Mit 58 Figuren.......«.......

Technische Tabellen u. Formeln v. Dr.-Ing. W. Maller.

Mit 106 Figuren...................

Materialprüfungswesen. Einführung in die moderne Technik der Materialprüfung von Dipl.-Ingenieur Prof.

K. Memmler.

I.    Materialeigenschaften. Festigkeitsversuche. Hilfsmittel

für Festigkeitsversuche. Mit 58 Figuren......

II.    Metallprüfung und Prülung von Hilfsmaterialien de*

Maschinenbaues. Baumaterialprüfung. Papierprüfung. Schmiermittelprüfung. Einiges für Metallographie. Mit 31 Figuren....................

Statik von Prof. W. Hauber.

I. Die Grundlehre der Statik starrer Körper. Mit 82 Figuren. Nr. 178

Nr. 179

Nr. 579

Nr. 311

Nr. 312

II. Angewandte Statik. Mit 61 Figuren.........

Graphische Statik mit besonderer Berücksichtigung der Einflublinien von Dipl.-Ing. Otto Henkel. 2 Bände. Mit 207 Figuren Statische Berechnung des Bautechnikers von Dipl.-Ing. Walter Selckmann.

I.    Die statische Untersuchung der Bauteile des einfachen Wohnhauses. Mit 174 Figuren.......

II.    Die zusammengesetzte Festigkeit. Die statische Unter

suchung des eisernen Dachbinders. Die Standsicherheit. Mit 122 Figuren ...........

Nr. 603, 695

Nr. 784

Nr. 785

Festigkeitslehre von    Prof. W.    Hauber.    Mit    56    Fißuren. Nr. 288

Aufgaben—”    ö-

sunger Biblioteka    Politechniki    Krakowskiej    . Nr. 491

Hydraul    ______ .    Nr. 397

Kinemat    n. Nr. 584

Dynamik    Ir.    902,903

Elastiziti    tg.

Max Eni    4r. 519,957

Nomogra    g.

Geometrisches Zeichnen von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderllnn. Mit 290 Figuren und 23 Tafeln. Nr. 58 SchattenKonstruKtionen von Prof. J. Vonderllnn. Mit

Nr. 236

114 Figuren.....................

Nr. 57

ParallelperspeKtive. Rechtwinklige und schiefwinklige Axonometrie von Prof. J. Vonderllnn. Mit 121 Figuren. Nr. 260 Zentral-PerspeKtive von Hans Freyberger, neubearbeitet

von Prof. J. Vonderllnn. Mit 132 Figuren........

Nr. 142 Nr. 143

Darstellende Geometrie von Prof. Dr. Robert Haubner.

I.    Mit 110 Figuren.............. . . .

II.    Mit 88 Figuren..................

Die BaustoffKunde von Prof. H. Haberstroh. 3 Bände.

Nr. 506

I.    Die Hauptbaustoffe. Mit 35 Abbildungen.....

II.    Die Baustoffe des Hochbaues. Mit 13 Abbildungen. Nr. 853

III. Die Baustoffe des Tiefbaues. Mit 26 Abbildungen . Nr. 854

Vermessungskunde von Prof. Dipl.-Ing. P. Werkmeister.

I.    Stackvermessung und Nivellieren. Mit 146 Figuren . Nr. 468

II.    Messung von Horizontalwinkeln, Festlegung von Punkten im Koordinatensystem. Absteckungen. Mit 84Fig. Nr. 469

Nr. 862

III.    Trigonometr. und barometrische Höhenmessung. Tachymetrle u. Topographie. Mit 6t Figuren . . .

Nr. 385

Das Veranschlagen im Hochbau. Kurzgefabtes Handbuch aber das Wesen des Kostenanschlages von Architekt

B. D. A. Emil Beutlnger. Mit 16 Figuren.......

Die Kostenberechnung im Ingenieurbau von Professor E. Kuhlmann und Dr.-Ing. H. Nltzsche. Mit 5 Tafeln . . Nr. 750 Bauführung von Arch.B.D.A. Emil Beutlnger. Mlt20Fig. Nr. 399 Maurer- und Steinhauerarbeiten von Prof. Dlpl.-Ing.

W. Becker.

I.    Mauern u. Maueröffnungen ; Fundamente. Mit 168 Fig. Nr. 419

II.    Bogen und Gewölbe; Steinerne Treppen. Mit

Nr. 420

208 Figuren...................

Nr. 421

HI.Fubböden, Putz- und Stückarbeiten, Wandbeklel-düngen und Steingesimse. Mit 128 Figuren .... Schlosserarbeiten von Prof. E. Viehweger. 2 Bände.

Nr. 761,762

Mit zahlreichen Figuren

Nr. 322

EisenKonstruKtionen im Hochbau von Ing. Georg

Janetzky. Mit 175 Abb................

Zimmerarbeiten von Prof. Carl Opitz.

Nr. 489

I.    Allgemeines, Balkenlagen. Zwischendecken u. Deckenbildungen, hölzerne Fubböden, Fachwerkswände,

Hänge- und Sprengewerke. Mit 169 Figuren ....

II.    Dfichcr, Wandbekleidungen, Simsschälungen, Block-,

Nr. 490

Bohlen- und Bretterwände, Zäune, Türen, Tore, Tribünen und Baugerüste. Mit 167 Figuren ....

Tischler- (Schreiner-) Arbeiten von Prof. E.Viehweger.

Nr. 502

I. Materialien, Handwerkszeuge, Maschinen, Einzelverbindungen, Fubböden, Fenster, Fensterladen,Treppen,

Aborte. Mit 628 Figuren auf 75 Tafeln.......

Nr. 503

B. Türen und Tore, Anordnung und Konstruktion, Haustüren, Tore, Balkontüren, Flurtflren. Mit 296 Figuren auf 105 Tafeln..............

III. Innere Türen, Pendeltflren, Schiebetüren, Drehtüren, Wandverkleidungen, Decken. Mit 323 Figuren. Nr. 755

Der Eisenbetonbau von Regierungsbaumeister K. Rö61e.

Neubearbeitet von Dipl.-Ing. O. Henkel. Mit 77 Figuren. Heizung und Lüftung von Ingenieur Johannes Körting. I. Das Wesen und die Berechnung der Heizungs- und

Lattungsanlagen. Mit 24 Figuren.........

II. Ausführung der Heizungs- und Lafiungsanlagen.

Mit 172 Figuren..................

Entwässerung und Reinigung der Gebäude von

Dipl.-Ing. Wilhelm Schwaab. Mit 92 Figuren.....

Gas- und Wasserversorgung der Gebäude von Dipl.-

Ing. W. Schwaab. Mit 119 Figuren...........

Wohnhäuser von Reg.-Baumeister Kurt Gabriel.

I.    Anlage und Konstr. des Wohnhauses. Mit 91 Fig.

II.    Die Räume des Wohnhauses. Mit 44 Figuren . . . Gasthäuser und Hotels von Architekt Max Wohler.

I.    Die Bestandteile und die Einrichtung des Gasthauses. Mit 70 Figuren.............

II.    Die verschiedenen Arten v. Gasthäusern. Mit 82 Fig. Geschäfts- u. Warenhäuser von Baurat H.Schliepmann.

I.    Vom Laden zum «Grand Magasin*. Mit 23 Figuren.

II.    Die weitere Entwicklung d. Kaufhäuser. Mit 39 Figuren. Industrielle und gewerbliche Bauten (Speicher, Lagerhäuser und Fabriken) von Architekt Heinrich Salzmann.

I. Allgemeines über Anlage und Konstruktion der Industriellen und gewerblichen Bauten.......

II.    Speicher und Lagerhäuser. Mit 121 Figuren ....

III.    Fabriken. Mit 154 Figuren............

Ländliche Bauten von Baurat Ernst Kahn.

I.    Kultus- und Gemeinde-Bauten. Mit 64 Figuren . .

II.    Das landwirtsch. Gehöft der Gegenwart. Mit 61 Fig.

III.    Landhäuser, Ferienhäuser, Arbeiterwohnungen,

Gasthäuser und Wohnhäuser mit gewerblichen Anlagen. Mit 77 Figuren..............

Militärische Bauten von Regierungsbaumeister R. Lang.

I. Mit 59 Figuren..................

Die BauKunst des Schulhauses von Prof. Dr.-Ing. Ernst Vetterlein.

I.    Das Schulhaus. Mit 38 Figuren..........

II.    Die Schulräume — Die Nebenanlagen. Mit 31 Figuren. Märkte und Markthallen für Lebensmittel von Städt.

Baurat Richard Schachner.

I.    Zweck und Bedeutung von Märkten und Markthallen,

ihre Anlage und Ausgestaltung..........

II.    Markihallenbauten. Mit zahlreichen Figuren .... Öffentliche Bade- und Schwimmanstalten von Geh.

Oberbaurat Dr. Carl Wolff. Mit 51 Figuren...... .

Sportanlagen von Prof. Dr. E. Schmitt. I. Mit 78 Figuren.

Nr. 349

Nr. 342

Nr. 343

Nr. 822

Nr. 412

Nr. 839 Nr. 840

Nr. 525 Nr. 526

Nr. 655 Nr. 656

Nr. 511 Nr. 512 Nr. 513

Nr. 758 Nr. 759

Nr. 760

Nr. 626

Nr. 443 Nr. 444

Nr. 719 Nr. 720

Nr. 380 Nr. 684

Weitere ßände sind in Vorbereitung

Geometrisches Zeichnen

Von

H. Becker

Architekt und Lehrer an der Baugewerksehule in Magdeburg

Neubearbeitet von

Professor J. Vonderlinn

G e w e r b e s eh u 1 r a t und Baugewerkschuldirektor a. 1).

Dritte (der Neubearbeitung 1.) Auflage

Siebenter Neudruck

Mit 290 Figuren und 23 Tafeln im Text

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Walter de Gruyteri^jWsW^

vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung — J. GuttefitSgr^Sfffags-buchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp.

1923

Berlin und Leipz

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Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsreclit, von der Verlagshandlnng Vorbehalten.

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C. G. Röder G. m. b.H., Leipzig. 819323,

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Inh altsyerzeichnis.

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Einleitung................

I. Einfache Konstruktionen zwischen geraden Linien und der Kreislinie..........

Aufgaben über Tangentenkonstruktionen an

eine und mehrere Kreislinien.....

Einige Aufgaben über Kreisberührungen

Teilung einer geraden Linie......

Konstruktion geradliniger Figuren ....

Konstruktion eines Dreiecks.....

Konstruktion eines Vierecks......

Konstruktion der regelmäßigen Vielecke Konstruktion eines regelmäßigen Vielecks über

gegebener Seite.........

Kreisteilungen...........

II. Konstruktion der Kegelschnitte, Ellipse, Parabel,

Hyperbel.............

Ellipsenkonstruktionen........

Konstruktion der Ellipse aus konjugierten

Durchmessern..........

Konstruktion der Ellipse durch Vergatterung . Konstruktion der Hauptachsen einer Ellipse aus konjugierten Durchmessern ....

Parabelkonstruktionen........

Hyperbelkonstruktionen........

Tangentenkonstruktion von einem Punkte außerhalb eines Kegelschnittes an letzteren .

UL. Einige Eigenschaften der Kegelschnitte, die fiir den Zeichner von Interesse sind: Pol, Polare, Sätze von Pascal und Brianchon.....

Einige Konstruktionsaufgaben über Kegelschnitte ............

IV. Konstruktion von Korbbogenlinien und Eilinien .

Konstruktion von Korbbogenlinien .    .    .    .

Konstruktion von Eilinien.......

V. Die Verwendung der Kreislinie zu bestimmten

Seite

77

85

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104

126

Bogenformen............

VI. Konstruktion der cyklischen oder Rollkurven einschließlich der wichtigsten Spirallinien . . .

VII. Konstruktion einiger anderer Spirallinien . . .

VIII. Konstruktion der Konchoide.......

IX. Konstruktion der Cissoide........

X.    Konstruktion einiger Ovallinien......

XI.    Verbindung von geraden und krummen Linien zu

geometrischen Ornamenten.......

XII. Konstruktion von Maßstäben.......

XIII. Verkleinern und Vergrößern von Figuren . .    .

Einleitung.

Zweck des geometrischen Zeichnens ist die Darstellung und Anwendung geometrischer Konstruktionen. Geometrie und Zeichnen stehen in einer gewissen Wechselwirkung zueinander, indem das Zeichnen die Kenntnis gewisser geometrischer Lehrsätze und Wahrheiten voraussetzt.

Die Aufgaben des geometrischen Zeichnens befassen sich mit der Darstellung von geometrischen Gebilden und zwar auf Grund gewisser Eigenschaften der letzteren.

Die geometrischen Grundgebilde sind Punkte, Linien, welch letztere sowohl gerade, als auch krumm sein können, sowie Figuren, die entweder von geraden oder krummen Linien oder von beiden eingeschlossen sind.

Eine Linie entsteht durch Bewegung eines Punktes; behält die Bewegung stets dieselbe Richtung bei, so entsteht die gerade Linie, ändert sich die Bewegungsrichtung ununterbrochen, so ist das Erzeugnis der Bewegung eine krumme Linie, d. h. eine Kurve (s. Fig. 1). Zwei aufeinanderfolgende Punkte miteinander verbunden geben eine gerade Linie, welche eine Tangente der Kurve genannt wird. Sie hat mit der Kurve zwei unendlich nahe Punkte gemeinsam, welche in der Zeichnung in einen einzigen Punkt, den Berührungspunkt der Tangente mit der Kurve zusammenfallen. Durchschreitet der sich bewegende Punkt dieselbe Stelle der Ebene mehrmals, so entsteht ein Doppelpunkt (s. Fig. 2 u. 3) oder ein mehrfacher Punkt (s. Fig. 4). Hält der bewegliche Punkt einen Augenblick in seiner Bewegung inne und kehrt dann die Bewegungsrichtung um, so erhält man einen Rückkehrpunkt, der in zweifacher Weise auf treten kann, nämlich als eine Dornspitze (s. Fig. 6) oder als eine Schnabelspitze (s. Fig. 7). Die gerade Linie ist durch zwei Punkte vollständig bestimmt, d. h. durch zwei Punkte läßt sich nur eine einzige gerade Linie hindurchlegen. Hat man zwei gerade Linien, so können diese einen Punkt miteinander gemein haben, d. h. sich schneiden (s. Fig. 8) ; sie bilden dann unter sich vier Winkel a, ß, a', ß\ von denen je zwei, wie a und ß, nebeneinander liegen und Nebenwinkel heißen, während je zwei mit der Spitze aneinander stoßende Winkel, wie a, o! und ßy ß\ Scheitelwinkel genannt werden. Sind zwei Nebenwinkel, wie a und ß (s. Fig. 9) einander gleich, so stehen die Geraden AB und CD aufeinander senkrecht. Alle vier Winkel a, ß: a', ß' sind dann einander gleich und man bezeichnet jeden derselben als einen „rechten Winkel“. Ein rechter Winkel wird in 90 gleiche Winkel eingeteilt und jeder solche Winkel heißt ein Grad (°). Jeder Grad kann wieder in 60 Teile geteilt werden; jeder solche Teil heißt eine Minute Q, jede Minute wird außerdem noch in 60 Sekunden (") geteilt. Ein rechter Winkel ist also ein Winkel von 90 Grad (90°). Irgend ein anderer Winkel kann z. B. sein a— 79° 15' 6", d. h. 79 Grad 15 Minuten und 6 Sekunden. Ein Winkel, der kleiner ist als 90°, heißt ein spitzer Winkel, ist er größer als 90°, so heißt er stumpf; eine gerade Linie stellt einen Winkel von 180° oder einen gestreckten Winkel dar. Die den Winkel begrenzenden geraden Linien heißen seine Schenkel. Zwei Nebenwinkel haben einen Schenkel gemeinsam. Bei zwei Scheitelwinkeln fallen die Schenkel des einen Winkels in die Verlängerungen der Schenkel des anderen.

Fig. 1

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Fig. 8.

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Fig. 2.

Fig. 3.

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Fig. 9.

Fig. 4.

Fig. 5.

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Fig. 7.

Fig. 10.

Wird der Winkel zweier Geraden immer kleiner und kleiner, so werden die Linien schließlich zueinander parallel (s. Fig. 10). Man sagt in diesem Falle, die Linien schneiden sich in unendlicher Feme.

Anmerkung. Zum Zeichnen gerader Linien bedient man sich der Reißschiene oder der Zeichendreiecke. Die Zeichenbogen sind in der Regel auf dem Reißbrette befestigt, entweder lediglich mit Heftstiftchen oder sie sind mittels Klebestoffes aufgespannt. Es ist vielfach üblich, die zum oberen oder unteren Reißbrettrande parallelen Linien als wagerechte, die zum linken oder rechten Reißbrettrande parallelen Linien als lotrechte Linien zu bezeichnen.

Beim Zeichnen wagerechter Linien wird die Reißschiene mit dem festen Kopfe nur an die linke Seite des Reißbrettes angelegt, lotrechte Linien

Fig. 7 a.

werden mittels des Winkeldreiecks so gezeichnet, daß man dasselbe mit einer Kathete an die Reißschiene legt, welche gleichzeitig an die linke Seite des Reißbrettes angedrückt werden muß (s. Fig. 7 a).

Alle Linien werden stets auf der Lichtseite der Schiene bezw. des Winkels und zwar gleichmäßig lang-

sam, aber auf einen Zug gezogen, wobei der Bleistift resp. die Reißfeder senkrecht zu halten ist.

Zum Zwecke des Abstechens von Strecken wird der Zirkel mit den drei ersten Fingern der Rechten gehandhabt; sobald die Strecke abgestochen ist, wird derselbe am Kopfe gefaßt und die Spitze in das Papier leicht eingedrückt.

Beim Ausziehen von Kreisen mittelst Zirkelfeder müssen die Schenkelgelenke des Zirkels stets so weit abgebogen werden, daß sowohl der freie Schenkel als der Federeinsatz genau senkrecht auf dem Papier aufstehen. Kreise zieht man stets von links nach rechts aus.

Alle Gerätschaften sind im besten Zustande zu erhalten. Man arbeite nie mit stumpfem Bleistift oder stumpfen Zirkelspitzen! Man gewöhne sich, sämtliche Hilfsmittel in eine bestimmte Ordnung neben sich zu legen; sehe von Zeit zu Zeit das bereits Aufgezeichnete durch, um sich vor Fehlern zu sichern.

Zu unterscheiden sind:

Eine voll ausgezogene Linie:

Eine kurz gestrichelte Linie:

Eine lang gestrichelte Linie:

Eine strichpunktierte Linie:

Eine Kurve kann auch hervorgebracht werden durch Bewegung einer geraden Linie (s. Fig. 11 u. 12); die einzelnen Lagen der beweglichen Geraden bilden dann

Tangenten an die Kurve, d. h. sie hüllen diese ein. Je zwei aufeinanderfolgende Lagen der beweglichen Geraden ergeben durch ihren Schnitt einen Kurvenpunkt.

Nimmt die bewegliche Gerade mehrfach dieselbe Lage in der Ebene ein, so entsteht eine Doppeltangente (s.Fig. 13) oder eine mehrfache Tangente der Kurve (s. Fig. 14).

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Fig. 11.

Fig. 12.

Fig. 14.

Fig. 13.

Hält die bewegliche Gerade einen Augenblick in der Bewegung inne und ändert dann die Bewegungsrichtung, so entsteht eine Wendetangente der Kurve (s. Tangente t2 bezw. <₃ in Fig. 13); ihr Berührungspunkt mit der Kurve heißt ein Wendepunkt (s. Fig. 5 u. 13, in letzterer Figur sind t₂ und t₃ Wendetangenten).

Eine wichtige krumme Linie ist die Kreislinie (s. Fig. 15); sie entsteht, wenn eine begrenzte gerade Linie MA in dem einen ihrer Endpunkte M festgehalten ist und um diesen Punkt sich dreht. Der Weg des anderen Endpunktes A ist die Kreislinie. Der fest-gehaltene Punkt heißt der Mittelpunkt, die bewegliche Strecke ein Halbmesser der Kreislinie. Die Kreislinie hat unzählig viele gleichgroße Halbmesser; alle Punkte des Kreises sind vom Mittelpunkte gleichweit entfernt

Zwei in eine gerade Linie fallende Halbmesser bilden einen Kreisdurchmesser AB. Die Verbindungslinie irgend zweier Punkte CD heißt eine Kreissehne; rücken die Punkte C und D einander unendlich nahe, so geht die Kreissehne in eine Kreistangente t über. Sie berührt die Kreislinie in dem Punkte D, dem Berührungspunkte. Der Berührungspunkt stellt eigent- "C. lieh zwei aufeinanderfolgende unendlich nahe Punkte dar.

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Fig.16

Der durch den Berührungspunkt gezogene Halbmesser steht auf der Tangente senkrecht. Eine von einem Punkte außerhalb der Kreislinie nach der letzteren gezogene Linie kann die Kreislinie in höchstens zwei Punkten schneiden und heißt dann eine Kreissekante: zwei Kreissehnen CD und CG schließen in G einen Peripheriewinkel a ein, zwei Halbmesser MD und MB bilden bei M einen Zentriwinkel ß. Eine Sehne, z. B. CD, teilt die Kreisfläche in zwei Kreisabschnitte (Segmente GC₁D und CCD); zwei Halbmesser begrenzen einen Kreisausschnitt, Sektor.

Die Linien der Ebene grenzen einen bestimmten Teil der letzteren ab und bilden dann eine Figur. Sind die Linien alle gerade, so entstehen eckige Figuren, z. B. das Dreieck, Viereck, Vieleck; sind die Figuren von krummen Linien begrenzt, so erhält man krummlinige Figuren. Setzt sich die Begrenzung aus geraden und krummen Linien zusammen, so ergeben sich gemischt-linige Figuren; regelmäßig heißen die eckigen Figuren, wenn die sämtlichen Winkel und alle Seiten der Figuren einander gleich sind.

Aufgabe 1. Man soll in einem Punkte C einer geraden* Linie AB (s. Fig. 16) zu dieser eine Senkrechte errichten.

Auflösung. Man trägt von G auf AB zwei gleiche Strecken CA — CB ab und beschreibt um A und B mit einem beliebigen Halbmesser Kreisbogen, die sich in D schneiden. D ist ein Punkt der gesuchten Senkrechten.

Aufgabe 2. Yon einem Punkte G ist auf eine Gerade AB (s. Fig. 17) eine Senkrechte zu fällen.

Auflösung. Man beschreibt um G mit einem beliebigen Halbmesser einen Kreisbogen, der AB in D und E schneidet; zwei Kreisbogen um D und E als Mittelpunkte mit gleichem Halbmesser liefern einen Punkt F der gesuchten Senkrechten.

Aufgabe 3. Durch einen Punkt G ist zu einer Geraden AB (s. Fig. 18) eine Parallele zu ziehen.

Auflösung. Ein um G als Mittelpunkt mit dem Halbmesser A B beschriebener Kreisbogen trifft den um B mit einem Halbmesser gleich AG beschriebenen Kreisbogen in einem Punkte D der gesuchten Parallelen.

Anmerkung. stehender drei Aufgaben.

Mechanische Lösung vor-

Das Errichten und Fällen von Senkrechten, sowie das Ziehen von Parallelen zu einer gegebenen Geraden vollführt der Zeichner in der Regel nicht nach den vorstehend angegebenen geometrischen Lösungen, sondern

Fig. 16.

Fig. 18.

Fig. 17.

A,

Fig. 23.

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Fig. 19.

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Fig. 21.

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Fig. 24.

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Fig. 22

Fig. 20.

einfacher mechanisch mittels seiner Zeichenwerkzeuge, der Reißschiene und der Zeichendreiecke. Soll z. B. in einem Punkte A (s. Fig. 19) zur Linie a eine Senkrechte errichtet werden, so legt man das Zeichendreieck Dx mit einer Kathete an die Linie a an, ein zweites Lineal L,

14 I. Einfache Konstruktionen zwischen geraden Linien etc.

etwa die Reißschiene, kommt nun an die Hypotenuse des Dreiecks Dx zu liegen. Nunmehr verschiebt man Dx längs des Lineales L so lange, bis die zweite Kathete von Dx durch den Pimkt A hindurchgeht, Dl also die Lage D[ einnimmt. Diese zweite Kathete D[ gibt die Lage der gesuchten Senkrechten b durch A an.

In ähnlicher Weise geht das Fällen einer Senkrechten vor sich: Dreieck Dx (s. Fig. 20) liegt mit einer Kathete an der Linie a, auf welche durch den Punkt A eine Senkrechte gefällt werden soll; ein zweites Lineal oder ein Dreieck D₂ kommt an die Hypotenuse von Dx zu liegen. Nunmehr wird Dx längs D₂ so lange verschoben, bis die zweite Kathete von Dx durch A geht.

Das Errichten und Fällen von Senkrechten zu einer gegebenen Linie läßt sich mechanisch noch in etwas anderer Weise vornehmen. Man legt an die Linie a (s. Fig. 21 u. 22) die Hypotenuse des Zeichendreiecks Dt und an eine Kathete desselben das zweite Dreieck D2 - an. Nunmehr hält man D% fest und legt das Dreieck Dx mit seiner zweiten Kathete an Z)₂ an und verschiebt Dx so lange nach DX} bis die Hypotenuse von D[ durch A geht

Das Ziehen einer Parallelen durch einen gegebenen Pimkt A zu einer Geraden a (s. Fig. 23 u. 24) vollzieht sich so: Man legt das Dreieck Dt entweder mit der Hypotenuse (s. Fig. 23) oder mit einer Kathete (s. Fig. 24) an die Linie a an. An dieses Dreieck Dx legt man nun ein Lineal L (Reißschiene) (s. Fig. 23) oder ein zweites Dreieck Z>₂ (s. Fig. 24) an und verschiebt längs L oder D₂ das Dreieck Dx so lange, bis die Hypotenuse bezw. die Kathete von Dx, welche an a lag, durch A hindurchgeht, und zieht dann die Linie b.

Aufgabe 4. Man soll eine gegebene Strecke DE (b. Fig. 17) halbieren.

Auflösung. Man beschreibt um die Punkte D und E als Mittelpunkte mit einem und demselben Halbmesser von beliebiger Größe Kreisbogen, die sich in G und F schneiden. Die Verbindungslinie CF hälftet die Strecke DE und steht auf letzterer senkrecht. Sie heißt die Mittelsenkrechte von DE.

Aufgabe 5. Man soll durch die drei Ecken eines Dreiecks ABC (s. Fig. 25) einen Kreis legen.

Auflösung. Man konstruiert zu den drei Seiten AB, BC und CA die zugehörigen Mittelsenkrechten, die sich im Mittelpunkte D des gesuchten Kreises schneiden.

Aufgabe 6. Man soll den Winkel zweier Geraden halbieren.

Auflösung. Man beschreibt um A als Mittelpunkt (s. Fig. 26) mit einem beliebigen Halbmesser den Kreisbogen BC, desgleichen um die Punkte C und B Kreisbogen mit dem gleichen oder einem anderen beliebigen Halbmesser, die sich in einem Punkte D der Halbierungslinie h treffen. Die Senkrechte zu h halbiert den Nebenwinkel von BAC.

Anwendungen zu Aufgabe 6. Die Lösung der vorstehenden Aufgabe findet vielseitige praktische Anwendung; ein Fall sei hervorgehoben : Zwei Wege (s. Fig. 27) von ungleicher Breite sind durch einen kreisförmig gekrümmten Weg miteinander zu verbinden. Man verlängert die Wegbegrenzungen a, c und b, d bis zum Schnitt A und B und halbiert die Winkel der Linien a, c und b, d. Nimmt man nun die Bogenanfänge auf der Senkrechten CD zu c bezw. d an, so sind in deren Schnitten mit den beiden Halbierungslinien die Mittelpunkte M und Mx der kreisförmigen Verbindungsbogen bestimmt.

In ein Dreieck ABC (s. Fig. 28) ist ein Kreis einzubeschreiben. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt

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Fig. 26-

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Fig. 25.

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Fig. 28.

/ Fig.27.

der Halbierungslinien der Dreieckswinkel. Nimmt man auch die Halbierungslinien der Dreiecksnebenwinkel hinzu, so ergeben sich vier Kreise, welche je die drei Dreiecksseiten berühren. Einer dieser Kreise, nämlich k, ist dem Dreieck einbeschrieben, d. h. seine Berührungspunkte mit den Dreiecksseiten liegen auf den Strecken AB, AG und BG\ die drei übrigen Kreise, k„ und ks, berühren eine Dreiecksseite zwischen denDreiecksecken, die beiden anderenDreiecksseiten, aber auf derenVerlängerungen über die Dreiecksecken hinaus.

Aufgabe 7. Man soll an eine gegebene Gerade in einem Punkte A einen Winkel a von gegebener Größe antragen.

A

Fig. 29.

Auflösung. Man beschreibt um A und Ax als Mittelpunkte mit dem gleichen Halbmesser von beliebiger Größe Kreisbogen, überträgt die Sehne C₁D₁ nach CD _ und zieht AD, welche Linie ^ mit AC den Winkel a einschließt.

Aufgabe 8. Yon einem Punkte außerhalb eines Kreises ist an letzteren eine Tangente zu konstruieren.

Auflösung. Würde der Punkt auf der Kreislinie selbst liegen, so hätte man nur durch den Punkt einen Halbmesser zu zeichnen und zu letzterem durch den gegebenen Punkt eine Senkrechte zu ziehen. Diese wäre dann die gesuchte Tangente.

Liegt aber der gegebene Punkt A (s. Fig. 30) außerhalb des Kreises k, so zeichnet man über AM als Durchmesser den Kreis kx\ dieser schneidet aus k die Berührungspunkte B und C der gesuchten Tangenten aus. Es sind zwei solcher Tangenten möglich. Liegt der

Vonderlinn, Geometrisches Zeichnep.

18 I. Einfache Konstruktionen zwischen geraden Linien etc.

Punkt A in unendlicher Feme, so ist er ersetzt durch eine Gerade g (s. Fig. 31), zu welcher parallel an k die möglichen Tangenten zu ziehen sind. In diesem Falle fällt man von dem Mittelpunkte M des Kreises k eine Senkrechte zu g, sie schneidet dann auf k die Berührungspunkte A und B der gesuchten Tangenten aus.

Eine rein lineare Konstruktion der Tangenten durch einen Punkt A an einen Kreis k ist in Fig. 32 angegeben; man zieht durch A drei beliebige Sekanten nach k, welche letztere Linie in den Punkten I, 2, 3, 4 und E, F treffen, die Verbindungslinien 1F, 2E, 3 F, 4E liefern zwei Schnittpunkte x und y, deren Verbindungslinie auf k die Berührungspunkte B und C der gesuchten Tangenten ausschneidet. In der Geometrie bezeichnet man die Linie xy als die Polare des Punktes A bezüglich des Kreises k, der Punkt A heißt der zur Polare xy gehörige Pol. Man wende die vorstehende Konstruktion auf den Fall an, daß die Tangenten parallel zu einer Geraden g sein sollen.

Aufgabe 9. An zwei gegebene Kreise sind die möglichen gemeinsamen Tangenten zu zeichnen.

Auflösung I. Man zeichnet über MMX (s. Fig. 33) als Durchmesser die Kreislinie k₂ und beschreibt um M mit einem Halbmesser gleich dem Unterschiede der Halbmesser der gegebenen Kreise den Kreisbogen AB, der k3 in A und B trifft. Die Verbindungslinien MA und MB treffen k in den Berührungspunkten C und D der gesuchten Tangenten, welche parallel zu Mx A und MXB zu ziehen sind. Die vorstehende Konstruktion liefert zwei Tangenten, welche die Kreise k und kx von außen berühren. Durchschneidet man die Kreislinie k₃ mit einem Kreise, dessen Halbmesser gleich der Summe der Kreishalbmesser von k und kx ist (s. Fig. 34), so ergeben sich die Punkte 4 und B und die Verbindungs-

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Fig 36.

linien MA und MB liefern die Berührungspunkte G und D der möglichen Tangenten, die parallel zu MtA und MtB

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Fig. 37.

Fig. 38.

zu ziehen sind. An zwei Kreise gibt es höchstens vier Tangenten, zwei äußere und zwei innere.

Auflösung II. Die gemeinsamen Tangenten zweier Kreise schneiden auf der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte — Zentrale — zwei Punkte G und 01 aus (s. Fig. 35), welche die Ähnlichkeitspunkte der Kreise heißen; O ist der äußere, 0₁ der innere Ahn* lichkeitspunkt. Zieht man in beiden Kreisen parallele Halbmesser MA und MXB oder Mx C, so liefern die Verbindungslinien AB und AG auf der Zentrale MMX die Ähnlichkeitspmikte G und Gx\ durch G und Gx gehen dann die möglichen Tangenten hindurch.

Anmerkung. In Fig. 36 ist die Konstruktion der Polaren angedeutet für einen innerhalb des Kreises liegenden Pol A. Man zieht durch A eine senkrechte Sehne BG zu MA und konstruiert in B und G die Kreistangenten, die sich in D begegnen. Durch D geht senkrecht zu MD die Polare a hindurch.

Einige Aufgaben über Kreisberührungen.

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Tangentenkonstrnktion von einem Punkte außerhalb eines Kegelschnittes an letzteren.

VII. Konstruktion einiger anderer Spirallinien.

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Einige Aufgaben über Kreisberührungen.

Zwei Kreise berühren sich von außen (s. Fig. 37), wenn die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte eine Länge gleich der Summe der Kreishalbmesser besitzt und von innen (s. Fig. 38), wenn diese Länge so groß ist wie der Unterschied der Kreishalbmesser.

In den Fig. 39—43 sind einige praktische Anwendungen über Kreisberührungen dargestellt. Fig. 39 zeigt die Verbindung zweier Paare gleich weit voneinander abstehender Parallelen durch Kreisbogen. Sind die Bogenanfänge auf den Senkrechten AA' und BB' zu a bezvv. b gewählt, so zieht man AB, halbiert diese Länge in C, dann liegen die Mittelpunkte Mt und 3/„ auf AA' bezw. BB' und auf den Mittelsenkrechten der Strecken AC und BG. Die Fig. 40—43 stellen einige Gesimsformen dar, deren Konstruktion ohne weiteres ersichtlich ist;

Fig. 40 ist ein Schnitt durch ein Hauptgesims, Fig. 43 ein solcher durch ein Gurtgesims, die Fig. 41 u. 42 versinnbildlichen Schnitte durch Sockelgesimse.

Rektifikation des Kreises. Hierunter versteht man die Aufgabe, eine Strecke so zu bestimmen, daß ihre Länge gleich dem Kreisumfange ist

Aufgabe 10. Gegeben ein Kreis k (s. Fig. 44); man soll die Länge des Kreisumfanges zeichnerisch darstellen.

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Fig. 44.

Auflösung. Man zeichnet die beiden aufeinander senkrechten Kreisdurchmesser AB und CD und in dem Endpunkte C des einen Durchmessers eine Tangente a an k. Macht man dann AE — AM, zieht ME bis zum Schnitt F mit a, trägt von F aus den Kreishalbmesser MA = r drei-G mal ab nach FC, so ist die Verbindungslinie DO gleich dem halben Kreisumfange.

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Aufgabe 11. Gegeben ein Kreis k (s. Fig. 45) und auf einer Tangente eine Strecke AB. Man soll die Länge AB auf den Kreis übertragen.

Fig. 46.

Auflösung. Man verlängert den Durchmesser A C über C hinaus nach D, so daß CD = CM ist, und zieht DB, welche Linie die Kreisperipherie in E trifft. Es ist dann Bogen AE genau genug gleich der Strecke AB, vorausgesetzt, daß AB kleiner als der Halbmesser MA ist.

Teilung einer geraden Linie.

Aufgabe 12. Man soll eine gegebene Strecke AB (s. Fig. 46) in n gleiche Teile teilen.

Auflösung. Man trägt in A an AB einen beliebigen Winkel a an; von A aus trägt man, wenn z. B.

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n = 5 ist, eine beliebig gewählte Strecke fünfmal nacheinander an nach AG, zieht CB und durch

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Fig. 46.

die Teilungspunkte 1, 2, 5, 4 Parallele zu BC, so teilen diese die Strecke AB in fünf gleiche Teile.

Aufgabe 13. Man soll eine gegebene Strecke AB (s. Fig. 46) in einem gegebenen Verhältnis m : n teilen.

Auflösung. Man legt wieder in A den Winkel a an, macht, wenn z. B. m:n = 3: 2 sein soll, A3 = 3 und 3 G = 2. Zieht man CB, so liefert die Parallele durch 3 zu CB den gesuchten Teilungspunkt 3 auf AB.

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Fig. 47.

Anmerkung. Verbindet man den Punkt 1 auf A C (s. Fig. 46) £ mit B und zieht durch 5 eine Parallele zu 1B, so erhält man auf der Verlängerung von AB einen zweiten Punkt 5/, der AB so teilt, daß A3':B3r —3:2 ist, der Punkt 3' heißt der äußere, der Punkt 3 der innere Teilungspunkt. Vier Punkte wie A, B, 3, 3f heißen vier harmonische Punkte und zwar sind A, B und 5, 3' je ein konjugiertes Punktpaar. Soll von einer gegebenen Strecke AB ein be-

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stimmter aliquoter Teil, z. B.— = —-bestimmt werden,

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so trägt man auf AB (s. Fig. 47) von A aus fünf gleiche Teile von beliebiger Größe ab, beschreibt um A mit dem Halbmesser AG einen Kreisbogen und trägt auf ihm CD =3 ab und zieht AD. Schlägt man nun mit der gegebenen Strecke AB den Kreisbogen BE, so ist BE — J- AB.

Aufgabe 14. Man soll eine gegebene Strecke AB so teilen, daß sich die ganze Strecke zum größeren Abschnitt, wie der letztere zum kleineren Abschnitt verhält.

W = AF: FB.

Auflösung. Man halbiert AB in (7, errichtet BD senkrecht AB und gleich BG und zieht AD] macht man DE = DB und AF=AE, so ist F der gesuchte Teilungspunkt, d. h. es ist AB: A F

DF'    Anmerkung. Yorstehend an-

i    gegebene Teilung einer Strecke AB

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Fig. 48.

CF B bezeichnet man in der Geometrie als den Goldnen Schnitt.

Konstruktion geradliniger Figuren.

Die wichtigsten ebenen geradlinigen Figuren, welche als Grundlage zusammengesetzter Flächengebilde dienen, sind die Dreiecke, Yierecke und Yielecke.

Die Dreiecke unterscheidet man sowohl nach den Seiten wie nach den Winkeln; man kennt das ungleichseitige, gleichschenklige und gleichseitige Dreieck (s. Fig. 49, 50, 51), je nachdem alle drei Seiten ungleiche oder zwei Seiten gleiche oder aber alle drei Seiten gleiche Länge besitzen. Mit Bezugnahme auf die Winkel unterscheidet mandas rechtwinklige, stumpfwinklige oder spitzwinklige Dreieck, je nachdem ein Winkel ein Rechter bezw. stumpf ist oder alle drei spitz sind. Unter den Vierecken unterscheidet man außerdem zwischen unregelmäßigen Vierecken und solchen, denen eine gewisse Regelmäßigkeit zukommt. Zu den letzteren zählt das Parallelogramm und das Trapez. Im ersteren sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten paralle] und gleichlang, im letzteren sind nur ein paar Seiten parallel aber ungleichlang. Unter den Parallelogrammen sind hervorzuheben das Quadrat — alle vier Seiten sind gleichlang, alle Winkel sind Rechte, ferner das Rechteck — die Seiten sind ungleichlang, aber die Winkel sind Rechte, endlich der Rhombus oder die Raute — die Seiten sind gleichlang, die Winkel sind keine Rechte.

Konstruktion eines Dreiecks.

a) Ungleichseitiges Dreieck — gegeben die drei Seiten (s. Fig. 49). Man macht AB = a, schlägt um

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Fig. 61.

Fig. 60.

Fig. 49.

A und B mit den Längen b und c Kreisbogen, die sich in G schneiden.

b) G-leich8chenkliges Dreieck. Gegeben die beiden Seiten a und b. Man macht AB — a und beschreibt um A und B mit b Kreisbogen, die den Punkt C liefern. AB heißt die Grundlinie des Dreiecks, AG und BG sind seine Schenkel.

c) Gleichseitiges Dreieck. Gegeben a. Man macht AB = a und beschreibt um A und B mit a Kreisbogen.

In den Fig. 52—55 sind Felderteilungen im gleichseitigen Dreieck angegeben.

Fig. 52.

Fig. 53.

Fig. 54.

Fig. 55.

Konstruktion eines Vierecks, a) Das Quadrat. Es genügt, wenn die Seite a bekannt ist, dann läßt sich das ganze Quadrat konstruieren (s. Fig. 56). Man macht A B = a, errichtet in A und B die Senkrechten A G und BD = a.

Anmerkung. Die Figuren auf den Tafeln 1—13 zeigen verschiedene Flächenmuster, welche das Quadrat als dB Grundfigur besitzen. Die Konstruktion -i der einzelnen Muster läßt sich aus den Zeichnungen ersehen.

Fig. 56.

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Tafel 7. Parkettmuster.

Vonderlinn, Geometrisches Zeichnen.

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b) Das Rechteck. Es ^T~ müssen mindestens zwei Seiten bekannt sein a und b. Man macht (s. Fig. 57) AB —a und errichtet in A und B die Senkrechte AG und BD = b.

Fig. 57.

Anmerkung. Die Fig. 58 bis 62 zeigen verschiedene Flächenmuster, welchen das Rechteck als Grundlage dient.

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Fig. 58.

Fig. 59.

Fig. 60.

Fig. 61.

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Fig. 62.

c) Das Parallelogramm. Gegeben mindestens zwei Seiten a und b und ein Winkel a. Man macht (s. Fig. 63) AB—a, trägt ein A und B an AB den Winkel a an und macht AG= AD — b.

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Fig. 64.

Fig. 63.

d) Der Rhombus. Gegeben eine Seite a und ein Winkel a. Die gleiche Konstruktion wie vorhin, nur ist AG = BD==a (s.Fig. 64).

Anmerkung. Die Fig. 65—67 zeigen einige Flächenmuster, denen der Rhombus als Grundlage dient.

Fig. 66.

Fig. 65.

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Fig. 67.

e) Das Trapez zeigt zwei parallele Seiten; zur Konstruktion sind erforderlich mindestens die beiden

parallelen Seiten a und c und noch zwei Stücke, z. B. ein Winkel und eine der nichtparallelen Seiten b. Man macht —V/ AB = a (s. Fig. 68), trägt in —H    A den Winkel a an, macht

AC=b, zieht CD parallel zu AB und gleich c. Anmierkung. Fig. 69 und 70 haben ein beliebiges Viereck, Fig. 71 und 72 ein Trapez als Grundform.

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Fig. 70.

Fig. 69.

Fig 71.

Fig. 72.

Anmerkung. Die Verbindungslinien zweier nicht aufeinanderfolgender Punkte im Viereck heißen Diagonalen; jedes Viereck- besitzt zwei Diagonalen,

Beim Parallelogramm heißt der Schnittpunkt M der Diagonalen sein Mittelpunkt; in ihm hälften sich die Diagonalen, welche außerdem beim Quadrat und beim Rechteck gleiche Länge besitzen. Beim Quadrat und Rhombus stehen sie aufeinander senkrecht.

Das Trapez kann durch eine Parallele durch eine Ecke zu einer der nichtparallelen Seiten in ein Dreieck und ein Parallelogramm zerlegt werden (s. Fig. 68). Wichtige Punkte des Dreiecks sind der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten oder jener der drei Halbierungslinien der Dreieckswinkel; ersterer ist Mittelpunkt des Umkreises, letzterer jener des Umkreises. Die drei Mitteltransversalen, d. h. die Verbindungslinien der Ecken mit den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten liefern einen Punkt, den man ebenfalls Mittelpunkt (Schwerpunkt) des Dreiecks nennen kann. Auch die drei Höhen schneiden sich in einem Punkte; beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei, beim gleichschenkligen zwei Höhen einander gleich; beim ungleichseitigen Dreieck sind auch die Höhen ungleich (s. Fig. 49—51). *

Konstruktion der regelmäßigen Vielecke.

Unter den Vielecken sind für den Zeichner von Wichtigkeit die regelmäßigen Vielecke, das sind solche, bei denen alle Seiten und Winkel einander gleich sind, deren Ecken daher auf einer Kreislinie liegen, dem Umkreis, während die Seiten einen zweiten Kreis mit dem gleichen Mittelpunkte, den Innkreis berühren; der Mittelpunkt dieser beiden Kr eise ist zugleich der Mittelpunkt des Vielecks. Bei den folgenden Konstruktionen soll zunächst der Umkreis als gegeben vorausgesetzt werden.

a) Das Sechseck, Zwölfeck und Dreieck (s. Fig. 73). Man zieht zwei aufeinander senkrechte

44 Î- Einfache Konstruktionen zwischen geraden Linien etc.

Durchmesser AB und CD und trägt von deren Endpunkten aus den Kreishalbmesser als Sehne in den Kreis ein, so sind hierdurch die Punkte E bis N bestimmt und es bilden die Verbindungslinien DE G CHFD ein regelmäßiges Sechseck; ein zweites regelmäßig&s Sechseck ist durch die Verbindung A KNBLJA gegeben. Die Ecken A bis N bilden die Ecken eines regelmäßigen Zwölfecks. Überspringt man beim Verbinden der Zwölfeckspunkte auf dem Kreise immer drei aufeinanderfolgende Punkte, so erhält man die regelmäßigen Dreiecke DOII und CEF.

b)    Das Achteck, Viereck (s. Fig. 74). Um die Endpunkte zweier aufeinander senkrechten Kreisdurchmesser AB und CD beschreibt man mit dem Halbmesser des Umkreises Kreisbogen, die sich in iE, F, 0 und II begegnen. Die Verbindungslinien EG und FH schneiden auf dem Kreise die noch fehlenden Ecken des Achtecks aus. Überspringt man beim Verbinden der Eckpunkte je einen Punkt, so entsteht das regelmäßige Viereck (Quadrat). In Fig. 74 sind zwei Quadrate ADBC und LINK eingetragen.

c)    Das Fünfeck (s. Fig. 75). Man zieht die beiden aufeinander senkrechten Durchmesser AB und CD, halbiert MB in E, macht EF — ED, dann ist die Länge DF gleich der Fünfecksseite und fünfmal in den Kreis einzutragen

d)    Das Zehneck (s. Fig. 76). Man konstruiert wie beim Fünfeck ; die Strecke MF ist gleich der Zehnecksseite.

e)    Das Siebeneck (s. Fig. 77). Nachdem man die beiden aufeinander senkrechten Durchmesser AB und CD bestimmt hat, beschreibt man um C mit dem Halbmesser CM den Kreisbogen EF und zieht die Sehne EF] deren Hälfte E O ist gleich der Länge der Siebenecksseite.

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f)    Das Neuneck (s. Fig. 78). Man bestimmt AB und CD wie bisher, zeichnet um C mit CM als Halbmesser den Kreisbogen EF, macht CH = MC und beschreibt über OH das gleichseitige Dreieck GHJ. Die Verbindungslinie MJ liefert auf dem Umkreis den Punkt K so, daß EK gleich der Seite des regelmäßigen Neimecks ist. — Die im vorstehenden angegebenen Konstruktionen des Sieben- und Neunecks sind Näherungskonstruktionen.

Anmerkung. Aus den bisher mitgeteilten regelmäßigen Vielecken lassen sich noch andere regelmäßige Vielecke, die sogenannten Stemvielecke, ableiten, welche vielfach zu ornamentalen Zwecken Verwendung finden. So bilden zwei gleichseitige Dreiecke, deren Ecken zugleich Ecken eines regelmäßigen Sechsecks sind, ein Stemsechseck (s. Fig. 73), zwei Quadrate (s. Fig. 74) ein Stern achteck, zwei Sechsecke ein Stemzwölfeck. Das Fünfeck (s. Fig. 79) ist ein Sternfünfeck. Aus dem Zehneck sind zwei Stemzehnecke abzuleiten, nämlich einmal das in Fig. 80 dargestellte Zehneck, ein zweites Sternzehneck erhält man, indem man zwei regelmäßige Sternfünfecke ineinanderzeichnet. Ein Sternsiebeneck ist in Fig. 81 dargestellt; Stemneunecke zeigen die Fig. 82 bis 84. Fig. 74 enthält noch ein zweites Sternachteck.

g)    Vieleck mit beliebiger Seitenzahl. Soll ein regelmäßiges Vieleck, dessen Seitenzahl irgend eine Primzahl n, z. B. 11 ist, in einen Kreis beschrieben werden, so ist hierfür nurmehr ein Näherungsverfahren möglich, das aber für alle praktischen Zwecke als ausreichend genau gelten kann. Man zieht (s. Fig. 85) die Kreistangente in C, trägt ME unter dem Winkel von 30° an MC an, macht EF gleich dem dreifachen Halbmesser MC und verbindet FD, so ist FD genau genug der halbe Umfang des Kreises MCD.

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und DK— MD] so trifft die Verbindungslinie KJ die Kreislinie in einem Punkte L so, daß CL die Seite des regelmäßigen Elfecks ist.

Anmerkung. Es ist klar, daß vorstehende Konstruktion für jedes Vieleck Gültigkeit besitzt, für welches n größer als 10 ist.

Konstruktion eines regelmäßigen Vielecks über gegebener Seite.

Sehr häufig tritt an den Zeichner die Aufgabe heran, über einer gegebenen Strecke als Seite ein regelmäßiges Vieleck zu konstruieren. Für das Fünfeck imd Achteck, welcher Fall in der Praxis wohl am häufigsten auf tritt, soll die Aufgabe gelöst werden. Ist AB (s. Fig. 86) die Seite eines regelmäßigen Fünfecks, so errichtet man BC senkrecht zu AB und gleich x/₂ AB, zieht A G und macht CD — CB. Überträgt man mm AD nach AE, so ist BE gleich der Länge der Fünfecksdiagonale. Man beschreibt nun um die Punkte A und B mit den Halbmessern gleich der Fünfecksseite und Fünfecksdiagonale Kreisbogen, die sich in den Fünfeckspunkten F, G und II schneiden.

Für das Achteck ergibt sich folgende Konstruktion: Man beschreibt (s. Fig. 87) über der Seite AB als Durchmesser einen Halbkreis, der von der Mittelsenkrechten zu AB m C durchschnitten wird. Macht man CM = CB, so ist M der Mittelpunkt des Umkreises für das Achteck, wodurch letzteres bestimmt ist.

Beim Achteck begegnet man häufig auch der Aufgabe: In ein Quadrat AB CD (s. Fig. 88) ein regelmäßiges Achteck einzubeschreiben. Man bestimmt in diesem Falle den Mittelpunkt M und beschreibt um die vier Ecken A, B, G, D Kreisbogen, welche den Punkt M enthalten, so liefern diese auf den Quadratseiten die Achteckspunkte E, F, G, H, J, K und L, N.

In den Fig. 89—98 sind für vieleckige Grundfiguren einige Felderteilungen dargestellt; in den Fig. 89 und 90 für das Fünfeck, Fig. 91—94 für das Sechseck, Fig- 96 für das Achteck. In Fig. 97 ist das Zwöll'eck und Fig. 95 und 98 ein Sternachteck als Grundfigur verwendet.

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Fig. 90.

Fig. 89.

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Fig. 91.

Fig. 92.

Felderteilung regelmäßiger Vielecke.

Vonderlinn, Geometrisches Zeichnen.

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Fig. 93.

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Fig. 96.

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Fig. 98.

Fig. 97.

Felderteilung regelmäßiger Vielecke.

Kreisleitungen.

Die Fig. 99—111 veranschaulichen die mannigfaltigsten Kreisteilungen.

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Teilungen des Kreises.

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Fig. 116.

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Fig. 114.

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Fig. 119.

Fig. 115.

Dreibogen. Yierbogcu. Fünfbogen. Secbsbogen.

Die Fig. 112—127 zeigen gleichfalls Kreisteilungen als Grundlagen für ornamentale Ausbildungen von Kreis-

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Fig. 120.

Fig. 122.

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Fig. 121.

Fig. 123.

Zweischweifung. Dreischweifung.

bogenverbindungen, wie solche in der Architektur vielfach Verwendung finden, z. B. der Drei-, Vier-, Fünf- und

Sechsbogen, Fig. 112—119, ferner Zwei-, Drei-, Vier-, Fünf-und Sechsschweifung (s. Fig. 120—127).

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Fig. 125.

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Fig. 126.

Fig. 127.

Vierschweifung. Fünfschweifung. Sechsschweifung.

Die geometrische Konstruktion dieser Gebilde ist aus den Fig. 112—115 bezw, 120—126 ersichtlich.

II. Konstruktion der Kegelschnitte, Ellipse, Parabel, Hyperbel.

Ellipsenkonstruktionen.

Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, welche von zwei festen Punkten F und Fx, den Brennpunkten, eine gegebene Abstandssumme haben. Halbiert man FFX (s. Fig. 128) in M und trägt MA = MB gleich der halben Abstandssumme ab, so sind A und B Ellipsen punkte. Weitere Punkte erhält man, wenn man die Strecke AH in den Punkten 1, 2, 3 in ungleiche Teile teilt und um die Punkte F und Fx mit den Strecken AM, BM, A-2, B-2, A*3, B-3 etc. Kreise beschreibt, die sich in den Ellipsenpunkten 7, Il, III schneiden. Beschreibt man um F und Fx mit dem Halbmesser MA Kreise, so ergeben sich die Punkte C und D auf der Senkrechten durch M zu AB. Die Linien AB und CD heißen die Hauptachsen der Ellipse. AB ist die große, CD die kleine Hauptachse. M ist der Mittelpunkt; die Punkte A, B, C und D heißen die Ellipsenscheitel. Die Hauptachsen sind Symmetrieachsen der Kurve. Jede den Mittelpunkt enthaltende Ellipsensehne, wie z. B. /• 7, II• II etc., heißt ein Durchmesser; er wird im Mittelpunkt gehälftet. Die Ellipsendurchmesser sind von ungleicher Länge. A B ist der größte, CD der kleinste Durchmesser.

Tangenten- und Normalenkonstruktion. Um Ln einem Punkte, z. B. III (s. Fig. 128), die Tangente und Normale zu konstruieren, verbindet man III mit den beiden Brennpunkten F und Fx und halbiert die Winkel dieser Verbindungslinien (Fahrstrahlen); die innere Halbierungslinie gibt die Normale, die äußere die Tangente an die Ellipse im Punkt III.

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Andere Konstruktion der Ellipse. f Gegeben die beiden Hauptachsen (s. Fig. 129). Man beschreibt um den Mittelpunkt M mit den Halbmessern MA und MB Kreise kx und k₂. Zieht man durch M eine Anzahl von Strahlen, welche die Kreise kt und k₂ in den Punkten I, 2, 3 treffen und durch die Punkte auf kx Parallele zur großen, durch jene auf k₂ Parallele zur kleinen Achse, so schneiden sich diese Parallelen in Punkten 7, 77, 777 etc. der Ellipse.

Andere Ellipsenkonstruktion. Gegeben die beiden Hauptachsen (s. Fig. 130). Man zeichnet das Rechteck E₎ F, G, 77. Teilt man AE in etwa vier gleiche Teile, ebenso MA, so treffen sich die Verbindungslinien der Teilungspunkte auf A E mit dem Punkte C und jene der Teilungspunkte auf MA mit dem Punkte D in Ellipsenpunkten 7, 77, 777 etc. Entsprechend verfährt man auch mit den übrigen Vierteln der Ellipse. Man kann auch den Durchmesser AB zur Konstruktion benutzen; dann teilt man CF und MC ein und zieht die Strahlen nach A und B beziehungsweise.

Tangenten- und Normalenkonstruktion. Die Normale im Punkte 777 (s. Fig. 129) ergibt sich, wenn man M3 bis zum Schnitt E mit einem mit dem Halbmesser gleich der Summe der beiden Halbachsen beschriebenen Kreise k% zieht; E11I ist die Normale, die Senkrechte hierzu die Tangente. Will man die Tangente ohne Zuhilfenahme der Normalen konstruieren, so braucht man nur durch den Punkt 3' des Kreises k₂ an letzteren eine Tangente zu zeichnen bis zum Schnitt mit der verlängerten Hauptachse AB] die Verbindungslinie dieses Schnittpunktes mit 777 ist die Ellipsentangente.

Anmerkung. Sowohl der Kreis kt wie der Kreis k₂ stehen zu der Ellipse in einem gewissen geometrischen Zusammenhang, der sich dadurch charakterisiert, daß den Ellipsenpunkten 7, 77, III etc. gewisse Kreispunkte 1, 2, 3 auf kv bezw. V, 2f, & auf k% so zugeteilt sind, daß die Verbindungslinien 7*1, 77* 2, III-3, bezw. 1-1', II- 2/, 111- 3' zueinander parallel sind, und außerdem je zwei Linien der einen Figur, wie z. B. I- III und 1 • 3 oder 1' - 3', sich auf einer Geraden, nämlich der kleinen bezw. großen Ellipsenachse schneiden. Dieser geometrische Zusammenhang heißt Affinität und zwei Figuren sind affin, wenn sie in diesem Zusammenhänge zueinander stehen. Die Kreise kt und k% sind also zur Ellipse affin. Die Richtung der Verbindungslinie entsprechender Punkte, wie 1 -1 oder 1' -1 etc., heißt Affinitätsrichtung; die Linie, auf welcher sich entsprechende Gerade schneiden, wie 1 - 3 und 7 • 7/7, heißt die Affinitätsachse. Die Affinitätsbeziehung zweier Figuren wird sehr häufig zu Konstruktionszwecken benutzt.

In Fig. 130 ergibt sich die Tangente z. B. im Punkte 77, wenn man den Schnittpunkt J von A C mit der Verbindungslinie D - II mit 77 verbindet und außerdem durch J eine Parallele zu AB zieht. Die Linie IIJ liefert auf E G einen Punkt K der Tangente in 77, ebenso gibt die Parallele durch J zu AB auf AE einen Punkt L dieser Tangente.

Andere Ellipsenkonstruktion. Gegeben die beiden Hauptachsen (s. Fig. 131). Auf einem Papierstreifen trägt man die Strecken EF=MA und F G — MG ab. Bewegt man nun den Streifen so, daß der Punkt E die kleine Achse durchläuft, während G stets auf der großen Achse bleibt, so beschreibt bei dieser Bewegung der Punkt F die gezeichnete Ellipse. Die in den Schnittpunkten E und G zu den Achsen errichteten Senkrechten schneiden sich in einem Punkte H der Ellipsennormalen n in F. Die Tangente t steht senkrecht hierzu.

Anmerkung. Die oben angegebene Normalenkonstruktion gewinnt eine besondere Bedeutung für den Techniker, wenn es sich darum handelt, die Richtung der Lagerfugen für einen elliptischen Mauerbogen festzusetzen. Man führt die angegebene Konstruktion auf dem Lehrbogen aus, indem man statt eines Papierstreifens ein Brettstück benutzt.

Konstruktion der Ellipse aus konjugierten Durchmessern.

Zwei Durchmesser AB und CD (s. F. 132) einer Ellipse heißen konjugiert, wenn die Tangenten in den Endpunkten des einen Durchmessers parallel zum andern Durchmesser sind. Aus zwei solchen Durchmessern läßt sich die Ellipse ohne Benutzung der Hauptachsen in mehrfacher Weise konstruieren:

1. Konstruktion. Man beschreibt (s. Fig. 132) über AB als Durchmesser den Kreis k und teilt ihn ein. Durch die Teilungspunkte 1, 2, 3 etc. zieht man Senkrechte zu MA und durch deren Schnittpimkte 1', 2', 3' ... mit MA Parallele zu CD. Durch die Punkte 1, 2, 3 ... auf k zieht man ferner Parallele zu der Verbindungslinie CG'. Diese treffen die Parallelen zu CD in den Ellipsen punkten I, 11, III... Die Tangentenkonstruktion bleibt dieselbe wie in Fig. 129. Man zieht in 2 die Tangente f an k und durch deren Schnittpunkt mit AB die Ellipsentangente t nach dem Punkte II.

Anmerkung. Die Ellipse und der Kreis k sind wieder affine Figuren mit AR als Affinitätsachse und CC' als Affinitätsrichtung. Man könnte die Ellipse auch als affine Figur zu einem über CD als Durchmesser beschriebenen Kreise konstruieren. Der Leser versuche diese Konstruktion.

2. Konstruktion. Man kann mit Benutzung der beiden konjugierten Durchmesser A B und CD (s. Fig. 133) die Ellipse in derselben Weise konstruieren wie in Fig. 130. Die Konstruktion ist in Fig. 133 ausgeführt und entspricht genau derjenigen in Fig. 130. Auch die Buchstabenbezeichnung ist die nämliche wie in Fig. 130.

Konstruktion der Ellipse durch Vergatterung.

Gegeben die beiden Hauptachsen. Man beschreibt über AB als Durchmesser den Kreis k (s. Fig. 134), teilt MA ein und zieht durch die Teilungspunkte Senkrechte zu MA. Die halben Kreissehnen verkleinert man nun im Verhältnis der beiden Hauptachsen mittels eines Proportionalwinkels a (s. Fig. 135). Man macht EF = MB, schlägt in E mit EF einen Kreisbogen, auf welchem man FC —MC abträgt. Hierdurch ist der Winkel a bestimmt. Beschreibt man nun mit den Längen 2*2, 2-2, 3* 3 (s. Fig. 134) um E (s. Fig. 135) Kreise, so geben die Längen 2*2, 2-2, 3*3 (s. Fig. 135) die Abstände der Ellipsenpunkte 2, 27, III (s. Fig. 134) von MA an.

Ähnlich läßt sich auch die kleine Achse zur Ellipsenkonstruktion benutzen. Man vergrößert mittels eines Proportionalwinkels ß (s. Fig. 136) (JK = JL = MC, LK= MB) die Kreissehnen !'• 1', 2'• 2', 3'• 3' im Verhältnis der beiden Ellipsenachsen und erhält hierdurch die Ellipsenpunkte F, 22', IIF.

Konstruktion der Hauptachsen einer Ellipse aus konjugierten Durchmessern.

Gegeben (s. Fig. 137) die beiden Durchmesser AB und CD. Man errichtet ME senkrecht zu MA und gleich MA, zieht CE, halbiert CE in F und beschreibt um F als Mittelpunkt einen den Punkt M enthaltenden Kreis k, der die verlängerte CE in zwei Punkten 0 und H trifft, durch welche die Hauptachsen der Ellipse hindurchgehen. Die Längen der Hauptachsen sind AB — 2HE und CD — 2EO.

Parabelkonstruktionen.

Die Parabel ist der geometrische Ort für alle Punkte, welche von einem festen Punkte F (s. Fig. 138), dem Brennpunkte, und einer festen Geraden a, der Leitlinie, gleiche Entfernung besitzen.

1. Konstruktion der Parabel. Gegeben der Brennpunkt F und die Leitlinie a. Die Senkrechte durch F zu a gibt die Parabelachse, auf ihr liegt der Parabelscheitel im Halbierungspunkte G der Strecke FB. Weitere Punkte erhält man durch Annahme beliebiger Punkte 1, 2, 3, 4 etc. auf der Achse. Beschreibt man nämlich um F als Mittelpunkt Kreise mit den Halbmessern B• 1, B - 2, B' 3 etc., so werden diese von den in den Punkten 1, 2, 3 . . . zur Leitlinie gezogenen Parallelen in den Parabelpunkten I, II} III... getroffen. Die Senkrechte im Punkte C zur Achse gibt die Scheiteltengente s.

Tangente und Normale in einem beliebigen Parabelpimkt, z. B. II. Man zieht IIF und fällt von II eine Senkrechte IIII zu a. Die innere Halbierungslinie des Winkels IIII F gibt die Tangente t, die Senkrechte hierzu die Normale n.

Andere Parabelkonstruktionen. 1. Gegeben der Scheitel A, die Achse AB und ein Punkt C (s. Fig. 139). Man zeichnet das Rechteck AB CD, teilt in demselben die Strecken CD und CB in gleiche Teile ein und zieht durch die Teilungspunkte auf B C Parallele

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zur Parabelachse, durch die Teilungspunkte auf CD nach A. Die durch gleichbezeichnete Teilungspunkte gehenden Geraden schneiden sich in Parabelpunkten I, II, III etc.

2.    Man zeichnet das Rechteck A BC' D'(s. Fig. 139), teilt die Seiten Aß und BC' ein. Durch die Teilungs-punkte auf BC' zieht man Parallele zur Parabelachse, die Teilungspunkte auf AB verbindet man mit C; die durch gleichbezeichnete Punkte gehenden Geraden liefern durch ihren Schnitt Parabel punkte.

Tangenten- und Normalenkonstruktion. Man fällt von einem Pmikte, z. B. V (s. Fig. 139), eine Senkrechte zur Parabelachse (der Fußpunkt fällt zufällig mit dem Punkte 3 auf AB zusammen) und macht AE — A- 3; dann ist E ein Punkt der Parabeltangente t im Punkte V, die Senkrechte zu t in V gibt die Normale n.

3.    Gegeben ein Punkt A, die Tangente AD daselbst, die Achsenrichtung und ein weiterer Punkt C (s. Fig. 140).

a)    Man zeichnet das Parallelogramm AB CD und verfährt im übrigen wie in Fig. 139, linke Seite.

b)    Man zeichnet das Parallelogramm ABC'iy und verfährt im übrigen wie in Fig. 139, rechte Seite.

Zur Konstruktion der Tangente in einem beliebigen Punkte, z. B. V (s. Fig. 140), zieht man durch V die Parallele zu AD; sie trifft die Gerade AB zufällig in dem Punkte 1 und macht AE=* A • 1; so ist E ein Punkt der Parabeltangente t in F, die Senkrechte hierzu gibt die Normale n.

4.    Gegeben vier gerade Linien a, 6, e, d (s. Fig. 141) als Tangenten einer Parabel. Gesucht beliebig viele weitere Parabeltangenten. Die Tangenten c und d liefern auf a und b die Schnittpunkte C, D bezw. Cv Dl; halbiert man nun CD in E, (\ Dj uxEv so ist die Verbindungslinie EEX eine Parabel-

Hyperbelkonstruktionen.

65

tangente. Trägt man ferner den Abschnitt DE von D bezw. G aus auf a ab nach 7, 2, 3 etc., desgl. den Abschnitt DlE₁ von Dx und G₁ aus auf b nach 7, 2, 3..., so sind die Verbindungslinien 2*2, 2-2, 3*3 etc. weitere Parabeltangenten.

Hyperbelkonstruktionen.

Die Hyperbel ist der geometrische Ort für alle Punkte, welche von zwei festen Punkten F und Flt den Brennpunkten, eine gegebene Abstandsdifferenz besitzen.

1. Konstruktion der Hyperbel. Zieht man (s. Fig. 142) FFX, halbiert die Strecke FFt in M und trägt von M aus auf FFV nach beiden Seiten hin die Strecke MA = MB gleich der halben gegebenen Abstandsdifferenz ab, so sind A und B zwei Hyperbelpunkte und zwar heißen sie die Hyperbelscheitel. Die Linie AB ist die reelle Achse der Hyperbel, im Gegensatz zu der imaginären Achse, welche durch M senkrecht zu AB hindurchgeht. Wählt man auf AB die Punkte 2, 2, 3 ... beliebig und beschreibt aus F und Fx mit den Halbmessern 2 • A und 2 • B, 2 • A und 2 • B, 3» A und 3 • B Kreisbogen, so liefern deren Schnittpunkte Hyperbelpunkte I, 27, III.

Anmerkung. Beschreibt man um üf, dem Mittelpunkt der Hyperbel, mit dem Halbmesser MF einen Kreis k, so wird derselbe von den Senkrechten in A und B zu AB in den Punkten (7, D, E und G geschnitten. Die Verbindungslinien MC G und MDE heißen die Asymptoten der Hyperbel, sie berühren letztere in unendlicher Ferne. Die Hyperbel erstreckt sich nach zwei Richtungen hin in unendliche Feme. Jede durch den Mittelpunkt M gehende und die Hyperbel treffende Gerade heißt ein Durchmesser der Hyperbel.

Vondarlinn, Geometrisches Zeichnen.

66 n. Konstruktion der Kegelschnitte, Ellipse, Parabel etc.

Tangenten- und Normalenkonstruktion in einem beliebigen Hyperbelpunkte, z. B. IV (s. Fig. 142). Man verbindet IV mit F und Fv Die innere Halbierungslinie des Winkels FlVFt gibt die Tangente t, die äußere die Normale n für den Hyperbelpunkt IV. ,

2. Konstruktion der Hyperbel. Gegeben die Scheitel A und B und die beiden Asymptoten a und «j (s. Fig. 143). Durch die beiden Scheitel A und B ist die reelle Achse der Größe und Lage nach, die imaginäre Achse der Lage nach bestimmt. Wählt man auf der letzteren Achse einen Punkt C beliebig, zieht durch C eine Parallele zu AB und konstruiert ein rechtwinkliges Dreieck EFO, in welchem die eine Kathete EF gleich der reellen Halbachse MA, die andere Kathete gleich der Strecke CD ist, so ist die Hypotenuse FQ gleich der Entfernung der auf der Linie CD liegenden Hyperbelpunkte Ô und J von der imaginären Hyperbelachse MC. Man hat also nur CH— CJ = FO abzutragen, um die Hyperbelpunkte H und J zu erhalten. Symmetrisch zu C hinsichtlich AB liegt der Punkt C und auf der Parallelen durch C" zu AB liegen die zu H und J hinsichtlich AB symmetrischen Punkte H' und ,V. Für jede weitere Parallele zur Achse AB ist die Konstruktion zu wiederholen.

Tangenten- und Normalenkonstruktion in einem beliebigen Punkte, z. B. H' (s. Fig. 143). Man zieht durch II' die Senkrechte zu A B bis zum Schnitt Di mit der Asymptote a und macht H'P= H'Ddie Parallele PK zu a trifft Oj in einem Punkte K der Hyperbeltangente in H'.

Anmerkung. Zeichnet man ein Rechteck, dessen Ecken auf den Asymptoten a und liegen und von

welchen zwei Seiten die Hyperbeltangenten in den Scheiteln A und B sind, so ergeben sich hierdurch auf der imaginären Hyperbelachse die Punkte Ax und Bx als Scheitel einer zweiten Hyperbel mit den nämlichen Asymptoten a und av Diese zweite Hyperbel ist in der Zeichnung strichpunktiert gezeichnet, sie heißt die zur ursprünglichen Hyperbel konjugierte Hyperbel. Ihre Punkte bestimmen sich in gleicher Weise wie bei der ursprünglichen Hyperbel. Man zieht z. B. durch Gx die Parallele zu AXBX, macht E₁F₁ = MA₁, Ex Gx = Gx Dx, dann ist Cx Hx — Cx ll\ = Fx Gx etc. Konjugierte Durchmesser einer Hyperbel erhält man, wenn man in einem Punkte, z. B. //', eine Tangente an die Hyperbel zeichnet, desgl. in dem Schnittpunkte J der Linie MH' mit der Hyperbel; diese Tangenten tretten die Asymptoten in vier Punkten K, L, N, 0 eines Parallélogrammes, für welches die Linien OK und NL Tangenten an die konjugierte Hyperbel sind. Die Verbindungslinie H[JX der Mittelpunkte von OK und NL ist der zu H'J konjugierte Hyperbeldurchmesser.

Tangentenkonstrnktion von einem Punkte außerhalb eines Kegelschnittes an letzteren.

Voraussetzung ist, daß von dem Kegelschnitt die Brennpunkte und außerdem ein Punkt der Kurve gegeben sind.

Die Konstruktion ist für alle drei Kegelschnitte die nämliche. Liegt eine Ellipse vor und ist P der gegebene Punkt (s. Fig. 146), so beschreibt man um den einen Brennpunkt Fx mit einem Halbmesser, gleich der großen Achse, den Kreis d und außerdem um P einen den zweiten Brennpunkt F enthaltenden Kreis, welcher d in den Punkten A und B trifft Die ge» suchten Tangenten t und' tx stehen dann senkrecht zu den Linien A F und BF; ihre Berührungspunkte G und D liegen auf den Verbindungslinien AF± und BFX. Für die Hyperbel (s. Fig. 144) gilt wörtlich der gleiche Text. Für die Parabel (s. Fig. 147) vereinfacht sich die Konstruktion insofern, als der Kreis d in die Gerade d übergeht, deren Lage bekannt ist. Der Kreis um P durch F schneidet d in A und B. Die Tangenten t und t± stehen senkrecht zu FA und FB, ihre Berührungspunkte G und D liegen auf den Parallelen zur Achse durch die Punkte A imd B.

Anmerkung. Ist statt eines Punktes Peine Gerade g gegeben, zu welcher parallel die möglichen Tangenten an einen Kegelschnitt gezogen werden sollen, so bleibt die Konstruktion die gleiche wie vorher, nur geht* der Kreis um P durch F in eine Senkrechte durch F zur gegebenen Geraden g über (s. Fig. 145, 148 u. 149).

Yon einem Punkte außerhalb, bezw. parallel zu einer Geraden, sind an einem Kegelschnitt höchstens zwei Tangenten möglich. Wie verhält es sich hiermit bei der Parabel?

III. Einige Eigenschaften der Kegelschnitte, die für den Zeichner von Interesse sind: Pol, Polare, Sätze von Pascal und Brianchon.

1. Pol und Polare eines Kegelschnittes. Zieht man von einem Punkte P (s. Fig. 150) die Kegelschnittssekanten PAAl, PBBv PCC₁ ... und verbindet AB₁ und A₁ B, BC₁ und Bx C, so liegen die Schnittpunkte X und Z auf einer Geraden p. Die Gerade p heißt die Polare des Punktes P hinsichtlich des Kegelschnittes, der Punkt P ist der Pol der Geraden p.

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Liegt P außerhalb des Kegelschnittes, so schneidet die Polare p ihn in zwei Punkten E und F, den Berührungspunkten, der von P an den Kegelschnitt möglichen Tangenten (s. auch Fig. 146). Liegt P innerhalb des Kegelschnittes &, so liegt p außerhalb von k] liegt F auf k, so geht p durch P und ist Tangente an k in P. Liegt P unendlich fern, so geht die Polare p durch den Mittelpunkt M von k.

Eine Sekante, z. B. PGl (s. Fig. 150), sohneidet p in 0, und die Punkte P und Q teilen die Sehne CQ

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Vier solche Punkte PQCCl heißen vier harmonische Punkte und zwar sind P und Q harmonisch konjugiert zu C und Cv Vorstehendes gilt für alle den Pol enthaltenden Sekanten. Im Falle der Fig. 151 werden die Sekanten und damit auch die Tangenten parallel zur gegebenen Richtung g, und die Polare p ist der zur Richtung g konjugierte Durchmesser, in ihm werden alle zu g parallele Sehnen halbiert.

in gleichem Verhältnis, d. h. es ist

Irgend sechs Punkte

2. Pascalscher Satz, eines Kegelschnittes bilden ein Pascalsches Sechseck, z. B. die Punkte I• 2 ... 6 der Fig. 152. Die Seiten 7 • 2 und 4*5, 2-3 und 5 • 6, 3-4 und 6 • 1 heißen Gegenseiten; ihre Schnittpunkte liegen auf einer Geraden p₁ der Pascalschen Linie.

3. Brianchonscher Satz. Irgend sechs Tangenten eines Kegelschnittes, z. B. 7, 17, 777, 7F, V und die unendlich ferne Tangente F7 einer Parabel (s. Fig. 153), bilden ein Brianchonsches Scchsseit. Die Schnittpunkte der Seiten 7-77 und IV- V, 77-777 und F- VI, III • IV und F7 • 7 heißen die Gegenecken des Scchs-

seites und ihre Verbindungslinien schneiden sich in einem Punkte B, dem Brianchonschen Punkte.

Mittels der beiden Sätze von Pascal und Brianchon lassen sich die mannigfaltigsten Aufgaben über Kegelschnitte lösen. Im folgenden sollen nur einige für die Zeichner interessante und wichtige Konstruktionen hervorgehoben werden. Aus den genannten beiden Sätzen folgt zunächst, daß ein Kegelschnitt durch fünf voneinander imabhängige Elemente, z. B. Punkte oder Tangenten bestimmt ist und daß sich dann beliebig viele weitere Punkte und Tangenten konstruieren lassen.

Einige Konstruktionsaufgaben über Kegelschnitte.

Aufgabe. Gegeben fünf Punkte f, 2, 3, 4 und 5 (s. Fig. 154) eines Kegelschnittes; gesucht beliebig viele weitere Punkte.

Auflösung. Man bestimmt den Schnittpunkt x von 1 • 2 und 4 • 5 und zieht durch x eine beliebige Gerade p als Pascalsche Linie; dann ergibt sich im Schnittpunkte von 2 • 3 mit p der Punkt y, durch welchen die Linie 5 • 6 hindurchgehen muß. Die Linie p trifft aber auch die Verbindungslinie 3 • 4 in einem Punkte x₎ durch welchen 1 • 6 hindurchgeht. Der Punkt 6 hegt also im Schnitt von x • 1 und y • 5. Durch Annahme beliebig vieler durch x gehender Linien p ergeben sich beliebig viele Punkte 6 des Kegelschnittes k. In Fig. 154 ist die Konstruktion für eine Ellipse, in Fig. 155 für eine Hyperbel ausgeführt.

Aufgabe. Gegeben fünf Punkte eines Kegelschnittes; gesucht in einem der Punkte, z. B. I, die Tangente.

Auflösung. Die Tangente ist die Verbindungslinie zweier unendlich naher Punkte; es kann daher der Punkt 1 doppelt, nämlich mit 1 • 6 bezeichnet werden. Nachdem nunmehr sechs Punkte des Kegelschnittes, nämlich 2, 2, 3, 4, 5, 6, bekannt sind, ergibt die Anwendung des Pascalschen Satzes die Linie 1 • 6 oder t\ es schneiden sich nämlich 1 • 2 und 4 • 5 in x, 2 • 3 und 5-6 in y, hierdurch ist p und damit auch der Schnittpunkt x von 3 • 4 und p bestimmt. Durch * geht die gesuchte Tangente 1 • 6 hindurch; in Fig. 156 ist die Konstruktion für eine Ellipse, in Fig. 157 für eine Hyperbel durchgeführt.

Aufgabe. Gegeben vier Tangenten einer Parabel, gesucht beliebig viele weitere Tan

genten.

Auflösung. Die gegebenen Tangenten (s. Fig. 158) heißen 7, 27,111, 7F, die imendlich ferne Gerade heiße F. Die Verbindungslinie der Schnittpunkte von 7, 77 und IV: V geht durch den Punkt a parallel zu IV. Wählt man auf dieser Parallelen die Punkte B, B₁ als Brianchonsche Punkte beliebig, so liefern die Verbindungslinien yB, y Bl auf I die Punkte y\ y[, und die gesuchten weiteren Tangenten F7, VI' sind parallel zu den Verbindungslinien ßB, ßBi und gehen durch y' und y[ hindurch.

Aufgabe. Gegeben vier Tangenten einer Parabel; gesucht auf einer derselben, z. B. III, der Berührungspunkt (s. Fig. 159).

Auflösung. Der Berührungspunkt einer Tangente mit einem Kegelschnitt ist als Schnittpunkt zweier aufeinanderfolgender Tangenten aufzufassen. Die Tangente 777, auf welcher der Berührungspunkt gesucht wird, kann daher als 777 • IV bezeichnet werden. Dann ist hierdurch das Brianchonsche Sechsseit 7, 77, 777, 7F, F, F7 und damit auch der Brianchonsche Punkt B bestimmt 7• 77 und IV- F liefern die Verbindungslinie aa\

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77 und III schneiden sich in ß, die Parallele durch ß zu V liefert auf aa! den Brianchonschen Punkt B und die durch B zu I gezogene Parallele trifft III in dem gesuchten Berührungspunkt y.

Aufgabe. Gegeben fünf Punkte eines Kegelschnittes (Ellipse), gesucht die Hauptachsen derselben (s. Fig. 160).

Auflösung. Sind 2, 2, 3, 4, 5 die gegebenen fünf Punkte, so ermittelt man zunächst in 1 die Tangente t] hierauf zieht man durch einen der übrigen Pimkte, etwa 3, eine Parallele zu t und konstruiert auf dieser Parallelen den Punkt 2' mittels des Sechsecks 2, 2', 3, 4, 5, 6. Nunmehr verbindet man 6 • 2 mit dem Mittelpunkt y" der Sehne 2' • 3 und bestimmt den zweiten Schnittpunkt 5' dieser Verbindungslinie mit dem Kegelschnitt. Die Linie 2 • 5' ist ein Durchmesser und seine Mitte der Mittelpunkt M des Kegelschnittes. Eine Parallele durch M zu t liefert die Lage des zu 2*5' konjugierten Durchmessers, dessen Länge man mittels eines über 2 • 5' als Durchmesser beschriebenen Kreises ermittelt. Man zeichnet nämlich durch y" die Senkrechte y" D zu 2 • o bis zum Kreise, verbindet 2'JJ, zieht durch M die Senkrechte MC zu 1-5' und durch C (Schnittpunkt der Senkrechten MC dem Kreise über 2 • 5') parallel zu D2'\ so ergibt sich der Endpunkt B des Halbmessers MB. Aus den konjugierten Durchmessern AB und 2 • 5' lassen sich die Hauptachsen (s. Fig. 137) ermitteln.

Aufgabe. Gegeben fünf Tangenten eines Kegelschnittes (Ellipse), gesucht der Mittelpunkt und die Hauptachsen (s. Fig. 161).

Auflösung. Gegeben sind die fünf Tangenten 7, 27, 777, 7F, V. Man sucht zunächst auf einer Tangente etwa 7 den Berührungspunkt /. Hierauf konstruiert man die zu 7 parallele Tangente 77' mittels des Sechseckes J, II' III, IV,, F, VI und auf II' den Berührungspunkt a"\ Es ist damit der Durchmesser y a'", der Mittelpunkt M und die Lage des zu y a!" konjugierten Durchmessers bestimmt. Ermittelt man noch auf einer der übrigen gegebenen Tangenten den Berührungspunkt, so läßt sich in gleicher Weise, wie in der vorhergehenden Aufgabe, die Länge CD des zu y' o!" konjugierten Durchmessers bestimmen, worauf sich auch die Hauptachsen (s. Fig. 137) konstruieren lassen.

IV. Konstruktion von Korbbogenlinien und Eilinien.

Konstruktion von Korbbogenlinien.

Statt des elliptischen Bogens verwendet man in der Praxis häufig eine aus Kreisbogen zusammengesetzte Linie, die Korbbogenlinie oder kurzweg den Korbbogen :

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-k

1. Konstruktion. Gegeben AA (s. rig. 162). Man teilt A A durch S und S, in drei gleiche Teile und beschreibt um S und S, mit den a|

Fig. 162.

mit den beiden Kreisbogen um S und S, und benutzt diese Längen als Halbmesser zweier weiteren Kreise um S,, undS,,,, die den Korbbogen schließen und die Senkrechte zu A A durch den Halbierungspunkt M in den Punkten AX,A, schneiden. Berechnet man das Verhältnis der Halbachsen MA:MAV so ergibt sich dafür 1:0756, also ungefähr 4:3.

Halbmessern und S,A Kreisbogen, die sich in S„ und S,„ schneiden. Von S,, und S„, zieht man Gerade durch S und S, bis zum Schnitt

2.    Konstruktion. Gegeben KK₄ (s. Figur 168). Man teilt KKX in vier gleiche Teile, beschreibt um die Teilungspunkte 1 und 3 Kreisbogen durch K und Kr Ein dritter Kreis, dessen Mittelpunkt in der dritten Ecke des über 1-3 als Seite beschriebenen gleichseitigen Dreiecks liegt, verbindet die zuerst beschriebenen Kreisbogen zu dem in Fig. 163 dargestellten Korbbogen. Hier ist das Achsenverhältnis 1 :0.634, also ungefähr 8:5*).

3.    Konstruktion. GegebenK,KXundS(s. Fig. 164). Man macht S• 2 — K-1 = Kx-3 gleich einer beliebigen Strecke, aber kleiner als KM und SM, verbindet 1-2- 3

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Fig. 165.

Fig. 163.

Fig. 164.

und errichtet über 1,2 und 2 • 3 je eine Halbierungssenkrechte, die die Verlängerung von SM in 4 trifft. Die Punkte 1, 4 und 3 sind die Mittelpunkte für die Kreise des Korbbogens.

4. Konstruktion. Gegeben K, K, und S (s. Fig. 165). Man macht Ms = Msl = MS, zieht SK und SKX und überträgt die Strecke Ks nach Ss₂=Ss₃. Die Halbierungssenkrechten über Ks₂ und Kxs₃ schneiden sich in s4 auf MS und treffen die Linie KKX in s₅ und s₆. Die Punkte s₅, s₄ und s₆ sind die Mittelpunkte für die Kreisbogen des Korbbogens**).

*) Während diese beiden Konstruktionen Korbbogen von bestimmten Aohsenverhältnissen liefern, bei denen daher nur eine Achse gegeben sein kann, können bei den folgenden beide Achsen beliebig gegeben werden.

**) Diese Konstruktion (4) ist (3) dadurch überlegen, daß — wie auch bei 1) u. (2) — der mittlere Kreis die beiden äußeren >o schneidet, daß die Tangenten der Kreise in den Schnittpunkten zusammenfallen, was bei der dritten nicht der Fall ist.

Konstruktion von Eilinien.

Durch Verbindung mehrerer Kreislinien kann man eine Eilinie hervorbringen (s. Fig. 166 u. 167).

1.    Konstruktion. Gegeben DDX. Man beschreibt über DDX als Durchmesser einen Kreis und zieht DMX und DXMX. Die Punkte D, Dx und Mx sind dann die Mittelpunkte für die Kreisbogen ĄP, DE und EF der Eilinie.

2.    Konstruktion. Gegeben AB und MD. Man beschreibt über AB als Durchmesser den Halbkreis ACB\ wählt auf MD den Punkt Mx beliebig und zeichnet um Mx als Mittelpunkt den Kreisbogen Ax DBV wobei selbstverständlich der Halbmesser Mx D kleiner als MA zu nehmen ist. Zieht man durch Mx die Parallele AXBX zu AB, so treffen die Verbindungslinien AAX und BBX die Kreislinie MXAX DBX in den Punkten E und Ex, und die Geraden EMX und EXMX schneiden auf MH die Mittelpunkte 0 und F für die Kreisbogen AE und BEX aus.

V. Die Verwendung der Kreislinie zu bestimmten Bogenformen.

Die Kreislinie findet vielfach Verwendung als Stimlinie von Gewölbebogen, das sind Überdeckungen von Maueröffnungen durch Wölbungen, die man'wegen ihrer geringen Tiefe in der Bautechnik im Gegensatz zu den eigentlichen Gewölben als Mauerbogen bezeichnet. Je nach der Form der Stirnlinie unterscheidet man folgende Bogen :

1.    Der Halbkreisbogen (s. Fig. 168).

2.    Der Segmentbogen (s. Fig. 169 und 170).

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3.    Der Spitzbogen (s. Fig. 171—173).

Fig. 171 liegen die Mittelpunkte der beiden Kreis

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Fig. 167.

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bogen in K und Kv bei Fig. 172 innerhalb der Strecke KKX, bei Fig. 173 außerhalb der Strecke KKV Fig. 172 bezeichnet man als gedrückten, Fig. 173 als überhöhten Spitzbogen. Der Spitzbogen findet namentlich in der gotischen Baukunst Verwendung.

4. Abarten des Spitzbogens stellen dar die Fig. 174 u. 175. Den in Fig. 174 u. 175 dargestellten

Fig. 168.

Fig. 169.

Fig. 170.

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Fig. 172.

Bogenlinien.

Bogen, der vielfach in der englischen Gotik Verwendung findet, bezeichnet man auch als Tudorbogen. Die Konstruktionen sind aus den Figuren zu ersehen. In Fig. 174 ist KKX in vier Teile geteilt; ferner ist über KKx ein Halbkreis beschrieben, welcher von den um 1 und 3 mit den Halbmessern 1 3 beschriebenen Kreisen in m und m getroffen wird. Die Punkte 1, 3, m und sind die Mittelpunkte für die Kreise des Tudorbogens. In Fig. 175

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Fig. 185.

Fig. 186.

Karniesbogen. Sternbogen. Besetzte Bogen.

82 V. Die Verwendung der Kreislinie zu Bogenformen.

ist KKX wieder in vier gleiche Teile geteilt, durch die Teilungspunkte 1 und 3 sind Senkrechte zu KKX gezogep und auf ihnen die Strecken 1 m und 3 mx = ⁸/₄ KKX abgetragen. Die Punkte 1, 3, m und mx sind wieder die Mittelpunkte der Kreisbogen des Tudorbogens.

5.    Der Karniesbogen (s. Fig. 176) ist gleichfalls eine Abart des Spitzbogens. Man schlägt über KKX einen Halbkreis, zieht KH und Kx 77, schlägt um K und Kx die Kreisbogen Kxlx und Kl, macht lm — lxmx = KKx, so geben m und die Mittelpunkte für die Kreisbogen ln und l^n.

Der Karniesbogen tritt noch in zwei Abarten auf, als spitzer Karniesbogen (s. Fig. 177) und als gedrückter Karniesbogen (s. Fig. 178). Die Konstruktion ist aus den Figuren ersichtlich. In Fig. 177 ist die Figur KKX mxm ein Quadrat, in Fig. 178 ist 1 3mxm ein Quadrat.

6.    Der Sternbogen (s. Fig. 179). Gegeben K, Kx und S. m und gelegen auf den Senkrechten durch K und Kx zu KKX, sowie auf den Halbierungssenkrechten zu SK und SKX geben die Mittelpunkte des Bogens.

7.    Der Hufeisenbogen (s. Mg. 180—182).

Gegeben SSX, in Fig. 180 trägt man in S die

Linie Sm unter dem Winkel von 30° an und erhält hierdurch m. Um m beschreibt man einen Kreisbogen durch S, wodurch auch der Punkt mx bestimmt ist. Rin Kreis um mx durch S und Sx vollendet den Hufeisenbogen. Die zu S Sx parallele Sehne K Kx kann beliebig groß gewählt werden. In Fig. 181 ist der Hufeisenbogen spitzbogenförmig ausgebildet. Es ist SSX in drei gleiche Teile geteilt, durch 1 und 2 sind Senkrechte zu S Sx gezogen. Es ist ferner 2 • 3 = 1 • 6 *= SSX, 2 • 4 = 1» 5 = 1 • 3. Aus 4 und 5 sind Kreisbogen durch S und Sx beschrieben, die sich in 7 schneiden.

Fig. 187.

Fig. 188.

Gotisches Fenstermaßwerk.

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Fig. 189.

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Fig. 190.

Gotisches Fenstermaßwerk.

Durch 7 geht eine Parallele zu S Sx und schneidet aus den Linien 2 • 4 und 6 • 5 die Punkte mx und m aus, als Mittelpunkte von Kreisbogen, die S und Sx enthalten. Die Verbindungslinie 3 • 6 enthält die Punkte K und Kx. In Fig. 182 ist SSX in 6 gleiche Teile geteilt. Die Mittelpunkte des Hufeisenbogens sind die Punkte 2 und 3. Die Strecke S • 1 ist nach SK—SKX abzutragen.

8.    Der steigende Bogen (s. Fig. 188 und 184). Dieser Bogen dient zuweilen als Stirnlinie für He wölbe zur Unterstützung von Treppen.

In Fig. 188 ist gegeben die Kämpferlinie KKX. Man halbiert diese in Jf, zieht MS vertikal und gleich KM. Eine von S auf KKX gefällte Senkrechte schneidet die Horizontale durch K in dem Mittelpunkte mx des Bogens KS, der zweite Mittelpunkt m für den Bogen SKX liegt auf der Horizontalen durch Kx und auf der Linie Smv In Fig. 184 ist gegeben Kx H. Ziehe durch Kx die Horizontale, beschreibe über KH ein Quadrat und in dieses ein Achteck; die Ecken    sind dann die

Mittelpunkte für die Kreisbogen TJbv byb₂, b₂b₃ und b₃Kx.

9.    Besetzte Bogen sind solche, bei welchen die zu Grunde liegende Bogenform durch weitere Kreisbogenlinien in irgend einer Art ausgefüllt, besetzt ist. Solche Besetzungen zeigen z. B. die Figuren 185—190. Derartige Bogen trifft man vielfach in der gotischen Baukunst als Fensterbogen verwendet.

YI. Konstruktion der cyklisehen oder Rollkurven einschließlich der wichtigsten Spirallinien.

Praktische Bedeutung haben nur jene Rollkurven, welche durch Rollen eines Kreises auf einer Geraden oder einem Kreise, oder aber durch Rollen einer Geraden

auf einem Kreise hervorgebracht werden. Die bewegliche Linie ist stets die Erzeugungskurve, die feste die Leitkurve. Folgende Fälle sind denkbar.

1.    Die Leitkurve ist eine gerade Linie a, die Erzeugungskurve ein Kreis k. Die entstehende Linie heißt Cykloide.

2.    Leit- und Erzeugungskurve sind Kreise und zwar rollt der Erzeugungskreis k auf der Außenseite des Leitkreises kv Die Rollkurve heißt Epicykloide.

3.    Leit- und Erzeugungskurve sind Kreise, es rollt der Erzeugungskreis auf der Innenseite des Leitkreises. Die Rollkurve heißt Hypocykloide.

4.    Die Leitkurve ist ein Kreis k, die Erzeugungskurve eine Gerade. Die Rollkurve heißt Evolvente.

Konstruktion der gewöhnlichen Cykloide. Diese entsteht als Weg eines Punktes A des Erzeugungskreises k beim Abrollen auf o. Man trägt auf der Geraden a (s. Fig. 191) von A aus den Kreisumfang von k nach AtA₁₂ ab, teilt diese Strecke, ebenso wie den Kreis k in etwa 12 gleiche Teile, zieht durch die Teilungspunkte auf a Senkrechte zu a bis zum Schnitt mit einer durch den Mittelpunkt M zu a gezogenen Parallelen; dann liefern diese Durchschnittspunkte die Lagen der Mittelpunkte des beweglichen Kreises, während die Teilungspunkte auf a die Berührungspunkte des beweglichen Kreises mit a darstellen. Zeichnet man in den 12 Stellungen den beweglichen Kreis, und trägt vom jeweiligen Berührungspunkte aus den bis dahin abgerollten Kreisbogen auf dem zugehörigen Kreise ab, z. B. für den Kreis mit dem Mittelpunkte Mi den Bogen A • 4 = 4 • A₄, so ist Ai ein Punkt der Cykloide. In gleicher Weise 1 • At — A • 1, 2 • A₂ — A • 2, 3 • A = A • 3 etc.

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88 VI. Konstruktion der cyklischen oder Rollkurven etc.

Verfolgt man den Weg eines außerhalb von k liegenden Punktes, z. B. des Punktes B bei der Bewegung von k, so erhält man die verschlungene Cykloide. Man verbindet die Punkte der gewöhnlichen Cykloide mit dem zugehörigen Kreismittelpunkte und trägt von letzterem aus auf diese Verbindungslinie die Strecke MB ab; so ist also ilf₄ B± = Mb B₅ — MqB₆ = MB etc.

Wird der Weg eines innerhalb von k liegenden Punktes, z. B. G verfolgt, so entsteht die gedehnte Cykloide. Es ist dabei für jede Lage des beweglichen Kreises die auf der Verbindungslinie MA gemessene Strecke gleich MC, also z. B. Mi Ci — Mh CB — M₆C₆ = MC etc.

Tangenten- und Normalenkonstruktion für die Cykloide. Die Verbindungslinie des Kurvenpunktes mit dem Berührungspunkte des Erzeugungskreises und der Leitlinie ist die Normale des Kurvenpunktes, also z. B. für den Punkt ^4₄ die Linie Ai • 4\ die Senkrechte hierzu gibt die Tangente t. Würde man Bi • 4 oder C₄ • 4 ziehen, so erhielte man die Normale für die verschlungene bezw. gedehnte Cykloide.

Konstruktion der Epicykloide (s. Fig. 192). Der Erzeugungskreis ist k, der Leitkreis kx, der Weg des Berührungspunktes A ist die Epicykloide. Die Konstruktion vollzieht sich in ähnlicher Weise wie bei der Cykloide. Man teilt den Erzeugungskreis k ein (12 gleiche Teile) und überträgt die Teile auf den Umfang von ky, dann ist AA₁₂ gleich der Länge des Umfanges von k. Die Mittelpunkte M liegen auf einem zu kt konzentrischen Kreise km, sowie auf den Verbindungslinien N • 1, jV • 2 etc. Zeichnet man nun den Erzeugungskreis in den 12 Lagen, so hat man nur von seinen Berührungspunkten 2, 2, 3, 4 mit k\ auf den

einzelnen Kreislagen die bis dahin abgerollten Bogen aufzutragen, so daß also ist 1 • Ax = A • I, 2 • A₂ = A • 2, 3 • A₃ = A - 3 etc. Den Weg eines außerhalb von k liegenden Punktes, z. B. B₎ nennt man eine verschlungene, den eines innerhalb von k liegenden Punktes G eine gedehnte Epicykloide. Die Konstruktion eines Punktes dieser Kurven ist ganz ähnlich wie bei der Cykloide. Man zieht z. B. AiMA und macht MiBi = MB, ebenso Mi Gi = MG] dann liegen die Punkte B auf einer verschlungenen, die Punkte G auf einer gedehnten Epicykloide.

Die Normale in einem Punkte, z. B. Ai: ist wieder die Verbindungslinie Ai4 des Punktes A₄ mit dem Berührungspunkte 4 des zu A₄ gehörigen Erzeugungskreises mit dem Leitkreise; die Tangente steht senkrecht hierzu. Die Verbindungslinie Bi • 4 oder (7₄ • 4 gibt die Normale für die verschlungene bezw. gedehnte Epicykloide.

Konstruktion der Hypocykloide (s. Fig. 193). Erzeugungskreis ist k, Leitkreis kY. Weg des Berührungspunktes A von k und ky ist die Hypocykloide.

Man teilt k ein (12 gleiche Teile) und überträgt die Teile auf den Umfang von &l5 dann ist AA₁₂ gleich dem Umfange von k. Die Mittelpunkte des Erzeugungskreises in seinen verschiedenen Lagen liegen auf dem zu kx konzentrischen Kreise km. Zeichnet man mm k in seinen 12 Lagen, so hat man nur die Bogenstücke 1 • Ax == A • 1, 2 • A₂ = A • 2, 3 • A₃ = A • 3 etc. abzutragen, dann gehören die Punkte Av A₂ ... einer Hypocykloide an. Wählt man auf MA einen Punkt außerhalb oder innerhalb von k, z. B. B oder G, so ist der Weg von B eine verschlungene, der von G eine gedehnte Hypocykloide. Es ist z. B. M₅ Bh = MB, Ms C₆ = MC.

Normale und Tangente werden wie bei der Epicy kloide konstruiert: für A₅ ist Ab5 die Normale n, die Senkrechte hierzu die Tangente t. In den Fig. 194—195 sind besondere Fälle der Hypocykloide angedeutet. Fig. 194 zeigt die Steinersche Hypocykloide; es ist hierbei der Halbmesser von k ein Drittel von jenem des Kreises k^. Fig. 195 zeigt die Asteroide, d. i. eine Hypocykloide mit vier Spitzen; hierbei ist der Halbmesser von k gleich einem Viertel von jenem von kv Fig. 196 stellt eine verschlungene Hypocykloide dar, die in eine Ellipse übergegangen ist; es ist hierbei der Halbmesser von k halb so groß wie jener von kv

Näherungskonstruktionen für die drei Kurven Cykloide, Epicy kloide und Hypocykloide (s.Fig. 197—199). Man trägt vom Berührungspunkt A von Leit- und Erzeugungskreis auf beiden Linien eine kleine Strecke ab nach I, 2, 3 . . . Um A beschreibt man mit den Längen 1-1, 2 • 2, 3-3 etc. Kreisbogen, desgl. um die Punkte 7, 2, 3 ... auf kx mit den Sehnenlängen A • 2, A • 2, A • 3... Die Schnittpunkte entsprechender Kreisbogen liefern die Punkte Av A₂, A

Konstruktion der Kreisevolvente (s. Fig. 200) Erzeugungslinie die Kreistangente k, Leitkreis k^. Weg des Berülirungspunktes A gibt die Kreisevolvente. Teilt man \ ein (12 gleiche Teile), zieht die Tangenten in den Teilungspunkten, so braucht man auf letzteren von ihren Berührungspunkten aus nur die zwischen den letzteren Punkten und dem Anfangspunkte A liegenden Kreisbogen abzutragen, also 1 • At — 1 • A, 2 • A₂ — 2 • A, 3• A₃ = 3• A, lim in den Punkten At, A₂ ... Evolventenpunkte zu erhalten. Verfolgt man bei der Bewegung der Kreistangente den Weg eines außerhalb der letzteren liegenden Punktes, z. B. B (fällt zusammen mit M) oder C, so entsteht im ersten Falle die verschlungene," im zweiten die gedehnte Kreisevolvente. Man erhält deren Punkte, wenn man zunächst die gewöhnliche Kreisevolvente konstruiert und hierauf in deren Punkten Senkrechte zur zugehörigen Kreistangente zieht und auf diese die Strecke AB oder A G (AM) nach der entsprechenden Seite hin abträgt. Die Tangenten an die Kreisevolvente stehen senkrecht zu den entsprechenden Kreistangenten, die letzteren sind die Normalen für die Kreisevolvente.

Im Punkte A₈ ist eine Tangente und Normale eingetragen.

Fällt der die Kurve beschreibende Punkt mit dem

Kreismittelpunkte M zusammen, so führt die entstehende Kurve die Bezeichnung archimedische Spirale ; sie kann auch hervorgebracht werden durch Drehung eines Strahles um einen Punkt und Bewegung eines Punktes auf diesem Strahle so, daß sein Abstand von M proportional dem Drehungswinkel des beweglichen Strahles ist, gemessen von einer Anfangslage aus. Teilt man also einen beliebigen Kreis k (s. Fig. 201) ein (12 gleiche Teile), zieht die Strahlen M-l, M • 2, M • 3, M • 4 ... und trägt auf letzteren eine Strecke auf gleich 0, -j^, Ą, Ą, ... des Kreisumfanges von k, so liegen die Punkte Ax, A₂, A₈ ... auf einer archimedischen Spirale. In dem Punkte A₉ ist eine Tangente konstruiert. Man zieht MA(J, senkrecht hierzu den Halbmesser MB, so ist A₉ B die Normale n und die Senkrechte hierzu die Tangente t an die archimedische Spirale im Punkte A₉.

Anmerkung. Die Kreisevolvente (s. Fig. 200) und der Kreis kx stehen in einer eigentümlichen Beziehung zueinander, insofern die Normalen der Evolvente Tangenten an die Kreislinie kx sind. Eine Kurve, deren Tangenten zugleich die Normalen einer anderen Kurve sind, heißt die Evolute dieser Kurve, während diese selbst eine Evolvente der letzteren ist. Es ist klar, daß es zu jeder Kurve nur eine Evolute, dagegen unzählig viele Evolventen gibt.

VII. Konstruktion einiger anderer Spirallinien.

.. auf, so ergeben sich die Punkte Bx, B₂,

Die hyperbolische Spirale (s. Fig. 202) entsteht durch Bewegung eines Punktes derart, daß derselbe auf einem um M sich drehenden Strahle so fortschreitet, daß sein Abstand vom Kreismittelpunkte stets umgekehrt proportional ist dem Drehungswinkel des Strahles, gemessen von einer Anfangslage y aus. Zeichnet man daher den Kreis k beliebig, teilt ihn in gleiche Teile ein, zieht durch die Teilungspunkte 1,2,3,4 Strahlen nach M, so ist MA gleich dem Halbmesser r von k, MAX — r • MA₂ — r • MA₃ = r • y etc. abzutragen, ran in den Punkten Ax, A₂, A₃ ... Punkte der hyperbolischen Spirale zu erhalten. Hat der Strahl einen Winkel von 360° zurückgelegt, so liegt der entsprechende Punkt A₁₂ wieder auf MA, aber in unendlicher Ferne. Dreht man von MA aus den Strahl in entgegengesetzter Richtung weiter und trägt auf den Lagen M -ll, M-10, M • .9 die Längen r-12 r-12 r-12

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B₃ . . . der Kurve. Diese nähert sich immer mehr dem Mittelpunkte M, ohne ihn je zu erreichen, sie nähert sich ihm asymptotisch und besitzt demnach imendlich viele Umgänge, wenn man das einem Drehungswinkel 360° entsprechende Kurvenstück einen Umgang nennt. Im Punkte A₁₂ besitzt die Kurve eine Asymptote, welche durch den auf der Senkrechten zu MA in einem Abstande gleich 2 r n liegenden Punkt C hindurchgeht.

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94 VIL Konstruktion einiger anderer Spirallinien.

Die Tangente in einem Punkte z. B. A₂ erhält man, indem man MA₂ zieht, die Senkrechte MD zu MA2 errichtet und MD = MG= 2 m abträgt. A₂ D ist die gesuchte Tangente t, die Normale n steht senkrecht hierzu.

Die logarithmische Spirale (s. Fig. 203) ist der Weg eines Punktes, der auf einem um M sich drehenden Strahle fortschreitet, so daß seine Abstände von M nach einer geometrischen Reihe wachsen, wenn die Drehungswinkel nach einer arithmetischen Reihe zunehmen. Ist also ein Kreis k von einem Punkte 0 aus in zwölf gleiche Teile eingeteilt und sind die Strahlen MM, M-2, M • 3 gezogen, so trägt man z. B. auf dem Strahle M • 0 eine Strecke MA gleich der Einheit ab; auf dem Strahle MM ist dann abzutragen die Strecke MAX = 2MA, auf M‘ 2 die Strecke MA₂ — 2MAX = 4M A, auf dem Strahle M' 3 die Strecke MA₃ = 2 MA₂ = 4MAX — 8MA etc. Die Punkte Av A₂, A₃ gehören dann einer logarithmischen Spirale an. Auch diese Linie erstreckt sich ins Unendliche und hat gleichfalls den Punkt M als asymptotischen Punkt.

. Im vorliegenden Falle ist e = 2,

Die Längen der Leitstrahlen wachsen nach Potenzen, einer Zahl s, deren Größe gleich ist dem Quotienten aus den Längen zweier aufeinanderfolgender Strahlen, wie MA und MAX oder MAX und MA₂ etc., also MAt MA2 MA ^ MA~X d. h. es ist MA = 2° — 2. MAX = 2l — 2, MA₂ = 2* = 4, MA₃ = 2³ — 8, MA₄ = 2*== 16 etc. Bezeichnet man die Winkel aufeinanderfolgender Strahlen MA und MAX, bezw. die Bogenlänge dieses Winkels auf einem Kreise mit dem Halbmesser eins mit , ferner den Winkel eines Strahles mit der zugehörigen Kurventangente mit a, so findet bei der logarithmischen Spirale die Beziehung

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statt tga «= —jj—

. Hierbei bezeichnet le den natür

lichen Logarithmus von e; im vorliegenden Falle von 2. Der natürliche Logarithmus einer Zahl ist auf die Basis e = 2,7182 bezogen, und man erhält diesen natürlichen Logarithmus aus dem gewöhnlichen auf die Basis 10 bezogenen Logarithmus einer Zahl, wenn man letzteren durch den Logarithmus von e, d. h. von 2,7182, bezogen auf die Basis 10, dividiert. Es ist also:

log 2

I e «=»

log e

0,3010300

also l e =

0,698.

loge 0,4342945 Man hat daher für den Winkel a der Kurventangente mit

6,28

log e

einem Strahle z. B. MAi = tga

12-0,968    12-0,968

= 0,749. Errichtet man daher im Punkte M die Senkrechte MB zu MAX und macht MB = 0,749 • MAif so ist B ein Punkt der Kurventangente in At, die Normale steht senkrecht hierzu.

Die ionische Schnecke (s. Fig. 204 u. 205) ist eine aus Kreisbogen zusammengesetzte Spirale. Gegeben ist (s. Fig. 204) die Strecke 0 8, welche in acht gleiche Teile geteilt wird. Über dem fünften Teile, von 0 aus gerechnet, beschreibt man als Diagonale ein Quadrat ABC Dy in Fig. 205 ist dieses Quadrat in vergrößertem Maßstabe herausgezeichnet. In dem Quadrate (s. Fig. 204) werden die beiden Mittellinien EF und OH gezogen, jede derselben in sechs gleiche Teile geteilt und die Teilungspunkte, so wie die Fig. 205 zeigt, verbunden. Die Bezeichnungen der Fig. 205 muß man sich in die Fig. 204 übertragen denken. Man zeichnet dann die folgenden Kreisbogen. Aus E mit dem Halbmesser EC bis zum Punkte K auf EG, aus O durch K bis

zum Punkte L auf O F, aus F durch L bis zum Punkte N auf FH, aus H durch N bis zum Punkte 0 auf II-1, aus 1 durch 0 bis zum Punkte P auf 1 • 2, aus 2 durch P bis zum Punkte Q auf 2 • 3, aus 3 durch Q bis zum Punkte R auf 3 - 4, aus 4 durch R bis zum Punkte S auf 4 - 5, aus 5 durch S bis zum Punkte T auf 5 • 6, aus 6 durch T bis U auf 6 • 7, aus 7 durch U bis F auf 7 • 8, aus 8 durch V bis zum Punkte W auf dem, dem Quadrate AB CD umbeschriebenen Kreise, welchen man das Auge der Schnecke nennt Schnecke findet in der Architektur Verwendung beim Kapital der ionischen Säule.

Die ionische

VIII. Konstruktion der Konchoide.

Die Konchoide (s. Fig. 206—208) entsteht durch Drehung eines Strahles um einen festen Punkt P als Ort jener Punkte, welche von den Durchschnittspunkten des beweglichen Strahles mit einer festen Geraden a einen gegebenen Abstand besitzen. Zieht man also durch P eine Anzahl von Strahlen: P• 0, P-1, P-2 . . . und trägt von deren Schnittpunkten 1, 2, 3 ... auf a die gegebene Strecke nach OA₀ bezw. OA'₀, 1AX bezw. 1 A[, 2A^ bezw. 2A'z ... ab, so gehören die Punkte A^, A'₀, At, Ai, A₂, A!₂ einer Konchoide an. Sie besitzt drei

Formen, je nachdem die gegebene Strecke OAq = PO

ist (s. Fig. 206—208): im ersten Falle gehört der Punkt P, der Pol der Kurve, der letzteren nicht an; im zweiten Falle ist er ein Rückkehrpunkt; im dritten Falle endlich ein Doppelpunkt. In allen drei Fällen erstreckt sich die Kurve ins Unendliche und hat die Gerade a zur Asymptote.

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Im Punkte Ax der Fig. 206 ist eine Tangente konstruiert. Man errichtet auf dem Strahle PI in P eine Senkrechte, desgleichen im Schnittpunkte 1 von PI mit a auf letzterer Linie eine Senkrechte, welche die erstgenannte Senkrechte in einem Punkte B trifft. Die Gerade AXB ist die Normale der Konchoide in Ax, die Senkrechte hierzu die Tangente t. Die Verbindungslinie BA[ gibt die Normale im Kurvenpunkte A[. Die Normalen- und Tangentenkonstruktion bleibt für alle drei Kurvenformen (s. Fig. 206—208) die nämliche.

Die Kreiskonchoide. Ist statt einer Geraden a eine Kreislinie k gegeben, nach welcher durch einen Punkt P als Pol Strahlen gezogen sind, so erhält mau die Kreiskonchoide, wenn man auf diesen Strahlen von ihren Schnittpunkten mit k eine Strecke von gegebener Größe abträgt. In Fig. 209 ist also 0 • A₀ = 0 • A'0 = 1 •A₁—l -Al etc. Je nach der Lage des Punktes P zu dem Kreise k und je nach der Größe der gegebenen Strecke erhält die Kurve die verschiedensten Formen. Im vorliegenden Falle ist die gegebene Strecke größer als die Länge P8, der Punkt P ist dann ein Doppelpunkt.

Im Punkte Ax ist die Tangente und Normale konstruiert. Man errichtet in P auf dem Strahle P • 1 eine Senkrechte und verbindet den Schnittpunkt 1 des Strahles PAX und des Kreises k mit dem Mittelpunkte M. Diese Verbindungslinie trifft die vorhin genannte Senkrechte in einem Punkte B. BAX ist die Normale n in AlJ die Senkrechte hierzu gibt die Tangente t.

IX. Konstruktion der Cissoide.

Gegeben ist ein Kreis k (s. Fig. 210), auf demselben rin Punkt P und die Tangente a in dem zweiten

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X. Konstruktion einiger Ovallinien.

Das Oval von Cartesius ist der Ort eines Punktes A (s. Fig. 211), dessen Abstände von zwei festen Punkten F und Fx, jeder mit einem anderen Faktor a bezw. ß multipliziert, eine konstante Summe bilden. Verbindet man die festen Punkte F und Fx, halbiert FFX in M, bezeichnet die Länge MF— MFX = e, so kann man die konstante Summe beliebig festsetzen, z. B. == 5e. Ist dann At ein Punkt der Kurve mit den Abständen q und qx von F und Fx, sind ferner a — 1 und ß —2 angenommen, so gilt für jeden Kurvenpunkt die Beziehung q -f- 2 ^ = 5 e, woraus die folgende Konstruktion entspringt. Man macht (s. Fig. 212) die Strecke CD = 5e und teilt sie in drei gleiche Teile GE= EG — GD. Beschreibt man nun um F und Fx mit einem Halbmesser gleich GD Kreise, so treffen sich diese in den Punkten Tx und Tt der Kurve. Diese schneidet die Verbindungslinie FFX in vier Punkten Sx, Sa, S₃ und $₄, welche sich in einfacher Weise ergeben. Bezeichnet man die Strecke FXSX = FSs mit x, die Strecke F Sa=Fx Si mit y, so hat man zur Bestimmung von x und y die Beziehungen:

2e-\-x-\-2x = be und y + 2 (2e + y) = 5e,

hieraus folgt

x — e und 2/ = e/₃.

Macht man also FXSX— F Ss=e und Fx Sx = F S2 = } e, so erhält man die Punkte des Ovales auf der Linie FFV

Zur Konstruktion eines beliebigen weiteren Punktes bestimmt man sich zunächst den Winkel a (s. Fig. 212) so, daß DII= 2, HJ = 1 ist, teilt dann CD — 5 e in einem Punkte K in zwei beliebige Teile und schlägt aus D den Kreisbogen KL. Beschreibt man jetzt um die Punkte F und Fx (s. Fig. 211) mit den Halbmessern CK und KL Kreisbogen, so liefern deren Schnittpunkte die Kurvenpunkte Ax, Aa, A₃ und A₄.

Im Punkte Ax ist die Tangente und Normale konstruiert. Man zieht FAX und Fx Ax, macht AXN— 2 und AxO — 1, dann treffen sich die in N und 0 zu Ax N bezw. AxO errichteten Senkrechten in einem Punkte P der Tangente t. Die Normale n steht senkrecht hierzu.

Anmerkung. Das Oval besitzt die Linie FFX als Symmetrieachse, die auf ihr liegenden Punkte Sx bis <S4 sind Scheitel des Ovales — eine zweite Symmetrieachse ist die Linie Tx Tr Die Punkte Tx und T₂ sind Doppelpunkte. Die Kurve besteht aus zwei Ovalen, die zur Achse Tx T₂ symmetrisch liegen und sich in den Pimkten Tx und begegnen.

Das Oval von Cassini ist der Ort eines Punktes Alf für welchen das Produkt seiner Abstände von zwei festen Punkten F und F₁ (s. Fig. 213) von konstanter Größe ist. Ist BC (s. Fig. 214) die Seite eines Quadrates, dessen Inhalt gleich dem Werte des obengenannten Produktes sein soll, so hat man nur durch B eine Senkrechte a zu BC zu ziehen, auf a einen beliebigen Punkt D zu wählen und um D einen durch C gehenden Kreis zu beschreiben, der a in E und 0 trifft; so geben die um F und Fl (s. Fig. 213) mit den Halbmessern gleich den Strecken BE und BG beschriebenen Kreise in ihren Durchschnittspunkten Ax bis A₄ Punkte des Ovales an. Durch Annahme beliebiger Punkte D und Wiederholung des Verfahrens lassen sich beliebig viele Punkte des Ovales bestimmen. Beschreibt man um F und F₁ mit einem Halbmesser gleich B G Kreise, so ergeben sich auf der Senkrechten durch den Mittelpunkt M von FFl zwei Punkte Tx und T₂ des Ovales. Auf FFX selbst liegen zwei Punkte Sx und S₂ in einem Abstande MS₁=MSJ =y₃² + e*, wobei BC=q (s. Fig. 214) und MF=t gesetzt ist. Das Oval hat demnach zwei Symmetrieachsen, (S’i S₂, Tx T₂, und vier Scheitel, Ą, S₂, Tx und T₂.

Anmerkung. Kennt man von dem Oval von vornherein die vier Scheitel, so lassen sich die Punkte F und Fx und damit auch weitere Kurvenpunkte ermitteln. Man macht (s. Fig. 215) AB = MSX, BC senkrecht AB und gleich MTly zieht AC und beschreibt über A C als Durchmesser einen Halbkreis; letzterer trifft die im Mittelpunkte D von AC auf AC errichtete Senkrechte in E- es ist nun TXF= TxFt (s. Fig. 213) = AE (s. Fig. 215), wodurch F und Fx bestimmt sind.

Anmerkung. Die Punkte F und Fx lassen sich noch auf eine andere Art bestimmen. Man macht (s. Fig. 216) AB = MSX, beschreibt über AB einen

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Tangente und Normale in einem beliebigen Punkte, z. B. A₁ (s. Fig. 213). Man zieht AXF und AXFX und durch den Schnitt B von AXF mit MT\ eine Parallele zu MSa bis zum Schnitt 0 mit A₁F₁.

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hegenden Falle ist n — 3 angenommen) und zwar Ax G auf der Verlängerung von FAX, so treffen sich die Senkrechten durch E und G zu Fx Ax bezw. FAX in einem Punkte B der Tangente t. Die Normale n steht senkrecht hierzu.

Die Lemniskate entsteht aus dem Oval von Cassini, wenn e — q wird. Sind dann (s. Kg. 217) die Punkte F und Fx gegeben und beschreibt man über FFX als Durchmesser den Kreis k, wählt E auf FFX beliebig, so liefert die Senkrechte durch G zu EC auf FFX den Punkt G. Die Kreise um F und Fx mit den Strecken ME und MG als Halbmesser schneiden sich in den Kurvenpunkten Av A^, A₃ und A₄. Der Kreis k durchschneidet die Kurve in den Punkten Bx bis Bl} deren

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Abstand M J = MH von FFX =    — ist. Die Tangenten-

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und Normalenkonstruktion ist dieselbe wie beim Cassinischen Oval.

XI. Verbindung YOn geraden und krummen Linien zu geometrischen Ornamenten.

Durch die Verbindung von geraden und krummen Linien nach bestimmten Gesetzen der Reihung und Symmetrie entsteht das geometrische Ornament. Das geometrische Ornament ist so alt wie die menschliche Kultur. In den folgenden Figuren sind Ornamente dargestellt, herrührend von den verschiedenen Völkern und aus den verschiedensten Zeitperioden.

Die Fig. 218—222 zeigen Ornamente wilder Völkerstämme, und zwar enthält Fig. 218 eine Verzierung in geflochtenem Stroh, Fig. 219 eine solche auf Leinenzeug von den Sandwichinseln. Die Fig. 220—223 zeigen Holzschnitzereien von den Südsee- und Freundschaftsinseln, Fig. 224 gibt die Abbildung einer Schnitzereiarbeit von Tahiti wieder.

Die Fig. 225—230 geben ein Abbild von ägyptischen Ornamenten entnommen aus Malereien von Wänden, Grabdecken, Gerätschaften aus den verschiedensten Gegenden Ägyptens.

Die Fig. 231—235 sind assyrische und persische Ornamente, Fig. 231—232 enthalten Abbildungen von einer Säulenbasis aus Persepolis, Fig. 233 gibt eine Darstellung von einem Ornament aus Nimrud, Fig. 234 ist das Motiv für eine Glasur, Fig. 235 ein solches für eine Schnitzereiarbeit.

Tafel 14 ist einem persischen Manuskripte entnommen.

Einzelne Beispiele aus der griechischen und römischen Ornamentik zeigen die Fig. 236 — 264, und zwar geben die Fig. 236—252 Abbildungen von Bemalungen griechischer Tongefäße und Mosaiken aus Pompeji und Ravenna.

Die Fig. 252—258 zeigen einfache und mehrstreifige Mäanderbänder, die Fig. 259—264 enthalten Mosaiken aus Sizilien, die Fig. 265—267 geben byzantinische Ornamente, Tafel 15 gibt eine Abbildung aus dem Ornamentenschatze der Alhambra wieder.

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Assyrische uud persische Ornamente.

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Tafel 14. Aus einem persischen Manuskript.

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In den Fig. 268—274 und auf Tafel 16 u. 17 sind endlich einige Ornamente aus dem Mittelalter und der Renaissanceperiode zusammengestellt. Die Tafeln 18 bis 23 stellen moderne geometrische Ornamente dar. Aus allen diesen Abbildungen läßt sich ersehen, in welch vielgestaltiger Weise die gerade und die Kreislinie verwendet worden ist zur Hervorbringuug von mehr oder weniger interessanten Ornamentformen.

XII. Konstruktion von Maßstäben.

Soll die Zeichnung eines Gegenstandes in einem bestimmten Verhältnisse zu seiner natürlichen Größe ausgeführt werden, so bedarf es hierzu eines Maßstabes. Auf diesem muß die Längeneinheit in dem betreffenden Verhältnis zur natürlichen Größe aufgetragen und dem üblichen Längenmaßsystem entsprechend eingeteilt sein. Zweckmäßig ist die Einrichtung des Transversalmaßstabes (siehe Fig. 275). Es ist hierbei die Längeneinheit, z. B. 10 m in der natürlichen Größe, also gleich 2 cm, nach AB,BC, CD, DE, EF abgetragen. Teilt man die Länge AB der Fig. 2 7 5 in zehn gleiche Teile, errichtet ferner im Punkte A eine Senkrechte zu AB und trägt auf dieser zehn gleiche Teile von beliebiger Größe nach 1, 2, 3,4.. .10 ab, so kann man durch diese Teilungspunkte Parallele zu A F ziehen.

Verbindet man außerdem den Punkt O mit dem Punkte 9 auf AB und zieht durch die übrigen Teilungspunkte 8, 7, 6 . . . auf AB Parallele zu 0 • 9, so erhält man, wenn außerdem in den Punkten B, C, D, E und F noch Senkrechte zu A F gezogen sind, die Zeichnung der Fig. 275, welche einen Transversalmaßstab 1:500 darstellt Mittels dieses Maßstabes läßt sich eine Länge bis auf Zentimeter genau abgreifen.

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Soll z. B. die Länge 25 m abgegriffen werden, so setzt man den Zirkel mit der einen Spitze im Punkte D, d. i. 20 m, mit der zweiten Spitze im Punkte 5 auf AB ein; so stellt die Strecke 5D die Länge von 25 m dar. Soll die Länge 26,8 m abgegriffen werden, so sucht man die Horizontale durch den Punkt 8 auf A G auf, setzt die eine Zirkelspitze im Schnittpunkte der genannten Horizontalen mit der Senkrechten durch D zu AB ein, die andere Zirkelspitze aber im Schnittpunkte Hder durch den Punkt 6 auf AB zu 9G gezogenen Parallelen mit der Horizontalen durch 8; man erhält dann die Strecke HJ =26,8 m.

Die Länge 33,65 ist dargestellt durch die Strecke KL. Hierbei ist die Linie KL in der Mitte zwischen der sechsten und siebenten Horizontalen schätzungsweise anzunehmen.

Eine andere Art des Transversalmaßstabes zeigt die Fig. 276. Hierbei sind nur fünf Horizontalen sowie die schrägen Linien AG und BC gezogen. Es lassen sich auf diesem Maßstabe die Längen bis auf Decimeter genau abgreifen; so bezeichnet beispielsweise die angedeutete Strecke DE die Länge 28,4 m, während die Strecke DF eine Länge von 21,6 m darstellt.

In Fig. 277 ist ein Maßstab 1:200 ohne Transversalteilung dargestellt. Auf diesem Maßstabe lassen sich die Längen bis auf Meter genau abgreifen, die Decimeter sind zu schätzen.

XIII. Verkleinern und Vergrößern von Figuren.

Das Verkleinern bezw. Vergrößern von Figuren kann in verschiedener Art bewirkt werden.

Eine dieser Arten ist die Zuhilfenahme eines verjüngten Maßstabes. Sie wird mit Vorteil gebraucht,

wenn es sich darum handelt, einen Lageplan eines Geländes auf Grund von ausgeführten Messungen herzustellen, so wie die Fig. 278 zeigt. Es ist das Polygon ABCDE auf dem Felde abgesteckt und sind in demselben die Längen seiner Seiten und die von letzteren eingeschlossenen Winkel gemessen wordën.

Die Längen sind dann in einem zu wälüenden Maßstabe, im vorliegenden Falle im Maßstabe der Fig. 275, in Fig. 278 aufzutragen. In den Punkten A und B etc. sind die gemessenen Winkel anzutragen. Auf dem Felde sind innerhalb des Polygons ABCDE noch weitere Hilfslinien abgesteckt und diese als Achsen für die Aufnahme der einzelnen Geländepunkte benutzt worden, indem von den letzteren Punkten Senkrechte auf die genannten Achsen gefällt und deren Längen gemessen wurden. Die so gemessenen Längen sind in der Zeichnung in dem gewählten Maßstabe auf den entsprechenden Linien abzutragen. So ergibt sich die Zeichnung in Fig. 278. Diese Zeichnung ist im Maßstabe 1:500 der natürlichen Größe hergestellt. Fig. 279 zeigt eine Verkleinerung der Zeichnung in Fig. 278 und zwar im Maßstabe 1: 666²/s. Es werden alle Längen der Fig. 278 im Maß stabe 1:66 6²/ in Fig. 279 auf den korrespondierenden Linien abgetragen.

Die Verkleinerung oder Vergrößerung kann auch mittels eines Diagrammes (s. Fig. 283) bewerkstelligt werden. Soll das Verhältnis der Verkleinerung zum Original ein gegebenes, z. B. 5:8 sein, so zieht man (s. Fig. 283) von einem beliebigen Punkte a aus einen Strahl aO, errichtet in 0 eine Senkrechte zu flO und trägt auf letzterer 05=5 und 08 und 8 Einheiten ab und zieht die Linien a 5, a 8. Ist Fig. 281 die Originalfigur, so zieht man durch diese eine beliebige Gerade 0 0 als Abszissenachse, welcher in der Ver-

Vonderlinn, Geometrisches Zeichnen

130 XIII. Verkleinern und Vergrößern von Figuren.

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Fig. 280.

Die Strecken Ghx und h-Ji die Koordinaten des Punktes h, sind im Verhältnis 5:8 zu verkleinern und in Fig. 282 abzutragen, was dadurch geschieht, daß man die Strecke Ghx 132 XIII. Verkleinern und Vergrößern von Figuren.

in den Zirkel faßt und letzteren so bewegt, daß die eine Zirkelspitze auf dem Strahl a 0 (s. Fig. 283) verbleibt, während die andere auf den Strahl a 8 so zu liegen kommt, daß beide Zirkelspitzen in einer Parallelen zu OS sich befinden. Hat man diese Stellung gefunden, hält man die eine Zirkelspitze auf aO fest und bringt die zweite auf den Strahl a 5, so daß wieder beide Zirkelspitzen in einer Parallelen zu OS liegen. Die so gefundene Strecke trägt man in

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Fig. 282.

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Fig. 288.

Fig. 281.

Fig. 282 von Qx aus nach Glhi ab. Mit der Strecke h\ (s. Fig. 281) verfährt man ebenso und erhält hierdurch die Länge hjix (s. Fig. 283), welche nach Fig. 282 abzutragen ist. Ganz ebenso verfährt man mit den Koordinaten eines jeden Punktes der Originalfigur.

Das Vergrößern und Verkleinern einer Figur kann auch mittels eines Quadratnetzes geschehen, mit dem man die Originalfigur und dementsprechend auch die Verkleinerung versieht. Ist z. B. Fig. 284 die Originalfigur, welche im Verhältnis 3:2 verkleinert werden soll, so versieht man die Fig. 284 mit einem Quadratnetz wie

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136 xm. Verkleinern und Vergrößern von Figuren.

geschehen, und zeichnet (s. Fig. 285) dieses Quadratnetz ebenfalls, aber so, daß die Seite eines Quadrates nur $ der Quadratseite in Fig. 284 ist. Nunmehr zeichnet man die innerhalb eines Quadrates der Originalfigur 284 liegenden Punkte in das entsprechende Quadrat der Fig. 285 ein, indem man die Lage der einzelnen Punkte zu den Seiten des Quadrates nach dem Augenmaße schätzt und dementsprechend in das in Rede stehende Quadrat der Verkleinerung überträgt.

Ein einfaches Verfahren für das Verkleinern oder Vergrößern einer Figur besteht in der Annahme eines beliebigen Punktes P als Pol und Ziehen von Strahlen nach diesem Pole von den Punkten des Originales aus. Werden die Längen dieser Strahlen in einem gegebenen Verhältnisse vom Punkte P aus verkürzt bezw. verlängert, so liefert die nunmehrige Verbindung der einzelnen Punkte in der Reihenfolge des Originales die gesuchte Verkleinerung bezw. Vergrößerung der Originalfigur. Fig. 290 zeigt dieses Verfahren. Das Polygon 1234567 8 stellt das Originalpolygon dar. Die Fig. 1" . . . 8" ist eine Verkleinerung im Verhältnis 1:3. Fig. f ... 8' ist eine Vergrößerung im Verhältnis 5:3. Der gewählte Pol ist der Punkt P.

In gleicher Art sind in den Fig. 287—289 Verkleinerungen der Originalfigur 286 dargestellt Der gewählte Pol ist der Punkt P.

18-96

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