.

.

‘ІИШВШШ&ВКМ

^^ЛШшшшттштшШтштттж

іШШіІШШ:    ju| :

ВШІІ

•“•-s-:ł-f-

шшш

ШіШШЯатЯШЯЯШт таштштшшт шштшшшшшшшшш

^ШШВШят

штшттштштшттттт

ШттіттЯиттйшт

шішяршіііішшіа

i-.sg g'-~Ły~^"—--^ -•.;;    .„- “-fe-¹- -. 4-r-= Ц

SftsaP    ««■

■    ";: . V'    .;. V :

Лроф. Л. g. брокер.

ЗИЛЧЕ-ИІЕ: ПОПЯТІЛ

'Ш

U ТІ)

1П> КИНБМАТЙК'В ТОЧКИ.

Значеніе понятія о геометрической производной вч> кинематикі точки.

1П> КИНБМАТЙК'В ТОЧКИ.

КІ Е В Тл.

Типографіл Имиерагорокаго Универеитета св. Владиміра Акц. О-ва печ. и изд. діла Н. Т. Корчак/ь-Новицгсаго, Меринговская ул. д. JVś 6.

1908.

ч

І

от#1£

V

сз

■—

& % .А

ьі

л.

7

\

\

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000305823

-

їїроф. її. g. ЗороксцТ).

змдчепіе попятт

111

ТР

ZJ

вт> кішемшїкв точки.

.л

KIEBT).

"ипографія Имііераторокаго Универоіітета св. Владиміра Акц. О-ва неч. и изд. діїла Н. Т. Корчакь-Новицкаго, Меринговская ул. д. № 6.

1908.

S1

Печат. по опред'Ьленію Освіта Имгіераторскаго Университета Св. Влади міра. (Оттиск’ь изг Университетских'ь Изв^стій за 1908 годь).

KRAKÓW j

£glH>chn\c*Śr

III 33GIG

Akc. Nr.

Jslj

Значеніе понятія о геометрической производной вч> кинематикі точки.

II. Воронца.

Вь носліднее время за границею бьіло сділано мною ноіштокь ввести вь курсгь средней школи пренодаваніе нікоторнхь отділовь т. н. вьісшей математики. Били опубликованьї нрограммьі но зтимь отділамь, напримірь, для французскихь и германскихь среднихь ’учебнихь заведеній, а также появились учебники, изложеніе в'ь которнхь согласовано сь упомянугнми программами. На основаній зтихгь данннхь возможно составить себі довольно ясное иредставленіе о томгь, какь поставлено за границею преподаваніе вьісшей математики вь средней школі.

Остановимся лишь на одномь отділі прикладной математики, входи іцемь в'ь курсі, нреобразованной школи, именно на кинематикі точки.

Ученики, приступающіе кь изученію кинематики, уже знакомн сь нонятіемь о производной (скалярно^). Благодаря зтому обстоятельству авто-рамь учебниковь по кинематикі удалось придать изложенію отого отділа прикладной математики большую ясность и простоту. Вь нікоторнхь учебникахь, напримірь, вь курсі АрреПя и Chappuis,г) вь конці кинематики дается еще онреділеніе геометрической производной. Но нашему мпінію изложеніе кинематики вниграло би еще боліє вь простоті и яс-ности, если би вь основаніе кинематики било положено нонятіе о про-изводной геометрической, а не скалярной.

Ниже ми и ділаемь понитку дать злементарное изложеніе кинематики точки, принявь за основное нонятіе—нонятіе о геометрической производной. Предварительно вь введеній вь кинематику, ми приводимь основння онреділенія и иредложенія ИЗ'Ь того отділа геометрій, которнй носить названіе теорій векторовь.

ł) Р. Appel et J. Chappuis, Leęons de mecaniąue elementaire, a l’usage des classes de premiere C et 1).

ВВЕДЕНІЕ.

Теорія векторовь.

1. Вектором!» назьівается отрізокь прямой, иміющій онреділеннуто длину и опреділенное направленіе. На чертежахь векторі, 7 означается отрізкомь АБ прямой, на которомь указано направленіе стрілкою. Если направленіе вектора 7 идеть оть А кь В, то А назьівается началомт», В—концомт, вектора.

Фиг.ґ

Два вектора V и 7г (фиг. І) одинаковой длиньї, лежащіе на па-раллельньїхь прямьіхь и одинаково направленньте, носять названіе геометри чески равньїхь. Геометрическое равенство означается такт,:

(У) = {УіУ,

или такт,:

(AB) = {СІ)).

Два вектора Vx и V₂ (фиг. І) одинаковой длиньї, лежащіе на иря-мьіхь нараллельньїхь, но противоположно направленньїе. назьіваются про-

ТИВОПОЛОЖНЬІМИ.

2. IIусть намь даньї нісколько векторовь, напримірь, четире вектора

Уі; У 2, V₃, У*-

Изь иропзвольной точки О построимь векторь 7/, геометрпчески равньтй вектору 7Х; изь конца вектора 7/ построимь векторь V₂r, геоме-трически равньїй 7₂; изь конца V₂r векторь 7₃', геометрпчески равньїй 7₃; наконець, изь конца 7₃' построимь векторь 7/, геометрпчески равньїй 7₄. Векторь 7, иміющій начало вь началі вектора 7/ и конець вь конці вектора 7/, назьівается геометрическою суммою векторовь 7г, 7₂,

а приведенная операція надь векторами 7Ь 7₂, 7₃, V₄ носить

Уз, У

названіе геометрическаго сложенія ихь. Геометрическое сложеніе векторовь Ух, 7₂, 7₃,7₄ означается такь:

(7) = (7і) + (7₂) + (7₃) + (7₄),

или (фиг. II):

(OD) = {О А) +(АВ) + (.ВС) + (CD).

Геометрическая сумма двухе какихе либо векторові, наприміре, V2 и У₃ (фиг II), представляєте собою діагональ АС тіараллелограмма, сторони котораго АВ и ВС геометрически равньї слагаемиме V₂ и V₃.

Указанная операція наде векторами подчпняется, очевидно, тіме же ааконаме (закону сочетательному и закону перемістительному), что и сло-женіе скалярннхе величинь. Дійствительно, ми иміеме (фиг. II), во нервихе

(OD) = {ОА) + {АВ) + {ВС) + (CD) = (ОА) + (АС) -f- {CD),

если только

{АС) = {АВ) + {ВС),

и во вторихе:

(АС) = (АВ) + (ВС) = (АЕ) 4- (ЕС),

таке что

(У₂) + (У₃) = (Уз) + (Г₂).

фиг. Л.

Уг

к:

V'

Зти свойства геометрическаго сложенія легко распространяются на какое угодно число слагаемнхе векторове.

Замітиме еще, что ве частноме случаі, когда всі вектори лежать на параллельннхе прямихе, геометрическое сложеніе совгіадаеть се алге-браическиме сложеніеме,

3. Геометрическиме вичитаніеме називается операція, при помоіци которой по данниме векторами—суммі V и одному изе слагаемнхе VL Находится другой слагаемнй векторе V₂. Геометрическое внчитаніе озна-чается таке:

(V₂) = (V) - (7,).

Нуеть (фиг. III) А В будеть данная сумма, CD—даними слагаеммй векторі». Сложимь векторь А В ст, векторомь ВЕ, противоноложнммт, дан-ному GD. Тогда геометрическая сумма АЕ векторовь АВ и ВЕ дасть искоммй векторі». ДЬйствительно, мм имГемь:

(АВ) = (АЕ) + (ЕВ) = (АЕ) -f (CD),

т. е. вектор'ь АЕ естг, искоммй.

2)

Фиг. Ш.

А-

Геометрическое сложеніе и вьічиганіе обладають слГдующимь свой-ствомі»: если увеличить или умепьшить всЬ вектори, надь которьши со-вершаются упомянутмя операцій, вь одно и то же число разі», то и результаті» операцій (геометрическая сумма или разность) увеличится или уменьшится вь то же число разь, по останется нараллелень своєму на-нравленію.

Увеличимь, напримірь, слагаемьте вектори АВ и ВС (фиг. IV) вь два раза. Тогда и геометрическая сумма ихь АС, какь зто легко обна-р ужить изь нодобія треугольниковь ABC и АВ'С, увеличится вь два раза, сохраняя при зтомь своє наиравленіе.

В'

Фиг. W.

Геометрическое вьічиганіе можеть бьіть разсматриваемо какь частими случай бол4»е общей операцій „разложенія вектора", заключаюіцейся вь томь, что даними векторь нредставляется вь видГ суммм iitcколькихь векторовь. Вектори, на которие разлагается данимй векторь. носять названіе составляющихь его. По большей части приходится разлагать даннмй векторь на три составляющихь, нанравленія котормхь задаим. Тогда составляющіе, будуть ребрами параллелеиинеда, діагопалью кото-paro служить данннй вектору. Если число данньїхь направленій больше трехь, то задача становится неонред^ленною. Если число направленій равно двуму (лежащиму с/ь направленіему даннаго вектора вь одной илос-кости, иначе задача невозможна), то составляющіе будуть сторонами иа-раллелограмма, діагональю котораго служить данннй вектору.

4. Если величина и направленіе вектора V зависять оть значеній, принимаемьіхь какиму либо перемішньїмь t, то вектору V носить назвати векторіальной функцій атого перемішнаго или, короче, вектору-функціи оть t.

Для примйра разсмотримь слідующую вектору функцію.

Пусть дана какая либо кривая L (фиг. V). Ву различнихь точкахь М, М{, М₂ , Ж/ кривой строимь кь ней касательння и откладнваему на ниху единицу длинн. Тогда каждой тонкії М кривой будеть соотв’Ьт-ствовать вполн'Ь оиредйленний вектору W. Ноложеніе точки Ж на кривой можеть бить ‘ опред'Ьлено сл'і.дуюіцимь образомь. Виберемь на кривой

Фиг. F.

ф'

опред'Ьленную точку .V/₀ (начало дугь кривой) и нам'йтим'ь eeót нанра-вленіе на кривой. Если черезт» s означимь длину дуги М₀ М кривой и условимся считать s иоложительньїмь, если длину s нриходится отклади-вать оть М₀ по вьібранному нами на кривой направленій), и отрицатель-ньімь вь противному случаіц то всякой точк'Ь М кривой будеть соотвйт-ствовать внолні', опредкленное значеніе количества s. Итакь, построенньїй нами вектору W зависиту оту того, какую точку кривой ми возьмемь, ноложеніе же точки на кривой характеризуется соотвйтственнимь значе-•нієму перемінкаго s, сл'Ьдовательно, ми може му сказать, что вектору W єсть вектору-функція ОТУ S.

Вернемся снова ку общему случаю, когда V єсть какая либо век-торь-функція перемішнаго t. Станему (фиг. У І) изу нроизвольной точки О (полюса) строить вектори V,    геометрически равньїе вектору V

для различнихУ₄ значеній ł, /ь... иеремЬннаго. Конци А,    атихь

векторові, будуть лежать на нікоторой кривой Н, носящей названіе годографа вектора V относительно полюса О.

Если векторь-функдія изміняеть лишь свою величину, но сохра-няеть своє нанравленіе для всіхь значеній переміннаго. то годографомь служить отрізокь нрямой. Обратно, если величина векторь-функціи по-стоянна, какь, напримірь, вь разобранномь вьппе случаі вектора W. а нанравленіе ея міняется, то годографомь будеть кривая сферическая.

Векторь-функція V переміннаго f будеть намь извістна, если для всякаго значенія t ми вь состояніи построить соотвітственное значеніе векторь-функціи V. Для зтой ціли, очевидно, доста точно задать годографі Н относительно какого либо полюса О и правило, позволяющее находить на годографі Н ту точку А, которую слідуеть соединить сь полюсомь О, чтобьт получить значеніе векторь-функціи V, соотвітствующее данному какому либо значенію переміннаго t. Если ноложеніе точки .4 на годографі мьі будемь онреділять длиною дуги s годографа, то, слідовательно, намь должень бить задань законь, сь іюмощью котораго возможно для

Av

Фиг П

V,

II

/а

каждаго значенія переміннаго t найти соотвітственное значеніе перемін-наго s. Если такой законь, такь или иначе, указань, то говорять, что а дано какь функція оть t, и обозначають:

(1)

Итакь, если заданьї годографь и законь (1), то векторь-функція вполні извістна.

5. ІТуеть V и Vl будуть значеніями векторь-функціи V для двухь значеній t и ti переміннаго, яри чемь пусть будеть

h >*,

Векторь A V (фиг. VI), нредставляюіцій собою геометрическую раз-ность векторові, V и V{.

(ДГ) = (7і) —(У),

назмвается геометрическимь приращеніемь векторь-функціи V, соотвіт-ствующимь приращенію

переміннаго t.

Кромі вектора А У (фиг. VI) разсмотриж'ь еще вектори, направлеиіе котораго параллельно вектору А У, а величина равна отношенію i±V ки bt.

Заставими теперь значеніе tx переміннаго стремиться кь значенію t. Тогда можети случиться, что разсматриваемьій нами вектори будеть также стромиться принять нікоторое предільное наиравленіе и нікоторую проділ ьн у ю величину. Если такой предільньїй вектори существуети. то они носити названіе геометрической производной оти вектори-функціи У но перемінному t, и означается У.

Изн фиг. VI ясно, что вектори У параллелени касательной ки годографу Н ви точкі А, соотвітствуюіцей вьібранному значенію переміннаго ł, и направлень ви ту сторону, куда переміщается точка А но годографу при возрастаніи t. Величина же вектора У равна преділу отношенія АА ки bf, или, заміняя ви атоми отношеніи хорду ААХ соотвітственною дугою годографа, легко находимн:

(2)

У = пред.

‘і

гді $х и s значенім переміннаго s, соотвітств ующія значеніями tx н t не-реміннаго і.

Вьіраженіе, стоящее ви иравой части равенства (2), носити названіе скалярной производной оти длиньї дуги s годографа но перемінному ł и означается таки:

пред.

tl=t

dis

— s tx — t di

(3)

Итаки, геометрическая ироизводная У оти вектори-функціи У нере-міннаго і параллельна касательной ки годографу ви соотвітственной точкі и по величині равна скалярной производной оти длиньї дуги годографа но і.

Для ириміра найдеми геометрическую производную оти вектори-функціи ТУ, разсмотрінной ви § 4.

Возьмеми на данной кривой L (фиг. VII) три смежньїя точки М, Мх, М₂, при чеми дуги ММХ и М\М₂ иусть будуть равньї между собою.

Плоскость, опреділяемая точками М, М{, М₂, носити названіе нлоскости кривизньї кривой L ви точкі М. Проведеми (фиг. VII) ви плоскості! кривизньї черези взятмя три точки окружность. 9та окруж-ность назьівается кругоми кривизньї, его радіуси—радіусоми кривизньї, а центри—центромн кривизньї для точки М кривой L.

Геометрическое приращеніе вектори-функціи W, соотвітствуюіцее точками М и Мл кривой, а слідовательно и геометрическая ироизводная ІУ для точки М иараллельньї нлоскости кривизньї.

Годографомт, Я векторь-функціи W (фиг. УІІ) служить кривая, ра-сіюложенная на сфері радіуса, равнаго единиці длиньї. Касательная кь та кой кривой перпендикулярна кь радіусу О А сфери, проходящему через!, точку касанія, слідовательно геометрическая нроизводная W нарал-лельна радіусу кривизни кт, кривой L вь точкі Ж. Направленіе ея идетт,, очевидно, ОТ!, точки М кь центру кривизни.

Для оиреділенія величини вектора W необходимо вичислить нре-діль отношенія длиньї дуги А А і годографа кь нриращенію нереміннаго s, т. е. кь длині дуги ММХ данной кривой L.

Принимая дугу ААХ сферической кривой Н (фиг. VII) равною длині дуги большого круга, проведенной черезь точки А и Ах, и помня, что радіусь сфери равень единиці. ми видимь, что дугу ААх годографа можно считать равною є, гді s (фиг. VII) уголь между векторами ММХ и МХМ₂.

,W

Фиг. Ш.

М,

■щ

лг

*Х

W, іЄ

W,

Принимая даліе дугу ММ\ кривой L равною дугі ММЛ круга кривизни и означав черезь р радіусь кривизни вь тонкі Ж, находимь изь фиг. VII, что дуга ММХ равна р . є.

Такимь образомь ми иміемь:

W — пред.

ААХ _ J_ ЖЖ, ~~ р

Еоличество — носить названіе кривизни кривой L вь тонкі Ж.

Р

Итакь, геометрическая производная оть векторь-функціи W парал-лельна радіусу кривизни кривой L, направлена кь центру кривизни и но величині равна кривизні кривой L.

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ.

Кинематика точки єсть наука, изучаюіцая геометрическія свойства движенія точки вь трехмірной ереді (вь пространстві).

Для изложенія кинематики недостаточно того основного понятія, поняття о пространстві, на которомь построено изложеніе геометрій. Вт. кйнематикі приходится вводить новое понятіе о времени. Время, какь и пространство суть понятія первоначальньш, не подлежащія опреділенію. Время иредставляется намь какь нікоторая величина, а потому можеть биТЬ измірено. Для зтой діли необходимо вибрать единицу времени. За единицу времени принимають секунду средняго времени. Всякая часть времени, еели она измірена, назьівается иромежуткомь времени. Границя между двумя смежньїми иромежутками времени носитт. названіе момента.

Для изученія движенія точки М вь трехмірной ереді должньї бить даньї не только та точка М, которая движется, но также та среда, вт. ко-тороіі происходить движеніе. Среда, считается данной, если указань способи отличить точки средьі другь оть друга. Для зтой діли можеп. служить такой пріемь. Внбираемь опреділенную точку О среди (полюсь). Тогда всякая точка А среди вполні характеризуєтеся векторомь О А, начало котораго вгь полюсі О, а конець—вгь точкі А. Зтоть векторь назьівается радіусомт. векторомт. точки А относительно полюса О.

6. ІІусть дана среда и точка М. Представим!, сені точку М вгь ереді, т. е. нредположимь, что М еовпадаетт. ст. нікоторою точкою А среди. Та точка А среди, ст. которою данная точка М еовпадаетт., називаєтеся ноложеніемт. точки М относительно среди. Если ноложеніе точки М относительно среди ст. теченіемт. времени не міняетея, то говорять, что точка М нокоится относительно среди. Если же точка М вт. различ-нне моменти времени еовпадаетт. ст. различньтми точками А, А:, А₂, ■. ■ среди, т. е. если ноложеніе точки М вт. ереді міняетея ст. теченіемь времени, то говорять, что точка М движется относительно среди.

Геометрическое МІСТО ТІХЬ точекь А, А і, А₂,... среди, ст, кото-рнми движущаяся точка совпадаеть вь различнне моменти времени, носить названіе траєкторій или пути точки вь ереді.

Если точка М движется вь ереді, то ея радіусі векторт, изміня-етея сь теченіемь времени, такт, что зтоть радіусь векторь будеть век-торь-функціею времени і.

Годографомь зтой векторь-функціи относительно полюса О служить траєкторія точки.

Движеніе точки М вь данной ереді, очевидно, будеть в йол ні из-вістно, если будеть задана упомянутая векторь-функція оть /. Для зтоіі

діли, согласно § 4, достатачно задать себі годографі, атой векторь-фун-кціи (траєкторію движущейся точки) и длину дуги s годографа (траєкторій) какі. функцію времени:

7. Геометрическая производная оть радіуса вектора движущейся точки М носить иазваніе скорости v атой точки. Согласно § 5 скорость у єсть векторь, параллельнмй касательной вь траєкторій вь точкі А, слу-жащей положеніемь движущейся точки вь разсматриваемьій моменгь, и нанравленньїй вь ту сторону, куда переміщается точка А по траєкторій сь возрастаніемь времени. Величина скорости равна скалярной ироизводной оть длиньї дуги траєкторій но времени. такь что но (2) и (3) иміемь:

ds

Р — ~Т7 — пред.

<it

(5)

ден.

сек.

Наименованіе скорости

Для примі, ра разсмотримь случай, когда значеніе перемін на го -v соотвітствующее данному значенію переміннаго t, вьічисляется сь по-мощью формульї:

(6)

гді а и І) заданньїя постоянньїя количества.

Означая черезь t и tx два смежньтхь момента времени, черезь s и st соотвітственньтя значеній переміннаго s, иміемь:

s = at -f- Ь,

s = at і + Ь,

откуда

— ś = а (С — і),

такь что

а.

Переходи теиерь кь нреділу, когда іД становится равньїмь t, нолу-чаемь вь лівой части уравненія но (5) скорость, правая же часть оть і не зависить. Такимь образомь находимь:

(7)

v = а,

т. е. скорость но величині постоянна.

Движеніе точки по какой либо траєкторій согласно формулі (6) на-зьтвается равномірньїмь. Если траєкторією служить прямая лин і я, то ско-

рость будеть постоянна также и по направленій), т. е. векторі, v. noc-тоянень.

Вь качестві другого примара разсмотримь движеніе точки по какой либо траєкторій, длина 5 дуги которой оиреділяется какт функція вре-мени t формулою:

s — аГ² -ф-    -ф- у,

оо ■

гді а, р, Y ностоянньїя количества.

Вводя снова обозначенія предьідущаго ііриміра, иміемь:

г.( і-

s = а І² -ф- Щ -ф- у;

⁶‘і— а^1 ^і~Ь ї>

откуда

Si — s=a (fi — f²) + р (/і — Ż),

Такт что

«і

—— ОС (tx -ф- t) + Р

Иереходя теперь кь преділу и нользуясь (5), легко находимо:

v — *2a?f -ф- [і.

(9>

Такимь образомь. мьі видимі,, что вь разсматриваемомт примірі величина скорости при положительномь а возрастаеть, а при отрицатель-номь а убьіваеть пронорціонально времени.

Движеніе точки но данной траєкторій согласно формулі (8) вь нер-

. а,- '

вомь случаі (аД>0) носить названіе равномірно-ускореннаго, во второмь случаі (а<Д>) равномірно-замедленнаго движенія.

Если оставить вь стороні случай прямолинейнаго равномірнаго дви-женія, то скорость v будеть векторь функцією времени і. Для того, чтобьі задать себі скорость, мьі должньї, слідовательно, согласно § 4, построить годографі, скорости и опреділить длину з дуги годографа скорости какь функцію времени:

(Ю)

Если траєкторією движущейся точки М служить прямая, то годогра-фомь скорости V точки М будеть отрізокь прямой, нроходящей черезь полюсь, относительно котораго строимь годографи. Длина а дуги годографа, если за начало дугь нринять нолюсь, нредставится вь зтомь случаі вь виді отрізка, равнаго скорости v. Такі,, напримірь, для ирямолидей-

ваго, равномірно-ускореннаго или замедленнаго движенія иміемь по (9):

(10)

а = v — 2аt -f- р.

Вь случаі равномірнаго криволинейиаго движенія годографомь со-гласно (7) служить кривая, расположенная на сфері радіуса а.

Разсмотримь, напримірь, равномірное движеніе точки по кругу радіуса В, происходящее согласно формулі (6).

Годографом г. будеть кругь радіуса а. За начало дугь годографа нри-мемь точку />₀ (фиг. VIII), еоотвітствующую началу А₀ дугь траєкторій, Такь какь касательная кь окружности перпендикулярна кь радіусу вь точні касація, то очевидно:

гді В точка годографа, соотвітствующая точкі А траєкторій, слідова-

Фиг.т

/А

*о

тельно, означай чрезь <з и s дуги А₀А и В₀В, иміемь на основаній извістнаго свойства окружностей:

в’

откуда по (6):

<з —

(Ш

Зта формула оиреділяеть длину а дуги годографа скорости, какь функцію времени.

8. Геометрическая нроизводная оть скорости v назьівается ускоре-ніемь v движущейся точки. Ус коренів v, согласно § 5, параллельно каса-тельной кь годографу скорости вь еоотвітственной точкі, а по величині

равно скалярной производной огь длиньї дуги годографа скорости по кремени:

—а da

— t    dt’

(12)

V — пред. tx=t

гд1\ а и а значеній перемілшаго а, соотвЬтствуюіція моментами tx и і. Найменованій ускоренія:

ден.

(сек.)²

Если точка М движется по прямой линіи, го годографомь скорости служить отргЬзокь прямой, нараллельной траєкторій, сл'Ьдовательно и ускореніе параллельно той же прямой. Величина же ускоренія, таїсь какч, вь нашем'ь случаг1>, какч, било показано вьіше:

а = v,

равна по (12):

V = пред tx=t

v, — V

dv

t dt ’

(13)

гдф, v, и v означають величиньї скорости точки М вч, моменти Іл и і.

Итаїсь, при прямолинейномч, движеніи точки ея ускореніе параллельно траєкторій и по величині, равно скалярной производной отч, величини скорости.

Такт,, нанримі.рч,, вь случаЬ ирямолинейнаго равномЬрпо-ускорен-наго или замедленнаго движенія ми им'Ьемч, по (9):

v — 2at -f- ($; vx = 2atx -f- р,

откуда

vx— V

— 2 а,

такт, что вгь пред'йлі, иолучаемч, на основаній (13)г

2а

т. е. при paBHOMtpno-ycKopeHHoarb или замедленномч, двинсеяіи по прямой ускореніе постоянно.

Разсмотримч, теперь равяомі.рное движеніе точки яо кругу (фиг. ТІЙ). Такт какч, ускореніе точки вь положеній А параллельно касательной кч, годографу скорости вь соотвіггственной точкі, В, то изч, чертежа очевидно, что ускореніе параллельно радіусу О А. Направлено ускореніе огь точки

А кь центру О окружности, по которой точка движется. Величина усйо-ренін оиреділяется сь помощью формули (і L), изь которой находимь!

—    -f-    ³1 — ^ ~Ь 1')'

/В"

отктда

®1

такт что но (L2) и (7):

4у

Итак'ь, при равномірномь круговомь движеніи ускореніе движущейся точки вь положеній А параллельно радіусу круга, проходящему чрезь точку А, направлено кь центру круга и по величині равно квадрату «корости, разділенному на радіусь круга.

Изь ириведеннаго при мір а видно, что для нахожденія направленія ускоренія ириходитсн строять вспомогательную кривую, носящую названіе годографа скорости, Укажемт» теперь другой пріемь опреділенія ускоренія. не требующій построенія отой вспомогательной кривой.

Фиг..Ж.

С7-І-

vt;

ІІусть V и vx (фиг. IX) будуть скорости движущейся точки вт двухь смежнихь моментахь времени tut}. Геометрическая разность векторові V} и v носить названіе приращенія скорости за промежутокь времени t}—t. Проведемь изь точки О (фиг. IX) радіусомь, равньтмь v, дугу АС. Разложимь векторь АВ на два составляющихь вектора АС и СВ:

(AB) - (АС) -f (СВ).

На основаній § 3 написанное геометрическое равенство сохранить свою силу и тогда, когда ми всі вектори, входящіе вь ато равенство.

уведичимв шш уменьшимь вв одно и то же число разі., т. е. мьт вгь праві¹, написать:

АВ \ h -1) -

св

\t₁ — t,

(15)

Перейдемо теиерь кв проділу, когда tx становится равннмв і. Лівая часть уравненія (15) даетв тогда ускореніе v. Первьій члень иравой части преобразуемв слідующимв образомв. Хорду АС заміняєм;, дугою АС, равною v.s, гді є уголв между векторами v и v1} или, что то же, между касательньїми кв траєкторій вв двухв смежньїхь точкахв А и А{. Озпачая еще чрезв s длину дуги траєкторій и черезв s и s₁ значенім переміннаго s для моментовв і и tx, представимв первьій членв правой части (18) вв такомв виді:

(16)

Но вв примірі, разсмотрінномв вв § 5, ми виділи, что отношеніе угла s кь    вв преділі равно кривизні траєкторій вв точкі А:

отношеніе же —s кв tl—t по (5) вв преділі даетв скорость v движу-

V2

іцейся точки, слідовательно, вьіраженіе (16) равно — •

Второй члень иравой части (15) равенв отношенію vx—-v кв tl—t, слідовательно, вв преділі онв даетв скалярную производную отв величини скорости по времени.

Йтакв, иміемв

А-Ф+Й-

(17)

Постараємся теиерь опреділить направленія составляющихв уско-ренія. ІІлоскость, опре діл яемая двумя смежньїми касательньїми кв траєкторій вв точкахв А и Av, єсть по § 5 плоскості, кривизни траєкторій вв точкі А, слідовательно (фиг. IX), приращеніе скорости, а потому и ускореніе'параллельно нлоскости кривизни. Вв отой плоскости мьт разложили ускореніе на два составляющихв, по направленіямв АС и СВ. ІІервое составляющее, очевидно, перпендикулярно кв скорости v (каеательной кв траєкторій), т. е. параллельно радіусу кривизни траєкторій вв точкі А и направлено вв сторону вогнутости єтой кривой, т. е. кв центру кривизни. 9то составляющее ускореніе носитв названіе нормальнаго или

цеитростремительнаго ускоренія и равно, какв ми виділи, — •

Р

Второе составляющее ускореніе направлено по касательной к'ь траєкторій. Оно назьівается тангенціальньїм'ь ускореніемт, и равно

dv

Построивт» составляющія ускоренія, легко найти само ускореніе, какь діагональ нрямоугольника, сторонами котораго служать ати составляющія.

При прямолинейномт, движеніи нормальное ускореніе, при криволи-нейномь, но равномФ.рном'ь движеніи — тангенціальное ускореніе раним нулю

( KRAKÓW

Ч^есЬпіс*?^

WYDZIAŁ? POLITECHNICZNE KRAKÓW

Л' •

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

1.33616

111-33616