WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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HANDBUCH

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VERMESSUNGSKUNDE

VON

D= W. JORDAN

PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU HANNOVER

DRITTER BAND

LANDES-VERMESSUNG

UND

GRUNDAUFGABEN DER ERD-MESSUNG

VIERTE VERBESSERTE UND ERWEITERTE AUFLAGE

STUTTGART J. B. METZLERscher VERLAG 1896

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J. B. Metzlersche Buchdruckerei, Stuttgart..

VORWORT.

Diese neue vierte Auflage des dritten Bandes des * Handbuchs der Vermessungskunde“ giebt im Vergleich mit der vorhergehenden dritten Auflage von 1890 viele Ergänzungen und Weiterführungen, namentlich die Theorieen der rechtwinkligen konformen Coordinaten und verschiedene Theorieen von queraxigen Coordinaten.

Dagegen sind die nur theoretisch mathematischen Teile gekürzt, und auf das Nötigste beschränkt worden.

Es war auch bei diesem Bande, wie bei der Methode der kleinsten Quadrate, das Bestreben des Verfassers, dem Feld- und Landmesser, welcher zunächst nur das Verständnis seiner Landesvermessung für Katastervermessung und ähnliche Zwecke sucht, in einer mässigeu Zahl von Paragraphen die einfachen Theorieen zurecht zu legen und dabei Andeutungen zu geben, welche Teile zunächst überschlagen werden können.

So wird ein Württembergischer, Bayerischer oder Preussischer Landmesser zum ersten Verständnis seiner amtlichen Anweisungen kaum mehr nötig haben, als den technischen Teil von Kap. I, und von Kap. III—V etwa folgende theoretische Paragraphen : § 40.—48., § 45.—-49., § 53.—57., dazu gehört § 59. als geschichtlicher Abschluss; und als erster Ausblick auf weiteres genügt noch § 60. und § 65. nebst § 68.

Nach dem Erfassen dieser einfachen Teile wird sich der WTunsch, auch noch weiteres kennen zu lernen, wohl von selbst einstellen.

In jüngster Zeit sind die konformen Coordinaten für Kataster- und ähnliche Aufnahmen so lebhaft erörtert worden, dass deren ausführliche Behandlung in § 50.—52., § 58 und später genauer in § 85.—89. erwünscht sein wird, wie auch die Kenntnis des allgemein konformen Systems der preussischen Landesaufnahme mit der Gaussschen Kugel in Kap. VIII heute dem weiter strebenden preussischen Landmesser unerlässlich ist.

Die Behandlung der geodätischen Linie durch geometrische Differentialbetrachtungen z. B. § 54. und namentlich in § 69., § 71. u. a. giebt die Möglichkeit, das, was man von dieser Theorie wirklich braucht, so kurz und anschaulich zu erlangen, dass wir diese Behandlung trotz der von abstrakt mathematischer Seite möglicherweise dagegen gemachten Einwände in unserem Falle für die beste halten.

Zur vorhergehenden 4. Auflage des ersten Bandes, Methode der kleinsten Quadrate, 1895, möchte ich ausser anderen wohlwollenden Besprechungen, der eingehenden und zustimmenden Kritik von Herrn Oberlandmesser Seyfert in „Zeitschr. f. Yerm. 1896“, S. 150—156 besonders danken, zumal auch Herr Seyfert dem Verfasser eine ziemliche Zahl von Druckfehlern und anderen kleinen Versehen in jenem Bande mitgeteilt hat, welche benützt werden werden. Bei dem Drange, vorliegenden 3. Band 4. Auflage wegen Bedarfs im Buchhandel so rasch als möglich herauszugeben, ist es nicht unmöglich, dass auch in diesem Bande einige Druckfehler oder andere kleine Versehen stehen geblieben sind, dagegen ist dem Sinne nach alles was in dieser Auflage aufgenommen ist, seit Jahren nun so durchgearbeitet, dass der Band mit Ruhe den deutschen Landmessern hinausgegeben werden kann.

Als eine Art Vorwort zu unseren 3 Bänden des Handbuchs der Vermessungskunde im Ganzen, und als Zusammenfassung der Anschauungen des Verfassers über die Aufgaben, welche unserer heutigen Feld- und Landmessung gestellt sind, haben wir im Nachfolgenden den Vortrag abgedruckt, welchen Verfasser auf der 25jährigen Jubiläums-Versammlung des deutschen Geometer-Vereins in Dresden am 3. August 1896 gehalten hat,

Hannover, August 1896.

Jordan.

Über die Entwicklung des deutschen Vermessungswesens im 19. Jahrhundert.

Festrede zur Feier des 25jährigen Jubiläums des deutschen Geometer-Vereins am 3. August 1896 in Dresden.

An dem Tage, an welchem unser Verein das 25 jährige Jubiläum seines Bestehens feiert, geziemt es sich, zurückzublicken nicht bloss auf diese 25 Jahre, sondern noch weiterauf den Anfang dieses Jahrhunderts, mit welchem die heutige deutsche wissenschaftliche Feld- und Landmessung ihren Ursprung genommen hat.

Der allgemeine Aufschwung des nationalen Lebens nach den schweren Kriegen am Schlüsse des vorigen und am Anfang dieses Jahrhunderts und die lange darauf folgende Friedenszeit hat unter vielen anderen Kulturarbeiten auch unserer Wissenschaft den Nährboden bereitet, auf dem sie als ein fast neues Werk gedeihen und wachsen konnte, denn alles was aus dem vorigen Jahrhundert an Karten, Plänen und geographischen Messungen in Deutschland stammt, kommt gegen die neuen Werke dieses Jahrhunderts nicht mehr in Betracht.

Wir können diese lange Periode in zwei Epochen einteilen, die erste von Anfang bis zur Mitte mit Bohnenberger und Soldner als Führern kann die süddeutsche, und die zweite von der Mitte bis heute, welche an die Namen Gauss, Bessel, Baeyer geknüpft ist, kann die norddeutsche Epoche genannt werden.

Dass die süddeutschen Staaten vorangingen, ist abgesehen von den geodätischen Kräften auch begreiflich durch die dort trotz der Kriegszeiten früher ruhig gewordenen staatlichen Zustände und zweitens aus dem Umstande, dass Staaten von mittlerer Grösse der Entwicklung von Landesvermessungen günstiger zu sein scheinen als Grossstaaten oder als ganz kleine Gebiete.

Eine einheitliche VermessungsWissenschaft, wie sie jetzt in akademischen Vorträgen, in Büchern und Zeitschriften sich herauskristallisiert hat, gab es am Anfänge dieses Jahrhunderts noch nicht; in jedem Staate wurde fast von vorn angefangen, teilweise anfänglich nach fremden Mustern, aber bald allenthalben aus eigener Kraft und wissenschaftlicher Begeisterung.

Die wissenschaftlichen Kräfte kamen aus allen Berufsklassen, aus dem Militär, aus Baukunde, Astronomie, Mathematik, sogar aus Theologie (Bohnenberger) und Jurisprudenz (Paschen), und so kam es, dass die deutschen Landesvermessungen das bunteste

Bild der geodätischen Entstehung und Entwicklung bieten, dass z. B. in einem Lande mit Flurkarten, im anderen Lande mit Topographie begonnen wurde, dass hier der Winkelmesser, dort der Messtisch, an anderem Orte der magnetische Kompass und die Messkette, wieder anderswo Messlatten und Kreuzscheibe bevorzugt wurden, u. s. w. und dass heute noch in dem einen Staate etwas als vorzüglich, und unersetzlich gilt, was in dem anderen Staate abfällig beuiteilt und bei Seite gesetzt wird. Namentlich hat sich eine geodätische Mainlinie zwischen Süd und Nord, ähnlich wie die frühere politische Mainlinie, gebildet und länger als letztere erhalten.

Die Ursprünge unseres Faches sind auf den verschiedensten Gebieten zu suchen, dahin gehören namentlich:

1)    Kriegswissenschaft mit Truppenführung,

2)    Astronomie und wissenschaftliche Erdmessung,

3)    Grundsteuerverwaltung und ältere Feldmessung,

4)    Bau- und Kultur-Ingenieurwesen.

Wir betrachten diese 4 Zweige zunächst einzeln:

Militärische Aufnahmen.

In fast allen Staaten hat das dringende Bedürfnis von Karten zur Truppenführung die Topographie mit grundlegenden Triangulierungen in militärische Hände gebracht; es genügt dazu, an die Preussische Landesaufnahme zu erinnern, welche heute durchaus nicht mehr vorwiegend militärischen Zwecken dienend, doch noch ganz vom Generalstab geleitet und von Offizieren und militärischen Beamten ausgeführt . wird. Die Soldaten waren die ersten, welche von der Noth gedrängt, gute Karten machen lernten; und aus ursprünglich rohen Schätzungs- und Augenmass-Aufnahmen hat sich die militärische Topographie allmählich zu einer Feinheit entwickelt, dass man heute unter Generalstabskarten die besten Karten zu verstehen pflegt, und dass z. B. in Preussen auch heute noch die Civilverwaltungen ihre Bedürfnisse in der Generalstabskarte zu befriedigen suchen. Auch auf wissenschaftlichem Gebiete glänzen militärische Namen wie z. B. Baeyer, Schreiber im schönsten Lichte.

Während die ganze Entwicklung unseres Jahrhunderts, namentlich in den Kleinstaaten, unzweifelhaft die Tendenz zeigt, dass die Militärgeodäten allmählich immer mehr Teile ihres Gebietes an die Civilgeodäten abgegeben haben, ist doch die oberste Leitung und Verantwortung der Topographie und jedenfalls der amtlichen Kartographie so innig mit der Landesverteidigung verwachsen, dass kein Kriegsminister eines Grossstaates diese aus der Hand geben wird.

Astronomie und Erdmessung.

Die Erde als Ganzes zu messen, früher als Kugel, dann als Ellipsoid, jetzt als Geoid, ist eine Aufgabe, würdig der höchsten Anspannung aller wissenschaftlichen und technischen Kräfte der Menschheit; und von den Erdmessern haben auch die Land- und Feldmesser, welche nur Länder, Städte und Feldmarken als bescheidene Teile der Mutter Erde messen wollen, einen guten Teil ihrer feineren Messungs- und Rechnungs-Methoden gelernt, indem die grossen Gelehrten, welche zuerst die Erde als Ganzes messen rvollten, entweder selbst zur Landmessung übergingen oder wenigstens ihre Methoden vererbten. So w'ar es allerorten mit den Koryphäen unseres Faches: Snellins, JDelambre, Bessel und namentlich Gauss!

Als Gauss in der Einsamkeit der Lüneburger Heide die Winkel zu seiner Göttingen - Altonaer Gradmessung mass, ging seinem mathematischen Universal-Genie alsbald auch der Sinn auf für die landmesserische Seite dieser Art von Beobachtungen; und auf jenen einsamen Heide-Stationen sind die Ursprünge zu suchen der beiden mathematisch-geodätischen Kleinodien, welche den Ruhm der deutschen Geodäsie ausmachen, die Ausgleichung der Dreiecksnetze nach der Methode der kleinsten Quadrate, und die konforme Projektion in ihren verschiedenen Anwendungen, sowie die allgemeine Theorie der krummen Flächen.

Der Erdmessung verdanken wir in Preussen die höchste wissenschaftlich geodätische Behörde, das geodätische Institut, dessen Ruhm und unbestrittene wissenschaftliche Autorität alle Kulturländer der Erde umfasst. Aber die amtlichen Gliederungen des Grossstaates haben es so gefügt, dass zur Zeit der befruchtende wissenschaftliche Strom nur auf mittelbarem Wege von der Erdmessung zur Land- und Feldmessung fliesst.

Was die hier mitbeteiligte Astronomie betrifft, so hat dieselbe zur Geodäsie lange Zeit wie die Mutter zur Tochter gestanden, oder man kann sagen ähnlich wie im Mittelalter die Wissenschaft als „ancilla theologiae“ bezeichnet wurde, war es auch früher im Verhältnis zwischen Geodäsie und Astronomie. Die Schärfe der messenden und rechnenden Methoden kam zweifellos von der Astronomie zu uns, und es gab eine Zeit, da man glaubte, scharfes und umfassendes mathematisches Rechnen nur auf Sternwarten lernen zu können, während jetzt die Geodäsie der Dreiecksnetze und ähnliches als beste Schulung für mathematisches Rechnen gilt.

Katastervermessung.

Es ist ein eigentümliches Schicksal, dass die genauesten Aufnahmen, die wir haben, in welchen jedes Quadratmeter von Grund und Boden, und jede Grenzfurche dargestellt wird, ursprünglich lediglich wegen der staatlichen Besteuerung des Grundeigentums unternommen worden sind, so dass in den meisten Staaten diese Messungen noch unter dem Finanzministerium stehen, das doch mit Technik und mit mathematischen Messungen sonst gar nichts zu thun hat.

Die Katastervermessungen sind nach Ausdehnung, Massstab und Kostenaufwand bei weitem die bedeutendsten geworden ; sie und die nahe verwandten Flurzusammenlegungen sind der Nährboden für den grossen Stamm der Feld- und Landmesser überhaupt, namentlich in solchen Staaten, in welchen Topographie und Erdmessung besonders abgezweigt sind.

Die Katastermessungen haben die Messungs- und Rechnungsmethoden ausserordentlich ausgebildet, der wohl organisierte Arbeitsbetrieb, das sogenannte Arbeiten vom Grossen ins Kleine, die langjährige Austeilung aller kleinen Messungs- und Rechnungshilfen, hat es dahin gebracht, dass die hunderte und tausende von Parzellen in Städten und Feldmarken sozusagen fabrikmässig gemessen, berechnet und kartiert werden, in einer Weise, dass die Kosten gegen die etwaige vieltausendfache Einzelaufnahme aller Parzellen fast verschwindend werden.

Die Katastervermessungen sind im Laufe der Zeit über ihren ursprünglichen Zweck gerechte Steuerverteilung weit hinaus gewachsen; man hat gefunden, dass solche grosse Aufnahmen als Grundlage aller anderen Karten gebraucht werden können, dass sich darauf die besten topographischen Karten, Vorarbeiten für Strassen, Eisenbahnbau u. s. w. vorzüglich gründen lassen.

Eine wichtige Frage hat sich hieran aus anderem Gebiete angeschlossen, die Rechtsfrage mit der örtlichen Versicherung aller Grenzmarken und mit der Grundbuchsanlage durch Eintragung aller ideellen Wertbestimmungen. Man hat gefunden, dass die Katasterkarten in Verbindung mit dem Grundbuche das beste Mittel zur Eechtssicherheit bei Käufen und Hypotheken sind.

Aber ein letztes Ziel, beweiskräftige Grundkarten mit rechtskräftigen Flächenangaben sind bis heute in den meisten Staaten ein frommer Wunsch geblieben, und ebenso liegt auch die Vermarkung der Grundstücke noch im Argen, indem dafür nur in wenigen Staaten die nötigen Gesetze bestehen. Eine letzte Wertsteigerung kann man den Katasteraufnahmen und Flurkarten zu Teil werden lassen dadurch, dass man dieselben vervielfältigt und der Öffentlichkeit übergiebt, wie in den zwei Stammländern Bayern und Württemberg geschehen ist; und wenn man vollends wie in Württemberg den letzten Schritt thut, nämlich die Flurkarten in 1 : 2500 mit Höhenzahlen und mit Horizontalkurven zu versehen, so hat man damit eine Universalkarte, welche den kühnsten Wünschen genügen muss (vgl. Schlebach Mitteilung über die Höhenaufnahmen in Württemberg im Massstabe 1 : 2500 und die Herstellung einer topographischen Karte im Massstab 1:25000 „Zeitschr. f. Verm. 1896“, S. 353—361).

Ingenieur-Messungen.

Der Feldmesser im gewöhnlichen Sinne liefert nur Lagepläne; der Strassen-, Wasser- und Eisenbahnbauer, der Topograph und der Kulturingenieur liefert dazu auch die Höhen, er nivelliert und tachymetriert ; und man kann wohl sagen, die Eisenbahnbauer seit 1850 haben das Nivellieren zwar nicht erfunden aber soweit vorbereitet, dass es vor 30 Jahren für erdmessungsfähig erklärt werden konnte. Das einfache Nivellierverfahren hat auch seit jener Zeit die trigonometrische Höhenmessung auf weite Sichten grossenteils verdrängt und nur im Kleinen übrig gelassen, wo sie am Platze ist.

Unter den Ingenieurmessungen ist auch besonders die sogenannte Tachymetrie zu erwähnen als bestes Hilfsmittel für Geländeaufnahmen zu Vorarbeiten für Strassen-, Eisenbahn- und Wasserbau u. dergl. Dieses Verfahren, ursprünglich fremdländischen Ursprungs hat sich bei uns glücklich eingebürgert und weiter entwickelt und hat auch Aussicht, die früher ausschliesslich als Militärangelegenheit betrachtete Herstellung topographischer Karten in neue Bahnen zu lenken.

Das Vorstehende liefert einen Überblick über die Herkunft und die Teile unserer Wissenschaft im Ganzen. Um von der Entwicklung im Einzelnen ein Bild zu geben, müssen wir versuchen, das was die einzelnen Staaten beigetragen haben, auseinander zu setzen.

Die Südstaaten Bayern und Württemberg voran, unter Soldner und Bohnenberger, haben die erste Bahn gebrochen, sie haben zusammenhängende Triangulierungen mit einheitlichen rechtwinkligen Coordinatensystemen eingeführt, ihre Flurkarten im ganzen Lande in 1:5000 und 1:2500 lithographiert, feine Instrumente gebaut, eine selbständige geodätische Litteratur hervorgebracht, kurz in gegenseitiger Ergänzung ein erstes geodätisches Zentrum geschaffen.

Baden und Hessen haben anfänglich selbständig begonnen, sie sind in der weiteren Entwicklung aber doch der süddeutschen Gruppe zuzuzählen. Baden glänzt durch seine frühzeitige, erste, topographische Aufnahme mit Horizontalkurven, und seit 1852 durch seine für andere Staaten mustergiltig gewordene Katastermessung.

Der Weg weiter nach Norden führt uns in ein Land Hannover mit Braunschweig, welche zwar keine gründlichen und umfassenden Landesvermessungen hervorgebracht, aber eine geistige geodätische Kraft erzeugt und zur Entwicklung gebracht haben, den grossen Gauss, welcher für Geodäsie allein mehr geleistet hat als Jahrhunderte vor ihm und als bis jezt ein halbes Jahrhundert nach ihm; seine Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate und seine konformen und anderen Coordinaten-Theorieen sind unsterblich, (vgl. § 86.—88. Kap. VIII. und Kap. X).

Der Grossstaat Preussen blieb zwar anfänglich im Ganzen zurück, hat aber in den Rheinlanden schon frühzeitig Katasteraufnahmen gemacht und in späteren Zeiten auch in den Stammlanden zur Katastervermessung vieles beigetragen. Namentlich hat aber Preussen seinen Teil an der Geodäsie reichlich nachgeholt durch die Bessel - Baeyer’schen Werke mit der anschliessenden heutigen Landestriangulation und schliesslich durch die unsterbliche Schaffung der internationalen Erdmessung.

Das Land Sachsen hat seinen Tribut geleistet durch die schon in früheren Jahrhunderten begonnene vortreffliche topographische Aufnahme, welche in der Erfindung der Lehmann’schen Bergschraffierung ihren Glanzpunkt gefunden hat und dann in neuester Zeit durch ein Gradmessungs- und Landesvermessungs-Triangulierung, welche an Genauigkeit alles vorher dagewesene übertroffen hat.

Mecklenburg hat das Verdienst, als einziger Staat in Deutschland die konforme Projektion nach den Prinzipien von Gauss in seinem Coordinatensvstem theoretisch und praktisch eingeführt und bewahrt zu haben (vgl. § 81.).

Oldenburg hat als erster Staat in Norddeutschland einheitliche Coordinaten und Polygonzüge eingeführt.

Kurz alle Teilländer unseres Gesamtvaterlandes, welche hier unmöglich alle vorgeführt werden können, haben ihren Teil dazu redlich beigetragen, dass unser Gesamtvaterland im Besitze einer Summe von Erfahrungen und Kenntnissen in Landmessung ist wie kein anderes Land der Erde; und es liegt hier einer der wenigen Fälle vor, dass unsere sonst so unglücklich gewirkt habende politische staatliche Zersplitterung zum Segen geworden ist.

Neben der vorstehenden Entwicklung von Süd nach Nord besteht eine zweite eigentümliche weniger staatlich als geographisch fortschreitende Entwicklungsbewegung von West nach Ost, die sich an die Instrumente Messtisch und Theodolit knüpft.

Der Streit Messtisch-Theodolit, welcher noch in den Anfangsjahren unseres Vereins die Geister bewegte, kann jetzt als ausgefochten gelten zu Gunsten des Winkelmessens und des Rechnens mit sinus und cosinus, wenigstens was eigentlich genaue Messungen wie für Kataster u. s. w. betrifft, aber zu Anfang des Jahrhunderts lag die Sache gerade umgekehrt. Für Kataster war in Bayern, Württemberg, Sachsen und für Topographie auch in Baden und Preussen der Messtisch allmächtig, und was heute als wesentlichstes Element aller genauer Einzelmessungen gilt, die Theodolit-Polygonzüge, das wurde etwa 1810—1820 im äussersten Westen geschaffen in den preussischen Rheinlanden und in Hessen, eroberte allmählich Oldenburg, Baden, Württemberg, Bayern und Alt-Preussen. Der Bayerisch-Schwäbische Ruhm von 1820— 1840 wird durch die verspätete Einführung der Theodolitzüge wieder ziemlich verdunkelt.

Coordinaten- System.

Ein wichtiges Element in der Entwicklungsgeschichte unseres Faches bilden die verschiedenen Coordinaten-Systeme. Solange jede Stadt oder Feldmark lediglich in sich selbst als Ganzes behandelt und gemessen wurde, lieferte die Feldmessung zwar ein Konglomerat von Einzelplänen, aber keine zusammenhängende Landesvermessung. Die schönsten Proben der Grenzanschlüsse liess man sich entgehen ; und die militärischen Topographen hatten ein Recht, auf solches Stück- und Flickwerk geringschätzend herabzusehen und die mathematisch-geodätisch orientierte Generalstabskarte als einziges wissenschaftliches Kartenwerk zu preisen. Sobald man aber anfing, die Stadt- und Gemeindekarten innerhalb ganzer Länder triangulatorisch in grossen Coor-dinaten-Systemen zusammenzufassen und dadurch jeder einzelnen wenn auch noch so kleinen Latten- und Kreuzscheibenmessung ihren Platz auf dem Erd-Ellipsoid auch nach geographischen Coordinaten anzuweisen, sind die Feld- und Landmessungen mit einem Schlage im wissenschaftlichen Range um eine hohe Stufe gestiegen, und allen anderen Messungen überlegen geworden.

Diesen wichtigen Schritt haben in konsequenter Weise zuerst die deutschen Südstaaten gethan; sie haben dadurch die wichtige Verbindung der niederen Feld-und Landmessung mit der mathematisch-astronomisch orientierten höheren Geodäsie hergestellt.

Ein Bayerischer Geodät aus den ersten Jahrzehnten unseres Jahrhunderts, Soldner, hat hieraus einen Ruhm erworben, der seinen Namen in inniger Verbindung mit diesen Verhältnissen bis heute erhalten hat, obgleich er die nach ihm benannten rechtwinkligen Coordinaten durchaus nicht selbst erfunden, sondern nach französischen Mustern übernommen hat, und obgleich jene nun sogenannten Soldner’schen Coordinaten für Landestriangulierung und für Katastervermessung durchaus nicht mehr die besten sind. Aber Soldner und sein schwäbischer Nachbar Bohnenberger haben die grosse praktische Bedeutung solcher Coordinaten mit richtigen Blicken frühzeitig erfasst, sie haben die mathematische Theorie derselben auf alle praktischen Fälle angewendet und veröffentlicht, und sie haben die Sache so ins einzelne ausgearbeitet, dass die süddeutschen Vermessungen sich schon frühe einer Klarheit und Ordnung erfreuten, welche man damals anderwärts noch nicht kannte. Bohnenbergers Veröffentlichung hierüber vom Jahre 1826 hat auf weite Kreise auf klärend und anregend gewirkt. Auch Baden, welches ursprünglich nur rechtwinklige ebene Coordinaten gehabt hatte, und Hessen folgten nach (vgl. S. 325—328).

Es sind noch zwei deutsche Länder zu nennen, welche auch schon in den ersten Decennien unseres Jahrhunderts solche oder ähnliche Coordinaten hatten, nämlich die preussischen Rheinlande und Oldenburg, aber es sind keine Literaturnachweise dafür vorhanden und in den Rheinlanden wurde das Prinzip der einheitlichen Coordinaten durch Einführung zahlreicher Lokalsysteme wieder zerstört und musste 1879 wieder von neuem eingeführt werden. Dass die Oldenburger Coordinaten von 1837 dieselben sind, wie die gleichzeitigen süddeutschen Coordinaten, davon habe ich mich durch Nachrechnen der gütigst überlassenen Zahlen werte überzeugt; ob und welche Mustervorgänge etwa in Oldenburg benützt worden sind, kann aus den vorhandenen Nachrichten nicht ersehen werden (vgl. S. 333—335).

Im übrigen Deutschland wollte man die rechtwinkligen grossen Coordinaten-systeme mit Berücksichtigung der Erdkrümmung lange nicht verstehen; z. B. in Preussen

mit Ausnahme der Rheinlande, scheinen vor der Einführung der jetzigen 40 Soldner-ischen Systeme im Jahre 1879, soweit die Nachrichten reichen, nur zerstreute kleinere ebene rechtwinklige Systeme vorhanden gewesen zu sein (vgl. S. 332—333).

Auch in Sachsen sind schon vor der neuen Gradmessungs- und Landesvermessungs-Triangulierung 1860—1890, welche ein Soldnersches Coordinatensystem eingeführt hat, rechtwinklige Coordinaten in mancherlei Art, wie es scheint meist eben benützt worden.

Eine wesentliche Verbesserung und Verfeinerung auf diesem Gebiete wurde geliefert in Hannover 1820—1840 durch die „konformen“ Coordinaten, welche Gauss für die Hannoversche Triangulierung und Topographie eingeführt und berechnet hat, deren Prinzip ein Schüler von Gauss, Paschen, in anderer Form auch in Mecklenburg zur Anwendung gebracht hat, wo es als einziges derartiges System in Deutschland heute noch besteht und mit Begeisterung hochgehalten wird (vgl. S. 335—336).

Es ist nämlich ein eigentümliches Schicksal, dass das Coordinaten-Werk des grossen Gauss von diesem selbst nicht mehr abgeschlossen und veröffentlicht, sondern erst 1866 von Schreiber und Wittstein der Gefahr des Vergessens und Verlorengehens entrissen wurde, und dass es auch nach dieser Veröffentlichung nicht genügend gewürdigt worden ist (vgl. S. 328—329 und S. 458—459).

So kam es dass die klassische geodätische Erbschaft in Hannover selbst, nach 1866 nicht weiter verwertet wurde und dass in Preussen noch im Jahr 1879 das ältere sogenannte Soldner’sche, süddeutsche Prinzip in 40 Katastersystemen eingeführt wurde, während in Preussen nur die Landesaufnahme ein allgemeines konformes System eingeführt hat (vgl. S. 330—333).

Im Ganzen haben wir in Deutschland heute etwa 50 Coordinatensysteme, als Ergebnis einer 100jährigen politisch und geodätisch ungleichen Entwicklung, während rein mathematisch betrachtet, etwa 10 Systeme ausreichen würden (vgl. S. 326).

Noch Manches könnte zur Entwicklungsgeschichte der Messungs- und Rechnungsmethoden in den einzelnen Staaten und zur Vergleichung ihrer Beiträge zum Ganzen gesagt werden, aber die gerechte Würdigung aller Vorzüge und Mängel wäre wohl hier unmöglich.

Nach allem aber ist soviel sicher, dass es in unserem Gesamtvaterlande nur noch einer kritisch ordnenden Hand bedarf, um nach der Regel „Prüfet alles und behaltet das Beste“ aus den zerstreuten Landesvermessungen ein Ideal heraus zu schälen, das als teure Errungenschaft ins nächste 20te Jahrhundert hinüber gebracht werden muss.

Wir wollen am Schlüsse hierauf zurückkommen, inzwischen aber noch verschiedene Seiten unseres Gegenstandes besonders betrachten.

Die soziale und wissenschaftliche Stellung der Landmesser.

Ebenso verschieden wie die Berufsarten und Stände, aus denen die ersten Landmesser hervorgegangen sind, waren auch die Stellungen der Landmesser selbst in der menschlichen Gesellschaft. Der frühere Offizier, der ehemalige Astronom blieb angesehen, wenn er das Feldgeschütz oder das Passage-Instrument mit dem Messtische oder mit dem Feld-Theodolit vertauschte; aber die von unten heraufgekommenen Landmesser im eigentlichen Sinne wurden lange scheel angesehen auch bei den besten Leistungen; und merkwürdig, gerade unsere Berufsvettern, die Bauingenieure, wollten durchaus uns nicht als Amtsbrüder gelten lassen.

Viel wurde hier auch behördlicherseits gefehlt: Es gab Zeiten und Behörden, als man rasch Personal in grosser Zahl brauchte, da wurden gewesene Messgehilfen und noch weniger geeignete Personen zu Feldmessern gemacht. — Auch den wirklich berufsmässig ausgebildeten Leuten fehlte es vielfach an den nötigsten Kenntnissen ; die einfache Volksschule war oft die Pflanzstätte der Feldmesser, und wenn dazu der Pythagoräische Lehrsatz und die Flächenberechnungssätze kamen, so war in der Messtisch-, Bussolen- und Kettenzeit das mathematische Wissen des Landmessers mancher Orten erschöpft; und so kam es auch, dass mancher im Verwaltungsdienste heraufgewachsene Beamte Entscheidungen über Fragen der höheren Geodäsie gefällt hat

der in seinem Leben niemals mit sich gequält hatte.

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Mancher deutsche Staat hat an hohen und höchsten Schulen Mathematik jahr-zehnte lang vortragen lassen, ohne für die allernächste Anwendung derselben, nämlich Anwendung auf Landmessung, welche doch die Mutter aller Mathematik ist, Sorge zu tragen. Landmessung war ein Stiefkind.

Diese Zeiten sind hinter uns; in allen deutschen Staaten wird unser Fach mit seinen mathematischen und physikalischen Grundlagen ebenso gründlich gelehrt und geprüft, wie z. B. Baukunde, Maschinenbau u. s. w. Und doch fehlt noch eines: Die technischen Hochschulen sind dabei noch teilweise übergangen, und doch würde gerade auf diesen Schulen die Studiengenossenschaft mit Bauingenieuren und allen anderen Technikern unserem Ausbildungskampfe vollends zum Siege verhelfen.

Amtstätigkeit und freie Wissenschaft.

Ohne amtlichen Auftrag ist praktisches Landmessen in diesem Jahrhundert nicht mehr möglich. Im vorigen Jahrhundert hat Bohnenberger eine trigonometrische Karte von Württemberg privatim gemessen und buchhändlerisch bezahlt zu machen gesucht; das ist jetzt ausgeschlossen, und ohne amtlichen Auftrag, sei es als Lebensberuf oder wenigstens als Nebenamt, kann Niemand mehr ein wirklicher Geodät werden. Trotzdem geht geodätische Wissenschaft namentlich in Verbindung mit Lehrthätigkeit auch noch neben der Praxis her, und sie hat wenigstens die schwierigen deduktiven Teile, Methode der kleinsten Quadrate, Coordinatensysteme, geodätische Linie u. s. w. für sich, welche die Praktiker den Professoren überlassen. Das Zusammenwirken — und manchmal auch das Entgegenwirken — zwischen den Vertretern der Praxis und der Theorie — wenn man so trennen kann, — erinnert lebhaft auch an das politische Leben ; und ich möchte dazu zwei Stellen aus Treitschkes Deutscher Geschichte des 19. Jahrhunderts citieren (V. Teil S. 229): Der Minister der auswärtigen Angelegenheiten Eichhorn wurde 1840 Kultminister; er trat aus einem Amte, das von allen seinen Untergebenen unbedingten Gehorsam fordern muss, plötzlich hinüber zu der Leitung des geistigen Lebens, das seinen eigenen Gesetzen folgt, und vom Staate nur mittelbar mit schonender Hand gefördert werden kann. Was hier sich als Gegensatz zeigte, besteht auch bei uns : unbedingter Gehorsam bis zum lezten Formalitätenpunkte hinaus einerseits, und Freiheit der Wissenschaft andererseits sind Gegensätze, die beide in ihrer Art bis zu einem gewissen Grade ihre Berechtigung haben.

Ein anderes Analogon giebt ein Gerichtsurteil von 1843 (Treitschke V. Band S. 207) über einen bekannten Königsberger Volkskämpfer, der ein freies Wort der Kritik gewagt hatte. Das Tribunal erklärte: Mit der Ehrfurcht vor dem Könige sei

freimütiger Tadel der bestehenden Einrichtungen wohl vereinbar. Dieses Wort gilt auch für eine fachwissenschaftliche Vereinigung, wie diejenige des deutschen Geometer-Vereins, welche freie Kritik zu einem ihrer Lehenselemente zählen muss.

Verteilung der Messungen unter verschiedene Behörden.

Je kleiner ein Staat ist, desto besser kann das Zusammenwirken der verschiedenen geodätischen Faktoren sich gestalten ; z. B. die zwei südwestdeutschen Staaten Baden und Württemberg, welche beide jeder auf seinem Gebiete, Mustergiltiges hervorgebracht haben, sind hiebei durch die Übersichtlichkeit aller amtlichen Verhältnisse wesentlich unterstützt worden, während im Grossstaat, in welchem 5 Ministerien sich in die geodätische Aufgabe teilen, Reibungen unvermeidlich sind, durch welche mancher Bruchteil der Kräfte lahmgelegt wird. Je mehr amtliche „Ressorts“ in Anspruch genommen werden müssen, desto weniger kann das wissenschaftliche Element zur Geltung kommen, und die Verteilung der geodätischen Befugnisse und Gewalten wird immer mehr der fachwissenschaftlichen Entscheidung entrückt.

Wir wollen als ein beliebiges kleines Beispiel hielür die verschiedenen Messungen und Berechnungen der Landesaufnahme und des Katasters in Preussen betrachten. Dabei wird kein Süddeutscher begreifen, warum z. B. die trigonometrischen Punkte III. Ordnung zweierlei Coordinaten haben, erstens in der Landesaufnahme und zweitens im Kataster. Gewöhnlich wird auf diese Frage die Antwort gegeben, die Grösse des Landes im Vergleich mit den Mittel- und Kleinstaaten verlange dieses; allein diese Antwort ist nur mittelbar richtig; nicht die Grösse des Landes nach Quadratmeilen ist der Grund dieser Zweiheit, sondern die politische Grösse, und die dadurch bedingte Unabhängigkeit der „Ressorts“, und wenn die Landesaufnahme und das Kataster in derselben leitenden Hand wäre, so würde eine Form gefunden werden für einheitliche Coordinaten aller Punkte etwa von der II. Ordnung an, trotz der geographischen Grösse des Landes, und eine Menge Doppelarbeiten dieser und ähnlicher Art könnte erspart werden.

Die Verteilung der geodätischen Befugnisse im Staate hat Ähnlichkeit mit der Verteilung der politischen Gewalten. Ob in einem Staate die Regierung oder die Volksvertretung u. s. w. mehr Macht und amtliche Funktionen hat, das wurzelt in Jahrhunderte langen Entwicklungen, persönlichen Verdiensten auf der einen oder anderen Seite u. s. w. und ganz ähnlich verhält es sich auch in der Geodäsie, und was mathematisch geodätisch betrachtet, die beste Geschäftsverteilung wäre, das ist nicht allein ausschlaggebend neben dem, was in Jahrzehnten und Menschen altern geschichtlich geworden ist.

Kosten der Vermessungen.

Die hohe Bedeutung der Vermessungsarbeiten im Staatsorganismus wird am deutlichsten veranschaulicht durch den Kostenaufwand, der zwar nicht genau bekannt ist, aber doch genügend genau geschätzt werden kann.

Von Preussen wissen wir z. B., dass allein das jährliche Budget der Landesaufnahme über 1 Million Mark beträgt (Gäde, „Zeitschr. f. Verm. 1885“, S. 242), ferner dass die Erhaltung und Fortführung des Katasters jährlich mehrere Millionen beansprucht, dass jährlich 200 000 Mark allein für Erneuerung der Karten und Bücher aufgewendet werden („Zeitschr. f. Verm. 1895“, S. 509).

Am genauesten hat ein Kollege aus Württemberg die jährlichen Vermessungskosten seines Landes ermittelt, nämlich jährlich rund 1 Million Mark bei 73 Millionen Gesamtaufwand („Zeitschrf. f. Verm. 1896“, S. 267—269, Steiff). Dieses mag genügen zu einer summarischen Schätzung für das Deutsche Reich : Württemberg hat 19 500 qkm Fläche und 2 Millionen Eintvöhner, das Deutsche Reich hat 540 000 qkm und rund 50 Millionen Einwohner. Rechnet man proportional der Fläche, so kommen 28 Millionen Mark und proportional der Einwohnerzahl, 25 Millionen Mark für unser grosses Vaterland heraus.

Nach einer von dem Landmesser Emelius in Cassel mit grossem Fleisse hergestellten Statistik hat das Deutsche Reich im Ganzen etwa rund 4 000 Vermessungsbeamte oder einen auf 12 500 Einwohner. Rechnet man nun für 1 Beamten mit Gehalt, Gehilfen, Reisen. Instrumenten u. s. w. jährlich rund 6 000 Mark, so kommen abermals die vorhin geschätzten 25 Millionen Mark nahezu heraus.

Betrachten wir diese stattliche Summe von 25 Millionen jährlich, so lässt sich die Überlegung machen : Wenn durch bessere Gesamtorganisation aller Vermessungen., Vermeidung von Doppelmessungen u. s. w. auch nur 4% gespart würden, und das scheint mir zweifellos, so hätte man 1 Million frei zur Schaffung solcher staatlicher Einrichtungen, welche aus dem jetzt mehr oder weniger zersplitterten Werke ein mehr organisch gegliedertes Einheitswerk hervorgehen Hessen. — Damit sind wir auch wieder an dem schon früher berührten Punkte angelangt: Zusammenfassung der deutschen Landesvermessungen in ein Ganzes.

Schon vor etwa 40 Jahren hat der Unsterblich gewordene General Baeyer den Gedanken einer Centralisation der Preussischen Vermessungen gefasst und mit allen Mitteln seines energischen Willens verfochten, in der Form, dass er eine preussische „Einheitskarte“ schaffen wollte, welche alle künftigen Messungen entbehrlich machen sollte.

In dieser Sache hat der Urheber des Gedankens keinen Erfolg errungen, aber der von ihm ausgesprochene Grundgedanke lebt in der heutigen Generation von Feldmessern noch fort, und wird in neuer und verbesserter Form bei jeder sich bietenden Gelegenheit sich in Thaten umzusetzen suchen.

Unser Verein hat schon in seinen ersten Jahren die Erkenntnis zu Tage gefördert, dass in der staatlichen Organisation der Vermessungen „vieles nicht ist, Avie es sein sollte“ und unsere 6. Hauptversammlung 1877 in Frankfurt a/M. hat die Kühnheit gehabt, die „Gesamtorganisation des Vermessungswesens im Staate“ zum Gegenstände einer Beratung zu machen („Zeitschr. f. Verm. 1877“, S. 600). Aber damit ist der Verein viel zu weit gegangen, und hat auch mit seinen Vorschlägen nicht den mindesten Erfolg gehabt ; staatliche Einrichtungen können nur aus sich selbst, d. h. durch ihre eigenen Mitglieder reorganisiert werden, und die freie wissenschaftliche Vereinigung von Fachmännern kann nur auf ganz indirektem Wege ihre Anschauungen zur staatlichen Geltung bringen.

Am Ende des vorigen Jahres entstand ein Gerücht \ron Schaffung eines Reichs-Erdmessungs-Amtes, in welchem vielleicht auch die Land- und Feldmessung einen Platz gefunden haben würde; aber die Sache ist wieder untergetaucht. Aber sollen wir deshalb müssig bleiben ? Nein ! Wir sollen selbst Hand anlegen auf solchen Gebieten welche uns freigegeben sind, und unser Verein hat schon erhebliches geleistet. Die Zusammenfassung der in Theorie und Praxis wirkenden Kräfte unseres Faches ist das Ziel unserer wissenschaftlichen Vereinigung von Anfang an gewesen, und ist es noch. Zahlreiche Fragen sind von uns aufgestellt und gehisst worden ; die erste betraf die wissenschaftliche Ausbildung, über welche im vorigen Jahre ein Redner gesagt hat, dass der Erlass der neuen Prüfungsvorschriften im preussischen Staate das Werk unseres Vereins sei (Walraif, „Zeitschr. f. Verm. 1896“, S. 498). Der Anstoss dazu wurde vor 28 Jahren auf unserer Nürnberger Versammlung gegeben und als wir damals 1873 in Nürnberg auch ein Wettmessen mit Latten, Bändern und Ketten veranstalteten, sahen viele Norddeutsche zum erstenmale unsere schwäbischen Messlatten und die Schwaben sahen zum erstenmale eine preussische Messkette; und ähnlich wie bei diesem kleinen Beispiele ist es mit vielem anderen gegangen, die Erfahrungen wurden gegenseitig ausgetauscht und der Austausch hat zur Aufklärung geführt. So hat z. B. unser Verein auch in der wichtigen Frage der Anwendung theoretischer Ausgleichungen und Fehlergesetze in der Landtnessung durch jahrelang fortgesetzte Erörterungen aufklärend gewirkt, und die staatlichen Vermessungsanweisungen haben aus unseren Zeitschrift-Artikeln und anderen damit in Zusammenhang stehenden Schriften Nutzen ziehen können.

Ebenso war es auch bei einer in allerjüngster Zeit aus Veranlassung eines kleinen Spezialfalles aufgeworfenen Frage nach den Vorzügen oder Nachteilen des einen oder anderen Coordinatensystems. Unsere Zeitschrift hat hiezu praktische Urteile und theoretische Entwicklungen von so vielen unabhängigen Sachverständigen zusaramengebracht, dass dadurch diese noch vor kurzem streitige Frage viel reiner und schärfer zum Austrage gebracht wurde, als wenn eine Staatsbehörde ihre unterstellten Beamten zu amtlichen Gutachten aufgefordert haben würde.

In vielen solchen grossen und kleinen Fragen ist unser Verein und seine Zeitschrift und viele damit zusammenhängende Schriften mit Erfolg thätig gewesen, so dass wir auch in Zukunft hoffen dürfen, an entscheidender Stelle gehört zu werden.

Wenn wir fest an der Wissenschaft halten, welche unabhängig von äusseren Rücksichten den richtigen Weg nach dem geodätischen Pole weist, so wird der Erfolg nicht ausbleiben. Unsere noch vor wenigen Jahrzehnten als Aschenbrödel unter den technischen Berufsarten geltende Feld- und Landmessung wissenschaftlich auszugestalten und zur vollen Anerkennung ihrer staatlichen Bedeutung zu bringen, das ist unser Ziel, das wir erreichen werden, wenn wir den Spruch beherzigen :

Ist deine Sache recht und gut,

Kannst du sie getrost dem Himmel überlassen ;

Doch wisse, dass auch der nichts für dich thut,

Wenn du versäumst, zur rechten Zeit mit anzufassen.

è

*•

1

INHALTS-ÜBERSICHT.

Seite

§    1. Einleitung. Überblick über die Geschichte der Erdmessungen .    .

Kapitel i. Triangulierung erster Ordnung.

§    2. Aufsuchung und Auswahl der Dreieckspunkte..........

§ 3. Pfeilerbau und Signalbau.................

§ 4. Das Heliotrop .....................

§ 5. Anordnung der Winkelmessung ................

§ 6. Schraubenfehler und Teilungsfehler..............

§ 7. Normalmasse......................

§ 8. Komparatoren.....................

§ 9. Ältere Basismessungen..................

§ 10. Der Besselsche Basis-Messapparat..............

§11. Massbestimmungen des Bessel sehen Apparates .    .........

§ 12. Die Göttinger Basismessung................

§ 13. Neuere Basis-Apparate mit isolierten Mikroskopen.........

§14. Massbestimmungen für biinetallische Stäbe...........

§ 15. Verschiedene Projekte zur Basismessung............

§ 16. Länge und Einteilung der Grundlinien............

§ 17. Basisnetze.......................

§ 18. Mittlere Fehler von Dreiecksseiten..............

§ 19. Fehlerfortpflanzung in Dreiecksketten.............

§ 20. Verschiedene Fehlerbetrachtungen zur Anlage von Dreiecks-Netzen . . . § 21. Triangulierungs-Ketten und Netze der preussischen Landes-Aufnahme . .

§ 22. Seiten-Refraktion....................

§ 23. Genauigkeit und Geschwindigkeit der Basismessung........

§ 24. Basis-Anschlüsse....................

§ 25. Änderung der geographischen Breite . ............

§ 26. Bedeutung der geographischen Coordinaten in der Geodäsie.....

15

23

32

41

43

50

56

62

67

72

77

84

94

98

100

104

109

116

122

128

135

143

152

157

162

Kapitel II. Mathematische Hilfsmittel der geodätischen Entwicklungen.

§ 27. Sphärische Trigonometrie...............

§ 28. Reihen-Entwicklungen................

163

Seite

§ 29. Weitere Reihen § 30. Interpolation.

174

181

Kapitel III. Das Erd-Ellipsoid.

§ 31. Erklärungen und Grundmasse......

§ 32. Die Haupt-Krümmungs-Halbmesser ....

§ 33. Krümmungs-Halbmesser für beliebiges Azimut

§ 34. Die Funktionen W und V.......

§ 35. Meridianbogen-Längen....... .

§ 36. Parallelkreisbögen..........

§ 37. Oberfläche des Erd-Ellipsoids, Gradabteilungen § 38. Mittlerer Halbmesser der Erde als Kugel.    .

§ 39. Hilfstafeln zu geodätischen Berechnungen mit den Bessel sehen Erddimensionen 227

188

. 194

199

202

209

220

221

225

Kapitel IV. Sphärische Dreiecksberechnung.

§ 40. Der sphärische Excess...............

§ 41. Der Legendresche Satz...............

§ 42. Die Additamenten-Methode ..............

§ 43. Verschiedene sphärische Aufgaben...........

§ 44. Sphärisch-trigonometrische Reihen-Eiitwicklungen bis zur Ordnung

schliesslich..................

230

234

237

242

y\

ein-

244

Kapitel V. Sphärische Coordinafen.

§ 45. Übersicht der Coordinaten-Systeme..............

§ 46. Rechtwinklige sphärische (Soldner sehe) Coordinaten........

§ 47. Beispiel der Soldner sehen Coordinaten-Berechnung........

§ 48. Bestimmung von Entfernung und Richtungswinkeln aus Soldner sehen

Coordinaten.....................

§ 49. Karten-Zeichnung nach rechtwinkligen sphärischen (Soldner sehen) Coordinaten

§ 50. Rechtwinklige konforme (Gauss sehe) Coordinaten.........

§ 51. Beispiel der konformen Coordinaten-Berechnung.........

§ 52. Vergleichung der kongruenten und der konformen Coordinaten .    .    .    .

§ 53. Sphärische geographische Coordinaten cp, X und rechtwinklige Coordinaten x, y

§ 54. Übergang zum Ellipsoid..................

§ 55. Sphäroidische Coordinaten cp, X und x, y............

§ 56. Entfernung und Azimute aus geographischen Coordinaten ......

§ 57. Karten mit geographischen Netzlinien.............

§ 58. Geographische Coordinaten und konforme rechtwinklige Coordinaten . . § 59. Die rechtwinkligen Coordinaten-Systeme des Deutschen Reichs . . . .

§ 60. Das sphärische Polar-Dreieck................

§61. Differenzial-Gleichungen des sphärischen Polar-Dreiecks.......

§ 62. Reihen-Entwicklungen mit der Mittelbreite...........

§ 63. Weiter-Entwickluugen bis zur 5. Ordnung...........

§ 64. Reihen-Entwicklungen nach Potenzen von ff ...    ........

255

257

263

269

275

278

287

291

W 02 05 05 W DO bO i—¹ o o <50 DO Cł DO ^ M <1

325

337

346

349

354

Kapitel VI. Normalschnitte und geodätische Linie.

Seite

361

§ 65. Gegen-Normalschnitte.........

§    66. Konvergenzwinkel in zweiter Näherung .    .    .

§ 67. Einfluss verschiedener Höhen.......

§ 68. Die geodätische Linie.........

§    69. Differential-Gleichungen der geodätischen Linie

§ 70. Die geodätische Linie als kürzeste Linie .    .

§ 71. Vergleichung der geodätischen Linie mit den Normal-Schnitten . . . 382 § 72. Bedeutung der geodätischen Linie für die praktischen Vermessungen. . 387

366

371

373

376

379

Kapitel VII. Geodätische Coordinaten.

§    73. Sphäroidisches Polar-Dreieck ......

§ 74. Reihen-Entwicklungen nach Potenzen von s

§    75. Näherungs-Formeln bis ss.......

§ 76. Sphärische Mittelbreiten-Formein.....

§ 85. Rechtwinklige konforme sphärische Coordinaten mit Gliedern bis zur 4ten Ordnung ...................

§ 86. Konforme Gauss sehe Coordinaten..............

§ 87. Vergrösserungsverhältnis.................

§ 88. Richtungs-Reduktion..................

§ 89. Vorteile der konformen Coordinaten.............

§ 90. Preussische Polyeder-Projektion...............

§ 91. Abscissen als Meridianbogen................

390

392

397

399

402

409

416

419

. . 427

431

438

447

451

458

466

471

474

479

488

Kapitel VIII. Konforme Abbildung des Ellipsoids auf die Kugel.

485

§ 92. Allgemeines.........'............

§    93. Grundformeln.....................

§    94. Wahl der Konstanten..................

§ 95. Goniometrische Hilfsgrössen................

§ 96. Reihen-Entwicklung für die Breiten-Differenz..........

§    97. Reilieu-Entwicklung für das Vergrösserungs-Verhältnis.......

§ 98. Azimut-Reduktion...................

§ 99. Allgemeine Beziehung zwischen dem Vergrösserungs-Verhältnis und dem

Krümmungs-Differential der Abbildung...........

§ 100. Hilfstafeln und Zahlenbeispiele...............

§ 101. Doppel-Projektion der Preussischen Landes-Aufnahme.......

§ 102. Die Haupt-Dreiecksketten und Netze der Preussischen Landes-Triangulation 515

486

488

492

494

497

500

505

508

509

Kapitel IX. Polar-Dreieck mit reduzierten Breiten.

Seite

§ 103. Die reduzierte Breite...............

§ 104. Das sphärische Hilfs-Dreieck mit reduzierten Breiten . . . . § 105. Integration der Differential-Gleichungen des Polar-Dreiecks . . § 10G. Neue Auflösung des geodätischen Polar-Dreiecks......

518

524

.    . 525

532

Kapitel X. Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke.

§ 107. Geodätischer Excess .................

§ 108. Geodätische rechtwinklige Coordinaten und Polar-Coordinaten .    .

§ 109. Verbindung eines rechtwinkligen Systems und eines Polar-Systeins § 110. Reihen-Entwicklungen für das rechtwinklige geodätische Dreieck .

§ 111. Berechnung des allgemeinen (schiefwinkligen) geodätischen Dreiecks

§ 112. Krumme Oberfläche des geodätischen Dreiecks.......

§ 113. Praktische Anwendung der allgemeinen Theorie der geodätischen Dreiecke 559

538

. 543 . 546 . 548 .    552

556

Kapitel XI. Bestimmung der Dimensionen des Erd-Ellipsoids.

§ 114. Bestimmung der Meridian-Ellipse durch zwei Breiten-Gradmessungen .    565

§ 115. Reduktion eines Gradmessungs-Bogens auf den Meridian § 116. Ausgleichung mehrerer Breiten-Gradmessungen .    .    .

§ 117. Längen-Gradmessung .............

§ 118. Azimut-Übertragung.............

§ 119. Gradmessung schief zum Meridian........

568

572

576

577

580

Kapitel XII. Lotabweichungen.

§ 120. Allgemeines über Lotabweichung.......,.......

§ 121. Bestimmung der Lotabweichung durch Vergleichung astronomischer und

geodätischer Messungen................

§ 122. Astronomisch-geodätisches Netz...............

581

585

589

Anhang, Hilfstafeln

[1J-L63]

Berichtigungen.

Seite 204.

207.

217.

220.

221

260.

304.

466.

505.

r>

507.

Bei log W² unten statt cos⁴ Cp lies cos 4 cp.

Zwischen (25) und (26) statt +3 rj² t lies + 3 //² t².

Zwischen (34) u. (35) statt Y 1 + e'² <p² cos² cp lies ]/l + e'² cos² cp.

/f    À

In Gleichung (2) statt cos <p lies Tc

Am Schluss von § 36. statt Seite [43] lies Seite [42]

In der 2 ten Gleichung statt cos a lies sin a.

In Gleichung (10) statt—-— cos cp.

Zwischen (37) und (38) statt 1 -f- rfi V² lies 1 + tj² = V².

In der 5 ten Linie von unten statt dieser Bahn lies dieser Sache.

In Gleichung (8) statt ^

W\

cos cp.

lies —-—. cos cp

d2r²

lies d

cß

2 r²*

§ 1. Einleitung.

Überblick über die Geschichte der Erdmessung.

Nach der kindlichen Anschauung, welche in Homers Gesängen (800—900 v. Chr.) ihren Ausdruck findet, war die Erde eine vom Okeanos umflossene Scheibe ; und diese Anschauung hat sich lange erhalten, ohne sich von dem unmittelbaren Anblick, welchen z. B. die Krümmung der Meeresfläche beim Verschwinden eines Schiffes darbietet, stören zu lassen.

Pythagoras (geb. 582 v. Chr.) erklärte die Erde für eine Kugel.

Aristoteles (384—322 v. Chr.) entwickelt in dem Werke jteęl ôvgavov, B, 13—14, die Gründe für und wider die Kugelform, und kommt zu dem Schluss, dass die Form

der Erde notwendig kugelförmig sei (Aristoteles, griechisch und deutsch von Prantl. S. 178): „avaynulov elvai to oyrjua ogDcugoeLÓśę.“

Was weiter die Frage nach der Grösse der Erde betrifft, d. h., nachdem die Kugelform erkannt war, die Frage nach dem Umfang oder dem Halbmesser der Erdkugel, so ist als einer der ersten, dem wir eine geschichtlich verbürgte Messung bzw.

Schätzung verdanken, der alexandrini-sche Gelehrte Eratosthenes (276—195 v. Chr.) zu nennen.

Eratosthenes benützte zur Be-

Fig. l.

Gradmessung von Eratosthenes und Posidonius.

Massstab = 1 : 18 000000.

Kreta

~r‘A^llhodiisy==-

Cgperjß

Beir

\i

AKfcnge

Stimmung des Erdumfangs den zufälligen günstigen Umstand, dass in Ober-Egypten in Assuan (heutiges Syene, vgl. Fig. 1.) zur Zeit der Sommersonnenwende die Sonnenstrahlen senkrecht in einen Brunnen schienen, während zu gleicher Zeit in Alexandrien die Sonnenstrahlen mit der Lotrichtung einen erheblichen Winkel bildeten, der

zu ~ von 360 ⁰ gemessen wurde. Die

Entfernung beider Punkte Alexandrien und Syene wurde aus der Zahl der Tagereisen zu 5000 Stadien geschätzt. „* WmäeimsdesKrci^^ Auf diese Angaben gründete    s?

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4, Aufl. III. Bd.

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Eratosthenes eine Bestimmung des Erdumfangs, nach dem Grundsätze der von da an durch Jahrtausende zur Ausführung von „Gradmessungen“ gedient hat.

Wir wollen dieses mit Benützung von Fig. 2. ausführlichst darlegen:

Fig. 2.

Breitengradmessung.

Hier bezeichnen A und A' zwei Punkte der kugelförmigen Erdoberfläche (etwa A = Alexandrien, A! = 5 Assuan), welche von den Sonnenstrahlen S und S' getroffen werden. Wegen der weiten Entfernung der Sonne sind die von S und S' aus gehenden Sonnenstrahlen als parallel zu betrachten.

In A' falle die Sonnenstrahlrichtung zufällig mit der Vertikalen oder der Richtung des Erdhalbmessers Ä G zusammen (Brunnen in Assuan) und in A sollen die Sonnenstrahlen mit dem Erdhalbmesser den Winkel a machen, was durch Schattenbeobachtung bestimmt werden kann. Dann ist dieser Winkel a in

A auch gleich dem Erdcentriwinkel AGA', und wenn man auf irgend welchem Wege dazu noch den Meridian-Bogen A A! = b bestimmt hat, so lässt sich daraus der Erdumfang bestimmen :

i:

In dem Falle der Gradmessung des Eratosthenes war a = Stadien, also der

5Ö360o, und 6 = 5000

Erdumfang = 50 X 5000 = 250 000 Stadien.

Wie aus Fig. 1. zu ersehen ist, liegen Alexandrien und Syene nicht in einem Meridian, auch liegt Syene nicht genau unter dem Wendekreis, wie von Eratosthenes angenommen wurde; indessen kommen diese Nebenumstände bei einer ersten genäherten Beantwortung der Frage nach dem Erdumfang nicht in Betracht.

Nimmt man 1 Stadium rund = 185”' an (vgl. Karsten, Allgemeine Encyclopädie der Physik, I. Band Einleitung in die Physik. Leipzig 1869. S. 433, nebst Litteratur-angaben S. 441), so erhält man: Erdumfang = 46 250 000m oder:

Erdquadrant, nach Eratosthenes = 11 562 500 Meter also, da in Wirklichkeit der Erdquadrant nahezu gleich 10 000 000m ist, um 16% zu viel.

In ähnlicher Weise wie Eratosthenes machte Posidonius (von 135—51 v. Chr.) eine Bestimmung des Erdumfangs mittelst des Bogens Alexandrien-Rhodus (vgl. Fig. 1.) in folgender Weise:

Der Stern Canopus konnte in Rhodus gerade noch im Horizonte gesehen werden,

während er in Alexandrien sich um

48

des grössten Himmelskreises (=7° 30') über

den Horizont erhob; daraus lässt sich schliessen, dass der Erdumfang das 48fache des Erdmeridianbogens Alexandrien-Rhodus ist, und indem dieser Bogen ebenso gross wie der frühere Alexandrien-Assuan, nämlich = 5000 Stadien geschätzt wurde, fand sich der Erdumfang = 48mal 5000 Stadien = 240000 Stadien, also, das Stadium wieder rund = 185”' gerechnet, der Erdumfang = 44 400 000 Stadien, oder:

Erdquadrant, nach Posidonius, = 11 100 000 Meter.

zu

Um einen Überblick über die Genauigkeit dieser alten Messungen, bzw. Schätzungen erhalten, stellen wir dieselben mit den jetzt bekannten Zahlen A S und b zusammen :

7° 12' 5000 Stad. = 925*™ (Eratosthenes)

7' 7'    789*™

Syene

Rhodus

Breiten B /\ B Meridianbogen l

36° 26'

A B'

Meridianbogen b'

5° 14'    580*™

Alexandrien

31° 12'

7° 30' 5000 Stad. = 925*’” (Posidonius)

24° 5'

Die Fehler 925*™ gegen 580*™ und 925*“ gegen 789*™ sind also ganz erheblich.

In diesem Zusammenhänge erwähnen wir auch noch ein Werk über Feld- und Landmessung aus dem Altertum, nämlich Heron (etwa 200 v. Chr.) über das Diopter (iteęl óićntTęaę) vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1876“ S. 120, 1887 S. 558, S. 674, 1888 S. 282, S. 325, S. 365.

Nach diesem haben wir über eine im Mittelalter ausgeführte Erdmessung zu berichten, welche wir den Arabern verdanken. Diese machten etwa um 827 nach Chr. eine Breitengradmessung, über welche der Niederländer Snellius in seinem Werke „Eratosthenes Batavus“ S. 107—112 nach Citât eines arabischen Schriftstellers Abel-fedeas (1322) etwa folgendes berichtet: Die Messung geschah auf Befehl des Khalifen Almanun in der Ebene Zinjar (Sindschar nordwestlich von Bagdad) unter der Breite 36° 20’.

Das Ergebnis war :

1 Meridiangrad = 56

E- Meilen =

170

— Meilen

O

1 Meile = 4000 Ellen,

also der Meridianquadrant der Erde :

170

Q = 90 Grad = 90    4000 = 20 400 000 Ellen.

ö

Weiter soll sein 1 Elle = 24 Zoll und 1 Zoll = 6 Gerstenkornbreiten; was ist

L rhein-

aber nun 1 Gerstenkornbreite ? Snellius nahm an : 1 Gerstenkornbreite =

89

ländische Fuss, also =

0,313853

89

= 0,00352644 Meter, und dieses giebt 1 Meridian-

grad = 115103 Meter und:

Meridianquadrant = 10 359 Kilometer.

Statt dieser Gerstenkorn-Rechnung haben wir in jüngster Zeit eine Bestimmung der arabischen Elle nach dem Nilmesser von Kairo erhalten, welche nahe auf den richtigen Wert des Erdumfangs führt.

Die arabische Elle mit ihren 24 Zoll ist nämlich noch vorhanden in Egypten an dem Nilmesser (Mikyas) auf der Nilinsel Rodah bei Kairo. Der Mikyas wurde im Jahre 97 der Hedschrah (716 nach Chr.) auf Befehl des Omayyadischen Khalifen Suleman (715—717) erbaut und von dem Abbasiden-Khalifen Manun im Jahre 199 der Hedschrah (814 n. Chr.) repariert. (Dieser Manun scheint der Al-Manun der Gradmessung zu sein.)

Im Jahre 1874 habe ich die Nilmesser-Säule bei Kairo gesehen und eine flüchtige Zeichnung und Messung von derselben gemacht, welche in der „Zeitschr. f. Yerm. 1869“ S. 106—107 mitgeteilt ist. Die arabische Elle fand ich dabei etwa = 0,52™, also ist der Erdmeridianquadrant = 0,52x20400000 = 10 608000™.

Inzwischen ist der Nilometer genauer untersucht und gemessen worden (auf unsere Anregung) von Dr. Reiss in Kairo, worüber eine ausführliche Mitteilung in

F1§- ³-    der „Zeitschr. f. Verni. 1889“ S. 439—445 von Dr. Reiss

Alt-arabischer Nil-Pegel bei Kairo- gege^en wurde, aus welcher wir auch die nebenstehende Massstab 1 : 30.    “ °    ’

Fig. 3. als Darstellung der Nilometer-Säule entnehmen.

Hiernach ist die Säule in ihrem jetzigen Zustande nicht mehr das ursprüngliche Bauwerk selbst, sondern die Säule war gebrochen oder umgestürzt und ist später in unvollkommener Weise wieder zusammengesetzt worden, denn die Säule zeigt eine Knickung zwischen der 8. und 9. Elle und eine Abweichung zwischen der 3. und 4. Elle. An beiden Stellen sind breite Bleibänder um die Säule gelegt.

Bei Dj muss eine grössere Zerstörung stattgefunden haben, so dass es nötig wurde, einen Teil der 8. Elle abzunehmen.

Die einzelnen Ellen sind nicht genau gleich, ihre Länge schwankt zwischen 0,525m und 0,550“, die Unterabteilungen sind ganz ungenau eingetragen.

CB AD

reu

=r

ifeiii

FT

irr

mf

folgendes :

Im Einzelnen gab die Messung von Herrn Reiss

1.    Elle. . . .

2.

3. u. 4. Elle 5. Elle

6.

7.

9.

\T

0,525m

0,535

1,085 (0,5425) 0,550 0,546 0,5355 0,5425 = 4,319"*

= 0,53987“

mp

Summe 8 Ellen Mittel 1 Elle .

Zur Kontrolle sind ausserdem die 7 oberen Ellen im Ganzen gemessen worden und zwar einmal von oben nach unten und dann von unten nach oben.

Die 7 ersten Ellen von oben nach unten gemessen = 3,785”*

É=

die 7 ersten Ellen von unten nach oben gemessen=3,775 die 7 ersten Ellen im Mittel

= 3,780

woraus sich die Länge der einzelnen Elle zu ö,54m er-giebt, was mit dem Mittel aus den Einzelmessungen vollständig stimmt.

Nehmen wir hiernach 1 Elle = 0,54™. so wird nach der arabischen Gradmessung Meridianquadrant = 0,54 x 20400 000 = 11 016 000“

H 7i wasser    Dieses ist um 10% zu viel, was kein glänzendes

H=r InivÉÀD “ Ergebnis ist. Wollte man den Erdquadranten = 10 000 000”* erhalten, so müsste man die Elle = 0,49“ setzen, was nach dem Zustande des Nilometers nicht angeht.

ÉÜ

Trotzdem schien es nicht uninteressant, die vorstehenden Massbestimmungen zu jener alten vielbesprochenen arabischen Gradmessung mitzuteilen.

Seit jener Zeit geschah 700 Jahre lang nichts mehr.

Die erste Erdmessung nach diesem langen Zeitabschnitt verdanken wir dem französischen Arzt Fernei, welcher im Jahr 1525 die Breiten von Paris und Amiens mittelst eines Quadranten, und die Entfernung beider Orte mittelst der Umdrehungen seines Wagenrades mass, und damit ein Ergebnis erzielte, welches zufällig nahezu richtig ist, nämlich nach Lalande’s Nachrechnung:

1 Meridiangrad = 57 070 Toisen = 111 232 Meter Meridian-Quadrant =10 011 Kilometer,

also der Fehler nur = +0,1%.

Eine neue Epoche der Erdmessung beginnt mit dem Niederländer Willebrord Snellius (1580—1626).

Snellius war, wie aus seinem Werke „Eratosthenes Batavus, de terrae ambitus vera quantitate, a Willebrordo Snellio, Lugduni-Batavorum 1617“ hervorgeht, ein nicht nur mathematisch sehr verständiger, sondern auch allgemein sehr gebildeter und scharfsinniger Mann. Die Erdmessung verdankt ihm wenn nicht die „Erfindung“, doch die erste uns überlieferte, auf etwa 1' in den Winkeln gemessene und richtig trigonometrisch berechnete Triangulierung, worüber bereits in unserem I. Bande, „Handb. d. Yerm. 4. Aufl. 1895“, S. 478 berichtet worden ist.

Die ganze Triangulierung von Snellius umfasst 33 Dreiecke, welche im wesentlichen in der heute noch üblichen Weise zu einer Breitengradmessung zwischen Alkmaar und Bergen op Zoom benützt wurden, wie folgende Zahlen zeigen :

Meridianbogen (triang.)

Punkt

Breiten

Breiten-Unterschied

Alkmaar

52° 40' 30"

1° 11' 30"

33 930 Rheinl. Ruten

Bergen op Zoom Hiernach ist 1 Grad

51° 29' 0"

33 930 = 28 473 Ruten.

60'

71,5'

Nach diesem Ergebnis in Verbindung mit einer zweiten ähnlichen Messung nahm Snellius den Meridiangrad = 28 500 Rheinl. Ruten an. Dieses ist = 107 7338 Meter, und damit berechnet man auch:

Meridian-Quadrant = 9 660 Kilometer.

Hiernach hat die Snellius'sche Erdbestimmung einen Fehler von 3,4%. Snellius machte selbst Nachmessungen, aber erst sein Nachfolger Musschenbroek brachte Snellius'Werk zum Abschluss; er fand 1719 „secundum mensuram ultimam Snellii et nostram“ 1 Meridiangrad = 29 514 Ruten oder = 111 157 Meter, also Meridianquadrant = 10 004 Kilometer.

Inzwischen waren auf Snellius zwei durch die Art ihres Verfahrens merkwürdige Gradmessungen gefolgt. Im Jahr 1633 mass Nonvood den Bogen zwischen London und York unmittelbar mit der Kette.

Grimaldi und Riccioli bestimmten 1645 in Italien durch gegenseitige terrestrische Zenitdistanzen einen Meridiangrad.

Diese Messung terrestrischer Zenitdistanzen, welche auch Snellius schon in seinem Schluss-Kapitel erwähnt, wäre das einfachste und beste Mittel zur Messung

der Erde, wenn die Strahlenbrechung nicht bestünde, oder wenigstens der Bechnung besser zugänglich wäre, als es bis jetzt der Fall ist.

Indem wir nun den genauen Erdmessungen näher kommen, haben wir auch kurz zu erwähnen, welche Erdfläche bestimmt werden soll : Als Erdoberfläche im Sinne dieser Messungen ist zu betrachten die ruhend gedachte Meeresfläche, nebst ihrer unter den Kontinenten stetig angenommenen Fortsetzung.

Die wichtigsten Erdmessungen des 17. und 18. Jahrhunderts sind die französischen. Dieselben wurden von der im Jahre 1666 gegründeten Pariser Akademie veranlasst, und von Picard geleitet. Der Zweck dieser Messungen war ein zweifacher, erstens die Herstellung einer guten Karte von Frankreich und zweitens die Bestimmung der Grösse der Erde.

Aus der Fortsetzung der Picard sehen Messungen, welche von Lahire, Dominique Cassini und Jaques Cassini geleitet wurde (1683—1716 südlich bis Collioure, nördlich bis Dünkirchen), schien zu folgen, dass die Erde an den Polen zugespitzt sei, während Newtons Theorie und Eichers Pendelversuche das Gegenteil behaupteten. Entschieden wurde die Frage durch die von den Franzosen im Jahre 1735 nach Peru und Lappland geschickten Gradmessungs-Expeditionen, durch welche festgestellt wurde, dass am Äquator der Erdmeridian stärker gekrümmt ist als in der Nähe des Pols, was mit der Newtonschen Theorie stimmt.

Die Gradraessung in Peru, 1735—1741, ist beschrieben in dem Werk: „Mesure des trois premiers degrés du méridien dans l’hemisplière australe, tirée des observations de Mrs. de l’académie royale des sciences, envoyés par le roi sous léquateur, par M. de la Condamine. Paris 1751.“

Die Gradmessung in Lappland, ausgeführt 1736—1737, ist beschrieben von Maujoertuis: „La figure de la terre. Paris 1738.“

Es folgte 1740 eine Nachmessung des französischen Meridianbogens durch Cassini de Thury (III) und Lacaille.

Folgendes sind die wichtigsten hierauf bezüglichen Zahlenwerte:

Picards Messung des Bogens zwischen Paris und Amiens, welche 1669 begann, gab einen Breitengrad = 57 060 Toisen und damit :

Meridianquadrant = 10 009 081 Meter.

Die nördliche und südliche Fortsetzung gab folgendes :

Mittelbreite

49° 56'

49° 22'

47° 57'

nördlich zwischen Paris und Dünkirchen „ Paris und Amiens

südlich

1 Meridiangrad

56 960 Toisen

57 060 57 098

„ Paris und Bourges Hieraus schien eine gegen die Pole zugespitzte Erdform zu folgen.

Wir haben versucht, hieraus ein langgestrecktes Ellipsoid zu berechnen, das

also eine negative Abplattung erhält. Es fand sich:

Meridianquadrant = 10 042 650 Meter, Abplattuug = 1 : — 66.

Die peruanische und die lappländische Gradmessung (letztere mit der späteren Verbesserung und Erweiterung durch Svanberg, 1801—1803) geben folgendes:

Mittelbreite

1 Meridiangrad

Lappland -+- 66° 20' 10" Peru

57 196 Toisen

1° 31' 30"

56 734

Hieraus wird berechnet

. Meridianquadrant = 10 000 157 Meter, Abplattung = 1: 310,3.

Yon den nun folgenden aussereuropäischen Gradmessungen erwähnen wir hier besonders diejenige von Mason und Dixon in Nordamerika, 1764—1768.

Dieselbe ist dadurch ausgezeichnet, dass eine Gerade von 434 011,64 engl. Fuss (= 132 286 Meter) Länge unmittelbar mit Messlatten (also ohne Triangulierung) nahezu in der Meridianrichtnng gemessen wurde. Im ganzen wurde der Meridianbogen zwischen den Breiten 39° 56' 19" und 38° 27'34" bestimmt.

(Eine neuere Mitteilung hierüber s. „Zeitschr. f. Venn.“ 1888, S. 33—39.)

In die zweite Hälfte des vorigen Jahrhunderts fällt auch die Gradmessung von La Caille am Kap der guten Hoffnung, Beccarias Messung in Turin, Liesganigs Messung in Ungarn, dann die Anfänge der englischen Messungen in England selbst und in Indien.

Die wichtigste Gradmessung vom Schluss des vorigen und Anfang dieses Jahrhunderts ist jedoch wieder eine französische, nämlich die von Delambre und Méchain 1792—1808 zur definitiven Feststellung des Meters ausgeführte. Das hierüber veröffentlichte Werk ist: Base du système métrique décimal, ou mesure du méridien compris entre les parallèles de Dunkerque et Barcelone, exécutée en 1792 et années suivantes, par M. M. Méchain et Delambre, rédigée par M. Delambre. Tome premier Paris janvier 1806, tome second Paris juillet 1807, tome troisième Paris novembre 1810.

Das Meter sollte möglichst genau der zehnmillionste Teil des Erdquadranten sein. Zur möglichst genauen Ermittlung desselben wurde die Gradmessung von Delambre und Méchain 1792 unternommen.

Dieselbe gab den Bogen zwischen Dünkirchen und Montjouy = 275 792,36 Modules (1 Module = 2 Toisen) und dieser nahezu 10° grosse Bogen zwischen den Breiten 51° 2' 8,85" und 41° 21' 44,96" wurde als Grundlage für das metrische System ge-Um die Abplattung zu erhalten, wurde dieser Bogen mit der peruanischen Gradmessung kombiniert, woraus die Abplattung 1 : 334 erhalten wurde.

Nun wurde der Meridianquadrant berechnet = 2 565 370 Modules = 5 130 740 Toisen, und da eine Toise 864 Par. Linien hat, so ist hiernach :

5 130 740 X 864

nommen.

1 Meter =

10 000 000

= 443,295 936 Par. Linien,

was auf 443,296 abgerundet wurde.

Indem man umgekehrt für die Delambre sehe Messung das Meter = 443,296 Par. Linien als Einheit annimmt, hat man:

Meridianquadrant = 10 000 000 Meter, Abplattung = 1: 334. (Vorstehende Zahlenangaben finden sich in dem Werk: Base du système métrique III. Band S. 433, S. 619—622.)

Fig. 4.

Erdmeridian-

Ellipse.

ITQ

Bestimmung der Meridian-Ellipse.

Nachdem die Abplattung der Erde entschieden war, handelte es sich nicht mehr bloss wie früher um eine Unbekannte, nämlich den Halbmesser der Erdkugel, sondern um zwei Unbekannte, etwa die beiden Halbachsen a und b der Meridian-Ellipse (Fig. 4.) oder

Meridianquadranten Q und die Abplattung « =

Aus der grossen Halbachse a und der Abplattung a berechnet man, wie wir später entwickeln werden, den Meridianquadranten Q nach der Formel:

an

statt dessen um eine Halbachse a und dazu die Excentricität e

’Y

oder den

a «2'

Wenn zwei Gradmessungen in dem bisher gültigen Sinne vorliegen, nämlich ein Meridianbogen und die beiden geographischen Breiten der Endpunkte für je eine Gradmessung, so ist es mathematisch betrachtet eine leichte Aufgabe, mit genügender Näherung eine Ellipse zu bestimmen, welche diesen zivei Gradmessungen genügt, und wir werden später z. B. die Berechnung der oben angegebenen Gradmessungen von Lappland und Peru in wenigen Gleichungen entwickeln können.

Als man aber im vorigen Jahrhundert anfing, mehr als zwei Gradmessungen zusammen in Rechnung zu nehmen, stiess man auf starke Widersprüche, welche sich aus den unvermeidlichen Messungsfehlern kaum erklären Hessen und bald den Gedanken nahe legten, dass die Erde nicht genau ein Umdrehungs-Ellipsoid sei.

Dennoch ist nun ein Zeitraum von wohl 100 Jahren (

1X3

§ 7. Normal-Masse.

§ 11. Massbestinimiingen des Bessel sehen Apparates.

in

§ 18. Mittlere Fehler von Dreiecksseiten.

§ 20. Verschiedene Fehler-Betrachtungen zur Anlage von Dreiecks-Netzen.

§ 23. Genauigkeit und Geschwindigkeit der Basismessung.

§ 25. Änderung der geographischen Breite.

§ 29. Weitere Reihen.

Kapitel III.

(5)

(i)

§ 36. Parallelkreisbögen.

§ 41. Der Legendresche Satz.

folglich in erster Näherung:

Zusammenfassung :

r = l tang (f + łr)

§ 52. Yergleichung der kongruenten und der konformen

»ZW

§ 58. Geographische Coordinaten q, l und konforme rechtwinklige Coordinaten x Y.

§ 60. Das sphärische Polar-Dreieck.

Gegeben ^ = 49° 30'0" , a = 1° 11' 19,482" , «1 =

§ 65. Gegen-Normalschnitte.

§ 67. Einfluss verschiedener Höhen.

§ 72. Bedeutung der geodätischen Linie für die praktischen

§ 75. Näherungs-Formeln bis s3.

§ 78. Weitere Formeln ffir Soldnersche Coordinaten.

§ 80. Sphärische konforme Kegelprojektion.

§ 81. Konforme Kegelprojektion des Ellipsoids.

2*2>-f^<(2 + 8s2>

§ 84. Allgemeines über queraxige Coordinaten.

§ 86. Konforme Gauss sehe Coordinaten.

§ 88. Richtungs - Reduktion.

Folglich nach (15) § 94. S. 489:

§ 99. Allgemeine Beziehung zwischen dem Yergrösserungs-Verhältnis m lind dem Krümmungs-Differential der Abbildung.

wobei [5.23078] der Coëfficienten-Logarithmus für

§ 106. Neue Auflösung des geodätischen Polar-Dreiecks.*)

Durch diese Annahmen für die Punktion n ist die kr

§ 112. Krumme Oberfläche des geodätischen Dreiecks.

Kapitel XI.

§ 118. Azimut-Übertragung.

§ 122. Astronomisch-geodätisches Netz.

Übersicht der Haupt-Bezeichnungen, welche in den m

Dennoch ist nun ein Zeitraum von wohl 100 Jahren (etwa von 1740—1840) der Aufgabe gewidmet, eine solche Ausgleichung der zahlreichen Gradmessungen zu erzielen, dass die übrig bleibenden Widersprüche in den Messungen der geographischen Breiten in ihrer Gesamtheit möglichst klein ausfallen.

Insofern fällt die Geschichte der Gradmessungs-Berechnungen mit der Geschichte der Methode der kleinsten Quadrate zusammen, welche wir in unserem „I. Bande Handb. d. Verm., 4. Aufl. 1895 (Einleitung)“ behandelt haben.

Die erste öffentliche Mitteilung über die Methode der kleinsten Quadrate, nämlich Legendre's Abhandlung „sur la méthode des moindres carrés“, welche als Anhang der „Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes“ im Jahre 1806 erschien, enthält zugleich auch die erste Ausgleichung von Gradmessungen nach dieser Methode. Legendre nimmt 5 geographische Breiten zwischen Dünkirchen (51° 2' 10,50") und Montjouy (41° 21' 44,80") mit den 4 dazwischen liegenden französischen Meridianbögen , und macht damit eine theoretisch richtige Ausgleichung, welche jedoch den sehr grossen Abplattungswert 1 : 148 und auch einen zu kleinen Meridianquadranten = 9 997 780 Meter gab; doch berührt uns hier weniger das Erdberechnungs-Ergebnis als das theoretisch richtige dabei angewendete Verfahren.

Die nächste Ausgleichung dieser Art machte Walbeck im Jahre 1819, in einer kleinen Abhandlung: „De forma et magnitudine telluris, ex dimensis arcubus meridiani, definiendis“ (Abo, 1819), welche lange nur aus einem Citate von Gauss in der „Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen Göttingen und Altona“ 1823, S. 72 und S. 82 bekannt gewesen, vor kurzem in Helsingfors 1891 neu gedruckt und von da auch in der „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 426—434 abgedruckt worden ist.

Walbeck hat die peruanische, die beiden ostindischen, die französische, englische und die neuere lappländische Gradmessung der Rechnung unterworfen; indessen hat er bei jeder einzelnen Gradmessung nur den ganzen Bogen, oder die an den .Endpunkten beobachteten Polhöhen in Betracht gezogen, ohne die Zwischenpunkte zu

berücksichtigen. Das Ergebnis war Abplattung = 1:302,78 und mittlerer Meridiangrad = 57 009,76 Toisen, dieses giebt :

Meridianquadrant = 10 000 268 Meter

Abplattung = 1 : 302,78.

Neun Jahre später, 1828, haben wir eine abermals verbesserte und erweiterte Ausgleichung, welche Schmidt in Göttingen auf Gauss’ Veranlassung machte, wie in der „Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen Göttingen und Altona“ S. 82—84 von Gauss mitgeteilt wird. Schmidt hat die an den Zwischenpunkten beobachteten Polhöhen mit berücksichtigt, auch die hannoversche Gradmessung zugezogen, so dass er die peruanische, erste und zweite ostindische, französische, englische, hannoversche und schwedische Gradmessung, mit zusammen 25 Polhöhen nach dem Grundsätze ausglich, dass die Quadratsumme der übrigbleibenden Polhöhenfehler ein Minimum wird. Das Ergebnis war: Abplattung 1 : (298,39 ± 12,5) und mittlerer Meridiangrad = 57 010,35 ± 5 Toisen, oder :

Meridianquadrant = 10 000 372 Meter

±88

Der mittlere Polhöhenfehler ist ±3,18".

Schmidt hat solche Berechnungen noch weiter fortgesetzt, und hievon Mitteilung gemacht in dem „Lehrbuch der mathematischen und physischen Geographie von Dr. J. C. Eduard Schmidt, Privatdozent auf der Universität Göttingen.“ Erster Teil 1829. Vorrede Seite IV—V. und Astr. Nachr. 7. Band (1829) Nr. 161. S. 329 — 332.

Die letzte Bestimmung Schmidts ist vom Jahr 1830, und giebt (nach Listing (3)): Meridian quadrant = 10 000 061 Meter

Abplattung = 1 : 298,39 ± 12,50

Abplattung = 1 : 297,648.

Der Engländer Airy machte im Jahre 1830 eine Bestimmung aus 14 Breiten-gradmessungen mit Hinzuziehung einiger gemessener Längengrade. Die Ergebnisse sind nach „Ordnance trigonometrical survey of Great Britain and Ireland, London 1858, introduction“ Seite XVI: a = 20 923,713 engl. Fuss und b = 20 853,810 engl. Fuss, woraus wir berechnen :

Meridianquadrant = 10 001 012 Meter

Abplattung = 1 : 299,325.

Wir kommen nun 1837—1841 an die Besselsche Ausgleichung der Gradmessungen, welche auf einer sehr gründlichen Prüfung und Sichtung des bis dahin angesammelten Gradmessungsstoffes beruht. Bessel benützte die folgenden Messungen:

Gradmessung

1.    Peruanische

2.    erste Ostindische

3.    zweite Ostindische

4.    Französische

5.    Englische

6.    Hannoversche

7.    Dänische

8.    Preussische

9.    Russische 10. Schwedische

Mittelbreite

— 1° 31' 12 32 16 8 44 51 52    2

52 32 54    8

54 58 56    4

66 20

Amplitude

3° 7'

1    35 15 58 12 22

2    50 2 1 1 32 1 30 8 2 1 37

Zahl der Polhöhen

iOOi05K)tOCn<i<ltOtO

Summen

50° 34'

38

Die Einzelheiten der Messungen und der Ausgleichung (Quadratsumme der 38 Polhöhen-Verbesserungen) sind von Bessel mitgeteilt in einer Abhandlung in den astr. Nachr. 14. Band (1887) Nr. 383, S. 333—346. Es wurde jedoch eine Neuberechnung nötig wegen Auffindung eines Fehlers in der französischen Gradmessung, worüber Bessel im 19. Bande der astr. Nachr. (1842) Nr. 438, S. 97—116 berichtet. Die Besselschen End-Ergebnisse sind (2. Dezember 1841):

Meridian quadrant = 10 000 855,76 Meter , Abplattung = 1 : 299,1528

±498,23

± 4,667

Diese Besselschen Erddimensionen haben rasch allgemeinste Anerkennung und weiteste Verbreitung gefunden ; sie sind namentlich deswegen wichtig, weil Hilfstafeln in grosser Zahl und Ausdehnung für praktische Vermessungen und Berechnungen darauf gegründet sind.

Mit diesen Mitteilungen über Berechnungen sind wir der Geschichte der Messungen zum Teil vorausgeeilt.

Ausser den schon erwähnten französischen Arbeiten haben wir in diesem Jahrhundert folgende Erdmessungen zu erwähnen :

Die dänische Gradmessung unter Leitung von Schumacher von 1816 an. Zu einem abgeschlossenen Werke gelangte die dänische Gradmessung in jüngster Zeit unter Leitung von Andrä durch das Werk: Den Danske Gradmaaling, 1. Band, Kopenhagen 1867, 2. Band 1872, 3. Band 1878, 4. Band 1884, vgl. hiezu unseren I. Band,

4.    Aull. 1895, S. 487.

Hieran schloss sich die hannoversche Gradmessung von Gauss 1821—1823, und bald folgte die Gradmessung in Ostpreussen von Bessel. Über diese zwei klassischen Werke haben wir ebenfalls schon in unserem I. Bande, 4. Aull. 1895, S. 493 und

5.    499 das Wichtigste angegeben.

Die grösste Ausdehnung in Europa hat die russische Gradmessung von Struve und Tenner. Der erste Teil hievon ist behandelt in dem Werk: „Beschreibung der von der Universität Dorpat veranstalteten Breitengradmessung in den Ostseeprovinzen Russlands, ausgeführt und bearbeitet in den Jahren 1821—1831 mit Beihilfe des Kapitän-Lieutenants B. W. v. Wrangel und Anderer, von F. G. W. Struve, Direktor der Dorpater Sternwarte. Dorpat 1831,“ vgl. auch hiezu unseren Band I, 4. Aufl. 1895, S. 486.

Von russischer Seite sind hier auch die Arbeiten des Generals v. Schubert zu erwähnen, welcher zuerst den Versuch machte, die Erde durch ein draaxiges Ellipsoid darzustellen, und auch andere Erdberechnungen ausführte. Weiteres hierüber giebt Listing (11), vgl. das Litteratur-Verzeichnis am Schlüsse dieses Abschnitts S. 14.

Die englischen Messungen begannen im Jahre 1783 unter General Roy. Wir haben hierüber das grosse Werk: „Ordnance trigonometrical survey of Great Britain and Ireland, Account of the observations and calculations of the principal triangulation and of the figure, dimensions and mean specific gravity of the earth as derived from, etc., by Captain Alexander Ross Clarke under the direction of Colonel H. James, Superintendent of the Ordnance survey. London 1858,“ (vgl. Band I, 4. Aufl. 1895, S. 484-486).

Auf Seite 771 dieses Werkes wird als Ergebnis einer Ausgleichung von 8 Grad-messungen mit 66 Breiten mitgeteilt:

a = 20 926 348

woraus wir berechnen :

Meridian quadrant = 10 001 983 Meter,

b = 20 855 233 engl. Fuss,

Abplattung = 1: 294,261.

Hier sind auch die britisch-ostindischen Arbeiten zu erwähnen, 1790 begonnen von Reuben Burrow, fortgesetzt von Dalby, Lambton Everest bis 1847, sowie die zweite Gradmessung am Kap der guten Hoffnung von Maclear 1836—1848.

Unter den englischen Erdmessungsarbeiten sind namentlich auch die zahlreichen Erd-Ellipsoid-Berechnungen anzuführen, welche Clarke seit 1856 bis in die neueste Zeit ausgeführt hat. (Listing (7)—(10).) Wir wollen hievon diejenigen beiden Bestimmungen hierhersetzen, welche in den Verhandlungen der permanenten Konferenz der internationalen Erdmessung von 1887 angegeben sind in Beilage I, Lotabweichungen, von Helmert, S. 5—6, nämlich mit Zufügung des Meridianquadranten :

b = 20 855 121 engl. Fuss Abplattung = 1: 294,978 b = 20 854 895 engl. Fuss Abplattung = 1 : 293,466.

Clarke 1866 a = 20 926 062 Meridian quadrant = 10 001 888 Meter, Clarke 1880 « = 20 926 202 Meridianquadrant = 10 001 871 Meter,

In diesem Zusammenhänge haben wir auch die nordamerikanischen Messungen einzureihen, deren erste Anfänge, die Mason-Dixon sehe Gradmessung von 1764, wir schon oben erwähnt haben. Die Fortsetzung der nordamerikanischen Messungen in der Neuzeit sind wissenschaftlich und praktisch wichtig und interessant. Das Hauptwerk hierüber ist:

„Professional papers of the corps of engineers, ü. S. Army, Nr. 24. Report upon the primary triangulation of the United States Lake Survey, by Lieut. Col. C. B. Comstock, Corps of Engineers, Brevet Brigadier-General, U. S. A., aidet by the Assistents on the survey. Washington: Government printing office. 1882.“ (Vgl. „Zeitschr. f. Verm.“ 1888, S. 203—207 und S. 385—395).

Lotabweichungen, Geoid.

Schon die ersten Berechner des Erdellipsoids hatten erkannt, dass die Widersprüche bei solchen Berechnungen und Ausgleichungen nicht durch Messungsfehler allein erklärt werden können, dass vielmehr die ideale Erdfläche überhaupt nicht genau die Form eines Umdrehungs-Ellipsoides hat. Trotzdem wurden die Berechnungen lange in der Form fortgeführt, als ob es sich nur um unregelmässige Messungsfehler handelte. Insofern jedoch die Widersprüche der Berechnungen nicht den Messungen, sondern den Abweichungen der Erdform von dem Ellipsoid zuzuschreiben sind, nannte man diese Widersprüche „Lotabweichungen“.

Die erste Klarlegung der hiebei vorkommenden geodätisch-physikalischen Begriffe hat Listing gegeben in der kleinen Abhandlung : „Über unsere jetzige Kenntnis der Gestalt und Grösse der Erde“ in den Nachrichten von der K. Ges. d. Wiss. und der G. A. Universität zu Göttingen, 5. Febr. 1873. Nr. 3. S. 33—98. (S. 41 Einführung des „Geoids“.)

Man hat hiernach drei verschiedene Flächen zu unterscheiden :

1) Die Begrenzungsfläche zwischen den starren und tropfbarflüssigen Teilen der Erde einerseits und der Atmosphäre andererseits, d. h. die physische Erdoberfläche.

2) Die Oberfläche des gesamten Meeres in seinem Gleichgewichtszustand, also abgesehen von Flut und Ebbe und Wellenschlag; unter den Kontinenten denkt man sich diese Fläche erweitert durch ein Netz von Kanälen, welche unter sich und mit dem freien Meer in Verbindung stehen. Diese Fläche, welche, dem hydrostatischen Gesetz der ruhenden Flüssigkeit entsprechend, alle Lotlinien (Richtung der Schwerkraft) rechtwinklig durchschneidet, heisst nach Listing das Geoid.

8) Da die Abweichungen des Geoids von einem Umdrehungsellipsoid im Vergleich mit den Erddimensionen selbst klein sind, z. B. in Deutschland nach den neuesten Bestimmungen von Helmert (1888) nur etwa 5—10 Meter, kann man auf die Bestimmung eines idealen Erdellipsoids ausgehen, dessen Umdrehungsaxe mit der wirklichen Erdaxe zusammenfällt, dessen Lage im übrigen jedoch verschieden definiert werden kann. Listing setzt hiefür fest :

erstens, es soll das Ellipsoid mit dem Geoid gleiches Volumen haben, zweitens, es soll die Summe der Beträge von Erhöhungen und Vertiefungen zwischen dem Geoid und dem Ellipsoid ein Minimum sein.

Hiernach berechnet Listing ein „typisches Ellipsoid“ mit folgenden Dimensionen (Listing (20) ) :

ft = 6 355 298“

Abplattung = 1: 289,00

a = 6 377 365“

Meridianquadrant Q = 10 000 218m

3 _

Mittlerer Halbmesser B = Va ab = 6 370 000’".

Pendelbeobachtungen.

Wie schon im vorigen Jahrhundert das Pendel Richers zur ersten Aufklärung über die Abplattung beigetragen hatte, so sind heute noch die Pendelbeobachtungen ein wichtiges Hilfsmittel der Erdmessung.

Eine Bestimmung der Abplattung der Erde aus Pendelbeobachtungen hat Helmert ausgeführt in dem Werke: „Die mathem. und phys. Theorien der höheren Geodäsie, II. Band, Leipzig 1884“. Auf S. 215—241 dieses Werkes wird aus einer Reduktion und Ausgleichung von 122 Pendellängen die Abplattung der Erde abgeleitet:

a — 6

299,26+ 1,26

Im Anschluss hieran möge auch die Annahme von Helmert für ein Referenz-Ellipsoid zu Lotabweichungs-Berechnungen hier hergesetzt werden, nämlich nach den „Verhandlungen der Konferenz der perm. Kommiss, d. internat. Erdm. von 1887, Berlin 1888, Beilage I Lotabweichungen“ S. 7, ein Ellipsoid, dessen lineare Dimensionen (nach verschiedenen Erwägungen) unter Festhaltung des Bessel sehen (genäherten) Abplattungswertes aus der französisch-englisch-russischen Breitengradmessung hervorgehen:

a = 6 378 153“

Meridianquadrant = 10 002 041

ft = 6 356 832“

Abplattung = 1 : 299,149.

Internationale Erdmessung.

Der Mitarbeiter Bessels an der Gradmessung in Ostpreussen, Baeyer, hat das grosse Verdienst der Begründung der internationalen Erdmessung. (J. J. Baeyer, geb. 1794, gest. 1885, vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1885, S. 369—372, und Vierteljahrsschr. d. astr. Ges. 1886, S. 2—13“).

Im Jahre 1862 veröffentlichte General Baeyer den ersten „General-Bericht über den Stand der mitteleuropäischen Gradmessung“ mit Teilnahme von 15 Staaten.

Im Herbst 1864 fand die „erste allgemeine Konferenz der Bevollmächtigten zur mitteleuropäischen Gradmessung“ in Berlin statt, dabei wurde als erstes Organ der Vereinigung eine „permanente Kommission“ bestellt, welche von da an jährlich einmal tagte, während die allgemeine Konferenz nur von 3 zu 8 Jahren Zusammentritt.

In demselben Jahre 1864 erfolgte auch die Schaffung des Centralbureaus der mitteleuropäischen Gradmessung.

Auf der allgemeinen Konferenz von 1867 wurde die „mitteleuropäische Gradmessung“ zur „europäischen Gradmessung“ erweitert.

Am 10. September 1885 starb General Baeyer; sein Nachfolger wurde Professor

Helmert.

Im folgenden Jahre 1886 fand die VIJI. allgemeine Konferenz in Berlin statt, wobei die „europäische Gradmessung“ zur „internationalen Erdmessung“ erweitert, und die Vereinigung im ganzen reorganisiert wurde. Eine abermalige Neuberatung und Organisation der internationalen Erdmessung erfolgte auf der XI. allgemeinen Konferenz in Berlin, 1895. („Zeitschr. f. Venn. 1895,“ S. 569—586 und 625—630.)

Die Geschichte der internationalen Erdmessung ist im wesentlichen enthalten in den seit 1863 nahezu jährlich erschienenen „Generalberichten“ und „Verhandlungen der allgemeinen Konferenzen“ u. s. w. der Gradmessung bzw. Erdmessung.

Verschiedene Ergebnisse der Erdmessung und Erdbcrechnnng.

Jahr

Bezeichnung

Meridian-

Quadrant

Abplattung

1617

1719

1720

1740—1803

1792-1806

1819

1830

1830

1841

1866

1872

1880

1884

1887

Snellius...........

Musschenbroek........

Cassini...........

Peruanische und verbesserte Lappländische Gradmessung.....

Delambre, Annahme für das Meter-

mass...........

Walbeck...........

Schmidt...........

Airy............

Bessel...........

Clarke...........

Meter

9 660 000 10 004 000 10 044 000

10 000 157

10 000 000 10 000 266 10 000 061 10 001 012 10 000 856 10 001 888 10 000 218 10 001 871

10 002 041

1 : oo 1 : oo 1 : (-66)

1:310

1 : 334 1 : 302,76 1 : 297,648 1: 299,325 1: 299,153 1:294,978 1 : 289,000 1:293,466 1:299,26 1:299,15

1617.

1729.

1806.

Litteratur zur Geschichte der Erdmessungen.

Snellius. Eratosthenes Batavus, de terrae ambitus vera quantitate, u. s. w. Lugduni Bata-vorum, 1617 (I. Teil Altertum, Eratosthenes, Posidonius u. s. w., II. Teil niederländische Triangulierung).

Musschenbroek. Dissertatio de magnitudine terrae, als Teil (S. 357—420) des allgemeinen Werkes: Petri van Musschenbroek physicae experimentales et geometricae u. s. w. Lugduni Batavorum 1729.

Delambre. Base du système métrique I. Discours préliminaire.

Gehlers physikalisches Wörterbuch, dritter Band, Erde, S. 825—940.

Schmidt. Lehrbuch der math. und physischen Geographie. Göttingen 1829.

EncJce. Über die Dimensionen des Erdkörpers. Beri. Astr. Jahrb. für 1852, S. 318 u. ff.

Posch. Geschichte und System der Breitengradmessungen. Freysing 1860.

Baeyer. Über die Grösse und Figur der Erde. Eine Denkschrift zur Begründung einer mitteleuropäischen Gradmessung. Berlin 1861,

Fischer. Untersuchungen über die Gestalt der Erde. Darmstadt 1868.

Wolf. Handbuch der Mathematik, Physik, Geodäsie und Astronomie. Zürich 1869. 2. Band S. 125—146. (Litteraturausgaben.)

Mädler. Geschichte der Himmelskunde. Braunschweig 1872, I. Band, S. 89, S. 142 und ff. (Litteraturangaben.)

Listing. Über unsere jetzige Kenntnis der Gestalt und Grösse der Erde. Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität aus dem Jahr 1873. Göttingen 1873, S. 33-98.

Listing. Neue geometrische und dynamische Konstanten des Erdkörpers. Aus den Nachrichten der K. Ges. der Wiss. Göttingen 1878.

Clarke. Geodesy by Colonel A. K. Clarke, C. B. royal engineers ; F. R. S. ; u. s. w. Oxford at the Clarendon press. 1880.

1880—1884. Helmert. Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie. Einleitung nnd I. Teil, die mathematischen Theorien. Leipzig 1880. II. Teil, die physikalischen Theorien. Leipzig 1884.

1827.

1829.

1849.

1860.

1861.

1868.

1869.

1873.

1873.

1878.

1880.

1885-1888.

Westphal. Basisapparate und Basismessungen (mit Angaben über die älteren Grad-messungen). Zeitschrift für In Strumen tenkunde, 1885 und 1888.

Kapitel I.

Triangulierung erster Ordnung.

§ 2. Aufsuchung und Auswahl der Dreieckspunkte.

In dem zu vermessenden Gebiete werden solche hervorragende Punkte aufgesucht, zwischen welchen zusammengesehen werden kann, auf welchen feste Beobachtungsplätze eingerichtet werden können, und welche günstige Dreiecksverbindungen geben. Die Entfernungen solcher Punkte nimmt man etwa 20*»» bis 50*«*, nötigenfalls auch noch erheblich grösser.

Zur Aufsuchung von Triangulierungs-Punkten muss man das Land bereisen, namentlich alle hoch gelegenen Punkte, hohe Berge, Kirchtürme u. s. w. besteigen und jedenfalls alles was man sieht, durch flüchtige Winkelinessung, oder auch nur durch Kompasspeilung, vorläufig bestimmen.

In früheren Zeiten mass man wohl auch sofort endgültige Winkel; so berichtete z. B. Bohnenberger über seine erste Triangulierung von Württemberg, von 1797 : „Eine vorläufige Bereisung des Landes wurde nicht vorgenommen, um die schicklichsten Punkte zu den Hauptdreiecken aufzusuchen, daher wurden an jedem Standpunkte alle Winkel zwischen Punkten genommen, von denen man eine zur Fortsetzung der Arbeit günstige Lage erwarten konnte. Erst am Ende der Reise war ich im stände, die Hauptdreiecke heraus zu suchen, deren Winkel nachher bei der Kleinaufnahme nachgemessen und durch Vervielfältigung genauer bestimmt wurden.“

Dieses Verfahren ist heute nicht mehr am Platz aus zahlreichen Gründen: Zunächst ist im allgemeinen zu bemerken, dass Württemberg ein Hügelland ist, in -welchem das Aufsuchen der Punkte am leichtesten ist, dann sind aber seit 1797 die Ansprüche an die Genauigkeit und an die günstige Form der Dreiecke so sehr gestiegen, dass das, was damals Bohnenberger als endgültige Triangulierung lieferte, heute kaum als erschöpfende Rekognoszierung gelten würde (ohne dass damit Bohnenbergers Arbeit von 1797 in ihrer damaligen Bedeutung beeinträchtigt würde).

Was günstige Dreiecksverbindungen sind, die man aufsuchen soll, das lässt sich allgemein schwer sagen, zumal die Anschauungen hierüber verschieden sind ; jedenfalls ist ein Netz von nahezu gleichseitigen Dreiecken gut.

Indem weitere Betrachtungen hierüber auf später verschoben werden, bringen "wir hier einen Auszug einer sehr wertvollen Abhandlung, welche im Jahre 1887 für die „Zeitschrift für Vermessungswesen“ von einem sehr erfahrenen Beamten der Landesaufnahme geschrieben wurde, und deren Abdruck vom Verfasser der Abhandlung uns besonders gestattet wurde.

Technischer Betrieb der Feldarbeiten der Triangulation erster Ordnung bei der trigonometrischen Abteilung der preussischen Landesaufnahme, von Yermessungsdirigent Erfurth. „Zeitschrift für Vermessungswesen“ 1887, S. 377—383 und S. 421—437.

I. Die Erkundung im allgemeinen.

Schon vor der Bereisung des Gebietes, auf welchem eine Triangulierung vorbereitet werden soll, sind gewisse Vorarbeiten zu machen, welche gewöhnlich in dem der Feld-Rekognoszierung vorhergehenden Winter ausgeführt werden. Diese Vorarbeiten sind im wesentlichen folgende:

1)    Kartenstudien.

Hier kommt hauptsächlich die topographische Spezialkarte von Mittel-Europa im Massstabe 1:200 000 (früher Reymannsche Karte genannt) in Betracht. In diese werden alle Punkte und Seiten der bereits fertigen Triangulierung, an welche angeschlossen werden muss, eingetragen. Nur für die Erkundung von Grundlinien und Basisvergrösserungsnetzen können Karten in grösserem Massstabe nötig werden. Sehr wichtig sind Uo/iewzahlen der Karte, sind solche nicht genügend vorhanden, so wird es sich empfehlen, nach weiteren Hilfsmitteln, nach Spezialkarten, geographischen Handbüchern und ähnlichen Publikationen die Höhenangaben der Karte möglichst zu vervollständigen.

2)    Studium der Vorgänge.

Fast immer handelt es sich um Gebiete, welche in früherer Zeit schon mehrfach als Operationsfeld für grössere Triangulationen gedient haben. Die Landesaufnahme ist in der bevorzugten Lage, von diesen Vermessungen zum grössten Teil noch die Originalakten, Protokolle, Tagebücher, Rechnungen und eine grosse Zahl von Skizzen und Übersichtsblättern der verschiedensten Dreiecks-Konfigurationen zu besitzen. Dieses ganze ältere Material wird, so weit es für das Arbeitsgebiet in Betracht kommt, gründlich durchforscht, alles, was wertvoll oder von Interesse erscheint, herausgezogen und einem besonderen Tagebuche einverleibt.

Auf Grund dieser Studien und mit ihnen fortschreitend, werden sich ganz von selbst Projekte über vorhandene und wünschenswerte Dreiecks-Konfigurationen bilden, welche in vorläufigen Übersichtsdarstellungen zum Ausdruck gebracht, und deren Punkte, soweit sie älteren Triangulationen angehören, durch vorläufige rohe Rechnungen bestimmt werden. Dies geschieht in dem bei der trigonometrischen Abteilung eingeführten ebenen rechtwinkligen Coordinatensystem, und — da es hierbei auf einige Meter nicht ankommt — mit 4- oder 5 stelligen Logarithmen.

Die Abscissenaxe dieses Systems ist der 81. Längengrad, und die Coordinaten werden in diesem System einheitlich in ganz Preussen gezählt.

Alle Rechnungsergebnisse werden in übersichtlicher Form, nötigenfalls durch Handrisse erläutert, in das Tagebuch eingetragen. Dieses Buch nimmt ferner Notizen auf über Kommunikationen, Quartier-Verhältnisse, Beschaffung von Fuhrwerk, Bauholz u. s. w.

8) Ausrüstung zu den Feldarbeiten.

Jedes Mitglied der trigonometrischen Abteilung, welches während des Sommers mit Feldarbeiten betraut wird, erhält die nötige Zahl von „Offenen Ordres“. Es sind dies Kollektiv-Erlasse der beteiligten Ministerien an die Landesbehörden, ausgestellt für den Chef der trigonometrischen Abteilung bzw. die diesem unterstellten Offiziere und Beamten, wodurch dieselben legitimiert werden und ihnen vorkommenden Falles die Unterstützung der Behörden gesichert wird.

Zur weiteren Ausrüstung des Dirigenten gehören :

ein kleines Universal-Instrument von 1,5¹® Gewicht,¹) ein kleiner Messtisch mit Stativ und Dosenlibelle, ein grosses Handfernrohr, ein Aneroidbarometer,

Massstäbe, Bandmass, ein Lot, Transporteur; —

ferner das gesammelte Material an Karten, Büchern und Manuskripten, Schreibmaterial, Formulare und Vorschriften.

Die zur Sektion gehörigen Trigonometer sind im wesentlichen ebenso ausgerüstet, führen aber ein erheblich grösseres Winkelmess-Instrument mit sich.

Ausserdem treten noch hinzu :

ein bis zwei kleinere Fernrohre, einige Heliotrope,

ein Stativ zur Aufstellung des Universal-Instruments, ferner Werkzeuge und Gerätschaften, welche für den Signalbau erforderlich sind, dazu gehören Werkzeuge des Zimmermanns und des Tischlers, Seil- und Tauwerk, Flaschenzüge u. s. w.

Näheres darüber wird sich beim Signalbau (§ 8.) ergeben.

II. Die Arbeiten im Felde behufs Auswahl der Punkte, oder die eigentliche

Erkundung.

Der Zweck der Erkundung besteht darin, die Konfiguration einer neuen Dreieckskette oder eines neuen Dreiecksnetzes festzustellen und anzugeben, welche baulichen Einrichtungen auf jedem Punkte getroffen werden müssen, um die Konfiguration zu ermöglichen. So einfach diese Aufgabe klingt, so schwierig ist sie. Sie verlangt besondere körperliche und geistige Eigenschaften des Erkundenden und bürdet ihm zugleich eine erhebliche persönliche Verantwortlichkeit auf, da sich Vorschriften, wie die Arbeit auszuführen ist, allgemein gar nicht geben lassen. Es ist zunächst alles seiner Initiative und seinem Ermessen anheimgegeben.

Als Grundsatz ist festzuhalten, dass die Erkundung eine in sich selbständige Arbeit ist, welche die Grundlage für die ganze spätere Triangulation bildet, dass Fehler und Unterlassungssünden, welche etwa hierbei Vorkommen, später gar nicht mehr gut zu machen sind.

In Bezug auf dieses Thema sei hierbei auf die verdienstyolle Arbeit von Gaede, „Beiträge zur Kenntnis von Gauss’ praktisch-geodätischen Arbeiten“, „Zeitschrift für Vermessungswesen“, Jahrgang 1885, S. 186 u. ff. verwiesen.

Die Erkundung eines Dreieckssystems, sei es nun Kette oder Netz, muss als eine einheitliche Arbeit für das ganze System aufgefasst werden. Sie darf nicht eher abgeschlossen werden, als bis das ganze Arbeitsfeld gründlich durchforscht ist, und bis alle möglichen brauchbaren Konfigurationen festgestellt sind. Bei einer Kette, für welche an beiden Enden feste Anschlussseiten gegeben sind, ist man nach der Mitte zu unabhängiger, hat grösseren Spielraum ; doch ist nicht zu vergessen, dass jeder dieser Punkte bei späteren Arbeiten wiederum Auschlusspunkt für eine andere Kette oder für ein Netz werden kann.

Schwieriger ist die Erkundung eines Netzes, für welches rundum ein ganzes Polygon von festen Anschlussseiten gegeben ist. Man kann von fast keinem Punkte, wenn er zunächst auch noch so brauchbar erscheint, von vornherein sagen, dass er wirklich endgültig brauchbar ist. Selbstverständlich giebt es einzelne Punkte, die vermöge ihrer dominierenden Lage gar nicht zu umgehen sind, wie z. B. den Brocken, Inselsberg, Feldberg im Taunus, Melibokus u. s. w. Solche Punkte sind aber Ausnahmen.

Die Erkundung wird für gewöhnlich auf den gegebenen Anschlusspunkten beginnen, ferner diejenigen Punkte umfassen, welche man durch die Vorstudien als frühere Punkte kennen gelernt hat, und endlich auf alle Punkte sich erstrecken, welche während der Arbeiten im Felde sich sonst noch als vielleicht geeignet herausstellen. Die Erkundung ist eine sehr mühsame, zeitraubende und aufregende Arbeit, welche an die körperliche und geistige Ausdauer hohe Anforderungen stellt.

Die angeführten Schwierigkeiten beziehen sich zunächst nur auf Norddeutschland. In südlicheren Ländern von günstigerer Bodengestaltung, mit geringerer Bewaldung und klarerer Luft (z. B. Süddeutschland, Frankreich, Spanien, Italien) werden sie kaum, oder doch nicht in dem Masse vorhanden sein.

Die Erkundung auf einem Punkte gestaltet sich folgendermassen : Bevor man sich auf ihn begiebt, empfiehlt es sich, alles, was man über ihn schon festgestellt hat, nochmals zu rekapitulieren und etwa fehlende rechnerische Vorarbeiten zu ergänzen. Auf ihm angekommen, hat man den ganzen Horizont gründlich zu durchforschen. Zu dem Ende stellt man den Messtisch und darauf das kleine Universal-Instrument auf und lässt den ganzen Umkreis langsam durch das Fernrohr wandern. Alle hervorragenden Punkte stellt man ein, liest die Winkel ab und schreibt sie auf. Hierzu gehören trigonometrische Signale, Türme, Windmühlen, ferner hervorragende Bergkuppen, markierte Baumgruppen, Punkte, wo etwa näherer Horizont auf hört und fernerer anfängt, die Grenzen von Gebirgszügen, Wäldern u. dergl. Dabei dient das Instrument zur Messung der Winkel, dagegen zur näheren Untersuchung der Objekte das stärkere Handfernrohr. Die Entfernungen werden geschätzt. Die Resultate mit erläuternden Bemerkungen werden graphisch in einer Skizze auf starkem Zeichenpapier zur Darstellung gebracht. Solche Skizze nennt man bei der Abteilung „SpinneIm Quartier findet die Verarbeitung, Sichtung und ordnungsmässige Eintragung des gewonnenen Materials unter Zuhilfenahme von Karte, Zirkel und Transporteur statt. Dies muss stets sofort erfolgen, damit weitere Entschlüsse gefasst und Vorbereitungen für den folgenden Tag getroffen werden können.

Es wird häufig der Fall eintreten, dass man auf dem in Aussicht genommenen

Punkte zu ebener Erde keinen Eundblick hat, wenn an der betreffenden Stelle Wald vorhanden ist, oder wenn die Gegend in hoher Kultur steht und anderweite Hindernisse bietet, Gehöfte, Gärten u. s. w. Dann muss man zunächst einen möglichst hohen Standpunkt zu gewinnen suchen, indem man Bäume erklettert, Windmühlen, Türme besteigt. In Ermanglung von solchen kann man sich mitunter dadurch helfen, dass man eine Leiter, wie man sie in jedem Dorfe findet, senkrecht aufrichten lässt (Fig. 1.).

Fig. l.

Vorläufige Aufstellung von Leitern.

17

V-S

Den nötigen Halt giebt man ihr dadurch, dass man sie mit dem unteren Ende in die Erde gräbt und das obere durch Seile halten lässt ; eine zweite und dritte Leiter kann daran in die Höhe geschoben und ähnlich festgestellt werden. Man kommt auf diese Weise leicht 10—15™ hoch. Es ist dies jedoch alles nur eine vorläufige Massregel, welche die Auswahl des zweckmässigsten Platzes erleichtern soll.

Zur Ausführung der wirklichen Erkundung, also zur Feststellung, ob die gewünschten Eichtungen vorhanden, und in welcher Höhe sie zu haben sind, wird dann die Errichtung eines Umschau-Gerüstes (Fig. 2. S. 20) notwendig. Man wird das Gerüst immer einige Meter höher bauen lassen, als man voraussichtlich gebrauchen wird.

Erfolge benützt worden.

II

TT

Eine weitere wichtige Gattung von Punkten bilden Türme und ähnliche Bauwerke. Sie bieten im allgemeinen den Vorteil. dass sie meist die Umgegend erheblich überragen, haben aber den Nachteil dass sie besondere und oft recht schwierige Einrichtungen behufs Ausführung der Beobachtungen erfordern, und dass zu ihrer Benützung die Erlaubnis der Behörden und Besitzer erwirkt werden muss. — Es giebt

aber Gegenden, wo sie durchaus nicht zu umgehen sind, wie z. B. in dem stark angebauten Flachlande des nordwestlichen Deutschlands. In der hannoverschen Kette und im Wesernetz mussten deshalb, ent-

Gauss, unverhältnismässig viele Türme zu Punkten I.

Fig. 2.

Umschau-Gerüst.

25."

!\

15mi

8"

r.

D'

Ein solches Umschau-Gerüst ist leicht in die Höhe getrieben. Yier Ständer, welche bei grösserer Höhe aus starken Stangen zusammengesetzt werden, geben das Gerippe und werden durch mehrere horizontale Kränze zusammengehalten. Jede Wand dieses Gerüstes erhält durch Kreuzverbindungen (Verschwertungen) den nötigen Halt. Oben wird ein Fussboden gelegt, ein Geländer gezogen und ein roher Tisch oder ein Brett als Leuchtstand angebracht. Auf die Ständer wird eventuell eine Pyramidenspitze von schwarz angestrichenen Brettern aufgesetzt, um das Gerüst von den umliegenden Punkten leichter aufzufinden, und um es auch als Zielpunkt benützen zu können. — Man kann rechnen, dass durchschnittlich in einem Tage 10m gebaut werden, und dass das Meter ungefähr 4—5 Mark kostet. Wird später der Punkt endgültig gewählt, so kann das Holz des Gerüstes beim Bau des Signals verwendet werden.

Bei der Erkundung des Wesernetzes im Sommer 1883 sind von dem Vermessungsdirigenten Hauptmann Gaede über zwanzig Umschau-Gerüste leichtester Konstruktion bis zu 32“ Höhe mit bestem

sprechend dem Vorgänge von Ordnung gemacht werden.

Für die vorläufige Erkundung auf Türmen wird es zunächst genügen, eine flüchtige Einrichtung zu treffen, dass das kleine Instrument aufgestellt, vielleicht auch ein Heliotrop angebracht werden kann.

Erdkrümmung und Strahlenbrechung. Man kann manchmal durch Höhenwinkelmessung entscheiden, oh eine wünschenswerte Richtung überhaupt möglich ist. {Die nötigen Theorien hiezu, mit Erdkrümmung und Strahlenbrechung, haben wir in unserem II. Bande, „Handb. d. Verm.“ 4. Aufl. 1893, Kap. XI. behandelt).

Durchhau von Wäldern.

Die Fälle, dass einzelne Bäume hindern und gefällt oder wenigstens ausgeästet werden müssen, kommen häufig vor. Von diesen ist hier nicht die Rede, da sie wenig Schwierigkeiten bieten. Anders liegt der Fall, wenn eine Richtung längere Waldstrecken durchschneidet. Solche grössere Durchhaue sind als äusserstes Gewaltmittel zu betrachten und nur durch die höchste Not gerechtfertigt, da sie erhebliche Eingriffe in private Rechte darstellen, viele, oft recht unerquickliche Verhandlungen mit den Besitzern erfordern und endlich grosse Kosten an Zeit und Geld verursachen. Nichtsdestoweniger wird man sich doch mitunter dazu entschliessen müssen, wenn nur dadurch eine wesentliche Verbesserung der Dreiecksformen gewonnen werden kann.

Ein solcher Fall trat beispielsweise im Sommer 1883 bei Erkundung des Wesernetzes mit der Richtung Bremen-Brake ein.

Diese Richtung war der einzige Strahl, welcher zur Vollständigkeit des Polygons um Bremen noch fehlte; ihre Herstellung erschien für die ganze Konfiguration von grossem Werte. Die örtlichen V erhältnisse lagen folgendermassen :

Von Brake aus schlossen, etwa 16tm entfernt, in der Richtung nach Bremen bewaldete Berge den Horizont. Auch von Bremen aus erschien hochgelegener Wald, etwa 14Lm entfernt, als Abschluss des Gesichtskreises gegen Brake. Es lag somit ziemlich in der Mitte der 35tm langen Richtung als Hindernis ein etwa 5km breites Waldgebiet, über welches hinaus auch die Turmspitzen gegenseitig nicht sichtbar waren. Eine örtliche Erkundung der Hindernisse ergab, dass eine Reihe parallel streichender, ziemlich bedeutender Höhenzüge die projektierte Verbindung der beiden Türme von Bremen und Brake annähernd senkrecht durchschnitt, und dass die ganze Gegend mit vielen einzelnen Waldparzellen bedeckt war, welche besonders auf den Kämmen der Berge sehr hohe Bäume, Eichen und Buchen von 30—40m Höhe, enthielten.

Nun musste zunächst durch besondere schärfere Messung und Rechnung die Richtung in horizontaler Beziehung mit einer Genauigkeit von 10—20" festgelegt werden. In vertikaler Beziehung wurden die Höhen in der Gegend der Hindernisse teils aus älteren Daten, teils durch besondere Messungen festgestellt. Es ergab sich daraus mit Sicherheit, dass nicht etwa die Berge selbst, sondern nur die Bäume das

Fis. 3.

Durchhau eines Waldes. Massstab 1:1200 000.

Brak«

X^ldenburg

Wildeshausen

tk /

\ /

Brüttendorf

ß reinen-.

//

Steinberg

l wistringen

öpse

Hindernis bildeten. Nunmehr wurde zur Markierung und Freilegung der Richtung geschritten.

Das allgemeine Verfahren hei solcher Arbeit ist im Prinzip einfach, in der Ausführung jedoch mitunter recht schwierig und zeitraubend. Man richtet auf beiden Endpunkten Beobachtungsstände ein und bringt in dem Hindernis einige Flaggen auf den höchsten Bäumen an, so dass sie schon möglichst in der Richtung liegen. Um sie nicht mit einander zu verwechseln, müssen sie durch verschiedene Farben oder dergl. kenntlich sein. Die Winkel nach den Flaggen werden gemessen, und aus ihnen unter Zuhilfenahme der angenähert festgestellten, etwa aus der Karte entnommenen Entfernungen die seitlichen Verschiebungen berechnet, welche nötig sind, um die Flaggen in die Richtung zu bringen. (Vgl. hiezu den Abschnitt „Abstecken von langen Geraden“ in unserem II. Bande „Handb. d. Verm.“ 4. Aufl., 1893, § 199).

Bei dem Durchhau Bremen-Brake sind rund 1620 Mark an Entschädigungen gezahlt worden.

Gh'össe der DreiecJcsseiten. Rein theoretisch lässt sich über die Vorzüge oder Nachteile kürzerer oder längerer Dreiecksseiten wenig sagen; so einfache allgemeine Gesetze, wie sie z. B. über die Zielweiten bei Polygonzügen, bei Nivellierung u. s. w. bestehen, giebt es für Triangulierung nicht. (Vergl. hiezu die späteren § 18. und § 19.)

Lange Seiten haben den Vorteil, dass man rasch weiter kommt, und wenn man einmal eine lange Seite aus einer kurzen Basis abgeleitet hat, dann ist es auch für die rein theoretische Genauigkeit besser, mit grossen Dreiecken fortzufahren, sowohl in Hinsicht auf Azimutübertragung als auch in Hinsicht auf Längenübertragung ; lange Sichten sind aber schwieriger und seltener zu messen, und werden daher verhältnismässig, d. h. mit Rücksicht auf die aufgewendete Zeit und Mühe ungenauer als kurze.

Die Erfahrung hat dazu geführt, im Mittel nur etwa 20—50tm Seitenlange zu nehmen, jedoch wenn besondere Gründe Vorlagen, ist man auch schon bis zu 100Am, 200m und noch weiter gegangen.

Einige besonders lange Dreiecksseiten stellen wir im folgenden zusammen:

Meter

. .    79    644

. . 105 977 . . 128 028 . . 160 903

Dreiecksseite

Bogen

Trunz-Galtgarben (Preussen, Bessel) . .    .    .

Brocken-Inselsberg (Hannover, Gauss) . . . Kamiensberg-Knibiskow (Afrika, Maclear) .    .

Campvey-Desierto (Frankreich).....

0° 43'

0° 57' 1° 9'

1° 27'

Slieve Donard-Sca Fell (England, Ord. trig. survey S. 434)    178 932

202 384

Ararat-Godarebi (Kaukasus, Struve)

Mulhacen-Filhaoussen (Mittelländ. Meer, Ibanez). . . 269 926

1° 36' 1° 49' 2° 26'

Nach Helmert math. u. ph. Th. d. höheren Geodäsie I. S. 70 sind in Vorderindien von den Engländern nach dem Himalaya Sichten bis zu 340*™ genommen worden.

Von der vorerwähnten trigonometrischen Überspannung des mittelländischen Meeres geben wir in Fig. 4. S. 23 eine Darstellung mit eingeschriebenen Längen, Höhen und Winkeln. Das Unternehmen wurde im Herbst 1879 von Ibanez und Perrier

ausgeführt.

Zur Signalisierung reichte Heliotropenlicht nicht aus, es wurde deshalb elek

trisches Licht mit Nachtbeobachtung angewendet.

(Weiteres hierüber geben die Yerhandl. d. 6. Konf. d. Eur. Gr., General-Bericht für 1880, S. 44—57; vgl. auch zwei Berichte in der „Zeitschr. f. Verm.“, Pattenhausen 1881. S. 247—257 und Fenner 1882, S. 303—308.)

Fig. 4.

Triangulierung über das mittelländische Meer zwischen Spanien und Algier, 1879.

Massstab 1 : 4 500 000.

//.

Spanien

Tetika

\(2080rnJ

Mu/hacen

(3U82m)

i<?ö

•à

gft

IVUFVe^

M Sabiha (583™]

rr;

Algier

Filhaoussen (11 ¥0 m]

§ 3. Pfeilerbau und Signalbau.

Nachdem die Triangulierungspunkte ausgewählt sind, hat man Einrichtungen zu treffen, erstens zum festen Aufstellen des Theodolits auf jedem Punkte und zweitens zum gegenseitigen Sichtbarmachen der Punkte für die Winkelmessung.

Diese Einrichtungen sind verschieden, je nachdem man es mit einem Punkte auf dem natürlichen Erdboden, z. B. auf dem Gipfel eines Berges, oder mit einem Punkte auf einem Turme oder ähnlichem Bauwerke zu thun hat.

Zur Sichtbarmachung dient heutzutage fast ausschliesslich das Heliotrop, von welchem später in § 4. die Rede sein wird. Die Einrichtung der Heliotropstände erfolgt gemeinsam mit dem Bau der Theodolitstände.

Zu ebener Erde nahm man früher als Theodolitstände allgemein hölzerne Stative; indessen in neuerer Zeit erbaut man für Messungen erster Ordnung steinerne Pfeiler.

Nach Mitteilung von Vermessungs-Dirigent Erfurth (vgl. das Citât technischer Betrieb u. s. w. S. 16) hat die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme hiefür folgende Einrichtungen:

„Ein Beobachtungspfeiler der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme

besteht entweder aus einem einzigen behauenen Stein, lang genug, um ihm den nötigen Halt im Erdboden zu geben, oder, da solche Monolithe schwer zu haben und teuer sind, aus mehreren behauenen Bruchsteinen von ganzem Querschnitt, welche mit Zement gemauert und lagenweise durch Dübel oder durch eine oder zwrei durchgehende Eisenstangen fest verbunden werden. Aus Ziegelsteinen aufgemauerte Pfeiler sind möglichst zu vermeiden, da sie bei wechselndem Wetter, namentlich durch Regen und Frost, baldiger Zerstörung anheimfallen, auch mutwilligen Beschädigungen mehr ausgesetzt sind. Um den Pfeiler -wird eine vierseitige Pyramide errichtet; die Spitze derselben wird mit Brettern bekleidet und schwarz angestrichen. Ausserdem wird ein Fussboden von Brettern gelegt, um bei windigem Wetter das Aufwirbeln von Sand und Staub möglichst zu verhindern.“

Über Pfeilerbau und Punktversicherungen, teils auf dem natürlichen Erdboden, teils auf Türmen, können wir einige Erfahrungen mitteilen von den 10 „Gradmessungspfeilern“, welche vom Verfasser 1869—1873 erbaut wurden. — Wir benützten dabei auch die von Nagel im Generalbericht d. Europ. Gradin, für 1864, S. 39 —40 mitgeteilten Erfahrungen.

Die badischen Pfeiler mit ihren Versicherungen wurden zugleich an die vorzüglichen Punktfestlegungen der badischen Landes-Triangulierung angeschlossen.

Ein Beispiel für beides ist in Fig. 1 a, und Fig. 1 b. gegeben.

Trigonometrischer Punkt Kandel (Schwarzwald).

Fig. 1 a.

P= Pfeiler, fl = Pyramide.

Massstab 1 : 500.

Fig. lb.

Beobachtungspfeiler. Massstab 1 : 50.

< 0,52m >

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Mi

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1:500

20 m

Die Bezeichnung eines Punktes der (alten) badischen Landes-Triangulierung wurde etwa im Jahr 1820 durch eine von Felsstücken aufgebaute vierseitige abgekürzte Pyramide B bewerkstelligt. Der trigonometrische Punkt ist auf der Mitte der Pyramide

10

durch ein eingehauenes + bezeichnet. Ferner wurden noch vier solche Zeichen auf der Pyramide angebracht, und ausserdem der Dreieckspunkt gegen 8 benachbarte Gemarkungs-Grenzsteine durch unmittelbare Messung von 11 Entfernungen und 14 Winkeln festgelegt (letzteres ist in unserer Fig. 1 a. nicht angedeutet).

Im Jahr 1870 fand ich die Lage der 50 Jahre alten Versicherungspunkte noch auf wenige Centimeter übereinstimmend mit den früheren Messungen; jedoch wurde die Pyramide nun verlassen und ein neuer Punkt P auf einem Pfeiler mit einem 2m tiefen Fundament hergerichtet, wie die Einzelzeichnung Fig. 1 b. zeigt, und ferner wurden 4 Versicherungsquader S W N 0 auf Fundamentquadern versenkt.

In dem Fundamentquader des Pfeilers bei M und in jedem der 4 anderen Quader ist ein Messingcylinder in Blei eingegossen, und ein sechster Cylinder P lotrecht über M ist oben auf dem Pfeiler eingegossen, um die Theodolitmitte zur Winkelmessung zu bezeichnen.

Unten ist auch ein Glascylinder G eingesenkt, ein Schriftstück enthaltend, das der Nachwelt die Bedeutung der ganzen Anlage übermitteln soll.

Die 4 Versicherungspunkte wurden nicht willkürlich, sondern nach Nord, Ost, Süd, West eingewiesen, was leicht auf etwa 1' genau gemacht werden konnte mit Hilfe der alten badischen Landes-Triangulierung (trigonometrische Richtungswinkel mit Rücksicht auf Meridian-Konvergenz).

Nachdem somit die 5 unteren Punkte auf ihren Fundamentquadern in den Baugruben festlagen, wurden ihre Abstände gemessen:

MN = 6,059’“

MO = 6,075 MS = 5,840 MW — 6,125

NO = 8,579™ OS = 8,427 S W = 8,465 .WN= 8,620

Man hat dabei 4 Hypotenusenproben, welche innerhalb weniger Millimeter stimmen sollen.

Um nun nach dem Aufbau des Pfeilers selbst den Punkt P genau lotrecht über M zu bringen, verfuhren wir so: Während der Theodolit centrisch über M stand und die 4 Azimute 0°, 90°, 180°, 270° eingewiesen wurden, musste mindestens ein ferner Punkt H mit angezielt werden, der durch sein berechnetes Azimut jene 4 Einweis-Azimute lieferte. Nach dem Aufbau des Pfeilers wurde der Theodolit vorläufig aufgestellt, mit Hilfe des fernen Punktes PL orientiert und die 4 nahen Punkte wieder angezielt. Wegen der Excentricität der vorläufigen Theodolitstellung wurden nun nicht wieder genau 0°, 90°, 180°, 270° erhalten, sondern kleine Abweichungen, welche aber mit Zuziehung der 4 Entfernungen vollends zur genauen Centrierung führten.

Vor und nach der Pfeileraufstellung wurden alle Punkte nivelliert.

Das Endergebnis drückt sich in folgenden Coordinaten und Höhen aus, im badischen System -+- x nach Süden. -+- y nach Westen, h ungefähr um 2"‘ zu gross im Vergleich mit Höhen über N. N.

Punkt

Pyramide, Kreuz +

Pfeiler oben

+ 33 403,830™ P -t-33 421,215

+ 158 255,280™ + 158 271,909

„ unten M Versicherung

+ 33 421,180 + 33 415 140 + 33 421,249 + 33 427,340

+ 158 265,850 + 158 271,944 + 158 277,749 + 158 271,873

1247,010™

1244,360

1242,986

1243,216

1242,993

1242,711

1242,861

Wir haben diese Zahlen beispielshalber hier hergesetzt, weil solche oder entsprechend genaue Angaben, mit Zeichnungen, den amtlichen Triangulierungs-Verölfent-liehungen beigegeben werden sollen.

Über SignaTbau im besonderen haben wir die wertvollsten Mitteilungen in der Abhandlung von Erfurth, welche wir schon auf S. 16 citiert haben bei dem Abdruck des ersten Teiles.

Folgendes ist ein Auszug aus dem zweiten Teil von Erfurth:

Der Signalbau muss den Winkelmessungen mindestens ein Jahr voraus sein. Es wird schon im Laufe des Winters, sobald die Projekte festgestellt sind, Auftrag erteilt, welche Signale im folgenden Sommer gebaut werden sollen, damit das nötige Holz noch im Winter geschlagen werden kann. Denn die Bäume müssen vor dem Einschiessen des Saftes gefällt werden.

Der Signalbau umfasst die Herstellung aller Einrichtungen, welche erforderlich sind, um auf den endgültig bestimmten Punkten Beobachtungen machen, sowie auch dieselben von anderen Punkten aus als Zielpunkte benützen zu können. Für gewöhnlich dient der Stand des Theodolits, der Beobachtungsstand, zugleich auch als Stand für den einzustellenden Heliotropen, als Leuchtstand. Es kommt jedoch nicht selten vor, dass für schwierige Richtungen noch besondere Leuchtstände in grösserer Höhe eingerichtet werden müssen. Bei Winkelmessungen erster Ordnung wird zwar in der Regel nur auf Heliotrope eingestellt, nichtsdestoweniger erhält aber jedes auf dem Erdboden erbaute Signal eine schwarze Spitze, welche hauptsächlich für die Messungen der niederen Ordnungen als Einstellungs-Zielpunkt dient.

Signale mit erhöhten Beobachtungs- und Leuchtständen werden bei der trigonometrischen Abteilung aus Holz bis zu ungefähr 25m Beobachtungshöhe und 30m Leuchthöhe noch mit solcher Festigkeit gebaut, dass auch bei ziemlichem Winde die Beobachtungen mit vollster Genauigkeit und Zuverlässigkeit gemacht werden können. Es ist dies dadurch möglich, dass die Beamten, welche die Signalbauten ausführen, seit Jahren in diesen Arbeiten thätig sind und reiche Erfahrungen unter den verschiedensten Verhältnissen gesammelt haben.

Bei jedem solchen Signal sind zwei vollständig von einander unabhängige und für sieh isolierte Bauten zu unterscheiden: der Beobachtungspfeiler als Stand für das Instrument, und das den Pfeiler umgebende Gerüst für die Beobachter. Die Pfeiler sind entweder Standpfeiler oder Hängepfeiler.

Standpfeiler werden bei grösseren Beobachtungshöhen errichtet, ein Beispiel giebt die nachfolgende Fig. 4 S. 29.

Hängepfeiler werden seitwärts durch Streben getragen und reichen in der Mitte nicht bis zum Erdboden herab, sondern lassen in der Mitte so viel freien Raum, dass der Beobachtungspunkt von oben herunter gelotet und centrisch festgelegt werden kann (was bei Sfamfpfeilern nicht möglich ist). Aus diesem Grunde werden in neuerer Zeit bei der trigonometrischen Abteilung fast nur noch Hängepfeiler gebaut, z. B. Steuerndieb in Band II, 4. Aufl. 1895, S. 256.

Ein gutes Beispiel eines Hängepfeilers werden wir später auch in § 12. als Endpfeiler der Göttinger Basismessung kennen lernen.

Zur Verbindung von Pfeiler und Streben dienen durchgehende eiserne Schraubenbolzen. Zur Befestigung der unteren Stammenden in der Erde werden hölzerne Anker

angebracht; bei leichtem Boden werden ausserdem Steinbrocken in die Löcher geschüttet, schichtweise mit Wasser eingeschlemmt und festgerammt.

Fig. 2.

Kränze und Schwerter

Das ganze System von Pfeiler und Streben muss nun noch gegen Winddruck, Durchbiegen und Verziehen besonders gesteift werden. Dies geschieht

1)    durch Verbindungen zwischen zwei nebeneinander liegenden Streben, sogen. Kränze und Schwerter, Fig. 2.,

Fig. 3.

Kreuze und Quirle.

2)    durch Verbindungen zwischen Pfeiler und Streben, Kreuze und Quirle, Fig. 8.

Ein Kranz besteht aus vier Hölzern, welche in gleicher Höhe über dem Erdboden von Strebe zu Strebe geführt werden.

Schwerter sind diagonale Verbindungen in den durch die Kränze entstandenen Paralleltrapezen. Bei sehr hohen Signalen können für die unterste Verschwertung noch besondere Hilfsstützen und Unterzüge nötig werden, welche immer in den Erdboden zu führen sind.

Kreuze sind Hölzer, welche je zwei gegenüberliegende Streben unter sich und mit dem Pfeiler verbinden. Quirle werden zwischen Pfeiler und je einer Strebe gesetzt; sie müssen die letztere möglichst rechtwinklig treffen.

Das Beobachtungs-Gerüst.

Um den Pfeiler wird das Beobachtungs-Gerüst unabhängig so errichtet, dass dasselbe nirgends mit dem Pfeilerbau in Berührung kommt. Es besteht aus vier Ständern, welche nicht senkrecht, sondern nach oben zu mit einer Neigung von ungefähr 1: 15 nach innen gestellt werden. Die Feststellung der Ständer erfolgt wie beim Pfeilerbau durch Kränze und Schwerter ; doch können diese selten so regelmässig angebracht sein, sondern müssen den Verhältnissen angepasst werden, da die völlige Isolierung beider Bausyteme von einander streng gewahrt werden muss. In Höhen von 5 — 8™ werden Fussböden gelegt, zu denen man auf Leitern emporsteigt. Der oberste Fussboden bildet den Beobachtungsraum in quadratischer Form von 2,8—2,5™ Seite. Die Höhe des Beobachtungs-Punktes über dem obersten Fussboden beträgt 1,12—1,16™. Zum Schutze wird ein Geländer aus starken Latten gezogen. Zwei Meter über dem Fussboden läuft um alle 4 Gerüstständer ein horizontaler Kranz von Latten zum Anbringen von Leinwandplanen, welche später beim Beobachten zum Schutze des Instruments gegen Sonne und Wind ausgespannt werden. Bei der ersten Anlage des Gerüstes muss schon darauf geachtet werden, dass vom Beobachtungspunkt aus gesehen keine der zu messenden Richtungen durch einen Ständer verdeckt wird. Jede dieser letzteren muss mindestens 5cm daran vorbeistreichen. Auf die Ständer wird eine vierseitige Pyramide aufgesetzt, deren Spitze mit Brettern bekleidet und geschwärzt wird ; die Spitze liegt in der Begel 4—5"* über der Beobachtungsplatte. Wird für einzelne Richtungen ein erhöhter Leuchtstand notwendig, so muss das Gerüst entsprechend höher und solider gebaut werden. Die Leuchtplatte, welche dieselbe Grösse hat wie die Beobachtungsplatte, wird gewöhnlich auf der Pyramidenspitze befestigt.

Da die Signale der ersten Ordnung auf eine längere Reihe von Jahren bis zur Beendigung aller Yermessungsarbeiten stehen bleiben müssen, so werden diejenigen Holzteile, welche dem Verderben am meisten ausgesetzt sind, d. h. die in oder nahe dem Erdboden befindlichen Stammenden, zum Schutze gegen Fäulnis und Insektenfrass imprägniert. Die Imprägnierung erfolgt durch Anstrich der betreffenden Holzteile und ausserdem durch Einguss in das Innere der Hölzer. Der dazu verwendete Stoff besteht aus Chlorzink, kaltem Wasser und Karbolsäure.

1300 Mark

Zur besseren Erläuterung des bisher über den Bau erhöhter Signale Gesagten wird nachstehend auf S. 29 die Zeichnung eines solchen gegeben. Auch sei noch hinzugefügt, dass die Gesamtkosten in runden Summen betragen haben: für das Signal Wöpse . .

1190

„    „    „    Brüttendorf .

1740

„    „    „    Wittekind .

Ein Pyramiden-Signal von 31m Höhe, auf Steuerndieb bei Hannover, haben wir bereits in unserem II. Bande, „Handb. d. Verm.“ 4. Aufl. 1893, S. 256 gegeben, nebst anderen Angaben über Pfeilerbau u. s. w., welche auch hier hergehörig sind.

Kleinere Signale von 4—10”* Beobachtungshöhe kosten ungefähr 150—500 M., von 10—20"* Beobachtungshöhe 500—1000 M. Die Kosten können durch örtliche Verhältnisse, höhere Preise für Fuhrwerk und Arbeitskräfte, sowie namentlich durch etwaigen weiten Transport des Holzes sehr verschieden ausfallen. Was die erforderliche Bauzeit für ein höheres Signal anbetrifft, so kann man bis zu 20”* Beobachtungshöhe ungefähr 1 Tag für 1 Meter rechnen, für jedes Meter über diese Höhe hinaus 2 Tage.

Die Einrichtung von Türmen und ähnlichen Bauwerken zu Beobachtungszwecken bietet häufig besondere Schwierigkeiten. Es lassen sich für diese Arbeit keine allgemeinen Regeln geben, da dieselbe von der Bauart des Turmes abhängig ist. Als Grundbedingung ist festzuhalten, dass für das Instrument ein besonderer, möglichst fester und isolierter Stand, und für den Beobachter ausreichender und gesicherter Raum geschaffen werden muss. Dabei ist stets auf möglichste Schonung des Turmes Rücksicht zu nehmen und Vorkehrung zu treffen, dass durch die zu machenden Öffnungen nicht Regen und Schnee eindringen kann, damit eine Beschädigung des Turmes verhindert wird.

In dem nördlichen Teil der hannoverschen Kette und des Wesernetzes haben fast durchweg Kirchtürme und Leuchttürme zu Beobachtungs-Stationen eingerichtet werden müssen, und trotz der verschiedenen und mitunter recht mangelhaften Bauart der Türme ist es doch gelungen, die Einrichtungen so zu treffen, dass die Beobachtungen mit genügender Sicherheit gemacht werden konnten. Es trat hierbei nicht selten der Fall ein, dass, um den Horizont rundum zu beherrschen und alle Richtungen einstellen zu können, sogar zwei Beobachtungsstände auf einem Turme gebaut werden

Fig. 4.

Signal Wittekind der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme, gehallt 1885 von Trigonometer Otto.

¹

Nach unserer Ansicht können noch mit Vorteil gebraucht werden: Ein Kompass zum Aufsetzen auf das kleine Universal-Instrument, jedenfalls ein Taschen-Kompass ; ferner ein Spiegel Sextant oder kleiner Reflexionskreis zum Winkelmessen auf hohen Türmen, auf Umschaugerüsten u. s. w., überall, wo kein fester Instrumentenstand zu gewinnen ist. Das Messen mit dem Sextanten in freier Hand muss aber Avohl geübt sein, vgl. Jordan, Grundzüge der astr. Zeit- und Orts-Bestimmung, 1885, § 40.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

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MN

Theodolitstand 18,25m über dem Boden,

Leuchtstand 29,25“ über dem Boden.

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Maß stab = 1:200.

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mussten, wie z. B. bei den Kirchtürmen von Brake und Westerstede und bei dem Leuchtturm von Neuwerk.

Am einfachsten gestaltet sich der Bau, wenn um den Turm in der erforderlichen Höhe ein Rundgang aus Mauerwerk führt. In diesem Falle wird ein Pfeiler aufgemauert, und für den Beobachter ein Stand geschaffen, indem Balken aus dem Innern des Turmes herausgestreckt werden. — Wenn ein Rundgang nicht vorhanden ist, sondern auf die Mauern des Turmes sich das Dach ohne Absatz auf baut, so muss letzteres geöffnet werden. Der Pfeiler wird wieder auf Mauerwerk errichtet und der Beobachtungsstand von innen heraus balkonartig konstruiert. Es kann hierbei nötig werden, die Pfeiler zu grösserer Höhe aufzumauern. So hat beispielsweise der Kirchturm von Wangeroog einen gemauerten Pfeiler von 4m, derjenige von Wildeshausen sogar einen solchen von 5m Höhe erhalten. Um dem Pfeiler dann den nötigen Halt zu geben, wird eine Eisenbahnschiene oder starke Eisenstange mit eingemauert; auch werden besondere Verstrebungen angebracht. Die Oberfläche des Pfeilers muss 1,10 bis 1,16”* über dem Fussboden des Beobachtungsstandes liegen.

Hat der Turm eine genügend geräumige Laterne, so pflegt man einen Pfeiler von Holz zu verwenden und denselben wie den hängenden Pfeiler eines erhöhten Signals mit Streben zu versehen, welche sich auf das tiefer liegende Mauerwerk aufsetzen. Diese Einrichtung ist z. B. bei dem Kirchturme von Cloppenburg getroffen worden. Auf dem Ruinenturm der Landskrone im südlichen Eisass wurde der Fussboden der sehr geräumigen freien Plattform durchbrochen und ein gemauerter Pfeiler auf die tiefer gelegenen Gewölbedecken aufgesetzt, darüber eine vollständige Signalpyramide gebaut.

Der Kirchturm von Brake hat zwei Pfeiler auf dem Mauerwerk des Turmes erhalten; die beiden Beobachtungsstände mussten hängend konstruiert werden, wozu starke Balken als Träger aus den höher gelegenen Luken herausgestreckt wurden, dieses ist in Fig. 5. S. 31 dargestellt.

Dieselbe zeigt zugleich die Anbringung mehrerer Leuchtstände in der Spitze

des Turmes.

Diese Einrichtung des Turmes von Brake mit zwei Ständen hat rund 520 Mark gekostet. Bei der Einrichtung des Kirchturmes von Twistringen sind beispielsweise für Kupferschmiede- und Dachdecker-Arbeiten besondere Kosten im Betrage von 380 M. entstanden. Weiteres über Turm-Stationen ist schon in unserem II. Bande „Handb. d. Verm.“ 4. Aufl. 1893, § 84. und § 85. mitgeteilt.

Von den Signalen werden genaue Zeichnungen und von den Türmen photographische Aufnahmen gemacht. Zu dem letzteren Zwecke besitzt die trigonometrische Abteilung einen leicht transportablen photographischen Apparat. Die aufgenommenen Platten werden, gegen die Einwirkung des Lichts geschützt, nach Berlin gesandt und dort entwickelt.

Nach dem Wiedereintreffen in Berlin wird durch die Erkundungs-Sektion auf Grund des Erkundungs-Berichtes des Dirigenten und der beim Signalbau gemachten Aufnahmen und Notizen für jeden trigonometrischen Punkt I. Ordnung ein sogenannter Stammlogen angelegt. Derselbe enthält die Beschreibung der Örtlichkeit, die topographische Lage, Historisches über ältere Triangulationen, Angaben über bisherige Messungen der Abteilung, bauliche Einrichtungen, Centrierungen, allgemeine Bemerkungen über Festigkeit, schwierige Richtungen, endlich Notizen über Quartier, bezahlte Entschädigungen, Abmachungen wegen des Stehenbleibens bezw. des Abbruches der Signale und Beobachtungsstände etc. Der Stammbogen ist sozusagen das curriculum vitae des Punktes. Jeder später folgende Beobachter hat für die nötige Vervollständigung Sorge zu tragen.

Fig. 5.

Kirchturm von Brake

mit zwei Theodolitständen und mehreren hohen Leuchtständen.

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Drehen der Beobachtungs-Pfeiler.

Bei hohen Türmen und Gerüsten beobachtet man die für Winkelmessungen missliche Erscheinung des Drehern, infolge ungleichförmiger Erwärmung durch die Sonne. Vollständig fest stehen auch steinerne Türme nicht, indessen wird das Drehen hauptsächlich bei hölzernen Gerüsten gefunden.

Eine eingehende Untersuchung dieser Sache mit vielen Beobachtungen bei der mecklenburgischen Triangulierung wurde von Pascher in den astronom. Nachrichten, 63. Band (1865) Nr. 1492—1493 mitgeteilt.

Es fanden sich bei einem 11 Meter hohen Pfeiler anf der Station Karbów, welcher äusserst haltbar aus vierkantig beschlagenen Balken konstruiert, und vom Standpunkt des Beobachters völlig unabhängig gestellt im Juli 1857 erbaut worden war, bei der Beobachtung im Juni 1858 starke Drehungen, die einen ziemlich regelmässigen Tagesverlauf zeigten, Morgens — 2', Mittags 0', Abends -+- 2'. (Astr. Nachr. 1492, S. 56.)

Das Drehen der Beobachtungs-Pfeiler wirkt offenbar am schlimmsten, wenn man lange Sätze nimmt; durch Hingang und Rückgang wird das Drehen zum Teil unschädlich gemacht. Am besten ist es in dieser Hinsicht, immer nur zwei Zielpunkte in einen Satz zusammen zu nehmen, d. h. reine „WinkeP-Messungen zu machen.

§ 4. Das Heliotrop.

Während bei kürzeren Entfernungen die Zielpunkte durch Baken mit Fahnen, durch kleine Pyramiden, durch Zieltafeln u. dgl. genügend bezeichnet werden können, ist bei grösseren Entfernungen die Sichtbarmachung der Dreieckspunkte oft eine sehr schwierige Sache. Früher dienten bei grossen Entfernungen hauptsächlich Kirchtürme und besonders erbaute grosse hölzerne Pyramiden als Zielpunkte. In Frankreich und England wurden auch künstliche Lichtsignale bei Nacht als Zielpunkte genommen (auf welche man neuerdings wieder teilweise zurückkommt).

Im Jahr 1821 hat Gauss das Heliotrop erfunden, welches seit jener Zeit hauptsächlich zur Anzielung von Hauptdreieckspunkten benützt worden ist.

Die Wirkungsweise des Heliotrops ist einfach zu erklären (Fig. 1.). Wenn von einem Punkte A (Heliotrop) nach einem entfernten Punkte T (Theodolit) ein Signal gegeben werden soll, so stellt inan in A einen ebenen Spiegel B B' so auf, dass durch ihn die Sonnenstrahlen S A nach T geworfen werden. Dieses ist bekanntlich nach dem Reflexionsgesetze der Fall, wenn die Ebene des Spiegels rechtwinklig ist anf der Ebene SAT und wenn die Winkel SAB und TAB' einander

Fig. l.

Wirkungsweise des Heliotrops.

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gleich sind.

B’

Da die Sonne einen scheinbaren Durch-

messer S’AS" von etwa ¹/₂° hat, so sendet der Heliotropen Spiegel B B' einen Lichtkegel TAT" von ebenfalls etwa i/₂° Öffnung aus, und ein entfernter Punkt T bekommt Licht, wenn er nur wenigstens innerhalb dieses Strahlenkegels fällt, ohne gerade von der Axe A T des Kegels getroffen zu werden.

Dieser Umstand ist für die Anwendung des Heliotrops in zweifacher Beziehung günstig; erstens ist infolge hievon bei der Einstellung des Instruments keine grosse Genauigkeit erforderlich, und zweitens kann eine Einstellung während der Dauer von nahezu 1 Minute beibehalten werden, obgleich sich während dieser Zeit die Sonne um einen merkbaren Bogen bewegt. (1 Zeitminute entspricht einer Sonnenbewegung von 15'). Das fortgesetzte Einstellen des Heliotrops, entsprechend der Sonnenbewegung, kann zwar durch mechanische Mittel (Heliostat) erzielt werden, doch hat man bei

Triangulierungen bis jetzt im allgemeinen das fortgesetzte Richten durch einen Gehilfen vorgezogen, weil ein solcher Gehilfe zur Bedienung des Instruments aus anderen Gründen ohnehin notwendig ist.

Nach dieser allgemeinen Darlegung wollen wir auf die Beschreibung verschiedener Heliotrope im einzelnen eingehen, und zwar wollen wir, aus geschichtlicher Rücksicht mit einem Werkzeuge beginnen, welches jetzt kaum noch gebraucht wird:

I. Fas Sextanten-Heliotrop von Gauss f„ Vice-Heliotrop“).

Dasselbe wird zuerst von Gauss in einem Briefe an Schumacher in den astr. Nachr. 1. Band, S. 106 (Februar 1822) kurz erwähnt. Weiteres hierüber geben die Mitteilungen von Hauptmann Gäde in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1885, S. 125.

Hiernach fiel die Erfindung des Sextanten-Heliotrops in die Zeit der Ausführung des eigentlichen Gauss sehen (Spiegelkreuz-) Heliotrops, das wir nachher (S. 34—35) beschreiben.

Gauss schreibt (vgl. „Zeitschr. f. Verm.“ 1885, S. 125): „Noch vor dessen (des eigentlichen Heliotrops) Vollendung war ich auf die Idee gekommen, einen blossen Spiegelsextanten zu einer Art Vice-Heliotrop einzurichten, freilich viel unvollkommener, als jenes Instrument selbst, aber doch bei geschickter Behandlung gleichfalls brauchbar.“

Fig. 2. Sextant.

Fig. 3 Sextanten-Heliotrop.

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Die Theorie dieses „Vice-Heliotrops“ erklärt sich an Fig. 2, und Fig. 3., bei welchen wir die Sextantentheorie seihst als bekannt voraussetzen (vgl. Jordan, Grundzüge der astronomischen Zeit- und Orts-Bestimmung, Berlin 1885, S. 155 und S. 175).

In Fig. 2. ist (S) die Sonne und A der Zielpunkt, welcher Licht erhalten soll, Fig. 2. zeigt also diejenige Sextanten Stellung, welche zur Messung des Winkels a zwischen A und (S) erforderlich ist. Der Sextant wird hiebei auf einem festen Stativ gebraucht, und nachdem die Einstellung Fig. 2. gemacht ist, wird die Alhidade um den doppelten Schärfungswinkel, d. h. um 2 ß vorwärts gedreht (Fig. 3.), worauf man erwarten darf, dass das am grossen Spiegel S reflektierte Sonnenbild (S') nun in die Richtung (S') parallel S A geworfen wird.

Um dieses nach Fig. 2. und Fig. 3. einzusehen, hat man sich des allgemeinen Sextanten-Reflexions-Gesetzes zu erinnern, dass eine Spiegeldrehung (oder Alhidaden-drehung) uin den Winkel ß an dem reflektierten Strahl s S, bzw. s (S) eine Drehung um den doppelten Betrag von ß, also um 2 ß, erzeugt, oder es wird in Fig. 3. der Winkel S s (S') = 2 ß, wie auch daselbst eingeschrieben ist, und damit wird s(S') parallel FA, was man haben will.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

II. Das Spiegelkreuz- Hdioirop von Gauss.

Dieses ist das Instrument, welches von Gauss im Jahr 1321 erfunden wurde. Eine Beschreibung desselben wurde von Gauss im 5. Bande der astr. Nachrichten, S. 329—334 (Februar 1827) nebst Zeichnungen gegeben.

Fig. 4.

Grundsatz des Gauss sehen Heliotrops.

Fig. 5.

Ansicht des Gauss sehen Heliotrops. (Massstab etwa 1 : 3).

In Fig. 4. haben wir den Grundsatz und in Fig. 5. die äussere Ansicht des Gauss sehen Heliotrops. Wir haben zwei ebene, rechtwinklig gekreuzte Spiegel B B' und CG', welche vor einem Fernrohr F so angebracht sind, dass die gemeinsame Spiegelaxe A A' rechtwinklig zur Fernrohraxe ist, und sich in Fig. 4. als ein Punkt A zeigt. Ein von der Sonne S herkommender Lichtstrahl S A wird nun von dem einen grösseren Spiegel B B' vorwärts nach T reflektiert, und von dem zweiten kleineren Spiegel C C rückwärts nach F in das Fernrohr; und wegen der rechtwinkligen Kreuzung beider Spiegel ist T A F eine ungebrochene Gerade.

Die technische Ausführung des Gauss sehen Heliotrops zeigt Fig. 5., wobei im wesentlichen dieselben Buchstaben-Bezeichnungen wie in Fig. 4. angewendet sind. Der grosse Spiegel BB' erscheint in Fig. 5. in 2 Teile B und B' zerlegt, deren Ebenen jedoch zusammen fällen. Der Spiegelapparat wird mit dem Fernrohr verbunden, und das Fernrohr muss dann um seine Axe drehbar sein.

Die Anwendung besteht in Folgendem: Man richtet das Fernrohr für sich allein nach dem entfernten Punkt T, welcher Licht erhalten soll, und zwar hat man hiebei den kleinen Spiegel C parallel der Fernrohraxe zu stellen, so dass er zwar einen Teil des Objektivs verdeckt, aber immer noch genügend Licht auf dasselbe fallen lässt. Von da an bleibt das Fernrohr in seiner Richtung unverändert, und es wird vor das Okular desselben eine Sonnenblendung vorgeschoben. Nun stellt man zuerst die Spiegelaxe A A' rechtwinklig zu der Ebene SAT von Fig. 4., und zwar beurteilt man dieses darnach, dass eine Scheibe E (Fig. 5.), welche auf der Axe AA' rechtwinklig aufgesteckt ist, keinen Flächenschatten wirft, sondern im Sonnenschatten als Linie erscheint. Sobald nämlich eine zu A A' rechtwinklige Ebene keinen Schatten mehr wirft, kann man durch Drehen der Spiegel um die Axe A A' ein Sonnenbild im Fernrohr zum Vorschein bringen, und das Heliotrop ist dann gerichtet.

Was die Prüfung und Berichtigung des Apparates betrifft, so hat Gauss selbst im 5. Band d. astr. Nacbr. S. 329—334 dieselbe sehr ausführlich behandelt und zwar mit Unterscheidung von folgenden 8 Forderungen:

1. 2. Die Absehlinie des Fernrohrs soll mit der Drehaxe des Fernrohrs zusammenfallen (oder wenn das Fernrohr fest und der Spiegelapparat um das Fernrohr drehbar ist, soll die Absehlinie des Fernrohrs mit der Drehaxe des Spiegelapparats zusammenfallen).

3. Die Drehaxe A A' (Fig. 5.) der Spiegel soll rechtwinklig zur Fernrohr-axe sein.

4. 5. 6. Die Ebenen der Spiegel sollen parallel dieser Drehaxe A A' sein.

7.    Die beiden Bestandteile B und B' (Fig. 5.) des grossen Spiegels sollen parallel sein.

8.    Die Ebene des grossen Spiegels und die Ebene des kleinen Spiegels sollen rechtwinklig zu einander sein.

Die Ausführung wird so gemacht:

1. 2. Centrierung des Fernrohrs wie bei einem Nivellier-Instrument.

3. A A' rechtwinklig zur Fernrohr-Axe, wird von Gauss mit Hilfe einer angehängten Libelle gemacht, worauf wir hier nicht weiter eingehen.

4. 5. 6. 7. Kann nötigenfalls rein äusserlich, durch angelegte Lineale und rechte Winkel untersucht werden.

8. Die Hauptforderung, ob die beiden Spiegel gegenseitig rechtwinklig sind, kann man dadurch erfüllen, dass man die beiden Spiegel zusammen wie ein Spiegelkreuz oder Prismenkreuz beim Feldmessen behandelt (vgl. Band II. 4. Aull. 1895, S. 35 und S. 38).

Zu der Heliotrop-Prüfung schrieb Mechaniker Meyerstein im Januar 1876 im 87. Band, Nr. 2080, der astr. Nachrichten folgendes :

„Die Methode, welche Gauss zur Berichtigung des für die Geodäsie so wichtigen Instrumentes im 5. Bande der astr. Nachr. angegeben hat, lässt bekanntlich im Resultate nichts zu wünschen übrig. Soll aber dieses Resultat erzielt werden, so ist es nur durch eine so grosse Sorgfalt möglich, mit welcher Gauss diese Berichtigung vornahm, welche aber einen sehr bedeutenden Zeitaufwand erfordert. Diese letzte Bemerkung hat der selige Gauss mir gegenüber, indem ich ihm bei der Berichtigung der Heliotrope sehr häufig assistierte, oft gemacht.“ Meyerstein giebt dann eine andere Prüfungs-methode mit einem Hilfsfernrohr, das, mit beleuchtetem Fadenkreuz, auf das Heliotropen-Fernrohr eingerichtet wird.

Es ist hiezu auch über einige Bemerkungen zu berichten, welche von Helmert in dem Berichte über die wissenschaftlichen Apparate auf der Londoner internationalen Ausstellung 1876, Berlin 1878, S. 165 ff. zu dem Gauss sehen uud zu anderen Heliotropen gemacht hat. Für das Gauss sehe Heliotrop findet Helmert den Einstellfehler /I — 2 YfZ -+- 0'2, wenn f die Neigung der Spiegelaxe in der Ebene der Fernrohraxe und 8 der Fehler in der Rechtwinkligkeit der beiden Spiegel ist; es wirkt also auch f als Grösse erster Ordnung.

Da das Gauss sehe Heliotrop nur noch historisches Interesse hat, und in der Anwendung namentlich durch das Bertram sehe Heliotrop ersetzt ist (s. u. S. 37 und 38) schliessen wir damit ab.

III. Das Heliotrop von Steinheil.

Auch dieses, zuerst in Schumachers astr. Jahrbuch 1844, S. 13 beschriebene Instrumentchen ist praktisch kaum von Bedeutung, doch lohnt die sinnreiche Einrichtung wohl eine kurze Beschreibung:

Der Spiegel B B' hat in der Mitte bei A eine unbelegte Stelle, so dass die von S herkommenden Sonnenstrahlen durchgehen, und auf eine hinter dem Spiegel

angebrachte Sammellinse L fallen können. Diese Linse L erzeugt ein Sonnenbild in 0, welches durch eine matte Fläche aufgefangen wird. Das Sonnenbild in C sendet seinerseits wieder Strahlen zurück nach der Linse L, welche von da wieder parallel austreten , auf die unbelegte Rückseite des Spiegels in A fallen, und nach 0 zurückgeworfen werden. Infolgedessen siebt das Auge 0 ein mattes Sonnenbild in der Richtung A T. Die nach 0 gelangenden Sonnenstrahlen machen hiernach folgenden Weg : S A L C, dann zurück C L A und reflektiert nach O.

Fig. 7.

Ansicht des Steinheil sehen Heliotrops. (Massstab ungefähr 1:2.)

Fig. 6.

Grundsatz des Steinbeil sehen Heliotrops,

S = Sonne, T = Zielpunkt.

11

0-

B'

\C,

Andererseits werden die von S auf den belegten Teil der Spiegelfläche B Br fallenden Strahlen in der Richtung AT vorwärts reflektiert, und daraus giebt sich folgende Anwendung:

Das Instrument wird unter Benützung eines Gelenkes bei G Fig. 7. so gestellt, dass die Linse L durch die unbelegte Stelle bei A Sonnenlicht erhält. Dann zielt das Auge 0 hinter dem Spiegel durch die Öffnung A nach dem Zielpunkt T, welcher Licht erhalten soll, und der Spiegel wird teils im Kugelgelenk C, teils um seine durch A gehende Axe so gedreht, dass in der Richtung A T das oben erwähnte matte Sonnenbild erscheint.

IV. Das Heliotrop von Bertram.

Diese einfache Vorrichtung, welche keine Prüfung und Berichtigung braucht, und ohne Fernrohr von jedem Gehilfen bedient werden kann, ist zur Zeit die am meisten gebrauchte.

Das Instrument wird zuerst von Bessel in der „Gradmessung in Ostpreussen“

S. 65 erwähnt mit den Worten : „Die benützten Heliotrope waren teils von der Einrichtung, welche der Erfinder (Gauss) dieser unschätzbaren Methode ihnen gegeben hat, teils waren sie von einer sehr leicht ausführbaren Konstruktion, welche von Herrn Ingenieur-Geographen Bertram herrührt.“ Die erste Beschreibung und Zeichnung dieses Bertram sehen Heliotrops findet sich in General Baeyers „Küstenvermessung“ S. 52

bis 53 und Tafel III. (Über den Urheber der Erfindung wurde eine Erörterung geführt von Nagel bzw. Baeyer, „Zeitschr. f. Yerm.“ 1878, S. 34 und von Bertram selbst

S. 193.)

Wir geben im Nachfolgenden zwei Zeichnungen des Bertram sehen Heliotrops.

Fig. 8.

Bertram sches Heliotrop, ältere Anordnung. Massstab 1:5.

'jr

Tr-X

F li

ß'

Tg

Die Konstruktion des Bertram sehen Heliotrops beruht auf dem einfachen Grundgedanken, dass ein entfernter Punkt Z dann Licht durch einen Spiegel H erhält, wenn ein Zwischenpunkt E, welcher sich auf der Ziellinie H Z befindet, von der Lichtlinie getroffen wird.

In Fig. 8. ist G Gr der Spiegel, welcher, wie immer, so gestellt wird, dass seine Ebene rechtwinklig ist auf der Leuchtebene S H Z, wobei S die Sonne, H die Spiegelmitte und Z der entfernte Punkt ist, welcher Licht erhalten soll, und dass die Strahlen SH und HZ gleiche Winkel mit der Spiegel ebene machen.

Der Spiegel G G hat in der Mitte ein kleines Loch H, welches zwei Zwecken dient, wie wir nachher sehen werden.

Der Holzrahmen A A, auf welchem rechts der beschriebene Spiegel drehbar angebracht ist, trägt auf der anderen Seite links, durch Vermittlung der Säule D, ein kleines Rohr E in gleicher Höhe mit der Spiegelmitte H. Im Innern dieses Rohres ist ein Fadenkreuz E angebracht, welches in Verbindung mit dem Okularloche H des Spiegels als Diopter zum Anzielen eines entfernten Punktes Z dient.

Nachdem dieses geschehen ist, wird links am Ende der Röhre E eine Klappe F, welche vorher geöffnet (in der Lage F') war, vor die Öffnung gebracht, und nun muss der Spiegel G so gestellt werden, dass sein Licht auf die Innenseite der genannten Klappe F fällt, und genauer noch so, dass die Klappe im allgemeinen hell ist, in der Mitte aber einen dunkeln Fleck zeigt, herrührend von dem nicht reflektierenden Loche H in der Spiegelmitte.

Das Loch H in der Spiegelmitte dient also zwei verschiedenen Zwecken : erstens ist es Okular beim Zielen längs der Geraden H E, und zweitens dient es zur Bezeichnung der Lichtmitte. Die Bewegung des Spiegels wird in horizontalem und vertikalem Sinn bei K, L, M, N gehandhabt.

Hilfsspiegel (G Fig. 9.).

• tä

Fig. 9.

Ucrtranisclies Heliotrop, uach Anordnung der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme.

(Massstab 1:8.)

Wh

CT

/«Nrgj$j

ifaai

bulli

WM

F⁵"

Wenn die Sonnenstrahlen sehr schief auf einen Heliotropenspiegel auffallen, welcher nach dem entfernten Punkte Licht senden soll, so wird dieses Licht sehr schwach (es ist überhaupt immer nur die Projektion der Spiegelfläche auf eine Ebene rechtwinklig zur Strahlenrichtung als wirksam zu betrachten). In diesem Falle hilft man sich dadurch, dass man das Sonnenlicht zuerst mittelst eines günstig gestellten Hilfsspiegels (G Fig. 9.) auffängt und durch dessen Vermittlung dem eigentlichen Heliotropenspiegel zuführt. Dasselbe ist notwendig, wenn der Heliotropenspiegel im Schatten, z. B. im Innern eines Turmes, steht.

Fig. 9. giebt eine Darstellung des Bertram sehen Heliotropes in neuerer Anordnung, wie sie zur Zeit bei der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme im Gebrauch ist.

ffll

-er

A Holzrahmen. 52™ lang, 10™ breit, B Leuchtspiegel, 8,2™ lang, 8,2™ breit, G Hilfsspiegel bei ungünstiger Sonnenstellung U. S. W., S. 0.),

H Vorsteck-Rahmen für das grüne Glas h" (selten gebraucht, vgL Gitterblenden S. 40),

G Objektivdiopter mit Fadenkreuz d und Leuchtröhre e (in der Nebenfigur rechts ist e aufgeschlagen), f Axenschraube zum unmittelbaren Centrieren über Holz, b. Höhenstellschraube,

D Leuchtaxe mit Schlüssel E zum schärferen Centrieren statt f (unterhalb D kommt die hier nicht mehr dargestelltc „Leuchtschraube“).

V. Das Heliotrop von lieitz.

Dieses ist im wesentlichen auf dasselbe Prinzip gegründet wie das Bertram sehe, es wird aber im Gegensatz zu letzterem in Verbindung mit einem Fernrohr gebraucht.

Das Instrument besteht im wesentlichen in einer Verbindung von zwei Spiegeln mit einem Fernrohre. Der grosse Spiegel A lässt sich in jede beliebige Lage bringen und reflektiert das Sonnenlicht nach dem entfernten Zielpunkt. Bei a ist die Folie des Spiegels A abgenommen, der kleine Spiegel B ist rechtwinklig zur Fernrohraxe, b und c sind die Richteschrauben zur Erzielung dieser rechtwinkligen Lage.

In Fig. 11. (s. S. 89) sind die beiden Spiegel A und B gezeichnet nebst dem

Ring i?, welcher durch Vermittlung von

3 Schrauben S₁ S₂ S₃ , zur Befestigung des

Apparates an der Objektivfassung eines Fernrohrs dient. Der grosse Spiegel A ist in Fig. 11. parallel der Fernrohraxe gestellt (wie er beim Gebrauch nicht steht).

Fig. 10.

Grundsatz des Reitz sehen Heliotrops.

-e-

ver

+-

Fig 11.

Ansieht des Reite sehen Heliotrops.

IMF

|||g

Hl

Ein zu Anfang angezielter, also in der Fernrohraxe liegender Punkt erhält Licht von dem grossen Spiegel A, wenn im Fernrohr (nach Yorschieben eines Blendglases) ein Sonnenbild gesehen wird, das durch den kleinen Spiegel B ins Fernrohr zurückgeworfen wird.

S₂

*Sj

Die Sonnenstrahlen, welche nach dem entfernten Punkt gesendet werden, machen also den Weg von der Sonne zum grossen Spiegel A, und von da an dem kleinen Spiegel B vorbei zu dem Zielpunkt ; ein Teil der Strahlen aber, welche von dem grossen Spiegel A ausgehen, trifft den kleinen Spiegel B, und tvird von diesem zurück ins Fernrohr gebracht.

Wenn der Apparat richtig wirken soll, so muss die Ebene des kleinen Spiegels B rechtwinklig zur Fernrohraxe sein. Zur Prüfung und Berichtigung giebt Reitz folgendes Verfahren an:

Man richtet das Fernrohr auf einen nahen (etwa 10m entfernten) Gegenstand, und dreht den grossen Spiegel A so, dass das Sonnenbild sichtbarlich auf denselben Gegenstand fällt. Man stellt dann das Okular auf unendliche Entfernung ein. Sieht man nun, nachdem ein Sonnenglas vorgeschoben, in das Fernrohr, so lässt sich durch Drehung der Richteschrauben b und c das Sonnenbild, welches von B reflektiert wird, in das Gesichtsfeld des Fernrohres bringen. Geschieht dies, so sieht man zugleich im Gesichtsfelde auch das von B reflektierte Spiegelbild des Fadenkreuzes, welches nun durch die Schrauben b und c zur Deckung mit dem Fadenkreuz selbst gebracht wird.

Die Thatsache, dass man am Fadenkreuz des Fernrohrs ein Bild dieses Fadenkreuzes selbst wTahrnimmt, erklärt sich dadurch, dass bei der Einstellung des Fernrohrs auf Unendlich, die vom Fadenkreuz nach dem Objektiv gehenden Strahlen nach der Brechung parallel austreten, und nach der Reflexion durch den kleinen Spiegel B auf ihrem eigenen Wege wieder zurückkehren. Zugleich wird durch eben diesen kleinen Spiegel B so viel Licht auf das Fadenkreuz geworfen, dass die beschriebene Bilderzeugung überhaupt wahrnehmbar w'ird.

Ein ähnliches Instrument wurde von Reitz beschrieben in der „Zeitschr. f. Instrumentenkunde“, 1881, S. 338—340. In derselben Zeitschrift 1883, S. 265—268 giebt Reitz auch die Beschreibung und Zeichnung eines „Periheliotrops“, welches rings umher zeitweise jedem Punkte des Horizontes einen Blitz reflektierten Sonnenlichtes zusendet.

VI. Amerikanisches Heliotrop.

Fig. 12.

Amerikanisches Heliotrop.

VL

F0S;

Zum Schluss geben wir noch in Fig. 12. die Zeichnung eines amerikanischen Heliotrops nach der Beschreibung und Zeichnung des Werkes: „The final re-sults of the triangulation of the New-York State survey u. s. w. Albany 1887“ S. 127.

Wie Fig. 12. zeigt, besteht das Instrument aus einem Fernrohr O F mit aufgesetztem Spiegel S und 2 Ringen A und B. Der Spiegel soll sein Licht in der Axe der beiden Ringe fortsenden und dabei muss der Schatten des Ringes A den Ring B decken.

Ob das Ganze richtig wirkt, wird untersucht durch Leuchten nach einem nahen Zielpunkte, indem beobachtet wird, ob der Punkt richtig Licht erhält. Dieses Instrument wird namentlich zu Erkundungszwecken angewendet.

Heliotropen-Telegraphie.

Durch Auf- und Zudecken des Spiegels und Verabredung der Aufeinanderfolge der dadurch erzeugten Lichtblitze wird eine einfache Telegraphie erzielt, welche zur Verständigung zwischen dem Winkelbeobachter und dem Heliotropisten sehr wichtig ist.

Regulierung der Lichtstärke.

Da das Heliotropenlicht unter verschiedenen Umständen sehr verschieden stark ist, muss man ein Mittel haben, nach Bedarf das Licht zu verstärken oder namentlich zu schwächen. Die Verstärkung des Lichtes kann durch Anwendung eines grösseren Spiegels oder durch günstigere Stellung eines Hilfsspiegels erzielt werden. Die Verkleinerung des Lichtes machte man früher auch am Heliotrope selbst durch teilweises Decken des Spiegels, oder durch Vorsetzen farbiger Gläser u. s. w. Das hat aber namentlich den Übelstand, dass die Lichtänderung vom Theodolite aus umständlich durch Heliotropen-Telegraphie befohlen werden muss.

In neuerer Zeit ist ein viel einfacheres und besseres Mittel der Lichtschwächung im Gebrauch, welches am Theodolit selbst gehandhabt wird, nämlich das Vorsetzen von Gitterblenden, bestehend aus mehreren Lagen eines losen Gewebes, wie Flortuch, Musselin u. s. w. (farbige Gläser dürfen vor dem Theodolit nicht angewendet werden wegen der Gefahr der Lichtablenkung). Professor Bruns berichtet hierüber in der „Zeitschr. f. Instrumentenkunde“ 1888, S. 308 mit der Bemerkung, dass dieses Mittel schon vor einem halben Jahrhundert in der astronomischen Praxis Anwendung gefunden hat.

Dauer der Heliotrop-Lichter.

Die Winkelmessung nach Heliotrop-Lichtern ist nur während eines beschränkten Teiles eines Tages möglich, etwa von 3 Uhr Nachmittags bis Sonnen-Untergang, ausnahmsweise auch unmittelbar nach Sonnen-Aufgang. Vormittags und unmittelbar nach Mittag ist die Messung auf weite Entfernung nicht möglich wegen des Schwirrens und der Unruhe der Bilder.

Da auch in der günstigen Tageszeit noch viele Zeit verloren geht wegen mangelnden Sonnenscheins, so ist die Winkelmessung nach Heliotrop-Licht eine langwierige Arbeit. Nach einer von der Landesaufnahme angestellten Vergleichung („Zeitschr. f. Verm.“ 1879, S. 111) ist die mittlere Leistung für 1 Tag und 1 Instrument nur etwa zwischen 12 und 17 Einstellungen (in je zwei Lagen).

Nacht-Beobachtungen.

Man ist in neuerer Zeit wieder teilweise von der Signalisierung durch Heliotrope zur Anwendung nächtlicher Lampensignale zurückgekommen. Im Generalbericht d. Eur. Gr. f. 1875, S. 140—150 wird von Perrier eine „Etude comparative des observations de jour et de nuit“ mitgeteilt, welche den Nacht-Beobachtungen den Vorzug giebt.

Die elektrische Nacht-Signalisierung zwischen Spanien und Algier haben wir bereits auf Seite 22—23 erwähnt.

Eine Abhandlung: „Die Winkelmessungen bei Tage und bei Nacht“ von W. Werner ist in der „Zeitschr. für Instrumentenkunde“ 1883, S. 225—237 erschienen.

§. 5. Anordnung der Winkelmessung.

Die Winkelmessung, das wichtigste Element der Triangulierung, ist in ihrer Anordnung durch zwei wesentlich verschiedene Umstände bedingt, erstens durch die mechanischen und optischen Verhältnisse des Messens selbst, und zweitens durch die Ausgleichung.

In geschichtlicher Beziehung hat sich die Winkelmessung für Triangulierung etwa so entwickelt:

Schon vor der Anwendung des Fernrohrs konnte man an geteilten Kreisen von grossem Halbmesser Winkel auf etwa 1' genau messen (Snellius 1615, vgl. unsere Einleitung S. 5), bald stieg die Genauigkeit so, dass man einzelne Sekunden in Rechnung nahm.

Das im vorigen Jahrhundert von Tobias Mayer in Göttingen erfundene und von den Franzosen weiter entwickelte Verfahren der Repetitions-Messung mit Nonienablesung galt bis zur Mitte dieses Jahrhunderts im allgemeinen als das beste und die Genauigkeit stieg auf 1”.

Das Wesentlichste über Repetitions-Messung haben wir schon in unserem II. Bande „Handb. d. Verm.“ 4. Aufl. 1893 § 72 mitgeteilt, zugleich sei über die hannoverschen Repetitions-Messungen von Gauss verwiesen auf Gäde, „Zeitschr. f. Verm.“ 1885, S. 121 und 205 und „Zeitschr. f. Verm.“ 1882, S. 431. Über den älteren „cercle répétiteur“, vgl. Jordan, Grundzüge der astr. Zeit- und Ortsbestimmung, Berlin 1885, S. 219 und S. 206. Eine neuere gründliche Arbeit hiezu ist: Über das Mitschleppen des Limbus und verwandte Fehler bei Repetitionstheodoliten, von Friebe, „Zeitschr. f. Verm.“ 1894, S. 333—348.

Struve und Bessel gingen etwa 1820—1830 zur „Richtungs-Messung“ über, welche später mit Mikroskop-Ablesung (etwa seit 1840, vgl. Küsten-Vermessung S. 51) weiteste Verbreitung fand. Man nahm möglichst viele Sichten in einen Satz zusammen und wiederholte die Sätze mit verstelltem Limbus. In neuester Zeit ist die reine „Wdnkelmessung“ (mit nur zwei Sichten in einem Satze) mit Vorteil angewendet worden.

Nach dieser allgemeinen Übersicht wollen wir einzelne Verhältnisse näher be

trachten :

Richtungs-Messungen.

Die Messung von möglichst vollen Sätzen, wie man sie im einzelnen Falle bekommen kann, wurde von Bessel bei der Gradinessung in Ostpreussen angewendet und seitdem Jahrzehnte lang fortgesetzt. Bessel schreibt (Gr. in Ostpr. S. 69):

„Wenn man immer alle auf einem Dreieckspunkt zu beobachtende Richtungen hätte einstellen können, so würde das Resultat aller daselbst gemachten Beobachtungen ganz einfach das Mittel aus allen Ablesungen jeder Richtung gewesen sein. Dieses war aber sehr selten möglich ; man musste sich auf die Beobachtung derjenigen Punkte beschränken, welche gerade sichtbar waren und nicht zu unruhig erschienen“.

Für die Messungen selbst scheint nun ein solches Anpassen an die Umstände das beste, allein die Ausgleichungen werden dadurch ungemein verwickelt.

Wir können heute davon absehen, dass es mehrerer Jahrzehnte bedurft hat, bis die formelle Theorie der Ausgleichung von Triangulierungen mit solchen unvollständigen Satzbeobachtungen fertig gestellt, und unbestritten anerkannt war (Bessel, Hansen, Andrä u. A. 1834—1870, man vgl. unseren I. Band „Handb. d. Verm.“ 4. Aufl. 1895, Kap. II, zusammenhängende Entwicklung aller hierher gehörenden Theorien). Aber auch wenn diese Theorien nun vorliegen und die ganze Ziffernmenge mit den Coëfficienten [a a], [aß] u. s. w. berechnet ist, ist sie doch in sich kaum konsequent zu nennen, weil die mittleren Fehler nach der Ausgleichung immer grösser ausfallen, als vor der Ausgleichung, wozu noch andere Übelstände kommen.

Null-Marke.

Um die vorerwähnten Richtungs-Messungen etwas geschmeidiger und von zufälligen Umständen unabhängiger zu machen, hat man in jeden Satz einen naheliegenden Zielpunkt, welcher gar nicht zu der Triangulierung selbst gehört, aufgenommen.

Über dieses Mittel wurde zuerst von Struve (astr. Nachr. 2. Band, 1824, S. 435) berichtet. Die Nullpunktsmarke wurde von Struve in 500 bis 1000m Entfernung gesetzt; sie bestand aus einem vertikalen Rechteck von 10" Breite und 20" Höhe mit weisser Farbe auf schwarzem Grunde angelegt; da der Vertikalfaden des Fernrohrs 6" deckte, so blieb links und rechts von dem Rechteck ein Streifen von 2" Breite übrig.

Die ausgedehnteste Anwendung fand dieses Mittel der Nullmarke bei den Triangulierungen des geodätischen Instituts, etwa 1870—1880, namentlich bei dem „Rheinischen Dreiecksnetz“; es hat sich aber gefunden, „dass die Beobachtungen der Nullmarke auf den Stationen des Rheinischen Dreiecksnetzes erheblich schlechter sind, als die der übrigen Objekte. („Zeitschr. f. Verm.“ 1879, S. 149.)

Ein Teil dieser Nullmarkenfehler mag jedenfalls darin liegen, dass die Nullmarken nicht immer in genügend gleicher Höhe mit dem Theodolit angebracht werden konnten; wenn indessen eine Nullmarke unter einem starken Neigungswinkel erscheint, so sollte man den Horizontal-Axenfehler (i tang h Band II, 4. Aufl. 1893, S. 203) liiefür in Rechnung bringen.

Winkelmessungen in allen Kombinationen.

Dieses Mittel, welches schon von Gauss und Gerling als Ideal gepriesen wurde, ist von General Schreiber etwa seit 1871 angewendet worden und bildet jetzt den Grundton der Haupttriangulierungen der Landesaufnahme.

Die Theorie hiezu haben wir bereits in unserem I. Bande, „Handb. d. Verm.“ 4. Aufl. 1895, § 77 behandelt, auch alle Citate hiezu gegeben.

Hiernach sind die Vorteile der Winkelmessung in allen Kombinationen doppelt: Erstens werden die Messungen selbst so genau als möglich, durch Beschränkung auf kürzeste Dauer (nur zwei Zielpunkte) des einzelnen Satzes; zweitens aber werden dadurch alle Gewichts-Coëfficienten [aa], [aß] u. s. w. gleich Null, und die Netzausgleichung, welche bei unvollständigen zerstreuten Sätzen eine unerfreuliche starre Masse bildet, wird nun, bei Wahrung aller formellen Strenge, so übersichtlich und geschmeidig, wie wenn man es mit unabhängigen Richtungs-Messungen zu thun hätte.

§ 6. Sckraubenfehler und Teilungsfehler.

Das Wichtigste über das Schrauben-Mikroskop haben wir schon in unserem II. Bande, 4. Aufl. 1898, § 63. mitgeteilt, d. h. alles das, was man unbedingt wissen muss, um mit einem Mikroskop-Theodolit messen zu können. Auch ist da noch an die weiteren Ausführungen zu erinnern, welche im II. Band, 3. Aufl. 1888, S. 150—151 und S. 213—214 gegeben waren.

Nach diesem wollen wir noch die Fehleruntersuchung der Schrauben behandeln.

Man hat zu fragen, ob die Schrauben der Mikroskope durchaus gleichförmige Verschiebungen der Fäden erzeugen, oder im einzelnen:

1)    ob die verschiedenen Schraubengänge alle gleich sind (fortschreitende Fehler),

2)    ob in der einzelnen Umdrehung die Drehungswinkel den Fadenverschiebungen proportional sind (periodische Fehler).

Die erste Frage, fortschreitende Fehler betreffend, kann man dadurch beantworten, dass man ein und denselben Teilwert des Kreises an verschiedenen Stellen der Schraube misst. Die Untersuchung wird bei den wenigen Umdrehungen, welche bei Theodolit-Mikroskopen gewöhnlich nur gebraucht werden, selten merkliche Fehler ergeben, und ist jedenfalls nicht schwierig. (Eine sehr feine Untersuchung dieser Art findet man in „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures, Tome V, Paris 1886, S. 47—60, erreurs progressives d'une vis micrométrique.“)

Dagegen sind die periodischen Fehler, welche von unsicherer Führung der Schrauben u. s. w. herrühren, oft bedeutend und müssen stets untersucht werden.

Man braucht dazu ein Intervall, welches nicht einer ganzen Umdrehung oder einem Vielfachen einer Umdrehung entspricht, sondern am besten einen runden Bruchteil, z. B. ein Viertel, ein Fünftel oder dergl. einer Umdrehung giebt.

Die Theodolitkreise haben meist keine Teilstriche für solche Zwecke, und es wäre zu wünschen, dass die Mechaniker bei Herstellung der Teilungen darauf Rücksicht nähmen, indem an irgend welcher Stelle einige Hilfsstriche in Abständen von 1', 2', 3', 4' u. s. w. angebracht würden.

Statt eines Hilfsstric7ies auf der Teilung kann man auch einen Wi\h faden (bzw. Doppelfaden) im Gesichtsfelde des Mikroskopes anwenden, indem dann der Haupt-

Faden und der Hilfs-Faden (bzw. die beiden Faden-Mitten) nacheinander auf denselben Strich der Teilung eingestellt werden.

Manchmal kann man auch irgend ein nicht zur Teilung selbst gehöriges Zeichen auf dem Teilkreise als Hilfsstrich benützen; z. B. giebt Beinhertz in der „Zeitschr. f. Vermessungswesen“, 1887, S. 549, an, dass er den Mittelstrich der Ziffer 1 als Hilfsstrich genommen habe. Ähnlich haben wir bei dem nachfolgenden Beispiel die Ziffer 2 benützt, welche im Gesichtsfeld erschien, indem auf das rechts unten an 2 befindliche vertikale Abstossstrichchen eingestellt wurde.

Der Abstand dieses Hilfsstriches von dem nächsten Teilstriche war rund i — V, und die Mikroskop-Trommel hat 5' auf einer Umdrehung. Nun wurde das Hilfsintervall i auf der Schraube 5mal gemessen, indem nach jeder Messung die Alhidade wieder um i zurückgedreht wurde. Das Ganze wurde mehrfach hin und zurück wiederholt, doch geben wir hier nur die Mittelzahlen s mit ihren Differenzen i, woran sich auch die leichtverständliche Berechnung anschliesst.

Differenzen

Schrauben-

ablesimgen

Verbesserungen

i₀ — i = v

0' 0,00"

A s

0,00"

Schraubenablesung rund

1' 6,15"

— 1,06"

1' 6,15"

— 1,06"

1' 8,75"

— 8,66"

2' 14,90"

— 4,72"

2'

1' 3,95"

■+- 1,14"

(1)

3' 18,85"

— 3.58"

3'

F 3,75"

+ 1,34"

4' 22,60"

F 2,85"

+ 2,24"

— 2,24"

4'

0,00"

5'

5' 25,45"    --

Mittel i₀ = V 5,09"

Die Trommelteilung geht von 10" zu 10", einzelne Sekunden werden geschätzt, (Doppelsekunden sind nicht angewendet), die Dezimalen bis auf 0,05" bei den Ablesungen s sind nur durch Wiederholungen und Mittelbildung entstanden. Das Mittel i₀ nehmen wir nun als richtig an (obgleich s = 5' 25" statt 5' 0" am Schlüsse abgelesen ist), berechnen die Differenzen i₀ — i = v, deren Summe = 0 sein muss, und dann die Verbesserungen As als Summen der v, indem das erste s = 0,00" gesetzt wird, dann 0,00 — 1,06 = 1,06, 1,06 — 3,36 = 4,72 u. s. w.

Nach dem Ergebnis dieser Untersuchung ist also jede Schrauben-Ablesung in der Gegend von 2' um 4,7" zu vermindern u. s. w.

Wenn die Verbesserungen As so gross werden, wie in diesem Beispiel, so ist es bedenklich, sie zu vernachlässigen; eine Korrektions-Tabelle anzulegen und alle Ablesungen darnach zu verbessern, wäre sehr mühsam, vielleicht kann man den Grund der Ungleichheit in der mechanischen Lagerung der Schraube u. s. w. finden und verbessern, oder man muss schlechte Schrauben entfernen und durch bessere ersetzen lassen.

0,00"

Es ist hier zu citieren:

Westphal, Übersicht über die Ergebnisse der bisherigen Untersuchungen von Mikrometer-Schrauben, „Zeitschr. f. Instrumentenkunde“, 1881, S. 149, 229, 250, 397.

Einige Beispiele hiefür giebt auch die erwähnte Abhandlung von Beinhertz in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1887, S. 545—553, mit der Anordnung, die periodischen Schraubenfehler durch planmässige Anwendung verschiedener Trommelstellungen zu eliminieren, was gleichzeitig mit der Verteilung der Richtungen auf verschiedene Kreislagen geschehen kann.

Wir wollen beispielshalber annehmen, man wolle mit unserem Instrumente, dessen Trommel 5' = 300" Umdrehung hat, eine Richtungs-Messung in 8 Kreislagen machen; dann muss man nach jedem Satze die Trommelstellung um 300" : 8 = 37,5" ändern, oder man bekommt für die 8 Kreislagen folgende Anfangs-Ablesungen:

0° 0' 0"

2.    22° 30' 38"

3.    45° 1'15"

4.    67° 31'52"

Stellt man diese Anfangs-Ablesungen ein, so werden auch alle anderen Ablesungen je um 37,5" verschoben, und damit die periodischen Schraubenfehler mit derselben Wahrscheinlichkeit eliminiert, wie man das bei den Kreisteilungs-Fehlern durch die planmässigen Kreisverstellungen erwartet.

1.

90° 2'30"

6.    112° 33' 8"

7.    135° 3'45"

8.    157° 34'22"

5.

(2)

Ausgleichung der periodischen Schraubenfehler.

Bei unserem vorstehenden Beispiele ist die ganze Berechnung in der kleinen Tabelle (1) enthalten, und man kann nötigenfalls die erhaltenen 4 s auch noch graphisch ausgleichen.

Jedenfalls bietet aber auch die rechnerische Ausgleichung (welche in dieser Form von Bessel eingeführt wurde) viele Vorteile ; wir wollen eine solche als Beispiel hier vornehmen. Dieses Beispiel bezieht sich nicht auf einen Theodolit, sondern auf den Repsoldschen Komparator der K. Normal-Aichungs-Kommission, und wurde von uns im April 1881 erhalten.

Dieses Beispiel kann indessen auch die Schraubenfehler-Ausgleichung für Theodolit-Messungen verans ch aulichen.

In Fig. 1. soll t das Intervall einer Teilung bedeuten, welche durch ein Schrauben-Mikroskop gemessen wird. K sei der optische Mittelpunkt des Mikroskop-Objektives, und s sei der Schraubenwert, den man durch Einstellen auf den linken und rechten Strich des Intervalls t findet.

Fig. l.

Schrauben-Mikroskop.

<S »

Hat die Schraube keine Fehler, so wird man immer denselben Wert s erhalten, welche Teile der Schraube auch benützt werden (abgesehen von den unregelmässigen Einstellfehlern), wenn dagegen die Schraube selbst Fehler enthält, so werden die Werte s verschieden ausfallen.

Wir bezeichnen allgemein eine Schrauben-Ablesung mit S und wir nehmen an, die zu S gehörige Schrauben-Verbesserung lasse sich durch folgende Gleichung darstellen :

4 S — cp (S) — r sin (A -+- S) = r sin A cos S -f- r cos A sin S Setzt man hier r sin A = « und r cos A — ß

oder tang A = ~

pK

i.

•‘t”

(3)

sin A cos A

(4)

so kann man (3) auch in diese Form schreiben:

4 S = <jp (S) = a cos S -+- ß sin S

Zur Bestimmung der Konstanten a und ß wird nun die Messung von t, entsprechend Fig. 1., an verschiedenen Stellen der Schraube vorgenommen, so dass verschiedene Werte s entstehen.

Wenn S die Anfangsstellung einer solchen Messung, folglich S -f- s die Endstellung ist, so hat man für die Anfangsstellung die Gleichung (5) und für die Endstellung die zugehörige Gleichung:

cp (S -+- s) = a cos (S + s) -+- ß sin (S ■+- s)

Wenn man aus (5) und (6) die Differenz bildet, so erhält man:

cp (S +s) — cp {S) = — 2a sin ^S + yj sin    -+- 2 ß cos ^S -h -|-j

s    s

— 2 cc sin-ÿ- = x , +2 ß sin-^ = y

und S + 4

Wir setzen:

(6)

sin

(7)

(8)

= a

folglich ist die Verbesserung für den Schraubenwert s:

cp (S -h s) — cp (S) = x sin er -t- y cos cf Es sollen 4 symmetrisch gelegene Beobachtungen von s gemacht werden mit den Ergebnissen sl5 s^, s₃, s₄ und wir setzen:

si + s2 + ss ~f~ s4 _

(9)

(10)

Dieses ist auch, wie wir nachher sehen werden, der wahrscheinlichste Wert von s überhaupt, indessen wollen wir vorläufig (um die Zahl der Unbekannten sicher zu stellen) den wahrscheinlichsten Wert = s₀ -h £ setzen, und haben daher durch Vergleichung mit (9), nun die Fehlergleichung:

v = (s -t- x sin er -f- y cos er) — (s₀ -+-1)

Wir setzen wie gewöhnlich s₀ —s = l und haben dann in 4facher Anwendung:

—    vx    = | — x sin öi —    y cos    ol -+-    ^

(H)

—    t'2    — | — X Sin Go —    V cos    °2 •+■    h

—    v₃    = | — x sin o₃ —    y cos    cr₃ -f-1₃

—    v₄    = | — x sin o₄ —    y cos    a₄ -+-1₄

Wenn nun aber die 4 Beobachtungen symmetrisch liegen, d. h. wenn die 4 Werte

crl5 a₂, cr₃, o₄ nach (8) je um 90° gegen einander verschoben sind, so wird die Ausgleichung dieser 4 Fehlergleichungen sehr einfach, wie wir schon an einem ähnlichen Beispiel in Band II. 4. Aufl. § 70. gesehen haben, die Ausgleichung des Systems (11) gieht nämlich in diesem Falle :

_ [ Isina] X = 2

[l cos a] yz=—2“

(12)

und die Quadratsumme der übrig bleibenden Fehler wird:

(13)

[l sin er]² [Z cos o]²

Rechnet man ausserdem die einzelnen v und v² aus, so erhält man in ihrer Summe eine Rechenprobe.

Der mittlere Fehler einer Bestimmung von s wird, weil 3 Unbekannte §, x, y vorhanden sind:

(14)

Aus x und y kann man nach (12) und (7) auch a und ß hersteilen, nämlich: [l sin er]

4: sin ~

[lcos&\ 4 sin f

(15)

und nach (4) kann man auch die ursprünglichen Unbekannten A und r wieder hersteilen :

— [7 sin er] _    + [Z cos er]

A sin -f- sin A 4 sin -t

tang A =

— [l sin er]

+ [l cos er] ’

(16)

cos A

Bei unseren Messungen am Repsold sehen Komparator (Mikroskop I. rechts, mit 25fâcher Yergrösserung) war ungefähr s = 4,6239 Umdrehungen, (und zwar herrührend von der Beobachtung eines Intervalls = 0,2 Pariser Linien = 0,4511658mm, also 1 Umdrehung = 97,57f* oder rund 1 Umdrehung = 0,lmM = 100.").

Da jedoch hier die ganzen Umdrehungen nicht in Betracht kommen, rechnen wir mit dem Wert s = 0,6239 Umdrehungen oder :

s = 0,6239 Umdrehungen = 0,6239 X 360° = 224° 36'

Es wurde immer mit 0,00 angefangen, folglich sind nun die Werte er:

+ 90° = 202° 18'

(17) ■

= 112° 18'

fr-t-180° = 292° 18'

a₂ =

£- + 270° = 22° 18'

a4~Y

Ein Messungsversuch am Mikroskop I. (rechts) gab folgendes : sj = 0,6254 s₂ = 0,6311 s₃ = 0,6232 s₄ = 0,6158

1)

h = — 15 h = — 72

Z₄ =    81

Zj2 = 225 Z₂2 = 5184 Zg2 =    49

Z₄2 = 6561

Mittel s₀ = 0,6239

soll = 0

[ll] = 12019

(18)

Da s = 1 rund = 100.u, also nahezu = 62,54.“ ist, sind die l hier rund in Einheiten von 100.“ oder 0,lmm gezählt, oder rund Zj = 0,15.“.

Nun rechnet man : nach (12) nach (13) nach (15) nach (16)

y = + 74,955

x — -t- 18,85 [v V] = 12 019 — 710,6 — 11236,5 = 71,9 a = — 10,187 A = 345° 53'

ß = + 40,507 r = 41,768

Man hat also nun nach (3) die Korrektionsformel :

AS = 41,768 sin (345° 53' + S)

(12*)

(13*)

(14*)

(16*)

(19)

Wenn man hier für S die 4 Anfangswerte 0°, 90°, 180°, 270° und dann die 4 Endwerte s = 224°36', 90° + s, 180° + s, 270° -f-s einsetzt, so bekommt man:

— 10,2 — 21,2 — 11,0 — 15

für die Anfangswerte „    „ Endwerte

Differenzen AS:

Beobachtungen (18), Z: übrig bleibende Fehler v : + 4,0

+ 40,5

+ 4,0

Die Quadratsumme dieser 4 Werte ist [dï] = 72,5, was mit (13*) hinreichend stimmt. Nach dieser Bestätigung rechnen wir den mittleren Fehler einer Messung nach (14):

(21)

j/72,5 = +8,5 (nahezu = 0,085iu)’'

Nach der Formel (19) kann man nun eine Korrektionstafel für das betreffende Mikroskop berechnen, deren 4 Hauptwerte schon in (20) enthalten sind. Indessen reduziert man nun alles auf den Anfang, da es sich doch immer nur um Schrauben-Differenzen handelt. So bekommt man (Mikroskop I, rechts) :

nach (20)

reduziert

Schrauben-

Ablesungen

Verbesserung

— 10-2 -+- 40-5

o-o

0,0000-0 0,2500-0 0,5000-0 0,7500-0 1,0000-0

In gleicher Weise wurde auch das andere Mikroskop behandelt und dann für beide Mikroskope ausführliche Korrektionstafeln berechnet. Die später in § 9. mitzuteilenden Mikro skop-Ablesungen sind nach diesen Reduktions-Tabellen reduziert.

+ 10-2

—    40-5

—    19-2

+ 50-7 + 20-4 — 30-3

(22)

0-0

Ein sehr feines Beispiel solcher Bestimmung und Ausgleichung periodischer Schraubenfehler ist mitgeteilt in dem Werke: „travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures, tome II, Paris 1883, Seite G 104—C 118“. Es wurden drei Hilfsstriche I, II, III in Abständen von 20|« und zwei Fäden 1 und 2 im Abstande von 30/« angewendet. Damit wurde gemessen:

1)    Faden-Abstand 1—2    = 30fi an einem beliebigen Strich,

2)    Strich-Abstand I—II = 20ft mit demselben Faden,

3)

II—III = 20/.1 „    „

4)

I— III = 40/U „    „    „

Alles dieses wurde in den verschiedensten Trommelstellungen sehr oft wiederholt.

Ein weiteres Citât hiezu ist:

Müller. Untersuchungen über Mikrometerschrauben mit besonderer Anwendung auf das Fadenmikrometer des neunzölligen Äquatoreals der Berliner Sternwarte. Berlin, Dümmler.

Kreisteilungsfehler.

Zu den kurzen Angaben über Teilungsfehler diametraler Striche und Bestimmung von Teilungsfehlern durch Repetition, die schon in unserem II. Bande 4. Aufl. 1893, S. 217—218 enthalten sind, können wir hier noch einiges weiteres, was hierüber veröffentlicht worden ist, berichten :

General Schreiber hat in der Abhandlung „Richtungs-Beobachtungen und Winkelbeobachtungen“ („Zeitschr. f. Yerm.“ 1879, S. 118 u. ff.) Teilungs-Untersuchungen mitgeteilt. Er sagt :

Nach den Erfahrungen, die sich auf die Untersuchung verschiedener aus unseren ersten Werkstätten hervorgegangener Teilungen stützen, ist der unregelmässige Teilungsfehler ein sehr bedeutender Teil des Gesamtfehlers einer unter günstigen Beobachtungen gemachten Beobachtung. Es fand sich im Mittel aus 16 Instrumenten der Firmen Pistor und Martins, Repsold u. Söhne, J. Wanschaff, C. Bamberg folgendes:

Mittlerer Gesamtfehler einer beobachteten Richtung

t = ± 0,78"

Mittlerer unregelmässiger Teilungsfehler einer beobachteten Richtung t' = + 0,50"

Diese Werte sind aus wirklichen trigonometrischen Gebrauchsmessungen berechnet, und der regelmässige Teil des Teilüngsfehlers ist durch einen 8 gliedrigen periodischen Ausdruck von t' abgesondert worden („Zeitschr. f. Verm.“ 1879, S. 120).

Ferner ist von General Schreiber hier zu citieren : „Untersuchung von Kreisteilungen mit zwei und vier Mikroskopen“ („Zeitschrift für Instruinentenkunde“, 1886, S. 1—5, S. 46-55, S. 93—104.)

Die Untersuchungen sind angestellt mit einem Instrument, welches 1879 besonders zu diesem Zwecke von J. Wanschaff konstruiert wurde, dasselbe ist beschrieben und abgebildet in dem „Berichte über die wissenschaftlichen Instrumente auf der Berliner Gewerbe-Ausstellung im Jahre 1879“, herausgegeben von Löwenherz, 1880, S. 74 bis 76, und in der „Zeitschr. f. Instrumentenkunde“ 1881, S. 67, wornach unsere Fig. 2. als Kopie gemacht wurde.

Fig. 2.

Kreisteilungs-Untersucher

nach Angabe von General Schreiber konstruiert von Mechaniker Wanschaff'. (Massstab etwa 1: 7,5, Kreisdurchmesser = 42 cm )

F%

fr

Fi F₂ Fs Fi Lampenbeleuchtungen für die Mikroskope.

.i

S S fester Rahmen mit den M i-kroskopen M₁ und M₂.

■J

MÀ

C'lr.

T T drehbarer Rahmen mit den Mikroskopen Ms und M₄.

•J

las

D Fühlhebel.

E E Unterlagsschrauben.

B beweglicher Kreis.

A fester Kreis.

HCT™,« ^

[E

\A

*■—niiiiniminiiiiiiiiiiiJ

u:'~

Mr:.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

Das Instrument hat unten einen unbeweglichen Kreis A und damit fest verbunden eine Schiene S S mit zwei Mikroskopen Mx und M₂.

Eine zweite Schiene T T mit zwei Mikroskopen M₃ und M₄ ist drehbar gegen den Unterlagskreis A, so dass die Schienen SS und TT unter jedem Winkel gegen einander gestellt werden können.

Auf den beweglichen Kreis B kann ein zu untersuchender Teilkreis mit den Unterlagsschrauben FF aufgeschraubt werden, und ob der Kreis sich dann beim Umdrehen von B richtig in einer Ebene dreht, kann mit dem Fühlhebel D untersucht werden.

Die 4 Mikroskope Mx M₂ Mg Ji₄ werden nicht mit Tageslicht, sondern mit künstlicher Lampenbeleuchtung Fx F₂ F₃F₄ abgelesen.

Noch eine Eigentümlichkeit ist zu erwähnen : Man kann zwar die zwei Schienen S S und T T, und damit auch die Mikroskop-Ebenen Mx M₂ und M₃ M₄ beliebig gegen einander drehen, doch wäre es nicht möglich, den Winkel zwischen Mx M₂ und M₃ M₄ auch = Null zu machen, wegen der Dicke der Mikroskope, wenn nicht besondere Vorsorge getroffen wäre, darin bestehend, dass zwar die Mikroskope Mx und M₂ rechtwinklig zur Kreisebene B gerichtet sind, die beiden anderen Mikroskope M3 und M₄ aber ein wenig schief gestellt werden können, so dass man z. B. mit Mx und M₃ denselben Strich einer Kreisteilung einstellen kann.

Eine ähnliche Anordnung mit Messungsreihen seit 1872, hat Nagel in Dresden mitgeteilt in der Zeitschrift „Civilingenieur“, 33. Band, 1887, 8. Heft. Es ist an einem Repsold sehen Theodolit mit gewöhnlichen Mikroskopen, noch ein beweglicher Hilfs-Arm mit zwei diametralen Mikroskopen angebracht, der in 4 Stellungen gegen den Haupt-Arm zur Teilungs-Untersuchung benützt wurde.

Hiezu gehört auch :

Schmidt. Bestimmung der Teilungsfehler am Pistor sehen Meridiankreise der Berliner Sternwarte. Berlin, Dümmler.

Broch. Über die Etalonnierung der Unterabteilungen eines Stabes, die Bestimmung der progressiven Fehler einer Mikrometerschraube. Trav. et mém. du bureau intern, des poids et mesures. 5. 1886, S. 1. Bespr. in d. Beibl. zu d. Annalen d. Physik u. Chemie 1887, S. 487.

Änderung von Teilstrichen. Bei dieser Gelegenheit mag auch erwähnt werden, dass man bei den feinsten metronomischen Untersuchungen an Stricbmassen Andeutungen gefunden hat, dass die Teilstriche sich mit der Zeit ändern. Diese zunächst unglaublich klingende Behauptung kann aber begründet sein, denn die Striche, welche in poliertes Metall gerissen werden, erzeugen in der gleichförmigen molekularen Struktur des Metalls gewissermassen Wunden, welche kleine molekulare Änderungen als Nachwirkung hervorbringen können. Es kommt dabei auch darauf an, ob und wie weit die Risse geglättet („ebarbiert“) werden. Die optische Strichmitte, auf welche man die Fäden einstellt, ist nun jedenfalls abhängig von der Beschaffenheit der Strichränder, und wenn hier kleine Änderungen durch allmähliche Ausgleichung molekularer Spannungen eintreten, so kann die Strichmitte für mikroskopisches Ablesen sich ändern.

§ 7. Normal-Masse.

Ein Massstab ist ein Werkzeug zur Ausführung von Längenmessungen. Ein Massstab, welcher diesem Zwecke nicht unmittelbar dient, sondern mittelbar dadurch, dass andere Massstäbe nach ihm reguliert werden, heisst ein Normal-M&ssstab.

Ein Massstab an und für sich genügt noch nicht zur Festsetzung eines Masses, weil der Stab bei verschiedenen Temperaturen verschiedene Länge hat, es muss deswegen noch angegeben werden, bei welcher Temperatur der Massstab die normale

Länge hat, und damit der Massstab auch bei anderen Temperaturen brauchbar ist, muss die Ausdehnung bekannt sein.

Die Normal-Temperatur ist bei verschiedenen Massen verschieden; insbesondere

haben wir:

Normal-Temperatur

beim Metermass beim alten Pariser Mass beim englischen Mass

= 0°C = 0° R,

= 18° R = 16,25° C, = 62° F = 16,67° C = 13,83° R.

Der Ausdehnungs-Coëfficient.

Wenn ein metrischer Stab bei der Temperatur 0° die Länge Lq hat und bei der Temperatur t° die Länge Lt, so setzt man eine Gleichung fest von der Form:

(1)

Dt — Dq (1 + cc t)

und man nennt a den Ausdehnungs-Coëfficienten des Stabes.

Dieses ist die gewöhnliche Annahme, und wenn für alle Gebrauchs-Temperaturen t, der Coefficient « denselben Wert hat, so ist hiezu nichts weiteres zu bemerken. Für die feineren Untersuchungen ist aber die Annahme eines konstanten a nicht mehr genügend, und man nimmt dann statt (1) eine quadratische Funktion:

(2)

Dt — L₀ (1 + a t + 2 ß t²) oder Lt — D₀ (1 + (ec -+- 2 ß t) t)

Um in solchen Fällen eine unzweideutige Definition zu haben, citieren wir nach dem Werke: „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures“, Tome II, Seite C. 30 und Tome III, Seite C. 19 folgendes:

Man nennt in Bezug auf die vorstehende Gleichung (2) :

a + 2 ß t wahrer Ausdehnungs-Coëfficient bei t° a -f- ß t mittlerer Ausdehnungs-Coëfficient von 0° bis t°.

Als Beispiel nehmen wir aus: „travaux et mémoires“ III, Seite C. 19 für einen Platin-Iridium-Stab, der an und für sich mit I₂ bezeichnet wurde:

a = 0,000 008 594 6

ß = 0,000 000 001 26

56

(3)

13 5

es ist also der mittlere Ausdehnungs-Coëfficient von 0° bis t°:

<X(t) = 10- 9 (8 594,6 + 1,26 t) und der wahre Ausdehnungs-Coëfficient bei t°:

Stab I₂:

Stab I₂:

(4)

«, = 10-9(8 594,6 + 2,52 t)

Bei weniger scharfen Messungen lässt man das zweite Glied (mit ß) fort, und redet dann von dem Ausdehnungs-Coëfficienten a schlechthin, doch muss man denselben für jeden Stab besonders bestimmen, weil verschiedene Stäbe aus demselben Metall oder derselben Legierung doch nicht genau gleiche Ausdehnungen haben, z. B. hat ein anderer in „travaux et mémoires“ III. Seite C. 43 erwähnter Platin-Iridium-Stab, der mit I bezeichnet ist, statt des obigen (3) den Wert:

«{0 = 10-9(8 602,9 + 2,09 t).

Da man aber durchaus nicht immer in der Lage ist, Ausdehnungs-Coëfficienten zu bestimmen, nimmt man für viele Zwecke die Mittelwerte, welche bereits bestimmt worden sind. Namentlich ist es wichtig. Ausdehnungs-Coëfficienten, die einmal an-

genommen sind, in demselben Falle unverändert beizubehalten, damit wenigstens die Differenzen von Ausdehnungen in der Rechnung richtig bleiben.

Die Kaiserl. Normal-Aichungs-Kommission hat in den metronomischen Beiträgen Nr. 1, herausgegeben von Foerster, Berlin 1870, Seite 17, folgende Werte angenommen: Kupfer Ausdehnungs-Coëfficient Messing    „    „

Zinn    „    „

Eisen

« = 0,000 017 17 0,000 018 86 0,000 024 83 0,000 011 26

(5)

Mittelwerte :

Aus den „travaux et mémoires“, III. Seite C. 43—C. 44 entnehmen wir folgende

Platin-Iridium Ausdehnungs-Coëfficient a — 0,000 008 573 Platin Silber Eisen Stahl Glas

0,000 008 898 0,000 018 340 0,000 011 063 0,000 010 420 0,000 008 392

(6)

Einige andere zuweilen in Frage kommende Mittelwerte sind: Ausdehnungs-Coëfficient

Blei Bronce Gold Guss-Eisen Zink

Tannenholz

« = 0,000 028 0,000 018 0,000 014 0,000 011 0,000 033 0,000 004

(7)

Endmasse und Strichmasse.

Die Längenmasse werden in zwei wesentlich verschiedene Gattungen eingeteilt, die man Endmasse und Strichmasse nennt.

Ein Endmass bestimmt eine Länge als äussersten Abstand seiner Teile in der

Axrichtung.

Ein Strichmass bestimmt eine Länge als Querabstand zweier auf seiner Oberfläche eingerissener Parallelstriche.

Verschiedene Mass-Systeme.

Jedes Einheitsmass ist ursprünglich willkürlich, und deshalb ist die grosse Mannigfaltigkeit der Masse erklärlich. Die älteren Masse sind meist vom menschlichen Körper hergenommen, z. B. der Fuss, die Elle u. s. w. und insofern willkürlich.

Auch das Meter, welches die früheren Masse jetzt fast verdrängt hat, ist ursprünglich willkürlich, und der Umstand, dass 1 Meter nahezu der zehnmillionste Teil des Erdquadranten ist, ist metronomisch gleichgültig.

Wir geben in Folgendem einen Abriss der Geschichte der französischen Masse, aus welchen das heutige internationale Metersystem hervorgegangen ist. (Zunächst nach Nr. 5 der metronomischen Beiträge, zur Geschichte und Kritik der Toisenmass-stäbe, von C. F. W. Peters, herausgegeben von der K. Normal-Aichungs-Kommission, Berlin 1885.)

Am Anfang des 18. Jahrhunderts befand sich in Paris am Puss der Treppe des Grand Châtelet als Normalmass für öffentlichen Gebrauch eine eiserne Schiene mit zwei Vorsprüngen, zwischen welche ein Massstab von der Länge einer Toise hindurch-geschoben werden konnte.

Etwa um 1735, vor dem Abgang der Gradmessungs-Expedition nach Peru, wurden nach dem rohen Chatelet-Normal zwei feinere Toisen angefertigt in der Form der nachstehenden Fig. 1.

Fig. l.

Die Peru-Toise (Toise du Pérou).

_a

Die beiden Toisen bestanden aus eisernen Stangen, an den Enden b d und a e hälftig eingeschnitten, so dass ab = cd die Toisenlänge vorstellt. Die eine dieser Stangen, später unter dem Namen „Toise du Pérou“ bekannt, hatte auch noch zwei Punkte m und l, deren Abstand als Toise in Wirklichkeit in Peru gedient hat. Die andere Toise, später „Toise du Nord“ genannt, sollte ursprünglich als Kontroll-Normal in Paris Zurückbleiben, während die erste nach Peru abging, indessen nach dem Abgang der Peru-Expedition entschloss man sich rasch auch zu der Polar-Expedition, welcher man 1736 die zweite Toise mitgab.

Diese kam schon 1737 wieder nach Paris zurück, während die Peru-Toise erst 1748 wieder ankam.

Die Vergleichung ergab im Jahr 1752, dass die Peru-Toise um 0,04 Linien länger war, als die nordische; man erklärte das durch Rosten der letzteren bei einer Havarie im bottnischen Meerbusen.

Im Jahre 1766 erschien eine Verfügung des Königs Ludwig XV, nach welcher die Toise du Pérou an Stelle der Toise du Châtelet als Normalmass in Frankreich eingeführt wurde. (1 Toise = 6 Pariser Fuss = 72 Pariser Zoll = 864 Pariser Linien.) Von 1813—1831 wurden verschiedene Kopieen der Toise genommen.

Die Toise kam später in Vergessenheit, und ob die im Jahre 1854 neu gereinigte, jetzt als „Toise du Pérou“ betrachtete Stange wirklich die Stange von 1735 oder nur eine Kopie derselben ist, blieb eine Zeit lang zweifelhaft, ist aber jetzt durch die Ermittelungen von Wolf in Paris als erwiesen anzusehen. Jedenfalls sind die vorhandenen Kopieen der ursprünglichen Peru-Toise von Wichtigkeit. C. F. W. Peters hat 14 solcher Kopieen in Betracht gezogen und durch Zusammenstellung dessen, was über die Vergleichung dieser Stäbe mit der alten Peru-Toise oder der Kopieen unter sich bekannt ist, Endergebnisse gefunden, z. B. diese:

= 864,00000 Pariser Linien = 864,00238 = 863,99920 = 863,99493 = 864,06228

Ursprüngliche Peru-Toise Dänische Toise, Fortin = D Besselsche Toise = B Dänische Toise Gambey = G Englische Ordnance-Toise = Z'²

Die Normal-Temperatur des Toisen-Masses ist 13° B. = 16,25° C. ; dieses stammt von der Gradmessung in Peru 1735 her, wo die Mittel-Temperatur = 13° B. angenommen wurde.

Die Besselsche Toise, welche hier mit genannt ist, wurde von Bessel dazu benutzt, um ein preussisches Normalmass in einem Stabe von 3 preussischen Fuss herzustellen. Unsere Fig. 2 zeigt die Einzelheiten desselben nach Tafel II des Werkes : „Darstellung der Untersuchungen und Massregeln, welche in den Jahren 1835—1838 durch die Einheit des preussischen Längenmasses veranlasst worden sind, von F. W. Bessel, Berlin 1839“.

Fig. 2.

Besselsche Normal-Stange (natürl. Grösse). Längenschnitt.

Querschnitt.

Erklärungen zu Fig. 2.: Hauptkörper b, c, a von Gussstahl,

e d eingedrehte Eisenschraube,. i Sapphir-Kegel, h Goldbettung, g k Pressschraube.

Bessel hielt ein Endmass für sicherer als ein Strichmass, indem er die massgebenden Enden möglichst hart machte, nämlich von Sappbir (i Fig. 2.), und die-Verbindung durch Gold vor Eost schützte.

Der Stahlstab hat die Aufschrift:

„Unnass der preussischen Längeneinheit 1837. Dieser Stab, in der Wärme von 16,25° des hundertteiligen Thermometers, in seiner Axe gemessen, ist 0,00063 Linien kürzer als drei Fusse.“

Dieser Stab wurde durch das Gesetz vom 10. März 1839 als preussisches Ur-mass bestimmt.

Die Temperatur-Ausdehnung des Normalmasses fand Bessel = 0,004375 preuss. Linien für 1° C., oder da der Stab 432 preuss. Linien lang ist, Ausdehnung = 0,000010127 der Länge für 1° C.

Der preussische Fuss selbst ist dadurch = 139,13 Pariser Linien bestimmt.

Ausser der schon oben genannten „Darstellung“ u. s. w. sind hier noch weitere Besselscho Schriften zu citieren : „Untersuchungen über die Länge des einfachen Sekunden pend eis“, Berlin 1828, S. 126. „Gradmessung in Ostpreussen“, S. 22. „Populäre Vorlesungen über wissenschaftliche Gegenstände“, Hamburg 1848, S. 307 — 325.

Nach dieser Abschweifung, betreffend das preussische Normalmass von 1837, kehren wir zur Geschichte des Toisen- und Metermasses zurück:

Das neue französische Masssystem vom Jahr 1791 bestimmte als Einheit das Meter, welches möglichst genau der zehnmillionste Teil des Erdmeridian-Quadranten sein sollte. Das Dekret, welches den von der Akademie vorgeschlagenen Plan annahm, ist vom 26. März 1791 und die Genehmigung erfolgte 4 Tage nachher („Delambre, Base du système métrique“ I. S. 19).

Nach vorübergehender Anwendung eines provisorischen Meters von 443,44 Par. Linien wurde auf Grund der Delambreschen Gradmessung das „wahre und definitive“ Meter (mètre vrai et definitiv) = 443,296 Pariser Linien festgesetzt. Die Normal-443,296

temperatur für das Metermass wurde anders gewählt als bei dem alten Pariser Mass. Während nämlich letzteres die Normaltemperatur 13° R. = 16,25° C. hat, ist die Normaltemperatur des Metermasses = 0°R. = 0° C., d. h. gleich der Temperatur des schmelzenden Eises.

Demzufolge wurde ein Platinstab hergestellt, dessen Länge bei 0° ist =

864

Fig. 3.

Querschnitt des „mètre des archives“ in natürlicher Grösse.

derjenigen Länge, welche die Peru-Toise bei 13° R. hat. (Base du système métrique Band III. S. 622.) Der genannte Platinstab, dessen Querschnitt (Fig. 3.) ein Rechteck yon 25mm Breite und 4mm Höhe ist, befindet sich noch in Paris, er heisst gewöhnlich „mètre des archives“.

Obgleich hiernach das Metermass längst sicher gestellt zu sein scheint, so sind doch erst in neuerer Zeit die nötigen Vorkehrungen zu einer befriedigenden Sicherstellung desselben in Angriff genommen worden. Das französische Urplatinmeter (mètre des archives) entspricht nämlich in mehrfacher Beziehung nicht den heutigen wissenschaftlichen Anforderungen.

Um die damit verbundenen Übelstände zu heben, versammelte sich im Sommer 1870 eine internationale Kommission, welche jedoch wegen des Krieges zu keinen Resultaten kam. Die Kommission ist zum zweitenmale im Herbst 1872 in Paris zusammengetreten, jedoch erst im Jahr 1875 kamen die Verhandlungen zum Abschluss. Dieselben haben eine internationale Meter-Konvention ergeben, woran sich allmählich fast alle Kulturstaaten der Erde angeschlossen haben.

Der Wortlaut der Konvention ist mitgeteilt in dem Deutschen Reichsgesetzblatt Nr. 19 vom 5. Sept. 1876, S. 191—212, derselbe ist abgedruckt in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1877, S. 280—290. Die neuesten Bestimmungen für das metrische Mass-system in Deutschland sind enthalten in dem Gesetze vom 11. Juli 1884 (Reichsgesetzblatt 1884, Nr. 20).

Die Verhandlungen der internationalen Kommission, welche vom 24. Sept, bis 12. Okt. 1872 in Paris stattfanden, sind mitgeteilt in den „Annales du conservatoire des arts et métiers“, Nr. 37, Tome X, 1er fascicule. Paris 1873. Wir entnehmen hieraus folgendes:

Es sollen 30 Meterstäbe hergestellt werden, welche möglichst gleich dem Pariser Archiv-Meter zu machen und unter sich zu vergleichen sind, worauf sie unter die beteiligten Staaten verteilt werden, und künftig die Grundlage aller MassvergleichuDgen bilden werden.

Als Material für diese Normalmeter ist eine Legierung von 90% Platin mit 10% Iridium gewählt. Das aus reinem Platin bestehende mètre des archives hat eine sehr poröse Struktur, dagegen hat die erwähnte Legierung von Platin und Iridium folgende Vorzüge: 1) Diese beiden Metalle krystallisieren in demselben System, nämlich dem regulären, und haben die gleiche Dichte 21,15. 2) Die Legierung hat noch nahezu dieselbe Dichte wie die einzelnen Metalle, wodurch eine innige Verbindung gesichert ist. 3) Von allen Metallen (mit Ausnahme des hier nicht in Betracht kommenden Arsen und Osmium) haben Platin und Iridium die geringste Ausdehnung durch die Wärme, nämlich etwa 0,000009 für 1° C.

Die Stäbe werden prismatisch hergestellt mit einem in Fig. 4. (S. 56) in natürlicher Grösse gezeichneten Querschnittsprofil. Die Wahl dieses Profils ist das Ergebnis vieler Erwägungen, es fand sich nämlich für dasselbe das günstigste Verhältnis des Träg-

56

Komparatoren.

§ 8.

heitsmomentes zur Profilfläche, oder es hat der so konstruierte Stab die grösste Tragfähigkeit hei kleinstem Volumen. (Das fragliche Verhältnis ist 26 mal günstiger als bei dem mètre des archives, Fig. 3.). Das gewählte Profil (Fig. 4.) hat noch einen Vorzug, es liegt nämlich die obere Fläche der Querverbindung (in Fig. 4. durch eine punktierte horizontale Linie hervorgehoben) in der neutralen Axe des Körpers, so dass bei eintretender Biegung keine Verlängerung oder Verkürzung in dieser Fläche stattfindet, insoweit es sich dabei um die mit den Biegungen verbundenen Drehungen des Querschnitts handelt. Die genannte Oberfläche ist zur Aufnahme der Striche bestimmt, welche zur Massbezeichnung dienen.

Die Unterlage der neuen Normalmeter soll nicht eine kontinuierliche sein, sondern aus zwei Pollen bestehen, damit der Temperatur-Ausdehnung keinerlei Hindernis bereitet wird. Allerdings findet bei dem Auflager auf zwei Rollen ein Einschlagen durch das Eigengewicht des Stabes statt, doch ist dasselbe sehr klein. Die Verteilung derStützen "(T)    ("!')    ist am günstigsten, wenn (entsprechend

Fig. 5.) die Beziehung stattfindet:

V — 0,894 l oder l = 0,559 L

Wenn diese Verhältnisse eingehalten werden, so beträgt für das in Fig. 4. gezeichnete Profil die Einschlagtiefe nur 0,008 63mm und die entsprechende Verkürzung des Stabes nur 0,000 0004"”".

Über den neuesten Stand dieser Sache wird Auskunft gegeben in folgenden

Fig. 4.

Querschnitt der internationalen Platin-Iridium-Meterstäbe, natürliche Grösse.

JS

Fig. 5.

Rollen-Unterlage der internationalen Massstäbe.

-L

Um

schriften :

Mitteilungen der Kaiserl. Normal-Aichungskommission, 1. Reihe, Berlin 10. Dezember 1890 Nr. 10. Die Beziehungen der metrischen, der altfranzösischen und der englischen Längeneinheit zu einander, abgedruckt in „Zeitsehr. f. Vermessungsw.“ 1890, S. 265—269.

Die internationale Organisation des Mass- und Gewichtswesens und die neuen Prototype. Mitt. d. K. Norm.-Aich.-Komm. 1890, Nr. 11, S. 139. Bespr. in d. „Zeitschr. f. Instrumentenkunde“ 1890, S. 296—298; d. „Zeitschr. f. Vermessungsw.“ 1890, S. 506—508.

Weitere Litteraturangaben s. „Zeitschr. f. Verm.“ 1892, S. 473, Normal-Aichungs-Kommission, und „Zeitschr. f. Verm.“ 1895, S. 433, Bureau international des poids et mesures.

§ 8. Komparatoren.

Ein Komparator ist ein Apparat zur Vergleichung zweier Längenmasse. Entsprechend der Einteilung der Längenmasse in Endmasse und Strichmasse hat man verschiedene Komparatoren.

Ein Komparator für Strichmasse, welcher aber zugleich auch zur Vergleichung von Endmassen eingerichtet werden kann, ist in Fig. 1. und Fig. 2. S. 57, gezeichnet. Derselbe ist von Mechaniker Reichel in Berlin konstruiert, und gehört dem Gr. had. Oberaichungsamt Karlsruhe. (Mit ähnlichen Komparatoren sind alle deutschen Ober-aichungsämter ausgerüstet.)

Fig. 1. zeigt den eigentlichen Komparator in Längs- und Queransicht.

o°

2

e-f-

Queransicht.

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Fig. 1.

Komparator des Gr. Ober-Aiclmngs-Amtes Karlsruhe (von Mechaniker Reichel in Berlin). (Massstab 1: 8, Länge E E — 1 Meter.)

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Kg. 2.

Besondere Einrichtung znm gegenseitigen Vergleichen von Strichmassen und Endmassen. (Massstab 1:2, 4 fach von Fig. 1.)

Anschlag-Cylinder a" a

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Anschlag-Cylinder a a'

If'«

st-ä¹

Auf der hölzernen Unterlage A A B B erheben sich zwei eiserne Säulen C G, welche eine gut gehobelte eiserne Schiene von _L förmigem Querschnitt tragen. Auf dieser Schiene gleiten vermittelst zweier Schlitten die zwei Mikroskope E E. Das Fadennetz des einen (rechtseitigen) Mikroskops ist nicht fest, sondern vermittelst einer Mikrometerschraube F beweglich. Dieses Mikroskop hat im wesentlichen dieselbe Einrichtung wie die bekannten Theodolit-Mikroskope.

Auf dem hölzernen Untergestell sind ferner zwei tischartige eiserne Platten G G aufgesetzt, und zwar mit Zwischenlage je zweier horizontaler Cylinder KK, welche um excentrische Axen drehbar sind, und dadurch die Tischplatten G G innerhalb eines Spielraums von 1—2™ zu heben oder senken gestatten. Dieses Heben oder Senken ist notwendig, damit die Oberflächen der Massstäbe J J', welche verglichen werden sollen, immer in die deutliche Sehweite der Mikroskope gebracht werden können. Zwischen J J' und G G sind noch Unterlagsplatten E H angebracht.

Vergleichung zweier Strich-Masse.

Wenn es sich um Vergleichung zweier Strich-Masse JJ' handelt, so werden dieselben in der beschriebenen Weise neben einander aufgelegt, so dass ihre Oberflächen in eine Ebene zusammenfallen, und zusammen mittelst der Mikroskope beobachtet werden können. Da die Unterlagsplatten HH mittelst besonderer Schrauben der Länge nach etwas Spielraum haben, kann man es dahin bringen, dass man mit dem einen (etwa dem linkseitigen) Mikroskop die zusammenfallenden Nullstriche beider Strichmasse zwischen den Mikroskopfäden sieht. Dann hat man zum Zweck der Vergleichung nur noch das andere (rechtseitige) Mikroskop auf die Endstriche der beiden Strichmasse einzustellen, und dabei den Abstand dieser beiden Endstriche mit der Mikrometerschraube zu messen.

Hiebei ist also vorausgesetzt, dass die einander entsprechenden Striche der zu vergleichenden Massstäbe gleichzeitig in das Gesichtsfeld der Mikroskope gebracht werden können, und dieses ist deswegen gewöhnlich thunlich, weil die Striche auf die eine Kante ausmündencl gezogen sind.

Vergleichung eines Strich-Masses mit einem: Endmass.

Mit Hilfe der besonderen Einrichtung, welche in Fig. 2. in 4mal grösserem Massstab als Fig. 1. gezeichnet ist, kann man auch Strichmasse und Endmasse vergleichen.

Das zu vergleichende Endmass wird hiebei ganz in der vorher beschriebenen Weise behandelt, es ist J oder und liegt auf einer der beiden Platten H. Die andere Platte H wird weggenommen, und statt derselben werden nun die in Fig. 2. links und rechts gezeichneten Anschlag-Cylinder aufgeschraubt.

Diese Cylinder a' und a" stecken in Hülsen a und haben infolge von eingelegten Federn das Bestreben, in der Richtung gegen einander aus den Hülsen herauszutreten, d. h. sie drücken beiderseits gegen das Endmass h b, welches in Fig. 2. dazwischen gelegt ist.

Wenn b in horizontale Schneiden endigt, so wird man a" in eine vertikale Schneide oder a' in eine Rundung endigen lassen u. s. w. ; für die Betrachtung der Wirkungsweise des Apparates ist diese Unterscheidung unwesentlich.

Auf den Cylindern a' und a" sind Platten c aufgesetzt, welche nach vorn vorgebogen und mit feinen Strichen d und d' versehen sind. (Die auf der anderen Seite befindlichen Schrauben e dienen zur Höhenregulierung für die Striche d.)

Man denke sich nun die Cylinder a' und a" auf der einen Tischplatte G befestigt, und ein Endmass bb zwischen die Cylinder-Enden a! und a" eingelegt. Auf der anderen Tischplatte G (bzw. auf der Zwischenplatte H) liegt ein Strich-Massstab J, und man bringt es nun dahin, dass die Indexstriche d und d' der Cylinder an der Kante des Strichmasses anlieg en und gleichzeitig mit den benachbarten Strichen des Strichmasses in den Mikroskopen erscheinen. Man behandelt dann die Striche d und d' wie die Anfangs- und Endstriche eines Strichmasses und macht die Strichmass-Vergleichung in der früher angegebenen Weise.

Fig. 3.

Latten-Komparator. Querschnitt, Massstab 1:6.

Es handelt sich noch darum, die Länge dd' auf die Länge a a' zwischen den Enden der Anschlag-Cylinder zu reduzieren, und dieses geschieht dadurch, dass man nach Entfernung des Massstabes b b den einen Cylinder abnimmt und ihn unmittelbar an den anderen Cylinder anstossend wieder befestigt. Es stossen dann die Cylinder-Enden a und a' zusammen, während die Indexstriche d und ä! einen kleinen Zwischenraum zwischen sich lassen, den man misst und an der vorhergehenden Vergleichung in Rechnung bringt.

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Einige andere, zum Teil sehr sinnreiche und doch einfache Verfahren zur gegenseitigen Vergleichung von Endmassen und Strichmassen berichtet „Zachariae, Die geodätischen Hauptpunkte“, deutsch von Lamp, Berlin 1878, S. 96—98.

Komparator für hölzerne Latten.

Im wesentlichen nach demselben Grundgedanken wie der vorher beschriebene aichamtliche Meter-Komparator, jedoch länger und stärker, ist der Komparator für Nivellierlatten und ähnliche Massstäbe, dessen Querschnitt in Fig. 3. gezeichnet ist.

Der Hauptteil ist eine Eisenschiene A A' (aus einer Eisenbahnschiene hergestellt), 3,5m lang und mit einer durchlaufenden Millimeterteilung versehen. D D' und EE sind zwei Träger, welche durch die auf der anderen Seite angebrachten Schrauben J und J' durch Hebel TI G und H' G' der Höhe nach gestellt werden können.

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mm

PS

Ihm

E\

F\

agi

N ist ein aufgelegter Massstab, der durch das Mikroskop M verglichen wird.

Weiteres hierüber haben wir früher in der ,Zeitschrift für Instrumentenkunde“, 1881, S. 41—47 mitgeteilt.

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(Karlsr. u. Hannov. Sammlung, Mechaniker Siekier.)

Normàlstellung der Mikroskop-Axen.

Wenn man bei einem Längen-Komparator der bisher beschriebenen Art die Laufschiene der Mikroskope und die Unterlagsplatten mit Libellen gut horizontal stellt, so ist nur noch die Frage zu beantworten, ob die Mikroskop-Axen vertikal sind. Wenn letzteres nur wenigstens genähert der Fall ist, so kann man bereits Vergleichungen machen, weil kleine Neigungen der Mikroskop-Axen bei den immer nahezu gleichen Höhen-Einstellungen wenig ausmachen.

Um jedoch die Mikroskop-Axen genau vertikal zu stellen, hat man das Mittel des Quecksilber-Horizontes; man stellt nämlich unter ein Mikroskop ein Gefäss mit Quecksilber und beobachtet darin das Spiegelbild der Fäden, welches sich mit den Fäden selbst decken soll. Jedoch muss man dazu die Fäden beleuchten-, das geschieht durch einen kleinen seitwärts angebrachten Spiegel, den wir aus anderer Veranlassung beschrieben haben in „Grundzüge der astr. Zeit- und Ortsbestimmung“, Berlin 1885, S. 225.

Eine andere Untersuchung über Mikroskop-Axen-Neigung u. s. w. gab die frühere, 3. Auflage dieses Bandes, 1890, § 9. Auch ist hier zu citieren: „ Weinstein, Handbuch der physikalischen Massbestimmung“, II. Band, Berlin 1888, S. 72—89.

Fühlspiegel-Komparator von Steinheil.

Ein anderes Prinzip der Massvergleichung, für Endmasse geeignet, ist das des Fühlspiegels, von dem wir in Fig. 4. wenigstens den Grundgedanken darstellen (nach einem Berichte von Steinheil in dem „Gen.-Ber. d. Europ. Gradm. für 1869“, S. 76 bis 80 und „Tinter, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins“, 1871, S. 40, und „Publ. des geod. Instituts. Mass Vergleichungen“, II. 1876).

Fig. 4.

Fühlspiegel-Komparator von Steinheil.

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g' :

In Fig. 4 sind M und M’ zwei Endmasse, welche verglichen werden sollen. Dieselben befinden sich in paralleler Lage im Abstand a, und stossen links mit ihren Enden gegen eine ebene Glasplatte G G an. Wenn diese Masse M und M' gleich lang sind, so wird eine zweite Glasplatte G' G', welche gegen die anderen Enden (rechts) gedrückt wird, mit der ersten Platte G G parallel sein; andernfalls machen die Platten G G und G'G' einen kleinen Winkel a, entsprechen der Gleichung:

sin a =

M — M

Nun hat man ein Fernrohr F 0, rechtwinklig zur Glasplatte G G gerichtet ; und wenn G' G' parallel G G ist, so wird F O A mit F 0 gemeinsam nach F reflektiert. Wenn dagegen der erwähnte kleine Winkel a vorhanden ist, so bekommt man zwei

Refiexionspunkte F und F', deren Abstand v = 2 f sin a ist, also in Verbindung mit der ersten Gleichung:

M' = M =

Insofern a erheblich kleiner ist als f, giebt ein Fehler an v einen entsprechend kleinen Einfluss auf die Massvergleichung M' — M.

Man hat die Fühlspiegel-Vergleichung von Endmassen früher namentlich deswegen gewählt, weil man dabei die Stäbe in einer Flüssigkeit vergleichen kann, was das beste Mittel zur sicheren und gleichinässigen Temperatur-Bestimmung ist; indessen in neuer Zeit macht man auch mikroskopische Strich-Vergleichungen in der Flüssigkeit, wie aus dem Nachfolgenden zu ersehen ist.

Mass-Vergleichungen des internationalen Mass- und Gewichts-Bureaus.

Zum Abschluss unserer Betrachtungen über Massvergleichung wollen wir noch einen Auszug vorführen aus dem Werke: „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures“, Tome II, Paris 1883, Seite C3 — C 147, und Tome III, 1884, Seite C 3 u. ff. mesures de dilatation et comparaisons des règles métriques.

1.    Verfahren im Allgemeinen. Die Messungen der Ausdehnungen der metrischen Strichmasse wurden nach dem von dem schwedischen General Wrede, Mitglied des internationalen Mass- und Gewichts-Bureaus angegebenen Verfahren ausgefübrt, welches im wesentlichen in der aufeinander folgenden Vergleichung zweier Stäbe besteht, welche nach einander unter die Objektive zweier vertikaler im Abstand von \m befestigter Mikrometer-Mikroskope gebracht werden. Die Messungen werden wie bei gewöhnlichen Vergleichungen zweier Meter gemacht, mit dem einzigen Unterschied, dass jeder der Stäbe in einen besonderen Trog mit Flüssigkeit eingeschlossen ist, und dass die Stäbe hierin im allgemeinen verschiedene Temperaturen haben, welche nach Umständen reguliert werden können. Auch kann die Temperatur des einen Stabes während der Dauer der Vergleichungen konstant erhalten werden, und man erhält dadurch die Ausdehnung des anderen Stabes unmittelbar. Der Vorteil der Methode besteht darin, dass ihre Ergebnisse unabhängig von dem absoluten Abstand .der Mikroskop-Axen sind, dieser Abstand braucht nur während der kurzen Zeit des Übergangs von einem Stab zum anderen als konstant oder während abwechselnden Übergangs als gleichförmig veränderlich angenommen zu werden.

Der Vergleich-Apparat besteht hiernach im wesentlichen aus zwei fest aufgestellten Mikroskopen und einer zwischen beiden befindlichen Schienen-Wagen-Einrichtung, mittelst welcher die in Tröge eingeschlossenen Meterstäbe rasch unter die Mikroskope geschoben werden können.

2.    (C. 4.) Der Komparator besteht aus zwei Mikroskopen, welche auf Steinpfeilern im Abstand von lm gut fundiert sind; dazwischen bewegt sich ein Wagen auf Schienen, welcher die Vergleichs-Stäbe mit ihren Trögen unter die Mikroskope bringt.

3.    (C. 12.) Richtigstellung aller Teile.

4.    (0. 13.) Die Mikroskope. Objektiv von 36mm Brennweite, Ganghöhe der Schraube = 0,75mm, 1 Umdrehung giebt 0,lmm, die Trommel ist in 100 Teile geteilt, giebt also sehr nahe 0,001mm=l^, Gesichtsfeld = l,lmm, Okular Ramsden, Ver-grösserung 90- bis 95fach.

5.    (C. 14.) Neben-Apparate zur Regulierung der Temperatur in den Trögen mit Hilfe von Wasser-Zirkulation.

6.    (C. 16 und Tome III C. 11.) Als Flüssigkeit wurde zuerst Glycerin genommen, aber wieder aufgegeben, weil die Klebrigkeit sich als Hindernis gleichförmiger Temperatur-Verteilung zeigte; ähnlich verhält es sich mit vegetabilischen Öfen. Petroleum stört durch die gesundheitschädlichen Dämpfe. Reines Wasser wurde schliesslich ausreichend gefunden für Platin, Messing und Bronce, dagegen für Eisenstäbe wurde als nicht angreifende Flüssigkeit nach verschiedenen Versuchen, gesättigte Borax-Lösung genommen.

Die Stäbe sind in der Regel 25 mikrometriscke Messung durch eine 25 mit derselben Genauigkeit wie durch Luft.

tief in die Flüssigkeit eingetaucht, und die tiefe Flüssigkeits-Schichte geschieht nahezu

7.    (C. 20 und Tome III. C. 6.) LKünstliche Beleuchtung in der Axe der Mikroskope, durch einen Spiegel unter 45°.

8.    (C. 26.) Einstellen auf deutliche Sehweite, nach Foersters Theorie „l’influence de la mise au foyer sur les mesures mikrométriques“.

9.    (C. 80.) Ausdehnungs-Coëfflcienten (vgl. unseren früheren § 7. S. 53—54).

10.    u. ff. (C. 30) Thermometer und (C. 62) Barometer.

30.    (C. 104 und Tome III. C. 7.) Periodische Schraubenfehler (vgl. unseren früheren § 6. S. 48—50).

31.    (C. 118 und Tome V. Seite 47) Fortschreitende Schraubenfehler.

§. 9. Ältere Basis-Messungen.

Die ersten Basis-Messungen waren nichts anderes als Linien-Messungen im wesentlichen von ähnlicher Art, wie sie der Landmesser mit Messlatten heute noch macht, jedoch mit besonderer Sorgfalt ausgeführt.

So begann Snellius 1615 (vgl. unseren Band I. 4. Aufl. 1895, S. 478); und auch die Franzosen massen im 17. und auch noch im 18. Jahrhundert mit hölzernen Latten.

Ähnliche Messungen kamen in Deutschland auch noch in diesem Jahrhundert vor; so berichtet z. B. Benzenberg aus dem Jahre 1805 in dem Buche „Über das Gataster“, Bonn 1818, S. 20—21 : „Die Standlinien wurden mit hölzernen Messstangen gemessen, die 12 Fuss lang waren, mit Ölfarbe angestrichen und an beiden Seiten mit Kupfer beschlagen. Diese wurden über kleine Brücken gelegt, die in eine Länge von 1000 Fuss durchs Feld gebaut wurden, und auf denen sich eine viermalige Messung fortsetzte, während dass hinten die Brücken abgebrochen und vorne wieder angebaut wurden. 22 Feldmesser wurden bei der Messung der Standlinien gebraucht.“

Folgendes sind Benzenbergs Angaben für die 4malige Messung bei Mündelheim, wobei wir sogleich die Reduktion in Metermass und eine Genauigkeits-Berechnung zufügen :

Fuss Zoll Linien

Meter

v²

t-h t-h CO CM

CO OT 0°

'►-* Ci O Î-¹

<i    ~4i

Ch ÜT ÜT Ol Ol Ol Ol Ol to INO h-⁴ h-⁴

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<1 DO CO <1

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r-T L- O?

t-h CM CM

222

471

CM CO CO 00

Mittel 24062    2

Man berechnet hieraus:

Mittlerer Fehler einer Messung:

3    = 7552,0016

1538 = [v2]

_ ₇/153

m y 3

— = ± 22,6mm

Mittlerer Fehler des Mittels aus allen 4 Messungen:

~    + 11.3™"

VT

Mittlerer Fehler einer Messung von Pm Länge:

1/7,552

= + 8,2mm

(1)

Diese Genauigkeits-Angaben beziehen sich nur auf die unregelmässigen, durch die Handhabung der Stangen und etwaige Änderungen derselben während der Messungen erzeugten Fehler; einseitig wirkende Fehler und namentlich die Unsicherheiten der Latten selbst sind hier nicht mitgerechnet.

Trotzdem schien es nicht unzweckmässig, an diesem, wie es scheint, zuverlässigen Beispiele zu zeigen, wie genau man mit den einfachsten Mitteln im Felde messen kann, wenn man gute Messungs-Unterlagen hat.

Die Schweizer Basis bei Aarberg von 1880 ist von Koppe auch mit gewöhnlichen 5Meter-Latten längs gespannter Schnüre gemessen worden, wobei sich für lm der mittlere unregelmässige Fehler + 0,28mm fand, also für eine Messung von l*m der mittlere Fehler:

(2)

m₁ = 0,28 -j/1000 = ± 8,9mm

(vgl. Koppe : „Der Basis-Apparat des General Ibanez und die Aarberger Basismessung“, Zürich 1881, S. 7—8).

In jüngster Zeit ist eine wertvolle Untersuchung dieser Art gemacht worden, indem Reinhertz die Bonner Basis mit gewöhnlichen Messlatten und Stahlbändern nachgemessen hat. Die Vergleichungen der so erhaltenen Ergebnisse unter sich und mit den feinen geodätischen Messungen des geodätischen Institutes und der Landesaufnahme (welche bereits in unserem I. Band, 4. Aufl. 1895, S. 514 kurz erwähnt sind) gaben sehr überraschende Resultate betreffs der verhältnismässig grossen Genauigkeit der gewöhnlichen Latten- und Band-Messung, und betreffs der im wesentlichen proportional den Längen auftretenden Fehler-Fortpflanzung. Reinhertz hat über seine Messungen berichtet auf der 19. Hauptversammlung des deutschen Geometervereins in Bonn 1895 („Zeitschr. f. Verm.“ 1895, S. 508) und der ausführliche Bericht wird in der „Zeitschr. f. Verm.“ Anfang 1896 gegeben.

Nach diesen Bemerkungen über das Messen mit gewöhnlichen Messlatten, geben wir eine kurze Darlegung der Entwicklung der Basismessungs-Verfahren zunächst von den französischen Messungen im 17. und 18. Jahrhundert bis zum Anfang dieses Jahrhunderts.

Picard wandte 1669 4 hölzerne je 2 Toisen lange Massstäbe an, die er mit Hilfe von Schrauben zu 2 je 4 Toisen langen Messlatten verband. Diese legte er unmittelbar eine vor die andere auf den (horizontalen) Boden. Da sie im Querschnitt rund, und leicht von Gewicht waren, so war eine Verschiebung auf dem Boden kaum zu vermeiden. (La Condamine, Mesure des trois premiers degrés u. s. w. S. 249).

Bei den Gradmessungen in Peru und Lappland (1736) wurden ebenfalls hölzerne Latten, und zwar deren drei zusammen angewendet. Dieselben waren 15 oder 20 Fuss lang, 2 Zoll breit, D/2 Zoll dick und mit Eisen beschlagen; sie wurden auf je zwei Stützen, jede einzeln horizontal, gelegt. (La Condamine S. 250.)

Bei der im Jahre 1739 vorgenommenen Nachmessung der Picardschen Basis von Juvisy bediente sich Cassini zum erstenmal metallener Massstäbe, nämlich 4 eiserner Stäbe, deren Temperatur-Ausdehnung er aus Quecksilber-Thermometerangaben ermittelte. (La Condamine S. 251.)

Der englische General Roy mass im Jahre 1784 eine Grundlinie bei Houns-low-Heath, zwischen London und Greenwich, 7 530“ lang, mehrmals mit verschiedenen Hilfsmitteln :

„ Holz-Massstäben. „ Glasröhren . .

. 27 406,60 , . 27 404,72 „

erste Messung mit einer Kette ... 27 408,22 Fuss zweite dritte

Ferner im Jahre 1787 eine Basis bei Romney-Marsh wieder mit der Kette, 28 532,92 Fuss, und 1794 bei Salisbury 36 574,4 Fuss.

Doppelmetall-Stange von Borda.

Den Übergang von der unvollkommenen Temperatur-Bestimmung Cassinis („le thermomètre à la main“) zu der heute noch in Gebrauch befindlichen Verbindung zweier verschiedener Metalle zu einer Messstange fand Borda, dessen aus Platin und Kupfer zusammengesetzte Stäbe bei der grossen französischen Gradmessung von 1792 u. ff. von Delambre und Méchain angewendet wurden.

Fig. 1.

Platin-Kupfer-Stange von Borda.

(Platinstab 12 Fuss lang, 6 Linien breit, 1 Linie dick.)

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Wir geben in Fig. 1. die Zeichnung der Bordaschen Stangen nach „Puissant, traité de géodésie“, 2me édition, Paris 1819, I. S. 203—207. Die eigentliche Messstange ist von Platin, 2 Toisen = 12 Fuss = 3,898m lang, 6 Linien = 13,5mm breit und 1 Linie = 2,3mm dick. Auf dieser Platinstange befindet sich eine Kupferstange, und zwar am linken Ende mit der Platinstange fest verbunden, während das rechte Kupfer-Ende sich frei ausdehnen kann, und etwa 0.16m vom rechten Ende entfernt, mit einer Teilung a b und Nonius n in seiner Stellung gegen das Platin abgelesen wird. Die so gemachten Ablesungen geben nun das Mass für die Ausdehnung, denn da Platin den Ausdehnungs-Coëfficient a — 0,000 0089 und Kupfer a' = 0,000 0172 (für 1° C.) hat, also «' etwa das Doppelte von a ist, lässt sich aus der Ausdehnungs-Differenz die Ausdehnung des Platins selbst berechnen. (Wir werden dieses bei den Besselschen Stangen mit Eisen und Zink in § 11.—12. ausführlicher behandeln.)

Ausser dem Temperatur-Massstab a b zeigt Fig. 1. noch einen Massstab an dem Schieber cd, welcher dazu dient, den Zwischenraum je zweier aufeinander folgender Stangen ohne Stoss zu messen.

Solcher Stangen wie die hier beschriebene wurden je 4 zusammen auf Stativen mit Mikrometer-Schrauben eingerichtet; die Stangen-Neigungen wurden durch Libellen und Gradbogen bestimmt, und in Rechnung gebracht.

Mit diesen Bordaschen Stangen sind (nach den Verh. d. 5. allg. Konf. d. Eur. Gr., Gen.-Ber. für 1877, S. 40) 7 Grundlinien gemessen worden, nämlich:

1798 Grundlinie bei Melun

1804

1818

1826

1827

1828

11 842“ , Perpignan    11706

„ Ensisheim    19 044

„ Brest „ Bordeaux „ Gourbera » Aix

10 527 14 119 12 220 8 067

Golby s Kompensations-Stangen.

Eine sinnreiche Anwendung des Grundgedankens der aus zwei verschiedenen Metallen zusammengesetzten Basismessstangen hat der englische General Golby, etwa um 1827, gemacht, indem er zwei Ausdehnungen von Eisen und Zink einander gegenseitig aufheben liess, so dass der Apparat selbstthätig kompensierend wird.

Fig. 2.

Colbys Kompensations-Stange.

(Länge = 10 Fass = 0,048m.)

C Messing

I 11 I Eisen

a'

L------

—h-Ä-A m -I.Ljy- y.

Nach Andeutung von Fig. 2. hat man eine Messing-Stange und eine Eisen-Stange in der Mitte bei C fest verbunden, so dass sich die Enden links a und b, rechts a' und b' frei ausdehnen können. Nun sind Hebel ab c und a' b' c' angebracht in den Verhältnissen:

ac _a' c' _ m b c b' c' e

wo m und e die Ausdehnungs-Coëfficienten für Messing und Eisen sind (etwa m = 0,000 019 und e = 0,000 011 für 1° C.). Nun ist leicht einzusehen, dass der zwischen c und c' gemessene Abstand L unabhängig von den Ausdehnungen ist.

Solcher Stangen in Holzkästen wurden 6 zusammen angewendet, und die Zwischenräume der Stangen wurden mikroskopisch gemessen.

Mit diesem Apparat wurden 2 Linien in England gemessen: Longli Foyle, nördl. Irland, 1827, 41 641 Fuss, und Salisbury, westl. von London, 1849, 34 841 Fuss; ferner 10 Linien in Indien.

Näheres hierüber giebt „Ordnance trig. survey“ (vgl. S. 10) S. 200 u. If. mit Plate II, sowie im Auszug Clarke, Geodesy (vgl. S. 14) S. 163 u. ff.

Für die Bayerische Landesvermessung lieferte das mechanische Institut von Utz-schneider und Reichenbach im Anfang dieses Jahrhunderts einen Apparat, welcher aus fünf in hölzernen Kästen eingelegten je 4 Meter langen in polierte Stahlkanten auslaufenden eisernen Stangen bestand. Die Zwischenräume der bei der Messung sich nicht berührenden Stäbe wurden durch stählerne Keile (12cm lang, hinten 6,5mm, vorn 0,5’"“ dick), die Neigungswinkel durch Libellen, und die Temperatur durch auf den Stangen ruhende Thermometer bestimmt (Generalbericht der Europ. Gradmessung 1867, S. 25). Die genaue Beschreibung und Zeichnung dieses Beichenbach sehen Apparates

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

findet sich in dem Werke: „Die Bayerische Landesvermessung in ihrer wissenschaftlichen Grundlage“, München 1873, S. 3—65.

Ähnlich diesem Reichenbach sehen Apparat, in einzelnen Teilen noch sinnreicher ausgedacht, war Schwerds Apparat, den er beschrieben hat in dem Werke: „Die kleine Speyerer Basis“ u. s. w. Speyer 1822.

Der Württembergische Basis-Apparat von Bohnenberger.

Auch dieser Apparat ist grösstenteils nach dem Reichenbach sehen Muster unter Bohnenbergers Leitung im Jahr 1818 gearbeitet (s. „Die Landesvermessung des Königreichs Württemberg“, herausgegeben von Kohler. Stuttgart 1858, S. 45).

Die schon 1792 von Borda erfundene Verbindung zweier Metalle zur Bestimmung der Temperatur-Ausdehnung kam bei dem Reichenbach sehen und Bohnenberger-schen Apparat nicht zur Verwendung, sondern es wurden nur gewöhnliche Thermometer benützt.

Die Messstangen sind je 2 Toisen lang, 32 Pfund schwer und „genau nach der Peru-Toise auf 13° R. reguliert“ (hierüber haben sich später Bedenken erhoben).

Fig. 3.

Eiserne Messstange in einem Holzkasten.

Thenn: jpgl 2 Toisen

Fig. 4.

Eiserne Stange mit Thermometer im Holzkasten.

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Der Querschnitt der Stangen ist ein Quadrat von 2,3cm Seite. Jede Stange endigt einerseits in eiue horizontale, andererseits in eine vertikale Schneide. Die Stangen sind in hölzerne Gehäuse eingeschlossen, wobei jedoch die Schneiden beiderseits hervorragen. Die Gehäuse haben unten Verstärkungsrippen F und oben Handhaben A B (Fig. 3.). In jede Stange ist ein Thermometer eingelassen (Fig. 4.), welches mittelst einer durch Glas verschlossenen und beim Nichtgebrauch bedeckten Öffnung in dem Holzgehäuse beobachtet werden kann. Bei L ist eine Libelle mit Gradbogen angebracht.

Der Messkeil ist von gehärtetem Stahl, abgesehen von der Handhabe ist er 12cm lang, 5mm breit, vorn 0,5mm und hinten 6,2mm dick.

Die Mossungsbrücke bestand aus einfachen hölzernen Böcken.

Fig. 5.

Messungs-Brücke.

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au

Die Basis Solitude-Ludwigsburg von 6687 Toisen oder rund 13 Kilometer Länge wurde in der Zeit vom 18. September bis 12. Oktober 1820 in 19 Arbeitstagen einmal gemessen.

Weiteres und Ausführlicheres über die älteren Basismess-Apparate giebt West-phal „Basisapparate und Basismessungen“ , Zeitschrift für Instrumentenkunde, 1885, S. 257—274, S. 333—345, S. 373-385, S. 420—432. Ferner 1888, S. 189—203, S. 225-236, S. 337—346.

Reduktion einer Basislänge auf den Meereshorizont.

Ausser den Reduktionen für Temperatur, Stangenneigung, Zwischenräume u. s. w., welche bisher erwähnt worden sind, hat man hei Basismessungen, um sie unter sich trigonometrisch vergleichbar zu machen, auch noch die Reduktion auf dem Meereshorizont (bzw. auf N. N.) anzubringen.

Wenn h das arithmetische Mittel der Höhen der einzelnen Stangenlagen über dem Vergleichs-Horizont ist, und r der Erdkrümmungs-Halbmesser, wenn ferner B die Summe der horizontalen Stangenlagen und B₀ deren centrale Projektion auf den Horizont ist, so besteht die Beziehung:

B r -t- h

Bo

oder auch hinreichend genähert:

B — B₀ = B

Zur Übersicht geben wir hiezu einige Zahlenwerte:

0m

0.0000000-0

500m

68-1

600

136-1

800

340-3

1000

0.0000840-3

408-4

544-5

680-6

Differenz

68-1

für 100m

Für die Basislänge B = 1000m und die Höhe h = 100m beträgt die Reduktion

— 0,0157”'.

§ 10. Der Bessel sehe Basis-Mess-Apparat.

Als Bessel im Jahre 1834 zu seiner „Gradmessung in Ostpreussen“ einen Basis-Mess-Apparat bauen liess, standen ihm die Erfahrungen von Borda, Reichenbach, Repsold, Schwerd u. A. zu Gebote (Platin und Kupfer, Messkeil u. s. w.).

Bessel hat zu diesen Erfahrungen sein eigenes Verständnis hinzugefügt, er hat alle Einrichtungen und Berechnungen so scharfsinnig erdacht und so folgerichtig durchgeführt, dass der Apparat immer als klassisches Beispiel gelten wird, obgleich er natürlich jetzt nach 60 Jahren nicht mehr der beste sein kann.

Mit dem Bessel sehen Apparat sind bis jetzt 14 Grundlinien gemessen worden, nämlich 1) bei Königsberg 1834, 2) Kopenhagen 1838, 3) Upsala 1840, 4) Berlin 1846, 5) Bonn 1847, 6) Lommel in Belgien 1851, 7) Ostende 1853, 8) Strehlen in Schlesien 1854, 9) Braak in Holstein 1871, 10) Grossenhain in Sachsen 1872, 11) Ensisheim im Eisass 1877, 12) Göttingen 1880, 13) Meppen 1883, 14) Bonn, Neumessung 1892.

Obgleich der Apparat bei allen diesen Messungen in seinen Hauptteilen derselbe geblieben ist, und obgleich damit die Art der Basismessung einen gewissen konservativen Charakter angenommen hat, ist doch auch hier die Wissenschaft nicht stehen geblieben; seit der Braaker Basis ist die Art der Massvergleichung und die Ausführung der Messung (z. B. die Ablotung) gegen früher stetig vervollkommnet worden, und vor der Göttinger Messung hat der Chef der trigonometrischen Abteilung, Schreiber, den (1830 mit den rohesten technischen Hilfsmitteln hergestellten) Apparat und alle Einzelheiten seiner Anwendung eingehender Kritik unterworfen, woraus die drei letzten Messungen bei Göttingen, Meppen und Bonn hervorgegangen sind, welche zur Zeit als die beste Ausnützung des Bessel sehen Gedankens zu betrachten sind.

Wir geben im Folgenden die Beschreibung und die wichtigsten Zeichnungen des Apparates, teils nach der ersten Mitteilung von Bessel selbst („Gradmessung in Ostpreussen“, S. 1—51 und Tafel I—Y), teils nach den vor Göttingen angebrachten Verbesserungen.

Der Bessel sehe Basis-Mess-Apparat. (Darstellung in natürlicher Grösse.)

Fig. 1.

Ansicht der Stangen-Enden (Anordnung von 1834).

E = Eisen, Z = Zinfc, St = Stahl, T — Tragstange, R = Rollen.

h.

t.

'!i

I]

Fig. 2.

Querschnitt der Stangen mit Massen in Pariser Linien (1 Par. Linie = 2,26 mm). (Anordnung von 1834.)

Fig. 3.

Einweis-Scheibe E E

mittelst des Rahmens R auf das vordere Stangenende aufgeschraubt. (Anordnung von 1880.)

'A-

7Z

Zink

A.

Eisen

72

Tiajfstanye

Fig. 4.

Vorderes und hinteres Stangen-Ende (Anordnung von 1880) im Längsschnitt und im Grundriss (natürl. Grösse).

Vorderes Stangen Ende

-^JzDeckel

Hinteres Stangen-\ /V - Ende

--x-c

'"»m

Zinr

!D

y//m

V.

Stahl

► in w

IS23Ü!)

ÉZinkfl

pst—

'seV I

üi

WM

vJteir

5rWws

W//////Ä v////m///ÆWMÂ.

Fig. 5.

Der gläserne Messkeil (natürl. Grösse).

(20 = 2 Par. Linien — 4,5 mm

8 = 0,8 Par. Linien = 1,8 mm)

Üm

⁵¹ liKSiiM

(Ordiuaten-Differenz, zwischen 2 Strichen, = 0,01 Par. Linien = 0,0226 mm.)

I. Die Messstangen.

Es werden 4 Messstangen zusammen gebraucht, jede Messstange ist 3,898"* breit und 7mm dick. Dieses bezieht sich auf die eigentliche

(= 2 Toisen) lang, 27 eiserne Messstange, auf welcher aber eine zweite, halb so breite Zink-Stange auf liegt, wie aus dem Querschnitt Fig. 2. zu ersehen ist.

Die

Die Zinkstange ist an dem einen Ende mit der Eisenstange fest verbunden, im übrigen liegt sie frei auf und kann sich gegen die Eisenstange ausdehnen, horizontale Fuge zwischen Eisen und Zink gab aber zu Reibungen Veranlassung, und deswegen wurde diese Fuge später auf etwa lmm erweitert, und durch kleine Rollen ausgefüllt, welche in Fig. 4. links durch B angedeutet sind.

Da die flachen Eisen- und Zinkstangen sich auf eine Länge von nahe 4m nicht freitragen könnten, ist ihnen eine Tragstange hochkantig unterlegt, jedoch durch Vermittlung von mehreren Rollenpaaren, nach Andeutung von Fig. 1. Die Bewegung auf den Rollen ist aber nur eine geringe, und wird durch die Mikrometer-Schraube S (wie an der Alhidade eines Theodolits) geregelt.

Die Holzkästen, in welche die'Stangen eingelegt werden, sind in unseren Figuren S. 68 und 69 nicht gezeichnet, sie sind etwa 23cm breit und ebenso hoch.

Libellen sind auf den 4 Stangen zur Neigungs-Bestimmung angebracht. Gewöhnliche Quecksilber-Thermometer wurden mit in die Kästen gelegt, obgleich sie neben der Zink- und Eisen-Verbindung nicht unbedingt nötig sind, und nur ausnahmsweise abgelesen wurden.

Aus den erwähnten Holzkästen ragen nun die Stangen nur mit ihren Enden hervor. Fig. 1. zeigt zwei Stangen-Enden und man erkennt daraus die Art des An-einanderlegens der Stangen. Es endigt nämlich die linke Stange in eine vertikale Stahlschneide, und die rechte Stange in eine horizontale Stahlschneide, und diese beiden Schneiden werden einander so nahe gebracht, dass der übrig bleibende Zwischenraum durch einen Messkeil gemessen werden kann.

Fig. 4. zeigt die neuere Anordnung der Stahlschneiden und deren Verbindung mit den Eisen- und Zinkstangen. Dabei wurden auch die horizontalen Schneiden der 4 Stangen mit gelenkartig niederzuklappenden Schutzdeckeln versehen, wodurch dem früher nicht seltenen Falle von Beschädigung dieser Schneiden vorgebeugt wird, während die vertikalen Schneiden durch die vorspringenden Enden C der darunter befindlichen Eisenstangen schon genügend geschützt sind. (Der Schutzdeckel ist in dem Grundriss von Fig. 4. nur teilweise gezeichnet, indem dessen linker Teil nur punktiert angedeutet ist, damit die darunter liegende horizontale Schneide nicht dem Anblick entzogen wird.)

Die auf jeder Eisenstange aufliegende Zinkstangc ist am einen (linkseitigen) Ende durch Schrauben und Lötung mit der Eisenstange verbunden, von diesem Ende bis zum andern Ende ist sie ohne Verbindung mit der Eisenstange. Auf der entgegengesetzten (rechten) Seite endigt die Zinkstange in eine horizontale Stahlschneide, deren jeweiliger Abstand von einer vertikalen, auf der Eisenstange befestigten Stahlschneide durch einen horizontal eingeschobenen Keil gemessen wird.

Hier ist auch noch die kleine Einweis-Scheibe EEYig. 3. S. 68, zu erwähnen, welche mittelst eines umgreifenden Rahmens B an dem rechtseitigen Ende D jeder Stange befestigt ist. Von dieser Scheibe mit ihren drei schwarzen und weissen Feldern wird bei der Geradrichtung der Basis weiter die Rede sein.

II. Die Messkeile.

Die bei der Göttinger Messung 1880 gebrauchten Glaskeile sind in Fig. 5. S. 69 in natürlicher Grösse gezeichnet.

Die Zunahme der Keildicke von einem Strich zum folgenden ist = 0,01 Pariser Linien, und da man noch 0,1 des Intervalls schätzen kann, so hat man Ablesungen von 0,001 Linien für die Keildicken (0,001 Par. Linien = 2,256fQ.

Die Bestimmung der Keildicken geschah durch eine Einrichtung, welche durch die schematische Fig. 6. S. 71 angedeutet ist.

Auf einer festen Unterlage A A' befindet sich ein Cylinder B mit horizontaler Schneide befestigt, und ein zweiter Cylinder G, welcher der horizontalen Schneide des Cylinders B eine vertikale Schneide gegenüberstellt, ist auf dieselbe Unterlage A A' beweglich aufgelegt. Dieser bewegliche Cylinder C trägt auf seiner oberen Fläche eine Teilung, welche durch ein lotrecht darüber angebrachtes Mikroskop M abgelesen

werden kann. Man schiebt den Cylinder C mit seiner Schneide gegen den Cylinder B berührend an und liest die Teilung auf C am Faden des Mikroskopes ab; zieht man dann den Cylinder C ein wenig zurück, und füllt den Zwischenraum k zwischen den beiden Schneiden durch den zu untersuchenden Messkeil aus, wobei eine zweite Ablesung auf C gemacht wird, so ist die Differenz der Ablesungen auf C gleich der betreffenden Keildicke k.

Fig. 6.

Bestimmung der Keildicken k.

waren.

Tabellen angelegt, aus denen für jede Keilablesung die zugehörige Keildicke entnommen werden kann.

Auf diese Weise wurde jeder Keil an mehreren Stellen in Bezug auf seine Dicke untersucht, es zeigte sich, dass die Keildicken auf 0,01 Linien genau proportional den Keillängen waren, dass also die Keilflächen bis zu dieser Genauigkeit eben geschliffen Nach diesen Bestimmungen, welche in Fig. 6. angedeutet sind, wurden

Die Messkeile dienen zwei verschiedenen Zwecken: erstens werden damit die

Zwischenräume zwischen je zwei Stangen-Enden gemessen (Keil J Fig. 4. S. 69) und zweitens werden damit die Verschiebungen der Zinkstangen gemessen (Keil k Fig. 4. S. 69.)

Die ganze Einrichtung von Zink und Eisen mit Keilmessung ihrer Differenz nennt man auch „Metall-Thermometer.“

III. Die Messungs-Brücke.

Als Auflager für die Stangenkästen benützte Bessel kleine hölzerne Böcke, welche jedoch nicht geradezu auf den Boden gestellt wurden, sondern es wurden zuerst je drei 20cm lange eiserne Nägel in den Boden geschlagen, darauf ein Brett gelegt und darauf ein Bock gestellt, der ausserdem mit etwa 50*v belastet wurde, um seine Standesfestigkeit zu erhöhen.

Auf je zwei Böcke wurden dann die einzelnen Stangenkästen aufgelegt und sowohl nach der Höhe, als der Quere nach, eingerichtet. Dieses Einrichten geschah von der Königsberger Messung 1834 bis zur Braaker Messung 1871 von freier Hand, und war daher sehr mühsam. Nach den Erfahrungen von Braak wurden die hölzernen Böcke mit Kurbelschrauben versehen, zum raschen mikrometrischen Begulieren der Höhen sowohl als auch der Geradrichtung. Diese verbesserten Böcke sind seitdem bei Grossenhain in Sachsen und bei Oberhergheim im Eisass mit Vorteil gebraucht, zur Basismessung bei Göttingen und Meppen aber durch neue, aus Schmiedeeisen kon-

struierte Böcke ersetzt worden. Die hölzernen Unterlagsbretter und die eisernen 20cm tief in den Boden einzuschlagenden Nägel, auf welchen diese Bretter ruhen, blieben dieselben wie bei Bessel. („Gradm. i. Ostpr.“ Tafel IV.)

Wegen der Standfestigkeit ist die Auflegung der Stangen so nieder als möglich gehalten. Die Böcke sind nur 0,63”* hoch, so dass mit Zurechnung der Unterlagsbrettdicke und der halben Kastenhöhe die Stangenschneiden nur 0,77m über dem Erdboden zu liegen kommen, was gerade noch Handhabung und Ablesung der Keile ohne zu unbequeme Körperlage gestattet.

§ 11. Massbestinimiingen des Bessel sehen Apparates.

I. Bas Metall-Thermometer.

Wir betrachten zunächst das Metall-Thermometer in seiner einfachsten Gestalt (Fig. 1.). Eine Eisenstange von der Länge l und eine Zinkstange von der Länge V

werden so aufeinander gelegt, dass die linkseitigen Enden zusammentreifen, dann ist der Abstand k der beiden k, rechten Enden die Angabe des Metall-Thermometers.

Bei irgend welcher Temperatur wird l = V wer--•» den, und die gemeinsame Länge beider Stäbe sei in diesem Falle = L. Zählt man nun die Temperatur t' von jenem Stand rückwärts, nennt e und z die Ausdehnungs-Coëfficienten von Eisen und Zink, so ist:

Fig. l.

Metall-Thermometer.

I-

Ir

l = L (1 — e V)

ï =L(l—z V)

(1)

Die Differenz ist:

(2)

l — V = L(z — e)t' = k Durch Elimination von t’ erhält man:

(3)

z — e

Den relativen Ausdehnungs-Coëfficienten, welcher hier Coefficient von k ist, bezeichnen wir mit m, d. h. :

(4)

und damit haben wir:

(5)

l = L — mk

Eine Gleichung von der Form (5) gilt für jede der 4 Stangen.

Dürfte man auf die Gleichheit der Ausdehnungen bei allen 4 Stangen (die aus einem Stück geschnitten sind) rechnen, so wären die Ausdehnungs-Coëfficienten e und z, für Eisen und Zink als konstant zu betrachten. Bessel nimmt jedoch für jede Stange besondere Werte e und z, also auch einen besonderen Wert m an, und demnach bestehen entsprechend (5) für die 4 Stangen folgende 4 Gleichungen:

Zj =    — ki Wj

?2 ⁼ -^2 — fr2 m2 h — -^3 — h mz I4 = Lą — k± w?4 ,

wo fri, 7io, fr₃, fr₄ die Keilmasse der Metall-Thermometer der 4 Stangen bedeuten.

Für die Längen Lx, L₂, Ls, L₄ werden andere Formen eingeführt:

(7)

L₄ = L + x₄ .

dabei sind xx, x₂, xs, x₄ die Korrektionen, welche an einem gemeinsamen Wert L noch anzubringen sind. Dieser Wert L ist willkürlich; man kann deswegen z. B. L als arithmetisches Mittel der 4 Werte Lx, L₂, L₃, i₄ annehmen, also:

(8)

_I\ -+- L₂ -t- L₃ 4- Iją

und damit wird für die Korrektionen x die Bedingung erhalten:

(9)

xx -f- x₂ 4“    ⁼ 0

damit gehen die Gleichungen (6) über in die folgenden:

Mittel:    l =L

lJ — L —|— XX -IC-y ïïlX

1% ⁼ L -)— x₂ —k2 = L + x% — k₂ m2 = L -\- x₄ — k₄ m₄

(10)

— km

Hier hat L für das Mittel aus allen 4 Stangen dieselbe Bedeutung, wie Lx, L₂, Ls, L₄ nach (6) für die einzelnen Stangen.

II. Gegenseitige Vergleichung der 4 Stangen. Bestimmung der x und m.

Fig. 2.

Stangen-Vergleichung.

A.

±Śf

£•

i-

-M-

In Fig. 2. bedeuten Kx und K₂ zwei möglichst unveränderliche, auf gemeinsamer Unterlage befestigte Stahlkeile, welche zum Zweck des scharfen Anstossens in Schneiden endigen. Der Abstand M der Schneiden ist etwas grösser als die Stangenlange l, so dass zum Ausfüllen ausser der Stange l noch zwei Cylinder N' und N" und die Keilmasse n’ und n" nötig sind. (Die Ausfüll-Cylinder N' und N" sind nur aus Gründen der Bequemlichkeit angebracht und für das Prinzip des Apparates unwesentlich.) Denkt man sich nun die Stange Nr. 1 in den Vergleich-Apparat Fig. 2. eingelegt, so erhält man eine Gleichung:

(11)

M = lx + (N' + N") + (nx + nx"

Es ist aber nach (10):

0 —    —    «j +    G — x₄    + ki Mi

(15)

0 =:    —    «2 4“    G — X₂    —1— Ä*2 m2

0 =    —    «3 +    0 — Xg    + &g 7«3

0 =    —    «₄ +    C — x₄    + k₄ m₄ .

Z. B. gaben die 4 ersten solchen Vergleichungen folgende erste Gruppe von Gleichungen dieser Art, mit eingesetzten Beobachtungswerten:

(16)

0 =    — 3,4506 +    C, — a?» + 1,3377

Alle Keilmasse, z. B. 3,9693 und 1,8960, sind hier in Pariser Linien (= 2,2558”"")

gezählt.

folgende:

Nun wird, um alles Gleichartige zusammenzufassen, gesetzt:

M—(N' + N")-L = n{ + n{' — n2

Damit erhält man aus den zwei vorhergehenden Gleichungen (11) und (12) die

(13)

(14)

«2 = 0 —    + k₄ m₁

Wenn man nach einander die 4 Stangen einlegt, so erhält man entsprechend (14) folgende 4 Gleichungen :

Ähnlich wie (16) wurden noch 8 andere Gruppen von Vergleichungen unter möglichst verschiedenen Umständen gewonnen, und die 36 Gleichungen nach der M. d. kl. Q. aufgelöst. Dabei sind folgende Unbekannte zu bestimmen:

1)    0₂ . . . Og . für jede Gruppe ein besonderes G (nach 13), damit den Änderungen des Apparates von Gruppe zu Gruppe Rechnung getragen wird,

2)    Xi x% xs x₄ mit Xi + x₂ + x₃ + x₄ = 0, also nur drei unabhängige x,

3)    nii m2 w»3 m₄.

Man hat also in den 36 Gleichungen die Anzahl von 9-f-3 + 4= 16 Unbekannten. Die Auflösung nach der M. d. kl. Q. gab die verschiedenen C und ferner:

xt = — 0,3015 Par. Linien a-₂ = + 0,3986    „

x₃ — — 0,0713 xn = — 0,0258

mt — 0,54033 m₂ = 0,56976 m₃ = 0,57575 — 0,58103

(17)

Summe = 0,0000

Mittel m = 0,56422

und den mittleren Fehler einer Vergleichung:

(18)

m = + 0,00353 Par. Linien = + 0,0080mm

oder relativ:

(18a)

= 0,000 002 = 2 Milliontel

_ 0,00353 l ~ 1728

Diese mittleren Fehler sind hier zunächst reine Rechnungsgrössen, welche nicht alle Fehlerquellen zum Ausdruck bringen.

III. Vergleichung der Stangen mit dem Normalmass.

Da durch die x₄ x₂ xs x₄ die 4 Stangen bereits unter sich verglichen sind, genügt es, eine der 4 Stangen mit dem Normalmass zu vergleichen. Das Normalmass

war eine von Arago und Zahrtmann in Paris mit der Peru-Toise verglichene Toise, deren Gleichung ist:

(20)

T = 863,835384 (1 -+- 0,00001458822) = 863,999205 (1 -+- 0,000014588(72— 13)) (19) wo die Länge in Pariser Linien und die Temperatur R in Réaumur-Graden gemessen ist. Hiezu nimmt man die Stange Nr. 1, welche nach (10) und (17) die Gleichung hat: lx = L — 0,3015 — 0,54033

Legt man diese Stange Nr. 1. und die Toise T nach einander in den Vergleich-Apparat Fig. 2., so erhält man durch die verschiedenen Keilmasse n eine Vergleichung, und eine Beziehung zwischen den Gleichungen (19) und (20), aus welcher eine Bestimmung von L hervorgeht.

Es Avurden 12 solcher Bestimmungen gemacht, und im Mittel erhalten L = 1729,1167 + 0,000 984 Pariser Linien und der mittlere Fehler einer solchen Vergleichung

gi = + 0,003 407 Par. Linien = + 0,0077

(21)

mm

oder relativ :

(22)

(23)

= 0,000 0020 = 2 Milliontel

0,000984

= 0,000 000 6 = 0,6 Milliontel

(23a)

Nun kann man für jede der 4 Stangen ihre Gleichung bilden, nämlich nach (10), (17) und (21):

= 1728,8152 — 0,54033 kt I₂ = 1729,5153 — 0,55976 k2 ?₃ = 1729,0454 — 0,57575 Jc3 \ = 1729,0909 — 0,58103 T = 1729,1167 — 0,56422 k l = L

(24)

Mittel

Allgemein

IV. Vergleichung der Metall-Thermometer und der Quecksilber-Thermometer.

Obgleich die Kenntnis der Temperatur der Messstangen und der Einzel-Ausdehnungen des Eisens und des Zinks, aus welchen sie zusammengesetzt sind, nicht durchaus nötig ist, da ja jede Stangenlange l nach einer Gleichung von der Form (24) sich als Funktion des inneren Keilmasses k ergiebt, war es doch erwünscht, auch eine Beziehung zwischen den Metall-Thermometer-Keilmassen k und den gewöhnliehen in die Kästen mit eingelegten Quecksilber-Thermometern zu erhalten. Es wurden hiezu bei möglichster Temperatur-Ruhe 160 Vergleichungen angestellt, welche im Mittel für die 4 Stangen gaben:

(25)

k = 2,1249 — 0,045489 R oder R = 46,712° — 21,983 k Dabei ist k das Keilmass, welches für die 4 Stangen einzeln mit fcj, k%, ks, bezeichnet wurde, und R die Angabe des Quecksilber-Thermometers in Réaumur-Graden.

(25a)

Diesem entspricht folgendes:

(25b)

R — 0°    5°    10°    15°    20°    25°    30° 46,71°

k = 2,125    1,897    1,670    1,443    1,215    0,988    0,760 0,000    Par. L.

V. Bestimmung der Einzel-Ausdehnungen von Eisen und Zink.

Wenn man eine Beziehung zwischen dem Keilmass k und der Temperatur t (z. B. in R° oder C°) gefunden hat, von der Form (25) oder allgemeiner geschrieben

(26)

k = fc₀ —p t

so kann man auch den relativen Ausdehnungs-Coëfficienten m in seine Bestandteile e und z zerlegen. Wir haben nämlich nach (4), (5) und (24):

l — L — mk

also wegen (26):

m k₀ 4- mp t = {L — m fc₀) ^ 1 4

mp

L — m k₀

(26a)

stange l ist:

Daraus giebt sich zu erkennen, dass der Ausdehnungs-Coëfficient e der Eisen

mp

L — m k₀

_ mp

(27)

und da z — e — e:m ist, hat man nun auch:

(28)

L — mk₀

Hiebei ist L — m k₀ — diejenige Stangenlange 1, welche für t = 0 stattfindet. Für die Mittelwerte der Bessel sehen Stangen haben wir k₀ = 2,1249 (für t in B°), m — 0,56422, womit berechnet wird l₀ = 1727,9178 und insbesondere:

und

Die letzten Stellen dieser Zahlen sind nur genähert richtig, wegen des Einflusses der in Fig. 1. S. 72 vernachlässigten Zwischenstücke D in Fig. 4. S. 69 u. s. w. vgl. unsere 2. Auflage 1878, S. 89—90 Gleichungen (1)—(6).

e = 0,000 014 854

^ = 0,000 041 180

Nun hat man für die Messstangen zwei Arten von Längen-Bestimmungen, erstens mit den Metall-Thermometern nach der Gleichung (24) und zweitens mit den eingelegten Quecksilber-Thermometern nach (26a).

Bessel hat die Königsberger Basis nach beiden Arten berechnet, und gefunden, dass die Quecksilber-Thermometer mehr gaben, nämlich:

für die erste Messung: für die zweite Messung:

(29)

+ 16,346* = 20mm für ltm -t- 7,406*= 9mmfürli:m Mittel: “4-11,876* = 15“»" für P”>

Der Grund dieser erheblichen Unterschiede wurde darin gefunden, dass die eingelegten Quecksilber-Thermometer den Temperatur-Änderungen Morgens und Abends viel rascher folgen, als die massiven und trägen Eisen- und Zinkstangen. Insofern nun diese Stangen ihr eigenes Thermometer sind, wurde ihren Angaben der Vorzug gegeben und die Quecksilber-Thermometer nicht weiter berücksichtigt.

Die Basis wurde in zwei Abschnitten je zweifach hin und her gemessen, und die Berechnung nach den Metall-Thermometern gab folgendes:

Abschnitt Messung I. Messung n. Differenz d = I—II 441,1852"*    441,1839”

1381,1571"*    1381,1632»

«l

4- 1,3'

s2

Summe 1822,3423”    1822,3471”*

-6,1

— 4,8"""

(30)

In ähnlicher Weise, wie wir im Vorstehenden von der Königsherger Messung beschrieben haben, wurden auch später Mass-Bestimmungen zu den in § 10. S. 67 erwähnten Basis-Messungen gemacht, z. B. :

1834 Königsberg l = 1729,1167¹ — 0,56422 k 1846 Berlin

(31)

l = 1729,0999¹ — 0,55228 k Die nicht unerheblichen Änderungen in diesen Zahlen haben zu der Anschauung geführt, dass die Stangen im Laufe der Jahre ihre molekulare Struktur geändert hätten. („Publik, d. geod. Inst. Massvergleichungen“ I, 1872, S. 38—46, Bericht von General Baeyer). Doch hat sich das bei näherer Untersuchung nicht bestätigt.

Um das Wesentliche der hierauf bezüglichen Fragen anzuführen, reduzieren wir die verschiedenen Formeln (31) auf den Mittel~wert k = 1,4, d. h. wir formen so um:

(82)

1834 Königsberg l = 1728,3268' — 0,56422 (k — 1,4) \

l = 1728,3267' — 0,55228 (k — 1,4) ( m(k— 1,4)

1846 Berlin

L'

entsprechend der Formel l =

Nun sind die Absolutglieder fast gleich geworden, während sie vorher bei (31) um 0,0168 Par. Linien = 0,038'"”* verschieden waren.

Die Absolutglieder in (31) gelten für k = 0, was einer Temperatur von etwa 47° R. entspricht, welche beim Gebrauche nie vorkommt, und deswegen ist die Form (32) mit dem Mittelwert k = 1,4, entsprechend einer Temperatur von etwa 16° R., zur sachlichen Vergleichung viel mehr geeignet.

Auch die Änderung der Ausdehnungs-Coefficienten m, e, z, welche sich z. B. zwischen den Jahren 1834 und 1846 als Verkleinerung von e und z zeigt, kann ohne die Annahme molekularer Änderungen erklärt werden.

Eine Eigentümlichkeit des Apparates besteht auch darin, dass die Abnützung der äusseren Schneiden die Stangen verkürzt, wie immer bei Abnützung von Endmassen, dass aber eine Abnützung der inneren Schneiden, zwischen welchen der Temperaturkeil k (Fig. 4. S. 69) eingelegt wird, die Stangen scheinbar verlängert. Wenn nämlich dieselbe Stangenlange l nach der Formel (32) zweifach dargestellt ist l = L' — m (k — 1,4) oder = L" — m (k' — 1,4) und wenn, durch Abnützung der inneren Schneiden, k' grösser als k ist, so muss auch L" grösser als L' sein. Wenn also z. B. in (32) die beiden Werte L' = 1728,3268 und 1728,3267 nach Verlauf von 12 Jahren fast gleich sind, so kann doch die wirkliche Länge l bei einer bestimmten Temperatur durch Abnützung der äusseren Schneiden kürzer geworden sein, wenn gleichzeitig eine noch stärkere Abnützung oder Aus-einandertreibung der inneren Schneiden stattgefunden hat.

Man vgl. hierüber „Vierteljahrsschrift der astronom. Gesellschaft¹* 1877, S. 150 — 152, und eine Abhandlung von A. Börsch, „astr. Nachr.“ 99. Band (1881), Nr 2364. Hierauf bezieht sich auch eine Publikation des königl. preuss. geodätischen Instituts, „die Ausdehnungs-Coefficienten der Küsten-Vermessung“ von Dr. Alfred Westphal, Berlin 1881.

§ 12. Die Göttinger Basismessung.

Wie schon früher in § 10. S. 68 berichtet wurde, zeichnet sich die Göttinger Basismessung vom Jahre 1880 vor den früheren mit dem Bessel sehen Apparat ge-

machten Messungen dadurch aus, dass hier zum erstenmal die von General Schreiber vorgenommenen Verbesserungen des Apparates und des Messungs-Verfahrens zur Anwendung kamen.

Verfasser hat damals aktiv an der Basismessung teilgenommen (als Keilleger und Abloter) und hat dadurch umsomehr Veranlassung, diese Messung hier genau zu beschreiben, entsprechend einem bereits in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1880, S. 877—403 veröffentlichten Berichte.

Der amtliche Bericht über die Göttinger Basismessung ist enthalten in dem Werke: Die königliche Landestriangulation, Hauptdreiecke VI. Teil, gemessen und bearbeitet von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme, Berlin 1894 (Hofbuchhandlung Mittler u. Sohn, Kochstr. 68/70) S. 179 u. ff.

1. Gesamt-Anordnung der Basis.

Das Leinethal, in der Gegend von Göttingen, bildet südlich von dieser Stadt genügend festen und horizontalen Boden östlich der Landstrasse. Nach mehrfachen Erkundungen, welche sich namentlich auf ein günstig zu gestaltendes Basisnetz bezogen, wurde diese Gegend gewählt mit einer 5km langen Linie. Weitere südliche

Erstreckung der Basis wäre wohl wünschenswert gewesen, wurde aber durch die Boden-Verhältnisse verhindert.

Das Längenprofil der Basis hat in den ersten zwei Dritteln ziemlich horizontale Erstreckung, während im letzten südlichen Drittel eine Ansteigung bis 31m über dem Anfang stattfindet. Dort betrugen die Steigungen mehrfach bis zu 3°.

Der nördliche und der südliche Endpunkt werden hinsichtlich ihrer Festlegung und trigonometrischen Bezeichnung durch Fig. 1. veranschaulicht. Die Ablotungen des Instrumenten - Standpunktes T auf den Basispunkt F. beziehungsweise die betreffenden Centrierungen, wurden durch seitlich aufgestellte Theodolite bewirkt, wodurch auch 4 äussere Fundament-Versicherungen beigezogen wurden. Die Länge der Basis wurde vorläufig zu 5193™ bestimmt und dann in 33 meist

Fig. l.

Endpunkts-Pyramide mit Hänge-Pfeiler. (Massstab 1:100.)

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4,15"

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gleiche Teile geteilt durch Anlage von 32 Zwischen-Festlegungen. Hiezu dienten kupferne Bolzen, mit einzusetzenden stählernen in Nadeln endenden Pinnen mit Fundierung in Cement, wie in Fig. 1. unten bei F angedeutet ist. Hieraus ergiebt sich der mittlere Wert einer Teilstrecke = 156m = 10 Stangen lagen, während die erste und letzte Strecke etwas länger waren.

II. Gerad-Richtung.

Um die 32 Zwischen-Festlegungen in die Basisrichtung zu bringen, überhaupt um die Basis für die Messung gerade zu stecken, hatte man nach erster vorläufiger Absteckung eine ebenso grosse Zahl von „Galgen“ aufgestellt, je 15,6m = 1 Lage, nach Süden von den Festlegungen entfernt. Die technische Rüstung dieser Galgen, mit l,5m tief eingebohrten und eingerammten Pfählen von 20cm Dicke, zeigt Fig. 2. Die 35™ breiten und 9cm dicken Deckbohlen dieser Galgen dienten bei der durchlaufenden Geradrichtung zum Aufstellen der Theodolite, beziehungsweise der Signalscheiben, beide centrisch über eingeschlagenen Messingpinnen. Zur Auffindung der Lagen für diese Pinnen, d. h. für die eigentliche Geradrichtung wurde im wesentlichen das Verfahren angewendet, Zwischenpunkte durch Messung von 180°-Winkeln einzuschalten, wie wir schon in Band II, 4. Aufl. 1893, S. 693, gezeigt haben.

Es wurde zuerst die Mitte gegen die beiden Endpunkte eingerichtet, dann der erste Viertelspunkt gegen den Anfang und die Mitte u. s. w.

Nach dieser Einrichtung aller Galgenpinnen wurde nochmals zur unabhängigen Versicherung eine durchlaufende Winkelmessung über alle Galgen hinweg, je mit Sichtung auf den vorhergehenden und den nachfolgenden Galgen, vorgenommen, woraus sich durch Rechnung ein Polygon von 32 Brechungspunkten zwischen dem 0ten und dem 33'“ Punkte ergab, welches eine grösste (westliche) Abweichung von 25mm ergab, was auf 5193m Länge ausser Betracht bleibt.

Zwischen je 2 Galgen wurden noch 4 Pflöcke (in Abständen von 33,2m) geschlagen, zum Spannen einer Schnur, längs welcher die Stangen-Unterlagen vorläufig eingerichtet werden konnten, während die endgiltige Einweisung der Stangen selbst von den Galgen aus, beziehungsweise von Zwischenstationen aus, durch Theodolite besorgt wurde. Dabei dienten Zelte von der Form Fig. 3. zum Schutz gegen die Sonne.

Zum Einweisen der einzelnen Stangen dienten die schon früher in § 10. S. 70 erwähnten, in Fig. 3. Seite 68 rechts gezeichneten Aufsatz-Scheibchen. Wir denken uns, der Einweise-Theodolit sei auf einem Galgen (Fig. 2.) oder einer Zwischenstation aufgestellt, und das vordere Ende einer Stange sei bereits durch Fahnenwinken so genau eingewiesen, dass der Faden des Fernrohrs in das mittlere weisse, 1™ grosse Feld der Scheibe fällt. Genauer wird nicht eingewiesen, sondern der noch übrige Rest des Einweisungs-Fehlers wird geschätzt, aufgeschrieben und später in Rechnung ge-

Fig. 2.

Geradricbtungs-Galgen. (Maasstab 1:100.)

T"

y»"

Pf

HP

Fig. 3. Schutz-Zelt. (Massstab 1:100.)

bracht. "Wenn zwei aufeinander folgende Stangen-Enden die Ablesungen d und d' geben, so ist die zugehörige Geradstreckungs-Reduktion bekanntlich =

(d-d'f

21

, wenn

l die Stangenlange selbst ist (l = 3,95“).

man

Reduktion annimmt, eine Gesamtreduktion etwa = 1315 X 0,0005 = 0,66’

0,13 Milliontel der Länge, ein Betrag, der sich aber sofort auf das Vierfache erhöht, wenn die obige kleine Annahme + 2mm für 1 Stange auf den doppelten Wert kommt.

Diese Beträge sind immer sehr klein, sie dürfen aber nicht vernachlässigt werden, weil sie sich niemals gegenseitig aufheben, sondern alle in demselben Sinne, nämlich vergrössernd wirken. Die ganze Basis hat etwa 1315 Stangen, folglich, wenn den Wert + 2mm als mittlere Stangen-Ausweichung und 0,0005mm als mittlere

oder etwa

III. Ablotungen.

Die Anordnung der zahlreichen Ablotungen, welche an den Endpunkten der Basis, an den Zwischen-Festlegungen und an den Unterbrechungen über Nacht und über Mittag nötig werden, ist von wesentlichem Einfluss auf den Gesamtverlauf der Messung und die Zuverlässigkeit ihrer Resultate. Das unmittelbare mechanische Abloten mittelst Fadenlotes ist wegen der Pendelschwingungen unbequem und ungenau. Viel sicherer vollzieht sich das optische Abloten mit Hilfe eines seitlich aufgestellten Theodolits. Dieses wurde schon bei der Braaker Basis angewendet und ist für die Göttinger Basis in die Form gebracht worden, welche wir nun im Anschluss an Fig. 4. beschreiben.

Fig. 4. Abloten.

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Gfc)

T*

NI

Tu

‘X,

,x

;f

15,6m

7,8m-

■>>

ÀT'

Man. hat zu unterscheiden, ob ein Stangenewde oder ein Zioischen^vcakt einer Stange auf eine Boden-Festlegung abgelotet werden soll; der letztere Fall ist durch Fig. 4. angedeutet.

Es stellt I, II, (III), IV eine Stangenlage vor, es ist aber in diesem Falle (III) keine gewöhnliche Stange, sondern die besondere, mit einer oberen Teilung versehene Festlegungs-Stange, welche hier zur Ablotung auf den Punkt F dient.

Nachdem die gewöhnliche Messung bereits über F hinweggegangen ist, während jedoch die benachbarten Stangen II und IV noch unverrückt liegen, wird III vorsichtig herausgenommen und durch (III) ersetzt. Durch Ausziehen von Schlitten-Schiebern hinten und vorn kann man mit dieser Stange (III) die ganze Länge zwischen II und IV (nämlich die Länge der Stange III samt den 2 Keilmassen) ausfüllen, und folglich den Punkt F als Projektion N auf der Teilung von (III) angeben. Das hiezu nötige Herauf-Loten von F geschieht durch 2 seitlich aufgestellte Theodolite T und T'. Es empfiehlt sich jedoch, nicht direkt den Auflote-Punkt N auf der Stange (III) zu bestimmen, sondern durch vorläufiges Herauf-Projizieren einen anderen genäherten Punkt N' zu ermitteln und dann noch den kleinen Horizontalwinkel zwischen F und N genau zu messen und das ihm entsprechende lineare Mass in Rechnung zu bringen.

(Einige dabei zu beachtende Einzelheiten s. „Zeitschr. f. Verm.“ 1880, S. 385

bis 386.)

Da alle diese Ablotungen doppelt, nämlich durch zwei symmetrisch seitwärts gestellte Theodolite ausgeföhrt wurden, ergab sich eine Versicherung unmittelbar. Die 34 Ablotungen der ersten Basismessung gaben eine mittlere Differenz von nur 1,51”, also für das Mittel aus beiden Messungen nur einen mittleren Fehler von 0,76”, was auf 3,90”* Theodolit-Abstand einen mittleren linearen Fehler von nur 0,014”*”* giebt. Die Instrumente waren 2lcm-Mikroskop-Theodolite, sonst zu Triangulationen zweiten

Rangs gebraucht.

Zwar sind nicht alle bei den fraglichen Ablotungen mitwirkenden Verrichtungen, Ablesungen an der Stange (III) u. s. w. ebenso genau, doch sind die Ablotungen im Ganzen auf 0,1”*”* sicher, wobei noch zu beachten ist, dass diese Fehler der Zwischenpunkte sich nicht fortpflanzen und in das Gesamtbasis-Resultat überhaupt nicht ein-gehen.

In ähnlicher Weise wie diese Ablotungen an den regelmässigen Festlegungen wurden auch die Unterbrechungs-Ablotungen Mittags und Abends gemacht.

IV. Die Keilmessung.

Das Einlegen eines gläsernen Messkeiles (vgl. Fig. 4. und Fig. 5. § 10. S. 69) zwischen die Schneiden, und das Ablesen der Teilung ist nicht so einfach, als dieses auf den ersten Blick scheinen könnte; es ist eine gewisse Übung dazu erforderlich. Vor allem muss man sich hüten, den Keil zu stark „einzuschieben“, er soll nur „ein-gelegV¹ werden, wobei die erste Berührung mehr wie eine Art Kleben als wie ein Druck gefühlt werden soll. Wird zu stark eingedrückt, so entstehen erhebliche konstante Fehler, deren Existenz schon die Brüsseler Kommission 1854 fand.

In der Landesaufnahme hat sich eine feine Art der Keillegung seit Bessel und Baeyer durch Tradition erhalten, und die besonderen bei Göttingen angestellten Versuche, über welche wir nachher berichten werden, haben ergeben, dass bei Befolgung dieser vorsichtigen Keillegung die konstanten Fehler äusserst kleine Beträge haben. (S. 82.)

Was zunächst den mittleren unregelmässigen Keillege- und Ablesefehler betrifft, so fand man denselben aus Wiederholungen der Metall-Thermometer-Messungen = Hh 1,8 * und aus Wiederholungen der Intervallen-Messungen = + 2,3 '. Hiebei soll mit t der Wert 0,001 Par. Linie bezeichnet werden; es ist nämlich 1 * die letzte noch wahrzunehmende Grösse, welche dem geschätzten Zehntel der Keilteilung entspricht. Diese Genauigkeit von etwa + 2* = + 0,005mm, mit freier Hand und mit blossem Auge erreicht, ist sehr überraschend.

Die Metall-Thermometer-Fehler gehen in die Basislänge nur etwa mit ihrem halben Betrag ein, man hat also für eine Stangenlange nur etwa ]/0,9² -+- 2,3² = + 2,5e = + 0,0056mm in Rechnung zu nehmen, oder für llm Länge mit rund 250 Stangen den mittleren Messungsfehler = + 0,0056 ]/250 = + 0,09mm. Thatsächlich ist der

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. XII. Bd.

mittlere unregelmässige Basismessungs-Fehler, aus Doppelmessungen berechnet, etwa _ _j_ \mm für p™ d. jj lOmal so gross, als der soeben a priori gefolgerte. D. h. der nackte mittlere unregelmässige Keilmessungs-Fehler bildet nur einen verschwindend kleinen Teil der wirklichen Fehler. Erheblichere Beträge werden erzeugt durch Gleiten der Stangen auf ihren Böcken, sowie durch Ungleichheit der Temperaturen in den Eisen- und Zinkstangen.

Zur Bestimmung des Keildrucks wurde die in Fig. 5 angedeutete Einrichtung getroffen, es ist nämlich auf dem rechten Ende der Stange II ein Schrauben-Mikroskop Fig. 5.

befestigt, dessen Gesichtsfeld auf das linke Ende der Stange III hinüberreicht, und eine dort angebrachte feine Teilung einzustellen gestattet. Jede relative Bewegung der zwei Stangen II und III kann mit dieser Vorrichtung leicht auf +0,1* genau gemessen werden.

K,

k₂

Es wurde dadurch gefunden, dass stärkere absichtliche Keildrücke zweierlei Wirkung haben, erstens grösstenteils elastisches Zurückgehen, zweitens aber eine dauernde Verschiebung von etwa 0,4h

Die schwachen Keildrücke, wie sie bei der eigentlichen Basismessung vorkamen, hatten eine dauernde Wirkung von nur im Mittel 0,29 ‘ oder 0,17 Milliontel der Länge.

V. Temperatur- Verhältnisse.

Temperatur-Bestimmung mit dem Quecksilber-Thermometer findet bei der Besselschen Messmethode unmittelbar nicht statt. Indessen besteht doch ein gewisses Interesse, auch die eigentlichen Stangen-Temperaturen zu kennen, und zu diesem Zweck zuerst eine Beziehung zwischen dem Keilmass k und dem Temperaturgrad R eines Quecksilber-Thermometers herzustellen; so hat Bessel in der „Gradm. in Ost-preussen“ S. 29 (vgl. unseren § 11. Gleichung (25) S. 75) für das Mittel der vier Stangen die Beziehung gegeben:

oder

R = 46,712° — 21,983 k

k = 2,1249 — 0,045489 R, wo k das Keilmass in Par. Linien und R die entsprechende Quecksilber-Thermometer-Angabe in R° bedeutet.

Bei Göttingen machte ich an den 2 Tagen der intensivsten Messung, 17. und 18. August, einige Versuche zur Vergleichung mit Quecksilber-Thermometern.

Es wurden etwa halbstündlich folgende 3 Aufzeichnungen gemacht:

1.    Temperatur der freien Luft durch Schleuder-Thermometer.

2.    Temperatur des Innenraums der Kästen, an den eingelegten Thermometern durch die Glasverschlüsse abgelesen.

3.    Metall-Thermometer-Keilmasse für die 4 Stangen.

Die Verhältnisse waren auch insofern andere, als bei der ersten Königsberger Vergleichung von 1834, als damals die mit heller Ölfarbe angestrichenen hölzernen Stangenkästen unmittelbar den Sonnenstrahlen ausgesetzt wurden, während bei Göttingen die Kästen noch Überzüge von weissem Schirting hatten, welche durch die Erfahrungen bei der Braak sehen Messung, 1871, als nützlich erkannt, in der That einen erheblichen Schutz gegen strahlende Wärme gewähren.

R°

,6*;_7h 8h

Fig. 6.

Gang der Temperaturen bei der Göttinger Basismessung: (Mittel vom 17. und 18. August 1880.)

Vormittag

9h

10h nh 12h ih 2h

Nachmittag

3h

4b 5h Gl

h*

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4.

₆li ÿh g¹⁷

9¹¹¹

I0h nh ₁₂h f

2"    3¹

4" 5h Gh 7b

10°

Die Ergebnisse dieser Yergleichungen sind in vorstehender Fig. 6. dargestellt. Die Original-Beobachtungen hiezu wurden in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1880, S. 394 veröffentlicht, und zwar 17. und 18. August 1880 im allgemeinen halbstündlich. Die Beobachtungen dieser zwei Tage wurden zuerst gemittelt und wenig ausgeglichen, wodurch folgende Zusammenstellung erhalten wurde:

Tageszeit Morgen 6»

Göttingen 17.—18. August 1880. Luft 10,7° C

10,8

Kasten 9,9° C 10,8

Metall-Thermometer 10,0° C

10,6

11,6

11,6

11,2

13,1

12,6

12,2

10

15,8

14,8

14,2

11

17,4

17,8

16,6

Mittag 12

18,4

19,5

17,8

18,5

19,7

18,6

18,3

19,5

19,0

18,1

19,4

18,9

18,0

19,5

19,0

17,7

19,4

19,0

17,1

19,2

18,8

Abend 7

16,0

18,4

18,2

Diese Werte wurden nochmals ein wenig graphisch ausgeglichen, und dann wurde die obenstehende Fig. 6. darnach aufgetragen.

Der Gang der Temperaturen ist im wesentlichen dieser: Unmittelbar vor dem Erscheinen der Sonne haben die Luft, der Kasten und die Stangen infolge der nächtlichen Ausgleichung nahezu gleiche Temperatur; sobald die Sonne zu wirken beginnt, hebt sich die Lufttemperatur und nachfolgend auch allmählich die Temperatur des Kastens und der Metallstangen; dann beginnt der Kasten nach und nach als Wärmebehälter zu wirken und teilt auch den Stangen seinen Wärmevorrat mit, so dass Nachmittags und Abends der Kasten und die Stangen wärmer als die Luft sind. Die Unterschiede zwischen dem Quecksilber-Thermometer und dem Metall-Thermometer, welche über 1° gehen, zeigen sich hier deutlich; dagegen über den Temperatur-Unterschied der Eisenstange und der Zinkstange giebt dieser Versuch keine Auskunft.

§ 13. Neuere Basis-Apparate mit isolierten Mikroskopen.

Zur Geschichte und zur Vorgeschichte dieser Apparate berichtet Wolf, Histoire de l’appareil Ibanez-Brunner, Comptes rendus 112, 1891, S. 370—371 und Hammer, Zur Geschichte der Basismessung, „Zeitschr. f. Verm.“ 1891, S. 446—448 (Tralles, Hassler, Porro, d’Aubuisson.)

I. Der ältere spanische Basis-Apparat.

General Ibanez liess im Jahre 1856 für seine spanische Landes-Aufnahme einen Basis-Apparat durch Mechaniker Brunner in Paris konstruieren, mit dem er mehrere Grundlinien, namentlich im Jahre 1858 die 14663”* lange Grundlinie bei Madridejos mass.

Wir geben die Beschreibung des Basisstabes nach dem Werke: „Expériences faites avec l’appareil à mesurer les bases appartenant à la Commission de la carte d’Espagne, par Laussedat, Paris 1860“.

Fig. 1.

Fig. la.

Feste Verbindung in der Mitte.

Fig. lc.

Ausdehnungsbestimmung an den Enden.

Brunner s Basis-Messstange. Querschnitte in natürlicher Grosse. Fig. lb.

Allgemeiner freier Querschnitt.

jpi

gmm

«-----21-3----->

Platin

min'

Kup|er

ßk

im e

Die beiden Stäbe von Platin und Kupfer haben gleiche Dimensionen, nämlich wie in Fig. lb. angegeben ist, je 21 Breite und 5mm Höhe, mit einem Zwischenraum von 6mm. Fig. 1 b. zeigt den normalen Querschnitt, wie er überall der Länge nach ist, wo keine Berührung der beiden Stäbe stattfindet.

In der Mitte sind beide Stäbe fest verbunden, wie in Fig. la. angegeben ist; zwei Rahmen a mit einem Mittelstück c sind seitlich fest zusammengeschraubt und halten damit die Platinstange P und die Kupferstange L fest zusammen. Fig. la. zeigt auch eine Tragstange, welche der ganzen Länge nach durchgeht, mit einem Querschnitt von umgekehrter "T-Form, ebenso wie in der späteren Fig. 4. S. 87.

Endlich zeigt noch Fig. 1 c. den Querschnitt an dem einen Ende, wo die gegenseitige Ausdehnung zwischen Platin und Kupfer gemessen wird.

Hier ist der Platinstab in seinem mittleren Drittel durchbrochen und durch ein besonderes T förmiges Platinstück b ausgefüllt, das zwischen Pund P lose gleitet, dagegen nach unten fest mit e und L verbunden ist.

Ci

m

■s

An der Fuge zwischen b und P befindet sich auf der horizontalen Oberfläche von 6 und von P eine Teilung T, an welcher man die relative Ausdehnung der Stäbe L und P mikroskopisch ablesen kann.

II. Basis-Apparat des geodätischen Instituts.

Etwa im Jahre 1876 hat das geodätische Institut einen Basis-Apparat von Mechaniker Brunner in Paris bestellt und 1878 geliefert erhalten. Dieser Apparat hat im wesentlichen dieselbe Konstruktion, wie der soeben beschriebene spanische Apparat von General Ibanez. Der Apparat des geodätischen Instituts hat einen Stab, der aus Platin-Iridium und Messing zusammengesetzt ist. Die erste Mitteilung hierüber giebt der Generalbericht der Europ. Gradm. für 1878, S. 99, mit einem Anhänge „Sur la construction de la règle géodésique internationale, par M. M. H. Sainte-Claire Deville et E. Mascart“ und Fortsetzung in dem Gen.-Ber. d. Europ. Gr. für 1879, Anhang.

Mit diesem Apparate wurden vom geodätischen Institute bis jetzt 3 Grund-linien-Messungen ausgeführt, nämlich 1879 Nachmessung der 2763 Meter langen Basis von Strehlen in Schlesien, welche früher 1854 mit dem Bessel sehen Apparate gemessen worden war, ferner 1880 Nachmessung der 2336 Meter langen, früher 1846 für die Küstenvermessung angelegte Grundlinie bei Berlin und 1892 Nachmessung der Bonner Basis. Im Anschluss an diese letztere Messung sind auch weitergehende Untersuchungen auf der Yersuchsstrecke des geodätischen Institutes auf dem Telegraphenberge bei Potsdam ausgeführt worden. (Probemessungen mit dem Repsold’schen Ablotungs-Apparat von Schumann, Mitteilung des Geodätischen Instituts, s. „Zeitschr. f. Instrumentenkunde“, 1894, S. 18—20.)

III. Der neue, vereinfachte spanische Basis-Apparat.

Während die Genauigkeit der Messungen mit dem Brunner sehen Apparat genügend war, fand man in Spanien die Geschwindigkeit, nämlich etwa 70 Meter für 1 Stunde nicht befriedigend.

Es wurde deswegen nach Angabe von General Ibanez im Jahre 1864 ein neuer einfacherer Apparat, jedoch im wesentlichen nach dem ersten Grundgedanken konstruiert, mit dem nicht nur von 1865—1879 acht weitere spanische Grundlinien, sondern dann auch von 1880—1881 drei Linien in der Schweiz gemessen wurden, 2,4*™ bei Aarberg, 2,54*m bei Weinfelden und 3,2fcm bei Bellinzona.

Wir beschreiben zuerst im Anschluss an Fig. 2. und Fig. 3. S. 86 die Anordnung des Apparates und den Gang der Messung im allgemeinen, und benützen dabei zunächst die Brochüre von Dr. Koppe: „Der Basis-Apparat des Generals Ibanez und die Aarberger Basismessung, Zürich 1881“, nebst einigen dankenswerten Privatmitteilungen von Koppe.

Es wird ein Massstab von 4“ Länge angewendet, welcher in Fig. 3. durch a b angedeutet ist und auf 2 Stativen S\ und S₂ aufliegt.

Unabhängig von dem Massstab und seinen Stativen S₁ S₂ sind zwei Mikroskope Mi und M₂ auf besonderen Stativen Tx und T₂ an den Enden des Massstabes aufgestellt. Die Mikroskope Mi und M% werden auf die Endstriche a und b (oder nahe den Endstrichen) eingestellt, dann wird der Massstab um seine eigene Länge von

:.v

Fi-/-

T,

__T_A

⁷S

Fig. 2.

Basismessung bei Aarberg in der Schweiz, ausgeführt im August 1880 mit dem vereinfachten spanischen Basis-Apparat. Darstellung des Messungs-Verfahrens.

mm

11

tic

HM

; —'    ^

Fig. 3.

Darstellung des Grundgedankens der Messung (Massstab ab — 4 Meter).

4m-

T:;

:W

<-

Sv

rechts nach links vorgerückt, so dass a nach b kommt und die Stative Ss und S₄ in Anwendung kommen ;    bleibt stehen, und M\ rückt um die zweifache Massstab

länge vor, so dass es nun vorderes Mikroskop wird u. s. w.

Der Massstab a b bewegt sich hiebei nicht in der abgesteckten und festgelegten Geraden A B selbst, sondern in einer Parallelen ab zu AB, was offenbar gleich

gültig ist.

Die Messstange a b besteht aus Eisen, und ist der freien Luft ausgesetzt, ohne Schutz durch einen hölzernen Kasten. Dagegen wird der Apparat im Ganzen durch Zelte geschützt, welche mit Leinwand bespannt gegen direkte Sonnenstrahlen und auch gegen leichten Regen Schutz gewähren. Die Zelte sind tragbar, und werden dem Fortschritte der Messung entsprechend stets hinten abgenommen und vorne wieder angesetzt.

Die Anordnung im Ganzen zeigt Fig. 2. S. 86.

Übergehend zu den Einzelheiten betrachten wir in Fig. 4. zuerst den Querschnitt der Stange; derselbe hat umgekehrte -Form, so dass ein breites Auflager entsteht. Der Stab ist 4™ lang und 50^ schwer.

Zur Temperatur-Bestimmung dienen gewöhnliche Quecksilber-Thermometer, welche in Fig. 4. rechts oben durch T veranschaulicht sind und auch in Fig. 3. S. 86 der Länge nach an 4 Stellen durch T, T, T, T angedeutet wurden.

Die mit Quecksilber gefüllten Glaskugeln dieser Thermometer sind mit dem Eisen der Stange in unmittelbarer inniger Berührung und sind ganz in Eisenfeilspähne eingebettet. Die Glasröhren der Thermometer werden durch übergedeckte Glasplatten

von Aussen abgelesen.

Zur Neigungs-Bestimmung der einzelnen Stangenlagen dient eine in der Mitte angebrachte Libelle L (Fig. 3. S. 86).

Fig. 4.

Querschnitt des Massstabes in halber natürlicher Grösse.

in

mm

— CM

.cm

Die Messstange ist auf ihrer oberen schmalen Fläche mit einer Teilung versehen, früher der ganzen Länge nach in Centimeter, bei der neueren vereinfachten Anordnung nur noch von 0,5 zu 0,5 Meter, und zwar durch feine Striche auf eingelegten Platin-Plättchen.

Nun haben wir das in Fig. 5. S. 88 abgebildete Instrument, „Mikroskop-Theodolit“ genannt, zu betrachten, welches dreien Zwecken gemeinsam dient, nämlich :

1)    Ablotung auf die Festlegungs-Bolzen im Erdboden,

2)    Einrichtung in die abgesteckte Basis-Gerade,

9,6cm

--X

3)    Mikroskopische Einstellung oder Ablesung auf den Stangen-Enden.

Zu diesen drei Zwecken, denen der Mikroskop-Theodolit zu dienen hat, ist im Einzelnen zu bemerken:

zu 1) Wenn der Mikroskop-Theodolit als Abloter dienen soll, so wird statt des horizontalen Fernrohrs F Fig. 5. ein vertikales Fernrohr eingelegt, welches

durch das Loch 0 im Stative nach der Vertikalen M N eingerichtet werden kann, mit Schlittenführungen s und Schraubenbewegungen m nach zwei zu einander rechtwinkligen Eichtungen.

zu 2) Wenn es sich um Einrichtung in die Gerade in horizontalem Sinne handelt, so wird das horizontale Fernrohr F Fig. 5. vor- oder rückwärts nach A oder B eingerichtet. Soll die Mitte M selbst Zielpunkt werden, so wird das Fernrohr F ausgehoben und eine Zielmarke in die Axenlager eingelegt.

zu 3) Die mikroskopische vertikale Einstellung auf die Messstange ist in Fig. 5. bei V und b angedeutet. V ist ein vertikales Mikroskop, welches auf die schmale Oberfläche b des eisernen Massstabes E eingestellt werden kann. Den Massstab E haben wir mit seinem Querschnitt b ec' in Fig. 5. ohne Stative angedeutet.

Fig. 5.

Mikroskop-Theodolit (Massstab etwa 1: 5).

VA

'j

i--------js;

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rk

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TL

r____

Der Gang der Messung lässt sich nun vollends leicht beschreiben:

Die Aarberger Basis von 2400” Länge war durch drei grosse dreieckige Scheiben-Backen (s. Fig. 2. S. 86 links) über der Erde bezeichnet, und wurde durch Messingbolzen in Quadern unterhalb festgelegt. Die Linie befand sich auf gerader und ebener Landstrasse, die Stative wurden auf den Strassenboden gestellt. Der Strassenverkehr wurde während der Dauer der Messung gesperrt.

Zu gleichzeitiger Verwendung kamen:

4 Mikroskop-Theodolite,

4 Auflagdreifüsse für die Messstange,

6 grosse Holzstative {T Fig. 3. S. 86) für die Mikroskop-Theodolite,

10 kleine Holzstative (S Fig. B. S. 86) für die Messstange,

2 hölzerne je 4 Meter lange Latten zum Vor-Messen.

Das Personal war:

2 Beobachter mit Gehilfen zum Vorwärtstragen und vorläufigen Stellen der Holzstative,

2 Beobachter mit Gehilfen zum endgiltigen Stellen der Holzstative,

4 Beobachter an der Messstange zum Einstellen der Null- und Endstriche unter die Mikroskope, zum Ablesen der 4 Thermometer und der Libelle, 2 Gehilfen zum Vorwärtstragen der Stange (die Fig. 2. S. 86 zeigt 15 Mann).

Über die Messungs-Geschwindigkeit ist folgendes mitgeteilt:

Am 22. August 1880 begann die Messung 5 Uhr 48 Minuten und wurde bis 800m durchgeführt. Nach drei Tagen war die erste Messung der Basis beendigt; gleichzeitig wurden in Entfernungen von 400m zu 400m feste Punkte errichtet.

Am Nachmittage des 24. August wurden die Instrumente und sämtliche Gerätschaften nach dem Basisanfange zurücktransportiert; alle Apparate einer sorgfältigen Prüfung unterworfen. Am 25., 26. und 27. August wurde, wie an den drei vorhergehenden Tagen, in der Zurückmessung um je 800m vorgerückt, alle Fixpunkte eingemessen und so auch die zweite Messung in drei Tagen beendigt. Die Zeiten, welche auf die Messung der einzelnen Sektionen verwandt wurden, sind:

I. Messung

II. Messung

Sektion

1. = 400 Meter 2 Stunden 47 Min. 2 Stunden 6 Min. 44 „

27 „

26 „

21 „

49 „

05 ^ OO V-* 05

io <M CO ^

Mittel: 400 Meter 2 Stunden 36 Min. 2 Stunden 20 Min.

Die zweite Messung ging etwas rascher vor sich als die erste, weil das Setzen der Fixpunkte hei der ersten Messung einige Zeit in Anspruch nimmt.

Die grösste Neigung der Messstange während dieser Messungen betrug 1,5°, die Korrektion für die Neigung im Mittel nahe lcm für 1 Sektion. Ausgesprochen ungünstig für die Messung war der erste Beohachtungstag, namentlich während der Messung der zweiten Sektion, indem der liegen die Zelte durchweichte. Die Differenz ist bei dieser Sektion die grösste.

General Ihanez selbst hat über seine Basis-Apparate folgendes als Gesamturteil

„Die einfache Einrichtung meines Apparates und die Art seiner Anwendung ist

in Spanien ausgeführten Basis-

ausgesprochen:

das Ergebnis der Erfahrungen, welche ich hei neun Messungen zu machen Gelegenheit hatte. Bei meinem ersten Apparate waren alle denkbaren Korrektions-Vorrichtungen angebracht. Die Messstange bestand aus zwei Metallen, deren Längen-Unterschied infolge verschiedener Ausdehnung durch die Wärme mit einer Mikrometer-Schraube gemessen wurde. In gleichen Intervallen eingelassene Quecksilber-Thermometer liefern eine zweite, von der ersten unabhängige Bestimmung der Temperatur. Es zeigte sich schliesslich, dass die Quecksilber-Thermometer die Temperatur der Messstange leichter und besser bestimmen lassen, als das Metall-Thermometer und deshalb habe ich erstere allein beibehalten. Die Sucht, jedes Mass und jede Korrektion gesondert mit der Mikrometer-Schraube messen zu wollen, wie wir es erstmals thaten, führt zu grossem Zeit- und Arbeits-Aufwande ohne reellen Gewinn an Genauigkeit; und grössere erreichbare Vorteile gehen durch die komplizierte Art und längere Dauer der Messung verloren. Das beste Mittel, dem Anhäufen der Beobachtungs-Fehler in ausgedehnten Dreiecksnetzen entgegen zu arbeiten, ist die Messung einer ausreichenden Zahl von Grundlinien. Dieses Mittel kann aber um so eher in Anwendung gebracht werden, je mehr der Messapparat mit einfacher Einrichtung und Handhabung ausreichende Genauigkeit der Eesultate verbindet.“

IV. Der amerikanische Basis-Apparat von Repsold.

Die nord-amerikanischen Vermessungen im neueren Sinne begannen etwa 1841; von da bis 1874 wurden 9 Grundlinien gemessen und im Jahre 1876 wurde ein neuer Basis-Apparat von Eepsold in Hamburg angeschafft, mit welchem unter Leitung von Comstock dann drei Grundlinien, bei Chicago 1877, Sandusky 1878, und Onley 1879 gemessen wurden.

Nachricht hierüber gieht das grosse amtliche Werk: „Professional papers of the corps of engineers, U. S. Army, Nr. 24. Eeport upon the primary triangulation of the United States Lake Survey, by Lieut. Col. C. B. Comstock, Corps of Engineers,

Fig. 6.

Repsold-Comstock s Messstange, Querschnitt in natürlicher Grösse.

Brevet Brigadier-General, U. S. A., aidet by the Assi-stents on the survey. Washington : Governement prin-ting office. 1882.“ (vgl. auch „Zeitschr. f. Verm. 1884“, S. 538—547 und 1888, S. 385—395.)

Der Grundgedanke des Eepsold-Comstock sehen Apparates ist derselbe wie beim Brunner sehen (S. 84), nämlich eine Messstange, deren Enden zwischen festen Mikroskopen abgelesen werden.

Die Messstange besteht aus der Verbindung von Zink und Stahl, wie in Fig. 6. angegeben ist. Die aus Zink und Stahl zusammengesetzte Messstange ist in eine Eöhre von 12,5cm Durchmesser eingeschlossen ! und ragt an den Enden derselben hervor, wie durch die nachfolgenden Fig. 7. bis 12. S. 91—93 dargestellt ist.

Die zwei Platinplättchen e e in Fig. 9. S. 93 sind mit feinen Teilungen versehen, welche durch die isoliert aufgestellten Mikroskope abgelesen werden.

Fig. 12. (S. 93) zeigt den Eöhren-Querschnitt und zugleich die Queransicht eines mit der Eöhre parallelen Eichte-Fernrohrs b, welches in der grossen Fig. 7. (S. 91) rechts oben in Seiten-Ansicht dargestellt ist. Dieses Eichte-Fernrohr lässt sich durchschlagen, also auf eine vordere oder eine hintere Eichte-Bake der Geraden einstellen.

Im übrigen ist durch die zahlreichen Figuren alles wesentliche erklärt. Die photographische Aufnahme des Gesamt-Apparates mit den Schutz-Zelten, welche wir

Fig. 7.

Bepsold-Oomstock s Basismess-Apparat.

angewendet bei den Grundlinien von Chicago 1877, Sandusky 1878, Olney 1879. (Massstab 1:16.)

Libelle d.

Vorder-Ende.

'I

‘j

Kichte-Fernrohr e.

rf

-............¹

Hinter-Ende.

Länge der Köhre = Am, Durchmesser der Köhre = 0,125m.

Im Innern der Köhre befindet sich der aus Zink und Stahl bestehende Massstab, welcher an den Enden hervorragt, und durch isoliert

aufgestellte Mikroskope abgelesen wird.

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CO

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Fig. 8.

Repsold-Comstocks Basismess-Apparat, photographische Ansicht.

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Mess-Rohre, 4 Meter lang.

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' 'f.

auf S. 92 nachgebildet haben, zeigt auch rechts die Mikroskope, welche von ihren Stativen übergeneigt, einen etwas unstabilen Eindruck machen.

(Massstab 1:4.)

Fig. 10.

Querschnitt der Röhre mit den Stäben Z und S. Röhren-Durchmesser = 12,5 cm.

Fig. 9.

Hinteres Ende der Messstange aus der Röhre hervorragend. e c Platinplättchen.

i'

.....

[I

Fig. 11.

Stativ für die Röhre mit der Messstange. (Massstab 1: 8.)

Fig. 12.

Querschnitt der Röhre und des Richte-Fernrohrs 6. (Massstab 1:4.)

jL

Étf

V. Der niederländisch-ostindische Basis-Apparat von Repsold.

Schon vor dem soeben beschriebenen amerikanischen Apparat (welcher 1876 hergestellt wurde), haben Repsold und Söhne einen auf ähnlichen Prinzipien beruhenden Apparat konstruiert, welcher teilweise nach Angaben von Oudemanns schon von 1865, zur Triangulierung von Java, 1878, gedient hat.

Eine erste Beschreibung wurde im September 1876 von Repsold selbst gegeben in Nr. 1661 der „astr. Nachr.“ 70. Band, S. 65—80, die Hauptbeschreibung mit Zeichnungen ist enthalten in dem Werke: „Die Triangulation von Java, erste Abteilung, von Oudemans, Batavia 1875“.

hoch, liegen neben einander und sind in eine Röhre ein-

Das Prinzip ist das bimetallische, ein Zinkstab und ein Stahlstab, ll,5mm und 13,5mm breit und beide 22’ geschlossen, aus welcher nur die Stab-Enden hervorragen, wie bei Repsold-Comstock Fig. 10. s. o. Im übrigen aber ist die Anordnung eine andere; es sind 4 Stäbe von 4m und lm Länge vorhanden nach Andeutung folgenden Schemas:

Ą.m

Die kurzen lm langen Stäbe tragen an ihren Enden Mikroskope, welche auf die 4m langen Stäbe hinüberreichen und so die Messung ermöglichen.

§ 14. Massbestimmungen für bimetallische Stäbe.

Die Verbindung zweier verschiedener Metalle, z. B. Zink und Eisen, Kupier und Platin, zu einem Massstabe, welche bei der ersten Betrachtung so grosse Vorteile zu haben scheint, leidet doch an dem Übelstande, dass die beiden Metalle sehr oft nicht gleiche Temperaturen haben, und damit wird der Vorteil der ganzen Einrichtung fraglich.

Allerdings wenn die Temperatur im allgemeinen längere Zeit konstant bleibt, so werden wohl auch beide Metalle gleiche Temperatur annehmen, wenn aber die Temperatur der umgebenden Luft sich ziemlich rasch ändert, oder wenn strahlende Wärme ein wirkt, so werden zwei verschiedene Metallstangen, je nach ihrer Masse, ihrer spezifischen Wärme u. s. w., den äusseren Wärme-Einflüssen mehr oder weniger rasch folgen, und deswegen zu gleichen Zeiten verschiedene Temperaturen haben.

Eine hierauf bezügliche Bechnung hat Oudemans angestellt in dem Werke: „Die Triangulation von Java“, erste Abteilung Vergleichung der Massstäbe, Batavia 1875, S. 7—8. Oudemans nimmt nach dem „Lehrbuch der Experimental-Physik von Wüllner“ die nachfolgenden Zahlen für Zink und Stahl an, welchen wir zugleich die Zahlenwerte für Platin und Messing beifügen (letztere ebenfalls nach Wüllner angenommen von Fischer, astr. Nachr., 103. Band (1882) Nr. 2451):

Spezifische Wärme Absorptions-Vermögen    a

Wärmeleitungs-Fähigkeit l Dichte

Zink Stahl, Eisen Platin 089    0,109    034

19    0,175    17

Messing

0,094

0,07

363

374

84

231

7,82

21,51

6,86

Ferner sei die freie der Luft ausgesetzte Oberfläche eines Stabes Das Volumen eines Stabes..............

8,00

= F = V

Damit ist die Wärmemenge, welche einem Stab von seiner freien Oberfläche ins Innere zugeführt wird, proportional dem Produkt:

Fal

Andererseits ist die Temperatur-Zunahme des Stabes umgekehrt proportional

dem Produkt:

VA io

der Grösse:

Im Ganzen ist also die Temperatur-Zunahme eines Stabes proportional zu setzen

(At) =

F al

V Aw

(1)

Der erste Quotient F : V ist rein geometrischer Natur; jedenfalls wird die Länge beider in Frage kommender Stangen gleich sein, etwa = l; dann seien ferner die Breiten und Höhen beider Stangen = b und h, bzw. = V und h!. Wenn die Stangen von allen Seiten der Luft (bzw. der Wärme-Einwirkung) ausgesetzt sind, so ist:

Die Oudemans sehen Stangen lagen scharf nebeneinander, hatten gleiche Höhen ;mm und die Breiten b = 13,5mm für Stahl und b' = 11,5“"* für Zink, es ist also

h = 22

zu setzen: F — (2 b + h) l oder = (2 b' -+- h) l, folglich:

also:

F = 2 (b + h) l

(Jt)

V =bhl

_ 2 (b -h h) aX b h Z/ w

j (z/t), —

27 + 22 aX

13,5x 22 z/ w

23 + 22    «' X'

11,5x22 A'w'

Die Ausrechnung giebt 12,7 und 20,1 oder das Verhältnis 0.63 : 1, d. h. die Stangen entsprechen nicht genügend den Wärme-Verhältnissen.

Auch bei Bessels Stangen (vgl. Fig. 2. S. 68) sind diese Verhältnisse nicht eingehalten, die Stangen liegen au/einander und geben, wenn man die Tragstange als nicht vorhanden annimmt:

alles rund in Millimetern:

V = 189 l X = 374 w = 0,11

V = 911 X = 363 w = 0,089

Eisen: F = 55 l a = 0,175 Z/ = 7,82

Zink: F' = 27 l a = 0,19 z/ = 6,86

Die Ausrechnung giebt hiefür nach der Formel (1):

(z/f)e : (z/t), = 22 : 34

Hier ist die Zinkstange offenbar zu schwach, und das Verhältnis ist deswegen

nicht richtig.

Dagegen berichtet Fischer für den Platin-Messing-Basismessstab des geodätischen Instituts, wobei beide Teile je 21mm breit und 5mm dick, durch einen Zwischenraum von 7mm von einander getrennt sind, dass das thermische Verhältnis nach der Formel (1) sich = 1,00 :1,08 ergab. („Astr. Nacbr.“ 103. Band, 1882, Nr. 2451, S. 43.)

Zugleich teilt Fischer eine Bestimmung des Temperatur-Unterschiedes beider Stäbe durch Thermo-Elemente mit, welche am 25. Mai 1882 in dem Beobachtungsraum zu Steglitz bei Berlin eine mittlere Differenz von nur = 0,05° ergab, von 0,01° bis 0,12° anwachsend und bis 0,02° wieder abnehmend, mit Schlusswert 0,04°.

In Bezug auf die vorerwähnte thermische Theorie der Formel (1) besteht natürlich eine grosse Unsicherheit, wie auch Oudemans selbst hervorhebt. Trotzdem handelt es sich hier um Überlegungen, welche nicht zu umgehen sind.

Neue Massbestimmungen für den Bessel sehen Apparat, von General Schreiber.

Die Massbestimmungen, welche zuerst 1834 von Bessel mit den Zink- und Eisenstangen vorgenommen wurden, haben wir bereits in § 11 S. 74—76 beschrieben.

Vor der Braaker Basismessung (welche 1871 stattfand) wurde jedoch der Vergleichs-Apparat neu und besser eingerichtet, statt der früheren Holzgerüste in Königsberg wurden in dem Untergeschoss des Generalstabs-Gebäudes in Berlin Zementpfeiler aufgebaut, und die Keilmessung für die Konstanten-Bestimmung durch Mikroskop-Ablesung ersetzt. Zur Temperatur-Regulierung wurden Holzkästen mit Doppelwänden zur Aufnahme von Wasser konstruiert.

Dieses ist mitgeteilt in dem Werke: „Die königlich preussische Landes-Triangulation, Haupt-Dreiecke, II. Teil, erste Abteilung“, Berlin 1873, S. 1—37 mit Tafel II. und III., und die Ergebnisse der Vergleichungen in dem Werke: „Die königlich preussische Landes-Triangulation, Hauptdreiecke, YI. Teil“, Berlin 1894, S. 181—213.

Auch in anderer Hinsicht wurden die Vergleichungen gegen früher abgeändert, so dass nicht mehr bloss eine der 4 Stangen, nämlich die erste mit dem Normalmass verglichen wurde, sondern alle 4 Stangen llt l₂, Z₃, I4 jede für sich.

Dabei wurde zuerst die Formel zu Grunde gelegt nach (32) § 11 S. 77 (wobei wir jedoch wieder L statt L' schreiben):

(2)

l = L — (k — 1,4) m

Dabei ist l die Stangenlange, Je das innere Keilmass, m der relative Ausdehnungs-Coëfficient und L das Absolutglied, d. h. die Länge l, welche zu Je = 1,4 gehört.

Als erste Verbesserung der Formel (2) wurde von General Schreiber ein quadratisches Glied hinzugefügt, und gesetzt:

(3)

l = L — (k — 1,4) m — (k — 1,4)2 Q

Eine wichtigere Neuerung wurde ferner gemacht durch Zufügung eines Gliedes a h, welches die Temperatur-Änderung berücksichtigt. Um dieses begreiflich zu machen, erinnern wir zuerst an das, was schon vorher bei (1) S. 94 über die Wärme-Verhältnisse in bimetallischen Stäben gesagt wurde. Die Eisen- und Zinkstangen folgen der allgemeinen Temperatur-Änderung nur langsam nach, und noch mehr: Die Eisenstange und die Zinkstange folgen den Temperatur-Änderungen nicht gleich, sondern die schwächere Zinkstange eilt bei dem Besselschen Apparat der Eisenstange immer voraus. Diese Erscheinung findet ihren Ausdruck in dem Glied a h der dritten Schreiberschen Formel :

(4)

l = L-(k- 1,4)m — {k — 1,4)2 Q+.ah

Dabei bedeutet cc die ewstündige Änderung des Temperatur-Keilmasses k, und h ist ein durch Versuche bestimmter Coefficient, in runder Zahl h = 0,05. Um die Wirkung des letzten Gliedes (Folge-Korrektion) beurteilen zu können, berechnen wir eine kleine Übersichts-Tabelle:

Keilmasse

Zeit

Temperaturen in ß°

Folge-Korrektion ha — 0,05 a

0*

1,30

18,13°

+ 0,10

— 2,19°

+ 0,005* = + 0,011”"''

1*

1,40

15,94

(5)

+ 0,10

— 2,20°

+ 0,005* = + 0,01 lmm

2»

1,50

13,74

Wenn also die Temperatur im allgemeinen um rund 2° in 1 Stunde abnimmt, so zeigt das Keilmass k die Stange um rund 0,01mm zu klein, weshalb die Korrektion ah = + 0,01”m zugesetzt werden muss. Nimmt die Temperatur im allgemeinen zu, so erscheint die Stange vermöge des Keilmasses k zu lang. Älles dieses lässt sich vollständig durch das schon erwähnte Voraneilen des Zinks (oder Zurückbleiben des Eisens) erklären, denn dieses giebt bei Temperatur-Zunahme eine Verkleinerung von k. also in l = L — (k — 1,4) m eine Vergrösserung von l.

Endlich ist noch eine vierte Formel durch Zufügung eines quadratischen Folge-Gliedes gebildet worden:

(6)

l = L — (k — 1,4) m — (k — 1,4)² q + ah + c&lc

Durch diese neuen Formeln, namentlich (4), sind nicht bloss die auf dem Komparator gemachten Stangen-Vergleichungen in bessere Übereinstimmung gebracht, sondern auch die bei den Basismessungen selbst auftretenden Differenzen der metronomischen Rechnung zugänglich gemacht.

Trotzdem haben die Stangen-Vergleichungen noch erhebliche Schwankungen und Unsicherheiten gezeigt; während in den einzelnen Gruppen bessere Übereinstimmung war, zeigten die Gruppen-Mittel bis zu 0,01 Par. Linien = 0,026”™ gehende Abweichungen.

Diese Erscheinung, welche auch in anderen Fällen beobachtet ist, giebt die Warnung, dass mittlere Fehler, welche aus einzelnen Gruppen von Messungen im wesentlichen unter gleichen Umständen erlangt wurden, nicht ohne weiteres als reelle Genauigkeits-Masse anzusehen sind, und es scheint, dass die sehr kleinen mittleren Fehler der Besselschen Vergleichungen von 1884, welche wir auf S. 74 erwähnt haben, aus solchen Gründen zu klein ausgefallen sind.

General Schreiber hat die vorstehenden Angaben in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1882, S. 1—17 veröffentlicht, und dazu noch folgendes bemerkt: „Es ist nicht gelungen, die Ursachen der enormen Schwankungen (bei den verschiedenen Vergleichungen) dergestalt festzustellen, dass sie in Zukunft vermieden werden können. Man wird vielmehr Unsicherheiten bis zu etwa einer hundertel Linie oder 0,02 Millimeter, auch bei ferneren mit den Besselschen Messstangen auszuführenden Vergleichungen und Basismessungen gewärtigen müssen.

Massvergleichungen für den Repsold sehen Stahl-Zink-Apparat von Comstock.

Ähnliche Verhältnisse wie General Schreiber mit den Besselschen Zink-Eisen-Stangen fand auch General Comstock in Washington mit Zink-Stahl-Stangen. Aus dem „Report upon the primary triangulation of the United States Lake Survey by Comstock etc. Washington 1882“, S. 223—230, entnehmen wir hierüber folgendes:

Die Zink-Stahl-Stange, deren mechanische Einrichtung wir schon in § 13. S. 90 bis 93 beschrieben haben, wurde in gleichen Umständen wie bei der Basismessung selbst, d. h. in einer Röhre eingeschlossen, im freien Felde, unter Zelt-Schutz, in folgender Weise besonders untersucht :

Eine Messing-Stange diente in einer Verpackung von schmelzendem Eis zur Vergleichung, indem diese durch Eis auf 0° erhaltene Stange und die Zink-Stahl-Stange in ihrer jeweiligen Temperatur, abwechselnd unter dasselbe Mikroskopen-Paar zur Ablesung gebracht wurden. Dabei wurde an der Zink-Stahl-Stange die jeweilige Differenz Z— S mikroskopisch beobachtet, ausserdem konnte aber auch ein Wert Z— S berechnet werden aus der gleichzeitigen Vergleichung mit der in Eis verpackten Messingstange und aus der früher vielfach und genau bestimmten Differenz z — s der einzelnen Ausdehnungs-Coefficienten für Zink und Stahl.

Die Differenzen zwischen berechneten Z — S und beobachteten Z — S zeigten einen regelmässigen Tagesverlauf, dessen Hauptwerte nachstehende Tabelle zeigt. Dabei ist gesetzt:

(Z — S) Rechnung — (Z — S) Beobachtung = A

—— A = 0,6522 A = ô z — e

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

98

Verschiedene Projekte zur Basismessung.

§ 15.

Folgendes ist eine Beihe von Mittelwerten solcher Beobachtungen :

8 Tage zwischen 23. August und 3. September 1881 (Report S. 228—230)

Tageszeit Morgen 8ft

10

Mittag

12

Temperatur 20,6° C 22,8 25,4

5,9(U

3,8,«

2,4

1.6

26,6

26,3

Abend

25,2

+ 4.7 + 14,5 + 14,6 + 6,5

+ 3,1 + 9,4

+ 9,5

+ 4,2

23,9

1,6

1,0

10

22,5

Nacht

12

21,4

20,7

20,3

19,9

- 10,0

— 15,1

6,5

- 10,9

9,8

7,9

9,8

Morgen

Die hier mit ö bezeichneten Werte entsprechen dem Schreiberschen Gliede ha (s. o. (4) und (6) S. 96), jedoch mit anderen Vorzeichen, was darin seinen Grund hat, dass die Massen-Verhältnisse von Zink und Eisen bei Repsold (Fig. 6. S. 90) ganz andere sind als bei Bessel (Fig. 2. S. 68). Auf Grund von solchen Versuchen wurden für die amerikanischen Basismessungen von Chicago kleine Korrektionen ö in Rechnung gebracht, in ähnlicher Weise wie durch ah und a²k in den Schreiberschen Formeln für die Göttinger und Meppener Messungen. (Formeln (4) und (6) S. 96 und 97).

Hiezu ist noch im Anschluss an S. 84 zu citieren Hammer: Von der neuen französischen Basismessung, „Zeitschr. f. Yerm.“ 1892, S. 26—29.

§ 15. Yerscliiedene Projekte zur Basismessung.

Die Konstruktion von Basismess-Apparaten bietet dem Erfindungsgeist ein weites Feld, und obgleich nicht anzunehmen ist, dass wirklich leistungsfähige Apparate anders als im engsten Anschluss an die Berufs-Praxis entstehen werden. können wir doch einige solche Projekte betrachten.

Das Messrad.

Einen kühnen Gedanken hat in der Anfangszeit der „Europäischen Gradmessung“ 1868, Steinheil in München ausgesprochen, nämlich, mit einem Messrad gewöhnliche geradlinige Eisenbahn-Linien zu befahren, und dadurch Basismessungen in grosser Menge ohne viele Mühe oder Kosten zu erlangen. Nach Steinheils Vorschlägen wurden von Voit in München einige Versuche im kleinen angestellt, über welche Steinheil in den astr. Nachr. 72. Band (1868) Nr. 1728, S. 369—378 berichtet. Es wurde ein Doppelgeleise von 20m Länge von gewöhnlichen Eisenbahn-Schienen wie bei der bayerischen Staatsbahn (mit Laschenverbindungen und kleinen Zwischenräumen zwischen je 2 Schienen) angelegt. Das Messrad war von Holz mit einem kupfernen Reif von 0,922”' Durchmesser, und wurde aus freier Hand geleitet; die Wiederholungen stimmten unter einander auf etwa 0,01 o/₀. Später wurde für das Rad ein Gestelle konstruiert, welches die Rad-Ebene genau in der Vertikal-Ebene der Schienen erhalten soll. Damit wurden 50 Befahrungen einer Strecke von 17,383’" (6 Radumfänge) gemacht, wobei sich der mittlere unregelmässige Fehler der einmaligen Befahrung = + 0,30mm ergab oder + 2,3mm für l*m.

Der Basis-Mess- Wagen.

In dem Werke von Zachariae „Die geodätischen Hauptpunkte“, deutsch von Lamp, Berlin 1878, S. 94, wird folgendes Projekt von Bruhns in Leipzig berichtet:

In der Basislinie werden, mit Zwischenräumen von ungefähr 4m, eiserne Pflöcke eingerammt, deren Oberfläche mit einem Punkt oder einem Kreuz versehen ist. Der Messapparat besteht aus einem 4m langen Massstab und zwei an den Enden angebrachten vertikalen Mikroskopen, mit denen man die Massstablänge auf die Pfahlköpfe übertragen kann. Dieser Apparat liegt auf einem Wagen, wird durch ein Dach und Seitenwände gegen Sonnenschein u. s. w. geschützt, und fährt somit in Absätzen von 4m über die ganze Basis hin.

Messungen mit Metalldrähten (Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1885, S. 362—365).

In Stockholm hat Jäderin, 1885, Längenmessungen mit Stahlbändern und mit Drähten aus Stahl und Messing gemacht. Die Drähte werden über Stative ausgestreckt, dabei durch Gewichte in konstanter Spannung gehalten. Die Längenbestimmung geschieht mittelbar durch Vergleichung der Drahtmessung mit einer anderweitigen Stangenmessung. Die Geschwindigkeit ist bedeutend, die grösste Leistung war 550m in 1 Stunde und 2368m in einem 9stündigen Arbeitstage.

Auf der Erdmessungs-Konferenz in Berlin 1895 wird berichtet, dass in Bussland eine Basismessung mit dem ausserordentlich schnell messenden Jäderinschen Apparate stattgefunden hat.

Das Schätz-Mikroskop.

Während Nonien und Schrauben-Mikroskope längst zur Basismessung angewendet wurden, ist ein Hilfsmittel, welches in mehrfacher Hinsicht nach unserer Ansicht sich hier vortrefflich eignet, noch nicht benützt worden, nämlich das Schätz-Mikroskop, das wir früher in Band II, 4. Aufl. 1893, S. 191—192 beschrieben haben.

Wir machen zunächst eine allgemeine Überlegung: Um einen mittleren unregelmässigen Messungsfehler von rund + auf 1 Kilometer, d. h. den thatsächlich bei guten Messungen vorkommenden Betrag zu erklären, braucht man keine sehr feinen optischen und mechanischen Hilfsmittel anzunehmen, denn bei der üblichen Stangenlange von 4m kommen 250 Lagen auf 1 Kilometer, und wenn p der mittlere Fehler einer Lage ist, so hat man p 1/250 = lmm, woraus folgt p = 0,063mm; dieses ist ein Betrag, den man sogar durch Schätzung von freiem Auge an einer Millimeter-Teilung erzielen könnte, (etwa entsprechend einem Winkel von 2' an einer Kreisteilung von 100™“ Halbmesser).

Da man aber natürlich die Genauigkeit im einzelnen weiter treibt, wurde man bald zu Nonien, Mikroskopen u. s. w. geführt. Ein weiteres Hilfsmittel zur Bestimmung des Zwischenraums oder des Übergreifens an der Grenze zweier Messstangen, das Schätz-Mikroskop, ist sehr bequem und hat die für solche Zwecke nötige Genauigkeit, giebt eine Ablesung auf einen Blick, was zur Zeitsparung bei Basismessungen sehr wichtig ist.

Die Anwendung eines Schätz-Mikroskops zur Messung des Anschlusses zwischen zwei aufeinander folgenden Stangen I und II ist in Fig. 1. (S. 100) angedeutet: Die Stange I endigt gabelförmig und umfasst mit zwei Teilungen a und b die Teilung c, welche sich auf einem zungenartigen Fortsatze der Stange II befindet. Ein Schätz-Mikroskop wird mit drei Fussspitzen auf die Punkte A, B und C gestellt, von denen

§ 15.

Verschiedene Projekte zur Basismessung.

99

A und B fest sind (etwa konische Löcher), während G dem Spielraum des Anschlusses entsprechend veränderlich ist. Man kann vielleicht auch das Schätz-Mikroskop mit

Fig. 1.

A?

Bo

i*ï

einer Kipp-Axe A B aufstellen. Das Schätz - Mikroskop , welches somit auf den drei Punkten A, B und C aufsitzt, hat eine horizontale Axe in der Sichtung I II und Kippbe-\ wegung in der Querrichtung N N', / so dass die 3 Teilungen a, b und c .j rasch nach einander abgelesen werden können.

Trennung der Längenmessung von den Hilfs-Operationen.

Die Einrichtungen, welche zu einem Basis-Apparate gehören, und die Operationen mit denselben, sind wesentlich zweierlei Art, erstens solche, welche zur Temperatur-Ausdehnung und Intervall-Bestimmung, d. h. zur eigentlichen Längenmessung dienen, und zweitens die verschiedenen mechanischen Hilfsmittel für das Auflegen der Stangen, Geradrichtung und Neigungsmessung u. s. w.

Die eigentliche Längenmessung muss ihrer Natur nach eine kontinuierliche Operation sein, sogar mit einer nahezu gleichförmigen Geschwindigkeit, während das bei den Hilfs-Operationen nicht nötig ist. Wir glauben deshalb, dass die eigentliche Längenmessung, d. h. das Legen der Messstangen und das Bestimmen der Zwischenräume, oder Übergreifungen ihrer Enden, zeitlich und räumlich getrennt werden sollte von den vorbereitenden Hilfs-Yerrichtungen der Gerad-Bichtung, Neigungs-Bestimmung u. s. w. ; das könnte z. B. dadurch geschehen, dass man stets etwa 1 Kilometer voraus die Basis durch eingerammte Pfähle (etwa von 4 zu 4 Meter) absteckt, geradrichtet und nivelliert. Die Pfähle wären zum Einrammen unten mit eisernen Schuhen und oben zum Auflegen der Messstangen mit scharfgeformten Metall-Kappen zu versehen, welche zum Geradrichten Spielraum und Bichte-Schrauben haben.

Es mag hier auch nochmal daran erinnert werden, wie wir schon in § 9. S. 62 mitgeteilt haben, dass Benzenberg zu seinen Basismessungen eine Messungsbrücke von 1000 Fuss == 314 Meter Länge legte, so dass die Längenmessung stets auf genügende Länge von den Hilfs-Operationen unabhängig war.

Auch Schwerd liess bei seiner kleinen Speyerer Basis (Sp. B. S. 23) Pfähle, welche 0,58“ lang, 0,lm dick und oben mit einem Brettchen zur Aufnahme der Stangen versehen waren, 0,3m tief, den ganzen Vorrat der Messung voraus, in den Boden schlagen.

§ 16. Länge und Einteilung der Grundlinien.

Die Basis eines Dreiecksnetzes ist eine genau gemessene Seite des Netzes.

Will man beim Übergang von der Basis zu andern Dreiecksseiten spitze Winkel oder ähnliche Fehlerquellen vermeiden, so bleibt nichts übrig, als der Basis nahezu die Länge einer Haupt-Dreiecksseite zu geben, und deswegen finden wir bald nach dem ersten Aufschwung der Triangulierungen, das Bestreben, die Grundlinien so lang als möglich zu machen.

Die letztgenannte Basis war mittelbare Veranlassung zum Verlassen der langen

Grundlinien :

Allerdings der Begründer Snellius hatte nur ganz Meine Grundlinien von zuerst 328m, 348m, später etwa 2000m, dagegen die französischen Messungen im 18. Jahrhundert hatten fast nie unter 10Am lange Grundlinien, nämlich :

1736 Gradmessung in Peru (La Condamine)

Basis von Yarouqui.........

Basis von Tarqui..........

1736 Gradmessung in Lappland (Maupertuis)

Basis von Tomea.........

1792 Gradmessung von Delambre und Méchain

Basis von Melun..........

Basis von Perpignan........

Auch in Deutschland mass man am Anfang dieses Jahrhunderts sehr lange Linien, z. B.: 1801 Bayerische Basis München-Aufkirchen . . .

1820 Württembergische Basis Solitude-Ludwigsbwrg 1819 Rheinbayerische Basis Speyer-Oggersheim . .

12 226 m 10 250 m

14 436 m

11 842 m 11 706 m

21 654m

13 032 m 15 460 m

Professor Schwerd am Lyceum in Speyer wTar mit der vor seinen Augen vorgenommenen amtlichen Messung von Steuerrat Lämmle nicht einverstanden, und behauptete, eine 20 mal kleinere Basis leiste denselben Dienst. Zum Beweis mass er mit seinen Lyceums-Schülern im Jahr 1820 eine kleine nur 860m lange Grundlinie, und leitete die grosse Speyerer Linie mit guter Übereinstimmung daraus ab.

Schwerd veröflentlichte seine Arbeit in dem Werk: „Die kleine Speyerer Basis, oder Beweis, dass man mit einem geringen Aufwand an Zeit, Mühe und Kosten durch eine kleine genau gemessene Linie die Grundlage einer grossen Triangulation bestimmen kann. Speyer 1822.“ Netzausgleichung in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, § 65.)

Von da an kamen kurze Grundlinien ziemlich allgemein in Gebrauch, namentlich Bessel nahm zu seiner berühmten Gradmessung in Ostpreussen 1834 nur eine 1822m lange Basis; doch ist das die untere Grenze, später ging man wieder weiter, und die neuesten deutschen Grundlinien sind 5—7 Kilometer lang.

Die Längen und Einteilungen der 14 Grundlinien, welche mit dem Bessel sehen Apparate gemessen sind, sind im Folgenden übersichtlich zusammengestellt:

Längen und Einteilungen der 14 Grundlinien, welche bis jetzt mit dein Bessel sehen

Apparat gemessen sind.

1. Basismessung bei Königsberg, 1834, von Bessel und Baeyer. 2 Strecken.

1. Königsberg, 1834.

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Trenk a

(5S=3.3

441m t381m —1822—

=o

2.    Basismessung bei Kopenhagen, 1838. 2701m lang, im ganzen nur einmal gemessen, nur drei kleine Teilstrecken von zusammen 692m Länge sind zweifach gemessen.

3.    Basismessung bei Upsala in Schweden.

4.    Basismessung bei Berlin, 1846, von Baeyer, 4 ungleiche

Strecken.    !

4. Berlin, 1846.

5. Basismessung bei Bonn, 1847, von Baeyer, 6 ungleiche Strecken.

—2336—

5. Bonn, 1847.

A D B

Or==0=0=°==2=°:

—2134-—

c

=o

6.    Basismessung bei Lommel in Belgien, 1852, 2301™ lang, 5 Strecken je zweifach gemessen.

7.    Basismessung bei Ostende, 1854, 2489“ lang, 4 Strecken 622™, je zweifach gemessen.

8.    Basismessung bei Strehlen in Schlesien,

1854, von Baeyer, 3 ungleiche Strecken,

9.    Basismessung bei Braak

in Holstein, 1871, von Nordpunktl__

v. Morozowicz, trigonometrische Abteilung der preussischen Landes-Aufnahme, 7 ungleiche Strecken.

10. Basismessung bei Grossenhain im Königreich Sachsen, 1872, von Nagel und Bruhns. Sächsische Triangulierung, 12 Strecken.

10. Grossenhain in Sachsen, 1872.

Grossenhain

8. Schlesien, 1854.

Knieschwitz z

Herinsdorf

—2763— 9. Braak in Holland, 1871.

JE HL W Y

ce

-5875-

IT Südpunkt

Raschütz

Quersa

-8909-

11. Basismessung bei Oberhergheim im Eisass, 1877, von v. Morozowicz, trig. Abteilung der preuss. Landes-Aufnahme; in der Gegend der früheren französischen Basis von Ensisheim, 22 Strecken: 376™ + 20mal 312™ + 364™ = 6980™.

12. Oberhergheim im Eisass, 1877.

Nordpunkt

Südpunkt

11

-6982-

12. Göttingen, 1880.

16

12.    Basismessung bei Göttingen,

1880, von Schreiber, trig. Abt. Nordpunkt

i    r t ,    ,,    ,    Pi oo'ooofionoo rrooooooooóó o öseooooouOö~Q

der preuss. Landes-Aufnahme,

33 Strecken von je 156™.

13.    Basismessung von

Meppen, 1883, von Schreiber, trig. Ab-    Q

teilung der preuss.    ⁰

Landes-Aufnahme, 45 Strecken von je 156™.

14.    Basismessung bei Bonn 1892, 2513 Meter eingeteilt in 15 Strecken, 4mal von der Landes-Aufnahme mit dem Bessel sehen Apparat und 2mal vom Geodätischen Institut mit dem Brunner sehen Apparate gemessen.

Die vorstehende Zusammenstellung bezieht sich (mit unwesentlichen Ausnahmen) auf Doppel-Messungen, d. h. jede Strecke wurde hin und her gemessen.

Auch die älteren französischen Basismessungen des 17. und 18. Jahrhunderts sind meist doppelt gemacht, eine derselben, die Nachmessung der Picard sehen Basis von Juvisy durch Cassini sogar 5mal. Dagegen die französischen Messungen mit den Bordaschen Platin-Kupfer-Stangen von 1798—1828 sind nur einmal gemessen.

Auch die langen süddeutschen Grundlinien am Anfang dieses Jahrhunderts in Bayern und Württemberg sind unbegreiflicherweise nur einmal gemessen, so dass über die unregelmässigen Messungsfehler jeder Nachweis fehlt.

Die Schwerdsche und alle nachfolgenden Grundlinien sind wieder in der Kegel doppelt gemessen; als Ausnahme ist zu erwähnen, dass die badische Basis von Heiters-heim, 2125™ lang, im Jahr 1846 sogar 8mal gemessen wurde.

33Strecken

Südpunkt

Westpunkt

11

22

33

—5193—

13. Meppen, 1883.

45 Strecken

OQ nnonnnonnnoon ooooooooooooo

15

—7033—

30

mii:

Ostpunkt

45

Wie man aus Doppelmessungen oder allgemeiner aus Messungs-Wiederholungen im ganzen oder in Strecken den mittleren unregelmässigen Messungsfehler bestimmen kann, werden wTir später in § 23 behandeln.

Gesamt-Übersicht der Basismessungen.

Eine Zusammenstellung aller zu der internationalen Erdmessung angemeldeten Basismessungen ist von Perrier gemacht worden. Dieselbe findet sich veröffentlicht in den Generalberichten der internationalen Erdmessung und zwar für 1877, S. 40 bis 55; für 1880, Annexe YI; für 1883, Annexe III; für 1887, Beilage IV,

Wir haben hieraus folgenden Auszug gebildet, wo n die Anzahl der Grund-

T B1

linien, und [B] deren Gesamtlänge für das einzelne Land, also ■ die mittlere Länge einer Grundlinie ist.

Nnm.

Land

Anzahl

Summe

Mittel

[B]

H N CO Tt lö CO t- OO 05 O H    CO iti

r-H r-i r—! r—( r—1 T—i

Bayern.......

Belgien.......

Danemark......

Frankreich mit Algerien .

Italien........

Holland.......

Hessen-Darmstadt . . . Schweden und Norwegen Österreich-Ungarn . . .

Preussen.......

Portugal.......

Russland.......

Spanien.......

Schweiz.......

Nord-Amerika.....

51,01-ik n,okm

4,8

2,4

2,7

2,7

10    117,1

11,7

42,8

4,7

6,0

6,0

7,7

7,7

10,5

3,9

4,2

4,1

10,5

6,0

3,6

4,5

9,8

Summe

Gesamt-Mittel

104    617,4

617,4

104

= 5,9*»*

Diese Tabelle ist nicht vollständig; es fehlen von den deutschen Linien die Württember gische und die Badische, namentlich aber fehlen die Britischen Messungen in England selbst und in den Kolonien. Andererseits sind zwei preussische Linien (Strehlen und Berlin) infolge von Nachmessung doppelt aufgeführt.

In England sind nach S. 422 des Werkes: „Ordnance trigonometrical survey u. s. w.“ von 1791—1849, 7 Grundlinien von zusammen 219 579 engl. Fuss oder rund 66,9Lm Länge gemessen worden (Mittel = 9,6km) ; fügt man dieses zu der vorstehenden Zusammenstellung, und rechnet für die britischen Kolonien noch einen runden Betrag, so kann man die gesamten Basislängen der Erde zu rund 700 Kilometer schätzen, oder 70/₀ des Erdquadranten.

Wir entnehmen aus dieser Statistik, dass die mittlere Länge einer Grundlinie rund = 6 Kilometer ist.

Neuere Berichte über Basismessung geben die Verhandlungen der internationalen Erdmessung z. B. Verhandlungen über die Versammlung 1892 in Brüssel, 1893, Annexe A. II¹ S. 157—164. Wir haben diese neueren Berichte zunächst nicht mehr nachgetragen, weil als summarische Übersicht unsere vorstehende Tabelle genügt.

§ 17. Basisnetze.

Die Basis einer Triangulierung ist meist erheblich kleiner als die Dreiecksseiten im allgemeinen, und es entsteht daher die Aufgabe, eine grosse Seite aus einer kleinen trigonometrisch abzuleiten. Ungünstige Dreiecks-Verbindungen sind hier nicht zu vermeiden; denn entweder macht man den Übergang von derJ kleinen Basis zu einer grossen Hauptdreiecksseite durch wenige Dreiecke, und man muss dabei spitze Schnitte anwenden; oder man nimmt eine grosse Zahl von Dreiecken, man hat dann aber eine grosse Zahl von Fehlerquellen.

Wir werden nun zuerst mehrere Basisnetze bekannter Triangulierungen betrachten, und sehen, wie zu verschiedenen Zeiten verschiedene Landmesser sich bemüht haben, teils durch zweckmässige Anordnung der Dreiecke, teils durch lange Grundlinien selbst, die in der Natur der Sache liegenden Schwierigkeiten zu überwinden.

1) Das Basisnetz von Snellius (Fig. 1.)

Fig. 1. Snellius, 1615. Massstab 1 : 100 000. t c = 328 m,

LS — 4114 m.

Wie wir schon in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 478, mitgeteilt haben, verdanken wir dem Niederländer Willebrord Snellius in Leiden 1615 die ^ erste Triangulierung in dem heutigen Sinne ; und in überraschender Weise hat das erste Snellius sehe Basisnetz (Fig. 1.) diejenige Form, welche heute noch als die beste gilt. Allerdings die Genauigkeit absolut genommen war bei Snellius noch gering, die Basis t c wurde mit hölzernen Messlatten, und die Winkel mit einem geteilten Quadranten von 2,2 rhein. Fuss ohne Fernrohr auf etwa 1' gemessen.

In Fig. 1. sind L und S die Türme von Leiden und dem südlich von Leiden gelegenen Dorfe Soeterwoute, die wirklich gemessene Grundlinie ist nur t c = 87,05 rheinl. Buten = 327,85m lang, daran schliessen sich zwei hochgestellte Dreiecke t c e und t c a, und an die abgeleitete Linie e a = 1229"" schliessen sich wieder zwei hoch-gestellte Dreiecke eaL und e a S, woraus LS = 4114m berechnet -wird.

Für jedes der vier eigentlichen Messungs-Dreiecke teilt Snellius nur je zwei Winkel als gemessen mit, und zwar jeweils die Winkel an der Basis, was nach der ganzen Art seiner Darstellung in solchen Fällen, in welchen er die Probestimmungen nicht mitteilen will, nicht ausschliesst, dass auch die dritten Winkel gemessen und ausgeglichen wurden. Ob Snellius das Hauptgesetz, dass die spitzen Winkel (z. B. der Winkel a in dem Dreieck t a c) wesentlich die Genauigkeit bestimmen, gekannt hat, ist daraus nicht zu ersehen.

2) Basisnetze von Schwerd, 1820.

Der Vater der neueren Basisnetz-Theorie ist Professor Schwerd in Speyer (vgl. S. 100 und 101). Dieser hat im Jahre 1820 das richtige getroffen; er fand nämlich durch theoretische Betrachtungen und Vergleichungen:

erstens, dass das rhombische Netz AB N D Fig. 2 a. (S. 105) das günstigste ist (was schon Snellius hatte) und    ^

ztveitens, dass die spitzen Winkel bei N und D, welche der Basis gegenüber liegen, hauptsächlich bestimmend für die Genauigkeit sind, und deswegen mit besonderer Schärfe gemessen werden müssen.

Die eigentlichen kleinen Basisnetze, welche Schwerd gemessen und berechnet hat, sind in den folgenden Figuren dargestellt. Schwerd hat ausser seinem „Hauptnetz“ Fig. 2 a. noch zwei „Prüfungsnetze“ Fig. 2 b und Fig. 2 c. angewendet. Die eigentliche Basis A B seihst ist nur 860m lang. Die Entfernung HD leitete Schwerd hieraus dreifach trigonometrisch ah mit den Ergebnissen 4959,084™, 4959,068™, 4959,098™.

Fig. 2.

Basisnetze von Schwerd, 1820.

Massstab 1 : 100 000, ,4 5 = 860™, HD = 4959m.

Fig. 2 a.

Hauptnetz.

Fig. 2 b. Erstes Prüfungsnetz.

Fig. 2 c. Zweites Prüfungsnetz.

z^of)

Die weitere Verbindung der Linie HD mit der amtlichen bayerischen Basis Speyer-Oggersheim haben wir schon in unserem handelt, wobei mit D Sp der Punkt Dom in Speyer bezeichnet ist, welcher abgesehen von einer Excentricität auf dem Turme, dem Punkte D in Fig. 2 a., 2 h. und 2 c. entspricht.

I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 208 be-

3J Basisnetz der Gradmessung in Ostpreussen, 1834.

Fig. 3. Massstab 1 : 400 000.

Basis Trenk-Mednicken = 1822 m Galtgarben-Condehnen = 29 563 m

Fuchsie ry

Gcätcfarben

Condelinert/

7Ww

er

Wurgelitteri

Königsberg

/.- 400000.

SoooToiseic

Die vorerwähnten Überlegungen von Schwerd haben auch auf die Anordnung der Besselsehen Basismessung bei Königsberg Einfluss gehabt; Bessel erwähnt auf S. 38 der Gradmessung in Ostpreussen das „sehr lesenswerte Buch von Schwerd“, und machte seine Königsberger Grundlinie nur 1822m lang, wie aus vorstehender Zeichnung (Fig. 3. S. 105) zu ersehen ist. Die zwei Rhomben Wargelitten-Fuclisberg und Galtgarben-Königsberg entsprechen dem Schwerd sehen Gedanken, allein die Verstärkung der Messungs-Genauigkeit in den spitzen Winkeln hat Bessel, wie es scheint im Vertrauen auf die Gesamt-Ausgleichung, nicht durchgeführt (vgl. hiezu auch unsern I. Band, 4 Aufl. 1895, S. 499—500).

Fig. 4.

Massstab 1 : 600 000.

Bingen

Griesheim

Casteiberg

leuenburg

4) Badische Basis hei Heitersheim, 1846.

Auch bei der kurzen badischen Basis, welche 1846 bei Heitersheim (zwischen Freiburg und Basel) gegenüber der französischen Basis von Ensisheim (Ober-hergheim) von Klose und Rheiner gemessen wurde, zeigt sich Schwerds Grundgedanke. Die Winkelmessungen hiezu haben wir früher in Band II, 3. Aufl. 1888, S. 183 als Repetitions-Messungsbeispiele mitgeteilt. Die spitzen Winkel sind verstärkt gemessen. Die Basis selbst ist NS = 2125”*, und Neuenburg-Bingen = 17027”*.

5) Spanische Basismessung von Ibanez, 1858.

General Ibanez liess 1858 für seine spanische Triangulierung eine lange Linie messen, bei Madridejos (etwa 100 Kilometer südlich von Madrid). Die Gesamtlänge von 14 663”* wurde in 5 Teile geteilt, welche alle unter sich trigonometrisch verbunden wurden.

Fig. 5.

Massstab 1: 200 000, Carbonera—Bolos = 14 663 m. Carlonera

4,

er

Bolos

vom

Die Anschauungen, von welchen General Ibanez hiebei geleitet wurde, sind durch folgenden Auszug einer Mitteilung in der Madrider Akademie-Sitzung 30. Nov. 1863 charakterisiert (astr. Nachr. 61. Band, 1864, Nr. 1462, S. 339-346): Die zwischen einigen französischen und deutschen Geodäten streitige Frage, ob kleine Grundlinien genügen, wurde dadurch zu beantworten gesucht, dass die lange Grundlinie in 5 Teile geteilt wurde, welche unter sich durch ein Netz von 10 Punkten mit

120 Dreiecken und 45 Verbindungs-Linien trigonometrisch verbunden wurden. Die trigonometrische Rechnung, welche sich auf das Mittelstück stützte, gab für die vier äusseren Stücke Werte, welche von den unmittelbar gemessenen Längen nur sehr wenig, d. h. um 2—3mm Abweichung zeigten.

messung

stituto geografico y estadistico“, ferner (nach einem Citât des Gen.-Ber. für 1869, S. 63) : „Base centrale de la triangulation géodésique de l’Espagne par les Colonels Ibanez et Saavedra, 1865.

Weiteres über diese spanische Vermessung giebt der General-Bericht der „Europ. Grad-für 1869, S. 62—65 und für 1876, S. 125—128“, sowie das grosse Werk: „Memorias del in-

6) Sächsische Basis bei Grossenhain, 1872.

Fig. 6.

Massstab 1: 600 000. Basis Kaschütz-Quersa = 8909 m.

Strauch

\Qu.trs

Co/I

~~G2Z^1Mchber(j

liteiitenherg

^Baseîûz^L\X

Urcls-Dohritz

//

//

II

Baey erhöhe,

Im Königreiche Sachsen wurde im Jahre 1872 eine lange Grundlinie mit dem Besselschen Apparat unter Leitung von Nagel und Bruhns gemessen, deren Basisnetz in Fig. 6. gezeichnet ist.

Näheres hierüber giebt das amtliche Werk: „Astr. geodät. Arbeiten für die Europ. Gradm. im Königreich Sachsen, I. Abteil, die Grossenhainer Grundlinie, von Bruhns und Nagel, Berlin 1882", und Auszug hieraus im „Civilingenieur XXVIII, 1882, Heft 1“, und Bericht von Helmert in der „Zeitschr. f. Verm. 1883“, S. 596—604. Aus diesem Helmertschen Bericht ist auch unsere Fig. 6. entlehnt.

7) Göttinger Basis, 1880.

Die Göttinger Basis ist die zwölfte der mit dem Besselschen Apparat gemessenen Grundlinien; die Messung geschah 1880 unter Leitung von General Schreiber, welcher den Mess-Apparat und dessen Anwendung zu diesem Zwecke verbessert hatte, und auch in der trigonometrischen Anlage des Basisnetzes von früherem abwich.

Das Göttinger Basisnetz Fig. 7. (S. 108) zeichnet sich durch klassische Einfachheit aus, es entspricht dem von General Schreiber dabei ausgesprochenen Grundsätze, „dass die Güte der Messungen nicht in einer systemlosen Häufung von Kontrollen, sondern in einer scharfen Messung solcher Elemente zu suchen ist, welche die Ge-

nauigkeit der Schluss-Ergebnisse in erster Linie bestimmen“ („Zeitschr. f. Verm. 1880“, S. 397). In diesem Sinne wurde das Göttinger Basisnetz Veranlassung für General Schreiber, die Anordnung der Winkel-Beobachtungen nach dem Grundsätze günstigster Gewichts-Verteilung allgemeiner zu untersuchen (s. Schreiber: Die Anordnung der Winkel-Beobachtungen im Göttinger Basisnetz, „Zeitschr. f. Verm. 1882“, S. 129—161). Auch gehört hiezu der Schreibersche Satz über günstigste Gewichtsverteilung, den wir bereits in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 138—144 behandelt haben.

Fig. 7.

Massstab 1: 670 000.

Basis NS = m, Ahlsburg-Meissner = 57 507 m.

Fig. 8.

Massstab 1 : 600 000.

Windberg

Ahlsburg

//

Hengstberg 0

BasisTLordlk

ßerssen

Hohehagen

Basis südlich

>Gleichen

Meissner

Hesepe

8) Basis bei Meppen, 1883.

Die Meppener Basis, 1883 unter Leitung von General Schreiber gemessen, entspricht ihrer Vorgängerin von Göttingen. Das Basisnetz besteht nur aus 4 Übertragungs-Dreiecken.

Amtliches ist hierüber noch nicht veröffentlicht, eine vorläufige Mitteilung giebt die „Zeitschr. f. Verm.“ 1883, S. 577 bis 584. In Fig. 8. ist die Basis WO = 7039m und Hesepe-Windberg = 34561m.

9) Basis am Kap der guten Hoffnung, 1886. Fig. 9.

Massstab 1: 86 000. AB — 1097 m, N S — 3291 nt.

Il B m S

-i₁Meile engl. = 1,60933*”*

Das in Fig. 9. dargestellte Basisnetz hat eine von allen unseren vorhergehenden Fig. 1—8. abweichende Form. Die 3 Abschnitte sind für sich gemessen und durch ein Gitternetz von 5 Dreiecken unter sich trigonometrisch verbunden. Denkt man sich das Mittelstück

A B allein gemessen, so lässt sich die Gesamtlänge N S trigonometrisch berechnen und zwar stimmte dieses im vorliegenden Falle auf 4- 0,0002 — 0,0027 = — 0,0025 engl. Fuss = 0,8"‘m.

Die Frage der theoretischen Fehler-Fortpflanzung in einem solchen Netze werden wir später besonders behandeln (§ 19) ; wir werden finden, dass das Gitternetz Fig. 9. theoretisch ungünstiger ist als das Khombennetz, allein das Gitternetz mit nur kurzen Seiten hat praktische Vorzüge. (Unsere Fig. 9. S. 108 ist aus einem Berichte in der „Zeitschr. f. Verm. 1887“, S. 59 entnommen.)

Noch einige weitere Beispiele von Basisnetzen, mit Genauigkeitstheorien, enthält die Veröffentlichung des geodätischen Instituts : „Die Europäische Längengradmessung in 52° Breite, von Greenwich bis Warschau, I. Heft Hauptdreiecke und Grundlinienanschlüsse von F. K. Helmert, Berlin 1893,“ S. 231—252, mit Tafel II, 10 Basisnetze in 1:50000.

§ 18. Mittlere Fehler von Dreiecksseiten.

Wenn in Fig. 1. die Grundlinie b und die drei Winkel (1), (2), (3) gemessen sind, so kann man, nach Ausgleichung der drei Winkel auf 180°, die Seite B berechnen :

(1)

Fig. 1.

sin (2)

B~bdnT(I)

und wir wollen für diese Funktion den mittleren Fehler bestimmen unter der Annahme, dass die Basis b fehlerfrei sei.

Die Bedingungs-Gleichung ist :

4h (1) 4- (2) 4- (3) — 180° = 0 also die Coëfficienten der Bedingungs-Gleichung : «1 = 4-1

«2 — 4~ 1

«3 — 4“ 1

(2)

Versteht man unter fx, fe, die partiellen Differentialquotienten der Funktion B nach Gleichung (1), so hat man (nach Band I. 4. Aufl. 1895, §. 42.):

'' - 8TÏ) “

b sin (2)

sm² (1)

COS (1) =

b sin (2)

sm(l)

cotg (1) = — B cotg (1)

Wir wollen zur Abkürzung schreiben : cotg (1) = c₁

cotg (2) = c₂

cotg (3) = c₃

(3)

Dann wird :

fi = —Bc₁

fi — 4- B C2

Die Gewichte der drei gemessenen Winkel seien:

(4)

PS

(5)

Dann ist das Gewicht P der Dreiecksseite B nach der Ausgleichung, indem hier die Basis b als fehlerfrei betrachtet wird, zunächst in allgemeiner Formel gegeben (nach Band I. 4. Aufl. 1895, S. 125) :

(6)

-[£]

Die Einsetzung der einzelnen Teile aus (2), (4) und (5) giebt:

p =    &    +c-²-)

p \P\ P2I

(7)

M²

Pi

Dieses kann auch auf folgende Form gebracht werden:

(8)

P\ C2² + Pi ^i² ¹ t~ Ps (ci + c2)2 PxPi + P1P3 +P2P3 Setzt man den mittleren Gewichtseinheits-Fehler = + p, so hat man auch den mittleren Fehler der Seite B, den wir mit m (B) bezeichnen wollen :

m {B)

— J¹L 7/ i _ Jl_ p> -f/Pl c2²    P-2 cl² + Pb (C1 + c2)²

Q y P Q y    P\Pi+P\P3+PiP3

(9) ¹)

Wir wollen auch noch den mittleren Fehler der Längen-Einheit von B einführen, und hiefür das Zeichen p(B) setzen, also:

+ c₂)²

(10) ¹)

m(B)=z (B, ₌ _P_ -j/Pi C2² + Pi «i² +P3 (ci B    Q r P\ Pz + Pi P3 + P2 P3

Nach diesen verschiedenen Formen kann die Genauigkeit der trigonometrischen Übertragung von b auf B beurteilt werden.

Aus der Formel (7) ist zu ersehen, dass mit c₁ — c₂, oder mit Winkel (1) = Winkel (2), der zweite Teil ganz fortfällt, und dass dann p₃ gar nicht mehr in der Formel vorkommt; wenn also das Dreieck mit (1) = (2) gleichschenklig ist, also B = b, so ist der Winkel (8) bei der Messung gleichgiltig. Dieses Ergebnis ist zuerst eigentümlich klingend, aber bei näherer Betrachtung ganz sachgemäss, denn wenn man nur die Seite B von Fig. 1. (S. 109) bestimmen wollte und B nahezu = b ist, dann brauchte man in der That den Winkel (3) gar nicht oder nur oberflächlich zu messen ; da man aber gewöhnlich auch die andere Seite, welche (3) gegenüber liegt, haben will, so darf auch der Winkel (3) nicht vernachlässigt werden.

Wenn das Dreieck bei (3) rechtwinklig ist, so wird c₃ = 0, B ist dann Kathete, deren mittlerer Fehler nach (10) zu berechnen ist, wobei nun e₂ = 1 : c₁ ist.

Gleiche Gewichte.

Aus (8) oder (10) wollen wir auch noch den besonderen Fall herleiten, dass alle Gewichte einander gleich, also px — p₂ — P3 = 1 gesetzt werden; dann wird:

CO CO

+ c₂² -+- Cj C2)

(H)

und für das gleichseitige Dreieck mit Ci = c₂ = c₃ = cot g 60° =

n (.B) = yr    cotg 60° oder = ~]/    = 0,000 003 96 p

1/3-

giebt dieses:

031 tO|

(12)

Nimmt man p = 1", so hat man rund fx (.B) = 0,000 004, oder der Übertragungs-Fehler beträgt in diesem Falle 4 Milliontel der Länge, oder 4 Millimeter auf 1 Kilometer.

Sehr ungleiche Geiuichte.

Wir betrachten den Fall, dass man die Gewichte p-y oder p% verstärkt oder vermindert, je nachdem die zugehörigen Winkel (1) und (2) mehr oder weniger spitz werden. Namentlich ein spitzer Winkel (1) gegenüber der Basis b in Fig. 1. (S. 109) wirkt bekanntlich sehr schädlich, und das zeigt sich in den Formeln dadurch, dass cotg (1) = cx sehr gross wird, wenn (1) klein ist. Nun zeigt aber die Formel (7), dass man dem grossen Werte Cy dadurch entgegen wirken kann, dass man auch das Gewichtel gross macht, d. h. den Winkel (1) verstärkt misst. Ebenso ist es mit c₂ und p₂.

Wir haben damit bereits den Hauptsatz über Gewichts-Verteilung, dass man einen spitzen Winkel, der einer Basis gegenüber liegt, besonders genau messen soll.

Wir wollen auch noch den Fall vornehmen, dass abwechselnd je einer der drei Winkel des Dreiecks gar nicht gemessen sei, d. h. das Gewicht = Null habe, während die beiden anderen Winkel mit dem Gewichte = 1 gemessen sind. Dann hat man aus (10):

(c₂² + Cy²) mit p₃ — 0

3. Oy

M²

ci² + (ci c2)² ) lh — 0

f¹ (-^23) J — ^ ~

Dazu wenn alle drei Winkel gleich gemessen sind:

Diese 4 Formeln geben die Beziehung:

Ähnliche Beziehungen gelten auch für die mittleren Coor-dinatenfehler und für die mittleren Punktfehler, wie in unserem I. Band, 3. Aufl. 1888, § 110—113 gezeigt wurde.

Kette von Dreiecken.

In der Dreieckskette Fig. 2. ist b die Basis; daraus wird zuerst durch das erste Dreieck By abgeleitet, dann JB₂ durch das zweite Dreieck u. s. w., wir wollen annehmen bis Bn durch ein nte$ Dreieck. Jedenfalls entsteht jede Seite B aus der vorhergehenden durch Multiplikation mit einer Sinusfunktion, welche immer die Form hat wie in der Gleichung (11). Wenn die letzte Seite Bn ist, so bekommt man durch wiederholte Anwendung der Gleichung (11):

Fig. 2.

b₃\

(X (B„) =

m (Bn)

Bn

wobei

[^2] = cotg² (l)j -I- cotg² (1)₂ + . . . . cotg² (1)„ u. s. w.

Die Messungsgewichte der Dreieckswinkel sind dabei alle = 1 angenommen.

Wenn alle Dreiecke, um die es sich handelt, einander ähnlich sind, so wird (13) :

fl (Bn)

= fYiy [Cia + C^ + Cl C2)

(14)

und nimmt man alle Dreiecke gleichseitig, also Cj = c₂ = c₃ = cotg 60° =

wird (14) :

.—, so

y s

m (Bn)

Bn

= - - j/~y n — 0,000 004 fi Y n

(15)

Dieses ist der relative mittlere Seitenfehler der letzten Seite einer Kette von n gleichseitigen Dreiecken; u ist der mittlere Winkelfehler.

Kg. 3.

Höhe eines Dreiecks.

Wir bestimmen den mittleren Fehler der Höhe h eines Dreiecks nach Fig. 3. mit der Funktion:

r sin (2) sin (3)

(16)

sin (1)

Diese Funktion wird ebenso behandelt wie früher (1) S. 109. Die verschiedenen Coëfficienten sind, mit der Abkürzung cotg (1)

= Ci u. s. w. :

'(3)

(2)

d\ — + 1 fl — — Ci h

P \Pi

«2 ⁼ 1 fz — + c%h Die Formel (6) § 18. S. 109 giebt damit:

ft² IÇl _ C₂ __ _Cg_\2 Pi Pa Pa )

t ₊

Pa Pa

[7]

a₃ — -j- 1

fa = + C3 h

(17)

Dieses kann man auch auf folgende Form bringen :

(18)

J_ _ J.9.P1 (c2 — c3)² Pa (ci + c3)⁸ ^ Pa (ci ~+~ c2)2 P    P1P2+P1P3+P2P3

Der mittlere Übertragungs-Fehler ist hiernach:

m (h)

= fi(h)

_ P j/Pl (c2

— C3)² P2 (ci + c3)² ~t~ Pa (ci ■+■ ca)²

P1P2+P1P3+P2P3

(19)

Wenn man hier die Bedeutungen q = cotg (1) u. s. w. wieder einführt, so nimmt der Zähler von (18) und (19) folgende Form an :

sin² (3) sin² (1) sin² (2)

Wenn man hier den Winkel (2) = (3) setzt, also das Dreieck gleichschenklig annimmt, so fällt das erste Glied in (20) fort, die Gleichschenkligkeit wirkt also günstig. Wir wollen diese Annahme in (19) einführen, also c₃ = c₂ setzen, zugleich auch soll p₃ = p₂ gesetzt werden, dieses giebt aus (19) und (20):

sin² ( (2) — (3) )

Pl sin² (2) sin² (3)

■i-P 2

sin² (2)

sin² (1) sin² (3)

+-P 3

(20)

'•»“fr

(2_pi -hp₂) sin² (1)

oder =

0Sin(l)V 4p, + p, + ps

2 fi

(21)

Setzt man noch die Gewichte pl und Pz — Pz = 1> so giebt dieses (zu Fig. 3.

gehörig) :

sir^y T

Von der Formel (21) kann man auch unmittelbar auf den Rhombus Fig. 5. S. 114 übergehen, doch wollen wir vorher noch eine allgemeinere Aufgabe einschalten.

m (h)

h- = ^m =

's rs

(22)

Diagonale eines Vierecks.

In ähnlicher Weise wie für eine Dreiecksseite kann man auch das Gewicht für eine Diagonale B in Fig. 4. bestimmen, wenn auf einer Basis t nach zwei Seiten hin Dreiecke (1) (2) (3) und (1') (2') (3') aufgebaut sind.

In jedem dieser beiden Dreiecke hat man eine Bedingungs-Gleichung, also zusammen:

a) -t- (1) + (2)    (3) — 180° = 0

Fig. 4.

,1

aW

+ (l') + (2') + (3') —180° = 0

Die Diagonale B wird als Funktion gemessener Winkel dargestellt durch die Gleichung:

,3'-b -    2/

a'

(23)

rvobei

a sin (1)

, a' —

Wenn man die Funktion B nach (1), (2) und (3) differentiiert, und wenn man die geometrischen Beziehungen beachtet:

a — a' cos (3 -f- 3') = B cos a, und a' sin (3 -+- 3') = B sin a

so findet man:

fl = — a cos a cotg (1), f% = + a cos a cotg (2), f₃ = a sin a fl — — a’ cos a' cotg (l'j, f{ — -4- a' cos a! cotg (2'), = + a' sin a

Wenn man damit ebenso verfährt, wie bei der vorigen Aufgabe (18) — (20), so findet man zuerst, dass sich die Gewichtsreciproke von P in zwei Teile zerlegt, entsprechend den zwei Dreiecken, nämlich:

(24)

4- = I + II

Wir beschäftigen uns zunächst nur mit dem ersten Teil I, die Ausrechnung ist nicht schwierig, jedoch etwas langwierig, das Ergebnis ist:

j a2Pi    a—cos a co^?(2) )² ^~lh (Pn a + cos a c°tg (1) )² + Ps cos² « (cotg (1 )-\-cotg (2))²

P1P2 + P1P3+P2PS

Den Zähler hievon kann man auf diese Form bringen:

Pi

’a cos (a 4- (2) )\²

sin (2)

-vpz

acos((l)— a)

sin (1)

+Ps

(a cos a sin ( (1) + (2) ) )2

sin (1) sin (2)

oder pi

sin(l)

cos a

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

Dieses geht in den entsprechenden Teil von (21) und (22) über, wenn man ß — 90 ⁰ setzt, denn dann wird cos ((3) —(2) -f- ß) = sm((3)—(2) ) und h = . ^ sin(2) sin(ß)

Sv ft ( -L J

oder h = a sin (3) = c sin (2). Dieser Übergang, der in sich richtig sein muss, dient als Entwicklungs-Probe.

Um nun zusammen zu fassen, bilden wir das mittlere Fehlerquadrat der Diagonale B von Fig. 4. S. 123:

Px

} (25)

(m{B) )Z = ( P)*[Pl hiCOs2 ((³)—(²)+ffl+P2«2cos2 y+Ps c2 cos2a \q) \    sin2(l)(plï>2+PlPs-¹rP2P3)

Dabei soll der zweite teilweise nur angedeutete Teil in der Klammer dasselbe für das untere Dreieck von Fig. 4. S. 113 bedeuten, was der erste Teil für das obere Dreieck.

Will man nicht den mittleren Fehler m (B) selbst haben, sondern das Fehler-Verhältnis m(B):B, welches wir sonst mit p{B) bezeichnet haben, so braucht man nur in (25) alle Masse b, a u. s. w. in Teilen von B auszudrücken, dann liefert die Formel (25) das gewünschte p{B).

Fig. 5.

Ti

(2)k „ 1 /W

(\c I c / \

iJj:

Man kann nach der Formel (25) für jedes Basis-Rhomboid die Fehler-Übertragung von der kurzen Diagonale zur langen Diagonale beurteilen, wenn man ausser der Form des Vierecks auch den mittleren Winkelfehler p und die sämtlichen Gewichte p kennt.

Man bemerkt sofort, dass diese Gewichte sehr ungleiche Einflüsse auf das Schluss-Ergebnis ausüben, am wichtigsten ist das Gewicht p₁ bzw. p{, denn in der Formel (25) trägt eine Verstärkung des Gewichtes pl wesentlich zur Vergrösserung des Nenners bei und im Zähler kommt p₁ nur in Verbindung mit cos ( (3) — (2) + ß) vor, was mit ß = 90° und (2) = (3), also in dem wichtigsten Falle, verschwindet.

Wir wollen diesen Fall, ß = 90° und = p₂, nun behandeln und zugleich annehmen, dass das untere Dreieck in Fig. 4. S. 113 dem oberen Dreieck symmetrisch sei, dass man also den Rhombus Fig. 5. habe. Damit giebt (25) :

___

(m (£))2=p -)²|2

2Æ2

sm² (1) {2Pl +p₂)

__ ₌mCR)₌    /_

2 h B ‘ ¹ q sin(l)r (2 Pi-i-pz)

m{B)

(26)

Diese Formel kann man auch einfacher aus (22) S. 113 herleiten, denn es ist

m (B) = m (h) Y 2 und fi (B) =

P (h)

Günstigste Gewichts- Verteilung.

Nun wollen wir die frühere Frage wieder aufnehmen, welche Verteilung der Gewichte p^ und p₂ am günstigsten ist? Es handelt sich dabei darum, den Ausdruck (26) möglichst klein zu machen bei konstanter Summe px p₂ ps — p₁ -+- 2p₂ = [_p], (indem die Messungs-Arbeit für jeden Winkel dem Gewicht proportional gesetzt wird).

Da die Gewichte in (26) nur im Nenner Vorkommen, muss man darnach trachten, die Funktion f = 2 p₁ -+- p₂ möglichst gross zu machen, hei konstantem p± -f- 2p₂ = Jjs>]. Eliminiert man zu diesem Zwecke pit indem inan pi = [^?] — 2p₂ in f einsetzt so wird:

f = 2 [p] — ip₂ + i>2 = ² [p] — Bp₂

und dieses wird am grössten, wenn p₂ = 0 gesetzt wird, dadurch muss aber p₁ — [p~\ werden, und man hat aus (26);

p (B) min =

¹    7/ ¹

q sin (1) r 2 |j

(27)

Dieses Ergebnis, dass nur der eine Winkel (1) an der Spitze, die beiden Basiswinkel (2) und (3) aber gar nicht zu messen sind, mag zuerst sonderbar erscheinen; man muss es aber richtig auffassen: dasselbe gilt, wenn das Dreieck gleichschenklig ist; man muss also doch mindestens so viel von den Basiswinkeln messen, dass man weiss, ob die Gleichschenkligkeit vorhanden ist. Man kann also sagen: Wenn man durch vorläufige Messungen gefunden hat, dass ein Dreieck von der Form Fig. 3. S. 112 sehr nahe gleichschenklig ist, dann kann man, wenn man nur auf die Höhe ausgeht, alle weitere Winkelmess-Arbeit auf den spitzen Winkel (1) konzentrieren.

Wir wollen nun in (26) statt des Winkels (1) das Yergrösserungs-Yerhältnis B : b — v einführen, oder auch, indem wir nach Fig. 5. die Hälften nehmen, h : c — v setzen, wobei sin (1) = 2 sin cp cos cp, und:

cos qp =

sin cp —

Wenn man damit sin (1) in v ausdrückt und in (26) einsetzt, so bekommt man für den Rhombus Fig. 5. S. 114 :

sm(l)

V -h v²

Fig. 6.

2v

(28)

/i 1+«²

t* C®) —    2 v

2pi -+-pz

und das Minimum, wie bei (27):

(29)

p (B) min —

2 [p]

(30)

g.

Das rhombische Multiplikations-Netz.

Nach Andeutung von Fig. 6. kann man die rhombische Vergrösserung wiederholt anwenden. Wenn die Rhomben alle ähnlich und ähnlich gemessen sind, so hat man nach (26):

je-'

B₂

->i

g gin(1) i/'2px-Ą-p₂

q sin (1) V '2px-Ą-p₂

u. s. w.

Bleiben wir zunächst bei zweimaliger Wiederholung stehen, so haben wir

mit r — 2 :

p(Br)=^

Dieses giebt eine ähnliche Fehler-Fortpflanzung, wie wir schon bei Fig. 2. S. 111 untersucht haben, und man hat daher für r malige Rhomben-Wiederholung:

= fl{Br) = ~^

Br

Q sin (1) ]/2 Pi -hp₂

(31)

---j/--²_

Q sm{Y)r 4-p₂

Wenn nun wieder B%:b = v werden soll, so muss B₂ : Bi — Bx : b — Ÿ v sein,

und eine ähnliche Rechnung wie bei (28) giebt: ^■ - =    _,

sin (1)    £ y y

folglich

_ fi 1 + v /    2

Dieses gilt für beliebige p{ und p₃ — p₂\ dagegen im günstigsten Falle mit P\ = Pi +P2, + Pz = [P] bat man :

fi (B) min —

(32)

ü L±^₇/_l

Q 4 / 2 V [p]

Nun kann man die Ausdrücke (30) und (32) zweckmässig vergleichen, es sei kurz (fi)' der Fehler-Ausdruck nach (30) für einen Rhombus, und (fi)" für zwei Rhomben, und das Yergrösserungs-Yerhältnis v sei in beiden Fällen dasselbe. Dann hat man das Verhältnis (fi") : (fi') oder fi (J5₂) : fi (B) = q wie folgt:

1 + Di 1 4- V²

q ~ y¥v~ '

Dieses Verhältnis ist immer grösser als 1 und giebt z. B. wenn v = 5, q = 0,730,

Der Doppelrhombus ist also immer günstiger als der einfache Rhombus.

1 4- v

1 4-»²

1/2

wenn v — 10, q = 0,487.

(33)

Günstigster Spitzen-Winkel (1).

Im einzelnen Rhombus giebt es kein Mass für den Vorteil oder Nachteil eines mehr oder weniger spitzen Winkels (1), weil dem Vorteil in der Genauigkeit einerseits, der Nachteil in der geringeren Vergrösserung B : b andererseits gegenübersteht, was sich hier nicht ab wägen lässt; dagegen kann man bei mehrfacher Anwendung ähnlicher Rhomben überlegen, ob es günstiger ist, den Winkel (1) sehr spitz zu machen und wenige Rhomben zu haben, oder umgekehrt.

Helmert hat diese Trage in seinen „Studien über rationelle Vermessungen“, III, 45. (Schlö-milchs „Zeitschr. f. Math. u. Ph.“ 1868) aufgestellt, und dahin beantwortet, dass bei konstanter Summe [p] der günstigste Winkel (1) = 2    = 33° 32' ist.

§ 19. Fehler-Fortpflanzung in Dreiecksketten.

Wir haben schon in § 18. S. 112 Fehlerverhältnisse in Dreiecksketten behandelt, nämlich die Genauigkeit einer Schlussdreiecksseite. Wir gehen nun über zu der Frage nach der Genauigkeit der Gesamtausdehnung einer Kette.

Fig. 1.

In der gitterförmigen Kette gleichseitiger Dreiecke, welche in Fig. 1. angedeutet ist, soll es sich um die Summe mehrerer Dreiecksseiten, z. B. s₁ 4- s₂ 4- s₃ handeln, wobei bj die einzelnen Seiten s1? s₂, s₃ aus derselben Basis b, teil- /$ weise durch dieselben Winkel abgeleitet sind.

In jedem einzelnen Dreiecke seien alle drei Winkel gleich genau gemessen, und ausgeglichen, also z. B.:

14>

S,

\s/9    r\/4 iy

S₂

S,

a) (1) 4- (2) 4- (3) — 180° = 0

b)

(4)    (5) 4- (6)—180° = 0

c)

(7) 4-(8)4-(9)-180° = Q ⁽¹⁾

d)

Alle diese Bedingungs-Gleichungen stehen ganz unabhängig von einander; wenn man sie aber trotzdem als ein System zur Ausgleichung der Dreieckskette als Ganzes auffassen will, so geben sie sehr einfache Normalgleichungs-Coëfflcienten, nämlich: [a a] 4- l² 4- l² 4- l² = 3 und im ganzen :

[a a] = 3

[ab] =0 [bb] = 3

[a c] = 0 [6 c] = 0 [c c] = 3

[ad] = 0 [bd] = 0 [c <I] = 0 '

(2)

Wenn man nach der Ausgleichung den mittleren Fehler oder das Gewicht der Summe S} 4- s₂ 4- s₃ berechnen will, so hat man die Gewichtsformel für bedingte Beobachtungen anzuwenden (vgl. Band I, 4. Aufl. 1895, S. 124, Gleichung (12) ), nämlich :

-ÏT = iff]

[afl [bf -JF [cf. 2]2

[a a]

[b b . 1] [c c . 2]

(3)

Diese Formel vereinfacht sich aber in unserem Fall sehr bedeutend; zunächst wird wegen [ab] = 0, der Wert [b b . 1] = [b b] und [b f. 1] = [bf] u. s. w., und deswegen wird (3) zuerst so:

H Ai

= [ff]

[a a] [6 b] [c c]

(4)

Nun muss man die Funktion F näher betrachten : F = «1 4- «2 + s3

^(I)Sl‘W(2) +

b sin (3) sin (5)

sin (1) sin (4) sin (7)

sin (8)

b sin (3) sin (5) sin (9) sin (11) sin (1) sin (4) sin (7) sin (10) sin (13)

sin (14)

(5)

Die Differential-Quotienten sind:

SF

fl = “777 = — «i cotg (1) — s₂ cotg (1) — s₃ cotg (1)

CO CO

8(2)

co

+ s₂ cotg (3) 4- s₃ cotg (3)

CO

8(4)

— s₂ cotg (4) -— s₃ cotg (4)

In dieser Weise bekommt man 15 Werte f, welche wir nun, mit Einführung von (1) = (2) = (3) = ... = 60° und cotg 60° = c, sowie Si = s% — ss = ... = s so zusammenstellen :

fl = — 3 s c 4 = + 1 s c fs — + 2 s c

fr = — 2 sc fs = -f- 1 s c

fg = + 1 S C

fl 3 = — 1 « c

fu ⁼ + 1 s c

flä ~    0

(7)

/4 = — 2 sc

/5 = +2sc

o

/io = — 1 s c

fn — + 1 s c f12 ⁼    9

Nun sieht man zuerst aus der Verbindung mit (1), dass [a f] = fi + fy + fe = 0, [ö/] = f± + /Ś -+- fe — 0, [cf] =0 u. s. w. Damit wird die Gewichts-Formel (3) sehr einfach, nämlich:

-JT = \fü = ff + ff + ff + /4² + • • •

Setzt man hier die Werte f nach (7) ein, so findet man:

(8)

(9)

= (9 + 1 + 4 + 4 + 4 + 0 ...) s2 C2 ₌ 32 S2 C2 ₌ 32 S2 coty² 60°

Indessen gilt das zunächst nur für den Fall dreier Seiten Sj -b s₂ + sz-Wichtiger wird es sein, das allgemeine Gesetz der Gewichts-Formel (9) für irgend welche Seitenzahl zu bestimmen, etwa für n Seiten nach der Formel:

(10)

Fn — Sj -|- S₂ “1" ³3 “t- 34 4“ • • •

Denkt man sich hiezu die Reihe (5) fortgesetzt, so sieht man leicht, dass die Winkel (2), (8) und (14) nur in jedem Gliede einmal Vorkommen, der Winkel (1) kommt in allen nGliedern vor, und ähnliche Gesetze zeigen sich auch im übrigen, so dass man folgendes findet:

Winkel (1) giebt (— sc — sc — sc...)² . .

„    (2), (8), (14)... geben (s c)² -+- (s cf + (s c)² +.....

(3) (5)

Die Gruppe

(4) (7)

giebt . .

. = (ns cf = n² (s c)2 .    — n(s c)²

= 4 (n — l)² (s e)²

(9) (U)

Die Gruppe Die nächste Gruppe giebt

(10) (18)

giebt . .

.    =4(71— 2)2 (s c)²

= 4 (n — 3)2 (s c)²

Die letzte derartige Gruppe giebt Im ganzen hat man:

4 (12) (s c)²

Pn

= ^n² + n + 4 ( (n — l)² + (n — 2)² + ... 2² + 12)j (s cf

= — 3 w² + n + 4 (n² + (n — l)² + (« — 2)² + ... 2² + l²) ) (s cf Nun ist aber die Summe der n ersten Quadrate bekanntlich:

2 «3    3 w2 _j_ n

und damit wird:

Pn

n² (n — l)² -I- ... 2² -+- l² = = ^— 3 n² -+- n -+- 4

s² c² =

4 n³ — 3 n² -+- 5 n

s² c²

, und wenn man nun den mittleren

Dabei ist c = cotg 60° = 0,577, c² =

Fehler eines gemessenen Winkels mit g einführt, so ist der mittlere Fehler der Seitensumme sx -t- s₂ + ss • • •    Anwendung der Bezeichnungsart der Anmerkung S. 110:

"3

m(ns) = s cotg 60° j/

Meist will man nicht den Fehler selbst haben, sondern das Verhältnis des Fehlers zu Si-t-s₂-f-... s» oder den sogenannten relativen Fehler, dieser ist:

m (n s) _

(H)

g (ns) = —cotg 60° j/ -

4 n² — 3^ + 5

(12)

Nachdem wir so den Fall der Dreieckskette Fig. 1. S. 117 in aller Ausführ-lichkeit behandelt haben, wollen wir noch / einige andere ähnliche Fälle betrachten, /-j jedoch nur die Schluss-Ergebnisse hier mitteilen, da die Entwicklung nach dem vorstehenden keine Schwierigkeit bieten kann.

In Fig. 2. soll es sich um die Summe «i -h s₂ -t- s₃ -f- ... sn handeln ; der mittlere Fehler dieser Summe wird gefunden:

18

15    13A9

14

Fig. 2.

12

/£\³

16V 11    10V5

Si

m (n s) =

3.1 Qy

- s cotg 60

°y

4 n³ + 3 n² + 5 «

(13)

Nun kann man die zwei Fälle von Fig. 1. S. 117 und Fig. 2. zusammen nehmen.

Wenn man hiernach in Fig. 3. die Summe der auf beiden Seiten der Kette liegenden Seiten betrachtet:

S1 s2 “F SS "F • • • Sn -+■    s2 -ß    ... Sn ,

so findet man dafür den mittleren Fehler durch Zusammensetzung von (11) und (13), nämlich:

Fig. 3.

s/

Si

S2

m(n s -h n' s) =

3. Oy

s cotg 60° J/

Nimmt man hier »' = n und n -\- n' = v, so wird :

/(4 rß — 3 rß + 5«)+ (4 »'³ + 3 n'² •+• 5 n')

(14

m (v s) —

- s cotg 60° j/

oder =

cotg 60°    5 V

(15)

Eine andere Zusammenfassung von Fig. 1. und Fig. 2. zeigt Fig. 4., wobei es sich um die Dia- ^ gonale S S' handelt, welche näherungsweise etwa = S B ■+■ B' S' gesetzt werden kann. Hiefür ist mit zweifacher Anwendung von (11), mit 2n = ü:

8 rß — 6 vß    10 n

Fig. 4.

ff

m(vs) =

s cotg 60 ⁰ j/

Einen weiteren Fall nehmen wir mit Fig. 5. vor. Die Basis b liegt in der Kettenrichtung selbst. Für die Summe nach der einen Seite + s₂ + s₃ + ... s„ findet man:

Fig. 5.

TV

Sa

Sa

8/

St

S3

= y cotg 60° j/

4 n³ + 9 n² 5 n

(17)

wi (n s)

Für die Gesamtsumme «i H- s₂ + Sg + ...    + si + -V + s₃'    ... genügt es

nicht, diese Formel (17) zweifach anzuwenden, denn der Winkel, welcher der Basis b gegenüber liegt, hat auf beide Seiten Einfluss. Die selbständige Entwicklung für die Summe Si —(— So s% —f— ... s„ -1-    -j— s₂ ³3, fl⁻ ... Sn giebt :

= ~ cotg 60 ⁰ j/(n + n')²

(18)

m (b + n s -t- n' s)

Setzt man hier n' — n, so wird:

4n³ + 6n²-f-5w    4w'³-f-6n'² + 5n'

s cotg 60

°y

8 w³ + 24 n² -+- 1 On

(19)

Die ganze abgeleitete Länge ist hier = (2 n -h 1) s, weil das Mittelstück s als fehlerfreie Basis mitgerechnet wird; wir wollen deswegen nun setzen 2n 1 = v, und damit kann man das Vorstehende auf folgende Form bringen:

= s cotg 60° j/

(20)

m (v s)

Vergleichen wir die Fehlerformeln (15), (16) und (20) für die drei Hauptfälle, so ergiebt sich, dass der dritte Fall (20) mit Fig. 5. etwas ungünstiger ist, als die beiden ersten Fälle, und daraus folgt, dass es besser ist, die Basis b quer zur Kette zu legen, wie in Fig. 3. und 4., als nach der Längsrichtung, Fig. 5.

Wenn aber die Kette sehr lang ist, d. h. n oder v sehr gross, so kann man alle Formeln näherungsweise als gleich betrachten, indem man n und n² gegen w3 vernachlässigt. Man sieht dann auch, dass die Formeln mit v allgemein die Hälfte der entsprechenden Formeln für n geben, dass es also jedenfalls günstiger ist, die Basis in die Mitte als an das Ende der Kette zu legen, indem z. B. die Verdoppelung der Kettenlänge von der Mitte aus nur das ]/ 2fache des Fehlers, dagegen von einem Ende aus das Y 2³ = 2Y 2fache giebt.

Mit der angegebenen Näherung haben wir aus (11):

(21)

m (ns) — s cotg 60

Oft will man nicht den Fehler m selbst haben, sondern das Verhältnis des Fehlers zu der fraglichen Länge «i -h «2 *+* • • • s» 0<^er ^en sogenannten relativen Fehler. Derselbe ist für (21):

u (n s)

_ m(ns) _

ns

'S

cotg 60

(22)

Oder da cotg 60° =

ist, haben wir:

SL O/

yV

Setzt man rund p = + 1", so giebt dieses:

Iu(ns) = 0,000 008 23 ]/ n

Dieses ist der relative Fehler für n fache Ketten-Ausdehnung von der Basis an einem Ende der Kette. Ist dagegen die Basis in der Mitte, und dehnt sich die Kette

V

nach beiden Seiten je um das -^-fache der Basis, also im ganzen wieder um das v fache aus, so bekommt man :

p (v s) =

SJ O/

Ÿ v oder = 0,000 001 62 j/ v

Vergleichung der Rhomben-Diagonale mit der Gitterlinie.

Yon allen Vergleichungen, welche zwischen den Formeln dieses § unter sich und mit denen des vorhergehenden § 18. angestellt werden können, wollen wir hier nur die wichtigste herausheben, entsprechend Fig. 6., wo eine Rhomben-Diagonale B und eine Gitterlinie B, beide = 5 &, dargestellt sind.

Für die mittleren Fehler haben wir nach (29) § 18., S. 115, und nach (20)

§ 19., S. 120:

^Pl+P‘2

Rhombus: p{B)

P 1 -+- V² -./

2v V

Gitter :

cot g 60° ~j/

Yv

Nimmt man im ersten Falle pi = p%— 1, also 2j?j -+- p₂ = 3 und in beiden Fällen p = rund 4- 1" und v = 5, so erhält man :

Rhombus p (B) = 0,000 007 27 rund = 7 Milliontel Gitter p(B) = 0,000 004 34    „    =4 Milliontel

Fig. 6.

Die Gitterlinie hat also einen kleineren Fehler als die Rhomben-Diagonale; dieses Verhältnis gestaltet sich aber ungünstiger, wenn man die Zahl der Winkel-Messungen überlegt.

-------B=5b

<------

----------^|

Der Rhombus hat nur 6 Winkel, und von diesen brauchen sogar die 4 Basiswinkel nur genähert bekannt zu sein, man kann im Rhombus fast die ganze Arbeit auf die zwei ; / spitzen Winkel konzentrieren, dagegen hat das Gitter 9 Dreiecke mit 27 Winkeln, oder wenn man die unwichtigen Winkel ausscheidet, immer noch 21 Winkel.

Trotz dieses starken theoretischen Missverhältnisses könnte doch auch das Gitternetz, wegen der kurzen Seiten, unter Umständen praktische Verwendung als Basisnetz finden. (Vgl. S. 108.)

Azimut- Übertragung.

Die Azimut-Übertragung längs einer Dreieckskette besteht einfach in der Summierung aller längs eines Polygons auftretender Dreieckswinkel, z. B. in Fig. 1. (S. 117) besteht die Azimut-Übertragung längs Sj + s₂ + s₃ in der Summierung

(3) + (1) + (6) + (9) + (7) + ...

Wenn jedoch die Azimut-Übertragung längs der Haupterstreckung einer Dreieckskette besonders wichtig ist, so soll man schon die Anordnung der Messungen darnach einrichten, also nicht bloss die einzelnen je 60° betragenden Winkel in den Ketten von Fig. 1. bis 5. S. 117—120 messen, sondern die je nahezu 180° betragenden Winkel der in der Haupterstreckung liegenden Seiten.

Besser noch ist es, für die Zwecke der Azimut-Übertragung die Dreiecksseiten besonders anzuordnen, wie z. B. Bessel bei der Gradmessung in Ostpreussen gethan hat. Dieses ist aus dem Netzbilde der Gradmessung in Ostpreussen in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 499 zu ersehen, indem auf der nordwestlichen Gesamterstreckung Tunz-Galtgarben-Nidden-Memel nur zwei Zwischenpunkte Galtgarben und Nidden sind, während auf der südöstlichen Grenze 7 Zwischenpunkte zur Azimut-Übertragung nötig wären.

¹

Es soll für diese und die folgenden Betrachtungen das Zeichen m wie ein Funktionszeichen gebraucht werden, allgemein m (x) = mittlerer Fehler von x, und

p (x) soll einen mittleren sogenannten relativen Fehler bedeuten, nämlich fi (x) =    ,

während p an und für sich den mittleren Gewichtseinheits-Fehler, d. h. den mittleren Winkelfehler in Sekunden bezeichnet.

§ 20. Verschiedene Fehler-Betrachtungen zur Anlage von Dreiecks-Netzen.

I. Grösse der Dreiecke.

Fig. 1.

Eine erste wichtige Frage betrifft die Grösse der Dreiecksseiten. Soll man, wenn man die Wahl hat, grosse oder kleine Dreiecke nehmen?

Diese Frage ist sehr unbestimmt, wir wollen ihr mit Fig. 1. folgende bestimmtere Fassung geben:

Auf einer Geraden sind drei feste Punkte A, C, B s gegeben, und zwar, wie wir meist bei Grundlinien annehmen, \ fehlerfrei gegeben, ein Punkt D kann entweder durch 4 =g Dreiecke I, II, III, IV mit Benützung des Zwischenpunktes G, oder durch ein Dreieck AB D ohne Benützung des Zwischenpunktes C trianguliert werden; welches ist das günstigere?

Nimmt man alle 4 Dreiecke, so hat man zunächst 4 Summen-Gleichungen:

11

C/ł s>

/ 7 a \

,s Ao___ii

/₂\5

SW?

(1)

(1) + (2) + (3) - 180° = 0, (4) + (5) + (6) - (180) = 0, (7) + (8) + (9) - 180° = 0, (10)+ (11)+ (12) —180° = 0 und dazu eine Seiten-Gleichung, welche die Beziehung zwischen V und b ausdrückt, d. h. :

sin (1) sin (5) sin (8) _ sin (2) sin (6) sin (9)

oder mit der Abkürzung cotg (1) = C\ u. s. w. giebt dieses :

C1 — ^2^2 + c₅ v₅ — c6 v6 + c8 v8 — c9 v9 + • • • = 0 Die Seite A D = S wird in V ausgedrückt durch die Funktion :

sin (1) sin (4) sin (12) sin (2) sin (6) sin (11)

S = s + s' =

sw (3) b lïnm

+ 6'

m (S) = -- cotg 60° b V7,333

(3)

0,000 003 79 g

oder, da 2& = S ist, der relative Fehler (vgl. Anmerkung S. 110): g (S) = ^ cotg 60° )/7,333 = 1,354 ^ cotg 60° =

Wenn man dagegen die Seite S aus dem einen grossen Dreieck A B D bestimmt, so bekommt man nach (12) § 18. S. 110:

(4)

Das Weitere wollen wir nur noch mit der Vereinfachung machen, dass alle Dreiecke gleichseitig seien, also b = b' = s = s' und cr = c₂ ... = cotg 60° = c. Damit giebt die Weiterrechnung für das Gewicht P der Seite S:

10 G2--2

P~

also der mittlere Fehler von S:

3    3    3    "3“    6c2

&2 = 7,333 c2 &2

g {S) = 1,4142 X cotg 60° = 0,000 003 96 g

Die Bestimmung (4) der Seite 8 aus dem einen grossen Dreiecke ist also hier fast gleich günstig wie die Bestimmung (3) aus den 4 kleinen Dreiecken, trotzdem, dass mit den 4 kleinen Dreiecken der günstige Zwischenpunkt G mit benützt wurde, der in dem einen grossen Dreieck gar nicht vorkommt.

Bedenkt man noch, dass in den 4 Einzeldreiecken zusammen 4 mal so viel Winkel zu messen sind, als in dem einen Gesamtdreieck, oder dass man bei gleicher Winkelmessungs - Summe (Arbeit) die Seite S aus einem grossen Dreiecke nahezu doppelt so genau bekommt, als aus den vier kleinen Dreiecken, so erscheint das eine grosse Dreieck im Vorteil.

II. Diagonalen-Kontrolle.

In Fig. 2. haben wir ein Quadrat mit zwei Diagonalen gezeichnet, wobei die Seite b als Grundlinie gilt, aus welcher die anderen Seiten s', s und s" trigonometrisch abgeleitet werden sollen.

Fig. 2.

>¹⁰ ■ -»'    -Ke-,

rv

V 7

kif

12 Xd¹

Die ganze Figur ist bestimmt, auch wenn nur eine ^

Diagonale eingemessen ist, und wir wollen untersuchen, welche Genauigkeits-Änderung stattfindet, je nachdem eine oder beide Diagonalen d und dl gemessen sind.

Die Messungen seien nach Bichtungen gemacht, so dass für das volle Netz mit beiden Diagonalen 12 Bichtungen gleichgewichtig vor liegen; wenn dagegen die Diagonale d' nicht vorhanden ist, fallen die beiden Bichtungen (5) und (11) fort.

iU

Im ganzen hat das Netz vier Bedingungs-Gleichungen, nämlich eine Seiten-Gleichung und drei Winkelsummen-Gleichungen, diese vier Gleichungen sind: sin (2, 3) sin (4, 5) sin (7, 9) sin (10, 12) _ sin (1, 3) sin (4, 6) sin (8, 9) sin (10,11)

a)

(5)

b)    (10,12) +(1,2)+ (8,9) = 189°

c)    (1,3) +(4,5)+ (11,12)= 180°

d)    (2,3) + (4,6) + (7,8) = 180°

Wenn es sich um die Bestimmung des Gewichtes der Seite s handelt, so kommt hiezu noch:

St

_ sin (2, 3) sin (10,12) sin (4, 6) sin (8,9)

Um die Gleichungen a) und f) linear zu machen, braucht man bekanntlich die Cotangenten der Winkel als Coëfficienten, und da in unserem Falle nur Winkel von 45° oder 90° Vorkommen, für welche man z. B. hat:

cotg (2, 3) = cot g 45° = 1 , cotg (7, 9) = cot g 90° = 0, so werden die linearen Gleichungen sehr einfach.

Auf diese Weise bekommt man aus a) eine Gleichung von folgender Form:

(7)

—    + *8 —■ «4 + *5 + *8 —    + «io — ®ii + • • • = 0

Die Gleichung b) wird geben:

(8)

— ^1+^2 — ^8    ^'9 — ^10    v12 + • • • = 0

Das ganze so zu bildende Coëfficienten-System ist in folgender Tabelle enthalten:

v₁ Vo Vo Va V₅ v₆ Vn Vo Vg t?₁₀    *11 Vlt

pj O O⁻* P

-1 +1

r—I

+ 1 —1 +1

-1 +1 —1

-1 +1

rH r-H

-1 +1

-1 +1

+ 1—1

Dieses giebt [a a] = (— l)² + (+ l)² + ... = + 8

= — 4

[«&] = (- 1) (+1) + ...

Das ganze derartige Coëfficienten-System ist: + 4+4+4 + 2 — 2 —3 +6 +2 +1 + 6 -(- 3

(10)

Durch allmähliche Elimination erhält man:

+ 4 +4

0 — 1 0 —1 + 4 +1

(10a)

0 0 0 -j- 4    +1

+ 1.75

(10,)

für die Seite s, mit zwei Diagonalen.

+ ¹.5Q — p

Wenn nun n der mittlere Fehler einer gemessenen Richtung ist, so ist der mittlere Fehler des Verhältnisses s : b, oder der sogenannte relative Fehler der trigonometrischen Übertragung von b nach s folgendes:

'C lis

1/1,50

(H)

Nach diesem nehmen wir an, dass die Diagonale d' nicht gemessen sei, dann fällt die Seiten-Gleichung a) und die zweite Dreiecks-Gleichung c) fort, im übrigen bleibt die Rechnung wie vorhin und giebt:

1234    6    7    89    10    12

— 1 +1

* + 4-

rH H t-H

H—¹

-\- 6 —2 —3 -j- 6 +3

~f~ ⁴

+ 5,333 + 2,000 + 2,500

-f- 1,750 = für s, mit einer Diagonale d.

Nachdem wir diesen Fall in aller Ausführlichkeit vorgerechnet haben, mag es genügen, für die beiden anderen Fälle s' und s" die Ergebnisse mitzuteilen, wie in folgender Zusammenstellung geschieht:

Berechnete

Seite

mit einer Diagonale

mit zwei Diagonalen d und dl

s'

s”

p = 1.75 i = 1,50 ~ = 4,00    ± = 3,75

CO! h-⁴ H-1 <10 O-T Vl Cni Oj O Cn

1,080

1,038

P"

= 3,75

F"

= 3,75

Wie man hieraus sieht, ist der Genauigkeits-Gewinn durch Hinzunehmen der zweiten Diagonale nicht bedeutend. Bei s" ändert die zweite Diagonale d ' überhaupt nichts, wie auch aus Pig. 2. S. 128 unmittelbar zu ersehen ist.

In der letzten Spalte vorstehender Zusammenstellung sind die Fehler-Verhältnisse 1,080 und 1,033 für beide Fälle angegeben, es ist also der Genauigkeits-Gewinn durch die zweite Diagonale nur bzw. 8 o/₀ und 3 o/₀.

Fig. 3.

III. Ein weiterer Fragefall ist in Fig. 3. dargestellt.

,s

4_6.

s"

Wenn die Grundlinie 5 fest gegeben ist, so kann man die Seiten s und $' -j- s" = S entweder aus einem Dreieck mit den Winkeln (1), (2 -j- 5), (6) oder aus zwei Dreiecken [3 (1) (2) (3) und (4) (5) (6) bestimmen ; es fragt sich, was das \ // günstigere ist.

Da wir die Behandlung solcher Aufgaben nun genügend j

erläutert haben, schreiben wir sofort die Ergebnisse mit der ’<-----S---->'

Abkürzung cotg (1) = q u. s. w. (mit den Fehler-Bezeichnungen nach der Anmerkung zu S. 110). Die Gewichte der Winkel seien alle = 1.

Für die Seite s hat man aus einem Dreieck nach (11) § 18. S. 110:

(12)

ß (s)i —    y-g- (q² -j- c₆²+cx Cg)

Dagegen aus beiden Dreiecken:

(13)

Für die andere Seite S hat man aus einem Dreieck:

(14)

V (ß) — ~ y-g- (C₂5² + Cg² + C₂5 Cg)

und aus beiden Dreiecken (wobei aber die Bedingung, dass s' 4- s" eine Gerade sei, nicht mit enthalten ist):

m (s' + s") =

'o ji=

y I U2cł + s"²(cI² Hr c₅2 + c₆2 + c₅c₆)+ S2Cg2 _ s's"Cle₂ + s'Sc₂c₃ + fi"Sc₁c₈)j (15)

C1 = c6 =

Macht man das grosse Dreieck gleichseitig und die Querlinie rechtwinklig, also c₂ — c₅= y 3 und c₃ — c₄ = 0, so erhält man folgende Vergleichung:

1/3’

aus einem Dreieck

aus Dreiecken

V (s)i

=«y

fi (s)j : fi (s)₂ = 1 : 0,8165

(«)2⁼ y {)

coj to

CM CO

(16)

aus einem Dreieck

aus zwei Dreiecken

co! oi

i¹ (S)—~ y

(17

fl CS): fl (s' + S") = 1: 1,291

Es wird also zwar die Seite s günstiger aus zwei Dreiecken, dagegen S günstiger aus einem Dreieck bestimmt.

Hiernach kann man zu Fig. 3. sagen:

Die Einschaltung des Punktes hei 3. 4 in die Reihe der gleichseitigen Dreiecke wirkt ungünstig auf die Bestimmung der Längen-Erstreckung S der Kette, aber günstig auf die Basis-Übertragung von b nach s.

Fig. 4.

E/

i_Ac

i ⁶A

IV. In Fig. 4. zeigt ide Fehler-Berechnung, dass aus der Basis A B = b die Seite B E = S günstiger durch drei gleichseitige Dreiecke bestimmt wird, als durch ein Dreieck A BE* S denn die Fehler-Berechnung giebt:

1) aus drei Dreiecken

S = B C-hCE

sin (3) sin (5) sin (8) sin (1) sin (4) sin (7)

sin (2)

S = 6»(l)

B hiefür wird, wenn alle Winkel =60° sind:

Vb

2 ) S = B E als Hypotenuse des einen rechtwinkligen Dreiecks B AE mit B = 60°, A = 90° und E = 30° berechnet, gieht:

(19)

fi (S) = 1,414 -**

Dieser Fehler ist also nahe das l,5fache des zuerst berechneten Fehlers der Bestimmung aus drei Dreiecken.

V. Wir wollen hier noch eine andere kleine Genauigkeits-Untersuchung an-schliessen, wie auch schon in Band I, 4. Aufl. 1895, S. 470. Es soll der mittlere Fehler einer Richtung bestimmt werden, nur mit Rücksicht auf die Summen-Proben in dem Viereck, also ohne die Seiten-Gleichung. Man hat dann nach Fig. 2. S. 123 die schon unter (6), (8) und (9) enthaltenen Bedingungs-Gleichungen:

— ^8 +^9 — %>

—    V! + v₂ .

—    «i

A-v₃ —v₄ +V₅    .

— v₂ +vs — v₄ .

+ v₆ —v₇ -hVg .

-4- v₁₂ + U0X = 0 — vn -+- v₁₂ -\-w₂ = 0 -t- W₃ = 0

Hiezu gehören die Normalgleichungen (deren Coëfficienten in (10) schon mit enthalten sind):

-j— 6 kj —f- 2 k2 — 2 k₃ —f-    - 0

—I— 2 kj —f- 6 k₂ —ł- 2 kg tc₂ —— 0 — 2 kj —J— 2 k₂ —(— 6 k₃ —|- îc₃ — 0

Die Auflösung giebt : -2 Wi -J- ÎC₂- M7g

_Wi — 2 w;₂ + u's

, k₃ —

— w₇-\-w₂ — 2 w₃

Nun ist = — [wie] und die Ausrechnung hiernach giebt:

(20)

— 8 [iv k] = 2    -|- 2 w₂² -|- 2 w?₃² — 2 iq w;₂ -t- 2 zcj w₃ — 2w₂ te₃

Das kann man aber noch übersichtlicher gestalten durch Einführung eines vierten Summen-Widerspruches w₄, nämlich:

wl — IU2 +    — w4

Damit kann man (20) auf die Form bringen:

«    — 8 [w k] = lüj² -+- w₂² 4" w3² + W4²

und den mittleren Gewichtseinheits-Fehler rri erhält man, da drei unabhängige Bedingungs-Gleichungen benützt wurden :

(21)

[v v] _ —[wfc] _ 1 [m.’²] ⁼    8    ~ 3~~8“

wo nun unter [w²] die Summe aller vier in dem Vierecke möglicher Dreiecks-Summenproben bedeutet. Der Wert m! nach (21) ist ein mittlerer Richtungs-Fehler, der entsprechende mittlere WTinkelfehler ist:

(22)

Hieran schliesst sich an der Schreiber sehe Satz über günstigste Gewichtsverteilung, welcher bereits in unserem I. Bande, 4. Auflage 1895, § 48. behandelt worden ist.

§ 21. Triangulierungs-Ketten und Netze der preussischen Landes-Aufnahme.

Nachdem wir schon früher in § 2. S. 15 u. ff. die Aufsuchung und Auswahl der Triangulierungs-Punkte in dem Sinne behandelt haben, welche Punkte man vermöge der gegenseitigen Sichten u. s. w. benützen kann, wollen wir nun die mehr theoretische Frage aufwerfen, welche Punkte und welche Verbindungs-Sichten man nehmen will.

Nach der ersten Einführung der Methode der kleinsten Quadrate in die Triangulierungen ist bald die Anschauung entstanden, dass man nun darauf ausgehen müsse, äusserst viele Messungen und Kontrollen in eine Ausgleichung zusammen zu bringen, und es gab eine Zeit, in welcher es als höchste Triangulierungs-Leistung gepriesen wurde, 100 und mehr Bedingungs-Gleichungen zusammen zu fassen und ebenso viele Normalgleichungen numerisch aufzulösen. In dieser Beziehung haben sich die Anschauungen wieder teilweise geändert.

Folgendes sind die Grundsätze, welche bei den neuesten Triangulierungen der preussischen Landes-Aufnahme unter General Schreiber zur Anwendung kommen ; wir benützen dazu das sehr anschauliche und charakteristische Beispiel der Ketten und des Netzes in der Provinz Hannover, welche in unserer Fig. 1. S. 129. dargestellt sind.

Wir haben auf dem hier dargestellten Gebiete drei Grundlinien:

1) Grundlinie bei Braak in Holstein im Jahre 1871 gemessen, 5875”* lang „ Göttingen „ Meppen

Die geradlinigen Entfernungen dieser Grundlinien von einander sind rund im Mittel 230Lm und zu der trigonometrischen Verbindung sind drei zusammenschliessende Ketten angeordnet, nämlich die „Hannoversche Kette“ im Westen, sowie Teile der „Elbkette“ und der „Hannoverisch-Sächsischen Kette“ im Osten.

Diese Ketten wurden zuerst in sich ausgeglichen, und liefern dann den festen Rahmen für das dazwischenliegende „Netz“, welches den Namen „Weser-Netz“ führt.

Ehe wir mit der Beschreibung dieser besonderen Verhältnisse fortfahren, müssen wir hier über die Anlage der preussischen Ketten und Netze im allgemeinen das Nötige berichten. •

Es geschieht dieses am besten durch Vorführung der geschichtlichen Entwicklung, welche diese Anlage und die zugehörigen Ausgleichungen genommen haben, nach einer Mitteilung von Major Haupt in den „Astronom. Nachrichten“ 107. Band, Nr. 2549-2550, (Sept. 1883).

Als in den 60er Jahren dieses Jahrhunderts bei der preussischen Landes-Triangulierung Ketten, welche einen von Dreiecken freien Landesteil umspannten, wieder in sich zusammen schlossen, stellte sich der Übelstand heraus, dass trotz der Aufstellung aller vorhandenen und notwendigen Winkel- und Seiten-Gleichungen identische Punkte, von verschiedenen Seiten her berechnet, nicht dieselbe Länge und Breite erhielten, und dass der von Dreiecken freie innere Raum, das Polygon, nicht die seinem Inhalt entsprechende Winkelsumme erhielt, denn es fehlten die drei nötigen Polygon-Gleichungen. (Was diese Gleichungen betrifft, so haben wir bereits in unserem I. Bande, 4. Auflage 1895, S. 177 darüber gehandelt.)

2)

3)

1880

1883

5193”*    „

7039”*    „

Fig. 1.

Triangulierung der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme in der Provinz Hannover.

(Massstab 1 : 3 130 000.)

26°

auhéberg

JïindorFMeWsr^

Ændorf

Frieicrichsl

\Svkweit bageih-—

59*

KeuwerK.

J'aisenberg

Wangeroog

yRathk* tigert

53*

Esenz

Aui’ichi

Lee ri

Y/inilt

Mt ngstbergP^J Basis beiMeppen j^ffi, gemessen ms Hesepe

? ntheim

Jever

Parc!

Westerstede

Altenoythe'

Qliec

mgwarde

A lohn

Vddesh

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'ierg \ V ____ MordKufdenhprcf

Wo.renherl

ievern

nUer lęrtj

Stade"

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Baiinsbery"

Litlera,

’Sttendurf

VXp Bornèeck Basis bei Braak. //    genessa nrsrt

Havighoref

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Winnefeî^

UCölttlteg

Sûester Warfe

Moosberg'

Ahlśburt

Proche ft

Hokth agen.

Bill

stein

Basis lePGott "tigert 5733 "y geaesstk USO yS

i ^Leichen jLOhmberg

?yFfhäuser

Meissner

51*

5 i*y>Ett ers her ÿ

Maasssta h

VS1SOCOO

M^4-t-f-*-?-*-1-1-ł-!-i

o 10    20    30 HO SO iO 10 SO 90    W*"

Jnselsberg

Die Methode, welche hiefür von der preussischen Landes-Triangulation eingeführt wurde, ist von dem früheren Hauptmann Schreiber (späteren Chef der Landes-Aufnahme) angegeben, dasselbe liefert zwei Gleichungen durch die Projektion der inneren Polygonkranz-Begrenzung auf ein beliebig angenommenes rechtwinkliges, sphäroidisches Coordinaten-System.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

Diese Schreibersche Methode des Polygonkranz-Anschlusses durch rechtwinklige Coordinaten ist mitgeteilt in dem Werke: „Die königlich preussische Landes-Triangulation. Hauptdreiecke. I. Teil, Berlin 1870, S. 421 und Hauptdreiecke II. Teil, Berlin 1874, S. 605“, wozu ein Bericht mit einem Beispiele gegeben ist in „Jordan-Steppes, deutsches Vermessungswesen“, 1885, S. 81—85 und S. 103. Es wurde damals für jedes Polygon ein besonderes Coordinatensystem, mit einer irgendwie schiefliegenden Axe angenommen, während später, nach Einführung des konformen Coor-dinatensystems für die ganze Landesaufnahme, dieses System auch für die Aufstellung der Polygongleichungen benützt wurde, wie an dem Schlesisch-Posensehen Dreiecksnetz zu sehen ist, welches als Beispiel in unserem I. Band, 1895, 4. Aufl. S. 415 aufgenommen ist.

Das mathematische Problem war gelöst, es blieb aber der Übelstand, dass immer die jüngste Kette alle diejenigen Missstimmigkeiten, welche sich in den vorhergehenden, zwanglos in freies Feld verlaufenden und oft von verschiedenen Grundlinien ausgehenden Ketten angehäuft hatten, einzig und allein durch ihre Winkel-Korrektionen ausgleichen musste, und dass der innere zunächst frei gebliebene Raum bei seiner späteren Überspannung mit sekundären Dreiecken sämtliche Fehler dieses nicht stimmenden Schlusses mit übernehmen musste.

Dieses rührt davon her, dass man wegen des nötigen Fortschrittes der Messungen niederen Ranges, zum Anschluss der Kataster-Aufnahmen und der topographischen Aufnahmen, nicht warten kann, bis das Ganze fertig ist, sondern alle 2 bis 3 Jahre das Gemessene berechnen und dem bereits fest stehenden anpassen muss.

Weitere Einzelheiten über die Methoden der preuss. Landes-Aufnahme giebt ein Bericht der trigonometrischen Abteilung der königlich preussischen Landes-Aufnahme von General Schreiber, aus den „Verhandlungen der 1887er Konferenz d. perm. Kommission der internat. Erdmessung, Berlin 1888, Annex X⁶, S. 6—10“, aus welchem folgendes entnommen ist.

Das Wesernetz (Fig. 1. S. 129) enthält 66, in drei verschiedene Rangklassen sich scheidende Punkte, nämlich:

1)    18 Anschlusspunkte, die zugleich den das Netz rings umschliessenden Hauptdreiecksketten angehören und durch deren Ausgleichung endgiltig bestimmt sind;

2)    15 Netzpunkte;

3)    33 Zwischenpunkte erster Ordnung.

Die bei 1) und 2) genannten Punkte und deren Verbindungen mit einander bilden das eigentliche Netz, welches als Ganzes für sich, jedoch unter Festhaltung der schon vorher endgiltig bestimmten Punkte bei 1), ausgeglichen ist.

Erst darnach hat die Ausgleichung der bei 3) genannten Zwischenpunkte stattgefunden, und zwar unter Festhaltung aller vorher ausgeglichenen Punkte.

Wie die Punkte, zerfallen auch die Beobachtungen in 3 Rangklassen, und zwar in Ketten-Beobachtungen, Netz-Beobachtungen und Zwischenpunkts-Beobachtungen, je nachdem sie zur Bestimmung von Kettenpunkten, Netzpunkten oder Zioischenpunkten dienen. Auf jeder Station werden diese drei Rangklassen, selbst bei gleichzeitiger Ausführung, dergestalt getrennt von einander gehalten, dass jede für sich auf der Station ausgeglichen werden kann. Demgemäss sind z. B. die Beobachtungen auf der sowohl der Kette als auch dem Netz angehörigen Station Silberberg wie folgt angeordnet und ausgeführt worden (vgl. Fig. 2. S. 131).

Fig. 2.

Station Silberberg. Von Fig. 1. S. 129 in grösserem Massstab, mit Zwischenpunkten.

Nindorf—Meldorf

Friedrichskoog

Neuwærk

Kaiserberg

;o

Cuxhaven

X' _

Silberberg

Sievern'

osenberg

tade

Wiistenwołdde

\ l'

'Brillit

IM 000 000

10

10

20

a) Ketten-Beobachtungen : jeder der 15 Winkel zwischen den 6 Ketten-Richt-ungen Sievern, Neuwerk, Friedrichskoog, Nindorf—Meldorf, Kaiserberg und Stade ist 8mal gemessen;

Dieses entspricht der allgemeinen Vorschrift für Winkelmessung in allen Kombinationen, welche wir schon in unserem I. Bande, 4. Aull: 1895, S. 259—272 mitgeteilt haben.

h) Netz-Beobaéhtungen: zur Bestimmung der Richtung nach dem Netzpunkt Brillit sind die beiden Winkel Stade—Brillit und Brillit—Sievern, und zwar jeder 12mal, gemessen;

c) Zwischenpunkts-Beubachlungen : zur Bestimmung der Richtung nach dem Zwischenpunkt Dolosenberg sind die beiden Winkel Stade-Dolosenberg und Dolosen-herg—Sievern, und zwar jeder 6 mal, gemessen. In gleicher Weise ist die Richtung nach dem Zwischenpunkt Wüstenwohlde an zwei Netzrichtungen angeschlossen worden.

Jede der Rangklassen a, h, c ist für sich auf der Station ausgeglichen.

Eine derartige Anordnung gewährt gegenüber dem Streben, alle auf einer Station vorhandenen Richtungen möglichst zusammenhängend zu beobachten, den Vorteil, dass die Beobachtungen niederen Ranges in den Zwischenzeiten, wo die Luft-Beschaffenheit Beobachtungen höheren Ranges zu machen ohnehin verbietet, ausgeführt werden können, indem sie wegen der kleineren Entfernungen nicht nur leichter gelingen, sondern auch hei etwas weniger günstigen Umständen angestellt werden dürfen; denn es liegt auf

der Hand, dass Netz-Beobachtungen, deren Fehler auf das Gebiet des Netzes beschränkt bleiben, nicht so genau zu sein brauchen, wie Ketten-Beobachtungen, deren Fehler sich über das ganze Dreiecks-System, soweit es noch nicht endgiltig feststeht, fortpflanzen, und dass ein ähnliches Verhältnis zwischen den Netz- und Zwischen-Beobachtungen besteht.

Bei dieser Anordnung hängt daher die zur Erledigung einer Station erforderliche Zeit allein von der daselbst vorhandenen höchsten Bangklasse ab, dergestalt, dass die Beobachtungen niederen Banges dabei überhaupt nicht mitsprechen. Wollte man dagegen alle Bichtungen zusammenhängend beobachten, so würde man genötigt sein, alle Beobachtungen mit der für die höchste Bangklasse erforderlichen Genauigkeit auszuführen.

Während somit eine zweckmässige Gliederung der Beobachtungen Arbeits-Ersparung bedeutet, nötigt der Mangel einer solchen zur Arbeits-Vergeudung.

Noch wichtiger für die Ökonomie der Arbeit ist die Auswahl der zu beobachtenden Bichtungen in einem Netz unter allen vorhandenen. Abgesehen davon, dass diagonale und transversale Bichtungen gegenüber denjenigen, welche den besten Eech-nungsweg von Dreieck zu Dreieck vermitteln, einen geringen Einfluss auf die Punkt-Bestimmung, und oft sogar nur den Wert einer rohen Kontrolle haben, kommt in Betracht, dass ihre Beobachtung schwerer gelingt, weil sie die längeren sind. Der Beobachter wird also, falls sie nicht ausgeschlossen oder für sich beobachtet werden, genötigt, gerade auf diejenigen Beobachtungen, auf die es am wenigsten ankommt, die meiste Zeit — und oft eine kaum erschwingliche — zu verwenden, oder sich bei ihnen mit einer geringeren Genauigkeit zu begnügen; in letzterem Falle muss er sich aber gefallen lassen, dass sie die übrigen Beobachtungen verderben, da in der Ausgleichung die einen von den anderen sich nicht trennen lassen und die Zuteilung verschiedener Gewichte erhebliche Bedenken hat.

Über Zeitaufwand, Genauigkeit sind zu dem Wesernetz (vgl. S. 129) Angaben

gemacht :

Zur Bestimmung der 15 Netzpunkte des Wesernetzes sind 4760 Einstellungen (sämtlich nach Heliotropen), und zur Bestimmung der 33 Zwischenpunkte, 3536 Einstellungen (davon 3247 nach Heliotropen) gemacht worden.

Hiermit sind beschäftigt gewesen:

im Jahre 1886 : eine Sektion 162 Tage,

„    „    1887 : drei Sektionen bezw. 141, 136 und 74 Tage.

Jede Sektion bestand aus 1 Beobachter, 1 bis 2 Assistenten und 10 bis 15 kommandierten Soldaten.

Gleichzeitig sind von diesem Personal alle einstellbaren Türme je 6 mal angeschnitten und alle Centrier- und Festlegungs-Arbeiten ausgeführt worden.

Wie aus der Karte (S. 129) zu ersehen, enthält das eigentliche Netz 60 Bedingungs-Gleichungen, abgesehen von 16 örtlichen Winkel-Gleichungen auf den Anschluss-Stationen. Es kommen somit durchschnittlich 4 Netz-Bedingungen auf den Punkt. Die Ausgleichung ist übrigens nicht nach Bedingungs-Gleichungen (Correlaten), sondern nach Elementen, und zwar nach ebenen rechtwinkligen Coordinaten, ausgeführt worden, so dass anstatt eines Systems von 60 nur ein solches von 30 Normal-Gleichungen (da 15 Punkte zu bestimmen waren) gebildet und aufgelöst zu werden brauchte.

Von den 121 durch die Netz-Ausgleichung bestimmten Richtungs-Verbesserungen sind 6 grösser als 1", die grösste hat die Richtung Hüttenberg—Deister mit 1,43'' erhalten. Die Richtungs-Verbesserungen liefern übrigens kein zutreffendes Genauig-keitsmass für die Winkel-Bestimmung im Wesernetz, da der ganze Anschluss-Zwang in ihnen enthalten ist. Frei von letzterem sind dagegen die Schlussfehler der 38 Dreiecke und nicht in Dreiecke zerlegten Vier- und Fünfecke, in denen alle Winkel gemessen worden sind. Von diesen Schlussfehlern (die der Vier- und Fünfecke, den

-A und ~j/multipliziert) liegen :

Gewichts-Verhältnissen entsprechend, bzw. mit

2 zwischen 2,5" und 2,0"

2,0"    ,    1,0"

30

1,0"    „ 0,0"

Die Summe ihrer Quadrate ist 27,22, mithin der mittlere Dreiecks-Schlussfehler:

= 0'⁸⁶"’

woraus sich der mittlere Fehler eines durch Stations-Ausgleichung bestimmten Winkelwertes gleich 0,85" j/= 0,49" ergiebt.

Fig. 4.

Massstab 1:500 000.

Fig. 3.

Massstab 1:1 1 000 000.

(Ergänzungen zu Fig. 1. S. 129.)

Falkenberg

Brelingerberg

Wettmar

Hüttenberg

Brelingerberg^ ^

Wettmar

//

•V

Hannover

Aegidius

Wasserturm^.

Aegidius

v.

-------Lühnde.

Deistei

Deister

Lühnde

Sauberg

Die Berechnung der Messungen geschieht durchweg, bis zur niedrigsten Ordnung herab, nach der Methode der kleinsten Quadrate, und zwar unter völligem Anschluss der neu hinzukommenden an die bereits feststehenden Teile, so dass schliesslich ein über das ganze Land ausgedehntes widerspruchsfreies Netz von durchschnittlich 20 Punkten auf 100 Quadrat-Kilometer entsteht.

Die beste Übersieht der Ketten und Netze der preussischen Landes-Aufnahme erhält man aus den 2 Kartenbeilagen in 1:2 000 000 zu dem neuesten B and : „Die königlich preussische Landes-Triangulation, Hauptdreiecke VII Teil, Berlin 1895“. Auch ist dazu nochmals an all das zu erinnern, was dazu bereits in unserem I. Bande, 4. Auflage 1895, in § 107—108. § 131. u. a. mitgeteilt ist.

Im Anschluss hieran geben wir mit Fig. 3. und Fig. 4. S. 133 noch zwei weitere Vervollständigungen des Gesamt-Netzes von Fig. 1. S. 129 und zwar in der Gegend der Stadt Hannover. Fig. 3. zeigt die Einschaltung des Aegidienturmes in Hannover in das Wesernetz, zusammen mit Brelingerberg und Lühnde.

Nachdem so für die Stadt-Vermessung von Hannover ein Punkt Aegidius festgelegt war, wurde noch ein zweiter Punkt Wasserturm dazu bestimmt, wie Fig. 4. in doppeltem Massstab von Fig. 3. andeutet.

Dabei ist Wasserturm als „Folgepunkt“ im Anschluss an Aegidius als „Leitpunkt“ gemessen und ausgeglichen, wie wir des näheren in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1889, S. 1—14 mitgeteilt haben (vgl. auch Band I, 4. Aufl. 1895, § 104.).

Dieses ist zugleich der Nachweis für die Basis der Hannoverschen Stadt-Triangulierung, welche in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 185. und in unserem II. Bande,

4. Aufl. 1893, S. 249 behandelt worden ist.

Zum Schlüsse von § 21. wollen wir noch auf S. 136 und 137 das Netzbild von einigen der neuesten Messungen I. Ordnung der preussischen Landes-Aufnahme vorführen , und zwar als Wiederabdruck aus einer Mitteilung von Oberstlieutenant von Schmidt in der „Zeitschr. f. Verm. 1894“, S. 1—4, 8—9. Es sind 4 Teile:

I. Rheinisch-Hessische Dreiecks-Kette,

II. Niederrheinisches Dreiecks-Netz,

III.    Belgischer Anschluss,

IV.    Südlicher Niederländischer Anschluss.

Hier ist auch (S. 136) die 2513 m lange Bonner Basis mit ihrem einfachen Anschluss-Netze zu sehen, welches zu vergleichen ist mit dem alten Bonner Basisnetze von 1847, das wir schon im I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 514 vorgeführt haben.

Wir wollen auch nochmals zusammenfassen, dass ein beträchtlicher Teil der neueren Ketten und Netze der Landes-Aufnahme nun von uns vorgeführt ist in folgenden Stellen:

Handb. d. Verm. I. Band, 4. Aufl. 1895, S. 280—281, die Elbkette,

„    n    „    „    „    „    S. 400—411, Beispiel III. Ordnung,

„    „    „    „    „    „    S. 415, das Schlesisch-Posensche Netz,

„    „    „    „    „    „    S. 504—505, Übersichtskarte,

„    „    „    „    „    S. 509, Hann.-Sächs. Kette und Netz,

Hiezu i. vorlgd. III. Band, 4. Aufl. 1896, S. 129, Wesernetz mit Umfangsketten,

„    „    „    „    „ S. 136 —137, Niederrhein. Netz mit Umfangs

ketten.

Mit diesen Netzbildern kann man auch die Übersichtskarte der Haupttriangulationen des Deutschen Eeiches in 1:2 000 000, welche wir früher in dem Werke „ Jordan-Steppes, deutsches Vermessungswesen 1882“ herausgegeben haben, ziemlich auf den heutigen Stand ergänzen.

§ 22. Seiten-Refraktion.

Bei den Unregelmässigkeiten der Wärme-Verteilung in der Atmosphäre, entsprechend der ungleichen Wärme-Ausstrahlung der Erdoberfläche (Wasser und Land, Wälder und Sand u. s. w.), ist es an sich wahrscheinlich, dass die Lichtstrahlen in der Atmosphäre nicht nur nach der Höhe abgelenkt werden, sondern auch seitlich kleine Refraktionen erleiden.

Wenn z. B. ein Heliotropenlicht im Fernrohr nicht als ein Punkt, sondern als ein Lichtfleck von 60" Durchmesser erscheint, so haben jedenfalls die seitlichen Lichtteile seitliche Brechungen von + 30" erfahren, und ob das Intensitäts-Zentrum des

Lichtflecks, auf welches die Fadenmitte eingestellt wird, allein sich in einer vertikalen Ebene fortgepflanzt hat, kann man nicht sicher wissen.

Wichtiger als solche Überlegungen sind Beobachtungen, zu denen wir nun

übergehen.

I. Struves Beobachtungen, 1829.

Struve hat schon im Jahre 1829 im 7. Bande der „astronom. Nachr.“ S. 391 bis 395, Seiten-Refraktionen vermutet aus dem Umstand, dass der Widerspruch w der Winkelsummen a-\-ß-\-y gegen 180° •+ sphär. Excess, bei Dreiecken mit kurzen Seiten im allgemeinen günstiger ausfiel, als bei langen Seiten. Struve ordnete die 31 Dreiecke seiner Gradmessung in den Ostsee-Provinzen Russlands nach der Grösse des Umfangs S = a -f- b -)- c, wo a, b und c die drei Seiten sind, und fand folgende Werte w = a -f- ß -j- y — (180° -j- e) :

Nr.

xo

Nr.

Nr.

tu

98fcm _ 0,16"

122    - 0,14

129    + 1,03

129    + 2,81

Diese Zahlen io zeigen allerdings eine gewisse Zunahme bei wachsendem Umfang S. Um diese Zunahme durch Seiten-Refraktion zu erklären, machte Struve zuerst die Annahme, dass diese Refraktion proportional der Quadratwurzel der Sichtweite s wirke. Wenn die seitliche Ablenkung stetig wie die Höhenablenkung wirkte, so müsste man wie bei letzterer einen Ablenkungs-Winkel proportional s selbst annehmen ; da aber eine solche stetige Ablenkung längs der ganzen Sichtweite s jedenfalls nicht besteht, sondern vielmehr zahlreiche kleinere sich teils häufende, teils auch wieder aufhebende Ablenkungen wahrscheinlich sind, so ist diese GirMflesche Annahme, proportional mit an sich ganz am Platz. Aber ein Rechnungs-Versuch mit dieser

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

20*m -f- 0,50" 22    — 1,36

33    — 0,50

43    + 0,46

43    + 0,45

49    -f- 0,22

51    — 0,33

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

63t™ +1,09" ! 21. 66    — 0,55 i 22.

80    — 0,55

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

(1)

Zu § 21. S. 1B4 gehörig.

OZoberczi

7icnfJu>im

Rheinisch -Hessische Dreiecks=Kette, Niederrheinisches Dreiecks=Netz

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Wùit&rswtjih

SiStti/ygihykn

Mttenhziceej,

o-

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Südlicher Niederländischer Anschluss.

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Doruiuirsbercj

25“

Pm

27“

2S“

Annahme gab einen inneren Widerspruch, weshalb ein Versuch in anderer Form gemacht wurde, so dass der mittlere Fehler m eines Winkels mit den Schenkel-Längen a und b von Struve so dargestellt wurde:

m² = e² + £2 (a2 _j_ J2) w2 = 3 e2 _J_ 2 J2 (a2 _|_ &2    C2)

Aus den in dieser Form geführten Struve sehen Berechnungen haben wir die Formel gebildet:

also :

(2)

(3)

y0,1522 + (0,0128 Sf = jV + ff2

Dabei ist m der mittlere Fehler einer beobachteten Bichtung, fx = 0,152” der mittlere reine Theodolit-Messungsfehler und a = 0,0128 S der Einfluss der Seiten-Befraktion.

(4)

Zur Übersicht ist hiernach berechnet:

0    ±0,15" ±0,00" ±0,15"

20

40

60

80

100

II. Pfaffs Jahresreihe der Seiten-Refraktion.

Dr. Pfaff, Professor der Mineralogie in Erlangen, hat eine ganze durchlaufende Jahresreihe von Beobachtungen horizontaler Winkel in Hinsicht auf seitliche Strahlen-Brechung angestellt. Mitteilungen hierüber sind gemacht von Bauernfeind in den Sitzungs-Berichten der „math. phys. Kl. d. k. bayer. Akademie d. Wiss. zu München“, 1872, S. 147—162 und im Auszug in der Publ. d. königl. preuss. geod. Instituts : „Der Einfluss der Lateral-Eefraktion u. s. w.“ von Fischer, Berlin 1882.

Die Lage des Beobachtungs-Punktes und der drei Zielpunkte ist in Fig. 1. angegeben. Baiffenberg und Kalchreuth sind die Haupt-Zielpunkte in 19*m und 11*™ Entfernung, und dazu ist noch eine nahe gelegene Marke in nur 283m Entfernung genommen.

Für diese drei Zielpunkte sind in der Zeit von November 1870 bis Oktober 1871 je 93 Messungen mit einem 20cm-Bepetitions-Theodolit von Ertel gemacht; allerdings sehr ungleich verteilt, mit Lücken im Januar bis April, welche aber doch eine jährliche Periode wahrnehmen lassen.

In unserer vorigen Auflage, III. Band, 3. Aufl. 1890, S. 153—154 hatten wir einen Auszug der Pfaffschen Messungen mitgeteilt, wovon jetzt abgesehen wird, weil die darauf zu gründenden Schlüsse über Seiten-Befraktion sehr unsicher sind.

Erlangen

Kg. l.

Rai/fenberg

19

Km

Marke

(Pfaff) ^

Kalchreuth

III. Bauernfeinds Beobachtungen über Seiten-Refraktion.

Aus dem Werke „Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Befraktion von Carl Max v. Bauernfeind, erste Mitteilung, München 1880“, S. 48—65, entnehmen wir mit Bezugnahme auf Fig. 2. und 3. (S. 139) folgendes:

Auf dem Punkte Döbra befand sich ein Ertel scher Höhenkreis mit Fernrohr, fest aufgestellt, mit welchem 4 Zielpunkte N, II, III, IV (Fig. 3.) in nahezu gerader Linie beobachtet wurden. Diese 4 Zielpunkte erschienen gemeinsam im Gesichtsfeld des Fernrohrs, so dass die Horizontal-Winkel, stets auf den Nullpunkt N bezogen, durch ein Okular-Mikrometer sehr genau gemessen werden konnten. Das Gesichtsfeld des Fernrohrs mit den 4 Zielpunkten ist in Fig. 2. angedeutet, ohne Umkehrung, so dass der Punkt N, welcher der tiefste ist, unten erscheint.

Fig. 2.

Gesichtsfeld des Fernrohrs in Döbra.

Fig. 3.

Lageplan (1 : 1 000 000.)

Döbra

40'

OHE"

JT

23'

O JT

¹6ß

je Kapellenbertj

13'

Ol

Zs?

48,0

Km

0'

PB

Ochsenkopf

Die Entfernungen und Höhen der Punkte waren :

Entfernung

Punkt

Döbra

Höhen 0™    795™ über N. N.

0™

9 921”

—176”* —191”*

30™

Kapellenberg IV

In dieser Weise wurden die Horizontalwinkel in durchlaufenden Tagesreihen Tags mit Heliotropen, Nachts mit Lampenlicht, gemessen, im ganzen an 12 Tagen zwischen Juni und September 1877, sowie zwischen August und September 1878.

Das Ergebnis war für Seiten-Refraktion ein negatives, indem (nach Elimination einer Mikrometer-Verdrehung) keine ausserhalb der Messungs-Genauigkeit liegenden seitlichen Abweichungen sich fanden.

IV. Dreiecksschlüsse der sächsischen Triangulierung.

Bei der Triangulierung des Königreichs Sachsen, welche wir in unserem I. Bande, 4. Auflage 1895, S. 140 beschrieben haben, hat sich ergeben (S. 550 unseres Berichtes und S. 102 des amtlichen Werkes), dass die grössten Dreiecke gute Schlüsse zeigten, was durch den Umstand erklärt wird, dass lange Sichten stets hoch über den Boden Weggehen und deswegen von Seiten-Refraktion weniger zu leiden haben als kurze und niedere Sichten.

V. Fischers Vergleichung der preussischen Triangulierungen.

Sektions-Chef Fischer im geodätischen Institut hat im Jahre 1882 veröffentlicht: „Publikation des königlich preussischen geodätischen Instituts. Der Einfluss derLateral-Refraktion auf das Messen von Horizontalwinkeln. Berlin 1882“ (Bericht hierüber s.

„Zeitschr. f. Verm. 1884“, S. 79—81). Es wurden von den preussischen Triangulierungs-Ausgleichungen, Gradmessung in Ostpreussen, Küsten-Vermessung u. s. w. bis zum rheinischen und hessischen Dreiecksnetz die sämtlichen Netz-Verbesserungen in der Form von Richtungs-Verbesserungen (mit Hilfe der Besselsehen Nullpunkts-Korrektionen, vgl. Band I, § 74) dargestellt, und, in der Zahl 1434, nach der Grösse der Sichtweiten S geordnet, wie folgende Zusammenstellung zeigt, in welcher m den Mittelwert der fraglichen Richtungs-Verbesserungen in der Gruppe mit der durchschnittlichen Sichtweite S, und p die jeweilige Zahl in einer Gruppe bedeutet.

102    0,243"

5fcm

o o o o co co 4o do §

to o 00 -<J ** to CO H

00

io io OO Oi

lO lO O r—I r-H H

(M    l>    CO

2*    CO    CM    ^    CO

£    w    io    œ    cm

o    o    o    o

t—*

958

436

40

[p] = 1434

Eine zusammenfassende Vergleichs-Berechnung ist von dem Urheber dieser Sammlung nicht gegeben. Wir haben daher zunächst diese Zahlen m und S in Fig. 4. graphisch dargestellt; man sieht daraus, da die Kurve jedenfalls nach oben konkav verläuft, dass eine Annahme, wie sie auch Struve zuerst versuchte, das Anwachsen von m in Beziehung zu ]/ S zu setzen, nicht durchzuführen ist.

Fig. 4.

Richtungsfehler als Funktion der Entfernung.

•1 =

---0,5-

“T

/-

xf

0,3 p------

-o

O^V-t-----!-----1-----j----

—r-\o,3-! X 4—4—4-0,2-

'Ö

.1.

85    95    105    115

Kilometer

= 0 5    15    25    35    45    55    65    75

Wir haben daher drei andere Ausgleichungs-Versuche gemacht, wobei immer die Gruppenzahlen p als Gewichte im gewöhnlichen Sinne genommen wurden:

1 ) m = 0,208" -f- 0,0016 S

2)    m = 0,232" + (0,0415 Sf

3)    rn = 1/0,2372 + (0,00263 S)2 = 14*2 + V*

In Bezug auf die Quadratsumme der übrig bleibenden Fehler sind alle diese 3 Formen nahezu gleich; im übrigen hat die dritte Form am meisten für sich; dieselbe giebt folgendes:

1434

Za Fig. 4. ist über die drei letzten Werte für 95, 105 und 115*™, welche zusammen nur 22 mal (oder 1,5%) Vorkommen, zu bemerken, dass dieses wohl nur Zufalls-Werte sind, welche das bis 85*™ schön verlaufende Gesetz nicht stören.

Im übrigen kann man nun sagen, dass nach den 50 jährigen Gesamt-Erfahrungen der preussischen Triangulierungen, weite Sichten im allgemeinen ungenauer sind als kurze. Ob der Grund hievon in eigentlicher sogen. Seiten-Refraktion liegt, oder nur darin, dass weite Sichten selten und nur undeutlich zu beobachten sind, ist für die darauf zu gründenden praktischen Folgerungen zunächst gleichgiltig.

Wenn man noch überlegt, ob die grössere Netz-Unsicherheit bei langen Sichten daher rührt, dass diese Sichten selten zu erlangen waren, und deswegen mit geringeren Anschnittszahlen in die Ausgleichung eingingen, so müssten die älteren Richtungs-Messungen, bei welchen ein fester Plan der Messungs-Anordnung nicht vorhanden war, von den neueren Winkel-Messungen in allen Kombinationen, unterschieden werden; reduziert man aber auf gleichen Zeit- oder Arbeits-Aufwand, so kommen die langen Sichten jedenfalls in den Nachteil.

In unserer vorigen Auflage, III. Band, 1895, 3. Aufl. S. 156—159, haben wir auch eine physikalische Theorie der Seiien-Refraktion versucht, auf welche im Falle weiteren Beobachtungs-Materials zurückzukommen wäre.

Grösse der Theodolite.

Indem mit diesem § 22. über Seiten-Refraktionen alles, was auf Winkelmessung Bezug hat, abgeschlossen wird, kann hier noch ein Nachtrag zu § 5. und überhaupt auch zu unserem II. Band, 4. Aufl. 1893, Kap. VI und Kap. VIII gebracht werden, nämlich betreffend die Grösse der Theodolite, mit Kreisdurchmesser-Wahl zwischen 10™ und 40™.

Die trigonometrische Abteilung der preussischen Landesaufnahme hat die in unserem II. Bande, 4. Aufl. 1893, S. 182—183 abgebildeten Instrumente in folgenden Grössenverhältnissen :

Für Triangulierung I. Ordnung Fig. 13. S. 182 mit 35™ und 27™ Kreisdurchmesser,

II.

Ol cm

ji    Ji v v    »    n

III.

102

15

198

25

328

35

330

45

196

55

100

0,237"

0,237

0,237

0,237

0,237

0,237

65

86

75

54

85

18

95

12

105

115

0,237

0,237

0,237

0,237

0,237

0,237

II!III HIHI

m'

m—tn'=v

beob

achtet

0,243"

0,238

0,234

0,254

0,278

0,281

0,308

0,322

0,361

0,522

0,347

0,238

—0,006" +0,002 + 0,012 0,000

—    0,013

—    0,003

— 0,016

—    0,014

—    0,035

—    0,178 + 0,017 + 0,146

„ 14. „ 183 „ 14™

Die Hannoversche Stadt-Triangulierung, welche in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, § 60. mitgeteilt ist, mit einem mittleren Fehler einer Netzrichtung = + 1,"0, (I. Band, 1895, S. 195) ist mit den kleinen 18cm-, 14cm-Theodoliten von Band II, 1893,

S. 188 und S. 184 ausgeführt, mit je 12 Sätzen im Hauptnetz (Band I, S. 185) und je 4 Sätzen in den Punkteinschaltungen (Band I, S. 400—401). Andere Stadtvermessungen haben teilweise grössere Instrumente, z. B. Berlin („Zeitsehr. f. Verm.“ 1881, S. 13) ein 27c,“-Theodolit und 2 kleinere 14cm-Instrumente, beide mit Nonien, Strassburg („Zeitschr. f. Verm.“ 1893, S. 180) ein 21cm-Mikroskop-Theodolit und ein 14,5cm-Nonien-Theodolit, Leipzig („Zeitschr. f. Verm.“ 1895, S. 104) ein 32cm-Theo-dolit und ein 16cm-Theodolit, beide mit Mikroskopen.

Über die Grösse der Theodolite, bzw. ob man zu gewissen Zwecken mit kleinen Instrumenten ausreichen kann, welche natürlich für Transport und Handhabung die Bequemsten sind, hat auf der Versammlung des Deutschen Geometer-Vereins 1895 in Bonn eine Erörterung stattgefunden, über welche in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1895 S. 496 und ausführlicher in den Mitteilungen des Mecklenburgischen Geometer-Vereins 1895 S. 5—7 berichtet wird. An letztere Stelle giebt Kammeringenieur Vogeler noch einige weitere Angaben hinzu. Wir drucken dieses im wesentlichen hier ab :

Prof. Koll trug vor: „Es hat sich hei den trigonometrischen Arbeiten der preussischen Katasterverwaltung ganz sicher ergeben, dass eine, allen Anforderungen vollauf genügende Triangulation I. und II. Ordnung mit kleinen 5 zölligen (13,5«») Schraubenmikroskop-Theodoliten bei nur 12 maliger Beobachtung der Richtungen in I. Ordnung und 8 maliger Beobachtungen II. Ordnung ausgeführt werden kann.“ —

Kammeringenieur Vogeler entgegnete hierauf: In Mecklenburg wird zur Zeit die Triangulierung des Netzes II. und III. Ordnung beschafft, wobei wir 8 zöllige (21,5«») Mikroskop-Theodolite verwenden. Wir haben seit 30 Jahren in Mecklenburg für die Zwecke der Kleintriangulierung dieselben kleinen Instrumente von nur 13,5«» im. Gebrauch, wie die vorher genannten, wir wissen auch sehr wohl, dass man mit diesen Theodoliten sehr genau messen kann, aber trotzdem haben wir uns entschlossen, neue grössere Instrumente anzuschaffen.

Wir hatten schon auf unserer Geometer-Versammlung 1891 in Berlin erfahren, wie günstige Resultate mit den fünfzölligen Theodoliten in der Kataster-Verwaltung gemacht worden seien, und weiter, dass diese Erfahrungen niedergelegt seien in dem Werke „Die Verbindungs-Triangulation zwischen dem Rheinischen Dreiecksnetze und der Triangulation des Dortmunder Kohlenreviers“, welches von Herrn Professor Dr. Reinhertz herausgegeben ist. Wir haben dieses Werk eingehend studiert und gefunden, dass die Erfahrungen sich nur auf wenige trigonometrische Punkte stützen, die man in den Jahren 1881 bis 1883 gemessen hat. Es sind dieses die Erfahrungen von zwei Tri-gonometern mit einem Instrumente. Es mag sein, dass gerade dieses Instrument besonders leistungsfähig gewesen ist; denn nach S. 31 der Verbindungs-Triangulation beträgt der mittlere Fehler einer Richtung ± 2,01" (mit Messung in zwei Fernrohrlagen). Nach unseren Erfahrungen und den Erfahrungen anderer Trigonometer mit verschiedenen Instrumenten kann man die durchschnittliche Leistungsfähigkeit fünfzölliger Mikroskop-Theodolite auf einen mittleren Richtungsfehler von 3" bis 4" veranschlagen, während die achtzölligen Theodolite nur etwa einen Fehler von 1,5" bis 2" erwarten lassen. Dies heisst aber mit andern Worten, dass man mit einem fünfzölligen Instrument einen Winkel viermal so oft beobachten muss, wie mit einem achtzölligen Instrument, wenn man dieselbe Genauigkeit erreichen will. Bei der Triangulierung eines Netzes II. und III. Ordnung hat man mit Entfernungen von 3 bis 4 Kilometer zu thun ; hier gilt es, die günstigsten Beleuchtungsverhältnisse auszunützen und durch wenige Beobachtungen schon gute Resultate zu erzielen. Es ist hier also ein leistungsfähiges Instrument, und besonders ein Instrument mit starkem Fernrohr am Platze. Auch durch den Transport des grösseren Instruments werden die Arbeiten nicht verteuert, denn bei einer Triangulierung II. und III. Ordnung hat man einen grossen Apparat an Geräten mitzunehmen und Entfernungen von 3—4*»» von einem Punkt zum andern zurückzulegen, daher ist ein Wagen unbedingt erforderlich. Wir haben bei der Neuanschaffung von Instrumenten uns nach den langjährigen Erfahrungen gerichtet, die man bei der preussischen Landes-Aufnahme gemacht hat. Diese Behörde verwendet für die Triangulierung II. Ordnung einen achtzölligen Theodolit (abgebildet in unserem II. Bande, 1895, 4. Aufl. S. 182) und zwei ebensolche Instrumente sind in Mecklenburg jetzt im Gebrauch, Ein Sektions-Chef des geodätischen Instituts, welcher grosse Erfahrung in Haupttriangulierungen besitzt, hat sich über diese Instrumentenfrage so ausgesprochen: Bei allen Theodoliten steht die Grösse des Fernrohrs mit der Grösse des Kreises in einem gewissen Verhältnisse. Wenn nun ein gutes Fernrohr für Triangulierungen von Netzen I. und II. Ordnung durchaus am Platze ist, so wird die ganze Konstruktion des Theodolits hierdurch schon wesentlich bedingt, dann wird man aber dieses Instrument nicht mit einem ganz kleinen Kreise ausrüsten lassen ; denn im allgemeinen wird ja auch der grössere Kreis der besser geteilte sein und eine grössere Ablesungsgenauigkeit gestatten.

Soweit der Mecklenburgische Bericht über die Bonner Verhandlungen, den wir im wesentlichen abgedruckt haben. Im übrigen kann noch aus unseren eigenen Messungen mit 13cm-Theodoliten aus „Zeitschr. f. Verm.“ 1892, S. 26 ein mittlerer Richtungsmessungsfehler von + 2,31" berichtet werden (Messung in zwei Fernrohrlagen mit zusammen vier Ablesungen, wie auch im Vorstehenden stets angenommen ist).

Es mag auch aus Reinhertz „Verbindungs-Triangulation“ S. 33 noch citiert werden, dass abgesehen von Teilungsfehlern das zehnzöllige Instrument der Landes-Aufnahme ein etwa zehnmal so grosses Gewicht liefert, wie das zur Verbindungs-Triangulation benützte fünfzöllige.

Aus der „Zeitschr. f. Instrumentenkunde“ 1892, S. 104—105 entnehmen wir „über die Leistung eines kleinen Instrumentes“, dass bereits Struve daraufhingewiesen hat, dass kleine Instrumente verhältnismässig genauere Resultate liefern als grosse, und dass astronomische Messungen mit 17,5cm-Kreisen unerwartet günstige Ergebnisse lieferten.

Fassen wir alles dieses zusammen, so kann man wohl sagen, dass manche Praktiker mit teuren und grossen Instrumenten unnötig Vorgehen, z. B. Stadtpolygonzüge mit 25cm-Mikroskop-Theodolit („Zeitschr. f. Verm.“ 1888, S. 78), dass aber die auf der Bonner Versammlung aufgestellte Behauptung, für Triangulierung I. Ordnung seien fünfzöllige Theodolite (13,5cm) ausreichend und zweckmässig, mit den dafür vorgebrachten Messungsergebnissen noch nicht begründet ist.

§ 23. Genauigkeit und Geschwindigkeit der Basismessung.

Über die Leistungsfähigkeit der in den früheren § 9—15. behandelten Basismess-Einrichtungen haben wir verschiedene Angaben gesammelt, welche im Folgenden zusammengestellt sind.

Die Fehler der Basismessungen sind wesentlich zweierlei Art, erstens unregelmässige von der Handhabung der Apparate u. s. w. herrührende Fehler, von denen man gewöhnlich annimmt, dass sie proportional der Quadratwurzel der Länge wachsen, und zweitens regelmässige mit der gemessenen Länge selbst anwachsende Fehler, zu welchen vor allem die Mass-Unsicherheiten der gebrauchten Massstäbe selbst gehören.

Man wird im allgemeinen annehmen können, dass die regelmässigen Fehler im Gesamtergebnis überwiegen, indessen sind sie schwer zu bestimmen (und wahrscheinlich sind dieselben oft unterschätzt worden).

Leichter und sicherer zu bestimmen sind die unregelmässigen Fehler, mit welchen wir uns nun zuerst beschäftigen wollen. Man findet diese Fehler durch Messungs-Wiederholungen.

Besonders wichtig ist hiebei die Doppelmessung einer Linie in verschiedenen

Teilstrecken.

Strecke gebe die Differenz hin und her dx

Man habe hiefür folgendes:

79

»2

79

77

77

Sn

79

79

dn

Daraus bildet man die mittlere Differenz nach Band I, 4. Aufl. 1895, §11.

w±7

r n \8₁

oder den mittleren Fehler einer Messung der Längen-Einheit (lkm) :

dx 2    d₂ 2

«2

dn²\    ₇/lf dd~\

sn) ~ Y n L s J

V2

vmi

(1)

Damit hat man auch den mittleren Fehler des Mittels aus zwei Messungen der Längen-Einheit :

m' = ——

V2

(2)

oder den mittleren Fehler des Mittels aus zwei Messungen einer Länge L:

, _    1 ₇/i [de

m VL Y

(3)

Die Doppelmessungs-Ergebnisse der Basis der Gradmessung in Ostpreussen von 1834 haben wir bereits in (30) unten auf S. 76 mitgeteilt und die Anwendung der vorstehenden Formeln (1)—(3) auf dieses schon mehrfach von uns benützte klassische Beispiel der Gradmessung in Ostpreussen haben wir bereits in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 38 gezeigt.

Wenn alle Teilstrecken sj s₂... nahezu gleich sind, so braucht man die Quotienten d : y s bzw. d² : s nicht einzeln auszurechnen.

Als Beispiel für gleiche Strecken, jedoch für dreifache Messung aller Teilstrecken, nehmen wir die schweizerische Basismessung von Aarberg mit dem spanischen Apparat (vgl. § 13. S. 89):

Strecke

«i

s₃

«5

Messung I

400,0370m

400,0390

400,0383

400,0570

400,0352

399,9045

Messung II 400,0364m 400,0383 400,0382 400,0580 400,0356 399,9044

Messung III 400,0370m

400,0379

400,0388

400,0584

400,0353

399,9043

Mittel

400,0368>»

400,0384

400,0384

400,0578

400,0354

399,9044

2400,1117

Nun bildet man die sämtlichen 18 Differenzen v zwischen den Streckenmitteln und den Einzelmessungen, mit Quersummen [v] = 0 zur Probe, worauf die Quadrate v² sich ergeben:

Summe

2400,1110

2400,1109

2400,1112

V²

I ++-H I

0,2mm 0,04 -(- 0,4mm 0,16

0,6 0,86    +0,1 0,01

0,01

-f- 0,2

0,04

0,64

0,04

0,1 0,01

—    0,2    0,04

—    0,2    0,04

0,0 0,00

ooppoo

" 0,04

0,0mm

0,25

0,0

0,16    — 0,1

0,86 0,0 0,01    + 0,1

0,01

0,0

1,10

0,29

0,83

2,22 = [»*]

Der mittlere Fehler einer Messung einer Strecke von rund 0,4im wird hiernach :

-v

y i2

± 0,430”*”*

(4)

n (er — 1)

Hiebei ist mit o die Wiederholungszahl der Strecken-Messung bezeichnet, also in diesem Falle er = 3. Weiter berechnet man den mittleren Fehler einer Messung von l*m, da s = 0,4L”* ist:

(5)

= mi Y Y = ± °-⁶⁸

Auch hat man den mittleren Fehler der 3 fach wiederholten Messung der Gesamtlänge von 2,4*”*:

-y

2,4

m = ± 0,61”””

(6)

Man wird hiernach das Gesamtergebnis schreiben :

£ = 2400,1112”* ±0,0061”*

Wenn hier die Strecken s nicht alle gleich wären, so müsste man nicht bloss v und v², sondern auch alle Werte u:]/« bzw. v^:s bilden, und dann rechnen:

(7)

=y^,i¥]

Sind alle s gleich, so stimmt das mit (5) und (6) überein.

Nach diesen Formeln, welche zur Berechnung des mittleren unregelmässigen Basismessungs-Fehlers aus Messungs-Wiederholungen dienen, geben wir im Folgenden eine Reihe von Beispielen hiefür, wobei immer m den mittleren unregelmässigen (aus Wiederholungen berechneten) Fehler einer Messung von 1 Kilometer Länge, bedeutet.

m — Hh 16,42”*”*.

1736. Basis von Yarouqui in Peru, 2 Messungen mit hölzernen 15 oder 20 Fuss langen Latten (La Condamine Mesure des trois premiers degrés dans l’hemisphère australe, Paris 1751, S. 5) „nous nous accordâmes à moins de trois pouces près sur une longueur de 6273 toises.“ Dieses giebt 81,21”*”* auf 12,226iw doppelt gemessen oder den mittleren Fehler für eine Messung von P”* :

m = -1- 20,15mm.

1736. Basis von Tornea in Lappland, 2 Messungen mit hölzernen Latten, 7407 Toisen, Differenz 4 Zoll. (Astr. Nachr. 6. Band, 1828, S. 20.) Dieses giebt 20,152"*”* auf    oder

1789. Nachmessung der Picard sehen Basis von Juvisy, durch Cassini (Base du système métrique, III, S. 505), Basis von 5747 Toisen mit Eisenstangen gemessen, welche längs einer 50 Toisen langen Schnur unmittelbar aneinander gelegt wurden. Die Basis ist 5mal gemessen:

Toisen

5747

Fuss

Zoll

2'

8"

71

4'

3'

7)

4'

4'

0"

4"

5"

0"

Linien

6"'

9"'

10"'

10'"

0'"

Meter

= 11201,991 = 11202,431 = 11202,217 = 11202,569 = 11202,411

Mittel 11202,324”* ± 0,100”.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

10

Betrachtet man alle Abweichungen als unregelmässige Fehler, so erhält man

m = ± 67,0”*"*.

1805. Benzenbergs Basismessung mit hölzernen Latten für das Rheinische Kataster (vgl. § 9. S. 62)

1819. ScJiwerds kleine Basis. Zwei Messungen auf 20°R reduziert: 859,442734”* und 859,440943”* Differenz = 1,791”*”*. (Schwerd, „Die kleine Speyrer Basis“, S. 33.)

m = ± 1,37’""*.

den mittleren Fehler einer Messung von Rm:

Dieses giebt

m = ± 8,2mm.

1834—1872. Basismessungen mit dem Bessel sehen Apparate.

Die Längen- und die Strecken-Verteilung der zahlreichen seit 1834 mit dem Besselschen Apparate gemachten Basismessungen haben wir schon in § 16. S. 101—102 mitgeteilt, und da auch die Messungs-Differenzen bereits anderwärts, nämlich in dem Werke: „Deutsches Vermessungswesen von Jordan-Steppes 1882“, I, S. 133 von uns zusammengestellt wurden, bilden wir hier die Tabelle der mittleren unregelmässigen Fehler m für je eine Messung von 1 Eil.:

Jahr

1834

1838

1846

1847

1852

1853

1854

1871

1872

Länge

Basismessung

mittlerer Fehler m

l,822Lm Königsberg (Gradm. in Ostpreussen) . . ± 2,77' 2,701 2,336 2,134 2,301 2,489 2,763 5,875 8,909

Kopenhagen .......

Berlin (Küstenvermessung) .    .

Bonn .........

0,86

1,55

0,73

0,66

Lommel (Belgien)

Ostende.....

Strehlen (Schlesien) .

Braak (Holstein) .    .

Grossenhain (Sachsen)

(Die Angaben für Grossenhain sind von Nagel veröffentlicht im „Civilingenieur“, 28. Band, 1882, 1. Heft, vgl. auch Helmert, „Zeitschr. f. Venu. 1883“, S. 596.)

Besonders zu erwähnen ist hier noch die Göttinger Basismessung, weil dieselbe in metron omischer Beziehung neu behandelt wurde, wie wir bereits in § 14. S. 95—97 beschrieben haben. Die Genauigkeits-Berechnung, entsprechend 4 verschiedenen metronomischen Formeln, ist von General Schreiber in der „Zeitschr. f. Verm. 1882“, S. 1—17 mitgeteilt worden. Aus den 33 Strecken-Differenzen der 5193m langen Linie (eine Strecke = 157”*) ergab sich der mittlere Fehler m einer Messung von lkm, unter der Annahme unregelmässiger ± gleichwahrscheinlicher Fehler so :

Formel (vgl. § 14. S. 96—97)

I.    I =    L — (jfc —    1,4) m...........

IL    I =    L — (k —    1,4) m — (Je    — 1,4)2    Q.....

III.    l    =    L—(k—    1,4) m-(Jc    — 1,4)2    Q +    aJi . .    .

IV.    I    =    L — (k —    1,4) m — (k    — 1,4)2    g _|_    a    Ji a² k    .

Die Differenzen für die ganze Länge 5193”* (hin und her) der Göttinger Basis

wurden nach diesen 4 Formeln:

0,54

1,75

1,59

1,46

mittl. Fehler m

±0,80

mm

0,70

0,55

0,57

II

III

IV

— 14,10”*"*    —13,04"*”*    — 8,17”*”*    — 7,62""

1879—1880. Basismessung des geodätiscJien Instituts.

Im Jahre 1879 wurde die alte schlesische Basis bei Strehlen, 2763”* lang, welche erstmals 1854 mit dem Besselschen Apparat gemessen worden war, von dem

geodätischen Institute mit einem Brunner sehen Apparate (S. 85) nachgemessen. Die Linie wurde in 10 gleichen Teilen von je 276m hin und her gemessen. Die Messungs-Differenzen sind in dem „Generalbericht f. d. Europ. Gradm. für 1879“, S. 104 veröffentlicht; man berechnet hieraus den mittleren unregelmässigen Fehler einer Messung von P“:

m = + 0,76mm.

Einiges weitere hierüber giebt auch der „Generalbericht über den Fortschritt der Arbeiten für d. Europ. Gradm. im Jahre 1880“, S. 83—35.

Über die Bonner Basismessung 1892 haben wir bereits einiges citiert in Band I, 1895, 4. Aufl. S. 514. (Brunner = 2512,995“, Bessel = 2512,984“, Differenz = 11““).

1858. Spanische Basismessungen.

Spanische Basis von Madridejos, mit dem älteren Brunnerschen Apparate (S. 84) gemessen. Das Mittelstück, 2767“ der öteiligen Basis (s. o. S. 106,) wurde in 12 Absätzen je zweimal gemessen (Astr. Nachr. 61. Band, 1864, S. 340). Die 11 ersten Abschnitte haben je 234“ Länge und die Differenzen der 11 Doppelmessungen sind: + 0,23 —0,20 -f- 0,49 +0,00 —0,02 —0,23 —0,32 +0,39 —0,09 —0,28 + 0,36““, das letzte Stück hat nur 194“ Länge und gab bei der Doppeltnessung die Differenz — 0,14. Aus diesen 12 Doppelmessungen berechnet man . m = + 0,40““.

Über zwei kleinere, im Jahre 1860 ebenfalls mit dem älteren Brunnerschen Apparate gemessene Grundlinien giebt der „Generalbericht d. Europ. Gradm. für 1869“, S. 65 die Einzelheiten der Doppelmessungen, woraus man berechnet:

mm

m = + 0,32

mm

Basis von Mahon, 2359“ in 6 Absätzen, m = + 0,43 „    „ Ivice, 1665“ „ 4

Ausser diesen drei Linien sind bis 1879 noch 6 Grundlinien in Spanien gemessen worden, worüber Einzelheiten mitgeteilt sind in dem amtlichen Werke: „Me-morias del instituto geogrâfico y estadistico. Tomo III. Madrid 1881, und Tomo IV, Madrid 1883. (Arcos .de la Frontera III, S. 259, Lugo III, S. 337, Vieh III, S. 419, Olite IV, S. 99.)

Schweizerische Basismessungen.

In den Jahren 1880—1881 wurden mit dem neuen spanischen Apparate (vgl. S. 87—89) drei Grundlinien in der Schweiz gemessen, bei Aarberg 2400“, bei Wein-felden 2540“ und bei Bellinzona 3200“. Die erste Linie 3 mal (s. o. S. 144) die beiden anderen je 2 mal.

ung von 1*“:

Aarberg

Weinfelden m = + L27 Bellinzona m — + 0,89 Weiteres hierüber giebt das amtliche Werk: „Le réseau de triangulation suissse, publié par la commission géodésique suisse, troisième volume, la mensuration des bases par A. Hirsch et J. Dumur. Lausanne 1888.

Aus den Messungs-Differenzen berechnet man den mittleren Fehler einer Messin = + 0,68““

Nordamerikanische Basismessungen mit dem Bepsold-Gomstocksehen Apparat (§ 13. S. 89—93).

Nach dem Werke: „Report upon the primary triangulation of the United States Lake Survey, by Comstock etc. Washington 1882, S. 262, S. 290, S. 303 berechnet man aus den Messungs-Differenzen die mittleren unregelmässigen Fehler einer Messung von P“:

1877    Chicago-Base 7509”* in 8 Strecken

1878    Sandusky-Base 6227m in 6    „

1879    Olney-Base

Dabei sind die auf S. 97—98 erwähnten Korrektionen für die Ungleichheit der Temperaturen beider Massstabteile berücksichtigt.

m = ± 1,12

1,19

6589”* in 6

0,79

1881. Californien. Yolo-Country.

United States coast and geodetic survey, methods and results on the length of the Yolo-Base-Line. Appendix Nr. 11. Report for 1883. Washington 1884, berechnet won Charles A. Schott, Assistent. (Ygl. auch „Generalbericht d. Europ. Gradm. für 1883“, Annexe III, S. 2—3.)

Die 17,5*”" lange Linie wurde teils zweifach, teils dreifach gemessen. Aus den 18 Differenzen-Vergleichungen zwischen der ersten und zweiten Messung berechnet

m - + 2,03

man den mittleren Fehler einer Messung von P” .

Österreichische Basismessungen.

1862.    Grundlinie bei Josephsstadt, zwei Messungen, 2772,174020 und 2772,180159 Wiener Klafter, Differenz = 0,006 139 W. Kl. („Generalbericht d. Europ. Gradm. 1863“, S. 15). Dieses giebt ll,64m"‘ Differenz auf 5,257fc”‘, oder . .

1868. Basis in Dalmatien, zwei Messungen 1305,33270 und 1305,33186 Wiener Klafter, Differenz = 0,00084 W. Kl. („Generalbericht d. Europ. Gradm. 1870“, S. 28),

m = + 0,72

1863.    Schwedische Grundlinie auf Axevella, zwei Messungen 1357,03274 Toisen und 1357,03360 Toisen, Differenz = 0,00086 Toisen („Generalbericht d. Europ. Gradm. 1863“, S. 28) oder 1,68”*”* auf 2,645s”>

oder l,6mm auf 2,475lm

m = ~+~ 0,73

mm

mm

1865. Italienische Basis von Catania. Eine Basis 3692m wurde 6mal gemessen („Generalbericht d. Europ. Gradm. 1865“, S. 64 und 65).

Wenn man die 6 Messungen als gleichartig behandelt, so findet man

m — ^+2 1,96

Die Messungen 1. 2. und 3. sind in der einen, 4. 5. 6. in der andern Richtung gemacht. Die beiden Arten zeigen eine regelmässige Differenz. Behandelt man daher die 3 ersten Messungen und die 3 letzten Messungen je für sich, so findet man die mittleren unregelmässigen Fehler für P”* bzw. für 1. 2. 3. m = + 0,85

4. 5. 6. m = + 0,47

und für

in fi

1873. Basis von SimlaJc, gemessen von Oudemans bei der Triangulierung von Java (s. o. §. 14. S. 94).

Eine Länge von 3909” wurde in 20 Strecken von je rund 200”* doppelt gern = + l,69mm

1890. Französische Basismessung bei Juvisy, in der Nähe von Paris. Ein Bericht in Comptes rendes etc. 112. Band, 1891 S. 770—773 und Auszug in „Zeitschr. f. Yerm.“ 1891, S. 26—29 giebt hierüber: Die neue Grundlinie liegt an Stelle der schon von Picard 1669 mit 4 hölzernen Stangen und 1739 von Cassini mit 4 eisernen Stäben gemessenen Linie von 7,2*™ (s. o. § 9. S. 63). Die Neumessung 1890 geschah mit einer 4”* langen Platin-Kupfer-Stange von Brunner (vgl. S. 84), wobei eine Umwicklung mit dickem Wollenstoff stattfand, innerhalb dessen Wasser zirkulierte zum

messen, woraus sich ergiebt

Zweck der Temperatur-Ausgleichung. Die Messung erfolgte in 24 Abschnitten von ungleichen, im Mittel 300"' betragenden Längen. Der mittlere unregelmässige Fehler einer Messung von l⁴“ ergab sich nach der Formel (1) S. 144 für den südlichen Teil m = l,02mm, für den nördlichen Teil m = 1,90““, im Ganzen

m = + l,52mm.

Geschwindigkeit der Basismessung.

Bei der Beurteilung der Leistungs-Fähigkeit eines Basis-Apparates kommt ausser der Genauigkeit auch die Geschwindigkeit in Betracht, weshalb wir hiefür eine Anzahl von Angaben gesammelt haben, die im Folgenden zusammengestellt sind. Dabei bedeutet immer v die gemessene Länge für 1 Stunde.

Schwerd mass im Jahre 1820 in 3 Tagen mit 30 Stunden eine 859"' lange Grundlinie zweimal (Schwerd: „Die kleine Speyrer Basis“, S. 23—32). Dieses giebt für 1 Stunde......................v = 57”*

so ist

Die Württembergische Grundlinie Solitude—Ludwigsburg von 13 032”* Länge wurde in 19 Tagen einmal gemessen (Kohler: „Die Landes-Vermessung des Königreichs Württemberg“, S. 57). Rechnet man 1 Tag durchschnittlich zu 6 Stunden, ........................v = 114"*

82"'

70”*

Struve fand 1840 das mittlere Fortschreiten in 1 Stunde 42 Toisen für den Tennersehen Apparat und 36 Toisen für seinen Apparat („Vierteljahrsschrift der astr. Gesellschaft 1870“, S. 69), dieses giebt für den Apparat von Tenner „    „    „    „ Struve

Basismessungen der preussischen Landes-A ufnahme mit dem Bessel sehen Apparat.

Nach einer bereits früher in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1880, S. 387 und 1883, S. 583 gemachten Zusammenstellung haben wir folgende Maximal-Leistungen in 1 Tag, wobei 1 Lage = 4 Stangen = 15,6m ursprünglich als Einheit zu gründe gelegt ist : 1834 Königsberg 68,6 Lagen = 1070”*

1871    Braak    67    „    = 1045

1877    Oberhergheim 113    „    = 1763

1880    Göttingen    131    „    = 2044

1883    Meppen    150    „    = 2340

Dieses sind MmmaZ-Leistungen für je 1 Tag; was die mittlere Geschwindigkeit für 1 Stunde betrifft, so war dieselbe in Königsberg nach S. 47 „der Gradm. in Ost-preussen“ 8 Lagen = 125“ in 1 Stunde. Teils durch die Vervollkommnungen des Apparates, teils durch die Übung steigerte sich die Geschwindigkeit so sehr, dass bei Göttingen auf 1 Lage etwa 5 Minuten, bei Meppen nur noch etwa 3 Minuten auf 1 Lage kamen. Hiernach haben wir folgende Geschwindigkeiten in 1 Stunde:

v = 125”* v = 187“ v — 300“

Königsberg Göttingen Meppen .

Sächsische Basismessung bei Grossenhain.

Diese Basis ist ebenfalls mit dem Bessel sehen Apparat gemacht. Nach der Mitteilung „Zeitschr. f. Verm.“ 1883, S. 600 erforderte die 8 909“ lange Linie folgende Zeiten :

Hinmessung 13 Tage = 118,5 Stunden, also 75 Meter in 1 Stunde Rückmessung 12    „    = 88,0    „    »101    „    „1    „

Im Mittel hat man 206,5 Stunden für 17 818“ oder die mittlere Geschwindigkeit

in 1 Stunde:

v = 86”

Basismessungen des geodätischen Instituts.

Mit einem Brunner sehen Apparat, ähnlich dem ersten spanischen Apparate, wurden die zwei Grundlinien bei Strehlen (2763“) und bei Berlin (2336“) in den Jahren 1879—1880 gemessen. Nach Mitteilung von Fischer wurden zu Anfang stündlich 5 Stangenlagen (= 20m) gemacht; nachdem aber das Personal eingeübt war, kamen bei der Strehlener Basis auf 1 Stunde durchschnittlich 7—8 Lagen, und bei der Rückmessung 10 Lagen. Bei der Berliner Basis wurden bei etwa dreistündiger Arbeitszeit Vormittags und dreistündiger Nachmittags zusammen 60 Lagen = 240m gemessen.

Hiernach ist die Geschwindigkeit für 1 Stunde anzunehmen: .    .    . v = 40“

Spanische Basismessungen mit dem Brunner sehen Apparat.

Der erste Brunner sehe Apparat, mit welchem die Basis von Madridejos gemessen wurde, hatte eine sehr geringe Geschwindigkeit. Koppe schreibt hierüber in der Abhandlung „der Basisapparat des Generals Ibanez und die Aarberger Basismessung“ S. 2:

v= 31“

Die erste spanische Basismessung, 14663“, dauerte vom 22. Mai bis zum 7. September 1858. Sie erforderte 78 Arbeitstage, also 5,3 Tage für 1 Kilometer. Rechnet man 1 Tag = 6 Stunden, so erhält man für 1 Stunde . .

In dem Werke: „Expériences faites avec l’appareil à mesurer les bases u. s. w. traduit par Laussedat, Paris 1860“, S. 210 ist angegeben, dass die Geschwindigkeit

2 Minuten für 1 Meter war, oder für 1 Stunde..........v = 30“

Bei den zwei kleinen spanischen Grundlinien von Mahon und Ivice auf den balearischen Inseln war nach dem „Generalbericht der Europ. Gradm. für 1869“, S. 65 die Messungs-Gesclnvindigkeit in 1 Stunde:.........v — 120“

Schweizerische Basismessungen.

= 142"* - 114“ _ 144m

1880—1881 die Grundlinien bei Aarberg, Weinfelden und Bellinzona (vgl. § 13. S. 85 bis 89). Die Zeitverhältnisse sind sehr genau angegeben, inan findet die Geschwindigkeit in 1 Stunde:

Aarberg .

Weinfelden Bellinzona

Ausserdem sind auch die Routen angegeben (S. 86 der amtl. Veröffentlichung), nämlich für alle drei Linien 37 600 Fr. oder 4 600 Fr. für 1 Kilometer.

Nordamerikanische Basismessungen mit dem Repsold-Comstock sehen Apparat (vgl. § 13. S. 90—93).

„Report upon the primary triangulation“ etc. S. 262, S. 290, S 300 giebt:

1877    Chicago-Base. Die mittlere Messung in 1 Tag war 292“, die grösste Leistung in 1 Tag 500“,

1878    Sandusky-Base. Der Durchschnitt für 1 Tag bei der Hinmessung war 88 Röhren = 352“, bei der Rückmessung 100 Röhren = 400”,

1879    Olney-Base. Die mittlere Röhrenzahl in 1 Tag war 105 = 420“, die grösste Zahl an 1 Tag war 168 Röhren = 672“. Gemessen wurde an 32 Tagen.

1 Tag = 6 Stunden = 420“, so wird für 1 Stunde :

Die Tagesleistung wächst mit den Übungsjahren. Nehmen wir zum Schlüsse

........v = 70“

Neue französische Messung mit einer Brunner sehen 4“ langen Platin-Kupfer-Stange (s. o. S. 148—149).

v = 56“

Nach dem Bericht in Comptes rendus etc. 112. Band 1891 S. 772 erforderte die 7,226Ł” lange Linie zur Hinmessung 25 Tage, zur Rückmessung 18 Tage, also 43 Tage mit 14,5*“. Rechnet man 1 Tag = 6 Stunden, so giebt dieses 14500:258 = 56“ auf 1 Stunde

Schluss-Betrachtungen über Basismessung.

Die neueren Basismessungen sind technisch so fein behandelt, dass der mittlere unregelmässige Messungs-Fehler nicht mehr als etwa 1 Millimeter für 1 Kilometer beträgt. Dieses geht aus den auf S. 146—148 gesammelten mittleren Fehlern deutlich hervor, denn wir haben für den mittleren Fehler einer Messung von 1 Kilometer, in runden Durchschnittszahlen :

S. 146 für Bessels Apparat S. 147 S. 148

Mt = ± l,3”m

„ den neuen spanischen Apparat „    „ nordamerikanischen „

0,9mm

1,0"“

Durchschnitt m — ± l,lmm

Für Doppelmessung vermindert sich dieses noch auf 1,1 : ]/ 2 = 0,8m”‘ für l*m, indessen -wollen wir den runden Wert m = ± lmm für Pm als unregelmässigen von der Messung selbst herrührenden Fehler einer neueren Basis nun annehmen.

Ganz anders, nämlich ungünstiger, steht es mit den regelmässigen, namentlich den metronomischen Fehlern der Basismessungen.

mm

Wir haben in §. 11. S. 75 berichtet, dass bei der Besselschen Basismessung bei Königsberg, 1834, der Hauptfehler, nämlich die Vergleichung mit einem von anderwärts gegebenen Normalmass, nur = 0,6 Milliontel der Länge gefunden wurde, und ähnliche kleine Werte wurden auch später mit dem Besselschen Apparate gefunden; indessen sind wahrscheinlich jene älteren Vergleichungen in Bezug auf Genauigkeit überschätzt, indem später mit dem Besselschen Apparate Unsicherheiten bis zu 0,02

auf eine Stange von 4m, d. h. 5 Milliontel der Länge, gefunden wurden. (Vgl. dazu oben S. 147 auch die Differenz Brunner-Bessel = 11

auf 2,5'‘m.)

Die beiden betrachteten Fehlerteile, nämlich m = mittlerer unregelmässiger Fehler und m' = mittlerer regelmässiger Fehler, setzen sich in bekannter Weise zum Gesamtfehler M für die Länge L zusammen, nach der Gleichung:

(1)

= ]/{mVLf + K W = YmZL+m'ZL*

Nehmen wir nach dem bisherigen m = lmm für L = Pm und als Minimum m' ebenfalls = \mm für L — Pm, so wird :

m = y l + za

Zur Übersicht ist hernach folgendes berechnet:

Gemessene

Basis-

Länge

Mittlerer Mittlerer unregelm. regelmäss.

Fehler

m' L

Fehler

Mittlerer

Gesammt-

Fehler

Verhältnis

mV L

p-m

2 km 5lm 10»"

OHvpCO O ^ (M r-H rH CQ CO

± 1,00

2,00

5,00

■■

±1,41

2,24

5,10

10,00mm    10,05

£3 rH T—I r-H r—I

O O ►—¹ O OtODOHÖ m    œ

Hieraus ist zu sehen, dass hei grösseren Längen neben den systematischen Fehlern m', die unregelmässigen Messungs-Fehler m fast verschwindend sind; dieses

ist noch viel mehr der Fall, als die vorstehende Tabelle zeigt, weil wir hier nur m' — 1 Milliontel angenommen haben, während es in Wirklichkeit das 5—10 fache hievon betragen kann.

Durch solche Überlegungen wird der Fingerzeig gegeben, dass die Technik auf einem falschen Wege war, als sie Apparate, wie den älteren Brunnerschen und ähnliche schuf. (Ygl. § 13. S. 84.)

Die Messungs-Geschwindigkeiten sind nach der Zusammenstellung S. 149 — 150 sehr verschieden; die äussersten Werte scheinen zu sein:

v = 30 Meter in 1 Stunde

Älterer Brunner scher Apparat . .

Bessels Apparat, Lan des-Aufnahme bei Meppen v = 300    „    „ „    „

Die Hauptsache der Basismessung, nämlich der metronomische Teil, liegt nun in den Händen des internationalen Mass- und Gewichts-Bureaus (vgl. § 8. S. 56 und in dieser Beziehung werden ohne Zweifel die nächsten Basismessungen sich wesentlich von den früheren unterscheiden.

§ 24. Basis-Anschlüsse.

Wenn man die mittleren Fehler zweier Grundlinien und den mittleren Winkelfehler einer verbindenden Triangulierung kennt, so kann man auf theoretischem Wege den Fehler berechnen, welcher beim Durchrechnen der Triangulierung von einer Grundlinie zur anderen sich wohl einstellen wird, oder man kann auch berechnen, um wie viel eine Triangulierungskette in der Messung und Berechnung ihren wahren Endpunkt verfehlen wird, im Sinne der Entfernung und im Sinne der Richtung.

Theoretische Betrachtungen hiezu haben wir in den vorhergehenden §§ 17—20 gegeben, und es ist hiezu an alles zu erinnern, was bereits in unserem I. Bande, 1895, 4. Aufl., in Kap. Y über Triangulierungs-Genauigkeit verhandelt worden ist. Auch erfahrungsmässige Genauigkeitsangaben sind daselbst in grosser Zahl gesammelt und wir wollen auch nochmals an die wertvollen auf mühsame Berechnungen gegründeten Angaben der preussischen Landes-Aufnahme über Entfernungs- und Azimutalfehler langer Ketten erinnern, welche im I. Bande der Landestriangulation enthalten und von uns (in „ Jordan-Steppes, Deutsches Vermessungswesen I“ S. 138—139) dahin zusammengefasst worden sind, dass eine Dreiecksseite in 1004m Entfernung an der Basis, mit 7 Milliontel ihrer Länge erhalten wird, oder dass eine Kette von 130tm einen Entfernungsfehler von nur 3 Milliontel der Entfernung und einen Richtungsfehler von kaum 1" bietet.

Wichtiger als die so zu berechnenden theoretischen Anschlussfehler sind die thatsächlich in der Praxis aufgetretenen Anschlussfehler und wir haben daher schon frühzeitig solche Anschlüsse aus der vorhandenen Litteratur gesammelt, wie aus unseren früheren Auflagen und zugehörigen Veröffentlichungen zu ersehen ist ; es ist aber schwer auf diesem Gebiete rein objektive Nachrichten zu erlangen, weil sehr oft die Vermutung nicht zu unterdrücken ist, dass die Berechner früherer Zeiten die Anschlüsse in der Triangulierungsausgleichung mehr oder weniger haben mitein-spielen lassen. —

Das Wichtigste auf diesem Gebiete sind die neueren Untersuchungen des geodätischen Institutes, von welchen wir im Folgenden einige Auszüge vorführen:

Wir betrachten zuerst ein Werk von Helmert:

Veröffentlichung des Königlich preussischen Geodätischen Instituts und Centralbureaus der internationalen Erdmessung. Die europäische Längengradmessung in 52 Grad Breite von Greenwich bis Warschau. I. Heft, Hauptdreiecke und Grundlinienanschlüsse von England bis Polen, herausgegeben von F. K. Helmert mit zwei lithographischen Tafeln. Berlin, Druck und Verlag von Stankiewicz, Buchdruckerei, 1893.

Wir haben von diesem Werke schon in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 283—299 die neue Theorie der Triangulierungsausgleichung mit Richtungsgewichten mitgeteilt und können nun weiter aus dem 4. Kapitel über die Grundlinien und ihre Anschlüsse folgendes berichten, wobei mit (H. S... .) die Citate aus dem Originalwerk beigegeben sind.

Alle mit dem Basisapparat von Bessel gemessenen Grundlinien beruhen auf der Toise von Bessel, welche Bessel selbst 1823 setzte (H. S. 225):

P = 863,9992 Par. Linien bei 16,25° oder bei 13° R.

Wir haben diese Toise bereits in § 7. S. 53—54 und in § 11. S. 75, Gleichung (19) erwähnt, dieselbe kommt in Bessels „Gradmessung in Ostpreussen“ S. 22 vor mit der Angabe, dass ihre wahre Länge = 863,9992 Par. Linien sei, mit der Gleichung:

P = 863,835384 + 0,0126014 R°

was man auch so schreiben kann

P= 863,99920 (1 +0,0000145877 [R° — 13°])

0,0000114 als Ausdehnungs-Coefficient (H. S. 226).

= 863,99920 (1 + 0,00001167016 [C° — 16,25°]) d. h. Bessel hat in der Gradmessung in Ostpreussen den Ausdehnungs-Coefffcienten 0,00001167 für 1° C, und bei den Pendelversuchen nahm Bessel den von Borda für Eisen bestimmten Wert a

Die in neuester Zeit gemachte Vergleichung der Bessel sehen Toise im internationalen Massbureau zu Breteuil gab (H. S. 226):

P= 1949,061”»» bei 16,25°

und den Ausdehnungs-Coefficienten a — 0,00001160. Durch diese Neubestimmung konnten die mit Bessels Apparat gemessenen Grundlinien auf internationales Meter-mass reduziert werden. Das Endergebnis ist nach H. S. 230—231, dass alle auf Bessels Bestimmungen beruhenden geodätischen Linien bezw. Dreiecksseiten, nachdem sie inzwischen formell mit 443,296 : 864 auf Metermass reduziert sind, nun noch mit einer Korrektion von + 57,7 Einheiten der 7. Logarithmenstelle versehen werden müssen, um sie auf internationales Metermass zu reduzieren.

Diese Zahl ist für die Zukunft wichtig und wir wollen dazu sogleich auch aus der Veröffentlichung der Landes-Aufnahme, Landes-Triangulation, Hauptdreieck V. Teil, Berlin 1893 Seite V citieren:

Allen in Metern ausgedrückten Ergebnissen der Landes-Aufnahme hat man, um sie auf internationales Metermass zu bringen, eine Reduktion zuzufügen, welche beträgt :

logarithmisch + 0.0000058 oder -+- 58 Einheiten der 7. Stelle oder in Teilen der Längen selbst:

58

+ 4;3429.;+ ¹³’4 Milliontel

oder -t- 13,4”im auf lfcm.

So wurden behandelt die Grundlinien von Königsberg, Berlin, Bonn, Ostende und Lommel, Strehlen, Grossenhain, Göttingen, woraus mit Rücksicht auf Nebenumstände eine Reduktionstabelle (H. S. 241) entsteht. Nachdem hierbei auch die mitt-

leren Fehler der Grundlinien geschätzt waren, nämlich + 1O0 (d. h. 10 Einheiten des 7stell. Logar.) und entsprechend auch + 18⁻0 für englische und + 10’0 für russische Linien, kommen die Yergrösserungsnetze in Betracht, durch welche der trigonometrische Weg von der Basis seihst bis zur ersten Hauptdreiecksseite hergestellt wird, mit Fehlerschätzung nach Näherungsformeln (H. S. 245) und endlich dazu die trigonometrische Verbindung längs der Hauptketten von Basis zu Basis, wozu Fehlerschätzungen nach H. S. 88 möglich sind. Das sind nun alles Genauigkeitsbestimmungen a priori, und es entsteht die brennende Frage, wie die trigonometrische Zusammenrechnung zwischen den Grundlinien thatsächlich stimmen wird, ob die faktischen Anschlussfehler den theoretisch berechneten Fehlern entsprechen werden?

Die 9 Grundlinien mit ihren 8 Verbindungs-Triangulierungsnetzen wurden einer Ausgleichung unterworfen (H. S. 243—244), wobei die Verbesserungen a₂ ... <7g der Grundlinien selbst als unabhängige Unbekannte und die Verbesserungen v₁ v₂ ... v8 der 8 Verbindungs-Triangulierungen als Beobachtungen auftreten, mit Gewichten, welche der Form und Ausdehnung der Netze a priori angepasst sind. Der mittlere Gewichtseinheitsfehler ergab sich nach der Ausgleichung = + 33 und für das Durchschnittsgewicht 4—5 der mittlere Fehler = + 16 Einheiten der 7. logar. Dezimale oder = 16 :4.34 = 3,8”m auf l*m, ein ungemein kleiner Betrag (giltig für ein v oder er).

Die Hauptergebnisse der Basisgenauigkeiten und der Verbindungs-Triangulierungsgenauigkeiten sind in einer Tabelle auf H. S. 251 enthalten, welche wir hier in zwei Teilen vorführen :

(1)

Mittlere Fehler a priori (H. S. 251.)

Nr.

Grundlinie

Basis, direkte Vergrösserungs-Messung

Netz

Verbindungs-Netz

Englische

Ostender

Lommeler

Bonner

Göttinger

Grossenhainer

Strehlener

Berliner

Königsberger

Basis

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +! +1 +1

©OOOOOOOOO

+1 +1 +1 +1 +1 +i +1 +1 +1

co co co ^ O O Cu o

as t".

to to to CO t— co

1+1+1+1+ Ił Ił Ił Ił

co to co to co co o< o w to œ co -i to o o

± 28 ± 6,4

Der vorstehenden Tabelle für Fehler a priori entspricht nun folgende zweite Tabelle der Fehler a posteriori :

Durchschnitt

± 55 7. Log.-Stelle

± 12,7mm auf Vcm

Mittlere Hehler a posteriori (E. S. 251).

(2)

Nr.

Grundlinie

V erbindungsausgleichung Verbesserung g J Verbesserung v

Länge des Verbindungs-Netz es

Englische

Ostender

Lotnmeler

Bonner

Göttinger

Grossenhainer

Strehlener

Berliner

Königs berger

Basis

+I+I++III

++I+1III

Mt-*    MM

CCO-d^tCCClO^

tbcôobcscôoôcôcn

km

200

170

140

220

250

So

260

130

540

210 km

Durchschnitt

±16-0 = ±3,71

± 16⁻0 7. Log.-Stelle 3 7mm aut' lmfc

Die mittleren Fehler sind in dieser Tabelle in Einheiten der 7. Log.-Dezimale angesetzt, d. h. da d log x = ist, muss man die 7. Log.-Stelle mit 4,34 dividieren,

um sie in Milliontel der Längen (oder in Millimeter für 1 Kilometer) zu verwandeln.

Die unmittelbaren Basisfehler, im Durchschnitt + 2,5““ auf 1*’", sind Schätzungen, nach Anbringung der Reduktionen auf das internationale Meter.

Was weiter die mittleren Fehler der Verbindungs-Triangulierungen zwischen zwei Grundlinien betrifft, so hat man für Ketten erster Ordnung unsere früheren Formeln von § 18, insbesondere die Formel (13) S. 111, welche mit anderen Bezeichnungen, und logarithmisch ausgedrückt in H. S. 83, Anmerkung, angegeben ist.

Da aber die Ketten erster Ordnung mit ihren 20— 50*™ langen Seiten nicht unmittelbar an die nur 5—7*“ langen Grundlinien anschliessen können, sondern besondere Basisnetze, gewöhnlich rhombisch (vgl. S. 104—108) zur Vermittlung haben, so mussten dafür die mittleren Übertragungsfehler besonders bestimmt werden. Den mittleren Fehler der Höhe h eines einzelnen gleichschenkligen Dreiecks haben wir bereits in § 18. bestimmt, nämlich nach der Formel (22) auf S. 113 oben, welche mit gleichen Gewichten px = p₂ = p% = 1, und Weglassung von q giebt:

= J¹ l/

sin (1) r

m (Ä)

"w= »

Hat man zwei solche gleichschenklige Dreiecke auf beiden Seiten einer Grundlinie angesetzt, etwa wie in Fig. 4. S. 114, jedoch mit ungleichen Höhen h und h', so erhält man daraus

p h'

sin (î)

— sin (F)

CO Dol

m (h -+- li')

-/w '

h' 2

sin² (1)    sm²(F)

Dieses ist in anderer Form dasselbe wie die erste Formel in H. S. 245, und, um auch die zweite dort angegebene Formel für zwei rechtwinklige Dreiecke nachzuweisen, nehmen wir unsere allgemeine zu Fig. 4. S. 113 gehörige Formel (25) S. 114 und setzen darin, um a und a' in eine zu b rechtwinklige Gerade zu verwandeln:

(3) =90° , (2) = 90° — y , ß = 90°

(3') = 90°

« = 0 , (1) = y

(F) = y

und dazu px = p₂ = ps = 1, dann wird (ohne (j) :

a' = 0

(2') = 90° — Y

(ra (B))²

b² sin² y -+- cfi cos² y -+- c² b² sin² y' -+- a'² cos² y' -+- c'²

sin² y • 3

sin² y ' . 3

+ T7T

b²

a'⁴    c'4\

+ b*+W~hb²)

= ^(²⁶^

b²

(a² + b²)² + (a'² + b²)²

b²

(m(B))² = ²|²(

b² -+

a* -+■ a'4

b²

+ (a² + a'*) j

Dieses ist die zweite Formel von H. S. 245. Durch solche Formeln wurden die Wirkungen der Basis-Netze geschätzt und in Verbindung mit der Kettenformel (13)

S. 111 sind dann die mittleren Fehler a priori bestimmt worden, welche in den zwei letzten Spalten der oben S. 154 gegebenen Tabelle (1) auftreten.

. Betrachten wir nun diese Tabelle (1) S. 154 und die darauffolgende Tabelle (2) S. 154, so fällt uns zuerst auf, wie klein die meisten auftretenden Beträge sind, mehr aber noch, wie sehr klein die a posteriori erhaltenen Fehler sind im Vergleich mit den a priori geschätzten, z. B. 12,7 : 3,7 bei den Verbindungsnetzen. Es wird gesagt (H. S. 252), dass zu diesem befriedigenden Ergebnis der Zufall wohl viel beigetragen habe. Unter allen Umständen bieten diese Fehlertabellen ein vortreffliches und in mancher Hinsicht erstes aus weiten Gebieten genügend kritisch gesammeltes Urteil über die Genauigkeit moderner Triangulierungen.

Eine zweite wichtige Untersuchung über Basis-Anschlüsse ist mitgeteilt in den „Verhandlungen der X. allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung zu Brüssel 1892“, Seite 518—456. „Verbindung und Vergleichung geodätischer Grundlinien“, zusammengestellt im Zentral-Bureau der Internationalen Erdmessung von Dr. Kühnen, wovon ein Auszug auch in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1894, S. 75—79 gegeben ist.

Es war verfügbar je ein Anschluss zwischen den Ländern: Algerien, Spanien, Frankreich, England, Belgien, Deutschland, Russland; — Deutschland, Schweiz, Italien, Oesterreich; — Deutschland, Dänemark. Zwar giebt es zwischen Deutschland und Russland 4 und zwischen Deutschland und Dänemark 2 Anschlüsse, doch lagen die Verhältnisse für nur je einen von diesen so einfach, dass sie für den Bericht 1892 berücksichtigt werden konnten. Wären nun die Anschlüsse der verschiedenen Länder allein zusammengestellt, so wäre die Arbeit wenig lehrreich gewesen. Dagegen gewinnt sie ein grosses Interesse dadurch, dass eine Vergleichung fast aller europäischen Grundlinien (nebst den algerischen) ausgeführt worden ist. Im Ganzen erstreckt sich die Vergleichung von 7V2⁰ westl. Länge (Lugo) bis 58!/2° Östl. Länge (Orsk), und von 35V20 nör(il. Breite (Gran) bis 55V2° nördl. Breite (Amager).

Die Hauptschwierigkeiten der Arbeit bestanden darin, eine sichere Reduktion der einzelnen Basislängen auf das internationale Meter festzustellen. Für die Hälfte der Grundlinien war diese Schwierigkeit bereits durch die Europäische Längengradmessung von Prof. Helmert gehoben, über welche im Vorstehenden S. 154 berichtet ist.

Als allgemeine Bezugsbasis ist nach dem Vorgänge der Helmert sehen Längengradmessung die Basis von Lommel gewählt. Die Ergebnisse sind in einer Tabelle zusammengestellt, welche ausser 9 deutschen Grundlinien weiter 2 belgische, 2 neue und 3 alte französische, 6 spanische, 3 algerische, 2 englische, 3 schweizerische, 2 italienische, 2 österreichische, 1 dänische und 13 russische — zusammen 48 Grundlinien enthält, die durch rund 1000 Dreiecke mit einander verbunden sind.

Diese grosse und wichtige Tabelle findet sich in den „Verhandlungen der Konferenz in Brüssel 1892“ auf S. 540 — 545 mit 46 Grundlinien und ein Auszug daraus in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1894, S. 78—79. Hier genügt es, daraus folgendes mitzuteilen:

Die Anschlüsse stimmen im allgemeinen über Erwarten günstig, es ergiebt sich für je 2 Grundlinien eine mittlere Anschluss-Differenz von 15,6mm für lim.

Ein Polygon, welches fast ganz Zentral-Europa umfasst, nämlich von der Grundlinie Berlin ausgehend, über Göttingen, Bonn, Oberhergheim, Aarberg, Weinfelden, Bellinzona, Somma, Udine, Grossenhain bis zurück nach Berlin, schliesst mit einem Widerspruch von nur 15,5 m für l*m. —

Solcher Polygone, aber in viel geringerer Ausdehnung, konnten mehrere in Spanien geschlossen werden ; auch dort sind die Resultate, bis auf eines, günstig. — Die Anschlussdifferenzen gegen Lommel addieren sich nur bei der russischen Längengradmessung systematisch und erreichen bei Orsk den bedeutenden Betrag von 570mm für lJ'm. Im übrigen sind die drei grössten Abweichungen gegen Lommel: Lugo (Spanien) mit 81mm, Taschbunar (russ. Breitengradmessung von Struve) mit 54mm und Oran (Algerien) mit 36mm für lkm.

Die Anschlüsse zwischen Grundlinien benachbarter Länder, die mit verschiedenen Apparaten gemessen worden sind, sind in der folgenden Tabelle enthalten. (In Belgien und Dänemark diente der preussische Besselsclie Basisapparat.)

Anschluss

Ent- Anzahl der Anschlussdifferenz fernung verbinden- in 7. Stelle in mm in km den Dreiecke des Log. für !>”»

1)    Algerien — Spanien (Oran — Cartagena).....

2)    Spanien — Frankreich (Vieh — Perpignan).... 8) Frankreich — England (Paris — engl. Basen). . .

4)    Frankreich — Belgien (Paris — Ostende) ....

5)    England — Belgien (engl. Basen — Ostende) • • .

6)    Deutschland — Schweiz (Oberhergheim— Aarberg)

7)    Schweiz — Italien (Bellinzona —- Somma) ....

8)    Preussen — Russland (Strehlen — Czenstochau) .

450

100

300

275

150

100

75

150

CO r—I

I I ++ I I I +

t—*■    to

O Oi jD DO O OO 4^ CJl <1 tO CO 05 bO M cO

Summe

1600    119

± 255 ± 58,8

km

Durchschnitt

Der rohe Durchschnitt giebt also zwischen je zwei Grundlinien mit 13 Ver-bindungsdreiecken auf 200fcm Entfernung eine Anschluss-Differenz = 0.000 0032 im 32

Logarithmus oder

_ 7,4mm jfür p-m

200

13

4- 32

±7,4

4,34

Im Ganzen kommt der Verfasser zu folgenden Schlüssen :

I.    Nach Reduktion auf internationale Meter zeigen die Grundlinien, welche in benachbarten Ländern mit verschiedenen Apparaten gemessen sind, keinen Unterschied gegen die Grundlinien, die mit demselben Apparat gemessen worden sind.

II.    Die Vergleichung der Grundlinien vermittelst Dreiecksketten lässt deshalb weitere Schlüsse über die Massvergleichung, über die Reduktionsfaktoren, oder über die angewandte Messungsmethode nicht mehr zu (d. h. diese Feinheiten verschwinden neben den Tiiangulierungsfehlern).

III.    Um alle Grundlinien wirklich einheitlich auf einander beziehen zu können, ist es erforderlich, entweder sämtliche Grundlinien mit demselben Apparat zu messen, oder eine einzige Grundlinie mit allen Apparaten zu messen, und hiernach die einzelnen Apparate gegen einander zu bestimmen.

§ 25. Änderung der geographischen Breite.

Die seit etwa 10 Jahren konstatierte und nun in gründlicher Erforschung befindliche Änderung der geographischen Breite eines Ortes, allgemeiner die Schwankungen der Erdaxe, bis zu 0,3" Ausweichung von der Mittellage, bildet eine Hauptaufgabe der heutigen internationalen Erdmessung und muss wohl auch in unserem der Geodäsie gewidmeten Bande summarisch behandelt werden, obgleich astronomische Messungen sonst hier ausgeschlossen sind.

Wir hatten schon in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1891 einiges hierüber aus den Verhandlungen der permanenten Kommission der internationalen Erdmessung von Freiburg 1890 berichtet, mit Mitteilungen von Herrn Professor Albrecht am geodätischen Institut, welcher auch für die allgemeine Konferenz der Erdmessung in Berlin 1891 den amtlichen Bericht erstattet (vgl. „Zeitschr. f. Verm.“ 1891, S. 579—580) und den nachstehenden Auszug daraus unterstützt hat.

Nachdem schon früher 1842 — 1843 an der Polhöhe von Pułkowa kleine Änderungen vermutet und rechnerisch erörtert waren (Helmert, Höhere Geodäsie, II. Band, 1884, S. 894) ist die Frage der Breiten-Änderung auf der Erdmessungs-Konferenz in Rom, 1883, bestimmter gestellt worden. Auf dieser Konferenz wurde diese Frage von Fergola angeregt.

Es wurde vorgeschlagen, an mehreren passend gewählten Orten auf der Erdoberfläche unter Anwendung gleicher Instrumente und einheitlicher Beobachtungsmethoden Breitenbestimmungen vorzunehmen, welche in hinreichend von einander abstehenden Zeitepochen zu wiederholen seien.

Die Konferenz in Rom beschäftigte sich eingehend mit dieser Frage, ohne dass indes praktische Folgen hieraus hervorgingen.

Die Resultate einer mehr als einjährigen Beobachtungsreihe des Herrn Küstner auf der Berliner Sternwarte nach der Methode Horrebow-Talcott brachten von Neuem diese Frage in Fluss.

Durch die Ergebnisse dieser letzterwähnten Beobachtungsreihe war die Frage einer Veränderlichkeit der Polhöhe in ein akuteres Stadium getreten, da Küstner zu dem Resultat gelangt war, dass die Beobachtungen derselben Sternpaare im Frühjahr 1885 eine um 0,20” + 0,04” kleinere Polhöhe ergaben als diejenigen im Frühjahr 1884. (Vgl. Küstner, Neue Methode zur Bestimmung der Aberrations-Konstante nebst Untersuchungen über die Veränderlichkeit der Polhöhe, Berlin 1888, S. 47.)

Dadurch wurde die Frage nahe gerückt, ob nicht vielleicht neben den schon mehrfach vermuteten säkularen Änderungen der Polhöhe auch Schwankungen innerhalb kürzerer Fristen nachzuweisen seien. Die Möglichkeit derartiger Veränderungen, als Folge der meteorologischen Vorgänge an der Erdoberfläche ist unbestritten; nur erschien es zweifelhaft, ob dieselben die Grenzen der Messbarkeit erreichen.

Auf der Konferenz der Permanenten Kommission in Salzburg 1888 wurde der Beschluss gefasst, mit eigenen Mitteln und Kräften zur Aufklärung der Frage der Veränderlichkeit der Lage der Erdaxe im Erdkörper beizutragen, und zur Vorbereitung weiterer umfassenderer Untersuchungen dieser Art Vorversuche anzustellen, welche dem Zentralbureau übertragen wurden.

Darauf hin wurden vom Anfang 1889 ab fortlaufende Breitenbestimmungen in Berlin, Potsdam und Prag unter Anwendung der Methode von Horrebow-Talcott ausgeführt.

Der Grundgedanke dieser Methode ist in Fig. 1. S. 159 angedeutet, er beruht auf der Meridian-Zenit-Distanzmessung zweier Sterne in nahezu gleichen Zenitabständen. (Vgl. Albrecht, Formeln und Hilfstafeln für geographische Ortsbestimmungen, Leipzig 1894, 3. Aufl., S. 75 u. ff.)

Wenn man nun solche Sterne hat, deren Zenitdistanzen Zi und z₂ sehr nahe gleich sind, nämlich nur um wenige Minuten verschieden, während z₁ und z₂ selbst bis zu 25°—30° betragen dürfen, so braucht man zur Messung der Differenz Zl - z₂, auf welche es ankommt, die Kreisteilung nicht, sondern nur Mikrometer-Ablesungen, deren Fehler hinreichend klein gemacht werden können.

Ä’

Die Vorteile des Verfahrens sind: Minimum an Rechnungsarbeit, höchster Genauigkeitsgrad der Resultate, nahezu völlige Unabhängigkeit von systematischen Fehlern.

Um aber von den Fehlern in den angenommenen Deklinationen der Sterne unabhängig zu werden, wurde ein Kettenverfahren angewendet, dergestalt, dass auf jeder der Stationen 9 Sterngruppen von je 8 bis 9 Sternpaaren ausgewählt wurden, so dass an jedem klaren Abende je zwei dieser Sterngruppen nach einem festen Be-obachtungsprogramni beobachtet werden konnten.

Die Veränderung der Polhöhe kann dadurch unabhängig von den Deklinations Unsicherheiten der Sterne erhalten werden, dass zunächst innerhalb jeder Sterngruppe die Reduktionen jedes einzelnen Sternpaares auf das mittlere Deklinations-System der betreffenden Gruppe abgeleitet, und die übergreifenden Gebiete je zweier Gruppen dazu benützt werden, die Deklinations-Systeme der Gruppen unter einander (unabhängig von der Veränderlichkeit der Polhöhe) festzustellen.

Die Ergebnisse der Beobachtungen, auf eine und dieselbe Sterngruppe reduziert, und daher von der Unsicherheit der angenommenen Deklinationen der Sterne befreit, sind enthalten in den Verhandlungen der vom 15.—21. Sept. 1890 zu Freiburg i. B. abgehaltenen Konferenz der permanenten Kommission der internationalen Erdmessung. Berlin 1891, S. 14—18.

Diese Ergebnisse wurden graphisch dargestellt, wie aus den hier folgenden Kurven für Berlin, Potsdam, Prag zu ersehen ist.

Fig. 2. Berlin.

1890.

1889.

/. | F. | M. | A. | M. | J. | J. | A. | S. | 0. | N. \ D. \ J. \ F. \ M. \ A.

Ms

Sind Sj und S₂ zwei Sterne, welche auf verschiedenen Seiten von dem Zenit Z eines Punktes J kulminieren und die Deklinationen und ö₂ haben, so sind die beiden Zenitdistanzen und z₂, ausgedrückt in der Breite cp des Beobachtungsortes und den Deklinationen und 0'₂ der beiden Sterne:

z₂ = — cp -+- ö₂ 1

Fig. 1.

VZS₂

ZL

zx = (f> — dl

also

cp

(1)

Hl

8,

|H'

52° 30' 17,6"

=3^-

J2

39

&

52° 30' 17,0"

Fig. 3. Potsdam.

52° 22' 56,5”

ä-fäfrr?

-Hl

s:

äK

l²

52° 22' 55,9”

Fig. 4. Prag.

50° 5'16,1”

3°

_ Vt SJ. ³

!*

'AT-ja-iuy

7    3

m

©4

50° 5' 15,5”

/. | F. I M. | A. | M. | J. | /. | A. | S. | O. j JV. | D. | /. | F. \M. \ A.

1890.

1889.

In diesen Darstellungen sind die Zeiten als Abscissen und die Breiten als Ordinaten behandelt.

In den Abscissen ist 1 Teil = 20 Tage oder = ²/₃ Monat, in den Ordinaten ist 1 Teil = 0,1”. Die beigeschriebenen Zahlen bedeuten die Sternpaare der Beobacht-

^    33

ungen und die Zahl ader Beobachtungstage z. B. bei Potsdam bedeutet 2 Beobacht-

u

ungstage zwischen dem 1. und 20. Januar 1889, und Anwendung von 33 Sternpaaren.

Die Kurven zeigen einen so nahe parallelen Verlauf auf allen drei Stationen, dass an der Realität der Polhöhenänderung nicht zu zweifeln ist.

Dank der regen Beteiligung einer grösseren Anzahl von Sternwarten und sonstigen Beobachtungsstationen sind die Beobachtungen fortgesetzt worden und haben es ausser Zweifel gestellt, dass die Polhöhenschwankungen durch wirkliche Lagenänderungen der Umdrehungsaxe veranlasst sind.

Die eingehendste Behandlung der vom Beginn des Jahres 1889 ab erhaltenen Resultate ist in einem Berichte enthalten, den Professor Albrecht der XI. allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung im Herbst 1895 in Berlin vorgelegt hat und der auch auszugsweise in den Astronomischen Nachrichten 139. Band, anfangs 1896 erschienen ist.

Die azimutale Polveränderung kann an einem und demselben Orte durch Azimutbeobachtungen gefunden werden, indessen genügen auch Polhöhenmessungen allein dazu, welche an Orten verschiedener Länge angestellt sind und durch Rechnung zusammengefasst werden.

-+0*30

-0:30T-

Wenn für einen Beobachter in Greenwich, oder im Meridian von Greenwich, der Momentan-Pol am Himmel um den Betrag x höher steht als der mittere Pol, so wird auch die beobachtete Polhöhe qp um ebensoviel grösser sein als die mittlere Polhöhe qp₀ oder es wird sein qp — qp₀ = x. Wenn zugleich der Pol in Greenwich um den Betrag y rechts vom Meridian des mittleren Pols steht, so hat das auf die Polhöhenmessung in Greenwich, oder im Meridian von Greenwich keinen Einfluss, dagegen auf einem Punkte in der Länge 90° östlich von Greenwich wird dieses y sich als Polhöhenvergrösserung zeigen, während umgekehrt hier x unbemerkt bleibt.

Fig. 5. Bewegung des Nordpols der Erde von 1890—1895. Punkte in Abständen von ‘/ł0 Jahr.

-1-0.20

+ 0+0

o.'oo

-0.10

-0.20

— 0.30

-0*30

-0.20

Pi

'Oßi.O

-0.20

-0+0

)3

-0/0

2\

)3

(J

(2

o.oo

.9.5.,

'tttere

o.bo

)■/

AP* pj

<?<

^2.0

+ O.W

-Hl/O

XX

94.0

+020

+-(120

+0.30

+0.30

+0.20

+ 0+0

0.00

Jordan, Handb. d; Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd

-0.10

-0*20

- 030

0.30

11

Allgemein in der Länge A östlich von Greenwich werden die erwähnten Komponenten x und y der Polabweichung eine Polhöhenänderung erzeugen:

(2)

qp — <f>Q = x cos À + y sin A

Hat man eine Gruppe gleichzeitiger Bestimmungen von <jp — qp₀ auf möglichst verschiedenen Längen A, so kann man daraus die Konstanten x und y durch Ausgleichung bestimmen, und zwar nach denselben Formeln, welche z. B. in diesem Bande § 6. für periodische Schraubenfehler S. 45—48 angewendet wurden.

Das Ergebnis der hiernach geführten Ausgleichung ist inFig. 5. S. 161 gezeichnet. Diese Figur ist nicht dem Anblick am Himmel entsprechend, sondern sie ist so gedacht, als ob der Beobachter ausserhalb der Erde steht und auf die Erdoberfläche sieht. Der Coordinaten-Nullpunkt stellt den mittleren Pol mit der Polhöhe qp₀ vor und die verschiedenen Kurvenpunkte sind die Momentan-Pole zu verschiedenen Zeiten mit den Polhöhen qp. Die -+- x Axe von Fig. 5. ist von dem mittleren Pol gegen Greenwich hin gerichtet und die -\-y Axe entspricht der Länge A = 90° westlich von Greenwich.

Liegt der Momentanpol P im ersten Quadranten des Coordinatensystems (zwischen -)-a; und -\-y), so befindet sich P für alle Orte, deren Länge A zwischen 0° und 90° beträgt, näher an diesem Orte als P₀, d. h. es ist der Polabstand 90°—qp kleiner als 90°— qp₀ oder es ist qp grösser als qp₀, oder es gilt auch in diesem Sinne die Gleichung (2).

§ 26. Bedeutung der geographischen Coordinaten in der Geodäsie.

Unter geographischen^ Coordinaten eines Punktes auf der krummen Erdoberfläche versteht man die geographische Breite und die geographische Länge des Punktes in der bekannten, schon in der elementaren Geographie geläufigen Bedeutung, welche auf dem Umdrehungs-Ellipsoid Gegenstand weiterer Betrachtung im Nachfolgenden sein werden.

Nach der Mitteilung von § 25. über die Veränderlichkeit desjenigen astronomisch-geodätischen Elementes, welches man seit Jahrtausenden als das festeste von allen gehalten hatte, haben wir noch einige Worte zu sagen über die Bedeutung, welche die geographischen Breiten und die dazu gehörigen Längen und Azimute in der Geo

däsie spielen:

Auch wenn von der jetzt konstatierten Veränderlichkeit dieser Elemente abgesehen wird, ist deren Messungsgenauigkeit, im günstigsten Fall, 0,1" bei weitem noch nicht entsprechend der geodätischen Punktbestimmung auf der Erde, welche linear auf weite Entfernungen etwa + 0,1 Meter und auf kurze Entfernungen + 0,01 Meter

= 81 Meter giebt, also 0,1"

beträgt. Da nun eine Breitensekunde rund =

10 000 000

324 000

immer noch 3 Metern entspricht, kann die astronomische Genauigkeit der geodätischen Punktfestlegung noch bei weitem nicht folgen.

Dazu kommen aber noch die Lotabweichungen (vgl. Einleitung S. 11—12), welche auf den Verlauf einer Dreieckskette leicht mehrere Sekunden bringen kann, so dass also von der Übereinstimmung der astronomischen Breiten- und Längenbestimmung mit der geodätischen Punktbestimmung in Hinsicht auf Messungsschärfe keine Bede sein kann.

Allerdings astronomische Längen und Azimute zusammen spielen hier noch eine andere Rolle, wovon aber hier auch noch nicht gehandelt werden kann.

Vielmehr ist es hier, vor Beginn der mathematisch-geodätischen Rechnungen auf dem Ellipsoid, nur nötig zu erklären, dass die Breiten und Längen, welche bis auf Tausendel und Zehntausendel-Sekunden (0,001" bis 0,0001" und teilweise noch weiter) angegeben werden, in der Geodäsie zunächst gar keinen anderen Zweck haben als die geometrische Punktbestimmung auf einer krummen Fläche, welche, als IJm-drehungs-Ellipsoid angenommen, selbst nur hypothetischer Natur ist.

Dieser Entwicklungsgang ist unerlässlich, und nach Erledigung der geodätischen Theorieen für Ellipsoid und Kugel wird auch das Verständnis für die von jenen Voraussetzungen freie Geodäsie sich eröffnen.

Kapitel II.

Mathematische Hilfsmittel der geodätischen Entwicklungen.

Wir schalten dieses kleine Kapitel hier ein, um die gebräuchlichsten Formeln und Zahlenwerte für geodätische Entwicklungen zur Hand zu haben und nach Bedarf citieren zu können.

§ 27. Sphärische Trigonometrie.

I. Rechtwinkliges sphärisches Dreieck. Wir nehmen nach Andeutung von Fig. 1. die Bezeich-

nungen an:

Hypotenuse = c Gegenwinkel =90° Kathete Kathete

Hiemit hat man folgende Gleichungen:

Fig. l.

Rechtwinkliges sphärisches Dreieck.

= a Gegenwinkel = a = b Gegenwinkel = ß

sin a =

cos g — cos a cos b cos c = cot g a cotg ß sina sin c

und sin ß —

sin b sin c

tangb

tang a tang c

tang a , .    tana b

tang a =    und tang ß= . *

sin b    sma

cos a = sin ß cos a und cos ß — sin a cos b

In dieser Gestalt prägen sich diese Gleichungen leicht dem Gedächtnis ein, wenn man die Analogieen mit den Formeln der ebenen Trigonometrie im Auge behält.

cos a =

tang c

und cosß =

Z. B. würde man für ein ebenes rechtwinkliges Dreieck, entsprechend Fig. 1.,

schreiben :

sin a =

cos a — —

tang a =

und nun braucht man nur noch auswendig zu wissen, dass sinus im Zähler sinus und im Nenner sinus, sowie fangens entsprechend fangens und sinus hat, endlich dass cos im Zähler und im Nenner heidemal tang hat, um diese Formeln immer aus dem Gedächtnis anschreiben zu können.

Ferner merke man sich, dass die erste Formel cos c dem pythagoräischen Satze der Ebene, d. h. c² = o² + i>² entspricht, und dass die 2te und 6te Formel der Beziehung in der Ebene a ß = 90° entsprechen.

Ausserdem hat man die Neper sehe Regel: Wenn man die Stücke «, c, ß, 90° — a, 90° — b, «... in cyklischer Aufeinanderfolge betrachtet, so ist der Cosinus irgend eines Stückes gleich dem Sinus-Produkt der getrennten und gleich dem Co-tangenten-Produkt der anliegenden Stücke.

Fig. 2.

Sphärisches Dreieck.

II. Allgemeines sphärisches Dreieck.

Nach Fig. 2. bezeichnen wir:

Seite a mit dem Gegenwinkel a

a\b

Y    Man hat zuerst folgende 4 Gleichungs-Gruppen, welche je

__——vier Stücke enthalten, und zur Bestimmung eines Dreiecks aus drei gegebenen Stücken genügen :

cos a = cos b cos c -t- sin b sin c cos a cos b = cos c cos a -+- sin c sin a cos ß cos c = cos a cos b + sin a sin b cos y sin a _ sin b _ sin c sin « sin ß sin y cotg a sin b — cos b    cos y    -+- sin y    cotg    «

cotg b sin a = cos a cos y -+- sin y cotg ß cotg c sin b = cos b cos « -h sin a cotg y

cos « = — cos ß cos y -+- sin ß sin y cos a cos ß = — cos y cos a -+- sin y sin a cos b cos y = — cos a cos ß -+- sin « sin ß cos c

Nicht unmittelbar zur Auflösung eines Dreiecks dienend, aber anderweitig oft brauchbar, ist eine Beziehung zwischen fünf Stücken des Dreiecks, welche in sechsfacher Anwendung folgende Gruppe giebt:

Cosinus-Satz

Sinus-Satz

Contangenten-Satz

Polar-Cosinus-Satz

sin a cos p — cos b sine — sin l> cos c cos a sin b cos y = cos c sin a — sin c cos a cos ß sin c cos a = cos a sin b — sina cos b cos y

sin a cos y = cos c sin b — sin c cos b cos a sin b cos a — cos a sin c — sin a cos c cos ß sin c cos ß = cos b sin a — sin b cos a cos y

Weiter haben wir die wichtigen Gauss sehen Gleichungen:

ß— y

cos =

. a . ß — y . b — c «

sm -g- sm ■—— sin —^— cos

b -+- c . a

— smT

a . ß-\- y b — c a cos -g - sm -- ■+- - = cos —^— cos ~7T

Diese Gleichungen lassen verschiedene Anwendungen zu ; wenn z. B. b, c und a

ß 4- v ß — y

gegeben und ß, y, a zu berechnen sind, so bestimmt man zuerst    und ,

womit man auch ß und y hat, und dann - auf mehr als einem Wege.

sin

sin

cos cos

ß+7

= cos

coi a

Wenn wir hiebei zur vorübergehenden Abkürzung die Zähler und Nenner der entstehenden Brüche mit Z, N, sowie Z', N' bezeichnen, so haben wir:

b — c

, B -t- y tang    =

cos

cos —

tang    =

o c . a

cos —g— sm

.b — c a sm —g— cos

Z'

sin

cos^- =

ß-hy

cos

ß-^-y

b -+- c . a N'

2“smT

. a    Z'

sm ~ =

u

sin

ß-y

N'

cos

ß—y

Wenn hier ~ < 45° ist, so ist die Bestimmung aus sin vorzuziehen, und ]> 45°, so ist cos günstiger.

Bei der Doppelbestimmung, die man auch für cos selbst oder für sin hat,

gelten zu günstigster Auswahl dieselben Regeln, wie bei der Berechnung der Hypotenuse eines ebenen Dreiecks, wie bereits in unserem Band II. 4. Aufl. 1893, S. 230 angegeben ist.

wenn

Der sphärische Exzess eines sphärischen Dreiecks ist der Überschuss der Winkelsumme über 180°, d. h. :

e = a 4- ß 4- y— 180°

Wenn r der Kugelhalbmesser und F die krumme Oberfläche des sphärischen Dreiecks ist, so findet man daraus den Exzess s nach der Formel:

r² **

180 . 60 . 60

oder für Sekunden o = n    *

Aus den Seiten a, b, c erhält man den sphärischen Exzess durch die Formel:

dabei ist q =

= 206 265". (Vgl. S. 170.)

S    /    S    S _ CI    8 _ })    S_C

tang y = J/ tang ^ tang ₂ tang    tang —^

wobei a 4- b 4- c = $.

§ 28. Reihen-Entwicklungen.

In der höheren Geodäsie spielen konvergierende Eeihen eine wichtige Rolle. Als Grundlage der konvergierenden Potenz-Reihen betrachten wir zuerst die Taylorsehe Reihe mit der Yeränderlichen x und mit der Änderung h derselben :

7*2

»3

f(x + h) = fix) 4- h r (*) + ₂-lf"(x) + 3, f" {x) + ...

Dabei bedeutet f (x) die erste Ableitung von f (x) nach x, f" (x) die zweite Ableitung u. s. w., ferner ist:

! = 1

! = 1. =2 ! = 1. .

!=1. . .

to CO DO

CO CO

I!

24

10 co t> 00

=    120    9! =    362880

=    720    10! =    3628800

=    5040    11!=    39916800

= 40320    12! = 479001600

In anderer Form sind diese Fakultäten:

to

sind:

w ta h

rH <M

= 2.3 = 23.8

00 o œ tu

l> O U5 W «

’ (M <M OJ

co CO CO CO

CC ^    ^    N

(M (M (M (M

ZO

O h <M

r-H rH H

CM <M <M 4/5 W W lO

w co co co

Ł 00 00 h

<M <M <M

3    4    5    6    7    8    9    10    11    12

8    16    32    64 128 256 512 1024 2048 4096.

Die sehr oft gebrauchten trigonometrischen Anwendungen der Taylor sehen Reihe

sin (x 4- h) = sin x +h cos x —

7*2

sin x —

7*3

sin (x — h) — sin x — h cos x —

7*2

cos {x 4- h) = cos x — h sin x —

7*2

cos (x — 7*) = cos x 4- h sin x —

7*2

hi

24sin * + ■•■ . h* .

+ 24 smx — ... ,    . hi

COS X    Sin X 4- „J COS X —...

hi

cos x--g- sin æ 4- gT sin x.

~6

7*3

cos x 4-

sin x + cos x

7*3

Manchmal ist es bequem, alles in tang x — t auszudrücken, wie folgende Bei

spiele zeigen:

iangr (x 4- Ä) = iowp x + h + P coiÿ (x 4- /i) = cotg x — 7i ^    + P

sin x P cos² x 4- 3 sin² x

cos⁸ x 3 cos⁴ x cos x P sin² x 4- 3 cos² x

sin³ x    3

cos⁴ x

cos (x -i-h) = cos x fl

»■*

£ I®

SSI?

«os (x + h) - Js^i¹ + h ¹ +¥ (1 + 2 t2) + \t (5 + 6 ^ ⁺§4 (5 + 28    + 24 ^ • • •)

p

tang (x 4- ti) — tang x 4- h (1 4- i²) 4- P t (1 4-i²) H—g- (1 —t— 4 i² —t- 31⁴)

Folgendes sind die weitergehenden Ableitungen von tangx’.

tang x = t

= 1 + i²

d*t

= 2 (1 H- *2) (1 4- 3 i²)

d³ t

d x⁴

= 8 i (1 + i²) (2 + 3 «2)

d⁸i

d x⁵

= 8 (1 4- i²) (2 + 15 «* + 15 «4)

d⁶ t

d xß

= 16 t (1 4- «2) (17 4- 60 i² + 45 ti)

d⁷i

d x⁷

= 16 (1 4- *2) (17 + 231 <2 + 525 i⁴ 4- 315 16)

d⁸i

d x⁸

= 128 i (1 + *2) (62 + 378 i² + 630 i⁴ + 315 «6)

d9 i

dx9

= 128 (1 + i²) (62 4- 1320 t* + 5040 *4 + 6615 «6 + 2835 i⁸)

di° t

= 256 t (1 + i²) (1382 + 12720 i² + 34965 «4 + 87800 iß + 14175 i⁸)

= 256 (1 +«2) (1382 + 42306 i² 4- 238425 i⁴ + 509355 iß + 467775 i⁸ + 155925 i™)

dH* dxii

Ebenso auch die Ableitungen von cotgx:

cotg x = c

= -*+*>

d²c

d x²

= + 2 C (1 + C2)

d³ c

d x³

= -2(1 + c2) (1+8 c2)

= + 8 c (1 + c²) (2 + 3 c²) u. s. w.

die Coëfflcienten sind hier dieselben wie bei den Ableitungen von t, jedoch findet bei den ungeraden Ableitungen Zeichenänderung statt.

Mit dem Vorstehenden hat man zugleich die Ableitungen von log cos x und log sin x, denn es ist: dl cos x

dx

= — tang x

d² l cos x

= - (1 + *²)

d l sin x

—^— = cotg x

d²1 sin x de ^^ = ^ ⁼ -(I+c2)

u. s. w.

Auf die zuerst angegebene Taylorsche Reihe gründet' sich auch die Ma-claurinsche Reihe:

as²

x³

fix) = m+xf (0)+^ r (0)+~ r w

wobei f{0), f (0), f" (0) u. s. w. diejenigen Werte sind, welche entstehen, wenn in f{x), f ix), f" (as) u. s. w. die Veränderliche x gleich Null gesetzt wird.

Von besonderer Wichtigkeit ist die Binomial-Reihe :

X³ + . . .

(l+xj> = ! + (“)* + (£) *2 + (”)

Die Coëfflcienten dieser Reihe heissen Binomial-Coëfflcienten, und haben folgende Bedeutungen:

1 -T

Z. B.

S CM

g CO

_ n n — 1

~ T 2

n n — ln — 2

⁼ T~2

u. s. w.

(1 -f- as)⁴ = 1 -(- 4 x + 6 x³ + 4 x³ + x4 (1 + as)⁵ = 1 -|- 5 as -j- 10 as² + 10 x³ + 5 as⁴ + as5 (1 + x)6 = 1 + 6 x + 15 as² + 20 x³ -f-15 x⁴ -f- 6 x⁵ + x3 35    35    21    7    1

7,e Potenz giebt 1

8„ ,

9»    «

*>    00 Ob

1 10

t-H CO CO LO (M (M CO ^

die Wiederkehr ist ausgedrückt durch

(a + b -f- c)³ = a³ + b³ + c³ + 3 a² b + 3 a² c + 3 b² c + 6 a b c + 3 a b² + 3 a c² + 3 b c².

Die Binomial-Reihe gilt allgemein für ganze oder gebrochene positive oder negative Exponenten n und konvergiert immer, wenn x < 1 ist. Einige häufig gebrauchte Anwendungen dieser Reihe sind folgende:

—^    = 1 -j- X -I- X² -+- X³ -f- X⁴ . . .

-    1 — X + X² — X³ X⁴ — ...

1 4- X

ji—¹-T? = 1 — 2x + 3x² — 4x³ + 5x⁴ —... (1    x)²

(1 — X)²

= l + 2x-(-3x²-|-4x³ + 5x⁴-i-...

SSI - SSl-% %

128

X⁴ +

256

X⁵

21

1024

X® -f

33

2048

Ï28

x⁴ —...

~ï

3 ₂ 5    35

"8 æ “I6^ ⁺ Ï28

3 „ 5

-TT X² +

35

x⁴ —    x⁵

231

256

1024

X®

429

2048

X⁷ H- . ..

w* ⁺ m

y i — x

y i — x² = i —2~ x² —g-

-    1 „    3    5    35    63 n

= *+ 2 *2 + ST 16^+128 a:8 + 256xl0+'-'

X⁴ —

yi-x²

Logarithmische Reihe.

l (1 4- x) = -+• x —

x² x³ x⁴ x⁵

T ⁺ ¥~T ⁺ T~"-

X² X³ X⁴ X⁵

I⁺ï⁺T⁺ï

Hiebei ist l das Zeichen für natürliche Logarithmen mit der Basis e = 2,1828 ... oder es ist l z der natürliche Logarithmus von z. Dagegen bedeutet log z den dekadischen oder Briggschen Logarithmus mit der Basis 10, und es besteht die Beziehung:

log z = fi (l z)

Der Faktor g heisst der Modulus des Briggschen Logarithmen-Systems.

Auf 20 Stellen genau hat man hiezu:

— = 2,30258 50929 94045 68402

g = 0,43429 44819 03251 82765

= 0.36221 56886 99463 21088

log /x = 9.63778 43113 00536 78912 log -1

Wenn man grössere Multiplikationen oder Divisionen mitdemFaktor g = 0,43429... auszuführen hat, so kann man eine Tafel der Vielfachen von g oder 1 : g benützen, wie sie in manchen älteren Logarithmen-Tafeln sich finden z. B. Thesaurus S. 641 und Steinhäuser 20stell. Logar., Wien 1880 S. XII bis 100 g und S. XI umgekehrt.

10-

Exponential-Reihe.

- x æ² . x³ x4 e*~ ¹⁺î! ⁺2!+B! ⁺4!⁺-'-

(x l a)⁴

xla , {x l a)²

03    1

— 1 H---1⁻

2!

(X l a)8

3!

03 \³

-t-

3 !U

e = 2,71828 18284 59045 log e = p = 0,43429 ... Z10 = — = 2,3026 ... (S. 169).

,u

2!

Goniometrische Reihen.

In den Potenzreihen für sin x, cos x, u. s. w. ist x in analytischem Masse zu nehmen, zu dessen Erklärung an die Berechnung eines Kreisbogens zu einem Centri-winkel erinnert wird. In einem Kreise mit dem Halbmesser r sei ein Centriwinkel a in Graden (also z. B. a — 30°, ce — 40° u. s. w.) gegeben und es soll der zugehörige Bogen b berechnet werden, wozu die Proportion dient:

b : 2 r 7i = a : 360°

also

2rna° r a°

=    . - wenn =

Q

180°

360°

Setzt man

a°

= a, so wird b = r a

Dieses führt allgemein zu der Erklärung: Wenn o3°, 03', x" ein Winkelwert in geometrischem Mass, d. h. in Graden, Minuten oder Sekunden ist, und x der entsprechende Wert in analytischem Masse, so bestehen die Gleichungen:

£C°

180

—r wobei o° — —

(J°    71

180

⁻ 3,14159...

X'

, 180.60

. « =—jr

4800

~ 3,14159...

x"

180.60.60 288000

TT

3,14159 ...

oder für neue Teilung:

xa

200

— wobei q¹¹ =-

Qg    71

Die genaueren Zahlenwerte hiezu sind: 3,14159 26535 89793

71 =

~ =    0,31830 98861 83791

q° =    57,29577 95130 82321

0,01745 32925 19943

200

3,14159...

log n = 0.49714 98726 94134 log ~

* 71

log q° = 1.75812 26324 09172 = 8.24187 73675 90828

= 9.50285 01273 05866

log

log — Q

q' = 3437,74677 07849 39253 0,00029 08882 08666

log q' = 3.53627 38827 92816 = 6.46372 61172 07184

g" = 206264,80624 70963 55156 0,00000 48481 36811

—— =

Q"

Q" =

g⁹

63,66197 72367 58134 0,01570 79632 67949

log g" = 5.31442 51331 76459 log ~ = 4.68557 48668 23541 log go = 1.80388 01229 69847 log-

Q’J

= 8.19611 98870 30153

Zu weit getriebenen Reihenentwicklungen braucht man auch 7r²,    ... ^für die

Potenzen von

n —

7T² =

Diese Werte sind unmittelbar durch Multiplikationen von n erhalten.

logn = 0.49714 98726 94133 85435 log tt2 = 0.99429 97453 88267 70870 log tt3 = 1.49144 96180 82401 56305 log = 1.98859 94907 76535 41741 log tt5 = 2.48574 93634 70669 log »6 = 2.98289 92361 64803 log ni = 3.48004 91089 logn* = 3.97719 89816 log ?r9 = 4.47434 88542 logn10= 4.97149 87269

q in Sekunden, weshalb wir die Logarithmen der dazu gebrauchten Faktor g im Folgenden zusam-

Am häufigsten braucht man Potenzen dieses q, nebst dem oft menstellen.

logg"

log

log ——

5.314 4251-332 0.628 8502-664 5.943 2753-995 1.257 7005-327 6.572 1256-659

4.685 5748-668 9.371 1497-336 4.056 7246-005 8.742 2994-673 3.427 8743-341

9.637 7843-113 4.323 3591-781 9.008 9340-449 3.694 5089-118 8.380 0837-786 3.065 6586-454

O CM

rH r-H

1.886 5507-991 7.200 9759-322 2.515 4010-654 7.829 8261-986 3.144 2513-318 3.7731016

8.113 4492-009 2.799 0240-678 7.484 5989-346 2.170 1738-014 6.855 7486-682 6.226 8984

7.751 2335-122 2.436 8083-791 7.122 3832-459 1.807 9581-127 6.493 5329-795 5.864 6827

CO OO <1 Oi W ^ 05 K) H» o

O Ol

H H

In der Charakteristik der Logarithmen sind hier nur die Werte zwischen 0 und 9 geschrieben z. B. für log gfc — 10.628... ist nur geschrieben 0.628... u. s. w. und ebenso sind auch die —10 u. s. w. am Schlüsse einfach weggelassen; der Punkt oben z. B. 1-332 steht nach der ltm Stelle. Diese Bemerkungen gelten auch für alle übrigen Logarithmenrechnungen dieses Buches.

Obige Tabelle gilt für alte Teilung und p in Sekunden. Für neue Teilung stehen die entsprechenden Potenzlogarithmen in des Verfassers logar.-trig. Tafeln für neue Teilung, Stuttgart 1894, S. 417, und die wichtigsten Konstanten mit fi und p für neue Teilung sind:

jU    fl 71

200

= 0,00682 18817 69209 06737

log = 7.83890 41883 30689

- 178596,44708 17149

log = 5.25187 28149 77198

-₅- = 535789,34124 51446

2 p²

log = 5.72899 40696 96861

= 1,46889 69001

180 p⁴

log = 0.16699 13143

= 22,03345 35017

12 p⁴

1og= 1.34308 25734

Die folgenden Reihen gelten für x in analytischem Masse:

COS X = 1 —

, 1 *2 cotang x = — 11---

sec x

-1+_2

x² 5x⁴ , 61x6    251x8

24 ~ 720

40320

x³ x⁵

X⁷

X’9

6    120    5040    362880

X²

X⁴

X³

xi°

2 ⁺ '24'    720 ⁺ 40320    3628800

X X³ X⁵

= _2"⁺ 24+24Ö+---

¹ A 2:2

cosec X = - 1 4- -pr-

X \    6

7 x⁴

+ 360 ■*

31x6

15120

i/³

x = arc sin y — y -+-

y³

x - arc tang y = y — ~-

3 #5 5 #⁷ 35 #9 63 #n 231 #13 40~ ⁺ 112 ⁺ 1152 ⁺ 2816 ⁺ 13312

? 1t +' ‘ ' (y =

yb

l sin x — Ix —

X²

X⁴

X6

X³

xio

l cos x —

Ztan#x = tx + -g-H- ₉₀

691xi²

6    Ï80    2835' ~ 378ÖÖ ~~ 467775 ~ 3831077250

x²    X⁴    x6 17x8    31x10    691 x12

2    12    45    ~ 252ĆT    14175    935550

x² 7x⁴    62x6    127x8    146x10    2828954x12

2835 ⁺ 18900 ⁺ 66825 ⁺ 3831077250

Die Coëfficienten dieser drei letzten Reihen erfüllen die Bedingungen:

6 + 3    2    ’    180

90    12

, allgemein S„ T„ = G„

und

180 ⁺ T2- = 2‘

, allgemein S„ + C„ = 2" Sn

(weil sin 2 x = 2 sin x cos x).

Diese Reihen gelten, wie schon oben bemerkt, für x in analytischem Masse; wird x in Graden, Minuten oder Sekunden gezählt, so muss mit dem betreffenden q dividiert werden, und für gewöhnliche Logarithmen ist mit dem Modulus ß im Ganzen zu multiplizieren, wodurch man für Gradmass und gewöhnliche Logarithmen hat:

180

log sin x = log

I4⁵

fi æ⁴

fi, œ6

(U £C8

180 gi 2835 q6 37800 g⁸ 467775 çio |2p2    ^ 12^4 ^ 45ç⁶

J JL Æ2 ₊ üI^

(3^2 x ^ 90 çi

Hiebei ist für Sekunden log = 4.685 5748-668 und die übrigen Coëfflcienten-Logarithmen sind die folgenden:

log cos x = log tang x = log -+-

fi 17 «8 fi 81 ad⁰

14175 ^io

/x 62 x⁸ 127 a;8 2835 £>⁶ + 18900 g⁸

q 146 ad⁰ ( 66825    !

æ²

as⁴

x⁸

x⁸

X¹⁰

»i«

8.230 7827-945    6.124 8112-7    4.298 6804    2.544 891    0.82350    9.1208

8.707 9040-492    7.300 9025-3    6.098 0210    4.951432    3.83337    2.7331

log sin log cos

log tang 8.531 8127-902 7.270 9393-1 6.091 0721 4.949 725 3.83295 2.7330

Die entsprechenden Werte für neue Teilung sind mitgeteilt in des Verfassers logar.-trig. Tafeln für neue Teilung, 1894, S. 417.

Mit diesen Reihen kann man die log sin u. s. w. bis auf 15 Stellen berechnen etwa für Winkel von 0° bis zu 10°, und wenn man zu einem Wernen Winkel x einen scharfen Wert log sin x oder log tang x braucht, so erhält man ihn mit wenigen Reihengliedern besser unmittelbar als durch Interpolation aus der lOstelligen Tafel.

Für x etwa zwischen 10° und 35° hat man die Euler sehen Eeihen, welche in des Verfassers 6stell. Tafeln für neue Teilung auf S. VII angegeben sind mit neu ausgerechneten Coëfficienten für

neue Teilung.

Für x in der Nähe von 45°, etwa zwischen 35° und 55° haben wir neue Formeln aufgestellt in der genannten ßstelligen Tafel 8. VIII, und es mag hier kurz deren Entwicklung angedeutet ■werden. Nach dem Taylor sehen Satze ist zunächst allgemein

l cos (X -j- x) = l cos X — y- tang X —

x² d tang X x³ d'¹ tang X

~2 d X T d X*

Die Ableitungen von tang X sind bereits auf S. 167 angegeben, und deren Werte für X — 45° oder = 50?, lassen sich daraus mit t — 1 leicht ermitteln, woraus folgt :

„    ,    ,    x    2 a:²    4 x³    16 x* .

l cos (50?    x)    = l cos 50(7--j---g---g-----1-

und auf gleichem Wege wird gefunden :

16 x*

x    2 x^ . 4    „

l sin (50(7 + x)=l sin 50? -f —--— + -g---gj- + • • •

Wenn x in Einheiten von 1» gezählt wird, so muss man x mit Qg und x³ mit Qg³ dividieren u. s. w., wobei log Qa= 1.80 388..'. ist, und zum Übergang auf briggische Logarithmen ist der Faktor ,« im Ganzen zuzusetzen (log g = 9.63778...). Wenn dieses geschehen ist, soll erhalten werden:

log cos (50s + z) = log cos 50? — «, x — «₃ x³ — cx₃ x³ + ... log sin (50g + x) = log sin 50g -f- ctt x — ß₂ x³ «₃ x³ —...

Nun empfiehlt es sich, Näherungswerte abzusondern, nämlich :

2 \* ft xi

100

¹⁰⁹ [¹⁺ w)-+ ib<

ft * —

/ 2 y ft & f ² Y p xS V loo y 2 V loo /

2 ft

tors

sehr nahe =

Dieses ist so bemessen, dass cc, sehr

also bei der Zusammenfassung die Coëfficienten von x und von x¹ klein werden. Die weitere Ausführung, auf welche hier nicht eingegangen werden kann, giebt die Gebrauchsformel auf S. VIII unserer logar-trig. Tafeln für neue Teilung. In der „Zeitschr. f. Verm.“ 1893, S. 600—602 wird mitgeteilt, dass jene „neuen Formeln“ für log sin (50» — x) und log cos (50g — x), welche vom Verfasser 1893 zuerst veröffentlicht wurden, auch von Herrn Prof. Schols in Delft aufgestellt (aber nicht veröffentlicht) wurden und es ist Herr Schols in der Ausrechnung erheblich weiter, nämlich bis zur 20<e» Potenz mit 27 Stellen gegangen, wie die von ihm in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1893, S. 601 mitgeteilten Zahlenwerte zeigen. Die im Vorstehenden mitgeteilten Formeln und Zahlenwerte gehen zum Teil über die Bedürfnisse des praktischen Geodäten hinaus, wir sind dazu geführt worden durch die Berechnungen zu den „logarithmisch-trigonometrischen Tafeln für neue Teilung mit 6 Stellen von W. Jordan, Stuttgart Wittwer 1894“, aus deren Veranlassung vielstellige Fundamentalzahlen mitgeteilt worden sind von Schols und Nell in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1893, S. 600—602, 1894, S. 74—75 und S. 160. Nell giebt dort die Zahlen e, ft, 77, Q u. s. w. auf 30 Stellen und ihre Logarithmen auf 20 Stellen.

100

100

wird, dass

Als Quelle ist hier hauptsächlich zu nennen der „Thesaurus logarithmorum completus“ von Georg Vega, Leipzig 1794, im allgemeinen mit lOstelligen Logarithmen. Derselbe giebt auf S. 308

und 309 die Zahlen 7T 140stellig, 110 = ~, ft und e 48stellig und auf S. 633 die wirkliche Reihenausrechnung von rt. auf 140 Stellen. Manches hiezu bieten auch die ersten (ältesten) Ausgaben von Vegas 7stelligen logar.-trig. Tafeln, und Vega-Hülsse, Leipzig 1840, ferner Steinhäuser Hilfstafeln zur präzisen Berechnung 20stelliger Logarithmen, Wien 1880 (mit Berichtigungen von Nell, „Zeitschr. f. Verm.“ 1893 S. 603).

All dieses vielstellige Zahlenmaterial braucht fast nur, wer sich mit feinen Berechnungen von Zahlentafeln mathematischer oder geodätischer Art beschäftigt. Wir werden auch am Schluss von § 30. hierauf nochmals zurückkommen.

§ 29. Weitere Reihen.

Bei geodätischen Entwicklungen hat man oft das Bedürfnis, die Potenzen sin* x und cos* x in den sin n x und cos nx u. s. w. auszudrücken, z. B. um jene Potenzen zu integrieren und dergl. ; auch die umgekehrten Verwandlungen werden gebraucht.

Man kann alles dieses schrittweise aus den einfachsten goniometrischen Formeln

herleiten :

cos 2 x = cos² x — sin² x

sin 2 x = 2 sin x cos x

sin 8 œ = sin (2 x ■+■ x) — sin 2 x cos x-\-cos2x sin x = 2 sin x cos² x -ł- cos² x sin x — sin³ x

sin 8 æ = 2 sin x cos² x — sin³ x

In dieser und ähnlicher Weise könnte man alle von S. 176—177 Formeln Schritt für Schritt entwickeln, doch kommt man besser zum Ziel mit Hilfe der imaginären Ausdrücke für sin x und cos x, zu welchen wir nun übergehen.

Die Reihen für sin x und für cos x stehen in Beziehung zur Exponentialreihe ex :

sin x =

x³

8!

5! ‘

cos X = 1

2!

4!    '    6!⁺“

ex

= ! + ■£-

x²

x³

as⁴

x⁵

1! ' 2! ¹ 3! ¹ 4! ’ 5! ¹ 6!

Wenn man hier x = ix setzt (wobei i = ]/— 1), so wird x² = — a;², x³ = — i x³, x⁴ = -f- ac⁴, x⁵ = i x⁵ u. s. w. und damit bekommt man aus den obigen drei Reihen : e+tx — cos x -\-i sin x und e~ix — cos x — i sin x

oder

cos x =

e⁺1 x e-

und sin x =

e+ix- g-iX

und wenn man noch x = n x setzt, so bekommt man den Satz von Moivre :

cosnx + i sinn x = e±inx = (e±*'*)« = (cos as + i sin x)n Wenn man hier nach dem binomischen Satz entwickelt, so erhält man :

cos Bæ + i sin n x = cos" x 4-

cos" ~ ¹ x i sin x —

g ca

cos“ - ² x sin² x —

cosnx — i sin x — cos“ x —

cos" - ¹ xisin x — ^ j

Durch Subtraktion und Addition findet man hieraus:

sinn x = cosnx sin x — ( cosn ~ ³ x sin³ x-{-( j

S CO

cos" - ⁵ x sin⁵ x...

(1)

cos n x

cos" X —

cos" ~ ⁴ x siw⁴ x —

Wenn man umgekehrt sin" x und cos" x als Funktion der sin n x und cos n x haben will, so setzt man :

dann ist p q — 1

e+ix = p = cos x -l- i sin x also pm = cos mx 4- i sin m x e~ix — q — cos x — i s{n x ^ qm = cos m x — i sin m x

pm -f- qm — 2 cos m x pm — qm _ 2 i sin m x

p -h q = % cos x p — q — 2i sin x

wir machen davon folgende Anwendungen durch Potenzen von (p -|- q) und von (p —q) :

(2 cos x)² = (p -f- q)²

= (p²    q²) + 2 p q

4 cos² x — 2 cos 2 x 4- 2

^ cos 2 x

cos² x —

t-h loa

(2 i sin £c)² = (p — q)²

=* (p² + 2²) —2i>2 — 4 sin² x = 2 cos 2 x — 2

sm² x =“

cos 2 x

Dieses sind die bekannten goniometrischen Formeln. Wir fahren fort:

16 cos⁴ x =

(2 cos a?)⁴ = jp4 -f- 4^3 ą _j- 6p2, g2 _(_ 4 p ^3 q±

— (P⁴ + 2⁴) + ⁴ (p² + S²)^ 2 + 6^² 22 2 cos 4 as + 8 cos 2 a? + 6 oder cos⁴ x = cos 4 x H-

T—I 00

^ cos 2x-f-

001 00

Auf gleichem Wege bekommt man auch sin^x, und durch Weiterverfolgung dieses Weges kann man jede derartige Formel finden, z. B.

(2 i sin a:)⁵ == (p — g)⁵

32 i⁵ sin⁵ x = p⁵ — 5p⁴ q 4- 10p³ g² — 10p² q³ 4- 5p g⁴ — g5 = (p⁵ — g⁵) — 5 (p² — q³)p q 4- 10 (p² — g²) p g 32 i sin⁵ ce = 2 i sin 5 a: — 10 i sin 3 a; -f- 20 i sin 2 a:

sin⁵ a: =

(2 cosa:)⁵ = (p 4- g)⁵ = p⁵ -+• 5p⁴ q 4- 10p³ g² 4- 10p² g³ 4- 5p g⁴ 4- g5 32 cos⁵ a: = (p⁵ + g⁵) -t- 5 (p³ + g³)p g + 10 (p² 4- g²)p g = 2 cos 5 a; 4-10 cos 3 a; + 20 cos 2 x

cos⁵ a: = cos 5 x -+- — cos 3 a: -(- cos 2 a;

16

\ sin a: — -A sin 3 a: 4- sin 2 a:

Die Coëfficienten für sin" a: und cos" a: sind dieselben, nur findet bei sin" cc Zeichenwechsel statt.

In solcher Weise kann man rasch die Gebrauchsformeln einzeln entwickeln, etwa bis sin¹⁽> x und cos¹⁰ x, welche wir nachher zusammenstellen werden. Es ist auch möglich, allgemeine Formeln für sin" x und cos" x aufzustellen, die Entwicklung ist aber etwas umständlich, weil man gerades und ungerades n unterscheiden muss. Die allgemeinen Formeln sind diese:

1) für gerade Exponenten :

1 fl (2 n 22»"‘12 1    /1 ß n

22^2 1 2

sin²“ x =

cos 2 æ 4-

cos²" æ =

2) für ungerade Exponenten: sin²" ¹ x = ^

(2)

'2 n + 1

sin x —

t'2 n 4- 1

cos x -+■

2« + 1 n — 1 2 n + 1 n —

sin 3 as h— ...

j j cos 3 x -h ...

In diesen Beihen ist so lange fortzufahren, bis ein Coefficient = 0 wird. Entsprechend den Formelgruppen (2) und (1) sind die nachfolgenden einzelnen Gebrauchsformeln bis zur 10to' Ordnung angeschrieben :

sin² x = -g---cos 2 æ

sin 3 x

sin³ x =

3    .

—- sin x —

4

sin⁴ x = -E-

sin⁵ a; =

-i- cos 2 æ -E- sin a; — -Är sin 3 a: 4-

eos 4 a;

sin6 a; = —

■^0 sin 5 æ

^ cos 2 a: 4- cos 4 a: —

16

cos 6 cc

35

■21

sin¹ x = sin x — ~ sin 3 x -f- -g^- sin 5 x —^ sin 7 x

cos 4x — vtt cos 6 x 4- cos 8 x

35

sin⁸ x =    cos 2 a; -f-

l£0    10

sin®x =    — ^-sm 3x4- 7^-sin 5 <2? — ^gsin? x 4- ^gg sin 9 x

32

16

128

68

sin¹⁰x = x—

256

CO I—» tu O 05 tu

C/D

eu

en

45

Oil

►H

—    cos 6x4- t—t>cos8x —

512

25«.;

512

coslOx

COS² X — —

cos³ a; = cos x 4- ~r- cos 3 x 4    4

— eos 2 x 4- -?r eos 4 x

Z    O

^ cos 3 a; 4- ,4- cos 5 x

16

eos 4 a: 4- cos 6 x

"2

cos 2 x

cos⁴ x = -=- 4-

O

cos⁵ x = eos x 4-

O

cos® a: = ^ 4- -^1 cos 2 a; 4-

,    35    21    7    1

cos⁷ a;    = -T7- cos    a; 4- -=-r eos    3 a: 4- -=-r- cos 5x4-    -tt-t cos 7    a;

16

82

64

64

64

64

«    35    7    7    1

cos® x = y₂g 4- ^g co s 2 x 4- cos 4 x 4- —

O ⁶³    2i Q 9

cos® a: = eos x 4- cos 3 x 4- ^rr cos 5x4-

16

cos 6 x 4-

cos 8 *

128

128

64

64

256

cos 7x4-

256

cos 9 a;

ml0x=L ⁺ Wems2x + Ucoiix+Êï2ms6*⁺256CO!lSx + 5Ï2 COsl0x

sin 2 x = 2 sin x cos x

sin    3    x    =    3 sin a; cos² x — sin³ x

sin    4a;=    4 sin x cos³ x —    4    sin³    x cos x

sin    5    x    =    5 sin as cos⁴ as —    10 sin³ as cos² as -j- sin⁵ as

sin    Q    x    —    6 sin as cos⁵ as —    20 sin³ ascos³as-[-    6 sin⁵ xcosx

sin    7    as    =    7    sin as cos⁶ as—    35 sin³ as cos⁴ as 4- 21 sin⁵ as cos² a;—sin⁷ as

sin    8    as    =    8    sin æ cos⁷ as —    56 sin³ as cos⁵ as 4- 56 sin⁵ as cos³ as —    8 sin¹    x    cos x

sin    9    as    =    9    sin as cos⁸ as—    84 sin³ as cos⁶ as126 sin⁵ a; cos ⁴ as—    36 sin⁷ as cos² as-f-sin® as

sin    10    as    =    10    sin as cos® as—    120 sin³ x cos¹ x-}-252 sin⁵ x cos⁵ x —120 sin⁷ as cos³ as

—j— 10 sin® as cos as

cos    2 x = cos²    x — sin² x

cos    3 x = cos³    x — 3 cos x sin² x

cos    4x = cos⁴x— 6cos²xsin²x-|-sin⁴x

cos    5 x = cos⁵    x—10 cos³ x sin² x 4-    5 cosxsin^x

cos    6 x = cos⁶    x —15 cos⁴ x sin² x 4-    15 cos² x sin⁴ x — sin⁶    x

cos    7 x = cos⁷    x — 21 cos⁵ x sin² x 4-    35 cos³ x sin⁴ x —    7    cos x sin¹    x

Jordan. Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

cos 8x = cos⁸ x — 28 cos⁶xsin²x 4- 70 cos⁴xsin⁴x — 28 cos²xsm⁶x 4- sin⁸ x

cos 9x = cos9x — 36 cos⁷ x sin³x-\-126 cos⁵xsw⁴x— 84 cos³x sirfix-)- 9 cos xsin⁸x

cos 10a: = cos¹⁰a: — 45 cos⁸xsin²x 4- 210cos§ x sin^ x— 210 cos^x sinQ x-{-Ahcos²xsin⁸x

— sm¹⁰ x

Abgekürzte Potenz-Reihen mit mittlerem Argument.

Man kann in einer Potenzreihen-Entwicklung nach dem Taylor sehen Satz immer die Hälfte der Glieder sparen durch Einführung eines mittleren Arguments, wie sich so zeigen lässt:

~2~,

Man setzt zuerst:

und dann:

= [x-h

T)-Y

Dann hat man nach dem Taylorschen Satze:

f{x-+ li) = f (x 4-    -P-g~f

~8

r(®-1- )

f(®)

Daraus findet man durch Subtraktion und Addition:

f(x h- h) — fx = h f (x 4- yj

(3)

f(x-hli)-hf(x)

(4)

In (3) kommt kein Glied mit ft² vor und in (4) ist kein Glied mit h-, diese Glieder wurden durch Einführung von x 4- als Argument von /'und von f erspart.

Als einfache Anwendung der Gleichung (3) nehmen wir z. B. :

+- (» — v)³ . . .

,    . U-hV

stn u — sin v — (u — v) cos —

u

Will man hier nur bis auf (u — v)² einschl. genau rechnen, so kann man in dem Glied mit (u — v) nach Belieben u oder v schreiben, z. B. :

sin u = sin v 4- (u — v) cos u -h (u — u)³ ... sin u — sin v -t- (u — v) cos v 4- (u — v)³ ...

Diese zwei letzten Formeln sind gleich genau, insofern Glieder von gleichem Potenzrang in beiden vernachlässigt sind.

oder

(5)

(6)

Eine andere Anwendung dieses Prinzips ist folgende:

Wenn f(x,cd) eine Funktion von x und x' ist, welche nach Potenzen von {x'—x) entwickelt werden kann, so ist:

f(x, cd) = f(x, x) 4- (;x' — x) f (x) 4- (:x' — x)² 4- ..

oder

f(x, x') = f(x', x') 4- (x — x') f (x') 4- (x' — x)² 4- •.

Aus diesen beiden Gleichungen zusammen folgt: _ f(x, x) 4- f(x', x')

r (x)-r(x’)

•2

Es unterscheiden sich aber f (x) und f {x') seihst nur um Glieder von der Ordnung (x' — x), also ist :

f(x, x') =

+- ix' — te)² ...

Dabei sind f(x,x) und f(x', x') diejenigen 2 Werte von f(x,x'), welche entstehen, wenn bzw. x' — x und x = x' gesetzt wird.

Folgendes sind zwei einfache Beispiele hiefür :

+- (x' — æ)²...

-7 x + x'

Vx x = —g—

-I- {x' — æ)² ...

₇/æ² -t- af² x -+- af

V 2

oder in Worten : das geometrische Mittel, das Mittel der Methode der kleinsten Quadrate und viele andere Mittel zweier Zahlen x und x' sind dem arithmetischen Mittel gleich, auf Glieder von der Ordnung (x' — x) einschliesslich genau.

Zum Schluss dieser Betrachtungen erinnern wir daran, dass Näherungsformeln, welche nur auf ein Glied genau sein sollen, am einfachsten in der Gestalt von Differentialformeln angeschrieben werden. Wenn man z. B. sinu — sinv nur auf Glieder von der Ordnung u — v genau haben will, so setzt man :

sin u — sin v = d sin v oder = — d sinu

und:

u — v — d v oder = — du

und man hat damit:

d sin u = cos u du oder d sin v = cos v dv

woraus entsteht:

sin u — sin v = (u — v) cos u oder = (u — v) cos v in Übereinstimmung mit den obigen (5) und (6).

Reihen- Umkehrung.

(7)

Wenn eine konvergierende Potenzreihe vorliegt von dieser Form: y — Ax-+-Bx<i-\-Cx'i-\-Dxt + ...

so kann man die Aufgabe stellen, umgekehrt x durch eine konvergierende Reihe nach Potenzen von y darzustellen.

In erster Näherung giebt die Reihe (7) jedenfalls, nach x aufgelöst: x = — + 2/² .. .

also

y = A x + B -t- î/² ...

und dieses giebt nach x aufgelöst:

In dieser Weise kann man fortfahren, und Schritt für Schritt höhere Glieder y¹... y²... u. s. w. hinzufügen, was in besonderen Fällen oft nützlich ist. Man kann das Verfahren auch allgemeiner darstellen, indem die Auflösung der Reihe (7) diese Form annehmen soll:

x = a y 4- ß yZ -+- y yS + 8 yi _|_ ...

Hier haben die Coëfficienten a, ß, y, ö... folgende Bedeutungen :

P 43

5 53 5 BG D A7 ⁺ A6    AS

a = —r-

(8)

_ 2 52 o y~ AS A4

Obgleich solche Entwicklungen wohl am besten am einzelnen Fall durchgeführt werden, wollen wir doch beispielshalber eine solche Reihenumkehrung mit 4 Elementen hersetzen (aus „Zeitschr. f. Verm.“ 1894 S. 38 und S. 149), welche vielleicht wieder gebraucht werden kann, oder auch umgekehrt das am Schlüsse S. 181 Gesagte begründet.

(9)

A = A x — B yZ — C x² — Dxy² -+■ Ex² — Fx² yZ + G y² X — a y -h b y x + c y x² —d y¹ -\- e y x ¹ — f y¹ x Die schrittweise vollführte Auflösung dieser zwei Gleichungen von x und y gab

25C

AZ aZ

Aaß

A2 +

43

Az

256

.4.2 a²    Az aß

AI 2 +

2 G² E

AS

A4

A¹

Hierin ist auch der frühere Fall (7) teilweise inhegrilfen, man braucht nur in

(9) zu setzen:

5 = 0 dann geht (10) über in:

und dazu

2 Bz

A$

Oj O

5 B¹ 5 BC

7n~ +

Aß

also innerhalb der vergleichbaren Teile übereinstimmend mit (8).

Oder man setze in (9) a — A, b = 0, c = 0, d — — C, e = 0, f — 0, dann wird

-r*->

was ebenfalls innerhalb des Vergleichbaren mit (8) stimmt.

In ähnlicher Weise kann man auch zwei Reihen mit einander vergleichen; es

sei gegeben:

Ax + B x² + Cx3 Dann kann man x so darstellen:

x = ay-hßy²-+-yy3-\~...

wo die Coëfficienten a, ß, y ... folgende Bedeutungen haben :

B' B A' 2

A ' P ~ A J3 C 2 B A' B'    C A'3    2 R2 a'3

A'

a = —r-

(12)

y — —

Solche Reihenumkehrungen kommen oft vor, es ist aber selten nützlich, solche allgemein vorbereitete Formeln mit Coëfficienten A, B, G... anzuwenden, weil in den praktischen Fällen die Coëfficienten meist auch unter sich einfache Beziehungen haben (z. B. goniometrische), welche dann bei der stufenweisen Auflösung sogleich mitbenützt werden.

A3

A4

§ 30. Interpolation.

Wir betrachten verschiedene Werte einer Funktion y, welche gewissen in arithmetischer Progression stehenden Werten des Arguments x entsprechen und nehmen die Bezeichnungen nach folgender Anordnung:

Argument

Funktion

Differenzen

Fig. l.

dx /

*₂y₂

x₀

Vo

«1

t/l

X₂

t/2

t/3

X₄

2/4

d² t/o Z/² yx

d² t/2

& yo

Z/3

ir

6y

4>y.

=y₂-y.

Es handelt sich um einen Zwischenwert von x, welcher z. B. zwischen xx und «2 liegt und = xx ö x sei, wobei öx kleiner als das allgemeine Intervall /ix ist, weshalb wir setzen:

(1)

also z <[ 1

der zu diesem xx -f- ô' x gehörige Funktionswert y wird berechnet nach der Interpolationsformel :

z 1— z2 — z    z 1—z2 — z3—z *    ₀

I ~ï~    <²>

oder y = yx + zx J yx H- z₂ yx + z₃ J3 yx + z₄ M yx -f- ...

y = yx 4- * A yx — ~ ^^Z/2 Vi +

Da z kleiner als 1 angenommen ist, werden die Coëfficienten dieser .Reihe abwechselnd positiv und negativ, wie hier geschrieben, indem gesetzt ist:

Z₁=Z , Z 2 =

z 1—z

, ^3=-b

z 1—z 2 — z r ~2    8~~ ’ ²⁴ ~ ~~T ~2    3    4

(3)

u. s. w.

Man hat auch Tafeln für diese Coëfficienten berechnet, welche bei häufiger Interpolations-Arbeit mit höheren als zweiten Differenzen nützlich sind. Wir geben hier nur ein kleines Täfelchen für 10 teiliges Intervall, bis zur 5ten Ordnung z₅.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,045

0,080

0,105

0,120

0,125

0,120

0,105

0,080

0,045

0,0285

0,0480

0,0595

0,0640

0,0625

0,0560

0,0455

0,0320

0,0165

0,0207

0,0336

0,0402

0,0416

0,0391

0,0336

0,0262

0,0176

0,0087

0,016

0,026

0,030

0,030

0,027

0,023

0,017

0,011

0,005

Bin einfaches Zahlenbeispiel hiezu möge die Anwendung erläutern:

X y = log x 26 1.4149733

äy

z/² y z/3 y z/4 yd» y

y = log 26,4

163905

27    4313638

5963

157942

421

28    4471580

5542

46

152400

375

0,4    .163905 =

0,120.    5963 =

0,064.

0,042 .

0,03 .

421 = 46 =

1.4149733

65562*0

715-56

26-94

1-93

0-24

29    4623980

5167

37

147233

338

log 26,4 = 1.4216039-67

30    4771213

4829

30

308

142404

31    4913617

4521

137883

Die Abweichung von dem richtigen Werte 4216039 rührt von den Abrundungen her.

32    5051500

Da die Differenzen abwechselnd positiv und negativ sind, in demselben Sinn wie die z, so sind hier alle Produktglieder positiv geworden.

Sehen wir von ausgedehnten Tabellenberechnungen ab (für welche die Interpolation häufig in anderer Form ausgeführt wird), so haben wir es in der Geodäsie selten mit höheren als zweiten Differenzen zu thun, mit solchen aber sehr häufig bei fundamentalen trigonometrischen Berechnungen in lOsteiligen Logarithmen des Thesaurus logarithmorum, wie an einem Beispiele gezeigt werden soll:

Es liege vor tc = 15° 30' 34,67492" und man soll den zugehörigen Wert y = log sin x aus der 10 stelligen Tafel bestimmen.

Für 15° 30' 34,67492" ist öx = 4,67492" und e = 0,467492, also:

0,467492 . 758-727 = 0,467 . °’|³³ . 0-143    =

u

9.4271265-273 354-6988

0-0178

9.4271619-9896 log sin 15° 30' 34,67492" = 9.4271619-990 Zu dieser Berechnungsart giebt der Thesauras logarithmorum auf S. 2 eine

Hilfstafel für z ^ Z ö mit lOOteiligem z, aber ö nur —

u

4, 6, 8... 44, was im trigonometrischen Teile bei weitem nicht ausreicht. Eine solche Hilfstafel ist nicht nötig, wenn man die zweiten Differenzen mit dem Rechenschieber erledigen kann.

Es ist oft nützlich, die Interpolations-Formel auf eine andere Form als die ursprüngliche Form (1) zu bringen, nämlich auf diese Form:

(4)

y = y\+*[dyi — ^yj

| _g

2— z/² y der ersten Differenz â y\ berechnet,

Indem wir voraussetzen, dass der Leser die fragliche 10 stellige Tafel zur Hand habe, setzen wir die Rechnung ausführlichst hiernach an:

x = 15° 30' 30" log sin x = 9.4271265-273    +    —

30 40"

4272024-000

758-727

30 50"

4272782-582

758-582

31 60"

4273541-023

758-441

Hier wird eine Verbesserung

und dann mit der verbesserten ersten Differenz weiter gerechnet, wie bei einfacher Proportional-Interpolation.

Hiernach ist folgendes zur Übersicht berechnet:

z = 0,0    0,1    0,2

0,3    0,4    0,5    0,6    0,7    0,8    0,9    1,0

-¹ ₂ ^ = 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

(5)

Die wirkliche Ausrechnung macht man auch bei dieser Form am besten mit dem Rechenschieber.

Wir wollen das vorige Beispiel nochmals vornehmen mit Ausrechnung des Proportionalteils mit 6 stelligen Logarithmen :

Gesucht log sin 15° 30' 34,67492" , z = 0,467492, l — z = 0,533

+ 758-868

— 0-141

log sin 15° 30’ 30" = 9.4271265-273

+ 758-727

4-    0-038 (Korrekt. 0-141)

758-765

2.880107 = log 758-765 9.669774 = log 0,467492

354-717 2.549881 log sin 15° 30' 34,67492" = 9.4271619-990 wie oben.

Dieses Verfahren ist auch anwendbar für die umgekehrte Aufgabe, den Winkel x zu gegebenem log sin x zu finden; man rechnet dann zuerst einen Näherungswert von z, mit dem Rechenschieber in dem obigen Falle z — 0.46 (den man etwa mit Blei in seine Stelle schreibt d. h. 15° 80'84,6...) und damit sofort weiter, teils im

Kopf teils mit dem Rechenschieber . 0*141 = 0*088 u. s. w.

L

J _ £

Um die Korrektion —^2/ immer mit dem richtigen Vorzeichen anzubringen,

merke man sich die mechanische Regel: Es muss durch diese Korrektion eine Annäherung an die vorhergehende Differenz erzielt werden.

Man kann sich für solche Zwecke eines autographierten Schemas bedienen (dem vorstehenden Beispiele entsprechend), welches ein Hilfstäfelchen nach (5), und alles Konstante vorgedruckt enthält. Für grössere Rechnungen mit. 10 stelligen Logarithmen können die einzelnen Logarithmen in dem Schema behandelt werden, welches dann eine Beilage zu der Haupt-Rechnung bildet.

Indessen, wie immer, kommt es auf die Übung an; wer längere Zeit mit solchen Rechnungen zu thun hat, gewöhnt sich bald, die zweiten Differenzen mit dem Rechenschieber nebenher zu berücksichtigen, und hat dann kaum noch mehr Arbeit als das Ausrechnen der eigentlichen Proportionalteile verursacht.

Interpolation mit Differentialquotienten.

In der Erläuterungsfigur auf S. 181 ist ausser den A x, A y und ö x, ö y auch noch der Differentialquotient an die Tangente des Punktes xx yx beigeschrieben,

und wir wollen überlegen, wie die Interpolation ausgeführt werden kann, wenn nicht die endlichen Differenzen A y, z/² y, sondern die theoretischen Differentialquotienten für die einzelnen x und y seihst angegeben sind, also für A x als Einheit etwa so :

x₀

d₁ — d₀= Ö₀

*i

— dx

(6)

AZ *2

5 C3 2 G E

A~

A¹

A4

2 B d _ 2 5²6    52 C    BP__G_

A aß A¹ a⁵    A¹ a²    A² a²    A a²

X²

(10)

bC

.42 a¹ A¹ aß    A² aß )    ¹ + (a²

6 A. [b2 ATz^+{

45 62    6 P 2 Bb G 2 B c 4b d

Bb

X¹

AX 3

A² a⁵    A² a² A¹ a² A² a² A a⁵    ~~r" A a²/

’2 b² C    b¹    "26c    2 6 C²    65    2Cc

44 a¹ — 43 a4 + 43 aß ~ AS a² + A² aß A² a²    A² a²

A¹X

(11)

2/2

A x = d%

d X ) 2

Z. ß. in einer gewöhnlichen Logarithmentafel hätte man :

y = log x

_ 2*

Man kann diese Differentialquotienten schärfer ausrechnen, als die mit den Abrundungsfehlern je zweier benachbarter y behafteten A y sind. Mit d₀ und bezeichnen wir in obigem Schema die Differenzen je zweier aufeinander folgender d, wir wollen jedoch annehmen, jene ö₀ und öx seien gleich, d. h. es handle sich nur um Interpolation zweiter Ordnung. Dann hat man nach (4):

dieses ist aber nach geometrischer Anschauung = A x

dy

, weil nämlich die Sehne

dabei ist

Ay\

A y \ — a y a _ A y\ + A y o

von x₀ j/₀ nach æ₂ y% der Tangente in aq y₁ parallel zu achten ist. In ähnlicher Weise hat man auch:

Ay₂-hAy₁ = y₂ — y₀ = 2Ax

und A y₃ + A y% = yz — yA = 2 A x A y o — A yi = 2 A2y = 2Axô

dx) g

dabei ist ö nach dem Schema (6) angenommen mit ö'j = ö₀ = Ö und wenn man auch das dort eingeführte Zeichen d benützt, so hat man nun aus (7):

(8)

y = y\ + * [dx Hh = yx + z d

Hiernach würde man also zuerst d = d[-+--^-ö in der Reihe der d propor-

u

g

tional interpolieren, aber mit — statt mit z, und dann y — yx + z d proportional weiter rechnen.

Diese Interpolationsart hätte manche Vorteile vor der gewöhnlichen, wenn die

Differentialquotienten bzw. d scharf angegeben werden können, die Tafeln sind

aber im allgemeinen nicht darauf eingerichtet. (Einiges Weitere hiezu giebt „Zeitschr. f. Verm.“ 1896).

Vielstellige Logarithmen.

Bei dieser Gelegenheit möge an die Hilfsmittel erinnert werden, welche man hat, wenn die gewöhnlichen 7 stelligen logarithmisch-trigonometrischen Tafeln nicht ausreichen. Obgleich nicht geleugnet werden kann, dass schon vieles mit dem schwerfälligen Thesaurus behandelt worden ist, was unbeschadet seines inneren Wertes auch mit dem 7 stelligen Bremiker oder Schrön hätte gerechnet werden können, giebt es doch in der höheren Geodäsie viele Fälle, in welchen aus praktischen oder auch nur unabweisbaren formellen Gründen 8—10 Stellen nötig sind. Z. B. die Berechner von fundamentalen Tabellenwerken oder von Kontrollbeispielen zu langen Reihenentwicklungen können sich der 10 stelligen und manchmal der noch mehrstelligen Zahlen und Logarithmen nicht entschlagen.

Das wichtigste hier zu nennende Werk ist der „Thesaurus logarithmorum completus“ von Georg Vega, Leipzig 1794, mit 10 stelligen Logarithmen der Zahlen und der trigonometrischen Funktionen von 10” zu 10”. Dieses Werk ist nur noch antiquarisch zu sehr hohem Preis zu erlangen, weshalb der italienische Generalstab unter Leitung von General Ferrero eine ganz genaue Neuausgabe desselben auf zinko-graphischem Wege hergestellt hat, von welcher Verfasser ein Exemplar von General Ferrero erhielt, für welches auch auf diesem Wege der Dank ausgedrückt wird, indem alle höheren Rechnungen dieses Buches damit ausgeführt sind.

Nach diesem ist die neue französische 8 stellige Tafel für neue Teilung hier zu berichten, deren Titel ist: „Service géographique de l’armée. Tables des logarith-mes à huit décimales des nombres entiers de 1 à 120000 et des sinus et tangentes de dix secondes en dix secondes d’are dans le système de la division centésimale du quadrant, publiées par ordre du ministre de la guerre, Paris imprimerie nationale 1891.“ (40 Francs).

Will man eine Triangulierung in alter Teilung mit dieser 8 stelligen Tafel ausführen, so muss man zuvor die Winkel aus alter in neue Teilung umrechnen, was, wenn es nicht auch für andere Zwecke gebraucht wird, eine starke Nebenarbeit vorstellt. Es giebt Rechner, welche es vorziehen so zu verfahren, statt den 10 stelligen Thesaurus anzuwenden. —

Endlich ist noch ein Wort zu sagen über die ganz seltenen Fälle, in welchen auch 10 stellige Logarithmen noch nicht ausreichen. Dann hat man zunächst im Thesaurus auf S. 642—684 die natürlichen 48 stelligen Logarithmen aller 4 stelligen Zahlen ohne einfache Faktoren. Dann aber ,Hilfstafeln zur präzisen Berechnung 20 stelliger Logarithmen von Anton Steinhäuser, mit Subvention der K. K. Akademie der Wissenschaften, Wien, Gerold’s Sohn 1880“ (mit Berichtigungen von Nell, „Zeitschr. f. Verm.“ 1893, S. 603). Dieses Werk giebt die 20 stelligen Logarithmen aller 4 stelligen Zahlen von 1000 bis 9999 (Tafel A) und dazu die Logarithmen der Zahlen 1,0000001 bis 1,000999 (Tafel B) und noch einer folgenden ähnlichen Gruppe, so dass jede Zahl in Faktoren zerlegt werden kann, deren Logarithmen sich finden lassen.

Auf ungefähr 15 Stellen kommt man mit dem ersten Teil A von Steinhäuser einfach mit Hilfe der logarithmischen Reihe:

Si

log (a -+- b) = log a -+- log ^1 -+- j = log a -+- A log a ,

A ,    U Æ² . uxs ux*

J log a = nx — ~    + -g-----

log fi = 9.6877843-113

-1

= 9.3367543 , log ■£ = 9.160608 , log ~ = 9.03572

Wir wollen hiernach beispielshalber log n berechnen:

n = 3,14159 26535 89793 24

die erste sich darbietende 4 stellige Näherung wäre 3,141 oder 3,142, allein wir kommen sofort um zwei Stellen weiter mit der Näherung 3,14160, welche = 4.0,7854 darstellbar sich so giebt:

log 4 = 0.60205 99913 27962 39 log 0,7854 = 9.89509 08969 34399 43

log 3,1416 = 0.49715 08882 62361 82

Mit dieser Näherung hat man :

n —

Näherung a =

3.14159    26535 89793 24

3.14160

b = — 0,00000 73464 10206 76

log b = 4.866 0751*747 loga= 0.497 1508-883

x²

x³

log x =

log i“ =

4.368 9242-864 9.637 7843-113

8.7378486

9.3367543

3.10677

9.16066

4.006 7085-977 10155,670 405 Also Näherung 0.49715 08882 62361 82 —    10155 68227 9

8.0746029    2.26743

0,011874 + 0,000 000 = 10155,682279

log Ti = 0.49714 98726 94133 9

soll 0.49714 98726 94133 854 (s. o. S. 171.)

Wir haben also auf diesem Wege log n auf 16 Stellen erhalten.

Zur umgekehrten Aufgabe, nämlich zu einem vielstelligen Logarithmus die Zahl zu suchen, setzen wir wieder eine Näherung a voraus, und es sei log (a -l- b) der gegebene Logarithmus, folglich b die Unbekannte, und es ist also möglich auszurechnen

log (a + b) — log a __

Ji    ~ V

₇ u -t- b log —-— a a

also nach der Exponentialreihe (S. 170):

i + l

dabei ist

fl«² a y³ a «4

^ + -f+-f+ ~2Î-

Wenn man das vorige Beispiel hiernach rückwärts behandelt, so hat man gegeben log 7i = log (a -+-&) = 0.49714 98726 9413385 mit der Näherung a = 3,14160 und log a wie oben, dann wird log y = 4.3689247*942 n und nach der Formel für b :

b = — 78464,18797 + 0,08590 = - 73464,10207 n = 3,14160 — 0,00000 73464,10207 = 3,14159 26535 89793 oder es ist n auf 15 Stellen richtig aus log n erhalten.

Da man eine gute Näherung für b leicht zur Verfügung hat, kann man auch nach dem Prinzip des Mittelargumentes kurzer Hand so rechnen :

also

Wir wollen dieses an einem zweiten Beispiele zeigen : Man habe

log e² = 7.824 4104-237 log y, = 9.637 7843-113 00537

log (a + b) = log /u e² = 7.462 1947*350 00537 dazu nach dem Thesaurus /u e² — 0,00289 86430 302.

Wir möchten aber die letzten Stellen noch verschärfen, und finden dazu aus der Faktorentafel von Vega-Hülsse S. 378, dass 28987 = 101 X 287 ist, und wir er-

halten daraus durch Zusammensetzung mit Hilfe von Steinhausers 20stelligen Logarithmen :

log a =    7.462 2032 705 16635

= — 0,000 0085 355 16098

also

log (a -t- b) — log a — d

Das Mittel aus dem obigen llstelligen jwe² und aus der Näherung a ist a₀

n

= 0,00289 86715 151, womit y = a₀ — = — 569,697 7144, also das gesuchte

r

H «2 = a + b = 0,00289 86430 30229

Es kommt bei solchen Rechnungen vor allem auf gute, möglichst grosse Näherungswerte an, die man mit Überlegung und manchem Kunstgriff durch Produktenzerlegung gewinnen kann, wobei eine Faktoren- und Primzahlen-Tafel, z. B. in Yega-Hülsse, Leipzig 1840, S. 360—454, von Nutzen ist.

Wir sind mit dieser Sache fast zu weit von der Geodäsie abgeschweift, doch war es nötig, für die in der höheren Geodäsie ausnahmsweise vorkommenden vielstelligen Fundamentalzahlen die Hilfsmittel hier zu behandeln.

¹

5 b² 656 C 25c    4 CD 6 B C² 2b D 3 55

²

¹ a² A² aß A¹ aß 4² aß AS a² A¹ aß A² aß ' A¹ aß

Kapitel III.

Das Erd-Ellipsoid (Sphäroid).

§ 31. Erklärungen und Grund-Masse.

Die ideale Erdoberfläche, welche unseren Berechnungen zu Grunde gelegt wird, ist ein Umdrehungs-Ellipsoid, d. h. diejenige Fläche, welche durch Umdrehung einer Ellipse um ihre kleine Axe erzeugt wird.

Fig. 2.

Fig. l.

Umdrehungs-Ellipsoid.

P,

-----x—

jr

fr

P/

p&-

E'

P"

Fi

A\

y-

<B

U’

Zuerst kommen folgende Grössen und Gleichungen in Betracht, welche zu den vorstehenden Fig. 1. und Fig. 2. in Beziehung stehen.

(1)

Die grosse Halbaxe a, die kleine Halbaxe b

(2)

die Abplattung a =    ^

oder c

(9)

a² — b²

= V a*

die zweite Excentricität e'

die Excentricität e

(3)

=y &

Die Excentricität e in diesem Sinne ist eine absolute Zahl und erscheint als Verhältnis der halben linearen Excentricität ]/«² — b² zur grossen Halbaxe a.

Indem man die halbe lineare Excentricität ]/a²—b² auch zur kleinen Halbaxe 6 in Beziehung setzt, kommt man auf den Wert e' nach (4), welcher für unsere Berechnungen meist vorteilhafter ist, als e nach (3).

Zwischen e und e' bestehen die leicht nachweisbaren Beziehungen:

a² - b²

(4)

e'² =

e²

d²

(5)

e² =

1 +e'2 und (1 — e²) (1 + e'²) = 1

Zwischen der Abplattung a und dem verwandten e hat man:

1 — e²

(6)

a — 1 — Yl — e² oder e² — 2 a — «²

In a und e ist die grosse Halbaxe a und in e' ist die kleine Halbaxe b bevorzugt; beide a und b treten gleichartig auf in den Werten

a²— b2 a² + b²

Ausser den beiden Halbaxen a und b führen wir auch noch eine dritte Grösse c ein, entsprechend der Gleichung:

(?)

(x —f— b

vi² =

(8)

y 1 — e²

Diese Grösse c hat die Bedeutung des Krümmungs-Halbmessers im Nordpol oder Südpol der Meridian-Ellipse, und schmiegt sich daher dem Umdrehungs-Ellipsoid in der Nähe der Pole sehr an ; diese Grösse c wird sich später bei manchen Entwicklungen nützlich erweisen, was auch von vorn herein wahrscheinlich ist, insofern bei einem Umdrehungs-Ellipsoid die Umdrehungsaxe b die wichtigste ist.

Unsere geodätischen Entwicklungen werden wir meist mit c und e'² als Konstanten führen.

In Fig. 1. haben wir noch zu betrachten die Normale P V, welche die Richtung der Schwerkraft auf dem Ellipsoid anzeigt, und dazu den Winkel qp, welchen die Normale mit der grossen Axe macht, d. h.:

die geographische Breite qp

Verschieden hievon ist der in Fig. 1. eingeschriebene Winkel y, welcher geo-centrische Breite heisst, und in der Erdmessung fast nie gebraucht wird (dagegen kommt y bei astronomischen Parallaxen-Rechnungen vor).

Ferner sind nach Fig. 2. noch folgende Begriffe festzustellen:

Parallelkreis P' P",

Meridiane N A S und NPS Geographischer Längen-Unterricht Ä,

Normalschnitte, z. B. B PB',

Azimut a eines Normalschnittes.

Die Bessel sehen Erd-Dimensionen.

Wie wir schon in der Einleitung S. 9—10 angegeben haben, werden die von Bessel im Jahre 1841 durch Ausgleichung aus 10 Breitengradmessungen berechneten Erd-Dimensionen sehr allgemein angewendet, und wir werden in der Folge dieselben stets benützen.

Bessel hat im 19. Bande, 1842, der astronomischen Nachrichten, Nr. 488, Altona 1841, 2. Dezember, S. 116 folgende Schlusswerte seiner Ausgleichungen gegeben:

= 0,00167 41848

a — 6 ci b

log a = 6.514 8235-337 in Toisen log 6 = 6.5133693-539 „    „

log Vl — é* = 9.998 5458-202

(H)

_ 299,1528 T ~ 298,1528 a = 327 2077,14 Toisen 6 = 3261139,33    „

log e — 8.912 2052 Länge des Erdquadranten

= 5131179,81 Toisen = 10 000 855,76 Meter

Dieses sind genau die Angaben von Bessel, und man könnte nun meinen, die seit 54 Jahren allgemein gebrauchten „Besselsehen Erddimensionen“ seien dadurch unabänderlich festgestellt, das ist aber in den letzten Stellen nicht der Fall. Diese Bessel sehen Zahlen stimmen begreiflicherweise unter sich selbst nicht völlig scharf in den letzten Stellen, und je nachdem man nun von der einen oder anderen ausgeht und schärfer weiter rechnet, erhält man Abweichungen.

Gauss citiert die Bessel sehen Erddimensionen im I. Teil der „Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie, erste Abhandlung“ 1884 S. 9—10:

log a = 6.514 8235-337 in Toisen, log cos (p = log ]/l — e² = 9.998 5458'202 dann heisst es: „Es folgt hieraus, mit Hilfe der 10 ziffrigen Logarithmen“:

qp = 4° 41' 9,98262" und log sin (p = log e = 8.912 2052-079 und zur Reduktion von Toisen auf Metermass hat hier Gauss den Logarithmus 0.2898199-300 Diese Zahlen liegen der Gauss sehen Tafel für konforme Abbildung des Ellip-soids auf die Kugel zu Grunde.

Encke ging bei Berechnung seiner „Tafeln für die Gestalt der Erde“ im Berliner Astronomischen Jahrbuch für 1852, S. 318—381 von den Besselschen log a und logt aus, er sagt daselbst S. 322—323: Bei den folgenden Tafeln ist zu Grunde gelegt nach Bessel:

log a = 6.5148235-337 , log b = 6.513 3693-539

woraus abgeleitet ward:

a = 3 272 077,1399 Toisen 6 = 3261 139,3284

a — 6_

a — 299,152818

log e = 8.9122052-075 log Vl — e² = 9.9985458-202 log « = 7.2238033-861 log (1 -j- «») = 0.000 0012-173 n = 0.0016741-84767

Vergleicht man die Zahlen von Bessel und Encke, so sieht man, dass durch den Umweg über die lOstelligen Logarithmen a und b sich bzw. um 0,0001 und 0,0016 Toisen geändert haben. —

Alle die Zahlen, welche in namhaften geodätischen Schriftwerken für die Besselschen Erddimensionen aufgestellt worden sind, differieren von einander mehr

oder weniger in den letzten Stellen, wie wir in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1885, S. 22—26 durch Zusammenstellung jener Zahlen, näher gezeigt haben.

Auch die Umwandlung der Bessel sehen a und b von Toisen in Meter hat zu Schwankungen der letzten Stelle Veranlassung gegeben. Das gesetzliche Verhältnis der Toise zum Meter, welches wir schon in der Einleitung S. 7 erwähnt haben, ist 864:443,296, und wenn man mit den gewöhnlichen 10 stelligen Logarithmen rechnet, so bekommt man :

1 Meter =

⁴⁴³a Toisen

864

log 443,296 = 2.646 6938-125 log 864    = 2.936 5137-425

log (M, T) = 9.710 1800-700 — 10 log (T, M) = 0.289 8199-300

und die Zahlen zu diesen Logarithmen

1 Meter = 0,513074074 Toisen, 1 Toise = 1.949036310 Meter.

Wenn man aber schärfer rechnet, so wird durch gewöhnliches Dividieren:

(T, M) =

443,296

864

= 1,94903 63098 24587

und der 11 stellige Logarithmus hiezu ist:

= 0.289 8199 2994

log (T, M) = log

443,296

864 also 10 stellig abgerundet um 0-001 kleiner als das obige gewöhnlich gebrauchte 0-300.

Die Zahlenschärfe aller dieser Angaben geht weit über die sachliche Genauigkeit hinaus, denn nach dem was wir über die Bessel sehe Ausgleichung selbst in der Einleitung S. 9—10 gesehen haben, hat der Meridianquadrant 10000856 m einen mittleren Fehler von rund 500 m und die Abplattungszahl 299 einen mittleren Fehler von 5, während man mit log a und logb 10 stellig rechnet. — Aber es bestehen doch gute Gründe für das Festhalten gewisser auf 10 Stellen unabänderlich angenommenen Zahlen für die Dimensionen des Erd-Ellipsoids, das als ideale Vergleichs- und Projektionsfläche allen Rechnungen zu Grunde gelegt wird.

Namentlich bei Berechnung von geodätischen Zahlentafeln, wo man wegen der Abrundungshäufung oft 3—4 Stellen mehr in Anrechnung stellt, als man schliesslich haben will, ist es störend, wenn die letzten Stellen bei dem einen und anderen Rechner nicht übereinstimmen. —

Wir halten uns ein für allemal an diejenigen Festsetzungen für die letzten Stellen der Besselschen Erddimensionen, welche seit 1878 von der trigonometrischen Abteilung der preussischen Landesaufnahme und im Anschluss hieran seit 1886 vom geodätischen Institut getroffen worden sind, nämlich:

log a = 6,804 6434*637 in Metern log e² = 7.824 4104*287 — 10

log    = log (1—e²) = 9.997 0916*404 —10

Dieses sind in Preussen die einzig richtigen Besselschen Erddimensionen; die Quellenangaben dafür sind:

1) Landesaufnahme: Rechnungsvorschriften für die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme. Formeln und Tafeln zur Berechnung der geographischen Coordinaten

aus den Richtungen und Längen der Dreiecksseiten. Erste Ordnung. Berlin 1878, im Selbstverläge, zu beziehen durch die königliche Hofbuchhandlung von E. S. Mittler und Sohn Kochstrasse 69, 70. (S. 4 log n und log «³ wie oben).

2) Geodätisches Institut: Veröffentlichung des königlich preussischen geodätischen Instituts. Lotabweichungen. Heft 1 : Formeln und Tafeln sowie einige Ergebnisse für Norddeutschland. Der allgemeinen Konferenz der internationalen Erdmessung im Oktober 1886 zu Berlin gewidmet. Mit drei Karten. Druck und Verlag von P. Stankiewicz Buchdruckerei 1886. (S. 4 log n und log e³ wie oben).

Bei den Grundzahlen für log a und log e¹ 2 ist auch noch log (1—e²) angegeben, wie in jenen Rechnungsvorschriften S. 4; und da die dritte Zahl log (1—e²) von der zweiten log e² abhängt, ist zu bemerken, dass log e², welches 10 Wertstellen hat, allein massgebend ist und dazu gebraucht werden kann, um log ]/l — e², welches im 10 stelligen Logarithmus nur 8 eigentliche Wertstellen hat, noch auf weitere Stellen auszurechnen, welche zu manchen Zwecken erwünscht sein werden.

Aus der logarithmischen Reihe § 28. S. 169 hat man sofort:

C*>

<M

CO

et

l0*T=*

/ue*    fie6    /xe8 /ui eio

= t* e2 + ~2

Die Ausrechnung mit loge² = 7.824 4104-237 giebt:

— e²

= + 28986-430302 -+- 96-783112 + 0-430422 + 0-002155 -+- 0-000012

log-l

e²

= 0.002 9083-596003 , log (1 — «2) = 9.997 0916-403997

Zur Probe kann man auch rechnen:

log (1 + e'²) = g e'²--g

log e² — log (1 — e²) = log e'² = 7.827 3187-833 fie'*    fié 6    fié 3 fié io

= + 29 181-196470 — 98-037422 + 0-439157 — 0-002213 + 0-000012

log (1 +e'²) = 0.002 9083-596004 , log

- 9.997 0916-403996

1 -he'²

So sind diese Werte auf der Hauptzusammenstellung S. 193 eingesetzt.

Die seltener gebrauchten, und deswegen auf S. 193 weggelassenen Werte für (a — b): a und (a — b):(a-\-b) fügen wir hier auch noch bei:

= 2.475 8930-907

log —

^ a

log a = 7.524 1069-093 — 10

log n = 7.223 8033-949 — 10

= n = 0,00167 41848 00816

(l —h b

Bemerkt sei auch noch zu der Zusammenstellung auf S. 193, dass die verschiedenen — 10 u. s. w. an den Logarithmen, weil bei praktischen Rechnungen stets selbstverständlich, nicht geschrieben sind.

Besselsche Erddimensionen und Mathematische Konstante.

a = 6 377 397,15000”* log a = 6.804 6434-637 5= 6 356 078,96325, log b =    6.803 1892-839

8.508 3274-897

= c = 6 398 786,84939, log e = 6.806 0976-435 ~ Q

l°g c

log -L = 1.491 6725-103

Y1 -4- e'2 = b (1 + e'2) log# = 13.612 1952-870 a² — &²

a²

= e² = 0,00667 43722 31315

log e²

= 7.824 4104-237

a²— fc²

1 — «²

S> ¹¹

= e'² = 0,00671 92187 98677

log e'²

= 7.827 3187-833

r+e'²

= 0,99332 56277 68685

,    -= = 1 + e'² = 1,00671 92187 98677

1 — e²

yr-e² =

yi 4- e'²

= 0,99665 72269

log (1 — e²) = 9.997 0916-403996 log (1 H- e'²) = 0.002 9083-596004 log yi~ZZ72 = 9.998 5458-201998

yi — e²

= yi 4- e'² = 1,00335 39848

log y 1 + e'² = 0.001 4541-798002

log en

t—¹¹ I-³

CO o

7.824 4104-237 5.648 8208-474 3.473 2312-711 1.297 6416-948 9.122 0521-185 6.946 4625-422

log fl en

9.637 7843-113 7.4621947-350 5.286 6051-587 3.111 0155-824 0.935 4260-061 8.759 8364-298 6.584 2468-535

log e’n

log fl e’» 9.637 7843-113 7.465 1030-946 5.292 4218-779 3.119 7406-612 0.947 0594-445 8.874 3782-278 6.601 6970.111 fl e'ü = 29181,19646966

log (M, T) = 9.710 1800-700 log (T, M) = 0.289 8199-300

7.827 3187-833 5.654 6375 666 3.481 9563-499 1.309 2751-332 9.136 5939-165 6.963 9126-998

für 7. Log.-Stelle : fl c² = 28986,43030229 1 Meter = 0,513 074 074 Toisen 1 Toise = 1,949 036 310 Meter

(vgl. hiezu S. 191)

71 =

(>° =

Die Zahlen n, q und fi (vgl. auch S. 170 und S. 171).

log y n

log ³

3,14159 26536

57,29577 95131

q' =    3 437,74677 07849

q"= 206 264,80624 71

Für neue Teilung:

i/a =    63,66197 72368

l³ =

log n = 0.497 1498-727

logQ°= 1.758 1226-324

log y = 3.536 2738-828

log q"= 5.314 4251-332

log Qg = 1.803 8801-230

0,43429 44819 log fi = 9.637 7843-113

Für Einheiten der 7‘en stelle log n = 6.637 7843-113

log 5 = 0.698 9700-043 log 6 = 0.7781512-504 log 7 = 0.845 0980-400

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

log 2 = 0.301 0299-957 log 3 = 0.477 1212-547 log 4 = 0.602 0599-913

= 9.502 8501-273

= 8.241 8773-676

log

log

= 6.463 7261-172

= 4.685 5748-668

log = 8.196 1198-770

ça

log— = 0.362 2156-887

log

= 3.362 2156-887

log 8 = 0.903 0899-870 log 9 = 0.954 2425-094 log 12 = 1.079 1812-460

Für die Festhaltung der oben S. 191 fett gedruckten Konstanten besteht der Grund, dass die von der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme veröffentlichten geographischen Coordinaten, auf welchen die ganze preussische praktische Geodäsie beruht, mit diesen Konstanten und den darauf gegründeten Hilfstafeln berechnet sind, dass also z. B. eine Dreiecksseite rückwärts aus jenen Coordinaten berechnet unmöglich wieder ebenso herauskommen kann, wie sie als Dreiecksseite eingeführt worden ist, wenn nicht wieder dieselben Konstanten a und e² angewendet werden.

In diesem Buche haben wir die auf S. 191 fett gedruckten Zahlen und die darauf gegründeten auf S. 193 zusammengestellten weiteren geodätischen Konstanten allen geodätischen Rechnungen zu Grunde gelegt.

§ 32. Die Haupt-Krümmungs-Halbmesser.

Eine Ellipse mit den beiden Halb-Axen a und b in rechtwinkligen Coordinaten x und y ist in Eig. 1 gezeichnet.

Fig. l.

Umdrehungs-Erd-Ellipsoid.

■*-----a----->

p'

—-aA_

Q MPY

Die Gleichung dieser Ellipse ist bekanntlich:

x²

f- =

a2 ■ p⁻ — i oder x* ■+■ °² y*= °² &²

Die Differentiierung dieser Gleichung giebt:

2 xdx 2 y d y

(1)

a²

= 0 oder

b² x

a² y

(2)

dy

Andererseits hat der Differential-Quotient eine Beziehung zum Normalen-Winkel qp, nämlich (nach Fig. 1.):

dy

a,

dx~ — cot9 V oc*er x ⁼ " Die Gleichungen (2) und (3) zusammen geben:

b² x _ cos qp a² y sin cp

cos

e-' e-

(3)

b² x² _ a² cos³ qp a² y² b² sin³ qp

Nun hat man in (1) und (4) zwei Gleichungen, welche nach x² und y² aufgelöst werden können, was wir in aller Ausführlichkeit so schreiben:

(1) giebt :

(4)    »

4- a² y²

= a² b²

b²x²

b⁴ x² sin² qp — a⁴ y² cos² qp = 0 Wenn man die erste dieser beiden Gleichungen mit a² cos² Cp multipliziert und dann beide Gleichungen addiert, so bekommt man :

x² =

a⁴ cos² cp

a² cos² qp 4- b² sin² qp

(5)

Wenn man andererseits die erste der beiden vorstehenden Gleichungen mit b² sin² cp multipliziert und dann beide Gleichungen subtrahiert, so bekommt man

y² =

b⁴ sin² cp

a² cos² qp 4- b² sin² cp

(6)

Meridian-Krümmungs-Halbmesser M.

Nach diesem gehen wir über zur Bestimmung des Krümmungs-Halbmessers der Meridian-Ellipse, den wir mit M bezeichnen wollen. Die analytische Geometrie bietet hiezu bekanntlich die Formel:

AI A H Ivs

IS

A! A

14°

Den hiezu nötigen ersten Differential-Quotienten haben wir bereits in (B) gebraucht, nämlich:

= -cotg<f. , l + (§f)²

sin² cp

(8)

und um

Die zweite Ableitung hievon giebt zunächst:

d² y _    1 d cp

d x² sin² qp d a;

d x

zu erlangen, müssen wir die Eeciproke — aus (5) ableiten:

(9)

Ai l A

e-i «

a² cos qp

~\/a² cos² qp 4- 5² sin² qp

Ableitung eines Bruches :

— a² cos qp sin qp -j-b² sin qp cos qp'

dx a² /    .    _

= jÿ=Ÿ {-sm v V- • - -eos v

^ = -——f sin cp (o² cos² qp 4- b² sin² cp) 4- cos qp (— a² 4- b²) sin qp cos qp j

«qp (y.V    /

— et²

= ^ b² sin cp (sin² cp 4- cos² qp)

dcp

V”

da?

— a² 6² sin qp

dcp

(a² cos² qp -h b² sin² qp)i

Nun kann man aus (8), (9), (10) die Formel (7) zusammensetzen, und man bekommt dadurch mit Weglassung des für uns bedeutungslosen Vorzeichens:

(11)

a² b²

(a² cos² cp + b² sin² qp)l

Einführung der Excentricität.

Die Formeln, welche wir hier entwickelt haben, sind die sich zuerst darbietenden, allein für die späteren Anwendungen sind diese Formeln nicht geeignet, weil man darin nicht gut den wichtigen Umstand zum Ausdruck bringen kann, dass beim Erdellipsoid die beiden Halbaxen a und b nahezu gleich sind, oder mit anderen Worten: die später unerlässlichen rasch konvergierenden Eeihen-Entwicklungen lassen sich an die vorstehenden Formeln mit a und b nicht gut ansetzen. Man führt deswegen eine Excentricität und eine lineare Axengrösse ein. Wir haben hiezu zwei Formen, welche zunächst beide behandelt werden sollen:

I. Ältere Form mit

(12)

= e² und Axe a

a² — b²

a²

a²

a² —b²

= e'² und Axengrösse

Bleiben wir zuerst bei der älteren Form I, so haben wir, um alles in a und e2 auszudrücken, zunächst

II. Neuere Form mit

6²

(13)

a² — b²

b²

(14)

b² = a² (1 — e²)

= «²

¹ «²

a² cos² Cfi -4- b² sin² cp = a² cos² cp -+• o² (1 — e²) sin² cp = a² (1 — e² sin² cp)

«²

Wir setzen em für allemal:

1 — e² sin² cp = W²

W = y 1 — e² sin² (p

(15)

damit werden x und y, sowie M aus ihren ersten Formen in (5) , (6) und (11) übergeführt in:

_ a (1 — e²) sin cp

y = w

«(1— e²)

(16)

a cos cp

(17)

Diese Formeln (16) und (17) findet man sehr allgemein in geodätischen Werken, sie sind aber nicht die besten. Wenn man nach der neueren Form II bei (13) rechnet, so bekommt man:

ei² — b²_

P ~ b²

a²

— 1 = e'²

y 1 + e'²

- = ]/!+ e'² ,

, _ c ö“r+72

(18)

a² cos² cp -p b² sin² qp =

ć² (1 -)- e'² cos² cp)

"fl + e'²)²

Wir setzen ein für allemal:

\ _j_ e'2 cos² cp = V²

V = Y1 -h e'² cos² cp

(19)

damit werden x, y und M aus (5) , (6) , (11) übergeführt in:

c sin cp

c cos dp

F(l + e'2)

(20)

F3

(21)

Der Querkrümmungshalbmesser AT.

Durch das Vorstehende haben wir den ersten Haupt-Krümmungs-Halbmesser des Umdrehungs-Ellipsoids, für den Meridian, bestimmt; der zweite Haupt-Krümmungs-Halbmesser, welcher sich auf die Krümmung quer zum Meridian, also von West nach Ost bezieht, kann ohne weitere Rechnung durch eine sehr einfache geometrische Betrachtung gefunden werden.

Wir betrachten in Fig. 1. (S. 194) zuerst den Parallelkreis P P' für die Breite dp, und sehen, dass alle in diesem Parallelkreis gezogenen Flächen-Normalen sich in einem Punkte S der Axe schneiden.

Der Querkrümmungs-Bogen, welcher in P rechtwinklig zum Meridian ist, muss offenbar jenen Parallelkreis P P' in P berühren, und deswegen sind zwei einander unendlich nahe liegende Gerade P S auch Normalen des Querkrümmungs-Bogens in P. Da aber der Schnittpunkt zweier einander unendlich naher Normalen einer Kurve als Krümmungs-Mittelpunkt der Kurve gilt, so ist P S der Krümmungs-Halbmesser des Querkrümmungs-Bogens, oder kurz, es ist PS = N der Querkrümmungs-Halbmesser des Umdrehungs-Ellipsoids in dem Punkte P.

Indem wir die Länge dieses Querkrümmungs-Halbmessers ein für allemal mit jV bezeichnen, haben wir

,T «

N =-

cos cp

und je nach der alten oder neuen Form (16) oder (20) giebt dieses:

1

ir

oder

(22)

Mittlerer Krümmungshalbmesser r.

Unter dem mittleren Krümmungshalbmesser versteht man in der Geodäsie das geometrische Mittel aus den beiden Haupt-Krümmungs-Halbmessern Mund N, d. h. :

r = y MN

oder mit Einsetzung der Bedeutungen von M und N

a yi- e* r = —    —

(23)

oder r =

V2

(24)

Krümmlings- Verhältnis N : M.

Nachdem die beiden Haupt-Krümmungs-Halbmesser M und N bestimmt sind, wollen wir auch ihren Quotienten betrachten, d. h. in zwei Formen, aus (17) und (21) mit (22):

M 1 — e2

oder

__F 2

M ~

(25)

Dieser Quotient ist in der Geodäsie sehr wichtig, denn je näher dieser Quotient gleich 1 ist, desto mehr ist es gestattet, die Erde unter der betreffenden Breite als eine Kugel zu betrachten. Zur Gewinnung einer Übersicht wollen wir einige Werte hiefür ausrechnen:

qp — 0°

. . 30° . . 45° . . 60° . . 90°

= 1,0067 = F²

. . . 1,0050 . . . 1,0034 . . . 1,0017 . . . 1,0000

Die Werte F² sind von 1 ziemlich verschieden, unter 45° um etwa Vs %> und nur in den Erdpolen (qp = 90°) wird F² = 1.

Trotzdem giebt es viele Fälle, wo es sich nur um kleine Korrektionen zweiter Ordnung handelt, in welchen der Quotient N : M doch hinreichend = 1 gesetzt, d. h. die Erde als Kugel behandelt werden darf. In solchen Fällen nimmt man dann den mittleren Krümmungs-Halbmesser r nach (23) oder (24) als Halbmesser einer solchen Kugel.

Da das Verhältnis N : M stets grösser als 1 ist, ist auch immer N grösser als M, d. h. der Querkrümmungs-Halbmesser ist immer grösser als der Meridian-krümmungs-Halbmesser, oder umgekehrt, die Krümmung 1 : M ist im Meridian stets grösser als die Krümmung 1 : N im Querbogen. Nur im Pol werden beide gleich,

nämlich N = M =

«²

— = c² (wie schon in (9) § 31. S. 189 bemerkt wurde) und im

Pol der Erde wäre daher das beste Arbeitsfeld für einen Geodäten, weil dort alle sphäroidischen Korrektionen verschwinden.

Geocentrischer Halbmesser und geocentrische Breite.

Selten in der Geodäsie, aber in der Astronomie zu Parallelaxenrechnungen gebraucht, sind noch zwei Werte, welche wir im Anschluss an das Vorhergehende bestimmen wollen, nämlich der Abstand eines Erdpunktes von dem Erdmittelpunkt, geocentrischer Halbmesser = G genannt und der Winkel dieses Halbmessers mit dem Äquator, geocentrische Breite = y.

Nach Fig. 1. § 31. S. 188 haben wir für diese beiden Grössen sofort die Formeln:

G = Vx* + y'² und tang y = —

(a)

Wir wollen weiter mit a und e² rechnen, d. h. nach (16) S. 196

a (1 — e²) sin cp

a cos cp

w~ und y =

also

C² =

a²

W²

(cos² cp + (1 — e²)² sin² qp) , tang y — (1 — e²) tang cp

Aus (c) hat man weiter:

TF²

also nach (d) :

sin (cp — y)

_ tang² y tang² cp ’

= 1 — e² sin² cp = 1 — sin (cp — y) — -0S ^ cos (cp — 7)

cos y cos y

1 — e²

e² =

siw qp cos y

C² =

a² cos cp

cos y cos (qp — 7)

(e)

Mit diesen Formeln (c)—(e) hat man genügende Mittel zur scharfen Ausrechnung von G und y, indessen häufiger braucht man Näherungsformeln, welche mit Beschränkung auf e², d. h. Vernachlässigung von e4 u. s. w. sich rasch gehen. Aus (c) hat man:

cos² qp

tang cp — tang y = e² tang qp e² tang qp , qp — ip = e² sin qp cos qp

oder mit Zusetzung von ç:

(f)

qp — xp = e² q sin 2 qp = [2.8378056] sin 2 qp

Mit gleicher Näherung hat man aus (c) : a²

(cos² qp -}- (1 — 2 e²) sin² qp) =

C² =

«²

TF ²

(1 — 2 e² sin² qp)

TP ²

Da TF² = 1 — e² sin² cp oder 1 : TP² = 1 +- e² sin² cp, hat man : G² = a² (1 — e² sin² qp) = a² TF ²

e²

(g)

G = a (1--0- sin² qp)

Die Formeln (f) und (g) braucht man z. B. zur Reduktion von Monddistanzen.

und für qp — ip sind von Encke in dem „Berliner

Genaue Tafeln für log

astronomischen Jahrbuche für 1882“, S. 344—373 gegeben worden. In der Geodäsie werden diese Werte fast nie gebraucht.

Reduzierte Breite. In der Geodäsie spielt noch ein anderer Winkel eine wichtige Rolle, der „reduzierte Breite* genannt wird und bestimmt wird durch die Gleichung :

tang \p = ~]/l — e² tang cp

Damit werden wir uns aber erst später zu beschäftigen haben.

§ 83. Krümmungs-Halbmesser für beliebiges Azimut.

Nachdem der Meridian-Krümmungs-Halbmesser M und der Querkrümmungs-Halbmesser N bestimmt sind, kann man auch den Krümmungs-Halbmesser R für irgend welches Azimut a leicht angeben, wenn man den Euler sehen Satz als bekannt voraussetzt, nämlich:

1 _ cos² a , sin² a R ~ M

Dieser Satz wird in der analytischen Geometrie bewiesen, und wir wollen hier eine geometrisch anschauliche Begründung des Satzes geben, welche durch einige Nebenbetrachtungen auch zum strengen Beweise entwickelt werden kann.

Fig. 1.

___v_ z

!b

aS

In Fig. 1. sei P ein Punkt des Ellipsoids mit einer Berührungs-Ebene A A! und einer Schnitt-Ebene B B' parallel À A'.

Die Ebene B B' giebt eine Schnitt-Ellipse, welche im unteren Teile von Fig. 1. dargestellt ist mit ihren Hauptaxen P M, P N und einer dritten Bichtung s im Azimute a. Wenn nun der Abstand der beiden Ebenen A A' und B B ' sehr klein ist, = z, so lässt sich die Ordinate z durch die Krümmungs-Halbmesser M, R, N, welche für die drei betrachteten Richtungen gelten, dreifach ausdrücken, in bekannter Näherung (welche z. B. auch für die Erdkrümmung bei trigonometrischer Höhenmessung angewendet wird), nämlich:

m-

»3

(2)

Dabei besteht für die Schnitt-Ellipse mit den Halbaxen m und n die Gleichung:

(s cos C£)J , (s sin ct)v ~    ’    ’    »3

(3)

Durch Verbindung von (2) und (3) erhält man den bereits oben (1) geschriebenen Euler-

schen Satz.

Um diesen für jede beliebige Fläche gütigen Euler sehen Satz der Gleichung (1) auf unser Ellipsoid anzuwenden, müssen wir die Ausdrücke für M und N nach (21) und (22) § 32. S. 197 einsetzen, nämlich:

M= Ł

Damit giebt (1): cos² a

- und N =

wobei V2 = 1 —(— e'2 cos2 q

V3 +

sin2 a y _

V

— (cos² a (1 -)- e'² cos²cpi) -+- sin² a)

F 1 + e'² cos² qp cos² a

oder

Ar

1 + e'² cos² cp cos² «

Wir wollen den besonderen Fall mit cc = 45° betrachten, also sin² « — cos² « = -g-setzen, wodurch die Gleichung (1) giebt:

¹

— b _

²

a ~ 399,1528128 a = 0,00334 27731 81579

³

—

(5)

Hier hat M N die Bedeutung = r² nach (24) § 32. S. 197 mit r als geo-

M + N

metrischem Mittel aus M und N, und M und N also

= d ist das arithmetische Mittel aus

^45 —

T²

~d

(6)

woraus zu ersehen ist, dass in erster Näherung der Krümmungs-Halbmesser für 45° Azimut, dem mittleren Krümmungs-Halbmesser r, oder dem Durchschnittswert d gleich ist.

Die zweite bei (4) angewendete Form für R führt zu einer bequemen loga-rithmischen Näherungs-Formel; in erster Näherung hat man:

also:

log (1 -+■ e ² cos² cp cos² a) = fx e'² cos² cp cos² a ...

log R — log N = — pc e'² cos² cp cos² a -+-...

(7)

Damit gehen (7) und (8):

(9)

log B — log N = — (log F²) cos² a und in gleicher Weise findet man auch:

(10)

über, also:

Setzt man hier a = 0, so geht B in den Meridian-Krümmungs-Halbmesser M

oder genau

log M — log N = — /x e'² cos² <jp ...

log M — log N = — log F² (nach (25) § 32 S. 197)

(8)

log B — log M — -f- (log F²) sin² a Die Näherungsformel (9) oder (10) giebt den Wert log B nahezu auf 7 Stellen richtig. Um dieses besser beurteilen zu können, entwickeln wir die Formel (4) bis c'⁴ und finden :

e'⁴

log B — logN — fx e'² cos² cp cos² a + g    cos⁴ (jp cos⁴ a

= log N — [4*465 1031] cos² qp cos² a    [1*99139] cos⁴ (jp cos⁴ «

wo die Zahlen in eckigen Klammern Coëfficienten-Logarithmen bedeuten.

Man kann dieses auch auf folgende Form bringen :

^ cos⁴ (jp sin² a cos² a

u 4

log B — log M + sin² a (log F²) — ‘ cos⁴ cp sin² a cos² «

u

Nach diesen Formeln (11)—(13) ist die folgende Tafel berechnet worden, welche log B für verschiedene Breiten cp und verschiedene Azimute a giebt.

oder

(11)

log B — log N — cos² a (log F²)

(12)

(13)

Breite

Azimut a

<P

0°

15°

30°

45°

60°

75°

90°

log R

log R

6.80 1735    ; 6 80 1929

log R 6.80 2460

log R 6.80 3187

log R 6.80 3915

log R 6 80 4448

log R 6.80 4643

1866

2055

2570

3274

3980

4498

4687

2244

2416

2885

3527

4169

4641

4813

2823    !

2969

3368

3913

4459

4860

5006

6.80 3167

6.80 3298

6.80 3655

6.80 4143

6.80 4632    6.80 4990

6.80 5121

8534

3648

3961

4388

4815

5128

5243

3913

4010

4276

4641

5005

5272

5369

4292

4372

4592

4659

4723

4899

5004

5053

5186

5316

5353

5446

4893

5138

5369

5577

5194

5378

5551

5707

5415

5554

5684

5803

5496

5618

5733

5837

6.80 5586

6.80 5609

6.80 5671

6.80 5756

6.80 5842    6.80 5904

6.80 5927

5966

5972

5988

6010

6032

6048

6054

6098

6098

6098

6098

6098

6098

6098

Eine ausführlichere Tafel dieser Art ist nicht nötig, denn die azimutalen Krümmungs-Halbmesser B spielen in der Geodäsie der Triangulierungen u. dergl. in dieser Form keine Rolle.

Für scharfe Rechnung trigonometrischer Höhen braucht man diese Krümmungs-

Halbmesser. Wir wollen annehmen, zu einer trigonometrischen Höhenmessung zwischen dem Polytechnikum in Karlsruhe und dem trigonometrischen Punkte Hornisgrinde im Schwarzwald solle der Erdkrümmungs-Halbmesser in der fraglichen Sicht berechnet werden. Die Mittelbreite beider Punkte ist qp = 48° 48' 26,6" und das mittlere Azimut «= 18° 55'8,0". Mit diesen Werten findet man nach der strengen Formel (4):

log B = 6-804 3845

und nach der Näherungsformel (9) oder (10):

log R = 6-804 3347

Dieser Wert wäre einer weiteren Berechnung nach § 149. unseres II. Bandes, 4. Aufl. 1893, zu Grunde zu legen, entsprechend log R in (6) S. 510 jenes Bandes.

Änderung der Erdkrümmung nach Breite und Azimut.

Wenn man das vorstehende Übersichtstäfelchen in Bezug auf die Änderungen betrachtet, welche der Krümmungs-Halbmesser B in der Breite und im Azimut erfährt, so bemerkt man, dass für gleiche Änderungen /I qp oder A a die Änderungen A log R von nahe gleicher Grössenordnung sind, und das zeigt auch die Difierentiierung von log R oder von R nach qp und nach a, die beiden Dilferentiierungen von R nach qp und nach a geben Grössen von der Ordnung e'².

Allein wenn man überlegt, welche Änderungen von R überhaupt Vorkommen auf einem räumlich begrenzten Yermessungsgebiete der Erde, so wird die Vergleichung der Einflüsse von qp und a ganz anders, denn auf beschränktem Gebiete der Erde ist die Breite qp nahezu konstant, dagegen trotzdem das Azimut a innerhalb seiner äussersten Grenzen 0° und 90° veränderlich.

Auf beschränktem Vermessungsgebiete sind daher die Änderungen im Azimut viel einflussreicher als die Änderungen der Breite, und man kann in solchem Falle sagen, dass die Erdkrümmungsänderungen, welche von Breitenänderung A qp herrühren, nur Grössen zweiter Ordnung sind im Vergleich mit den vom Azimut « abhängigen Krümmungs-Änderungen.

Z wischen-Bemerkung.

Mit den Entwicklungen von § 31.—33. sind wir so weit gekommen, dass alsbald zu § 40. u. ff. sphärische Triangulierung übergegangen w’erden kann, und von allem bisherigen wird dort zunächst nur der mittlere Krümmungs-Halbmesser gebraucht werden. Es ist für erstes Studium zu raten, von § 33. auf § 40. überzugehen.

Wenn hier anders verfahren und noch § 34.— 39. eingeschaltet werden, so hat das den Sinn, dass vieles für weitergehende Zwecke Nötige hier ein für allemal erledigt werden soll ; auf Einzelnes, z. B. Meridianbögen § 35., welche später zu Coordinaten gebraucht werden, kann nach Bedarf zurückgegriffen werden, ähnlich ist es mit den Parallelbögen und Oberflächen.

Bei den geodätischen Messungen und Berechnungen im engeren Sinne hat man kein Bedürfnis, die Oberflächen einzelner Zonen oder Gradabteilungen des Ellipsoids zu kennen ; jedoch besteht für Kartographie und Geographie im allgemeinen ein solches Bedürfnis, weshalb auch die Flächenberechnung der Gradabteilungs-Trapeze in § 37. angeschlossen wurde. Auch auf die sehr wichtigen Hilfstafeln des Anhangs, deren Berechnung in den nachfolgenden Paragraphen gelehrt wird, wird später nach Bedarf zurückverwiesen.

§ 34. Die Funktionen W und V.

Bei der Entwicklung der Krümmungs-Halbmesser in § 32. sind die zwei Funktionen aufgetreten :

V = yi -+- e'² cos² qp

W = Y1 — e² sin² qp

(1)

welche unter sich in der Beziehung stehen:

W²

oder

W² =

V²

1 + e'2

(2)

Ï-V²

—    log (1 — e²) = log (1 + e'²) = 0.002 9083-596004

—    log yi—e² = log |/l -j- e'2 = 0.001 4541-798002

Diese Funktionen werden so oft in der Geodäsie gebraucht, dass wir sie näher betrachten und namentlich in Reihen entwickeln müssen.

Zur Reihenentwicklung haben wir von (1) :

wobei

W² = 1 — e² sin² cp

also nach der logarithmischen Reihe (S. 169) :

log —^2 — ne² sin² cp -+- sin* cp -+- sin⁶ cp 4- ^ sin⁸ cp + sin™ qp 4-...    (3)

Die Ausrechnung der Coëfficienten mit dem Besselschen loge² — 7.824 4104-237 giebt für Einheiten der Ten Logarithmen stelle :

(4)

(5)

[(«)

loa JŁ _ 28986-430302 sin² cp + 96-733122 sin* cp 0-430422 sw⁶ <p 1 ⁹ W²    4- 0-002155 sin⁸ q> + 0-000012 sin™ cp )

oder mit halben Coëfficienten:

,    1 _ 14493-215151 sm2 <p + 48-366556 sin* cp + 0-215211 sin⁶ cp [

⁹ W    ₊ 0-001077 sm8 <p ₊ 0-000006 smio <p |

Dieselben Reihen mit den Logarithmen der Coëfficienten sind :

Pf 2

_ [4.4621947-350] sin² cp + [1.985 575L590] sin* <p + [9.6338943-3] sin⁶ cp

+ [7.3333660] sin⁸ cp + [5.06087] sin™ <p

Durch Halbierung der Coëfficienten hat man auch :

_ [4.1611647-393] sin² cp -f [1.6845451-633] sin* cp + [9.3328643-3] sin⁸ cp

+ [7.0323360] sin⁸ cp + [4.75984] «»io cp

In gleicher Weise hat man auch die andere Funktion :

f 2 — i 4_ g'2 cos² qp

log V² — n e'² cos² cp — —~ cos* cp -+- cos⁶ <jp + cos⁸ cp -+■

Wenn man hier loge'² = 7.827 3187-833 einsetzt, so erhält man: log F2 = 29181-196469 cos² qp — 98-0374220 cos* (p 4- 0-4391567 cos⁶ qp

—    0-0022131 cos⁸ cp -t- 0-0000119 cos¹⁰ qp log V = 14590-098235 cos²cp — 49-0187110 cos⁴ cp 4- 0-2195783 cos⁶ qp

—    0-0011065 cos⁸ cp 4- 0-0000059 cos⁸ qp

Ferner wieder mit den Logarithmen der Coëfficienten: log V² = [4.4651030-946] cos² <p - [1.9913918-822] cos* cp + [9.6426194-1] cos⁶ qp

— [7.3449995] cos⁶ qp — [5.07541] cos¹⁰ qp log V = [4.164 0730-989] cos² cp — [1.690 3618-865] cos* <p [9.3415894-2] cos⁶ qp

—    [7.043 9695] cos⁸ cp + [4.77438] cos™ cp

log

}(7)

n e'i°

^—cos™cp —... (8)

[    (9)

(10)

}(H)

} (12)

Wenn man bei log W² den Grenzwert qp — 90° und bei log V² den Grenzwert qp = 0 setzt, so bekommt man log (1 — e²) und log (1 -f- e'²) welche, schon bei anderer Gelegenheit in § 31. S. 192 angegeben sind.

Für cp = 45° geben die Reihen (5) und (10):

(13)

— log W = 7246-607576 -+- 12-091639 + 0-026901 + 0.000067 = 7258-726183 log V = 7295-299117 — 12-254678 + 0-027447 — 0.000069 = 7283-071817

log V : W= 14541-798000 Nach § 31. S. 193 soll dieses sein = 14541-798002 Die Probe stimmt auf 0*000002, d. h. auf 2 Einheiten der 13<e” Logarithmenstelle, was hier befriedigend ist.

Da die V und W unter sich in der einfachen Beziehung stehen V2 = W² (1 +e'²), hat man die Wahl V oder W zu rechnen und das andere daraus abzuleiten. Diese

Wahl stellt sich bei den vorstehenden Reihen so, dass für kleine Werte qp man bequemer log W rechnet, zu welchem man am Anfang des Quadranten nur sehr wenige Glieder braucht, während in der Gegend von qp = 90° die Rechnung mit log V die bequemere ist; bei cp — 45° sind beide Rechnungen gleich gut.

Man kann die Reihen für log W und log V auch noch auf eine andere Form bringen, indem man die sin² cp, cos² cp u. s. w. in cos 2 cp, cos 4 cp u. s. w. ausdrückt, wozu die Formeln von § 29. S. 176—177 dienen, nämlich:

g e²

sin8 qp

log W² = — ge² sin² qp —    si??⁴ qp — —⁶ - sirfi cp —

sin² qp —    ---^ cos ^ V

sin⁴ qp = -f-

O

sin6 qp = y₀-

sin⁸ cp =

35

cos 2 qp -t- -5- cos 4 cp

O

15    3

gg- COS 2 qp 4- ₁₆ cos 4 qp —

T6COs2(* + WCOs⁴<P-T6

32

cos 6 qp

cos

6<P + j2gCos8qp

g

6 qp -+- ggg cos 8 cp —

128

ge6 + -g^- g e⁸ -f-

15

45

2cp+ 64 cos⁴cP—^î2cos

512

cos 10 qp

log W² =    ^ “g” ^ e2 +1T

+ ^~2~ i“ ß2 "+■ “4“ g C⁴ +

^ei +128^e8

9    \

W¹¹¹⁶⁸ + 512 M el° ) C0S 6 ^

(sTa"'⁸ +24"el0 + )“s8»

(^o'⁴*¹⁰)    ^

00

** |C0

to

256

ge⁴⁰ j

(14)

g ei° j cos 2 qp

-^j~ g ei° j cos⁴ qp

Wenn man dieses mit dem Besselschen log e² = 7.8244104-237 ausrechnet (Benützung der log pi en auf S. 198), so bekommt man in Einheiten der lten Logarithmenstelle : log W² = — 14529-6251671 4- 14541-784 4150 cos 2 <p — 12-1728172 cos 4 cp 4- 0-0135864 cos 6 cp — 0-0000170 cos 8 cp 4-..

(15)

Dieselbe Entwicklung für log V² gemacht giebt aus (8) und § 29. S. 177 das

folgende :

e'4

e'6

e'8

e'io

log V2 — e'² cos² cp —₉ cos⁴ cp h—— cos¹⁴ cp---— cos§ cp h—— cos¹⁰ cp

cos 2 cp

cos 2 qp H- cos 4 cp

-J{g- cos 2 cp + cos 4 qp 4- -r?- cos

cos² qp =

,    3

cos⁴ cp = -g- 4-

COs6 Cp —    ^

cos8 qp =

cos io qp —

105

256

cos

4 qp 4—gg- cos 6 qp

6 qp 4- y 2 g cos 8 qp

o 15    45    5    1

cos 2 qp 4- cos 4 qp 4- ^ cos 6 qp 4- ggg cos 8 qp + - g cos 10 qp

16

ÏO0 F² =

( ₂ ^ e 2    16 M e 4 + 48 ^ ⁶ °    512 ^ ^ ⁺ 1280 M 6 10)

(t’ »“'⁸—r'te'⁴⁺32"e'⁶⁻w',e'84 21

(■4 ''⁴ - -w ^e'⁶⁺14 "■8,8 - 4-'^¹⁰)    ⁴ *

9    \

(U e'8 4- - ₉ pi e'¹⁰ j cos 6 qp

(16)

96

512

,u e'8 —

256

(2BWMe',O)COsl0<1P

,11 e'i°j cos 8 qp

256

pi e'i°j cos 2 qp

Wenn man dieses mit dem Besselschen log e'² = 7.8273187-833 ausrechnet (Benützung der log pi e'B auf S. 193), so bekommt man :

(17)

log V² = 14553-9708333 4- 14541-7844155 cos 2 cp — 12-1728170 cos 4 <p

4- 0-0135863 cos 6 cp — 0-0000171 cos 8 (p -h ..

Die Beihen (17) und (15) stimmen in den Coëfficienten hinreichend überein und die Absolutglieder geben log F² — log W² = 29083-5960004 was mit log (1 4-e'²) nach S. 193 stimmt wie es sein muss.

(18)

Durch Halbierung der Coëfficienten hat man auch log W und log V, nämlich zugleich ein wenig vermittelnd zwischen den Endziffern in (15) und (17): log V = 7276-9854166 4- 7270-8922076 cos 2 qp — 6-0864086 cos 4 cp 4- 0-0067932 cos 6 qp — 0-0000085 cos 8 qp und da man gewöhnlich logarithmisch rechnet, wollen wir auch noch die Coëfficienten-Logarithmen angeben:

log F² = 14553-9708333 -4 [4-1626177-018] cos 2 cp — [1-0853911-0] cos 4 qp 4- [8-1331028] cos 6 qp — [5.23172] cos 8 qp

log V = 7276-9854166 + [3-8615877*062] cos 2 qp — [0.7843611-0] cos 4 qp--+- [7.8320728] cos 6 <p — [4.93069] cos 8 qp Um von der Mitte zu zählen, wollen wir noch setzen qp = 45° -+- (qp — 45°) also: log V = 7276*9854166 — [3.8615877*062] sin 2 (qp — 45°) + [0.7848611*0] cos 4 (qp_45°) + [7.8320728] sin 6 (q> — 45°) — [4.93069] cos 8 (cp — 45°)

(20)

(21)

Diese Form bietet den Vorteil, dass man damit in einer Rechnung stets die Bestandteile für zwei Werte cp erhält, welche gegen 45° symmetrisch liegen; z. B. <p — 45° = + 15° und — 15° geben log V für qp = 30° und für qp = 60° das folgende: für cp = 80° log V = 7276-9854166 + 3635*4461038 + 3-0432043

— 0*0067932 + 0-0000042

für cp = 60° log V = 7276-9854166 — 3635-4461038 + 3-0432043

+ 0-0067932 + 0-0000042

zusammengefasst :

für (p = 30° log V = 0.0010915*4679357 für cp = 60° log V = 0.0003644*5893145

Diese Werte stimmen innerhalb 0*000001 mit den aus (7) oder (12) berechneten.

Interpolation für log V.

Wenn man eine Tafel der log V aufstellen will, so wird man gewisse Hauptwerte, etwa für cp von 1° zu 1° unmittelbar nach den vorstehenden Formeln (7) , (12) oder (20) berechnen, und im Übrigen weitere Werte einschalten. Wenn man nun bereits Näherungswerte der einzuschaltenden log V kennt, was oft der Fall ist, so kann man zur schärferen Einschaltung eine gute Formel nach dem Prinzip des Mittelargumentes aufstellen in folgender Weise:

Ein Wert V gehöre zur Breite cp, ferner V" zur Breite cp -+-    und V zur

Breite cp —    > dann werden nach der Maclaurin sehen Reihe folgende zwei Gleich

ungen bestehen :

log V" = log V -\—-

1 lAcpy&logV 2\2/    dq> 2

AcpdlogV    1 /z/ <p\2 d² log V    1 / A q>\s & log V

2 dqj ⁺ 2 [ 2 J dtp* ⁺ 6 [ 2 ) Jÿ3

A cp d log V

d cp

~6

/ A <p\3 d³ log V l“2~/ ~lfćpfl~

log V = log V Die Differenz giebt: log V" — log V — A log V:

A log V =z A cp

dlogV t A qp3 dHogV ^ 24 dcp,3~

Zur Anwendung haben wir log V dreimal abzuleiten, wobei nun künftig immer zur Abkürzung geschrieben werden soll tang cp — t und

d cp

(22)

F2= 1 + e'² cos² qp = 1 -f- rç² , also ?/² = e'² cos² cp ,

d cp ⁼ 2V^~ 2 ,/2 t)== V dlog V _ 1 d V _ r?t dep ~^VJcp> F2

v =yi + t?² ,

7;² t

■er&

= — 2 iß t (23)

In dieser Behandlung werden die beiden nächsten Ableitungen:

d²log V ł?² ,

= ~h (~ ¹ + t² - T/² - 7/2 <2)

ye (2 4- V² + 3 7/2 f2 — 7/4 — 7/4 £2)

(25)

(Z³ log V 2 «2 t ~Tqß~ ⁼

Die Ableitungen (24) und (25) hat man in (22) einzusetzen und zugleich wollen wir z/ <jp — 10' nehmen, wofür mit p = 3437,7... zu dividieren ist, und da auch noch mit /u = 0.43429... zu multiplizieren ist, haben wir :

Da 7/2 = e'² cos² qp , also rp t = e'² sin cp cos cp , so hat man, um alles Konstante zusammenzufassen, zugleich 7/⁴ vernachlässigend:

(26)

(27)

Die Ausrechnung giebt für Einheiten der 7‘en Logarithmenstelle: à log V = — [1.6277992-161]    + [5.4760703]    (2 + t/² ₊ 3 ^2 <2)

Das zweite Glied macht sehr wenig aus, nämlich:

cp = 10° 2. Glied = 0-0000 2015

cp = 50° 2. Glied = 0-0000 5888

20°

3795

60°

5201

30°

5133

70°

3874

40°

5862

80°

2063

Dieses Glied geht also erst in die 12te Logarithmenstelle ein und ergiebt sich von selbst als eine kleine innerhalb weiter Grenzen nahezu konstante Differenz zwischen den Summen von je 6 Zwischenwerten A log V und dem Intervall zwischen zwei festen log V, das sie ausfüllen sollen. Die V², welche man im ersten Gliede von (27) braucht, müssen dem Mittelargument cp entsprechen; in unserem Falle verfuhren wir dabei so, dass diejenigen log V2, welche schon in der vorhergehenden Auflage des Bandes 8stellig für alle Werte von 10' zu 10' ausgerechnet Vorlagen, von 5' zu 5' eingeschaltet, die nötigen Näherungswerte zur Gleichung (27) lieferten, um Interpolation auf 12—13 Stellen genau zu geben; folgendes ist ein Beispiel hiefür:

log V 6522-92572 6480-85519 6438-81100 6396-79460 6354-80738 6312-85077 6270-92619

qp = 48°

cp = 49°

42-07059 — 6 = 42-07053 42-04425 — 6 = 42-04419 42-01646 — 6 = 42-01640 41-98728 — 6 = 41-98722 41-95667 — 6 = 41-95661 41-92464 — 6 = 41-92458

48° 0' 48° 10’ 48° 20' 48° 30' 48° 40' 48° 50' 49° 0'

251-99989 — 36 = 251-99953

251-99953

Die Differenzen 42-07059 — 6 u. s. w. sind nach der Formel (27) berechnet, 6 ist das zweite Glied, im vorstehenden Beispiel abgerundet, (in Wirklichkeit wurde mit einer Stelle mehr gerechnet).

In dieser Weise wurde unsere Tafel der Werte log V, welche im Anhang auf Seite [2]—[7] gegeben ist, berechnet mit 12—13 Stellen und nachher auf 10 Stellen abgerundet.

Die Ableitungen von V nach cp.

Auch die Ableitungen der Funktion F werden später noch oft gebraucht werden, weshalb wir sie zum Vorrat hier hersetzen, auch mit Einführung fester Zeichen :

tang cp = t

= 1 + t²

d cp

(a)

V² = 1 -h e'² cos² cp = 1 +■ rj² also rj² = e’² cos² cp — 2 e’² cos cp sin cp — — 2 rßt

(b)

d 7/2 ^ dcp ~~

und allgemeiner

(c)

s-

= -—n rjn t

(d)

d V _ 1 d t]² _ t]²t TUp ~ 2\V~dcp~    V

d ï]² t rp dt Tj² t d V ~hVd~<p~2Vdcp

²V²t² V²    7/4^2

— y (1 -H t²)    ÿy

dcp V

(e)

d² V d cp² ~~

Wenn man hier alles auf den Nenner F³ bringt, und berücksichtigt, dass V² = 1 -f 7/2 ist, so bekommt man :

d² V cl <p²

r²

= ~fs (i-*² + ^²)

Wenn man in diesen Formen weiter differentiiert, so bekommt man:

(0

d³ V n²t

--- = “V5 (4 + 5 7/2 -f- 3 7/2 t² 4- 7/4)

d qp³

(g)

di v r?2

d ^    (4 — 4 <2 ₊ 9 V2 ₊ 10 jfi t² — 3 7/2 «4 4- 6 7/4 4- 14 7/4 t² 4- 12 7/4 «4    7/Ö)    (h)

Mit Hilfe dieser Ableitungen kann man auch F von einer Breite cp auf eine benachbarte Breite reduzieren, denn man hat nach dem Taylor sehen Satze für eine Breite cp' einen Werth V entsprechend folgender Beihe:

(i)

oder

F' = Fl

(qp' — qp) 7/2 t

F2

+ (qp' - qp)² • • • j

(k)

Damit hat man auch die Reduktion der Krümmungs-Halbmesser von einer auf die andere Breite, z. B.:

(qp' — qp)

N _ F'

ÎV7 _ ~F“ ¹

Später wird davon mehrfach Gebrauch gemacht werden.

F2

t/² t -+- (qp' — qp)² ...

§ 35. Meridianbogenlängen.

Der Meridian-Krümmungs-Halbmesser in der Breite qp ist nach (17) und (21) § 32.:

(1)

oder

a(l — e²)

W 3

Ein unendlich kleiner Meridianbogen für die Breitendifferenz d cp ist daher = M d qp und der ganze Meridianbogen vom Äquator mit qp = 0 bis zur Breite cp ist

<p

v

e2)./i

dcp

<p

oder

-f

dcp

(2)

y( 1 — e² sin² qp)¹

Dieses ist ein elliptisches Integral zweiter Gattung; davon ist jedoch bei der Rektifikation für geodätische Zwecke nicht die Rede, indem hier Reihenentwicklungen angewendet werden, die nach Umständen bei weniger oder mehr Gliedern abgebrochen werden.

y(l +e'² cos²qp)¹

1. Integration nur bis e² einschliesslich, mit a und e².

Wenn man nur bis e² einschliesslich entwickeln will, so schreibt man die zu integrierende Funktion (2) kurz so:

(1 — e² sin² qp)!

Q

= (1 — e² sin²cp)~I = 1 + — e² sin² qp —t— e² ...

(3)

Hier ist nach bekannter goniometrischer Formel:

sin² cp = J:

cos 2 qp

(4)

und das Integral:

j'cos'Zcp dcp —

sin 2 qp

(5)

Damit wird das allgemeine Integral in (2):

dcp

j y( 1 — c² sin² qp)¹ Das bestimmte Integral zwischen den Grenzen cpi und qp₂ ist daher:

CO joo

(6)

folglich der Meridianbogen m selbst zwischen den Grenzen qpx und qpa nach (2) und (7) :

(()P2 — <jTl) —

-|-e² sin (qp₂ — qpx) cos (qp₂ + <jP₁)j (8)

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

14

3

₀ e² (sin 2 qp₂ -— sin 2 qpj)

<?

j • ■ ■ dcp — ^1 + e²j (qp₂ — qpi) — e² sin (qp₂ — qr^ cos (qp₂ + qpi)

(7)

<Pt

Wenn man hier die Sinus-Reihe anwendet, nämlich nur deren zwei erste Glieder:

(<P2 — qpi)³ ,

sin (qp₂ — <]Pi) = (qp₂ — qpj)

so erhält man durch Einsetzen dieser Glieder in die vorhergehende (8):

/    3    8    1    \

w = a (qp₂ — qpj) (1 — e²) ( 1 + ₄ e² —Ą e² cos (<jP₂ + <Pi) + -g- ■e<l ($2 — fl)² ßos (qp₂ + 9i)J (⁹)

Obgleich in diesem Ausdrucke alle Glieder von der Ordnung eH und darüber vernachlässigt sind, kann man doch zu vielen Zwecken davon Gebrauch machen; ja man kann noch mit einem kleinen weiteren Opfer an Genauigkeit einen sehr praktischen Satz ableiten, der sich auf den Meridian-Krümmungs-Halbmesser der Mittel-

breite    bezieht. Dieser Meridian-Krümmungs-Halbmesser ist nach (1) :

a (1 — e²)

M' =

1 — e² sin²

cPi -hn)l

dieses ebenfalls bis auf e² einschliesslich entwickelt, giebt:

M' = a (1 —

«2)

und mit Anwendung der goniometrischen Formel (4) für sin² qp :

e² —

-Ę c² cos (q>i 4- qp₂)j

Nimmt man nun diesen Krümmungs-Halbmesser M' als Kreisbogen-Halbmesser zu einem Centriwinkel <jp₂ — qp], so erhält man einen entsprechenden Meridianbogen:

m! = M' (qp₂ — cp₁) = a (qp₂ — qp,) (1 — e²)

(i¹ + 4 e2) - Te2 cos (9i ■+■ qp₂)j (10)

Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem früheren (9), so findet man in den ersten Gliedern völlige Übereinstimmung, man hat also auch sofort im zweiten Teil die Differenz:

m' — m —

e2

— « (qp₂ — qpi) (i — e²) -g- (g>2 — <Pi)² cos (9>i + qp₂)

oder genähert, zugleich mit Zufügung des nötigen g:

m' — m —

e2 /qp₂ — qpjN -a-8{—g—)

cos (qp₂ + qp₂)

(H)

Dieses ist der Fehler, der begangen wird, wenn man, nach (10), einen Ellipsen-Meridian-Bogen als Kreisbogen behandelt, dessen Halbmesser der Meridian-Krümmungs-

Halbmesser für die Mittelbreite ^ ~1~ — ist.

Zunächst sieht man aus (11), dass der Fehler m'—m verschwindet, wenn qp, 4- qp₂ = 90°, d. h. wenn die Mittelbreite = 45° ist (vorbehaltlich der vernachlässigten Glieder von der Ordnung e⁴) u. s. w.

Im übrigen berechnet man nach (11) zur Übersicht, dass für qp₂ — qpx = 1°

und für <^¹    = 30° oder 60° der Fehler = —0,014"* oder = 4- 0,014m wird und äussersten Falls mit qp = 0° oder qp = 90° bringt der Fehler für qp₂ — qpi = 1° nur — 0,028m oder -f- 0,028m. Man kann daher kurz sagen, dass in den Breiten von Mitteleuropa ein Meridianbogeri von 1⁰ Ausdehnung nach dem Näherungsverfahren von M für die Mittelbreite, innerhalb lcm genügend ist. Wir werden am Schlüsse dieses Paragraphen nochmals darauf zurückkommen.

Integration bis e¹⁰.

Man kann das im vorstehenden angewendete Verfahren beliebig weit fortsetzen ; es besteht im allgemeinen darin, dass man die zu integrierende Funktion (1 — e²sin² qp)⁻* nach Potenzen von e² sin² qp entwickelt und dann die Potenzen sin² qp , sin⁴ qp , sinS cp u. s. w. in cos 2 qp , cos 4 qp , cos 6 qp u. s. w. ausdrückt und dadurch integrierbar macht. Hiernach haben wir:

W*

3    3 5    3 5 7

= (1 — e² sin² qp)⁻l = 1 —j—^ e² sin² cp + 9-    c⁴ sin⁴ qp -(- ~ ^ -g- eß sin6 qp

. 3 5 7 9 a . a 3 5 7 9 11 ... ..    .

+ IT6 8!’-,l + ITÏ8iÔt " * + -

e⁸ sin⁸ qp +

—^ = 1 +    c² sin² qp + ~ e⁴ sin⁴ qp -j-e⁶ sin⁸ qp

-t-

315

693

128

256

ei°smi°qp (12)

Nach § 29. S. 176—177 ist hier zu setzen: cos 2 qp

sin² cp =

u

3 i    1

sim qp = -5--cos 2 qp -t- cos 4 qp

O

sin% qp =

sin^cp =

gi w gj| W œ

cos 2 qp H-

cos 2 qp -t-

cos 2 cp -h

:<*> co 1« ■> iss 2 is

cos 4 qp — -gg- cos 6 cp

cos 8 qp

45    „    '    5

cos 6 qp -i- ?rrx cos 8 qp — 25o

cos 4 qp--jg- cos 6 qp -f-

cos 4 qp —

512

128

512

cos 10 cp

Setzt man diese Ausdrücke in (12) ein und ordnet nach cos 2 qp , cos 4 qp u. s. w., so bekommt man:

W3

= A — B cos 2 cp A- C cos 4 qp — JD cos 6 qp -t- F cos 8 qp — F cos 10 cp (13)

wobei die Coëfficienten A, B u. s. w. folgende Bedeutungen haben:

43659

A = 1 + T*+Me‘+We‘° ⁺ (mie^

3 „    15

-re² A-

525

I6C4 + 5T2

e<3 +

2205

2048

e⁸ -+

65536

72765

eio -h . • •

15

105

64ß4 + 256

e6 +

2205

4096

65536

10395

eio

35

512

eß A~

315

2048

e⁸ -f-

16384

31185

«10 + ...

131072

ei° 4- ...

315

3465

16384

65536

eio + ...

693

131072

cio-j- ...

(14)

A = 1,00503 73060,48555 B = 0,00504 78492,40300 C = 0,00001 05637,86831 206,33322 0,38853 0,00070

log A — 0.002 1821-827 v log B = 4.504 8414-798 log C = 5.023 8196-289 logD= 2.314 5691-6 log E = 9.589 4246 log F = 6.845 10

Der letzte Coefficient F, welcher nur von e¹⁰ abhängt, wird verschwindend klein, aber in den übrigen Coëfficienten bringen die Glieder mit ei° doch noch kleine Beträge, welche die schliessliche Abrundung noch teilweise beeinflussen.

Indem man nun die Funktion (13) integriert, hat man:

Jcos 2 qp =

sin 2 <jp

j^cos 4 q) =

cos 4 qp u. s. w.

(15)

also mit Zusetzung des Faktors a (1 — e²) von (1) und (2) wird der Meridianbogen B vom Äquator bis zur Breite qp ausgedrückt durch die Beihe:

B = o(l-e2)^

B    C    D    E    F    \

2 sin    2 qp- -f- --    sin 4 cp--—    sin 6 qp +- ~ sin 8 qp —    ^    sin 10 qp J

Man hat mit den Coëfficienten (14) auszurechnen:

Aa{l — e²)

C>°

= 111120,61962

log = 5.045 7946-544

pq |<m o C| |co pq ]oo ł |o

a (1 — e²) = 15988.63853

log = 4.203 8114-841

a (1 — e²) =

16,72995 380

log= 1.223 4947-417

a (1 — e²) =

a (1 — e²) =

a (1 — e²) =

0,02178 4772

0,00003 07659

0,00000 00443,44

log = 8.338 1530-1

log = 5.488 0696

log = 2.646 84

(16)

Anmerkung. Dieselbe Reihenentwicklung, in etwas anderer Form und ausgedehnt bis «*² findet sich in „Theorie der Projektionsmethode der Hannover sehen Landesvermessung von Oscar Schreiber, Hannover 1866“, S. 18. Es ist dort zur Vermeidung von Brüchen e — Ae, oder e² = 16es gesetzt und der Faktor (1—«²) in den einzelnen Coëfficienten ausmultipliziert, wodurch die folgende unserer (15) entsprechende Formel entsteht :

(15 a)

Meridianbogen B — a (A<J> — A, sin 2 ÇP + A₃ sin i <p —...)

+ — As = 3 A₃ — 2Ak = HMS = ⁼

A =1 —4f² —12 8* — 80 s⁶— 700 s«— 7056 6*° — 77616 6‘2 6 6² + 24 6* + 180 e⁶ + 1680 ft« + 17640 fi‘° + 199584 e*2 15. . + 180. .+2100 6 +25200 . . +311850.. + 160. . + 2800 . . + 44100 . . + 646800 .. + 315.. + 8820 .. +174636 . .

+ 5540 . . + 199584 ..

+ 2002 . .

Integration bis e'¹⁰.

Wir wollen die Coëfficienten (16) zunächst stehen lassen und die Integration nochmals von neuem beginnen in der zweiten Form mit c und e'²; es wird dabei nochmals dasselbe herauskommen, wie auf dem ersten Wege, was als Probe erwünscht ist. Nach der zweiten Form von (1) oder (2) haben wir zu behandeln :

- g = (1 -+- e'² cos² qp) -f = 1--e'² cos² <jp 4-    ~ e'4 cos4 cp--1- y e'6 cos⁶ cp

3 5 7 9 ,Q a 3 5 7 9 11 1n ⁺ I4ïïe eos ^"ÏTÏIlÔ6    cos ^

1    B    15    Bo    315

= 1 —    e’2 cos2 ^ 4- -g-e'⁴ cos⁴ cp — — e'6 cos⁶ cp -+- ^ e'8 cos8 qp

Nach § 29. S. 177 hat man:

cos² cp = ^ -+- —— cos 2 cp

cos⁴    cp =    g - 4-    ~    cos 2 cp -+-    ÿ    cos 4 qp

«    5    15    o    3    ,    1

cos⁶ cp =    4- -gg- cos2qp -t- — cos4qp4- cosbcp

35    7    7    1    1

cos⁸ qp = —+ —-cos2qp+g2Cos4qp-h y, cos 6 qp-h y g cos 8 qp

cos 2 qp 4- || cos 4 qp 4- y₉ cos 6 qp 4- ~ cos 8 qp 4- ^ cos 10 $

h-*

CM CO

c„slo„₌ +

H—*

OT O

256

e'¹⁰cos ¹⁰qp (17)

Wenn man diese Ausdrücke in (17) einsetzt, und nach cos 2 qp , cos 4 qp u. s. w. ordnet, so bekommt man:

VS

— B' COS 2 go 4— C COS 4 y — jy COS 6 y — E' cos 8 y — F' COS 10 y

(18)

wobei die Coëfficienten A' , B' u. s. w. folgende Bedeutungen haben:

3    45

Xe +

³ V2 15 e 2

— e'4 —

64

e'6 +

11025

16384

e'8

43659

16

e'6 —

2205

2048

e'8

65536

72765

e'io+ ...

15

64

e'4 —

e'6 +

2205

4096

e'8

4-

e'6

315

2048

e'8 +

65536

10395

16384

31185

e'io+ ...

e'104- ...

131072

e'io+ .. .

E' =

315

16384

e'8

3465

65536

e'i°+ ...

F' =

693

131072

In allen diesen Entwicklungen von (17) bis F' treten dieselben Zahlencoëffi-cienten auf wie früher in (12) bis F, nur mit anderen Vorzeichen. Man bemerkt auch, dass in der Gruppe der Coëfficienten A! B' C... jede Vertikal reihe die Summe = Null giebt, so dass im Ganzen entsteht :

A' B' 4- C 4- D’ + E' + F' = 1

Dieses hat auch einen inneren Sinn, nämlich mit = 90° wird

cos 2 tp — — 1 , cos 4 q> = + 1 , cos 6 ip = — 1 u. s. w. und damit wird nach (18):

= A’ + B' + C + D' + E' + F' = 1

und allerdings muss mit g> = 0 der Ausdruck F2 = 1 + e'2 cos² <p = 1 werden. Etwas ähnliches findet bei der früheren Entwicklung mit W bei (13) statt, indem mit q> — 0° ebenfalls W — 1 werden muss. Jedenfalls ist die Beziehung A' -+- B' 4- C ... = 1 eine angenehme Probe für die Coëfficienten A' , B'..., womit zugleich auch die früheren Coëfficienten A , B... kontrolliert sind.

Die Ausrechnung der Zahlenwerte von A' B' u. s. w. mit dem Bessel sehen log e'² = 7.827 3187-833 hat gegeben :

A' = 0,99499 21245,07507 B' = 0,00499 73968,22747 C = 0,00001 04582,03528 204,27152 0,38465 0,00072

log A' = 9.997 8196-433 \ log B' = 7.698 7438-364 i log C = 5.019 4570-894 ( log D' = 2.310 2078-2    /'

log E' = 9.585 0657    \

log F' = 6.857 33    /

Die Weiterrechnung nach der Integration giebt dann, ganz wie früher bei der Eechnung mit W :

I)' =

F' =

(19)

A'

Q°C

= 111120,61962

log

B'

2 e= 15988,63853

16,72995 380

log

D'

6~C =

0,02178 4832

log

E'

0,00003 07662

log

F'

0,00000 00460,71

log

S| ^ oo| ts c»| b o «>oj ta tu

c = 5.045 7946-544

c = 4.203 8114-842

c = 1.223 4947-417

c = 8.338 1542-1

c = 5.488 0733

c = 2.663 43

(20)

roc=

Die beiden Ausrechnungen (16) und (20) stimmen so nahe überein, als es bei den unvermeidlichen Abrundungen erwartet werden kann. Die ganze Rechnung ist damit genügend kontrolliert, und wir bilden daraus im Mittel : die Formel für den Meridianbogen B vom Äquator bis zur Breite cp:

B = a cp    -h ß sin    2 cp + y sin 4 cp Ô    sin 6 cp    -j-    e sin 8 cp -+- ^ sin 10 cp

B = 11    1120,61962 cp —    15988,63853    sin 2 cp    -h    16,72995 38 sin 4 q>

—    0,02178 480    sin 6 qn    -ł—    0,00003 0766 sin 8 cp

—    0,00000 00452 si»i 10 cp

Das letzte Glied mit sin 10 <p ist für alle im folgenden beabsichtigten Berechnungen nicht mehr von Bedeutung, wir wollen es deshalb ganz weglassen in der nachstehenden Formel, welche statt der Coëfficienten selbst deren Logarithmen giebt:

B = [5.045 7946-544] cp. — [4.203 8114-842] sin 2 cp + [1.223 4947-4] sin 4 q>

—    [8.338 1536] sin 6 q + [5.48807] sin 8 q.

(21)

Im ersten Glied von (21) oder (22) ist qp in Graden zu nehmen; wenn man in Minuten oder in Sekunden rechnen will, so wird das erste Glied:

log = 3.267 6434-040 | log = 1.489 4921-536 }

1852,01032 72m 30,86683 879

für r , 1”

Die Formel (21) giebt sofort eine wichtige Anwendung; mit qp = 90° werden sin 2 qp, sin 4 qp u. s. w. alle = Null, und man bekommt den Meridianquadranten :

(23)

Q = 10 000 855,7658 Meter Man drückt das häufig auch so aus, dass man sagt, es sei

(24)

= 11 1120,61962 Meter

der mittlere Meridiangrad.

Wenn man die Bedeutung des ersten Coëfficienten « in (21) nochmals aus (16) und (13) einsetzt, so erhält man :

A ajl — e²)

= a (1 — e²) £. A e = o(l-e2)-|(l + |-e2 + ⁴⁶

<5 =

90°

64*⁴ + ...

(24 a)

64 e4~--

Wir wollen bei dieser Näherung stehen bleiben und nach (7) § 31. S. 189 die Abplattung a einführen, nämlich mit:

e² = 2 « — a²

(24 b)

Setzt man dieses in (24a) und ordnet nach Potenzen von «, so erhält man: „ 7i a a2 Q-a~2\¹~~2⁺lß.

Von dem Klammerfaktor kann man auch den Logarithmus entwickeln, wodurch

man findet:

«2

₇ L a , a²\ f a «²\ n /    « \²

log (1 -T + ^j = fi (-T + f6j - y (“g j ⁼    lT⁺ 16

Die Formel (24b) haben wir schon in unserer Einleitung S. 8 bei Gelegenheit der älteren Gradmessungen erwähnt, und um für solche Fälle leicht den Quadranten aus der grossen Axe und der Abplattung a oder umgekehrt berechnen zu können, haben wir dazu folgendes Hilfstäfelchen gebildet:

**t(

1-^

«2

2 ~~ 16

1 :280 1 : 285 1:290 1: 295 1 : 800

0.195 3440 0.195 3577 0.195 3708 0.195 3835 0.195 3957

H-* t—l H-‘ t—l

rorococof-

to <i H ^3    '

1 :300 1 : 305 1 : 310 1 : 315 1:320

0.195 3957 0.195 4076 0.195 4191 115 0.195 4303 0.195 4410

119

112

107

Eine zweite naheliegende Anwendung von (21) oder (22) bekommt man mit qp = 45°, damit wird 2 qp = 90°, 4 qp = 180°, 6 qp = 270°, also :

(25)

B*⁵ = 5 000 427,882900 — 15988,638530 + 0,021785 = 4 984 439,266155™

Dieses ist der Meridianbogen vom Äquator bis zur Mittelbreite = 45°, der andere Teil von 45° bis zum Pol ist erheblich grösser, nämlich:

B™ = 50 15416,4996-

Nach der Formel (21) oder (22) haben wir die 30 Werte von cp - 30° bis cp = 60° berechnet:

(26)

Meridianbogen B vom Äquator bis zur Breite cp.

(27)

cp

<P

4 429 084,790-4 540 116,998 4 651 168,472 4 762 239,302 4 873 329,553

4    984 439,266

5    095 568,459 5 206 717,124 5 317 885,233 5 429 073,732 5 540 279,543

50°

Zur Vergleichung wollen wir auch einige Zahlen aus fremden Tabellen zuziehen, nämlich: 1) Encke, Berliner astronomisches Jahrbuch 1852, Tafeln für die Gestalt der Erde S. 374—381, giebt diese Meridianbögen B in Toisen, welche in der nachfolgenden Vergleichung in Meter verwandelt sind. 2) F. G. Gauss, Die trigonometrischen Rechnungen in der Feldmesskunst, zweite Auflage 1893, II. Teil, S. 4—27. 3) Hartl, Tafeln, enthaltend die Ausmasse der Meridian- und Parallelbögen 1895 („Zeitschr. f. Verm.“ 1896, S. 28—30).

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

5 540 279,543-5 651 505,565 5 762 750,675 5 874 014,723

5    985 297,540

6    096 598,931 6 207 918,679 6 319 256,544 6 430 612,266 6 541 985,560 6 654 376,122

Vergleichung verschiedener Berechnungen von B.

(28)

cp

Jordan

Encke

F. G. Gauss

Hartl

30°

35

40

45

50

55

60

3 319 786,510-

3    874 208,046

4    429 084,790

4    984 439,266

5    540 279,543

6    096 598,931 6 654 376,122

,511"

,047

,791

,270

,544

,932

.121

O CD o

h a

,265"

,542

,929

■—¹ To '<y< To "--1 To "an » w ^ o>

CD CO

Die kleinen Differenzen von Millimetern, welche sich hier zeigen, scheinen ihren Grund in den verschiedenen Annahmen der letzten Stellen der Bessel sehen Erddimensionen zu haben, von welchen wir in § 31. S. 190—192 gehandelt haben.

Die Hilfstafel auf S. [38] unseres Anhangs, welche die in den vorstehenden Formeln mit B bezeichneten Meridianbögen vom Äquator bis zur Breite cp giebt, ist nur in ihrem ersten Teil, von 40° bis 44° von uns berechnet und zwar mit etwas anderen Konstanten als in vorstehender Formel (21) oder (22). Der übrige Teil von 44° bis 56° ist ein Auszug aus F. G. Gauss, Die trigonometrischen und polygono-metrischen Rechnungen der Feldmesskunst, 2. Aufl. 1893, II. Teil, S. 4—27.

Meridianbogen zwischen den Breiten cpi und cp₂.

Wenn man die Länge eines begrenzten Bogens m, zwischen cpi und cp₂, haben will, so kann man diesen sofort aus (21) haben, nämlich:

m = a (qp₂ — (jPi) -I- ß sin 2 (<jp₂ — qpj) 4- y sin 4 (<p₂ — qp!) -+- ö sin 6 (qp₂ — qpj) -4- — (29)

Dieses wollen wir goniometrisch umformen, und dabei setzen :

<JP2 — qpi = z/ qp

<P2 + <Pl _

-2    ’ — " o

Damit wird (28) :

m = a dcp ■+■ 2ßsind cp>coscp₀ 2 y sin2 dcp cos2 qp ₀ 4- 2 Ô' sin 3 z/ qp cos 8 qp₀ -t-.. • (30) Da die ausgerechneten Coëfficienten a, ß, ^ u. s. w. in (21) und (22) gegeben sind, kann man hiernach sofort für jede Mittelbreite qp₀ den Bogen m ausrechnen. Wir wollen d cp = 1<> setzen, und bekommen damit den Meridianbogen mx von 1° Weite mit der Mittelbreite qp mit ausgerechneten Coëfficienten:

ml = 111120,61962 - 558,080436 cos 2 <p 4- 1,167734 cos 4 <p — 0,002280 cos 6 cp ■+■ 0,0000043 cos 8 cp

(31)

oder mit Logarithmen :

mx = 111 120,61962 — [2.746 6967-983] cos 2 <p 4- [0.0673439-0] cos 4 qp

— [7.357 984] cos 6 cp — [4.63268] cos 8 qp

(32)

Nach diesen Formeln (30)—(32) kann man jedes Meridianbogenstück ausrechnen, wenn es sich aber um Bögen von nur 1° oder von wenigen Grad handelt, und wenn man eine Tafel der Meridian-Krümmungs-Halbmesser bereits hat, so kann man eine viel bessere Reihe auf folgende Weise finden:

Wir betrachten einen Meridianbogen m, welcher zwischen den Breiten cp und qp 4- d cp liegt, dann wird man nach dem Maclaurin sehen Satze entwickeln können : d m

d cp

d Cp 4-

d qp² d² m d qp³ d³ m ⁺ d qp³

2 d(jp²

(33)

Nun wissen wir von (1) und (2) S. 209: d m

d cp

V3

(34)

V = }/1 4- e'2 qp2 cos2 qp ₌ -j/i 4_ ^2    }

3 C 7/2 t

sü a

7/² t

d²m d cp²

Wenn man in diesen Formen weiter differentiiert, so erhält man:

fÿü = 4r -Î² (1 - + r? + 41V) = Tl-

3c dV

V± dep

F5

(35)

7;2 (1 — ß 4- J?² 4- 4 7?2 f2)    (36)

dabei gehört M , if , t zu cp.

Im Anschluss hieran kann man nun noch eine viel bessere Formel nach dem Prinzip der Mittelbreite (vgl. § 29. S. 178—179) herstellen:

A cp

liegt, wo also cp die Mittelbreite und A cp die Weite ist. Der Bogen

Nach diesen (34)—(36) kann man die Formel (33) zusammensetzen:

Q 71/    71J

MA g + y ~~ rp t A g² -+-    V² (1 — t² 4-    4- 4 g² t²) A g³

Zur Sicherung der Vorzeichen wollen wir dieses auch noch schreiben mit A g = g' — cp und vi — B' — B, wo B und B' die Meridianbögen vom Äquator bis <p und <p' sind, also (37) in zweiter Form:

3 M

— B — M(cp' — (p) +-y--yz V² t (cp' - cp)2 4- (cp¹ - qp)3 + ...

vi — B'

(37)

(38)

Wir betrachten einen Meridianbogen m, welcher zwischen den Breiten <p und <jp +

vi wird dadurch ebenfalls in zwei Teile % und «i₂ zerlegt, für deren nördlichen nach dem Maclaurin sehen Satze eine Reihe gelten wird :

dm\ A g

eine entsprechende Reihe gilt für den südlichen Teil w₂, nämlich:

fdni\Acp 1 fdzvi\ (A cp\2    1 /d³m\/Acp\s

~ ~ [ägj "2 ' ⁺ T (dg?) \1r) ~ 6" (dg)3) (~2~ )■ ⁺ * * *

durch Subtraktion findet man hieraus:

vii 4- vi₂ =

/dm\ .    (dßm\Ag3

m=(d^l/,f ⁺ [ä^ ) 14

(39)

Die hiezu nötigen Ableitungen sind im Vorstehenden (34) und (36) entwickelt, man kann daher alsbald die Formel (39) zusammensetzen, zugleich mit Zufügung der nötigen p:

y₄ T]² (1 - t² 4- t]² 4- 4 fj² t²)

und mit Einführung einer Abkürzung g und y haben wir:

— — 4- g A g3 Q

ni = M

wobei

A gß

e³

(40)

(41)

§t 9 =    O -    + >!² + ⁴ !/² iz)

(42)

(43)

Die hiernach berechneten Werte g und y sind in nachfolgender Tabelle mitgeteilt. Dieselbe enthält für A g = 1⁰ die Korrektions-Glieder g und y für Meridian-Bogen-Rektifizierung mit dem Krümmungs-Halbmesser der Mittelbreite g.

0°

5°

10°

0,0281™

0,0277

0,0264

<r>

<f>

15°

20°

25°

0,0244

0,0217

0,0183

0,00091"

0,00090

0,00086

0,00079

0,00070

0,00059

30°

35°

40°

45°

0,0143

0,0099

0,0051

0,0002

0,00046

0,00032

0,00017

0,00001

45° -+- 0,00024™ 46° — 0,00075 47° —0,00174 48° ; - 0,00273 49° —0,00372

50° —0,00470 51° —0,00567 52° —0,00664 53° — 0,00761 54° — 0,00856 55° — 0,00951

— 0,000008" + 0,000024 + 0,000056 4- 0,000088 + 0,000120

55°

60°

65°

70°

75°

0,0095™

0,0140

0,0182

0,00031"'

0,00045

0,00059

+ 0,000152 + 0,000184 + 0,000215 + 0,000246 + 0,000277 + 0,000308

80°

85°

90°

0,0217

0,0247

0,0268

0,0281

0,0286

0,00070

0,00080

0,00086

0,00091

0,00092

Diese Werte g sind im wesentlichen dasselbe, was die früher bei (11) S. 210 bis 211 angegebenen Beträge m — in', d. h. die negativen Fehler.

Zu einem Zahlenbeispiel wollen wir den Meridianbogen zwischen den Breiten 47° und 53°, also 6° Weite mit der Mittelbreite qp = 50° berechnen, man hat zuerst-nach der Tafel des Anhangs, S. [20] und [21] log M = 6.804 2916-0 oder sofort

log - = log [1] = 8.510 1335-3. Oder wenn wir noch schärfer rechnen wollen, so

nehmen wir von S. [5] des Anhangs für cp = 50°, log V = 0.000 6020-131 also log F3 = 0.001 8060-393, dazu von § 81. S. 193 log q — log c = 8.508 3274-897, so dass man zusammen hat log [1] = 8.510 1335-290, was mit 6° = 21 600" das Hauptglied der Formel (41) giebt:

m' = -

21600

[1]

= 667 298,613“

und dazu kommt noch nach dem vorstehenden Korrektionstäfelchen für qp = 50° und d cp = 6° der Betrag:

— 0,00470 x 63 = — 1,015”».

Dieses zum vorigen hinzugefügt giebt:

m = 667 298,613™ — 1,015™ = 667 297,598™.

Zur Vergleichung hat man von der Tabelle (27) S. 216:

für =47° »    =53°

'S 'S

B = 5 206717,124™

B = 5 874014,723

667297,599™

Differenz

Dieses stimmt mit dem vorhergehenden auf l™m, was genügend ist.

Die Genauigkeit der Berechnung nach der Formel (41) ist sehr gross, denn

M

das nächste vernachlässigte Glied ist nur von der Ordnung    d cp⁵ e'² cos 2 cp, was

für einen Breitenunterschied von 10° zwischen 45° und 55° nur 7mm ausmacht, jedoch wegen des Faktors cos 2 <p erheblicher wird, wenn die Mittelbreite cp weit von 45° abliegt.

A B = 600 : [1] = 18586,389”*

Um daher den Meridianbogen von 50° 0' bis 50° 10' zu berechnen, nimmt man einfach von Seite [32] des Anhangs für cp = 50° 5' den Wert log [1] = 8.510 1272-8 und rechnet damit

Ein zweites Beispiel soll die Benützung der Tafel Seite [38] und der Coëf-ficienten [1] zeigen:

Es sei gegeben die Breite des Punktes Celle (welcher einer der 40 Preussischen Kataster-Coordinaten-Nullpunkte ist) nämlich:

q>o = 52° 37' 32,6709"

und es soll dazu der Meridianbogen B vom Äquator bis zu dem Punkte Celle aus der Tafel Seite [38] des Anhangs gefunden werden. Man hat zunächst

für cp = 52° 30' : Bx = 5818 380,341”* und A cp = 7 32,6709" = 452,6709"

Die Mittelbreite für den Überschuss ist 52° 33'46,3" und damit entnimmt man von Seite [33] den Wert log [1] = 8.509 9429-9, womit man logarithmisch weiterrechnet A B = A cp : [1] = 13990,705, was zu dem obigen Bx zugefügt giebt B₀ = 5 83271,046”*, und dieses ist der gesuchte zu <jp₀ gehörige Meridianbogen wert, den man durch Benützung der zweiten Differenzen auf Seite [38] ebenso finden muss (in der 3. Aufl. dieses Bandes, 1890, S. 208, mit zweiten Differenzen berechnet = 583271,045”*).

¹

...dcp = (\ + ^-e²^ (qp₂ — qpi)

²

Vi

oder im zweiten Gliede goniometrisch umgewandelt:

§ 36. Parallelkreisbögen.

Nachdem wir die Meridianbögen gründlich behandelt haben, sind auch noch

(1)

Wenn man etwa die von 1° zu 1° berechneten Meridianbogen B der Tabelle (27) S. 216 weiter interpolieren will, so rechnet man am besten die Differenzen nach der Formel (41), wobei das Glied mit g fast gar nichts ausmacht, z. B. für cp = 50° und

0,00470m

A cp = 10' wird y A cps

nur =

216

= 0,00002m.

die damit verwandten Parallelkreisbögen zu erledigen, wozu keine weiteren Entwicklungen nötig sind, denn nach Fig. 1. S. 188 und Fig. 1 S. 194 ist der Parallelkreis-halbmesser für die Breite qp :

x = N cos cp

Q

wobei wir N = als bereits berechnet voraussetzen. Damit hat man auch den Parallel

bogen für die Länge À:

À    XX

L = x — = N cos cp — = pj cos T

(2)

Die zweite oder die dritte dieser Formen wird man nehmen, wenn man N oder [2] = ^ aus unseren Anhangstafeln Seite [8]—[35] benützen will. Um noch genauer,

etwa lOstellig zu rechnen, hat man log V aus der besonderen Tafel dafür S. [2]—[7] des Anhangs zu entnehmen, und dann ist:

wobei für X in Graden, Minuten oder Sekunden gilt: für Grade = 5.047 9750-111

für Minuten

für Sekunden

log C Q

3.269 8237-607

1.491 6725-103

Hiernach sind folgende Werte berechnet, zu etwaigen Weiterbenützungen mit mehr Stellen als für gewöhnlich nötig.

Parallelkreisbögen.

<jp

X = 1°

45°

46

47

48

49

50°

51

52

53

54

55

78837,29341"*

77453,91115

76046,76765

74616,28344

73162,88715

71687,01462

70189,10917

68669,62128

67129,00870

65567,73593

63986,27472

1313,954890”*

1290,898519

1267,446128

1243,604724

1219,381452

1194,783577

1169,818486

1144,493688

1118,816812

1092,795599

1066,437912

21,88924817"

21,51497532

21,12410212

20,72674540

20,32302421

19,91305962

19,49697477

19,07489480

18,64694685

18,21325998

17,77396520

Verschiedene Tafelwerte von berechneten Parallelkreisbögen giebt unser Anhang auf Seite [36]—[37] , [40] und [41].

Die Parallelbögen werden ausser auf Grade, Minuten und Sekunden, auch auf Zeitmass, Stunden, Minuten und Sekunden reduziert, was astronomischen Zwecken entspricht. Es ist deswegen auf Seite [43] auch eine Tafel für Verwandlung von Bogen in Zeit und umgekehrt gegeben, und auf Seite [40] sind die Parallelbögen für 1' und 1" in Bogen, dazu aber auch für 1 Minute und 1 Sekunde in Zeit gegeben, als Näherungswerte, die z. B. zu astronomischen Ortsbestimmungen auf Beisen nützlich sind.

§ 37. Oberfläche des Erd-Ellipsoids.

Zur Oberflächenbestimmung denkt man sich das Ellipsoid durch Meridiane und Parallelkreise in Trapeze zerlegt, deren Differentialformel sich leicht angeben lässt.

AC= N , AE = M D A = N cos ty AA' = DAdX A A' = Neos <fdX

Als Differential betrachtet hat das Trapez ABB' A' die Fläche d T = A B X A A',

d T = M N cos qp d X d qp

und die ganze Zone A AB B mit X = 2 n zwischen den Breiten qp und d qp wird:

d Z — 2 MNn cos qp d qp

Fig. l.

AB = Md cp

Md<P

also :

(1)

(2)

p‘

Es mag auch daran erinnert werden, dass man ein solches Zonenelement d Z zwischen zwei unendlich nahen Parallelkreisen auch als Kegelfläche auffassen kann, welche nach einem elementarstereometrischen Satze erhalten wird als krumme Oberfläche eines Cylinders, dessen Höhe gleich der Höhe der genannten Zone ist, und dessen Halbmesser gleich der Länge derFlächennormalen N ist. Mit Bezug auf Fig. 2. hat man daher: Zonen-Flächen-Element d Z = 1 Nit h.

Es ist aber:

dh=zds cos CP und ds = M dCP also d Z=2 MN rr cos 9> d <P, ebenso wie oben (2).

Da M N = r² ist, kann man die Formel (1) auch so schreiben :

dh'i

ds

<pVV

Fig. 2.

Idh

(3)

so wird:

d Z = 2 r² n cos qp d qp Setzt man für r² nach (24) § 32. S. 197 seinen Wert und zugleich cd (1 — e²) = &²,

d Z — 2 6² n

cos cp

(1 — e² sin² (jp)²

(4)

Dieses ist das Flächen-Differential einer Zone des Ellipsoids zwischen den Breiten cp und cp 4- d cp, also die Zonenfläche selbst, allgemein :

” ^ nJ (1 — e² sin² cp)²

cos cp

d cp

(5)

Hier kann man entwickeln:

<1 — e² sin² q)²

= (1 — e² sin² cp)~² = 1 +

(—J--) e² sin- cp 4- ^

— 2 — 1..... 2

-j e* sini cp: 4- .

= 1 + 2 «² sin² cp 4- 3 ei sin⁴ cp 4- 4 e® sin⁸ 4- 5 e⁸ sin⁸ qp 4— ...

= cos cp 4- 2 <ß cos cp sin² cp -+- 3 e⁴ cos cp sini qp 4- 4 e⁸ cos cp sin⁸ cp 4- ...

Die zu integrierende Funktion ist also nach (5): cos cp

(1 — e² sin² qp)²

Diese Glieder lassen sich einzeln unmittelbar integrieren, denn es ist allgemein:

fcos cp sin" cp d cp =

n 4-1

also, mit mehrfacher Anwendung dieses Integrals:

sin“ ⁺¹ <p

J (i—Xftfly)² dCp= SiU <( + T "2 sin3 + 5 e4 Sin’° * ⁺ 7 e6 Sin~ ⁹ • • •

Wenn man also auf (4) zurückgreift, und die Grenzen 0 und cp einführt, so •erhält man die Zonenfläche vom Äquator bis zur Breite cp :

2 b² TI

(    2    3    4    5    \

[ sin cp, 4- — e- sin3 <p 4-— e⁴ sin⁵ cp 4- -y eß sin" cp 4- ^ e⁸ sin⁹ q> 4-... ) (6)

Wenn man diesen Wert selbst haben will für verschiedene cp, so kann man geradezu hiernach rechnen, indessen für Zonenflächen zwischen je zwei Breiten qq und qp₂ ist es besser, die sin³ cp in sin 3 cp u. s. w. umzuformen, nämlich nach § 29. S. 116:

sw³ (jp =

sin⁵ qp =

OT MM CO

sin qp--sin 3 qp

sin qp —jg sin 3 qp +

wi <p —sin 3 qp-ł-

• «    63 .    21 . .

sm9 qp = Y2g sw qp--gj- si«3 (jp +

35

sm 5 (jp

iCO l>-

— sin 7 qp sin 7 qp -t- ~

. „    231 .    165 . _    165 . K 55

sm11 (P = gig sm ^ — 5i2 sm³ T + ₁₀₂4 sm 5 ^ — --^ nn7 qp

sini qp - ß4

CO

CO

sin 5 qp

-gj- sin 5 qp

256

256

sin 9 qp

11

1024

sin 9 qp

sin 11 qp

1024

Damit wird (5) werden:

J = 2 b² 7T (^Asincf) — B sin 3 qp -f- G sin 5 qp — D sin 7 qp 4- E sin 9 qp — .Psin 11 qpj (7)

wobei die Coëfficienten A, B u. s. w. diese sind:

. i ¹ .    3 . .    5    35

-4=1+    e² -t—g- —t- -jg- e⁶ +

e² + ^

J<N jco

128

es 4-

eio = 1,00335 39847,9231

Ï6C +“16

wr -j—tw e® 4—g₄ e⁸ 4-

192

eio ₌ 0,00112 08040,9276

80

16

eio =

16892,6070

me6 +

5

^-«⁸ +

2304 e? +

(8)

256

eio =

eio ₌

eio —

26,9384

,0438

,0001

Die Ausrechnung geschah mit dem Besselsehen Werte logé* = 7.824 4104-237.

Wenn man nun die Zone zwischen zwei Breiten qp₂ und qp₂ haben will, so hat man in (7) die Differenzen :

A (sin qp₂ — sin qpj) = 24 sin -²₀ <^>1 cos

Dabei soll zur Abkürzung geschrieben werden :

u. s. w.

hreite qp :

Damit wird nach (7) die Zonenfläche von der Weite A cp und mit der Mittel-

qp₂ — <Pi = à cp

Z = 45² n I A cos qp sin — B cos 3 qp sin 3 + C cos 5 cp sin 5 ^

E cos 9 cp sin 9 ~

A qp

A qp

D cos 7 qp sin 7

(9)

Fläche einer Grad-Abteilung.

Die Formel (8) mit dem Coëfficienten (7) giebt mit A cp = 1 ° die Fläche eines Ringes von 1° Breite, der um die ganze Erde herumgeht, d. h. 360° Länge hat. Häufiger als die Fläche dieses ganzen Ringes braucht man den 360 sten Teil derselben, d. h. eine vGrad-Abteilung“, oder ein Trapez, welches durch zwei Meridiane und durch zwei Parallelkreise, beide im Abstande von je 1°, begrenzt ist.

Die krumme Oberfläche einer solchen Grad-Abteilung mit der Mittelbreite cp

ist also: b² Ti

90

| A sin 30' cos cp — B sin 1° 30' cos 3 qp -+- G sin 2° 30' cos 5 cp

(10)

— D sin 3° 30' cos 7 cp + E sin 4° 30’ cos 9 cp —

Wenn man hier alles Konstante ausrechnet, so findet man für Quadratkilometer

cos 9 Cf>

(11)

G = 12347,58347 cos <p

—    41,37468 cos 3 cp

-+-    0,103911 cos 5 cp

Die Messtischblätter der Preussischen Topographie im Massstab 1: 25 000 haben in der Breite A <p = 6' und in der Länge 10', und hiefür wird :

| A sin 3' cos cp — B sin 9' cos 3 cp + C sin 15' cos 5 cp — D sin 21' cos! cp j (12)

54Ó

o' = bA

oder mit ausgerechneten Coëfficienten, für Quadratkilometer:

G' = 205,79564 cos cp — 0,689656 cos 3 cp + 0,001732 cos 5 cp — 0,0000039 cos 7 cp (13) Die Logarithmen dieser Coëfficienten sind:

9.838 6325

2.313 4361-8

7.238 647

4.5874

Die hiernach berechneten Werte giebt unsere Tafel des Anhangs Seite [41].

Eine andere Reihenentwicklung, bei welcher die Coëfficienten A , B u. s. w. in endlicher geschlossener Form auftreten, wurde gegeben von E. Boedel, Oberpostassistent, in „Schlömilchs Zeitschr. f. Math. u. Physik“, 38. Jahrgang 1893, S. 56—60.

Integration in geschlossener Form.

Wir haben in der vorstehenden Entwicklung die Integration (4) sofort in einer Reihe behandelt, weil wir dadurch am kürzesten zu den Formeln (6) und (8) geführt worden sind, welche zum praktischen Rechnen die bequemsten sind.

Indessen kann man die Integration von (4) auch in geschlossener Form, streng ausführen, wodurch man zwar eine mathematisch elegantere Formel erhält, welche aber für die numerische Anwendung unbequemer ist als die entwickelten Reihen. Die Integration (deren Einzelheiten in der früheren 3. Auflage 1890, S. 227—228 ausgeführt waren) giebt:

z] =

Jo

2 b² 7i

sin cp

1 ,/l + « sin cp\ \

7 ¹ [ w )}

(14)

§ 38.

Mittlerer Halbmesser der Erde als Kugel.

225

Setzt man hier cp = 90°, so wird W² = 1 — e² also :

— I___,

* yi—e²l

z] =

J0

2 5² n

{r^

1+e

]/l — e²

-.90

2 Z\ =

- e² 1 .    1 + el

JUgT^re]

Dieses muss übereinstimmen mit der Formel (6), wenn man daselbst cp = 90° setzt, wodurch man erhält:

E = 4 b² 7i

/    o    q    4    5

(^1 4--g-e² + y«⁴ + ye6-|- —e8 + ...

Die Ausrechnung giebt nach beiden Formeln übereinstimmend:

E = 509 950 714,2 Quadrat-Kilometer Denkt man sich nun eine Kugel vom Halbmesser f, welche gleiche Oberfläche E haben soll, so bestimmt sich f dadurch:

(15)

(16)

f = 1/ ~ = 6 370 289,511"* rin

(17)

§. 38. Mittlerer Halbmesser der Erde als Kugel.

Die letzte Betrachtung leitet uns noch über zu der Frage, welchen Halbmesser man einer Kugel zuteilen soll, welche zu manchen Näherungsberechnungen u. s. w. dem Erd-Ellipsoid substituiert werden kann?

Der nächste Gedanke ist, das arithmetische Mittel der drei Halbaxen des Ellipsoids zu diesem Zwecke zu benützen, d. h. zu setzen:

<x -4— u —l- b

-—- - y

3

(1)

a = 6 377 397,155"* a = 6 377 397,155 5 = 6 356 078,963

Man kann diesen Wert r nach (1) auch in eine Reihe entwickeln, nämlich:

2 a -h a VT — e2 r —--

CI ■+* CI + &

= 6 370 291,091"*

(2)

H 05

e4--

16

e⁶ —...

P%--_ _

6    24    48

Nach diesem kann man die am Schlüsse des vorigen § 37. (s. oben) eingeführte Kugel betrachten, welche mit dem Erd-Ellipsoid gleiche Oberfläche E hat. Aus der Reihe für E in (15) § 37. (s. oben) folgt, dass der Halbmesser f der fraglichen Kugel sein muss:

ß6 —...

(3)

f= ayi — e2l/l + Ae2_t_-!_e4+ i «« + ...

¹ » ¹¹

~-e² +

e² e⁴ e6

T“ 8 ~16

193

45 64 + 945 ⁶⁶

e² —

17

360

e⁴

67

3024

e⁶

(4)

Die Vergleichung¹ mit (3) giebt:

- L 1

Die Ausrechnung hiernach giebt :

17

7560

(5)

(6)

f = 6 370 291,091”* — 1,577™ — 0,004™ = 6 370 289,510™

Dieses stimmt genügend mit dem früher auf zwei anderen Wegen berechneten Werte (16) § 37. S. 225.

Als dritter Mittelwert bietet sich der Halbmesser k derjenigen Kugel, welche mit dem Erd-Ellipsoid gleichen körperlichen Inhalt hat.

Der Inhalt des Umdrehungs-Ellipsoids wird bekanntlich dadurch gefunden, dass

eine Kugel mit dem Äquator-Halbmesser a, also mit dem Inhalt ~

man

n a², in der

Kichtung der Umdrehungsaxe im Verhältnis b : a zusammengedrückt denkt, d. h. es ist:

Körperinhalt des Erd-Ellipsoids = — ß3j

4

cfib

Wenn eine Kugel vom Halbmesser k denselben Inhalt haben soll, so muss sein :

3 - 0-

k = y a³ 4 b = a.y 1 — e⁵

oder

fc² = a³ b Dieses kann man entwickeln:

(7)

55

1296 ⁶ )

1*2 _

Nimmt man wieder das arithmetische Mittel r der 3 Halbaxen nach (3) zur Vergleichung, und entwickelt, so erhält man:

h = all —

e4 —

(8)

17

(9)

Die Ausrechnung giebt:

k = 6 370 291,091™ — 7,8828™ — 0,0497™ = 6 370 283,158™

Dieses ist auch in Übereinstimmung mit einer unmittelbaren Ausrechnung nach (7). Zur Übersicht stellen wir nochmals die drei gefundenen Werte zusammen:

Cl —j— (X “f- 1)

(10)

= r = 6 370 291,091™ f= 6 370 289,510™

Obgleich ohne Theorie der geodätischen Linie es nicht möglich ist, diese Wahl von r besser zu begründen, soll doch hier auch ein Satz von Grunert angeführt werden (vgl. die Litteraturangaben am Schlüsse), dass der mittlere Krümmungs-Halbmesser r = YM N zugleich das arithmetische Mittel aller Normalschnitts-Krümmungs-Halb-messer B in einem Punkte ist. Dieses wird so bewiesen :

Man hat die Summe aller Werte B nach (1) § 33. S. 199 :

2 rr

[*]

MN

M sin² a + N cos² a und die Anzahl derselben ist entsprechend n = 2 n, also der Mittelwert :

d ct

[Ä] _ 1 Y MN

n 2 tcJ M sin² a -+- N cos² « 0

Zur Integration führt man eine neue Veränderliche ein :

M da Ń cos² a

₇/ML .

y — tang a = v,

wodurch die Integration sich reduziert auf:

r äv

Und setzt man noch die Grenzen ein, so findet man:

also

= dv

1+^2

arctangv

(11)

^ = Y M N = r n

Ein zweiter Satz von Grunert heisst:

Das arithmetische Mittel der reciproken Krümmungs-Halbmesser aller Normalschnitte in einem beliebigen Punkte eines jeden Ellipsoids ist das arithmetische Mittel zwischen dem reciproken kleinsten und grössten Krümmungs-Halbmesser in diesem Punkte.

Wenn man den Krümmungs-Halbmesser für das Mittelazimut a = 45° von § 33. S. 200 zuzieht, so hat man hiernach, mit n = 2 n für Integralsummierung :

n [i] “ Y (à ⁺ w)~

Diese Grunert sehen Sätze sind entwickelt in „Grunert s Archiv der Mathematik u. Physik“, 40. Teil 1863, S. 259-354, insbesondere S. 312 und 41. Teil 1864, S. 241—296, insbesondere S. 292.

Hiezu gehört ferner: Helmert, „Die mathem. u. physikal. Théorieen der höheren Geodäsie I.“ Leipzig 1880, S. 63—68. Czuber, „Mittelwerte, die Krümmung ebener Kurven und Krümmungsflächen“ betreffend. Grunert-Hoppes, „Archiv der Math. u. Ph.“ Zweite Reihe. 6. Teil 1888, S. 294—304.

§ 39. Hilfstafeln zu geodätischen Berechnungen mit den Bessel sehen Erddimensionen.

Auf die Bessel sehen Angaben für die Erddimensionen sind schon zahlreiche Tabellen-Berechnungen gegründet worden, wie die folgende Zusammenstellung zeigt: Encke. Über die Dimensionen des Erdkörpers nebst Tafeln nach Bessel s Bestimmung. Beri. astr. Jahrb. für 1852 S. 318—381 und Separatabdruck: Enckes

astr. Abhandlungen 2. Band, Berlin 1866. Diese Encke sehen Tafeln geben zuerst die geocentrische Breite und den geocentrischen Halbmesser, dann log (N:a), Meridiangrade und Parallelgrade und Grade senkrecht auf dem Meridian, in Toisen. Ausserdem Tafel II, Meridianbogen vom Äquator bis zur Breite qp in Toisen auf 0,001 Toise.

Steinhäuser. Neue Berechnung der Dimensionen des Erdsphäroids. Petermanns geogr. Mitteilungen 1858 S. 465—468.

Bremiker. Logarithmisch-trigonometrische Tafeln mit 6 Dezimalstellen 1881, S. 520 bis 524. Gradabteilungen.

Bremiker. Studien über höhere Geodäsie. Berlin 1869. S. 70—81. Krümmungs-Halbmesser für verschiedene Breiten und Azimute.

Projektion tables for the use of the United States navy, Bureau of navigation. Washington, Government printing office, 1869. Polyconische Projection.

Wagner. Die Dimensionen des Erdsphäroids nach Bessel s Elementen. Geographisches Jahrbuch, herausgegeben von Behm. III. Band. Gotha 1870. S. I—LXI. Gradabteilungen u. s. w.

F. G. Gauss. Die trigonometrischen und polygonometrischen Rechnungen in der Feldmesskunst. Berlin 1876 und 2. Aufl. 1893, II. Teil S. 4—25, von cp = 44° bis qp = 54° Meridianbogen, log M, log N etc.

Schreiber. Rechnungsvorschriften für die trigonometrische Abteilung der Landesaufaufnahme. Formeln und Tafeln zur Berechnung der geographischen Coordinaten aus den Richtungen und Längen der Dreiecksseiten. Erste Ordnung. Berlin 1878. Im Selbstverläge; zu beziehen durch die Königliche Hofbuchhandlung von E. S. Mittler & Sohn, Kochstrasse 69. 70.

Von <jp = 47° bis qp = 57° mit Intervall von V geben diese Tafeln 8 stellig log (1) ... log (8), wobei die (1) , (2) ... mit Umsetzung in unsere Bezeichnungen

e² „

j- —, cos²- cp u. s. w.

— e'2 cos2 qp —

folgende Bedeutungen haben:

« = M

V2    3 H    jJL

’ ⁽⁴⁾ ~ T~N r‘ t ' ⁽⁵⁾ ~ 372 (3 + 2*2) , (8) = ^(13 + 3t²)

Dieselben Werte log (1) bis log (4) 7 stellig sind herausgegeben als Rechnungsvorschriften für die trigonometrische Aufnahme der Reichs-Schutzgebiete, Berlin 1891, für die Breiten qp = 0° bis qp = 13°.

Entsprechende Tafeln für qp = 47° bis 57° für zweite Ordnung 7 stellig und für dritte Ordnung 6 stellig.

Albrecht. Formeln und Hilfstafeln für geographische Ortsbestimmungen, nebst kurzer Anleitung zur Ausführung derselben, von Prof. Dr. Th. Albrecht, Sektionschef im Königl. Preuss. Geodätischen Institut. 3. Auflage. Berlin 1894. Tafeln über die Gestalt der Erde S. 261—289. (Vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1895“, S. 544-547.)

Helmert. Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie. I. Teil. Leipzig 1880. Anhang S. 621—631 giebt log W von qp = 47° 0'

■w ■ <³> =

2-ç

f¹ V²

6 £2

bis 57° 0' mit Intervall 5' auf 0-0001, ferner log W 8stellig auf 0-1 genau, durch den ganzen Quadranten mit d cp = 10'.

Biek-Tillo. Eussische Übersetzung von Jordan, Handbuch der Vermessungskunde,

2. Auflage, übersetzt von A. Biek, Oberlehrer der Geodäsie am Messinstitut des Grossfürsten Constantin. Moskau 1881. Buchhändler N. J. Mamontowa. Diese Übersetzung giebt, an Stelle der Tafel S. 424—427 des Originals, ihrerseits auf S. 652—665 eine von dem Obersten des Eussischen Generalstabs A. A. Tillo berechnete Tafel der Coëfficienten für die Gauss sehen Mittelbreiten -Formeln; insbesondere log [1] und log [2] für qp = 34° 0' bis cp = 70° 0' mit Intervall 10' auf 0*1 genau. Es ist jedoch hiebei eine andere Längeneinheit als die Bessel sehe zu Grunde gelegt, denn die russischen log [1] und log [2] haben gegen unsere mit Bessel sehen Erddimensionen berechneten log [1] und log [2] eine konstante Differenz von 371-6.

Rehm. Mitteilungen des K. K. militär-geographischen Instituts, herausgegeben auf Befehl des K. K. Beichs-Kriegs-Ministeriums. III. Band, 1883. Wien 1883. Im Selbstverläge des K. K. milit.-geogr. Instituts. S. 137—177. Tafeln der Krümmungs-Halbmesser des Bessel sehen Erdsphäroids für die Breiten von cp = 40' 0' bis 51° 30' mit Intervall 1' auf 0-0001 (vgl. nachfolgend Hartl). Schols. Geodetische Formules en Tafels, ten gebruike bij de Triangulatie van het eiland Sumatra. Utrecht, J. van Boekhoven, 1884. Diese Tafeln geben von cp = 0° 0' bis 6° 0' die Krümmungs-Halbmesser auf 0*1, nebst weiteren Zahlenwerten.

Hermann Wagners Tafeln der Dimensionen des Erdsphäroids, auf Minuten-Dekaden erweitert von A. Steinhäuser, K. K. Eegierungsrat. Wien 1885. Eduard Hölzel. Helmert. Veröffentlichung des Kgl. Preuss. Geodätischen Instituts. Lotabweichungen. Heft 1. Formeln und Tafeln u. s. w. Berlin, Druck und Verlag von P. Stankiewicz’ Buchdruckerei. 1886. Tafeln im Anhang S. 6—26; hievon giebt S. 18—24 für cp = 30° bis 71° 8stellige Werte log [1] und log [2], welche bzw. die dekadischen Ergänzungen unserer log [2] und log [1] sind.

Hartl. Tafeln enthaltend die Ausmasse der Meridian- und Parallelkreis-Bögen, dann die Logarithmen der Krümmungs-Eadien des Bessel sehen Erdellipsoids, berechnet unter der Leitung von Oberstlieutenant H. Hartl in der geodätischen Abteilung des K. und K. militär.-geographischen Instituts. Separatabdruck aus den Mitteilungen des K. K. militär-geographischen Instituts. XIV. Band. Wien 1895 (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1896“, S. 28—30).

Im Anhänge unseres Buches, Seite [2] und folgende, sind zahlreiche Hilfstafeln mitgeteilt, welche für diesen Zweck von uns neu und unabhängig berechnet, oder wenigstens vor der teilweisen Entlehnung gründlich revidiert worden sind.

Die geodätische Grundfunktion V bzw. log V auf Seite [2]—[7] ist mit den Konstanten der Landesaufnahme (§ 31. S. 191) neu und unabhängig berechnet worden nach den am Schlüsse Seite [7] angegebenen Formeln, wie in § 34. ausführlich gezeigt ist; die Eechnung ist 12—13stellig geführt und dann auf 10 Stellen abgerundet.

Die Tafel Seite [8]—[29] ist von 1° zu 1° ebenfalls neu und unabhängig berechnet, bei der Interpolation sind aber an den Stellen 0°—6° und 47°—57° die Tafeln von Schols und Helmert mitbenützt.

Die besondere Tafel für log [1] und log [2] auf Seite [30]—[35] ist nur von 45°—46° neu berechnet, und von 47°—56° ein revidierter Abdruck aus Schreibers „Rechnungsvorschriften der Landesaufnahme“.

Die Tafel Seite [36]—[37] für die Längen- und Breitengrade und für die Grad-Abteilungsflächen ist zunächst nach Bremiker und Wagner angesetzt, dann aber eingehend nachgerechnet; die hiebei von uns gefundenen wenigen Fehler sind in dem geographischen Jahrbuch von Behm, VI. Band, 1876, S. 703 mitgeteilt.

Die Meridianbogen-Tafel Seite [38] ist von 44°—56° ein Auszug aus der grösseren Tafel von F. G. Gauss. Der Teil 40°—44° ist dazu berechnet.

Die Trapez-Tafel Seite [42] ist nach den betreffenden Formeln von § 35.-37. berechnet und soweit möglich mit vorhandenen verglichen.

Über die nach diesem folgenden Tafeln Seite [43] und folgende wird an den zugehörigen Stellen des Textes Auskunft gegeben.

Übersicht der Haupt-Bezeichnungen in den Hilfstafeln des Anhangs, cp = Geographische Breite W = ]/l — e² sin² cp

= ]/1 + e'² cos² cp — Ÿ1 -f- g² , r/² = e'² cos² (p = ^--^ cos² cp

£

=- Meridian-Krümmungs-Halbmesser

oder =

_ a (1 — e²)

VS

~ ~Ws~

= V2 M

CI    c

—    -ÿÿ oder = -ÿ- Querkrümmungs-Halbmesser , r — yMN= -^r mittlerer Krümmungs-Halbmesser

Y i n"

—    -- Meridian-Krümmungs-Coëfficient M.

p"

— Querkrümmungs-Coëfficient

Kapitel IV.

Sphärische Dreiecksberechnung.

§ 40. Der sphärische Excess.

Bei der sphärischen Dreiecksberechnung nimmt man den Kugelhalbmesser nach der schon in (23) § 32. S. 197 und nochmals am Schlüsse des § 38. S. 226 angegebenen Erklärung an, nämlich :

(1)

t=yMN=^

Damit werden zuerst die sphärischen Excesse der Dreiecke berechnet.

Die Summe der drei Winkel eines sphärischen Dreiecks ist stets grösser als 180°; der Überschuss der Winkelsumme über 180° heisst der sphärische Excess.

Bezeichnen wir die Winkel mit a, ß, y und den sphärischen Excess mit e, so haben wir also die Gleichung:

(2)

« = a + ß + 7 — 180°

Wenn die drei Winkel a, ß, y gemessen sind, so findet man hiernach auch den Excess e, jedoch mit den Messungsfehlern der a, ß, y behaftet; es ist deswegen erwünscht, eine unabhängige scharfe Bestimmung von s zu haben, welche von den kleinen Messungsfehlern der Winkel a, ß, y unabhängig ist, und im Gegenteil dazu dienen soll, diese Winkel a, ß, y in ihrer Summe zu kontrollieren.

Eine solche unabhängige Bestimmung des Excesses e erhält man durch den Satz, dass der Excess der sphärischen Dreiecksfläche F proportional ist, nämlich:

(2 a)

Man kann diesen Satz mit Hilfe der sphärischen Zweiecke beweisen, und wegen der Wichtigkeit desselben setzen wir den bekannten elementaren Beweis des Satzes hier her:

Fig. 1.

Unter Zwei-Eck versteht man die Fläche zwischen zwei grössten Kreisen, z. B. in Fig. 1. die Fläche:

Zwei-Eck A C A' B A — (ß , a)

da nun die Gesamt-Oberfläche der Kugel = 4 rfr² ist, so ist die Fläche : Zwei-Eck («,«) =    (4 n r²)

Wenden wir dieses auch auf die beiden anderen in dem Dreieck ABC zusammenstossenden Zwei-Ecke an, so haben wir:

Zwei-Eck (ß , ß) = — (4 Tt r²)

i\

Zwei-Eck (7,7) = ^ (4 tt r*) *

folglich die Summe :

Cf

''uyy«

: /c:

(«,«)+ lß,ß) + Qt,Y)

_g+ß+7

360

4 Tt

(a)

A’

Indem man nun die Fläche F des sphärischen Dreiecks ABC einführt, hat man nach dem Anblick von Fig. 1. (noch anschaulicher durch Aufzeichnung auf einem Kugel-Modell) :

(ß, ft) = F+ A’ B C (ß,ß) = -F+ B’ AC (7 , f) = F C A B

(ß ,a)-|- [ß,ß)+ ,'/,?) = 3 F-)- A’ B C-\- B’ A C + C A B Nun ist aber das auf der jenseitigen Kugelfläche von Fig. 1. liegende Dreieck C’AB flächengleich mit seinem diesseits liegenden Scheiteldreieck C Ä B' ; man hat also, indem man zugleich 3 F — 2 F -(- F schreibt :

(ß, ß) + (|?,(5) + (y,y) = 2 F-f- F+Ä BC+B’AC+CA'B'

Die 4 letzten Glieder dieser Gleichung geben zusammen die halbe Kugelfläche = 2 jt r», also :

(b)

(c)

(«.«) + ((4 ,ß) + W,y) = ZF+2it r2 Nun geben die Gleichungen (a) und (b) zusammen :

^=(« + (3 +7-180°)

180°

Wenn man also die Bezeichnung 6 nach (1) anwendet, und wenn man zugleich -= Q

Tt

schreibt, so findet man aus (c) dieselbe Gleichung wie (2), nämlich, was zu beweisen war:

(d)

ß + (4 + 7 — 180° = s= F- Q

Unter F ist streng genommen die krumme (kugelförmige) Oberfläche des Dreiecks zu verstehen, indessen kann man statt dessen mit genügender Annäherung auch die Fläche eines [ebenen Dreiecks benützen, das aus den Seiten des sphärischen Dreiecks berechnet wird, d. h. man hat:

(3)

Näherung e =|-^- ç

(Dasselbe findet man auch durch genäherte' Anwendung der sphärisch-trigono-8

metrischen Formel für tang welche in § 27. S. 166 citiert wurde.)

Fig. 2.

(Massstab 1 : 2 000_000.)

Brocket

Hohehagen

Zu einem Zahlenbeispiele wollen wir das hannover sehe Dreieck benützen, welches in den klassischen Abhandlungen von Gauss mehrfach als Beispiel dient, nämlich das in Fig. 2. dargestellte Dreieck:

Inselsberg—Hohehagen—Brocken.

Es sei gegeben:

die Seite Inselsberg—Brocken b = 105 972,85m ferner die Dreieckswinkel, genähert, und die geographischen Breiten cp der Eckpunkte, ebenfalls genähert:

Dreiecks-Winkel

Inselsberg . a = 40° 39' 30” (25")

Hohehagen    ß = 86 13 59    4")

Brocken. . y = 53

Punkt

6 46

(4)

Geogr. Breite 50° 51' 9” 51 28 31 51 48    2

Summe 180° 0' 15” (0”) <p = 51° 22' 34”

Mittel (5)

Jnselsbe rg

Die auf 1” angegebenen Dreieckswinkel geben die Summe 180° 0' 15”, d. h. einen Überschuss von 15” über 180°. Ohne zu wissen, ob das der sphärische Excess ist, oder von Messungs-Fehlern herrührt, verteilen wir, um wenigstens vorläufig eine in sich übereinstimmende ebene Dreiecks-Berechnung zu haben, diese 15” auf die drei Winkel und erhalten dadurch die oben bei (5) in Klammern beigesetzten Sekundenwerte (25”), (54”), (41”) für die drei Winkel.

Mit diesen Winkeln und der schon bei (4) angegebenen Basisseite b macht man eine genäherte vorläufige Dreiecks-Berechnung nach dem Sinussatz der ebenen Trigonometrie:

sin a

C sin ß

Dabei rechnet man nur etwa mit 5- oder 6-stelligen Logarithmen :

5.025 195 0.000 940 9.813 983

5.025 195 0.000 940 9.902 983

log b Erg. log sin ß log sin a

log b Erg. log sin ß log sin y

log a

Man hat also nun zusammen:

« = 40° 39' 25” ß = 86° 13' 54” y = 53° 6' 41”

4.840 068

log c

log a = 4.840 068 log b = 5.025 195 loge = 4.929 118

4.929 118

l°3 Î-2

6.390 076—20

5.314 425 9.467 216

Damit kann man die Dreiecksfläche dreifach berechnen, denn es ist bekanntlich: Dreiecksfläche A = -i- ab siny = oder

a c sin ß —

b c sin a

log a log b log sin y log 0,5

4.840 068 5.025 195 9.902 983 — 10 9.698 970 — 10

log a

loge log sin ß log 0,5

4.840 068 4.929 118 9.999 060 —10 9.698 970 —10

9.467 216

(7)

9.467 216

log A

Nach diesem braucht man den mittleren Krümmungs-Halbmesser für die Mittelbreite des Dreiecks. Diese Mittelbreite wurde schon unter (5) angegeben ę = 51° 22' 34", und damit entnimmt man aus der Tafel Seite [20] des Anhangs durch Interpolation den Wert log r oder auch sofort:

log A

hiezu log g und von (7) log A

1.171717

e = 14,850"

(8)

log e

Damit sind die oben unter (5) gegebenen Winkel, insofern sie nur auf 1" genau angesetzt sind, in ihrer Summe bestätigt. Die genaueren Winkel und die genauere Berechnung der Dreiecksseiten werden wir in § 4L—§ 42. kennen lernen.

Zu der einfachen Excess-Berechnung, welche im vorstehenden Beispiele in aller Ausführlichkeit gegeben ist, kann man noch einige Bemerkungen machen. Für ein Dreieck mit den Seiten a, b und dem eingeschlossenen Winkel y ist der Excess:

(9)

* = 2 72a b sin y

und deswegen schreibt man für häufigeren Gebrauch die Logarithmen von tabellarisch heraus; zur Übersicht stellen wir zusammen:

1.40411 — 10

qp = 45°    2 =

(10)

50°    %= 1.40361 — 10

55° log 2^,2 ⁼ 1*40312 — 10

Zur weiteren Übersicht der Verhältnisse kann man auch berechnen:

Fläche des Dreiecks

Sphärischer Excess

e = 0,00507" e = 0,279

1 Quadrat-Kilometer 1 Quadrat-Meile

e = 27"

gleichseitiges Dreieck mit Seiten von 1° = 15 geogr. Meilen = IIP“

Die letzte Annahme eines Dreiecks von lllÄm Seite ist wohl das äusserste für Landes-Vermessungen; schon das Gauss sehe Dreieck Inselsberg-Hohehagen-Brocken, das wir bei (8) als Beispiel benützten, mit rund e = 15", ist eines der grössten

deutschen Dreiecke, das wir deswegen auch schon in der Zusammenstellung Seite 22 erwähnt haben.

Die grössten Dreiecke, welche die Geodäsie kennt, nämlich die auf Seite 28 dargestellten Verbindungsdreiecke zwischen Spanien und Algier über das mittelländische Meer hinweg, haben geodätische Excesse von bzw. rund: 54" , 1' 11" , 44" , 1' 0".

Bei so grossen Dreiecken darf man aber nicht mehr bloss sphärisch rechnenj wir werden in einem späteren Kapitel darauf zurückkommen.

¹

   Arithmetisches Mittel

²

   Halbmesser für gleichen Inhalt j/a⁵ b — k = 6 370 283,158™

³

Wie man sieht, sind diese Werte nahezu gleich, und für viele Zwecke auch gleich geeignet.

⁴

Für alle Krümmungs-Halbmesser der ganzen Erde hat Dienger in der Schrift „Abbildung krummer Oberflächen, Braunschweig 1858“, S. 41 den Satz gefunden, dass das arithmetische Mittel aller Krümmungs-Halbmesser gleich der grossen Halbaxe a ist.

⁵

   Halbmesser für gleiche Oberfläche

⁶

Hiebei ist die ganze Erde in Betracht genommen; wenn man dagegen nur einem begrenzten Teile eine Kugel substituieren will, etwa nur der Nachbarschaft eines Punktes in der Breite qn, so handelt es sich um einen Mittelwert der Krümmungs-Halbmesser in allen Azimuten von einem Punkte aus, und dafür haben wir schon in (23) § 32. S. 197 den „mittleren“ Krümmungs-Halbmesser r = ~\/MN eingeführt ohne besondere Theorie.

§ 41. Der Legendresche Satz.

Wir betrachten ein geodätisches Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln a, ß, y, wie in Fig. 1. dargestellt ist.

Fig. 2.

Ebenes Dreieck.

Fig. 1.

Sphärisches Dreieck.

où

'ci*

\C

7y

r'

ß'

Wenn das sphärische Dreieck auf einer Kugel vom Halbmesser r liegt, so entsprechen den Seiten a b c gewisse Erd-Centriwinkel, wie aus folgender Übersicht zu ersehen ist:

Seiten-Längen (in Metermass) .    .

Erd-Centriwinkel in analytischem Mass .    . a

a,

b,

(1)

„ geometrischem Mass .    -- g,

r* J

Man könnte nun mit diesen Erd-Centriwinkeln und den Winkeln ce, ß, y, welche die Bögen a, b, c auf der Kugelfläche unter sich bilden, das sphärische Dreieck nach den bekannten strengen Formeln der sphärischen Trigonometrie auflösen; man thut das aber für geodätische Zwecke nicht, weil die Erd-Centriwinkel sehr klein sind, und deswegen sich viel bequemer in Reihen-Entwicklungen und Näherungs-Formeln behandeln lassen.

Die älteste und beliebteste dieser Verfahrungsarten ist der von Legendre in Paris im Jahre 1787 gefundene und nach ihm benannte Satz, welcher heisst:

Ein kleines sphärisches Dreieck kann näherungsweise wie ein ebenes Dreieck mit denselben Seiten berechnet werden, wenn man als Winkel des ebenen Dreiecks die um je ein Drittel des sphärischen Excesses verminderten Winkel des sphärischen Dreiecks nimmt.

Diesem Satze entspricht das oben in Fig. 2. gezeichnete ebene Dreieck, das dieselben Seiten a, b, c wie das sphärische Dreieck Fig. 1. hat, und dessen Winkel a’, ß', / zunächst noch unbestimmt gelassen sind.

Um den genannten Satz zu beweisen, schreiben wir für das sphärische Dreieck die Cosinus-Gleichung an:

cos — = cos

cos

c    b c

--h sin — sin — cos a

cos--cos — cos

oder cos a =

O¹¹

. c sm — r

Nun werden alle kleinen Winkel nach Potenzen entwickelt (vgl. die Reihen-Formeln für sin x und cos x § 28. S. 172), nämlich bis zur 4. Potenz einschliesslich:

sin

«2

CI⁴

C⁴

cos a =

2 r² 24 ?'⁴

24 r⁴

c³

b

r 6 r³

Wenn man die hier vorkommenden Klammern ausmultipliziert, dabei immer die Glieder von höherer als der 4. Ordnung vernachlässigt, so hat man:

Iß b⁴ c² Iß c² c4 2 r2 + 24 r⁴ 2 r² 4 r⁴ 24 r4 b² 4- c² b⁴ -+- c⁴ b² c²

r 6 r³

b²

b⁴

C²

C⁴

2 r² ^ 24 r⁴

2 r² 24 r⁴

2 r²

24 r⁴

4 r⁴

cos a =

ft² 4- c² — a² a⁴ — b⁴ — c⁴ b² c2 2r2~

24 r⁴

4 r⁴

Der Nenner 1

b² 4- c²'

bo/. b² 4- c²\ ~r% \    6W~)

6 r²

wird hinreichend genähert dadurch berücksichtigt,

dass man statt dessen in dem Zähler einen Faktor ( 1 -+

b² 4- c²'

6 r²

zusetzt, und wenn

man zugleich überall einen Faktor r² als gemeinsam weglässt, hat man:

b² 4- c²

cos a =

'b² + c² — aß

et⁴ — b⁴ — e⁴ — 6 b² c²

24 r² b c

1-+

6 r²

2b c

die beiden Klammern multipliziert, mit Weglassung alles dessen, was über r² geht, führen auf die Gleichung:

b² 4- c² — aß Tbc

cos « =-

o⁴ — b⁴ — c⁴ — 6 b² c²

b² 4- c² — aß b² 4- c²

24 r² b c

6 r²

(2)

Nun giebt das ebene Dreieck Fig. 2. nach dem Cosinus-Satz:

b² —t- c² — aß

aß = b² 4- c² — 2 b c cos a' oder cos a' = Dieses mit (2) zusammen giebt:

n⁴ — b⁴ — c⁴ — 6 b² c2 24 r² b c

Die beiden Teile zusammen gefasst geben : cos a — cos a' 4-

cos a = cos a' 4-

b⁴ 4- c⁴ 4- 2 b² c² — aß b² — a² c²

12 r² b c

a⁴ + b⁴ + c⁴ — 2 a² b² — 2 a² c² — 2 b² c²

24 r² b c

(3)

Wir lassen diese Gleichung zunächst stehen und betrachten den Zähler des Bruches; dieser Zähler steht in naher Verwandtschaft zu dem Inhalte des ebenen. Dreiecks. Es ist bekanntlich nach dem Heronsehen Satze:

s (s — a) (s — b) (s — c)

T 2

wobei s = a-\-b + c , s— a — —a-\-b-\-c u. s. w. folglich:

a — b -h c

-V

A² =

— ci -4- b -f* c

'a+ b — c

Hiebei    ist:    (a -f- b -+■ c) (—    a -+- b •+- c) = — a² -+- b²    c² -t- 2 b c

und

(a — b -+- c) (+    a 4- b — c) = a² — b² —    c² + 2 ft c

Folglich :    16 /\² = (— a²    + b² + c² + 2 b c) (a² — &²    — c² -f- 2 ft    c)

und indem    man    auch diese zwei    Klammern ausmultipliziert    und ordnet, (wobei alles

mit ungeraden Potenzen sich hebt) so findet man:

16 A² = — O⁴ — &⁴ — C* + 2 «2 &² + 2 (l² c² + 2 &2 c2 Man hat also aus (4) und (5):

cos a — cos a' =

(5)

16 A2 24 î'² b c

(6)

Nun ist aber in erster Näherung:

cos a — cos cd = — (a — a') sin cd + ...

(7)

was man entweder geradezu als Differential-Formel nach § 29. S. 179 einsehen, oder

etwa auch goniometrisch so begründen kann:

n . a — a' . a-h cd — 2 sm —^

u

d. h. wenn a und a' sehr nahe gleich sind:

cos a — cos cd =

sin

cos a — cos a' = — (a — a') sin a' Setzt man dieses (7) bzw. (7a) in (6), so erhält man:

_ 2____________

a a 3 r² 6 c sin cd

Es ist aber auch andererseits im ebenen Dreieck:

(7 a)

A²

(8)

und damit wird (8) : a — a' =

b c sin cd = 2 Ą

bzw. a — cd —

(9)

3 r²

(10)

Die erste hier in (10) geschriebene Form gilt für analytisches Mass, die zweite

für geometrisches Mass.

Oder wenn man nach (3) § 40. S. 232 den sphärischen Excess e einführt, so

hat man:

und entsprechend:

, 1 a — a = —

ß-ß'-i

y — / = 4

y⁶

(lla>

(îib)

Te

(11 c)

Summe: a + ß + y — 180° = e

Damit ist der oben S. 234 in Worten ausgesprochene Satz bewiesen.

Die eine gegebene Seite sei b = 105 972,850”*.

(14)

Zu einem Zahlen-Beispiele nehmen wir wieder das klassische Dreieck, das wir schon im vorigen § 40. S. 232 benützt haben,. nämlich nun mit scharfen Winkel-Werten:

Inselsberg

Hohehagen

Brocken

Summe:

sphärisch

a = 40° 39' 30,380" ß = 86 13 58,840 y = 53    6    45,630

eben (Leg.-Satz.)

«' = 40° 39' 25,430" ß' = 86 13 53,890 / = 53    6    40,680

(13)

180° 0'14,850" e = 14,850"

y = 4,950"

180° 0' 0,000"

Damit macht man eine Berechnung, wie wenn das Dreieck eben wäre, nach dem Sinus-Satze der ebenen Trigonometrie scharf mit 7—8stelligen Logarithmen, weshalb wir die ganze Rechnung hersetzen wollen : log b log sin ß ’

5.025 1946-1 9.999 0600-0

log b

oder Erg. log sin ß'

5.025 1946-1 0.000 9400-0

log (b : sin ß ') log sin a'

5.026 1346-1 9.813 9344-8

log (b : sin ß') log sin y'

5.026 1346-1 9.902 9830-6

(15)

log a 4.840 0690-9 a = 69194,105”*

log c 4.929 1176-7 c = 84941,060”*

Bemerkung über die Schärfe der Rechnung.

Das vorstehende Beispiel ist mit 3 Dezimalen der Sekunde, d. h. auf 0,001" genau gerechnet. Es geschieht dieses häufig, wenn auch die Messungen selbst viel weniger sicher sind. Hiebei soll die letzte Dezimale keine selbständige Bedeutung haben, sondern nur die vorletzte Dezimale vor Abrundungs-Eehlern schützen. Es ist keine Frage, dass oft mit solchen 0,001" Überfluss an Ziffern geschrieben und gedruckt wird, aber bei langen Ausgleichungs-Rechnungen kann man genötigt sein, von vorn herein auf 0,001" genau und vielleicht noch schärfer zu rechnen, wenn man am Schlüsse 0,01" noch sicher haben will, bei kürzeren trigonometrischen Berechnungen genügt 0,01" als letzte Rechenstelle.

Entsprechende Genauigkeit ist bei der logarithmischen Rechnung anzuwenden. Unsere Zahlen-Beispiele sind meist 8stellig, d. h. mit 0.000 0000-1 als letzter logarithmischer Rechenstelle geführt; die letzte Stelle 0-1 ist teils mit Hilfe des 10 stelligen „Thesaurus logarithmorum“, teils auch nur durch Benützung der Abrundungs-Merkmale in der Schrön sehen 7 stelligen Logarithmen-Tafel erhalten, und dient dann (ebenso wie 0,001" bei den Winkeln) nur als Sicherung für die vorhergehende 7. Stelle.

§ 42. Die Additamenten-Methode.

Ein zweites Näherungs-Verfahren zur Berechnung sphärischer Dreiecke, deren Seiten im Vergleich zu dem Kugel-Halbmesser klein sind, ist am Anfang dieses Jahrhunderts zuerst in Bayern eingeführt, und dann auch bei den übrigen süddeutschen Landes-Vermessungen allgemein angewendet worden. Das Verfahren wurde mit dem Namen „Additamenten-Methode“ bezeichnet, weil kleine Korrektions-Grössen häufig zu den Logarithmen addiert (allerdings umgekehrt auch subtrahiert) werden.

Während beim Legendreschen Satz ein ebenes Hilfsdreieck benützt wurde, dessen Seiten denen des sphärischen Dreiecks gleich sind, und dessen Winkel ver-

as

(3)

schieden von den Winkeln des sphärischen Dreiecks angenommen werden mussten gehen wir nun umgekehrt darauf aus, ein ebenes Hilfsdreieck zu suchen, welches zwei Winkel mit dem sphärischen Dreieck gemein, dafür aber andere Seiten hat. Mit Beziehung auf Fig. 1. und Fig. 2. denken wir uns ein sphärisches Dreieck,

gegeben mit den Seiten a und b und den Gegenwinkeln a und ß, und konstruieren hiezu ein ebenes Hilfsdreieck, welches dieselben Winkel a und ß hat wie das sphärische Dreieck, aber damit notwendig andere Seiten a' , b' haben muss.

Nach dem Sinus-Satze für das sphärische Dreieck und nach dem Sinus-Satze für das ebene Dreieck haben wir die zwei Gleichungen :

Fig. l. Sphärisch.

Fig. 2. Eben.

1)

fr

fr

woraus sich ergiebt:

b',

'fr

sin a

a'

. a

sin —

sin ß . b sm —

und

sin a _ a' sin ß ~ V

(1)

a'

sin

■s i a

a³

6 r³

V . b

sm —

b³

(2)

l>    6V³

6 r²

b³ 6 r²

Diese Gleichung ist befriedigt, wenn man setzt:

a' = a —

«³

6 r²

und b' = b —

b³

6 r²

oder allgemein für irgend eine Dreiecks-Seite s hat man:

s' = s —

s³

(4)

Der so bestimmte Wert

6 r²

g -g ist das lineare Additament für die Seite s, und

s3

wenn man den Halbmesser r kennt, kann man eine Tafel der Werte „ berechnen,

6 r²

z. B. für die Mittelbreite cp = 50° hat man:

log r = 6.804 894

= 5.612 062

^672

Damit ist zur Übersicht folgendes berechnet: s = 10 000m 20 000”* 30 000m 40 000m 50 000“ 60 000M 80 000m 100 000"*

^2= °>004m O*⁰³³"* 0,111™ 0,262™ 0,512™ 0,884™ 2,096™    4,093™ j

Wenn also z. B. eine Dreiecksseite s = 40 000™ vorliegt, so wird das zugehörige s' = 40 000 — 0,262 = 39 999,738™, und darauf könnte man eine Dreiecks-Berechnung mit sphärischen Winkeln gründen, welche nun ganz die Form einer ebenen Rechnung hat.

Indessen thut man dieses in dieser Form gewöhnlich nicht geradezu, sondern

da man doch logarithmisch rechnet, bringt man. auch die Additamente in logarith-mische Form, und dazu gehen wir nochmals auf (1) und (3) zurück und finden als allgemeine Beziehung zwischen einer Dreiecks-Seite s und der reduzierten Seite s' folgendes :

s' = r sin —, oder

= sin —

(6)

also logarithmisch :

s*    s

log — = log sin —

S3

6 r³    120 r⁵

(7)

Dabei haben wir noch die 5. Ordnung in der Reihe beibehalten, um nachher beurteilen zu können, ob das Glied 5. Ordnung noch von Einfluss ist.

Entwickelt man den letzten Ausdruck nach der logarithmischen Reihe, so

erhält man:

~ +¹°9 (l

S²

log sin -— = log —

logsin ~ = log ^ (- ß-² - +

log sin S-

S4

6 r² 120 7-4

S4

s²

'S

120 r4

2    6r²

, S    US²

~l°⁹~r    672“

Oder wenn man wieder s’ nach (6) benützt:

logs-logs' = ^

«4

S4

180 r⁴

(8)

180 j*4

Für die Mittelbreite cp = 50° hat man hiefür, nach Seite [20] des Anhangs:

log 77 ₌ 5.24985 — 20 J 6 r²

= 0.16294 — 40

oder für Einheiten der 7. Logarithmen-Dezimale :

l°g 180 H

Für s = 100 000m oder log s = 5.00000 als Beispiel genommen, giebt dieses :

log 77 ₌ 2-24985 — 10 * 6r²

= 7*16294 — 30

,u

6 r²

s² = 0.000 0177-8

s4 = 0.000 0000-001

180 7*4

Daraus folgt, dass für gewöhnliche Dreiecks-Seiten das zweite Glied der Formel (8) unmerklich ist, und dass man deswegen bei dem ersten Gliede von (8) stehen bleiben kann.

Indem wir das logarithmische Additament mit A bezeichnen, schreiben wir mit Weglassung des zweiten Gliedes, zur Zusammenfassung:

A = log s — log s'

oder A = log 7--log sin — = 77 $2 w0 i₀g 77 — 2*249 846 —10 für qp = 50° (9)

Damit ist die Hilfstafel auf Seite [43] des Anhangs berechnet, und zwar in zweifacher Form, I. als Funktion von logs, mit der Annahme log r = 6.804 894 für

g

<p = 50° und II. als Funktion von log—.

Die erste Tafel I., d. h. der obere Teil von Seite [43], ist die bequemere für

Dreiecks-Berechnung, weil man geradezu mit log s (für s in Metern) einzugehen hat, während man im Falle II., d. h. im unteren Teile von Seite [43], zuvor log

bilden

muss, das man sonst nicht braucht. Die Tafel II. ist aber andererseits allgemeiner brauchbar, weil sie nicht wie I. an eine bestimmte Annahme für den Halbmesser r gebunden ist, und weil sie auch noch für anderes Mass als Meter (z. B. Fusse, Toisen, Ruten u. s. w. bei älteren Triangulierungen) anwendbar ist.

Zu einem Zahlen-Beispiel nehmen wir wieder das klassische Dreieck des vorigen

§ 41. S. 287:

Inselsberg a = 40° 39' 30,380" Hohehagen ß = 86 13 58,840 Brocken

y = 53

6 45,630

(10)

Basis b = 105 972,850“

180° 0' 14,850"

logb = 5.025 1946-1

(11)

Hiezu braucht man das logarithmische Additament, das aus der Hilfstafel I. von Seite [43] des Anhangs für log s = 5.0252 durch Interpolation = 199-7 entnommen werden kann. Da jedoch jene Hilfstafel I. Seite [43] für die Mittelbreite cp = 50° gilt, während unser Dreieck die Mittelbreite cp = 51° 22,6' hat, mit logr — 6.804962. und da unsere Dreiecks-Seiten sehr gross sind, so berechnen wir diesesmal das Additament A besonders:

logb² j 10.05039 log (g : 6 r²)    2-24971

(12)

2.30010 Ab = 199-57

log Ab

Dieses ist nur wenig verschieden von dem aus der Tafel entnommenen 199-7. Nun hat man eine logarithmische Berechnung im wesentlichen wie in der Ebene, nämlich nach (10), (11), (12):

Logar. Additament

logb j 5.025 1946-1 —199-6

logb' 5.025 1746-5 log sin ß 9.999 0606-9

logb' 5.025 1746-5 oder Erg. log sin ß 0.000 9393-1

log {V : sin ß) 5.026 1139-6 log sin a 9.813 9466 1

5.026 1139-6 log sin y 9.902 9908-8

Logar. Additament

log a' 4.840 0605-7 -t- 85-1

log b' 4.929 1048-4 Logar. Add. +128-2    (13)

loge 4.929 1176-6 £#= 84 941,060“

(14)

log a j 4.840 0690-8 a = 69 194,105“

Dieses stimmt hinreichend mit (15) § 41. S. 237.

Die soeben bei (13) gebrauchten Additamente entnimmt man wieder aus der Hilfstafel I. von Seite [43] des Anhangs, oder, wenn man die letzte Stelle ganz scharf haben will, berechnet man dieselben ebenso wie vorher bei (12).

Vergleicht man die Rechnung nach dieser Additamenten-Methode mit der Rechnung nach dem Legendreschen Satze, in Hinsicht auf Bequemlichkeit, Übersichtlichkeit u. dergl., so wird man etwa sagen können:

Der Legendresche Satz empfiehlt sich bei einem einzelnen Dreieck oder bei seltener Anwendung, durch seine Unabhängigkeit von allen besonderen Hilfen, denn den Excess e muss man der Winkelprobe wegen bei dem anderen Verfahren doch auch

It3t8 ist

g

kennen, und der Legendresche Satz selbst, d. h. die Verteilung ~

immer im Gedächtnis.

Dagegen bei ganzen Dreiecks-Netzen, mit vielen zusammenhängend zu rechnenden Dreiecken, ist die Additamenten-Methode vorteilhafter. Man reduziert zunächst nur den Logarithmus der Basis des Netzes (Jogb' — logb — Ab), dann rechnet man das ganze Dreiecks-Netz mit den sphärischen Winkeln durch, und erhält dadurch zunächst lauter reduzierte Werte log a!, log c' u. s. w., die man dann aber nachher alle auf einmal mit der Additamenten-Tafel auf log a, log c u. s. w. reduzieren kann.

Ein Vorteil des Additamenten-Verfahrens besteht auch darin, dass man nur eine Tabelle der Dreiecks-Winkel a, ß, y ... führen muss, während für den Legendre sehen Satz eine zweite Tabelle der ß’, / nötig ist, welche nicht nur die Akten vermehrt, sondern auch Veranlassung zu Irrtümern geben kann, wenn nachher zur Coor-dinaten-Berechnung u. dergl. wieder die sphärischen Winkel selbst gebraucht werden.

Zusammenhang zwischen dem Legendre sehen Satze und der Additamenten-Methode.

Diese beiden Rechnungs-Arten beruhen auf Reihen-Entwicklungen sphärischer

Formeln bis auf Glieder von der Ordnung

und es muss deshalb möglich sein,

beide Rechnungen in ihren Formeln gegenseitig auseinander abzuleiten, was wir nun noch zeigen wollen.

Mit Annahme der bisherigen Bezeichnungen hat man nach dem Legendreschen

Satze :

sin la —„

e

sin a---

s in ß--1- cos

cos a sin a ^1 — -i- cotg aj ß sin ß ^1 — y cotg ß J

(15)

Nun ist fc =

r2’

rische Winkel vertauscht, so hat man :

und wenn man in den Korrektions-Gliedern ebene und sphä-

also

cotg a

b¹ -+- c¹ — a¹

-g cotg a =

b¹ -f- c¹ — a¹

12 r¹

'    3    3 r¹

und y cotg ß =

a¹ -j- c¹ — b¹

12 r¹

Damit giebt (15):

sina _ a sin ß b

1 -+

1-t

b¹ -+- c¹ — a¹ 12 r¹

a¹ -+- c¹ — b¹\ b

(2 b¹ — 2 a¹) j

12 r¹

16

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

242

Verschiedene sphärische Aufgaben.

§ 43.

Dieses kann man auch so schreiben:

a²

sina _ sin ß b

6 r²

5²

6r²

6 r²

&²

6 r²

Dieses stimmt nach (1), (3) § 42. S. 238 mit der Additamenten-Methode überein; es ist also der oben angegebene Zusammenhang bewiesen.

Die „Additamenten-Methode“ wurde in Bayern eingeführt durch Soldner. Weiteres hierüber findet man in dem amtlichen Werke: „Die Bayerische Landes-Vermessung in ihrer wissenschaftlichen Grundlage. München 1873, S. 263 u. ff. (auf S. 262 u. ff. Abdruck einer Abhandlung Soldner, vom 5. Mai 1810). Vgl. auch: Bohnenberger, „De computandis dimensionibus trigonometricis in superficie terrae sphaeroidica institutis“. Tubingae 1826, § 11.

Ausführlichere Additamenten-Tafeln als unsere Tafel Seite [43] finden sich in manchen geodätischen Werken, z. B. in:

Bremiker, Studien über höhere Geodäsie, Berlin 1869. Anhang Tafel III., Reduktion von Bogen auf Sehne, d. h. 0,25 A, wenn A der Wert unserer Tafel II. Seite |43].

Bremiker, Tafel zur Verwandlung von Log. Bogen in Log. Tangente. Wissenschaftliche Begründung der Rechnungs-Methoden des Centralbureaus der Europäischen Gradmessung. Beilage zum Generalbericht d. Europ. Gr. für 1870 (giebt T = 2 A).

Auch die Zahlen »8, welche in der Bremiker sehen und Schrön sehen 7-stelligen Logarithmen-■ tafel und auch in anderen Tafeln am Euss jeder Seite der Logarithmen der natürlichen Zahlen angegeben sind, stehen in einfacher Beziehung zu unseren Additamenten.- Es ist nämlich dieses S:

-— A — log sin 1" — A

S = log 1

z. B. in Schrön S. 29 findet man für 0° 36' 0” £= 4.685 5669-3. Dabei ist log (1 : p) = 4.685 57487 und unsere Tafel II. auf Seite [43] giebt für den Centriwinkel 0° 36' 0" den Wert A - 79'4, was die Differenz der beiden soeben geschriebenen Zahlen ist. Für die Zahlen T der Logarithmentafeln gilt die entsprechende Gleichung:

T = log

+ 2 A — log sin 1"    2 A

§ 43. Verschiedene sphärische Aufgaben.

Nachdem wir die Reduktion eines sphärischen Dreiecks auf ein ebenes Hilfsdreieck in zweifacher Weise kennen gelernt haben, können wir auch andere Aufgaben als die zuerst behandelte Berechnung eines Dreiecks aus einer Seite und allen Winkeln lösen. Wir wollen hier noch die Bestimmung eines sphärischen Dreiecks aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel und dann die sphärische Aufgabe des Rück-wärts-Einschneidens vornehmen:

I. Bestimmung eines sphärischen Dreiecks b, c, a nach dem Legendreschen Satz.

Wenn zwei Seiten 6, e und der eingeschlossene Winkel a gegeben sind, so kann man daraus sofort den Excess e berechnen:

(1)

2r²

e — bc s in a

Damit hat man auch die Summe der beiden andern Winkel ß und y: ß-Jry = 180° -f-e — a

§ 48.

Verschiedene sphärische Aufgaben.

243

Betrachtet man nun das Legendre sehe ebene Hilfsdreieck und berücksichtigt, dass :

ß-r

so findet man nach den Gauss sehen Gleichungen der ebenen Trigonometrie:

. ß — y

tangr =

(3)

cos

(4)

Aus (2) und (4) hat man also ß -j- y und ß — y, folglich auch ß und y und mit Probe a aus (4), womit die Aufgabe gelöst ist.

II. Bestimmung eines sphärischen Dreiecks b, c, a nach der Additamenten-Methode.

Wenn b und c logarithmisch gegeben sind, so ist folgende Rechnung bequemer als die vorige:

Pür ein ebenes Dreieck mit den Seiten V und c' und den Winkeln ß und y hat man, mit Einführung eines Hilfswinkels X folgendes:

ros

b'

sin c' tang X sin ß — sin y _ 1 — tang X sin ß -h sin y 1 -+- tang X

tang - cotg (À -t- 45°)

Für das sphärische Dreieck setzen wir entsprechend:

log V — log b — Ab , log c' = log c — Ac wobei Ab und Ac die Additamente von b und c sind. Man rechnet nun den Hilfs-winkel X nach der Formel:

tang g

ß-y ₌

cotg X -

(5)

dann bestimmt man den sphärischen Excess e durch eine vorläufige Dreiecks-Berechnung, und hat dann:

tang

ß -f- y = 180° -+- e — a ~2~' ~    cof<7 (X 45°)

(6)

Aus

ß_+ y

und

ß-y

₂— erhält man ß und y.

Die dritte Seite a kann man sodann sowohl nach dem Legendre sehen Satz als auch nach der Additamenten-Methode bestimmen.

III. Rückwärts-Einschneiden.

Wir nehmen in Fig. 1. S. 244 dieselben Berechnungen wie früher für die ebenes Rückwärts-Einschneiden in Band n, 4. Aufl. 1893, § 89. und wir haben auch nur wenig an der früheren Rechnung zu ändern.

cp -+- ip = 360° + s₁ -t e₂ — (« + ß -f- y) (7) Mit den logarithmischen Additamenten Aa und Ab wird reduziert:

a\yß

Drei Punkte A, M, B sind gegenseitig festgelegt durch die Seiten A M — a, M B — b und den Winkel B M A = y, ein Punkt P soll durch Messung der Winkel a und ß gegen A, M, B festgelegt werden.

Fig. 1.

-e-

Man löst diese Aufgabe zunächst vorläufig genähert auf, indem man die Figur als eben behandelt (d. h. man rechnet zuerst nach Band II, 4. Aufl. 1893, § 89). Dann hat man so viel Anhalt, um die sphärischen Excesse C] und e₂ der beiden Dreiecke PAM und PMB zu berechnen, und damit ist auch die Summe cp -+- cp bestimmt, nämlich :

log a — Aa = log a' und log b — Ab = log b'

dann lässt sich die Eechnung wie für ein ebenes Viereck weiterführen; man setzt:

—-: -^—7, = tang X

sin a stn p

a'

und findet:

tang - ^ — = tang    cotg (X + 45 °)

Nachdem somit durch (7) und (8) die beiden Winkel cp und xp bestimmt sind, können alle Dreiecks-Seiten nach dem Legendreschen Satze oder nach der Addita-menten-Methode weiter berechnet werden.

(8)

Diese 3 Aufgaben mögen genügen, um zu zeigen, dass man mit dem Legendreschen Satz und mit der Additamenten-Methode nahezu alles berechnen kann, was in der ebenen Trigonometrie berechnet zu werden pflegt. Die sphärischen Rechnungen dieser Art spielen aber keine wichtige Rolle.

§ 44. Sphärisch-trigonometrische Reihen-Entwicklungen bis zur Ordnung i einschliesslich.

Der Legendresche Satz und die Additamenten-Methode beruhen auf sphärischtrigonometrischen Reihen-Entwicklungen, die tvir beim Legendreschen Satze nur bis auf Glieder von der Ordnung 1 : r² einschliesslich genau im Schluss-Ergebnis behandelt haben. Bei der Additamenten-Methode haben wir in (8) § 42. S. 239 noch ein Glied von der Ordnung 1 : H hinzugenommen, weil sich das ohne besondere Mühe nebenbei ergab ; und es hat sich gezeigt, dass dieses höhere Glied bei den praktischen Berechnungen mit Dreiecks-Seiten bis 100 000m und darüber unmerklich ist.

Obgleich dadurch die Wahrscheinlichkeit nahe gelegt wird, dass auch in den übrigen verwandten Entwicklungen die Glieder von der Ordnung 1 : r² genügen, müssen wir doch, um ein sicheres Urteil zu haben, die höheren Glieder kennen lernen.

Allerdings ist dabei zu berücksichtigen, dass eine sehr weit und fein geführte sphärische Berechnung für die Geodäsie zunächst wenig Wert hat, solange die sphärische Berechnungs-Art überhaupt nicht strenger begründet wird als dieses in unserem § 38.

S. 226—227 geschehen ist; denn ausser den höheren Gliedern von der Ordnung 1 : H sollte man auch den Einfluss der Ungleichheit der Krümmungen nach verschiedenen Richtungen und die von der geographischen Breite abhängigen Änderungen der Krümmungen untersuchen.

Dieses können wir erst später thun, und wenn wir jetzt die höheren Glieder von der Ordnung 1 : r⁴ untersuchen, so hat das zunächst den Sinn, dass wir uns überzeugen, ob die Entwicklungen bis 1 : r² einschliesslich, hinreichend sind, um die geschlossenen sphärischen Formeln, welche man ja auch anwenden könnte, zu ersetzen, und zweitens sollen durch die nachfolgenden Entwicklungen unsere späteren Entwicklungen mit der geodätischen Linie zweckmässig vorbereitet werden.

Beim ersten Studium der höheren Geodäsie im Sinne des Verständnisses unserer heutigen Landes-Vermessungen wird man den hier folgenden § 44. zunächst ganz übergehen und erst viel später nach Bedürfnis nachholen.

Fig. l.

J. Der sphärische Excess.

Wir betrachten in Fig. 1. das rechtwinklige sphärische Dreieck ABC mit der Hypotenuse s, mit den Katheten p und q und mit den Winkeln 90°, ß und a. Da einer der Winkel = 90° ist, ist der sphärische Excess :

8 = cc-hß-h90o — m°

oder

t = a -+- ß — 90°

Dieses rechtwinklige Dreieck Fig. 1. giebt:

(1)

\A

s,

cotg a cotg ß = cos —

oder

= 1 — 2 sin² ~

27

also

2 sin² ~ = 1 — cotg a cotg ß =

sin a sin ß — cos a cos ß

sin a sin ß

2 sin² -Î-

sin e

2~r~

cos (ß + p)_

sin « sin ß sin a sin ß

sin e sin²

sin — sin —-

r r

s in e =

sin — sin —-r r

2 cos²

Dieses bis

Y entwickelt giebt :

( g 3³ \ \r 6 ?-3y \ r 6 r³)

21-

S² \²

_ I P g P g O² + g²) 12 r⁴

2 r²

8 r²

(¹⁺Ä)

alsbald :

Da man aber in den höheren Gliedern s² — p² 4- q² setzen darf, so giebt dieses

(p2 +. q2)

(3)

Fig. 2.

II. Die Katheten-I ormeln.

Das rechtwinklige sphärische Dreieck Fig. 2. giebt nach

§ 27. S. 163:

sin — = sin — sin a . tana r    r

= tang — cos a

(4)

' t oder entwickelt :

*-$*=[*-£*)**** • p+£2⁼⁼{s+ù)cosa (5>

Um diese Gleichungen nach q bzw. nach p aufzulösen, benützt man zunächst die ersten Näherungen:

6 r²

q = s sin a + -,

r2-‘-

S³ «    1

6r²

p = s cos a 4-

j*2

p3 __ S³ CO.S'3 «    1

Br²

3 r²

r4 ’ ‘

q = s sin <x —

s³

6 r²

sin a 4-

6,-2

sin³ a

CO

CO

p — s cos a -h    cos a

o T"

cos³ a

3 r²

s³

p = s cos a -f- s—- sin³ a cos a 6 rl

Wir werden diese Entwicklungen noch um ein Glied weiter treiben, wollen dieses aber nur noch an der Formel für q ausführlich zeigen. Statt (5) hat man dann :

q — s sin a — 7r~?; sin a cos² a 6 r²

(6>

²~6r2

hiezu hat man nach (6):

q³ qb

120 r4

s³

sb

6 r²

sin a

(?)

Î2ÔH s n°w

Wenn man dieses ordnet und berücksichtigt, dass:

§4 — s4 (s/w² « 4- cos² «)²

so findet man:

Ś³

q = s sin a — —— sin a cos² a o v²

s5

sin a cos² a (8 sin² « — cos² a)

(8)

Umkehrung der Reihen (8) und (9).

Man kann die Reihen (8) und (9) auch umkehren, d. h. man kann s sin a und s cos a in Potenzen von q und p ausdrücken. (Man könnte hiezu das allgemeine Verfahren anwenden, das wir in § 29. S. 180—181 angedeutet haben; wir ziehen es aber hier vor, ohne alle Vorbereitungs-Hilfsmittel zu verfahren.)

Jedenfalls hat man in erster Näherung aus (8) und (9):

s cos a = p 4-...

s sin a = q 4- ...

os

s cos « =

3 r²

Dieses ist die Weiterentwicklung der ersten Formel der Gruppe (6); die Weiterentwicklung der zweiten Formel der Gruppe (6) wird ebenso gemacht und giebt: s³

sin² a cos a 4

p = s cos a 4-

s5

3 r*

15 r⁴

- sin² a cos a (2 sin² a — cos² a)

(9)

folglich sofort in zweiter Näherung aus (8) und (9): s s in a = q 4-

folglich zum Einsetzen in die höheren Glieder von (8) und (9):

s² cos² a = p² — 2    4-...

s² sin² a = q² -f-

q² p²

3 r²

s³ sin² a cos a

wnS,

= q² p 4-

3 r² 3 r²

4- ...

s³ sin a cos² a = (q -+-

Setzt man dieses in (8), so bekommt man:

s sin a —

120r⁴

„ , q p² , qp⁴- ?³p²

Ï+ 6^ + 3674-^

(qp⁴ — 8 q²p²) 4- . ..

Dieses giebt geordnet:

«²

s sm « = q +    ■

05 «i

qp²

(16 q² — 7 p²)

360 r⁴

und auf gleiche Weise bekommt man aus (9):

q² p    q² p

3 r²    45 r⁴

(10)

s cos a = p —

(q2 + 2p²)

(H)

111. Die Hypotenusen-Formel.

Aus den soeben gewonnenen Formeln (10) und (11) kann man auch eine Formel für s² hersteilen, indem man ssina und s cos a quadriert und addiert. Wenn man dabei die höheren Glieder wie bisher vernachlässigt, so bekommt man:

s² sin² a = q² -+

s² cos² a = p² -+-

qip2

9 r⁴

* ££-*£5 <«*-*"**>

Sphärisch-trigon. Reihen-Entwicklungen bis zur Ordnung — einschl. § 44.

248

T*

Wenn man dieses zusammennimmt und ordnet, so findet man:

q² pZ qZ pZ (q2 _)_ pZ}

3 r²

45 r⁴

(12)

Man kann diese Formel auch unmittelbar finden durch Entwicklung von

±cos^.

cos-— cos

IV. Der erweiterte Legendre sehe Satz.

Nach Andeutung von Fig. 4. verbinden wir zwei rechtwinklige sphärische Dreiecke zu einem allgemeinen sphärischen Dreieck ABC, indem die beiden Katheten q und q' nun die Seite C B = a bilden, zu welcher die gemeinschaftliche Kathete p als Höhe gehört.

Fig. 4.

Fig. 5.

a*n

,c

,c

C*

B7

— a—

Die Winkel A*, B*. C* des ebenen Dreiecks, Fig. 5., deren Summe A*-hB*-hC* = 180° ist, entsprechen den Winkeln    ß', y' in der früheren Fig. 2. § 41. S. 234.

Der Dreiecks-Winkel A setzt sich nun aus den beiden Winkeln a und a' der beiden rechtwinkligen Dreiecke so zusammen :

A = a -t- a', also cos A = cos a cos vc' — sin a sin a Nun hat man nach (11):

b cos a — p

p q² p q²

3 r²

360 r⁴

(16 p² -+- Sq2)

(13)

(14)

c cos a' = p

p q'² p q'²

3 r²

360 r⁴

(16 p² -+- 8 q'²)

(15)

b sin a =q-h

c sin a' = q' +

P² 2 , P² 2 360 r⁴

p² q' p² q' Wrä ⁺ 36ÖH

6 r²

(7 p² — 16 q²)

(7 p² —16 q'²)

(16)

(17)

Wenn man (14) und (15) multipliziert, dabei die höheren Glieder vernachlässigt, und dann nach gleichen Potenzen ordnet, so bekommt man:

(16 p² + 8 q²)

b c cos a cos cc' — p²

p² q² p² q2 ~~    _ 36ÖH

p² q'²    p² q² q'²

~~ HW ⁺ 9 r⁴

Af!

6 r²

sm³ a cos² a 4- ...

q = s sin a —

s³

6r²

s in a 4-

s³

120 ri

s in a

⁺ Q r2 S/nS a

12 r⁴

sin³ a cos² a

pZ q’²

360 r⁴

(16p2 + 8?'2)

Auf gleiche Weise findet man auch aus (16) und (17):

JP²gg' , ff² gg'

360 r*

i Pl (j i i ff⁴ 3 i ^ 6 r² ' 36 ri

h c sm « sin a' — qq'

6 r²

(7 p² _ 16 g²)

Diese beiden Ausdrücke zusammen geben: fe c(cosaeos a' — sinasina') = bccos («4- «') = feccosA =p²— qc[ —

p²

3r²

(g² + 3'² + 2î')

ji-

— 36Ói    16p² g'² 4- 24p² g çr' _)_ 8 g4 _(_ 8 ç'⁴ — 40 g² #'² — 16g³g' —16q'³q) (18)

Nun hat man nach der Hypotenusen-Formel (12) :

₆2=J!2 + sï_Ç|_|i|(y2 + î2₎

c2 = p² + #'² —

(19)

3 r²

a² = (q 4- q')² = ÿ² 4- 2 <? <?' 4- ?'2 Zugleich wird in Fig. 5. ein ebenes Dreieck eingeführt, dessen Seiten a, b, c gleich sind den Seiten des sphärischen Dreiecks, und dessen Winkel A*, B*, C* bestimmt werden sollen. Für das ebene Dreieck hat man bekanntlich die Gleichung:

und unmittelbar

(20)

2b C COS A* = ft² _(_ c2 — f{2

und wenn man hier die Werte (19) und (20) einsetzt, so bekommt man:

b c cos A* — p² _ q q' — (gr2 ^'2) —

p-

(p² g2 + p2 q'2 + qA + 2'4)    (21)

90 r⁴

Dieses (21) wird mit dem früheren (18) verglichen, wodurch man nach einiger algebraischer Umformung finden wird:

p2

6 r²

Das hier vorkommende Produkt p {q-\~ q') steht in naher Beziehung zu b c sin A, denn wir haben aus (16) und (15) mit Weglassung der letzten Glieder:

b c sin a cos a' = p q    — P'^

Entsprechend geben auch (14) und (17):

b c cos a sin a! = p q' 4-

Die Addition dieser beiden Gleichungen giebt:

b c (sin a cos a' 4- cos a sin a') = b c sin A — p {q 4- q') -+-

b c (cos A* — cos A)

(q 4- 2')² -+

p² {q 4- g')²

90 r⁴

(3p² 4- (? 4- ?')² — 8qq')    (22)

p3 q’ p q‘2 q'

6 r² 3 r²

P {<1 + ?')

^~(p2^2qq')

also:

p{q A- q') — b c sin A ^1

(23)

Das Ziel dieser Entwicklung ist die kleine Winkel-Differenz zwischen A und .4*, und wir wollen deshalb setzen:

¹

b c cos a — b¹ -h c¹ — a¹ b c sin a = 2 /\

²

³ = .s³ sin³ a —

³

q³ = s⁵ sin⁵ « 4- ...

⁴

Wenn man diese beiden Ausdrücke für q³ und q⁵ in (7) einsetzt, so bekommt man:

folglich in erster Näherung:

(25)

cos A — eos (A* + æ) = cos A* — x sin A* + ...

Setzt man dem entsprechend cos A* — cos A = x sin A* in (22), und berücksichtigt (23) genähert, mit A = A*, so erhält man:

(26)

Damit entwickelt man eine zweite Annäherung:

A = A* -+- (q -+- q') , sin A = sin A* + (q -+- q') cos A* 4- ...

sin A = sin A*

(i + 072 (? + 5') cot g

(26 a)

oder mit Ersetzung von cotg A* aus (21) und (23) genähert:

pz — <i4

v (2 + ?')

Dieses in (26 a) gesetzt giebt:

sm A = sm H* 1 -t- —-

6 r²

(.P² — 2 2') j

(27)

Damit kann man in (23) die Funktion sin A durch sin A* ersetzen, und dadurch bekommt man:

P (2 + 2') = & c«» -4* ^ + g"2 (i^² — 7 2')

6 r²

(Pz — 2q #') j

(28)

(29)

P (2 + 2') = & c sin A* |l -+- ~ q q' j = 2 A (l +    ? 2']

Hier haben wir die Fläche A des ebenen Dreiecks eingeführt, nämlich: b c sin A*

Nun gehen wir zum zweiten Male auf (22) zurück, und bilden durch Einsetzung von (28):

b c (cos A* — cos A) =

_² A²

3 Î-2

Tb«.

4 A² /3j)2-f-(g + q'f — Sqg' 90 v²

Hier ist nach Fig. 4. zu berücksichtigen:

p² -+■ q² = 6² , p² -4- q'² — c² und (q + q')² = a²

womit man finden wird:

2 A²

3“72~

Nun wird die frühere Entwicklung (25) noch um ein Glied weiter geführt, nämlich mit A — A* = x :

b c (cos H* — cos A) =

2 AV³ b² + 3 C2 — a2 90 T²

7*2

(30)

X²

cos A = cos (A* + x) — cos A* — x sin A*--— cos A*

cos A — cos A* - — sin H* f x -+-

x²

cotg A* j

Dieses in (30) gesetzt, zugleich mit Rücksicht auf (29) giebt:

(30 a)

^»t^* = A+iA(8!>2 + 8c2-(l2,

Die erste Näherung für x ist:

r⁴

X “ 3 r²

Dazu hat man aus dem ebenen Dreieck:

cos A* =

sin A* =

2A

also von (30 a):

% CsJ

cot# J* =

9 r⁴

= 7^(&2 + c2-«²⁾

Dieses in (30a) gesetzt giebt:

3 r² 360 r⁴

(7 b2 + 7 c² + a²)

(31)

Hiebei ist die Winkelreduktion — A* — x in analytischem Masse dargestellt; um auf Sekunden überzugehen, muss man den Faktor g zusetzen. Thut man dieses und schreibt zugleich auch die zwei anderen entsprechenden Formeln für B — B* und C — C*, so hat man :

x — A — A* =

y = B — B* —

z = G —G* =

Summe e =

<]” <]ci <]

J CO ^ CO ^ CO ¹

Q-+

(> -+

360 r⁴

g (a²    7 b² -+- 7 c²)

(31a)

360 r⁴

360 r⁴

g (7 a² + b² + 7 c²)

g (7 «² -t- 7 b² 4- c²)

(32 a)

(33 a)

r-

24 r⁴

p (a² -b b² + c²)

(34)

Unter A ist hier die Fläche des ebenen Dreiecks verstanden, das aus den drei Seiten o, b, c konstruiert werden kann, und die vorstehenden Formeln sind immer nur Näherungs-Formeln, weil noch höhere Glieder vernachlässigt sind. Wenn man dagegen die kugelförmige Oberfläche F des sphärischen Dreiecks benützt, so hat man die schon früher in (2 a) § 40. S. 231 aufgestellte strenge Formel:

(35)

Durch Vergleichung von (35) und (34) hat man auch eine Vergleichung zwischen F und A* nämlich:

= A (l +

a- -+- b² 4- e²

24 r²

(36)

Hiefür kann man auch noch eine andere Form finden, indem man nach (31a)

schreibt:

ll + Acot₉AA

sin A = sin A*    cos A* = sin A*

3 r²

Für ein gleichseitiges Dreieck verschwinden die zweiten Glieder, was auch an

sich klar ist.

Nimmt man hiezu die einfachen Beziehungen, 2 b e cos A* = b² -j- c² — a² und 2    — b c sin A*, so findet man:

sin A sin Ä*

dieses auch auf die beiden andern Winkel angewendet giebt für (36):

b² 4- C2 _ «2

12 r²

sin A sin B sin C

sin A* sin B* sin G*

(87)

Von ähnlicher Bedeutung wie (36) ist auch die aus (34) folgende Gleichung:

a² -+- b² -+- e²'

24 r²

(38)

Setzt man dieses noch in (31a), (31b), (31c), so wird überall durch s ersetzt und man hat:

e f—2a² + b²-h c²'

(39 a)

B — B* =

e (a² — 2 b² -f- c²'

180

^•2

(39 b)

C — C* =

(

3 ' 180 \

(i² b² — 2 c²

T²

(39 c)

Summe

e = e (Probe)

Endlich kann man hier noch eine kleine Form-Veränderung vornehmen dadurch, dass man den Mittelwert m² von a², b² und c² einführt, nämlich:

(40)

a² -hb² c²

— m-

(41)

Damit werden die vorstehenden Formeln:

, *    s    e m² — «²

A~A --3+60~^— r r*    «    ,    « m² — b²

B~B    IT    60 r%

e m² — c2 3“ ⁺ 60 r²

c — c* = 4

(42 a)

(42 b)

(42 c)

Nimmt man ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck mit den Katheten a und a, also c² = 2 a², so wird :

«²

2 r²

, 3 m² — a² + a² -f- 2 a² , m² —

|co

a².

Setzt man a= 100 000”*, so werden die zweiten Glieder in (42 a), (42 b) und

(42 c) bzw. :

q = + 0,0003"

a⁴

40 r⁴

jAe = +0,0003" ~ Q = - °’⁰⁰⁰⁶"

Zu einer Anwendung der vorstehenden Formeln auf ein Zahlen-Beispiel nehmen wir wieder das klassische Dreieck Inselsberg, Hohehagen, Brocken, das wir schon mehrfach, in § 40.—42. benützt haben.

Mit Zugrundlegung der hier als vorläufig zu betrachtenden Berechnungen § 40. S. 238 und § 41. S. 237 erhalten wir:

s = 14,849 700" -+- 0,000 353" = 14,850 053"

Dasselbe bekommt man auch nach den Formeln (42 a), (42b), (42 c), nämlich:

A — A* = 4,950 018" + 0,000 018" = 4,950 036"

B - B* = 4,950 018 — 0,000 021 = 4,949 997 C — G* =■ 4,950 018 + 0,000 003 = 4,950 021

e = 14,850 054" -+- 0,000 000" = 14,850 054" Damit hat man folgende sphärische und ebene Winkel:

Inselsberg A = 40° 39' 30,380 000" Hohehagen B = 86 13 58,840 000 Brocken

O = 53    6 45,630 053

A* = 40° 39' 25,429 964" B* = 86 13 53,890 004 C* = 53    6 40,680 032

Summe

180° 0'14,850 053"

180° 0' 0,000 000"

Wenn man mit diesen Winkeln die frühere Berechnung (13)—(15) S. 237 wiederholt, so muss man mindestens 10 stellig rechnen, um den Unterschied noch wahrnehmbar zu machen; indessen auch in den 10 stelligen Logarithmen ist der Unterschied höchstens eine letzte Stelle, d. h. = 0*001, und z. B. an der Dreiecks-Seite a — 69194,105“ bringt die neue schärfere Rechnung nur einen Unterschied von 0,00002m oder 0,02mm.

Da das benützte Dreieck eines der grössten in der deutschen Geodäsie ist, können wir hiernach mit Ruhe die höheren Glieder vernachlässigen.

Zum Schlüsse dieser Entwicklungen wollen wir noch eine Übersichts-Tabelle berechnen für die Werte des Korrektions-Gliedes 4. Ordnung zum Legendreschen Satze, d. h. nach (42 a) für das Glied:

a² -f- &2 4- C2

= ß(j~2 (™² — °²) ’ W° ™² =

Die beiden Faktoren e und (m² — a²) desselben sind von einander unabhängig; der Excess e misst die Fläche des Dreiecks und der Faktor (m² — o²) ist ein Mass für die Unsyrometrie und Ungleichseitigkeit des Dreiecks. Wenn ein Dreieck sehr lang aber schmal ist, so kann t. klein und (m² — a²) gross sein; wenn ein Dreieck sehr gross und nahezu gleichseitig ist, so wird e gross und (w² — a²) klein; man kann also alle denkbaren Fälle am besten umfassen durch eine Tabelle für à A₄ mit zwei unabhängigen Eingängen e und m² — a², wie im folgenden gegeben wird:

Winkel-Korrektion 4. Ordnung, A zl₄, zum Legendre sehen Satz.

Unsymmetrie des Dreiecks

Y m² — n² m2 — a2

Sphärischer Excess e des Dreiecks

e --- 10" i « = 20"

e = 50" ¹ e = 100"

e = 200"

e = 300"

IQILm

100qkm

20

400

0,00000"

0,00000

0,00001

0,00004

0,00016

0,00066

0,00000"

0,00000

0,00002

0,00008

0,00033

0,00131

0,00000"

0,00001

0,00005

0,00021

0,00081

0,00325

0,00000"

0,00002

0,00010

0,00041

0,00164

0,00657

0,00001

0,00003

0,00021

0,00082

0,00329

0,01314

0,00001"

0,00005

0,00031

0,00123

0,00493

0,01972

Indem wir noch eine allgemeinere Betrachtung über das Fehler-Glied des Legendreschen Satzes anstellen, schreiben wir nach (39 a) mit Zuziehung des Ausdrucks A nach (5) § 41. S. 236:

Y a² (2 b² + 2 c² — a²) — (b — cf

A A₄ =

b² -4- c2 — 2 «²

720 r⁴

Wenn hier b = c, also das Dreieck gleichschenklig genommen wird, so fällt (b — cf fort, und der Ausdruck wird ein Maximum in Hinsicht auf das Verhältnis zwischen b und c. Indem man den an der Seite a anliegenden Winkel ß einführt, kann man, mit c = b, das Fehler-Glied zweifach ausdrücken :

«4    1—4 cos² ß

1440 r⁴ cos² ß

^    (1 — 4 cos² ß) sin 2 ß

A a₄ =

tang ß

(a)

oder

A' a₄ =

0>)

Im Falle (a) entsteht ein Maximum mit ß — 45° und im Falle (b) entstehen Maxima mit ß = 26° 49' und ß = 73° 44' und daraus folgt:

(ß = 45°),

(A A₄) vnax — 0,001 389

(ß= 73° 44'), (A' A₄) m a x = 0,002 050

Setzt man hier bzw. a oder b = 100 000 Meter, so wird das betreffende Fehler-Glied = 0,000 017" oder 0,000 026".

Man sieht hieraus, dass bei messbaren Dreiecken die Korrektion 4. Ordnung immer zu vernachlässigen ist.

Der einfache Legendre sehe Satz mit Entwicklung tis — einschliesslich, erschien in den Par-s

riser „Mémoires de l’académie des sciences“, Jahrgang 1787, und hat inzwischen zahlreiche Beweisformen gefunden.

Die Entwicklung bis auf Glieder von der Ordnung — ist zuerst von Buzengeiger gegeben

in der „Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften, herausgegeben von Lindenau und Bohnenberger, 6. Band, S. 264—270, Tübingen 1818“. Dieses wird auch von Bessel citiert in „Astr. Nachr. 19. Band, 1841, S. 103“. .

Unsere neue Behandlungsw'eise (im vorstehenden § 44.) ist hervorgerufen durch die entsprechenden Entwicklungen für Dreiecke mit geodätischen Linien in der klassischen Abhandlung von Gauss „Disquisitiones generales circa superficies curvas, art. 24—28“. Wir betrachten unseren § 44. als Vorbereitung für unsere späteren analogen Entwicklungen für Dreiecke auf dem Ellipsoid.

Über den Maximal-Einfluss der sphärischen Glieder von der Ordnung 1 : r* giebt schon Baeyer (Messen auf d. sphär. Oberfl. S. 73—74) eine Erörterung.

In unserer zweiten Auflage, 1878, S. 131, hatten wir eine solche Untersuchung mit der Nebenbedingung konstanter Dreiecks-Fläche. Helmert untersucht in math. u. phys. Theorieen der höheren Geodäsie I. § 16. den Maximal-Einfluss der höheren Glieder mit der Nebenbedingung, dass die Quadratsumme der Seiten, d. h. 6² -f- c³ = 3 »j³ konstant sei.

Kapitel Y.

Sphärische Coordinaten.

§ 45. Übersicht der Coordinaten-Systeme.

Wir betrachten in der Folge die Erde als Kugel von gegebenem Halbmesser.

Bei dieser Betrachtungsweise werden manche Formeln und Bechen-Verfahren gefunden werden (mit kleinen Gliedern von der Ordnung 1 : r²), welche man sofort auch auf das Ellipsoid, bzw. auf Messungen an der Erd-Oberfläche anwenden kann, wenn man nur den Kugel-Halbmesser r der Erd-Krümmung an der betreffenden Stelle einigermassen anpasst.

Andere der in diesem Kapitel zu entwickelnden Formeln (mit Gliedern von der Ordnung 1 : }■) werden keine so unmittelbare Übertragung auf das Ellipsoid zulassen, und daher nur als Vorbereitungs*Formeln in irgend welchem Sinne zu betrachten sein.

Indem wir nähere Untersuchungen dieser Art auf die besonderen Fälle verschieben, betrachten wir jetzt die einzelnen Arten der Punkt-Bestimmung auf der Kugel.

I. Geographische Coordinaten.

Fig. 1.

Sphärische Coordinaten.

In Fig. 1. ist 0 der Mittelpunkt einer Kugel, welche, als Darstellung der Erde, den Nordpol N, Südpol S, also die Axe N S und den Äquator A A! hat.

AUX

NAS und N B S sind zwei Meridiane mit darauf liegenden Punkten P und P' ; die gegenseitige Lage zweier Meridiane wird durch den Längen-Unterschied X bestimmt, welcher entweder als Winkel X am Pol N oder als Bogen A B auf dem Äquator dargestellt werden kann.

Auf einem Meridian NA wird ein Punkt P bestimmt durch seine geographische Breite ('f ; welche entweder als Erd-Centriwinkel AOP= <p oder als Meridian-Bogen A P (für den Halbmesser = 1) dargestellt werden kann.

II. Polar-Coordinaten.

Wenn P als fester Punkt gilt, so kann man einen zweiten Punkt P' dagegen festlegen durch Angabe des Entfernungs-Bogens PP' und des Azimutes NPP'=a. Die Azimute werden meist von Norden über Osten gezählt, wie in Fig. 1. mit a bei P eingeschrieben ist.

Ein zweites Azimut a' hat der Bogen PP' im Punkte P' und zwar erscheint in Fig. 1. der Winkel a' entweder als nordöstliches Azimut von PP' in der Verlängerung über P', oder als südwestliches Azimut von P’ P.

Die Differenz der beiden Azimute a und a' führt den Namen „Meridian-Konvergenz“, d. h.

Meridian-Konvergenz = a' — a Dabei ist der dem Äquator zugewendete Winkel a' der grössere, also die Meridian-Konvergenz in dem Sinne der Gleichung (1) gezählt, positiv.

(1)

III. Rechtwinklige Coordinaten.

Fig. 2.

Rechtwinklige Coordinaten x, y.

so⁰.

T/

In Fig. 2., welche einen besonderen Fall von Fig. 1. darstellt, ist P' P\, ein Grosskreisbogen, rechtwinklig zu PN, und der Punkt P' wird in Bezug auf P bestimmt, durch die Abscisse P P\ = x, auf dem Meridian N P gemessen, und durch die Ordinate P₁ P'= y, rechtwinklig zum Meridian gemessen.

p'

Als Meridian-Konvergenz bei rechtwinkligen Coordinaten gilt der Winkel y, welcher in P' liegt zwischen dem Meridiane P N und dem Bogen P' N', welcher eine Parallele zu I\ N ist.

Dieses ist nur eine andere Ausdrucksweise für die schon bei II. gegebene allgemeinere Erklärung der Meridian-Konvergenz, denn wenn das Azimut bei Pl den besonderen Wert 90° annimmt, so ist die Meridian-Konvergenz für die Punkte P\ und P' die Differenz:

(2)

PPXP' — PiP' N= 90° — (90° — y) — y Dabei kommt der Ursprungs-Punkt P und die Abscisse x gar nicht in Betracht, sondern nur der Fusspunkt Pj.

Bemerkungen zur Mendian-Konvergenz.

Die Benennung Meridian-Konvergenz rührt ursprünglich davon her, dass für zwei Punkte unter gleicher Breite die Meridiane sich in einem Punkte der Erdaxe schneiden und in ihrem Schnittwinkel daselbst die Konvergenz der Meridian-Tangenten genau darstellen.

In erweitertem Sinne wird die Benennung Meridian-Konvergenz für die Azimut-Differenz a! — a dadurch erklärt, dass man den Bogen PP' als unendlich kleine Gerade betrachtet, und die Meridian-Tangenten in P und P' mit entsprechender Näherung als sich schneidend annimmt; denkt man sich den Schnittpunkt T, dann hat man ein langgestrecktes schmales Dreieck P P' T, wo P P' die unendlich kleine Gerade und T der Schnittpunkt der beiden Meridian-Tangenten ist. In diesem schmalen ebenen Dreieck ist nun der Winkel bei T gleich a' — a.

Es ist auch leicht einzusehen, dass die Meridian-Konvergenz in erster Näherung durch k sin cp ausgedrückt ist, denn wenn die zwei Punkte P und P' in Fig. 1. unter sich unendlich nahe, in der Mittelbreite qp liegen, so ist für den Kugel-Halbmesser r der Parallelkreis-Halbmesser daselbst = r cos cp, also der Parallelkreisbogen = r cos cp k, aber die Tangentenlänge P T — P' T — r cotg k, also der Winkel bei T gleich r cos cp À : r cotg q> = À sin cp.

So viel genügt hier zur Wort-Erklärung und zur ersten geometrischen Betrachtung der Meridian-Konvergenz, von welcher später noch weiter gehandelt werden wird.

(Vgl. hiezu Fig. 1. § 61. und die Schlussbemerkungen von § 60.)

§ 46. Rechtwinklige sphärische (Soldner sehe) Coordinaten.

Der einfache Grundgedanke der rechtwinkligen sphärischen Coordinaten ist etwa um 1809 von Soldner zur Vermessung des Königreichs Bayern und unabhängig von Bohnenberger in Württemberg angewendet worden, und da diese Vorgänge Nachahmung bei vielen anderen deutschen Vermessungen gefunden haben, werden diese Coordinaten häufig nach Soldner benannt.

Wir denken uns in Fig. 1. einen Meridian NOS der kugelförmigen Erde als Anfangsmeridian des Systems angenommen, und darauf einen Punkt 0 als Ursprung oder Nullpunkt.

Um einen Punkt A durch Coor-

Fig. l.

P P¹

BU

dinaten zu bestimmen, legen wir einen Grosskreisbogen Q' Al A Q durch den Punkt A, rechtwinklig zu dem Meridian O N, wobei A₁ auf O N der Fusspunkt der Senkrechten A Ax ist und Q' sowie Q die sogenannten Pole des Meridians SON sind.

Durch den Fusspunkt Ax wird be-

W’tJ-

N\

Q"/

°o

stimmt:

i <l>

0 A₁ — x, die Abscisse von A Aj A = y, die Ordinate von A Wenn noch ein zweiter Punkt B durch Coordinaten bestimmt werden soll,

so legt man durch ihn wieder einen Grosskreis Q' Bx B Q, welcher den Fusspunkt Bx liefert, und durch dieselben Polpunkte Qr und Q geht, wie der Bogen für A.

Durch den Fusspunkt Bi wird dann bestimmt:

(2)

0 Bi = x' die Abscisse von B BXB = y' die Ordinate von B Wir zählen die Abscissen x nördlich positiv und die Ordinaten y östlich positiv.

Richtungswinkel.

Ausser den Coordinaten selbst haben wir den Begriff des Richtungs-Winkels festzustellen. Der Richtungs-Winkel «, welcher dem Grosskreisbogen AB m A zukommt, ist der Winkel, welchen dieser Bogen A B mit dem zu dem Meridian von 0 parallel gezogenen Bogen A P im Punkte A bildet.

17

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

Bei der vorhin angegebenen Lage des Coordinaten-Systems, mit x nach Norden und y nach Osten, werden die Richtungs-Winkel a vom nördlichen x gegen östliches y hin positiv gezählt, wie in Fig. 1. eingeschrieben ist.

Der Winkel a, welcher hier Richtungs-Winkel genannt ist, ist derselbe, wie auch schon in den Formeln für ebene Coordinatenrechnung in unserem II. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 225 ein Winkel in diesem Sinne eingeführt wurde.

Ausser dem Richtungs-Winkel a von A B in A ist auch der Richtungs-Winkel ß von B A in B bestimmt als Winkel zwischen der Parallelen-Tangente B P' und dem Strahle B A, im positiven Sinne gezählt.

Wir haben neben ß bei B auch noch den Winkel «' eingeschrieben, welcher um 180° kleiner ist als ß, oder allgemeiner:

(3)

a' = ß±180°

Dieser Winkel a' bedeutet also im wesentlichen dasselbe wie ß, er ist aber in den Formeln meist angenehmer als ß selbst, weil a — a' eine Meine Grösse ist, welche in einer Reihen-Entwicklung benützt werden kann. Man nennt auch, nach Analogie der Meridian-Konvergenz, diese kleine Grösse:

(4)

a — a' — Ordinaten-Konvergenz.

Wohl zu unterscheiden von dem Richtungs-Winkel a des Strahls A B im Punkte A der Fig. 1. ist das Azimut dieses Strahles AB, denn das Azimut von A B wäre der Winkel, welchen A B mit dem Meridiane A N va. A bildet (vgl. Fig. 1. S. 255).

In Fig. 1. wäre also der in der Figur nicht angezeichnete Winkel zwischen A N und A B das Azimut von A B in A, und der mit a bezeichnete Winkel zwischen A P und A B ist der Richtungs-Winkel von A B in A.

Was wir hier Richtungs-Winkel nennen, heisst auch in den Veröftentlichungen der trigonometrischen Abteilung der preussischen Landes-Aufnahme »Richtungs-Winkel“, dagegen bei der preussischen Kataster-Vermessung „Neigungs-Winkel“.

In der deutschen Sprache bezeichnet „Neigung“ im allgemeinen einen Winkel in einer Vertikal-Ebene, man sagt z. B. der Wind weht in der Richtung N.O. in einer Neigung von 5° aufwärts oder abwärts.

Auch die Benennung „ebenes Azimut“ wird von Vielen für jenen Richtungs-Winkel angewendet. So lange man es nur mit einem ebenen Systeme zu thun hat, wo gar keine Unterscheidung zwischen ebenem Azimut (bei Gauss „Azimut in plano“) und sphärischem oder sphäroidischem Azimut vorkam, kann man sich die kurze Ausdrucksweise Azimut wohl erlauben; aber nun, da solche Unterscheidung nötig wird, wollen wir das Wort „Azimut“ für die Abweichung von dem Meridian Vorbehalten, und die Abweichungen von der Parallelen konsequent mit „Richtungs-Winkel“ bezeichnen.

EntwicMung der Grund-Formeln.

Mit Beziehung auf Fig. 1. stellen wir folgende Aufgabe :

Gegeben sind die Coordinaten x und y eines Punktes A, ferner die Länge s des Bogens A B und dessen Richtungs-Winkel a in A.

Gesucht sind die Coordinaten x' und y' des jenseitigen Punktes B und der jenseitige Richtungs-Winkel ß des Bogens B A in B, oder statt ß selbst die Ordinaten-Konvergenz « —

Wir werden diese Aufgabe mit Hilfe des sphärischen Dreiecks AB Q von Fig. 1. lösen können, und haben deshalb dieses Dreieck in Fig. 2. nochmals besonders herausgezeichnet.

Alle Seiten und Winkel dieses Dreiecks stehen in einfacher Beziehung zn den besprochenen Coordinaten und Richtungs-Winkeln, z. B. der Winkel bei A ist = 90° — a und der Winkel bei B ist = 90° wie die Vergleichung mit Fig. 1. unmittelbar ergiebt; und im übrigen ist nur noch die Bemerkung zu machen, dass die linearen Werte von Fig. 1. nun in Fig. 2., durch Division mit dem Erd-Halbmesser r, auf Erd-Centriwinkel in t analytischem Masse gebracht sind, z. B. -f—j

die Entfernung s in Fig. 1. giebt

Fig. 2.

Dreieck A BQ von Fig. 2.

Br

90°+O>

Ai!

,90°

r

X90-0.

TC Î)¹

~2 F

‘«4

2 i*

in Fig. 2. u. s. w. Der Wert —--

r

erscheint in Fig. 2. zweimal, erstens als Bogen A1 Bx und zweitens als Win-

7t

kel Q, weil Q Ax und Q B₁ beide Quadranten, d. h. analytisch = sind.

x-x

Nach dieser Vorbereitung benützen wir drei Formeln der sphärischen Trigonometrie, nämlich:

1)    eine Cosinus-Formel (von S. 164),

2)    eine Sinus-Formel (von S. 164),

3)    eine Gauss sehe Formel (S. 165).

Im einzelnen geben diese 3 Formeln ausführlichst geschrieben:

*> "s (t—f)

= cos — cos

-j -+- sin sin ---cos (90° — a)

sin

x’ — x

2)

sin (90° — a)

. S

sin —

s“(t

y’

(90° + a') + (90° — a)

cos 1/2

<M

y’

x' — x

S>

Wenn man diese drei Gleichungen, welche sehr ausführlich geschrieben sind, damit ihre Entstehungsweise ersichtlich bleibt, vereinfacht, so erhält man :

. y’    s . y . s

sm = cos — sm -—b sm —

1) für y':

cos

— sin a

(5)

2) für x’\

sin

x’ — x

. s

sm —

cos^

cos a

(6)

3) für

. a — a' cotg —g— =

cos

y' — y

sin

und wenn man hier Zähler und Nenner umkehrt, so hat man:

a — a'

tang—^— =

sin

y' + y

cos

x' — x tang-^-

Zuerst nehmen wir die Gleichung (5) allein vor:

s    . s

— sin - - 4- sm —-

sin

= cos

cos

— cos a

Auf die hierin vorkommenden sin und cos kleiner Grössen werden die Potenz-Reihen für sin und cos nach S. 172 angewendet, jedoch mit Beschränkung auf Glieder dritter Ordnung; dieses giebt:

y’ y'z

6r³

= 1-

2 r²

)[    6 r³J ' \ r 6r3j{    2r*J

sin a

hält man:

Wenn man mit Vernachlässigung der höheren Glieder weiter rechnet, so er

, y's L ³²

y-6Ï5 = !'(¹-

Diese Gleichung soll nach y' aufgelöst werden; man hat es also mit einer cubischen Gleichung zu thun. Da jedoch von vornherein alle Glieder von höherer als der dritten Ordnung vernachlässigt worden sind, so kann auch die Auflösung von (8) entsprechend genähert ausgeführt werden. Man bildet nämlich zuerst eine erste Näherung für y' :

y2

2 T- 6 J’³

4- s sin all —

s²

y²

6r²    2 r²

(8)

y' = y ■+■ s sin a -f- -

y'3

Dieser Näherungs-Wert von y' genügt, um das zweite Glied in (8) auf

einschliesslich genau zu bestimmen. Man hat daher

Glieder von der Ordnung durch Einsetzen der ersten Näherung in jenes zweite Glied :

r2

y'

{y 4- s sin «)3 6 r²

= y 4- s sin ci -t- y

s²

2 r² 6 r²

4- s sin a

s²

y2

6 r² 2 r²

y' = y 4- s sin cc

3 s² y — 3 s² y sin² a 4- s³ s in a — s³ s in³ a

6 r²

s² y cos² a s³ sin a cos² a 2r²

Damit ist die Gleichung für y' erledigt, und wir gehen über zur Entwicklung für x'. Zur Bestimmung von x' — x haben wir die Gleichung (6) :

. s sin — r

--r cos a

cos

y' z= y -\-s sin a —

sin

x' — x

6 r²

(9)

y'

Dieses giebt bis zur dritten Ordnung entwickelt:

s?

x' — x (x' — x)³

6 r³

y'²

cos a

2r²

x' — X (x' — x)³

S³

6 r³

r 6 r³

cos a

(X'-X)³

6 r²

Erste Näherung x' — x = s cos a ...

af —

= s cos all —

s²

y’²

6r²

2r²

folglich:

x' — x =

(s cos a)³

6 J'²

+- s cos a

s³ cos a s cos a y"³

6 r²

2 7-2

(10)

2 r²

s cos a y'² s³ cos a sirfl a 6 r²

Damit ist auch die zweite Gleichung für x' erledigt, und wir gehen zur Entwicklung für die Ordinaten-Konvergenz. Zur Bestimmung von a — a' haben wir die Gleichung (7), bei deren Entwicklungen man überall schon beim ersten Gliede stehen

bleiben kann, weil dadurch schon rechts ein Glied von der Ordnung entsteht, über welches wir nicht hinaus gehen. Wir haben daher kurz aus (7) :

y' + y

' ” x' — X

(x — a' —

y' + y

2 r²

{x' — x)

(11)

Eine etwas andere Form bekommt man hiefür, wenn man y' = y + s sin a . nach (9) einsetzt, nämlich:

a — «' = (af — x) 4- +-

f2.

(x' — x) s sin a

2 r²

(12)

In (11) und (12) ist zur Reduktion auf Sekunden noch der Faktor q — 206 265" hinzu zu setzen.

setzen:

Zusammenfassung.

Zur Übersicht führen wir noch eine abkürzende Bezeichnung ein, indem wir

s sin a = v

und

y~2+uv 2^2

x' — X + U -f

a — a' — u

oder

s cos a = u

(13)

(14)

(15)

- u y±y'.

~    2 r²

(16)

Hiezu ß — a' + 180°,

Die von r abhängigen Coëfficienten dieser und einiger verwandter Formeln kann man bei gegebener geographischer Breite immer nach der Hilfstafel Seite [8]—[29] des Anhangs bestimmen; für die Breiten (p — 45°, 50°, 55° sind die Logarithmen dieser Coëfficienten folgende (mit Weglassung der — 10 u. s. w.) und bei y. für Einheiten der 7ten Stelle:

¹⁰⁹ èi

45°    6.08969

50°    6.08918

55°    6.08869

¹⁰⁹ W* 5.61257 5.61206 5.61157

¹⁰⁹ £*    ¹⁰⁹ £*

2-72747 2-72697 2-72648

2-25035 2-24985 2-24936

Wenn man in den Formeln (14), (15), (16) den Halbmesser r — œ setzt, d. h. wenn man die Kugel in die Ebene übergehen lässt, so bekommt man: y' — y -f- s sin a

Dieses sind die für die ebene Coordinaten-Bechnung gültigen Formeln.

Dasselbe hat man in anderer Form, wenn man nicht r = «, aber die Entfernung s und damit auch m und n sehr klein setzt; man sieht daraus, dass die sphärischen Formeln von selbst in die Formeln der Ebene übergehen, sobald die Entfernungen so klein werden, dass sich das Anbringen der Korrektions-Glieder nicht lohnt.

1.70514

1.70464

1.70415

1.40411

1.40361

1.40312

a' = a

(17)

Unsere Schluss-Formeln (14), (15), (16) werden auch noch in manchen anderen Formen gebraucht, wie für die Ordinaten-Konvergenz schon bei (11) und (12) gezeigt wurde.

werden :

Auch die Ordinaten-Formel (14) kann umgeformt, d. h. etwa so geschrieben

2 y + y' w²

(18)

y' — y = s sin a--¹—g

Der algebraisch scheinbar störende Umstand, dass in der Gleichung (15) für x das erst zu bestimmende y' selbst vorkommt, ist für unsere Anwendungen unwesentlich, wenn y' zuerst bestimmt wird, um es für die Einsetzung in das Korrektions-Glied für x zu haben; sollte ausnahmsweise x allein zu bestimmen sein, so müsste man zur Berechnung des ersten Korrektions-Gliedes von x einen Näherungs-Wert von y' = y -f- s sin a nehmen.

2 r²

Geometrische Bedeutung der Ordinaten-Konvergenz.

Fig. 3. a — a'.

/    90-CC'X

Die Formel (11) hat eine sehr einfache geometrische Bedeutung, es ist nämlich a — «' der sphärische Excess des Vierecks iPĄĄ, dessen Fläche, eben, genähert

XLX

₌ !'LpV_a0 ist.

90+a.

Man kann diese Bedeutung von a — «' unmittelbar leicht nachweisen, nämlich nach Fig. 8. ist der Excess des Vierecks :

90° + 90° + (90° -t- «) + (90° — «') — 860° = a — a’

A,

~tfs<

(19)

Rechen-Hilfsmittel für die Korrektions-Glieder der Soldner sehen Formeln.

Wenn man zu häufiger Anwendung dieser Coordinaten-Formeln Schemate lithographiert, und hiebei die konstanten Coëfficienten-Logarithmen log ^ ^ log

u. s. w.

mit vordruckt, so geht die Rechnung nach den Formeln (14), (15), (16) ziemlich rasch; doch sind auch schon mehrfach besondere Hilfsmittel angewendet worden.

In unserem Anhang Seite [44] haben wir zwei kleine Tabellen I. und II. für die Korrektions-Glieder der Formeln (14), (15), (16) gegeben, insofern alle diese Glieder A² B

im wesentlichen, die Form

A B

oder —— q haben, doch sind diese Tabellen I. und II.

2r²

auf Seite [44] nicht zum eigentlichen Rechnen bestimmt, sondern nur zur Übersieht, oder als Hauptwerte zu graphischen Darstellungen, oder auch zur Unterstützung von Rechnungen mit dem Rechenschieber u. dergl.

Eine ausführlichere, für qp = 51° gültige, zum unmittelbaren praktischen Ge-

A² B

brauch bestimmte Tabelle der Werte

ist enthalten in dem Werke: „Die trigono-

2 r²

metrischen und polygonometriscben Rechnungen in der Feldmess-Kunst von F. G. Gauss“, 2. Aufl. 1892, II. Teil, S. 54—61.

Graphische Hilfsmittel für die Soldner sehen Korrektions-Glieder sind bei der badischen Landes-Yermessung benützt worden (uns jedoch nicht näher bekannt geworden). Drei Schichten-Tafeln für den vorliegenden Zweck giebt Franke, „Die Grundlehren der trigonometrischen Vermessung“, Leipzig 1879, Anhang Tafel I., IL, III.

Alle diese Hilfsmittel sind aber kaum im stände, das unmittelbare Ausrechnen der Korrektions-Glieder zu ersetzen, zumal man bei solchen Rechnungen, zum Schutz gegen die vielen Abrundungs-Häufungen die einzelnen Glieder meist auf 0,001“ ausrechnet, um im Schlussergebnis 0,01“ noch scharf zu haben, und hiezu ist das Ausrechnen der Glieder im vorgedruckten Schema mit 4—5 stelligen Logarithmen immer noch das Beste.

Die Soldner sehen Korrektions-Glieder sind zwar alle von der Ordnung 1 : r², aber unter sich doch gewissermassen von verschiedener Ordnung, je nachdem s sin a, s cos cc oder y , y' selbst, mehr noch, je nachdem s² sin² a , s² cos² « oder j/² , y'2 darin auftreten, denn die s sin a = v und s cos a u sind im allgemeinen erheblich

kleiner als die y, und deswegen ist das Glied

uy

II «

in (15) das erheblichste von allen.

2 r²

Wir werden später bei den konformen Coordinaten (§ 52.) finden, dass dort solche Glieder mit i/² nicht Vorkommen.

Die Unmöglichkeit genauer und bequemer Hilfstafeln für die Soldner sehen Korrektions-Glieder ist ein Übelstand des Systems selbst, der namentlich bei der Vergleichung mit den später in § 52. zu behandelnden konformen Coordinaten zu Tage tritt.

§ 47. Beispiel der Soldner sehen Coordinaten-Berechnung.

Zu einem zusammenhängenden Zahlen-Beispiel, an welchem der ganze Gang der Soldner sehen Coordinaten-Berechnung gezeigt werden kann, eignet sich sehr gut der nördliche Teil des badischen Netzes, den wir schon früher mehrfach behandelt haben.

Dieses in der nachfolgenden Fig. 1. dargestellte Netz wurde aus badischen und einigen anderen Winkeln zusammengesetzt und (unabhängig von den amtlichen Berechnungen) in sich selbst ohne weitere Anschlüsse ausgeglichen und 1870 veröffentlicht in den „astronom. Nachrichten* 75. Band, S. 289—306 „über die Genauigkeit süddeutscher Triangulierungen“, und jene Ausgleichung ist auch unverändert in den ersten zwei Auflagen dieses Werkes 1873 und 1878 aufgenommen, dagegen in 3. Aufl. I. Band, 1888, S. 194—204 schärfer neu berechnet, wobei die Winkel sich teilweise um 0,001” oder 0,002” geändert haben. In der 4. Aufl. I. Band, 1895, S. 174 ist die Ausgleichung nicht mehr aufgenommen, weshalb wir nun die ausgeglichenen Winkel und Seiten von 3. Aufl. I. Band, 1888, S. 202—203 hier benützen, wie sie in dem nachfolgenden Abrisse (S. 265) sich darstellen.

Fig. 1.

Coordinaten-System mit dem Ursprung Mannheim, -f- x nach Norden, -f- y nach Osten.

Das Netzbild mit Andeutung des Coordinaten-Systems ist in nebenstehender Fig. 1. gezeichnet.

Von dem Punkt Mannheim Sternwarte, der als Coordinaten-Nullpunkt dient, zählt die amtliche badische "Vermessung -+- x nach Süden und -+- y nach Westen, während wir nun, dem allgemeineren Gebrauche in Deutschland entsprechend, -4- x nach 7/^pKönigsstulü    Norden und -f- y nach Osten

zählen wollen.

Auf der Sternwarte Mannheim wurde das Azimut nach Speyer astronomisch gemessen, von Norden über Osten gezählt:

Azimut Mannheim-Speyer = 183° 40'25,291” (1) Dieses Azimut Mannheim-Speyer wird man unter der Bezeichnung Bichtungs-ivinkel in dem nachfolgenden Ausgleichungsabrisse S. 265 wieder finden, denn im Coordinaten-Nullpunkt, durch welchen der Meridian als æ-Axe geht, ist das Azimut gleich dem Richtungswinkel, während in allen anderen Punkten die Richtungswinkel sich von den Azimuten unterscheiden.

Wir geben sofort den ganzen Abriss des Netzes mit ausgeglichenen Richtungswinkeln « und ausgeglichenen Entfernungen log s, obgleich zwar alle log s als Ergebnisse der Netzausgleichung eingesetzt werden können, die Spalten der Richtungswinkel a aber erst allmählich im Laufe der nachfolgenden Coordinatenrechnung sich füllen werden.

Klobbeiy

'Z\4

Melibocus

7\

^Bonnerjbe/y

-Y-\----

— V------rF

Ccdmit

2 ff.

LangenkandeL

F«

II

IF

ZZ

79

vi

-ß^Speiyer

m

~X

2: 2000 OOO

zo

ZO

St Michael

äO

ïo Kilom.

Abriss der Triangulierung des Netzes Fig. 1. S. 264 mit Soldner sehen Coordmaten.

Stationen

und

Zielpunkte

Bichtungswinkel

Entfernung

sphärisch Redukt. eben

da a₀ = a -+ da

sphärisch Redukt. eben log s d log s log sö

1. Mannheim.

Speyer . . . . Oggersheim . .

183° 40' 25,29" - 0,02 183° 40'25,27" 4.275 4362-8 + 0-0 273 42 22,23 +0,00 273 42 22,23 3.7791890-3 + 0‘3

4.275 4362-8 3.779 1890-6

2. Speyer.

Mannheim . . . Königsstuhl .    .

St. Michael . . Langenkandel Calmit . . . . Oggersheim . .

215

3° 40' 25,27"    4.275 4362-8

—    0,25    65    10    10,79    4.358    8019-0

+ 1,13    161    20    32,99    4.430 2529 8

—    0,63    215    0    0,52    4.502    8974-0

+ 0,00    270    34    57,86    4.418    4219‘S

+ 0,13    345    59    7,62    4.296    5476’9

3. Oggersheim.

Melibocus

Mannheim . . . Königsstuhl . . Speyer . . . . Calmit . . . . Donnersberg . . Klobberg . . .

4. Calmit. Oggersheim . . Speyer . . . . Langenkandel Donnersberg . .

35° 38' 30,93 93 42 22,23 + 0,14 HO 37 58,76

4.507 0618-5 4.779 7890-3 4.435 7945-9 4.296 5476-9 4.456 1549-3 4.549 3120-0 4.479 8976-0

48° 30' 26,93"    + 0,59    48° 30' 27,52"    4.4561549-3

90    34    57,88    —0,02    90    34    57,86    4.418 4219-3

163    12    53,76    |    —1,29    163    12    52,47    j|    4.439 5852-2

342    23    54,18    +3,44    342    23    57,62    4.5501058-1

5. Donnersberg

Klobberg . . . Oggersheim . . Calmit . . . .

57° 29' 38,98" 114 51 18,88 162 23 59,80

+ 0,08    57°    29'    39,06"

+ 0,50    114    51    18,38

— 2,18    162    23    57,62

4.375 9182-8

4.549    3120-0

4.550    1058-1

6. Klobberg.

Melibocus . . . Oggersheim . . Donnersberg . .

92° 51' 35,28" 156 22    6,51

237 29 40,80

92° 51' 35,26"

— 0,02

—    0,94    156 22 5,57

—    1,74    237 29 39,06

4.489 5442-5 4.479 8976-0 4.375 9182-8

7. Melibocus. Königsstuhl . . Oggersheim . . Klobberg . . .

169° 13' 40,29" | + 1,49    169° 13' 41,78"

215 38 30,55 272 51 35,26

+ 0,38 215 38 30,93 + 0,00 272 51 35,26

4.560 7787-3 4.507 0618-5 4.489 5442-5

8. Königsstuhl. St. Michael . . Speyer .... Oggersheim . . Melibocus . . .

199° 2' 30,38" 245 10 10,59 290 37 58,96 349 13 43,21

+ 1,23    199°    2'    31,61"

4.569 8613-7 4.358 8019-0 4.435 7945-9 4.560 7787-3

9. St. Michael. Königsstuhl . . Langenkandel Speyer .....

19° 2' 32,78"    —1,17    19° 2' 31,61"    4.569 8613-7

268    48 10,93    +0,86    268    48 11,79    4.429 4468-0

341    20 32,27    ! —0,27    341    20 32,00    |i 4.430 2529-8

10. Langenhandel.

Speyer . St. Michael Calmit

34° 59' 59,18" j +1,34 88 48 10,91 343 12 50,62

II

35° 0' 0,52" ' 4.502 8974-0 88 48 11,79    4.429 4468-0

4.439 5852-2

+ 0,88

+ 1,85    343 12 52,47

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

O iH 00 o CO ÇO © rH © in © ©

-Çl Cnt «4 O O O Hf

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zn to LO 05 ©

ci -j

CO CO

O Hf CC

ci «Ô CD

CO ©    CO

6 Ó H Ń

© © 05

in ô ec*

to

4.275 4362-8 4.358 8020-1 4.430 2530-6 4.502 8979-0 4.418 4219-6 4.296 5477-2

4.507 0620-4 3.779 1890-6 4.435 7946-8 4.296 5477-2 4.456 1557-0 4.549 3125-6 4.479 8983-2

4.456 1557-0 4.418 4219-6 4.439 5879 1 4.5501110-4

4.375 9196-0

4.549    3125-6

4.550    1110-4

4.489 5442-8 4.479 8983-2 4.375 9196-0

4.560 7801-2 4.507 0620'4 4.489 5442-8

4.569 8622-9 4.358 8020-1 4.435 7046-8 4.560 7801-2

4.569 8622-9

4.429    4468-0

4.430    2530-6

4.502 8979-0 4.429 4468-0 4 439 5879-1

Zuerst müssen wir die nötigen Konstanten für die Soldner sehen Glieder zweiter Ordnung bilden :

Der Coordinaten-Nullpunkt hat die geographische Breite rund cp — 49° 30', und damit bilden wir nach Seite [20] des Anhangs die für uns nötigen konstanten Coëf-ficienten-Logarithmen :

log — = ⁶-⁰⁸⁹²³    %67ä = 5.61211 log— = 5.91314

(2)

log = 1.70469 log J-₀ = 1.40366

Wir beginnen mit dem schon bei (1) angegebenen Ausgangswerte Mannheim-Speyer a₀ = 183° 40' 25,291" und log s = 4.275 4362-8

Damit können wir sofort die Coordinaten y', x' von Speyer berechnen, und zwar vereinfachen sich diesesmal die allgemeinen Formeln deswegen, weil die Ausgangs-Coordinaten y, x für Mannheim beide Null sind. Setzt man also y — 0 und x — 0 in den Formeln (13)—(16) § 46, S. 261, so bekommt man:

s cos a₀ = u

x' = u -+-

,ose%

= 0.92654

(3)

Speyer

s sin a₀ = v

U² V

y' = v

6 r²

U V²

3^2 ’

(4)

a' = a°~tëUV

Nun rechnen wir hiernach mit 7stelligen Logarithmen (mit einer an sich unsicheren, durch Interpolation nach Schrön erhaltenen 8. Kontrollestelle 0-1):

log s j 4.275 4362-8 log cos a₀ 9.999 1066-6,,

log s

«o = 183° 40' 25,291" log sin a₀

4.275 4362-8 8.806 6825-0»

log v 3.082 1187-8» v = —1208,144™

Hiezu die Korrektions-Glieder nach (4):

log u2 log v

log (— 1 : 6 r²)

log u ; 4.274 5429-4» u — — 18816,678™

(5)

8.5491

3.0821»

5.6121»

log u | 4.2745» logv2 6.1642 log (1: Br²) j 5.9131

7.2433

6.3518»

+ 0,0017

Diese kleinen Beträge zu (5) hinzunehmend hat man : Speyer

Endlich noch die Ordinaten-Konvergenz :

— 0,0002 (6)

y = — 1208,142™

x — — 18 816,678™

(7)

log u

log v

log (— g : 2 r²)

4.2745»

3.0821»

1.4037»

8.7603»

— 0,058"

(8)

Man hat also nun in Zusammenfassung:

Richtungs-Winkel Mannheim-Speyer « = 183° 40' 25,291"

— 0,058

hiezu nach (8) :

«' = 183° 40' 25,233" + 180°

3° 40' 25,233"

(9)

Also Richtungs-Winkel Speyer-Mannheim «₂ ⁼

Nun kann man die Richtungs-Winkel aller von Speyer ausgehenden Strahlen angeben, denn man braucht nur die auf Speyer ausgeglichenen Winkel mit a₂ zusammenzusetzen. Dazu brauchen wir, wie der Anblick des Netzhildes Fig. 1., S. 264 zeigt, die ausgeglichenen Dreieckswinkel der Station Speyer, welche nach Band I, 3. Aufl. 1888, S. 202, 203 sind:

Mannheim ⁻ . . . = 61o ₂₉,45j804"

' “‘t-⁵,¹” !    [15]    =    96    10    20,829

Oggersheim    .    .    >    ₌    17    41    17,₇₈₈

Mannheim

360° 0' 0,000"

Wenn man diese 6 Winkel zu dem soeben berechneten 3° 40'25,233" nacheinander addiert, so erhält man die sämtlichen Richtungswinkel, wie sie für die Station 2. Speyer auf S. 265 angegeben sind, auf 0,01" abgerundet.

Nach diesem ersten Beispiele können wir kurz sagen, dass auch die zweite vom Nullpunkt Mannheim ausgehende Richtung Mannheim-Oggersheim ebenso wie Mannheim-Speyer behandelt wird, und dann auch den Abriss 3. Oggersheim auszufüllen gestattet, wie auf S. 265 zu sehen ist.

Nach diesem kommen aber die allgemeinen Coordinatenformeln von (14)—(16) § 46, S. 261, deren Anwendung an dem Beispiel Speyer-Langenkandel gezeigt werden soll :

Aus dem soweit ausgefüllten Abrisse S. 265 entnimmt man hiezu:

Speyer-Langenkandel « = 215° 0' 1,150'' und log s = 4.502 8974-0

log s log sin a

4.502 8974-0 9.758 5947-8»

log v

Speyer (7) gegeben:

4.261 4921-8»

v = — 18 259,639 y = — 1 208,142

logs 4.502 8974-0 log cos a 9.913 3628-3»

log u 4.416 2602-3»

u = — 26 077,156 £C= - 18 816,678

log u2 log y log (—1:2 r²)

y + v = — 19 467,781 x -+- u = — 14 893,834 Langenkandel genähert = y'

Korrektions-Glieder für y.

log u2 log n log(—l:Qr²)

genähert = x'

8.8325

3.0821»

6.0892»

8.8325

4.2615»

5.6121»

8.0038

-4- 0,010

8.7061 4- 0,051

Korrektions-Glieder für x. logu i 4.4163» log y'2 | 8.5786 log (1: 2r²) | 6.0892

9.0841»

— 0,121

logu logv2 log(—l:6r²)

4.4163«

8.5230

5.6121»

8.5514 + 0,036

Zusammenfassung :

x -t- u = — 44 893,834”* — 0,121 H- 0,036

y -f- v = — 19 467,781”* + 0,010 + 0,051

Langenkandel : y' =

— 19 467,720

x' =

— 44 893,919

Korrektions-Glieder für a:

log u log y log (— q : r²)

4.4163«

3.0821„

1.7047«

log u log v log (— q : 2 r²)

4.4163«

4.2615«

1.4037«

9.2031« — 0,160

0.0815« — 1,206

Statt dessen kann auch die Rechnung geführt werden nach der zweiten Formel (16) § 46. S. 261

yQ

Zusammenfassung: a = 215° 0' 1,150"

— 0,160 — 1,206

a' 214° 59'59,784"

-4- 180°

a₁₀ = 34° 59' 59,784" = Richtungs-Winkel Langenkandel-Speyer.

Mit diesem Richtungs-Winkel «₁₀ und mit den auf Langenkandel ausgeglichenen Dreiecks-Winkeln kann man nun von neuem einen orientierten Abriss für die Station 10. Langenkandel aufstellen, wie auf S. 265 zu sehen ist.

In dieser Weise wird in dem ganzen Netze auf verschiedenen Wegen herum gerechnet, wobei zahlreiche Proben sowohl für die Richtungs-Winkel als auch für die Coordinaten entstehen, z. B. nachdem die beiden Stationen 2. Speyer und 3. Oggersheim erledigt sind, kann man nach 4. Calmit von beiden Seiten her rechnen, und man wird finden:

von 2. Speyer her:

„ 3. Oggersheim her:

4. Calmit y₄ = — 27 414,066”* x₄ = — 18 550,134”*

,065

,135

also hinreichende Übereinstimmung. Ebenso auch die Richtungs-Winkel:

von 2. Speyer her:

„    3. Oggersheim her:

Richtungs-Winkel (4.2) = 90° 34' 57,882" „    (4.3) =48° 30' 26,932"

Diese beiden Richtungs-Winkel werden in den Abriss der Station Calmit eingesetzt, und geben mit den auf Calmit ausgeglichenen Dreiecks-Winkeln Proben, welche in unserem Falle zu Abänderungen von 0,002" und 0,003" geführt haben, was jedoch auf S. 265, wo alles auf 0,01" abgerundet ist, nicht mehr bemerklich werden kann.

Punkt

1.    Mannheim

2.    Spejer . . .

3.    Oggersheim .

4.    Calmit . . .

5.    Donnersberg .

6.    Klobberg .    .

7.    Melibocus . .

8.    Königsstuhl .

9.    St. Michael . 10. Langenkandel

0,000m

—    1 208,142

—    6 001,777

—    27 414,066

—    38 145,688

—    18 104,628 4- 12 727,470 + 19 525,476 4- 7 407,498

—    19 467,721

0,000m

—    18 816,676 Rechtwinklige sphä-888,767

—    18 550,134 + 15 278,872 4- 28 049,296 + 26 509,100 punkt Mannheim mit

—    9 223,075

—    44 332,386

—    44 893,918

rische Soldner sehe Coordinaten aller Punkte des Netzes

Fig. 1. S. 264. Null-

+ x nach Norden, und 4- y nach Osten.

(10)

Vergleichungen dieser Coordinaten mit den amtlichen Coordinaten von Baden, Bayern Hessen, und Bemerkungen dazu, wurden gegeben in Band I, Aufl. 3, 1888, S. 203—204, II. Band Aufl. 2, 1878, S. 272 und astr. Nachr., 75. Band, 1870, Nr. 1795-1796, S. 289—306 und S. 367.

Der grosse Abriss von S. 265 wäre für die Zwecke der Soldner sehen Coordinaten-Behandlung genügend, wenn er die sphärischen Richtungs-Winkel a und die sphärischen Entfernungen log s enthielte. Wir haben aber auch noch die ebenen Richtungs-Winkel cc₀ und die ebenen Entfernungen s₀ dazu berechnet, nach den einfachen Formeln:

y' — y

x’ — x

tang a₀

x' — x

s₀ =

y' -    _

sin «₀ cos a

wobei die Coordinaten x y, x' y' selbst die sphärischen in der vorstehenden Tabelle (10) enthaltenen sind. Die Differenzen 8 a und 8 log s sind dann einfach aus «₀ — a und log so — log s erhalten. Wie man diese 8 a und Ölogs selbständig berechnet, wird im folgenden § 48. gezeigt werden.

Wir haben diese 8 a und 8 log s auf S. 265 mit aufgenommen, auch wegen der späteren Vergleichung mit den konformen Coordinaten.

§ 48. Bestimmung von Entfernung und Richtungs-Winkeln aus Soldner sehen Coordinaten.

Es handelt sich um Umkehrung der bisherigen in § 46.—47. behandelten Aufgabe, und um die Übersicht zu gewinnen, wollen wir an die entsprechenden einfachen Aufgaben der Ebene erinnern. Man hat bekanntlich in der Ebene:

y' — y = s sm a

tang a =

y' — y

x' — x

und s =

x' — x s cos a

y'-    ..

sin a

x' — X

cos a

(a)

(b)

oder s =

V(y' — y)² -+- R — *)²

(c)

mein (b) und (c) das zu finden, was entsprechend auf der Kugel gilt, d. h. wir stellen die Aufgabe: Gegeben sind die sphärischen Coordinaten zweier Punkte P und P', nämlich :

Gesucht ist:

x und y Coordinaten von P x' und y' „

die Entfernung PP' = s

der Richtungs-Winkel (PP') = «    ,

(P' P) = ß = cd ± 180° )

« P'

(1)

(2)

I. Gemeinsame Formeln für s und a.

Man kann diese Aufgabe lösen durch Umkehrung von (14), (15) § 46. S. 261, wobei in den Korrektions-Gliedern u = cd — x und v = y' — y gesetzt wird. Auf diese Weise erhält man:

s sina = (?/' — y) -{■

{x' —x fy a (x’ — æ)2 (ij — y)

s cos a = (x’ — x)

= (y —y) + üy (3) (x'—x)y' ²    (x'—x)(y' — î/)²    .    ...

2ri +---— = (*-*) + **

2r²

6 r²

Die hier geschriebenen Zeichen 8 y und 8 x sollen nur die Zusammenfassung der Korrektions-Glieder ausdrücken, denn man hat nun weiter:

(?/ — y) + à y (xt — x) -h 8 x

tang a —

(5)

iy' — y) h- ⁸ y

sin a

oder =

(;X' — X) + 8 X

(6)

cos a

Um auch den Gegenrichtungs-Winkel ß zu finden, braucht man nur die Bezeichnungen für die Punkte P und P' umzukehren, was wir nicht durch besondere Formeln von der Form (5) und (6) anzuzeigen für nötig halten (vgl. das nachfolgende Zahlen-Beispiel).

Statt dessen kann man aber auch die Formel (16) § 46. S. 261 an wenden:

a' = a — (*' — x) {y' + y) ^

(«'—*) y-jt — ix’—x) W — y) 272

ß = «'±180°

Damit sind alle Bedürfnisse befriedigt; es ist jedoch aus vielen Gründen erwünscht, die Entfernung s auch ohne die Richtungs-Winkel oder andererseits einen oder beide Richtungs-Winkel ohne die Entfernung zu bestimmen.

oder

(X = a —

und dann:

II. Einzelformel für s.

(7)

(7 a)

(7 b)

Um die Entfernung s allein aus den Coordinaten abzuleiten, kann man sofort die Gleichungen (3) und (4) benützen, denn wenn man diese quadriert und addiert, so erhält man:

S2 = (ly' —y) +

(x' — x)² y (af — a:)² (y' — y)\²

2 r²

6 r²

-+- ^(a:' — x)

(*' - «) y'²    (%’ — x) (y' — y)²^³

2 r-

6 r²

Wenn man die Quadrierungen ausführt und dabei alle Glieder von der Ordnung 1 : r² vernachlässigt, so erhält man :

s² = (y' — yf +

(x' — Xf {y' —y) y (x' — x)² {y' — y)2

3 r²

-I- (x' — x)²

(x' — x)² y'²    (x' — x)² (y' — y)²

T²

3 r²

Zusammengefasst und geordnet giebt dieses:

s² = (y' — y)² -(- (x' — cc)² 4

(x' — x)²

3 r²

(3 2/(2/'-2/)4-2(y'-y)²-3y'²j

S² — (y' — y)2 _|_ (x' -x)² —

{x' —x)2 3 r²

(8)

Hier bezeichnen wir die ersten Glieder, welche der Rechnung mit ebenen Coordinaten entsprechen mit s², d. h. :

(9)

und da man in den Korrektions-Gliedern s₀ mit s verwechseln kann, wird (8) geben:

s2 = so(¹

cos² a

3r²

cos² a

6r²

(:y² + yy' + 2/’²))

(y² 4- y y' + y'²)j oder = s₀ [l

cos² a y'² — y3 6 r² y' — y

(10

oder logarithmisch:

(H)

log s - log — cos² a {y² + y y' -+- y'²)

III. Einzelformel für a.

Um auch für a eine unmittelbare Formel zu bekommen, denken wir uns die Formeln (3) und (4) so zerlegt:

(12)

s sin a = (y' — y) -+- d y ^ s cos a = (x' — x) -+- d x f

wo die Bedeutung von dy und dx sich durch Vergleichung mit (3) und (4) giebt, d. b. es sind d y und d x die negativen Werte der oben mit 8 y und 8 x bezeichneten Zusammenfassungen, oder ausführlich:

haben dann:

dy =

dx =

(*' -Jg)² y , (ag' — X)² (y’ — y)

2 r²

6 r²

[x' —x)y'²    (x' — x) {y' — y)²

(13)

2 r²

Wir wollen auch a selbst entsprechend zerlegt denken in a₀ 4- d a und

(y' — y) + d y

(x' — x) 4- d x

Nach dem Taylor sehen Satze giebt dieses:

und

«₀ = arc tang

da =

da =

y' — y

x' — x

(15)

dy

V—y\² x' — x x'—x)

___y'-y dx

y-y\2(x'-x)2aX

x'—X,

x' — X

{x' — x)²    (y' — y)2

dy

y' — y

[cd — x)² -+- (y' — y) 2

(16)

Setzt man die oben hei (13) erklärten Bedeutungen von dy und dx ein, so erhält man aus (16):

cos a sin a

(x'—x){y, — y)

6 r²

sin² a (17)

Dieses kann auch so geschrieben werden:

(18)

da —

cos* a + f, sin 2 « + ^ ~ *).¥.=?} m 2 K 2 rl    4 r²    o r²

Nützlicher ist noch eine andere Umformung von (17), welche im dritten Gliede von (17) den Faktor sin² a erzeugt, nämlich:

x’ —

6 r²

Sy'²

x' —

— cos² a (2 y -+- y') -+-

y’V_y — W—y) = ^y + y' +

und setzt man dieses in das vorhergehende ein, so bekommt man :

hier ist

da =

6 r²

— sin² a

y—y

y² + y y' + y'²

y' —y

doc—

x' —

- (2 */ + </')+

x' —

6 r² s²

% y³ — y³)

(19)

Dieses d a ist die Verbesserung, welche an dem Näherungswert a₀ von (15) noch anzubringen ist; man kann also im Zusammenhang für den Richtungs-Winkel von einem Punkte P (mit x, y) nach P' (mit x', y') schreiben, zugleich mit Zusetzung der nötigen q:

a = «o + ₆v2 (** - *) (² y + y') + 6”2 ^s²^(y'³ ~y3)

“ ⁼    6t² y — æ) (² 2/ + y') + ₆t2 (y² + y y'-+- y'²)sin a cos a

(20)

(20 a)

Auf den jenseitigen Punkt angewendet giebt diese Formel:

«' = «o -+- -^2 ix — x>) [y 2 2/') + zweites Glied von oben.

Diese beiden Formeln geben subtrahiert:

(21)

°t—a = 272 (*'—®) (y⁺ 2/')

Dieses ist wieder die Formel für die Ordinaten-Konvergenz nach (11) § 46. S. 261, was auch unmittelbar eingesehen werden kann.

{y' — y) + ö y = + 76247,884 (af — x) + ö x = + 177 664,281 damit geben die Formeln (5) und (6):

(F , R) = a = 23° 13' 38,920" log s = 5.286 3099-9 s = 193 334,779”    (21)

Die Umkehrung der Bezeichnungen giebt:

y' = — 34 075,071”

x' = — 179 239,479” x = —    1 575,546

F , Feldberg

K , Katzenbuckel y = + 42 176,169

y' —y = — 76 251,240 x¹ —x = — 177 663,933

Korrektionsglieder nach (3) und (4)

-t- 16,350 - 9,854

Hiezu werden die Korrektions-

glieder nach (3) u. (4) berechnet:

IV. Zahlenbeispiele.

Um die vorstehenden Formeln anzuwenden, kann man in den Zahlenangaben von § 47. reiche Gelegenheit finden, indem aus den Coordinaten von (10) S. 269 sich die Richtungs-Winkel und die Entfernungen des grossen Abrisses S. 265 wieder rückwärts finden lassen müssen. Dieses als Übung anheimgebend, wollen wir ein grösseres Zahlenbeispiel hier durchrechnen, bei welchem die Korrektions-Glieder mehr ausmachen.

Nach nebenstehender Fig. 1. nehmen wir die zwei Punkte Katzenbuckel und Feldberg in dem badischen Coordinatensystem (1870—1871 von uns festgelegte und ins badische System eingerechnete Gradmessungspunkte). Die mittlere Breite ist rund =49° und dazu

log^ = 6.39031.

Die nachfolgenden Rechnungen sind nicht bloss 7 stellig sondern mit dem 10 stelligen Thesaurus gemacht, um die Proben formell jedenfalls bis auf 0,001" zum Stimmen zu bringen, was bei diesem Schulbeispiel formell erwünscht ist.

Fig. l.

Massstab 1: 5 000 000.

+X

Mannheim

ß -hü

Feldberg

-x

a',

y Katzenbuckel

K , Katzenbuckel y' = -+- 42 176,169” F , Feldberg

y = —34 075,071

= —    1 575,546-

= —179 239,479

y' — y = -t-76 251,240 — 13,210 + 9,854

x' — a; = + 177 663,933 Ä ( — 3,881 Sx 1+4.229

t f -h 2,534 ga: 1 —4,229

Zähler = — 76 244,744 Nenner = — 177 665,628

damit wieder nach (5) und (6):

(K , F) = ß = 203° 13' 35,275" log s = 5.286 3099-8 s = 193 334,778” (22) Durch (21) und (22) ist also bereits die Entfernung s auf 0,001” sicher gestellt. Um auch die Richtungs-Winkel a und ß zu versichern, hat man nach (7) und (7 a) die Differenz beider Richtungs-Winkel und zwar bei (7 a) abermals doppelt, je nachdem man die Bezeichnungen P und P‘ entsprechend F und K, oder umgekehrt, wählt; man bekommt für unser Beispiel:

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

(23)

aus (7): «' — « = — 3,646" aus (7 a): a' — a = 4- 30,674" — 34,320" = — 3,646" „    „ : fi' — fi = + 37,966 — 34,320 = + 3,646"

(23 a) (23 b)

oder

Diese 3 Werte stimmen unter sich, und mit der Differenz von (21) und (22), welche 3,645" beträgt, auf 0,001".

Nun haben wir noch die Formeln (10) und (11), welche zuerst eine Berechnung von s₀ bzw. log s₀ verlangen, d. h. eine Berechnung, welche ebenen Coordinaten entspricht; und dabei berechnen wir auch zugleich einen ebenen Wert a₀:

«o = 23° 13' 42,356" log s₀ = 0.286 3122-4 s₀ = 193 335,782m    (24)

Hiezu nach (11) und (10):    —22*6    —1,004

(25)

log s = 5.286 3099-8 s = 193 334,778

Dieses stimmt hinreichend mit (21) und (22).

Endlich haben wir noch verschiedene Formeln für d a. Die Formel (18) giebt in zweifacher Anwendung:

«o = 23° 13' 42,356" — 12,951 + 1,633 4- 7,881

fi₀ = 203° 13' 42,356" —16,030 ■+• 1,066 4- 7,881

a = 23° 13' 38,919"

Endlich giebt die Formel (20) ebenfalls zweifach:

«o = 23° 13' 42,356"

— 3,897 -+- 0,460

ß = 203° 13' 35,273"

(26)

ß₀ = 203° 13' 42,356" — 7,543 4- 0,460

(27)

a = 23° 13'38,919"

fi = 203° 13'35,273"

Damit ist alles mit zahlreichen Proben berechnet, man sieht, dass man mit solchen sphärischen Coordinaten alles rechnen kann, was auch in der Ebene vorkommt, allein die neben der Hauptrechnung herlaufenden Korrektions-Glieder von der Ord-

nung r2

bei den konformen Coordinaten, welche wir später (§ 50.) kennen lernen werden, die Nebenrechnungen mit 1 : r² erheblich einfacher und zugleich viel übersichtlicher werden.

machen doch ziemlich viele Mühe und wir wollen gleich hier bemerken, dass

Ein weiteres Zahlenbeispiel mit Soldner sehen Coordinaten, nämlich sphärisches Rückwärts-Einschneiden bei gegebenen Coordinaten dreier Zielpunkte hatten wir in 2. Auf!., II. Band 1878, S. 278—279 ausführlichst und in 3. Aufl., III. Band 1890, S. 276—277 noch im Auszug gebracht, welches nun übergangen werden mag.

Die „Soldner sehen“ Coordinaten, welche in den vorstehenden § 46.—48. behandelt wurden, sind zuerst öffentlich mitgeteilt von Bohnenberger in der Abhandlung „De computandis dimen-sionibus trigonometricis etc.“ Tübingen 1826, § 15—16, und Bohnenberger sagt dazu in § 16: „formulae (entsprechend unseren (14), (15), (16) § 46. S. 261) conveniunt cum iis, quibus usus est cel. Soldner in computandis dimensionibus bavaricis.“ In Württemberg sind diese Coordinaten zur Landesvermessung eingeführt und Bohnenbergers Entwicklungen stets hochgehalten worden, wie namentlich zu ersehen ist aus „Pross, Lehrbuch der praktischen Geometrie“, Stuttgart 1838, S. 314 und aus dem amtlichen Werke von Kohler, „die Landesvermessung des Königreichs Württemberg u. s. w. 1858“, S. 125—146.

Von Württemberg aus gelangten diese Coordinaten auch in die Bayerische geodätische Litteratur, nämlich in Bauernfeinds „Elemente der Vermessungskunde, 1. Auflage, II. Band 1858*, S. 201—206, wo (ohne Quellenangabe) ein Auszug aus Bohnenberger „De computandis etc.“ § 15—17 mit drei Zahlenbeispielen Bohnenbergers gegeben sind als „Berechnung einiger Dreiecke der würt-tembergischen Vermessung.“

Soldners Entwicklungen, von 1810 stammend, wurden erst 1873 veröffentlicht in „Bayerische Landesvermessung in ihrer wissenschaftlichen Grundlage“, München 1873, S. 263—281.

Alle diese Schriften geben die Grundformeln (14)—(16) § 46. S. 261 und in Betreff der Umkehrung nur die Formeln (3)—(7) S. 270. Die weiteren Formeln (10)—(20) S. 271—272 sind zuerst aufgestellt in unserer 1. Auflage, „Taschenbuch der praktischen Geometrie 1873“, S. 326.

§ 49. Karten-Zeichnung nach rechtwinkligen sphärischen (Soldner sehen) Coordinaten.

Man benützt die rechtwinkligen sphärischen Coordinaten zur Karten-Zeichnung, indem man dieselben wie rechtwinklige ebene Coordinaten behandelt.

Dadurch erhält man ein verzerrtes Bild der krummen Erdoberfläche in der Ebene, und es ist unsere Aufgabe, die Verzerrungen, welche hier, wie bei allen anderen ebenen Abbildungen der Erdoberfläche unvermeidlich sind, zu untersuchen.

Hiezu brauchen wir nur die bereits in § 48. entwickelten Formeln anzuwenden. Wir haben von (10) und (9) § 48. S. 271. cos² a

»o f¹

6r²

(y² + y y' + 2/'²)j    (i)

«o = V(y' — yf + (*'—«)²

Indem wir in Fig. 1. die Punkte A und B mit ihren Coordinaten x, y und x', y' im ebenen System dargestellt haben, finden wir offenbar die Entfernung s₀ von (2) als geradlinige Entfernung A B, und man benützt das Verhältnis dieser geradlinigen Karten-Entfernung s₀ zu der wahren Entfernung s zur Berechnung des Verzerrungs-Verhältnisses, d. h. man setzt:

y2ur y y' + y'²

(2)

Fig. 1.

Soldner sehe Coordinaten in ebener Darstellung.

B<

x‘-x

cos² a    (3)

Für eine sehr kurze Linie s ist y' = y zu setzen, und dann hat man:

6 r²

v — 1 H- cos² a Ł ri

(4)

Dieses ist der allgemeine Ausdruck für die Vergrösserung einer kurzen Linie in irgend einem Punkte mit der Ordinate y, in der Richtung a. Die Vergrösserung v ist nicht abhängig von der Abscisse x, sondern nur von der Ordinate y und von der Richtung a. In Bezug auf a erreicht v seine äussersten Werte mit a = 0° oder 180° einerseits und mit « = 90° oder 270° andererseits, nämlich:

a = 0° giebt vmat — 1 -h ^

2r²

(Meridian, a?-Axe)

(5)

Diese zwei Ergebnisse sind an und für sich leicht verständlich. In der West-Ost-Richtung werden die Ordinaten sowohl auf der Kugel als auch in der Ebene gleich aufgetragen, d. h. es ist v = 1; dagegen in der Nord-Richtung müssen die

ebenen Masse zu gross erscheinen, weil die in Wirklichkeit konvergierenden Ordinaten y in der ebenen Zeichnung parallel sind.

Hiezu ist Fig. 2. gezeichnet mit dem Masse m in der Abscissen-Axe selbst und einem Masse m' parallel der Abscissen-Axe, Q im Abstand y. In der Ebene werden aber die Ordinaten y parallel, also m! gleich m dargestellt, und das Vergrösserungs-Verhält-

nis ist daher =

Fig. 2.

Bi

m*

JÜ _ 3k

2r L r

Z?

Nach Fig. 2. ist A B

ein Parallelkreisbogen vom Halbmesser r' = r cos — und da bei ö der Winkel — sich

r    r

findet, hat man:

m' ’

= cos

m' — A B = — r' =

y. ₌ i_j£

m cos

2 r²

oder

1 + 2r2

(7)

Dieses ist eine Bestätigung von (5).

Zur Übersicht der linearen Yerzerrungs-Yerhältnisse haben wir nach (5) folgende Zahlen-Werte berechnet mit log = 6.08918 für q> = 50°.

1000“

y²

2 r²

2r²

2r²

y2 1000“

2r²

10*”

0,001”

0,000 0012 0,000 0048 0,000 0111 0,000 0196 0,000 0307 0,000 0442

oder in runden Zahlen beträgt die Verzerrung

20

30

40

50

60

Fig. 3.

U*-8

0,005

0,011

0,020

0,031

0,044

5C” auf 1000” oder

10c” auf 1000” oder

B’

70*”

80

90

100

to h-1 O OT

20 000

0,000 0602 0,000 0786 0,000 0995 0,000 1228 0,000 2763 0,000 4912

0,060”

0,079

0,099

0,123

0,276

0,491

(8)

für y = 64 Kilometer

io Mo für y = 90 Kilometer J

(9)

Wenn ein rechteckiges Kartenblatt AB A' B' (Fig. 3.) in der beschriebenen Weise behandelt wird, so erscheint zwar der Südrand A A' und der Nordrand B B' in richtiger Grösse, dagegen der Westrand A B und der Ostrand A' B' werden

m etwas zu gross.

Wir wollen annehmen, der Westrand AB habe die

Ordinate y = 90 000” und der Ostrand A' B' habe y' = 100000“, A¹ dann wird nach der Zahlen-Übersicht (8), in der Zeichnung der Westrand um 0,0099 % und der Ostrand um 0,0123 o/₀

eu gross, oder wenn A B — A' B' = lm Papiergrösse hat, so giebt das hier einen Fehler von nur etwa 0,lm, der aber bei y = 200Łm rasch auf 0,5m ansteigt.

Solche Verzerrungen mögen in der Karten-Zeichnung und auf dem Messtisch unschädlich sein, in der Messung und Berechnung von Polygon-Zügen sind sie es nicht.

Geht ein solcher Zug von 1000m Länge in der Meridian-Richtung von einem trigonometrischen Punkte zu einem zweiten trigonometrischen Punkt, so wird, wenn gar keine Messungs-Fehler Vorkommen, doch der Zug die Entfernung beider Punkte um 10cm kleiner geben als die Coordinaten der Punkte, so lange man nur die ebene Coordinaten-Rechnung anwendet.

In Bayern, wo die Ordinaten in dem einen System des Münchner Meridians bis zu rund 200 Kilometer betragen, mussten daher in der Zugsberechnung besondere sphärische Korrektionen angebracht werden, über welche berichtet wird in der „Instruktion für neue Katastermessungen in Bayern*, 1885, § 23 und in „Technische Anleitung* u. s. w. von Dr. J. H. Franke, München 1889, S. 121.

Wir wollen aber gleich hier bemerken, dass die Soldner sehen Coordinaten-Verzerrungen hauptsächlich deswegen schädlich wirken, weil sie nach verschiedenen Seiten verschieden sind. Wir werden später die konformen Coordinaten kennen lernen, bei welchen die Verzerrung in einem Punkte nach allen Richtungen gleich ist, und es ist leicht einzusehen, dass bei konformen Coordinaten jene bayrischen besonderen Reduktionen der Züge überflüssig würden, weil sie einfach als allgemeine Massstabs-Veränderung (etwa als konstante logarithmische Reduktion) auf weitem Gebiete konstant den trigonometrischen Netzfehlern zuzuschlagen wären, ganz ebenso wie die von der Höhe des Landes über dem Meere herrührenden Reduktionen, welche nach

auf lLm geben. Z. B. München mit

m ■■

§ 9. S. 67 für h = 100m den Betrag von 16 rund 500M Höhe hat hieraus eine Massstabsvergrösserung von 8cm auf l*m, welche, weil nach allen Seiten gleich, auch nicht besonders berücksichtigt wird.

In Württemberg und Baden gehen die Ordinaten bis rund 100 Kilometer, in Preussen bis 70 Kilometer.

Weitere Ausführungen.

Wenn die Fig. 1. S. 275 nicht bloss eine Abbildung der Punkte A und B von der Kugel auf die Ebene vorstellen soll, sondern auch eine Abbildung der Linie A B, d. h. des auf der Kugel gezogenen Gross-Kreisbogens A B, so ist zuerst einzusehen, dass in Fig. 1. die Gerade A B = s₀ nicht das Abbild jenes Bogens AB ist, sondern der Bogen AGB.

nicht

^•2

Allerdings in Hinsicht auf die Länge ist die Gerade A B = s₀ und der Bogen ACB in Fig. 1. bei der von uns überhaupt eingehaltenen Genauigkeit von

zu unterscheiden, denn die Pfeilhöhe des Bogens ACB ist nur von der Ordnung

und daraus kann man schliessen, dass der Krümmungs-Halbmesser der Kurve von der

7-2

—, und endlich dass der Unterschied zwischen dem Bogen AGB und der

Ordnung —

s5

Sehne A B nur von der Ordnung ist, was in allen unseren bisherigen Entwicklungen vernachlässigt wurde.

Dagegen in Hinsicht auf die Richtungen in A und B ist der Bogen ACB

und die Sehne AB in Fig. 1. durchaus nicht zu verwechseln, und wenn der Bogen ACB in Fig. 1. das Soldner sehe Projektions-Abbild des sphärischen Bogens AB auf der Urbildkugel Fig. 1. S. 257 ist, dann sind die Richtungs-Winkel, welche diesem Bogen (bzw. seinen Tangenten in A und B) gegen die x-Axe zukommen, nicht die Richtungs-Winkel a und a' des Urbildes, weil die Abbildung nicht konform ist.

Dieses ist in Fig. 4. nochmals besonders dargestellt, und aus einer besonderen Untersuchung, welche in „Zeitschr. für Verm. 1891“, S. 289—294 mitgeteilt wurde, stellen wir, ohne auf alles Einzelne einzugehen, folgendes zusammen : A und B sind zwei Soldner sehe Projektions-Punkte mit den Coor-dinaten xy und x' y'. Die Soldner sehe Abbildung des sphärischen Bogens A B ist die Curve ACB von Fig. 4., deren Tangenten A A' und BB' gewisse Richtungs-Winkel «! und a₂ haben, welche aber weder den bisher betrachteten a und a' noch den «₀ gleich sind; für hat man:

x'-x

(X

Fig. 4.

?o'C

A’

CD

tang «₀ =

y' — y

x' — x

Dazu nach (20„) § 48. S. 272: x' -

a — «o ⁼

- (² y + y') +

sin a cos a

6 ;-2

(y² + y y' y'²)

(10)

Dann nach „Zeitschr. f. Verm. 1891“, S. 292:

x' —

«1 — «o =

6 r²

— (2 y -f- y') (1 -f- sin² a)

(H)

y²

—-sm a cos a

a — ax =

Bei konformer Projektion verschwindet a — a,.

2 r²

(12)

§ 50. Rechtwinklige konforme Coordinaten.

Wir haben gefunden, dass bei den rechtwinkligen Soldnerschen Coordinaten das Vergrösserungs-Verhältnis in der Ebene nach den verschiedenen Richtungen, welche von einem Punkt ausgehen, selbst verschieden ist, es fand sich nämlich in (5) und (6) § 49, S. 275, indem wir nun statt v das Zeichen m nehmen:

y2

— in der Richtung der x-Axe my = 1 in der Richtung der y-Axe

Diese Vergrösserungs-Verhältnisse beziehen sich auf eine Zeichnung, in welcher die rechtwinkligen sphärischen Coordinaten als rechtwinklige ebene Coordinaten, im

2 r²

übrigen aber in natürlicher Grösse aufgetragen werden, so dass die Grosskreisbögen x und y auf der Kugel sich nachher im Abbild in der Ebene als Gerade darstellen.

Wir wollen nun eine andere Art der ebenen Abbildung betrachten, bei welcher das Vergrösserungs-Verhältnis in jedem Punkte nach allen Richtungen dasselbe sein soll.

Man nennt eine solche Abbildung „konform“ nach dem Vorgänge von Gauss, welcher die allgemeine Theorie solcher Abbildungen aufgestellt und die konformen Abbildungen zuerst in die trigonometrischen Berechnungen eingeführt hat.

Unter konformer Abbildung im allgemeinen versteht man eine solche geometrische Beziehung zwischen zwei Flächen, dass jedem Punkte der einen Fläche ein bestimmter Punkt der anderen Fläche entspricht, und dass das Abbild dem Urbild in den kleinsten Teilen ähnlich ist.

Die letztere Bedingung ist durch nebenstehende Fig. 1. und Fig. 2. deutlicher gemacht in diesem Sinne:

Es seien A, B, G drei unter sich sehr nahe liegende Punkte einer gegebenen Fläche (Urbild) und A’ B' C die entsprechenden Punkte einer anderen Fläche (Abbild); die Abbildung soll nach einem solchen Gesetze erfolgen, dass das kleine Dreieck A' B' C dem entsprechenden kleinen Dreieck A B C A ähnlich wird, dass also die Winkel a, ß, y beider Dreiecke einander gleich sind und dass zwischen den Seiten ein konstantes Verhältnis besteht:

Fig. 1. Urbild.

Fig. 2. Abbild.

c'

;C6

A¹

b‘

'77

(1)

A' B' _ B! G C A' ~ÄlT ~ ~B~G ~ GA

Fig. 3. (F G = dS).

Nach diesen allgemeinen Vorbemerkungen gehen wir über zu den rechtwinkligen konformen Coordinaten, welche Gauss etwa um 1820—1830 in der Hannoverschen Landesvermessung eingeführt hat, aber wir geben zunächst nur die sphärische Theorie mit Gliedern bis zu 1 : r² einschliesslich, d. h. das Analogon zu den in § 46. behandelten Soldner sehen Coordinaten.

or_

AM/[ F

0 @ 7 1

-/%<

A/dS

In Fig. 3. wird die Erde kugelförmig dargestellt mit dem Nordpol N, dem Südpol N' und einem Meridian N O N'.

Alle Grosskreise, welche rechtwinklig auf diesem Meridian von 0 stehen, müssen sich in den Polen Q und Q des Meridians schneiden.

Zwei solche auf dem Haupt-Meridian rechtwinklige Grosskreise sind die beiden Bögen QD Q' und Q E Q', welche zur Bestimmung der rechtwinkligen Coordinaten zweier Punkte F und G dienen, indem O D = x die Abscisse von F und D F = t) die Ordinate von F ist, und

ebenso ist O E die Abscisse und E G die Ordinate von G, wobei D F = E E, also F H eine geodätische Parallele zu D E.

Die Coordinatenlinien zwischen 0 und F G sind geradlinig abgebildet in Fig. 4., indem D F' und E G' parallel und beide rechtwinklig auf ODE sind, mit O D — x und D E = dx in beiden Systemen gleich, oder im Sinne der Abbildung kongruent, während D F' — y mit D F — t) nicht gleich ist, auch E G' nicht gleich mit EG, sondern es sollen die Abbildungs-Ordi-naten y im Vergleich mit den Urbilds-Ordinaten g gewisse Verzerrungen erleiden, deren Gesetz dadurch bestimmt wird, dass das rechtwinklige Differential-Dreieck F' H' G' dem Ur-dreieck F HG ähnlich wird. Indem man die Hypotenusen in diesen Dreiecken mit ds und dS bezeichnet, wird man das Verhältnis dieser Hypotenusen betrachten, welches wir m nennen wollen :

Fig. 4.

■dr

dx

0?

dS

(2)

Es sei auch gleich bemerkt, dass immer d s grösser als dS und m grösser als 1 ist (s grösser als S nach feststehender Bezeichnung der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme),

Nach dem Prinzip der Gleichung (1) mit Fig. 1. und Fig. 2. sollen nun in Fig. 3. und Fig. 4. die beiden unendlich kleinen Dreiecke F GH und F' G' H einander ähnlich sein, woraus folgt:

Hierbei ist

F'H H'G' FH ~ HG F' H = dx

(3)

H'G' =dy

und FH als Parallelkreisbogen im Abstande t) von D E hat einen Parallelkreishalbmesser r' — r cos —, und da bei Q' der Winkel = — sich findet, hat man : r    r

FH = r'

dx

= d x cos

JL

und HG = dt)

(4)

Aus (3) und (4) hat man:

COS

JL

EU &

•ss

(5)

dy

COS

(6)

Diese Gleichung kann man integrieren, nämlich:

(7)

r ⁼ l tang (f ⁺ łr)

Wir wollen jedoch zunächst von der strengen Integration keinen Gebrauch machen, sondern nur in erster Näherung rechnen:

± ₌

cos

¹    2r² ’

COS

~ 1 + 2r2

also nach (5):

dy = [l+h^)dx>

(8)

•    (9)

y = D +

Dadurch ist die Beziehung zwischen y und Q bestimmt und ebenso auch das Vergrösserungsverhältnis m ; indessen kann man dabei in den Korrektionsgliedern auch ty und y vertauschen, also:

6 r²

2 r²

oder m = 1 -+-

2 r"

(10)

und —

2r²

oder — =

y²

Dieses gilt in differentialem Sinne in einem Punkte nach allen Richtungen, oder in einem unendlich kleinen rechtwinkligen Dreieck, wie z. B. F' G' H Fig. 4., gilt derselbe Wert m für beide Katheten und für die Hypotenuse.

Wir gehen nun von einem unendlich kleinen Bogen über zu einem endlichen Bogen A B in Fig. 5., dessen Endpunkte A und B die Projektions-Coordi-naten æ₁ y^ und x₂ y₂ haben, und wir überzeugen uns zuerst, dass in Fig. 3. und Fig. 4. der Bogen F G sich in eine Linie F'G' abbildet, welche bei unendlich kleiner Ausdehnung als Gerade gilt, welche aber bei endlicher Entfernung nicht mehr geradlinig wird, sondern krummlinig, wie in Fig. 5. zu sehen ist, in welcher die Kurve A B als Abbild eines entsprechenden Bogens der Kugel auftritt, während die Gerade A B lediglich Hilfslinie in der Projektion ist.

Fig. 5.

E.

8!

X₂-X

A,

y,

T,

l'2

T2

S,

'*1

Von dieser Kurve A B in Fig. 5. kann man xi auch alsbald sagen, dass sie gegen den Abscissen-meridian O N konkav sein muss, denn das geradlinige Viereck Ax Bi B A hat eine Winkelsumme = 360°, während das entsprechende sphärische Viereck wegen des sphärischen Excesses mehr als 360° Winkelsumme haben muss. Da aber wegen der Konformität die richtige Winkelsumme in der Abbildung erhalten werden muss, wird die konforme Abbildung der Linie A B sich in dem Sinne gekrümmt darstellen müssen, wie Fig. 5. zeigt.

Mit den Bezeichnungen von Fig. 5. hat man für die geradlinige Entfernung s und den Richtungswinkel ^ in dem ebenen rechtwinkligen Systeme, wie immer:

oo

tang =

yz—yi

æ₂ — xx

„    2/2 — 2/1 __ xi— x\ ,/7--TTT—7-nr

S ” ~^n tf - unr ~    +(*2-au)²

In erster Näherung kann die Sehnenlänge A B der Bogenlänge A B gleichgesetzt werden, oder es kann mit d s sowohl das Differential der Geraden A B als auch des Bogens AB bezeichnet werden.

Andererseits sei S die sphärische in Fig. 5. nicht dargestellte Entfernung der Punkt A und B, dann besteht die Differentialgleichung :

(11)

2 r²

(l s

/V y 2 r2 1

V dJL 2 r² sm t

yS

——t- Integr.-Const.

2 r² sin t 3

Zwischen den Grenzen y₁ und y₂ giebt dieses:

(2/2³ — 2/1³)

6 r² sin t

s__¹ ył—yłyi — yi _ ₈__¹ s/2³—2/1%

6 r² i/₂ — V\ s^n t

1--—

6r²

Dieses ist bereits eine brauchbare Formel, man kann sie aber noch passend umformen durch Einführen der Mittel-Ordinate

y\ + 2/2 _ „

—2— ~~ yo

Mit 4 y₀² = i/j² H- 2 2/x t/₂ —ł— i/2² wird (12) auf diese Form gebracht:

_ 1 _ J_ 2/2³ — 2/i³ _

«    6r² i/2 — yi

6r²

2/2 —2/1 !:o (2/2² + 2/2 2/1 + 2/i²)

(12)

(12 a)

(2/1² + 4 i/o² + 2/2²)

12i-2

Dieselbe Formel in logarithmischer Form lautet:

(18)

log s — logS = ^ {yx* + 4 i/₀² + 2/2²)

(14)

oder

=    (^l² + (2/1 + 2/₂)² + 2/2²)

(15)

Auch kann man noch eine andere Form bilden, indem man für den Anfang, für die Mitte und für das Ende der Strecke drei Werte m ausrechnet in dieser Weise:

(2/1+J/2)²

m₁ = 1 +

2/1²

2r®

oder

mx

_ l 2/1²

2r²

OTo = M

= ₁ (y\+2/2)²

8i-²

8i'²

ył

w2 — ¹ + 2 ,r2

w₂

2r²

und dann

oder auch logarithmisch :

(16)

S 6 \mx

log s-logS=logm'+il°lm«⁺-^

Wenn die Differenzen (y₂ — 2/1) und (æ₂ — #i) verhältnismässig klein sind, gegen die i/j und i/₂ selbst, so dient die Formel :

m₀ m2:

(17)

log s    log S =    (2/1 -f-t/₂)² + 2472 (2/2 “ 2/l)²

Wenn (i/₂ — 2/1) klein ist im Vergleich mit yx und i/₂» so kann man das zweite Glied hier gegen das erste vernachlässigen.

Übergehend zur Bestimmung der Richtungs-Reduktionen knüpfen wir nochmals an die Betrachtung an, welche im Vorstehenden zu der Erkenntnis geführt hat, dass

(18)

die konforme Abbildung des Grosskreisbogens F G von Fig. 8. sich in Fig. 5. als eine flache Kurve darstellen muss, welche in Fig. 5. nach rechts hin konvex sein muss.

Diese Betrachtung giebt auch sofort die Summe der beiden kleinen Winkel öi und 0'₂, denn diese Summe ö± + d₂ muss gleich dem sphärischen Excess des Vierecks

sein, d. h. auf ^ einschliesslich genau:

i^2 — a?i)(y2 + yi)

2 r²

(19)

Wenn die beiden Punkte A und B sehr nahe zusammenrücken, so giebt dieses die Differentialformel:

y2i

(20)

Die Formel (19) ist nichts anderes als die Ordinaten-Konvergenz, welche auch bei den Soldner sehen Coordinaten § 46. in (12) und (19) S. 261 u. 262 auf zwei verschiedenen Wegen so gefunden worden ist.

Fig. 6. (AB = 8)

Nun betrachten wir in Fig. 6. ein neues rechtwinkliges Coordinatensystem, dessen Ursprung im Punkte A liegt, dessen Abscissenrichtung -+-£ von A nach B und dessen Ordinatenrichtung -+- rj rechtwinklig zu 0 A B liegen soll. Wenn in diesem Systeme die C flache Kurve A B durch eine Gleichung zwischen | und T] dargestellt ist, so kann der Krümmungs-Halbmesser R dieser flachen Kurve hinreichend genähert dargestellt werden durch die Gleichung :

(21)

1 _ d² rj B~ d I²

ds

Wenn man ausserdem mit 2 ö wie bei (20) die Bogenkrümmung auf die Erstreckung des Bogenelementes d s bezeichnet, so hat man :

d s = R . 2 Ó'

(22)

also aus (20)—(22) die Differentialgleichung für i]\

<r,

\n

d² r] _ y d x d I² ~ r* ds

Da man aber auch hinreichend genähert ds = d | setzen darf, so haben wir aus dem Vorstehenden die Differential-Gleichung der Kurve AB:

et² rj __ y dx cT|2 “ ^2 d|

Dieses ist zunächst ohne Vorzeichen entwickelt, wenn jedoch die Kurve mit ihrer konkaven Seite gegen die f-Axe liegt, wie in Fig. 6., so muss die zweite Ableitung negativ sein, also :

d² rj _

dl²

HU««

-TS PS

(28)

Nach dem Anblick von Fig. 6. hat man in erster Näherung:

x — xx -+- I cos ti und y = yl + | sin ti dx

= COS 11

also aus (22):

di

oder

cß T] y-*    £

=    sin cos *i

?§=A+BI

(24)

(25)

wobei die Bedeutung von A und B aus der Vergleichung von (24) und (25) folgt:

sin ti cos ti

j*2i

7*2

(26)

Die Gleichung (25) wird zweimal integriert:

a,i

mnrl-a

(27)

— T] — Ci § H--2

A g² , -B |3

(28)

Dabei ist Ci die Integrations-Konstante für die erste Integration, und für die zweite Integration kommt keine Konstante mehr hinzu, weil, wie man sofort überblickt, für | = 0 auch rj = 0 werden muss. Um die Konstante Ci zu bestimmen,

dt] __

hat man nach dem Anblick von Fig. 6., dass £ = 0 den Wert

den Wert

= — d₂ geben muss, ebenso muss auch § = s den Wert rj — 0 geben, also:

-öi =c₁

» n    a    -B S²

-+- $2 — Pi *+■ A s H--g—

° = ClS + ^r

As² B ss

As B s²

Diese drei Gleichungen geben:

B s*.

Bs*

(29)

und ö₂ = -j-

Oder wenn man die Bedeutungen von A und B nach (26) einsetzt:

Ô] = S g⁰^¹ (3 y\ -+- s sin ti) und ö₂ =

Endlich, da s sinti —y₂— y\ und scosti=x₂— Xi ist, kann man dieses auch so schreiben, zugleich mit Zusetzung von g :

T\ — h = öi = g-^2 (x2 — x\) (2 y\ + 2/2)

T₂~i₂ — Ó₂ = (Xi — X₂) (t/i -t- 2 J/₂)

S COS #1

6 r²

(3 yi -+- 2 s sm ij)

(30)

(31)

(32)

Diese Formeln werden von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme meist in dieser Form geschrieben:

(*2 — ®i) (2/2 — 2/i) ï^â(*i — «2)(s/i —y₂)

(33)

A - <1 = jfä (*2-*l)(yi+■/;:)

(34)

= 442 <‘ Xl — *2) ⁽.!/2 + Vl)

Diese Formeln, welche mit den vorhergehenden algebraisch identisch sind, sollen dazu dienen, die relative Kleinheit der zweiten Teile auszudrücken für den Fall, dass die Coordinaten-Di/ferewzm (x₂— Xj) und (y₂ — y{) verhältnismässig klein sind gegen die Ordinaten yx und y₂ selbst, was bei Triangulierung III. Ordnung entfernt von der Axe eintritt; und dann kann man häufig die zweiten Glieder in (33) und (34) gegen die ersten Glieder sogar vernachlässigen.

Gleichung der Kurve A B.

Nachdem die Coëfficienten A, B nebst der Integrations-Konstanten G₁ bestimmt sind, kann auch die Kurvengleichung nach (23) angeschrieben werden:

AJ2    Bi8

Ai 2    Bi*_Asb    Bs2

2 6 “ 2 6

V = \(* -1) +    - i²) = MO *1 (» -1) +

oder nach Potenzen von i geordnet mit s sin t\ — y% — y\ :

.s cos t1    ± s . .

»? = I -gr2 (² 2/1 + 2/2) - 2 r2 2/1 cos *1 — 6r2 Smtl C0S h

jjj.

JYr

i sin t₁ cos t₁

6 î'2

(S2_|2)

(35)

Hiernach erscheint die Kurve A B von Pig. 6. dargestellt durch eine~Gleichung dritten Grades, aus welcher man auch nochmals rasch zur Probe die dj und d₂ durch Differentiieren bestimmen kann.

Ausrechnung der konstanten Coëfficienten.

Die vorstehenden Formeln finden zur Zeit am meisten Anwendung bei dem grossen über ganz Preussen sich erstreckenden konformen System der trigonometrischen Abteilung der preussischen Landesaufnahme, dessen x-Axe im 31ten Längengrad (3' 41,25" westlich von der Berliner Sternwarte) und dessen Nullpunkt auf der Breite 52° 42' 2,53251" in diesem Meridian liegt. Der mittlere Erdkrümmungs-Halbmesser für diese Breite, gewöhnlich mit A bezeichnet, ist:

log A = 6.805 0274-003

und damit sind folgende Konstanten berechnet, indem bei den Coëfficienten [mit fx der Wert log y = 6-6377843 von S. 193 für Einheiten der 7ten Logarithmenstelle angenommen ist.

i^12Z2= 5-310 7640

*⁰%/Z2=¹'6475183 ^1&2= ⁰-⁶²⁵¹⁸⁹¹

log ^2 = 6-0889152 >0^ = 5.7878852 log— = 5.6H7939 log~^ = ²'⁷²⁶⁶⁹⁹⁵ ^8A2 ⁼ 2-1246395 log^ = 2*2495773 = 1,4033403 ^4^2 = L1023103    = 0.9262191

Für die Mittelbreite von Deutschland kann man annehmen cp = 50° und den mittleren Krümmungs-Halbmesser

log r = 6.804 8936*173

und dafür gelten die folgenden Coöfficienten :

logŁ

logJ^T, = 2-726 9671 y 2 r²

= 6.089 1828

logèi

log . ", = 2-124 9071

= 5.788 1528

8r²

log^= 1.403 6079

iog —ÿ, = 1.102 5779

log 5.612 0615 log îïJ-₅= 5.3110315 y 6 r²    12 r²

locj 5 = 2*249 84581 log^= 1*647 7858 6 ?*²    ,241*²

log JL = 0.926 4866 ! log = 0.625 4567

Gewöhnlich braucht man diese Coëfflcienten nur 4—5 stellig, für alle Fälle haben wir sie hier 7 stellig hergesetzt.

In den Hilfstafeln des Anhanges Seite [45] und [46] haben wir einige Funktionen zur konformen Projektion ausgerechnet, nämlich log m =    auf Seite [46],

zunächst bis y = 100 000w mit kleinem Intervall von 1000" und unten am Schlüsse zur allgemeinen Übersicht nur 5 stellig bis y — 690Łm.

Dazwischen von y = 230*™ bis 255fcm ist eine besondere Gebrauchstafel für die Gegend von Hannover, welche aber auch auf dem ganzen 35im breiten Streifen Göttingen—Hannover—Hamburg—Kiel und östlich Neisse—Breslau—Posen—Stolp, gebraucht werden kann. Die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme hat eine solche Tafel für ganz Preussen; es kann sich jedermann für einen gerade in Arbeit genommenen Bereich eine solche Tafel selbst rasch berechnen nach der Gleichung:

log m =

y² = [2*726 700] y²

Allerdings bei grossen y kommt noch ein Glied vierter Ordnung hinzu, so dass man hat:

log m =

y²

Vi = [2*726 6995] y² - [8*33849] y*

Dieses werden wir erst später behandeln können.

Die andere Tafel Seite [45] giebt oben die Coordinaten-Vergrösserung

Y-y =

= [5.611 794] i/³

yS

6 A²

wobei Y dasselbe bedeutet wie l) in den vorstehenden Entwicklungen zu Fig. 3. S. 279, wo t) die sphärische Ordinate ist. Dann der untere Teil von Seite [45] giebt

•    •    •    <j/2

die differentiale Ordinaten-Verzerrung ^ _₀ oder konforme allgemeine Linear-Verzerrung

Jl

zusammen mit der Höhenreduktion —, worauf im späteren § 52. weitere Schlüsse gegründet werden sollen.

§ 51. Beispiel der konformen Coordinaten-Berechnung.

In nachstehender Fig. 1. wird unser Pfälzer Netz von § 47. nochmals vorgeführt, im wesentlichen wie früher, nur mit einer Schar von Parallel-Liuien mit konstantem y, also parallel zur x-Axe, deren Bedeutung im Nachfolgenden erklärt werden wird, während zunächst nur das Netz an sich gebraucht wird.

Wir haben dieses Pfälzische Triangulierungs-Netz, welches in § 47 in Soldner-schen Coordinaten behandelt worden ist, nun in konforme Coordinaten umgerechnet und zwar für die Mittelbreite <p = 49° 30' mit den Konstanten :

log r = 6.804 8686 , log

(1)

6 r²

= 5.61211 , log = 2-72702

y 2 r2

Fig. 1.

Sn

Mcltbocm

'I

Donnersbe/y

Z7l

A£

Dggenheini zyj

i Àa

\-i.

~r

JY

Tr^bKÔniyss

tuld |

i \Z6/ Calmit''/zs

i i r

i/ i

ZZ

79,

₇Speyer |

/%. er 100*0

S|

iS

i 'il

VL

l'I

'U

K5

tc

7S

77.

M,

^Langen&undçl

-x

St MidiaejL

J: 7000000

70

70

zo

âO

widiom,-

Wenn man (abweichend von der Bezeichnung in § 50.) die Soldner sehen Ür-dinaten mit y und die konformen Ordinaten mit Y bezeichnet, so hat man nach (9) § 50. S. 281:

yd

(2)

Y=₉+fo = y + [SM211-] y*

und zur Übersicht der Differenzen Y — y kann man den oberen Teil der Tabelle Seite [45] des Anhangs benützen, obgleich derselbe für die Breite 52° 42' gilt, während unser Pfälzisches Netz die Mittelbreite 49° 80' hat, denn für kleine Ordinaten y macht das fast keinen Unterschied.

Nach vorstehender Formel (2) sind die Y — y in folgender Tabelle berechnet :

Punkt

y*

Soldner

6r³

= r-y

konform

log m

y²

=*h

1.    Mannheim .

2.    Speyer . . .

3.    Oggersheim

4.    Calmit . . .

5.    Donnersberg

6.    Klobberg . .

7.    Melibocus .

8.    Königsstuhl

9.    St. Michael 10. Langenkandel

0,000™ “

log ~ = 5.61211

y 6r2

0,000™ — 18 816,676 388,767

—    27 414,150    — 18 550,134

—    38 145,915    + 15 278,872

—    18 104,652    + 28 049,296

+ 12 727,478    +26 509,100

+ 19 525,506    — 9223,075

-t- 7407,500    —44 332,386

—    19 467,751 i —44 893,918

0,000™

1208,142

6001,778

0-0

0-1

1-9

40-1

77-6

17-5

8-6

20-3

2-9

20-2

log 2^ = 2-72702

Aus diesen Coordinaten y, x können wir auch alle Entfernungen und Richtungswinkel berechnen nach den Formeln (11), (13) und (31) des vorigen § 50. S. 281, 282 und 284, wie wir an einem Beispiele Donnersberg-Calmit zeigen wollen :

konform

Calmit

Donnersberg y₁ = — 38 145,915

2/₂ = — 27 414,150™

x₂ = — 18 550,134™ £Cj = + 15 278,872

2/2 — 2/1 = + 11 731,765 x₂ — xl = — BZ 829,006

log(y₂— yi) 4.030 6711-5 log(x₂—x{] 4.529 2892-4,

log tang tx 9.501 3819T, log sin tx

% (ya — y\)

9.480 5595-8 4.030 6711-5

tx = 162° 23' 56,83”

9.979 1776-6, 4.529 2892-4,,

log cos ti log (x₂ — *i)

log s

4.5501115-8

logs 4.5501115-7

Dieses ist rein ebene Rechnung und nun kommen die Korrektionen mit 1 : r².

yx + y₂ = — 65 560

% (2/1 + 2/2) log (2/1 -+- y%)% log (ju : 2 r²)

4.81 664 9.63 328 2.72 701

2/2 = — 27 414 2/2 = — 27 414 ;

yj = - 38 146    2 2/i+2/₂ = — 103 706

yx — — 38 146

log (2 yx + y₂) log (ic₂ — x{) log (q : 6 r²)

2 2/2 + V\ ⁼ — 92 974

5.01 582, 4.52 929, 0.92 654

log (2 y₂ + yx) log («x — x₂) log {q : 6 r²)

4.96 836, 4.52 929 0.92 654

iog(y±+riP

2 r²

2.36 029

logiTi — td 0.47165

log (T% —1₂)

0.42 419

(yi + yz)²

2 r²

229-24

T₁-t₁ = + 2,962”

T₂ — tg = — 2,656”

Abriss der Triangulierung des Netzes Fig. 1. S. 287 mit konformen Coordinaten.

Stationen

und

Zielpunkte

Richtungswinkel

Entfernung

sphärisch

t—T

eben

sphärisch log s eben log s    —logS \    log s

1. Mannheim.

Speyer . . . . Oggersheim . .

183° 40' 25,29" — 0,02" 183° 40' 25,27" 4.275 4362-3 + 0-0 273 42 22,23 +0,00 273 42 22,23 3.7791890-8 + 0‘6

4.275 4362-3 3.779 1891-4

2. Speyer.

Mannheim . . . Königsstuhl . . St. Michael . . LangeDkandel Calmit . . . .

Oggersheim . .

3° 40’ 25,23"    + 0,04"    3° 40' 25,27"    4.275 4362‘3

65    10    11,05    —0,14    65    10    10,91    4.358    8019-1

161    20    31,87    +0,11    161    20    31,98    4.430 2529 9

215    0    1,16    — 0,48    215    0    0,68    4.502    8974-0

270    34    57,83    + 0,02    270    34    57,85    4.418    4219‘3

345    59    7,47    +0,14    345    59    7,61    4.296    5476-5

+ ++ + + +

9 ? *? ? ® © oo 6 ul ob tb ô

4.275 4362-3 4.358 8025-3 4.430 2530-7 4.502 8981-4 4.418 4233-3 4.296 5477-3

3. Oggersheim.

Melibocus

Mannheim . . . Königsstuhl . . Speyer . . . . Calmit . . . . Donnersberg . . Klobberg . . .

4.507 0621-1 4.779 7891-4 4.435 7951-5 4.296 5477-3 4.456 1566-4 4.549 3150-8 4.479 8984-5

4. Calmit. Oggersheim . . Speyer . . . . Langenkandel Donnersberg . .

48° 30' 26,94"    + 0,97"    48° 30' 27,91"    4.456 1549-5 + 16-9

90    34    57,90    —0,05    90    34    57,85    4.418 4219-3    + 14‘0

163    12    53,74    —1,65    73    12    52,09    4.439 5851-8    + 29‘8

342    23    54,17    +2,66    342    23    56,83    4.5501057-9    +    57-8

4.456 1566-4 4.418 4233-3 4.439 5881-6 4.5501115-7

5. Donnersberg

Klobberg . . . Oggersheim . . Calmit . . . .

57° 29' 38,99" 114 51 18,87 162 23 59,79

+ 1,02"    57° 29' 40,01"    4.375 9183-2 + 44-0

—    1,04    114 51 17,83

—    2,96    162 23 56,83

4.549    3120-2    + 30‘6

4.550    1057-9 + 57-8

4.375 9227-2

4.549    3150-8

4.550    1115-7

Melibocus

6. Klobberg.

Oggersheim . . Donnersberg . .

7. Melibocus. Königsstuhl . . Oggersheim . . Klobberg . . .

92°    51'    35,28"    — 0,03"    92°    51'    35,25"    4.489    5442-7

156    22    6,51    —0,99    156    22    5,52    4.479    8976‘1

237    29    40,81    —0,80    237    29    40,01    4.375    9183‘2

169°    13'    40,29"    + 1,36"    169°    13' 41,65"    4.560    7787’6

215    38    30,55    +0,43    216    38    30,98    4.507    0618-9

272    51    35,26    —0,01    272    51    35,25    4.489    5442‘7

8. Königsstuhl St. Michael , , Speyer .... Oggersheim . . Melibocus . . .

199°    2'    30,37"    +1,38" 199° 2' 31,75"    4.569    8613-6

245 10 10,60 290 37 58,95 349 13 43,21

4.358 8019-1

4.435 7946-2 4.560 7787-6

9. St. Michael Königsstuhl . . Langenkandel Speyer ....

19° 2' 32,77" 268 48 10,93 341 20 32,27

—1,02"    19° 2' 31,75"

—    0,00    268 48 10,93

—    0,29    341 20 31,98

4.569 8613-6

4.429    44680

4.430    2529-9

10. Langenkandel.

Speyer . St. Michael Calmit

Jordan, Handb.

34°    59'    59,80"    + 0,88"    35°    0'    0,68"    4.502    8974-0

88    48    10,92    +0,01    88    48    10,93    ,    4.429 4468 0

343    12    50,61    +1.^8    343    12    52,09    !    4.439 5851-8

d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

+ + + + + + ++++ + + + + + +

tO    J-»    t-l

O Ot O    ^ C3 O) O

co OÔ m + obn^ób    i^côtôcô

4.489 5447-3 4.479 8984-5 4.375 9227-2

4.560 7801-7 4.507 0621-1 4.489 5447-3

4.569 8623-9 4.358 8025 3 4.435 7951-5 4.560 7801 7

4.569 8623-9 4.429 4473-1 4 430 2530-7

4 502 8981-4 4.429 4473-1 4 439 5881-6

Zu 22924, welches = 4 log m₀ ist, nehmen wir die schon in der Tabelle S. 288 stehenden log m₂ = 40-1 und log mi = 77*6 für Calmit und Donnersberg und daraus für unsere Strecke:

log s — log S —

77-6 4-229-24 + 40-1

= 57-8

(8)

In Zusammenfassung haben wir also:

tx = 162° 23' 56,83"

+ 2,96

Tx = 162° 23' 59,79"

Donnersberg

So sind diese Werte in dem Abrisse von S. 289 eingesetzt, und der ganze Abriss ist so entstanden, da wir die Coordinaten als gegeben angenommen haben.

Wenn umgekehrt die ganze Triangulierung mit einer Basis und einem Ausgangsazimut bezw. Ausgangsrichtungswinkel berechnet wird, so hat man im wesentlichen dasselbe zu thun. Man rechnet am bequemsten vorläufige Coordinaten nur etwa auf 1™ genau, die man ja zu anderen Zwecken meist ohnehin braucht, die Dreiecksseiten S hat man aus der Netzausgleichung und Netzberechnung ; rechnet man dazu alle log s — log S und zunächst nur das erste t — T, so kann man die ganze Coordi-naten-Bechnung in der Ebene durchführen und braucht nur noch die sämtlichen t — T zuzufügen, um den ganzen Abriss von S. 289 aufzustellen. In dieser Weise haben wir schon früher das Hannoversche Stadt-Netz im konformen System der Landesaufnahme behandelt in unserem I. Band, 4. Auf!. 1895, Abriss S. 204.

Die Vergleichung dieses Verfahrens mit der Soldner sehen Methode (Abriss § 48. S. 265) fällt zum Nachteil der Soldner sehen Methode und zum Vorteil der konformen Methode aus.

logs = 4.550 1115-7 — 57-8

log S = 4.550 1057-9

t₂ = 342° 23' 56,83"

— 2,66

T₂ = 342° 23' 54,17" Calmit

(4)

Tabellarische und graphische Behandlung der Reduktionen.

Da das Vergrösserungsverhältnis m nur von der Ordinate y abhängt, kann man es leicht tabulieren, z. B. für das Pfälzische Netz mit cp = 49° 30' und log r = 6.80487 hat man die Hauptwerte

10 000™    20 000™    30 000™    40 000™    50 000™

log m =

5-3

21-3

48-0

85*3

133-4

j (5)

Eine ausführliche Gebrauchstabelle wäre leicht herzustellen. Wir wollen darauf hier nicht eingehen, aber noch die graphische Behandlung der Sache bemerken. Man kann das Netzbild mit einer Schar von Parallelen zur x-Axe, also Parallelen für konstante y überziehen, welche gewissen runden Werten von m oder von log m entsprechen und damit kann man für jeden Punkt sein log m abstechen.

In unserem Falle ist

mit log 2^2 = 2.72 702 — 10

/o r2 _ _

y — y — Vlog m = [3.63 649] Y log m

lo9m = 2^²

log s — log S = 57-7

Dieses soll dasselbe sein wie das frühere 57-8 in (3).

In dem kleinen Netzbilde von Fig. 1. ist die graphische Interpolation für log m wohl nicht völlig genügend, aber jedenfalls zur Kontrolle der Rechnung nützlich; hat man Netze II. und III. Ordnung entfernt von der Hauptaxe, wo die logm grösser und die Parallelen mehr gleichabständig werden, so wird das Verfahren sehr gut. Wir betrachten noch die Reduktionen der Richtungen:

Ti — *i = g^ä (*2 — æi) (² y\ -+- y*) = 272(æ2—xi)y' mit y' = 2yi^~—

= 272 (Xi ~y"mit y"⁼ —~^2yg

Hier kann man auch die y', y" geradezu mit dem Zirkel abnehmen, sowie die x2 — xb wenn man dieselben nicht ohnehin schon in der Rechnung stehen hat, und

für Kilometer, so kann man glatt mit dem Rechenschieber rechnen:

da —

2r2    395

z. B. S. 287

Donnersberg x₂ —    = — 33,8fcm y' — — 34,6Lm

Tx — ^ = + 2,96"

Danach ist folgendes berechnet: log m =    10-0    20-0    30*0    40-0    500    600

y=    13,7Lm 19,4    23,7    27,4    30,6    33,5

70-0    80-0    90-0    100-0

36,2    38,7    41,1    43,3fcm

Hiernach sind die Parallelen in Fig. 1. gezeichnet; man kann daraus z. B. abnehmen (S. 287):

Donnersberg

Mitte

Calmit

78

57

40

log s — log S =

78 + 4-57 + 40    78 + 228 + 40    346

Calmit

«i — x₂ = + 33,8Lm y" = — 31,0im

Tz — ^2 = — 2,66”

§ 52. Yergleichung der kongruenten und der konformen

Coordinaten.

Das im vorigen § 51. behandelte System der rechtwinkligen konformen Coordinaten x, y hat die Eigenschaft, dass es von einem Teil der Kugeloberfläche eine ebene Darstellung bietet, welche dem Urbilde in den kleinsten Teilen ähnlich ist.

Diese Eigenschaft, welcher Gauss die Benennung „konforme“ Abbildung gegeben hat, wollen wir durch Vergleichung der Verzerrungsformeln für das Soldner sehe und für das Gauss sehe System näher untersuchen. Wir nennen dabei die Soldner sehen Coordinaten kongruente Coordinaten, weil die Ordinaten y ebenso wie die Abscissen x in geodätischem Sinne kongruent abgebildet werden, d. h. ein Landmesser, welcher längs einer abgesteckten Ordinate y masse, ohne zu wissen, dass er sich auf einer krummen Fläche befindet, und dann seine Messung in einer Zeichnungsebene auftrüge, würde für y eine Gerade erhalten, welche dem Bogen y auf der Kugel an linearer Ausdehnung gleich ist.

Lässt man die y alle einander gleich werden, so bekommt man daraus wieder das Vergrösserungsverhältnis in differentialem Sinne:

(8)

kongruent m₁ = 1 -+- cos² t

konform

(4)

Zuerst betrachten wir die beiden Formeln für die lineare Projektionsverzerrung, nämlich (10) § 48. S. 271 und (12) § 50. S. 282, und indem wir beidemal die Bezeichnungen der Landesaufnahme anwenden, nämlich S für die wahre (sphärische) Entfernung und s für die Projektions-Entfernung, haben wir zur Vergleichung:

Vi² + ym + ył

ß

Soldner, kongruent — = 1 4-

6r²

cos² t

(1)

Gauss, konform

! ₌ ! . y\² + y\y% + vł

6 r²

(2)

1)1% — 1 4-

Von diesen beiden Werten ist wi₂ in einem Punkte nach allen Bichtungen hin

yZ

konstant, dagegen mi veränderlich zwischen den äussersten Werten 1 -+- und 1,

y2i

deren Zwischenwert = 1 + ist ; und dieser Zwischenwert ist auch gleich dem

durch Integration zu findenden Mittelwert, weil j'cos² t d t = n.

o

Man kann auch leicht die Flächen vergleichen: Ein Streifen Ax d y im Urbild wird abgebildet werden:

kongruent d Fx = zf x ^1 +    d y

konform d F% — J x

l¹+2r*)dy{¹+Ł*) = Jx[l+i*)dy

gesetzt wird:

Als Integral zwischen den Grenzen 0 und y giebt dieses, wenn y à x = F

konform

und das Verhältnis beider:

kongruent F₁ = F (l -+■

F*=Fhê)

Fi

2 r²

(5)

Einige Zahlen werte von

y²

2r²

haben wir bereits in (8) § 49. S. 276 ausgerechnet,

= 0,0000 11

2 r²

man sieht daraus, dass z. B. für y — 30 000ro die lineare Verzerrung

oder 11 Milliontel oder llmm auf l'm ist, und dass auch die konforme Flächenverzerrung um 11 Milliontel grösser ist als die kongruente Flächenverzerrung.

Man kann in diesen Betrachtungen auch noch weiter gehen, und so habe ich in der „Zeitsehr. f. Verm. 1875“, S. 27—34 eine theoretische Betrachtung angestellt

über die Qwadratsummen der linearen Projektions-Verzerrungen in beiden Fällen, und gefunden, dass die konforme Projektion eine solche Quadratsumme fl giebt, welche bei konstantem Grenzwert Y sich zu der entsprechenden Quadratsumme oo der kongruenten Projektion verhält fl : oo = 8 :3, und dass für fl = oo die Grenzordinate Y des konformen Systems sich zu der entsprechenden Grenzordinate y des kongruenten Systems verhält Y:y = 0,82:1 ; und hiernach dürfte die konforme Projektion nur auf 82 o/₀ der Fläche ausgedehnt werden, welche der kongruenten (Soldner sehen) Projektion zugänglich ist.

Alle Messungsfehler sind hiebei gleich Null gesetzt.

Diese Verzerrungs-Vergleichungen fl und oo, welche von der „Zeitschr. f. Verm. 1875“, S. 27—34 auch noch in unserem „Handbuch d. Verm., 2. Aufl. 1878“, S. 276 bis 278 abgedruckt waren, haben wir vor kurzem in der „Zeitschr. f. Verm. 1896“, S. 249 einer neuen Bearbeitung unterzogen, auf welche wir zurückkommen werden.

Solche Integrationen für die linearen Verzerrungselemente in verschiedenen Formen, z. B. auch nach den neueren Theorieen von Tissot 1881 (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1896“, S. 210—213) geben aber ein einseitiges theoretisches Kriterium, welches in der Praxis nicht Stand hält, und namentlich für Landesvermessungen mit Triangulierungen zu vollständigen Fehlschlüssen führt.

Die Theorie jener fl und oo erscheint sofort in ganz anderem Lichte, wenn man auch die bisher gleich Null gesetzten Messungsfehler zuzieht, d. h. wenn man von der Theorie zur Praxis übergeht.

Z. B. in Preussen wurde festgesetzt, dass die linearen Fehler, die durch die Benützung der rechtwinkligen sphärischen Coordinaten als ebene Coordinaten entstehen,

nicht grösser als ^ ^ oder 5C"* auf Pm sein sollen (F. G. Gauss, „die trigonometrischen und polygonometrischen Rechnungen in der Feldmesskunst, 1. Aufl. 1876“, S. 299 und „Zeitschr. f. Verm. 1896“, S. 196 und 200) und schon damit wird jener Theorie der fl und oo u. s. w. der praktische Boden entzogen, denn jene Fehler werden bei Einhaltung der Grenze y = 64*™ nicht grösser als 5cm auf P", mag man die Benützung in der Ebene nach Soldner kongruent oder nach Gauss konform machen.

Die Flächenprojektionsfehler sind verschwindend klein im Vergleiche mit den Fehlern, welche beim wirklichen Feldmessen mit Messlatten, Winkelspiegel u. s. w. entstehen; und grössere Flächen, welche polygonometrisch an das System angeschlossen werden, nehmen von den Projektionsverzerrungsfehlern den unschädlichen Anteil in sich auf.

Der lineare Projektionsfehler von 0,005 o/₀ oder 5cm auf 1000m oder 0,05mm auf lm oder auch 0,25mm auf 5m, kann auch verglichen werden mit dem metronomisch zulässigen Fehler von l,6mm an einer hölzernen Messlatte, welcher immer noch das Sechsfache des Projektionsfehlers ist.

Die oben berichtete Theorie der fl : m hat ein rein lineares Messungsverfahren vorausgesetzt:

Wenn man in jedem Punkt nach allen Richtungen kleine Linien gezogen und dadurch die ganze Aufnahme bewirkt denkt... d. h. es ist ein spekulatives Messungsverfahren vorausgesetzt, welches es praktisch nicht giebt. Der Schwerpunkt unserer modernen Vermessungen liegt nicht in den linearen Messungen, sondern in den Winkelmessungen, von denen wir nachher (hei den Gleichungen (6) und (7) unten zu handeln haben werden).

Es ist auch der Gedanke ausgesprochen worden, bei konformen Coordinaten, mit grossen Gebieten, z. B. mit Ordinaten y, die grösser als 70 000m sind, für alle weiter von der Coordinatenaxe abliegenden Gemarkungen besondere Reduktionen der Strecken oder Flächenangaben einzuführen.

Wenn die Projektions-Verzerrungsfehler praktisch zu gross werden, so müsste man nicht bloss bei konformen Coordinaten besondere Reduktionen der Strecken und der Flächen einführen, sondern bei den Soldner sehen Coordinaten wäre das noch viel mehr nötig — ja man müsste im Soldner sehen System nicht bloss gemarkungsweise Reduktionen anbringen, sondern, wie ein Kollege sich ausdrückte, man müsste eine ganze Windrose von Massstäben anbringen, nach jeder Richtung einen besonderen.

Wenn man ausnahmsweise mit den Verzerrungsfehlern an die Messungsfehler herankommt, was bei feinen Stadtvermessungen oder auch z. B. in Bayern wegen der grossen Ordinaten eintreten kann, dann bringt die Soldner sehe ungleiche Verzerrung ganz ungeheuerliche Widerwärtigkeiten, welche zu ersehen sind aus der „Instruktion für neue Katastermessungen in Bayern,“ 1885 § 23. und noch deutlicher in technische Anleitung etc. Dr. J, H. Franke, München 1889, S. 121. Alles was dort im Interesse der Rechnungserleichterung etc. gesagt ist, wird mit einem Schlage überflüssig, wenn die Projektion konform ist.

Der Schwerpunkt unserer modernen Vermessungen liegt nicht in den linearen Messungen, sondern in den TFmZre/messungen, und während für erstere der Satz gilt „Es ist darnach zu trachten, die vernachlässigten Grössen möglichst klein zu machen, nicht aber nach allen Richtungen möglichst gleich —“, gilt für Triangulierungen gerade das Gegenteil, hier ist darnach zu trachten, die Verzerrungen nach allen Richtungen möglichst gleich zu machen, damit die Dreiecke ähnlich bleiben. In der Triangulierung III. Ordnung gestattet die konforme Projektion auf viel weitere Gebiete ohne alle sphärische Korrektionen von der Ordnung 1 : r² auszudehnen, als die Soldner sehe, weil die schlimmsten Glieder der Soldner sehen Methode bei der konformen Projektion fortfallen.

Um dieses zu zeigen, machen wir die Vergleichung der Richtungsreduktionen, nämlich nach (20)—(21) § 48. S. 272 und (31) § 50. S. 284 beidemal mit den Bezeichnungen der Landesaufnahme, T für sphärischen und t für ebenen Richtungswinkel:

(7)

Soldner, kongr. Tx—tx = ^ {x₂—xx){2yx + y₂) + ^ sin tx cos tx (yx ²-l-yx y₂ +S/₂²) (6) Gauss, konform Tx — tx= (x₂ —xx) (2 yx -+- y₂)

Das schlimmste Glied ^ ~₂ Jr (2/2³ — &is) von Soldner fällt bei Gauss rundweg fort. Wir wollen dieses Glied noch besonders betrachten:

sin t cos t

(2/1² + 2/12/2 + 2/2²)

6 r²

Q---(2/i² -t- 2/12/2 -f- ył) = 9

Bei einer Kleintriangulierung entfernt von der Hauptaxe sind die x₂ — xx und y₂ — yx verhältnismässig klein gegen die y selbst, sie gelten als von nächst kleinerer Ordnung, und damit haben wir den wichtigen Satz:

Die trigonometrischen Verzerrungsfehler der Gauss sehen Kleintriangulierung entfernt von der Axe sind nur von nächst kleinerer Ordnung als bei der schwerfälligen Soldner sehen Triangulierung.

Zu näherer Ausführung wollen wir die sämtlichen 2/2 - • - kurz mit y und die a?₂ — asj , y% — y± mit dx und d y bezeichnen, dann wird :

Gauss, konform

y dx

(8)

Soldner, kongruent V

t = Q 2^2 ißx + y sin t cos t)

Setzt man in runden Zahlen für Triangulierung III. Ordnung dx — 5000”*, dagegen y als sehr gross = 100 000™ und t = 45°, so wird:

Gauss, konform T— t = 1,3"

Soldner, kongruent T — t — 1,3"+ 12,7” = 14,0"

also bei Gauss rund 1”, was in III. Ordnung leicht zu verschmerzen ist, aber bei Soldner 14".

Das ist die Richtungsverzerrung. Die lineare Verzerrung giebt bei Soldner in diesem Fall ein Schwanken im Logarithmus zwischen 0.00005 und 0.00000, d. h. Unmöglichkeit auch nur mit 5 stelligen Logarithmen glatt eben zu rechnen, während bei Gauss das lineare Element als Mittelwert bereits in den Anschluss-Coordinaten

II. Ordnung steckt und dem Rechner in III. Ordnung gar nicht mehr zu Gesicht kommt.

Hiebei ist auch die Höhenreduktion in Vergleichung zu ziehen, welche wir früher bei der Basismessung in § 9. S. 67 erwähnt haben. Wenn in der Höhe h über dem Meere eine Strecke s unmittelbar, z. B. mit Messlatten, gemessen ist, so kann sie nicht unmittelbar mit einer Triangulierungsseite verglichen werden, son-

dern sie muss auf den Meereshorizont reduziert werden s | 1 —

|. Die Reduktion

— hat nach S. 67 für h — 100m den Betrag 15,7mm auf 1000”* oder 15,7 Milliontel.

Diese Höhenreduktion wirkt der Netzverzerrung günstig entgegen, denn eine Strecke s geht infolge der Höhenreduktion und der Netzreduktiou über in:

2r²

s 1—— +

Eine Übersichtstafel dazu haben wir auf Seite [45] des Anhangs berechnet. Man entnimmt daraus z. B., dass bei 400“ Höhe und Ordinaten y — 70*™ die Gesamtreduktion allgemein nahezu gleich Null ist, wenn die Projektion konform ist, dagegen schwankend zwischen Null und 6cm auf P™, wenn die Projektion kongruent (nach Soldner) ist. (Auch dieses wollen wir später noch näher behandeln.)

Für die Höhenreduktion haben wir bisher vorausgesetzt, dass die Triangulierung selbst mit ihrer Basis auf den Meereshorizont reduziert sei, was die Regel ist. Es giebt aber auch Ausnahmen, z. B. in Württemberg ist der Triangulierungshorizont 844 Pariser Fuss = 274,16m über dem Meere, was eine logarithmische Reduktion

186-6 oder 48’

y2i

auf Pm bringt, welche zwar der Soldner sehen Netzreduktion ~± cos² t

Ł

entgegen wirkt, aber nicht nach allen Richtungen wirksam, weil die Projektion nicht konform ist.

Eine Gesamtreduktion ist auch in Mecklenburg eingeführt. Die Netzreduktion

x²

ist dort 1 -j- weil die Hauptaxe nicht méridional, sondern westöstlich liegt. Der

2 r²’

Maximalwert 1 -+-

æ²

ist logarithmisch = 857⁻0, und deswegen wurde eine Gesamtreduktion = 178-5 eingeführt, oder = 41,lmm für lkm, welche einer Höhenreduktion für h = 262,4m gleichkommt, d. h. die Mecklenburgische Triangulierungsergebnisse sind mit einer solchen Gesamtmassstahs-Veränderung versehen, als ob der Horizont der Basis und die Triangulierung im Ganzen 262,4”» über dem Meere wäre.

Dadurch wurde erreicht, dass die Gesamt-Netzreduktion in dem ganzen Bereiche von rund SO*"» südlich und 80Lm nördlich von dem Normalparallel nur zwischen den Grenzen von rund -f- 4°”» auf lfcm und —4cm auf lkm sich bewegt, während sie sonst auf 8cm für 1*”» gestiegen wäre.

Nach all diesem ist an den grossen Vorteilen der Konformität für Triangulierung und Katastervermessungen nicht zu zweifeln.

Mit Zurückgreifen auf 1875 haben wir daher zwei Sätze:

2 r²

I. Satz 1875. Wenn man eine Landesvermessung durch unendlich viele kleine Streckenmessungen machen würde und dabei auch alle Messungsfehler, selbst = Null setzte und wenn man die Quadratsumme aller Strecken-Verzerrungs-Fehler als einziges Kriterium annähme, so würde die Soldner sehe Projektion mit etwa ein Fünftel der Fläche im Vorteil sein.

II. Satz 1896.

Wenn man eine Landesvermessung nach moderner Art mit Triangulierung und Polygonzügen macht, so ist die konforme Projektion unbedingt weit im Vorteil: man kann dann mit dem Messungsgebiet so weit gehen (ohne andere Rücksichten und alles in III. Ordnung als eben behandeln) als es die praktischen Erwägungen der linearen Fehler gestatten, d. h. wenn man in letzterer Hinsicht den

preussischen Bestimmungen folgen will, bis zu einer Ordinatenlänge y = rund 100fcm.

Zum Schlüsse wollen wir noch die beiden Triangulierungs-Abrisse von § 47. S. 265 und § 51. S. 289 in dem Sinn vergleichen, dass wir die Mittelwerte der Richtungs-Reduktionen und der logarithmischen Seiten-Reduktionen bilden. Dieses giebt:

durchschnittliche logarithmische Seiten-Reduktion

durchschnittliche Richtungs-Reduktion ± 0,70"

S. 289    ±0,64

kongruent S. 265 konform

In der kongruenten Projektion sind die linearen Reduktionen im Vorteil und in der konformen Projektion sind die Richtungen im Vorteil; d. h. was wir allgemein erkannt haben, zeigt sich auch in den Zahlenbeispielen bestätigt. Doch ist der vorliegende Fall des Netzes Fig. 1. S. 287 zum Veranschaulichen der Vorteile der Konformität wenig geeignet, weil die Axe durch das Netz selbst hindurch geht und keine grossen Ordinaten Vorkommen.

Wir wollen auch noch einen Blick auf das Hannoversche Stadttriangulierungsnetz III. Ordnung werfen, welches in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 204 in konformen Coordinaten der Landesaufnahme und S. 207 in kongruenten Kataster-Coordinaten berechnet ist. Obgleich die konformen Ordinaten im Mittel y = 245000”

-4- 7-5

±13-6

und die kongruenten Ordinaten nur y = 23000m lang sind, war doch die konforme Berechnung bequemer als die Soldner sehe kongruente, weil hei ersterer die Reduktionen sich viel bequemer in Richtungs-Reduktionen und Entfernungs-Reduktionen trennen, von denen ausserdem die letzteren sich leicht tabellarisch erledigen lassen. (Ygl. die

Hilfstafel für log~j^y² auf S. [46] des Anhangs.)

Noch in anderem Sinne wollen wir die beiden Stadtnetz-Triangulierungs-Coor-dinaten vergleichen: In dem vorgeschriebenen Kataster-System Celle ist im Mittel y = 23000m und dazu nehmen wir im Mittel x₂ — x₁ = 3000n = dx, und damit rechnen wir nach der Formel (8) :

kongruent T — t — 0,17" + 0,67 = 0,84" konform

T-t =

0,17"

Die konforme Reduktion 0,17" ist gerade an der Grenze der Vernachlässig-keitszulassung für das grundlegende Netz einer feinen Stadtvermessung, während 0,84" schon zu gross ist. Wegen dieser Beträge von 0,84" etc. haben wir uns damals entschlossen, die auf 0,1" ausgeglichene Triangulierung noch in den 6 Hauptpunkten sphärisch zu rechnen; mit 0,17" hätten wir das wohl auch schon ersparen können.

Alle diese Vergleichungen gestatten bereits ein Urteil zu fällen, das zu Gunsten der konformen Projektion, und zu Ungunsten der kongruenten Soldner sehen Projektion sich stellen wird; wir werden jedoch in einem späteren Kapitel nochmals auf diese Sache zurückkommen.

§ 53. Sphärische geographische Coordinaten cp, X und rechtwinklige Coordinaten x, y.

Die geographischen Breiten und Längen cp und À lediglich auf die Erde als Kugel bezogen, haben wenig praktischen Wert, denn die Abplattung der Erde ist bei diesen Coordinaten viel einflussreicher als bei den rechtwinkligen Coordinaten x, y.

Trotzdem haben wir die Aufgabe, cp und Ä aus x und y zu berechnen, und nachher umgekehrt, hier in dem Kapitel über sphärische Coordinaten mit aufgenommen, weil es möglich sein wird, durch kleine Kunstgriffe den Übergang von der Kugel zum Ellipsoid noch soweit klar zu machen (in dem nachfolgenden § 54.), als zum ersten Verständnis unserer heutigen Landesvermessungen und Katastervermessungen und zur Einsicht in die Feld- und Landmesser-An Weisungen der deutschen Staaten nötig ist.

Die verschiedenen Beziehungen zwischen geographischen Coordinaten cp, À und rechtwinkligen Coordinaten x, y werden wir in zwei Aufgaben darstellen, und zwar zuerst :

J. Gegeben x und y. Gesucht cp und ŹL

Nach Fig. 1. und Fig. 2. S. 298 nehmen wir folgende Aufgabe :

Gegeben ist die Breite qp₀ eines angenommenen Coordinaten-Ursprungs O und dazu die rechtwinkligen Coordinaten x, y eines Punktes P.

Gesucht ist die Breite <p₂ des Punktes P, der Längen-Unterschied X zwischen O und P und die Meridian-Konvergenz y für P und P\.

Die Abscissen x sollen nach Norden positiv, die Ordinaten y nach Osten positiv, und die Längen X ebenfalls nach Osten positiv gezählt werden.

Aus Fig. 1. entnehmen wir sofort die Beziehung zwischen der Ursprungsbreite qpo» der Fusspunktsbreite <jpx und der Abscisse x, nämlich:

Fig. 2.

Bechtwinkliges Dreieck NPtP von Fig. 1.

Fig. 1.

X N

X/

ÏU"'B

a'7 r

..p..

R/<90O

T /P

Vi — (Po =

-i «

bezw. = —

(1)

Alles weitere wird durch das rechtwinklige sphärische Dreieck N P\P geliefert, weshalb wir dieses Dreieck in Fig. 2. nochmals besonders herausgezeichnet haben. Dieses Dreieck gieht zuerst die Cosinus-Gleichung:

cos (90° — qp₂) = cos (90° — <pj) cos

oder ohne 90° :

sin cp₂ = sin qpj (l —

umgekehrt :

y2

sin cfi — sin qp₂ = sin qrx

also :

Nun ist aber in erster Näherung (z. B. nach S. 179):

sin (fi — sin cp₂ = (<jPi — cpz) cos <jpx

yZ

<P i — <?2 = 2 r2 tan9 ‘Pi

Zweitens giebt das rechtwinklige Dreieck Fig. 2. zur Bestimmung von A:

tang~

(2)

y_

tang A =

tang

sin (90° — (jPj) cos r/ x cos <px \ r Die arc taw^r-Beihe, S. 172, gieht:

y , y⁹

-⁺37s

A = arc tang A = tang A —

{tang A)³

y³

l_(y_    ___

cos <jpx \ r 3 r³/    3 r³ cos³ (jpj

Wenn man die Glieder mit </³ zusammenordnet, so bekommt man :

(3)

2/³ taw</² (jf j

rcoscp₁ 3 r³ cos qpx

Drittens giebt das rechtwinklige Dreieck Fig. 2. zur Bestimmung von y: tang (90° — <ft)

tang (90° — y) =

sin —

r

oder tang y = sin tang qpj

= (t~ ■&)<"??'■ (t —£*)*<«* -

tang y

Sr³

tang³ <ft

2/³

(4)

y = r tang <ft — ^ tang qpx (1 4- 2 tero#³ <ft)

Durch diese Gleichungen (1) — (4) ist unsere Aufgabe gelöst, wir wollen aber noch zwei neue Gleichungen bilden, welche (3), (4) entsprechen, aber überall statt der Fusspunkts-Breite (ft die Breite (ft enthalten sollen. Zur Bestimmung von X nimmt man dann:

in —

sin — r

sin (90° — (ft) cos (ft cos (ft \ r 6 r³J Die arcsm-Reihe, S. 172, giebt:

sin X =

X = arc sin X = sin X 4

(sin X)3

(y__yz\

cosq>₂\r 6r³)

y³

6 r³ cos3 (jp2 1/3    (jp₂

6 r³ cos <ft

r cos (ft

Ferner zu einer zweiten Formel für y aus Fig. 2.:

(5)

cos (90° — j>) =

tang ~

tang (90° — qp₂) ’ sin y = [y

y , y³

y³

31*3

sin y = tang tang qp₂

j tang <jp₂

j (JP2 + tang³ <ft

⁷⁼(~r

Y = y tang fft + ~ tang <ft (2 + tang³ cp₂)

3r³

(6)

Mit diesen Formeln (1)—(6) haben wir den zu Anfang Vorgesetzten Zweck erreicht, und zwar bei X und y sogar doppelt.

Ohne zwingenden Grund fürs folgende wollen wir auch noch für X statt der beiden zweigliederigen Formeln (3) und (5) eine emgliederige Formel bilden, nämlich:

(jPi 4- 2 qp₂ y_

x=y-

sec

(ft — <ft

(7)

— MC (^2 -i

Man kann diese bequeme Formel (7) leicht rückwärts begründen, indem man setzt:

cos

y_i + 2<fa = yi_ 2_(yi_yg)

<JPl    ■— = COS (jPi 4- Y (9>i — %) (ft = cos (ft ^1 4- y (<jPi — (jp₂) tang <ft j

f¹ — -|(<]Pi- (iPl)taWl)

sec

<3Pi ~+~ 2 <ft

COS (ft

Wegen (2) giebt dieses:

Ti + 2 qp₂

sec

1 j/²

3 r²

tang² cpx j

cos qjx

Dieses in (7) gesetzt, führt zurück auf (3), womit (7) bewiesen ist.

Man kann eine Umformung ähnlicher Art auch für die Meridian-Konvergenz machen, denn (4) oder (6) lässt sich auf diese Form bringen:

Fig. l.

«VW

90-7,

II. Gegeben cp, A. Gesucht x, y.

Die Umkehrung der vorigen Aufgabe heisst:

N    Gegeben sind die geographischen Coordinaten

jjTT’' qp₂» A eines Punktes P, und zwar die Länge A bezogen / auf den Meridian eines gegebenen Coordinaten-Systems, dessen Ursprungs-Breite <jp₀ ebenfalls gegeben ist.

Gesucht sind die rechtwinkligen Coordinaten x, y des Punktes P, und die Meridian-Konvergenz y.

Auch diese Aufgabe lässt sich mittelst des rechtwinkligen Dreiecks, das wir in Fig. 1. wieder haben, leicht lösen.

cos À =

Zur Bestimmung von cp₁ — qp₂ hat man : tang (90° — cpi) _ tang (p2 tang (90° — qp₂) tang <px

/ źl² \    A²

I 1--g⁻j tang = tang cp₂ oder tang <p₁ — tang cp₂ = -y tang <px

Andererseits ist in erster Näherung

QPi —T?

tang cpx - tang <p₂ = ^Qg2~

also :

(9)

sin cpi cos <jc₂

Bei den Entwicklungen für A und y kann man wieder wie im ersten Teil entweder alles auf <px oder auf qp₂ beziehen, wir wollen die beiden Entwicklungen nebeneinander hersetzen, ohne Erläuterungen durch Worte, welche nach dem vorhergehenden nicht mehr nötig sein werden.

tang —

Ti — ⁽f₂ —

tang A =

COS Cpi

cos cp i

sin A —

sin — r

cos cp₂

r À³

y — rAcos cpi~\—g- cos T i s^² Tl cos (90° — y) = sin À cos (90° — cpx)

r À²

sin y=^A--y-j sin <px

y = r A cos <p₂--g- cos cp₂ sin² <p₂ (10)

cos (90° — qp₂) = cotg A cot g (90° — y) tang y = tang A sin <p₂= ^A -f- yj sin cp2 As

Der Gang der Auflösung würde nun so sein, dass man zuerst nach (9) aus der gegebenen Breite qp₂ die Fusspunkts-Breite qq ableitet, und daraus, durch die Differenz gegen die Ursprungs-Breite qp₀, die Abscisse x berechnet, nämlich:

₌ <Pi-<Por

* = (<Pi — <Po) r

bezw.

(12)

Darauf hat man für y und y je zwei Formeln, nämlich (10) für y, und (11) für y, woraus man nach Umständen die eine oder andere auswählen kann, um y und y zu berechnen. Oder man kann auch zur Probe Doppelrechnung anwenden.

Die Doppel-Formeln (10) und (11), welche zweigliederig sind, kann man auch in je eine eingliederige Formel überführen, in ähnlicher Weise wie dieses früher bei (7) und (8) gezeigt wurde. Man findet:

(jPi ~+~ 2 qp₂

(13)

Umwandlung von (10): y = rXcos

„ (11): y = Xsin

2 <)Pi + <jP2

(14)

§ 54. Übergang zum Ellipsoid.

Nachdem wir die rein sphärischen Beziehungen zwischen den geographischen Coordinaten und den rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes im vorigen § 53. kennen gelernt haben, müssen wir auch die sphäroidischen Beziehungen hiefür, wenigstens in erster Näherung herstellen.

Zuerst behandeln wir die Rektifikation des Meridian-Bogens x zwischen den Breiten qp₀ und (ph wofür in (1) § 53. S. 298 die Gleichung gefunden wurde:

oder

® = (<Pi — 9>o) “

5:

(i)

<Pi — <SPo = « ^

Wenn die Abscisse x nicht auf einem Kreisbogen vom Halbmesser r, sondern auf dem Bogen einer Meridian-Ellipse abgewickelt wird, so kann man doch, wenn x nicht sehr gross ist, die Rechnung mit einem Kreisbogen führen, dessen Halbmesser

aber dann gleich dem Meridian-Krümmungshalbmesser M für die Mittelbreite —

zu nehmen ist, wie wir bereits in § 35. ausführlich gezeigt haben (nämlich bei (11) S. 210 und dann nochmals besonders bei (43) S. 218—219).

Wir haben dabei gefunden, dass der Fehler dieses Näherungs-Verfahrens in unseren Breiten nur etwa 5mm auf 1° beträgt (vgl. die Hilfstafel für g, S. 219), so dass namentlich bei den kleinen Geltungsbereichen, welche z. B. die 40 Preussischen Kataster-Coordinatensysteme haben, jenes Verfahren ganz zulässig und zugleich sehr

bequem ist.

Ausserdem kann man auch eine Hilfstafel von der Art Seite [38] des Anhangs benützen, über welche auf S. 216 das Nötige gesagt wurde.

Dieses war rasch erledigt, etwas mehr Überlegung ist nötig, um für die Kugel, welche im vorigen § 53. mit dem unbestimmten Halbmesser r algebraisch eingeführt

wurde, einen greifbaren Halbmesser in Zahlen zu finden.

In dieser Beziehung finden wir, dass die Übertragung auf das Ellipsoid wesentlich erleichtert wird durch den Umstand, dass der Ordinaten-Bogen y, weil er rechtwinklig zum Ursprungs-Meridian ist, mit seinen Endpunkten in nicht wesentlich ver-

schiedenen Breiten liegt, weshalb wir uns erlauben dürfen, die Ordinate y zu betrachten als liegend auf einem Kreisbogen, dessen Halbmesser der Quer-Kriimmungshalbmesser W) der Fusspunkts-Breite qpj ist.

Wir machen also die Annahme

(2)

,r c

r = Ni = -=r- —    _

M yi -+- e'2 cos² qoj

gültig für die Fusspunkts-Breite Die Formel für JVj wurde früher in § 32. (22) S. 197 entwickelt und statt der Ausrechnung in Zahlen für den einzelnen Fall können wir uns kurzer Hand der Hilfstafel auf Seite [8]—[29] des Anhangs bedienen.

Diese Annahme reicht aus zur Berechnung von k und y aus gegebenen q>₁ und y oder umgekehrt, aber zur Berechnung von qp₂ oder qo, d. h. der Breite des Endpunktes einer Ordinate y müssen wir noch eine dritte Überlegung machen, zu welcher wir einen neuen Begriff ein führen:

Der verkürzte Breiten-Unterschied.

Von allen Wirkungen der Elliptizität der Erdoberfläche ist die bedeutendste und niemals zu vernachlässigende, wenn überhaupt von der Elliptizität die Rede ist, die Abweichung zweier aufeinander folgender Normalen in einem Meridian, wodurch der kleine Winkel 8 entsteht, der in der nachstehenden Fig. 1. eingezeichnet ist.

Wir werden diesen Winkel 8 näher untersuchen.

In Fig. 1. seien Px Ą und P₂ $2 zwei Normalen einer Meridian-Ellipse, welche sich nicht in einem Punkte der Umdrehungsaxe sondern in einem anderen Punkte S schneiden, und zwar unter einem Winkel d cp, welcher gleich der Differenz der Breiten qpj und qp₂ beider Punkte Px und P₂ ist, d. h. :

Fig. 1.

d9>' = d<p-S.

i;

r-

(1)

Cp2 — <Pi = d Cß

(2)

Wenn ferner der Meridianbogen P₁ P₂ = dm gesetzt wird, und der Meridian-Krümmungshalbmesser für die Mittelbreite = M (d. h. nahezu M = P₁ S = P₂ S), so hat man für Differentialbetrachtung : dm = M dtp

Andererseits kann man in erster Näherung auch setzen :

(3)

(4)

dm = Nd(p' (wo Pj Si = N)

Es ist also das Verhältnis von (2) und (3):

djp _N dep' ~ M

und daraus ergiebt sich die Differenz:

oder

Hiebei ist nach (25) § 32. S. 197 :

.(6)

F² = 1 -f- e'² cos² qp

Da das Produkt g'² cos² cp sehr häufig vorkommt, bezeichnen wir es besonders, wie schon früher in (b) S. 208, indem wir setzen :

also

e'² cos² cp! — T]²

F² = 1 + T]²

(7)

Damit wird nach (5):

(8)

Fig. 2.

Diese Formeln geben Veranlassung, eine neue Benennung einzuführen für den Winkel d cp' von Fig. 1., welcher mit der Bezeichnung A cp' auch in Fig. 2. wiederkehrt.

Wenn allgemein A cp ein kleiner Breiten-Unterschied ist, so ist der entsprechende auf die Erdaxe reduzierte Wert A cp' nach (4) und (6) :

A cp' =    = verkürzter Breiten-Unterschied (9)

man:

Zu jedem gegebenen kleinen Breiten-Unterschied kann man den entsprechenden „verkürzten Breiten-Unterschied“ A cp' mit Hilfe von F² nach unserer Hilfstafel Seite [8]—[29] des Anhanges leicht berechnen; es sei z. B. : <p₁ = 49°30', qp₂ = 50° 30', also A cp = 1° = 3600" und die Mittelbreite cp == 50° 0', dann hat

log A cp 3.556 303 von Seite [21] : log F² 0.001 204

log A cp' 3.555 099 A cp' = 3590,04"

A cp' = 0° 59' 50,04"

Der verkürzte Breiten-Unterschied dient dazu, um in erster Näherung sphä-roidische Bögen auf einen Mittelpunkt in der Erdaxe zu reduzieren.

In Fig. 2. ist K ein solcher Mittelpunkt in der Erdaxe, aber unter dem Ellipsoidmittelpunkt gelegen. Hat man einen Bogen P₁ P₂ = s> so kann man zuerst einen Centriwinkel a berechnen :

(10)

W~a

Dabei ist N = Px K der Quer-Krümmungs-Halbmesser des Ausgangspunktes Pj.

Diese Art der Reduzierung auf einen Zentralpunkt K ist, wie mehrfach betont, nur genähert, sie ist aber um so besser, je kleiner der Breiten-Unterschied ist, um den es sich dabei handelt. Deswegen ist das Verfahren genügend für unsere Aufgabe der Breitenbestimmung aus rechtwinkligen Coordinaten xy, denn hiebei steht der Ordinatenbogen y rechtwinklig auf dem Abscissen-Meridian x und deswegen werden die Fusspunktsbreite qpj von y und die Endbreite qo nicht sehr von einander verschieden sein.

§ 55. Sphäroidische Coordinaten <p, l und x, y>

Um die sphärischen Formeln von § 53. mit Hilfe von § 54. auf das Ellipsoid zu übertragen, nehmen wir zuerst die Formel (2) S. 298 zur Hand, nämlich:

y2

<Pl — <?2 = tm9 Vl

(1)

Zuerst ist für r der Quer-Erümmungs-Halbmesser Ni der Fusspunkts-Breite fpi zu setzen, also:

V

tang qpj

2 N\

(2>

Diese Differenz qpx — qp₂ ist sphärisch berechnet, d. h. „verkürzt“ in dem früher in § 54. erörterten Sinne; die wirkliche Breiten-Differenz qp₁— qp wird daher nach (4) § 54. S. 802:

<Pi — qp

cpi — cp₂

~ M~

V2

(3)

also :

Fig. 1.

V² y²

9i -V =    tang (fi!

(4)

Dabei wird V² als zur Breite <Pi gehörig genommen, weil unter der Breite qpj Berührung des y-Bogens mit dem Parallelkreis stattfindet.

Da wir nun nichts mehr weiter zu thun haben, als

in den sphärischen Formeln von § 53. S. 298—300 überall Ni statt r und qp statt qp₂ zu schreiben und die nötigen g zuzusetzen, erhalten wir mit Benützung der vorstehenden (1) und (4) und im Anschluss an nebenstehende Fig. 1. folgendes :

Ti

% Pi

y.

lJ

P cp

Gegeben qp₀ , Gesucht qpx ,

Auflösung:

'S «

(0 0 ‘o

(3) S. 298:

(5) S. 299 oder:

(4) S. 299:

und y

QPi =    Q

V² y²

9» = <Pi--2^[Qtang 9l

x V² y²

<P = Vo + ^Q — -2jąQt<*n9Vi

A = X-----^— tang² qp₁

Ni cos qp₁ 3 NI cos qpx

x ₌ y ¹

Ni cos qp g tang qp₁ —

6 Nf cos qp

-— tang² qp

yS

6 JV*

g tang qpx (1 + 2 tang² qpj)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(6) S. 299 oder: y =

q tang qp

y³

q tang cp (2 -+- tang² qp)

(12)

6N\

Nun wollen wir noch die Haupt-Coëfficienten [1] und [2] unserer Hilfstafel von S. [8]—[29] des Anhangs einführen, nämlich:

= [1] für die Mittelbreite ■— M *• J    2

= [2] für die Fusspunkts-Breite cp₁

(13)

Ni

(14)

Damit werden die vorstehenden Formeln:

Vl = <Po + [1] ®

(6*)

<P =<Pi

myf V²

qp = (jPo + [1] œ

a _ [2] V

cos (jDj

tang cp1 V ² tang qPi

z\)2Sin2 9,1

my)²

(7*)

(8*)

(9*)

oder A = -

[2] y

cos cp

[2]y V» 1

COS Cp ) 6 p²

s«² qp

(10*)

* — [2] V tang cpj —

P] Vf

6p2

tang cpx (1 + 2 tang² qp₁)

(11*)

oder X = [2] y tang cp +

([2] yf

6p2

tang cp (2 + tang² cp)

(12*)

Nachdem wir den ersten Teil der Formeln von § 53. von der Kugel auf das Ellipsoid übertragen haben, kann keine Schwierigkeit bestehen, auch den zweiten Teil jener Formeln von § 53. S. 300—301 so zu übertragen. Wir schreiben hiefür sofort die Ergebnisse:

(9) S. 300:

(12) S. 301:

Gegeben    cp , X nebst qp₀

Gesucht    x , y

V2

<Pi = cp -+- 2^ X² sin cp cos cp x = Vi — <Po

''tH i—i

OO

(10) S. 300:

A3 1

M COS »jP! +    3^2

oder

(11) S. 300:

cos qp] sin² qp₁

y = X sin <p₁ — A³ - sin cp\ cos² qpj

y = ^ cos qp -

(19)

(20)

(21)

oder

sin cp cos² cp

(22)

y = Xsin cp +*³3y₂

Nun geben wir auf S. 308—309 ein Zahlen-Beispiel sowohl für die Formeln (7*)—(12*), als auch für deren Umkehrung (17)—(22). Da die ganze Rechnung mit allen Einzelzahlen angegeben ist, wird zur Erklärung nichts weiter nötig sein; auch einige vorübergehend eingeführte Zwischen-Bezeichnungen (a), (5) u. dgl. erklären sich selbst als kleine Übergangshilfen, mit Rücksicht auf Raummangel.

Die Coëfficienten-Logarithmen log [1], log [2], log V², log (1 -(-2 t²), log (2 -+-t²), sind aus den verschiedenen Hilfstafeln unseres Anhanges entnommen.

Im Übrigen sei nur noch bemerkt, dass man das Vorzeichen von y oder A nicht in der ganzen Rechnung durchführen muss, wie bei uns theoretisch nötig war, man braucht nur am Schlüsse zu merken, dass y, A und y immer gleiche Zeichen haben.

Der im nachstehenden Beispiele S. 308 und 309 benützte Coordinaten-Null-punkt Celle ist einer der 40 preussischen Kataster-Nullpunkte, welche im Jahre 1879 eingeführt worden sind.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

Meridianbögen und Breiten-Differenzen.

Bei den kleinen Geltungsbereichen der Preussischen Kataster-Coordinaten-Systeme wird die Beziehung zwischen der Abscisse x und der Breiten-Differenz cp₁ — <p₀ hinreichend genau durch den Meridian-Krümmungs-Halbmesser M der Mittelbreite gegeben, nämlich :

[Ï]

wobei M der Meridian-Krümmungs-Halbmesser für die Mittelbreite

cpi -MPo

~--ist, oder [1]

u

der entsprechende Coefficient nach (18) S. 304.

Indessen bei grösserer Ausdehnung empfiehlt sich andererseits eine allgemeine Tafel der Meridianbögen, z. B. diejenige, welche auf S. 216 erwähnt wurde, welche auch in unserem Anbange Seite [38] von 10' zu 10' gegeben ist, oder besser in neuer Berechnung Seite [55]—[57] von 1' zu 1'.

Bei Benützung einer solchen Tafel braucht man für den Coordinaten-Nullpunkt mit gegebener Breite cp₀ nur ein für allemal den Meridianbogen-Wert Bq zu bestimmen, um dann für jede andere Breite qp₁ den zugehörigen Wert B₁ und dann x = B₁ — Bo zu finden.

Für den Wert <p₀ = 52° 37' 32,6709", welcher zu dem Coordinaten-Nullpunkt Celle gehört, haben wir die fragliche Interpolation schon beispielshalber aus anderer Veranlassung behandelt, nämlich am Schluss von § 35. S. 220 wurde gefunden Bq = 5 832 371,046™ als Meridianbogen vom Äquator bis zu dem Punkte Celle.

Hat man längere Zeit mit Punkten eines Geltungsbereiches zu thun, so kann man auch noch weiteres allgemein tabellarisch vorbereiten, man kann z. B. eine Tafel anlegen, welche für gegebene Fusspunkts-Breite qq sofort die Abscisse x giebt oder umgekehrt. Z. B. in der Gegend von Hannover-Linden, im Geltungsbereiche Celle, benützen wir folgende Hilfstafel:

Geographische Breite = qp Meridianbogen = B

Celle 52° 37'32,6709"

5 832 371,046™

B — Bq = X

0,000™

52° 30' 52 29 52 28 52 27 52 26 52 25 52 24 52 23 52 22 52 21 52 20

5 818 380,341 5 816 525,942 5 814 671,549 5 812 817,162 5 810 962,779 5 809 108,401 5 807 254,029 5 805 399,662 5 803 545,301 5 801 690,944 5 799 836,593

—13 990,705m

—    15 845,104

—    17 699,497

—    19 553,885

—    21 408,267

—    23 262,645

—    25117,017

—    26 971,384

—    28 825,745

—    30 680,102

—    32 534,453

Man sieht übrigens aus dem Zusammenhang dieser Zahlenwerte, dass wenn man den Meridian von Celle als æ-Axe benützen will, damit der Punkt Celle als Nullpunkt für die Berechnung gar keine Rolle spielt; man könnte gerade so gut z. B. <jp₀ = 52° 30' als Nullpunktsbreite nehmen, dann würden alle x um 13 990,705™ grösser; alle Differenzen der x und alles Übrige blieben aber gleich.

1854,399™

1854,393

1854,388

1854,382

1854,378

1854,372

1854,367

1854,361

1854,357

1854,351

Rechnungs-Formular der preussischen Kataster-Anweisung IX. vorn 25. Oktober 1881.

Da in Preussen die Veröffentlichungen der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme in Form von geographischen Coordinaten geschehen, der Feld- und Landmesser aber rechtwinklige Coordinaten haben muss, kommt die gegenseitige Verwandlung solcher Coordinaten so oft vor, dass die Kataster-Anweisung hiefür ein „Trig. Form. 6.“ gegeben hat.

Fig. 2.

n"

Die dazu nötigen Hilfstafeln sind aber in der amtlichen Anweisung IX. nicht enthalten, sondern es wird hiefür verwiesen auf die trigonometrischen und polygono-metrischen Rechnungen in der Feldmesskunst von F. G. Gauss 1876 und 2. Auf!. 1892. Als Quellenschrift für die Methode des Form. 6. wird angegeben: „Börsch, Anleitung zur Berechnung der rechtw. sphär. Coordinaten u. s. w. 1868, 1869, S. 19 und 1885, S. 91“. Namentlich die Rechnung mit Additamenten, welche

unseren Gliedern dritter Ordnung

u. s. w. entspricht, ist aus Börsch in das preus-sische Kataster übergegangen.

Das erwähnte Form. 6. betrifft nur die Verwandlung der geographischen Coordinaten in rechtwinklige Coordinaten, und nicht umgekehrt; auch ist die Berechnung der Meridian-Konvergenz nicht mit aufgenommen.

Die Abscissen x eines solchen Coordinaten-Systems können beliebig lang sein, sie könnten z. B. vom Äquator bis zum Nordpol hingehen, wenn man eine Tafel der durchgehenden Meridianbögen benützt.

Das führt auf den Gedanken, dass man z. B. den Meridian von Celle auch so benützen könnte, dass die x schlechthin = B gesetzt würden, mit Weglassung einer runden Zahl, etwa 5000 000; dann bekäme Celle als Zufallspunkt die Abscisse x — 832 371.046”* und die Ordinate y — 0,000”*.

In diesem Sinne, d. h. mit Zählung der x vom Äquator der Erde an, wollen wir auch noch die beiden Formeln (17) und (18) zusammen so schreiben:

72 J(2

2p[l]

Setzt man hier cp₀ = 0, d. h. zählt man vom Äquator an, so nimmt das erste Glied von (23) den Wert B an, d. h. den Meridianbogen vom Äquator bis zur Breite cp,

und da im zweiten Gliede [1] = ^ und F2 = ist, so hat man :

A.² sin cp cos cp)

[1]

sin cp cos cp

(23)

x — B -1-

A.2

N sin cp cos cp = B -+

2 p [2]

(24)

2p2

Dabei wird N oder [2] zur Breite q> gehörig genommen, während wir es früher zur Fusspunkts-Breite cpi genommen haben. Solche und ähnliche Unterscheidungen würden sich erst in den höheren Gliedern, die hier nicht mehr mit genommen sind, ausdrücken. Wir werden der Formel (24) oder ähnlichen, auch später wieder begegnen.

A.³ cos cp sin² qp

»ZW

xr^i?

Geographische Coordinaten cp, X aus rechtwinkligen Coordmaten x, y.

Coordinaten-Nullpunkt Celle mit <jp₀ = 52° 37' 32,6709"

Gegeben Ägidius x = — 28 308,394m Genäherte Berechnung von cp₁ — cp₀ aus x nach der Hilfstafel Seite [39] des Anhangs; mit rund (jp = 521/2°

Lq = 27° 44' 54,8477" y = — 23 271,813™ 20 000”* giebt 10' 47,1"

8 000

4' 18,85

OO O

_ ~+~ %

2

Damit geben die Hilfstafeln des Anhangs: mit cpm

Seite [33], log [1] = 8.509 9477-2

cpm

52° 29' 54,72"

— 15' 15,89"

___q&o = 52° 37' 32,67"

Genähert cp-y = 52° 22' 16,78"

mit qp₁

Seite [33], log [2] = 8.508 8706-9 ,    [21], log V2 = 0.001 086

qpi = <Po + [!]œ

v [g)y

cos <p₁

S<n2,r'

cp = cpi —

myf

V^tangcpi

A = [2]y cos cp

oder:

[2] y \s 1    . „

- ß-o sm% Cf COS cp ) 6 p²

oder:

7= [2] y tang cp 4- ßß t (2 +t²)

log [1] 8.509 9477-2 logx 1 4.451 9152-3« log [1] x I 2.961 8629-5« [1] x = — 915,9314"

log [2] 8.508 8706-9 log y 4.366 8302-2«

log [2] y 2.875 7009-1« log cos qpi 9.785 7153-5

log (Jo) 3.089 9855-6« (b) = —1230,2278"

log [2] y 2.875 7009-1« log tang cp^ 0.113 0011-1 log (c) T988 7020-2« (c) = — 974,3209"

Hilfstafel Seite [49]

log([2]y2 log tang qpi log V2 — (1 = 2 g)

5.751402 0.113 001 0.001 086 4.384 545«

(6')3

0.250034«

log (o)

(«) = — 1,7784"

(b) 3 j 9.2700« sin2 qpx 9.7974

- (1:3p²) 8.8940« (1:6 p²)

(c)    7.9614 + 0,0091"

s in² cp

9.2699«

9.7974

8.5930

~mwn

— 0,0046"

([2] y3 h

(1+2 «2)

-(1:6p²)

(d)

Celle <p₀ = 52° 37' 32,6709" 4-[l]a:=— 0° 15' 15,9314 <px = 52° 22' 16,7395" 1,7784

<p = 52° 22' 14,9611" Ägidius (Hannover).

(a) = —

log [2] y I 2.875 7009-1« log cos <p 9.785 7202‘1

log (&') I 3.089 9807-0« (6') = — 1230,2141" (&') + W)

(*>) - (c)

8.6271” ([2] y)S 8.6271» t 0.1130 0.6399    (2-ht2)    0.5661

8.5930« (1:6p²) 8.5930 7.9730    4- (d’) f7.8992«

— 0,0079"

0.1130

4- 0,0094"

log [2] y j 2.875 7009-1« log tang cp 0.112 9933-7

(c') 1 2.988 6942-8« (c') = — 974,3035"

(c')-Md')

— 1230,2278"    —1230,2141"

4-    0,0091

—1230,2187"    —1230,2187" j —974,3115

A = — 0° 20' 30,2187"

L₀= 27° 44' 54,8477 Ägidius L = 27° 24' 24,6290"

0,0046

- 974,3209"    — 974,3035"

4-    0,0094

—    0,0079

—    974,3114

Celle

Meridian-Convergenz y = — 16' 14,311"

Coordinaten-Nullpunkt Celle qp₀ = 52° 37' 32,6709"

Gegeben Ägidius cp = 52° 22' 14,9611"

Differenzen cp — cpo — — 15' 17,7098"

Z₀ = 27° 44' 54,8477" 27° 24' 24,6290"

X = — 0° 20' 30,2187" A = —

1230,2187"

F2

<Pi = <jp + A² sin cp cos cp 91 — 90 _ a.

Anhang Seite [21] giebt . .

log X

3.089 9823-2

log A² 6.179 965 ' 9.898 714 9.785 720 log V2 0.001 086 log (1:2 g) 4.384 545 log (a) I 0.250 030

log sin cp log cos qp

(a) = 1,7784"

<p = 52° 22' 14,9611" 1,7784

Mit cpi giebt die Hilfstafel Seite [33] des Anhangs :

Celle

<Pi = 52° 22' 16,7395" Cpo = 52° 37' 32,6709"

cpm

<Pi — (p₀ = — 15' 15,9314" = —    915,9314

= 52° 29' 54,7052"

log [2] = 8.508 8706-9 und mit qpm giebt dieselbe Hilfstafel Seite [33]:

yi+qpo

log[ 1] 8.509 9477-2 hiezu log (qpx — qp₀) 2.961 8629*5

•2

x = — 28308,394™

logx 4.451 9152-3

1 : [2] | 1.491 1293-1 X 3.089 9823*2» (jPi ; 9.785 7153-5 (6) I 4.366 8269*8»

cos cpi sin² cpi oder y =

[2]

cos cp —

cos

(5)

A²

sin² (jpj

(1:3 P²)

4.3668«    1 : [2]

6.1800 9.7974 8-8940

cos <p

1.491 1293-1 3.089 9823-2« 9.785 7202-1

À® 1

[2 ]6p2

cos cp si«² cp

(c)

9.2382»

(&')

4.366 8318-4«

sin² qp

—(1:6 g²)

4.3668»

6.1800

9.7974

8.5930»

(O

8.9372

(b) = —23 271,639 — 0,173 y = — 23 271,812

(c) =

(&') = — 23 271,900 (cj =    -f- 0,087

y = — 23 271,813

A3

A3

y = A sin qp₁ — sin cpi cos² qp! oder y = X sin qp -4- sin cp cos² cp

sin A qp

A 3.089 9823-2» sin cpi 9.898 7164-6

A sin qPi 2.988 6987-8»

A sin qpj

COS² Cpi

— (1:6 g²)

A²

2.9887»

6.1800

9.5714

8.5930»

A 3.089 9823-2» sin cp 9.898 7135-7 A sin qp 2.988 6958-9»

A²

cos² qp (1:3 g²)

(d)

7.3331

(d')

2.9887»

6.1800

9.5714

8.8940

7.6341»

A sin <Pi = — 974,3136" (d)=    + 0,0022"

A sin cp = — 974,3072" (<T) =    — 0,0043"

y = - 974,3114"

y = —16' 14,3114"

y = — 974,3115"

Schluss-Ergebnis: Ägidius y — — 23 271,813™ x = — 28 308,394™ Meridian-Konvergenz y = — 16' 14,311".

qpo    die    Breite    des    Coordinaten-Ursprungs,

qp/    die    Breite    des    Ordinaten-Fusspunktes,

cp    die    Breite    des    gesuchten Punktes,

A₀    die    Länge    des    Coordinaten-Ursprungs,

A    die    Länge    des    gesuchten Punktes,

x und y die gesuchten Coordinaten.

Dabei ist x von qp₀ bis cp; auf dem Meridian nördlich positiv, südlich negativ gezählt und y rechtwinklig zum Meridian östlich positiv, westlich negativ gezählt.

Die Aufgabe lautet: Aus gegebenen qp₀, cp, A₀, A die Coordinaten x, y zu

berechnen.

Die Differenz A — A₀ wird in Sekunden verwandelt, mit rf' bezeichnet, und weiter kommt die Breiten-Differenz cp/ — cp = ip" in Betracht, welche aus rf' berechnet wird nach der Formel

(25)

xp" = rf ’² q

Dieses entspricht unserer Formel (17) S. 305 für cp₁ — <jp, d. h. :

unsere

cp₁ — cp = X²

V²

(26)

sin cp cos cp

Daraus ergiebt sich, dass der Faktor q in der Formel (25), umgesetzt in Bezeichnungen der Formel (26), diese Bedeutung hat:

(27)

sin cp cos cp

F2

q ~ 2 Q

auch in

V²

2p

Bei dieser Gelegenheit bemerken wir, dass das hier gebrauchte

den Formeln und Tafeln der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme vorkommt mit der Bezeichnung (3), wie wir in § 39. S. 228 schon angegeben haben. In einem Formular kann man den konstanten Logarithmus log (1: 2 q) = 4.384 545 gedruckt aufnehmen, so dass also eine Tafel für log V², welche man zu sehr vielen anderen Zwecken ohnehin braucht, genügt; auch log sin cp und log cos cp nehmen wir lieber besonders, als vereinigt in der Tafel für logq, weil es hier angezeigt ist, mindestens 6 stellig scharf zu rechnen.

Nachdem man in dem genannten Formular 6. xp" zu cp addiert, und damit cpf erhalten hat, kann man aus der Differenz cp/ — cp₀ die Abscisse x berechnen. Das Formular bedient sich hiezu der schon oben (S. 306) von uns citierten und beschriebenen Hilfstafel von F. G. Gauss, wobei aber zu bemerken ist, dass die Interpolation eine Rechnung mit 7 stelligen Logarithmen verlangt. Auch unsere Rechnung auf S. 309 mit der Mittelbreite cpm ist hier noch nicht die beste; auf ein bequemeres Rechnungsverfahren, nach der Formel (37) § 35. S. 218 werden wir später zurückkommen; auch ist hier die neue Tafel Seite [55]—[57] zuzuziehen.

Um vollends die Ordinate y zu erhalten, rechnet jenes Formular 6. mit Längen-Sekunden L und mit Additamenten, wodurch in anderer Form dasselbe erhalten wird, wie durch die Reihen-Entwicklung (19) S. 305.

<jp/ = 52° 22' 16,7395" ?] = 0° 20' 30,2187"

log rf' = log 1230,2187"    3.089 9823

Addit.-Tafel für 3.089 +2 Arf'

Tafel der log L für cp = 52° 23' log Lt 1.276 7268 Interpolation für — 43,2605" , <dlog L

51

43,2605

log

A\"

1.6361

1.4854

1179

3.0815

log tang (y : r) 4.366 8321 — 19

Addit.-Tafel für 4.367 — 2 4„

log y 4.366 8302 y = 23271,81”*

Diesem entspricht hei unserer Rechnung S. 309 : Hilfstafel Seite [33] für 52° 22' 15", log [2]    8.508 8707-0

c<

l°g{ 1 : [2])

= 0° 20' 30,2187" = 1230,2187 , logX = 52° 22' 14,9611"

(oder Formel (13) S. 301 mit cos 52° 22' 15,5539")

log cos <p

1.491 1293-0 3.089 9823-2 9.785 7202-1

log (&')    4.366 8318-3

{V) = 23271,900

(6') 4.3668 *2 6.1800 9.7974 8.5930«

log{c') 8.9372» (e') = — 0,087

sin² <jp —(1:602)

y = 23271,813™

Es mag unentschieden bleiben, welche der verschiedenen Rechnungen die bessere ist, wir haben aber die Vergleichung hier hergesetzt, weil die Landmesser oft den Wunsch haben, ausser der ihnen durch amtliches Formular vorgeschriebenen Rechnung eine unabhängige Kontrollrechnung nebenher zu haben.

Bemerkung über die geographischen Längen und Breiten.

Die geographischen Längenunterschiede A werden teils in Bogenmass teils in Zeitmass an gegeben, zu deren gegenseitiger Verwandlung unsere Hilfstafel auf Seite [42] des Anhangs benützt werden kann.

Als Beispiel wollen wir im System der Preussischen Landesaufnahme nehmen:

Berlin, Bauenberg ;.₀ = 31° 2' 4,9280" = 2» 4»» 8,328533* Celle

A = 27° 44' 54,8477" = 1* 50« 59,656514*

Ao — A = 3° 17' 10,0803" = 0* 13« 8,672019«

Bei der Benützung der Hilfstafel Seite [42] kann man beliebig viele Dezimalen schreiben, obgleich nur 0,0001» angegeben ist. Z. B. für vorstehendes Ao — A hat man :

3° 15' 0"

2' 0"

9,0"

1,05"

0,030"

0,00030"

Differenz

3°

17' =

10" = 0,08" = 0,0003" =

0h 12m 0» lm 8«

0,666 667» 0,005 333* 0,000 020s

Summe 0* 13»* 8,672 020s

0* 13» =

8» =

0,6» — 0,07« = 0,002» = 0,00002» =

3° 17' 10,08030"

Summe

Was die Zahlenschärfe solcher Angaben, ebenso wie auch für geographische Breiten, betrifft, so kommt die etwaige astronomische Messung dabei für uns nicht in Betracht (vgl. § 26. S. 162 bis 163). In geodätischer Beziehung gelten Längen und Breiten nur als Mass-Bestimmungen auf der Oberfläche des Ellipsoids; und da z. B. 1" in Breite rund = 30 Meter ist, so bringt 0,001" immer noch 0,03m oder 3 Centimeter, und man muss daher geographische Coordinaten auf 0,0001" oder gar auf 0,00001" genau angeben, wenn man die Genauigkeit geodätischer Messungen, mit der immer formell etwas übertrieben nötigen Schärfe, durch geographische Längen und Breiten ausdrücken will.

§ 56. Entfernung und Azimute aus geographischen Coordinaten.

Die Einführung des verkürzten Breiten-Unterschiedes nach § 54. S. 302 genügt bereits, um auf massige Ausdehnung von Dreiecken III. Ordnung mit geographischen Coordinaten Entfernungen und Azimute zu berechnen.

Indem wir zunächst die Aufgabe rein sphärisch betrachten, haben wir im Anschluss an Fig. 1. folgendes:

Fig. 1.

Sphärisches Polardreieck.

Wenn zwei Punkte P und P' durch ihre geographischen Breiten cp und cp' nebst ihrem geographischen Längen-Unterschied X gegeben sind, so wird da-durch ein sphärisches Dreieck NFP' bestimmt, dessen Seite NP = 90° — qp, dessen Seite NP' = 90° — cp' und dessen Winkel bei N — X ist.

V.

Man kennt also von dem Dreieck zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel, und daher ist auch die dritte Seite a und die beiden anderen Dreiecks-Winkel « und 180° — a! bestimmt, d. h. man kann dann die Entfernung beider Punkte P P’ = er und die beiden Azimute in P und in P', bezw. = a und = a! berechnen.

Wenn man die Gaussschen (bzw. Neperschen) Gleichungen von § 27. S. 165 auf unseren Fall anwendet, so bekommt man:

. er .

sm sm

u

. er

sm -g- cos ——

er .    — a

cos -g- sm —2—

et! — «

<§>

a! + «

— = cos

= sin

cp'-hjp

= sin

sin

cos

cp' +JP

sin

(1)

cos —cos

= cos

qp' —qp

COS

■2

Wir wollen die Mittelwerte besonders bezeichnen:

qpf + qp ₌

qpo

und

Ct' -4- CC

2~ = «o

(2)

Wenn er und X klein sind, so werden auch ep' — qn und et! — a klein und dann hat man genähert aus (1) :

a sin a₀ = cos (jp₀ À a cos «₀ = qp' — cp et' — a = sin cpQ X Die beiden ersten Gleichungen (2) geben:

<M CO

tang a₀

_ À cos qp0 ” cp! —Cp

= Viv' — qp)² + (* cos qp₀)²

_ X cos qp₀ _ cp' — qp sin a₀ cos <x₀

Diese sphärischen Formeln kann man auf das Ellipsoid übertragen, wenn man nur überall nach (9) § 54. S. 303 den verkürzten Breiten-Unterschied ^ g ^ = (qp'— qp) ^

oder

an Stelle des sphärischen Breiten-Unterschiedes setzt, und im übrigen den Quer-Krümmungs-Halbmesser N der Mittelbreite ^    --als Kugelhalbmesser r zu Grunde legt.

Li

Die Aufgabe sei mit Bezugnahme auf Fig. 2. so gefasst: Gegeben sind zwei Punkte auf dem Ellipsoid, mit den Breiten Cp und cp' und mit dem Längen-Unterschied X ; es soll die Entfernung beider Punkte = s, linear auf dem Ellipsoid, und die beiden Azimute « und ci berechnet werden.

Die Gleichungen (3), (4) und (5) geben:

ci — « = X sin <p₀ = X sin

u

À cos qp₀

Fig. 2.

(6)

tang ß₀ = tang

a' -f- ß _ 2 “

°~N

_ X cos (jp₀ _ sin ß₀

(<P' —<V)ff

(¥ — qp)

COS ß₀

ci

ct'

oder

er =

JSf ]/(&' ~ 9>)    cos <jPo)²

Wir wollen diese Formeln etwas umstellen, und auch die nötigen ç zusetzen, wodurch wir erhalten :

tang ß₀

N X cos epo _ X cos (jp₀

M(qp' — cp) ~

À cos <jp₀ — (cp' — cp)

cp’ — cp

(7)

sin ß₀

cos ß₀

(8)

oder

A"

X cos epo ■+-

(9)

— (<P'~ <P)

Oder endlich wenn man = [l] und ~ = [2] setzt, wie in unseren Hilfstafeln angenommen ist, (vgl. § 40. S. 230) kann man die Formeln auch so schreiben :

.    . a' -h a

tang a₀ = tang —^—

rm C0S Vf)

(10)

[1]

cos cp₀

cp' - <p

[1]

(11)

sin ß₀

cos ß₀

oder

~V{^\cos^) ⁺(nrr)

(12)

Zu einem Zahlen-Beispiel nehmen wir die zwei trigonometrischen Hauptpunkte der Stadt Hannover, welche nach Mitteilung der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme von 1887 folgende geographische Coordinaten haben:

Ägidius .    .

Wasserturm

. cp'= 52° 22'14,9611" . <p = 52° 21' 49,9080"

L'= 27° 24'24,6290" L = 27° 22' 25,0168"

(18)

Differenzen cp' — cp = —(-0° 0' 25,0531" =    25,0531"

= 52° 22' 2,43455"

X= 0° 1' 59,6122" =    119,6122"

Mittel <jp₀

Mit dieser Mittelbreite geht man in die Hilfstafel des Anhangs Seite [22] ein, und entnimmt durch leichte Interpolation :

log [2] = 8.508 8708

log [1] = 8.509 9574 und die weitere Rechnung nach den Formeln (6) und (10)—(12) giebt:

«0 =

— J” “ = 71° 6' 37,69" a~Ä~ = 0°0'47,36"

Ł

= 71°7' 25,05" = 71° 5' 50,33"

log s = 3.378 7016 s = 2391,672“

(14)

Azimute und Richtungswitikel.

Während die verschiedenen Coordinaten cp, À und x, y in ihrer Bedeutung für die Kartenzeichnung sofort verständlich sind, bedürfen oft die Begriffe von Azimut und Richtungswinkel und ihrer DifFerenz-Meridiankonvergenz, noch anderer Klarlegung, wozu unser mehrfach benütztes Beispiel Wasserturm-Ägidius, das in Fig. 8. S. 315 dargestellt ist, dienen soll.

In Fig. 3. ist Celle, (Stadtkirche, Helmstange) nordöstlich von Hannover, der Nullpunkt, auf welchen sich die rechtwinkligen Coordinaten von W und A beziehen; es sind also die Geraden A A! und W W Parallelen zu dem Meridian von Celle, folglich W WA = a und WA A" = a' die Richtungswinkel (Preuss. Katasterbezeichnung „Neigungen“) der Geraden WA in W und A.

Das sind dieselben Winkel, welche in Fig. 2. S. 259 mit a und «' bezeichnet waren, während wir jetzt, mit Änderung der Buchstaben-Bezeichnungen, die Richtungswinkel mit a, dagegen die Azimute mit a bezeichnen, so dass die Meridian-Konvergenzen in W und A diese sind:

(15)

— y =z a — a ,    — y' = a' — a'

Wir bemerken, dass hier y und y' negativ sind, weil in unserem Falle Fig. 3. die Ordinaten y negativ sind, und y stets das Vorzeichen von y hat.

Der Gang unserer Berechnungen ist dieser:

Punkt

Celle, Stadtkirche . . . 52° 37' 32,6709"

Ägidius (Hannover) . . . 52° 22' 14,9611"

Wasserturm (Linden) . . 52° 21'49,9080"

Geogr. Breite

(16)

Geogr. Länge 27° 44' 54,8477" x 27° 24'24,6290" i 27° 22'25,0168" J

Wie man hieraus, unter Annahme des Punktes Celle als Coordinaten-Nullpunkt, die rechtwinkligen Coordinaten des Punktes Ägidius berechnet, haben wir auf S. 309 ausführlichst gezeigt, und da man für den zweiten Punkt Wasserturm dieselbe Berechnung machen kann, ist nachgewiesen, auf welche Weise man zu den rechtwinkligen Coordinaten von Ägidius und Wasserturm gelangt, nämlich:

Fig. 3.

f-X I

o-

QJÉ

<L>

W¹ ^ Nord A

Nord

oc'cC ó^Aegidius

Wasserturm

a*

W"

À"

-X|

Ägidius .    . y' — —

Wasserturm

§ Ë CO 05 t-H OO 00 ^ *-T oo

CO 03 iO CO kO CM <M

—    28 308,894™

—    29 071,472™

(17)

Differenzen y' — y = -+- 2 266,676 x'—x — -f-    763,078

Dadurch ist die Linie Wasserturm-Ägidius nach Entfernung und Richtung festgelegt im ebenen rechtwinkligen (Soldner sehen) Coordinatensystem :

WA = s = 23 91,674™ a! — (A W) + 180° = 251° 23' 39,0"

log WA = 3.378 7020 a — (WA) = 71° 23' 39,0"

Andererseits haben wir oben bei (14) gefunden:

« = 71° 5' 50,3"

Die Vergleichung von (19) und (20) giebt: a — a — 17' 48,7"

s = 2391,672™

a' = 71° 7' 25,0"

(18)

(19)

(20)

(21)

a' — a' = 16' 14,0"

Dieses muss stimmen mit der Berechnung von y auf S. 309 für Ägidius und mit der entsprechenden Berechnung für Wasserturm, nämlich: y = — 17' 48.9"

(22)

/ = — 16' 14,3"

Dass hier zwischen (20) und (22) noch kleine Differenzen bis zu 0,3" Vorkommen, hängt damit zusammen, dass schon die Rechnung von S. 309 nicht unbedingt auf lm™ sicher ist, weshalb auch (18) und (20) um 2mm differieren.

Wenn man bedenkt, dass bei solchen Verhältnissen die letzten Stellen 0,001" und 0,1" gar keinen inneren Sinn mehr haben, sondern nur als überschüssige Kontrollstellen für die vorhergehenden 0,01m und 1" mitgeführt werden, so wird man sagen: die Proben (18) und (20), sowie (21) und (22) stimmen innerhalb der beabsichtigten Kechenschärfe.

§ 57. Karten mit geographischen Netzlinien.

Wenn der Plan einer Stadt oder einer Feldmark in rechtwinkligen sphärischen Coordinaten bearbeitet ist, was gewöhnlich in grossem Massstab geschieht, so dass viele Einzelblätter entstehen, so kann man daraus auch Übersichtskarten und topo-

Fig. l.

Stadt und Feldmark Linden bei Hannover mit Coordinaten-Netzlinien und mit geographischen Netzlinien. Massstab 1 : 37 000.

9= 52° 23'

X=i-27000m'*%s.

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Kunst

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Techn. HochschuLe

1!?= 52*23’

X=- 27000®

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52°2J

Cs

Ji _ jX=-310OOm

%ig Maasstab 1:37000. i

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1°    500    (ooa,n-

V_____

J5

graphische Karten kleinen Massstabes herstellen, in welchen immer wieder das quadratische Netz der rechtwinkligen Coordinaten den festen Rahmen für die Zeichnung und Vervielfältigung bietet.

Bei topographischen Karten in 1:25 000 und wohl auch schon bei Stadt-Übersichtskarten in 1: 5 000 bis 1:10 000 verlangt man aber wegen des Anschlusses an die allgemeine Landes-Topographie, und zur allgemeinen geographischen Orientierung, die Einzeichnung von Meridianen und Parallelkreisen für runde Werte der geographischen Längen und der geographischen Breiten, oder kurz, die Einzeichnung von geographischen Netzlinien, welche die Karte in geographische Trapeze einteilen.

Die Bestimmungsstücke hiefür bekommt man durch die Formeln, welche wir in § 55. entwickelt und durch die Rechenschemate S. 308 und S. 309 erläutert haben. Insbesondere das zweite Schema S. 309 wird hier gebraucht, indem man für gegebene runde Werte der Längen und Breiten L und qp die zugehörigen rechtwinkligen Coordinaten y und x berechnet, und darnach die Trapez-Ecken in das rechtwinklige Coordinaten-System einträgt.

Als Beispiel hiefür nehmen wir die Karte der Stadt und Gemarkung Linden bei Hannover, deren Aufnahme wir in den Jahren 1887—1889 gemacht haben (vgl. hiezu II. Band, 4. Auü. 1893, S. 353).

Die rechtwinkligen Coordinaten beziehen sich auf das Preussische Katastersystem 27. Celle.

Die Gemarkung liegt etwa zwischen den geographischen Längen 27° 21' und 27° 24' und zwischen den geographischen Breiten 52° 21' und 52° 23', sie umfasst also 6 Minuten-Abteilungen ; und wir haben für die 12 Ecken des entsprechenden Minuten-Netzes die rechtwinkligen Coordinaten y und x nach dem Schema von S. 309 berechnet, wie in folgender Übersicht angegeben ist.

X = 27° 21'

A = 27° 22'

X = 27° 23'

X = 27° 24'

9» = 52° 23'

y — — 27 135,04*» x = — 26 896,63»*

y = — 24 865,68»* - 26 902,74»* j x — — 26 908,61»*

y = — 26 000,36»*

y = — 23 731,00»* x = — 26 914,22»*

9> = 52° 22'

y = — 27 145,25»* !l x — — 28 750,98»*

y = — 26 010,14»* x = - 28 757,09»* y = — 24 875,04»* x = — 28 762,96»» y = — 23 739,94»» x = — 28 768,56»*

y = — 23 748,87»* x = — 30 622,90»*

y = — 26 019,93»*

x = — 30 611,45»*    | x = — 30 617,32’»

I

Man kann diese Coordinaten in ihren Differenzen durch die Meridianbögen und Parallelbögen der Tafeln auf Seite [38] —[41] unseres Anhanges kontrollieren, z. B. in dem Meridian von X = 27° 21' haben wir aus dem vorstehenden: g> = 52° 23'

<p = 52° 22' qp = 52° 21'

Nach der Tafel Seite [38] des Anhangs ist zwischen 52° 20' und 52° 30' der Meridianbogen = 18 543,748”*, also für 1 Minute m = 1 854,37™, was mit den vorstehenden Werten A x insofern genügend stimmt, als für genauere Rechnung schärfere Interpolation in der Tafel Seite [38] nötig wäre, und eine kleine Abweichung zwischen m und Ax auch in der Soldner sehen Projektion begründet ist.

95 = 52° 21'

y — — 27155,47»* x = — 30 605,30»*

y = — 24 884,40»*

x = — 26 896,63™ x = — 28 750,98™ x = — 30 605,30™

A x = 1854,35™ A x = 1854,32™

Um auch die Ordinaten-Differenzen zu kontrollieren, könnte man die Längen-Grade der Tafel Seite [36]—[37] oder Seite [41] des Anhangs benützen, wobei aber viel zu interpolieren wäre; sicherer geht man zu Wege durch die unmittelbare Berechnung von 1 Längenminute nach § 36. S. 220, nämlich :

_ IV cos cp _ 60 cos cp

Q'

[2]

wo log q' = 3.536 2739 ist, und log N aus der Hilfstafel Seite [20] oder log [2] auf Seite [33] des Anhangs gefunden wird, z. B. für cp = 52° 23' findet man log N = 6.805 5547 oder sofort log [2] = 8.508 8704 und damit nach vorstehender Formel V = 1 134,69m, während die Ordinaten auf dem Parallel von cp = 52° 23' nach der obigen Tabelle geben :

y = — 27 135,04“ y = — 26 000,36“ y = — 24 865,68“ y — — 23 731,00“

Diese A y stimmen hinreichend mit dem vorhin berechneten V = 1134,69“.

I = 27° 21' X = 27° 22' l - 27°23' X = 27° 24'

Ay = 1134,68“ A y = 1134,68“ Ay = 1134,68“

Als zweites Beispiel dieser Art nehmen wir das in Preussen eingeführte Gradnetz für topographische Karten.

Das Netz der Meridiane und Parallelkreise für eine topographische Karte kann man auf zweierlei Art hersteilen, entweder unmittelbar durch Konstruktion der Trapeze aus den Meridianbögen und den Parallelbögen, oder durch Einrechnen der Trapez-Eckpunkte in ein rechtwinkliges Coordinatensystem, das man zu Katastervermessungen, Stadtvermessungen und dergl. ohnehin hat.

Wir wollen dieses an dem Beispiele der zwei Messtischblätter der topographischen Abteilung der Landesaufnahme zeigen, auf welche die Stadt- und Feldmark von Hannover mit Linden fällt, wie in Fig. 2. S. 319 gezeichnet ist.

Die zwei Trapeze AB CD und CD EF liegen zwischen den Breiten 52° 30', 52° 24', 52° 18' und zwischen den Längen 27° 20' und 27° 30' und haben Seitenlangen, welche in Tabellen verfügbar sind, auf Seite [41] des Anhangs, woraus wir entnehmen : cp = 52° 30' A B = 11 316,99“

52° 24'CZ> = 11 342,65“

52° 18' EF — 11 368,27“

Dazu auch die Flächen:

A B CD = 126,0591«*“ und CD EF= 126,3423«*“

Wenn man etwa diese Masse nicht vorrätig hat, aber wenigstens die Krümmungs-Halbmesser M für den Meridian und IV für den Querbogen, so kann man die Trapezseiten ebenfalls berechnen, z. B. :

AC = BD = 11126,31“ ) CE= DF= 11 126.12“

(1)

AG =

6' =

360

[1]

(2)

AB =

600

(3)

-10' coscp=p]

wobei M oder [1] zur Mittelbreite von A und C, und N oder [2] zu der Breite von A und B selbst gehört.

Die Linien AB, CD, EF sind streng genommen ein wenig gekrümmt zu zeichnen, doch macht das im Massstab 1:25 000 für die preussischen Messtischblätter

Fig. 2.

X=-10 000

(f=52° 30

>,=27 20

>o=27° 30’

X=“ 20 000

C/?

3~

CM

cn

CM

-F_

na

II

ÜT

O

o'

CP!

H-

'ht=27° 20¹

S'

iKi-27°30

<p=52c18'

X =-40 000

y=-2oooo|

1:200000

5000 m

10000m

so wenig aus, nämlich höchstens 0,lmm als Querabweichung in der Mitte zwischen dem Bogen A B und der Sehne A B, dass es neben der Unsicherheit des Papiereinganges u. s. w. vernachlässigt werden kann. Wir werden dieses später behandeln.

Jedenfalls kann man mit den bei (1) angegebenen Trapezseiten die Trapeze scharf auftragen und dann versieht man noch die obere und untere Seite jedes Trapezes mit einer gleichförmigen Teilung von 10' = 600", ebenso die linke und rechte Seite mit einer Teilung von 6' = 360", worauf man jeden Punkt scharf in das Blatt eintragen kann, dessen geographische Coordinaten vorhanden sind.

So kann man z. B. die 6 Hauptpunkte von Hannover, welche in Fig. 2. eingezeichnet sind, eintragen nach den geographischen Coordinaten, welche wir früher mitgeteilt haben in „Handb. d. Verm.“ I. Band, 4. Auf!., 1895, S. 324.

Dieses ist das Verfahren der topographischen Abteilung der preussischen Landes

aufnahme.

Bin zweites Verfahren bietet sich dar, wenn man über eine Aufnahme in rechtwinkligen Coordinaten verfügt, etwa in einem der 40 preussischen Katastersysteme, wie wir an dem Beispiele von Hannover zeigen wollen, unter Zugrundlegung des vorgeschriebenen Coordinatensystems mit dem Nullpunkt Celle.

Es handelt sich darum, die rechtwinkligen Coordinaten x, y zu berechnen für diejenigen Punkte A, Bwelche als Eckpunkte der geographischen Trapeze auftreten.

Man kann sich dazu der Rechnung nach dem Schema von § 55. S. 309 bedienen. Wir haben etwas schärfer nach anderer Formel gerechnet, die erst später mitgeteilt werden kann. Jedenfalls muss auch die Rechnung nach dem Schema von S. 309 auf lcm genau Folgendes geben:

—    13909,649”*

—    13961,659

—    25035,885

—    25087,943

—    36161,934

—    36214,040

Eckpunkt A (N.W.) —28195,133”*

„    B    (N.O.)    —16878,268

(4)

„    G    (W.)    —28259,063

„    D    (O.)    - 16916,537

,    E    (S.W.)    — 28322,905

„    F    (S.O.)    — 16954,754

Mit diesen rechtwinkligen Coordinaten trägt man die Trapez-Eckpunkte in das rechtwinklige Coordinatennetz ebenso ein wie alle anderen Punkte der Vermessung, und die Trapeze ergeben sich dann ganz von selbst, allerdings mit ganz kleinen Änderungen, welche von der Projektionsverzerrung herrühren. Folgendes ist die Berechnung der Trapezseiten aus den Coordinaten:

Seite

AB

y A 2/2 + A X* 11316,985”* 11342,645 11368,270 11126,420 11126,232 11126,350 11126,163

52,010 52,058 52,106 11126,236 11126,049 11126,284 11126,097

Dann ist die Vergleichung zwischen den wahren Seiten nach (1) und deren Projektionen in (5):

CB

EF

AG

GE

BD

DF

11316,865”*

11342,526

11368,151

63,930

63,842

38,269

38,217

(5)

Trapezseite

AB

CD

EF

Projektion

11136,99“

11142,65

11368,27

11126,42

11126,23

11126,35

11126,16

wahr

11316,99“

11342,65 11368,27 11126,31 11126,12 11126,31 11126,12

Die Süd- und Nord-Seiten werden in der Projektion richtig dargestellt, wie es sein muss, dagegen die West- und Ost-Seiten sind in der Projektion zu gross um 0,11“ und um 0,04“, was von der Projektionsverzerrung herrührt, nämlich:

Differenz

0,0“

0,0

0,0

AG

CE

BD

DF

+ 0,11 *+• 0,11 -ł- 0,04 + 0,04    ,

(6)

2/²

2r“2

A C oder

!² CE

2r²

Mit y = 28200 und y = 16900, und log r = 6.8040 giebt dieses gerade die oben bei (6) erhaltenen Abweichungen 0,11“ und 0,04“, womit alles rechnerisch sichergestellt ist.

Die Projektionsverzerrungen, welche nach (6) höchstens 1:100 000 betragen, sind in der topographischen Kartenzeichnung ganz unmerklich, es sind dieselben, welche auch in der viel feineren Katasterzeichnung schon vernachlässigt werden.

Wenn man den Trapezrahmen nach den rechtwinkligen Coordinaten (4) aufgetragen hat, bekommt man also innerhalb der äussersten Zeichenschärfe von 0,05 genau dasselbe wie bei der Behandlung mit den unmittelbaren Trapezseiten von (1), und im übrigen giebt sich auch die Vergleichung der beiden Verfahrungsarten aus dem bisherigen leicht:

I.    Aufträgen des Trapezes nach den Massen (1) giebt einen Rahmen für geographische Coordinaten.

II.    Aufträgen des Trapezes in dem Rahmen eines rechtwinkligen (Kataster-) Systèmes giebt die Möglichkeit, alle Kataster- oder Stadtvermessungs-Coordinaten (z. B. die 114 Punkte in unserem I. Bande, „Handb. d. Verm. 4. Aufl. 1895“, S. 400 bis 401) unmittelbar auch in die topographische Karte zu übertragen, oder kurz alles Kataster- und Stadtvermessungs-Material in seinem eigenen Coordinatensystem auch für die Topographie lediglich durch geometrische Verkleinerung zu verwerten.

Ausser den 6 Eckpunkten von Fig. 2. haben wir auch noch drei andere Trapezecken nach Coordinaten berechnet, wie schon im I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 407 zu dem Netzbild S. 411 jenes Bandes angegeben wurde, nämlich, mit Wiederholung von N W:

to to to to

<1 o <1

⁰ 20' , qp = 52° 30' 52 30 52 12 52 12

40

20

40

y = —28195,13“

—    5561,31

—    28386,66

—    5599,09

Katastersystem Celle

x = —13909,65“

—    18987,55

—    47287,79    ^ '

—    47365,11

Wenn man trigonometrische Kataster-Aufnahmen zur Topographie benützen will, so ist es das erste, die geographischen Netzlinien in solcher Weise einzurechnen, nicht bloss die eigentlichen Trapez-Ecken der topographischen Abteilung

21

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

der Landesaufnahme, sondern wie wir es bei Linden gethan haben, enger, etwa von Minute zu Minute.

Wenn die Flurkarten gar nicht mathematisch orientiert sind, (wie z. B. in einem grossen Teile der Provinz Hannover), ist es immer noch rationeller, durch einige rasch und rauh eingemessene und eingerechnete Rückwärtsschnitte zuvor das x «/-System in die Flurkarten hinein zu interpolieren, und dann nach der vorher genannten Methode zu verfahren, als sich nur auf das empirische Zusammenstimmen nach Wegecken u. s. w. auf dem Messtische zu verlassen.

§ 58. Geographische Coordinaten q, l und konforme rechtwinklige Coordinaten x Y.

Zwischen den kongruenten Coordinaten x, y und den konformen Coordinaten x, Y bestehen nach § 50. die einfachen Beziehungen:

y=Y-

J³

6 r²

(1)

Wenn man daher q und X in x und y um wandeln kann und umgekehrt, so hat man auch cp und X als Funktion von x und Y und umgekehrt; sei es, dass man nur die y und Y vermöge (1) zahlenmässig verwandelt, etwa mit einer Hilfstafel S. [45] des Anhangs, oder auch indem man die Einsetzung von Y statt y analytisch durchführt.

Wir wollen dieses thun und dazu die Formeln von § 55. nochmals hersetzen, aber um den Coordinaten-Nullpunkt ganz aus dem Spiele zu lassen mit der Annahme, dass die Abscissen x stets vom Äquator an gezählt werden. Bezeichnet man dann mit B den Meridianbogen vom Äquator bis zur Breite cp und mit x den Meridianbogen vom Äquator bis zur Fusspunktsbreite qq, so hat man aus § 55. folgende Formeln (S. 304):

q> = q>i —

qv²

Fi« tang qq

2Wa2

i _ qv _ ey3 sin2 vi

N\ cos qq 3 Aq³ cos³ qq y = ^ tang qq

und die Umkehrung (S. 307 und S. 305): x = B -f-

(2)

bi

(3)

6AÄ³

tang qq (1 + 2 tang¹ qq)

(4)

À² N

kongruent

2^2 s*n T cos V

/l³

y = X sin q -+-

NX

sm² q cos q

sm q cos² q

(5)

(6)

(7)

3 p²

Wenn man hier y durch Y nach (1) ersetzt, so giebt das bei (2) keine Änderung innerhalb der hier eingehaltenen Grössenordnung, und bei (3) und (4) gestaltet sich die Umformung leicht, so dass man im ganzen hat:

konform

p Y²

<jP = 9>i — ri2 tan9 VI

* =    ~ SW^ <! + 2 tan9* Vl)

e y#

y = ~ tang qp₁

(8)

(9)

p Y³ tangçpi

3 IVj³ cos² qpj

(10)

Bei der Umwandlung der zweiten Gruppe (5)—(7) bleibt auch wieder x und ausserdem y unverändert, und bei (6) verfährt man in üblicher Weise genähert, wodurch man rasch erhält:

x = B -1-

konform

2 Qi

sin cp cos cp

WA ³

- cos cp -+- cos tp cos 2 Cp

A³

y = A sin cp -+- sin cp cos² cp

(11)

(12)

(13)

Diese Formeln (8)—(10) und (11)—(13) stimmen in erster Näherung überein mit den Gauss sehen Formeln nach Wittstein und Schreiber; die letzteren genaueren Formeln haben noch höhere Glieder, welche wir erst in einem späteren Kapitel finden werden.

Es ist in dem Gange der Rechnung begründet, dass bei A und y alles in der Fusspunktsbreite cpi ausgedrückt ist und bei y und y alles in der Breite cp des Punktes selbst; aber wenn mit cp begonnen wird, kann man es auch zu A und y benützen, und andererseits, wenn x—B berechnet ist, hat man auch <plt und deshalb mögen zur Kontrolle auch noch folgende Formel-Gruppen erwünscht sein, zuerst zu der Gruppe (8)—(10):

cp = cpi

g Y²

konform

2 Nj*

Fi² tang <pj

(14)

X = _Q__

Ni cos cp

q Y³ cos 2 cp

6 W)³ cos³ cp

(15)

g Y³ sin cp 6 Ni³ cos³ cp

(16)

und andererseits zu der Gruppe (11)—(13):

A² N

x — B -+

2 Qi

sin cp cos qp

konform

<p\ — <P +

72 A2

(17)

Y=

NX

sin cp cos cp

N A³

cos <Pj -h cos³ Cf>i (1+2 tang² qpj) A .

— sin qpi

Q

A³

sin cp₁ cos² cpi

(18)

(19)

6 g²

Nach den vorstehenden Formeln (11) und (12) bezw. (17) und (18) haben wir für'die Übungsmessungen in der Gegend von Hannover und namentlich Hildesheim, Saïzdetfurt, ein Coordinatensystem angelegt, dessen as-Axe der 28<c Längengrad ist,

mit Zählung der x vom Äquator der Erde an, aber mit Abkürzung um rund 5000 000™. Die Längen A stehen daher zu den Längen L der Landesaufnahme in der Beziehung A = L — 28°.

Wir wollen die Rechnung für einen Punkt nach den Formeln (11) und (12) hier hersetzen :

Ägidius L = 27° 24' 24,6290" L₀ = 28°

cp = 52° 22' 14,9611" cpo = 52° 20'

A = — 0° 35' 35,8710" A= —

d cp = 4-d cp =

2' 14,9611"

134,9611"

Aus dem Anhang Seite [33] entnimmt man für <p = 52° 22'15" den Wert log [2] = log (q : N) = 8.508 8707, und für die Mittelhreite 52° 21'7" den Wert log [1] = 8.509 9585,

2135,3710"

aus Seite [38] für cp = 52° 22' . . logarithmisch auszurechnen d q> : [1] .    .

A² sin cp cos cp

2 Q [2]

. . B₀ = 5 799 836,593 4 171,095

165,598

X = 5 804 173,286

(20)

Weiter wird logarithmisch ausgerechnet nach der Formel (12): NX cos cp _ A cos cp

[2]

. — 403 94,557™

A cos cp A²

[2]    6 p²

cos 2 cp .    .

0,184™

konform Y — — 403 94,373™

(21)

Konforme Coordinaten Y und x in dem System mit L = 28° und cp = 0°.

Punkt

Geographische Coordinaten Rechtw. konf. Coordinaten

Höhe

s_

über N. N.

Ägidius . . . . Wasserturm .    .

| 27° 24' 24,6290" | 27 22 25,0168

52° 22' 14,9611" 52 21 49,9080

Wehrstedt, Kirchturm Sanberg, Pyramide Detfurth, Kirchturm . Wesseln, Pyramide Wesseln, Kirchturm . Gross-Düngen, Pyr. . Gross-Düngen, Kircht. Klein-Düngen, Pyr. . Heinde, Pyramide . . Heinde, Kirchturm Lechstedt, Kirchturm . Breinum, Pyramide Almstedt, Pyramide Weifenhöhe, Pyramide Hammberg, Pyramide. Eggenstedt, Kirchturm Bodenburg, Schlosst. .

j 27 40 45,8901 27 42 30,3539 27 41 16,75 27 43 56,5389 27 42 0,37 27 41 4,4376 27 41 15,03 27 42 44,6860 27 43 34,8287 27 42 24,25 27 41 39,3608 27 38 41,4808 27 37 43,3101 27 39 35,04 27 38 58,3354 27 39 42,7418 27 40 33,2205

52    2 40,3138

52    3 31,0969

52    4 29,21

52    4 37,5592

52    5 4,64

52    5    8,8156

52    5 46,53

52    5 22,8490

52    6 40,5926

52    6    2,78

52    6 54,7459

52    2 39,6577

52    3 47,2945

52    4    1,98

52    4 44,5595

52    6 11,6524

52    1 41,2544

I 5 000 000”»

—    40 394,37»» | +804173,29    125,37”» Kn.

—    42 663,69    + 803 418,07    111,96 E.

+ 767 753,55    143,98 Kn.

+ 769 314,59    317,19 Pf.

+ 771 116,35    123,40 Unt.

+ 771 362,23    293,27 Pf.

+ 772 207,79    111,50 Kn.

+ 772 341,35    195,01 Pf,

+ 773 505,02    121,84 Kn.

+ 772 767,11    142,35 Pf.

+ 775 166,06 ! 146,97 Pf.

+ 774 002,68 |

+ 775 612,21    163,04 Kn.

+ 767 744,30 ! 228,90 Pf.

+ 769 840,10 ; 359,15 Pf.

+ 770 283,52 ; 292,54 Ob. + 771602,73 I 306,33 Pf.

+ 774 290,28    117,22 Kn.

+ 765 929,45    186,91 Kn.

—    21 992,64

—    19 995,69

—    21 390,13

—    18 346,32

—    20 554,95

—    21619,28

—    21412,60

—    19 708,97 —18 745,39

—    20 093,05

—    20 940,62

—    24 363,44

—    25 461,30

—    23 330,93

—    24 023,68

—    23 165,55

—    22 242,21

Bei den Höhenangaben bedeutet Kn. = Knopfmitte, R. = Rand des Turmes, Pf. = Pfeileroberfläche (= Oberfläche des trigonometrischen Signalsteins), Unt. = Unterer Dachrand, Ob. = Oberer Rand = höchster Punkt.

Die Coordinatenrechnung ist nur auf Centimeter geführt, also mit + 0,01”*, was für den vorliegenden Zweck genügte.

Rechnet man zur Kontrolle von (21) auch noch nach den Formeln (17) und (18), so findet man (ft = 52° 22' 20,3192" und dann Y= — 403 93,196 —1,174 = — 403 94,370”, was mit dem früheren (21) hinreichend stimmt.

= 0,270”, was zu dem Vorigen gieht kongruent y = — 403 94,100”.

Also in Zusammenfassung, zugleich für Wasserturm:

konform Y

—    40394,37”

—    42663,69

Diese Y und x sind in der Tabelle S. 324 eingesetzt.

Auf beschränktem Gebiete kann man die x noch weiter kürzen, etwa durch konstantes Weglassen von 700 000”.

Dieses ist konformes Y, und wenn man kongruentes y haben will, so hat man J3

6 r²

noch zu rechnen

X— 5000 000 = x + 804173,29”

-+- 803418,07

kongruent y Ägidius — 40394,10” Wasserturm — 42663,42

§ 59. Die rechtwinkligen Coordinaten-Systeme des Deutschen Deiches.

Eine Übersicht der Deutschen rechtwinkligen Coordinaten-Systeme, welche zugleich ein gutes Stück Geschichte der Deutschen Vermessungen überhaupt vor Augen führt, haben wir in Fig. 1. S. 326 gebildet.

Im Folgenden haben wir die aus verschiedenen Quellen gesammelten geschichtlichen Angaben über die verschiedenen Landes- und Provinzial-Coordinaten-Systeme zusammengestellt, obgleich unsere Theorieen teilweise noch nicht soweit gediehen sind, um alles im Einzelnen zu verstehen. In einem späteren Kapitel wird weiter darüber zu handeln sein, inzwischen genügt die Kenntnis der rechtwinkligen kongruenten (Soldner sehen) Coordinaten (§ 46.) und der rechtwinkligen konformen Coordinaten (§ 50.) zum allgemeinen Verständnis, jedenfalls in geschichtlicher Beziehung.

Es ist hier auch nochmals an die geschichtlichen Abrisse zu erinnern, die wir schon im I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 479—551 gegeben haben. Auch sind die geschichtlichen Abschnitte in Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungswesen, 1881“, zuzuziehen.

Über die rechtwinkligen geodätischen Coordinaten im Allgemeinen ist vorauszuschicken, dass dieselben ohne Zweifel französischen Ursprungs sind, sie wurden schon 1734 von Cassini angewendet, zuerst wohl lediglich als zusammengesetzte rechtwinklige ebene Coordinaten und schrittweise auf kurze Entfernungen geradezu in der Form von ebenen Coordinaten behandelt, und Clairaut erkannte darin den unwillkürlich betretenen Weg zur geodätischen Linie (Helmert, höhere Geodäsie I, S. 240).

Soldner hat in der monatlichen Korrespondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde 11. Band 1805, S. 7—23 eine Abhandlung über die kürzeste Linie auf dem Sphäroide geschrieben, in welcher er auf S. 15—17 auch auf die rechtwinkligen Coordinaten kommt, und als „gewöhnliche Methode den Perpendikel und

Abstand zu finden“, die ebene Rechnung mit a sin a und a cos a anführt, so dass also anzunehmen ist, dass Soldners spätere Behandlung der Sache in Bayern sich hieraus entwickelt hat.

Fig. 1.

Die rechtwinkligen Coordinaten-Systeme des Deutschen Reichs.

24

26

28

3D (31°)    32

34

36

lr>-'

₊|x

P,

Ostenfe

<B|fc

-    . 1 ś'Cj\

c

2V

54

urasbera?^

2éiSK

ÜJRqfbkrûgS

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50

j II «Iy R/ssenffial iliDelm

1 Oacmsf-udf >Mannheim

fl

-.^Tübingen

Massstab i: 9400000

48

Sausliéim

.München

100

100

200

300 Km.

48

ijrv^.....-^"■''01

25

28

30    (31“)    32

34

36

38

Bayern.

Das Bayerische Coordinaten-System wurde im Jahr 1810 von Soldner angelegt, mit der Mitte des nördlichen Frauenturms in München als Coordinaten-Ursprung, und dem Meridian dieses Punktes als Abscissen-Axe. Weiteres hierüber giebt das amtliche Werk: „Die Bayerische Landesvermessung in ihrer wissenschaftlichen Grundlage, München 1873“, S. 253.

Dieses System gilt nur für das eigentliche rechtsrheinische Bayern; für die bayerische Pfalz gilt derselbe Nullpunkt Mannheim wie für Baden.

Die eine Bayerische Meridian-æ-Axe, welche durch den Münchener Frauenturm geht, war zur Zeit der Anlage dieses Systems, da es sich nur um Messtisch-Aufnahmen in 1 : 5000 handelte, genügend, und für die Übersichtlichkeit des ganzen nützlich.

Die grössten Ordinaten dieses Systems sind östlich bei Passau y = 56 000 Ruten = 163ftm und nordwestlich bei Aschaffenburg y = 64 000 Ruten = 187Ł'm, was

y2    i

eine Verzerrung - = 0,00048 oder 0,43m auf ltw giebt. Da diese Verzerrung in

der Kleinmessung Schwierigkeiten bereitet, hat man sich bis jetzt geholfen durch Einführung von Lokal-Systemen mit schiefen æ-Axen, d. h. mit solchen Axen, welche gegen den Meridian des Nullpunkts um die Meridian-Konvergenz verdreht sind.

Vergl. hierzu: „Technische Anleitung zu den trigonometrischen Netz- und Coordinaten-Eechnungen von Dr. J. H. Franke, München 1889“, S. 14 und S. 99. Ferner „Transformation rechtw.-sphär. Coordinaten, Astr. Nachr., 126. Band 1890“, S. 355, System I, und „Korrespondenz-Blatt des bayerischen Geometer-Vereins, Band IX, München Februar 1894“, Nr. 1., „Betrachtungen über das Coordinaten- und Blatt-System der bayerischen Landesvermessung von Dr. 3. H. Franke“, S. 1—21.

Da Bayern durch den Übergang von der Messtischzeichnung zu der trigonometrischen Rechnung jetzt Veranlassung hat, zwei neue Axen westlich und östlich von München anzulegen, so wäre das die beste, vielleicht in 100 Jahren nicht so schön wiederkehrende Gelegenheit, unbeschadet der alten Messtischeinteilung, die neuen Axen méridional und mit konformen Coordinaten anzulegen.

Württemberg.

Die Sternwarte von Tübingen als Ursprung eines rechtwinkligen Coordinaten-Systems, und der Meridian von Tübingen, als ai-Axe, wurde von Bohnenberger schon im vorigen Jahrhundert für seine Karte von Schwaben angenommen, das dabei orientierende Azimut Tübingen-Kornbühl wurde schon 1792 gemessen, und auch bis heute beibehalten, obgleich die Messung von 1819 eine Änderung um 15" ergab, so dass also das heutige Württembergische System um 15" gegen den Meridian von Tübingen verdreht ist.

Am Anfang dieses Jahrhunderts rechnete Bohnenberger in Württemberg rechtwinklige geodätische Coordinaten schrittweise wie eben, was bei der damaligen Genauigkeit der Messungen auf Minuten genügte. Bohnenberger hat aber auch alsbald die wichtigste Aufgabe, welche sich hieran anschliesst, meisterhaft gelöst, nämlich die Umformung zwischen rechtwinkligen und geographischen Coordinaten und umgekehrt.

In dieser Sache scheint uns Bohnenbergers Verdienst höher zu stehen als Soldners; die wenigen sin- und cos-Entwicklungen Soldners waren viel leichter als die Formeln zwischen x, y und qp, X, welche Bohnenberger im Jahre 1802 veröffentlicht und schon vor 100 Jahren angewendet hat, mindestens ebenso gut und teilweise besser als heute 1896 geschieht; und das System im Ganzen, mit rechtwinkligen und geographischen Coordinaten hat Bohnenberger schon vor Soldner gehabt, er berichtet 1826 in seiner Schrift De computandis dimensionibus etc. § 16. über seine Formeln für rechtwinklige Coordinaten: „conveniunt cum iis, quibus usus est cel. Soldner in computandis dimensionibus bavaricis“.

Alles, was wir hierüber Geschichtliches finden konnten, haben wir gesammelt und veröffentlicht in Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungswesen, 1882“, I. S. 244 bis 259.

Baden.

Die topographische Vermessung des Grossherzogtums Baden wurde schon frühe auf ein rechtwinkliges Coordinaten-System bezogen, mit der Sternwarte in

Mannheim als Nullpunkt und mit dem Meridian von Mannheim als x-Axe. Das zur Orientierung dienende Azimut Mannheim-Speyer (vgl. § 47. S. 264) ist schon im Jahre 1820 von Nicolai gemessen worden. Die Coordinaten waren früher als eben berechnet; das heutige sphärische rechtwinklige System der badischen Katastervermessung stammt etwa aus der Zeit von 1840; dasselbe wurde von dem Obergeometer Rheiner eingeführt.

Hessen-Darmstadt.

In dem „Gesetz, die Vollendung des Immobiliar-Katasters betreffend“ und Instruktion vom 30. Juni 1824, wird in Art. 3. bestimmt: „Sphäroidische Coordinaten, der Meridian von Darmstadt soll hiebei als Hauptaxe angenommen werden“. Über einige Eigentümlichkeiten der Hessischen rechtwinkligen Coordinaten haben wir in Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungswesen“, S. 289, berichtet.

Hannover.

Für die Hannover sehe Landesvermessung hat Gauss schon frühzeitig ein rechtwinkliges sphäroidisches konformes Coordinaten-System mit dem Ursprung Göttingen und dem Meridian von Göttingen als x-Axe angeordnet, dessen Theorie wir in erster Näherung in § 50. u. § 58. behandelt haben. Die vollständige Theorie dieses klassischen Coordinatensystems können wir erst in einem späteren Kapitel bringen.

Zur Geschichte dieser Coordinaten entlehnen wir aus dem Berichte von Gäde in der „Zeitschr. f. Verm. 1885“, S. 113, 145, 161, 177, 193, 225 Folgendes:

Im Anschluss an die dänische Gradmessung, welche 1816 von Schumacher begonnen wurde, führte Gauss die geodätischen Messungen des Gradbogens zwischen Göttingen und Altona in den Jahren 1821—1823 aus (Netzbild hiezu giebt unser I. Band, 4. Aufl. 1895, S. 493).

Eine weitere Ausdehnung gegen Westen zum Zweck eines neuen Anschlusses, der ursprünglich nicht projektiert war, erfuhren die Gauss sehen Dreiecke 1824 und 1825. Dabei wurden ausser dem wissenschaftlichen Interesse der Gradmessung sehr frühe auch die Zwecke der Landesvermessung ins Auge gefasst. .Es ist jetzt allgemein anerkannt, dass eine genaue Landesvermessung ohne eine gehörige Triangulierung unmöglich ist“ (Gauss 1824). Im Jahre 1823 hat Gauss eigens auf dem Ägidiusturm in Hannover, der nicht zu den Gradmessungspunkten gehörte, Winkelmessungen zu topographischen Aufnahmen angestellt. Aus solchen Nebenmessungen erzielte Gauss 1821—1825 über 400 gut bestimmte Punkte, im ganzen wurden es 2600. Diese Punkte wurden nach Coordinaten berechnet und auf die Messtische aufgetragen. „Die Angabe der Lage von einem beliebigen Anfangspunkt (der Göttinger Sternwarte) bis auf icenige Fuss genau, muss als die Hauptausbeute betrachtet werden.“

Am 25. März 1828 wurde die Ausdehnung der Triangulierung über das ganze Königreich befohlen, sie fand ihren Abschluss 1844. (Das Netzbild der Hauptdreiecke mit 89 Punkten im Massstab 1:1 900 000 ist enthalten in „Papens Geogr. Karte des Königreichs Hannover und Herzogtums - -Braunschweig“.)

Im Jahre 1830 schrieb Gauss: „Späterhin könnte es geraten sein, das Verzeichnis von 2600 Punkten durch den Druck zu veröffentlichen, für den Augenblick noch nicht, erstlich weil eine wissenschaftliche Entwicklung der Zahlen nur in Verbindung mit der Entwicklung der mir eigentümlichen mathematischen Theorieen gegeben werden kann, welche ich in etwa 3—4 Abhandlungen zu liefern beabsichtige.“ (Davon sind nur die „Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie“ 1845 und 1846 erschienen.) Der Abschluss der rechnerischen Bearbeitung der Landesvermessung hat sich bis 1848 verzögert. Im Jahre 1859, 4 Jahre nach Gauss’ Tode, wünschte das Ministerium die Herausgabe durch den Druck, den aber der Generalstab ablehnte, „weil die Coordinaten nicht nur einen ausserordentlich relativen Wert haben und viele derselben unzuverlässig und gar falsch sind; von solchen müsste das Verzeichnis zuvor gesäubert werden“.

Die Theorie dieser Coordinaten ist der Wissenschaft gerettet worden in dem Werke : „Theorie der Projektionsmethode der Hannover sehen Landesvermessung von Oskar Schreiber, Hauptmann im Königl. Hannov. 1. Jäger-Bataillon Hannover, Hahn sehe Hofbuchhandlung 1866“.

Die Vorrede dieses Werkes von Wittstein (Mai 1866) sagt: Selbst in Hannover, wo auf Grundlage der Gauss sehen Projektion fortwährend topographische Aufnahmen stattgefunden haben, war die Kenntnis der Fundamente dieser Projektion so gut wie verloren gegangen, und man arbeitete nur unter dem Einflüsse einer Art von Tradition nach überlieferten Schablonen. Es kam darauf an, die vorhandenen Andeutungen und Bruchstücke aufzusuehen, mit Sorgfalt an dieselben anzuknüpfen, und so den Versuch zu wagen, die analytischen Entwicklungen, welche Gauss schon besessen haben muss, vollständig wieder ins Leben zu rufen.

Bald darauf erschien auch : „Allgemeines Coordinaten-Verzeichnis als Ergebnis der Hannoverschen Landesvermessung aus den Jahren 1821—1844, abgedruckt zum Zwecke der Benützung bei den Vermessungsarbeiten zur Vorbereitung der anderweitigen Regelung der Grundsteuer, Hannover 1868“, Druck von Wilh. Riemschneider, mit einer Einleitung von Wittstein, enthaltend die wichtigsten Coordinaten-Formeln mit Gliedern von der Ordnung 1 : r² einschliesslich.

Inzwischen war Hannover preussisch geworden, und man dachte daran, die Gauss sehen Coordinaten auch zur Katastervermessung zu benützen, welche bisher gemarkungsweise mit Kette und Bussole u. dergl. gemacht worden war.

Dabei verfiel man aber auf den Gedanken, die Coordinaten nach der politischen Kreis-Einteilung des Landes in 31 Partialsysteme zu zerstückeln. Wittstein hatte für die 31 neuen Nullpunkte die Meridian-Konvergenzen und Vergrösserungs-Coeffi-cienten m zu berechnen, und darnach wurden die Partialsysteme umgerechnet. Die Stadt Hannover bekam den neuen Nullpunkt Osterwald, dessen Reduktionsformeln in unserem II. Bande, 3. Aufl. 1888, S. 196—197 mitgeteilt sind:

Katastersekretär Clotten in Hannover (gestorben etwa 1887), welcher über die Vermessungen im ehemaligen Königreich Hannover mehreres geschrieben hat (Zeitschr. f. Verra. 1881, S. 22, 292, 376, 425, 445 und 1882 S. 22, 256) hat uns früher manches über die Übergangszeit nach 1866 mitgeteilt. Da man in der kon-

y²

formen Projektion in jedem Punkte einen Vergrösserungsfaktor m —1 -t-

2r²

berechnen

kann, scheint man geglaubt zu haben, dass man bezirksweise solche Reduktions-

Coëfficienten rechnen und benützen müsse, und dieser Irrtum kann der Grund für

jene Zerlegung des Gauss sehen Systems in 31 Partialsysteme gewesen sein, indem

hinreichend

2r²

! .

man dann mit der Zerlegung soweit ging, bis man glaubte, jene 1 genau = 1 setzen zu können.

Die 31 konformen Partialsysteme wurden 1879 wieder abgeschafft, und durch neue Systeme nach süddeutscher (Soldner scher) Art ersetzt, mit den Nullpunkten 27. Celle, 28. Kaltenborn, 29. Silberberg, 30. Windberg u. s. w.

Als Hannoveraner hätten wir gewünscht, die alte klassische Göttinger Axe (schon aus Pietät gegen Gauss) zu erhalten und dadurch in der Übergangszeit 1880 bis 1890 viele Umrechnungsmühe zu ersparen, und später eine durchgreifende Kritik der alten Coordinaten zu ermöglichen. Östlich von dem Göttinger Meridian sind Ordinaten von nur etwa 70fcm Länge, mit Ausnahme des Kreises Dannenberg in der nordöstlichen Ecke, der aber von dem 9fcm nach Osten verschobenen System 27. Celle auch ausgeschieden und dem System 23. Magdeburg zugeteilt ist. (Vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1896“, S. 197—199.)

Kurhessen.

Die Triangulierung von Gerling hatte ursprünglich kein rechtwinkliges Coor-dinaten-System, dagegen wurden die Längen und Breiten aller 48 Hauptpunkte im Anschluss an Göttingen berechnet (Gerling, „Beiträge zur Geographie Kurhessens, Cassel 1839“, S. 200—204). An diese geographischen Coordinaten wurden dann von

den Kataster-Behörden rechtwinklige Partial-Systeme an geschlossen, mit dem Kirchturm der jeweiligen Gemarkung als Ursprung und dem Meridian des jeweiligen Kirchturms als x-Axe. Wo der Anschluss an die Haupt-Triangulierung fehlte, mass man eine kleine Basis mit Messlatten und ein Azimut durch korrespondierende Sonnenhöhen, für jede Gemarkung besonders.

Als um das Jahr 1853 die General-Katastervermessungen in den Provinzen Hanau und Fulda ausgeführt und auf das übrige Hessen ausgedehnt werden sollten, wurden die geographischen Coordinaten der für Kataster-Vermessungen brauchbaren trigonometrischen Punkte in rechtwinklige sphärische Coordinaten für den Indifferenzpunkt Cassel, Martinsturm, umgerechnet (mit Erddimensionen nach Walbeck, vgl. S. 334).

(Vorstehendes ist zusammengestellt aus gütiger Mitteilung von Herrn Landesvermessungsrat Kaupert, sowie Gehrmann, in Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungswesen II.“, S. 105.)

Thüringen-Gotha.

In einer Schrift „Über die Ergänzung der topographischen Aufnahme und Kartierung von Deutschland in Bezug auf Thüringen, von C. Frhrn. von Gross, Kammerherrn etc., Weimar 1848“ ist auf S. 33—72 eine von dem Astronomen und Geodäten Hansen in Gotha verfasste „Instruktion für die Ausführung der Triangulation“ veröffentlicht, welche in mancher Beziehung interessant ist, und in Hinsicht auf Coordinaten eine Meridian-æ-Axe annimmt, von welcher die geographischen Längen nach Osten -i- 10', -+- 20' u. s. w., nach Westen —10', — 20' u. s. w. gezählt werden. Auf diesem Meridian ist die Polhöhe 50° 36' als Nullpunkt für die Abscissen x bestimmt. Die rechtwinkligen Coordinaten werden zuerst genähert als eben berechnet,

(s-⁵³ e' = 2^)

hin-

S3

2r²

g, T], S. 51, worauf noch Korrektionen von der Ordnung

zukommen, wodurch Coordinaten x, y erhalten werden, „auf der krummen Oberfläche der Erde, jedoch in einem etwas anderen Sinne, wie man diese Coordinaten früher aufgefasst hat“ (S. 53). Die Theorie dieser Coordinaten wird nicht mitgeteilt, die angegebenen Formeln (S. 53) sind in Bezug auf x und y symmetrisch (was bei den Soldner sehen und Gauss sehen Formeln nicht der Fall ist) und können durch Zu-

fügung weiterer einfacher Glieder ebenfalls von der Ordnung —— (S. 72) in die rechtwinkligen ebenen Coordinaten der stereographischen Projektion übergeführt werden.

Nach neuesten Mitteilungen über die Thüringischen Vermessungen ist diese Hansen sehe Instruktion von 1848 mit ihren eigenartigen Coordinaten x y nur Entwurf geblieben.

Nassau.

Das Herzogtum Nassau hat etwa um 1855 ein rechtwinkliges System mit dem Ursprung Schaumburg nach Soldners Theorie angenommen. (Weiteres s. „Zeitśchr. f. Verm. 1882“, S. 315-316 und I. Band, 4. Aull. 1895, S. 535.)

Preussen, Landesaufnahme.

In Preussen sind sehr lange die Punkte nur nach geographischen Coordinaten berechnet worden.

Bessel hat sich mit der Frage der Coordinaten gelegentlich beschäftigt, aber in „astr. Nachr., 1. Band Nr. 3 vom Dezember 1821“ nur die ebenen Coordinaten

„das Resultat der Formeln x — s sin a -f- ... und y = s cos a ...“ in Betracht gezogen, wie in der „Bayerischen Landesvermessung“ S. 253 bemerkt wird.

Eine lithographierte „Instruktion für die topographischen Arbeiten des Königl. Preussischen Generalstabes“ von dem Chef des Generalstabes der Armee von Müffling, Berlin den 15. Januar 1821, giebt für Berechnung geographischer Coordinaten die nötigen Gebrauchsformeln, welche entsprechend sind einer Abhandlung von Soldner „Über die kürzeste Linie auf dem Sphäroide“ in der monatlichen Korrespondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde 1805, S. 7—23.

Die Einführung rechtwinkliger Coordinaten in die Preussischen Generalstabsmessungen geschah erst nach 1870 durch General Schreiber, welcher die Sache auch in die Öffentlichkeit gebracht hat durch eine autographierte Schrift „Rechnungsvor-schriften für die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme vom 8. September 1877“, welche er zur Verfügung stellte für das Werk Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungswesen, I. Band 1882“, S. 151—164. Dort findet sich auch auf S. 103 bis 121 eine nach Schreiberschen Angaben von uns bearbeitete Darstellung der Rechnungsvorschriften für geographische Coordinaten, deren Gebrauchsformeln und Tabellen schon in unserem Citate auf § 39. S. 228 erwähnt sind. Was die von Schreiber eingeführten rechtwinkligen Coordinaten betrifft, so beruhen sie auf einer konformen Doppelprojektion, nämlich zuerst konforme Projektion des Ellipsoids auf die Kugel nach Gauss’ Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie“, erste Abhandlung 1843, und dann konforme Projektion der Kugel auf die Ebene, deren erste Näherungen wir bereits in § 50.—52. behandelt haben. Alles weitere hierüber auf ein späteres Kapitel versparend, müssen wir hier nur noch zur allgemeinen Orientierung folgendes bemerken:

Die geographischen Längen und Breiten, welche die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme veröffentlicht, stützen sich alle auf einen Fundamentalpunkt, die Sternwarte Berlin, bzw. deren Übertragung auf den benachbarten Triangulierungspunkt Rauenberg, woselbst auch ein die ganze Landesaufnahme orientierendes Azimut Marienturm bestimmt wurde. Die hiefür noch heute benützten Annahmen wurden im Jahre 1859 gemacht, und insbesondere dabei die geographische Länge der Sternwarte = 31° 3'41,25" östlich von Ferro (d. h. 11° 3'41,25" östlich von Paris) angenommen. Nach neueren telegraphischen Bestimmungen ist diese Länge erheblich anders, nämlich 31° 3'28,30", oder um 12,95" kleiner als die Annahme von 1859.

Diesen Betrag 12,95" müsste man an allen Längenangaben der Landesaufnahme abziehen, wenn man dieselben mit neueren astronomischen Bestimmungen in Übereinstimmung bringen wollte. Indessen kämen dann noch viele andere Reduktionen für Lotabweichungen u. s. w. hinzu, und für die Feld- und Landmessung, wo es sich immer nur um Differenzen geographischer Längen handelt, kommt eine konstante Verschiebung überhaupt nicht in Betracht.

Die astronomischen Bestimmungen auf dem Fundamentalpunkt Rauenberg bei Berlin, insbesondere das für die Landesaufnahme massgebende Orientierungs-Azimut daselbst, sind in neuerer Zeit wiederholt worden, und es hat das Azimut gegen früher die Differenz 3,88" ergeben. („Veröffentlichung des K. Preuss. geodätischen Instituts, astronomisch-geodätische Arbeiten I. Ordnung“, Berlin 1889, S. 186.)

Hiezu ist auch noch anzuführen: von Schmidt, „Projektionsmethode der trigonometrischen Abteilung der preussischen Landesaufnahme“, Zeitschr. f. Verm. 1894 S. 385—401 und 409—418, mit Fundamentalzahlen S. 386—387. Das konforme

System der Landesaufnahme hat als æ-Axe den Meridian von 31° Länge (Berlin). Als Nullpunkt dient der Puukt mit der Breite 52° 42' 2,53251", entsprechend der Breite 52° 40' auf der Gauss sehen konformen Kugel, der mittlere Krümmungs-Halbmesser A dieser Breite ist gegeben durch log A = 6.805 0274-003. Die Ordinaten gehen westlich bis y = 540im bei Metz und östlich bis y = 622im bei Lyck. Die Yerzerrungsverhältnisse sind daher sehr bedeutend; wie aus der Hilfstafel Seite [46] des Anhangs zu sehen, geht logm bis 0.002 oder m selbst bis 1,0046 oder 4,6mm auf lm, so dass schon die Excentricitäten bei excentrischen Theodolit-Aufstellungen und ähnliche örtliche Masse dem Verhältnis m entsprechend reduziert werden müssen. Aus diesem Grunde, d. h. seiner Grösse wegen, ist dieses System zur unmittelbaren praktischen Anwendung nicht geeignet, es findet seinen Hauptzweck in dem Zusammenhalt der Triangulierungen I.—II. Ordnung.

Innerhalb eines schmalen Streifens von etwa 100tm links und rechts vom Berliner Meridian könnten aber die konformen Coordinaten der Landesaufnahme unmittelbar praktisch benützt werden.

Preussen, Katastervermessung.

Auch in der Preussischen Katastervermessung haben die rechtwinkligen Coordinaten-Systeme grösserer Ausdehnung verhältnismässig spät Eingang gefunden.

In der Broschüre von General Baeyer „Mein Entwurf zur Anfertigung einer guten Karte u. s. w., Berlin 1868“, -welche für die geschichtliche Entwicklung des Preussischen Vermessungswesens die beste Quelle ist, werden die rechtwinkligen Coordinaten-Systeme, welche damals schon seit einem halben Jahrhundert sich in Süddeutschland bewährt hatten, nicht erwähnt. (Auch eine Notiz in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 529 mag hier zugezogen werden.)

Die „Anweisung vom 7. Mai 1868 für das Verfahren bei den Vermessungs-Arbeiten in den Provinzen Schleswig-Holstein, Hannover und Hessen-Nassau, zweite Ausgabe, Berlin 1870“, sagt in § 40. S. 35: „Zum Zwecke des weiteren Gebrauches der trigonometrischen Messungen ist die Lage der Dreieckspunkte gegeneinander nach rechtwinkligen Coordinaten zu berechnen, welche auf die wirkliche Mittagslinie eines nach der Bestimmung des Katasterinspektors hiezu zu wählenden geeigneten Punktes zu beziehen sind.“

Über die rechtwinkligen Coordinaten-Systeme in den Preussischen Rheinlanden haben wir folgende Mitteilung von P. G. Gauss in Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungswesen 1881“, S. 165:

Durch die Instruktion vom 12. März 1822 wurde allgemein eingeführt, dass die Detailnetze durch Netze höherer Ordnung miteinander verbunden, sowie dass die Dreiecksseiten derselben aus Seiten I. Ordnung abgeleitet und nach diesen orientiert wurden.

Für sämtliche Punkte sollten rechtwinklige Coordinaten berechnet werden, welche sich für die Punkte I. Ordnung auf den Kölner Dom und dessen Meridian, für die Punkte II. bis IV. Ordnung auf einen passenden, in dem betreffenden Distrikt liegenden Punkt I. Ordnung und dessen Meridian beziehen sollten. Hiervon ist abgewichen worden, indem für die Punkte II. bis IV. Ordnung nicht der Meridian des als Ausgangspunkt für die Coordinaten benützten Punktes I. Ordnung, sondern die durch diesen gelegte Parallele zum Meridian von Köln als Abscissenaxe angenommen und die ohne Berücksichtigung der Erdkrümmung berechneten Coordinaten durch Addition derselben zu denen des Ausgangspunktes sämtlich nominell auf den Kölner Dom bezogen wurden. Thatsächlich bestand demnach aber auch ferner eine grössere Zahl von Co ordinaten-Systemen. Der Umfang derselben richtete sich nach der Einteilung der Arbeitsbezirke und war sehr verschieden von einzelnen Gemeindebezirken bis zu einigen Kreisen. Für die Punkte, welche in mehreren

Systemen vorkamen, wurden in jedem System andere Abstände vom Meridian und Perpendikel des Kölner Doms berechnet, da die Berechnung der Coordinaten, als in der Ebene liegend, die gegenseitige Übereinstimmung der Bezifferung nicht ermöglichte.

In den östlichen Provinzen Brandenburg, Pommern, Sachsen, Schlesien, Posen, Preussen sind vor 1876 keine umfangreichen genauen Parzellaraufnahmen ausgeführt worden, allgemeine Coordinaten-Systeme waren nicht vorhanden.

In dem Werke F. G. Gauss, „die trig. und polygon. Rechnungen der Feldmesskunst 1876“, S. 297—301 werden die Soldner sehen Coordinaten nach süddeutschen Quellenschriften erwähnt und ein Zahlen beispiel mit dem Nullpunkt Berlin Marienkirchturm gegeben.

Denselben Nullpunkt Marienkirche hatte auch die Stadtvermessung von Berlin vorläufig; die Coordinaten wurden aber transformiert auf den Nullpunkt Rathausturm, welcher für die Stadtvermessung beibehalten wurde. (Zeitschr. f. Verni. 1881, S. 14.)

Die „Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881, für die trigonometrischen und polygonometrischen Arbeiten bei Erneuerung der Karten und Bücher des Grundsteuerkatasters, Berlin 1881“, giebt in dem Anhang S. 337—351 die „Bestimmungen vom 29. Dezember 1879 über den Anschluss der Spezial-Vermessungen an die trigonometrische Landes-Vermessung“. Dadurch werden 40 Coordinaten-Nullpunkte festgestellt, die wir in unserer Übersichtskarte S. 326 aufgezeichnet haben.

Oldenburg.

Als Nullpunkt des rechtwinkligen Coordinaten-Systems dient der Schlossturm zu Oldenburg, der durch diesen Punkt gelegte Meridian dient als Abscissenaxe mit -t-æ nach Süden, —x nach Norden, und entsprechend wird -\-y nach Westen und — y nach Osten gezählt.

Über die durch Güte der Herren Vermessungs-Inspektor Treiss und Vermessungs-Direktor Scheffler in Oldenburg erhaltenen geodätischen Schriften von 1836 und von 1838 haben wir bereits in Band I, 4. Aufl. 1895, S. 537—539 berichtet, und um nicht wiederholen zu müssen, verweisen wir auf jene erste Mitteilung, welche aber in Hinsicht auf die Art der rechtwinkligen Coordinaten noch nicht zu einem Schlussergebnis gelangen konnte.

Inzwischen haben wir auch noch die geographischen Coordinaten zugezogen mit Rücksicht auf die dabei benützten Erddimensionen. Es ist nämlich in dem Werke „Ergebnisse der 1835—1837 ausgeführten Triangulierung des Herzogtums Oldenburg, abgeleitet aus der Hannoverschen Gradmessung“ auf S. 1 angegeben: „Bei allen Rechnungen ist unterstellt worden, dass unsere Erde ein Ellipsoid, das Abplattungsverhältnis = 1: 302,78, der mittlere Erdmeridiangrad = 57009,76 Toisen sei“.

Dieses sind die bekannten Walbeck sehen Erddimensionen, welche wir schon in der Einleitung § 1. S. 8—9 erwähnt haben, und es kam nun die Aufgabe, dieselben zur Coordinatenrechnung herzurichten. Dazu haben wir zuerst berechnet:

Meridianquadrant Q = 10 000268,30™ , log Q = 7.0000117, dann nach § 35. S. 215, Gleichung (24 b) und Tabelle unten :

Dazu auch

mit a = 1 : 302,78 , log a — 6.804 6093. log b = 6.803 1726 , log c = 6.806 0460 e2 = 2 « — «2 , loge2 = 7.819 1850 , log e'2 = 7.822 0585

= 9.997 1265

l°g (1 _ e2) = log

Dann eine Tabelle der log [1] und log [2] nach S. 230 :

Hilfstafel für Walbecks Erddimensionen.

<P

l°9    = log [1J

l°g = i°g [2J

52° 30' 52° 40' 52° 50' 53° 0' 53° 10' 53° 20' 53° 30' 53° 40'

8.509 9797 509 9676 509 9556 509 9435 509 9314 509 9194 509 9074 500 8953

121

120

121

121

120

120

121

8.508 9126 ;

Damit berechneten wir ein Dreieck Crapendorf-Windberg-Quekenberg, dessen Lage auf unserem Netzbilde von § 21. S. 129 insofern angegeben ist, als die Punkte Windberg und Quekenberg dort im westlichen Teile geradezu Vorkommen, und Crapen-dorf ungefähr in der Gegend von Cloppenburg angenommen werden kann.

Aus den geographischen Coordinaten dieser drei Punkte, welche bereits in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 538 angegeben sind, haben wir die Berechnung nach den sphäroidischen Mittelbreitenformeln unseres späteren § 77. (aber mit den [1] und [2] nach Walbeck s Erddimensionen) gemacht und folgende Entfernungen und Azimute gefunden :

1. Crapendorf Quekenberg Windberg

log S

4.587 4672

4.535 6446

Azimut

209° 17' 7,07" 277    1 53,18

Winkel

67° 44' 46,11"

2. Windberg Crapendorf Quekenberg

4.535 6446 4.611 1920

96° 37' 40,47" 117 49 42,35

61° 12' 1,88"

3. Quekenberg Crapendorf Windberg

4.587 4672 4.611 1930

29° 3'48,39" 338    0 33,23

51° 3'15,16"

180° 0' 3,15"

Die Winkelsumme 180° 0'3,15" stimmt auch, wenigstens innerhalb 0,1" mit dem sphärischen Excess, und die log S stimmen mit den Sinus der Winkel wenigstens bis zur 6ten Stelle genau, die Rechnung mag also innerhalb der hier nötigen Genauigkeit als stimmend gelten. Nun haben wir aus den rechtwinkligen Coordinaten, die ebenfalls schon in Band I, 4. Aufl. 1895, S. 538 mitgeteilt sind, die Entfernungen zweifach berechnet, erstens unter der Annahme, dass die rechtwinkligen Coordinaten kongruent nach Soldner und zweitens dass dieselben konform nach Gauss seien; Folgendes ist die Vergleichung:

Dreiecksseite

log S0 Oldenburg

log Si

aus cp und À

log s eben

log S' Soldner

logS"

konform

1.    Windberg-Quekenberg

2.    Crapendorf-Quekenberg

3.    Windberg-Crapendorf

4.6111937 4.587 4703 4.535 6451

4.611 1930 4.587 4672 4.535 6446 = log S'

4.611 2004 4.587 4690 4.535 6443

4.611 1933 4.587 4668 4.535 6442 = log Sl

4.6111922 4.587 4662 4.535 6401

Die Oldenburgischen log S₀ sind entnommen aus dem Generalbericht für die mitteleuropäische Gradmessung für 1865, Seite 26, Dreieck Nr. VIII, mit dem Verwandlungslogarithmus 0.575 9082 zum Übergang von Preussischen Ruten in Meter. Dort sind auch die Dreieckswinkel angegeben, bis zu 1" abweichend von unseren aus cp, A rückwärts berechneten Winkeln.

Bleiben wir nun bei den vorstehenden Seitenvergleichungen stehen, so stimmen am besten log S₁ und log S' unter sich, und — soweit aus diesen wenigen Vergleichungen Schlüsse gezogen werden dürfen — müsste man nun annehmen, dass die Oldenburgischen Coordinaten bereits in den Jahren 1835 und 1836 dieselben waren, wie die gleichzeitigen Bayerischen und Württembergischen Coordinaten von Soldner und Bohnenberger.

Mecklenburg.

Mecklenburg ist zur Zeit der einzige Staat in Deutschland, der die Vorteile der Konformität bis zu den Katasterkarten sich nutzbar gemacht hat. Dort ist das konforme Prinzip praktisch geodätisch in I.—III. Ordnung der Triangulierung erhalten geblieben durch den mecklenburgischen Geodäten Paschen, welcher als unmittelbarer Schüler von Gauss auf der Universität Göttingen in die feinen geodätischen Ideen des Meisters eingeweiht wurde und in sein Heimatland Mecklenburg zurückgekehrt, das Gelernte zur Anwendung gebracht hat, in einer von der hannover sehen abweichenden, der geographischen Erstreckung von West nach Ost angepassten Form.

Es ist die konforme Kegelprojektion mit Berührung nach dem Mittelparallel des Landes in der Breite P— 53° 45', und entsprechend ist das Coordinatensystem so angelegt, dass die as-Axe in dem Meridian des Schlossturmes von Schwerin liegt und die y-Axe rechtwinklig dazu in der Breite 53° 45'. Allerdings wurde dazu noch eine Verschiebung der x um den konstanten Betrag 13919,812m vorgenommen, um den Nullpunkt in den Schweriner Schlossturm selbst zu verlegen, aber das hat nur formelle Bedeutung; denn in allen Fällen theoretischer Rechnung mit den Mecklenburgischen Coordinaten muss man die ursprünglichen von der Breite 53° 45' aus gerechneten Abscissen x benützen. Die Linear-Verzerrung ist in erster Näherung übereinstimmend mit derjenigen des Gauss sehen konformen Systems, nämlich in Mecklen-

x²

bürg m = 1 -f- 2^2 entsprechend dem Gauss sehen 1 -i- weil die x an Stelle der y

treten, und ebenso gehen auch die übrigen Formeln von § 50. in erster Näherung in die Mecklenburgischen Formeln über, wenn man überall x und y vertauscht.

rß2

hat aber Mecklenburg durch einen

In Hinsicht auf die Verzerrung m = 1-1-

2r²

kleinen Kunstgriff den Maximalwert auf die Hälfte reduziert, indem ein Zwischenwert

eingeschaltet wurde gleich der Hälfte des Maximalwertes, und da bei der Ausdehnung von 0°45' in der Breite oder 82,54m von dem Normalparallel nach Süden und nach Norden der Maximalwert log m = 0.0000371 beträgt, was 85,4mm auf \km entspricht, so ist die lineare Maximalverzerrung durch jene Verschiebung in ganz Mecklenburg auf den Maximalwert von rund 4cm auf \km beschränkt worden.

Die Theorie der Mecklenburgischen Projektion können wir erst in einem späteren Kapitel dieses Bandes behandeln; das amtliche Werk hierüber ist:

V. Teil.

Die konforme Kegel-

Grossherzoglicli Mecklenburgische Landes-Vermessung.

Projektion und ihre Anwendung auf das trigonometrische Netz I. Ordnung. Herausgegeben im Aufträge der Grossherzoglichen Ministerien des Innern und der Finanzen, Abteilung für Domänen und Forsten, von Dr. W. Jordan, Professor an der technischen Hochschule in Hannover, Karl Mauck, Kammeringenieur in Schwerin, B. Vogeler, Kammeringenieur in Schwerin. Mit einer lithographischen Netzkarte. Schwerin 1895. Zu beziehen durch die Stiller sehe Hofbuchhandlung (J. Kitter).

Vgl. hiezu auch „Zeitschr. f. Verm. 1896“, S. 257—263.

Sachsen.

Im Bereiche des Königreichs Sachsen sind auf unserer Übersichtskarte zwei Punkte, Grossenhain und Leipzig eingetragen, und zwar nach einer Mitteilung von Nagel vom 5. Mai 1889, wornach als eigentlicher Nullpunkt für Sachsen der Pfeiler für den Basis-Zwischenpunkt ist, welcher den Namen Grossenhain führt. Der Pfeiler B. Leipzig auf der Pleissenburg in Leipzig gilt nur als Coordinatenanfang für die Leipziger Stadt-Vermessung.

Dabei hat man in Sachsen (nach Mitteilung von Fuhrmann in der „Zeitschr. f. Verm. 1894“, S. 266—270) noch eine Art Lokal-Systeme angenommen, in welchen bezirksweise wie eben gerechnet werden kann, aber mit dem Opfer des Zusammenschlusses im Ganzen.

Elsass-Lothringen.

Für die Kataster-Vermessung von Elsass-Lothringen wurden zwei Coordmaten-Nullpunkte angenommen, Delme und Sausheim, worüber eine erste Mitteilung von Vermessungs-Kontroleur Rodenbusch gemacht wurde in der „Zeitschr. f. Verm. 1888“, S. 545—552. Die amtlichen Angaben hiezu sind enthalten in dem Werke: „Anweisung vom 30. Januar 1889 für das Verfahren bei der Stück-Vermessung von Gemarkungen zum Zwecke der Errichtung von Kataster-Urkunden, Strassburg 1889“, S. 9.

S chlus sb e tr achtung.

Die Übersichtskarte der deutschen Coordinaten-Systeme und der Rückblick auf ihre allmähliche Entstehung zeigen beide ein treues Abbild der ungleichen politischen Entwicklung der einzelnen Staaten unseres Vaterlandes.

In geodätischer Beziehung haben wir diese Ungleichheit in der Vergangenheit nicht zu beklagen. Aus der 100 jährigen Arbeit der Bohnenberger, Soldner, Rheiner, Schleiermacher, Gauss, Paschen, Schreiber, und wie sie alle heissen, ist eine solche Fülle von Erfahrungen verfügbar geworden, dass wir heute, um das richtige zu treffen, fast keine eigene Arbeit mehr aufzuwenden, sondern nur noch richtig auszuwählen brauchen.

Die Coordinaten-Systeme unserer Landesvermessungen sind von grundlegender Bedeutung für die Vermessungen selbst, für die mathematische Festlegung und für

die zeichnerische Darstellung der Vermessungs-Ergebnisse, und aus diesem Grunde ist der Wert und die Dauer einer Landesvermessung zum grössten Teil durch die mehr oder weniger gute Wahl eines Coordinaten-Systems bedingt.

Eine für die ganze Erde zu Land und zu Wasser gütige Art der Punktbestimmung durch geographische Coordinaten (geogr. Breiten und Längen) ist auch bei den Landesvermessungen immer angewendet worden, und in manchen Vermessungen wurden die geographischen Netzlinien für Längen und Breiten als einziger mathematischer Zusammenhalt genommen.

Allein diese geographischen Netzlinien liegen dem Feld- und Landmesser, der im Kleinen misst, zu fern, sie passen nicht in sein tägliches Geschäft mit rechten Winkeln, denn die Meridiane eines Landes sind zwar für das Feldmessen als Gerade zu betrachten, aber sie sind unter sich nicht parallel, und die Parallelkreise sind nicht gerade.

Der Feldmesser muss rechtiviriklige Coordinaten haben, und zwar solche, die auf die Erdkrümmung Rücksicht nehmen und den Übergang zwischen der Kleinvermessung und den höheren geodätischen Rechnungen mit geographischen Coordinaten vermitteln.

In dieser Beziehung haben die süddeutschen Landesvermessungen, namentlich Bayern und Württemberg unter Soldner und Bohnenberger am Anfang dieses Jahrhunderts bahnbrechend gewirkt, die Systeme jener Vermessungen waren nachahmungswert, so lange man nichts besseres hatte.

Das ist nun aber der Fall seit 1866, da die Gauss sehe konforme Projektion durch Wittstein-Schreiber der Öffentlichkeit übergeben ist; und im nächsten Jahrhundert wird die konforme Projektion nach Gauss schem Prinzip ebenso unbestritten als zweckmässigste für Landesvermessungen und Katasteraufnahmen gelten, wie heute die vor kaum 2 Jahrzehnten noch für „unausführbar“ erklärte Gauss sehe Ausgleichung der Kataster-Dreiecksmessungen.

Zwischenbemerkung.

Mit den geographischen Coordinaten sind wir so weit in der Theorie der Geodäsie gelangt, als zum praktischen Verständnis unserer deutschen Landesvermessungen im Ganzen nötig ist.

Für weitergehende Zwecke ist nun der richtige Weg zur geodätischen Linie vorgezeigt, welche in unserem nächsten Kapitel VI. behandelt werden wird.

Wenn nun trotzdem noch in diesem Kapitel V. eine Anzahl rein sphärischer Aufgaben abgehandelt wird, so hat das den Zweck der Vorbereitung von späteren sphäroidischen Aufgaben.

Eine Aufgabe spielt dabei eine durchlaufende Rolle, nämlich Herstellung der Beziehungen zwischen den geographischen Coordinaten zweier Punkte einerseits und der Entfernung nebst den Azimuten ihrer Verbindungslinie andererseits, oder umgekehrt, in verschiedenem Zusammenhang.

Wir haben dieses früher „Hauptaufgabe der höheren Geodäsie“ genannt, werden aber nun das mehr bezeichnende Wort „Polardreieck“ anwenden.

Das Polardreieck spielt in der Geodäsie eine gleich wichtige Rolle wie das astronomische oder nautische Dreieck (Pol-Zenit-Stern) in der praktischen Astronomie. Auch eine von Gauss gebrauchte Bezeichnung T oder t für das Azimut und dann auch für Richtungswinkel der Geodäsie scheint auf jene Verwandtschaft hinzudeuten, indem das Azimut in dem geodätischen Polardreieck dem Stundenwinkel t des astronomischen Dreiecks entspricht.

§ 60. Das sphärische Polar-Dreieck.

Wir knüpfen nochmals an den früheren § 56. an und setzen auch die Fig. 1. von S. 312 nochmals her.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Auf. III. Bd.

Zwei Punkte P und P' haben die geographischen Breiten cp und cp' und zwischen sich den geographischen Längenunterschied X. Der Verbindungsbogen PP'

Fig. l.

als grösster Kreisbogen hat den Wert <7 als Centri-winkel am Erdmittelpunkt und die Azimute a und «' m an seinen Endpunkten. Der Halbmesser der Kugel, auf welcher das Dreieck P P' N liegend angenommen / ist, kommt nicht in Betracht.

/®*

Unsere Aufgabe wird eine zweifache sein: entweder ist cp , cp' , X gegeben und (7 , « , a' gesucht oder es ist cp , <7 , a gegeben und cp' , X , a' gesucht.

p,

Da wir uns hier nur mit der rein sphärischen Auflösung der fraglichen Aufgaben beschäftigen, und da wir einsehen, dass es sich in beiden Fällen nur darum handelt, ein sphärisches Dreieck aus zwei gegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel aufzulösen, liegen im Grundsatz keine Schwierigkeiten vor, und es handelt sich also nur darum, die verschiedenen Auflösungs-Formen, welche die sphärische Trigonometrie für unsern Fall bietet, zu betrachten, und für unsere Zwecke zurecht zu legen (wozu Gauss in den „Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie“, erste Abhandlung, 1843, art. 16. und 17. die Wege gezeigt hat).

Ehe wir zu unseren Formel-Entwicklungen und zur numerischen Anwendung von sphärischen Formeln übergehen, wollen wir zwei scharf (mit 10 stelligen Logarithmen) berechnete Beispiele voraus schicken, welche in verschiedener Weise als Normal-Beispiele dienen können:

oR £

cp' + cp

cp = 49° 30' 0" =•50° O'O"

a' — a

Kleines sphärisches Normal-Beispiel.

(Bezeichnungen nach Fig. 1.)

cp' = 50° 30' 0"

~—= 0° 30' 0"

cp' —cp

1 = 1° 0' 0" * = 0° 30' 0"

= 32° 44' 0,2384"

2—= 0° 22'58,9470"

a' — a = 0° 45' 57,89393" y = 0° 35' 39,74093"

(1)

= 33° 6'59,1854" = 32° 21' 1,2914"

(7 = 1° 11' 19,48186" a = 4279,48186"

cp'-h cp

<39 = 45° O'O" = 50° O'O"

Grosses sphärisches Normal-Beispiel.

(Bezeichnungen nach Fig. 1.)

q>' = 55° 0' 0"

= 5° 0' 0"

cp' —cp

X = 10° 0' 0"

= 5° O'O"

«' -f- a

a' — a

= 32° 49' 54,6437"

2—= 3° 50'55,8355"

— <x= 7° 41'51,67100" y = 5° 55'51,32153"

36° 40' 50,4792" 28° 58' 58,8082"

<7 = 11° 51'42,64306" a = 42702,64306"

I. Gegeben cp, cp', À. Gesucht g, a, cd.

la. Die Gauss sehen Gleichungen der sphärischen Trigonometrie.

Wenn man die Gauss sehen bzw. Neper sehen Gleichungen von § 27. S. 165

auf unseren Fall anwendet, so bekommt man, ebenso wie schon bei (1) § 56. S. 312

mit den Abkürzungen <p₀ und a₀ für die Mittelwerte, folgendes:

. g . sm -Ç- sin a₀

. G

sm cos a₀

G . cd — a    .    . X

cos -g- sin —2— = sm To mm

cp' — cp X

. X

— cosepo sm-ÿ-cp' — cp X

= sin

cos

(3)

cos

cd — a

= cos

cos

Wenn man die erste und zweite, dann die dritte und vierte dieser Gleichungen dividiert, und zur Abkürzung für das folgende, die Zeichen Z und N, Z' und N' für die Zähler und Nenner der entstehenden Brüche einführt, so erhält man:

• *

cos qp₀ sm

tang a₀ =

sin

cp' — cp

cos

(4)

a' — a tang —^—

. a Z

SlYl ~7T

. X

siYi (jpo sifi

2 sin ccq cos a₀

Z'

cos

cp' —cp

cos

X N'

COS

Y~

Z'

N'

(5)

sin

ot! — a

cos

a' — a

also

Zu einem Zahlen-Beispiel nehmen wir nach (1):

cp' = 50° 30' 0"

<p₀ = 50° 0' 0" , q> ^— = 0° 30' 0" , y = 0° 30' 0"

Die logarithmische Rechnung giebt: log Z _logN

cp =49° 30' 0"

X = 1° O'O"

(6)

7.748 9093-6 7.940 8253-2

logZ' log N'

7.825 0958-3 9.999 9669-3

log tang a0 log sin

9.808 0840-4

8.015 9282-7

«o=32° 44' 0,238"

«' — a

cx! — a logtang—₂—

₇

log cos y

Y = °° ³⁵' 39,741"

7.825 1289-0

9.999 9766-3

2—= 0° 22'58,947"

g = 1° 11'19,482"

(7)

55 55

= 33° 6' 59,185" = 32° 21' 1,291"

in diesem Falle, da er klein ist, nur die erste scharf, während die zweite aus cos, nur als summarische Probe benützt werden kann.

Ib. Einzelformeln für er, a und a'.

Zur Bestimmung von ff allein dient die Cosinusformel S. 164:

(8)

cos a = sin cp sin cp' + cos cp cos cp' cos X Da aber in unseren Fällen immer o klein ist, kann man nicht geradezu nach cos o rechnen; indessen kann man die vorstehende Formel leicht umformen, indem man setzt:

(T

cos er = 1 — 2 sin²

Damit findet man leicht:

. ff sm „

und cos X = 1 —

₀ sin² X

” ~~2~

sin² ^ 2 ^ + cos T cos (jP, s*w2

Man rechnet dann mit einem Hilfswinkel fi ähnlich wie bei der Bestimmung einer Hypotenuse aus zwei Katheten:

. ff

sm -x

-V

sin

(9)

tang pc =

sin

sin ~ Ycos cp cos cp'

_ sin ^ y cos cp cos cp'

oder

sin fi

Unser kleines Normal-Beispiel (1) S. 388 giebt:

cos n

log sin ^

7.940 8418-6

log sin ~ Y...

7.748 8693-3

log tang pi log sin ~

0.191 9725-3

8.015 9282-7

57° 16' 11,981" = 0° 35'39,741"

(10)

ff =

l°ir 19,482" J

Auch für die Azimute a und a' giebt die sphärische Trigonometrie unmittelbare Lösungen, nämlich nach den coig-Formeln von S. 164:

cotg a =

tang cp' cos cp

sin X

sin cp cotg X

_ tang cp cos cp' sin X

(U)

sin cp' cotg X

cotg (a’ + 180°)

Unser grosses Normal-Beispiel (2) giebt hiefür folgende Anwendung: <p = 45° 0', qp' = 55° 0', X = 10° 0' cotg a = 5,815 512 455 — 4,010 201 831 = 1,805 310 624 ~ ' log cotg a = 0.256 5519-4

a = 28° 58' 58,808"

(12)

(13)

Dagegen giebt das kleine Normal-Beispiel (1):

qp = 49° 30',    <p' = 50°30', A = 1° 0'

a = 32° 21' 1,290"

(13 a)

cotg a = 45,142 3983 — 43,563 6286 = 1,578 7697 log cotg a — 0.198 3187-8

Wenn cp und cp' nahezu gleich sind, und A klein ist, so geben die Formeln (11) und (12) keine scharfen Bestimmungen, weil dabei eine Differenz zweier nicht sehr verschiedener Werte auszurechnen ist, wie (13 a) mit 45,14)... — 43,56 ... deutlich zeigt.

Man kann noch manche andere Auflösungs-Formen für die vorgelegte erste Aufgabe I. finden, wie sich aus der Analogie mit der zweiten Aufgabe II. ergeben wird, zu der wir nun übergehen.

II. Gegeben cp, a, a. Gesucht qp', A, «'.

11a. Auflösung durch die Gauss sehen Gleichungen.

Die Anwendung der Gauss sehen bzw. Neper sehen Gleichungen von S. 165 auf unseren Fall giebt:

sin

90° — qp 4-a . a

-^z—— sm -Tr

tang —^— =

sin

90° — cp — er

- cos

(14)

sin

90° — qp' _ Z

sin

2'

cos

.    «' — A

tang —^— =

cos

90° — qp + er . a

----sm

cos

90° — qp — a

cos

2 _Z' a ~ N'

(15)

cos

90° — qp'

Z'

sin

«' — A

cos

Bei unserem kleinen Normal-Beispiel (1) ist:

Gegeben q> = 49°30'0" a = 1° 11'19,482" a = 32° 21'1,291" Man hat also zur Anwendung von (14) und (15):

90° — cp + <J

= 20° 50' 39,741"

~ — 16° 10' 30,646"

90° — cp — a

= 19° 39' 20,259"

log Z 8.996 1858-3 log N 9.509 2708-3

log Z' log N'

9.415 5449-8 9.956 3857-0

log tang f-

. 90° — qp' log sm--g-

9.486 9150 0

9.528 8096-8

— A

log tang —^— 90° — q>'

9.459 1592-8

log cos-g

9.973 6708-5

a-tX = 17° 3' 29,592”

û

= 16° 3' 29,592”

ci = 33° 6' 59,184" X = 1°0' 0,000”

90° — cp'

= 19° 45' 0,000”

90° -cp' = 39° 30' 0,000”    ‘

cp' = 50° 30' 0,000”

(15 a)

IIb. Einzel-Formeln für qp', a' und X.

Zur Bestimmung von cp’ aus qp, er und a hat man die Cosinus-Formel S. 164 und für cd und X hat man je eine der Cotangenten-Formeln (9) S. 164 anzuwenden. Man erhält auf diesem Wege folgende drei Auflösungen:

sin cp' = sin cp cos o -h cos cp sin a cos a cos a cos a — sin er tang cp

cotg a’ —

sin a

CO tC'

cotg a cos cp — sin cp cos a sin a

Zur Anwendung auf unser kleines Normal-Beispiel haben wir: Gegeben cp = 49° 30' 0",

Die Ausrechnung nach (16), (17) und (18) giebt:

sin cp' = 0,760 2423 + 0,011 3823 = 0,771 6246 log sin cp' = 9.887 4061

cotg a! = 1,578 4299 — 0,045 3947 = 1,533 0352 log cotg a' = 0.185 5521

31,297 9570 — 0,642 3847 sin a

log cotg X = 1.758 0785

cotg À =

(18)

o = 1° 11' 19,482”,

cc = 32° 21' 1,291”

cp’ = 50° 30' 0,00”

«' = 33° 6' 9,19”

cotg X =

30,655 5723

sin a

X = 1°0' 0,00”

An diesen drei Auflösungs-Formeln ist nichts auszusetzen; sie geben qp' a' und X einzeln mit gewöhnlicher Schärfe. Der von manchen Rechnern gescheute mehrfache Übergang von den Logarithmen zu den Zahlen und umgekehrt, kann nötigenfalls durch Benützung von Additions- und Subtraktions-Logarithmen vermieden werden.

(19)

II c. Rechtwinklige Projektion des Nordpols auf die Seite a.

Fig. 2.

Hilfswinkel M und m.

In Fig. 2., welche etwas anders gezogen ist als die frühere Fig. 1., aber im wesentlichen das-^ N selbe darstellt, ist von dem Nordpol N eine Senkrechte N Pq auf die verlängerte P P' gefällt, wodurch sowohl die Länge m dieser Senkrechten selbst, rr als auch die Länge PP₀ bestimmt ist, welche wir mit 90° — M bezeichnen wollen.

p¹

(et.

Da nun das grosse rechtwinklige Dreieck p PN Pq durch unsere gegebenen cp und a vollständig bestimmt ist, und da durch Abtragen von P P' = a auf PP₀ auch der Punkt P', und damit das zweite kleinere rechtwinklige Dreieck P' N P₀, bestimmt ist, sowie auch damit das schiefwinklige Restdreieck P P' N, ist nun unsere ganze Aufgabe auf die Be-

handlung zweier rechtwinkliger sphärischer Dreiecke zurückgeführt, weshalb wir die nötigen Formeln (die man auch rein goniometrisch aus den Formeln (16), (17), (18) herleiten könnte) sofort in der zur Rechnung nötigen Aufeinanderfolge hier hersetzen. Zur Bestimmung von M und m hat man :

sin cp

tang M =

cos cp cos a

sin cp sinM

sin m = sin a cos cp Nachdem so M und m bestimmt und versichert sind, hat man weiter:

cos m

oder cos m =

cos cp cos a

cos M

(20)

tang m

(21)

tang a' =

sin cp' — cos m sin (Jll -+- er) tang cp' = tang (M -f- o) cos a' sin o sin a'    sin er sin a

cos ę'

Die Anwendung auf unser kleines Normal-Beispiel mit den gegebenen Werten cp, a und er nach (1), führt auf die Hilfswinkel:

54° 11' 19,61"

womit die Werte qp', «' und X sich wie früher ergeben.

cos (Af-t-er)

(22)

sin X -

cos cp

(23)

m = 20° 20' 7,75"

II d. Rechtwinklige Coordinaten x, y für den Punkt P'. In Fig. 3. ist der Meridian PN gerade gezogen, und durch P' PT eine Senkrechte angedeutet, welche von P' auf den Meridian von P gefällt wurde, so dass die rechtwinkligen sphärischen Coordinaten PP₁ = x und P₁ P' = y zur Anschauung kommen. Diese Werte x und y sind bestimmt durch die Gleichungen:

tang x = tang o cos a

und sin y = sin a sin a , tang y = sin x tang a (25)

Fig. 3.

Rechtwinklige Coordinaten PPt=zx , PtP' + y.

■A

(24)

Mit x hat man auch cp -p x und 90° — (cp -+- x) die Kathete NPx des grossen rechtwinkligen Dreiecks N Pj P', welches cp' und X giebt, nämlich:

tang X =

tang y

und

cos (<p — ff) sin cp' = sin (cp + x) cos y tang cp' = tang (cp -f- x) cos X

(26)

) ⁽²⁷⁾

i 5

____

Endlich nach dem Sinussatze:

_ sin a cos cp

COS Cf}’

Diese einfache und naheliegende Auflösung cp/____

hat Gauss (in Art. 16. der „Untersuchungen über j Gegenstände der höheren Geodäsie, erste Abtei-    ^

lung, Göttingen 1843“) noch verfeinert, erstens

4-?j-

w' '

,ü>¹

sin a!

(28)

£ S-

V»'

\T|

dadurch, dass der kleine Breiten-Unterschied Ô zwischen den Punkten Px und P' für sich dargestellt wurde, und zweitens dadurch, dass auch die Meridian-Konvergenz yx zwischen Px und P' und ausserdem der sphärische Excess e des rechtwinkligen Dreiecks P Pi P' beigezogen wurde.

Denkt man sich diese drei kleinen Werte ö, yx und e bestimmt, so ist die Breite bestimmt durch:

ferner für die Azimute:

(90° — cp') — (90° — (cp + «)) = ö cp' — cp -i-X — Ô

(29)

a' — y₁ + ß = 90° und a -+- ß = 90° -f- e «' — a = y-y — e

Um den sphärischen Excess e zu bestimmen, haben wir die schon in § 44. S. 245 benützte Entwicklung:

woraus :

(30)

(7

cotg a cotg ß = cos (7=1 — 2 sin²

(J

cos a cos ß = sin a sin ß — 2 sina sin ß sin² ^

cos (a -+- ß) = — sin e = — 2 sina sin ß sirfl ~

sin x sin <j

sin e = tang ^ sin x sin a

sin s=2 sin a

(31)

Für y₁ hat man aus dem rechtwinkligen Dreieck NPx P' :

tang (90° — yx) =

tan g (90° — (cp -f- x))

siny

(32)

tang yx = tang (cp -+- x) sin y = tang (cp -f- x) sin o sin a

Um auch noch Ô zu bestimmen, hat man zunächst nach (29): sin Ô = sin ((cp -h x) — cp'^j = sin (cp + x) cos cp' — cos (cp -+- x) sin cp' (cp + x) cos cp' (tang (cp + x) — tang cp Es ist aber in dem rechtwinkligen Dreieck N Px P' : tang cp' = tang (cp + x) cos 1 = tang (cp -f- x) ^1

= cos

— 2 sin²

r< <M

und damit wird:

sin Ô

= 2 sin (cp -J- x) cos cp' sin²

Wenn man hier noch yi nach (32) zuzieht und cos cp' sink = siny berücksichtigt, so erhält man:

(cp -+- x) tang ^ tang yx

Der Gang der Rechnung ist nun folgender:

Man bestimmt x und y sowie auch X wie im einfachen Fall, nach (24), (25), (26), dann folgen e und yx nach (31) und (32) und Ô nach (33), worauf man cp' und «' nach (29) und (30) zusammensetzen kann.

sin ö = cos

(33)

Die Anwendung auf unser kleines Normal-Beispiel gestaltet sich so: Gegeben

Nach (24), (25), (26) findet man: x = 1°0' 15,420"

Die Formeln (31), (32), (33) liefern :

y₁ = 0° 46' 17,9616"

<p = 49° 30' 0"

(7=1° 11' 19,482"

a = 32° 21' 1,291"

y = 0° 38'9,813"

Jl = 1° 0' 0,000"

s — 0° 0' 20,0687" und nun setzt man so zusammen:

= 0° 46'17,9616" = 0° 0'20,0687"

O»

Ot> H

8 = 0°0' 15,4199"

Il II

1° 0'15,^20" 0° 0' 15,420"

y — e = 0° 45' 57,8929" = «' — «, a =32° 21' 1,291"

æ — 8 = 1° 0' 0,000" <p =49° 30' 0,000"

a' = 33° 6' 58,184"

cp' = 50° 30' 0,000"

Der Vorteil dieser Berechnung im Vergleich mit allen früher beschriebenen besteht darin, wenn er selbst klein ist (was hier immer der Fall ist), dass dann auch alle andern, die Endergebnisse beeinflussenden Grössen x, y, jq, e selbst klein sind, und daher aus sin oder tang sich sehr scharf berechnen lassen.

Man kann durch diese verfeinerten Formeln in Hinsicht auf Rechenschärfe, mit einer gewöhnlichen 7 stelligen Logarithmentafel nahe dasselbe erreichen, wozu man mit den früheren Formeln nahezu 10 stellige Logarithmen braucht.

Bemerkungen zur Meridian-Konvergenz.

Nachdem schon am Schlüsse von § 45. S. 256—257 zur Wort-Erklärung und zur sachlichen Begriffsbestimmung der „Meridian-Konvergenz“ das Nötigste gesagt worden ist, können wir noch mit beistehender Fig. 3. einiges zufügen:

Die Meridian-Konvergenz «' — a ist gleich dem sphärischen Excesse y des Vierecks AB P' P Fig. 3., denn da dieses Viereck bei A und B rechte Winkel hat, besteht die Gleichung:

Fig. 3.

Meridian-Konvergenz, et' — a~y.

90° + 90° + (180° _«) + «'_ 360° = y d. h. «' — a = y

A__N

(a)

Bezeichnet man ferner mit e den sphärischen Excess des Dreiecks PP' N, welches bei N den Längen-Unter-schied X enthält, so hat man:

X + a + (180° — «') — 180° = b X — (a! — a) -+- b oder a' — a = X — b

Das letzte ist auch unmittelbar klar, indem X der \[_p

Excess des ganzen Dreiecks AB N sein muss.

Diese beiden Gleichungen (a) und (b) sind sphärisch streng richtig.

Wenn die beiden Punkte P und P' auf gleichen Breiten qp und qp' liegen, so ist der Winkel, den die Meridian-Tangenten von P und P' oben in der Erdaxe einschliessen, genau gleich X sin (p, wie man aus Fig. 1. §61. alsbald entnehmen kann; und das kann man auch so aussprechen, dass X sin qp gleich dem sphärischen Excess des Vierecks ABP' P ist, wenn cp = qp' und wenn PP' nicht als Gross-kreisbogen der Kugel, sondern als PamZZeZkreisbogen, parallel dem Äquator A B auf-

d. h. :

?,

a'/

P*

(b)

T /V

gefasst wird. Das Viereck hat dann 4 Winkel, welche alle =90° sind, aber der Parallelkreisbogen PP' hat dann eine geodätische Krümmung = X sin cp, welche bei der Kegelabwicklung sich auch in der Ebene darstellen lässt.

Im gewöhnlichen Sinne ist dieses X sin cp aber durchaus nicht die genaue Meridian-Konvergenz a — a' für zwei Punkte unter gleichen Breiten cp' = qp, denn dazu müsste PP' ein Grosskreisbogen sein.

Was in diesem Falle a' — a wird, das lässt sich aus der Gleichung (5) S. 339

leicht entnehmen, diese giebt für cp' — cp den Wert

(c)

tang

a' — a    X .

—— = tang    sin cp

Das kann man auch unmittelbar begründen, wenn man in Fig. 1. S. 338 cp' = cp nimmt und bei N den Halbierungsbogen für -g- rechtwinklig auf PP' zieht.

Die Gleichung (c) giebt allerdings in erster Näherung a' — a = X sin cp, wie immer in erster Näherung, aber streng gilt dieses X sin cp nur für zwei Meridiantangenten unter den gleichen Breiten cp' = cp.

Um diese Begriffe auch sofort für die späteren Berechnungen mit der geodätischen Linie festzustellen, müssen wir nun im Anschluss an Fig. 1. sagen: Unter Meridian-Konvergenz zwischen zwei Punkten P und P' verstehen wir die Differenz der Azimute a und a', welche der verbindenden geodätischen Linie PP' in P und P' in dem Sinne von Fig. 3. zukommen.

Indessen eine absolut im Sprachgebrauch der Geodäsie feststehende Definition ist auch dieses nicht; wir werden später finden, dass Gauss in seiner konformen Projektion der Hannoverschen Landesaufnahme mit dem Worte Meridian-Konvergenz wieder etwas anderes bezeichnet hat, was zwar in erster Näherung mit dem Gesagten übereinstimmt, aber in aller Strenge gar nicht ohne jene besondere Projektionsart definiert werden kann.

Wenn nichts Besonderes bemerkt ist, werden wir das Wort Meridian-Konvergenz in dem Sinne von «' — cc nach Fig. 3. S. 345 für PP' als geodätische Linie anwenden.

Damit kann man auch den Satz bilden, dass der sphärische bzw. sphäroidische, Excess eines geodätischen Dreiecks gleich der algebraischen Summe der drei zugehörigen Meridian-Konvergenzen ist.

§ 61. Differential-Gleichungen des sphärischen Polar-Dreiecks.

Die geschlossenen Formeln der sphärischen Trigonometrie, welche wir im vorigen § 60. behandelt haben, erfüllen nicht alle Bedürfnisse ; es ist in vielen Fällen nützlich, geschlossene Formeln in Reihen aufzulösen, und der erste Schritt hiezu ist die Aufstellung von Differential-Formeln.

Wir betrachten in Fig. 1. S. 347 das schon früher benützte sphärische Dreieck PP'N, jedoch nehmen wir nun an, dass die Entfernung P P' der beiden betrachteten Punkte sehr klein = ds werde, wodurch auch alle anderen Differenzen cp'— cp, a'— cc, X klein werden, was wir in Fig. 1. und Fig. 2. durch Differential-Zeichen d cp, d a u. s. w. angedeutet haben.

Wir betrachten in Fig. 1. eine Kugel mit zwei Punkten P und P', deren Entfernung PP' = ds klein ist. Die Breiten dieser Punkte seien bzw. cp und cp-hdcp, so dass die kleine Breiten-Differenz d cp zwischen den Parallelkreisen von P und P'

erscheint. Durch die beiden Meridiane NP und NP' kommt auch der Längenunterschied dX zum Ausdruck und werden die Azimute des Bogens ds in Pund in Pt bestimmt, diese Azimute seien bzw. a und a -+- d vc.

Fig. 1.

Fig. 2

Besonderer Teil von Fig. 1. PP' = ds = rdO

da

P"

«e

Tt=a-Kla

rd«P:

—rcosip—

do

—r------

.dÀ

l\T

Man kann nun auf die beiden Punkte P und P' mit ihren Breiten cp, cp -j- d cp, Azimuten a, a + d a und ihrer Entfernung d a und dem Längenunterschied d X die allgemeinen Gauss sehen Formeln (3) § 60. S. 339 an wenden; und wenn man dabei,

da _ da

TT “ IT’

im Sinne der Differential-Kechnung, sin

cos = 1 setzt u. s. w., so geben

u

die drei ersten jener Gleichungen (3) § 60. S. 339 folgendes :

(1)

da sin « = dX cos cp d a cos a = d cp d a = dX sin qp

Dieses sind die sehr wichtigen Differential-Gleichungen des sphärisch-geodätischen Polar-Dreiecks.

Man kann diese Gleichungen (1), (2), (3) auch leicht geometrisch in Fig. 1. nachweisen, wozu zuerst das kleine, als rechtwinklig eben zu behandelnde Dreieck PjPP', welches in Fig. 2. besonders herausgezeichnet ist, dient. Dasselbe giebt mit r da = ds:

(2)

(3)

(la)

d s sin a — PXP' d s cos a = PPi

Diese Gleichungen sind entsprechend (1) und (2), wozu für (2a) nur einzusehen ist, dass PP\ ein Meridianbogen = r d cp für den Halbmeser r oder kurz = d q> für den Halbmesser 1 ist. Sodann für (la) hat man den Parallelkreis-Halbmesser p =r cos cp

(2a)

zu betrachten (bzw. = r cos (cp -+- d cp), welcher mit r = 1 und für den Längen-Unter-sehied d X den Parallelkreis-Bogen P₁ P' = dX cos cp giebt.

Während die zwei ersten Gleichungen (1) und (2) sich geradezu aus dem kleinen rechtwinkligen Dreieck PP\ P' geometrisch herleiten lassen, ist zur geometrischen Begründung der dritten Gleichung (3) die Betrachtung der Meridian-Tangenten PS und PS nötig. Insofern PP\ unendlich klein ist, schneiden sich diese beiden Tangenten in einem Punkte S der Brdaxe und bilden dort den Winkel d a, wie aus dem geradlinigen Dreiecke SPP' folgt.

In dem langen gleichschenkligen Dreiecke Px P'S hat man

da =

P₁ P'

Hier ist, wie schon erwähnt, der Parallelbogen P^P = r cos cp dl. und die Tangentenlänge Px S findet sich = r cotg cp ; es ist also :

r cos cp dX r cotg cp

da =

= d X sin cp

(3a)

womit die Gleichung (3) begründet ist.

Die Meridian-Konvergenz d a ist die Differenz der Azimute des Grosskreis-Bogens PP' in P und in P', d. h. in der besonders herausgezeichneten Fig. 2. ist:

(4)

d a — a'— a

wobei a! sowohl = P P'Q als auch =NP'P" ist, indem die beiden mit a' bezeich-neten Schnittwinkel in P' für einen Grosskreis-Bogen PP'P" gleich sind.

Nachdem wir so die wichtigen Differential-Grundformeln nach allen Beziehungen erörtert haben, wollen wir auch noch eine praktische Anwendung derselben machen.

Wenn man die Differential-Formeln (1), (2), (3) auf endliche Differenzen anwendet und dabei statt der allgemeinen Werte cp und a die Mittelwerte qr>₀ und a0 setzt, so hat man aus (1), (2), (3):

o sin a₀ — X cos qp₀

= To

cp + cp'

finden :

a -4- a'

—g—= «o

a cos a₀ = cp'— <p a'— a = X sin <p₀

Dieses sind wieder dieselben Gleichungen wie (2)—(3) § 56. S. 312. Aus (5) und (6) findet man:

_ X cos cp0 cp'— cp

oder =

(8)

tang a0 X cos cpo

O = -T-—

sm «o

Man kann auch unmittelbar a durch Quadrieren und Addieren von (5) und (6)

cp'— cp

COS «o

(9)

(10)

(7 =

Y(cpr— qp)2 -+- (A cos «₀)2 Nachdem a'-h a — 2 a₀ aus (8) und (a'— a) aus (7) berechnet sind, hat man auch a' und a.

Wir wollen diese Näherungs-Formeln auf unser kleines sphärisches Normal-Beispiel anwenden:

Gegeben

cp = 49° 30'

<jPo = 50° 0'

X= 1°0' = 3600"

<jp'= 50° 30'

cp'— cp = 1°0'= 3600".

Aus (8) findet man:

Aus (7) findet man:    a

u

«o = 32° 43' 56,67" = 0° 22'58,88"

(H)

(12)

«'= 33° 6'55,55" a = 32° 20' 57,79"

g = 4279,57"= 1° 11'19,57"

Aus (10) findet man:

Die im vorigen § 60. mehrfach berechneten genaueren Werte sind:

a' = 33° 6' 59,19"

g = 1⁰ 11' 19,48"

(16)

a = 32° 21' 1,29"

Bei a beträgt der Fehler des Näherungswertes (15) nur 0,09". Die bequemen Näherungsformeln (5)—(10) sind zu manchen Berechnungen unmittelbar zu brauchen, z. B. in der Kartographie und überhaupt in Fällen, wo es nicht auf äusserste Schärfe ankommt.

Indessen werden wir nun zur Aufstellung genauerer Formeln dieser Art übergehen.

§ 62. Reihen-Entwicklungen mit der Mittelhreite.

Wir nehmen die Gauss sehen Gleichungen (3) § 60. S. 339 nochmals vor; wir wollen jedoch die Bezeichnungen nun ein wenig anders wählen, nämlich nach Andeutung von untenstehender Fig. 1.

Breiten : cpi und <p₂    ,

$2 + ÇPi

= cp , <jP₂ — <Pi = ß

(1)

Azimute: cq und «₂    ,

<*2 + «1 _

, a₂ — a₁ = y

Längen-Unterschied : À Verbindungs-Bogen: g

Damit werden die Gleichungen (3) § 60 S. 339 :

. G .    . X

sm .51» a = sin

Fig. 1.

-g- cos cp

. G    . ß

sm -T?- cos a = sm V-

cos

b Ica b

geben :

¥cos¥

. y . x .

sm = sm g sm cp

X ß

¥cos¥

(?)

L _

2 ~~

Wir nehmen zuerst (5) und (6), welche entwickelt

cos cos

cos

(8)

' G 0-3

¥_ 48

sin a —

'X X3\ ¥~48 C0S<P

a³

cos a =

2    48,

Kürzer geschrieben:

MH¹- )

°°! n>

P₂

\«2

asm« |l —    = X cos cp ^1 — j

(9)

(10)

O-T

Hier kann man in den Korrektionsgliedern als erste Näherung setzen:

(11)

0-2 ₌ ßz ^2 cos2 qp

Wenn man dieses in (9) und (10) links einsetzt, und dann nach a sin a und a cos a auf löst und ordnet, so findet man:

a sin a = Xcos q⁰ ^1 + 24

ß² X² sin² cp

24

(12)

a cos a

= 0(l

X²    Ä² cos² cp

(13)

Durch Division dieser zwei Gleichungen findet man tang a, und dann a aus jeder einzeln. Man kann jedoch auch (12) und (13) quadrieren und addieren, und damit eine unmittelbare Formel für er² finden, nämlich:

a² = 0² -+- X² cos² qp +    (— 3 ß² X² 2 0² À² cos² cp — ŹU cos² cp sin² qp) (14)

(7 = ]/0² _j_ ^2 cos² Cp ^1

Man kann diese Formel auch leicht aus (9) § 60. S. 348 herleiten.

oder

ß²    ß2 /_2 cos2 <p ^4 cos² Cp siffi qp

8 a²

12 a²

24 a²

(14 a)

Um auch die Meridian-Konvergenz zu erhalten, bilden wir zunächst aus (7) und (8) durch Division:

y , X sin cp

tang y = tang y — ^

cosT

Dieses ebenso wie das frühere entwickelt, giebt:

X *3

T ⁺ S ⁼ ‘*"»’

~2

)(^f)

to %

"8"

Erste Näherung y = A szw cp, also y³ = Ä³ sin² cp + ... X³ sm³ qp y = 12

-t- X s in <p ^1 -+-

X² 0²’ 12 ⁺ "8\

/    52    }2    \

y = A si« qp 11 + -y + cos2 0° )

15)

In diesen Formeln ist nach analytischem Masse gerechnet, und wenn man die kleinen Winkel in Sekunden haben will, muss man alle quadratischen Glieder in den Klammern durch g² dividieren. Dieses giebt für (12), (13) und (15) die folgenden Gebrauchsformeln :

a sin a

= X cos qp ^1 h--—

24 g²

X² sin² cp

24 g²

(16)

a cos a

=0(1

X²

8 g²

X² cos² qp

24 @2

(17)

«2 — «1 =

Ź1² cos² qp'

8e²    12 ç²

(18)

Durch Division von (16) und (17) findet man auch:

tang a

_ X cos cp L ß²

X²

24ç²    12 g²

(19)

Die konstanten Coëfficienten zu den vorstehenden Formeln sind:

log = 8.468 0597 log ^ = 8.291 9685    log —^ = 7.990 9385    (20)

Man kann die vorstehenden Formeln (17), (18), (19) auch logarithmisch anwenden, nämlich in dieser Form:

log a sin a = log X eos cp 4- 24^2 log o cos a = log ß — g— X²-h ^

p - X² sin² cp

24^²

(21)

(22)

X² cos² cp

log y = log X sin cp 4- g^₂ X² 4- X² cos² qp Man braucht dann statt (20) folgende Konstanten für 7. Logar.-Stelle : log = 5-105 8441 log ^ = *929 7528 Zo^ ^ = 4-628 7228 (24)

(23)

Wir wollen dieses Rechen-Verfahren auf unser kleines Normalbeispiel (1) § 60. S. 338 anwenden und zwar zuerst mit den Formeln (16), (17), (18).

<p₂ = 50° 30' ß = 1°0'= 3600"

Gegeben

also

'S

= 49° 30' - 50° 0'

X = 1°0'

ŹI = 3600"

Die Rechnung nach (16), (17), (18) giebt: Xcos cp — 2314,0352"

4- 0,0294 — 0,0172

ß = 3600,0000" — 0,1371 -+- 0,0189

X sin cp = 2757,7600" 4- 0,1050 ' + 0,0289

<7 sin a — 2314,0474"

(7 cos cc = 3599,8818"

a=a2 ~t—1 = 32° 44' 0,2385"

u

-l- ₌ a2 — ai = 0° 22'58,9470"

y = 2757,8939" j'^O^Ö' 57,8939"

o = 4279,4819"

(7 = 1⁰ 11' 19,4819"

«2 = 33° 6'59,1855" a, = 32° 21' 1,2915"

Ausserdem kann man auch die logarithmischen Formeln (21), (22), (23) anwenden, wobei man dasselbe, wie soeben, nur in anderer Form, bekommt, nämlich:

log ß

log A cos cp

3.364 3700-0 4- 55-1 — 32-3

3.556 3025-0 log X sin œ —165-4

3.440 5564-7 4- 165-4

4- 22-8

4- 45-5

logo sina 3.364 3722-8    log o cos a 3.556 2882'4

Wenn man damit weiter rechnet, so bekommt man dieselben Werte a, o, y u. s. w. wie vorhin.

Wenn man etwa o selbst nicht braucht, so rechnet man tang a geradezu aus der Formel (19), welche in unserem Falle giebt:

log tang a = 9.808 0675-0 4- 165-4 = 9.808 0840-4.

Dieses stimmt, wie es sein soll, mit der Differenz von log o sin a und log o cos a.

log y

3.440 5775-6

Wir haben auch noch die Formel (14 a) auf das kleine Normalbeispiel mit ß = 1°, X = 1°, qp = 50° angewendet und gefunden:

a = 4279,5747"— 0,1153"— 0,0093"+ 0,0318"= 4279,4819"= 1° 11' 19,4819"

Man kann auch hier die Korrektionsglieder in logarithmischer Form berechnen.

Umkehrung der Formeln.

Man kann die Formeln (16), (17), (18) nicht bloss zur Bestimmung von a, «lt a2 bei gegebenem qpj, qp₂, X anwenden, sondern auch umgekehrt dazu, um bei gegebenen qpi, er, die fehlenden qp₂, X, a₂ zu berechnen. Allerdings geht dieses nur auf indirektem Wege, indem Näherungs-Werte der Unbekannten benützt und allmählich verbessert werden.

Auch sind dann einige Umformungen von (16), (17), (18) vorzunehmen; wir bilden zuerst durch Division von (16) und (18):

y = er sin a tang qp f^l +

À² cos² qp

X² sin² <p

8 p² 12 p² 24 p²

24 p²

In den Korrektionsgliedern gilt aber die erste Näherung a² = ß² + X² cos² qp

und damit giebt das vorstehende:

7 = a » a tang cp ^1 +

<T² À² sin² (jp 12p2 + ^SHp²“,

(25)

(17) und (16) geben umgestellt:

ß = a cos a ( 1 -+

X² A² COS² (jp

8 p²

24 p²

(26)

Â² sin² (jp

ß²

s« a - cos qp

Man kann diese Gleichungen auch in logarithmischer Form anwenden, ähnlich wie (21), (22), (23), was wir aber hier nicht mehr besonders schreiben wollen.

Zu einer Zahlen-Anwendung wollen wir von unserem kleinen Normalbeispiel (1) § 60. S. 338 annehmen :

À = (7

24 p² 24 p²

(27)

Gegeben ^ = 49° 30'0" , a = 1° 11' 19,482" , «1 = 32° 21'1,291"    (28)

Für qp₂ und Î. habe man von irgend wo her, z. B. von einer topographischen Karte, die Näherungswerte:

(29)

(qp₂) = 50 ⁰ 30' 10" , X = 1⁰ 0' 10" =3610"

(a) = 32° 44' 4".

Nun nimmt man aus qpj und (qp₂) den genäherten Mittelwert (qp) = 50° 0' 5" und rechnet mit (A) = 3610", erstmals genähert (y) = (X) sin (qp) = 2765,48" = 0° 46' 5,48"; davon die Hälfte zu ax nach (28) addiert, giebt die erste Näherung für a :

Nun rechnet man mit (qp) = 50°0'5" und («) = 32°44'4" und mit dem genau gegebenen a = 4279,482" die Hauptglieder der Formeln (25), (26), (27) aus, und erhält:

(7) = 2757,93"

= 0°45' 57,93"

{ß) = 3599,76"

(X) = 3600,14"

(30)

Mit diesem (y) bildet man ein neues («) = «!+Y =

32° 44' 0,25"

(Bl)

Nun sind die Näherungen (ß) und (Â) in (30) jedenfalls vollauf genügend zur Berechnung der Korrektions-Glieder in (25), (26), (27), und für die Haupt-Glieder hat man ausser dem gegebenen a dier bereits sehr gute Näherung (31), weshalb man die Ausrechnung nach (25), (26), (27) bereits fast endgiltig machen kann. Wenn hiebei y und ß nicht völlig übereinstimmend erhalten werden mit den in beiden Hauptgliedern er sin a tang cp und a eos a benützten Werten y und ß, so muss man die Rechnung mit verbesserten a und cp so lange wiederholen, bis völlige Übereinstimmung stattfindet.

Andere Form der Korrektions-Glieder.

Da in den Haupt-Gliedern nur a und qp, aber nicht X vorkommt, kann man die allmähliche Verbesserung der Näherungswerte auf diese zwei Elemente, bezw. auf y und ß, beschränken; allerdings bei der ersten Näherung wird man k nicht entbehren können, weil eine erste Näherung für y wohl kaum anders als durch À sin cp zu erhalten sein wird; hat man aber einmal eine solche erste Näherung für y, so führt man diese auch möglichst unmittelbar in die Korrektions-Glieder ein. Dieses geschieht durch die Näherungs-Gleichungen :

(32)

er2 = ß% + À² cos² cp , y² = k² sin² qp

also auch

(j2 ₊ j,2 ₌ ß2 a.2

Damit schreibt man die Gleichungen (26) und (25) für unseren neuen Zweck so :

(33)

(34)

/ y² k² \

ß = aeosa( l + — +

= a sin a tang cp (l 4- ^

oder auch in logarithmischer Form, ähnlich wie (21), (22), (23).

Diese Gleichungen (33) und (34) geben nun eine indirekte Auflösung für qp2 und a₂ bezw. für ß und y, ähnlich wie dieses schon bei (25), (26), (27) gezeigt wurde ; die dritte Grösse k kommt bei (33) und (34) nur in einem Korrektions-Gliede vor und wird, nachdem ß und y gefunden sind, endgiltig durch die frühere Gleichung (27) bestimmt.

Das in vorstehendem beschriebene indirekte Berechnungs-Verfahren ist sehr genau, dasselbe ist auch (gegen erstes Vermuten) sehr bequem.

Gauss selbst sagt hierüber in Art. 20. der Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie zweite Abhandlung: „Die Bequemlichkeit dieses Verfahrens wird allerdings erst dann in ihrer vollen Grösse fühlbar, wenn man sich die Hilfen des kleinen Mechanismus bei Handhabung derartiger Methoden zu eigen gemacht hat. Ich begnüge mich, hier nur anzudeuten, dass, was wie eine mehrfache Keehnung erscheint, nicht in der Form von mehreren getrennten Rechnungen, sondern wie eine einzige geschrieben werden soll, indem man bei jeder neuen Überarbeitung nur die letzten Ziffern ergänzt oder verbessert. Jedenfalls braucht man immer nur die letzte Rechnung aufzubewahren, und gerade darin besteht ein grosser Vorteil, zumal bei Messungen von bedeutendem Umfang, dass man dann den ganzen wesentlichen Kern der Berechnung für alle Dreiecksseiten im möglichst kleinen Raume und in der übersichtlichsten zu beliebiger Prüfung der Richtigkeit geeigneten Form besitzt.“

23

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

§ 63. Weiter-Entwicklung bis zur 5. Ordnung.

(Bezeichnungen nach Fig. 1. S. 349.)

Man kann die vorstehenden Entwicklungen, welche bis zur 3. Ordnung, d. h. bis zu Gliedern 0³, Z³ u. s. w. gehen, noch um eine Stufe weiter, d. h. bis ß$, l5 u. s. w. treiben. Allerdings hat das keinen unmittêlbar praktischen Zweck, denn die Formeln werden dadurch so umständlich, dass man vorziehen müsste, nach den strengen geschlossenen Formeln der sphärischen Trigonometrie zu rechnen; indessen bietet die Entwicklung der Glieder 5. Ordnung das beste Mittel zur Gewinnung eines Urteils über die Grenzen der Anwendung der abgekürzten Formeln, und diese sphärischen Glieder 5. Ordnung werden auch später bei der analogen sphäroidischen Aufgabe von Bedeutung sein.

Wir nehmen nun von den strengen Gauss sehen Gleichungen (5)—(8) § 62. S. 349 nochmals zunächst die zwei ersten vor:

(7    .    . I

■_ sm a = sin „

sin

(1)

cos cp

^    48    3840    1 C°S a ~~

Um diese Gleichungen nach a sin a und a cos « aufzulösen, denken wir uns links abgesondert :

sin a =

2~

TC0S'T

(2)

2    48 ' 3840

COS cp

(3)

(ß 0»    0M/.

\~2    48 ⁺ 3840/ \    8~    384/

(4)

K¹

(7²    (7⁴

~ 24 ⁺ Ï920

1    (7 2

--=l + a:-r-æ² = l-+

1 —x

(7²    <7⁴

= l-x. d. h. x = 24 Î92Ô

7 (7⁴

24    5760

(5)

Hier ist nach (14) § 62. S. 350 : a² = ß% À² cos² cp

ß² À² À⁴ sin² cp cos² <p ß² À²

12

cos² cp

(6)

also

(j4 ₌ ßi + X⁴ COS⁴ Cp -+- 2 ß² À² COS² <p

(7)

Wenn man diese (6) und (7) in (5) einsetzt, und damit die rechten Seiten von (3) und (4) multipliziert, so erhält man die gewünschten Ausdrücke für a sin a und Ebenso kann man auch die Reihe für die Meridian-Konvergenz y finden, und

a cos a.

durch er² sin² a (7² cos² a hat man auch eine Reihe für er² unmittelbar.

Da der Weg aller dieser Entwicklungen genügend gezeigt ist, schreiben wir sofort die Ergebnisse, und zwar zunächst:

a sin a

= À cos cp | 1 -t- 2 j (ß² — 4² -h À ² cos² cp)

(7ß⁴—70$²Ä²+3A⁴+54ß²Ä²cos²<]D+7X⁴cos⁴<jp—10A⁴cos²<jr—20À⁴sm²<pcos²(jD) J

5760

(8)

Ehe wir auch die Formeln für a cos a u. s. w. anschreiben, wollen wir eine bestimmte Ordnung der Glieder einführen und zur Abkürzung zwei neue Zeichen schreiben. Die Faktoren cos² qp und sin² qp kann man jedenfalls alle in cos² qp ausdrücken, und da dieselben immer in Verbindung mit A² auftreten, stellen wir überall gleiche Potenzen von A² und von cos² qp hervor, indem z. B. gesetzt wird :

A⁴ cos² qp = A4 cos⁴ qp (1 -+- tang² qp)

Der Parallel-Kreisbogen A cos qp werde besonders bezeichnet, indem wir setzen :

A cos qp = p und tang qp = t Damit bekommen wir eine neue Schreibung der ersten Formel (8), und fügen sofort auch die übrigen Formeln dieser Art bei:

(9)

(10)

asina=p j 1 +

ff² — jo² t² 7 ß⁴ — 2 ff² ff² (8 + 35 t²) — 3 j?⁴ (8 t² — Z⁴)

24

5760

(11)

a cos a

p² (2 —i— 3 i²)    — 4ß² jP²(4+15i²)+p⁴(— 8 — 20Z² + 15t⁴)

24

5760

(12)

7 = P* |

<7² = (02 + p²)

302-1-2^2    75 ß⁴ + 60 ff² j>² (1 — 2 t²) -f- 24 pi (2 — t²)

24

5760

(13)

ß² p² (1 + 3 t²) + y⁴ t2

12

2ß⁴n²(l + 15t²) + 2ß²ff⁴(l + 10Z² —15t⁴)+ff6(5+12Z² —4Z⁴)

2440

} (14)

Die Formeln (11) und (12) für a sin a und a cos a wird man lieber in loga-rithmischer Form haben wollen, man kann daher dieselben entwickeln nach der Formel :

log (1 +ap) = n (x— yj

(15)

log (l + Ä

Auf diese Weise bekommt man, zugleich mit Zusetzung der nötigen q, folgende log a sina — log p + ^    (ß² —p² t²)

288^4 ( & - 2 ß² |>* (4 + 15 *²) - p⁴ (12 t² + f⁴) j Ï~ïP² (2 + 3Z²)

288^(² ^ P² (4 + 15 t²) + p⁴ (14 + 401² + 15 Z⁴))

Hiebei hat man die Konstanten für ß und p in Sekunden und für Einheiten der 7. Logarithmen-Stelle:

l⁰!>W(ß

Die höheren Glieder in (16) und (17) kann man in dieser Form schreiben: d (log a sin a) = Aß⁴ — II ß² A² — IIIA⁴ (5. Ordnung) à (log er cos a) =

Formeln :

log o cos a = Zo$r ß

A.²    1 £⁴ — 5 A⁴

24 ⁺ 5760) ~ M 1 24 ⁺ 2“    2880™

54

(16)

24 Ç²

(17)

= 4-628 7228

l°⁹ 2880ç⁴

= 1*920 691—10

(18)

(19)

— IV ß² A² — F A⁴ (5. Ordnung)

(20)

Die Coöfficienten 7, II u. s. w. haben wir für verschiedene Breiten cp ausgerechnet, wie aus folgender Tabelle zu entnehmen ist, wobei jedoch ß und X nicht wie bei (18) in Sekunden, sondern für (19) und (20) in Graden zu nehmen sind.

log II    log III    ;    log IV

7-3786    6-6345    7’3786

7-4247    6-6578    7'4247

7-4663    6-6583    7'4663

7-5031    6-6371    !    7-5031

7-5351    6-5950    J    7-5351

Ferner haben wir für eine Breite, cp = 50°, die Glieder ausgerechnet, indem der Beihe nach ß und À = 2°, 4°, 6°, 8°, 10° gesetzt wurde. Die Ergebnisse dieser Ausrechnung zeigen folgende zwei Tabellen:

d (log G sin a), nach Formel (19), 5. Ordnung, für cp = 50°.

CP

40°

45°

50°

55°

60°

log I 6-1459 6-1459 6-1459 6-1459 6-1459

log v 7-3784 7-3827 7-3828 7-3789 7-3716

(21)

fl =

A = 2°

A=4° j A — 6°

A = 8°

A = io°

2°

4°

6°

8°

10°

—    0-184 + 0-221

- 1-012

—    13-279

—    19-196

—    5-724

—    9-198 —14-902

—    22-708

—    32-416

(22)

d (log a cos a), nach Formel (20), 5. Ordnung, für cp = 50°.

A = 2°

A = 4°

A = 6°

A = 8°

A = 10

2°

4°

6°

8°

10°

3- 551

4- 814 6-921

9-871

— 13-664

—    10-640

—    12-887

—    16-632

—    21-877

—    28-620

—    25-314

—    28-824

—    34-677

—    42-871

—    53-405

(23)

In gleicher Weise haben wir auch die Formel (13) für die Meridian-Konvergenz behandelt; es fand sich:

d (y) = VI Xß4 — VIIX3 ß2 ₊ VIIIX* wobei die Coëfficienten folgende Werte haben :

(24)

o    o o o    o

©. O io o »o o iO tO

log VI log VII 3.7291 4.0901 4.3068 4.4606 4.5963

4.4465

4.4880

4.5227

4.5518

4.7560

log VIII 3.6012 4.3556 3.0233 1.6891« 2.8772» ,

(25)

Insbesondere ist, für qp = 50°, hiernach folgendes berechnet :

Korrektion 5. Ordnung für Meridian-Konvergenz nach Formel (13) für cp = 50°.

1 = 2° A = 4°

A = 6° A = 8°

A = 10°

o o o o o

C-l CO 00 ©

0,0000" — 0,0002" ¹ — 0,0007" + 0,0014" +0,0014" ; —0,0011" + 0,0080" +0,0127" +0,0110" + 0,0263" + 0,0464" j + 0,0547" + 0,0650” + 0,1204" : + 0,1569"

—    0,0003"    +0,0030"

—    0,0063" i—0,0133" + 0,0006" j — 0,0192" + 0,0463" 1 +0,0174" + 0,1663" |+0,1411" ,

§ 64. Reihen-Entwicklungen nach Potenzen von er.

Fig. 1.

vo

\c?

1°

Die sehr wichtigen Reihen, welche cp’ — cp, a' — a und A in steigenden Potenzen der Entfernung a ausdrücken, kann man auf mancherlei Arten entwickeln.

Wir wollen zuerst daran erinnern, dass bei gegebenem cp, a und a die drei anderen Werte cp', a' und A sich durch geschlossene Formeln der sphärischen Trigonometrie angeben lassen, die wir schon in § 60. in (16)—(18) S. 342 angegeben haben. Jene Formeln kann man geradezu in Reihen entwickeln , wie bis zu a³ einschliesslich in unserer vorigen

3. Auflage 1890, in § 59. gemacht ist; wir wollen aber hier davon abseh en und lieber gleich zu der Entwicklung nach dem Maclaurinsehen Satze übergehen, welche beliebig weit ausgedehnt werden kann.

Die Anwendung dieses Satzes auf unseren Fall giebt bis zur 6*en Ordnung:

CT -+

d² qp*j a² d³ <p

J

dl

Al A,

a -+

d a2 d² A

a -+

da 2 d² a

d a²

to| ^ co| CO

da3

d³ A

% 051 %

d⁵ cp

a⁵ d⁶ cp

120 das

d& A

d a³

1 + *?l-

I II 6

d 0-4 d± a

d 0-4

]

da⁵ J 120 ¹ d ff6 d⁵ en a⁵ de a da⁵} 120 d a⁶

CO

S'    V-✓    v-✓

Quotienten 4* f-% da da²

Nach Ausführung der Differentiierungen ist in den erhaltenen Differential-u. s. w. der Wert cp' — cp = 0 zu setzen, d. h. die Differential-

Quotienten sind für den Ausgangs-Wert cp und ebenso für den Ausgangs-Wert a auszurechnen.

Die ersten Differential-Quotienten erhalten wir aus (1), (2), (3) § 61. S. 347, nämlich in der für uns geeigneten Form:

d œ

= cos a d a

(4)

d A _ sin a da — cos cp

= sin a tang cp

Nun leiten wir (4) weiter ah, und finden, mit Zuziehung von (6):

d²cp _ da²

— sin a = — sin² a tang cp

(7)

Dieses nochmals abgeleitet giebt: d³ cp _ d a³

also mit Rücksicht auf (6) und (4) : d3 cp

- = — 2 sin² a eos a tang² cp — sin² a cos a (1 tang² cp)

d³cp _ d a³

— 2 sin a cos a

d cp

tang cp — sin² a (1 -h tätig² cpi)

— sin² a cos « (1 —(— 3 tang² cp)

(8)

Dieses wird abermals differentiiert : d⁴cp _ da⁴~

(— 2 sin a cos² a -+- sin³ a) sin a tang cp (1 -+- 3 tang² cp) — sin² cc cos a 6 t (1 -+-t²) cos a

(9)

d ⁴ cp

j = sin* a tang cp (1 + 3 tang² cp) — 4 sin² a cos² cc tang cp (2 + 3 tang² qp) (10)

In dieser Weise kann man fortfahren, wir schreiben dabei wie gewöhnlich tang cp = t und damit wird :

= sini a cos a (1 -f- 301² -f- 45 ti) — 4 sin² a cos3 « (2 -f- 15 t² -ł- 15 ti)

(11)

= — sine a t (1 + 301² + 45 ti) + 4 sini a cos² a t (22 + 1351² + 135 ti)

— 8 sin² a cos⁴ a t (17 + 60 t² -+- 45 ti) Zu den Ableitungen von À übergehend, haben wir nach (5): d A _ sin a da coscp d² Ï. _ cos ad a d a² ~ coscp ds

+ sin a

sin cp d cp cos² cp ds

also mit Berücksichtigung von (4) und (6): d² X

_ cos a sin a d a² cos² cp d²l

(12)

(13)

(14)

sin cp cos² cp

= 2 sin a cos a ianf^ ^ — 2 sin a cos a tana cp sec cp coscp

Da man bald bemerkt, dass der Nenner coscp, oder der Faktor sec cp sich in allen Gliedern der Entwicklung von il einstellt, und dass die Potenzen von tang cp sich wie im vorigen Fall finden, schreibt man auch die Ableitung von sec cp stets in der Form t sec cp, und damit bekommt man (überall tang cp = t gesetzt) weiter: dßj. da3

sin cp sin a

cos a

da²

(15)

dß A da³

= 2 (cos² a — sin² a) sin att sec cp

+ 2 sin a cos a (1    1²) sec cp cos a

-f- 2 sin a cos att sec cp cos a

= — sin³ a sec cp (2 t²) -t- 2 sin a cos² a sec cp (1 -+- 3 t²) Auf diesem Wege findet man auch:

(16)

di X d ai

db X da⁵

de A

d er⁵

= 8 sec cp 11 — sin³ a cos a ( 1 4- 3 t²) -+- sin a cos³ a (2 -+- 3 t²)|

| sin⁵ a (t² -f- 8 t⁴) — sin³ a cos² a (1 -+- 20 t² -+- 30 t⁴)

(2 —151²    15 <⁴)j

= 16 sec cp t |sm⁵ a cos a (2 + 301² -)- 451⁴) — sin³ a cos³ a (26 + 1501² + 150 t⁴)

-4- sin a cos⁵ a (17 -+- 601² -f- 451⁴)|

= 8 sec qp

-+• sin a cos⁴ a

(17)

(18)

In ähnlicher Weise erhält man auch die Ableitungen von a nach er:

—— = s in a t

d er

(20)

^-^2 = sin « cos a (1 4- 2 £²)

(21)

= — sin³ a £ (1 -t- 2 £²) 4- sin a cos² a t (5 4- 6 £²)

d* a d er4 dSq der⁵

= — sin³ a cos « (1 -f- 20 £² 4- 24 £⁴) 4- sin a cos³ « (5 -f- 28 £² 4- 24 £⁴)

= sin⁵ a £ (1 4- 20 £² 4- 24 £⁴) — 2 sin³ « cos² a t (29 4- 140 £² -f-120 £⁴) -I- sin a cos⁴ « t (61 4- 180 £² -f- 120 £⁴)

(22)

(23)

(24)

c£6 a

= sin⁵ a cos a (1 4- 182 £² 4- 840 £⁴ 4- 720 £⁶)

— sin³ « cos³ a (58 4-1316 £² 4- 3600 £⁴ 4- 2400 i⁶) 4- sin a cos⁵ a (61 4- 662 £² -f- 1320 £⁴ 4- 720£6)

(25)

Nun können wir die Formeln (1), (2), (3) zusammensetzen; wir wollen dieses jedoch hier nur bis zur 4. Ordnung thun, wir setzen dabei:

a sin a — v

tang <p = t

Wenn wir zugleich überall die nötigen p zusetzen, so erhalten wir:

er cos a = u

(26)

qp' — q> =

M — ö— 2 Q

v² t

6 p²

v² *e (l + 3£²)

\ Q v⁴1 (1 4- 3 t²) — ^ v² u²1 (2 -4 3 £2)

24 p³

(27)

Ä cos <jp =

V 4--v u t

Q

— „ -= «³ t² 4-

V u² (1 4- 3 £2)

— vS U £ (1 4- 3 £2) 4- gL v u3 £ (2 + 3 £²)

l_„M(l ₊ 2£2)

-^t(l + 2t²) + ~vu2t(5 + 6t²) — —^ v3 u (1 -h 20 £2 4h 24 £⁴)

3o²

3p²

(28)

3o³

(29)

v u³ (5 4- 28.£² 4- 24 £⁴)

24p³

Hiebei sind die konstanten Coëfficienten-Logarithmen :

= 4.384545 , log ^ = 8.89403 , log ~

log — = 4.685 575 , log

Q    y 2p

log = 3.579 603 , log = 3.278 573 , log ~

24 p³

6 p²

= 8.59300

= 2.676 513

Wir wollen hiernach unser kleines Normal-Beispiel berechnen, nämlich: Gegeben:    <p = 49°30'0" a = 32° 21' 1,291" a = 1° 11' 19,4819"

= 4279,4819"

Für die von t abhängigen Coëfficienten kann man die Hilfstafel unseres Anhanges Seite [47]—[51] benützen, oder wenigstens zur Versicherung zuziehen.

In unserem Falle mit qp = 49° 30' hat man:

log (1 -f- 2 t²) — 0.573 078 log (1 4- 3 t²) = 0.70865 log (5 -4- 6 f²) - 1.12141

log (5 4- 28 t² -+- 24 t±) = 1.94689

Im übrigen giebt die Ausrechnung nach den Formeln (27)—(29):

Breite

4- 3615,2710"

—    14,8830

—    0,3797 -f- 0,0008

—    0,0093"

log (1 + 20 t² 4- 24 t*) = 1.86642

4- u =

—    V² t...

—    «² U . . .

-f- V⁴ . . .

—    t’2 ifi . . .

cp' - qp = + 3599,9998" = 0° 59' 59,9998"

Länge

-h v sec q) — -h 3525,9626" -\-vut...

— w³...

4- V ?<2 . . . — t)³ W . . . -+- V Vp . . .

4- 72,3593

—    0,1986 4- 1,8460

—    0,0152 4- 0,0452

—    v³... -t-DIt²...

—    D³ M.. . + V U³ . . .

Azimut

4- 2681,1630" 4- 75,0907 — 0,2061 4- 1,8155 — 0,0152 4- 0,0455

X = + 3599,9993"

= 4-0° 59' 59,9993"

Wir könnten nun weiter untersuchen, wie viel die Glieder 5. Ordnung in gewissen Fällen ausmachen; da wir aber hierüber bereits in anderer Weise in § 63. (22), (23), (26) S. 356 uns Klarheit verschafft haben, wollen wir die Glieder 5. Ordnung unserer neuen Formeln übergehen, dagegen noch für einen Fall die Glieder 6. Ordnung in Betracht nehmen, nämlich für die Azimut-Berechnung, bei welcher nach (3) und (25) das Glied 6. Ordnung folgendes ist:

-1- 2757,8934" = 4- 45' 57,8934"

/I <Xq = 720    |s^*5 a cos (1 + 182 f² 4- 840 Z⁴ 4- 720 f⁶)

— si«³ a cos³ a (58 4- 1316 Z² + 3600 Z⁴ 4- 2400 Z³)

4- sin a cos⁵ a

(61 + 6621² _+ 1820 *4 -1- 720 Z³) J

Um einen einfachen Fall zu haben, setzen wir die Breite qp = 45°, also t = tang qp = 1, und damit wird :

=

o⁻³

1743 sin*³ a cos a — 7374 sinS a cos³ a 4- 2763 sin a cos⁵ «

720 p5

Durch einige Versuche findet man, dass diese Funktion zwischen 0° und 90° zwei Maxima, etwa bei a = 16° und a = 77°, und ein Minimum bei a = 47° hat; das absolute Maximum ist bei 16°, und giebt:

(J «₆) max =

(T³

491

0,0162".

720 £⁵

Setzt man er = 2° = 7200", so erhält man:

a₆) max = 0,00025"

Dagegen für a = 3° erhält man schon 0,0029" und für (7 = 4° erhält man

Aus all diesem ziehen wir folgende Schlüsse:

Die Glieder 6. Ordnung werden bei Ausdehnung von mehreren Graden bereits merkbar, namentlich in höheren Breiten, wo die Glieder mit Z², Z⁴, Z³ sehr rasch

Hat man Fälle mit Ausdehnung etwa über 2°, für welche nach S. 356 die Glieder 5. Ordnung bereits merkbar sind, so thut man besser, nach den geschlossenen Formeln der sphärischen Trigonometrie mit 8—10 stelligen Logarithmen zu rechnen, als die viel grössere Mühe der Glieder 5. oder gar 6. Ordnung aufzuwenden.

wachsen. Da nun schon die Glieder 5. Ordnung ungemein beschwerlich sind, empfehlen sich sphärische Beihen-Entwicklungen höchstens bis zur 4. Ordnung einschliesslich, z. B. die Gauss sehen Mittelbreiten-Formeln (16)—(19) § 62. S. 850, welche äusserlich nur Glieder bis zur dritten Ordnung enthalten, aber wegen des Mittel-Arguments noch um einen Grad genauer, d. h. auf Glieder 4. Ordnung einschliesslich genau sind.

Von diesen Überlegungen werden wir auch später bei den sphäroidischen Berechnungen Gebrauch machen.

Kapitel VI.

Normalschnitte und geodätische Linie.

§ 65. Gegen-Normalschnitte.

Der wichtigste Schritt, den wir in unserer geodätischen Theorie vorwärts zu machen haben, besteht in der Erkenntnis, dass zwischen zwei Punkten des Sphäroids im allgemeinen zwei Normalschnitte bestehen.

Fig. l.

(B

Es seien in Fig. 1. A und B zwei Punkte des Umdrehungs-Ellipsoids, unter verschiedenen Breiten, und es sei A Ka die Flächen-Normale im Punkte A, sowie B Kb die Flächen-Normale im Punkte B ; hiebei bemerkt man zuerst, dass die Punkte, in welchen die Umdrehungsaxe von diesen Normalen getroffen wird, d. h. Ka und Kb, bei schiefem Schnitte nicht zusammenfallen.

Ebenso wie man im allgemeinen zwei Axen-Schnittpunkte Ka und Kb hat, bestehen auch zwei Normalschnitt-Ebenen, welche beide durch die Normalen der Punkte A und B gehen.

Dieses verhält sich genauer so:

Die Normalschnitt-Ebene im Punkte A ist diejenige Ebene, welche durch die Normale A Ka und durch den Punkt B geht ; diese Ebene schneide die Ellipsoidfläche in einem Bogen A a B. Andererseits haben wir als Normalschnitt-Ebene im Punkte B diejenige Ebene* welche durch die Normale B Kh und durch den Punkt A geht und die Ellipsoidfläche in dem Bogen Bh A schneidet.

Es giebt besondere Fälle, in welchen die beiden Normalschnitte zwischen zweien Punkten zusammenfallen :

Erstens. Für irgend zwei Punkte, die auf demselben Meridian liegen, ist dieser Meridian auch Normalschnitt in zweifachem Sinne. Hier ist auch der beson-

dere Fall inbegriffen, dass einer der beiden betrachteten Punkte in einem Pole der Erde liegt; wenn ein Pol der Erde als erster Punkt A gilt, und irgend ein anderer Erdpunkt als zweiter Punkt B, so ist der Meridian des Punktes B sowohl Normalschnitt von B nach A, als auch Normalschnitt von A nach B. Da jedoch die Erdpole nicht zugänglich sind, hat dieser Fall für uns keine praktische Bedeutung.

Ztveitens. Wenn zwei Punkte unter gleichen Breiten cp liegen, so fallen auch die beiden Normalschnitt-Ebenen zusammen, weil dann die beiden Ax-Schnitte Ka und Kb der Normalen von A und von B nach Fig. 1, auf der Erdaxe identisch werden.

Wegen der Kleinheit der Abplattung unserer Erde ist das erkannte Auseinandergehen zweier Gegen-Normalschnitte für messbare Dreiecksseiten sehr gering, und wir haben bisher stillschweigend davon abgesehen, wenn wir die Erde als Kugel behandelten; aber zur Gewinnung eines richtigen Urteils hierüber ist es das erste Erfordernis, die Konvergenz der beiden Normalschnitte durch Rechnung zu bestimmen.

Fig. 2.

/ \

", V

In Fig. 2. ist nochmals der eine von den beiden Schnitten gezeichnet, nämlich derjenige von A nach B, und es ist auch das Azimut « dieses Schnittes in A angedeutet, sowie der Centriwinkel A Ka B = er, welcher dem linearen Bogen AB = s entspricht und zwar in erster Näherung einfach als Kreisbogenrechnung :

\ ⁵ V.

Ni

(1)

Fig. 3.

wenn mit JVj der Quer-Krümmungs-Halbmesser A Ka in dem Punkte A bezeichnet wird.

Die beiden T Schnitte A B und B A sind in

Fig. 4.

“dû 3L

SÄ

co

V,

\Aä_

«•?/

« •• s""

(3)

a' = a"

Der kleine Winkel Ó', welcher zwischen den Strahlen A Ka und A Kb liegend, leicht aus Fig. 3. in Fig. 4. übertragen wird, ist eine uns schon aus der Betrachtung von § 54. über den verkürzten Breitenunterschied geläufige Grösse, nämlich gemäss (8) § 54. S. 303:

(4)

wobei A cp in unserem Falle der Breitenunterschied der Punkte A und B ist, und wie gewöhnlich rp = e'² cos² qp für die Mittelbreite cp.

Es ist auch leicht, A cp in a und a auszudrücken, in erster Näherung nach dem Anblicke von Fig. 2. S. 303:

.    , S

= A cp= — cos a = g cos a

Acp

(5)

Fig. 3. nochmals gezeichnet mit zwei Tangenten A B' und A B", von welchen A B' zu dem Schnitte A B und A B" zu dem Gegenschnitte B A gehört, so dass also B’AB"— a — «' die gesuchte Konvergenz vorstellt.

Zugleich bedeutet B’A B = g den Winkel der Tangente AB' mit der Sehne A B, und wenn wir auf Fig. 2. und Gleichung (1) zurückblicken, erkennen wir leicht, dass in erster Näherung, (nämlich für A B als Kreisbogen um K als Mittelpunkt)

jU = ~ ist, also (nach Fig. 5.) :

(2)

2 “ 2 N-i

Nun kommt die sphärische Fig. 4. in Betracht, welche dadurch entsteht, dass man um A als Mittelpunkt eine Kugelfläche mit beliebigem Halbmesser beschreibt, auf welcher jeder von A ausgehende Strahl sich als Punkt, und jede von A ausgehende Ebene sich als Grosskreisbogen zeigt.

Wir haben auch alle Punkte in Fig. 4. mit denselben Buchstaben bezeichnet, welche auf den entsprechenden Strahlen von Fig. 3.    ^ p__

Vorkommen, so dass also B in Fig. 4. dem Strahl A B von Fig. 3.

Ka in Fig. 4. dem Strahle A Ka von Fig. 3. entspricht u. s. w.

Die Normalschnitt-Ebene AB Ka in Fig. 3. giebt den Bogen N B Ka in Fig. 4. und die Meridian-Ebene AT KaKb von Fig. 3. giebt    ¹    /

den Bogen T Ea Kb in Fig. 4., folglich ist der Winkel B KaT — a das Azimut der Normalschnitt-Ebene AB Ka im Punkte A.

In Fig. 4. ist auch der Winkel B Kb Ka — a" eingeschrieben, welcher das Gegenazimut «' von Fig. 3. hinreichend darstellt, insofern a" den Winkel zwischen der Gegenschnittebene B Kb A und der Meridianebene TAKaKb bedeutet, während allerdings a! von Fig. 3. sich streng genommen auf die etwas anders liegende Schnittebene B Ka A bezieht. Diesen kleinen Unterschied ausser Betracht lassend, setzen wir in gleicher Näherung wie in den Gleichungen (1) und (2):

Fig. 5.

s₂

B*

6,

Also nach (4) :

= 7/2 er cos cc

Auf das sphärische Dreieck B Ka Kb von Fig. 4. werden wir eine Cotangenten-Gleichung von S. 164 anwenden:

cotg (90°— pi) sin ój = cos ó\ cos (180°— a) + sin (180° — a) cot g a" tang u sin ó) = — cos ó\ cos a -i- sin a cotg a"

oder weil p und klein sind:

— cos a sin a"-f- sin a cos a"

sin a"

fi dj = — cos a -f- sin a cotg a" =

fi sin a"= sin (a — a") = a — a" Zurückschauend nach (5), (4) und (3) hat man hieraus:

a — a' = ij²

CT²

sin a cos a

(7)

Fig. 6.

Hier hat der zweite Faktor die geometrische Bedeutung, wie in Fig. 6. angedeutet ist. weshalb wir setzen :

er² sin a cos a

(8)

yoc

Dieser Wert fi ist genähert der sphärische (oder sphäroidische) Excess eines Dreiecks ABC, welches bei C rechtwinklig ist, so dass B C nicht ein Parallel-Kreisbogen, sondern ein Bogen rechtwinklig zum Meridian ACN ist; doch kann in erster Näherung für die Fläche des Dreiecks ABC auch B C als Parallelbogen gelten.

Mit dieser Hilfs-Bezeichnnng e nach (8) lautet unsere Formel (7) kurz:

(9)

« — a = rj² é

Dieselbe Formel (9), welche hier für a — «' gefunden wurde, gilt in gleicher Näherung auch für die Azimut-Differenz in dem zweiten Punkte B ; also wenn dort die Azimute mit ß bezeichnet werden, wird sein:

a — a'= ß — ß' = ?/² fi

Nimmt man beispielshalber eine Entfernung s = 100 000m unter dem Azimut a = 45°, zugleich unter der Breite qp = 45°, so wird:

a — a'= 0,043"

Damit haben wir unseren Hauptzweck erreicht. Wir wissen nun, dass die Konvergenz der beiden Gegenschnitte sich in geringen Beträgen von wenigen Hundertel-Sekunden bewegt, so lange die Dreiecksseiten die Grenze von 100lm nicht überschreiten, und damit ist die früher ohne Kenntnis dieser Verhältnisse angenommene sphärische Triangulierung von § 40.—43., bei welcher die « — a' einfach vernachlässigt werden, genügend gerechtfertigt.

e = 12,7"

(10)

(11)

Querabstand der beiden Schnittbögen.

Es wird noch zur Veranschaulichung dienen, den linearen Querabstand q zu bestimmen, welchen die beiden Normalschnitte auf der Erdoberfläche in der Mitte ihres Verlaufes zwischen sich lassen ; und dazu brauchen wir zuerst den Winkel, den die beiden Schnittebenen unter sich bilden.

Dieser Schnittwinkel v ist in Fig. 8. veranschaulicht. Denkt man sich in der Mitte der Sehne A B (Fig. 7.) eine Ebene KG D rechtwinklig gelegt, so wird diese ein nahezu gleichschenkliges kleines Dreieck ausschneiden (Fig. 8.), dessen beide

Schenkel p den Winkel v zwischen sich fassen und den Querabstand q dem Winkel v gegenüber haben. Die Schenkellänge p ist gleich der Pfeilhöhe eines Bogens s für den Halbmesser N, d. h. nach Fig. 7.:

S-2

Fig. 8.

(12)

Fig. 7.

T3

Hw

n|co

CD

< n_ >

Fig. 9.

VTj"

Was den Schnittwinkel v betrifft, so ist dieser m Fig. 4. S. 362 der kleine Winkel bei B, unter dem sich die beiden Ebenen B'B Ka und B" B Kb schneiden (v ist in Fig. 4. S. 862 nicht eingeschrieben, aber in Fig. 2. des folgenden § 67 S. 368). Man entnimmt also leicht genähert:

sin v oder tang v —

0\ sin a"

sin (90° — ft)

_ ó'i sin a

COS

(7

(13)

oder wegen (5) und (8) hinreichend genau:

(14)

v = rp er sin a cos a = 2 rß Da nach Fig. 8. der kleine Querabstand q = pv ist, hat man also aus (12)

und (13) :

2 = -j r? e bzw. = ~ rp

CO

(15)

Die Ausrechnung mit denselben Annahmen wie bei (10) und (11); nämlich qp = 45° und a = 45°, s = 100 000m giebt:

(16)

q = 0,005m

Dieses Zahlenbeispiel entspricht ungefähr der Linie Hannover-Brocken. Wenn man also von Hannover nach dem Brocken eine Gerade feldmesserisch einweisen und mit Backen und Fahnen abstecken würde, und wenn man dasselbe umgekehrt vom Brocken nach Hannover ausführte, so würden wegen der Abplattung der Erde die beiden abgesteckten Linien nicht zusammenfallen, sondern in der Mitte des Verlaufes (in der Gegend von Salzgitter) um 5 Millimeter aneinander Vorbeigehen.

Dieses handgreifliche Beispiel zeigt am besten die Zulässigkeit geodätischer Vernachlässigung dieser Abweichung.

§ 66. Konvergenzwinkel in zweiter Näherung.

Obgleich die Bestimmung von « — cd in erster Näherung = tj² e im vorigen § 65. für alle praktischen Zwecke vollauf genügt und es auch gar nicht theoretisch ratsam ist, diese Sache alsbald weiter zu verfolgen, wollen wir doch die Näherung «' = a", welche in (3) § 65. S. 365 angenommen wurde, noch näher untersuchen, um vor jedem theoretischen Ein wand geschützt zu sein.

Wir wollen hier auch einige Entwicklungen geben, welche im Anschluss an Bohnenbergers Abhandlung „De computandis etc.“ (vgl. das Citât S. 274) in der vorigen 3. Auflage 1890, § 67.—68. gemacht, nun nicht mehr als Hauptbestandteil unseres Entwicklungsganges genommen, aber doch auch nicht völlig weggelassen

werden sollen. Es mag nach alledem anheimgegeben werden, diesen ganzen § 66. zu überschlagen.

Fig. 1.

\ T

<2)A/ ‘1 /V

In Fig. 1. haben wir die Verhältnisse von § 65. Fig. 3. S. 362 wiederholt und noch deut-

licher gemacht.

A und B sind zwei Punkte des Umdrehungs-Ellipsoids, auf zwei Meridianen T A und T B, welche bei T den Längenunterschied X zwischen sich fassen.

Die Breite von A sei qpx und die Breite von B sei cp₂; ferner sei A Ka die Normale von A und A Kb die Normale von B.

Die Breiten <px und <p2 kommen bei Ka und Kb zum Ausdruck, denn es ist:

Winkel A KaT — 90° — <px und B RbT = 90° — <p₂

Ein Theodolit, in A richtig aufgestellt, wird seine vertikale Axe nach A Ka gerichtet haben, und die Sicht nach B wird in A a B erfolgen unter dem Azimut a. Zieht man auch noch Ka B, so ist das nicht Normale in B, allein man hat nun doch ein Dreikant Ka, ABT mit der Spitze Ka, auf welches die sphärische Trigonometrie angewendet werden kann.

Während a und ß zweifellos Azimute in dem bisherigen Sinne sind, d. h. Winkel zwischen Normalschnitten und einem Meridiane, und zwar sowohl für das Ellipsoid als auch für die beiden sphärischen Dreiecke, in welchen a und 180 — ß Vorkommen, ist dieses bei cd' und ß" nur noch der Fall für die sphärischen Hilfsdreiecke, aber nicht mehr für das Ellipsoid.

Z. B. der Winkel a" kann als Azimut des Schnittes Ab B in A bezeichnet werden, allein nur bei Annahme eines fingierten Erdmittelpunktes Kb, welcher gar nicht in der Normalen von A liegt.

In Bezug auf das Ellipsoid hat der ebene Schnitt Ab B Kb im Punkte A überhaupt kein Azimut in dem gewöhnlichen Sinne, und wenn man dem Bogen Ab B

N₂\

N,

S,

d,

V_ de

6₂<

©

‘2

v.

(1)

dennoch auch in A ein ellipsoidisches Azimut zuteilen will, so kann man nur die Tangente des Bogens Al B in A betrachten, indem man durch diese Tangente und die Normale A Ka eine Ebene legt, welche mit der Meridian-Ebene A T einen anderen Winkel a' bildet (der in Fig. 1. nicht angegeben ist).

Man kann schon jetzt überblicken, dass die beiden hier genannten Winkel a! und a" nur sehr wenig von einander verschieden sind ; zunächst kam es nur darauf an, die geometrischen Begriffe völlig klar zu legen.

Nach diesem wollen wir an die Bestimmung der beiden kleinen Winkel und ö₂ und der excentrischen Entfernungen Sx und S₂ gehen.

Hiezu brauchen wir die mit dl und d₂ in Fig. 1. eingeschriebenen Abstände der Schnitte K„ und Kb vom Mittelpunkt des Ellipsoids.

Wenn die Ordinate von A ist, in dem Sinne der früheren Fig. 1. § 31. S. 188, und Nj die Normale oder der Quer-Krümmungs-Halbmesser A Ka, so ist mit den Bezeichnungen von § 32. S. 194:

d\ = Ni sin qpj — y±

also :

d₁ = e²

Vi

also:

d₂ — di = e² c ^

und d₂ = e²

v2

sin qp₂ sin cpi

__ c (1 — e²) sin cp1 y-

csin cp₂

Vi

Die schmalen Dreiecke A Ka Kb und BKaKb von Fig. 1. geben:

und tang Ö₂ =

tang ôj =

(d₂ — Æj) cos <jpt Wj -+- (d₂ — d{] sin q>₁

(dj — d₂) cos qp₂

__

N₂ -+- (dj — d₂) sin <p₂    ¹

bestimmen :

In gleicher Weise kann man auch die Entfernungen S₁ und S₂ nach Fig. 1.

S{ = N\-\- (d₂ — di)% -+- 2 Ni (d₂ — d{) sin qpj S | = JV| -t- (di — tï₂)² ~b 2 N₂ (di — d₂) sin cp2 Man kann alle diese Formeln auch in Reihen entwickeln, wie in unserer 3. Auflage 1890, S. 349—351 geschehen ist.

Es ist aber darauf aufmerksam zu machen, dass die vorstehenden Formeln (2)—(6) streng giltig sind für beliebig weit entfernte Erdorte. Auch der Depressionswinkel y kann nach Fig. 5. § 66. streng angegeben werden durch:

S₂ sin a Ni — S₂ cos a

Solche strenge Formeln könnten etwa in Frage kommen bei Mondbeobachtungen. Ygl. hiezu auch: „Über das Geoid, von J. Bischoff, München 1889“.

Wir haben hiezu ein Zahlen-Beispiel berechnet:

tang (900 — fx) =

Ni

oder tang /x sina = c - — cos a

S₂

(6)

(?)

cp₂ = 50° 30'

Mittel <p = 50° 0' Differenz A <p = 1° = 3600'

Damit wurde sowohl nach den geschlossenen Formeln als nach verschiedenen Reihen berechnet:

qpi = 49° 30'

di = 10,06 958"

Si

= 1,000 057 1638

= 9,86 285"

= 0,999 941 9985

log

Nx

0.000 0248-252

log

= 9.999 9748-096

Die beiden sphärischen Dreiecke haben ergeben: KaABT

(pi = 49° 30' 0" , l = 1°0' 0" qp₂ — 0₂ = 50° 29' 50,13715"

« = 32° 25' 21,5294" ß" = 33° 11' 19,3674" ffi = 1° 11' 11,22445"

Hieraus ziehen wir auch die Differenzen:

« — a" = 0,0555"

Kb ABT

cp₂ = 50° 30' 0" , 4 = 1° 0' 0" <Pi + ö₁ = 49° 30' 10,06958" a" = 32° 25' 21,4739" ß = 33° 11' 19,4237"

1° 11'10,97855"

(9)

ß — ß" = 0,0563"

Der im vorigen § 65. mit a! bezeichnete Winkel ist hier gar nicht vorgekommen; um auch zu diesem zu gelangen, haben wir in nachstehender Fig. 2. im wesentlichen die Verhältnisse der früheren Fig. 4. § 65. S. 362 wiederholt.

Das Azimut «', welches der Gegen-Normalschnitt B Kb A in A hat (vgl. Fig. 2. S. 362) ist als Winkel zweier Ebenen zunächst nicht vertreten, weil die Ebene B K A

in A nicht normal ist. Allerdings bildet diese Ebene B K A mit der Meridian-Ebene von A einen gewissen Winkel welchen wir schon yj90-n kennen gelernt haben, und von dem wir auch schon wissen, dass er nahezu gleich dem Azimute a' ist; und jenen Winkel a" finden wir in Fig. 2. leicht wieder, nämlich bei Kb zwischen dem Meridianbogen Kb Ka T und dem Gegen-Schnitt-bogen Kb B.

Fig. 2.

B¹ m-cc' b"

rDO °

90°

(10)

Das Gegen-Azimut a' selbst muss zunächst in Fig. 3. S. 362 dadurch konstruiert werden, dass man die Tangente A B" an die Gegen-Schnittkurve 54 in 4 zieht; und wenn man gleichzeitig auch die Tangente A B' an den Schnittbogen AB in A zieht, so liegen diese beiden Tangenten in der Berührungs-Ebene des Punktes A, und fassen den kleinen Winkel a — a' zwischen sich.

Auf diesem Wege ist die Differenz a — a' auch leicht in unsere neue Fig. 2. hinüber zu tragen ; man macht den Bogen B B' entsprechend dem Depressions-Winkel fi der Sehne A B gegen die Tangente A B', dann B' B" rechtwinklig zu B B', worauf sich B" als Schnitt der Horizontalen B' B" mit der Schiefen Kb B B" ergiebt.

Indessen kann man nicht nur diese kleine Differenz a — a', sondern auch das Azimut a' selbst in Fig. 2. auffinden, indem man den Bogen Ff" Ka zieht, welcher der Ebene B" A Ka entspricht, und mit dem Meridian Ka T das fragliche Azimut a! macht.

Der in Fig. 2. gezogene Bogen B" Ka ist = 90°, weil die Strahlen A B"

N (90°

SO⁰-^'

/ Ol" /

c/.-Gc' ! OC'y

Ka

90°

n¹----£

und A Ku in Fig. 3. S. 362 als Tangente und als Normale des Ellipsoids auf einander rechtwinklig sind, und ebenso ist auch B' Ka = 90°, also B Ka — 90° — fi.

Nun wollen wir noch den kurzen Bogen K„ N rechtwinklig zu B" Kb ziehen, wodurch auch B" N = 90° und folglich der Bogen KaN = n, gleich dem Winkel n hei B" wird.

Dieses n ist der Neigungs-Winkel der Normalen A K„ gegen die Gegenschnitt-Ebene BAKb, und eine entsprechende Neigung n' kann man Kb N' = n' ebenfalls angeben, d. h. den Neigungs-Winkel n, welchen die jenseitige Normale B K>, mit der diesseitigen Normalschnitt-Ehene AB Ka bildet.

Unsere Fig. 2. zeigt bei B den Winkel v, welchen die beiden Normalschnitt-Ebenen unter sich bilden, und endlich haben wir noch die kleine Seite KaKb= entsprechend dem kleinen Winkel Ka A Kb = öj in Fig. 1., den wir auch schon früher kennen gelernt haben.

Nachdem wir so alle Winkel, die uns hier interessieren, in den sphärischen Dreiecken von Fig. 2. dargestellt haben, können wir alle Beziehungen, welche zwischen diesen Winkeln bestehen, durch die sphärische Trigonometrie aus Fig. 2. ableiten.

Wir gehen zuerst darauf aus, die Differenz a — a" zu bestimmen; hiezu gieht eine Cotangenten-Gleichung S. 164, auf das Dreieck BKaKb angewendet, genau wieder wie in (6) § 65. S. 363:

cotg (90° — n) sin Ö₁ = cos d\ cos (180° — ß) -f- sin (180° — «) cot g u" tang a sin ô'x = — cos cos a -f- sin a cotg a"

sin a cos a"

tang fj. sin = ^2 sw² — 1 j cos a -+-

sin (ß — ß")

sin a"

(H)

tang pt sin — 2 cos a sin² =

Dadurch ist ß— a" bestimmt; und um auch die Differenz ß" — a' zu finden, betrachten wir das kleine rechtwinklige Dreieck Kn Kb N, dessen sphärischer Excess gerade zu = a" — a' ist, denn der Winkel dieses rechtwinkligen Dreiecks bei Ka ist = 90° — ß', weil K„ B" rechtwinklig auf Ka N steht; es ist also:

sin a"

a" + (90° — ß') = 90° + (ß” — ß') Hiefür giebt die Hypotenusen-Formel S. 164:

cotg a" cotg (90° — a') = cos ^

(12)

cos a" sin a' = sin a" cos a' 1 — 2 sin²

to LS*

sin (ß" — ß') = 2 sin²

sin ß" cos a'

(13)

Nachdem durch (11) und (13) auch a — a' bestimmt ist, erhält man aus dem oberen rechtwinkligen Dreieck B B' B" in Fig. 2. :

und

tang v =

tang (ß — cd)

sin u

(14)

tang n =

sin (ß — ß')

oder aus dem Dreieck B Ka N:

tang ,u

(15)

sin n = sin v cos tu

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

Dabei ist gesetzt:

«. =v*Jq>' (1 + ^‘)

A qp _

V2

A q)' , tang cp = t

Auch der Depressionswinkel p wird nach (7) genauer gebraucht, was als Reihen-Entwicklung hier nicht nachgewiesen wird (3. Auflage 1890, S. 360—361). Das Schlussergebnis ist:

g

a — a" = if A cp'    am

Dabei bezieht sich ry² auf die Mittelbreite, wie auch am das Mittel-Azimut ist. Weiter wurde gefunden:

Dadurch ist n zweifach bestimmt, wie überhaupt noch manche Kontrollgleichung aus Fig. 2. abgelesen werden kann (wozu noch p', m und ni eingeschrieben sind). Um n und n' auch unmittelbar in bj auszudrücken, hat man aus den kleinen rechtwinkligen Dreiecken Ka Kt N und K„ Kt N in Fig. 3. : sin n = sin ó\ sin a"

Um zur Entwicklung von « — a" zu gelangen, haben wir zuerst aus (11): a — a"

sin n' — sin bj sin a

(17)

= (päi

*««U«

(18)

~ Y

Der von der Breiten-Verkürzung herrührende Winkel bj muss aus der geschlossenen Formel (5) für bj auf S. 367 entwickelt werden, was hier nicht näher im Einzelnen dargelegt wird; das Ergebnis ist:

(19)

<x — cd — rß A cp'

sin am

(20)

2 R

cd = ?/4 A cp' ™

Der Unterschied von a — a' gegen a — a" nach (20) und (19) besteht darin, dass bei (19) der Quer-Krümmungs-Halbmesser N im Nenner steht, dagegen bei (20) der Krümmungs-Halbmesser B in der Richtung des Bogens A B.

Diese Formeln sind genau auf Glieder von der Ordnung ?y² a² und rf a² einschliesslich.

sin a cos² «

(21)

Die letzte Differenz a" — a' nach (21) hat den Faktor /y⁴, ist also von nächster Ordnung im Vergleich zu a — a' und a — a".

Die Ausrechnung nach diesen Formeln hat für das Zahlenbeispiel (7)—(10)

(22)

ergeben :

a — cd = ß — ß' = 0,0560"

Um dieses mit a — a" = 0,0555" und mit ß — ß" = 0,0563 nach (10) S. 368 zu vergleichen, sollte man noch die Reduktion a" — cd nach (21) anbringen, welche aber nur 0,0001" bringt, und neben unserer weniger genauen trigonometrischen Rechnung zu vernachlässigen ist. Hiernach stimmt (22) genügend mit dem früheren (10) S. 368.

Ellipsenbogen der Normalschnitte.

In Fig. 3. ist nochmals der ebene Schnitt AB Ka von Fig. 1. dargestellt, und wir möchten noch die elliptische Bogenlänge AB — s kennen lernen, ohne jedoch die Einzelheiten der Reihen-Entwicklung (von 3. Auflage 1890, S. 353—354) herzusetzen. Aus den Gleichungen (6) muss es möglich sein, zu entwickeln:

Die Integration mit den Grenzen <j = 0 und a — a giebt :

Nxia

,S'2

Î]²

(23)

= 1--jr- a² cos² «

2

Dadurch ist die Kurve A B (Fig. 3.) in Polar-Coordinaten

Fig. 3.

ds

bestimmt, und um s in a auszudrücken, hat man nur die Bogen- Ą<jgQu länge s durch Integration zu finden. Hiezu giebt Fig. 3. die Differen- \ tial-Gleichung :    \

S₂

d,s⁹- = {S₂ d er)² 4- (d Ä₂)²

(24)

c\ö

Hier ist S₂ als Funktion der Veränderlichen a nach (24) einzuführen; Ni ist konstant, und auch a und 7]² gelten hier als konstant. Man hat daher aus (23): fl S₂

Ka

(d S₂)² = rfi ... do-

= — N-[ Tj² cos² a a

Wenn wir Glieder mit 7/⁴ vernachlässigen, können wir (24) kurz so schreiben:

(25)

7/²

a² cos² a) da

^ a³ cos² a

oder auch:

Das Korrektionsglied beträgt

a =    ^1 4-    (J² cos²

” j' cos² a q" in Sekunden. Mit qp = a = 45°

(26)

und s = 100 000“ giebt dieses nur 0,0002" (man kann daher bei einzelnen Dreiecksseiten das zweite Glied von (26) vernachlässigen).

Nach dem Satz von der verkürzten Breitendifferenz (8) § 54. S. 303 kann man

hier setzen a cos a

_ A qp _

(7 =

A qp', also wird (26):

-J.- (l 4- — A <p'²j oder s = Nx o

V2

(27)

In dieser Form haben wir das Zahlen-Beispiel (7)—(9) S. 368 behandelt und

berechnet :

(28)

(29)

s = Ni <?! (1 — ...) = 132 315,392“ — 0,019“ = 132 315,373“ s = N₂ <j₂ (1 — ...) = 132 315,394“ — 0,019“ = 132 315,375“

Das Korrektionsglied von (27) macht also hier nur etwa 2 Centimeter aus. Die beiden Werte s nach (28) und (29) sind innerhalb der Rechenschärfe als gleich zu betrachten, und wir werden später in § 71. auch finden, dass sie innerhalb der Rechenschärfe auch gleich lang sind, wie die geodätische Linie zwischen A und B.

§ 67. Einfluss verschiedener Höhen.

Im Bisherigen haben wir immer die Voraussetzung gemacht, dass die in Betracht kommenden Punkte A, B beide auf der Oberfläche des Umdrehungs-Ellipsoid liegen. Für Triangulierung, Azimutmessung u. dgl. zwischen zwei Punkten ist diese Annahme physisch nicht möglich, weil die Erde nicht durchsichtig ist. In Wirklichkeit befinden sich die Punkte auf Berghöhen, Türmen u. dgl., und es fragt sich, ob dadurch eine Änderung gegen die frühere Annahme stattfindet.

Mit qp und a = 45° giebt dieses:

Wir wollen zunächst annehmen, der Standpunkt des Beobachters befinde sich auf der Ellipsoidfläche selbst, welche unseren Betrachtungen zu Grunde gelegt wird; dagegen sei der Zielpunkt in einer Höhe h über der Ellipsoidfläche befindlich, wie in Fig. 1. mit dem Standpunkt A und dem Zielpunkt H angedeutet ist.

Einen solchen Zielpunkt denken wir uns auf das Ellipsoid projiziert mittelst der Ellipsoidnormalen (wobei von einer Krümmung der Lotlinien abgesehen wird).

In Fig. 1. sei H ein hochgelegener Punkt und B' dessen Projektion, wobei H Kb die Normale von B ist. Wenn nun von einem entfernten Punkt A, der in der Ellipsoidfläche selbst liegt, mittelst des Theodolits nach B gemessen wird, so geschieht dieses in der Ebene A H Ka, welche in A normal ist, und der Theodolit projiziert den Punkt E nicht nach B', sondern nach B.

Um den dadurch entstehenden Azimutal-Fehler BAB'=y zu bestimmen, brauchen wir wieder den kleinen Winkel KaHKb— Ö, nämlich nach (4) § 65, S. 363 in erster Näherung:

o s

- TjU    (X-

Fig. 1.

oC.

Ji

A-rH

vS

Ka

Kl

« = ’/aw

wobei s die lineare Entfernung A B und N der Quer-Krümmungs-Halbmesser ist. Damit hat man den Projektionsfehler B B' im Meridian:

BB'= hÖ = j?2

hs

cos a

Der entsprechende Azimutfehler y ist:

B B ' sin a

V² x sin

a cos a

Also für h = 1000m giebt dieses bereits 0,054".

Wenn der Punkt A selbst nicht in der Ellipsoidfläche liegt, sondern darüber, so ändert das an der bisherigen Betrachtung nichts, weil A in seiner eigenen Normalen KaA gehoben ist, wobei die vertikale Theodolit-Axe von A mit der Normalen A Ka zusammenfällt.

Wirkung der Refraktion. Infolge der Abplattung der Erde und der Niveauschichten der Atmosphäre findet eine Ablenkung eines Lichtstrahles durch Refraktion nicht bloss in vertikalem Sinne, sondern auch in horizontalem Sinne statt. Je zwei aufeinander folgende Elemente eines Lichtstrahls liegen in einer Ebene, welche die Lotlinie der Trennungsfläche zwischen zwei verschieden dichten und verschieden brechenden Schichten der Atmosphäre enthält. Da die Trennungsfläche zweier solcher Schichten rechtwinklig zur Lotrichtung sein muss, finden wir für den Lauf einer Lichtkurve durch die Atmosphäre ein ähnliches Gesetz wie für die geodätische Linie (vgl. Fig. 2. in § 68.), dass nämlich die Schmiegungs-Ebene der Lichtkurve überall Normalebene der lichtbrechenden Fläche sei oder die Lotlinie dieser Fläche enthalten muss.

Auf Grund dieses Gesetzes sind Untersuchungen über die azimutale Ablenkung des Lichtstrahles angestellt worden von Andrae, Sonderhof und Helmert (s. Helmert, höhere Geodäsie II. S. 565), in ähnlicher Weise, wie für den Lauf der geodätischen Linie auf dem Erdellipsoid zwischen den beiden Normalschnitten. Da die Lichtkurve in ihrer Hauptkrümmung viel flacher ist als die geodätische Linie auf der Erde, so wird auch der Querabstand zwischen den Normalschnitten in demselben Yerhältnisse kleiner, und ebenso auch die kleinen 'Winkel beider Lichtkurven kleiner als für die geodätische Linie auf der Erde. Das Krümmungsverhältnis zwischen der Lichtlinie und einer Erdlinie ist der sogenannte Kefraktions-Coëfficient, im Mittel etwa Je = 0,13, und hiernach verhält sich die azimutale Ablenkung des Lichtstrahls zu der entsprechenden geodätischen Reduktion wie 0,13 zu 1. Da nun diese geodätische Reduktion selbst sehr gering ist, so ist nach den citierten Untersuchungen von Andrae, Sonderhof und Helmert die Lichtablenkung zu vernachlässigen.

§ 68. Die geodätische Linie.

Nachdem wir in § 65. uns überzeugt haben, dass zwischen zwei Punkten A und B der ellipsoidischen Erdoberfläche im allgemeinen zwei verschiedene Normalschnitte bestehen, in welchen bei Theodolit-Beobachtungen von A nach B und von B nach A die Sicht-Linien sich befinden, können wir auch angeben, was für ein Linienzug erhalten wird, wenn man mehrere aufeinanderfolgende Punkte A, B, C (Fig. 1.) durch fortgesetztes Theodolit-Einweisen, wie eine Gerade in der Ebene, absteckt.

In Fig. 1. stehe in A ein Theodolit mit lotrechter Axe, mit Avelchem ein entfernter Punkt B angezielt oder eingewiesen wird, wobei die Sicht A a B stattfindet.

Hierauf begiebt man sich mit dem Theodolit nach B, stellt denselben dort ebenfalls mit lotrechter Axe auf, zielt zurück nach A, was in der Sicht Bb A geschieht, dreht dann um 180° und bekommt die neue Sicht Bb C. Hierauf geht man nach C, nimmt wieder die Sicht rückwärts C cB, und um 180° gedreht vorwärts Cc D, und so fort.

Die Theorie von § 65. hat uns gezeigt, dass bei diesem Verfahren allerdings im allgemeinen

zwei Verbindungslinien zwischen je zwei Punkten A und B,

Betracht kommen, nämlich A a B von A nach B und Bb A von B nach A u. s. w., doch sind die Abweichungen zwischen a und b, c und d u. s. w. so klein, dass sie selbst bei Dreiecksseiten von 100 000 Meter auf unserer Erdoberfläche noch vernachlässigt werden können.

Wäre unsere Erde stärker abgeplattet, so würden auch diese Abweichungen stärker sein ; und im Sinne der Theorie kommt es auf den Grössenbetrag der Abweichungen jetzt nicht an, sondern darauf, dass das mathematische Gesetz des Linienzuges A, B, C, D erkannt werde.

Jedenfalls werden bei der Krümmung, wie sie unser Erdellipsoid hat, die Abweichungen a b immer kleiner, wenn die Zielweiten AB, BC u. s. w. fortgesetzt

Fig. 1.

,n"

Ar

t'I

N'

M"

SM'

B und C, u. s. w. in

verkürzt werden. Die kleinen Azixnutverschiebungen a Ab u. s. w. wachsen nach (7) § 65. S. 364 nur mit dem Quadrate der Zielweiten; und lässt man die Zielweiten AB, BC

seihst unendlich klein (im Sinne der Differential-Rechnung) werden,

so werden die Schleifen AaBb u. s. w. sich schliessen, und man bekommt statt des Schleifen-Zuges eine stetige Linie A B G D, welche geodätische Linie heisst, und im allgemeinen eine Kurve doppelter Krümmung ist.

Als Richtungswinkel, hezw. Azimute der geodätischen Linie, welche nach dem Zusammenfallen der Schleifen in Fig. 1. entsteht, sind die Winkel a, ß, y, 8 zu betrachten, oder genauer die Grenzwerte, gegen welche diese Winkel a, ß, y, 8 hei unbegrenzt abnehmenden Strecken A B, B G u. s. w. konvergieren.

Mit den Begriffen der Feld- und Landmessung in der Ebene kann man die geodätische Linie kurz so erklären :

Man macht auf der ellipsoidischen Erdoberfläche genau dasselbe, was der Landmesser thut, wenn er eine sehr lange Gerade AD in der Ebene stückweise absteckt, indem er seinen Theodolit zuerst in A, dann in B, G, D aufstellt, und jedesmal einen Brechungswinkel von 180° absetzt.

Oder : eine geodätische Linie ist in Bezug auf fortgesetztes Einweisen mit kurzen Zielweiten auf einer krummen Fläche dasselbe, was in der Ebene ein gerade gestrecktes Polygon mit lauter Brechungswinkeln von 180° ist.

Es ist deswegen eine vorzügliche Benennung, welche Soldner in der „monatlichen Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde“ 1805 § 7. anwendet, in der er sagt: eine „geodätisch gerade Linie“.

Eine geodätische Linie auf irgend einer krummen Fläche ist in der angegebenen Beziehung auch dasselbe, was auf einer Kugelfläche ein grösster Kreisbogen ist.

Wenn hiernach die Absteckung in kleinen Teilstrecken in der Ebene für die Gerade, auf der Kugel für den Grosskreisbogen und auf dem Ellipsoid oder irgend einer andern krummen Fläche für die geodätische Linie, einander analog sind, so ist dagegen für die Absteckung oder Sichtung auf die Gesamtlänge diese Analogie nicht mehr vorhanden, was durch Fig. 2. näher erläutert werden soll.

In Fig. 2. sei eine geodätische Linie A ab c . . . g h B durch schrittweises Abstecken mit den kleinen Ziel-

Fig. 2.

h/

y/

weiten A a = ab = b c u. s. w. er-

halten, wobei der Theodolit in a, b, c u. s. w. immer Brechungswinkel von 180° zeigt.

1A

Stellt man aber nach Absteckung der Einzelpunkte den Theodolit wieder in A lotrecht auf, und zielt auf einmal nach dem Endpunkte B (sofern die Erdkrümmung dieses gestattet), so bekommt man eine ganz andere Sichtlinie als vorher, nämlich nun AA'B als vertikalen Schnitt von A nach B, und ebenso in B die Sicht B B'A als vertikalen Schnitt von B nach A.

Um dieses noch deutlicher zu zeigen, haben wir in Fig. 3. die beiden Normalschnitte (Yertikalschnitte) zwischen zwei Punkten A und B, nebst der dazwischen verlaufenden geodätischen Linie auf einem Umdrehungs-Ellipsoid mit der Abplattung 1:3 dargestellt.

Diese Fig. 3. ist nach einem Modell gemacht, dessen grosse Halbaxe a = 15cm

— b i 3’

und dessen kleine Halbaxe B = / a³

= 10cm ist. Es ist also die Abplattung a = —— «2 — 62

= 0,745 und e' — j/ ^ schnitte und die geodätische Linie sind nach mathematischen Gesetzen konstruiert.

die Excentricität e

«2—52

= 1,118.

Die Normal-

Fig. 3.

<5

AP

ii»

Ti

riß

■o

Schmiegungs-Ebene und Scheitel-Azimute.

Wenn wir die im vorstehenden, aus den Begriffen des Feld- und Landmessens hergeleitete Erklärung der geodätischen Linie in abstraktere Form fassen, so brauchen wir den Begriff der Schmiegungs-Ebene (Osculations-Ebene), d. h. einer Ebene, welche durch zwei aufeinander folgende Elemente einer Kurve, in unserem Falle zwei aufeinander folgende Elemente der geodätischen Linie geht.

Nach unserer Feld-Absteckungs-Erklärung ist dieses die Ebene, in welcher in jedem Punkte der rückwärts und vorwärts gerichtete Strahl eines Brechungswinkels von 180° liegt, und da diese Ebene durch die Vertikalaxe des Theodolits geht, ist sie Normal-Ebene der krummen Fläche, auf welcher die geodätische Linie abgesteckt gedacht wird; und deswegen gilt der Satz:

Die Schmiegungs-Ebene der geodätischen Linie ist überall Normal-Ebene der hrummen Fläche, auf welcher die geodätische Linie verläuft.

Wenn in irgend einem Punkte der geodätischen Linie, z. B. B Fig. 1. S. 373, irgend eine Flächen-Tangente TT’ gezogen wird, so sind die beiden Scheitelwinkel bBT — ß und T’B b = ß, welche die geodätische Linie mit dieser Tangente bildet, einander gleich.

Es könnte auf den ersten Blick scheinen, als ob das selbstverständlich und bei allen Kurven der Fall wäre; allerdings sind Scheitelwinkel zwischen zweien Geraden, also auch zwischen zwei Kurven-Tangenten in einem Punkte einander gleich, und es wäre also im Punkte B für jede Kurve ß = ß’, wenn ABC Fig. 1. S. 373 als ein Element der Kurve gilt; wenn dagegen der Kurventeil ABC aus zwei oder mehr Elementen bestehend angenommen wird, oder mit anderen Worten, wenn man in dem Punkte B die Krümmung der Kurve ABC untersuchen will, dann sind die beiden mit ß bezeichneten Winkel nur für den Fall gleich, dass die beiden in dem Punkte B zusammentreffenden Elemente der Kurve gemeinsam in einer Ebene liegen, welche auch die Flächen-Normale des Punktes B enthält, d. h. Schmiegungs-Ebene in B ist, so dass dann auch diese Flächen-Normale in B als Schnitt der Schmiegungs-Ebene und der durch T T' gehenden Flächen-Normalebene erscheint.

All dieses ist nun bei der geodätischen Linie erfüllt, und- wenn man daher eine geodätische Linie A B G D . . . (Fig. 1. S. 373) durch eine Schar von anderen geodätischen Linien MN, M'N' u. s. w. schneidet, so sind alle dabei auftretenden Schnittwinkel ß und ß in B, y und y in C u. s. w. einander gleich.

Wir werden als geodätische Linien MN, M'N' u. s. w. von Fig. 1. S. 373, welche sämtlich von einer geodätischen Linie AB C D geschnitten werden, später namentlich die Meridiane des Umdrehungs-Ellipsoids finden, wo a, ß, y die Azimute sind, und deswegen sprechen wir das, was über die Winkel ß, ß, sowie y, y u. s. w. erkannt wurde, sofort aus in dem Satze : die geodätische Linie schneidet jeden Meridian unter gleichen Scheitel-Azimuten.

Krümmungs-Linien.

Zur allgemeinen Klärung der Begriffe empfiehlt es sich, neben der geodätischen Linie auch noch die Krümmungslinie zu erwähnen. Eine auf einer krummen Fläche gezogene Krümmungslinie hat die Eigenschaft, dass je zwei aufeinander folgende, ihr zugehörige Flächen-Normalen sich schneiden, was bei der geodätischen Linie nicht der Fall ist, wie z. B. aus den zwei Punkten Ka und Kb Fig. 1. § 65. S. 361 zu ersehen ist.

Eine Krümmungslinie folgt stets der grössten oder der kleinsten Krümmung, deren Richtungen nach dem Euler sehen Satze (§ 33. S. 199) zu einander rechtwinklig sind ; und daher bilden die sämtlichen Krümmungslinien einer Fläche zwei Scharen von Kurven, die sich überall gegenseitig rechtwinklig schneiden.

Ein Flächenpunkt, in welchem die beiden Haupt-Krümmungs-Halbmesser (und damit auch alle Normalschnitts-Krümmungs-Halbmesser) gleich sind, heisst „Nabelpunkt“ der Fläche. Z. B. sind die beiden Pole des Umdrehungs-Ellipsoids Nabelpunkte in diesem Sinne ; die Meridiane sind Krümmungslinien der einen Schar, und die Parallelkreise sind Krümmungslinien der zweiten Schar. Das strahlenförmige Ausgehen der Meridiane als erster Schar vom Pol als Nabelpunkt ist jedoch nur besonderer Fall und findet z. B. bei den vier Nabelpunkten des dreiaxigen Ellipsoids nicht mehr statt.

Wenn eine Krümmungslinie zugleich geodätische Linie sein soll, so muss sie ganz in einer Ebene liegen, weil jede Flächen-Normale sowohl von den beiden benachbarten Flächen-Normalen geschnitten werden, als auch in der Ebene zweier benachbarten Kurven-Elemente liegen muss, was bloss bei einer ebenen Kurve möglich ist ; dagegen umgekehrt eine Krümmungslinie, die in einer Ebene liegt, ist deswegen nicht notwendig geodätische Linie.

Auf dem Umdrehungs-Ellipsoid (sowie auf jeder anderen Umdrehungsfläche) ist jeder Meridian geodätische Linie und Krümmungslinie ; ein Parallelkreis ist Krümmungslinie aber nicht geodätische Linie.

§ 69. Differential-Gleichungen der geodätischen Linie.

Nachdem wir am Schluss des vorigen § 68. den Satz von den gleichen Scheitel-Azimuten der geodätischen Linie gefunden haben, können wir die Differential-Gleichungen dieser Linie auf irgend einer Umdrehungsfläche aufstellen, in ähnlicher Weise wie wir früher bei Fig. 1. § 61. S. 347 die Differential-Gleichungen des grössten Kreises auf der Kugel durch geometrische Betrachtungen nachgewiesen haben.

Obgleich die nachfolgenden Betrachtungen auf jede beliebige Umdrehungsfläche bezogen werden können, legen wir doch sofort in Fig. 1. unser Umdrehungs-Ellipsoid zu Grunde, weil wir für andere Flächen keine Anwendung haben.

Im Anschluss an Fig. 1. und Fig. 2. stellen wir eine geometrische Differential-Betrachtung an, welche ganz analog dem früheren Falle auf der Kugel (Fig. 1. und Fig. 2. § 61. S. 347) ist. Wir betrachten dabei Fig. 2. als polyedrisches Analogon zu der wirklichen krummen Fläche, und haben dabei den Grenzfall für unbegrenzt abnehmendes d s im Auge.

Fig. 1.

Fig. 2.

Besonderer Teil von Fig. 1.

CP

L-a

------„

JT.

OL

■ EL

1-6

s:

n.

/ -6

■*5.

9-

H”

-o

’s----

\    -W-

Q_

Li

~o

O-

Eine geodätische Linie P P' P" schneidet schief über zwei Meridiane und zwei Parallelkreise des Umdrebungs-Ellipsoids hin, wodurch ein Trapez PP] P' Q für uns von Wichtigkeit wird, dessen Diagonale P P' ein Stück d s der geodätischen Linie ist.

Indem wir die Breiten cp und cp -f- d cp und den Längenunterschied A Ï. sowie den Meridian-Krümmungs-Halbmesser M und den Quer-Krümmungs-Halbmesser N nach alter Bezeichnung annehmen, haben wir (nach Andeutung von Km und K„ in Fig. 1. und Fig. 2.) die Seiten des Trapezes:

(1)

(2)

A B oder PP\ — Md cp P Q oder P₁ P' = N cos cp d X Wenn nun das Azimut der geodätischen Linie hei P den Wert a hat, und das Element der geodätischen Linie selbst = d s gesetzt wird, so erhält man in erster

Um auch für d a eine Differential-Formel zu erhalten, betrachten wir das langgestreckte schmale Dreieck PP' S, welches oben bei S den Winkel da enthält; dasselbe giebt genau in derselben Weise, wie früher bei der Kugel in (3 a) § 61. S. 348 gezeigt wurde, die Gleichung:

da = dX sin (p

Dabei ist aber zu beachten, dass dieses d a zunächst nur gilt für die Differenz :

(5)

(6)

QP' P — P₁PP' — da allein wegen des Satzes von den gleichen Scheitel-Azimuten der geodätischen Linie, den wir eingangs citiert haben, sind die beiden in Fig. 2. bei P' mit a' bezeichneten Azimute einander gleich, oder noch ausführlicher geschrieben :

(7)

Näherung, da der Winkel ß bei t\ mit unbegrenzt abnehmendem ds gegen 90° konvergiert :

aus (1): aus (2):

d s cos a = M d cp d s sin a = N cos cpdX—pdX

(3)

(4)

V P' P" — Q P' P, also nach (6) : T’ P’ P" — PlP P’ = da Nun haben wir in (3), (4) und (5) bereits die gesuchten Differential-Gleichungen der geodätischen Linie auf dem Umdrehungs-Ellipsoid, und überzeugen uns auch, dass dieselben ähnliche Form haben wie die früheren Gleichungen (1), (2), (3) S. 347, welche für den Grosskreisbogen auf der Kugel gelten.

Die Meridian-Konvergenz d a kann man auch dadurch darstellen, dass man in Fig. 2. eine Parallele P' Q' zu P₃ P zieht, dann wird der kleine Winkel Q' P' Q = d a derselbe Wert wie d a an der Spitze S von Fig. 1. Dieses führt auch auf eine neue Formel für da, denn es ist nach Fig. 2.:

Q'Q Q'Q

P' Q' d s cos a

(8)

Nun ist Q Q' das Differential von P Q oder von P₁ P', wofür wir diesesmal den Parallelkreis-Halbmesser IVcos cp = p einführen wollen, indem PQ=pdX ist. Damit wird:

(9)

QQ' = — d(pdX) = —dpdX Wir haben dieses negativ genommen, weil der Parallelkreisbogen bei wachsender Breite (d cp positiv) abnimmt. Wir haben also nun aus (8) und (9) :

dp dX ds cos a

(10)

Wenn man hiezu wieder (4) nimmt, und dX eliminiert, so hat man: p cos ad a — — dp sin a

Dieses ist das Differential von :

(11)

p sin a = k (konstant)

und damit haben wir als erste Integration der Differential-Gleichungen der geodätischen Linie einen wichtigen Satz (11), welcher in Worten lautet:

Pas Produkt aus dem Parallelkreis-Halbmesser p in den Sinus des Azimuts a ist für den ganzen Lauf der geodätischen Linie konstant. Dieser Satz, welchem auf der Kugel der Sinussatz der sphärischen Trigonometrie entspricht, giebt sofort Aufschluss über den Gesamtverlauf einer geodätischen Linie auf dem Umdrehungs-Ellipsoid.

Die beiden Faktoren p und sin a, deren Produkt nach (11) konstant = k bleiben muss, schwanken selbst zwischen leicht angebbaren Grenzen. Das Azimut a kann im allgemeinen nicht = Null werden (was dem besonderen Fall des Meridians entspricht), sondern hat seinen kleinsten Wert dann, wenn p seinen grössten Wert hat, d. h. im Äquator, wo p = a ist; also:

(12)

sin amin —

Pmin — k

(13)

Der grösste Wert von a, d. h. 90°, entspricht dem kleinsten Wert von pt d. h. mit sina = 1 hat man:

Die Konstante k der Formel (11) ist also der Halbmesser des nördlichsten oder südlichsten Parallelkreises, den die geodätische Linie erreichen kann; und dadurch ist auch eine gewisse äusserste geographische Breite bestimmt, über welche eine geodätische Linie nicht hinaus kommen kann.

In Fig. 8. § 69. S. 375 ist diese äusserste Breite = 60°. Die geodätische Linie berührt abwechselnd den nördlichen und den südlichen äussersten Parallelkreis, und da sie im allgemeinen nicht in sich selbst zurückkehrt, umläuft sie zwischen den genannten äussersten Parallelen das Sphäroid in unendlich vielen spiralförmigen Windungen.

Übersicht cler Haupt-Formeln.

Wir wollen unsere gefundenen Formeln, die zu weiterem gebraucht werden, nochmals zusammenstellen :

(3)

d s cos u = M d <fi d s sina — N cos cp dk

(5) und (4) d a — dk sin cp oder cl a =

(p = N cos cp)

(4)

sin a tang cp

(11)

(ty)

p s in a = k

Dabei ist M der Meridian-Krümmungs-Halbmesser, JV der Quer-Krümmungs-Halbmesser und p der Parallelkreis-Halbmesser für die Breite qp.

Die letzte der vorstehenden Gleichungen, welche wir mit (ip) bezeichnet haben, weil sie später auf die „reduzierte Breite“ ip angewendet wird, kann man auch unmittelbar aus Fig. 2. herleiten, indem man in erster Näherung setzt:

P₁ P' — d s sin a und PQ = ds sin a!

Px P' sin a! = P Q sin a, wobei Pi P' = p' dk und P Q = p d k p' sin a! = p sin a = Konstant.

also Daraus folgt

(14)

(15)

(16)

§ 70. Die geodätische Linie als kürzeste Linie.

Im Anschluss an Fig. 1. nehmen wir zuerst folgende Aufgabe: Mau habe ein Prisma “• XSt    ^

mit den drei Kanten A A!, B' B, PQ, die wir (zur Vereinfachung der Anschauung) so gelegt denken, dass A A! und B'B in einer horizontalen Ebene und P Q im Abstand h darüber sich befindet. Es soll auf der oberen Kante ein Punkt S so bestimmt werden, dass die Summe der schiefen Verbindungen A S -+- S B = (s) -+- (s') nach zwei festen Punkten A und B möglichst klein werde.

Fig. i.

B¹

a-'"

C.A y

ot A

/c¹

(s‘)

s/(cto

A*

Wenn die in Fig. 1. eingeschriebenen Masse a, b, c, ć, x nebst dem Winkel « für die Grundriss-Ebene gelten, so hat man:

(1)

c² — a² -h x² -h 2 a x cos a ,    c'² = b- -+- x- — 2 6 x cos a

Wenn weiter (s) und (s') die schiefen Entfernungen AS und SB bedeuten, und h die Höhe von S über A und B, so ist:

(S')2 = c'² -+- /<²

(2)

(s)² = c² + m Nun soll (s) -+- (/) ein Minimum werden, d. h. :

]/a² -+- æ² -t- 2 a x cos a -t- h² -+- yb² x² — 2 b x cos a -+■ h² = Minimum (3) Wenn man dieses (3) nach der unabhängigen Veränderlichen x differentiiert, so findet man :

x -f- a cos a

x — b cos a

(s)

(*')

(4)

Es ist aber nach Fig. 1. im Grundriss gemessen :

x a cos a — P S

b cos vc — x = Q S

Damit wird (4):

PS _QS (*) “ («')

oder cos (cp) = cos (ip)

also : (<p) — (ip)

(5)

Diese Gleichung (5) sagt : der kürzeste Weg auf zweien sich schneidenden Ebenen, über die Kante PQ hinweg, liegt so, dass auf der Scheitel-Kante PQ die beiden Winkel (cp) und (ip) einander gleich sind.

Wenn wir diese einfache Betrachtung dazu an wenden, um die Differential-Eigenschaft der kürzesten Linie auf irgend einer krummen Fläche, insbesondere auf dem Umdrehungs-Ellipsoid, zu bestimmen, so können wir an Stelle der Kanten AA', BB' u. s. w. die aufeinander folgenden Meridiane treten lassen, und wir wissen nun, dass eine Kurve alle diese Meridiane auf kürzestem Wege überschreitet, wenn die dabei vorkommenden Scheitel-Azimute gleich sind, d. h. die kürzeste Linie hat, in Hinsicht auf die Azimute, dieselbe Eigenschaft wie die geodätische Linie, wie wir am Schluss von § 68. S. 376 gesehen haben.

Wir schliessen hieraus, dass die geodätische Linie und die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten identisch sind.

Dabei und bei allen ähnlichen Betrachtungen nehmen wir stillschweigend an, dass zwischen zwei Punkten nur eine geodätische Linie und nur eine kürzeste Linie bestehe, wir schliessen also Fälle, welche z. B. einem Centriwinkel über 180° auf der Kugel entsprechen, und ähnliche aus.

Geodätischer Kreis und geodätische Parallele.

Aus dem Begriffe der kürzesten Linie lassen sich durch einfache geometrische Betrachtung zwei Sätze herleiten, betreffend den „geodätischen“ Kreis und die „geodätische Parallele“. Gauss hat in der Abhandlung „Disquisitiones generales circa superficies curvas“, Art. 15. und 16. dieses so dargestellt:

Geodätischer Kreis. Wenn auf einer krummen Fläche von einem Anfangspunkte unendlich viele kürzeste Linien, alle von gleicher Länge ausgehen, so ist die ihre Enden verbindende Linie zu allen einzelnen normal.

Es seien in Fig. 2.AB und A B' zwei gleich lange kürzeste Linien, welche den unendlich kleinen Winkel bei A zwischen sich fassen; und wir wollen zunächst annehmen, die beiden Winkel bei B und B' seien nicht beide = 90°, sondern weichen um eine endliche Grösse von 90° ab, so dass nach dem Gesetz der Stetigkeit der eine grösser, der andere kleiner als 90° wäre, z. B. B — 90°—oo. Dann nehmen wir auf der Linie B A einen Punkt C so an, dass B C — B B' cosec oo wird; und insofern das unendlich kleine Dreieck B B' C als eben angesehen werden kann, folgt hieraus C B' = B C cos oo und ferner :

Fig. 2.

B'

A Ca- CB'= ACa-BCcos(o = AB — BC{1 — cos <ö).

Es ist aber von vornherein angenommen, dass AB = AB'

sei, also:

u> g

A C+ CB' = AB'— BC{1 — cos co).

Hiernach würde man von A nach B' einen kürzeren Weg über C haben als unmittelbar AB', was der Annahme, dass A B' selbst eine Kürzeste sei, widerspricht. Es kann also oo keine endliche Grösse sein, sondern die Winkel bei B und bei B' sind beide = 90°.

Geodätische Parallele. Wenn auf einer krummen Fläche eine beliebige Linie gezogen wird, von deren einzelnen Punkten rechtwinklig zu der Linie und nach derselben Seite hin unendlich viele kürzeste Linien von gleicher Länge ausgehen, so schneidet die Kurve, welche die anderen Endpunkte derselben verbindet, sie alle rechtwinklig.

Man kann dieses ähnlich beweisen wie bei Fig. 2., indem man wieder einen kleinen Winkel oo einführt und zwei unendlich nahe benachbarte geodätische Linien wie zwei Gerade in der Ebene behandelt.

Dieser zweite Satz über die geodätische Parallele ist allgemeiner als der erste Satz vom geodätischen Kreis, welcher in dem zweiten Satze mit enthalten ist, wenn man nur als gegebene Linie einen unendlich kleinen um A beschriebenen Kreis annimmt.

Ein naheliegendes Beispiel für geodätische Kreise und für Parallelen bietet das System der Meridiane und der Parallelkreise auf der Kugel oder auf dem Um-drehungs-Ellipsoid (und auf anderen Umdrehungs-Flächen). Die Parallelkreise sind geodätische Kreise in Bezug auf den Pol als Zentralpunkt der Meridiane und geodätische Parallelen in Bezug auf irgend einen Parallelkreis.

Ebenso wie diese Parallelkreise selbst nicht geodätische Linien sind, sind auch die geodätischen Kreise und geodätischen Parallelen im allgemeinen selbst nicht geodätische Linien.

Kürzeste Linie auf einer abivickelbaren Fläche.

Bei der geometrischen Betrachtung von Fig. 1. S. 379 sind die Kanten B B' und A A' selbst unwesentlich, es handelt sich nur um zwei Punkte A und B, welche über die dritte Kante PQ hinweg verbunden werden sollen. Durch A und B selbst können beliebige andere Gerade gehen. Man kann deswegen aus Fig. 1. auch schliessen, dass eine kürzeste Linie auf einer abwickelbaren Fläche nach Abwicklung in die Ebene eine Gerade sein muss (Gleichheit der Winkel (qp) und (t/;)). Die Kanten AA', BB' und P Q, welche in unserer Fig. 1. parallel angenommen wurden, können auch auf

einer abwickelbaren Fläche parallel sein (Cylinder), im allgemeinen aber müssen, wenn die Fläche abwickelbar sein soll, je zwei aufeinander folgende solcher Geraden sich schneiden.

§ 71. Yergleichuug der geodätischen Linie mit den Normal-Schnitten.

Die geodätische Linie erscheint auf kurze Erstreckung im Sinne des Feldmessens in allen ihren Teilen wie eine Gerade; würde man dieselbe in kurzen Strecken landmesserisch als polygonalen Zug aufnehmen, so würde man lauter Brechungswinkel von 180° finden, wie bei einer Geraden in der Ebene.

Fig- l.

c/ä

CD'

cp

In Fig. 1. und Fig. 2. betrachten wir zwei Punkte A und B unter den Breiten qp und cp' mit dem Längenunterschied Z.

Aa B ist der Normalschnitt von A nach B und Bb A ist der Normalschnitt von B nach A, und dazwischen verläuft die geodätische Linie As B, was im voraus gesagt sein soll.

Zur Veranschaulichung der Krümmungsverhältnisse denken wir uns in A einen Feldmesser mit einem richtig aufgestellten Theodolit als Beobachter, welcher die Azimute a, ax der drei Kurven von dem als Gerade erscheinenden Meridian A N messen oder einstellen kann.

Der Normalschnitt AaB mit dem Azimut «x erscheint diesem in A mit einem Theodolit ausgerüsteten Feldmesser als eine Gerade, denn er hat die ganze Linie AaB beim Auf- und Niederkippen seines Fernrohrs in einer Sicht am Fadenkreuz, wie es das Wesen des Normalschnittes von A nach B

verlangt.

Die geodätische Linie As B mit dem Azimute a macht dem Feldmesser, der in A mit seinem Theodolit steht, in ihren ersten Teilen ebenfalls den Eindruck der Geraden, wie in Fig. 2. § 68. S. 374 angedeutet ist, dass streckenweise A ab, dann ab c u. s. w. ohne Brechung erscheinen. Aber die Gegenschnittlinie Ab B mit dem

Azimute a’ macht dem Feldmesser in A den

Fig. l.

cc'/

Eindruck einer Kurve, denn nur von B aus erscheint Ab B als Gerade ebenso wie umgekehrt AaB zwar in A als Gerade erscheint, aber in B als Kurve.

Wir wollen darauf ausgehen, den Krüm-"jp mungs-Halbmesser R' zu bestimmen, unter welchem die Kurve Bb A dem Beobachter in A erscheint, oder den Krümmungs-Halbmesser , unter welchem die Kurve AaB einem Feldmesser in B erscheint; beide werden nahezu gleich sein.

Dazu haben wir die weiteren Fig. 3. und 4. gezeichnet, von denen Fig. 4. ein Lageplan wie Fig. 2. und Fig. 3. der zugehörige Vertikalschnitt rechtwinklig zu A b ist.

Fig. 3.

R¹

Wenn B der Krümmungs-Halbmesser des ebenen Gegen- .

Schnittes Ab B in A ist, d. h. B in erster Näherung auch gleich dem Krümmungs- Halbmesser B nach dem Euler sehen Satze (1) § 32.

S. 199, oder auch nur in erster Näherung gleich dem mittleren Erd-krümmungs-Halbmesser, was zunächst auch schon genügt, und wenn n der kleine Neigungswinkel der Schnittebene Ab A gegen die Flächen-Normale A Ka im Punkte A ist, so wird die Kurve A b in dem Horizont von A betrachtet (Fig. 4.) einen sehr viel grösseren Krümmungs-Halbmesser B' geben, welcher ist:

sin n

oder

1 _ sin n R “ R

(1)

Man nennt diese Beziehung in der analytischen Geometrie den „Satz von Meunier“; man kann ihn fast unmittelbar einsehen, wenn man nur bedenkt, dass die Ordinaten y der Kurve A G von Fig. 3. sich im Verhältnis sinn: 1 verkürzt in Fig. 4. wieder finden, dz y d *¹

in der Nähe des Punktes A ebenso verkürzt werden und die Kurve A b in Fig. 4. entsprechend flacher wird.

Innerhalb der nur einzuhaltenden ersten Näherung kann man (1) auch so schreiben :

dass also auch

dy

dx

und

tz'

Ci

M,

Fig. 4.

R'

R'

sehen, dass er in erster Näherung auch gleich dem Neigungswinkel v der beiden Schnittebenen ist, d. h. nach (14) § 65. S. 365 nehmen wir :

(3)

v = Vj² a sin a cos a = rfi — sin a cos a

Dieses ist für unseren nächsten Zweck genügend.

Wollte man genauer verfahren, so müsste man die beiden Gleichungen (17) § 66. S. 370 zu Rate ziehen, aus welchen zu ersehen ist, dass die 3 Neigungswinkel n, n' und v alle zusammen in erster Näherung den Wert d sin a oder a sin <x cos a haben, wie in vorstehender Gleichung (3) geschrieben ist.

Aus (2) und (3) zusammen folgt:

sin ix eos «

(4)

B' ¹ RN

Dabei ist R der Erdkrümmungs-Halbmesser im Azimut a und N der Q.uerkrümmungs-Halbmesser; indessen für den Zweck erster Näherungsbestimmungen brauchen wir das nicht zu unterscheiden; wir wollen schlechthin B = N = r gleich dem mittleren Erdkrümmungs-Halbmesser für eine Mittelbreite zwischen qp und qp' setzen, wie man es für Triangulierungen thut, also wird (4):

-L = r,² —

R' ¹ J-2

sin a cos <x

(5)

Fig. 5.

S<

Nun haben wir unsere 3 Linien ₍ nochmals dargestellt in Fig. 5. mit An--j—^ B nähme eines Coordinatensystems x y, das i einer Abbildung in der Ebene entspricht, !ł) so dass nun die geodätische Linie AsB | als Gerade erscheint, und die beiden an-■“q deren Kurven mit ihren relativen geodätischen Krümmungen sich als Kurven A sj B und B s₂ A darstellen.

Die geodätische Linie A B kann zunächst selbst als Abscissenaxe betrachtet werden, und durch kurze geodätische Ordinaten-Linien rechtwinklig hiezu, können benachbarte Punkte hierauf bezogen werden, ähnlich wie auf der Kugel bei den Soldner sehen Coordinaten.

Was die dabei nötigen Vernachlässigungen betrifft, so wissen wir von (15) § 65. S. 365, dass die Ordinaten eines solchen Systems nur von der Ordnung rß a³ sind. Die Ordinaten-Konvergenz (in erster Näherung sphärisch nach Fig. 3. S. 262 berechnet), wird dann nur von der Ordnung ff⁴, woraus man weiter schliesst, dass es für unsere Zwecke genügt, die fraglichen Coordinaten wie ebene rechtwinklige Coordinaten zu behandeln, indem die kleinen Winkel y und v u. s. w. nur von der Ordnung 7?² ff² erscheinen werden.

Diesen Bedingungen entsprechend ist das Coordinaten-System in Fig. 5. gezeichnet. AB ist das geradlinig erscheinende Abbild der geodätischen Linie AB; jedoch als Abscissenaxe des Coordinaten-Systems wird nicht A B, sondern die Tangente A C des Normalschnittes von A Sj B genommen, was mit gleicher Näherung zulässig ist.

Die Kurve AslB denken wir uns dargestellt durch eine Gleichung y = f(x), und die Reciproke des Krümmungs-Halbmessers B' dieser Kurve ist hinreichend aus-

gedrückt durch

1 _ d² y

~R ~ (Tx*

(2)

Da auch Abscisse x und Kurvenlänge Yd x² d yl verwechselt werden dürfen, können wir mit Zuziehung von (5) auch schreiben :

J~S = v2^sina c°s

ip s in a cos a _

wobei

r²

⁽1

3 öS

Die Kurvengleichung (6) zweimal integriert giebt:

æ²

(8)

aß

(9)

V 62

Integrations-Konstanten kommen nicht hinzu, weil für x — 0 auch y — 0 und 0 werden soll.

Eine nicht zur Sache gehörige, aber den praktischen Landmesser rasch orientierende Zwischenbemerkung möchten wir nicht unterdrücken, nämlich dass die Kurve (9) nichts anderes ist, als die beim Eisenbahn-Kurven-Abstecken übliche cubische Parabel, welche als Übergangskurve zwischen Geraden und Kreisbögen dient.

Nun hat man nach dem Anblicke von Fig. 5.:

dy

fl x

dy

J.t —

s²

= ifj = y' 4- v

(10)

und

s²

6g

(11)

Auch die Kurvenlänge A S\ B, kurz = sj bezeichnet, lässt sich angeben, indem in Fig. 5. die Grenzabscisse AG = c gesetzt wird,

«i

«i = c +

C5

40 g²

dazu die Länge der geodätischen Linie selbst:

(12)

s = 7/ x² + y* I = 1/

r    Jl x = c r

C6

36 g²

“C(1 + 72 g‘²)

c⁵

(13)

72 g²

Die Differenz von (12) und (13) giebt, indem nun wieder c = s gesetzt wird:

s⁵ / i 1 g² \40    72j 90 g²

Damit ist alles gefunden, was in Fig. 5. sich auf die untere Kurve As^B bezieht ; und um die entsprechende Untersuchung auch für die obere Kurve A s₂ B zu führen, könnte man auch die Gleichung dieser Kurve aufsuchen nach den Bedingungen, dass die Kurve durch die beiden Punkte A und B gehen und in A denselben Krümmungs-Halbmesser R'a haben soll, welcher die erste Kurve im Punkte B hat = R\, denn wir haben ja schon in (4) eingesehen, dass innerhalb der ersten Näherung R'a = R\ ist. Dann ist aber auch die zweite Kurve s₂ überhaupt keine Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aull. III. Bd.

6‘l - S =

(14)

andere, als die erste Kurve slf nur liegt sie umgekehrt, und in Fig. 5. sind die Winkel fi = fi' und v = •/.

Wir wollen auch noch den Querabstand v zwischen der geodätischen Linie und jeder ihrer Begleitkurven bestimmen (vgl. Fig. 5.). Dieser Querabstand ist nach (9):

s \³

s³

* - 2 [6qJ 6~q~ “ 16^

S»

oder 2 v =

(15)

Nun ist in allen unseren Formeln noch die eine Konstante q nach (7) enthalten, welche wir aber nicht unmittelbar einsetzen wollen, denn es lässt sich besser alles in dem Excess s nach Fig. 6. § 65. S. 364 ausdrücken, nämlich:

s² sin a cos a

also wegen (7):

2 r²

— = 2 ??2 e 2

und damit geben die verschiedenen vorstehenden Formeln :

² 2

', = T^e

= I"²

Winkel:

(16)

Kurvenlängen

Si •— S = S2 —

(17)

Querabweichung

Der letzte Ausdruck stimmt überein mit dem früheren (15) § 65. S. 365.

Zu einem ersten Zahlenbeispiele wollen wir nehmen s — 100 000m und <p = 45°, sowie a = 45°; damit wird log r = 6.8046, rj² — 0,00336, und damit zunächst e = 12,66"

■v = / = 0,014"

«1 — s = $2 — s = 0,00000 00002"'

Der Wert 2 v — 5mm stimmt mit dem früheren (16) § 65. S. 365. Ein zweites mehrfach von uns benütztes Beispiel mit der Mittelbreite qp = 50°, den beiden End-breiten 49° 30' und 50° 30' und A = 1° giebt: s — 132 315m

log Tj² — 7.44345 v = v' = 0,0187"

«i — s = s₂ — s = 0,00000 00004™

Diese Zahlenbeispiele zeigen, dass für die gewöhnlichen Dreiecksseiten bei dem heutigen Stande der Messkunde die kleinen Winkel fi und v vernachlässigt werden können. Die Differenz — s wäre nicht einmal mikroskopisch messbar.

2 v — 0,005™

fi = fi' = 0,028"

2 v = 0,009™

log r = 6.80489 fi = fi' = 0,0373"

a = 32° 48'

(18)

Höhere Glieder der vorstehenden Formeln.

Man kann die Entwicklungen, welche im vorstehenden immer nur die ersten Näherungen berücksichtigt haben, auch auf diesem Wege noch weiter treiben, wie in

unserer 3. Auflage 1890, § 75. gezeigt worden ist; es hat aber keinen praktischen Zweck, und ist deswegen im vorstehenden nicht mehr berücksichtigt. Nur eine Sache davon wollen wir wenigstens mit Worten behandeln.

Fig. 6.

₀d dt. Linie

\erVicttle

Ge

In Fig. 6. ist der besondere Fall behandelt, dass die Punkte A und B, zwischen welchen die geodätische Linie und die beiden Normalschnitte gezogen sind, auf gleicher Breite liegen.

In diesem Falle fallen die beiden Nor-

malschnitte (vertikale Schnitte) in einen zusammen, und die geodätische Linie kann daher nicht mehr zwischen den beiden liegen.

Dass die geodätische Linie nicht selbst mit diesen beiden ebenen Schnitten zusammenfallen kann, ist unmittelbar einzusehen, insofern die geodätische Linie in diesem Fall nicht selbst eine ebene Kurve sein kann.

Die geodätische Linie verläuft dann über dem vertikalen Schnitte, aber mit so kleinen Winkeln dass dieselben innerhalb der Näherungen unserer ju und v von (16) gar nicht mehr zum Ausdruck kommen, die genauere Entwicklung giebt nämlich:

•s::

'C = V² 24 r3 tang cp = e'2 ^ sin cp cos cp

Denkt man sich eine Dreiecksseite s = 100 000m in der Breite cp = 45°, so giebt dieses nur £ = 0,0001".

¹

Wir müssen nun darauf ausgehen, die oben eingeführte Neigung n zwischen der Schnittebene Ab B und der Flächennormalen A K„ zu bestimmen, und wir betrachten dazu die früheren Fig. 1. § 65. S. 361 und Fig. 1. § 66. S. 366.

Dort wird sich der fragliche Neigungswinkel n finden, und man wird auch

§ 72. Bedeutung der geodätischen Linie für die praktischen

Vermessungen.

Die geodätische Linie ist niemals Gegenstand der unmittelbaren Messung, sondern nur der Berechnung, und dadurch mittelbar ein Hilfsmittel für ausgedehnte geodätische Messungen.

Bei der Messung der einzelnen Dreiecke ist von geodätischen Linien nicht die Rede, denn die Sichten der Theodolit-Messung erfolgen zweifellos in vertikalen Schnitten, und nicht in geodätischen Linien; und auch die astronomischen Azimut-Messungen beziehen sich nicht auf die geodätische Linie, sondern ebenfalls auf vertikale Schnitte.

Man kann die gemessenen Azimute und die gemessenen Horizontal-Winkel von den vertikalen Schnitten auf die geodätischen Linien reduzieren, wie im vorigen § 71. gezeigt worden ist; die Reduktion beträgt sehr wenig, nämlich für 45° Breite und Azimut 45° bei einer Entfernung von 100 000m nur 0,04" im Azimut, so dass diese Reduktion meist vernachlässigt wird.

Sei es nun, dass man diese kleinen Reduktionen (nebst anderen, z. B. Höhenreduktion von § 67) vernachlässigt, oder sie in Rechnung bringt; jedenfalls kann man letzteres thun, und an Stelle eines in Normalschnitten gemessenen Dreiecks-Netzes kann man also nun ein Dreiecks-Netz setzen, dessen Seiten geodätische Linien sind, und dessen Winkel von den horizontalen Tangenten der geodätischen Linien in den Eckpunkten eingeschlossen werden.

Wie man ein solches sphäroidisches Dreiecks-Netz geodätischer Linien in theoretischer Strenge berechnen kann, werden wir erst in einem späteren Kapitel kennen lernen; in der Praxis genügt fast immer die sphärische Dreiecks-Berechnung.

Um nun weiter zu langen geodätischen Linien überzugehen, welche die Ausdehnung nicht bloss einzelner Dreiecks-Seiten, sondern ganzer Dreiecks-Ketten haben, wollen wir nach Fig. 1. die Annahme machen, eine Dreiecks-Kette zwischen den

Fig. 1.

180°

Punkten A und B enthalte einen Zug AG D E B, welcher in G, D und E bei der Messung zufällig lauter Winkel von 180° yi geliefert habe.

,E

180°

180°

'S

Dann kann die Linie AC-\-GD -\-D E -f- EB = AB, mit den Azimuten a und «' an ihren Endpunkten geradezu als eine lange geodätische Linie weiter behandelt werden, indem man in den einzelnen Strecken A C, CD u. s. w. die Azimut-Reduktionen zwischen M der geodätischen Linie und den Normalschnitten entweder vernachlässigt, oder in Rechnung gebracht denkt.

Ohne diese kleinen Reduktionen erscheinen die Strecken AG, CD, DE u. s. w. mit Brechungs-Winkeln von 180°, als Elemente der geodätischen Linie AD in dem diflerentialen Sinne der früheren Fig. 2. § 68. S. 374.

Fig. 2.

td R

Die in Fig. 1. gemachte Annahme, dass bei der Triangulierung zwischen A und B in den Punkten C, D und E Brechungs-Winkel von 180° erhalten werden, kann als Vorbereitung des]allgemeineren Falles von Fig. 2. dienen, wobei die geodätische Linie zwischen A und B nicht mit Dreiecksseiten selbst zusammenfällt, sondern verschiedene Dreiecks-Seiten in den Punkten ab cd e schneidet, und am Anfang und am Ende gewisse Winkel Ô und y mit Dreiecks-Seiten bildet.

dl

ą.

tl

rr

Sobald man einen dieser Winkel ö und y wüsste, könnte man die ganze geodätische Linie A ab c d e B sphärisch berechnen, indem man die einzelnen Strecken als Seiten sphärischer Dreiecke behandelte, z. B. A a als Seite des Dreiecks A Ga oder A Fa, dann ab als Seite des Dreiecks aFb u. s. w. Die Azimut-Übertragung in a, b u. s. w. müsste stets nach dem Gesetz der gleichen Scheitel-Winkel geschehen, also so, dass Winkel A a G = Winkel b a F u. s. w.

All dieses setzt, wie schon erwähnt, voraus, dass man den einen Winkel Ô oder y kenne, und da das in Wirklichkeit nicht genau der Fall ist, kann das ganze Verfahren nur mittelbar angewendet werden. Man rechnet nämlich die ganze Dreiecks-

Kette, mit Annahme eines mittleren Krümmungs-Halbmessers zuerst sphärisch durch, und dadurch sind auch die beiden Winkel Ô und y sphärisch bestimmt. Man kann zu ihrer Ausmittlung z. B. Soldner sehe oder konforme Coordinaten oder sphärische geographische Coordinaten, oder irgend welche andere geschlossene oder entwickelte Formeln der sphärischen Trigonometrie anwenden; erste Näherungen der Winkel ö und y werden sich jedenfalls finden lassen.

Mit einer solchen Näherung, z. B. für d, beginnt man nun eine zweite schärfere Rechnung, formell auch sphärisch, aber so, dass in jedem der Dreiecke AaF, baF, u. s. w. ein besonderer, der mittleren geographischen Breite des Dreiecks entsprechender Krümmungs-Halbmesser angewendet wird. Wenn dann am Ende das letzte Dreieck EeB oder e HB nicht schliesst, d. h. wenn man den Endpunkt B verfehlt hat, so kann man aus der Querabweichung und der Gesamtlänge A B leicht eine Verbesserung berechnen, mit welcher die ganze Rechnung wiederholt und dann wohl zum Schluss gebracht werden kann.

Stimmt diese ganze Rechnung von A bis B in sich, sind also auch die Winkel 8 und y bekannt, so kann man auch die in A und B etwa gemessenen Azimute ß und ß', welche sich als astronomische Messungen auf die Dreiecks-Seiten A G und B E beziehen, nun auf die Azimute a und cd der geodätischen Linie A B, bzw. B A reduzieren, denn es ist:

(1)

a — ß + 8 , cd = ß' + y

Sphärische Polar-Coordinaten.

Von den verschiedenen möglichen Formen der sphärischen Coordinaten, die wir erwähnt haben, wollen wir eine Form, nämlich sphärische Polar-Coordinaten noch besonders betrachten, weil diese Form bei Bessels „Gradmessung in Ostpreussen“ zur Anwendung kam und zu manchen Erörterungen Veranlassung gegeben hat.

Denken wir uns in Fig. 3., welche im wesentlichen dieselbe Bedeutung hat, wie Fig. 2., ausser A B auch noch die Linien A D und A E gezogen, so ist klar, dass man das Dreieck AGE berechnen kann aus den zwei Seiten A C, CD und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel bei G. Damit hat man die Entfernung A D — si und auch den Winkel ß bei A, und alle Winkel bei D.

Man kann daher nun ein zweites langgestrecktes Dreieck A D E berechnen,

welches die neue Entfernung A E — s₂> den kleinen Winkel y — ß bei A und alle Winkel bei E liefert. Ein letztes langgestrecktes Dreieck endlich liefert die Entfernung AB = s, den kleinen Winkel Ô — y bei A, also auch ö selbst, und alle Winkel bei B.

Fig. 3.

//

.s,

/ V!

Hiebei kann man die einzelnen Dreiecke nicht bloss sphärisch, sondern auch sphäroidisch berechnen. Ein Zahlenbeispiel zu dem Bessel sehen Verfahren gab unsere 2. Auflage 1878, S. 340 bis 342, und verschiedene Citate hiezu gab 3. Auflage 1890, S. 385.

Sphäroidische Coordinaten.

Ein letztes, und wohl das beste Verfahren, lange geodätische Linien aus Dreiecksketten zu berechnen, können wir durch vorgreifendes Citieren der Theorieen unserer nächsten Kapitel angeben: Man rechnet die geodätische Übertragung von Länge, Breite und Azimut schrittweise von Dreiecksseite zu Dreiecksseite durch die ganze Kette hindurch nach § 77. (oder auch nach § 74.) und dann kann man die ganze Linie vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt nach Kap. VII. berechnen.

Bei diesem Verfahren braucht man, ohne indirekt rechnen zu müssen, nicht mehr Voraussetzungen zu machen, in Bezug auf die Erddimensionen und auf die Breiten des Anfangspunktes und das Azimut der Anfangs-Richtung, als unbedingt nötig ist. Eine völlig voraussetzungslose Berechnung geodätischer Linien giebt es nicht.

Über die Bedeutung der geodätischen Linie für die praktische Geodäsie im allgemeinen lässt sich so viel sagen: Die Einführung der Theorie der geodätischen Linie in der Geodäsie ist keine Notwendigkeit, wie z. B. die Theorie der geradlinigen ebenen Dreiecke es für die ebene Triangulierung ist; man könnte die Aufgaben der höheren Geodäsie auch z. B. durch Sehnen-Dreiecke und polyedrisch-räumliche Punkt-Bestimmungen und in noch manch anderer Weise behandeln; allein die geodätische Linie hat sich bis jetzt als bestes Mittel bewährt, zwischen den unmittelbaren geodätischen und astronomischen Messungen einerseits und den Annahmen über die Erdoberfläche andererseits, die nötigen mathematischen Beziehungen herzustellen.

Kapitel VII.

Geodätische Coordinaten.

Vorbemerkung. Wir werden in diesem Kapitel im wesentlichen das mit der geodätischen Linie auf dem Ellipsoid behandeln, was schon in Kapitel V. mit dem Normalschnitt auf der Kugel gemacht worden ist.

bogens und des „verkürzten“ Breitenunterschiedes

Der Übergang von der Kugel zum Ellipsoid von § 54. mit Hilfe des elliptischen Meridianwar ein erster Notbehelf, welcher genügte,

um die sphärischen Coordinaten-Formeln dem Ellipsoid anzupassen und in übertragener Form für erstes Verständnis unserer Landesvermessungen plausibel zu machen. Mit der Theorie der geodätischen Linie wird all das in neuer und heller Beleuchtung erscheinen.

§ 73. Sphäroidisches Polar-Dreieck.

In Fig. 1. S. 391 bezeichnet A einen Punkt des Umdrehungs-Ellipsoids (Sphäroids) mit der Breite cp, entsprechend B einen Punkt mit der Breite gp'; der Längen-Unter-schied dieser beiden Punkte, d. h. der Winkel, welchen ihre Meridian-Ebenen NA und NB einschliessen, sei l (von West nach Ost positiv gezählt). Die beiden Punkte sind durch eine geodätische Linie AB verbunden, deren lineare Grösse sei und welche bei A und B die Azimute a und a' hat.

Wir zählen im allgemeinen die Azimute von Nord über Ost, wie a im Punkt A ; und das gleichfalls nordöstlich gezählte Azimut im Punkte B wäre also = a' + 180°, wenn «' der in Fig. 1. eingeschriebene Winkel ist.

Indem man in solchen Fällen unterscheidet diesseitiger Punkt A und jenseitiger Punkt B, kann man auch festsetzen, dass im diesseitigen Punkt a von Nord über Ost gezählt und im jenseitigen Punkt stets + 180° zu dem Wert a' zuzufügen ist, den die Formeln gehen. (Mit anderen Worten: Wir wollen die Azimute nordöstlich zählen, aber das dabei für den jenseitigen Punkt nötige Zusetzen von +180° in den Formeln weglassen.)

Fig. 1.

/-\l

<Vb

Zwischen diesen 6 Grössen, cp, cp', l, s, a, bestehen Beziehungen von ähnlicher Art wie für das sphärische Dreieck Fig. 1. § 60. S. 338, welche hauptsächlich in zwei Aufgabenformen sich ausdrücken, nämlich erstens : gegeben cp, cp' und l, gesucht s, a und a! oder zweitens: gegeben cp, s und a ; gesucht cp', l und a'.

Die Lösungen dieser beiden Aufgaben gehen mehrfach ineinander über.

Ehe wir an die verschiedenen Auflösungen der Aufgabe selbst gehen, schicken wir einige Beispiele hiefür voraus (ähnlich wie wir dieses auch für die sphärische Aufgabe S. 338 gethan haben). Dass diese Beispiele in sich richtig sind, können wir jetzt noch nicht beweisen ; dieses wird sich aus der übereinstimmenden Berechnung nach den verschiedenen später zu entwickelnden Methoden ergeben.

00

A,

cd"

I. Kleines sphäroidisches Normal-Beispiel. cp = 49° 30' 0"

50° 0'0"

cp'-t- cp

2 “

= 32° 48' 20,4580"

u

a'— a 2

= 0° 22'58,9471"

a’ = 33° IP 19,4051" a = 32° 25' 21,5109"

q>' = 50° 30' 0" cp'— cp = 1° O'O"

1°0' 0"

a'— a = 0° 45' 57,8942"

(1)

logs = 5.1216103*131

s = 132 315,375™

II. Grosses sphäroidisches Normal-Beispiel.

cp' = 55° 0' 0" l = 10° O'O"

cp'—(p= 10° 0' 0"

cp = 45° O'O" 50° O'O"

<jp _

2 ⁻

= 32° 54' 11,4302"

ù

a'— a = 7° 4P 51,9408"

a,'— a

= 3° 50'55,9704"

log s = 6.120 6674*805

oi= 36° 45' 7,4006" a = 29° 3' 15,4598"

s = 1 320 284,366™

Ein Beispiel, das zwischen den beiden vorhergehenden liegt, ist von den Mecklenburgischen Geodäten als Kontroll-Diagonale über das ganze Land gerechnet worden. („Zeitschr. f. Verm.“ 1896, S. 240—242). Dasselbe giebt mit den Bezeichnungen von Fig. 1. folgendes:

cp' -V cp

<p = 53° 0' = 53° 45'

III. Mecklenburgische Diagonale.

<p' = 54° 30'

(\>'— cp = 1⁰ 30'

l = 3° 30'

l = 12 600"

—^ = 54° 8' 20,77402" (X^-^= 1° 24' 41,59056"

«'-« = 2° 48' 23,18112"

Io#« = 5.454 5946-712

(3)

«'= 55° 33' 2,36458" « = 52° 43 39,18346"

s = 284 835,8642™

Ein kleines Beispiel, mit nicht runden Zahlen, nehmen wir aus Bohnenbergers Triangulierung von Württemberg:

IV. P = Hornisgrinde.

cp = 48° 36' 21,8966"

l = 0° 50' 55,5537" = 3055,5537" « = 98° 21' 29,9583" log s = 4.801 8443-0

P — Tübingen.

cp' — 48° 31' 12,4000"

a'= 98° 59' 40,6800" s = 63 364,218™

(4)

Endlich nehmen wir noch ein grösseres Beispiel mit nicht runden Zahlen, welches auch schon anderwärts mehrfach benützt worden ist.

V. P = Berlin.

P — Königsberg.

cp = 52° 30' 16,7"

1 = 7° 6' 0"= 25 560"

<p'= 54° 42' 50,6"

a = 59° 33' 0,6892" log 8 = 5.724 2591-353

«'=65° 16' 9,3650" s = 529 979,578™

(5)

§ 74. Reihen-Entwicklungen nach Potenzen von s.

(Bezeichnungen nach Fig. 1. S. 391.)

Die drei Differential-Gleichungen, welche wir in § 69. S. 379 entwickelt haben, sind, wenn wir nun den Längenunterschied mit l bezeichnen, folgende:

ds cos a = Md cp d s sin a = N cos cp dl d a = dl sin cp

Dabei ist M der Meridian-Krümmungs-Halbmesser und N der Quer-Krümmungs-Halbmesser für die Breite cp, d. h. wie immer nach § 32. S. 197 :

h ’ N= ^

(1)

(2)

(3)

— , wobei V = yl -f- e'² cos² cp

(4)

Wenn man diese Bezeichnung F einführt, und zugleich dl aus (B) mittelst (2) eliminiert, so erhält man aus (1), (2) und (3):

4? = — F3 cos a

(5)

A Si,

1 sm a

— — y -

cos cp

(6)

,    = — V sin a tang cp

(L S Ç

Hierauf kann man eine Entwicklung nach dem Maclaurin sehen Satze gründen, ganz entsprechend der früheren sphärischen Entwicklung von § 65. Wir haben bis zur fünften Potenz:

,    d qpn    d² an s²    d³ an s3

,),-’,= Ä7js + ^J T + îJjë-

,    dl~l    d²l~\ s²    d³l~\

, = —y⁺dwh⁺dw}

~|    d² an s²    d³ cri

a~~ds]S + wi~2⁺ d^i

a' —

(7)

d⁴qp

ds⁴

A,

A,

⁰⁵ i W Ci! 05

dU

d s⁴

d⁴ a

d s⁴

d⁵cp~i s⁵

J ⁺ ds5J 120 ⁺ '

1    d⁵ l~\ s5

J ⁺m

120

(8)

(9)

(10)

Da wir bei den fortgesetzten Differentiierungen stets auch die Ableitung von V brauchen (vgl. hiezu auch das frühere § 34. S. 208), schicken wir diese voran :

e'² sin cp cos cp

V = Ÿ1 + e'² cos² cp

’ d <p

(11)

Zur Abkürzung werden wir immer schreiben:

d² cos² cp = rf² und tang cp = t dV d cp

und damit wird (11): V² = 1 + rj²

i-t

dV_d V d cp _

/    d s d cp ds

Nun leiten wir (5) weiter ab: d cp F³

V²

— n²-cos a t

¹ c

(14)

— cos a

d²cp 3 V²dV , C0S a -

c ds

F³

sin a

also wegen (14) und (7):

d² cp    F⁴

dßcp __F⁴

F⁴

sin² cc t

(15)

c2 (sin² cct + 3 cos² a if t)

Wenn wir dieses weiter ableiten, so ist es nützlich, die Funktion i]², welche nach (12) Funktion von cp ist, stets so zu behandeln (ebenso wie früher S. 208):

ds²

d i?2

= — 2 rj² t allgemeiner

= — nrjn t

(16)

In dieser Weise leiten wir (15) nochmals ab (mit Beachtung, dass F³ = F( -f- rj²)): d³ cp 4 F³

d s³

c²

F⁴

cos a tj jsin² cc t -+- 3 cos² a

tj²Ą

c²

— 6 cos a sin a

f    F    F

< 2 si» a cos a — sin at² -h sin² a (1 -+- t²) — cos a (1 + t]²)

V    V

sm ati]²t-\-B cos² a (— 2 rf² t² + if² (1 + t²))

cos a

(1+Î?²)J

d³ cp

Wenn man dieses ordnet, so findet man : V⁵ cos a

c³

|sm²«(l + St²-\-t]²-9rj²t²) -t- cos² «(3 rp-3 rj²t²-p- 3 rp-15 j/⁴t²)| (17)

In gleicher Weise werden auch die anderen Ableitungen behandelt, so dass wir bis zur dritten Ordnung einschliesslich erhalten: d²J _ 2F2 d s² c² cos cp

sin a cos a t

(18)

d³l 2 P3 (    )

ds³ = c³ cos cp ( ?W a C0S2 a (1 + ^ t² + J?²) — sm3 a t2f

(19)

d² a V²

= —s- sin a cos a (1 + 2 t² + rp)

ds²

c²

(20)

d³ a _ F3 d s³ c³

Ehe wir weiter entwickeln, wollen wir abkürzende Bezeichnungen einführen, wobei wir uns zu merken haben, dass - - = N der Quer-Krümmungs-Halbmesser für die Breite cp ist. Wir setzen dann:

|sin a cos² a t (5 + 6 t² + rp — 4 łj⁴) — sin³ a t (1 + 2 t² + ?/²)|

(21)

JL s sin a = — Vs sina = v

(22)

s cos a ==

— V s cos a = u

(23)

Dabei ist s die geodätische Linie linear (in Metern) gemessen und nach S. 193:

log = 8.508 3274-897

, log

= 1.4916725-103

(24)

Weitere Entwicklungen bis zur fünften Ordnung.

Ohne die Einzelheiten der Differenzierungen anzugeben, stellen wir im folgenden die weiteren Differential-Quotienten zusammen und zwar bis zur 4ten Ordnung mit allen Gliedern die überhaupt auftreten, bei der 5ten Ordnung nur noch mit den Gliedern ohne rp, d. h. mit den sphärischen Gliedern. Um die Abkürzungen v und u nach (22) und (23) anwenden zu können, setzen wir links immer s, s², s³ u. s. w. als Faktor zu, und nehmen auch den konstanten Faktor V² bei cp, und cos cp bei l auf die linke Seite herüber.

dçp s

ds V²

— v² t — u² (3 rj² t)

d²cp s2 “ds²“ V* = d³co s³

-g — — v² u ( 1    3 t² + T]² — 9 î]² t²) — 3 u³ T]² (1 — t² + rp — 5 rp t²)

+ «⁴1 (1 + 31² + rp — 9 rj²1²) — 2 v² u²1 (4 + 61² — 13 rP — 9 ï]² t² —17 rp + 45 rç⁴1⁴) -f- u⁴ trp (12 + 69 rj² — 45 r]² t² + 57 rp — 105 rp t²)

+ vi u (1 + 30 t² 4- 45 t⁴) + 2 v² u³ (4 + 40 t² + 30 t⁴)

d*cp s4 ~d^W ⁼

d⁵cp s5 Ts$ F² ~

dl

—%— S COS W — -Ą- V ds

d-l

s² cos cp = +2 v ut

d*l

ds3

S³ cos cp = + 2 V U² (1 + 3 t² + 7/2) — 2vs t²

d⁴Z

ds⁴

s⁴ cos qp = 8 v u% t (2 + 3 t² + rj² — ?/4) — 8 v² u (1 + 3 t² + rj²)

d*l

js5 s⁵cosq> = 8v u* (2 + 15 t² + 15 t⁴) — 8 v³ M2 (i + 201² + 30 i⁴) + 8 t² (1 + 81²)

cl a

ds

d² « d s²

d3 « d s³

d⁴ a ds⁴

S‘2 = V U (1 -f- 2 t² + Tj²)

s³ — v u² t (5 + 6 t² + t]² — 4 t;⁴) — vß t (1 + 2 t² + t]²)

d5«

ds⁵

s⁴ = v m³ (5 -+- 28 i³ H- 24 £⁴ + 6 rj² + 8ij²t² — 3 7/⁴ + 4 ??⁴£² — 4 rjß + 24 ifi t²)

— «³ (1 -(- 20 <² + 24 £⁴ + 2 v}² + 8 rj² f² + 77⁴ + 12 t?⁴ £²)

«5= V «41 (61 + 1801² +120 f⁴) —1>3 M2 i (58 + 280 £² -j-240 £⁴) + ®5£ (1 + 201² + 24£⁴)

Mehr als diese Glieder wird man fast nie brauchen. Übrigens haben wir in der vorigen 3. Auflage 1890 S. 392 die Glieder bis zur 54e« Ordnung mit allen Zusätzen rj² u. s. w. und dann noch 6te Ordnung wenigstens sphärisch, d. h. ohne rj2 gegeben.

Zur Abkürzung kann man etwa bis zur 4⁴en Ordnung sphärisch gehen, und dann auch schon in dritter Ordnung nur noch rj² mitnehmen und alle weglassen.

Damit bekommen wir folgende zur praktischen Anwendung zugerichtete Formeln, in welchen u und v die Bedeutungen von (22) und (23) haben:

1    3

— V² t — 2— «2 jj2 t

V'-J- = u

V²

2p

— ~ (1 + 3 fl + rj² — 9 rj² t2) + ^2 V² (<² — 1 — V² + 5 V²*²) t(2 + 3i²)

>(25)

t>4

24 p3

t (1 + 3 t²)

V² U²

6p3

l cos cp = V H--vu t

•iß

3 p²

U³ u

t® +

(m es S ! Q/

(1 4- 3 t² + r/²)

3p3

t(l + 3t²) +

» eo

— t (2 + 3 t²)

a = v t + ^ (1 4- 2 t² 4- J?²)

V³

6 p²

V³ u

24 q³

V U ²

t (1 + 2 £2 _)- ^2) _j———- t (5 4- 6 Z² 4- 7^²)

(1 4- 20 Z² 4- 24 Z⁴) 4-    (5 + 28 Z² + 24 Z⁴)

(27)

Die hiebei nötigen konstanten Logarithmen sind:

= 4.685 5750

l°9 —

log^

Zoa i = 8.57960 y 3q³

. log

2(>

= 4.384 5449

= 9.070 120    , Zoo -L = 8.894 028

y 3 q²

, log

Qq³

= 3.27857

' 109 , log

• losé^=2157 661

= 4.8616661

6^²

= 8.592998

(28)

Wenn man in (25), (26), (27) alle rj² weglässt, so bekommt man wieder die sphärischen Formeln (27)—(29) § 64. S. 359, wie es sein muss.

Mit diesen konstanten Coëfficienten kann man auch unsere Hilfstafeln Seite [47]—[51] des Anhangs benützen.

Wir wollen unser kleines sphäroidisches Normal-Beispiel (1) § 73. S. 391 in dieser Weise berechnen:

Gegeben <p = 49° 30' 0" a = 32° 25' 21,5909" log s = 5,121 6103.1 hiezu von Seite [21] des Anhangs log [2] = 8.508 9420-3 und log V² = 0.0012290-7

Im übrigen giebt die Ausrechnung nach dem angegebenen Verfahren, in ähnlicher Weise wie bei dem sphärischen Beispiel § 64. S. 360:

log 12]

„ sina log v

8.508 9420-3 5.1216103-1 9.729 2947-4

3.359 8470-8

log [2]

„ cos a

8.508 9420-3 5.121 6103-1 9.926 4021-9

logu

3.556 9545-3

Die weitere Ausrechnung hat folgendes gegeben:

Breite.

4- V²u =

—    v² ...

—    î/ ² Ï]² . . .

—    U² V ...

4- u³i]² .. . 4- »⁴ ■ ..

—    V² U² . . .

4- 3615,6269"

—14,9269

—    0,3146    —v³...

—    0,3774 4- 0,0006 4- 0,0008

—    0,0093

V =

4-vu...

4-vu²... — v³ u ...

4-vu³...

Länge.

4- 3526,1653" 4- 72,1660

—    0,1986 4- 1,8371

—    0,0152 + 0,0452

Azimut.

vt —

4-vu...

—    V³ . . .

4-vu²...

—    V³ u . . .

4- v u³ ...

4- 2681,3172" 4- 74,9467

—    0,2063 4- 1,8061

—    0,0152 + 0,0455

cp'— cp =

3600,0001" = 1°0' 0,0001 soll 0,0000

A. = + 3599,9998" = 0° 59' 59,9998 soll 60,0000

a'— a =    2757,8940"

= 45' 57,8940 soll 57,8942

Meridianbogenlänge.

Unsere Formeln enthalten auch den besonderen Fall der Meridianbogen-Rektifizierung, wenn das Azimut a = Null wird. Setzen wir dann auch den zugehörigen Wert s = m, so werden wir aus (25) folgendes erhalten bis zur dritten Ordnung :

<p'—v

(29)

—+ 1 — ??² + 5ł?2i2)

Dieses ist die Umkehrung der früheren Formel (37) in § 35. S. 218, wie sich deutlicher zeigt, wenn man jene Formel so schreibt:

(30)

_ gf—9

N V2

Dass diese beiden Formeln (29) und (30) unter sich übereinstimmen, kann man leicht durch genäherte Auflösung nachweisen.

Die erste Entwicklung nach Potenzen der geodätischen Linie (bis s³ einschliesslich) zur Übertragung von Breiten, Längen und Azimuten, ist gegeben von Legendre in den Memoiren der Pariser Akademie von 1806. Diese Legendreschen Formeln sind bei der badischen Landesvermessung benützt worden. Helmert, höhere Geodäsie I. 1880, S. 296—300 giebt die Entwicklungen bis zur dritten Ordnung mit e² und dann noch 4.—5. Ordnung sphärisch, mit Litteraturangaben S. 300. Um die in vorstehendem § 74. behandelten Beihenentwicklungen praktisch im Grossen anzuwenden, müsste man bequeme und genaue Coëfficienten-Tabellen hersteilen, wobei in den Keihen (25)—(27) die Coëfficienten mit allen Gliedern tj² einzuführen wären.

Von der Vermessung des Staates New-York und von der Küsten- und Landesvermessung der Vereinigten Staaten wird ein solches Verfahren angegeben in einem Berichte in der „Zeitschr. f. Verrn.“ 1890, S. 177-179.

Bei der preussischen Landesaufnahme sind Formeln von ähnlichem Charakter im Gebrauche, die wir schon in § 39. S. 228 und § 59. S. 331 erwähnt haben, Schreiber, „KechnungsVorschriften" u. s. w.: Die zugehörigen Entwicklungen sind amtlich nicht veröffentlicht, aber in Jordan-Steppes, »Deutsches Vermessungswesen I“, 1881, S. 113—121. Man kann diese Schreibersche Theorie kurz bezeichnen als eine sphäroidische Weiterführung der Gauss sehen sphärischen Behandlung des Polardreiecks nach Fig. 3. § 60. S. 343. Die praktische Anwendung der Schreiberschen Eechenvorschriften verlang die Ausrechnung von 19 Gliedern ähnlicher Art wie die 19 Glieder der Formeln (25)—(27).

§ 75. Näherungs-Formeln bis s³.

Wie die Ausrechnungen am Schlüsse des vorigen § 74. S. 396 zeigen, kann man mit den Potenzreihen bis zur 4ten Ordnung bei Entfernungen bis zu rund lOO¹'”¹ oder Breiten- und Längen-Differenzen bis zu 1° eine Genauigkeit bis zu etwa 0,0001” erreichen.

Die Rechnung ist aber etwas umständlich, und würde nur etwa durch Beigabe ausführlicher Coëfficienten-Tabellen die nötige Geschmeidigkeit erlangen, man hat in der Breite 7 Glieder und in Länge und Azimut je 6 Glieder.

Anders steht die Sache, wenn man nur Näherungswerte auf etwa 0,1” genau berechnen will, welche nach dein später zu beschreibenden Verfahren von § 77. noch verbessert werden sollen. In diesem Falle rechnet man nur die Hauptglieder mit dem Coëfficienten [2] streng, nebst V² bei der Breite, im übrigen nimmt man nur noch die sphärischen Glieder (setzt also rp = 0) und kann dann die Coëfficienten-Tabelle unseres Anhangs Seite [47]—[51] benützen.

In diesem Sinne haben wir die Ausrechnung auf S. 398 gemacht, in den Hauptgliedern nur 6 stellig, dann 5- und 4stellig. Die Genauigkeit geht auf 0,01" und 0,03” in Breite und Länge, und auf 0,10” im Azimut, was alles als erste Näherung für späteren Gebrauch in § 77. vollauf genügend ist.

Geographische Coordinaten. Näherungs-Berechnung bis zur dritten Ordnung.

Gegeben <p = 49° 30' 0,0" a = 32° 25' 21,5" log s = 5.121 610

log [2] log sin a

Hilfstafel S. [21] giebt für qp :

log F² = 0.001 229 log tang qp = log t = 0.068 501 log t² = 0.137 002 log cos qp = 9.812 544

log s

8.508 942 9.729 295 5.121 610

log [2] log cos a log s

8.508 942 9.926 402 5.121610

log v logv2 log v²

3.359 847 6.719 694 0.079 541

log u log u²

3.556 954 7.113 908

qp' — qp = V² u —

V2

v² t —

F²

3 F²

log F²

log u

0.001 229    — V²

3.556 954

6 gi v2 M (1 + 3 t²)--2 Q m2 e'² s‘,n <]P cos

— F²

F² u 3.558 183 + 3615,63"

= + 1°0' 15,63"

1:2 p

0.00123"

6.71969 0.06850 4.38454    1 + 3 t²

1 :6q²

0.0012«    — F²

6.7197

w²

1.17396” — 14,93"

3.5570    3 e'² : 2 q

0.7088 8.5930

s in qp

cos cp

0.0012«

7.1139

2.6861

9.8810

9.8125

log v log sec cp

3.359 847 0.187 456

v sec cp 3.547 303 -l- 3526,17"

= + 0° 58' 46,17"

9.5797«

— 0,38"

__v*t² v u² (1 + 3 t²)

cos qp q cos cp 3 q² cos cp 3 q² cos cp

— v sec cp 3.5473« v sec cp v² 6.7197 t² 0.1370    1 + 3 1²

1: 3 e² 8.8940    1: 3 p²

9.4947,, — 0,31"

vut

v sec cp

1:0

3.54730

3.55695

0.06850

4.68557

3.5473

7.1139

0.7088

8.8940

1.85832« -I- 72,16"

(1 + 2 t²) -

¥q²

(1 + 2 t²) +

9.2980«

— 0,20"

v u²t

6 Q²

(5 + 6 t²)

0.2640 + 1,84"

3.359 847 0.068 501

— vt

vt | 3.428 348 + 2681,32 = + 44' 41,32"

1 + 2i2 1: 2o

3.35985 3.55695 0.57306    1 + 2 t²

4.38454    1: 6 Q²

1.87440 + 74,89"

V²

3.4283,,

6.7197 0.5731    5 + 6 *2

8.5930    1:6 q²

9.3141«

— 0,21"

U²

3.4283

7.1139

1.1214

8.5930

0.2566 + 1,81"

Zusammenfassung :

qp = 49° 30' 0,00" —14,93" ‘    0 15,63 — 0,38

— 0,31

+ 0° 58'46,17"—0,20" + 1 12,16

1,84

32° 25' 21,50" — 0,21" 0 44 41,32 1 14,89

+ 50° 30' 15,63" - 15,62"

+ 1° O' 0,17" —0,20"

1,81

qp' = 50° 30' 0,01" soll 0,00"

l = + Oô 59' 59,97" soll 60,00"

+ 33° 11' 19,52" —0,21"

a' = 33° 11' 19,31" soll 19,41"

§ 76. Sphärische Mittelbreiten-Form ein.

Obgleich die sphärischen Mittelbreiten-Formeln nach Gauss schon in unserem früheren § 62. entwickelt sind, wollen wir doch, ehe auf die sphäroidischen Formeln dieser Art übergegangen wird, nochmals die Sache sphärisch betrachten.

Wenn wir also hier noch eine zweite Herleitung der sphärischen Mittelbreiten -Formeln vornehmen, so geschieht es nicht bloss in dem Sinne einer Versicherung der ersten Herleitung, sondern vielmehr zum Zweck der Vorbereitung entsprechender sphäroidischer Formeln, mit welchen wir uns im folgenden § 77. beschäftigen werden.

Fig. l.

In Fig. 1. betrachten wir 3 Punkte mit den Breiten cpx, cp, cp₂, wobei <p der Mittelwert ist, d. h. :

= » (1)

Da die Breiten-Unterschiede cp — <jpj und cp₂ — <jp hiernach gleich sein sollen, so werden für einen Bogen, welcher die drei Parallelen zu den Breiten qpj, cp, cp₂ schneidet, die Abstände Oj und o₂, deren Summe crx -+- ö"₂ = ff sei, nicht gleich, aber auch nicht sehr ungleich werden, und ähnlich verhält es sich mit den zugehörigen Längen-Unterschieden Aj und A₂, deren Summe Aj -+- A₂ = A sei.

Die Azimute, welche der Bogen in den Breiten qpx, cp und cp₂ hat, seien bezw. <q, a0 und a₂, und es werden dabei ähnliche Verhältnisse stattfinden, wie bei den Längen- Unterschieden, d. h. es werden a₀ — ax und a₂ —«0 nicht sehr verschieden sein; das Mittel aus cq und a₂ sei mit a bezeichnet, d. h. :

«1 -+- «₂

——^—- — a

<jp2 — qp = <jp — <Pi »

VW

biXhi

hy

-----Ofop

^    0(2+0ti ₌ ry.

a2-oc,=1

(2)

Dieses Mittel wird nicht gleich «₀, aber auch nicht sehr viel von «₀ ver

schieden sein.

Eine frühere Abkürzung sei hier wieder benützt, nämlich :

tang cp = t

und nun wenden wir die Potenzreihe für den Breiten-Unterschied (27) § 64. S. 359 auf unsern Fall zweifach an, und erhalten:

(3)

cp₂ — cp — a₂ cos «₀--g sw*² «o £--q si«² a₀ COs «o (1 + 3 t²)

(4)

af

af

qp! — <p = — <r₁ cos «₀ —~ sin² a₀t-h    sin² a₀ cos a₀ (1 + 3 t²)

Diese zwei Gleichungen geben subtrahiert:

?>2 — <Pi = (°2 + <U) cos cc₀

(5)

°²    ° * sin² a₀1

u

°*    sin² «₀ cos cc₀ (1 +3 t²) (6)

Ferner giebt wegen der Gleichheit der Breiten-Unterschiede nach (1) die Addition von (4) und (5):

°l sin² «o cos a₀ (1 + 3 ć²)    (7)

0 = (a₂ — oj) cos «₀

Dieses ist eine Gleichung zur Bestimmung der Differenz a₂ — alf und da man sofort sieht, dass diese Differenz von der Ordnung ff² ist, kann man in (7) das letzte

setzen, so dass man damit

Glied weglassen, und im zweiten Gliede fff = fff ^ j

aus (7) erhält:

°2 —(J1 — -ą

o² sin² a₀

cos a₀

(8)

Wenn man diese Gleichung mit ff₂ + °i — & multipliziert, so erhält man auch die Quadrat-Differenz :

(9)

o-f — fff

_ a³ sin² a0 — 4 cos «o

Dieses (9) setzt man in (6), zugleich darf man dort im letzten Gliede a| — fff

/ ff \3

= yl setzen, und dadurch erhält man:

a³ sin⁴ a₍₎

to-^acosao—g —

Diese Gleichung müssen wir zunächst so stehen lassen und nun mit den Azimuten beginnen. Hiezu haben wir in (29) § 64. S. 359 die nötige Gleichung, welche auf unseren Fall zweifach angewendet giebt:

(ji    fj 3

a2 ~ ao — a2 sin ao t + sin a₀ cos a₀ (1 + 2t²) —A Sm3 «₀ t (1 -+- 21²)

Cf³

t² — '24 Si'n2 «o cos a (1 + 8 i²)

(10)

(11)

-+- A sin a₀ cos² cr₀ t (5 + 6 t²) o⁻-    ff®

«i — a₀ = — ffj sm «ü i S1W ao cos «o (1    2 t²) + -jf si«³ «o t (1 + 2 ć²)

ff?

(12)

--a sin «o cos² «₀1 (5+6i²)

Auch diese Gleichungen (11) und (12) werden subtrahiert und addiert; zuerst giebt die Subtraktion:

ff* — ff-

«₂ — «i = (ff₂ -f- ffi) sin «o t H——_—» sin «₀ cos «₀ (1 -4- 2 t²)

sin³ «o « (1 + 2 i²) ■+

— sin «₀ cos² «o i (5 + 6 i²)

(13)

Bei der Addition von (11) und (12) lassen wir die Differenzen dritter Ordnung ff| — fff ganz fort, da dieselben auf Glieder von der Ordnung ff⁴ führen würden ; indem wir dann auch das Mittel-Azimut = a setzen, wie in (2) angenommen wurde, erhalten wir aus (11) und (12) durch Addition:

«₂ + «l

«0 = « — «0

= —- 2 — sin «o t -+- °*    — sm «₀ cos a₀ (1 -f- 2 i²)

und setzt man hier noch die Differenz ff₂ — 04 nach (8) ein, so erhält man : ff² sin³ ao

ff ²

« — «o — -g~

cos a₀

t² -t- ^ sin a₀ cos «₀ (1 -+- 2 i²)

(14)

Hieraus bilden wir zu verschiedenem Gebrauche:

.    .    fl .    (fl

sm «₀ = sin a--g- sin³ a fl--g- sin a cos² « ( 1 + 2 fl)

fl sin* a cos a

(15)

fl

(16)

fl -+- -g- sin² a cos a (1 -+- 2 fl)

In diesen (15) und (16) ist in den Gliedern mit fl schlechthin a statt des aus (14) sich ergebenden ß₀ geschrieben , weil nach (14) sich a und ß₀ selbst nur um Glieder von der Ordnung fl unterscheiden.

cos ß₀ = cos a +

Nun kehren wir wieder zu der Gleichung (10) zurück, setzen im ersten Gliede daselbst (16) ein, und erhalten, da die quadratischen Glieder sich heben :

fl

(17)

Cp2 — *Pi = ff cos a 4- 2^ sin² a cos a (2 + 3 fl)

Auch die Gleichung (13) lässt sich nun weiter führen; wir schreiben diese Gleichung zunächst von neuem mit Zusammenziehung der a₂ und oq :

«₂ — «i = ff sin a₀1 -t

2 sin «o cos ao (1 + 2 fl)

fl

fl

— 2^ sin³ a₀1 (1    2 fl) + ^ sin «₀ cos² ß₀ t (5 + 6 fl)

Hier hat man zuerst fff — ff * nach (9) einzusetzen, wodurch man erhält, indem man zugleich in den Gliedern mit ff³ statt ß₀ den Wert a schreibt:

, ff³

«2 — «1 = ff sm a₀ t -4-

siw³ ß t (1 -+- 2 t²)

ff³

ff³

sin a cos² ß t (5 -+- 6 fl)

— ₂₄ s^³ ß t (1 + 2 fl) -+■ ₂₄

Auch hat man noch im ersten Gliede sin ß₀ durch sin a zu ersetzen, was durch (15) geschieht; und wenn man zusammenfasst und ordnet, so erhält man:

— Aj cos cp = — ffj sin ß₀ -f- a\ sin ß₀ cos ß₀1 -+-    sin³ ß₀1² — ^ sm ß₀ cos² ß₀ (1 + 31²)

Durch Subtraktion bekommt man, sofort die Glieder dritter Ordnung zusammennehmend, und in diesen Gliedern a statt ß₀ schreibend:

fl

A cos cp = er sin ß₀ H- (fff — fff) sin a cos a t —

Wenn man wieder, wie in den beiden vorigen Fällen, ff* — fff nach (9) und smß₀ nach (15) einsetzt, so erhält man:

sin ß t (sifl ß (2    i²) + 2 cos² ßj

(18)

ff³

sin³ ß t² + ^2 SîW « cos² ß (1 -j- 3 t²)

ff³

X cos q> = a sin a -t- ^ sm a (sm² ß fl — cos² ß)

(19)

Die DifFerenz A₂— haben wir hiebei nicht gebraucht; der Gleichförmigkeit

wegen wollen wir jedoch diese Differenz auch angeben, nämlich:

... ff² sin³ ß (A₂ — Aj) sm <p = -j

fl

eos ß

sin a cos a t

(20)

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

26

Unsere gestellte Aufgabe ist in den Gleichungen (17), (18), (19) gelöst, die wir in etwas anderer Form nun zusammenstellen:

cp2 — <Pi = a cos a

er sin a

^1    ^ (2 o² sin² a + 3 o² sin² a tang² qp)j

(21)

COS (jp

|^1 -+- ~ (o² sin² a tang² cp — o² cos² a)j

(22)

«1 = er sin a fan# (jp ^1 4- ^ (2 er² -+- a² sin² a tang² q>)J

(2B)

«2 —

Hier kann man in den Korrektions-Gliedern setzen: a cos a = ß

wobei ß ein Näherungs-Wert für <p₂ — <f>i und y ein Näherungs-Wert für a₂ — sein soll. Ausserdem bestehen die Näherungs-Gleichungen o² = ß² -f- X² cos² cp

Wenn man dieses in (21) und (22) berücksichtigt und die Gleichungen umstellt, dann (22) und (23) dividiert, so erhält man:

o cos a

o sin a = X cos cp

o sin a tang cp — y

a² -4- y² = ß² + X²

= (9>2 — qPi) (l — 2"4 (³ *² — *2 cos2 <P)) — X cos cp [l — ^ {X² sin² cp — ß²)j aj — X sin cp ^1 -t- ^ (3 ß² -f- 2 X² cos² <jp)j

o sin a

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

«2 —

Dieses sind dieselben Gleichungen wie (17), (16), (18) § 62. S. 350; und es sind also jene Gleichungen hiemit zum zweitenmale hergeleitet.

§ 77. Sphäroidische Mittelbreiten-Forineln.

Fig. 1.

Vu

Pa

0£z

$?-

I S,

—-Zs.

(OCi

\H

jOa+OO-a

* oca-oc^i

/ Pi

Dasselbe, was wir im vorigen § 76. sphärisch gemacht haben, müssen wir nun auch sphä-roidisch mit der geodätischen Linie thun.

Wir werden dabei eine Entwicklung bekommen , welche der sphärischen Entwicklung ganz entsprechend ist, welche sogar alle früheren Glieder von § 76. wieder enthält, aber noch weitere Glieder von der Ordnung rj² und if hinzubringen wird, und da wir in § 76. eine gute Vorbereitung haben, können wir uns mit der neuen Entwicklung kurz fassen.

Die Bezeichnungen nehmen wir wieder im wesentlichen wie in § 62., indem die nebenstehende Fig. 1. sich von der früheren Fig. 1. S. 349 nur dadurch unterscheidet, dass überall s statt o, und bei den Längen l statt À steht.

Unter s verstehen wir eine geodätische Linie, linear gemessen, und unter S die entsprechende Reduktion auf Centriwinkel durch Division mit dem Quer-Krümmungs-Halbmesser N d. h. wir wollen setzen:

L= S oder S

(1)

NQ s

je nachdem in analytischem oder geometrischem Masse gerechnet wird. Wir wollen auch wieder als Abkürzung nehmen:

s sin a

— = S sin a = v und

s cos a

(la)

Damit erhalten wir aus der Breiten-Formel (25) § 74. S. 395 als Anwendung auf den nördlichen Teil unserer Fig. 1. folgendes:

S²

= S₂ cos a₀--g * (s*w2 «o + 3 7/² cos² a₀)

sin² a₀ cos a₀ (1 + 3 i² -f- rj² — 9 tj² t²)

()P₂ —qp

F²

(2)

Sl

COS² a₀ (3 7/2 — 3 7/2 i² 3 7^4 — 15 t/4 f2) j

Die entsprechende Formel für qpj —cp hat überall — Ą statt S₂, also:

S³    S³

= — Sj cos a₀ — S*... 4- sm² a₀ cos₀ ... -t- y cos² a₀ ...

<Pl — V

F²

(2 a)

Diese beiden Gleichungen geben subtrahiert: = (S₂ -+- &i) cos a₀

- —- t (sin² «₀ -+- 3 7/2 cos² a₀)

Si + S\

sm² «₀ cos a₀ (1 -+- 3 t² -+- 7/2 — 9 ?/²1²)

(3)

-*4"— cos² «o (3 7/2 — 3 7/2 f² + 3 7/4 — 15 7/4 f²) 6

Ferner giebt die Addition von (3) und (3 a):

0 = (S₂ — Sj) cos a₀

S]H-SJ ₄ ^f||2    3 ^2 cos² a₀)

u

also:

-h 3 7/2 cos a₀ j

⁶    1    4    \ cos a₀

Dieses (4) in (3) eingesetzt giebt nach Ordnung der Glieder:

(4)

<jP2 — Tl _

F2

S cos a₀ — ^    ^4° t² + sin² «₀ cos «₀ (1 + 3 t² -+- t/² —9 7/² t²)

\ cos «o

-f- COS² a₀ (3 7/2 — 3 7/2 f² + 3 7/4 + 12 7/⁴ t⁴) j

(5)

Ehe wir dieses weiter verfolgen, machen wir dieselbe Behandlung auch mit den Azimuten, d. h. nach (27) § 74. S. 396:

SI

«2 — «o = S₂ sin a₀ t + ^ sm «o cos «o (1 -+- 2 t² -f- 7/2

— ^ si«² «o t (1 + 2t² + t/²) + ^ sm or₀ cos² «₀ t (5 + 6 t² + t/² — 4 7/4)

sm³ «₀ .. .

(6)

Si

«l — «o = — S^^sin a^t    .

^ sm a₀ ...

(7)

Hievon brauchen wir zunächst nur die Addition, d. h.:

Die Differenz S% — Ą von (4) hier in (8) eingesetzt giebt: a — a₀

Damit werden die mehrfach gebrauchten S sin a₀ und S cos a₀ : S sin «g = S sin a —

_ & /sin «0 £2 _J_ sin tt(3 cos ß₀ (1 4- 2 t² 4- jy2 _(_ 3 7y2 o y C05 C£q    /

(9)

^ |sm³    sin a cos² a (1 4- 2 t² -+- rfi + 3 i]² t²)j

^ ^\cos a t2 + stw2 a cos a (1 H⁻ 2 £2 _f_ ^2 _(_ 3 ^2 ^2)j

(10)

(11)

*8 cos a₀ = S cos a -+-

Wenn man dieses (11) in (5) einsetzt, wobei man in den Gliedern mit S3 schlechthin a statt a₀ schreiben darf, so erhält man:

^ß=Scosa

jl +^si«²a(2 4-3^4-2j?2)_^C0S2ftł?2(i_i2_H7?2₊4,?2<2)J (12)

Wir bilden nun auch die Subtraktion von (6) und (7):

si~_ą

«2 — a\ — (£>2 4- Si) sin a₀1 4

--sin a₀ cos «₀ (1 + 2 i² -f 7/²)

*    ^ ( sm³ a₀ t (1 4- 2 ż² + J/²) — sm a₀ cos² a₀ t (5 4- 6 Z² + t]² — 4 ?/⁴)

Hier ist wieder *S₂ — <S) nach (4) zu berücksichtigen ; dieses giebt :

«₂ — «1

£3    /

= $ si« «o £ 4- Z ( s*«³ «o (2 4- 4 f² 4- 2 r/²)

4- s« a₀ cos² a₀ (5 4- 6 Z² 4- 10 j/² 4-18 i]² Z² 4- 5 jy⁴)

und wenn man endlich noch Ssina₀ nach (10) einsetzt, wobei in den höheren Gliedern «₀ mit a schlechthin verwechselt werden darf, so erhält man : «₂ — «i = Ssin a t jl + ^ sin² a (2 4-Z² 4-2rj²) 4- ™ cos² a (2 -t- 717² 4- 9 rç² Z²+57^) j ( 13)

Es bleibt nun noch die Formel für l zu entwickeln, wozu wir in zweifacher Anwendung von (26) § 74. S. 395 haben: 4-Z₂cos(jp =(S₂sina₀4-S\sina₀cos<x₀t — ^^smsa₀1² — sin«₀cos²a₀(14-31²4-rj²)j (14)

— Zj cos cp = — Si sin a₍₎ 4- S| ...

S?

"8

(15)

Die Differenz hievon giebt (da 1%-h l\ = Z, und S₂ 4- Si = S ist) :

Sl+Sj

sin³ cc₀ t²~sin «₀ cos² a₀ ( 14- 31² 4-1]²)

lcoscp=S sin a₀4- (Sl—Sf) sin a₀ cos a₀1

Hier ist wieder S₂ — Ą nach (4) und S sin a₀ nach (10) zu berücksichtigen, wodurch man erhalten wird:

S3    «    )

Z cos cp = S sin + 24 s*n a jsiw2 a — cos2 a (1 *+" V² — 9 ij² t²) >

(16)

Wenn man von (14) und (15) auch die Summe bildet, so bekommt man eine Gleichung, welche jetzt nicht nötig ist, aber später noch nützlich sein wird, nämlich:

S²sin³a

(Z₂ — Zi) cos cp — --

v ^ u Y 4 cos a

t 4- -j- sin a cos a t (2 4- 3 rj²)

(17)

Die Gleichungen (12), (13) und (16) enthalten die Lösung der gestellten Aufgabe; man kann jedoch durch Division von (13) und (16) auch noch eine vierte Gleichung bilden :

«2~ «l

= l sin cp 11 + ™ |stw² a (2 + 2 t/²) -+- cos² « (3 + 8 rj² + 5 7/4) j j

(18)

Dabei kann man auch in dem Gliede mit sin² a schreiben :

2 + 2 t/² = 2 (1 + t/²) = 2 V2 Die ersten Näherungen von (12) und (16) sind:

02 ~ «Pi _ &

(18 a)

-jÿ. cos a = S cos a =

V²

V²

(19)

qp₂ —(Pi

~ sin a = S sin a = l cos cp

Dabei soll b nur als Abkürzung für qp₂ — 9h dienen.

Damit lassen sich die Formeln (12), (16) und (18) so schreiben: Z² cos² cp

s cos «

(20)

72

JV

,    s sin a

Z cos cp =

__ ₍₂ + 31² + 2 t/²) + ri² (t²_ 1 -v² - 4 t/² t²)^j (21)

bi (1 + 7/2) — 9 t?² Z²) j

6² \

(3 + 8 7/² + 5 7/4)j

Z² sin² <p

1 +    24

24 F4

(22)

= Z sin cp ^1 -j--—

Nun wollen wir die Coëfflcienten der gefundenen Formeln besonders bezeichnen und herausheben, und dabei auch die nötigen q zusetzen. Zuerst nehmen wir für die Glieder erster Ordnung die schon zu anderen Zwecken mehrfach eingeführten Haupt-Coëfficienten :

«2 —«1

Z² cos² cp

72 +

24 F4

(23)

#=[2] . | »der |F2 = [1]

(24)

Es ist also wegen der Bedeutung von S wie bei (22)—(24) § 74. S. 394:

v = S sin a = [2] s sin a , u = S cos a = [1] s cos a Zugleich wollen wir noch folgende weitere Coëfflcienten festsetzen :

[4] =

[5]= 24^ï 12 + 3,2 + 2 ^

PI = w r2

[3]= +

24 q²

(25)

pL 1 + 7/² — 9 ifi t²

24 q²

74

t² — 1 — 7/2 — 4 7/² t²

74

(26)

pi 3 + 8t/²+57/4 24^2

Dabei bedeutet pc den logarithmischen Modulus für Einheiten der 7teu Stelle log pc = 6.637 7843, und wir können dazu auch gleich ausrechnen:

= 5-105 8441 , tog-^~= 4-929 7528 , log-^^ = 4-628 7228 (27)

Mit diesen Abkürzungen werden die Formeln (21)—(25) so dargestellt:

cosqp \ pc    iu    )

Fortsetzung s. S. 408.

[8] =

74

8(J²

Fig. 2.

Sphäroidische Mittelbreiten-Formeln,

Gegeben cp₁ = 49° 30' qp = 50° 0' 0"

Gesucht sind s, ax und vc₂.

Die Hilfstafeln des Anhangs gehen mit cp = 50° 0': Seite [32]: log[l] = 8.510 1335-3 Seite [54] gieht mit cp — 50° 0' :

<p₂ = 50° 30' b — 1° = 3600" Z

1°0'

1° = 3600".

log [2] = 8.508 9295-0

log [3] = 4.6287 log [4] = 4.6119

log [5] = 5.4257 log [6] = 2.151 log [7] = 4.9310 log [8] = 5.1066

Pz

«2

aT6

rts

/*

oc₂-al=y

Q_-

Gebrauchsformeln.

log s sin a = log ^    ~ [3] Z² sin² cp + [4] Z>²

[1]--^¹² C0S2 ⁹ ~ ^ ⁶²

log A a = log l sin cp + [7] Z² cos² cp + [8] 6²

Zo<jr s cos a = log

A cp

Länge

Breite

Azimut

log l log cos cp

3.556 3025-0 9.808 0675-0

log b

log [1]

3.556 3025-0 8 510 1335-3

logl 3.556 3025-0 log sin cp 9.884 2539-7

log l cos cp

logi 2]

3.364 3700-0 8.508 9295-0

l°9 rTT

[1]

5.046 1689-7

log l sin cp 3.440 5564-7

l cos cp

4.855 4405-0

to»-pï log Z² cos² cp 6.7287 Vsirficp 6.8811 b² 7.1126 — [3] 4.6287» +[4] 4.6119 1.5098»

— 32-35    + 53-02

log 62 17.1126

l² cos² cp 6.7287

1.7245

6² 7.1126 — [5] 5.4257, —[6] 2.151» 2.1544»

— 142-72 —    0-18

9.2636»

4- 20-67 4.855 4405-0

— 142-90 5.046 1689-7

logi²sin² cp | 6.8811 1? cos² cp 6.7287 b² 7.1126 + [7] 4.9310 +[8] 5H066 1.6597

+ 45-68 + 165-67 + 211-35 3.440 5564-7

2.2192

s sin cc 4.855 4425-7 s cos a 5.046 1546-8

s cos a 5.046 1546-8

3.440 5776-0

tang a 9.809 2878⁻9 = 82° 48' 20,458"

Ą-= 0° 22' 58,947"

s sin a sin a

4.855 4425⁻7 s cos « 9.733 8322-5

cos a

5.046 1546-8 9.924 5443-7

log s

5.121 6103-2

log s

5.121 6103-1

A a = 2757,8942"

Aa = 0°45' 57,8942"

= 0° 22' 58,9471"

a₂ = 33° 11' 19,405" «,= 32° 25' 21,511"

s = 132 315,38”*

Sphäroidisohe Mittelbreiten-Formeln

mit indirekter Auflösung.

Gegeben log s — 5,121 6103-1 Genähert l — 1° 0' 0,1"

= 3600,1"

q>! = 49° 30' 0,0000" <p₂ = 50° 30' 0,1"

«! = 32° 25' 21,511" «₂ = 33° 11' 19,5"

<p = 50° 0' 0,05"

Mit qp = 50° 0' 0,0" geben die Hilfstafeln des Anhangs

a = 32° 48' 20,5055"

Seite [32] :    log [1] = 8.510 1335-3 log [2] = 8.508 9295*0

und die Hilfstafel Seite [54] giebt:

log[3] = 4.6287 log[4] = 4.6119 j log[5] = 5.4257 log [6] = 2.151 | log [7] = 4.9310 %[8] = 5,1066

Gebrauchsformeln.

log l = log ^

[2] s sin a

j + [3] V² sin² cp — [4] Iß log A cp = log ^[1] s cos « j -4- [5] l² cos² cp 4- [6] b²

log A a = log (J2] s sin a tang cp j 4- [7] V² cos² cp 4- [8] Iß 4- [3] l² sin² cp — [4] Iß

cos cp

Länge

Breite

Azimut

log s ! 5.121 6103-1 log [2] j 8.508 9295-0 log sin a 9.733 8324-0

log s

log [1] log cos a

5.121 6103-1 8.510 1335-3 9.924 5443-0

log s

[2] s sin a log cos cp

3.364 3722-1 9.808 0673-7

[1] s cos a = log b

3.556 2881-4

log [2] log sin a log tang cp

5.121 6103-1 8.508 9295-0 9.733 8324-0 0.076 1866-8

log (l)

3-556 3048-4

log (A a) = log l sin qp

3.440 5588-9

log ([2] s sin ft)³ = log l³ cos² <P = 6.7287

logb*= 7.1126

log l² sin² cp = 6.8811

l² sin²cp 6.8811 b² 7.1126 4- [3] 4.6287 —[4] 4.6119« 1.7245«

1.5088

+ 32-35    — 53-02

l² cos² cp 6.7287    &3 7.1126

■ + [5] 5.4257 + [6] 2.151 2.1544

+142-72    + 0-18

9.264

l² cos² cp 6.7287 b² 7.1126 + [7] 4^310 -f [8] 5.1066 1.6597

+ 45-68    + 165-67

2.2192

- 20-67

4- 142-90

+ 211-35 — 20-67

+ 190-68

log(l) 3.556 3048-4 — 20.7

log(b) 3.556 2881-4 + 142-9

log [Ad) 3.440 5588-9 + 190-7

logi 3.556 3027-7

l = 3600,0022" soll 0,0000

log A cp 3.556 3024-3

A cp = 3599,9994" soll 0,0000

log A a 3.440 5779-6

A a = 2757,896 soll ,894

und

Fortsetzung von S. 405.

qp₂ — qpj = A cp — [1] s cos a ( 1 + —-\ P

= l sin qp ^ 1 + ^

2² C06-2 «+ ^ \fi

(29)

«₂ — «i — z^ a

/2 COS² « + ^ 5²

(BO)

[    T71

z/ « = [2] s sin a iara# qp /1 + —

2² cos² a + — 6² + — 2² sw² a —

[» <⁸¹>

Dazu auch die Umkehrungen : s sm « =

2 cos qp (,

^qp A [5]

[1] l    2*

A a — l sin cp ^1 + -- 2² cos² (jp + ^ 6² j

2² sin² a -+- —- ô²

(32)

s cos cc =

2² cos!2 « — Ł⁶! 2>²

(33)

(34)

Daraus folgen die logarithmischen Gebrauchsformeln, wie sie in dem Zahlenbeispiel auf S. 406 und 407 obenan gestellt sind.

Umkehrung der Mittelbreiten-Formeln.

Wenn qplt a₁ und s gegeben und qp₂, a₂ und 2 gesucht sind, so kann man die Mittelbreiten-Formeln nicht unmittelbar an wenden, wohl aber mittelbar durch Einführung von Näherungs-Werten, wie schon am Schlüsse von § 62. S. 353 bei den sphärischen Mittelbreiten-Formeln mit Gauss’ eigenen Worten angegeben ist. Was die nötigen Näherungswerte betrifft, so kann man die Längen und Breiten schon aus dem Netzbilde der Triangulierung entnehmen und damit auch die Meridian-Konvergenzen = Xsincp ebenso genau; wir wollen aber annehmen, man habe das ganze Netz vorläufig nach den Formeln dritter Ordnung von § 75. S. 398 durchgerechnet, was ungefähr von ähnlicher Bedeutung ist wie das vorläufige Durchrechnen einer Triangulierung für die Zwecke von Centrierungen, sphärischen Excessen u. dergl. Kurz, wir wollen annehmen, man habe Breiten, Längen und Azimute auf etwa 0,1" genau und dann genügt eine oder höchstens zwei Durchrechnungen nach S. 407, um alles bis auf 0,0001" zum Stimmen zu bringen.

Jedenfalls kann man alle Coëfficenten-Logarithmen log [1], log [2] u. s. w. sofort mit der vorläufigen Mittelbreite cp hinreichend endgiltig genau aus den Hilfstafeln von S. [30]—[35] und S. [52]—[54] entnehmen und damit die Rechnung von S. 407 durchführen.

Die Schlusswerte kommen auf S. 407 noch mit Fehlern innerhalb 0,001" in Breite und Azimut heraus, welche durch eine abermalige Durchrechnung vollends getilgt werden müssen.

Es könnte hiernach scheinen, dass das Verfahren umständlich und mühsam sei, das ist aber nicht der Fall, denn die Wiederholung erstreckt sich nur auf die drei Logarithmen log sina, log cos a, log tang cp-, alles andere, namentlich die Korrektionen zweiter Ordnung bleiben stehen. Erst wenn Breite und Azimut stimmen, wird auch die Länge nachgeholt.

Das Beispiel S. 407 zeigt, dass man mit jeder Durchrechnung um etwa zwei Stellen weiter kommt, und dazu ist das Beispiel ein sehr grosses, mit z/qp und 2=1° und s = 132*"; in der Praxis sind die Seiten viel kürzer und dann geht die Näherungs-Konvergenz auch noch viel rascher.

Die Entwicklung sphäroidischer Mittelbreiten-Formeln und ihrer Umkehrung bildet den Inhalt der „Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie“ von Gauss, zweite Abhandlung, Göttingen 1846. Gauss hat hier den ungemein nützlichen Grundsatz des Mittel-Arguments bei Reihen-Entwicklungen auf Geodäsie mit schönstem Erfolge angewendet, und eine zweifach unabhängige Begründung gegeben, erstens durch die konforme Flächen-Abbildung und zweitens durch unmittelbare Reihen-Entwicklung nach Potenzen der geodätischen Linie.

Die von Gauss beigegebene Coöfficienten-Tabelle erstreckt sich aber nur von 5l°— 54° Breite. Eine Ausdehnung dieser Tabelle auf 45°—55° gaben wir in den früheren Auflagen dieses Buches, und eine Tafel der Gauss sehen Coefficienten-Logarithmen log (1), log (2). .. log (6) in der ganzen Ausdehnung von <P = 34° bis <p — 70° wurde berechnet von Biele, und veröffentlicht in der russischen Übersetzung von Jordan, „Handbuch der Vermessungskunde“ S. 652—665 (vgl. das genauere Citât S. 229).

Was im vorstehenden § 77. gegeben ist, beruht auf dem Gauss sehen Gedanken, ist aber nach Entwicklung und Coöfficienten-Darstellung in andere Form gebracht, weil es uns schien, dass die Gauss sehe Form der Korrektions-Glieder mit drei Elementen s, ß und t (t = Meridian-Konvergenz) ohne X, in mancher Beziehung nicht günstig ist.

§ 78. Weitere Formeln ffir Soldnersche Coordinaten.

, s cos a und u = ——— = 0

(1)

Die Formeln von § 55. zur Berechnung von cp und À aus Soldner sehen x und y und umgekehrt gehen nur bis zur dritten Ordnung, und sind auch bezüglich der sphäroidischen Zusätze mit ifi u. s. w. unscharf; man bekommt genauere Formeln einfach dadurch, dass man in den Formeln (25)—(27) § 74. S. 395 das Ausgangs-Azimut a = 90° und die Entfernung s = y setzt, also s s in a _ y N~ ~ N

Die in § 74. mit cp bezeichnete Ausgangs-Breite nimmt dann die Bedeutung der Fusspunktsbreite an und soll daher ebenso wie in § 55. nun mit (jpj bezeichnet werden und die Breite des Punktes x, y, welche in § 74. mit <jp' bezeichnet war, sei nun cp (vgl. Fig. 1. S. 410) und mit alledem geben die Formeln (25)—(27) von § 74 mit Ergänzung bis s⁵ nun folgendes (ohne q) :

vT = —    +    ⁺

,8+ w^(1 + 812>

<jp-(jpl

(2)

yS

X cos qpi = ^

r = |‘-f^⁽¹+2<!+’²⁾

Dabei gehören V² und N = c : V und t = tang qpx alle zur Fusspunktsbreite qpj entsprechend Fig. 1. S. 410. Diese Formeln sind bis y'¹ nicht wesentlich anders als die früheren (7), (9), (11) § 55. S. 304. Bei cp ist noch ein Glied mit y⁴ hinzugekommen und bei y noch ein kleiner Zusatz rf² und dann sind noch die Glieder 5ter Ordnung bei X und y dazu gekommen. Es sind also die früheren Formeln von § 55. mit ihrer elementaren sphäroidischen Herleitung von § 54. innerhalb ihres beabsichtigten Anwendungsbereiches genügend nachgewiesen.

In der „Bayerischen Landesvermessung in ihrer wissenschaftlichen Grundlage, 1873“, S. 542 — 546 sind solche weitgehende Formeln wegen der grossen Ordinaten in Bayern (vgl. S. 327) angewendet.

Nach diesem wollen wir noch in anderem Sinne eine Weiterentwicklung zu Soldner sehen Coordinaten geben, die wir schon früher in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1894

ybt

120 N⁵

(1 + 20 (2 + 24 t*)

(3)

(4)

S. 38—42 und 147—152 behandelt haben, nämlich Aufstellung von Formeln, welche qp, X und y lediglich als Funktion der Veränderlichen x und y geben, indem die Ursprungsbreite qp₀ des Systems als Konstante in alle Coëfflcienten eingeht. Bei nur einigermassen grossen Abscissen x wird diese Form nicht unmittelbar nützlich sein, aber z. B. bei den kleinen Geltungsbereichen der preussischen 40 Katastersysteme können die neuen Formeln neben andern mit Vorteil gebraucht werden.

Unter Annahme der Bezeichnungen zur nebenstehenden

Fig. l.

Fig. 1. wollen wir die allgemeinen Formeln (25)—(27) § 74. S. 395 auf den Fall von Fig. 1. zweifach anwenden, nämlich erstens zum Übergang von P₀ auf Px mit a — 0 und s = x und zweitens zum Übergang von Px auf P mit « = 90° und s = y.

N¹

Der erste Übergang giebt, mit Weglassung der g aus (25), S. 395, indem wir zugleich (jp₁ — qp₀ = ö setzen:

«    Çj-Jo

F₀2    F₀2    2V₀    2 Wo² '0 0

x³

WW-1) (5)

'P,

P.

2 Nq³

dabei sollen F₀, N₀, tjq, t₀ sich sämtlich auf die Nullbreite qp₀ beziehen. Bei x³ in (5) ist 7/₀⁴ vernachlässigt.

Die beiden anderen Formeln (26) und (27) S. 395 geben mit a = 0 nur X = 0 und «'— a = 0, d. h. nichts neues; dagegen giebt die zweite Anwendung, mit a = 90° und s = y, zum Übergang von Px auf P aus den drei Grundgleichungen (25)—(27) S.395 (mit Weglassung der q):

'Po

<P — <Pi

Fi2

- “ 21^2 ü + 24%4 *1 0- + ³ *1²)    ^

X cos q>x —

yZ

Nx 3 JVj8

Ü²

(7)

—--h( 1+2 tx³ -f- T/!²)

y~wxh

Hier ist überall cpx auf qp₀ zu reduzieren, wozu die Beziehung (5) dient, indem damit z. B. tx= tang (px entwickelt werden muss.

Indem wir dieses thun und tang qp₀ kurz mit t₀ bezeichnen, auch <px — qp₀ — à setzen, wie schon bei (5), haben wir goniometrisch nach § 28. S. 167 :

6 JVX ³

(8)

(l+^(l + #0²) + Ö²(l+i₀2)j

(9)

dieses genügt, während wir cos cpx bis zur dritten Ordnung brauchen:

COS Cpi

/    Ó'²    \

= cos qp₀ ( 1 — öt₀ —g“    "g" k J

und die Umkehrung, wie auch schon auf S. 167 angegeben:

^1 + ö fo -I- -g- (1 -t- 2t₀²) H—g-    ^ *o²))

(10)

cos qpx

Um auch F zu entwickeln, welches als Bestandteil von N = c : F mehrfach vorkommt, brauchen wir die schon in § 34. S. 208 unten bei (i) gemachte Vorbereitung, wieder mit qpx — qp₀ = Ô' :

cos <po

Yi _ i _ ⁸ *?o² k _ ⁰² %2 F₀ -    F₀2    2 F₀4

(1 — to² + Vo²)

(H)

Nun sind wir genügend vorbereitet, um die Formel (6) zu behandeln, und wir bemerken zuerst, dass das letzte Glied derselben» weil von 4. Ordnung, schlechthin mit N₀ statt und t₀ statt t\ geschrieben werden kann, und der Anfang von (6) gestaltet sich so:

Gliede :

<f> — Wlvo²_ y² , ^o² *1 F₀a vp    2 N₀2 ⁰ Ni2 t₀ -h 24 iY₀4

Da aber iV₀ = c:F₀ und Ni = c:V"i ist, hat man, mit Näherung im zweiten

yi

to (1 + 31₀²)

V —    y² , Yl⁴ *i

F₀2    2A₀²*⁰ F₀4 t₀

hier ist nach (11) und (9) hinreichend genau:

24N₀i

(12)

)(i+ ™(i + e₀²) + ö²(i + «o²))

= 14

t₀ ^ + k² + %² — 3 7/o² f₀²j 4- Ó'² (1 + f₀²)

und mit Einsetzung aus (5):

(13)

Vp | = 1 + jĘt₀ (1 + ł°² + //f)2 “ 3 %2 *°2) + Io2 (1 + io‘²⁾

Dieses (13) in (12) gesetzt giebt:

~⁺^²+%²~3%²k²)-1^4*o(1 + *o²)+24^4*o(¹+3*o²) (14)

Nun kann man aus (14) und (5) den gesuchten Breitenunterschied zusammensetzen, wobei wir aber zur Abkürzung nur noch N statt iV₀, t statt t₀ u. s. w. schreiben wollen :

?£ <1 ₊ * -M* - * * «•> !(1 + <2,+ 2ï!^*(1 + 3fa)

£C³

2 A³

7J² (t² — 1)

y² £C²

(Ha)

2 A⁷4

da V² = N : M und M N = r² ist, kann man das auch so schreiben :

(15)

J<P=Ç₎_gP0 = |-^t-|f²,n-^(l ₊ t² + î?²-3î?2i2)

æ³

(i2 ~ 1)_ 2 A^r² *(1 ⁺¹²⁾ + 24 A² r² *(1 + 3 *²⁾

Dieses ist die Schlussformel für qp— qp₀, für welche wir insofern eine Probe haben, als mit y = 0 die frühere Formel (29) von § 74. S. 397 wieder erscheinen muss. Dieses ist hinreichend der Fall, wie man am besten in (14 a) sieht, indem nur das Glied mit xs rp (t² — 1) von dem Gliede mit m³ rp in (29) § 74. S. 397 in höheren Gliedern mit rp in der Klammer abweicht, was schon bei (5) S. 410 bemerkt wurde.

Auf ähnlichem Wege wie (15) erhalten wurde, haben wir nun auch (7) zu be

handeln :

x _y____y³    *i²

N i cos qß! 3 Ad³ cos dpi

i __y___ Yicos _ y³ fr²

jV₀ cos (jp₀ F₀ cos cpi 3 Np cos qp₁

Hierbei ist nach (10) und (11), indem man beide Reihen zusammen multipliziert, und wie bei (14a) und (15) nur noch t statt #₀ u. s. w. schreibt:

(1 + 2 fi ₊ ,72 ₊ 3    *2) ₊

Vi cos qpQ . , <5 V₀ cos (fl ' V2

t -f“

<52

<53

2 74

t(5 + 6 <2)    (17)

6 7«

Das letzte Glied von (16) giebt bei der Reduktion auf cp₀ zwei Glieder, nämlich wegen (9) und (10), mit Weglassung des unteren Zeigers ₀:

J/3    _ yd fi

3 A^³ cos (fi ~ 3 W³ cos ff)

2/3 f2 2/³ i d ⁼ 3W3cö^⁺ 3lP

2 <5

l+^(l + t²) l + <5t

(2 + 3 £2)

(18)

sichtigen :

Nun muss man (17) und (18) in (16) einsetzen, und zugleich nach (5) berück

8 _ x 3 %⁸ o, 72 ~N~YN2 V

<5² _ x² 3 X3 F4 - JV3 _ ~w

(19)

Thut man dieses alles, so wird man aus (16)—(19) erhalten :

* =    + J+_ ₊ _^_(l₊₂₍2 ₊ ^

N cos (p N2 cos cp 2 JV³ cos cp

2/3 fi , y x³t fK ~3W3c^ ⁺ 6WW^(5 + 5i }

2/3 03 t

(20)

3 W4 cos cp

(2 + 3 i²)

Um auch noch die Meridian-Konvergenz nach (8) zu entwickeln, haben wir (6) zunächst mit Absonderung von i₀ und N₀ :

ÈL _ f _ G(1 +2 G² ■+- r/!²)

(21)

6^3

Hier wollen wir nur bis zur dritten Ordnung gehen, weil die Meridian-Konvergenz nicht so scharf erforderlich ist wie die Breite und Länge; also nach (9) und (11) durch Ausmultiplizieren :

” ¹ + Wi^¹ + *² + ^ ⁺ W(1 +¹²⁾

Hier ist wieder 8 nach (19) einzusetzen, wodurch man (21) und (22) bis zur dritten Ordnung genügend erhält (mit Weglassung der Zeiger ₀) :

(22)

yS-t (1 + 2 fi)

(23)

Nun haben wir in (15), (20), (23) die Lösung unserer Aufgabe, nämlich qp — <jp₀, À und y als konvergierende Reihen nach Potenzen von x und y darzustellen. Es ist nur noch zu bemerken, dass in den Formeln (15), (20), (23) überall der für analytische Entwicklung weggelassene Faktor q zur numerischen Anwendung zugesetzt

werden muss, also z. B. in (23) y = g t + q (1 + fi + if) u. s. w.

Wir wollen nun unsere Formeln (15), (20), (23) anwenden auf den Fall des Coordinaten-Systems Celle, für welches wir haben:

<p₀ = 52° 37' 32,6709"

, tanp cpo=t

log cos cp₀ = 9.783 2021-9 log cos² qpo = 9.566 4043-8 log N= 6.805 5606-9 log t]² Iß = 7.627 7114-6 rj² iß = 0,004 243341

log ^ = 8.509 9383-6 = log[ 1]

Wenn man damit alle Coëfficienten von [15], [20], [23] ausrechnet, überall das nötige g zusetzt, welches in [1] und [2] enthalten ist, so erhält man :

cp — cp₀ = [8.509 9383-6]x — [1.520 3418] t/2 _ [9.391 186] x² (

— [5.029 738] x y* + [1.845 154] x3 — [8.34389] x² y² + [7.61833] y* ]

A = [8.725 6622-6] y + [2.037 0957] y x + [5.459 944] y x2 — [4.871 408] t/s + [8.83204] y x3 — [8.80266] ys x

y = [8.625 8586-0] y + [2.137 2921] yx + [5.44 8333] y x2 - [4.882 776] y²

Die Formeln (15), (20), (23) müssen auch umgekehrt werden, d. h. es muss x, y und y auch als Funktion von cp und A dargestellt werden.

Aus (19) § 55. S. 305 haben wir, da [2] = q: N u. s. w. ist:

A3

y = A Wi cos qPi + -g- Ni sin² ^ Cos cp[

log sin qp₀ = 9.900 1963-4 log F2 = 0.001 0739-2 log M = 6.804 4867-7 log Tj² = 7.393 7231-6 tj² = 0,002 4758-43 logg = 5.314 4251-3

logt= 0.1169941-5 ' logt² = 0.2339883-0 logr= 6.8050237-3 Zo# r² =13.610 0474-6

t²= 1,7139111588 ⁽²⁴⁾

log^= 8.5088644-5

= log [2]    ,

(25)

(26)

(27)

(28).

Dieses in (6) eingesetzt liefert:

<p — qpj_ A²

A4

—2 sin cp₁ cos ^1+24 s*w <^1 cos3 <^¹ ^ — 5 <2) Von (20) und (22) § 55. S. 305 haben wir:

Vf

(29)

A3

y — A N cos q>--N sin² cp cos cp

(30)

und

A3

y — A sin cp + g- sin cp cos² cp

Um auch (29) auf q> statt cp₁ zu bringen, hat man in erster Näherung:

A²

qpj = cp + -g- V² sin cp cos² cp

(31)

und damit weiter aus (29) :

cpi — cp _ A²

A4

(32)

— sin cp cos cp -+- 24 sin cp cos3 cp (5 — t²)

Der Übergang von cpl auf qp₀ ist schon früher in (13) § 35. S. 218 gemacht,

F²

nämlich :

3 M

M (<P! - <Po) + Y V² ^    ~ ^o)²

Dabei ist qr)j — <jp₀ = (cp — qp₀) — (cp — <jpj). Das letzte Glied in (33) enthält auch alle Glieder mit ij², welche bei der entsprechenden Formel (15) nicht mehr genommen sind.

2 F4

Tj²(l-t² + Tj²+411²) (<Pl—(Po)³ (33)

Nun hat man nur noch qp durch qp₀ zu ersetzen, d. h. indem cp — qp₀ = d cp gesetzt wird, nach S. 166:

sin cp = sin (qp₀ 4- d cp) = sin qp₀-f- d cp cos qp₀

d cp² .

~Y~ sm <Po

cos qp₀ — d cp sin cp₀— —cos qp₀

u

Wenn man dieses in (80)—(32) einsetzt und auch im übrigen den genügend angegebenen Gang einhält, so wird man finden:

cos cp =

M d cp + “ N sin cp cos qp A² +    d qp²

4- y M cos² cp (1 — t² 4- if) A² A cp M -y- (1 — <² 4- 7/² 4- 4 7/2 dcp³ — N sin cp cos qp A² d qp²

4- 2^ W sin qp cos³ cp (5 — t²) A⁴

Mcos cp

2 F²

Ar sm² cp cos cp X³--g- A⁷ sin cp cos² qp (2 — t²) A3 z/ qp

MsincpXd cp³

y — N cos cp X — M sin cp X d cp —

(1 4- T/² 4- 3 7/² t²) A z/ <p²

(34)

(35)

TT

und giebt:

XAcp3 ~2q^

Auch die Einsetzung der Konstanten von Celle nach (24) lässt sich ausführen

z/ qp

y — X sin cp 4- X —

cos qp —

sm cp -f

X³

sin cp cos² qp

(36)

x = [1.4900616-4] Z/ qp 4- [5.5590789] A² 4- [3.8613711] z/ <p²

-    [9.978721] d cp A² — [7.793405] z/ç>3

—    [5.23126] Z/ <p² A² + [3.93411] A4 y = [1.2743377-4] A — [6.0758328] d cp X — [0.3488631] z/qp² A

— [9.667729] A3

— [3.69281] dcp A3 4- [4.66883] d cp³ X y = [9.9001963-4] A 4- [4.468 777] A dcp — [8.97032] A d cp³ 4- [8.36063] A3 (39)

(37)

(38)

Zwei Zahlenbeispiele und noch verschiedene weitere Einzelheiten hiezu sind in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1894, S. 40—41 und S. 150—153 gegeben, wovon hier abgesehen wird.

Über die ganze Anordnung dieser Auflösungsform, welche schon etwa 1820 von Schleiermacher in Hessen angewendet wurde („Zeitschr. f. Verm.“ 1884, S. 421—434) ist im allgemeinen zu sagen, dass sie im Vergleich mit der Bohnenberger sehen Form von § 55. S. 308—309 kaum eine Rechenersparung bringt, und zur allgemeinen Anwendung noch Hilfstafeln für die Hauptglieder erster Ordnung und noch manches andere verlangen würde.

Trotzdem haben wir das Verfahren in unserem System Celle mit Vorliebe angewendet. Wir haben nach den Formeln (25)—(27) und (37)—(39) autographierte Schemata angelegt, in welchen alle konstanten Coëfficienten mit vorgedruckt sind, so dass man nur noch eine Logarithmentafel braucht, um einen Fall auszurechnen; dazu hat man die durchschlagende Probe, dass Hin- und Her-Rechnung stimmen muss. So sind z. B. auch die meisten der in § 58. erwähnten Rechnungen dieser Art gemacht.

Gerade die Unabhängigkeit von allen tabellarischen und litterarischen Hilfsmitteln sichert dem Verfahren Beliebtheit in Fällen, wo man nicht viele Punkte auf einmal, aber immer wieder dann und wann den einen und anderen Fall, vorzunehmen hat.

Es ist auch noch ein Umstand zu erwähnen, betreffend die Nullpunktsbreiten qp₀, welche zur Zeit meist unrunde Zahlen sind, so dass man z. B. in Preussen die Coëffi-cienten für alle 40 Systeme einzeln ausrechnen müsste, während für runde Zahlen <p₀ = 520 0', epo — 52° 30' u. s. w. die Sache besser würde.

Näherungsformeln für Coordinaten-Differenzen.

Wenn mau auf beschränktem Gebiete nur zunächst von einem Punkte sowohl die rechtwinkligen Coordinaten x, y, als auch die geographischen Coordinaten qp, X kennt, so kann man für benachbarte Punkte die Differenzen d x, d y einerseits und d qp, d X andererseits durch Näherungsformeln aus einander ableiten.

Wir nehmen hierzu die Formeln (8*) und (10¹) § 55. S. 305:

([2] y)² 3 4

F2 tang cp

<P = <Po + [!] * eos cp

Diese Formeln hat man zu differentiieren, man erhält also aus (a):

'ß]y\⁸ i

cos cp) 6 p²

sm² cp

(a)

(b)

y U² tang qp d y + ...

In der zweiten Formel (b) können wir in erster Näherung das zweite Glied weglassen, und im ersten Gliede von (b) setzen wir

qp = qPc -+- [1] d x

d. h. wir zählen von einer konstanten Breite qpc, welche einem Zentralpunkte entspricht.

d cp = [1] d x

(c)

Damit wird cos cp

also

= cos epc — [1] d x sin epc = cos qpc (l — [1] tang qpcj cos cpc \

l-\

[1] Ax

tang qpc'j

cos cpc

[2] [1]y

tang cpc A x + ...

(d)

q cos cpc

In (c) und (d) haben wir die gesuchten Beziehungen zwischen d cp, d X einerseits und dx, dy andererseits. Diese Beziehungen sind nur roh genähert, indem schon die Glieder mit d x² und d y² weggelassen sind.

Zur praktischen Anwendung wird man die Konstanten [1], [2], y, <pc (und qpj = cpc) einem Zentralpunkte entsprechend wählen, von welchem aus man nachher die d cp, d X, d x, d y zu rechnen beabsichtigt.

Wir haben dieses Verfahren 1891 mehrfach angewendet, als viele Punkte der Stadt Hannover für die Landesaufnahme nach cp und À zu berechnen waren, d. h. wir haben die Formeln (c) und (d) lediglich zu summarischer Kontrolle neben anderen strengeren Formeln benützt.

<pc = 52° 23' 1,328" x = — 26868,28“

II. Hochschule als Zentralpunkt.

X = 27° 23' 8,233" y = — 24709 77™

AX = [8.723 277J A y — [6.42 486] à x , A cp = [6.2105] A y + [8.509 947] A x

III. Dreifaltigkeit als Zentralpunkt.

q>.= 52° 22' 59,973" x = — 26921,72™

I = 27° 25' 15,744" y = — 22298,58“

X = 27° 24' 28,971" 27° 24' 28,981"

cp = 52° 23' 13,970" 52° 23' 13,965"

A X = [8.723 273] A y — [6.38076] A x , A = [6.1659] A y + [8.509 947] A x Nehmen wir z. B. Weifenkaserne mit y — —23180,99™ und x = —26485,30m und rechnen nach II und nach III, so finden wir II von Hochschule aus:

III von Dreifaltigkeit aus:

Jedenfalls genügt das Verfahren, wenn man rasch einen Punkt von Hannover nur etwa auf 0,1" für Topographie, Vergleichung mit astronomischer Bestimmung u. s. w. haben will, was manchmal vorkommt.

§ 79. Coordinaten-Umformung.

An den Grenzen zweier Coordinaten-Gebiete wird es oft Vorkommen, dass man die Coordinaten des einen Systems in die des anderen Systems umzurechnen wünscht.

Ohne irgend welche neue Formeln zu entwickeln, kann man Coordinaten verschiedener rechtwinkliger Systeme auf dem Ellipsoid dadurch in einander umformen, dass man denUm weg über geographische Coordinaten (geographische Breiten und Längen) nimmt.

Es sei z. B. in nebenstehender Fig. 1. der Ursprung 0 eines rechtwinkligen Systèmes mit -4- x nach Norden, -4- y nach Osten und ein Punkt A habe in diesem System die Coordinaten a und 6. Dieser Punkt A wird zum Ursprünge eines Systèmes gemacht, dessen -4- x'-Axe im Meridian von A nach Norden liegt und die Meridian-Konvergenz y in A gegen den ersten Ursprung 0 bildet. Irgend ein anderer Punkt B habe im ersten Systeme die Coordinaten x, y und im zweiten Systeme die Coordinaten cd y'.

(4-X)

Fig. 1.

(+x‘)

*"

X¹

iP7

/oc

T"r-“nÄ

(+Ï¹)

(+y)

Io

Wir wollen beispielshalber setzen (Zahlenbeispiel „Zeitschr. f. Yerm.“ 1891, S. 164) : Punkt O, <jPo = 48° 0' 0"

Denkt man sich das Ganze auf dem Ellipsoid liegend, so kann man bei gegebener Breite qp₀ des Ursprungs O auch die Breiten- und Längenunterschiede der Punkte A und B, und die Meridian-Konvergenzen berechnen, nach den Formeln von § 55. oder §78.

(1)

(2)

,    B, y = — 100 000™, x — — 100 000’"

(3)

„    A, b = — 200 000m, a = — 200 000™

Indem diese Coordinaten alle negativ sind, haben wir A und B beide südwestlich vom Ursprung O zu denken.

Wir rechnen nach der Tafel S. [55] :

cp = 48° 0'

a bj

Punkt B

B — b 317 885,233™ x = — 100 000

Punkt A = 5 317 885,233m = — 200 000

5 217 885,233

durch Interpolation qp-, = 47° 6' 1,6896"

5 117 885,233 <Pi = 46° 12' 2.8698"

Dieses sind die Fusspunktsbreiten, zu welchen aus S. [31], [30] und S. [19] entnommen wird:

log [2] = 8.509 0253-3 log F2 = 0.001 3957

log [2] = 8.509 0025-3 log F² = 0.001 3501

Die weitere Rechnung geht nach § 55. S. 309, was allerdings für die grossen Werte a und b = 200 000™ kaum ausreicht, doch im wesentlichen noch genügt. Es fand sich

1° 19' 2,378" 47° 5'34,414"

Ä₀ = — 2° 35' 26,337" <jPo =

y = — 1° 52' 10,36"

46° 10' 17,124"

(4)

Nun wird A als neuer Coordinaten-Nullpunkt genommen, weshalb die zugehörigen cp und X im vorstehenden mit cp₀ und X₀ bezeichnet sind, dieselben geben auch die Differenzen

X — A₀ = + 1° 16' 23,959" AX = -+- 4583,959"

cp — qp₀ = + 00 55' 17,290" A <p = + 3317,290"

(5)

Nun kann man umgekehrt aus A À und A cp nach (5) die rechtwinkligen Coordinaten von B in Bezug auf A berechnen (nach dem Schema von § 55. S. 309) nämlich : Punkt B

y' = + 96659,79™ , af = 4- 103 209,21™

(6)

Damit ist die erste Berechnungsart erledigt; wir haben keine anderen Formeln und Entwicklungen anzuwenden gehabt, als die zu vielen anderen Zwecken ohnehin nötigen Beziehungen zwischen rechtwinkligen und geographischen Coordinaten.

Indessen gestattet unsere Aufgabe auch noch eine zweite einfachere Behandlung, zu der wir nun übergehen:

Wenn die Coordinatensysteme als eben betrachtet werden, so hat man bekanntlich die Umwandlungsformeln:

(7)

y' = (y — b) cos y -h (x — a) sin y x' = (x — ä) cos y — (y — b) sin y und entsprechende Formeln sind nun noch mit Gliedern von der Ordnung 1 : r² zu bilden.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

(8)

Dabei ist a' — a -+- y, also :

r-g r—■I

sin a' — sin a cos y H- cos a sin y cos a' — cos a cos y — sin a sin y

Damit kann man sina' und cos cd eliminieren, und Verbindungen zwischen (9) und (11) sowie zwischen (10) und (12) herstellen.

6 r²

Die Soldner sehen Formeln von § 46. (14)—(16) S. 261 lassen sich in zweifacher Weise auf unseren Fall an wenden, nämlich nach der Fig. 1. S. 416.

System 0:

y — b — s sin a

(x — a)² 6

(x — a) 2 (?/ — &)

2 r2

6 r2

x — a = s cos a +

(x — a) 7/2

2 7-2

(g — g) (y — W

6 r²

Im System A:

y' = s sin a'

®'² y'

6 r²

(H)

x' = s cos a' +

x' y'²

3 r²

(12)

y’ = s sin a cos y -f- s cos a sin y

Dann wegen (8) und (9):

y' = {(y-b)A

(x — a)² b

2 j-2

x — rt)² (y — b)

6 7-2

cos y

+ ((* — «) — -₂-JX y ² + ^6 r2a (y — b) ²j sin y —

² y'

6 ?-2

Wenn man dabei bedenkt, dass y nach (11) oder (12) § 55|. S. 304 selbst von der Ordnung — ist und dass man daher in den höheren Gliedern sin y — 0 und cos y — setzen darf, so wird man finden:

y' = {y — b) cos y + (x — a) sin y

(x — a)² b

2 T*²

(x — «)² (y — b) a?'² y'

6~W

6 7-2

Im letzten Gliede ist es aber genügend, x' = x — a und y’ — y — b zu setzen, so dass nur übrig bleibt:

y' = {y — b) cos / + (x — a) siny -f-

(x — a)² b

2f2

(15)

und auf ganz ähnlichem Wege findet man auch:

(x — a)b (b — 2y)

(16)

2 T⁻²

x' = (x — a) cos y — (y — b) sin y +

Diese Endformeln unterscheiden sich von den im Eingang für ebene Coordinaten angegebenen Formeln (7) und (8) nur durch einfache Zusatzglieder von der Ordnung^-.

Um diese Formeln (15) und (16) auf das Zahlenbeispiel (1) (2) (3) anzuwenden, muss man zuerst die Meridiankonvergenz y nach (4) benützen, d. h., wenn die übrige zu (4) gehörige Rechnung nicht gemacht wird, hat man y für sich nach S. 309 zu bestimmen :

y = — 1° 52' 10,36"

x — a = -+- 100 000“ b — 2y = 0

Weiter hat man aus (2) und (3):

y — b — -t- 100 000“ b = — 200 000

Dazu für rund <p = 47° nach Seite

[18] log ^ = 6.390 515.

Damit rechnet man nach den Formeln (15) und (16):

t ' = + 99946,770 — 3262,392 — 24,576 = + 96659,802“ x' = + 99946,770 + 3262,392 — 0,000 = + 103 209,162“

Dieses soll mit dem früheren (6) stimmen, was bei y' auf 0,01“ und bei x' auf 0,05“ der Fall ist. Diese kleinen Widersprüche mögen wohl darauf beruhen, dass, wie schon bei (4) bemerkt wurde, die a und b = 200 000“ für unsere Formeln etwas zu gross sind.

¹

Aegidius als Zentralpunkt hat

²

X = 27° 24' 24,6290"

³

y = —23271,81"

⁴

dX = [8.723 156] d y — [6.39851] d x , d cp = [6.1842] d y + [8.509 948] A x

Für kleinere Verhältnisse, etwa für die Grenzverwandlungen zwischen den 40 Preussischen Katastersystemen sind die Formeln jedenfalls genügend.

§ 80. Sphärische konforme Kegelprojektion.

Wenn ein Land seine Haupterstreckung von West nach Ost hat, so eignet sich eine Meridian-Axe nicht als Hauptvermessungs-Axe, sondern es ist darnach zu trachten, die Hauptaxe in die West-Ost-Richtung zu bringen.

Eines der Mittel, welche dazu führen, ist die Kegelprojektion, und namentlich die konforme Kegelprojektion, welche in Mecklenburg durch Paschen zu diesem Zwecke angewendet worden ist.

Wir werden diese Projektion zuerst sphärisch und dann im nächsten § 81. auch noch sphäroidisch behandeln.

In Fig. 1. ist O der Mittelpunkt der als Kugel vom Halbmesser r angenommenen Erde, welche längs eines Parallelkreises AA! durch einen Kegel berührt wird, dessen Spitze S in der verlängerten Erdaxe liegt.

Wenn für den Berührungskreis AA! die Normalbreite = P ist, so sieht man sofort ein, dass die Kegelmantellinie sein wird

Fig. 1.

S4 = i?o = »' cotg P Dieser Kegel ist in Fig. 2. S. 420 abgewickelt dargestellt, so dass S A = B₀ dieselbe Länge wie S A in Fig. 1. ist, und A" A B als Kreisbogen um den Mittelpunkt S die kongruente Abbildung des Parallelkreisbogens ABA! von Fig. 1. vor stellt.

Auf dem Kreise A” A B Fig. 2. werden die Bögen A B in natürlichem Masse von

(1)

A,

AÆ-/B

D r cos P\ A.

Fig. 1. nach Fig. 2 hinübergetragen, so dass

auch die Winkel P bei 5 in beiden Figuren dieselben werden.

Diese Winkel ?! sind die Meridian-Konvergenzen und stehen zu den Längen À in der einfachen Beziehung:

cpc = 52° 22' 14,961" x = — 28308,40”*

Denn es ist für die Normalbreite P der Parallelkreis-Halbmesser in Fig. 1. D A = r cos P, also AB = r cos PI, folglich P = A B : R₀, was mit R₀ = r cotg P aus (1) sofort zu der Gleichung (2) führt. Damit können wir alle Meridiane als

gerade Radialstrahlen von S aus in Fig. 2. abbilden, aber wir haben erst einen Parallelkreis, nämlich denjenigen für die Normalbreite P. Die anderen Parallelkreise sollen auch als Kreise um den Mittelpunkt S dargestellt werden, z. B. soll in Fig. 2. der Kreis vom Halbmesser S C = R der Breite qp entsprechen, und man könnte als einfachstes Gesetz hiefür annehmen, A C = r (cp — P) zu machen, so dass auch alle Meridianbögen in Fig. 2 in richtiger Grösse dargestellt würden.

Es giebt das in der That eine Kegelprojektion, aber nicht eine konforme, welche ein anderes Gesetz der Meridian-

R. I

° R

Fig. 2.

j»..

>7 /

-dR

>-

;Bi

<*.

bogenabbildung verlangt. Dazu betrachten wir in Fig. 3 und Fig. 4. die Differentialfiguren für ein unendlich kleines geographisches Trapez und dessen Abbildung.

Wenn das Trapez auf der'Kugel zwischen den Breiten qp und qp + dqp, sowie

Fig. 4.

Fig. 3.

dP

d*l

zwischen zwei Meridianen mit dem Längenunterschied dX liegt, so hat es den Meridianbogen rdcp und den Parallelbogen rcostpdX; und das Abbild in Fig. 4. hat entsprechend — d R und RdP und zwar — dR, weil das Wachsen von R dem Wachsen

am cp entgegengesetzt ist.

Nun sollen die beiden unendlich kleinen Trapeze Fig. 3. im Urbild und Fig. 4. im Abbilde einander ähnlich sein, also, wenn zugleich das Yergrösserungs-verhältnis mit m bezeichnet wird, hat man:

rcosTdX

l'dR

RdX¹

dR _ RdP r d cp r cos cp dk

oder weil P = XsinP noch (2) ist, giebt dieses: d R R sin P

m =--j— =

r dcp

dR . „ d qn

—- = sin P-r

r cos cp

(3)

cos cp

Dieses ist die Differentialgleichung für das Gesetz der Änderung von R, deren Integration alsbald giebt:

log R = sin P log tang ^45° -+- ~ j -+- ...

(4)

Um die Intégrations Konstante zu bestimmen, setzen wir fest, dass für die Normalbreite P der Kegelstrahl die Länge — R₀ annehmen soll, d. h.

Aus (4) und (5) zusammen hat man:

log R — log Rq = sin P | log tang ^

45° +

oder in Quotientenform:

tang 45° -+-

log ß = sin P log

tang ^45° -f-

(6)

Man kann dieses auch noch auf eine andere Form bringen, denn es ist bekanntlich: 1 — cos x — 2 sin2 X

1 — cos x

1 -(- cos x = 2 cos²

1 -h cos X

= tang² y

und mit x — 90° -+- P oder mit x — 90° qp giebt dieses:

1 + sin P 1 — sin P

also wird (6):

tang² ^45° +    =

und tang² ^45° -t- y-j =

1 — sin qp

j R __ sin P ,    (1 -+- sin P) (1 — sin qp)

°⁹ R~₀ ~    2    ⁰⁹ ÖT-HtTP) (1 + sin cp)

oder wenn man von den Logarithmen zu den Zahlen übergeht:

(7)

R _ ( 1 -f- sin PI — sin cp'_

R₀ \1—sin P l-{-sin(p)

Nach diesen Formeln (6), (7) oder (8) kann man zu jedem Werte qp das zugehörige R berechnen, nachdem P₀ schon aus (1) erhalten worden ist. Auch das dazu gehörende Vergrösserungsverhältnis tn kann aus (3) berechnet werden und damit schiene alles erledigt, aber die Rechnung nach diesen geschlossenen Formeln ist mühsam und ungenau, wenn sie nicht mit lOstelligen Logarithmen geführt wird. Es kommt weniger auf R selbst an, als auf die Differenz P₀ — R, und diese werden wir besser erlangen durch eine Reihen-Entwicklung, zu welcher wir nun übergehen.

Nach dem Maclaurinsehen Satze wird jedenfalls folgende Form bestehen: cl²R~lAcp² d^R~lAcp²

Jćp² J ~2~ ⁺ dqß J ~6~

Wir wollen aber nicht geradezu die Funktion R von (8) differentiieren, sondern das Konstante absondern und deswegen setzen:

R^ _ F_

-So *0

Oder wegen (8) sollen die F und P₀ folgende Bedeutungen haben :

1 — sin PU 1 -4- sin P )

sin P

(8)

di P"J A qp4 dqp⁴J 24

(9)

(10)

F= ß — sin qpU \1 -4- sin cp)

sin P

und

*0 =

sin P

(11)

Nun giebt (10) durch Ableitung:

1 dR_

Rq d qp Fq d qp

und damit kann man die Maclaurin sehe Reihe (9) auch so schreiben:

1 d² Pl A cp² 1 dß P"j A qp3 1 di P~| A qp* F. Jcp²] ⁺ F₀~ clqß J ~Ö~ ⁺ F₀~ depi]

1 dF

(12)

•Bo

“24"

(13)

beginnen :

Nun müssen wir die 4 ersten Ableitungen der Funktion F von (11) bilden und

_ sin P fl — sin cpVPlI _ i j 2    \1 -{-sin cp) ² I

— cos (jD (1 + sin cp) — (1 — sin cp) cos cp

(1 -I- sin cp)²

_ sin P fl —sin cp\°inP —    2    \1 -f- sin cp)

1 — sin cp

— 2 cos cp

= — sin P

sin P

(1 -f- sin cp)2 1 -t- sin cp

cos cp

1 + sin <p

1 — sin cp (1 -t- sin cp)²

Also mit Wiedereinsetzung von F selbst nach (11):

Stil &

= — sin P F'j

cos cp

— sin PF¹

— sin² cp

(14)

cos cp

Diese auf etwas umständlichem Wege erlangte erste Ableitung, die sich so kurz darstellt, kann man auch unmittelbar aus (10) und (12) und (4) entnehmen, was insofern natürlich ist, als in (14) nichts anderes als die Rückwärts-Differentiierung der vorhergegangenen Integration ist.

Die Weiter-Differentiierung von (14) giebt:

dïF¹ sinP/dF    TT .    \

W ⁼ ~"^V\i{e0Są'+ Smę)

d² F

dcp²

= + s in P F

d³ F

dcp³

= sin PI —

sin P — sin cp cos² cp

F sin P sin P — sin cp

(15)

cos cp

cos² cp

-4-F-

— cos³ cp -+- (sin P — sin cp) 2 cos cp sin cp

cos⁴ cp

d³ F

dcpß

= F sin P

sin P — sin cp

cos³ cp

(2 sin cp — sin P) —

cos cp f

(16)

Nochmals abgeleitet:

d* F

d cp*

— F sin² P ( sin P — sin q>

cos cp

cos³ cp

(2 sin cp — sin P) —

cos cp)

-f- F'sin P

< fS sin P sin cp cos⁴ cp -+- 3 sin² cp cos² cp\ /    sinp']

| V COS⁴ pp    COS6 pp    ) \    )

(17)

sin P — sin cp

cos³ cp

2 cos pp

sin cp

cos² cp

Dieses könnte man noch weiter ordnen, da wir aber hier abbrechen, ist es nicht nötig; wir müssen nämlich nun nach dem Maclaurinsehen Schema (13) diejenigen besonderen Werte unserer vier Ableitungen bestimmen, welche gelten für A cp = 0, oder was dasselbe ist cp = P. Beginnen wir mit (14) und (15), so haben wir alsbald:

J = — F₀ tang P

Auch (16) und (17) reduzieren sich sehr mit cp = P, sie geben :

j£]=-F°,ans*p

Setzt man alles dieses in das Maclaurin sehe Schema (13) ein, so erhält man:

R    /I

= 1 — A qp tang P----- tang P

dF'

dcp

und

(18)

d³ Fl

und

(19)

A epi

Po

24 tan9² P

(20)

Wir wollen zur Abkürzung setzen:

tang P = t und

Damit wird die vorhergehende Reihe (20):

A R = Rq A cp t -+- Rq —t ■+■ Bq ^

R₀— R = AR

(21)

(22)

Rechtwinklige Coordmccten x, y.

Der Mittelmeridian A S unserer Abbildung wird als æ-Axe eines rechtwinkligen Coordinaten-systems genommen, mit einer y-Axe, welche in A den Normalparallelkreis AB berührt, wie in Fig. 5. gezeichnet ist.

Wenn nun irgend ein Punkt E die Länge A gegen den Mittelmeridian und die Breite cp hat, so kennt man auch die Meridian- X« Konvergenz A S E = A' = A sin P u. die méridionale Strecke B E =A R nach Gleichung (22), folglich hat man nach Fig. 5 :

V.*

Fig. 5.

=?ysinP

4—y------

*

+y

(23)

x = P₀ — R cos A' und y — R sin A'

Man könnte nach diesen Formeln unmittelbar rechnen ; besser aber sind Reihen-Entwicklungen, welche sich sehr leicht geben :

-f- = 1 — cos X' =

P₀

Po

A² sin² P    A⁴ sin4 P'

24    ,

und wenn man - aus (20) einsetzt, so bekommt man:

Rq

= 1 — ^1 — A cpt

A² sin² P A⁴ sin⁴ F

24

Die Multiplizierung mit "Vernachlässigung der Glieder über der 4ten Ordnung giebt :

A qp3 A⁴ sin⁴ P A (jp⁴

x A A² sin² P J œ A² sin² P

=    ^---L-

i-f

24

aber nach (1) ist P₀ t = P₀ tan# P = r, also :

A²

= j<jp+₂

sin P cos P

J<pA² sin² P A cps A⁴ sin³ Pcos P A cpit

24

24-<²⁵>

In gleicher Weise bekommt man auch die Reihe für y, denn es ist zunächst: sin A' = sin (A sin P) = A sin P

A³ sin³ P

und nach (20) :

Bo ¹

£ï-⁴,2

also nach (23):

~ = (x sin P -

~ = X sin P— d cp X sin Pt — ^

il

~ = Xcos P— d cp X sin P— ^

Es fehlen noch die Umkehrungen dieser Gleichungen zur Bestimmung von d cp und X aus gegebenem x und y. Dazu hat man zunächst nach dem Anblick von Fig. 5. die geschlossenen Formeln:

X² sin² p\t

—; (i—

d Cp²

sin² P -+

d cp X² sin² Pt    A cp² Xsin Pt

~6

sin² Pcos P-h

d cp À³ sin² p d cp² X sin P

(26)

P² ₌ (p₀ — x J2 _j_ y'i    und tang X' =-^

Also aufgelöst nach (21):

P² = (P₀ — d B)² = P₀2 — 2 R₀d R-+- d R² = P₀² — 2 P₀ æ + æ² -|- 2/2 dB dB²

P₀ — æ

(27)

æ²

2/²

Nach (22) ist:

Bq 2 Pq²

zfP

2 P₀²    2 P₀²

£S_‘,2

(28)

also auch hinreichend genau

_ dq>t + ^~t + ₂₄

P₀² =

Z/P²

also wieder mit dem vorhergehenden (29) eingesetzt in (28):

^<2 = JÎ

d cp²1² d qps 2 ¹ 6~t

x²

2/²

(29)

(30)

(81)

2 P₀²    2 P₀²

Diese Gleichung soll durch allmähliche Näherung nach d cp aufgelöst werden. Jedenfalls ist in erster Näherung:

Bq

d cp t — 7J—i- x² ... also d cp² t2 Bq

d cp t

X²

X²

<M

Bq²

2P₀2"¹" **• Zweite Näherung

2 Pq² 2 Bq2 x y²

Jvt = s,-2Jk?⁺---

x² x y2 Bq² Bq3

Also von neuem bis zur dritten Ordnung:

d cp² t² —

A cp t —

Bq

Æ³

, A <p3 ts =

x²

Po³

æ²

2/²

æ² x y²

2Ą2 ⁺ 2Pq3 ⁺ QRq^² ~ P₀    2P₀² 2P₀2

2/² «!/²

2P₀² 2 P₀³    6P₀³*²

æ³

P₀

Damit bis zur 4 ten Ordnung: d cp² t² =

x² x y² x² y²

2/⁴

P₀2

P₀4    3P₀4t²    4P₀*1

,)'⁴

und d cpip -+-

Po⁴

Alles dieses in (31) eingesetzt giebt die Schlussgleichung: x 2/² — x² 2/²

x²

X⁴

</⁴

x³

x² 2/²

X⁴

2ß₀2T2 P₀³

6P₀⁴t²    8E₀4    6Ą³«²    4 P₀⁴ (2    8P₀⁴t²

x²

j/²

i?₀

d<pt = ^-

2 P₀²    2 P₀²

Diese Schlussgleichung kann man geradezu nach dcpt auflösen, nämlich: x y²

Po 2 P₀²    2 Pq³ 6 />³ t² 4 Pq⁴ t²

2/²

x³

x² y²

2 t² —1

x⁴

24 P₀⁴1²    8 P₀⁴

(32)

und weil P₀ t — r ist, giebt dieses schliesslich :

d cp =--

r

x³ x² y²

2r²

2 r³

6 r³ 4 r⁴

t 2 t² - 1

x⁴

2/⁴

24 r⁴ * ⁺ 8 r⁴¹³

Um vollends X nach (27) zu erhalten, brauchen wir mit X' — X sin P: tang (X sin P) =    _    -

M 1_^j

-Bo

X³

p₀ ⁺ p₀2 + p₀³

X sin P -r

X³ sm³ P _ y

y x y x²

y x³

Erste Näherung:

R₀ P₀²    Ą>³ Âo⁴

X³ si»³ P = ^

3 y³ x

i?o³

Po⁴

r—t : CO

f ys , 3 2/_3jX\ _ 2/

\P₀³ ^ -Bo⁴ J -B₀

y x    yx²    y x³

Po^PqS^Po4 2/³ x î/ 3,3

hm?_Ą⁺W 3P₀³ Pq⁴ ' P₀⁴

oder weil P₀ t = P₀ tan (jr P = r ist, giebt dieses:

A «» P =-*-+^ł+

3 r³

Damit ist alles für die Coordinaten nötige vorhanden; es fehlt nur noch die Reihe für m, dessen geschlossener Ausdruck nach (3) ist, mit P₀ = r cot g P:

P sin P

2/³ x

(34)

r2

r³

r4

f³ +

y x³

(35)

hiezu hat man nach (20):

r cos cp

oder =

P cos P

P₀ cos qp

(36)

d qp³

Po _ ¹ J qp t 6 und weil qp = P + z/qp ist, hat man nach § 28. S. 167:

= cosp(^l — d cp t —    t j

cos qp

Die Umkehrung giebt, wie ebenfalls schon auf S. 167 angegeben: cos P

cos qp

= l + ^z/qp< + ^-^³tj + ^z/qpt + ^²j² +(z/qptj³

= 1 +    ^(l + 2t² j + ^t (5 + 6t²)

cos P cos cp

(37)

aus (33):

Die beiden Keihen (37) und (38) zusammen multipliziert gehen:

_ i . AJl i

2 ^ 6

Um dieses m auch als Funktion der Coordinaten x und y darzustellen, hat man

(39)

A qp =

'S «

2 r²

x y2 i t

A (jp3 —

xs

Diese A cp² und A qp³ in (39) eingesetzt geben:

x² x y² x² , <+ 6>3<

2 r²

(40)

oder

x²

a³

(4L)

2 r³ t    6 r³ ^

Für das praktische Rechnen wird man auch log m nehmen, was innerhalb dieser Grössenordnung sehr einfach ist, nämlich nach (40) und (41):

yx² yxy² y a3 2 r² 2 r³ ^    6 r³

log m =

oder log — =

2 r²

(42)

^ a² yxy²

2 r²

2 r³

Ki

6 r³

(43)

In erster Näherung, d. h. mit Beschränkung auf also Weglassung von

sind diese Formeln (40)—(43) entsprechend den früheren (10) § 50. S. 281, wenn man x und y vertauscht, was auch ganz natürlich ist.

Obgleich für die meisten Zwecke diese Formeln (40)—(43) ausreichen, wollen wir doch auch noch dielte Ordnung dazu entwickeln, wozu man nach (20) hat:

Aj*t2

Bq

= 1 — A qp t

A qp³

24

(44)

und weil <p = P-|-z/(p, hat man nach § 28. S. 167: cos cp = cos P ^ 1 — A qp t

Die Umkehrung giebt: cos P

A cp² i A cp² A cp*'

~ ~irt + 24,

COS (f

.    . A Cf² A cp² Acpi

= 1 -f (J Cf t +

24

A Cf²\³

+ {Acpt

-h^Acft-h-2

Die Ausrechnung hievon, welche auch schon auf S. 167 angegeben wurde, ist bis zur 4ten Ordnung:

cos P

COS Cf

A Cf ²

24

^5 + 28 t²-t- 24 f⁴j (45)

Man hat die beiden Reihen (44) und (45) zu multiplizieren, um zu der Reihe für m zu gelangen, die Ausführung giebt:

Um m auch als Funktion von x und y darzustellen hat man aus (33):

A <p =

y2    _ x3

A <jp²=

A <jp3 —

2 r²

Xy2^ X²1/²j9 X⁴ _ y⁴ ^ X4

und A (p⁴ =

2 r³

7*4

3 x²1/²

“ITT*

Dieses in (46) eingesetzt giebt:

,    x²    xw² x³

m~ ¹ + 2^~273t + Wt-

3 a:² y2 4 r⁴

f² +

24 r⁴

^1+3    +

Die Umkehrung davon giebt:

x² xw²    .

272~273<+---) ⁺

X²

2 r²

x² xy² x3 272 ⁺ 273^6/3

3 x² i/²

x⁴

24 r⁴

5 — 3 t²

yi

8 r⁴

f² (48)

Für das praktische Rechnen wird man auch log m nehmen :

x² xi/2 2 r² 2 ?*³

lm=l l+A-SZt...

2 r²

2)'³

t H“ • . .

X²

2” \2r²    **■

(49)

log in

_ ,ux² pxy2 ~    2r³

6 r³

3_/ZX2^2    M_/

4 r⁴ ' 24r⁴\

— 2 -f- 3 f² ) -f-

oo!T=

f² (50)

Die hier auftretenden Glieder 4ter Ordnung werden wir später dazu benützen können, um sie auch den sphäroidischen Formeln, die wir an sich nur bis zur dritten Ordnung entwickeln werden, anzuhängen.

Die vorstehenden Formeln sind auch mit den bis zur 4ten Ordnung geführten sphärischen Formeln übereinstimmend, welche wir in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1896, S. 129—141 entwickelt haben, wobei aber zu beachten ist, dass dort die Coordinaten nach Mecklenburger Art mit -t- x nach Süden und -f- y nach Westen gezählt sind („Zeitschr.“ 1896, S. 130), während wir hier, wie sonst üblich, x nach Norden und -l- y nach Osten zählen, so dass z. B. unsere obenstehende Formel (47) für m übergeht in (52) S. 138 „Zeitschr.“ 1896, wenn man in x und in y die Vorzeichen ändert, so dass im ganzen nur die ungeraden Potenzen x t/² und x³ Umschlägen, aber x2 x² y², x⁴ und y⁴ im Zeichen bleiben.

§ 81. Konforme Kegelprojektion des Ellipsoids.

Me eklen bur gisch e Coord inaten.

Die Übertragung der sphärischen Betrachtungen des vorigen § 80. auf das Ellipsoid ist, soweit die Grundformeln in Betracht kommen, nicht schwierig. Wenn N der Quer-Krümmungs-Halbmesser für die Normalbreite P ist, so wird nach Fig. 1. S. 428 die Kegelstrahllänge:

(1)

(2)

P₀ = N cotg P

Die Meridian-Konvergenz-Formel bleibt dieselbe wie früher, nämlich :

X’=X sin P

Auch die Ähnlichkeitsbedingung hat im wesentlichen die frühere Form, nämlich nach Fig. 2. und Fig. 3. S. 429:

dR Rdl' Md cp — Neos Cf dl

m =

Fig. 1.

Es ist nur statt des früheren Kugel-Halbmessers r nun M für den Meridian und

R0/

N für den Querbogen genommen. Auch die Einsetzung von (2) gestaltet sich wie früher und giebt:

dR

R sin P

NcosP

Al

Md cp

N GOSCp

(3)

dB

= sin P

O-r*.

M d cp N cos cp

Für — wollen wir nach (25) § 32.

S. 197 setzen:

M 1 — e²

-    _ _    1 — e²

N W² 1 — e² sin² cp

Also nach der vorhergehenden Gleichung:

— -i² = sin P

(1 — e²) dep

(1 — e² sin² cp) cos cp

(4)

so zerlegt:

Die Integration wird auf dem Wege der Teilbrüche gemacht, indem man zuerst

1 — c²    _

(1 — e² sin² <p) cos cp cos cp

1 e² cos cp

1 e² cos cp

2 1 -f- e sin cp

2 1 — e sin cp

Folglich wird das Integral von (4): (1 — e²) d q>

(1 - e² sin² qp) cos cp

— I tang ^45 ° -f-    ^ ^ (1 "4" & sin (jp) + -g- c1 (1 — c sin (jp)

— I tang ^45 ° -f- ^ j “I- e l

1 — e sin cp

Die linke Seite von (4) giebt integriert — IR, und indem man auf beiden Seiten von den natürlichen Logarithmen l zu den gewöhnlichen Logarithmen log übergeht, hat man nun also als Integration von (4):

— log R = sin P j log tang ^

45°-+-

— e sin cp

-ł- e sin cp

h-

Zur Bestimmung der Integrations-Konstanten setzen wir fest, dass R₀ und P zusammengehörige Normalwerte sein sollen, also:

45° +

log R₀ = sin P | log tang ^

also durch Subtraktion der beiden letzten Gleichungen :

log -ß- = sin Plog

_    . _ .    1 — e sin P 1 -h- e sin cp

<⁵)

Auch den geschlossenen Ausdruck für m hat man aus (3):

R cos P R₀ cos cf

R sin P N cos cp

Nun muss man alle die Reihenentwicklungen, welche wir im vorigen § 80. sphärisch gemacht haben, auch mit diesen sphäroidischen Formeln durchführen, doch kann das hier nicht ausführlich geschehen. Wir verweisen hiefür auf das Werk „Grossherzoglich Mecklenburgische Landes-Vermessung“ V. Teil: Die konforme Kegelprojektion u. s. w. von Jordan, Mauck, Vogeler,

Schwerin 1895 (vgl. § 59. 8. 385).

Wir wollen die wichtigsten Formeln von dort ausziehen, aber mit einigen Änderungen :

Erstens hat Mecklenburg die Coordinaten-zählung -+- x nach Süden, -+- y nach Westen, auch X nach Westen positiv, während wir hier nach Fig. 5. § 80. S. 423 wie gewöhnlich -|- x nach Norden, -+- y nach Osten und auch X nach Osten positiv zählen werden. Auch die geographische Breitenzählung, welche mecklenburgisch mit P— cp — p nach Süden geht, nehmen wir nun cp — P — A cp nach Norden.

oder m =

Fig. 2.

NcosqpdÄ

(6)

Fig. 3.

r-

Zweitens ist in den Mecklenburgischen Formeln meist der Kegelstrahl R₀ als Konstante genommen, während wir nun, wegen der späteren Vergleichung mit anderen Formeln, den Quer-Krümmungs-Halbmesser N der Normalbreite als Hauptkonstantn nehmen wollen, so dass wir haben: R₀ — NcotgP, also R₀tangP=N oder abgekürzt geschrieben : R₀t — N.

Wir werden auch nicht alle sphäroidischen Glieder höherer Ordnung j/⁴ u. s. w-aus den Mecklenburgischen Formeln hier mitnehmen. Die Citate Meckl. S... beziehen sich auf die Seitenzahlen des im vorstehenden citierten Mecklenburgischen Werkes.

I. Breitenunterschied A cp und Längenunterschied X als Funktion der Coordinaten x und y, Meckl. S. 23 und 22:

A cp _ x 3 £c2 w - jv~ 2 m

i]² t —

v²

x y² t²

x³

6N 3

2N³

2N2 x² y² t

ÄW

yxt y x²t²

æ⁴ t

(7>

24 m ' 8 V⁴

2/3 ^2 y x³ fô yZ X t³

N ' N² ' N³ BNS^^F4 II. Coordinaten x und y als Funktion von A cp und X, Meckl. S. 19 :

w ⁺ It?^2 ¹ + Ïsin Pcos P~

A cp±t A4 + 24 F⁸ ~ 24

X COS P=L

A cp X²

2 72

Ni

(8>

sin²P-\-

sin³ P cos P

A qps

6 76

^1 + 4 ?/2 — 3 ?/² i²

(9>

=X cos P- sin P- |    ^cos Pt² 7/² — ~ sin² Pcos P

X A cp² sin P

6 76

(l -+- 4 7;2_3 7/2t²j +

X³ A <p

~6~ 'W

sin³ P

In allen diesen Formeln ist gesetzt t — tang P, T² = 1 -f- c'² cos² P, iV = c : V. Die sphärischen Bestandteile dieser Gleichungen müssen übereinstimmen mit (33), (35), {25), (26) des vorigen § 80.

Ausser dem im vorstehenden citierten amtlichen Mecklenburgischen Werke (dessen genauer Titel schon auf S. 336 angegeben ist) haben wir auch noch einige Ergänzungen zu berichten.

Die Reduktionen für Entfernungen und Richtungswinkel, welche wir hier weder in §80. noch in §81. entwickelt haben, sind in erster Näherung dieselben wie bei der konformen, meridionalen Projektion in § 50. Gleichungen (12) S. 282 und (31), (32) S. 284, jedoch mit Vertauschung der Bezeichnungen x und y. Die nächsten Glieder hiezu, welche zur praktischen Rechnung mit 7 stelligen Logarithmen bei den Richtungswinkeln auf 0,01" ausreichen, sind in dem Mecklenburgischen Werke § 10. angegeben;

y x A x r³

und

mit Gliedern von der Ordnung

æ² A y y²Ay

r³

und

Eine Ergänzung mit den Gliedern auch noch

A y*

A y² A x

r³

, welche äussersten-

falls noch 0,01” erreichen, haben wir in „Zeitsclir.“ 1895, S. 421—424 gegeben, und endlich, um jedem theoretischen Einwand zu begegnen, haben wir noch in „Zeitschr. f. Verm.“ 1896, S. 129 — 143 die ganze Entwicklung sphärisch, mit allen Gliedern

4ter Ordnung, d. h.

auch noch dazu gemacht.

Hiernach haben die Mecklenburgischen Geodäten eine Kontroll-Diagonale von 285l'm Länge über ihr Land gerechnet („Zeitschr. für Verm.“ 1896, S. 240—248) mit 1⁰ 30'Breitenunterschied und 3° 30' Längenunterschied, d. h. die Diagonale, welche wir auch schon unter den sphäroidischen Normalbeispielen in § 73. S. 392 angegeben haben. Diese Diagonale wurde zweifach berechnet, erstens als geodätische Linie mit reduzierten Breiten nach unseren neuen Formeln, welche in dem späteren Kapitel VIII. zu behandeln sein werden, und zweitens als Projektions-Gerade in der konformen Kegelprojektion, mit sphäroidischen Reduktionen. Folgendes ist die Vergleichung (nach „Zeitschr. f. Verm.“ 1896, S. 241, 242, 244, 248):

ri

aus geographischen Coordinaten <Pi = 53° 0'

= 54° 30' A

<P2

= 3° 30'

aus rechtwinkligen Coordinaten yx = + 67129,7368”* x₁ = -h 82986.8632’” y₂ = — 161 922,5986”* x₂ = —86318,9409”'

(+ y nach Westen, -f- x nach Süden)

S = 284 835,8648”* log S = 5.4545 946*721 Azimut «j = 52° 43' 39,1858"

„    «₂ = 55° 33'2,3612”

(Bezeichnungen nach Fig. 1. §76. S. 399)

S = 284 835,8642”* logS = 5.4545 946-712 Azimut «j = 52° 43' 39,1835”

„    «₂ = 55° 33'2,3646"

Die übrigbleibenden Fehler sind so weit ausser aller praktischen Schädlichkeit, dass damit die Mecklenburgische konforme Projektion nicht nur für die praktischen Vermessungszwecke, sondern für alle aus irgend welchen Gründen an sie zu stellenden Forderungen genügend nachgewiesen ist.

In rein praktischer Beziehung als Grundlage für topographische und Katastermessungen ist die Mecklenburgische Triangulierung mit ihrer konformen Projektion die beste von allen deutschen Landesvermessungen. Aus Veranlassung einer Gegen-

+ 0,0006”* + 0-009 4- 0,0023" — 0,0034"

bemerkung hat Kammeringenieur Vogeler in Schwerin die Überlegenheit der Mecklenburgischen Projektion über andere deutsche, namentlich die sogen. Soldnersche Projektion in überzeugender und anschaulichster Weise dargelegt in „Zeitschr. f. Verm.“ 1896, S. 257—263.

§. 82. Queraxige sphärische Coordinaten.

In Fig. 1. ist die kugelförmige Erde in solcher Projektion dargestellt, dass der Äquator als Kreis E D F D' erscheint, in dessen Mittelpunkt der Nordpol P projiziert ist. In einem Punkte 0 ist rechtwinklig zum Meridian P 0 ein Grosskreisbogen EOF gelegt, auf welchem eine Länge O B = y abgemessen ist zur Bestimmung eines Punktes B, welcher mit BA = x rechtwinklig zu OB festgelegt wird. Es ist also im Sinne gewöhnlicher sphärischer Coordinaten y die Abscisse und x die Ordinate des Punktes A, wobei es aber gleich-giltig ist, wenn wir statt dessen nun y Ordinate und x Abscisse nennen,

Der Bogen B A wird verlängert E einen Punkt C treffen, welcher Pol des Bogens E O P' genannt wird, und es werden alle Bögen x, welche rechtwinklig auf der Axe EOF stehen, sich in diesem Punkte C schneiden.

Fig. 1.

D¹

^V⁴

A\x

Vo 0

Wenn die Ursprungsbreite in 0 den Wert (jpg hat, so ist auch der Bogen CP=<Po, und um die geographischen Coordinaten

von A zu erhalten, müssen wir noch PA ziehen, welches mit dem Bogen PA = 90° — cp und dem Winkel OPA — Ï. die geographische Breite cp und die geographische Länge Ä von A bestimmt.

TI

Zieht man dazu noch den Bogen G A in Betracht, so hat man G A = -^----

und bei A den Winkel P A C = y als Meridian-Konvergenz, sowie bei C den Winkel

PGA = 2-.

Nun bietet das sphärische Dreieck C P A alles was zur Lösung unserer Aufgabe nötig ist, nämlich Bestimmung von cp, 1, y, aus gegebenen qp₀, y, x und umgekehrt.

Um zuerst (jp zu bestimmen, haben wir die Cosinus-Gleichung: cos (90° — qp) = cos cp₀ cos

cos

. X    X

sin cp = cos cpo sm--1- sin cp₀ cos — cos

y_

Zunächst nur bis zur dritten Ordnung entwickelt giebt dieses: sin cp = cos qp₀

X³

sin cp = cos cpo (y~

x³

6 r³

j + sin qp₀ ^1

X² _(_ y2

sin cp — sin cpn = — cos <jpq r

Andererseits wird gesetzt cp = cp₀ ■+■ A cp also nach S. 166, Taylor sehe Reihe:

sin cp = sin cp₀ -f- A cp cos cp₀

2j-2

sin qpo —

x³

6 r³

cos qp₀

(2)

A cp²    A cp²

-g - sin To — -g- cos To-

Die beiden letzten Gleichungen zusammen gehen mit tang cp₀ = t Acp³ _ x    x² -\- y² ^ x³

A <p

4 cp². 2 *

2 r²

6 r³

Hieraus als erste Näherung:

A cp =

and dann in bekannter Weise fortgesetzt:

V²

2 r²

A cp —

y* f xy² f2

2^3*

2 r²

Um zur4ten Ordnung zu gelangen, entwickeln wir aus (1) weiter:

(3)

sin cp = cos cp₀

sin cp — cos % (y^-

sin cp — sin qp₀ = cos <p₀ ( —

\ r

Andererseits ist mit cp = cp₀ -+- A cp nach S. 166:

A cp² .

-f-sm To

6 r³

x³

6 r³

j + sin cp₀ ^1

2 r²

sin qp = sin qp₀-j- A <p cos cp₀

X²

-f-

2 r² ' 24 r⁴

)(1_2^2 ⁺ 247ï)

X² -j- y² x⁴    6 x² y² -h y⁴

2 r²

24 r⁴

X³

6 r³

x⁴ -f- 6 x² y² -+- y⁴ \ 24H    /

// qp³    A cp⁴ .

-f - cos To + -gf -«» To

Dieses mit dem Vorhergehenden verglichen giebt:

A cp³ i A cp⁴₁ _ x x² -+- y² ₊ x³

' ^ H--< t —---~ pr- t-

A cp'²

Ję--2

t—-

24

2 r²

67«

x⁴ -h 6 x² y² + y⁴

24 r⁴

Da wir die Näherung bis zur dritten Ordnung in (3) bereits haben, so kann man daraus entwickeln:

x²

xy²± x²«/² y⁴

----■    *² -+- 4

A<p*=-0

. „ x³ 3 x² y²

^^ = 7*—ä"7T

1*3

>•4

z/ qp⁴ =

r⁴

r⁴

Wenn man diese Ausdrücke in (4) einsetzt und ordnet, so bekommt man :

pi#

2 r³

Damit haben wir A cp, und um zu À zu gelangen, schreiben wir eine Contan-gentengleichung an in Bezug auf das Dreieck G PA, nämlich:

(5)

tang — sin qp₀ = cos qp₀ cos ~ — sin ~ cotg X tang À = sin — sec qp₀

cos

Der Nenner entwickelt giebt:

cos

—--tang — i = 1 —    — f

r y r    2 r² \

--tang ^ tang qp₀

= 1

x³

x³

(6)

Br³

2 r² 3 r³ *

davon die Reciproke entwickelt, wird:

x³

\%

x t/²

t*

(7)

i² + -

Wenn man sin ~    ~    von (6) damit multipliziert und alle Glieder

ordnet, so erhält man: tang X — sec qp₀

liL₊y±.tH ys

rp2i

y x²

3 r³ r³

t² +

r³”

y x³

tr*

t (1 -+- 3 i²) -+■

ł£‘} W

Da X = tang X —

(tang À)3 3--’

tang X = sec qp₀ ■

also (tang X)³ = sec³ qp0 (tang A,)³

braucht man in erster Näherung von ($):

yx

2>y³ x

t -f- • • .

~~3    - sec <Po (! -+-t2) +    * C¹ +*²)

Dieses vom Vorhergehenden (8) abgezogen giebt:

j/jÇ.J/³ . y ^4« . yæ3

r² 3r³ r³

X = sec <p₀

y³ xt

*(l + 8t²) —_

(1+6 t²) |    (9)

3r*

Um umgekehrt x und y als Funktion von zl qp und X darzustellen, kann man verschiedene Wege einschlagen; aus Fig. 1. S. 431 hat man:

-+- cos qp₀ cos (90° — qp) + sin qp₀ sin (90° — qp) cos (180° — X) sin— = cos qpo sin qp — sin qp₀ cos qp cos X

cos

sin y = sin (qp — qp₀) + sin qp₀ cos qp ^ qp = qp₀ + zl qp cos qp = cos qp₀ — zl qp sin qp₀

sin cpQ cos qp = cos ²qp₀ ^ — Zl qp t²

sin— = sin zl qp -+- cos² qp₀t ^1 — zl qp i

zlffi²

—cos qp₀

zlqp²\ /X² X4' "2") IT⁻ 24

ct>

sin ~ = sin A cp + cos² <jp₀ t

A4

24 ~“2

A² zf(p²A²

co

bfj

•S

«

<M

Co

•I

ko

IS

L.

i~o

CO

to

Da — = sin —

/    x\3

I sin — J und sin A cp = A qp

z/ Cp³

so wird aus dem Yor-

stehenden, da die Glieder mit A cp³ und A cp² A² fortfallen : A² cos² (jp₀1

* ^

— = z/qp -+ r

A²

A4

Zf qp y cos² qp₀ t² — öl co^² 9>o #

(10)

Um^ ku erhalten, nehmen wir von Fig. 1.:

tang cp sin qpn = — cos ip₀ cos A + sin A cotg —

r

tang

sin A

cos cp₀ (tang cp tang <p₀ + cos A) qp = qp₀|+ A cpf tang <p₀ = t giebt nach S. 167:

(11)

tang cp = tang <p₀ + A cp (1 + f²) + A cp ²t (1 + t²) + -jr- (1 + 41² + 3 t⁴)

tang ęp tang (pQ — fë —{- z/ (jp t (1 —f~ fô) —H z? g)2 fâ (1 ~j~ föy H--t (1 -+- 4 fó H- 3 tty

ô

X2

und da cos X = 1--^ + ... hat man den Nenner von (11):

l’+ t² + A ę t (1 + t2) -4- A <p² t² (1 + t²) + t (1 + 4 t² + 3 t*) —

O

und da 1 + t² -f

cos² <jp₀’

wird nun (11):

¹    A 0)3    22

l + z/<jDt + z/qp²f²H--^-cos² <p₀1 (1 -j- 4t² -+- 3 t*) — ^ cos² <jp₀

Die Reciproke des Nenners entwickelt

= 1 — x -t- æ² — x³ giebt :

tang

1 + x

v    (    X²    A cp³    )

~ = sin X cos <p₀ < 1 — A cp t + ~2 cos2 <Po--t — A cp X² cos² <p₀t >

23

X--g- bringt:

A cos cp₀11 — A ęt-h-Q cos² qp₀ (2 — t²) —t /12

+ A cp -g- cos² <po # (— 5 + 6 £²) tang auf -^-bringt noch: f anp — = À cos <p₀ — A <pX cos cp₀t

sin X =

tang —

y_ ₌

Dann der Übergang von

A qp À³ cos³ qp₀t.

Diese beiden Glieder oben bei (12) abgezogen geben:

y = À cos qp₀ jl — zfqpt — y cos² qp₀ t²

So haben wir nun in (5), (9), (10), (13) alle Formeln zur Bestimmung von A cp und X aus x, y und umgekehrt.

Diese vier Reihen sind unmittelbar aus geschlossenen Formeln der sphärischen Trigonometrie abgeleitet, und zur Probe kann man sie auch noch gegenseitig verbinden.

In diesem Sinne wollen wir die Gleichung (9) umkehren, d. h. nach y auflösen. Man findet durch Reciprok-Entwicklung aus (9):

~: = lcos qPo{l-y* + ^j*²-

(13)

3 r³

t -j“

xy*

6 r³

t ( 1 + 2 t²) |

Hier ist nach (10) und (13):

X²

— A cp t — cos² <jp₀1² + /J qp y cos² <jp₀ ß

y = A cos <Pq — A cp X cos <po t

v² }2 2 ^2 = Y cos2 To — -g à Cp X² cos² qp₀ t

xy² __ A cp

_ A cp³

3r3 “ IT’

Dieses alles oben eingesetzt wird geben:

(    ŹL²

= X cos qp₀ < 1 — A cp t--g- cos² cp₀t²

Wegen cos² qp₀ (1 + *²) = 1» ist dieses (14) mit (13) identisch.

Wir wollen auch noch die zwei Gleichungen (5) und (9) zusammennehmen, um

X

eine Auflösung nach — daraus abzuleiten. Jedenfalls geben dieselben in erster Näherung: r

— = A cp und r

y_

also aus (5):

x³

6 r³

y¹ y² cos² (jr-₀

Y~ t + A cp y cos² qp₀1 (1 + t²) |

= X cos cpo

(14)

C^- = A cp X cos cp₀

= X² cos² qp₀

x    X²

—- = A cp —g* cos² qp₀1

■—■ = X cos cp₀ — A ę X cos cp₀ t V— — X³ cos² qp₀ — 2 A cp^ X² cos² qp₀ *

y = A cp X² cos² qp₀

Damit aus (9) bis zur dritten Ordnung:

y = z/ cp: -f- y cos² qp₀1 — À² cos² <jp₀1²

Um zur 4ten Ordnung zu gelangen, braucht man aus (14) genauer als vorher: w2    34

= A² cos² cp₀ — 2 A cp X² cos² cp₀t —y cos* qp₀1² -t- A cp² X² cos² <p₀ <²

und

te

— J q) te cote qp — 2 // qp² À ²cos² (fiQ t -l- -jj- cos* qp₀ t

die letzten Glieder in (5) sind genügend: æ² 2/²_

U cos4 f/'o

Wenn man mit alle diesem die Gleichung (5) nach — auflöst, so findet man,

r*

z/ qD² À² cos² qp₀

dass die drei Glieder mit z/ qp² À² sich aufheben und dass im übrigen die frühere Gleichung (10) wieder herauskommt.

Dadurch sind die vier Gleichungen (5), (9), (10), (13) auch unter sich nochmals

versichert.

Es fehlt noch die Meridian-Konvergenz, welche auf verschiedenen Wegen erhalten werden kann.

Das Dreieck GAP Fig. 1. S. 431 giebt:

cotg qp₀ sin --y j = cos    —yj cos y + sin ~ cotg y

eotg cpo cos = sin ^ cos -y -+- sin y cotg y

tang y = sin -y t

cos--

. X

sin —

cos

y_

tang y = sin — t

r² \ r 6 r³/ \    2 te)

tang y =

f--o)

\r o r³ /

yr2 ⁺ 6r3i +

2r³

24 H

tangy=^t    — JL + ^(l + 2 t²)

Durch den Übergang von tang y auf y hat man :

tang y

x y³

2r³

3 r³

t³ +

ff

x³ t

Æ³ £

(5 + 6 £²) | (5 + 6 te) |

(15)

²*²>-f^<(² + 8s2>

+ ë+⁵+⁶⁽²⁾

Um auch y in qp und À auszudrücken, nehmen wir aus Fig. 1. S. 431 die sphärisch-trigonometrische Gleichung :

oder

tang y =

sin X sin qp₀

tang y =

cos g₀ cos q + sin q₀ sin qp ^ 1 — sin X sin qp₀

cos (q — qp₀)--g- sin q sm q₀

q = q₀ -h /J q , sin q = sin <jp₀ + â q cos q0 sin q sin q₀ — sin² qp₀ -f- â qp sm qp₀ cos qp₀

tang y —

si« A. sm qpQ

z/g² A.²

A²

-sm2qp₀— /Jq—cos² g₀

/    // qp2 X²    À²    \

= siw A. sm qp₀ f 1 4--4- -g- sm² qp₀ -f- qp cos² qp₀ t J

A.² J g² A.²    „ A² .    \

— 4- y sm² qp 4- A qp cos² g₀1 j

/l²

4—g- (3 sin² qpQ — 1) 4- 4/ qp — cos² go t

7 = A. sin q₀ 4- ...

73 — A.3 sin³ qp₀ 4- ...

/    zlcp²    A.²    A.²    \

y = X sin g₀ 11 4- ---y cos² g₀ 4- z/ gy cos² g₀ * )

Zur Probe kann man auch noch die Formeln (15) und (16) gegenseitig in einander umwandeln. Wir wollen zu diesem Zwecke (15) und (16) nochmals aufgelöst schreiben :

)■ = /. sin gifi + —(7 À sin fj f — sin qD₀ cos² <f , -+- 1 qp sin qp₀ cos% qPp 1    (18)

tang y

tang y = X sin g₀ ^1 tang y = X sin q₀ ^1 4-    ^

~ ~6

(16)

x³yt

(5 + 6i²) (17)

Um (18) in (17) umzuwandeln, hat man nach (9):

x³y 3r*

A.smg₀ = ^* + ^|*² — ^*3 ₊ ^^3 4-r r² 3r3    t-3

1 æ w2 ę~ r 2t²

A q²X sin q₀ =    *

ferner von (5):

A.3 sm3 q₀ = y

*²(1+3*²) —

xy²

6+

*²(1 +6*²)

x²

xy²

7*3

(²+^i²

%ß    iß    X iß ft

*4 und ^Sinq₀cos²q₀ = ^t + ^r

—î— «mifo COS² (fo t

cs-

ro

Wenn man alles dieses in (18) einsetzt, so wird man nach kurzem Zusammenfassen (17) erhalten.

In derselben Weise kann man auch (17) in (18) überführen, indem man zuerst

— t = X sin q₀ (1 — ...) aus (13) nimmt, ferner entwickelt:

x xi    ^2    7

~ t = AqXsincpo—J cp* X sin q₀1 +    sin q₀ cos² cpQ t —^-JqX²sinq₀ cos² <jp₀1²

yS

?ß cos³ qQ — 3 z/ q A³ cos³ q₀t u. s. w.

Alles dieses in (17) eingesetzt und geordnet, wobei das Glied mit Aq^Xsinq₀t verschwindet, wird den Übergang auf (18) richtig geben, so dass nun die Formeln (17) und (18) bezw. die beiden (15) und (16) für y in allen Beziehungen kontrolliert sind.

Unmittelbare Anwendungen werden diese sphärischen Formeln nicht geben, ebensowenig als z. B. bei den Soldner sehen Coordinaten die sphärischen Beihen von § 53. zur unmittelbaren Anwendung brauchbar waren. Die entsprechenden Formeln für das Ellipsoid werden wir im folgendem § 83. neu und selbständig entwickeln, aber nur bis zur dritten Ordnung, weil die Glieder 4*er Ordnung, welche wir hier nur sphärisch entwickelt haben, auch den sphäroidischen Gliedern 3ter Ordnung noch angehängt werden können.

§ 83. Queraxige sphäroidische Coordinaten.

Dessauer Coordinaten.

Die Lage des Coordinaten-Systems haben wir wie auch im vorigen § 82 so angenommen, wie in Fig. 1. angedeutet ist, dass nämlich + æ nach Norden, + y nach Osten geht. Die Hauptaxe oder eigentliche Axe ist die y-Axe, welche den mittleren

Parallelkreis berührt, dessen Breite in der nachfolgenden Anwendung mit qpo = 51°50' angenommen werden wird.

Wir gehen aus von den Formeln (25), (26) (27) § 74. S. 895, welche gelten für den Übergang von einem Punkte in der Breite q, Länge Null, mit der geodätischen Linie s, die unter dem Azimut a ausgeht zu einem Punkte mit der Breite cp', Länge X und Endazimut also Meridian-Konvergenz a'— «.

Jene Formeln haben wir zweifach anzuwenden, erstens auf den Übergang von 0 nach B und zweitens von B nach A in Fig. 1. § 82 S. 431.

Der erste Übergang von qp₀ nach cp, mit s = x, a = 90° giebt mit u = 0,

v = t = <o bis zur 3ten Ordnung:

Wo

Wi—Wo F₀2

X, cos cpo = -w

4U-

Fig. 1.

51°

50

-y

⁺y

2W₀2

(i)

N₀

Ï1 =

y3

N₀

6 iV₀3

3 W₀3 t(j2

to (1 -j- 2 t₀ 2 -+- rjo“)

Die zweite Anwendung geht vom Punkte (jply    mit « = y, und s = x nach

dem Punkte qp, Ä₂ gegen (q>₁, A₂) und y — yx als Meridian-Konvergenz. Dieses gieht aus (25), (26), (27) S. 395 bis zur dritten Ordnung einschliesslich:

ïr h h

-Or (1 + 2 ti" -t- rj j²)

(p — cpi

.    x y . x%

A₂ cos qpj =    ^ t₀ -+-

x y    x

N[~NÖto

Ehe wir diese beiden Gruppen von Gleichungen addieren, müssen wir die Ni auf N₀, auf t₀ u. s. w. reduzieren, auch wollen wir überall die N durch V aus-drücken, denn es ist allgemein N = c : F.

r — ri =

N₀

(5)

2 iS⁷!² N₀

(6)

Dazu hat man nach § 34. S. 208, Gleichung (1) :

qpi—(jpo

fVo ₌ V₁ =

p-2

also wegen (1):

2iVo²

Va2, to² — 1 +

y* Fq²

2 c²

JJo² to²

Pj²

Vo² *o²j

_ P-q³ /    3 yg F₀2

iVi c c V 2 c²

Zur Reduktion von cos qpx auf cos qp₀ und tang qpx auf tcm# (jp₀ hat man wegen (1) :

(7)

<Pi = <ro — <To) = <F0 —

</²

COS (f j = COS qp₀ -+- ^2 #0 S» CPo

(8)

?/²

tan^f qpj = farcir qp₀ — ^«,,(1+ t₀²)

d. h.

y'²

(8a)

Damit giebt die Gruppe II mit Beschränkung überall auf 3te Ordnung, wobei in den höheren Gliedern schlechthin t statt t₀ u. s. w. geschrieben wird:

<jP — (Pi

=Tr«s(i+4SF2,'2t2).(¹

—    7²1²

2 c²

(9)

3 T2    r3

— -2 ^    Î?² < - ^3 FS ^2 a — t* + rp - 5 J?² /2)

(cos '('0 +

r-n=^^fi +

Wenn man dieses II a mit dem ursprünglichen I zusammennimmt, auch überall (7) berücksichtigt, so erhält man, indem in den höheren Gliedern nur noch t statt t0 u. s. w. geschrieben wird:

lia

X² y

)~ C2 V M C3

æ² y

VS *2

(10)

2c3

F3 t (1 + 2 t² -+- 7J²)

(11)

<p-n =

T r»³ —

X- vit

2 c²

3 x²

III

2C2:j

— ^ 75 (i — <2 + ^2 — 5 ^2 *2) X COS qp₀ = y F₀ + - Jf ⁷² * + C3

X 2/2

(12)

£C² y

2 c³

2/³

%² y

2c3

F5 «2 (1 _ 3 TJ²)

V3 f2 — Jllrstf O cs

V3 t (1 + 2 <2 + ^2)

(13)

(14)

-^3F3*(1 + 2<2 + î?²)

Diese Gleichungen entsprechen den früheren sphärischen Gleichungen (5), (9) (15) im vorigen § 82. S. 432, 433, 436, bis zur dritten Ordnung.

Es handelt sich nun darum, die Gleichungen (12) und (13) nach x und y aufzulösen, was durch fortgesetzte Näherung geschehen muss. Dabei wollen wir uns zur Bequemlichkeit erlauben, statt F₀ und f₀ u. s. w. kurz F und t u. s. w. zu schreiben; während also in (12)—(14), wenigstens in den ersten Gliedern, noch F₀ sowie t₀ und cos <p₀ geschrieben war, können wir jetzt, da keine Verwechslung mehr zu befürchten ist, auch in den Gliedern erster Ordnung die Vereinfachung F und t annehmen; wir dürfen aber zum Schlüsse nicht vergessen, dass alles dieses sich auf den Ausgangspunkt qo der Breiten beziehen muss.

Gehen wir nach dieser Zwischenbemerkung über zu der indirekten Auflösung der Gleichungen (12) und (13), so haben wir jedenfalls in erster Näherung:

y _ X cos q ~c ~ F xy __ A qXcoscp

x _ q — (po_A q

F3

F3

und

(15)

x² __ A cp2 ~ F6

y ² _ À² cos² Cf

c²

F4

Diese Näherungen in (12) und (13) eingesetzt geben bis zur 2ten Ordnung: x _ A cp    X² cos² <p 3 A cp²

F3

2 F5

r\² t

(16)

und

y _ À cos cp!

A qX cos q

F3

(17)

Nun nochmals, bis zur 3ten Ordnung aus (16) und (17):

+ 8f^rV

x² _ A cp² t A cp X² cos² cp t

C²" ~ ~F6

F4

(18)

y² _ X² cos² cp 2 A cp X² cos² q

F2

F4

(19)

A q² X cos q t

xy A q X cos q ⁼ F4

Setzt man diese drei Ausdrücke in (12) und (13) ein, und nimmt man dabei für die Glieder 3ter Ordnung kurz die Näherungen (15), so bekommt man: x A q X2 -~T3-h2VCOS(ft

2 F2

cos³ q t

A q X²

2 F3

Aq²

2 V"

2 F6

cos² q t² -+

(2 — 3 jy²)

3 A q²

T]²1

Tj² (— 1 -t- #2 — T]² — 4 rj² t²)

(20)

y A cos qp    A qX cos qt    À³

—    =    ß v

Endlich kann man auch noch die Meridian-Konvergenz in (14) durch (16)—(22) als Funktion von qp und A darstellen:

X² V²

—■=— sin cp cos ² cp -f-

o

V3

COS³ cpi t²

3 Aq²X    ₉

2--^5-c°scpt²r]²

(22)

y = A sin qp

A q² À sin q

2 F2

(23)

Zur Probe kann man auch wieder dieses (23) mit Hilfe von (12) und (13) in (14) zurückverwandeln, was stimmen wird.

Nun haben wir in (12)—(14) und in (21)—(23) alle nötigen Formeln bis zur

3ten Ordnung.

Dazu wollen wir auch noch die rein sphärisch entwickelten Glieder 4 ter Ordnung zusetzen, welche im vorigen § 82. unter den Nummern (5), (9), (15) und (10), (13), (16) enthalten sind. Wenn wir ausserdem auch überall die nötigen p zusetzen, so bekommen wir folgende sechs Gleichungen, wobei nochmals zu beachten ist, dass wir zur Bequemlichkeit nur F und t statt der früheren P₀ und i₀ schreiben und dass

q —qp₀ = A cp gesetzt ist:

T    4/2    Q /y>2    o"3

Z/(jp=_F3p_|-§F4^__î_F4,?2^ ₊ _F5₁₇2₍_l₄_f2_J?2 ₊ 5)?2<2₎ç -J    F5*2(l_3??2 )q

x² y²

y±

(24)

2 c⁴

t3 Q + 24m* (1 -r 3 t²) p

xa,sl, = ^re + ^-rn₉+-^

?/³

F8    3 F³ t² Q +

x3 y

3 c⁴

t (1 + 3 t*)Q

x y²

(25)

6 c⁴

t (1 + 6 *2) Ç

'ö

%\

V²t²Ç +

x² y

2c3

V*t(l + 2t* + rP)Q—*-EV9t(l + 2t* + iP)Q

æ³ y

(26)

6 c⁴

i² (5 + 6 t²) p

_ Aq> c A²

* “ ~Q~ W ⁺ 2^2 v

3 A q² c

c _

— cos² qp t-

—    -P7 ^⁽— n- — ’î² -⁴ >7²

2 Q² F5

Tj² t

X⁴ c

(27)

24 p⁴

COS2 q t

_ A cos qp C

A cp X cos cp c

ßS“ F3

X² C 0-9

3 Aq²X c

2 p3 V5

Aq3Xcsinq> AqX3csinq

cos qp t² ?i²

(28)

3 p⁴

6 p⁴

y = A sin cp

A3 F²

6 p²

sin qp cos² qp -t-

J qp² X sin cp A qp A 3 2 p² F2 ⁺ 2 p3

sin² cos qp

(29)

Man kann die Coëfficienten dieser Formeln teilweise auch in mehr anschaulicher Form schreiben, denn es ist

F3

F4 _ J_ Ü² ~~ r²

wobei M und N die Haupt-Krümmungs-Halbmesser und r der mittlere Krümmungs-Halbmesser sind.

Bei den Gliedern 4ter Ordnung, welche nur sphärisch entwickelt sind, haben wir schlechthin c als Halbmesser gesetzt; wir haben diese Glieder auch noch besonders sphäroidisch entwickelt und gefunden für q— qr>₀:

X² y2

__ 78*8(1+^...) +

yi V6 t

24 ci

(1 + 3 t² -+- rf² ..)

Man könnte also wohl den Faktor F6 in den zwei letzten Gliedern von (24) zusetzen, aber da die vernachlässigten Glieder mit rf²... das alles nochmals ändern können, indem V² = 1 + rf² ist, haben wir kurzer Hand ci in allen Gliedern 4‘e* Ordnung stehen gelassen, obgleich Ni oder r⁴ statt c⁴ sich vielleicht mehr empfehlen würde. Es kommt uns bei jenen Gliedern 4*er Ordnung nur auf die wenigen ersten Stellen an.

Zur Anwendung dieser Formeln auf die Dessauer Normalbreite 51° 50' hat man folgende Konstanten:

log sin cp = 9.895 5421-736 log sin² <p = 9.791 0843-472

log cos cp = 9.790 9541-080 log cos² cp — 9.581 9082-160 log e'²

= 7.827 3187-833

log rf² — loge’²cos² cp = 7.409 2269-993 log g² t² = log c’²sin² cp = 7.618 4031-305 V² = 1 + iß = 1,002 565824805 log t]i = 4.818 4540 log r]i t² = 5.027 6301

tj² = 0.002 5658-248 7/21² = 0.004 1533-940

log F2 = 0.001 1128-964 log F4 = 0.002 2257-928 log F5 = 0.002 7822-4 tang cp = t, log t = 0.104 5880-656 logt² = 0.209 1761-312

logg = 5.314 4251-332

rji = 0,00000 65835 Tji t² = 0,00001 06569

log V = 0.000 5564-482 log V3 = 0.001 6693-446 log F7 = 0.003 8591-4

t² = 1,618 7363-954

log — J Q

= 4.685 5748-668

log c = 6.806 0976-435 log es = 0.418 2929-3

loge² = 3.612 1952-870 log ci = 7.224 3905*7 Wenn man diese Konstanten in die vorhergehenden Formeln einführt, so erhält man:

J (24a) J (25a) J (26a)

} (27a)

J (28a) J (29a)

für congruente Coordinaten x, y J cp = [8.509 9968-343] x — [1.508 0137-1] y² - [9.394 3620] a.-2

■+■ [1.811 208] x² — [4.803 7047] x y² — [8.10277] æ2 y² + [7.58202] yi X = [8.717 9298-299] y h- [2.016 9767] æ</+ [5.316 0226] x² y

—    [4.838 9023] ys + [8.69416] x² y — [8.65540] x y²

y = [8.613 4720-035] y + [1.912 5188-8] xy-h [5.328 6062] a;2 y

—    [4.851 4850] «/S _ 8.6582] xy² + [8.688 74] x² y

x = [1.490 0031-657] à cp + [5.562 1572-1] X² — [0.351 2073] J q X2 + [3.864 3715] J q² — [7.744 955] â q3 — [3.854 68] Xi y = [1.282 0701-701] X — [6.071 1200-1] âqX — [9.666 1530] X²

—    [8.445 4885] Jq²X — [4.96682] Jq²X-h [4.66579] J q X2 y = [9.895 5421-736] X — [8.071 5618] X² + [8.964 5490] J q² X

+ [3.33773] J q X²

Daraus erhält man:

(31)

J<p= 1609,761 561"= 26' 49,761 561" X = 2637,728 348"= 43' 57,728 348" y = 2073,867 723"= 34' 33,867 723"

und die Rückverwandlung :

(32)

Zu einer ersten Anwendung dieser Formeln wollen wir in runden Zahlen nehmen:

y = 50 000m

x = 50 000 m

(30)

* = 50000,00015”» y = 50000,00063»

y = 2073,867 640"= 34' 33,867 640"

Die Proben stimmen in x auf 0,l5’"m, in y auf 0,63”‘m und in y auf 0,000083" also überall befriedigend.

Einzelheiten hiezu sind in der .Zeitsohr. f. Verm.“ 1896, S. 88—89 angegeben, wobei aber zu bemerken ist, dass die Coëfficienten zu x³ und zu /f g>³ dort ein wenig anders, d. h. etwas weniger genau in Bezug auf die Glieder ij³ angegeben waren.

Übergang zu konformen Coordinaten x, y.

In den bisherigen Formeln ist angenommen, die Coordinaten x, y seien natürliche, unverzerrte (kongruente), wie in dem Beispiele (30); wir wollen nun aber annehmen, das Coordinatensystem sei ein konformes, entsprechend dem früheren § 50, wobei aber

a;3

nun die x die Rolle der früheren y übernehmen. Dann geht jedes x über in x -f-

während die y ungeändert bleiben, oder wir wollen nun, indem wir die konformen x mit X bezeichnen, setzen:

X³

X8

X X 6 r2 X 6 c2 FJ

wobei für die Breite 51° 50' log —^ = 5.611 879 und log-~= 2.249 664

(33)

wobei übrigens in den Gliedern 4*«* Ordnung, wie schon früher, c und r nicht mehr unterschieden zu werden brauchen.

Betrachten wir zuerst die Gleichung (24) für zl qr, so sieht man, dass die Einführung von (30) nur auf das erste Glied einwirkt, indem es giebt:

(34)

6 c²

Hiezu kommt das Glied in (24), welches x³ selbst enthält und nun auch mit X³ geschrieben werden kann, nämlich:

X3

~6^s F5(— 8^ta + Sj?²+ 3^— 15 7^2)

Dieses mit dem letzten Gliede von (31) zusammengenommen giebt:

Y3

— ^3 P⁵ (1 + 4 r? — 3 >?² *² + 3 v⁴ — !5 V⁴ t²)

In dieser Form werden wir dieses Glied in der nachfolgenden Gleichung (36) wiederfinden. In (25) bringt das zweite Glied eine Änderung zusammen mit dem ohnehin vorhandenen Gliede x³y, wo wir aber, weil es nur 4te Ordnung ist, die P2 weglassen, also:

Xeo8<p=£v + ï]£îf

X->

X³ y t

6 c²/    3 c⁴

(1 + 3 t²) + ...

⁼ TFS+ÿr2‘⁺^⁽-1 + 2+6t2)=-

y X³ t

6 c⁴

(1 + 6 <2

Dieses Glied wird sich in der nachfolgenden Gleichung (37) finden.

Ähnlich wird auch y behandelt, was wir nicht näher auseinandersetzen wollen. In der Umkehrungsformel (27) für x erhält man beim Übergang auf konforme Coordinaten (ohne q)\

x-i5F4 = 4r ⁺ TFCM2,f< + -

also wenn man das Glied mit X³ auf die rechte Seite bringt, wird: 3 V4

à cp

Ä² c

V3

c+ 2V

(cos² cp t) j

Z/g³ C

6c ²

2 F⁷

rfi (_ 1 H- #2 _ rj2 _ 4 jy² t²)

_ Z/ g3 V2

~ V7 IT

3 z/ g ² À² c³ cos² cp t\ F⁴

2 F7

6 c²

z? g² À²

4 F³

c cos² g t +

zl g² c

2 F⁷

?y⁷ (1 — t² -I- ïy² + 4 7y²t²)

Das erste und das dritte Glied lassen sich zusammennehmen (mit F² = 1 + ?y²) und dadurch wird:

Z/ Cp3ß

(Tf^

Das sind nur die Glieder, welche sich in (27) ändern; im Ganzen hat man dann die Gleichung, wie sie in nachstehender Zusammenstellung bei (39) sich findet. Die Formeln für À und y sind dieselben geblieben wie früher (28) und (29). Hiernach hat man folgende Gebrauchsformeln für konforme X, y:

z/g=^F3ç_^F⁴tÊ)-^F⁴7;²^-^F5(l+4j₇2-3j?²t²+3j?⁴-15î?⁴t²)Ê»

Xy²

(1+4 jy'² — 3 ?y² t² + 3 't]4 + 12 ?y⁴t²) +

z/g² À2 4 F3

c cos² g t -f

2c3

V5 f2 (1 — 3 rj²) Q

X2y2

2 c⁴

yA

(36)

XcOSCf=^ VQ + ^ V²tQ-f

X²?/

2/³

X³

+    */*(!+6 i²)(>

X2y

Xy3

(37)

6 c⁴

t(l + 6i²)p

2c3

F3 « (1 + 2 <2 + jy²) q

F³*(l + 2t² + jy²)p

3 c⁴

t2(2 + St2)Q

(38)

Für die Umkehrung der Aufgabe hat man: zf g c

3 c⁴

*2(2 + St²)ç

z/g³ c

z/gX² c . „ J fr 2/2

3 zig² c

ç2 Ü5

7/² t

(39)

X⁴c

(1 + 4 jy² — 3 7y²1² -f- 3 jy⁴ +12 jy⁴ ?2) -)-

c cos² cpt

cos² g t

Die früheren (28) und (29) bleiben auch bei konformen Coordinaten gütig und sind hier einzufügen.

6()3 J77

4 p⁴

24 £⁴

Mit ausgerechneten Coëfficienten-Logarithmen bekommt man folgende Formeln : für konforme Coordinalen X, y

J (36a) } (37a) J (38a) | (39a)

A cp = [8.509 9968-348] X— [1.508 0137-1] y2 — [9.394 3620] æ2

—    [4.119 7471] X3 — [4.803 7047] Xy2 — [8.10 277[ X2 y* + [7.58 202] y±

\ = [8.717 9298-299] y + [2.016 9767] Xy + [5.316 0226] X2 y

—    [4.838 9023] y3 + [8.65 540] y — [8.65 540] X yS y = [8.613 4720-035] y + [1.912 5188-8] X y + [5. 328 6062] X2 y

—    [4.851 4850] 2/3 _ [8.6582] X</3 + [8.6582] X3 y X = [1.490 0031-657] A cp + [5.562 1572-1] Jl* — [0.351 2073] cp A Jfi

-+■ [3.864 3715] Acpï H- [0.079 8989] A g,3 ₊ [4.63 283] Acp2 X* — [3.85 468] X*

Die früheren (28) und (29) gelten auch hier wieder.

Wenn man hiernach das grosse Beispiel (30) rechnen will, so muss man zuerst x = 50 000™ umwandeln in:

(40)

X = X +    = 50 000,51143»*, y bleibt = 50000”*

o

und damit erhält man aus (36), (37), (38):

Acp = 1609,761 560" = 0° 26' 49,761 560"

l = 2637,728 353 = 43' 57,728 353"

(41)

und die Rückverwandlung nach 39 giebt:

y = 2073,867 605 = 34' 33,867 723"

Dieses stimmt auf 0,18* dieselben wie bei (32).

Um auch eine Anwendung mit rechtwinkligen Coordinaten zu haben, stellen wir zuerst mit Fig. 2. die Formeln auf, welche aus § 50. dadurch hervorgehen, dass man x und y vertauscht, wie in Fig. 2. angedeutet ist.

Indem wir im übrigen mit t und T die Richtungswinkel wie früher bezeichnen, haben wir nach Fig. 2.:

X= 50 000,51161”* mit dem Ausgangswert in (40), y und y bleiben hier

Fig. 2.

(42)

+x

x₂

tangti

_ y%— y i

x₂—x{

tangt₂= ———², y ¹ xx—x₂

₈ _ ^2— 2/1 _ X—X2l sin ti    cos t]

„ _ V\ Vi _ xi~x2 sin #2    cos t%

+y

h = h± ¹⁸⁰°

]/ (y2 — y\)² + («a — X\P

Dieses gilt wie immer in der Ebene.

Zum Übergang auf das Ellipsoid (bzw. genähert Kugel) hat man :

2 X] -t- cc₂ Q

2 1-2

h — T₂ — (2/1 — 2/2)

Der mittlere Krümmungs-Halbmesser r hängt von der geographischen Breite ab. Wir nehmen an, wie schon bei (33) S. 443:

Cf ₀ =51° 50' womit logr — 6.804 9847

log 2^5 =1.403426

log ^ = 4.948 634

für 7. log Dezimale ... 1.948 634

Die Coordinaten zweier Punkte sind:

P₁ î/i = 4- 10 000“ P₂ î/₂ =-+- 30 000“

konform

*i = +

X₂ = + 40 000m

10 000“

(44)

y₂ — 2/1 — +    000“

X₂ — Xx = 4- 30 000“

Man kann auch die zu den konformen X gehörigen kongruenten x berechnen, nämlich wie schon bei (31) angegeben:

Y-

Y-:

6 ?⁻²

6 r²

l*°9

= 5.611 879

6 r²

konform

X} = 10000,000“ — 0,004

X₂ = 40000,000“ — 0,262

xx = 9999,996“

Nach den Formeln (43) wurde berechnet:

x₂ = 39999,738“

kongruent.

(45)

= 33° 4P 24,2431" — 1,0127

t₂ = 213° 41’24,2431” -4 1,5190

berechnet:

Tx = 33° 4P 23,2304”

T₂ = 213° 4P 25,7621”

log s = 4.5569 716‘8 — 37-3

logS= 4.5569 679-5

(46)

(47)

Nun werden aus (44) die geographischen Coordinaten nach den Formeln (36)—(38)

Xx = 8' 43,353 035”    = 51° 55' 23,265 935 yx = 6' 51,469 147”

X₂ = 26' 19,494 863” <p₂ = 52° 1P 31,394 840 y₂ = 20' 41,84472”

(48)

Aus diesen 1 und ą nach den Mittelbreiten-Formeln des früheren § 77. wurde

berechnet:

log S = 4.556 9679-5

was vollständig mit (47) stimmt, und ferner die Azimute: «! = 33° 48' 14,6988”

(49)

«₂= 214° 2' 7,6060”

(50)

Tj = 33° 4P 23,2304” 6' 51,4691”

das giebt die Probe: von (46) von (48) ■

T₂= 213° 4P 25,7621" 20' 41,8447"

T\+y\= 33° 48' 14,6995” «! = 33° 48' 14,6988”

r₂+72=214° 2' 7,6068” tr₂= 214⁰ 2' 7,6060”

soll (50)

Abweichungen

Diese kleinen Abweichungen sind bei Azimuten und Richtungswinkeln gleich-giltig. Das Zahlenbeispiel stimmt also in sich selbst vollständig, der angewendeten Rechenschärfe entsprechend.

0,0007”

0,0008”

Indessen müssen wir zu den konformen Coordinaten, welche von Gleichung (33) an eingeführt wurden, doch noch eine reservierende Bemerkung machen:

Während die ganze Entwicklung bis dorthin (33) in sich konsequent auf Potenzreihenentwicklungen beruhend ist, wobei auch klar ist, welche Glieder mit r\² mitgenommen und welche vernachlässigt sind, ist das von (33) an nicht mehr ebenso der Fall. Für die Ausdehnung mit X= 50000“ und y = 50000“ ist die Brauchbarkeit auch der konformen Formeln innerhalb 1““ gezeigt worden; ob aber beim Übergang zur Konformität die Glieder 3ter Ordnung nicht auch Änderungen in den Zusätzen rj².. m erfahren, das wäre durch eine schärfere Entwicklung, etwa ähnlich wie in §§ 86.-88., noch zu behandeln.

§ 84. Allgemeines über queraxige Coordinaten.

In den vorstehenden §§ 82. und 83. haben wir queraxige Coordinaten kennen gelernt, bei welchen in einem angenommenen Ursprungspunkt ein Quernormalbogen von West nach Ost (in der Richtung des sogenannten ersten Vertikals) gelegt, als Hauptaxe angenommen wird.

Indessen in weiterem Sinne können wir auch die aus der konformen Kegelprojektion hergeleiteten rechtwinkligen Coordinaten queraxig nennen, weil dort ein Parallelkreisbogen zunächst gewissermassen als Hauptaxe dient, dem dann im Ursprungspunkt eine Queraxe, in der Ebene berührend, angelegt wird.

Wir wollen diese beiden Arten von queraxigen Coordinaten zuerst unter sich vergleichen und dann auch noch ohne Vergleichung mit den meridionalaxigen Systemen im allgemeinen behandeln.

Dass bei den beiden Arten queraxiger Coordinaten die Reduktionen für Entfernung und für Richtungen bis auf Glieder dieselben sind, fällt sofort in die Augen, denn bei der Coordinatenzählung von Fig. 1. § 83. S. 445 hat man für beide Fälle:

£C²

= 1 -+

—    —2/2) (2    -+- £C₂)

In der Mecklenburgischen konformen Kegelprojektion reichen in der That diese Glieder schon in II.— III. Triangulierungs-Ordnung praktisch aus, und nur in I. Ordnung kommen noch weitere Glieder 3*er Potenz mit in Betracht.

Um auch die Coordinaten-Formeln zu vergleichen, brauchen wir nur die Formeln von §§ 80.—81. einerseits und §§ 82.— 83. andererseits zusammenzustellen; indessen wollen wir dabei alle sphäroidischen Bestandteile i]² ... u. s. w. ausser Betracht lassen, also nur die sphärischen Glieder vergleichen.

Die Normalbreite ist hiebei natürlich als gleich anzunehmen, wir wollen aber die Zeichen P und q>, welche für die Normalbreiten benützt wurden, auch weiter schreiben, um sofort hieran die Formeln zu erkennen; es soll also die Mecklenburgische Normalbreite für konforme Kegelprojektion mit P bezeichnet werden und die zugehörigen rechtwinkligen Coordinaten mit aq yx, dann die Normalbreite für queraxige konforme Coordinaten (Dessau) mit qp, und die Coordinaten mit æ₂ y-i-

Da wir nur die sphärischen Glieder zur Vergleichung ziehen, können wir für die konforme Kegelprojektion den § 80. benützen, dagegen die queraxigen Coordinaten sind in § 82. sphärisch nur kongruent, müssen daher als konform aus § 88. Gleichung (36), (87), (39), (28) ausgezogen werden durch Weglassung aller sphäroidischen Elemente rj² u. s. w.

Auf diesem Wege sind folgende Vergleichungen erhalten worden: §80.(25)^ = Jv+^sinPcosP—/J<p^sin2P+^—^sinZPcosP-h~=^-tangP

§83. (39) y- == zlq)-\-~sin(pcosif)—zlep^sin²ep Z-~—sinepcosep

Zlq²X² .

—z-—smq cosep

(1)

x₂—x₁    A⁴ .    z/qp⁴    z/q²A² .

—-- = — 2^ smq cos4 ep---- tang g> h----— sin qp cos ep

§ 80. (26) = A cos P— X Ziep sinP——sin² Pcos P+ § 83. (28) ~ = Xcoscp — A Ziep sin q> — ysm² ep cosqi +

J cp A³ sin³ P    ziep³ A sinP

zl q A³ sin ep Z/q>3 Xsinep

sin ep cos² cp

Zf ep³ A .

—z— smq o

«an (,qq\ ir.-x\ y\2t x\y\%& xi³ xi²yi²t₍ofo n, 2/1⁴*3 x\H §80.(33)J<p = __ —--—--—--__₍2«2_

^2_*~3

2r³    6r³

y%—y\

(2)

§ 83. (36) A q> = ^^ *—-2 2/22

2r²

q_^2~ æl

§ 80. (35) A cos P=-^-§ 83. (37) A cosqi =Jk

y\x\

r²

2/2^2

t-f

*23 æ2²2/2²

x²y² x^t    y*t

4r4 + 24r⁴ 24r⁴

yi^x²f9 2/1³*² yi³xit* , y\x\³tt

(3)

3r³

/• A

»■4

2/2a?2³

6H

t(l+6i²)

?/2~ V\

(4)

y³x yx3 6r⁴    6r⁴

Die hier auftretenden Differenzen kontrollieren sich gegenseitig, d. h. es ist (1) = (3) und (2) = (4), wenn man in den höheren Gliedern nimmt = Zl q> und -y=A eosep,

wobei auch aq von æ₂ und jq von y₂ nicht mehr zu unterscheiden sind.

Diese Differenzenproben sind erwünscht als durchgreifende Kontrollen aller sphärischen Entwicklungen für x, y, zl qp, A in §§ 80.— 83.

Betrachten wir diese Differenzen näher, so sagen dieselben aus, dass die konforme Kegelprojektion und die queraxige konforme Projektion so nahe verwandt sind, dass sie sich nur um Glieder 4ter Ordnung in x und y unterscheiden.

Bei der Meridian-Konvergenz, welche zwischen (1) § 80. S. 419 und (29) § 83 S. 441 zu vergleichen ist, beträgt der Unterschied dritte Ordnung, welche aber in dieser Beziehung mit der 4ten Ordnung in x und y gleichartig zu achten ist. Da die Glieder 4*er Ordnung in den Coordinatenrechnungen sehr wenig ausmachen, kann man für kleinere Ausdehnung die Kegelprojektion und die queraxige Projektion fast als identisch betrachten.

nicht ausreicht, sondern noch Umständen sogar noch einzelne ~ verlangen kann; doch ist schon von der Triangulierung II. Ordnung an die Richtungsreduktion mit — genügend.

Vergleichen wir weiter und setzen etwa den Fall, man wolle für ein Land von ausgesprochen west-östlicher Ausdehnung, wie z. B. Sachsen oder die Schweiz, ein west-östlich angepasstes System anlegen, so empfiehlt sich das konforme Kegelsystem durch die scharfe Definition seines Prinzips, das in geschlossener Form angehbar und bis zu allen nötigen Ordnungen bereits entwickelt vorliegt (Mecklenburg). Als kleiner Nachteil ist nur die algebraische Form der Richtungsreduktionen zu betrachten, welche

für Triangulierung I. Ordnung mit

und nach

Solche Glieder mit treten bei der eigentlich queraxigen Projektion (§ 82.—83.)

nicht auf, und das queraxige System ist insofern im Vorteil; aber andererseits müssen wir hiezu bemerken, dass eine vollendete Entwicklung der Formeln für rein quer-axiges System in unseren vorstehenden §§ 82.— 83. noch nicht vorliegt. Jene §§ 82.—83. sind bei massiger Ausdehnung, wie sie in § 83. vorausgesetzt wurde, jedenfalls ausreichend, aber im Falle der Ausdehnung auf ein erheblich grösseres Land wäre diese Theorie noch weiter auszubilden, wie auch schon am Schlüsse von § 88. bemerkt wurde.

Alles bisherige bezog sich auf die Vergleichung der beiden Arten queraxiger Coordinaten unter sich; wir wollen auch noch das nötigste zur Vergleichung queraxiger Coordinaten mit den üblichen meridional-axigen Coordinaten beifügen (aus einem Vortrag über deutsche Coordinaten-Systeme, „Zeitschr. f. Verm.“ 1895, S. 342).

Alle süddeutschen und auch die 40 preussischen Systeme haben als Hauptaxe je den Meridian eines Punktes, und man hat sich daran gewöhnt, das als zu einem ordentlichen Coordinaten - System gehörig anzusehen, allein der Meridian ist dabei nicht wesentlich. Bayern, Württemberg, Baden haben ihre Haupterstreckung von Süden nach Norden, und da war es natürlich, die Hauptaxe in den Meridian zu legen, zumal der Meridian eine jedem Laien geläufige geodätische Linie ist. Wenn aber ein Land wesentlich west-östlich erstreckt ist, wie z. B. Sachsen, Mecklenburg, Anhalt, so liegt kein Grund mehr vor, die Hauptaxe in den Meridian zu legen, im Gegenteil, ohne Rechnung kann jeder einsehen, dass dann eine Queraxe von West nach Ost eine Menge Verzerrungen ersparen muss.

Diesen naheliegenden Gedanken hatte ich gelegentlich früher („Zeitschr. f. Verm.“ 1876, S. 266) ausgesprochen, und 1894 wurde daraus Veranlassung gegeben zu einer amtlichen Behandlung der Sache (vgl. Queraxige rechtwinklige konforme Coordinaten, „Zeitschr. f. Verm.“ 1894, S. 65—74 mit Mittelbreite cp₀ = 51° 50' S. 72).

In Hinsicht auf die rechtwinkligen Coordinaten selbst ändert sich dabei gar nichts, als dass die Bedeutung der x und y vertauscht wird, und auch die Beziehungen zwischen rechtwinkligen und geographischen Coordinaten werden den früheren ganz entsprechend, d. h. sie werden nicht schwieriger als für die Meridianaxe. Der Unterschied liegt eben nur in der Anpassung der Hauptaxe an die Haupterstreckung des Landes. Der Meridian an sich hat allerdings den Vorzug, dass er als Axe beliebig lang sein kann, also z. B. vom Äquator bis zum Pol als Axe eines Systems dienen könnte; allein wenn es sich auch in der Richtung der Hauptaxe selbst nur um massige

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

Erstreckung handelt, z. B. um wenige hundert Kilometer, dann tritt dieser Vorzug fast ganz zurück, und dann hat die Queraxe auch für die mathematische Formelentwicklung dieselbe Berechtigung wie der Meridian.

Verzerrung nur

Wie wichtig aber die Anpassung der Axe an die Landesform ist, mag an dem Beispiel von Mecklenburg gezeigt werden. Dieses Land hat von Süd nach Nord nur etwa ²/₃ der Ausdehnung, welche von West nach Ost stattfindet, und durch die konforme Kegelprojektion, welche im wesentlichen queraxig ist, ist daher die Maximales 4

-g-j = — oder kaum die Hälfte von der Verzerrung, welche eine Meridianaxe bringen müsste.

Auch der kleine Staat Anhalt hat wesentlich west-östliche Erstreckung, nämlich rund 110Lm von West nach Ost und nur 55lm von Süd nach Nord. Mit einer Queraxe unter 51° 50' Breite sind die grössten Abscissen nach Norden rund 30tm, also nach der Tabelle (8) § 49. S. 276 ist die grösste Linearverzerrung nur 0,011™ auf 1000”*, während bei Wahl der Magdeburger Meridianaxe die grössten Ordinaten nach Osten 66,£m würden mit Linearverzerrung (nach S. 276) an rund 0,05“ auf lkm, d. h. 5 mal so gross als im ersten Falle, und in den Winkel Verzerrungen stellt sich die Sache noch viel ungünstiger für die Magdeburger Axe.

Als Anhang zu § 84. nehmen wir noch eine kurze Betrachtung über Schiefaxige Coordinaten.

In theoretischer Beziehung könnte man noch weiter gehen und z. B. einem Lande, dessen Haupterstreckung von Südwest nach Nordost ginge, eine Hauptaxe im Azimut 45° anlegen u. s. w. Allein solche Abnormitäten sind höchstens für rein kartographische Zwecke versucht worden; für praktisch geodätische Zwecke dürfen wir die zwei Hauptrichtungen nicht verlassen, weil sonst die Beziehungen zu den von der Drehung der Erde vorgeschriebenen geographischen Coordinaten zu verwickelt würden.

Dagegen sind schiefaxige Coordinaten in anderem Sinne schon mehrfach eingeführt worden. Z. B. die in den Preussischen Rheinlanden früher angelegten Co-ordinaten-Systeme in grösserer Zahl, welche wir schon in § 59. S. 332 (unten im Kleingedruckten) erwähnt haben, sind als schiefaxige zu betrachten, indem die „Parallele zum Meridian von Köln“ als Abscissenaxe angenommen wurde.

Auch die bayrischen „Lokalsysteme“, über welche wir ebenfalls schon in § 59. S. 327 berichtet haben, sind ähnlich.schiefaxig, denn es bat jedes solche System in dem Lokalnullpunkt eine æ-Axe, welche um die Meridian-Konvergenz verdreht ist gegen den Meridian des Lokalnullpunktes. Als Vorteil davon wird angegeben, dass bei den Coordinaten-Transformationen dadurch einige Rechenglieder erspart werden — das mag sein, aber schiefaxige Coordinaten bringen in Bezug auf die niemals abzuschaffenden geographischen Coordinaten so viel Unzuträglichkeiten mit sich, dass dagegen jene kleinen Vorteile zurücktreten.

Vgl. Transformation rechtwinklig-sphärischer Coordinaten auf neue Normalpunkte, von Dr. J. H. Franke in München, Astr. Nachr. 126. Band, Dezember 1890, S. 355, Systeme II, und Bauernfeind, „Zeitschr. f. Verm.“ 1891, S. 161—165.

Eine neuere Mitteilung von Franke über diese Lokalsysteme giebt „Zeitschr. f. Verm.“ 1896, S. 327—332.

Die bayrischen Reduktionsforraeln für die Lokalsysteme gehen aus unseren Formeln von § 79. (15) und (16) S. 418 einfach dadurch hervor, dass man y = Null setzt.

§85. Rechtwinklige konforme sphärische Coordinaten mit Gliedern bis zur 4ten Ordnung

Indem wir darauf ausgehen, die Gauss sehen konformen rechtwinkligen Coordinaten mit Meridiananschluss auf dem Ellipsoide zu entwickeln, wollen wir an die ersten sphärischen Näherungen von § 50. nochmals anschliessen, und zunächst noch auf der Kugel bleibend, in dem Sinne der früheren Entwicklungen von § 50. die sphärischen

Reihen bis ~ weiterführen.

Dazu muss vor allem das Projektionsgesetz selbst schärfer ausgedrückt werden als in § 50. geschehen ist. Wir müssen auf die durch Integration erhaltene strenge Gleichung (7) § 50. S. 280 zurückgreifen, nämlich:

~1 tan9 (t'⁺è)

oder für dekadische Logarithmen, mit fi — 0,43429 .. :

y = l-logtang{^ + ^

(1)

Das Vergrösserungsverhältnis ist nach (5) § 50. S. 280 zunächst streng:

dy

m = , - = sec — d'à

(2)

Die Funktion (1) kann in einer Reihe entwickelt werden, indem man zunächst rein goniometrisch umwandelt:

tang

1 + tang

_P_

1 ■+" t

1 — t

(3)

-tan9 2r

Die logarithmische Reihe von § 28. S. 169 darauf angewendet giebt:

7    (,    &    &    *⁴    *⁵    \

log (l-ht)- ß(t—2+y —    — *7

t’² f³ t* <⁵

o L & t» -²V(t + -3

Die Tangentenreihe § 28. S. 172 giebt:

t = tang^ =

log (l — t) = n(—t ,    1 +t

i°g j

—t

P³

p⁵

24 r» ' 240 r⁵

P³

8 r³

P⁵

32

P⁵

32 9-4

3^5 2r 12 9-3

P⁵

48 r &

log^

1 “+■ t

P³

b⁵

6 9'³

24 r⁵

also nach (!) und (8):

1)3

9⁵

y 9 + 6 r³ ^ 24 ?-5

(4)

Diese Gleichung muss rückwärts nach l) aufgelöst werden, was durch schrittweise geführte Näherung geschieht:

y3

6 r³

9³ = 2/3

Qr5

3ÿ5

6 r⁵

yö

yb

24 r5

(5)

6 r³

Auch das Yergrösserungsverhältnis wi kann man nach (2) bis auf ~ entwickeln :

cos

±₌1 ⁹² ■ ⁹⁴

/•

24 r⁴

sec

JL ₌

1)4

1)2

2 r² 241'⁴

4 r⁴

J)²    51)4

2 j'2    24 >'4

(6)

Dieses stimmt mit der in § 28. S. 172 als bekannt citierten Secans-Beihe.

1    ⁹²

m = 1 + —

Man hat also

51)4

2 r² 24 H

oder mit Einführung von (5):

= 1 -f-

w    jq₂    5 </4

2 r² ^    6 r³/

24 r⁴

»1=1 +

y²

yA

2 r² 24 r⁴

(7)

Dazu auch die Umkehrung:

2 1-2

24 r⁴

(8)

und in logarithmischer Form:

_e_ „4

12M4 J

Das nächste ist die schärfere Berechnung der Ordinaten-Konvergenz, wozu dieselbe Betrachtung wie früher hei den Soldner sehen Coordinaten § 46. Q dient; und um nicht dieselbe Sache zweimal machen zu müssen , wollen wir die frühere Gleichung in unsere neuen Bezeichnungen umsetzen, entsprechend Fig. 1., indem wir t)i und i)₂ statt y und y' dann x₂—statt x'— x und endlich Tj—r₂ statt a—a' schreiben, dadurch geht (7) § 46. S. 260 in diese Form über:

B,K3Ö°

x₂-x

A.

Fig. 1.

^2

t₂

Xg-X,

9°° Ti!

T7Tä

sin

92 + 9i

tang

x₂ — x₁

cos

9₂ — 9i

Hiernach kann man die Differenz der sphärischen Richtungswinkel T\ und T2 scharf berechnen, beliebig weit in Reihen entwickeln, u. s. w.; indessen brauchen wir hievon zunächst nur das Differential:

sin —

, dT    r    dx

⁼ —37<a”ÿ27 ots27

oder hinreichend genau:

dT

= sin

Ç dx r 2r

(9)

hier ist zunächst

r)

sin — =

b³

6 r³

also wegen (5):

folglich nach (9):

y% -

r \ r 6 r³ j 6 r³

dT=(j~ ~łr^T ⁼ ^[ydx

sin

y__t_

373

ÿLdx

3 r²

(10)

Nun hat man wieder dT als das Krümmungs- Differential der Kurve A B zu betrachten, ähnlich wie in der früheren Fig. 6. § 50. S. 283, welche nun in Fig. 2. wiederkehrt, mit der Zeichenänderung, dass die schiefen Coordinaten, welche in Fig. 6. S. 283 mit f und t] bezeichnet waren, nun durch Z und z ausgedrückt sind.

Der Grund dieser Zeichenänderung, war der, dass eine Kollision des früheren tj und ’^l'² mit unserem sonstigen ^²=e'² cos² <P vermieden werden sollte.

In demselben Sinne wie früher bei (23) S. 283 haben wir also für unseren neuen Fall aus (8):

Fig. 2.

s’

13

/02

-H

rf.

d²z _dT _1 / dx y^dx W~~dT⁼^\y ~dl

3r dl

)(n)

sZ

+y

Diese Gleichung ist auch hier noch immer genau genug, denn es sollte zwar statt dl gesetzt werden Yd Z² -f- dz², aber es ist nach (35) S. 285 dr], oder nun dz selbst schon von der Ordnung —, also dz² schon von der Ordnung —

Faktor bereits

j-4

, was

mit dem ohnehin schon in (11) vorhandenen

geben würde.

Um (11) weiter auszuführen, müssen wir x und y in Z ausdrücken, was nach dem Anblick von Fig. 2. durch folgende Coordinaten-Transformation geschieht:

x = Xi -+- Z cos ti — z sin t\ y = yl -f- Z sin Zj -f- z cos

7*2

(12)

Die z sind aber selbst Funktionen von Z, nämlich nach (35) § 50. S. 285 mit ij — z und | = l :

Iscosti _    . Z² , Z³ .

z = “672    (² y1    2/2) — 2T22/1 cos tx ~~ 672 sm cos h

Dieses in (12) eingesetzt giebt:

X z= Xi + lC0Sti-y = Vi + l sin tx 4

(Zæ

hcostjMnt! ₍₂₊ y₂) + yx sin tl cos *i+~ sm² *j cos*i (13) ß

(2yi + 2/2) — 2^2/1 cos²*!

Z    Z²

(² 2/1 + Z/2) •+■ ^2 2/1stn *1cos 2i + 272 Si'n2 C0Ä‘ *1

Z S COS² *!

6 r²

s cos *! sin *!

6 r²

g^sZn*! cos²*!

(14)

(15)

Damit kann man den ersten Teil von (11) bilden, nämlich y und zum zweiten

Teile von (11) braucht man noch von (12):

y3 = yx3 -i- B yx2 i sin * H- 3 2/! Z² sin² *i -+- Z³ sin³ *! + ... dx

dazu

(16)

Wenn man die beiden Faktoren (14), (15) und die von (16) ausmultipliziert und die beiden Produkte nach der Vorschrift der Gleichung (11) vereinigt, so wird man, nach Potenzen von Z ordnend, einen Ausdruck von folgender Form erhalten:

tZ² z

d Z²

= l+ k! + Cl² Dl³

(17)

wobei die Coëfflcienten A, B, C, D folgende Bedeutungen haben:

yx s sin *i cos *!

A = ^ sin tx -_ sin *! cos *!

(2 2/1 + 2/2) —

Z/1³

3H

COS *!

S COS *!

6 1*⁴

(2 yj 4- y₂) (cos² *i — sin² t{)

C = -1- (— cos³ *! 4- sin² *i cos *7

(18)

D = —- (— sin tx cos³ *! — 5 sin³ *i cos *x)

Ehe wir weiteren Gebrauch von diesen Coëfficienten machen, werden wir die Funktion (17) durch zweimaliges Integrieren weiter behandeln:

Bl²    CI³    Dl⁴

dz

-äl = Gx + Al 4-2    '    3

„ . Al² BIß CIA    Dl5

6 ⁺ 12 ⁺ 20

(19)

(20)

C1Z4--2

Dabei ist Ci die erste Integrations-Konstante, und die zweite Integrations-Konstante ist gleich Null, weil Z = 0 auch z — 0 geben muss. Zur Bestimmung der Konstanten

dz

dz

Cx dient die Festsetzung, dass l = 0 geben muss — = öx und Z = s giebt — = — ö₂

und weiter weiss man, dass Z = s auch z — 0 geben muss, also: -dl = C₁

s n    A    -B S²

4-    — C\ 4- A s 4--p—

Cs³ D s⁴

4--7—

4. s

⁰ = °l ⁺ ^2

£ s² Cs³ D s⁴

6 ' 12

20

hieraus folgt:

»    -4 s    B s²    Cs³ Ds*

S‘=T ⁺ ^

„    As Bs2    Cs³    Z>s4

^⁼“2“ ⁺ ~3

⁺ ~Ï2"~ 20

(21)

Hier sind die Coëfficienten A, B, G, U von (18) einzusetzen, was nur noch eine algebraische Zusammensuchung der gleichartigen Teile verlangt und nach dem Ordnen, wenn zugleich = s sin tx = y₂—yx und rcostx—x₂—x₁ gesetzt wird, geben wird:

öi =

(x₂-x₁)(2y₁+y₂), (x₂-x₂)3

(x₂-xi)

(%l+? 2/2)-

und ö₂ entsprechend mit vertauschten 1 und 2: _(x₁-x₂)(y₁+2y₂) (aq-aq,)3 --6r2    +“360rr(⁷^i⁺⁸^)

6r2

360 H

360 r⁴

(8y₁3+21y₁²y₂+24y₁y₂²+7y₂³) (22)

360 r⁴

(8?/2³+212/2² 2/1+241/₂ 2/i²+? 2/i³)(22a)

Integration für die Länge S des sphärischen Bogens.

"Wir haben drei verschiedene Längen zu unterscheiden: die Bogenlänge S auf der Kugel, die Gerade s = Gerade A B der Abbildung und die Kurvenlänge s' — Kurve A B der Abbildung (vgl. Fig. 2. S. 453).

In differentialem Sinne besteht die Gleichung:

oder

ds'

dS

dS = — ds'

also auch

S= f—ds'

(28)

Dabei ist nach früherer Entwicklung (8) S. 452:

_ 1

2r² 1 24 r⁴

Das Differential ds', welches bei der früheren Entwicklung von § 50. auf

einschliesslich genau schlechthin = dl gesetzt werden durfte, muss nun genauer angegeben werden :

(24)

}'2

dz

Da - — schon =

dl

ds' = ]/ dl²A- dz² = dl (1 -h Y (^|)²j

= ~ ist, sieht man alsbald, dass das Integral

(23) in zwei Teile zerfällt:

dl = I-t-II

(25)

Bleiben wir zunächst bei dem ersten Integral stehen, so müssen wir die Reihe (24) in eine Reihe mit steigenden Potenzen von l umformen.

Man hat dazu von (14) die Reihe für y, welche quadriert giebt:

(2 y\ Ar y₂)j

(5 2/1²— 2/12/2—i/2²)]

— ^    SIW *1 C0S<L    sin² tx COS² t₁ -h ..

y²= 2/j2 ₊ i (2 yx sin tx -+

+ l² sin² tx

y 1 s cos² tx

cos² tx

3 r²

3 r²

und weiter:

(27

y4, — 2/i⁴ + 14 2/i⁸ sin -h- Z² 6 2/1² sin- tx 4- Z³ 4 yx sm³ -i- /⁴ sin4 Wenn man damit den Ausdruck (24) zusammensetzt und nach Potenzen von ordnet, soll entstehen:

-i. _ i _    , A ^_⁴

2 r² 24 H

also der erste Integralteil von (25):

l!>

T    ß S²    S3    S4

I = «s + T + /g+öT

erhält :

Hiezu muss man die Teile aus (26) und (27) zusammensuchen, wodurch man

2/i²

2 r²

yi s sin tx    s² sin² ti

2r²

6 r²

+ ÜTr* (~ Vl C0S2 #1    2/1 + ^ + ⁵ 2/1⁸ s sm ^ j

+ ^ s²cos² tx (5 2/x2 — 2/i 2/2 — 2/2²j +    2/i² «²    h

5

6 ?⁻⁴

yi s³ s» t cos² 4- 2^; 2/1 s³ si«³ tj

+ 30^4 s3 sin2 tl C0S tl "+

Wenn man hier überall ssinti = y₂—yi und scosti = x.₂— xx setzt und die gleichartigen Teile zusammensucht, so findet man:

, =l-«i±aÄ±ä^_^=S2₍8!,lS+14y|!/s+8^)

24 j'⁴

s⁴ sm⁴ ti

(28)

(2/1⁴+2/1³ 2/2+ 2/1² 2/2²+2/1 ył 4- 2/2⁴)

Um auch den zweiten Teil des Integrals (25) zu bestimmen, müssen wir auf (35) S. 285 zurückgreifen und entnehmen (mit ij = z und £ = l): z _ s cos ti

7 ~ “6r~2~

24 r⁴

(2 2/1 + 2/2 j — ^ 2/1 cos ti —₂^2 sin tx cos tx

(%y=C^isH2yi+y₂)2-n2syi(2yi + yi) + PMyi2-l2Qssmti(2yi + y₂)\

4- ß 36 yx sin tx 4- ß 9 sm² fi j

f(2 2/1 + 2/2)²—6 2/i(² 2/1+2/2)+122/1²—2 (2/2—4/j) (24/j + î/₂)4-⁹ 2/i(2/2-2/i)|

I    +ffe-ÿi)⁸j

■^3 re

Dieses integriert giebt mit s sin tx= y2 — 2/1:

II __ s² cos² tx ~ ~ 72rr

All’ dieses zusammengezogen vereinfacht sich sehr, und giebt schliesslich:

II (x₂ - a?!)2 s 360 r⁴

|4 2/i²+ 7 //! 2/2 + 4 2/2²|

(29)

Wenn man die Teile I und II von (28) und (29) zusammennimmt, so hat man

nach (25):

H 1⁰⁵

_ x _ 2/i⁸+2/i    +    _ (a?a — «h)²

6 r²    360 r⁴

(2/i⁴ + 2/i³ 2/2 -+- 2/i² 2/2² + 2/1 2/3² + 2/2⁴)

(4 2/!² H- 7 2/i 2/2 H- ⁴ -1/2²)

(30)

24 r⁴

Wenn man die Mittelordinate y₀ einführt nach der Gleichung

2/o

₌ 2/1-*-2/2

!/0² =    p)²= i (ÿ,² + 2 y, y₂ + ys2)

yo* =    "!/-)*= pj (</i⁴ + 4 //is .i/s ^ ‘i!/]² y,²+ ⁴ ;/i ;/s³ + j-i't

und wenn man auch entsprechende Werte von einführt, nämlich nach (8):

..    ,    ⁵ 2/l⁴

2 r² 24 *4

L ₌ i_g

5 ^

2 r² 24 r⁴

⁵ 2/o4 2 ?'2 1 24 r⁴

so kann man das vorstehende (30) auch auf diese Form bringen: jS₌ W J_ , 4 ,    1

s 6 \m

Das Ergebnis aller vorstehenden Entwicklungen und Betrachtungen ist enthalten in den zwei Gleichungen (22) und (22 a) für die Richtungs-Reduktionen und in der Schlnssgleichung (31) für die Entfernungs-Reduktion. Wenn man die Glieder mit

weglässt, gehen die Formeln wieder zurück in die früheren Formeln (31), (32) und

(13) in § 50. S. 284 und S. 282.

2/p²

m₀

(a;₂ — Æ])²

«i₀

m₂.

360 r⁴

(4 2/i² + 7 i/! i/₂ + 4 y₂%)

5 (x₂ — æx)⁴

2880 r⁴

(31)

Einführung von Näherungen für verhältnismässig kleine x₂—und y₂—y\.

Wenn in einem sehr ausgedehnten System die Dreiecksseiten verhältnismässig klein sind gegen die Ordinaten selbst, so kann man die Glieder 4ter Ordnung, d. h.

die Glieder mit

, unterscheiden in solche, bei welchen r⁴

die Potenzen von y selbst oder nur Potenzen von x₂— x₁ und y₂—yx überwiegen, und man kann letztere Glieder gegen erstere vernachlässigen.

Wir wollen dieses näher verfolgen im Anschluss an eine Abhandlung von Oberstlieutenant von Schmidt, Chef der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme, in „Zeitschr. f. Verm.“ 1894, S. 399—400, und indem wir die dort teilweise abweichenden Bezeichnungen in die unsrigen (Fig. 3) umsetzen, haben wir dort (7) 1894 S. 339 und (8) S. 340:

Fig. 3.

T,

X₂

T,i

*•

X₁

log s-logS=- ^p(2/i+2/2)²-

-^(yz-yif-^ßyi+ytf (32)

60

Tl-h =4^2 (2/1 + y 2) 0*2 - «1) - Ï2J2 ^2 - 2/l) 0*2- ®1 ) - 4^4 C2/1+2/2)³ 0*2~ Æl) (³³)

... und mit Einführung des Mittelwertes - im letzten Gliede von (30),

u

Es ist nicht schwer, diese Formeln als Vereinfachungen unserer Formeln (30) und (22) nachzuweisen. Nehmen wir zuerst (30) mit Vernachlässigung des Gliedes (ar₂—art)²

r⁴

so haben wir von dort:

5'

yi²+ ?/i y2+^2²

6 r²

24 r⁴

₅(^⁴

Nach der logarithmischen Beihe S. 169:

lS — ls =

yi²+yi y2a+y₈⁸

6r₂

384^5 (2/1 + 2/2)⁴~ y

[y\ + z/2)⁴

(,W)T

192 H

(34)

Das letzte Glied hier stimmt mit dem letzten Gliede von (32), und da auch die zwei ersten Glieder von (32) sich mit dem ersten Gliede von (34) als algebraisch identisch erweisen und der logarithmische Modul l g in den Zeichen log s und Is u. s. w. begründet ist, haben wir nun die Formel (32) als Vereinfachung von (30) nachgewiesen. Noch kürzer ist einzusehen, wie (33) aus (22) hervorgeht, indem das Glied

... in (22) vernachlässigt wird und im letzten Gliede von (22) die Klammer

y\ + yz\³

(x₂— 34)3

360 r⁴

= 60

gesetzt wird. Auch dass die zwei ersten Glieder von (33) mit dem einen

ersten Gliede von (22) identisch sind, wurde schon in §. 50. S. 284—285 oben bemerkt.

Die konstanten Coëfficienten - Logarithmen der Landesaufnahme-Formeln (32) und (33) sind schon zum Teile auf S. 285 unten angegeben. Die noch dazu gehörigen Coëfficienten 4ter Ordnung sind:

l°⁹ 192 A⁴

log-Jg— = 6.mon J 48 A⁴

Eine praktische Anwendung der Formel (33) haben wir schon früher in Band I. 4. Aufl. 1895, S. 418—419 gegeben, bei dem Schlesisch-Posen sehen Netze, mit g = rund 350 000”¹; das Glied 4ter Ordnung in (33) brachte dort noch 0,0197”.

= 7-134 373

§ 86. Konforme Gauss sehe Coordinaten.

Die konformen rechtwinkligen Coordinaten mit Meridiananschluss, welche Gauss etwa um 1820—1830 in Hannover eingeführt hat, haben wir schon mehrfach im früheren erwähnt, in der geschichtlichen Übersicht von § 59. S. 328—329 und in der mathematischen Entwicklung erster Näherung von § 50.

Das Quellen werk für diese klassischen Coordinaten ist: „Theorie der Projektionsmethode der Hannoverschen Landesvermessung von Oscar Schreiber, Hauptmann im Königl. Hannov. 1. Jägerbataillon, Hannover, Hahn sehe Hofbuchhandlung 1866“ mit einem Vorwort von Wittstein.

Im Nachfolgenden geben wir eine Bearbeitung dieser Schrift, in breiterer Darlegung als im Original und mit möglichst geometrischer Auseinandersetzung dessen, was im Original mehr nur analytisch vorgetragen wird.

Allerdings die Grundgleichung der konformen Abbildung auf Grund der Funktionen komplexer Veränderlicher, nämlich die nachfolgende Gleichung (6), x + iy = f(q-\-iX), müssen wir hier als bekannt voraussetzen.

Die Gauss sehen Origmalschriften über die Theorie der konformen Abbildung sind:

Allgemeine Auflösung der Aufgabe, die Teile einer gegebenen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Teilen ähnlich wird, von C. F. Gauss. Als Beantwortung der von der Königlichen Societät der Wissenschaften in Kopenhagen für 1822 gestellten Preisaufgabe, veröffentlicht in Schumachers astronomischen Abhandlungen, Heft 3, Altona 1825.

Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie von Carl Friedrich Gauss, erste Abhandlung, der Königl. Societät überreicht 1843, Art. 23.

Den Hauptinhalt dieser Theorieen haben wir schon früher in unserem II. Bande, 2. Auflage, 1878, S. 377—379 abgedruckt u. kommentiert, weshalb es hier genügen mag, hierauf zurückzuverweisen, oder auf irgend ein mathematisches Werk über Funktionen komplexer Veränderlicher Bezug zu nehmen, zur Begründung der nachfolgenden Gleichung (6), der einzigen, die wir aus jenen allgemeinen Theorieen brauchen.

Hier ist auch nochmals das Hannover sehe Coordinatenverzeichnis mit Einleitung von Wittstein zu erwähnen, dessen genauer Titel schon in § 59. S. 329 (im Kleingedruckten) angegeben wurde.

Überall im Folgenden haben wir unsere gewöhnlichen Bezeichnungen V², tj² u. s. w. angewendet, nach deren Umsetzung unsere Schlussformeln mit den Formeln von Schreiber und Wittstein übereinstimmen.

Nach diesen Vorbemerkungen geben wir über zur mathematischen Behandlung der Sache, indem wir in Fig. 1. ein Stück des Erd - Ellipsoids und in Fig. 2. dessen ebene konforme Abbildung betrachten.

Fig. 2. Ebene.

Fig. l.

Ellipsoid.

+X

dh

‘P+d?

\_cVU^Md⁽P

D'yf^dS

ds

G-

+Y

6 Aequafor

0 Aequator

Auf dem Ellipsoid Fig. 1. werden zwei Punkte A und A! betrachtet mit den Breiten cp und cp -+- d cp und mit den Längen À und ÀH- dX\ dann hat man ein unendlich kleines rechtwinkliges Dreieck A D A', in welchem ist:

D A' = Neos cp d X

AD = McUp

erhalten wir (1) in dieser neuen Form:

(3)

d S — Neos cp Ÿd q² + d X2 Ausser dem Dreieck ADA' besteht auf dem Ellipsoid noch ein zweites ebenfalls rechtwinkliges Dreieck A C A', welches zur Bildung rechtwinkliger Coordinaten konform abgebildet wird in der Ebene Fig. 2. durch das Dreieck a ca! mit der Hypotenuse (Zs; es ist also in der Ebene:

(4)

AA'=dS = ]/(M d cp)² -+- (Ncos cp d À)2 Dabei sind M und N wie gewöhnlich die beiden Hauptkrümmungs-Halbmesser, und indem wir auch wie sonst N: M= V² setzen und weiter zur Abkürzung einführen:

d cp M _ d cp cos cp N    V² cos cp

also

(1)

= dq

(2)

d s = Yd x² -+- d y²

Aus (3) und (4) folgt das Vergrösserungsverhältnis:

_ ds _ydx²+ dy2 ~~dS ⁼

Ydq² + dX² N cos cp

(5)

Nun kommt die allgemeine Theorie der konformen Abbildung in Betracht, welche wir bereits in der Einleitung dieses Paragraphen erwähnt haben.

Diese allgemeine Theorie sagt aus, dass die in (5) behandelte Abbildung dann konform ist, wenn x + iy eine Funktion von q-\-iX oder von q—iX ist, d. h. es muss sein:

(6)

(x -+- i y) = f(q -f- i X)

wobei f eine zunächst beliebige Funktion bedeutet, über welche nachher weiter verfügt werden soll."

Die Funktion f in (6) wird nach der Taylor sehen Reihe entwickelt:

f(q +iX) = f (q) -b (i X)

df{q) , (t X)² d² f(q) , (iX)² d²f(q) ,

6 d q³

2 dq²

Da i =y— 1, i² = — 1, «3 = — i, i±= -+- 1 u. s. w., so giebt dieses:

df(q) X² d² f{q) iX*d3f(q)

f(q + iX) = f (ÿ) + (i À)

2 dq² 6 d q³

Die Funktion f(q), welche bisher noch unbestimmt ist, muss nun entschieden werden, und zwar soll dafür genommen werden der Meridianbogen B vom Aequator bis zur Breite cp, wie in Fig. 1. eingeschrieben ist. Dieser Bogen B ist eine Funktion von <f>; in unserem früheren § 35. ist B in einer Reihe als Funktion von (p, sin2cpi, sin 4 cp u. s. w. entwickelt worden, und die Zahlenwerte B sind tabellarisch genügend dargestellt in unseren Tafeln Seite [38] und [55]—[57] des Anhangs.

Da auch d q nach (2) eine Funktion von cp ist, und da von f(q) nichts weiter verlangt wird, als dass es eine Funktion von q sein soll, so entspricht die Wahl f(q) = B der gestellten Konformitätsbedingung und führt andererseits die Aufgabe ihrem geodätischen Ziele entgegen. Indem wir nach (6) zurückgreifen, haben wir also:

+ ...

. •    ., dB X² d²B .X³ dtq X* d*B iX?> d*B Xe d$B

Die Vergleichung der reellen und der imaginären Teile giebt:

(7)

^2    d±B Xe d⁶ B

2 d q² 24 dq* 720 d g⁶

dB _X8 dß B ^ Xb ä*B dq 6 d q* ¹ 120 d qb Die Form dieser zwei Beihen ist sofort einleuchtend, weil der als æ-Axe genommene Meridian eine Symmetralaxe ist. Der Wert x—B kann als Potenzreihe nur die geraden Potenzen X², A⁴... enthalten, und es muss mit X = 0, x — B = 0, d. h. x = B werden. Ebenso zweifellos muss mit X — 0 auch y — 0 werden, und da y mit X gleiches Zeichen haben, im übrigen für + X absolut genommen gleich bleiben muss, kann die Eeihe (8) nur die ungeraden Potenzen X, A3 ... enthalten.

Die Ableitungen von B nach q müssen ausgeführt werden, wozu man hat:

Q

d B = Md cp = d cp und

V &

y = -hX

(8)

also

dB

d cp

P² cos qp

(9)

d- B

dq

dq dep

Schon früher gebraucht (§. 34. S. 208) ist

= y COS Cf

J*^cosV-Tsin,f

(10)

dep    V

7<2

t, also

d² B

d qd cp

= -y; [rp sin cp — V² sin qp j = sin qp [y² — (1 -+- rj²) j

— c . d cp

= rśsmi=

c sin cp cos qp

d² B

lüp

Wenn man in diesen Formeln weiter differentiiert, so bekommt man:

d⁴B cl q⁴

Von hier ab wollen wir nur noch die sphärischen Glieder, d. h. die Glieder ohne if differentiieren, und finden mit solcher Abkürzung:

. d⁵ B d qb dßB _

"d^e “ y

Nun kann man die Formeln für x und y nach (7) und (8) zusammensetzen,

c

zugleich mit Berücksichtigung, dass —- = N ist und mit Zusetzung der nötigen p:

X² N    X⁴ N

sin cp cos cp + ^ — sin cp cos³ qp (5 — t² 9 rj² + 4 17⁴)

= + sin cp cos³ qp (5 — t² -+- 9 rj² -+- 4 rp)

= -j- y cos⁵ qp (5 — 18 t² -+- t⁴)

sin cp cos⁵ qp (61 — 58t²-h 41⁴)

720 p6

— sin cp cos⁵ cp (61 — 58 i² H— 4 f⁴)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

y = x ^ COS cp    COS³ qp (1 — t² + Tj²) 4- ^ cos⁵qp (5 — 181² -t-f⁴) (17)

Dieses sind die Formeln von Schreiber (6) S. 10, abgesehen von den Gliedern mit ip n. s. w. n den Gliedern 5ter und 6ter Ordnung, und innerhalb der 4ten Ordnung haben wir damit die Formeln von Wittstein, S. X. oben.

In erster Näherung stimmen diese Formeln (16) und (17) auch mit unseren früheren (11) und

( 12) § 58. S. 323.

In den Formeln (16) und (17) sind qp und A die gegebenen geographischen Coordinaten eines Punktes, und zwar À nach Osten positiv gezählt von irgend einem Meridian, der als x-Axe eines rechtwinkligen konformen Coordinatensystems angenommen ist. B bedeutet den Meridianbogen vom Äquator bis zur Breite cp, x und y sind die gesuchten ebenen konformen Coordinaten, und zwar x gezählt wie B vom Äquator der Erde, y rechtwinklig zu x, nach Osten positiv Avie À (vgl. Fig. 1. und 2. S. 459).

Da B und x auf diese Weise sehr grosse Zahlen werden, kann man sie beliebig abkürzen oder von irgend einem Nullpunkt in dem Vermessungsbereich selbst zählen. Doch spielt das in der Theorie keine Bolle, weil immer nur die Differenz x — B in den Formeln auftritt, und deswegen rechnen wir am einfachsten in den Formeln mit B selbst.

Umkehrung der Formeln (16) und (17).

Man kann die Formeln für x und y geradezu umkeliren, was wir nun ausführen wollen, aber nur bis zu Gliedern von der 4ten Ordnung einschliesslich, d. h. also zunächst aus (16) und (17):

(18)

J[2

x — B — N sin cp cos cp -f- ^ Nsin cp cos³ cp (5 — #² -f- 9 rfi -+- 4 rj⁴)

(19)

A³

y = A N cos cp -t- -g- N cos³ cp (1 — f²+ A²)

V

Zuerst wird (19) umgekehrt mit erster Näherung A =    —,

zweite Glied gesetzt giebt:

welche ins

l= y

N cos cp

yz

6 N² cos cp

Daraus bildet man auch die zweite Ordnung:

(1 — t²-hV²)

(20)

(1 — *²4-7?²)

J 2 ₌_____

N² cos² qp 3 F⁴ cos² cp

und dieses in (18) eingesetzt giebt:

_y²t

~ 22V⁺24lV³

y⁴t

(1 -l- 3 #2+ 5 7/2 + 4 jy4)

(21)

Nach diesem soll der Meridianbogen x — B in der zugehörigen Breitendifferenz <Pi—<p ausgedrückt werden, was nach dem früheren § 35. Gleichung (37), S. 218 mit qpj als Ausgangsbreite sich so giebt:

B — x = M₁ (cp — qq) -+-

rn²ti (qp —(jfq)²

3 Mx

TFÏ²

(22)

oder

(cpi - cp) —    ^ rn² G (<jP! — cp)²

Dabei gehören Mv r^² tj, alle zu der Fusspunktsbreite cplf während in (18)—(21) alles sich auf die Breite qp des Punktes selbst bezog. Aus (21) und (22) bekommt man als erste Näherung für die Breitendifferenz <p₁ — qp :

Hieraus

cpi-cp =

y²

t , qp = qPi

y²t

2 M, N

2 Mi N

y² t

tang cp = tang qpj — ^-^(1 -+- tx²)

Für den weiteren Gebrauch in den höheren Gliedern braucht aber fl und t, sowie Nx und N nicht mehr unterschieden zu werden, also:

y² h

2 M\ Nx

t = tx

(1 4- tx2) = tx

(1 + i?i²) (1 4- G²)

2iYj2

Dabei ist berücksichtigt, dass allgemein N:M = V² = 1 4- r? ist, also: y²h

t — tx

2iVj2

Dieses in (21) eingesetzt giebt:

y² h , yi h

2N^24NX3

(1 + G² + r]i² ■+■ TjI² 1j²)

(— 5 — 3 f2_ + _ 6 772*2 + 4 7]i)

(23a)

(24)

Weiter muss im ersten Gliede N durch Nx ersetzt werden, was nach früherem § 34. S. 208, unten Gleichung (1), geschieht. Wir wollen dabei auch bemerken, dass in den höheren Gliedern cp und u. s. w. nicht mehr unterschieden wird. Damit ist nach der citierten Gleichung unten auf S. 208 mit Rücksicht auf (23):

Nx

y² y2 f2

2 M N V2

= 1 -+

y2 jj2

2N²

(25)

Dieses mit (24) giebt:

x — B =

y² h

2/⁴ *i

(— 5 — 3 f2 — ^2 }4jj4)

(26)

2 Nx 24 Nxs

Nun sind die Ausdrücke in (22) und (26) einander gleich, was vollends die Auflösung nach cpx — cp giebt:

y²h _ __

2 Mx Nx 24 Mx Nx2 Damit ist die erste Formel (18) vollständig umgekehrt, und um auch vollends (19), d. h. die vorläufig schon hergerichtete (20) zu erledigen, brauchen wir von (23) mit N: M = F² = 1 4- ?/² die Entwicklung :

cpi — cp =

(5 -4- 3 t² + rj² — 9 i}² t² — 4 rfi)

(27)

cos cp — cos Cp i 4-

y²h

2 Mx

sin cpi = cos cpi 4-

y² h

2A+

(1 + rj²) sin cpx

Dazu nach (25):

Neos cp Nxcoscpi

1 -+

y2 fj2 (2 y2 /2

2 N²    2 N²

(l+l?²))

(, y²*²)

[    2 N²)

Neos cp Ni cos cpi Dieses in (20) eingesetzt giebt alsbald:

iß

(1 + 2*2 + 772)

(28)

Nx cos cpi    6 JVj³cos qpj

Nun haben wir in (27) und (28) die gewünschten Formeln zur Bestimmung von cp und Ä und indem wir auch die nötigen q zusetzen, stellen wir zusammen als Gebrauchsformeln :

qp = qPi —

_J² h

2 Mx Nx

Q-f-

yi h Q

24 Mx N{à

(5+3 fj2 + 77i2 _ 9 77!² t!² — 4 Tfaty

(29)

Nx cos cpi

y³e

(1 -f- 2 tj² -t- TJi²)

(30)

6 Nx² cos cpx

Diese Formeln entsprechen den Formeln von Schreiber (11) S. 25 und Wittstein S. X. unten. Diese Formeln stimmen auch in erster Näherung mit unseren früheren (8) und (9) § 58. S. 323.

Meridian-Konvergenz.

Wenn in Fig 3. NA S das konforme Bild eines Meridians, und WAE das konforme Bild eines Parallelkreises ist, wobei sich diese beiden Linien in einem Punkte A schneiden, durch welchen wir auch die Parallelen A B und A C mit den Coordinaten-axen ziehen, so entsteht ein kleiner Winkel y, welchen hier Gauss „Meridian-Konvergenz“ nennt (vgl. hiezu den Schluss dieses §, S. 465).

Wenn wir die Gleichung des Parallelkreis-Bildes WAE als Funktion zwischen den ebenen rechtwinkligen Coordinaten x und y aufstellen können, so brauchen wir nur noch

^X zu bilden, um tang y zu haben.

Um in diesem Sinne die Gleichung des Parallelkreises zu bilden, brauchen wir nur cp konstant zu denken, und A allein veränderlich, d. h. wir leiten die Gleichungen (18) und (19) partiell nach À ab, und erhalten damit:

Fig. 3.

dy

A3

+X

I-

= A Nsin cp cos cp    sin cp cos³ (p (5 — t²-f- 9 rj²-+- 4 rj⁴)

(H    À2

= N cos cp -+- -g- N cos³ cp (1 — t² -h Î]²)

Die Division von (31) und (32) giebt:

m-

E,

+y

(31)

(32)

dx

dy

= jAsmqp + y sin cp cos² <p (5 — t² + 9 r;²-+- 4??4)j jl — ^ cos² cp (1 — t²-+- ^2) j

dx

A3

= A sin cp -+- -g- sin cp cos² cp (2 •+• 2t² + 6 tj² -f- 4 r]⁴) = tang y

Nun ist nach der arctang-Reihe § 28. S. 172: tang³ y 3    ’

y = tang y -

wobei

tang³ y    A3 .    „

—g—- = -g- sm cp cos² cp t²

also mit dem vorhergehenden

y =    2 sin cp cos² cp (2 t²)

und alles zusammengenommen:

A3

y — A sin cp -f- -g- sin cp cos² cp (1 + 3 r]² -f- 2 77*)

Diese Gleichung ist anzuwenden, wenn ein Punkt durch qp und A gegeben ist; wenn aber x und y als gegeben vorliegen, dann empfiehlt es sich, erstens A in y auszudrücken und zweitens auch alles, was von cp abhängt, auf qpj, d. h. auf die Fusspunkts-breite zu reduzieren.

Für das erste haben wir von (20):

A : Wcoiy ~ 6 N³ cos cp ⁽¹ ~î2+ ^

(33)

Dieses in (33) eingesetzt giebt:

y =

y³t

(l-f *2 + 5772 + 4774)

62V 3

Weiter haben wir für t und N bereits die Gleichungen (23 a) und (25), welche zusammen geben:

= A- i

W! \

2 W₂

Dieses mit dem vorhergehenden vereinigt giebt endlich:

27V2

— <1 (l-h#l²-V?i2-2 77l4)

(34)

3

Die Zeichen iV^ und t\ deuten an, dass diese Werte, z. B. ti = tang qq, als Funktion der Fusspunktsbreite qpj zu nehmen sind, welche der vom Äquator an rektifizierten Meridianbogenlänge x entspricht. Auch in den höheren Gliedern der Formel (34) haben wir durchaus iq² u. s. w. in diesem Sinne geschrieben, obgleich in der vorhergehenden Entwicklung die Unterscheidung von cp und qpx in den höheren Gliedern nicht eingehalten wurde, weil sie in der ohnehin zugelassenen Vernachlässigung der nächstfolgenden yi> u. s. w. keine Konsequenz mehr hat.

Die Gleichung (34) stimmt innerhalb ihrer Ordnung mit Schreiber, Formel c S. 31, und vollständig mit der Formel c von Wittstein, S. XI, welche auch nur bis zu yz einschliesslich geht.

Wahre Meridian-Konvergenz.

Die Meridian - Konvergenz y, wie sie im Anschluss an Fig. 3. S. 464 definiert wurde, ist von der besonderen Natur der vorliegenden Abbildungsart abhängig und entspricht nicht genau der Definition Meridian-Konvergenz a'— a von Fig. 3. in § 60. S. 345, wie auch schon auf S. 346 bemerkt wurde.

Um auch die Meridian-Konvergenz in dem früheren Sinne a'— a Fig. 3. S. 345 zu bestimmen, betrachten wir in Fig. 4. einen Punkt A mit der Breite cp und der Länge Ä gegen den Anfangsmeridian NO, auf welchem in der Breite qq eine geodätische Linie qq' A rechtwinklig nach A abgeht, so dass man sagen kann, auf dem Ellipsoide sei von 0 bis qq' die Abscisse und von qq' bis A die Ordinate des Punktes A, und zwar Abscisse und Ordinate beide als geodätische Linien verstanden.

Ausser dem Punkte qq' nehmen wir noch auf dem Meridian O N einen Punkt qq, von welchem ebenfalls rechtwinklig eine Linie nach A abgeht (in Fig. 4. punktiert gezeichnet); diese zweite Linie qq A ist aber nicht eine geodätische Linie, sondern eine sehr flach gekrümmte andere Linie, von welcher sich nachher ergeben wird, dass sie das Ellipsoid - Bild__

zu der geraden Ordinaten-Linie y des konformen Coordinatensvstems ist.

Fig. 4. Ellipsoid.

p;

QT.

Äse

IPL

<P

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

30

Wenn in A die zwei Tangentialrichtungen A Px' und A Px rechtwinklig auf A cpi und auf Acpi gezogen werden, so ist N A Pj' = y' die Meridian - Konvergenz zwischen und A in dem gewöhnlichen Sinne von a’=a in Fig. 3. S. 845.

Um diese wahre Meridian - Konvergenz y' zu bestimmen, nehmen wir von den Reihenentwicklungen des früheren § 74. Gleichung (27) S. 396 bis zur dritten Ordnung

mit u = 0 und v = -■— und Wj

V

«'—a — y' = ~ tang cpi

t = tang <pi für die Ausgangsbreite <p{:

tang gpj' (1 -+- 2 tang² gpj'-i- r^²)

6iVj⁸

Hiezu von (26) S. 395 mit denselben Substitutionen:

Wl

(35)

1 «-,%'= i-^

Also durch Division von (35) und (36):

tätigt ipi

(36)

y'= A sin gpj' ^1

(1 + 7?²))

6 À⁷!²

.    A3

y ' = A sin (fi--— sin gpj' cos² gp₁' (1 -4- rf²)

Zur Reduktion von der Fusspunktsbreite gpj' auf die Punktbreite q) können wir als hinreichend die frühere Formel (17) §55. S. 305 nehmen:

V²1²

cpi' = T H--2— sin pp cos <p

V²A²

sin (pi = sin y h---— sin<pcos²<p

Dieses wird mit (37) verbunden, wobei 1 rf² V² zu beachten ist, also:

A³ V²

y ' — A sin <p -|--^— sin cp cos² gp

ö

Dieses ist die wahre Meridian-Konvergenz, welche mit der Gauss sehen Meridian-Konvergenz y in (33) verglichen giebt:

(37)

also

(38)

A3

y — y = -g- sin <p cos² cp (2 rj² -+- 2 r^)

oder in erster Näherung genügend:

2

y — y' — — A⁸ rj² sin <p cos² <p

(39)

Dieses ist auch der kleine Winkel P{ A Pj in Fig. 4., und da dieser Winkel besteht und nicht gleich Null ist, so wird erkannt, dass die geodätische Linie cpi A nicht das ellipsoidische Bild der ebenen Ordinate y sein kann, sondern dass eine andere Linie <pl A für jenes Bild eintreten muss.

Der ellipsoidische Faktor rf² in (37) zeigt, dass die Differenz y—/ nur auf dem Ellipsoid, nicht aber auf der Kugel existiert.

§ 87. Yergrösserungsverhiiltnis.

Nach (1) und (5) § 86. S. 460 ist das Vergrösserungsverhältnis m bestimmt durch: _    d x² -+■ dy²

d S² ~~ ~{M d gp)² -h(Ncp cos d A)²

m² =

ds²

VS

co

dl 2

Ar2 cos² qp^l 4- ^

Mdg; \2 \ Neos cp dl) /

Nach Fig. 1. und 2. § 86. S. 459 hat man in den rechtwinkligen Dreiecken : ^ X = coigr £ und

Md cp

dy

N cos cp dl

= co£<? a

Wo t der Richtungswinkel im ebenen System und a das Azimut auf dem Ellipsoid ist, damit wird (1):

m² =

d i/²    1 -Ą- cotg² t

(2)

d l² A⁷² cos² cp (1 •+- cotg² «) d y 1 sm « d X N cos cp sin t

Wir betrachten nun besonders den Fall, dass « = 90° werde, d. h. dass der Ellipsoidbogen d S auf einem Parallelkreis liege, was zur Folge hat, dass cp konstant ist und ferner, dass t = 90° — y wird, wenn y die Meridian-Konvergenz ist, welche in Fig. 3. S. 464 konform abgebildet wird. Damit erhält man aus (2) :

(3)

dy sec y

f)l — -— ----

dl Neos cp

Hiezu hat man aus (32) § 86. S. 464:

dy

À²

= N cos cp + -g- N cos³ qp (1 — ß + rf¹)

also

dy

A²

Ferner hat man aus (33) § 86. S. 464: y — À sin (p -t- À³ ...

(4)

,    , A² siw² qp

secy = l + = 1 +----2—~

(5)

(4) und (5):

Dieses genügt, um in erster Nahrung m zu bilden, nämlich als Produkt von

*2

À²

= 1 -+- -g- cos² qp (1 — ß -+- 7?2) -+- ₂ sm² qp

A.²

= 1    -g- cos² qp (1 -+■ y²)

(6)

Das ist zunächst nur das Yergrösserungsverhältnis in der Richtung des Parallelkreises, also rechtwinklig zum Meridian; da aber bei der konformen Projektion m nach allen Seiten gleich ist, können wir das in (6) gefundene m sofort allgemein gelten lassen.

Um übrigens eine Probe zu haben, wollen wir doch auch noch m für den Meridian besonders bestimmen, und schreiben zu diesem Zwecke aus (1), (4) und (5) § 86. S. 460:

wi² —

d sc2 d qp²

TS ms

H l«S

'ATcos qp d A\2

Md cp

also

Gehe n wir auf den Meridian über, so wird hier nach Fig. 3. § 86. S. 464

-    — —tang y und ferner dA = 0,

'd x \ sec cp

dq>)~W

zu bilden, hat man von (18) § 86. S. 462:

A²

x = B -f- y N sin cp cos cp -4- A4...

^ sin qp cos cp -h N cos² cp — N sin² cp j

Um

'd x

dcp,

a-i a.

also

= M 4-

d qp

~2

Dabei ist nach § 34. Gleichung (e) S. 208:

n = L

dN

’ d cp

= hr^t

^    Tj¹ sin² qp -f- ~ cos² cp — y sin² qp j

= M -f- -^3 ~ cos² qp ^1 — f² -4- 17²j, dabei ist M =    , also:

cos² qp^l — t² -h

da; 1 d qp AI

Das ist dasselbe wie bei (4), also muss auch die Weiterrechnung für m in der Meridianrichtung denselben Wert geben wie früher bei (4)—(6) in der Parallelkreisrichtung. Es ist also die Formel (6) allgemein giltig, in der Meridianrichtung, rechtwinklig dazu, und in allen Richtungen.

Um die Formel für m, welche in (6) nur bis A² geht, auch noch bis A4 zu entwickeln, müssen wir auf (17) §86. S. 461 zurückgehen und von dort entnehmen:

dy

d A N cos qp und von (33) § 86. S. 464:

Y cos² qp^l — t² -h -4- — cos⁴ qp (5 — 18 t² + t⁴)

(7)

A3

y = A sin qp + — sin qp cos² cp (1 ■+■ 3 rf¹ -h 2 7/4)

5    A²    A4

— y4 — l -j- — sin² cp -h 24 sł'w2 V COfi2 <jP (8 + 5 t²)

(8)

sec y = 1 -f- ÿ-

Wenn man diese (8) und (7) nach Anleitung von (3) multipliziert, so erhält man:

A²    A4

m = 1 -4- -y cos² qp (1 + ??²)    24 cosA V 4 <2)

Das ist die Weiterentwicklung von (6) bis auf A⁴ einschliesslich, aber mit Weglassung aller Glieder r,² u. s. w. in den Coëfficienten von A⁴. Innerhalb dieser Vernachlässigung stimmt unsere Formel (9) auch mit der entsprechenden Gleichung von Schreiber S. 36. (wie immer nach goniometrischer Umformung).

Es ist auch leicht, innerhalb der angenommenen Genauigkeit die Formel (9) auf y zu reduzieren, denn es ist nach (20) § 86. S. 462:

A-_1___t._(1 £2 _i_    )

N cos cp 6 N² cos qp '    ''

(9)

A² = —----

N² cos² cp SN⁴ cos² cp

y\

Damit wird (9) :

m = 1 4-

yi

Es ist aber

"=T

2V2 (1 ⁺ ^ + 24W4 (1 +    • • •)

¹ _ F2 _

*

und r =    also

1 -4- T]²

(10)

also ’»=¹ + 2^ + 24 ,.4

Der Nenner r⁴ im zweiten Gliede gilt nur näherungsweise, doch kann man ihn wohl annehmen, da wir ja ohnehin alle 1 4- if-... im zweiten Gliede vernachlässigt haben. Darum ist auch inbegriffen, dass bei dem Übergang von X auf y in N nicht mehr unterschieden wurde, ob es zu <p oder zu qo₁ gehören soll, d. h. es ist die Reduktion (25) § 86. S. 463 nicht mehr angebracht worden; und innerhalb der ersten Näherung haben wir nun in (10) wieder dieselbe Formel wie früher in der sphärischen Entwicklung von § 50. Gleichung (10) S. 281.

Entfernungs-Reduktion.

Wenn die wahre Länge einer geodätischen Linie auf dem Ellipsoid = S und deren ebenes Abbild — s ist und m das Vergrösserungsverhältnis in differentialem Sinne, so ist:

(11)

8= f—ds J m

und hiezu ist der Wert von m aus der Formel (10) einzusetzen; wir wollen aber dabei das Glied mit r⁴ nicht mitnehmen, weil eine hierauf sich erstreckende Integration schon früher in § 85. gemacht worden ist. Es wird also zunächst nur genommen :

(12)

_ i _ J/!_

2 r²

und insoweit könnte es scheinen, als ob die einfache Entwicklung von § 50. wieder ihre Stelle fände, allein jene Entwicklung war nur sphärisch mit konstantem r, während wir nun den mittlerenjKrümmungs-Halbmesser r nach den Ellipsoidgesetzen veränderlich annehmen müssen.

Es kommt dabei wieder die Änderung von V in Frage, nämlich nach (25)

§ 86. S. 463:

N V₁

und da

oder

1 _ F4 r2 c2

MfcT

, hat man auch :

-M¹

⁴(»~ qpi)

V2

rpt\j

Es ist aber in erster Näherung:

x — xY

also, ebenfalls in erster Näherung:

— = — (l r² ri2 \

4 (x — a^)

rj2 tj

(13)

Dabei ist im zweiten Glied einfach V² M = N = r gesetzt, wofür auch rj geschrieben werden kann.

Aus (12) und (13) hat man also:

_ i    y²

~    2rj2

Dieses m gehöre zu einem Punkte mit den Coordinaten x y, an irgend welcher Stelle des Bogens A C B von Pig. 2. § 85. S. 453, welcher als Abbild einer geodätischen Linie S auftritt. Wenn man nur bis zur 3ten Ordnung einschliesslich rechnet, so kann man sowohl die Gerade A B als auch den Bogen A s' B als Abbildlänge s der geodätischen Linie S annehmen, denn die Unterscheidung zwischen Bogen AGB und Sehne AB kam erst bei der 4ten Ordnung in Betracht, wie wir in § 85. bei (23) S. 455 gesehen haben.

Die Kurve A B in Fig. 2. § 85. S. 455 sei bestimmt durch eine Gleichung zwischen l und z, indem ein schiefes Coordinatensystem gelegt wird mit AB als Axe der l und einer Axe der z, welche gegen AB um -+-90° gedreht ist. Indessen brauchen wir innerhalb der [angegebenen 3ten Ordnung die z selbst gar nicht zu berücksichtigen, es genügt zunächst zu setzen (als Abkürzung von (12) §85. S.453): x — X\ A- l cos ti

(yi -f-1 sin tj)2 2^2

Es ist zu bemerken, dass das letzte t hier wie immer die Bedeutung t = tang qp hat, während ij der Richtungswinkel von A B im System x y ist.

Die Gleichung (16) wird nach Potenzen von l geordnet, und soll dabei geben:

— = (XA-ßlA-yl²A-dl³

Dann haben die Coëfficienten a, ß, y, Ô folgende Bedeutungen:

also wird (14):

4 (£C — x{)

V² <)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

2/1 sin <1,2 yx 2 cos tx

rx 2    r³ ¹

(19)

s in² t]

2 rj2

4 yl sin tx cos tx

/•3

(20)

2 sin² ć; cos t₁

r³

T]² t

(21)

Wenn man die Funktion (17) entsprechend (11) integriert und zwar zwischen den Grenzen 1 = 0 und l = s, so bekommt man :

ß s s²

-“ ⁺ T + y3⁺”4

Andererseits führen wir drei Werte von —ein, für den Anfang, für die Mitte und für den Endpunkt der Linie A B, nämlich: l = 0 soll geben

Oq

OD

Wîj

ó s³

(22)

co ;C<J

ß s S² s3

-2⁺rj + es

= a-hßs-\-ys²-hös³

Dieses mit (22) verglichen wird geben :

» co

(23)

6 (mj

Wenn man also die drei verschiedenen nach der Punktion (12) ausrechnet, und

zwar nicht bloss für die drei verschiedenen y, sondern auch mit Rücksicht auf die Veränderlichkeit von r, entsprechend den geographischen Breiten <jp₀, q>₂ oder den Abscissen x₀, Xj, x₂, so bekommt man nach (23) die richtige Entfernungs-Reduktion, ohne dass man dabei die Coefflcienten a, ß, y, 8 gebraucht hätte; es hat genügt einzusehen, dass sich — durch eine Punktion 3ten Grades von der Form (17) aus-

rn₀ m₂

drücken lässt.

Trotzdem wollen wir doch auch noch den Ausdruck (22) mit Einsetzung der Coëfficientenwerte a, ß, y, 8 nach (18) — (21) bilden, und zwar mit Umsetzung s sin t± = y₂ — y\ und s cos tj = x₂ — a^, wodurch man erhält:

= ¹ — g^2 (y\² + 2/12/2 + 2/2²) +    ~ ®l) Ü/l² + ² y\ y2 + ³ ^2²) (²⁴)

Hier kann man noch rl auf den Mittelwert r₀ reduzieren, nach (13) :

)’j2

Dieses mit (24) verbunden giebt :

(2/1² + 2/12/2 + 2/2²) —

rfit

(25)

(*2 — x\) (2/2² — 2/1²)

6ł’₀²

Hier gilt r₀ als mittlerer Krümmungs-Halbmesser für die mittlere Breite qpo oder für die mittlere Abscisse x₀ der betrachteten Linie A B.

Die Gleichung (25) in logarithmischer Form geschrieben wird:

6 r²

yrpt

ß~-2 (yi² + 2/12/2 + 2/2²)

Dieses stimmt mit Schreiber S. 49, wenn man wie immer die gegenseitigen Zeichenumformungen macht. In erster Näherung stimmt dieses auch mit dem früheren (12)—(14) § 50. S. 282.

log S — log s =

6 r³

(X₂ — ®i) (2/2² — 2/1²)    (²⁶)

§ 88. Richtungs - Reduktion.

Um das Krümmungs - Differential zu bestimmen, betrachten wir in Fig. 1. und Fig. 2. S. 472 zwei benachbarte Punkte, welche auf dem Ellipsoid durch einen kleinen Bogen dS und in der Ebene durch ds verbunden sind, und untersuchen die verschiedenen dabei in Betracht kommenden Richtungen und Winkel, unter Zuziehung dessen, was schon in § 86. bei Fig. 4. S. 465 über die beiden Meridian-Konvergenzen y' auf dem Ellipsoid und y in der Ebene gesagt worden ist.

Dann wird man aus Fig. 1. alsbald die folgenden Gleichungen herauslesen können:

^2 — “2 — 72

Ti = «1 — 7l

Ti— T₂ — (y₂— 71) — («₂— «j)

Ti — T₂= (y₂'~ y{) + ((y₂— Yt) — (h - 7i')) — (“2 — «1)

oder als Differential:

Auf dem Ellipsoid ist nach (38) §86. S. 464:

y' = X sin cp -+- Ä³. .. d y' = ä X sin qp + X cos qp d cp

also

(2)

Fig. 1. Ellipsoid.

Fig. 2. Ebene.

9ÛP-------

90°

<2

7,

Ta

dS/ j

A— I

90°^-----

C6/]

dx

da,

T,

Dagegen das Differential der Meridian-Konvergenz zwischen den beiden Punkten selbst wie immer nach § 69. Gleichung (5) S. 378 :

d a = dX sin cp

Also nun aus (1), (2), (3) zusammen:

d T — X cos cp dcp -+- d(y — y')

Von früher (39) § 86. S. 466 hat man:

(3)

(4)

y~y' =

2

-g- /l³ Tj² sin cp cos² <f>

Auch dieses differentiiert giebt:

d(y — y ') = 2 rf² sin qp cos² qp d X

Also im ganzen mit (4) zusammen:

d T = X cos qp d cp -t- 2 if À² sin qp cos³ cp d\

Hiebei ist nach den Grundformeln von (3) und (4) § 69. S. 378:

und

Also wird (5):

d*=M

À cos cp = — also dXcoscp = Ar

+ 2 V²t^dy

dT =

y dx

MN

setzen also:

Hier ist genau MN— r² und im zweiten Gliede kann man genähert N% — r²

Damit wird wieder ebenso verfahren wie bei (23) § 50. S. 288 oder wie bei (9) § 85. S. 453, nämlich mit den Bezeichnungen l und z nach Fig. 2. § 85. S. 453. d² z _ d T _ y dx ~ dl² ~ ~d l ⁼ r² ~dl

dT —

-f- 2 t]² t

y^dy_

rs dl

(6)

(?)

§ 87. S. 469:

Es soll wieder r² als veränderlich angenommen werden nach dem früheren (13)

also wird (7):

1_ _ J_ r² ~

4 (x — xx)

if tj

d²z

dl²

= J'-fi

n²V

4 (x—Xi)

*/²*)

dx

(9)

Die CoordinatenumWandlung wieder ebenso wie (15) § 87. S. 470 giebt:

und

x = xx -f- l cos tx

y = yx — l sin tx

= sin tx

(10)

Diese (10) in (9) eingesetzt, werden wieder eine algebraische Punktion geben von dieser Form:

d²z

dl²

= A + Bl + C l²

(11)

wobei die Coëfficienten folgende Bedeutungen haben:

1 2

A = — yx cos tx tj² t yx² am tx

(12)

—^5- sin tx cos tx

rx²

irß±yi

—g-    (sin² tx. — cos² tj)

(13

2rj²t

g sin tx (sin² tx — 2 cos² tx )

(14)

Die übrige Rechnung nimmt wieder den früheren Gang bei (29) § 50. S. 284 und (19) § 85. S. 454, nämlich:

Bs²

Cs o

also

(15)

*> = -2

Die Einsetzung von A, B, C aus (12)—(14) in (15) und (16) wird geben: ö'i =-g—₂-(2t/i+2/₂)-0®a-a;i)²(^i-+-2/2)+|^(2/2 ~V\) (%i²+22/i2/₂+i/i²)    (17)

(yi+tyz)—,^|(æ₂—*i)² (yi-ł-3y₂)-ł-^g(2/2—3/i) Ü/i²+2?/₁2/₂-|-3i/2²) (18)

0₂ =

12

Bs² Cs3

(16)

#2—¹*1 6rx²

Die Überführung von rx² in einen Mittelwert wird diesesmal so gemacht: æio _ 2æl⁺a:2

*12 -    g

*12    *1 ⁼ "g" (*2”” *l)

und

und

Æj -4- 2 æ₂

*21=    ₃

*21 — *2 — ~ëT (*1    *2)

Deshalb nach (13) § 87. S. 469:

rj2 r₁₂2

(¹⁺3

4 (®2 —»i)

(19)

4 x₂ — x₁

ri²    r₂₁2 ^

Damit gehen (17) und (18) über in:

+2/2) — ^y₃(xz—^l)² (2/2—2/i) +1-3(2/2-2/i)(%i²+²2/12/2+Î/2²) (20) ^2 = g—^(2/1 + 22/2) +1^3 (æ2 — xi)² (2/1—2/2) 4- gr3 (2/2 — 2/1 ) tyl² 4- 2 </! 2/14-3 Î/2²) (21)

Diese Formeln stimmen mit Schreiber, S. 46, wenn man die Bezeichnungsumänderungen berücksichtigt; und in erster Näherung haben wir auch Übereinstimmung mit den früheren (31)—(32) § 50. S. 284.

Schlussbetrachtung.

Alle Formeln, welche in den vorstehenden §§ 86.—88. gefunden worden sind, gehen in die entsprechenden früheren Formeln von § 58. und § 50. über, wenn man die höheren Glieder weglässt, wie wir an den betreffenden Stellen bereits angegeben haben. Insbesondere sind die Formeln von § 87. und 88. bei Weglassung aller rfi lediglich die sphärischen Formeln von § 50 ; und wenn man sich damit begnügen will, so kann man auch die viel einfacheren sphärischen Entwicklungen von § 50. an Stelle der umständlichen §§ 87. und 88. treten lassen.

Für kleine Geltungsbereiche, etwa von der Grösse der vierzig preussischen Katastersysteme, würden in der That die früheren Formeln von § 50. und § 58. mit demselben Kechte angewendet werden können, wie die ebenfalls nicht weiter getriebenen sogenannten Soldner sehen Formeln.

Ein Land mit praktischer Anwendung der Gauss sehen konformen Theorie giebt es zur Zeit in Deutschland nicht (nachdem das Hannoverische System aufgegeben worden ist vgl. S. 329) und deswegen wollen wir auch Zahlenanwendungen zu den §§ 86.—88. hier unterlassen.

§ 89. Vorteile der konformen Coordinaten.

Nachdem wir schon in § 52. eine Vergleichung der kongruenten (Soldner sehen) und der konformen Coordinaten angestellt haben, welche am Schlüsse daselbst S. 297 in allem Wesentlichen zu Gunsten der konformen Coordinaten ausgefallen ist, ist es angezeigt, nochmals hierauf zurückzukommen.

Dabei sei auch ein Wort über die Bezeichnung „kongruente Coordinaten" eingeschaltet. Wir wollen unter kongruenter geodätischer ebener Abbildung einer auf einer krummen Fläche gezogenen Linie diejenige ebene Abbildungslinie verstehen, welche ein Landmesser auf der krummen Fläche mit Theodolit und Messlatten messend, nach gewöhnlichen Feldmess- und Rechenregeln auf einer Zeichenebene herstellen würde (abgesehen von dem Verjüngungsmassstabe der Zeichnung). Wir bedienen uns dabei wie bei der mathematischen Definition der geodätischen Linie (§ 68. S. 373) der Feldmessoperationen als Veranschaulichung einer mathematischen Begriffsbestimmung, und wir finden hierauf leicht den Satz, dass die geodätisch kongruente ebene Abbildung einer geodätischen Linie immer eine Gerade der Ebene ist, deren lineare Grösse der rektifizierten geodätischen Linie gleich ist. Die „geodätische Krümmung“ ist in diesem Falle gleich Null (vgl. hiezu § 107).

Die Ordinaten y und y, der ebenen Soldner sehen Projektion Fig. 1. § 46. S. 275 sind in diesem Sinne geodätisch kongruente Abbildungen der sphärischen Ordinaten y und yl von Fig. 1 § 46. S. 257,

wie auch die sphärischen Abscissen x und x, von Fig. 1. S. 257 geodätisch kongruent abgebildet werden (während für irgend eine andere Linie z. B. A B — s in Fig. 1. S. 257 die Abbildung durchaus nicht mehr geodätisch kongruent ist).

Aus diesen Gründen haben wir die sogenannte Soldner sehe Coordinaten-Projektion, um eine kurze mathematische Benennung zu haben, „kongruente“ Projektion genannt im Gegensatz zu der Gauss sehen „konformen Projektion“.

Zuerst nochmals auf das allgemeine Prinzip der Konformität zurückkommend, nach welchem zwei kleine Dreiecke im Urbild und im Abbild einander ähnlich sind (vgl. § 50. S. 279) wollen wir unterscheiden, ob die Änderung des Massstabsverhältnisses m von Punkt zu Punkt so beträchtlich ist, dass auf ein und demselben Kartenblatt die Veränderlichkeit bemerklich wird. Nehmen wir z. B. das bekannte stereographische Halbkugelbild der Erde, so hat dasselbe am Rande doppelt so grossen Massstab als in der Mitte; und deswegen ist der Vorteil der Konformität in diesem Falle nicht unbedingt Ausschlag gebend, denn wenn man doch einmal auf einem Blatte verschiedene Massstäbe an verschiedenen Punkten haben muss, ist die Verschiedenheit des Massstabes in einem Punkte nach verschiedenen Richtungen .auch nicht mehr so sehr schlimm.

Andererseits betrachten wir den Fall, dass eine grosse Karte einheitlicher konformer Projektion in so viele einzelne Blätter zerschnitten wird, dass innerhalb des einzelnen Blattes der Massstab als konstant gelten kann; und dann tritt die Konformität in ihr schönstes Licht.

Diesen Fall haben wir aber bei unseren Katasterkarten; setzen wir z. B. als

sehr gross yx = 99000»» und y₂ = 100 000»», so wird entsprechend (vgl. § 49. S. 276):

VV

«Il = 1 -f- źh, = 1,000 1208 2 r-

Wo = 1 +

2 r²

1,000 1228

wij — 1 = 0,1203»*»* für 1»*

m₂ — 1 = 0,1228"»»* für 1»<

0,1215'

mit einem Massstabe für das ganze Blatt ausreicht; dieses gilt für konforme Coordinaten.

Diese zwei Werte sind so nahe einander gleich, dass man ihren Mittelwert, »im f(jr \m ^ ajs konstant für das ganze Blatt annehmen kann, dass man also

Dagegen bei Soldner sehen Coordinaten, bei welchen die Formel (4) S. 275 oder (4) S. 292 gilt, kommt man mit einem Massstabe für jedes Kartenblatt nicht aus, sondern man würde in die unangenehme Lage versetzt, eine ganze Windrose von Massstäben auf die Karte zu zeichnen, bei denen für jeden einzelnen das Vergrösser-ungsverhältnis nach cos² cc berücksichtigt werden muss.

Durch einen kleinen Kunstgriff kann man die Maximalverzerrung leicht auf die Hälfte ihres Wertes herunterbringen, indem man einen Mittelwert als konstante Verzerrung einführt, etwo so, dass y — b dem Maximalwert n\ und y = c dem Mittelwert m₀ entspricht, also:

in

m0

2 r²

Nimmt man c- =

Mw — = 1 —

c²

2 r²

»il = 1

6²

j/2 — c²

2 r²

so wird für y — 0 und y = b:

m₀

2 r²

6²

6²

m „ c²

d/nœ — = 1 + jr-z = 1 + 2r²

und

4 r~2

4 r²

Man kann auch c² anders annehmen, z. B. so dass die Quadratsumme aller

mQ

1^³, als Integral aufgefasst, ein Minimum wird, was eintritt mit c² : 6² =

1:3.

Solche und ähnliche Betrachtungen, für konforme und für Soldner sehe Coordinaten haben wir angestellt in „Zeitschr. f. Verm.“ 1896, S. 249—252, worauf hier verwiesen werden mag.

Die Flächenverzerrungen, von welchen auch schon in § 52. S. 293 gesprochen wurde, sind in der Soldner sehen Projektion im allgemeinen halb so gross als hei der konformen Projektion, und dieser einzige Vorteil ist von Anhängern der Soldner-schen Projektion lebhaft hervorgehoben worden, jedoch ist dazu folgende Überlegung zu machen:

Wenn z. B. bei der preussischen Ordinatengrenze y = 64 000m die Flächenverzerrung 1:20000 in Soldner scher Projektion beträgt, und 1:10000 in konformer Gauss scher Projektion, so ist das in beiden Fällen unschädlich neben den Messungsfehlern; z. B. auf \ha macht jenes 1: 10000 nur l«m, während nach preussischer Anweisung die zulässige Abweichung zweier Bestimmungen hiefür 80«m oder der mittlere

80

Fehler einer Bestimmung etwa

3>/2"

Verzerrungsfehlers. Nimmt man grössere Flächen, etwa 1qkm, so kann allerdings scheinbar der von der Projektionsverzerrung herrührende Flächenfehler an den Messungsfehler heranreichen, aber dann ist es zunächst ziemlich gleichgiltig, ob dieses im

= rund 20«m beträgt, d. h. das 20 fache des

Verhältnis etwa 1 :8 oder 1:4 stattfindet; zweitens aber werden grosse Flächen nicht selbständig gemessen, sondern sie werden auf irgend welchen, z. B. polygonometri-schen, Wegen aus den Netzcoordinaten abgeleitet und nehmen von dort die Netzver-zerrungsfehler als unschädlich mit in sich auf, gerade wie auch die Höhenreduktionen vgl. S. 295), welche gewöhnlich auch nicht besonders berücksichtigt werden. Es ist hier viel richtiger, dass alle Netzproben genügend in sich selbst stimmen, als dass die Netz Verzerrung als ganzes mit in Rechnung gebracht wird, was übrigens auch ungehindert geschehen könnte, sowohl in der Soldner sehen als in der konformen Projektion.

Fig. 1.

y =S4Ü00m

.45

2000m

-1000 /3

._ys64000ü*_

Übergehend zur Triangulierung betrachten wir mit Fig. 1 ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck, dessen Hypotenuse parallel der x-Axe des Coordi-natensystems liegt mit = y% = -+- 64000"', und mit der Seite 1.2 = 2000m. Der dritte Punkt 3. hat dann 2/₂ = -+- 65000”'.

Dieses sind Naturmasse auf der Kugel ohne Rücksicht auf ebene Kartenprojektion, und es folgen daraus die drei Dreieckswinkel, da das Dreieck hinreichend als eben berechnet werden kann, so:

Winkel 2.

45° 0' 0,00"

Winkel 3.

90° 0' 0,00"

Winkel 1.

45° 0' 0,00"

Wenn man eine Mittelbreite qD = 50° annimmt, so hat man nach § 50. S. 286:

log JL = 0.926 487

und damit werden die Coordinaten in Soldner scher und in konformer Projektion berechnet nach (7) § 49. S. 276 und nach (9) § 50. S. 281, wie folgt:

log — = 6.089 183, log ~ = 5.612 062

und

(1)

Die Richtungsreduktionen nach den Formeln (6) und (7) § 52. S. 294 werden für die Richtung (1,2):

Soldner T₁₂— i₁₂ = + 0,163" + 5,268" = + 5,431"

Gauss T₁₂ — t}₂ = -+- 0,163"

Dabei bezieht sich 0,163" auf die der Dreiecksseite durch die Projektion erteilte Krümmung, welche in beiden Projektionen gemeinsam ist und der zweite Teil 5,268" ist von der eigentümlich schädlichen Soldner sehe einseitige Verzerrung herrührend. Wir wollen diese Reduktionen T — t hier nicht weiter verfolgen. (Bei Soldner scher Projektion wären dabei die früher in Fig. 4. § 50. S. 278 behandelten Verhältnisse zu berücksichtigen).

Es ist uns hier vielmehr um die Betrachtung der ebenen geradlinigen Dreiecke in beiden Projektionen zu thun, welche durch die Dreieckswinkel (2) und (3) im Vergleiche mit (1) genügend charakterisiert sind. Während in der konformen Projektion die grösste Winkelverzerrung 0,2" beträgt, steigt diese Verzerrung auf 10,4" in der Soldner’schen Projektion, und damit ist der grosse Schaden der letzteren, d. h. der Soldner sehen Projektion für Kleintriangulierung und Polygonzugsmessung deutlich vor Augen gelegt.

Der Mecklenburgische Kammeringenieur Vogeler, welcher die Vorteile der konformen Projektion in seinem Lande besitzt, hat in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1896, S. 260—261 die Vergleichung so zusammengefasst:

Bei der konformen Projektion in Mecklenburg kann die Triangulirung III.—IV.

Ordnung ohne alle Reduktionen

72

Punkt 1. y₁ — —f- 64000m „    2. y₂ = -f- 64000

„    3. z/₃ = + 65000

7. Projektion Soldner, kongruent: *1 =

#2 = -+- 2000,1006 Xg = -h 1000,0508

-+- 0,0000m

2/3 — V\ =    10000

1000,0000 1000,0503 (1,3) = 44° 59' 54,818" 1.3 = 1414,2491”

tang (1,3) =

a;₃ —    = -t- 2000,1006

æ₂ — £C₁ = + 1000,0503 Die Winkel des ebenen geradlinigen Dreiecks in der Soldner sehen Projektion ergeben sich hieraus:

2/2 — V\ = H-

Winkel 1.

44° 59' 54,813"

Punkt 1. Ti = + 64001,0730 „    2.    r₂=    +    64001,0730

„    3.    r₃=    +    65001,1241

Winkel 2.

44° 59' 54,813" Winkelsumme = 180° 0' 0,000"

II. Projektion Gauss, konform.

0,0000 x₂ = + 2000,1006 xz = + 1000,0503

xx = -t-

y₃— T1 = + 1000,0511 æ₃ — xi= + 1000,0503 ^2-^ = +

Winkel 3.

90° 0' 10,374"

tang (1,3) =

(2)

1000,0511

1000,0503

Eiclitu wink

Entfernung 1.3 = 1414,2853™

tT (1,8)= 45° 0' 0,082'

0,0000 œ³ — æ₂ = + 2000,1006 Es sind also die Winkel des ebenen geradlinigen Dreiecks in der Gauss sehen konformen Projektion:

Winkel 1.

45° 0' 0,082"

Winkel 2.

45° 0' 0,082" Winkelsumme = 180° 0' 0,000”

Winkel 3.

89° 59' 59,836"

(3)

^ u. s. w. ausgeführt werden, und zwar bis zu 100Lm

Entfernung von der Hauptaxe, es sind hierbei Winkelverzerrungen von grösseren Beträgen als etwa 1"—2" nicht zu befürchten.

Dagegen bei dem Soldner sehen System werden alle Winkel III.—IV. Ordnung bis herunter zu den Polygonzugswinkeln durch Verzerrungen von 5"—10" entstellt, wenn man die Systemgrenze von 60000” vom Meridian erreicht, oder um ein geringes überschreitet.

Die nachstehende Tabelle lässt alle Vorzüge der konformen Gauss sehen Projektion und die Nachteile, die die Soldner sehen Coordinaten mit sich bringen, klar

erkennen. Dabei ist für die Mittelbreite 50° nach S. 286 log = 0.9264 9:

T — t nach den Formeln (7) und (6) § 52. S. 294.

z1x=x₂—aq

2/1 =

2/1 =

30 000“    40 000”

2/1 =

2/1 =

2/1 =

60000” 80 000” 100 000”

dy=yv-y\

Gauss

Soldner

Gauss

Soldner

Gauss

Soldner

Gauss

Soldner

Gauss

Soldner

50”

100m

500”

1000«

5000"'

10000“

20000“

‘^OjO^OOOO

'cooo'V'k-^ooo "

_ H « SI » t. ^ O H H H ri rl SÎ

P £ P **■    -

O M (X M Ä C5 "

£ F® P P P P -

^ o co i—I o O

= S-S-SS-5S-5

H h N ^ iß j; t,

- OD QC C(D G(D cf TH ^

TI 1-«

l® I—k    I—k    t-i    Mi    1—i    !-*

O p    OS    L®    L®    l®    -

® @    O    O    iS    M    m

Hier fällt zuerst in die Augen, dass bei abnehmender Entfernung die Richtungs-Reduktionen bei der konformen Gauss sehen Projektion verschwinden, bei der Soldner sehen Projektion aber nicht.

Ferner geht auä dieser Übersicht hervor, dass eine ebene Kleintriangulierung mit einer Genauigkeit von + 2" bis 3”, welche den heutigen Instrumenten entspricht und durchaus wünschenswert ist, bei der Soldner sehen Projektion schon von y = 40000“ an zur inneren Unmöglichkeit wird. Die Soldner sehen Katastersysteme müssten auf 30 bis 40L” Abstand von der Hauptaxe beschränkt werden, wenn sie den konformen Coordinaten mit einem Geltungsbereiche von 80 bis 100¹” Abstand vom Meridian das Gleichgewicht halten sollten.

In Bayern werden daher nach einer Mitteilung von Franke in „Zeitschr. f. Venn.“ 1896, S. 332 schon von y = 20łrm an die sphärischen Korrektionsglieder der Soldner sehen Formeln berücksichtigt und zwar mit graphischen Hilfsmitteln, die wir schon in § 46. S. 263 kurz erwähnt haben, und so bleibt die Bayerische Kleintriangulierung immer noch innerhalb 1"—2" richtig, während z. B. im Preussischen Kataster mit y = 60*” ohne sphärische Korrektionen sich Winkelverzerrungen einstellen, welche die Messungsfehler guter Theodolite bereits merklich übersteigen, und zum mindesten als inkonsequent bezeichnet werden müssen.

Eine Triangulierungs-Betrachtung mag noch auf die Centrierungen bei excentrischen Triangulierungspunkten Bezug nehmen.

Wenn mit y = 64im im Soldner sehen System eben trianguliert wird, so werden süd-nördliche Verschiebungen von 5cm auf Pm vernachlässigt, oder z. B. 15cm auf 3lm.

Es ist das ähnlich wie wenn ein Trigonometer bei Turm-Centrierungen oder dergl. bei rund \km Zielweite in nordwestlicher Richtung eine süd-nördliche Excentri-cität von 15om vernachlässigen wollte, während er gleichzeitig sich abmühte, seine Winkel am Theodolit auf wenige Sekunden genau zu messen; — denselben Fehler begehen die Katastervermessungen, welche bei Soldner sehen Coordinaten bis y = 64tm eben triangulieren.

2/2 — 2/1 =

Eine letzte Betrachtung mag sich noch auf Polygonmessungen beziehen, welche bei Soldner sehen Coordinaten mit y — 64im auch schon mehr Verzerrungen erleiden als bei genauen Messungen, z. B. bei einigermassen feinen Stadtvermessungszügen zulässig ist. Die Polygonwinkel erleiden im Soldner sehen Systeme nach der Tabelle S. 478 Verzerrungen ganz unabhängig von der Streckenlänge bezw. Zielweite, welche bei Zügen zu rund 50m—150”* angenommen werden mag. Nimmt man æ₂—= 100m oder = 50m, so entsteht bei y = 60km eine maximale Richtungsreduktion von 4,6" also eine maximale Winkelverzerrung von 9,2". Im ganzen kann man bei y = 64km eine Winkelverzerrung von 5"—10" annehmen, was bei feinen Stadtvermessungszügen bereits erheblich an die Messungsfehler heranreicht oder sie überschreitet.

Oder betrachte man die linearen Verschiebungen von rund 1 : 20000 oder 5mm auf 100”\ so sind diese auch schon zu hoch bei feinen Stadtvermessungen.

Statt die Entfernungen s und die Richtungswinkel a einzeln nach den Formeln (3) S. 292 und S. 294 unten, zu reduzieren, könnte man zwar auch nur die s cos a nach (4) S. 292 reduzieren, allein das würde wieder andere Übelstände mit sich bringen.

Mag man nun solche Fehler als unerheblich oder als bereits schädlich betrachten, jedenfalls muss man vor Augen führen, dass alle diese kleinen Widerwärtigkeiten mit einem Schlage verschwinden, wenn man statt der Soldner sehen Projektion die konforme Gauss sehe Projektion anwendet.

Vgl. hiezu auch mehrere Artikel in der „Zeitschr. f. Vertu.“ 1896, S. 193—215, S. 249—252, S. 257-263, S. 321—339.

§ 90. Preussische Polyeder-Projektion.

Ausser den verschiedenen in diesem Kapitel behandelten mathematischen Projektionen zur ebenen Darstellung rechtwinkliger oder geographischer Coordinaten wollen wir zum Schlüsse noch eine Projektionsart betrachten, welche sich hauptsächlich für geographische Coordinaten und Messtischzeichnung eignet, nämlich die Preussische sogenannte Polyeder - Projektion, welche wir in ihren Grundzügen schon in § 57. Fig. 2. S. 319 kennen lernten.

Es war dort davon die Rede, dass man die bekannten Messtisch-Trapeze der topographischen Abteilung der Landesaufnahme auf zweierlei Arten auftragen kann, erstens unmittelbar nach ihren Vierecksseiten (AB, CD, A C u. s. w. S. 318) und zweitens durch die Coordinaten ihrer Eckpunkte in irgend welchem anderen System.

Von letzterem sei aber nun nicht die Rede, sondern nur von dem Aufträgen der einzelnen Trapeze, welche als geradlinig behandelt, mit ihren Rändern links und rechts zusammengelegt eine zusammenhängende Projektion eines Parallelkreisstreifens geben, aber mit ihren Nord- und Südrändern nicht scharf zusammenpassen können.

Stellung nach S. 318 mit der Hilfstafel von S. [41] des Anhangs als erledigt, und haben nur noch eine Kleinigkeit nachzutragen, welche früher in § 57. S. 318 unten und S. 319 kurz berührt worden ist, nämlich die schwache Krümmung der Süd- und Nord-Bänder.

Das so entstehende Klaffen ist in der Praxis gleichgiltig, insofern man niemals mehr als einige benachbarte Blätter zusammenzulegen hat, wobei der Papiereingang viel wichtiger ist als jenes unmerkliche Klaffen; und wir betrachten daher die Her-Fig. 1.

Wir nehmen hiezu nebenstehende Fig. 1. in Beziehung zu der früheren Fig. 1. § 81. S. 428, und betrachten die Kegelabwicklung SHZ? zur Breite cp' und SCD zur Breite cp. Dann ist der Abwicklungs-Halbmesser SG = SD = SE—Ncotg qp und der Bogen GD = NcoscpX, wenn N wie gewöhnlich der Quer-Krümmungs-Halbmesser zur Breite cp ist. Dann giebt Fig. 1 die kleine Pfeilhöhe h in bekannter Näherung:

N sin cp cos cp

_ CE* _ NcoscpX)* _ À2 2 S E 2 N cotg cp 8

VA

CO

oder für X in Minuten:

X*

(1)

<Pc‘

h =    N sin cp cos cp = ^ - g Nsin 2 cp

Nehmen wir rund qp = 50°, also nach S. [20] log N = 6.80550, D dazu X — 10', so giebt vorstehende Formel (1):

h = 3,328™

Dieses ist natürliches Mass und giebt in der Kartendarstellung in Verjüngung 3,328™

1: 25000 den kleinen Wert

25000

= 0,00013™ = 0,13™™.

Dieser Betrag von rund 0,1™™ ist so klein, dass man ihn kartographisch wohl vernachlässigen kann, indessen würde seine Berücksichtigung auch leicht sein.

Klaffen der Blätter. Ohne auf alles einzugehen, was hier in kartographischer Beziehung noch angefügt werden könnte, wollen wir nur noch bemerken, dass die im Vorstehenden beschriebenen preussischen Blätter in Parallelkreisschichten sich zwanglos aneinander fügen lassen, dass aber eine Schichte mit einer Mittelbreite CP an die benachbarte Schichte mit der Mittelbreite V-j-6' oder CP—6 nicht völlig anschliessen kann. Ohne die Formel für das Klaffen zwischen je zwei solchen Schichten hier zu entwickeln, wollen wir nur wenigstens die Formel selbst angeben. Wenn h der richtige Meridianbogen zwischen <p und CP -j- d CP ist und A die Länge eines Meridians von der Mitte an gezählt, so wird in diesem Meridian statt des wahren Bogens b ein Bogen V auftreten nach dem Verhältnis

= 1 -f- V³ E cos 2 g> mit

Man kann hieraus berechnen mit d<P = 6', b — M â <p, und A — 10° , dass b'—b = 7Öm oder verjüngt b' — b—l0“ : 25000 = 3™»» wird, woraus sich die praktische Unschädlichkeit des fraglichen Klaffens im Vergleich mit dem Papiereingang u. s. w. herausstellt.

V³ = 1 -f- e*² cos³ <P

b'

Wir wollen aber hieran noch eine weitere Bemerkung knüpfen, dass das Verhältnis — = 1-|- V³ — cos³ (das übrigens hier auch nur genähert angegeben ist), dazu führen kann, aus der vorstehenden Betrachtung eine Art von konformer polykonischer Projektion abzuleiten, welche in erster Näherung mit der Gauss sehen konformen Projektion von § 86. übereinstimmt. Dieses später näher auszuführen möge Vorbehalten bleiben.

Wir wollen nun noch die Umkehrung derjenigen Aufgabe vornehmen, welche . bereits in § 57. S. 319 durch Einrechnen der Trapezecken in ein Kataster-Coordinaten-system behandelt worden ist, d. h. wir wollen nun umgekehrt die Aufgabe stellen, in ein vorhandenes Messtischblatt der topographischen Karte 1: 25000 die x- und «/-Linien

eines Katastersystems einzurechnen, etwa um Kartennachträge aus dem Kataster in das topographische Blatt bequem und genau hinüberzutragen u. s. w. Insofern es sich nur um Zeichnung im Massstab 1:25000 handelt, wollen wir uns mit Genauigkeit von rund 0,1" in den Breiten qp und in den Längen L begnügen.

Man könnte daran denken, für runde Werte x und y die zugehörigen Breiten qp und L nach § 55. S. 308 auszurechnen, und darnach das Netz der x- und y-Parallelen in das topographische Blatt hineinzubringen; und man kann das wohl thun, wozu ausser dem Schema S. 308 keine weitere Anleitung nötig ist. Aber es bietet sich ein graphisch besseres Verfahren so dar, dass man nur die iüandschnitte bestimmt, d. h. auf dem West- und Ost-Rand des Blattes die Schnitte für runde x, und auf dem Süd- und Nord-Rand die Schnitte für runde y, wie auf nachfolgender Fig. 2 zu sehen ist.

Fig. 2.

Preussisches Messtischtrapez (vgl. Fig. 2. S. 319) mit eingerechneten Randschnitten für x und y.

27° 22' 49,4"

fp = 52° 30' 0,0

<P = 52° 30' 0,0"

52° 29' 24,7"

X=-15000m

52° 29' 26,4"

52° 26' 42,9"

mOQOQZ-

X=-2CC00m

uiOOOOZ

52° 26' 44,6"

52° 24' 1,2" <p — 52° 24' 0,0"

X=-25000m

L- 27° 20' 0,0"

27° 22' 52,5"

27° 27' 16,9"

27° 30' 0,0"

52° 24' 2,8" <P = 52° 24' 0,0"

Bleiben wir zuerst bei dem West- und Ost-Rand, so wird die Aufgabe lauten: für gegebene Länge L und Abscisse x soll die Breite cp berechnet werden. Wenn <jPo und Lq die Grundwerte des benützten Kataster-Coordinatensystems sind, z. B. nach S. 308—309:

Celle

cpo = 52° 37' 32,6709" so hat man auch für jedes cp und L die Differenzen

L₀= 27° 44' 54,8477"

qp — qp₀ = d <P Aus (8) § 55. S. 304 und (19) S. 305 folgt:

OO CO

V2

^ qPo MQ 2 p

X² sin qp cos qp -t-.. .

(4)

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Auti. III. Bd.

31

Desgleichen aus (10) S. 304 mit <p = qp₀    z/qp:

y /I cp tangqiQ

X = Q

N cos (jp₀

(5)

iV cos qp₀

Die Ausrechnung mit dem Konstanten (2) giebt:

Cf, = 52° 37' 32,67" + [8.509 938] x — [4.06902] A2 L = 27° 44' 54,85" -f- [8.725 662] y + [3.52823] */z/ <p Diese Näherungsformeln genügen für den angegebenen Zweck, auf 0,1" genau; auf genauere Berechnung, welche leicht zu machen wäre, wollen wir hier nicht eingehen.

Man wird natürlich nach einem Netzbilde zuerst überlegen, welche Schnitte überhaupt in Frage kommen, und so wollen wir nach Fig. 2. S. 481 z. B. berechnen den Schnitt von x = — 20 000™ auf dem West- und Ost-Rand :

West-Rand

L₀= 27° 44' 54,85"

L = 27 20

(6)

(7)

Ost-Rand

L₀ = 27° 44' 54,85" L = 27 30

X = — 24' 54,85"

= — 1494,85 x = — 20000™

Die Ausrechnung nach der Formel (6) giebt:

qp₀ = 52° 37'32,67"    <p₀ = 52° 37' 32,67

- 10 47,10    — 10' 47,10

X = — 14' 54,85" =    894,85"

x — — 20000™

2,62

0,94

Cf = 52° 26' 44,63"

<p = 52° 26' 42,95"

Zweitens wollen wir ausrechnen die Schnitte von y = — 25000™ mit dem Nord-und Süd-Rand:

Nord-Rand

<Po = 52° 37' 32,67" <p = 52° 30'

â    — 7' 32,67"

à    — 452,67"

— 25000™™

Die Ausrechnung nach der Formel (7) giebt: L₀ = 27° 44' 54.85"

— 22' 9.24

Süd-Rand

<p₀ = 52° 37' 32,67" qp = 52° 24'

= —13' 32,67" = —812,67"

= —25000™™

«s -s- -e

Lq 27° 44' 54.85" — 22' 9.24"

~r*

3.82

6.86"

L = 27° 22' 49.43"

L = 27°22' 52.47'

In Fig. 2. sind diese Schnitte nebst anderen eingetragen. Diese Fig. 2 giebt das nördliche Blatt der Stadt Hannover, welches auch schon in § 57. S. 319 mit AB C D gezeichnet ist.

Es sei dazu auch noch kurz erwähnt, dass man die nun berechneten Rand-

schnitte von Fig. 2. auch dadurch erhalten kann, dass man die früher in § 55. S. 318—320 berechneten Randmasse proportional einteilt, z. B. auf dem West-Rand A C hat man : <p = 52° 30' x = — 13909,6

G cp = 52° 24' x — — 25035,9

x = — 15000 x = — 20000 x = — 25000

ô x = 1090,4 5000,0 5000,0

35,9

z/<p= 0° 6'/lx=    11126,3

11126,3

Wenn man den ö x entsprechende 6 qp proportional einrechnet, so bekommt man dieselben Werte wie nach den Formeln (6) und (7).

§ 91. Abscissen als Meridianbogen.

Obgleich die Meridianbogenlängen schon in § 35. gründlich behandelt worden sind, wollen wir nun doch zum Schlüsse dieses Kapitels über geodätische Coordinaten nochmals darauf zurückkommen, und noch eine ausführliche Tafel der Meridianbogenlängen B vom Äquator qp = 0 bis zur Breite cp, von Minute zu Minute, in den Anhangstafeln Seite [55]—[57] beigeben.

Um die Berechnung dieser Tafel nachzuweisen, greifen wir zuerst zurück auf die Werte B von § 35. S. 216, welche im Folgenden wiederkehren, (mit weiteren Dezimalstellen) nebst den Minutenbögen m, welche nach dem ersten Gliede von (40) S. 218 für â cp = 1' berechnet sind :

m = M /J ^ = M

c 1

(/ F3

Dabei ist V oder log V für den Mittelwert qp zu nehmen, z. B. wenn es sich um m zwischen 45° 0' und 45° V handelt, so ist der Mittelwert cp = 45° 0' 30" zu nehmen, um aus der Tafel Seite [4] des Anhangs log V = 0.000 7280*957 zu entnehmen. So ist das Folgende entstanden :

= [3.269 8237-607] ~ V 3

(1)

Meridianbogenlängen B von 0° bis cp und Minutenbogen m von cp bis cp -f- T.

<f>

von cp bis qp + 1'

/} m

60

45°    4 984 439,266 150m

von 45° 0' bis 45° 1'    1851,993567*

„    46° 0'    „    46° 1'    1852,318238

„    47° 0'    ,    47° T    1852,642604

„    48° 0'    „    48° 1'    1852,966271

„    49° 0'    „    49° 1'    1853,288843

„    50° 0'    .    50° 1'    1853,609925

„    51 °0'    r    51° 1'    1853,929127

„    52° 0'    „    52° 1'    1854,246057

„    53° 0'    „    53° 1'    1854,560322

„    54° 0'    „    54° 1'    ;    1854,871543

„    55° 0'    „    55° 1'    !    1855,483323

0,324671™

0,324366

0,323667

0,322572

0,321082

0,319202

0,316930

0,314265

0,311221

0,307794

0,0054112“

0,0054061

0,0053944

0,0053762

0,0053514

0,0053200

0,0052822

0,0052378

0,0051870

0,0051299

/I ffl

Wie man sieht, sind die —-p = Ó' schon einigermassen beständig; und durch

allmähliches Àufaddieren dieser Ó' könnte man bereits eine Tafel der m selbst hersteilen, welche dann schrittweise zu den B addiert auch zu einer Tafel der B führen müssten. Das kann man aber besser machen durch Ausrechnung der ö als Differentiale nach (35) S. 217:

d- m 3 M

ä^r= pr*< =

und für Intervall von T:

3c

e'² cos² cp tang cp =

yo

3 ce'²

2 F3

sin2 cp

3 ce'²sin2cp

sin2cp

2    p'²

F5 = [7.7369599]

(2)

Z. B. zwischen cp = 45° und qp = 46° haben wir ausgerechnet:

45° 45'

45° 55' 0,0054102

45° 35'

45° 5'

0,0054116    0,0054117    0,0054115    0,0054113    0,0054108

45° 15'

45° 25'

Die Summe dieser d ist 0,0324671 und das 10 fache = 0,324 671 füllt also gerade das Intervall â vi zwischen den zwei ersten m unserer Tabelle S. 483.

Allerdings ist in der Gegend von qp = 45⁰ die ganze Rechnungsart am günstigsten, weil hier der Faktor sin 2 cp in der Gleichung (2) nahezu konstant ist; aber auch in weiter abstehenden Breiten bleibt das Verfahren brauchbar, und es ist somit nachgewiesen, dass man nach Ausrechnen der nöthigen d durch einfaches Aufaddieren (mit der Rechenmaschine) die Tabellen Seite [55]—[57] des Anhangs herstellen kann. Dieses ist geschehen in Verbindung mit der vergleichenden Zuziehung der schon auf S. 216 zugezogenen Tabellen von F. G. Gauss und Hartl. Wir haben auch dort schon gesehen, dass die verschiedenen Berechner in den letzten Stellen deswegen von einander abwichen, weil sie von verschiedenen Annahmen in Bezug auf die letzten Stellen der Bessel sehen Erddimensionen ausgegangen sind. Unsere neue Tafel S. [55]—[57] des Anhangs giebt nun die Werte B und m entsprechend den Konstanten der preussischen Landesaufnahme von § 31. S. 191 unten; allerdings auch nicht mit voller Gewähr der letzten Millimeterstelle, weil dazu die bei (2) angedeutete Rechnungsart noch etwas schärfer gemacht werden müsste, was in Ermanglung eines Bedürfnisses scharfer Millimeterangaben vorerst unterblieben ist. Auch muss daran erinnert werden, dass die frühere Tabelle S. [38] aus den angegebenen Gründen die B ungefähr um lmm kleiner giebt als die nun ausführliche Tabelle S. [57],

Um eine Anwendung unserer Tabelle Seite [55]—[57] zu zeigen, wollen wir nochmals das Beispiel Celle von S. 220 vornehmen:

Celle <p₀ = 52° 37' 32,6709"

Dazu soll B gefunden werden. Man nimmt aus Seite [57]:

für qp = 52° 37'

= 5 831 361,276”*

mit m = 1854,441”*

Ö cp — 32,6709"

Hiernach kann man ausrechnen:

log d qp log 60

1.5141611 1.778 1513

log d cp : 60 log m

9.736 0098 3.268 2130

log dB

3.004 2228 Ö B =    1009,771'”

B = 5832371,047”*

(3)

Bequemer und ausserdem noch etwas schärfer rechnet man mit Zuziehung der Coëfficienten [1] aus der Anhangstafel S. [30]—[35]. In unserem Falle ist die Mittelbreite qp = 52° 37'16,33545" giltig, also nach S. [33] log [1] = 8.509 9387 , womit man weiterrechnet:

8.509 9387 1.5141611

log[ 1]

log d cp

B₁ = 5 831 361,276”* dB— 1 009,770”*

B = b 832 371,046”*

(4)

log (d'qp: [1]) j 3.004 2224 Dieses stimmt mit B₀ von S. 220, weil die Tafelu S. [38] und S. [57] an dieser Stelle übereinstimmen, was, wie schon mehrfach bemerkt, sonst nicht auf lmm genau der Fall ist.

Mit den Anbangstafeln S. [38] und S. [55]—[57] kann nun stets der Meridianbogen B, welcher in den Formeln von § 58. S. 323 und dann in § 86. S. 461 vorkommt, als Funktion einer Breite qr< bestimmbar betrachtet werden, ebenso wie auch umgekehrt qp als Funktion des zugehörigen B; und alle unsere Coordinatenformeln, in welchen ein solches B vorkommt, sind dadurch gesichert.

Wir wollen aber auch noch die Coordinatenformeln betrachten, in welchen eine Breitendifferenz A qp als Funktion eines Abscissenwertes x vorkommt oder umgekehrt. Z. B. die Dessauer queraxigen Coordinaten § 83. S. 441 geben mit y — 0 und X = 0 aus (24) und (27) S. 441 :

und

V3    3 x³    x³

Acp = x —Q —F4 tfto-r- 2*^3 V² Q (— 1 + t² — rp- -f- 5 if t²)

z/ qp c 3 z/ cp² c „

* = ç vi ⁺    ‘

z/ qp³ C

(5)

jy2 (— 1 h- — rj'² — 4 ?7² f²)    (6)

2p3 VI

Diese Formel für x stimmt mit der Formel für m in (37) § 35. S. 218, wie es sein muss, und ebenso auch mit (33) § 78. S. 413. Die andere Formel zf qp ist die Umkehrung von x, wie man sich unmittelbar überzeugen kann. Wenn es sich nun um Hilfstafeln zu den Formeln S. 441 oder ähnlichen handelt, so wird man zuerst die Hauptglieder von (5) und (6) fabulieren, wie wir für die Dessauer Formeln S. 441 gethan haben, (nicht nur für x und z/ qp, sondern auch für y und X zu S. 441), und ebenso kann man auch die folgenden Gliedern von (5) und (6) tabellarisch ausrechnen, dabei auch die gleiche Zeichen habenden Glieder mit x und a;3, sowie A qp und A qp3 zusammenfassen u. s. w.; und solche Tafeln scheinen uns besser und bequemer als die Tafel der Werte B selbst von S. [55]—[57], weil man durch Untertabellen mit A qp = 1' dann 10” 1” 0,1” ... die Sache so bequem einrichten kann, dass nur noch glattes Zusammensetzen nötig ist, alles dieses unter der Voraussetzung, dass die x und A qp verhältnismässig klein sind, (bei queraxigen Coordinaten).

Dann kommt aber noch die Frage, ob die Coordinaten kongruent oder konform sind, also in § 83, ob die Formeln (24), (27) S. 441 oder (36), (39) S. 444 benützt werden sollen, oder ob die Hilfstafeln so eingerichtet werden sollen, dass sie auf beide Fälle passen.

Alles dieses sind kleine Formfragen, welche aus Veranlassung der Formeln von § 83. aufgestellt wurden, welche auch durch tabellarische Hilfen bereits teilweise beantwortet wurden, ohne dass hier weiter darauf einzugehen wäre.

Kapitel VIII.

Konforme Abbildung des Eliipsoids auf die Kugel.

§ 92. Allgemeines.

Ausser der konformen Abbildung des Eliipsoids auf die Ebene, welche wir in den früheren §§ 86.—88. behandelt haben, verdanken wir Gauss auch noch eine weitergehende Theorie dieser Art, bei welcher das Umdrehungsellipsoid auf eine Kugel konform abgebildet wird, so dass nur noch die Formeln der sphärischen Trigonometrie erforderlich sind, um geodätische Aufgaben des Eliipsoids zu lösen.

Ausser den schon in § 86. S. 459 zusammengestellten allgemeinen Litteraturangaben ist hier besonders als Quelle zu nennen : .Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie von Carl Friedrich Gauss", erste Abhandlung, der Königl. Sozietät überreicht 1843, Okt. 23. In der Gesamt-Ausgabe .Carl Friedrich Gauss ,Werke““ ist diese Abhandlung aufgenommen in Band IV, Göttingen 1873, S. 259—300.

Die Theorie der konformen Abbildung des Eliipsoids auf die Kugel hat in jüngster Zeit erhöhte Bedeutung erlangt, indem die trigonometrische Abteilung der

preussischen Landesaufnahme diese Theorie zur Anlage eines konformen rechtwinkligen Coordinatensystems über ganz Preussen verwertet hat, von welchem schon in dem früheren § 59. S. 331 kurz die Rede war, mit einigen Citaten, zu welchen auch noch eine Mitteilung von General Schreiber in den „Verhandlungen der 1887er Konferenz der perm. Kommission der internat. Brdmessung, Berlin 1888“, Annex Xt>, S. 10—11 gehört.

Die fragliche Anwendung, bestehend in einer Doppelprojektion, werden wir in dem nachfolgenden § 101. ausführlich behandeln. Zunächst haben wir die reine Kugelprojektion vorzunehmen.

Wir behandeln ln dem nachfolgenden Kapitel die Abbildung des Ellipsoids auf die Kugel nach den citierten klassischen Gauss sehen Original-Schriften.

Wir haben in unserer Bearbeitung die Bezeichnung von Gauss beibehalten, jedenfalls die Konstanten P, Q, a, m. u. s. w., während im übrigen unser auch sonst gebrauchtes V² — 1 -f- rjs sich nützlich erwiesen hat.

Weggelassen haben wir alle Entwicklungen über die dritte Ordnung, unter Verweisung auf das Original-Werk.

Andern mussten wir in § 98. den Art. 13, welcher über Azimut-Keduktion handelt, weil hiebei Gauss die geodätische Linie als kürzeste Linie nach der Theorie der Variations-Rechnung einführt, die in unseren Gang (Geodätische Linie S. 367—376) nicht passt, weshalb wir eine andere Entwicklung § 98. an Stelle von Art. 13 gesetzt haben.

Dazu wurde in § 99. eine andere allgemeine Formel von Schols eingefügt.

§ 93. Grundformeln.

In Fig. 1. bezeichnet ds das Differential einer geodätischen Linie auf dem Ellipsoid und in Fig. 2. ist d s' das Differential eines entsprechenden Grosskreisbogens auf einer Kugel vom Halbmesser A. Im übrigen gelten folgende Bezeichnungen und daraus folgende Beziehungen;

Kugel

Fig.l. Ellipsoid.

Fig. 2. Kugel.

Ellipsoid

dl

₍d A=adl

Punkt

Breite

(1)

(2)

Längen-Unterschied d l

Hiebei ist « eine vorläufig eingeführte Konstante, deren Wert sich nachher ergeben wird. Weiter haben wir einander entsprechend:

Parallelbogen PiP'=Ncoscpdl Q\Q'= Acosuadl (3) Meridianbogen PP₁ = Mdcp

Dabei sind M und N wie gewöhnlich die beiden Hauptkrümmungs - Halbmesser des Umdrehungs-Ellipsoids.

Wenn nun QQiQ' konforme Abbildung von PP-JA' sein soll, so müssen die Seiten der beiden Dreiecke ein konstantes Verhältnis haben, welches mit m bezeichnet sei, also:

d X — a dl

QQi — Adu

(4)

A du _ a A cos u Mdcp Ncos cp

Hieraus erhält man als Beziehung zwischen der sphärischen Breite u und der sphäroidischen Breite qp die Differentialgleichung :

du    M cos u

V— = a —--

d cp    N cos cp

(5)

Das Krümmungs-Verhältnis M:N wird nach (25) § 32. S. 197 eingeführt:

du _ a cos u “ F2 also dq ⁼ F2 cöiTq oder in anderer Form, mit W² statt V² nach (25) § 32. S. 197 :

du « (1 — e²) dq _ a(1 — e²) dq W² cos q 1 — e² sin² cp cos cp

(6)

COS u

(?)

Zur Integration zerlegen wir in Teilbrüche:

1 e² cos q

e² cos cp

l—e² _______ _

(1—e² sin²q) cos cp cos cp 2 1-j-e sin cp    2 1 — e sin cp

Damit giebt die Integration von (7):

log tang ^45° -t-    = a | log tang ^45° -+-    --^ e log (1 -(- e sin qp)

e log (1 — e sin q) j — log ~

2"

Dabei ist — log — als Integrations-Konstante zugesetzt ; die vorstehende Gleichung lässt sich damit auch so schreiben : tang (45° -+- —

)=Tto»“(⁴⁶° ⁺ ł (

1 — e sin q

1 e sin q

'T

(8)

Wenn diese Beziehung zwischen u und q erfüllt ist, so wird m aus beiden Formeln (5) übereinstimmend erhalten, und zwar nach der zweiten Form von (5), mit Einsetzung von N nach (22) S. 197, N — a:W also aus (5):

A cos u

a A cos u

N cos q

oder auch nach S. 189 und S. 197 :

a cos q

(9)

also

A a COS U -ry

m —--V

c cos q

(10)

Die Beziehung zwischen den geographischen Längen l und A ergiebt sich, da « konstant ist, nach (2) sofort:

(H)

X — cd

Die Gleichungen (8), (10) und (11) enthalten bereits die Lösung der gestellten Aufgabe im Grundzuge, und wir wollen im Anschluss an die umstehenden Fig. 3. und Fig. 4. die bis jetzt gewonnenen Ergebnisse zusammenfassen:

Fig. 3. S. 488 stellt ein geodätisches Polar-Dreieck auf dem Ellipsoid vor, mit den Breiten q und qp' und dem Längenunterschiede l; die geodätische Linie, welche die beiden Punkte mit den Breiten q und qp' verbindet, hat die lineare Grösse s und die beiden Azimute a und

Fig. 4. S. 488 ist das konforme sphärische Abbild von Fig. 3. ; den Breiten qp und qp' entsprechen die sphärischen Breiten u und u' nach der Gleichung (8), der sphärische Längenunterschied X — al wird aus dem Längenunterschied l des Ellipsoids erhalten durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor a ; und der Grosskreisbogen s' steht zu der geodätischen Linie s in Beziehung durch das Vergrösserungs-Verhältnis m, indem s' —fm d s sein muss.

Die Azimute ß und ß' auf der Kugel sind nicht genau gleich den Azimuten « und «' auf dem Ellipsoid, jedoch werden bei den nachfolgenden Anwendungen die ß und a wenigstens nahezu einander gleich sein.

Fig. 3. Ellipsoid.

Fig. 4

Kugel mit dem Halsmesser 4.

ca.

s'

<&A/>

u!=Qu-q'

u,*&+q

Durch die Breiten - Bezeichnungen ip = P -+- p und îj = Ç) q ist angedeutet, dass P eine gewisse Normal breite auf dem Ellipsoid und Q die entsprechende Normal -breite auf der Kugel ist, sowie dass p und q Breiten-Differenzen sind.

§ 94. Wahl der Konstanten.

Die Grundgleichungen (8), (10)und (11), welche am Schluss des vorigen§93. gefunden wurden, enthalten drei willkürliche Konstanten, nämlich <x, &und den Kugel-Halbmesser A.

Man hat nun in seiner Gewalt, durch zweckmässige Bestimmung dieser Konstanten a, k und A zu bewirken, dass für ein bestimmtes Gebiet die Abweichung des Vergrösserungs-Verhältnisses m von dem Wert 1 möglichst klein wird.

Zu diesem Zwecke nehmen wir einen etwa der Mitte des Gebietes zugehörigen Wert P der Breite <p an, welchem auch ein gewisser Wert Q der Breite u auf der Kugel entsprechen wird.

Indem wir zugleich auch die Bezeichnungen p und q für Breiten - Differenzen auf dem Ellipsoid und auf der Kugel einführen, haben wir, wie auch schon in Fig. 3. und Fig. 4. des vorigen § 93. eingeschrieben ist, die zusammengehörenden Bezeichnungen : Ellipsoid-Breite q> — P p Kugel-Breite u — Q -+- q

(1)

(2)

In der Normalbreite P, bzw. Q soll das Vergrösserungs-Verhältnis m = 1, also log m = 0 sein, und für irgend welche andere Breite soll log m bestimmt sein durch

d log m

d² log m d ifi

Wir können nun über die drei Konstanten a, k und A so verfügen, dass auch diese beiden ersten Ableitungen für die Normalbreite verschwinden, wir haben also für die drei Konstanten <x, k und A folgende drei Bedingungen:

für u — Q soll sein : 1) m = 1 oder log m — 0 2 dlogtn _ « d u

eine Reihe, deren erste Glieder die Ableitungen

und

sein werden.

(3)

(4)

d² log m _ ⁶' d M²

Hiernach haben wir uns zuerst mit den beiden ersten Ableitungen von logm

zu beschäftigen, und nehmen zuerst von (10) und (6) § 93. S. 487 die zwei Gleichungen :

A a cos u _

m — —-- V

c coscp

und

d cp

wobei V — Y1 -he'² coś² cp V2 cos cp

(6)

a cos u

(7)

Durch Ableitung von V erhält man, ebenso wie bei (13) §. 74. S. 393: d V

e'²

rj²

dcp

=--y sin cp cos cp =--tang cp

(wo 7]² = e '² cos² cp)

(8)

Nun giebt (6):

log m = log —--h log cos u — log cos cp -h log V

V² cos cp

d log m

d log m

du

== — tang u -h tang cp

sin pp a cos u

a cos u

~ tang cp

F³ cos pp

a cos u

(9)

d² log m _

~dW~ ~

d² log m _ d u²

cos² u    a cos² u

cosq)

F2 cos cpi

a cos u

4- sin cp sin u

«2 COS'2 U

(— ß² + V² cos² pp -j- a sin cp sin u)

(10)

Um nun die Bedingungen (3), (4) und (5) einzuführen, hat man in (6), (9) und (10) zu setzen: cp = P und u = Q. Dieses giebt:

^ _ A a cos Q y c cos P

aus (6):

(wo V² — 1 + e'2 cos² P)

aus (9): aus (10):

0 = — tang Q +

sin P

a cos Q

Fi Fi

0 = — a² -f- V² cos² P -h a sin P sin Q a sin Q = sin P

(13)

Nun giebt sofort (12):

Dieses in (13) gesetzt giebt, mit Rücksicht auf V² in (11):

a² — 1 + e'² eos4 P

(14)

(15)

(14) giebt auch a² cos² Q = a² — sin² P und dieses nebst (15) in (11) gesetzt,

giebt:

V² 1 4- e'2 cos² P

(16)

Dieses ist nach (24) § 32. S. 197 der mittlere Krümmungs- Halbmesser in der Breite P. Aus (14) und (15) findet man auch:

«2 cos² Q = (1 4- e'2 cos⁴ P) — (sin² P) = cos² P -h e’² cos⁴ P = cos² P(1 4- e'² cos² P) a cos Q — cos P V Aus (14) und (17) folgt auch:

wobei Y ² = 1 4- e'² cos² P

(17)

(17a)

tang Q = V tang P

Aus (15) und (16) haben wir also die Konstanten a und A, und durch (14) wird auch die dritte Konstante k bestimmt, insofern dadurch P und Q miteinander verbunden sind; setzt man nun in (8) § 93. S. 487 cp = P und u = Q, d. h. wendet man jene Gleichung auf die Normalbreite an, so erhält man:

_ tanga (⁴⁵'° + l)/l-emP)“l

fieo Q\\l-hesinP* tcmijf 45° + -~j

Es bietet sich nun folgender Gang der Rechnung dar : Man nimmt eine Normalbreite P auf dem Ellipsoid willkürlich an, berechnet damit den mittleren Krümmungs-Halbmesser A nach (16), dann a nach (15), Q nach (14) und endlich k nach (18); dann kann man für jede Ellipsoidbreite qp die zugehörige Kugelbreite u und auch das zugehörige Yergrösserungsverhältnis m

Statt dessen kann man aber auch so verfahren, dass nicht eine Normalbreite P auf dem Ellipsoid, sondern eine Normalbreite Q auf der Kugel als willkürlich (runde Zahl) angenommen wird. In diesem Falle, der nicht wesentlich verschieden von dem ersten Falle ist, kann man aber nicht geradezu nach den Formeln (14) und (15) rechnen, sondern man muss aus (14) und (15) die Breite P eliminieren, um a² in Q auszudrücken. Wenn man hiezu aus (14) nimmt:

cos⁴ P = (1 — a² sin² Q)² = 1 — 2 a² sin² Q -f- a⁴ sin⁴ Q und wenn man dieses in (15) einsetzt, so wird man auf eine Gleichung geführt, welche «² und «4 enthält, und nach a² aufgelöst dieses giebt:

₂ _ 1 -+- 2 e'² sin² Q — ]/l    4 e'² sin² Q cos² Q

2 e'² sin⁴ Q

Diese Gleichung (19) nebst (14) gestattet dann die Weiterrechnung in der früheren Weise.

Da aber die Formel (19) zur unmittelbaren Ausrechnung sehr wenig geeignet ist, d. h. unmittelbar angewendet keine scharfe Berechnung geben kann, empfiehlt es sich, sie in eine Reihe zu entwickeln nach S. 196:

1/1 -H 4 e'² sin² Q cos² Q = l -f- ^ e'² sin² Q cos² Q —

nach (8) und (9) § 93. S. 487 berechnen.

(19)

64

e '6 sin⁶ Q cos⁶ Q —

e'² sin⁴ Q cos⁴ Q 256 e'8 sin⁸ Q cos* Q

128

Damit giebt (19) eine Reihe, deren drei erste Glieder sind:

(20)

cc² = 1 -\- e'² cos⁴ Q — 2 e'⁴ sin² Q cos6 Q -i- 5e'⁶ sin⁴ Q cos⁸ Q Damit ist alles zur Anwendung vorbereitet.

Es handelt sich um Einführung einer Normalbreite P oder Q. Das nächst-liegende wäre, die Ellipsoidbreite P als runde Zahl für die Mitte des geographischen Anwendungsbereiches anzunehmen; aber Gauss hat einen sphärischen Normalwert Q zu Grunde gelegt, nämlich:

Kugel Q = 52°40'0"

Ausserdem werden von Gauss als Besselsche Erddimensionen angenommen:

(21)

und

log a = 6.514 8235-337 für Toisen log a — 6.804 6434*637 für Meter log Ÿl—e² = 9.998 5458*202 loge = 8.912 2052*079

(22)

(23)

(24)

loge² = 7.824 4104158 Diese Werte (23) und (24) sind dieselben wie die von uns in § 31. S. 190 angegebenen, während loge² nach (24) in den letzten Stellen von unserer Annahme auf S. 191 abweicht. Dieses rührt von den Unsicherheiten her, welche früher überhaupt in Bezug auf die letzten Stellen der Bessel sehen Erddimensionen bestanden haben

(vgl. § 31. S. 190—191).

Die trigonometrische Abteilung der Preussischen Landesaufnahme hat von der ganzen Gauss sehen Theorie der konformen Kugelabbildung mit ihren eigenen Konstanten (d. h. mit den auf S. 191 fett gedruckten Zahlen) eine Neuberechnung mit Tabellen durebgeführt, welche wohl später auch veröffentlicht werden wird.

Soweit wir im Folgenden eigene Berechnungen angeben, haben wir die Zahlen von S. 191 und S. 193 beibehalten, nämlich:

log a = 6.804 6434-637 für Meter log c = 6.806 0976-435 „

log e² = 7.824 4104-237 , log e'² = 7.827 3187-833 = 9.997 0916-404

(25)

(26)

(27)

log( 1 — e2) - log

(28)

1+e'²

Damit wollen wir die übrigen Konstanten nach den vorstehenden Formeln ausrechnen. Als willkürliche Annahme wird zu Grunde gelegt, wie bei (21) angegeben: Normal-Kugelbreite Q = 52° 40' 0"

Damit berechnet man a² nach der Reihe (20):

a²= 1,00090 88703 - 28399 + 111 = 1,00090 60415 log a = 0.000 1966-553

(29)

(30)

« = 1 + 0,000 425 918

= 1 —0,000 452 713

(31)

Es folgt die Berechnung von P nach (14); man findet:

P = 52° 42' 2,53251'' log sin P= 9.9006297-679 , logcosP= 9.7824573-113 Mit cos P hat man auch :

(32)

logtangP— 0.1181724-566

(33)

log e'2 cos² P = log rj‘² = 7.392 2334-059 und damit kann man geradezu V² — 1 + t/² berechnen:

log V2 ₌ 0.001 0702.432 , log V =0 .000 5351-216

Zur Probe kann man auch log F² nach der Formel (24) S. 211 berechnen, oder log V durch Interpolation aus der Hilfstafel S. [57] des Anhangs bestimmen; beides giebt dasselbe Ergebnis wie (34).

Ehe man weiter geht, kann man auch die Probe nach (17), a cos Q = Vcos P anstellen, welche mit einem Fehler von 0-001 schliesst, der nicht weiter zu verfolgen ist.

Mit log V² nach (34) hat man auch nach (16) den Kugelhalbmesser A, die

(34)

Ausrechnung mit (26) und (34) giebt:

(35)

log A = 6.805 0274-003 Endlich ist auch noch k nach (18) zu berechnen, man hat hiezu e sin P — 0,064 988 270 546 und weiter:

₇ fl — e sin P\ “?

l09[i+T**np)²

9.997 6898-845

log tanga ^45° + ^ j log cotg(ih° + ^ j

9.471 9371-356

9.528 7020-994

logie = 9.998 3291-195 log~= 0.001 6708-805

= 0.001 6708-804

(36)

Gauss giebt log h

rC

Hier haben wir die unerhebliche Differenz 0.001 gegen die Angabe von Gauss in Art. 6. der „Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie“, während die anderen Konstanten P, log a, log A nach (32), (30), (35) bis auf die letzte Dezimale mit den Angaben von Gauss stimmen.

Dieses ist eine Versicherung, dass die Verschiedenheit der Werte log e² in (24) und (27) sich in den Konstanten P, a, A und Je bei Rechnung mit lOstelligen Logarithmen nicht mehr bemerklich macht; während in den späteren Coëfficienten-Berech-nungen, wenn der Faktor r]² auftritt, die kleine Verschiedenheit in den Annahmen von e² bzw. e'² bemerklich wird.

Wir haben früher auch ein Zahlenbeispiel zur Bestimmung von u und m bei gegebenem cp durchgerechnet, nach den Grundformeln (8) und (10) § 93. S. 487. Die Einzelheiten dieser Bechnung waren in den früheren Auflagen, z. B. 3. Aufi. 1890, S. 431—432 angegeben, wir wollen hier nur noch das Ergebnis dieser Bechnung her-setzen, für die Karlsruher Breite: cp = 49° 0' 0"

Die genaueren Werte hiefür, welche man aus der Hilfstafel S. [60] des Anhangs durch Interpolation finden kann, sind:

<p = 49° 0' 0"

Die Übereinstimmung zwischen (37) und (38) ist insofern hinreichend, als die Werte u und log m von (37) nur mit 7stelligen Logarithmen (+ 0⁻25) gerechnet sind.

Die Bechnung nach den geschlossenen Formeln (8) und (10) § 93. S. 487 ist umständlich und verhältnismässig ungenau.

Ein besseres Bechnungs-Verfahren erhält man durch Beihen-Entwicklungen, zu welchen wir in § 96.—97. übergehen werden.

u = 48° 58' 18,08”

u = 48° 58' 18,0784”

log m = 0.000 0002-7    (37)

log m = 0.000 0002-48    (38)

§ 95. Goniometrische Hilfsgróssen.

Unsere vorstehenden Entwicklungen und Berechnungen zur Bestimmung der Konstanten in den Grundformeln sind sachlich nichts anderes, als was Gauss in Art. 3.—5. der „Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie, erste Abhandlung“ gegeben hat. In der Form aber sind wir von Gauss abgewichen, indem wir die bisherigen Bezeichnungen unseres Buches, namentlich F² =1    ^2 mit — e'² cos qp²

beibehielten, und dann die Ausrechnung auf dem zuerst sich darbietenden Wege machten ; und da wir damit den Gauss sehen Zahlenwerten innerhalb der Genauigkeit lOstelliger Logarithmen-Bechnung gleichgekommen sind, wäre nichts weiter zu bemerken.

Nun hat aber Gauss in Art. 4. der „Untersuchungen“ u. s. w. eine Gruppe von goniometrischen Hilfsgrössen, qr, £, 7], 0 eingeführt, „welche dazu dienen sollen, die logarithmischen Bechnungen bequemer und schärfer zu machen, deren Zusammenhang unter sich und mit den übrigen Grössen e, P, Q nicht sofort einzusehen ist.

Dieser Zusammenhang ist uns durch eine sphärische Figur am besten klar geworden, welche wir in Fig. 1. S. 493 nebst den zugehörigen Gleichungen mit-teilen.

Dabei behalten wir die Gauss sehe Numerierung der Gleichungen bei, indem z. B. die Nummern (13), (14) u. s. w. der Gaussschen Original-Abhandlung „Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie, erste Abhandlung“ entsprechen.

Es wird zuerst ein Hilfswinkel cp eingeführt durch die Gleichung :

sin cp = e

damit wird:

e'² =

e²

(13)

1 — e²

= tang¹* cp

Folglich nach (15) § 94. S. 489:

a- = 1 -+- e'² cos⁴ 7J = 1 -t- tangZ cp cos⁴ P

Nun setzt man abermals :

folglich :

tang cp cos- P = tang £ o² = 1 -i- tang ² £    ,

r—I

a =--j;

cos r

Weiter wird gesetzt:

e sin P — sin 0

(22)

Die durch (13), (14) und (22) eingeführten Hilfswinkel cp, £ und 0 lassen sich nebst den Breiten P und Q in einer sphärischen Figur vereinigen, welche in Fig. 1. gezeichnet ist. Man hat hiebei den Bogen A B = 0, auf welchem die Bögen A D und BD rechtwinklig aufgesetzt sind, so dass D der Pol von AB ist, also bei D der Winkel 0 wieder erscheint.

Nach (13) und (22) ist B C = P die Hypotenuse eines rechtwinkligen sphärischen Dreiecks ABC, dessen eine Kathete AB = 0 und dessen Winkel bei C = <f> ist. Dadurch ist der Punkt C bestimmt und es wird von ihm eine Senkrechte C F auf BI) gefällt, ferner FB' = F B abgetragen, so dass BCB' ein gleichschenkliges Dreieck wird. Dass der bei C eingeschriebene Winkel B C F =90° — £ in Übereinstimmung mit (14) ist, zeigt sich so:

Dreieck C BF giebt cos P = cotg (90° — £) cotg (90° — x)

Dreieck C B A giebt cos P = cotg cp cotg x woraus durch Multiplikation die Gleichung (14) folgt.

Fig. 1.

py

AJ'

R.

cc'

90°,

90°

Von (14) und (16) haben wir: sin Q = sin P cos £

(17)

Dieses entspricht dem rechtwinkligen Dreieck BCF als Sinus-Gleichung, ausführlich geschrieben :

<9

sin Q = sin P sin (90° — £)

9oV4 / ** /

Nun haben wir das Recht, aus der sphärischen Figur, Fig. 1. beliebige Gleichungen herauszulesen, welche die gleiche Berechtigung haben, wie wenn sie aus den bisherigen Gleichungen rein goniometrisch abgeleitet wären. Die Senkrechte C F = rj wird aus dem rechtwinkligen Dreieck CFB erhalten durch die Gleichung:

tang rj = sin £ tang P Dasselbe Dreieck CFB giebt auch :

cos rj cos Q = cos P sin rj = tang £ tang Q und wenn man auf dasselbe Dreieck CFB eine der Gleichungen anwendet, welche durch Division der zweiten und vierten Gauss sehen Gleichungen von § 27. S. 165 entsteht, so bekommt man :

(15)

(18)

und

(19)

p-Q

^ng —2

sin i/₂ ^90° — (90° — £) j

sin l/₂ ^90° + (90° — £) j P - Q    £ r

—2— = tan9 2 tang Y

tang,-^

Das Dreieck C D B' giebt :

sin (qp — 2 £) _ sin 0 sin (2 Q — 90 °) sin P

Dann wegen (22) und (18):

sin (2 £ — cp) — e cos 2 Q = sin cp cos 2 Q Aus den rechtwinkligen Dreiecken ABC und B C F findet man :

(21)

cos cp = sin x cos 0

cos (90° — x) — sin (90° — £) cos r\ , oder sin x — cos £ cos ?/

und durch Elimination von x aus diesen beiden Gleichungen :

cos cp — cos £ cos rj cos 0 Unser F² lässt sich ebenfalls in cp und 0 ausdrücken. Nach (22) und (13) ist :

1 — e² sirfi P

(23)

Nach (9) S. 189 :

1 —«2

_ cos² 0 cos² qp

yl — e² = c cos cp dazu A —    , also :

a cos qp cos² 0

Der Hilfswinkel 0 von (22) (s. oben bei (16), nämlich sin0 = esinP, giebt auch eine Umformung für k nach (18) § 94., nämlich zunächst nach (22) :

90° + ©

1 — e sin P _ 1 — sin 0 _    /

1 -\-esinP 1 ■ —|— sin 0 co 9 \

Damit geht die frühere Formel für k von (18) § 94. über in :

k =    —cotgae (45° -+- i/₂ 0)

tang (45° + 1/2 Q)

Wir werden im Nachfolgenden die goniometrischen Hilfsgrössen nicht anwenden, merken uns aber zum Umsetzen unserer Bezeichnungen in jene, hauptsächlich die oben nach (23) gefundene Beziehung:

cos 0 = V cos cp

§. 96. Reihen-Entwicklung für die Breiten-Differenz.

Die Beziehung zwischen der Breite cp auf dem Ellipsoid und der zugehörigen Breite u auf der Kugel ist zwar durch die Gleichung (8) § 93. S. 487 gegeben, welche zu jedem Werte qp den zugehörigen Wert u berechnen lässt; allein mancherlei Bedürfnisse werden dadurch doch nicht befriedigt; jene geschlossene Formel ist zur Rechnung überhaupt unbequem (vgl. das Zahlenbeispiel § 94. S. 492), und kann zur Auflösung nach cp bei gegebenem u nur etwa indirekt benützt werden. Dieses und andere Gründe machen eine Reihen-Entwicklung erwünscht.

Da auf dem Ellipsoid eine Normalbreite P und auf der Kugel eine Normalbreite Q angenommen wurde, sollen die Breiten allgemein durch ihre Differenzen gegen P und Q ausgedrückt werden, d. h. wir setzen nach § 94. (1) und (2) S. 488:

(1)

(2)

Ellipsoid cp = P-hp Kugel    u = Q -1- q

Da die Beziehung zwischen P und Q bekannt ist, handelt es sich jetzt nur noch um eine Beziehung zwischen p und q, welche in zwei Formen aufgestellt werden kann, nämlich :

entweder :

oder:

d(p~l , d² qp ~1 û²

düjî + d^rj 2~

u ~1 d² u 1 rfi

⁵ ~ qp J P ⁺ d qp² J

f/3 qp J + d³ u T p³ ,

d (f 3 J 6 ' " '

(3)

(4)

Dabei soll das Zeichen ] andeuten, dass nach Ausführung der Differentiierungen, p — 0 und 2 = 0, oder qp = P und u = Q zu setzen sei.

Wir wollen zuerst die Form (4) vornehmen und haben hiezu von (6) § 93. S. 487 :

1 a cos u cos qp

Hiebei ist, wie schon früher in § 84. S. 208 angegeben :

V = Y1 + e'² cos² qp = yï~+~T^

(t = tang qp) d r]n _

d (fi P²

(5)

(6)

-ei Tj

rt-

(?)

(8)

— n rp Vn~²1 und

Dieses haben wir, weil es wiederholt gebraucht wird, vorausgeschickt, und nehmen die ebenfalls mehrfach vor kommende Ableitung des zweiten Faktors von (5) besonders:

d qp

d cp

— nift

a cos u

d cp \ cos cp

— a sin u

d qp

cos q, + a cos u sin y j

cos² qp

Setzt man hier (5) ein, und berücksichtigt P2 ₌ 1    ^2 nach (6), so wird :

1 (X cos u

a cos u

a. sin a

(9)

d cp \ cos qp

F² cos cp

cos cp

(10)

Wenn man nun (5) nochmals ableitet, so hat man zuerst wegen (8) : d² u __ 2 i]2 a cos u d qp²    *

1 d !<x cos u

Vi

V² d cp \ cos cp

cos qp

Setzt man den bereits in (9) vorbereiteten Wert ein, so erhält man: d² u la cos u / d^~ F4    + H~

a sin u

cos cp

(H)

Als Vorbereitung der nächsten Ableitung hievon behandeln wir zuerst den letzten Teil, und finden in ähnlicher Weise wie oben bei (9) und (10):

a cos u \² a sin u cos cp

’a sin u

d cp \ cos cp

V2

cos cp

t (1 + 7/²)

(12)

Nun giebt (11) weiter: d³ u_4 g²

Jq>3 = ~W t

a cos u

cos cp

(t -+■ 3 rfi t

a sin u ^ cos cp )

a sin u

Da wir bei der dritten Potenz stehen bleiben wollen, handelt es sich jetzt darum, alle die Substitutionen zu machen, welche bei (3) und (4) durch ] angedeutet sind, d. h. qp = P, u = Q zu setzen. Es ist aber nach (14) und (17) § 94. S. 489 a sin Q — sin P und a cos Q = V cos P, und daraus folgt :

a sinn

cos qp

(13)

F4

a sin u~l_

sin cp J

a cos u cos qp

und dieses in (10) und (12) gesetzt, giebt (da V² = 1 + r/² ist):

d a sin u dq> cos qp

Wenn man diese (14) und (15) in den drei allgemeinen Ableitungen (5), (11) und (13) einsetzt, so ziehen sich diese Ableitungen sehr zusammen, und wenn man alles gleichartige zusammen ordnet, so erhält man :

d a cos u d g cos cp

7/2 t

(15)

d cp

]-y

d²u~\ _ 3 7^2 d cp²J ~ ~V9

(16)

d³ u d <jp³

₌ 3^2

(1 — t² 4- 772 -4- 4 T/² t²)

(17)

Mit diesen (16) und (17) kann man die Formel (4) zusammensetzen :

(18)

? = y P + I ^ P² + y +5 (! — *² + 7/2 + 4 T/² t²) p*

Auf ähnlichem Wege wie diese Reihe, welche nach Potenzen von p fortschreitet, kann man auch die umgekehrte Reihe (3) finden, welche nach Potenzen von q fortschreitet und p bestimmt; indessen, wenn wir nicht weiter als bis zur dritten Ordnung gehen, bekommen wir die umgekehrte Reihe auch dadurch, dass wir geradezu die Reihe (18) stufenweise umkehren (vgl. § 29. S. 179—181). In erster Näherung giebt (18):

K>j OO To

...    , p² — q² V2 -|- qS ...

q²rj² t , p² = q² V² — 3 q² V 7]² t

Dieses p² und p² = q² V3, in (18) eingesetzt, und alles nach gleichen Potenzen geordnet, giebt sofort:

p — q v—

ï²ï²* + }f(—l+‘² — 772 + 5 rj² t²) q²

In den Reihen (18) und (19) sind p und q in analytischem Masse verstanden; wir wollen nun statt dessen die unabhängige Veränderliche p in (18), q in (19) in Graden, und die Funktion q oder p in Sekunden zählen ; dann nehmen die Reihen (18) und (19) folgende Formen an (welche (6) und (5) S. 485 entsprechen):

3600    3600 3 rßt „    3600 iß

V ^    q⁰ 2 V² P    q^² 2 ys

⁸P^4'²‘?²⁺fï^(_1+‘2_,2+8,,2'2)îS (21)

Wenn man hier die Coëfficienten mit den Konstanten von § 94. ausrechnet, so bekommt man:

p = 3600 V q

CO |(M

(19)

(— 1 + (2 _ rß — 4 rß 12) p3

(20)

(22)

(23)

q = 3595,566 945 p + 0,304 138 6587 p² — 0,000 946 265 801 p² + .. . p = 3604,438 521 q — 0,305 264 9836 q² + 0,001 002 642 525 qS + .. .

Wenn man diese Reihen als konvergierend und mit der dritten Potenz abbrechend behandeln will, so braucht man die Coëfficienten nicht mit so vielen Stellen; wir haben jedoch viele Stellen ausgerechnet zur Vergleichung mit den Zahlen-augaben von Gauss, welcher in Art. 6. und Art. 8. der Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie die Reihen bis zur fünften Potenz ausgeführt giebt. Insbesondere die zur Tafel-Berechnung von Gauss angegebene Reihe von Art. 8. ist

= 443,852 122 - ^

v — <i

100

— 3952,649 780

[3.484 6769-820]

+ 1002,642 506

Ï00

[3.001 1461-121]

(24)

100

+ 4119,589 282

[3.614 8539-196]

— 431,181 623

100

[2.634 661]

— 7° und q = + 7° giebt: 59° 40' 0" q = + 7°

+ 31,069 965

—    14,957 984 + 0,343 906 + 0,098 911

—    0,000 725

Die Anwendung dieser Reihe auf q u=Q + ą = 45° 40' 0" q = — 7°

—    31,069 995"

—    14,957 984

—    0,343 906 4- 0,098 911 + 0,000 725

+ 16,554 073

,    + 7° 0' 16,554 073"

52° 42' 2,53251" 59° 42' 19,08658"

p — q = — 46,272 219 p = — 7° 0' 46,272 219"

hiezu

P= 52° 42' 2,53251" qp = P + p = 45° 41' 16,26029"

Diese Werte liegen bereits jenseits der Grenzen der Gauss sehen Tafel, von der wir einen an den Grenzen etwas erweiterten Auszug auf Seite [60]—[61] des Anhangs gegeben haben.

Da das letzte Rechnungsglied immer noch 0,0007" ausmacht, und die Konvergenz nicht sehr stark ist, kann man schliessen, dass für die Genauigkeit von 0,00001", welche Gauss seiner Tafel gegeben hat, die Werte q = — 7° und q — + 7° als äusserste Grenzen zu betrachten sind.

§ 97. Reihen-Entwicklung für das Yergrösserungs-Verhältnis.

Das Vergrösserungs-Verhältnis ist nach (10) § 93. S. 487 :

(1)

A a cos u

c cos <jp

In der Normalbreite ę — P (und u = Q) ist dieses Verhältnis m = 1 ; und wenn, wie bisher, irgend eine Breite auf der Kugel it — Q + q gesetzt wird, so wird für irgend eine solche Breite sich das Verhältnis m als Funktion von q darstellen lassen, oder die Reihe für log m habe zunächst diese Form :

d² log m

T 2² dß log in ~l

J 2 ⁺ dq* J

2³

_dlog m

]« +

Da aber die beiden ersten Ableitungen von log in gleich Null gesetzt wurden (4) und (5) § 94. S. 488), so zieht sich (2) zusammen auf:

log m

dq²

(2)

log m

_ (73 log m~\q*

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aul III. Bd.

32

Hiezu haben wir von (10) § 94. S. 489 die zweite Ableitung:

d² log m _ — «² -t- F² cos² qp + a sin qp sin u _ Z d u²

a² cos² u

(4)

ds log m

N— 4— Z N² \du du

Wenn man nachher wieder die Substitutionen für die Normalbreiten Q und P nach (14) § 96. S. 495 zu machen hat, wird man finden, dass der Zähler Z in (4) verschwindet, es bleibt also nur von (5):

also weiter:

d m³

d² log m

dZ

(5)

1 _ 1 dZ~\

Da auch a² im Zähler Z von (4) konstant ist, handelt es sich also nur noch um : ( F ² cos² cp 4- a sin <jp sin u)

d m³

(6)

= 27

d qp

cos² qp — 2 V² cos cp sin qp j

4- a cos

cp ^ ^ sin u 4- a sin qp cos u (7)

Dabei ist nach (8) und (7) § 94. S. 489 zu beachten mit tang qp = t :

v\ und ^ ₌ F2 cos(y

du a cos u

d v _ d cp ~ ~ V

Dieses in (7) eingesetzt giebt:

F² cos cp a cos u

V² cos qp « cos

Nun muss man wieder die Substitutionen (14) § 96. S. 495 machen, wodurch F wird, und die vorstehende Gleichung giebt dadurch mit t = tang cp :

i

= — 2 Vif t cos² qp — 2 F³ cos qp sin qp 4- a cos qp F 4- « sin cp cos u

Wenn man Aveiter den Nenner N = «² cos² u aus (4) zusetzt und wieder von (14) § 96. S. 495 berücksichtigt, dass —S^~ = -yi

(— 2 >]² t cos² qp — 2 F² cos cp sin cp)

V² cos qp a cos n

dß log m d «³

4- « cos cp

sin u 4- cc sin cp cos u

, so wird man vollends erhalten :

] = -T|-u,+

vt + v

und mit V² = 1 -j- if zieht sich dieses zusammen, wobei nun t = tang P wird

d³ log m

d M³

— tang P

(8)

Die gesuchte Eeihe für log m ist daher nach (3) :

, 2??2 log in = — — 'v t q² 4- ï⁴...

Wenn man hiebei stehen bleiben will, d. h. wenn man qi und p* vernachlässigen will, so kann man leicht auch log m in jß ausdrücken, denn da nach (19) § 96. S. 496 in erster Näherung p = q V ist, kann man (9) auch so schreiben :

2 r/²

log m = — -g -d- tp* 4- • • •

mit t — tang P

(9)

In (9) und (10) bedeutet log den natürlichen Logarithmus; will man also gewöhnliche Brigg sehe Logarithmen haben, so muss man noch den Modulus fi zusetzen, und wenn man zugleich die Formeln für q oder p in Graden einrichten will, so muss man noch mit p°³ dividieren; d. h. man erhält aus (9):

fi 2 p²

Die Ausrechnung mit den Konstanten von (25)—(28) § 94. S. 491 giebt für Einheiten der siebenten Logarithmenstelle :

logm = — 0⁻049 796 165 ÿ³ + ...

Auf gleiche Weise erhält man von (10):

log m — — 0-049 612 434 p³ ...

In Art. 7. und Art. 9. der „Untersuchungen über Gegenst. d. höheren Geodäsie“ hat Gauss diese Entwicklungen bis zur sechsten Potenz fortgesetzt, wodurch erhalten wurde :

mit t = tang P

(11)

(12)

(13)

log m = — 49796-16394 ^j³_ 16150-3076 (^j⁴ — 23973-954 ! ^

-125 671-0 (i)⁶

(14)

Dabei ist q in Einheiten von 1° und logm in Einheiten der 7ten Dezimale des Logarithmus gezählt. Unsere Formel (12) ist also nur die erste Näherung der Gauss-schen Formel (12a), nach welcher die Gauss sehen Werte logm unserer Anhangstafel Seite [60]—[61] berechnet sind. Beispielshalber nehmen wir für q — — 4° oder u — 46°40' und für q — + 4° oder u = 58°40' aus jener Tafel logm — + 10’559 und log m = —10-990, während die Näherungsformel (12) in beiden Fällen nur giebt log m =10-7 und =—10-7.

Bisher haben wir immer nur log m behandelt, eine Formel für m selbst erhalten wir, da in (9) und (10) natürliche Logarithmen gelten, sehr einfach hieraus :

2 7?2    2 îfi

-g -ytqZ + ... oder m=l — y ~ tP³

und umgekehrt (wobei immer t — tang P bedeutet) :

2 «2

= 1 + ~g~ t 2³

oder — = 1 -+-

2 p²

3" F4

tyß

(15)

(16)

Reduktion von Entfernungen.

Der Wert m gilt nur für unendlich kleine Entfernungen, d. h. wenn d S eine kleine Entfernung auf dem Ellipsoid und ds die entsprechende Entfernung auf der Kugel bedeutet, so ist

ds

vyi — -

dS

oder d S =

und um auch endliche Entfernungen s und S vergleichen zu können, hat man diese Gleichung zu integrieren, ähnlich wie schon in § 50. S. 282 und in § 85. S. 455 geschehen ist.

Zu diesem Zwecke zählen wir die sphärische Breiten-Differenzen q von einem Werte q± an, welcher dem Anfang des ganzen Bogens s entspricht und die Länge des Bogens s selbst zählen wir ebenfalls vom Anfang an mit -f- x in dem Azimut ß±.

Da der Kugelhalbmesser = A ist, haben wir die Breiten-Differenz q — qx als eine Reihe nach Potenzen von x mit dem Ausgangs-Azimut ßit d. h. wir können dazu die früheren allgemeinen Reihenentwicklungen von § 64. benützen, d. h. wir haben

von (27) S. 359 mit w = cos ßl und mit v = sin ß{ :

Breitendifferenz

2 — Qi

cc    ofâ

= COS ßl — 2“~2 Sîw2 & t(my (Q ⁺ ö’o)

Es genügt für das Folgende zu wissen, dass dieses eine quadratische Funktion von x ist, und dass damit auch — nach (16) sich in eine nach steigenden Potenzen von x fortschreitende Reihe entwickeln lassen wird, ganz ebenso wie bei einer früheren ähnlichen Betrachtung von § 85. sich der Ausdruck ™ als eine Potenzreihe a + ßl

+ y l² + ... auf S. 456. oben darstellen liess.

Das genügt auch, um die Beziehung zwischen einer auf dem Ellipsoid liegenden geodätischen Linie S und ihrem Abbilde s auf der Kugel durch eine Beziehung darzustellen, welche der früheren (31) § 85. S. 457 oder auch (16) § 50. S. 282 entsprechend, in erster Näherung so lautet:

S 1/1    4    1

T~ 6"

Vli

H---1---

m₀ m₂

(17)

wobei nii das Yergrösserungs-Verhältnis am Anfang, m₀ in der Mitte und m₂ am Ende bedeutet.

Wenn die verschiedenen m nicht sehr verschieden sind, so kann man noch mehr genähert rechnen, und z. B. logarithmisch kurz so nehmen:

log nii + log m₂

log s — log S =

(18)

Das ist auch dasselbe, wie wenn man schreibt:

~j2=Vmi m₂

(19)

Dazu sei auch nochmals bemerkt, dass £ die geodätische Linie auf dem Ellipsoid und s die entsprechende Linie auf der konformen Kugel vom Halbmesser A ist.

§ 98. Azimut-Reduktion.

Wenn zwei Punkte des Ellipsoids auf die Kugel konform abgebildet sind, so kann man auch die Verbindungslinien beider Punkte in Betracht ziehen, und zwar denken wir uns auf dem Ellipsoid beide Punkte durch eine geodätische Linie und auf der Kugel durch einen Grosskreisbogen verbunden.

Man darf aber nicht annehmen, dass nun der Grosskreisbogen schlechthin die Abbildung der geodätischen Linie sei; das ist ebensowenig der Fall, als dass bei der ebenen konformen Abbildung von § 50. die Gerade in der Ebene als Abbildung des Grosskreisbogens genommen werden dürfte, und wir werden eine ähnliche Betrachtung wie bei Fig. 5. S. 281 oder Fig. 2. S. 453 nun auch für die Kugelabbildung anzustellen haben.

In nebenstehender Fig. 1., welche sich aul die Kugel bezieht, betrachten wir zwei von dem Ellipsoid herübergetragene Punkte mit den Kugelbreiten u und u' und

Fig. 1. (Kugel).

dem Längen-Unterschied « l. Der mit K bezeichnete Verbindungsbogen sei grösster Kreisbogen der Kugel, und ausserdem haben wir eine Kurve G gezogen, welche das konforme Kugel-Abbild der geodätischen Linie des Ellipsoids ist.

cd

Eine geodätische Linie des Ellipsoids bildet sich, wie schon zu Anfang bemerkt wurde, im allgemeinen nicht als Grosskreisbogen der Kugel ab, und es handelt sich nun darum, die Azimut-Differenzen a — ß und ß'— a' zwischen dem Abbild G der geodätischen Linie und dem Grosskreisbogen K zu bestimmen.

Nach dem Prinzip der Konformität sind hiebei die Azimute « und a', welche das Abbild der geodätischen Linie auf der Kugel zeigt, gleich den Azimuten a und a! der geodätischen Linien auf dem Ellipsoid, so dass die Azimut-Differenzen a — ß und a'—ß' der sphärischen Fig. 1. das sind, was wir bestimmen müssen.

Unsere nächste Aufgabe wird sein, das Krümmungs-Differential der Linie G relativ gegen K (Fig. 1.) zu bestimmen, und dafür haben wir mit Fig. 2. eine Differential - Figur zu Fig. 1. besonders herausgezeichnet.

Wir betrachten mit Fig. 2. die Meridian-Konvergenz «₂ — «i für ein kleines Stück des Abbildes der geodätischen Linie, und die Meridian-Konvergenz $2 — ft für ein entsprechendes, zwischen denselben Meridianen liegendes Stück des Kreisbogens. Dabei ist d l der Längenunterschied auf dem Ellipsoid, also a d l der entsprechende Längenunterschied auf der Kugel, wobei a die Längen-Reduktionskonstante nach (15) § 94. S. 489 bedeutet.

Dazu bestehen zwei Differentialgleichungen:

Grosskreisbogen KK'

Ellipsoid oder Kugel-Abbild G G'

u'=Q+q'

u=Q+q

Fig. 2.

«i

«H

adl

OŁj

IC'

g:

ft — ft = dl sin cp «2 — ax = adl sin u Also die Differenz 8 = (ft — ßi) — (a₂ — a{) = dl (« sin u — sin cp)

(1)

(2)

(3)

Diese Differenz 8 ist die Krümmung des Bogens GG', indem die drei anderen Seiten des unendlich kleinen Vierecks Fig. 2. als Grosskreisbogen keine geodätische Krümmung haben und in der Differentialbetrachtung als Gerade zu betrachten sind. Es ist nämlich die Winkelsumme des kleinen Vierecks von Fig. 2.:

(180°— ft) + ft + (180 — a₂) + «! = 360°-+- (ft — ft) — («₂— «,) = 860°+ 8 und dieses stimmt mit dem in Fig. 2. eingeschriebenen Winkel 8, sowie mit der Bedeutung von 8 in der Gleichung (3).

Zur schärferen Begründung der Gleichung (3) mag auch noch bemerkt werden, dass der Querabstand y der Linien K und G sich nachher als sehr klein, nur von der Ordnung s³ g² zeigen wird und deswegen kommt der sphärische Excess des kleinen Vierecks, d. h. die Flächenkrümmung neben der Linienkrümmung, nicht in Betracht.

Wir wollen nun mit Fig. 3. ein sphärisches Coordinatensystem x y annehmen, wobei der Kreisbogen Q± Q₂ als x-Axe die Bedeutung von der Linie K in Pig. 1. und

der Linie I! von Fig. 3. dieselbe Bedeutung wie die Linie G in Fig. 1. hat, nämlich konformes Abbild der geodätischen Linie.

Da man nun aus den schon angegebenen Gründen das sphärische Coordinatensystem x y in erster Näherung wie ein ebenes rechtwinkliges System behandeln darf, dürfen wir auch das bei (3) gefundene Krümmungs-Differential zu der Gleichung benützen:

Fig. 3.

(D

d¹y ö

dl

(4)

Dabei mussten wir die linke Seite negativ schreiben, weil bei dem Coordinatensystem von Pig. 3. die Kurve L' gegen die æ-Axe konkav ist.

Nun kommt es zuerst darauf an, die Funktion asinu — sin cp zu entwickeln, und dazu haben wir nach Pig. 3. und Pig. 4. § 93. S. 488

u — Q + q

cp = P + p

also nach der Taylor sehen Reihe:

pfl

(5)

sin cp — sin P -t- p cos P— ~ sin P

qZ

a sin u = a sin Q + a q cos Q — a ~ sin Q

Zur Vergleichung zwischen p und q bat man nach (18) § 96. S. 496 die Reihe:

p 3 7?¹    „

2 = v⁺Y vzp tangP

(6)

(?)

§ 94. S. 489:

Zugleich beachte man auch die Grundformeln für P und Q nach (14) und (17)

a sin Q = sin P und a cos Q = V cos P

(8)

aufheben :

Aus (5) und (6) bekommt man zunächst, da sich die ersten Glieder wegen (8)

rfi— g2

a sin u — sin cp = aqcos Q — p cos P +    ^ sin P

Wegen (8) und (7) ist aber:

(9)

aqcos Q — V cos p(^y-\-Y yé P2, tan9 P^j

und wegen (7):

p2 — q2 y 2 = g¹ (1 -j- ^2) oder p¹— g¹ = ^ rp

Damit kann man (9) zusammensetzen:

3 îfl    1

a sin u — sincp = -ÿ- V2 sm P+    ^ s*n ^

V sin a d S sin a c cos qp Ń cos cp

(12)

Statt dS für die geodätische Linie können wir in unserem Falle genügend genau dx setzen, und indem wir auch noch in erster Näherung cp = P nehmen, haben wir aus (11) und (12):

y 2 T?²

— = cfi sin a tang P

dx²

(13)

Dabei beziehen sich N, a und P auf das Ellipsoid, und wenn wir zur Kugel übergehen wollen, ist N ~ A V zu setzen (da N die Bedeutung von r in (24) § 32. S. 197 hat). Das Azimut a kann hinreichend genau gleich dem Kugelazimut ß gesetzt werden und nach (8) ist tang Q = V tang P, folglich giebt nun (13) beim Übergang zur Kugel:

(14)

Zurückgreifend auf (4) haben wir also die Krümmungs - Differentialgleichung : d²y d æ²

dl

(H)

— 2 rp cß sin P-j—

(L X

Das Differential d l der geographischen Länge l hat man nach der allgemeinen Reihenentwicklung von (6) § 74. S. 393:

ji ⁼ -Twsintltan^

wobei wir zur Abkürzung schreiben wollen:

2 ifi

A V

~~ÿsin ß lang P — P'

Um auf x überzugehen, haben wir in erster Näherung nach Fig. 4. zu setzen: ~ cos ßi -+- ... also    g² = q\ + 2 qx cos ßx + .. .

Fig. 4.

oder

Pg sin ß tang Q = I'

(15)

(15 a)

(16)

<*₂\

12

ec’

--'ł

Normal-Parallel

Hiebei ist qx derjenige Wert von q, welcher zu dem Anfangspunkt Qx gehört, und q-2 derjenige Wert von q, welcher zu dem Endpunkte Q₂ des betrachteten Bogens s

gehört. In gleicher Weise haben wir auch für das Azimut ß, welches der Breite q und der Abscisse x entspricht, nach (29) S. 359 mit v = ~ sin ßy :

%c

(17)

(18)

ß — ßl ■+• -j s^n ßi tang Qy sin ß = sin ßy-sin ß, cos ß, tmg Qy

Man hat also aus (16) und (17):

q² sin ß = q\ sin ßy +    (2 qy sin ßy cos ßy -f- q\ sin ßy cos ßy tang Qy)

Dieses ist eine lineare Funktion von x, welche zur vorübergehenden Abkürzung so geschrieben werden mag:

q² sin ß = f-f- g x , wobei f — qx² sin² ßy

(19)

Damit wird nach (14) und (15):

(20)

integriert :

dy

dx

= -Vl+F(f, + lI²)

(21)

(22)

= - Xpy X ■+- F ^

— — ip₂ werden, dieses giebt aus

/ S²    $3 \

0 = —xpis ₊ F[f ₂- + g (] j

Dabei ist —ipy bei (2) als Intégrations-Konstante zugesetzt, während in (22) bei y, das mit x — 0 verschwinden muss, keine weitere Integrations-Konstante hinzukommt. Wenn x — s wird, so muss y = 0 und (22) und (21) folgende zwei Gleichungen:

— — tpy-h F (fs g -g-j

Diese zwei Gleichungen dienen zur Bestimmung von ipy und tfj₂, und geben nach xfjy und tp.j aufgelöst:

Vi = F*[^ + g -j)

oder

Fs

Xp2 = F s

oder

= ~fVf+ f+9*) F S(f+ 2 {f+gs) j

(23)

(24)

Die Bedeutungen von f und g sind durch (19) zu bestimmen: für x = 0 wird qy² sin² ßy = f

q<? sin² ß₂ = f+ g s

Diese zwei Gleichungen in Verbindung mit (23) und (24) geben: ^ _Fs 2 q\ sin ßy -+- q\ sin ß₂

Fsqlsinßy +2q\sinßz 3

(25)

Um den Faktor F nach (15) oder (15a) einzuführen, und nachher das, was sich tabellarisch berechnen lässt, abzutrennen, führen wir die Funktion ein :

7?²

¹ tang Q q² oder

(26)

⁹ tangPq²=k

Dieses allgemeine k wird auf den Anfangspunkt und auf den Endpunkt angewendet mit:

r/²

h =-ÿtangPqxz

und

rfi

— Ÿ tan9 P ?2²

(27)

Damit gehen die Formeln (25) und (26) in diese Formen über:

2 7c j sin -+- k₂ sin cc% s

«i — ßi=Vi =

(28)

(29)

Zur Anwendung in Zahlen muss man die Funktion k nach (26) auf bestimmtes Mass einrichten. Nehmen wir wie bisher q in Graden und dann die kleinen Winkel ip in Sekunden, so hat man zu setzen:

ft = p₂ -ytang P g² = 20 77 ^'-tang P g²

(ilog = 1.798 1798-684)

mit den Konstanten von § 98. wird dieses ausgerechnet: k = 0,203 259 386 g2 Die hiernach berechneten Werte k sind nur erste Näherungen, welche von den genaueren Werten k der Gauss sehen Tafel ähnliche Abweichungen zeigen, wie zwischen den ersten Näherungen und den genauen Werten von log m, welche wir bei (14) § 97. S. 499 zusammengestellt haben.

¹

7] ^

§ 99. Allgemeine Beziehung zwischen dem Yergrösserungs-Verhältnis m lind dem Krümmungs-Differential der Abbildung.

Im vorigen § 98. haben wir das Krümmungs-Differential ö des Abbildes einer geodätischen Linie durch eine Differentialbetrachtung in Fig. 2. S. 501 aus den besonderen Eigenschaften unseres Abbildungsfalles hergeleitet, und es wird wohl immer möglich sein, die besondere Art einer konformen Abbildung zu Rat zu ziehen, um jenes Krümmungs-Differential zu erlangen.

So haben wir z. B. auch in § 50. mit Fig. 2. S. 283 und in § 85. mit Fig. 2. S. 453, und auch noch bei der Gauss sehen konformen ebenen Abbildung in § 88. S. 472 verfahren.

Es giebt aber eine ganz allgemeine Beziehung zwischen dem Differential d m

mit Hilfe deren man, sobald m, das man

Öj s

R ’

ja jedenfalls haben muss, entwickelt ist, sofort auch ö finden kann.

Die allgemeine Theorie zur Bestimmung von ö aus m ist von Gauss in Art. 12.—13. der Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie und in §. 14. von Schreiber, Theorie der Projektionsmethode der Hannoverschen Landesvermessung, Hannover 1866, gegeben, wobei beidemal die geodätische Linie nach den Regeln der Variationsrechnung als kürzeste Linie aufgefasst wird.

Eine mehr geometrisch anschauliche Entwicklung und Darstellung dieser Bahn hat Professor Schols in Delft gegeben in der Abhandlung: Annales de l’école polytechnique de Delft. De livraison. Leide, E. J. Brill 1884. Sur l'emploi de la projection de Mercator pour le calcul d’une triangulation dans le voisinage de l’équateur, par Ch. M. Schols.

und dem Krümmungs-Differential ö =

In § 10. dieses Werkes wird mit beistehender Fig. 1. entwickelt:

Das Rechteck AB G D des Urbildes sei aus unendlich kleinen geodätischen Linien gebildet, und werde konform abgebildet in dem krummlinigen Viereck ab cd. Durch die Mitten e und f der Seiten a b und c d werden Linien gezogen, in welchen das Vergrösserungs-Verhältnis konstant ist.

(Diese Linien für konstantes Vergrösserungs-Verhältnis m sind in Fig. 1. punktiert gezogen, wobei auch bemerkt sei, dass e die Mitte von a b sein sollte, was in dem Holzschnitt etwas verfehlt dargestellt ist).

Wenn dz der Parallelabstand der beiden punktierten Linien und ß deren Winkel mit a b ist, so haben wir :

Fig. l.

,d

2C1-

CLX

ac = b d — ef

(1)

cos ß

Die kurzen Linien c a und d b werden verlängert bis zu ihrem Schnitte o, so dass o a der Krümmungs-Halbmesser der Kurve ab ist, woraus folgt :

o a + ac cd

(2)

also aus (1) und (2) zusammen:

o a -+■

cos ß

= 1 -+

1 dz _ cd o a cosß ab

(3)

Nun ist zu beachten, dass Fig. 1 eine Differentialfigur sein soll, dass also cd und a b unendlich klein sind, dass also längs c d und a b das Vergrösserungs-Verhältnis m als konstant gilt, und zwar sei:

m = ÄB

und m + d m =

cd _ cd CD ⁼ AB

(4)

Man hat also aus (3) und (4) :

1-t

1 dz

o a cos ß

Bezeichnen wir den Krümmungs-Halbmesser o a mit R oder die Krümmung mit 1 : R, so haben wir also :

1 dm a R~^d~zCOsß

oder wenn mit logm der natürliche Logarithmus von m bezeichnet wird:

1 _ d logm R ~ dz

Krümmung

Krümmung

cos ß

(5)

(6)

Als erste Anwendung dieser allgemeinen Formel wollen wir den besonderen Fall von § 50. S. 281 nehmen mit:

- yl m = 1 + ^

oder log m =

y%

(7)

2 r²

Die Richtung der z ist hier mit der Richtung y übereinstimmend, weil die Linien für konstantes m nach Fig. 8. S. 279 parallel der x-Axe gehen, und ß von (6) ist

2r²

wobei die Azimute a und ß von Fig. 4. § 98. S. 503 hinreichend als gleich angenommen werden können. Weiter haben wir von (9) und (10) § 97. S. 498 :

2 77²

= — -^Jÿtang Pep

(10)

2 V²

logm =--tangPpS oder

Das Differential d z, welches in der allgemeinen Formel (6) vorkommt, ist in der Meridianrichtung zu suchen, d. h. es ist ä z — Ad q, wobei nach (24) S. 197 der mittlere Krümmungs-Halbmesser des Ellipsoids, welcher als Kugelabbildungs-Halbmesser dient, ist:

oder auch

der Richtungswinkel tj von Fig. 6. S. 283, es giebt also die allgemeine Gleichung (6) in unserem besonderen Falle:

2/²

1 _ ri 2r2 R dy

Dieses (12) stimmt mit (28) Fig. 50. S. 283, wenn man das auf der folgenden Seite 284 oben stehende = cos t\ berücksichtigt, und auch das Vorzeichen — ent-

Krümmung

(8)

sprechend der Lage des Coordinatensystems einsetzt.

Nach dieser ersten Anwendung auf den einfachen Fall von § 50. wollen wir auch die Anwendung der allgemeinen Formel (6) auf unseren Fall der konformen Abbildung des Ellipsoids auf die Kugel vornehmen.

Dabei ist es zuerst nötig, die Bedeutung des Winkels ß aufzusuchen, d. h. des Winkels, welchen eine abzubildende geodätische Linie mit den Linien konstanter Ver-grösserung m bildet, und da in unserem Falle die Vergrösserung m nur von der geographischen Breite abhängt, ist das ß der allgemeinen Formel (6) entsprechend 90° — «, wenn a das von der Meridianrichtung an gezählte Azimut ist. Setzen wir ausserdem

d²y

d x²

und 503, so haben wir aus (6) zunächst:

die Krümmung 1 : R =

in dem Sinne von Fig. 3. und Fig. 4. § 98. S. 502

d² y _ dlogm

d x²

sin a oder

d log m

di-dnft

(9)

A = — F3

weshalb man nun hat:

d log m _ d log m d q _ dq dz —

dz

d log m

VA

2 rj²

qttangPj-

tang P— —

2 j/² <?²

~V*A

tang Q

(11)

Dabei ist tang Q = V tang P gesetzt nach (17a) § 94. S. 489.

Aus (6) und (7) hat man also jetzt:

(12)

tang Q sin ß

d² z _ 2 if g2 d x² V² A

Dieses (8) stimmt mit dem früheren (14) § 98. S. 503, womit also eine zweite Herleitung des Krümmungs-Differentials gegeben ist, aus welchem die Azimut-Reduktionen von § 98. sich ergeben.

508

Hilfstafeln und Zahlenbeispiele.

§100.

§. 100. Hilfstafeln und Zahlenbeispiele.

Gauss hat eine ausführliche Tafel zur Reduktion der sphärischen Breiten auf sphäroidische Breiten nebst log m und k berechnet und in den „Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie“, erste Abhandlung S. 37—45 mitgeteilt. (Carl Friedrich Gauss’ Werke, IV. Band, Göttingen 1873, S. 293-300.)

Auf Seite [60]—[61] unseres Anhangs haben wir einen Auszug der Gauss scheu Tafel abgedruckt, mit dem lOfachen Intervall /I u = 10', (z/ u = 1' bei Gauss). Ausserdem haben wir auf Seite [59] eine Hilfstafel zur Reduktion der geographischen Längen mit der Konstanten a beigegeben.

Unsere Haupttafel Seite [60]—[61] verlangt Interpolation mit zweiten Differenzen, wozu § 30. S. 183 Anleitung giebt. Damit bekommt man nahezu dieselbe Genauigkeit, wie mit der Originaltafel selbst, so dass für einzelne Fälle der Auszug als Ersatz des nicht immer zugänglichen Originals dienen kann. Auch giebt der Auszug eine bequeme Übersicht der Gesamt-Verhältnisse ; man sieht z. B., dass log m nicht über 0-1 geht auf der ganzen breiten Zone von 51° 20' bis 54° 0'. Ähnlich verhält es sich mit den Azimut-Korrektionen, welche von der Tafelgrösse k abhängen; man kann also auf dieser ganzen nahe 3° oder rund 300 000 Meter breiten Zone eine Triangulierung sphärisch berechnen, ohne eine andere Nebenarbeit als das Verwandeln der Breiten cp und u durch Aufschlagen in der Tafel.

Wenn die neuen Berechnungen der trigonometrischen Abteilung der Preussi-schen Landesaufnahme, die wir schon in § 94. bei (24)—(25) S. 490 erwähnt haben, veröffentlicht sein werden, so werden diese an Stelle der alten Gauss sehen Originaltafeln zu benützen sein.

Ausser der Gauss sehen Tafel ist in neuerer Zeit noch eine zweite solche Tafel mit südlicherer Normalbreite, nämlich Q — 46° 36’, berechnet worden von Marek und Horsky. Dieselbe, welche, wie die Gauss sehe Tafel, die Bessel sehen Erddimensionen zu Grunde legt, ist mitgeteilt in dem Werke von Marek: „Technische Anleitung zur Ausführung der trigonometrischen Operationen des Katasters, Budapest 1875“, S. 252 262. Einiges weitere hierüber haben wir früher in der „Zeit sch r. f. Verm. 1877“, S. 40—46 mitgeteilt, und einen Auszug der Marek sehen Tafel gab unsere frühere dritte Auflage, Karlsruhe 1878, S. 403—404.

Als Anwendung der Gauss sehen Theorie und der zugehörigen Hilfstafeln wollen wir die Berechnung unseres kleinen sphäroidischen Normal-Beispiels (1) § 73. S. 391 nehmen in dieser Form :

Gegeben: qq = 49° 30' 0" l = 1 ° 0' 0"

<p₂ = 50° 30' 0"

(1)

(2)

Gesucht: av «₂ und s-

Das erste ist, die Breiten qpj und q>₂ auf die Kugel zu übertragen, d. h. die entsprechenden ux und m₂ aus der Tafel zu entnehmen. Von Seite [60] unseres Anhangs haben wir:

Differenzen

49° 20' 0" 49° 30' 0''

+ 10' 1,07480" - 0,01736" = 601,07480"

49° 21' 44,31358" 49° 31' 45,38838"

10' 0"

= 600"

601,07480"

cp = 49° 30' hat gegen die Nachbarwerte die Differenzen: — 8' 15,68642" =—495,68642"

und

4- F 45,38838" = -f 105,38838"

Die Interpolation mit Rücksicht auf zweite Differenzen gab :

u = 49° 28' 14,79882"

Die Rechnung nach der Gauss sehen Originaltafel gab auf 0,00001" genau dasselbe, nämlich die Zusammenstellung für alle Werte, die uns hier interessieren:

log m 1-609 0-969 0-525

Ellipsoid, cp 49° 30' 0" 50° 0' 0" 50° 30' 0"

Kugel, u

ux = 49° 28' 14,79881" 49° 58' 11,67462" m₂ = 50° 28' 8,70541"

2,049"

1,462"

0,973"

Aus den drei Werten log m bilden wir einen Mittelwert nach dem Gesetze der Gleichung (17) § 97. S. 500, welcher in der dort angegebenen Weise auch für log m gilt, und in unserem Falle giebt:

(3)

log m —

1-609 + 4 x 0-969 + 0-525

= 1-017

(4)

Der Längenunterschied 1 — 1° 0' 0" wird auf die Kugel reduziert durch Multiplikation mit der Konstante «, bzw. durch Benützung der Hilfstafel Seite [59] des Anhangs, mit dem Ergebnis:

X=al = 1° 0' 1,630505"

Nun macht mau mit ux und w₂ von (3) nebst X von (5) eine sphärische Polar-Dreiecksberechnung nach (4) und (5) § 60. S. 339, wodurch man erhält:

Sphärische Azimute ßx = 32° 25' 21,4923"

log sin y = 8-015 5452-409 , y = 0° 35' 37,85453"

— giebt log tf = 5.121 6104-130 — 1017

log s = 5.121 6103-113 , s = 132 315,375™

und

s' — A

hiezu nach (4)

— log m -

ß.z = 33° 11' 19,4197"

(5)

(6)

(?)

Es folgen noch die Azimut-Reduktionen nach den Formeln (28) und (29) §. 98. S. 505. Man hat hiezu die schon bei (3) angegebenen k und die abgerundeten Azimute : kx = 2,049"

«! = 32° 25'

Die Ausrechnung nach den Formeln (28) und (29) S. 505 giebt:

= xp₂ = (z₂ — ßz — — 0,0149"

Diese Reduktionen zu ß₁ und ß₂ in (6) hinzugefügt, geben die sphäroidischen

= cc₁—ß₁ = +0,0189"

Azimute :

k₂ = 0,973" «2 = 33° 11'

«₂ = 33° 11' 19,4048"

(8)

ax = 32° 25' 21,5112"

In diesen (7) und (8) besteht die Auflösung der gestellten Aufgabe, und diese (7) und (8) stimmen auch hinreichend überein mit den entsprechenden Zahlenwerten von § 73. (1) S. 391.

§ 101. Doppel-Projektion der Preussischen Landesaufnahme.

Die Gauss sehe konforme Abbildung des Ellipsoids auf die Kugel ist zu einer wichtigen, praktischen Anwendung gebracht worden durch General Schreiber bei der trigonometrischen Abteilung der Preussischen Landesaufnahme.

Als Quellenschriften hiefür sind zu citieren:

»Verhandlungen der 1887er Konferenz in Nizza der perm. Komm. d. intern. Erdm., Berlin 1888, Annex Xb“, S. 10—12, und frühere Mitteiluug in Jordan-Steppes „Deutsches Vermessungswesen, 1882, L“, S. 151—154. Weiteres ist auch citiert und erläutert in „Zeitschr. f. Verm., 1886“, S. 253—256, und „Zeitschr. f. Verm., 1889“, S. 8—14.

Namentlich v. Schmidt : Projektionsmethode der trigonometrischen Abteilung der Königl. Preuss. Landesaufnahme, „Zeitschr. f, Verm., 1894“. S. 385—401 und S. 409—418.

Es mag auch hier nochmals an das erinnert werden, was wir schon in § 59. S. 330—332 hiezu angegeben haben.

Wenn man nach der Gauss sehen Theorie das Ellipsoid auf eine Kugel ab-gebildet hat, so dass jedem Punkte mit der Länge l und der Breite gp auf dem Ellipsoid, ein Punkt mit der Breite u und der Länge X auf der Kugel entspricht, so kann man mit diesen sphärischen geographischen Coordinaten u, X beliebige sphärische Umwandlungen vornehmen, z. B. daraus sphärische rechtwinklige Coordinaten x, t) ableiten, und diese letzteren Coordinaten kann man wieder konform in ebene rechtwink, lige Coordinaten x, y abbilden.

Dieses ist das System der Doppel-Projektion, welches für die trigonometrische Abteilung der Preussischen Landesaufnahme angenommen worden ist.

Als Vorbereitung hiezu haben wir bereits in § 50. und in § 85. manches gehabt, was nun weiter auszuführen ist.

I. Berechnung der sphärischen rechtwinkligen Coordinaten x, p.

In Fig. 1. haben wir die Gauss sehe Kugel, vom Halbmesser A (nach § 94. S. 489), und darauf einen Meridian T O T', von welchem die Längen X gezählt werden.

Fig. 1.

Kugel mit dem Halbmesser A. D F=X)

a -Ją'

—-K—

Irgend ein Punkt F habe von diesem Anfangs-Meridian an gezählt, die Länge nach Osten positiv, und ferner die Breite u. Derselbe Punkt habe auch die rechtwinkligen Coordinaten x, in Bezug auf den Ursprungs-Meridian, in welchem der Nullpunkt O mit der Breite u₀ angenommen wird. Die Ordinate l) liegt auf einem Bogen Q Q' rechtwinklig zu T O T' und bestimmt auf T O die Fusspunktsbreite des Punktes D. Wir betrachten auch einen Parallelbogen zu T O T', um die Meridian-Konvergenz y zur Anschauung zu bringen, welche in dem Punkte F gegen den Anfangs-Meridian stattfindet.

Wenn wir nun die Aufgabe stellen, aus gegebenen t/₀, u , X die rechtwinkligen Coordinaten x, ty, nebst der Meridian-Konvergenz y zu bestimmen, so liefert uns die sphärische Trigonometrie sofort :

tang u₁

_ tang u ^ cos X ’

M-l —«o

Ä~

(1)

= sin X cos u

(2)

sin ~

A

tang y = tang A sin u Diese Formeln werden wir in dieser geschlossenen Form benützen, und nicht in Reihen entwickeln, weil es sich um grosse Werte x und 9 handelt, bei welchen die Entwicklung viele Glieder haben müsste.

(3)

II. Konforme ebene Abbildung der rechtwinkligen Coordinaten.

In Fig. 2. haben wir wieder dieselben Verhältnisse, wie in der vorhergehenden Fig. 1., jedoch mit zwei Punkten F und G, welche bzw. die rechtwinkligen Coordinaten x, b und x', b' haben.

Fig. 3. zeigt ein ebenes Abbild von Fig. 2., wobei zuerst der Anfangs-Meridian TEDOT' wieder als TEDOT' erscheint, und zwar in unveränderter Grösse, so dass also ODE in Fig. 2. und in Fig. 3. in gleichen Massen dargestellt sind, namentlich auch OD — OD und D E = D E in beiden

Fig. 2.

Kugel mit dem Halbmesser A.

E/ H G

|Q’

0o

Fig. 3. Ebene.

"! V

yf

Figuren.

Da der Punkt D die

Breite und 0 die Breite m0 hat, erhält man die Abscisse x des Punktes D und aller Punkte auf der Ordinate D F aus der Differenz ttj — u₀ :

T¹

T*

wobei :

log — J Q

X = (Mj — Uq) —

= 1.490 6022-671

und

»«o = 52° 40' 0"

Die Ordinatenlinie DF' und EG' in Fig. 3. sind geradlinig rechtwinklig zu T T' gezogen, und die Ordinatenlängen D F' — y und E G' — y' sollen so gewählt werden, dass die Abbildung konform wird, d. h. so dass die beiden rechtwinkligen Dreiecke FGH und F' G' H', die wir nun als unendlich klein annehmen, einander ähnlich werden. Hiezu ist nötig, dass zwischen den Katheten ein konstantes Verhältnis besteht:

F' H' _ H' G' FH ~ HG

t- = m

(5)

Hiebei ist:

F' H' — dx

F H — d x cos

H'G' = dy , HG = d 1)

(6)

Daraus folgt:

dy =

cos

JL

dy

(7)

Die Integration dieser Gleichung giebt:

y⁼ylog iang (⁴⁵°⁺o)

(8)

wobei, wie gewöhnlich, y der logarithmische Modulus ist. Nachdem die Beziehung zwischen b und y bestimmt ist, hat man auch das Vergrössorungs-Verhältnis m nach (4) und (7):

ZS'

= sec

(9)

Diese Funktion kann man in eine Reihe entwickeln, wie schon in § 85. S. 451, 452 gezeigt wurde, namentlich nach (5) S. 452, wobei nun statt r der Wert A genommen wird:

0³

D³

6 A²

24 A4

(10)

Dabei ist 1) linear (in Metern) vorausgesetzt; wenn man aber p in Winkelmass hat, was durch p" (d. h. p in Sekunden) ausgedrückt sein soll, so hat man (10) so zu schreiben;

(11)

⁺ à((H

'W's+24^"⁵

und mit ausgerechneten Coëfficienten-Logarithmen :

y = [1.490 6022-671] ÿ" -h [0.083 6007-5] p"3 + [8.85269] ç''5

oder:

(lia)

Statt der Reihe (11) kann man auch eine Reihe entwickeln, welche y als Funktion von sin l) giebt. Nach § 28. S. 172 ist die arc sm-Reihe :

% sin$ -i

also nach (10) :

= ( sin

s“³1⁺b><A51)⁴4(

sirß

+ 24

\ sin⁵

= A sin 4

— sin^X A

sin⁵ — 5 A

(12)

und mit ausgerechneten Coëfficienten-Logarithmen :

<s£

O

lO

•S

OD

a

co

§•

05

£

§’

CB

(12a)

Diese Entwicklung bis zur fünften Ordnung ist ausreichend für Abstände etwa bis zu 3° ; für weitere Ausdehnung ist eine Entwicklung von Schols gegeben in der Abhandlung: Annales de l’école polytechnique de Delft, Ire livraison, Leide, 1884. Sur l’emploi de la projection de Mercator pour le calcul d’une triangulation dans le voisinage de l’équateur, par Oh. M. Schols. Bis zur Ilten Ordnung giebt Schols § 25. :

. 1    9»    . 1    61    t)¹»    277

V ~ ⁾ ~T~ 6    A ⁷    24    A* ⁺ 5040 A⁶    72576    Aa

39916800 .4‘»

und die Umkehrung :

1 y⁵ 61 y7 ~ÄÄ~ 5Ö4Ö16

277

50521 y" 72576 1* ~ 39916800 .<!«'

1 y* Z

Schols giebt auch die Umkehrung unserer Formel (12) bis zur 11. Ordnung und noch vieles Interessante, was auch zu unserem früheren § 85. in Beziehung steht.

Alles weitere, was für die Preussische Landesaufnahme gebraucht wird, haben wir schon in § 50. und in § 85. entwickelt und es ist nur noch zu bemerken, dass der dort mit r bezeichnete Kugel-Halbmesser nun überall durch A zu ersetzen ist, mit log A = 6.805 0274-003 nach (35) § 94. S. 491.

Wir wollen die Anwendung der besprochenen Theorieen an unserem schon mehrfach benützten hannoverschen Beispiele Ägidius-Wasserturra zeigen (vgl. S. 309, 314 und Fig. 3. S. 315).

y's

Diese beiden Punkte haben folgende geographische Coordinaten im Systeme der Landesaufnahme.

Länge L

Ägidius <p₂ = 52° 22' 14,9611” L₂ = 27° 24' 24,6290” l₂ = — 3° 35' 35,3710”

Q,§§0£-

türm cpi = 52° 21' 49,9080” Lx= 27° 22'25,0168” ?! =— 3° 37' 34,9832”

Breite

l = L 31°

(13)

Differenzen + 0' 25,0531”

4- 1' 59,6122”

+ 1' 59,6122”

Die Reduktion auf die Gauss sehe Kugel geschieht hei qp durch Anwendung der Hilfstafel Seite [61] (bzw. der Gauss sehen Originaltafel), und bei l durch Multiplikation mit der Konstante a = 1,000 452 918, bzw. nach der hiezu gehörigen Hilfstafel Seite [59]. Man findet auf diese Weise :

Ägidius

Wasserturm ux = 52° 19' 48,90327”

u₂ = 52° 20' 13,92412”

X₂ = — 3° 35' 41,22966” X₁ = — 3° 37' 40,89604

(14)

+ 0' 59,66638”

Differenzen + 0' 25,02085”

Für die weitere Rechnung nach den sphärischen Formeln (1) und (2) wollen wir eine kleine Zeichenänderung machen, nämlich die Fusspunktsbreite, welche in Fig. 1. und in den Gleichungen (1) mit bezeichnet ist, soll nun mit u' bezeichnet werden,

tang u

also :

tang u' = -

u' — u₀

cos

(15)

(16)

sin -Ä = sin X cos u A

Hiernach ist berechnet:

Ägidius

u{ =52° 23' 36875” log sin % = 8.583 3160-272

tang y = tang X sin u

Wasserturm u{ = 52° 23' 9,01197”

log sin = 8.587 3764-060

= 2° 11' 44,00948”

= 7904,00948”

7₂ = 2° 50' 49,5606”

y₁ — 7₂ = 1' 33,9039”

^-p = 2°12' 58,29036”

= 7978,29036”

7, =2° 52'23,4645”

(17)

Wasserturm

v = 52° 23' 9,01197” m₀ = 52° 40'

Wir gehen über zur Berechnung von x: Ägidius

u₂' = 52° 23' 30,36875”

«o = 52° 40'

m₂' — w₀ = — 16' 29,63125”

= — 989,63125”

Dann nach der Gleichung (4) ausgerechnet: x₂ = — 30624,970”*

«i' — u₀ = — 16' 50,98803” = —1010,98803”

xj = — 31285,873”*

(18)

— 246 894,8920”* —    61,5645

— 0,0230

Die Berechnung der y geschieht nach der Reihe (11) bzw. (11a) und giebt: — 244 596,2079”*

- 59,8609

— 0,0220

y₂ = — 244 656,0908”*

yi = — 246 956,4795”*

(19)

* 33

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. XII. Bd.

Zur Kontrolle kann man auch nach der Reihe (12) bzw. (12a) rechnen, was insofern angenehm ist, als man ja die log sin -j bereits von der Rechnung (17) her hat.

jzL

Man bekommt in unserem Falle :

— 244 536,8511”*

—119,6839 — 0,1053

— 246 833,3323"* — 123,0368 — 0,1104

yx = — 246 956,4795™

2/₂ = — 244 656,0903™

Dieses stimmt hinreichend mit (19).

Aus (18)—(20) haben wir also nun in Zusammenstellung: Ägidius 2/2 = — 244 656,090™

Wasserturm yx = — 246 956,480™

x₂ = — 30624,970™ xx = — 31285,873™

(20)

(21)

Zu diesen von uns selbst auf dem angegebenen Wege berechneten Coordinaten stellen wir auch die im Jahre 1887 amtlich von der Landesaufnahme erhaltenen

Werte zur Vergleichung : Ägidius

2/2 = — 244 656,090™ Wasserturm yx — — 246 956,479™

x₂ = — 30 621,971™ xx = — 31 285,875™

Die Übereinstimmung zwischen (21) und (22) ist genügend. Wir behalten (22) bei, und haben davon:

(22)

£c₂ — xx = + 660,904™

2/2 — yx — + 2300,389™

Hieraus die Richtungswinkel, von Nord über Ost, zunächst eben :

(23)

V\ — 2/2

_ 2/2—2/1 X₂ — Xi

tx = 73° 58' 14,12"

Hiezu kommen die Korrektionsglieder nach (31) und (32) § 50. S. 284, nämlich: T{— tx = [0.92622] (æ₂ — &i) (2 yx -+- y₂) = — 0,41"

T₂ — #2 ⁼ [0.92622] (a?i — x₂) (yx -t- 2 y₂) — -+- 0,41"

tang tx

tang t₂ =

xx — x2 t₂— 253° 58' 14,12"

Nehmen wir auch die schon bei (17) berechneten Meridian-Konvergenzen y dazu,

so haben wir:

Ägidius

ebene Richtungswinkel: tx = 73° 58'14,12"

Tx-h

Wasserturm

- 0,41"

T₂ —1₂ —

f₂ = 253° 58' 14,12" + 0,41"

sphär. Richtungswinkel: Tx — 73° 58' 13,71" ____yx = — 2 ⁰ 52' 23,46"

T₂ = 253° 58' 14,53" y₂= —2° 50' 49,56"

Azimute :

71° 5'50,25"

«2 = 251° 7' 24,97"    (24)

«1 --

Um auch die Entfernung zu bestimmen, haben wir zunächst eben :

₌ y*—y\ ₌ «2—«i

cos tx

log s = 3.379 0236

Die Reduktion auf S geschieht nach (14) § 50. S. 282, und giebt

log S — log s = — 3220 log S = 3.378 7016

Bei dieser kleinen Entfernung kann man log s —log S auch kurz —logm

y = — 245 806™ nimmt, nämlich y — — 245 806™ ; dieses genügt hier, weil die fragliche Entfernung sehr klein ist.

sin tx

S = 2391,672™

(25)

nehmen, indem man für y das Mittel aus yx und y₂, nämlich

Zur Berechnung von m in beiden Punkten getrennt, hat man auch noch die scharfe Formel (9) nämlich :

m = sec

Nimmt man hiezu die bei (17) angegebenen Winkel ^ bzw. q, so findet man : Ägidius

Wasserturm log sec 2° 12' 58,290" = 0,000 3249⁻6 Mittel log m = 0,000 3219-5

log sec 2° 11' 44,009" = 0,000 3189-4

(26)

Dieses stimmt mit 3220 bei (25).

Zur Versicherung können wir auch noch die früheren Berechnungen mit Soldner-schen Coordinaten zuziehen, nämlich in § 56. S. 315 wurde gefunden (18) log s = 3.378 7020, und auf S. 314 hei (14) log s = 3.378 7016, was alles mit dem neuen (25) log S = 3.378 7016 genügend stimmt.

Auch hatten wir früher schon die Azimute bei (14) S. 314 :

a = 71° 5' 50,33"

(27)

«' =71° 7' 25,05"

Diese « und «' sollen mit unserem neuen (24) übereinstimmen (abgesehen von + 180° bei «'). Wenn nun kleine Differenzen von 0,28" zwischen (24) und (27) bestehen, während wir doch in allen trigonometrischen Rechnungen mindestens auf 0,01" scharf gerechnet haben, so ist das hier doch unerheblich, weil der Rechnungsweg über rechtwinklige lineare Coordinaten (22) geführt hat, die auf 0,001m als letzte Recheneinheit angegeben wurden, so dass sie die gewöhnlichen Abrundungs-Unsicherheiten in den rechtwinkligen Coordinaten bei kurzer Entfernung bereits 0,01" erheblich beeinflussen.

Oder kurz: Ebenso wie auf S. 314—315 die Berechnungen für geographische Coordinaten und rechtwinklige Soldner sehe Coordinaten in Bezug auf den Meridian von Celle hinreichend unter sich gestimmt haben, so stimmen auch nun alle Berechnungen mit den konformen rechtwinkligen Coordinaten in Bezug auf den 31. Längengrad als x-Axe, sowie alle unsere auf die konforme Abbildung des Ellipsoids auf die Kugel gemachten Berechnungen völlig hinreichend unter sich überein.

§ 102. Die Haupt-Dreiecksketten und Netze der Preussischen Landes-Triangulation.

Im Anschluss an die Projektions-Theorie der Preussischen Landes-Triangulation wollen wir auch noch eine Übersichts-Karte der Haupt-Dreiecksketten und Netze der Preussischen Landes-Triangulation hier vorführen in der Zeichnung von S. 520—521.

Dieselbe ist eine verkleinerte und vereinfachte Darstellung nach dera VII. Teil des Werkes: „Preussische Landes-Triangulation, Hauptdreiecke, gemessen und bearbeitet von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme, Berlin 1895“ (Mittler & Sohn, Kochstrasse 68/70). Dieser schon auf S. 134 von uns citierte Band enthält eine Karte in 1: 2 000 000 mit allen Dreieckspunkten I. Ordnung, nach welcher unsere verkleinerte Übersichtskarte in 1: 5 000 000 hergestellt wurde.

Es sind darauf alle Haupt-Dreiecksfretferc dargestellt mit allen Dreieckspunkten und Verbindungslinien, und mit Namen der Punkte an den Grenzen der Ketten, während alle Namen einzuschreiben der Raum nicht ausreichte.

Im unteren Teile von S. 520—521 ist auch eine Übersicht aller Ketten und Netze seit 1834, im wesentlichen nach der Zeitfolge geordnet, beigefügt, wobei die „Netze“, d. h. die Ausfüllnetze zwischen den Ketten, mit kleinerer Schrift angegeben sind. Diese Füllnetze, im ganzen sechs an der Zahl, konnten in unserer Figur S. 520 und 521 nur als leere Räume angedeutet werden, weil die ursprünglich versuchte Punkt- und Linien-Ausführung in diesen Ketten den Zusammenhang der Ketten nicht mehr deutlich hätte hervortreten lassen. Die kleinen Füllnetze im Nordosten sind auch in dem Originalplan des VII. Teiles, Hauptdreiecke, nur als leere Flächen angegeben, während die schönen Netze von 1872 an, dort mit allen Sichten ausgeführt sind. (Zu bemerken ist auch, dass Mecklenburg, welches ganz von preussischen Ketten umschlossen ist, nicht preussisches Netz, sondern eigenes mecklenburgisches Netz ist, dessen Projektions-Theorie in unseren §§ 80.—81. S. 419—431 mitgeteilt wurde.)

Wie schon in unserem früheren § 21. S. 134 unten zusammengestellt wurde, sind einzelne Ketten und Netze schon besonders von uns beschrieben worden und als Ergänzung jener Citate S. 134 wollen wir auch noch einige Berichte aus der „Zeitschr. f. Verm.“ hier anführen, die übrigens mit jenen auf S. 134 angegebenen Darstellungen zum Teil übereinstimmen.

„Zeitschr. f. Verm.“ 1888 S. 382 und S. 399 die Elbkette,

„    „    1889 S. 4 das Wesernetz,

„    „    1891    S. 229,

„    „    1891    S. 456 die    Elbkette,

1892 S. 193,

„    „    1893    S. 1,

„    „    1894 S. 3, mit Netzbild S. 9,

„    „    1894    S. 454 das    Schlesisch-posensche Dreiecksnetz,

„    ,    1895    S. 115,

„    „    1895 S. 311 Hannoversch-sächsische    Kette und sächsisches Netz.

Obgleich durch alle diese Einzeldarstellungen der Gang der Preussischen Landes-Triangulation im wesentlichen als bekannt vorausgesetzt werden kann, wird es doch beim Anblick der Übersichtskarte S. 520 und 521, da das nun vor 60 Jahren begonnene Werk im wesentlichen fertig vorliegt, angezeigt sein, folgendes kurz zu rekapitulieren :

Der wissenschaftliche Grund zu der heutigen Landes-Triangulation wurde gelegt durch die berühmte Gradmessung in Ostpreussen von Bessel und Baeyer 1832—1834 und durch die daran anschliessende Küstenvermessung von Baeyer 1837—1846.

Die heutigen geographischen Coordinaten der Landesaufnahme wurden 1859 bestimmt durch eine astronomische Messung bzw. Annahme für den Ausgangspunkt Berlin Sternwarte bzw. dessen Übertragung auf den benachbarten Punkt Rauenberg, und durch ein astronomisches Azimut, Rauenberg-Marienturm (vgl. hiezu § 59. S. 331).

Man könnte die Frage aufwerfen, warum für ein so grosses Gebiet von rund 1100*™ Länge und 800*™ Breite nicht mehr als ein astronomischer Orientierungsausgangspunkt genommen wurde, etwa mit Ausgleichung der Lotablenkungswidersprüche an den Grenzen u. s. w. ?

Indessen wären solche Fragen nicht angebracht, angesichts der Entwicklung, welche ein so wichtiges Staatsunternehmen unter wechselnder Leitung seit mehr als einem halben Jahrhundert thatsächlich genommen hat.

Man hat dem rein trigonometrischen widerspruchsfreien Zusammenhang aller geodätischen Elemente des grossen preussischen Staates den Vorzug gegeben vor dem Hereinziehen astronomisch-physikalischer Elemente, und erst das nächste Jahrhundert und künftige Generationen von Erd- und Landmessern werden hierin Neues sehen.

Der Ausgleichungsgang ist nun im wesentlichen ganz klar: Die Ketten legen sich zunächst frei aus, nur mit ihren eigenen inneren Bedingungsgleichungen ausgeglichen, und erst wenn eine Anzahl von Ketten sich zu einem Kranze schliessen, muss auch Polygonausgleichung stattfmden, deren Zwang dann gewöhnlich die letzte Kette zu tragen hat, weil, dem Fortschreiten der Messungen II.—III. Ordnung entsprechend, man unmöglich mit dem Kranzabschluss warten konnte, bis alle Ketten

Acht Grundlinien, mit dem Besselsehen Apparate gemessen, geben die lineare Fundierung in den verschiedenen Landesteilen, nämlich Königsberg 1834, Berlin 1846, Bonn 1847, Strehlen 1854, Braak 1871, Oberhergheim 1877, Göttingen 1880, Meppen 1883 mit Nachmessungen von Strehlen, Berlin, Bonn. (Näheres hiezu s. S. 101—102 und S. 146.)

gemessen waren.

Als Beispiel hierfür wollen wir aus unserem I. Band, „Handb. d. Verm.“, 4. Aufi. 1895, S. 511 (oder auch „Zeitschr. f. Verm.“ 1895, S. 313) entnehmen, dass die Hannoversch-sächsische Kette 1880—1881 zwischen Hagelsberg und Lüss einem Anschlusszwang von 0,173"* in y und von 0,367“ in x zu tilgen hatte.

Ist ein Kranzsystem geschlossen, so folgt die Einschaltung des Füllnetzes ebenfalls mit Anschlusszwang am Bande, wie ebenfalls in Band I, 4. Aufl. 1895, S. 512 (oder Zeitschr. 1895, S. 314) an dem Beispiele des sächsischen Dreiecksnetzes 1881—1882 ersehen werden kann, oder an dem Beispiele des Schlesisch-posensehen Netzes in Band I, 4. Auü. 1895, S. 415.

Je weiter die Ketten und Netze hinausgehen, desto grösser muss natürlich der Anschlusszwang wachsen, doch ist er nirgends so gross, dass deswegen die praktische Verwendung der ausgeglichenen Coordinaten Schwierigkeiten begegnete.

Von besonderem Interesse für die Theorieen solcher Zwangsanschlüsse ist eine Abhandlung von Krüger: „Über den Anschluss eines sekundären Dreiecksnetzes an ein Hauptnetz“ in „Zeitschr. f. Verm.“ 1895, S. 289—307, S. 339—347 und S. 368—375. Es wird hier zuerst die Theorie der konformen Übertragung mit Anschluss an 2 feste Punkte (S. 291), 3 feste Punkte (S. 293) und 4 feste Punkte (S. 298) behandelt mit Citaten nach Baur und Schols, und auch der allgemeine Fall mit n festen Punkten (S. 306) behandelt.

Nach diesem wird ein Näherungsverfahren angegeben (S. 342), welches darin besteht, dass die Coordinaten-Transformationsformeln mit solchen Konstanten für lineare Vergrösserung und für Verdrehung versehen werden, welche den aus allen Anschlüssen hervorgehenden Mittelvergrüsserungen und Mittelverdrehungen sich am besten anpassen.

Solches Verfahren wird dann angewendet („Zeitschr. 1895“ S. 368) auf das thüringische Dreiecksnetz 1880, dessen Lage aus unserem kleinen Netzbilde S. 520—521 genügend ersehen werden kann, indem es gegen Norden die 4 festen Anschlusspunkte Inselsberg, Ettersberg, Wilsdorf, Leipzig hat, und im übrigen frei ausliegt. Krüger giebt an der citierten Stelle („Zeitschr. f. Verm. 1895“, S. 368—375) zwei eigene Ausgleichungen nach seinem angegebenen Näherungsverfahren und deren Vergleichung mit der amtlichen Ausgleichung der Landesaufnahme, welch letztere nach der Correlaten-methode unter Einführung von 6 Zwangsanschlussgleichungen gemacht ist (Königl. Preuss. Landestriangulation, Hauptdreiecke, VII. Teil, 1895, S. 79 85).

Nach diesen nicht unwichtigen Citaten Krüger betrachten wir nochmals die Gesamtheit der Preussischen Landes-Triangulation in dem Übersichtsbilde S. 520—521.

Dieses grosse in sich widerspruchsfrei geodätisch ausgeglichene Werk, welches für alle praktischen Vermessungszwecke in ganz Preussen einheitliche widerspruchsfreie Coordinaten und Abrisse liefert, ist ein Werk, welches seinesgleichen kaum in einem anderen Staate haben wird, welches jeden Landmesser mit Freude erfüllen muss, der auf irgend welchem Teile desselben und in irgend einer der Formen, in welchen die Ergebnisse desselben noch verwertet werden können, mitzuwirken berufen sein wird.

Kapitel IX.

Polar-Dreieck mit reduzierten Breiten.

§ 103. Die reduzierte Breite.

Eine neue Behandlung der geodätischen Linie bekommen wir durch Einführung eines sphärischen Hilfsdreiecks mit „reduzierten Breiten“. Es ist das eine Theorie, welche bei Berechnung sehr langer geodätischer Linien eine wichtige Rolle spielt.

Wir betrachten mit Fig. 1. einen Hilfswinkel, der „reduzierte Breite“ heisst, und den wir im Folgenden allgemein mit xp bezeichnen wollen, während die geographische Breite wie immer mit cp bezeichnet werden soll.

Man kann die gewöhnliche Ellipsen-Gleichung zur Einführung von ip benützen, denn wenn für die Ellipse die Gleichung besteht:

Fig. l.

œ2 ,y² _ i

a2⁺ &2~ ¹

(1)

so kann man unbedingt setzen:

— = cos xp ,    = sin xp

a    T    b

(2)

Dabei ist nach (16) § 32. S. 196:

_ cos cp    y

— ÎÎV >    —

h a Y1-e²

also:

COS GP

cos xp =

W — y 1 — e² s in² cp

(5)

Avobei gesetzt ist:

Die geometrische Bedeutung des so eingeführten Winkels xp ist durch Fig. 1. veranschaulicht, man wird auf die Hilfsbreite xp auch geführt durch eine bekannte Ellipsen-Konstruktion, bei welcher zwei konzentrische Kreise mit den Halbmessern a und b benützt werden.

Eine zweite Veranlassung zur Einführung der reduzierten Breite haben wir in dem Satze von der geodätischen Linie, den wir in (11) § 69. S. 378 gefunden haben, nämlich :

(6)

p sin a — k

wo p der Parallelkreis-Halbmesser des Umdrehungs-Ellipsoids ist, d. h. derselbe Wert,

der in (1) und (2) mit x bezeichnet wurde, man hat also:

a cos cp    .    , ,

= —    - = a cos xp, d. h. cos xp =

cos cp

(7)

Der dadurch bestimmte Wert xp ist derselbe, den wir schon in (4) kennen gelernt und reduzierte Breite genannt haben. Damit giebt die Gleichung (6):

a cos xp sin a = a cos xp' sin a' = k Die letzte Gleichung ist eine Anwendung des Satzes (6) auf zwei zusammengehörige Wertpaare xp, a und xp', a'; und indem man dabei den konstanten Faktor a und das allgemeine Zeichen k fortlässt, hat man aus (6) oder (8):

cos xp sin a = cos xp' sin a'

(8)

(9)

Dieser Gleichung (9) entspricht ein sphärisches Dreieck, das wir in Fig. 2. des nächsten § 104. näher betrachten wollen; und damit erlangt die reduzierte Breite xp, welche nun als Repräsentant des sphäroidischen Parallelkreis - Halbmessers p = x in Gleichung (7) erscheint, erhöhte Bedeutung.

Wir haben also durch die Gleichung (7) ausführlicher:

_ cos qp

(wo W = Y1 — e² si«² cp)

(10)

cos xp

oder auch mit Einführung von V= W: yl— e² wie immer nach (1) und (2), S. 202 bis 203:

cos xp =

cos (p

(wo V = Y1 + e'² cos² qp)

vy i—e2

Daraus findet man durch geometrische Umformung:

(H)

sin xp = sin cp

und cos cp =

cos xp

Y1 -+- e'² sin² xp tang xp — tang cp ]/l — e², oder tang cp — tang xp ]/1 -f- e'²

(12)

(13)

Wir brauchen auch noch die Differentialbeziehung zwischen qp und xp, welche sich am einfachsten aus (13) ergiebt, nämlich:

dxp _dcpyï — e2 cos² xp cos² cp

also wegen (11):

d qp

dxp

V² y 1 — e²

(14)

Aus (11) findet man auch: V² —

1 + e'²

1 + e'² sin²xp

und

V= yTT e'² cos² cp =

(15)

y 1 — e² cos² xp

Die geometrische Bedeutung von V² ist, nach (25) S. 197, das Haupt-Krümmungsverhältnis, d. h. das Verhältnis der beiden Haupt-Krümmungs-Halbmesser N und M in einem Punkte des Ellipsoids mit der Breite qp; und die Formel (15), welche nun V² bzw. V auch als Funktion von xp giebt, ist für spätere Anwendung wichtig.

Numerische Berechnung von cp—xp.

Um zu gegebenem qp das zugehörige xp zu berechnen oder umgekehrt, kann man

zuerst die Gleichung (13) anwenden:

tang xp = tang cp Vl — e²

Wenn man aber besondere Zahlenschärfe wünscht, so wird es besser sein, auf

die Differenz qp — xp geradezu auszugehen, und hiezu hat man nach (12) und (11):

.    . sin cp

sm xp = —-y

{log yl — e²= 9.998 5458-202)

(16)

sin cp = V sin xp

(17)

520

Raegtang

Skamiingsbanke

WongshöhsA ’

.Hugeùerg

Preussische Lands-Triangulation.

Ûbersicls-Karte

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Dreieckskettf I. Ordnung

von 185-1895.

Moen(Kongsojerg)

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1853-1860

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1886-1887

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1881-1882

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1873-1874

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1877

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der Haupt-Dreiecksketb und der Füllnetze.

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1832—1884 Gradmessung in Ostpreussen. 1837—1846 Küstenvermessung.

1839—1841 Dänischer Anschluss.

1852

1853

Anschluss bei Tarnowitz.

1858

1859

Weichselkette.

Dreieckskette an der russischen Grenze.

Dreieckskette an der russischen

Grenze.

1861—1862 Dreieckskette an der russischen Grenze.

Dreieckskette bei Broniberg.

Schneeberg

Massstab : 1:5 000 0000

5o

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368—1872 Märkisch - schlesische Dreieckskette.

368—1872 Schlesisch - posensche Dreieckskette.

1872— 1873 Posensches Dreiecksnetz.

1877 Schlesisch-posensches Dreiecksnetz.

54 —1878 Schlesische Dreieckskette.

Österreichischer Anschluss.

1873— 1874 Märkisches Dreiecksnetz.

S56, 1874 und 1875 Elbkette.

Schleswig-holst. Dreieckskette.

580—1881 Hannoversch-sächsische Dreieckskette.

'Boqolau ¹Roy

1881-1882 Sächsisches Dreiecksnetz.

1882—1885 Hannoversche Dreieckskette.

1886—1887 Wesernetz.

1888 Thüringisches Dreiecksnetz.

18891892 Rheinisch - hessische Dreiecks-

kette.

>78

rS69

1893—1894 Niederrheinisches Dreiecksnetz.

1886, 1889—1892 Niederländischer Anschluss-Belgischer Anschluss.

Pfälzisches Dreiecksnetz. Elsass-lothringische Kette.

1894

1895

1876

cos cp = Fj/l—e²cosxp

cos xp =

cos cp

(18)

F )/1 — e²

Nun ist sin (cp — xp) = sin cp cos xp — cos cp sinxp; dieses kann man in zweifacher Weise auf (17) und (18) anwenden, wodurch man findet:

oder:

1    — yi-gg

2    Vyi^e²

sin (cp — xp) = sin 2 xp~ (l — yi — e²)

sin (cp — xp) = sin 2 cp

(19)

(20)

Hiebei ist F je nach der einen oder anderen Form von (15) zu benützen.

Zur Anwendung von (19) und (20) hat man von (7) S. 180 und S. 192 unten:

log (l—yi—e²) = log a — 7.524 1069-098 Indem man noch zum Übergang von log sin (cp — xp) auf log (<p — xp) die Formel für log sinxS. 178 benützt, bekommt man aus (19) und (21):

log (cp — xp) = logS-nyCf>-

+ 2.538 9562-266 + [5.28078] (cp — xp)²

(21)

(22)

wobei [5.23078] der Coëfficienten-Logarithmus für 7te Logarithmenstelle ist.

Hiernach kann man in der äussersten Schärfe rechnen, z. B.:

Gegeben Berlin <p = 52° 30' 16,7" , 2 <p = 105° 0' 33,4"

Damit giebt die Hilfstafel auf Seite [5] des Anhangs log V— 0.000 5399-278, und wenn man im übrigen nach der vorstehenden Formel (22) rechnet, so erhält man :

log sin 2 cp log 1 : F

2.538 9562-266 9.984 9249-285 9.999 4600-722

2.523 3412-273 + 1.894

hiezu das letzte Glied von (22):

cp — xp = 5' 33,68864" cp = 52° 30' 16,70000"

log (cp — xp) 2.523 3414-167 cp — xp —    333,68864

(23)

xp= 52° 24' 43,01136"

Mit so vielen Dezimalen wird man natürlich im allgemeinen nicht rechnen, wir haben aber diese scharfe Rechnung hier geführt, um sie zugleich als Kontrolle für das nachfolgende Näherungs-Verfahren zu benützen.

Die beste Form zur numerischen Berechnung von cp — xp aus gegebenen cp oder xp erhält man durch eine Reihen-Entwicklung nach dem Grundsätze des Mittelarguments (§ 29. S. 178—179). Nach (13) ist:

e² e4 ~2    8"

tang xp - yi —e² tang cp — ^

₌

COS² (X

damit wird: cp — xp = (    + -g-Jcos² g tang cp ,

/ ß2i    6^\

ę ~ V ⁼ (t ^ T )sin ^ ⁺ ^

andererseits

woraus weiter:

tang cp — tang xp

j tang cp

mit

cp

— xp -2~ =

e²

cp — g -\— — sin g cos g

Dieses kann man noch um einen Grad weiter treiben, was hier nicht ausführlich angegeben wird, wodurch man erhält (mit Zusetzung von q"):

ę — ip

fe²    e4 5    \    1

= (t ⁺ ~8 ⁺ 64 e)Q sm (<f>~lP) ⁺ 384 e6 P" sin& ^

(24)

Mit Bessels Excentricität loge²— 7.824 4104-237 giebt dieses ausgerechnet: qp — tp = 345,325 3808 sin (qp + xp) + 0,000 160 si«³ (qp + xp)

(log = 6.2033)

Das zweite Glied mit höchstens 0,00016" ist für gewöhnlich zu vernachlässigen. Um die Formel (25) bequem anzuwenden, muss man einen Näherungswert von cp — xp vorher haben, und ein solcher wird durch unsere Hilfstafel Seite [58] des Anhangs geliefert; die Anwendung mag ein Beispiel zeigen:

Gegeben Berlin Hiezu nach S. [58] : cp — xp

(log = 2.538 2285-0)

<p = 52° 30' 16,7"

= 5' 33,65" genähert

xp= 52° 24' 43,05" qp + i/;= 104° 54' 59,75" log sin (cp + xp) log 345,3...

log 345,3... sin (cp + xp)

345,3... sin (qp + xp) = 333,68847" +0,00014 (q> — tp) = 333,68861" = 5' 33,68861"

Ursprünglich gegeben qp = 52° 30' 16,70000"

Hiezu das zweite Glied von (25):

(25)

9.985 1126.8 2.538 2285.0

2.523 3411.8

(26)

Also: xp = 52° 24' 43,01139"

Dieses stimmt hinreichend mit dem schärfer berechneten Wert (23).

Die Frage, wie genau man den Näherungswert cp + xp haben muss, um eine gewisse Endgenauigkeit zu erreichen, kann man durch DifFerentiieren von (25) beantworten; man findet, dass ein Fehler von 1" an dem Näherungswert nur einen Fehler von etwa 0,001" erzeugt, weshalb eine Genauigkeit von 0,1" im Näherungswert (wie sie die Hilfstafel Seite [58] gewährt) zur endgiltigen Berechnung genügt.

Für die sphäroidischen Normal-Beispiele, welche wir in (1)—(5) § 73. S.391—392 voran gestellt haben, sind die geographischen Breiten cp und die entsprechenden reduzierten Breiten xp die folgenden: cp = 45° 0' 0" xp = 44° 54' 14,67493"

49° 30' 0"

50° 0' 0"

50° 30' 0"

55° 0' 0"

49° 24' 18,83709"

49° 54' 19,82230" 50° 24' 20,91117" 54° 54' 35,31462"

Mecklenburg

ę = 53° 0' xp = 52° 54' 27,89895" 54° 24' 33,31059"

54° 30'

Tübingen

Hornisgrinde qp = 48° 36' 21,8966" Berlin Königsberg

cp = 48° 31' 12,4000"

cp = 52° 30' 16,7" cp = 54° 42' 50,6"

xp = 48° 25' 29,6082" xp = 48° 30' 30,2280" xp = 52° 24' 43,0014" xp = 54° 37' 24,7564"

§ 104. Das sphärische Hilfsdreieck mit reduzierten Breiten.

(1)

Wir knüpfen an die im vorigen § 103. (9) S. 521 gefundene Gleichung an : cos xp sina = cos xp' sin a'

Dieser Gleichung entspricht die nachstehende Fig. 2.

In nachstehender Fig. 1. sind P und P' zwei Punkte auf dem Ellipsoid, s die verbindende geodätische Linie mit den Azimuten « und Die beiden Punkte P und P' haben die geographischen Breiten cp und cp' und den Längen-Unterschied l.

Fig. 2. Kugel.

Fig. 1. Ellipsoid.

302

cc

90- <{/

s.

cc*

cc

"P

?r

In Fig. 2. ist ein entsprechendes sphärisches Dreieck T Q Q' gezeichnet, dessen Bogen Q Q' dieselben Azimute « und a' hat wie die geodätische Linie PP'. Der Bogen Q Q' ist mit a er bezeichnet, indem der Kugelhalbmesser = a (Äquatorhalbmesser des Ellipsoids) und der Centriwinkel = o angenommen ist. Der Längenunterschied zwischen Q und Q' ist = verschieden von l. Auch die sphärischen Breiten ip und ip' sind andere als die ellipsoidischen, es sind die zu cp und cp' gehörigen reduzierten Breiten, d. h. nach (13) § 103. S. 521 bestehen die Beziehungen:

(2)

tang xp = tang cp }/l—e² , tang ip' = tang cp' ]/l — e²

Die Eichtigkeit all dieser Beziehungen ist durch die sphärische Gleichung (1) bewiesen, und wir wissen nun, dass einem geodätischen Polardreieck N P P' auf dem Ellipsoid immer ein sphärisches Dreieck T Q Q' entspricht, mit gleichen Azimuten a, <x' und mit reduzierten Breiten xp, xp', welche zu cp, cp' gehören. Dagegen sind die übrigen Stücke, die Entfernung beider Punkte und deren Längenunterschied, in beiden Dreiecken verschieden.

Es kommt nun darauf an, eine Beziehung herzustellen zwischen s und er und eine Beziehung zwischen l und À, denn da zwischen allen übrigen Stücken von Fig. 1. und Fig. 2. vermöge der Gleichungen (1) und (2) bereits Beziehungen bestehen, werden wir dann in allen Teilen von dem sphäroidischen Dreieck auf das sphärische Dreieck übergehen können und umgekehrt.

Wir haben nach (1), (2) S. 392 und (1), (2), S. 347 folgende Differential-Gleichungen, mit den Bezeichnungen unserer vorstehenden Fig. 1. und 2. (geographische Länge auf dem Ellipsoid = Z, auf der Kugel = À):

dl — dX

Die hier zweimal auftretende Grösse 7 ist die stets von uns benützte Funktion der Breite, welche entweder in cp oder in xp ausgedrückt nach (15) § 103. S. 521 ist:

V— Y1 -+- e'² cos² cp oder    — e²cos²ip

(8)

Die geometrische Bedeutung von 7 haben wir schon in (25) § 32. S. 197 angegeben, es ist nämlich V² das Verhältnis der beiden Haupt-Krümmungs-Halbmesser N und M.

§ 105. Integration der Differential-Gleichungen des Polar-Dreiecks.

(1)

Wir haben vom vorigen § 104. (6) und (8) (s. oben) die Differential-Gleichung: d s = a da Y 1 — e² cos² tp'

Diese Gleichung bezieht sich auf die untenstehenden Fig. 1. und Fig. 2., indem d s das Differential der geodätischen Linie $ in Fig. 1. und a d a das Differential des sphärischen Bogens a (auf den Halbmesser a bezogen) von Fig. 2. ist; auch tp' ist sphärische Breite eines Punktes auf dem Bogen a.

Um die Gleichung (1) nach a integrieren zu können, muss man tp' in a ausdrücken, wozu die Formeln der sphärischen Trigonometrie dienen, welche wir schon früher in (20)—(22) § 60. S. 343 angegeben haben, nämlich mit Übertragung auf unsere neue Fig. 2. :

Fig. 2. Kugel.

Ellipsoid

d s cos a = Md cp d s sin a = N cos cp dl Hieraus durch Division:

Kugel

a d a cos a = a d ip ad a sina = a cos tp d X

ds _ Md qp ad s ~ ad tp

dl _ Mcos tp d qp d À N cos cp dtp

Hiebei ist nach (11) und (14) § ÎOB. S. 521:

= V]/l—e² und

cos cp cos tp

d cp

dtp

= V² yï — e²

(5)

Nach § 32. S. 196-197 ist M = ¹iTrf =

a W³

73^1 —e²

die beiden Gleichungen (5) folgende einfache Gestalt annehmen:

ds = ad ff-=r

und

M_ 1_ N ~ F²

womit

Fig. 1. Ellipsoid.

<*'

o¹

OÉ*

ol

cC

also:

sin xp cos ip cos a

sin m — cos tp sin a , tang M =

sin xp _ cos xp cos a sin M cos M sin xp' = cos m sin (M -t- o)

Nun setzen wir zur Schreib-Abkürzung im Folgenden:

M -+- er = x , wobei M konstant, also d a = dx sin² xp ' = cos² m sin² x und cos² xp' = 1 — cos² m sin² x

cos m —

Dieses in (1) gesetzt giebt:

e²

ds = a~\/1 — e² -f- e² cos² m sin² x da

1 — e²

— e’² , also d s = a }/l — e² ]/l -j-e² cos² m sin²x da

(7)

a]/l — e² = b , e'cosm — k , d s = b ]/ 1 -+- k² sin² x d x Nun wird nach den gewöhnlichen Reihen S. 169 und S. 176 entwickelt:

■j/l -b k² sin² x — l -\-~k² sin² x — sm⁴ x = ~

1A sin* x

(8)

sin 2 x —    — ~2

Dieses zusammen giebt:

cos 2 x

y~y

cos 2 x +

cos 4 x

(9)

yi+ k² sin² x ^1 -+-

k² —

JA

k* j cos 2 x — g- cos 4 x (10)

Zur Integration hat man:

cos 2 x —

sin 2 x

’ JC

cos 4 x = sin 4 x

/:

m+ a cos2xdx

/■

M-\- 0

cos 4 x dx —

= ~ (^sin (2 M + 2 ff) •— sin 2 M j = sin o cos (2 A4 + ff)

|sm (4 M + 4 ff) — sin 4 m] = ~sin2ocos(4M+2o) (12)

(11)

1^11-*

Damit kann man die Integrale von (9), d. h. auch die Integration von (8) zusammensetzen, wodurch man einen Ausdruck von dieser Form erhält:

s = Abo — B b sin ff cos (2 M -+- ff) — Cb sin 2 o cos (4 M -+- 2 er)

Dabei haben die Coëfficienten A, B und C folgende Bedeutungen:

(18)

A=

6»

k² — ~k*

’ °=⁽I28*⁴

(14)

Die Umkehrung von (13) giebt:

— -t- ß sin ff cos (2 M -+- ff) -t- y sin 2 o cos (4M + 2 ff) wobei die neu eingeführten Coëfficienten sind (mit Zusetzung der nötigen g):

o_B

’ A

In gleicher Weise behandeln wir auch die Differential-Gleichung für den Längenunterschied, nämlich nach (7) und (8) § 104. S. 525:

dl = yi — e² cos² xp dX

ff = a

(15)

(16)

Hier wird nach (11) S. 169 entwickelt:

(18)

/---e²    e4    e6

y 1 — e² cos² xp = 1--2“ cos² xp ■—g- cos⁴ ip —    cos^xp

Hiebei bestehen sphärische Gleichungen, nach (1) § 61. S. 847: d X cos xp = da sin a

dann nach den zu Fig. 2. gehörigen Gleichungen (2):

sin m

sin a =

cos xp

, also d X =

sin m

da

(19)

cos² xp

Damit kann man (17) in eine Integration nach a umformen, nämlich mit Rück-sicht auf (18):

l = X — e² sin m

r ( i    e2    ei    \

/ ("2"    "8 cos2x^ ⁺ î6 cos4lfJ + '⁻ ■)

(20)

Nun hat man wieder nach (6):

cos² xp = 1 — cos² m sin² x cos⁴ xp = 1 — 2 cos² m sin² x + cos⁴ m sm⁴ x Ausserdem hat man sin² x und sm⁴ x ausgedrückt in cos 2 x und cos 4 x durch (9), und all dieses zusammen bringt die zu integrierende Funktion (20) auf eine Reihe, welche nach cos 2 a?, cos ix u. s. w. fortschreitet, d. h. (20) wird:

i+ B' cos 2 x ■+- C cos 4 x + ...) dx

(21)

l = X — e² sin m

Dabei haben die Coëfficienten folgende Bedeutungen:

e⁴    3

cos² m +

.,    1 e² . e⁴ e² „

A + ~8⁺Ï6~Ï6COS m~ÏQ

e²

B'=Ï6

128

e⁴ cos⁴ m

cos² m -f-

e⁴

e⁴

16Cos2m~32

cos^m

(22)

C' =

e⁴

128

cos⁴ m

Denkt man sich diese Coëfficienten in (21) eingesetzt, integriert, und die Grenzen ebenso wie früher bei (11) und (12) eingeführt, so überblickt man leicht, dass folgendes erhalten wird:

C    \

' sin a cos (2 M + a) + y sin 2 a cos (4 M + 2 a) +... j (23)

l = X — e² sin m ( A' a + B

Hier ist noch bei B' und C der Faktor q zuzusetzen; indem wir dieses thun, und auch e² in die Klammer hinein ziehen, bilden wir aus (23) diese letzte Form:

l = X — sin m (a' a -f- ß' sin a cos (2 M + a) + y' sin 2 a cos (4 M4- 2 afj (24) Dabei ist:

C e²

(25)

<x! = A'e²    , ß' = B' e² q

Entwicklung auf höhere Potenzen.

Wir haben in der vorstehenden Entwicklung nur so viele Glieder beibehalten, als man bequem überschauen kann, und so viele, als für gewöhnlich nötig sind.

Zu einem sicheren Urteil über den Einfluss der höheren Glieder muss man die Weiter-Entwicklung der vorstehenden Reihen machen. Wir setzen nur die Schlussergebnisse der Reihen-Entwicklung hier her.

___'Ljfcs)

1536    6144 )

{m6k8)

Die Reihe (15) bekommt noch ein Glied, und ist dann:

+ ß sin a cos (2 M + ff) + y sin 2 g cos (4 M-\- 2 er) + Ô sin 8 a cos (6M+3 g) (26) Folgendes sind die dazu gehörigen Coëfficienten mit k = e'eosm:

Ł Æ⁴ + JL Ä6

, -1=1 +

Æ²

175

4    64

256

36884

15

*6 —

35

Ï6 ÏÏ2

3 ,r ,    35

2048**

128    512

8192

(27)

Auch die Reihe (24) bekommt ein weiteres Glied und wird: l — À — sin m (a' g + ß' sin a cos (2 M + g) + y' sin 2 g cos (4 M + 2 o)

+ ö' sin 3 g cos (6 M -t- 3 ff))    (28

Folgendes sind die hiezu gehörenden Coëfficienten:

e⁴ cos² in 16

, e² / e² e⁴ 5 e6\

“ _t(¹⁺ Ï+ 8

(1 + *,+is*‘)

15

1 + e² +₁₆ e⁴

^e⁶ eos⁴w? ^1 + e²j ^

°°! w

2048

e⁸ cos⁶ m

~ Q (l6

cos² m

e⁶

“32

cos⁴ ?//(! +

15

e² +

75

4096

e8 cos⁶ m

(28a)

e⁶

256

cos⁴ m 1 +

15

e²

15

4096

e⁸ cos⁶ m

(29)

Wenn man hier alle konstanten Teile mit der Bessel sehen Excentricität e (loge² = 7.824 4104.287 nach S. 193) ausrechnet, so bekommt man: a! = 0,003 342 773183 — [4.447 6079] cos² m + [1.84854] cos⁴ in — [9.3843] cos⁶m ß' = [9,762 0330] cos² m — [7.28791] cos⁴ m + [4.87477] cos⁶ m y' = [6,38482] cos⁴ m — [4.17580] cos⁶ m ö' = [3.22156] cos^m

Diese Reihen gehen weit über das gewöhnliche Bedürfnis. Bei geodätischen Linien von mehreren Graden Ausdehnung braucht man von (29) meist nur a' und ß’ und dabei nur die zwei ersten Glieder von a' und das erste Glied von ß'.

Etwas mehr braucht man gewöhnlich bei der Reihe (26) mit den Coëfficienten (27), doch auch meist nur a, ß und y nur etwa bis fc⁴. Dabei ist etwa 8stellige Logarithmen-Rechnung angenommen. Mit den Coëfficienten (27) und (29) kann man auch die grössten Fälle 10 stellig berechnen.

Anwendung der vorstehenden Entwicklungen.

Durch die Gleichungen (26) und (28) mit den zugehörigen Coëfficienten cc, ß, y, a' ß' y' u. s. w. sind die gesuchten Beziehungen zwischen Fig. 1. und Fig. 2 hergestellt und man kann damit das Polardreieck auflösen in folgender Weise:

Von einem Punkte des Ellipsoids mit der geographischen Breite qp geht eine geodätische Linie s unter dem Azimut a aus; man soll die Breite cp' des Endpunktes dieser geodätischen Linie bestimmen, sowie das Azimut a' daselbst und den Längenunterschied l beider Punkte.

Aus der gegebenen Breite cp berechnet man die zugehörige reduzierte Breite ip nach der Gleichung tang ip — Y 1 — e² tang cp (oder nach einem anderen in § 103. angegebenen Verfahren). Mit diesem ip und dem Azimut a kann man in dem sphärischen rechtwinkligen Dreieck in Fig. 2. die beiden Hilfsgrössen m und M bestimmen und damit die Gleichung (15) oder (26) nach er auflösen.

Damit hat man drei Stücke ip, a, er, mit welchen das schiefwinklige sphärische Dreieck von Fig. 2. aufgelöst werden kann, so dass die jenseitige sphärische Breite ip' und der sphärische Längenunterschied A bekannt werden.

Von der sphärischen (reduzierten) Breite ip' geht man zurück zu der wirklichen Breite Cp' durch die Gleichung tang cp' = tang ip' Y1 -f- e'² (oder durch ein anderes in § 103. angegebenes Verfahren), und von der sphärischen Länge X kommt man zu der sphäroidischen Länge l durch die Gleichung (24) oder (28), womit die Lösung der ganzen Aufgabe vollendet ist.

Zu einem Zahlen-Beispiel hiefür wollen wir nach (5) § 73. S. 392 nehmen:

Berlin <p = 52° 30' 16,7000"    (3

Berlin-Königsberg a = 59° 33' 0,6892" log s = 5.724 259P353    (3

Die Berechnung der reduzierten Breite von Berlin haben wir bereits in (26) § 103. S. 523 behandelt und gefunden:

Berlin ip = 52° 24' 43,0114"

(32)

Nun kommt die Berechnung von m und M nach den Gleichungen (2) und (3) :

M = 68° 4P 19,95"

m = 31° 43'31,13"

(33)

Weiter brauchen wir die Coöfficienten zur Berechnung von a, und zwar zuerst Je' = e' cosm nach (8), es ist:

log e' cos m — log Je' = 8.843 3740

und damit nach (14) und (16) hinreichend genau, ohne die Weiter-Entwicklung (27) : log A = 0.000 5270-0 log a = 5.313 8981-0 Mit diesen Coöfficienten a, ß, y kann man die Gleichung (15) nach g auflösen, allerdings nicht geradezu, weil er selbst rechts vorkommt; allein die Reihe (15) ist sehr rasch konvergierend, so dass es genügt, einen ersten Näherungswert von er nur

log B = 7.084 1599-2 log ß = 2.398 0580-5

log G = 3.266 286 log y = 8.580 184

as

aus dem ersten Gliede von (15) zu berechnen, d. h. g = ^ zu setzen, womit man auch

die folgenden Glieder ausrechnen kann; oder kurz, man löst die Gleichung (15) durch Näherung indirekt, stufenweise nach g auf) Dieses Verfahren gab in unserem Falle:

erste Näherung a hiezu ß sin g cos (2 M + er) = — zweite Näherung

Damit kann man das zweite und dritte Glied von (15) ausrechnen, und hat dann im ganzen:

Jordan. Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

= g = 4° 46' 17,8" 16,4"

G = 4° 46'    1,4"

ß| = 4° 46' 17,8176"

ß sin ff cos (2 M -j- ff) = — / sm 2 ff cos (4M + 2 ct) = -f-

16,4086" 0,0015"

endgiltig ct = 4° 46' 1,4105" Nun stellen wir von (82), (31), (84) zusammen: xp = 52° 24' 43,0114"

(34)

ff = 4° 46' 1,4105" (34a) Damit kann man das sphärische Dreieck auflösen, welches xp', a' und À liefert; die Rechnung nach den Formeln (14) und (15) § 60. S. 341 (in gleicher Weise wie das Zahlen-Beispiel auf S. 341—342) hat ergehen: ip' = 54° 37' 24,7566"

a = 59° 33' 0,6892"

a' = 65° 16' 9,3655"

(35)

(36)

l = 7° 6' 30,1340"

Der so gefundene sphärische Wert ip' ist die reduzierte Breite von Königsberg, woraus man nach § 103. die wirkliche Breite berechnet, nämlich:

(37)

cp' = 54° 42' 50,6002"

Nun haben wir noch die Aufgabe, den sphärischen Längenunterschied À von (36) in den sphäroidischen Längenunterschied l zu verwandeln, wozu die Gleichung (28) mit den Coëfficienten (29) dient. Wir berechnen nach (29), jedoch nur mit den Gliedern bis cos^m:

log cd = 7.523 8439 log ß' = 9.62045 log y' = 6.098

Demnach (24):

l = X— 30,1479" + 0,0144" -+- 0,0000 ... = X — 30,1335"

also nach (32):

l = 7° 6' 30,1340" -30,1335" = 7° 6' 0,0005"

Nun haben wir in (37), (35), (38) die ganze Auflösung:

Königsberg <p' = 54° 42' 50,6002"

Königsberg-Berlin «' = 65° 16' 9,3655" , l = 7° 6* 0,0005"

(38)

(39)

Mit den erweiterten Formeln (26)—(29) wollen wir auch noch das grosse Normal-Beispiel (2) § 73. S. 391 berechnen, wofür die Hauptzahlen folgende sind:

Gegeben cp = 45° 0' 0"

a ^ 29° 3' 15,4598"

(40)

logs = 6.120 6674-805

(41)

Die Rechnung beginnt mit der reduzierten Breite zu <p = 45°:

xp = 44° 54' 14,67493"

Das rechtwinklige sphärische Hilfsdreieck giebt: m = 20° 7' 8,712"

Die Coëfficienten zur Berechnung von ct werden nach (27): log a = 5.313 7831-066 , log ß = 2.483 7124 , log y = 8.749 94 , log ö = 5.445 und damit ff selbst in 4 Gliedern-:

ct = 42 782,021 652" — 20,794 012" — 0,017 667" ■+ 0,000 012" ff = 11° 52' 41,20998"

M = 48° 44' 46,551"

(42)

(43)

(44)

Mit xp, a und ct von (42), (40) und (44) wird das sphärische Dreieck aufgelöst ; dasselbe giebt:

xp' = 54° 54' 35,3145"

a' = 36° 45' 7,4006"

l = 10° 0' 49,11952"

Die reduzierte Breite ip' wird in die Breite cp' verwandelt, nach § 103, nämlich:

(47)

cp' = 54° 59' 59,9999" (soll 55° 0' 0")

Das Azimut «' nach (45) ist bereits auch sphäroidisches Azimut; wir haben also, um die Auflösung zu vollenden, nur noch X von (46) in l zu verwandeln, wozu die Gleichung (28) mit den Coëfficienten (29) dient.

Die Coefficienten-Berechnung nach (29) giebt:

log a' = 7.523 7864-329 log ß' = 9.706 0623 log y' = 6.27300

und damit wird:

1 = 1 — 49,131 513" -+- 0,011 935" + 0,000 020 = — 49,119 558" l = 9° 59' 59,99996" (soll = 10° 0' 0")

(48)

also nach (46):

In cp' und l von (45), (47) und (48) haben wir die vollständige Auflösung der gestellten Aufgabe in hinreichender Übereinstimmung mit den Angaben von (2) § 73. S. 391.

Umkehrung der Aufgabe.

Wenn nicht cp, a und s gegeben sind, sondern cp, cp' und À, so dass s, a und «' gesucht werden, so kann man das im Vorstehenden behandelte Verfahren auch noch anwenden, aber nur indirekt und umständlich, weil die sphärischen Winkel m und M, oder in erster Näherung wenigstens m, bereits zur Reduktion von l auf À gebraucht werden.

Indessen haben wir für den Fall, dass cp, cp' und l gegeben, und s, « und «' gesucht sind, die günstigere Auflösung unseres nachfolgenden § 106.

Vergleichung unserer Formeln mit der Bessel sehen Methode.

Der Grundgedanke der Auflösung eines sphäroidischen Polar-Dreiecks durch ein sphärisches Hilfs-Dreieck mit reduzierten Breiten ist von Bessel behandelt in einer Abhandlung: „Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen, Astr. Nadir Nr. 86, 4. Band 1826“, S. 241—254, nebst „Tafeln zur Berechnung der geodätischen Vermessungen“.

Diese Bessel sehe Theorie mit den Hilfstafeln bildet auch einen Teil des Werkes: „Das Messen auf der sphäroidischen Oberfläche u. s. w. von J. J. Baeyer, Berlin 1862“.

üm die Bessel sehe Methode nebst ihren Hilfstafeln mit den Formeln unseres vorstehenden § 105. zu vergleichen, bemerken wir zuerst, dass unsere Coëfficienten cc, fl, y nach (27) dieselben sind, wie die Bessel sehen Coëfficienten a, ß, y, deren Logarithmen in der ersten Bessel sehen Hilfstafel enthalten sind; allerdings ist die Form der Berechnung in beiden Fällen verschieden.

Die Coëfficienten fl', Y des zweiten Teils der Bessel sehen Hilfstafel sind mit unseren Coëfficienten a', fl', Y von (29) nicht unmittelbar identisch, aber sie sind denselben proportional. Es kommt bei Bessel ein konstanter Faktor in Rechnung, den wir hier F nennen wollen:

(log F= 7.825 136‘J'O)

|/l-0,75 e»

(49)

Indem wir für den nächsten Zweck der Vergleichung die Bessel sehen Coëfficienten mit

a", fl”, f" bezeichnen, und mit a', ß', Y die Coëfficienten unserer Entwicklnug nach (29) S. 528, haben wir:

F fl" = fl'

Fy" — y

Als Argument für die erste Bessel sehe Tafel, log a, log ß, log y dient der Logarithmus des Modulus k =e’ cosm, welcher nach (8) und (27) auch Argument unserer a, fl, y ist, also erstes Argument = log e ’ cos m. Dagegen für den zweiten Teil der Bessel sehen Tafel dient als Argument eine Grösse log k', wobei k’ diese Bedeutung hat :

(50)

e V 0,75 _

1/1—0,75*» ~

Mit diesen Beziehungen kann man unsere Coëfficienten cc, ß, y, et’, fl’, y' statt sie nach (27) und (29) zii berechnen, auch aus der Bessel sehen Hilfstafel entnehmen, indem man mit dem Argument loge’ cosm in den ersten Teil und mit dem Argument log k’ nach (51) in den zweiten Teil von Bessels Tafel eingeht, worauf zu den gefundenen log a’ und log fl’ noch der konstante log F nach (49) zu addieren ist, um unsere a', fl’ zu erhalten.

k’ =

yp,75

1^1-0,75*5

cos rn

log

8.850 8255-6

(51)

§ 106. Neue Auflösung des geodätischen Polar-Dreiecks.¹)

(Bezeichnungen nach Fig. 1. und Fig. 2. § 104. S. 524.)

Wir nehmen die zwei Differential - Grundformeln nach (6), (7) § 104. S. 525 nochmals vor: nämlich:.

U.

da —

dA = Vdl

wobei, wie gewöhnlich, V diese Bedeutung hat:

(e'² cos² cp — r/²)

(3)

V = ŸI + e'2 cos² qp Wenn die beiden Gleichungen (1) und (2) integriert sind, so sind alle Beziehungen zwischen einem geodätischen Polar - Dreieck und einem sphärischen Polar-Hilfsdreieck (Fig. 1. und Fig. 2. S. 524) bekannt, und man kann die Aufgabe auflösen, wie wir in § 104. S. 524 auseinandergesetzt haben.

Wir wollen nun die Integration der Grundgleichungen (1) und (2) durch Entwicklung nach dem Maclaurin sehen Satze bewirken, d. h. zunächst bis zur dritten Potenz, durch Entwicklung der Beihen:

§ 31. S. 189

d³ ul s³

dl³) 6~

Al d² Al d³ Al l³

dl J ¹ + dI²J 2 ⁺ dl³J 6

Wir gehen zuerst näher auf (4) ein, und weil a konstant, nämlich nach (9) c/1 — e²ist, haben wir aus (1):

(T = -

ns ns

1 d² cn s²

JS+ ds2j

(4)

(5)

G =■

1/1-C20 = ^|

d Fl s² d² Fl s³ |

6 }

ds

(6)

Die hier nötigen Ableitungen machen wir in gleicher Form und Behandlung wie früher in § 74. die Ableitungen für qp, l und a. Auch citieren wir von dort (5), (6), (7), § 74. S. 393 mit tang cp = t: d cp _ V³

ds

— cos a

V s in a

ns re

(13), (14), S. 393:

d cp

c cos cp

dV    ₀ F2

cos a t

sin a t

Weiter wird abgeleitet: d² V

~dW

Nun kann man bereits die Formel (6) zusammensetzen, und man bemerkt, dass dabei s mit V und c immer in derselben Kombination Vorkommen, wie auch bei den früheren Beihen (vgl. (22) § 74. S. 394), wir setzen deshalb für analytisches Mass

ls = S

(ohne p):

— — jj² -K-1 cos² a (1 — t² + T}² — 3 if t²) — sin² at² j

(9)

(10)

und damit geben (6), (8) und (9):

o(/l — e² =

S²    S³ (

S--g-cosarßt—g-r]² (cos² a (1 — t² -\-rj² — 3 rj² t²) — sin² a t²

(11)

In gleicher Weise haben wir auch die Längen-Formel zu bilden, nämlich zunächst (2) und (5):

X = VI-+

d Vl Z² d² V~l

_|T⁺dZ²J

dl

(12)

Die hiezu nötigen Ableitungen sind: d V _ d V d cp dcp dl ~ dcp dl ’

—j-j = V² cotg a cos cp ,

dl = siny

cos cp

= — rj² V cotg a sin cp oder = — rf¹ V

| cos² a (1 — 3 t² + rfi — 3 if t²)

sin a

cos a t

(13)

d²V

J¥=-’?r

cos² cp sin² a

— sin² a t²

(14)

X = f| l

Damit kann man (12) zusammensetzen: l² cos cp 2 sin a Fig.J.

if cos a t

Z³ cos² cp

ifi (cos² a (1—3 t²-\-rj²—3 ifi t²)—sin² at²)| (15)

Die Formeln (11) und (15) geben a und X als Funktion der Ausgangsbreite cp und des Aus-gangsazimutes a der geodätischen Linie ; wir wollen nun aber das Prinzip des mittleren Argumentes anwenden, welches bereits in § 77. sehr nützliche Dienste geleistet hat.

Wir nehmen zu diesem Zwecke die Bezeich-

6 sin² a

cl2

nungen von nebenstehender Fig. 1. an, d. h. wir nehmen drei Punkte in gleichen Breiten-Abständen :

⁽Pi + $2

qp₂ — cp = cp — <Pi ,

<P (16)

oiory $2

Von der Mittelbreite cp geht eine geodätische Linie s₂ unter dem Azimut «₀ aus, und eine zweite geodätische Linie sj unter dem Azimut a₀+180°. Den geodätischen Linien s₂ und Sj, deren Summe s₂ -f- Sj = s sei, entsprechen zwei Grössen Ä₂ und Si nach (10), mit der Summe <S₂ -+- Ą = S. Damit giebt die doppelte Anwendung der Formel (11):

o Yl —e² -= S —--- g —cos ccq if²1 —

oL— cC/+cC2

!%

S* + Sl

— Tj² (cos² «o (1—t²+rj²—3 rf² t²)—sin a₀ t²)

Hier ist von (4) § 77. S. 403 zu benützen:

S₂-S,=

S² . sm² <x₀    \

-¹ -^ -+- 3 rß cos an

\ cos a₀

Wenn man dieses in das Vorstehende einsetzt, so darf man auch überall « statt a₀ schreiben, und damit bekommt man:

ai/r=^ = s- g

Nun wenden wir auch die Gleichung (15) in zweifacher Weise auf Fig. 1. an und erhalten mit Z₂ + Zj = Z, X₂ -+-    — X:

₅ _ v\, H — cos cp A *    2 sincc₀

l\ -I- l\ cos² cp 6 sin² «o

rf² jsm² « 2 t² -+- cos² a( 1 — t² + t]² -f- 6 rf² t²) |

t]² cos a₀1

(17)

rf² (cos² «o (1 — 3 i² -+- g² — 3 rj² t²) — sin² a f²) j

Hiezu hat man von (17) § 77. S. 404:

S² sin² a . S²

(ü₂ — h) cos <jP —

4 cos a

t •+    sin a cos at( 2 + 8t]²)

Hier kann man setzen Ssin a = l cos (p, also: l² sin a 4 cos a

Dieses setzt man in die vorhergehende Formel für A, wobei auch wieder a0 und a vertauscht werden können; dadurch erhält man: l² cos² cp 24 sin² a

COS

T]²1'sin² a² t² -+• cos² a (1 -f- 8 t² -f j/₂ + 6 rf² t²) j |

A = f| l

Die Gleichungen (17) und (18) enthalten bereits die Lösung unserer Aufgabe, wenn man S, a und l wenigstens näherungsweise als gegeben voraussetzt; indessen ist es bequemer, alles auf den Breiten-Unterschied 6 und den Längen - Unterschied l zu reduzieren. Hiezu hat man für die Korrektionsglieder:

S sin a = l cos cp    , S cos a = l cos cp cotg a = ^

Dieses in (17) und (18) eingesetzt giebt:

(18)

(T=^=£^{l-||(^(l-<2 + î?2 + 6j?2t2) ₊ 2Z2Sm²₉)jJ

11 — ^ ^ (1 + 3 t² 4- 7/2 + 6 V² t²) + 2 l² sin² <pj j

l — Vl

(19)

(20)

Wir wollen die Coëfficienten herausheben und folgende Gebrauchsformeln bilden (mit Berücksichtigung der nötigen g):

er = Us 11 —|- (oq) 6² + (a₂) l² sin² <p]

\ = VI {l + (Äj) b² ₊ (X₂) 12 Sin2 ç,J Man kann diese Formeln auch in logarithmischer Form anwenden, z. B. wenn log o gegeben und log s zu bestimmen ist, hat man durch Umkehrung von (21) in logarithmischer Form:

(21)

(22)

log s — (log a — log U) — fi (oq) b² — fi ((T₂) l² sin² cp

(23)

Dabei ist F die bisher immer mit F bezeichnete Funktion:

F = ]/l -(- e'² cos² cp

(24)

und

oder = -

—.    g

cY l~e²

log U = log V + 8.509 7816-695

(25)

Den Wert log Fbzw. log V² kann man aus der Hilfstafel S. [2]—[7] unseres Anhangs 10 stellig entnehmen und nach (25) hat man dann auch log U.

Für die Coëfficienten (oq), (cr₂), (A^, (Ä₂) in (21) und (22) ergeben sich durch Vergleichung mit (19) und (20) folgende Bedeutungen:

fj2

(<U) = + 24 q² F4⁽*² ~ (1 + V² + 6 11²)) , (a₂) =

(*l) =

rp

12 g²

(26)

(3t2+ \+v² ₊ Qri²t²) ,    (A₂) =

24 g² F4

Dabei sind die konstanten Coëfficienten-Logarithmen :

12 £>2

Weiter-Entwicklung Ms zur fünften Ordnung.

Man kann mit den bisher entwickelten Formeln bereits geodätische Linien von mehreren Grad Ausdehnung berechnen, wie aus der Vergleichung der nachfolgenden Zahlen-Beispiele mit den Ergebnissen von § 105. zu ersehen ist.

Das beste Mittel jedoch, zur Gewinnung eines Urteils über das bisher behandelte Verfahren und über die Möglichkeit seiner Erweiterung, hat man in der Weiter-Entwicklung um eine Stufe höher, d. h. bis zur fünften Ordnung.

nur

Wir haben diese Entwicklung durchgeführt, und in der „Zeitschr. f. Verm., 1883“, S. 72—76 die Haupt-Zwischenstufen angegeben; da es sich dabei um sehr lange, im Druck kaum wiederzugebende Formelhäufungen handelt, deren mathematischer Grundgedanke schon durch das Vorhergehende völlig klar gemacht ist, geben wir hier die End-Ergebnisse.

Die Formeln (21) und (22) werden so erweitert (vgl. (30) und (31)): a = Us [l + (aj) b² + (a₂) J² sm² cp -+- (o₃) b⁴ + (a₄) b² l² cos² cp -t- (a₅) i⁴ cos⁴ qpj (28) l = VI {1 + (A₄) b² + (A₂) Z² sm² cp + (A₃) b⁴ + (A₄) b² Z² cos² cp + (A₅) l⁴ cos⁴ cp j (29)

Wenn man die Formeln (28) und (29) umgekehrt anwenden will, d. h. wenn man z. B. s aus er berechnen will, so braucht man die Glieder (erj)² b⁴, (ffj) (cr₂) b² Z² sin² cp und (a₂)² Z⁴ sm⁴ cp, welche bei der Eeihenumkehrung zunächst auftreten, nicht zu berücksichtigen, weil die Coëfficienten (erj) und (ct₂) beide den Faktor if haben, und Glieder von der Ordnung (rj⁴) in den Coëfficienten (<r₃), (a₄) und (ff₅) überhaupt vernachlässigt sind.

Also auch, wenn man logarithmisch rechnen will, kann man (28) kurz so

umkehren :

(30)

log s — (log a — log U) — fi (o:) b² — n (cr₂) Z² sin² cp — ß (cr₃) b⁴

— ß (cr₄) b² Z² cos² cp — fi (05) Z⁴ cos⁴ cp

In diesen Formeln (28), (29), (30) sind die Coëfficienten (ffj), (cr₂), (Aj), (A₂) dieselben, wie schon bei (26) und (27) angegeben wurde; die übrigen haben, auf rj2 einschliesslich genau, folgende Bedeutungen:

(03) =

if

480 gi

(1 -*²)

= [3.88838] cos² cp (1 — Z²)

(<Lt) = V

720 (,i

(ff5) = -72^4(9i2-⁵‘⁴)

(W) = _l4«i4(1 + 15i8)

(— 1 + 2 Z² +-15 Z⁴) = [3.712 229] cos² cp (— 1 + 2 Z² + 15 Z⁴)

= [3.712 229„] cos² cp (9 Z² — 5 Z⁴)

= [3.411 256 „] cos² cp (1 + 15 Z²)

(31)

(Aj) = —^

(— 1 — 10 Z² -+- 15 Z⁴) = [3.712 286] cos² <p (— 1 — 10 Z² -f- 15 Z⁴)

(32)

720 p⁴

(*4) ⁼ 2^4    ³+ *⁴)    = t⁴-189 4071 c0* qp (— B Z² -H Z⁴)

Die eingeklammerten Zahlen sind hier Logarithmen, und angehängtes n bedeutet, dass die zugehörige Zahl negativ ist. Wie immer bedeutet jj² = e'² cos² qp und Z = tang cp.

Eine Coëfficienten-Tabelle haben wir hiernach berechnet und auf S. [62]—[63] des Anhangs mitgeteilt. Zu Weiterem können auch die Tabellen [47] und [48] des Anhangs benützt werden.

In den vorstehenden Formeln kommen verschiedene Konstanten vor, welche wir zum Gebrauch hier zusammenstellen:

12 $2) = 6.119 2832-7 — 20 24 ç8) = 5.8I8 2572-8 — 20

log (e'² : log (e'² :

log (1:    12 ß2) = 8.291 9684-9 - 20

(33)

log (1 :1440 q*) = 5.583 9370 — 30

Um eine Übersicht zu gewinnen, wie viel die Glieder fünfter Ordnung in unseren Breiten etwa ausmachen, haben wir die folgenden zwei Übersichts-Tabellen berechnet, für den Gesamtbetrag der 3 Endglieder in (28) und (29).

1. Glieder fünfter Ordnung in der Formel (28) für o, mit q> = 50°.

1= 10°

1 + 2°

1= 4°

1= 6°

1 = 8°

2°

4°

6°

8°

10°

4- 0,00000" 4- 0,00000 4- 0,00001 4- 0,00001 + 0,00002

4- 0,00000" + 0,00002 -4 0,00006 + 0,00012 4- 0,00018

+ 0,00001" 4- 0,00005 + 0,00014 4- 0,00031 4- 0,00056

4- 0,00001" 4- 0,00010 4- 0,00030 4- 0,00061 4-0,00111

+ 0,00001" + 0,00016 4- 0,00048 4- 0,00103 4- 0,00186

(34)

IL Glieder fünfter Ordnung in der Formel (29) für A, mit cp = 50°.

1= 10°

l = 2°

1 = 4°

1 = 6°

l = 8°

00000

— 0,00000" — 0,00000" — 0,00001" — 0,00001

—    0,00004

—    0,00011

— 0,00028

— 0,00001 — 0,00006 — 0,00020 — 0,00053

— 0,00001

— 0,00006

—    0,00025

—    0,00070

—    0,00003"

—    0,00001

—    0,00005

—    0,00026 — 0,00079

— 0,00012"

—    0,00004

—    0,00005

—    0,00022

- 0,00078

(35)

Als erste Anwendung der entwickelten Formeln wollen wir unser fünftes Normal-Beispiel (5) § 74. S. 392 nehmen in dieser Weise:

gjj = 52° 30' 16,7"

Königsberg qp₂ = 54° 42' 50,6"

Gegeben Berlin

1 = 7° 6' 0"

(36)

Es soll die geodätische Linie s zwischen beiden Punkten, und beide Azimute al und a₂ berechnet werden.

Man bildet zuerst das Mittel der gegebenen Breiten:

(37)

<p = 53° 36' 33,65"

Damit geht man in die Hilfstafeln Seite [5] und Seite [62]—[63] des Anhangs ein, und entnimmt die Coëfficienten :

log (Ax) 6.17908»

log (A₂) 5.66582,,

log V = 0.000 5129.683 log (A3)

4.414«

log (A₄) 4.756

log (h) 4.065

Damit rechnet man nach der Formel (29), mit 1= 7° 6' 0” = 25560; das Hauptglied wird 25590,208 116", dann die 5 Korrektionsglieder:

— 0,024 452" , — 0,050 187" , —0,000 003" , +0,000 021" , — 0,000 016', X = 25590,208 116" — 0,074 637" = 25590,133 479"

X = 7° 6' 30,133 479"

(39)

Wir haben hier mit 6 Dezimalen der Sekunden gerechnet, um zu sehen, wie weit sich überhaupt die drei letzten Glieder bemerklich machen; da dieselben nur 0,0002" ausmachen, könnte man dieselben ganz weglassen.

Nun nehmen wir die reduzierten Breiten zu (36) nebst X von (39) zusammen: Berlin

= 52° 24' 43,01137"

Königsberg if>₂ = 54° 37' 24,75639" A “

7° 6' 30,13348"

(40)

Das dadurch bestimmte sphärische Dreieck haben wir nach den Gauss sehen Formeln (4), (5) § 60. S. 339 aufgelöst, wodurch gefunden wurde: at = 59° 33' 0,6889"

a₂ = 65° 16' 9,3650" a = 4° 46' 1,41023" = 17161,41023"

(41)

Um er auf s zu reduzieren, braucht man wieder Coëfficienten, zuerst log U nach der Formel (25) mit Benützung des schon bei (38) berechneten log V:

log U = 8.510 2946-378.

Aus der Hilfstafel Seite [62] —[63] entnimmt man mit dem Argument cp = 53° 36' 33,65" von (37), die 5 Coëfficienten-Logarithmen für s: log (ff₂)

5.66582«

log (ff!) 5.27256

log (ff₈) 3.360«

log (ff₄) 4.987

log (a₅) 5.839«

Damit rechnen wir nach der Formel (30), und haben zunächst das Hauptglied 5.724 2583-351 und die 5 logarithmischen Korrektionsglieder-.

+ 8-5179

— 0-5146

4- 0-0000

— 0-0061

+ 0-0002

Dieses giebt im ganzen: log s = 5-724 2583-351 + 7 997 = 5‘724 2591-348 Die Länge s und die beiden Azimute von (41) stellen die Lösung vor, welche mit den entsprechenden Werten (31) und (39) des vorigen § 105. S. 529—531 hinreichend stimmen.

Nach diesem wollen wir noch unser grosses Normal - Beispiel (2) § 73. S. 391

s = 529 979,578™    (42)

behandeln:

= 45° 0' 0"

= 55° 0' 0"

<p = 50° 0' 0"

Damit geht man in die Hilfstafeln Seite [5] und Seite [62] —[63] ein, und entnimmt die Coëfficienten:

Gegeben

Mittel

1-1    03

Sk Sk

l = 10° 0' 0"

(43)

log U= 8.510 3836-826 log (<r₄)

4.835 log (A₄)

4.506

log V = 0.000 6020-131 log (ff!)    log (ff₂)

5.02731    5.73542«

log (Aj)    log (A₂)

6.155 215«    5.73542«

Die Reduktion für X nach der Formel (29) giebt das Hauptglied 36049,93731" und die 5 Korrektionsglieder:

— 0,667 923" , — 0,149 088" , — 0,001 438" , + 0,000 802" , — 0,000,148"

log (ff₈) 3.128« log (A3) 4.376«

logfa) I

3.759« j

log (A₅) 4.156

Cn

(46)

X = 36049,93731" — 0,817 795" = 36049,11952"

Im ganzen:

Die beiden reduzierten Breiten sind: xpi = 44° 54' 14,67493"

(47)

ip₂ = 54° 54' 35,31462"

(48)

Diese xpi und xp₂ nebst X von (47) bestimmen ein sphärisches Dreieck, dessen Auflösung giebt:

«! = 29° 3' 15,45983"

(49)

«₂ = 36° 45' 7,40055" at = 11° 52' 41,20996" = 42761,20996"

Zur Reduktion von a auf s hat man die Formel (30) mit den Coëfficienten (45); das Hauptglied wird 6.120 6663 024 und die 5 Korrektionsglieder:

— 5-994 , + 17*961 , + 0-010 , —0-206 , 0-007

Im ganzen:

log s — 6.120 6663-024 + 11-778 = 6.120 6674-802    5= 1 320 284,365”*    (50)

Die Werte (49) und (50) stellen die Lösung der Aufgabe vor, welche mit (40), (41), (45) des vorigen § 105. S; 530 verglichen, genügend stimmen.

ln der „Zeitschr. f. Verm. 1883“ S. 81—82 haben wir eine Coëfficienten-Tabelle für die For

meln (28) und (29) gegeben, welche nicht dieselbe ist wie die neu berechnete Tabelle Seite [62]—[63] unseres Anhangs. Nur die Coëfficienten (<;,), (cf₃), (At), (+) sind mit den früheren [1], [3|, (1), (3) identisch, abgesehen von einer kleinen Differenz in den letzten Stellen von log (cf,) und log ()[,) daher

rührend, dass früher —

v*

= 1 — 2i^² gesetzt war, was Vernachlässigung von ?/■* enthält, welche in den neuen Coëfficienten (cf,), +), (/[,), (As) nicht mehr vorkommt. Ausserdem besteht der Unterschied, dass Funktionen sin? <p, cos- <p, cos⁴ <P, welche früher in die Coëfficienten gezogen waren, nun in der Formel bleiben, damit die Coëfficienten-Tafel kleinere Differenzen bekommt. Nur der in rl² enthaltene Faktor cos3 ⁽P ist in die Coëfficienten gezogen, weil der Modul + — e"² cos³ <p sich analytisch gut findet, und auch formell den Faktoren f² gegenüber in den Coëfficienten zum Gleichgewicht beiträgt.

Als ein weiteres Beispiel für die Anwendung des im vorstehenden § 106. behandelten Verfahren können wir die Mecklenburgische Diagonale citieren, welche schon unter unseren Normalbeispielen in § 73. S. 392 angegeben, in „Zeitschr. f. Verra. 1896“ S. 240—248 berechnet wurde.

Kapitel X.

Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke.

Vorbemerkung. Dieses Kapitel enthält im Wesentlichen den Inhalt der Abhandlung: „Disqui-sitiones generales circa superficies curvas, auctore Carolo Friderico Gauss, Göttingae 1828 (societati regiae oblatae d. 8. Octob. 1827) und in „Carl Friedrich Gauss Werken“, IV. Band, Göttingen 1873, S. 217—258. In deutscher Übersetzung herausgegeben: „Allgemeine Flächentheorie u. s. w. von A. Wangerin, Leipzig, Engelmann 1889.“

Wir haben versucht, die analytischen Entwicklungen des ersten Teiles dieser klassischen Abhandlung durch unsere geometrischen Betrachtungen von § 107. und 108. zu ersetzen.

§. 107. Geodätischer Excess.

Dem sphärischen Excess, den wir in § 40. kennen gelernt haben, mit der Formel (2a) S. 231

7*2

bzw.

q in Sekunden

(1)

entspricht ein ganz analoger Satz auf irgend einer krummen Fläche, deren Haupt-Krümmungs-Halbmesser in einem Punkte M und N und deren mittlerer Krümmungs-Halbmesser r = VM Ń ist, wobei ein unendlich kleines Dreieck vorausgesetzt ist, das, durch geodätische Linien begrenzt, die kleine Fläche F hat.

Hiezu betrachten wir in den nachstehenden Fig. 1. und Fig. 2. ein kleines rechtwinkliges geodätisches Dreieck, dessen Katheten G A — p und C B = q in den Richtungen der beiden Haupt-Krümmungen liegen, auf einer krummen Fläche, welche nach C A den Krümmungs-Halbmesser M und nach G B den Krümmungs-Halbmesser Ń hat.

Wir nehmen dabei die Bezeichnungen wie gewöhnlich für das Umdrehungs-Ellipsoid, und denken unter p und M die Beziehung zum Meridian, unter q und N die Beziehung rechtwinklig zum Meridian (indessen kann man die nächsten Betrachtungen auch allgemeiner führen).

Unter Km und Kn verstehen wir die beiden Krümmungs-Mittelpunkte, so dass für einen kleinen Bogen A G =p die beiden Normalen G Km und A Km = M und entsprechend C Kn = B Ku —N angenommen werden kann; damit ist auch die kleine Entfernung Kn Km = N—M bestimmt.

Fig. 1.

Fig. 2.

C 90° q ßßß'

^ / ß /

_PS?L

,7h

Wir haben hiernach wieder den Fall des früheren § 71. S. 382 und S. 384, und wir wollen von den dort

LJ.

K“'

Kn

!/ N-M

___~L

auf S. 386 gefundenen Formeln einen Gebrauch machen, um den geodätischen Excess des geodätischen Dreiecks Fig. 2 mit den Katheten p und q und der Hypotenuse s zu bestimmen.

Figur 2. giebt uns drei Dreiecke, nämlich zwei sphärische und ein geodätisches. I. Sphärisches Dreieck mit dem Halbmesser M :

90° ai ß' — 180° = em

*!+?+*> «=«. = ^s

(2)

II. Sphärisches Dreieck mit dem Halbmesser N:

90° + «'    — 180° =s„

a! -+- ßi — 90 ⁰ = s„ —

pq

(3)

2P

III. Geodätisches Dreieck mit der geodätischen Linie s:

90° -+ a ß — 180° = e a -+- ß — 90° = e

Zwischen den Winkeln dieser drei Dreiecke bestehen nach (16) S. 386 folgende Beziehungen : .

(■i)

«1 — « = -g if- £

a — a' =

ß'-ß = ^r,2n

ST io -—■" -—'

Dabei kann e entweder = em oder = e„ nach (2) oder (3) genommen werden, denn wegen des Faktors if = c'² cos² qp kommt es hier auf solche Unterscheidung nicht an.

Durch Vergleichung von (2), (3), (4) mit Rücksicht auf (5) und (6) findet man: e = Sm — V² e = e» (1 - rf) = ^ ⁽¹ ~ ^

e = en + rfie = e„ (1 + if) =    (1 + r?)

Wenn man beachtet, dass 1 + r]² = V² — N : M (nämlich wie immer nach seren Grundformeln § 32. S. 197) und wenn man auch genähert 1 — if = setzt, so geben die beiden Formeln (7) und (8) übereinstimmend:

(7)

(8)

un-

l> '1

(9)

oder

~ 2 r²

Wir haben also zu Fig. 2. den Satz gefunden, dass ein kleines geodätisches, rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Katheten p und q in den Haupt-Krümmungsrichtungen (so dass also p und q jedenfalls kleine geodätische Linien sind) und mit einer schiefen geodätischen Linie AB = s einen geodätischen Excess s giebt, der ganz wie der Exzess eines sphärischen Dreiecks berechnet wird, wenn man als Halbmesser den mittleren Krümmungs-Halbmesser r = ]/ M N an der betreffenden Stelle der krummen Fläche annimmt.

2 MN

Übergang zum allgemeinen Dreieck.

Nachdem für das betrachtete rechtwinklige geodätische Dreieck dieselbe Formel gefunden ist, wie früher für das rechtwinklige sphärische Dreieck, ist auch der Übergang zu einem allgemeinen Dreieck ebenso zu machen, wie für das sphärische Dreieck

Fig. 4. S. 248, und wir können daher den geodätischen Excess bis zur Ordnung ^

einschliesslich nun auch für ein solches geodätisches Dreieck, das sich aus zwei rechtwinkligen Dreiecken von der Form Fig. 2. S. 539 zusammensetzen lässt, als bewiesen annehmen.

Das ist aber noch nicht der ganz allgemeine Fall, denn jenes rechtwinklige Dreieck Fig. 2. hat die Besonderheit, dass seine Katheten p und q in den Richtungen

der beiden Haupt-Krümmungen der Fläche liegen ; und wir können daher nach dem bisherigen Beweisgang den Satz nur für solche geodätische Dreiecke als bewiesen annehmen, welche eine Seite in einer Haupt-Krümmungsrichtung liegen haben.

Indessen lässt sich der Übergang von einem solchen Dreieck zu einem beliebig gestalteten und auch gegen die Haupt-Krümmungsrichtungen beliebig liegenden Dreieck vollends leicht bewerkstelligen, indem nach Fig. 3. das allgemeine Dreieck ABC in zwei Dreiecke AC D und AB D zerlegt wird, welche die Seite A D in einer Haupt-Krümmungsrichtung gemeinschaftlich haben.

A,

Fig. 3.

Wenn «j und e₂ die Excesse dieser beiden Dreiecke AC D und A B D sind, so hat man nach Fig. 3.:

«1 =

{q’ + e)p

2?-2

2 r²

also:

Si+*2-— 272

{q + q')p _ a p

2 r²

allgemein :

(10)

Es gilt also für kleine geodätische Dreiecke dieselbe Excessberechnung in erster Näherung, wie für ein sphärisches Dreieck nach Gleichung (1), wenn man nur den mittleren Krümmungs-Halbmesser r — }/ M N an wendet, wobei übrigens auch noch angenommen ist, dass die beiden Haupt-Krümmungs-Halbmesser M und N unter sich N    M

nahe gleich sind, so dass — = 1 + 772 und = i _^2 gesetzt werden kann, d. h. dass

rji gegen rj² vernachlässigt werden kann.

Durch solche einfache Betrachtungen, welche zu den Formeln (7)—(10) geführt haben, kann man nicht bloss, wie hier geschehen, die Formel für den Excess herleiten, sondern man kann auch noch nachweisen, dass innerhalb

r³

die sphärischen Formeln von § 44, nämlich (8)—(10) 8. 246 also ausschliesslich —- auch für

und 247 und auch der Legendrische Satz von § 41. innerhalb

r³

ein geodätisches Dreieck mit kleinen geodätischen Linien auf irgend welcher krummen Fläche ebenso gilt, wie die Excessformel. Wir haben das in der früheren 3ten Auflage dieses III. Bandes, 1890, § 93. gezeigt und durchgeführt, was aber nun, weil kein dringendes Bedürfnis dafür vorhanden ist, übergangen werden soll.

r*

Kongruente Linien-Abbildung und geodätischer Excess.

Im Anschluss an die Betrachtungen, welche in § 68. zu der geometrischen Definition der geodätischen Linie geführt haben, wollen wir irgend eine Linie auf einer krummen Fläche in einzelnen Elementen nach Streckenmass und Azimutalwinkeln aufgenommen, und entsprechend in einer Ebene aufgetragen denken. Die dadurch entstehende Linie in der Ebene nennen wir „kongruentes Abbild“ der Linie auf der krummen Fläche, und das ganze Verfahren nennen wir „kongruente Linien-Abbildung“.

Eine geodätische Linie giebt in solcher kongruenter Abbildung eine Gerade von gleicher Grösse wie die Rektifikation der geodätischen Linie (vgl. § 89. S. 474).

Wenn von einem geschlossenen Linienzuge, auf dem Umdrehungs-Ellipsoid oder auf einer anderen krummen Fläche, in dieser Weise eine kongruente ebene Abbildung gemacht wird, so wird der abgebildete ebene Zug im allgemeinen nicht schlossen, und die dabei sich zeigenden Schlussfehler stehen in Beziehung zu der Krümmung der Fläche, auf welcher der geschlossene Linienzug liegt. Nur bei einer abwickelbaren Fläche wird die kongruente ebene Abbildung eines geschlossenen Zuges im allgemeinen wieder geschlossen sein.

Die Schlusswidersprüche werden, wie bei den durch Messungsfehler erzeugten Schlussfehlern der Feldmess-Züge, teils linear, teils als Winkel sich zeigen, und der in der Winkelsumme auftretende Schluss-Widerspruch soll „geodätischer Excess“ heissen.

In Fig. 4. seien A B und B C die kongruenten ebenen Abbildungen zweier Seiten eines geodätischen Dreiecks auf einer krummen Fläche, so dass die zwei Seiten A B, B G und der Winkel bei B kongruent abgebildet sind ; will man aber die Abbildung auch für die dritte Seite C A fortsetzen, so bekommt man entweder G A! oder A C', welche beide das Dreieck ABC nicht schliessen, sondern sich in D schneiden und daselbst den geodätischen Excess e zur Anschauung bringen. Man kann den Excess e auch durch die Krümmung einer

Fig. 4.

A‘

e.

e=/ ca

Linie Ab C veranschaulichen, welche bei A und G die Geraden A G' und G A' berührt, denn die Gesamtkrümmung dieser Kurve Ab G ist eben jener Winkel e und wenn die Kurve Ab G ein Kreisbogen ist, wie in Fig. 4. mit dem Mittelpunkt E, so erscheint der Excess e auch als Centriwinkel dieses Bogens, und es besteht zwischen der Bogenlänge b, dem Halbmesser R und dem Excess e die Gleichung b = Re.

Die in den früheren §§ 80. und 81. betrachteten Kegelprojektionen geben ein gutes Beispiel für unseren Fall :

Ein Parallelkreisbogen des Umdrehungs-Ellipsoids giebt eine kongruente ebene Abbildung, welche sich durch Kegelabwicklung leicht darstellen lässt, wie aus Fig. 1. S. 428 mit den zugehörigen Gleichungen zu ersehen ist. In der Breite qp ist der Kegel-Halbmesser = Ncotg cp, und für den Längenunterschied l ist die Meridian-Konvergenz = l sin cp ; ein Parallelkreisbogen in der Breite cp mit dem Längenunterschied l giebt daher in kongruenter ebener Abbildung einen Kreisbogen vom Halbmesser Ncotg cp mit dem Centriwinkel l sin cp ; die Bogenlänge wird also = N cotg cp l sin cp = NI cos cp, übereinstimmend mit der Länge des Parallelkreisbogens selbst.

Die Kegelabwicklung giebt eine geodätisch kongruente Abbildung des Parallelkreisbogens, nach Krümmung und Entfernung. Gleiches ist bei jeder abwickelbaren Fläche der Fall.

Im Anschluss hieran betrachten wir ein durch zwei Meridiane und zwei Parallelkreise begrenztes Trapez des Umdrehungs-Ellipsoids (oder einer anderen Umdrehungsfläche) und suchen den Excess des Vierecks zu bestimmen.

In Fig. 5. sei AB CD die kongruente Linien-Abbildung von drei Seiten eines solchen Trapezes, A B entspricht dem Parallelkreisbogen auf der Breite cp mit der Länge l, es ist daher in kongruenter Linien-Abbildung A B ein Kreisbogen vom Halbmesser A S = B S — N cotg cp und dem Centriwinkel 0 als Meridian-Konvergenz = l sin cp, also :

0 = l sin cp

Fig. 5.

/~0

CD_ CO

(H)

B S — N cotg cp

d//D

Eine Nachbarbreite sei cp -f- d cp, wobei d cp als Differential genommen dasselbe sei, was in Fig. 5 mit A cp bezeichnet ist; dann giebt der Meridianbogen zwischen den Breiten cp und cp -(- A cp die kongruente geradlinige Abbildung:

BG = Mdcp

Die dritte Seite CD ist kongruente Abbildung des Parallelkreisbogens in der Breite qp -f- d qp, mit dem Längenunterschied l, d. h. es ist CD ein Kreisbogen, dessen Mittelpunkt S' auf B S und dessen Centriwinkel 0' be-' stimmt sind durch die Gleichungen:

G S' — N’ cotg (cp d cp) ,    & = l sin (cp -j- d cp)

Ebenso wie B G auf dem Halbmesser B S, kann man auch A D' auf A S kongruent abbilden, oder D A' auf dem Halbmesser S'D.

Man hat also einen nicht in sich selbst zurückkehrenden LinienzugD' AB GD A', wobei D'A und DA’ als Abbildungen desselben Meridianbogens, beide in richtiger Länge, aber in verschiedenen Richtungen dargestellt sind, so dass der kleine Winkel e, unter dem sie sich schneiden, den Winkelschlussfehler der Abbildung oder den geo-

£/

f+àç

(12)

(13)

dätischen Excess des Trapezes auf der krummen Fläche darstellt. Um diesen Winkel e näher zu bestimmen, haben wir aus Fig. 5. :

e = 0' — 0

oder wegen (13):

e = l (sin (cp -t- d cp) — sin cp) = l cos qp d cp Da der Parallelbogen AB = N l cos (p ist, kann für die Fläche des Trapezes nach (12) angegeben werden:

F = B C.A B

also

(14)

(15)

F = MNI cos cp d q>

Mit Einführung des mittleren Krümmungs-Halbmessers r also mit r² = MN hat man hieraus, mit (14) :

(16)

l cos cp d (p = —2

Der Längenunterschied l kann hiebei beliebig gross sein ; zur weiteren Anwendung wollen wir aber auch l unendlich klein annehmen, und damit den Satz aussprechen, dass der Excess jedes unendlich kleinen Trapezes von der Form Fig. 5. sich nach der Formel (16) aus F und r² berechnen lässt. Endlich da jede andere unendlich kleine Fläche als zusammengesetzt aus unendlich kleinen Trapezen betrachtet werden darf, ist es nach dem Ergebnis unserer Betrachtung richtig, den Excess einer irgendwie begrenzten kleinen Fläche F des Umdrehungs-Ellipsoids, oder einer anderen Umdrehungsfläche nach der Formel (16) aus F' und r² zu berechnen.

Wir haben also für den Excess eines Trapezes einer Umdrehungsfläche dieselbe Berechnung wie für den Excess eines kleinen geodätischen Dreiecks nach (10) S. 541, und wir können nun den weiteren Schluss bilden, dass für irgend einen durch kleine Dimensionen begrenzten Teil einer krummen Fläche, der geodätische Excess durch

die Formel (10) oder (16) angegeben wird.

§108. Geodätische rechtwinklige Coordinaten und Polar-Coordinaten.

Ganz analog den Coordinaten-Systemen, welche wir in der Ebene mit geraden Linien und auf der Kugel mit grössten Kreisen benützen, kann man auch auf irgend einer Fläche mit geodätischen Linien Coordinaten-Systeme anordnen.

In Fig. 1. sei O G eine geodätische Linie, auf welcher ein Punkt P durch das Mass O P = p bestimmt ist, und ebenso auch andere Punkte P', P" u. s. w. durch ihre auf der geodätischen Linie O G gemessenen Abstände.

In den Punkten P, P', P" u. s. w. werden geodätische Linien P Q, P' Q', P" Q" u. s. w. rechtwinklig zu OG gezogen, und auf den Linien P Q werden gleiche Masse q ab- ■ getragen, so dass eine geodätische Parallele HH’ entsteht, und eine zweite Parallele K K' im Abstande q -|- d q von der Anfangslinie O G.

Solcher Linien der zwei Systeme PQ und H H' können wir ganze Scharen gezogen denken ; dieselben schneiden sich gegenseitig rechtwinklig (geodätische Parallele § 70.

S. 381) und bilden ein System von Vierecken, deren eines AB G D in Fig. 1. besonders hervorgehoben ist.

Die ganze Anordnung der Linien in Fig. 1. können wir ein rechtwinkliges geo-

Fig. l.

a"

9'Q

H'

K'

Di

'dq

ndp

'q

P" P¹

dp P

dätisches Coordinaten-System nennen, mit dein Nullpunkte 0, von welchem die Ab-scissen p in der Richtung O G, und die Ordinaten g rechtwinklig zu Off gezählt werden. Es hat also der Punkt B die Coordinaten p, q, der Punkt G hat p, q -t- d g, der Punkt A hat p -)- d p, q u. s. w.

Der Abscissen-Unterschied PP' ist — dp angenommen, und das entsprechende Mass BA haben wir mit ndp bezeichnet, wobei n eine von der Krümmung der Fläche abhängige Funktion ist, mit welcher wir uns später besonders zu beschäftigen haben werden (§ 109. S. 546).

Nachdem somit alle Verhältnisse des Vierecks klar gemacht sind, betrachten wir in Fig. 2. die kongruente ebene Abbildung des Linienzuges ABC D in dem Sinne von § 107.

Fig. 2.

00

Der Linienzug AB G D A wird in der kongruenten Abbildung nicht schliessen, sondern einen Winkelschluss-Fehler e = 0'— 0 geben, den wir nun näher zu bestimmen haben.

Der Winkel 0 kann mit den Bezeichnungen von Fig. 2. dargestellt werden (auch bei windschiefem Viereck) in der Form:

(1)

d (n dp)

Ay

dq

Dabei soll 0 selbst als positiv gelten, und die Ableitung von ndp nach q muss negativ gesetzt werden, wenn ndp abnimmt bei wachsendem q, wie in Fig. 2. angenommen ist.

Der kleine Winkel 8=0'— 0 kann als Differential von 0 aufgefasst werden, d. h.:

d² (n dp)

(2)

dg²

Betrachtet man ferner die Fläche F des Vierecks, d. h. F=ndpdq, so hat man nach dem Schlusssatz von § 107. Seite 543:

ndp

£ - i²

F ndp dq

j-2

(3)

Aus (2) und (3) folgt:

1    1 d² (n dp)

r² n dp d g2 Bei dieser Betrachtung gilt aber in der zweiten Ableitung von ndp nach q der Faktor dp als konstant (vgl. PP'= dp in Fig. 1.), es wird also:

1 d²n r² n d g²

Man kann diese wuchtige Gleichung (5) bezw. (4) auch dadurch aus Fig. 2 ableiten, dass man eine Kurve AD betrachtet, welche 4S und D' S' berührt, also in ihrer Krümmung den Winkel e giebt. Der Krümmungs-Halbmesser der Kurve A D d² (n dp) dg²

auf die Formel (2) und dann auf (5).

Die grosse Wichtigkeit, welche die Differential-Formel (5) für die Geodäsie besitzt, beruht darin, dass dadurch eine Beziehung hergestellt wird zwischen geodätisch zugänglichen Massen n dp, dq u. s. w. einerseits, und dem geodätisch unzugänglichen

kann als Reciproke von

(4)

(5)

genommen werden, und damit kommt man ebenfalls

Krümmungs-Halbmesser r andererseits. Legt man das Messungs-System Fig. 1. in einer Ebene an, so wird das Viereck ABC D ein Bechteck mit B A — C D = P P'; und auf einer krummen Fläche gestatten die geodätisch messbaren Verkürzungen von BA und CD gegen PP', nach dem Gesetz der Formel (5) einen Schluss auf die Krümmung der Fläche.

Polar-Coordinaten.

In ähnlicher Weise, wie ein System rechtwinkliger Coordinaten in Fig. 1. gebildet wurde, kann man auch ein System von Polar-Coordinaten mit geodätischen Linien anordnen.

Man braucht nur anzunehmen, dass in Fig. 1. die geodätischen Linien P Q, P'Q', P"Q*" u. s. w., welche alle von einer Abscissenlinie O P ausgehen, statt dessen alle von einem Punkte (in der Verlängerung von Q) ausgehen, oder alle nach einem Punkte zusammenlaufen, und dass dann die Linien HE', KE', nicht mehr geodätische Parallelen, sondern geodätische Kreise um jenen Punkt seien; dann kann man alles, was sich auf Fig. 1. bezieht, auch auf das beschriebene Polar-System übertragen.

Das Krümmungsmass.

Als „mittleren Krümmungs-Halbmesser“ r in einem Punkte einer krummen Fläche haben wir das geometrische Mittel der beiden Haupt-Krümmungs-Halbmesser N und M bezeichnet, also r — y MN oder r² = M gesetzt.

Der reciproke Wert von r² wird nach Gauss das „Krümmungsmass“ (mensura curvaturae) genannt, d. h. es ist:

(6)

Krümmungsmass k =    ^

und mit dieser neuen Bezeichnung schreiben wir die wichtige Gleichung (5) nochmals, d. h. :

(7)

1 d² n n dcfi

Gleichzeitig damit ist der Begriff und die Bezeichnung Gesamtkrümmung (cur-vatura totalis seu integra) eines begrenzten Flächenteils eingeführt worden, nämlich:

(8)

Gesamtkrümmung = JkdF

Das Produkt eines differentialen Flächenteiles d F in das für einen einzelnen Punkt von d F gütige und im Bereiche von d F als konstant zu betrachtende Krümmungsmass k giebt die Gesamtkrümmung des Flächenteils d F, und das bei (8) angegebene Integral giebt die Gesamtkrümmung des Flächenteils F.

Diese Begriffe und Benennungen hängen damit zusammen, dass die Gesamtkrümmung eines Flächenteils F gemessen werden kann durch einen entsprechenden Teil F' einer Kugel vom Halbmesser = 1, indem alle Flächen-Normalen der Begrenzungs-Linie von F mit sich selbst parallel in den Kugelmittelpunkt verlegt werden, und so den Teil F' der Kugel begrenzen, welcher gewissermassen ein Abbild des Flächenteils F wird.

Sobald man sich überzeugt hat, dass für einen unendlich kleinen krummen Flächenteil d F der durch kongruente Umfangs-Abbildung (§ 107.) darzustellende geodätische Excess de = kd F ist (wo k = 1 : r²), so kann man auch nach geometrischer Anschauung so weiterschliessen :

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

Die Fläche F wird in eine grosse Zahl kleiner Teilflächen d F zerlegt, welche alle ihrem Umfang nach in einer Ebene geschlossen, folglich nicht kongruent, abgebildet werden. Bei einem ersten Teil d Fy wird in der Abbildung der Schluss erzwungen durch eine lineare relative Krümmung d «j, welche irgendwo an dem Umfang von d Fy angebracht werden muss. Ein an dieser Stelle ansetzender zweiter Flächenteil d F₂ muss dann, wenn er in der Ebene geschlossen dargestellt werden soll, nicht bloss seinen eigenen Excess d e₂, sondern auch den von d Fy ihm zugeschobenen Betrag d 8y, durch eine der konformen Abbildung widersprechende lineare Krümmung dey + d e₂ zum Ausdruck bringen. So wird das ebene Kartenbildy'dF', wenn es die einzelnen Teile d F' sämtlich geschlossen darstellt, an seinem Umfange allmählich alle Beträge d e in Gestalt von linearen Krümmungen, die der kongruenten Abbildung des Umfangs widerstreiten, zum Ausdruck bringen, und der Polygon-Schlussfehler e des kongruent abgebildet gedachten Umfangs wird daher der Summe aller Einzel-Excesse der Flächenteile gleich sein, d. h. :

(9)

e = J"k d F

Dieses ist mit (8) übereinstimmend.

Bei einer abwickelbaren Fläche ist in jedem Punkte der eine Haupt-Krümmungs-Halbmesser unendlich, der andere endlich, setzen wir also N = 00, M = M, so wird auch r⁸ = 00 und k = 0, folglich auch die Gesamtkrümmung nach (8) und der Excess e nach (9), beide = Null.

§ 109. Verbindung eines rechtwinkligen Systems und eines

Polar-Systems.

In Fig. 1. S. 547 ist 0 der Ausgangspunkt zweier geodätischer Coordinaten-Systeme, eines rechtwinkligen Systems und eines Polar-Systems, so dass z. B. der Punkt A die rechtwinkligen Coordinaten p, q und die Polar-Coordinaten s, a hat. Entsprechend hat der Punkt B die rechtwinkligen Coordinaten p + dp, q-\- d q und die Polar-Coordinaten s -(- d s, a-\-d<x.

Ausser dem Richtungswinkel « des Polar-Systems ist der Winkel ß eingeführt, welchen der Strahl s und die Ordinate q hei A miteinander bilden.

Zwischen beiden Ordinaten q und q -f- dq bei A sei der Querabstand AD = n dp und entsprechend A G — m d a der Querabstand hei A zwischen den beiden Strahlen O A und O B.

Dabei sind n und m Funktionen von ähnlicher Bedeutung wie n im vorigen § 108. bei (1)—(5) S. 544. Zur Verdeutlichung dieser Funktionen n und m mag man sich etwa den Fall denken, dass das ganze System auf einer Kugel vom Halbmesser r läge, dann wäre sehr einfach:

Co

m = sin

n = cos —

' (Kugel)

(1)

q²

oder entwickelt : n — 1 —

Zur Untersuchung des allgemeinen Falles irgend einer krummen Fläche, auf welcher das System Fig. 1. S. 547 liege, betrachten wir zuerst das kleine Viereck A C B D, welches bei C und D rechtwinklig ist. Indem wir in differentialem Sinne

dieses Viereck als eben behandeln, entnehmen wir aus demselben durch Coordinaten-Umformnng die Gleichungen:

d s = n dp sin ß -t- d q cos ß m d a = d q sin ß — n dp cos ß oder in Gestalt von Differential-Gleichungen:

= n sin ß

(2)

(3)

P'

Fig. 1.

CD! Qj

= cos ß (4)

dp

er

ndp/

ds

= —sin ß (5) m r

ca_

CD CO

n a

--cos ß

m

Aus den beiden Gleichungen (4) folgt durch Quadrieren :

n² =

dp

mdou/

; Cc

yo

"D

(6)

-|~«²

ferner aus (4) und (5) durch Multiplizieren: ds da _ d p dp

Nun muss die Funktion n entsprechend der Flächen-Krümmung eingeführt werden.

Um die Beziehung von n zu der Flächen-Krümmung zunächst unbestimmt zu halten, wird n als algebraische Funktion mit unbestimmten Coëfflcienten f, g, h . . . eingeführt : n — 1 -t- fqZ -+- g 2³ 4- h cß -t- ...

Dabei ist kein Glied mit der ersten Potenz q angenommen, weil nach (1) die Bedeutung von n so ist, dass auf einer Kugel kein Glied mit q vorkommt, und weil dasselbe auch bei dem Ellipsoid und allen Flächen von stetiger konvex-konvexer Krümmung der Fall ist, oder allgemeiner, weil dem rechtwinkligen Abgehen der Ordinaten q

von der Abscissenaxe OP in Fig. 1., die erste Ableitung entsprechen muss.

Durch die Gleichung (8) ist n nur als Funktion von q dargestellt; um n auch als Funktion von p zu erhalten, muss man die Coëfflcienten f, g, h u. s. w. von (8) selbst wieder als Funktionen von p darstellen, dieses geschehe durch die Annahmen:

f — fo + fiP + fzP² + • • •

.9 = 9o + 9l P + #2 P² + • • •

Ji — Tiq -f- p -f- h% P² "t~ . •.

Wenn man diese Ausdrücke (9) in (8) einsetzt, und dabei nur die Glieder bis zur vierten Potenz einschliesslich beibehält, so erhält man :

n = 1 + f₀ q* -+- /i p g² 4- f₂ p* <p -+-...

•+■ 9o Î³ +9\P<P -+-•••

■+* ^0 q^ -+-...

Wenn man dieses zweimal partiell nach q ableitet, und dann wieder die Bedeutung der Coëfflcienten (9) berücksichtigt, oder wenn man unmittelbar (8) nach q zweimal ableitet, so bekommt man:

— M²

ds da

(7)

dcc

(8)

für q = 0, selbst = 0

(9)

(10)

(H)

¹

Erstmals veröffentlicht in der -Zeitschr. f. Verm.“, 1883, S. 65—82.

Durch diese Annahmen für die Punktion n ist die krumme Fläche, auf welcher das Coordinaten-Sjstem Fig. 1. liegt, soweit charakterisiert, als für die nachfolgenden geodätischen Aufgaben nötig ist; für die analoge Funktion m dürfen nicht etwa ebenfalls unabhängige Annahmen gemacht werden, weil m bereits mit n durch die erste Gleichung (5) verbunden ist.

Nun kann man den Ausdruck für das Krümmungsmass nach (5) und (7) § 108. S. 545 anwenden, und wenn man (8) und (11) hier einsetzt, so bekommt man:

1 d²n _ 2f-j-6gq-P 12 hq% n d g² 1 -h f q² ■+■ g q³ h qi oder bis zur zweiten Potenz einschliesslich genau:

(12)

-k = 2(f+Sgq + 6hq2)(l-fq*) = 2(f+Sgq + (Gh-f2)q2)

Wenn man hier wieder die Coëfficienten (9) einsetzt, so bekommt man bis zur zweiten Ordnung einschliesslich:

1c = — 2/o — 2 /i £ — 6g₀q

-2f₂p* — 6gipq — (l2h₀-2 fl) g²

(13)

Wir werden nun aber k auf eine lineare Funktion beschränken, d. h. wir werden setzen:

k=z—2f₀ — 2f₁p — 6g₀q Diese Annahme (14) schliesst in sich, dass in (13) ist:

(14)

(15)

h = ⁰ » 9i = 0 » 12 7i₀ = 2 fl oder h₀ = ~ f*

Damit reduziert sich auch das frühere n von (10) auf:

(16)

« = 1 + fo 2a + flP ?² + 9o Î³ + \ fl 7⁴

Im Folgenden braucht man mehrfach auch weshalb man nach S. 169 die Reciproke entwickelt :

(17)

~ = ¹ — fo ?² — fi V 9² — 90 ?³ + y fo ?⁴

Nach diesen Vorbereitungen können wir zur Theorie des geodätischen Dreiecks

übergehen.

§ 110. Reihen-Entwicklung für das rechtwinklige geodätische

Dreieck.

Wir haben von (6) § 109. S. 547:

ds\²

rfi —

3 s \²

dp,

(1)

Um hier statt der Ableitungen von s nach p und nach q die entsprechenden Ableitungen von s² einzuführen, hat man :

d (s²) _ d (s²) d s _ „

dp ds dp S

und

d(s*)

ds

a>

dq

(la)

also :

rfi =

1 3 («8)

CO

2 s dp

oder:

4 s² =

1 d (s²)\2 n dp)

d (s²)\²

dq

(2)

Denkt man sich s² in eine Reihe nach Potenzen von p und q entwickelt, so wird diese Reihe mit den Gliedern p² -+■ q² beginnen, weil für unendlich kleine Werte p und q die Fig. 1. S. 550 auf ein ebenes rechtwinkliges Dreieck zusammenschrumpft. Wir wollen daher die Reihe für s² zunächst in folgender Form annehmen :

(3)

2p-\-2Apq-{-Bq²+ •••

s² = p² -+- q² + A p² q + B p q2 wobei A und B vorläufig unbestimmt angenommene Coëfficienten sind, welche durch Vergleichung mit (2) bestimmt werden müssen. Man hat zunächst aus (3): d (s²) _

dp

(4)

--1-/o2² + —

hiezu von (17) § 109. S. 548:

Ferner aus (3):

d(s²)

dq

= 2q-\-Ap² + 2Bpq-\~...

(5)

Aus (4) und (5) kann man den Ausdruck (2) zusammensetzen; man erhält bis zur dritten Potenz:

aus (2):

4 s² = 4 p² -f- 4 q² + 12 A p² q + 12 B p q2 andererseits aus (3) : 4 s² = 4 p² 4 q² + 4 A p² q -t- 4 B p q²

Aus diesen beiden Gleichungen folgt als Coëfficienten-Vergleichung 12 A — 4 A und 12 B = 4 B, d. h. A — 0 und B = 0.

(6)

Man findet also, dass in der Reihe (3) nur die zwei ersten Glieder bestehen, und dass die Glieder mit dritten Potenzen p² q und p q² verschwinden. Wir machen deshalb nun eine Annahme mit Gliedern vierter Ordnung, d. h. statt (3) sei nun : s² = p² -+- q² -f- A p³ q -H B p² q² -+- A' p q²

Dieses giebt:

9(s²)

dp

= 2p + SAp²q-\-2Bpq² + A'q²

hiezu von (17) § 109. S. 548 : — = 1 — f₀ q² — ...

(?)

Ferner aus (6):

d (s²)

dq

—- = 2q-\-Ap² + 2Bp²q-\-%A'pq²

(8)

Wenn man aus (7) und (8) die Formel (2) zusammensetzt, so findet man:

4 s² = 4 p² -h 4 q² + 16 A p² q -t- 8 (2 B — fo)P² Q² + 16 A' p q2 4 s² = 4 p² -+- 4 q² + 4 A p² q + 4 B p² q² 4- 4 A' p q2 Die Coëfficienten-Vergleichung in diesen beiden Gleichungen giebt:

16 B — 8 ft = 4 B

u

aus (2) :

andererseits aus (6) :

d. h. :

16 A = 4 A

16 A’ =4 A'

A'= 0

(9)

Folglich nun nach (6) :

s²

= P² + 2² + y foP² 2²

Auf diesem Wege eine Stufe weiter gehend, erhält man bis zur fünften Ordnung :

s²

= p²4-q²+~foP² 2² + -^/iP³ i² 4-yfifoP² 2³

(10)

Reihen-Entwicklung en für s sin a und s cos a.

Von den allgemeinen Differential-Formeln des § 109. haben wir (4) S. 547 :

, Co

n sin ß —

Um zur sechsten Ordnung zu gelangen, fügen wir zu (10) noch folgende unbestimmte Glieder hinzu (wobei A, B, G wieder neue Bedeutungen haben):

-I- Ape -j- Bph g -+- Cp± g² + Dp% q% -f- C' p² g⁴ -f- B'p q⁵ -f- A'cfi Wenn man damit den Ausdruck (2) bildet, so erhält man :

4 s² = 4 p² + 4 g² + -|foP² g² 4- 2 fxp² g² + 2 gQp2 g³

(10 a)

+ 2*^#. + 2łVg+(M(7+yn)ł4S. ₊ MI>^S. 24 A! g6 + 24 B'p g5 + ^24 C + ^ fl j p² g⁴

4-

Wenn man dieses, in Hinsicht auf die Coëfflcienten, mit (10) und (10 a) vergleicht, so sieht man, dass A, B, D, B' A' sämtlich = 0 werden, und es wird:

Damit gieht die bis zur sechsten Ordnung vervollständigte Reihe (10) und (10 a):

p* 4- q² 4- g - (4 /o p² g² + 3 fx p* g² + 3 g₀ p² g³) — j^fl (g⁴ g² + p² g⁴) (11)

Dabei ist für lineare Funktion Je, nach (15) § 110. S. 548, f₂ = 0, gx = 0 und

Iiq — f* gesetzt. (Wenn man diese beschränkenden Annahmen für f₂, gx und A₀

nicht macht, bekommt inan statt der vorstehenden (11) die allgemeinere Formel [1] von Art. 24. der „Disquisitiones generales etc.).

G = G' = —

S2 ₌

S. 548:

Rinführung des Krümmungsmasses.

Der allgemeine lineare Ausdruck für das Krümmungsmass ist nach (14) § 109.

* = — ² fo — ² fi p — 6 g₀ q

(12)

Wenden wir diese Funktion auf unseren Fall nach Andeutung von Fig. 1. an, so erhalten wir:

K = —² fo

^90 = — 2 fo — 2 fi p

~ ²/o — ZfiP — 6g₀?

(13)

Fig. 1.

K90 q

90°

Jca -p 2kg₀ -p 2kß = — (8 fo 4- 6 fi p -j- 6 fy q)

Dieses ist gerade der Ausdruck, welcher in der grossen Klammer von (11) vorkommt, und wenn wir zugleich in der ^ letzten Klammer von (11) statt 4 fl den Wert kl aus (13) ß setzen, oder weil es in dem letzten Gliede einer konvergieren-

cc,

den Reihe ist, kurzweg k statt ka, so geht (11) über in: ka -+- 2 kgo 4- kß

S² ₌ p2 -|_ q2,

ft²

Kcc

12

i>²g²—45^²g²(^² + g²)    (14)

und cos ß = d s

oder mit Einführung der Veränderlichen s², wie oben bei (la):

1 9(jg)

2s dp 1 d (s²) n dp

Nun ist s² nach (11) bestimmt worden, woraus man durch Differentiieren findet: d (s²)

n sin ß =

2 s sin ß =

cos ß =

1 d (s²)

2 s cos ß -

2s d q d (s²)

dq

(15)

= ²P + y/ÔP a² + \f\ P² a² + 0oP 2³ — Jg/g P³ a² — flP a4 = 1 — fo 3² — fl P a² — 9o 2³ + fl 2⁴

Ferner die Ableitung nach q von (11): d (s²)

dp

hiezu (17) S. 548:

S I-¹

(16)

= 2 2 + ^ /oi>² 7 4- /i P³ g + g 0o P²a² —    /oP⁴ 2 — ^ftP²3³    (¹⁷)

Die beiden Gleichungen (15) lassen sich nach (16) und (17) ausführen, und geben:

ssinß=p—\f$P a²— \ fi p² a² — \ 00 p a³ — jj; ft p³ a² + <^ ft p a⁴ (¹⁸)

scOsß=q-\-^f₀p2q + ~flPS q +    ^ q — 1 f* fß qZ (19)

Wenn man wieder die Krümmungsmasse nach (13) einführt, so bringt man (18) und (19) auf diese Formen :

s sin ß = p-\-

dp

ka + ^90 + 2 kß p g²

fc²

(20)

pg²(16p²— 7 g²)

g_2Ag + 3frM:+8fcgg²j_fe²^g(p2+2g2)

Diese Gleichungen gelten natürlich auch für den anderen Winkel «, und geben mit entsprechender Vertauschung der p, q und der k:

kß -+- ^90 + 2 ka p² q k2 6    360

2 kß -+- 3 k₉₀ + 3 Tz a P g² k2 3    45

s cos ß =

s sina =■ q 4-

s cos a — p —

Zur Probe kann man auch rechnen:

360

(21)

p² q (16 q² — 7 p²)

p g² (g² + 2 p²)

(22)

(23)

(s sin ß)² + (s cos ß'j² = s² oder (s «w a)² -f- (s cos «)² = s2 Man wird dadurch denselben Ausdruck für s² finden, wie schon bei (14).

Man kann die Reihen (20)—(23) auch umkehren (ähnlich wie in § 44. S. 246 bis 247 die Reihen für s sin a und s cos a umgekehrt wurden). Man findet :

3 ka, -f- 3 kg^ -f- 2 kß k²

Oi % co[ %

sin² a cos a

sin a cos² a

2 fe« + ^9Q + kß k²

jg p g² (—p² + 2 g²)    (24)

p² g (p² — 8 g²)

(25)

q = s sin a —

Dabei ist im letzten Glied p = s cos a und q = s sin a genommen.

Ausserdem kann man durch Zeichenvertauschung auch folgende Formeln bilden: ^3

p = s sin ß — q = s cos ß    ~ sin² ß cos ß

120

“6"

«8

sin ß cos² (f

(26)

2 ftet -f- 3 fcgo 3 kß k²

+ 120P q2

₁₅p²g(2p² —g²)    (27)

Geodätischer Excess des rechtwinkligen Dreiecks.

Nach Fig. 1. S. 550 ist:

« = (« + /! + 90°) — 180°= « + ß - 90° sin e = — cos (a + ß) = sin a sin ß — cos « cos ß

(28)

(29)

Da wir die Reihen für s sin a, s sin ß, sowie s cos a, s cos ß in (20)—(23) haben, können wir die zwei zu (29) erforderlichen Produkte bilden, nämlich :

s²sinasinß=pq + P^- ²+ ft9Q +

360

p² q {lp² — 10 ^2}

4-

2>g³ ka -f- kgo + 2 kß , k²

36^

V2,

p 2³ (— 16 j?² + 7 g²)

360

s² cos a cos ß = p q —

jp<?³ 3 /c a 4- 3 A'₉₀4- 2    k²

360

p q²(lQp² 4- 8 q²)

p² q 2 fca~ł~3 A"gQ+3 kß    k²

-f -jP² q²

~ioöp3q('8p* ⁺¹⁶

Wenn man diese beiden Ausdrücke von einander abzieht, und wenn man dabei die gleichartigen Glieder zusammen ordnet, so erhält man :

_ P ⁽1 kg + kgg + kß

15

(30)

s² sin e

z

Hiezu hat man von (14):

P² + 7² _ -, i S2 '

Wenn man dieses in (30) einsetzt und in den Gliedern mit k² die einzelnen ka, kß, /i₉₀ nicht mehr unterscheidet (wie auch bei früheren Formeln in gleichem Falle nicht unterschieden wurde) und wenn man die Glieder von der Ordnung k³ (ebenfalls wie bisher) ganz vernachlässigt, so erhält man aus (30):

kg + 2 Æqq -f- kß

12s²

p² q² + k² ...

Diese Formel, welche mit

« = ^ *' + *» + ** + ||P{p* + „2) kg 4- ^90 4- kß

(31)

^ in die frühere sphärische Formel (3)

7*2

S. 246 übergeht, sagt in Worten, dass man den geodätischen Excess eines rechtwinkligen geodätischen Dreiecks erhält, wenn man das Dreieck wie ein sphärisches Dreieck berechnet, dessen Kugelhalbmesser r dem arithmetischen Mittel der Krümmungsmasse kg, Ä*9o, kß in den drei Ecken des Dreiecks entspricht.

Dieser Satz lässt sich auch leicht auf ein beliebiges schiefwinkliges Dreieck ausdehnen, wie wir alsbald im nächsten § 111. sehen werden.

§. 111. Berechnung des allgemeinen (schiefwinkligen) geodätischen

Dreiecks.

Mit den Reihen-Entwicklungen für das rechtwinklige geodätische Dreieck, welche wir in dem vorstehenden § 110. kennen gelernt haben, kann man durch Zusammensetzung zweier rechtwinkliger Dreiecke zu einem allgemeinen (schiefwinkligen) Dreieck auch die trigonometrische Berechnung solcher allgemeiner geodätischer Dreiecke zu stände bringen.

Wir werden dabei in gleicher Weise Vorgehen, wie früher in § 44., wo wir mit Fig. 4. S. 248 aus den Formeln für zwei rechtwinklige sphärische Dreiecke den erweiterten Legendreschen Satz hergeleitet haben. Ebenso werden wir nun die Formeln behandeln, durch welche Gauss im Jahre 1827 in Art. 25. der „Disquisitiones generales circa superficies curvas“ den bedeutenden Schritt von Legendres Kugel-Satze zur Trigonometrie auf irgend einer krummen Fläche gemacht hat.

Indem wir im wesentlichen die früheren Bezeichnungen beibehalten, bilden wir in Fig. 1. ein geodätisches Dreieck mit den Seiten b, c und a = q -t- q', indem eine Senkrechte p das Dreieck b, c, a in zwei rechtwinklige Dreiecke p, q, sowie p, q' zerlegt.

Sind und e₂ die ge°-dätischen Excesse der beiden rechtwinkligen Teildreiecke, so ist nach (31) des vorigen § 110. S. 352:

Fig. 1.

Fig. 2.

A= 0C+ C/J

I<a

A*

Ti

ec

1)

xc

XC

K₉₀ h

tt=q+q'

C*

B*

p q Till ~h kg 0 + Vc

£l~ 2

p q ka frgo -+- kb e₂ —------

+ *2 . . .

+ *2 . . .

(I)

(2)

Indem wir zunächst die Glieder von der Ordnung fc² bei Seite lassen, können wir uns leicht überzeugen, dass der Excess + e₂ = « des ganzen Dreiecks in erster Näherung (d. h. vorbehaltlich der Glieder mit fc²) so berechnet wird :

p {q + q') ka + kb + kc

(3)

£] -+- £2 — ß —

Um die Übereinstimmung dieser Formel (3) mit der Summe von (1) und (2) nachzuweisen, braucht man nur die der ganzen Theorie zu Grunde liegende Annahme einzuführen, dass das Krümmungsmass k eine lineare Funktion der Coordinaten auf der Fläche sein, also auf der Linie a — q + q' sich proportional den Strecken q und q' ändern soll, d. h. es muss sein:

Y+~q'    _ fCc- oder ^9° (ï — ?') = kc q' + hq

(4)

kg 0 = kc +

und damit geht die Summe von (1) und (2) in (3) über. Man kann also nun die Gleichung (3) so schreiben:

a p ka ■+ h + kc

J5 - - -

2    3

Dabei soll ein Näherungswert für die Fläche des Dreiecks sein, z. B. kann A statt = auch die Fläche eines ebenen Dreiecks sein, das man aus den drei

k² ... oder e — A

+ fc²...

(5)

Seitenlangen a, b, c konstruiert. Wenn übrigens die in (5) vernachlässigten Glieder von der Ordnung k² berücksichtigt werden sollen, dann muss auch die Bedeutung

von z- B. ob es = ~~ oder gleich der Fläche des ebenen Dreiecks a, b, c sein

soll, unterschieden werden, weil je nach dieser Unterscheidung auch die höheren Glieder von der Ordnung fc² verschieden ausfallen.

In Fig. 2. haben wir ein ebenes Dreieck gezeichnet, welches dieselben Seiten a, b, c wie das geodätische Dreieck Fig. 1. hat, aber deswegen andere Winkel A*, B*, G* haben muss, deren Summe = 180° ist, und deren Differenzen gegen die geodätischen Winkel A, B, G nun untersucht werden sollen.

Von (20)—(23) § 110. S. 551 haben wir folgende 4 Gleichungen:

p q² 3 ka -t- 3 kgg + 2 kc P~~B    8    _,

p q'² 3 ka -f- 3 Tcqq + 2 kb j 3    ⁻8~ l J

b cos a =

c cos a' = p

(6)

b sina =

c sin a! = q' -+-

p² q 2 ka -+- kgg -f- kt,

(?)

Hieraus bildet man: b ccos a cos a' = p² —

p² q² 3 ka ff- 3 kgq -i— 2 ke p²o[² 3 ka -+- 3 kgg + 2 kb

b c sin a sin «' =

qq' ₊ P² 4 Q' ^    ^90 A- ke , p² qq' 2 ka + kgo — kb

Da a 4- «' = A, also cos a cos a' — sin cc sin a! = cos A ist, erhält man hieraus :

(3 q² -f- 3 q'² -+- 4 q q[) —~24~ (2 q² + q q')

24- (3 q² + 3 q'² + 2 q q')    (2 q'² + q q')

P² kg

b ccos A = p² — qq'--

_^²*90

(8)

Zwischen den verschiedenen Dreiecksseiten bestehen Beziehungen, nämlich nach (14) § 110. S. 550:

b² = p² 4- q² —

P² q² ka ■+■ 2 kgg + kc

(9)

c2 ₌ pZ ₊ q'2_P2 q 2 Æa + ² ^90 ⁺

3

(10)

Nun wird nach Fig. 2. das ebene Dreieck betrachtet, welches dieselben Seitenlangen b, c und a = q -+- g' hat wie das geodätische Dreieck Fig. 1., während die Winkel andere werden, nämlich A*, B*, C*.

Dieses Dreieck Fig. 2. giebt die Gleichung:

a² = (q q')² = b² -+- c² — 2b c cos A*

(H)

Man hat also aus (11), (10) und (9): 2 b c cos A* = b² -f- c² — (q² -+- q'² + 2 q ([)

= 2 p² - 2 q q' -    (q² + q'²) - ^ (qS + q'²) - ^ q²

Vergleicht man dieses mit (8), so erhält man: p²ka

b c (cos A* — cos A) =

w(2q² + 2q'² + 4qq') + ^(q² + q'² + 2qq')

p² {q + Q')

Hier ist wieder das Krümmungsmass £g₀ mit Hilfe der Gleichung (4) zu eliminieren; dadurch bekommt man aus (12):

(18)

b c (cos A* — cos A) = P ^ ^ (2 ka -t- kb -+■ kc)

Hier ist:

und

cos A* — cos A = (A — A*) sin A* b c sin A* = p (q + q') = 2 Ą wobei ein Näherungswert für die Dreiecksfläche sein soll. Damit giebt (13):

A — A* —    (2 ka + h -+- kc)

Indem wir den schon bei (5) gemachten Vorbehalt bezüglich der Bedeutung von /\ als erster Näherung für die ebene oder krumme Dreiecksfläche auch hier machen müssen, schreiben wir die sämtlichen drei Gleichungen von der Art der soeben gefundenen zusammen:

A — A* =

B — B* —

C — C* =

5[D> £[[> St>

(2 kn + kb + kc)

{ka -+- 2 jfc& + kc)

(14)

{ka -4- kb -f- 2 kc)

Summe: e = /\,

ka "4" kb -4- kc

(15)

Dieses ist wieder dieselbe Gleichung, wie die schon bei (5) gefundene, und wenn wir die Glieder von der Ordnung k² vernachlässigen wollen, so ist die sphäroidische Dreiecks-Berechnung durch die Formeln (14) und (15) erledigt, ebenso wie die sphärische Dreiecks-Berechnung durch den einfachen Legendre sehen Satz (11)—(12) § 42. S. 236 bis

zur Ordnung einschliesslich, aber

Um nun in unserem Falle auch noch die Glieder von der Ordnung k²

r*

ausschliesslich, bestimmt war.

^entsprechend zu finden, können wir die ganze vorstehende Entwicklung (6)—(15)

mit Zusetzung aller Glieder von der Ordnung Æ² wiederholen, und es ist dabei nur etwa das eine besonders zu bemerken, dass dann die Dreiecksfläche nicht mehr fl rp    J) C

nach Belieben = ~ oder = -- sin A* gesetzt werden darf.

Indem wir für Entwicklung mit Gliedern k² nun festsetzen, dass die Fläche des ebenen aus den drei Seitenlangen a, b, c zu konstruierenden Hilfsdreiecks Fig. 2. sein soll, erhalten wir eine Beziehung zwischen p (q-4- q') und zunächst durch weitere Benützung der Gleichungen (6) und (7), nämlich:

sin A = sin {a -4- a') = sin « cos a' -4- cos a sin a!

b c sin A = p (q + q') |l -4-    {p² — 2 q q')j

k cos A* u. s. w.

b c sin A = b c | sin A* -4-

Da hiemit der Weg zur Entwicklung von A — A* bis auf Glieder k² einschliesslich verzeichnet ist, beschränken wir uns im weiteren, das Schluss-Ergebnis der Entwicklung hier mitzuteilen, umsomehr als die Glieder mit k², wenn man innerhalb derselben keine Unterscheidung zwischen ka, kt, kc mehr macht, lediglich sphärische Form annehmen, und nichts anderes sind, als die Glieder von der Ordnung —

in den Formeln (31a), 32a), (33a) § 44, S. 251, welche wir den Formeln (14) schlechthin zuzusetzen berechtigt sind.

Entweder durch solche Zusetzung, oder durch unmittelbare Weiter-Entwicklung für das geodätische Dreieck bis k² findet man:

A — A* =

C—C*= -*=

A 2 ka -f- kj, -+- kc    „ a² -+- 7 b² + 7 c²

24*

A ka + 2 ki, -f- kc Ai j „ 7 a² + b² -f- 7 c2 ⁺ 24~*

A ka + h + 2 ko A 7 a2 -f. 7 &2 + C2

⁺ 24 K

15

15

(16)

15

Summe e = A

ka -+- kt, -f- kc    As

a² + b² -f- c²

(17)

~8“Ä2

Durch diese Formeln (16) und (17) ist die Auflösung eines geodätischen Dreiecks auf die Auflösung eines ebenen Dreiecks zurückgeführt, also vollkommen erledigt, und weitere Formeln sind nicht nötig.

Wenn wir jedoch die sphärischen Vorbilder unserer Formeln in § 44. S. 251—252 betrachten, so finden wir, dass uns das Analogon zu (35), (38) und (39), S. 251—252 fehlt, das zum praktischen Rechnen zwar nicht erforderlich, aber doch so interessant ist, dass wir im nächsten § 112. uns damit beschäftigen werden.

§ 112. Krumme Oberfläche des geodätischen Dreiecks.

Wir nehmen in Fig. 1. die Vereinigung eines rechtwinkligen und eines Polar-Systems von geodätischen Coordinaten auf der krummen Fläche wieder vor.

Fig. l.

p¹

Der Punkt A hat in dem rechtwinkligen geodätischen Coordinaten - System mit dem Ursprung 0 die Abscisse O P = p und die Ordinate PA = q, und das dadurch bestimmte rechtwinklige Dreieck OPA habe die krumme Fläche = E.

"q

ffjp

fr

Um das Differential d F zu bestimmen, untersuchen wir, um was sich die Fläche F ändert, wenn p und q bzw. sich um dp und d q ändern.

Wenn P allein sich ändert, so rückt der Punkt A in der geodätischen Parallele von A nach D, und die Flächen-Änderung ist = I— II, wobei mit I der Streifen P P' D A und mit II das schmale Dreieck ODA bezeichnet, und das kleine Dreieckchen mit den Katheten A D und D E vernachlässigt wird. Man kann also schreiben : dF

dp

dp — I— II

(1)

wenn mit III das schmale Dreieck 0 AB bezeichnet wird.

Um die drei Flächenteile I, II, III näher zu untersuchen, beginnen wir mit I,

welches ist:

(3)

In gleicher Weise hat man auch:

d F

dq = III

(2)

I =y~n dp d q = dpJ~ndq

Dabei ist dp als Basis BP' des Streifens I konstant.

Das Dreieck II lässt sich zu III in Beziehung setzen durch das Verhältnis F A: AB, nämlich :

II: III = FA: AB

Dabei ist A B = d q und E A — ndp cotg ß; daraus folgt mit Rücksicht auf (2):

n dp cotg ß

II =

dF

Ti

(4)

Man hat also nun aus (1), (3) und (4): d F

dp — dpj~n d q — n dp cotg ß Der Faktor dp fällt fort, und dann hat man: sm ß -+- cos ßn

oder, weil sin ß und cos ß von den früheren Entwicklungen nur in den Produkten s sin ß und s cos ß vorhanden sind, schreiben wir:

in ß~d^p ~I- n S C0S ^ 9^ = s s>'n ßfndq

Diese zur Bestimmung von F dienende Gleichung soll in Übereinstimmung gebracht werden mit der folgenden Gleichung, deren Coëfficienten A, B, C, D zunächst unbestimmt eingeführt werden:

dF

dp

dF

~dq

= sin ßy~ndq

ss

(5)

(6)

F = p q -+- A p² + B qß + C p% q D p q*

q 2 Ap Ą- 2 Cpq + P q2.

Nach Anleitung von (5) wird hieraus gebildet: dF _ ł dp

dF

dp

p + 2 B q -i- C p^ + 2 D p q

Hiezu nehmen wir in erster Näherung von (18) und (19) S. 551 und (16) S. 548:

n = 1 + fo Q²

s cos ß = q

s sin ß = p

Wenn man hiemit die Gleichung (5) bildet, und mit (6) vergleicht, so findet man A = 0, B = 0, C = 0, D = 0, d. h. die Reihe für F hat keine Glieder von der Form p², q², p² q, p q².

Nachdem dieses erkannt ist, wird als neue Form angenommen:

F = ^pq-\-Ap²q-{-Bp²q²-\-Cpq²

(7)

Wenn man hier wieder die Krümmungsmasse nach (13) § 110. S. 550 einführt, so kann man den vorstehenden Ausdruck für F auf folgende Form bringen:

= T ⁺ m {ka {ip2 + 3 fl¹) + ^90 i^P² + 3 Î«) + kß (3^ 4-4 Q2) J

(9)

Setzt man die verschiedenen ka, kß, ky hier einander gleich, schlechthin = k, so erhält man wieder die Gleichung (8).

(10)

F = Fx + F₂

Wenn wir die Formel (9) für die Fläche F eines rechtwinkligen Dreiecks, auf die beiden Teile von Fig. 1. an wenden, so haben wir:

dF , 9F -5— und dp oq

§ 110. S. 551 nebst (16) § 109. S. 548:

ssinß = p — ^fopq* n = 1 + fo I²

Dieses wird in (5) eingesetzt, der entstehende Ausdruck mit (7) verglichen, wodurch sich ergeben wird:

4 A —

Hieraus wird

gebildet, hiezu in zweiter Näherung von (18), (19)

s cos

2

ß = Q. + y foP²⁽ł

4B = 0

4C =

3 fo

Und setzt man auch noch nach (13) § 110. S. 550, 2 f₀ = —k, so giebt (7):

yM + ff fc(2>² + ?²)

In der nächsten Stufe haben wir 4 weitere unbestimmte Glieder zugesetzt von der Form A p* q -+■ B p³ q% + B' p³ cß + A' p q⁴, wozu auch s sin ß, s cos ß und n entsprechend höher zu nehmen waren. Die Ausführung und Coëfficienten - Vergleichung nach dem bisherigen Verfahren gab:

-y/o

(8)

= y P q +    ¹⁰ foP* — ¹⁰ fo Q² — ¹ fl P³ — ⁹ %P² q — 7 flP q* _ 12 g₀ qpj

Nun kommt es darauf an, von der Fläche F eines rechtwinkligen geodätischen Dreiecks überzugehen auf die Fläche eines allgemeinen Dreiecks mit beliebigen Winkeln. Der Weg hiezu ist bereits durch die Entwicklung von § 110. mit Fig. 1. S. 553 vorgezeichnet ; wir werden wieder das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, und haben dann, die Flächen der beiden rechtwinkligen Dreiecke nach dem bisherigen mit F₁ und F% bezeichnend, und für die Gesamtfläche das Zeichen F annehmend:

Fl = P* + 240 (*-(4p2 + ³ q2) + *9° (SP¹ + S q2) + *« (³*>² + ⁴ ?²)) F₂ =-₂-+f₄o (*. (4^2 + 3 q'2) + *₉₀ (3p2 ₊ g q'2) ₊ k(8jp2 + 4 q'2)j

' a.

Hiezu hat man nach (24)—(27) §. 110. S. 551: 3 ka + 3 kgg 2 kc

= b cos all -h

, p = c cos a' (1 -f- -g

<j' ^ 3 ha "I⁻ 3 kgg -t- 2 kb

.Dadurch ist der Weg gezeigt, auf welchem man die krumme Dreiecksfläche F zunächst in p, q[ q' nebst den verschiedenen k ausdrücken kann. Dann hat man verschiedene geometrische Beziehungen in dem Dreieck selbst, z. B. p² _j_ ^2 ₌ J2t pz 4- q'² = c² als erste Näherungen u. s. w. Wenn man nach diesen Andeutungen die Rechnung durchfährt, so wird man erhalten:

-2-11 + J20    (3 6² + 3 c² — 126 c cos A) 4- fc> (3 6² + 4 c² — 9 6c cos A)

(H)

4- h (4 6² 4- 3 c² — 9 6c cos A)j

Diese Gleichung (11), welche man auch noch in zwei anderen Formen mit a c sin B und mit ab sin G, anschreiben kann, ist nicht symmetrisch, weil eines der drei Elemente A, B, C bzw. a, 6, c bevorzugt ist. Wir wollen deshalb b c sin A durch ersetzen, und haben hiezu von (14) § 111. S. 553:

A — A* + — ²    + fr* + ko

und im ebenen Dreieck:

2 6 c cos A* = 6² 4- c² — a2 Da man in den Gliedern zweiter Ordnung von (11) stets A mit A* vertauschen darf, kann man mittelst der soeben geschriebenen zwei Gleichungen die (11) auf folgende Form bringen:

F = A {l 4-

120

ka (a² 4- 2 6² 4 2 c²) 4-

120

kb (2 a² 4- 6² 4 2 c²)

120

ko (2 a² 4- 2 6² 4- c²) J

(12)

Setzt man hier ka = fa = kc = k, so erhält man :

(13)

F = A (l 4- 24ft («² + & + c²)j

Dieses entspricht dem früheren (36) S. 251, und damit kann man auch (31)—(42) von S. 251—252 leicht auf unseren Fall übertragen, was in der Formel-Zusammenstellung des 113. geschehen soll.

In der vorigen 3. Auflage dieses Bandes, 1890, 8.480—488, hatten wir hier eine zweite Begründung der Grundformeln geodätischer Dreiecke eingeschaltet (auch in teilweise anderer Form früher in der „Zeitschr. f. Yerm. 1889“, S. 295—304 gegeben), welche auf das Prinzip der reduzierten Breite (Kap. IX) gegründet, ein sphärisches Hilfsdreieck benützt. Dieses mag diesesmal übergangen werden.

§ 113. Praktische Anwendung der allgemeinen Theorie der geodätischen Dreiecke.

(Bezeichnungen nach Fig. 1. und 2. S. 553.)

Wir wollen zuerst die verschiedenen von § 111. und § 112. zur praktischen Anwendung geeigneten Formeln zusammenstellen, und dazu auch noch einige zusammenfassende Bezeichnungen einführen. Wenn die Krümmungsmasse in den drei Ecken eines Dreiecks mit ka, h, kc bezeichnet sind, so nehmen wir hiezu einen Mittelwert:

(1)

ka 4* ki 4- kc

-j , q' = c sm a' ^1

Dieser Wert k₀ entspricht dem Schwerpunkt des Dreiecks und dem arithmetischen Mittel der geographischen Breiten der drei Endpunkte des Dreiecks.

Wenn die drei Seiten eines geodätischen Dreiecks die Längen a, b, c haben, so berechnen wir das mittlere Seitenquadrat:

(2)

= m²

ß2 _f_ 52 _|_ q2

Die Winkel des geodätischen Dreiecks sind A, B, C, und die Winkel eines ebenen Dreiecks, welches ndt dem geodätischen Dreieck gleiche Seitenlangen a, b, c hat, sind A*, B*, C*. Die Winkelsumme des ebenen Dreiecks, d. h. A* + B* -+- C* ist = 180°, und die Summe der Winkel des geodätischen Dreiecks, d. h. A -I- B + C ist = 180° -1- e, wo e der geodätische Excess des Dreiecks heisst.

Die Fläche des geodätischen Dreiecks, auf der krummen Oberfläche gemessen, sei F, und die Fläche des ebenen Dreiecks mit den Seiten a, b, c sei =

Mit diesen Bezeichnungen haben wir von (16) und (17) § 112. S. 556 mit Zusetzung der nötigen p:

15

(3)

oder mit Einführung von k₀ und von m² in dreifacher Form:

A —A* —

Q /co ~+- 12

(J(ka-—k₀) -+

120

g k² (7 m² — 2 a²)

(4)

B—B* = ₃ gk₀ +    Q (kb — ko) + Y20 Q k2 (7 m2 “ 2 02)

-y- 0*0 +    —    ^ (f k² (7 m² — 2 c²) j

(5)

Summe e = Qka-+- 0

A--~- Q k² m²

O

Der theoretischen Vollständigkeit wegen fügen wir auch die Formel für die krumme Oberfläche F hier bei, nach (13) § 112. S. 559:

(6)

F = À -t—5- k ni²

und als Folge von (5) und (6):

e = F gk₀ + k³ ...

(7)

Endlich bildet man aus (4) und (5) durch Elimination von die Differenz:

. *    ß 2 ka -+- kb + kc

~"3~“ 4ko~

oder mit Einführung der Mittelwerte k₀ und m² nach (1) und (2) in dreifacher Form:

fc fka — k₀

+ ⁶ 180 ( — 2 a² + 6² + c²)

(8)

A — A* =

3^12

ko

B — B* =

s fh — ko

k₀

(m² — u²)

£ Z*

601(m2~b2) >

60

y ^12

(k_Ço\

l ko !

■+■ -gö" (™² ~ L'²)

Summe e = e.

Wo in den höheren Gliedern dieser Formeln k schlechthin steht, sind die einzelnen ka, h, kc nicht mehr unterschieden, und man kann dann nach Belieben etwa k = k₀ nehmen.

Die Zahlenwerte von k kann man aus der Hilfstafel S. [8)—[29] unseres Anhangs entnehmen, denn es ist:

~    , log k = log—

Auch darf man sich wohl erlauben, wenn es sich um den Mittelwert k₀ nach (1) handelt, statt des Mittels aus den k selbst, das Mittel aus den verschiedenen log k als log k₀ gelten zu lassen, oder man kann auch logkQ zu dem arithmetischen Mittel der Breiten qp der drei Ecken des Dreiecks nehmen, insofern auf nicht zu weite Erstreckung die Differenzen zwischen den Breiten cp, zwischen den Werten k und den Werten logk alle nahezu einander proportional angenommen werden dürfen.

Wenn die Proportionalität zwischen A qp und Alt nicht mehr stattfindet, so ist auch die der ganzen Theorie zu Grunde liegende Annahme, dass k eine lineare Funktion der Flächen-Coordinaten sei, nicht mehr erfüllt (vgl. (13) und (14) § 109. S. 548 und (13) § 110. S. 550).

Zu einem Zahlen-Beispiele nehmen wir zuerst wieder das klassische Dreieck Inselsberg-Hohehagen-Brocken, welches uns schon mehrfach, auf S. 232 und S. 253 als Kechen-Beispiel gedient hat.

Wir nehmen nach S. 232 zuerst wieder die genäherten geographischen Breiten der drei Eckpunkte des Dreiecks, und entnehmen darnach von S. [20] des Anhangs die Krümmungsmasse:

Punkt

Breite

fei-

Inselsberg 50° 51' 9" Hohehagen 51° 28' 31" Brocken

51° 48'    2"

log 1c = log -

logia = 6.390 1277-8 logh = 6.390 0659-4 logkc = 6.390 0337-4

(10)

Mittel 51° 22' 34"

log k₀ = 6.390 0758-2 )

Wir haben dabei ausnahmsweise scharf gerechnet, d. h. von Seite [20] zuerst log r interpoliert, und daraus log r² und log k gebildet. Wir wollen damit die Winkel auf 0,000 001" genau berechnen, was nur formellen Sinn für ein Vergleichs-Beispiel hat. ⁻

Indem wir die früheren Zahlenwerte von S. 237 und S. 253 wieder benützen,

haben wir:

a = 69,194*™ a² = 4787,8«*™

c = 84,941*’" c² = 7215,0«*™

A = 2 932 356 450«™

6 = 105,973*™

&² = 11230,2«*™ log A = 9-467 2167-6

s = 14,849 701" 4- 0,000 353" = 14,850 054

w² = 7744,3«*™

hiemit nach (5):

dann nach (6): F = 2 932 356 450«™ + 69 693«™ = 2 932 426 143«™ und damit e nach (7) : e = 14,850 054" (stimmt mit (11))

Die Gruppe (4) und (5) giebt:

A — A* = 4,949 900" — 0,000 148" + 0,000 136" = 4,949 888" B-B* = 4,949 900" + 0,000 028" -t- 0,000 096" = 4,950024" C—C*= 4,949 900" + 0,000 120" -f- 0,000 121" = 4,950141"

(11)

« = 14,849 700" + 0

+ 0,000 353" = 14,850053"

h=2080™

Tetica

37“

Ferner giebt die Gruppe (9):

A — A* — 4,950 018" + 0,000 148" + 0,000 018" = 4,950 184" B — B* = 4,950 018" — 0,000 028" — 0,000 021" = 4,949 969" G — C* = 4,950 018" — 0,000 120" + 0,000 003" = 4,949 901"

(13)

« = 14,850 054" + 0

= 14,850 054"

Wenn man diese Winkel (12) und (13) mit den früheren sphärischen Angaben auf S. 253 vergleicht, so findet man nur Differenzen von etwa 0,0001" ersehen ist, dass in diesem Falle eines sehr grossen Dreiecks die Berechnung nach den sphäroidischen Formeln keine merkbare Abweichung von der sphärischen Rechnung bringt.

woraus zu

Die Zahlenwerte, welche wir hier in (12) und (13) berechnet haben, stimmen nicht überein mit den Werten, welche Gauss selbst in Art. 28. der „Disquisitiones generales etc.“ gegeben hat, die Gauss sehen Angaben sind nämlich:

Inselsberg Â — .4* = 4,95131" Hohehagen B — B* = 4,95113" Brocken

G — C* = 4,95104" 6 — 14,85348"

(14)

Es rührt das davon her, dass Gauss im Jahre 1827 andere Erddimensionen seiner Rechnung zu Grunde legte, als die erst von 1841 herrührenden Bessel sehen Erddimensionen, welche unseren Berechnungen zu Grunde liegen.

Fig. 1. (vgl. Eig. 4. S. 23).

Trigonometrische Verbindung zwischen Spanien und Algier.

o°

1°

2°

3°von Gr.

Mulhacen    ^^A^T\?=37°15

b.348l"-^£ä—1-\V™,

f-37°3‘ A ' if15 \ \⁴

,322°2¹

I'-"'

CM

UJ

sy

s.

CO

CM

CsJ

co

Ol

cn Co co P en cr

-Q W

LO

ro

0°

ll°

FiLhaoussen

h=1140ra CP=3SD0I

2°

3°

100

KU.

50

100

200

Kil.

Die im Vorstehenden berechneten Winkel-Reduktionen sind unabhängig von den Reduktionen zwischen den geodätischen Linien und den vertikalen Schnitten, welche durch die früheren Formeln von § 71. bestimmt sind. Jene Reduktionen müssen her schon angebracht sein, ehe die geodätische Theorie von § 109.—112. zur Anwendung kommt.

vor-

Wir wollen dieses an einem grösseren Beispiele zeigen, welches in Fig. 1. S. 562 dargestellt ist.

Hiezu nehmen wir eines der grossen Dreiecke, welche im Jahre 1879 von Ibanez und Perrier zur trigonometrischen Verbindung zwischen Spanien und Algier angelegt worden sind, wie wir schon früher auf S. 22—23 im allgemeinen berichtet haben.

Diese grossen Dreiecke eignen sich sehr gut als Zahlen-Beispiele zur Anwendung der geodätischen Formeln mit sphäroidischen Gliedern, und in diesem Sinne ist auch schon eine Berechnung nach Helmerts Formeln mitgeteilt worden von Fenner in der „Zeitschr. f. Verm. 1882“, S. 303—308. Im übrigen haben wir die Quellenschriften: „Enlace geodésico y astronómica de Europa y Africa, Madrid 1880“ und in dein „Generalbericht d. europ. Gradm. für 1880“, S. 44—57: „Jonction géodésique et astronomique de l’Algérie avec l’Espagne“, und in endgiltiger Berechnung in dem Werke: „Memorias del instituto geogrâfico y estadistico. Tomo VII. Madrid 1888“, S. 97—111.

Nach diesen Schriften und einigen Nebenberechnungen haben wir die zur Berechnung nötigen Haupt werte der Breiten und der Azimute in Fig. 1. zusammengestellt, welche nun in Verbindung mit Fig. 1. S. 23 alles wesentliche giebt.

Wir wollen hier nur eines der vier Verbindungs-Dreiecke durchrechnen, nämlich das grösste: Mulhacen, M’Sahiba, Filhaoussen.

Die gemessenen Winkel sind folgende (Memorias etc. S. 100): Mulhacen

A = 22° 28' 45,269"

M’Sabiha

Filhaoussen

(15)

B = 78° 48' 45,563" 78° 43' 39,198"

Summe = 180° 0' 70,030"

Wir wollen jedoch für unsere Zwecke diese 3 Winkel lieber in Gestalt von 6 Richtungen darstellen, und zwar so, dass die Richtungen nahezu gleich den Azimuten der betreffenden Seiten werden:

Mulhacen

M’Sabiha

Filhaoussen

(A B) = 124° 15' 0,000" (B G) = 226° 53' 0,000" (C Ä) = 327° 40' 0,000"

(A C) = 146° 43' 45,269" (BA) = 305° 4P 45,563" (C B) = 46° 23'39,198"

78° 43' 39,198"

Die Diiferenzen A, B, C sind wieder dieselben wie bei (15). Dass (AB) und (BA) u. s. w. nicht nahezu um 180° verschieden sind, obgleich die Richtungen selbst auf etwa 1' genau Azimute sind, rührt von den Meridian-Konvergenzen her; die Mittelwerte zweier solcher Gegenrichtungen sind als Mittel-Azimute genähert in Fig. 1. eingeschrieben, z. B. (147° 12') als Mittel aus 146° 44' und 327° 40' + 180°.

Nun müssen die gemessenen Richtungen (16) zunächst in zweifacher Weise wegen der Abplattung der Erde reduziert werden.

Erstens erfolgt die Reduktion wegen der Höhe der Zielpunkte über dem Meere; es ist nach der Formel für y in § 68. S. 372 die Reduktion für einen Zielpunkt der in der Höhe h über dem Meere, im Azimut a angezielt wird, in Sekunden:

y = îp Q sin a cos a

A = 22° 28'45,269"

78° 48' 45,563"

(16)

(17)

Zweitens ist Reduktion erforderlich von den vertikalen Schnitten, in welchen die Richtungen (16) gemessen sind, auf die geodätischen Linien; hiefür haben wir nach (16) S. 386 nebst Fig. 5. S. 384 die Reduktion in genügender Näherung:

(18)

v = —7/² e =--g sin cc cos a

Der in (17) und (18) vorkommende Faktor rf² hat wie gewöhnlich die Bedeutung t]² = e'² cos² cp. Da die Breiten qp der drei Eckpunkte in Fig. 1. angegeben sind, hat man damit auch die Mittelbreiten für die drei Seiten, und hiezu lassen sich die drei Werte logt]² berechnen, sowie die nötigen log N aus der Tafel Seite [16] entnehmen:

M’Sabiha 35° 40'

Filhaoussen 35 ° 0'

Mulhacen Filhaoussen 35 ° 0'

37° 3'

Mulhacen 37° 3' M’Sabiha 35° 40'

Mittelbreite qp = 35° 20' log ij2 7.65049 logN 6.80513

Da im übrigen zu der Rechnung nach den Formeln (17) und (18) nichts weiter zu bemerken ist, indem die nötigen Elemente teils in (19) gegeben, teils in Fig. 1 eingeschrieben sind, so teilen wir sofort die Ergebnisse dieser Rechnungen mit:

Filhaoussen

36° 2' 7.64286 6.80514

36° 22' 7.63917 6.80515

(19)

Mulhacen

Richtung

(AC)

(AB)

— 0,039" , — 0,074" + 0,126" , + 0,123"

M’Sabiha (BG) (BA) 4- 0,082" , — 0,230" — 0,021" , + 0,126"

(CA)

(CB)

— 0,225" , + 0,042" 4- 0,123" , — 0,021"

y A-v

(20)

4- 0,087" , -I- 0,049"

— 0,038"

4- 0,061" , — 0,104"

— 0,165"

— 0,102" , + 0,021"

+ 0,123"

Indem wir diese Reduktionen (20) den gemessenen Richtungen (16) hinzufügen, erhalten wir folgende neue Tabelle der Richtungen, die wir zur Unterscheidung von (AB) u. s. w. nun mit [AB] u. s. w. bezeichnen wollen:

Mulhacen

Filhaoussen

M’Sabiha

[AB]    = 124° 15' 0,087" [BC] = 226° 53' 0,061" [CA] = 327° 39' 59,898"

[AC]    = 146° 43' 45,318" [BAl] — 305° 4P 45,459" [CB] = 46° 23' 39,219"

B' — 78° 48' 45,398"

C' = 78° 43' 39,321" (21)

A' = 22° 28' 45,231"

Um nun das Dreieck, welchem diese Winkel angehören, auf ein ebenes Dreieck mit gleich langen Seiten zu reduzieren, oder um die früher mit A*, B*, G* bezeich-neten Winkel zu finden, hat man wieder die hiefür gütigen Formeln anzuwenden, welche wir am Anfang dieses § 113. unter (1)—(9) S. 559—560 zusammengestellt haben.

Die hiezu nötigen Krümmungsmasse k, bzw. die entsprechenden log k Q sind:

log k Q = log ^ = 1.705 9395 . .    . .    1.706 0732

. .    . .    1.706 1356

A,    Mulhacen

B,    M’Sabiha

G, Filhaoussen . . 35° 1'

Was die Rechnung im übrigen betrifft, so haben wir die Seite AG = b = 269 926m zu Grunde gelegt, die Winkel A, B, C zunächst vorläufig auf 180° ausgeglichen und damit erste Näherungen von A*, B*, C* erhalten, woraus weiter folgte: B G = a

<jp = 37° 3' . . 35° 40'

Summe = 179° 59' 59,188" — 0,812"

(23)

= 105 173,9™ und A B = c = 269 845,7™. Damit konnte weiter gerechnet werden log A = 10.143 6726 und e = 70,7607" und endlich:

B' — B* = 23,5866"

A' — A* = 23,5866"

G — C* = 23,5875"

Zieht man diese (22) von den A', B', C in (21) ab, so erhält man:

= 22° 28' 21,644"

= 78° 48' 21,811"

= 78° 43' 15,733"

(22)

w —

Dieser nun noch bleibende Widerspruch w = — 0,812" rührt von den Beobachtungs-Fehlern her. Die geodätische Winkel-Reduktion an sich ist damit vollendet.

Wenn man die praktische Frage aufwirft, ob die kleinen Reduktionen, mit denen wir uns hier beschäftigt haben, bei Triangulierungen in Rechnung zu bringen sind, so wird man beim heutigen Stande der Beobachtungskunst diese Frage für die gewöhnlichen kleinen Dreiecke und geringen Höhen vereinen; dagegen bei solch grossen Verhältnissen, wie diejenigen der Triangulierung zwischen Spanien und Algier, sind kleine Grössen wie die unter (20) erhaltenen neben einem nur etwa 8 mal grösseren Messungs-Fehler w nach gewöhnlicher Anschauung nicht zu vernachlässigen.

Dieses betrifft diejenigen Reduktionen, deren Theorie in den früheren §§ 66., 67. und 71. behandelt worden ist. Die kleinen Grössen, welche durch die Theorie dieses Kapitels X. § 110.—§ 112 gewonnen wurden, sind noch erheblich kleiner, und der praktische Gewinn unseres ganzen Kapitels X. beschränkt sich also sogar bei der grossen spanisch-algierischen Triangulierung auf Glieder von 0,001" Betrag.

Wenn hiernach die Theorie der Gauss sehen „Disquisitiones generales circa superficies curvas“ sich hier nur als schöne Theorie zeigt, welche man in der Praxis kaum unmittelbar braucht, so ist die Theorie damit doch auch praktisch nicht überflüssig, denn ohne diese Theorie wüsste man eben nicht, dass die zweifellos vorhandenen Einflüsse der Abplattung der Erde in diesem Falle so wenig ausmachen, und die höheren

sphärischen Glieder mit ^ in § 44. würden ohne die Kenntnis der sphäroidischen Glieder wertlos sein.

¹

= bsin a(l + *L⁸ _ ² *» + *90+A

²

p = c cos ci (l + Ç³*a + 3 g⁹⁰    ) , p = b cos a U-h^rSka+S1c 90 + ³^'

Kapitel XI.

Bestimmung der Dimensionen des Erd-Ellipsoids.

§ 114. Bestimmung der Meridian-Ellipse durch zwei Breiten-

Gradmessungen.

Das älteste Mittel zur Bestimmung der Erddimensionen sind die sogenannten Breiten-Gradmessungen, deren Geschichte wir in der Einleitung S. 1—9 mitgeteilt haben.

Unter einer Breiten-Gradmessung versteht man die Messung eines Meridianbogens der Erde und der Polhöhen oder geographischen Breiten seiner Endpunkte.

Wenn man die Messungs-Ergebnisse zweier solcher Gradmessungen unter verschiedenen Breiten kennt, so kann man die Dimensionen der dadurch bestimmten Meridian-Ellipse berechnen.

Ehe wir uns damit beschäftigen, ist eine Bemerkung über die Messung der Meridianbögen zu machen. Geradezu auf einem Meridian der Erde eine Linie unmittelbar zu messen, das war das Bestreben der ersten Gradmesser (vgl. z. B. S. 3, arabische Gradmessung und S. 7, amerikanische Gradmessung), und wenn der gemessene Bogen einen kleinen Winkel a mit der Meridianrichtung bildete, so konnte man leicht eine Reduktion auf den Meridian ausführen, welche im wesentlichen in der Multiplikation des gemessenen Bogens mit cos « besteht. Auch Triangulierungsketten, welche nach ihrer Haupterstreckung nahe der Meridianrichtung liegen, lassen sich auf den Meridian reduzieren, wie wir ausführlicher im nächsten § 115. zeigen werden.

Nach Andeutung von Fig. 1. nehmen wir nun an, man habe zwei Gradmessungen in demselben Meridian, oder, was hier dasselbe ist, zwei Gradmessungen, deren Elemente in einer Meridian-Ellipse dargestellt sind. Die erste Gradmessung habe den Meridianbogen m mit den Breiten cp₁ und <p₂ seiner Endpunkte, und die zweite Gradmessung entsprechend den Meridianbogen m' mit den Breiten qp₃ und cp₄. Zur Abkürzung wollen wir hiezu schreiben:

g>4 — Vs = A cp' (i)

(2)

Nun wissen wir von § 35. S. 210 und S. 219, dass man die Länge m eines massig grossen Meridianbogens als Kreisbogen berechnen kann,.dessen Halbmesser der Meridian-Krümmungs-Halbmesser M für die Mittelbreite cp, und dessen Centriwinkel die Breiten-Differenz A cp ist; d. h. man hat für die beiden Gradmessungen:

A cp'

Fig. 1.

Zwei Breiten-Gradmessungen.

m?

cc

<30 O <3 H <2 13 Th-

<JP2 — <Pl = A<p 9>2 + <Pl _

2 - v

A cp m = —— M

in' —

M!

(3)

Dabei ist nach (21) und (19) S. 196—197:

M = -JL

V3

M'=JL

y'3

(4)

F'2 = 1 + e'2 cos2 cp'

(5)

F2 = 1 4- e'2 cos² qp

Wenn man diese (5) und (4) in (3) einsetzt, und dann die beiden Gleichungen (3) dividiert, so erhält man:

'm A <p'\§_1 + e'² cos² cp'

m' A qp /    1 -f- e'² cos² cp

(6)

Zur Abkürzung schreiben wir:

fmAjT)i= 2

[ut A cp ) q

(6a)

Die Gleichung (6) ist in Bezug auf e'² linear, und kann daher geradezu nach e'² aufgelöst werden. Wenn man dabei die Abkürzung (6a) benützt, so erhält man

e'² =

1 — q²

(7)

<f cos² cp — cos² qp'

Hat man hieraus e'² berechnet, so erhält man mit Probe aus (3), (4) und (5):

c — p F³ oder c = p F3 A cp *    Acp' *

Die beiden Ellipsen-Halbaxen a und 6 erhält man aus c und e'² nach (18) S. 196 :

a ~ yr+e' 2

wobei man nochmals zur Probe bilden kann:

«2— 6²

1 + e'²

(9)

62

= e'2

Damit hat man auch e² und die Abplattung cc nach (5) und (7) S. 189: a = 1 — ]/1 — e²    oder a = 1 —

e2 =

e'2

1 + e'2    ’

yi + e'2

(10)

werden :

Auch die Länge des Meridian-Quadranten Q kann nach (246) S. 215 berechnet

(H)

Zur Anwendung der entwickelten Formeln wollen wir die bekannten klassischen Gradmessungen von Peru und Lappland benützen.

Nach Bessels Angabe im 14. Band, 1837, der „Astr. Nachr.“ S. 334 und S. 337 sind die Ergebnisse der Gradmessungen in Peru und Lappland (Schweden) die folgenden :

Gradmessung in Peru:

to = 176875,5 Toisen = 344736,772 Meter (jpj = — 3 ⁰ 4' 32,068"

Gradmessung in Lappland:

m' = 92777,981 Toisen = 180 827,654 Meter <p₈ = 65° 31' 30,265

Man bildet hieraus die Differenzen und die Mittel:

<p₂ = + 0° 2' 31,387"

<p₄ = 67° 8'49,830"

A cp' = 1°37' 19,565"

=    5839,565"

<y = 66° 20' 10,0475"

A cp = 3° 7' 3,455"

= 11223,455"

<p = — 1°31' 30,3405"

Nun rechnet man nach den angegebenen Formeln:

log j-y = 1-487 3610-4

log

A q>'

= 1.490 8843.5

log q* = 9.9976511-3

(12)

(13)

e'2 =

1 — 0,994606-119

0,993 901 593 — 0,161 096 660

= 0,006 476 764

log V2 = 0.0028017-7 loge = 6.8059888-4

log a = 6.804 5869-6

log P'2 = 0.000 4529-0

log 6 = 6.803 1850-8

(14)

Q = 10000157 Meter Wenn man statt e'² zuerst e² haben will, so kann man dieses aus (7) ableiten, denn es ist nach (5) § 31. S. 189, mit Anwendung auf (7):

______ 1 — q²

1 -t- e'² sin² cp' — q² sin 2 y

a = 1: 310,29534

e² =

e'²

(15)

Auf dieselbe Formel wird man auch unmittelbar dadurch geführt, dass man von vornherein statt c und e'² und V² mit den Konstanten a, e² und TF² rechnet:

TF'² = 1 — e² sin² cp'

TF² = 1 — e² sin² cp

(16)

Wenn man dieses ebenso behandelt, wie früher (8) — (6), so wird man auf (16) geführt, worauf aus (17) auch a mit Probe folgt.

Berechnungen von solcher Art spielten eine wichtige Rolle in der Zeit der Gradmessungen des vorigen Jahrhunderts (vgl. Einleitung S. 7); heute ist dieses nicht mehr der Fall, indem die Frage nach den Erddimensionen jetzt in anderer Form auftritt.

§ 115. Reduktion eines Gradmessungs-Bogens auf den Meridian.

Wir haben die am Eingänge des vorigen § 114. berührte Aufgabe nun nachzuholen, nämlich Berechnung des Meridianbogens m, welcher einem schief gegen den Meridian gelegten Gradmessungs - Bogen s zwischen den Breiten der Endpunkte entspricht. Oder im Anschluss an die nachfolgende Fig. 1. haben wir die Aufgabe, den Meridianbogen m zu berechnen, welcher zwischen denselben Breiten cpi und qp₂ liegt, wie ein schief gelegter Bogen A B — s, dessen Richtung wenigstens durch ein Azimut « bestimmt ist.

Fig. 1.

Der Bogen s kann unmittelbar gemessen sein, im allgemeinen ist aber anzunehmen, dass dieser Bogen s als lange Diagonale einer Triangulierungskette nach Art von MB in Fig. 2. S. 388 oder Fig. 3. S. 389 berechnet sei, wobei die Haupterstreckung A B nach dem Meridian gerichtet ist. Dabei ist angenommen, dass auch das Azimut a, dessen astronomische Messung nicht geradezu auf die Sicht der Linie s gemacht werden konnte, durch Rechnung auf s bezogen wurde.

Hiernach kann man das Ergebnis s mit einem Azimut a (oder mit zwei Azimuten alf a₂, nach Fig. 3. S. 571) als geodätische Linie mit geodätischen Azimuten betrachten, und als solche weiter behandeln.

\OC

%-

Wir betrachten nun zuerst nach Fig. 1. den einfachen Fall, dass nur ein Azimut a gemessen sei; wir wollen dann aber als Erleichterung andererseits annehmen, dass dieses a ziemlich klein sei, d. h. dass der Gradmessungs-Bogen s nahezu die Meridianrichtung habe, was ja hei reinen Breitengrad-Messungen von

vornherein angestrebt wird.

Zwischen qp₂— cp\, s und « besteht eine Beziehung, welche in erster Näherung durch die zwei ersten Glieder von (25) S. 395 ausgedrückt wird, nämlich:

(i)

Dabei ist nach (22) und (23) S. 394:

V2 —-

M ’ U~N

cos a

also :

<r>2 — Tl = cos a

S2

2 MN

sin¹* a tang q>₁

Dieselbe Gleichung auf den Meridianbogen m angewendet, giebt mit a = 0:

T2 rfi —

Dieses mit der vorhergehenden Gleichung verbunden giebt:

(2)

m = s cos a

§2

— 2 sirfi a tang qpj H- ...

Für den Quer-Krümmungs-Halbmesser N, der hier als Nenner nur im zweiten Gliede vorkommt, kann man einen abgerundeten Näherungswert nehmen. Wenn das Azimut a ziemlich klein ist, so wird das zweite Glied mit si«²« sehr klein, und es ist dann ziemlich gleichgiltig, wie der hiebei nötige Näherungswert N angenommen wird.

Man könnte die Formel (2) leicht auch noch auf höhere Glieder entwickeln, indem man bei (1) weitere Glieder von (25) S. 395 berücksichtigte; wir wollen das aber hier nicht ausführen, sondern ein einfaches Zahlen-Beispiel vornehmen, bei welchem die Reduktionsformel (2) völlig ausreicht.

Als solches Beispiel soll die durch Einfachheit sich auszeichnende pennsylvanische Gradmessung dienen, welche im vorigen Jahrhundert, 1764—1768, von Mason und Dixon nicht durch Triangulierung, sondern durch unmittelbare Lattenmessung ausgeführt wurde, wie wir schon in der Einleitung S. 6. angegeben haben.

Die Haupt-Zahlenangaben über diese merkwürdige Messung wurden von Prof. J. Howard Gore in Washington in der „Zeitschr. f. Verm. 1888“, S. 33—39 mitgeteilt, woraus wir folgendes entnehmen:

Fig. 2. .

Pennsylvanische Gradmessung (1764—1768).

<p₂ = 39° 56' 19"

er?

-t

m' = 32010,24™

(39° 39')

s = 132327,16™

m -- 132042,98”*

a = 3° 43' 30"

qpt = 38° 27' 34"

Die Hauptmessung erfolgte in der Geraden AB, welche von dem südlichsten Punkte A mit der astronomisch gemessenen Breite cp₁ — 38° 27' 34" unter dem Azimut a = 3° 43' 30" sich bis zu einem Punkte B erstreckt, dessen Breite nicht astronomisch gemessen ist (39° 39' durch nachträgliche Interpolation). Dann wurde noch ein gebrochener Zug B D C PN hinzugemessen bis zu dem nördlichsten Punkte N, dessen astronomisch gemessene Breite <p₂ = 39° 56' 19" ist.

Als gemessene Längen sind angegeben: erstens die schiefe Hauptlänge s = 434011,64 Puss und die Summe der zwei unmittelbaren Meridianbögen G C +P N = 104 988,4 Fus's. (In Fig. 2. S. 569 soll BGH den Parallelkreis von B, und G P ein kleines Stück des Parallels von G vorstellen.)

107

Dazu wird angegeben, dass der hier benützte englische Fuss = Pariser Fuss sei, woraus man berechnet 1 Fuss = 0,30489306 Meter.

Der heutige englische Fuss ist kleiner, nämlich = 0,304 797 27™. Die in unserer Einleitung S. 7 angegebene Reduktion 434011,64 Fuss = 132 286 Meter beruht auf dem neuen Verhältnis 1 Fuss = 0,30479727™.

Mit dieser Verhältniszahl rechnen wir die beiden mitgeteilten Entfernungen in Meter um, wie auch bei Fig. 2. S. 569 beigeschrieben ist:

(3)

m' = 104988,4 Fuss = 32010,24™ und s = 434 011,64 Fuss = 132327,16”*

Nun kommt die Hauptaufgabe, welche uns hier beschäftigt, nämlich die schiefe Länge s auf die Meridianlänge zu reduzieren, wozu die Formel (2) dient. Dabei ist einzusetzen s — 132 327,16™, a = 3° 43' 30", q>i = 38° 27' 34" und nach Seite [16J des Anhangs genähert log N = 6.80521. Die Ausrechnung giebt:

(4)

m = 132 047,60™ — 4,62™ = 132042,98™

Die beiden Teile dieser Rechnung sind in Fig. 2. S. 569 geometrisch veranschaulicht, es ist nämlich:

A t = s cos a = 132047,60™ und t R = 4,62™, also m = A B = A t — t R (5) Nun hat man den gesamten Gradmessungs-Meridianbogen zwischen den Parallelen von A und N nach (3) und (4):

(6)

m' +«»= 164053,22™

Hiezu die beiden astronomisch gemessenen Breiten: qp₂ = 39° 56' 19"

<pj = 38° 27' 34"

Mittel ^2 + V* = <j> = 39° 11' 56,5"

u

Aus (6) und (8) erhält man den Meridiangrad für die Mittelbreite cp:

G = ~~ 164 053,22™ = 110 909,22™

(Diese pennsylvanische Gradmessung wurde von Laplace, Airy und Schubert zur Berechnung der Erddimensionen mit benützt, aber nicht von Bessel und Clarke.)

Nachdem wir an diesem geschichtlich-interessanten Beispiel die Reduktion eines Gradmessungs-Bogens mit einem Azimut behandelt haben, gehen wir zu dem Falle über, dass zwei Azimute gemessen sind, nämlich und «₂ in Fig. 3. S. 571.

Hiezu haben wir von § 77. (21) S. 405 die Gleichung für Mittelbreite cp:

$2 — w = 1 ° 28' 45" = 5325"

(?)

(8)

(9)

cos a

^1    (2 + 3*2-4-21^ +. A²_. }?2(f2_l_ł?2_4ł/2f2₎j (10)

Diese Formel kann man unmittelbar anwenden, wenn man für den geographischen Längenunterschied l einen Näherungswert einsetzt und qp als Mittelbreite annimmt (auch in rj² = e'² cos² cp).

Al

Dieselbe Formel gilt auch für den Meridianbogen m, wenn das mittlere Azimut « = 0 und auch der Längenunterschied l — 0 gesetzt wird, also:

<3Pa — <Pi

V²

1 4-

(11)

Nun giebt die Division von (10) und (11): l² cos² qp

m = s cos a 1 4

24

(2 -+■ 3 t² 4- 2 t]²)j

(12)

Fig. 3.

Man kann jedoch auch in erster Näherung nach (16) § 77. S. 404 setzen:

l cos qp = AA sin a

(13)

Damit giebt (12):

12"

ioe ₂

m = s cos a 1 4

sW₂“(2 + 3i* + 2,4

24 jV

(14)

's

7ai

Für N² und rj² genügen hier irgend welche leicht zu beschaffende Näherungswerte.

Die soeben entwickelte Formel (14) wird wohl in den meisten Fällen ausreichen, und man könnte sie auch wohl auf dem betretenen Wege noch weiter treiben; wir wollen aber noch eine andere Form nach Bessel geben, wobei reduzierte Breiten benützt werden.

Fig. 4. EllipsoicL.

---L

Fig. 5.    -

Kucjel.

0₂

----À K,

Wenn wir zu Fig. 4., welche unsere Aufgabe auf dem Ellipsoid veranschaulicht, auch die Übertragung auf die Kugel mit reduzierten Breiten nach § 103. vornehmen, so bekommen wir zu Fig. 4. noch die entsprechende Fig. 5., welche dieselben Azimute wie Fig. 4. und im übrigen sphärische Masse enthält, die wir nach § 106 behandeln können.

Wir wollen jedoch die Entwicklung hiezu, welche in unserer 3. Auflage dieses Bandes,

1890 in § 103, S. 503—505 ausführlich gegeben war, hier nicht wiederholen, weil solche Aufgaben in der Neuzeit immer weniger Anwendung finden.

Das Schlussergebnis unserer berichteten Entwicklung ist:

cos

«2 + «1

14-

s² sin² a

cos

«2~ «1

12 «2

(1 4- e'² cos (qpj 4- qp₂))

(15)

(— 2-+-3 cos² a 4-5 cos² a tang²

s⁴ sin² a 240 a⁴

Dieses ist im wesentlichen die Formel, welche von Bessel im 14. Bande der „Astr. Nachrichten 1837“, S. 310, in der „Gradmessung in Ostpreussen“ 1838, S. 446 und in General Baeyers „Messen auf der sphäroidischen Oberfläche“ 1862, S. 48 angegeben wurde.

Fig. 6.

Süd-Ende der französisch-spanischen Gradmessung von 1792. Massstab 1 : 10000000).

42°

Barcelona, Mon Ijoinj-⁰

^Matas

Matas qp₂ = 41° 30' 29,04” «2 = 11° 26' 1,71”

a.₂

40°<<^^Djesierto; s

5'12,575"

«2 + «¹ ₌₁₁oir 52,325”

38°

:;Formen$dera

Mola

ax = 10° 57' 42,94” Mola (Pj = 38° 39' 56,11”

h=f

«2    «1 = Oo U, ₉₎₃₈₅-r

18°

20°

Zu einem Zahlen-Beispiel für die Anwendung der Formel (15) nehmen wir entsprechend vorstehender Fig. 6. eine Mitteilung von Bessel „Astr. Nachr., 19. Band, 1841“, S. 112—114, über seine Neuberechnung des südlichen Teiles der alten französisch-spanischen Gradmessung von Dünkirchen bis zu den balearischen Inseln. Der nördliche Punkt Matas liegt an der spanischen Küste bei Barcelona, und der südliche Punkt Mola ist der südlichste Gradmessungspunkt auf der Insel Formentera.

Aus der Triangulierung hat Bessel die geodätische Linie zwischen Matas und Mola, s ~ 165108,586 Toisen oder = 321802,629”* berechnet, sowie auch die Azimute ax und «₂ reduziert, welche nebst den Breiten qpx und qp₂ bei Fig. 6. eingeschrieben sind. Wenn man damit die Ausrechnung nach der Formel (27) macht, so findet man:

m = 315 678,950™ + 2,529”* — 0,001" = 315681,478”*

Das letzte Glied der Formel (15) bringt also hier nur 1 Millimeter; dieses Glied wird wohl immer zu vernachlässigen sein.

§ 116. Ausgleichung mehrerer Breiten-Gradmessungen.

Indem wir unserer Einleitung S. 7—10 folgen, kommen wir zu der Bestimmung der Dimensionen des Erd-Ellipsoids aus mehr als zwei Breiten-Gradmessungen, oder zu der Ausgleichung mehrerer Breiten-Gradmessungen nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Man geht dabei von der Anschauung aus, dass die astronomische Messung der Polhöhen cp verhältnismässig viel ungenauer ist, als die geodätische Messung der Meridianbögen m, denn ein Fehler von 1” an der Polhöhe oder Breite <jp erzeugt bereits eine Änderung von etwa 31 Meter an dem Meridianbogen m, während der mittlere Fehler der geodätischen Meridianbogen-Messung ein viel geringerer ist.

Allerdings überzeugte man sich bald, dass auch die Messungsfehler der Polhöhen qp nicht genügten zur Erklärung der Widersprüche in den verschiedenen Gradmessungen; allein man behielt doch die Form der Ausgleichungs-Rechnung, wonach die Quadratsumme aller Polhöhen-Änderungen zu einem Minimum gemacht wurde, noch lange bei,

obgleich man wusste, dass die Polhöhen-Widersprüche zum grossen Teil gar nicht in Messungsfehlern, sondern in Lotabweichungen ihren Grund haben. Die Methode der kleinsten Quadrate hat bei solcher Anwendung nur die Bedeutung einer empirischen Vermittlung widerstrebender Elemente, und die dabei übrig bleibenden Fehler v geben erste Fingerzeige, an welchen Stellen Lotablenkungen zu suchen sind.

Wir wollen nun einen Teil einer solchen Ausgleichung von Breiten-Gradmessungen vornehmen, und dazu die von Bessel 1887—1841 gesammelten und gesichteten Gradmessungs-Ergebnisse benützen, aus welchen Bessel 1841 seine berühmten, heute noch benützten Erddimensionen (vgl. S. 190) abgeleitet hat.

Wir wollen aber nicht die Besselsche Rechnung selbst hier vorführen, sondern wir wollen nur einige Zahlen werte derselben herausgreifen, um daran den Rechnungsgang zu zeigen.

Von der französischen Gradmessung sollen folgende 5 Stationen benützt werden:

Meridianbogen

Station

1.    Formentera

2.    Barcelona

3.    Carcassonne

4.    Pantheon

5.    Dünkirchen

Polhöhe qp <pj = 88° 39' 56,1”

<pa = 41 22 47,9 cp₃ = 43 12 54,3 <p₄ = 48 50 49,4 qp 5 = 51    2    8,8

Um die Fehler-Gleichungen für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen zu erhalten, legen wir die Bessel sehen Erd-Dimensionen a und e² nach § 81. S. 193 zu Grunde, und bestimmen solche Verbesserungen von a und von e², welche die Quadratsumme aller an den Polhöhen qp anzubringenden Verbesserungen zu einem Minimum machen.

2° 42' 51,8” 4 32 58,2 10 10 53,3

301 354m 505 137 1 131 050 12 22 12,7    1 374 572

(1)

Dazu müssen wir zuerst Beziehungen zwischen den Polhöhen-Differenzen A qp und den zugehörigen Meridianbögen m ermitteln; und um hiebei einfache Rechnung zu haben, verfahren wir nach dem Satze von §35. S. 210, welcher sagt, dass man einen Meridian-Bogen m als Kreisbogen berechnen darf, mit dem Meridian-Krümmungs-Halbmesser M der Mittelbreite und mit dem Centriwinkel Al qp. Da wir die Breiten qp auf 0,1”, entsprechend 3 Meter, abgerundet haben, so ist die angegebene Näherung zulässig.

Die zwei ersten gemessenen Polhöhen <jpl und qp₂ sind mit dem dazwischen liegenden Meridianbogen m verbunden durch die Beziehung:

V2-Vl= Q

wobei nach (17) und (15) S. 196 für M die Formel gilt:

1    (1 — e² sin² qp)

M a{\ — e²)

Da die hier vorkommenden Erddimensionen a und e² für unsere Ausgleichung die Unbekannten sind, zerlegen wir dieselben in Näherungswerte a₀ und e\ mit zugehörigen Verbesserungen öa und de², d. h. wir setzen: a — a₀ -+- d a

Wir bezeichnen auch mit M₀ denjenigen Wert von M, welcher durch die Näherungs-Annahmen a = a₀ und ß² = ^ entsteht; und demnach entwickeln wir nach dem Taylor sehen Satz:

mit qp =-₀

6

e² = e* + de²

M~ Mo da\M ^ d# \Mj

de²

(2)

(3)

(4)

Die beiden hier gebrauchten partiellen Ableitungen der Funktion wir nur in erster Näherung, nach (2), mit Yernachlässigung aller Glieder mit e²:

entwickeln

da[MJ~ «²

und

isin*ę)

(5)

Nun kann man zur Bildung der Fehler-Gleichungen schreiten. Die Gleichung (1), welche wegen der Beobachtungsfehler im allgemeinen nicht erfüllt sein wird, wird dadurch zum Stimmen gebracht, dass den beobachteten qq und cp₂ ihre Verbesserungen tq und v₂ zugesetzt werden, also:

(6)

<jP₂ — cpi + v₂ — t>i = m q [ Mj Wenn man hier (4) und (5) einsetzt, so bekommt man:

qp₂ — Tl +    — V1 = m Q

[m,

(7)

a³

Hier darf man in den Gliedern mit 8 a und mit ö e² statt der Unbekannten a, deren Näherungswert a₀ setzen; ja wir wollen sogar, da ohnehin schon alle Glieder mit e² in den Coëfficienten von 8 a und de² vernachlässigt sind, hier a — M, also

nach (1) das Produkt    = qp₂ — qPi setzen, und damit wird (7) :

a0

(i — Y sin* v) ^2 ~ 9i) öe* +    (<f>2 - <Pi) (8)

Um bequeme Zahlen zur Rechnung zu bekommen, wollen wir nicht 8 a und 8 e2 selbst bestimmen, sondern von ö a das Tausendel und von ö e² das Tausendfache; d. h. wir wollen zwei neue Unbekannte x und y einführen durch die Gleichungen:

y = 1000 8 e²

æ " 1000

Dieses in (8) eingesetzt, wird geben:

v₂ — tq = a' x + V y + V wobei b' und V folgende Bedeutungen haben:

(9)

(10)

^1 —    sin² (f) j

T2 — <Pl

T₂ — cl 1

(H)

v = +

Als Näherungswerte a₀ und e\ nehmen wir die bekannten Besselschen, vom Jahre 1841 nach § 31. S. 193, nämlich:

a₀ = 6 377 397,155“ el = 0,006 674 372

a' = — 1000

«o

1000

(12)

log a₀ = 6.804 6434.6 log el = 7.824 4104.2 Wir werden dadurch die Annehmlichkeit haben, dass unsere Absolutglieder l' in (12) geradezu gleich den Besselschen endgiltigen v₂ — tq u. s. w. werden; doch wollen wir hier davon zunächst keinen Gebrauch machen, sondern die Anwendung der Formeln (10), (11), (12) an den zwei ersten Werten der Tabelle (1) von S. 573 zeigen:

(13)

Formentera qq = 38° 39' 56,1" Barcelona

q>₂ = 41° 22'47,9"

m = 301 354“

—q»₁₌ 2° 42' 51,8" = 9771,8" Mittel cp = 40° 1' 22,0"

Damit man nach den Formeln (11) sofort berechnen: a' — —1,532

Auch die Berechnung von l nach (12) hat keine Schwierigkeit, indem dabei M0 derjenige Wert ist, welcher den Werten o₀ und e\ von (13) entspricht, d. h.:

«o (! — gg)

(1 — e\ sin² <p)’    ’

Indessen können wir wohl auch den günstigen Umstand ausnützen, dass die a0 und e* von (13) die bekannten Besselsehen sind, welche auch unseren Hilfstafeln S. [8] —[29] des Anhangs zu Grunde liegen; und wir können daher, statt nach (16) log Mq auszurechnen, dasselbe auch von Seite [18] des Anhangs entnehmen, oder lieber noch sofort von Seite [19]:

h' = 4- 3,709

(15)

M₀

log M₀ = 6.803 5358

(16)

log [1] = log

für Ç) = 40° 1' 22"

hiezu von (14) log m = log 301 354

M₀

8.510 8893

5.479 0770

M₀

3.989 9663

= 9771,6"

M{)

hiezu von (14) <p₂ — qpi = 9 771,8" also

V = — 0,2"

(17)

Nimmt man dieses mit (15) zusammen, so hat man die erste Gleichung von der Form (10):

v% —V\ = — 1,53 x + 3,71 y — 0,2"

Nachdem wir so die Aufstellung einer Gleichung mit Ausrechnung der Coöffi-cienten und des Absolutgliedes in aller Ausführlichkeit gezeigt haben, werden wir das Ergebnis der Berechnung für die 4 übrigen, welche zu den bei (1) angegebenen französischen Gradmessungen gehören, kurz anschreiben.

(18)

Fehlerdifferenz-Gleichungen.

Formentera-Barcelona „    -Carcassone

„    -Pantheon

_    -Dünkirchen

Ähnliche Gleichungsgruppen entstehen auch für alle anderen Gradmessungen, Bessels Ausgleichung hat im Ganzen 10 solcher Gleichungsgruppen mit zusammen 38 — 10 = 28 solcher Gleichungen, wie aus unserer Zusammenstellung von § 1. S. 9 unten zu ersehen ist, wozu wir aber bemerken, dass schon in der Gruppe (1) nur 5 Stationen aufgenommeu sind, während nach S. 9 die Zahl der französischen Stationen 7 ist; wir haben deren 2 weggelassen.

Die Gleichungen (19) sind keine Fehler-Gleichungen in dem gewöhnlichen Sinne, weil in jeder Gleichung zwei Verbesserungen v auftreten. Die Trennung der v geschieht dadurch, dass man für jede Gradmessung eine Polhöhen-Verbesserung v selbst als Unbekannte einführt. Der Fall ist ganz entsprechend der Ausgleichung geodätischer Richtungsmessungen, wo man auch für jeden Satz von Messungen eine Nullpunkts-

(19)

Korrektion als Unbekannte einführen muss.

Auf diese Weise entstehen aus den 4 Gleichungen (19) folgende 5 wirkliche Fehlergleichun gen :

'«i = »i

v₂ = v1 «3 = n

vi =V1 vh = V₁

Jede der 10 Gradmessungen giebt eine solche Gruppe von Fehlergleichungen, und da jede Gradmessung eine besondere Unbekannte v hereinbringt, wie z B. v] in der Gruppe (20), so überblickt man, dass die Zahl aller Umbekannten = 10 + 2 sein muss, nämlich die 10 besonderen v und dann die 2 eigentlichen Unbekannten x und y.

Nun steht nichts im Wege, die zugehörigen 12 Normalgleichumgen zu bilden, aus denen man die 10 Hilfsunbekannten v so rasch als möglich eliminieren wird.

Da der Gang der Ausgleichung hierdurch genügend klar gemacht ist, wollen wir dabei abbrechen. Eine ausführlichere, auf die ganze Ausgleichung mit 6 Gradmessungen in Europa und mit zusammen 20 Stationen sich erstreckende Berechnung war in unserer 8. Auflage dieses Bandes 1890, § 104. S. 507—516, enthalten.

—    1,53®

—    2,57 x

—    5,75 x

—    6,98 x

4- 3,71 y + 5,83 y + 10,36 y + ll>3l y

— 0,2"

-    1,4"

—    2,1"

(20)

+ 1,2"

§117. Längen - Grradmessung.

Fig. 1.

Wenn man eine Triangulierungskette in der Haupterstreckung von West nach Ost anlegt, und die beiden Endpunkte durch eine astronomische Längen - Bestimmung verbindet, so erhält man eine Längen-Gradmessung.

Während in früherer Zeit, namentlich im vorigen Jahrhundert, wegen der grossen Unsicherheit der astronomischen Längen - Bestimmungen, diese Form der Gradmessung wenig Bedeutung hatte, ist jetzt, seit die elektro-telegraphischen Zeitübertragungen nahezu die Genauigkeit der Breitenmessungen erreicht haben, das Verhältnis ein anderes geworden, und die Längen-Gradmessungen sind jetzt den Breiten-Gradmessungen nahezu gleichberechtigt.

Um die Theorie der Längen-Gradmessung in ihren Grundzügen zu behandeln, brauchen wir nur die Gleichung (16) § 77. S. 404 für Mittelbreite qp vorzuführen:

sin² at² —

W-P-+-

C4j,\*-P

++•

cos² a (1 + rf² — 9 rj² t²) j j Dabei ist noch (la) S. 403, da N = c: V die Bedeutung von S diese: S = — V — ~Ÿ 1 + e'² cos² cp und t = tang cp

(1)

(2)

CPi + 0P₂

Ausser dem astronomischen Längenunterschied l und dem geodätischen Bogen s sind auch noch die Breiten cpi, cp₂ und die Azimute a₁₍ «₂ durch Messung zu bestimmen (vgl. Fig. 1.). Wenn die Messung unter niederen Breiten (in der Nähe des Äquators) stattfindet, braucht cp nicht sehr genau zu sein, und wenn der Bogen s wesentlich west-östliche Erstreckung hat (a nahezu = 90°), braucht « nicht sehr genau zu sein.

dazu auch

(3)

Die Ausrechnung nach der Formel (1) hat die Bedeutung einer Reduktion der geodätischen Linie s auf den Parallelkreis der Mittelhreite cp, und diese Reduktion spielt hier dieselbe Rolle wie die Reduktion einer Breiten-Gradmessung auf den Meridian, die wir in § 115. ausführlich für sich behandelt haben.

Wir denken nun die Reduktion nach (1) ausgeführt, und wir setzen zur Ab

kürzung:

s sin a

11 +    V j [sirfi a t² — cos² « (1 -+- ifi — 9 rp i²)j | = p

(4)

Dann ist nach (1) und (2):

l cos cp = ^ yi -+- e'² cos² cp

(5)

Hier erscheint der Parallelbogen p* in gleicher Weise als gemessene Grösse wie der Meridianbogen m bei den Breiten-Gradmessungen.

Nun sollen zwei solcher Messungen p vorliegen, nämlich ausser (5) auch noch

entsprechend :

(6)

V cos cp' = ~ Y1 -+- e'² cos² cp'

Aus den Gleichungen (5) und (6) kann man die beiden Unbekannten e'² und c bestimmen; wir schreiben hiebei zur Abkürzung:

p V cos cp' _ p' l COS cp q

(7)

Dann wird:

e'² =

1 — g²

g² cos² cp — cos² cp’

(8)

Dann mit Probe aus (5) und (6):

e = T^^1 + e'icosf =

P'

Y1 + e '² cos² cp'

(9)

V cos cp'

Diese Gleichungen (7), (8), (9) sind ganz entsprechend den früheren für zwei Breiten-Gradmessungen gefundenen Gleichungen in § 114.

§ 118. Azimut-Übertragung.

Fig. 1.

Nachdem wir gesehen haben, dass die Excentricität der Meridian-Ellipse durch zwei Breiten-Gradmessungen bestimmt werden kann, und dass dieselbe Aufgabe auch durch zwei Längen-Gradmessungen gelöst wird, ist drittens noch zu zeigen, dass auch zwei Azimut-Messungen mit den zugehörigen Breiten und mit einer Triangulierungs-Verbindung, zur Bestimmung der Excentricität der Meridian-Ellipse führen.

Azimut-Messungen sind auch schon bei den Breiten-Gradmessungen und hei den Längen-Gradmessungen mit benützt worden, aber mehr nur als Hilfs-Messungen, zur Reduktion der gemessenen Bögen auf den Meridian oder rechtwinklig zum Meridian ; dagegen bei der dritten Aufgabe, die wir nun Vorhaben, sind die Azimute gerade die Hauptwerte der Messung.

Wenn man nach Andeutung von Fig. 1. die beiden Breiten cp, cp' und die beiden Azimute a, a! gemessen hat, so kann man zwischen diesen 4 Grössen einerseits, und der Excentrizität der Meridian - Ellipse andererseits, eine Beziehung hersteilen durch Vermittlung der reduzierten Breiten.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 4. Aufl. III. Bd.

Die reduzierten Breiten xp und xp' geben mit den Azimuten a und a' nach (1) § 104. S. 524 die Gleichung:

cos xp sin a = cos xp' sin «' Dieses in Verbindung mit (la) giebt:

oder:

Bezeichnen wir die reduzierten Breiten mit xp und xp', so ist nach (11) § 108. S. 519 :

cos xp' =

cos xp =

cos cp

cos cp'

cos xp =

F |/i — e2 cos cp |/l —f-e'²

V Y 1—e²

(1)

cos xp' =

cos cp' ]/1 —j—e' 2

(la)

(2)

'cos cp' sin a!

cos cp sin a

V² _ 1 -f- e"² cos² cp' V² 1 -t- e'2 cos² cp

Setzt man zur Abkürzung:

cos <p' sin a' _ cos cp sin a ®

(3)

so wird:

e'2 =

1 — q²

q² cos² cp — cos² cp'

(4)

Damit hat man auch:

l+e'2 =

sin² cp> ' — q² sin² cp

q² cos² cp — COS² cp '

1 — «2

(5)

Man hat also in (8)—(5) abermals ein Gleichungs-System von derselben Form

wie bei zwei Breiten - Gradmessungen in § 114 und bei zwei Längen-Gradmessungen in § 117.

Zu einem Zahlen-Beispiele nehmen wir: Trunz    cp' = 54° 13' 11,466"

Berlin    cp = 52° 30' 16,680"

= 67' 26' 56,156'' = 62' 31' 15,416"

(6)

Wenn man diese (6) in die Formeln (3), (4) und (5) einsetzt, so bekommt man :

0,000 195 095

log q² = 9.999 9152-63 , e'² =

0,370 440 0839 — 0,341 846 755

(7)

(8)

log e'2 = 7.833 981 , log (1 + e'2) = log y

Damit ist die Excentricität der Meridian-Ellipse bestimmt. Man sieht aus den Gleichungen (3) und (4) unmittelbar, dass das ganze Verfahren unbrauchbar wird, wenn die beiden Punkte, in welchen die Breiten cp, cp' und die gegenseitigen Azimute a, a' gemessen werden, entweder auf demselben Meridian oder auf gleicher Breite

liegen, denn im Meridian ist a = «' = 0, also q = -jj-; und wenn cp' = cp ist, so muss

wegen (1) und (2), auch a' — a werden, also wieder q —    , d. h. unbestimmt. Auch

wenn cp und cp' beide klein sind, d. h. die Messung in der Nähe des Äquators stattfindet, versagt die Methode, weil dann a und a' sehr wenig verschieden sind, also

q nahe = 1 und e'² nahezu = -jj-.

Hiernach ist das Verfahren anwendbar in höheren Breiten mit Erstreckung schief zum Meridian.

— e2

= 9.997 0468

Wenn ausser den astronomischen Messungs-Ergebnissen cp, cp', a, a' auch die Länge s der verbindenden geodätischen Linie bekannt ist, so kann man auch die Erdaxe bestimmen.

Wir können hiezu die Gleichung (17) § 106. S. 5BB benützen, nämlich mit Einsetzung von S nach (10) S. 532:

ff yi _e2 f|i —H ^2 ^ Vsincc Jp+(±. V cos a j²(l — *² + 7?²-f 6ij«i8)j}

Hier ist nach (9) S. 189 c"j/l— e² = a, also giebt vorstehende Gleichung, mit Zusetzung des nötigen p:

- Vsin a Jt² 4-    V cos a j²(l — t² + rj² + 6 rf² t«) j |    (9)

Es kommt also nur noch darauf an, a zu berechnen, und das ist eine rein sphärische Aufgabe, welche mit Hilfe der Fig. 2. hzw. der ausführlicheren Fig. 2. in § 105. S. 525 gelöst wird.

Als Vorbereitung hiezu berechnet man die beiden reduzierten Breiten xp und xp’, wobei der zuvor in (5) und (7) ermittelte Excentricitätswert e hzw. e’ zu benützen ist.

tang tp’ = ]/l — e² tang cp'

Nun hat man in dem sphärischen Dreieck von Fig. 2. vier Stücke gegeben, nämlich ip, xp', a, a" ; die Berechnung von a ist also nicht bloss bestimmt, sondern sogar überbestimmt, wodurch eine Eechenprobe entsteht, denn die reduzierten Breiten xp und xp' nach (10) beruhen auf der- (entsprechend Fig.2 .s. 525.) jenigen Excentricität e bzw. e', welche in (3)—(5) aus den 4 Grössen cp, cp’, a, a’ selbst abgeleitet worden ist. Würde also die Rechenprobe bei der Doppelbestimmung von er nicht stimmen, so könnte der Grund entweder in der sphärischen Rechnung nach Fig. 2. oder aber auch in der vorhergehenden Berechnung der reduzierten Breiten nach (10) liegen.

Die zu der genannten sphärischen Berechnung von a nach Fig. 2. nötigen Formeln können wir von § 105. S. 526 entnehmen; wir wollen dabei zwei Werte M einführen, den ersten zu xp und a gehörig, den zweiten zu xp’ und a' gehörig, dann ist:

a = M' — M

Für M und M' hat man nach (2) S. 526:

tangM = ,-^t

cos a

Aus (12) und (11) hat man bereits das gewünschte a. Die dazu gehörige, oben erwähnte Rechenprobe kann man auf verschiedene Art erlangen, z. B. durch Vermittlung des Bogens m, welcher für M und M' derselbe ist. Nach (2) und (3) S. 526 ist: sin m — cos ip sin a = cos xp' sin «' cos m sin xp ’

Damit hat man die zweite Bestimmung von M und M’, als Versicherung für (12). Wenn aber M und M’ erheblich grösser als 45° sind, so sind die Bestimmungen (13) nicht günstig; dann rechnet man lieber:

tang xp = ]/l —e² tang cp

Fig. 2.

goM

dann:

sin M =

(10)

\m

«L-J

___>

Zr''

(U)

tangX' = »WZ cos a

sin M =

cos m

sin xp'

(12)

(13)

cot g k\ = lang M sin m , cot g A₂ = tang M' sin m A₂ — Aj — k

(14)

sin A cos xp' sin A cos xp

sin er =-T-— =-;—h-

sm a    sina

Die Anwendung dieser Formeln auf unser Beispiel (6) giebt:

«' = 67° 26' 56,152" « = 62° 31' 15,416" M' = 74° 29' 58,3496" w? = 32° 45' 50,2488" (7 = 4° 3' 18,2548"

Trunz xp' = 54° 7' 38,6482" Berlin xp = 52° 24' 37,8514"

M = 70° 26' 40,0950"

(15)

M' — M = a = 4° 3' 18,2546"    ,

(16)

A₂ — Ai — A = 6° 8' 45,6806"    ,

Die beiden Werte er nach (15) und (16) stimmen unter sich hinreichend; wir haben mit dem Mittel a = 4° 3' 18,2547" weiter gerechnet, und damit aus (9) erhalten:

log = 7.385 5669    , log F2 = 0.001 0593.6

a = 6 380 516,074"* — 9,543”* + 0,448”* = 6 380 506,979*» , log a = 5.804 8551-88 (17) Die Korrektionsglieder von (9) haben also hier nur 9,5"* und 0,4m ausgemacht, woraus zugleich zu ersehen ist, dass keine Wiederholung der Kechnung nötig ist wegen des in (9) vorläufig benützten c = a Y1 4- e'².

Der Grundgedanke, die Excentricität der Meridian-Ellipse aus einer Gradmessung schief zum Meridian zu bestimmen, ist zuerst von J. Tobias Mayer erfasst worden, wie aus „Astr. Nachr. 13. Band, 1836“, S. 353, hervorgeht. Die erste Ausführung dieses Gedankens haben wir in der „Gradmessung in Ostpreussen“ von Bessel, welcher in der Vorrede S. V—VI seines Werkes über diese Gradmessung Tobias Mayer citiert.

§ 119. Gradmessung schief zum Meridian.

Fig, i

Wenn man nach Fig. 1. eine geodätische Linie s (bzw. eine Dreieckskette) schief zum Meridian anlegt, am Anfangspunkt und am Endpunkt derselben die Azimute «i> «2 un(l die Breiten qplt <p₂ und endlich noch den Längenunterschied l astronomisch misst, so hat man alles das, was wir bisher als Breiten-Gradmessung, Längen-Gradmessung und Azimut-Übertragung getrennt behandelt haben, nun vereinigt; und da eine schiefe geodätische Linie mit Azimuten und Breiten an den Endpunkten nach § 118. hinreicht zur Bestimmung der Ellipsen-Dimensionen, so haben wir in der Vereinigung der 6 genannten Messungen bereits eine über das unmittelbare Bedürfnis hinausgehende Bestimmung der Erddimensionen.

Ki

\    Man kann sich dieses auch so klar machen: Ein

?₂ sphärisches Dreieck von der Form Fig. 1. ist seiner Form nach bestimmt durch 3 Stücke, z. B. durch cpi, qp₂, l-, um auch den Halbmesser zu bestimmen, auf welchem das sphärische Dreieck liegen soll, braucht man ein viertes Stück, s linear gemessen. Geht man über zu einem Ellipsoid, auf welchem das Dreieck Fig. 1. liegen soll, so tritt eine weitere Unbekannte auf in der Excentricität, so dass nun 5 Messungsstücke erforderlich werden. Wenn also in Fig. 1. im ganzen 6 Stücke gemessen sind, so ist auch für das Ellipsoid noch eine Messung überschüssig, oder man hat es mit einer Ausgleichung zu thun.

Wie gewöhnlich wird diese Ausgleichung dadurch behandelt, dass man Näherungswerte der Erddimensionen einführt, und durch Differentiieren Beziehungen herstellt zwischen Verbösserungen jener Näherungswerte einerseits und Änderungen der beobachteten Grössen andererseits.

Man überblickt auch sofort, dass man mehrere solcher Systeme, wie das in Fig. 1. dargestellte, in eine Gesamtausgleichung zusammenfassen kann.

Dieses ist der Grundgedanke der heutigen internationalen Erdmessung. Eine wichtige Rolle spielen dabei die Lotabweichungen, von welchen wir im nächsten Kapitel XII noch das Nötigste behandeln werden.

Kapitel XII.

Lotabweichungen.

§ 120. Allgemeines über Lotabweichungen.

Anknüpfend an das, was wir schon in der Einleitung S. 11 über den Begriff der Lotabweichungen und des Geoids erwähnt haben, gehen wir nun zu näherer Betrachtung der Lotabweichungen über.

Wenn wir bei unseren Triangulierungen die unmittelbar gemessenen Grundlinien auf die Höhe des Meeres, (bzw. auf Normal-Null) reduzieren (vgl. S. 67), so legen wir damit unseren Messungen und Berechnungen eine ideale Erdoberfläche zu Grunde, welche, in erster Näherung, mit der Oberfläche der Weltmeere zusammenfallend, und unter den Kontinenten stetig fortgesetzt, angenommen wird.

Wenn wir ferner bei unseren geodätischen und astronomischen Winkelmessungen die vertikale Axe der Instrumente durch die Wasserwage einstellen, und die so erhaltenen Messungen in üblicher Weise weiter rechnerisch behandeln, so nehmen wir die durch die Wasserwage bestimmte Schwere-Richtung als geometrische Normale jener idealen Erdoberfläche an, und führen für diese Fläche ein Umdrehungs-Ellipsoid von gewissen Dimensionen in die Rechnung ein.

Nun haben aber schon die ersten zusammenfassenden Berechnungen der Gradmessungen ergeben, dass jene ideale Erdoberfläche nicht genau ein Ellipsoid ist, und man kann durch eine einfache physikalische Betrachtung zeigen, dass die ideale Erdoberfläche, welche wir den geodätischen Messungen und Berechnungen zu Grunde legen, kein Ellipsoid sein kann, weil auch die physische Erdoberfläche mit ihren Bergen und Thälern, Kontinenten und Meeren, selbst nicht ellipsoidisch ist.

Die Schwerkraft, welche auf einen Punkt (bzw. ein Massen-Element) an der Erdoberfläche ein wirkt, ist die Resultante der Anziehungen, welche alle einzelnen Massenteile des Erdkörpers auf den Punkt ausüben, in Verbindung mit der Einwirkung der Centrifugalkraft.

ff 2

Zwischen zwei Massenteilen m₁ und m.₂, welche sich im Abstand r von einander befinden, besteht eine Anziehung, welche proportional Wl ist.

In Fig. 1. unten, ist die Erde kugelförmig angenommen, und über die kugelförmige Erdoberfläche soll eine Gebirgsmasse m hervorragen. Wenn es sich um Bestimmung der Lotrichtung in einem ausserhalb der kugelförmigen Erdoberfläche liegenden Punkte A handelt, so kann man die ganze Masse der Erde im Erdmittelpunkt konzentriert annehmen. (Der Beweis für die Zulässigkeit dieser Annahme lässt sich in elementarer Weise aus der Definition der Gravitation herleiten.) Es sei nun M die Masse der Erde und m die Masse eines Gebirges, dann bekommt man für einen Punkt A, dessen horizontaler Abstand von dem Schwerpunkt des Gebirges = r ist, eine durch das Gebirge erzeugte Lotabweichung 0, entsprechend der Gleichung:

(1)

Fig. 1.

Lotabweicłmng Q.

m M m I& tang 0 - ^ m - M?,₂

Das Volumen der Erde ist =

4

— n ić³, und wenn

er*-

y die mittlere Dichte der Erde ist, so hat man die Masse der Erde:

(2)

Das Volumen des Gebirges sei V, dessen Dichte sei Ô, dann ist die Gebirgs-Masse :

(3)

m = VÔ

Aus (1), (2) und (8) findet man die Lotabweichung © als kleinen Winkel:

(4)

4 y i?r² 7i

Nach Listing „Neue geometrische und dynamische Konstanten des Erdkörpers“, aus den „Nachr. der Königl. Gesellsch. der Wissensch., Göttingen 1878“, S. 61, ist die mittlere Dichte der Erde: y = 5,63; der mittlere Erdhalbmesser ist in runder Zahl (nach S. 225): B = 6 370 000’”. Setzt man dieses in (4) ein, so erhält man:

(5)

VÔ

0 = 0,001373    - in Sekunden

Dabei ist V das Volumen des Gebirges in Kubikmetern und r die Entfernung in Metern zu nehmen.

Als Beispiel nehmen wir die summarische Schätzung des Einflusses des nördlichen Schwarzwaldes mit dem Zentralpunkt Hornisgrinde auf die méridionale Lotrichtung in Durlach. Das Volumen dieses Gebirgsstocks stellt sich ungefähr dar als Produkt von 65 0 00⁷" Breite, 43 000” Länge und 800” Höhe; die mittlere Entfernung von Durlach mag r = 46 000” angenommen werden und die Dichte Ó' = 2,3 (bunter Sandstein und Granit). Mit diesen Zahlen bekommt man aus (5):

v = 3,3"

Durch eine ähnliche Überschlagsrechnung bekommt man für den südlichen Schwarzwald 1,0" und für die schwäbische Alb 1,6" zusammen 5,9".

In dieser Weise kann man mit Sicherheit schliessen, dass die sichtbaren Ungleichheiten der Massen Verteilung an der Erdoberfläche erhebliche Lotablenkungen im Vergleiche mit den Lotrichtungen eines mittleren Ellipsoids erzeugen müssen, d. h. Lotablenkungen, welche bei den Mittelgebirgen 5"—10" betragen, und bei Hochgebirgen bis V steigen müssen.

Ausser den sichtbaren Ungleichheiten der Massenverteilung an der Oberfläche der Erde giebt es aber auch Massen-Ungleichheiten unterhalb der Erdoberfläche, welche nicht durch geometrische Volumen-Berechnung bestimmt werden können.

Das Geoid.

Nachdem erkannt ist, dass die Schwerkraft-Richtungen im allgemeinen nicht mit den Ellipsoid-Normalen zusammenfallen, kommt man zu der Annahme einer anderen krummen Fläche, welche von allen Schwerkraft-Richtungen rechtwinklig geschnitten wird, und in Hinsicht der Höhenlage sich der physischen Erdoberfläche möglichst anpasst. Diese Fläche nennt man das Geoid (nach Listing, vgl. Einleitung S. 11).

Fig. 2. Ellipsoid und Geoid.

Ellipsoid

... Geoid

sffrf/r' (reoid

w'-—.......

Ellipsoid

wnë-

In vorstehender Fig. 2. ist die gegenseitige Lage der ^physischen Erdoberfläche, eines mittleren Ellipsoids und des Geoids in grob schematischer Weise dargestellt. Die Linie für das Ellipsoid ist gerade gezogen, insofern es sich nur um einen kleinen Teil der Erdoberfläche handeln soll und die Zeichnung nur dazu dient, die realitiven Krümmungen zwischen dem mittleren Ellipsoid und dem Geoid zu veranschaulichen.

Die ausgezogenen Pfeillinien stellen die geometrischen Normalen des Ellipsoids, und die punktierten Pfeillinien stellen die physikalischen Lotlinien vor, welche rechtwinklig zur Geoidfläche sind. Der kleine Winkel zwischen einer Ellipsoid-Normalen und der Schwerkraft-Richtung ist die Lotablenkung; fällt die Schwerkraft-Richtung mit der Ellipsoid-Normalen zusammen, wie in Fig. 1. über der Wasserfläche und in der Höhe des Berges angenommen ist, so ist die Lotablenkung gleich Null.

Die Geoid-Falten.

Wenn nur die sichtbaren Massen-Ungleichheiten wirksam sind, so kann man z. B. in dem einfachen Falle von Fig. 2., wo ein Gebirge zwischen zwei Meeren angenommen ist, sofort sagen, dass unter dem Gebirge das Geoid über das mittlere Ellipsoid emporgehoben, und über den Meeren das Geoid unter das Ellipsoid gesenkt sein muss.

Um zu schätzen, wie hoch oder wie tief die Falten zwischen dem Geoid und

einem mittleren Ellipsoid etwa sein werden, denken wir nach Andeutung von Fig. 8. eine solche Falte von kreisförmigem Profil mit einer Lotablenkung 0 am Anfänge und am Ende, auf eine Erstreckung s, so wird die Höhe h als Pfeilhöhe eines flachen

Fig. 3.

--->1

1^—

--~L—

/-0

; 3eoji----h------

Ellipsoid

Kreisbogens vom Centriwinkel 2 0 mit der Sehne oder Bogenlänge s für einen Halbmesser r, woraus folgt:

s \2

s 0 bzw. =

1 0

27 vT/ “ T

~r S —.

4 Q

Nehmen wir s = 100 000™ und 0 = 10", so giebt dieses h = l,2m.

Im Mittel-Gebirge handelt es sich bei den Geoid-Falten immer nur um Höhen von einigen Metern. So giebt das Geoid des Harzes nur Höhen von lm—2™ gegen das Ellipsoid (s. Helmert, „Höhere Geodäsie, I, 1880“ S. 570).

Viel grössere Erhebungen und Vertiefungen der Geoid-Falten ergeben sich bei der Massenwirknng ganzer Kontinente gegenüber weniger dichten Oceanen Im Durchschnitt für die sämtlichen Kontinente liegt innerhalb derselben die gestörte Meeresfläche (Geoid) nach der Berechnung um 700™ über der ursprünglichen Meeresfläche (Helmert, „Höhere Geodäsie, II., 1884“, S. 856).

Dieses ist aber ein Ergebnis aus Massen-Wirkungsberechnungen, welchem die Ergebnisse von Pendelbeobachtungen gegenüber stehen. Helmert hat aus solchen Vergleichungen geschlossen (Helmert, „Höhere Geodäsie, II.“, S. 364—365), „dass die Wirkung der Kontinentalmassen mehr oder weniger kompensiert wird durch eine Verminderung der Dichtigkeit der Erdkruste unterhalb der Kontinentalmassen“. „Die Kontinente erscheinen hiermit als Schollen der Erdkruste, welche etwas geringere Dichtigkeit haben als letztere im allgemeinen“, und Pendelbeobachtungen zeigen, „dass in der Regel Gebirge durch unterirdische Massendefekte mehr oder weniger kompensiert sind“.

Hieraus folgt, dass die Höhe der Geoid-Falten eine geringere ist, als die Verteilung zwischen Wasser und Land nach der schematischen Darstellung von Fig. 2. S. 583 vermuten lässt.

Lotablenlcung und Lotabweichung.

Durch astronomisch-geodätische Hilfsmittel kann man immer nur Differenzen von Lotablenkungen, oder relative Lotablenkungen bestimmen, aus zwei Gründen: Erstens braucht man zu der Berechnung die Annahme eines Vergleich-Ellipsoids (z. B. des Bessel sehen Ellipsoïdes), und das ist eine innerhalb ziemlich weiter Grenzen willkürliche Annahme, und je nachdem man ein Ellipsoid zur Vergleichung annimmt, bekommt man verschiedene Lotablenkungen.

Ausserdem braucht man zu Lotablenkungs-Berechnungen irgend einen festen Ausgangspunkt, z. B. hat das geodätische Institut hiefür den Punkt Rauenberg bei Berlin. Nun geben alle Berechnungen nur die Vergleichung der Lotablenkungen anderer Punkte mit der Lotablenkung des Ausgangspunktes, welche selbst unbekannt, zuweilen schlechthin gleich Null gesetzt, oder dem negativen Mittel aller anderen Ablenkungen entsprechend angenommen werden kann.

Aus diesen Gründen werden verschiedene Benennungen eingeführt; nach Helmert („Höhere Geodäsie, 1880“, I. Band, S. 514) unterscheiden wir erstens: absolute „Lotablenkungen“, d. h. solche, welche sich auf das günstigste mittlere Vergleichs-Ellipsoid beziehen, dessen Mittelpunkt mit dem Erdschwerpunkt, und dessen kleine Axe mit der Umdrehungsaxe der Erde zusammenfällt, und zweitens relative „Lotabweichungen“, welche sich auf ein vorläufig der Rechnung zu Grunde gelegtes Vergleichs-Ellipsoid und auf eine bestimmte Lage desselben beziehen.

§ 121. Bestimmung der Lotabweichuug durch Vergleichung astronomischer und geodätischer Messungen.

Die Lotabweichung ist der Winkel, welchen die physikalische Lotlinie eines Punktes mit der entsprechenden Ellipsoid-Normalen bildet.

Wir wollen zuerst den einfachen Fall der Lotabweichung im Meridian behandeln, d. h. wir wollen annehmen, dass die Lotlinie von der El-lipsoid-Normalen abweicht, aber in der Ebene des Ellipsoid-Meridians sich befindet.

Dieser Fall ist in Fig. 1. dargestellt. In einem Punkte J des Ellipsoids haben wir die Ellipsoid-Normale J Z mit der ellipsoidischen oder geodätischen Breite cp, und die Lotlinie J Z’ mit der astronomischen Breite cp'. Die Lotlinie JZ1 ist rechtwinklig auf der Geoidfläche, welche durch die punktierte Linie G J Gr an gedeutet ist.

Der Winkel £ zwischen J Z und J Z' ist die Lotabweichung im Meridian, und wir wollen £ positiv zählen, wenn, wie in Fig. 1. angenommen ist, die Lotlinie J Z' gegen den Nordpol hin von J Z ab weicht. Man sagt in diesem Falle auch, die Zenit-Abweichung £ ist nördlich oder die Lot-Abweichung £ ist südlich, und wir haben hiefür nach Fig. 1.:

I = <P' —

Die Lotabweichung im allgemeinen, d. h. nicht nur im Meridian, kann in zweierlei Weise bestimmt werden: Erstens giebt man die absolute Lotabweichung 0 und ihr Azimut e an, oder zweitens bestimmt man die beiden Komponenten | und rj der Lotabweichung nach Norden und Osten, dieselben sind:

g = 0 cos e

Diese zwei Gleichungen, welche nach dem Vorhergehenden wohl unmittelbar zu verstehen sind, werden wir auch wieder bestätigt finden durch die nachfolgende Fig. 2., zu welcher wir nun übergehen.

Fig. 1.

Z‘

G’

(1)

rj = 0 sin e

(2),

Fig. 2.

Z = Geodätisches Zenit, dem Ellipsoid entsprechend, V = geodätische (ellipsoidische) Breite. Z'=Astronomisches Zenit, dem Geoid entsprechend, <P' ~ astronomische Breite (Polhöhe).

■É-

<9

&OS.

U.'

2>

Lj

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TL

In Fig. 2. S. 585 sei Z das geodätische Zenit und Z' das astronomische Zenit. P ist der Pol, welcher zu beiden Zeniten in Beziehung steht. J ist ein Punkt der Erdoberfläche, auf welchem geodätische und astronomische Beobachtungen gemacht werden. Durch astronomische Beobachtungen soll die Polhöhe qp', die geographische Länge A, und ein Azimut a' bestimmt werden, und es handelt sich um die Auffindung von Beziehungen zwischen diesen Grössen cp', A', a’ und den entsprechenden geodätischen Werten cp, A, a, welche man erhalten haben würde, wenn das Zenit nicht in Z' sondern in Z befindlich wäre.

I. Lotabweichung in Breite, £.

Die méridionale Komponente £ der Lotabweichung ist leicht zu bestimmen.

Das Komplement der Polhöhe ist immer gleich dem Bogen zwischen dem Pol und dem Zenit, also ZP= 90° — cp, Z'P= 90° — cp', wie auch bereits in Fig. 2. eingeschrieben ist.

Da nun das Dreieck P Z Z¹ bei Z’ nur die kleine Ordinate rj hat, kann man die Projektion £ der Seite Z Z’ = v hinreichend genau als Differenz der beiden Seiten PZ und PZ' annehmen, also:

oder

£ = (90° — qp) - (90° — cp')

£ = v' — (p

(3)

Dieses ist wieder dieselbe Gleichung, die wir schon bei (1) unmittelbar ge

funden haben.

II Lotabweichung in Länge, rj sec qp.

Bei Vergleichung der geographischen Längen hat man zu beachten, dass alle astronomische Längen-Bestimmung auf Ortszeit-Bestimmung beruht. Wenn A' die astronomisch bestimmte geographische Länge des Punktes J ist, bezogen auf einen westlich von J liegenden Anfangspunkt /₀ (z. B. Ferro, Paris, Greenwich), so heisst das so viel als: Ein Gestirn T, welches in J₀ zur Zeit t₀ kulminiert, kulminiert in J zur Zeit:

(4)

f = t₀ — A'

Diese Kulmination findet statt beim Durchgang des Gestirns durch den Deklinationskreis PZ'; dagegen der Durchgang durch den Deklinationskreis PZ, welcher dem geodätischen Zenit angehört, erfolgt später, und zwar um den Winkelbetrag ZPZ'; oder die geodätische Kulmination erfolgt zur Zeit:

t = tQ—X' + ZPZ'

(4 a)

Wenn nun A die geographische Länge des Beobachtungspunktes J ist, welche dem geodätischen Zenit Z entspricht, so hat man entsprechend (4):

t = t₀ — A

(5)

Aus (4a) und (5) folgt:

ZPZ' = A' — A

wie auch bereits in Fig. 2. eingeschrieben ist.

Um A'— A in rj auszudrücken, braucht man nur wieder das schmale langgestreckte Dreieck PZ' Z zu betrachten, oder das schmale rechtwinklige Dreieck, welches durch Projektion von Z' auf die Seite PZ entsteht. Dadurch erhält man:

_ sin rj

sin (90° — cp') cos cp'

sin (A' — A) =

sin rj

(6)

Da hier X' — X und r\ beide klein sind, und auch qp' sich von <p nur wenig unterscheidet, kann man aus der vorstehenden Gleichung bilden:

(7)

X' — X = 7] sec cp

III. Lotabweichung im Azimut, rj tang q>.

Bei astronomischer Azimutmessung handelt es sich um den Horizontalwinkel zwischen der Richtung nach dem Pol P und der Richtung nach einem geodätischen Zielpunkt, der in Fig. 2. im Horizonte liegend als Punkt A angenommen sei. Die astronomische Azimutmessung wird daher den Winkel am astronomischen Zenit Z' geben, welcher in Fig. 2. als eine Summe e' + u' bezeichnet ist. Dabei war die vertikale Theodolit-Axe nach dem astronomischen Zenit Z' oder nach der physikalischen Lotlinie J Z' gerichtet, und das Messungs-Ergebnis s' ul ist von der Lotabweichung beeinflusst.

Wenn wir andererseits dasjenige Azimut kennen lernen wollen, welches man ohne Lotabweichung erhalten haben würde, d. h. das geodätische Azimut, so muss man die vertikale Theodolit-Axe nach dem geodätischen Zenit J Z gerichtet denken, und damit erhält man das Azimut, welches bei Z als eine Summe e-hu, und in der Horizontal-Ebene bei J als ein Winkel a = e -f- u dargestellt ist. Zur Vergleichung haben wir also nun:

Geodätisches Azimut Astronomisches Azimut a! = e'-t- u'

(8)

(9)

(10)

Differenz a — a' — (e — s') -+- (m — u')

Von diesen beiden Teilen e— e' und u — u' ist der zweite Teil u — u' immer sehr klein und meist zu vernachlässigen, wenn der geodätische Zielpunkt A im Horizonte selbst liegt, oder wenigstens nur einen kleinen Höhen- oder Tiefenwinkel hat.

Die Differenz u — u' ist zu vergleichen dem Fehler einer Horizontal-Winkelmessung, der dadurch entsteht, dass die Theo-dolitaxe nicht genau vertikal, sondern etwas schief gestellt wird.

Fig. 3.

Z — Geodätisches Zenit. Z' — Astronomisches Zenit.

'£

0/7 X

<§>/

V.

Die hiefür gütige Fehler-Formel haben wir schon früher (Band II, 4. Aufl. 1895, S. 203) entwickelt, im wesentlichen ebenso, wie wir nun die Entwicklung machen, im Anschluss an Fig. 8., welche sich von Fig, 2. nur dadurch unterscheidet, dass der geodätische Zielpunkt A nicht mehr im Horizont, sondern mit einem Höhenwinkel h angenommen wird.

0/

Indem wir nun eine Cotang-Gleichung von § 27. S. 164 auf das sphärische Dreieck Z Z' A Fig. 3. an wenden, erhalten wir:

(11)

cotg (90° — h) sin 0 = cos 0 cos u + sin u cotg (180° — u')

Indem man 0 als klein behandelt, erhält man:

0 tang h = cos u — sin u cotg u

cos u sin u' — sin u cos u'

0 tang h =

sin (u' — u)

sin u

sin u'

(12)

also:

u' — u = 0 sin u tang h Wenn der Höhenwinkel h klein ist, wie es bei geodätischen Zielpunkten gewöhnlich der Fall ist, so ist 0 tang h eine kleine Grösse zweiter Ordnung, welche wir vernachlässigen, oder besonderer Berücksichtigung Vorbehalten.

Es bleibt also noch der erste Teil der Formel (10), d. h. e — e' zu untersuchen, und hiezu machen wir eine ganz ähnliche Entwicklung wie soeben (11) — (12), nochmals in Bezug auf das sphärische Dreieck Z Z' P.

Wir nehmen also wieder eine Cotang-Gleichung von § 27. S. 164 und finden durch deren Anwendung auf das Dreieck Z Z’ P:

cotg (90° — cp) sin 0 = cos 0 cos s + sin s cotg (180° — e') 0 tang cp — cos e — sin e cotg e'

cos e sin e' — sin e cos e' sin e'

s' — e = 0 sin e tang cp

0 tang cp =

sin («' — e)

sin e'

also:

Statt der absoluten Lotabweichung 0 kann man hier auch die Quer Komponente i\ = 0sine einführen, und indem wir mit der bei (12) besprochenen Vernachlässigung wieder die Azimut-Differenz a — «' selbst betrachten, haben wir:

«' — a = i] tang cp

(18)

(14)

Zusammenfassung der Grundformeln für Lotabioeichung. Bezeichnungen.

Geographische Breite oder Polhöhe Geographische Länge von Westen nach Osten positiv gezählt A Azimut von Norden nach Osten positiv gezählt

Geodät. Astron.

cp

cp'

a'

(15)

Absolute Lotablenkung oder Zenitablenkung    =

Südliche Lotablenkung oder nördliche Zenitablenkung = Westliche Lotablenkung oder östliche Zenitablenkung =

Formeln.

(JYr 0

(16)

§ = (p' — <p

7j = (X' — 1) COS Cp

T] = («' — «) cotg cp

Die beiden Gleichungen (17) und (18) geben die Kontroll-Gleichung:

(19)

a' — « = (À' — À) sin cp Zur Bestimmung der Lotabweichung £ im Meridian giebt es nur ein Mittel, nämlich nach (16) die Vergleichung astronomischer und geodätischer Breiten. Dagegen für die Querabweichung rj kann man nach (17) und (18) die Längen-Vergleichung Ä' — A oder die Azimut-Vergleichung a’ — a benützen; oder hat man beides, so ergiebt sich eine sehr erwünschte Probe, entsprechend der Gleichung (19).

Diese Gleichung (19) ci— a = (X' — À) sin qp heisst Laplacesche Gleichung; dieselbe ist sehr wichtig, weil sie eine Beziehung giebt zwischen den beiden aus Lotablenkung entstandenen Differenzen ci — a und X' — X, ohne dass die Lotablenkungsbeträge £ und rj selbst bekannt zu sein brauchen.

Wir wollen den Sinn dieser Gleichung nochmals mit geodätischer Anwendung zurechtlegen: Von einem Punkte 0 ohne Lotablenkung geht eine geodätische Linie nach einem Punkte J (in Pig. 8. S. 587) und es wird Länge und Azimut von A nach J geodätisch übertragen mit den Ergebnissen X und «. Diese Übertragung wollen wir als fehlerfrei annehmen, und wenn nun im Punkt J auch astronomisch fehlerfrei gemessen wird, und keine Lotablenkung stattfindet, so müssten wieder die Werte X und a erhalten werden. Wegen der in J stattfindenden Lotablenkung wird aber astronomisch X' und a' gemessen, und dazu besteht die Laplace sehe Probe ci — <x — (X' — /l) sin q>.

Es besteht also eine Probe für die geodätischen Übertragungen von Azimut und Länge, unabhängig von den Lotablenkungen.

Dieses ist nur eine summarische Erläuterung des Wesens der Laplace sehen Gleichung, deren nähere Betrachtung an die zwei letzten Gleichungen der Gruppe (6) im folgenden § 122. S. 592 anzuschliessen wäre.

§ 122. Astronomisch-geodätisches Netz.

Um die Bedeutung eines astronomisch-geodätischen Netzes zunächst im ganzen zu erklären, wollen wir nochmals zurückschauen auf das rein geodätische Netz der Preussischen Landesaufnahme, welches in § 102. mit der Zeichnung auf S. 520—521 vorgeführt worden ist. Dort war nur ein Zentralpunkt, Berlin, astronomisch nach Breite, Länge und Azimut bestimmt, und daran hängt die ganze astronomische Orientierung des Netzes.

Im Gegensatz hiezu betrachten wir in Fig. 1. S. 590 das astronomisch - geodätische Netz, welches dem „Arbeitspläne des geodätischen Institutes für das nächste Dezennium“, Berlin 1886, entnommen ist. (Abgedruckt in der „Zeitschr. f. Verm.“ 1886, S. 497—506.)

Die geraden Verbindungslinien dieses Netzes kann man sich als geodätische Linien denken, welche als Repräsentanten ganzer Dreiecksketten etwa in dem Sinne von § 72. Fig. 2. und Fig. 8. S. 388—389 auftreten; oder wir können z. B. annehmen, dass die Verbindung Leipzig—Brocken in dem astronomisch - geodätischen Netze aus den Dreiecken von § 102. S. 520—521 längs den Dreiecksseiten Leipzig—Petersberg— Kyffhäuser—Brocken als geodätische Linie berechnet worden sind, wie auf S. 389—390 gezeigt wurde.

Mag das nun im einzelnen Falle nach der einen oder anderen Art geschehen sein; wir können annehmen, dass alle Punkte unseres astronomisch-geodätischen Netzes, jeder für sich nach geographischer Breite, geographischer Länge und mit Azimuten astronomisch bestimmt, und dass alle diese Punkte unter sich durch geodätische Linien verbunden seien. Nun bestehen ausser den rein geodätischen Bedingungen in unserem Netze die Laplaceschen Gleichungen, welche wir am Schlüsse von § 121. oben kennen gelernt haben, und dadurch kann eine Ausgleichung des Netzes viel schärfer gemacht werden, als nach den geodätischen Bedingungen allein möglich wäre.

Denken wir uns ein Netz von der Art der Fig. 1. mit p Punkten und s Linien, und nehmen wir an, jede Linię sei geodätisch hin und her nach Richtungen beobachtet, so hat unter Voraussetzung einer gemessenen Seite s das Netz verschiedene geodätische Bedingungsgleichungen, deren Anzahl nach unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 176 ist:

(1)

2 s — 2>p -+- 4

Fig. l.

Astronomisch - geodaetisches Netz I Ordnung.

tér¹

Knivsberg

Hel£olanc

Kiel

I ugard.

-x KBni|sbcr|

ColdapevB^

i¹-¹'*

■•""‘SI

LÀ

-.....,1

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îri'

Mannkoii

\ ^Str;

ssbui*£

r_

s«*

26*

3¹»*⁻

Massstab 1 : 10 800 000.

Dabei sind aber die geodätischen Linien selbst nicht als gemessene Grössen gezählt, sondern nur eine davon als Basis, und wenn die übrigen s — 1 Linien als lineare Messungen eingeführt werden, so kommt zu (1) noch die Zahl s — 1 hinzu und wir haben dann:

(2)

2s — 3 jp -t- 4 + s — 1 = 3 s — 3 (p — 1) geodätische Bedingungen Dazu kommen für s Linien noch s Laplacesche Gleichungen, indem wir annehmen, es sei jede Linie am Anfang und am Ende mit astronomischem Azimut gemessen und der geographische Längenunterschied zwischen den Endpunkten der Linie sei astronomisch-telegraphisch bestimmt. Also noch s Laplacesche Gleichungen zu (2) hiezugenommen giebt:

168 — 90 = 78 Gleichungen zu Fig. 1 Man wird also eine Correlatenausgleichung mit 78 Normalgleichungen zu machen haben, wobei als Beobachtungsgrössen sowohl die linearen geodätischen Linien als auch die astronomischen Breiten-, Längen- und Azimut-Messungen auftreten (und als Azimutdifferenzen zugleich die geodätischen Winkel). Welche Annahmen von mittleren Fehlern a priori für alle diese Messungen zu machen, oder welche Messungsgewichte einzuführen sind, das ist eine Sache, welche für sich auf Grund des vorhandenen Materials zu entscheiden ist (z. B. geodätisch nach den Betrachtungen unseres früheren § 24. S. 154—157).

Z. B. unser astronomisch-geodätisches Netz von Fig. 1. hat p = 31 Punkte und s = 42 Linien, wobei auch alle die Punkte, an welchen Brechung stattfindet, ohne dass ein Name beigesetzt wäre, als Punkte unter der Zahl p — 31 genommen sind. Also s = 42 und p = 31 giebt nach (3):

(4)

Obgleich hiemit eine solche astronomisch-geodätische Netzausgleichung nach ihrem Grundgedanken beschrieben ist und obgleich wir hier nicht viel weiter hierin gehen können, mag es doch am Platze sein, die Aufstellung der Gleichungen noch etwas näher zu betrachten, auf Grund des Werkes von Helmert: „Veröffentlichung des königl. Preussischen Geodätischen Instituts. Lotabweichungen. Heft I. Berlin 1886“ und Helmert: „Höhere Geodäsie I. S. 279—296“ mit Benützung unserer früheren Behandlung dieser Sache in der 3. Auflage dieses Bandes 1890, S. 539—549.

Flg. 2. Kugel mit reduzierten Breiten.

Fig. 3. Ellipsoid.

«1

\b

/I

Ś'-

t\

°v

«i

Hiezu nehmen wir ein geodätisches Polar-Dreieck in Fig. 2. sphärisch mit reduzierten Breiten und in Fig. 3. sphäroidisch ; d. h. wir wollen die Theorieen von Kap. IX, §106. benützen.

Das erste ist die Aufstellung von sphärischen Differentialformeln zwischen den Breitenänderungen xp\ — xpl = dxpi und r|/₂ — xp₂ = d xp₂ den Längenänderungen X' — À = d À und den Azimutänderungen a\ — ax — d «i und a\ — a₂ = d w2» a^es bezogen auf Fig. 2. Diese Differentialformeln erhält man durch Differentiieren sphärischtrigonometrischer Formeln (in ähnlicher Weise wie z. B. bei Mond-Distanzen vorkommt). Die Ergebnisse sind:

d ip₂ = cos X dipi d X — sin A tang tp₂ d ipj +

— sin «₂ sin a d ax cos a₂ sin a

-r cos a₂da

sina,ia

COS lp₂

d a₂ = sin X sec xp₂dxp₁ + sin a₂ tangrp₂ da cos X cos <pj sec xp₂d ax ,

COS ifJ2

(5)

Diese Gleichungen müssen auf das Ellipsoid übertragen werden, was am besten nach unserem §106. geschieht und in erster Näherung giebt:

d cp₂ = cos l d (ft -f- V3 cos a₂ —--F² sin a₂ sin S d al

sin a₂ ds    cos a₂

gos <p₂ c    cos <p₂

sin a₂ sin <p₂ ds cos cpx cos q>₂

— F, und es bezieht sich F auf die Mittelbreite ^    •

c    2

Weiter wollen wir in der Formelentwicklung nicht gehen; es mag genügen, einzusehen, dass es möglich ist, lineare Gleichungen zwischen den 6 Differentialen dcpi, dq>₂, dcci, d a₂, dl, ds aufzustellen, auf welche dann eine Ausgleichung gegründet werden kann.

Es wird nämlich nun diesen Differentialen die Bedeutung untergelegt teils von Beobachtungsfehlern und von Näberungsverbesserungen, teils auch von Lotabweichungseinflüssen. Die Quadratsumme der Beobachtungsfehler mit Gewichten wird zu einem Minimum gemacht und daraus die Näherungs Verbesserungen aller Messungsgrössen und die Lotabweichungselemente als Unbekannte bestimmt, alles im Wesentlichen wie bei einer reinen geodätischen Netzausgleichung. Die a priori einzuführenden Beobachtungsgewichte sind aus sachlichen Erwägungen zu ermitteln, wie schon bei (4) S. 591 angedeutet worden ist.

Wir wollen überlegen, wie gross die Anzahl der entstehenden unabhängigen Bedingungsgleichungen sein wird, unter der Voraussetzung, dass jede Linie des Netzes als geodätische Linie triańgulatorisch bestimmt und astronomisch beiderseits durch Azimute sowie zwischen ihren Endpunkten telegraphisch als Längenunterschied gemessen sei. Dann haben wir bei p Punkten und s Linien folgende Beobachtungen :

d Ij₂ — d L\ = dl =

sin l sin (p₂

dax —

F² cos <jp2 sin l

äcpi+V

sin Sdaj

(6)

Dabei ist S —

cos cp₂

N~

dcpi+V

cos cp₂

cos l d a

Geographische Breiten

Azimute

Geodätische Linien

Längenunterschiede „

Anzahl = p

p -1- 4 s (7)

Diesen p -j- 4 s Beobachtungen stehen gegenüber unabhängige Unbekannte:

Geograpische Breiten

Anzahl = p

„    Längenunterschiede

Lotabweichungs-Componenten £, r\ „    = 2 (p — 1)

4 p — 3    (8)

Die Längenunterschiede sind nur in der Zahl p — 1 vorhanden, weil ein Punkt (Zentralpunkt Berlin) willkürlich ist und es sich nur um die relativen Längen gegen den Zentralpunkt handelt. Ebenso ist es mit den Lotabweichungen £, rj, welche nur relativ gegen den Zentralpunkt bestimmbar sind.

Aus (7) und (8) hat man die Zahl der unabhängigen Bedingungsgleichungen: p + 4s — (4p — 3) = 4 s — 3 (p — 1)

Dieses stimmt mit dem früheren (3) S. 590 und giebt für das astronomischgeodätische Netz von Eig. 1. S 590 wieder die schon bei (4) gefundene Zahl von 78 unabhängigen Bedingungsgleichungen.

Bei der bisherigen Betrachtung sind die Erddimensionen etwa a und e² oder c und e'² als gegeben vorausgesetzt. Es ist aber auch möglich, diese Dimensionen so zu bestimmen, dass sie sich dem Netz-Material möglichst anpassen; und dann muss man die Gleichungen auch noch nach c und e'² differentiieren und man bekommt noch entsprechende zwei neue Unbekannte in die Ausgleichung.

Dieses sind die Grundgedanken einer astronomisch-geodätischen Netzausgleichung, deren Anfänge in dem auf S. 591 citierten Helmert sehen Werk des geodätischen Instituts enthalten sind, deren Ausführung im Grossen der Zukunft Vorbehalten ist.

38

*

Anhang.

Hilfstafeln.

Seite

1.    Grundfunktion log V = log |/l -+- e'² cos² qp, lOstellig......

2.    Die Haupt-Krümmungs-Halbmesser M und ATdes Umdrehungs-Ellipsoids,

und Funktionen derselben........

3.    Die Hauptwerte log [1] = log und log [2] = log von

[i]-m

..... [8]—[29]

45° bis 57°    [80]—[35]

4.    Längengrade, Breitengrade und Gradabteilungsflächen......

5.    Meridianbogen vom Äquator bis zur Breite cp (vgl. auch hiezu 16.) .

6.    Breitenunterschiede und Meridianbögen (Näherungswerte) . . .    .

7.    Parallelkreisbögen (Näherungswerte)............

8.    Breiten-, Längen- u. Flächen-Masse der Messtisch-Trapeze der Preussi-

schen Landes-Aufnahme..............

9.    Verwandlung des Bogens in Zeit und umgekehrt.......

10.    Additamente log— — log sin.............

11.    Näherungswerte für Berechnungen mit Soldner sehen Coordinaten. .

12.    I. Konforme Projektion Y — y —

[36] —[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

yZ

[44]

6 A²

[45]

h w2 2^2

13.    Vergrösserungs-Verhältnis m, log m =    ₉ yi ....

u JJl "

14.    Coëfficienten verschiedener geodätischer Formeln t² u. s. w

15.    Coëfficienten der sphäroidischen Mittelbreiten-Formeln .    .

16.    Meridianbogen vom Äquator bis zur Breite cp von 45° bis 57°. . . [55]—[57]

17.    Reduzierte Breite rp.......... ......

18.    Reduzierte Längen der Gauss sehen konformen Kugel-Abbildung . .

19.    Gauss sehe konforme Kugel-Abbildung u, log m, k . . . . . . .

20.    Coëfficienten der neuen Auflösung der geodätischen Hauptaufgabe .    [62]—[63]

II. Höhen- und Netz-Reduktion

[46]

[47] [51] [52]-[54]

[58]

[59]

[60]—[61]

Differenzen

cp

log V

o° o'

IO

20

30

40

50

i° 0'

10

20

50

40

50

2° 0'

IO

20

30

40

50

3° 0'

10

20

30

40

50

4° 0'

10

20

30

40

50

o.ooi 4541798 4541-675

4541-307

4540-694

4539-836

4538-732

0.001 4537-384 4535-790 4533-951

4531-867

4529-538

4526-964

0.001 4524-146 4521-082

4517775

4514-222

4510-426

4506-385

O.OOI 4502-100

4497-571

4492-798

4487-782

4482-522

4477-019

0.001 4471-273 4465-284

4459-053

4452-578

4445-862

4438-903

0-123

0-368

0-613

0-858

1-104

1-348

1-594

1- 839

2- 084 2-329 2-574 2-818

3-064

3-307

3-553

3- 796

4- 04I

4-285

4-529

4-773

5-016

5-260

5-503

5-746

5-989

5⁰ 0'

6-231 6-475 6-716

6- 959

7- 200

IO

20

30

40

50

6° 0'

10

20

30

40

50

0.001 4431-703 4424-261 4416-578 4408653 4400-488 I 4392-082

0.001 4383-436

4374-551 4365-425 4356 060 4346-456 4336-613

7⁰ 0'

IO

20

30

7-442

7-683

7- 925

8- 165 8-406 8-646

8- 885

9- 126 9.365 9-604 9-843

io-oSi

10-319 10.557 10-794

40

50

0.001 4326-532 I 4316-213 I 4305-656 4294.862 i

8° 0'

0.001 4261-059

11-504

0-245

0-245

0-245

0-246

0-244

0-246

0-245 0-245 0-245 0-24 5 0-244

0’2-i6

0-243

0-246

0-243

0-245

0-244

0-244

0-244

0-243

0-244

0-243

0-243

0-243

0.242

0.244

0-241

0-241

0-241

0-242

0-241

0-242

0-240

0-241

0-240

0-239

0-241

0-239

0-239

0-239

0*238

0-238

0-238

0-237

0-237

0-237

0-236

8° o' 0.001 4261-059

4249-319 4237-343

4225-133 4212-687 4200-008

9⁰ o' 0.001 4187-095 4173-948 4160-569

4146-957

4133-113 4119-037

IO° 0' o.ooi 4104-730 4090-193 4075-425 4060-428 4045-202 4029-747

11° o' o.ooi 4014-064 3998-153 3982-016 3965-651 3949-061 3932-246

12° o' O.OOI 3915-205

3897-941 3880-453 3862-741 5844-807 3826-651

13⁰ o' 0.001 3808-274 3789-676 3770-859 3751-821 3732-565 3713-091

14⁰ o' 0.001 3693-399 3673 ‘491 3653-366 3633-026 3612-471 3591702

15⁰ o' o.ooi 3570-720 3 549D'24 3528-117

3506799

3484670 3462-631

16⁰ o' 0.001 3440.383

10

20

30

40

50

10

20

30

40

50

IO

20

30

40

50

10

20

30

40

50

10

20

30

40

50

IO

20

30

40

50

10

20

50

40

50

IO

20

30

40

50

11-740

11- 974

12- 2IO

12-446

12-679

12- 913

13- I47

I3-379

I3-6l2

13- 844

14- 076 14-307

14*537

14-768

14- 997

15- 226

15-455

15-683

15- 9II

16- 137 16-365 16-500

16- 8l5

17- 04I

17-264 17-488 : 17-712

17- 934

18156

18- 377

18-598

18- 817

19- 038 19-256

19-474

19-692

19- 908

20- 125 20-340 20-555 20-769

20- 982

21- 196 21-407 21-618

21- 829

22- 039 22-248

0.234

0*236

0-236

0-233

0-234

0-234 0-232 0-233 0-232 0-232 0-231 0-230

0-231

0-229

0-229

0-229

0-228

0-228

0-226

0-228

0-225

0-225

0-226

0-223

0-224

0-224

0-222

0-222

0-221

0-221

0-219

0’22I

0-218

0'2l8

0-218

0-216

0-217

0-215

0-215

0-214

0-213

0-214

0 211 0-2II 0-2 II 0-210 0-209

vgl. § 34.

Differenzen

log V

16⁰ o'

IO

20

40

50

17 ⁰ o'

IO

20

30

40

50

18⁰ o'

10

20

30

40

50

19⁰ 0'

10

20

30

40

50

20° O'

IO

20

30

40

50

21° O'

10

20

30

40

50

22° O'

IO

20

30

40

50

23⁰ o'

IO

20

30

40

50

24° 0'

0.001 3440-383 3417-927 3395-263 ! 3372792 3 349-3 I5 3326-033

0.001 3302-547 3278-857 !

3254-963 3230-868 3206-572 3182-075

0.001 3157-378 3132-482 3107-389 3082-098 3056-611 3030-929

0.001 3005-051 2979-081 2952-717 2926-261 2899-615 2872-778

0.001 2845-752 2818-537 2791-135

2763-547

2735-773

2707-814

0.001 2679-671 2651-346 2622-839 2594-151 2565-283 2536-236

0.001 2507-011 2477-609 2448-031 2418-278 2388-3 51 23 58-251

0.001 2327-979 2297-536 2266-923 2236-141 2205-192 2174-075

0.001 2142-793

22-456

22.664

22- 871

23- 077 23-282 23-486

23-690

23- 894 24*095

24- 296 24-497 24-697

24- 896

25- 095 25-291 25-487 25-682

25- 878

26- 070 26-364 26-456 26-646

26- 837

27- 026

27-215 27-402 27-588 27-774

27- 959

28- 143

28-325

28-507

28-688

28- 868

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29-402

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29- 927

30- 100 30-272

3°‘443

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30-782

30- 949

3i*U7

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0-204

0-204

24⁰ 0’

IO

20

30

40

50

25° 0'

0-204

0-201

0-201

0-201

0’200

0-199

0-I99

0-196

0*196

0-195

0-196

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0-194

0-I92

0-I90

0-I9I

0-189

0-189

0-187

o-i86 o-i 86

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0-184

0-182

0-l82

o-i8i O-180 0-179 0-178 0-177

0-176

0-175

0-174

0-173

0-172

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0-167

o⁻i68

0-165

IO

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30

40

50

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20

30

40

50

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10

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30

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50

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IO

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10

20

30

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IO

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IO

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40

50

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37-909

q q q o o q

« t—< ►—(    HH ►—<

^ CA G\ G\ CA G\ OO O O HH 4—»

OT

OO    TT

1rs »rs 1rs

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0-152

O.151

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0-149

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0-143

0-145

0-141

0-141

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cri31

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0-126

0-126

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0-123

0-123

O" 121

0-119

0-119

0-117

o-ii6

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O-112 0-109

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30

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0-094

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0*084

o-o8i

o-o8i

o-o8o

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0-076

0-076 0-074 0-072 0.072 0-070 o-068

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0-064

0-064

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0-061

0-058

0-058

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0-056

0-053

0-052

0-050

0-049

0-049

0-045

0-045

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IO

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30

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20

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20

30

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50

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IO

20

30

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SO

44⁰ o'

10

20

30

40

50

45° o'

10

20

30

40

SO

46° o'

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, 4I-65 3 41-697 41738 41777 41-815 41-851

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41-953

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42-067

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42-115

42-138

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42-178

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42-274

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42-289

42-293

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42-299

42-301

42-299

42-298

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42-256

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42-230

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42-198

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42-141

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o-oio

o-oio

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0-009

0.010

0-013

0*013

0-015

0-017

0-017

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0-022

0-024

Differenzen

qp

log V

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20

30

40

50

49°

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20

30

40

50

>o° 0'

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30

40

50

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10

20

30

40

50

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10

20

30

40

50

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30

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10

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41-856

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0-080

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0-083

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0-087

o-oS9

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50

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10

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30

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5-o

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10

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0-094

0-094

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O'IOO

to v-M

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O-IOI

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0-104

0-104

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0-107

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O-III

O'IIO

0-114

0-113

0-115

o-n6 0.118 0-119 0-120 O" 12 I

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0-127

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0-131

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0-142

0-142

0-146

0-145

0-146

0-149

0-148

0-151

Differenzen

log V

Differenzen

64° o'

10

20

30

40

50

65° o'

10

20

30

40

5°

66° o'

10

20

30

40

5°

6 7⁰ o'

10

20

30

40

5°

68° o'

10

20

30

40

5°

69° o'

10

20

30

40

5°

70⁰ o'

10

20

30

40

5°

71⁰ o'

10

20

30

40

5°

72⁰ o'

0.000 2802*056 2768-730 2735-556 2702-536 2669.671 2636-961

0.000 2604-409 2572-014 2539-779 2507-704 247579° 2444-038

0.000 2412 451 2381-027 2349-770 2318-679 2287-756 2257.001

0.000 2226-417 2196-003 2165-762 2135-693 2105-798 2076-079

0.000 2046-535 2017-169 1987-981 1958-971 1930-142 1901-494

0.000 1873-027 1844-744 1816-645 1788-730 1761-001 I733‘459

0.000 1706-105 1678-940 1651-964 1625-179 1598-585 1572-183

0.000 1545-975 1519-960 1494-141 1468-518 1443-091 1417-862

0.000 1392-831

33-326 33-174 33-020 32-865 32-710 32-552

32-395 32-235 32-075 31-914 31-752 31-587

31-424 31-257 31-091 30-923 30-755 30-584

30-414 30-241 3 o-o 69 29-895 29-719 29-544

29-366 29-188 29-010 28-829 28-648 28-467

28-283 28-099 27-915 27729 27-542 27-3 54

27-165 26-976 26785

26-594

26-402 26-208

26-015

²5'427 ₀.^₈

²><229 ! 0-198 25-031 1    ⁷

72 ⁰ o'

0-I52

0-154

0-155

0-155

0-158

0-157

o-i6o

o*i6o

o-i6i

0-162

0-165

0-163

0-167

0-166

o-i68

o⁻i68

0-171

0-170

0-173

0*172

0-174

0-176

0-175

0-178

0-178

0-178

o-i8i

o⁻i8i

o-i8i

0-184

0-184 0-184 o-186 0-187 0-188 0-189

0-189

0-191

0-191

0-192

0-194

0-193

0-196

10

20

30

40

5°

73° °'

10

20

30

40

5°

74° °'

10

20

30

40

5°

75° °'

10

20

30

40

5°

76° o'

10

20

30

40

5°

77° °'

IO

20

30

40

5°

78° o'

10

20

30

40

50

79° o'

10

20

30

40

5°

80⁰ o'

0.000 1392-831 1368-000 1343-369 1318-939 1294-711 1270-686

0.000 1246*864 i 1223-246 ! 1199-834 ; 1176-628 j 1153-628 1130-836 1

0.000 1108*252 1085-877 1063-712 1041-757 1020-014 0998-483

0.000 0977-165 0956-060 0935-170 0914-494 0894-034 0873-791

0.000 0853-764 833-956 814-366 79FQ94 775-843 756-912

0.000 0738*202 7I9-7I4 701-448 683-405 665-586 647-991

0.000 0630.620

613-475

596-556

579-863

563-398

547-160

0.0000531-151

515-370

499-818

484-497 469-405 454-545 0.000 0439-916

24-831 24-631 24-430 24-228 24-025 23-822

23-618

23-412

23-206

23-000

22-792

22-584

22-375 22-165 ! 21-955 I 21743 ; 21-531 21-318

21-105

20-890

20-776

20-460

20-243

20-027

19-808

19-590

19-372

19-151

18-931

18-710

18-488

18-266

18-043

17-819

¹7'59 5 17-371

17*145

16-919

16-693

16-465

16-238

16-009

15781

15-552

15-321

15-092

14-860

14-629

0-200

0.201

0"202

0-203

0-203

0-204

0-206 0-206 o-206 o-208 j 0-208 j 0-209

0-210

0'2I0

0'2I2

0-212

0-213

0-213

i 0-215 0-214 0"2 l6 0-217 0-2 l6

0-219

0-2 l8

0-218

0'22I

0'220

0’22I

0-222

0-222

0-223

0-224

0-224

0-224

0-226

0-226

0-226

0-228

0-227

C229

0-228

0-229 0-231 0-229 0-232 0-23 1

Differenzen

<P

log V

80⁰ o'

10

20

0.000 0439-916 425-519

411-354

30

40

50

14-397

14-165

370-259 !

88° 0'

13-464

0-232

0-233

10

20

81⁰ o'

IO

20

30

40

50

82° O'

IO

20

30

40

50

83° O'

IO

20

30

40

50

0.000 0357-028 344-032 331-272 318-746

306-457

294-405

0.000 0282-589 271-011 259-670 248-567 237-703 227-077

0.000 0216-691 206-544 196-637 186-970 x77‘5 44 168-358

13-231

12-996

12-760

12-526

12-289

12052

11-816

11-578

11-341

11-103 10-864 10-626 10-38 6

q q q q

M M M bl

UJ

30

40

50

0'2 36 0-234

0-237

i 0-237 0-236 0-238

89° o'

10

20

30

40

50

84° O'

IO

20

30

40

50

85° O'

IO

20

30

40

50

86° o'

10

20

30

40

50

87° o'

10

20

30

40

50

0.000 0159-414 150-711 142-250 134-031 126-054 118-320

0.000 0110-829 103-581 96-576 89-815 83-298 77-025

0.000 0070-99 6 65-212 59-672 54-377 49 328 44-523

0.000 0039-964 35-650 31-583 27-761 24-185 20-855

10-147

9-907

9-667

9-426

9-186

8-944

8703

8-461

8-219

7-977

7734

7-491

7-248

7*005

6-761

6-517

6-273

6-029

5784

5-540

5-295

5-049 4-805 4-5 59

4-3I4

4-067

3-822

3-576

3-330

3-084

0-237

0-238

0-239

0238

0-240

0-239

0-240

0-240

0-241

0-240

0-242

0-241

0-242

0-242

0-242

0-343

0-243

0-243

0-243

0-244

0-244

0-244

0-244

0-245

0-244

0-245

0-246

0-244

0-246

0-245

0-247

0-245

0-246

0-246

0-246

90⁰ 0'

0.000 0017-771 I4-93 3 12-342 9-998 7-900 6-049

0.000 0004-444 3-086 1-975 rin 0-494 0-123

0.000 0000-000

2-838

2-591

2-344

2-098

1-851

1-605

1-358

rin

0-864

0-617

0-371

0-123

0-247

0-247

0-246

0-247

0-246

0-247

0-247

0-247

0-247

0-246

0-248

Berechnungs form ein für log V:

log V = 4- [4-1640730-989] cos ²<p

—    [1-690 3618-9] cos 4qp 4- [9-341 589] cos 6qp

—    [7-043 97] cos 8qp 4- [4-774] cos lOqp .

Wenn <jp kleiner als 45⁰ ist, so rechnet man bequemer:

— log W = 4- [4-161 1047-393] sin ²<jp 4- [1-684 5451-6] sin 4qp -+- [9-3*32 8643] sin 6qp 4- [7-032 336] sin ⁸<p 4- [4-7598] sin ¹⁰(jp

]/i — *²

oder V= W\ 1 + ^2

log

= log Ÿ1 4- e'%

= 0.001 4541-798002

log V= 7276-985 4166

—    [3.861 5877-062] sin 2(<p — 45⁰) 4- [0.784 3611-0] cos 4(qo — 45°) 4- [7.832 0728] sin 6(qp — 45⁰)

—    [4.93 069] cos 8(<p — 45°) •

<p

log M A

log N

logr

l°9 ?.₂

0° 0'

10

20

30

40

50

6.801

7351-0

7351- 4

7352- 5 7354-4 7356-9 7360-2

6.804 6434-6 6434-8 .q    6435-1

J    6435-7

z 0    6436-6

6437-7

3-3

4-1

0-2

0-3

0-6

0-9

1-1

1-4

6.803

1892*8

1893-1

1893-8

1895- 0

1896- 8 1899-0

0-3

0-7

1-2

1-8

2-2

2-7

— 20 6.393 621

621

621

621

621

620

1° 0'

10

20

30

40

50

7364-3

7369-1

7374-6

7380-8

7387-8

7395-5

4-8

5-5

6-2

7-0

7-7

8-5

6439- 1

6440- 6 6442-5 6444-6 6446-9 6449-5

1-5

1-9

2-1

2-3

2-6

2-8

1901-7

1904-9

1908-5

1912-7

1917-4

1922-5

3-2

3-6

4-2

4-7

5-1

5-6

2° 0'

10

20

30

40

50

7404-0

7413-2

7423-1

7433-8

7445-2

7457-3

9-2

9-9

10-7

11-4

12-1

12-8

6452-3 6455-4 6458-7 6462-2 64 66-0 6470-1

3-1

3-3

3-5

3-8

4-1

4-2

1928-1

1934-3

1940-9

1948-0

1955-6

1963-7

6-2

6-6

7-1

7-6

8-1

8-5

3° 0'

10

20

30

40

50

7470-1

7483-7

7498-0

7513-1

7528-9

7545-4

13-6

14-3

15-1

15-8

16-5

17-2

6474-3

6478-9

6483-6

6488-7

6493-9

6499-4

4-6

4-7

5-1

5-2

5-5

5-8

1972-2

1981-3

1990-8

2000-9

2011-4

2022-4

9-1

9-5

10-1

10-5

11-0

11-5

4° 0'

10

20

30

40

50

7562-6

7580-6

7599-3

7618-7

7638-8

7659-7

18-0

18-7

19-4

20-1

20-9

21-6

6505-2

6511-2

6517-4

6523-9

6530-6

6537-5

6-0

6-2

6-5

6-7

6-9

7-2

2033-9

2045-9

2058-3

2071-3

2084-7

2098-6

12-0

12-4

13-0

13-4

13-9

14-4

5° O'

10

20

30

40

50

7681-3

7703-7

7726-7

7750-5

7775-0

7800-2

22-4

I 23-0

238

24-5

25-2

25-9

6544-7

6552-2

6559-9

6567-8

6575-9

6584-4

7-5

7-7

7-9

8-1

8-5

8-6

2113-0

2127-9

2143-3

2159-1

2175-5

2192-3

14-9

15-4

15-8

16-4

16-8

17-3

6° 0'

10

20

30

40

50

7826-1

7852-8

7880-2

7908-3

7937-1

7966-6

26-7

27-4

: 28-i

28-8

29-5

30-2

6593-0

6601-9

6611-0

6620-4

6630-0

6639-8

8-9

9-1

9-4

9-6

9-8

10-1

2209-6

2227-3

2245-6

2264-3

2283-5

2303-2

17-7

18-3

18-7

19-2

19-7

20-2

7° 0'

10

20

30

40

50

7996-8

8027-8

8059-5

8091-8

8124-9

8158-7

31-0

31-7

32-3

33-1

33-8

34-5

6649-9

6660-2

6670-8

6681-6

6692-6

6703-9

10-3

10-6

10-8

11-0

11-3

11-5

2323-4

2344-0

2365-1

2386-7

2408-8

2431-3

20-6

21-1

21-6

22-1

22-5

23-0

6715-4

vgl. §

ssssss ssssgg    gliiii    Isllll    ssSUl    Süsssl    HsslsS    1

|    1    I    1    I    1    1

^__^_ 'o    co    cd    cd    cd

DSOOHH

>—• CO i—* CO I—¹ CO

ca ca ca cci c<i co

CO CO CO 00 CO 03 CO 03 tc co co

39. S. 230,

0° 0'

10

20

30

40

50

9.999 —10 *0000-0 9999-9 9999-5 9998-9 9998-0 9996-9

0-1

0-4

0-6

0-9

1-1

1-3

1° 0'

10

20

30

40

50

9995-6

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^    ^    ^    ^    ^    05    co co CO CO CO CO    CO    CO    CO    CO    CO CO    CO    CO    CO    CO CO CO    CO CO CO DO DO DO    DO    DO    CO    DO    DO    DO    DO    DO    DO    DO    DO    DO

^ ^    03    CO    DO    DO    LÇ    m    h    O O O    O GO GO GO -d <1    Oi    Cp    Cn    O»    Ot 2^    4^-    05    CO    Dû DO M    MOOOO O    CO    OO    -^1    -4    Oi    Q    (Ot    CH    ^    CO    CO

ot ó    -vi    do    ob    4^-    ô    öx    cö    Ob co ob    45-çôcÂ^^bcô    co    ó    4^    ô cÄ    ds    do    -b ob ob    4^ co üi 6 6 1-^    ci    -b    do    ob    cb    ób    <x>    4^    cô    cb

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llllss 1IISI1    3S8SS2

CDWtDMCOM 00 05 OC tO 00 tO -a 05 - O. O    œ W OO tO O) H- Ot ÎO ^ 00 tO Ol ^ OT 00 05 -j ^ OT <X> 00 ffiM Ö» db tÓ -5 <Ś> 4^-

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6381-4

6442-6

6504-2

6566-1

6628-3

8833-6

vgl. § 39. S. 230.

44-9

45-3

45-7

46-2

46-6

46-9

47-4

47-8

48-2

48-6

49-0

49-4

49-8

50-2

50-5

51-0

51-4

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52-2

52-5

52-9

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11

11

11

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11

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28-1

rf io OO H    cp L- O rH C4 ) O cp (X) (p H Cp

cboocbôoôiô ôiàéiô 66 ôôoÔhh

C4(M(M(MC4(M <M <M <M CO CO CO CO CO CO CO CO CO

0.002

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log r

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31-5

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32-8

32-9

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33-2

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34-6

34-8

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35-4

35-7

35-7

35-9

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36-1

36-3

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36-8

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37-6

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9588-7

9663-4

9738-3

9813-5

9888-9

9964-5

0508-4

vgl. § 39. S. 230.

-f

62-9

63-3

649

63-5

63-9

64-2

64‘5

64-8

65-2

65-4

65-8

66-0

66-4

66-7

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; 67-3 67-5

67-9

68-2

68-4

68-8

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69-3

69-6

69-8

70-2

70-4

70-7

71-0

71-2

71-5

71-7

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72-3

72-5

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73-5

73-7

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74-5

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037

022

007

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24° 0'

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20

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33-6

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35-8

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36-2

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36-7

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37-4

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5356-5

5244-4

5132-0

5019-3

4906-3

4792-9

4679-1 vgl. §

94-4

94-8

95-3

95-8

96-3

96-8

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112-4

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4549-7

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3780-9

3743-0

39. S. 230.

31-5

31-6

31-7

32-0

32-1

32-2

0.002

4285-6

4222-7

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4032-0

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63-9

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64-5

32-4

32-6

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32-9

33-1

33-1

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35-8

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36-2

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36-7

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74-5

74-7

74-9

75-2

75-3

75-6

39

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30

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10

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30

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50

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122-4

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122-9

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10

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30

40

50

3852-4    !

3975-5 4098-8 4222-3 4345-9 4469-7

123-1

123-3

123-5

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50

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124-1

124-3

124-4 : 124-6 ! 124-7 ; 124-8

2182-2

2223-6

2265-0

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2389-5

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915

6.391 900 |

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289

273

256

239

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38-2

38-2

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33° 0'

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20

30

40

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39-0

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83-9

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84-0

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84-1

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84-2

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84-3

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84-4

84-4

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84-5

84-5

84-5

84-5

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84-6

84-6

84-6

84-6

84-6

84-6

84-6

84-5

84-6

84-6

84-5

84-6

84-5

84-5

84-4

84-5

84-4

84-3

84-3

84-3

84-3

84-1

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2843-7

9797-8

3045-9

log M

log N

log r

6.804

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20 ;    1660-0

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5629-1

5750-3

cocoÊococoto co ES co co co tô) ïocoîocococo EoEoîocotoco ïocococococo CO CO to CO CO K3

OtO^ÜTGOO lO^OOOOM CÜÜ*^(X)OM CO 4^ 6} -41 CD Ô    tô CO OT Oi db OO CD 6 M M tô

6.805

4453-5

4495-6

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5860-7    !

5901-0    :

40-7

40-6

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40-5

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7185-6

h-¹ >—» h- h-i ►—*    ‘

I—¹ ‘ I—* ►—¹ V—¹ ►—¹    M M CO to Dû to

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5941-3

5981-6

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6061-8

6101-8

6141-7

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40-1

40-1

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39-9

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39-7

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1624-7

1703-7

1782-5

Tam siiiif mm mm mm mm mm mm+

- 20 6.390 414

CD

CO

co

CO

O OJ tû CD Ci 03 CD Ci 03 O Ci 03 O -O OC O -S

g

CO

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080

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047

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643

56° O'

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1861-1

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41-8

41-8

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41-8

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1962-0

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1711-0

1585-6

1460-4

t—t h-* H-⁴ H-⁴    >—* t—» h-⁴ h-* h-¹ t—*

tocototoco co w to te to ta OTOrcnCrtCn Cn Ot OS Œ 05 Cl civtL.fldi-j -jcôôôcôti

8.508—10 9797-8 9755-8 9713 7 9671-7 9629-7 9587-7

42-0

42-1

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42-0

42-0

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84-0

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41-8

41-8

41-8

41-7

2541-9 2458-1 2374-4 2290-7 2207-2 2123 7

83-8

83-7

83-7

83-5

83-5

83-4

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41-6

41-6

41-6

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125-0

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124-8

124-5

124-5

124-8

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9211-8 9170-2 9128-7 9087-2

41-6

41-6

41-6

41-5

41-5

41-5

2040-3

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1707-5

1624-6

83-4

83-2

83-1

83-1

82-9

82-9

51° 0'

10

20

30

40

50

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41-4

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4M

4M

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*9968-3

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41-4

41-2

41-3

41-1

4M

i 4M i 41-0 ! 40-9

40-8

40-8

40-8

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82-6

82-6

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82-2

82-1

82-0

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40-6

40-6

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40-4

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5 40-6 ; 40-6

40-4

40-4

40-3

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0312-5

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81-3

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81-0

80-9

80-8

• 80-6

54° 0’

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50

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0332-8

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40-2

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39-8

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120-0

119-7

119-5

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8149-5 8109-6

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40-1

40-1

40-0

! 39-9

39-8

0070-2

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9669-4

80-5

80-3

80-2

80-0

79-8

79-7

55° 0'

10

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30

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50

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0213*3

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0134-1

0094-6

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39-8

39-7

39-5

39-5

39-4

39-4

7659-5

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7421-2

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39-7

39-5

39-5

39-4

! 39-4

9589-7

9510-2

9430-9

9351-7

9272-7

9193-9

79-5

79-3

79-2

79-0

78-8

78-6

6947-8 j

vgl. § 39. S.

230.

56° 0'

10

20

30

40

50

57° 0'

10

20

30

40

50

58° 0'

10

20

30

40

50

59° 0'

10

20

30

40

50

60° 0'

10

20

30

40

50

61° 0'

10

20

30

40

50

62° 0'

10

20

30

40

50

63° 0'

10

20

30

40

50

log M

6.804

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*0042-7

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115-0

114-7

114-4

114-0

113-8

113-4

113-0

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112-4

i 112-0

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108-0

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107-2

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106-4

106-0

105-6

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103-5

103-1

102-6

102-3

101-7

101-4

100-8

100-5

log N ! A

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S005-5

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le g r

l°9-rô

39-2

39-1

39-1

38-9

38-9

38-7

38-7

38-5

38-4

38-4

38-2

38-1

38-1

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37-6

37-4

37-4

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37-1

37-0

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36-7

36-5

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36-2

36-0

35-8

35-8

35-6

35-5

35-3

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35-1

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34-2

34-2

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2095-9

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3540-0

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0537

vgl- §

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40

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Ol CJTCn CH Üt Oi Oi Ci -<1 -a    -<] GO OO GO CD CO co co co

87° 0'

30

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1°9 [1]

log [2]

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8.508—10

0.000 —10

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4509

4467

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4231

4194

4158

4123

4088

4054

4021

3988

3956

3925

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3780

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3727

3702

3677

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3630

3607

3586

3565

3544

3525

3506

3488

3470

3454

3438

3423

3319

3395

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44

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42

41

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19

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3686

3672

3659

3645

3631

3619

3606

3594

3581

3569

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3409

3401

3393

3386

3378

3371

3365

3358

3352

3346

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3335

3329

3324

3319

3315

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3293

3285

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3276

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H-* h-*

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0663

0637

0613

0589

0565

0542

0519

0497

0475

0454

0433

0413

0393

0374

0355

0337

0319

0301

0285

0268

0252

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0222

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0193

0180

0167

0154

0142

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0109

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0056

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28

28

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27

26

25

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24

24

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22

21

21

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20

19

19

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18

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15

15

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13

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12

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10

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20

16

11

l°9    = log [1] log = log [2]

0    8.510 5124-1

1    5105111-4

2    51050987

3    5105986-0

4    510 5073-4

T2.₇    8.509 0555'0

\A    509 05537

: '    509 0549 5

,A 5090545-3

509 05410

4-3

4-2

4-2

4-3

5    8510    5060-7

6    510    50480

7    510    5035-3

8    5105022-6

9    5105009-9

127

ir7 8.509 0536-8 I2i    50905326

509 0528.4 ‘    509 0524-1

509 05199

4-2

42

42

4’3

4-2

K) H O

8.510 4302-8 5io 4350-1 5io 4337 5 5io 4324 8 510 4312-1

127

12-6

127

127

10    8.5104997-2

xi    51049845

12    5104971-8

13    51049591

14    5104946-5

12 7

₇ 8-509 05157 '    50g 0511 4

'    5090507-2

T2i    509 0503-0

509 0498-7

4-2

4‘3

4-2

4-2

5    8 510 42994

6    51042867

7    5I0 4274’0

8    5104261-4

9    51042487

127

127 12 7

12-6

127

8.5090304-2 509 0300-0

509 0295 7

5090291-5 509 0287-3

15    8.5I0 4933-8

16    5104921-1

17    5104908-4

18    51048957

19    5104883-0

12-7

43

8.509 04945 509 04905 TO 7    509 0486-1

I27    5090481-8

509 0477-6

! 127 127

4-2

4-2

4-2

4-3

4-2

10    8.5104236-0

510 42233 510 42106

13    5104198-0

14    5104185-3

127

8.5090283-1 509 02788 509 0274-6 509 02704 509 0266-2

XI

12

127

127

126

127

12 7

2«    8.51048703

29    5104756-1

---127

21

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31    51047307    S

32    51047180

33    51047054

34    51046927

127 12-6 12 7

8509 0473-4 509 0469-1 509 0464 9 509 0464-7 509 0456 4

8.509 0452-2 509 0448 0 509 0443-8 509 0439-5 509 0435-3

4-2

43

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16    5I0    4I599

17    5I0    4I47-2

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19    5I0    4I2I-9

127

127

127

12-6

127

35    8.51046800

36    5104667-3

37    510 46546

38    51046419

39    5104629-2

12 7

8.509 04311 509 04268 509 0422-6 509 0418-4 509 04142

I2.₇    8.509 0409-9

‘    509 0405-7

I2 '    509 0401-5

‘    509 0397 2

509 0393-0

12 7

48    5104515 0    ;    t A

5104502-4

41

42

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44

47

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12-7 127

50    8.51044897

51    51044770

52    51044643

53    51044516

54    5I0 4438-9

60    8.510 43628

4’2

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4-2

8.509 0304-2

20    8.5104109-2

510 40965 510 4083-8

23    510 40712

24    5104058-5

25    8.5104045-8

26    510 4033-1

27    51040205

28    510 4007-8

29    5I0 3995-I

127

8.5090261-9 509 0257-7 ! 509 0253-5 !

509 02492 j 509 0245-0 j 8.509 0240 8 i 509 0236-6 509 0232-3 509 0228-1 5090223-9

21

22

30    8.510 3982-4

31    51039698

32    5X0 3957-1

33    510 3944 4

_34__ 510 3931-7

35    851039191

36    51039064

37    51038937

38    510 3881-0

39    5103868-4

40    8.51038557

41    5103843-0

42    51038304

43    51038177

44    510 3805-0

45    8.5I0    3792-4

50    8.5103729-0

510 37163

52    510 37037

53    5103691-0

54 __5103678-4 I

55    8.51036657

56    51036530

57    510 36404

58    510 36277

59    510 3615-0

51

60    8.510 36024

127

127

126

127

127

127

126

127

127

127

12-6

127

127

127

12-6

127

127

127

12-6

127

127

12-6

127

127

12 6

127

127

127

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127

127

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127

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127

12 0

8.509 0219 7 50902154

50902112 509 0207-0 509 0202 8

8:509 0198-5 509 01943 5090190-1

5090185-9 509 0181-6

8.509 0177-4 509 01732 509 01690 509 01647 509 0160-5

8.509 0156-3 509 0152-1 509 0147-8 509 0143-6 509 01394

8.509 0135-2 509 01309 509 0126-7

509 0X22 5

509 OI183

8.509 OII4-0 509 010g 8 509 0105-6 509 0101-4 509 0097-2

8.509 0092 9 509 0088-7 509 0084 5 509 0080-3 509 0076-0

8.509 007x8 509 0067 6 50900634 509 0059-2 509 00549

8.509 0050-7

l°⁹ M = l°g ^

log JT = l°⁹ ^

log 4- = lo9 [1] lo9 = log [2]

8.510 3602-4 8.510 35897 8.510 3577-0

8.510    3564-4

8.510    355I7

127

127

126

127

8.510 3539 I 8 5IO 3526 4 8.510 3513 7 8.5x0 350I-X 8.510 3488-4

126

12-7

127 12 6

127

8 509 00507 8.509 00465 8.509 00423 8.509 0038-1 8 509 0033-8

42

42

4‘2

4‘3

o SESSiR SSïïïïS ëfeîxàà fcôfcti £ SSÄSa ESSES o g SS SÄ Sä B B g B SB SÄ Sä B S ©

8.510    3475'8

8.510    3463 1 8.510 3450 5 8.510 34378 8.5103425-1

8.5103412-5

8.510 3399 8 8.510 3387-2 8.510 3374-5 8.5103361 9

8.510 3349-2 8.510 3336-6 8.510 3323-9 8.510 33113 8.510 3298 6 8 510 32860 8.510 32733

8.510    3260*7

8.510    32480

8.510    3235'4

8.510 32227 8.510 3210.1 8.510 3I97'5 8.5103184-8 8.510 3X72-2

8 5I0 3I59-5

8.510    31469

8.510    3I34-2 8.5103121-6

8.510    31090

8.510 30963 8.510 3083-7 8.510 3071-0 8.51030584 8.510 3045-8 8.5103033-1 8.510 3020-5 8.510 3007.9 8.510 2995-2 8.5102982-6

8.510 29700 8.510 2957-3 8.51029447 8.5102932-1 8.510 2919-4 8.5102906-8 8.510 28942 8.510 2881'6 8.510 2868 9 8.510 2856-3

12 6

127

12 6

127

127

126

127

12-6

12-7

12-6

127

12-6

127

12 6

12 7

12-6

127

12-6

127

12 6

127

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12 6

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12 6 12 6

12 7 126

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8.509 0029-6 8.509 0025-4 8.509 0021-2 8.509 0017 0 8.509 00127

8.509 00085 8 509 0004-3 8.509 OOOO’I 8.508 9995-9 8.508 99916

8.508 9987*4 8.508 9983-2 8.508 9979-0 8.508 9974-8 8.508 99706

4-2

4-2

42

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8.508 9924-2 8.508 9920-0 8.508 99157 8.508 9911-5 8.508 99073

8.508 9903-1 8.508 9898-9 8.508 98947 8.508 9890-5 8.508 9886-2

8.508 9892-0 8.508 98778 8.5089873-6 8.508 9869-4 8.5089865-2

8.508 9861 O 8.508 9856 8 8.508 9852 6 8.508 9848-3 8.508 9844-1

8.508 9839-9 8.50898357 8.5089831-5 8.508 9827-3 8.508 9823-1 8.508 9818-9 8.508 98i4'7 8.508 9810-4 8.508 9806-2 8.508 98020

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8.51028437 8.5102831-0 8.510 2818-4 8.5102805-8 8,5102793-2 8.510 2780 6 8.510 2767-9 8.510 27553 8.5102742-7 85102730-1

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MMMM MMMMM M

8.508 9797 8 8 508 9793'6

8.508 9789-4 8.508 9785 2 8.508 9781 o

8.5089776-8 8.508 9772 6 8.508 9768-4 8.508 9764-2 8.5089760-0

4-2

4-2

4-2

4-2

■    4-2

42

4-2

4-2

4-2

8-5I0 27I7 5    !    j2 7

8 5I0 2704-8    1

8.5I0 2692-2 I

8.5IO26796 I

8.510    2667-0 J

8.510    2654*4 j T2-6 8.5102641-8 ! i26 8.51026292 8.5102616-5 8.510 2603-9

12 6 12 6 12 6

127

126

126

8.508 9717-9

t 4’2

4-2

8.5102591-3 ! T2-6 8.5x0 25787 8.5102566-1 8.510 2553-5 8.510 2540-9 8.5102528-3 8.51025157 8.510 2503-1 8.510 2490-5 8.510 2477-9

8.5102465-3 8.51024527 85102440-1 8.5102427-5 8.510 2414-9 8.510 2402-3 8.510 23897

8.5102377-1

8.5102364-5

8.5102351-9

j 12-6 12-6

12-6

12-6

I2'6

12-6

I2'6

12-6

126

12-6

126

12-6

12'6

12-6

I2'6

126

12-6

12-6

12-6

8.510 22638 8.510 2251-2 8.510 2238-6 8510 2226-0

12-6

12-6

12 6

12-6

12-6

8.5102163-1

8.51021505 8.5102138-0

8.510    2125-4

8.510    2112-8

8.510    2100-2

126

125

I2'6

126 12-6

12-5

8.508 9675-9

4-2

8.5089633-9

4-2

8.508 9591 -9

8.508 9550-0

4-2

l°9 M = l°⁹ M l°⁹ N = l°⁹ ^ Jj"

l°⁹ M = l°⁹ ^ ¹⁰⁹ A⁷ = l°⁹ t²

0    8.510 20877

1    8.5x0 2075-1

2    851020623

3    831020500

4    8310 20374

5    83102024-8

6    8310 2012-3

7    8.51019997    T_.fi

8    8.5101987-1    :².°

9    8.5101974'6    ⁰

12-6

12-6

125

126 12-6

123

12-6

8.5X0 13353 8.5X0 1322-8

8.510 I3I03 8.510 I297'8 8.510 1285.3 8.510 1272-8 8.510 1260-3 8.510 1247-8 8.510 12353 8.510 1222-8

8.50892950

: 4-1

12-5

10    83101962 0

11    85101949-4

12    8.51019369

13    8.5101924-3

14    83101911-8

15    83101899-2

16    8.5101886-6

17    8.510 x874'i

18    8.51018613

19    83101849-0

8.508 94704 8.508 9466-3

126

12 6

12 6 123 12-6 125

4-1

10

xi

12

13

14

15

16

17

18

20    8.51018364

21    8.5101823-9

22    8.5101811-3

23    8.5101798-8

24    8.5101786-2

"25    8.51017737

26    8.5101761-1

27    8.51017486

28    8.5101736-1

29    8.5101723-5

126

8.508 9462-1 8.508 9457-9 8.508 9453 7 8.508 9449-5 8.508 9445-3

126    83089441-2

:².;    8.508 94370

³    830894328

8.508 9428-6 8.508 9424-4

123

! I2'6

123

126

12-5

12-6

4-2

4-2

4-2

4-2

4-2

4-1

4-2

4-2

42

4-2

19

20

21

22

23

24

25

27

28

8.5101085-5 8 510 1073-0 8.510 10603 8510 1048-0 8.510 1035-6

124

4-2

30    8.5101711-0

31    8.51016984

32    8.5101685-9

33    8.51016734

34    8.51016608

123

126

123

12-6

8.508 9420-3 85089416-1 8.508 9411 9 8.508 9407'7 8.50894033

4-1

4-2

4-2

4-2

4-2

29

30

31

32

33

40    8.51015856

41    8.510 1573'X

42    8.51015606

43    8.5101548-0

44    8.5101535-5

12-6

12-5

12-5

12-6

12-5

8.508 93994 8.508 9395-2 8.508 9391-0 8.508 93868 8.508 9382-6

4‘I

4'2

4-2

4-2

4-2

4-1

34

35

36

37

38

39

45    8.5101523-0

46    8.5101510-5

47    8.5101498-0

48    8.51014854

49    8.51014729

X2-5

I2'5

12-5

12-6

12-5

50    8-51014604

51    8.5101447-9

52    8.51014354

53    8.5101422-9

54    8.51014103

! 125

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

55    8.5101397-8

56    8.5101385-3

57    8.5101372-8

58    8.5101360-3

59    8.5101347-8

12-5

I2'5

12-5

12-6

12-5

12-5

12-5

12-5

12-5

12-5

8.508 9336 7 8.508 9332-6 8.508 93284 8.508 9324-2 8.508 9320-0

8.508 93I5-9 8.508 93117 8.5089307-5 8.508 9303-4 8.508 9299-2

4-2

4-1

42

4-2

4⁻2

4-1

42

4-2

4-1

4-2

4-2

50

51

52

53

54

56

57

59

60

123

8.510 09857 , T2.-83100973-2 i ³

--123

12-4

4-1

8.510 0960-7 ; 8.510 0948-3 i 8.510 0935-8 83100923-4 i 83100910-9 1

8.5089170-2 83089166-0 ! 4 2 83089161-9 1 41 8.50891577 , ,.T 85089153-6 ! 4

I2,=)    -

8.5089149-4 ,T 8.508 9145-3 y 83089141-1 y 8.508 9137-0 y 8.508 9132-8    ⁴

124

123

124 123

4'2

8.510    08984 , „.. 8.5100886.0 t ¹²⁴

8.510    0873-5 i T9.,

8.5100861-1    ¹²1

8.510    0848-6 { s

124

8.510 0773-9 8.5100761-5 8.510 0749-0 8.510 0736-6 8.5100724-2

8.510 07117 8.510 0699-3 8.510 0686-9 8.510 06744 8 510 0662-0

8.510 0649 6 8.510 0637-1 8.5100624-7 8.510 0612.3 8.510 05999

124

12 5

124

12-5

124

124

12-5

124

124

12-5

124

124

12-5

124

124

124

I2’5

8.508 9128-7 8.508 9124-5 8.508 9x204 8.5089116-2 8.508 9II2-I

8.508 gio7-g 8.5089103-8 8.508 9099-6 8.508 9095-5 8.5089091-3

8.508 9087-2 8.5089083-0 8.508 9078-9 8.508 9074-7 8.508 9070-6

8.508 9066-5 8.508 9062-3 8.508 9058-2 8.508 90540 8.50890499

4-2

41

4-2

4-1

4-2

4-1

4-2

41

42

41

4-2

41

42

4-1

4-2

4-1

4-1

4'2

4-1

4-2

4-1

4-2

10

II

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

27

25

29

80

31

32

33

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40

41

42

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47

48

49

60

51

52

53

54

56

57

59

log ^ = log [i]

8.510 0587-4 8510 0575-0 8.510 05626 8.510 00502 8.510 05378

8.510 0525-3 8.510 0512-9 8.510 0500-5 8.510 0488-1 8.510 0475 7

8.510 0463-3 8.510 0450-g 8.510 04385 8 510 0426-1 8.510 04137

8.510 040I-3 8.510 0388-9 8.510 0376-5 8,5X0 0364-1 8.510 03517

8.510 03393 8.510 0326-9 85100314-5 8.510 0302-2 8.510 02898

8.510 0277-4 8.510 0265-0 8.510 02526 8.510 0240-2 8.510 02279

8.510 0215-5 8.510 0203-1 8.510 0190-7 8.510 0178-4 8.510 0166-0

8.510 0153-6 8.510 01413 8.5100128-9 8.510 OII6-6 8.510 0104-2

8.5100091-8 8.510 00795 8.510 0067-1 8.510 0054-8 8.510 0042-4

8.510 0030-1 8.510 0017 7 8.510 0005-4 8.509 9993-0 8.509 9980-7

8.509 9968-3 8.509 9956-0 8.509 9943-7 8.509 99313 8.509 9919-0

8.509 99067 8.509 9894-3 8.509 9882-0 8.509 98697 8.509 9857-3

''

log ~r = log [2]

l°9 jp = log [i] log |₇ = log [2]

12.4

12.4

12 4

124

125

12-4

12 4

124

12-4

12-4

12-4

12-4

12-4

12-4

12'4

I2'4

12-4

124

124

12-4

12-4 12-4

12-3

12-4

12-4

12 4

124

12 4

123

12’4

12-4 12-4

123

124 12-4

12-3

I2'4

12-3

12-4

124

123

I2’4

12-3

I2'4

12-3

124

12-3

12-4

12-3

12-4

12-3

12-3

I2'4

12-3

123

124

123

12-3

12 4

12-3

8.508 9045-7 8.508 9041-5 8.508 9037-5 8.508 90333

8.508 9029-2

8.508 9025-0 8.508 9020-9 8 508 9016 8 8.508 9012-6 8 508 90085

8.508 9004-4 8.508 9000-2 8 508 8996-1 8.508 8992-0 8.508 8987-8

8.50889837

8.508 8979-6

8.508 8975-4

8.508 89713 8.508 8967-2

8.5088963-0 8.508 8958-9 8.508 8954-8 8.508 8950-6 8.508 8946-5

8.508 8942-4 8.508 8938-3 8.508 8934-1 8.508 8930-0 8.508 89259

8.508 8921.8 8.508 8917 6 8.508 8913-5 8.508 8909-4 8.508 8905-3

8.508 8901-1 8.508 8897-0 8.508 8892-9 8.508 8888-8 8.508 8884-7

8.508 8880-5 8.508 8876.4 8.508 8872-3 8.508 8868-2 8 508 8864-1

8.508 8860-0 8.5088855-8 8.508 8851-7 8.508 8847-6 8.508 8843-5

8.5088839-4 8.508 8835-3 85088831 2 8.508 8827-0 8.508 8822-9

8.508 8818 8 8.508 88147 8.508 8810-6 8.508 8806-5 8.508 8802-4

4-1

4-2

4X

4-2

4'i

42

41

4-1

4-2

41

4-x

4-2

4'X

41

42

4-1

41

4'X

4'I

42

41

4-1

4-1

4'2

4-1

4-1

4'I

4'2

4-1

4-1

4’i

4⁻2

41

41

4'i

4-1

42

41

4-1

41

4-1

4-1

4'2

4-1

4-1

41

41

4-1

4'I

4-2

4-1

4'i

41

4-1

4.1

4.1

41

8.509 9845-0 8.509 9832-7 8.509 9820-4 8.509 9808-1 8.509 97957

8.5099783-4 8.509 977I-I 8.509 9758-8 8.509 9746-5 8.509 9734'2

12-3

12-3

I23

124

12-3

123

123

123

12-3

8.508 8798-3 8.508 8794-2 8.508 8790-1 8.508 8786-0 8.508 8781-8

41

4’i

41

4'2

10

II

12

13

14

IS

16

17

18

IQ

20

21

22

23

24

25

20

27

29

30

31

32

33

34

37

39

40

41

42

43

44

45

46

47

4'

49

60

51

52

53

54

57

58

59

60

8.509 9721-9 8509 9709 6 8.509 9697 3 8 5099685-0

8.509 96727 8.509 9660-4 8.509 9648-1 8.509 9635-8 8.509 9623.5 8.5099611.2

8.509 9598-9 8.509 9586-6 8.509 9574.4 8.509 9562.1

8.5099549 8 8.509 9537-5

8.509 9525-2 8.509 9513-0

8.509 9500-7 8.509 9488-4

8.509 9476-1 8.509 9463-9 8.509 9451-6 8.509 9439-3

8.509 9427-I

8.509 9414-8 8.509 9402 6 8.509 9390-3 8.509 9378-1 8.509 9365-8

8.509 9353-6

8.5099341-3

8.5099329-1 8.5099316-8 8.509 93046

8.509 9292-3 8.509 9280-1 8-509 9267-9 8 509 9255-6 8.509 9243-4

8.5099231-2 8.509 9218-9 8.509 9206-7 8.509 9I94-5 8.509 9182-3

8.509 91700 8.509 9I57-8 8.5099145-6 8.509 9I33-4 8.509 9X21-2

vgl § 39. S. 230.

12-3

12-3

123

12-3

123

123

123

123

123

123

123

123

12-2

123

123

123

123

12-2

123

123

I23

12-2

123

123

12-2

12-3

12-2

12-3

12-2

12-3

I2’2

12-3

12-2

I2'3

12-2

12-3

12-2

12-2

12-3

12-2

12-2

12-3

12-2

12-2

12-2

I2'3

12-2

12-2

12-2

122

12-2

8.508 87777 8 508 8773-6 8.508 8769 5 8.508 8765-4 8.508 8761-3

8 508 8757-2 8.5088753-1 8.508 8749 O 8.508 8744 9 8.50S 8740-8

8.508    8736-7

8.508    8732'6 8.508 8728-5 8.508 87244 8.508 8720-3

8.508 8716-2 8.508 8712-1 8.508 8708 0 8.508 8704-0 8.508 8699-9

8.508 8695'8 8.5088691-7 8.508 8687'6 8.5088683-5 8.508 8679-4

8.508 8675-3 8.508 8671-2 8.508 8667-1 85088663-0 8.508 8659'0

8.508 86549 8.508 8650-8 8.508 8646-7 8.508 8642-6 8.508 8638-5

8.508 8634-4 8.50886304 8.508 8626-3 8.508 8622-2 8.508 86l8⁻l

8.508 8614-0 8.508 8610-0 8.508 86059 8.50886018 8.508 85977

850885937 8.508 8589-6 8.5088585-5 8.508 8581-4 8.508 8577-4

8.508 8573-3 8.508 8569-2 8.5088565-1 8.5088561-1 8.508 8557-0

4’i

4-1

41

4'I

4-1

4-1

4-1

4-1

4-1

4-1

41

41

4-1

4-1

4-1

4-1

4'i

4-0

4'X

4'X

41

4-1

4'X

4’X

4'X

4-1

41

4-1

4-0

4-1

4-1

4-1

4-1

4-1

4-1

4'0

4-1

4-1

4-1

4-1

4-0

4-1

4'X

4-1

4-0

4-1

4-1

4-1

4-0

4-1

4-1

4-1

4-0

4-1

4-1

CO

cp =

(p = 54°

logM= l°g ^

log |₇ = log [2]

logM = l°⁹ M log W ^og = [1]

vo 00 vr am Uw >o m o

c| ogom am    o o^i t & m q o oom out £ & £ £ § o &&|    £ ïo £ g Boo^am SwCwg

8.509 9109-0 8.509 9096-8 8.509 9084-5 8.509 9072-3 8.509 9060-1

8 509 9047-9 8.509 90357 8.509 9023-5 8.509 90114 8.509 8999-2

8.509 89870 8.509 8974-8 8.509 8962-6 8.509 8950-4 8.509 8938-2 8.509 8926-0 8.509 8913-9 8.509 8901-7 8.509 8889-5 8 509 8877'3

8.509 8865*2 8.509 8853-0 8.509 8840-8 8.509 8828-7 8.509 8816-5 8.509 88044 8.509 8792-2 8.509 8780-0 8.509 8767-9 8.509 87557

8.509 8743-6 8.509 873I-5 8.509 87I9-3 8.509 8707-2 8.509 8695-0 8.509 8682*9 ! 8.509 8670-8

8.509 8658 6 8.5098646-5 8.509 8634-4

12 2

12-3

12-2

122

12-2

12-2

I2'2

I2-I

12-2

12-2

I2'2

12-2

122

122

122

121

122

12-2

12-2

I2"I

12-2 12-2 121 12.2 121 12-2 12-2 12 I I2'2

I2-I

I2-I 12-2 I2"I I2’2 121 12. X 12-2 121 121

12-2

8.509 8622-2 8.509 86io-i 8.509 8598-0 8.509 8585-9 8.509 85737 8.509 8561-6 8.509 8549-5 8.509 8537-4 8.509 8525-3 8.5098513-2

8.509 8501-1 8.509 8489-0 8.509 8476-9 8.509 84648 8.50984527 Ia#I 8.509 8440-6 ;

8.509 8428-5 I 8.509 8416-4 i 8.509 8404-3 I 8.509 8392-2

12*1

121

121

12-2

I2-I

I2-I

12*1

12*1

I2-I

I2‘I

12*1

I2I

I2’I

12*1

12*1

121

12*1

I2-I

8.508 8552.9 8.508 8548.8 8.508 8544-8 8.508 8540 7 8.508 8536-6

8.508 85326 8.508 8528-5 8.508 85244 8.508 85204 8.50885x6-3

8-508 8512-3 8.508 8508-2 8.508 85041 8.508 8500-1 8.508 8496-0

8.508 8491-9 8.508 8487-9 8.508 8483-8 8.508 84798 8.508 8475-7

4-1

40

4-1

4-1

40

4-1

4'I

40

4-1

40

41

4'X

4-0

4'I

4-1

40

4-1

4-0

41

40

8.5088431-1 8.5088427-1 8.5088423-0 8.508 8419-0 8.508 8414-9

: 4-i

4-i

4-1

4-0

4'i

4-0

4-1

4-0

8.508 8410-9 8.5088406-8 8.5O884O28 ⁴q

4-1

850883988 .

8.50883947 I ⁴

8 508 8390-7 8.508 8386-6 8.508 8382-6 8.508 8378-6 8.508 8374-5 8.508 83705 8.508 83664 8.508 83624 8.508 8358-4 8-508 8354'3

4-0

4-1

4-0

4-o

41

4-0

4-i

40

40

41

4-0

8.509 8380 2 8.509 8368-1 8.509 8356.0 8.5098343-9 8.5098331-8 8.509 83x98 8.509 8307-7 8.509 82956 8.50982836 8.5098271-5

10    8.5098259-5

11    8.5098247-4

12    8.5098235-3

13    8.5098223-3

14    8.5098211-2

15    8.5098199-2

16    8-50981871

17    8.50981751

18    8.5098163-1

19    8-50981510

20    8.509 8139-0

21    8.5098126-9

22    8.5098114-9

23    8.509 8102-9

24    8.5098090-9

25    8.509 8078-8

26    8.509 8066-8

27    8.5098054-8

28    8.5098042-8

29    8.509 8030-8

30    8.509 80187

31    8.5098006-7

32    8.509 7774-7

33    8.509 7982-7

34    8.509 7970-7

35    8.509 7958-7

36    8.509 79467

37    8.509 7934-7

38    8.509 7922-7

39    8.509 79I0-7

40    8.509    7898-7

41    8.509    7886-8

42    8.509    7874-8

43    8.509    7862-8

44    8.509    7850-8

45    8.50978388

46    8.509    7826-9

47    8-509    7814-9

48    8.5097802-9

49    8.509    7791 0

I2*X

12*1

121

121

120

121

121

12 o

121

120

121

I2-I

12-0

12*1

120

I2‘I

120

120

I2‘I

12-0

12 1

120 12 o 120

121

12 0

12 0

120

I2'0

I2-I

12-0

12-0

12 0

12-0

12-0

12-0

120

120

12-0

12 0

n-g

12-0

12-0

12-0

120

11- 9

12- 0

12-0

11-9

8.5088310-0 8.508 8306 o 8.5088301-9 8.508 8297 9 8.5088293-9

8.508 8289-9 8.5088285-8 8.5088281-8 8.508 8277 8 8.5088273-8

8.5088269-7 8.508 8265-7 8.5088261 7 8.5088257-7 8.5088253-7

8.508 8249-7 8.508 82456 8.508 82416 8.508 8237-6 8.5088233-6

8 508 8229-6 8.5088225-6 8.5088221-6 8.508 8217-6 8.5088213-6

8.5088209-5 8.508 8205 5 8.508 8201-5

8.508    8197-5

8.508    8l93'5

4.0

4'i

4-0

4-0

4-0

4-1

40

4'0

4-0

41

4-0

IO

40

4-i

40

40

40

4.0

40

40

40

4-0

41

40

4-0

40

4-0

40

8.508 8189-5 8.5088185-5 1 ..₀

8.5088I53-5

8.508 8x49-5 8.508 8I45-5

8.508 8I4I-5

8.5088137-5

8.508 8I33-5

! 4-0

4-0

40

4-o

4-0

I 4-0 4.0

8.509 8380-2

120

8.50883503

--; 4'o

8*508 83I0-0

! 4-0

60    8.509 7779 0

51    8.509 7767-0

52    8.509 7755-1

53    8.509 7743-I

54    8.509 7731-2

55    8.509 77I9-2

56    8.509 7707-3

57    8.509 7695-3

58    8.509 7683-4

59    8.5097671-4

60    8.509 7659’5

12-0

12 o

ii-g

12-0

n-g

120

11-9

12 0

119

I2'0

n-g

8.508 8129-5 8.5088125-6 8.5088121-6 8.5088117-6 8.5088113-6

8.508 81096 8.508 81056 8.508 8x01-6 8.508 8097-6 8.5088093-7

8.508 8089-7 8.50880857 8.50880817 8.508 8077-7 8.5088073-7

8.50880698

4-0

3'9

i 4-0 ; 4-0

4-o

40

4'0

40

40

3'9

4-o

4-0

4-0

4-0

4-o

3-9

■■

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

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24

25

27

2".

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

-=log [1]

8.5og 7659-5 8.509 7647-5 8.5097635-6 8.509 76237 850976117 8.509 7599-8 8.509 7587-9 8.509 7576 o

8.509 7564-I

8.509 7552-X

8.509 7540-2 8.509 7528-3 8.5097516-4 8.509 7504-5 8.509 7492-6 8.50974807 8.509 7468-8 8.5097456-9 8.509 7445-0 8.509 7433-1

8.5097421-2 8.509 74093 8.509 7397 5

8.509 7385-6

8.509 7373-7

8.509 736I-8

8.509 73499 8.500 7338-1 8.509 7326-2 8.50973I4-3

8.509 7302-5 8.509 7290-6 8.509 7278-8 8.509 7266-9 8.509 7255-x 8.509 7243-2 8.509 7231-4 8.509 72x9-5 8.509 72077 8.509 7i95'8

8.509 7184-0 8.509 7172-2 8.509 7160-3 8.509 7148-5 8.509 71367 8.509 7124-9 8.5097113-0 8.509 7101’2 8.509 7089-4 8.509 7077'6

8.509 7065-8 8.509 7054'0 8.509 7042-2 8.509 7030-4 8.509 70X8.6 8.509 7006-8 8.509 6995 0 8.509 6983-2 8.509 69714 8.509 6959-6

8.509 6947-8

M    MMMMMMMMM    M    MMMMMMMMM    M    MMMMMMMMM    M    MMMM M MMMM    M    MMMM    M    MMMM    M    MMMM    M    MMMM .

M    MMMMMMMMM    m    mmmmmmmmm    m    mmmmmmmmm    m    mmmm    m    mmmm    m    K)mmm    M    K) M H 10

ch    oôgôqôgô go ob ob ob ob    oo    ob ob cbö ob ob ob o ob    Gb    vöoboobvö ODO ob O    ob    OO ob O UD 'Ö 00 O    O    oobó    O    O O O O    O    ÓOOO    O    ÓOÓ Ó

log [2]

j 4-0

j 4-0

! 4-0

8.508 8030-0 8.5088026-0 i 8.508 8022*1 i ,y 8.508 8oi8-l i ⁴ u 8.508 8014-1 8.508 8010-2    ^

10

xi

12

8.508 7990-3 8.508 7986-4 8.508 7982-4 8.508 7978-5 8.508 7974-5

8.508 7970-5 8.508 7966-6 8.5087962-6 8.508 79587 8.508 7954-7

8.508    7950-8

8.508    7946-8 8.508 7942-g 8.508 7938-9 8.508 7934 9

8,5087931-0 8.508 7927-0 8.508 7923-1

8508 7919 2

8.508 79I5-2

8.508 79II-3 8.508 7907-3 8.5087903-4 8.508 7899-4 8.5087895-5

8.508    7891-5

8.508    7887-6

8.508    7883-7 8.508 7879-7 8.508 7875-8

8.5087871-9

8 508 7867-9 8.508 7864-0 8.508 7860-1 8.508 7856-1

8.508 7852-2 8.508 7848-3 8.508 7844-3 8.508 7840-4 8.508 7836-5

8.508 7832-5

I 4-0

40

3'9

4-0

3'9

40

4-0

39

40

3'9

40

3‘9

40

3’9

40

4-0

3'9

40

3’9

39

4-0

3'9

40

3'9

4-0

3-9

4-0

39

3'9

40

3’9

3⁻9

40

3’9

3'9

4-o

3‘9

3’9

4-0

3'9

3’9

4-0

13

14

15

16

17

18

19

•20

21

22

23

24

25

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

--

56

58

59

00

Vgi. § 39. S.

log = log [1] log = log [2]

8.509 6947-8 8.509 6936-1 8.509 6924-3 8.509 6912-5 8.509 6900-7 8.509 6889-0 8.509 6877-2 8.509 6865 4 8.50968537 8.5096841-9

8 509 6830-2 8.5096818-4 8.509 68067 8.509 6794-9 8.509 6783-2

”8.509 6771-4

8.50967597 8.509 6748-0 8.5096736-2 8.509 6724-5

8.509 6712-8 8.5096701 O 8.509 6689-3 8.509 6677-6 8.50966659 8.509 6654-2 8.5096642-5 8.509 6630-8 8.509 66191 8.509 6607-4

8.509 65957 8.509 6584-0 8.5096572-3 8.5096560-6 8.509 6548-9 8.5096537-2 8.509 6525-5 8.5096513-9 8.5096502-2 8.509 6490-5

8.509 6478-8 8.509 6467-2

8.5096455-5 8 509 6443-9 8.509 6432-2 8.509 6420-5 8.509 6408-9 8.509 6397-2 8.509 6385-6 8.5096374-0

8.5096362-3

8.509 63507 8.509 6339-0 8.5096327-4 8.5096315-8 8.509 6304-2 8.509 6292-5 8.509 6280-9 8.509 62693 8.509 6257-7

8.509 6246-1 I

117

Ii-S

II-8

ix-8

I17

ii-8

ix-8

ii"7

ix-8

117

ii-8

117

ll'8

H7

II-8

II7

II7

Ii-S

117

117

II-8

117

117

117

ix 7

117

117

117

117

ix-7

II-7

1X7

II7

117

117

117

n-6

117

117

ix-7

II-6

117

11.6

117

117

11 6

117

II-6

II-6

117

ix-6

II7

II-6

II-6

ix-6

ix 7

II-6

11-6

II-6

ix-6

8.508 7832-5 8.508 7828-6 8.508 7824-7 8.5087820-8 8.508 7816-8

8.508 7812-9 8 508 7809-0 8.508 7805-1 8.508 7801-2 8.508 7797-2

8.508 7793-3 8.508 7789-4 8.508 7785-5 8.508 7781-6 8.508 77777

850877737 8.508 7769-8 8.5087765-9 8.508 7762-0 8.508 7758-1

8.508 7754 2 8.50877503 8.508 7746-4 85087742-5

8.508 7738-6

8.508 7734-7 8.508 7730-8 8.508 7726-9 8.5087723-0 8.508 77I9-I

8.508 77I5-2 8.5087711-3 8.508 7707-4 8.5087703 5 8.508 7699-6

8-508 7695-7 8.508 7691-8 8.508 7687-9

8.5087684-0 8.508 7680-1

8.508 7676-2 8.5087672-3 8.508 7668-4 8.508 7664-5 8.508 7660-7

8.508 7656-8 8.508 7652-9 8.508 76490 8.508 7645 I 8.508 7641-2

8.508 7637-4 8.508 7633 5 8.508 7629-6 8.508 7625-7 8.5087621-9

8.508 7618-0 8.508 7614-1 8.508 7610-2 8.508 7606-4 8.50S 7602-5

8.508 7598-6

3’9

3-9

3’9

4-0

3’9

3⁻9

3'9

3’9

4-0

3'9

3'9

3'9

3'9

4-0

3‘9

3‘9

3'9

3'9

3‘9

3'9

3-9

3-9

39

3'9

3'9

3'9

3'9

3‘9

3'9

3'9

3’9

3'9

3’9

3-9

3’9

3'9

3'9

3'9

3⁻9

3'9

3'9

3'8

3'9

3’9

39

3'9

3'9

3-8

3'9

3'9

3-8

3⁻9

y-:>

3-8

3'9

3'9

[36]

Längengrade, Breitengrade und Gradabteilungsflächen.

<P

1° Länge in Kilometern

1⁰ Breite in Kilometern

1 Gradabteilung

in    in geogr.

Q.Meilen

Q.Kilometern

io «5 C- OO Ol

111,3066

111,2897

111,2392

111,1550

111,0372

110,8858

110,7009

110,4824

110,2305

109,9452

109,6266

109,2748

108,8900

108,4721

108,0214

107,5379

107,0219

106,4734

105,8926

105,2797

104,6348

103,9582

103,2500

102,5105

101,7398

100,9382

100,1059

99,2432

98,3502

97,4274

96,4748

95,4929

94,4819

93,4421

92,3738

91,2773

90,1529

89,0010

87,8219

86,6160

85,3836

84,1251

82,8408

81,5311

80,1965

169

505

842

1178

1514

1849

2185

2519

2853

3186

3518

3848

4179

4507

4835

5160

5485

5808

6129

6449

6766

7082

7395

7707

8016

8323

8627

8930

9228

9526

9819

1,0110

1,0398

1,0683

1,0965

1,1244

1,1519

1,1791

1,2059

1,2324

1,2585

1,2843

1,3097

1,3346

1,3592

4*>C0 bOMO

io to 00 Ci

Co

t-ooao

45°    78,8373

10°—11° 11 -12

0°—45°

110,5638

110,5645

110,5658

110,5678

110,5705

110,5739

110,5779

110,5826

110,5879

110,5939

110,6005

110,6077

110,6156

110,6241

110,6331

110,6428

110,6531

110,6639

110,6752

110,6871

110,6996 110,7126 110,7260 110,7399 1 LP,7543

110,7691

110,7844

110,8001

110,8162

110,8326

110,8494

110,8666

110,8840

110,9018

110,9198

110,9380

110,9565

110,9752

110,9940

111,0131

111,0322

111,0515

111,0708

111,0902

111,1097

4984,4393

13

20

27

34

40

47

53

60

66

72

79

85

90

97

103

108

113

119

125

130

134

139

144

148

153

157

161

164

168

172

174

.178

180

182

185

187

188

191

191

193

193

194

195

12 305,86 12 302,21 12 294,91 12 283,97 12 269,38

12 251,16 12 229,30 12 203,81 12174,69 12 141,95

12105,61 12 065,66 12 022,12 11 975,00 11 924,30

11 870,05 11812,25 11 750,92 11 686,07 11617,71

11 545,87 11 470,56 11391,81 11 309,62 11224,02

11 135,03 11042,66 10 946,96 10 847,94 10 745,61

10 640,03 10 531,20 10 419,15 10 303,91 10 185,52

10 064,01 9 939,40 9 811,73 9 681,03 9 547,34

9 410,70 9 271,14 9 128,69 8 983,41 8 835,32

223,4873

223,4210

223,2885

223,0898

222,8249

222,4939

222,0968

221,6339

221,1051

220,5106

219,8505

219,1250

218,3343

217,4785

216,5578

215,5725

214,5228

213,4089

212,2312

210,9899

209,6852

208,3175

206,8871

205,3945

203,8399

202,2237

200,5464

198,8083

197,0099

195,1516

193,2340

191,2575

189,2226

187,1298

184,9797

182,7728

180,5098

178,1912

175,8176

173,3897

170,9081

168,3735

165,7866

163,1481

160,4587

499 699,59

9075,0670

1 Kilometer

0,134 76292 geogr. Meilen

(ilog = 9.129 5704-3) (ilog = 8.259 1408*6)

<3P

45°

46

47

48

49

50°

51

52

53

54

55°

56

57

58

59

60°

61

62

63

64

65°

66

67

68

69

70°

71

72

73

74

75°

76

77

78

79

80°

81

82

83

84

85°

86

87

88

89

Längengrade, Breitengrade und Gradabteilungstiächen.

1° Länge in Kilometern

<V

1 ° Breite in Kilometern

1 Gradabteilang

in

Q.Kilometern

137]

in geogr. Q.Meilen

78,8373

77,4539

76,0468

74,6163

73,1629

71,6870 70,1-891 68;6696 67,1290 65,5677

63,9863

62,3851

60,7647

59,1256

57,4682

55,7931

54,1008

52,3918

50,6665

48,9257

47,1697

45,3991

43,6145

41,8163

40,0052

38,1818

36,3465

34,4999

32,6427

30,7753

28,8984

27,0125

25,1182

23,2162

21,3069

19,3910

17,4691

15,5418

13,6097

11,6783

9,7333

7,7903

5,8448

3,8976

1,9491

0,0000

1,3834

1,4071

1,4305

1,4534

1,4759

1,4979

1,5195

1,5406

1,5613

1,5814

1,6012

1,6204

1,6391

1,6574

1,6751

1,6923

1,7090

1,7253

1,7408

1,7560

1,7706

1,7846

1,7982

1,8111

1,8234

1,8353

1,8466

1,8572

1,8674

1,8769

1,8859

1,8943

1,9020

1,9093

1,9159

1,9219

1,9273

1,9321

1,9364

1,9400

1,9430

1,9455

1,9472

1,9485

1,9491

45°—46°

45°—90° 0°—45°

111,1292

111,1487

111,1681

111,1875

111,2068

111,2260

111,2451

111,2640

111,28.28

111,3014

111,3197

111,3379

111,3557

111,3733

111,3906

111,4075

111,4241

111,4403

111,4562

111,4716

111,4866

111,5011

111,5152

111,5289

111,5420

111,5546-

111,5666

111,5782

111,5891

111,5995

111,6094

111,6186

111,6271

111,6351

111,6425

111,6492

111,6553

111,6608

111,6655

111,6695

111,6729

111,6757

111,6777

111,6791

111,6798

195

194

194

193

i 192

191

189

188

186

183

182

178

176

173

169

166

162

159

154

150

145

141

137

131

126

120

116

109

104

99

92

85

80

74

67

61

55

47

40

34

28

20

14

8 684,47 8 530,91 8 374,68 8 215,81 8 054,35

7 890,36 7 723,87 7 554,95 7 383,62 7 209,96

7 033,99 6 855,79 6 675,40 6 492,88 6 308,28

6121,66 5 933.07 5 742,57 5 550,22 5 356/09

5 160,22 4 962,68 4 763,54 4 562,85 4 360,68

4 157,09 3 952,15 3 745,92 3 538,47 3 329,86

3 120,17 2 909,45 2 697,79 2 485,23 2 271,87

2 057,76 1 842,97 1 627,58 1411,65 1195,26

978.48 761,37 544,02

326.48 108,84

157,7192

154,9303

152,0928

149,2076

146,2754

143,2972

140,2736

137,2057

134,0943

130,9403

127,7446

124,5083

121,2323

117,9175

114,5650

111,1757

107,7507

104,2911

100,7979

97,2721

93,7150

90,1275

86,5108

82,8661

79,1945

75,4971

71,7751

68,0298

64,2623

60,4738

56,6656

52,8388

48,9947

45,1345

41,2595

37,3710

33,4703

29,5585

25,6371

21,7072

17,7702

13,8273

9,8799

5,9292

1,9767

5016,4165

4984,4393

208 565,31 499 699,59

3787,7641

9075,0670

0°—90° 10000,8558 Meile = 7,420 43854 Kilom.

708 264,90 12862,8311 {log = 0.870 4295-7)

1 geogr.

1 geogr. Q.Meile = 55,062 9081 Q.Kilom. (log = 1.740 8591-4) vgl. § 35.-37.

Differenzen

Differenzen

40° 0' 4 429 084,788™ 10    447 588,822

20    466 098,389

30    484 598,489

40    503 104,123

50    521 610,292

41° 0' 4 540116,996™ 10    558 624,235

20    577132.009

30    595 640,318

40    614149,164

50    632 658,547

42° 0' 4 651 168,468™ 10    669 678,927

20    688 189,924

30    706 701,460

40    725 213,535

50    743 726,149

43° 0' 4 762 239,302™ 10    780 752,994

20    799 267,225

30    817 781,995

40    836 297,306

50    854 813,159

44° 0' 4 873 329,552™ 10    891846,486

20    910 363.960

30    928 881,975

40    947    400,530

50    965 919,627

45° 0' 4 984 439,265™ 10 5 002 959,445 20    021    480,165

30    040 001,426

40    058 523,229

50    077 045,573

46° 0' 5 095 568,458™ 10 ! 114 091,883 20 | 132 615,850 151 140,358 40    169 665,406

50    188190,994

47° 0' 5 206 717,123™ 10    225 243,792

20    243 771,001

30    262 298,750

40    280 827,038

50    299 355,866

48° 0' :5 317 885,232™,

30

18 504,034™ 18 504,567 18 505,100 18 505,634 18 506,169 18 506,704

18 507,239™ 18 507,774 18 508,309 18 508,846 18 509,383 18 509,921

18 510,459™ 18 510,997 18 511,536 18 512,075 18 512,614 18 513,153

18 513,692™' 18 514,231 18 514,770 18 515,311 18 515,853 18 516,393

18 516,934™ 18 517,474 18 518,015 18 518,555 18 519,097 ; 18 519,638

18 520,180™ 18 520,720 18 521,261 18 521,803 18 522,344 18 522,885

0,533™ 0,533 0,534 0,535 0,535 0,535

0,535™ 0,535 0,537 0,537 0,538 0,533

0,533™ 0,539 0,539 0,539 0,539 j 0,539

0,539™ 0,539 i 0,541 0,542 i 0,540 I 0,541

0,540™ 0,541 0,540 0,542 0,541 0,542

0,540™ 0,541 0,542 0,541 0.541 0,540 18 523,425™, r, t,n,„ 18 523,967 18 524,508 18 525,048 18 525,588 18 526,129

48° 0' 5 317 885,232™ 10    336 415,137

20    354 945,581

30    373 476,562

40    392 008,081

50    410 540,137

49° 0' 5 429 072,731™ 10    447 605,861

20    466139,526

30    484 673,728

40    503 208,465

50    521 743,736

50° 0' 5 540 279,542™ 10    558 815,881

20    577 352,754

30    595 890,159

40    614 428,096

50    632 966,565

51° 0' 5 651 505,564™ 10    670 045,094

20    688 585,153

30    707125,742

40    725 666,858

50    744 208,502

52° 0' 5 762 750,674™ 10    781 293,371

20    799 836^593

30    818 380,341

40    836 924,612

50    855 469,406

53° 0' 5 874 014,722™ 10    892 560,560

20    911 106,918

30    929 653,796

4 0    94 8 201,193

50    966 749,107

18 526,669™ 18 527,209 18 527,749 18 528,288 18 528,828 18 529,366

0,540 j 0,541 | 0,540

0,540™

0,540

0,539

0,540

0,538

54° 0' 5 985 297,539™ 10 6 003 846,486 20    022    395,949

30    040    945,925

40    059    496,415

50    078    047,417

55° 0' 6 096 598,929™ 10    115    150,952

20    133    703,484

30    152    256,523

40    170    810,069

50    189    364,121

56° 0' 6 207 918,677

18 529,905™ 18 530,444 18 530,981 18 531,519 18 532,056 18 532,594

18 533,130™ 18 533,665 18 534,202 18 534,737 18 535,271 18 535,806

18 536,339™ 18 536,873 18 537,405 18 537,937 18 538,469 18 538,999

18 539,530™ 18 540,059 18 540,589 18 541,116 18 541,644 18 542,172

18 542,697™ 18 543,222 18 543,748 18 544,271 18 544,794 18 545,316

18 545,838 18 546,358 18 546,878 18 547,397 18 547,914 18 548,432

18 548,947™ 18 549,463 ! 18 549,976 18 550,490 18 551,002 18 551,512

13 552,023™ 18 552,532 18 553,039 18 553,446 18 554,052 18 554,556

H-

0,539™

0,537

0,588

0,537

0,538

0,536

0,535

0,537

0,535

0,534

0,535

0,533

0,534™

0,532

0,532

0,532

0,530

0,531

0,529™

0,530

0,527

0,528

0,528

0,525

0,525™

0,526

0,523

0,523

0,522

0,522

0,520™

0,520

0,519

0,517

0,518

0,515

0,516“

0,513

0,514

0,512

0,510

0,511

0,509™

0,507

0,506

0,507

0,504

Breitenunterschied Acp und Meridianbogen m (Näherungswerte.)

[39]

Meridian

bogen

Mittelbreite cp

0°

30°

45°

50°

55°

60°

75°

Meridian

bogen

Acp

A cp

100™    3,26"

200

6,51

ca S rï o? cS co co oToTcd

r—* r-H

Acp A cp 3,24"    3,24"

6,48

6,47

600™    19,54    19,49"

5' 24,0" 5' 23,7" 10 48,0 10 47,4 16 11,9 16 11,1 21 35,9 21 34,8 26 59,6 26 58,5

32' 23,9" 32' 22,2" 37 47,8 37 45,9 43 11,8 43    9,5

48 35,8 48 33,2 53 59,8 53 57,0

©- ........

co co os ca cd

19,40" i 22,64 i 25,85 : 29,11

4    18,7 4 51,1

Acp A Cp

53    54,2    53    51,6    53    45,7    100 000

A cp

ni

ni

Acp>

1"

30,7121™ 30,7892™;,80,8665™ 30,8935™ 30,9196™|30,9442™ 31,0013™    1"

10"    307,1™    307,9™

308,7™

617,3

926,0

1234,7

1543,3

1852™

3704

5556

7408

9260

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3707

5561

7414

9268

309,2™

618,4

927,6

1236,8

1546,0

309,4

618,9

928,3

1237,8

1547,2

i—* i—*

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3710

5566

7421

9276

2'

3'

4'

5'

11 112™ 12 964 14 816 16 668 18 520

11 122™ 12 975 ! 14 829 16 682 18 536 !

11131™

12 986 14 841 16 697 18 552

11    140”* 11 160™

6'

7'

8'

9'

10'

Breite

Bogen

Zeit

Breite

Bogen

Zeit

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1“

0°

1855“

1855

1854

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45°

46

47

48

49

1314»

1291

CM CM CM

r—< r-H *-H

5°

1848“

1845

1841

1837

1832

50°

51

52

53

54

1195“

1170

1144

1119

1093

10°

11

1827“

12

1821

13

1815

14

1808

1800

55°

1066

56

57

58

59

1040

1013

985

958

15°

16

1792“

17

1784

18

1775

19

1765

1755

60

61

62

63

64

930“

902

873

844

815

20°

21

1744“

22

1733

23

1721

24

1709

1696

65°

66

67

68

69

786“

757

727

697

667

25°

26

1682“

27

1668

28

1654

29

1639

1624

30°

31

1608“

32

1592

33

1575

34

1557

1540

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70°

71

72

73

74

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76

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78

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co

00 CD CD

19 709“ 19 363 19 012 18 654 18 291

328“

323

317

311

305

17 922“ 17 547 17 167 16 782 16 393

15 997“ 15 596 15191 14 781 14 367

13 948“ 13 525 13 098 12 667 12 231

11792“ 11350 10 904 10 454 10 001

9545“

9086

8625

8161

7694

299“

292

286

280

273

267“

260

253

246

239

232“

225

218

211

204

197“

189

182

174

167

159“

151

144

136

128

450

419

387

355

35°

36

1521“

37

1503

38

1483

39

1464

1444

80°

CO rH CO

81

82

83

84

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291

259

227

195

40°

41

1423“

1402

42

1381

43

44

1359

45

1337

1314

21,9

85°

86

87

88

89

90

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130

97

65

32

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1461

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73

65

57

49

41“

32

24

16

Breiten-

Längen- und Flächen-Masse der Messtisch-Trapeze.

[41]

Breite

Parallel-Bogen 10'

Meridian- j Trapez- Breite Bogen 6' ! fläche

Parallel- Meridian- J Trapez-Bogen 10' Bogen 6' j fläche

I

4*-

Ol

o

O CD

Meter

LOM H

4^ 00 CO

45° 30

36

42

48

54

CD

co

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O CD

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36

42

48

54

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CD

O

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13 139,55 13 116,67 18 093,76 13 070,80 13 047,80

13 024,77 13 001,69 12 978,57 12 955,42 12 932,22

12 908,98 12 885,71 12 862,39 12 839,04 12 815,65

12 792,21 12 768,74 12 745,23 12 721,68 12 698,09

12 674,46 12 650,79 12 627,09 12 603,34 12 579,56

12 555,74 12 531,88 12 507,98 12 484,04 12 460,06

12 436,05 12 411,99 12 387,90 12 363,77 12 339,61

12 315,40 12 291,16 12 266,88 12 242,56 12 218,21

12 193,81 12 169,38 12 144,92 12 120,41 12 095,87

12 071,29 12 046,67 12 022,02 11 997,33 11 972,60 11 947,84

Meter

11 112,04 11112,24

11112.43 11 112,63 11112,82

11 113,02 11113,21 11113,41 11113,60

11113.80

11 113,99 11114,19 11 114,38 11114,57 11 114,77

11114.96 11 115,16 11 115,35 11115,55 11 115,74

11115,94 11 116,13 11 116,32 11 116,52 11 116,71

11 116,91 11117,10 11 117,30 11117,49 11 117,68

11 117,88 11118,07 11 118,27 11118,46 11 118,65

11 118,85 11119,04 11 119,23

11119.43 11 119,62

11119.81 11120,01 11 120,20 11120,39 11 120,59

11120,78

11120.97 11121,16 11121,36 11 121,55

Meter

Meter

11 947,84 11 928,03 12    11 898,20

18 11 873,32 24 11 848,41

50° 30' 11 823,46 36 11 798,48 42 11 773,46 48 11 748,40 54 11 723,31

11 698,18 11 673,02

1    11647,82

1    11 622,58

24 11 597,31

51° 30' 11 572,01 36 11 546,66 42    11 521,28

48 11 495,87 54 11 470,42

11 444,94 11419,42 12 11 393,86 18 11 368,27 24 11 342,65

52° 30' ; 11 316,99 36 ! 11 291,29 42 ! 11 165,56 48 11 239,80 54 11214,00

11 188,17 11 162,30 12 11136,40 18 11 110,46 24 11 084,49

53° 30 11 058,49 36 11 032,45 42 11 006,38 48 10 980,27 54 10 954,13

10 927,96 10 901,75 12 10 875,51 18 10 849,23 24 10 822,92

50°

145,8802 145,6283 145,3760 145,1232 144,8699

144,6163 144,3621 144,1075 143,8525 143,5970

51 ⁰

143,3410 143,0846 142,8278 142,5705 142,3128

142,0546 141,7960 141,5369 141,2774 141,0174

140,7570 140,4961 140,2349 139,9731 139,7110

139,4484 139,1853 138,9218 138,6579 138,3936

138,1288 137,8636 137,5979 137,3319 137,0653

136,7983 136,5310 136,2631 135,9949 135,7262

135,4571 135,1876 134,9177 134,6473 134,3765

134,1053 133,8336 133,5616 133,2891 133,0162

52°

53°

54°

ô co

OO tO 05 ©

o co

05 ©

© CO

54° 80' 10 796,58 36 10 770,21 42 10 743,80 48 10 717,36 54 10 690,89 55° 0' I 10 664,38

11 121,74 11 121,93 11 122,12 11122,32 11 122,51

11 122,70 11122,89 11123,08 11 123,27 11 123,46

11 123,65 11 123,85 11 124,04 11 124,23 11 124,42

11 124,61 11 124,80 11 124,99 11 125,18

11125.37

11 125,56 11 125,74 11125,93 11 126,12 11 126,31

11 126,50 11 126,69 11 126,88 11 127,07 11 127,25

11 127,44 11 127,63 11127,82 11 128,00 11 128,19

11128.38 11 128,56 11 128,75 11 128,94 11 129,12

11 129,31 11 129,49 11129,68 11 129,86 11 130,05

11 130,23 11 130,42 11 130,60 11 130,78 11 130,97

Q.Kilometer

132,7428

132,4691

132,1949

131,9203

131,6453

131,3699

131,0941

130,8178

130,5412

130,2641

129,9866

129,7087

129,4304

129,1517

128,8726

128,5931

128,3131

128,0328

127,7521

127,4709

127,1894

126,9074

126,6250

126,3423

126,0591

125,7756

125,4916

125,2072

124,9225

124,6373

124,3518

124,0658

123,7795

123,4928

123,2057

122,9183

122,6303

122,3420

122,0533

121,7642

121,4748

121,1849

120,8947

120,6041

120,3121

120,0218

119,7300

119,4378

119,1454

118,8524

rt

IOOO-JC5 On 45- 05 CO I—¹

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OOOOO OOOOO

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4* 05 00 05 05

! 0,0667 0,1333 ; 0,2000 0,2667 ! 0,3333

0,4000 0,4667 0,5333 0,6000 | 0,6667

0,7333 0,8000 0,8667 i 0,9333 1,0000

i 1,0667 i 1,1333 1,2000 : 1,2667 1,3333

1,4000 ■ 1,4667 1,5333 1,6000 1,6667

1,7333

1,8000

1,8667

1,9333

2,0000

2,0667

2.1333

2,2000

2.2667

2.3333

2.4000

2.4667

2.5333 2,6000

2.6667

2,7333

2,8000

2.8667

2.9333 3,0000

3,0667

3.1333

3,2000

3.2667

3.3333

3.4000

3.4667

3.5333 3,6000

3.6667

! 3,7333 3,8000

3.8667

3.9333 4,0000

Bogen.

s-

Co §

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co

COOO <1 05 On 03 CO H-

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C^CODOOCO    W M

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HMMM

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0°O O O*

iQOiß O ' 03 t—< <M CQ

H-* I—I‘ 1—* ►—‘

ot ^ co DO

4 15

4 30

4 45

5 15

5.80

5 45

6 15

6 30

6 45

7 15

7 30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

; 7 45

8 15

8 30

8 45

9 15

9 30

9 45

10 0

10 15 i 10 30 I 10 45

; ii o

111 15

11

11

12

12

12

12

13

13

13

13

14

14

14

14

15 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,5

3,0

4,5

6,0

7,5

9,0

10,5

12,0

13,5

15,0

log s

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0

A = log — — log sin — = s2 v r * r 6r²

1. Additament A als Funktion von log s, für die Mittelbreite cp = 50°

2-249846 — 10.

.00

.01    0.2 | 0.3 I 0.4 '0.5 I 0.6 | 0.7 ¹ 0.8 ¹ 0.9

Diff.

für

oüooiohw oo ca d- oo ca oo

*    • ł * ł •    »    » t * J

OO ^ O CN CS

r-H

3-0

4-7

7-4

11-7

18-6

29-5

46*8

74-1-

117-4

CD l>- Oü CO CO ^CQODcpO^Op r-H (NCOkOCi rr w

r-H (N

OJ lO CO cTA Tj. lA (M rH (Ń OÖ

•— <yi

I-H -<** ŁO IÇ) nf 05 l>HOO^-

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ppAAATAi qs tT cp co 00 öa cb »b ob cm ó ća A At ob -rt<

—I CM CO XO OO 03 g

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IO

IOC! wooio CN CO CD

log s <^ 4-0

05    DO

bö c£> cn >-n da

10-7

17-0

26-9

42-7

67-6

107-1

169*8

g

II. Additmnent A cüs Funktion von log —

0-1

0-3

0.3

0.5

0-8

1-3

2-0

3-2

5*1

86

12-8

log s A

ca co H xq cq i> oo es cococôcôcôcosôcô

s    s

Tg logT

.00

.01 ! .02    .03

.04    .05 | .06 i .07 : .08    .09 Diff.

-âoocôc/iti dicôob^-i

Ov tO H H Ü1 GO OO HH H

OO 04 Ci O 00 CO O O C3 00

ô rH rH OO    t>-

^Cûhh

HIOCDtO

ni ox CO Dp h* O

A ôs cô ôs cb cô cô Ô cb cb

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00 CO rH co CN CO (N cp 17»

Ô *-h (N CO iO 00 CO O g? CN

OO CA OO CO h¹ O CD Ci CO 00 -Âl OY çjr rÖ ►£** ci}

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O lOlOOiCQ

r-H f-H CN CO CD

qs tp h* h* Ó A cb ôs ch ôs co ôs A ô

O O 0 HCD H r-H (N ^ CO

qs cp h* h*

A ôs ch A Ô cô A ob A t—¹

WtpHOO cp o cp o o cb A cb cb ch cb cô A A ôt

.000 .001 .002 .1

.005 ! .006

.008 .009

74-1

^ —I 00 IO IO

145-1

151-9

159-1

165-8 166-6 173-6 174-4

145-7 146-4 147-1 147-8 152-6 153-3 154-0 154-8 159-8 160-5 161-3 162-0 167-3 168-1 168.9 169-7 175-2 176-0 176-8 177-7 vgl. § 42.

§§8232

cb A db A cb cb A cb ch cô ôs ôs A A A ch A ôs cô.A

I—‘ ¹ t—* >—¹ h-¹ I—l‘ H'H¹ I—I l-JI I—¹ t—¹ I—»

it^cocotôi-* Hoowto oo oo oo m m cd h*    qp os co    cp    qs cd qp    cp    oo co cp    cp çsx do oo

db tô    ch cc> A    A    ô cô ô ch    A    A cô ch A    cô oc ô cb    do

oo nî os Sx    SS    ctf    co c3 h*    hooocû    cooooo^io

O Cp ►£. 05 CO    Cp    05    05 l4p CO    Cp    OO    Cp CO tjn    O 05 Cp Cp CSX

A ô cb cô cb AôschôsôsAich-bôch cb cô cb ôs A

00 nj OS Ot Sx ^co CO WH H* O O CO CO CO 00 OO -q -J HfOW^lQ    CO    -J t—‘ Csx CO    CO cp CSX    005 WO    W

ó œ    ô os en    ob    os A* cô os    cô    ô A A ô    A ôs A ô    A

ooooo    cp    o    o o o    o    o    o o o    ooooo

do cb cb A A    -5    ds    ôs os cb    cb    ch    cb cb A    »6 A A A A

144]

Näherungswerte für Berechnungen mit Soldner sehen Coordinaten.

I. Äbscissen-Korrektionen oder Ordinaten-Korrektionen von der Form

a°-b

d —    —Tr

2r2

(log -^2 = 6.08918 für cp = 50°j.

IO*"¹ I 20*”*    30*”* ; 40*”*

50*”*

60*™

70*m ; 80*”*

90*”*

10*™

20

0,01”* 0,02”*

0,04™ 0,05”»

0,06”*

0,07”>

30

0,05

0,11

0,10

0,15

0,20

0,25

0,29

40

0,20

0,22

0,33

0,44

0,55

0,66

50

0,31

0,39

0,59

0,79

0,98

1,18

0,61

0,92

1,23

1,53

1,84

60*”*

70

0,44”*

0,88”*

1,33”*

1,77”*

2,21”*

2,65”*

0,09”* 0,10”* 0,34 ! 0,39 0,77 r 0,88 1,38 ! 1,57 2,15 ! 2,46

3,09”*

3,54”*

0,11”* 0,12”'

0,44

0,99

1,77

2,76

3,98”*

0,49

1,11

1,96

3,07

4,42”*

80

0,60

1,20

1,81

2,41

3,01

3,61

4,21

4,81

5,42

6,02

90

0,79

1,57

2,36

3,14

3,93

4,72

5,50

6,29

7,09

7,86

100

0,99

1,99

2,98

3,98

4,97

5,97

6,96

7,96

8,95

9,95

1,23

2,46

3,68

4,91

6,14

7,37

8,60

9,82

11,05

12,28

y y p

II. Ordinaten-Konvergenz «'—a = (x'— x) ----

a'— a = mn-~

?'2

[log

ff 2

oder

= 1.70464 für <p = 50° .

10*”* j 20*”*

30*”*

40*»»

50*”*

60*”*    70*”»    80*”* i 90*”* i 100*”*

10*”*

Crr

20

30

40

50

60*m

70

80

90

100

(-* Ci i-* üt O O^OÜTOÜ»

O OO 02 Oc CO t>£> H-* *—⁴ »—⁴ t—¹ 1—¹ 1—¹    (—»    » 'o 'o o

oi 1—‘"bi o oj

M M H* M M I—*

O000lj-|0

03 CO CO CO co

2,5"

5,1

1-^

CO (N t> (M O o T CO 10

H 1—H r—I t-H

15,2"

17,7

20,3

22,8

25,3

co co co co 1—* >—* 1—*

O -O    1—L OO Oc CO

- - ~    ..    j-©.?-¹.?*⁵

CO CO CO COCOhIMO

CO CO CO CO CO t—* h-* h-»

OT ►—* 00 I—* -G o <1 OO

'brlole-oo co ^ co 02 7-* oc

tfe- CO CO CO CO CO,—*,—.

o as co 00 ^ oacooo*.

ÜT Cn'V'it^ CO CO lo CO 7-* K-i

4,6"

5,1"

9,1

10,1

13,7

18,2

22,8

27,4"

31,9

36,5

41,0

45,6

15,2

20,3

25,3

30,4"

35,5

40,5

45,6

50,7

III. Meridian-Konvergenz. Für die Ordinate y und die Breite qp ist die Meridian-Konvergenz genähert y = q tang cp = [2] 2/ tang cp in Sekunden, wo N und [2] der Tafel von Seite [2] bis [23] entsprechen. Folgendes Täfelchen giebt y in Minuten.

Geographische Breite cp

45°

46°

470 j ₄₈o    ! 490

50°

51° ! 52°

53° ! 54°

55°

io*.-™

20

30

40

50

60*”*

70

80

38,5'

39,9'

41,3'

42,8'

44,4'

7,7'

15,4

23,0

30,7

38,4

46,1'

44,9

46,5

48,2

50,0

51,8

53,8

90

43,1

44,6

46,2

47,8

49,5

51,3

53,1

55,1

57,1

59,2

61,4

100

48,4    50,1

53,8    55,7

51,9

53,8

55,7

57,7

59,8

62,0

64,2

57,7    59,8

61,9

64,1

66,4 68,9

71,4

66,6 69,1 74,0 j 76,8

I. Konforme Projektion der Preussisehen Landesaufnahme.

Ordinatenvergrösserung Y — y —

yZ

6A2’

für y = sphärische Ordinate, Y = ebene Ordinate der konformen Projektion.

y oder Y 0*'™

P™

2*™

3*™

4*™

g km

6*'™

7*“

8*'™

9*'™

IO

20

30

40

50fcm

60

70

80

90

IOOton

HO

120

130

J0JÛ Mp o 'S'Sbbb

o o +* o 00 + cocn o w oj o o GOVO O 00h    »0 0024^0

3    2    2

140

ISO

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§    _ 2    _ S

S    g    5

O N + + rO 00 CO fOO Cb +iDrf)W m O O TfflO    i/)Oti/)CI H    rON + N

o" o" o~ 3"    o-Q-M-cf «Î    uîtCdï w

0,000m

0,009

0,050

0,147

0,325

0,6lm

1,02

1,59

2,34

3,29

4,47“

5,90

7,6i

9,62

11,96

o,ooo™ 0,001

0,00i™    0,001«*    0,0021

0,64™    0,68« I 0,72m!    0,78m

x,07

1,12

i,i5

1,26

0,003™

0,028

0,100

0,243

0,480

0,1 cm

o,5

1,0

1,9

4,60m

6,06

7,80

9,84

12,21

1,80

1,87

0,80m

1,29

2,60

2,69

1,99

2,79

3,62

3,73

3,85

0,84m

1,34

2,02

2,88

3,97

4cm

10

12

12,47 ' 12,74

5,0im

6,55

8,38

10,52

12,99

5,15™

6,72

8,58

10,75

12,26

5,30m

6,89

8,78 10,99 13,53

14c«.

18

21

23

28

Für grössere Werte gilt:

yz

6 2I² ' 24 A*

4/5

— oder y — Y

yZ

yb

6 .42    24 244

, log

24 A4

= 1.39968

y — 200 000™

Y = 200 032,73™

300 000™ 300 110,11™

400 OOÖm 400 262,06™

500 000™ 500 512.12”*

600,000™

600 885,54™

II. Reduktion einer Streckenmessung auf ihren Wert im trigonometrischen Netze wegen Höhe h über dem Meere und wegen Projektionsverzerrung.

1 000 000 d. h. Ö in Millimetern für 1 Kilometer, für die Mittelbreite qp = 50° , logr = 6.804 8936.

2r2

0*™

10*™    20*™    30*'™ I 40*™    50*™ ! 60*'™ ¹ 70*™ ! 80*'™ ¹ 90*™ 100*™

mm

50

IOO

±    0,0 +

-    7,8 -

200

15,7

31,3

300

400

-    47,o

-    62,7

500

600

700

Boo

900

IOOO

—    78,4

—    94,0 —109,7 —125,4 —141,0 —156.7

1200

1400

1500

l600

l800

2000

—    I88

—    219 -235 -251 — 282 -313

w U O (O W H mmmm

io h öS Sm    j3jh 3

cn 00H tn 00H    +» 'qo'm +>. bo

mm

+    4,9    + II,I

—    42,1 — 36,0

—    57,8 — 51,6

—    734 — 67,3

—    89,1 — 83,0 —104,8 — 98,6

—    120,5 —114,3

—    136,1 —130,0

—    151,8 —145,7

-183

20,3

— 302

mm

+ 19,6 + 11,8 + 4,0 + 15,0

—    11,7

—    27,4 — 16,3

—    43,0 — 32,0

—    58,7 — 47,7

—    74,4 — 63,3

—    90,0 — 79,0

—    105,7 — 94,7

—    121,4 —110,3

—    137,1 —126,0

30,7

22,9

0,6

— 294

mm

mm

mm

mm

+ 44,2: + 36,4 + 28,5 + 12,9

— 18,5

2,8

—78,6 4- 99,5 j + 122,8 —70,8 +91,6+115,0

—    62,9 +83,8|+107,1

—    47,2 +68,l:+ 91,5

—    31,6 +52,4 + 75,8

—    15,9 +36,8:+ 60,1

+ 0,2    +2I,i:+ 44,4

-15,4 + 5,4 + 28,8 -31,1 —10,2 + 13,1

—    46,8 —25,9 — 2,6

—    62,4 ! —41,6 — 18,2

—    78,1 ; - 57,2 — 33,9

—    109    — 89

—141 ! —120

—    156 —136 —172 —151

—    203 ! — I83

—    235    —214

[46]

Vergrösserimgsverhältnis m der Preussischen Landesaufnahme.

log A = 6.805 0274

log = 2.726 700 * 2 AZ

II0000™ 1000™ 2000™ 3000™| 4000™! 5000™ 6000™! 7000™j 8000™ 9000™! d

S'Sg'âS'ë t'sso

888888 8888

OOOOOO OO

aii. w io h h

oj ji. ao w oo-fc- 10 ^ ^ 1 ^    cnooi-icnq

O vi h wo ii ui ó ui ó

o-i

6-5

0-2

03

g-o

237

51-2

8g-6

1386

19S3

268-7

349-7

4413

25-8 J    28-2

54-6 j    58-0 J

94-0

98-5

K) K) H HH

ss^so

O HO    6 m ö o

13

I 12-0

333

653

I 107-9

j IÖI-2 I 225-2

! 299-8

] 385-1

i 481-0

43

19-2

44-8

8ri

1280

io

2-i

3’2

4'2

5'2

522-4 I 10 6

0™

100“ 200™ I 300™ j 400”

500™ 600™ 700™ 800™

900™

2819-4    2821-9    2824-3    2826-8 j    2829-2

2844-0    2846-5    2848-9    2851-4 !    2853-8

2868-6    2871-1 j 2873-6    2876-0    2878-5

2893-4    2895-9    2898-4    2900-9    2903-4

2918-3    2920-8    2923-3    2925-8    2928-3

29433 2968-4 2993-6 30189 30443

3069-9    30725

30953    3098-1

3121-3    3123-9

3I47-I    31497

3173-1 ! 31757

3199-1 3225-3 3251-6 3278-0

3304-4

3411-5    34I4-2

34385    3441-2

Die vorstehenden Werte log m sind nur mit iß berechnet; für grössere Ordi-naten y ist genauer bis zur 4ten Ordnung:

230frm

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

2945-8

2970-9

2996-1

30214

3047-0

32017

3227-9

3254-2

3280-6

33071

2948-3 I 2950-8    2953-3

29734 2976-0 I 2978-5 2998-7 3001-2 I 3003-7 3024-0    3026 6 , 30291

3049 5 3052-0 I 3054-6

3075-0

31007

3126-5

3152-3

3178-3

3204-3

3230-6

3256-8

3283-3

3309-8

3077-6 : 3080-1 3103-2 j 3105.8 3129-0 i 31316 I 3134-2 3154-9 ! 3157-5 ! 3160-1 3180-9 3183-5 I 3186-1

3209-6    3212-1

3235-8 32384 3262-1 1 32648 3288 6 I 3291-2 3315-1 ! 33177

32070

3233-2

3259-5

3285-9

33124

28317 2834-2 2856-3    2858-8

2881-0 2883-5 2905-8 29083 2930-8 29333

2955-8 29584 2981-0 2983-5 3006-2 3008-8 3031-6 î 3034-2 3057-2 J 3059 7

3082-7 J 3085-3

31084 3III-0 31368 31627

3188-7

32148 3241-1

32674

3293-8

33204

2836-6

2861-2

2886-0

2910-8

2935-8

2839-1

2863-7

28884

29134

29383

2841-5

2866-1

2890-9

2915-8

2940-8

2-5

2-5

2-5

2-5

2-5

33364 33390 3363-1 3365-8 3390-0    3392-7

3416-9 34196 3444 0 I 3446 7

33417    33444

3368-5    3371-2

3395 4    33981

3422-3    3425-0

34494 I 34524

3347-1

3373-9

3400-8

3427'7

3454-8

2960-9

29S6-0

3011.3

3036-8

3062-2

3087-8

3113-6

31394

3165-3

3191-3

32174

32437

3270-0

3296-5

3323-1

29634

2988-6

3013-8

3039-3

3064-8

3090-4

3116-1

3141-9

3167-9

3193-9

32201

3246-3

32727

32991

33257

2965-9

2991-1

30164

3041-8

30674

3092-9

31187

3144-5

3170-5

3196-5

32227

3248-9

3275-3

3301-8

33284

33524    33554

3379 3    3382 0

3406-2 : 3408-8

3433-1 ! 3435'8

3349 7 3376-6 3403-5

34304

3457‘5 I 3460-2 ! 3462-9

y4 = [2.7266995] yZ — [8.38849] y4

Lu

Zur allgemeinen Übersicht dienen folgende 5stellige login.

log in

2 AZ 2/2

2-5

2-5

2-5

2-6

2-5

2-6

2-6

26

2-6

2-6

2-6

27

27

26

2-6

2-6

26

27

27

27

y il

0*™

10*™

20*™

80*™ I 40*™

50*™    60*™ I 70*™

80*™

90*™

0.00000 I 0.00000

0.00000

O.OOOOI

100

200

21

300

48

24 !    26

IO

O.OOOOI

12

0.00002 I 0.00003

14

400

"5

51

500

600

133

90

55

94

58

99

139 !    144

31

6a

33

36

15

39

73

0.00003

17

42

0.00004

19

45

192

198

205

150

103

108

212

155

218

161

225

113

167

118

77

123

173

1/9

81

128

186

-westliche Grenze 540*™

232 i 239    246 I 254

östliche Grenze 622*™

qp = Geographische Breite, t² = tang²' cp, e'² cos² cp — r\², e'² sin² qp = rf² t².

t² Diff.

t* Diff.

tj²

Di ff.    rj² t² Diff. j/4 Diff.

iKODCHO

0,0000

0,0000

0,0' 672

0003

0000

672

0012 ₁₅

0027    22

0000

0049 2g

0000

0000

671

670

669

iO CO C'- 00 ©

0,0077    ₃₃

0110

0151

0198

0,0001

0,00667

41

47

0251    ⁵³

60

0001

0002

0004

0006

665

662

659

655

10°

r-H CQ

0,0311    6?

0378

0,0010

CO ^

r-H r-H

0452

0533

0622

74

81

89

96

0014

0020

0028

0039

OOOJ^

H CO

t—I r-H

0,00652

647

643

638

633

15°

16

0,0718

17

18

19

00 ©OH

OOHH

104

113

121

130

139

0,0052    0,00627

0068 g

621

0088

0111

23

30

0141    ₃₄

614

608

601

20°

21

0,1325

1474

149

0,0175    ₄₂    0,00593

22

23

1632

158

0217

24

1802

170

0266

49

586

1982

180

0325

59

578

192

0393

68

80

569

561

25°

26

0,2174

2379

205

0,0473

27

28

2696

217

0566

0,00552

29

2827

231

0674

3073

246

0-799

260

0944

CO 05

© CO 00 CO 00    00 <J © ^] ©    © Cn ÜT 4^ O* CO CO CO DO tOHHHQ

0,00000

0,0000451

451

r-H

450

003

449

0,00005

007

010

013

016

0,00020

025

029

034

039

0,00045

051

057

064

071

0,00079

086

094

103

111

0,00120

30°

31

0,3333

3610

277

0,1111

32

33

3905

295

1303

34

4217

312

1525

4550

333

1779

353

2070

CO tO DO DO CO cp ÜT CO o rf* 4*- fcO CO

0,00504

494

CO CO 03 00 CO ^ ^

© © © ©    © r—i ©

r-H r-H r-H    t-H r-H r-H

129

138

148

158

0,00168

178

189

199

«5 CO (OOOCOOOO QOOOOJO OCH    tf*. CO 00 00 t>0 CO

© © ©    © r-H O

r—* t-H r-H    r—¹ t-H r-H

r-H

210

447

to to I—‘ I—* o

0,0000445

442

438

434

430

0,0000425    ₆

419

413

407

400

0,0000393

385

378

369

361

0,0000352

343

334

324

314

0,0000305

295

285

274

264

0,0000254

244

234

223

213

10

10

10

10

11

10

10

10

10

11

10

10

35°

36

0,4903

0,2404

5279

2786

382

0,00451

37

38

5678

39

6104

3225

439

6558

454

3726

501

483

4300

574

657

406

0,7041

7557

516

0,4957

8107

550

5710

753

0,00394

8696

589

6573

863

383

9326

630

7562

989

371

1,0000

674

8697

1135

359

1,0000

1303

348

HhimhN h (M (M h (M

t-H t-H r-H r—i r-H    -Ht—< t—‘ t-H rH

0,00221

0,0000203

193

10

255

266

‘

DO DO

184

174

165

0,00278

0,0000155

10

10

289

301

313

324

0,00336

vgl. § 55. § 64. § 75.

0,00336

!M (M H (M

H r-H r-H 1—4

146

138

129

121

<p = geographische Breite, t² = tang² w, e'² cos² <jp = rfi, e'² sin² cp = v² t².

<P

t²

Diff. ti

Diff.

r/2

Diff. 7/2 *2 Diff. 7/4

45°

46

47

48

49

50°

51

52

53

54

1,000

1,072

1,150

1,233

1,323

1,420

1,525

1,638

1,761

1,894

0,002!

0,078

0,083

0,090

0,097

0,150

0,172

0,199

0,240

0,266

0,00336

324

313

301

289

0,105

0,113

0,123

0,133

0,146

2,684

3,101

0,309'

0,358

0,417

0,487

0,572

0,00278

266

255

243

232

(MH(NC3H    CM

I t-H r-H t-H r-H r-H    »—4

<M r-H

0,00336

348

359

371

383

0,00394

406

417

429

440

I CM r-i CM (M —t    NH

I r-H r-H r-H t-H t-H    r—< r-H

12

11

11

i 0,0000113 i

105¹

098

091

084!

<1<I<I<100

0,0000077;

07i!

065

059

054

Or ÜT a Oi Ci

55°

56

57

58

59

2,040

2.198

2,371

2,561

2,770

0,158

0,173

0,190

0,209

0,23

4,160

4,831

5,623

6,559

7,672

0,671

0,792

0,936

1,113

1,33

0,00221

co o

rH t-H

0,00451

462

11

0,0000049

189

178

473

483

494

i 11

10

11

10

' Ö 50 Ol

60°

61

3,00

62

3,25

0,25

9,00

0,00168

63

3,54

0,29

10,59

158

64

3,85

0,31

12,51

148

4,20

0,35

0,40

14,84

17,67

3,48

oo o>

o o o

r-H r-H r-H

0,00504

514

10

0,0000028

524

10

025

65°

66

4,60

67

5,04

0,44

68

5,55

0,51

69

6,13

0,58

6,79

0,66

0,76

21,15

25.45

30,80

37,53

46,06

4,30

0,00120

111

10,9

CO ^ CO

<100 50 00(0    50 <50

533

543

0,00552

561

569

578

586

70°

71

7,55

72

8,43

0,88

57,0

73

9,47

1,04

71,1

14,1

74

10,70

12,16

1,23

1,46

1,77

89,7

18,6

114,5

147,9

24,8

33,4

40

0,00079 !

071    ₇

064    '

⁰⁵⁷ i 6 ⁰⁵¹ ; 6

0,00593

601

608

614

621

05 <1 05 <1 00    <100 50 00 50    50 0 50

022

019

017

CO CO CO CM CO

0,0000014

012

011

009

007

0,0000006

005

004

75° ! 13,93

76    i 16,09

77    I 18,76

78    |    22,13

79    !    26.47

12,16

2,67

3,37

4,34

5,69

194

259

352

490

700

65

103

138

210

334

0,00045

0,00627

Cn CO ^ CO

638

643

647

80° j 32,16

84    i 90,52

7,70

1034

10,77

15,70

24,19

1589

2563

4400

8194

555

974

1837

3794

0,00020

016

013

010

007

to CO co CO ^

0,00652

655

659

662

665

!>J OS 05    05 Cr. ^ OT OT os

003 n 003j J

0,0000002 ₀

002

⁰⁰¹ o ooii ;

001 u

0,000000

O o WCOt-OOOiO CO 00 oo 00 00 Oi

HWTfOOJ CO O 50 (M 00 0

rH cm eo oo cm 0 05

GC ^

CO CM

O CO lO ^ 0

l>rH(M(M ft r-H CO

0,00005

0,00667

Ol 05 00 I—¹

003

•'.69

002

001

000

0,00000

55. § 64. § 75.

670

671

672

0,00672

Ohm-.h CO

qp = geographische Breite, t² = tätigt cp.

<jp %(l + 2(²) Diff. log(l-\-3t*) Di ff. lag (2 + t») Diff. log (2 + 3 <2) Di ff. log (5 + 6 i«) Diff.

0.0000

0003

0.0000

0.3010

0004

0011

0024

13

0016

12

0042

18

0036

20

24

0063

27

36

»—* H—' r—⁴

Oi CO t-*

3021

ce oc co or

0.0066

0095

0129

0168

0213

291

34

39

45

49

0.0099    ₄₃

0142    ₅₀

0192 5g

0250

65

0315    ₇₂

0.3027

3034

3043

3053

3064

© -3    © CK 03 tO t—¹

OHCO

rH r—⁴ t-H

0.3010

3012

3018

3028

3042

0.3060

3082

3107

3137

3171

<M ©

0.6990

6991

10°

11

0.0262

0316

54

0.0387

12

60

13

0376    ₆₄

0466

79

14

0440

0552

86

0.3077

3092

0509

69

0644

92

3107

io lO

rH r—!

0.3208

3250

74

0743

99

104

3125

3143

15°

16

0.0583

17

0661

7g 0.0847

18

0744

83

0957

110

0.3163

19

0832

0924

88

92

97

1074

1195

1322

117

121

127

131

3185

3209

3234

3260

20°

21

0.1021

1122

101

22

23

1227

105

24

1337

110

0.1453    1Q7

1590 Y1 1731    ¹⁴

0.3289

3319

1450

113

1877

146

3351 i

118

2027

150

154

3385

3421

25°

26

0.1568

1690

27

28

29

CO CO H

*“H ^ OO

00 05 o

r—i r—1 CQ

(NCDOOr^ Cl (M CO CO CO

0.2181

2339

2501

2667

2837

30°

31

0.2218

32

2360

0.3010

33

2506

3187

34

2657

2810

3367

3551

3738

H-‘ t—* H—I    '—⁴    (—⁴    t—⁴ h-⁴    ►—⁴    r-■*    t—⁴

CO 00 00    00    <1 <1    Cl    Ci    ÜT

t—‘ <1 ^ O <1 COOCitOOO

0.3459

3498

3540

3585

3631

0.3680

3731

3785

3841

3900

35°

36

0.2968

3130

162

0.3929

37

38

3295

3465

165

170

4122

4319

193

197

0.3963

4028

39

3639    ¹⁷⁴

178

4520

4724

201

204

207

4096

4167

4292

40°

41

0.3817

3999

182

0.4931

42

4185

186

5141

43

4376

191 !

5356

44

4571

195

5574

‘ 4 00 CP O

0.4320

4402

4488

45°

0.4771

200

5795

221

4578

0.6021

226

4672

0.4771

w co co CO GO GO <1 <1 <] Ci 05    05 CP O* CP CP 4^    4^ ^ CO CO CO CO CO CO DO tO DO CO INO CO •—* t-⁴

CO ^ O Oi DO 00 CP ^ 00 CH CO Ci ^ M CO 05 Cr« DO CO 00 Ci ^ tO O CO Oi Cn 4^ DO O 00 00

3295

3344

3397

0.3455

3515

3580

3649

3721

0.3797

3878

3961

4049

4141

0.4236

4336

4439

4546

4656

0.4771

4890

5012

5139

5270

0.5404

5543

5686

5833

5985

0.6141

6301

6466

6636

6810

0.6900

—¹ t—* H-⁴ t-—¹ I—¹    h—⁴ *—•* H—⁴ t—⁴    H—⁴    H—⁴    H—⁴    H—4 4    t—⁴ r—⁴ t—■* H—⁴ t—⁴

CO<l ^1 Oi Oi    CP CP 4^ 4^    CO    CO    CO    DO    DO ⁴    >—⁴ t—⁴ O O O    CO    CO CO GO 00    <1    <1    Oi    Oi    Oi    CP CP 4^-    4^    4^    CO    CO    00 CO DO    H M H

O^otno    Oi 03 ~3 CO    CO    t—¹¹    -3    DO CO    Cn0<1030    CK    DO 00 CO i—■    05    DO    CO    CK    ©    00 CO CO    CK    DO    <1    ^    O Ol CO    004^-0

6996

7004

7015

0.7029

7047

7068

7091

7119

0.7149

7182

7219

7259

7302

0.7349

7398

7451

7508

7567

0.7630

7697

7767

7840

7916

0.7997

8080

8167

8258

8353

0.8451

8553

8659

8768

8882

0.8999

9121

9246

9376

9511

0.9649

9793

9941

1.0093

0251

1.0414

i—* OC CK i—*

18

21

23

28

30

33

37

40

43

47

49

53

57

59

63

67

70

73

76

81

83

87

91

95

98

102

106

109

114

117

122

125

130

135

138

144

148

152

158

163

cp = geographische Breite, t² = tang² cp.

cp (1+2*3)    iog( 1 + 3    Diff. log (2 + t") Diff. ! % (2 + 3 **) Bi ff. log (5 + 6*2) Diff

45°

46

0.4771

4976

205

0.6021

47

48

5185

209

6250

229

0.4771

49

5399

5619

50° | 0.5844

51

6074

214

220

225

230

6484

6721

6964

0.7211

234

237

243

247

4875

4983

5097

5216

104

108

114

119

125

0.6990

7174

7364

7559

7760

184

190

195

201

206

1.0414

0582

0755

0934

1119

168

173

179

185

191

52

6311

237

7462

251

0.5341

53

54

6553

6802

242

249

256

7719

7982

8250

257

263

268

274

5472

5609

5752

5904

131

137

144

151

159

0.7966

8179

8398

8623

8856

213

211

225

233

239

1.1310

1508

1711

1922

2140

198

203

211

218

225

55°

56

0.7058

7321

263

0.8524

57

58

7591

270

8805

281

0.6063

59

7869

8156

278

287

295

9092

9387

9689

287'

295

302

311

6230

6406

6591

6785

167

176

185

194

205

0.9095

9342

9597

9860

1.0132

247

255

263

272

282

1.2365

2598

2839

3089

3348

233

241

250

259

269

60°

61

0.8451

62

8756

305

1.0000

63

9071

9397

315

326

0320

0649

320

329

0.6990

7205

215

1.0414

64

9735

338

0988

339

7433

228

0705

291

1.3617

350

1339

351

363

7673

7927

240

254

268

1008

1321

1647

303

313

326

389

3897

4187

4489

4803

280

290

301

314

328

65°

66

1.0085

0449

364

1.1702

67

69

0828

69

1223

1635

D* Q h co CO CO ^ ^

2077

2467

2873

3296

375

390

406

423

442

0.8195

8479

8779

9099

9438

284

300

320

339

361

1.1986

2339

2707

3092

3495

353

368

385

404

422

1.5131

5474

5832

6207

6601

343

358

375

394

414

70°

71

1.2068

2521

453

1.3738

72

2998

477

4200

462

73

3502

504

4686

486

0.9799

1.0185

386

1.3917

74    1.4035

533

5198

512

0596

411

4362

445

1.7015

1.5739

541

1038

442

4831

469

7451

436

57

1.1511

473

5327

496

7912

461

51

1.5852

525

56

8400

488

1.8919

519

55

1.631

1.692

1.758

1.829

1.905

61

66

71

76

84

1.202

1.257

1.317

1.383

1.454

55

60

66

71

80

t-H i-H CO

•^oco

60

65

1.835

1.911

69

77

82

1.947

2.007

2.070

2.139

2.214

60

63

69

75

83

80°

81

82

83

84

1.815

1.907

2.010

2.126

2.260

1.989

2.081

2.184

2.301

2.435

92

103

117

134

159

1.534

1.622

1.721

1.835

1.966

88

99

114

131

157

1.993

2.085

2.187

2.303

2.437

92

102

116

134

158

2.297

2.388

2.490

2.605

2.739

91

102

115

134

158

85°

86

87

88

89

90°

2.419

2.613

3.863

3.215

3.817

2.594

2.789

3.039

195

250

602

3.391

3.993

352

602

2.123

2.315

2.564

2.915

3.516

192

249

351

601

2.595

2.789

3.039

3.391

3.993

CO DO H-1 ÜT ÇÛ

602

2.897

3.091

3.340

3.692

4.294

194

249

352

602

oo

oo

oo

oo

oo

t² = tang² cp log (1-1-2 t²) log (1+8 i²) log (2 -t- t²) log (2-(-3t²) log (56t²)

46° 0'

10

20

30

1.0723

1.0849

1.0976

126

127

0,4976

5010

40

50

1105 1235 1366

129

130

131

5045

5080

5115

0.6250 6289 ⁶3²7

³ ⁵ 6366

0.4875

35

38

59

6405

39

4892

49¹⁰

4928

47° o'

10

20

30

40

50

1.1500

1635

1771

1910

2050

2191

134

13 5

T39

5150

0.5185

5221

5256

35

36

35

6444

0.6484

6525

39

40

39

4946

48° 0'

1.2335

10

20

30

2480

2627

2776

O    ^    i>*    GN

rt"    ^    ^

t—I t-H    H-1    H-4    HH    HH

5292

5328

5364

0.5399

5436

5472

36

36

36

35

37

6562

6602

6642

6682

0.6721

39

40

40

40

39

4965

0.4983 5002 5020 5059 505S 5077

0.7174

18    7206 t8 7237

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19    ⁷i°° J 7332

17

tr\ cr\ rr\ cr\ cr\

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19

l8

19

20

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40

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5509

50

3079

153

5 545

5582

GV-J G

37

6762

6802

6842

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41

40

4.0

40

0.5097

49° °'

10

1.3233

339°

20

3 548

30

3709

40

3871

50

4036

G\ Gn Gw» ^ VI to H 0C*<I

Gn G\ G\

37

37

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5768

5806

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0.6964

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³?    7046

7086 7128

38

37

38

41

41

41

41

40

42

Gn Gn Cn

5196

0.5216

523Ć

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0-75 59 20    7592

19

20

19

21

20

20

21

VJ    UJ

tOVWVJ IO 10 to toto

1.0582

0611

0659

0668

0697

0726

0.0755

07S5

0814

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0874

0904

I GNCO Gn Gn Gn Gn O Gn (S (S M Ol M rr\ OÎ

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1.0934

0965

0996

1026

1057

1088

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10

20

1.4203

4372

4543

Gs ►“<

VO

0.5844

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38

38

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41

t^CO g

Cn

20

21

21

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42

22

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7862

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30

4716

40

4892

50

5069

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5920

5959

5997

38

39

38

7252

7294

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41

42

42

0.5341

5362

5384

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6036

7378

42

540)

³9    7420

42

5427

51⁰ 0'

10

1.5250

5432

182

20

5617

185

0.6074

6114

38

40

0.7462

42

5449

0.7966

4^

0\Gn'

30

5805

188

6153

59

7505

7548

43

43

0.5472

5494

23

22

0.8179

40

5995

190

6192

50

6187

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40

42

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1.6383

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43

5 5 39

22

8251

10

6580

197

20

6781

201

30

6984

203

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0.7719

40

40

7763

⁴⁰    7806

43

43

44

43

5562

5586

0.5609

5632

23

24

23

23

8288

8324

8361

0.8398

843 5

\o no r^.vo

rr\ rr\ rr\

40

50

7190

7399

206

209

6431

6472

40

7850

44

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⁴¹    7894

44

5680

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10

1.7610.

7825

211

215

20

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218

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41

40

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44

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2I ⁸5io

²⁴    8547

30

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220

40

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224

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50

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227

6719

54⁰ o'

1.8944

230

6761

0.6802

0.8250

41

41

44

44

45

44

45

45

45

5729

0-5753

5778

5803

5828

5853

5879

0.5904

§ 75.

25

24

25

25

25

25

26

25

8585

0.8623

8662

8700

8738

8777

8816

0.8850

r^co t^co

ctn rr\ rrs rrs rr\

NW

CO

GnCO CO Gn

Gs O

rr\ r^-

1.1119 1151 1182 1214 1246 1278

1.1310 1343 1376 1408 1441 1474

1.1508

1541

1575

1609

1645

1677

1.1711

1746

1781

1816

1851

1886

1.1922

1958

1994

2030

2066

2103

1.2140

ts)

VJ    \S-i VJ VJ v/s) VJ N./J    VJ VJ

tO bJ K) tO

VJ s/J    V-/J

Cn ^ vi

vo vo vo 'O

rr\ rr\ rrs rr\ r<~\ cr\

log[4] Diff. log [5] Diff. log [6] Diff. log [7] Diff. log [8] Diff.

OOOOOOJ

12°

13

14

15

16

17

18°

19

20

21

22

23

24°

25

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28

29

30°

31

32

33

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35

36°

37

38

39

40

41

42°

43

44

45

46

47

48°

4-62581

62581

62579

62575

62570

62564

4-62556

62547

62537

62525

62511

62497

4-62481

62464

62445

62426

62405

62383

4-62359

62335

62309

62282

62254

62225

4-62195

62164

62133

62099

62066

62031

4-61996

61960

61923

61885

61847

61808

4-61769

61729

61689

61648

61607

61565

4-61524

61482

61440

61398

61356

61313

4-61271

CHM^iOîDOO O

10

12

14

14

16

17

19

19

21

22

24

24

26

27

28

29

30

31

31

34

33

35

35

36

37

38

38

39

39

40

40

41

41

42

41

42

42

42

42

43

42

4-93266 9n 93286 “J 93345 ÖJ 93443 93580 93756

4-96084 96571 97098 97661 98266 98907

4- 99587

5- 00305 01061 01856 02688 03559

5-04468 05415 06401 07425 08488 09590

5-10730 11910 13129 14389 15688 17029

5-18411 19834 21300 22810 24364 25962

5-27607 29298 31038 32828 34668 36561 5-38508

98

137,

176

2161

255

293

333

371

449

487

527

563

605

641

680

718

756

795

832

871

909

947

986

1024

1063 il

1102

1140

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1219

1260

1299

1341

1382

1423

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1510

1554

1598

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1790 j 1840’:

1893

1947.

log [3] = 4-62872 konstant.

2-930«

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2-892«

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2-840»

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2-635«

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548«

613»

475«

2-432«

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329«

266«

191«

100«

1-984«

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1-568«

0-855«

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1-720

1-915

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u 93266 93266 93265 93265 93264

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4-93254 93251 93249 93247 ln 93244 jjj 93241

! T 4-93238 !*    93235

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ld 93229 93225 93222

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O rH r—<

(M (M (M H CO 03 03 CO CO CO

5-10777

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10777

10777

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10776

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14 II

15    !|

16

20

48

63

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CO CO CO CO

WWW WOlOx

wwwwww

5-10775

10774

10774

10772

10771

10770

5-10769

10768

10766

10764

10763

10761

5-10759

10757

10754

10752

10750

10748

5-10746

10743

10740

10738

10735

10732

5-10729 10726 i 10723 i 10720 10717 10714

5-10711 I 10708 I 10704 10701 10698 10695

5-10691

10688

10685

10681

10678

10675

5-10671

HO(N

CO CO —‘ CO CO I—*

CO CO CO CO CO CO

co co ca co co co co co co co co co

coco co coco co ^ co co th

cp

log [4] I Diff. log [5] Diff. log [6] Diff. log [7] j Diff.

log [8]

Diff.

48°

49

50

51

52

53

54°

G\ 0\ G\ G\ G\ G\ 0\

56

57

58

59

60 ⁰

61

62

63

64

65

60981

60941

60902

60863

60825

4-60787 60750 60714 60678 60644 606 il

66°

68

69

70

4-60578

60546

60515

60486

60456

oj oj wo oj oj oj oj oj wo oj oj oj 4\ 41. 4^. 4i. 40. 4^. 41* 4^ 10 OJ OJ 4^ ON G\^4 00 00\0 O H HH H H u u to

H OnO

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5-38508

40512

42574

44696 46882 49¹3 3

5-5I453

53845

56313

58860

61491

64211

5-67025

69939

72959

76093

79349

82736

5- 86264

89945

93793

97822

6- 02050

2004

2062

2122

2186

2251 2320 2392 2468 2 547 2631 2720 2814 2914 3020 3134 3256

O, ^ w j

00 to CO

3848

4029

4228

1-915 2.049

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134

102

233

301

68

360    59

²‘4H A7

«⁸ %

497

51

5 34

37

567

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22

20

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² 755    I?

772

15

7⁸7 I?

802    ³

815    ¹³

4-93xo6 93 ioi 93096 93091 93086 93081

4-93076 93071 93066 93062 93057 93°5 3

4-93048 93043 93040 9303 5 93031 93027

4-93024

rrs rv~\ r/~\ rr\

G\ G\ G\ C\

4^. wo 4^

5-10671

10668

10664

10661

10658

10655

5-10651

10648

10645

10642

10639

10636

5-10633

10630

10627

10624

10622

10619

5-10617

10614

10612

10610

10607

WO 0/0 WO OJ OJ VJ OJ OJ 4^- WO WO WO 4^ WO

wo tO tO WO tO wo tO

Besondere Tafel von 43° bis 55°.

43° 0'

10

20

30

40

50

44° 0'

10

20

30

40

50

45° 0'

10

20

3°

40

50

46° 0'

10

20

30

40

50

47° o'

4.61482

61475

61468

61461

61454

61447

4.61440

61433

61426

61419

61412

61405

4.61398

61391

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4.93091

93090

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2.458

§ 77.

4.93086

93085

93084

93083

93082

93082

4.93081

93080

93079

93078

93078

93077

4.93076

93075

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93074

93073

93072

4.93071

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5 169 665,406 I7I 517,941 173 370,481 175 223,026 177 075,577

5 178928,133 180 780,695 182 633,262 184 485,834 186 338,412

5 188 190,995 190043,584 191896,178 193 748,777 195 601,382

5 197 453,992 199 306,608 201159,229

203    011,855

204    864,487

5 206 717,124

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5 243 771,002 245 623,753 247 476,509 249 329,270 251182,037

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267    857,180 269 710,001

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277    121,338

278    974,186

5 280 827,039 282 679,897 284 532,761 286 385,631 288 238,505

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5 299 355,867 30X 208,779

303    061,697

304    914,620 306 767,548

5 308 620,482 310473,422 312 326,367 314 179.317 316 032,272

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5 957 475,086 959 329,880 961184.680

963    039 484

964    894,294

5 966 749,io8 968 603,928 970 458,753 972 313,583 974 168,418

5 976 023,259 977 878,105 979 732,956 981 587,812 983 442,673

5 985 297,540

1854,560

1854,566

1584,571

1854,576

1854,581

1854586

1854,592

1854,597

1854,602

1854,607

1854,612

1854,618

1854,623

1854,628

1854,633

1854,638

1854,644

1854,649

1854,654

1854,659

1854,664

1854,670

1854,675

1854,680

1854,685

1854,691

1854,695

1854,701

1854,706

1854,711

1854,716

1854.722

1854,727

1854.732

1854,737

1854,742

1854,747

1854,753

1854,758

1854,763

1854,768

1854,773

1854,779

1854,783

1854,789

1854,794

1854,800

1854,804

1854,810

1854,814

1854,820

1854,825

1854,830

1854,835

1854,841

1854,846

1854,851

1854,856

1854,861

1854,867

tang tp ■= Ÿ1 — e² tang cp, cp — xp = 345,32538 sin (cp, + ip)

[2.538 2285]

cp j qp — ip

Diff

<p — xp

Diff.

(P

cp-xp

Diff.

0°

Ô o o o o o ^ea+coocT rH <M co

O O O O O —I

12,0"

12,0

12,0

12,0

12,0

45° 0'

10

20

30

40

6°

11,7

50

r ii,7" 1 23,4

li,7"

46° 0'

35,0

11,6

10

10

46,5

11,5

20

11

57,9

11,4

30

12°

13

2    9,2

2' 20,2"

11,3

11,0

40

50

14

31,2

11,0"

47° O'

15

41,9

10,7

10

16

52,4

10,5

20

17

3    2,7

10,3

30

12,8

10,1

40

18°

9,9

50

19

3' 22,7"

20

32,3

9,6"

48° O'

21

41,7

9,4

10

22

50,8

9,1

20

23

59,6

8,8

30

4    8,1

8,5

40

24°

8,2

50

25

4' 16,3"

26

24,2

7,9"

49° O'

27

31,8

7,6

10

28

39,1

7,3

20

29

46,0

6,9

30

52,6

6,6

40

30°

6,2

50

31

32

OT 4^

5,9"

5,4

50° O'

10

33

5,2

20

34

4,7

30

35

4,3

40

36°

37

Ot

4,0

3,5"

50

51° O'

38

3,1

10

39

2,8

20

40

2,3

30

41

1,9

40

42°

Ot

1,5

50

1,0"

52° O'

44

0,7

10

45

46

+0,2

-0,2

20

30

47

Ot

0,6

40

50

5' 45,33" 45,32

45.31

45.28 45,24 45,20

5' 45,13 45,06 44,98

44.88 44,77 44,65

5' 44,52" 44,38 44,23 44,06

43.88

43.69

5' 43,49"

43.28 43,06

42.82 42,57

42.31

5' 42,04" 41,76

41.47 41,16 40,85 40,52

5' 40,18

39.83 39,46 39,09

38.70

38.31

5' 37,90"

37.48 37,04 36,60 36,15 35,68

5' 35,20"

34.71 34,21 33,70 33,18 32,65

0,01"

0,01

0,03

0,04

0,04

0,07

0,Or

0,08

0,10

0,11

0,12

0,13

53° 0'

10

20

30

40

50

54° 0'

°’¹⁴"    56

0,15

0,17

0,18

0,19

0,20

Cn

0,56"

0,56

0,58

0,59

0,60

0,62

10

20

30

40

50

55° O'

57

58

59

60

61°

0,2!" ₆₂

0,22

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28"

0,29

0,31

0,31

0,33

0,34

0,35"

0,37

0,37

0,39

0,39

0,41

0,42"

0,44

0,44

0,45

0,47

0,48

0,49"

0,50

0,51

0,52

0,53

Ot

0,62"

0,63

0,65

0,66

0,67

0,67

4,3"

4,7

5,1

5,5

5,8

6,2

6,5"

63

64

65

66

67°

68

69

70

71

72

73°

74

75

76

77

78

79°

80

81

82

83

84

85°

86

87

88

89

90

to 05

7,0

7,2

7,6

7,9

8,2

8,5"

8,8

9,1

9,4

9,6

9,9

10,1"

10,4

10,5

10,8

10,9

11,1

11,3"

11,4

11,6

Sphäroidisehe Länge = l (Ellipsoid) Sphärische Länge = A (Kugel.

I = — k

À ci l

« = 1,000 452 918 A — l = 4- 0,000 452 918 l log a = 0.000 1966-553

log — J a

— = 0,999 547 287 = 1 — 0,000 452 713 l — k = —0,000 452 713 A = 9.999 8033-447

Ellipsoid l

Kugel A

OOOOO O(0OO-Jffi qt 03 CO ^ OOOOO OtÇCO-^O qr 4^ OJ CO i-;

4- 0,000 453" 0,000 906" 0,00 1 359" 0,001 812" 0,002 265"

4- 0,002 718" 0,003 170" 0,003 623" 0,004 076" 0,004 529"

4- 0,009 058" 0,013 588" 0,018 117" 0,022 646" 0,027 175"

1"

2"

3"

4"

5"

6"

7"

8"

9"

10"

20"

30"

40"

50"

60"

—    0,000 453" 0,000 905" 0,001 358" 0,001 811" 0,002 264"

—    0,002 716" 0,003 169" 0,003 622" 0,004 074" 0,004 527"

—    0,009 054" 0,013 581" 0,018 109" 0,022 636" 0,027 163"

4- 0,027 175" 0,054 350" 0,081 525" 0,108 700" 0,135 875"

+ 0,163 050" 0,190 226" 0,217 401" 0,244 576" 0,271 751"

4- 0,543 502" 0,815 252" 1,087 003" 1,358 754" 1,630 505"

ooooo 0 0 00-iqj

—    0,027 163" 0,054 326" 0,081 488" 0,108 651" 0,135 814"

—    0,162 977" 0,190 139" 0,217 302" 0,244 465" 0,271 628"

—    0,543 256" 0,814 883" 1,086 511" 1,358 139" 1,629 767"

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

8°

9°

10°

4- 1,630 505" 3,261 010" 4,891 514" 6,522 019" 8,152 524"

4- 9,783 029" 11,413 534" 13,044 038" 14,674 543" 16,305 048"

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

8°

9°

10°

—    1,629 767" 3,259 534" 4,889 300" 6,519 067" 8,148 834"

—    9,778 601" 11,408 368" 13,038 134" 14,667 901" 16,297 668"

Differenzen

log m

46° 0' 46 10 46 20 46 30 46 40 46 50

47° 0' 47 10 47 20 47 30 47 40 47 50

46° 1' 19,1599 " 46 11 20,5834 46 21 21,9894 46 30 24,3779 46 41 24,74900

46    51 26,10262

47° 1' 27,43878"

47    11 28,75748 47 21 30,05872 47 31 31,34250 47 41 32,60883 47 51 33,85772

10' 1,4235 " 10 1,4060 10 1,3885 10 1,3711 10 1,35362 10 1,33616

14-46

0,01746

1-06

8,79 "

1-00

0-94

0-90

0-850

0-805

8,37

7,95

7,54

7,141

6,754

0,42 "

0,42

0,41

0,40

48° 0' 48 10 48 20 48 30 48 40 48 50

10'1,31870" 10 1,30124 10 1,28378 10 1,26633 10 1,24889 10 1,23144

48 11 36,30316 j 48 21 37,49973 ^

48 31 38,67888 ! j"

48 41 39,84061    }°„

48 51 40,98494 j }<> j’™

48°

8-904

0,01744

0-758 i 0-715 0-672 0-630 0-590

0-551

6,378"

6,012

5,657

5,313

4,979

4,655

0,387

0,376

0,366"

0,355

0,344

0,334

0,324

0,312

0,01739

0-513

0-477

0-442

0-408

0-376

0-345

49° 0' 49 10 49 20 49 30 49 40 49 50

50° 0' 50 10 50 20 50 30 50 40 50 50

51° 0' 51 10 51 20 51 30 51 40 51 50

52° 0' 52 10 52 20 52 30 52 40 52 50 53° 0'

49° 1' 42,11187" 49 11 43,22141 49 21 44,31358 49 31 45,38838 49 41 46,44584

49    51 47,48596

50° V 48,50876"

50    11 49,51425 50 21 50,50245 50 31 51,47338 50 41 52,42705

50    51 53,36348

51° 1'54,28270"

51    11 55,18471 51 21 56,06955 : 51 31 56,93722 ’ 51 41 57,78777 ;

51    51 58,62120

52° 1'59,43754"

52    12 0,23681 52 22 1,01905 52 32 1,78428 52 42 2,53251 52 52 3,26379 53° 2' 3,97814"

10' 1,10954" 10 1,09217 10 1,07480 10 1,05746 10 1,04012 10 1,02280

10'1,00549" 10 0,98820 10 0,97093 10 0,95367 10 0,93643 10 0,91922

10' 0,90201" 10 0,88484 i 10 0,86767 10 0,85055 i 10 0,83313 10 0,81634

10' 0,79927" 10 0,78224 10 0,76523 10 0,74823 10 0,73128 10 0,71435

9*497 !

0,01737    2-112

0,01737 1 25 0,01734 1 66 -0,01734    1-332

0,01732    1-123¹

0,01731

oj ob

0-315

0-287

0-259

0-234

0-209

0-187

4,343"

4,041

3,749

3,469

3,199

2,940

2,692"

2,454

2,227

2,012

1,807

1,613

0,302"

0,292

0,280

0,270

0,259

0,248

0,238"

0,227

0,215

0,205

0,194

0,184

0-936

0,01729    0-772 i

0,01721

0-99Q

0,01707

0.164 i 0.144 0.125 i 0.107 0.091 0.076

1,429"

1,257

1,096

0,946

0,806

0,678

0-062 , 0-049 I 0-039 0-029

0-021

0-014

0,561"

0,454

0,359

0,275

0,202

0,141

0-015

—0-002

0-009 ¹ 0-004 0-002

0,090"

0,051

0,023

0,006

0,000

0,006

0,023

0,172"

0,161

0,150

0,140

0,128

0,117

0,107"

0,095

0,084

0,073

0,061

0,051

—0,039"

—0,028

-0,017

—0,006

+0,006

+0,017

Kugel

Ellipsoid

Differenzen

log m

Diff.

Diff.

52° 0' 52 10 52 20 52 30

52 40

52 50

52° 1 59,43(54    10' 0 79927"

52 12 0,23681 n 7«99i 0,01703" 52    22    1,01905    /nat™ : 0,01701

52    32    1,78428    1U u»'bôJd

52    42    2,53251

52    52    3,25379

0,01700

10 0,73128 W™* 10 0,71435

10 0,74823

0-015

0-006

0-002

0-000

0-009 0-004 0 002

±_

o-ooo

0-002

53° 0' 53 10 53 20 53 30 53 40 53 50

54° 0' 54 10 54 20 54 30 54 40 54 50

53° 2' 3,97814" 1(V nRQ7,

53 12 4,67559 I ™ ÄS 53 22 5,35616    ™

53 32 6,01989    ™ J’gJSo

53    42    6,66681    !    }    0,01677

53    52    7,29696    ¹    n ßiSin 0,01675

| 10 0,61340    ₀₎₀₁₆₇₂

54° 2' 7,91036”

54    12    8,50704

54 22 9,08705 54 32 9,65042 54    42    10,19718

54    52    10,72736

| 0,01688" 0,01684 ! 0,01681

0-002

0-006

0-015

0-029

0-050

0-079

0-004

0-009

0-014

0-021

0-029

0-040

55° 0' 55 10 55 20 55 30 55 40 55 50

55° 2' 11,24102 55 12 11,73818 55 22 12,21889 55 32 12,68318 55 42 13,13109 55 52 13,56267

10' 0,59668" 10 0,58001 10 0,56337 ; 10 0,54676 10 0,53018 10 0,51366

10' 0,49716" 10 0,48071 10 0,46429 10 0,44791 10 0,43158 10 0,41528

0,01667"

0,01664

0,01661

0,01658

0,01652

0,01650

0-119 0-169 ! 0-232 i 0-309 i 0-401 0-510

0-050

0-063

0-077

0-092

0-109

0-128

pppppp pppppp pppppp

§§§§g|

^ O cc CD O CO Q0 >4^ DO ►—*»—* CO 05 O 05 W H O

0,01645" 0,01642 0,01638 0,01633 I 0,01630 0,01624

0-638

0-785

0-953

1-144

1-358

1-598

0-147

0-168

0-191

0-214

0-240

0-267

1—1 03^ CC CO O

r-H H r-H r—i t—I Cd

05 OiCn 05 00^

00 cn CO CO Ol 00

00

Ol

56° 0' 56 10 56 20 56 30 56 40 56 50

56° 2' 13,97795" 56 12 14,37699 56 22 14,75982 56 32 15,12648 56 42 15,47703 56 52 15,81150

10' 0,39904" 10 0,38283 10 0,36666 10 0,35055 10 0,3344 7 : 10 0,31845

0,01621" 0,01617 ! 0,01611 0,01608 0,01602 0,01598

1- 865

2- 161 2-486

2- 842

3- 231 3-654

CO iO CO 05 CO 05 D (M iO CO (M fO 03 CO CO CC ^ ^

ôoôôôô

57° 0' 57 10 57 20 57 30 57 40 57 50

58° 0' 58 10 58 20 58 30 58 40 58 50 59° 0'

57° 2' 16,12995" 57 12 16,43242 57 22 16,71896 57 32 16,98962 57 42 17,24444

57    52 17,48348

58° 2' 17,70678"

58    12 17,91441 58 22 18,10641 58 32 18,28283 58 42 18,44373

58    52 18,58916

59    2    18,71918

10' 0,30247" 10 0,28654 10 0,27066 10 0,25482 10 0,23904 10 0,22330

10' 0,20763" 10 0,19200 10 0,17642 10 0,16090 10 0,14543 10 0,13002

0,01593"

0,01588

0,01584

0,01578

0,01574

0,01567

0,01563"

0,01558

0,01552

0,01547

0,01541

4-113

4- 609

5- 144

5- 719

6- 335 6-994

CO GO CO 04 O >—¹ CO 05 '■sh Ci 05 ^

CO ^ 04 O D 05 05

D- 00 05 6 6 TH (Ń

1-H r—4 r—< T—4

O O O O O O -à Ô5 05 01 ôi al O Ol <1 CO CD 05

0-750

0-798

0-846

0-898

0-951

1-002

4 (^) H tJ4 D5 05 CO 00 H 05    05

03 kO O- O CO iO    00

c4 cef' co" CO co"

co

CO

lOCDOlOCO CO lO O t- co o o

O CvUO O CO    co H H fH CO cc H

03    00 0^14^    D «C- r-^ lO 05 ^

CD⁻ co" I>2 L—^    GO

Îjoo c-œ to So o h n w    g rn co ^ co o §do?o°'jco<:0

oooooo    oooooo    o 2 2 2 2 2    2 2 2 § cq S    coco coco coco

oooo cTo"    cToooo©    oooooo’'    o©o©ocf    ooo^ooo    ©oooo'o    oooooo

| 1 | +++    +_+_Ż____i___+____________i__

L62J

Coëfficienten der neuen Auflösung der geodätischen Haupt-Aufgabe.

cp

log (ffi)

log (o₂)

log (a₃)

log (cr₄)

log (<J₅)

30°

31

32

33

34

5.52260«

5.49609«

5.46727«

5.43583«

5.40134«

2651

2882

3144

3449

3805

5.97613,

5.95644«

966

1003

1042

35°

36

37

38

39

5.36329«

5.32097«

5.27346«

5.21948«

5.15717«

4232

4751

5398

6231

7357

5.94602«

5.93520«

5.92398«

5.91235«

5.90029«

1082

1122

1163

1206

1249

40°

41

42

43

44

5.08360«

4.99460»

4.88154«

4.72741«

4.48516«

8900

11306

15413

24225

5.88780«

5.87485«

5.86143«

5.84754«

5.83316«

1295

1342

1389

1438

1490

£8§gg SSgSS SSSSS

io    -ri* CO CO C3 03 H o Ci I>

CO CO CO CO CO CO* COCOCOCO CO CO* CM CM 03*

OS OO Oi -3 ê 4    ^ 05 05 05 bO |

CM [>- O

HrHÇQ

45°

46

47

48

49

3.88570«

4.18121«

4.58102»

4.78513«

4.92311»

39981

20411

13798

10420

5.81826«

5.80283«

5.78685«

5.77031«

5.75317«

1543

1598

1654

1714

1775

— oo

2.431«

2.732«

2.908«

3.032«

I rHCO^ÇÛ

Tomnoo

_CO —< f"H

50°

51

52

53

54

55

5.02731«

5.11089»

5.18054»

5.24012«

5.29296»

5.33799«

8358

6965

5958

5194

4593

5.73542«

5.71703«

5.69797«

5.67821«

5.65772«

5.63647«

1839

1906

1976

2049

2125

3.128n 3.206« 3.272«    ™

3.329« 3.378« 3.422«

49

44

4- 4. 4- 4- 4=.    4 4 4 4 4    4 4 4 4 4    4. 05 00 05 CO

111131    äSSfeS feSSSg

Ci tv O •<! en DO co OT 0 Cn CD 03 4^ Oj Ot CO O ^ Oi ^ COcOOTCODO

3.976«

3.995«

4.009«

4.022«

4.035«

4-19

14

13

13

11

4.046«

4.054«

4.061«

4.065«

4.068«

4.067«

4.064«

4.058«

4.048«

4.033«

H- 3

DOmm O Ot O

4.013«

3.845«

—26

—86

3.759«

3.632«

3.413«

2.806«

3.202

3.617

ï>* O I>-WHO ^ 03 CO

Besondere Tafel für log (ö^).

0'

10'

20'

30'

40'

50'

Diff.

45°

46

47

48

49

3.88570«

4.18221

4.58102

4.78513

4.92311

3.58776«    1.73612«

4.27944    4.35882

4.62244    4.66024

4.81142    4.83619

4.94234    4.96074

3.61198

4.42590

4.69500

4.85963

4.97838

3.87962

4.48399

4.72718

4.88185

4.99532

4.05674

4.53521

4.75712

4.90298

5.01162

12547

4581

2801

2013

1569

50°

51

52

53

54

55

5.02731    5.04244

5.11089    5.12334

5.18054    5.19109

5.24012    5.24925

5.29206    5.30009

5.33799

5.05705

5.13542

5.20138

5.25819

5.30797

5.07118

5.14717

5.21141

5.26692

5.31569

5.08483

5.15859

5.22121

5.27548

5.32327

5.09806

5.16971

5.23077

5.28386

5.33070

1283

1083

935

820

729

In der Gegend von cp = 45°, wo (ax) durch Null geht, braucht man log (oj) nur auf sehr wenige Stellen, man kann daher trotz der Ungleichheit der Differenzen mit hinreichender Genauigkeit proportional oder graphisch interpolieren.

()P

Coefficienten der neuen Auflösung der geodätischen Haupt-Aufgabe.

log (Aj)

log (A₂)

log (A₃)

log (A₄)

i°g (*5)

30°    5.99325«

31    6.00207«

32    6.01087»

33    6.01964»

34    6.02837»

-t-

882

880

877

873

867

5.99435«

5.98542,,

5.97613«

5.96647«

5.95644«

O CD O 00 CO 05 O OO

1042

4.065«

4.084«

4.104«

4.123«

4.142«

35°    6.03704«

36    6.04566«

37    6.05420«

38    6.06265«

39    6.07098«

862

854

845

833

829

5.94602« 5.93520« 5.92398« 5.91235« 5 90029«

1082

1122

1163

1206

1249

4.160«

4.177«

4.194«

4.211«

4.227«

40°    6.07927«

41    6.08745«

42    6.09550«

43    6.101543«

44    6.11124«

818

805

793

781

768

5.88780«

5.87485«

5.86143»

5.84754«

5.83316«

1295

1342

1389

1438

1490

4.243«

4.258«

4.273«

4.287«

4.301«

45°    6.11892«

46    6.12646«

47    6.13387«

48    6.14113«

49    6.14825»

754

741

726

712

697

5.81826«

5.80288«

5.78685«

5.77031«

5.75317«

1543

1598

1654

1714

1775

4:314«

4.327«

4.340«

4.352«

4.364«

50°    6.15522«

51    6.16203«

52    6.16869«

53    6.17519«

54    6.18153«

55°    6.18771«

681

666

650

634

618

5.73542«

5.71703«

5.69797«

5.67821«

5.65772«

5.63647«

1839

1906

1976

2049

2125

4.376«

4.387«

4.398«

4.408«

4.418«

4.428«

r— ►—¹    —    *    r—*    H-*    ‘    h-*    ‘    ^ h—* >—»    H-*    *—*    t—i I—‘    HMMtOn I

O O    O    •-» H-    DO    OO    tO CO    CO co^^cncn    05    Ci -O    QO CO CO O CD I

4.012«

4.003«

3.987«

3.966«

3.938«

3.900«

3.850«

3.782«

3.685«

3.545«

3.262«

1.409«

3.331«

3.657«

3.861«

4.013«

4.138«

4,245«

4.340«

4.427«

4.506«

4.580«

4..650«

4.716«

4.781«

4.842«

CD 05 OT    W DO COM    I

0-0000    GO GO M-* 05 CO ¹

M DO CC

01 o co    4-

CO ^ 05    ¹

lO I> Ci ^ O t>4MT 1— (M 005 00 0 I> l> CO CO CO —* 1—1

coiC'tcoo    co'r^-i'iooo oîodirïcîc? o oî t> t> oî ®

rH CO    lO    C-    <35    O <M    CO ■'f IO    CO    [>    CO    00    00    00    00    00    l>    CO    IO    CO    —*    CO    ■'i'    <35

O O    O    O'    O    H t-H    r— r—< r—«    r*⁻    r—*    1—*    i*M    r—<    rH    T-*    r-H    r—    —*    t-H    r—I    H    C    O    C

Tjî    'S-’    H    'T    "*}•'    -r    Ti“    rj»    H    t'    tJ-    Tf'    tî<    CO

I 03 Oi 05 C> CO iOCO(M HO 00 t> CO

T CQ r-H t—< H ^H    ' rM H 1—i

+1

05 CO I—¹

Besondere

= log (/M-

0'

10'

20'

30'

40'

50'

45°

46

47

48

49

5.81826«

5.80283«

5.78685«

5.77031«

5.75317«

5.81572«

5.80021«

5.78414«

5.76749«

5.75026«

5,81317«

5.79757«

5.78140«

5.76466«

5.74733«

5.81061«

5.79491«

5.77865»

5.76182«

5.74438«

5.80803«    5.80544«

5.79224» ! 5.78956« 5.77589« : 5.77311« 5.75895« ^ 5.75607« 5.74141«    5.73842»

261

271

280

290

300

50°

51

52

53

54

5.73542«

5.71703«

5.69797»

5.67821«

5.65772«

5.63647«

5.73240»

5.71390«

5.69473«

5.67485»

5.65424»

5.72936«

5.71075«

5.69146«

5.67147«

5.65073«

5.72631«    5.72323»    5.72014«

5.70759«    5.70440«    5.70120«

5.68818«    5.68488«    5.68156«

5.66806»    5.66464»    5.66119«

5.65720« I 5.64364«    5.64007»

311

323

335

347

42

Übersicht der Haupt-Bezeichnungen, welche in den mathematischen Teilen dieses Buches    ‘ sin .

Gleichung der Meridian-Ellipse:

x»u    y'l __

⁺ W ~

Meridian-Ellipse.

Grosse Halbaxe =

Kleine Halbaxe =

~—x-----

y\v<

a.

Polar Krümmungs-Halbmesser = c =

Yaz—W

Excentricitäten : c —

Vo² — P

e² =

e'²

1 + c'²

e'² =

e²

1—e²

,    (1 — c²)(l + e'²) = 1.

]/rTc'² ’

Geographische Breite (oder Polhöhe) = cp.

a — c Y1 — c² =

TF² = 1 — e² sirfi <p

b = c(l — e²) = ] + e'2-

tang cp — t.

F² = 1 + e'² cos² cp.

1F²

= F²

1 — e²

Meridian-Krümmungs-Halbmesser: M =

F² = 1 -+■ rp , rfi = c'² cos² <p.

Quer-Krümmungs-Halbmesser: iV =

Mittlerer Krümmungs-Halbmesser: r = ]/7R jV = —

JV

Haupt-Krümmungs-Verhältnis :    — F².

Reduzierte Breite = tp.

tang ip = tang cp Y1 — e².

tang qp = tang ip Y1 -f- c'².

WLIÛTE1A P8l!ÏE0üi:SZÏA

KRAKÓW

fŚ~61

Berichtigung.

Auf Seite 479, etwa in der Mitte der Seite stehen folgende zwei Linien:

Oder betrachte man die linearen Verschiebungen von rund 1:20000 oder 5wm auf 100m, so sind diese auch schon zu hoch bei feinen Stadtvermessungen.

Diese zwei Linien, welche im Widerspruch mit den übrigen praktischen Erwägungen an jener Stelle aus Versehen hinein gekommen sind, sind zu streichen.

S - 90

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000294499

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11-348429

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