W¥M!M¥ P9LITESRNIC2NE KRAKOW

»j

aiBLioTEM mmk

säejß&f

a!üii

fr*

iK

««SS

K 1

fc’.J

L»

’•

I

*'•«l

L. inw«

ff-¹

*». a

,»*

span

.......... — ......■

fl

TS*;

K-WUj

y ;- ’ A -.4

tlkJI

;:v.

*

p&

m

Ä-ä

2t?*f

\z

KS

Ü j

r-» •

K-v

2£    :*> * »3gr»Wfl

SK% A«ra*iH

wMS&k

M:

ill

! *

ae

aft&p

F-J

[i

'Kl

■

arj

. ■#

V\i

i

hi

L- f vj

]

*;

,«■

lS*?

fciSSg

Iv

sES

r«,“

#1

■rTv

ksSSL

ps»

t£*

5'’

S

■feaäi

9

*

hü

si&

?y.-

i-^üii

j -

.•■ ä

L-

r..*

iS

i 0«

BSInUI

>»*

;;

Sf.'l

&I1S?

V

: f**

|v]

•Wlji

frÜi

i|

f!5 *S

•/***

*-

g

ä

«-•1

>.<

Jfis .

>f-;r ;

rj

»•J

y:

t.r J

j»

■■

•v

>*>

*

rrjS

*4.^

Pi

i<T»jV **•

!'V •

L:Ä,V

m

V/

iSiHA

»TJ»‘ *

u

!i*

? 4

V

5?

fi**¹

BS

JgytSg

i/¹

S

npj-

Ar *1

' •*

>/.

?r»j

k . i JS

jtM

;

♦«

vjvi

a

*.

r,;3J

SDs^

ir>5

M

K“

[.*.3

W»v

L«

1#⁷¹

3^* • •

<i

i

Di!

fetvi

TufSÄ

W

|S*.

*t

r-lifA».

,;«-is

l

r»A

i«

.»i

W««

r*“

iüJ

!•,

i

»

u*l

p«*»

i&J

•**

J

.■rrs!

«9*

-A

*

sJS

3

ir»

v

;<

.•

*

•i

t-¹

M

KS >8L*k

WM

KSRsai

Fi.'feaii

“•♦I

V“

•*

• M

Kfe’¥S§*

,_

«

9o3fahDfpH[itiaftlid)t öluöfcn-blbliotbct bti bet DcbeitetEammet In fflien

M

2171

.

*

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297174

'

*

■

-y'

■

r

■

' I

Verlag you B. G. Teubner in Leipzig.

Harnack, Dr. Axel, o. Professor der Mathematik an dem Polytechnikum zu Dresden, die Elemente der Differential- und Integralrechnung Zur Einführung in das Studium dargestellt. Mit Figuren im Text. [VIII u. 409 S.] gr. 8. 1881. geh.    n. Jl 7. 60.

Der Verfasser hat sich zur Herausgabe dieser Darstellung entschlossen, welche das System der Differential- und Integralrechnung in seinen Grundzügen enthalten und in einer Weise erörtern soll, welche dem Anfänger das Verständnis erleichtert. Die Anwendungen auf Probleme der Geometrie, auf die Bestimmung der Maxima und Minima etc. sind fortgelassen; dagegen ist eine gewisse Vollständigkeit in allen Rechnungen, besonders bei der Ermittelung von Integralen erstrebt worden. Das Buch wünscht eine Ergänzung der vorhandenen Lehrbücher zu sein, indem es sich bemüht, die den Rechnungen zu Grunde liegenden Begriffe zu erklären und die bei den Lehrsätzen notwendigen Voraussetzungen hervorzuheben Die Umgrenzung des Inhaltes ist durch die algebraischen Funktionen und die elementaren Transscendenten gegeben; die

Untersuchung führt bis zu den neuen Funktionen, welche aus der Integralrechnung entstehen. Die Arbeit ist in 4 Bücher geteilt, von denen die ersten beiden die reellen und komplexen Funktionen nebst ihren Differentialquotienten, die beiden anderen das

reelle und das komplexe Integral behandeln. '

Joaehimsthal, F., Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der Flächen und der Linien doppelter Krümmung. Zweite Auflage, bearbeitet von L. Natani. Mit zahlreichen Figuren im Text. (VIII u. 242 S.) gr. 8.    1881.

n. Jl 6. —

geh.

Diese Vorlesungen des der Wissenschaft viel zu früh entrissenen Verfassers behandeln ein bestimmtes, scharf abgegrenztes Gebiet in faßlicher und eleganter Darstellung, namentlich sind auch in ihnen die verschiedenen Disziplinen der Mathematik in geistreichster Weise zur Lösung der Probleme herangezogen, wie besonders die Geometrie an vielen Stellen die rechnende Lösung vorbereitet, oder ihr nachfolgend die gefundenen Resultate deutet.

Somit wird das Werk für Lernende eine nicht unwillkommene Gabe sein und Studierende der Mathematik an Universitäten und polytechnischen Schulen interessieren.

Die erste, von Liersemann herausgegebene Auflage hat schnell allgemeine Verbreitung gefunden. Die zweite von L. Natani besorgte Auflage ist sorgfältig revidiert, mit Zusätzen versehen und durch einen besonderen Anhang für das Bedürfnis der Lernenden noch praktischer eingerichtet worden.

n. Jl 1. —

Koehler, Dr Carl, über die Integration explicirter Funktionen derjenigen homogenen linearen Differentialgleichungen mter Ordnung, deren Integrale nur für unendlich grosse Werthe der Variabelen unstetig werden. (30 S.) gr. 8. 1879. geh.

—:—- über eine in der ganzen Ebene gültige Darstellung

n. Jl 1. —

der Integrale gewisser Differentialgleichungen. (32 S) gr. 8.    1882. geh.

Königsberger, Dr. Leo, ord. Professor an der Universität zu Wien, allgemeine Untersuchungen aus der Theorie der Differentialgleichungen (XII u. 246 S.) gr. 8. 1882. geh. n. Jl 8. —

nen an-

und

mit den partikulären derselben zum Gegenstände haben; endlich worden ausführlichere Untersuchungen über die Integrale nicht homogener linearer Differentialgleichungen augestellt, insofern diese sich durch Verbindungen algebraisch-logarithmischer Funktionen und Abel scher Integrale darstellen lassen, die Anwendungen auf die Roduktionsfrage hypereiliptischer und Abelscher Integrale besprochen und allgemeine Prinzipien und Methoden für die Behandlung derselben aufgcstellt.

Nachdem der Verfasser in der letzten Zeit einige allgemeine Sätze, welche der Theorie der Differentialgleichungen und der Integrale algebraischer Funktio gehören, in den Journalen von Crello und Clebsch veröffentlicht hat, hielt es derselbe für zweckmäßig, nach gehöriger Vereinfachung eine zusammenhängende Darstellung derselben und eine ausführliche Besprechung der zu Grunde liegenden Prinzipien zn geben, sowie eine größere Reihe neuer Anwendungen auszuführen, welche die Irredukti-bilitätskriterien der Differentialgleichungen, die Beziehung der Transscendenten zu den Integralen derselben, die Erweiterung des AbeIschen Theorems auf Differentialgleichungen Sätze über den Zusammenhang des allgemeinen Integrales von Differentialgleichungen

Meyer, Dr. phil. Gustav Ferdinand, ehern. Privatdocent an der Universität Göttingen, Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale zwischen reellen Grenzen, mit vorzüglicher Berücksichtigung der von P. Gustav Lejeune-Dirichlet im Sommer 1858 gehaltenen Vorträge über bestimmte Integrale. Mit in den Text gedruckten Holzschnitten. (XVIII u. 628 S.) gr. 8.

1871. geh.

n. Jl 12. —

Dieses Werk steht zu den Dirichletschen Vorlesungen über bestimmte Integrale seinem Ursprünge nach in demselben Verhältnis wie die von Hattendorff herausgegebenen Vorlesungen Biemanns über partielle Differentialgleichungen zu den gleichnamigen Dirichletschen Vorträgen. Ebenso wie diese mit nur geringen Abweichungen vollständig von Kiemann wiedergegeben und dann durch bedeutende Zusätze vermehrt worden sind, ebenso hat der Verfasser der Theorie der bestimmten Integrale eine vollständige Wiedergabe der unvergleichlich schönen, strengen und doch so einfachen Dirichletschen Behandlungsweise der Theorie der bestimmten Integrale versucht und überall Betrachtungen hinzugefügt, die Dirichlet wegen der Kürze der Zeit in jener Sommervorlesung entweder eben nur angedeutet, oder ganz unberührt gelassen hat. Außer dieser letzten Vorlesung Dirichlets sind aber auch die Vorlesungen des genialen Forschers und Lehrers über partielle Differentialgleichungen, über dio Kräfte, welche im umgekehrten Verhältnis des Quadrates der Entfernung wirken und seine auf Integralrechnung bezüglichen Abhandlungen einer sorgfältigen Berücksichtigung unterzogen worden.

Pasch, Dr. Moritz, Professor an der Universität zu Gießen, Einleitung in die Differential- und Integral-Rechnung. (VIII

u. 188 S. Mit Figuren im Text.) gr. 8. 1882. geh.

n. Jl 3. 20.

Vielleicht wird für manche Zwecke eine Darstellung brauchbar sein, welche, wie die vorliegende, über die einleitenden Teile der Differential- und Integralrechnung nicht hinauggeht, ihren Gegenstand jedoch möglichst genau und ausführlich zu behandeln Die Schrift ist im Anschluß

an Vorlesungen über Infinitesimalrechnung und

sucht.

aren

Funktionentheorie (hauptsächlich im Wintersemester 1878/79) ausgearbeitet worden. Da sie nur als Ergänzung zu Vorlesungen oder Lehrbüchern dienen soll, wurde der Stoff entsprechend begrenzt; so blieben z. B. die Differentialquotienten höherer Ordnung außer Betracht, ebenso die Anwendungen der Theorie; die Tangenten der ebenen Kurven, sowie Quadratur und Bektifikation sind nur herangezogen, um die Begriffsbildung zu erläutern. Für die trigonometrischen Funktionen kann die clemcntargeometrische Definition bei der analytischen Untersuchung nicht den Ausgangspunkt bilden; indem jene Funktionen aus dem Kreisbogenintegral erzeugt wurden, bot sich zugleich Gelegenheit, den Begriff des Integrationsweges zu erweitern und die Periodizität ohne Zuziehung von komplexen Variabein zu erklären. Zum Schluß werden die unendlichen Beihen, insbesondere die Potenzreihen besprochen und die Beihenentwickelungen der element Funktionen gegeben.

LEHRBUCH der

DIFFERENTIAL- UND INTEGRAL -• RECHNUNG

VON

J.-A. SERRET

MEMBRE DE L’INSTITUT ET DU BUREAU DES LONGITUDES.

MIT GENEHMIGUNG DES VERFASSERS

DEUTSCH BEARBEITET

VON

AXEL HARNACK

Dk., UND PROFESSOR AM POLYTECHNIKUM ZU DRESDEN.

/WEITER BAND: ZWEITE HÄLFTE.

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN.

ht

/Ar f* •

MfT IN DEN TEXT GEDRUCKTEN FIGUREN.

/vA>. ' ■

LEIPZIG,

VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1885.

K\

a\Ei

MVV

pj

■=cr

deZ

a-ä

<3*

rr

cP

Vf

Cj <

•~U-i

"vi

-ui

Ki

Qr

Kß

BIBLIQTEKA FÖUIECHNICZM

KRaKÖW

Druck von B. G. Teubner

Akc. Nr.

r ntSQresden. y'

Inhalt

der

zweiten Hälfte des zweiten Bandes.

Erstes Kapitel.

Allgemeine Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Seite

Die Differentialgleichungen .    .    .    ............

Die Integralgleichungen................

Hilfssätze aus der Funktionentheorie ...........

Beweis der Existenz des vollständigen Integrales einer Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Variabelen......

Beweis der Existenz des Integralsystemes für ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung Eigenschaften der Integrale eines Systemes von Differentialgleichungen erster Ordnung...............

Die Reduktion der Systeme von Differentialgleichungen mit mehreren Variabelen auf Differentialgleichungen, welche nur zwei Variabele

enthalten....................

Die Integrale verschiedener Ordnungen einer Differentialgleichung

höherer Ordnung mit zwei Variabelen.........

Definition der partikulären und der singulären Integrale ....    35

Über die singuläre Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung, gegründet auf die Betrachtung des vollständigen Integrales 36 Die Herleitung des singulären Integrales einer Differentialgleichung

erster Ordnung aus der Differentialgleichung.......

Die Herleitung der singulären Integrale der Differentialgleichungen höherer Ordnung aus irgend einem ihrer ersten Integrale .    .    49

Die Herleitung der singulären Integrale der Differentialgleichungen

höherer Ordnung aus der Differentialgleichung.....

Anwendung der Theorie auf ein Beispiel .    ........

Über eine bemerkenswerte Klasse von Differentialgleichungen .    .    56

10

. 15

18

26

31

40

. 52

54

Zweites Kapitel.

Über die Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Variabelen.

Die Trennung der Variabelen Integration der Gleichungen

= /■

62

65

Die Integration der linearen Differentialgleichung erster Ordnung Über eine Klasse von Differentialgleichungen, die auf lineare

zurückführbar sind.................

Über eine Klasse von Gleichungen, deren vollständiges Integral sich bestimmen lässt, sobald ein partikuläres bekannt ist .    .

Die Riccatische Gleichung..............

Die Differentialgleichung L (x dy — y dx) — M dy + N dx — 0, in

welcher L, M, N lineare Funktionen sind....... .

Über Differentialgleichungen erster Ordnung, die nicht nach dem

Differentialquotienten aufgelöst sind..........

Die Integration der Gleichungen, welche linear in Bezug auf die

Variabelen sind..................

Über die Transformation der Differentialgleichungen von Punkt- in

Linienkoordinaten bei nicht homogener Form.......

Anwendungen auf geometrische Aufgaben.........

Das Problem der Trajektorien........,    .    .    .    .

Der integrierende Faktor der Differentialgleichung    .    .    .    .    .    .

Untersuchungen über die Bestimmung des integrierenden Faktors.

Die infinitesimale Transformation...........

Die Fundamentaleigenschaften der elementaren transscendenten Funktionen, abgeleitet aus den Integralen ihrer algebr. Differentiale Das Additionstheorem der elliptischen Funktionen......

73

—3    —3

GO CO

83

91

94

95

97

101

105

109

119

125

Drittes Kapitel.

Über die Integration der Differentialgleichungen höherer Ordnungen.

Die Integration der Gleichung = X..........

Über die Gleichungen, welche nur zwei aufeinanderfolgende Ableitungen der unbekannten Funktion enthalten......

Über die Gleichungen, welche nur zwei Ableitungen enthalten,

deren Ordnungen um zwei Einheiten differieren......

Fälle, in denen sich die Ordnung der Differentialgleichungen erniedrigen lässt........•..........

Anwendungen auf geometrische Aufgaben.........

Der integrierende Faktor einer Differentialgleichung nter Ordnung Anwendung der Differentiation zur Integration von Differentialgleichungen ...................

Lösung einer Aufgabe, welche die Integration eines Systemes von simultanen Differentialgleichungen erfordert.......

129

133

137

141

145

168

161

163

Viertes Kapitel.

Theorie der linearen Differentialgleichungen.

Definition der linearen Gleichungen............

Die Eigenschaften der linearen Gleichungen ohne zweites Glied .

167

Die Integration einer linearen Gleichung mit zweitem Gliede in dem Falle, dass man das Integral der Gleichung ohne zweites Glied kennt Reduktion einer linearen Differentialgleichung aut eine andere niederer Ordnung vermittelst partikulärer Integrale .... Zweite Methode der Reduktion einer linearen Gleichung auf eine

lineare Gleichung niederer Ordnung..........

Über die linearen Gleichungen zweiter Ordnung.......

Die linearen Gleichungen ohne zweites Glied mit konstanten Koeffizienten ....................

Die linearen Gleichungen mit zweitem Gliede und konstanten Koeffizienten ....................

Über eine lineare Gleichung, welche auf eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten zurückführbar ist.........

Über Systeme von simultanen linearen Gleichungen......

Die Methode von d’Alembert, ein System von linearen Gleichungen erster Ordnung auf Gleichungen zwischen zwei Variabelen zurückzuführen ....................

Die Integration eines Systemes von linearen Gleichungen mit zweitem Gliede, wenn die Integrale der nämlichen Gleichungen ohne

zweites Glied bekannt sind............ .

Zweite Methode zur Bestimmung der Integrale eines Systemes mit

konstanten Koeffizienten..............

Über eine Klasse von linearen Gleichungen.........

173

179

182

185

188

195

199 *

201

204

211

215

216

Fünftes Kapitel.

Integration der Differentialgleichungen durch Reihen-entwiekelung oder durch bestimmte Integrale.

Anwendung der Taylorschen und der Mac - Laurinsclien Entwickelung ....................

Die Transformation der Variabelen verbunden mit der Mac-

Laur in sehen Entwickelung.............

Anwendung der Methode der unbestimmten Koeffizienten .    .    .    .

Die Gleichung von Riccati............ .    .

Über die Integration von Differentialgleichungen vermittelst bestimmter Integrale.................

Über die Berechnung bestimmter Integrale vermittelst der Integration von Differentialgleichungen...........

Beispiel für die Berechnung einer unendlichen Reihe vermittelst Integration einer Differentialgleichung.........

219

225

228

235

236

239

241

Sechstes Kapitel.

Die partiellen und die totalen Differentialgleichungen. Über partielle Differentialgleichungen, auf welche man die Integrationsmethoden der gewöhnlichen anwenden kann .

Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung .    .    .    .

Anwendungen der Integration linearer partieller Differentialgleichungen ...................

Über totale Differentialgleichungen mit zwei unabhängigenVariabelen Definition des allgemeinen Integrales einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. Die vollständigen Integrale .    .    .

Integration der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit

zwei unabhängigen Variabelen............

Erweiterung der vorigen Methode auf den Fall einer beliebigen

Anzahl von unabhängigen Variabelen..........

Bemerkung über die singulären Lösungen, welche die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung zulassen können .    .    .

Über die Integration einer Klasse von partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Variabelen .    .

Über partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die aus

bestimmten Flächenfamilien hervorgehen........

Anwendung auf einige Beispiele..............

Anwendung der Transformation von Legendre.......

Über lineare partielle Differentialgleichungen........

Über die Integration partieller Differentialgleichungen durch unendliche Reihen oder durch bestimmte Integrale......

248

260

267

273

277

297

304

306

313

316

321

325

328

Siebentes Kapitel.

Über die Methode der Variationsrechnung.

Definition der Variationen eines Systemes von Variabelen, welche

von einer unter ihnen abhängen........... .

Lehrsätze über die Vertauschung der Charakteristiken.....

Darstellung der Variationen einer Funktion und ihrer Ableitungen als Funktion der Variation der unabhängigen Variabelen und

einer neuen Variabelen...............

Berechnung der Variation eines bestimmten Integrales.....

Andere Darstellung der Variation eines bestimmten Integrales .    .    347

Die Aufgabe der Variationsrechnung...........

Untersuchung der Maximal- und Minimalwerte eines bestimmten

Integrales....................

Über eine besondere Klasse von relativen Maxima und Minima .    357

Bemerkungen über einige besondere Fälle Anwendung der Variationsrechnung auf die Lösung einiger Aufgaben 363

332

338

341

343

350

- 351

361

Anhang.

Zur Integration der partiellen Differentialgleichung in der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen

Erstes Kapitel.

Allgemeine Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Die Differentialgleichungen.

614.    Jede Gleichung, welche mehrere Variabele enthält, und in welcher die Differentiale oder die Ableitungen von irgend welchen Ordnungen Vorkommen, heisst allgemein eine Differentialgleichung. Hängen die Yariabelen, welche in eine Differentialgleichung eingehen, nur von einer einzigen unter ihnen ab, so ist die Gleichung eine gewöhnliche Differentialgleichung. Wenn dagegen die Yariabelen Funktionen von mehreren unabhängigen sind, so heisst die Gleichung eine partielle oder eine totale Differentialgleichung, je nachdem die partiellen Ableitungen oder die totalen Differentiale der Yariabelen, welche als abhängige zu betrachten sind, auftreten.

Wir werden uns in diesem Kapitel nur mit den gewöhnlichen Differentialgleichungen beschäftigen. Solch eine Gleichung kann, wie wir eben sagten, nur eine unabhängige Yariabele, dagegen eine oder mehrere abhängige Variabele, sowie gewisse Ableitungen dieser letzteren enthalten. Die höchste Ordnung unter diesen Ableitungen heisst die Ordnung der Differentialgleichung.

Die Zahl der Differentialgleichungen, welche man zu betrachten hat, ist im allgemeinen gleich der Anzahl der abhängigen Variabelen. Ist diese Zahl grösser als 1, so bilden die Gleichungen ein System von simultanen Differentialgleichungen (§ 53).

615.    Ist eine Differentialgleichung von irgend welcher Ordnung oder ein System von solchen Gleichungen gegeben, so kann man dafür stets ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung substituieren, indem man neue Yariabele ein-

Serret, Differential- und Integral- Kechnung. Bd. II. 2.

führt und die Zahl der Gleichungen termehrt, wie wir schon im § 70 gezeigt haben. Denn wenn man mit x die unabhängige Variabele bezeichnet, mit y eine der abhängigen und mit m die höchste Ordnung der Ableitungen von y, welche in der gegebenen Gleichung oder dem gegebenen Systeme Vorkommen, so hat man

dy'

dx

= y", • • •

dx

[m — 1)

dy{m — l)

zu setzen. Diese Gleichungen verbindet man mit den gegebenen, indem man in diesen

dx

y', y", ... 2/(m“²⁾, ?/(m—1}

an Stelle von

setzt.

dm~²y dm~¹y dmy dxm~²’ dxrn~,x'

dxr"

Desgleichen hat man, wenn n die höchste Ordnung unter den Ableitungen einer anderen Yariabelen z in dem Systeme bezeichnet, die neuen Gleichungen:

d²z dx²

dz

dx

= z'

dz(n~'²⁾

dx

= Z(n~V

einzuführen, nachdem man

an Stelle von

z\ z'\ ...

dzn~¹

dx

dz

dx⁷

dn~¹ z

dnz

dxn

dxn

gesetzt hat.

Fährt man so fort, so erhält man ein System, welches dem gegebenen äquivalent ist, und in welchem keine Gleichung von höherer als der ersten Ordnung ist. *

616. Wir betrachten nun ein System von n verschiedenen

Differentialgleichungen erster Ordnung, in dem, ausser der

unabhängigen Yariabelen x} n andere Variabele y,z,...u,v

. . ,    ... .,    dy dz du dv .    ^ , .

nebst den Ableitungen ~-i -—i • • • ——} -r— Vorkommen. Dabei

dx dx dx dx

können nun zwei Fälle eintreten: Entweder es bestimmen die n gegebenen Gleichungen die Werte der n Ableitungen dy dz dx ¹ dx ’

du dv • dx ’ dx ’

welche also gegebene Funktionen der

Yariabelen x, y, #,... w, v sind; oder es lässt sich durch Kombination der gegebenen Gleichungen eine bestimmte Anzahl i von Gleichungen bilden, welche nur die Yariabelen x, y, z, ...u, v, aber nicht die Ableitungen enthalten, und die an Stelle von i Gleichungen des Systemes treten. Man erkennt jedoch, dass dieser zweite Fall der eines zusammengesetzten Systemes von n — i simultanen Differentialgleichungen ist, welches verbunden ist mit i Gleichungen zwischen den Yariabelen allein; durch eine Elimination von i Yariabelen kann er auf den ersten zurückgeführt werden. Denn die i Gleichungen zwischen x, y, z,...u,v bestimmen i der Yariabelen y, z,...u, v als Funktionen der übrigen; substituiert man ihre Werte in die n — i Differentialgleichungen, so erhält man ein System von n — i Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen der Yariabelen x und n — i abhängigen Variabelen.

Demnach reduzieren sich alle gewöhnlichen Differentialgleichungen auf ein System von n Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen n-f-1 Yariabelen, durch welches die Werte der Ableitungen der n abhängigen Yariabelen als Funktionen aller Yariabelen bestimmt werden. Sieht man hierbei von den Schwierigkeiten der Elimination ab, so erhalten die Gleichungen des Systemes, aufgelöst nach den Ableitungen, die Form:

dy

dx

= fi(%, y,z,-..u, v),

dz

dx

= f₂(x,y,z,...u,v),

du

dx

= fn

0, y, s, •••<0,

dv

= fn(x,y,z,...u,v).

fi, fit • • • fn sind bestimmte Funktionen von x, y} z, ... u, v. Ist die Zahl der Yariabelen des simultanen Systemes zwei, so besteht es aus einer Gleichung:

dx

dy

dx

= f(p, y)-

Die Integralgleichungen.

617. Es sei nun

1)

cly

dx

= f(%, y)

eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen den Yariabelen x und y. Ist die Funktion f(x,y) nebst ihren Ab-

leitungen —— und —— für alle reellen und komplexen Werte

o cc    c y

von x und y, die innerhalb gewisser Bereiche liegen, eindeutig und stetig, so existiert, wie wir später beweisen werden, nur eine einzige Funktion F(cc, x₀, i/₀), welche sich für x = x₀ auf den Wert y₀ reduziert und welche die Eigenschaft hat, dass die Gleichung 1) erfüllt wird, wenn man

y = F(x, x0i y₀)

setzt. Dabei bezeichnen x₀ und y₀ willkürliche feste Werte, die innerhalb der für x und y geltenden Grenzen gelegen sind, und F(x, x₀, y₀) ist eine Funktion von x, die innerhalb eines angebbaren Bereiches eindeutig und stetig ist. Die Gleichung 2) heisst das vollständige oder allgemeine Integral der Gleichung 1) in diesem Bereiche*, man kann dabei x₀ als irgend welchen bestimmten Wert und y₀ als eine willkürliche Konstante betrachten.

Hat man auf irgend einem Wege eine Gleichung

3)

0)-O

zwischen den Yariabelen x, y und einer willkürlichen Konstante C ermittelt, so dass man hieraus einen Wert von y als Funktion von x bestimmen kann, welcher die Gleichung 1) befriedigt, so fällt die Gleichung 3) mit dem vollständigen Integrale zusammen, vorausgesetzt, dass man die Konstante C so bestimmen kann, dass

c) = 0

wird, dass also der Wert von y, der aus der Gleichung 3) folgt, für x = x₀ gleich y₀ wird.

Da die Gleichung 1) eine identische wird, wenn man daselbst y und <~- durch die Werte ersetzt, welche aus

J dx

® = 0 und

d& , d® dy

--j---A. = o

dx dy dx

folgen, so muss sie auch aus der Elimination der Konstanten C zwischen diesen beiden Gleichungen hervorgehen. Also haben alle Differentialgleichungen erster Ordnung denselben Ursprung (§ 51).

618. Wir betrachten nun ein System von n Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen n +1 Yariabelen x, y, ... u} v, nämlich:

dy

dx

= fi(x, y, z,

dz

1)

dx

⁼ fz(x,y, z,... u, v),

= fn{x, y, 2,... u, v).

dv

, dx

Sind die rechten Seiten dieser Gleichungen ebenso wie ihre partiellen Ableitungen nach den Variabelen eindeutige und stetige Funktionen, wenn die Yariabelen reelle und komplexe Werte innerhalb gewisser Bereiche annehmen, und bedeuten xai Vo-) • uoi ¹ o willkürliche bestimmte Grössen in diesen Bereichen, so existiert, wie wir später sehen werden, immer nur ein System von Funktionen Ft1 F₂, ... Fn der Yariabelen x und der Konstanten #₀, y₀, ... w₀, v₀, die sich für x = x₀ bezüglich auf die Werte y₀, £₀,...w₀, v₀ reduzieren und die so geartet sind, dass die Gleichungen des Systemes 1) befriedigt werden, wenn man

2)

V ^ i xoi Voj • • • w0) ¹ o)i z — F^(x, Xqj y0} ... tt₀, f₀),

annehmen; y0J gQ} ... ^^₀, v₀ sind n willkürliche Konstanten. Hat man auf irgend welchem Wege ein System von n Gleichungen zwischen den Variabelen x, y, 0,... w, v und n willkürlichen Konstanten C^, C₂,... Cn erhalten, nämlich:

^1 (^) V) 0) • * • W, V, Gj,    ... Cn) = 0,

3)

0₂ix, y, s, ... u, v, C1JCa, ... Cn) = 0,

. &n(x, y,g₎ ... u, v, Cu C₂, ... Cr) = 0,

und erfüllen die aus diesen Gleichungen berechneten Funktionen y, z, ... u, v die Differentialgleichungen 1), so ist dieses System 3) mit dem Integralsystem identisch, falls man den Konstanten C,, C₂₎ ... Cn solche Werte beilegen kann, dass die Funktionen y,g,...v bezüglich gleich werden den willkürlichen Werten y₀, g₀ ... v₀, sobald man x = x₀ annimmt.

Diese letzte Bedingung ist erfüllt, wenn die Gleichungen 3) die Grössen G₁,G₂, ... Cn als Funktionen der Variabelen x,y,z, ... v bestimmen lassen, nämlich:

Ci = ^(x.y.g, ..m,v),

4)

G₂= ?F₂(>, y, z, ... u,v),

, Cn= Wn(x, y,g, ... u, v).

Dieses System ist nichts anderes als das Integralsystem in besonderer Form. Jede der Gleichungen, aus denen es besteht, enthält nur eine willkürliche Konstante; sie heisst ein Integral des Systems 1).

Cauchy hat zuerst in strenger Weise die Existenz der Integralgleichungen festgestellt; sein Beweis für diesen fundamentalen Satz ist jedoch äusserst kompliziert. In ein- * fachererWeise und mittelst ganz anderer Betrachtungen haben die Herren Briot und Bouquet den Satz bewiesen. Wir geben hier ihre Entwickelung, die in einer Abhandlung im 36. Bande des Journal de VEcole Polytechnique veröffentlicht ist. Dieselbe beruht auf einigen von Cauchy gegebenen Sätzen aus der Theorie der komplexen Funktionen, die wir zunächst aufstellen wollen.

Die Existenz der Integralgleichungen für eine Differentialgleichung erster Ordnung oder für ein System derselben lässt sich, wenn nur reelle Werte der Variabelen betrachtet werden, unter allgemeineren Voraussetzungen über die Funktionen fx, ... fn darthun. Dieser Beweis ist von Herrn Lipschitz geführt worden („Lehrbuch der Analysis“, Bd. 2, pag. 500).

Hilfssätze aus der Funktionentlieorie.

619. Erster Satz. Es sei x₀ eine bestimmte Konstante, x = x₀-f peit0 eine komplexe Variabele, f(x) eine eindeutige Funktion dieser Variabelen im engeren Sinne, welche also stetig ist und eine bestimmte stetige Ableitung besitzt, solange der Modul von r nicht grösser ist als eine bestimmte Grenze R. Bezeichnet nun M den grössten Wert, welchen der Modul von f (x) annimmt, während q von 0 bis R und a von 0 bis 2 7t variiert, so ist

mod

dn f (x)

L dx¹¹ J₀

~n! IW

dn f (x)

bedeutet dabei den Wert, welchen die nte Ableitung

L dxn J₀

von f (x) für x = x₀ besitzt.

Denn es ist (§ 500):

cln f(x)

dxn J₀

2 7t

= n\ B~n i je~niw o

f(x₀-f Reiw) dco.

Da nun der Modul einer Summe niemals grösser sein kann, als die Summe aus den Moduln der Summanden, so ist auch

mod

dn fix)'

dxn

< n\ R~n •

2 n

j~ ^y^rnod [f(x₀ + Reia>)] dco, o

und weil mod[/'(^₀+ Reiw)] nicht grösser wird als M, so ist der Wert des Integrales nicht grösser als M2it, woraus die Behauptung folgt.

620. Zweiter Satz. Es seien x₀,y₀,z₀,... m bestimmte Konstanten, x = x₀+pei", y = y₀ + (/e¹"’, z = z₀ + g"ei0}"... m komplexe Variabele, f(x, y, z,...) eine bestimmte Funktion der-

selben, welche stetig ist und deren erste partielle Ableitungen in Bezug auf jede Variabele ebenfalls stetige Funktionen sind, solange die Moduln q, q', q" ... bezüglich nicht grösser werden als die bestimmten Grenzwerte R, R', RV.. Bezeichnet M den grössten Wert, welchen der Modul von f(x,y, z...) erhält, wenn q von 0 bis R, q' von 0 bis Rf, q" von 0 bis R" u. s. w., und die Winkel co, oo', co"... von 0 bis 27t variieren, so ist:

^n + n' + n"... f (x, y, Z . . .)

dxn dyn' dzn"...

mod

<n!n'!n"!..

Der Index 0 soll ausdrücken, dass man nach den Differentiationen x, y, z ... durch die Werte x₀, y₀, z₀... zu ersetzen hat.

Denn wenn man auf f(x, y,z ...), betrachtet als Funktion der einzigen Variabelen x, die im vorigen Satze erwähnte Formel anwendet, so erhält man:

2 7t

Bn dnf(x,y,z...)

n\

dxn

h.Je

0

— n i «>

f(x + Beiw, y, z,...) da,

DiflFerentiiert man n' mal

wobei x durch x₀ zu ersetzen ist. nach y, wobei den Voraussetzungen zufolge die Differentiation unter dem Integrale vollzogen werden kann, weil die partiellen Ableitungen der Funktion f in Bezug auf y ebenfalls stetige Funktionen werden, so folgt:

Rn dn+n'f(x,y,z...)

n\

dxn dyn'

h.Je

o

— niui

dn' f(x + Reiu>, y, z ...)

dy

da.

Andererseits ist nach der schon angewandten Formel: B'n dn' f(x + Beiu’,y, z_ 1

2 Tt

n'!

dyn'

2ti

ß — n iw'

f(x + BeiU),y + B'e

i oj'

z...) da't

wobei sowohl x = x₀, als auch y — y₀ zu setzen ist. Also ist auch:

Bn R'n' dn+n'f(x, y, z...) n! n'!

dxn dy

2 7t 2 7t

(2*)V ,

e-(n*+n'<»''>if(x + Reiw,y + R'ei(a’,z...) da da',

wobei wiederum x = x₀, y = y₀ zu setzen ist.

Mau erkennt, dass man durch Fortsetzung dieses Verfahrens zu der Gleichung gelangt:

BnR'n' R"n"

dW,

= 2 (3a'y 4- 2x3 4- C’)(3y 4 6a;2) — 12(y + x2)22x,

Zweites Kapitel.

y-^ + Xy'-'+x^o

y =fpf'iv) dp + c.

L=o,

dx , Iv. _ o yx yT ’

’-A

5)

y = x + ci V\ 4- (,-i y-2 + • • • + yn'i

©0) = 0

(Px(1> -9)*! + Px(2)4 + • • • + P1(ra—1)A1!_1 + P,« = 0, P2(% + (P2(2) - 9) K + • ■ * + P2(n—X)A„ _ 1 + P2<*> = 0,

2(3 - 2m)

Sechstes Kapitel.

- ^0) y -y0

& ~ f 2 (X) .^0 5 ^0? <70) )

^ <?-

Äff+(£■ t v<?) !|+k ~ o-

o

4) ä(rdx) - d(TSx) + (yra + Y' ^ + ■ ■ ■ + r- ^) dx,

3)

V«2 - (C - */)2

¹

= Fn(x,x₀,y₀,...u₀,v₀)

setzt. Dieses zweite System bildet das System der vollständigen Integralgleichungen oder das Integralsystem der Gleichungen 1). Für xQ kann man einen bestimmten beliebig gewählten Wert

p»+R'+»"+ ■■■fix, y,z

L dxn dyn czn"...

• •01

BnR'n' R"n"

nl n'l n"!

2 Tt 2 Tt 2 TI

fff-0 0 0

— (nw + n'<a' + n"u>"...)i    +    y + R'eiu)', .. .) da da' d a"... y

in welcher die rechte Seite ein vielfaches Integral von der Ordnung m = n + n' + n" + ... ist. Es ist kaum nötig hinzuzufügen, dass jedes Produkt wie n\ = 1. 2 ... n sich auf die Einheit reduziert, wenn n — 0 ist. Nun ist der Modul der Funktion unter dem vielfachen Integrale nicht grösser als folglich wird auch der Modul des Integrales nicht grösser als

2 n 2 n    2 tt

(2*0

- ff.. fM dco da' da" .. oo o

d. h. nicht grösser als Jf, womit der Satz bewiesen ist.

621. Dritter Satz. Sind dieselben Bedingungen wie im vorigen Satze erfüllt, so sind alle partiellen Ableitungen der Funktion:

g>(x, y, z ...) =

Rr ) (X R"

y- y₀

- zo

für x == x₀, y = y₀, z = z₀ ... gleich den Grenzwerten, welche in jenem Satze für die Moduln der entsprechenden partiellen Ableitungen der Funktion f(x,y,z...) angegeben wurden.

Differentiiert man nämlich die Funktion <p(x,y,z..i) u-mal nach x, w'-mal nach y, wr,-mal nach z u. s.w., so folgt:

Qn + n+n"... cp (x, y, Z . . .)

dxn dyn dzn"...

= n\n'ln"\... R~nR'-n' R"~n"...

x — x₀

und setzt man x = x₀, y = y₀, z = z₀ ..

•>

so wird:

ßn + n' + n"+... cp (x, y, Z . . .)“

dxn dyn' dzn"...

= n! n'! n"! • •

• ftn Rin' R"n" ’

Beweis der Existenz des vollständigen Integrales einer Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Variabelen.

622. Lehrsatz. Es seien x₀, y₀ zwei ivillkürlich gewählte Konstanten, und

Wenn die Funktion f(x, y) nebst eindeutig und

x = x₀+peiw, y = y₀+p'eiw' zwei komplexe Variabele.

di

ihren ersten beiden partiellen Ableitungen

di

dx ’ dj

stetig bleibt, solange die Moduln q und q' die Werte R und Rf nicht überschreiten, so existiert eine analytische Funktion y der komplexen Variabelen x, welche also eindeutig und stetig bleibt,

solange der Modid von x — x₀ kleiner bleibt als eine bestimmte Grösse r, welche ferner für x == x₀ den Wert y₀ annimmt, und der Differentialgleichung genügt:

1)

dy

dx = f(x’y)‘

Eine Funktion y der komplexen Variabelen x, welche nebst ihrer Ableitung eindeutig und stetig ist, solange der Modul von x — x₀ kleiner ist, als eine gegebene Grösse r, ist entwickelbar in eine Reihe nach ganzen Potenzen von x — x₀, und es wird (§ 383):

²⁾ ^ ⁼ ^o+(IDo⁽*~*o) + (0)o~

Vo>

• • sind die Werte von y,

~ *o)² |    .

2!

dy d²y dx dx²

■ für

x = x₀.

Wenn solch eine Funktion y die Differentialgleichung 1)

(ff). iph-

\dx/₀ \dxiJ₀

• als

befriedigt, so müssen die Koeffizienten

Funktionen von x₀ und y₀ bestimmt sein durch die Gleichung 1) zusammen mit denjenigen, die aus den successiven Differentiationen derselben folgen, nämlich: setzt man x = x₀, y = y₀, so erhält man nacheinander aus

\axJ ₀ \acr/₀

und

CO

A,| A, Aj|Aj Su 53 hs

CD

N-, Ai

CM

«es

l<S£

df d²y' dy dx²

diesen Gleichungen die Werte von

hieraus folgt, dass "die Funktion ?/, wenn sie überhaupt existiert, nur eine bestimmte sein kann.

Demnach hat man zweierlei zu beweisen: erstens, dass die Reihe auf der rechten Seite der Gleichung 2) konvergent ist, solange der Modul von x — x₀ kleiner bleibt als eine bestimmte Grösse r, wenn die Koeffizienten

vermittelst der Gleichungen 3) bestimmt sind; in diesem Falle definiert dann die Reihe auch eine stetige Funktion y (§ 475); und zweitens, dass diese Funktion y in der That der Differentialgleichung genügt.

Wir bezeichnen mit M den grössten Modul unter den Werten, welche f{x,y) annimmt, wenn q von 0 bis R, q' von 0 bis und die Winkel cd, cj' von 0 bis 27t variieren; ferner setzen wir:

4)

9>0», Y) =

/v» _ rp

tAJ    tX/Q

Y-y₀

IV

5)

= cp(x, Y).

und betrachten die Differentialgleichung dY

dx

Wir behaupten nun, dass, solange der Modul von x — x0 eine gewisse Grenze nicht überschreitet, eine eindeutige analytische Funktion Y von x existiert, die der Differentialgleichung 5) genügt und sich für x = x₀ auf y₀ reduziert. Die Gleichung 5) lässt sich auf die Form bringen:

Y-y₀\ dY

IV

dx

1-

/y> _ ry

lA/

die man, wie leicht zu sehen, durch Differentiation der Gleichung

6)

(r- y₀) -

(F-2/o)²

2 R'

+ MBl (l—    ⁼ 0

gewinnt. Diese Integralgleichung ist vom zweiten Grade in Bezug auf Y — yq, und ihre beiden Wurzeln werden einander gleich, wenn

R'

2 MR

oder x — x₀=n(l — e 2MR^

ist. Setzt man also:

R‘

2 MR

so ist diejenige der beiden Wurzeln von Y in der Gleichung 6), welche sich für x = x₀ auf den Wert y₀ reduziert, eine eindeutige und stetige Funktion von x, solange der Modul von x — xQ kleiner ist als r, und folglich für diese Werte der Yariabelen in eine Reihe entwickelbar von der Form:

7) Y

- x₀)²

2!

⁵    *' ’ dieser Entwickelung

Die Koeffizienten

gewinnt man, indem man die Werte x = x₀₁ Y = y₀ in das System substituiert, welches aus der Gleichung 5) und den durch Differentiation aus ihr abgeleiteten besteht, nämlich:

dY , v. d^-v(x’r)>

d²Y d(p dcp dY 8) ■ dx²    dx dY dx ’

d²cp dY dxdY dx

dsY

d²cp

dx³

dx²

CM Ki

| c^>

to

*

Oo |C^)

das Produkt n\ oder nf! reduziert sich auf eins, wenn n oder n' null ist. Die Formel lehrt, dass alle partiellen Ableitungen

g#” dYn'

für x = x₀, Y = y₀ positive Werte haben, und daraus folgt nach den Gleichungen 8), dass auch die Grössen

m, (**)...

\dx/₀    \ dx* /₀

sämtlich positiv sind.

Bezeichnen wir nun mit A den grössten Modul aller Werte, welche die Funktion Y annimmt, wenn der Modul p von x — xQ von 0 bis r und das Argument co von 0 bis 2 7t variiert, so ist nach dem ersten Hilfssatze (§ 619):

9)

\dxn\c==- rn

Wenn wir jetzt die beiden Gleichungssysteme 3) und 8) mit einander vergleichen und dabei x = x0y y = Y = yQ setzen, so folgt aus der ersten Gleichung des Systemes 3) und der ■ersten des Systemes 8), dass

Ferner erkennt man nach dem dritten Hilfssatze (§ 621), dass die Moduln der beiden Glieder auf der rechten Seite der zweiten Gleichung 3) nicht grösser sind als die entsprechenden Glieder in der zweiten Gleichung 8), und da diese letzteren positiv sind, so folgt, dass auch

mod

Ferner ist nach der Gleichung 4):

Rn R'n' dn+n'(p n\, n'\ dxndYn'

1-

rp - rp

lX/    lA/Q

Ii

v+1 /

) l¹

Y-%Y + "

IV

(py\ <r (d*Y\ \dx²;₀= V dx² /₀

ist u. s. w.; also wird allgemein:

(fry\ < (dnY)

mod

'dxn\j⁼ V    * ₀

und wegen der Ungleichung 9):

10)

mod

oder:

d-y\

dxn\

< n\ —

mod

(dny\ {x - ff₀)w~j < \dxn''₀ nl J —

EL • mod ■

/y» ,    /y> \'fl

iAy    iX/ri X

Ist der Modul von # — kleiner als r, so ist die geometrische Progression, deren allgemeines Glied A . mod

ist, konvergent; also ist auch die mit den Moduln der Glieder in der Reihe 2) gebildete Reihe konvergent unter derselben Annahme (§ 97), d. h. die Reihe 2) ist selbst konvergent (§ 363) und ihre Summe ist eine bestimmte, stetige Funktion y. Die Ungleichung 10) beweist zugleich auch die Konvergenz der Reihe, welche durch gliedweise Differentiation der Reihe 2) nach x erhalten wird. Diese letztere Reihe stellt den Differentialquotienten der Funktion y dar, also den

dy

Wert

dx ’

Es erübrigt uns also nur noch zu zeigen, dass die durch die Gleichung 2) definierte Funktion y in der That der gegebenen Differentialgleichung 1) genügt. Es ist einerseits:

wie schon früher allgemein bewiesen wurde (§ 111).

dy

dx

₌ ® , (d²y\ x- x₀    (d³y\

^dx/₀ \dx²\ 1    \dx³s₀

(x--_xoy

2!

•?

andererseits:

/y> /v*    (/Y* /y*

2!

f(x, y)-f„ + f\ + f\

Wir nennen dabei f₀ den Wert f(x0} y₀) und bezeichnen mit f'₀₁ f"₀... die Werte, welche für x = x₀, y = yQ die Quotienten f\ f'\... annehmen, welche man durch Division der totalen Differentiale, df, d²f,... bezüglich mit dx, dx²... erhält. Die Grössen f\ f"... sind also bestimmt durch die Gleichungen:

indem man x = a:₀,

und hieraus folgen die Werte /’,0; f"₀ .

y = y₀ setzt und die Differentialquotienten    *' ’

durch ihre Werte aus den Gleichungen 3) ersetzt. Nun sieht man aber, dass die Gleichungen 11) identisch sind mit den Gleichungen 3), abgesehen von der ersten derselben-, also wird:

f„, _ (d³y\

⁰ \dx³J₀

(<h\    , ₌ (<Py\.

V dx) q    ⁰ \dx²/₀

und mithin genügt die Funktion 2) in der That der Differentialgleichung 1).

Beweis der Existenz des Integralsystemes für ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung.

623. Die Herren Briot und Bouquet haben ihre Untersuchung auch auf den Fall eines Systemes von simultanen Differentialgleichungen erster Ordnung ausgedehnt und den allgemeinen Satz bewiesen:

Lehrsatz. Es seien x₀, y₀, z₀,... m + 1 beliebig gewählte Konstanten, und

z = z₀+ p"eiw", ...

11)

3/' j df äy' dx dy dx

ft, &f ■ o d*f

dx²    dx

f'-

n (dy_y

£?/² \dxJ

df d*y

dy dx²

x = x₀+(>eitü, y = y₀+€>'eiw,

m + 1 Variabele. Wenn die m Funktionen

fi(x, y, z,...), f₂(x, y, z,...), f.(x, y, z,...), ...

nebst ihren ersten partiellen Ableitungen in Bezug auf jede Variabele eindeutig und stetig bleiben, solange die Moduln q, q¹, q", ... bezüglich die Grenzen R, R'; R", ... nicht überschreiten, so existieren m analytische Funktionen y, z, ... der Variabelen x, ivelche eindeutig und stetig bleiben, solange der Modid von x — x₀ kleiner bleibt, als eine bestimmte Grenze r, welche ferner für x = x₀ die

Werte y₀, z₀, ... bezüglich annehmen und welche die m simultanen Differentialgleichungen:

||- = fi(x,y, z,...),

1)

dz

dx

= f₂(x,y, z,...), ...

befriedigen.

Mit M₁₎ Jlf₂, ... bezeichnen wir die Maxima der Moduln der Werte, welche die Funktionen flx f₂, ... erhalten, wenn Cb q'i q"

die Winkel co, co\ co" ferner:

cp(x,Y,Z,...) =

.. von 0 bis R, von 0 bis R', von 0 bis R",... und .. von 0 bis 2n variieren: wir setzen

— xo

)0

Y-tJo

)(-

i¹ R

und betrachten die m simultanen Gleichungen:

R'

R"

dY

2)

dZ

dx

= M₂<p(x,Y,Z,

Man kann dann Funktionen Y, Z, ... ermitteln, die diesen Differentialgleichungen genügen und sich zugleich für x = xQ bezüglich auf die Werte y₀, z₀,... reduzieren. Setzt man nämlich:

Y— 2/₀= ^S, Z — z₀ = M₂S, ...

und bestimmt man die Funktion S derart, dass sie für x = x0 verschwindet, und die Gleichung erfüllt:

3)

4)

dS

dx

— cp (x, y₀ + Mx S, z₀ + M₂ S,...)

so ist ersichtlich, dass die Gleichungen 2) identische werden. Die Gleichung 4) lässt sich in folgender Form schreiben:

(*-¥)(

1-

MaS^ _

dS

dx

oder:

1-

rp _ rp

tA/

Mt M, R’⁺W ⁺ "

>⁺(-

mxm₂

IclS

R'R"

_ dx

5) [«-(

rp _ rp

j    tA/    tVA

1 --

und man erhält dieselbe durch Differentiation der folgenden:

M₂

-1--l _L . .

R' R" ⁺

Mx

■)? + (

M.M2 1 2+---

R'R"

co

OQ CO

Es sei r der kleinste Modul, welcher x — x₀ zu erteilen ist, damit die Gleichung für S zwei gleiche Wurzeln bekommt. Solange der Modul von x — x₀ kleiner als r bleibt, ist diejenige der Wurzeln S, welche für x — x₀ verschwindet, eine stetige Funktion von x} die in eine konvergente Reihe nach ganzen Potenzen von x — x₀ entwickelbar ist. Bezeichnet man nun weiter mit A den grössten Modul dieser Funktion S für alle Werte von 9 zwischen 0 und r und von co zwischen 0 und 23t, so ist (§ 619):

6)

<—r*

I Am

/y* fl

n\ \dxn)Q

Endlich erkennt man, dass auch die Funktionen Y, Z, da sie proportional zu S sind, ebenso wie diese Funktion sich in konvergente Reihen nach Potenzen von x — x₀ entwickeln lassen.

Nach dem dritten Hilfssatze im § 621 sind die Moduln der partiellen Ableitungen der Funktionen fx(x, y, 0, ...), f₂(x, y, $,...) für x = x₀₎ y = yQ} z = z₀ nicht grösser als die Werte der entsprechenden Ableitungen der Funktionen Mx(p(x, Y, Z, ...), Jf₂ 9o {x, Y, Z, ...) für x = a?₀, F= y₀, Z 0o, ... Daraus folgt, wie im § 622, indem man das System der Gleichungen 1) und der durch Differentiation aus diesen abgeleiteten mit den Gleichungen 2) und ihren Ableitungen vergleicht, dass die Werte:

(%)., (pY- (£), (£$,••

\ax/₀ \dxi/Q \dx/₀    \dx*'₀

m,    m...

\dx/₀    \dx*/₀    \dx/₀ \flr/₀

welche aus den ersten Gleichungen berechnet werden, ihrem Betrage nach nicht grösser sind als die reellen und positiven Werte:

gebildet aus dem zweiten Systeme. Also ist, gemäss den Gleichungen 3) und der Ungleichung 6):

mod

mod

\(~)

_\dxn/₀

< M,Ä . mod ppf,

n\

Demnach sind die Reihen:

dz \ x — x0 dx / ₀    1

Q ~ ff₀)2 dx*J₀ 2!

(d²z\ (x — x₀)²

\!ä?)₀    2!

konvergent, solange mod {x — ic₀) < r ist. Diese Reihen definieren also Funktionen t/, 0, ..., welche innerhalb dieses Gebietes stetig bleiben, und dieselbe Überlegung, welche im § 622 ausgeführt wurde, beweist, dass diese Funktionen in der That den Differentialgleichungen genügen.

624. Bemerkung. Es ist leicht zu erkennen, dass man in dem vorigen Beweise die Moduln li', R", ... durch den kleinsten Wert unter ihnen 9t, und die Maxima Mu M2j ... durch den grössten Wert unter ihnen 9Jt ersetzen kann. Die Gleichungen 4) und 5) werden dann:

= o,

mdS

dx

x — x₀

9t

(m + 1) 9Jt _

0-f*)

m-\-1

+ m (tt)

-0.

Die Ableitung dieser Gleichung in Bezug auf S ergiebt:

Es ist also für den Fall zweier gleicher

1-Sßf=0.

9t

Wurzeln:

9t

+ Rl(l-

= r{ 1-

und folglich kann man für die Grösse r den Wert fixieren:

also:

(m +1) ÜDt

X — x₀

= 0,

9t

e (m + 1) TO R

Eigenschaften der Integrale eines Systemes von Differentialgleichungen erster Ordnung.

625. Wir betrachten ein System von n simultanen Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen n + 1 Variabelen x, x1} x₂, ... xn, durch welches die Ableitungen:

dxl dx₂ dxn dx ’

dx ’

dx

bestimmte Werte erhalten. Wir bezeichnen diese Werte mit:

Xn

X’ X’ X ’

so dass die Differentialgleichungen lauten:

dx,    d X'2 X₂ d Xfi ~X~n

dx X dx X dx X

Man kann dieselben in einer einzigen Formel zusammenfassen, nämlich:

i)

dx dxt dx₂

X,

~x ⁼X⁼⁼ X

X, X₁. X₂, ... X„ sind bestimmte Funktionen der Yariabelen x,x₁,...x„, mit Ausnahme einer unter ihnen, die willkürlich gewählt werden kann, da nur die Verhältnisse in Betracht kommen.

Nachdem die Existenz eines Integralsystemes festgestellt ist, nehmen wir an, wie im § 618, dass die Gleichungen dieses Systemes nach den n willkürlichen Konstanten, welche sie enthalten, aufgelöst sind, und stellen sie dar in der Form:

2)

3*i(«> «i, «₂, •••«») = Cl, d^₂ (x, x^, x₂,... xn) = (j₂ ,

(x, «ij «2 5 * ' ‘ «>*)

Bei der Differentiation dieser Gleichungen fallen die willkürlichen Konstanten 0,, ... Gn fort, und folglich bilden die aus der Differentiation hervorgehenden Differentialgleichungen ein System, das dem ursprünglichen äquivalent ist. Mit anderen Worten: Die Gleichungen

d^ Q dW, dx ’ dx

d*Fn

= 0, ..

dx

werden identisch erfüllt, wenn man für dx, dx₁,... dx„ Grössen einsetzt, die zu X, X₁j... Xn proportional sind.

Wir sagten (§ 618), dass jede der Gleichungen 2) ein Integral des Systemes 1) genannt wird. Da aber auch die

3) dW₁ = 0, dd?₂ = 0, ... d d?n — 0 oder

Zusammensetzungen, welche man aus diesen Gleichungen bilden kann, für die Gleichungen substituiert werden können, so werden wir allgemein ein Integral des Systemes 1) jede Gleichung:

4)

..X,.

1? •

n(x, x„ x₂,... #„) = r nennen, deren rechte Seite eine willkürliche Konstante F und deren linke Seite solch eine Funktion der Yariabelen x, x,,...x„ ist, dass ihr Differential dH identisch null wird, wenn man für die Differentiale dx, dx,, .. . dx„ Grössen einsetzt, die proportional sind zu X, X

Man erkennt, dass solch eine Funktion erhalten wird, wenn man eine beliebige Funktion von F,, ... F„ gleich einer willkürlichen Konstante F setzt. Denn differentiiert man die Gleichung:

5)

F(wltw₂,...w„) = r,

so folgt:

dF dF, dF dF2 dF, dx ⁺ dF₂ dx

dF dFn

j-----1--

dFn dx

und diese Gleichung ist identisch erfüllt vermöge der Gleichungen 3).

Es lässt sich aber auch leicht der umgekehrte Satz beweisen: wenn die Gleichung 4) ein Integral des Systemes 1) ist, so ist sie notwendig von der Form 5). Wir nehmen an, dass X nicht null ist. F„ F₂,...Fn sind n Funktionen der n -fl Veränderlichen x} xt1 xif ... xn und fallen der Annahme nach mit dem Integralsysteme zusammen. Man kann nun auch umgekehrt x1} x₂, ... xn als Funktionen von x und F„ F₂₎... Fn betrachten. Die Gleichung 4) geht dann über in eine Funktion von x, F,, F₂, ... Fn, die mit F (x, F,, ?F₂, . . . Fn) = F bezeichnet werde. Die Differentiation ergiebt:

dF dF dF, n + dF dx +    +

= 0.

dx

dF dWn d Fn dx

Da diese Gleichung, weil F ein Integral ist, durch das System identisch befriedigt sein muss, und da zufolge der

dFn

Gleichungen 3)

dF, d<F2 dx dx

dx

0 wird, so folgt, dass:

Dies besagt, dass die Funktion F unabhängig von x, d. h. als eine Funktion von Wl)... Wn darstellbar ist. Es giebt also für das System 1) nur n verschiedene, oder was dasselbe ausdrückt, von einander unabhängige Integrale.

sein muss.

Der Begriff der Unabhängigkeit zweier Funktionen von zwei Variabelen, oder allgemein mehrerer Funktionen von mehreren Variabelen ist von Jacobi aufgestellt und in folgender Weise begründet worden.

Sind u — ft(xly x₂), v — f₂(xx, x₂) zwei Funktionen der beiden Variabelen xx und rr₂, so heissen diese beiden Funktionen von einander unabhängig, wenn es möglich ist, aus diesen beiden Gleichungen die Variabelen xx und x₂ umgekehrt als Funktionen von u und v darzustellen; dagegen sind die beiden Funktionen abhängig von einander, wenn die Elimination einer Variabelen zwischen diesen beiden Gleichungen zugleich die Elimination der anderen Variabelen herbeiführt, so dass also eine Gleichung von der Form:

1)

cp(u, v) = 0 oder, was dasselbe besagt, von der Form:

2)

dF

^=- = 0

dx

V — cp (u)

besteht. Besteht solch eine Funktionalgleichung, so verschwindet die Determinante, gebildet aus den ersten partiellen Ableitungen der Funktionen u und v, identisch. Denn es folgt aus der Gleichung 1):

dcp du , dcp dv q du dxx dv dxx ’

dcp du    dcp dv

du dx₂    dv dx₂    ’

also ist auch:

du dv dxj dxx du dv dx₂ dx₂

Diese Determinante heisst die Funktionaldeterminante der beiden Funktionen, und der bewiesene Satz lässt sich umkehren:

3)

du dv du dv dxx dx₂' dx₂ dxx

= 0.

- Verschwindet die Funldionaldeterminante der beiden Funktionen u und v, welche von den Variabelen xx und x₂ abhängen, identisch, so sind diese beiden Funktionen nicht unabhängig von einander, es besteht mischen ihnen eine Funktionalgleichung.

Denn denkt man sich die erste Funktion u = fx(xx,x₂) nach einer der beiden Variabelen, die in derselben enthalten sind, aufgelöst, also etwa:

x₂= cp (xx, u)

ermittelt, und substituiert man diesen Wert in die zweite Funktion, so wird dieselbe im allgemeinen eine Funktion von xx und u\ wir bezeichnen sie mit

V = f₂(xx, u).

Es ist zu zeigen, dass in dieser Gleichung für v die Variabel xx explicite nicht mehr vorkommt, dass also die partielle Ab-

leitung

folgt:

df₂

dxx

identisch verschwindet. Aus der Gleichung v = f₂ (xxx u)

df₂ ^ df₂ du    dv    df₂ du

dx,    dxx du dxx    dx₂    du dx₂

und setzt man diese Werte in die Funktionaldeterminante ein, die der Voraussetzung nach identisch verschwindet, so wird:

dv

du du

du

du

8xx dx2 dv dv

dxx

dx ₂

df₂

dxx dx₂

dxx

CSD <2iD

du df₂ du dxx du dx₂

$f% du Q

dxx dx₂

du

Da —— nicht identisch verschwinden kann, weil sonst u die dx ₂

Variabele x₂ nicht enthalten würde, so ist also:

df₂

d. h. v = f₂ (u).

dxx °’

Dieselben Sätze gelten für ein System, welches aus n Funktionen von n Variabelen besteht. Sind die gegebenen Funktionen, so heissen dieselben unabhängig von einander, wenn sich aus ihnen die nVariabelen xxx ... x„ umgekehrt als Funktionen von ux, u₂, ... un darstellen lassen; dagegen heissen die Funktionen abhängig, wenn zwischen denselben eine oder mehrere Gleichungen bestehen. In diesem Falle verschwindet, wie leicht zu beweisen ist, die Funktionaldeterminante identisch, und umgekehrt aus dem Verschwinden der Funktionaldeterminante folgt, dass zwischen den Funktionen mindestens eine Gleichung besteht.

Der Beweis dieses letzten Satzes ergiebt sich folgendermassen durch Schluss von n — 1 auf n. Es sei bewiesen, dass zwischen n — 1 Funktionen von n — 1 Variabelen dann und nur dann eine

Abhängigkeit besteht, wenn die Funktionaldeterminante derselben identisch null ist; es soll gezeigt werden, dass auch aus dem Verschwinden der Funktionaldeterminante von n Funktionen mit n Variabelen eine Abhängigkeit zwischen diesen Funktionen folgt. Aus den n Funktionen ux, u₂, ... un müssen sich n — 1 auswählen lassen, vermittelst deren man die Variabelen xx, x₂₇ ...xn—i umgekehrt als Funktionen dieser Funktionen und der letzten Variabelen. xn darstellen kann. Denn wäre solch eine Auswahl nicht möglich, so würden ja n — 1 Funktionen nicht unabhängig von einander sein in Bezug auf die n — 1 Variabelen, es bestünde vielmehr eine Funktionalgleichung zwischen ihnen, in welcher nur noch die Varia-bele xn explicite Vorkommen könnte. Aus zwei dieser Funktionalgleichungen liesse sich dann auch xn eliminieren, und man erhielte eine Funktionalgleichung zwischen den n Funktionen, infolge deren auch die Funktionaldeterminante identisch verschwindet.

Es seien also die Variabelen xx, x₂₇ ... xn—\ als Funktionen von ux, u₂,... un-1 und der letzten Variabelen xn dargestellt. Substituiert man diese Grössen in die letzte Funktion, so wird auch un eine Funktion derselben; wir bezeichnen sie mit

Un ⁼⁼ fn (^1 > ^2» • • • 'M'n — 1 > •£»)•

Es ist zu zeigen, dass, falls die Funktionaldeterminante identisch verschwindet, die Variabele xn in dieser Gleichung nicht mehr explicite Vorkommen kann, so dass dieselbe in der That eine Relation zwischen den n Funktionen ausdrückt. Es wird:

8un

dfn

I CY>

8xx

8ux 8xx du₂ dxx

dfn d Mg

r * * * "T

C fn C Mn — 1

Ö 1Ajfi — i

8un

8x ₂

dfn ÖWi _}_ 8fn    _j_____

8ux 8 x₂ 8u₂ 8x₂

8xx

dfn dun-l>

8x₂

0 Mn    8 fn 8 Mx ^

8xn    8ux 8xn

8u₂

dxA

i ₊ £f»,

8 Mn — 1    8 Xyi    8 Xn

d fn d Mn —

Trägt man diese Werte in die Funktionaldetermmante:

8ux

8ux

8xx

8xn

8u₂

8u₂

8xx

8xn

8 un

8xx

8un 8xn

ein, so reduziert sich dieselbe auf die Form:

CUn—1

CV> '

dx.

dfn

Da die Funktionaldeterminante der n — 1 Funktionen ulf ... un—\ in Bezug auf die n — 1 Variabelen nicht identisch verschwindetr weil zwischen diesen Funktionen keine Abhängigkeit bestehen sollte, so folgt, dass dann

dxn

sein muss, womit die Behauptung bewiesen ist.

Auf Grund dieser allgemeinen Begriffe können wir die obigen Sätze über das simultane System und seine Integralgleichungen noch klarer fassen.

Besitzt das System der Differentialgleichungen dx dx₁ dx₂    dxn

=    =    = ~X^’

das Integralsystem

J Xx , ... Xn) ⁼⁼ C?i , . • •    Xx , ... Xn) — Cni

so müssen die Funktionen 4^, ... *¥n so beschaffen sein, dass sich aus den Gleichungen:

dWn

dW,

dx

cux

C Xn — x

dfn

du₂

dxn

= 0.

dx

die Differentialquotienten ⁽^X‘²

dx dx

es muss die Determinante:

dxn

•• —— berechnen lassen, d. h.

dx

von 0 verschieden sein, also sind die n Funktionen^in Bezug auf die n Variabelen xx, ... xn unabhängig, oder mit anderen Worten nach diesen Variabelen auflösbar.

TI (x , xx , ... Xn)    r,

Wenn aber ausser diesen n Funktionen noch eine weitere vorhanden ist:

welche ebenfalls ein Integral bildet, für welche also auch:

ein dx

wird, falls man für die Differentialquotienten die ihnen proportionalen Werte einsetzt, so verschwindet die Funktionaldeterminante der n + 1 Funktionen: Wx, ... Wn, 27, gebildet mit den n + 1 Veränderlichen x, xx,...xn, d. h. es besteht eine Abhängigkeit:

626. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichung:

27(x, xx, x₂, ... xn) = const

ein Integral des Systemes

dxn

dx dx₁

Xn

ist, besteht darin, dass zufolge dieser Gleichungen

dir

dX

dx -{-

dir

eil

dxx

dx. -j- • • • -j———• dxn — 0

dxn

wird, dass also identisch die Gleichung erfüllt ist:

dn

dn

dn

dx

dxx

dxn

xre=o.

Man hat also den Satz:

Lehrsatz I. Ist 77 = const ein Integral des simultanen dx dx,

X⁼ x7

Systemes:

dxn

Xn

so genügt die Funktion 77, identisch der partiellen Differentialgleichung :

dn

dn

dn

dx

+ Xx —--[-••• + Xn -- = 0.

CX,    dx n

Umgekehrt: Jede Funktion 77, welche dieser partiellen Differentialgleichung genügt, giebt, wenn man sie einer willkürlichen Konstanten gleich setzt, ein Integral des Systemes jener simultanen Differentialgleichungen.

Nach clen Sätzen im vorigen Paragraphen gilt dann ferner der

Lehrsatz II. Wenn die partielle Differentialgleichung:

dn

dn

dH

+ Xx —--b • • • + Xn -— = 0

ox₁    öxn

erfüllt ist, dadurch, dass man für TI successive n von einander unabhängige Funktionen W1} W₂,... Fn einsetzt, so ist jede andere Funktion II, welche derselben Gleichung genügt, notwendig eine Funktion von Wlt F₂,... Fn.

dx

I)ie Reduktion der Systeme von Differentialgleichungen mit mehreren Variabelen auf Differentialgleichungen, welche nur zwei Yariabele enthalten.

627. Eine Differentialgleichung von irgend welcher Ordnung mit zwei Variabelen, oder allgemein ein System von n Differentialgleichungen irgend welcher Ordnung mit n +1 Variabelen, lässt sich, wie wir gesehen haben (§ 615), auf ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen. Man kann nun aber auch umgekehrt leicht beweisen, dass solch ein System sich auf Differentialgleichungen zurückführen lässt, von denen jede nur zwei Variabele enthält. Es seien die n Differentialgleichungen:

1)

dy _ Y

dz

dx

dx

= z,..

dv

dx

-r,

wobei Y, Z, ... V gegebene Funktionen der n +1 Variabelen x,y,z,...v sind. Das Integralsystem enthält n willkürliche Konstanten, und wir können annehmen, dass die Gleichungen dieses Systemes aufgelöst sind nach y,z, ... v. Betrachten wir nun speziell die Gleichung, welche y als Funktion von x und diesen willkürlichen Konstanten definiert: Wenn die n Konstanten in dieser Gleichung enthalten sind, so muss man im allgemeinen, um sie zu eliminieren, mit derselben die n Gleichungen verbinden, welche durch n successive Differentiationen aus ihr hervorgehen. In diesem Falle hängt also y vermittelst einer Differentialgleichung wter Ordnung von x ab. Enthält aber der Ausdruck für y nur

i willkürliche Konstanten, wobei i < n ist, so reichen bereits i Differentiationen zur Elimination derselben hin, und y bängt nur durch eine Differentialgleichung iter Ordnung von x ab.

628. Diese Differentialgleichung für y kann aus den gegebenen Gleichungen erhalten werden; denn, indem man die erste der Gleichungen 1) differentiiert, bekommt man:

dY dz dz dx

dY dy dy dx

also auf Grund der Gleichungen 1):

d*V _₌ dY | ar y i dY y i    | dY y

dx² dx ⁺ dy ⁺ dz +    + dv

Wir bezeichnen zur Abkürzung die rechte Seite dieser Gleichung mit Yl und haben also:

d²y y

dx2 v

d²y

dx²

dY dv

dv dx ’

Differentiieren wir diese Gleichung und benutzen wir abermals die Differentialgleichungen 1), so erhalten wir die neue Gleichung:

d³y Y

dx3    2>

wobei Y₂ eine bekannte Funktion der Yariabelen x, y, z, ...v ist. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens bildet man ein System von n Gleichungen:

2)

dy

d²y

dny

dx²

dxn

= Yn

-i?

deren rechte Seiten bekannte Funktionen von    y, z, ... v sind.

Wenn die n Gleichungen 2) sämtlich notwendig sind zur Elimination der n — 1 Variabelen ... v, so werden diese Variablen durch die n — 1 ersten Gleichungen als Funktionen von

dy

dx ’

dn~¹y

dxn~¹

bestimmt: substituiert man dann diese Werte in die letzte

Gleichung 2), so erhält man eine Differentialgleichung ntei Ordnung:

dny

dx¹¹

= F (x, y,

dy dn~¹y dx ’ ” * dxn~l

)•

Es kann aber auch eintreten, dass die i ersten Gleichungen 2) hinreichen, um die Differentialgleichung zwischen x und y zu bilden. Diese Gleichung wird dann von der Ordnung «, und i — 1 der n — 1 Yariabelen z ... v werden alsdann vermittelst der i — 1 ersten Gleichungen 2) darstellbar als Funktionen der n — i anderen und der Grössen:

dy

X’V’ dx’"' dxi

d*~xy

wenn man alsdann die Werte dieser i — 1 Yariabelen in diejenigen der Gleichungen 1) substituiert, welche die Ableitungen der n—i anderen Yariabelen enthalten, so werden diese letzteren bestimmt durch ein System von n — i Differentialgleichungen, welches analog dem Systeme 1) ist, mit dem einzigen Unterschiede, dass die rechten Seiten eine Funktion y enthalten, welche durch eine Differentialgleichung iteT Ordnung bestimmt ist, sowie die i — 1 ersten Ableitungen dieser Funktion. Yerfährt man alsdann mit diesem Systeme ebenso, wie mit dem Systeme 1), so kann man eine andere Yariabele z von einer Differentialgleichung abhängig machen, die eine bestimmte Ordnung j gleich oder kleiner als n -- i besitzt, und welche die Funktion y, sowie die Ableitungen derselben bis zur Ordnung i — 1 enthalten kann, da die Ableitung von der Ordnung i, sowie die höheren, sich durch die Ableitungen niederer Ordnung ausdrücken lassen. Ist die Zahl j gleich n — i, so werden die übrigen n — i — 1 Yariabelen bestimmt als Funktionen von

dz

_ df-'z m

dx’ dxj~¹ ’

dy di~¹y X’ V'~dx''" dx¹-¹’

ist dagegen j kleiner als n — i} so können j — 1 dieser Yariabelen ausgedrückt werden als Funktionen der vorstehenden Grössen und der n — i—j übrigen Yariabelen. Man sieht nun ein, dass man durch Fortsetzung desselben Verfahrens ein System von Differentialgleichungen bilden wird, deren Ordnungen die Summe n haben. Jede dieser Gleichungen wird nur eine einzige abhängige Variabele enthalten, ausser denen, die in den vorhergehenden Gleichungen Vorkommen, und die wir uns durch diese Gleichungen bestimmt denken. Die-

jenigen Variabelen aber, welche nicht in diesen Differentialgleichungen Vorkommen, sind als Funktionen der übrigen Variabelen und deren Ableitungen bestimmt.

629. Um die Differentialgleichung zu bilden, durch welche zwei der Variabelen, die in einem simultanen Systeme Vorkommen, verbunden sind, brauchen diese Gleichungen nicht notwendig in der Form gegeben zu sein, die wir im vorigen Paragraphen voraussetzten. Die Differentiation und Elimination führt in allen Fällen zu der gesuchten Gleichung.

Betrachten wir z. B. zwei simultane Gleichungen:

dpz

dmy dz dxm ’

dy    dny dz

dx ’ dxn’ dx¹

welche drei Variabele x, «/, z enthalten, von denen die erste als die unabhängige betrachtet wird. Die erste Gleichung ist in Bezug auf y von der Ordnung m, in Bezug auf g von der Ordnung _p; die zweite ist bezüglich von der Ordnung n und q.

Es sei y die Zahl der Differentialgleichungen, aus denen das System von Differentialgleichungen erster Ordnung, aufgelöst nach den Ableitungen, besteht, welches man an Stelle des gegebenen setzen kann (§ 616).

Wenn die Gleichungen 1) die Werte der höchsten Ab-dmy dxm

oder kleiner als n ist), und ebenso der höchsten Ableitung

dqz dxq

1) '

f(

dy

dx’    dxp■

F^x,y,

dqz

dzq

leitung von i/, nämlich

oder

dny

dx

- (je nachdem m grösser

dpz dxp

Ableitungen und der Variabelen #, y, z bestimmen lassen, was notwendig erfordert, dass die höchsten Ableitungen nicht beide nur in derselben Gleichung enthalten sind, dass also die Differenzen m — n, p — q nicht von gleichem Zeichen sind, so wird die Zahl y gleich der grösseren der beiden Summen m + q, n + p. Ist dieses aber nicht der Fall, so wird y kleiner als die grössere dieser Summen.

Um nun die Elimination von g- zu vollziehen, differen-iiieren wir die vorgelegten Gleichungen, und zwar die erste

von z, nämlich

oder

als Funktionen der niederen

g-mal, die zweite p-mal; zusammen mit den beiden gegebenen erbalten wir ein System von p + <? + 2 Gleichungen. Die Ableitungen von z treten in diesem Systeme bis zur p -j- q Ordnung auf, und die höchste Ordnung der Ableitungen von y ist gleich der grösseren der beiden Zahlen m + q und n -f- p. Es handelt sich darum, die p -f- q + 1 Grössen

teil

dz

dp+qz

dx

dxp+q

zwischen den p -f q -f- 2 Gleichungen zu eliminieren. Sind alle diese Gleichungen zur Elimination notwendig, so bestimmen p + q + 1 unter ihnen die Werte von

dp+qz dx'' dxp+q'

und die Substitution dieser Werte in die letzte Gleichung giebt eine Differentialgleichung:

dz

2)

dy

deren Ordnung i gleich y ist. Zugleich hat man, wie wir schon sagten:

3)

*=

dl-dx dx/~

dy

'£)•

Wenn aber die p + q -f 2 Gleichungen, welche wir gebildet haben, nicht alle zur Elimination notwendig sind, so kann die Ordnung i der resultierenden Gleichung 3) kleiner werden als y. Alsdann folgt aus dem im vorigen Paragraphen

du

Gesagten, dass z nicht mehr als Funktion von x, y, —— j • • •

(100

bestimmt ist, sondern von einer Differentialgleichung abhängt:

4)

dz

df‘~lz '

dx’

dxp~

l) — ⁰!

deren Ordnung y —i ist, und in welcher auch die Funktion y mit ihren i — 1 ersten Ableitungen, welche durch die Gleichung 3) definiert ist, vorkommt.

l)ie Integrale verschiedener Ordnungen einer Differentialgleichung höherer Ordnung mit zwei Yariabelen.

630. Nachdem wir gezeigt haben, dass die gewöhnlichen Differentialgleichungen sich immer auf ein System von Gleichungen erster Ordnung bringen lassen, welche die Ableitungen als Funktion der Yariabelen definieren, haben wir weiter gesehen, dass solch ein System wiederum durch eine oder durch mehrere Differentialgleichungen von bestimmter Ordnung ersetzt werden kann, in denen immer nur zwei Variabele Vorkommen, ausserdem aber noch Funktionen, welche durch die vorhergehenden Differentialgleichungen definiert sind. Der Fall einer einzigen Differentialgleichung irgend welcher Ordnung n zwischen zwei Yariabelen kann also als der einfachste angesehen werden, und wir haben noch einige wichtige allgemeine Betrachtungen hierüber anzustellen.

Es sei

F(x </

V ’ dx dx²    dxns

1)

eine Differentialgleichung von der Ordnung n\ setzt man:

2)

dy_ = ,r ...

dx y ’

dy{n—2)

dx

= 2/

0 — 1)

so bestimmt die Gleichung 1) einen Wert von dy(n~¹⁾

dny

oder

dx

dxn

als Funktion von x, y, y', ... y^n~es sei Y dieser

Wert, also:

3)

dy(n-l)

dx

Wir nehmen an, dass die Funktion Y die Bedingungen erfüllt, welche durch die allgemeine Theorie in §§ 622 und 623 gefordert wurden. Das aus den simultanen Gleichungen 2) und 3) gebildete System besitzt alsdann ein Integralsystem, welches y,y\...y⁽-n~¹'> als Funktionen von x definiert, und sich für x = xQ bezüglich auf die willkürlich fixierten Konstanten y₀, i/₀? • • • 2/o(ra-1) reduziert. Bezeichnet man diejenige Gleichung des Systemes, durch welche y bestimmt wird, mit

y = ®&,yo, y'o, • ••2/o(n_1))>

4)

so ist leicht zu sehen, dass die w —1 übrigen Gleichungen erhalten werden, indem man diese Gleichung successive (n — 1) - mal differentiiert. Die Gleichung 4) heisst das vollständige Integral der Gleichung 1) innerhalb des Bereiches, für welche sie Geltung hat, und da das Integralsystem der simultanen Gleichungen 2) und 3) unter den angenommenen Voraussetzungen ein eindeutiges ist, so erkennt man:

5)

Hat man auf irgend welchem Wege eine Gleichung ermittelt f(x,y,C₁,C₂,...Cn) = 0,

welche n willkürliche Konstanten Cx, C₂,...CU enthält und durch welche y als eine Funktion von x definiert wird, die der Gleichung 1) genügt, so wird die Gleichung 5) mit dem vollständigen Integrale dieser Differentialgleichung zusammenfallen, wenn man den Konstanten solche Werte heilegen kann, dass y und seine n — 1 ersten Ableitungen für einen bestimmten beliebig fixierten Wert von x willkürlich gegebene Werte erhalten.

dy d²y X,^:dx' dx²

dn~hy

Diese letztere Bedingung wird erfüllt sein, wenn das System, welches aus der Gleichung 5) und aus den durch n — 1 Differentiationen aus ihr abgeleiteten Gleichungen besteht, die Werte der willkürlichen Konstanten Gx, C₂, ... Cn—\ als Funktionen von

dxn~¹

darstellen lässt.

631. Die Differentialgleichung 1) wird reproduziert, wenn man aus dem vollständigen Integrale 5) die willkürlichen Konstanten vermittelst der Differentiation eliminiert. Nehmen wir aber an, dass man aus der Gleichung 5) nur i willkürliche Konstanten eliminieren will, nämlich

4, c»...ch

so muss man i Differentiationen ausführen, und man kann beweisen, dass, wie man auch die Prozesse der Differentiation und Elimination kombinieren mag, das erhaltene Resultat immer dasselbe bleibt. Denn setzen wir voraus, dass man zwei verschiedene Gleichungen bilden könnte, in denen die Konstanten Cx, C₂, ... Ci nicht mehr Vorkommen; dann seien also:

Verbindet man mit dieser diejenigen, welche durch n — i Differentiationen daraus folgen, so hat man ein System von n — i -f- 1 Gleichungen, zwischen denen man die Konstanten Ci-j_i, Ct+2? •.. Cn eliminieren kann. Das Resultat dieser Elimination wird eine nicht identische Differentialgleichung, deren Ordnung nicht höher ist als n — 1 und die keine willkürliche Grösse mehr enthält. Man würde also, wenn man x — x₀

setzt, eine Relation zwischen y₀₎    > ••• \ \ nJ[)

CI 001 q    ' C t OC    ' q

d{y

dx¹’

d\

[x,y,

dy

dx ’

d'y

dx{

C{ + 1> C^i + 2 j • • ■ CnJ = 0,

Ci+lt @i+ 2} • • • Cra^) = 0

d'y

nicht den

diese beiden Gleichungen. Wenn dieselben für

nämlichen Wert liefern, so kann man diese Ableitung eliminieren und eine Gleichung höchstens von der Ordnung i — 1 bilden, welche n — i willkürliche Konstanten enthält:

d¹-dxl~

dx*

TS HB

Xo

*'+1j CI

f+2 J '

..Cn =0.

erhalten,

und demnach wären diese Grössen nicht mehr, wie sie sein müssen, von einander unabhängig.

632. Demnach werden wir ein erstes Integral oder Integral erster Ordnung einer Differentialgleichung %ter Ordnung die Gleichung nennen, welche aus dem vollständigen Integrale durch Elimination von n — 1 Konstanten gewonnen wird. Die Zahl dieser ersten Integrale ist gleich n- jedes derselben ist eine Differentialgleichung von der Ordnung n — 1, welche je eine der willkürlichen Konstanten enthält. Das System der n ersten Integrale bildet das Integralsystem für das System von Differentialgleichungen erster Ordnung, durch welches man die gegebene Differentialgleichung nter Ordnung ersetzen kann.

Ebenso werden wir ein zweites Integral oder Integral zweiter Ordnung die Gleichung nennen, welche man durch Elimination von n — 2 der Konstanten aus dem vollständigen Integrale gewinnt. Die Zahl derselben ist gleich der Anzahl der

Serret, Differential- und Integral -Rechnung. Bd. II. 2.

Kombinationen zu je zwei aus n Elementen, also gleich n ——5 jedes dieser Integrale ist eine Differentialgleichung

n — 2ter Ordnung, die zwei willkürliche Konstanten enthält.

Allgemein nennen wir die Gleichung, welche durch Elimination von n — i willkürlichen Konstanten gebildet wird, ein Integral von der Ordnung i der Differentialgleichung nter ' Ordnung. Die Zahl dieser Integrale ist gleich der Anzahl der Kombinationen von n Elementen zu je «, also

n (n — 1) (n — 2) ... (w — i -f 1)

jedes dieser Integrale ist eine Differentialgleichung n — iter Ordnung, welche i willkürliche Konstanten enthält.

Bei der Ordnung n hat man nur ein Integral, welches eben das vollständige Integral selbst ist.

633. Ist die Differentialgleichung nter Ordnung dy_    dny

dx    dxn

gegeben, und hat man auf irgend einem Wege eine Differem tialgleichung von der Ordnung n — i gefunden:

dn~iy dxn 1;

welche i willkürliche Konstanten enthält, und durch welche dn~

dy

dx⁵

q, <7₂,... a) = 0

¹ ti

als eine Funktion bestimmt ist, die der gegebenen

dxn

Gleichung genügt, so kann man dieselbe als ein Integral von der Ordnung i ansehen, falls diese Gleichung in Verbindung mit denjenigen, die durch i — 1 Differentiationen aus ihr hervorgehen, die Werte der Konstanten als Funktionen von

bestimmen lässt.

dy dn~l X:    dx’ dxn~

Denn bei dieser Annahme können die i Konstanten so fixiert werden, dass

dn~~iy

dn~¹y

dxn~l

für x = xQ die willkürlichen Werte (

dx

dn~i

-v. \dx—'L

dxn~‘

annehmen; ferner liefert die Gleichung (n — i)ter Ordnung ein

bezüglich die Werte y₀, (    ’‘ ‘ ’ (    t) annehmen für

Allgemeine Theorie, vollständiges Integral mit n—i Konstanten, und diese neuen Kon-

fln—i—ly

dx»-*-*■

stanten können so gewählt werden, dass y,

dy

dx

x = x₀. Das vollständige Integral der Differentialgleichung (n — i)teT Ordnung wird also zugleich auch das vollständige der vorgelegten.

Schliesslich bemerken wir noch den folgenden Satz, welcher aus den bisherigen Betrachtungen resultiert:

Kennt man k erste Integrale einer Differentialgleichung nter Ordnung, so erhält man ein Integral von der Ordnung k, indem man die k — 1 höchsten Ableitungen mischen den k ersten Integralen eliminiert. Die weitere Integration hängt also dann im allgemeinen von einer Differentialgleichung (n — k)ter Ordnung ab.

Insbesondere also:

Kennt man die n ersten Integrale einer Differentialgleichung nter Ordnung, so erhält man das vollständige Integral, indem man die n — 1 Ableitungen aus denselben eliminiert.

Definition der partikulären und der singulären Integrale.

6B4. Wenn man den willkürlichen Konstanten, welche in den Integralen einer Differentialgleichung oder eines Systemes solcher Gleichungen enthalten sind, besondere bestimmte Werte beilegt, so bekommt man Gleichungen, welche man partikuläre Integrale genannt hat. Die Betrachtung partikulärer Integrale ist bei gewissen Fragen sehr wichtig, wie wir noch später sehen werden, indessen beabsichtigen wir jetzt nicht auf dieselben einzugehen.

Die Differentialgleichungen können auch noch Lösungen zulassen, welche nicht in ihren sogenannten vollständigen oder allgemeinen Integralen enthalten sind. Diese Lösungen kann man im allgemeinen durch reine Eliminationsprozesse erhalten; man hat sie singuläre Lösungen genannt.

Die allgemeine Theorie, durch welche wir die Existenz der Integrale festgestellt haben, kann diese singulären Lösungen nicht zur Evidenz bringen; denn diese Theorie setzt voraus, dass bestimmte Funktionen innerhalb bestimmter Bereiche durchaus eindeutig und regulär sind, während die singulären Integrale gerade von solchen Werten der Yariabeien abhängen, für welche diese Funktionen singulär werden. Im folgenden werden wir zuerst den Fall der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Variabelen untersuchen; alsdann werden wir zeigen, wie man die nämlichen Betrachtungen auf Differentialgleichungen höherer Ordnung übertragen kann.

Über die singuläre Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung, gegründet auf die Betrachtung des vollständigen Integrales.

635. Die singuläre Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung lässt sich, wie wir zuerst zeigen wollen, leicht aus dem vollständigen Integrale gewinnen.

Es sei

1)

cly

clx die Differentialgleichung und

2)

y = f{x, C)

ilir vollständiges Integral, in welchem C die willkürliche Konstante bedeutet. Die Differentiation dieser Gleichung 2) giebt

3)

dy

dx

dx

Die Gleichung 2) wird ein Ausdruck für alle Funktionen von x, wenn man in derselben C als eine unbestimmte Funktion von x ansieht. Differentiiert man die Gleichung 2) unter dieser Annahme, so erhält man:

4)

dy _ df(x, C)    df(x, C) dC

dx

dx    dC dx

sein, wenn C eine bestimmte Funktion von x ist, und da die Gleichung 5) ebenfalls besteht, so muss df(x, C) dC _ q

dC

dx

Da nun aber die Gleichung 2) der Differentialgleichung 1) genügen soll, so hat man für alle Werte von x und G die Identität:

5)

dflx, G)

dx

= F[x,f{x,C)]

und diese Identität wird nicht aufgehoben, wenn man an Stelle von C eine beliebige Funktion von x setzt. Damit nun auch dann die Gleichung 2) der Differentialgleichung genügt, muss nach 4) df(oc, C) , dfjx, C) clG

dx

dC

dx

= F[x, f{x, C)]

sein. Diese Gleichung zerlegt sich in zwei, nämlich

6)

dC

dx~° und 7)

cf(x, G)

dC

Die Gleichung 6) giebt C = const und führt also auf das vollständige Integral zurück. Die Gleichung 7) dagegen definiert C als eine bestimmte Funktion von x, nämlich

8)

C=rp(x).

Die Lösung

9)

kann indessen auch noch als besonderer Fall in dem vollständigen Integrale enthalten sein; dies tritt insbesondere dann ein, wenn sich ip(x) auf eine Konstante reduziert. Diese Betrachtung liefert keine singulären Lösungen, wenn die Gleichung 7) C nicht enthält, das heisst also, wenn G linear in der nach y aufgelösten Funktion enthalten ist.

686. Es ist zu bemerken* dass die Gleichung 7) sich in

der Form

10)

i|Uo

dC

darstellen lässt, wobei

dy

aus dem vollständigen Integrale

ermittelt ist. Wenn dieses nun nicht nach y aufgelöst ist, vielmehr die Form:

dC

Diese Formel schliesst aber, ebenso wie die Gleichung = 0, die etwaigen singulären Lösungen x = const aus, da

sie nur y als Funktion von x so definiert, dass die Differentialgleichung befriedigt wird. Da man aber ebenso x als die abhängige Variabele ansehen kann, so gelangt man auf demselben Wege zu der Gleichung:

dO

11)

#0, y,C)= 0 hat, so tritt an Stelle der Gleichung 10):

do

dO dy dO ~dy~ JC ⁺ JC

— 0 oder 12)

dy

dC

dC

do

= 0.

dy

13)

dx

dü

dC

dO

= 0,

dx

und diese schliesst nur die etwaigen singulären Lösungen y = const aus.

Die singulären Lösungen werden erhalten, indem man vermittelst der Gleichung 12) oder 13) C aus der Gleichung 11) eliminiert. Wenn die Gleichung 11) von solcher Fo^m ist.

immer endliche Werte behalten, so kann

man an Stelle der Gleichungen 12) oder 13) einfach

80

dass —— und

dO

dx

dy

14)

dO

dC nehmen. Dabei tritt aber ein besonderer Fall, in welchem die hieraus berechneten Werte von C keine singulären Lösungen

do

d&

dy

zu liefern brauchen, ein, wenn die Grössen —— und ⁷¹    A X

ebenfalls verschwinden

Denn betrachtet man in der Gleichung

y>C) = ⁰

C als eine Funktion von x und ?/, so wird für diese allgemeine Funktion der Differentialquotient aus der Gleichung

80 8G> dy_ a# f8C_ 8C_ dy\ dx dy dx dC \dx dy dx)

zu berechnen sein. Bestimmt man nun C als Funktion der Varia -80

belen x, y so, dass —— = 0 wird, so wird für diese Funktion der 8C

Differentialquotient aus der Gleichung

80    80 dy

dx    8x dx

80

80

ebenfalls verschwinden, sobald

man für C die gefundene Funktion einsetzt, d. h. aber, falls die Kurve

bestimmt, falls nicht —— und

dx

8y

0=0,

80

8C

nicht den Ort von Punkten liefert, die für die Integralkurven

0(x, y, C) = 0

singulär sind. In diesem Falle müssen noch weitere Bedingungen erfüllt sein, soll die durch Elimination von C aus 0 — gefundene Funktion eine Lösung der Differentialgleichung sein.

= 0 verschwindet, so

80 n

°’ 8C ~ °

Wenn dagegen für

80

8C

= 0 nur

80

8x

dy

wird für die zu bildende Funktion —— == 0, und y = const wird

dx

Diese Entwickelungen zeigen, in Verbindung mit den Formeln der §§ 207 und 209, dass das singuläre Integral einer Differentialgleichung nichts anderes ist, als die Einhüllende des vollständigen

r,    80    „

0, -r-z = 0 ausser-6 C

Integralsystemes, während die Gleichungen 0 =

dem noch den Ort der singulären Punkte der Integralkurven des vollständigen Systemes ergeben können, welcher keine Einhüllende und dann auch kein singuläres Integral zu sein braucht. Ein singuläres Integral ist ebenso wie eine Einhüllende nur dann vorhanden, wenn durch jeden Punkt der Ebene im allgemeinen mehr als eine

Integralkurve hindurchgeht, also wenn in der vollständigen Integralgleichung ll), nachdem man ihre linke Seite auf eine eindeutig bestimmte Form gebracht hat, die willkürliche Konstante nicht nur in der ersten Potenz enthalten ist.

637. Beispiel. Es sei die Differentialgleichung:

y — 2x

chj

dx

(£)-«

gegeben, welche man durch Elimination von C zwischen der Gleichung

Q(x, «/, C) = (3xy -f 2 a:³ 4- C)² — 4 (y + a:²)³ = 0

und der durch Differentiation nach x und y daraus abgeleiteten Gleichung erhält. Hier wird:

cO

*= 2(3xy 4- 2a;³4 C)

und die Elimination von C zwischen & = 0 und —^ = 0 giebt (;y 4- x²)³ = 0 oder

dO

y = -x\

Aber dieser Wert von y genügt nicht der Differentialgleichung; vielmehr erkennt man, dass die beiden Ableitungen:

dO

= 2 (3a'y 4- 2x³ 4- C’)(3y 4 6a;²) — 12(y + x²)²2x,

——- = 2 (3xy 4 2a;³ 4 C) Sx — 12 (y -f- x²)²

dy

dO

beide zugleich null werden, wenn man 0 = 0 und setzt. Diese Kurve ist Ort der Spitzen der Integralkurven.

dC

Die Herleitung des singulären Integrales einer Differential gleich ung erster Ordnung aus der Differentialgleichung.

638. Es sei

1)

dy

dx

= F(x, y)

die Differentialgleichung und

y = f(x, C)

2)

ihr vollständiges Integral, so dass:

3)

cf(x,C) ■

__ = F[x, fix, C)]

eine Identität ist. Differentiiert man diese Gleichung nach Cf so folgt:

4)

oder

5)

d²fjx, C) dF[x, fjx, C)] dfjx, C) dC dx

d²fjx, C) d²fjx, C) dCdx dC²    dF[x,fix.C)]

d²fix, C)    dfix,C)    df

zf

ac

dC

oder

dx

eine Gleichung, die ebenfalls eine Identität ist, mag man auch für C irgend welche Funktion von x substituieren. Wir geben C den Wert, welchen die Gleichung 8) des § 635 darstellt und der dem singulären Integrale angehört, nämlich ipix). Der erste Faktor der linken Seite behält dabei einen von 0 verschiedenen Wert, denn er ist der Wert von

— *//(#); in der That erhält man durch Differentiation der Gleichung 7) im vorigen Paragraphen:

Z²fjx, C)

dx dC

d²fix, C) dC A dC² ' dx ’

und da C nicht eine Konstante, sondern eine Funktion von x dC

dx

ist, so kann also -z— nicht identisch gleich null sein. Der

zweite Faktor wird dagegen unendlich. Denn setzen wir zur Abkürzung:

Zf ix, C)

dC

so ist der Faktor 0, den wir betrachten:

er

Zf'ix, C)

dC

aiog [± f\x, c)]

fix, C)

dC

Wenn 0 endlich bleibt für C =    (x), so ist auch:

/0 dC — log

f\*, C) f (x, 1>)

endlich, was aber nicht der Fall sein kann, da für C=ip(x) der Nenner in diesem Ausdrucke verschwindet.

Also macht der Wert C=ip(x) den Wert unendlich. Man kann dies in der Form:

dF[x,f(oc, C)]

df

dy

schreiben. Mit anderen Worten: Die singulären Integrale der Differentialgleichung 1), mit Ausnahme derer, welche von der Form x = const sind, müssen der Gleichung:

6)

dF{x,y) °

dy

genügen. Man kann dieselben also bestimmen, ohne das vollständige Integral zu kennen; jedoch ist keineswegs gesagt, dass auch umgekehrt die Funktionen, welche sich aus dieser Gleichung ergeben, immer singuläre Integrale sein müssen; vielmehr hat man, sobald die Funktionen aus dieser Gleichung ermittelt sind, zu untersuchen, ob sie zugleich Lösungen der Differentialgleichungen sind.

Die vorgelegte Gleichung lässt sich aber auch in der Form:

dx

dy

F(x,y)

' darstellen; und dieselbe Untersuchung lehrt, dass die singulären Integrale mit Ausnahme derer, welche von der Form y — const sind, die Gleichung

⁹

dx

oder

[F(x, y) J

dx

erfüllen, das heisst:

dx

dy

7)

dF(x> V) ₌

dx

oder

dF(x,y) °

denn F(x, y) — 0 würde zufolge der Gleichung 1) — = 0 oder ?/ = const, also die ausgeschlossene Form ergeben.

639. Die Gleichungen 6) und 7) lassen sich schreiben:

8)

dy

dy

= co und

dy

-f- = QO, dx ’

dy

indem man y' für eiuführt. Wenn also die vorgelegte

Ct 00

Gleichung die Form:

9)

^ = 0 oder *¥(x, y, y') = 0

hat, so wird die Gleichung 6):

d*F

10;

dy'

und die Gleichung* 7):

dy

d-qr

11)

cy

d'F

= 0.

dx

d'F

dw

dy

Ist die Differentialgleichung so geordnet, dass —— und

0 Ob

nicht unendlich werden können, so hat mail für die sin-

gulären Lösungen einfach:

12)

zu setzen. Die Elimination von y’ zwischen 9) und 10) oder zwischen 9) und 11) oder endlich auch zwischen 9) und 12) giebt diejenigen Gleichungen, welche singuläre Integrale sein

d*P dW

können; im letzteren Falle dürfen jedoch nicht und ——-ebenfalls beide null werden. Die Anwendung der Gleichung 12) lehrt, dass man die singulären Lösungen erhält, indem man den Ort der Punkte bestimmt, in denen die Differentialgleichung

ein

mindestens zwei gleiche Werte für ~~ liefert.

cicc

640. Aber es ist evident, dass die Werte von y als Funktionen von x, für welche die Differentialgleichung gleiche Wurzeln für y' bekommt, im allgemeinen nicht zugleich Lösungen der Differentialgleichungen sind.

Betrachten wir den einfachsten Fall, wo die Gleichung dv

dx

vom zweiten Grade in ist. nämlich:

— Pj = Q oder aufgelöst:

dy

dx

= P±VQ.

P und Q seien zwei Funktionen der Variabelen x und y. Die Werte von y, welche aus der Gleichung Q = 0 folgen und welche sich ergeben, indem man die Gleichungen:

= co oder

= co oder ——r — 0

dy

anwendet, werden nun im allgemeinen nicht die Gleichung

dy

= P befriedigen. Dies tritt nur in besonderen Fällen ein,

CI oc

wenn weitere Bedingungen erfüllt sind. Betrachtet man z. B. die Gleichung:

ay

Ya²y² — 4:b²(ax + b²).

dy

dx 2{ax -\-b²)    2 (ax +b)

<2h    ,________

Hier erfüllt die Funktion y = —]/«« + 6², für welche

die Wurzel verschwindet, die gegebene Differentialgleichung. Als ganze Funktion dargestellt, lautet diese Differentialgleichung:

ay'(y - xy')- b²(l + y'²) = 0, und ihr vollständiges Integral ist:

aC(y - Cx) - b²{\ + C²) = 0, wobei C die willkürliche Konstante bedeutet.

Die Ergebnisse der bisherigen Untersuchung über die singulären Integrale einer Differentialgleichung kann man, mit besonderer Berücksichtigung derjenigen Differentialgleichungen, in

welchen der Differentialquotient y' =

dy

dx

nur algebraisch rational

vorkommt, in folgenden Sätzen geometrischen Inhaltes zusammenfassen.

Die Differentialgleichung y' = f(x,y) ordnet jedem Punkte der Ebene im allgemeinen eine oder auch mehrere Fortschreitungs-richtungen zu, je nachdem f(x,y) eine eindeutige oder mehrdeutige Funktion der Koordinaten x, y ist. gleichung vollständig integrieren, heisst dasjenige Kurvensystem bestimmen, dessen Tangentenrichtung in jedem Punkte zusammenfällt mit einer der Fortschreitungsrichtungen, welche dem Punkte durch die Differentialgleichung zugeordnet ist.

Die Differential-

Ist f(x, y) eine rationale algebraische Funktion gleich

oder eine Funktion, welche in der ganzen Ebene den Charakter einer rationalen Funktion hat, so geht durch jeden Punkt nur eine bestimmte Fortschreitungsrichtung und nur die Punkte, für welche gleichzeitig M = 0 und N — 0 ist, sind singuläre Punkte. In diesem Falle geht auch durch jeden Punkt der Ebene mit Ausnahme der singulären nur eine Integralkurve hindurch, und das Integralsystem enthält die willkürliche Konstante linear. Ist dagegen die Funktion f(x,y) eine mehrdeutige, so dass sich die Differentialgleichung auf die Form cp(x,y,y') = 0 bringen lässt, in welcher y' algebraisch in der «ten Potenz eingeht, während die Koeffizienten eindeutige Funktionen von x und y sind, so gehen im allgemeinen durch jeden Punkt der Ebene n verschiedene reelle oder komplexe Fortschreitungsrichtungen und das vollständige Integralsystem überdeckt die Ebene im allgemeinen ebenfalls w-fach, d h. die willkürliche Konstante muss auch in der wten Potenz in der Integralgleichung enthalten sein Es giebt dann aber einen Ort von Punkten, der auch aus mehreren rationalen Kurven zusammengesetzt sein kann, für welche mindestens zwei Fortschreitungsrichtungen zusammenfallen. Dieser Ort berechnet sich aus der Elimination von y' aus den Gleichungen:

dcp(x, y, y’)

dy'

== 0.

Nur diese Gleichung kann ganz oder teilweise zugleich eine Lösung der Differentialgleichung, insbesonders ein singuläres Integral liefern. Im allgemeinen ist sie das nicht, sondern stellt den Ort von Rückkehrpunkten oder höheren singulären Punkten der Integralkurven dar. Falls sie eine Lösung der Differentialgleichung

clv

der durch die Gleichungen l) dargestellten Kurve in jedem Punkte gleich einem der Werte y'

ist, muss der Differentialquotient

dx

sein, welche durch die Differentialgleichung dein Punkte zugeordnet werden, d. h. es muss auch

2)

dcp(x, y, y')    , dcpjx, y, y’) = Q

dx

dy

dcp

dcp

einzeln null sind. Das singuläre

Integral bildet immer eine Einhüllende des vollständigen Integral-systemes und kann daher aus diesem durch Differentiation nach der willkürlichen Konstante und Elimination derselben berechnet werden, doch ergiebt auch dieser Prozess zugleich den Ort von singulären Punkten der Integralkurven, falls solche vorhanden sind, der nicht zugleich eine Einhüllende zu sein braucht.

Eine ausführlichere Diskussion über die Bestimmung der singulären Integrale aus der Differentialgleichung ist von Darboux, Bulletin des Sciences mcitJiematiques T. IV, 1873, gegeben worden; daselbst werden die drei gleichzeitigen Bedingungen:

werden, ohne dass —— und

dx

dy

= 0,

dcp

behandelt.

dy'

= 0,

dcp

dx

dy

Die Kurve, welche durch Elimination von y' vermittelst der beiden Gleichungen

cp = 0,

CV> CD

+ t/

dcp

dy

definiert ist, stellt im allgemeinen den Ort der Wendepunkte dar, während durch eine Kurve, für welche die drei obigen Bedingungen

zugleich erfüllt sind, und überdies

ein Ort von Berührungspunkten getrennter Integralkurven geliefert wird.

dcp

dx

= 0 und

dcp

dy

= 0 wird,

641. Die bisherigen Resultate lassen nun auch im allgemeinen entscheiden, ob eine gegebene Lösung y = cp(x) einer Differentialgleichung

1)

chy

Tx ~ F(-x’

ein partikuläres oder ein singuläres Integral ist. Bezeichnen wir mit g eine neue Yariabele und setzen wir

V = <p(x) + 0f

so wird die transformierte Differentialgleichung befriedigt durch g = 0. Wir wollen annehmen, dass sie sich auf die Form

2)

dz

dx

= z^¹ *F(x, z)

bringen lässt, in welcher ⁷F(x, z) eine stetige Funktion ist* die für z = 0 weder null noch unendlich wird, und ft ein po-

in der

d*F

sitiver Exponent ist. Auch sei die Ableitung

Umgebung z = 0 stetig oder doch nur an der Stelle z = 0 bestimmt unendlich. Es handelt sich also darum, die Beschaffenheit der Lösung z == 0 zu erkennen. Wenn sie ein singuläres Integral ist, so ist notwendig und hinreichend, dass die Ableitung von z^ *F(x, z) nach z unendlich wird für z = 0. Diese Ableitung ist:

dz

3)

flz•W_1 *F(x, z) + £■" *F’ (x, z), d*F(x, z)

indem man *¥’(x, z) an Stelle von

Ist nun ft > 1 oder ft=l, so hat das erste Glied dieses Ausdruckes einen endlichen Wert für z = 0, und das nämliche gilt auch für den zweiten Term, denn es ist, wenn man mit 6 eine Grösse zwischen 0 und 1 bezeichnet:

4)    (0z)u *Ff (x, dz) = dM . zi"—1 [F(x, z) — *F(x, 0)],

und die rechte Seite in dieser Gleichung bleibt für z = 0 unseren Annahmen nach endlich, folglich auch die linke Seite. Also ist die Lösung z = 0 ein partikuläres Integral der Differentialgleichung.

Ist aber ft <1, so wird das erste Glied des Ausdruckes 3) unendlich für z <=■ 0, und die Ordnung des Unendlichen ist 1 — ft; auch das zweite Glied kann unendlich werden, aber nach der Gleichung 4) ist die Ordnung des Unendlichen kleiner als 1 — ft, so dass also zwischen den beiden Gliedern keine Reduktion eintreten kann. In diesem Falle ist die Lösung z = 0 ein singuläres Integral der Gleichung 2) und folglich y = cp (cc) ein singuläres der Gleichung 1).

Ich bemerke noch, dass man die singuläre Lösung durch eine Änderung der Variabelen verschwinden lassen kann..

dz

schreibt.

Denn setzt man z =    so wird die Gleichung 2):

5)

du

dx

= (1 — y) W\x: u¹—■“)

und diese Gleichung lässt nicht mehr die Lösung 2 = 0 oder a. — 0 zu. Diese Bemerkung ist zuerst von Poisson gemacht worden.

642. Schliesslich haben wir noch auf einen' wichtigen Umstand hinzuweisen. Das singuläre Integral stellt die Einhüllende oder, anders gesagt, den Ort der Durchschnittspunkte aufeinander folgender Kurven des vollständigen Integral-systemes dar. Es kann nun eintreten, dass die Einhüllende oder auch nur eine der Kurven, aus denen sie sich zusammensetzt, selbst einen Teil des Systemes der Eingehüllten bildet. Man hat dann den bemerkenswerten Fall einer Lösung, welche den doppelten Charakter eines singulären und eines partikulären Integrales besitzt. Es wird nützlich sein, hiervon ein Beispiel zu geben. Es sei

y = C{x — Cf

die Gleichung des Systemes der Eingehüllten. Die Differentiation nach C liefert:

(x — C) (x — 3 C) - 0.

Die Einhüllende setzt sich also aus zwei Kurven zusammen, deren Gleichungen erhalten werden, indem man C

durch x, und durch ^ in der Gleichung des Systemes ersetzt.

A /v>3    *

i/ = 0 und y = -—•

Die Lösung y = 0 ist zugleich ein besonderer Fall der Systemskurven, sie entspricht dem Werte (7=0.

Es folgt so:

Nur bei einem Kurvensysteme, welches die Konstante C mindestens in der dritten Potenz enthält, welches also die Ebene mindestens dreifach überdeckt, kann dieser Fall eintreten. Die Einhüllende bildet den Ort der Punkte, in denen mindestens drei Fortschreitungsrichtungen zusammenfallen, und die Tangente der Ortskurve ist in jedem Punkte mit dieser Richtung identisch.

y{n~i) = ffa y, y\ y'\ • • • y{n~²\ c)

2)

Es sei

Die Herleitung der singulären Integrale der Differentialgleichungen höherer Ordnung aus irgend einem ihrer ersten Integrale.

643. Die Betrachtungen, welche wir entwickelt haben, sind auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung anwendbar. Wir setzen:

dy--y’

dx J

und untersuchen die Differentialgleichung wter Ordnung: yw = F0, y, y', y", ... y^~l>).

dy’

dx

-fr-

dy(n—V

dx

— y{n)

1)

eines der n ersten Integrale, C die willkürliche Konstante. Differentiiert man die Gleichung 2), so folgt:

3) • yW₌K ₊ lLy> ₊

1 J dx dy J

Diese Gleichung muss zu einer identischen werden man ?/(n) und y(n~x) durch ihre Werte aus den Gleichungen 2) und 3) ersetzt; also besteht die Gleichung:

dy¹

dy{n

cf

(»—2) y

(re —1)

wenn

₄) K + Kl/+.,.₊

J dx^ dy J ^

df

F(x, y,y’,...y

(re —21

f)

di/n~

identisch, welches nur die Werte von x, y, y\...    und C

sein mögen.

Betrachtet man nun G als eine Funktion von

(re —2)

x,y,y,...y

zu

so kann die rechte Seite der Gleichung 2) als eine willkürliche Funktion dieser Grössen angesehen werden. Es ist untersuchen, ob auch unter diesem Gesichtspunkte die Gleichung 2) der Gleichung 1) genügen kann.

Der Ausdruck 3) für y(re) muss jetzt noch um das Glied

■—f vermehrt werden, und da die Gleichung 4) bestehen o G dx muss, auch wenn man der linken Seite dieses Glied hinzufügt, so muss diese Grösse null sein. Der Faktor

Serret, Differential- und Integral-Rechnung. Bd. II. 2.

dC dx

ergiebt, G = const, und führt auf das erste Integral zurück. Man bekommt also für das singuläre Integral die Gleichung:

5)

-0;

aus derselben berechnet sich der Wert von C als Funktion der Grossen #, y, y\ ... y⁽~n~²⁾. Trägt man diesen Wert in die Gleichung 2) ein, so erhält man das singuläre Integral. Man sieht, dass diese Lösung von der Form ist:

6)

dC

= o, y(n~= /"Ob y, y\ • • y{n~²\ C),

und dass, wenn das erste Integral in der Form:

®{x, y, y\ ... y(*-x\ C) = 0 dargestellt ist, die singuläre Lösung durch die Gleichungen:

dO

8)

dC

dO

= 0, (h = 0

gegeben ist.

044. Man darf nicht denken, dass jedem ersten Integrale der Gleichung 1) auch eine besondere singuläre Lösung entsprechen kann; im Gegenteil, es lässt sich leicht beweisen, dass, wenn man die angegebene Regel auf jedes der n Integrale anwendet, immer das nämliche singuläre Integral erhalten wird. Denn ist:

9)

®(x,y, y,y⁽~n~¹\ B) = 0 ein anderes erstes Integral der Gleichung 1), wobei B die willkürliche Konstante ist, so erhält man, indem man y⁽-n~1) aus den beiden Gleichungen 7) und 9) eliminiert, eine Gleichung von der Ordnung (n -- 2):

10)

nun an

V(x,y,y\...y(n-²\B,C) = 0,* welche ein zweites Integral der Gleichung 1) ist. Wir nehmen dass man die Gleichung 10) auf solch eine Form gebracht hat, dass die partiellen Ableitungen von 0" nicht

unendlich werden können, solange die Grössen, welche in F Vorkommen, endlich bleiben. Das Resultat der Differentiation der Gleichung 10) bezeichnen wir mit

V 0, y, y',. •. y^~x\ B, C) = 0.

Dann ist evident, dass man die Gleichungen 7) oder 9) durch Elimination von B oder von G aus den Gleichungen 10) und 11) erhält. Denkt B ersetzt durch seinen Wert, wie er aus der Gleichung 10) folgt, so wird diese Gleichung mit der Gleichuüg 7) identisch. Demnach kann sie zur Berechnung der partiellen Ableitung

dienen, die, gleich null gesetzt, nach § 643 das

singuläre Integral liefert, welches zum ersten Integrale 7) gehört.

11)

man

sich also in der Gleichung 11)

dy^-v

dC

Wir differentiieren also die Gleichungen 10) und 11); indem wir dabei C als eine willkürliche Yariabele, B und y{n~^ als zwei Funktionen dieser Yariabelen ansehen, so folgt:

-o,

= 0.

dF dF dB ~dC⁺TB~dC

dF' dF' dB

Tc ⁺ Tb de

dF' dy(n-V dy<n~v dC~

Eliminieren wir nun

dB

dC

zwischen diesen beiden Gleich-

ungen, so erhalten wir, weil

dF

dF

dy(n~v dy⁽-n~

ä ist:

dF dF dy^-V dB Tf n-^ dC

dF dF’    dF dF

dB ~TC    dC Tb

Also ist das singuläre Integral, berechnet aus einem der ersten Integrale 7) oder 9), definiert durch die Gleichung:

12)

dF dF' dF dF

Tb T g ~ Tc Tb

= 0.

Man erhält dasselbe durch Elimination von B und C aus den Gleichungen 10), 11) und 12).

4*

Die Herleitung der singulären Integrale der Differentialgleichungen höherer Ordnung aus der Differentialgleichung.

645. Das singuläre Integral einer Differentialgleichung beliebiger Ordnung kann, wenn es existiert, auch aus der Differentialgleichung selbst bestimmt werden, ohne dass man irgend ein Integral derselben zu kennen braucht. Wir betrachten die Differentialgleichung:

1)

F(x,y,y', ...yto-VjyM) = 0,

und es sei

f(x,y, y\ ... f/⁽”_1), (7) = 0

irgend eines ihrer n ersten Integrale. Differentiiert man die Gleichung 2), so wird:

K + K

dx dy

-If— y(n)₌ Q

Nehmen wir nun an, dass man aus dieser Gleichung den Wert von G als Funktion von x, y, y', ... yW bestimmt und in die vorhergehende substituiert hat, so erhält man die ursprüngliche Differentialgleichung selbst, und man kann also diese Gleichung zur Berechnung der Ableitung (n + l)ter Ordnung y^+V anwenden, welche man direkt durch Differentiation der Gleichung 1) erhält. Die Differentiation der Gleichung 2) ergiebt:

^~ + y' ir; + '" ⁺ y{n)

3)

Zf

dy

dy

in —17

)⁺l

dC ,dC

dx

+y

dy

+ • .. + y(n +1)

dC

dy

(«)

= 0.

Der erste Teil der liuken Seite ist aber null wegen der Gleichung 3), und also ist:

4)

• + »<n+l> jßs) -

0.

Dies ist also die Form, auf welche man die Gleichung für yin+¹⁾ bringen kann, welche durch Differentiation der Gleichung 1) erhalten wird. Für die singuläre Lösung ist diese Gleichung identisch erfüllt und kann nicht zur Berechnung von y⁽~n + ¹⁾ dienen; denn für solch eine Lösung ist

—r₁ — 0, wenn man, was gestattet ist, voraussetzt, dass die

of

Gleichung 2) nach y⁽-n~¹⁾ aufgelöst ist. Übrigens würde es auch leicht sein, zu beweisen, dass der Wert von ^/(re+¹⁾, welcher aus der Gleichung 4) hervorgeht, nachdem man den

Faktor

dC

unterdrückt hat, im allgemeinen nicht dem singulären Integrale angehört.

Nehmen wir also an, dass die Gleichung 1) auf solch eine Form gebracht ist, dass ihre linke Seite eine eindeutige Funktion der in ihr enthaltenen Grössen ist, und dass auch die partiellen Ableitungen bei allen endlichen Werten endlich bleiben, so ergiebt die Differentiation:

S TH

dF

dF

= 0.

di/n~

Da nun diese Gleichung den Wert von y{n + 1\ welcher zum singulären Integrale gehört, nicht bestimmen lässt, so muss notwendig für diese Lösung:

dy

(»)

5)

dF

und

6)

dy(n) ^

dF . dF

+ y -ö—I— + y{n)

dF

dy{n-

sein. Die Gleichung 5) giebt zusammen mit der Gleichung 1) durch Elimination von y^n) eine Lösung, vorausgesetzt, dass für diese Funktion zugleich auch die Gleichung 6) erfüllt ist. Es ist aber hiermit nicht gesagt, dass diese Lösung in allen Fällen eine singuläre ist, sie kann vielmehr auch eine partikuläre sein.

dx

dy

646. Schliesslich haben wir noch eine Bemerkung in Bezug auf die Theorie der singulären Integrale zu machen Es sei:

1)

n{x, y, y\ ... 2/(n-1}) = 0 das singuläre Integral der Gleichung nteT Ordnung:

2)

F(x, y, ij\...y^) = 0.

Ist diese singuläre Lösung wirklich von der Ordnung n — 1, so enthält ihr vollständiges Integral n — 1 willkürliche

Konstanten, und es genügt dasselbe der yorgelegten Differentialgleichung. Die singuläre Lösung kann nun selbst wieder ein singuläres Integral besitzen, aber dieses singuläre Integral genügt im allgemeinen nicht der ursprünglichen Differentialgleichung.

Denn nach unserer Annahme wird die Gleichung 2) erfüllt, wenn man in dieselbe die Werte von y^n~¹⁾ und ysubstituiert, welche aus der Gleichung 1) und der durch Differentiation aus dieser abgeleiteten hervorgehen. Diese letztere ist

dx+y'% + - + ^

dn

= o.

dn

dy(n~l)

Sie bestimmt aber nicht mehr, wie wir im vorigen Paragraphen gesehen haben, den Wert y^n), wenn es sich um die singuläre Lösung der Gleichung 1) handelt.

Eine Differentialgleichung höherer Ordnung besitzt kein singuläres Integral, wenn durch dieselbe der Wert yals eine durchaus eindeutige Funktion von x, y, y\ ... y^n~l) definiert ist.

Denn alsdann ist jedes partikuläre Integral durch seine Anfangswerte #₀, y₀, y'₀, ...y^n~is> eindeutig fixiert. Die Theorie der singulären Integrale bei einer Differentialgleichung wter Ordnung, sowie bei einem Systeme von Differentialgleichungen ist ausführlicher von Herrn Mayer (Math. Annal. Bd. 22) behandelt worden.

Anwendung der Theorie auf ein Beispiel.

647. Die wichtige Theorie, welche wir dargestellt haben, glaube ich durch ein Beispiel erläutern zu müssen. Wir behandeln die Gleichung:

1)

y — ax² — bx — 4 a² — b² = 0,

welche Lagrange in seinen Legons sur le calcul des fonctions betrachtet hat; a und b sind zwei willkürliche Konstanten. Aus derselben folgt:

dx

2)

Die Elimination von b ergiebt:

3)

( dy \²

dy

dx

dx

y — a (^4x + x²^ + 4a²(l + #²) = 0;

und die Elimination von a:

4)

^k£)⁺^dx~2yx\

b (d ~ — x³) -f- 2&² (1 + x²) = 0.

5)

Ferner liefert die Gleichung 2):

(Py

dx²

— 2a = 0,

1    t?²!/

2    d#2 ung 3) ein, so wird:

also a =

• Trägt man diesen Wert von a in die Gleich-

dy

dx

= 0.

Die Gleichung 6) ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Gleichungen 3) und 4) sind ihre ersten Integrale, die Gleichung 1) ihr vollständiges. Drückt man die Bedingung aus, dass die Wurzeln a der Gleichung 3) oder die Wurzeln b der Gleichung 4) gleich werden, so findet man das singuläre Integral der Gleichung 6), nämlich:

= 0.

Will man diese Gleichung 7) aus der Differentialgleichung 6) gewinnen, so hat man diese letztere zu differentiieren; man erhält:

dxä L    dx² dx

HS

= 0.

Setzt uian den Koeffizienten von

d³y

dx³

gleich null, so folgt:

= 0;

8) .

d²y

aus den Gleichungen

endlich ergiebt die Elimination von

6) und 8) die Gleichung 7), welche wir vermittelst der ersten Integrale bestimmt haben.

dx²

Löst man die Gleichung 7) nach

auf, so findet man:

dy

2x + x³ ]/l + oc² yi6y + 4x²+ a;⁴

dx

was man auch schreiben kann:

8 -f 4x + 2a;³

dx

y 16 ?/ + 4a;² + x⁴

- 21/1 + £² = 0.

Der erste Teil der linken Seite ist die Ableitung von ]/l6i/ -f- 4 a;² + x⁴, während der zweite Teil 2]/l -f x² die Ableitung von

a;]/l + x² -f- l (x -f ]/l -f- a;²)

ist. Also erhält man die singuläre Lösung 7) durch Differentiation der Gleichung:

9) Y16 y -f 4x² + a;⁴ — x]/l -f- x² — 2 (a; + /l + ,/) = i7,

wobei H eine willkürliche Konstante bezeichnet, d. h. die Gleichung 9) ist das vollständige Integral dieser singulären Lösung.

Die Gleichung 7) hat selbst ein singuläres Integral, das man aus ihrem vollständigen entnehmen kann. Da dieses nach der willkürlichen Konstante aufgelöst ist, so hat man die erste Ableitung der linken Seite nach y gleich null zu setzen. Man findet hiernach:

16

16y + 4a;² + a;⁴ = 0, also y = —

Dieser Wert von y befriedigt zwar die Gleichung 7), aber nicht die Gleichung 1).

Über eine bemerkenswerte Klasse von Differentialgleichungen.

648. Zum Schlüsse dieses Kapitels will ich nur noch einige summarische Bemerkungen über eine Klasse von Differentialgleichungen anführen, welche zuerst von Lagrange behandelt worden sind und deren Theorie ausführlich in einer Abhand-

lung im 18. Bande des Journal de Mathematiques pures et appliquees von mir entwickelt worden ist.

Es seien x, y zwei Yariabele, y',y",... die successiven Ableitungen von y, a und ß zwei willkürliche Konstanten. Wenn die beiden Gleichungen:

y\    = «j

{pc, y, y',... yW) = ß

zwei erste Integrale derselben Differentialgleichung V= 0 sind und aus denselben durch Elimination von yM eine Gleichung:

f(x, y,y\...y(a“¹⁾, «,ß) = 0

folgt, so ist diese letzte ein zweites Integral der Gleichung V= 0. Die nämliche Gleichung 2) ist nun ein erstes Integral der Gleichung:

1)

2)

3)

F{cp, yi) = 0

wobei F eine beliebige Funktion bezeichnet, wenn man in jener a und ß als Konstante betrachtet, die unter einander durch die Gleichung:

4)

F(a, ß) = 0

verbunden sind. Denn wenn man die Gleichung 2) und die aus derselben durch Differentiation abgeleitete nach a und ß auflöst, so findet man nach unserer Annahme a = g>, ß = und weil man voraussetzt, dass a und ß durch die Gleichung 4) verbunden sind, so ist klar, dass die Gleichung 3) befriedigt ist.

Um nun das singuläre Integral der Gleichung 3) zu erhalten, kann man ihr erstes Integral 2) anwenden. Setzen wir-voraus, dass dieses Integral auf solch eine Form gebracht

ist, dass die Ableitung

nicht unendlich werden kann,

dy(re_1)

so genügt es, die Gleichung 2) nach der willkürlichen Konstanten a zu differentiieren, indem man dabei ß als Funktion von a ansieht; alsdann folgt:

df

da

da +

3f

et

dß = 0.

Andererseits ergiebt die Gleichung 4):

und hieraus folgt durch Elimination von —

da

5)

dF

da

da +

dF

Bß

dß = 0,

cf dF _ cf dF _ da dß dß da

Diese Gleichung ist das gesuchte singuläre Integral.

64D. Erstes Beispiel. Es soll eine ebene Kurve bestimmt iverden, wenn die Kurve ihrer Krümmungsmitteljpunkte, ihre Evolute, gegeben ist.

Bezeichnet man mit x, y die Koordinaten der gesuchte Kurve, mit a,ß die der Krümmungsmittelpunkte, so ist (§ 195):

dyV

1) a = x —

dx

dy

dx

dx ’

d²y

Ist also:

dx²

2)

F(a,ß)~0

die Gleichung der gegebenen Kurve, so ist die Differentialgleichung des Problemes:

3) F

(dy V \dxJ

dy

\dx

2~1

dx ’

d²y

— 0:

dx²

sie ist von der zweiten Ordnung. Betrachtet man aber a und ß als willkürliche Konstanten, so sind die Gleichungen 1) zwei erste Integrale der nämlichen Gleichung dritter Ordnung:

4)

(i+SO

dy

dx \dx²

= 0.

Man hat hier also den im vorigen Paragraphen behandelten

zwischen den Gleichungen 1), so

Fall. Eliminiert man erhält man:

d²y

dx²

5)

(a-x) + Q3 - y) = 0,

und diese Gleichung ist ein erstes Integral der Gleichung 5), wenn a und ß zwei Konstanten sind, die mit einander durch

die Gleichung 2) verbunden sind. Die linke Seite der Gleichung 5) ist bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung von

o -%)²+ (ß -y)²\

bezeichnet man also mit R eine neue willkürliche Konstante, so ist das vollständige Integral der Gleichung 3):

(x — a)² + (y — ß)² = R².

a und ß sind durch die Gleichung 2) verbunden. Die vollständige Lösung des vorgelegten Problemes ist also gegeben durch einen Kreis mit willkürlichem Radius, dessen Mittelpunkt ein willkürlicher Punkt der gegebenen Kurve ist. Im Sinne der Geometrie aber ist dieses nicht die eigentliche Lösung, vielmehr ist diese nichts anderes als das singuläre Integral der Gleichung 3). Um dieses zu erhalten, muss man die Gleichung 5) differentiieren, indem man a und ß als die einzigen Variabelen betrachtet. Dies ergiebt:

äß dy da dx

muss aus der Gleichung 1) berechnet

werden. Diese Gleichung 6), welche nur von der ersten Ordnung ist, muss man ansetzen, wenn man die Evolventen der gegebenen Kurve bestimmen will.

650. Zweites Beispiel. Es sollen die Krümmungskurven einer Fläche zweiter Ordnung mit Mittelpunkt gefunden werden. Die Gleichung der gegebenen Fläche sei:

6)

+ 1 = 0.

Der Quotient

dß

da

i)

x²

y-

<>2 + p²-1²

z²

= l.

Q² — C²

Die Differentialgleichung der Projektionen der Krümmungskurven auf die xy-Ebene wird dann, wenn man dy = y'dx setzt (§ 341):

2)

oder:

c² ( ₉ xy\ c²—h²

7\x 7)~¥~=J*

(V²~ ocyy') - h² = 0

3)

a-ß-l² = 0

indem man

4)

c²

(«■-?)

c² — b²

Q²-b²

einführt. Betrachtet man nun a und ß als willkürliche Konstanten, so ergeben diese beiden Gleichungen übereinstimmend durch Differentiation:

xyy" - yy’ + xy,2 = 0;

sie sind also die zwei ersten Integrale dieser Differentialgleichung, und folglich kann man auf die Gleichung 2) das Theorem des § 648 anwenden. Eliminiert man y¹ zwischen den Gleichungen 4), so folgt:

c² x2 — +

c²- b² y2 Q²-b² ß ~

da a und ß durch die Gleichung 3) verbunden sind, so setzen wir a = ft², ß = y² — b², und die Gleichung der Projektionen der Krümmungskurven wird schliesslich:

c²x²

pV

wobei y² die willkürliche Konstante ist.

Da diese Gleichung in Bezug auf q und y symmetrisch ist, so stellt sie auch, wenn man q als einen variabelen Parameter und y als eine bestimmte Grösse betrachtet, die Projektionen der Krümmungskurven der Fläche:

(c² — b²) y²

i;

{Q²-b²) (y²-b²)

6)

y² ^ y²-b²

z²

y² — c²

dar; und wenn man gleichzeitig den Grössen q und y bestimmte Werte beilegt, so repräsentiert die Gleichung 5) die Projektion einer Krümmungskurve, die den Flächen 1) und 6) gemeinsam ist, die also den Durchschnitt dieser beiden Flächen bildet.

Wenn in der Gleichung 1) q > c > b angenommen wird, so muss y zwischen c und b gelegen, oder kleiner als b sein, damit die beiden Flächen sich schneiden Hieraus schliesst man, dass die drei Gleichungen:

(>² - b²

— + -1--

fl² ^ fl²- b²

rr²

*/²

p²-c²

£²

C² — fl

£²

.2

-1,

v² 6² — r'²    c² — v²

in denen b und c> b bestimmte Konstanten, p, fi, v drei varia-bele Parameter sind, q zwischen oo und c, fi zwischen c und &, v zwischen b und 0, ein System von drei Flächenfamilien darstellen, so dass jede Fläche der einen Familie von allen Flächen der beiden anderen in ihren Krümmungskurven geschnitten wird, eine Eigenschaft, welche wir vermittelst des Dupinschen Theorems bereits bewiesen haben (§ 338).

651. Drittes Beispiel. Die Gleichung

auf welche wir im folgenden Kapitel noch zurückkommen werden, gehört zu der behandelten Klasse; denn die Gleichungen

dy

xp--ß.

dx

in denen a und ß willkürliche Konstanten sind, sind die ersten Integrale der Gleichung

d²y

dx²

= 0.

Eliminiert man

dy

dx ’

so erhält man:

y = ax + ß,

und dies ist das vollständige Integral der vorgelegten Gleichung, wenn man dabei zwischen cc und ß die Gleichung

ß = /■(«)

annimmt. Das singuläre Integral erhält man durch Elimination von a aus den Gleichungen:

y = ax + f{a), 0 = x + f'(a).

Zweites Kapitel.

Über die Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Yariabelen.

Die Trennung (1er Yariabelen.

652. Nachdem wir die allgemeinen Grundlagen der Theorie der Differentialgleichungen entwickelt haben, müssen wir nun die Fälle untersuchen, bei denen man die Integrale in geschlossener Form ermitteln, d. h. entweder durch explicite oder implicite elementare Funktionen, oder mit Hilfe bestimmter Integrale darstellen kann; durch diese letzteren werden, wie wir gesehen haben, im allgemeinen neue transscendente Funktionen, wie z. B. die elliptischen, definiert. Eine Differentialgleichung wird also als gelöst betrachtet, wenn es gelungen ist, die allgemeine Funktionalgleichung zwischen den Yariabelen zu bilden, welche die Ableitung derselben nicht mehr enthält, mögen auch in dieser Gleichung neue Funktionen, insbesondere Quadraturen auftreten, deren Untersuchung freilich weitere Aufgaben darbietet. In dem vorliegenden Kapitel behandeln wir nur die Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Yariabelen.

Der einfachste Fall ist hier derjenige, bei welchem die Yariabelen getrennt sind; dann hängt die Integration der Gleichung nur von Quadraturen ab. Wir sagen, dass die Yariabelen in einer Differentialgleichung getrennt sind, wenn dieselbe aaif die Form gebracht ist:

i)

X+Y

dy

dx

= 0 oder Xdx-\-Ydy = 0

wobei X eine eindeutig gegebene, integrierbare Funktion von x, und ebenso Y eine Funktion von y ist. Bezeichnet man mit x₀ und y₀ irgend welche bestimmte Grössen, mit C eine willkürliche Konstante, so ist das vollständige Integral der Gleichung 1):

2)

jXdx +J'Yd>J = C.

Vo

3)

Statt dieses Integrales kann man auch schreiben: •

x    y

fXdx +fYdy = 0,

Xq

Vo

wenn x₀ irgend einen bestimmten Wert und y₀ eine willkürliche Konstante bezeichnen; diese Konstante ist dann gerade der Wert, welchen y annimmt, falls man der Yariabelen x den Wert x₀ beilegt.

wenn

Dass in der Tha,t diese Funktion zwischen x und y den Forderungen genügt, ist leicht einzusehen, indem man die gewonnene Gleichung differentiiert, und dass auch nur die Funktion y, welche aus der Gleichung 3) hervorgeht man sich dieselbe nach y aufgelöst denkt, die Differentialgleichung befriedigt und für x = x₀ gleich y₀ wird, folgt, nach dem allgemeinen Lehrsätze im § 622 aus der Eindeutigkeit des Integrales, solange X und Y und deren successive Ableitungen eindeutige Funktionen von x und y sind.

Will man nur die reellen Werte von x und y betrachten, so kann man die Vollständigkeit der Lösung 3) noch unter allgemeineren Voraussetzungen einsehen. Man muss zu diesem Zwecke auf den im § 618 citierten Beweis von Herrn Lipschitz für die Existenz und Eindeutigkeit eines Integrales der Gleichung

=    zurückgehen, innerhalb eines Gebietes, in welchem

CI 00

f(x. y) eine eindeutige und stetige Funktion der beiden Variabelen x und y ist.

Das Problem der Integration einer Differentialgleichung ist demnach als gelöst zu betrachten, sobald die Variabelen getrennt sind; diese Trennung lässt sich bisweilen vermittelst einer Transformation der Variabelen vollziehen, wie wir an Beispielen in diesem Kapitel sehen werden.

= 0 die Wurzel x = a hat, so ist

Wenn die Gleichung für die Differentialgleichung:

Schreibt man also l ]/ C an Stelle von 0, sc wird das obige Integral gleich:

(1 + x) (1 + y)

(1 - x) (1 - y)

dy _ X

dx

oder

dx

dy

x = a eine Lösung, also entweder ein partikuläres oder ein singuläres Integral (§ 641). Desgleichen wenn -y = 0 die

Wurzel y = b hat, so wird y = b ein partikuläres oder ein singuläres Integral.

653. Beispiele. 1. Die Differentialgleichung

(ly , i - y²

dx 1 — x²

hat das Integral:

= 0 oder

dx

dy

1 — x²

⁺ 1 -y²

Nun ist

f-

0

dx

1 — X²

= c.

dx

1/

o

dx

dx

und ebenso:

dy

i-y

■>

iY i

Für (7=0 erhält man die partikulären Integrale x = — 1, y = — 1; für C = co die beiden anderen partikulären Integrale # = -}-1, y — + 1, was mit dem allgemeinen Satze im § 641 übereinstimmt

2. Die Differentialgleichung

dy_ ₊ l/i - y

dx

y i — x²

= = 0 oder

dx

dy

hat das vollständige Integral:

arcsin# + arcsin?/ = arcsin C wobei C die willkürliche Konstante bedeutet. Bildet man den Sinus der auf beiden Seiten stehenden Glieder, so folgt:

xY l — y² + y Y l — x² = C\

auch hier wird die Differentialgleichung befriedigt, indem man X = zh 1 oder y = + 1 setzt; aber diese Lösungen sind jetzt singuläre und nicht partikuläre Integrale; denn dieselben ergeben sich nicht aus der vollständigen Integralgleichung durch einen besonderen Wert der Konstanten; auch steht dies in Übereinstimmung mit der Theorie im § 641.

dij

Integration der Gleichungen -y- =

doc

654. Wenn sich bei einer Differentialgleichung

| = f(x, y)

V

die rechte Seite als eine Funktion des Quotienten — dar-

oc

stellen lässt, also:

1)

dy

dx wird, so kann man vermittelst der Substitution:

2)

= xz,

— = z oder y

x

wobei z als neue Variabele an Stelle von y eingeführt wird die Yariabelen trennen. Denn man erhält:

3)

dy

dz

dx X dx ⁺

also an Stelle der Gleichung 1):

4)

dz

dz

dx

f(z) ~ 8

— = 0.

Bezeichnet man mit C die willkürliche Konstante, so folgt durch Integration:

»fr*

dx

f iß) - 8

= C oder

dz

J fif) - z

x₀

Die Werte x₀ und z₀ können beliebig fixiert werden; betrachtet man aber z₀ als die willkürliche Konstante, so kann man einfacher schreiben:

/;

dz

- I — = 0.

f 0) - 8

Wenn in der Differentialgleichung:

Mdx + Ndy = 0 oder M -f N - 0

(tOC

31 und N homogene Funktionen derselben Ordnung von x und g bezeichnen, so gehört sie zu der betrachteten Art; denn M

der Quotient ist alsdann eine homogene Funktion nullter Ordnung von x und y, also in der Form

655. Beispiel I. Es seien die leiden rechtwinkligen Axen Ox und Oy gegeben; man soll eine Kurve MNP bestimmen, so dass der Badiusvektor OM stets gleich ist der Entfernung OT zwischen dem Koor-1/ dinatenanfangspunkte und dem Schnitt-\1 punkte, den die Tangente des Punktes M mit der Ordinatenaxe bildet.

Die Gleichung der Tangente MT im Punkte 31(x,y) ist:

Y-y = %{X-x),

und setzt man X -= 0, Y= + Yx² + yl, so erhält man die Differentialgleichung der gesuchten Kurve, nämlich:

dy _ y + V^Fy²

darstellbar.

Fig. 26.

JV

dx

dy

dz

Wir setzen y = xz, -f- = x - - -j- z, alsdann wird diese Gleichung:

dz

oder:

X -r—

dx

+ e = z +1/1 + z²

dz

dx

Differentialgleichungen erster Ordnung. Hier sind die Variabelen getrennt, und da

ist, so wird das Integral gleich:

l(e + ]/! + #²) = Ix - 2(7,

wobei 2(7 die willkürliche Konstante bedeutet. Dasselbe ist auch gleich:

8 +1/1 + 2²= -£T>

und liefert also die beiden Funktionen:

3 — Yl + ^=~ oder 3 + YI + z²=~'

Man vereinigt dieselben zu dem einen Ausdruck:

oder:

(s-i/t+7--^) («+vr+?--^)-o

— 2zx

also

C²

('-£)*-( 1 + ^-°

V

Setzt man wieder — an Stelle von 0, so folgt:

OC

x² — C² — 2Cy = 0.

Diese Gleichung stellt die Parabeln dar, deren Brennpunkt der Koordinatenanfangspunkt ist, und deren Axe mit der y-Axe zusammenfällt. Durch Differentiation nach C folgt:

2C(C+y) = 0.

C = 0 liefert das partikuläre Integral x²=0, also die y-Axe; C = — y giebt die singuläre Lösung:

x²+y²= 0,

welche ein imaginäres Linienpaar darstellt; in der That wird die Differentialgleichung befriedigt, indem man y = + x]/— 1 setzt.

656. Beispiel II. Das Integral der Differentialgleichung (ax 4 by) dx 4 (a'x + b'y) dy = 0 zu bestimmen, in welcher a, b, a', b' gegebene Konstanten sind. Durch die Substitution:

y = xz, dy = xdz 4 zdx wird die vorgelegte Gleichung:

x {a 4 bz) dx 4 x (a! 4 b' z) (x dz 4 z dx) = 0

oder:

(a! 4 b'z) dz

dx

oder:

a 4 (b 4- a!) z -f b' z²

2 — 4~

(b 4 a!) 4 2b' z

a 4 (b 4 a!) z 4 b'z²

dz +

(a! — b)

a 4 (b 4 a!) z 4 b' z²

dz = 0.

Die ersten beiden Glieder dieser Summe sind das Differential von

l (x²) 4 l [a 4 (b + a!) z 4 b'z²] = l [ax² 4 (b rf a') xy 4 b'y²], folglich erhält

man

durch Integration:

l [ax² 4- (b 4 a!) xy 4 b'y²]

(a! — b) dz a + fb + a’) z + b'z²

dz — const.

Setzt man

0' - b)² - 4 (ab’ - ba!) *= ± H, wobei H eine positive Grösse ist, so bekommt das Integral der obigen Gleichung den Wert:

a!-b x 2b'z + b + a'-VH

yn    2b'z + b + a’ + yil

oder:

2 (a’-b)

VH

arctang

2b' z 4 b 4 a'

---)

VH

je nachdem +H einen positiven oder einen negativen Wert bedeutet. Also wird das Integral der gegebenen Differentialgleichung im ersten Falle gleich:

l[ax²-\- (b -f- a!) xy 4 b'y²J 4

im zweiten Falle gleich:

l [ax² + (b + a!) xy + Vy²] + -

a! —b 2b'y 4 (b 4 a! — VH) x VH 2b'y + (ba!-\-V H) x

2{a'-b)

VH

arc taug

2b' y + (b + a')x

x]/H

= C.

Ist H — 0, so wird das letzte Glied algebraisch, und man erkennt leicht, dass es den Wert hat:

— 2 (a! — b) x 2b'y + (b + d) %

Das Integral der vorgelegten Differentialgleichung ist nur dann eine algebraische Funktion, wenn die Grösse + H positiv ist, und in diesem Falle muss dann überdies

a! — b

VH

ein rationaler Bruch sein.

Dieselbe Differentialgleichung lässt sich noch in anderer Weise integrieren, was zu einer einfacheren Einsicht in die Natur der Integralfunktion führt und insbesondere das Verhalten derselben in dem singulären Punkte erkennen lässt, für welchen ax -\-by = 0 und a'x -f- b'y — 0, also x — 0 und y = 0 wird, und welcher hier der einzige im Endlichen gelegene singuläre Punkt ist. Führt man an Stelle der Variabelen x und y zwei neue Variabele § und rj durch die lineare Substitution

£ = ® + h V, V = * + Kv

ein, so kann man die Konstanten und X₂ so bestimmen, dass die Differentialgleichung die Form erhält:

+ = 0.

Der Sinn dieser Transformation ist der, dass zwei lineare partikuläre Integrale § = 0 und rj — 0 ermittelt werden. Es wird nämlich:

dh, = dx + ^ dy, dr] = dx + X₂d y, g(x + X₂y) (dx + k₁ dy) + g'(x + Xxy) (dx + h dv) =

also:

und soll diese Gleichung mit der ursprünglichen identisch sein, so muss:

g + g' = a, gX₂ + g'X₁-=b, XxX₂(g + g') = b'

sein. Hieraus folgt, wenn wir den speziellen Fall a — 0 bei Seite lassen:

11    , i -i    a> b

AiA₂ — — >    + A.₂ =    -    »

d. h. und X₂ sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung: aX² — (a! + b)X + b' = 0.

Alsdann sind g und g' zu bestimmen aus den Gleichungen: g + g'^a,    g^+g¹^ = b,

und es wird:

{9 h + 9'h) (9'h + gX₂) = a'b = 9²hh + 9<2hh 4* 99'{h² + h²)>

ferner:

also:

Ma (fl' + 9')²= ab', a'b — ab' — gg'{Xt — X₂)², und das vollständige Integral der Differentialgleichung

wird:

grjd£ + g'Üdri = 0

l{l⁸v\⁹") = const oder {x + hv)⁹ (x + hV)⁹' ~ &

Diese Gleichung umfasst folgende Fälle, wenn die Koeffizienten a, a\ b, b' als reell vorausgesetzt werden:

1. Sind die beiden Wurzeln X von 0 verschieden, ungleich und reell, also:

4ab' - {a! + b)² = 4 (ab' - a'b) - (a' - b)² < 0

{x 4- hv)9 = c(x + hy)~⁹'>

so erkennt man, dass jede Kurve des Integralsystemes durch den singulären Punkt hindurchgeht, und zwar wird, je nachdem--

so sind auch g und g' beide reell, und entweder von gleichem Zeichen, wenn a'b — ab'> 0 ist, oder von ungleichem, wenn a'b — ab'< 0 ist. Im ersten Falle haben die Integralkurven (x + Xxy)⁹{x + X₂y)⁹ = C die Eigenschaft, dass nur die Kurve, für welche C = 0 ist, durch den singulären Punkt hindurchgeht; d. h. die Geraden x + Xxy = 0 und x + X.,y = 0 sind partikuläre Integrale der Differentialgleichung, sie bilden zwei ausgezeichnete Richtungen in dem singulären Punkte. Im zweiten Falle nehme man g als positiv an, g' als negativ und gebe der Integralfunktion die Form:

kleiner oder grösser als eins ist, immer nur eine der beiden ausgezeichneten Richtungen von allen übrigen Integralkurven berührt, während für den ganz speziellen Fall g = — g' die Integralkurven in dem singulären Punkte lauter verschiedene Tangentenrichtungen erhalten. Ist ab' — ba'=0, so erhält man ein System von parallelen Geraden, von denen eine durch den Koordinatenanfangspunkt hindurchgeht; eine andere durch diesen Punkt gehende Gerade löst sich als Faktor aus der Differentialgleichung

ab. Die Kurven sind algebraisch, wenn rational ist, d. h. wenn

a! — b

|/(a' - b)²- 4(ab' - a'b) rational ist, wie früher schon gefunden wurde.

2. Sind die beiden Wurzeln konjugiert imaginär, also:

4ab' - (a' + b)² = 4 (ab' - a'b) - (a' - b)² > 0,

«o sind auch die beiden Wurzeln g und gl im allgemeinen ebenfalls konjugiert imaginär, und giebt man denselben die Form g = « + iß, g¹ = a — iß, so wird

(•» + X₁yY+i^(x + A ₂y)a~^ = G

das Integralsystem. Schreibt man die Grössen Aj und A₂ in der Form:

X± = m -f- in, A₂ = m — in, und setzt man x + my = x’, ny — y¹, so wird dieses System gleich:

= C.

(x'-\- iy'Y ⁺'P (x'— iy'y—’P = C oder (x'² F y'²Y (^T~~rpJ

Durch Einführung von Polarkoordinaten erkennt man, dass diese Kurven ein System von logarithmischen Spiralen bilden, deren Pol der Koordinatenanfangspunkt ist; keine reelle Kurve des Integral-systemes geht also durch den singulären Punkt, sondern jede umkreist denselben asymptotisch.

3. Sind die beiden Wurzeln Ax und A₂ einander gleich, also: 4(ab' - a'b) - (a'- b)²= 0,

so ist die angegebene Transformation nicht durchführbar. Da hier:

aA² — (a' -f b)A + b'= 0 und 2aA — (a' + b) = 0 ist, so setze man:

x = £ — ly, dx = d'6, — A dy.

Die Differentialgleichung erhält dadurch die Form:

(a£ + ky) — k'B, dy = 0 oder

d'%

“T

wobei k = b — aX — aX — a' gesetzt ist; also wird das Integral:

y    k —

al% — k -y = C oder %a=Ce ⁴,

d. h. in den ursprünglichen Koordinaten:

(x + XyY = Cex+l».

In diesem Falle gehen alle Integralkurvcn durch den singulären Punkt und berühren dort die eine ausgezeichnete Richtung xXy = 0, sie haben im Koordinatenanfangspunkt eine Spitze.

Diese verschiedenen Arten eines singulären Punktes sind im wesentlichen auch für die Singularitäten der algebraischen Differentialgleichungen erster Ordnung überhaupt massgebend.

657. Beispiel III. Das Integral der Differentialgleichung (ax -f- by + c) dx + (a'x + b'y + c') dy = 0

zu bestimmen. Diese Gleichung ist nicht homogen in Bezug auf die Variabelen x und ?/, doch kann sie durch eine parallele Verschiebung des Koordinat<?nsystemes in eine homogene verwandelt werden. Setzt man:

x*=Xo + x\ y = y₀+y',

wobei x' und y' die neuen Variabelen bedeuten, und bestimmt man x₀ und y₀ derart, dass:

ax₀ + by₀ + c = 0 und a! x₀ + b'y₀ + c' — 0 wird, so erhält die Differentialgleichung die Form:

(ax' 4* by') dx' + (afx' + b'y') dy' = 0, und wird also mit der soeben behandelten identisch.

Direkter noch kann man setzen:

ax + by + c = u, a' x + b'y + c' = v, wobei u und v die neuen Variabelen sind; alsdann wird:

b'(u — c) — b(v — d) X    ab' —a'b

a (v — d) — a' (u — c) ab' — a'b ’

oder

und die gegebene Differentialgleichung bekommt die Form: u(b'du — b dv) + v(a dv — a! du) = 0 (b'u — a'v)du + (av — bu)dv = 0; sie ist homogen in Bezug auf u und v.

Die beiden Transformationen sind nicht anwendbar, wenn ab' — ba' = 0

ba!

ist, also V ==-; alsdann ist die Differentialgleichung:

CI

ra>    n

(ax + by + c) dx + — (ax -f* by) + c' dy = 0.

d

Um die Variabelen zu trennen, hat man zu setzen:

ax -\-by = z, also dy =

dz — adx

und die Gleichung wird:

adx +

a'z -f ad

(b — o!) z + (bc — ad)

dz = 0

so dass die Variabelen getrennt sind. Diese Gleichung gilt auch für den Fall, dass a! = 0, V = 0 ist; ist a = Q und 6 = 0, so hat man a!x + V y = z zu setzen.

Die Integration der linearen Differentialgleichung erster Ordnung.

658. Eine Differentialgleichung erster Ordnung heisst linear, wenn in derselben die eine Variabele und ihre Ableitung «nur in erster Potenz und nicht mit einander multipliziert Vorkommen. Solch eine Gleichung ist also von der Form

i)

dy

+ Xy + X, - 0

wobei X und Xx gegebene Funktionen der unabhängigen Varia-belen x sind. Diese Gleichung lässt sich leicht integrieren, indem man eine Trennung der Yariabelen herbeiführt. Zu dem Zwecke setzt man:

2)

y = dz,

wobei z eine neue Variabele und 0 eine Funktion von x ist, die noch willkürlich bestimmt werden kann Es wird:

3)

4*-e

dz

dO

dx

dx

dx ’

und die Gleichung 1) erhält die Form:

(f + z») + x,-o.

Nun lässt sich die Funktion 0 durch die Bedingung bestimmen, dass:

4)

dz

dx

5)

dO

dx

+ X0 = 0

wird, überdies können wir festsetzen, dass 0 gleich 1 wird für x = x₀. In der Differentialgleichung 5) sind die Yariabelen getrennt, wenn man sie in der Form schreibt:

+ Xdx = 0;

hieraus folgt:

6)

„    -JX dx

l(ß) = —J Xdx, 6 = e x° .

x₀

Ferner reduziert sich nun die Gleichung 4) auf die Form:

dz

0 -f = 0 oder dz 4

Xldx

= 0.

Die Variabelen sind hier getrennt, und die Integration

ergiebt:

Xldx

wobei C die willkürliche Konstante ist. Demnach wird das vollständige Integral der Gleichung 1):

y = e Xj

—fX dx

c-

:f

J'Xclx

X, ex°    dx

659. Beispiel I. Das Integral der Differentialgleichung

(1+x²)

dy

dx

- xy = a

zu bestimmen, wobei a eine gegebene Konstante ist. Hier ist:

also:

1 + x²

1 + x²

— fXdx = l ]/l + x²,    0 =yi + x²’,

ferner:

af

J (

- + const;

dx

(1 + x²)%

ax

yi + x²

also ist das gesuchte Integral:

y = ax + OY 1 -f x²,

wobei C die willkürliche Konstante bedeutet.

Differentialgleichungen erster Ordnung. 660. Beispiel II. Die Differentialgleichung

dx

dx

zu integrieren.

Hier ist:

ferner:

folglich:

x=2

/'sin

J %

o

7-    :

X

jXdx = 21 (x), 0 =

dx

-öt dx =

a:²Xx dx = —    —

3t

a:³

dXx

(7 a;.

Nun ist:

a:³

(7Xx

dx

dx = -

a:² sin x dx = (a:² — 2) cos a: — 2 a: sin a: + const,

also:

^fdx = -

2

dx— — (a:²— 2) cos a: + -w- a: sin a? + const

O    ü

mithin ist das gesuchte Integral:

sin x

—ö

ar

a:

dx +

x²- 2

2 sin x

3 a:²

dy

Anmerkung. Wie aus den im § 639 aufgestellten Sätzen hervorgeht, kann eine lineare Differentialgleichung keine singulären Lösungen haben, wenn die Funktionen X und Xx eindeutige Funktionen von x sind. Dagegen sind solche Lösungen wohl möglich, falls die Funktionen mehrdeutig werden und man die Gesamtheit aller möglichen Lösungen ins Auge fasst. In der Differentialgleichung

dx

]/l + x

zum Beispiel wird, wenn man der Quadratwurzel das positive Zeichen beilegt, das Integral gleich:

iCy) + 2]/l + x = const oder y — Ce~

Betrachtet man auch die Gleichung mit negativem Zeichen der Quadratwurzel, so ist das Integral:

l (y) — 2 Yl + x = const oder y = (7e+²Fi+*

Die Gesamtheit des Integralsystemes ist demnach:

[((<,)- Cf- 4(1 + z)=0,

und dieses System besitzt als Einhüllende die Gerade 1 + x = 0, welche der Differentialgleichung genügt und kein partikuläres Integral ist.

Über eine Klasse von Differentialgleichungen, die auf lineare zurückführbar sind.

661. Die Gleichungen von der Form:

1)

dy

dx

+ Xy+ Xxyn = 0,

in welchen X und Xx gegebene Funktionen von x bezeichnen, lassen sich auf die lineare Form bringen vermittelst der Substitution :

yl-n

1—■n

y~n dy = dz.

Denn dividiert man die ursprüngliche Gleichung mit yn, so wird sie:

y-^ + Xy'-'+x^o

und folglich ergiebt die Substitution:

dz

-j- + (1 ■- n) Xz + Xx = 0.

Auch kann man direkt auf die Gleichung 1) das Integrationsverfahren anwenden, das wir im § 658 benutzten. Denn setzt man:

dy

dz

d6

so wird die Gleichung:

2)

y    dx ^ dx Z dx'

(g + ez)+    0.

dz

dx

Dieselbe reduziert sieb auf die Form:

3)

dz

-r X₁dn~¹ zn == 0 dx

wenn man 0 so bestimmt, dass

4)

dO

dx

wird. Diese Gleichung ergiebt wie früher:

—J'Xdx

Die Gleichung 3) wird, wenn man die Variabelen trennt:

+ X, 0"—1 dx = 0.

zn

Integriert man diese und bezeichnet man mit G die Konstante, so folgt:

dz

z¹~n

XJn-'dx + C.

x₀

Also ist das Integral der Gleichung 1):

,    S —(X—n)fXdx

y¹~n= (1- n) e

C-

/    (1 — n)fXdx

J ⁶ X°

Xt dx .

x₀

Auf die lineare Gleichung lässt sich nun auch die Gleichung <V (®, y)äx + y (x, y)dy + % (x, y) (xäy — y dx) = 0

zurückführen, in welcher cp und tp homogene Funktionen vom Grade n und % eine homogene Funktion vom Grade q ist. Denn setzt man:

V

— = t, x dy — y dx = x² dt,

so wird die Gleichung:

xn Q dx + z” W(x dt -f tdx) + x^+² X dt = 0

oder

dx

(<P + t*P) — + x*F+ x*-n+'²X= 0,

d t

so dass man die soeben gelöste Gleichung erhält. Ist q — n — 2, so ist diese Gleichung eine lineare.

Über eine Klasse von Gleichungen, deren vollständiges Integral sich bestimmen lässt, sobald ein partikuläres bekannt ist.

662. Die Differentialgleichungen, von denen wir hier handeln wollen, haben die Form:

1)

dy

dx

+ X*,²+X1?/ + X₂=0;

Wenn man

X, X1} X₂ sind gegebene Funktionen von x. dieser Gleichung genügen kann, indem man y = Y setzt, wobei Y eine bestimmte Funktion von x bedeutet, so kann

man auch ihr vollständiges Integral finden, nämlich:

Setzt man

dy dY dz dx dx- dx

wobei z eine neue Variabele ist, so wird, weil

dY

+ XY²+ X.T+X^O

dx

ist, die Gleichung für z:

2)

dz

~ + (X, + 2XY) z -(- Xz² — 0.

Diese Gleichung gehört zu den im vorigen Paragraphen behandelten, wenn man daselbst n = 2 setzt; ihr vollständiges Integral lässt sich demnach bestimmen.

So wird z. B. die Gleichung:

dy

dx

-f Xif + Xxy — (X#² + Xtx -j- 1) — 0

erfüllt, wenn man y = x setzt; also erhält man durch die Substitution y = x + z die Gleichung:

dz

~ + (X, + 2Xx) z + Xz²= 0.

Die Riccatische Gleichung.

663. Die sogenannte Riccatische Differentialgleichung gehört zu der soeben behandelten Klasse; sie lautet:

1)

dy

a und b sind konstante Koeffizienten, m ein beliebiger, aber fester Exponent.

Ist m = 0, so lassen sich die Variabelen ohne weiteres trennen; es ist:

;—b a dx = 0, b

dy

y²--a

also wird, indem man integriert:

— 'M

VI'

>-V-,

v-.

— + a{x — C) = 0. b

Löst man die Gleichung nach y auf, so wird:

>-VV

a(x —

C)V

S |o|

— a(x —

C)V

1-° «

a (x — c)

1-0 I B

— a(x—c)

y±

a

— e

Ist — negativ, so kann man dafür schreiben (§ 368):

(X

y    cot§ a(x~

*)]/■

Die Gleichung 1) ist noch in gewissen Fällen vermittelst algebraischer und logarithmischer oder cyklometrischer Funktionen integrierbar. Der Weg, welchen wir bei dieser Untersuchung einschlagen wollen, besteht darin, dass wir die Differentialgleichung auf eine andere derselben Form zurückführen, bei welcher der Exponent m null ist.

664. Wir führen zunächst die Transformation y = My' + N

ein, y' ist eine neue Variabele, M und N sind Funktionen von x, die wir noch beliebig bestimmen können; nun ist:

dx dx ^ J dx

und wenn man diese Werte in die Gleichung 1) einführt, so folgt:

Md/-+(^+2aMN)y'+aM²y'² + ( 7 dx \dx    /    J \dx

Um M und N zu bestimmen, setzen wir jetzt:

dM

dx

dN

+ aN²—bxm^j = 0.

dN

dx

-j- aN² = 0

dx

+ 2aMN~ 0.

Hier lassen sich in der ersten Gleichung die Variabelen trennen: es ist:

dN

N²

-f a dx = 0, also

-vf + ax = const.

Wir wählen

ax

so dass die zweite Gleichung die Form erhält:

-f — dx = 0.

dM

dx

0 oder

dM

Demnach wird:

l (M) + l {x²) = const oder Mx² = (7,

M = —sr

so dass wir

setzen können; die angewandte Transformation ist folglich:

2)

ax

und die transformierte Gleichung wird:

3)

dv' I a „>» dx x² ^

— bxm+² = 0.

Für den Fall m = — 2 wird diese Gleichung: dy'

yn

b-a^-,

x²

y¹

und da die rechte Seite eine Funktion des Quotienten —

oc

ist, so ist sie nach dem Verfahren des § 654 integrierbar.

dx

Unsere Transformation führt also zu einer Integration der Riccatischen Gleichung, wenn m = — 2 ist.

Die Gleichung 3) hat nicht mehr die Form der ursprünglichen, doch erhält sie dieselbe vermittelst einer neuen Transformation der Variabelen; wir setzen:

4)

W4-}- 3

also:

dy'= -

TT dyu dx =

))/-}-2

xl "⁴+³ dXi',

substituiert man diese Werte in die Gleichung 3) und bezeichnet man zur Abkürzung:

m -f 4 m + 3

so folgt:

6)

Diese Gleichung ist der Form nach mit der ursprünglichen identisch; sie ist integrabel, wenn mx — 0 ist, also wenn m = — 4 ist; also ist auch die ursprüngliche bei dieser Annahme integrabel.

665. Die Transformation, durch welche wir von der Gleichung 1) zur Gleichung 6) übergegangen sind, kann nun auf diese letztere angewandt werden, und wendet man denselben Prozess weiter an, so erhält rmyi eine unbegrenzte Reihe von transformierten Gleichungen, die man in allgemeiner Weise durch

dy

dXi

-r aiyii<=biximi •

bezeichnen kann. Gelangt man dabei zu einer Gleichung, in welcher mt- null ist, so ist diese, wie wir gesehen haben, integrabel, und also sind es auch alle transformierten Gleichungen, die ihr vorangehen.

Man kann leicht die Fälle bestimmen, in denen dies ein-tritt. Bezeichneu wir mit 6(ni) die Funktion von m, welche durch die Gleichung

Serret, Differential- und Integral-Beclinung. Bd.II. 2.

2/4-1

Der Fall m = — 2

m + 4 m 4- 3

definiert ist-, und setzen wir zur Abkürzung:

66(m) = 0²m,    66²(m) = 6³(m),...

w / == 6¹ (m).

Hieraus findet man durch vollständige Induktion:

(2i — 1) m 4- 4 i im -f- (2i -}-1) ⁵

denn diese Formel gilt für / ==-1, und man erkennt leicht, dass sie, wenn sie für einen Index i gilt, auch für den Index i 4- 1 gütig bleibt. Damit nun m* = 0 wird, muss

6(m) =

so ist:

m-, == —

Ai

sein. Wenn also die Zahl m diese Form hat, wobei i eine ganze positive Zahl ist, so ist die Riccatische Gleichung vermittelst algebraischer und logarithmischer Funktionen integrierbar.

Es giebt aber noch einen anderen Fall der Integrabilität. Macht man die Substitution:

x = Xm+¹,

y = y ’

so erhält die ursprüngliche Gleichung die Form:

d Y.

und diese Gleichung ist nach dem vorigen integrabel

wenn

m 4-1

2i- 1

oder m = —

2i + 1

ist. Wir können also die Riccatische Gleichung mittelst der elementaren Funktionen integrieren, wenn die Zahl m die Form hat:

wobei i eine ganze positive Zahl ist. welcher oben behandelt wurde, gehört zu i — co.

Die Differentialgleichung L(xdy-y dx) - Mdy + Ndx = 0,

in welcher L, M, N lineare Funktionen sind.

666. Die Differentialgleichung Pdx + Qdy = 0 lässt sich, wie wir gesehen haben (§ 657), leicht integrieren, wenn P und Q lineare Funktionen der beiden Variabelen x und y sind. Euler und andere nach ihm (siehe insbesondere Minding: Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung; Abh. der Petersb. Akad. 1862 und Crelles Journal, Bd. 40) haben weiter den Fall untersucht, wo P und Q ganze Funktionen zweiten Grades sind; doch lässt sich hierbei die Integration nur dann auf Quadraturen zurückführen, wenn die Polynome P und Q speziellen Bedingungen genügen.

Die anfangs genannten Differentialgleichungen sind aber als besonderer Fall in einer allgemeinen Gleichung enthalten, für welche Jacobi (Grelle, Journal, Bd. 24) zuerst eine Methode der Integration gegeben bat. Dies ist die Gleichung:

1)

L{xdy — ydx) — Mdy + N dx = 0, wobei X, M, N lineare Funktionen sind, nämlich:

L = A + A'x 4- A"y,

2)

Die Riccatische Gleichung kann in eine lineare Gleichung zweiter Ordnung verwandelt werden, indem man

1 dz az dx ’

1 d*e az dx²

setzt; die transformierte Gleichung wird:

d²z dx²

also

dy

dx

1 fdz\* az² \dx)

— abzxm = 0.

ay

1 d*z

^ az dx²

M = B + P'x + P" y,

N=C+C'x + C"y, sind gegebene Konstanten. Die Methode, welche wir hier entwickeln wollen, unterscheidet sich im Grunde nicht von der Jacobischen, sie besteht darin, dass diese Differen tialgleichung drei lineare partikuläre Integrale besitzt, durch

deren Ermittelung und explicite Einführung die Differentialgleichung so transformiert wird, dass die Variabelen getrennt sind, oder mit anderen Worten so, dass sie exakt wird. Es seien

U = a + bx + cy,

TJ' =■• a' + b'x + c'y, U" = a" -f b"x + c"y

3)

drei lineare Funktionen, deren Koeffizienten zunächst noch unbestimmt sind. Bezeichnet man mit A die Determinante dieser Koeffizienten:

4).

ferner mit a, ß, .. a'..., also:

a b c a! V c' , a" b" c"

a'... die Unterdeterminanten von a,b. „..

a" = bc' — b'c, ß" = ca' — c' a. y" = ab' — a'b

a = b'c" — b" c\ a' = b" c — bc".

I    7    7

5) ß = c'a" — c"a\ ß' = c"a-~ca", y — a'b" — a"b', y' — a"b — ab" y

so ist:

aa + a'a'+ a"a"?= A,    ba+b'a' + b"a" 0,    ca + c'a' + c"a"- 0,

6)    aß + a' ß' + a"ß"-0,    bß + b' ß' + b" ß" - A,    cß + c'ß' + c"ß"= 0,

ay + a'y' + a"y" = 0,    + b' y' + b" y"= 0,    cy + c'y' + c"y"^= A.

und auf Grund dieser Relationen ergeben die Gleichungen 3):

aü + a'TJ' + u"U"= A,

7)

■ ßU A- ß' ü' -\- ß" U" = a;A, y 17 +/£■'+/'17" =yA.

Setzt man nun zur Abkürzung:

B = Ba+B'ß+B"y, B'=jBa'+B'ß'+B"y',

A = Aa + A' ß + A" y,

8)    AWa'+^'/J'-M"/,

r=Ca+C’ß+C"y1 V'=- Ca' + C'ß'+C"y\ ti' = Aa" + A'ß"+A"y", B”=Ba" + B'ß" + B"y", f"= Ca"+ C'ß"+ C"y",

und addiert man die Gleichungen 7), nachdem man sie bezüglich mit A, A', A"t ferner mit B, B\ B'\ und endlich mit C, C'y C" multipliziert hat, so folgt:

AZ7+ A'E7' + N'U" = LA,

9)

BU+ B’U' + B"ü" = MA, VU-\-VU'+V"ü"^NA.

Die Gleichungen 3) ergehen durch Differentiation: dU = b dx + cdy, dU' = Vdx + ddy, dU" =* b"dx + c"dy, und hieraus folgt auf Grund der Gleichungen 4):

U' dU” — U"dU' = a {xdy — y dx) — ß dy + y dx,

U"dU — JJ dU" = a! {xdy — y dx) — ß' dy + y' dx,

UdU' — U’dU = cd¹ {xdy — y dx) — ß"dy + y" dx.

Löst man dieselben nach x dy — y dx, dy und dx auf, indem man die Gleichungen 6) benutzt, so wird:

10)

{xdy-ydx)A = {a'U"-a"U')dU+{a"U-aU")dU’+{aU'-a'U)dü": -dyA = {b'ü"-b"U')dU+{b"U-bU")dU'+{bU’-b'ü)dU", dxA = {c'U"-d'ü')dU+{c"ü- cU")dU'+ {cU'-c'U)dU". Wir substituieren nun die Werte von L, M, N, x dy — y dx, dy, dx aus den Gleichungen 9) und 10) in die Differentialgleichung. Das Resultat dieser Substitution wird eine Gleichung zwischen den Variabelen U, U\ U" und ihren Differentialen.

Die eine dieser Variabelen ist nach der ersten der Gleichungen 7) durch die beiden anderen ausdrückbar; für unsern Zweck ist es indessen besser, alle drei beizubehalten. Da die neun Konstanten der Polynome U, ü', U" noch unbestimmt sind, so können wir die Verhältnisse zwischen je drei Grössen, die zu derselben linearen Funktion gehören, durch je zwei lineare Gleichungen bestimmen, und indem wir drei neue Grössen k, k', k" einführen, die neun Gleichungen bilden:

a"A + 6"B + c'T = 0, cdA' + b' B' + cT'= VA, cd'A' + b"B' + c" F' = 0,

aA + bB 4-cT= k A, a'A + b'B + c'V= 0 aA'+&B'+cl"'=0

aA"+ 6B"+ cP' = 0, a'A"+ VB"+ cT"= 0, a"A" + 6"B"+ c'T"= k"A.

Alsdann erhält die ursprüngliche Differentialgleichung durch die angegebene Transformation die Form:

(V - k") IVU"dU + {k” - k) ZV'UdU' + {k - k') UV'dU" = 0

dU"

dU

dU

oder:

U"

12) {k' — k") -y- -f {k" — k) —-jyj -f (A — V)

17) {

In dieser Gleichung sind die drei Variabelen getrennt; integriert man dieselbe und bezeichnet man mit K eine willkürliche Konstante, so erhält man:

13) (A' - k")lü + (k" -k)lü'+Ql — k’)lU" = IK.

Bezeichnet man mit XJr~~x" die Grösse, deren Logarithmus gleich Q! — k") lU ist, auch in dem Falle, wo k’ — k" und U imaginär sind

so

ist das Integral der gegebenen Gleichung:

14)

Es sind nur noch die Koeffizienten der Funktionen U, U\ U", sowie die Exponenten k, kk" aus den obigen Gleichungen zu berechnen. Zu dem Zwecke betrachten wir die drei Gleichungen in der ersten Gruppe 11). Wir addieren dieselben, nachdem wir sie bezüglich mit a, a!, a", ferner mit b, V, b" und endlich mit c, c\ c" multipliziert haben. Auf Grund der Gleichungen 4) und 6) erhält

man:

15)

(A — k) a + Bb -f Cc = 0, A'a + QB' — k)b -f C'c == 0, A"a + B"b + {C" -k)c^0.

Verfährt man ebenso mit den Gleichungen der zweiten und dritten Gruppe, so erhält man zwei Systeme von Gleichungen, die aus dem System 15) hervorgehen, wenn man bezüglich a, b, c, k durch a!, b\ c', k' und o!\ b", c", k" ersetzt. Die Gleichungen 15) sind homogen in Bezug auf a, c, und ' eliminiert man diese Grössen, so erhält man eine Gleichung dritten Grades:

m = o,

deren linke Seite gleich der Determinante

16)

A-k B

A¹

B’ —k C'

A"

B"

C"-k

ist: also ist

FQ) - (A - k) (B' - k) (C" - k) -- B"C\A - k)

- CA"{B'~k) - A'B(C"-k)-\-A"BC’ + A'B"a

Die Gleichungen 15) lassen nur die Verhältnisse der drei Konstanten a, b, c bestimmen. Setzt man 18) B'C"-B"C’=D, C'A"-C"A'=D', A'B"-A"B'=D"

und B' -f C" = E, so folgt aus den letzten beiden Gleichungen 15):

D-EX + X² D’ + A'X D" + A'X

Man kann diese Verhältnisse gleich eins annehmen und demnach setzen:

19)    a = B - EX + r, b == D' + A'X, c ==-- D" + A"L

Die Gleichung 16) hat die drei Wurzeln X, X', X", und ersetzt man in den Formeln 19) X durch X' und durch X", so erhält man die Werte von a', b\ c' und a", b", c". Also wird:

ü    = (B    -    EX + A²) + (B' + A'X) x + {D" + A'X) y,    '

20)    V    = (D    —    EX’ + V²) + (ZV + A'X!) x + (.D" + A"X') y,

U"    = (D    —    EX" + X"²) + (/)' + A'X") x + (D" + A'X") y

Demnach beruht die Integration der vorgelegten Differentialgleichung auf der Lösung der Gleichung dritten Grades 16).

667. Die Differentialgleichung 12) wird eine Identität, und die Integrale 13) und 14) werden daher illusorisch, wenn die kubische Gleichung für X gleiche Wurzeln enthält. Man kann indessen die Lösung dieses speziellen Falles leicht aus unserer Analyse ableiten. Setzt man:

kü)-m

so wird das Integral 13):

21) (X' - X") f (X) + (X" - X)f(X') -f (X - X')f{X") = const

oder, indem man X' = X + h einführt und mit h dividiert:

(X" — X)

fXx + h) - f(x)

+ f{X) — f{X") = const.

Die Koeffizienten A, B, ... der ursprünglichen Gleichung bleiben zunächst ganz willkürlich*, wir wollen sie nun nach bestimmten Werten konvergieren lassen, für welche die zugehörige Gleichung in X zwei gleiche Wurzeln bekommt. Bei jedem Wertsysteme der Koeffizienten stellt die vorige Gleichung das Integral dar; dasselbe gilt nun auch für den Grenzfall, und man erhält demnach für dieses Integral:

22)

(l" — X)f (X) + f(X) — f(X') = const

oder

23)

(A" — A) ~ -f l(U) — l(TJ") = const;

24)

ZJj bedeutet die Ableitung von U in Bezug auf A, d. h. U₁ = (2A -- E) + A'x + A"y.

Setzt man in der Gleichung 22) k" = A 4- h, und dividiert mit — \h², so folgt:

/*(A + A) —- /*(A) — hf'(k)

= const.

l^²

Nehmen wir nun an, dass die Koeffizienten H, B,... nur der einen Bedingung unterworfen sind, die für die Gleichheit zweier Wurzeln der Gleichung 16) notwendig ist, und lassen wir dieselben nach bestimmten Grenzen konvergieren, für welche die drei Wurzeln der Gleichung 16) einander gleich werden, so wird die Grenze für die vorstehende Integralgleichung:

f"(X) = const, d. h. U

d*U

₍dü_ y \(U )

= Kü\_

oder endlich:

25)

KLT2+ül²-2U = 0.

Hat also die Gleichung 16) drei gleiche Wurzeln, so ist das Integral der gegebenen Differentialgleichung eine rationale Funktion zweiter Ordnung.

Betrachten wir z. B. d£n Fall, wo die Gleichung 16) drei Wurzeln gleich null besitzt. Die Bedingungen dafür sind:

A(B’C" - B"C’) + A’(B"C - BC") + A"(BC' - B’C) = 0, (A’B — AB’) -f (B"C - B’C") + (CA" - C"A) = 0,

A + B’ + C" = 0.

Man erhält zunächst:

V = D + B’x + D"y, l\ = A+A!x 4- A"y = L-

ferner wird, wie man aus den Gleichungen 2) und 18) auf Grund der vorliegenden Bedingungen erkennt:

DL + D'M+D"K= 0, AL + A'M + A"N = U.

also A, A!, A", 2), D\ D" als gegebene

Betrachtet

Grössen, und die Funktionen M und JS als durch diese Gleichungen bestimmt, so ist das Integral der Differentialgleichung

man

gleich

L (x dy — y dx) — Mdy -P N dx = 0

KU*-2U+ L²==0

wobei K die willkürliche Konstante ist.

Die in diesem Paragraphen behandelte Differentialgleichung

L(xdy — y dx) — M dy + N dx = 0

bildet die projektivische Verallgemeinerung der Differentialgleichung, in welcher die Koeffizienten von dx und dy lineare Funktionen von x und y sind (§§ 656 und 657). Denn führt man an Stelle von x und y homogene Koordinaten ein, indem man

x₂

xx

setzt, so ist

i also x dy — y dx —

xx dx₂ — x₂ dxx

-----?

und die Differentialgleichung bekommt die Form

L (xx dx₂ — x₂ dxj) — M (x₃ dx₂ — x₂ dx₃) + N{x₃ dxl — xx dx₃) — 0, wobei

L = Ax₃ + A! xx + A" x₂,

M = Bcv₃ + B'xx + B"x₂,

N~ Cx₃+ C'xx+ C"x₂

ist; dieselbe lässt sich symmetrischer schreiben, indem man B = CXXX “f" (’₂X₂ “t⁻ ^3^3>

M = ax xx + a₂ x2 + an xa >

_A = bxxx -f~ \>₂x₂ -f- b₃x₃

setzt; alsdann wird die Differentialgleichung:

L (xx dx₂ — x₂dxx) -f- M(x₂ dx₃ — x₃ dx₂) + -V(x₃ dxx — xx dx₃) = 0,

und die Koeffizienten sind homogene Funktionen ersten Grades von xx, x₂, x₃.

Sind dieselben homogene Funktionen n

ten

Grades,

so erhält man die allgemeine Form einer Differentialgleichung ersten Grades mit algebraischen Koeffizienten, die zuerst von Cleb sch (Math. Annal., Bd. 6, sowie Vorlesungen über Geometrie, herausg. v. Linde mann) als „Konnex nter Ordnung und erster Klasse“ eingeführt wurde. Die Integrale dieser Gleichungen in homogener Form behandelte Herr Darboux (Bulletin des Sciences mathem, S. II, t. 2) und Herr Voss (Math. Annal., Bd. 23); die geometrischen Eigenschaften des Integralsystemes der Gleichung ersten Grades sind von den Herren Klein und Lie (Math. Annal.. Bd. 4) besonders untersucht worden.

In der homogenen Form lassen sich die obigen Untersuchungen über die drei partikulären Integrale folgendermassen in Kürze darstellen. Damit eine lineare Funktion u — u₁x₁ + w₂rr₂ -j- v₃x₃ = 0 partikuläres Integral der Differentialgleichung:

cx(ocj dx₂ — x₂ dxj) + ax(x₂ dx₃ — x₃d:r₂) + bx(x₃ dxx — xt dx₈) = 0 sei, muss:

Mg cx f ixx ax -m₂ l)x X . tix

sein, wenn X einen Proportionalitätsfaktor bedeutet; dies ergiebt das System:

ux ax -j- u₂bx -f- u₃cx — Xux, uxa₂ -j- u₂b₂ -f- u₃c₂ = Xu₂,

W-j ög -f- U₂ b₃ -f- Mg Cg = X Mg ;

aus demselben folgt die kubische Gleichung für X:

öi — X bx

ci

ö₂

b₂ X c₂

c₃ X

und wenn dieselbe drei verschiedene Wurzeln L,, X₂, X₃ hat, erhält man aus dem vorigen Systeme drei verschiedene Gerade. Bezeichnet man diese mit ux, vx, wx, so wird

f = uxavjwj = const

das vollständige Integral der Differentialgleichung, wenn erstlich:

a + ß + y = 0

ist, weil die homogene Funktion von nullter Dimension sein muss und wenn zweitens:

ög

dx₃

CXj

dx₂

identisch verschwindet. Da nun

Also muss auch:

X^cc Ä,₂ß X₃y — 0

sein. Den beiden Gleichungen wird genügt, wenn man

CC X% ^31 ß ^3 A-J, y X± X₂

setzt, das heisst:

so wird

a/-

dx ₃

du

L— + M

du

dx ₃

dv

dx₃

df

dx₁

4- N

du

dx ₂

+ 31

+ 31

dv

dv

dx ₃

dw

dXo

df

dx.₂

dv

dx₃

\aWX)

+ N — = uxavjwxv(\xu + A₂/3 + l₃y).

a«₂

ux^~X3vxXi~x,wx ¹⁻4 = const

ist das gesuchte Integral.

Ein bedeutender Wert der homogenen Darstellung auch für das Integrationsproblem algebraischer Differentialgleichungen liegt, abgesehen von der Symmetrie der Darstellung, sowie von der hier unmittelbar ersichtlichen Dualität des Problemes, in dem Umstande, dass Resultate, bei denen die unendlich ferne Gerade ausgezeichnet ist, sich ohne weiteres auch übertragen lassen auf Gleichungen, in denen eine endliche Gerade dieselbe Rolle spielt; so ist die oben behandelte Differentialgleichung

L (x dy — y dx) — 31 dy + Ndx — 0

im wesentlichen identisch mit der Gleichung —31 dy -f- Ndx = 0, wenn L, 31, N lineare Funktionen sind, nur dass bei der letzteren die unendlich ferne Gerade (oder die Gerade x₃ =• 0) ein partikuläres Integral ist, während bei der ersteren an die Stelle derselben eine andere Gerade tritt.

Über Differentialgleichungen erster Ordnung, die nicht nach dem Differentialquotienten aufgelöst sind.

ÖC8. Während wir bisher nur solche Gleichungen betrachteten, in denen der Differentialquotient in erster Potenz enthalten ist, die also nach demselben aufgelöst sind, wollen wir nun einige Fälle behandeln, in denen man das gesuchte Integral finden kann, wiewohl die Differentialgleichung

(*•y’ %) “ ⁰

dy

nicht in Bezug auf

1. Wenn die Gleichung die Yariabelen x und y nicht enthält, also von der Form ist:

dx

linear ist.

GS)-»

dy

so drückt sie aus, dass —r~ = « ist, wobei a einen konstanten

dx

Wert bedeutet, der zugleich eine Wurzel der Gleichung F(a) =0 ist. Die Integration ergiebt:

y — ccx -|- G,

wobei C eine willkürliche Konstante bedeutet. Hieraus folgt

y-c

Ci = —

und folglich ist

F(h-C)

das gesuchte vollständige Integral.

2. Enthält die gegebene Gleichung die Variabele y nicht, so erfordert die Integration nur Qnadraturen, sobald man die (lrii

Gleichung nach aufgelöst hat. Kann man diese Auflösung

CI Ob

nicht ausführen, dagegen die Gleichung nach x auf lösen, so lässt sich die Aufgabe gleichfalls auf Quadraturen bringen. Denn setzt man

dy

=jö, also dy = pdx,

und nimmt man an, dass die Gleichung nach x aufgelöst die Form hat:

so ist

x = fip),

dx = f'(p) dp, also dy = pf\p) dp.

In dieser Gleichung sind die Variabelen y und p getrennt;

es wird

y =fpf'iv) dp + c.

Man hat demnach zwei Gleichungen, welche die Werte von x und y als Funktionen von p ausdriicken. Kann man nun p zwischen diesen Gleichungen eliminieren, so ist das Integral durch eine einzige Gleichung zwischen x, y und C dargestellt.

ä. Enthält die gegebene Gleichung die Yariabele x nicht, und kann man sie nach y auf lögen, so erhält man das Integral ebenfalls durch das nämliche Verfahren. Denn setzt man

= n, so ist:

dy

dx

y = f(p),

also dy = f'(p) dp, demnach dx = — f'(jp) dp; und dies ergiebt:

p

) + C.

Auch hier ist das gesuchte Integral durch zwei Gleichungen zwischen x, y, C und der Variabelen p ausgedrückt, die schliesslich noch zu eliminieren ist, um die eine Integralgleichung zu gewinnen.

669. Der zuletzt behandelte Fall ist enthalten unter denjenigen, bei welchen die vorgelegte Differentialgleichung nach der einen Variabelen y aufgelöst werden kann. Wir betrachten allgemein die Gleichung:

1)

y = f(x,p),

dy

wobei p wie früher die Ableitung bedeutet; durch Differentiation erhält man:

2)

P= d-L + i£

dx dp dx

und dies ist eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen x und p. Kann man das Integral derselben

3)

®(x, p, G) = 0

bestimmen, so ergiebt die Elimination von p zwischen den Gleichungen 1) und 3) eine Gleichung:

F(x, y, C) - 0, welche das vollständige Integral der ursprünglichen Differentialgleichung ist.

4)

Die Integration der Gleichungen, welche linear in Bezug auf die Yariabelen sind.

670. Die allgemeine Form dieser Gleichungen ist:

y = X(p O) + ^O),

ist, und cp(p) und -ip(p) gegebene Funktionen

wobei p =

dy

dx

von p bezeichnen. Wir wenden nun das Verfahren an, welches im vorigen Paragraphen angegeben wurde; die Differentiation ergiebt:

2)

p=~ <p(jp) + [x(p'(p) + y>'(p)]

dp

oder:

dx

3)

dx

dp cp(p) — p

v\p)

Cp(p)-p

= 0.

Betrachten wir nun x als Funktion der unabhängigen Variabelen p, so ist diese Gleichung eine lineare und das Integral derselben wird nach § 658:

- l'-pr— dp

J <p(.p)—p

rJ

<P'(P)

e Pa

<pip) —P

dp

V'(P)

Po

cp(p) — p

dp ■

Sonach erhält man das Integral der Gleichung 1), wenn man p zwischen den Gleichungen 1) und 4) eliminiert.

671. Diese Formeln sind aber illusorisch, wenn cp(p) = p ist; dieser Fall muss also besonders behandelt werden. J)ie Gleichung 1) ist alsdann:

5)

y = px + ^(p),

und die Gleichung 2), welche man durch Differentiation hieraus gewinnt, wird:

6)

[x + t/d (/>)] dp = 0.

Also ist die neue Differentialgleichung:

dp = 0;

ausserdem kann aber auch

x + 4>'{p) = 0

8)

gesetzt werden. Die Gleichung 7) ergiebt durch Differentiation:

P = <?,

wobei C eine willkürliche Konstante ist; und substituiert man diesen Wert in die Gleichung 5), so folgt:

9)

y = Cx -f ^ (C)

als das vollständige Integral, wie wir schon im § 651 erkannten. Betrachtet man aber zweitens die Gleichung 8), und entnimmt man aus derselben den Wert von j), um ihn in die Gleichung 5) zu substituieren, so erhält man eine Lösung der Differentialgleichung, die keine willkürliche Konstante enthält und die das singuläre Integral derselben bildet. Dieses Ergebnis stimmt mit der allgemeinen Theorie der singulären Integrale, die wir im vorigen Kapitel entwickelt haben, überein. Denn die Gleichung 8) ist die Ableitung der Differentialgleichung in Bezug auf den Differentialquotienten

Die Elimination von p muss also das singuläre

Integral liefern; auch sieht man, dass die zur Elimination notwendige Rechnung identisch ist mit der Elimination von C zwischen dem vollständigen Integrale und seiner Ableitung nach C.

Über die Transformation der Differentialgleichungen von Punkt- in Linienkoordinaten bei nicht homogener

Form.

Die Gleichung ux + vy + 1 = 0 stellt bei variabelen Werten von u und v die Gesamtheit aller Geraden dar, welche durch den Punkt x, y gehen, und auf den Koordinatenaxen die Abschnitte

und —

gehende Richtung als Verbindung des Punktes ,r, y, mit einem unendlich benachbarten x -f- dx, y + dy fixieren, so lässt sich auch jeder Punkt als Durchschnitt einer Geraden mit einer benachbarten darstellen. Liegt ein Punkt x, y auf einer Geraden ux + vy +1 = 0 und der benachbarten (u + du) x + (v + dv) y +1=0, so wird:

— bestimmen. Wie wir eine von einem Punkte aus-

0 eine Kurve dar, welche auf der Geraden die gesuchten Punkte ausschneidet. Da nun das Integrationsproblem diejenigen Kurven bestimmt, welche in ihren Punkten die vorgeschriebene Richtung als Tangente besitzen, so erkennt man, dass dieses Problem in sich dual ist, d. h. dass es zugleich diejenigen Kurven als Umhüllungsgebilde ihrer Tangenten liefert, deren Berührungspunkt jedesmal ein der Tangentenrichtung zugeordneter Punkt ist. Die Differentialgleichung des nämlichen Kurvensystemes in Linienkoordinaten erhält man bei nicht homogenen Koordinaten (bei homogenen ergeben sich die erforderlichen Substitutionen noch unmittelbarer), wenn man die Substitutionen macht.

Gleichung f(x,y, —'j =

SU SU

dv

du

udv — v du

während der Richtungskoeffizient der Geraden gleich--ist.

Eine Differentialgleichung f[x,y,-^—J = 0 ordnet jedem

Punkte x. y eine oder mehrere durch ihn hindurchgehende Richtungen zu, aber auch umgekehrt jeder Geraden eine Reihe auf ihr gelegener Punkte. Denn betrachtet man eine bestimmte Ge-

udv — v du

rade, wodurch

dy

dx

einen bestimmten Wert erhält, so stellt die

dy

dx

--5

dv

du

udv — vdu

u dv --- v du

Wir führen an Stelle derselben noch die Werte em:

— ux

Vx = —»

V

so hat man die zweckmässigere Substitution:

dy

dvx

- vv

-,

du₁

Erhält man auf diese Weise eine Differentialgleichung, deren Integral sich in bestimmter Form darstellen lässt, so hat man damit das Integral in Linienkoordinaten gewonnen. Setzt man umgekehrt in dieser Integralgleichung:

dx

ux —

dy

dy

dx

’ v'=xJi-y'

so hat man aus derselben, sowie aus der ursprünglichen Differen-zu eliminieren, um das Integral in Punkt-

dy

tialgleichung koordinaten aufzustellen.

dx

Einen besonderen Wert gewinnt diese Substitution bei den Gleichungen, in welchen, wie in den zuletzt betrachteten x und y linear auftreten. Die Gleichung

y — xcp

erhält durch die angegebene Substitution die Form:

oder:

dvl

dul

- vx

cp (uf) - ijj (uj) = 0

dv₁

dwx

K - cp («,)] - v₁ — rf> M = 0;

sie wird eine lineare Gleichung. Da aber diese transformierte Gleichung auch dann integrabel bleibt, wenn das letzte Glied mit einer beliebigen Potenz von vx multipliziert ist (§ 661), so erhält man eine Verallgemeinerung dieses Satzes in der Form: Für die Differentialgleichung

y — xcp

(£)-(•

dy

{ dy

dx

— o,

dy

in welcher <n, gegebene Funktionen von

dx

beliebigen Exponenten bedeutet, lässt sich das Integral in Linienkoordinaten immer durch Quadraturen angeben.

sind und n einen

Anwendungen auf geometrische Aufgaben.

672. Erste Aufgabe. Zwei Punkte F und Ff mit dem Abstande 2c sind gegeben; man soll eine Kurve bestimmen, so dass das Produkt der Entfernungen dieser beiden Punkte von jeder Tangente gleich einer gegebenen Grösse b² ist.

Die Gerade FF' wählen wir zur x-Axe und legen die y-Axe senkrecht durch die Mitte 0 der

du

Strecke 2 c. Setzen wir ~ = p,

CLOC

Mg. 27.

K n' y

~Ä\    0

FlA x

so wird die Gleichung der Tangente in einem Punkt x, y der gesuchten Kurve:

v - y = p (S - *)■

Die Entfernungen FH, F'H' dieser Tangente von den Punkten F und F' haben die Werte:

y — px -f- pc

yi+p²

also wird die Gleichung des Problemes:

FH =

F'H' =

y — px — pc /l+j? ’

= ±b²

(?/ — px)² — p²c²

1 +i>!

oder, wenn man a²=c²±b² setzt:

y = px + ]/a²^)² ± b².

Das vollständige Integral dieser Gleichung wird nach § 671:

y = Cx -j- j/a² G⁷² + &²,

es stellt gerade Linien dar; die eigentliche Lösung des geometrischen Problems ist aber durch das singuläre Integral der Differentialgleichung gegeben, für welches

a²C

Ya²C²±b²

= 0 oder x =

a² C

I/a²C² + b²

wird; trägt man diesen Wert in die vorige Gleichung ein erhält man:

so

b²

y = ----- —— ?

1/a²C²±b²

%

und die Elimination von C ergiebt:

also eine Ellipse oder Hyperbel, deren Brennpunkte F und F' sind.

673. Zweite Aufgabe. Es sind zwei parallele Geraden und auf jeder ein fester Punkt gegeben; man soll die Kurve bestimmen, deren Tangenten auf den gegebenen Parallelen Abschnitte, gerechnet von den festen Punkten an, bestimmen, deren Produkt gleich einer gegebenen Grösse ist.

Es seien AP, A'P' die gegebenen Geraden, A und A' die gegebenen Punkte auf denselben (Figur im § 672); zur x-Axe wählen wir die Gerade AA\ und zur y-Axe eine Parallele zu den Geraden AP, A'P', gelegt durch die Mitte 0

der Strecke AA'. Dieses Koordinatensystem braucht also kein

rechtwinkliges zu sein. Die Tangente der gesuchten Kurve hat die Gleichung-

v-y =iK£ - x),

und wenn man mit 2a die Entfernung AA' bezeichnet, so erhalten die Strecken AP,A'P' zwischen den Punkten A, A' und der Tangente die Werte:

+ AP=y—px—pa,    + A'P' = y — px + pa;

also wird die Differentialgleichung des Problemes:

oder:.

(y — px)² — a²p² = + b2 y =px 4- Va²p²± b².

Man erkennt, dass dieses die nämliche Gleichung wie

vorhin ist; die eigentliche Lösung wird hier ebenso das singuläre Integral:

a²

b²

es stellt eine Ellipse oder Hyperbel dar, die auf zwei konjugierte Durchmesser bezogen sind.

674. Dritte Aufgabe. Es soll die Kurve bestimmt werden, für welche der Abschnitt ihrer Tangente zwischen zwei rechtwinkligen Axen stets einer gegebenen Grösse gleich ist.

Fig. 28.

Es seien T und S die Punkte, in

denen die Tangente der gesuchten Kurve die gegebenen Geraden schneidet; hat man diese zu Koordinaten axen gewählt, ^ so ist die Gleichung der Tangente:

TL

(p - y) = p(% - x)

TA x

und es wird:

— px

± OS = y — px, ± 0 J= -    ^

Also wird die Differentialgleichung:

oder:

(y - pL (i + jf)

-d²

1)

y = px +

ap

VT+p²

Wie in den vorigen beiden Problemen erhält man das vollständige Integral, indem man p durch eine Konstante ersetzt, und das singuläre, welches die gesuchte Kurve liefert, wenn man p aus der Differentialgleichung und ihrer Ableitung nach p, nämlich

2)

(1 + p²)

eliminiert. Aus den Gleichungen 1) und 2) folgt:

(l + P²)²

ap³

(1+p²)

*©JW!

Erhebt man diese Gleichungen auf die Potenz f- und addiert sie dann, so bekommt man die Gleichung:

2.

2.

£3 -f- y-6 = aa.

Dieselbe stellt eine Epicykloide dar, welche von einem Kreise mit dem Radius erzeugt wird, der im Innern des Kreises mit dem Radius a rollt.

Dieses Resultat lässt sich auch sehr einfach vermittelst geometrischer Betrachtungen ableiten. Denn konstruieren wir über OS und OT das Rechteck OSKT, ziehen wir ferner die Gerade OAT, welche ST in H schneidet, und beschreiben wir den Kreis AKB um den Punkt 0 als Mittelpunkt mit dem Radius a, sowie den Kreis 0' über HK als Durchmösser, welcher die Gerade ST noch im Punkte M schneidet, so ist der Winkel KHT doppelt so gross wie KOA und halb so gross wie KO'M\ dieser letztere ist also das Vierfache des Winkels KOA; andererseits ist der Radius O'K der vierte Teil vom Radius 0K\ also sind die beiden Kreisbogen KM und KA unter einander gleich. Hieraus folgt, dass der Ort des Punktes M eine Epicykloide ist, deren Anfangspunkt A ist. Wir wissen aber, dass MH oder ST die Tangente an diese Epicykloide ist, die also die Einhüllende der beweglichen Geraden ST wird.

Das Profilern der Trajektorien.

675. Das allgemeine Problem dieser Art ist das folgende:

Ein System von Kurven ist gegeben, dargestellt durch eine Gleichung, in welcher ein varidbeler Parameter enthalten ist; es sollen die Kurven bestimmt werden, welche die gegebenen unter einem bestimmten Winkel schneiden.

Ist der vorgeschriebene Winkel ein rechter, so heissen die gesuchten Kurven die orthogonalen Trajektorien des Systemes.

Die Aufgabe führt immer auf eine Differentialgleichung erster Ordnung. Die gegebenen Kurven seien auf zwei rechtwinklige Axen bezogen, und ihre Gleichung sei durch

i)

F(x,y, a) = 0

dargestellt, wobei a den variabelen Parameter bezeichnet; ist M(x,y) ein Durchschnittspunkt zwischen einer Kurve des Systemes und einer Trajektorie, bezeichnen wir ferner mit c, cx die Richtungskoeffizienten der beiden Tangenten im Punkte M, mit V die trigonometrische Tangente des gegebenen Winkels zwischen den beiden Kurven, so ist:

1 + ccx

Der Koeffizient c ist der Wert von Gleichung 1) folgt, d. h. es ist:

dy

dx ’

welcher aus der

dF

dx

dF

dy

da ferner cx der Wert von so wird:

dy

dx

für die gesuchte Kurve ist,

oder

2)

dy

-+F

SU Aj

dF

dF

— - V F—

dx

dy

)-

0.

Eliminiert man a zwischen den Gleichungen 1) und 2), so erhält man eine Gleichung:

3)

welche die Differentialgleichung der gesuchten Trajektorien ist.

um

In Bezug auf die Eindeutigkeit des Winkels, dessen trigonometrische Tangente den gegebenen Wert V hat, ist noch folgendes zu bemerken: Hat man als positiven Drehungssinn die Drehung von der positiven x-Axe zur positiven y-Axe festgesetzt, so bedeutet c die trigonometrische Tangente des Winkels, um welchen man im positiven Sinne die Abscisse zu drehen hat, damit sie in die Lage der Tangente kommt; ferner ist V die trigonometrische Tangente des Winkels welchen man diese Tangente in demselben Sinne weiter zu bewegen hat, damit sie in die Tangente der gesuchten Tra-jektorie übergeht.

Bei rechtwinkligen Trajektorien ist F= ce; die Gleichung 2) reduziert sich daher auf:

4)

dF dF dy dy dx dx ⁵

und die Elimination von a zwischen den Gleichungen 1) und 4) liefert die Differentialgleichung der orthogonalen Trajektorien.

676. Erstes Beispiel. Die Kurven zu bestimmen, welche das System y == axm unter einem konstanten gegebenen Winkel schneiden.

Der Wert von

TS TS

wird hier gleich umxmr~x\ bezeichnet man also mit die trigonometrische Tangente des gegebenen

Ib

Winkels, so ist die Differentialgleichung der gesuchten Trajektorien:

dy

dx

oder

dy

— 4-

dx

Di

1_*"F

Die rechte Seite dieser Gleichung ist eine Funktion von

—t also lässt sich die Integration nach der Methode des § 654 ausführen.

Wir untersuchen nun den Fall m = 1; die gegebenen

Kurven bilden alsdann ein System von Geraden, die durch den Koordinatenanfangspunkt gehen; die Differentialgleichung ■wird

x dx -f y dy = k {xdy — y dx).

Man erkennt unmittelbar, dass xdy — y dx das Differential des doppelten Sektors ist, welcher von dem Radiusvektor des Punktes x, y mit einem festen Radius gebildet wird, und welcher im Polarkoordinatensysteme durch p² da ausgedrückt wird. Desgleichen ist xdx-\-ydy das halbe Differential gdg des Quadrates p²; also wird:

gdg = kg²dco oder ^- = kd(n.

Q

Demnach ergiebt die Integration:

p = CekU}.

Die gesuchten Trajektorien sind logarithmische Spiralen, was mit einer bekannten Eigenschaft dieser Kurven übereinstimmt (§ 247).

677. Zweites Beispiel. Die orthogonalen Trajektorien eines Systemes von konfokalen Ellipsen m bestimmen.

Die Gleichung der gegebenen Ellipsen ist

x²

p² p² — b²

wobei p den variabelen Parameter und b eine feste Grösse bezeichnet; für die Ellipsen ist p² > b². Die Differentiation ergiebt:

xdx ydy x dx + y dy

Q-

b²

und hieraus folgt:

■ z²

x xdx + y dy

p² dx

b²

p²— b²

y x dx + y dy

dy

b²

also durch Addition:

(x dy — y dx) {xdx + ydy) b² d xdy

Diese Differentialgleichung gehört den gegebenen Ellipsen

an.

Um hieraus die der orthogonalen Trajektorien zu ge-

d'ii    doc

winnen, hat man durch —— oder dy durch — clx, dx

durch dy zu ersetzen; bei dieser Vertauschung bleibt aber die vorstehende Gleichung ungeändert; also bleibt auch das Integral das nämliche, d. h. die Gleichung der gegebenen Ellipsen stellt zugleich das System der gesuchten Trajektorien dar. Nur um die beiden Systeme zu unterscheiden, die algebraisch irredu-cibel sind, kann man g² durch einen anderen Parameter y2 ersetzen, also die Gleichung schreiben:

= i.

x²

y² b²-y²

Nimmt man y² <.b² an, so stellt diese Gleichung Hyperbeln dar, deren Brennpunkte mit denen der Ellipsen zusammenfallen, und welche diese unter rechten Winkeln schneiden.

678. Drittes Beispiel. Die rechtwinkligen Trajektorien aller gleichseitigen Hyperbeln zu bestimmen, deren Mittelpunkt ein gegebener Punkt ist, und die durch einen zweiten gegebenen Punkt gehen.

Im Polarkoordinatensystem haben die gegebenen Hyperbeln die Gleichung:

„ a² cos 2 a    ,    .    . a² sin 2 tu

⁼ cos (2co — 2a) °der C°tg(2““ 2ß) “ ^ ä*cos 2.

a ist hier der variabele Parameter und a bedeutet die Entfernung des Mittelpunktes vom gegebenen Punkte auf der Axe. Die logarithmische Differentiation ergiebt:

= tang (2 co — 2 a) oder

dg

g dco

g dco

g² — a² cos 2 co a² sin 2co

Nun ist

dg

die Tangente des Winkels zwischen der

Normalen und dem Radiusvektor; folglich erhält man die Differentialgleichung der gesuchten Kurven, wenn man für

den reciproken, negativen Wert einsetzt, also:

g dco

dg

g dco

a² sin 2 a

dg

oder

g cloo    a² cos 2 a — q²

— (a² cos 2 ca) + 2 p. Q

d (a² cos 2 a)

dg

wenn man a² cos 2 gj

Diese Gleichung ist eine lineare und g als die Yariabelen betrachtet; bezeichnet man mit a⁴ — b⁴ die willkürliche Konstante, so erhält man das Integral:

2P

a² cos 2 co = —^ [j>⁴ + a⁴ — b⁴]

oder

p⁴ — 2a²p² cos 2« + a⁴ = b⁴.

Diese Gleichung, in welcher b der variabele Parameter ist, stellt ein System von Cassini sehen Kurven mit den nämlichen Brennpunkten dar (§ 565).

Der integrierende Faktor der Differentialgleichung.

679. Ist die Differentialgleichung nach dem Differentialquotienten aufgelöst, also von der Form:

dy dx

so kann man auf beliebig viele verschiedene Weisen

F{x, y) = —

setzen, wobei P und Q Funktionen von x und y sind, dann erhält die gegebene Differentialgleichung die Form

Pdx + Q dy = 0.

Sind die Funktionen P uud Q so gewählt, dass Pdx-{- Q dy ein exaktes Differential ist (§ 482), wenn x sowohl wie y als unabhängige Variabele angesehen werden, so dass man

du = Pdx + Qdy

setzen kann, wobei u eine Funktion von x und y ist, so ist evident, dass das Integral der gegebenen Gleichung

u =-= const

wird. Will man aber, nachdem die mit P und Q bezeichneten Funktionen gewählt sind, an die Stelle derselben andere einführen, so werden diese den ersteren bis auf einen Faktor zugleich, und die gegebene Differentialgleichung erhält die Form

gPdx -f gQdy =*= 0.

Ist die linke Seite dieser Gleichung das exakte Differential einer Funktion u, so ist das Integral der Gleichung wiederum u = const. Wie nun auch die Funktionen P und Q ursprünglich gegeben sein mögen, es existiert immer ein Faktor g, durch welchen diese Eigenschaft herbeigeführt wird; diesen Satz wollen wir zunächst beweisen.

680. Lehrsatz I. Sind P und Q zwei gegebene Funktionen der beiden unabhängigen Variabelen x und y, so giebt es immer einen Faktor g derart, dass das Produkt dieses Faktors mit dem Differentiale Pdx + Qdy ein exaktes Differential liefert.

i)

Wir wissen, dass die Differentialgleichung P dx -j- Qdy — 0

ein Integral besitzt. Nimmt man nun an, dass dieses Integral nach der willkürlichen Konstante, die es enthält, aufgelöst ist, so hat es die Form

2)

u = C,

wobei u eine Funktion von x und y ist. Die Gleichung 2) ergiebt durch Differentiation:

3)

du

du

dx

dx -f- — dy = 0

dy

dy

und der Wert von

dx

welcher aus dieser Gleichung folgt,

muss bei jedem Werte von x und y gleich sein dem Werte, den die Differentialgleichung 1) liefert; also ist

du    du

4)

dx    dy

Q"

Diese Gleichung 4) besteht zunächst auf Grund der Gleichung 2), aber man erkennt, dass sie in der That identisch bei allen Werten von x und y bestehen muss; denn sie ist unabhängig von C, und der Wert von y, welcher durch die Gleichung 2) gegeben ist, ist eine Funktion von x und C. Bei jedem Werte von x kann daher y noch willkürlich fixiert werden.

Bezeichnet man mit y den gemeinsamen Wert der beiden Quotienten in der Gleichung 4), so wird

du

und folglich ist:

dy

5)

du

y (Pdx 4- Q dy) = — dx +

dy

dy = du.

Der Ausdruck Pdx + Qdy wird also ein exaktes Differential, wenn er mit dem Faktor y multipliziert wird. Derselbe heisst der integrierende Faktor der Differentialgleichung, weil das Integral u — const sich nach der früheren Regel (§ 481) durch blosse Quadraturen bestimmen lässt, sobald solch ein Faktor ermittelt ist.

681. Lehrsatz II. Es giebt unendlich viele Faktoren, durch welche der Ausdruck P d x + Q d y ein exaktes Differential wird.

Wir haben bewiesen, dass immer ein Faktor y existiert,

so dass

y(Pdx -f- Q dy) = du

wird, wobei u eine Funktion von x und y ist. Multipliziert man nun diese Gleichung mit einer beliebigen Funktion <p (u) von u. so wird

y (p (u) (Pdx -f- Q dy) = <p (u) du, und dies ist ebenfalls ein exaktes Differential. Wie also auch die Funktion <p(u) gewählt sein mag, das Differential wird exakt, sobald man es mit dem Faktor y(p(;u) multipliziert.

Zu bemerken ist dabei noch, dass ycp(u) der allgemeine Ausdruck für alle integrierenden Faktoren ist. Denn ist M solch ein Faktor, und also:

M(Pdy -f Qdy) == dU,

wobei U eine Funktion von x und y bedeutet, so ist

dü

demnach

Pdx + Qdy - —

du

dU = — du.

-— = <p(u) oder M = yy(u),

was zu beweisen war.

682. Lehrsatz III. Sind M und y zwei integrierende Faktoren des Differentiales Pdx + Qdy, und ist der Quotient dieser beiden Faktoren nicht identisch konstant, so ist das vollständige Integral

M

der Differentialgleichung Pdx-j-Qdy = 0 gleich — == C, wobei C eine willkürliche Konstante bedeutet.    'U

Nach unserer Annahme ist

y(Pdx 4- Qdy) = du,

und da auch das Produkt M(Pdx-\-Qdy) ein exaktes Differential ist, so ist nach dem vorigen Satze: wobei (p(u) eine bestimmte Funktion von u oder eine Konstante sein muss, doch haben wir den letzteren Fall ausgeschlossen. Die Differentialgleichung Pdx-\- Q dy = 0 lässt sich nun in der Form schreiben du == 0, ihr Integral ist also u = const oder, was auf da.«* nämliche hinauskommt:

— = c.

Da nun u eine Funktion von x und y ist, so kann man y als Funktion von u und x betrachten; also ist U eine Funktion von u und x. Die letzte Gleichung aber zeigt, dass die partielle Ableitung von U nach x null ist. Hieraus folgt, dass U nur eine Funktion von u allein ist, und dass folglich

auch dasselbe für die Ableitung

dü

du

gilt; mithin wird

(u) = const, d. h.

Wir werden später noch wichtige Anwendungen von diesem Satze machen.

683. Der integrierende Faktor y liefert nicht nur das allgemeine Integral der Differentialgleichung, sondern auch das singuläre, falls ein solches existiert.

Die Differentialgleichung Pdx + Qdy = 0 kann nämlich in der Form geschrieben werden und zerlegt sich also in die beiden Gleichungen:

- = 0.

du =

Die erste liefert das allgemeine Integral, die zweite enthält die singulären Lösungen.

Man kann dieses aus unserer allgemeinen Theorie der singulären Integrale ableiten. Denn da hier das vollständige Integral

u — 0=0

ist, so muss man, um die singulären Lösungen zu erhalten, das Verhältnis der partiellen Ableitungen von u — C nach C und nach y, oder nach C und nach x null setzen (§ 636). Die erste dieser Ableitungen wird hier — 1, also erhält man

du

L=o,

dx

und auf Grund der Gleichung du = y(Pdx + Qdy) ergeben diese Gleichungen:

— = 0.

Die in denselben enthaltenen Funktionen sind entweder singuläre oder partikuläre Integrale. Sind P und Q durchaus eindeutige Funktionen der Variabelen x und y, so ist kein singuläres Integral vorhanden; P = 0 und Q = 0 bestimmen singuläre Punkte.

Untersuchungen über die Bestimmung des integrierenden Faktors. Die infinitesimale Transformation.

684. Soll der Ausdruck

1)

yPdx + yQdy

ein exaktes Differential sein, so muss die Bedingung erfüllt sein (§ 483):

Diese Gleichung, von welcher die unbekannte Funktion y abhängt, ist eine partielle Differentialgleichung; die Bestimmung von y beruht also sozusagen auf einem Probleme höherer Ordnung als die ursprüngliche Aufgabe der Integration der Gleichung Pdx + Qdy = 0.

Es giebt indessen gewisse Fälle, aus denen sich der Faktor y auf Grund dieser Gleichung leicht ermitteln lässt; die einfachsten derselben wollen wir hier angeben.

685. Die homogene Gleichung. Sind P und Q homogene Funktionen vom gleichen Grade m, so kann man eine homogene Funktion y vom Grade n finden, so dass

1)

oder

dy

dx

2)

Cv>!

dQ dP

dx

dy

y (P dx + Qdy)

ein exaktes Differential wird. Denn es wird yP eine homogene Funktion vom Grade m + w, und folglich ist identisch (§§ 84 und 136):

X1M1 + yd^P>

dx

dy

= (m + n) yP.

Die Bedingung, dass der Ausdruck 1) exakt ist, nämlich:

2)

dy

dx

kann also in der Form geschrieben werden:

d{y Q)    dfaQy)

oder weil y

G CC

dx

=    + n)yP

d(yP) _ d(yPx)

und x

dx

dx -*PM:

d[y(Px + Qy)]

dx

— (m + n + 1) yP.

Die Zahl n ist noch unbestimmt; wir setzen also: m + n + 1 = 0;

folglich wird die Bedingung 2):

Die analoge Untersuchung lehrt, dass die Bedingung 2) auch in der Form;

4)

g [ja (Px + Qy)] ₌

dy

dargestellt werden kann, und die Gleichungen 3) und 4) besagen, dass y(Px + Qy) eine Konstante ist. Setzt man dieselbe gleich 1, so wird

5)

^ Px + Qy

Hieraus folgt, dass, wenn P und Q homogene Funktionen desselben Grades sind, der Ausdruck

Pdx + Qcly

Px + Qy

ein exaktes Differential ist. Um also die Differentialgleichung

6)

3)

d[y(Px + Qy)]

dx

= 0.

Pdx -f Qdy = 0

zu integrieren, hat man nach der Methode des § 483 das Integral des exakten Differentiales

Pdx + Qdy

Px + Qy

und dasselbe gleich einer Konstante zu seizen.

zu bestimmen

Ist die linke Seite der Gleichung 6) selbst schon ein exaktes Differential, so kennen wir zwei integrierende Fak-

und 1: setzt man

Px + Qy

toren der Gleichung 6), nämlich

den Quotienten dieser beiden Faktoren gleich einer willkürlichen Konstante, so erhält man das vollständige Integral (§ 682); dasselbe wird dann;

Px + Qy = C.

Diese Methode unterscheidet sich im Grunde nicht von der früheren im § 654 behandelten; denn ist so wird die linke Seite der Gleichung 6):

Durch diese Transformation wurde früher die Trennung der Variabelen herbeigeführt, und man sieht, dass dieser Ausdruck ein exaktes Differential wird, wenn man ihn mit dem Faktor

Qx [z — f(z)] Px + Qy

dx

oder, indem man y = xz, dy = x dz -f z dx setzt: Qx [z - f(z)] ^

dz

z-f(z)J

multipliziert.

686. Der integrierende Faktor y des Differentiales

P dx + Q dy

lässt sich auch leicht bestimmen, falls man von ihm weiss, dass er nur eine Funktion von x oder von y allein ist. Nehmen wir z. B. an, dass y nur von x abhängt, dass also

= 0 ist, so bekommt die allgemeine Gleichung des integrierenden Faktors, nämlich:

die Form:

(8P _ W\ _ n

^\dy dx) ^

dy

dx

dP dQ dy dx dx

dy

Unsere Annahme erfordert nun, dass der Quotient

dQ dx

ist, wobei X nur eine Funktion von x bedeutet. Ist dieses der Fall, so wird

dy

dx

also:

= X oder

dy

— = Xdx,

l (y) = j X dx -f- const

x₀

J'Xdx

oder y = Cex°

Nehmen wir, was immer gestattet ist, an, dass Q = 1 ist; damit dann der obige Quotient nur eine Funktion von x allein ist. muss

dP dy

unabhängig von y sein, d. h. P = Xy + A^; X und Xt sind Funktionen von x. Der vorletzte Ausdruck hat dann die Form:

dy + (Xy + Xj) dx

J'Xdx

dy -f- (A y -f- Xt) dx — 0

und ex° ist ein integrierender Faktor. Um also die lineare Gleichung:

zu integrieren (§ 658), hat man sie mit dem integrierenden Faktor zu multiplizieren; es wird

fXdx

J'Xdx    J'Xdx

Xx dx = 0

dy ex- -\-yeXo Xdx-{-ex°

und die Integration ergiebt:

J'Xdx / ‘ f X dx

yeXo -f / ex° Xxdx = const.

x₀

687. Wir untersuchen schliesslich nur noch den Fall

wo der Ausdruck Pdx 4- Qdy exakt wird, wenn man ihn mit einem Faktor y von der Form XY multipliziert, wobei X und Y bezüglich Funktionen von x und y sind. Die Bedingungsgleichung ist hier

d(XYP) d(XYQ)

oder

dy

dx

2X

dY

dQ

dx

dy

dies erfordert, dass die Differenz

dQ,

dx

von der Form ist

dP dQ

dy

dx

= Qw (#) - Py>Qy)*

also:

Ist diese Bedingung erfüllt, so kann man setzen:

i ar

Y dy

y

fy(y)dy

¹ ax ..

f <p(x)dx

, Y = e*>

p=*XY.

Für Differentialgleichungen, welche durch geometrische Probleme definiert sind, wie dies z. B. bei gewissen Kurvensystemen auf gegebenen Flächen der Fall ist, ist die Frage nach der geometrischen Bedeutung des integrierenden Faktors von Wert, weil sich auf diese Weise oft unmittelbar erkennen lässt, wie derselbe zu bilden ist. Diese Frage ist von Herrn Lie vermittelst seiner allgemeinen Theorie der infinitesimalen Transformation beantwortet worden und gewinnt bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung eine besonders einfache Form (Abhandlungen der Gesell, d. W., Christiania 1874, Math. Annal., Bd. 11 und 20).

Eine Transformation heisst eine infinitesimale, wenn sie jeden Punkt der Ebene in einen benachbarten überführt; solch eine Transformation wird analytisch dargestellt, indem man an Stelle des Punktes xy den Punkt x-\- dx, y + dy treten lässt, wobei die Grössen dx, dy als unendlich kleine Grössen erster Ordnung betrachtet werden.

Analytisch kann man diese Transformation so ausdrücken, dass man an Stelle von x, y den Punkt x', y' treten lässt, so dass zwischen den Koordinaten dieser beiden Punkte, indem man mit dt eine unendlich kleine Grösse erster Ordnung bezeichnet, die Gleichungen bestehen:

X = x' + (p(x', y')dt, y = y' + if/(x\ y')dt;

cp und sind bestimmte, im allgemeinen wenigstens stetige Funktionen von x\ y\ mithin folgt bis auf unendlich kleine Grössen höherer Ordnung auch umgekehrt:

x' = x — cp (x, y) dt, y' = y — ip (x, y) dt.

Wir wrnllen die Gleichungen l) in der Form

1)

2)

die Gleichungen 2) in der Form

x = x' + cpLdt, y = y' + ip₁dt,

schreiben.

x' = x — cp dt, y'— y — tydt

Eine beliebige Kurve f(x,y) — 0 geht durch solch eine Transformation über in eine unendlich benachbarte Kurve, deren Gleichung die Form hat:

df

dy

\

-    ) dt = 0.

i '

Ist die Transformation so gewählt, dass

df ,df

1 <Pi + f fi = o

dx

dy

wird für alle Punkte der Gleichung f == 0, so ist die Kurve in sich transformiert, das heisst jeder Kurvenpunkt ist in der Richtung seiner Tangente in einen unendlich benachbarten Kurvenpunkt übergeführt.

Das Wesentliche der infinitesimalen Transformation besteht

also darin, dass jedem Punkte x, y der Ebene eine Richtung zugeordnet wird, längs welcher er unendlich wenig verschoben wird. Diese Richtung ist bestimmt durch den Quotienten:

y' — y _ y)

x' — X

Ist eine Differentialgleichung

P dx -j- Qdy = 0 oder

gegeben, und unterwerfen wir die Punkte der Ebene einer infinitesimalen Transformation, so kann dieselbe erstlich so gewählt werden, dass dabei jeder Punkt längs der Richtung verschoben wird, welche ihm durch die Differentialgleichung zugeordnet ist; zu dem Zwecke hat man nur cp und ip so zu bestimmen, dass

^0> y)

<p(%,y)

wird; bei diesen Transformationen, für welche also Pep -j- Qf = 0 ist, bleibt auch jede Integralkurve der Differentialgleichung un-geändert; sie wird in sich transformiert.

Bei allen übrigen infinitesimalen Transformationen wird jede Integralkurve in eine neue unendlich benachbarte Kurve verwandelt. Sind diese neuen Kurven aber die Integralkurven, so sagen wir, dass die Differentialgleichung die infinitesimale Transformation 1) und 2) gestattet. Die Relation, welche zwischen P, Q, <p, ip in diesem Falle bestehen muss, ist nun zu ermitteln.

Das Integralsystem der Gleichung Pdx -f- Q dy = 0 wollen wir uns in der Form F(x,y) = C denken, oder auch, was indessen nicht allgemeiner ist, in der Form (P(P) = C, wobei O eine willkürliche Funktion von F bedeutet. Die Kurve F(x,y) = C geht bei der Transformation über in

dy

dx

= /■(«, y) = -

F{x\ y') +    cp, 4

dF

dy

fi)

dt = C.

Soll diese neue Kurve ebenfalls dem Integralsysteme angehören, so muss

dF

cpx + 7r~i Fh = const

dy

vermöge F = C sein, oder, was dasselbe besagt, es muss:

dF

dx

1 <Pi +

■-

^,1

Vi=®(F)

sein, wenn wiederum 0 eine willkürliche Punktion von F bedeutet. Bezeichnet man nun einen integrierenden Faktor der Differentialgleichung Pdx + Q dy = 0 mit ft, so ist:

dF

dx

yQ =

dF

dy

0(F)

Mithin besteht, wenn die Differentialgleichung die infinitesimale Transformation cp, ip gestattet, die Gleichung

Pep -j- Qrp

fi (Pep + Qty) = 0(F) oder ft =

Hieraus erkennt man, dass auch der Quotient

Pep -f Q ip

integrierender Faktor ist, und sonach ist der Satz bewiesen:

Gestattet die Differentialgleichung P dx -f- Q dy = 0 die infinitesimale Transformation cp, ip, so ist der Ausdruck P99 + Qip ein integrierender Divisor der Differentialgleichung.

Dieser Satz ist auch umkehrbar:

Ist ein integrierender Faktor ft der Differentialgleichung bekannt, und bestimmt man zwei Funktionen cp und 1p so, dass

P95 + Qip = —

wird, so gestattet die Differentialgleichung die infinitesimale Transformation cp, rp.

Denn sie verwandelt eine Integralkurve F(x,y) = G in

dF

F(x'. /) + (

dF

dx'

CPi +

dF

dy

dF

= gQ und g(Pcp + Qty) = 1 ist, in F(x\y') -F dt=C.

Da alle integrierenden Faktoren einer Differentialgleichung durch p0(F) darstellbar sind, wenn ft eine Form des Faktors,

oder weil —— = uP

dx

’ dy

und F die Integralfunktion bedeutet, so sind auch alle infinitesimalen Transformationen, welche eine Differentialgleichung gestattet, in der Relation

enthalten.

Pep -f Q u> =

(x2>(F)

Man kann die Bedingung für cp und tp auch direkt aus der Differentialgleichung ableiten. Denn die Gleichung

ely dx

bleibt dann, und nur dann in sich ungeändert, wenn ein Punkt x, y

ö) y

mit seiner Fortschreitungsrichtung —j— = f(x, y) in einen Punkt

x\ y' derart übergeht, dass dabei auch die Fortschreitungsrichtung des Punktes x, y in die des Punktes x', y' übergeführt wird. Wird nun x' = x — cp dt, y' — y — tp dt der transformierte des Punktes x, y, so wird für den Punkt x + dx, y + dy der transformierte gleich:

\    /d ip    dtp \

dyjdt, y-\-dy — n>dt—y-ß—dx + -^dyjdt.

/ dep    dep

x + dx — cp dt — I —— dx + -— dy

Es muss also die Gleichung bestehen:

df

dy-^dF^dy)At

dx —

^dx + %dy)dt

dy

dy

oder da —- = f(oc, y) ist:

(IX

/V, 2/) - (

dtp dtp dx ⁺ dy

f)dt = f(x,y)-f('

dep dep dx dy

wobei unendlich kleine Grössen zweiter Ordnung fortgelassen sind. Diese Bedingung reduziert sich aber auf die Form:

dtp dtp 77~ + f

dx

oder

dy

df    df    dep

dx    dy    dx

~f

dep

dy

dx Ltg — fep_

j_r -f"

dy Ltg — fep_

Setzt man also f = — integrierenden Faktors:

<e> hs

so erhält man die Bedingung des

l_ r q ~i ₌ _a_ r_p

dx L-Pqo + Qty- dy LPep + Qty-

äij

Beispiele. 1. Die homogene Gleichung — = f

ist so

dy

beschaffen, dass alle Punkte der Ebene, in denen —— denselben

dx

Wert hat, auf Geraden liegen, welche vom Koordinatenanfangspunkte ausgehen. Daraus folgt, dass die Differentialgleichung eine Ähnlichkeitstransformation sogar bei endlicher Verschiebung zulässt, deren Centrum der Koordinatenanfangspunkt ist. In der That, setzt man x — ax\ y = ccy', so behält die Differentialgleichung un-geändert ihre Form. Mithin ist auch die infinitesimale Transformation x' = x(l — dt), y' — «/(l — dt) zulässig, und folglich ist

xf

integrierender Faktor.

2. Parallelkurven. Eine Differentialgleichung sei so geartet, dass ihr vollständiges Integralsystem ein Parallelkurvensystem bildet, d. h. trägt man auf den Normalen einer Integralkurve beliebige aber konstante Strecken ab, so bilden die Endpunkte dieser Strecken eine Parallelkurve, welche gleichfalls der Differentialgleichung genügen muss. Die Kosinus det Winkel, welche die Normale mit den Axen bildet, sind, wenn F(x, y) = 0 die Gleichung einer Kurve darstellt:

dF

sf

cos a =

cos ß =

dx

vw+ m

dy

YERW

Trägt man nun auf der Normalen eine konstante Strecke l ab, so gehen die Koordinaten des Kurvenpunktes x, y über in:

dF

dF

= x-\-l cos cc = x + l

f y =y+lcosß = y+l

dx

!/©•»©

dy

i / (d F\ ² (dF\2 VKdx) ⁺{jy)

Die infinitesimale Transformation ist demnach:

dF

dF

dx

cp =

dy

und also

/(!)+m

Pqo -f Qi//

dF

dF

= f*

dy

dx

ein integrierender Faktor. Weil aber

dF

dF

ist, so folgt

" ~ yp'+ö!

Weiss man also, dass eine Differentialgleichung Pdx -j- Q dy — 0 ein System von Parallelkurven definiert, so ist

ypr+ v

integrierender Faktor. Es ist leicht, auch die Umkehr dieses Satzes zu beweisen.

3. Wenn eine Differentialgleichung die infinitesimale Rotation um den Koordinatenanfangspunkt gestattet, so ist ihr integrierender Divisor Py — Qx, denn in diesem Falle sind die Transformationsgleichungen

x' — x -j- y dt, y’ = 'y,— xdt.

Dieser Satz lässt z. B. die Krümmungslinien einer Schraubenfläche bestimmen, und allgemein die Krümmungslinien oder Haupttangentenkurven einer jeden Fläche, die eine Rotation, durch welche sie ungeändert bleibt, zulässt.

Die Fundamentaleigenschaften der elementaren trans-scendenten Funktionen, abgeleitet aus den Integralen ihrer algebraischen Differentiale.

688. Die wesentlichen Eigenschaften der Logarithmen und der cyklometrischen Funktionen lassen sich leicht vermittelst der Integralrechnung erkennen; wäre die Theorie dieser

Transscendenten nicht schon früher entwickelt worden, so hätte man sicherlich ihre Grundlagen aus den ersten Sätzen in der Theorie der Differentialgleichungen gewonnen, wie solches bei den elliptischen Funktionen und den höheren Transscendenten mit algebraischen Differentialen in der That geschehen Ist. Auf einige Entwickelungen dieser Art wollen wir hier ein gehen.

Wir betrachten die Differentialgleichung:

dx , du

--1--- = 0.

« y

Die Variabelen sind hier getrennt, aber die Integration jedes Gliedes erfordert den Begriff des Logarithmus. Wenn diese Funktion noch nicht eingeführt ist, so muss man das Integral durch die Gleichung

j dx r dy J x V y

i    i

darstellen. Soll sich der Wert von y für x = 1 auf eine bestimmte Grösse z reduzieren, so muss man die Konstante C durch die Bedingung bestimmen:

= C oder

/ T

1

indem man die Yariabele unter dem Integralzeichen ebenfalls mit z bezeichnet; unser Integral wird demnach:

2)

{    _|_ C dy C dz

J X v y J z

iii

Andererseits ist evident, dass die Gleichung 1) ein algebraisches Integral zulässt; denn wenn man die Nenner beseitigt, so folgt:

y dx + x dy = 0 oder d(ccy) = 0,

also ist das Integral:

xy = const,

und wenn man die Konstante so bestimmt, dass y = z wird für x — lj so erhält man:

xy=z-,

3)

die Gleichungen 2) und 3) drücken die nämliche Relation zwischen #, y, z aus, mit anderen Worten, sie sind äquivalent.

Wenn die Transscendente

hier zum erstenmal auf-

tritt, muss man ihr einen Namen gehen; wir nennen sie Logarithmus und schreiben:

== log X.

Dann giebt uns die Gleichung 2), wenn wir xy an Stelle von z einführen:

log xy = \ogx + log 2/,

und dies ist die Fundamentaleigenschaft des Logarithmus.

An Stelle der Logarithmen können wir nun auch die inversen Funktionen einführen; es sei:

r dx _    /* dy    r dz

J x U’ J y ~ V' J z

lii

== w.

Da u eine Funktion von x ist, so kann man auch x als eine Funktion von u betrachten; wir bezeichnen diese Funktion mit dem Symbol e“, so folgt:

x = eu,

y = e”,

und die Gleichungen 2) und 3) erhalten die Form: u -\- V — w

z = ew

eM-e*=ew,

6«+»== eu• e\

wodurch die Fundamentaleigenschaft der Exponentialfunktion ausgedrückt ist.

folglich:

Diese Definition bezieht sich zunächst nur auf reelle Werte der Yariabelen x und y, und zwar auch nur auf positive, weil

X

f* fix

I - keine stetige Funktion von x mehr ist, wenn

i

der Nullpunkt im Integrationsintervall liegt. Will man also diese transscendente Funktion bei allen reellen und komplexen Werten

das Integral

von x untersuchen, so hat man vor allem den Einfluss des singulären Punktes x = 0 und den Wert des Integrales bei komplexen Integrationswegen zu bestimmen.

689. Wir betrachten zweitens die Differentialgleichung:

4)

dx

dy

= 0.

1 + x²^ l + tf

Die Yariabelen sind getrennt, und das Integral erhält, wenn man mit z den Wert bezeichnet, welchen y für x = 0 annehmen soll, die Form:

J iT?⁺J

o    o

r -J dZ

0

Die Gleichung 4) lässt sich aber noch folgendermassen schreiben:

5)

dy

1 + z²

[1 — xy + y(x + y)] dx -f [1 - xy + x{x + y)] dy = 0

oder:

(1 — xy) (dx + dy) - (x + y) d(l — xy) = 0

oder endlich:

(1 - xy) d(x + y) — (x + y) d( 1 — xij)

(1 - xyf

= 0.

und

- xy

Die linke Seite ist nun das Differential von —

diese Grösse wird für x = 0 und y = z ebenfalls gleich z; folglich wird das Integral der Gleichung 4), das schon durch die Gleichung 5) dargestellt ist, auch gleich:

6)

1 - xy

= z.

Wir setzen nun:

dx 1 + x*

= arctang£ = M,

dy

l + if

= arctan gy v,

dz

= arctang z-w

so haben wir für die neue Transscendente die Gleichungen:

arctang# -f- arctang?/ = arctang# = arctang —

- xy

die für alle reellen Werte der Variabelen x, y Geltung hat, während wir hei komplexen Werten die singulären Punkte x = + Y — 1 noch näher untersuchen müssten. Definiert man die inversen Funktionen durch das Symbol tangt*, so erhalten die Gleichungen 5) und 6) die Form:

tang u -f- tang v

folglich ist:

1 — tang u tang v

= tang w,

tang (u -)- v) =

tang u -f- tang v

1 — tang u tang v

und dies ist die Fundamentaleigenschaft der Funktion tangw.

690. Wir betrachten schliesslich noch die Gleichung:

dx

dy

= 0.

wird:

]/l -x²    |/l - y²

Das Integral, derart bestimmt, dass für x = 0 y = z ist,

8)

x    y

r_dx₌₊r_

J Vi -x* J \ 0 0

dy

i/i

y\ - z²

Multipliziert man aber die Differentialgleichung mit dem Faktor ]/l — x² ]/l — y² — xy, so folgt:

„ ydy '

Js -

1/1 - y'■

^]/1 — y² dx

[VT- x²dy- y

x dx

oder:

y i—x²-

d (x y 1 — y²) + d {y ]/l — x²) = 0. Das Integral wird also stimmt, dass y = z ist für x = 0:

wenn man

es gleichfalls so be-

9)

£]/l — y² -\- yyi — x² = z.

Ferner bleibt die linke Seite der Gleichung 7), welche ein exaktes Differential ist, auch noch exakt, wenn man sie mit dem Faktor

y 1 — x² j/l — y² — x y

multipliziert; man braucht also bloss diesen Faktor konstant zu setzen, um das Integral der Gleichung 7) zu gewinnen (§ 682). Bestimmt man diese Konstante wiederum so, dass für x = 0, y = z wird, so erhält man:

10)

]/l — x² |/l — y² — xy = Y L — z².

Die drei Gleichungen 8), 9), 10) stellen die nämliche Relation zwischen den Grössen x, y, z dar. Die letzten beiden sind algebraisch, während die erste transscendente Punktionen enthält.

Setzen wir nun:

dx

dy

dz

so ist u eine Funktion von x, und wir können auch umgekehrt x sowohl, wie ]/1 — x² als Funktionen von x betrachten, wenigstens solange der absolute Betrag von x kleiner als eins ist. Wir bezeichnen diese Funktionen mit den Symbolen sinw. cos«, so ist:

x = sm m,

yi — X¹ = COS M,

Die Gleichung 8) wird:

y = sm v,

z - sm w

COS V

yi~z²=

cos w.

n + v = w,

und die Gleichungen 9) und 10) geben folglich die Relationen:

sin (u -f v) = sin u cos v -f cos u sin v, cos (u + v) = cos u cos v — sin u sin «,

wodurch die Fundamentaleigenschaften der Funktionen sinus und cosinus ausgedrückt sind. Man könnte nun auch auf diesem Wege die anderen bekannten Eigenschaften dieser Funktionen, z. B. ihre Periodicität, aufs neue ableiten; doch wollen wir hierbei nicht verweilen, sondern diese Betrachtungen nur noch schliesslich, nach dem Vorgang von Euler, auf den Beweis der charakteristischen Eigenschaft der elliptischen Funktionen anwenden.    t

Das Additionstheorem der elliptischen Funktionen.

691. Wir betrachten die Differentialgleichung:

1)

dx    dy    ^

]/l — x* ]/l — k² x² ]/l — y² ]/1 — k² y²    ’

wobei k² eine gegebene Grösse zwischen 0 und 1 bezeichnet. Die Variabelen sind hier getrennt, und wenn man das Integral so bestimmt, dass für x = 0, y = z wird, so erhält man:

2)

fs

dx

dy

y i—x²y l—k² x²

yi-y²yi-k²y

_ r dz

² J yi—0² yi— k² z²

eine Gleichung, in welcher jedes Glied ein elliptisches Integral erster Gattung ist.

Euler hat nun erkannt, dass die Gleichung 1) auch ein algebraisches Integral besitzt; dasselbe lässt sich bestimmen, indem man folgendermassen vorgeht. Wir setzen:

X= (1 — x²) (1 — k² x²),

r=(i-i/²)(i-*V),

so dass die vorgelegte Gleichung die Form bekommt:

dx , Iv. _ o yx yT ’

oder, indem man die Nenner beseitigt und dabei die Gleichung mit einer noch unbekannten Funktion T multipliziert:

3)

TVYdx + TyXdy- 0.

Nun ist aber:

T y Y dx = d (x T y Y) -

Tx d Y

-xVYdT,

TyXdy-dtoTyX)

TydX

21/Z

-yyxdl,

und die Gleichung 3) wird sonach:

4) d [T(xyY+ y YX)] -    (*Y-dV- ^ VX'dx

yY yx

X¹ und Y’ bezeichnen die Ableitungen

-)-(xyY+yyx)dT=o

dX dY dx ⁷

dy

Man kann nun die Funktion T so bestimmen, dass sich diese Gleichung auf

d[T{xyY+vyx)}-o

reduziert. Zu dem Zwecke müssen sich die übrigen Terme auf Grund der Gleichung 1) gegenseitig aufheben. Ersetzen wir also dT durch

5)

dT

dx

dx +

dT

dy

dy

und bemerken wir, dass dx und dy proportional zu ]/X und so hat die Funktion T der Bedingung zu genügen:

6) ^ (xY’-yX’)-(ayx+xVT, (TLyx-^ yr) - o.

-V~Y sind

Diese Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung; für unseren Zweck genügt es aber, irgend eine partikuläre Lösung derselben zu kennen. Wir untersuchen, ob ein rationaler Wert von T diese Gleichung befriedigt; man erkennt, dass, wenn solch ein WTert existiert, die partiellen Ableitungen

proportional zu y und x sein müssen, damit die

Quadratwurzeln aus der Gleichung 6) verschwinden. Diese Bedingung wird erfüllt, wenn man für T eine Funktion des Produktes xy wählt, denn bezeichnet man mit T' die Ableitung von T in Bezug auf dieses Produkt, so wird:

dT = T'x.

dT

dx

und

dT

dy

dT

- T'y

Die Substitution dieser Werte in die Gleichung 6) ergiebt: V xY'-yX T _ 2(y²X-x²Y) '

oder, wenn man an Stelle von X, Yf X einsetzt:

dy

Y’ ihre Werte

■0

T'

1 — k² x²y

dieser Ausdruck ist in der That eine rationale Funktion des Produktes xy, und diese Funktion ist die Ableitung von — 1{1 — k²x²y²)\ das Integral der Gleichung 7) ist also: l(T) = — 1(1— k²x²y²) + const.

Die Konstante können wir gleich null setzen, und demnach wird:

8)

1 — k²x²y²

Dieser Wert von T genügt der Gleichung 6), folglich erhält die Gleichung 1) die Form:

9)

xVY+yVX

1 - k²x²y2    7

also wird ihr Integral:

= const.

xVY+yVX

1 — k²x²y²

Setzt man für X und Y ihre Werte ein, und bestimmt man die Konstante so, dass für x — 0, y — z wird, so erhält man die Gleichung:

10)

#]/l — y² Y1 — k² y² -f yV 1 — x² ]/1 — k² x²

1 - k²x²y²    = *

Vermittelst dieser Gleichung kann man nun auch die beiden Wurzeln: ]/l— z² und ]/l —- k²z²y welche die Werte von j/l — y² und j/l — k²y² für x = 0 darstellen, als Funktionen von x und y ausdrücken; man findet leicht:

ii)

y l — x²y l — y² — xyy 1 — k²x²y 1 — k²y²

1 — k²x²ij‘

12)

y 1 — lc²x² y \ — k²y² — k²xyy 1— x² ]/l — y²

1 — k²x²y²

=y\—k²z².

692. Jede der Gleichungen 2), 10), 11), 12) stellt das Integral der Gleichung 1) dar, in welchem für x — 0, y == z wird. Setzt man nun:

j\

o

clx

yi — x² ]/l — k²x²

= u,

./

0

dy

yi-y²yi-k²y²

dz

--______ _ w

y\-z²y\-k²zi

und ferner, wie im § 438:

# = sin amw, ]/l — x² = cos am u, ]/l — k²x² = Aamu, so wird die Gleichung 2):

und die Gleichungen 10), 11), 12) geben folglich:

sin am (u + v) =

sin am u cos am v A am v -f sin am v cos am u &am u

1 — k² sin²am u sin²am v

cos am (u + v) —

A am (u + v) =

cos am u cos am v — sin am u sin am v A am u A am v

1 -k² sin² am u sin² am v

A am u A am v — k² sin am u sin am v cos am u cos am v

1 — k² sin²am u sin²am v

Diese Formeln stellen das Additionstheorem der elliptischen Funktionen dar. Wir beschränken uns hierbei auf die Angabe dieses Resultates, dessen Beweis noch nicht bei unbeschränkter Variabilität der Argumente geführt ist, das wir indessen nicht weiter entwickeln können, ohne die Grenzen, welche wir uns gesteckt haben, zu überschreiten.

Drittes Kapitel.

Über die Integration der Differentialgleichungen höherer Ordnungen.

Die Integration der Gleichung

- X.

dny dxn

698. Alle Fälle der gewöhnlichen Differentialgleichungen lassen sich, wie wir sahen, wie gross auch die Zahl der Variablen sein mag, auf den Fall einer Differentialgleichung von bestimmter Ordnung zwischen zwei Variabelen zurückführen. Nachdem wir die bekannteren Resultate aus der Theorie der Gleichungen erster Ordnung entwickelt haben, müssen wir nun Gleichungen höherer Ordnung betrachten. Sieht man aber hierbei von den linearen Gleichungen ab, die wir zum Gegenstand besonderer Untersuchung im nächsten Kapitel machen werden, so haben wir für diese Theorie kein allgemeines Prinzip, keine Methode der Integration, und die folgenden Entwickelungen sind daher auf eine sehr kleine Zahl spezieller Fälle beschränkt.

Wir verweilen zunächst bei dem einfachsten Fall, wo eine Ableitung bestimmter Ordnung der unbekannten Funktion gegeben ist. Hier hängt die auszuführende Integration nur von Quadraturen ab. Es sei also

1)

dny _ x dxn

die gegebene Gleichung, X eine bekannte Funktion voa x allein, man soll das vollständige Integral bestimmen. Wir bezeichnen mit y₀, ?/'₀, ... y₀'n~¹⁾ die Werte, welche y und seine n — 1 ersten Ableitungen für x = x₀ annehmen sollen.

Serret. Differential- und Integral - Rechnung. Bd. II. 2.

Multipliziert man dann die Gleichung 1) mit dx, so folgt durch Integration

=JXdx + %<-»- X, +

x₀

dn~

Integriert man sodann diese Gleichung, so erhält man:

dxn^{ = f :Xldx + Von~l) (X ~ Xü) + Vo(n~²⁾

dn~

*0

Fährt man in derselben Weise fort, so erhält man schliesslich

y — Xn~f~ Pn—tf

= y₀+y'o(x-xo)+l-ly"o(x-xo)²+--

ist, und Xn das n -f lte Glied in der Reihe X, X1} X₂,... Xn bezeichnet. Diese Funktionen werden von der zweiten an für x = x₀ null und jede von ihnen ist die Ableitung der folgenden¹; also ist

wobei Pn — l

nzi\yon~¹⁾(x~xo)n~t

2)

n==Jdxj'dx ■ ■ • JXdx.

Xq Xq    Xq

Die Anzahl der auszuführenden Integrationen ist gleich n.

Durch die teilweise Integration lässt sich indessen diese Formel so transformieren, dass die Berechnung von Xn nur eine einzige Quadratur erfordert; es ist

3)

=fXdx

*0

und ebenso X

₂= JX^x.

*0

Die teilweise Integration verwandelt nun den Ausdruck für X₂ in den folgenden

X₂ = xXt —

xdx =

dx

xj Xdx -Jxxdx,

Xq

Xn

Xq

oder wenn wir die Variabele unter dem Integral, also auch in der Funktion X, mit z bezeichnen:

4)

X₂ = J (x — z) X dz.

x₀

Bezeichnet man die Variabele in der Funktion X₂ mit t, so ist:

Xä =J X₂dt =f dt f’(t — z) X dz,

x₀

Xq

Xq

wobei in X an Stelle von x die Variabele z zu schreiben ist. Kehrt man in diesem zweifachen Integrale die Reihenfolge der Integrationen um, so wird*(§ 588):

5)

*3 =

-J*X dzj^(t — z) dt = ~J (x

— zf X dz.

X₀

Xq

Ebenso folgt weiter, wenn man die Variabele in X₃ mit t bezeichnet:

Xo

Xq

Xq

also:

6)

X₄ =

3!.

— z)*XdB = 4

hJXd'ßt

- 0y dz

Xq

I (x — z)s X dz.

XQ

Aus diesen Gleichungen lässt sich schliessen, dass Xn von

der Form

Xn =

Xo

—rr / (x

n — 1! J

— z)n~¹Xdz

sein wird, und diese Gleichung bestätigt man durch Schluss von n auf n-\-1, denn es wird wie vorhin, wenn wir mit t die Variabele in Xn bezeichnen:

Xn4-1 —

Xndt =

dt I (;t — z)n~iXdz =

n- 1!

Xdz^J (t

-z)n~ldt,

Xq

Xq

Xq

Xq

also:

Xn+l n\

ftx

— z)n X dz.

Xo

9*

Mithin ist das vollständige Integral der Gleichung 1):

8)

f\x

— z)n~l Xdz -\- Pn-l'i

Xq

Pn—i ist ein willkürliches Polynom in x vom Grade n — 1.

Dabei ist zu bemerken, dass wir unter dem vollständigen Integrale der Gleichung 6) eine stetige Funktion von x verstehen, deren n — 1 erste Ableitungen ebenfalls stetig sind, deren nte Ableitung den gegebenen Wert X hat, und welche nebst ihren n — 1 ersten Ableitungen für einen gegebenen Wert x₀ von x die beliebig gegebenen Werte y₀, y'₀, ... y^n~x) annimmt.

694. Nehmen wir an, dass die Funktion X die wte Ab

leitung fn(x) einer Funktion f(x) ist, so ist evident, dass die Gleichung    .

/'(*»)-^2! /"W

das Integral der Gleichung 1) ist, so bestimmt, dass y und seine n — 1 ersten Ableitungen für x = x₀ null werden. Dasselbe Integral ist aber auch durch die obige Gleichung 8) dargestellt, wenn man daselbst X = fn(z) und Pn — \ gleich null setzt. Also ist:

y ⁼ f(x) - f(xo) —

/y*_ /y»

iAsr\

(x-x₀)n~1 n — 1!

fn~r O'o)

f M-----

(x — x₀)n~¹

- z)n~lfn{z) dz,

x₀

oder wenn man x = x₀ + h und z = x₀-\- h — t unter dem Integral setzt:

Ji    7v²    M—¹

f(xo + h)= f(x₀) + j f'(x₀) + gj f"M + • • +    fn~Kxo)

tn~¹fn(x₀ -f h — t) dt

Auf diese Weise erhalten wir einen neuen Beweis der Taylor sehen Gleichung (§ 472).

Über die Gleichungen, welche nur zwei aufeinander folgende Ableitungen der unbekannten Funktion enthalten.

695. Wir betrachten zuerst eine Gleichung von der Form:

1)

oder

/ d*y dy\ = 0

\dx2> dx/

2)

indem wir

dy

dp

dx

= p einführen. Kann man die Gleichung nach

dx

auf lösen, und wird:

3)

dp

dx

= f\ p) oder dx =

dp

so erhält man:

f(p)

4)

dp

x JfW+a

Po

Kann man ferner diese Gleichung nach p auflösen, so dass p = (p (x) oder dy = <p (x) dx

wird, so folgt:

5)

y =J cf> (x) dx + C']

x₀

C' ist eine zweite willkürliche Konstante, und die Gleichung 6) ist das vollständige Integral der gegebenen.

Dieses Integral lässt sich aber auch auf folgendem Wege ableiten, der immer anwendbar ist, auch wenn die Gleichung 4) nicht nach p aufgelöst werden kann. Multipliziert man die Gleichung 3) mit j), so folgt

p dx = dy ==

p dp

also

f(p)

6)

p

,-r

pdp

tXv)

+ Ct.

Po

Das vollständige Integral ergiebt sich dann vermittelst der Eliminaticn von p aus den Gleichungen 4) und 6).

696. Kann man die Gleichung 2) nicht nach auflösen,

dp

ctoo

dagegen die Auflösung nach p vollziehen, so erhält man das

du

Integral auf folgendem Wege. Wir setzen = q und nehmen

a x

an, dass die gegebene Gleichung die Form

7)

P = <P (g)

erhält. Dann wird

also weil dx =

dp = <p' (q) dq d* ay-***

ist:

äy =

Hieraus folgt durch Integration:

dx =

dq.

./v<:

j g

So

?/==y

y(g) yf(g)

-f" G,.

So

Das gesuchte Integral ergiebt sich aus der Elimination von q zwischen diesen beiden Gleichungen.

697. Nehmen wir schliesslich an, dass die gegebene Gleichung weder nach p, noch auch nach q aufgelöst werden kann, dass man aber p und q als Funktionen einer neuen Yariabelen dargestellt hat, derart, dass

9)

2-^(0» g = x(*)

ist, so folgt hieraus

dp =    (t) dt,

dp

p dp

und die Gleichungen dx = dy = —-

werden also:

dx =

^'(0

z(0

dt, dy =

so dass das gesuchte Integral aus den beiden Gleichungen erhalten wird:

10) z =

■J

^(0

%(t)

X(ß)

y-Vo _

arctangp,

698. Beispiel. Es soll die ebene Kurve bestimmt werden, deren Krümmungsradius eine Projektion von konstanter Länge auf eine feste Richtung liefert.

Der Krümmungsradius hat bei rechtwinkligen Koordinaten

den Wert

(dyV 1

\dx) _

t$|os

d²y

dx²

uncf der Kosinus des Winkels, den seine Richtung mit der x-Axe bildet, ist

dy

dx

Wählen wir also die gegebene feste Richtung zur x-Axe, so ist die Gleichung des Problemes

dy

dx _

(dy_Y

\dxJ _

d²y

= a,

dx²

clti

wobei a die gegebene Länge bedeutet. Setzt man J wird diese Gleichung

dx

-Pi so

also:

dx

dp ₌ p (1 + p²) dx

dp    dp    p dp

p(l+p²) ~ p    1+ p²’

dy dp

fTF’

Integriert man diese und bezeichnet mit x₀, y₀ willkürliche Konstanten, so folgt: x — xQ

und die Elimination von p ergiebt:

699. Wir betrachten gleichung:

nun

die allgemeinere Differential-

dn~ly \dxn dxn ~¹

Y = p auf die Form

(IT)

reduziert. Nehmen wir an, dass diese Gleichung nach aufgelöst ist, so dass

i)

die sich für 4

dxn~

2)

3)

dp

wird, so folgt durch Integration:

4)

p

-L

dp

f{p)

Po

Kann dann diese Gleichung nach p aufgelöst werden, so erhält man eine Gleichung von der Form:

p = X oder

dn~¹y dxn~^

wobei X eine gegebene Funktion von x mit einer willkürlichen Konstante ist. Dies ist der im § 693 behandelte Fall.

700. Kann aber die Gleichung 4) nicht nach p aufgelöst werden, so hat man gemäss der Gleichung 3):

gPlll = d pdp

also:

“ d*—•* pa f(p)

²J_ _ ('pdp

dx«~* J

dn~

Po

Setzt man zur Abkürzung F = / diese Gleichung schreiben:

p dp

Po

f\p)

so kann man

Xjn — 3/ii

Pdp

f\p)

“F CtdXi

und hieraus folgt:

so erhält man den Wert von y durch

fährt man so fort Quadraturen.

dn~~³y

dxn~'d

■j

Pdp

Po

f(p)

+ Cx x -f- C₂ 5

Über die Gleichungen, welche nur zwei Ableitungen enthalten, deren Ordnungen um zwei Einheiten differieren.

701. Es sei zunächst die Gleichung

gegeben, welche nur die unbekannte Funktion y nebst ihrer Ableitung zweiter Ordnung enthält. Lässt sich dieselbe nach

d²y dx²

1)

auflösen, so dass

2)

d²y

dx²

= f(y)

wird, so erhält man durch Multiplikation mit 2dy:

Die linke Seite ist das Differential von

ist, wenn C eine willkürliche Konstante und yQ irgend ein Anfangswert von y bezeichnet:

Vo

Hieraus folgert man:

dx =

dy

]/ 2 Jf(y)dy + C

Po

und ferner, da die Variabelen getrennt sind:

3)

dy

+ C.

2/o

Vo

Dies ist das vollständige Integral der gegebenen Differentialgleichung 2).

702. Ist die ursprüngliche Gleichung nach y auflösbar, so setzen wir:

4)

dy

dp

dx

die aufgelöste Gleichung. Die Differentiation ergiebt:

dy = <p'(c[)dq,

t) dv)

andererseits ist nach den Gleichungen 4) dy — pdp = g<p'(g) dq.

p²= 2 f qcp'(q) dq + C

und es sei

5)

Mithin wird

6)

9o

dx

> also:

also:

= j/ 2fqcp’(q) dq + C.

%

dy

Die Gleichung dx = — = dx =

<p'(a)dq

<p'{q)dq

wird folglich:

]/ 2fq<p’(.q)dq + c

also:

3o

<p'(q)dq

]/ 2 fqcp'(q)dq + C

Das gesuchte Integral ist das Resultat der Elimination von q zwischen den Gleichungen 5) und 7).

703. Beispiel. Die Gleichung

d²y dx²

— my = 0

ergiebt:

also:

ferner

Mithin wird:

2 d2y dv

dx dx

Ym dx =-    __•

>V+ c

— 2my

dy

xYm =

dy

Vy²+ c

+ const = l(y + Vy²+Ü) — l(C');

y»

C' ist hier eine Konstante. Man hat also:

y +Vy²+C = C'ex^m,

und indem man von beiden Seiten den reciproken Wert bildet:

— x~\m .

-y + Vy²+c = -üre

Subtrahiert man diese Gleichung von der vorigen, und

schreibt man statt und £

einfach C und C\ so folgt:

y = Cex^m+ C'e~x^m,

und dies ist das vollständige Integral der gegebenen Differentialgleichung. Ist m eine negative Zahl, gleich — w², so kann man schreiben:

oder:

nx~\/~ 1 _J_ fi — nx\—1

4- C" —

nx\—1 _ fi — nx\—1

2Y—~1

y — C cos nx + C’ sin nx\

y = A cos (nx + «), und A und a sind die willkürlichen Konstanten.

C und C’ bezeichnen auch hier willkürliche Konstanten. Man kann auch 0 = A cos«, C"= — JLsina setzen; alsdann wird das Integral:

dn~²y

2)

dxn~²

zu

704. Auf den in § 701 behandelten Fall lässt sich die Gleichung

i)

dny dn~

dxn’ dx

V)_o

n — 2 ) w

zurückführen, welche nur die Ableitungen enthält. Dazu hat man nur

dny

dxn

, dn~²y

und —:-~

dxn~²

setzen, so wird die Differentialgleichung:

3)

Die Bestimmung von p als Funktion von x enthält keine anderen Schwierigkeiten als die der Elimination, und beruht, wie wir gesehen haben, im übrigen auf Quadraturen.

Nehmen wir an, dass die Gleichung 3) nach lösbar ist, so dass

d²p

dx²

auf-

4)

d²p

dx²

= f(j?)

wird, so erhält man:

ferner:

dx    1A/r(p)«*p +

dp

C=t(p)

Po

5)

+ C'.

Po

Kann diese Gleichung nach p aufgelöst werden, so lässt sich y vermittelst der Gleichung 2) durch Quadraturen bestimmen (§ 693). Ist diese Auflösung aber nicht ausführbar, so hat man wie vorhin (§ 700) zu verfahren; es ist:

dn~³y

d

= pdx =

p dp

also:

dn~

dxn

i-j

p dp

₊ Cl=P+C

Differentialgleichungen höherer Ordnung. Daraus folgt weiter:

also:

d^^ = (P + C₁)dx~

Pdp

V(P)

+ dp

dn~iy

Pdp

dxn~A

Po

4>(p)

Auf diese Weise fortfahrend gewinnt man den Wert von y als Funktion von p durch Quadraturen.

Fälle, in denen sich die Ordnung der Differentialgleichungen erniedrigen lässt.

705. Die Ordnung einer Differentialgleichung lässt sich immer erniedrigen, wenn die Gleichung nicht die unbekannte Funktion, sondern nur ihre Ableitungen enthält. Denn ist die gegebene Gleichung von der Form:

f(x

dny

dmy drn+¹y dxm’ dxrn+¹ ’ dxn .

wobei

dmy

— die Ableitung niedrigster Ordnung bezeichnet, welche hier auftritt, so folgt, indem man

dmy

dxm '

dx

setzt, eine Differentialgleichung von der Ordnung n — m. nämlich:

f{x,p,

dp

dn~

dx ’

dxn

₌

— ml

o.

Ist der Wert der Funktion hieraus ermittelt, so erhält man y durch Quadraturen.

dny

■)-°

dy

Zweitens kann man aber auch die Ordnung stets um eine Einheit erniedrigen, wenn die unabhängige Variabele nicht explicite vorkommt. Denn wählt man in der Gleichung nter Ordnung

dxn

y zur unabhängigen Variabelen, so wird man auf den vorigen Fall zurückgeführt. Setzt man also:

dy

so erhält man:

dx

- = P,

d²y dp dx² dx ^

dp

dy

dhj

d(Kp%)

₂ d²p

dx³

dy

dy²

und nach Substitution dieser Werte reduziert sich die Gleichung auf die n — lte Ordnung. Ist dann der Wert von p als Punktion von y bekannt, so ist x aus der Gleichung

dx-“”

zu bestimmen, was nur noch eine Quadratur erfordert.

706. Gleichungen, welche in Bezug auf die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen homogen sind. Ist die Gleichung

F(x,y,

dy

.p.)-0

dxn J

dny

dx ’ dxn5

nung um eine Einheit erniedrigen vermittelst der Substitution:

homogen in Bezug auf y,

dy

so kann man ihre Ord-

f zdx

y = eXo

wobei z eine neue unbekannte Funktion von x ist. Denn es folgt hieraus:

dy

= zex«

f zdx

dx

d²y ’ dx²

ex°

f zdx

auf *• dx tialgleichung für z:

und nach der Substitution dieser Werte lässt sich die Exponentialfunktion als Faktor absondern, da die Gleichung in Bezug du

• • • homogen ist. Man erhält sonach eine Differen-

®(x,z,

dz

dn~xZ

dx* dxn

von der Ordnung n — 1. Ist der Wert von z bekannt, so findet man y durch eine Quadratur, wobei noch eine willkürliche Konstante anftritt.

707. Auf diesen Fall lässt sich auch eine Differential-

dy d²y dx ’ dx²

zurückführen, welche die unabhängige Variabele x nicht enthält und in Bezug auf

gleichung

f(v

ny

d²y

d³y

dy dx2 dy

dx

-j

dx

dx²

homogen ist. Denn setzt man

dy

dx

= p, so wird:

d²y dp dx2 =P T,:-

dy

= p²

Mt)’-

und nach der Substitution dieser Werte erhält man eine

dp d²p dy’ dy²'

homogen ist und die sich folglich auf die Ordnung n — 2 reduzieren lässt.

708. Gleichungen zweiter Ordnung, die in Bezug auf die Variabelen und ihre Differentiale homogen sind. Es sei

Gleichung n — lter Ordnung, die in Bezug auf p

i)

F{

dy d²y

x,y' dx’ dx-

eine Gleichung zweiter Ordnung, die homogen ist, wenn man

dy

die Dimensionen von x und y gleich 1, von — gleich 0, von d²y .    .

——g gleich — 1 annimmt. Setzt man dann:

Ct 00

d²y q Tx~²⁼⁼x'

so wird die Gleichung nach Substitution dieser Werte die Variabele x nicht mehr enthalten, und also von der Form

f(u,p, q) = 0

2)

y = ux

dy

dx

3)

sein.

Die Gleichungen 2) ergeben:

also:

dy = u dx -f x du = p dx, d²y = dp dx = — c?£²;

00

4)

dx    du    dp

x p — u q

Nehmen wir nun an, dass man aus der Gleichung 3) q = <p(u,p) berechnen kann, so erhält man:

du

dp

cp(u,p)

also eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen den Variabelen p und u. Hat man diese Gleichung integriert, so dass der Wert von p als Funktion von u bekannt ist, so erfordert die Lösung des Problemes nur noch eine Quadratur, denn man erhält die Gleichung:

dx

du

p — u

in welcher die Variabelen getrennt sind. Es wird also u eine Funktion von x, und sonach y = ux.

Ist allgemein die Differentialgleichung

dny dxn

homogen, wenn die Dimension von x und y gleich 1, von

dny    .    .

gleich 0, von    gleich — [n — 1) gesetzt wird, so lässt sich

durch die Transformation:

F(x,y,

dy

dx

dy

dx

also:

ferner:

x = ez, y = ußz, dx = ez dz, dy = ez(udz + du)

dy

dx

/    , du\

\u + ~rd'

' d^y_ dx²

/du d‘²u\ \dz dz²)

die Gleichung in eine Differentialgleichung zwischen u und z transformieren, aus welcher ez herausfällt, die also die Variabele z nicht mehr enthält, und demnach in eine Gleichung n — lter Ordnung verwandelt werden kann.

Anwendungen auf geometrische Aufgaben.

709. Erste Aufgabe. Die ebenen Kurven m bestimmen, bei welchen der Krümmungsradius einer gegebenen Funktion der Abscisse proportional ist.

Bezeichnet man mit x und y die rechtwinkligen Koordinaten, so ist die Gleichung des Problemes:

3

Hl

--= f(x).

d²y dx²

Dieselbe enthält die Variabele y nicht und kann auf die erste Ordnung gebracht werden, indem man

d²y

dx²

dy

dx

dp

dx

setzt. Alsdann wird:

dp

dx

(1 +

Die Integration ergiebt:

f{x)

dx

V i + p‘

/'(»)

+ Cf

also:

dx

2'o

f{x)

dx

1-

dx

fix)

— Xq    —

und folglich erhält man y durch eine neue Quadratur, nämlich

y = f cp (x) dx + Cv

x₀

Hat z. B. fix) den Wert

a²

2x ⁷

Q

nimmt und —tt an Stelle von C schreibt:

so wird, wenn man 0

a²

’-A

dx -f- Oj.

ferner:

X₀

* dx

X²

f(x)

(p(x) =

]/ a⁴ — (x² + c)'

o

Diese Kurve tritt in der Mechanik unter dem Namen „Elastische Kurve“ auf, ihr Krümmungsradius ist der Abscisse umgekehrt proportional.

710. Zweite Aufgabe. Die ebenen Kurven zu bestimmenr bei welchen der Krümmungsradius dem Kubus der Normalen proportional ist.

Bezeichnet man mit x und y rechtwinklige Koordinaten,,

du

mit p die Ableitung ——, so haben Krümmungsradius und

CI 00

Normale die Werte:

(1 +_p²)

fc©|C»

dp

> yV^+p²,

dx

und die Gleichung des Problemes ist also:

dp

ö²

dx

y³ ’

a ist eine gegebene Länge. Diese Gleichung zweiter Ordnung enthält die Yariabele x nicht; man hat also y als unabhängige

d \t

Yariabele zu wählen, und für dx den Wert —— zu setzen,

P    ⁷

so wird:

p dp

a²

dy

folgt:

also:

= —r oder ± p dp = a² —Y-

y³ •    y³

Bezeichnet man mit — eine willkürliche Konstante, so n

⁾⁾'=±7⁺ ’

oder dx=Vn

dy

dy Yy² ± na²

p dx yyn

ydy

Yy² + n a²

Ist dann x₀ eine neue willkürliche Konstante, so erhält

man

x — xQ = yn ]/y² ± na² oder (x — x₀)² — ny² = + n² a²;

die gesuchte Kurve ist also im allgemeinen eine Ellipse

oder eine Hyperbel. Für den Fall -- = 0 bekommt man eine Parabel.

711. Dritte Aufgabe. Die ebenen Kurven zu bestimmen, bei welchen der Krümmungsradius proportional der Normalen ist.

Bezeichnet man mit n eine gegebene positive oder negative Zahl, so wird die Gleichung des Problemes:

1 +p

dp

= ny-

dx

dv

Wir ersetzen, da x nicht vorkommt, dx durch

2 dy n y

Die Integration liefert, wenn c eine willkürliche Konstante bezeichnet:

so wird:

2 p dp

l(l+P²) =

also:

und dx =

| ?•

__L

-1

dy.

Die zweite Integration ergiebt:

_JL

x — x₀ =

C5

-1

dy,

'Jo

wobei x₀ eine willkürliche Konstante, y₀ einen beliebig fixierten

Anfangs wert von y bedeutet.

Der Ausdruck für dx ist ein binomisches Differential

und dies Integral lässt sich also durch elementare Funktionen

, n — 1 oder —g

darstellen, wenn entweder

§ 1<M

eine ganze Zahl

10*

ist, also wenn n eine ganze Zahl ist. Die bemerkenswertesten Fälle sind hierbei n = + 1 und n = + 2.

1. Für n = — 1 erhält man, indem man y₀= c setzt:

ydy

= ~Vc²~ y²,

also:

(x — x₀)² + y² = c²;

die gesuchte Kurve ist ein Kreis.

2. Für n = + 1 ist:

x — x₀

dy

y + Vy²- c²

also: und bildet man auf beiden Seiten den reciproken Wert:

y-

Durch Addition folgt:

c ( x~Xa

y = o (e c 4-e

1'

x — x0\

* )>

die gesuchte Kurve ist also eine Kettenlinie (§ 224).

3. Ist n = — 2, so wird:

dy

dx

~V y

und dies ist die Differentialgleichung,einer Cykloide, hei welcher der Durchmesser des erzeugenden Kreises gleich c ist (§ 231).

4. Ist n — + 2, so hat man:

also:

X — x₀ =

_ A

V:l

c=(x_-x^f

dy

= 21/cYy - c

4c

und dies ist die Gleichung einer Parabel.

712. Vierte Aufgabe. Die Botationsflächen m bestimmen, für welche die mittlere Krümmung in allen Punkten konstant ist.

Bei einer Rotationsfläche bilden die Meridiane und die Parallelkreise die beiden Systeme der Krümmungskurven. Hieraus folgt, dass der eine Hauptkrümmungsradius der der Meridiankurve ist, während der andere gleich ist der Strecke der Normalen zwischen der Axe und dem Flächenpunkte.

Bezeichnet man also mit B den ersten, mit N den zweiten Krümmungsradius, so ist die Gleichung des Problemes: a bezeichnet eine gegebene Länge. In dieser Formel haben B und N gleiche Zeichen oder entgegengesetzte, je nachdem die Radien von gleicher oder entgegengesetzter Richtung sind. Wir beziehen nun eine Meridiankurve auf zwei rechtwinklige Axen, von denen die x-Axe mit der Axe der Rotationsfläche zusammenfallen soll. B und N bekommen gleiche Zeichen,

wenn y und

entgegengesetzte Vorzeichen haben, und um-

d²y

dx²

gekehrt. Man muss also

(dy\

\dxJ

Ai Ai

in diesen Aus-

setzen, und das Vorzeichen von

drücken ist dann willkürlich. Die Gleichung des Problemes wird nun, indem man wiederum

setzt:

dy

dx

d}y _

dx? dx

dp

und dx —

dy

dy

dp P ~rr.

(1 + P²)

y y 1 +p* a

Um sie zu integrieren, braucht man sie nur mit y dy zu multiplizieren: denn es wird:

und die linke Seite ist das exakte Differential von folglich erhält man:

i/i +y

— y pdp

(1 + p²)

dV _ ydy

i/r+7

<i

Vi+p

y²±b²_ 2a ⁵

+ ^r— ist die willkürliche Konstante. Hieraus folgt:

u Oj

oder

dx =

]/4 a²y²— (y² + b²)²

y²+ b²

(:f ± &²) dy

■j/4 <2²!/² — (i/² + &²):

Das Problem ist also auf eine Quadratur zurückgeführt.

713. Ist die Konstante b null, so wird die Differentialgleichung:

dx =

ydy

]/4a² — y² wenn man von der Lösung y = 0 absieht. Die Integration giebt:

x — xQ = — ]/4a² — i/² oder (# — x₀)² + y² = 4 a²,

also einen Kreis. Dass die Kugel eine der gesuchten Flächen sein muss, ist von vornherein evident.

Setzt man b²=ca, wobei c eine neue Konstante ist, und lässt man alsdann a unendlich werden, so reduziert sich die allgemeine Differentialgleichung auf die folgende:

dx =

cdy

hieraus folgt:

"j/4 y²— c²

2(x- x₀)

und

Yc

2 (x — xu)

y- 4 Le

Diese Gleichung stellt eine Kettenlinie dar, welche, wie wir wissen, der Ort der Brennpunkte einer Parabel ist, die ohne zu gleiten auf einer festen Geraden rollt (§ 224). Die Rotationsfläche, welche die Kurve erzeugt, indem sie um die Abscissenaxe rotiert, hat die Eigenschaft, dass ihre mittlere Krümmung in jedem Punkte null ist, d. h. dass überall die Hauptkrümmungsradien gleich und entgegengesetzt gerichtet sind.

Yon dieser Thatsache ausgehend und dabei bemerkend, dass in dem allgemeinen Fall, wo die Konstanten a und b unbestimmt bleiben, das Integral des Differentiales dx keine anderen Transscendenten enthält, als solche, die den Bogen einer Ellipse oder Hyperbel ausdrücken, hat Delaunay zuerst den Gedanken gehabt, dass sich der Meridian einer Rotationsfläche mit konstanter mittlerer Krümmung durch den Brennpunkt einer Ellipse oder Hyperbel erzeugen lassen muss, wenn diese Kurven, ohne zu gleiten, auf einer festen Geraden rollen. Diesen eleganten Satz hat er in einer Abhandlung im 6. Bande des Journal de Mathematiques pures et applicquees, Ser. 1 bewiesen, und man kann seine Giltigkeit in folgender Weise bestätigen.

x'²

a² ^ b²

die Gleichung einer Ellipse, bezogen auf ihre Hauptaxen; wir bezeichnen mit c = ]/a²— b² die Entfernung eines Brennpunktes F vom Mittelpunkt, mit s' den Bogen AM der Ellipse, zwischen dem Scheitel A und dem Punkte M(x',y'). Im Punkte M konstruieren wir die Tangente Ox, tragen von M aus die Länge MO = s' ab und ziehen durch 0 die Gerade Oy senkrecht zu Ox; endlich bezeichnen wir mit y das Lot FF vom Brennpunkt F auf die Tangente Ox und mit x die Entfernung FO des Fusspunktes dieses Lotes vom Punkte 0. Man hat dann, nach bekannten Formeln:

Es sei

Fig. 29.

x'

!ü

!/-&]/

a² — cx'    .

X==S

Die erste dieser Gleichungen und die der Ellipse bestimmen x' und y' als Funktion von y. Man findet:

cyy

r ₌ a² b² - y²

, b²y4a²y² — {¥ + y²)²

y w+7)

Hieraus folgert man leicht:

ds' =

8 a²b²y² dy

{¥ + y²)² VÄa²y² - (b² + ff

d(yy')

8 a²b²y² — (b² + y²J

(¥ + y²)² y4a²y² — (¥ + y²)

i d,j-

Die Differenz der linken Seiten dieser Gleichungen ist nichts anderes als dx, also ist:

dx =

(¥ + y²)

y4a²y²- (¥ + y²)

r dy.

Dies ist die Differentialgleichung der Kurve, welche vom Brennpunkte F beschrieben wird, wenn die Ellipse, ohne zu gleiten, auf der Geraden Ox rollt; will man an Stelle der Ellipse eine Hyperbel einführen, so muss man — b² statt b2 setzen. Diese Differentialgleichung ist aber mit der des aufgestellten Problemes identisch.

Fünfte Aufgabe. Die Rotationsflächen zu bestimmen, bei welchen die Krümmung in allen Punkten konstant ist.

Das Krümmungsmass einer Fläche wird, wie im § 320 gezeigt wurde, durch den reciproken Wert des Produktes der beiden Hauptkrümmungsradien ausgedrückt, also wird wie vorhin für die Rotationsflächen:

oder

,J L1 + (£)

2~1 2

— k.

Dabei bedeutet k eine positive oder negative gegebene Zahl, im ersten Falle sind die Hauptkrümmungsradien gleich gerichtet und die Fläche besitzt eine positive konstante Krümmung, im anderen Falle sind sie entgegen gerichtet und die Krümmung der

dy

dx

Fläche ist negativ. Führt man wiederum die Substitution ein, so folgt:

dp

y{ 1 + P²)²

= k oder

— p dp

(1 + P²J

= ky dy.

Also ist:

i -ty+c)

k{y² 4- C)

wenn C eine willkürliche Konstante bedeutet. Die vollständige Lösung der Aufgabe hängt sonach von der Differentialgleichung

dy

dx

Y¹

-% ²+c)

k(y²+ c)

oder dx

dyVk(,ß+C)

Vi-ktf+d)’

ab und wird durch die Quadratur

X - x₀ =

'dyVt(y²+ C)

J    C)

Vo

erhalten. Giebt man der Grösse k einen positiven Wert und setzt man die Konstante C gleich 0, so ist:

y dy Ylc Yl-ky²'

dx =

also x — x₀ = -Y- yi — ky²^

mithin

Ylc

(x — ^₀)²+ y²=

Diese Meridiankurve ist ein Kreis, die zugehörige Kotations-fläche eine Kugel, für welche das Quadrat des Radius gleich k ist.

Ist k negativ, gleich — m², und wählt man C so, dass kC — — m²C = l ist, so folgt:

dyY 1 — m²y²

dx =

dy

m y dy

my Y1 — m²y2 Das Integral dieser Differentialgleichung ist:

my

Y1 — m²y²

welche im Punkte x = x₀, y — —

Es stellt, wenn wir m positiv annehmen, eine Kurve dar,

— eine Spitze hat und da-

in

selbst eine Tangente parallel der Ordinatenaxe besitzt; von diesem Punkte aus erstreckt sich die Kurve in zwei symmetrischen Ästen nach der Abscissenaxe hin. der sie ihre konvexe Seite zuwendet und zu welcher sie asymptotisch verläuft. Sie hat überdies die Eigenschaft, dass die Länge der Tangente, d. h. die Strecke zwischen

dem Berührungspunkte und der Abscissenaxe konstant gleich -

ist und heisst die Trdktrix.

714. Sechste Aufgabe.    Das allgemeine Integral der

Gleichung

dy d²y i o y²

dx dx² x³

: man hat also zu setzen:

zu bestimmen. Diese Gleichung ist homogen in Bezug auf y, dy d²y dx ’ dx²

y = eXo

J z dx

dy

J'z dx

• = z e x°

d*y ₌

dx²

’ dx

und erhält die Gleichung erster Ordnung:

(§+••)

f z dx

*' + *'+4-0.

dx

Diese Gleichung wird homogen, wenn man

dx =

dt

einführt, denn diese Substitution ergiebt:

dz

t²z —^ — {f -f 2t³) = 0.

Für z — utj dz = udt-{-tdu erhält sie die Form:

u durch zx, so folgt:

oder

dt

i—l IQ

du

dt

du

= 0.

i--* s

-~lx -f

5 Y(xz — l)² + 1

CO UO

arctang (xz — 1) = G.

y =    ;

Nachdem der Wert von z durch diese Gleichung definiert ist, wird das gesuchte Integral gleich:

f z dx

es enthält die beiden willkürlichen Konstanten x₀ und C.

715. Siebente Aufgabe. Die ebenen Kurven zu bestimmen, deren Bogenlängen proportional den entsprechenden Bogen der Evolute sind.

Bezeichnen wir mit s den Bogen der gesuchten Kurve, der von einem willkürlich fixierten Punkte an gerechnet wird, mit st den entsprechenden der Evolute, mit a eine gegebene Konstante, so ist die Gleichung des Problemes:

-    s₁— as oder ds₁ = ads‘,

da nun ds₁ gleich dem Differentiale des Krümmungsradius der gesuchten Kurve ist, so wird

dB = a ds.

Führt man rechtwinklige Koordinaten ein, so wird diese Gleichung von der dritten Ordnung; folglich treten bei der Integration drei willkürliche Konstanten auf.

Diese Integration lässt sich nun leicht in folgender Weise ausführen.

Es sei rp der Neigungswinkel der Tangente zur #-Axe;

ds

dann ist:

^ dtp ’

und unsere Differentialgleichung wird

dB

B —adcPi

die Integration ergiebt also:

YB — la = acp oder B = aeacP: wobei a eine willkürliche Konstante ist. Man hat also auch

und folglich:

ds = aeav dtp,

dx — ae“v cos äq>, dy = aea(P sin cp dcp.

Addiert man diese Gleichungen, nachdem man die zweite mit i =]/— 1 multipliziert hat, so folgt:

d(x + iy) = ae⁽“+!'⁾9⁾ dcp.

Die Integration ergiebt, wenn man mit x₀ -f- iy₀ eine willkürliche Konstante bezeichnet:

-e(“+ *)</>.

CC + l

Diese Gleichung zerlegt sich in zwei andere, und wenn man aus diesen den Winkel cp eliminiert, so erhält man das gesuchte Integral, das die drei willkürlichen Konstanten x₀, y₀, a enthält. Wir setzen:

(cc - x₀) + i(y- y₀) =

a

ferner

——7 = m e^‘\ cc -j- i

x — x₀ = q cos (co -f y), y — y₀= Q sin (« + p), so sind q und co Polarkoordinaten, und die obige Gleichung wird: also:

q = mea(P} tu = cp, und folglich p = meaw.

Sonach ist die logarithmische Spirale die einzige Kurve, welche die in Rede stehende Eigenschaft besitzt. Die vorstehende Lösung liefert zugleich ein Beispiel, wie man geometrische Aufgaben der behandelten Art vereinfachen kann.

716. Achte Aufgabe. Die ebenen Kurven zu bestimmen, bei welchen der Krümmungsradius proportional ist dem von einem festen Funkte ausgehenden Radiusvektor.

x sin cp — y cos cp = f(cp), x cos cp + y sin cp = f\cp)}

Indem wir die gesuchte Kurve als Enveloppe ihrer Tangenten betrachten, wenden wir nach § 210 die beiden Gleichungen an:

welche die rechtwinkligen Koordinaten als Funktionen der Yariabelen cp und f(cp) ausdrücken lassen. Aus diesen beiden Gleichungen folgt nämlich:

also:

x = f(cp) sin cp + f'(cp) cos qp, y = — f(<p) COS cp + f\cp) sin cp

ferner:

V&+¹f = VU(<?)¥+UX<t)?\

dx = [f{cp) + f"{cp)] cos cp dcp, dy = |7(qp) + f'W] sin cp dcp, l/d<&² + di/² = ds == [/■($>) + /'"(<p)] dcp.

ds

und der Radius-

Da der Krümmungsradius gleich

vektor gleich f/;r²-f-?/² ist, so wird die Differentialgleichung des Problemes:

dcp

2 + /’ =

vW©‘

wobei m eine gegebene Zahl ist. Da diese Gleichung die Yariabele cp nicht enthält, so setzen wir:

dV ₌ df

dcp²

df

so dass

dcp

-f\

df

, df

df

+ f = m~Zf² + f'²

wird. Die Integration lässt sich hier ohne weiteres ausführen, denn es ist

also:

fdf+f’df'

vr+r

= mdf,

Vf'+r-mif-c).

Da nun f =

ist, so folgt weiter:

dcp =

df

Lst m² < 1, so ergiebt die Integration:

<p - <p₀ =

Y1 — ml

Hieraus folgt, wenn man

arcsin

1 — m2 mC

f+ rn)-

mC

1 — m²

— a, ]/l — m² = .a setzt:

fif) = — «l/l — y²+ a sin y (cp — cp₀)-

a und cp₀ sind willkürliche Konstanten. Die gesuchten Kurven sind algebraisch, wenn y eine rationale Zahl ist.

Drittes Kapitel. §§ 716 und 717. Ist m² > 1, so erhält man:

<P - <P₀ =

£ bezeichnet die Grösse

1/-=U< + VT*—l);

]/ w² — 1

— f — m, und <p₀ ist eine Kon-

stante. Setzt man

mC m² — 1

mC

= a, ]/m² — 1 = u, so wird:

fW) = ay 1 + tn² + a

eh(<p—<p₀) _|_ e—n(<p—(p₀)

Im Falle m²= 1 hat man

d(p =

df

und hieraus, wenn man

= a setzt:

f(sp) = «[1 - (qp - g>o)²]*

Der integrierende Faktor einer Differentialgleichung wter Ordnung.

717. Wir betrachten eine Differentialgleichung wter Ordnung zwischen den Variabelen x und i/, und nehmen an, dass dieselbe auf die Form gebracht ist:

dny

1)

dxn

wobei P und Q Funktionen von #, y, mögen. Man kann nun schreiben:

/I n - 1 ni

Pd^+ QdX = 0, dx⁷¹-¹    *

2)

dy dn~xy dx ’

dxn~l

sein

und wenn die linke Seite dieser Gleichung das exakte Differential

¹ y

ist, so ist evident,

dy

einer Funktion u von #, ?/,    •••

dass die Gleichung

dn~

dxn~

u = const

ein erstes Integral der Differentialgleichung 1) ist.

Wie auch die Funktionen P und Q zusammengesetzt sein

mögen, es existieren immer Faktoren A, mittelst deren die linke

Seite der Gleichung 2) das exakte Differential einer Funktion

dn~¹y . ,

—-- wird.

dxn~l

u von x, y,

dy

dx

Denn betrachten wir eines der ersten Integrale der Gleichung 2), und ist

dieses Integral, aufgelöst nach der Konstanten, die es enthält, so erhält man durch Differentiation desselben, indem man yW

an Stelle von

d{y

dx¹

schreibt:

du du . du .. ,    , du    _

^ ⁺ +wy + " ⁺ sy^>y

und der Wert der aus dieser Gleichung folgt, muss mit dem Werte, welchen die ursprüngliche Differentialgleichung, nämlich

Q ₊ Py(n)₌ 0

ergiebt, identisch sein; also ist

du . du

du

dy**-¹)

dx

dx

y'P

du

dy'

y"+...+

du

dy{n~²⁾

y(n-l)

Bezeichnet man also mit A den gemeinsamen Wert dieser Verhältnisse, so ist:

= AP.

du

ßy(n— 1)

du

--1--

dx dy

y'-\-----h

du

dy(n-2) y

Hieraus folgt, dass der Ansdruck

(re—1) = A$.

A Pdy^-^ + A Qdx

ein exaktes Differential ist.

= 0 befriedigen muss. Wir

Man kann durch eine Überlegung, analog der im § 683 gegebenen, feststellen, dass ein singuläres Integral der Differentialgleichung die Gleichung —

A

beschränken uns indes auf diese Angabe.

Die Bestimmung der integrierenden Faktoren bieten indes im allgemeinen unüberwindliche Schwierigkeiten; es giebt jedoch Fälle, in denen die Ermittelung sich leicht darbietet. Wir wollen hier eines der von Euler behandelten Beispiele geben.

gende:

718. Die Gleichung, um die es sich handelt, ist die fol

d'y

ay

dx²

(ßy* + y + 2dx -f ex²)²

= 0.

Prüft man ihre Form, so erkennt man, dass man eine Untersuchung anstellen kann, ob es nicht einen Faktor von

der die linke Seite der

dy

+ 2X₂y^ dx giebt

der Form 2X

Gleichung in das exakte Differential einer Funktion u von

¹ dx

x> y,

dy

dx

verwandelt. Existiert solch ein Faktor, so hat der Teil

du

dy

dy'

seines totalen Differentiales den Wert

und folglich ist

. dy

dy

u= X₁

(!)²+²^

dy

dx

+ U,

wobei U nur noch eine Funktion von x und y ist. Setzt man das Differential von u gleich null, so folgt:

(2X,

dy

dx

+ 2 X₂ y'j

d²y dXx

dx²

dx

dX₂ dy dx dx

dx

0,

und damit diese Gleichung mit der gegebenen identisch ist, muss

iß y² + y + 2 6 x+s x²)

2xluydy + 2X₂ay²dx_rd^ + 2X\dj£_₂dX₂ydy^dü

\ dOC    / dOC    dOC

sein.

Der erste Teil dieses Wertes von dU wird ein exaktes Differential, wenn man

X₁=y + 2dx-f- sx²,

1    dXt

2    dx

X₂ —

= — d — EX

setzt, und dann folgt, dass der nachbleibende Teil ebenfalls ein exaktes Differential ist. Man erhält:

y + 2dx + ex2 ß '~ßy²-\-y-\-2öx-\- ex²

a y + 2 dx + ex2 ß ßy² + 7 + 2Öx -)- ex²

C ist eine Konstante. Der Faktor, welchen wir benutzt haben, ist

dU = -~d

und folglich:

2(y -j- 2dx + ex²)

dy

dx

+ £d(y²)

+ sy² + C]

— 2(d -f Ex)y,

und wir erhalten als erstes Integral der gegebenen Gleichung:

+ ey² + (7=0.

Anwendung der Differentiation zur Integration von Differentialgleichungen.

719. Es sei

1)

17=0

eine Differentialgleichung nteT Ordnung zwischen den Varia-belen x und 1/5 indem man dieselbe differentiiert, erhält man eine Gleichung n + lter Ordnung

2)

l\=0

und man kann nun verschiedene Kombinationen der Gleichungen 1) und 2) bilden. Es sei:

3)

Fi-0

eine Gleichung n + lter Ordnung, welche aus solch einer Kombination hervorgeht. Kann man nun ein erstes Integral der Gleichung 3) bilden, welches von der ursprünglichen Gleichung

Serret, Differential- und Integral - Rechnung. Bd. II. 2.

verschieden ist, so kennt man auch ein erstes Integral dieser letzteren; denn wenn

4)

F= 0

ein erstes Integral der Gleichung 3) ist, und man eliminiert

dnv

rc zwischen den Gleichungen 1) und 4), so ist das Resultat eine Gleichung

¹

₇]/l — m² y² — 1    |/l — m²y²

my

5)

von der Ordnung n — 1 mit einer willkürlichen Konstante, welche die ursprüngliche Gleichung befriedigen muss.

Ist die Gleichung 1) von der ersten Ordnung, so liefert die Gleichung 5) ihr vollständiges Integral.

720. Beispiel. Um ein Beispiel für diese Integrationsmethode zu geben, betrachten wir die Bestimmung der Krümmungskurven auf einer centrischen Fläche zweiter Ordnung. Die Gleichung der Fläche sei:

und wenn man

'ö i ^ toi to

+ - t.

⁺ q² — b²

*²

q²-c²

(c²- b²)Q2 c²(p²- b²)

setzt, so wird die Differentialgleichung der Projektionen der Krümmungskurven auf die xy- Ebene (§ 341):

b²Q²

c²

1)

dy

~A- — xy = 0. dx *

Durch Differentiation derselben erhält man:

d}y dx²

und die Elimination von x²-- Ay² — JB zwischen den Gleichungen 1) und 2) ergiebt, mit Unterdrückung des gemeinsamen

Faktors A

2) (%Axy⁽^+x²-Ay²-B)

dy

dx

y)=°

3)

xy

d²y

dy

dx²

dx

y)

2L-o.

dx

du

Dividiert man diese Gleichung mit xy-~} so folgt:

(XX

d²y dy dx² dx

dy dx

und man erhält durch Integration:

dy

oder

4)

dy

dx

dy

zwischen

wobei C eine Konstante ist. Die Elimination von ,

dx

den Gleichungen 1) und 4) liefert schliesslich:

5)

y² - Cx² +

BC

AC + 1

= 0,

was mit dem früher erhaltenen Resultate (§§ 338 und 650) übereinstimmt.

Lösung einer Aufgabe, welche die Integration eines Systemes von simultanen Differentialgleichungen erfordert.

721. Wir sahen, dass die Integration eines Systemes von simultanen Differentialgleichungen beliebiger Ordnungen sich immer durch Elimination zurückführen lässt auf die Integration von einer oder von mehreren Gleichungen, von denen jede nur zwei Yariabele enthält. Solch eine Reduktion ist aber durchaus nicht immer dazu geeignet, das Problem zu vereinfachen. Da jede allgemeine Integrationsmethode fehlt, so wird es nützlich sein, hier ein besonderes Beispiel zu betrachten, welches wir der Geometrie entnehmen.

Aufgabe. Es sollen die orthogonalen Trajektorien einer leweglichen Ebene bestimmt werden.

u*

Es seien x₎ y,‘z drei rechtwinklige Koordinaten und x cos a -f y cos ß + ⁸ cos y — n = 0

die Gleichung der beweglichen Ebene; die Entfernung u der Ebene vom Anfangspunkte und die Winkel ß, y, die ihre Normale mit den Axen bildet, sind gegebene Funktionen eines Parameters t. Die gesuchten Trajektorien sollen senkrecht zur Ebene sein, also werden die Differentialgleichungen des Problemes:

1)

2)

dx

dy

dz

cos ß

Man kann annehmen, dass man aus der Gleichung 1) den Wert von t als Funktion von x} y, z bestimmt hat, und die Kosinus der Winkel a, ß, y können demnach in den Gleichungen 2) als Funktionen von x, y, z angesehen werden. Um diese Gleichungen zu integrieren, benutzen wir die im § 274 aufgestellten Formeln, sowie die Bezeichnungen daselbst. Es sind also a, ß, y die Winkel, welche die Tangente der gesuchten Kurve mit den Koordinatenaxen bildet, ferner bezeichnen wir mit <p,    % und mit A, ft, v die Winkel, welche

die Hauptnormale und die Axe der Oskulationsebene mit den Koordinatenaxen bilden, ferner sind d<3 und dx Kontingenz-und Torsionswinkel, ds das Bogenelement; also:

dö = 1/(d cos a)² + (d cos ß)² + (d cos y)², dx = ]/(d cos A)² + (d cos ft)² + (d cos v)².

Nun ist jedes Glied der Gleichung 2) gleich ds, und folglich: dx = ds cos a, dy = ds cos ß, dz = ds cos y.

Wir setzen

cos a

cos y

3)

4)

5)

x cos A -f y cos ft + z cos v = U,

und indem wir diese Gleichung zweimal differentiieren und die Gleichungen 4) beachten, erhalten wir (§ 274):

dü

dx ,

6)

x cos cp -f y cos xp + z cos % =

dx

7) x cos a + y cos ß + z cos y = — ^

dx

dx

Vergleicht man die Gleichungen 1) und 7), so folgt:

dU d —:—

8)

dr

dö

dr

U dr'

Nach der ersten Gleichung 3) ist dö das Produkt von dt mit einer gegebenen Funktion von t, weil cosct, cos/3, cos y selbst gegebene Funktionen von t sind. Ferner sind nach den Formeln im § 274 cos<p, cos^>, cos % und cosA, cos/a, cos v gleichfalls bekannte Funktionen von t] endlich ist nach der zweiten Gleichung 3) auch dr das Produkt solch einer Funktion mit dt. Hieraus folgt, dass die Gleichung 8) eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zwischen den Variabelen U und t ist; ihre Integration liefert also zwei willkürliche Konstanten. Ist der Wert von U bekannt, so sind die Koordinaten x, y, z durch die Gleichungen 5), 6) und 7) als Funktionen des Parameters t gegeben; diese Gleichungen können durch

9)

F= 0, dV = 0, d²V = 0

dargestellt werden, wenn man

10)

V = x cos A + y cos y 0 cos v — U

setzt. Die Gleichung 8) gehört zu den linearen Differentialgleichungen, die im folgenden Kapitel behandelt werden. Ihre Integration lässt sich indessen leicht auch folgendermassen ausführen. Es seien X und Y zwei neue Variabale, definiert durch die Gleichungen:

X sin r — Y cos r = U. X cos r + Vsin r =

dr

so ist:

dU

X = Usin r -|—=— cos r

dr

dU

Y = — Ucos r 4—— sin t;

dr

ferner:

dX =

dr

Jdü~\

d

dr

dr

cos r dr. dY = U +

dr

sinr dry

und also vermöge der Gleichung 8):

dX=-

dö

dö

u -r- cos r dr, dY = — u —r— sin r dt. dr    ⁷    dr

Integriert man diese Gleichungen und bezeichnet man mit A und B zwei willkürliche Konstanten, so folgt:

X^A-

r da

-J'

*0

u cos r dz,

r da

J'

*o

u —— sinz dz, dz

und sonach ist:

11) U = A sin z — B cos z — sin z

da

U -z— cos z dz + cos z dz

to

"da .    ,

u -v- sin z dz.

dz

Diese Gleichung stellt U als Funktion von r dar, oder wenn man will, als Funktion des Parameters t. Die gestellte Aufgabe ist damit gelöst.

Viertes Kapitel.

Theorie der linearen Differentialgleichungen.

Definition der linearen Gleichungen.

722. Eine Differentialgleichung wter Ordnung heisst linear, wenn in derselben die unbekannte Funktion und ihre Ableitungen nur in der ersten Potenz und nicht mit einander multipliziert Vorkommen.

Wird die unabhängige Variabele mit x: die unbekannte Funktion mit y bezeichnet, so ist die allgemeine Form einer linearen Gleichung mit zwei Variabelen:

dn~^L, p d dxn~¹ "¹~ ² ^

n~*y

dny

dx

dxn~

die Koeffizienten Px, P₂, . ..P„, V sind gegebene Funktionen von die sich auch auf Konstanten reduzieren können.

Ist die Grösse V null, so sagen wir, dass die lineare Gleichung kein zweites Glied hat, oder dass sie homogen ist. Später wird gezeigt werden, dass die Integration einer linearen Gleichung mit zweitem Gliede immer auf die Integration der linearen Gleichung ohne zweites Glied zurückkommt, welche man erhält, indem man an Stelle der Funktion V den Wert null substituiert.

Es ist nach den allgemeinen Sätzen über singuläre Integrale (§ 645) evident, dass die linearen Gleichungen keine singulären Integrale haben, wenn die Funktionen P und V eindeutige Funktionen von x sind. Es giebt vielmehr nur singuläre Punkte an den Stellen, an welchen eine oder mehrere dieser Funktionen singulär werden.

Die Eigenschaften der linearen Gleichungen ohne zweites Glied.

723. Erste Eigenschaft. Die Ordnung einer linearen Gleichung ohne zweites Glied kann immer um eine Einheit erniedrigt werden.

Die Gleichung

d’y | p d—i |

dxn 1 dxn~x

■ ■ + Pn

dy

+ PnV — 0

¹ dx

gehört zu der Klasse der homogenen (§ 706); ihre Ordnung wird folglich erniedrigt, wenn man

J'zdx

dy

f zdx

-zF- = zeXo

dx

d*y ₌

dx²

(£+•■)

f zdx

eXo

setzt; die neue Gleichung ist aber nicht mehr linear. Im Falle n = 2 hat man

dy

jjy.. _l p zz. _l p = o dx² ^r'dx^r* ü

und die Transformation ergiebt:

dz

-faT + z² + Pxz + P.2 = 0.

724. Zweite Eigenschaft. Kennt man eine Funktion y = y1} welche die lineare Gleichung

+ PDy = 0

dDy | P dn-1y _i_. dx11 1 dxn—1

befriedigt (jx bedeutet eine bestimmte Funktion von x), so wird die Gleichung auch durch y = Cy₁ erfüllt, wobei C eine willkürliche Konstante ist.

Denn das Resultat der Substitution von Cy₁ an Stelle von y in die linke Seite der obigen Gleichung ist gleich dem Produkte der Konstante C mit dem Resultate der Substitution von yv

Wird der linearen Gleichung durch die Funktionen y = yn y = y₂, ... y = j, genügt, so genügt ihr auch die Funktion y = yt + y₂ + • • • + yi-

725. Dritte Eigenschaft.

Denn die Substitution von yx + y₂ + • • • + in die linke Seite der Gleichung ergiebt einen Ausdruck, der gleich ist der Summe aus den Werten, welche bei der Substitution von yuy₂,...yi erhalten werden.

Aus den beiden letzten Eigenschaften folgt: Kennt man i-Lösungen yx, y₂,... y{ einer linearen Gleichung ohne zweites Glied, so kann man auch eine Lösung derselben Gleichung mit i willkürlichen Konstanten bilden, nämlich:

y ⁼ Ci Vi + C₂ y₂ + • • • + Ci yy,i

und wenn die Zahl i gleich ist der Ordnung n der Gleichung, so kann man auf diese Weise das vollständige Integral der Differentialgleichung bilden, vorausgesetzt, dass die willkürlichen Konstanten derart von einander unabhängig sind, dass man der Funktion y und ihren n — 1 ersten Ableitungen willkürliche Werte y₀, y'₀, ... y₀⁽~n~¹⁾ beilegen kann bei einem willkürlich fixierten Werte von x.

Diese letztere Bedingung lässt sich auf zweierlei Weisen ausdrücken. Erstlich erkennt man, dass jedenfalls keine lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten zwischen den Funktionen yx, y₂, ... yn bestehen darf. Denn wäre

yn =    2/1 + «2 y% + • • +    \yn—i,

wobei ax,... an—i Konstanten sind, so würde sich, wenn man diesen Wert von yn in den Ausdruck y einsetzt, die Gleichung:

y = (Ci 4- Cn a,) yx -f- (C₂ + Cn a₂) y₂ + • • • (0n_i -f- Cn an—i) yn—i ergeben, die thatsächlich nur von n — 1 Konstanten abhängt.

Sodann erfordert aber die Annahme der n willkürlichen Werte y₀, y'o' * • •    dass das Gleichungssystem besteht:

Vo ⁼⁼ Gx yx "j⁻ C₂ y₂ -f-    ‘ Gnyn,

y' o⁼ Cxy'x + G₂ y'₂ + - • • + Cny'n,

Auf der rechten Seite stehen die Werte der Funktionen yi,...yn und ihrer n — 1 ersten Ableitungen, gebildet für den willkürlichen Wert von x. Aus diesem Systeme müssen sich die Konstanten Cl, C₂ ... Cn berechnen lassen, und dazu ist notwendig und hinreichend, dass die Determinante

y\ y% • • • yn

...y\

nicht identisch, d. h. bei allen Werten von x verschwindet. Diese Bedingung ist aber mit der vorigen äquivalent; denn verschwindet diese Determinante identisch, so besteht immer eine lineare Relation mit konstanten Koeffizienten zwischen den Funktionen y₁ ... yn, und umgekehrt. Das letztere ist unmittelbar einleuchtend, das erstere lässt sich folgendermassen beweisen.

Verschwindet die Determinante identisch, so kann man immer n Funktionen ul^ u₂,...un so wählen, dass

ui V\ 4" m₂ t/₂ -f- • • • + un yn— 0 >

ui y\ + u2y\ 4~ • • • 4- wny'n = 0,

Ml y!in ~+ M₂ iy₂in~l) H-----b Un yn(n -x) = 0

wird; denn man braucht für die Funktionen u nur die Unterdeterminanten einzusetzen, welche zu .einer Horizontalreihe von A, z. B. der letzten, gehören.

Wir wollen zeigen, dass die Funktionen u dann stets derselben Funktion von x, multipliziert mit verschiedenen Konstanten gleich sind. Differentiiert man die obigen Gleichungen successive, so erhält man jedesmal mit Berücksichtigung der folgenden:

u'₁y₁ + u'₂y₂+ ••• + u'nyn=0, u'₁y'₁ + u'₂y'₂ + • • • + u'ny'n= 0,

u'iyin~²⁾ + u'₂y₂(n~²⁾+- ■ • + u'nyn{n~²⁾ = o,

u\ y(n - + u'₂ y£n -x) + • • • + u'n yn{n~1] + (Mi y^n) 4- M₂(n) y₂w +--- + un yn(n ) = 0. Wenn aber die Determinante A identisch verschwindet, so ist

auch:

y i % y\ y' 2

• • • yn ... y'n

dx

Also ist auch w₁2/₁(n)+ w₂?/₂(ra) + • • • +    = 0. Mithin

bestehen die Gleichungen:

u\yi + w'₂2/₂    • • • + u'nyn= 0,

u'i y'i 4- u'₂ y'₂ -f- • • • -f- u'ny'n — 0

u\ 2/i(re-1) + u\yJ-n-V H-----(- u'nyn(n~V = 0,

und aus diesem Gleichungssysteme, zusammen mit dem Systeme für die Funktion u folgt, dass

u\

u\

ux

Un

Bezeichnet man den gemeinsamen Wert dieser Quotienten mit q, so ist:

= Cnef^dx.

u₁—C₁ef¹dx, u₂=C₂e^dx,..

Ein System von n Funktionen, welches zur Bildung des vollständigen Integrales ausreicht, also linear unabhängige Integrale enthält, heisst ein Fundamentalsystem, und die Funktionen yx, y₂, ... yn die Elemente desselben.

• un

Die Determinante

• • • yn

•••Vn

•••Vn

(n — 1)

eines I undamentalsystems hat die Eigenschaft, dass

* • • Vn

dx

(n-2)

•    • • Vn

•    •. yn(n)

ist; setzt man nun yil = — P₁y/'n~¹^— P₂yln~2) diese Determinante, so folgt:

(n)

i»y.- in

Hieraus erkennt man: Hat man n Funktionen ausfindig gemacht, welche für einen willkürlich fixierten Wert von x ein Fundamentalsystem bilden, so bilden dieselben auch für jeden anderen Wert von x ein Fundamentalsystem, mit Ausnahme der Punkte, in denen

ß /h dx

gleich null, d. h. j*P₁ dx unendlich wird. Diese Punkte gehören aber zu den singulären Punkten der Differentialgleichung.

726. Vierte Eigenschaft. Alle Lösungen einer linearen Gleichung nter Ordnung ohne zweites Glied sind in dem Ausdruck

y = ci yi + C₂ y₂ H-----h Ca yn

enthalten, wobei C1} C₂,...Cn willkürliche Konstanten sind und die Funktionen y, ... yn ein Fundamentalsystem bilden.

Diese Eigenschaft folgt allgemein aus dem Begriffe des vollständigen Integrales einer Differentialgleichung, kann aber noch direkt folgendermassen bewiesen werden: Sie ist evident für den Fall n = 1; denn hier ist die Differentialgleichung:

dy

dy

Daraus folgt

0 0der -y y = ciVu

= — P, dx.

wenn man

— f Pdx

setzt.

yx = e x°

Demnach genügt es, zu beweisen, dass die ausgesprochene Eigenschaft, falls sie für Gleichungen von der Ordnung n — 1 gilt, auch bei Gleichungen von der Ordnung n gütig bleibt. Nehmen wir also an, dass der Gleichung

ä"y , -pi

dxn 1 dx

dy

A+---+Pn

n — 1

¹ dx

durch eine Funktion y = yx genügt wird, wobei yx eine Funktion von x ohne willkürliche Konstante sein mag, und machen wir die Substitution also:

dy± d}y_ dx dx²

so wird, wenn man diese Werte in die Differentialgleichung substituiert, der Koeffizient von z gleich:

dy

dz

dx ^ dx

d²z

dx²

äyx dz_ ₊ . d²yx

dx dx

dx²

¹ i    i p ^ i p ji

, p f? dxn * o

dxn~

j* + • • ~b *n~¹~dx—^    2/d

dz

also der Annahme nach gleich null. Setzt man also = u,

so erhält man eine lineare Gleichung n — lter Ordnung ohne zweites Glied zur Bestimmung von w; alle ihre Lösungen werden der Voraussetzung nach durch die Formel:

u = C₂ -b Cg m₂ -b • • • -b Cn un—i dargestellt, wenn wn w₂, . . un-1 ein Fundamentalsystem bilden, folglich ist der allgemeine Wert von z gleich:

y\

oder:

y£n-2)

• •• y¹

(«-2)

•• ■ yn

(»—i)

dA

= — I\ dx.

ZA = — fP₁ dx+ C oder A = Ce~fp'dx.

Demnach wird:

z = Cx + C₂J    dx + C₃ f w₂ dx + • • • -f C„ J*    da.

Xq

*0

Sonach erhält man den allgemeinen Wert von y in der

Form:

y = C1 Vi + ^2 Vifui dx + C₃ / m₂ dx -j-----h cn ytfun-1 da,

womit der Satz bewiesen ist.

In der That kann hier auch zwischen den n partikulären Integralen keine lineare Gleichung bestehen; denn wäre

so würde folgen:

«i ~b a2,f ui dx -b • • • -f- <xn f un

x₀

X„

also, indem man differentiiert:

a2 Ul + • • • + U.nUn— 1 = 0,

was der Annahme, dass ux...un-\ ein Fundamentalsystem der Gleichung n — lter Ordnung bilden, widerstreitet.

Die Integration einer linearen Gleichung mit zweitem Gliede in dem Falle, dass man das Integral der Gleichung ohne zweites Glied kennt.

727. Wir setzen, um die Formeln abzukürzen:

_ / N dny , _ dn~xy

1)    ^ (df) !— 7--b P± -y ~b •

¹    dxn 1 dxn~l

und betrachten die Gleichung nter Ordnung:

dy

■ + Pn_1 —--b Pny

dx

<p(y) = r,

deren rechte Seite eine gegebene Funktion von x ist. Kennt man das vollständige Integral der Gleichung

0,

2)

3)

so kann man stets durch blosse Quadraturen das Integral der Gleichung 2) ableiten.

Es sei

4)

y ⁼ @i Vi + £*2 V2 + • • • 4- Cn yn

das Integral der Gleichung 3); Cx, C₂₁... Cn sind dabei willkürliche Konstanten. Betrachtet man diese Grössen als willkürliche Funktionen von x, so kann die rechte Seite der Gleichung 4) noch jedwede Funktion darstellen, und folglich ist sie auch geeignet, das allgemeine Integral der Gleichung 2) auszudrücken. Man kann dabei noch für n — 1 der Grössen C willkürliche Funktionswerte wählen, oder zwischen ihnen n — 1 Relationen festsetzen, denn solange eine der Grössen willkürlich bleibt, thun wir nichts anderes, als dass wir an Stelle von y eine neue, unbekannte Funktion einführen.

Differentiiert man nun die Gleichung 4) unter der Annahme, dass die willkürlichen Grössen variabel sind, so folgt:

dy _ q dyx j q dy₂ j , (j dx ¹ dx ² dx

dyn

4x ’

d(\

dx

+ y₂

dCn

dx

⁺ '" + y'~iu'

und da wir noch n — 1 Relationen einführen können, so setzen wir zuerst:

dCx

V' dx

dC₂

dCn

-0;

folglich wird der Wert von

dy

dx

einfach gleich:

i i fi dyn

so dass er die nämliche Form hat, wie bei der Annahme willkürlicher Konstanten. Wir bilden nun in ähnlicher Weise die folgenden Ableitungen von y, bis zu der Ableitung n — lter

dy

dx

-cx

dyx

dx

+ C₂

dy₂

dx

Ordnung, indem wir dabei zwischen den willkürlichen Funktionen C immer die Relationen festsetzen, welche notwendig sind, damit die Formeln für diese Ableitungen die nämlichen sind, wie bei der’Annahme willkürlicher Konstanten. Diese Relationen sind dann:

da

dC₂

dx

Vn

da

dx

dyl dC

5) dx dx

'r +

dy₂ d C, dx dx

dn~²yx dCx dxn~² dx und gleichzeitig erhält man:

V ^ Q V\ + ^4 V2 + • • • +

dn~²y₂ dCj dxn~² dx

dyn d(/n _

dx dx ’

■+d-

yn dCn _q

dxn~² dx

dy

dx < l ■

dyi

dy₂

dyn

dx

+ C*lü ⁺ "- + C' dx

6)

d*y

dx²

-Ci

d*y±

dx²

d²y₂

d²yn

dx²

dx²

dn~'y = c dn~¹y1 „ dxn~1    1 dxn~l

+ C₂

dn~ly₂

dxn~

_i_ n d Vn

dn ti

Nun müssen wir noch den Wert von ——— bilden: dabei

dxn    ’

können wir nun nicht mehr eine neue Relation zwischen den willkürlichen Funktionen einführen, und so liefert die letzte der Gleichungen 6) durch Differentiation:

dny₂

dny

dxn

-C,

dx

i + O,

dx

i + - + 0.

dnyn

dxn

dn~¹yl dCx dxn~¹ dx

Wir substituieren nun in die Gleichung 2) die Werte von y und seinen n ersten Ableitungen, die aus den Gleichungen 6) und 7) folgen; es wird:

® (2/1) + £4 0 (y₂) 4- • • • -f Cn 0 (yH)

dn~¹y₁ dC1 dxn~¹ dx

dn~¹y₂ dC₂

dn~iy„ dCn

dxn~l dx

dxn~¹ dx

dn~¹y₂ dC₂

dn~¹yn dCn

dxu~y dx

dxn~¹ dx

Die Grössen 0(7/,), cb (y₂), ... 0 (yn) sind nun aber der Annahme nach null: also wird:

gN dn~¹y₁ äCx    dn~¹y₂ dC\ ____ .dn~lyn dCn

dxn~l dx    dxn~l dx    dxn~l dx

Da nun die Determinante A der Funktionen yx,...yn nicht identisch verschwindet, weil diese ein Fundamentalsystem bilden, so lassen die Gleichungen 5) und 8) die Werte von

als Funktionen von x berechnen.

Um diese Werte zu bilden, addieren wir die Gleichungen 5) und 8), nachdem wir die ersteren zuvor mit den Faktoren A₀, A₁,...A*_2 multipliziert haben, und setzen allgemein:

n\ / \    ,    . , dy    dn~²y dn~¹y

9) v(y)-hy + Kj^ + - - + ^-*j^±i + -ä^zrl-

Man erhält:

<p{y i)

da da

dCn

dx

dx

dx

10)

dCx

dx

+ <p 0₂)

dG

dx

dCn

dx

= V.

dCi

Um den Wert von toren A so bestimmen, dass

<pGfi) = °₅ vto = °, • • • <pW = ⁰

mit Ausnahme von (p(y,-) ist, alsdann ist:

11)

12)

dx

dQ

dx

zu erhalten, muss man die Fak-

<pi {yd

wobei fpi(y{) den Wert bezeichnet, welchen (p(jji) annimmt, wenn die Koeffizienten A den Gleichungen 11) genügen. Ist also Ci eine willkürliche Konstante, so wird:

Ci=C;+ f

€/

' Vdx

Setzt man demnach:

•To

Vdx

*0

<Pi (Vi)

+ yJ

Vdx

Xo

(&)

+ •••

+ y„J

' Vdx

(fn (j/n)

Xo

so ist das vollständige Integral der Gleichung 2):

¹

• • yn

y = x + ci V\ 4- (,-i y-2 + • • • + yn'i

es setzt sich also aus dem vollständigen Integrale der Gleichung 3) und einem partikulären Integrale X der Gleichung 2) zusammen.

728. Methode von Cauchy. Die Methode, welche wir hier nach Lagrange entwickelt haben, beruht auf der Variation der willkürlichen Konstanten und besitzt eine weit-tragende Bedeutung in der Analysis; sie hat uns eine sehr elegante Lösung der gestellten Aufgabe geliefert. Ein anderes Verfahren, welches Cauchy angegeben hat, ist aber gleichfalls bemerkenswert.

• Es handelt sich um die Integration der Gleichung:

cV'y d d^ + I'~d

du

n—l

1)

dxn~l

deren rechte Seite wir mit F(x) bezeichnen, und wir nehmen an, dass das vollständige Integral y = Y der Gleichung:

2)

pL + Pl^L₊... + p%

dxn dxn 1

dy

¹ dx

bekannt ist. Die n willkürlichen Konstanten, welche in Y enthalten sind, können so bestimmt werden, dass für x = a die Gleichungen bestehen:

3) y=o

= 0 und

d>l~²Y

dx,l~²

dn~~x Y

dxn~l

= F(cc).

Alsdann wird die Gleichung 1) befriedigt, indem man:

4)

y =/ Yda

setzt.

In der That, man differentiiere die Gleichung 4) und bezeichne mit (Y) den Wert von Y für a = x, so ist:

oder

5)

dx , /

dy

dy

dx

dY

dx

da (Y),

■f

o

dx

da.

Denn die Gleichungen 3) bestehen, wenn man x durch a

ersetzt, also auch, wenn man a durch x ersetzt, und folglich ist (Y) identisch null.

d*Y

dn~*Y dxn~-

null, und sonach erhält man durch auf einander folgende Differentiationen:

Ebenso werden die Ableitungen

dx²

'(PY

dx²

da,

6)

dhy

‘ dxa

fd*Y I dxs (U’

dn

dx¹¹ ~

dxn~

r dri\

schliesslich ergiebt eine neue Differentiation:

dny

dx

-/ ₌ r^K+("v

H / c/.xn xdx"-¹/'

—^P) bedeutet den Wert von    für x =

\dxn~lJ    dxn~¹

Wert ist aber gleich F(x), weil der Annahme nach

sich für x = a auf F(a) reduziert; also erhält man:

a. Dies :r

n — 1 y

dxn~x

1)

dny

d xn

dy

dny

Werden die Werte von y,

ungen 4), 5), 6) und 7) in die Gleichung 1) substituiert, so bekommt man:

dx ’

dxn

aus den Gleich -

F(dnY

dxn

+ Pi

dn~lY

dxH~

4" Fn \ ^ da = 0,

und dies ist in der That eine Identität, weil der Koeffizient von da unter dem Integrale der Annahme nach verschwindet.

Sonach kennt man eine Lösung der Gleichung 1); bezeichnet man dieselbe mit X und setzt dann y = X -\- z, so hat z der Differentialgleichung 2) zu genügen, wie man aus der Substitution von y und seinen Ableitungen leicht findet. Daraus folgt, dass man das vollständige Integral der Gleichung 1) durch Addition von X und dem Integrale der Gleichung 2) erhält.

Reduktion einer linearen Differentialgleichung auf eine andere niederer Ordnung vermittelst partikulärer Integrale.

729. Wir setzen, wie im § 727:

F₁, ... Pn, V sind gegebene Funktionen von x. Das vollständige Integral der Gleichung

2)

*(y)-v

wird, wie wir sahen, durch Quadraturen erhalten, sobald man das vollständige Integral der Gleichung

3)

<!>(</) - 0

kennt, oder, was auf das nämliche hinauskommt, sobald man n partikuläre Integrale dieser Gleichung kennt, welche von einander linear unabhängig sind, also ein Fundamentalsystem bilden. Dieses Resultat wollen wir nun verallgemeinern, indem wir beweisen, dass die Integration der Gleichung 2) nur noch die Integration einer linearen Gleichung von der Ordnung n — i erfordert, sobald man i partikuläre Integrale der Gleichung 3) kennt.

Ist ein partikuläres Integral yx der Gleichung 3) bekannt, so hat man ein allgemeineres, indem man

4)

V = CiVi

setzt, wobei Cx willkürlich ist; betrachtet man nun Cx als eine Variabele, so kann die Gleichung 4) das allgemeine Integral der

Gleichung 2) darstellen; dies ist die nämliche Transformation der Variabelen, wie im § 726. Die Gleichung 4) giebt durch Differentiation (§ 64):

dy±

dy

dx

Ci

dx

+ Vi

dC\

dx

dh,

d²Vi

5) dx²

dx²

dC₁ dy1 dx dx

+ Vi

d²C\ dx²

(J d»yx n dCi dn~iy1 ¹ dxn ' 1 dx dxn~

und da d>(^/₁) der Annahme nach null ist, so erhält man durch die Substitution der Werte 4) und 5) in die Gleichung 2) eine Gleichung von der Form:

clny

n(n — 1) d²Cx

1.2

dx² dxn~²

⁶)

dnC₁

dxn

wobei Qi, “ Qn—i bekannte Funktionen von x sind. Die Gleichung 6), aus welcher man den WTert von zu bestimmen hat, ist linear und von der nten Ordnung. Da sie aber nur die Ableitungen der gesuchten Funktion enthält und nicht die Funktion selber, so kann man ihre Ordnung um eine Einheit erniedrigen, indem man

da

= u

dx

setzt; sie wird also:

dn-*a    n

dx*-² + —*" Qn~lU = * •

Kann man das allgemeine Integral dieser Gleichung bestimmen, so erhält man aus der Gleichung 7), wenn eine willkürliche Konstante bedeutet:

X

Cx = cx + f udx,

8)

dn~

dxn~

und schliesslich giebt die Gleichung 4):

X

y = G?/i + Vifu dx,

9)

was

das vollständige Integral der gegebenen Gleichung ist.

Demnach lässt die Kenntnis eines partikulären Integrales der Gleichung 3) die Ordnung der ursprünglichen Gleichung 2) um eine Einheit erniedrigen, ohne dass die lineare Form dabei zerstört wird.

730. Wir nehmen nun weiter an, dass i partikuläre Integrale der Gleichung 3)

Vi,

zwischen denen keine lineare Relation besteht, bekannt sind. Vermittelst des Integrales yt führt man, wie wir gesehen haben, die Integration der Gleichung 2) auf die der Gleich-. ung 8) zurück, die wir kurz mit

10)

W(u) = V

bezeichnen wollen. Von der Gleichung

11)

W(u) = 0

kennt man nun aber i — 1 partikuläre Integrale; denn es ist ersichtlich, dass man von der Gleichung 11) zur Gleichung 3) durch die Substitution

dx

gelangt, und weil v/₂, y.ä, ... yt Lösungen dieser letzteren Gleichung sind, so wird die Gleichung 11) durch die Werte:

d ^ d ^

d^

Vi

di

dx

dx ⁷ dx

erfüllt, die von einander auch noch linear unabhängig sind, wenn solches bei den Funktionen ylt ... yn der Fall ist.

Man kann nun auf die Gleichung 10) alles übertragen, was wir von der Gleichung 2) ausgesagt haben; ihre Integration wird auf die einer linearen Gleichung n — 2fcer Ordnung gebracht, und von der entsprechenden Gleichung ohne zweites Glied sind i — 2 linear unabhängige, partikuläre Integrale bekannt. Setzt man dieses Verfahren fort, so erhält man schliesslich eine lineare Gleichung von der Ordnung n — von deren Integration die Lösung der Differentialgleichung Ordnung allein noch abhängt.

731. Bemerkungen. Die Kenntnis eines partikulären Integrales yx der Gleichung 2) führt, wie wir gesehen haben, die Integration dieser Gleichung auf die der Gleichung 3) zurück; mit anderen Worten, sie liefert ein Mittel, das zweite Glied verschwinden zu lassen, nicht aber die Ordnung der Gleichung zu erniedrigen. Hieraus folgt, dass man, wenn i partikuläre Integrale derselben Gleichung 2) bekannt sind, das zweite Glied verschwinden lassen und die Ordnung der Gleichung um i — 1 Einheiten erniedrigen kann; denn ist das Integral y₁ dazu verwandt, um das zweite Glied aufzuheben, so kennt man i — 1 Integrale, nämlich — «/n y₃— y1} ... y-, — yx der transformierten Gleichung.

Ist das Verhältnis von V zu Pn konstant, so hat man

setzt; diese

p

71

eine Lösung der Gleichung 2), indem man y =

Gleichung ist also unmittelbar auf die Gleichung 3) zurück-führbar.

Endlich sieht man durch die vorstehenden Entwickelungen

direkt ein, dass die linearen Gleichungen keine singulären Integrale besitzen, falls ihre Koeffizienten in der ganzen Ebene eindeutige Funktionen sind, die nur an einzelnen Stellen singuläre Punkte haben. Denn wir haben gezeigt, dass yl eine Lösung der Gleichung 0(y) = 0 ist, jedes Integral in der Form

wenn

y = (\ y₁ + C.₂ y₂ -j- • • • + Cn yn

dargestellt wird, y = y₁ ist also ein partikuläres Integral. Desgleichen wird, wenn y₀ eine Lösung von 0(y) — V bedeutet, das allgemeine Integral dieser Gleichung von der Form:

y = t/o + Cx yx + • • • + Cnyn,

so dass also auch y₀ ein partikuläres Integral ist.

Zweite Methode der Reduktion einer linearen Gleichung auf eine lineare Gleichung niederer Ordnung.

732. Die im vorigen Abschnitt ausgeführte Reduktion lässt sich noch in einer anderen, konciseren Weise ausführen,

die uns ein neues Beispiel von der Variation der willkürlichen Konstanten liefert.

Die Gleichung nteI Ordnung sei

1)

0(y) - F,

und es seien i partikuläre und linear unabhängige Integrale der Gleichung

2)

3)

&(y) = 0

bekannt, der Gleichung 2), indem man

Man erhält ein allgemeineres partikuläres Integral

V — O'j yx + C₂y₂ + • • • -f- Ci iji

setzt, wobei Cif C2} .., GT; willkürliche Konstanten sind. Betrachtet man dieselben aber als Variabele, d. h. als Funktionen von x, so kann die Gleichung 3) auch das vollständige Integral der Differentialgleichung 1) darstellen; man kann dabei noch i — 1 willkürliche Relationen zwischen diesen Grössen annehmen. Indem wir nun ebenso wie im § 727 Vorgehen, werden wir diese Relationen so wählen, dass die i — 1 Ableitungen von y die nämlichen Ausdrücke gewinnen, wie wenn die willkürlichen Grössen konstant sind. Wir setzen also:

4)

dC. v'~d^

‘hl dCi dx dx

+ V2

dC,

i»

dx

dij₂ dC2 dx dx

^ = 0 dx ’

d y; d Ci dx dx

d'-²y; dCi = 0 dx' ² dx

di~²yl dC dx'—² dx

d!~²y₂ dC2 dx' —⁸ dx

lind dann wird:

y = ⁽\Vx + C₂y₂ + • • • + Ci y;,

_j_ n dy% ,    . (i dy,

dx    +    +

dy

dx

dl~

, dx'—

dy,

ct

d*-¹

dx'—

d‘-*y₂

dx'—

d‘~²yi dx¹—¹'

Ferner setzen wir:

6)

d'—xy₂ cW2 dx'—¹ dx diy₁ dC± d% dC^    d% dCj

dx' dx    dx' dx    dx' dx

di~¹y₁ dGx dx'—¹ dx

■f • • • +

di-¹yJ dC, dx'—¹ dx

d^-% dC\ d—xy₂ dC, dx"—¹ dx dxn—x dx

d*-lyi dCi = dx"—¹ dx

und sclireiben noch zur Abkürzung: Z=z,

^1 =

⁷) \Z,-

bD

dx²

⁺ Tx +

d"-''

d Za — t —

(7a:n—

Indem man nun die letzte der Gleichungen 5) differen-tiiert und alsdann die Differentiation wiederholt bis zur Ordnung n — i + 1, bekommt man die Gleichungen:

*i hs£

diy₁

d'+xy dx‘+¹

dny

dxn

d‘y-2

. ₊ ... + Cl*» ₊ Z,

d'+‘yt

clxi+‘²

+ G₂

di+1Vi

dx*+l

dx'

dx'

-Cx

+ Gs

di+1y,-

f7rrl+¹

+ ^ir

~C₁

dnyx

dx¹¹

+ Ct

dny₂

d"Vi

dxn

dxn

-i-

Substituiert man nun in die Gleichung 1) die Werte von y und seinen n ersten Ableitungen aus den Systemen 5) und 8), so erhält man, weil yl} y₂,... yx partikuläre Integrale der Gleichung 2) sind:

Zn-,+ PxZn

9)

+ ••• + PU-,Z-V.

— i — 1

Nun bestimmt aber das aus den Gleichungen 4) und der ersten Gleichung 6) bestehende System die Grössen:

dCt dC₂

dCf

dx

-j

dx dx

als Funktionen von der Form

10)

dC.\

dx

Xl*,

dC₂

dCi

dx

=    ••• —r— — XjZ.

² * dx

wobei die Grössen Xl} X₂,...X,- bestimmte gegebene Funktionen von x sind, da die Grössen yl) ... yt von einander linear unabhängig sind; ferner folgt aus den n — i übrigen Gleichungen des Systemes 6):

11)

‘•1 ==    == ^2^5 • • • &n — / ⁼⁼⁼ An— i %.

wobei #2ebenfalls gegebene Funktionen von x sind. Hieraus folgt, dass die mit Zk bezeichneten Grössen lineare Funktionen von z und seinen Je ersten Ableitungen sind; mithin ist die Gleichung 9), auf die wir die ursprüngliche zurückgeführt haben, eine lineare Gleichung von der Ordnung n — i.

Das allgemeine Integral der Gleichung 9) enthält n — i willkürliche Konstanten; ist dieses Integral bekannt, so hat man nach den Gleichungen 10):

12)    = c, + j'X₁zdx, C₂= c₂+ fX₂zdx, ... 6', = c, + / XiZdx;

X₀

*0

X₀

Cj, c₂,... c,- bezeichnen i neue willkürliche Konstanten. Vermittelst dieser Werte von C ergiebt die Gleichung 3) das vollständige Integral der ursprünglichen Differentialgleichung; es enthält n willkürliche Konstanten.

Über die linearen Gleichungen zweiter Ordnung.

733. Die lineare Gleichung zweiter Ordnung ist von der

dx¹

1\, P₂, V sind gegebene Funktionen von x. Nach der allgemeinen Theorie (§ 729) hängt die Integration dieser Gleich-

Form:

1)

+ Pi

dy

dx

+ P,y = v,

ung nur noch von einer linearen Gleichung erster Ordnung ab, sobald man eine Lösung y = yl der zugehörigen Gleichung ohne zweites Glied kennt; da die Gleichung erster Ordnung immer integriert werden kann, so kann man dann auch das vollständige Integral der Gleichung 1) bestimmen. Dieses Integral erhält man folgendermassen. Es ist der Voraussetzung nach:

d²yx

TS

dx

dx²

+ Pt

Subtrahiert man also die Gleichungen 1) und 2), nachdem man die erste mit yx, die zweite mit y multipliziert hat, so folgt:

dy

oder wenn man

³) Vi

dy

dx

„    _ . aiso u<yy

' dx ’    ' [ dx³    dx- dx

setzt:

4)

+ Pxe-Vyv

Das vollständige Integral dieser Gleichung ist:

5)

z — e x°

— / dx

J’Pi dx

ex°

Vj, dx ;

Xo

die Gleichung 3) ergiebt ferner:

di

dx

Vi²'

also durch Integration:

⁶)

y = cVx + yJ-^2(lx-

*y 'J i

Xq

Dieser Ausdruck enthält zwei willkürliche Konstanten G

und Cv

734. Eine Eigenschaft der Integrale der Gleichung ohne zweites Glied:

d²y dx²

welche Sturm bemerkt hat, wollen wir hier noch angeben. Es seien yt und y₂ zwei partikuläre Integrale, mit denen man das vollständige Integral zusammensetzen kann. Es ist dann, wie eben bewiesen wurde (siehe auch den allgemeinen Determinantensatz § 725):

+ Pi

dy

dx

v iSs dx

dyx n - dx

Hieraus folgt, dass die Funktion w, — y₂ immer

° ’    dx ™ dx

dasselbe Zeichen hat, bei allen reellen Werten von x, solange wir ein Intervall betrachten, in welchem kein singulärer Punkt der Funktion Px gelegen ist, und in welchem also yx und y2 nebst ihren Ableitungen ebenfalls stetig sind. In solch einem

Intervalle können also auch yx und

dyx

oder y₂ und

nicht gleichzeitig verschwinden. Nehmen wir an, dass

dx

dy₂

dx

dy%

d'di

>0

Vl dx

ist; wenn die Funktion yx für x = a und für x = b verschwindet, so hat man für den einen sowie für den andern dieser Werte von x:

~ 1h

dx

v.dJL

• ² dx

von entgegengesetztem Zeichen. Es

sei nun b > «; wenn x von a bis b wächst, so ändert

sein Zeichen für einen bestimmten Wert a von x\ folglich muss auch y₂ sein Zeichen ändern, bevor x — b wird. Wenn also die Funktion y₂ endlich und stetig bleibt, so muss sie für einen Wert von x zwischen a und b verschwinden. Ebenso erkennt man, dass yxi wenn es stetig bleibt, notwendig für einen Wert x verschwindet innerhalb zweier Werte, für welche y₂ null wird.

folglich sind y₂ und

dyx

dx

<0

dyx

dx

Hieraus folgt, dass, wenn x wächst und dabei ein Intervall durchläuft, in welchem kein singulärer Punkt von Pt gelegen ist, die Werte, für welche die Funktionen yx und y.2 verschwinden, abwechselnd auf einander folgen müssen.

Die linearen Gleichungen ohne zweites Glied mit konstanten Koeffizienten.

785. Wir setzen wie im § 727:

1) 0(y) =

dny

+ P +

¹ dxn~¹

• • H" Pn

dy

¹ dx

-f- Pn y,

dxn

Pn P₂, ... P„ seien Konstanten oder Funktionen von x\ ferner nennen wir

2)

f(r) = rn + P^’¹-¹ -1-----1- Pn'—ir + Pn,

wobei r noch unbestimmt ist; ersetzt man y durch die Exponentialfunktion erx} so wird

3)

0(erx) = erxf(f).

Diese Gleichung 3) ist eine Identität; wir differentiieren sie fcmal in Bezug auf r; die Ableitung itei Ordnung der linken Seite wird:

Ordnung der rechten Seite erhält man

,'ter

Die Ableitung i nach der Regel für die Differentiation eines Produktes im § 66; indem man die successiven Ableitungen des Polynomes f(r) mit f’(r), f"(r), ... bezeichnet, ergiebt sich:

4) 0 (x'erx) erx fi(r) + ixfi~¹(r) +

i(i~ 1)

1.2

x²fi~²(r) + • • • +xif(r) .

Wir betrachten nun die lineare Gleichung nter Ordnung ohne zweites Glied:

5)

®W-o,

und gleichzeitig die entsprechende algebraische Gleichung

6)

welche die charakteristische Gleichung genannt wird.

Wenn diese letztere eine Wurzel rx unabhängig von x besitzt, so erkennt inan aus der Gleichung 3), dass die Differentialgleichung das partikuläre Integral y = er'x hat. Ist ferner rx eine vielfache Wurzel, und bezeichnet y den Grad dieser Vielfachheit, so bestehen auch die Gleichungen:

f'(rx) = 0, f"(rx) = 0, ... f‘u~l(rx) = 0; folglich ergiebt die Gleichung 4) für die Werte i = 1, 2,... y — 1:

0(xie^ss) = 0,

er'x,

zulässt.

woraus folgt, dass die Gleichung 1) die y Lösungen xer>x, x²er>x, ... xf,-ler*x

Sind die Koeffizienten Px, P₂,... Pn konstant, so hat die charakteristische Gleichung n, von x unabhängige Wurzeln, und folglich erhält man den Satz:

Für eine lineare Differentialgleichung nter Ordnung ohne zweites Glied mit konstanten Koeffizienten bestimmt jede Wurzel der charakteristischen Gleichung so viele partikuläre Integrale, als die Ordnung ihrer Vielfachheit beträgt; folglich ist die gesamte Anzahl dieser partikulären Integrale gleich der Ordnung der Differentialgleichung.

Dieser Satz lässt das vollständige Integral bilden. Sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung von einander sämtlich verschieden, und bezeichnet man dieselben mit rx, r₂₎... r„, so wird das vollständige Integral der Gleich-

ung 5):

y = Cx er'x + C₂ er*x-\-----b Cn er»x.

Im allgemeinen Fall seien rx,r.₂,... r-L die von einander verschiedenen Wurzeln und yx, y₂,...yi die Ordnungen ihrer Vielfachheit, alsdann wird das vollständige Integral:

V = Pt er> x -f + • • • + Pi orix,

wobei Pi,P2,".pi Polynome in x mit willkürlichen Koeffizienten und von den Ordnungen yx — 1, y₂ —    — 1 be

züglich sind.

736. Damit die Lösung, welche wir auf diese Weise gebildet haben, wirklich das vollständige Integral ist, müssen die n partikulären Integrale von einander linear unabhängig sein, oder die Determinante derselben (§ 725) darf nicht identisch verschwinden.

Dass dieses in der That nicht der Fall ist, beweist man folgendermassen: Sind die n Wurzeln von f(r) — 0 sämtlich von einander verschieden, so wird:

also:

y,= er'x, y₂ = er*x, ...yn = er*x,

• • • y>i

1 1 ... 1

A ■=

äy i

dy₂

dyn

dx

dx

dx

— g(n + *»+... +rn)x

ri

r2

...rn

dn~xyx dn

dx¹¹ 1 dxn~x

yj... d'l~¹y>i

dx1l~x

Die Determinante auf der rechten Seite verschwindet nicht, denn sie ist gleich dem Produkte aus den Differenzen der Werte r.

Damit ist also bewiesen: Sind die Werte r₁,r₂,...r„ alle von einander verschieden, so besteht zwischen den Funktionen

..(•rnx keine Identität von der Form:

er,x eriX

ax er'x -f a₂ er*x + • • • + an ernX = 0,

wenn die Koeffizienten ax... an Konstante sind, die nicht sämtlich den Wert null haben.

Im allgemeinen Falle, wö i verschiedene Wurzeln vom Grade jjb₂, ... fii vorhanden sind, hat man den Satz zu beweisen, dass keine Relation von der Form

px er'x -f- p₂ er*x -+- • • • -j- pi erix — 0

möglich ist, wenn p1: p₂, ... pf Polynome vom Grade yx — 1, ,u₂ — 1, ... (i{—1 mit beliebigen Koeffizienten, die nicht sämtlich gleich null sind, bezeichnen. Der Beweis lässt sich folgender -massen führen: Angenommen, es gäbe solch eine Relation, alsdann differentiiere man dieselbe i — 1 mal nach einander; setzt man dann der Kürze wegen:

dx

„m _ T.» + krt-1 dp + 1:    O

so erhält man ein System von i Gleichungen, nämlich:

px er¹ 'r + lh er*x + • • * + Pi er<a: = 0,

p^l) ertx _|_ p^{\) er^x    piX) ßr{x __

er,x -f- p^‘~e'²* + • • • + Pi(i O erix = 0.

Da diese Gleichungen bei allen Werten von x bestehen sollen, so muss auch die Determinante:

2h

2h

(1)

PP

• • • Pi

...pP

identisch, d. h. bei allen Werten von x verschwinden. Der Koeffizient der höchsten Potenz von x in dieser Determinante wird aber, abgesehen von den eingefiihrten konstanten Faktoren:

1 1 ... 1 ... r,

ri r2

i— i

rp¹ r₂

und verschwindet, da die Werte r₁,r₂,...rj von einander verschieden sind, nicht.

737. Methode von d’Alembert. Wir haben vorhin bewiesen, dass jede Wurzel der charakteristischen Gleichung ebenso viele partikuläre Integrale liefert, als der Grad ihrer Vielfachheit beträgt. Doch lässt sich der Übergang von den ungleichen Wurzeln zu den vielfachen auch leicht vollziehen ohne diesen Satz, indem man eine allgemeine Methode von d’Alembert benutzt, welche bei verschiedenen Problemen der Analysis von Wert ist. Es sei wie gewöhnlich

®(y) = 0

i)

die lineare Gleichung und

2)

f(r) = 0

ihre Charakteristik. Wir wollen zunächst annehmen, dass diese Gleichung nur eine einzige vielfache Wurzel rx besitzt, und dass der Grad ihrer Vielfachheit 2 ist. Wir bezeichnen nun mit

3)

V(y) _ 0

die lineare Gleichung, welche zu der Charakteristik

4)

(r - rx -- h) f(r) = Q

r — rx

gehört, wobei h eine beliebig kleine Grösse ist. Da diese Gleichung keine vielfachen Wurzeln besitzt, so ist das vollständige Integral der Gleichung 3):

y = Cx er'x + C₂ e{r'+,,)x + Cser>x-1-----b Cn e/*x.

Nun ist aber:

ertx

(1 +

h² x²

2!

+ -)

und setzt man C\ -j- C₉ = Dx, C.,h = 7)₂, so wird der Wert von y:

V = e'"¹

* (^i +    x + J)₂ h ^

er*x -\-----h CMer»a:;

^ und Z)₂ sind zwei willkürliche Konstanten, welche man statt Cx und C₂ einführen und von h unabhängig annehmen kann. Lässt man nun h unbegrenzt abnehmen, so geht die Gleichung 3) schliesslich in die Gleichung 1) über; zugleich wird der vorstehende Wert von y:

y = er'x(Dl + D₂ x) + C₃ er>x H-----(- Cn er«x,

was mit dem früheren Resultate übereinstimmt.

Nehmen wir nun an, dass die charakteristische Gleichung drei gleiche Wurzeln rx hat; die Gleichung 4) hat alsdann zwei Wurzeln gleich rx und eine Wurzel r₃ gleich rx-\-h] das allgemeine Integral der Gleichung 3) ist folglich:

y = (I)x + 7)₂ x) er‘x+ C₃ e(r‘+/,)x -\-----\- Cn er*x.

Entwickelt man ehx in eine Reihe und setzt dabei:

VT7 + --

Dx+C₃= Ex, D₂ + C₃ h = E₂,

h²

so folgt:

y - (e, + E, x +    a? + ■ ■ •)

Wenn nun h nach null konvergiert, so erhält man als Grenzwert:

er‘x+----1- Cner»x.

y = (Ex + E₂ x -f- E₃ x²) er'iX + • • • + Cn e>nX,

und dies ist das Integral der linearen Gleichung in dem Fall einer dreifachen Wurzel rv

Indem man so fortfährt, erkennt man, dass, wenn yx den Grad der Vielfachheit der Wurzel rx bezeichnet, das vollständige Integral die Form bekommt:

y-P₁er'* + --- + Cner»*,

wobei I\ ein beliebiges Polynom in x vom Grade y — 1 ist; verfährt man ebenso in Bezug auf die anderen vielfachen

Wurzeln, welche die Gleichung f(r) = 0 enthalten kann, so erhält man vollständig das Resultat, zu dem wir im § 735 gelangt sind.

738. Wir haben bisher keinerlei Voraussetzung über die Art der Wurzeln der charakteristischen Gleichung gemacht. Sind die Koeffizienten derselben reell, so treten im allgemeinen konjugiert komplexe Wurzeln in den Gliedern der Integralgleichung auf; man kann diese jedoch auf eine reelle Form bringen.

Es seien rx= a iß, r₂ = a — iß zwei konjugiert imaginäre Wurzeln; sind dieselben einfache, so gehören zu ihnen in dem Integrale die Glieder:

(A cos ßx -f B sin ßx) eax

Cx ettX(cos ßx + i sin ßx) -f C₂ eax(cos ßx — i sin ßx) die man durch

ersetzen kann, wenn man

A = CX+C₂, B = (Cx-C₂)i

setzt. Auch kann man

A = G cos B = — G sin g einführen, so dass die beiden Terme den Wert:

Geax cos (ßx -f g)

annehmen. G und g sind alsdann die beiden willkürlichen Konstanten.

Man erkennt nun unmittelbar, dass wenn die beiden konjugierten Wurzeln rx und r₂ vielfache von der Ordnung g sind, im allgemeinen Integrale die Glieder auftreten:

eax [G cos (ßx +g) + Gxx cos (ßx+gx) + —h G>_i x'u_1 cos (ßx +

6r, Gx ... Gm—i, g,gx ...gu—i bezeichnen 2g willkürliche Konstanten.

dhj

Für die Gleichung

-f- n²y = 0

dx²

zum Beispiel, welche wir schon im § 703 behandelt haben, wird die charakteristische Gleichung r²-f w²=0, und hieraus folgt r = + iw; das vollständige Integral wird also:

y = A cos nx + B sin nx oder y = G cos (nx + g).

739. Der Satz des § 735 ist bisweilen auch anwendbar auf lineare Gleichungen, in denen die Koeffizienten nicht ‘sämtlich konstant sind. Wir wollen hierfür ein Beispiel geben. Für die Gleichung vierter Ordnung:

day

0 ~⁽* +3) ist die charakteristische Gleichung:

(r — l)³ (r — x) = 0;

sie hat drei gleiche Wurzeln mit dem Werte 1, und folglich wird der Differentialgleichung genügt, wenn man

V = (C'i + C₂ x + Cg x²) ex

setzt. Da nun drei partikuläre Integrale bekannt sind, so kann man die Gleichung auf eine lineare erster Ordnung bringen, und sie folglich vollständig integrieren. Man gelangt indessen noch leichter zu diesem Resultat, wenn man bloss

y = Cex

anwendet. Betrachtet man C als variabel, so erhält man für C die Differentialgleichung:

d±C dx⁴

die Lösung

dx³

also wenn man

du

dx

dy

+ 3 (a? + 1)    — (3 a; + 1)

+ xy = 0

+ (1 — x)

d*C

dx³

= 0,

d³C

dx³

= u setzt:

+ (1 — x) u = 0 oder (x — l)²

du

Demnach ist l(u) = Folglich ist:

-= (x — 1) dx.

u

+ const; also u — ce 2

(x—l)²

d³C

4<z-i)²

dx³

und indem man nach der Methode des § 693 integriert:

e2(z~iy dz + c₀ + cx x + c₂ x².

= cf (x - z) 0

Das vollständige Integral ist also:

V ⁼ (co + cix + c₂x²) ex + cex f (x — z)² e 2

ö

dz\

c₀, cn c₂, c sind vier willkürliche Konstanten.

Die linearen Gleichungen mit zweitem Gliede und konstanten Koeffizienten.

740. Um das vollständige Integral der Gleichung

i)

d>0) = F

zu bilden, braucht man nur, wie wir gesehen haben, ein partikuläres Integral dieser Gleichung zu kennen, und dieses zu dem vollständigen Integrale der reduzierten Gleichung

2)

©0) = 0

zu addieren. Im § 727 haben wir bewiesen, dass man das partikuläre Integral y = X durch die Gleichung

f Vix f

V » ⁺ V ■

V dx

V dx

<P₂ (2/2)

x₀

x₀

tyn (jjn)

erhält. In derselben bezeichnen yu y₂, ... yn partikuläre Integrale der Gleichung 2), und cpi(y) stellt die Funktion

d*y

dx²

dy

dx

dn~²y d ² dxn~² dxn~¹

n-Xy

dar, wobei die Koeffizienten A so bestimmt sind, dass (pi (yx) = 0, cpi (y₂) = 0, — qp« (ijn) = 0 mit Ausnahme von cpi {yl) = 0.

A₀+ Kr + V² + ••• + /G_₂r"~²+ r»-¹, welches null werden muss, wenn man r = rl} r₂₁...rn mit Ausnahme von r, einsetzt. Hieraus folgt, dass, wenn f(r) die Funktion in der charakteristischen Gleichung bezeichnet:

Dieses Resultat wollen wir nun auf den Fall anwenden, dass die Koeffizienten von ®(y) konstant sind, und die charakteristische Gleichung keine gleichen Wurzeln hat. Hier ist yi = er<x und cpi(y) ist das Produkt von erx mit dem Polynome:

f(r)

ist, und für y = y,• oder r = rt wird:

# Viertes Kapitel. §§ 740 bis 742. Demnach ergiebt die Formel 3):

er,x

/ W-

x₀

e-r.x Ydx +

er*x

r

x₀

e—r₂x JXdX-i-----h

ernx

rW.

x₀

e~~r*x Vdx.

Man erhält genau denselben Ausdruck, wenn man die Methode von Canchy anwendet, die im § 728 entwickelt wurde.

Es würde nicht schwierig sein, aus dieser Gleichung den Ausdruck abzuleiten für den Fall, dass die charakteristische Gleichung vielfache Wurzeln hat; doch halten wir es nicht für nötig, diese Untersuchung auszuführen. Man löst in jedem einzelnen Falle die Aufgabe leicht, indem man die allgemeine Formel 3) benutzt.

741. Beispiele. 1. Die Gleichung

dx²

— n²y =

dx

]/1 + x^

ergiebt zunächst für die reduzierte Form die Charakteristik f(r) = r²^— w²= 0, also r = + w; folglich das Integral:

y == C,₁enx+ C^e~nx.

Da nun /’,(r) = 2r ist und 6™ 7

Je~rx Vdx = —

+ - f ⁷~rx

r J

dV ,

—5— dx, dx

so erhält man:

dx

yiT^’

oder wenn man « als Variabele unter dem Integral einführt:

k)

0

dx

enx

VT+x* ⁺ 2n²

-71#

2w²

n (x— a)⁻] 2

2n²

yi + «⁴

da.

Das gesuchte Integral ist also:

// .r

y = C<enx + C₂e~

2. Die Gleichung d²y

dy

— 2n ~~ + n²y = V

CLX

dx²

besitzt als Charakteristik der reduzierten die Gleichung (r — m)²= 0, und die partikulären Integrale dieser letzteren sind yl = e des § 740:

nx

y₂ = xe

5 ferner hat man in den Bezeichnungen

enx

•PiW---r» cp₂(y) = en*.

IK/

Setzt man also:

X= — enxf V

— nx

dx -j- xenx f Ve~nx dx,

xQ

X₀

so erhält man das vollständige Integral:

y-iC.+ C.x) e”*+X.

742. Ohne die allgemeinen Formeln zu benutzen, kann man auch in jedem besonderen Fall eine direkte Rechnung ausführen, nach der Methode, vermittelst deren wir zu jenen Formeln gelangt sind.

Wir müssen aber noch zwei Fälle angeben, bei denen man unmittelbar zur Kenntnis eines partikulären Integrales gelangt.

Erstens, wenn das zweite Glied V eine ganze Funktion ist:

V= A₀ xl -f- Ax xl 1 + • • • + 4,-_i x -j- M,-,

so wird man

y = O/q x¹ -j- x* ¹ -f- ■ * • “f*    _i x -f- cii

setzen, und indem man diesen Wert in die Gleichung einführt, gewinnt man i + 1 Gleichungen, welche zur Bestimmung der Koeffizienten a₀, a₁,...ai dienen.

Zweitens, wenn das zweite Glied V die Form hat:

V— A cos [ix + B sin px oder V— A e^xi -j~ JB e~^xi, so hat man

y = a cos px + b sin px oder y = ae/JXi + be~^xi

zu setzen, und man erhält zwei Gleichungen, aus denen man die Werte von a und b entnehmen kann. Dabei ist indessen zu bemerken, dass diese Gleichungen auch unendliche Werte für a und b ergeben können, indem die Koeffizienten von a und b in den Gleichungen identisch verschwinden; in diesem Falle muss man die Form des Wertes von y modifizieren.

Ist die gegebene Gleichung <&(y) = F, so hat man, was auch der Wert von y sein mag:

i—Y- 1

Q(ae±xf,i) = ae±xfii f(± yi) und demnach, wenn man nach + yi differentiiert:

0(axe^Xfli) = ae±Xf*i[f' yi) + xf(+ yi)]

Nach diesen Formeln kann man, wenn f(+ yi) nicht null ist, y = ae^xi -f- be~fixi setzen, oder, was auf das nämliche hinauskommt:

y = a cos yx + b sin yx.

Ist aber f(+yi) = 0, jedoch f'(+ yi) von null verschieden, so kann man

y = x(a cos yx -f- b sin yx)

setzen, u. s. w.

Wir betrachten als Beispiel die Gleichung

hier ist:

d*y

dx²

4■ y = cos#;

f(± P*) = - y² + 1,    f'(± yi) = %yi,

und da y gleich 1 sein muss, so hat man zu setzen:

also:

y = x(a cos x + b sinx),

dy

— x (— a sin x + b cos x) + (« cos x + b sin x)

d²y

dx²

= — x (a cos x + b sin x) + 2 (— a sin x + b cos x);

substituiert man diese Werte in die Gleichung, so folgt: 2 (— a sin x + b cos x) = cos x,

also:

Man erhält demnach das partikuläre Integral -^-rrsin#, und das vollständige ist:

y = Cx sin x + C₂ cos x + x sin x.

Über eine lineare Gleichung, welche auf eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten zurückführbar ist.

743. Die linearen Gleichungen, um welche es sich hier handelt, sind von der Form:

Ax dn~¹y ax + b dxn~

dny

Ai dn~ly

An

= V:

1+ ••• +

(<ax + b)n y

Ax, A₂,...An, a und b sind Konstanten, die rechte Seite V irgend eine Funktion von x.

Diese Gleichung kann in eine andere mit konstanten Koeffizienten transformiert werden; man hat zu diesem Zweck

ax + b = ef

zu setzen, und t als unabhängige Yariabele an Stelle von x einzuführen.

dx

(ax + bj dxn

Es wird:

dx

a —r- = e* = ax + b. also dt

dt

dx ax + b}

und folglich:

dy

dy

dx ax + b dt

d²y

dx'

(ax + b)

d²y dy dt² dt

Substituiert man diese Werte und multipliziert sodann die Gleichung mit (ax + &)”, so erhält man eine lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten.

Es ist indessen nicht notwendig, diese Transformation auszuführen, um das Integral zu gewinnen. Denn schreibt man die Gleichung kurz:

1)

so genügt es, das vollständige Integral von Q(y) = 0 zu bilden, und zu diesem gelangt man leicht auf folgendem

Wege. Ersetzt man y durch (ax -f b)r oder durch erHax+(l\ so erhält man ein Resultat von der Form:

2)

Q[(ax + b)r] = (ax + b)r~nf(r)

wobei f(r) ein ganzes Polynom in r vom Grade n ist. Dif-ferentiiert man nun diese Gleichung i-mal in Bezug auf r, so erhält man:

O [(ax + b)r V (ax + &)]

3)

= (ax + b)r~n f'(r) + ~l(ax + b)f*—¹ (V) 4-----f l'(ax + b)f(r) ,

und es folgt aus den Gleichungen 2) und 3), dass einer Wurzel rx der Charakteristik f(r) = 0, deren Vielfachheit gleich y ist, fi partikuläre Integrale der Gleichung 2) entsprechen, nämlich:

(ax + b)ri,

(ax + b)r1 l(ax + b),

(ax + b)ri (ax + b).

Ist komplex, so ist (ax + b)ri gleich eril{ax+b\

Auf diese Weise kennt man also n partikuläre Integrale der Gleichung 2), und aus ihnen kann man, wie wir wissen, das vollständige Integral der Gleichung 1) ableiten.

744. Beispiel. Die Gleichung zweiter Ordnung:

dy

— (2 n — l)x

+ n²y = 0

dx

(Py_ dx²

gehört zu der behandelten Klasse. Setzt man y = xr und unterdrückt den Faktor xr, so erhält man als charakteristische Gleichung:

r (r — 1) — (2n —• 1) r + w² = 0 oder (r — n)²= 0-,

die beiden Wurzeln sind gleich «; und folglich werden die partikulären Integrale xn, xn Ix; das vollständige Integral ist also:

V == ^”(^1 + C.₂ Ix).

Über Systeme yon simultanen linearen Gleichungen.

745. Die Integration irgend eines Systemes von simultanen Differentialgleichungen kann durch Elimination (§ 627) auf die Integration von einer oder von mehreren Differentialgleichungen gebracht werden, von denen jede nur zwei Variabel enthält. Es ist evident, dass diese letzteren Gleichungen lineare sind, wenn die Gleichungen des Systemes lineare waren. Wir wollen nun zunächst zwei Beispiele für diese Methode behandeln.

Es seien zwei simultane Gleichungen

dy

dz

dx

+ oy -f z = 0,    — — y + z = 0

gegeben; aus der zweiten entnimmt man:

dz ,

also durch Differentiation:

dy

d²z

dz

werden diese Werte in die erste Gleichung substituiert, so folgt:

d²z

dz

+ 4 —- + 4z = 0.

dx²

Diese Gleichung ist eine lineare mit konstanten Koeffizienten, ihr entspricht die charakteristische Gleichung (r + 2)²= 0, und ihr vollständiges Integral ist also, wenn Cx und C₂ zrvei willkürliche Konstanten bezeichnen:

dx

z = (jCx + Gg x) e~2x.

Hieraus folgt dann:

y = [(C₂-C₁)-C₂x]e-²*.

746. Wir wollen zweitens die beiden simultanen Gleich

ungen :

dx

dt

dy

d²x

dt    dt²

dt -9y + 2x~⁰’

. f dt

J yi+t*

0 '

dx

dy

integrieren. Löst man dieselben nach y und auf, so erhält man die beiden folgenden:

Man erkennt nun leicht, dass man ein partikuläres Iutegral der Gleichung für x erhält, wenn man die Summe der Werte bildet, welche der Ausdruck

9 — 2r

n.-a^-n^ + u. + a

11 -l _ 9

dt²

-44

dx

7 “

t

+ 52* + 9 f——-

J Vl + i4 0

yi+<⁴’

Differentiiert man nun die erste derselben und subtrahiert vom Resultat die zweite, so folgt:

^-Ww + 29

dx

9 /' d(

2.7 '

o

Die charakteristische Gleichung wird hier: f(r) = r⁸ — 10r²-f- 29 r — 26 = 0 f'(r) = 3r² — 20 r -f- 29; ferner ist, was auch die Funktion V sein mag:

ke-«F+ire

also ist:

dt

— 26x

e~rtV dt = —

-äh

/•

„rl f e~"dt___⁹__C dt

2r(rs— 8r -f 13) J Ytfl* 2(r² — 8r + 13)^/ -j/i _p ^

o

annimmt, wenn man für r die drei Wurzeln 2, 4 -J-]/3, 4 —]/3 der charakteristischen Gleichung einsetzt. Man bekommt demnach das vollständige Integral, wenn man hierzu die Summe:

Cte ²* + C₂e^+^⁽ +

addiert, wo C1} C₂, C₃ willkürliche Konstanten sind. Nachdem sonach der Wert von x bekannt ist, findet man den Wert von y vermittelst einer der beiden obigen Gleichungen.

747. Differentialgleichungen, welche nicht die lineare Form haben, können bisweilen auf diese Form durch Einführung neuer Variabelen gebracht werden. Als Beispiel hierfür betrachten wir die drei Differentialgleichungen, welche in der Formel:

* |<s£

enthalten sind. Führt man eine neue Variabele t ein, deren Differential gleich ist diesen Verhältnissen, so erhält man die vier Gleichungen:

2)

dx

du

Tt~

dz

du

e,

dt U’ dt X]

hieraus folgt, wenn man t als die unabhängige Variabele ansieht:

dt

3)

dx

und

y dV

d²x    d^x

u~~dtE

4)

dAx

dt⁴

— x = 0.

Die charakteristische Gleichung dieser letzten ist r⁴ — 1=0,

also:

r — ± ]/— 1 = + i.

Die beiden konjugiert imaginären Wurzeln führen in dem vollständigen Integrale der Gleichung 4) das Glied Ccos (t— t₀) herbei, wo C und t₀ zwei willkürliche Konstanten sind. Die beiden zu den reellen Werten von r gehörigen Glieder kann man mit Ae*—*° und Be~<f~*°> bezeichnen, wobei A und B neue willkürliche Konstanten sind. Da aber die Variabele t nur durch ihr Differential definiert ist, so kann man auch t an Stelle von t — t₀ setzen; folglich erhält man, da y, z, u durch die Gleichungen 3) bestimmt sind, das Integralsystem:

Setzt man

x = Ae*-\- Be—* -\- Ccos t, y = Ae* — Be~* — Csmt, z = Ae*-j- Be—* — Ccost u = Ae* — Be~* + C sin t.

4C²=g:, 16AB = ß, log4 A = y, so folgt aus diesem Systeme:

a = (x-z)²+(y-u)², ß = (x + z)² - (y + u)²,    ^ _

y = log {x + y -f z + u) + arctang |-—■

Die Methode von d’Alembert, ein System von linearen Gleichungen erster Ordnung auf Gleichungen zwischen zwei Variahelen zurückzuführen*

748. Eine bemerkenswerte Methode der Reduktion eines beliebigen Systemes von simultanen linearen Gleichungen verdankt man d’Alembert. Wir wollen annehmen, dass das gegebene lineare System auf die erste Ordnung gebracht ist, indem man nötigen Falles neue Variabele eingeführt hat, wie dies im § 615 gezeigt wurde.

Das System zweier Gleichungen. Die beiden linearen Gleichungen seien:

dy

1)

äs+P» + Q—V,

dz

{ dx + P'y + Q'i - V;

P, Q, P', Q\ F, V sind gegebene Funktionen der als unabhängig betrachteten Variabelen x. Addiert man diese beiden Gleichungen, nachdem man die zweite mit einem noch un bestimmten Faktor l multipliziert hat, so erhält man

²⁾    + * %) +{P + XF'^ + (« + m*- r+ W-

Wir bezeichnen mit t eine neue Variabele und setzen:

3)

y -j- Iz = t

also:

4)

ns ns

dx

dx

durch

du

dx

Ersetzt man nun in der Gleichung 2) y und ihre Werte aus den Gleichungen 3) und 4), so folgt:

dt

dx

+ (P+kP,)t-e

dl

dx

+ (P+lP')l-(Q + lQ')

= F+AF'.

Man kann nun über den unbestimmten Faktor l so verfügen, dass die Yariabele z aus dieser Gleichung verschwindet, d. h. also, dass

5)

dk

dx

+ P'k²+(P-Q')k-Q = 0

wird, und folglich:

6)

dt

dx

+ (P + kP')t = V + kV.

Diese Gleichung ist linear, und aus derselben folgt durch Integration:

7) t = e

G -f f eXo

J(P+?.P')dx

(F+ kV') dx

x₀

oder, wie wir kurz schreiben wollen:

t — F(x, A, 0), wobei C eine willkürliche Konstante ist.

Die Gleichung 5), von welcher k abhängt, ist nicht linear, aber man braucht auch nicht ihr vollständiges Integral zu kennen; zwei partikuläre Integrale kt und k₂ genügen. Denn die Werte von £, welche diesen Werten von k entsprechen, sind ykt2f y -f- k₂z\ die Gleichung 8) ergiebt also, wenn man nach einander Ct und G₂ an Stelle von G schreibt:

I y + V = F(x, k1} Cj),

| y + k₂z = F(x, k₂, C₂).

Jede derselben iät ein Integral des gegebenen Systemes.

749. Die Methode von d’Alembert führt direkt zur Bestimmung der Integrale linearer Differentialgleichungen, wenn die Koeffizienten konstant sind.

8)

9)

Es seien P, Q, P', Q' Konstante; wenn die quadratische Gleichung

P'k² + (P — Q') k — Q = 0

zwei ungleiche Wurzeln hat, k = Ä, und k = A₂, so hat man die beiden gesuchten Lösungen der Differentialgleichung 5), indem man k = kx und k = k₂ setzt. Man erhält hier:

10)

t = e-<p+*p> c₊Je(p+n')*(7 ₊ kV')dx

x₀

und die Gleichungen 9) werden also:

y + k₁z = e-v+l*p">* Cx +fe<p+*ip'>*(V+XlV')dx ,

11)

L    X₀    J

r    X    __

y + laz = e-",+¹'F>‘ Ci + fe<F+>>I‘'>*(r+lar')dx .

x₀

Ist Q = 0, so ist eine der Wurzeln A₁₇ A₂ gleich null; in diesem Falle ist eine der Gleichungen 11) das Integral der ersten der gegebenen Gleichungen, welche die Variabele z nicht enthält. Ist P' = 0, so ist eine der Wurzeln der Gleichung 10) unendlich; dieser Fall ist dem Falle, wo Q = 0 ist, analog. Die zweite der gegebenen Differentialgleichungen enthält y nicht, und lässt also z als Funktion von x bestimmen; y ist alsdann durch Integration der ersten Gleichung gegeben.

Sind die beiden Wurzeln einander gleich und Xx ihr Wert, so hat die Gleichung 5) die Form:

dX

+ P' (X — Xx)² = 0 oder

dl

+ P' dx = 0.

Durch Integration erhält man:

also X — Xx =

P'x-G’ %

wobei G eine willkürliche Konstante bezeichnet. Es genügt für G zwei partikuläre Werte einzusetzen, um zwei verschiedene Werte für X zu bekommen, die wir brauchen. Setzt man G = oo und sodann G = 0, so erhält man:

X = Xxx

Al + P'x

und die entsprechenden Werte von e

-f(P+XP')dx

sind:

750. Man kann auch bemerken, dass die auf den besonderen Fall X₂ = Xx bezüglichen Formeln leicht aus den Gleichungen 11) des allgemeinen Falles abgeleitet werden können. Denn die Gleichheit der Wurzeln X hört auf, wenn man die Koeffizienten in passender Weise ändert; zu dem zu multiplizieren. Dabei können wir aber annehmen, dass P und Pf nicht verändert sind, dass sich vielmehr diese Änderung nur auf die Koeffizienten Q und Q' erstreckt, die in den Gleichungen 11) nicht Vorkommen. Nun können diese Integrale dargestellt werden in der Form:

kx — h

A_

Zwecke genügt es, die Gleichung mit —-

A

y + V =    *i> <Ä),

y “k (^i +    2 — Fix, k₁ + h, C₁-\- h 0₂),

indem man Cx-\- hC₂ an Stelle von C₂ schreibt. Die zweite Gleichung kann nun durch

F(x, kx -f h, Cx + hC₂) — F(x, kx Cx)

z_ -

ersetzt werden, und für den Grenzfall h = 0 reduziert sie sich auf:

I cv>

dF

dL

751. Beispiel. Die beiden, schon im § 745 behandelten simultanen Gleichungen:

dy

dz

dx

+ 3*/ + ^ = 0, --y + e = 0

ergeben nach der Methode von d’Alembert:

dt

- + (ß-X)t = 0

dk

Hieraus folgt:

dk

O-i)

— dx = 0

also k = 1 +

Man kann hier also

= 1, Ax — 1 ——

setzen. Sind dann tlf t₂ die Werte von £, welche diesen Werten von k entsprechen, so ist:

752. Das System mit beliebig vielen Gleichungen. Es seien n lineare Gleichungen erster Ordnung gegeben:

dx₁

dtx

also:

^+2<>=°

⁺(²⁺!H=o

y + z = 0\e-2x, y + z-

— 2x

+ Plil>Xi + -f*2(1)X2 + • • ‘ + ^«⁽¹' Xn = >!,

dx₂

1)

dx

+ P^X, + P™X, + • • • + Pn^Xn = v₂,

dXn

, dx

Die Koeffizienten P,-(A) und die rechten Seiten F* sind gegebene Funktionen der unabhängigen Variabelen x. Wir addieren diese Gleichungen, nachdem wir sie zuvor mit den unbestimmten Faktoren

+ P^X, + PWX₂ + • • • + Pn^Xn = V

^21 • • * A» — 1 j 1

multipliziert haben, und setzen ferner

kxX₁-\- l₂X₂ -f- • • • -f- ln — iXn — l + Xn = tj

2)

sodann:

3)

KPiW + 4^i⁽²⁾ + • • • + A, —i Pf-» +

Ax P₂⁽¹⁾ + A₂ P₂<²> + • • • + Aw_i P^-¹* + Pä(»> = ft,

und

AXPP> + A.PP» + . . • + K-xPn(n~* + P.W = «ß.

4)

Aj Fj -f- A₂ F₂ -f • • • -f- An_i 1 n_i + Vn — SS.

Man erhält:

dt

dkn_

dx

dx

35.

um

Wir ersetzen nun xn durch seinen Wert aus der Gleichung 2) und benutzen die Unbestimmtheit der Faktoren A

die Variabelen x1} x₂, ... xn_i zu eliminieren; die vorstehende

Gleichung reduziert sich dann auf

5)

dt

und man bekommt zur Bestimmung von A die n — 1 Gleichungen:

( dl

Tx +sß»Ai-?x-o,

6)

dkn_ dx

Die Gleichung 5) ist linear, aus ihr folgt:

X

C 1 exo

IS

t = e Xo

-f^ndx

r$ndx

%$dx ;

x₀

C ist eine willkürliche Konstante.

Die n — 1 Gleichungen 6) sind nicht linear; doch genügt es für unsern Zweck, n Systeme von Werten für die Grössen Ax, A₂,...An_i zu kennen, welche diese Gleichungen befriedigen. Denn bezeichnen wir allgemein mit

wobei der Index i von 1 bis n variiert, irgend eines dieser Systeme und mit tW den Wert von t, welchen die Gleichung 7) ergiebt, wenn man daselbst den Faktoren A die Werte A(,) beilegt und Ci an Stelle von C schreibt, so hat man n Integrale des simultanen Systemes von Differentialgleichungen, nämlich:

8)

Ax⁽¹⁾xx -f- A₂⁽¹>a;₂+ ••• + Are_t⁽¹ xn-₁+xn= ta\ l₁^xl + A₂⁽²⁾a:₂ -j-----h A„_i⁽²⁾a:„_i + xn = t&\

k^xx + A₂(n)£₂ + — + A    + xn = #(").

Die Determinante der Koeffizienten auf der linken Seite darf nicht verschwinden, und alsdann erhält man aus diesen Gleichungen für x1} x₂,..,xn die Werte von der Form:

14

Serret, Differential- und Integral-Rechnung. Bd. II. 2.

x₁ = Tjv t(l) +    -f •.. + Tx^t{n\

9)

x₂ = I₂⁽¹> tw + P₂<²> p 2) + ... + T₂C») * (»),

zn = Tn^Hw + Tn™W + • • • + Ta(*W

Die Koeffizienten T sind Funktionen von A.

wenn man

Ist nun X{ der Wert, welchen x,- annimmt, den Konstanten C1} C₂, ... Cn den Wert null beilegt, ist ferner Z; der Wert, welchen Xi erhält, wenn man die rechten Seiten Fj, V₂, ...Vn der gegebenen Differentialgleichungen null setzt, so ist aus der Gleichung 7) ersichtlich, dass die Gleichungen 9) die Form erhalten:

,/ ₂ X₂ —j- z₂, ... xn    Xn —(— zn.

Xx= Xx-\- Zy Es besteht demnach der Satz:

Die Werte von x1? x2;...xn, welche das Integralsystem des gegebenen simultanen Systemes 1) bilden, werden erhalten, indem man zu den Werten X1? X₂, ... X„, welche eine partikuläre Lösung ohne willkürliche Konstanten dar stellen, diejenigen Werte von xn x₂, ... xn addiert, welche das Integralsystem des Systemes 1) sind, wenn in demselben die rechten Seiten gleich null gesetzt werden.

753. Sind die Koeffizienten der gegebenen Gleichungen konstant, so existieren im allgemeinen n Systeme der unbestimmten Faktoren A, die sich auf Konstante reduzieren. Denn nehmen wir A1? A₂, ...An_i konstant an, so werden die Gleichungen 6):

An —1

Ai A₂

Bezeichnet man also mit q den gemeinsamen Wert dieser Verhältnisse, so erhält man, indem man für $ß1; i|ß₂, ... iß/t ihre Werte 3) einsetzt:

(Px⁽¹> -9)*! + Px⁽²⁾4 + • • • + P₁(ra—1)A1!_₁ + P,« = 0, P₂⁽% + (P₂⁽²⁾ - 9) K + • ■ * + P₂(n—X)A„ _ 1 + P₂<*> = 0,

P„⁽¹⁾A! + P„⁽²⁾A₂H-----b P//n 1)A/i_i -j- (Dnn) — q) — 0.

Die Elimination von A1? A₂,... A„_i zwischen diesen Gleichungen führt zu einer Gleichung

11)

F(q) = 0

vom Grade n in p, deren linke Seite die Determinante ist:

P/¹)- p

P*⁽¹>

p^n—l) p^n)

iV²>- o ... P^-¹) P₂<">

P»⁽¹⁾

P (2)

n

... P^-X> Pn(M)-()

Jeder Wurzel p der Gleichung 11) entsprechen bestimmte Werte von A1} A₂, ... A»_i, welche durch n— 1 der Gleichungen 10) geliefert werden. Sind also die Wurzeln der Gleichung 11) alle verschieden, so erhält man auf diese Weise die notwendige Anzahl von Systemen für die Faktoren A. Die Gleichung 7), welche die rechten Seiten der Integrale 8) bestimmt, wird hier

t = Ce~‘-,x + e~?xfe<!x 33 dx.

Xq

Hat die Gleichung 11) gleiche Wurzeln, so giebt dieses Verfahren nicht n verschiedene Integrale: man kann dann, um die Zahl derselben zu vervollständigen, einen Weg einschlagen, der dem für zwei Gleichungen benutzten ganz analog ist.

Die Integration eines Systemes von linearen Gleichungen mit zweitem Gliede, wenn die Integrale der nämlichen Gleichungen ohne zweites Glied bekannt sind.

754. Die in dem § 723 und den folgenden hinsichtlich der linearen Gleichungen ohne zweites Glied mit zwei Varia-belen aufgestellten Eigenschaften lassen sich auf simultane Systeme linearer Gleichungen ohne weiteres ausdehnen. Kennt man ferner die Integrale eines Systemes ohne zweite Glieder, so ist es leicht, hieraus auch die Integrale des Systemes mit zweitem Gliede abzuleiten, sowohl vermittelst der Methode von Cauchy (§ 728), als auch vermittelst der Variation der willkürlichen Konstanten. Wir wollen diese letztere Methode anwenden.

14*

Viertes Kapitel. § 754. Wir betrachten die n Gleichungen:

+ FtmXl + p_a>*₂ + ... + pmx„ _ r„

dx ₂

1)

dx

25

dxn

clx

+ P^X, + P^(n)X₂ + • • • + P„<"> Xn = Fn

.. xP\

(i)

und nehmen an, dass man n Systeme von partikulären Integralen für den Fall kennt, wo die rechten Seiten null sind, nämlich:

(2)

x₂m, ... &»<*>.

Dann ist evident, dass man den nämlichen Gleichungen ohne zweites Glied genügt, wenn man

xx = CW« + C₂xx® -\-----b Cnx^n\

2)

x₂ = Cxx«) -)- C₂ x₂⁽²⁾ -f- • • -f Cnx₂(n\

. Xn = OxXn^ + C₂ Xn^ -j-----f Cn Xnto

setzt. Betrachtet man nun die willkürlichen Grössen C als variabel, so kann man die Gleichungen 2) als das Integralsystem der Gleichungen 1) ansehen. Dieses Verfahren ist, wie wir schon früher bemerkt haben, nichts anderes als eine Transformation der Variabelen.

Die Substitution der Werte 2) von xx, x₂,...xn in die Gleichungen 1) ergiebt nach den Reduktionen, die aus unserer Annahme hervorgehen:

xx

*2

(1)    _j_ x (2) ^2

dx ¹ dx (o

dCn

+ -+*>w äi—

da

dx

dx

= f₂,

xn™

dCt

da

dCn

dx

dx

H-----b Xn{n) = Vn.

dx

dC₁ dC₂ dCn dx dx    dx

Diese Gleichungen liefern für

bestimmte

Werte, falls die Gleichungen 2) bei konstanten Werten von Cl wirklich die allgemeinen Integrale des Systemes ohne zweites Glied, d. h. auflösbar nach C sind. Man erhält sonach:

4)

dCt

dx

-*i,

dC₉

dx

= X₂,    ..

dCn

dx

= x„,

wobei die Grössen X1; ... Xn bekannte Funktionen von x sind, und hieraus folgt:

X    X

5)

G₁ = cx +J Xj dx, ... Cn = cn+f Xn dx

x₀

cn c₂,... cn sind willkürliche Konstanten.

Die Bedingung, dass das System partikulärer Integrale das allgemeine Integralsystem liefert, kann wiederum in zweierlei Form ausgedrückt werden. Da die Gleichungen 2) nach den Konstanten auflösbar sein müssen, damit einem willkürlich fixierten Werte von x beliebig gewählte Werte von xt, x₂, ... xn entsprechen, darf die Determinante der partikulären Integrale

xxw x®)... x^

6)

#₂(l) x^... x₂⁽")

! %nW Xn^ . . . XnW j

nicht identisch, d. h. bei allen Werten von x verschwinden. Diese Bedingung aber ist äquivalent mit der folgenden: Es dürfen zwischen den Integralen der nämlichen Variabelen keine linearen Relationen mit konstanten Koeffizienten bestehen, also kein, simultanes Gleicbungssystem von der Form:

cq x^l) -f- a₂ xx⁽²) +----F an xxin) = 0,

7)

«i X₂W -F d₂ xW -|-----F a» £₂W = 0,

. «i %n⁽¹⁾ + «₂ X*²⁾ H-----h    %nn) = 0,

in welchem die Koeffizienten a₂, ... an Konstante bezeichnen. Dass solch ein System immer das Verschwinden der obigen Determinante nach sich zieht, ist leicht einzusehen; aber auch umgekehrt folgt aus dem identischen Verschwinden der obigen Determinante dieses lineare System zwischen den Funktionen xx^\ x₂(i) ... xn^\ wenn diese zugleich Integrale des simultanen Systemes linearer Differentialgleichungen sind. Denn ist die Determinante A null bei allen Werten von x, so kann man n Funktionen w1? w₂, ... un angeben, so dass die Gleichungen:

Uy aq⁽¹⁾ + W₂ XyW H-----\- Un Xy{H) = 0 ,

8)

Uy #₂⁽¹⁾ + u₂ a?₂⁽²⁾ -\-----\- un x₂⁽-'l] = 0,

Uy Xn{V> + U₂ Xn{r> H-----h Un xn(n) = 0

identisch bestehen. Man braucht für die Funktionen u nur Werte einzusetzen, welche den Unterdeterminanten einer Horizontalzeile in der obigen Determinante A proportional sind. Dann ist aber auch

dXy^

dxS^

u>~d~

dx₂w Ul dx

+ u2

+ U2

dx

dx₂⁽²⁾

- H---- + U-n

dx

dx

dxn(l)    dxn⁽²⁾

d x^a)

dx

wie man ohne weiteres erkennt, wenn man für die Differential -quotienten ihre Werte aus dem linearen Differentialgleichungssystem einsetzt. Differentiiert man also das vorhergehende System, so ist:

u\ x^l) + wf₂ %⁽²⁾ +----h w'n xy{n) = ,

9)

«₂⁽¹⁾ + ^'₂ ^2⁽²⁾ H-----U'n X2n) = >

u\ XnW + w 2 #n⁽²⁾ + • ■ + W »    = 0,

1

wobei die Ableitung von Uy bezeichnet. Hieraus folgt im Zusammenhänge mit den Gleichungen 8), dass

u\

u\

Uy

u₂

un

ist; oder wenn man den gemeinsamen Wert dieser Quotienten mit q bezeichnet:

. . Un = e

/ odx

10) Uy = «J e^dXy u₂ — «2 d. h. die Verhältnisse der Punktionen u sind konstant.

Zweite Methode zur Bestimmung der Integrale eines Systemes mit konstanten Koeffizienten.

755. An Stelle der d’Alembertschen Methode kann man bei konstanten Koeffizienten auch das Verfahren benutzen, welches wir bei einer linearen Gleichung mit zwei Varia-belen angewandt haben. Es seien die n Gleichungen ohne zweites Glied:

dx

dx

+ Px, + P₂w x₂-\-----1- Pnö> ^ - 0

i)

d Xji

dx

+ P«^ + P₂<”>x₂-\-----1- P„c">0;

die Koeffizienten P sind konstant. Wir setzen:

2) #!=    #₂=A₂e—^x,    An-ie⁻?*, xn=e~‘ix,

und substituieren diese Werte in die Gleichungen 1); nach Unterdrückung des Faktors e~ilx erhält man:

(P/¹'* — (>) Ax + P₂⁽¹⁾ A₂ H----+ Pn—1⁽¹⁾ A„_1 + Pn⁽¹⁾ — 0,

3)

P₁wi₁ + PJWis + ... + P»-₁wi»-i + (P,w- p)-0.

Diese Gleichungen sind die nämlichen, wie die Gleichungen 10) im § 753, und führen also auch durch Elimination der Unbekannten An A₂, ...Xn-\ auf die nämliche Gleichung rien Grades für ; jeder Wurzel dieser Gleichung

4)

F(t) = 0

entsprechen im allgemeinen bestimmte Werte von An A₂,... in~i-Hat die Gleichung 4) n verschiedene Wurzeln, so kann man mittelst der Gleichungen 2) n Systeme von linear unabhängigen, partikulären Integralen bilden. Sind also

die n Wurzeln von p,

Qi > @2> • • • Qh

Ul\

die entsprechenden Werte von Xu und

Glx C₂,...Cn

n willkürliche Konstanten, so werden die Integrale des gegebenen Systemes:

xx = Gx e~^x + C₂ AjWe-ft* H-----V Cn A^ e~Q»x,

5)

x₂ = Cx A₂⁽¹⁾ e-?iX + C₂ A₂<²>e-fr* -|-----fCs A₂(n>e-P"x₇

, xn = C, e-?‘x + C₂ e~^x -j-----f- Gne~^x.

Es ist leicht, in jedem Falle die Modifikationen zu finden, denen diese Gleichungen zu unterwerfen sind, wenn einige der Wurzeln Q unter einander gleich werden. Was wir im § 750 darüber gesagt haben, erscheint uns ausreichend, und wir wollen bei dieser Frage nicht weiter verweilen.

Über eine Klasse von linearen Gleichungen.

75H. Wir halten es für nützlich, zum Schlüsse dieses Kapitels noch ein bemerkenswertes Resultat anzugeben, welches von Jacobi gefunden ist, und im Zusammenhänge steht mit der Theorie, von der wir hier handeln.

Wir betrachten ein System von n beliebigen Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen einer unabhängigen Varia-belen x und n abhängigen xx, x₂,...xn. Mit x\ bezeichnen

dxi

und mit

dx

wir die Ableitung

1)

■Fi-0, F₂ = 0,... Fn= 0

die gegebenen Differentialgleichungen. Fx, F2x...Fn sind irgend welche Funktionen von x, xx, x2x ... xn und den Ableitungen x'x, x'₂,...x'n.

Wir nehmen an, dass man die vollständigen Integrale des Systemes 1) kennt, und dass dieselben nach xxi x₂₎ ... xn aufgelöst sind; wir bezeichnen sie mit

2)

ä x    A.^; X₂ — A₂ , . . ., Xn A n,

X1? X₂, ... Xn sind Funktionen von x und von n willkürlichen Konstanten alx a₂,... an.

Trägt man die Werte 2) in die Gleichungen 1) ein, so werden diese Identitäten, und man gewinnt aus ihnen neue

Identitäten durch Differentiation nach den willkürlichen Konstanten. Differentiieren wir z. B. die Gleichung

Fi= 0

nach der willkürlichen Konstante afl, so folgt:

dF{ dx' dx\ dap

dFj dxt dxy daH

dFj dx dxn düfj.

dFj dx'n dx'„ dü/u

)-°>

eine Gleichung, welche identisch erfüllt ist nach der Sub-

d dXk dan

dx'

- gleich

stitution der Werte 2). Nun ist aber

wenn man also mit UP, VP die Werte darstellt, welche

dFj dFj dxk ’ dx'k

haben wir die Identität:

dah

dx

nach Substitution der Werte 2) annehmen

so

3) UP

düu

+ vp

aWl

daA

dXn

a4*l

dx

+ vp

d ft«

dx

= 0.

da ft

Dies festgesetzt, betrachten wir die n linearen simultanen Gleichungen:

4)

4- ■ •

in denen zx, ... zn unbekannte Funktionen bezeichnen, und die Grössen U, V gegebene Funktionen von z und von n Konstanten a1} a2; ... an sind. Auf Grund der Identität 3), welche bei jedem Wert von i gleich 1 bis i gleich n gilt, sind die Gleichungen 4) erfüllt, wenn man

dX*

ax

*i = -

ax,

da hi

da fi

setzt; also wird das vollständige Integralsystem der Gleichungen 4):

dX,

dX

cai

+ (■ 2 "ö“”¹ “i" “ ‘ 4" Cn

da₂

dX

5)

C rtj

:2- + C₂

dX₂

ca₂

H----4- C,

dXx

dan

dX₂

l ’

C Cl n

dXn

dXn

cXn

Zn = Cx

wobei C₁, C2: ... Cn willkürliche Konstanten sind.

So führt also jedes System von simultanen Gleichungen, dessen vollständiges Integral bekannt ist, zu einem Systeme von linearen Differentialgleichungen mit variabelen Koeffizienten, dessen Integral alsdann durch einfache Differentiationen gewonnen wird.

dat

da₂

-\---- + Cn

dan

Fünftes Kapitel.

Integration der Differentialgleichungen durch Reihenentwickelung oder durch bestimmte Integrale.

Anwendung der Taylorschen und der Mac-Laurinschen Entwickelung.

757. Es giebt in der Analysis keine allgemeine Methode, um die Integration der Differentialgleichungen auf Quadraturen zurückzuführen-, man muss daher bei der Lösung von Differentialgleichungen im allgemeinen die Methoden der Entwickelung in unendliche Reihen anwenden. Aber auch die Anwendung dieses Verfahrens wird bei nicht linearen Gleichungen schwierig, falls man sich nicht auf eine sehr kleine Anzahl von Gliedern beschränken kann, um auf diese Weise wenigstens eine angenäberte Darstellung des Integrales zu gewinnen. Wir stellen uns die Aufgabe, in diesem Kapitel einige Grundzüge des Verfahrens anzugeben, welches zur Integration vermittelst unendlicher Reihen dient.

Zunächst bietet sich die Anwendung der Taylorschen und Mac-Laurinschen Formeln dar. Wir haben die erstere bereits benutzt, um die Existenz der Integralgleichungen zu beweisen; an ihre Stelle kann man auch die Entwickelung von Mac-Lau rin einführen, welche oft zu einfacheren Resultaten führt, die aber, weil sie vom Punkte x = 0 ausgeht, nicht immer das vollständige Integral liefert, wie im folgenden an einem Beispiel gezeigt werden soll.

Die Möglichkeit der Potenzreihenentwickelung lässt sich bei linearen Gleichungen bestimmter nachweisen, als bei den nicht linearen Gleichungen, weil bei den ersteren unmittelbar aus der Differentialgleichung erkannt werden kann, welche Stellen allein singuläre Punkte für das vollständige Integral werden können, so dass der

mod

Konvergenzbereich der Potenzreihe, wenn ein beliebiger Punkt zum Mittelpunkte der Entwickelung gewählt ist, von vornherein festgestellt werden kann. Es wird daher nützlich sein, den allgemeinen Beweis der §§ 622 und 623 für eine lineare Differentialgleichung wter Ordnung besonders zu betrachten in der Form, welche Herr Fuchs (Journ. f. Math., Bd. 66) ihm gegeben hat.

Es sei dny dxn.

dn~~¹y

“ d*=f +

dn~2 dxn~

eine lineare Gleichung wter Ordnung, deren Koeffizienten Funktionen von x sind, die innerhalb eines gegebenen Bereiches T der Ebene, deren Punkte die reellen und komplexen Werte von x darstellen, in einer endlichen Anzahl von Punkten unstetig werden, im übrigen aber innerhalb dieser Fläche eindeutig und stetig'sind. Diejenigen Punkte innerhalb T, für welche eine oder mehrere der Funktionen P unstetig sind, nennen wir singuläre Punkte. Es sei ferner x₀ irgend ein Punkt in T und um denselben ein Kreis beschrieben, welcher sich bis zum nächsten singulären Punkte erstreckt, so dass also innerhalb dieses Kreises kein singulärer Punkt liegt; das Innere dieses Kreises nennen wir das G-ebiet des Punktes xQ. Alsdann besteht der Satz:

Zu jedem Punkte x₀, der nicht zu den singulären gehört, giebt es eine eindeutige und stetige, analytische Funktion y, welche der Differentialgleichung genügt und so beschaffen ist, dass dn— dxa~

diese Funktion ist also innerhalb des Gebietes des Punktes x₀ durch eine konvergente, nach ganzen Potenzen von x — x₀ fortschreitende Reihe darstellbar.

In dem Gebiete von x₀ innerhalb T seien die Maxima der Moduln der Funktionen P,, P₂, ... Pn bezüglich M₁, M,₂, ... Mn; ist a₁ der dem Punkte x₀ zunächst liegende singuläre Punkt, und setzt man mod (ax — »₀) = R, und

i)

y,

dy

dx

M₁

x — x₀

l +- + P,

cly

¹ dx

¹J

—y für x

= <P n

= x₀ beliebig gewählte Werte annehmen;

M₂

Mn

X — x₀

= «P»,

so ist bekanntlich für jedes ganzzahlige m (§ 619):

dmP₂

CT < m! *

\ dxm Jq

( dmPn\

\ dxm /₀

JJ

—~i ■ • • mod

Rm

wenn wir mit dem Index 0 bezeichnen, dass die Funktionen für x = x₀ zu bilden sind; also ist auch

Rm

mod

) < ml

m/

Mn

< ml

Rm

mod

3)

(dmP₁\

\ dxm )Q

< mod

(f7"'9i\ f \ dxm / ₀

mod

(drnP₂\

\ dxm / ₀

< mod

(dmcp₂\ i

\ dxm )q

... mod

(dmPn\    (dmcpn\

mod \~d*r)₀

Die sämtlichen Ableitungen einer Funktion, welche der linearen Differentialgleichung genügt, lassen sich auf die Form bringen (Je > n):

4)

dky

dxk

rin

(*) _

dxn~

T + <k)

dn~²

dxn~

wobei die Koeffizienten a sich aus den Grössen P und deren Ableitungen durch die Operation der Addition und Multiplikation zusammensetzen.

5)

Bildet man nun die lineare Differentialgleichung

dn~ 2 dxn~²

dnu

= 9i

dxn

TS

dxn~¹

+ 92

so lassen sich die sämtlichen Ableitungen einer Funktion w, welche derselben genügt, in der Form darstellen:

— ■ ft«>

dxk ¹

6)

dn~¹u

dxn~¹

dn~2 2 dxn~²

(*)

T H-----1-

Die Grössen ß werden aus den entsprechenden Grössen a dadurch abgeleitet, dass man an Stelle einer jeden Funktion P und ihrer Ableitungen die entsprechende Funktion cp und ihre entsprechenden Ableitungen einsetzt.

Hieraus folgt, dass für den Wert x = x0 ßj® > mod    /3₂(A) > mod cc^k\ ... ßn^ > mod ara(i)

ist. Wenn sich also eine Funktion u bestimmen läss*t, welche in dem Gebiete von x₀ eindeutig und stetig ist, ferner der Differentialgleichung 5) genügt und für x — x₀ nebst ihren n — 1 ersten Ableitungen beliebig gegebene positive Werte annimmt, so existiert auch eine in dem Gebiete von x₀ eindeutige, kontinuierliche und endliche Funktion y von der Beschaffenheit, dass sie der Differentialgleichung l) genügt und dass y, -~i    •••

beliebig gegebene Werte annehmen.

Setzt man X — = z, so lässt sich die Gleichung 5) auf B

die Form bringen:

dnu

dn~

dxn~

Xq

7) (1-,)

dz¹¹

d"-¹

dzn~

~ + m₂b²

dn~2 d¥~

Man kann derselben durch eine Potenzreibe

u —    -f- ülz -j-    -f- • • • -j- <xnzn -}-•••

genügen; man erhält nämlich zur Bestimmung der Koeffizienten allgemein die Rekursionsformel:

(w+7c) {n-llc— l).. .(&+ l) ün^k~ (n-\-Jc~l) (n-\-lc — 2) ...(&+1)    un^.

8)

-t- (n-\-Je - 2) -1- 7.*—3)...(ft+l)M% 2

4* A/w R" cik.

Wählt man die Anfangsglieder a₀, ax, ... an_ 1 positiv, so werden auch alle übrigen Koeffizienten positiv; und es ist:

®n-\-k

I + MtR

n -f- Je wobei i/j eine i^ositive Grösse ist.

Man kann nun annehmen, dass MtR > n ist. Denn wenn dieses nicht stattfindet, so bleiben alle früheren Schlüsse giltig, wenn man M₁ so gross annimmt, dass diese Bedingung erfüllt ist; also ist

ß« -f- k ^ ßn-\-k—1

für jedes ganzzahlige Je, d. h. die Koeffizienten der Reihe wachsen

ar

nicht unendlich

mit wachsendem Index. Ist also r < s, so ist —

as

für alle Werte von r und s. Aus der Gleichung 8) folgt nun:

U>u-\-k — 1

Je -j- Af, R

n Je

(n -j- 7.’) (n -f- Je — l) a,»-j-1—1

CLk

MnRn

(n -j- 7c) (n -f- Je — 1) ... Je -J- 1 an^.k—i

Hieraus folgt für Je = ce:

lim

und also ist

a,t+k

O'n -j- k— 1

= 1,

zn+kan+k_

zn + k-ian + k_l

für Je — ac,

d. h. die Reihe für u ist konvergent, solange der Modul von z kleiner als eins ist. Die Differentialgleichung 5) hat also ein in dem

k= co

Gebiete von gütiges Integral der Form ^ bk(% — #₀)*> derart,

k 0

dass b₀, &1?... &„_i beliebige positive "Werte erhalten können, und

lim

hiermit ist die Existenz einer Funktion y von der geforderten Beschaffenheit für das Gebiet des Punktes x₀ bewiesen.

Für einen singulären Punkt gilt der bewiesene Satz nicht mehr; es ist ebenso wohl möglich, dass keine einzige Funktion existiert, welche der Differentialgleichung genügt und in dem Gebiete des singulären Punktes regulär ist, wie auch,' dass n partikuläre Funktionen dieser Art, welche ein Fundamentalsystem bilden, vorhanden sind.

wenigstens ein Element mit einer Potenz von

wovon

Grundlegend wird hierbei der Satz von Herrn Fuchs, den wir nur ohne Beweis anführen wollen: Bei einer linearen Differentialgleichung nter Ordnung, in welcher die Koeffizienten die oben angeführten Eigenschaften haben, giebt es, wenn ax irgend einen der singulären Punkte bezeichnet, stets ein Fundamentalsystem ,

x — ax multipliziert in dem Gebiete von ax eindeutig und stetig, also durch eine Reihe nach ganzen Potenzen von x — ax darstellbar wird.

3)

758. Wir betrachten die lineare Gleichung zweiter Ordnung, welche bei verschiedenen Problemen der mathematischen Physik auftritt:

1)

d²y 2 n

dx²

x dx

— m²y = 0.

Der Punkt x = 0 ist der einzige singuläre Punkt im endlichen , n und m² bezeichnen zwei reelle, positive oder negative, gegebene Zahlen. Wir multiplizieren die Gleichung mit x und differentiieren sie alsdann u — 1 mal; es wird

d²y

zy*

dx²

dl,y~ dxfl-

2)

+ 2n

dy

dx

— m²xy = 0,

df* ⁺¹y _J dx^lJrX

+ 2 n pV- - m*

dxft

d^~

X-r-—

L dxfl'

dfl~*y 1 n

dx*~*J

Für x = 0 ergeben diese Gleichungen, wenn y und endlich sein sollen:

d²y

dx²

4)

dy

dfly

= (ft — 1) ni²

du~²y

dx^l~² ’

für den Fall y = 2 ist diese letztere Gleichung:

d²y

5)

(2n + 1)

dx²

= m²y.

Man erkennt, dass wenn 2n nicht eine ganze negative Zahl ist, die Ableitungen ungerader Ordnung null sind, während die Ableitungen gerader Ordnung durch die Formel geliefert werden:

d2ky

_____1.3.5 ... (2k - 1)__

dx2k (2 m + 1) (2m + 3) ... (2m -{-2k — 1)

m2ky.

Bezeichnet also C den willkürlichen Wert von y, welcher zu x = 0 gehört, so ergiebt die Mac-Laurinscbe Formel ein partikuläres Integral der Gleichung 1):

m²x²

2(2n +1)T 2.4.(2m + 1)(2m + 3)

mex⁶

2.4.6. (2m+ 1) (2w+ 3) (2n + 5)

Diese Formel ist illusorisch, wenn 2m gleich einer ganzen negativen ungeraden Zahl ist. Lassen wir aber diesen Fall vorerst bei Seite, so ist die Reihe bei allen endlichen Werten

6) y = C 1 +

m⁴#⁴

von x konvergent, denn das Verhältnis des k -f lten Gliedes zum kten ist:

m²x²

2k . (2m + 2k - 1)

und konvergiert also nach null, wenn k unendlich wird.

759. Untersuchen wir nun den Fall, wo 2m gleich einer-ganzen negativen Zahl ist. Ist diese ganze Zahl ungerade, so sieht man aus den Gleichungen 4), dass die Ableitungen ungerader Ordnung für x = 0 null sind, wie in dem allgemeinen

d^~2 dx^l~²

y = 1 — 2m, wenn die höheren Ableitungen endlich bleiben sollen, und folglich ist:

Fall. Dieselbe Gleichung lehrt auch, dass

K = 0 ist für

A d²y

V~’ ~dtf~ ’

d~x~2ny

dx~l~2n

= 0.

2ny

kann nun willkürlich gewählt

Die Ableitung

dx~

dxl~

werden; aber alle folgenden Ableitungen gerader Ordnung sind dann bestimmt. Bezeichnet man also mit Cl den willkürlichen Wert von

1.2.3 ... (1 — 2n) dxl~2n

(ll~2ny

für x = 0, so giebt die Mac-Laurinsche Entwickelung:

m² x²

y = Cxxl~2n 1 +

m⁴

2. (3 -2 n) ⁺ 2.4. (3-2%) (5- 2m) x⁶

2 4.6. (3 - 2m) (5 — 2m) (7-2m)

Ist 2m eine ganze negative, gerade Zahl, so werden die

Ableitungen ungerader Ordnung für x = 0 ebenfalls null, nach den Gleichungen4), bis zu denjenigen, deren Ordnung — 1 — 2m

d¹-

ist. Der Wert der Ableitung

2ny

kann willkürlich ge-

C100

wählt werden, wie in dem vorigen Fall, und die Ableitungen gerader Ordnung, welche auf diese folgen, sind dann bestimmt. Andererseits ist auch der Wert von y für x = 0 willkürlich in diesem Falle, und er bestimmt die Werte der Ableitungen gerader Ordnung. Also giebt die Mac-Laurinsche Formel hier eine Lösung, welche zwei willkürliche Konstanten enthält, und die man durch Addition der in den Gleichungen 6) und 7) enthaltenen Reihen bilden kann. Diese Lösung ist das vollständige Integral.

Man kann dasselbe in allen Fällen durch die Taylorsche Entwickelung gewinnen, indem man einen beliebigen anderen Punkt x₀ zum Mittelpunkt der Reihenentwickelung macht; die Koeffizienten sind aus den Gleichungen 2) und 3) zu berechnen, und die Reihe konvergiert sicherlich, solange mod (x -x₀) < mod#0 ist. Das Resultat ist indessen kompliziert, und die Ausführung der Rechnung bietet weiter kein Interesse.

Die Transformation der Yariabelen verbunden mit der Mac-Laur in sehen Entwickelung.

760. Wir haben soeben ein partikuläres Integral der Gleichung

d²y ^ 2 m dy dx²    x dx

erhalten; um das vollständige Integral zu bilden, muss man ein zweites partikuläres kennen, und da dieses im allgemeinen

i)

— m²y = 0

15

Serret, Differential- und Integral -Rechnung, Bd.II. 2.

nicht nach der Formel von Mac-Laurin entwickelbar ist, so ist es angezeigt, zu untersuchen, ob nicht durch eine Änderung der Variabelen die Anwendung dieser Formel zulässig wird. Zu dem Zwecke setzen wir

y = xf,z,

wobei y ein noch unbestimmter Exponent und z eine neue Yariabele ist. Die Differentiation liefert:

dy

dz

dx

dx

+ yx^~⁴z

d²y

d²z

dx²

xfl -=-f + 2axf<~1 dx*

'S

's

— l)xu~²z.

Trägt man diese Werte in die Gleichung 1) ein und dividiert alsdann dieselbe durch x^} so folgt:

d²z 2n + 2fi dz , [y(2n-\-y,— 1)

dx²

Diese Gleichung hat dieselbe Form wie die vorige, wenn

dx

x²

— m² z = 0.

man

u =1 — 2n

annimmt; alsdann wird sie:

2)

cl²z

2(1 — n) dz

dx²

dx

— m² z «= 0

und folgt also aus der Gleichung 1), indem man dort n in 1 — n verwandelt; man führt also den Fall, dass n negativ ist, auf den Fall n positiv zurück. Nun ist evident, dass man ein neues partikuläres Integral der Gleichung 1) bekommt, indem man n in 1 — n verwandelt in dem Integrale, welches wir im vorigen Paragraphen entwickelt haben, und dieses noch mit xx~²¹¹ multipliziert.

Mit den beiden partikulären Integralen lässt sich das vollständige bilden, wie wir es schon für den Fall, dass 2n eine ganze negative gerade Zahl ist, erhalten haben, nämlich:

m⁴ x⁴

m² x²

3)

m⁴x⁴

+ C'xl~2n 1 +

2(2n + 1)⁺2.4(2w + 1) (2n + 3) m² x²

2(3 —2n) ' 2.4. (3 — 2n) (5- 2 n)

C und C’ sind zwei willkürliche Konstanten. Dabei muss man noch immer den Fall, dass 2n eine ganze ungerade, positive oder negative Zahl ist, ausnehmen. Ist 2n = 1, so werden die beiden partikulären Integrale identisch, und wenn 2n eine ganze ungerade Zahl verschieden von +1 ist, so wird eines der beiden Integrale illusorisch. Wir kommen später noch auf diese Ausnahmefälle zurück.

761. Der Fall n = 1 mag noch besonders bemerkt werden; man kann hier leicht die Summen der beiden Reihen durch elementare Funktionen ausdrücken. Schreibt man Cm an teile von C. so wird die Gleichung 3):

w³

m⁵ af

1    ' 1.    .3 ' 1.2.3.4.5

•)

W⁴#⁴

1.2.3.4

oder:

— mx

C" e

mx

mx

Bezeichnet man mit A und B zwei neue willkürliche Konstanten, so kann man auch schreiben:

Aemx+ Be~

Die Transformation, welche wir in dem vorigen Paragraphen ausführten, liefert dieses Resultat unmittelbar; denn für n = 1 reduziert sich die Gleichung 2) auf

d²0

dx²

— m²0 = 0

und ihr vollständiges Integral ist:

0 = Aemx + Be~mx.

Wenn m² negativ ist, und man setzt m² = — p², so lässt sich das Integral auch schreiben:

C sin [ix 4- C¹ cos [ix

y    x

15*

Anwendung der Methode der unbestimmten Koeffizienten.

762. An Stelle der Mac-Lau rin sehen Entwickelung kann man die Methode der unbestimmten Koeffizienten verwerten, die eine grössere Allgemeinheit mit sich führt.

Wir betrachten wieder die Gleichung:

(pp

i)

— m²y = 0

dx²

2 n dy x dx

2)

und versuchen derselben zu genügen, indem wir setzen: y = Axa + BxP -j- Cxy + Dxd -\- •••>

wobei a, ß, y, d ... wachsende Exponenten sein sollen. Aus der Gleichung 2) kann man folgern:

4^- = cc Axa~L + ß Bxß~l + y Cxy~¹ + 8Dxö~~l 8----

dx

3)

= a (« -1) Axa~² + ß(ß-l) Bxß~² + y 0-1) Cxr~2 X    +d(ö-l)Dxö~² + -..

Trägt man diese Werte in die Gleichung 1) ein, so wird:

A \a {a + 2n —1) xa~²— m²xa'\ + B [ß (ß + 2n — 1) x?~~²— m²xß] -1----- 0,

und dieses muss sich auf eine Identität reduzieren lassen. Der kleinste Exponent von x in dieser Gleichung ist a — 2, und damit das Glied dieser Ordnung verschwindet, muss

a — 0 oder a = 1 — 2 n

sein. Unter den übrigen Termen sind von kleinster Ordnung diejenigen, welche die Faktoren xa, xß~² enthalten. Es kann nun nicht ß — 2 > a sein, denn daraus würde folgen, dass jl = 0 ist, eine Annahme, welche zu verwerfen ist. Also ist: ß — 2 = a oder ß — 2 < a.

Bei der zweiten Annahme müsste ß(ß 4- 2w — 1) = 0

sein, d. h. entweder ß = 0 oder ß = 1 — 2n. Dieses ist nur zulässig, wenn man für a den kleineren der beiden Werte 0 und 1—2n gewählt hat; alsdann kann man für ß den grösseren dieser beiden Werte wählen. Hat man aber für a den grösseren der Werte 0 und 1—2 n gewählt, so muss man ß = a -f 2 setzen.

Wir nehmen an, dass a und ß die Werte 0 und 1— 2n erhalten haben; da nun y nicht einen dieser Werte mehr erhalten kann, so folgt, dass y = a -f 2, ferner dass d = ß -f 2 u. s. w. ist. Sind die Exponenten bekannt, so lassen sich die Koeffizienten ohne weiteres bestimmen. Einfacher ist es noch, wenn wir die Werte a = 0, a = 1 — 2 m nach einander anwenden und annehmen, dass

ß — « + 2, y = ß -f- 2, d = y -f 2,...

ist. Auf diese Weise erhält man zuerst

d = 6, ...

a = 0, ß = 2, y — 4

und indem man die Bedingungen bildet, dass die Glieder gleicher Ordnung in x verschwinden, erhält man:

m²B

j, _ m²A.

⁼ !T(2m+1) ⁷

Setzt man sodann

a = 1 — 2m, ß = 3 — 2m, y = 5 — 2«,... und verfährt in der nämlichen Weise, so folgt:

m²B

4(5 — 2«) ⁷

m²H

2(3- 2 m)⁷

(7 =

4 (2 m + 3)

Z> =

m²(7

6(7 - 2 m)

Sonach hat man, wenn man in beiden Fällen A = 1 annimmt, die beiden partikulären Integrale:

mixi

m² x²

•?

2.4 (2m-fl) (2m+ 3) wA xA

¥74(3 - 2m) (5 - 2m)

2 (2 m + 1)

y₂ = x¹~2n 1 +

m² x²

2(3 - 2m)

wonach man das bereits früher erhaltene allgemeine Integral

V ⁼    + C'y₂

zusammensetzt, mit Ausnahme des Falles, dass 2m eine ganze ungerade Zahl ist.

763. Wir wollen jetzt diesen besonderen Fall untersuchen. Da die Annahme eines negativen n sich auf den Fall des positiven n zurückführen lässt, wie wir eben gesehen haben, so nehmen wir an, dass

2n = 2r + 1

ist, wobei r null oder positiv ist. Die vorgelegte Gleichung wird also:

~— nry = 0 dx J

d²y 2r -j- 1 dy

dx²

und wir kennen ein partikuläres Integral, nämlich:

m² x²

2(2 r + 2)

2.4. (2r + 2) (2r + 4)

Wenn man diesen Wert von yt anwendet, so wird das allgemeine Integral dargestellt durch

y = Gyx + C'yx J

dx

y^x²¹"^¹

wobei C und C' zwei willkürliche Konstanten und x₀ irgend ein Anfangs wert von x ist (§ 733). Verfährt man mit der

Funktion

wie wenn es sich um einen rationalen

y²x2r+¹

Bruch handelt, so kann man derselben die Form:

% ,

x2r+l

geben, wobei Y eine eindeutige Funktion von x ist, welche für x — 0 endlich bleibt. Folglich hat man:

a₁

Vi

y%X2r+\

Xq

P bezeichnet ein Polynom vom Grade 2 r, G eine Konstante und V eine eindeutige Funktion, welche endlich bleibt für x = 0. Hieraus folgt, dass die vorgelegte Gleichung ein Integral von der Form:

haben muss, wobei z eine Funktion ist, die eindeutig und endlich bleibt für x = 0. Demnach ist es angezeigt, die Substitution anzuwenden, welche durch die vorstehende Formel ausgedrückt wird, und alsdann die Entwickelung von Mac-Lau rin oder das Verfahren der unbestimmten Koeffizienten auf die transformierte Gleichung für z anzuwenden. Diese wird sich von der ursprünglichen nur durch ein zweites Glied unterscheiden, welches durch die Substitution eingeführt ist.

764. Wir beschränken uns darauf, die Rechnung für den einfachsten Fall, wo r — 0 ist, auszuführen. Die gegebene Gleichung ist dann:

d²y

_ . 1 dy *

dx²    x dx

m²y = 0,

und ein partikuläres Integral derselben ist:

m² x²

m⁶ x⁶

oder:

m⁴x⁴

J² + 2*71* ⁺ 2². 4². 6²

+ •••

Vi

k co

k^l

m2k x2k

{ 2²- 4²... (2Je)²

Das mit P bezeichnete Polynom reduziert sich hier auf eine Konstante, und das Produkt Pyx kann mit z vereinigt werden; ferner ist evident, dass es gestattet ist, G — 1 zu setzen, und folglich können wir

y = Ih lx + z

annehmen; also:

dy ₌ dyi dx dx

dz

lx + ^⁺d^’

d*y    <Pyi J , 2_ dyA _ yA

dx²    dx² x dx

Trägt man diese Werte in die Differentialgleichung ein, so erhält man die transformierte:

d²z

x²

dx²

Äj!

|ns

| ^

² *y±

x dx

Wir setzen nun:

z = a₀ + «i x¹ + a₂ x* + • • • + a>k %2k + • • • und bezeichnen zur Abkürzung mit

-4₀ -f- Ax x² -f- .A-2 ocA -(-••• -)- A-k x2k -\~ • • •

Substituiert man diese Werte von z und

den Wert von yv von yx in die Differentialgleichung und setzt die Koeffizienten

gleicher Potenzen von x auf beiden Seiten einander gleich, so folgt:

4 h² üfc — m²ak

oder:

— 4 hAk

ak

und folglich:

Ak

ak—i -A]c—i

Je

)•

«0

-Ak -Aq

Nichts hindert uns a₀=0 anzunehmen, und also wird:

a-k = —

m2k

2². 4²... (2 Je)

ä(¹ +

Also hat man als zweites partikuläres Integral:

k~ oo

m2kx2k

2². 4²... (2&):

(i+    +

t-H

)'

765. Wir hatten schon Gelegenheit zu bemerken, dass es auch von Nutzen sein kann, eine Änderung der Yariabelen zu vollziehen, bevor man eine Reihenentwickelung ausführt. Wir wollen dafür ein neues Beispiel geben, indem wir die nämliche Gleichung

d²y ^2n dy dx² x dx

beibehalten. Wir setzen y = + m und führen die Substitution aus:

— m²y = 0

y = ze^x,

dy

dx

d²y

dx²

Da fi² ~ m² ist, so erhalten wir die transformierte Gleichung für z:

o.

(d²z . n dz\ , 2n (dz \

KM ⁺    + T W ⁺    ~

Versuchen wir nun derselben durch eine Reihe

z — a₀ -f- x + a₂ x² -j-----\- akxk •

zu genügen, so folgt, indem wir die Koeffizienten irgend einer Potenz von x null setzen:

Je (2 fi -f- Je — 1) d/; -f* 2 (n —j— Zu — 1) d\'c i = 0.

Ist 2n nicht eine ganze negative Zahl, so bestimmt diese Gleichung das Verhältnis der Koeffizienten a*, a*_i, und daraus gewinnt man den Wert von ak, nämlich:

ak= (— 2 ft)*

1.2 ...Je. (2 n) (2 n + 1) ... (2h + A — 1)

a₀;

der erste Koeffizient n₀ bleibt willkürlich.

dass a

null ist.

r-p 1

Ist n eine ganze negative Zahl — r, so zeigt die erhaltene Relation zwischen ak und ak und folglich gilt dasselbe auch für    «r+3,.-. Anderer

seits kann man aber auch die Koeffizienten a₀, at, ... a2r null setzen, «2r+i willkürlich annehmen, und alsdann sind die folgenden Koeffizienten bestimmt als Funktionen von a2r+i-Demnach erhält man in dem vorliegenden Fall die beiden folgenden Integrale der Gleichung für z:

z = a₀ + av x + a₂ x² -j-----b ar xr,

z = a2r+lx2r+l a2r+2 x2r+² ----,

und mithin ein partikuläres Integral der ursprünglichen Gleichung durch einen Ausdruck, welcher nur eine endliche Anzahl von Gliedern besitzt. Wir bemerken dabei, dass man zwei partikuläre Integrale dieser Art hat, da man für ft den doppelten Wert + m wählen kann.

Hieraus folgt, dass sich das vollständige Integral der gegebenen Gleichung in endlicher Form darstellen lässt, wenn n eine ganze negative Zahl ist. Dasselbe gilt auch, wenn n eine ganze positive Zahl ist, denn dieser Fall lässt sich, wie wir bereits sahen, auf den vorigen zurückführen.

Man erhält dann auch das Integral in einer bemerkenswerten Form, indem man folgendermassen verfährt.

766. Wir setzen:

dn~¹u

dxn~l

und die Differentialgleichung wird:

dnu~ dxn_

[■

dn + 1u

dxn+l

4- (2 fix -f n)

dnu

dx

0.

Der erste Teil dieses Ausdruckes ist die nte Ableitung (Ixt

der Funktion    desgleichen ist der zweite die wte Ableitung

von (2fix + n) u. Integriert man also die Gleichung w-mal, und bezeichnet man mit P„_i ein willkürliches Polynom von x vom Grade n — 1, so erhält man:

du

x -f (2fix -f n) u = P„_i.

Da wir aber nur einen partikulären Wert von u brauchen, so können wir P„_i = 0 setzen; also wird die vorstehende Gleichung, wenn man die Variabelen trennt:

(2 fi + dx = 0

du

und hieraus folgt:

l(u) + 2 [ix + nix = const.

Setzt man die Konstante ebenfalls null, so wird: u = e~~ i(lx x~~",

und demnach:

dn~l(e~2ux x~n)

z =---\i y

-dxn~l    J

-- e “

x dn~X{e~i^xx~n) dxn~x

Den Werten -f- m und — m von fi entsprechen zwei partikuläre Integrale der ursprünglichen Differentialgleichung; das vollständige Integral ist also, im Falle eines positiven ganzzahligen n:

V = Ce

dn~l(e

— 2 mx

x~n)

dxn~l

+ C'e~

dn-l(e2rnxx-n)

dxn~¹

Die Gleichung von Riccati.

767. Die Ric ca tische Gleichung, mit der wir uns schon im § 663 beschäftigt haben, ist:

1)

+ ay²= bxm,

a und b sind gegebene Konstanten, m ein beliebiger Exponent. Man kann die Gleichung auf eine lineare bringen, indem man

2)

1 dz az dx

1 (dz_\\ az² \dx) ’

setzt; also:

dy

Ist n eine ganze negative Zahl, so muss man 1 — n an Stelle von n schreiben, und das erhaltene Resultat mit x¹~2n multiplizieren (§ 760). Es wird also in diesem Falle das vollständige Integral:

2.

y^Cemxxx~

X)

dx~n

+ C'e~

/// r

qqI — 2 n

dx~n

1 d²z dx az dx²

.aus dieser Substitution folgt:

3)

d²z

r-s- = abxmz.

dx²

Das vollständige Integral dieser Gleichung ist von der

Form:

£ = C₁ sl + C₂ z₂;

trägt man diesen Wert in die Formel 2) ein, und setzt man

dabei

(j

^ = C, so erhält man:

dzl

dz₂

4)

dx

dx

% + (7^2

Diese Gleichung, welche eine willkürliche Konstante enthält, ist das vollständige Integral der Riccatischen Gleichung. Es sind also die beiden partikulären Integrale ex und

z₂ zu bestimmen. Man kann dieselben ohne Schwierigkeit durch Reihen darstellen, indem man die Methode der unbestimmten Koeffizienten an wendet; indessen lässt sich diese neue Rechnung dadurch vermeiden, dass man die Gleichung 3) auf die vorher von uns behandelte Form bringt. Denn setzen wir:

und wählen t zur unabhängigen Variabelen an Stelle von xr so wird:

dz m + 2 ~ dz ~~2 X ~dt’ d²z , m² + 2 m

dx

dH ₌ Q + 2)²

dx²    4

m — 2    ₇

dz

dt²

Trägt man diese Werte in die Gleichung 3) ein, so folgt:

1 dz m + 2 t dt

5)

d²z

4 ab

dt²

(m + 2)² ~

= 0.

Zugleich erhält man nach der Formel 4):

äz₂

m dzi

(m + 2) x2 » “ ---2a

wenn zx und z₂ zAvei von einander unabhängige partikuläre Integrale der Gleichung 5) sind. Man sieht, dass diese Gleichung die nämliche ist, wie die in den §§ 758 flg. behandelte. Ihr Integral kann in endlicher Form dargestellt werden, wenn

m + 2 Form hat:

eine ganze gerade Zahl +2i ist, d. h. wenn m die

- 4 i_

1 + 2 i

So findet man also wieder den Fall der Integrabilität durch elementare Funktionen, den wir schon im § 665 erhalten haben.

Über die Integration von Differentialgleichungen vermittelst bestimmter Integrale.

768. Anstatt die Integrale durch Reihen darzustellen, ist es oftmals vorteilhaft, bestimmte Integrale anzuwenden. Die

Aufgabe, welche hierbei zu lösen ist, besteht also darin, dass man durch solch ein Integral die Summe einer bestimmten Reihe ausdrückt. Eine allgemeine Regel hierfür lässt sich nicht aufstellen; auch beschränken wir uns darauf, nur ein

Beispiel zur Erläuterung anzugeben. Wir wählen wieder die Gleichung:

1)

d²y 2n dy

dx²

— m²y - 0; x dx

sie besitzt, wie wir gesehen haben, ein Integral von der Form

2)

y = A₀ + Axx² + A₂x*-i-----VAkx2k-\----»

wobei die Koeffizienten A der Bedingung genügen:

3)

Setzt man

4)

₄    nr

*⁼ 2h(2n + 2h -T)

2n + 2h —l 9(h ~

y(h) =

2h —

Ajc—x.

so wird die Bedingung 3):

A\t

m²

Ak—i

cp (h) 2h (2h — 1) cp(h — 1)

und hieraus folgt:

Ak

Ao

m2k

cp (h)    (2ti)\ cp (0)

Da A₀ willkürlich ist, so wählen wir A₀=<p(0), also wird:

m2k

(2Wji.

Wenn nun n positiv ist, so wird der Gleichung 4) genügt, wenn man

Ak =

cp (h).

cp(h) — j'cos²*- o) sin2n—1 co dco

ö

setzt, wie man aus der teil weisen Integration erkennt; man kann demnach

m2k

(2 h)!

cos²*co sin2n—1 co da

setzen, und die Gleichung 2) ergiebt als Integral:

Vx =

■Ai+

m²x² cos² tu , mAx^ cos⁴ oo

1.2

1.2.3.4

-f • • •) sin²”⁻¹ 03 da

oder

71

Vx =

DO. h-⁴-

(ß

mx cos cd

+ e~

mx cos w

) sin²"⁻¹ 03 dco.

Um ein zweites Integral zu bekommen, kann man (§ 760) n in 1 — n verwandeln, und sodann mit x¹~2n multiplizieren: also wird:

7t

•-/

(ß

mx cos cd

+ e~

mx cos tu

) sin¹“²” 03 da.

Dies setzt aber voraus, dass n < 1 ist, denn sonst wird dieses Integral unendlich.

— u², so ist

769. Ist m² negativ, und setzen wir m² = das vollständige Integral der Gleichung

+ y²y = 0,

d²y 2 n dx² x

wenn n zwischen 0 und 1 enthalten ist, gleich:

y = C j'cos (yxcos 03) sin²"“¹ a da + C'x¹~2nJ cos (yx cos 03) sin¹“²” 03 da. b    0

Ist n — -g 1 so werden die beiden partikulären Integrale

in dieser Formel identisch; doch kann man leicht das allgemeine Integral, welches diesem Falle entspricht, erhalten, wenn man das Verfahren anwendet, dessen wir uns schon mehrmals bedient haben. Wir setzen 2w= 1 — Ä, so wird:

sin²”“¹ 03 = 1 — h log (sin 03) +

A²log² (sin 03)

1.2

(sin a)eh,

h² log² (x sin 03)

(x sin a)e'h;

(pc sin 03)¹“²” = 1 -f A log (x sin 03) -f-

0 und 0' sind W'erte zwischen 0 und 1. Trägt man diese Grössen in die obige Formel ein und ersetzt man dabei C -f C' durch C1} C’h durch C₂, lässt man endlich h null werden, so folgt:

1.2

y — Cx f cos (fix cos co) da 4 C₂ j'cos (fix cos w) log (x sin a)da,

6    ö

und dies ist das vollständige Integral der Gleichung:

d²y

dx²

+ — 4^- + == 0.

x dx

Dieses Resultat lässt sich auch leicht aus der Entwickelung im § 764 ableiten.

Über die Berechnung bestimmter Integrale vermittelst der Integration von Differentialgleichungen.

770. Die Aufgabe, um die es sich hier handelt, ist die Umkehr der vorigen. Enthält ein bestimmtet Integral einen variabelen Parameter, so kann man das Problem stellen, eine Differentialgleichung zu bilden, welcher dieses Integral genügt, und in welcher das Integral als die unbekannte Funktion eingeht. Lässt sich diese Gleichung nun auf anderem Wege integrieren, so kann man auf diese Weise den Wert des bestimmten Integrales berechnen. Wir wollen hierfür ein Beispiel geben.

Wir betrachten das bestimmte Integral:

i)

-J;

CO

cos ax

(1 4 a²)n +1

da

wobei der Exponent n 4 l als positiv vorausgesetzt ist. Die teilweise Integration ergiebt:

sin ax

cos ax

(14 a²)n+x

da

#(1 4 a²)n+1

2Q + i) r

x J (

sin ax

(1 4 a²)n+

-₂ a da,

also:

CO

f* cos ax

Ji 1 + «²)

o

71 -f- 1

da —

CO

2 (n -f 1) r x I i

sm ax

(1 4- a²y+²

a da

oder

2)

xy =

co

2(n -f 1) o

sin ax

fl -f a²)" + ²

a d a.

Differentiiert man diese Gleichung zweimal, so folgt:

3)

d²(x y)

dx²

CO

«*■+»/(rfSs

6

a³ da.

Damit dieses Integral einen bestimmten endlichen Wert hat, muss 2m+ 1 positiv sein. Demnach wird:

d²(xy)

CO

dx²

— xy = — 2(m

sm ax

(1 + a²)n+¹

a da.

Die Differentiation der Gleichung 1) ergiebt aber auch

5)

* dy

dx

CO

-fr

sin ax

(1 + a²)?l+¹

a da

und also ist nach den Gleichungen 4) und 5):

oder

d²(xy) dx²

dy

dx

d²y _ dx²

2n dy x dx y

= 0.

Dies ist die Differentialgleichung, welche wir in den vorigen Abschnitten behandelt haben. Wir können sie in endlicher Form integrieren, wenn n eine ganze Zahl ist; in diesem Falle kann man also auch das bestimmte Integral in expliciter geschlossener Form angeben.

Ist z. B. n = 0, so reduziert sich die Differentialgleich

ung auf:

d²y

und ihr vollständiges Integral ist:

y = Gex -f- C'e~r.

Es müssen nur noch die Konstanten C und C' bestimmt werden. Zunächst erhält man, wenn x positiv ist, 0=0;

denn das vorgelegte bestimmte Integral kann nicht mit x unbegrenzt wachsen. Ferner wird dieses Integral für x = 0 gleich

CO

da

1 + ß²

= also ist C'— und folglich:

CO

cos ax

1 4" a²

da =

e~x

für x > 0, wie wir bereits im § 496 gefunden haben.

Beispiel für die Berechnung einer unendlichen Reihe vermittelst Integration einer Differentialgleichung.

771. Die Summe einer unendlichen Reihe, deren Glieder von einer Yariabelen abhängen, lässt sich bisweilen dadurch bestimmen, dass man eine Differentialgleichung bildet, welcher die Reihensumme genügt, und dass man alsdann diese Gleichung in geschlossener Form zu integrieren sucht. Auf diese Weise kann man auch öfters zu einer Transformation der Reihe in eine andere gelangen, welche für die numerische Berechnung bequemer ist.

Als Beispiel behandeln wir die Aufgabe, die Summe der konvergenten Reihe:

x²

i)

1.3.5

+ (- 1)”

1.3.5...(4» + 1)

zu finden. Indem wir die Variabele x als reell und positiv annehmen, setzen wir

so wird

2){

1.3.5

1.3.5.7.9

4 n-f-1

+ (- 1)”

1.3.5 ... (4n

Serret, Differential- und Integral-Rechnung. Bd. II, 2

Differentiiert man diese Gleichung zweimal und multipliziert man das Resultat mit 4, so folgt:

³> -

ferner, indem man die Gleichungen 2) und 3) addiert:

_A

2 — #2 —

1.3.5.7.9

4)

+ !/ = — «

fcö! W

Diese Gleichung ist eine lineare mit konstanten Koeffizienten, und ihr vollständiges Integral wird nach den früheren Regeln:

⁵) ycos

to. &

C+

-JlX 2 COS

2.

fl

C'+ j x 2 sin ^dx .

Hieraus folgt:

dy

äx

tOI H-“-

t—i

Sill

6)

C 4 j x ² cos “ äx

cos

C'+J x 2 sin

Um die Konstanten C und C' zu bestimmen, nehmen wir x = 0 an und vergleichen die Gleichungen 5) und 6) mit der Gleichung 2) und der folgenden, die aus der Differentiation der Gleichung 2) hervorgeht:

7)

dy __ i äx 2

toj

£2

Die rechten Seiten der Gleichungen 2) und 7) verschwinden für x = 0; folglich muss das nämliche bei den Gleichungen 5) und 6) eintreten, also ist 0=0 und C'= 0. Setzt man also X]/x an Stelle von ?/, so hat man:

8) X yx =    cos

Li

/;

2 cos

fl? ₇ i

2^+2

X / i

sm ~2 f x ^ sin 0

äx.

oder

Da der Wert von x positiv angenommen ist, so ist (§ 516):

tsS: H

2/⁰

co

CO

-i-

a? ² =

² a ² da]

führt man diesen Wert auf der rechten Seite der Gleichung 8) ein, und vertauscht man zugleich die Reihenfolge der Integrationen, so wird:

GO

X/z =

ax

2/2 TT

COS

GO

2]/2tt Nun ist nach § 488:

• x r--j r~-8m2ja 2daJe 2 0 0

ax

•    £ J

sm dx.

/•

ax

cos

dx =

2e ²

4 «a;

l + «²

— a cos

x . x\ , 2a

2+ sm 2; +

/•-*

0

ax

sin

2e ²

1 + a²

— cos — — a sin +

j.

1 + «²’

also wird

X/z =

/2«

oo ₁

x C a 2 da

=■cos 2 J T+/²

o

1    . x

,= sm — /2ä ²

CO

² da

1 + a²

Die beiden Integrale:

* JL a² da

1 + a²

1/2ä*

0

GO

und

fa

J 1

co    ,    •,

*    -"r¹ OC X rr 7

e    ²    «2 rfß;

1 + a²

²da 1 -j- a

reduzieren sich auf

iß¹⁵¹

{‘‘‘-'dt _1    *

7t

sin ^ V*

J l+i 2

0

indem man a = z 2 in dem ersten und u = z2 in dem zweiten setzt: also ist:

9) X =

2]/a;

oder

/-*

10)

■j/jr

indem man

21/a;

Y271X (cos | + sin |) - F,

1 + u²

11)

J= fi

yvitxj

0

GO x ⁴ —~ a r

x

«2 du

1 + a²

einführt. Das Produkt Fj/2:ra; wird für a: == + co null; ist also der Wert von x sehr gross, so hat man nahezu:

12)

]/tc

2]/x

(cos | + sin I).

Es ist evident, dass für solche Werte von x die Anwendung der Gleichung 1) unpraktisch wäre. Wir können aber noch weiter gehen, indem wir F in eine Reihe entwickeln, welche für die Berechnung von X hei grossen Werten von x sehr bequem ist. Es ist:

= 1 — u² + a⁴ +----f (— l)”-¹«²”

1-f-er

—2

u2n

also:

CO

CO

_i

]/2 7t X

e 2 ~ oj2 da —

_i

e ²    «2 da + • • •

LO

CO

00

+ (-1)"“

td>—

ax

4« — 3

du + (—

1 )”/f

—- ax

4n-(-1

1 + a²

da

Integration durch Reihen oder bestimmte Integrale. Das letzte Integral kann durch

cc

r—\ax

je ² a

4« — 1

² da

dargestellt werden, wenn 6 eine Grösse zwischen 0 und 1 bezeichnet; ferner ist (§ 516):

CO

r—\ax

je .

0

4/ + 1

² da

also:

F=

13)

A_ ii ³„-

#² x⁴

+ e(-1)”

1.3.5 ... (4n — 1)

/£>2 Ti -J- 2

Lässt man n unbegrenzt wachsen, so erhält man eine divergente Reihe; da aber der Fehler, welchen man begeht, wenn man die Reihe bei einem Gliede abbricht, kleiner ist als der Wert des nächstfolgenden Gliedes, so ist die Reihe doch sehr dienlich zur Berechnung von V bei grossen Werten von x. Sie ist, wie man sieht, der Stirlingschen Reihe darin ähnlich. Ist z. B. #>10 000, so kann man den Wert von X mit sieben genauen Dezimalstellen vermittelst der angenäherten Formel 12) berechnen.

Man kann leicht beweisen, dass die Gleichung X = 0 eine unendliche Anzahl reeller Wurzeln besitzt, und dass die positiven Wurzeln, geordnet nach ihrer Grösse, sich immer weniger

CC    cc

von den entsprechenden Wurzeln der Gleichung cos + sin ^ = 0

Li    u

7t

unterscheiden, welche in der Formel x = (4i + 3) enthalten

sind. Doch überlassen wir es dem Leser, diese weiteren Folgerungen zu entwickeln.

Sechstes Kapitel.

Die partiellen und die totalen Differentialgleichungen.

Über partielle Differentialgleichungen, auf welche man die Integrationsmethoden der gewöhnlichen anwenden kann.

772. Eine partielle Differentialgleichung enthält zwei oder mehrere unabhängige Yariabele, eine oder mehrere unbekannte Funktionen dieser Yariabelen, sowie einige der partiellen Ableitungen dieser Funktionen. Bei den Aufgaben, welche auf solche Gleichungen führen, ist die Zahl der Gleichungen gewöhnlich gleich der Anzahl der unbekannten Funktionen. Die folgenden Entwickelungen beschränken sich auf den Fall einer einzigen Gleichung, welche nur eine unbekannte Funktion enthält.

Das Problem der Integration einer partiellen Differentialgleichung wird als gelöst betrachtet, wenn es gelungen ist, dasselbe auf die Integration eines Systemes von gewöhnlichen Differentialgleichungen zurückzuführen.

Die Reduktion ist von selbst gegeben, wenn die partiellen Ableitungen, welche in der Gleichung Vorkommen, sich nur auf eine einzige der Yariabelen beziehen. Denn in diesem Falle kann man, wie leicht ersichtlich, so Vorgehen, wie wenn eine jede der anderen Variabelen ein konstanter Parameter wäre; doch hat man die Konstanten, welche durch die Integrationen eingeführt werden, als willkürliche Funktionen dieser Yariabelen zu betrachten.

Nehmen wir z. B. die partielle Differentialgleichung:

in welcher z eine unbekannte Funktion der Variabelen x und y ist, und f, F gegebene Funktionen derselben bezeichnen. Wird die Yariabele y als Konstante behandelt, so ergiebt die Integration (§ 658):

z = e Xa

—//(*> y)d%

C+jF(x,y)

J'f(x,y)dx

ex°

clx .

Aber die Konstante C ist hier eine willkürliche Funktion von y\ schreibt man also <p(y) an Stelle von (7, so wird:

<p(y) +fF(x> y)

fflx, y)dx

eXa

dx

•To

773. In derselben Weise kann man auch bei gewissen Differentialgleichungen Vorgehen, welche die Ableitungen nach mehreren unabhängigen Variabelen enthalten. Wir betrachten als Beispiel die Gleichung:

dz

d²z

dxdy

a ist eine gegebene Konstante und f(x, y) eine gegebene stetige Funktion der Variabelen x, y. Setzt man:

dz

dx

so wird:

dp dy

und in dieser E^orm gehört sie zu der Klasse der Gleichungen, von welchen wir oben handelten. Integriert man dieselbe, wie wenn x eine Konstante wäre, und bezeichnet man mit X' die willkürliche Konstante, so erhält man:

y

p = X'e~av -f- ß~~a,J fea,Jf(x, y) dy.

<Jo

In dieser Gleichung muss man X' als eine willkürliche

“d Z

Funktion von x betrachten. Setzt man nun wieder — an Stelle von p, so ist:

dz

—— = Xfe-ay+ e~

dx

y

ayjeay f\x, y) dy.

y₀

Indem man nun diese Gleichung integriert und dabei mit Y die willkürliche Konstante, d. h. eine willkürliche Funktion von y, und mit X die willkürliche Funktion von a; "bezeichnet, deren Ableitung X' ist, so wird:

Z = r + Xe~ay+ e-

x y

ay fdxfieaJ f(x, y) dy.

Xq

Vo

tionen z₎ welche nebst ihren partiellen Ableitungen

Es ist evident, dass diese Formel die allgemeinste Lösung der vorgelegten Differentialgleichung liefert; d. h. alle Funket d*z dx⁷ dx dy

stetig sind und der Differentialgleichung genügen. Sie enthält zwei willkürliche Funktionen X, X, die erste ist unabhängig von y, die zweite unabhängig von x.

Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.

774. Wir werden später die Definition des allgemeinen Integrales einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung geben und nachweisen, dass die Bestimmung desselben immer auf die Integration eines Systemes von gewöhnlichen Differentialgleichungen zurückführbar ist, wie gross auch die Zahl der unabhängigen Variabelen sein mag. Hier werden wir uns mit dem besonderen Fall derjenigen partiellen Gleichungen erster Ordnung beschäftigen, in denen die Ableitungen nur im ersten Grade und nicht mit einander multipliziert Vorkommen.

Die linearen Gleichungen mit zwei unabhängigen Variabelen. Es seien x, y, z drei Variabele, von denen die letzte als Funktion der beiden anderen betrachtet wird; wir setzen:

dz = p dx + q dy,

womit ausgedrückt ist, dass p und q die partiellen Ableitungen von z in Bezug auf x und auf y darstellen.

Damit also die Gleichung 2) eine Lösung der Gleichung 1) ergiebt, ist notwendig und hinreichend, dass man eine identische Gleichung bekommt, wenn man p und q aus den Gleichungen 1) und 3) eliminiert. Um diese Elimination auszuführen, braucht man die Gleichungen 3) nur zu addier;n, nachdem man sie mit P und Q multipliziert hat; dann folgt, indem man die Gleichung 1) benutzt:

dv

dx

Die partielle Differentialgleichung, welche wir untersuchen, ist:

1) ■

Rp Qo. ⁼ P’i

P, Q, R bezeichnen hier gegebene Funktionen der drei Va-riabelen x, y, z.

Wir haben früher gesehen (§ 83), dass, wenn u und v gegebene Funktionen von x,y,z sind, eine partielle Differentialgleichung von derselben Form wie oben erhalten wird, wenn man die willkürliche Funktion cp der Gleichung

v = cp(u)

2)

aus den Gleichungen eliminiert, welche man durch Differentiation nach x und nach y hieraus ableitet. Infolge dessen untersuchen wir nun umgekehrt, ob man in allen Fällen der Gleichung 1) genügen kann, indem man für z eine Funktion wählt, wie sie durch die Gleichung 2) definiert ist, wobei cp eine willkürliche Funktion bezeichnet, u und v aber bestimmte Funktionen von x, y, £, deren Form von den Koeffizienten P, $, R abhängig ist.

Differentiiert man die Gleichung 2) nach x und nach y,

so folgt:

dv

dv

du

du

3)

dz

dx

dz

dv

du

du

dy

dz

dy

dz

du

dx

Diese Gleichung besteht, unabhängig von der Funktion cp, identisch, wenn bei allen Werten von x, y, z die Gleichungen gelten:

Nun haben wir im § 626 bewiesen, dass die beiden Integrale des simultanen Systemes:

5)

dx dy dz

~P ⁼ ~Q ⁼ ~B wenn man dieselben mit

6)

fej fei

03    <S3    03    03

^    <5 * ^    $

03 03    03 03

o ^ g

Cb) O)

~

fei

03    03

'S

u = const, v — const

bezeichnet, den Gleichungen 4) identisch genügen. Wählt man also für u und v in der Gleichung 2) die Funktionen, welche als Integrale des Systemes 5) bestimmt sind, so liefert diese Gleichung eine Lösung der partiellen Differentialgleichung, wie auch immer die Funktion cp angenommen wird.

775. Wir wollen nun noch beweisen, dass jede Lösung der Gleichung 1) in der Gleichung 2) enthalten ist. Nehmen wir an, dass die Gleichung 1) erfüllt ist durch eine Funktion z, die durch die Gleichung

F(x, y,z) = 0

definiert ist, so folgt aus dieser durch Differentiation:

dF

dF

dF

dF

und indem man diese Werte von p und q in die Differentialgleichung 1) einsetzt, muss unserer Annahme nach

3)

dF

dF

dF

dx

dy

dz

werden, bei allen Werten von x und y, wenn man für z seinen Wert aus der Gleichung 7) substituiert.

Die Grössen, welche wir mit u und v bezeichnet haben, sind aber gegebene Funktionen von x, y, z. Also kann man

Reduziert sich die linke Seite der Gleichung 7) nicht auf eine Funktion der Variabelen u und v allein, so werden

s) f

die Ableitungen —^-5 —— nicht identisch null: man kann dann Q dx dy    ’

= 0,

y, z als Funktionen von w, v, x, oder x, z als Funktionen von u, v, y betrachten. Es sei demnach:

F{x, y, z) = f(u, v, x) = £0, v, t/);

9)

dann ist:

und die Substitution dieser Werte in die Gleichung 8) er-giebt auf Grund der Gleichungen 4):

pdf- = 0.

dx

Desgleichen folgt aus der Formel 9):

'<S

aber auch nicht annehmen, dass eine der Gleichungen

O -f

= 0 auf Grund der Gleichung 7) f(it,v,x)= 0 oder

fi(u, Vj y) = 0 besteht; denn die Elimination von x oder -von y würde eine Endgleichung zwischen u und v ergeben, was zufolge der Unabhängigkeit der Funktionen u und v (§ 625, Zusatz) nicht möglich ist. Also müssten P und Q null werden vermittelst der Gleichung 7), und dies erfordert, dass auch P gleich null wird. Es ist also evident, dass, wenn P, Q, B gleichzeitig für eine Funktion z der Yariabelen x und y verschwinden, diese Funktion der Differentialgleichung genügt. Indem wir aber von diesen singulären Lösungen, die nur in besonderen Fällen auftreten, absehen, erkennen wir, dass die Gleichung 7) notwendig von der Form

0(u, v) = 0

ist, woraus man für v einen Wert

v = cp (v)

ableiten kann, der nur von u allein abhängt.

Das Problem, welches wir hier durch Zurückführung auf die Integration eines simultanen Systemes von zwei Gleichungen gelöst haben, lässt sich geometrisch folgendermassen interpretieren. Wie die Koordinaten x, y, z geometrisch einen Punkt im Raume darstellen, so wird durch die Grössen p, q, welche zu solch einem Wertsystem gehören, eine Ebene in dem betreffenden Punkt festgelegt, indem man derselben die Gleichung giebt: wobei rj, £ die laufenden Koordinaten bedeuten. Betrachten wir einen Punkt, mit einer durch ihn gelegten Ebene als ein Element, so giebt es co⁵ Elemente, entsprechend den fünf Grössen x, V > P, B Eine partielle Differentialgleichung

fix, y, z,p, q) = 0,

welche eine Relation zwischen diesen fünf Grössen darstellt, umfasst go⁴ Elemente, indem zu jedem Punkte des Raumes nur noch einfach unendlich viele Ebenen gehören. Ein Integral der Differentialgleichung ist jede Fläche z = F(oc,y), welche die Eigenschaft hat, dass jeder Flächenpunkt mit seiner Tangentenebene ein Element bildet, welches der Differentialgleichung angehört.

Ist nun insbesondere die Differentialgleichung eine lineare, also von der Form:

Pp + Qa = -ß,

und sind P, Q, B eindeutige Funktionen, so bilden die Ebenen, welche jedem Punkte des Raumes zugeordnet werden, ein lineares Ebenenbüschel. Denn haben sc, y, z bestimmte Werte, so ist für jede diesem Punkte zugeordnete Ebene

£ — z = p (g -- x) + q (tj — y)

B — Pp

die eine Koordinate q darstellbar durch Gleichung der Ebene wird:

> so dass die

Q(£ — e) = Qp(i — x) + (B — Pp) (y — y)i

dieselbe enthält in ihren Koeffizienten nur eine Variabele, welche in der ersten Potenz auftritt, und alle die Ebenen, die sich bei willkürlichen Werten von p ergeben, schneiden sich demnach längs der Geraden, deren Gleichungen sind:

Q(£ — e) =B{ri — y),    Q(£ — x) = P(rj — y).

Durch eine lineare partielle Differentialgleichung wird demnach jedem Punkte eine Richtung zugeordnet, welche man durch das simultane System

. _    _ ,    ^ ,    _ ,    , dx dy dz

Qdz=Rdy, Q dx = P dy oder —— = -7- = ^

P Q Jti

darstellen kann, wodurch ausgedrückt ist, dass der zum Punkt x, y, z benachbarte Punkt x + dx, y + dy, z + dz auf der vorgeschriebenen Richtung liegt.

Soll nun eine Fläche die Eigenschaft haben, dass ihre Punkte und Tangentenebenen Elemente bilden, welche den Differentialgleichungen genügen, d. h. soll sie ein Integral dieser Gleichung sein, so muss durch jeden Punkt der Fläche auch die zugeordnete Richtung hindurchgehen und in der Tangentenebene liegen. Die Richtungen, welche durch das simultane System dargestellt werden, bestimmen aber ein System von co² Kurven im Raum; dasselbe wird durch das vollständige Integral des simultanen Systemes geliefert, welches wir durch

u-C, v = C'

bezeichneten. Jede dieser Gleichungen liefert ein einfach unendliches Flächensystem, und jede Fläche des einen Systemes wird von jeder Fläche des anderen längs einer dieser Kurven geschnitten.

Weil nun jede Integralfläche in jedem ihrer Punkte zugleich die vorgeschriebene Fortschreitungsrichtung enthält, so enthält sie auch die ganze Kurve, welche von dieser Fortschreitungsrichtung bestimmt ist; das heisst, auf jeder Integralfläche liegen einfach unendlich viele Kurven; und umgekehrt jede Fläche, welche einfach unendlich viele Kurven enthält, ist eine Integralfläche. Einfach unendlich viele Kurven des Systemes u = C, v = C¹ erhält man, indem man zwischen den Konstanten C und C' eine willkürliche Relation annimmt, d. h. jede Integralfläche lässt sich in der Form

v — cp (u)

darstellen, und alle Flächen dieser Form sind Integrale.

Die Tangentenebenen, welche die verschiedenen Integralflächen in den Punkten einer auf ihnen gelegenen Kurve u — C, v = C besitzen, können von einander verschieden sein, da ja in jedem Punkte der Raumkurve noch einfach unendlich viele Ebenen, welche durch die Tangente hindurchgehen, vorhanden sind, mit anderen Worten: zwei Integralflächen können sich längs einer der Raumkurven schneiden, wie ja auch umgekehrt jeder Schnitt zweier Integralflächen eine Kurve des Systemes sein muss. Dagegen ist das Gesetz, nach welchem sich die Tangentenebenen längs einer Raumkurve auf einer Fläche ändern, vollkommen festgelegt, wenn man in einem Punkte der Raumkurve die Tangentenebene kennt, so

Innerhalb des Ebenenbüschels um die Tangente ist aber die Tangentenebene der Fläche durch den Wert

dcp dcp du ' dv

fixiert,

dass, wenn zwei Integralflächen in einem gemeinsamen Punkte dieselbe Tangentenebene haben, sie sich auch in allen Punkten der Kurve berühren. Denn ist cp(ii, v) = 0 die Gleichung einer Integralfläche, auf welcher die Kurve u — Ct, v = C₂ liegt, wobei unter Cx und C₂ zwei bestimmte Grössen verstanden sind, welche der Relation cp(Clf C₂) = 0 genügen, so ist die Tangentenebene der Fläche in den Punkten dieser Kurve durch die partiellen Ableitungen bestimmt:

dcp du du dx

dieselben bestimmen eine Ebene, welche in jedem Punkte der Kurve durch die Tangente derselben hindurchgeht, denn für diese

dcp dv

dcp du dcp dv du dy ~

dv dy ’

dcp du dcp dv du dz dv dz

ist:

du

du

dy

(v — y) +

du

dz

dv

dv

dx

($ — &) + ~r~(v — y) +

dv

dy

dz

(t — e) — 0.

welcher, da u und v in allen Punkten der Kurve die festen Werte C\ und C₂ haben, in allen Punkten der Kurve unverändert derselbe ist, so dass, wie wir sagten, die Tangentenebenen längs einer Kurve durch ein Anfangselement vollkommen bestimmt sind.

Will man dieses Gesetz der Tangentenebene direkt an der Differentialgleichung ei’kennen, so hat man folgendermassen zu verfahren: Die Gleichung

Pp +Qq = B

ist eine Identität, wenn man z als eine Integralfunktion von x und y betrachtet und p und q die Ableitungen von z sind. Also bleibt die Gleichung erhalten, wenn man sie partiell, sowohl nach x wie nach y differentiiert; es wird demnach:

CD

hä

ha

CD S CD

H hs

CD CD

CD

cd

CV>

(dP . dP\ dp (

J’l^+sto) ⁺ \ + 9V

dQ

dy

1-2-

dQ

dz

j 4- Q

dq

dB

dB

dy dy

Geht man in der Richtung einer Systemskurve weiter, so ist: dx : dy — P: Q,

ferner ist:

dp __ dq dy dx

mithin wird die erste Gleichung, indem man

dp

und also P —--b Q

dx

dq_ = pdp

dx

dx

dp

dp

dy

dx

Pp + Qg-R = f,

dP

dx

-p -f

dB

df

dx

dx dx

u. s. w.

setzt:

cf

df

VT" + P -TT + P

dp

dx

dz

dx

= 0,

und ebenso die zweite:

dq

dy

dz

dy

= 0.

Diese beiden Gleichungen bestimmen die totalen Änderungen, welche die Koordinaten p und q erfahren, wenn man längs einer Systemskurve fortschreitet; man erkennt aus denselben wiederum, dass jede Integralfläche nicht nur ein bestimmtes Gesetz für diese Änderung der Tangentenebene liefert, sondern dass dieselbe durch ein Anfangselement für alle Integralflächen festgelegt ist.

Giebt man dem simultanen Systeme

cf

^ e ^ /»    0 a

dq

dx: dy : dz — P: Q : R die Form dx: dy: dz = -r— : -7—:p -

dp dq    dp

so kann man das Gesetz der Fortschreitungsrichtung und der Tangentenebeue durch die Gleichungen:

a.

a_

isi

’CS

C:

au

CO CO

*CS

^D CO

'CS

CD CO

Col CO

Col CD

CD CD

CD CD

darstellen. Bezeichnet man eine Raumkurve dieses Systemes mit einer bestimmten, durch ein Anfangselement festgelegten Zuordnung ihrer Tangentenebenen als eine Charakteristik der partiellen Differentialgleichungen, so giebt es oo³ Charakteristiken, die durch das vollständige Integral dieser simultanen vier Differentialgleichungen unter Berücksichtigung der Gleichung f(x,y,z,p,q) — 0 erhalten werden Auf jeder Integralfläche sind einfach unendlich viele Charakteristiken zu einer Fläche vereinigt.

776. Lineare Gleichungen mit beliebig vielen Variabelen. Die vorstehende Entwickelung lässt sich auf alle partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung anwenden, welche in Bezug auf die Ableitungen linear sind, wie gross auch die Zahl der unabhängigen Variabelen sein mag. Dies wollen wir hier nachweisen.

Wir werden mit xlx x₂₎...xn die n unabhängigen Varia-belen bezeichnen, mit x die Hauptvariabele, d.h. die unbekannte Funktion der unabhängigen; ferner werden wir

clx = Pi ä%i -f- p₂ dx₂ + • • • 4- Pn dxn setzen, so dass die Grössen p die partiellen Ableitungen sind.

Die allgemeine Form der partiellen Differentialgleichungen, welche wir nun betrachten, ist:

1)

P\ Pi + P2P2 + • • • + PnPn = P ‘5 P₁₅P₂,...P,i und P sind gegebene Funktionen der n +1 Variabelen x, xu x₂, ...xn. Wir haben im § 83 gezeigt: sind w1? w₂,... un gegebene Funktionen der Variabelen x, xx, x₂₎.., xn und stellt eine willkürliche Funktion dar, so führt die Gleichung

2)

O (uu u₂, u?j,... un) = 0

zu einer partiellen Differentialgleichung von der Form 1), wenn man dieselbe partiell differentiiert, und die willkürliche Funktion eliminiert. Wir untersuchen nun umgekehrt, ob es möglich ist, wenn die Gleichung 1) gegeben ist, ihr durch eine Gleichung von der Form 2) Genüge zu leisten, indem die Funktionen w₂, ... un in geeigneter Weise bestimmt werden. Indem man die Gleichung 2) nach jeder der unabhängigen Variabelen differentiiert, erhält man das System:

dd> f du-i

dUi

dun

dux \ dxx

dx

dXy

+ Pl

dUa

dx

) = °>

3)

0® (PA duA du, \dx₂ ¹² dx /

dO /dun duA dUn \dX₂ ^P'² dx)~

dO / dun dun \dxn

(^L 4. n

, dux \dxn ln dx )

Damit die Gleichung 2) der gegebenen Differentialgleichung 1) genügt, ist notwendig und hinreichend, dass die Elimination der Ableitungen Pt, p₂, - • • Pn zwischen den Gleichungen 1) und 3) zu einer Identität führt. Diese Elimination lässt sich dadurch ausführen, dass man die Gleichungen 3) addiert, nachdem man sie zuvor mit P₁₅ P₂, ...Pn multipliziert hat,

+ Pn

C Un

dXn

0.

und dass man dabei die Gleichung 1) berücksichtigt; man findet so:

dO

dux

dux

dux

dx

n dxn

du₂

(■p

du₂

dx

+ Pi

du₂

dxx

dxn

0 ! sf

d un

dx

+ Pi

dun

dxl

+ * • ■ + Pn

dun

dXn

Diese Gleichung ist erfüllt, was auch die Funktion O sein mag, wenn die Identitäten bestehen:

' p dux    du,

dx ¹

du₁

dxl

⁺ "' + p"äs:"⁰’

du₂

du₂

4)

dxt

dun p

r dx + 1

dun '

dXy

+ "- + P„~ = 0

dxn

und wir wissen (§ 626), dass diese Gleichungen in der That gelten, wenn die Funktionen u1} w₂, ... un derart gewählt sind, dass die Gleichungen ux = const

u₂ = const, ... u„= const

die n Integrale sind des Systemes von simultanen Differentialgleichungen

dx dx, dx₉'

p ~ i\ ⁼

777. In der nämlichen Weise wie im § 775 kann man ferner zeigen, dass jede Lösung der Gleichung 1) in der Gleichung 2) enthalten sein muss; denn es sei:

F(x, xux₃j ... xn) = 0

solch eine Lösung, so erhält man durch Differentiation:

dF , dF «

entnimmt man hieraus die Werte von p₁₎ p2:... pn, und substituiert dieselben in die Gleichung 1), so folgt:

Serret, Differential - und Integral-Rechnung. Bd. II. 2.

5)

6)

dF

dxx

dxn

Pn

dF

17

7)

dF

+Pl

dF

+ --- + P

dF

= 0.

Nehmen wir nun an, dass man die Variabelen x, xxx x₂, ...x„ mit Ausnahme von x% als Funktion von uxx u2} ...un und x, dargestellt hat, und dass:

I (SC f Xx, X₂ , • • • Xn) = fi (hx, W'2 , • • •

ist, so wird:

dxx

, .    , dfi_ dUn

dun dx ’

dfi dux dux dx

dfi dux _____

dux dxx

dun dxx

dfj dun    df\

dun dXi    dXi ’

dF ₌ dfi_ dux

dxi—i

dF _ dfi dux dXi dux dXi

|    ^ ßfi ^ Un

d Un d X(—i

dF

df dux dux dxn

Indem man diese Werte in die Gleichung 7) einführt, und dieselbe vermittelst der Gleichungen 4) reduziert, folgt:

d Xn

df d Hu

d Hyi d X u

df

Pi    = 0.

dXi

so muss

Wenn also die Koeffizienten Px, P₂,...P„ und P nicht vermittelst der Gleichung 6) verschwinden

dxi

sein, und diese Gleichung muss, da zwischen den Funktionen uX) w₂,... u„ keine Relation besteht, identisch erfüllt sein. Hieraus folgt, dass die Gleichung 6) in der That die Form 2) hat.

778. Die vorstehende Methode führt zu der allgemeinsten Lösung der vorgelegten Gleichung und wir können sie daher das allgemeine Integral derselben nennen. Das Resultat unserer Untersuchungen lässt sich in dem folgenden Satz zusammenfassen :

Lehrsatz. Es seien x, x₁₇ ... xn die n -{-1 Variabelen, von denen die erste eine Funktion der anderen ist;

Pi dxj + p₂ dx₂ H----+ pndxn

P] Pl “f" P2P2+    + PnPn= P

zu erhalten, genügt es, das simultane System der gewöhnlichen Differentialgleichungen

sei das totale Differential dx von x, endlich P, P₁₇ P₂, ... Pn gegebene Funktionen der n + 1 Variabelen. Um das allgemeine Integral der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

dxn

dx dx:

Pn

P    ⁼

zu integrieren. Bezeichnet man mit

u₁ =« const, u₂ = const, ... un = const

die Integrale dieser Gleichungen, dieselben aufgelöst nach den willkürlichen Konstanten, so ist das allgemeine Integral der partiellen Differentialgleichung:

°(Vi, u₂,... lh0 = 0, wobei O eine willkürliche Funktion bedeutet.

Bemerkung. Die im Zusatz zu § 775 gegebenen Erörterungen lassen sich auch auf den allgemeinen Fall übertragen, wenn man in einer Mannigfaltigkeit von n + 1 Dimensionen die entsprechenden geometrischen Formulierungen wie im dreidimensionalen Gebiete anwendet.

Die willkürliche Funktion ist bei gegebenen Problemen aus besonderen Bedingungen zu bestimmen. Man kann z. B. als Bedingung stellen, dass x sich auf eine gegebene Funktion von a^, #₂,...;zn_i reduzieren soll, wenn man der Variabelen xn einen bestimmten Wert £„ beilegt. Denn es ist leicht zu sehen, wie sieb die Funktion <1 stets so bestimmen lässt, dass diese Bedingung erfüllt wird. Bezeichnet nämlich £n einen bestimmten Wert und f die gegebene Funktion, so werden, indem man

X inj

x = f(xu xa,...xn-i)

x-y, x%,.. • xn—i«

annimmt, uu w₂, .. . un Funktionen der n — 1 Variabelen Es sei also:

17 *

Wj    j ^-'2 5 • • • ^ ¹¹ — 1 ) }

^2 ^ ^2 0*17 *^2 ) • • • *£«— l)j

U» tfn (x^ , ^2) • • •    —1)'5

dann ergiebt die Elimination von #₂, ...    1 zwischen

diesen Gleichungen ein Resultat von der Form

w₂j •••*♦*) = o,

und es ist evident, dass die geforderte Bedingung erfüllt ist, wenn man für & die Funktion W wählt.

Anwendungen der Integration linearer partieller Differentialgleichungen.

779. Erstes Beispiel. Man soll die Gleichung der Cylinder-flächen aus der partiellen Differentialgleichung für diese Flächen ableiten.

Werden die geradlinigen Koordinaten im Raum mit y, z bezeichnet, und wird wie gewöhnlich dz = p dx + qdy gesetzt, so liefert die Bedingung, dass die Tangentenebene parallel zu einer festen Geraden ist, die partielle Differentialgleichung der Cylinder (§ 648):

i)

ap -j- bq = 1,

wobei a und b gegebene Konstanten sind. Diese Gleichung ist zu integrieren.

Zu dem Zwecke bilden wir das simultane System

dx_dy    dz

b    1

oder

dx — adz = 0, dy — b dz = 0. Die Integrale dieser Gleichungen sind:

x — az = const, y — bz = const

und folglich ist das allgemeine Integral der partiellen Differentialgleichung

Will man die willkürliche Funktion durch die Bedingung bestimmen, dass die Cylinderfläche durch eine gegebene Kurve geht, deren Gleichungen

3)

<p(x,y,z) = 0, i>(x, y, z) ■= 0

sind, so setze man

x — az = u, y — bz = v.

Alsdann lassen sich die Gleichungen 3) folgendermassen schreiben:

cp (u + az, v + bz, z) = 0, jp(u -f az, v + bz, z) = 0. Eliminiert man aus denselben z, so bekommt man eine Gleichung von der Form:

*F(w, v) = 0 oder *F(x — az, y — bz) = 0, folglich muss man für 0 die Funktion W wählen.

Nehmen wir zweitens an, dass die Funktion 0 durch die Bedingung zu bestimmen ist, dass der Cylinder einer gegebenen Fläche

cp (x, y,e) = 0

umschrieben sei.

Alsdann genügt es, die Berührungskurve zwischen dieser Fläche und dem Cylinder zu ermitteln; denn ist diese Kurve bekannt, so hat man die Bedingungen des vorigen Falles. Wir bilden die Gleichungen der Tangentenebenen im Punkte (x, y, z) an die gegebene Fläche und an den Cylinder, nämlich:

dcp

+ (»- ^-ff-+ « - *) ff - °>

£ - s = v (I - *0 + q (v - y)-

Da die Tangentenebenen zusammenfallen, so ist

= 0,

dx dz    dy dz

und wegen der Gleichung 1) wird:

,**+*** + »*_ o.

dx dy dz

Diese Gleichung bestimmt zusammen mit der Flächengleichung die gemeinsame Berührungskurve; man gewinnt alsdann die Lösung ebenso wie vorhin.

Die Differentialgleichungen der Charakteristiken werden für die vorliegende partielle Differentialgleichung:

dx : dy : dz : dp : dq — a : b : 1: 0 : 0,

d. h. für dieselben ist dp = 0 und dq = 0, also p = C, q = C'. wobei die Konstanten C und C' der Relation genügen aC -f- bC' = 1-Es bildet also eine Erzeugende des Cylinders zusammen mit einer festen durch dieselbe gehenden Ebene eine Charakteristik. In der That ist für jede Cylinderfläche die Tangentenebene längs einer Erzeugenden invariant.

780. Zweites Beispiel. Man soll die Gleichung der Kegelflächen aus ihrer partiellen Differentialgleichung ableiten.

Die partielle Differentialgleichung der Kegelflächen wird erhalten (§ 349), indem man die Bedingung ausdrückt, dass jede Tangentenebene durch einen festen Punkt hindurchgeht, welcher der Scheitel der Fläche ist. In geradlinigen Koordinaten wird also diese Gleichung

p(x - x₀) -f q(y - 2/₀) = * - *o;

wobei x₀, yQ, die Koordinaten des Scheitels sind.

Um sie

zu integrieren, hat man die Integrale der simultanen Gleich

ungen

dx

dy

dz

x — x₀

zu bestimmen. Dieselben sind

y-y o

z-z₀

l(x — xf) — l(z — z₀) == const, l(y — y₀) — l(z — zf) = const, oder

x — x₀

z- z₀

= const

y - Vo

z-z₀

= const.

Hieraus folgt, dass das allgemeine Integral der partiellen Differentialgleichung

. (x

0 (-\z

- ^₀₎ y -y₀

— Z₀ ⁵

ist. Man muss in derselben Weise wie vorhin verfahren, wenn man die Funktion aus den Bedingungen bestimmen will, dass der Kegel durch eine gegebene Kurve geht oder einer gegebenen Fläche umschrieben ist.

Die Differentialgleichungen der Charakteristiken sind hier:

dx : dy : dz : dp : dq = x — xQ: y — y₀: z — z₀: 0 : 0;

sie drücken wiederum aus, dass längs einer Erzeugenden die Tangentenebene einer Fläche ungeändert bleibt.

781. Drittes Beispiel. Die Gleichung der Konoidflächen aus ihrer partiellen Differentialgleichung zu bestimmen.

Die partielle Differentialgleichung wird erhalten (§ 350), indem man die Bedingung darstellt, dass die Tangentenebene in jedem Punkte die Erzeugende enthält, welche durch denselben hindurchgeht. Diese Gleichung wird, in geradlinigen Koordinaten:

px + qy = 0,

wenn man die Leitgerade zur z-Axe und die Leitebene zur

dx dy dz

xy-Ebene wählt. Man hat also die Integrale des simultanen Systemes

<>

zu bestimmen; dieselben sind:

— — const

z = const,

und folglich ist

die Gleichung der Konoidflächen, wobei cp eine willkürliche Funktion ist.

also ist

Die Charakteristiken haben dem Systeme zu genügen: dx : dy : dz : dp : dy = x : y : 0 : — p : — q

dp

E«j

q

oder — = const.

Aus der partiellen Differentialgleichung folgt

y

und da für eine Erzeugende — = C, d. h. konstant ist, so ist

cc

- = const

o

das Gesetz, nach welchem sich die Tangentenebenen einer Fläche längs einer Erzeugenden ändern.

782. Viertes Beispiel. Die Gleichung der Rotationsflächen mit gegebener Axe aus ihrer partiellen Differentialgleichung zu finden.

Die partielle Differentialgleichung ist

py -qx = 0,

die Bedingung ausdrückt,

man

wenn man annimmt, dass die Koordinaten rechtwinklig sind, und dass die #-Axe mit der Rotationsaxe zusammenfällt; man erhält dieselbe (§ 351), indem dass die Normale die Axe schneidet. Hier muss man die simultanen Gleichungen

oder

dx dy dz y — x 0

x dx 4- y dy = 0, dz = 0 integrieren. Die Integrale sind

ic² + 2/² = const, z = const;

x²+y²=cp(z), wenn cp eine willkürliche Funktion bezeichnet.

also ist das allgemeine Integral der partiellen Differentialgleichung

also ist:

Die Charakteristiken werden dargestellt durch:

dx : dy : dz : dp : dq — y : — x : 0 : q : — p,

dx y dp q

und

dy

= C2t und zufolge der partiellen Dif-

folglich wird - = C\ und

x

ferentialgleichung ist C\ = C₂. Die erzeugenden Kurven werden hier von den zweifach unendlich vielen Kreisen gebildet, deren Ebene der xy-Ebene parallel ist, und deren Mittelpunkt auf der Ä-Axe liegt. In den Punkten solch einer Erzeugenden ändern sich die Tangentenebenen einer Fläche so, dass konstant bleibt. Dadurch ist ausgedrückt, dass die Ebene in ihrem Berührungspunkte die Tangente des Kreises enthält und die Rota-tionsaxe in einem festen Punkte schneidet, für welchen

£ = z — px — qy — z C\ (x² -f y²)

ist.

783. Fünftes Beispiel. Man soll die partielle Differentialgleichung

1)

H !^S

z = px + qy + f(x, y) integrieren, wobei f(x, y) eine gegebene Funktion bezeichnet.

Das System der gewöhnlichen Gleichungen, welches man hier zu bilden hat, ist

oder:

2)

3)

dx dy

dy dx dz

./•

dz

V    e~ f(x, V)

_ f i f(xi y)

X    X

dx

= 0.

Aus der ersten folgt l(y) = l(x) -f- const, oder y = Gx.

Trägt man diesen Wert von y in die zweite Gleichung ein, so folgt:

dz

fix, Gx)

dx

= 0.

Diese Gleichung ist eine lineare, und ihr Integral wird:

4)

z — C'x —

/ /fo, Cx)

dx}

x₀

wenn C' eine neue Konstante und irgend einen Anfangswert von x bezeichnet. Nun muss man die beiden Integrale 3) und 4) nach den Konstanten G und C' auf lösen, und zwischen diesen Werten eine willkürliche Relation einführen. Zu dem Zwecke ersetzen wir die Variabele x unter dem Integrale durch ein anderes Zeichen g: es wird also:

0 = C'x —

dl

x₀

oder, indem man für C seinen Wert aus der Gleichung 3) substituiert:    x

5)

/>(«.*)

*J—r~

ÄS.

37₀

Sonach sind aus den Gleichungen 3) und 5) die Werte von C und C' zu entnehmen, und in die Gleichung

C' = <p(C)

einzusetzen, wobei cp eine willkürliche Funktion bedeutet. Man erhält folglich:

Ö    X

6)

7)

0 — xcp

X₀

Dies ist das allgemeine Integral der partiellen Differentialgleichung 1). Nehmen wir an, dass die Funktion f(x,y) gleich ist:

axy

]/a²-f x² ya¹ + y2 wobei a eine gegebene Konstante bezeichnet; dann lautet die Differentialgleichung:

axy

y'a² -f x² j/ö² 4- y*

und nach der Formel 7) ist ihr allgemeines Integral, indem man x₀ = 0 wählt:

0 =px -f qy +

0 = xcp

- ay

r d%

y /—    /-=

J ya² £² ]/ a² +

#²

oder, wenn man x > 0 annimmt, und unter dem Integrale | = ccx, dt, = xda setzt:

0 = xcp

— axy

da

y a² +    ß² ya² -f- ?/² a²

Über totale Differentialgleichungen mit zwei

i

unabhängigen Variabelen.

784. Bevor wir die Untersuchung der partiellen Differentialgleichungen fortsetzen, müssen wir von den totalen Differentialgleichungen handeln. Wir beschränken uns dabei auf den Fall dreier Variabelen x, y, z, von denen die eine als Funktion der beiden anderen angesehen wird; die Gleichung, welche wir zu untersuchen haben, ist:

1)

Pdx + Q dy + B dz = 0

dy

P, Q, B sind gegebene Funktionen von x, ?/, z. Es handelt sich nun darum festzustellen, ob eine, Funktion z von x und y existiert, welche die Gleichung 1) befriedigt, und diese Funktion, falls sie existiert, zu bestimmen. Eine Funktion z = f(x, y) genügt der Differentialgleichung dann, wenn ihr totales Differential dz = ^~dx + ~ dy bei jedem Werte der unab-

hängigen Variabelen identisch ist mit dem totalen Differentiale dz =

Q

- dx —

dy. Dies erfordert also, dass unter der Bedingung z — f(x,y) die Gleichungen bestehen:

Zf

P df

dx B

dy

Bezeichnet man die partiellen Ableitungen der gesuchten Funktion z mit p und q, so kann man diese Gleichungen auch schreiben:

2)

pjrB₁> = 0, Q+Rq = 0.

Also müssen wir durch die nämliche Funktion z zwei partielle Differentialgleichungen zugleich befriedigen, und dieses ist nicht anders möglich, als wenn zwischen den beiden Gleichungen eine Beziehung besteht. In der That, dif-ferentiiert man die erste der Gleichungen 2) nach y, die andere nach x, so folgt:

dR

dR

dp

ft)'+ R

hp^)+It

Substrahiert man diese Gleichungen von einander, und

beachtet, dass ~ = ~ ist, so folgt:

dx

dij

dy

= 0,

dR

dx

ii-0.

dx

dy

dR cQ dy dx

dR dQ dy dz

oder, indem man p und q vermittelst der Gleichungen 2) eliminiert:

(■

■M-

dP dR

dz dx

= o,

dQ dR

dz

dy

) + «(-

dRL_dP_ dx dz

= 0.

Diese Gleichung muss vermittelst der Funktion f(x,y,z) = 0 befriedigt sein, falls diese Funktion ein Integral der totalen Differentialgleichung 1) sein soll. Verlangen wir aber weiter, dass die Differentialgleichung 1) ein Flächensystem als Integral besitzt, welches wir in der Form f(x, y, z) = const annehmen können, so muss die Gleichung 3) bei allen Werten von X, y und z gelten, d. h. sie muss identisch erfüllt sein. Diese Bedingung zwischen den Funktionen P, Q, R ist eine notwendige, damit die Gleichung 1) integrabel ist. Wir können aber ferner beweisen, dass sie auch hinreichend ist; dies wollen wir nun thun, indem wir direkt auf die Bestimmung der Lösungen eingehen, welche die Gleichung 1) zulassen kann.

785. Wir bezeichnen mit g einen Faktor, mittels dessen der Ausdruck Q dy + R dz ein exaktes Differential einer Funktion u der Variabelen y und z wird; dieser Faktor g und die Funktion u werden im allgemeinen noch von der Grösse x abhängen, welche zunächst als ein Parameter betrachtet wird. Wir setzen also:

4)

du

und schreiben ferner:

*q~w

gR =

du

dz;

du

X bezeichnet dabei eine bestimmte Funktion von x, y, z. Die Gleichung 1), multipliziert mit y, wird nun:

oder:

6)

(ür + x)dx +

du

dy

dy +

du

dz

dz = 0

du -f X dx = 0.

Da u eine Funktion von x, y, z ist, so kann man z als Funktion von x, y, u betrachten, und also wird auch X eine Funktion der nämlichen Yariabelen. Da nun aber die Differentiale du, dx allein in der Gleichung 6) Vorkommen, so hängt u einzig und allein von x ab. Damit also das Problem der Integration möglich ist, darf die Funktion X nicht die Variabele y enthalten, muss vielmehr nur eine Funktion von u und x sein. Ist diese Bedingung erfüllt, so existiert ein Faktor, abhängig von x und u, welcher die linke Seite der Gleichung 6) zu einem exakten Differential macht. Bezeichnet man solch einen Faktor mit

so ist evident, dass

A ein Integrabilitätsfaktor der ursprünglichen Gleichung ist.

Wonach hat man den Satz:

Ist die Gleichung Pdx-j- Q dy + R dz = 0 integrabel, d. h. genügt derselben eine Funktion f(x, y, z) = C, wobei C eine willkürliche Konstante bedeutet, so existiert ein Faktor A, so dass A(Pdx + Qdy -f- Rdz) ein exaktes Differential dU ist. Die Gleichung wird also erfüllt, wenn man U = C setzt, wobei C eine willkürliche Konstante bedeutet.

786. Kehren wir nun zur Bedingung dieser Integrabilität

dX

zurück; sie ist ausgedrückt durch die Gleichung —— = 0,

dy

wenn man z als eine Funktion von x, y, u betrachtet. Wird aber X dargestellt vermittelst x, y, z, so wird dieselbe:

— ₌ o-dy. dz dy ’

muss dabei aus der Gleichung entnommen

werden, welche u als Funktion von x, y, z definiert, und folglich erhält man:

der Wert von

dz

dy

so wird unsere Bedingung:

<o;>

eliminiert man also

du

dy

du dz _ dz dy ’

du dX du dX dz dy dy dz

Andererseits ist nach den Formeln 4) und 5):

dX _ d(fiP)    d²u    d((iP)    8(fiQ)

dy    dy    dxdy    dy

dX    d(yP)    d²u    d(yP)    d(yR)

dz dxdz dz

werden diese Werte, und ebenso die Werte von

dx

dz

dx

du du dy' dz*

welche aus der Formel 4) hervorgehen, in die Bedingungsgleichung 7) substituiert, so wird dieselbe:

d(yR) d(yP)~

d(yP) d (pQ)~

dx

dz

dy

dx

= 0.

Addiert man hierzu die Identität:

yP

d (yQ) d(yR)

dz

dy J

welche aus der Gleichung 4) folgt, so erhält man nach Ausführung der Differentiation und nach Beseitigung des Faktor ja:

dR

dy

■) + «(■

dR dP' dx dz

)+B(

dP dQ'

dy

dx

)-°>

und dies ist die im § 784 erhaltene Bedingung.

Man sieht, dass, wenn dieselbe erfüllt ist, die Grösse Xr welche in der Gleichung 6) auftritt, eine Funktion der Varia-belen x und u wird. Demnach wird diese Gleichung 6), welche nur eine Transformation der ursprünglichen ist, eine gewöhn

liche Differentialgleichung, deren allgemeines Integral in der Form

u=c

darstellbar ist, wobei C eine willkürliche Konstante und U eine Funktion von x und u, d. h. von X, y, z bedeutet.

Die vorstehende Untersuchung lehrt also, dass die Bedingungsgleichung 8) notwendig und hinreichend ist; sie giebt

zugleich den Weg an, auf welchem das Integral existiert, zu bestimmen ist..

wenn es

Die Differentialgleichung Pdx -f- Q dy -f- B dz = 0 ist von Herrn Voss (Math. Annal. Bd. 16 u. 23) geometrisch interpretiert worden. Durch dieselbe wird jedem Punkt des Raumes ein Strahlbüschel von Fortschreitungsrichtungen zugeordnet, welche in einer durch den Punkt gehenden Ebene

P(S - *) + Q(v - V) +    - e) = 0

gelegen sind; sonach erhält man ein Punkt-Ebenensystem allgemeinster Art, das im besonderen den Charakter der Zuordnung annehmen kann, welche durch ein Flächensystem zwischen den Punkten der Flächen und ihren Tangentenebenen erzeugt wird.

Hier soll nur kurz angegeben werden, in welcher Weise sich der Inhalt der Integrabilitätsbedingung ausdrücken lässt. Geht man von einem Punkte (x,y,z) in einer bestimmten, der zugeordneten Ebene angehörigen Richtung dxx, dxy, dxz fort, so entspricht diesem neuen Punkte die Ebene

und es ist

(P + dxP) (£-x-dxx) + (Q + dx Q) (r\ — yx—dxy) + (R + dxB) (£-zx-dxz) = 0, Pdxx + Q dxy + Bdxz = 0.

Die beiden Ebenen schneiden sich längs einer Richtung, welche durch die Gleichungen

d₂x : d₂y : d₂z = Q dxR — RdxQ : BdxP — PdxB : PdxQ — QdxP

bestimmt ist, vermöge deren zwischen den beiden Richtungen dx und d₂ eine projektive Beziehung stattfindet, deren Doppelelemente durch die Gleichungen

q dx — Q dB — BdQ, q dy ==■ B dP — PdB, q dz = PdQ — Q dP

oder durch die quadratische Gleichung für p:

p²- qG - H= 0

bestimmt sind, in welcher

G - P(Q. - Ry) + Q(RX— Pz) + B(Py- Qm),

Px Py Pz P

Qx Qy Qz Q

Bx Ry Bz R ’

wenn zur Abkürzung

P Q B 0 dP n

dx

= Px u. s. w. gesetzt wird.

Die projektive Beziehung ist im allgemeinen keine involu-torische; sie wird dieses nur dann, wenn in der quadratischen Gleichung Gr = 0 ist; dann ordnen sich die benachbarten Ebenen genau so, wie die einem Flächenpunkte benachbarten Tangentialebenen, d. h. je zwei Richtungen dx und d.₂ sind einander wechselseitig konjugiert, und die beiden sich selbst entsprechenden Richtungen sind die der Haupttangenten (§ 317). Ist die Gleichung Cr = 0 identisch erfüllt, so gruppieren sich die Flächenelemente zu einfach unendlich vielen Flächen eines Systemes, dem Integrale der Differentialgleichung.

787. Der Fall, dass P, Q, R homogen© Funktionen von gleichem Grade sind. — Wir nehmen an, dass die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, und setzen:

x = x'z, y = y'z,

P=P'zn,    R = Rl zn,

P\ Q\ R' sind Funktionen von x' und y'. Die vorgelegte Differentialgleichung, dividiert durch zn+¹, wird dann:

(P'dx' + Q'dy') + (PV + Q'y' + R') ~ = 0

oder:

= 0.

dz P dx' -j- Q'dy'

P'x'+Q'y'+R

Das zweite Glied in dieser Gleichung hängt nur von den Variabelen x' und y' ab und muss, auf Grund der Bedingungsgleichung, ein exaktes Differential sein.

Als Beispiel behandeln wir die Gleichung:

(y² + yz + z²) dx -f (x² -f- xz + z²) dy + (x² + xy + y²) dz = 0.

Hier ist:

0.

P' = y'² + y' + 1, Q'= x'²x'+ 1, R'= x'² + x'y'+ y'², und die gegebene Gleichung bekommt die Form: dz , (y'² + y' + 1) dx' + {x'² + x' + 1) dy'

OY + x' + y') (x¹ + y' + lj Nun wird durch Zerlegung in Partialbrüche:

y'²+ </' + !

_____ y’ +1_____ ^

x’ + 1

{x'y' -j- x' + y') (x' + y' + 1) x'y' + x' -f- y' x'+y' + l’ X* ² -f- x¹ -J- 1

{x'y¹ + x' + y') (x' + y' + 1) x'y' + x' + y' x' + y' + 1 ’ so dass unsere Gleichung in der Form darstellbar ist:

d{x'y' + x' -f y') d(x¹ 4- y' + 1) _ x'y' + x'+y’ x' + y' + l ~

Jedes dieser Glieder ist ein exaktes Differential; die Integration ergiebt, wenn man mit a eine willkürliche Konstante bezeichnet:

dz

--h

0.

also:

Iz -f i (x'y¹ 4-    4- y') — l{x' + y' -f 1) = la

g = «Qg' + y' + i)

x'y' + x' + y'

oder, wenn man

an Stelle von x’ und y' einführt:

xy + xz + zy = «(x + y -f $)•

Definition des allgemeinen Integrales einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. Die vollständigen

Integrale.

788. Die Variabele x werde als Funktion der n Yariabelen xx, x₂, ... betrachtet und

dx = px dxx H- p₂ rfa?₂ H-----h pn dxn

gesetzt. Jede Gleichung von der Form

F(x, xX) x₂,... a;n, px,p₂, ...pn) = 0

ist alsdann eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung. Wenn man x als Funktion von xx, x₂₁ ... xn so bestimmt hat, dass diese Funktion der vorgelegten Gleichung genügt und sich auf eine willkürliche Funktion | von xx, x2J... xn-i reduziert, wenn man der einen Yariabelen xn einen bestimmten, willkürlich gewählten Wert |n beilegt, so heisst die Gleichung, welche diesen Wert von x definiert, das allgemeine Integral der vorgelegten Differentialgleichung.

Die vorgelegte Gleichung, sowie diejenigen, welche man aus derselben durch successive Differentiationen ableitet, be-

k    *    ⁷

stimmen die Werte von x und seiner Ableitungen verschiedener Ordnung in Bezug auf xn als Funktionen von #, xx, x₂,...xn und der Ableitungen von x in Bezug auf xx, x₂,...xn — i.

18

Serret, Differential- und Integral-Rechnung. Bd.II. 2.

Hieraus erkennt man leicht, dass das allgemeine Integral, wenn es existiert, auch ein eindeutig bestimmtes ist.

Die Existenz des allgemeinen Integrales ist vorhin für die partiellen Gleichungen, welche linear in Bezug auf die Ableitungen sind, bewiesen worden, und wird nachher für alle partiellen Gleichungen erster Ordnung vermittelst der Methode bewiesen werden, welche zugleich zur Bestimmung des Integrales dient.

789. Lagrange hat als vollständiges Integral einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit n unabhängigen Variabelen jede Funktion der n Variabelen bezeichnet, welche der Differentialgleichung genügt und n willkürliche Konstanten enthält. Es sei

1)

F(x, xu x2}... xn, plip₂,... Pn) = 0

eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung mit den 7t unabhängigen Variabelen xt} x₂, ... xn, und

2)

f' (x, xj, X₂,.. ■ xn, a^, a₂,... a^) — 0

ein vollständiges Integral derselben. Differentiiert man diese Gleichung successive nach jeder der unabhängigen Variabelen. so wird:

Cf

cf

Cf

~⁰’

Zf

Zf

‘ 8 a;

= o.

Die Gleichung 1) muss identisch, d. h. bei allen Werten

wenn man in

von x₁₎ x₂, ... xn und a1? a₂, ... a„ erfüllt sein derselben x und p1} p₂, ...pn durch ihre Werte ersetzt, welche aus den Gleichungen 2) und 3) hervorgehen; also muss man die Gleichung 1) reproduzieren, wenn man die n willkürlichen Konstanten «₂, ...an ans den Gleichungen 2) und 3) eliminiert.

Da das allgemeine Integral der Gleichung 1) eine willkürliche Funktion von n — 1 Variabelen enthält, so ist evident, dass man aus derselben unendlich viele vollständige Integrale ableiten kann. Aber besonders bemerkenswert ist, dass man aus einem vollständigen Integrale eine Lösung ableiten kann, welche eine willkürliche Funktion von n — 1 Variabelen ent-

4)

Zf

dxx

hält und im allgemeinen mit dem allgemeinen Integrale zusammenfällt.

Zum Beweise dieses wichtigen Satzes betrachten wir die willkürliche Konstante aH der Gleichung 2) als eine willkürliche Funktion cp (an a₂, • • ■ an—i) der n— 1 übrigen Konstanten. Die Gleichung 2), welche die Gleichung 1) befriedigt unter der Annahme, dass die willkürlichen Grössen konstant sind, verliert diese Eigenschaft nicht, auch wenn man dieselben als variabel betrachtet, falls nur die Gleichungen 3) dabei bestehen bleiben.

Wir bilden das totale Differential der Gleichung 2), indem wir die willkürlichen Grössen als variabel ansehen und dabei annehmen, dass an durch seinen Wert

ö/t ⁼⁼ (p (öj 5 ^2 ) ' • ' ^n — l)

ersetzt ist; wir schreiben dabei auch

Pt dxi + p₂ dx₂ + • • • + pn dxn

an Stelle von dx, so wird

7+Pl

Zf

K)^"+

df

Zf

dax

dan —1 = 0.

d an— x

Es ist evident, dass man hieraus die Gleichungen 3) gewinnt, wenn die willkürlichen Grössen an a₂, ... a„_i durch die Gleichungen

5)

df

df

dax    da₂

df

d a^i—i

definiert werden.

Könnte man die Grössen ax, a₂, ... an—\ zwischen den Gleichungen 2), 4), 5) eliminieren, so erhielte man eine Gleich-weiche eine willkürliche Funktion von n — 1 Grössen

ung>

enthält und der ursprünglichen Differentialgleichung genügt. Diese Elimination aber ist allgemein nicht möglich wegen der willkürlichen Funktion cp, die in die Gleichung 2) eingeht und deren partielle Ableitungen in den Gleichungen 5) auf-treten; man muss also das System der Gleichungen 2) und 5) zusammen mit der Gleichung 4) beibehalten; dasselbe definiert in ausreichender Weise das allgemeine Integral.

18*

Man erkennt demnach, dass jede partielle Differentialgleichung umgekehrt aus der Elimination einer willkürlichen Funktion resultiert gemäss der im § 87 entwickelten Methode. Dies setzt indessen voraus, dass die Existenz des allgemeinen Integrales bewiesen ist.

790. Die vorstehenden Bemerkungen beziehen sich auf alle partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Wir haben aber im § 778 gesehen, dass bei den linearen Gleichungen sich das allgemeine Integral in einer besonderen Form darstellen lässt, die nur für diese Art von Gleichungen Geltung hat. Dieses Integral muss also mit demjenigen übereinstimmen, welches man aus einem vollständigen Integrale ableitet. Wir wollen dies an einem Beispiel nachweisen.

Wir betrachten die Gleichung

»    qy,

welche in Bezug auf die Ableitungen linear ist; z ist eine

unbekannte Funktion der Yariabelen x und y, und wir setzen wie gewöhnlich:

dz = p dx -f- q dy.

Der vorliegenden Gleichung wird nun genügt, indem man

z = ax + by

annimmt, wobei a und b Konstanten sind, denn hieraus folgt p = a, q = h. Diese Gleichung ist also ein vollständiges Integral. Um das allgemeine zu erhalten, hat man nach der Methode des § 789 & durch eine willkürliche Funktion cp(a) von a zu ersetzen und alsdann a zwischen den beiden Gleichungen

z = ax + yy (a), 0 = x + y <pr (a)

zu eliminieren, von denen die zweite aus der Differentiation der ersten nach a hervorgeht. Nach der zweiten Gleichung

x    .    v

also sind a und w(d) Funktionen von — > y    x

ist tp'(a) = —

und die erste Gleichung lehrt, dass

::

— = ip x

ist. Die Funktion ip bleibt dabei noch willkürlich, und sonach erhalten wir auf diesem Wege dasselbe Integral wie im § 778.

Integration der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Yariabelen.

muss man vor

791. Das Problem der Integration partieller Differentialgleichungen ist gegenwärtig vollständig gelöst bei den Gleichungen erster Ordnung, d. h. die Integration solch einer Gleichung kann, wie gross auch die Zahl der unabhängigen Yariabelen ist, immer auf die Integration eines simultanen Systemes von gewöhnlichen Differentialgleichungen zurückgeführt werden. Unter den Methoden, welche dazu dienen allem die von Jacobi und die von Cauchy unterscheiden. Die letztere werde ich hier zu Grunde legen und zugleich einige Entwickelungen mitteilen, die auf eine Schwierigkeit Bezug nehmen, welche dieser Methode anhaftet; dieselben habe ich bereits an einem anderen Orte veröffentlicht.¹

792. Wir betrachten zuerst den Fall zweier unabhängigen Yariabelen. Es sei

1)

= 0

die vorgelegte Gleichung, in welcher z eine unbekannte Funktion der beiden unabhängigen Variabelen x, y und p und q

bezeichnen.

bezüglich die partiellen Ableitungen

dz dz dx’ dy

Die Aufgabe ist, einen Wert z zu finden, welcher der Gleichung 1) genügt bei allen Werten von x und y, und welcher sich für einen gegebenen Wert x₀ von x auf eine willkürlich gegebene Funktion f(y) von y reduziert. Es müssen also gleichzeitig die Gleichungen gelten:

x = x₀, z = /■(?/), g =

äf(y)

dy

= f\y)\

durch diese Bedingungen ist die Aufgabe vollkommen bestimmt.

Wir führen, mit Cauchy, eine unbestimmte Funktion y0 von x und y ein; alsdann kann man y als eine Funktion von x und yn ansehen, und also sind auch z, p, q Funktionen der nämlichen beiden Yariabelen. Es ist:

oy

dy

dy = dx dx + ^ dy°’

vyo

dz

dz

dz = —- dx — dy₀, 0 00

dy₀

und wenn man diese Werte von dz und dy in die Gleichung, welche p und q definiert,

überträgt, so folgt:

dz = pdx + qdy,

dz

dx -f-

dz

8y₀

«**,-!><** +8 +

Da diese Relation bei allen Werten von dx und dy₀ gilt,

so wird

2)

dz

dy

ix

3)

dz dy dy₀ ~ q dyo

Differentiiert man die Gleichung 2) nach y₀ und die Gleichung 3) nach x, so folgt aus der Subtraktion derselben:

4)

dp    q dy dq

dy₀ ~ x dy₀ dy₀

Dies festgestellt, bezeichnen wir mit

dF = X dx -f- Ydy -f Zdz •+ P dp + Q dq

das totale Differential der linken Seite in der Gleichung 1). Differentiiert man die Gleichung 1) nach y₀, so folgt:

5)

dy

dz

dp

dq

dp

Y --b Z ——b P ö— ~b Q ö— ⁼⁼

vyo vyo %o dy<>

d z

In diese Gleichung tragen wir die Werte von — und aus den Gleichungen 3) und 4) ein, so wird:

6)

(¹'+^+pH)|₀⁺G-pE)ä=

0.

Die Funktion von x und y₀ aber, durch welche y aus-gedrückt wird, ist bisher noch unbestimmt; wir verfügen über dieselbe so, dass -Q = 0

dx

wird, und legen ihr überdies die Bedingung auf, dass sie sich für x = x₀ auf y₀ reduziert. Also bestehen gleichzeitig die Relationen

z = ^o> y = ?Jo, * = *o> 9. = %, P=Po>

wenn man zur Abkürzung

-/Wi So = f'iPo)

setzt und jp₀ durch die Gleichung

Ho; j Poi So) ⁼ 9

bestimmt.

Die Gleichung 7) reduziert nun die Gleichung 6) auf:

8)

Y + Zq + P

dq

dx

i

so dass die vorgelegte Aufgabe darauf zurückgeführt ist, vier Funktionen y,s,p,q der beiden unabhängigen Variabelen x und y₀ zu finden, welche allgemein den fünf Gleichungen 1), 2), 3), 7), 8) genügen, und die sich für x = x₀ bezüglich auf Po ? ? Po) So reduzieren. Wir erwähnen dabei nicht die Gleichung 4), weil sie, wie wir gesehen haben, aus den Gleichungen 2) und 3) hervorgeht.

793. Die Gleichungen 1), 2), 7), 8) genügen, wie wir zeigen werden, zur Bestimmung der Unbekannten y, 2, j), S; die Gleichung 3) ist also überflüssig und muss von selbst dann erfüllt sein. Diesen wichtigen Satz hat Cauchy folgender-massen bewiesen.

Wir nehmen an, dass aus den Gleichungen 1), 2), 7), 8) für y, £, Jh S bestimmte Werte gewonnen sind, Funktionen von x und i/₀, welche sich für x = x₀ bezüglich auf y₀, ³oi Poi So reduzieren. Die beiden Seiten der Gleichung 3) sind dann ebenfalls bestimmte Funktionen von x und y₀, und indem wir mit T ihre Differenz bezeichnen, ist

9)

dz

Zyü

Differentiiert man dieselbe nach x und subtrahiert davon die Gleichung 2), nachdem sie zuvor nach y₀ differentiiert ist, so hat man an Stelle der Gleichung 4):

dq dy dq dy dx dy₀ dy₀ dx

Trägt man nun in die Gleichung 5) die Werte von

dp,

und aus den Gleichungen 9) und 10) ein, so wird

10)

dp

-C

dT

dx

dz

n)(r+z₈₊pf§

oT

. + ZT = 0,. dx

und dies reduziert sich auf:

dT

P -—(- TZ = 0 oder

dx

1 dT

T dx

8b| tsj

Da die Grösse —

8b'¹ Csj

als Funktion von x und yQ dargestellt

ist, so wird, wenn das

Integral — j dx einen endlichen

und bestimmten Wert hat, hiernach:

12)

-f

■*o

SP-

dx, T = T₀ e x°

wobei T₀ den Wert bezeichnet, welchen T für x = x₀ erhält.

dy

3 Z

Da aber die Annahme x = xn die Grösse —— auf und

3y₀

auf 1 reduziert, so lehrt die Gleichung 9), dass T₀ = 0 ist, und folglich ist nach Gleichung 12) allgemein:

T = 0.

Wir werden später den besondern Fall behandeln, wo das

Integral j*

*0

dx keinen endlichen und bestimmten Wert hat.

794. Auf Grund der letzten Untersuchung haben wir nur die Gleichungen 1), 2), 7) und 8) zu betrachten. Die Gleichung 1) lässt sich nun auch durch ihre Ableitung nach x ersetzen; denn

diese abgeleitete Gleichung ist nicht allgemeiner als die ursprüngliche, weil die Werte von y, z,p, q sich auf y₀, z₀₎p0} q0 reduzieren sollen für x = xQ. Dieselbe wird:

dy

X+ Y -f Z

dx

dz

dz

dp

dx

+ IJ~ + Q

dx

und indem man Gleichungen 2), 7) und 8) ersetzt, erhält

dx’

dq

dx '

Q und Y durch ihre Werte aus den

man

13)

dp

X+Zp+P — = 0.

Das Problem, welches wir zu lösen haben, besteht also jetzt darin, vermittelst vier der Gleichungen 1), 2), 7), 8), 13) die Werte von y, z, p, q als Punktionen von x und y₀ zu bestimmen, die sich für x = x₀ auf y₀, z₀, p0: q₀ reduzieren.

Die Gleichungen 2), 7), 8), 13) bilden thatsächlich ein System von vier simultanen partiellen Differentialgleichungen; da aber diese Gleichungen die unabhängige Yariabele y₀ nicht enthalten, so lassen sie sich wie gewöhnliche Differentialgleichungen behandeln; sie sind in der einen Formel enthalten: dx dy

dz

14)

— dp — dq P Q Pp + Qq A + Zp I + Zq

und eine derselben kann, wie wir nochmals wiederholen, durch die Gleichung 1) ersetzt werden.

Ist die linke Seite d-er Gleichung 1) eine lineare Funktion in Bezug auf die Ableitungen p und q, so hat F die Form Pp -f Qq — li, wobei P, Q, B Funktionen von x, y, z sind. In diesem Falle lassen die beiden ersten der in der Formel 14) enthaltenen Gleichungen, nämlich:

dx dy dz T ⁼ Q ⁼ B ’

für sich allein bereits die Werte von y und z als Funktionen von x und y₀ bestimmen. Sonach kommt man für lineare Gleichungen auf die Regel des § 774 zurück.

795. Nehmen wir nun allgemein an, dass man aus den Gleichungen 14) die Werte von i/, £, p, q bestimmt hat, welche sich für x = x₀ auf y₀, z₀₎ p₀, q₀ reduzieren; es seien: ( y = U(x> :¥₀, £<j) %),

¹

Comptes rendus de l’Academie des Sciences, t. LIII und Annales scientifiques de VEcole Normale superieure, t. III.

15)

& ~ f 2 (X) .^0 5 ^0? <7₀) )

‘ P = U(x, Vo> Zo, Qo),

<1 = fÄx, Vo, %)

diese Werte; wir schreiben die Grösse p₀ nicht in diesen Gleichungen, weil man immer annehmen kann, dass man ihren Wert aus der Gleichung F(x₀, y₀^₀,p₀, Q₀) — 0 berechnet und substituiert hat; dagegen ist x₀ ein bestimmter numerischer Wert, der nicht weiter in Betracht kommt.

Die beiden ersten der Gleichungen 15) geben die Lösung des gestellten Problemes, wenn man z₀ durch f(y₀), q₀ durch f\y₀) ersetzt. Erteilt man der Funktion f(y₀) eine bestimmte Form, und kann man alsdann y₀ zwischen den beiden genannten Gleichungen eliminieren, so hat man den Ausdruck der unbekannten Funktion z in x und y. Wenn aber die Funktion f(y₀) oder z₀ unbestimmt bleibt, so wird die Elimination von y₀ unmöglich, ausser wenn die Werte von y und z beide unabhängig von q₀ sind. Im letzteren Falle ist, wenn man die beiden ersten Gleichungen 15) nach y₀ und z₀ auflöst:

und die Lösung des Problemes wird durch die Gleichung

q) =

gegeben; hieraus kann man schliessen, dass alsdann die vorgelegte Differentialgleichung notwendig in Bezug auf die Ableitungen p nrid q linear sein muss (§ 83).

Sieht man von dem Falle der linearen Gleichung ab, so kann keiner der Ausdrücke für y und z unabhängig von q0 sein. Denn trägt man in die Gleichung 3) die Werte von y,#,q ein, welche aus den Gleichungen 15) gewonnen werden, so erhält man:

ZU

ZU

zy₀

Z Zq

Q+ d-k dJLo) _ f (dA ₊ -j_

h^ZqQ dyJ U \dy₀ dz₀

, ZU dq₀\ ₌

% Zq₀ dyJ

0.

Diese Gleichung muss eine Identität sein, und folglich

rin

müssen sich die mit — multiplizierten Terme gegenseitig auf-

zy^

heben. Also muss identisch:

sein. Da nun der Faktor /₄ = q nicht im allgemeinen null sein

p\ r    rs r

kann, so folgt, dass, wenn eine der Grössen ——— iden-

dq₀

tisch null ist, auch die andere identisch verschwindet; folglich enthalten die Funktionen und f₂ entweder beide die Grösse q0 oder sie sind beide yon q₀ unabhängig; dieser letztere Fall tritt aber, wie wir eben sahen, nur bei den linearen Gleichungen ein.

Wenn mau nun q₀ zwischen den beiden ersten Gleichungen 15) eliminiert, so erhält man eine Gleichung, welche an Stelle der zweiten treten kann und die wir mit

16)

V(x, y, g, y₀, g₀) = 0 oder V = 0

bezeichnen wollen. Bildet man das totale Differential derselben, und ersetzt man dabei dz₀ durch q₀dy₀, dz durch pdx + qdy, so folgt:

dV

dV

dV

dx

dz

) dy + (

dV

dy»

+ 2₀

dV

dz₀

0.

Aber die erste der Gleichungen 15) ergiebt:

dy =

Hx

dx

dx +

^"0

wird dieser Wert von dy in die vorhergehende Gleichung eingetragen, so bleiben nur die beiden unabhängigen Differentiale dx und dy nach; setzt man also die Koeffizienten derselben null, so erhält man:

3V

dx

+ i>

dV

dz

CC, !

dx

= 0,

dV dV

Hx

Hx

dV

0% W ⁺ (

Diese Gleichungen müssen identisch erfüllt sein, wenn man y, #, p, q durch ihre Werte aus den Gleichungen 15)

ersetzt. Diese enthalten aber die willkürliche Grösse

dy

+ ⁽1

dz

~t~

dzQ

dy₀

dZ₀

0.

Also werden die vier Gleichungen 16), 17) und 18) durch die Gleichungen 15) identisch erfüllt; sie bestimmen andererseits die Werte von y, z, p, g, und folglich können sie die Gleichungen 15) vertreten.

»■ ©-

{ dV\

(-) bezeichnet die Ableitung von F nach y₀,

Ersetzt mau insbesondere, in der Funktion F, zQ durch f(j)₀), so wird das gesuchte Integral der partiellen Differentialgleichung 1) das Resultat der Elimination von y₀ zwischen den beiden Gleichungen:

19)

F =

wenn dabei £₀ als Funktion von y₀ angesehen wird. Um also dieses Integral zu erhalten, genügt es, die Funktion V zu kennen, und man erhält dasselbe, indem man die Grössen g, g>₀, g0 zwischen den vier Integralen der Gleichungen 14) und der Gleichung F(x₀, y₀, z₀,p0J g₀) = 0 eliminiert.

796. Wir haben hierbei noch zu bemerken, dass die Gleichung

nicht; folglich muss diese aus der letzten Gleichung verschwinden. Wenn wir also von dem Fall absehen, dass die

ursprüngliche Differentialgleichung linear ist, so wird

nicht null; also muss

ergeben die Gleichungen das simultane System:

44

dV

dV

dq₀

dy

dz

verschwinden, und sonach

17)

dV

dV

und

dy₀ + <h dz₀ °

18)

CV> ;

4- p

dV

dV

dz

7777+ q

dV

dy

dz

= 0.

F= 0

ein vollständiges Integral der Gleichung 1) darstellt, ’ wenn man y₀ und zQ als zwei willkürliche Konstanten betrachtet. Denn aus der allgemeinen Lösung, welche wir entwickelt haben, kann man umgekehrt die partielle Differentialgleichung ableiten, indem man y₀ und z₀ zwischen den Gleichungen 16) und 18) eliminiert. Anstatt nun die Grössen y₀ und z₀ als Yariabele zu betrachten, welche die Gleichung 17) befriedigen, kann man dieselben auch als Konstanten ansehen, und es ist klar, dass dabei die Gleichungen 18) bestehen bleiben, und bei der Elimination von y₀ und z₀ immer noch auf die Gleichung 1) zurückführen. Die Gleichung 16), welche also zwei willkürliche Konstanten enthält, ist demnach ein vollständiges Integral der Gleichung 1).

797. Beispiel. Um eine Anwendung der vorstehenden Theorie zu geben, betrachten wir die Gleichung:

z — apq = 0,

wobei a eine Konstante bedeutet. Hier ist:

Y= 0, Z= 1 F = — aq, Q = — ap, Fp -f Qq = — 2    2#,

und die zu integrierenden simultanen Gleichungen sind also:

dy dz dp dq aq ap 2 z p q

man findet hieraus unmittelbar die vier Integrale:

» - x0 :>/ - y« _ V » -V fo

Vz„

dx

und man kann p₀ und q₀ zwischen den beiden letzten Gleichungen mit einmal eliminieren, wenn man die Gleichung z₀— öp₀g₀= 0 benutzt; es ist:

0/z~ l/*o)²    (x - xo) (9 ~ Vo) (x ~ xo) (y ~ Vo)

Po

aq₀

aPo

az₀

a²p₀q₀

Setzt man also:

F= a []/z -Vf(y₀)Y -{x- xü) (y - y₀),

dV

so ist das allgemeine Integral der Gleichung z — apq = 0 das Resultat der Elimination von y₀ zwischen den Gleichungen:

= 0.

°’ dVo

Der geometrische Inhalt der Integrationsmethode. Indem wir, ebenso wie in den Erläuterungen zum § 775 die Grössen p, q als Koordinaten einer Ebene ansehen, welche durch den Punkt x, y, z hindurchgeht, und jeden Punkt des Raumes mit einer durch ihn gehenden Ebene als Element betrachten, erkennen wir, dass durch eine partielle Differentialgleichung f(x,y,z,p, q) = 0 vierfach unendlich viele Elemente bestimmt werden. Erteilt man den Punktkoordinaten bestimmte Werte, so bilden die zu diesem Punkt gehörigen Ebenen ein einfach unendliches System, welches bei der linearen Gleichung ein lineares Ebenenbüschel ist, bei der allgemeinen Gleichung dagegen eine Kegelfläche umhüllt, deren Spitze der betrachtete Punkt ist. Sonach hat man sich in jedem Punkte des Raumes einen von Ebenen umhüllten Kegel zu denken. Unter einem Integrale der partiellen Differentialgleichung versteht man nun jede Fläche, welche die Eigenschaft hat, dass in jedem Punkte der Fläche die Tangentenebene dem zugeordneten Kegel angehört, oder also, dass sich in jedem Punkte die Fläche mit dem zugeordneten Kegel berührt. Hieraus erkennt man sofort zweierlei. Erstlich: Um sämtliche Elemente der Differentialgleichung in Flächen geordnet zu umfassen, ist im allgemeinen ein zweifach unendliches Flächensystem notwendig und hinreichend, denn auf jeder Fläche liegen zweifach unendlich viele Elemente. Dieses Flächensystem bildet. daher ein vollständiges Integral. Zweitens: Jede Integralfläche hat die Eigenschaft, dass von jedem ihrer Punkte eine Richtung ausgeht, die in der Tangentenebene liegt, und zugleich eine Kante des dem Punkte durch die Differentialgleichung zugeordneten Kegels bildet.

Wir wollen nun zunächst die Gleichungen der zu einem Punkte x, y, z gehörigen Fortschreitungsrichtungen, d. h. die Erzeugenden des zugehörigen Kegels entwickeln. Da jede dieser Linien definiert wird durch den Schnitt einer Ebene p, q mit der benachbarten p 4" dPi 1 "f" so muss, wenn wir mit dx, dy, dz die Koordinaten der Richtung bezeichnen:

dz = p dx + q dy

sein, und auch:

dz = (p 4- 6p) dx 4- (q 4- 6q) dy, also: 6p dx 4- 6q dy = 0.

Da nun f(x,y,z,p,q) = 0 und f(x, y, z,p -f 6p, q -f 6q) = 0

ist, so ist

6p +

df

6q = 0

oder in unserer früheren Bezeichnung:

P6p + Q6q = 0.

Sonach wird:

dx

öq

d. h.

dy

6p

dz

dx dy

P ~ Q Pp + Qq

Indem man in solch einer Richtung auf irgend einer Integral -fläche fortgeht, erleidet die zugehörige Tangentenebene eine ganz bestimmte Änderung, deren Grösse dp, dq folgendermassen zu bestimmen ist.

Denkt man sich z und folglich auch p und q als Funktionen von x und y so definiert, dass bei allen Werten dieser Variabelen die partielle Differentialgleichung erfüllt ist, so müssen, wenn wir für die partiellen Ableitungen von f die früheren Bezeichnungen

O /»    #

dx

wählen: — =X u. s. w., die Gleichungen bestehen:

dp

X+ Zp + P^- + Q

dx

ca . so

SS ---

= 0,

dp

Y+Zq+P+Q

dq

dy

dy

= 0.

dq

dp

Nun ist aber —— — ——> dx dy

Richtung vorgehen, wird:

und wenn wir in der vorgeschriebenen

dp

dp

dp

dq

dq

dx ’ P

Demnach erhalten die beiden obigen Gleichungen die Form:

dx

dy

dx

dy

(X+Zp)+P

dp

dx

= 0, (Y+Zq)+P

= 0,

und sonach sind wir für die Fortschreitung längs einer Erzeugenden des Kegels auf das System (s. Gleichung 14) geführt:

dx dy

P ⁼ ~Q Pp + Qq

dz

dq

dp

Y + Zq

X + Zp

und zugleich ist der Satz bewiesen: Alle Integralflächen, welche in einem gemeinsamen Punkte dieselbe Tangentenebene haben, berühren sich längs einer von diesem Punkte ausgehenden Kurve, denn das Gesetz, nach welchem sieh die Tangentenebene ändert, wenn man in derselben längs der Erzeugenden des zugehörigen Kegels fortschreitet, ist für alle Integralflächen das* nämliche.

Sonach bestimmen die von jedem Punkte des Raumes ausgehenden, einfach unendlich vielen Fortschreitungsrichtungen eines Kegels ein System von dreifach unendlich vielen räumlichen Kurven, oder besser ein System von charakteristischen Streifen, indem zu jeder Raumkurve zugleich ein bestimmtes System von Tangentenebenen gehört; jede Integralfläche hat die Eigenschaft, dass auf derselben ein einfach unendliches System dieser charakteristischen Streifen gelegen ist, und dass die Tangentenebenen der Fläche in den Punkten solch eines Streifens mit den Ebenen, welche demselben zugeordnet sind, zusammenfallen. Ein charakteristischer Streifen ist durch sein Anfangselement bestimmt. Die Gleichungen derselben werden durch Integration des obigen Systemes erhalten, das, weil die Bedingung f(cc, y, g, p, q) — 0 erfüllt ist, vollständig integriert auf vier Gleichungen mit drei willkürlichen Konstanten führt, welche wir in der Form

V — /i(®, Cu C₂, C₈),

Z — (X , G-y , C₂, Cg) ,

P ⁼ Cj , C₂, Cg) ,

0 = /k(«» C'i, C₂, Cg)

voraussetzen können. Die beiden ersten derselben bestimmen die Kurven, die beiden anderen die zugehörigen Tangentenebenen.

Man darf nun aber hieraus nicht schliessen, dass es im allgemeinen genügt, aus dem dreifach unendlichen Kurvensysteme ein einfach unendliches, welches eine Fläche bestimmt, herauszugreifen, um auf diese Weise eine Integralfläche zu bilden; es muss vielmehr die Bedingung erfüllt sein, dass die Tangentenebene der Fläche in jedem Punkte einer solchen Kurve auch die Koordinatenwerte p und q erhält. Ein einfach unendliches System von Kurven ergiebt sich, wenn man zwischen den willkürlichen Konstanten Ct, C₂, C₃ zwei willkürliche Relationen einführt, C₂ ^ Ti (Cx), Cs=<p₂(C₁), und alsdann aus den beiden Gleichungen

V = /iO> Ci> <Pu 9>a)>    * ⁼ /a(®» ci> Vi > Vs)

die Grösse C eliminiert. Für solch eine Fläche werden die Koordinaten 7t, x der Tangentenebene aus den Gleichungen bestimmt:

d/a

7t = ——

df, Wl

dCx dx

dfl dC\

* ~dCx dy ’

₁ dfx dCx dCx dx    dCx d y

dfx    dfs    dft    dfx*df₉ dfx    df₂

⁷¹ dCx    dx    dCx    dx dCx    % dCx    dCx

Wenn nun % und x die Werte p = f₃, q — haben sollen, so müssen die beiden Gleichungen erfüllt sein:

(f

\h dx ) dcx

dividiert man dieselben, so folgt:

und es ist:

also:

dx

o-lL + lfi. dCi

dx

dft df2 dx dCx

dft ₌ dfi_ dCx dCx

ft~

dx

*fi

dz

dx

oder    —— = p + <1

dx

dy

dx

und diese Gleichung ist in der That erfüllt, weil die Punktionen f Integrale des Systemes sind (s. auch Gleichung 2 im § 792); mithin reduzieren sich die beiden Bedingungsgleichungen für die Funktionen C.₂ — cp₁(C^), G₃=qp₂((7₁) auf die eine Gleichung:

dfi ₌ df^ dCx dCx ’

oder

d/a - - ofj dcpi dOx ⁺ d<px dCx

dfi    df^ cLwi dfi_ dcp^

dCx    dcpx dCx ⁺ dy₂ dCx

und dies ist in etwas anderer Form die Gleichung 3) im § 792:

df₂ dcp2 d cp2 dCx

dz

dy

dy₀ ¹ dy₀

Dieser Bedingungsgleichung wird nun bei der Cauchysehen Integrationsmethode in der That dadurch genügt, dass man für x = x₀, also in einer bestimmten Ebene, eine willkürliche Kurve Zq = f(y₀) annimmt, und alle die charakteristischen Streifen zu einer Fläche vereinigt, welche von den Punkten dieser Kurve ausgehen, und deren zugehörige Ebenen durch die Tangenten der Kurve gehen. Denn auf diese Weise führt man zwischen den Konstanten Cx, C₂, C₃ die Bedingungen ein:

do ⁼ fi Oo > f'a ^2-1 ff3) >

&Q ⁼⁼ f₂(X0» f'l > ^2i f's) ⁼ f(ßo))

Po ⁼ fs Oo1 ff1 > ff2 1 ff3) ’

%= fiipOi ff 11 ff21 ff3) ⁼ / ([do)'

und es ist also wie erforderlich:

dy₀

dfi ₌ äh_

dCt d(J₁

für den Wert x — xü. Es ist nun aber zu zeigen, dass diese Gleichung bei allen Werten von x fortbesteht, nachdem sie für x = x₀ erfüllt ist, und dazu ist der Beweis im § 793 geführt. In unserer gegenwärtigen Bezeichnung können wir denselben folgendermassen formulieren. Es soll bewiesen werden, dass die Differenz

d Ct

do

df₂

T,

dC₁

welche für x = x₀ den Wert T = 0 hat, von x ganz unabhängig ist. Es wird:

dT _ dft dx dx dC₁ d²f, dxdCx dx dCx

dy

oder weil — p + ist:

dx

dx

dT

dx

dq dy dy dq dx dCx dx dCx

dp

dCx

Da nun die partielle Differentialgleichung f(x, y, Z,p, q) — 0 bei allen Werten von Cx erfüllt ist, so ist auch:

Y—

dy

dz

dCx

+Z-—+P

dp

dq

dCx

oder wenn man für

dz

dCx

den Wert q

dy

— T einsetzt:

(Y+Zq)

dy x

dq

dCx

dCx

= 0.

Entnimmt man hieraus den Wert von denselben in die obige Gleichung, so folgt:

ZT dyx / dq Y-\-Zq P ⁺ dCx\dx ⁺ P

dT

dx

dp

dCx

und substituiert

dq /Q_ dCl \P

dy'

dx

)■

Die in den beiden letzten Klammern enthaltenen Ausdrücke verschwinden, und demnach wird, wie früher:

dT

dx

i also T — T₀e x°

Jidx

vorausgesetzt, dass das Integral einen bestimmten endlichen Wert hat; nun ist T₀ gleich null, also ist auch T — 0 bei allen Werten von x.

Vereinigt man alle charakteristischen Streifen, welche von einem bestimmten Punkte ausgehen, der in der Ebene x — xQ liegt und dort die Koordinaten y₀, z₀ hat, so sind die Grössen Cx, C₂, C₃ aus den vier Gleichungen

y = Ad, Ci, Ci, cä),    e - f,(x, c„ c,, c₃),

Vo ~ ti (xa > Q ) ^'21 ^3)>    ~ fz 0*0’ (1 > ^2 > @3)

Es ergiebt sich eine Fläche, in deren Gleichung,

zu eliminieren.

abgesehen von der Konstante x₀, noch die willkürlichen Grössen y₀ und z₀ auftreten, also ein zweifach unendliches Flächensystem ;

Y(x, y, z, y₀, z₀) = 0.

Für jede in diesem Systeme enthaltene Fläche sind die beiden notwendigen und hinreichenden Bedingungen erfüllt; denn es ist auch hier:

dfi _ df%

dC[ ~ dC±

dfx

für x — x₀, weil und

Ci Oj

dfs

da

beide gleich null sind.

798. Die entwickelte Methode setzt voraus, dass das

Integral

x₀

dx einen endlichen und bestimmten Wert be

hält; mit diesem Integrale wollen wir uns nun näher beschäftigen. Wir nehmen der Kürze wegen an, dass die Gleichung 16) nach z aufgelöst ist und dass man aus ihr den Wert z=M gewonnen hat, wobei M eine gegebene Funktion von a?, t/, z/₀, z₀ ist. Die Gleichungen 16) und 17), welche die gesuchte Lösung der Gleichung 1) darstellen, sind dann einfacher:

20)

z = M,

21)

dM

dM

8z₀

und die Gleichungen 18), welche die Werte von p und q bestimmen, werden:

22)

dM

v = —>

dx

<1 =

dM

dy

Um die ursprüngliche Differentialgleichung zu rekonstruieren, muss man y₀ und z₀ aus den Gleichungen 20) und 22) eliminieren; folglich wird das totale Differential dF der linken Seite dieser Gleichung erhalten, wenn man die totalen

dM

Differentiale der Funktionen M — z, — p

0 OC

dy

— q addiert,

nachdem man dieselben bezüglich mit den Faktoren A, p, v multipliziert hat, welche so bestimmt sind, dass die Differentiale dy₀ und dz₀ verschwinden; dieselben sind hier als unabhängig zu betrachten. Man hat also:

und wegen der Gleichungen 24) wird:

d²M d²M _ d²M d²M

Z _ dxdy₀ dydz₀ dy dy₀ dxdz₀

= • .

dy₀ dydz₀    dzo dydy₀

. Um das Integral, welches wir zu untersuchen haben, zu gewinnen, muss man in diesem Ausdruck y durch seinen Wert aus der Gleichung 21) ersetzen, ferner mit dx multiplizieren, und zwischen den Grenzen x₀ upd x integrieren. Man kann aber die Elimination von y vermeiden, wenn man folgender-massen verfährt. Addiert man zum Zähler des obigen Aus-

druckes für

die Grösse

(d_M\

dF

23)

-(*£

d²M

d²M

dx²

dxdy

dx

dM

a²iif

dx dy

d²M\

g-) dy—kdz—

dy

und die Faktoren k, y, v müssen die beiden folgenden Gleichungen erfüllen:

d²M

d²M

24)

,dJM

dy₀ ^dxdy₀

a²if

dz₀ ^dxdz₀ ' ' dydz₀

Aus der Gleichung 23) folgt:

a²lf

= 0.

d²M d²M

(dM\ dxdz₀ dydz₀

Vdz^J

und subtrahiert dieselbe wiederum, so erhält man:

--^ dx

dx +

dx

d²M (dM d²M _ dM d²M dxdz₀\ dy₀ dy dz₀ dz₀ dydy₀

d²M (dM d²M dM d²M dy dz₀\dz₀ dxdy₀ dy₀ dxdz₀

dM (dM d²M _ dM_ d²M dz₀ \dy₀ dy dz₀ dz₀ dy dy₀

Wenn man nun, unter der Annahme, dass x und y die einzigen Yariabelen sind, die Gleichung 21) in der Form:

dM

llo

dM

differentiiert, so findet man:

dM d*M dM d²M dy₀dydz₀ dz₀dydy₀

) äy>

dM d²M dM d²M dz₀ dxdy₀ dy₀ dx dsQ

und dadurch reduziert sich der vorstehende Ausdruck für

--=- auf:

dM

dx =

dz o

d log

dM

dx

dx -f-

dzo

dM

dy

dy = <7 log ——

dz₀

Da die Funktion M für x = x₀ und y = y₀ gleich z₀ wird

so folgt, dass hei der nämlichen Annahme

wird. Integriert man also die obige Gleichung zwischen den Grenzen x₀ und x, so ist

dM

dz₀

gleich eins

25)

-f

dM

dx = log ——

dz₀

X₀

799. Die Behauptung im § 793 gilt nicht mehr, wenn das

X

dx keinen endlichen und bestimmten Wert hat.

IntegralJ ~

XQ

Wie Herr Bertrand bemerkt hat, tritt dieses nicht nur in einigen besonderen Fällen, sondern auch in ganz allgemeinen ein. In der That, es genügt, der Funktion f(y) oder f(y₀) oder £₀ allgemein solch eine Form beizulegen, dass das Integral, um welches es sich handelt, unendlich wird. Indessen lässt sich beweisen:

Wenn für eine besondere Form der Funktion f(y) das

/* 2

Integral I ~ dx keinen endlichen und bestimmten Wert mehr

hat, so werden die Gleichungen, welche wir entwickelt haben, illusorisch und liefern nicht mehr eine Lösung der vor gelegten Aufgabe. Diese wird alsdann durch das vollständige Integral von Lag ränge gegeben, welches mit dem allgemeinen Integrale verbunden ist.

Denn man erkennt aus der Gleichung 25): Hat das Integral

J,

dx keinen endlichen und bestimmten Wert mehr für eine

*0

cz₀

bestimmte Form der Funktion f(y), so wird die partielle Ableitung —— entweder null oder unendlich oder unbestimmt

nach der Substitution des Wertes von y, welcher aus der Gleichung 21) entnommen wird. Dann aber ist evident, dass man aus der Gleichung 21) keinen bestimmten Wert von y entnehmen kann, welcher sich für x — auf y₀ reduziert, weil

bei der Annahme x = x₀ und y = y₀ die Ableitung

sich

cM

Ö0O

auf den Wert eins reduzieren müsste. Die Unmöglichkeit, einen bestimmten Wert von y aus der Gleichung 21) zu berechnen, der sich für x = x₀ auf y₀ reduziert, lässt schliessen, dass bei der Annahme x = x₀ die Variabele y aus der linken Seite dieser Gleichung verschwindet, und weil diese erfüllt ist, wenn man zugleich x = x₀ und y = y₀ setzt, so ist evident, dass sie identisch erfüllt ist bei allen Werten von y, wenn man x = x₀ setzt. Hieraus folgt, dass y₀ aus der Gleichung 20) verschwindet, wenn man x = x₀ setzt, denn die Ableitung der linken Seite nach y₀ ist identisch null. Diese Gleichung giebt also bei der Annahme x = x₀:

s = f(y),

weil, wie wir wissen, dieselbe identisch statt hat, wenn man y = y₀, z = z₀ setzt und weil = f(y₀) ist. Wir schliessen also, dass in dem besonderen Fall, mit welchem wir uns beschäftigen, die Lösung des Problemes nicht mehr durch das System der Gleichungen 20) und 21), sondern allein durch die Gleichung 20) gegeben ist.

Geometrisch bedeutet die Gleichung z — M ein zweifach unendliches Flächensystem, wenn die Grössen y₀ und z₀ als variabele

Parameter betrachtet werden. In der Ebene x — xQ liefert dieses Flächensystem im allgemeinen ein zweifach unendliches Kurvensystem. Indem man nun die Relation zQ — fido) einführt, hebt man aus diesem Kurvensysteme ein einfach unendliches heraus, und die Gleichung 21) liefert zusammen mit der Gleichung 20) die Einhüllende dieses Systemes, von welcher die charakteristischen Streifen ausgehen, welche eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung zusammensetzen. Wird nun bei der Substitution zQ = f{y^) die Gleichung z = M unabhängig von ?/₀, so heisst dies, dass sämtliche Flächen, welche aus dieser Relation hervorgehen, sich in der nämlichen der Ebene x — xQ angehörigen Kurve schneiden. Jede Fläche z—M, welche durch diese Kurve geht, bildet alsdann eine Lösung der Differentialgleichung.

800. Wir wollen diese Darlegungen an einem Beispiele erläutern. Es sei gegeben die Gleichung F — pz — pqy — aq = 0, wobei a eine Konstante bedeutet. Hier ist

» r=-M, z-p,

pz

P = z — qy =

-py - a = —

^ <?-

V

Das simultane System wird demnach:

pdx qdy dz    dp dq

aq₀

S³ Io*⁸*

F-

Vo

So

P Po

also wenn man p₀ durch seinen Wert

aq₀

zo~%Vo y = yo(*o~ VoVo) ~ a(x - xo) V(*o ~ ?o Vof + 2a qQ (x - x₀)

ersetzt:

g ₌ zo Qo - gp Vo) + a gp - %o)

V(zo - qo Voy +2aq₀(x- x₀)

aq₀

P =    --    _    -------

V Go - qo Vof + 2aq₀(x - x₀)

q = 3₀•

Dies sind die Werte von y, z, p, q als Funktion von Nun ist:

aq₀

und

Oo “ % VoY +2 aq₀(x- x₀)

dx = log

- gp y«

*0

V K “ 'io VoY + 2 aq₀(x- x₀)

Man sieht hieraus, dass das wird, wenn man

IntegralJ --

*0

dx unendlich

dz o

2* Io*

^o-2o2/o=° oder setzt; in diesem Falle ist der Wert von z₀:

uy₀, also g₀ = 'a,

wenn a eine willkürliche Konstante bedeutet. Wenn man aber für z₀ diesen Wert annimmt, so werden unsere Gleichungen illusorisch, denn sie geben für y und z die Werte:

dy₀

«/ = -

und diese sind unabhängig von y₀.

Wir eliminieren nun q₀ zwischen den beiden Gleichungen,

welche die Werte von y und z bestimmen; man erhält aus diesen Gleichungen:

VOo - 2o2/o)² + 2ag₀(» - a«,)*

* - %y = VS - ?o2/o)² + 2o 0» - O,

und durch Multiplikation:

^2 _ goy _ y _ qZy2 oder    = go2 y _ ^2).

vermittelst derselben reduziert sich die zweite Gleichung, ins Quadrat erhoben, auf:

<io(.y² - yo²) = {yz- 2/0*0) + a(x- x₀).

Die Elimination von q₀ zwischen diesen beiden letzten Gleichungen lässt sich unmittelbar ausführen, und man erhält:

0² - Vo) (*² - O - \iy* - y^o) + « 0 - x₀)f = 0

oder *²-2 0O-

ci(x-x₀) 1 y    y\₂ 2a(x-x₀)~ , a\x-x₀)² A

- •— z-j--ö £₀--z₀ H---ö •— = u;

Vo J Vo Vo    ?/o    !/₀

dies ist die Gleichung, welche wir allgemein mit V = 0 bezeichnet haben. Aus derselben folgt: a(£-x₀)1 y

-«²

—■ +

J*/o

eine Formel, deren rechte Seite die mit M bezeichnete Grösse ist. Man kann nun leicht verifizieren, dass die Gleichung dM , dM A

den oben für y erhaltenen Wert liefert, und wenn man den-

substituiert, so findet man:

yo

selben in den Ausdruck für

dM

d&₀

(io y₀

dM

d*0    V(g₀- %yoy+ 2aq₀Jx - x₀)

was mit den allgemeinen Ergebnissen unserer Theorie übereinstimmt.

Setzt man nun z₀ = ay₀ in die Gleichung z = M, so erhält man:

z-

y₀²

a(x — xX a----—

wenn

dieser Wert von z genügt der vorgelegten Gleichung man a und y₀ als willkürliche Konstanten betrachtet; andererseits reduziert er sich auf

z = ay

für x = x₀. Er liefert also die Lösung des vorgelegten Pro-felemes für den Fall, dass man die Funktion f(y) gleich ay annimmt.

Erweiterung der vorigen Methode auf den Fall einer beliebigen Anzahl von unabhängigen Yariabelen.

801. Die vorige Methode ist anwendbar, wie gross auch die Zahl der Yariabelen sein mag; dies wollen wir im folgenden

nachweisen, ohne dabei auf eine Diskussion von Einzelheiten einzugehen.

Wir bezeichnen mit xu x₂, ... xn die n unabhängigen Variabelen, mit x die abhängige; ferner setzen wir:

1)

2)

dx = px dxv -f- p₂ dx₂ + • • • + pn dxn und betrachten die partielle Differentialgleichung F (X) X^ , X%j . . . Xn} p± , p% j . . . Pri) ⁼ 0, deren linke Seite eine gegebene Funktion der 2n + 1 Variabelen

X) Xn X₂, . . . Xn, p>i 5 P2 ? • • * Pn

ist. Die unbekannte Funktion x ist nicht vollständig bestimmt durch die Bedingung, dass sie der Gleichung 2) genügen soll: sie wird dies aber im allgemeinen (§ 788), wenn man ausserdem verlangt, dass sie sich auf eine gegebene Funktion

Is    f 0^1} ^2 > ' ' • — l)

der n — 1 Variabelen xx, x₂,...xn—\ reduziert, wenn man der Variabelen xn den besonderen Wert §„ beilegt. Setzt man also:

dxx + (o₂ dx₂ + • • • + aH-.idxn—i, so muss für xn= nicht nur x = £, sondern auch

^2= «2;    Pn-1= G>n-l

sein. Dies festgesetzt, bezeichnen wir mit

^15 ^2 5 ’ • ⁻    1

unbestimmte Funktionen von

x^, x₂, ... Xn—1, X n, man kann dann umgekehrt auch

X\ , x₂, ... Xn — 1

als Funktionen von |₂, ...    1, betrachten, und folg

lich wird auch a: eine Funktion der nämlichen Variabelen. Die Gleichung 1) lässt die partiellen Ableitungen von x bei dieser Annahme berechnen; denn es ist:

3)

dx

dx₁

und

dxn— ¹ dxn

--b Pn

dx

wrPi

dxx

as,

+ • • • + Pn —

dx

4)

=i>i

dx₁

dxn—i

dXn-1

¹ h₂ ’

dx

= Pl

dxt

dXn

+ • ■ • + Pn —

l n»~i

Differentiiert man die Gleichung 3) nach und die ?te Gleichung 4) nach xn und subtrahiert sodann die beiden erhaltenen Gleichungen, so wird:

Hn-1

⁵> t=(

dpi dXi _ dp₁ dxl \ ₊    /dpn_ i dxn-i

dxn c^j dh dxj \ dxn

dpn-i dxn-i

d\i cii dxn

oder kürzer:

dPn

Hi

"'S¹ (°Pk °Xk ~ *6 \8x» Hi

opk dxk 0 &£ d xn

Da der Index i die Werte 1, 2, ... n — 1 annehmen kann, so vertritt die Gleichung 5) ein System von n — 1 verschiedenen Gleichungen. Wir bezeichnen nun mit

dF = X dx -f- X^ dXy -1- • • • -j- Xn dxn -t- P\ dpi -f- • • • -f- Pn dpn

6)

das totale Differential der linken Seite der Gleichung 2); alsdann wird

wenn man

die Gleichung 2) nach differentiiert:

dx

xai; + x‘

dx₁

Hi

+ • • • + Xn

dXn_

Hi

¹+Pjf + ---+P,

dpn

Fr-^O

Hi

ox

oder, wenn man ungen 4) und 5) ersetzt:

Hi

dpn

— und - durch ihre Werte aus den Gleich-

Hi

Hi

4" * * * +

dXn

Hi

dp i

db

(p₁-p,^}

dXn

dpn — 1 / p

d& \ n

dpn-1

dXn

— 1 —Pn

dxn—

d x^i

und diese Formel repräsentiert n — 1 Gleichungen, indem der Index i die Werte 1, 2,... n — 1 erhalten kann.

Da nun aber die Funktionen von xn, £x, |₂, ... |„_i, welche die Werte von xi, x₂, ... xn—i darstellen, bisher noch genügen und sich überdies für #„=§„ auf |₁₅ |₂,... |*_i bezüglich reduzieren sollen, derart, dass für xn = £„ die Gleichungen bestehen:

X b i ⁼⁼ ^15 • • • •£» — 1    bn — lj Pi    ) • • • Pn—1 ⁼⁼⁼    — 1

und auch

Pn' a>n,

wobei der Wert von con durch die Gleichung

P (£ j ^1 ; ^2 1 • • •    J * • • ®n) ^ 0

bestimmt ist. Die Gleichungen 7) reduzieren die n — 1 Gleichungen 6) auf:

Hi

—1+-P»

und diese können nicht anders erfüllt sein als dadurch, dass man setzt:

dpt

* dxn

unbestimmt sind, so setzen wir fest, dass dieselben den n — 1 Gleichungen

p _ P

l -Ln

dxt

dXn

— 0, ... Pn — 1 — Pn

dxn

Xx -f- Xp₁ + P

8)

, X₂ + Xp₂ + P

dp₂

n o OXn

X'n — l + Xpn_ i -f- Pn

&Pn-l

dxn

= 0,

weil die Determinante I), gebildet mit den (n — l)² Grössen:

dxn-i

dxt

dx₂

Hi ’ Hi

dXy

dx₂

H,

dxl

dx.

o xn

Hn-1    dU-1

nicht null sein kann zufolge der Unabhängigkeit der Varia-belen x,, x₂.... xn—i. xn. Denn es ist:

und wenn die Determinante D null wäre, so könnte man durch Elimination der Differentiale dt,x, d^₂, ... d%n—i eine oder mehrere Gleichungen von der Form

dxx d⁻ JlZg dx2 4- • ■ • 4" dxn = 0

bilden; dies kann aber nur dann der Fall sein, wenn eine Relation zwischen den Yariabelen xx, x₂₎...xn existiert. Da diese unabhängig von einander sind, so kann D nicht verschwinden, und folglich müssen die Gleichungen 8) bestehen.

Demnach ist das Problem darauf zurückgeführt, 2n Funk

tionen

der n Yariabelen

•En 5 ^15 ^2 ) ' ' * h — 1

zu finden, welche den 3w — 1 Gleichungen 2), 3), 4), 7), 8) genügen, und sich für x = xn bezüglich auf

®1,    ••• ®n-l, «

reduzieren.

ClXy =

dxx

dxn

dxn 4*

dxx

dxx

dln

-i;

j    dxn—i

(l Xn — i = ——- ü Xn “T"

dxn—

dXn

dXn

0g.-l

— di.

—1>

802. Es genügen aber die 2n Gleichungen 2), 3), 7), 8) zur Bestimmung der 2n Funktionen; es muss also gezeigt werden, dass die Gleichungen 4) von selbst erfüllt sind, und dies gelingt, indem man die im § 793 befolgte Methode hier wiederholt. Wir nehmen also an, dass man aus den Gleichungen 2), 3), 7), 8) die Werte von x, xu x₂₎... xn—\, PnP^, • • -Pn als Funktionen von #»,    §2, • • • £»—1 bestimmt hat, die sich

für #„==£„ auf |, |₁₇... |„_i, cfi, c>2, • •• ®» reduzieren. Bezeichnen wir dann mit TX) T₂, ... 74die Differenzen zwischen den beiden Seiten der bezüglichen Gleichungen des Systemes 4), so dass

dx

dxx

dXn

1 --

oli

ist, so folgt, indem man diese Gleichung nach xn differentiiert und davon die Gleichung 3), differentiiert nach subtrahiert:

< S; Pl Sh

4.... 4. pn_

und da alle übrigen Terme infolge der Gleich*

enthält

ungen 7) und 8) verschwinden, so erhält man:

dTt dXn

xn

ff.**

wobei der Index i die n — 1 Werte 1, 2,... n — 1 annehmen kann. Hieraus folgt:

Ti = 0,

wenn man mit di den Wert bezeichnet, welchen Tt für xn = £* erhält. Man erkennt nun unmittelbar, dass di null ist, und folglich ist auch

*n

Integral j dxn einen endlichen und bestimmten

?n

=n

dPn ₌ V f

Hi iH \

dpk dxk _ dpk dxk 8xn dh dh dxn

dTj

dxn

Wendet man die obigen Werte von

dx

an

und

8pn

an

stelle der durch die Gleichungen 4) und 5) gelieferten an, so entsteht eine Gleichung, die sich von der Gleichung 6) nur dadurch unterscheidet, dass ihre linke Seite die neuen Terme

dl)

X1) -j- Pn —— 8xn

wenn das

Wert hat. Für die Diskussion der Fälle, wo dieses Integral unendlich oder unbestimmt wird, verweise ich den Leser auf die im § 791 zitierten Abhandlungen.

803. Nach dem Vorstehenden genügt es, die 2n Gleichungen 2), 3), 7) und 8) zu betrachten. Man kann die erste derselben auch durch ihr Differential in Bezug auf xn ersetzen, nämlich:

dXn

djt- =0

dXn '

weil das vorgelegte Problem keine Unbestimmtheit mehr ent-

dx

XÜ+X^- + X’

=± + Xn + P₁

dxn

+ ' • • + Pn

hält. Indem man hierbei

dx

durch seinen Wert aus der Gleich-

dxx

cxn-1

OPn

dpi

und

ung 3) ersetzt, und ferner durch ihre Werte aus den Gleichungen 7) und 8), so folgt:

dxn

dXn

dXn

dxn

Xn+Xpn + Pn^- = 0.

Demnach sind wir dazu gelangt, vermittelst der 2n Gleichungen 3), 7), 8) und 9) die Werte von x, x1} x2r... xn — i, p₂, ...pn zu bestimmen, die sich für xn = \n bezüglich auf S, li, i₂) ••• £»-ij rai; ra25 ••• reduzieren.

Die Gleichungen, um welche es sich handelt, sind ihrem Wesen nach partielle Differentialgleichungen. Da sie aber die Variabelen |₂,...|n_i nicht enthalten, so lassen sie sich wie gewöhnliche Differentialgleichungen behandeln. Man kann sie in einer Formel zusammenfassen, nämlich: dx₁ _ dx₂

9)

dxn

dx

10)

Pl

Pn

- dpi

X, + XPl

P\ Vl "F P% "f" ■ • ' PnPn — dpn Xn + Xpn ’

man darf dabei aber nicht ausser Acht lassen, dass die Gleichung 1) an Stelle einer in der Formel 10) enthaltenen Gleichung treten kann.

804. Wir nehmen nun an, dass man die Gleichungen 10) integriert hat, und dass die willkürlichen Konstanten so bestimmt sind, dass

X , X j    ^ i, P i    CO ;

ist für xn— Es seien also:

11)

X Cp (xn, ^ , ^2? ••• Is» —1 >

⁼ <Pi (Xn) ^2 5 • * *    —1)    5 • • • ®n)

• • <ö»)

12)

.    — 1 ⁼⁼ (p>i — 1 (p^n 5    ^2)    — 1? Is j 5 * • • ®») 5

iÜ “ (p'nj ) ^2? * • • i^2 ” ^2    ? ^2 5 ’ * • S» — 1 > § >

-i?

• • • ra»)

• • • <a„),

. Pn n (tön i ) ^2 ; ' * •    — 1;    j • • •

die nach a;, a^, ... a:„_i, pu .. aufgelösten Integrale. Das allgemeine Integral der vorgelegten partiellen Differentialgleichung geht aus der Elimination von

j    ? • • •

s,

zwischen den n Gleichungen 11) und den n-\- 1 Gleichungen

(ll 5 ^2 > • • •    — 1)    5 * * •    ⁼

«1 =

ZSi

0?₂ =

cf

' • »*-

Zf

¹    8E.-1

ag>,‘

hervor; diese Elimination ist im allgemeinen nicht möglich, ausser wenn man die willkürliche Funktion f fixiert hat. Ich will hier nicht die verschiedenen Formen diskutieren, welche man in den verschiedenen Fällen den Gleichungen 11) gehen kann und verweise hierfür auf die bereits genannte Abhandlung.

Desgleichen überlassen wir es dem Leser, den Inhalt der hier dargelegten Integrationsmethode nach Art der bei drei Variabel en gegebenen Erläuterungen zu konstruieren. Eine umfassendere Behandlung derselben führt auf die Anschauungen und vereinfachten Integrationsmethoden, welche von den Herren Lie und Mayer in den Mathematischen Annalen veröffentlicht worden sind.

Bemerkung über die singulären Lösungen, welche die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung zulassen können.

805. Ohne auf Entwickelungen einzugehen, welche die Grenzen dieses Werkes überschreiten würden, müssen wir doch darauf hinweisen, dass die Methode, welche wir angewandt haben, auch gewisse singuläre Lösungen der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung bestimmen lässt.

Es sei F = 0 eine partielle Differentialgleichung, welche die Variabelen xx, ... rr„, die Funktion x dieser Variabelen und ihre Ableitungen p₁ ,p₂, ...jöra enthält; ferner sei F=0 ein vollständiges Integral dieser Gleichung, in welchem die n willkürlichen Konstanten a₁₇ ai7 ... an Vorkommen. Da die Gleichung V = 0 jede beliebige Beziehung ausdrückt, wenn man die willkürlichen Grössen al7a₂₇...an als variabel betrachtet, so ist evident, dass sie auch alle Lösungen der partiellen Differentialgleichung liefert, wenn die Grössen a₁₇ a₂,.. an nur so bestimmt werden, dass sie der Gleichung

dV

ca₁

dat +

dV

da₂

da₂ + • • • +

dV

dan

dan = 0

genügen. Indem man die Differentiale dau da₂₁ ... dan null setzt, kommt man auf das vollständige Integral zurück; ferner erhält man, wie gezeigt wurde, das allgemeine Integral, wenn man eine willkürliche Relation zwischen a1} a₂,...an annimmt, und sodann eines der Differentiale dau da2K... dan vermittelst dieser Relation eliminiert, und die Koeffizienten der übrigen Differentiale null setzt. Man genügt aber auch der obigen Gleichung, indem man

dV

da.

Ql'-

dV

ca,.

setzt. Die Elimination von a1? a₂, ... an zwischen diesen Gleichungen und der Gleichung F= 0 giebt im allgemeinen eine singuläre Lösung der vorgelegten Gleichung.

806. Als Beispiel betrachten wir die Gleichung

z -px- qy = f(j>, q),

welche die unabhängigen Variabelen x, y, die Funktion 2 und ihre Ableitungen p, q enthält; f(p, q) bezeichnet eine gegebene Funktion von p und q. Ein vollst ändiges Integral dieser Gleichung ist

2 ■— ax •— by — f(a, b)

x+°L=o’

wobei a und b Konstanten sind. Das allgemeine Integral resultiert aus der Elimination von a zwischen dieser Gleichung und ihrer Ableitung nach a, wenn dabei b als eine willkürliche Funktion von a angesehen wird. Endlich hat man die singuläre Lösung, wenn man a und b zwischen den drei Gleichungen

2 — ax — by = f(a, b)

eliminiert. Bezeichnen x, y, 2 geradlinige Koordinaten, so stellt das vollständige Integral ein zweifach unendliches System von Ebenen, das allgemeine eine developpabele Fläche dar, die Enveloppe einer beweglichen Ebene, deren Gleichung eine

20

Serret, Differential- und Integral-Eechnung. Bd. II. 2.

willkürliche Funktion enthält. Endlich liefert das singuläre Integral eine bestimmte Fläche, welche die Ebenen des vollständigen Integrales und die developpabelen Flächen des allgemeinen Integrales berührt. Diese Resultate stimmen mit den Aussagen im § 354 überein.

Über die Integration einer Klasse von partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Yariabelen.

807. Die Analysis besitzt noch keine allgemeine Methode zur Integration der partiellen Differentialgleichungen, welche von höherer als der ersten Ordnung sind. Es giebt indessen einige Methoden, welche in gewissen Fällen zum Ziele führen, und in dieser Beziehung tritt vor allem die Klasse der Gleichungen zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Yariabelen hervor, welche zum ersten Mal von Monge untersucht und sodann von Ampere wieder aufgenommen wurde in einer Abhandlung, welche im Journal de VJEcole Polytechnique (Cah. 17 und 18) enthalten ist. Die Resultate, zu denen dieselben gelangt sind, glauben wir hier noch mitteilen zu müssen.

Indem die Yariabelen durch x₎ y, z dargestellt sind,, setzen wir:

dz = pdx -f qcly, dp — r dx + s dy, dq = sdx + tdy.

Wir bezeichnen nun mit u und v zwei gegebene Funktionen von £r, ?/, £, p, q, nämlich

u = f(x, y, z,p, q), v = f,(x, y, z,p, q), und betrachten die Gleichung erster Ordnung:

1)

v) = 0,

in welcher O eine willkürliche Funktion bedeutet. Indem man ebenso wie im § 82 verfährt, kann man diese willkürliche Funktion eliminieren und also eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung bilden. Denn es ergeben die Differentiationen nach x und nach y bezüglich:

dQ fdu

l^+p

du du dul dO [dv

+ r e^J L0^⁺¹’

du du . dul dO [dv

J^+s^ + tT^}⁺17L^j + ,l

■0

~di + SJ3 + tTq

dO d<X> du ’ dv

hieraus eliminiert, erhält man eine Gleichung von der Form: Er + 2Ks + Lt + M + N(rt - s²) = 0,

in welcher H, K, L, M} N gegebene Funktionen von x, y, z, p, q sind.

Die Gleichung 1), aus welcher wir die Gleichung 2) gewonnen haben, kann auch in der Form v = cp(u) dargestellt werden, wobei cp eine willkürliche Funktion von u bezeichnet; sie heisst ein intermediäres Integral der Gleichung 2), und das Problem der Integration der Gleichung 2) ist dann auf die Integration der Gleichung 1) zurückgeführt.

808. Wir nehmen nun an, dass H, K, L, M, N in der Gleichung 2) gegebene Funktionen von x, y, z^p, q bezeichnen. Es kann der Umstand eintreten, dass diese Gleichung 2) kein intermediäres Integral besitzt. Existiert aber ein solches Integral, so lässt sich dasselbe folgendermassen bestimmen.

Wir führen mit Ampere eine Funktion von x und y ein, die zunächst noch unbestimmt ist und die wir mit a bezeichnen werden; y lässt sich als eine Funktion von x und a betrachten, und folglich werden auch z, p, q Funktionen von x und a. Nach den für die Änderung der unabhängigen Yariabelen geltenden Formeln wird:

du

d Q Ydu du Ldy

-0

und indem man die Verhältnisse der Ableitungen

2)

3)

de

dy dz

li=pJr<lTX' da

dp

dy

-7T- = r +

4)

dx

dx da

qdu’

OJI _

' da⁷

dy

dx

dx

da

da

Die Elimination von s und t zwischen den drei letzten Gleichungen 4) giebt zunächst:

20*

5)

dp dq dy dq dy da dx da da dx'

ferner hat man nach den nämlichen Gleichungen 4):

dq

dq

da    dq    dy da

S dx    dx dy ¹

dy

6)

da

da

dq

'dp dq dy dx dx dx

dy\² da

dx

dy ’

da

also:

dq

rt - s²

₌ _ (W , (ty , m da

\dxJ \dx dx dx) dy

da

Wir substituieren nun in die Gleichung 2) die Werte von r, s, t, rt — s² aus den Gleichungen 6) und 7), so folgt:

dq

8)

da

dy

da

wenn man zur Abkürzung setzt:

dq dy dx dx

9)

) + 2K^ ₊ m-n(^)\

Bx+L + N(^ ⁺ ^ ff)'

Wir verfügen jetzt über die unbekannte Funktion von x und a, welche y definiert, derart, dass Q = 0 wird; die Gleichung 8) reduziert sich alsdann auf iß = 0; mithin ist das Problem darauf zurückgeführt, vier Funktionen «/, 0, j), q von x und a zu finden, welche den beiden Gleichungen 3) genügen, ferner der Gleichung 5), und endlich den beiden Gleichungen:

¥-0, D-0.

h^~ +    - k+vg = 0.

11)

dx dx

dy

Die Gleichung = 0 wird, wenn man    durch seinen

Wert aus der Gleichung 11) ersetzt:

12)

% und

dx

Wenn man in der zweiten Gleichung 9) an Stelle von ihre Werte aus den Gleichungen 4) einsetzt, so

CD i CD

folgt:

dy

dx

+ {L + Nr),

und folglich ergiebt die Gleichung Q == 0:

dy K — Ns ±V (K — Nsf - (H + Nt) {L + Nr)

H + Nt -

dx

oder, wenn man zur Abkürzung

10)

G = K²-HL + MN

setzt und die Gleichung 2) beachtet:

dy K— Ns ~~t~ ]/Gr ~ H+Nt

dx

Hieraus folgt:

Hdy

dx

+ N(s + td^c) = K + VG

dq

dy

oder, indem man wieder --- an Stelle von s + t~ einführt:

dx    dx

Äff+(£■ t v<?) !|+k ~ o-

Wenn N nicht null ist, so kann die Gleichung 12) auch durch die folgende ersetzt werden:

13)

dp

dx

-(K+VG)^c + L = 0,

dq

welche man durch Elimination von — aus den beiden vorigen erhält.    ÖX

809. Die Einführung der Yariabelen a hat den Zweck, die Erzeugung einer durch die partielle Differentialgleichung dargestellten Fläche vermittelst eines Systemes von Kurven zur Evidenz zu bringen. Dieser Parameter a ist konstant für eine erzeugende Kurve, längs welcher y und z Funktionen von x allein sind, und folglich ist für solch eine Kurve da gleich null. Die Gleichungen 11) und 12), welche für diese Kurve gelten, können also folgendermassen geschrieben werden:

H dy + Ndq — (K + ]/6r) dx = 0,

14)

H dp + {K + ]/(r) dq -f Mdx = 0, dz — p dx — qdy = 0.

Die Methode der Integration, welche wir im Auge haben, führt nur in dem Falle zum Ziel, wo mau eine Funktion V der Grössen x, y, z, p, q bestimmen kann, deren totales Differential auf Grund der drei Gleichungen 14) null wird. Nun ist:

dV

dV

dV

dV

dV

dV-^dx + -^dy + ijdz+^d^ + :^d^

wir eliminieren dp, dq, dz zwischen den Gleichungen 14) und der Gleichung d V = 0, und setzen die Koeffizienten der nachbleibenden Differentiale dx und dy gleich null, so folgt:

bV

N-—

15)

dx

N-

dV

dy

₊ Nq^j ₊ {K + VG)

dV

dV

dp

dq

er

oder durch Elimination von ——:

dq

dp

16) H    + {K ± VG) ~ + {Hp + (K ± VG) q\ ^ - M ~ = 0.

Die beiden Gleichungen 15) reduzieren sich auf eine einzige, wenn N == 0 ist; in diesem Falle tritt die Gleichung 16) an die Stelle von einer derselben.

Die Funktion V muss also zugleich zweien partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung genügen. Umgekehrt lässt sich leicht beweisen, dass, wenn eine Funktion V existiert, welche die Gleichungen 15) und folglich auch die Gleichung 16) erfüllt, dieselbe auch der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung genügt, wenn man

17)

dV= 0 oder V = const

setzt. Denn die Gleichung 17) ergiebt durch Differentiation nach x und y:

dx

dV

dV

dV

dV

2    +2 "t:--b s -r— + t -r— == 0.

oy dz dp dq

Berechnet man hieraus die Werte von

dV

dV

n und ——? um dx dy

sie in die Gleichung 15) einzuführen, von denen wir an-nahmen, dass sie identisch erfüllt sind, so folgt:

- (L + Nr) —■ + (K±Y& — Ns) ■

{K + Y(} — Ns) ~~ — (H + Nt)

dV dV

und die Elimination der Ableitungen -^7

dV

dq

= o,

ergiebt folglich:

also:

(L + Nr) (H + Nt) - (K-Nsf+G = 0, * Hr+2Ks+Lt + M + N(rt - s²) = 0.

810. Wir nehmen demnach an, dass die Gleichungen 15) eine gemeinsame Lösung besitzen. Enthält diese Lösung eine willkürliche Funktion, so liefert sie ein intermediäres Integral der ursprünglichen Gleichung. Diese Annahme wird erfüllt sein, wenn man zwei Funktionen u und v von x, y, z,p, q finden kann, deren Differentiale vermöge der Gleichungen 14) null werden; denn es ist evident, dass dann dieselbe Eigenschaft auch der Funktion <X>(u,v) zukommt, was auch immer die Funktion O sein mag; man genügt folglich den Gleichungen 15), indem man V=Q(u,v) annimmt, und hat sonach das intermediäre Integral

(u, v) = 0 oder v = cp («■);

cp bezeichnet wie eine willkürliche Funktion. Die Erzeugende der durch dieses Integral dargestellten Fläche ist definiert durch die beiden Gleichungen

v = cp (a),

wobei a ein variabeler Parameter ist.

Es bleibt nun noch eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung zu integrieren. Wenn aber die mit G bezeichnte Grösse nicht null ist, so kann unsere Methode uns zwei intermediäre Integrale liefern:

v = cp(ti), vl^'cp(ul)J

dz = pclx + qdy

indem man die Wurzel ]/G nach einander mit dem positiven und mit dem negativen Zeichen nimmt. Dann hängt die Bestimmung von z nur von der Integration einer totalen Differentialgleichung

ab, indem p und q bestimmte Funktionen von x, y, z auf Grund der beiden intermediären Integrale sind. Um diese letzte Rechnung auszuführen, kann man als unabhängige Varia-bele die Grössen wählen, von denen die willkürlichen Funktionen abhängen.

811. Die vorstehende Methode lässt sich ohne Schwierigkeit auf alle partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung ausdehnen, welche intermediäre Integrale zulassen. Handelt es sich aber dabei um eine Gleichung, welche nicht die Form hat, welche wir voraussetzten, so enthalten die entsprechenden Gleichungen wie 14), auf welche die Methode führt, noch die Ableitungen r, s, t\ man muss denselben dann noch die beiden Gleichungen

dp = rdx + s dy, clq = s dx + t dy

hinzufügen. Die weitere Rechnung bleibt mit einigen Komplikationen die nämliche; wir können indessen bei diesem Gegenstände nicht verweilen.

Über partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die aus bestimmten Flächenfamilien hervorgehen.

Eine Flächenfamilie, bei welcher sich jede Fläche aus einfach unendlich vielen Kurven eines zweifach unendlichen Systemes zusammensetzt, ist durch eine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung charakterisiert; eine Flächenfamilie dagegen, bei welcher jede Fläche das Umhüllungsgebilde eines einfach unendlichen Flächensystemes bildet, das aus einem zweifach unendlichen beliebig herausgegriffen wird, hängt von einer nicht linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung ab. Wir wollen zeigen, wie man durch Erweiterung dieser Sätze zu gewissen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kommt.

Es sei ein System von dreifach unendlich vielen Raumkurven gegeben durch die Gleichungen:

1) F(x, y, z, cfj, ff₂, 0f₃) = 0,    &(x, y, z, ax, a₂, <*₈) = 0,

in welchen ax, a₂, a₃ willkürliche Konstanten sind. Greift man ein einfach unendliches System heraus, indem man die willkürlichen Gleichungen:

l)f «3 = ^ (°^i)

einfühi’t, so entsteht eine Fläche. Die partiellen Ableitungen p, q für dieselbe sind durch die Gleichungen bestimmt:

dx

dz

dF , dF -r~ + 0

dy

dz

^ cF dax 80 dax dx dF dax    80

dax dy    dy

TT" + P

dx

do

dg

C0

+ q-ir- =

d 0 dax dux dx d 0 dax d «j dy ¹

also ist:

cF

dF

80

dx ' dy P

dz

8F

+ P^~

dz

80

oder:

dy

dz

dz

2) (

)+1?(

8F d_0 _8JF d_0 dz dy dy dz

'8F_ d 0 _ d_F_ d_0 k8x dz dz dx<

d_F 80 _8F 80 dx dy dy dx

Die Gleichungen l) und 2) enthalten die willkürlichen Grössen «i, a₂, a₃, nicht aber die Ableitungen derselben; schreibt man die Gleichung 2) in der Form:

3)

Z+pX+qY=0,

so ist sie eine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung. Man kann in derselben zwei der Konstanten vermittelst

der Gleichungen l) eliminieren; alsdann enthält die Gleichung noch eine willkürliche Konstante, und also ist die Flächenfamilie auf drei verschiedene Weisen durch eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung, welche noch eine willkürliche Konstante enthält, charakterisierbar. Man bilde nun weiter durch partielle Differentiation nach x und nach y:

az az a<*A / Jx⁺S^^)+P\ (dZ dZ a«A (

•\j^⁺»zw+p\

d_Y_ cY dy dx dax dx

dY dYdaXi _    .

--b ö— ~Y~ ) +    + ^ — 0,

dy dax dyJ

+ rX + sY= 0

d ccx dax

und ersetze —- :    durch seinen Wert aus der obigen Gleichung,

so wird:

dx ' dy

dz , ax ar

+ P 7:--h Q -r--b rX + sY

da

dx

dx

dx

dx

dF , dF P

dx

dz

da    dF

dy    dy

Schreibt man diese Gleichung in der Form:

A + rX-\-sY C B + sX-f tY~ J>’

⁸-ß- + P~ + ff?? + «Z+ tY

dF

dy

dy

dy

dz

so ist

4) (AD - BC) + rXD + s(YD - XC) - tYC = 0,

und dies ist die Form der linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung, auf welche jede Fläche des befrachteten Systemes führt, wenn man hier noch die eine willkürliche Grösse ax vermittelst der Gleichung 3) eliminiert. Zwischen den Koeffizienten von r, s, t besteht die Beziehung, dass

- 4.XYCD = (YD - XC)

ist, denn es ist

Die Flächenfamilie ist also charakterisiert durch eine lineare partielle Gleichung ztveiter Ordnung von der Form:

Hr + 2Ks + Lt + M = 0,

in ivelchcr HL —K²=0 ist; wobei diese Gleichung drei erste Integrale mit je einer willkürlichen Konstanten, oder, da zwischen den willkürlichen Konstanten zwei willkürliche Funktionen eingeführt werden können, zwei intermediäre Integrale besitzt.

Es werde ferner ein dreifach unendliches System von Flächen betrachtet:

1)

3 F(x, y, , o?2, #3)) und aus demselben vermittelst zweier willkürlicher Funktionen:

“3) = °»    ^(“l> «25 “3) = ⁰

ein einfach unendliches System herausgehoben. Jede Einhüllende solch eines Systemes gehört einer Flächenfamilie an, deren partielle Differentialgleichung ermittelt werden soll; es ist:

_ dF dF dax dat dx

_ dJF    8F dax

dx

^ dy    dal dy

und da für die einhüllende Fläche auch

dF

da

wird, so ist

2)

dF

dF

dx

'1 = TT-

dy

Da man aus den Gleichungen l) und 2) zwei willkürliche Konstanten eliminieren kann, so sieht man, dass die Flächenfamilie auf dreierlei verschiedene Weisen durch eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung charakterisiert werden kann, in welcher eine willkürliche Konstante vorkommt. Es ist nun weiter:

__o²F d²F da_ dx²    da dx dx

d²F dxdy

oder weil auch

d²F , d²F da n

ä^ ⁺ i?ä^ = 0 und

d²F    d²F da

dy²    dady dy ?

d²F da~ _ d²F    d²F da

dadx dy    dxdy    dady dx

so wird:

(r

d²F'

dx²

d²F

dx dy

■)-

Also ist

dy

d²F d²F da dady da² dy

d²F /a«\ da² \dx)

_ 0*F /0a\ (da\ da² \dx) \dy / d²F (day da² \dy)

oder

(r

_

dx²

d²F

dxdy

-)-o

und es ist

K² - (HL - MN) = G = 0.

Die betrachtete Flächenfamilie hängt ab von einer partiellen Differentialgleichung ziveiter Ordnung, welche nicht mehr linear ist, sondern das Glied rt — s² enthalten muss. Zwischen den Koeffizienten derselben besteht die Relation G = 0, und sie besitzt drei erste Integrale mit je einer willkürlichen Konstanten oder zwei intermediäre Integrale.

Dass nun auch umgekehrt eine Differentialgleichung, welche diese Eigenschaften hat, auf solch eine Flächenfamilie führt, ist aus den oben entwickelten Integrationsmethoden leicht zu beweisen.

Anwendung «auf einige Beispiele« 812. Erstes Beispiel. Es soll die Gleichung

d²z

d²z

—k — a² —5 = 0 oder r — a²t = 0 dxz dy*

integriert werden, wobei a eine Konstante ist.

Hier ist

H= 1, K = 0, L = — a², M = 0, N= 0, YQ = a. Die Gleichungen 14) des § 809 ergeben:

also

3) r

d²F

d²F .    2V r d²F d²F t d²F \²i

+ tdx² (rt Lax² dy² \dxdy) \~⁰'

d²F

-2s

dx dy

Schreibt man diese Gleichung in der Form:

Hr + 2Ks+Lt+M + N(rt - s²) = 0,

indem man sich aus den Gleichungen 1), 2), 3) die willkürlichen Konstanten eliminiert denkt, so ist:

dy

d²F    d²F d²F

dxdy dy²

dy²

~d²F d²F -dx² dy

/ d²F V \dxdy )

dy + a dx = 0, dp + adq = 0 y + ax — const, p + aq = const;

man hat folglich zwei intermediäre Integrale, die man in der Form schreiben kann:

p + aq = 2acp\y -f ax), p — aq = — 2aiß'(y — ax);

cp und iß sind willkürliche Funktionen, deren Ableitungen cp' und iß' sind. Hieraus folgt:

ferner:

p = acp' (y + ax) — aiß'(y — ax) q = <P'(y + ax) + t'(y ~ ax),

dz = (p\y + ax) (dy -f- adx) + iß'(y — ax) (dy — adx), und schliesslich

0 = W(y + ax) + iß(y — ax);

es ist unnütz, hier noch eine willkürliche Konstante hinzuzufügen, weil cp und iß willkürliche Funktionen sind.

813. Die Gleichung r — a²t = 0 ist die nämliche, auf welche das Problem der schwingenden Saiten führt; man kann ihr Integral auch unmittelbar erhalten, ohne dass man dabei auf die allgemeine Theorie der vorigen Paragraphen zurückgeht. Es genügt:

y -f- ax = a, y — ax = ß

zu

setzen, und a und ß als neue Variabele einzuführen. Dann ist:

(dz

v = a v

\    (dz dz\

')' q = \di ⁺ W

d²z

d²z

d²z

da²

dadß

^ dß²)

d²z

d²z

da² ^ dadß    dß²

Die ursprüngliche Differentialgleichung wird demnach:

d²z

hieraus folgt:

dadß

= 0 oder

dß

dz

dß

wobei iß'(ß) die Ableitung einer willkürlichen Funktion iß(ß) ist. Eine zweite Integration ergiebt:

wobei cp eine zweite willkürliche Funktion ist; dies ist das Resultat, auf welches auch unsere allgemeine Methode geführt hat.

814. Zweites Beispiel. Es soll die partielle Differential-

gleichung

rt - s²= 0

integriert werden, welche den developpabelenFlächen angehört (§ 353). Die Gleichungen 15) des § 809 reduzieren sich hier auf

= 0.

dV , dV ^ dV , 8V

JV+PTV~⁰’ IV+ ä

Um die erste zu integrieren, muss man y, p, q als Konstanten ansehen, bei der Integration der zweiten hat man x, p, q als Konstanten zu betrachten. Also hat man für die erste Gleichung

V = einer Funktion von z — px, y,p, q,

und für die zweite

V = einer Funktion von z — qy, x, p, q-,

man erhält also eine gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen, wenn man

F= ®(z-px - qy, p, q)

setzt; und man genügt der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung, wenn man diesen Wert von V null setzt.

Demnach hat man zwei intermediäre Integrale der Gleichung rt — s²= 0, nämlich:

q = <p(P), z-px + qy = ih(p),

wobei cp und ip willkürliche Funktionen sind. Man muss aber

bemerken, dass in dem vorliegenden Falle auch eine Lösung existiert, welche eine willkürliche Funktion von zwei Grössen enthält, nämlich:

z - px + qy =    q).

Um die Integration zu vollenden, hat man die Gleichung dz = pdx + qdy mit den intermediären Integralen zu verbinden; dieselben ergeben durch Differentiation:

dq = cp' (p) dp, x dp + y dq + ip' (p) dp = 0 also wird durch Elimination von dq:

x + ycp\p) + i>\p) = 0.

Das gesuchte Integral folgt also aus der Elimination von p zwischen den beiden Gleichungen

z=px + ycp(p) + il>(p), 0 = x + yfp'(p) +

Man erhält demnach die einhüllende Fläche einer beweglichen Ebene.

815. Drittes Beispiel. Es sollen die Flächen bestimmt werden, bei denen das eine System der Krümmungskurven in parallelen Ebenen gelegen ist.

Indem wir x, y, z als rechtwinklige Koordinaten und die zur Ebene xz parallelen als Ebenen der Krümmungskurven annehmen, wird die partielle Differentialgleichung der gesuchten Flächen (§ 322):

Hier ist

pqr — (1 + p²) s = 0.

H-pq, 2K=- (1+p²),

1 + p²

M= 0, N= 0, 1/G

Die Gleichungen 14) im § 809 werden also, wenn man |/G das Zeichen -f giebt:

dp = 0.

dy = 0, pq dp — (1 + p²) dq = 0, und wenn man ]/6r mit dem Zeichen — nimmt: pq dy + (1 + p²) dx = 0

Wir betrachten zunächst das erste System; es ist ?/ = const,

ferner:

p dp

dq

1 +p²

also

<1

= const.

vi+1>²

Man bekommt also das intermediäre Integral

q = ]/l+p²<p'(y),

wobei cp'(y) die Ableitung einer willkürlichen Funktion cp(\j) ist.

Die Gleichungen des zweiten Sj-stemes sind, weil dz = pdx-\-qdy ist:

also ist:

p dz -f dx = 0, dp = 0,

pz + x = const und p = const,

und folglich wird

x = — pz + *F(p)

das zweite intermediäre Integral, in dem W eine willkürliche Funktion ist. Es bleibt also die Gleichung

dz == pdx + q dy

zu integrieren; zu dem Zwecke wählen wir y und q als die unabhängigen Yariabelen. Das zweite Integral ergiebt:

dx = — p dz — z dp -f- W (p) dp.

Indem man diesen Wert von dx und ebenso den Wert von dq aus dem ersten Integral substituiert, erhält man:

]/l p² dz +

Die beiden Seiten dieser Gleichung sind exakte Differentiale, und da

{—*

j n+p

w(P) -rv(p)

dp

■/(T+jp²)³

ist, so wird, wenn man zur Beseitigung des Integralzeichens

:1 1P(P)

w (p) — (i+py

Vl +P²

dp setzt, wobei il>(p) eine neue willkürliche Funktion ist:

z]/l + j)²= — pYl +p*'ip'(p) + ]/l + p²^(p) + cp(y).

Zugleich bekommt das zweite intermediäre Integral die

Form:

x + pz = — (1 +p²)^\p) +pty{p)

und die Gleichung der gesuchten Flächen ist das Resultat der Elimination von p zwischen den beiden vorigen Gleichungen. Setzt man:

F= 0 — px - ]/l + p² (p (y) - ip (p), so kann das System dieser beiden Gleichungen durch

dV

F= 0. -T— = 0

dp

ersetzt werden. Die Flächen, zu denen diese Gleichungen gehören, besitzen Kurven von Nabelpunkten (§ 319), die durch die Gleichung

bestimmt sind.

1 + q² pq

Anwendung der Transformation von Legendre.

816. Diese Transformation haben wir im § 92 kennen gelernt-, sie ist bei Integrationsproblemen oftmals von Nutzen, und wir wollen hier ein Beispiel dafür geben.

Aufgabe. Es soll die allgemeine Gleichung der Flächen bestimmt werden, bei denen in jedem Punkte die Hauptkriimmungs-radien gleich und entgegengesetzt gerichtet sind.

Für diese Flächen ist also die mittlere Krümmung allenthalben gleich null (§ 311); sie heissen Minimal flächen. Ihre partielle Differentialgleichung ist nach § 320:

1)

(1 -j- q²) r — 2p qs -f- (1 + p²) t = 0.

Wendet man die Transformation von Legendre an, in

dem man

2)

also

3)

du

du

x = y = -x—

dp    dq

setzt, und p und q als unabhängige Variabele einführt, so wird die Gleichung 1):

d²u

4)    (1 + q²)

oq

2 + ²M

d²u

dpdq

+ (! + f) ^ = °-

Die Gleichungen 3) liefern:

21

Serret, Differential- und Integral - Rechnung. Bd. II. 2.

^ I

|Ci

Ci.

<?o|

« I ^

s?

und folglich kann die Gleichung 4) in jeder der beiden folgenden Formen geschrieben werden:

(l + s²)

dy

dx

cx

+ 2M^ + (1+^ = 0, (l + S²)I| ₊ 2₁,S|| ₊ (l+i,*)^_⁰.

dy

Indem man die erste dieser Gleichungen nach p und die zweite nach q differentiiert, erhält man zwei neue Gleichungen, welche sich aus der folgenden:

d²U

5) (1 + q²)

dp

+2M^+(1+i,)^⁺²⁹a7+2p^“°

ableiten lassen, wenn man hier U = x und U = y setzt. Und wenn man u durch px + qy — 0 in der Gleichung 4) ersetzt, und das eben gefundene Resultat beachtet, so erkennt man, dass die Gleichung 5) auch für U = z erfüllt ist. Demnach genügen die drei Koordinaten x, y, 0, betrachtet als Funktionen von p und q, der nämlichen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Die Methode des § 809 ist auf diese Gleichung 5) nicht anwendbar; indessen werden die Gleichungen 15) in jenem Paragraphen, übertragen auf die gegenwärtigen Bezeichnungen, durch eine Funktion V der beiden Yariabelen p und q erfüllt, und indem man diese Funktion gleich einer willkürlichen Konstante a setzt, erhält man ein partikuläres Integral der Gleichung 5). Das nämliche Integral kann man auch aus der ersten der Gleichungen 14) im § 809 erhalten, nämlich:

(1 + p²) dq — (pq ± ]/— 1 — p² — q²) dp = 0.

Diese Gleichung giebt, differentiiert unter der Annahme, dass dq = const ist:

d²p = 0, also

dp

dq

== const.

Wir bezeichnen die Konstante mit a oder ß, je nachdem die Wurzel |/ — 1 — p² — q² mit dem einen oder dem andern Vorzeichen genommen wird; also ist:

6)

1 -f p² = «(pq -f ]/— 1 — p² — q²), 1 +1>²= ß(joq — ]/— 1 — p² — 9²).

Da die Gleichung 5) erfüllt ist, wenn man U den Wert von a oder von ß beilegt, so ist evident, dass sich dieselbe vereinfacht, indem man a und ß als unabhängige Variabele an Stelle von p und q einführt. Es folgt aus den Gleichungen 6):

also:

p = uq -f- ]/— 1 — a²,

p = ßq +)/-1 - ß²>

«V-l- ß²-ß V-l- a*_    _ ]/— 1 —/P — )/—1 — a²

a — ß    '    ⁽1    a — ß

und man findet, dass sich die Gleichung 5) auf

^ = 0 dadß

reduziert, deren Integral

[7= 0(a) + W(ß)

Man

ist, wobei <3> und W willkürliche Funktionen sind, kann also schreiben:

du

x = — = cp' (a) + ^ (ß),

dp

wobei cp und ip willkürliche Funktionen sind. Unter der Annahme q = const hat man:

dp = qda -f d]/— 1 — a² = q dß + d ]/— 1 — ß²}

also ist:

dp-q [cp' (a) f/a + ip' (ß) dß] + cp'(a)d ]/-1 — a² + tp' (ß) d ]/ — 1 — ß²,

und u = q [cp («) + xl> (/3)] + cp' (a) ]/—1 — a² + 4>' (ß) ]/—1 — ß²

- f Y~l-a²cp"(a)da-f ]/-l-ß² ip"(ß) dß + %(q),

«0    Po

wobei %(q) eine bestimmte Funktion von q ist. Differentiiert man nach q, so folgt:

du

da

dV-l-a²

dq

dq

dq

+ Y(ß)

dV-i-ß

dq

und es ist, wenn p konstant ist:

0 = a dq + q da -f- d ]/— L — a² = ß dq -f q dß + d ]/ — 1 — ß², also:

y = IX» - «?'<»] + 1X0) ~ ßtf(ß)] + z'(X

Da aber y von der Form 0(a) + *P(ß) ist, so muss %'(cj) eine Konstante sein; man kann dieselbe mit den willkürlichen Funktionen cp und il> vereinigen, also %' {q) null setzen. Folglich ist:

V = [<3P(a) - «?>'(«)] + X0) ~ ß^'(ß)l

Da die Funktion %(q) konstant ist, so lässt sie sich mit den Integralen zusammenziehen, welche in dem obigen Werte von u auftreten, und deren untere Grenzen willkürlich sind. Aus diesem Werte von u folgt der Wert von z nach der Gleichung 2), nämlich:

Z = j Y- 1 — a² cp" (a) da -f f ]/— 1 — ß²-^"(ß) dß.

Demnach geht das Integral der ursprünglichen Differentialgleichung aus der Elimination von a und ß zwischen den drei Gleichungen hervor:

' x = cp\a) +

7)

y = cp (a) — a cp' (a) + t(ß) — ßt'(ß), z = JV-l-a² cp" (a) d a +fV~ I-0V'(0) dß,

wobei cp und ^ willkürliche Funktionen bedeuten. Wiewohl diese Gleichungen komplexe Grössen enthalten, so stellen sie doch auch unendlich viele reelle Flächen dar.

Über lineare partielle Differentialgleichungen*

817. Wir betrachten eine partielle Differentialgleichung irgendwelcher Ordnung mit einer beliebigen Anzahl von unabhängigen Variabeleu, die aber in Bezug auf die unbekannte Funktion und ihre partiellen Ableitungen linear ist.

Es ist evident, dass man, wenn diese Gleichung ein zweites Glied enthält, nur eine partikuläre Lösung der Gleichung zu kennen braucht, um dieses zweite Glied verschwinden zu lassen.

Hat die vorgelegte Gleichung kein zweites Glied, so besitzt sie zwei Eigenschaften, die wir für den Fall der gewöhnlichen linearen Differentialgleichung in den §§ 724 und 725 festgestellt haben, nämlich erstens: kennt man eine Funktion, die der partiellen Gleichung genügt, so erhält man eine allgemeinere Lösung, wenn man diese Funktion mit einer willkürlichen Konstante multipliziert; zweitens: wenn gegebene Funktionen in irgend welcher Anzahl die Gleichung befriedigen, so genügt ihr auch die Summe dieser Funktionen.

Wenn es sich um eine lineare partielle Differentialgleichung ohne zweites Glied handelt, deren Koeffizienten konstant sind, so liefern die genannten Eigenschaften eiue Lösung der Differentialgleichung, welche so viele willkürliche Konstanten enthält, als man nur will; bisweilen führen sie auch zu einer Lösung, welche willkürliche Funktionen enthält. Um dies zu zeigen, betrachten wir den Fall zweier unabhängiger Varia-belen x und ?/; doch lässt sich unsere Untersuchung auf alle diese Fälle ausdehnen.

818. Die lineare partielle Differentialgleichung sei: 1) 0 = a₀z + (b₀

dz

dz

dy

) + (c°

d²z

dx²

+ cx

d²z

dxdy

d²z\

+ C2ä?7⁺”

ihre Ordnung sei n und ihre Koeffizienten konstant. Wir ersetzen z durch e“*+Av, so wird das Resultat dieser Substitution eax+?,Jf(a, /3), wenn man

f(a, ß) = a₀ + (ib₀a + \ß) + ([c₀a² + ctaß + c₂ß²) -\----

setzt. Ist also die Gleichung

2)

ft«, ß) = o

erfüllt, wenn man a = a₀, ß = ß₀ setzt, und bezeichnet C0 eine willkürliche Konstante die Funktion

so

wird der Gleichung 1) durch

z = C₀ea‘>x+li‘>y

genügt; und da die Gleichung 2) unendlich viele Lösungen («, ß) zulässt, so ist auch:

3)

z = 2Ceax+Py

eine Lösung der Gleichung 1) und enthält beliebig viele Terme.

819. Der Fall, dass einige der Wurzeln ß der Gleichung 2) lineare Funktionen von a sind, ist besonders zu bemerken; alsdann kann man eine Lösung der partiellen Differentialgleichung bilden, welche eben so viele willkürliche Funktionen enthält, als solche Wurzeln ß Vorkommen. Denn nehmen wir an, dass man aus der Gleichung 2)

ß = ma + n

entnehmen kann, so giebt die Formel 3), wenn man für ß diesen Wert nimmt:

z =*= eny 2J Ce<-x+my'>a.

Die Zahl der Glieder in dieser Summe ist unbestimmt;

die Exponenten a in denselben und die Koeffizienten C sind willkürlich; also ist die Summe eine willkürliche Funktion von ex+m,J oder auch von x 4- vny. Folglich erhält man die Lösung:

z = eny    _p my),

wobei 0 eine willkürliche Funktion bezeichnet, wie man nun umgekehrt leicht verifizieren kann.

Hat die Gleichung 2) eine zweite Wurzel

ß == ml a + Mj,

die eine lineare Funktion von a ist, so kann man die neue Lösung

z = eniV Ox(x + mxy) bilden, und so fort. Die Summe dieser Lösungen, nämlich: z = eny <D(x    my) + en'y Ox(x + mxy) -f- • • •

ist auch noch eine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung.

820. Anwendung auf das Problem der schwingenden Saiten. Verschiedene Fragen der mathematischen Physik führen auf partielle Differentialgleichungen der hier betrachteten Art. Bei diesen Aufgaben muss die unbekannte Funktion überdies noch gewissen besonderen Anfangs- oder Grenzbedingungen genügen, und um die vollständige Lösung zu erhalten, muss man über die willkürlichen Elemente so verfügen können, dass die geforderten Bedingungen erfüllt sind. Wir beschränken uns hier auf die Gleichung des Problemes der schwingenden Saiten, das uns schon in den §§812 und 813 beschäftigt hat.

Die Aufgabe besteht hier darin, eine Funktion y der Variabelen x und t zu finden, welche der Gleichung

1)

dx²

dt²

o

genügt und so beschaffen ist, dass für t — 0

2)

y = F(x)

dy

= fix) dt ' w

wird, wobei F(x) und f(x) gegebene Funktionen von x sind; a bedeutet eine reelle Konstante.

Indem man    für y in die Gleichung 1) substituiert,

ß²— a²a²= 0

erhält man

und hieraus folgt:

ß = + au, ß = — au,

3)

also genügt man der Gleichung 1) (§ 819), indem man y = O(oc + at) + F(x — at)

setzt, wobei und W willkürliche Funktionen sind. Es bleibt also die Bedingung für t = 0 zu erfüllen; man folgert aus 3):

4)

dy

= a<b’(x + at) — aW'(pc — at), und für t = 0 geben die Gleichungen 3) und 4):

dt

la j }(%) dx = F₁ {pc),

O (x) -f W (x) = F (x), O (x) — *¥ (x) = setzen, also wird

® (*) = iF(x) +1^*),    ??(*) - iF(x) - iF^x)

und folglich ist:

Fx(x + eit) — Ft(x — at)

cy

^ = a&'(x) — alF'(x). Um den Gleichungen 2) zu genügen, muss man

y = O (cc) -f- W (x)

F(x -j- at) -f* F(oc — at) y=    —"    2

Die vollständige Lösung des physikalischen Problemes wird aus dieser allgemeinen Gleichung gewonnen, indem man noch die Bedingungen beachtet, dass die schwingende Saite von der Länge l in ihren Endpunkten x = 0 und x — l festgehalten ist.

Über die Integration partieller Differentialgleichungen durch unendliche Reihen oder durch bestimmte Integrale.

821. Die Fälle, in denen man die partiellen Differentialgleichungen von höherer als der ersten Ordnung vollkommen durch allgemeine Funktionen integrieren kann, sind an Zahl sehr gering, und man ist daher bei den Anwendungen darauf gewiesen, die Integration vermittelst unendlicher Reihen zu versuchen. Aber auch dieses Verfahren ist nur bei den linearen Gleichungen durchführbar; man kann dann die Formel von Maclaurin oder die von Taylor wie bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen anwenden. Oftmals ist auch die Methode der unbestimmten Koeffizienten vorzuziehen, sie bietet eine grössere Allgemeinheit, denn sie lässt die Entwickelung der Integrale in eine Reihe finden, welche nach Potenzen irgend einer Funktion der unabhängigen Variabelen fortschreitet.

Man kann auch das Integral der nämlichen Gleichung durch verschiedene Reihen darstellen, welche oft auch durch

die Zahl der willkürlichen Funktionen sich unterscheiden. Hieraus folgt, dass man nicht von vornherein die Zahl und Beschaffenheit der willkürlichen Funktionen angeben kann, welche in dem allgemeinsten Integrale einer partiellen Differentialgleichung höherer Ordnung auftreten.

822. Wir betrachten als Beispiel die Gleichung

1)

du

d²U

dt a dx² ’

die in der mathematischen Theorie der Wärmeleitung auftritt; a bezeichnet eine gegebene reelle Konstante. Aus der Differentiation nach t folgt:

d²u

d²

du

d³u

dt2 a dx²dt ü dx²

dt

= a²

d¹u

2)

du

d²u

dt³

= a²

d¹u

d² —

ct

dx⁴dt

dX⁴

= a³

dGu

dxe

und wenn man t den besondern Wert t₀ beilegt, so bestimmen die Gleichungen 1) und 2) die entsprechenden Werte der aufeinander folgenden Ableitungen von u nach t. Aber der Wert von u bleibt eine willkürliche Funktion von x\ bezeichnet man ihn mit F(x), so hat man nach der Formel von Taylor:

3)

u = F (x) -f

a²F¹(x)

1.2

a²FG(x)

1.2.3

(ß ~~ O⁸ H----f

ein Ausdruck, der eine einzige willkürliche Funktion F{x) enthält.

Wir wollen nun u nach aufsteigenden Potenzen von x — xQ entwickeln, wobei x₀ eine willkürlich gewählte, bestimmte Grösse ist. Dife Gleichung 1) ergiebt:

4)

ferner:

du

d³u

dAu

,dhi_

1 ° dx²

dx³

dt

dx⁴

1 d²u dt a² dt²

du

g² —

d⁵u 1 dx ^¥ ⁼ a² dt²

d²u

d⁶w _ 1_ g#²    1 gsM

da?⁶ n² dt²    a³ d£3 ?

du

Die Werte von w und    welche zu # = £₀ gehören,

bleiben hier willkürliche Funktionen von t\ bezeichnet man sie mit cp(t) und ipit), so bestimmen die vorstehenden Gleichest d³u Jx²’ ~d¥’ '

ungen die Ableitungen Formel von Taylor:

• • und es wird nach der

u = (p (t) +

5)

1.2

er

4!

a²

0³-³<>) +    3|

^(0 (x-x₀y 4>"(t)(x-x₀)5 5! et²

Dieser Ausdruck von u setzt sich aus zwei verschiedenen Reihen zusammen und enthält zwei willkürliche Funktionen (p(t) und tp(t). Indessen ist die Formel 5 nicht allgemeiner als die Formel 3); Poisson hat gezeigt, dass sich die beiden Gleichungen in einander überführen lassen, wenn man voraussetzt, dass die Reihen konvergent sind (Theorie mathematique de la chaleur, p. 137). Diese letztere Voraussetzung ist überhaupt eine Annahme, welche wir über die Beschaffenheit des Integrales gemacht haben, dieselbe ist aber keineswegs notwendig für das allgemeinste Integral der Differentialgleichung 1).³

823. Anstatt die Integrale in Reihen zu entwickeln, kann man sie bisweilen auch zweckmässig durch bestimmte Integrale darstellen; wir beschränken uns dabei nur auf ein Beispiel für diese Methode und wählen wieder die Gleichung

du

d²u

dt

a dx²'

Indem wir auf dieselbe die Methode des § 818 anwenden, ergiebt die Substitution von eaxJrP⁽ für u:

ß = aß²,

und folglich hat man als Lösung unserer Gleichung:

u = Ceaa2teax + G₁eaa*a<e“‘x+

welche eine unendliche Anzahl von willkürlichen Konstanten C, Cx, ... a, «₁₅... enthält. Nun ist (§ 498):

+ cc

e — (u²e2

gefeit _

rJ-

a tu

y at

da,

— CO

also kann man schreiben:

+ 00

« = -7=

}/7C

Je— a,l[(7ca(*+2“I/«<⁾ cfiCaf₁(*+2t»y«o _|_ ...jn¹«.

—co

Die Reihe

+ CiC“**-}----

kann eine willkürliche Funktion von ex oder eine willkürliche Funktion von x darstellen; bezeichnet man dieselbe mit F(x)i s0 wird der Wert von u:

+ co

e~w* da\

— GO

sie reduziert sich auf F(cc) für t == 0, und also wird sie mit der Formel 3) § 822 identisch, wenn man dort £₀=0 setzt. Indessen muss man bemerken, dass die vorstehende Formel nur dann gilt, wenn F(x) so beschaffen ist, dass das Produkt e~~x* F{x) verschwindet, wenn x unendlich wird.

Die Untersuchung, von welcher wir hier nur einen Begriff geben wollten, ist für die Probleme der mathematischen Physik überaus wichtig. Die besonderen Schriften hierüber, wie das Werk von Poisson, enthalten viele Beispiele hierzu, so dass wir es für überflüssig halten, auf weitere Entwickelungen hier einzugehen.

Siebentes Kapitel.

Über die Methode der Variationsrechnung.

Definition der Variationen eines Systemes von Yariabelen, welche von einer unter ihnen abhanden.

824. Es seien x und y zwei Variabele, welche von einander abhängen, so dass

1)

v = f 0*0

ist. Betrachtet man x und y als Koordinaten, so stellt diese Gleichung eine Kurve dar, und wenn man diese Kurve mit einer andern vergleichen will, welche durch irgend eine andere Gleichung

2)

y*=fi(p)

definiert ist, so kann man beide Kurven, und zwar auf unendlich viele verschiedene Weisen, in der nämlichen Familie vereinigen, deren Gleichung

3)

V = F (x, a)

einen variabelen Parameter a enthält. Die Funktion F muss so gewählt werden, dass sie sich successive auf f und ft reduziert, wenn man dem Parameter a zwei besondere Werte beilegt. So kann man z. B.; indem man mit a₀ und a₁ irgend zwei bestimmte Werte von a bezeichnet:

F(x: cc) =

«i-

«i - «o

setzen, denn diese Formel giebt:

a n | a

— f{?) + —

«i - «o

/iO)

F (x, a₀) = f{pc), F (x, af) = fx (x).

Und wenn man die allgemeinste Funktion F(x, a) haben will, welche die angegebene Bedingung erfüllt, so braucht man bloss diesem Ausdruck eine willkürliche Funktion von x und a hinzuzufügen, welche der einzigen Bedingung unterworfen ist, dass sie für a *= a₀ und a = ccx bei allen Werten von x verschwindet.

Lässt man a von a₀ bis ccx variieren, so fällt die durch die Gleichung 3) dargestellte Kurve zuerst mit der Kurve 1) zusammen, alsdann deformiert sie sich stetig, wenn wir annehmen, dass bei jedem Wert von x die Funktion F(x, a) eine stetige Funktion von a ist, und geht schliesslich in die Kurve 2) über.

Will man zwei Bogen der Kurven 1) und 2) mit einander vergleichen, welche zwischen den Ordinaten enthalten sind, die zu zwei gegebenen Werten x₀ und X von x gehören, so kann man annehmen, dass, während a von cc₀ bis ax variiert, die verschiedenen Punkte des ersten Bogens in die Punkte des zweiten übergehen,* indem sie sich auf Parallelen zur y-Axe bewegen; alsdann sind die Punkte der Kurven 3), welche einem Werte von x zwischen x₀ und X entsprechen, korrespondierende.

Fig. 30.

fr

825. Wie nun aber auch die Bogen der beiden Kurven, welche mit einander verglichen werden sollen, gewählt sind, man kann immer den zweiten Bogen als durch Deformation des ersten entstanden betrachten, d. h. indem man die verschiedenen Punkte des ersten gewisse Wege durchlaufen lässt. Die Endpunkte jedes dieser Wege werden korrespondierende Punkte der beiden Kurven. Diese Deformation lässt sich auch auf unendlich viele verschiedene Weisen ^    ^

ausführen, und dies wollen wir hier nun zeigen.

Es seien AB und AXBX die

Bogen der beiden Kurven, die wir —-----

als korrespondierend betrachten.

Wir können die Bogen MN und MXNX willkürlich wählen, auf denen sich die Endpunkte AB des ersten Bogens bewegen, um nach der Deformation mit

#

den Endpunkten Ax, Bx des zweiten zusammen zu fallen. Indem wir aber wie im vorigen Paragraphen verfahren, können wir die beiden Kurven MN, MXNX, und zwar auf unendlich viele verschiedene Weisen, in der nämlichen Familie von Kurven zusammenfassen, die durch eine Gleichung

4)

®(x,y, 0=0

dargestellt ist, wobei t einen variabelen Parameter bezeichnet; die Kurven MN und MXNX gehören zu zwei bestimmten Werten t₀ und tx des Parameters t. Es sei nun

5)

F(x, y, «) = 0

die Gleichung einer Kurvenfamilie, welche die beiden Kurven AB, AxBx enthält, und wir wollen wie vorhin annehmen, dass diese beiden zu den Werten aQ und ax des Parameters a gehören.

Die Systeme der Kurven 4) und 5) lassen nun alle Punkte der Ebene bestimmen; denn fixiert man die Werte von x und y, so ergeben diese Gleichungen die Werte von t und a. Man kann also x und y als Funktionen von t und a betrachten; wir nehmen an, dass aus den Gleichungen 4) und 5):

6)

x = cp(t, «), y =    (t, a)

berechnet ist. Lässt man t variieren, indem man a als konstant betrachtet, so bestimmen diese Gleichungen eine Kurve des Systemes a, welches die beiden gegebenen Kurven AB, AXBX enthält. Lässt man dagegen a variieren, indem man t als konstant betrachtet, so bestimmen die Gleichungen 6) eine Kurve des Systemes t, welches die Kurven MN, MXNX enthält, und jede Kurve des Systemes t schneidet die gegebenen Kurven und die anderen Kurven des Systemes a in Punkten, welche als korrespondierende zu betrachten sind.

826. Die vorstehenden Betrachtungen lassen sich ohne weiteres auf eine beliebige Anzahl von Variabelen ausdehnen, welche unter sich von einer abhängen. Man erhält den folgenden Satz:

Es lassen sich immer, und zivar auf unendlich viele verschiedene Weisen, n Funktionen d>, W, X... der beiden Variabelen t und u finden,

7) x = 0>(t, «), y =? ?F(t, a), z = X(t, «),••• so dass für die Werte a = a₀ twrf « = at:

8)

x = 9>₀(t), y = ^o(t)₅ z = Zo(t);---x^iO), y=^i(t)J z = Zl(t)₅--‘ wird, und für die Werte t = t₀ und t = tx:

9)

x = ^₀(«), y=^o(«)» z = *o(«); x = ®i(a), y = 3*i(a), z = X^a),

wie auch die Funktionen <p₀, cpl, ip₀, 4>₁₎ ... und Q₀, 3>n ?F₀ , Fj,... gegeben sein mögen.

Es ist evident, dass die Funktionen #₀, F₀,X₀... gleich <p₀, Xoi-" werden müssen, wenn man « = a₀, t = tQ annimmt, und gleich ^1? Vfi,    wenn man a = a₁₇ t = t₀

annimmt; desgleichen müssen die Funktionen cPn ?P“₁₇ Xx ... gleich g>₀, ^₀,    werden oder gleich <px, if>lf    wenn

man a = a₀₎ t — tx oder a = a,, t = tt setzt.

Setzt man z. B.:

^(ßoj ao)    9^0 (0    ^o(ao)

®(<01 «i) = 9>1&) = ®o(«i) =

^ (^i) «o) ⁼ 9*o (^i) ⁼⁼    («o) ”    5

®(*n «i) = 9h(A) =    = -D>

so kann man für Q(t, a) den folgenden Ausdruck wählen:

a) =

«i-

«i ~ «o

- 9>o(0 + “

- a₀

«i - a₀

9h (0

£x- * "

f t₀ _

t ~ t₀ ~ f t₀ _

und ebenso für die übrigen, *F(t,a)...

Die Gleichungen in der ersten Zeile des Systemes 8) definieren irgend ein System von Variabelen, welche unter sich von einer abhängen. Nimmt man x zur unabhängigen Varia-belen, so lassen sie sich durch

Q₀ (» - A

®1 (*)-C

«i- «o

a₁ — a

«1- a₀

_ jß a~cco «1— «0

D « - «0 «1 - «0

■]’

lj=>f{x), ₂ =    U=fW(x),...

darstellen. Ebenso definieren die Gleichungen der zweiten Zeile im System 8) ein zweites System von Funktionen:

V = fi 0*0> s = /;⁽¹⁾ (x), u - fx'²\x),... und diese beiden Systeme sind in dem allgemeineren Systeme enthalten, welches durch die Gleichungen 7) definiert ist; das eine gehört zum Werte u = u₀₎ das andere zum Werte u = av

10)

11)

827. Erteilt man dem Parameter u irgend einen bestimmten Wert, so definieren die Gleichungen 7) ein System von Funktionen y, 0,... der Variabelen x. Setzt man nun weiter:

dz = z' dx, dz'= z" dx, du' = u"dx:...

dy = y' dx, dy' = y" 1 Ix, dy" = y¹" dXf dz” = z'" dx, du" = u"' dx,...

du = u' dx....

so können die neuen Variabelen y', z', u',... y", z", u", ... ebenso wie x, y, z, ... als Funktionen von t und a ausgedrückt werden. So giebt z. B. die Differentiation der Gleichungen 7):

d 0 (t, u)

dx =

dt

dt, dy =

d W(t, u)

dt, dz =

dX(t, u)

und hieraus schliesst man: dWi^ a) # g0>(;, a)

dX(t,u) dQ(t,u)

-—— :-—-1 • • •

z'-

y = st

man erhält ebenso durch eine neue Differentiation y", z",... und so weiter.

dt

dt

dt

828. Indem die Variabelen x,y, z,... y', z', ...y", z", ... als Funktionen von t und u ausgedrückt sind, betrachten wir t als konstant, und lassen u um du sich ändern. Die Änderungen, welche die Grössen x,y,z,... dabei erleiden, werden dann ausgedrückt durch:

80(t, u)

Ax =

du

du +

Ay =

d W(t, u)

du

d u -f-

d²0(t,u) du²

“Ta* 1.2 d²W(t,u) du2 du² 1.2

Wendet man nun das Zeichen d an, um die Differentiale verschiedener Ordnungen in Bezug auf die Yariabele a allein zu bezeichnen, so kann man einfacher schreiben:

Ax = da -f-

d²a

1.2

d²y

Ay = d y + j—g + • •

d²z

Az — dz +    + • •

und ebenso ist auch

Ay' = dy' +

dy

A#' = dz' -f-

1.2

dV

1.2

Die Differentiale

da, dy, dz, ... dy', dV, ... dy",... heissen die Variationen der Variabelen a, y, z,... y\ a',... y",

sie beziehen sich auf die Änderung des Systemes von Funktionen, welches die Gleichungen 7) bei einem bestimmten Wert von a bestimmen, zu einem neuen Systeme, welches aus den nämlichen Gleichungen 7) hervorgeht, wenn a um das Differential da geändert ist. In dem folgenden werden wir nun a = a₀ annehmen-, dann fällt das System 7) mit dem gegebenen Systeme 10) zusammen, und die Variationen da, dy, dz,... dy', ...

beziehen sich auf eine Änderung der Funktionen dieses Systemes-, dabei ist diese Änderung eine willkürliche; denn das System 7) definiert für a == ax ein System von willkürlichen Funktionen, und die Differenz — a₀ kann so klein angenommen werden, als man nur will.

Die zweiten Differentiale

d²a, d²y, d²2, ... d²y', ...

werden die Variationen der zweiten Ordnung der Variabelen x, y, z,... y', ... genannt, desgleichen

Serret, Differential- unil Integral-Beatmung. Bd. II. 2.

22

8sx, 8⁵y, 8az,... 8³y', ... die Variationen der dritten Ordnung, u. s. f.

Es sei nun allgemein

V = F{x,y, z,...y\z', ... y",...)

Die Funk-

eine Funktion der Variabelen x, y, z,... y', z' ... tionen y, z, ... sind durch die Gleichungen 10) definiert; wenn man an Stelle des Systemes 10) das System 7) substituiert, das mit dem ersteren für a = a₀ zusammenfällt, so erhalten die successiven Differentiale von V, in Bezug auf a, für a = a0 Werte, welche genau die Variationen verschiedener Ordnungen der Funktion V sind.

Da diese Variationen also nichts anderes sind, als Differentiale, so sind die Regeln der Differentiation auf sie anwendbar, und man erhält z. B. den folgenden Ausdruck für die Variation erster Ordnung dF:

dV

<5 V — —— 8x +

dx

dV

dy'~I-----h ^—77    ----

dy

Diese Betrachtungen sind auch anwendbar auf den Fall eines Systemes von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variabelen. Doch unterlassen wir diese Erweiterung, da sie zum Plane unseres Werkes nicht mehr gehört.

Lehrsätze über die Vertauschung der Charakteristiken.

829. Lehrsatz I. Die Ordnung der Operationen, ivelche durch die Charakteristiken d und 8 ausgedrückt sind, lässt sich vertauschen.

Denn es sei

V=F(x,y,z,... y\ z\ ...y",...)

und die Variabelen x, y, z, ... y\ z\ ... y" seien ausgedrückt als Funktionen der beiden Variabelen t und a, wie oben ausgeführt wurde; dann ist:

r-f(t,«),

wobei wir annehmen, dass a einen bestimmten Wert a₀ hat. Nun hat man, der Definition gemäss:

dV=

8f(t, a)

a. dt, ÖV dt

df(t, K)

da

da\

da die Variabelen t und a unabhängig sind, so sind ihre Differentiale dt und da willkürlich und konstant. Differenziert man also die beiden vorigen Formeln, die erste nach a, die zweite nach t, so erhält man:

dt

da

dt da. döY —

g 3/X*> a)

öa    n j

—    dt da,

also wenn

ist (§ 60)

d²f(t, a) ^ d²f(t, a) dt da

ddV=ddV,

da dt

womit der Satz bewiesen ist.

d n dm V = d«dnV.

Folgerung. Es ist, was auch die ganzen Zahlen m und n sein mögen:

Bemerkung. Man erkennt, dass die Beweise der vorstehenden Sätze auf der Vertauschbarkeit in der Reihenfolge partieller Differentiationen einer Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen basieren. Ist V als stetige Funktion der Grössen x, y, z,... y\ ... gegeben, und sind diese als stetige Funktionen der Variabelen t definiert, so müssen auch die willkürlichen Funktionen des Systemes 7) § 826 so definiert sein, dass nicht nur V eine stetige Funktion von t und a wird, sondern auch die partiellen Ableitungen von V der geforderten Bedingung genügen. Wir erreichen dieses jedenfalls, wenn wir voraussetzen, dass diese willkürlichen Funktionen stets der Einschränkung unterworfen werden, dass sie nebst ihren in Betracht kommenden partiellen Ableitungen stetige Funktionen der beiden Variabelen t und a sind.

830. Lehrsatz II. Die Ordnung der Operationen, welche durch die Charakteristiken J und d ausgedrückt sind, lässt sich vertauschen, was auch die Grenzen sein mögen, zwischen denen die Integration auszuführen ist.

S =J Vdx-

Es sei

xa

V bezeichne eine gegebene Funktion:

22*

V=~F(x,y,z,...y\z\...y'\..) einer unabhängigen Variabelen x, der verschiedenen Funktionen y, z, ... von x und der Ableitungen dieser Funktionen. Sie kann überdies auch noch abhängen von den Werten x, y, z,... y\ s'..., an den Grenzen der Integration.

Man kann    y\ z\ ... als Funktion der beiden

S-/(F§)

Variabelen t und a ausdrücken, aber man muss nach der Substitution dieser Werte in V für a einen bestimmten Wert a0 annehmen. Wenn nun t₀ und tx die Werte von t bezeichnen, welche den Grenzen x₀ und xx entsprechen, wobei wir annehmen, dass, während x das Intervall von x₀ bis xx durchläuft, t stets in demselben Sinne sich ändert, so kann man schreiben:

dt.

Um nun <3'S zu erhalten, muss man dieses Integral nach a differentiieren, und da die Grenzen t₀ und tx unabhängig von a sind, so kann die Integration unter dem Integralzeichen ausgeführt werden (§ 479). Man erhält also:

ÖS=fi(r%)dt

Da aber di eine Konstante ist, so ist d (V^ ^Vdx)

folglich:

„ , ,. ,    V dt J dt ¹

f dt

oder, indem man zur unabhängigen Variabelen x zurückkehrt:

dS =

Ö{~Vdx)dL

to

ÖS =

d{Vdx)

dx

dx.

Man schreibt auch bisweilen

x\

SS = f ö{Vdx)

indem man den Faktor dx unterdrückt, der im Zähler und Nenner unter dem Integrale auftritt, und dabei annimmt, dass

sich die Integration auf die unabhängige Variabele x bezieht. Die vorstehende Formel enthält die Behauptung des ausgesprochenen Satzes und gilt, welches auch die Grenzen x0 und x₁ sein mögen. Dieselben sind konstant, wenn die Variabele x mit t zusamraenfällt, im allgemeinen Falle aber variieren sie mit a.

Darstellung der Variationen einer Funktion und ihrer Ableitungen als Funktion der Variation der unabhängigen Variabelen und einer neuen Variabelen.

831. Es sei y eine gegebene Funktion der Variabelen wir setzen wie früher:

1)

dy = y' dx} dy' = y"dx}...

und definieren ferner:

2)

co = dy — y' dx, also dy = y' dx -f- co.

Differentiiert man die erste Gleichung 1) mittelst der Charakteristik d und die vorstehende Gleichung mittelst d, so folgt:

d dy = dy' dx + y' d dx, d dy = dy' dx -f y'ddx -f- dco-

da die Ordnung der beiden Charakteristiken d und d vertauscht werden kann, so ergiebt die Vergleichung:

dy' dx = dy' dx -f dco,

oder, wenn man mit dx dividiert, und die zweite Gleichung 1) benutzt:

dco

dy'=y"dx+ ~

Desgleichen folgt, wenn man die zweite Gleichung 1) mit d und die vorstehende mit d differentiiert:

d dy'= dy"dx + y"d dx, ddy' = dy" dx + y"ddx + d^ >

also

dy" dx = dy" dx + d

dx

oder dy" = y'"dx -f

d²oo dx²

Fährt man so fort, so werden die Gleichungen erhalten:

d² CO

3) dy = y' d x-\~oj, dy' = y" dx-\-und allgemein

> dy" = u'" dx -f

dx²

fl **    ^ rn

§y{n-l)^yW8x+ «

ct oc

welche die Variationen dy, di/', dy", ... lediglich durch die Grössen dx und co darstellen.

832. Vermittelst dieser Formeln kann man einen sehr einfachen Ausdruck für die Variation einer Funktion von x und y und den Ableitungen y\ y"} ... erhalten. Es sei:

V=F(x,y, y\y",... «/(n))j

wir bezeichnen das totale Differential dV von V mit

4)

so

5)    dV= Xdx + Ydy + Y'dy'+--- + YMdy«\

ist (§ 828):

ü) dV=Xdx + Ydy + Y'dy'+--- + Y^dyw.

Subtrahiert man die Gleichungen 5) und 6), nachdem

Ö 00

man die erste mit multipliziert hat, so folgt:

CI 00

dx

dV— dV-r— = Y(dy — y'dx) + Y'(dy' — y"dx) H-----b Y(n){dyn— ?/Cw + 1) dx)

Ct 00

oder vermittelst der Formeln 3):

dnco

„ d² co dx²

Enthält die Funktion V noch andere Funktionen von x} nämlich z, u, ... mit ihren Ableitungen z\ u\ ... z", u", ... so muss man der rechten Seite der Formel 5) noch die Glieder

Zdz + Z¹ dz' + • • ■ + U du + U'du' + • • •

dx

dco

7) dV= dV~ + Yco+Y'— + Y

'    dx    dx

+ • • • + Y w)

dxn

hinzufügen, und der rechten Seite der Formel 6) die analogen Glieder

Zdz+ Z'dz'+ . + üdu+ U'du'-\-

setzt man also

oox= 8z — rf8x^ co₂=8u — u'8x, ...

so ist evident, dass die Gleichung 7) noch die Variation 8V darstellt, wenn man auf der rechten Seite noch die Glieder addiert:

Zcox -f- Z'

d g)j

dco₂

dx

dx

Berechnung der Variation eines bestimmten Integrales.

833. Wir stellen uns die Aufgabe, die Variation des bestimmten Integrales

1)

£=/ Vdx

x₀

zu berechnen. Dabei nehmen wir zunächst an, dass V unabhängig ist von den Grenzen x₀ und xx, welche im allgemeinen mit a veränderlich sind, und dass V auch nur eine einzige Funktion y von x enthält; also ist

2)

V= F(x, y, y'\ ... ?/(n)).

Indem man die Gleichung 1) mit d differentiiert, wird (§ 830):

3)

8S =

X,

8 {Vdx)

dx

x₀

und da man die Ordnungen der Differentiationen d und 8 vertauschen kann, so ist

8{Vdx) = 8Vdx+Vddx',

ferner ist (§ 832):

dF= dV ^ + Yco + r 4- + • • • + rw

dx

dx

dn co dxn ’

wenn man dV = Xdx -1- Ydy + Y'dy' + • • ■ + Yw dy<n) und co = 8y — y'dx setzt. Hiernach folgt:

¹

u 1 du

²

dx² a dt

³

Eine allgemeine Methode für die Integration linearer partieller Differentialgleichungen dieser Art ist im Anhang gegeben.

4) ä(rdx) - d(TSx) + (yra + Y' ^ + ■ ■ ■ + r- ^) dx,

und mithin ergiebt die Gleichung 3):

8S

-j

•n

'd{V8x)

dx

— d x -j-

5)

X₀

*0

x₀

⁺J

Y(«)

dna

dxn

dx,

Das erste der in dieser Formel enthaltenen Integrale ist gleich der Differenz der Werte, welche das Produkt Vdx an den Grenzen des Integrales annimmt; unter den folgenden Integralen können diejenigen, welche von den Ableitungen co abhängen, vermittelst der teilweisen Integration in andere transformiert werden, in denen nur die Grösse a vorkommh Denn es ist:

J dx

y„tPm

dx²

Y’

da

dx = Y' a —

"dY

dx

a dx,

da

dx =

dY"

d²Y"

dx

dx

dx²

a dx,

also wenn man x₀ und xx als Grenzen wählt:

da

dx

x₀

dx = \Y' a] — /

*0 j

X,

dY

—z— a dx

dx

6)

xt

fY"

ts

d²a

dx²

dx

-[

Y”

dY" dx dx

da

d² Y"

dx²

a dx₇

*n

x° x₀

Setzt man zur Abkürzung:

d²Y”

7)

dY'

dn Y<n>

dx

dx²

dx¹¹

und

dY"

8)

= Vdx + (Y'    ,

\ dx

+ (Y

d²Y'"

dY'"

da

da;²

/ da;

d²to

dx²

+ --- + 7W

dn~¹a dxn~¹’

und bezeichnet man ferner mit jT₀ und Tx die Werte, welche r an den Grenzen der Integration erhält, so wird der Ausdruck 5) von öS, auf Grund der Formeln 6):

Ö)

dS =    + f.Kadx.

x₀

10)

Ersetzt man    ? ’ • • durch ihre Werte d'y — y'dx,

dy' — y"8x, dy" — y'"dx, so wird der Ausdruck 8) für T: dY" d²Y

r=dx v-

(J

dx

dx²

r-V-D"

clY'"

dx

₊ (y

dY" d²Y'"

dx

dx²

dY'"

— --b * •

dx

•) Sy

+->-+Yndy^~lK

834. Wir haben angenommen, dass in dem Ausdruck V nur eine einzige Funktion von x mit einigen ihrer Ableitungen vorkommt; doch ist evident, dass sich die Berechnung der Variation öS in der nämlichen Art vollziehen lässt, auch wenn V noch andere Funktionen w,... mit ihren Ableitungen z\ ... z(p\ u', u", ... M'O ... enthält. Denn setzt man wie im § 832:

Wj = dz — z'dx, oj₂ = du — u'dx, ...

so giebt die Gleichung 4) auch noch die Variation ö(Vdx), falls man auf der rechten Seite die Glieder

dal

dqa₂

dp(Ox dxp

hinzufügt. Indem man auf diese neuen Terme das nämliche Verfahren wie vorhin anwendet, findet man den folgenden Ausdruck:

{Zat + Z

dx

) + (l7oa+ V

d w₂

dx

+ —h C/O)

dxq

11) ÖS = (f\ - F₀) + f(Kco + Hcox + Gco₂ + • • •) dx,

xo

wobei K die in der Gleichung 7) definierte Grösse bezeichnet, und überdies

dZ

d²Z"

dx

dx²

1)"

dpZ{p)

dxp

dü

d²U"

d<i

dx²

ist. Ferner bezeichnen 2^ und immer die Werte, welche T an den Grenzen der Integration erhält, d. h. die Werte, welche zu x = x₀ und zu x = xx gehören. Zu dem allgemeinen Ausdruck von T aber, wie er durch die Formel 10) gegeben ist, muss man jetzt noch neue Glieder hinzufügen, nämlich die, welche aus den bereits vorhandenen, die Buchstaben Y und y enthaltenden, dadurch hervorgehen, dass man diese Buchstaben durch Z und £, ferner durch U und u u. s. w. ersetzt.

835. Es ist nun endlich noch der Fall zu untersuchen, wo die Funktion V von den Werten abhängt, welche die Yariabelen #, y, y\    t/(n—1), #, s\ ... z<-p~¹\ ... an den

Grenzen des Integrales erhalten. In diesem Falle setzt sich die Variation von Vdx aus zwei Teilen zusammen, nämlich demjenigen, welchen man erhält, ohne dass man die auf die Grenzen bezüglichen Grössen variiert, und demjenigen, welchen man erhält, wenn nur diese Grössen variiert werden. Wir haben den ersten Teil in den vorigen Paragraphen behandelt; bezeichnet man mit ö' die Variationen in Bezug auf die Grenzen allein, so wird der zweite Teil ö'(Vdx) oder d'Vdx. Man hat also dem Ausdruck 11) für öS nur das Glied

•T,

=/<?' Vdx

x₀

hinzuzufügen. Es ist aber:

d'V=

dV

dV

dx₀

dVo

<%o +

dV

dV

dV

dV

öy’ i

also, indem man integriert:

dxl

-dyl("-» +

dy\ + --- +

dV

dV

dy^~

Setzt man zur Abkürzung:

15)

14)

Ä=ÖX°J W₀dx+öyJ

dV

dx+-- +

XL

dV

*0

X₀

*1

+ äg₀ f-

dV

—— rZaH----

0*o

•ri

4¹

aF

aF

zy₀

oy,(n~

jy dx

*0

*0

*1

⁴ aF

a*x

cZ& H----

®~rl-r₀+A,

so wird der vollständige Ausdruck von öS:

16)

X₀

und man siebt, dass die durch A in den Ausdruck @5 ein-geführten Terme von der nämlichen Form wie die schon vorhandenen sind.

Andere Darstellung der Yariation eines bestimmten Integrales.

836. Der Benutzung der allgemeinen Formel des vorigen Paragraphen ist bei bestimmten Problemen die direkte Berechnung bisweilen vorzuziehen. Man kann dabei die Einführung der Grössen co, col)... vermeiden, indem man folgen-dermassen verfährt. Das gegebene Integral sei:

S=f Vdx,

3\>

fl

so wird ÖS —

ö(Vdx)

dx

dx, wofür wir einfach schreiben:

dS=fd(Vdx),

indem wir die Variabele, nach welcher zu integrieren ist, nicht bezeichnen; die Werte, welche diese Variabele für x = xQ und x = xl annimmt, sind als die Grenzen des Integrales zu wählen.

Nun ist V eine Funktion von x,y,y\ ... z,z\...\ wir führen aber an Stelle der Ableitungen y',y",... z\... die Differentiale der Variabelen x,y,z}... ein; die unabhängige Variabele ist der Parameter t, dessen Variation null ist. Da nun

dy

y"-

dx d²y — dy d²x

dz

Z dx ’

ist, so wird Vdx eine Funktion von x, y, z, ... dx, dy, dz, d²x, d²y, d²z, ... Indem man dieses Produkt mittelst der Charakteristik d differentiiert und dabei beachtet, dass die Reihenfolge der Operationen d und d vertauschbar ist, erhält man ein Resultat von der Form:

dxz

8{Vdx) = X₀dx 4* X₁d dx 4- X₂d² dx + • • • + Y₀ dy + Yx d dy + Y₂ d² dy + • • • -t- Zq dz Zx d dz -f- Z₂ d² dz -j- • • •

Die mit d bezeichneten Differentiationen beziehen sich auf die Variabele t und die teilweise Integration ergiebt:

f Xxddx = Xxdx —J dXxdx,

f X₂d² dx = X₂ddx — dX₂dx Jd²X₂dx,

f YtdSy — Ytdy —f dY, Sy, fY,d‘äy-Y, d Sy-dYt6y +/d² Y₂ dy,

Setzt man also:

x = x₀- dxx + d²x₂----

Y = Y₀-dYx+d²Y₂-... Z = Z₀-dZx + d²Z₂----

und

r - (X, - dX, + -. ■) öx + (X₂----) Ö dx + ■ • ■

+ (r₁-dr₂ + -..)^ + (rs—)say + ■■■

4- (Zx — dZ^ -f- ■ • •) dz -f- (Z<i — •••)$(?# + ••• bezeichnet man ferner mit F₀ und I\ die Werte von F an den Grenzen, für welche bezüglich x = x₀, y = y₀, ... und x = xi, «/ = 2/x,... ist, so wird:

d-s - (r, - r₀) + /(X d-* + ydy + zsg +...),

und wenn x die Yariabele ist, nach welcher integriert werden soll, so muss man schreiben:

as~(Tt-

ro) +J

Xöx + Yöy + Zög+...

dx

dx.

Wir haben hier angenommen, dass die Funktion V unabhängig ist von den Werten, welche die Yariabelen an den Grenzen erhalten; andernfalls hat man dem vorstehenden Ausdruck für öS noch die neuen Terme hinzuzufügen, die im § 835 berechnet wurden.

Die obige Formel stimmt mit der des § 835 überein, wenn man öy, dg, ... durch die Ausdrücke

dy

dx

%öx + a"--

ersetzt; durch diese Substitution wird Xöx-\- Yöy -f- ZÖg + • •• gleich:

(Xdx + Ydy + Zdg + ---)

öx

dx

+ Yco -f- Zcox + • • •;

hieraus folgt, dass identisch

X dx + Ydy + Zdg -f • • • = 0

ist, und dass Y, Z... nichts anderes sind als die dort mit K: H... bezeichneten Grössen.

837. Wir haben die Yariation des bestimmten Integrales S unter der allgemeinsten Annahme berechnet, indem wir eine beliebige Änderung in dem Systeme der Funktionen von x annahmen, welche mit y, g, ... bezeichnet wurden. Nehmen wir aber an, dass die Yariabele x mit der Yariabelen t zusammenfällt, deren Yariation null ist, so werden die Grenzen x₀, xl konstant, und es ist auch öx = 0.

XQ

Die Aufgabe der Variationsrechnung.

838. Die Variationsrechnung ist von Lagrange ausgebildet worden, um gewisse Probleme des Maximum und Minimum von besonderer Art zu lösen; sie kann aber auch mit Erfolg für verschiedene andere Fragen angewandt werden. In den genannten Problemen des Maximum und Minimum bandelt es sich um die Bestimmung von Funktionen einer unabhängigen Variabelen, für welche ein bestimmtes Integral, das von diesen Funktionen abhängt, ein Maximum oder Minimum wird. Einige Probleme dieser Art wurden schon vor Lagrange gelöst. Wir geben hier als Beispiel:

Fig. 31.

* cAf

Es soll eine ebene Kurve CMD gefunden werden, welche durch zwei gegebene Punkte C und D geht und die Eigenschaft hat, dass die Fläche, welche durch den Bogen CD bei der JRotation um eine in der Ebene gelegene Axe erzeugt wird, ein Minimum ist.

j:

Dann sind die mit co, <d1;... bezeiclmeten Grössen nichts anderes als die Variationen öy, dz... Der Ausdruck für öS wird also:

ös = {r,-

•u

ro) +/

dx

dx.

Bestimmt man zwei rechtwinklige Koordinatenaxen Ox, Oy, von denen die erste mit der Rotationsaxe zusammenfällt, legt man ferner durch die Endpunkte CD die Ordinaten CA, DB, und setzt OA = x₀, OB = x1} so wird die von dem Bogen CD erzeugte Fläche gleich 27tS, wobei S das Integral bezeichnet:

dx.

Es handelt sich hier also um das Problem: welches ist die Funktion von x, die man für y zu substituieren hat, damit der Wert von S ein Minimum wird.

Anstatt die Endpunkte C und D des gesuchten Bogens fest zu geben, kann man annehmen, dass diese Punkte nur der Bedingung unterworfen sind, dass sie auf zwei gegebenen Kurven liegen müssen; auch hier handelt es sich um das Minimum des Integrales S, doch sind die Grenzen x₀, xx nicht mehr von vornherein vollständig bestimmt.

Untersuchung der Maximal- und Minimalwerte eines bestimmten Integrales.

839. Das bestimmte Integral sei

Xi

S=f Vdx,

und

x₀

V=F(x, y,    z, P,... s⁽

y, z, ... seien Funktionen von x, und y\ y... z\ ... ihre Ableitungen. Die Funktion- V kann auch von den Werten ab-hängen, welche die Yariabelen an den Grenzen des Integrales annehmen; was diese Grenzen anlangt, so sind sie entweder fest gegeben oder bestimmten Bedingungen unterworfen. Es sollen die Funktionen y, z, ... bestimmt werden, welche einem Maximum oder Minimum von S entsprechen.

Das System der zu bestimmenden Funktionen, sowie jedes andere, welches sich von demselben beliebig wenig unterscheidet, kann, wie wir gesehen haben, in einem allgemeineren zusammengefasst werden, welches von einem Parameter a abhängt. In diesem letzteren Systeme sind alle Yariabelen x, y, 0, ..., sowie ihre Ableitungen y\ z\ ... y", ... als Funktionen einer neuen Yariabelen t und des Parameters a gegeben, und dasselbe gilt auch für die besonderen Werte, welche diese Varia-belen an den Grenzen annehmen, welche von den Grenzen £0 und tx der Variabelen t und vom Parameter a abhängen. Nach Substitution dieser Werte von x, y, ... wird der Ausdruck von S:

dt

s=/(Ff)

to

und reduziert sich also auf eine einfache Funktion des Parameters a.

Differential dS null ist; dieses Differential ist aber nichts anderes als die Variation von S, also ist die genannte Bedingung

öS = 0.

Man hat also das gewöhnliche Problem eines Maximum oder Minimum. Die notwendige Bedingung für ein Maximum

oder Minimum besteht darin, dass die Ableitung

dS

da

oder das

Wir wissen aber, dass dieselbe nicht ausreicht. Für ein

da² negativ sein und

(PS

■da²

für ein Minimum positiv. Dies Differential ist die Variation zweiter Ordnung d² also muss

Maximum muss überdies

oder

d²S

da²

Ö²S < 0 für ein Maximum, Ö²S > 0 für ein Minimum

sein. Ist Ö²S = 0, so muss für ein Maximum sowohl wie für ein Minimum ösS — 0 sein. Wir wollen indessen diese Diskussion nicht weiter fortsetzen, denn bei den einfacheren Aufgaben kann man aus der Natur derselben direkt entscheiden, ob wirklich ein Maximum oder ein Minimum vorliegt. Auch beschränken wir uns darauf, die Bedingung d S — 0 zu untersuchen, welche dem Maximum und Minimum gemeinsam ist.

ÖS = © +fKadx.

840. Der Fall, dass V nur eine einzige Funktion y von x enthält. Unter der allgemeinsten Annahme ist nach Formel 16) § 835:

x₀

Die Bedingung d$ = 0 erfordert, dass einzeln © = 0 und K = 0

ist. Denn nehmen wir an, dass man die Variationen in Bezug auf die Grenzen fixiert hat. Da die Deformation, welche aus der Variation des Parameters a hervorgeht, vollkommen willkürlich ist, so ist auch die Funktion a selbst willkürlich, und wenn K nicht null ist, so kann man co derart wählen, dass es für alle Werte von x zwischen x₀ und xi entweder beständig dasselbe Vorzeichen wie K hat, oder beständig das

*1

von

entgegengesetzte. Also hat das Integral f Kco dx einen

Xq

null verschiedenen Wert und ist nach Belieben positiv oder negativ; folglich kann man, wie nun auch & gewählt sein mag, immer bewirken, dass öS nicht null ist. Die Bedingung des Maximum und des Minimum erfordert also, dass

1)

ist, und hieraus folgt notwendig, dass auch

2)

ist. Es sei nun

und

F= F(x, y, y', y”,... yin)) dV= Xdx+ Ydy+ Y'dy'+.-- + Y^dy™,

alsdann kann die Gleichung 1) in der Form geschrieben werden (§ 833):

3)

Y-

dY

d²Y"

d*YM

dx

dx²

dxn

-0.

Dies ist, wie man sieht, eine Differentialgleichung, deren Ordnung im allgemeinen gleich 2n ist; ihr Integral enthält also 2n willkürliche Konstanten. Wir nehmen an, dass dieses Integral gefunden ist und bezeichnen es mit

4)

y — f(%, C₁₅ Ca, ... Cs»).

Diese Gleichung lehrt die unbekannte Funktion y kennen, und es sind also nur noch die 2n Konstanten so zu bestimmen, dass auch die Bedingung 2) erfüllt ist. Hierbei muss man verschiedene Fälle unterscheiden.

> Vi, y'

1. Sind die Werte von i Vcn y o j • • • Von

an den Grenzen gegeben, so sind die Variationen dieser Grössen null, und die Gleichung 2) ist von selbst erfüllt. Differentiiert man nun die Gleichung 4) n —-1 mal, so erhält man:

5)

y' = f'(x, Cn C₂,... C2n),

y"-f”(x,CuCa,...C*n),

Ersetzt man alsdann in den Gleichungen 4) und 5) Ih ••• y(n~¹⁾ zuerst durch x₀, y₀, y'₀₎ ... y^n~l\ sodann durch £r1? t/₁₅ y\₎ ... y₁(n~x\ so bekommt man ein System von 2n Gleichungen, nämlich:

Vo t (X0) ^4 J ^21 • • • @2n)) y'o⁼ f'(xo> ci> c₂,... c2n)

6)

^-₁₎=r^c₁₁c₂,...gi

yi = f (X\ 1 Ql @2) • • • Gan) ) y\ = ax»Ci,c„:..c*n),

welche zur Bestimmung der 2n willkürlichen Grössen dienen.

Vi

(»-i)

2. Sind nur die Werte von einigen unter den 2n Grössen

(«—i)

(n-l)

xi ? Vu • • • Vi

gegeben, oder allgemeiner,

xo^ Vo, *•• Vo

sind i Gleichungen zwischen diesen Grössen gegeben:

M₂ = 0, ... Mi = 0,

7)

M₁ = 0

so differentiiere man diese Gleichungen mit der Charakteristik 8. Die resultierenden Gleichungen:

dM,

dMx

dM.

dx₀

8y₀

dxx

8 xx -f • • • = 0

dM,

dx₀

8x₀ +

dMi

dMi

ty₀

dxx

8 xt -4- • • • = o

lassen i Variationen als Funktionen der 2n + 2 — i übrigen ausdrücken. Man kann die Werte dieser i Variationen in die Gleichung 2) eintragen, und da die nachbleibenden Variationen willkürlich sind, so muss man ihre Koeffizienten gleich null setzen. Man erhält also 2n -f- 2 — i Gleichungen, welche vereinigt mit den Gleichungen 6) und 7) die Zahl der An + 2 Gleichungen vervollständigen, die notwendig sind, um die 2n willkürlichen Konstanten und die 2n + 2 zu den Grenzen gehörigen Grössen zu bestimmen.

3. Ist gar keine Relation zwischen den Grenzwerten gegeben, so bleiben die Variationen dieser Werte willkürlich und die Gleichung 2) zerlegt sich in 2n + 2 verschiedene Gleichungen. Dieselben genügen mit den 2n Gleichungen 6) zur Bestimmung der 4n -f 2 Unbekannten. Dieser Fall ist in dem vorigen enthalten, wenn man annimmt, dass sich die Zahl i auf null reduziert.

Bemerkung. Es kann eintreten, dass die Ordnung der Gleichung 3) kleiner wird als 2n- dies folgt z. B. notwendig dann, wenn V iii Bezug auf die Ableitung y(n) linear ist. Dieser Fall bietet indessen keine besonderen Schwierigkeiten, und wir überlassen dem Leser die Modifikationen zu untersuchen, welche er erfordert.

841. Der Fall, dass V mehrere Funktionen von x enthält. Wir wollen nun annehmen, dass Vy Funktionen «/, z, u,... von x enthält nebst einigen ihrer Ableitungen, und setzen dabei zunächst voraus, dass keine Relation zwischen den Funktionen y, z, u, ... und der unabhängigen Yariabelen x gegeben

X,

§ 835 gleich

ist. Dann wird die Variation des Integrales S = J Vdx nach 8S = © + j\K(o + Ha, + Gg>₂ ...) dx,

und ich behaupte, die Bedingung ÖS = 0 erfordert, dass einzeln

K = 0, H= 0, G = 0, ... und ® = 0

ist. Zum Beweise nehmen wir an, dass die Grössen K, H, 6r,... nicht sämtlich gleich null sind und dass man die Variationen an den Grenzen fixiert hat. Da die Funktionen o, töx, o>₂,... willkürlich sind, so kann man sie derart wählen, dass sie bei jedem Werte von x zwischen xQ und xx entweder dasselbe Zeichen bezüglich haben wie K, H, G, ... oder auch das entgegengesetzte. Es hat also das Integral in öS einen von null verschiedenen W ert, dessen Zeichen willkürlich fixiert werden kann. Hieraus folgt, dass man stets bewirken kann, dass öS nicht null wird. Also muss

K-0, H = 0, G = 0, ...

sein, und hieraus folgt auch (3 = 0.

Die ersten Gleichungen bilden ein System von simultanen Differentialgleichungen, deren Integrale zunächst bestimmt werden müssen. Alsdann muss die Bedingung ($ = 0 erfüllt und es müssen die durch die Integration eingeführten Grössen, sowie die Grössen an den Grenzen bestimmt werden, falls letztere nicht gegeben sind Diese Rechnung bietet nach dem früher Gesagten keine Schwierigkeiten; der Weg, welcher einzuschlagen ist, bleibt genau der nämliche.

842. Es erübrigt nur noch der Fall, wo die in V enthaltenen Funktionen y, z,u, ... von x mit der Variabelen durch eine oder mehrere gegebene Gleichungen verknüpft sind. Es sei

®(x, y, e, «,...) = 0

solch eine Gleichung. Indem man dieselbe sowohl mit der Charakteristik d wie auch mit d differentiiert, erhält man

d®

c®

— Öx + —- dy + ^ de + dx    ov    oz

d®

du

du + • • = 0

d®

d®

dx + — dy +

c®

dy

dz -1——— du -j- • • • — 0.

du

zweite mit

Subtrahiert man diese Gleichungen, nachdem man die Ö 00

dx

multipliziert hat, und erinnert man sich, dass

dy

dy--- - dx = co

J dx

dz —

JD

du —

Oo

ist, so folgt:

c®

- CO +

d®

d®

dy

dz

ra3+-"“⁰-

Es entspricht also jeder zwischen x, i/, z, u, ... gegebenen Gleichung eine lineare Gleichung zwischen «, o)l5 «₂,... Ist die Zahl jener Gleichungen gleich i, so kann man i der Grössen w, a31? w₂, ... als Funktionen der y — i übrigen aus-drücken, und wenn man diese Werte in den Ausdruck von dS substituiert, so wird:

Die y — i nachbleibenden Funktionen erfordern, dass K’ = 0, H' = 0,    = 0, ... und @ = 0

wird. Die ersten Gleichungen bilden verbunden mit den i gegebenen cP (cc, y, z, w,...) = 0 ... ein System von y simultanen Gleichungen, welches zu integrieren ist. Die Gleichung © = 0 dient schliesslich zur Bestimmung der willkürlichen Grössen und zur Berechnung der Werte an den Grenzen.

Enthält die Funktion V nur zwei Funktionen y, z, welche mit x durch die Relation verbunden sind, so wird:

cO

cO

—— CU +

dO

dy

dz

tu, = 0. also

dy

(U,

ferner:

dz

*1

c0

dz

-H

d0

dy

d0

tu dx.

dz

Die Bedingungen eines Maximum oder Minimum sind folglich

= 0 und @ = 0.

dz

dy

Über eine besondere Klasse von relativen Maxima und Minima.

843. Nachdem wir zuerst gezeigt haben, wie man die Bedingungen für ein Maximum oder Minimum eines bestimmten Integrales

1)

S - frdx

finden kann, wenn keinerlei Einschränkung vorhanden ist, haben wir ferner den Fall behandelt, wo die in V enthaltenen Variabelen unter sich durch gegebene Gleichungen verbunden sind. Es kann auch eintreten, dass die Bedingungsgleichungen sowohl die Ableitungen der unbekannten Funktionen als auch ein oder mehrere bestimmte Integrale enthalten. Es ist nicht unsere Absicht, die allgemeine Lösung dieser Frage zu entwickeln; wir wollen nur den einfachsten Fall behandeln, bei welchem ein Maximum oder Minimum des Integrales S zu bestimmen ist, indem dabei die neue Bedingung erfüllt werden soll, dass ein zweites bestimmtes Integral

S'= fVdx

X₀

einen gegebenen Wert l erhält. Bei diesem neuen Probleme, das sich leicht auf die Aufgaben in §§ 840 und 841 zurückführen lässt, handelt es sich darum, die Bedingungen eines relativen Maximum oder Minimum zu finden.

Wir machen hier dieselben Überlegungen wie im § 839; das System der unbekannten Funktionen und jedes andere System, welches sich von dem ersten beliebig wenig unterscheidet, kann aufgefasst werden als enthalten in einem allgemeineren Systeme, das von einem Parameter a abhängt. Überdies lassen sich in diesem Systeme alle Variabelen durch eine Variabele t ausdrücken, welche unabhängig von a ist, und folglich ist:

dx

dx

V'^rdt

V-rr dt

so dass S und S' Funktionen von a werden. Die zweite dieser Funktionen aber muss sich auf eine Konstante reduzieren, weil das Integral S' immer denselben Wert behalten soll bei dem Übergange von einem Systeme der Funktionen zu einem dSr

andern; folglich ist —— = 0, wie im § 839. Also hat man

3)

844. Nehmen wir zuerst an, dass V und V nur eine einzige Funktion y von x enthalten; die Ausdrücke öS und öS' können dargestellt werden in der Form:

4)

= © + JKgo dx, d S'=®' + fK'co dx;

aj₀

(55' und K' bezeichnen dabei analoge Grössen wie (51 und K. Wir setzen nun mit Cauchy:

5)

f K' co dx = cp(x)₇

x₀

so folgt durch Differentiation:

K'oo = g/(a:),

6)

also

n 9>f(«)

a=~Kr~'

Da qp(a;₀) null ist nach Gleichung 5), so wird der Ausdruck für öS':

7)

und der von öS wird, wenn man co durch seinen Wert 6) ersetzt:

ÖS =

xt

•*fi

<p'(x) dx.

Die teilweise Integration ergiebt:

f-

Ce

./ K<

bezeichnet man also mit Kx und K\ die Werte von K und K’ für x = x1} so wird, weil cp(x₀) = 0 ist:

<p'(x) dx = -ßTj cp (x) —

K'

dx

<p(x) dx\

8)

d£ = (55 +

Ki

K\

<p(xi) -

/-

di

dx

cp(pc)dx.

Die Funktion cp(x) ist vollkommen willkürlich; sie muss nur, ihrer Definition nach, für x = x₀ verschwinden.

Nun erkennt man aus der Gleichung 7), dass die Bedingung d/S"=0 äquivalent ist mit cp(x₁)= — &', und dadurch wird die Formel 8):

((55

Kx

K\

(55'

yf

K'

dx ^x)dX*

Da die Funktion y(x) willkürlich gewählt werden kann, so lehrt die im § 840 angestellte Überlegung, dass die Bedingung d/S = 0 erfordert:

9)

K\

0,

dx

= 0.

Die zweite Gleichung ergiebt durch Integration =

oder:

10)

K+aK' = 0

wobei a eine Konstante ist; die erste Gleichung wird sonach:

11)

Die Gleichungen 10) und 11) sind die gesuchten Bedingungen des relativen Maximum oder Minimum, sie sind, wie man sieht, zugleich die Bedingungen des absoluten Maximum oder Minimum für das Integral:

12)

S + aS'=f(Vi-aV')dx,

so dass das Problem auf jenes zurückkommt, welches im § 841 gelöst wurde. Zwar haben wir hier eine willkürliche Konstante, nämlich a, mehr, aber wir haben auch eine neue Gleichung, nämlich S' — l.

845. Die vorstehende Untersuchung lässt sich ohne weiteres auf den Fall anwenden, wo V und V mehrere Funktionen y, 0, ... der unabhängigen Variabelen x enthalten. Denn es wird:

öS = © +f{K(o + Ha₁ + • • •) dx,

*0

=    +f(K' CJ + H'03,+ ...)dx.

öS

*0

Wir setzen:

f (K'a + H'+ • • •) dx = cp (#),

also:

es ist y>(x₀) = 0, und die Bedingung öS' = 0 giebt (p(xt) = — @3'; ferner wird der Ausdruck für öS:

dx

K'co -f H¹ co₁ + • • • = (p\x)

n 9>'0*0

a = ~K^

H'

ICH

K'

XQ

und die teilweise Integration ergiebt, da cp (pCj) = — (53' ist:

*1

fK

Ki

ä£

K'

(/r <p(x)dx,

*0

x₀

also ist:

X₀

<i£.

K'

j_ dx

?>(» + (#

KH

Da die Funktionen cp(oc), co1;... willkürlich sind, so erfordert die Bedingung ÖS = 0, dass

,K_

d K'

II K

dx

H' K'¹'

•• und @3 — -gj Ö3' = 0

ist. Die erste dieser Gleichungen liefert = — a, d. h.

konstant; also werden die Bedingungen des relativen Maximum und Minimum jetzt:

K + aK'= 0, H+aH'= 0,... und (53 + a®' = 0;

sie sind genau die Bedingungen des absoluten Maximum oder Minimum für das Integral S + aS'.

Bemerkungen über einige besondere Fälle.

846. Da sich die Untersuchung relativer Maxima und Minima auf die der absoluten zurückführen lässt, so betrachten wir hier nur den letzteren Fall. Wir setzen:

s-frax

X₀

und nehmen an, dass V nur eine einzige Funktion y von x mit ihren beiden ersten Ableitungen y', y" enthält.

Es sei:

dV= Xdx + Y dy + Y'dy' + Y"dy",

y- ffa y, y\ y")

so dass die unbekannte Funktion y von der Differentialgleichung

1)

Y-

dY

d¹Y"

dx

dx¹

abhängt, welche im allgemeinen von der vierten Ordnung ist. Wir wollen hier einige Fälle allgemeinerer Art angeben, in denen man unmittelbar eine oder zwei Integrationen ausführen kann.

1. Enthält V die Yariabele y nicht, ist also V = f(x, y', y"), so wird Y null, und die Gleichung 1) reduziert sich auf

dY’

d¹ Y"

dx

dx²

so ist

Integriert man dieselbe und bezeichnet C eine Konstante,

2)

- Y' +

dY"

dx

-C,

welches im allgemeinen eine Gleichung dritter Ordnung ist. In derselben Weise kann man verfahren, wenn V nur ein Glied erster Ordnung in y enthält, denn alsdann ist Y konstant und man erhält:

Yx-Y' +

dY"

dx

4)

V = Y"y"+C'y'+ C.

Anwendung (1er Variationsrechnung auf die Lösung einiger Aufgaben.

847. Erste Aufgabe. Die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten zu finden.

Es seien rr₀, y₀, z₀ und xt, y1} zl die Koordinaten der Endpunkte der gesuchten Linie in Bezug auf drei rechtwinklige Axen. Die Länge dieser Linie wird dann:

+ z'^dx.

x₀

Indem man alle früheren Bezeichnungen beibehält, ist

hier

<7²F"

clY

(ri*'+ *

oder weil dy — y'dx, dy' = y"dx ist:

dV—

dx²

dy — Y "dy = 0

+*

rZF

f7&‘

c7F"

(7#

- F"<7

(7#

= 0.

3)

Die linke Seite ist ein exaktes Differential, also ist: dY"

F-

y'(

F' —

r7;z

- Y"y" = 0.

3. Nehmen wir an, dass F weder # noch y enthält, also V=f(y',y") ist. Es liegen hier also beide Fälle zugleich vor, die wir soeben behandelt haben, und weil F = 0 ist, so hat man die beiden ersten Integrale der Gleichung 1):

dY"

- Y' +

dY"

dx

= C. V-

y'{?

dx

) - Y"y"-C:

wobei C und C' willkürliche Konstanten sind. Die Elimination dY"

welche im allgemeinen allein die höchste Ableitung von y enthält, giebt also das zweite Integral:

von

dx

ferner:

y'dy' + z'dz'

j/1 + y'^+V²

X = 0. 7=0. Z = ö

7' =

Vl+u't+s

Z' =

Vl + y¹² + z'²

Die Gleichungen K = 0, H = 0, welche die unbekannten Funktionen bestimmen, sind hier:

dY

= 0,

dZ

dx

woraus folgt: also:

und weiter:

Y' = const, Z' = const, y'^C, z'rC

2)

y = Cx + z = (Fa; +

Die Bedingung

die gesuchte Linie ist also eine Gerade. © = 0 wird hier:

(Vt- Y\y\-Z\B\)dxx+ Y\6y^Z\8Zl - (F₀ ■- Y'₀</r₀ -    * o) - n ö>₀ - Z'₀    = 0,

indem man die Indices 0 und 1 zur Darstellung der Werte anwendet, welche die betrachteten Grössen an den Grenzen annehmen. Bezeichnet man das Differential der Bogenlänge der gesuchten Linie mit ds, die Länge gerechnet von irgend einem Anfangspunkt, so kann man schreiben:

und F-ry-zv =

y,_d]L

ds’

Z' =

dz

dx

ds ’

ds ’

3)

also ist die Grenzbedingung:

= 0,

848. Wir wenden uns zur Bestimmung der Konstanten. Sind die Endpunkte der gesuchten Linie gegeben, so sind die Variationen da:₀, 8xl} dy₀, dylt d#₀, sämtlich null und die Bedingung 3) ist von selbst erfüllt. Alsdann werden die Konstanten 0, C1} C\ C\ .dadurch bestimmt, dass man die durch die Gleichungen 2) dargestellte Gerade durch die beiden gegebenen Punkte (x0: y₀, z₀) und (x1} yx, zt) gehen lässt.

Sind die Endpunkte nicht gegeben, sondern die Koordinaten derselben durch i gegebene Gleichungen verbunden, so hat man diese Gleichungen mit der Charakteristik ö zu differentiieren; sodann eliminiert man i Variationen zwischen den erhaltenen Gleichungen und der Gleichung 3); endlich hat man die Koeffizienten der 6 — i übrigen Variationen null zu setzen. Indem man die i gegebenen Gleichungen beachtet, sowie diejenigen, welche ausdrücken, dass die Gerade 2) durch die Punkte (oc₀,y₀,z₀) und    *) hindurchgeht, bekommt

man die 10 notwendigen Gleichungen zur Bestimmung der 6 Koordinaten und der 4 willkürlichen Grössen.

Wir behandeln als Beispiel den Pall, wo die Koordinaten x₀, y₀, z₀ unabhängig von xx, y1} zx sind. Die Gleichung 3) zerlegt sich in die beiden:

4)

Ist nun der Endpunkt (x₀, y₀, z₀) an die Bedingung gebunden, dass er stets auf einer Fläche F(x₀, y0f z₀) = 0 bleiben soll, so wird:

CD I CD

J*¹ ^

dx₀ -f

dF

dVo +

dF

d z₀ •= 0.

Eliminiert man öx₀ zwischen dieser Gleichung und der zweiten Gleichung 4), und setzt sodann die Koeffizienten von öy₀ und öz₀ gleich null, so folgt:

fdx\    i dy\    (dz_\

\ ds /₀    V ds /₀    V ds'₀

(dF\ (dF\ (dF \ \dx)₀ ' dy    \ dz )₀

Diese Gleichung besagt, dass die Linie von kleinster Länge normal zur gegebenen Fläche ist, was mit dem Ergebnis im § 157 übereinstimmt.

Soll der Endpunkt (#₀, y₀, z₀) auf einer gegebenen Kurve bleiben, so hat man zwei Gleichungen:

FOt) 5 Vo> *o) “ 0 nnd /'(»o 5 % > *o) =

also wird:

a^

aA¹

dx₀

Ö!/o

<ty₀ +

aA

a^₀

^o-0,

Zf

Zf

Zf

d + T7T“ y₀ +

Z&o

Die Variationen <3br₀, öy₀₎ öz₀, deren Verhältnisse durch diese Gleichungen bestimmt werden, sind proportional zu den Kosinus der Winkel, welche die Tangente der gegebenen Kurve im Punkte (x₀, y₀, z₀) mit den Axen bildet; also drückt die zweite Gleichung 4) aus, dass die gegebene Kurve die kürzeste Linie zur Normalen hat.

Es ist evident, dass die vorigen Sätze sowohl für den einen, wie für den andern Endpunkt dieser Linie gelten.

849. Anstatt die allgemeinen Formeln zu verwenden, kann man auch direkt die Bedingungen für das Minimum des Integrales

dx₀

Zffo

dx

x„

herleiten, indem man wie im § 836 verfährt. Es ist:

X,

=f    dx oder 8S=jdds.

also:

Die Gleichung <7s² = dx² + dy² + dz² ergiebt: ds 8 ds = dx 8 dx 4* dy 8 dy + dz 8 dz,

äSV ^döx + TsäSy +

und dies wird vermittelst der teilweisen Integration:

dx

dy

döz^-,

Da die Variationen öx, dy, dz unter dem Integralzeichen willkürlich sind, so sind die Bedingungen für das Minimum:

dz

ddi⁼⁰'

7 <ix

ATs~⁽⁾'

d“!>

ds

diese drei Gleichungen reduzieren sich auf zwei, und es folgt wie vorhin:

dy

dx

= const,

dz

dx

= const.

Die Grenzbedingungen sind genau die nämlichen wie früher.

850. Zweite Aufgabe. Es soll die kürzeste Linie zwischen zwei gegebenen Funkten, die auf einer gegebenen Fläche liegen, gefunden werden.

Die gesuchte Linie heisst eine geodätische Linie auf der Fläche. Es seien (xQ, y₀, z₀) und (xt, y₁, zf) die Koordinaten der gegebenen Punkte in Bezug auf drei rechtwinklige Axen,

F(x, y, z) = 0

die Gleichung der gegebenen Fläche. Wir behalten alle Bezeichnungen des vorigen Paragraphen bei. Der für öS erhaltene Wert gehört auch zum vorliegenden Probleme, und die Bedingungen des Maximum und Minimum bleiben:

2)

dx

dy

öxd— + öyd

dz

+ dz d - = 0

ds

nur müssen hier die Variationen öx, dy, dz noch der Gleichung

4)

dF

dx

da; +

dF

dy

dy +

dF

dz

dz = 0

genügen. Eliminiert man dz zwischen den Gleichungen 2) und 4) und setzt alsdann die Koeffizienten der nachbleibenden Variationen dx, dy null, so folgt:

, dx

d -r-

ds

ds

, dz d -----

ds

dF

dF

dF

dx

dy

dz

Es ist leicht zu sehen, dass die beiden in dieser Formel enthaltenen Gleichungen sich auf eine reduziereu, auf Grund der Gleichungen:

dF dx

— . dF dy , dF dz dx ds    dy ds dz ds    ’

dx ₇ dx , dy ₇ dy ,

-djdu ⁺ -didiü ⁺

dz dz ds dJs

von denen die zweite aus der Differentiation der Identität folgt:

= i.

Die gesuchte Kurve ist also bestimmt durch zwei der Gleichungen 1) und 5). Die durch die Integration eingeführten Konstanten und die Koordinaten x₀, y₀, z₀, xu yx, zL, falls letztere veränderlich sind, sind aus den Grenzbedingungen zu bestimmen.

Die Zähler in den Gleichungen 5) sind proportional den Kosinus der Winkel, welche die Hauptnormale der geodätischen Linie mit den Axen bildet; die Nenner dagegen sind proportional den Kosinus der Winkel, welche die Normale der Fläche mit denselben Axen bildet; folglich fallen diese Normalen zusammen, und man hat den Satz:

Die OsJciilotionsehene einer geodätischen Linie auf einer Fläche ist stets normal zur Fläche.

Die Eigenschaft, die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten zu sein, gilt nicht notwendig für alle Bogen einer geodätischen Linie. So sind z. B. auf der Kugel die geodätischen Linien die Hauptkreise. Betrachtet man zwei Punkte auf der Peripherie solch eines grössten Kreises, so gehört die Eigenschaft eines Minimums nur zu einem Bogen, welcher kleiner ist als der Halbkreis.

851. Dritte Aufgabe. Es soll die ebene Kurve bestmimt werden, welche durch zwei Punkte geht, die entweder selbst gegeben oder gegebenen Bedingungen unterworfen sind, und welche bei ihrer Dotation um eine in der Ebene gegebene Axe eine Fläche von kleinster Grösse erzeugt.

Wählt man zwei rechtwinklige Axen in der Ebene, von denen die eine, x, mit der Rotationsaxe zusammenfällt, so ist die Fläche, deren Minimum gesucht wird, gleich dem Produkt von 2n mit dem Integrale

X,

S=j<jVi+y'*dx.

Xq

Also wird nach den allgemeinen Formeln im § 833:

r-!/V l+y'\ X-ü, r-Yl + y'*,

Die Gleichung

r«

VV

Vi + v'²

0 oder Y —

dY'

dx

gehört zu den im § 846 behandelten Fällen und liefert als erstes Integral:

V = Y'y' -f- c oder

Hieraus folgt:

cdy

Vi+yK

= c.

dx ==

also

a und c sind willkürliche Konstanten. Man kann dies schreiben

y-Vys-<? _,

y+Vf-c* _ *-r

also

Dies ist die Gleichung einer Kettenlinie. Die Grenzbedingung ist hier:

{dx, + y\dy,) - {öx₀+ y'₀dy₀) = 0,

sie dient zur Bestimmung der Koordinaten x,, y, und x₀, y0 wenn diese variabel sind.

Sind die Endpunkte gegeben, so genügt die Gleichung der Kurve zur Bestimmung der Konstanten c und cc; nehmen wir z. B. an, dass die Ordinaten dieser Endpunkte gleich sind und wählen wir zur y-Axe die Senkrechte im gleichen Abstande

24

Serret, Differential- und Integral-Rechnung. Bd. II. 2.

zu diesen Punkten, so ist a:₁= —#₀; folglich wird die Konstante a null und die Gleichung der Kurve:

Die Konstante c ist also aus der Bedingung:

ß    _^o

y*⁼2 leC + e c.

zu bestimmen. Ist das Verhältnis — kleiner als eine bestimmte

Grenze, welche man leicht ermitteln kann, so hat die vorstehende Gleichung keine reelle Wurzel c; in diesem Falle existiert weder ein Maximum noch ein Minimum.

Sind die Endpunkte auf zwei gegebenen Kurven beweglich, so hat man:

dXi+y’idy^O, dx₀+ij'₀öy₀ = 0;

hieraus folgert man leicht, dass die gesuchte Kettenlinie normal zu den beiden gegebenen Kurven ist.

852. Vierte Aufgabe. Es seien zwei Punkte A und B in verschiedener Höhe gegeben; man soll die Kurve AMB finden, ivelche ein schicerer Punkt durchlaufen muss, um in der kürzesten Zeit von A nach B zu gelangen.

Fig. 32.

tV

Die gesuchte Kurve heisst die Brachistochrone. Wir wählen drei rechtwinklige Axen, von denen die x-Axe parallel zur Richtung der Schwere ist, und bezeichnen mit x₀₎ y₀, z₀ und x₁₅ yu z₁ die Koor-V dinaten der Punkte A und B. Die durch die Schwere verursachte Beschleu-

nigung heisse (7, die Ableitungen

ß seien wie gewöhnlich durch y’ und d dargestellt, so ist die Zeit, welche ein schwerer Punkt gebraucht, um ohne Anfangsgeschwindigkeit von A nach B zu gelangen, wie in der Mechanik bewiesen wird, gleich dem Produkte aus der Konstante ]/2g mit dem Integral

SY

Yi + y¹² + z'²

dx.

Xq

Es handelt sich also um die Bedingungen des Minimums von S. Hier ist:

]/l + y'²+z'2 Yx — x₀

; X == -

Yi + y'²+J²

2(x- x₀)

b© Co

i r= o, z-o,

y i__u___

Yx — x₀ ]/l -f y ’² -f z'²

Z' =

z’

Yx-x₀Y± + y'² + e

12

ferner:

dY

dx

H=-

dZ'

dx

Da die Punkte A und B gegeben sind, so werden die Bedingungen des Minimums hier:

dY'

dZ'

also:

dx

dx

wobei c und c' willkürliche Konstanten sind. Also ist

Z'=c'

c> I

y' = cYx — x₀Y i + y,2 + z'²,

und folglich:

zf = c' Yx — x₍₎ Y1 + y'² + z'²,

integriert man diese Gleichung und bezeichnet man mit c" eine neue Konstante, so erhält man die Gleichung:

c'

— y +c",

y' = cYx- xt) Y1 + y"².

Löst man diese Gleichung nach y' auf, so folgt:

welches die Gleichung einer vertikalen Ebene ist, die die gesuchte Kurve enthält. Diese Ebene geht durch die beiden gegebenen Punkte und ist daher bestimmt. Man kann sie zur Ebene xy wählen, dann ist c' = 0, c" = 0, also z = 0, z' — 0, und

24*

rp__rp

dy

dx

%Aj    iX/q

— 0 — 3₀) und dies ist die Differentialgleichung einer Cykloide, deren Basislinie horizontal ist (§ 231); die Bestimmung derselben wird vervollständigt dadurch, dass sie durch die Punkte A

und B gehen soll; Kreises.

ist der Durchmesser des erzeugenden

853. Nehmen wir nun an, dass die Endpunkte A und B nicht gegeben, sondern nur gewissen Bedingungen unterworfen sind. Die Gleichung

c'

-y + y"

findet immer statt, und folglich ist die gesuchte Kurve auch noch in einer vertikalen Ebene gelegen. Wiewohl diese Ebene noch unbekannt ist, so hindert nichts, in dieselbe zwei Koordi-natenaxen zu verlegen, und die Untersuchung im vorigen Paragraphen lehrt, dass die Kurve in allen Fällen eine Cykloide ist.

Es handelt sich also nur um die Bestimmung der Endpunkte und des Radius für den erzeugenden Kreis. Die Grenzbedingung ($ = 0 ist hier:

[(F- Y'y'~

Es ist nun:

Z'z') dx + Y'dy -f Z'dg]^ + dxQJ

x₀

*dV

-— dx = 0.

dx₀

dV

also:

dx

dV

dx= -Xdx = (Y'dy' + Z'dz'-dV)

dx₀

und weil Y' und Z' konstante Werte sind, so ist: unsere Gleichung wird also:

[(y-Y'y'-Z'i/)dx + Y'dy+Z'dßf-\y-Y'y'-Z'didx₀=0

oder, wenn man F, Y’ und Z’ durch, ihre Werte ersetzt: dx + y’dy + rfdz V

j/x - xoyi + y’² + z'²\Q i]/x — x^y \ + ij,2 +

Endlich wird, da

7O⁴*

fiJ -J Q

--=0.

c’

Yx -x₀Vl+ y,2 + z'² v' z'

ist, wenn man mit A den gemeinsamen Wert dieser Verhältnisse bezeichnet, und weil die Produkte ky' und AP konstant sind:

A₀ z\ = lx P

und folglich ist die Bedingungsgleichung#nacli Beseitigung des Faktors Ax:

(d xx + y\ öy₁ -f z\ ögf) - (dx₀ + y\ d'y₀ -f z\ ög₀) = 0.

Welches nun auch die Bedingungen sein mögen, denen die Endpunkte genügen sollen, man kann die Lösung jetzt leicht vollenden.

Nehmen wir an, dass jeder dieser Punkte auf einer gegebenen Kurve liegen soll, so hat man einzeln:

ÖXx + y\8yl-\- z\8zx = 0,

<K + y'osy₀+ ^₀8z₀^=o.

Hieraus folgert man:

Die Brachistochrone ist normal zu der gegebenen Kurve, ivelche durch den Endpunkt geht, und die Tangente der anderen Kurve, ivelche durch den Ausgangspunkt geht, ist senkrecht zu der Tangente der Brachistochrone im Endpunkte.

854. Fünfte Aufgabe. Es soll eine ebene Kurve AMB gefunden werden, so dass die Fläche AB CD, zwischen dem Bogen AMB, den Krümmungsradien AC und BD, welche zu den Endpunkten A und B gehören, und dem Bogen CD der Evolute, der zwischen den Krümmungsmittelpunkten C und D enthalten ist, ein Minimum wird.

Es sei MK der Krümmungsradius in einem Punkte M des Bogens AM = s, M'K' der unendlich benachbarte Krümmungsradius, so wird die zwischen den Radien E und den beiden Kurven enthaltene Fläche gleich E ds (1 + g), wobei s unendlich klein ist. Bezieht man also die ³⁰ Kurve auf zwei rechtwinklige Axen Ox und Oy, so ist das

Fig. 33.

y\

_ Integral, welches ein Minimum

)D x werden soll:

X,

Xi

ds

dx

dx

-/

(1 + y’²y

Also hat

x₀

*0

y"

dx.

man:

o_±jri

y"

, x = o. r=o.

Da der dritte Fall des § 846 vorliegt, so besitzt die Gleichung des Minimums als zweites Integral:

F-c + cy + ry,

und dieses Integral reduziert sich hier auf:

r~C+C’y

wobei C und C' willkürliche Konstanten sind, weil Y"y" = — V (2 s    (2v

ist. Setzt man E -r- an Stelle von V, an Stelle von y'

. .    dx    ’ dx

so wird:

ds

dy

dx

dy

dx

dx

oder Ti == C ——b C —r--

ds

ds

Wir setzen

dx

ferner

ds=S'm,p’ ds

dy

cos cp,

C = 4a cos a

C' = — 4a sin a, wobei a und a neue willkürliche Grössen sind, so wird:

E = 4 a sin (cp — a).

Wenn man aber die Axen um einen Winkel a dreht und immer mit cp die Neigung der Tangente der gesuchten Kurve mit der x-Axe bezeichnet, so hat man einfach:

II = 4a sin cp oder ds = 4a sin cp dcp, denn dcp ist der Kontingenzwinkel. Also folgt:

dx = ds sin cp = 4a sin cp² dcp = 2a (1 — cos 2cp) dcp dy = ds cos cp = 4a sin cp cos cp dcp = 2a sin 2cp clcp,

mithin, indem man integriert und mit x₀, ?/₀ neue willkürliche Konstanten bezeichnet:

x — 5C₀ == a(2cp — sin 2qp), y — ?/₀ = a(l — cos 2cp).

Die gesuchte Kurve ist sonach eine Cykloide.

855. Sechste Aufgabe. Es sind zivei rechtwinklige Axen Ox, Oy und zwei Punkte C, D in ihrer Ebene gegeben. Es soll unter allen Kurven von gegebener Länge, welche in dieser Ebene liegen und durch die Punkte C und D begrenzt sind, diejenige bestimmt werden, für welche die Fläche ABCD zwischen der Kurve, der x-Axe und den Ordinaten der Endpunkte ein Maximum wird.

Das Integral, welches ein Maximum werden soll, ist hier:

und dabei muss

X\

S = fydx,

x₀

S' = /]/! + y'²dx = l

sein, wo l eine gegebene Länge bedeutet. Man muss also (§ 843) das absolute Maximum des Integrales

»i    _

& + aS' = f (y + «]/1 + y'²) dx

x₀

suchen, in dem a eine unbestimmte Grösse ist. Hier wird

F== y + a]/l + y'², X=0

r-i, rf =

ay

und man hat den zweiten Fall des § 846; die Gleichung des Maximum besitzt das erste Integral:

= c,

Vi + ’ß

wobei c eine willkürliche Konstante ist. Hieraus folgt:

Tr — y' Y' =- c oder y +

dx - _ («r >).»_,

¹

Nehmen wir an, dass V die Yariabele x nicht enthält, also dass V=f(y,y\y") ist, wenn dann die identische Gleichung:

dV= Y dy + Y'dy'+Y"dy"

nach Y aufgelöst und dieser Wert in die Gleichung 1) eingesetzt wird, so heisst diese:

also:

V«² - (C - */)²

# — c' = ]/a² — (c — y)² oder (x — c')² + (t/ — c)² = a².

Die gesuchte Kurve ist also ein Kreisbogen mit dem

Radius a.

856. Siebente Aufgabe. Welche Kurve ist unter allen isoperimetrischen, die man in einer Ebene mischen zwei gegebenen Punkten ziehen kann, diejenige, die bei der Rotation um eine in der nämlichen Ebene gegebene Gerade die grösste oder die kleinste Rotationsfläche erzeugt?

Das Integral, welches ein Maximum oder Minimum werden

soll, ist:

überdies muss

S=fyVl + y'² dx, S’*=fVl + y’*dx = l

__

S + aS' = f (y + a)Y 1 + y'²clx

sein; man muss also das absolute Maximum oder Minimum von

bestimmen. Da a eine Konstante ist, so ist die Rechnung die nämliche wie in der dritten Aufgabe (§ 851), und folglich ist die Kurve, welche die grösste oder die kleinste Fläche erzeugt, eine Kettenlinie.

857. Achte Aufgabe. Welche Kurve ist unter allen isoperimetrischen diejenige, für welche das Volumen der Rotationsfläche am kleinsten ivird?

Das Integral, welches ein Minimum werden soll, ist

und wie vorhin, ist

S = J y²dx,

x₀

£' = /]/] +y’*dx = l

Man muss das absolute Minimum von

S + aS' = j(y² + a ]/l -f y'²) dx

x₀

bestimmen, und hier ist:

V=y²+a]/l + yf2,    X=0, Y=2y

F' =

ay

also wird wie bei der sechsten Aufgabe

V — y' Y' = c

das erste Integral der Differentialgleichung, d. h :

y² +

V1 + */'²

= c oder dx =

(y²-c)äy

Dies ist die Differentialgleichung der elastischen Kurve

(§ 709).

858. Neunte Aufgabe. Es soll die ebene Kurve bestimmt iverden, welche bei der Rotation um eine in ihrer Ebene gelegene Axe die kleinste Fläche erzeugt, welche ein gegebenes Volumen enthält.

Das Integral, welches ein Minimum werden soll, ist

N = /])V 1 + y'²dx,

*0

S' = f y² dx =

und dabei ist

const = l.

X₀

Wir suchen das absolute Minimum des Integrales

2aS + S' =f{y² + 2ayY 1 + y'²) dx,

XQ

wobei a unbestimmt ist. Nun wird

V = y² + 2ayY\ + y'²,    X=0,

also erhält man als erstes Integral der zum Minimum gehörigen Gleichung:

wobei ?) eine willkürliche Konstante ist. Demnach wird

dx =

V— y'Y' = + 6² oder y² -f-

2ay

l/i+F

Q² + b²) dy

|/4a²?/² — (j/²± 6²)²

Diese Gleichung ist die nämliche, welche wir im § 712 untersucht haben; sie gehört zu einer Kurve, welche von dem Brennpunkte einer Ellipse oder Hyperbel beschrieben wird, wenn diese ohne zu gleiten auf einer festen, in ihrer Ebene gelegenen Geraden rollt.

Anhang.

Zur Integration der partiellen Differentialgleichung in der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

Der im § 383 (Band I) gegebene Beweis für die Entwickel-barkeit einer Funktion der komplexen Variabelen z nach ganzen Potenzen von g innerhalb eines Gebietes, in welchem f(g) eine eindeutige und stetige Funktion ist, die zugleich eine eindeutige und stetige Ableitung f'(z) besitzt, stützt sich auf den Integralsatz von Cauchy, der in den §§ 379 bis 382 für die Kreisfläche ausgeführt und in kürzerer Darstellung im § 500 wiederholt ist. Man kann vermittelst der Fourier sehen Reihe einen direkteren Beweis für dieses grundlegende Theorem geben, der unmittelbar auf die Potenzreihe führt. Ich teile denselben hier mit, im wesentlichen in der Form, wie ich ihn im 21. Bande der Math. Annalen aufgestellt habe, da er zugleich eine allgemeine Methode für die Integration linearer partieller Differentialgleichungen enthält, durch welche sich nicht nur die in den §§ 820 — 823 erwähnten Aufgaben, sondern auch die analogen von Kugelfunktionen abhängigen Probleme der Potentialtbeorie in exakter Weise erledigen lassen.

1. Es sei ein die Ebene z — x + iy oder einen Teil derselben einfach übei'deckendes und einfach oder mehrfach zusammenhängendes Gebiet gegeben; für alle Punkte im Innern des Gebietes sei eine Funktion w — u -(- iv definiert, welche dort überall einen bestimmten endlichen mit der Lage des Punktes xy stetig sich ändernden Wert hat und ferner partielle Ableitungen nach x und y besitzt, die ebenfalls für alle Punkte im Innern stetig sind und dabei den Gleichungen

du dv du 8x dy dy

genügen: so soll gezeigt werden, dass die Funktion w eine Funktion der komplexen Veränderlichen z = x-\-iy in dem Sinne ist, dass sich dieselbe überall im Gebiete durch Potenzreihen darstellen lässt; d.h. bezeichnet a einen beliebigen Punkt im Innern des Gebietes, so ist:

iv = a₀ -f o₁ (z — a) + (z — a)² -f • • • + an (z — a)n -f ■ • •

und diese Reihe konvergiert zum mindesten für alle Punkte z innerhalb eines Kreises um den Punkt a als Mittelpunkt, der

dvo

oder —--b i

dw

ex

dy

ganz im Innern des anfänglich definierten Gebietes liegt, also die Randkurve allenfalls berührt, aber nicht durchschneidet. Aus dieser Reihe folgt, dass auch alle Ableitungen der Funktion w innerhalb des gegebenen Gebietes Funktionen der komplexen Varia -belen z ohne singuläre Punkte sind.

Man kann das Problem auch nur vermittelst der reellen Funktionen u und v aussprechen: Wenn zwei Funktionen u und v der reellen Veränderlichen x und y die Eigenschaft haben, dass sie nebst ihren ersten partiellen Ableitungen innerhalb eines gegebenen Gebietes eindeutig und stetig sind, und dass zweitens zwischen diesen Ableitungen die Gleichungen l) bestehen, so existieren auch alle höheren Ableitungen der beiden Funktionen u und v, und diese selbst lassen sich als die reellen und imaginären Bestandteile einer nach Potenzen von z — a fortschreitenden Reihe entwickeln.

d²v

d²u

dx² dxdy ’

und daraus folgt, dass man die zweite Differentialgleichung sub l) nach y differentiieren kann und dass demnach

Endlich kann mau noch einen Schritt weiter gehen und das Problem nur an einer der Funktionen u oder v formulieren. Setzt man nämlich von der Funktion u voraus, dass sie auch eine zweite partielle Ableitung nach x besitzt und dass dieselbe eine stetige Funktion der beiden Variabelen ist, so erhält man durch Differentiation der ersten Differentialgleichung zwischen u und v:

d²v

d²u

dry²

dydx

ist. Man erhält folglich die Gleichung:

d²u . d²u

2)

dx²

dy

2~

= 0.

Umgekehrt: wenn eine Funktion u die Eigenschaft hat, dass

ihre zweiten partiellen Ableitungen

innerhalb eines

d²u c²u dx² ’ ~dy²

Gebietes stetig sind und dieser Gleichung genügen, so lässt sich immer eine stetige Funktion v ausfindig machen, für welche

du

dv du    dv

cy

cy dx    dx

wird; denn die Bedingung des⁻ exakten Differentiales ist erfüllt. Sonach wird mit den vorigen Problemen zugleich das dritte bewiesen sein: Wenn eine Funktion u der beiden reellen Veränderlichen x

und y innerhalb eines Gebietes eindeutig und nebst ihren par.

tiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung:

d²u

du du d²u dx dy ’ dx²

dy

~ stetig ist, während die zweiten Ableitungen die Gleichung 2)

befriedigen, so sind auch alle Ableitungen von u stetige Funktionen der beiden Variabelen in diesem Gebiete.

2. Da es sich um den Nachweis einer Potenzentwickelung um einen beliebigen Punkt a = a -f- iß handelt, so führe man Polarkoordinaten ein:

so wird:

x = a -f r cos ft, y = ß -f- r sin ft w = f(cc + r cos ft, ß + r sin ft) = w(r, ft) -f- iv (r, ft).

Der Radius r darf nur so gross gewählt werden, dass der zugehörige Kreis nicht über das gegebene Gebiet hinausreicht; dieser Maximalwert von r, welcher zu einem bestimmten a und ß gehört, heisse Jl. Die Funktionen u und v sind stetige Funktionen der Variabelen r und ft, und ausserdem periodische Funktionen von ft mit der Periode 2tc. Es wird nun:

also:

dw

dr

dw dw dr dx

cos ft -f

dw

dy

sin ft

dw

dw

d&

dx

r sin ft -f-

CV)

r cos ft;

i div r 0ft

-C

div

dw

dx

dy

^ (cos ft — i sin ft);

mithin lautet die Differentialgleichung l) in Polarkoordinaten:

3)

dw

i dw

--1---— 0.

r cft

dr

4)

Dieselbe zerlegt sich in die beiden:

I|^-o

r d&

du

dr

dv

dr

1 du r oft

- = 0.

dw dw

Da die partiellen Ableitungen r — 0 endlich bleiben, so ist bei allen Werten von ft:

r du'

lim ——

r=0 Ld& -

Weil nun auf jedem Kreise mit dem Radius r < II u und v stetige Funktionen von ft sind, welche überdies die stetigen Ab-

dx dy

auch an der Stelle

5)

= 0 und lim

dv

;=o LdV--

= 0.

.    du    dv

leitungen - und - besitzen, so sind die Werte von u und v du    du

ausnahmslos durch Fourier sehe Reihen darstellbar; d. h. es ist:

k = x

u (r, ff) = A₀ + ^ {Ak cos 7cff + Bk sin fcff),

k— 1 k= oo

6)

wobei

v (r, ff) = A₀    (Ai cos 7c ff + B* sin Zcff),

k — 1

A»~-hju

(r, ff) d&,

Ak = — / u nj

(r, ff) cos ft ffd&,

— 71

— 71

+ 71

Bk —

- fu

nj

(r, ff) sin 7c ff dff,

— 71

und analoge Gleichungen für v gelten. Demnach ist:

k= oo

7) w — Aq -j- i A,-) -j- (Ak -f- i Ai) cos ft ff -f- (Bk -f- 7J3*) sin ft ff.

k=i

Die Koeffizienten Ak, Bk, A*, Bi sind reelle Funktionen des Radius r. Wie beschaffen müssen dieselben sein, damit die partiellen Differentialgleichungen 4) erfüllt sind? Man kann die Frage nicht so lösen, dass man die Reihen 6) gliedweise sowohl nach r wie nach ff differentiiert; denn damit würde die Darstellbarkeit der du du dr ’ dff

Funktionen

etc. durch trigonometrische Reihen vorausgesetzt werden, die aus der Stetigkeit dieser Funktionen allein nicht hervorgeht. Man gelangt vielmehr zu den gesuchten Relationen auf entgegengesetztem Wege, indem man die Differentialgleichungen integriert.

Multipliziert man die erste der Gleichungen 4) mit sin 7cff,

1 dv

sin 7cff-----— sin 7cff = 0,

r dff

und da diese Gleichung bei allen Werten von ff gilt, so wird auch:

so wird:

CU

dr

8)

•J

dr

— sin 7cff dff —

dv

—— sin ftffdff — 0.

— 71

Das zweite Integral lässt sich durch partielle Integration umformen; es ist:

— 71

+•*

d&

„ . . r /*

— sin Jc& d& — [v sin h&] — hl i

71

Jrn

v cos h& d&,

— 71

— 71

und da der erste Term der rechten Seite verschwindet, so lautet nunmehr die Gleichung 8):

du

dr

— 71

sin h&d& + hJv cos h&d& = 0.

— 71

du

Da ferner —— eine stetige Funktion der beiden Variabelen

dr

ist, so ist:

-\-7l

du

—— sin h& d& *=

dr

u sin h& d&,

—71

und sonach erhält man an Stelle von 8) die Bedingungsgleichung:

dBk * dr

Wird dieselbe Dilferentialgleichung 4) mit cos h& multipliziert, so folgt nach demselben Verfahren:

dAk T ~dr~

und wird die zweite der Gleichungen 4) in derselben Weise behandelt, so erhält man:

9)

10)

“f* h Ayt — 0.

— 7oB,= 0,

. dBk T dr d hk r er

Das simultane System dieser vier Gleichungen definiert die Koeffizienten für die Reihenentwickelungen 6) der Funktionen u und v\ dasselbe gilt für alle Werte von h = 1 an. Für h = 0 hat man die Gleichungen:

ii)

12)

— 71

— hAk = 0,

— d&--    ■

rj d&

+

r u

J

du

dv

er

— 71

dr

d& +

d& — 0 oder

d& = 0 oder

dA₀

dr

d A₀

dr

da u und v auf jedem Kreise stetige und periodische Funktionen von sein müssen. Also sind A₀ und A₀ Konstanten. Das obige System aber lässt sieb in einfachster Weise vollständig integrieren. Differentiiert man die Gleichung 9) nach r, was gestattet ist, da Ak eine Ableitung nach r besitzt, so folgt vermittelst der Gleichung 12):

cBk - + r

d²Bk

dA k

oder:

dr

dr²

dr

13)

d*Bk

1 dBk

dr²

r dr

»4-14=0.

r²

Demnach wird:

14)

Bk = Cl rk + C₂ r~k,

A* = - Ci rk -f C₂r~k,

Ak = C\rk+ C'₂r~k,

B k=G\rk-C\r~k.

Die Grössen Cl, C₂, C\, C'₂ sind vier willkürliche reelle Inte-

und ferner:

grationskonstanten. Da aber

du

'\~n

dr

auch für r — 0 endlich bleibt,

J dr

— 7t

müssen die Koeffizienten der negativen Potenzen von r sämtlich null sein, d. h. es ist:

15) Bk = C\ r*, A* = - C\ r\ Ak « C\ rk, B* = C\ r*.

Weil solche Gleichungen für sämtliche Werte von k gelten, während die beiden Integrationskonstanten je nach den Werten von k verschieden sein können, so sollen diese Konstanten ebenfalls durch den Index k unterschieden werden. Man setze also:

Aq = Cq, A₀ — C"₀,    - Bk *= A, = C'k rk, B* = M* = Ck r*

so erhält die Reihe 7) die Form:

so ist auch

du

sin k&d& =

dBk

dr

für r — 0 endlich. Mithin

K =GO

w = (C₀ + iC'₀) + ^ (— C'k + iCk) rk sin k& + (Ck+ iC'*) rk cos k&

oder:

k= 1

k = co

w = (C₀+ iO'„) + y(Ct+ iC'») r*«'⁴»,

16)

k — CG

- (C₀ + iC'„)    (c* + *<?'*) (2

A=1

- «*)*,

sie ist also eine Potenzreihe der komplexen Variabelen g — a.

3. Das Auftreten der negativen Potenzen von r in dein vollständigen Integrale des simultanen Systemes weist darauf hin, dass die soeben entwickelte Methode sofort, eine Erweiterung des Problemes gestattet: Es sei die Funktion w so beschaffen, dass sie für eine endliche Anzahl von Stellen im Innern des gegebenen Gebietes unendlich wird. In diesem Falle kann man solch einen Punkt c mit einem Kreise von beliebig kleinem Radius q um-schliessen, dessen Mittelpunkt c ist, und ausserdem einen zweiten Kreis vom Radius R mit demselben Mittelpunkt konstruieren, dessen Radius so gross gewählt wird, dass in dem ringförmigen Gebiete zwischen q und R kein Unendlichkeitspunkt der Funktion angetroffen wird. Für alle Werte von r zwischen q und B ist ' alsdann die Funktion w durch eine konvergente Potenzreihe von der' Form

k= X)

ik r>

+ (Dk+iD'k) r~h e

iv = (G₀+ iCfn) + ^] (Gt+ iC'k) rk e

k 1

ausdrückbar, wobei D* und ein neues Paar von Integrationskonstanten bezeichnen, welches oben zuerst C\ und C₂ genannt wurde. Diese Entwickelung bleibt bei beliebig kleinen Werten von r giltig. Wird nun die Funktion im Punkte c derart unendlich, dass das Produkt w{z — c) für z — c gleich null wird, so müssen auch jetzt noch alle Koeffizienten der negativen Potenzen von r verschwinden, und es besteht also der Satz: Wenn für eine Funktion iv, welche im übrigen den anfänglichen Bedingungen (§ 1) genügt, nur die Möglichkeit offen gelassen wird, dass sie in einzelnen Punkten im Innern des Gebietes unendlich wird, so jedoch, dass für jeden beliebigen Punkt der Fläche, wo z — z' ist, iv{z — z') für z — z' gleich null wird, so ist sie notwendig nebst allen ihren Differentialquotienten in allen Punkten im Innei*n der Fläche ohne Ausnahme endlich und stetig.

Sind in dem Gebiete beliebig viele Unendlichkeitsstellen enthalten, so gilt die vorstehende Reihe für jedes durch zwei konzentrische Kreise begrenzte Gebiet, in welchem keine singulären Punkte gelegen sind; nur kann in diesem Falle der innere Kreis im allgemeinen nicht mehr beliebig klein gemacht werden.

Zusätze. Es soll nun untersucht werden, in welcher Weise sich die Voraussetzungen des Theoremes (§ l) noch erweitern lassen, ohne dass die Giltigkeit desselben aufhört. Es sei nach wie vor w innerhalb des Gebietes eine durchaus stetige Funktion (ohne Unendlichkeitspunkte); aber es gebe Stellen, von denen nicht bekannt ist, ob an denselben die Differentialgleichung

25

Serret, Differential - und Integral- Rechnung. Bd. II. 2.

CIO

dw

cx

CIJ

vermittelst endlicher bestimmter Werte der Ableitungen erfüllt ist, Stellen also, an denen entweder diese Ableitungen einzeln oder beide unbestimmt, auch unendlich werden, oder an denen dieselben nicht mehr der Differentialgleichung genügen könnten. Auch werde die Möglichkeit offen gelassen, dass Stellen vorhanden sind, an denen diese Ableitungen, mögen sie dort der Differentialgleichung genügen oder nicht, nicht mehr stetige Funktionen der beiden Variabelen x und y sind.

Wählt man wiederum einen beliebigen Punkt im Innern des Bereiches zum Mittelpunkt der Reihenentwickelungen, wie sie durch die Gleichungen 7) definiert sind, so werden alle früheren Schlüsse, aus denen hervorging, dass die Koeffizienten gemäss den Gleichungen 15) Potenzen von r multipliziert mit bestimmten Konstanten sind, anwendbar sein, wenn dreierlei erhalten bleibt. Erstlich müssen diese Koeffizienten noch immer stetige Funktionen von r bleiben, und dies ist zufolge der Definition derselben vermittelst bestimmter Integrale in der That der Fall, wenn w durchaus stetig

d Ak    dBk d t\k

—-> —--1 —-->

dr dr dr

stetige Funktionen von r sein, und drittens müssen die Differentialgleichungen 9) bis 12), wenn sie auch nicht von vornherein als für jeden Wert von r geltende bekannt sind, doch in beliebiger Nähe eines jeden Wertes Geltung haben. Sind nämlich die Koeffizienten nebst ihren ersten Ableitungen stetige Funktionen von r, so folgt, dass diese Differentialgleichungen ausnahmlos er-

dBk

ist. Zweitens müssen auch ihre Ableitungen:

cBk

dr

füllt sind, weil zwei stetige Funktionen Gleichung 9)

dr

und A*, welche der

r^yk + &A k = 0

dr

in jedem kleinsten Intervalle mindestens an einer Stelle genügen, durchweg diese Relation befriedigen.

Die Stetigkeit der ersten Ableitungen bleibt gesichert, sobald das simultane System erster Ordnung bei allen Werten von r mit Ausnahme einer diskreten Menge Geltung hat, oder genauer, sobald man weiss, dass die Gleichung

dBk

dr

und die analogen im allgemeinen besteht, nämlich so, dass die Werte von r zwischen 0 und R, für welche die beiden Seiten um mehr als eine beliebig kleine Zahl 6 differieren, stets nur eine Menge bilden,

die sich in eine endliche Anzahl von Intervallen einschliessen lässt, deren Summe beliebig klein gemacht werden kann. (Bd. II. 1, pag. 76.) Denn wenn dieses der Fall ist, so folgt durch Integration,

Ti

dass die Funktion Bk die Ableitung--A* besitzt, die in der

r

That durchaus stetig ist. Dabei ist allerdings noch angenommen,.

bei ihrer Integration nach r die Funk-

dass die Ableitung

dBk

dr

tion Bk liefert, was aus den angenommenen Bedingungen dann unmittelbar hervorgeht, wenn die Ableitung zugleich durchaus endlich ist, dagegen eine besondere Bedingung ist, wenn auch die Möglichkeit offen gelassen wird, dass dieselbe unendlich ist. Die Forderung, dass das simultane System bis auf Werte einer diskreten Menge von r gegeben sein muss, soll nun vermittelst der ursprünglichen Differentialgleichungen 4) ausgedrückt werden.

sin Ted' — — — sin Ted = 0 und den r dd

du

Aus der Gleichung analogen kann bei festem Werte von r stets die Gleichung

dr

dr

"Vdu

dr

sin Ted —

1 dv r dd

sinTed^j dd — 0

n>

gefolgert werden, wenn innerhalb des ebenen Gebietes alle die Stellen, an welchen die obige Gleichung nicht gilt, in Flächenelemente eingeschlossen werden können, deren Summe beliebig klein ist. Führt man zunächst die innere Integration aus, so folgt:

* '•

'S

<30 I <^3 s

'S | §

sin Ted dd +

zw-

+ /r

V COS Tid dd = 0.

r₀

Vertauscht man die Integration im ersten Integrale, was ge-

du

stattet ist, wenn wir die doppelte Integrierbarkeit von —— voraussetzen, so wird dasselbe gleich:

-\-n

sin Ted dd

dr -J

sin Tcddd .

— 71

rQ

— TI

r₀

Also wird in unserer früheren Bezeichnung:

[2?*] + Te I — dr = 0 oder

r» J r

er

u. s. w.

Sonach lässt sich dem Hauptsatze die Fassung geben: Wenn eine Funktion w innerhalb eines die Ebene einfach überdeckenden Gebietes ausnahmslos stetig ist und der Differentialgleichung

dy

dx

= 0 „im allgemeinen“ genügt, d.h. so, dass die Punkte,

an denen diese Differentialgleichung nicht erfüllt ist, sowie die

Punkte, an denen die partiellen Ableitungen dw dw dr d-0

-r— > —— (oder die dx dy

unbestimmt zwischen endlichen

dw dw

partiellen Ableitungen

oder unendlichen Grenzen oder unstetig werden, nur ein lineares System erfüllen, d. h. in eine endliche Anzahl von Flächenelementen eingeschlossen werden können, deren Summe beliebig klein gemacht werden kann; wenn ferner die partiellen Ableitungen die doppelte Integrierbarkeit gestatten, so dass

Jf

dw

—— dx dy =

dx

J [wfxdy, j f

dw

dy

C y

dxdy = / \w\ ,! y₀

dx

ist, so ist die Funktion w nebst allen ihren partiellen Differentialquotienten für alle Punkte im Innern dieser Fläche endlich und stetig, und es sind überhaupt keine Ausnahmepunkte vorhanden.

Wird schliesslich noch die Möglichkeit offen gelassen, dass auch die Funktion w an irgend welchen Stellen im Innern des Gebietes zwar endlich bleibt, aber unstetig wird, so gelten alle früheren Sätze, wenn diese Unstetigkeitsstellen so verteilt sind, dass erstlich die Integrale A₀, A₀, Ak, A*, Bk, B* stetige Funktionen von r bleiben, und dass zweitens, weil der Satz der teilweisen Integration auf jedem Kreise und jedem Radiusvektor angewandt wurde, u und v nur bei Werten von r, die eine diskrete Menge bilden, unstetige Funktionen von ft sind, und ebenso nur bei diskreten Werten von unstetige Funktionen von r. Diesen Forderungen wird genügt, falls die Stellen, an denen die Stetigkeitsbedingung von w nicht gegeben ist, auf einer beliebigen Kurve nur eine diskrete Menge bilden, und ebenso die Kurven selbst, auf denen sie gelegen sind, nur ein diskretes System zusammensetzen. Unter diesen Bedingungen kann w überhaupt an keiner Stelle im Innern des Gebietes unstetig sein, wenn eine durch Abänderung des Wertes in einzelnen Punkten hebbare Unstetigkeit ausgeschlossen ist.

Ende des zweiten Bandes.

BIBLIOTEKA PGLITEGHNiCZHA

rrU

KRAKOW

«I

t

»

*

■

*

.8*96

■

:

.

*

'

'

RS

Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

i52L-

11-349003

U

|&5

Kl

v:

vT»

l’n

L ;>j

s

FfJ

* *>-v

ß,t

»T’

7/

«l

„V *

&

£

>•**<

i#£g

|gj

ri*rt

fV

i£

Hb

,<

'•<

»*•*

>:

'A

v

Fj

«>•1

5fS

p:

Pa

r;

5&!

5«

Hi

■

El

•’

R*)£gg

aH!

LvT

ß.

IW

yC.

£

■1

Cj

*'$P

r*3

Ja M

R3

iSifV-j

■JÜ

w£i

vv

.■71

&

’K

K<

r.j

W

i*Tv-»a

Sä

ä

. >3\-

“♦ <

<a

'•

fiSi

9gg|

[Tsl

$£

gW

£•<

■

te&i

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Mi]

P,

■ J

F

■. *J

?7

-

fe

-iji

,4

&

rr

100000297174

AS

[TM

SSj

iV»

S&j

^4$

*

,*•*

Kray

M