WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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LEHRBUCH

DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

NACH AXEL HARNACKS ÜBERSETZUNG

VIERTE UND FÜNFTE AUFLAGE

BEARBEITET VON

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GEORG SCHEFPERS

ZWEITER BAND

INTEGRALRECHNUNG

MIT 108 FIGUREN IM TEXT

LEIPZIG UND BERLIN DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 1911

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COPYRIGHT 1911 BY B. G. T EU BISTER IN LEIPZIG.

ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

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Aus dem Vorworte zur dritten Auflage.

Auch in diesem Bande wurde besonders auf eine klare, exakte und schlichte Sprache geachtet. Durch mehr als hundert Figuren, die ich sämtlich neu gezeichnet habe, soll der Text verständlicher und belebter werden. Im übrigen gilt in äußerlicher Hinsicht das, was das Vorwort des ersten Bandes besagt. Insbesondere war es aus den schon damals mitgeteilten Gründen nötig, den ganzen Text neu zu schreiben.

Der Inhalt des zweiten Bandes ist mit wenigen Ausnahmen derselbe gebliehen wie in der zweiten Auflage, vermehrt um manche dort fehlende, aber durchaus notwendige Beweise:

Im 1. Kapitel mußte der Nachweis des Integrals als Grenzwertes einer Summe vervollständigt werden. Im 2. Kapitel, wo schon gelegentlich die Integration im komplexen Bereiche angewandt wird, mußte gezeigt werden, daß die reellen Ergebnisse, zu denen sie führt, auch wirklich richtig sind.

Das 3. Kapitel hat sich eine besonders gründliche neue Bearbeitung gefallen lassen müssen; z. B. fehlte der Beweis dafür, daß ein Integral, dessen Integrand einen Parameter enthält, eine stetige Funktion der oberen Grenze und des Parameters ist. Wenn die Theorien auf Beispiele angewandt werden, ist es zwar bequem zu sagen: „man überzeugt sich leicht, daß für die Beispiele die Forderungen erfüllt sind“, aber dem Leser wird es doch nicht so leicht. Es war deshalb nötig, dem Studierenden hier durch ausführlichere oder knappere Andeutungen zu helfen.

Im 4. Kapitel über die Eulerschen Integrale fehlten Zwischenglieder der Entwicklung. Eine besondere Schwierigkeit lag ferner darin, daß die ursprüngliche Anlage des Werkes nicht so streng zwischen Reellem und Komplexem schied, wie es durch die in der 2. Auflage getroffene neue Anordnung bedingt wurde.

In das 5. Kapitel über Quadratur und Rektifikation habe ich die Theorie des Polarplanimeters aufgenommen, die in der

2. Auflage an späterer Stelle gebracht wurde.

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Im 6. Kapitel ist die Definition des Doppelintegrals und der zugehörige Existenzbeweis ausführlich gegeben worden. Ich denke, daß jetzt auch die Transformationstheorie für Doppelintegrale exakter ist.

Das 7. Kapitel begann früher mit Betrachtungen über mehrwertige Funktionen und ihre stetige Fortsetzung. Diese Betrachtungen habe ich auf das 8. Kapitel verschoben. Dagegen wurden Entwicklungen über die Integrale vollständiger Differentiale und über Kurvenintegrale eingeschaltet.

Das 8. Kapitel, das den Funktionen einer komplexen Veränderlichen gewidmet ist, habe ich durchaus ändern müssen, wobei sich auch die Gelegenheit bot, den Begriff der konformen Abbildung einzuführen.

Die neue Gestaltung des 7. und 8. Kapitels brachte den Vorteil, daß erst ganz zuletzt, in § 5 des 8. Kapitels, der Begriff der mehrwertigen Funktion eingeführt zu werden brauchte. Bis dahin ist in diesem ganzen Buche ebenso wie im ersten Bande nur von eindeutigen Funktionen die Rede, abgesehen von wenigen Stellen, wo auf die Mehrdeutigkeit besonders bezug genommen wurde.

Fortgelassen wurden außer geringfügigen Einzelheiten die Betrachtungen über elliptische Funktionen, über die Lagrangesche Reihe und über Funktionen von mehreren komplexen Veränderlichen. Sie sollen, soweit es unbedingt nötig ist, im dritten Bande Aufnahme finden. Neu eingeschaltet wurde dagegen noch eine Reihe von Einzelheiten, so die Rektifikation ohne Integration, die Guldinschen Regeln, der Begriff des Raumes von n Dimensionen und ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.

Diesen zweiten Band ziert ein von Harnack herrührender Anhang über die Fouriersche Reihe und das Fouriersche Integral, der in der Geschichte der Mathematik eine solche Bedeutung hat, daß es angemessen erschien, ihn nach dem Originaldrucke in der ersten Auflage unverändert wiederzugeben. Die Verantwortung für den Inhalt des Anhanges muß seinem Verfasser überlassen bleiben.

Auch diesem Bande ist ein ausführliches alphabetisches Sachregister beigegeben.

Berlin-Steglitz, im Juli 1907.

Vorwort zur vierten und fünften Auflage.

Wenn auch diesmal kein Bedürfnis zu ausgedehnten Änderungen vorlag, konnten doch viele Stellen des Buches im Ausdrucke verbessert werden; auch wurden einige Betrachtungsreihen zweckmäßiger gestaltet, so z. B. die Theorie der Doppelintegrale. Außerdem wurden einige störende Fehler entfernt, auf die ich in dankenswerter Weise brieflich durch Herrn P. Lehmann in Feldkirch und Herrn E. Landau in Göttingen aufmerksam gemacht wurde. Ferner konnten Bemerkungen von Herrn ö. Perron in Tübingen in seiner Rezension des dritten Bandes auch für den vorliegenden zweiten Band verwertet werden. Allen drei Herren sage ich hiermit aufrichtig Dank.

Die geringfügigen Änderungen in der Numerierung sind folgende: Der Inhalt der alten Nr. 570 ist jetzt in Nr. 486 und Nr. 575 eingearbeitet. Die alten Nummern 571 bis 573 haben daher jetzt die Zahlen 570 bis 572 bekommen. Aus den alten Nummern 574 und 575 sind die drei Nummern 573 bis 575 geworden, während Nr. 576 gänzlich neu ist. Die früheren Nummern 576 bis 578 tragen nunmehr die Zahlen 577 bis 579. Schließlich sind die alten Nummern 579 und 580 jetzt in Nr. 580 zusammengefaßt. Hierdurch wurden auch die Numerierungen der Sätze teilweise andere. Da aber in den Rückverweisungen des dritten Bandes (in der 3. Auflage) bei den Sätzen stets die Nummern genannt sind, wird man auch jetzt noch die richtigen Stellen finden können, wenn man nur die soeben angegebenen Verschiebungen beachtet.

Der vorliegende Band bietet als neue Beigabe einen geschichtlichen Anhang, wodurch einem mehrfach geäußerten Wunsche Rechnung getragen und ein seinerzeit von mir gegebenes Versprechen eingelöst wird. Dieser Anhang enthält geschichtliches Material zum ersten und zweiten Bande, also zur Entwicklung der Differential- und Integralrechnung, und es wird beabsichtigt, auch dem dritten Bande bei einer neuen Auflage Anmerkungen zur Entwicklung der Theorie der Diffe-rentialgleichungen und der Variationsrechnung hinzuzufügen. Vollständigkeit war natürlich nicht sonst der Umfang des Anhanges zu groß geworden wäre, dann aber auch, weil es mir hei vielen altbekannten Dingen nicht möglich war, ihre Quellen zu ermitteln. Denn beispielsweise versagten hier auch häufig die sonst vortrefflichen „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“ von M. Cantor und die „Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften“. Daß übrigens diese Werke und andere ausgiebig benutzt wurden, bedarf zwar der Erwähnung, aber nicht der Entschuldigung, denn ihr Zweck ist es ja gerade, uns anderen das geschichtliche Material zu liefern. Natürlich habe ich daneben soviel wie möglich und zwar in nicht geringem Umfange die Originalquellen selbst nachgesehen. Der Zweck des Anhanges brachte es mit sich, daß die Zitate aus dem heroischen Zeitalter der Entdeckung der Infinitesimalrechnung ausführlicher zu gestalten, dagegen die Zitate aus der späteren kritischen Zeit knapper zu fassen waren. Auch die neue Bearbeitung von E. Eascals „Repertorium der höheren Mathematik“, herausgegeben von P. Epstein und H. E. Timerding hat, soweit sie vorliegt, zuweilen geholfen, dasselbe gilt von den Anmerkungen der Herausgeber verschiedener Bände von Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften. Manche andere Quellen sind gebührend in den Anmerkungen selbst erwähnt worden. Soweit möglich, wurde bei jedem nicht mehr lebenden Mathematiker das Geburts- und Todesjahr angegeben. Einige dieser Zahlen sind dem „Gedenktagebuch für Mathematiker“ von Felix Müller in JB. G. Teubners mathematischem' Kataloge von 1908 entnommen worden.

erreichen, einmal, weil

zu

Dessen bin ich mir wohl bewußt, daß die geschichtlichen Nachweise noch vielfach der Verbesserung fähig sein werden. Ich begnüge mich aber mit dieser kurzen Verwahrung, um dem Leser nicht mit langen Auseinandersetzungen lästig zu fallen. Mitteilungen über Verbesserungen des geschichtlichen Anhanges wie des Buches überhaupt werden mir immer höchst willkommen sein.

Berlin-Steglitz, im März 1911.

Georg Scheffers.

Inhalt.*)

Erstes Kapitel.

Das Integral.

§ 1. Die Integration alsUmkehrung der Differentiation. 399. Grundaufgabe der Integralrechnung. — 400. Gesamtheit der Integrale einer gegebenen Funktion. — 401. Über den Zusammenhang zwischen dem Differenzieren und Integrieren. — 402. Die einfachsten Integrale. — 403. Das Ziel der nächsten Betrachtungen...................

§ 2. Das Integral als Grenzwert einer Summe. 404. Polygonflächen. — 405. Schwankung einer stetigen Funktion. —

406.    Existenz eines Grenzwertes des Polygoninhaltes. —

407.    Ein einziger Grenzwert des Polygoninhaltes. — 408. Eine Verallgemeinerung. — 409. Definition des Flächeninhaltes.—

410.    Das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe. —

411.    Anwendung auf Flächenmessungen. — 412. Sätze über

bestimmte Integrale..................

§3. Integrationsmethoden. 413. Integration einer Summe.— 414. Konstante Faktoren der Integrale. — 415. Teilweise Integration. — 416. Beispiele zur Methode der teilweisen Integration.

418. Beispiele zur Methode der Substitution.......

§ 4. Mittelwertsätze. 419. Erster Mittelwertsatz. — 420. Zweiter Mittelwertsatz. — 421. Neuer Beweis der Taylorschen Formel. — 422. Neue Ableitung der Lagrangeschen und Cauchyschen Restform. — 423. Ein Hilfsatz. — 424. Dritter

Mittelwertsatz.....................

§5. Integration und Differentiation unendlicher Reihen. 425. Gleichmäßige Konvergenz. — 426. Integration gleichmäßig konvergenter unendlicher Reihen. — 427. Differentiation gleichmäßig konvergenter unendlicher Reihen. — 428. Beispiele.....................

1—7

7—30

417. Integration durch Substitution. —

30—42

42—51

51—59

Zweites Kapitel.

Integrale von elementaren Funktionen.

§ 1. Integration der rationalen Funktionen. 429. Vor-430. Allgemeine Integration einer ge-

*) Ein alphabetisch geordnetes Sachregister befindet sich am Schlüsse des Bandes.

bemerkung.

brochenen rationalen Funktion. — 431. Bedingung dafür, daß das Integral einer rationalen Funktion auch rational wird. — 432. Erste Methode zur Integration einer rationalen Funktion mit komplexen Nullstellen des Nenners.

—    433. Zweite Methode zur Integration einer rationalen

Funktion mit komplexen Nullstellen des Nenners ....    60—70

§ 2. Integration algebraischer Funktionen durch Rationalisieren. 434. Rationale Funktionen einer Wurzel aus a -f- bx. — 435. Rationale Funktionen von x und }/a -f- bx. — 436. Rationale Funktionen von x und

Y    a -f- bx -j- x². — 437. Rationale Funktionen von x und

Y    «4" bx — x². — 438. Spezielle Fälle. — 439. Rationale

70 — 78

Funktionen von x, ]/a -f- bx und y a ßx......

§ 3. Elliptische Integrale. 440. Definition der elliptischen Integrale. — 441. Reduktion der in einem elliptischen Integrale vorkommenden Quadratwurzel. — 442. Weitere Reduktion der elliptischen Integrale. — 443. Normalformen des Radikanden in einem elliptischen Integrale.— 444. Abermalige Reduktion der elliptischen Integrale. — 445. Elliptische Normalintegrale erster und zweiter Gattung. —

446. Berechnung der elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung. — 447. Elliptisches Normalintegral dritter Gattung. — 448. Überblick über die elliptischen Integrale. — 449. Die Normalintegrale mit dem Modul Null.

—    450. Die Normalintegrale mit dem Modul Eins . . .    78—98

§ 4. Integration transzendenter Funktionen. 451. Zu-

riickführung transzendenter In tegranden auf algebraische.—

452. Integration goniometrischerFunktionen.— 453. Wiederholte teilweise Integration. — 454. Auswertung reeller Integrale mit Hilfe des Imaginären. — 455. Die Integrale J'cos(ax -f- b) cos (a x -(-&')••• ^x■ — 456. Anwendung auf J'cosnxdx für ganzzahliges positives n. — 457. Berechnung vonfsmmx cosnxdx.— 458. Berechnung von / sinwÆ cosnxdx für ganze Zahlen m und n. — 459. Die Integrale f sinmxdx und fco$mxdx für ganze positive Zahlen m. — 460. Das Integral fdx : (a sin x -j~ b cos x -j- c). — 461. Bemerkung über die Logarithmen, die sich beim Integrieren ergeben.

—    462. Über sonstige elementar auswertbare Integrale .    98—114

Drittes Kapitel.

Theorie der bestimmten Integrale.

§ 1. Grenzwerte bestimmter Integrale. 463. Das Ziel der folgenden Betrachtungen. — 464. Grenzwert eines Integrals mit der oberen Grenze -f- oc. — 465. Kennzeichen der Konvergenz eines Integrals mit der oberen Grenze -f-oo. —

466.    Hilfsmittel zur Feststellung der Konvergenz oder Divergenz eines Integrals mit der oberen Grenze -J- oo. —

467.    Integrale, deren Grenzen irgendwie nach Unendlich streben. — 468. Beispiele. — 469. Integrale, bei denen die Konvergenzmerkmale versagen. — 470. Grenzwert eines Integrals, dessen Integrand an der oberen Grenze unstetig ist. — 471. Hilfsmittel zur Feststellung der Konvergenz oder Divergenz eines Integrals, dessen Integrand an der oberen Grenze unstetig ist. — 472. Beispiele. — 473. Integrale von Funktionen, die irgendwo im Intervalle unstetig sind. — 474. Integrale mit endlosem Intervalle und Unstetigkeitsstellen des Integranden. — 475. Integrale von Funktionen mit Sprungstellen. — 476. Hauptwert eines bestimmten Integrals und singuläre bestimmte Integrale. 115—149

§ 2. Berechnung bestimmter Integrale aus unbestimmten. 477. Zusammenstellung einiger bestimmter Integrale. —

479.

478. Das Integral j (xp ¹ — x p)dx:( 1—x).— Das Integral J {xp~¹ -\-x~p)dx : (1 -\-x).

— 480. Par-

tialbruchzerlegung von tg# und ctgx. — 481. Die Formel

von Wallis......................

§ 3. Die Methode der Substitution bei bestimmten Integralen. 482. Über die Transformation konvergenter Integrale. — 483. Lineare Substitutionen, schiedene Substitutionen in verschiedenen Teilen des Integrationsintervalles. — 485. Verwandlung willkürlicher oberer Grenzen in bestimmte.............

149—161

484. Ver-

161—170

§ 4. Differentiation und Integration der Integrale nach einem Parameter. 486. Vorbemerkungen. —

487. Das Integral als Funktion der oberen Grenze und eines Parameters. — 488. Differentiation des Integrals nach einem Parameter. — 489. Integration des Integrals nach einem Parameter. — 490. Ausdehnung der Ergebnisse auf Integrale mit endlosen Intervallen. — 491. Ausdehnung der Ergebnisse auf Integrale mit unstetigen Integranden. . . 170—187

§ 5. Anwendungen auf Beispiele. 492. Die Integrale

I dx : (x* 4- cc)n und l e ax /o    Jo

— e~kx) cos bxdx: x und verwandte Integrale. —

494. Das Integral j*cos ax dx : (1 -f- æ²).

„+°°

oral / e~x*dx un^ verwandte Integrale

nJ — oo

xn xdx.— 493. Das Integral

r+°°

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— hx

— 495. Das Inte-

. 187—195

Viertes Kapitel.*)

Theorie der Eulersehen Integrale.

§ 1. Der Zusammenhang zwischen den Eulerschen Integralen. 496. Die Eulerschen Integrale erster und zweiter Gattung. — 497. Zurückführung der Eulerschen Integrale erster Gattung auf die Gammafunktion. — 498. Zusammenhang zwischen der Gammafunktion und den Fakultäten. — 499. Die Produkte r(p) r(1 — p) undr(p) r(p-f+). 196—200 § 2. Der Logarithmus der Gammafunktion. 500. Die Ableitung der Gammafunktion. — 501. Darstellung von ln r(x) durch ein bestimmtes Integral. — 502. Darstellung von \nT(x) durch eine unendliche Reihe. — 503. Berechnung von ln r(l -f- x). — 504. Berechnung der Ableitung von ln r(x). — 505. Verlauf der Funktion F(x) für positives x. 201—214 § 3. Die Gammafunktion im komplexen Bereiche.

506. Neuer Ausgangspunkt der Theorie. — 507. Konvergenz der Reihe für ln F{x). — 508. Die Reihen für die Ableitungen von ln r(x). — 509. Erste Eigenschaft der Gammafunktion.

— 510. Zweite Eigenschaft der Gammafunktion. — 511. Dritte

Eigenschaft der Gammafunktion.........

§4. Einige Anwendungen der Gammafunktion. 512. Die

a?~¹ sin txdx.

196

214—230

+ 00

Integrale J*e

XP-1 cos txdx und je~

Jo

txdx und / Xe Jo ł n

— 514. Das Integral / cos²³⁻²"¹® sin²⁻¹ cp cos pcp dcp Jo

und verwandte Integrale § 5. Fortgesetzte Betrachtung der Gammafunktion. 515. Vorbemerkung. — 516. Über eine mit der Fakultät zusammenhängende Funktion ii(x). — 517. Asymptotischer Wert der Fakultät. — 518. Einengung der Fakultät zwischen zwei Grenzen.

520. Darstellung von ln p(x) für positive Werte von x mittels eines bestimmten Integrals. — 521. Die Potenz-

. — 522. Die Bernoulli-

ax

ax

/»+“ 1

513. Die Integrale Ja? ¹

cos

sin txdx.

t 230—237

519. Die Gudermannsche Reihe.

reihe für

H—!

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e~ “

sehen Zahlen. — 523. Die Stirlingsche Formel. — 524. Einengung von r(x + 1) für positives x zwischen zwei Grenzen.

— 525. Der Rest der Stirlingschen Formel. — 526. Formeln für die Ableitungen von ln F{x -f- 1). — 527. Die Eulersche Konstante. — 528. Geometrische Darstellung der Gammafunktion für reelle Werte der Veränderlichen. — 529. Independente Berechnung der Bernoullischen Zahlen .    .    . 237—263

*) Dies Kapitel steht für sich und kann daher ohne Beeinträchtigung des Späteren überschlagen werden.

Fünftes Kapitel.

264

Quadratur und Rektifikation von Kurven.

§ 1. Quadratur ebener Kurven. 530. Das Vorzeichen der Fläche. — 531. Ersatz der Flächengrenze durch eine angenäherte Grenze. — 532. Quadratur in Polarkoordinaten. —

533.    Quadratur bei Anwendung einer Hilfsveränderlichen. —

534.    Beispiele von Quadraturen..........

§ 2. Näherungsweise und mechanische Quadratur.

535.    Einschluß der Fläche zwischen zwei Werten. —

536.    Näherungsformeln von Poncelet, Parmentier und Simpson. — 537. Andere Ableitung der Simpsonschen Regel.

—    538. Korrektionsglied der Simpsonschen Regel —

539. Ein Zahlenbeispiel. — 540. Die von einer Strecke über-strichene Fläche. — 541. Das Planimeter von Amsler.    . 275—290

§ 3. Rektifikation von Kurven. 542. Definition der Bogenlänge einer ebenen Kurve. — 543. Definition der Bogenlänge einer Raumkurve. — 544. Grenzwert des Verhältnisses des Bogens zur Sehne. — 545. Rektifikation in

Polarkoordinaten...............

§ 4. Rektifikation einiger Kurven mittels elliptischer Integrale. 546.Ellipsen-undHyperbelbogen. — 547.Reihenentwicklungen für F(k, cp) und E(k, cp). — 548. Transformation des Moduls k von F(k, cp). — 549. Reduktion von F(k, cp). — 550. Reduktion von E(k, cp). — 551. Die Landensche Transformation. — 552. Eine Beziehung zwischen den Umfängen dreier Ellipsen. — 553. Rektifikation der Lemniskate.

Cassinischen Kurve. — 555. Rektifikation der geschlossenen Cassinischen Kurve. — 556. Andere Verallgemeinerung der

Lemniskate.................

§ 5. Durch Kreisbogen rektifizierbare rationale Kurven. 557. Umkehrung der Aufgabe der Rektifikation.

—    558. Die Serretschen Kurven. — 559. Die einfachsten Serretschen Kurven. — 560. Eulersche Kurven .... 318—327

§6. Rektifikation ohne Intégrât ion. 561. Gleichzeitige explizite Darstellung der Koordinaten und der Bogenlänge einer ebenen Kurve. — 562. Kurven, deren Koordinaten als Funktionen des Tangentenwinkels gegeben sind .... 327—328

554. Rektifikation der zweiteiligen

264—275

290—298

298—318

Sechstes Kapitel.

Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale.

§ 1. Kubatur durch einfaehe Integrale. 563. Volumen einer Körperschicht. — 564. Volumen eines Ellipsoid-Seg-mentes. — 565. Volumen eines Stückes eines hyperbolischen Paraboloids. — 566. Volumen eines Rotationskörpers. — 567. Die Guldinsche Regel für die Volumina von Rotationskörpern.............

329

329—337

§ 2. Kubatur durchDoppelin tegrale. 568.Zieldernächsten Betrachtungen. — 569. Ersatz der Oberfläche durch ein Polyeder. — 570. Existenz eines Grenzwertes des Polyedervolumens. — 571. Ein einziger Grenzwert des Polyedervolumens. — 572. Das Doppelintegral mit bestimmten Grenzen. — 573. Eine Verallgemeinerung. — 574. Eine weitere Verallgemeinerung. — 575. Das Doppelintegral erstreckt über einen beliebigen Bereich. — 576. Eigenschaften des Doppelintegrals. — 577. Auswertung eines Doppelintegrals durch zwei aufeinanderfolgende einfache Integrationen. — 578. Allgemeinere Auffassung des Doppelintegrals. — 579. Definition des Volumens......

338—368

588. Oberfläche des Rotations-

§ 3. Anwendungen. 580. Beispiele zur Berechnung von Doppelintegralen. — 581. Das Volumen innerhalb einer geschlossenen Fläche F {x, y, z) — 0. — 582. Die Volumenformel mit Benutzung von Polarkoordinaten. — 583. Berechnung eines einfachen Integrals mittels eines Doppelintegrals . 368—376 §4. Komplanation. 584. Definition der Größe eines krummen Flächenstückes. — 585. Grenzwert des Verhältnisses eines Flächenstückes zu seiner Projektion. — 586. Komplanation mit Benutzung von Polarkoordinaten. — 587. Komplanation von Rotationsflächen, ellipsoids. — 589. Die Guldinsche Regel für die Oberflächen von Rotationskörpern. — 590. Flächeninhalte sphärischer Dreiecke. — 591. Komplanation eines gewissen Kugelteiles.

— 592. Komplanation des allgemeinen Ellipsoids .    .    . 376—392

§ 5. Einführung neuer Veränderlicher in Doppelintegralen. 593. Stetige Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene. — 594. Eigenschaften im Kleinen für die stetige Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene. —

596. Grenzwert

392—415

595. Entsprechen der Richtungen bei stetiger Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene, des Verhältnisses zweier Dreiecksinhalte bei stetiger Abbildung. — 597. Das Problem der Transformation der Doppelintegrale. — 598. Ausführung der Transformation eines Doppelintegrals. — 599. Grenzwert des Verhältnisses zweier entsprechender Flächenstücke hei stetiger Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene. — 600. Komplanation einer Fläche, die mittels krummliniger Koordinaten dargestellt ist. — 601. Komplanation einer Fläche, die mittels räumlicher Polarkoordinaten dargestellt ist. — 602. Schwerpunkte von ebenen Flächen und Kurven......

§ 6. Drei-und mehrfache Integrale. 603. Begriff des dreifachen Integrals. — 604. Das Volumen als dreifaches Integral. — 605. Räume von n Dimensionen. — 606. Begriff und Transformation des w-fachen Integrals. — 607. Eine Formel von Dirichlet für gewisse bestimmte Integrale .... 415—429

Siebentes Kapitel.

Seite

430

Integration vollständiger Differentiale und Integration längs Kurven.

§ 1. Integration vollständiger Differentiale. 608. Bedingung für ein vollständiges Differential in zwei Veränderlichen. — 609. Integration eines vollständigen Differentials in zwei Veränderlichen. — 610. Verallgemeinerung auf den Fall von n Veränderlichen. — 611. Nachweis der Stetigkeit des Integrals eines vollständigen Differentials . 430—440 § 2. Multiplikatoren eines Differentialausdrucks in zwei Veränderlichen. 612. Bedingung für den Multiplikator oder Integrabilitätsfaktor. — 613. Geometrische Deutung des Multiplikators. — 614. Die verschiedenen Multiplikatoren desselben Differentialausdrucks .... 440—444 § 3. Kurvenintegrale. 615. Begriff des Kurvenintegrals als Grenzwertes einer Summe. — 616. Existenz des Kurvenintegrals. — 617. Verallgemeinerung des Integrationsweges.

—• 618. Das Kurvenintegral längs eines geschlossenen Integrationsweges dargestellt als Flächenintegral. — 619. Das Kurvenintegral über ein vollständiges Differential. —

445—459

620. Umkehrung der Betrachtung

Achtes Kapitel.

460

Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

§ 1. Definition der monogenen Funktionen. 621. Vorbemerkung. — 622. Bedingungen für die Existenz einer Ableitung. — 623. Monogene Funktionen. — 624. Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von monogenen

Funktionen. — 625. Funktionen von Funktionen..... 460—469

. 469—477

§ 2. Konforme Abbildung. 626. Die durch eine monogene Funktion vermittelte Abbildung. — 627. Die Gesamtheit aller konformen Abbildungen. — 628. Beispiel einer konformen Abbildung

§ 3. Integration im komplexen Bereiche. 629. Definition des Integrals. — 630. Eigenschaften des Integrals. —

631. Integrale von monogenen Funktionen. — 632. Einfach zusammenhängender Bereich. — 633. Das Integral in einem einfach zusammenhängenden Bereiche als Funktion seiner oberen Grenze. — 634. Die Integrale von ez, sin s und cos 2. — 635. Das Integral von 1 : zn. — 636. Das Integral von 1 : z. — 637. Das Integral von 1 :{z — c). —

477—492

638.    Das Integral von 1 : (1 -J- 2²)...........

§ 4. Der Cauchysche Satz und seine Anwendungen.

639.    Der Fundamentalsatz von Cauchy. — 640. Auswertung reeller Integrale mittels des Cauchyschen Satzes. —

641.    Unendliche Reihen von monogenen Funktionen. —

642.    Integration einer gleichmäßig konvergenten Reihe von monogenen Funktionen. — 643. Die monogenen Funktionen

als analytische Funktionen. — 644. Nochmals die unendlichen Reihen von monogenen Funktionen. — 645. Zusatz zu dem Cauchyschen Satze. — 646. Differentiation einer gleichmäßig konvergenten Reihe von monogenen Funktionen. — 647. Nochmals die Integration einer gleichmäßig konvergenten Reihe von monogenen Funktionen. — 648. Eine Vergleichungsfunktion. — 649. Überall endliche monogene Funktionen. — 650. Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra ..................

§5. Mehrwertige Funktionen. 651. Periodizitätsmodul.— 652. Mehrere Periodizitätsmoduln. — 653. Die Vielwertigkeit der Amplitude. — 654. Die allgemeine Potenz. — 655. Die konforme Abbildung w =j/$. — 656. Die Funktion Y(z — a){z — b). — 657. Die Binomialreihe. — 658. Die Funktion arc sin z.

492—510

659. Ein Hilfsatz. — 660. Analytische Fortsetzung einer Funktion......

Einleitung zu dem Anhänge von A. Harnack. A. Über die Integrierbarkeit einer reellen Funktion von einer reellen Veränderlichen. — B. Die Koeffizienten der Fourierschen Reihe........................

Anhang: Grundriß der Theorie der Fourierschen Reihe und des Fouriersehen Integrales von A. Harnack.

I.    Die zu entwickelnde Funktion. — 2. Stellung des Problems. — 3. Satz über die Koeffizienten der Fourierschen Reihe. — 4. Zurückführung der Summe der Reihe auf den Grenzwert eines Integrals. — 5. Umformung des Integrals. — 6. Hinreichende Bedingungen fdr die Darstellbarkeit einer Funktion. — 7. Stellung eines neuen Problems. — 8. Verallgemeinerung des Satzes in § 3. — 9. Zweimalige Integration der trigonometrischen Reihe. — 10. Problem der Integration des zweiten mittleren Differentialquotienten. —

II.    Ein Hilfsatz. — 12. Integration des zweiten mittleren

Differentialquotienten. — 13. Beweis dafür, daß die trigonometrische Reihe die Fouriersche sein muß. — 14. Die Fouriersche Integralformel. — 15. Verallgemeinerung des Grenzwertes in § 5. — 16. Verallgemeinerung auf endlose Intervalle. — 17. Übergang zum Fourierschen Integrale. — 18. Gültigkeitsbedingungen für die Fouriersche Integralformel. — 19. Spezialisierung der Formel.......

Geschichtliche Anmerkungen zum ersten und zweiten Bande

Sachregister . Berichtigungen

510—532

533—539

540—580

. 581—626 . 627—638

Erstes Kapitel.

Das Integral.

§ 1. Die Integration als Umkehrung der Differentiation.

399. Grundaufgabe der Integralrechnung. Die

Grundaufgabe der Differentialrechnung ist das Berechnen der Ableitungen gegebener Funktionen, vgl. Nr. 32 und 44. Dagegen wird in der Integralrechnung die umgekehrte Aufgabe gestellt: Ist eine Funktion fix) von einer Yeränderlichen x gegeben, so soll eine Funktion F(x) von x berechnet werden, deren Ableitung die gegebene Funktion fix) ist; in Formel: worin fix) gegeben ist und F(x) gesucht wird. Jede Funktion Fix), die dieser Formel genügt, heißt aus einem später (in Nr. 410) anzugebenden Grunde ein Integral der gegebenen Funktion F(x) ; ihre Berechnung heißt Integration oder Integrieren von f(x).

Wie es im ersten Bande in den zehn ersten Kapiteln geschah, wollen wir uns auch hier in den sieben ersten Kapiteln auf reelle Funktionen von reellen Veränderlichen beschränken. Nur ganz gelegentlich werden wir Exkurse ins imaginäre Gebiet machen; das wird jedesmal ausdrücklich hervorgehoben werden.

Fix) und <b(x)

von

400. Gesamtheit der Integrale einer gegebenen Funktion. Wenn F{x) und Q(x) zwei in einem Intervalle a <,x <ib definierte Funktionen von x sind und in diesem Intervalle an jeder Stelle x übereinstimmende Werte der Ableitungen haben, ist die Differenz Q>(x) —F(x) nach Satz 8, Nr. 29, überall im Intervalle konstant. Ist fix) die gemeinsame Ableitung so sind F{x) und 0(x) Integrale von fix). Die Differenz irgend zweier Integrale von fix) ist demnach in dem Intervalle konstant. Anders ausgesprochen: Ist

Serret-S chef fers,Diff.-u. Integral-Rechnung. II. 4.u.5.Aufl.    1    [399, 400

F(x) ein Integral von fix), so hat jedes andere Integral von f(x) die Form &(x) = F(x) -f- konst.

Umgekehrt: Wenn F(x) ein Integral von fix), also F'(x)=f(x) ist, folgt:

j^\[F(x.) + konst.] = F'(x) = fix),

fix).

d. h. F(x) + konst. ist stets ein Integral von

Satz 1: Ist F(x) in dem Intervalle a <. x <Lb ein Integral der Funktion f(x), so hat f(x) dort unzählig viele Integrale. Sie ergeben sich sämtlich aus Fix) durch Addition willkürlicher Konstanten.

Alle Integrale einer gegebenen Funktion f(x) unterscheiden sich demnach nur um additive Konstanten voneinander; und wenn man nur eines von ihnen kennt, sind auch alle anderen bekannt.

Unter den Integralen F(x) -f konst. von f(x) ist insbesondere nur eines vorhanden, das für einen bestimmten Wert von x, der dem Intervalle angehört, z. B. für x = a, einen vorgeschriebenen Wert A hat. Denn man muß, um dies Integral F(x) + C ausfindig zu machen, die Konstante C so bestimmen,

daß

F{a) + C = A wird. Hieraus folgt G = A — F(a), so daß

F(x) + C = Fix) - F(a) + A

das gesuchte Integral ist. Soll das Integral insbesondere für x = a den Wert Null haben, so ist es gleich Fix) — F{a).

Den Wert, den das Integral am Anfänge x = a des Intervalles hat, nennt man den Anfangswert des Integrals.

Satz 2: Hat die Funktion f(x) im Intervalle a <~x <ib Integrale, so gibt es darunter ein und nur ein Integral, dessen Anfangswert eine vorgeschriebene Größe A hat. Ist F(x) irgend ein Integral von fix), so hat das in Bede stehende Integral den Wert Fix) — I\a) -f- A. Insbesondere ist Fix) — Fia) das Integral von fix) mit dem Anfangswerte Null.

401. Über den Zusammenhang zwischen dem Differenzieren und Integrieren. Hat f ix) in einem Intervalle das Integral Fix), so ist F\x) nach der Definition des Integrals gleich fix). Wenn man also eine Funktion fix) zuerst integriert 400, 401] und alsdann das Ergebnis differenziert, geht wieder die ursprüngliche Funktion f(x) hervor. Die beiden Operationen des Integrieren und Differenzieren heben einander daher auf, d. h. das Integrieren ist die zum Differenzieren inverse Operation.

Allerdings findet die gegenseitige Aufhebung nicht vollständig bei der umgekehrten Reihenfolge beider Operationen statt. Denn wenn man eine gegebene Funktion F(x) zuerst differenziert, wodurch man zu ihrer Ableitung f(cc) gelangt, und alsdann das Ergebnis integriert, d. h. irgend ein Integral von f{x) bestimmt, gelangt man nach Satz 1 nicht notwendig zu F{x) zurück, sondern zu Fix) -f- C, wo G eine willkürliche Konstante bedeutet.

Außer diesem Unterschiede ist insbesondere noch einer hervorzuheben: Beschränken wir uns auf den Bereich derjenigen Funktionen von einer Veränderlichen, die allein aus den in Nr. 44 erwähnten elementaren Funktionen zusammengesetzt sind, so wissen wir, daß auch die Ableitungen dieser Funktionen elementar zusammengesetzte Funktionen sind. Wenn wir das Differenzieren durch das Integrieren ersetzen, so gilt jedoch nichts Entsprechendes. Man kann vielmehr zeigen, daß manche elementar zusammengesetzte Funktionen Integrale haben, die keine elementar zusammengesetzte Funktionen sind. Dieser Unterschied läßt sich weiterhin verfolgen, wenn wir den Bereich der zu betrachtenden Funktionen noch mehr einschränken: Wir wissen, daß die Ableitung einer rationalen Funktion ebenfalls eine rationale Funktion ist. Entsprechendes gilt nicht stets für die Integrale rationaler Funktionen, z. B. die rationale Funktion 1 : x hat das Integral ln x -f- konst.

Integrale kann man leicht in beliebiger Anzahl so bilden: Man nehme irgend eine Funktion Fix) an und differenziere sie. Ist fix) die hervorgehende Ableitung, so weiß man, daß die Integrale der bekannten Funktion fix) den bekannten Ausdruck Fix) -f- konst. haben. Natürlich ist dies keine ausreichende Methode zur Berechnung von Integralen.

Im ersten Bande haben wir tatsächlich schon häufig Integrale berechnet, ohne es auszusprechen. Beispielsweise lehrt der Satz 11 von Nr. 192, daß die von einer Kurve y = fix) begrenzte Fläche u die Ableitung du:dx = fix) hat,

[401

wofür wir jetzt sagen können: Diese Fläche u ist ein Integral von f{x). Infolge hiervon sind alle Aufgaben, die Flächenberechnungen betreffen, Aufgaben der Integralrechnung. In der Tat haben wir namentlich im achten Kapitel des ersten Bandes vielfach Flächen berechnet, indem wir davon ausgingen, daß wir schon Funktionen kannten, deren Ableitungen die vorgelegten Funktionen y = f(x) waren, vgl. z. B. Nr. 219. Ebenso ist die Aufgabe der Rektifikation, d. h. der Berechnung der Bogenlänge einer Kurve, nach Formel (4) in Nr. 193 eine Aufgabe der Integralrechnung. Wir werden Anlaß haben, hierauf noch einmal zurückzukommen.

Ebenso wie man der Ableitung einer Funktion F(x) eine besondere Bezeichnung, nämlich dF:dx oder F'(x), gegeben hat, liegt das Bedürfnis vor, die Integrale einer Funktion f(x) durch ein Zeichen darzustellen. Man benutzt das Zeichen

(1)

J*f(x)dx

als Ausdruck irgend eines Integrals von fix). Es wird gelesen: „Integral von f(x)u oder „Integral über f(x)dxu. Das Integralzeichen f ist eigentlich ein lang gezogenes S und soll andeuten, daß die Integrale als Summen aufgefaßt werden können, was wir jedoch erst im zweiten Paragraphen auseinanderzusetzen imstande sind. In (1) steht unter dem Integralzeichen das Produkt f(x)dx, und dies ist das Differential des Integrals. Denn wenn das Integral (1) die Funktion Fix) ist, hat man:

<Lh. AF(x) = f{x)äx.

Die Funktion fix), die in (1) integriert werden soll, heißt der Integrand.

Ist schon irgend eine bestimmte Funktion Fix) bekannt, deren Ableitung die vorgelegte Funktion f(x) ist, so hat das Integral von f(x) nach Satz 1, Nr. 400, die Form F(x) -f konst., so daß also

jf{x)dx — F(x) konst.

(2)

ist. Die oben über die Aufeinanderfolge der Integration und Differentiation gemachten Bemerkungen besagen, daß

~Jf(x)dx=f(x),

(3)

dagegen

(4)

ist.

J*F'(x)dx = F(x) + konst.

402. Die einfachsten Integrale.. Nach Nr. 47, 48, 51

und 53 gelten die folgenden Formeln der Differentialrechnung:

d x”*1 dx n -f- 1 dlnx

dx

= xn (für n =}= — 1), = -- (für ^ > 0)

d emx

dx m

d ln (— x)

dx

= emx (für m =|= 0), = ~ (für x < 0),

d(—cosx)

-    = sin x,

dx    ’

d(— ctgx)

---= _— — )

dx    sin² x

d sina;

dx

= COS X

d tg x dx cos² x ’

d arc sin x

d (— arc cos x)

dx

dx

y i — X²’

d arc tg x    d (— arc ctg x)    1

dx

dx

r+*²'

Aus ihnen ergehen sich sofort die grundlegenden Integrale:

(1)    Jxnäx= |-₊₁ + C(fürw=|=-1), j(

(2)    = ln x + C (für iB > 0),

*/ x

I sin xdx = — cos x + C,

(3) K

/ cos xdx = sin x -f C, r dx

J yi-x*

f dx

J i + x²

worin C und C willkürliche Konstanten bedeuten.

(4)

(5)

-j-C^fürw+O)* fd^=ln (—x) + O(fürir<0),

/„iX = - ctg^ + G,

= tg x + C,

emrdx —

f dx

J ¹

= arc sin x -j- G = — arc cos x -j- G',

cos²#

= arc tg x -f G = — arc ctg x -f G'

Hierbei sind jedoch einige Anmerkungen zu machen: Die Differentiationsformeln, aus denen sich das Integral (4) ergibt, enthalten eine Quadratwurzel. Nach Satz 29, Nr. 53, hat diese Wurzel dasselbe Vorzeichen wie der zu arc sin x gehörige Kosinus bzw. der zu arc cos x gehörige Sinus. Wenn wir also die Quadratwurzel in (4) positiv annehmen, bedeutet arc sin x

[401, 402

einen Winkel, dessen Kosinus positiv ist, und arc cos x einen Winkel, dessen Sinus positiv ist. Wir können daher z. B. die Voraussetzung hinzufügen, daß arc sin x zwischen — jit und + jjc und arc cos x zwischen 0 und % liegen soll. Alsdann ist auch die Summe beider Arkusfunktionen gleich \n, also arc sin x =    — arc cos x, wodurch es sich auf klärt, daß in

(4) für ein Integral zwei Ausdrücke vorliegen. Daß sich auch das Integral (5) auf zwei Arten ausdrücken läßt, liegt daran, daß stets arc tg x -f arc ctg x gleich einem positiven oder negativen ungeraden ganzen Vielfachen von ist.

Ferner haben wir in (2) für ein Integral verschiedene Ausdrücke aufgestellt, je nachdem die Veränderliche x positiv oder negativ ist. Dies mußte geschehen, weil augenscheinlich die erste Formel (2) für negatives x und die zweite Formel (2) für positives x unbrauchbar wird, denn negative Zahlen haben keine reellen Logarithmen. Der Integrand 1 : x ist für x = 0 unstetig, so daß also die Veränderliche entweder auf das Intervall 0 < x < -f- oo oder auf das Intervall — oc < x < 0 zu beschränken ist.

Als spezieller Fall der Formel (1) für n = 0 sei noch ausdrücklich erwähnt:

I dx =

(6)

x + C.

403. Das Ziel der nächsten Betrachtungen. Wir

sind noch nicht imstande, die Frage zu beantworten, ob überhaupt eine in einem Intervalle stetige Funktion f(x) Integrale hat. Den Existenzbeweis erbringen wir im nächsten Paragraphen auf folgendem Wege: Wir erinnern uns daran, daß die Fläche u einer Kurve y = /’(#) nach Satz 11 in Nr. 192 ein Integral von fix) ist, wie schon in Nr. 401 hervorgehoben wurde. Aber wir sagten auch in Nr. 192 ausdrücklich, daß eine exakte Definition des Begriffes einer krummlinig begrenzten Fläche noch aussteht. Deshalb gehen wir zunächst daran, diese Definition zu gewinnen. Dadurch werden wir zugleich zu einer neuen Auffassung des Integralbegriffes gelangen, die äußerst wichtig ist und auch das Integralzeichen f erklären wird.

Trotzdem wir im nächsten Paragraphen von geometrischen Überlegungen ausgehen, werden wir aber wohlbemerkt bei der 40», 403]

Feststellung der neuen Auffassung des Integralbegriffes die in Nr. 7 ausgesprochene Forderung befriedigen, die Beweise analytischer Sätze von den Hilfsmitteln der Veranschaulichung unabhängig zu machen.

§ 2. Das Integral als Grenzwert einer Summe.

404. Polygonflächen. Es sei f{cc) eine im Intervalle stetige Funktion von x. Ob sie differenzierbar ist oder nicht, bleibt für die folgenden Betrachtungen völlig gleichgültig; nur bei der Veranschaulichung der Betrachtungen durch Figuren setzen wir voraus, daß f(x) eine Ableitung habe, also y = f(x) durch eine Kurve dargestellt sei (vgl. Nr. 167). Es genügt bei den analytischen Betrachtungen, daß f(x) stetig sei, d. h. y = f(x) durch eine lückenlose Kette von Punkten versinnlicht werde.

mi)

^ZJg

/Wv*

cmM

Pn-lJB

Fig. 1.

Ehe wir nun zu der noch fehlenden exakten Definition derjenigen Fläche gelangen, die einerseits von dem Bilde dieser stetigen Funktion y — f(%), andererseits von der Abszissenachse und ferner von den zu x = xQ und x — X gehörigen Ordinaten A C und BD begrenzt wird, siehe Fig. 1, ersetzen wir das Bild von y = f(x) durch einen gebrochenen Linienzug. Wirteilen nämlich die Strecke AB in be-liebiger Weise ein, etwa in n Teile i?j, P^a, . . . Pn_tB. Es seien P₁Af₁, P₂ilP₂, ... Pn_₁Mn_₁ die zu den n — 1 Teilpunkten gehörigen Ordinaten. Wir ziehen nun durch C die Parallele zur x-Achse soweit, bis sie die Ordinate B₁M₁ etwa in trifft, dann ebenso durch M₁ die Parallele zur æ-Achse soweit, bis sie die Ordinate P₂iHf₂ etwa in V₂ trifft, usw. Schließlich wird die Parallele zur x-Achse, die wir durch Mn_₁ ziehen, die letzte Ordinate BB in einem Punkte Nn schneiden. Nunmehr ersetzen wir das Bild der Funktion y = f(x) durch den gebrochenen treppenförmigen Linienzug

der aus lauter geradlinigen Stücken besteht und den wir kurz ein dem Bilde der Funktion y = f(x) eingeschriebenes Polygon nennen. Es ist wohl möglich, daß die Strecken dieses Polygons teils auf der einen, teils auf der anderen Seite des Bildes von f{x) verlaufen, wie es auch Fig. 1 zeigt.

Unter der Fläche dieses eingeschriebenen Polygons verstehen wir diejenige Fläche, die zwischen dem Polygon, der x-Achse und AG xmdBNn liegt, d.h. die Summe der Flächen derjenigen Rechtecke, deren Grundseiten dieTeile APX, P₁P₂,... Pn_x B des Intervalles X — x₀ auf der Abszissenachse und deren Höhen die zugehörigen Ordinaten des Polygons sind. Bezeichnen wir die Abszissen von Px, P₂, . . . Pn_x mit xx, x₂, . . . xn_x, so sind

/y - /y    /v»    _ /y»

die Grundseiten und

f(Xo)> fM, ■ • • f{?n-1)

die Höhen der Rechtecke, so daß die Fläche des Polygons durch die Summe

(1)    f(x₀)(xx - x₀) + f(xx)(x₂-xx)-\-----1- f(xn _x)(X- xn_x) dargestellt wird. Die Flächeneinheit ist das Quadrat über der Längeneinheit der Figur.

Bezeichnet x die Abszisse des Anfangspunktes irgend eines der Teilintervalle APX, PXP₂, ... Pn_xB und bedeutet <dx die Länge dieses Intervalles, so hat das über ihm stehende Rechteck den Inhalt f(x)Ax. Das allgemeine Glied der Summe (1) hat demnach diese Form fix)Ax. Daher schreiben wir die Summe (1) kürzer symbolisch so:

(2)

J = Sf(x)Ax.

x₀

Die Indizes x₀ und X beim Summenzeichen sollen andeuten, daß sich die Summe auf das ganze Intervall von x = x₀ bis x = X erstreckt.

Wir werden nun von der Fläche J des eingeschriebenen Polygons zur Definition der krummlinig begrenzten Fläche durch einen Grenzübergang gelangen, indem wir alle Teilintervalle

4041

Zlx nach Null streben lassen, wobei natürlich ihre Anzahl n nach Unendlich streben muß. Wir werden beweisen, daß J bei dem Grenzübergange in der Tat einen bestimmten endlichen Grenzwert hat. Aber da wir uns die Art der Teilung von X — x₀ in kleinere Teile völlig willkürlich denken können, muß außerdem gezeigt werden, daß der Grenzwert völlig unabhängig davon ist, von welcher Art der Teilung von X — x₀ man auch ausgehen mag. Bei diesen beiden Beweisen bedienen wir uns eines einfachen Satzes über stetige Funktionen, der in der nächsten Nummer abgeleitet werden soll. Alsdann werden wir in Nr. 406 den ersten, in Nr. 407 den zweiten Beweis bringen.

405. Schwankung einer stetigen Funktion. Unter der Schwankung einer Funktion innerhalb eines Intervalles, in dem die Funktion stetig ist, wird die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Werte der Funktion innerhalb des Intervalles, also eine ihrer Natur nach stets positive Größe, verstanden. Es gilt der

Satz 3: Ist f(x) in dem Intervalle x₀ <^x X stetig, so gibt es, wie klein man auch eine positive Zahl x wählen mag, stets eine positive Zahl 6 derart, daß die Schwankung der Funktion kleiner als x in jedem solchen Intervalle wird, das dem Gesamtintervalle angehört und nicht länger als 6 ist.

Zum Beweise bedeute n eine bestimmt gewählte ganze positive Zahl. Das Intervall von x₀ bis X werde nun in n gleiche Teile geteilt, darauf jeder einzelne Teil abermals in n gleiche Teile, usw. Nach einer endlichen Anzahl von Schritten, etwa nach k Schritten, muß es eintreten, daß die Funktion in jedem der nk gleichen Teile um weniger als \x schwankt. Denn sonst gäbe es ja ein beliebig kurzes Intervall, in dem die Schwankung immer noch mindestens gleich jx wäre, sodaß nach Nr. 2 eine Stelle vorhanden sein müßte, an der die Funktion unstetig wäre. Da demnach die Funktion in jedem der erhaltenen nk Teile, die sämtlich die Länge

O — (X — æ₀) : nk

haben, um weniger als \x schwankt, wird sie überhaupt in jedem Teilintervalle, das nicht länger als <3 ist, um weniger

[404, 405

als x schwanken. Denn jedes solche Intervall ist entweder nur ein Teil eines jener nk gleichen Teile, und dann ist die Schwankung darin kleiner als jx, oder es besteht aus zwei Stücken zweier aufeinanderfolgender jener nk Teile, und dann ist die Schwankung darin kleiner als das Doppelte von jx, d. h. als r. Also ist Satz 3 bewiesen.

f{x) in

406. Existenz eines Grenzwertes des Polygoninhaltes. Wieder sei f(x) eine im Intervalle x₀ x X stetige Funktion. Ferner möge irgend eine unbegrenzte Folge von lauter beständig abnehmenden positiven Zahlen xx, r₂,. . . ausgewählt sein, die nach Null strebt, wie z. B. die Folge 1, %, Ys .... Nach dem letzten Satze gibt es dann zu jeder dieser Zahlen xt eine positive Zahl derart, daß die Schwankung von jedem Teilintervalle, das kürzer als ist, geringer als rf wird.

Wir wollen nun das Gesamtintervall X — x₀ zunächst in solche Teile zerlegen, die sämtlich kürzer als 6X sind. Zu dieser Zerlegung gehört nach Nr. 404 ein gewisses Polygon und ein gewisser Polygoninhalt Jx. Alsdann wollen wir jedes einzelne Teilintervall weiterhin in lauter Teile zerlegen, von denen jeder kürzer als ö₂ ist. Zu dieser neuen, feineren Zerlegung gehört ein neuer Polygoninhalt J₂. Wir teilen fernerhin jedes einzelne neue Intervall in lauter Teile, die kürzer als <?₃ sind, so daß wir zu einem neuen Polygoninhalte J.d kommen, usw. Wir behaupten, daß die Inhalte Jx, J₂, J₃, . . . einem bestimmten endlichen Grenzwerte zustreben.

Um dies zu beweisen, stellen wir eine Reihe von Ungleichungen auf. Es seien zunächst z/1; z/₂, . . . z/n die Teilintervalle der ersten Zerlegung, so daß

X — x₀ =    z/n, /4X < <?1, • • • zdn < 6X

ist. Ferner seien l\, h₂, ... hn bzw. gx, g₂, ... gn die jeweils kleinsten bzw. größten Werte von f(x) in den Intervallen z/x, zl₂, ... z/n. Der Polygoninhalt Jx ist eine Summe von n Rechtecksinhalten. Der Inhalt des zu <dx gehörigen Rechtecks liegt zwischen hx <dx und gx4x, der Inhalt des zu z/₂ gehörigen Rechtecks zwischen h₂zJ₂ und <7₂z/₂, usw. Demnach ist (1)

Nach Satz 3 der vorigen Nummer ist ferner:

gx — \<    g₂-\<Tt,    ...gn — 'kn<x₁.

Die Differenz der beiden Grenzen, zwischen denen J₁ nach (1) liegt, ist mithin kleiner als

ri^i H-----1-    = rt{4x H----+ zfn) = t₁(X — x₀).

Ist ferner K der kleinste und G der größte Wert, den f(x) im Gesamtintervalle X — x₀ erreicht, so ist

und 9l£G, ...gn£G,

also die untere Grenze in (1) größer als K(X—x₀) oder wenigstens ebenso groß und die obere Grenze in (1) kleiner als 6r(X — x₀) oder höchstens ebenso groß.

Wir haben also zweierlei erkannt:

Erstens: Der Polygoninhalt Jj liegt nach (1) zwischen zwei Grenzen

xx ⁼⁼    ^i d⁻ " ‘ " ~f" ^n ^n >

Diese Grenzen sind die Summen aus den Produkten der be-

{rrenzefJlt

nutzten Teilintervalle und der jeweils kleinsten bzw. größten Werte, die f(x) in den Teilintervallen annimmt. Der Unterschied beider Grenzen ist kleiner als tx(X—x₀). Dabei bedeutet tx eine obere Grenze für die Schwankungen von f(x) in den Teilintervallen und X — x₀ die Gesamtlänge des Intervalles, auf das sich

Jx bezieht.

Zweitens: Die Grenzen und -(yitzJMIÊÊË yn zwischen denen Jx liegt, sind ihrerseits wieder in zwei Grenzen

KiX — x₀) und G(X — x₀) eingeschlossen, wobei K bzw. G den kleinsten bzw. größten Wert von f(x) im Gesamtintervalle von x₀ bis X bedeutet.

Grenzef. G(X-x₀)

re»'

Wrenze'fü r°K (X~ocG

Xo

Fig. 2.

Beides sucht Fig. 2 zu veranschaulichen, worin wir absichtlich f(x) durch eine stark oszillierende Kurve dargestellt haben. Die obere Figur deutet Jx selbst an, die untere die Grenzen jtt und yx und K(X—x₀) und G(X— x₀).

Die soeben gemachten Schlüsse können wir nun mit Leichtigkeit auch für die feineren Zerlegungen wiederholen, denn wenn wir die Teilintervalle 4%, ... 4n in der oben festgesetzten Weise einzeln in Intervalle zerlegen, von denen jedes kürzer als o₂ ist, tun wir mit jedem Intervalle , z/₂, ... Dn genau dasselbe, was wir vorhin mit dem Gesamtintervalle getan haben. Wir haben dabei n einzelne Betrachtungen anzustellen, die sich auf die n einzelnen Intervalle z/t, z/₂, . . . Dn beziehen. Der neue Polygoninhalt J₂ ist eine Summe von n einzelnen Summen von Rechtecksinhalten; an die Stelle von tx tritt r₂, an die Stelle von X—xQ jeweils Z₂, . . . Dn. Im Intervalle z/{ z. B. treten an die Stelle von K(X— x₀) und G(X— x₀) die Werte JciDi und g^i-

Wir finden also:

Erstens: Der Polygoninhalt J₂ liegt zwischen zwei Grenzen x₂ und y₂. Diese Grenzen sind die Summen aus den Produkten der jetzt benutzten kürzeren Teilintervalle und der jeweils kleinsten bzw. größten Werte, die f(x) in diesen Teilintervallen erreicht. Der Unterschied beider Grenzen ist kleiner als

r2 4" ^2 ^2 4" ' ■ ' 4“ r2 ~ r2 (^1 4* ‘ ' 4" Dn) — V₂ (X    X₀).

Dabei bedeutet r₂ eine obere Grenze für die Schwankungen von f(x) in den jetzt benutzten kleineren Teilintervallen.

Zweitens: Die Grenzen x₂ und y₂, zwischen denen J₂ liegt, sind ihrerseits wieder in die Grenzen

Mi 4- h%Z₂ + • • • -f K^n un4 ü\    4- 92^2 4- • • • 4- 9n^n

eingeschlossen. Dies aber sind die Grenzen und yl, zwischen denen Jx liegt.

Dasselbe Schlußverfahren können wir beliebig oft, z. B. insgesamt m mal an wenden. Dann finden wir die Ungleichungen:

xi£Ji£ Ti, X2 = ^2 = Ï2)

' yx — xt <rx (X — x₀),

y2 X2 ^ t2 %o) )

(1) j (w14;m2 + "‘±*0^ = J*%dx ± j u2dx + • • • + jundx

Oi r2) = Pi Oi r2) = Oi r2) i

1 +

• [(p+qt)*- 0v+ ■K ) (p+2 0 (1 ■+ ■0+ (1+OT

453. Wiederholte teilweise Integration. Es seien u

dx , .

(i)

wobei x1 im Intervalle 0 < xx < 1 liegt. Hieraus f

\ =j‘fJx,a) dx

(1)

1 l . . . =

(4)

(2)

(6)

Ą„=

h£Hp~a- tyo-łsO-

-y^+'(£)*+ (§)+(H)2.

(9)

y,u(x)jx

(i)

* - fix, y)

(3)

dy = (-^t + *’)dv“<P.

(9)

611, 61»]

wobei 6 und positive echte Brüche bedeuten und die

f(*D = lu(xv yi) +iv (xv y'i)] [(^+1-^) + %+i-yt)l

(5)

Ändert sich nun die Stelle z stetig, so gilt dasse

(ûi -K)A + (dt - J'jH + • • • + (gn - K)

1J>

Fi (x) f(y) (x - y)dv

JKx)d

59. Höhere Differentiale treten schon in Leibniz’

S er re t-Sehe ff er s, Diff.-u. Integral-Rechnung

629. Außer L. Euler (siehe z. B. die Anmerkungen z

(2)

(3)

y2 X2 ^ t2 %o) )

ytn Xm<    o)

und

(4)    x₁£x₂^ ^xm, ym <T • • • £ y₂ £ yt.

Dabei bedeutet xTO bzw. ym die Summe aus den Produkten der bei Jm benutzten Teilintervalle und der jeweils kleinsten bzw. größten Werte, die f(x) in diesen Teilintervallen erreicht.

Infolge von (4) gelten die Ungleichungen (2) um so mehr, wenn wir darin Jx, J₂, . . . Jm_₁ sämtlich durch Jm ersetzen. Also folgt: Jm liegt zwischen zwei Zahlenreihen xlf x₂, • • • xm und yx, y₂, . . ym, von denen die eine beständig wächst und die andere beständig abnimmt. Dabei ist jedes x kleiner als jedes y, weil Jm größer als alle x und kleiner als alle y ist. Die Differenzen yx — xx, y₂ — x₂, . . . ym — xm nehmen nach (3) beständig ab, da dies von rx, t₂, . . . tm vorausgesetzt worden war.

Gehen wir zur Grenze für lim m = oo über, indem wir die Teilung ohne Ende in der angegebenen Art fortsetzen, so folgt, weil nach Voraussetzung lim rm — 0 ist, daß sich als Grenzwert von Jm eine bestimmte endliche Zahl ergibt, nämlich die Grenze zwischen den beiden Zahlenreihen x1; x₂, x₃, . . . und Yi, 72> Vs, • • • Og¹- Nr- ²)-

407. Ein einziger Grenzwert des Folygoninhaltes.

Daß dieser Nachweis noch nicht hinreicht, wurde schon zum Schlüsse von Nr. 404 erwähnt. In der Tat haben wir die fortgesetzte Zerlegung von X — x₀ in immer kleinere Teilintervalle insofern nur in einer speziellen Art ausgeführt, als wir jeden einzelnen Teil für sich weiterhin zerkleinert haben. Es erübrigt also noch der Nachweis, daß man stets zu demselben Grenzwerte des Polygoninhaltes gelangt, von welcher Art der Teilung man auch ausgehen mag, sobald sie nur ohne Ende verfeinert wird.

Da wir nach dem bisher ausgeübten Verfahren die Zerlegung beliebig weit fortsetzen können, dürfen wir annehmen: Es sei x eine beliebig kleine vorgegebene positive Zahl, so daß es nach Satz 3 von Nr. 405 eine positive Zahl 6 derart gibt, daß f{x) in jedem Intervalle, das kürzer als <5 ist, eine Schwankung kleiner als t hat. Das Intervall von x₀ bis X sei nun erstens in solche Teile zerlegt, die sämtlich kürzer als <3 sind. Eine andere, zweite Teilung desselben Intervalles sei so beschaffen, daß jeder ihrer Teile kleiner als der kleinste

[406, 407

Teil der ersten Teilung ist, denn wir dürfen ja die zweite Art der Teilung nach der Betrachtung der vorigen Nummer beliebig weit verfeinern.

Zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Teilstellen der ersten Teilung liegt nun mindestens eine Teilstelle der zweiten. Um sogleich den allgemeinsten Fall ins Auge zu fassen, wollen wir annehmen, daß xx, x₂, ... xn_x die Abszissen der Teilstellen der ersten Teilung und xx, x₂, ...x'm_x die der Teilstellen der zweiten Teilung seien und daß sie so aufeinander folgen:

r    r    r    r    r

rp    rp    rp    rp    rp    rp    ,p    rp

J,± . . . J,r    ^r + 1 • • . Ar + S    't'r + s + l

Die zu den beiden Teilungen gehörigen Polygoninhalte J und J' sind:

(1) J=-f(x₀)(x₁-x₀) + f(x₁)(xi-tB₁) + ~- + f(xH_₁)(X-xn_i), J' = f{xQ)(x;~ x₀) + f(xx)(x₂-xi') + •■■• +

Nun ist

K+i - K = Oi - K) + (K+i - ®i)>

x2)

Xr + > +1 Xr + s ⁼ (X2    Xr + s) “I“ (Xr -f s +1

usw.

Daher läßt sich X in n Summen zerlegen:

(2) von denen sich die erste auf das Intervall von x₀ bis xx, die zweite auf das von xx bis x₂ usw., die letzte auf das von xn_x bis X bezieht. Es genügt die ausführliche Angabe der ersten dieser n Summen:

Sl = f(Xo) Ol' - Xo) + fM (X2 - Xl) + • • • + /■«) Ol - K)

und des Anfanges der zweiten:

S2 = /K) Or

Weil die Schwankung von f(x) im Intervalle von xQ bis xx nach Voraussetzung kleiner als t ist, unterscheiden sich

f(x0)

von

um weniger als r. Da alle Differenzen xx — x₀, ... xx — x'r positiv sind, unterscheidet sich also Sx von

fix0) Kxi—xo) + «—æ,') + • • • + Oi“ *r)l oder f(x₀)(x₁ — x₀) um weniger als r(xx — x₀). Entsprechendes gilt für S₂, Ss, ... Sn. Somit ist

407J

fOo) Ol - x₀) - T {xx - x₀) £SX£ f(x₀) (xx -x₀) + r (xx - x₀), fixi) Oa — xf) — T (x₂ — xf) < S₂ £ f(xx) (x₂ — xf) + X (x₂ — xf), /On-l) (X- *„-l) - * (X- *,_i) ^ Ą,

^«*.-i)(X“*.-i) + *(X-*.-i)-

Hieraus ergibt sich durch Addition nach (1) und (2):

J- x(X- <r₀) ^ J' £ J+ t (X- z₀).

Da die positive Zahl t beliebig klein gewählt worden war, folgt: Bei hinreichend weit getriebener Zerkleinerung des Intervalles X—x₀ haben J und J' Werte, die um beliebig wenig voneinander ab weichen. Mit andern Worten: J und J' haben denselben Grenzwert.

Hiermit ist der grundlegende Satz gewonnen:

Satz 4: Ist f(x) eine in dem Intervalle x₀ <jx X stetige Funktion von x, so hat die Summe:

fix0) Oi ~ xo) + f Oi) O2 ~ *1) + • • • + /'On—1 ) ix ~ xn_f),

in der

Xq <C &i ^ x₂ ^    _ 1 X

ist, einen von den gewählten Zwischenwerten xx, x₂, • ■ ■ xn_x unabhängigen bestimmten endlichen Grenzwert, falls alle Teilintervalle X\—%o,    — %x, • • • X — xn_x zur Grenze Nidl streben und

dementsprechend ihre Anzahl n über jede Zahl wächst.

±^XZ xi x

Fig. 3.

Beispiel: Das Bild der Funktion y — 1 : x ist eine gleich- 1 seitige Hyperbel, deren Asymptoten die Koordinatenachsen sind. Eine Unstetigkeit tritt nur für x — 0 ein. Wir wollen ein Intervall von x₀ — 1 bis X > 1 betrachten, siehe Fig. 3, indem wir zwischen 1 und X als Zwischenwerte die in diesem Beispiele besonders bequemen Werte

Xt-Vx, X,-Vx‘, ...    v'x-¹

einschalten, die ja eine zunehmende Reihe bilden. In Fig. 3 ist n = 5 gewählt. Es ist nun f(x) = 1 : x, also

fOo)“/W = ¹> fixf) — rC-

n — )

yx

/O2) ⁼yrz.

j/X²’

yxn~ i’

[407

oder kürzer:

Beim Grenzübergange lim n — oo rücken die Zwischenwerte immer dichter aneinander, und es kommt:

lim J = lim n ij/X — l) •

n = oc

Bezeichnen wir 1 : n mit s, so haben wir

lim J = lim

X'— 1

und dieser Wert ist nach Satz 25, Nr. 129:

lim J — ln X.

Dies wird also im vorliegenden Beispiele nach Satz 4 auch dann der Grenzwert des Polygoniuhaltes, wenn wir nicht gerade die hier besonders bequemen vorhin angegebenen Zwischenwerte, sondern andere benutzen.

408. Eine Verallgemeinerung. Der grundlegende Satz 4 läßt sich noch von einer zuweilen lästigen Voraussetzung befreien. Bei der Bildung der Summe

(1) J =    (#, — X₀) + f(xx) 0₂- xf) + • • • + /K-i) (X~ xn-l) haben wir nämlich als Faktoren der n Summanden die Ordi-naten f(x₀), f(xf), ■ • • f{xn_f) der Anfangsahszissen der Teilinter-

jf!

Fig. 4.

daher der Polygoninhalt:

J- i • (Vx-1)+—(Vx¹ - Vx) + ■ ■ ■ +

Vx

Ï X”

ytx-Vx-¹)

valle^— #₀, æ₈ — x1}'“X— xn_l benutzt, vgl. Fig. 1, S. 7. Wir wollen statt dieser Ordinaten jetzt diejenigen Ordinaten nehmen, die zu Abszissen xf, x.f, ■ ■ ■ xn' gehören, von denen xf irgendwie im Bereiche von xQ bis x1} x₂ irgendwie im Bereiche von xx bis x.₂ usw., schließlich x n irgendwie im Bereiche von xn_x bis X gewählt sei. Siehe Fig. 4. Als Rechteckshöhen nehmen wir also Ordinaten f(xf), ■ ■ ■ f(xn'), die über den betreffenden Grundlinien stehen, 407, 408]

aber sonst beliebig herausgegriffen werden dürfen. An die Stelle von J tritt nun die Summe:

(2) X = f (x[ ) {xx - x₀) + f(x'% ) (x₉ — xf) + • • • + f(xn) (X- xn _ f).

Wir behaupten, daß sie denselben Grenzwert wie die Summe J hat, falls alle Differenzen xt — xQ, x₂ — xx, ... X — xn_x nach Null streben und dementsprechend die Anzahl n aller Differenzen jede Zahl überschreitet.

Dies folgt sofort aus Satz 3 von Nr. 405. Denn danach gibt es, wenn eine beliebig kleine positive Zahl x gewählt wird, stets eine positive Zahl 6 derart, daß die Schwankung von f(x) in jedem der n Teilintervalle kleiner als x ist, sobald man alle Teilintervalle kürzer als 6 macht. Dann unterscheidet

sich folglich f(x'f)

um weniger als r, ebenso f(xf) von f(x,) usw., ebenso schließlich auch f(xf) von

von

f(xo)

Mithin wird

X— J\ <x[{xx—xß, + (x₂—xx) d-----b {X— Xn_j] = x(X— x₀),

und der Wert rechts weicht beliebig wenig von Null ab. Also ist lim X gleich lim J. Daher gilt der

Satz 5: Die in Satz 4, Nr. 407, betrachtete Summe behält denselben Grenzwert, wenn man in ihr als Fahtoren von

nca .X’z Xj

Fig. 5.

xi xo> X2 xu • • • X xn-\ nicht die Werte der Funktion f(x) für die Anfangsabszissen der Teilintervalle, sondern die Werte der Funktion f(x) für irgend welche n Abszissen wählt, die den n Intervallen von x₀ bis xx, von xx bis x₂ usw., schließlich von xn_x bis X angehören. Man darf z. B. auch die Endabszissen xL, xs, ... X der Teilintervalle benutzen.

Insbesondere hat also auch die in Fig. 5 dargestellte Summe (3) f{xx) {xx - x₀) + f(x₂) (x₂ - xf) + • • • + f(X) (X - xn_x) denselben Grenzwert wie die Summe (1).

409. Definition des Flächeninhaltes. Die elementare Planimetrie definiert nur die Flächen von geradlinig begrenzten

S e rr et-Sehe ff e ra, Diff.-u. Integral-Rechnung. II. 4.u.5.Aufl.    2    [408, 409

Stücken der Ebene und leitet z. B. den Inhalt des Kreises dadurch ab, daß der Kreis durch ein regelmäßiges umschriebenes oder eingeschriebenes Vieleck ersetzt wird, dessen Seitenzahl nach Unendlich strebt. Analog, wenn auch nicht genau ebenso verfahren wir jetzt, indem wir den Grenzwert des Polygoninhaltes J zur Definition des Flächeninhaltes benutzen. Wir sagen:

Definition: Unter der Fläche F, die von dem Bilde der im Intervalle x₀ x X stetigen Funktion y = f(x), von der Abszissenachse und von den zu x₀ und X gehörigen Ordinaten begrenzt wird, soll der Grenzwert

lim J = lim Sf(x) A x *0

verstanden werden, der sich ergibt, wenn alle Teilintervalle A x von x₀ bis X nach Null streben und demnach die Anzahl aller Teilintervalle über jede Zahl wächst. (Vgl. Fig. 1, S. 7).

Wir werden später die Gelegenheit wahrnehmen, zu zeigen, daß diese Definition für den Kreis genau dieselbe Inhaltsformel liefert, wie es die elementare Planimetrie tut (siehe Nr. 411).

Fig. 6.

Weil J eine Summe von Rechtecksinhalten ist, liegt in der Definition der Fläche zugleich eine Vorzeichenbestimmung. Wenn nämlich f(x) im Intervalle x₀ x X teils positive, teils negative Werte annimmt, können wir es stets so einrichten, daß gerade diejenigen Werte von x, für die f{x) gleich Null ist, zu den Teilstellen xt, x₂, . . . xn_x des Intervalles gehören, und zwar auch während des Grenzüberganges. Derjenige Teil der Summe lim J, der sich dann auf ein solches Stück des Gesamtintervalles bezieht, zu dem lauter negative Werte von f(x) gehören, wird negativ, da die Grundlinien der betreffenden Rechtecke positiv und ihre Höhen negativ sind. Auf Grund unserer Definition sind daher Flächenstücke oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse positiv bzw. negativ zu rechnen. Siehe Fig. 6.

Wir haben bei der Bildung von (1)    f(x₀) (xt - x₀) + f(xf) (xs - xf) + • • • + f(xn _ f) (X- _ f)

eine Summation ausgeführt, indem wir die Abszisse von x₀ an nach und nach um lauter positive Stücke xx — xQ, x₂ — xv ... X—xn_x bis X > x₀ wachsen ließen, d. h. wir haben im Sinne wachsender Werte von x summiert.

Wir können auch im Sinne abnehmender Werte von x summieren. Dies geschieht, indem wir in (1) die Glieder der zunehmenden Reihe

Xq, XX, X%, • • . Xn X

durch die entsprechenden Glieder der abnehmenden Reihe

X} "*'»-17 Xn- 2J • • ’    ^0

ersetzen, wodurch die Summe (2) J'=f{X)(xn_-X) + f(xn_x)(xn_₂-xn_x) + ••• + fix,)(x₀-xx) hervorgeht, in der alle Differenzen xn_x — X, %n_₂ — xn_X) ... x₀ — xx negativ sind. Nun ist aber

-    = f(xx){xx-xo) + f(x₂)(x₂ - xx) + • • • + f(X)(X- xn_x), und dies ist die in voriger Nummer mit (3) bezeichnete Summe, von der wir wissen, daß sie denselben Grenzwert wie J hat. Also ist

lim J' = — lim J

oder in symbolischer Schreibweise:

2*0    X.

(3)

lim J£f(x)zix = — lim^jf{x)Ax.

X    Xq

Die vorhin angegebene Vorzeichenregel wird daher jetzt die umgekehrte: Wenn die Summation im Sinne abnehmender Werte von x ausgeführt wird, sind Flächenstücke oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse negativ bzw. positiv. Wir sagen in diesem Falle, daß rückwärts summiert wird.

410. Das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe. Um uns die Möglichkeit offen zu lassen, vorwärts oder rückwärts zu summieren, wollen wir nunmehr annehmen, daß die Funktion f(x) in einem gewissen Intervalle A < x < B stetig sei, und die Summation über irgend ein Stück dieses Intervalles in positiver oder negativer Richtung ausführen. Wir wollen uns aber jetzt nicht mehr wie bisher vorstellen, daß die Anfangs- und Endabszisse x₀ und X bestimmt gewählt

[409, 410

seien. Vielmehr nehmen wir nur die Abszisse #₀, bei der wir beginnen, bestimmt innerhalb des Bereiches A < x₀ < B an, während die Abszisse, bis zu der wir die Summation fortsetzen, veränderlich sein möge, also irgend einen Wert X im Bereiche A < X < B habe. Dabei kann X sowohl größer als auch kleiner als x₀ sein. Die zugehörige Summe:

J = f(Xo) Ol - Xo) + /Ol) O2 - O + • • • + /’0«-l) (X~ xn-1)

oder

J = Jjjf(x)Ax

x₀

hat alsdann einen Grenzwert lim J, der mit X veränderlich ist. Da er für jede Endabszisse X im Bereiche A < X < 73 bestimmt und endlich ist, weil f{x) überall in diesem Bereiche als stetig vorausgesetzt wird, heißt dies: Der Grenzwert lim J ist eine Funktion der Endabszisse X im ganzen Intervalle A < X < B. Wir drücken diesen Grenzwert daher durch ein Funktionszeichen F(X) aus:

(1)

F(X) = lim J2f(x)Ax.

X₀

Es soll nun gezeigt werden, daß diese Funktion F(X) stetig und differenzierbar ist. Wir wählen zu diesem Zwecke irgend einen positiven oder negativen Zuwachs h der Endabszisse X derart, daß auch X -j- h dem Bereiche von A bis B angehört. Alsdann ist

X+h

(2)

F(X + h) = lim 2f(x)Ax.

Xa

Im Falle h > 0 ist das Summationsintervall von (2) um h länger als das von (1), also

X + /(

F(X K) = lim fAff(x''Ax + lim fSf'(x) Ax, x₀ '    x

so daß hieraus und aus (1) folgt:

0)

F{X + h) - F(X) = lim^f(x)Ax

x

(Ä> 0).

Ist h < 0 und etwa gleich — 1i, so daß h' einen positiven Wert hat, so wird das Summationsintervall von (1) um Ji länger als das von (2), also

F(X) = lim ^>f(x)Ax -f- lim J>]f(x)Ax.

x-h'

x₀    X- h'

Von (2), worin h durch — /?/ za ersetzen ist, ziehen wir diesen Wert ab und erhalten so:

x

(h' > 0).

(4)

F (X-h') - F(X) = - lim ^f(x)Ax

X-h’

In den beiden in (3) und (4) rechts stehenden Summen sind alle Differenzen A x positiv. Ist nun k der kleinste, g der größte Wert, den f(x) im Falle h > 0 im Intervalle von X bis X + h erreicht, so hat man nach Nr. 406:

X + h

kh £ 2m£ gh. x

Ebenso hat man, wenn k' der kleinste und g der größte Wert ist, den f(x) im Intervalle von X — h' bis X erreicht:

k'h' <, 2m*x ^ y'h -

X-h'

Diese Ungleichungen gelten nach Nr. 406 auch für die Grenzwerte der Summen. Demnach folgt mit Rücksicht auf (3) und (4) durch Division mit h bzw. — li :

F(X -f h) — F(X)

k<

£9

k'<

F(X — K) - FÇX)

<9

(h > 0),

0' > o).

Beim Grenzübergange lim h = 0 oder lim li = 0 steht in den Mitten dieser beiden Ungleichungen nach Nr. 27 die Ableitung F'(X) von F(X), denn bei den Grenzübergängen rücken k und g und ebenso k’ und g in f(X) zusammen, weil f(oc) stetig ist, so daß folgt:

(5)

dF{X)

dX

Die Funktion F(X) hat daher im Bereiche A < X < B überall die bestimmte endliche Ableitung f(X) und ist demnach auch daselbst überall stetig, nach Satz 1, Nr. 27. Die Formel

(5) zeigt überdies nach der Definition in Nr. 399, daß F(X) ein Integral von f(X) ist. Nach Nr. 400 hat aber f(X), wenn überhaupt ein Integral existiert, deren unzählig viele, die aus diesem einen durch Addition willkürlicher Konstanten hervorgehen. Nach der Definition (1) von F(X) ist die Funktion F(X) insbesondere dasjenige Integral, das für X — x₀ verschwindet. Denn wenn der obere Index X der Summe in (1) gleich dem unteren Index x₀ ist, hat das Intervall, auf das sich die Summe bezieht, die Länge Null. Hiernach gilt für die Existenz von Integralen der grundlegende

Satz 6: Ist f{X) eine im Intervalle A < X < B stetige Funktion von X, so hat sie überall im Intervalle Integrale und insbesondere ein Integral, das an einer bestimmt gewählten Stelle x0 im Intervalle gleich Null ist. Dies Integral ist überall im Intervalle stetig und kann definiert werden als der Grenzwert einer Summe

fMOl - Xo) + /W)O2 - ą) + • • • + fK)(X - Xn-l)>

in der xf, xx, x₂, x.₂, . . . xn_l, xn eine im Falle X > x₀ zunehmende und im Falle X < x₀ abnehmende Reihe von im übrigen willkürlichen Zwischenwerten zwischen x₀ und X bedeuten. Unter dem Grenzwerte dieser Summe ist derjenige Wert verstanden, der hervor geht, wenn alle n Differenzen xx — x₀, x₂ — x1} ... X — xn_₁ nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahl n über jede Zahl wächst.

Hierdurch wird das in Nr. 401 eingeführte Integralzeichen/ verständlich. Um nämlich anzudeuten, daß

F(X) = lim ^f(x)Ax

*0

ist, d. h. daß der Grenzwert einer Summe gebildet werden soll, ersetzt man nach Leibniz das Zeichen lim 2J durch das Summenzeichen / Um ferner anzudeuten, daß alle Differenzen Ax nach Null streben, zieht man es vor, das Differentialzeichen dx statt Ax anzuwenden, so daß sich diese Darstellung ergibt:

x

(6)

F(X)=jf{x)dx,

Xq

gelesen: „Integral von fix), erstreckt von der unteren Grenze x0 bis zur oberen Grenze X“. Da die untere Grenze x₀ bestimmt gewählt ist, nennt man dies Integral insbesondere ein bestimmtes Integral. Es ist nämlich dasjenige einzige vorhandene Integral,

das gleich Null ist, sobald X gleich der unteren Grenze x0 gewählt wird. Der Name Integral rührt daher, daß Leibniz den Grenzwert der Summe als functio integralis oder Gesamtfunktion im Gegensätze zu den nach Null strebenden Summanden f(x)dx bezeichnete.

Wir erinnern noch einmal daran, daß die obere Grenze X des Integrals sehr wohl kleiner als die untere Grenze x₀ sein kann.

Häufig bezeichnet man die obere Grenze X, die ja die unabhängige Veränderliche der Integralfunktion ist und von A bis B variieren darf, mit dem sonst für die unabhängige Veränderliche gebräuchlichen Buchstaben x:

X

F(x) =J*f(x)dx *0

(?)

Aber man darf dabei nicht außer acht lassen, daß dann x in zweierlei Bedeutung auftritt. Denn die obere Grenze x ist der Endwert, zu dem die Veränderliche x bei der ausgeführt gedachten Summation gelangt, indem sie vom Werte x₀ um lauter solche Größen, die einzeln nach Null streben, Schritt für Schritt wächst oder abnimmt, bis sie schließlich den Endwert x, nämlich den Wert der oberen Grenze, erreicht hat.

Die Schreibweise (7) ist deshalb bequemer, weil nach (5)

dJ^L = f(x), also dF(x) = f(x)dx

ist, so daß in (7) unter dem Integralzeichen gerade das Differential von F(x) steht, wenn man dx als das Differential der oberen Grenze x auffaßt.

Schließlich sei noch bemerkt: Die Schlüsse, die in diesem Paragraphen hinsichtlich des Grenzwertes der Summe J gemacht wurden, haben zwar eine geometrische Bedeutung und sind deshalb auch an verschiedenen Stellen geometrisch erläutert worden. Immerhin aber sind sie an sich durchaus unabhängig von jeder geometrischen Vorstellung. (Vgl. die letzte Bemerkung in Nr. 403.) Um mit dem Integralbegriffe vertraut zu werden, tut man gut, noch einige geometrische Anwendungen davon zu machen. Dies geschieht in der nächsten Nummer.

411. Anwendung auf Flächenmessungen. Die Ausmessung von ebenen Flächenstücken heißt Quadratur, weil

[410, 411

mau, sobald eine Fläche ausgemessen worden ist, ein Quadrat konstruieren kann, das denselben Inhalt hat. Es gilt nun nach Nr. 409 der

Satz 7: Ist f(x) im Intervalle A < x < B eine stetige Funktion von x und sind x₀ und X irgend zwei Werte von x im Intervalle, so ist die Fläche, die zwischen dem Bilde der Funktion y = f(x), der Abszissenachse und den zu x₀ und X gehörigen Ordinaten liegt, gleich dem bestimmten Integrale

x

Jf{x)dx. *0

Ist dabei X > x₀, so sind Flächenteile, die oberhalb bzw. unterhalb der Äbszissenachse liegen, positiv bzw. negativ; ist X < xQJ so gilt das Umgekehrte.

Man erinnere sich nämlich an die beiden in Nr. 409 gewonnenen Vorzeichenregeln.

Ehe wir diesen Satz auf einige Beispiele anwenden, weisen wir auf Nr. 400 und insbesondere auf den Satz 2 zurück. Er zeigt: Um das bestimmte Integral

x

j‘f(x)dx

(1)

zu berechnen, suche man zunächst das unbestimmte Integral

J*f(x)dx

zu finden, d. h. irgend eine Funktion 0(x) zu berechnen, deren Ableitung gleich f(x) ist. Alsdann ist das bestimmte Integral, da es für X = x₀ verschwinden soll:

(2)

I f(x)dx = &(X) — ®(x₀).

Man schreibt hierfür auch zur Abkürzung:

(3) indem die rechte Seite so zu bilden ist: Von dem Werte von ®{x) für die obere Grenze X soll ihr Wert für die untere Grenze xQ abgezogen werden.

1. Beispiel: Die Fläche, die zwischen der gleichseitigen Hyperhel y — 1 : x, der Abszissenachse, der zu æ₀ = 1 und der zu einem beliebigen positiven X gehörigen Ordinate liegt, ist gleich

»»>—*

Nun ist ln x eine Funktion mit der Ableitung 1 :x. Also folgt nach (3):

x

Çdx _

J x

i

[lnx]= ln X — ln 1 = ln X.

i

Fig. 7.

Ygl. Nr. 221 und das Beispiel in Nr. 407. Ist X > 1, so stellt ln X nach der in Satz 7 gegebenen Vorzeichenregel die Fläche mit Pluszeichen dar, siehe Fig. 7. Lassen wir X bis 1 abnehmen, so wird die Fläche zu Null. Wird X< 1, so wird die Fläche negativ, da dann von 1 bis X mit abnehmender Abszisse integriert wird. Für x = 0 ist die vorgelegte Funktion 1 : x unstetig. Also muß X > 0 angenommen werden. Nun ist aber nach (2) in Nr. 402 auch:

J>-~ — ln(—x) + konst.

für x < 0. Demnach gibt

x

= [ln(— x)f = ln(— X) — ln 1 = ln(- X)

o-r

Fig. 8.

die Fläche der Hyperbel von der zu x₀ = — 1 gehörigen Ordinate an bis zur Ordinate einer beliebigen negativen Abszisse X. Für X > — 1 und < 0 wird die Fläche negativ, da sie unterhalb der x- Achse liegt und da im Sinne wachsender Abszissen integriert wird. Ist dagegen X < — 1, so wird die Fläche positiv (siehe Fig. 8).

2. Beispiel: Bei der Sinuslinie y = sin x tritt nirgends eine Unstetigkeit ein. Die von x = 0 bis zu einem beliebigen X

gerechnete Fläche ist hier

J*sin xdx o

oder nach (3) in Nr. 402:

sin xdx = [— cos x] = — cos X -f cos 0 = 1 —- cos X. o

Fig. 9.

Im Falle X > 0, aber < % ist die Fläche positiv, siehe Fig. 9, da / im Sinne wachsender Abszissen integriert wird und die Fläche oberhalb der #-Achse liegt. Für X = % ergibt sich die Fläche 2. Der Inhalt des ersten Wellenberges der Sinuslinie ist also doppelt so groß wie der des eingezeichneten Quadrates. Lassen wir X von n an weiter wachsen, so nimmt cos X von — 1 an zu, so daß 1 — cos X abnimmt. Daß die Fläche abnimmt, erklärt sich daraus, daß jetzt ein negatives, nämlich unterhalb der Abszissenachse gelegenes Flächenstück hinzutritt. Für X = 23t ergibt sich sogar die Fläche Null; in der Tat: Wellenberg und Wellental haben denselben Inhalt, aber die Inhalte treten mit verschiedenen Vorzeichen auf.

3. Beispiel: In Nr. 409 hoben wir hervor, daß noch be

wiesen werden muß, daß die dort gegebene Definition der Fläche insbesondere für den Kreis die

|    4/ |

§ / $9

1/ I

Fig. 10.

aus der elementaren Planimetrie bekannte Formel liefert. Dies soll hier geschehen. Betrachten wir den in Fig. 10 gezeichneten Viertelkreis vom Radius Eins und dasjenige Flächenstück, das zwischen dem Kreisbogen, der Abszissenachse, der Ordinatenachse und der zur Abszisse x gehörigen Ordinate y — Y1 — x² gehört. Es besteht aus einem Dreiecke von der Grundlinie x und der Höhe |/l — x² und aus einem Kreissektor, dessen Zentriwinkel gleich arc tg (x : y) oder 411]

tg(x :]/l — x²) ist. Also ergibt sich der Inhalt des Flächenstückes nach den Lehrsätzen der Planimetrie gleich

arc

1*1/1-*s + |arctg^=-

Andererseits gibt der Satz 7 für diese Fläche, da die Ordinate y = Y1 — x² ist, den Wert:

— x²dx.

Sollen beide Werte überein stimmen, so muß also:

(4)    /Kl

0

— x^dx = 4-^yï—+ 4-arc tg -...f—-,

sein. Die Wurzel ist positiv, und der Arhus liegt zwischen 0 und juc. Daß die Formel (4) in der Tat stimmt, erkennt man durch die Probe: Die rechte Seite gibt differenziert gerade Y1 — Æ². Außerdem ist die rechte Seite für x — 0 auch gleich Null. Daher ist die Formel (4) richtig. Mithin gibt unsere Definition der Fläche in Nr. 409 für den Kreissektor genau denselben Wert wie die elementare Planimetrie. Insbesondere gibt (4) für x = 1 die Fläche des Viertelkreises:

(5)

— x²dx = — arc tg oo =    •

412. Sätze über bestimmte Integrale. Die Formel (3) von Nr. 409 können wir, nachdem wir in Nr. 410 den Begriff des bestimmten Integrals eingeführt haben, nunmehr durch den folgenden Satz wiedergeben:

Satz 8: Vertauscht man die Grenzen eines bestimmten Integrals, so ändert der Wert des Integrals nur das Vorzeichen, in Formel:

Xq    X

J*'f(x) dx = —J‘f(x)dx

X    x₀

Für X = x₀ folgt hieraus insbesondere wieder die Tatsache, daß ein bestimmtes Integral gleich Null ist, sobald beide Grenzen denselben Wert haben.

Sind x₀, xx, X Werte von x in einem solchen Intervalle, in dem sich f(x) stetig verhält, so ist für die in Nr. 404 betrachtete Summe, falls xx zwischen x₀ und X liegt:

(1)

Wir behaupten aber, daß diese Formel auch dann gilt, wenn xx nicht zwischen x₀ und X liegt. Denn wenn wir die Annahme xü < xx < X beibehalten, so daß (1) richtig ist, folgt daraus:

Xy    x    x

J*f(x)dx = j f{x)dx —J*f(x)dx

X₀    X₀    Xy

oder, wenn wir die Grenzen xx und X des letzten Integrals vertauschen, also nach Satz 8 das Minuszeichen zugleich durch das Pluszeichen ersetzen und alsdann beide Seiten der Gleichung vertauschen:

X    Xy    Xy

J*f(x) d x + J*f(x)dx == j*f(x)dx.

Xq    X. Xq

Diese Gleichung hat wieder die Form der Gleichung (1), aber die Grenzen, die in (1) die Reihenfolge x₀, xx, X hatten, haben jetzt die Reihenfolge x₀, X, xx, und X liegt nach Voraussetzung nicht zwischen x₀ und xx. Daher gilt Satz 9: Es ist

Xy    x    x

J'f(x)dx 4-J*f(x)dx = J f(x)dx.

Xq    Xi    Xq

Nach Satz 7 in voriger Nummer leuchtet dies sofort ein, da die von x₀ bis xx erstreckte Fläche und die von xx bis X erstreckte Fläche als Summe die von x₀ bis X erstreckte Fläche

41»]

Dividieren wir (2) mit der positiven Größe X — x₀ oder (3) mit der positiven Größe x₀ — X, so ergeben beide Formeln denselben

Satz 11: Ist f(x") eine im Intervalle von x₀ bis X stetige Funktion und K der läeinste und G der größte Wert von f(x) im Intervalle, so ist stets, ob nun xQ < X oder x₀ > X ist:

A' ^ X-

haben und zwar auch dann, wenn xt nicht zwischen x₀ und X liegt, sobald beachtet.

man nur

die Vorzeiehenregeln des Satzes 7

Augenscheinlich können wir den Satz 9 so verallgemeinern: Satz 10: Es ist

Summe

x,    XX

J f{x)dx + J*f(x)dx -f • • • + Jf(x)dx = jf(x)dx

X₀    Xy    Xn _ \    Xq

In Nr. 406 sahen wir, daß die dort mit Jx bezeichnete

y<f(x)dx

xo

zwischen K(X — x₀) und G(X — x₀) liegt, falls X > x₀ ist und K den kleinsten, G den größten Wert von f(x) im Intervalle x₀ x X bezeichnet. Auch sahen wir, das dasselbe für den Grenzwert der Summe Jx gilt. Daraus folgt nach Nr. 410:

(2)

x

K(X -x₀)<>Jf{x)dx £G(X- x₀)

Xo

für X > x₀.

Ist dagegen X < x₀, so folgt ebenso für das von X bis x0 erstreckte Integral:

oder nach Satz 8:

*0

K(x₀ ~X)<f f{x)dx <G(xo - X) x

(3)    K{x₀-

x

X) <1 —J*f(x)dx <1 G(Xq

xo

-X)

für X < x₀.

Xo J f(x)dx <; G

Xo

[4ia

Da das betrachtete Integral nach Satz 10 in eine Summe von einzelnen Integralen zerlegt werden kann, erstreckt über Teilintervalle, kann man hiernach auch die einzelnen Summanden in Grenzen einschließen, wobei K und G jeweils durch den kleinsten und größten Wert von f(x) in dem betreffenden Teilintervalle zu ersetzen sind. Infolge davon läßt sich dann auch das Gesamtintegral in engere Grenzen einschließen, als es durch den Satz 11 geschieht. Dies ist bei manchen Abschätzungen von Integral werten nützlich. Übrigens haben wir die soeben angedeuteten Ungleichungen schon in Nr. 406 unter

(2) aufgestellt, denn jene Formeln (2) gelten ja, wie wir sahen, auch für den Grenzwert der Summen J1} J₂,. . . Jm, d. h. für das Integral.

Ist insbesondere f(x) im Intervalle von x₀ bis X stets positiv, so gilt dies auch von dem kleinsten Werte K von f(x). Ist überdies X > x₀, so folgt aus Satz 11:

Satz 12: Ist f(x) eine im Intervalle x₀ x X überall positive stetige Funktion von x, so ist

x

fjf(x)dx > 0.

XQ

Nach Satz 7 der vorigen Nummer leuchtet dieser Satz geometrisch sofort ein.

§ 3. Integrationsmethoden.

413. Integration einer Summe. Der Satz 6 von Nr. 410 lehrt, daß eine Funktion f(x) in einem solchen Intervalle, in dem sie stetig ist, stetige und differenzierbare Integrale hat. Wir wollen nun Methoden entwickeln, die zur Berechnung von Integralen dienen, und dabei immer voraussetzen, daß die zu integrierenden Funktionen in den Integrationsintervallen überall stetig seien.

Da das Differenzieren und Integrieren inverse Operationen sind (siehe Nr. 401), ist es leicht, aus gewissen Differentiationsregeln Integrationsregeln abzuleiten. Man hat dabei den Umstand zu benutzen, daß sich zwei Funktionen, deren Ableitungen übereinstimmen, nur um eine additive Konstante unterscheiden 41», 413]

können, nach Satz 8, Nr. 29. Solange man nur unbestimmte Integrale benutzt, ist diese additive Konstante ohne Belang, da es ja im Begriffe des unbestimmten Integrals liegt, daß es mit einer willkürlichen additiven Konstante versehen ist. Wir dürfen daher im folgenden diese Konstanten beiseite lassen. Das Integral

J (m₁ + u% +

• • • ± un)dx

einer algebraischen Summe von n Funktionen u1} w₂, ... un hat zur Ableitung diese Summe selbst. Nun hat andererseits die Summe :

J'u^dx + J*u₂dx + • • • +J*\dx

ebenfalls die Ableitung % ff; w₂ + • • • + un, da die Summe gliedweise differenziert werden darf, nach Satz 12, Nr. 34. Mithin folgt der

Satz 13: Das Integral einer algebraischen Summe ist gleich der algebraischen Summe der Integrale der Summanden, in Formel:

J*(ui ± w₂ ± * ' • ± un)dx = Juxdx + J*u₂dx + • • • ± J*undx

Eine Summe darf also gliedweise integriert werden. Handelt es sich um das von xQ bis x erstreckte bestimmte Integral der Summe, so muß allerdings auf die additive Konstante Rücksicht genommen werden. Es kommt dann:

j'(ul±u₂±-- - ± un)dx =    \ixdx ± Ju₂dx ■ • • ± j*tundx ,

*0 2*0 wenn wir uns der in Nr. 411 eingeführten abgekürzten Bezeichnung bedienen. Nun ist aber

J utdx

X

J*u^x.

xo

dasjenige Integral von ui} das für x — x₀ den Wert Null hat, also gleich

Daher kommt:

(1) j (w₁4;m₂ + "‘±*0^ = J*%dx ± j u₂dx + • • • + jundx

Xq    Xq    Xq    X o

Eine einfache, aber wichtige Anwendung hiervon ist folgende: Es seien u und v zwei im Intervalle x₀ <1 x X stetige Funktionen von x. Für jeden Wert von x im Intervalle sei außerdem u <[ v. Alsdann ist die Funktion v — u im ganzen Intervalle positiv. Nach Satz 12 von Nr. 412 ist folglich

x

/(*

x₀

— u)dx 0.

Hieraus aber folgt nach (1):

x    x

J*vdx— J*udxj>0,

Xq    Xq

so daß sich ergibt:

Satz 14: Ist a(x) <] v (x) für jedes x im Intervalle x₀<jx <jX, so ist auch:

Iu(x)dx <]Jv(x)dx

Xq    Xq

Dieser Satz gestattet oft, die Werte von bestimmten Integralen abzuschätzen.

Beispiel: Für 0 <i x \ und n > 2 ist für die positiven Quadratwurzeln

so daß sich ergibt

JL

dx <

dx

J Vl-xn

0

dx <

dx

S'

Das letzte Integral hat nach (4) in Nr. 402 den

Das erste Integral ist nach (6) in Nr. 402 gleich der Differenz der Werte von x für x = | und für x = 0, d. h. gleich

413]

Wert arc sin \ — arc sin 0, wobei die Arkus zwischen — und + liegen, also den Wert    Daher folgt, daß der

Wert des bestimmten Integrals

P dx

J Vl-xn 0

für n > 2 und positives Wurzelzeichen zwischen j und ~n, d. h. zwischen 0,5 und 0,524 liegt.

Integrale

414. Konstante Faktoren der Integrale. In dem

/■

audx

sei a ein konstanter Faktor des Integranden. Die Ableitung des Integrals ist au. Nach Satz 13, Nr. 35, hat die Funktion

a j"*udx

ebenfalls die Ableitung au. Daher folgt

Satz 15: Das Integral des Produktes aus einer Konstanten und einer Funktion ist gleich dem mit der Konstanten multiplizierten Integrale der Funktion, in Formel:

für a = konst.

J*audx = aJ*udx

Handelt es sich um das bestimmte Integral von x₀ bis x, also um dasjenige, das für x = xQ verschwindet, so ist die Formel nur dann richtig, wenn auch die rechte Seite für x = x₀ verschwindet. Wir gelangen so zu der Regel:

(1)

f

Xq

audx

= aj*udx

für a — konst.

Konstante Faktoren der Integranden dürfen also vor das Integralzeichen gesetzt werden. Umgekehrt: Anstatt ein Integral mit einer Konstanten zu multiplizieren, kann man auch den Integranden damit multiplizieren.

Die Sätze 13 und 15 folgen übrigens auch ohne weiteres daraus, daß das Integral als Grenzwert einer Summe aufgefaßt werden kann.

S erre t-S che ff er s, Diff.-u. Integral-Rechnung. II. 4. u. 5. Aufl.

also nach Satz 15 gleich:

1. Beispiel: Nach Satz 13 ist:

J*[a₀ -f- atx + a₂x² -f • • • + anxn)dx = J a₀dx -f- J axxdx

-fJ*\x²dx -f • • • -f- j*anxndx,

so

aQj*dx -f a₁J*xdx + a₂J*x²dx + •••-}- anJ*xndx, daß sich nach (1) in Nr. 402 ergibt:

J*[a₀ + ayx -f a₂x² + • • ■ + axxn)dx

= konst. + yx + —X² + — x* -f • • • + - ^~txn+1.

2. Beispiel: Wenn man alle Ordinaten einer Kurve y = f(x) mit dem konstanten Faktor a multipliziert, geht eine neue Kurve hervor. Die zwischen zwei bestimmten Ordinaten gelegene Fläche der neuen Kurve ist nach Satz 15 und nach Satz 7 von Nr. 411 das a-fache der entsprechenden Fläche der alten Kurve. Wenn wir die Ebene der neuen Kurve um die Æ-Achse drehen, können wir, falls a > 1 ist, erreichen, daß die neue Kurve schließlich so liegt, daß ihre senkrechte Projektion auf die alte Ebene die alte Kurve gibt. Dies tritt ein, wenn der Kosinus des Winkels beider Ebenen gleich 1 : a ist. Daraus folgt: Projiziert man ein ebenes Flächenstück senkrecht auf eine andere Ebene, so ist die Fläche der Projektion gleich der Fläche des gegebenen Stückes, multipliziert mit dem Kosinus des Winkels beider Ebenen.

Wir wollen den Satz 15 anwenden, um aus dem Satze 14 der vorigen Nummer eine einfache, aber wichtige Folgerung zu ziehen. Ist fix) eine im Intervalle x₀ x <[ X stetige Funktion von x, so gilt dasselbe von dem absoluten Betrage | fix) | der Funktion. Weil für jedes x

- I f(x) I ^ f(x) £ I f(x) I

ist, ergibt Satz 14:

x    xx

J— | fix) \dx<zjf(x)dx ^ j*| fix) j dx

X₀    Xq    Xq

414]

Der im ersten Integranden vorkommende Faktor — 1 läßt sich nun nach Satz 15 vor das Integralzeichen setzen. Also folgt Satz 16: Es ist stets:

oder auch:

415. Teilweise Integration. Das Integral

J dx

ist einerseits gleich uv -f konst. und andererseits nach Satz 13 von Nr. 413 so umzuformen:

J dx

so daß folgt:

d(uv)

dx

J*(uv 4- uv')dx = J uvdx -f- J*uv'dx,

==J*uvdx Jrj‘uv'dx

J*uv'dx — uv —J uvdx + konst.

Da rechts ein unbestimmtes Integral steht, brauchen wir die additive Konstante nicht besonders anzugeben. Die Formel liefert den

Satz 17: Das unbestimmte Integral des Produktes uv' aus einer Funktion u und der Ableitung einer Funktion v ist gleich dem Produkte beider Funktionen, vermindert um das unbestimmte Integral des Produktes der Ableitung der Funktion u mit der Funktion v, in Formel:

oder:

d(uv)

dx —

uv A konst.

J*uv'dx — uv —J*uvdx.

Setzen wir beiderseits von x₀ an erstreckte bestimmte Integrale, so haben wir zunächst noch die additive Konstante beizubehalten:

uvdx = uv —

■Ju'vdx -j- G

x₀

³*    [414, 415

und diese Konstante 0 so zu bestimmen, daß die Formel für x = x₀ richtig wird. Aber für x = x₀ sind beide Integrale gleich Null. Also muß

(uv)

x = x₀

+ 0 = 0, d. h. 0 = - (uv)

x = x₀

gesetzt werden. Wenn wir diesen Wert von 0 einsetzen und die in Nr. 411 eingeführte Bezeichnung

benutzen, kommt:

X

[uv] = uv — (uv)x=Xo *0

(1)

J*uvdx =

xo

X

\uv] — I uvdx

x0 Ł/

X₀

Die in Satz 17 enthaltene Integrationsmethode heißt die Methode der teilweisen Integration, weil bei ihrer Anwendung auf ein Integral f uv dx noch die Anfgabe übrig bleibt, das Integral fuvdx auszuwerten.

Ist irgend ein vorgelegtes Integral ff(x)dx zu berechnen, so kann man es auf unzählig viele Arten auf die Form fuvdx bringen. Denn wenn man die Funktion v irgend wie wählt, hat man uv' = f(x), also u = f(x) : v anzunehmen. Alsdann gibt die Anwendung des Satzes:

ff(x)dx = f{x) ■ £ ~fv ~ (+)

dx.

Im allgemeinen wird freilich das rechtsstehende Integral alsdann noch mehr Schwierigkeiten als das ursprünglich vorgelegte bereiten. Es ist Sache der Gewandtheit, eine geschickte Wahl der Funktion v zu treffen; allgemeine Regeln lassen sich dafür nicht geben.

416. Beispiele zur Methode der teilweisen Integration. Die letzte Bemerkung soll durch einige Beispiele erläutert werden.

1. Beispiel: Der Integrand ln x des Integrals flnxdx kann als das Produkt aus ln x und 1 aufgefaßt werden. Da 1 die Ableitung von x ist, wählen wir v = x, d. h. uv' = u = ln x, so daß u' = 1 : x wird und der Satz 17 liefert:

— • x • dx = x ln x —

lnxdx — \nx ■ x —

ßi

dx

= x ln x — x + konst.

415, 416J

2. Beispiel: Es liege das Integral Jxne~xdx vor. Hier ist der Integrand schon als das Produkt aus xn und e~x gegeben. Es liegt also nahe, u = xn, v = e~x zu setzen. Dann darf v oder f e~xdx nach (1) in Nr. 402 gleich — e~x gewählt werden. Da ferner u'= nxn~¹ wird, kommt:

•-f

xne~xdx = — xne~

nxn~¹{—e~x)dx

oder nach Satz 15, Nr. 414:

(i)

xne~xdx — xne~

*4- nJ*vn~¹e

~xdx.

(2)

Ist n = 1, so folgt hieraus sofort:

J*xe~xdx = — xe~x — e~x -f konst.

Ist n eine ganze Zahl > 1, so wird das Integral vermöge (1) auf ein eben solches zurückgeführt, in dem n — 1 statt n steht. Setzen wir allgemein

xne~xdx,

so folgt nämlich:

und weiterhin:

Jn = — %ne~x + nJn-1

Jr

-1

J₂ = — x²e~x -f 2 Jt

und schließlich nach (2):

Jx = — xe~x — e~x -f- konst.

Dividieren wir diese n Gleichungen bzw. mit «!, (n — 1)!,... 2!, 1 ! und addieren sie dann, so kommt:

Jn    ■ If-¹

n 1    [_ n\ ' (n — 1)!

Demnach ist für positives ganzes n:

- + fy +    + 1 e~x + konst.

(3) Jxne~x

dx = — n\

Für x = 0 ist die rechte Seite gleich — n\ -f- konst. Daher muß, falls das Integral von 0 bis x erstreckt wird, die Konstante gleich n\ gewählt werden. So folgt für positives ganzes n:

Ist dagegen n eine negative ganze Zahl, so bezeichnen wir sie mit — m + 1, so daß m eine positive ganze Zahl > 1 wird, nun:

Aus (1) folgt

(4) f

0

xne~xdx = w! 1 —

0+ü+-+£H-

/*

1)l/’ar-e

-m + \ e~x äx = —    +    _

woraus als Wert des rechts stehenden Integrals hervorgeht:

(m — l)Æm-1

Das hier links stehende Integral wird also auf ein eben solches zurückgeführt, in dem m um eine Einheit erniedrigt ist. Wiederholte Anwendung dieser Rekursions formel führt schließlich das Integral

J9dx

~xdx,

~—r    dX .

m-lj x ¹

in dem m eine positive ganze Zahl > 1 ist, auf das Integral

/?.*

zurück, das freilich, wie man zeigen kann, nicht mittels der elementaren Funktionen ausdrückbar ist.

3. Beispiel. Im Integral fe? cos xdx setzen wir u = e*, also v = cos x und daher v — sin x, so daß Satz 17 gibt:

(5)

e* cos xdx = ex sin x —J ex sin xdx.

Das neue Integral behandeln wir entsprechend, indem wir in ihm u = c®, v' = sin x, daher v = — cos x setzen, so daß die Anwendung des Satzes liefert:

J*sin xdx — — e* cos x —J e?(— cos x) dx + konst.

oder nach Satz 15 in Nr. 414:

(6)    J*e* sin xdx

e^cos# -f- J e* cos xdx -f konst.

Wir haben hier mit Absicht die additive Konstante ausdrücklich angegeben, weil nämlich das rechts stehende Integral um eine additive Konstante von dem ursprünglich vorgelegten, in (5)

416]

links stellenden Integrale abweichen kann und wir beide Formeln (5) und (6) kombinieren wollen, indem wir den Wert (6) in (5) rechts einsetzen. Dann folgt:

cos#) —J*e*cosxdx -f konst.,

J*^cos xdx = ye*(sina: + cos#) + konst.

Aus (6) folgt jetzt überdies:

J*e* sin xdx = — e* (sina; — cos#) -j- konst.

417. Integration durch Substitution. Außer der Methode der teilweisen Integration ist das wichtigste Hilfsmittel zur Auswertung von Integralen die Methode der Substitution. Sie besteht darin, daß man in das Integral

J*cos xdx = e* (sin x +

d. h.

(7)

(8)

J f{x)dx,

das berechnet werden soll, eine neue Veränderliche t vermöge einer Substitution

(1)

x — cp (t)

einführt.

Das Integral J ist nämlich definiert als eine Funktion von x, für die

ist. Wird nun x — q>(ß) gesetzt, so wird J eine Funktion von t und hat als solche die Ableitung:

Demnach ist

(2)

Schneller erhält man diese neue Form des Integrals J so: Vermöge (1) ist

(3)

dx = cp'(t)dt,

so daß die Substitution der Werte (1) und (3) in das Differential von J, nämlich in

dJ = f(x)dx,

das Differential von J in (2) liefert. Hat man die Substitution (1) derart gewählt, daß das Integral in der neuen Form (2) berechnet werden kann, so ergibt sich eine Funktion von t, in die man nachträglich wieder die ursprüngliche Veränderliche x einführen muß vermöge der zu (1) inversen Substitution:

(4)

t = &(x).

Bei der Auswahl der anzuwendenden Substitution (1) muß man darauf achten, daß nicht nur vermöge ihrer x als stetige Funktion von t, sondern auch t vermöge ihrer Umkehrung (4) als stetige Funktion von x definiert wird. Handelt es sich insbesondere um die Auswertung des bestimmten Integrals

(5)

= ff(x)dx, *0

das für x = x₀ verschwindet, so geht es durch Einführung der neuen Veränderlichen t in ein Integral über, das für den aus

x₀ = <p(t₀)

folgenden Wert t₀ von t verschwindet. Folglich ist t₀ die untere Grenze des in t ausgedrückten bestimmten Integrals:

(6)

Entsprechendes gilt für die obere Grenze, falls sie in (5) einen bestimmt gegebenen Wert xx hat, indem dann die obere Grenze tx des neuen Integrals (6) aus xx = (p(tx) berechnet werden muß.

Bei der Anwendung der Substitution auf bestimmte Integrale darf man also nicht vergessen, die neuen Werte der Grenzen für die neue Veränderliche zu berechnen und einzuführen.

418. Beispiele zur Methode der Substitution.

Darüber, welche Substitution bei einem vorgelegten Integrale zweckmäßig sein kann, lassen sich keine Regeln aufstellen. Einige Beispiele werden aber wenigstens Fingerzeige geben.

1. Beispiel: Soll das Integral f (a + bx)ndx ausgewertet werden, so setzen wir a -f- bx = t, woraus x — (t — a) :b und dx = dt :b folgt, so daß kommt:

417, 418]

n 4-1

f*(a+ bx)ndx ==J‘tn y =    ¹

tndt =

*n + 1

(w -j-1)6

-f- konst.

(a -j- bx)

(w -f 1) &

+ konst.

2. Beispiel: Im Nenner des Integranden von

f dx J x* + px + q

seien p und q Konstanten, für die q — -\p² > 0 ist. Da x² -f-px + q = (x + \p)² + q — \p* = {q — \p*) ist, setzen wir

x_±Ap

Va - \pi

= t, d. h. x = t]/q — \p² — \p, dx = dt]/q — \p²,

so daß nach (5) in Nr. 402 folgt:

₌    ¹    Çdt    _

Va — ip*J + ¹

==    ¹    — arc tg

Va — \y

wobei es einerlei ist, welches Vorzeichen man der Quadratwurzel gibt.

3. Beispiel: Um das bestimmte Integral

dx

x* -\- px-\- q

arc tg t

Va-ip²

-f- konst.

*“^==s + konst.,

Vä — il¹'

J X

zu berechnen, setzen wir ln x = t, also x = e\ dx = e*dt. Für x = 1 bzw. e ist t = 0 bzw. 1, so daß 0 und 1 die Grenzen des neuen Integrals sind:

Inæ)

i

dx

-ffie

0

~łełdt =

1

: i fldt =

o

YY

-3 Jo 3 '

4. Beispiel: Durch die Substitution können wir aus schon berechneten Integralen andere ableiten. Z. B. gibt die Formel

(3) von Nr. 416, wenn wir darin zunächst x = mt, dx = mdt setzen:

w/

tne~mtdt =

n\

mn+1

i mt .

V¹⁻*” TH 2!~

, +    +konst.

und, wenn weiterhin die Substitution t = — Inz, dt = — dz : z gemacht wird:

-Hz

mn + 1

min 2 ₍ (m\nz)s

Tl '    2!

n~\

-f konst.

für positives ganzes n.

§ 4. Mittelwertsätze.

419. Erster Mittelwertsatz. Die Sätze in § 1, 2. Kap. des 1. Bandes, beruhen im wesentlichen auf dem in Nr. 28 bewiesenen Mittelwertsatze 2. Dieser Satz läßt sich leicht in einen Satz umwandeln, der dem Gebiete der Integralrechnung angehört. Es tritt nämlich in jenem Satze eine Funktion f(x) auf, die ebenso wie ihre Ableitung f'(x) im Intervalle x₀^x^X bestimmte endliche Werte hat. Wird die Ableitung f'(x) mit F(x) bezeichnet und also vorausgesetzt, daß F(x) im Intervalle x₀£x£X stetig sei, so ist auch fix), nämlich fF(x)dx, nach Satz 6, Nr. 410, in diesem Intervalle stetig, so daß die Annahmen jenes Mittelwertsatzes erfüllt sind. Ferner ist jetzt

x

m-

f(xo) = I/O*)]* F(x)dx-

Daher liefert die Formel jenes Satzes sofort den

Satz 18 (Mittelwertsatz): Ist Fix) eine im Intervalle von x₀ bis X stetige Funktion von x, so gibt es im Intervalle wenigstens einen von x₀ und X verschiedenen Wert xx von x, für den die Formel gilt:

x

j*F{x)dx — (X — #₀) F(xf).

x₀

Die Voraussetzung x₀ < X ist offenbar nicht nötig.

Wir hätten den Satz auch aus Satz 11, Nr. 412, ableiten können. Denn danach liegt der Wert des Integrals zwischen (X-x₀)K und (X-x₀)G,

wenn K den kleinsten und G den größten Wert von F(x) im Intervalle von x₀ bis X bezeichnet. Geht x von x₀ bis X, so

418, 4191

nimmt F{x) alle Werte zwischen K und G an. Also gibt es mindestens einen Wert xx von x, für den die Formel des Satzes 18 gilt.

■>

X₀ X

Fig. ii.

Der Satz 18 leuchtet übrigens geometrisch sofort ein. Er besagt nämlich nach Satz 7, Nr. 411, daß die Fläche zwischen dem Bilde der Funktion y = F(x), der i Abszissenachse und den zu x₀ und X gehörigen Ordinaten, siehe Fig. 11, gleich der Fläche eines Rechtecks ist, das dieselbe Grundlinie X — x₀ hat und dessen Höhe -<>-F(xj) eine gewisse unter den Ordinaten des Flächenstückes ist.

Diese Ordinate F(xx) kann als das arithmetische Mittel aller Ordinaten des Flächenstückes bezeichnet werden. Denn wenn wir das Intervall von x₀ bis I in « gleichlange Teile z1x teilen und die nach Nr. 404 zugehörige Summe

J =^F(x)/ix

x₀

bilden, ist n/ix — X — x₀, so daß folgt:

- i2m,

x0

X Xq

x

jF(x)dx

d. h. J : (X — x₀) ist das arithmetische Mittel der n Ordinaten, die in den Anfangspunkten aller n gleichlangen Teilintervalle /ix zu errichten sind. Beim Grenzübergange lim /ix — 0, d. h. lim n = oo, geht J nach Nr. 410 in das von x₀ bis X erstreckte bestimmte Integral über, so daß das arithmetische Mittel gleich

x₀

oder also nach Satz 18 gleich F(xt) wird.

Satz 19: Ist Fix) eine im Intervalle x₀ x <1 X stetige Funktion von x und teilt man das Intervall in n gleiche Teile, so ist das arithmetische Mittel der zu den Anfangsabszissen aller n Teilintervalle gehörigen Funktionswerte F(x) für limn — oo gleich

x

ZF(x)dx-

X₀

Aus Satz 18 folgt noch: Wenn F(x) in einem Intervalle stetig ist, können wir zwei Werte n und m von x, die dem Intervalle angehören, beliebig nahe beieinander wählen, so daß

J*F(x)dx = (m — n)F(x₁)

wird, wobei dann xt zwischen m und n liegt. Indem wir j m — n j hinreichend klein wählen, können wir die rechte Seite absolut genommen kleiner als eine beliebig kleine vorgegebene positive Zahl t machen. Daher:

Satz 20: Ist F(x) in einem Intervalle eine stetige Funktion von x und sind n und m irgend zwei Werte von x, die dem Intervalle angehören, so wird dadurch, daß \m — n\ hinreichend klein angenommen wird, der absolute Betrag des von n bis m erstreckten Integrals von F(x) kleiner als eine beliebig kleine vorgegebene positive Zahl t:

< t.

J*F(x)dx

Es folgt dies übrigens auch daraus, daß dies Integral eine stetige Funktion von m ist.

420. Zweiter Mittelwertsatz. Wir können jetzt den Satz beweisen:

Satz 21 (Zweiter Mittelwertsatz): Sind u und v im Intervalle von x₀ bis X stetige Funktionen von x und hat v überall im Intervalle einerlei Vorzeichen, so gibt es einen Wert uly der zwischen dem größten und kleinsten Werte von u innerhalb des Intervalles liegt und für den die Formel gilt:

X

ß

x₀

uvdx

x

-*/'

Xq

vdx.

Dabei darf x₀ < X oder > X sein.

kv < uv < gv

Ist nämlich k der kleinste und g der größte Wert von u innerhalb des Intervalles, so ist, falls v im ganzen Intervalle positiv ist:

und, falls v im ganzen Intervalle negativ ist:

kv > uv > gv.

Nach Satz 14, Nr. 413, liegt daher der Wert des Integrals

uvdx

in beiden Fällen zwischen:

X

ltvdx und

J*gvdx *0

oder, da k und g konstant sind, nach Satz 15, Nr. 414, zwischen

x

gj*vdx

*0

kJ vdx und

x₀

Dies aber sagt Satz 21 aus, da ux zwischen k und g liegt. Ist insbesondere v im ganzen Intervalle gleich Eins, so folgt der Satz 21 schon aus dem Mittelwertsatze 18 der vorigen Nummer.

Man kann dem Satze 21 eine etwas andere Form geben. Da nämlich u im Intervalle stetig ist und ux zwischen dem kleinsten und größten Werte von u im Intervalle liegt, gibt es nach Satz 6, Nr. 21, wenigstens einen Wert xx von x im Intervalle, für den u gerade gleich ux ist. Daher:

Satz 22: Sind u und v im Intervalle von xQ bis X stetige Funktionen von x und hat v überall im Intervalle einerlei Vorzeichen, so gibt es wenigstens einen Wert xx von x im Intervalle, für den die Formel gilt:

x

ß

x₀

uvdx

X

= Ußl)jl

X₀

v dx.

Dabei darf xQ<CX oder > X sein.

421. Neuer Beweis der Taylorschen Formel. Die

Methode der teil weisen Integration (Nr. 415) liefert einen sehr einfachen und eleganten Beweis des Satzes 19 in Nr. 112, der ja auch ein verallgemeinerter Mittelwertsatz ist und den Taylorschen Satz 20 ebenda nach sich zieht.

Es seien nämlich x und h zwei konstante Größen, dagegen sei t veränderlich und F(x-\- h — t) eine solche Funktion von t,

[4»0, 4ai

die nebst ihren n ersten Ableitungen für alle Werte von t im Intervalle von 0 bis h stetig ist. Die erste Ableitung von F nach t ist — F', die zweite F", die dritte — F'" usw., die Akzente die Differentiationen nach x + h — t andeuten.

wenn

Ist nun m eine der Zahlen 1, 2, ... n — 1, so läßt sich das Integral

J A>‘)(

0

r-¹

(m— 1)!

mittels teilweiser Integration nach der Formel (1) von Nr. 415 umformen, wenn

j.m — 1    ,m

u - FW(X + h - t), also    -ïyT, t> = sl

gewählt wird. Es ergibt sich:

J F^Çx+h—t)

o

tm-l (in — 1) !

j ?<"+‘>(*+Ä-0 £

0

Wählen wir nun die obere Grenze t = h, so müssen wir diese Substitution auch in dem von Integralzeichen freien ersten Summanden rechts machen. Also folgt:

—M.

J FW(x+h-f)

o

*M_1 ^ at

tm

—7 dt.

(m — 1) !

Setzen wir hier nacheinander m = 1, 2, . ,. n — 1 und addieren wir alsdann alle hervorgehenden n — 1 Gleichungen, so ergibt sich, weil insbesondere

dF(x-\-h —t)

dt= — \F(x -f-h—t)]=F(x+h) —F(x)

ist, die Gleichung:

(1 )F(x+h)=F(x) + ~FXx)+^F’\x) + - +

hn~¹

(»—!)!

(»-i)

F(x) + Rnf

worin der Rest Rn den Wert hat:

(2)

h

= fFW(

0

x + h — t)

tn

-1

clt.

(n — 1)!

dem Taylorschen Satze 20 in Nr. 112, wenn alle Ableitungen der betrachteten Funktion F(x-\-h — t) von t — 0 bis t = h, d. h. wenn alle Ableitungen

421]

Die Gleichung (1) führt

zu

der Funktion F(x) im Intervalle von x bis x Ą- h stetig sind und der Rest Bn für lim n = oo den Grenzwert Null hat. Die Gleichung (2) gibt eine neue Form des Bestes, die bisweilen von Nutzen ist.

422. Neue Ableitung der Lagr angesehen und Cauchyschen Restform. Wenden wir den Satz 22 von Nr. 420 auf das in dem Reste Bn auftretende Integral an, indem wir die zu integrierende Funktion von t in das Produkt von

u = FW(x -\-h — t) und v =

tn-x

(n— 1)!

n

= FW(x+0h)/-o

zerlegen, und bezeichnen wir den dort auftretenden Wert xx jetzt, da an seine Stelle ein Wert zwischen 0 und h tritt, mit (1 — d)h, wo 0 einen positiven echten Bruch bedeute, so kommt:

Dies aber ist die Lagrangesche Bestform, siehe (4) in Nr. 112.

Wenden wir dagegen den Satz 22 von Nr. 420 in der Art an, daß wir

und v = 1

wählen, so kommt:

Bn = FM(x + 0h)

(i — e)n~xhn

-i

(i — e)n~ V

(n — 1 j !

F^ix+dh),

und dies ist die Cauchysche Bestform, siehe (5) in Nr. 113.

423. Ein Hilfssatz. Um noch einen anderen Mittelwertsatz abzuleiten, bedürfen wir eines einfachen Hilfssatzes von Abel, den wir jetzt aufstellen wollen.

Es seien t₀, rx, ... rw_t solche n positive Zahlen, von denen jede folgende kleiner als die vorhergehende oder höchstens gerade so groß ist. Dagegen seien t₀, tx, ... tn_x beliebige n reelle Zahlen. Setzen wir nun

(1)

— Po> *o + *i ⁼ Px> ^o + ^i + 4 ⁼ Pa? • • '

+ h + • • ’ + K

-1    Pn-l>

so ist

h Po7 h Pl Po> 4 Pi Pl7 * ‘ " K-l Pn — 1    Pn-27

also

x0^0 + T0l +----H r»-On-l =

+ ^lOx-^o) + Xi(P2-Pl) + • • • + *n-lOn-i-i>w_₂),

daher:

(2) (

*0*0 + T0l + • • • + tn-lin-l =

Po(X0~Xl) H-.Pl Ol-*2) + • • • +Pn-2(Xn-2-Xn-l)+Pn-trn-V Hierin sind alle Differenzen t₀ — r1; tx — t₂, ... tn_₂— rn_1 nach Voraussetzung positiv oder wenigstens gleich Null, und dasselbe gilt von rn_₁. Sind nun A und B> A zwei Zahlen, zwischen denen alle Summen (1) liegen, so ist:

^Oo ~ Ti) ^ JPoOo — ri) ^ -BOo ~ ri)>

Oi r₂) = Pi Oi r₂) = Oi r₂) i

0« - 2    Tn - l) = Pn - 2 On

J^tn-1 ^W-1T»-1 = Btn_x. Addition aller dieser Formeln gibt nach (2):

= T0^0 H" TOi + * • * + rn-On-l = Bt₀.

-2

-*n-i)^0*

-2

Tn-1)7

Also gilt der

Satz 23: Sind r₀, tx, . . . xn_x solche n positive Zahlen, von denen jede folgende Meiner als die vorhergehende oder höchstens gerade so groß ist, und sind tQ, t1} ... tn_x beliebige n reelle Zahlen, so ist, falls alle Summen

to’    t₀ H⁻ h H“ * * ‘ ^0 H“ h + ' * • + tn-i

zwischen den Zahlen A und B> A liegen, auch

ATq    hh^l H-----V rn-lin-x ^ -®r0>

424. Dritter Mittelwertsatz. Wir betrachten nun das

Integral

x

J*uvdx, *0

dessen obere Grenze X > x₀ sei. Wir setzen voraus, daß u und v im Intervalle x₀ x <i X stetige Funktionen von x seien, und außerdem soll v beständig positiv sein und abnehmen wenn x von x₀ bis X wächst.

Schalten wir zwischen x₀ und X irgend welche Werte xlt x₂, . . . xn_x in steigender Reihe ein, so ist das yorgelegte Integral nach Nr. 410 der Grenzwert der Summe J = U (z₀) V (xQ) (xx - x₀) + u (xx) V (xx) (x₂ —xx) + •. • + U (xn_x) V (;X„_x]) (X - X„_, ), und zwar derjenige Grenzwert, der sich ergibt, wenn alle Differenzen xx — x₀, x₂ — x₁₇ ... X — xn_x nach Null streben und ihre Anzahl n dementsprechend über jede Zahl wächst.

Alle diese Differenzen sind übrigens positiv.

Setzen wir nun:

*0 = v(Fo)> T1 = VM> ■ • • rn-1 = v(XH_ x),

so bilden t₀, tx,. . . rn_x nach der über v(x) gemachten Voraussetzung eine abnehmende Reihe von lauter positiven Zahlen wie in Satz 23 der vorigen Nummer. Setzen wir außerdem to = u(x₀)(Xi-Xo), tx=u(xx)(x,-arj),    =

so können wir daher den Hilfssatz 23 anwenden. Es bedeute also A eine Zahl kleiner als alle Summen: t₀ = u(x₀)(xx - x₀),

(1)

t₀ + tx = u (x₀) (xt — x₀) + u (xx) (x₃ — xx),

to+ti + -’- + tn-i = u(xo) («1—«o) + u <X) (®*—*i) + • • • + w (xn_x) (X—xn_x) und B eine Zahl größer als alle diese Summen. A darf auch gleich der kleinsten und B gleich der größten aller n Summen sein. Alsdann folgt aus dem Hilfssatze, daß

(2)

Av(xo)    J Bv(x₀)

ist.

Wenn alle Differenzen xx — x₀, x₂ — xx, ... X— xn_x nach Null streben, indem ihre Anzahl n über jede Zahl wächst, geht aus J das vorgelegte Integral hervor. Dagegen gehen die Summen (1) über in die Gesamtheit aller Integrale von der Form:    *

(3)

J udx,

Xq

worin die obere Grenze x alle Werte von x₀ bis X haben kann. Es möge also A den kleinsten Wert bedeuten, den dieses Integral (3) annimmt, wenn x von ir₀ bis X wächst, und B seinen größten Wert. Nach (2) liegt dann

S e r r e t - S c h e f f e r s, Diff.- u. Integral-Rechnung. II. 4. u. 5. Aufl.    4

x

(4)

uvdx

v(x₀ )Jl

x₀

zwischen diesem Minimum und Maximum. Das Integral (3) ist aber nach Satz 6, Nr. 410, eine stetige Funktion der oberen Grenze x im Intervalle x₀ <1 x X. Also erreicht es jeden zwischen dem Minimum und Maximum gelegenen Wert wenigstens einmal, nach Satz 6 von Nr. 21. Für wenigstens einen Wert | von x zwischen x₀ und X hat es mithin gerade den Wert (4). Daraus folgt, daß es einen Wert £ im Intervalle derart gibt, daß:

(6)

ist.

X

^u(x)v(x)dx = v *0

(#₀)Ju(x)dx

x₀

Wir hatten angenommen, daß v(x) beständig positiv sei und abnehme, wenn x von x₀ bis X wächst. Wenn dagegen v(x) beständig positiv ist und mnimmt, sobald x von x₀ bis X wächst, machen wir die Substitution x = — t, wodurch das vorgelegte Integral nach Nr. 417 in das Integral

-J*w(— t)v{— t)dt

oder

J u(— t)v(— t)dt

—x₀

übergeht (vgl. Satz 8, Nr. 412). Hier ist wieder die untere Grenze — X kleiner als die obere Grenze — x₀. Während t alle Werte von — X bis — x₀ durchläuft, nimmt x alle Werte von X bis x₀ an, so daß v(— t) oder v(x) dabei beständig ab-ninimt. Wir kommen also zu den früheren Annahmen zurück, und es folgt, daß ein Wert — £ im Intervalle — X<I —— x0 existiert derart, daß entsprechend (5)

Xq

J\u(— t)v(— t)dt = v(X)J*u(— t)dt

—x

ist. Wenn wir wieder x = — t einführen, kommt:

*0

(X)Ju(cc)dx

X

-J*iu(x)v(x)dx =

X

§ 5. Integration und Differentiation unendlicher Reihen.

oder nach Satz 8, Nr. 412:

Brief- c'\ I^ienpe/^;

S*rsu c4

(6)

J u(x)v(x)dx = x0

v(X) / u(x)dx.

Mithin ergibt sich aus (5) und (6) der

£4 (Dritter Mittelwertsatz): Sind u(x) und v(x) ï’m Intervalle x₀ x X stetige Funktionen von x und ist v (x) im ganzen Intervalle positiv, so gibt es, falls v(x) beständig abnimmt, wenn x alle Werte von x₀ bis X durchläuft, wenigstens einen Wert £ im Intervalle xQ ^ X derart, daß

x

udx

J*uvdx = v(x₀)J*!

x₀    x₀

ist, dagegen, falls v(x) beständig zunimmt, wenn x alle Werte von x₀ bis X durchläuft, wenigstens einen Wert % im Intervalle x₀£t£X derart, daß

ist.

x

/•

xo

uvdx

udx

§ 5. Integration und Differentiation unendlicher Reihen.

425. Gleichmäßige Konvergenz. Yon solchen unendlichen Reihen, die eine Veränderliche x enthalten, haben wir bisher nur einen besonderen Fall, nämlich die Potenzreihen, betrachtet. (Vgl. Nr. 112 und Nr. 363.) Jetzt wollen wir allgemeiner annehmen, daß uQ, u1} w₂, . . . un, . . . eine unbegrenzte und nach irgend einer Vorschrift gebildete Folge von Funktionen einer Veränderlichen x seien. Alle diese Funktionen seien in dem Intervalle A < x < B stetig. Konvergiert die Reihe u₀ + ux -f- u.₂ + • • • für jedes x dieses Intervalles, so ist ihre Summe

(i) eine im Intervalle A < x < B definierte Funktion von x.

Man darf aber den Satz 13 von Nr. 23 über die Stetigkeit einer Summe von stetigen Funktionen nicht ohne weiteres auf eine unbegrenzte Anzahl von Summanden ausdehnen. Es

[484, 485

steht daher noch gar nicht fest, ob die Funktion f(x) stetig ist, falls alle einzelnen Summanden u₀, ux, . . . un, . .. stetig sind.

Vielmehr ist es für die folgenden Untersuchungen unerläßlich, vorauszusetzen, daß die unendliche Reihe (1) im Intervalle A < x < B gleichmäßig konvergiere. Was unter der gleichmäßigen Konvergenz zu verstehen ist, geht schon aus der Definition in Nr. 364 hervor, die sich allerdings auf den Bereich der komplexen Zahlen bezieht, während wir hier im Bereiche der reellen Zahlen verbleiben. Danach lautet die Definition der gleichmäßigen Konvergenz: Es soll stets, wie klein auch eine positive Zahl 6 gewählt sein mag, einen Index n derart gehen, daß für jedes x im Intervalle A < x < B und für jeden Index m ^>n der absolute Betrag des Bestes

TO + 1

BJX) =    + U

kleiner als 6 wird:

(2)

I Rm(x) I <<*•

Unter dieser Voraussetzung läßt sich zeigen, daß auch die Summe f(x) der Reihe (1) eine stetige Funktion von x ist, und zwar so: Die Summe fm(x) der m ersten Glieder der Reihe (1):

fm(X) = wo +    + • • • -f um_₁

verhält sich nach Satz 13 von Nr. 23 im Intervalle A < x < B

stetig, da die Zahl der Summanden endlich ist. Ferner ist Bm(xj gleich f(x) — fm(x) und daher nach (2) für jedes x im Intervalle

I f(X) ~ fm(X) I < <*•

Bedeutet xx irgend einen bestimmten Wert im Intervalle, so ist also auch:

! f(Xl) ~ fm(Xl) I < <*.

Nach Satz 3, Nr. 20, gibt es ferner, wie klein auch die positive Zahl 6 gewählt sein mag, um die Stelle xx herum ein Intervall

xx — h < x < xx + h derart, daß für jedes x innerhalb dieser Umgebung

I frn(X) ~ fm(Xl) I < *

wird, weil fm(x) stetig ist. Überdies gilt die Zerlegung: f{x)-f(xf) = [f(x)-fm(x)] - [/‘OÜ-ZmOu)] + [fm(x)~L(xi)l

485]

Also folgt aus den drei vorstehenden Ungleichungen nach Satz 2, Nr. 4:

I /■(«) - fOi) I <

sobald xx — h < x <    + h ist. Aber 3 6 ist eine beliebig

jeder Stelle xx innerhalb des Intervalles

an

kleine positive Zahl. Also bedeutet dies Ergebnis nach Satz 3, Nr. 20, daß f(x)

von A bis B stetig ist. Daher gilt der

Satz 25: Sind die Summanden der unendlichen Reihe

f{x) = u₀ + ux + • * • +    + • • •

im Intervalle A < x < B stetige Funktionen der Veränderlichen x und konvergiert die Reihe im ganzen Intervalle gleichmäßig, so ist die Summe f(x) der Reihe eine überall innerhalb des Intervalles stetige Funktion von x.

426. Integration gleichmäßig konvergenter unendlicher Reihen. Wir können nun den Satz beweisen: iSatz 26: Sind die Summanden der unendlichen Reihe f(x) = u₀ ux -f • • • + un -f- • • •

im Intervalle A < x < B stetige Funktionen der Veränderlichen x und konvergiert die Reihe im ganzen Intervalle gleichmäßig, so ist auch die unendliche Reihe

xx    x

j*u₀dx + j*uxdx + • • • -\-J*wndx + • •

Xq    Xq    Xq

gleichmäßig konvergent und ihre Summe gleich dem Integrale

x

J*f(x)äx,

*0

falls die Integral grenzen x₀ und X im Innern des Intervalles von A bis B liegen, d. h. : Eine gleichmäßig konvergente unendliche Reihe darf gliedweise integriert werden.

Zum Beweise setzen wir wie in voriger Nummer

fV) = U*) + KSX)-

fm(x) gilt>

Da f(x) nach Satz 25 stetig ist und dasselbe von ist auch Rm(x) als die Differenz beider Funktionen stetig. Alle drei Funktionen haben folglich nach Satz 6, Nr. 410, im Intervalle stetige Integrale, so daß kommt:

XXX

(1)

Jfix) d x =j fm(x)dx +jEm(x)dx,

Xo    *0    *^0

sobald x₀ und X innerhalb des Intervalles von A bis JB liegen. Nach dem Mittelwertsatze 18, Nr. 419, gibt es einen Wert x1 zwischen x₀ und X, für den

x

(2)

fKS,x)dx = (X-x^R^x,)

xo

ist. Dieser Wert xx wird im allgemeinen für verschiedene Werte von X verschieden sein. Aus (1) und (2) folgt:

x    x

(3)

f f(x)dx =y fm(x)dx 4- (X-x₀)Rm(x ₁).

Xq    Xq

Wegen der gleichmäßigen Konvergenz der vorgelegten Reihe gibt es, wenn 6 eine beliebig klein gewählte positive Zahl bedeutet, einen Index n derart, daß für jedes x im Intervalle von A bis B und für jeden Index m^n auch | Rm | < ö ist. Beim Grenzübergange limm = oo folgt also aus (3):

Es ist aber nach Satz 13 in Nr. 413:

so daß sich ergibt:

umdx 4----.

Diese unendliche Reihe ist hiernach konvergent. Aber es erübrigt noch der Beweis, daß sie für jedes X im Intervalle von A bis B gleichmäßig konvergiert.

Zum Beweise bezeichne fHm(X) denjenigen Rest der Reihe (4), der nach Streichen der m ersten Glieder hervorgeht, so daß wir haben:

x    x

ff(x)dx=Jfm(x)dx + $im(X)

Xq    xo

Vergleichung mit (3) lehrt, daß

K(X) - (X-x„)Sm(Xl)

nun

ist, wobei wir wissen, daß xt zwischen x₀ und X liegt. Da |    | < 6 für mjj>n ist, folgt:

Im Intervalle von A his B ist | X — x₀ | kleiner als | A — JB |, mithin:

Wählen wir eine beliebig kleine positive Zahl t und setzen wir dann 6 = t : | A — B |, so folgt, daß [ $Rm(X) | < t ist und zwar für jedes X innerhalb des Intervalles von A bis JB und für jeden Index mj>n, d. h. die Reihe (4) konvergiert innerhalb des Intervalles von A bis B überall gleichmäßig.

427. Differentiation gleichmäßig konvergenter unendlicher Reihen. Es liege jetzt wieder eine im Intervalle von A bis B gleichmäßig konvergente unendliche Reihe

(1)

F{x) = v₀ + vx -1----+ vnĄ----

von lauter stetigen Funktionen vQ, vlf ... vn, ... von x vor. Wir fügen jedoch noch die Voraussetzung hinzu: Die Funktionen v₀, vu ... vn} ... sollen überall im Intervalle stetige Ableitungen haben, und die unendliche Reihe dieser Ableitungen

(2)

soll ebenfalls im Intervalle gleichmäßig konvergieren. Nach unserem letzten Satze ist alsdann:

xxx    x

J f{x) dx =J*v'Q dx 4-J*v[ dx + •••■+■J*vn dx + • •

Xq    X₀    Xq    Xq

falls x₀ und X innerhalb des Intervalles gewählt sind, und diese Reihe konvergiert gleichmäßig. Sie läßt sich so schreiben:

x

Jr(x) dx = v₀(X) - v₀(x₀) + v₁(X)-v₁(x₀)-j-----1- vn(X) - vn(x₀) + -■

x₀

x

Addieren wir F(x₀), so kommt nach (1) und nach Satz 6, Nr. 103:

Jf 0*0 dx + FOo) = % (x) + »! W + •••+«„ (X) + •• •

*0

Differentiation nach X gibt nun:

Hieraus und aus (2) folgt für jedes X im Intervalle:

Ark«+»₁(x) + -"+*>»(V)+"-]-

Somit gilt der

Satz 27: Sind die Summanden der unendlichen Reihe F(x) = v₀+ vt -I-----b vnĄ----

im Intervalle von A lis B stetige Funktionen von x mit stetigen Ableitungen v'Q, v[, ... v'n, ... und konvergiert sowohl diese Reihe als auch die unendliche Reihe

f(x) = Vq + v[ -\-----b v'n -f • • •

innerhalb des Intervalles überall gleichmäßig, so ist f(x) die Ableitung von F (x), d. h.: Eine gleichmäßig konvergente unendliche Reihe darf gliedweise differenziert werden, sobald auch die dadurch hervorgehende unendliche Reihe gleichmäßig konvergiert.

428. Beispiele, Die beiden letzten Nummern zeigen, daß die Sätze von der gliedweisen Differentiation einer Summe und von der gliedweisen Integration einer Summe, nämlich Satz 12 von Nr. 34 und Satz 13 von Nr. 413, unter gewissen Bedingungen auch auf unendliche Reihen ausgedehnt werden können. Wir heben hervor, daß die Bedingungen für die Differenzierbarkeit viel mehr yerlangen als die für die Integrierbarkeit.

Liegt insbesondere eine Potenzreihe

Cq + ^ (« — x₀) + c₂ (X — x₀)* -1-----b cn (x - x₀)n H----

vor, so folgt aus Satz 13, Nr. 364, daß sie, falls x komplex ist, innerhalb ihres Konvergenzkreises gleichmäßig konvergiert. Ist r der Konvergenzradius, so ist folglich die Reihe, wenn c₀, clf c₂, ... cn, ... ebenso wie x und x₀ reell sind, gleichmäßig konvergent für \x — x₀\ < r, dagegen divergent für | x — x₀ | > r. Die Potenzreihen liefern uns daher Beispiele für unsere Sätze. 487, 488]

1. Beispiel: Nach Satz 1, Nr. 101, ist die Reihe

(1)

= 1 - æ² + x⁴-x* + • • •

im Intervalle —1<#<+1 gleichmäßig konvergent. Wählen wir x₀=0, so gibt die Integration:

(2)

IT Y5 Y8 Y7

arctgX-T-T+x-T + ...

für |Xj<l. Dabei ist der Arkus im Intervalle von bis -f- jit zu wählen, weil arc tg x₀ = arc tg 0 = 0 angenommen wurde. Man kann hieraus schnell konvergierende Reihen für die Zahl it gewinnen. Z. B. ist 4 arc tg gleich arc tg Da andererseits arc tg 1    ist, folgt:

jt = 4 arc tg|- —arctg 2I9,

120

119 •

also nach (2):

* = 16[W(ł)³+ł(i)⁵-'--]

— 412» — ł (sss)⁵ + ł (œ)⁵

Brechen wir die erste Reihe nach der 17., die zweite nach der 5. Potenz ab, so ergibt sich hieraus auf 12 Dezimalstellen genau

% = 3, 141 592 653 590.

Die Reihe (2) geht auch aus der Maclaurinschen Entwicklung hervor. Ist nämlich y — arc tg x, so ist y = cos² y oder y = cos y sin (y -(- ^ n). Hieraus folgt durch Schluß von n auf n -j- 1 leicht:

sin \n (arc tg x -f- ^ 7t) \

y(n) = (n — 1) ! cos” y sin \n (y -f ■§-#)] = (n — 1) !

wo die Wurzel positiv ist, weil sie cos y > 0 vorstellt. Nach Satz 24 von Nr. 116 ist also:

/y» 3    /y»Ö

Y + T----+ (-¹)"“¹

arc tg x — wobei die Cauchysche Restform gibt:

= sin [2n (arc tg Ox -(- j ^)] *

a;²”"¹

2 n>

₍₁_Q₎2n-la;2»

(l + 0²a:²)”

Sie zeigt, daß lim i?2w = 0 für limw=oo wird, sobald j x | < 1 ist, und auch noch für x = i 1. Für x = + 1 geht die alleres

I. Kap. Das Integral.

58

dings sehr langsam konvergierende Reihe für n hervor, die Leibniz fand:

TC

2. Beispiel: Nach der Binomialformel (4) in Nr. 125 gilt für |#|<1 die gleichmäßig konvergente Reihe:

l • 3 2-4

1-3-5

- = 1 + -^² + yi — x*    ²

wenn die Wurzel positiv ist. Satz 26 von Nr. 426 gibt, wenn x₀ = 0 gewählt wird, für | X ] < 1 :

1 • 3 X5 2-4 5

(3)

x⁴ -f-

2-4-6

1 • 3 ■ 5 X⁷

2-4-6 7

+ • -,

wobei der Arkus zwischen —jst und -f liegt. Für X > 1 ist die Formel sinnlos. Die Reihe (4) ist dagegen, behaupten wir, noch für X = ± 1 konvergent und liefert alsdann:

. I 4. ...

7    '

Die Konvergenz von (5) kann man so beweisen : Das (n -f- l)te Glied der Reihe ist

Un =

(5)

toll-*

jt —

“I-

2-4-

1 • 3 • 5 • ■ • (2 n — 1)

2w’-f 1 ’

also der Quotient aus diesem und dem vorhergehenden Gliede un_t :

(6)

un

(2 n — 1)

2 n (2 n 1)

CO

(2 n -f 1)1 + ?

Zur Yergleichung ziehen wir nun die Reihe ¹    4-    ¹

^7 +

- (2n ~ ¹\1+Q \2« 4- 1/

heran; aus Nr. 105 können wir entnehmen, daß sie für q > 0 konvergiert. Man ist nun imstande, die positive Zahl q so zu wählen, daß der Quotient (6) kleiner wird als der entsprechende Quotient

vn

vn-i

aus dem nten und (n — l)ten Gliede der Reihe (7), und zwar von einem bestimmten Index n an. In der Tat läßt sich nämlich vn\vn_i in der Form

Vn-1

4Ä81

nach der Binomialreihe in Nr. 125 entwickeln, sobald der Index n > 1 ist, und zwar ergibt sich eine Reihe mit abwechselnd positiven und negativen Gliedern:

l + P 2    , (1 + <>)(2 + g)

1! 2n — 1

»H-l

2!

\2n —1/    ⁷

deren absolute Beträge vom dritten an beständig abnehmen, falls nur die positive Zahl p < f (2n — 3) ist. Dies aber kann man annehmen, wenn n > 1 ist, indem man p < f wählt. Alsdann wird also die binomische Reihe, falls man sie nach ihrem zweiten Gliede abbricht, gewiß zu klein. Somit folgt für n > 1 und 0 < p < -| :

vn

>1-

2(1+ g)

2n — 1

Hieraus und aus (6) ergibt sich unter denselben Bedingungen:

»«

4 (2ç —    4 0 -f- 3)n — 1

Un- 1

(2« — 1) 2 « (2 w -f- 1)

®«-l

Der Nenner rechts ist für alle Indizes w> 0 positiv, der Zähler dagegen stets von einem gewissen Indexwerte n = m an immer negativ, wenn man den Faktor von w² negativ, also 2p — 1 < 0, d. h. p zwischen 0 und wählt. Tut man dies, so folgt also, daß bei den beiden Reihen (5) und (7), deren Glieder sämtlich positiv sind, für jeden Index n^>m

un < v,i

Vn-1

«n-1

wird.

Hieraus ergibt sich weiterhin, daß dann auch

Um +    +1 + Um + 2 + " ‘ < ^ ('Vm + V

ist, und da rechts in der Klammer eine konvergente Reihe steht, ist somit die Konvergenz der Reihe (5) bewiesen.

+ •••)

Zweites Kapitel.

Integrale von elementaren Funktionen.

§ 1. Integration der rationalen Funktionen.

Wenn wir auch in Nr. 44

429. Vorbemerkung.

unter den elementaren Funktionen nur gewisse sehr spezielle Funktionen verstanden haben, mag doch von jetzt an überhaupt jede solche Funktion elementar heißen, die wir auf Grund der Differentiationsregeln von § 2 bis § 5 des 2. Kap., 1. Bd., zu differenzieren imstande sind. Elementar nennen wir also diejenigen Funktionen, die aus den in Nr. 44 angeführten speziellen elementaren Funktionen durch eine endliche Anzahl der dort angegebenen Operationen zusammensetzbar sind.

Nach Satz 6 von Nr. 410 hat jede elementare Funktion, sobald sie in einem Intervalle stetig ist, auch Integrale, die in demselben Intervalle ebenfalls stetig sind. Es liegt jedoch kein Grund zu der Erwartung vor, durch die Integration von elementaren Funktionen wieder zu elementaren Funktionen zu gelangen. In dem besonderen Falle, den wir in diesem Paragraphen betrachten wollen, ist es allerdings so.

Daß zunächst die Integrale der ganzen rationalen Funktionen in der Tat elementar und zwar wieder ganze rationale Funktionen sind, zeigt das erste Beispiel in Nr. 414. Wir wenden uns zu den gebrochenen rationalen Funktionen.

430. Allgemeine Integration einer gebrochenen rationalen Funktion. Es sei F(x) : f(x) eine gebrochene rationale Funktion von x. Nach Nr. 379 dürfen wir annehmen,

4Ä9, 430]

daß sie auf eine solche Form gebracht sei, in der die ganzen rationalen Funktionen F(x) und f{x) relativ prim sind. Ferner nehmen wir an, die Funktion f(x) sei schon in ihre verschiedenen linearen Faktoren zerlegt worden:

f(x) = (x — a)a (x — by • • • (x — iy,

so daß a, b, ... I voneinander verschiedene Konstanten und <x, ß, ... 1 ganze positive Zahlen bedeuten. Wir haben hier wie in Nr. 383 angenommen, daß der Koeffizient der höchsten Potenz von x in f(x) gleich Eins sei. Dies ist statthaft, denn man kann den Bruch F(x) : f(x) dadurch, daß man ihn mit einer Konstanten erweitert, stets auf eine solche Form

bringen.

Nach Satz 2 in Nr. 383 läßt sich nun die vorgelegte gebrochene Funktion so darstellen:

F(x)

Ai

(x — «)“

(x— a)

cc—l

(1)

i Aa — 1

"* x — a

(x—b)? (x — by

{x - V)¹

2-1

2-1

F G(x).

{X— l)

Dabei bedeuten A, Av ... Aa_v B, Bv... B Konstanten, von denen A, B, ... L sämtlich von Null verschieden sind, während G(x) eine ganze rationale Funktion ist. Diese Summe kann nach Satz 13 von Nr. 413 gliedweise integriert werden. Das letzte Glied G(x) liefert dabei nach voriger Nummer eine ganze rationale Funktion H(x).

Da ferner nach (1) und (2) in Nr. 402:

(i-v •

.. L,LV... Lx_i

rdt

J tn

¹    . -j- konst. für n =(= 1, ( ~ =

(n — l)t x '    ^ ’J t

ln t + konst.

ist, woraus durch die Substitution t — x — c folgt:

/'•

(*-«)*

(n — 1) (x — c) ”

y- -f- konst. für n =j= 1 ;

J^zrc = ln (x — c) + konst.,

62

Kap. II. Integrale von elementaren Funktionen, so ergibt die Integration

F{x)

dx = —

icc— !)(»—«)“■

(a — 2)(#— a)“⁻²

(0 — 1 ){x—bf~¹ (ß — 2)(x — bf~²

/t-1

(1-1) (*-o

-f- II ix) + konst

[X — 2) {x — l)

----x—b + Bp-1 ln — &)

-----x—I + ln (x — 0

Das unbestimmte Integral einer gebrochenen rationalen Funktion ist also darstellbar als eine Summe von rationalen und logarithmischen Funktionen. Dies ist jedoch nur ein vorläufiges Ergebnis, denn die Nullstellen a, b, ... I des Nenners f{x) können zum Teil oder sämtlich komplexe Zahlen sein, so daß dann in der letzten Formel rechts noch mit imaginären Größen behaftete Glieder auftreten. Da wir bisher nur über die Integration von reellen Funktionen gesprochen haben, ist unser Ergebnis in diesem Falle vorläufig geradezu unbegründet. Wir werden in Nr. 432 sehen, daß es dennoch auch im Falle komplexer Nullstellen des Nenners zu dem richtigen reellen Ergebnisse führt.

Außerdem ist hervorzuheben, daß wir x auf ein solches Intervall zu beschränken haben, wo der Integrand F ix): fix) stetig ist, d. h. auf ein Intervall, das keine der Stellen a,b, ... I enthält. Ist ferner z. B. x — a < 0, so muß nach der zweiten Formel (2) gesetzt werden.

431. Bedingung dafür, daß das Integral einer rationalen Funktion auch rational wird. Da das Integral einer ganzen rationalen Funktion stets rational ist, sehen wir von diesem Falle ab und betrachten eine wirklich gebrochene rationale Funktion F ix): fix). Die letzte Formel der vorigen Nummer zeigt, daß das Integral rational ist, wenn einzeln

Aa_t = 0, Bß_x

ist. Da A, B, . . . L nach Satz 2, Nr. ; schieden sind und andererseits mit Aa_x,

430, 431]

von

Nr. 402 statt ln ix — a) der Wert ln (a — x)

= 0, • • • Lx_x = 0

So Kl

, von Null ver-. . L

-i? •

;.-i

zu-

sammenfallen, wenn « = 1, ß = 1, • • • A =■ 1 ist, muß also vor allem gefordert werden, daß der Nenner f(x) keine einfache Nullstelle habe, d. h. daß a > 1, /3 > 1, . . . A > 1 sei.

In Nr. 390 sahen wir nun: Wenn man

F(x)

, ik(x) = (x — by x F(x)

(p (x) = (x — ä)

a F{X)

fix) co (x) = (x — l)

setzt, wird

^a — l

9>

(a-l)

(fl)

> ~~

(ß 1) ! ’

(« — !)!

Also ist das Integral dann und nur dann rational, wenn die Bedingungen erfüllt sind:

(1)

<p(a-1)(a) = 0, ^-i)(ft) = 0, •.. o0-i)(7) = 0 (a>l, 0>1, ... A>1).

Die Anzahl der Bedingungsgleichungen ist gleich der Anzahl der verschiedenen Nullstellen von f(x).

Ist der Grad des Zählers F(x) um mindestens zwei Einheiten kleiner als der des Nenners fix), so verringert sich die Anzahl der Bedingungen um Eins. Denn wenn f(x) vom wten Grade und F(x) vom höchstens (n — 2)ten Grade ist, enthält die Partialbruchzerlegung (1) in Nr. 430 keine ganze rationale Funktion G(x)- außerdem ist dann a 4 ß • • ■ + A gleich n. Bringt man nun alle Partialbrüche auf den gemeinsamen Nenner f(x), so wird der Zähler vom (n — l)ten Grade in x, muß aber gleich F(x), also vom höchstens (n — 2)ten Grade sein. Daher muß dabei x1l~x den Koeffizienten Null erhalten, und somit ist dann:

oder

Aa_₁ -P B

+ ... + A

(ür-l)

(q) yV-'Xb)

(«-1)1 ^ (ß-1)!

so daß also eine der Bedingungen (1) eine Folge der übrigen wird. Die Formel (2) umfaßt übrigens als besonderen Fall, nämlich für «== /3 ==••• = A = 1, die des Satzes 5 in Nr. 386.

[431

(2)

<p

ffi—0,

432. Erste Methode zur Integration einer rationalen Funktion mit komplexen Nullstellen des Nenners.

Wie in Nr. 430 gesagt wurde, müssen wir die dort gegebene Methode noch ergänzen, wenn der Nenner fix) der zu integrierenden Funktion F(oc) : f(x) komplexe Nullstellen hat. Da wir uns auf reelle Funktionen beschränken (vgl. Nr. 399), nehmen wir dabei an, daß die Koeffizienten von F(x) und f(x) sämtlich reell seien. Ist nun Ji -f- ik eine gerade w-fache Nullstelle des Nenners, so gilt dasselbe nach Satz 24, Nr. 378, auch von h — ik. Diese beiden Nullstellen liefern in der Partialbruchzerlegung (1) von Nr. 430 zwei Summen von der Form:

Ji

(x — h — ik)m~

¹ '    ' x — ln — ik

— h -j- ik

(x — h — i k)m

Si

_1_+

(* — h + ik)m (x — h + ik)m ~

nach

Dabei lassen sich die Koeffizienten B, Blf ... B Nr. 390 durch ein Verfahren berechnen, das ebenso für S, Slf zu benutzen ist und sich dann von jenem nur dadurch unterscheidet, daß anstatt h -f- ik der Wert h — ik zu

... s

m—1

nehmen ist. Daraus folgt, daß B und S, ebenso Bx und S₁ usw., schließlich ebenso B

konjugiert komplex sind. Die zu betrachtenden Glieder der Partialbruchzerlegung haben mithin die Form:

und S

m—1

M + iN

Mx -f iNx

(1)

(x — h — ik)

(x — h — ik)m~

l H-----V

-f- i -V/i — 1

x — h — ik

M — iN

My — iNx

M-m — 1    ^ rn — 1

(x — h + ik)m~

x — h -f- ik

{x — h -f- ik)

Nehmen wir vorläufig, ohne die dazu eigentlich nötige Begründung, die Integration so vor, als ob alle diese Glieder nur reelle Konstanten enthielten, so liefern die beiden in (1) übereinander stehenden Summanden

M-\-iN (x — h — i k)m

nach Nr. 430 das Integral:

(2)

M — iN

ix — h -f ik)m

(3)

M+iN

M — iN

(m — 1) (x — h — ik)m 1

Die Summe (3) ist reell, denn wenn darin i mit — i vertauscht wird, ändert sie sich nicht. Die reelle Form geht sofort hervor, wenn man die Brüche auf einen Nenner bringt. Um also zu erkennen, daß diese Methode der Integration im Bereiche der komplexen Zahlen erlaubt ist, genügt es zu beweisen, daß die Ableitung der reellen Funktion (3) in der Tat die Funktion (2) ist, wobei angemerkt sei, daß die Summe (2) ebenso wie die Summe (3) nur scheinbar komplex ist. Diesen Nachweis kann man für die Summanden in (3) einzeln führen, da ja nach Nr. 368 auch im Bereiche der komplexen Zahlen die Regeln für die Differentiation einer Summe und einer ganzzahligen Potenz gelten. Man sieht nun sofort, daß die Summanden von (3) differenziert die von (2) ergeben.

Derselbe Schluß gilt für jedes andere Paar von übereinanderstehenden Summanden des Ausdruckes (1), abgesehen von dem letzten Paare. Dieses Paar

(4)

x — h — ik

x — h -j- ik

ergibt nämlich, wenn wir unbekümmert um die auftretenden imaginären Größen die gliedweise Integration ausführen, das Integral: wo wir wie in Nr. 376 das Zeichen Ln statt ln benutzen, weil es sich um Logarithmen im Bereiche der komplexen Zahlen handelt. Nun können wir die Summe (4) auf die reelle Form bringen:

(6)

Andererseits können wir, wie sogleich gezeigt werden soll, auch die Summe (5) auf eine reelle Form bringen. Ist dies geschehen, so genügt es, um die Richtigkeit der angewandten Methode zu beweisen, nur noch zu zeigen, daß die reelle Funktion (5) als Ableitung die reelle Funktion (6) hat.

Um den Ausdruck (5) auf eine reelle Form zu bringen, bedenken wir, daß

X — ll — ilc = Ÿ(x — hy + 7c² -

1 -f- iw

- iw

ist, wenn

(8)

IV

x — h — Y(x — h)ÿ -j-

gesetzt wird. Diese Größe w ist reell. Nun ist nach Nr. 376 und nach (7)

l -f- iw 1 — iiv ’

Ln (x — h — ih) = ln }/(x — h)² -f h² -f Ln

also nach (1) in Nr. 377:

Ln (x — h — ih) = i ln ((x — li)² -f- Æ²] + 2 i arc tg w. Ebenso kommt:

Ln (x — h -j- ih) — ln [(ä; — ii)² 4- h²J — 2i arc tg w.

Setzen wir diese Werte in (5) ein, so nimmt die Summe (5) die reelle Form an:

— h —Y(x - hy -f k⁸

(⁹) Mm -1ln [(^ -    + k²] - 4 Nm _ ! arc tg -

Sie läßt noch eine Yereinfachung zu. Setzen wir (x — h):h = z, so ist die auftretende Arkusfunktion, nämlich

arc tg (z —Ÿz² -f l),

ein Winkel, dessen Tangens den Wert    -f 1 hat. Der

Tangens des doppelt so großen Winkels ist gleich — 1 : z, daher:

— arc

tg f^ = arc tg — = arc ctg z

— 2 arc tg (z — Yz² + l) =

= --- 7t — arc tg z.

Da eine additive Konstante bei der unbestimmten Integration gleichgültig ist, können wir folglich den Ausdruck (9) durch

— h

(10)

Mm-₁ln[(x-h)²+h²]-2Nm

-i

arc tg X k

ersetzen.

Wenn wir diese reelle Funktion von x differenzieren, geht in der Tat der Ausdruck (6) hervor. Damit ist der Beweis dafür erbracht, daß wir zunächst ohne Rücksicht auf auftretende imaginäre Konstanten wie in Nr. 430 integrieren dürfen. Fassen wir nachher je zwei konjugiert komplexe Ausdrücke zu einem zusammen, und ersetzen wir die Logarithmen von imaginären Größen nach Formel (1) von Nr. 377 durch 433]

Summen von Logarithmen und Arkusfunktionen von reellen Größen, so ergibt sich schließlich das Integral der gebrochenen rationalen Funktion in seiner exakten reellen Form.

433. Zweite Methode zur Integration einer rationalen Funktion mit komplexen Nullstellen des Nenners.

Dies Verfahren, bei dem wir im Gegensätze zu dem in voriger Nummer vorgetragenen durchaus im Bereiche der reellen Zahlen verbleiben, beruht auf der in Satz 10 von Nr. 395 aufgestellten reellen Partialbruchzerlegung von F(x) : f(x), die wir gliedweise integrieren. Jene Zerlegung zeigt, daß die Integration geleistet werden kann, sobald wir Integrale von der Form:

(i)

Q j

(æ* + px + q)m

auszuwerten imstande sind. Darin bedeuten P, Q, p, q reelle Konstanten, und m ist eine positive ganze Zahl. Weil x² -f px + q nach Nr. 394 die Form

x² + px -f q = (x — h — ik)(x — h + ik) = (x — h)² + k2 hat, ist dabei p = — 2h und q = h² -f- k², also umgekehrt Ä = - k = Yq \p²,

wobei der Radikand positiv ist und k mit beliebigem Vorzeichen, gewählt werden darf. Es ist also:

Px ±Q

{x* + px-\-q)

dx =

rx+Q

[(as —ä)*4- Ff¹

dx.

Einen speziellen Fall dieses Integrals haben wir im 2. Beispiele in Nr. 418 erledigt. Wir machen hier dieselbe Substitution wie dort, indem wir

(2)

x = h -f kt

setzen, so daß sich ergibt:

Px+Q

(æ⁸ + px + q)m

dx =

p r tdt

Ph + Q r dt

vë’+ïr'

Weil tdt = jd(t² -fl) ist, kommt insbesondere für 1:

(4)

tdt

0* -f i)m

2 (m — 1)0*4- l)m~

Y -f konst.,

[438, 433

dagegen für m = 1 :

(5)

tdt

* ln(7² -f- 1) konst.

i*-f 1

Es erübrigt also nur noch, das in (3) auftretende letzte Integral zu berechnen. Weil

(f² + l)m    (t[2 + i)m~¹    (i² -f- l)w

r ^ ₌ r dt _ r

j (<²+ir J (*²+i)w_1 j(

Um zunächst das zweite Integral rechts auszuwerten, wenden wir teilweise Integration nach Satz 17 in Nr. 415 an, indem wir den Integranden in

ist, wird:

(6)

t²dt

(i² + i)w

zerlegen, also

(t² -f i)m

li = 1,

oder nach (4):

(i² + l)w

2(m - 1) (i² -f- l)m_1 setzen. Dann gibt die teilweise Integration

2 (m    1)J*(ft _(_    -¹

Setzen wir dies Ergebnis in (6) ein, so kommt für m > 1 :

t^dt

dt

(i²+ 1)™

2 (w — l)(i²+l)TO~

(7)    /——

J (*² + i)w

2 (TO — l)(i²+ l)w_

2 TO —

2to —

di

Dies ist eine Rekursionsformel, in der man nach und nach m durch m — 1, m — 2, ... 2 ersetzen kann, so daß insgesamt m — 1 Formeln hervorgehen, von denen die letzte so lautet:

r__dt

J <

(i² + l)²    2(i² + l)

i² +1    2(i² + l)

Y arc tg t -f- konst.

Multipliziert man die m — 1 Gleichungen bzw. mit

(2 to — 3) (2 to — 5)

(2 to — 2) (2 to — 4)⁷    (2 m — 2) (2 m — 4) • • • 4

2 to — 3 2 to — 2 ⁷

(2 to — 3) (2 to — 5) • • • 3

§ 1. Integration der rationalen Funktionen, und addiert sie dann, so kommt für m > 1:

(t² -f l)m (2m - 2) (t² H- l)m_1    (2 w — 2) (2m — 4) (t² -f l)m~ ²

(2 to — 3) (2 to — 5) • • • 3 • 1

arc tg£ +konst.,

(2m— 3) (2 to — 5) •••3 t

(2to—2)(2to — 4) * • • 2    1 ¹ (2to — 2)(2to — 4)---4-2

während sich für m = 1 die einfachere Formel ergibt: f dt

J ¹

(9)

= arc tg ^ -f- konst.

t² +1

Wenn wir schließlich die Werte (4) und (8) bzw. im Italie m = 1 die Werte (5) und (9) in (3) einführen, kommt

(x²+Px+qr

Px-\- Q

dx = —

_(2 to — 2) (i⁸ -f l)m_1

2 H----

2 to — 3

(2 TO — 2) (2 to — 4) (£² -f l)w “

(2 to — 3) (2 to — 5) • • • 3 (2to - 2)(2 to — 4) • • • 2 (<*-(-1)

(2 to — 2) (2 to — 4) • ■ •

(2 to — 3) (2 to — 5) • • •

“ arc tg £ + konst.

für m > 1, dagegen für m = 1 :

-Pg+g

^ = |ln(ć² + l) +

^    ^ arc tg t -f- konst.

Bei diesen Formeln ist daran zu erinnern, daß p = — 2Ä, ą = Ä² -f- und t — (x — A) : Ä: war, so daß

t² + 1 =

a;²4-p^+ ÇL

Æ²

ist. Mithin ergibt sich:

ln (t² + 1) = ln [(# — h)² + k²] — 2 ln k, arc tg t = arc tg —

(12)

(13)

— h

T~’

Es treten also, wie es sein muß, genau dieselben Logarithmus-und Arkusfunktionen wie bei der ersten Methode auf, ygl. (10) in Nr. 432.

[433

Wir haben gefunden:

Satz 1: Die Integrale von gebrochenen rationalen Funktionen sind Summen von ganzen und gebrochenen rationalen Funktionen und von Funktionen von der Form:

konst. (x — a), konst. ln \ (x — hf -f F], konst. arc tg x

Die zyklometrischen Funktionen fei den nur dann, wenn der Nenner der zu integrierenden Funktion keine komplexe Nullstelle hat.

Die ausdrückliche Erwähnung der Funktionen konst. (x — a) wäre allerdings in dem Satze nicht nötig, da die Funktionen der zweiten Art für k = 0 in solche yon dieser ersten Art übergehen.

Die wirkliche Ausführung der Integration erfordert immer die vorhergehende Bestimmung aller Nullstellen des Nenners. Man kann also die Integration einer gebrochenen rationalen Funktion nur dann leisten, wenn man imstande ist, alle Wurzeln derjenigen algebraischen Gleichung zu berechnen, die sich durch Nullsetzen ihres Nenners ergibt.

§ 2. Integration algebraischer Funktionen durch Rationalisieren.

434. Rationale Funktionen einer Wurzel aus a + bx.

Wir werden in diesem Paragraphen eine Reihe von Integralen vorführen, bei denen es durch die Methode der Substitution, nämlich durch Einführung passender neuer Veränderlicher, gelingt, die Integranden rational zu machen, so daß das Integrationsproblem auf das des ersten Paragraphen zurückkommt. Ist eine solche Zurückführung möglich, so sagt man, daß der Integrand rationalisiert werden kann. Insbesondere wenden wir dies Verfahren auf entwickelte algebraische Funktionen an (vgl. Nr. 39).

Wenn zunächst der Integrand f(x) des Integrals ff(x)dx eine rationale Funktion von

y« + bx

mit ganzem positiven Exponenten m ist, setzen wir

a -f bx == tm, d. h. x

tm— a    ₇ m , ₇.

^—, dx = -j-tm~¹dt,

so daß der Integrand des neuen in t ausgedrückten Integrals nach Nr. 417 augenscheinlich rational wird.

Dasselbe Verfahren ist anwendbar, wenn der Integrand eine rationale Funktion von mehreren Potenzen von a -f- bx ist, deren Exponenten rationale Zahlen sind. Denn wenn m die kleinste positive ganze Zahl ist, die alle Nenner der auftretenden rationalen Exponenten als Faktoren enthält, sind alle jene Potenzen ganze Funktionen der mton Wurzel aus a -f bx. Der Integrand ist folglich wie in dem vorher betrachteten Falle eine rationale Funktion dieser Wurzel.

Beispiel: Liegt das Integral

dx

i+ya i +V*

JL

vor und ist ]/x etwa positiv, so tritt x mit den Exponenten und y auf. Also setzen wie x = t&, dx = 6t⁵dt, so daß kommt:

*1 + ts i -H*

dx

-J

6t⁵dt =

6 r+tb

J ?‘+

—dt.

Die jetzt anzuwendende Partialbruchzerlegung ergibt sich leicht durch Partialdivision, nämlich: ts + t⁵

so daß folgt:

n -p Vx J 1 -h Vx

dx = ff - ff + ff +    -3t*-6t

+ 31n(f -f-1) + 6 arc tg t + konst.

= *x]/x—f!{/x⁵ +ffrx² -f- 2]/a:—$}/x—$)/x + 31n(|/a:-f-1) + 6 arc tgf/æ + konst.

Weil yx > 0 angenommen und gleich t³ gesetzt worden war, ist t > 0, also yx > 0.

435. Rationale Funktionen von x und ]/a + bx.

Es sei die positive Quadratwurzel von a -{-hx mit X bezeichnet. Wir betrachten alsdann Integrale

J f{cc, X)dx,

deren Integranden f(x, X) rationale Funktionen von x und X sind. Setzen wir

2

a + bx^t², d. li. dx = ^tdt,

so wird der Integrand des neuen Integrals rational in t.

1. Beispiel:

j*x]/a -f- bxdx =Jt~ Y~l * t • pptdt = J— aft)dt

2 p⁶

“ XLT

a yj + konst.

= j/a -f bx³    + konst.

,2. Beispiel:

xj/a -f bx

Auf das rechtsstehende Integral ist die Partialbruchzerlegung anwendbar, wenn a > 0 ist. Dann kommt wegen

/ "

sofort:

J/a \t—F« ^ +

= “ [ln(tf — ]/a) — ln(ź + ]/a)] -f- konst.

y«

1 , i — l/ä

= — ln-r~—

ya t-\-ya

i² — a

æ|/a -f- bx

-f konst.

oder also schließlich:

1 \Ja + bx—Ya Y a Y a -(- bx -F ÿa

4- konst.

dx

xYa 4- bx

Wenn dagegen a < 0 ist, wenden wir die Formel des 2. Beispiels in Nr. 418 an. Sie liefert:

xYa 4- bx

+ konst.

—— arc tg l/a    ^x -f konst.

Y—a '    —a

V-

arc tg

436. Rationale Punktionen vonx und y a+bx+x*, Ist

X = y a 4    4- cx²

die positive Wurzel aus a -f bx -f- ex² und sind die Koeffizienten a, b, c so beschaffen, daß X für ein gewisses Intervall von

435, 436]

Werten der Veränderlichen x reell wird, so soll es sich um die Auswertung solcher Integrale

( f{x, X)dx

ts

handeln, deren Integranden rationale Funktionen von x und X sind. Der Fall c = 0 wurde in voriger Nummer erledigt. Je nachdem c > 0 oder c < 0 ist, können wir setzen:

--x

= j/c y-- 4-    + æ² bzw. X = ]/— cj/-

Daher genügt es, nur noch die speziellen Fälle c = + 1 und c — — 1 zu untersuchen. In dieser Nummer nehmen wir c = -f-1, in der nächsten c — — 1 an.

Es sei also

X = Y a + bx -f- x².

Alsdann können wir verschiedene Wege einschlagen:

Erste (allgemeine) Methode: Wir führen eine neue Veränderliche t ein, indem wir X = t -f- x oder X = t — x wählen. Setzen wir etwa X = i — x, so folgt:

a + bx = t² — 2tx,

d. h. eine in x lineare Gleichung, aus der sich ergibt:

i² -f bt -f- a 2t+ b

dt.

dr = 91³ -\-bt Fa ’ ax * (2t+by

Vermöge dieser Substitutionen geht ein in t rationaler Inte-grand hervor.

Zweite Methode: Wenn insbesondere a> 0 ist, können wir auch mittels der Einführung von t vermöge

X = Y a -f tx

zum Ziele kommen, da sie wieder für x eine lineare Gleichung b + x = 2tya J- fix

liefert, aus der sich ergibt:

bt —]/a(t²-(-1)

Vt² —1

so daß der neue Integrand rational in t wird.

(2) x

b — 2 ]/at

fi-

, dx = —

H-|/a(t²+l) (t² - l)²

dt,

Dritte Methode: Wenn insbesondere die Nullstellen xv x2 der quadratischen Funktion X² = a -f- hx + x² reell sind, was z. B. für a < 0 stets der Fall ist, können wir auch vermöge

X = (cc — x^t

die neue Veränderliche t einführen. Denn da X² = (x—x₁)(x — x₂) ist, geht für x wieder eine lineare Gleichung X — x₂ = (x — Xj)t²

hervor, aus der sich ergibt:

xt t² — x₃

(xt X^)t,    ,    __ _ oGi _    7/

1    >    " {t* — l)²

so daß der neue Integrand rational in t wird.

1. Beispiel: Nach der ersten Methode ist:

(3) x =

tY-

t* —

dx

Y a -f- bx -J- æ*

rdx r

J x

2 dt

2< -f b

= ln (2t -f- b) -f konst.

= ln (2X -f- 2x -fr h) + konst.

= ln (x -f- jb + Y a + hx -f x*) -f konst.

Die zweite Methode gibt dagegen:

2 dt

rùdt—fêi+Mï

— ln(£ -f- 1) — ln(£— 1) 4- konst. = ln -f konst.

X -j- x —Ÿ a

x—x — y a

Wenn man im Numerus die Quadratwurzel X durch Erweitern des Bruches mit X -f x -f- ]/a entfernt, geht

x + jb + X

y a

hervor. Dies ist derselbe Wert wie der bei der Anwendung der ersten Methode gewonnene, da die Konstante um ln (| b — Ya) vergrößert werden darf. Die dritte Methode gibt zunächst wie die zweite:

= ln

+ konst.

+ konst.

Bdx

;/?iv-ln!Al + konst-

Hier ist aber t = X : (x — xt), so daß kommt:

Bdx , X 4- x — x. , ,    .

I ~^r = ln — 7    + konst.

J X X-x-\-x₁

436]

§ 2. Integration algebraischer Funktionen durch Rationalisieren. 75 Da X² = (x — xt)(x — x₂) ist, läßt sich hierfür schreiben:

fd4 = ln >;r    ! l 'r + konst.

JA    yaj —    — ]/x — xt

= ln (l/x — x₂ + ]/x — x J² + konst.

= ln (2 a: — xt — x₂ -f- 2X) + konst.

Weil 44 und die Wurzeln der quadratischen Gleichung X= 0 sind, ist xt -f x₂ gleich — b, so daß derselbe Wert wie beim ersten Verfahren herauskommt.

2. Beispiel: Die Anwendung der ersten Methode gibt:

(t² -f- bt -(- a)'² 7/

(2* +5)³

dt.

[(* +W + «-f&T

(t + W*

Setzen wir t -f- \ b = z, so kommt weiter:

fxd x = jyv+»-w

z³

dz.

Da sich nun durch Partialdivision

(zß~f- a -jby

s⁸

ergibt, so folgt:

J Xdx = -g-2³ -(- |(Vf—^ h²} lnx — (a —    -f- konst.

Es ist aber wegen X == t — #:

# — t jb = x jb X, (a — \b²) — =    # —    -f- A,

so daß schließlich hervorgeht:

J y a + bx + x²dx = \ (x -f-    + bx -f Æ²

+ f («—7 b²) ln (ir-f I¹& +]/« + bx-fÆ²) -f konst.

3. Beispiel: Die erste Methode ergibt:

(a + ßx)dx ~\/a -\-bx -j- x²

Vermöge der Substitution t + \b = z geht hieraus hervor:

ßz>+₍2a-ßb)z-ß(a-\V) dz

'u(2t + b) + ß(t* — a)

(2 t-\-b)

2dt.

2 g*

= f * + ²“ ₂ ln^ + | O — \b²) j + konst.

== ßX-\- (a — |-/36)ln(^ -f-\b -j- X) -j- konst.

[436

437. Rationale Punktionen von x und ~]/a + bx — x².

Wie zu Beginn der letzten Nummer gesagt wurde, betrachten wir jetzt Integrale, deren Integranden rationale Funktionen von x und

X =Ya -f- bx — x²

sind. Die Quadratwurzel sei wieder positiv. Auch jetzt haben wir uns auf ein Intervall zu beschränken, in dem X reell ist. Wir geben zwei Wege zur Rationalisierung an.

Erste (allgemeine) Methode: Hätte die Gleichung a + bx — x² = 0 nur komplexe Wurzeln, so wäre X für jedes x imaginär, weil dann X² stets negativ wäre. Hätte die quadratische Gleichung zwei zusammenfallende Wurzeln, so wäre X nur für diesen einen Wert von x reell, nämlich gleich Null. Also folgt, daß wir voraussetzen müssen, daß die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln xl und x2 habe. Alsdann ist

X = Y(x — xt) (x₂ — x).

Wir führen nun die neue Veränderliche t ein vermöge:

X = (x — X))t, d. h. x₂ — x = (x — xt)t². Dies ist eine in x lineare Gleichung, und es kommt:

2 (xa — xt)t

v_ xz ¹1 J.

> A ^4-1 D Vermöge dieser Substitutionen wird der Integrand rational in t.

Zweite Methode: Ist insbesondere a > 0, so kann man eine neue Veränderliche t auch mittels der Substitution

i² -fi

dx = —

W -I-1)²

dt.

_ vVäW-W-bt -, W +1)* a

bt — ]/a(i² — 1)

, Z-

, dx

1. Beispiel: Bedenkt man, daß X. =ya-\-bxcx² den Differentialquotienten (-| b -f- ex) : X hat, so erkennt man unmittelbar, daß

ist.

\b -(- cx j/a -)- bx-f cx²

dx =]/a -f- bx + cx² -f- konst.

2. Beispiel: Das Integral

dx

Y a -\-bx — x²

läßt sich so schreiben:

dx

J Va+^-(x~ibr’

so daß es durch die Substitution:

Y a -f- j b"

t, d. h. x = \b + t Y a -j- ~b², dx =]/a -f \b² dt

übergeht in:

dx

Y a -| bx — æ²

= f dt

J

yi-t*

— arc sin t -f- konst.

= arc sin

x — \b

3. Beispiel: Es ist

ya-\-±b*

-f konst.

(a -f ßx)dx

u-\- \ßb — ß(\b x)

y a -f-bx — x²

y a -f- bx — æ²

dx

also nach dem ersten und zweiten Beispiele:

= (a + \ßb)

— ßya y bx — x² Ą- konst.

(o; -f- ßx)dx

y a -f- bx — x%

dx

P-

,_=dx,

y a -\-bx — m²

arc sin

x — \b

ya + lF-

439. Rationale Funktionen von x, y a + bx und

ya-\-ßx. Ist der Integrand eine rationale Funktion

x, Y a -f bx, Y a + ßx, t² —

so setzen wir

a -\- ßx = t², d. h. x =

von

so daß

xe

Xö

Y a -f bx =j/a

b cc

t² ya + 'ßx = t

wird. Der Integrand des in t ausgedrückten Integrals wird daher eine rationale Funktion von t und

"Cö O-

1 / bcc

y a

Je nachdem b : ß > 0, =0 oder < 0 ist, läßt sich dies Integral auf eines der in Nr. 435—437 betrachteten zurück-führen.

§ 3. Elliptische Integrale.

440. Definition der elliptischen Integrale. Wir

gehen nunmehr einen Schritt weiter, indem wir Integrale betrachten, deren Integranden rationale Funktionen von x und der Quadratwurzel X aus einer ganzen Funktion dritten oder vierten Grades sind. Solche Integrale heißen elliptisch, weil zuerst das Problem der Rektifikation der Ellipse auf ihre Betrachtung geführt hat, worauf wir in Nr. 546 zurückkommen. Wir setzen voraus, daß es ein Intervall von Werten der Veränderlichen x gebe, innerhalb dessen die Quadratwurzel X reell ist. Außerdem sollen die Koeffizienten der unter dem Wurzelzeichen stehenden ganzen Funktion dritten oder vierten Grades reell sein.

Hat der Radikand der Quadratwurzel X eine mehrfache Nullstelle, z. B. die doppelte Nullstelle xx, so enthält er den Faktor {x — xff, der sich daher aus der Wurzel herausziehen läßt, so daß wir zu einem Integrale zurückkommen, das zu den in Nr. 435—437 betrachteten Integralen gehört. Dies gilt auch, wenn die doppelte Nullstelle xx komplex ist. Denn dann hat der Radikand nach Satz 24, Nr. 378, auch die zu xx konjugiert komplexe Zahl %₂ zur doppelten Nullstelle und ist also von der Form konst. (x — xff (x — xff, so daß das Wurzelzeichen zu entfernen ist und für X eine ganze quadratische Funktion mit reellen Koeffizienten hervorgeht.

Wir nehmen daher im folgenden an: Der Badikand der Quadratwurzel X soll keine mehrfache Nullstelle haben. Alsdann läßt sich das elliptische Integral, wie man zeigen kann, im allgemeinen nicht mehr vermöge der elementaren Funktionen ausdrücken. Wir werden aber sehen, daß sich alle elliptischen Integrale auf einige elliptische Integrale von spezieller Form 439, 440]

zurückführen lassen, und andeuten, wie man diese speziellen elliptischen Integrale mittels unendlicher Reihen zu berechnen imstande ist.

Wenn man in dem elliptischen Integrale ff(x, X)dx, in dem also f eine rationale Funktion von x und X sein soll, vermöge einer Substitution von der Form

(1)

p + qt

P Ą-oft

erreichen, daß das elliptische Integral in

zu

die neue Veränderliche t einführt, geht es wieder in ein elliptisches Integral über, da X gleich der mit (p + qt)² dividierten Quadratwurzel aus einer ganzen Funktion dritten oder vierten Grades von t wird, während x und dx : dt rationale Funktionen von t werden. Wir können also versuchen, durch geeignete Wahl der Koeffizienten p₇ q, p', q der linear gebrochenen Substitution (1)

der neuen Form einfacher wird. Insbesondere haben wir unser Augenmerk darauf zu richten, den Radikanden der Quadratwurzel zu vereinfachen.

441. Reduktion der in einem elliptischen Integrale vorkommenden Quadratwurzel. Zunächst nehmen wir an, daß der Radikand vom vierten Grade sei und die Nullstellen x1} x₂, x'x, x₂ habe. Da alle Nullstellen nach Nr. 440 voneinander verschieden sein sollen, gibt es nach Nr. 378 nur drei Möglichkeiten:

Erstens können xx, x₂, x[, x'₂ sämtlich reell sein. Wir können dann annehmen daß xx > x₂ > x[ > x₂ sei, d. h.:

(1)

(xx — x[) (ccx — x.') (x₂ — x[) (x₂ — x') > 0.

Ziveitens können xl und x₂ reell, dagegen x[ = h' -f- ik' und x'₂ = li —ik' konjugiert komplex sein Da dann die Produkte {cct — x') (xi — x₂) und (x₂ — x[) (x₂ — x₂) positiv sind, besteht auch in diesem Falle die Ungleichung (1).

Drittens können sowohl xt = h + ik und x₂ = h — ik als auch x[ = h'-\-ik' und x₂ = li—ik' konjugiert komplex sein. Alsdann sind (xx — x[) (x₂ — x₂) und (ocx — x₂) (x₂ — x'x) positiv, . so daß auch in diesem Falle die Ungleichung (1) gilt.

In jedem der drei Fälle sind ferner (x — x^) (x — x₂) und (x — x'x) (x — x₂) reelle quadratische Funktionen, so daß (2) X² = c [x² — (xx + x₂) x -f- x^x^ [æ:² — {x[ -f- x₂) x -f- x[ x₂]

[440, 441

eine reelle Zerlegung des Radikanden darstellt, in der c, xxĄ-X2) xxx₂, x[ -f- x₂ und x'xxg reelle Konstanten bedeuten.

Als die linear gebrochene Substitution (1) von Nr. 440 benutzen wir nun insbesondere eine von der speziellen Form:

(3)

P ± jt

1 + t ;

in der p und q reelle Konstanten bedeuten. Dabei muß jedoch p =j= q gewählt werden, weil sich sonst t aus (3) forthebt. Infolge von (3) wird

(4) X²=

₍₁ + ty Kp+ <11)'* - («1 + •%> (p + q \t) (:1+ :0 4- Xx x₂ ( :1 ■+ !ty*]

¹

= Y a -f tx

einführen; dann wird x durch die lineare Gleichung: b — x ==» 2]/a£ +

als Funktion von t gegeben. Es kommt:

»    b — 2 y at

X== i² + 1

so daß der Integrand rational in t wird.

438. Spezielle Fälle. Liegt ein Integral vor, das zu den in Nr. 436 und Nr. 437 betrachteten Klassen gehört, so kann man bisweilen auf anderen Wegen schneller zum Ziele gelangen. Hierfür einige Beispiele.

437, 438]

• [(p+qt)*- 0v+ ■K ) (p+2 0 (1 ■+ ■0+    (¹+OT

Die eckigen Klammern enthalten reelle ganze rationale Funktionen zweiten Grades von t. Wir behaupten, daß sich in dem Falle, wo xx + x₂ =4= %[ + X₂ ist, die reellen und von einander verschiedenen Konstanten p und q so wählen lassen, daß die in t linearen Glieder in diesen beiden quadratischen Funktionen fortfallen, d. h. daß

2pq - {xx + x₂) (p -f q) + 2xxx₂ = 0,

2pq — (x[ + x₂) (p + q) + 2x'Lx'₂ = 0 wird. Da sich aus diesen Forderungen pq und p -f- q berechnen lassen, heißt dies: p und q sollen die Wurzeln der quadratischen Gleichung

{xx + x₂ — x' — x₂) x² — 2 (xxx₂ — x[ x₂) x + xtx₂ ix[ -f- x₂) — x[ x₂ (xx + x₂) = 0

sein, die sich infolge der Voraussetzung xx -f- x₂ =}= x' + x₂ nicht auf eine lineare Gleichung reduziert. Es erübrigt also zu beweisen, daß diese quadratische Gleichung zwei reelle und von einander verschiedene Wurzeln hat. Die Bedingung dafür lautet :

( /y /y»    _ /y»    /y» ^ 2

V^l ^2    *^2 /

— (ocx + x₂ — x[ — x₂) [xxx₂ (x[ -f x₂) — x[x₂ {xx -f- x₂)\ > 0.

Die hier stehende ganze rationale Funktion von xx, x₂, x'x, x'2 ist, wie man sieht, gleich Null, wenn xx = xx oder xx = x₂ oder x₂ = xx oder x₂ = x₂ ist, muß also die Form

konst. (xx — x[) (xx — x₂) (x₂ — x') (x₂ — x₂)

haben. Die Vergleichung der Koeffizienten von x²x₂ lehrt überdies, daß der konstante Faktor gleich Eins ist. Die Bedingung ist also identisch mit der Ungleichung (1), von der wir wissen, daß sie in jedem Falle besteht.

Mithin lassen sich p und q reell und verschieden in der Art wählen, daß der Ausdruck (4) von X² die speziellere Form annimmt:

(a + bt*) (a 4- b't²)

X² =

(i + ty

in der a, b, a, b' reelle Konstanten sind.

Bisher wurde xt -f- xi =(= x[ -f- x'% angenommen. Ist xx -f- x2 = x[ x₂, so benutzen wir statt (3) die noch speziellere lineare Substitution :

x = t \ (xi -f- x₂) — t 4- j (xx -f- x₂),

wodurch der Wert (2) von X² übergeht in:

£*■ H*-

X^e\_f-\{xx-x₂yw-

so daß X² die Form annimmt:

X²=(« + bt²) (a 4- b't²), wo a, b und a, b' reelle Konstanten sind.

Je nachdem xx -f- x₂ 4= x[ -f x₂ oder = x[ 4~    gelten

also die Formeln:

(1 + t) dx-f^dt.

x-P + Z*

i -ft »

x — t + \ {xx -j- X₂),

X = Y(a + bt²) (a'+b't²)

dx — dt.

Man sieht hieraus, daß das elliptische Integral f f(x, X) dx auch in der neuen Veränderlichen t ein elliptisches Integral f (p(t, T)dt bleibt, bei dem die Quadratwurzel T eine speziellere Form

T = Y(a 4- bt²) (a -j- b't²) hat. Außerdem ist in beiden Fällen

dx i .dt ⁼⁼⁼ tonst.

Ehe wir die Ergebnisse in einem Satze zusammenfassen, soll noch analog der Fall erledigt werden, in dem X² nur vom

Serret-Scheffers,Diff.-u.Integral-Bechnung. II. 4. u. 5.Aufl.

dritten Grade ist und keine mehrfachen Nullstellen hat. Sind xx, x₂, x₃ die Nullstellen von X², so gibt es nach Nr. 378 nur zwei Fälle: Es darf xx stets reell angenommen werden, während entweder x₂ und x₃ beide reell sind und alsdann x₁ > x₂ > x3 gesetzt werden darf oder aber x₂ und x₃ konjugiert komplex, also von der Form h + ik sind. In beiden Fällen ist (xx — X₂) (x± — x₃) > 0.

(5)

Da ferner in beiden Fällen x — xx und (x — xf) (x — x₃) reelle Funktionen sind, zerlegen wir X² reell in der Form:

X² = c (x — xf) [X² — (x₂ -f x₃) x -f x₂x*f\. Vermöge der Substitution

P + qt

x² =

wird jetzt, wenn wir noch mit 1-f-1 multiplizieren und dividieren: (1 +C ty [P ~ xt + (P + Z “ %xi) t + (q — xx) t²]

■ Kp + ytf - 0»a + &») (p + îO (1 + 0 + Vs (! + 0²]-

In den beiden eckigen Klammern stehen, wenn p und q reell gewählt werden, reelle ganze rationale Funktionen zweiten Grades von t. Wieder lassen sich die Konstanten p und q reell und verschieden und zwar derart wählen, daß die in t linearen Glieder in beiden Funktionen fehlen. Denn die Bedingungen hierfür sind:

P + q = 2xx, 2pq — (x₂ + x₃) (p + q) + 2x₂x₃ = 0, anders ausgedrückt: p und q müssen die Wurzeln der quadratischen Gleichung

x² — 2xxx + (x₂ -f x₃) xx — x₂x₃ = 0 sein, die in der Tat wegen der Ungleichung (5) reell und verschieden sind. Im übrigen schließen wir wie vorhin, als wir X² als Funktion vom vierten Grade annahmen.

Wir fassen alle Ergebnisse zusammen in dem Satz 2: Jedes reelle elliptische Integral ff(x, X)dx, in dem die biquadratische oder Imbische ganze Funktion X² von x keine mehrfache Nullstelle hat, läßt sich durch Einführung einer neuen Veränderlichen t vermöge einer reellen Substitution, die sich der allgemeinen Form 441]

r ff + g*

p' + 4*

unterordnet, stets in ein reelles elliptisches Integral fcp(t, T) dt verwandeln, in dem die Quadratwurzel T eine speziellere Form

T = Ÿ(a + W) (a + b’t²)

dx

₇ .dt = honst.

mit reellen Koeffizienten a, b, a, V hat. Infolge der Substitution ist außerdem:

T‘

442. Weitere Reduktion der elliptischen Integrale.

Nach dem letzten Satze dürfen wir uns auf die Betrachtung der elliptischen Integrale von der speziellen Form fcp{t, T)dt beschränken. Da cp eine rationale Funktion von t und T ist, läßt sich cp als Bruch aus zwei ganzen rationalen Funktionen von t und T darstellen. Indem wir im Zähler und Nenner

M,-\-N,t

die mit geraden Potenzen von t behafteten Glieder von den mit ungeraden Potenzen von t behafteten absondern, bringen wir cp auf die Form:

<P =

M+ Nt

worin M,, Nt, M, N ganze rationale Funktionen von t² und T sind. Wenn wir diesen Bruch mit M—Nt erweitern, erhält er die Form:

MM, -f {MN, — NM,)t — NN, t*

M* —NH*

cp =

so daß t im Nenner nur noch in geraden Potenzen auftritt. Daher läßt sich cp stets auf eine Form

<P — P + Ql

bringen, wo P und Q ganze oder gebrochene rationale Funktionen von t² und T sind. Nunmehr ist das elliptische Integral als Summe darzustellen:

J cpdt = J Pdt +J Qtdt

Das zweite Integral rechts läßt sich durch elementare Funktionen ausdrücken. Denn wenn wir darin die Substitution f = z machen, wird tdt = \dz, also

j Qtdt = Qdz, wo Q eine rationale Funktion von t² und T, d. h. von z und y(a -\- bz) (ia! -f b' z)

ist. Es tritt also nur eine Quadratwurzel aus einer ganzen quadratischen Funktion der neuen Veränderlichen z auf, so daß dies Integral nach Nr. 435 bis 437 durch algebraische, logarithmische und zyklometrische Funktionen ausdrückbar ist.

Von Interesse ist daher nur noch die Untersuchung der elliptischen Integrale von der Form fPdt, worin P eine rationale Funktion von t² und T ist. Diese Funktion P ist ein Bruch aus zwei ganzen rationalen Funktionen von t² und T. Wenn wir im Zähler und im Nenner alle geraden Potenzen von T mittels

(1)

T²=(a + bt²) (a + b't²)

als ganze rationale Funktion von t² darstellen, nimmt das Integral die Form an:

JPdt~J

A + BT

C+DT

dt =

■B +

dt,

wo A, B, C, D ganze rationale Funktionen von r allein sind.

Erweitern wir den Integranden mit T) — C : T und schreiben wir für T² seinen Wert (1), so nimmt das Integral die Form an: wo 0 und Y ganze oder gebrochene rationale Funktionen von t² allein sind.

Das Integral f @dt läßt sich nach Satz 1, Nr. 433, durch rationale, logarithmische und zyklometrische Funktionen aus-drücken. Also ergibt sich der

Satz 3: Jedes reelle elliptische Integral ist gleich einer Summe von reellen algebraischen, logarithmischen und zyldo-metrischen Funktionen und von einem elliptischen Integrale von der besonderen Form:

4431 worin W eine reelle ganze oder gebrochene rationale Funktion von t² und

T = j/(a + bW) (a'+b't²)

ist. Dabei sind a, b, a, V reelle Konstanten, während t eine linear gebrochene Funktion der ursprünglichen Veränderlichen ist.

443. Normalformen des Radikanden in einem elliptischen Integrale. Wir betrachten jetzt die in dem letzten elliptischen Integrale auftretende Quadratwurzel T genauer. Je nachdem darin die Konstanten a, b, a, b' positiv oder negativ sind, ergeben sich verschiedene Gestalten von T. Da ein positiver konstanter Faktor des Radikanden aus der Wurzel herausgezogen und in die Funktion W (t²) hineingebracht werden kann, erhellt, daß die folgenden fünf Gestalten übrig bleiben :

T=V+ (<*-(**),

T =    X²)

T = V+(t‘+X‘)(t*-p*),

t=Y~(e + i?) («²-V),

T =Y+(fi + *>)(<> + tfh worin A und [.i. reelle Konstanten bedeuten. Denn der sechste Fall

i = Y- W + W+rt

ist auszuschließen, weil hier T imaginär ist.

Wir werden zeigen, daß sich die Wurzel in allen fünf Fällen durch Einführung einer passenden neuen Veränderlichen in der Weise, daß dadurch die charakteristische Gestalt des elliptischen Integrals in Satz 3 der vorigen Nummer nicht geändert wird, auf ein und dieselbe Form bringen läßt. Diese sogenannte Kor malform ist keineswegs die einzig mögliche, denn in allen fünf Fällen lassen sich die Wurzeln noch auf mehreren anderen Wegen auf gewisse gemeinsame Formen bringen. Wir wollen die in mancher Hinsicht bequemste Normalform aufstellen, die übrigens auch am meisten angewandt wird.

Vorweg einige Bemerkungen: In den Fällen (1), (2) und (5) ändert sich T nicht, wenn X² mit p² vertauscht wird. In

[44a, 443

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

diesen drei Fällen darf daher A ² < fi² angenommen werden. Ferner führen wir nachher in jedem der fünf Fälle eine neue positive Konstante ft² ein; man wird dabei bemerken, daß sie stets kleiner als Eins, also ein positiver echter Bruch ist. Weiterhin ist zu beachten, welche Variabilitätsbereiche der Veränderlichen t² aufzuerlegen sind, damit die Wurzel T reell bleibt. Im Falle (1) sind es zwei Bereiche, nämlich 0 <£²<A2 und t² > fi², in allen anderen Fällen ist es immer nur einer. Im Falle (2) nämlich muß A²<£²<fi², im Falle (3) muß t² >• fi², im Falle (4) muß 0<£²<fi² sein, und im Falle (5) darf t² alle positiven Werte annehmen. Wir werden nun in jedem der fünf Fälle und für jeden der möglichen Variabilitätsbereiche, also insgesamt auf sechs Arten, eine Substitution angeben, vermöge derer statt t eine neue Veränderliche x eingeführt wird.

Alles dies sowie die infolge der Substitution hervorgehenden Werte stellen wir in der folgenden Übersicht knapp zusammen. Man überzeuge sich jedesmal davon, daß, wenn t2 den vorgeschriebenen Variabilitätsbereich durchläuft, x² alle Werte mischen Null und Eins je einmal annimmt.

Fall (:Î): A²<fi², h² = Für 0 < t²< A²:

dx

t² — A²#², dt = Idx, T— h^i² ]/( 1 — x²) (1 — h²x²) dt l

f¹ j/(l — x²) (1 — k²x²)

Für t² > fi²:

i , ai l¹ x2’

dt

dx

Fall {2): A² < fr², Ä;² = t² = fi² (! — h² x²) y dt = -iih²

f¹ F( 1 — x²) (1 — Wx²)

''V-’

r

xdx

yi — kFx²’

dx

T ~ fi Y(l — x²) (1 — k²x*)'

T = h²ii²x Y1 — x²,

dt

Fall (3) : Je² =

t² =

₇,    xdx

dt k

~t⁼T

3?

dx

T= TT

?-H x\/i — k²x²

~ 1 — X³ ’

Fa» (4): F =

*² + f*2 t²=p²(l — x²), dt = —

}/(l — x²) (1 — k²x²)

,    0<t²<p².

xdx

^Tf^r²’

dt

dx

Fall (5); X² < ^ h² = -

<²-*²Ä>

U j/(l — æ²) (1 — Æ²a;²)

dt = l

>1 — /i²X²

]/l — a;²³’

— a:²

4i 1

~r ⁼

f* V(1 — Æ²) (1 — Pä*²)

Diese Ergebnisse lehren zunächst:

4:    reelle elliptische Integral von der Form

JVia + fei²) («' + fe'i²) läßt sich durch Einführung einer neuen Veränderlichen x vermöge einer passenden Substitution von der Form

₂ K + flS1 y + dx²

mit reellen Konstanten a, ß, y, ô auf die Form bringen: honst.

dt

dx

V(1 — X²) (1 — k²x²)

Dabei ist h² ein positiver echter Bruch. Wenn t² einen solchen Variabilitätsbereich, in dem ]/(«-)- bt²) (a -f- b't²) reell ist, vollständig durchläuft, nimmt x² alle Werte von Nidl bis Eins, und zwar jeden nur einmal, an.

Die Zusammenstellung der fünf Fälle zeigt, daß sich die

sechs angewandten Substitutionen in der Tat der allgemeinen Form

p ₌ « + ßx* y -f- dx²

unterordnen. Da diese Substitution überdies jede rationale Funktion von t² in eine rationale Funktion von x² verwandele folgt aus Satz 3 der vorigen Nummer der

Satz 5: Jedes reelle elliptische Integral ist gleich einer Summe von reellen algebraischen, logarithmischen und zyklome-trischen Funktionen, vermehrt um ein elliptisches Integral von der besonderen Form

dx

--s *

in dem fix²) eine ganze oder gebrochene reelle rationale Funktion von x² bedeutet und

X=Y(l-x²) (1- k²x²)

ist, wobei k² einen positiven echten Bruch bezeichnet. Dabei ist x² eine rationale Funktion der ursprünglich im Integranden auftretenden Veränderlichen.

444. Abermalige Reduktion der elliptischen Integrale. Nach dem letzten Satze interessieren uns nur noch die elliptischen Integrale von der angegebenen besonderen Form, worin der Integrand der Bruch f(x²) : X ist.

Da fix²) eine rationale Funktion von x² ist, können wir auf sie die Partialbruchzerlegung anwenden. Wollten wir auch weiterhin alle Möglichkeiten ins Auge fassen, so müßten wir die in Satz 10 von Nr. 395 gewonnene reelle Partialbruchzerlegung anwenden. Um jedoch in unserem Abrisse aus der Theorie der elliptischen Integrale nicht zu sehr ins Einzelne zu gehen, wollen wir die einfachere, wenn auch nicht stets reelle Partialbruchzerlegung des Satzes 2 in Nr. 383 anwenden, wobei jetzt x² an die Stelle von x tritt.

Vermöge ihrer wird fix²) in eine Summe von einer ganzen rationalen Funktion G ix²) von x² und von Partialbrüchen zerteilt. Da G ix²) eine Summe von mit Konstanten multiplizierten ganzen positiven Potenzen von x² ist, zeigt die Einsetzung der Zerlegung von fix²) in das elliptische Integral: Das Integral kann in eine Summe zerlegt werden, deren Summanden, abgesehen von konstanten Faktoren, die beiden charakteristischen Formen 443, 444]

(x* — a)vX

§ 3. Elliptische Integrale.

J. dx

x^'dx X >

haben. Dabei sind ja und v ganze positive Zahlen, während a eine Konstante bedeutet. Es können nun insbesondere solche Integrale von der zweiten Art auftreten, in denen a = 0 ist. Sie können zu denen der ersten Art gerechnet werden, falls man auch negative ganze Zahlen für ja zuläßt. Ist dagegen a in einem Integrale von der zweiten Art nicht gleich Null, so können wir — 1 :a = n setzen und das Integral auf die Form

konst.

dx

(1 4- nx*)vX

bringen.

Daher gilt der

Satz 6: Jedes elliptische Integral ist gleich einer Summe von algebraischen, logarithmischen und zyklometrischen Funktionen, vermehrt um Summanden, die, abgesehen von konstanten Faktoren, die Formen haben:

r.

-I

x²^ldx

j/(l — x*) (1 — Ic^xf ’

z,=

dx

(1 -f- nx²)v j/(l — a;²) (1 — ä:²#²)

Von den Konstanten ja, v, n und k² ist ja ganzzahlig, v ganzzahlig und positiv und k² ein positiver echter Bruch. In Y und Zv ist x² eine rationale Funktion der ursprünglich im Integranden auftretenden Veränderlichen.

Wegen der zu Anfang dieser Nummer gemachten Bemerkung haben wir in der Formulierung dieses Satzes von dem Beiworte: reell absehen müssen.

Die letzten Betrachtungen lehren aber jedenfalls, daß den elliptischen Integralen von den Formen Yfl und Zv eine besonders hervorragende Bedeutung zukommt. Wir werden in Nr. 445 und Nr. 447 zeigen, daß auch sie sich noch weiter reduzieren lassen.

445. Elliptische Normalintegrale ersterund zweiter Gattung. Da X² den Wert (1 — x²) (1 — k²x²) hat, wird

Hieraus folgt durch Multiplikation mit x²^l~³dx : X und durch Integration sofort:

(i)

Das links stehende Integral können wir durch teilweise Integration um wandeln:

= x2fl~³X — (2 g, — 3)Jx^¹

~*Xdx.

,dX ,

_ -T— dx dx

Hier setzen wir im letzten Integrale

X²    1 — (1 + h*)x²-\- k²xi

ein und erhalten:

! ^2/4-3^^ == x²tx~ZX

- (2 p - 3)[Fm_₂ - (1 -\-k?)Y^_x + VYJ + konst.

Führen wir diesen Wert in (1) links ein, so bekommen wir schließlich die Formel:

(2)    (2p-l)k*Yf-(2p-2)(l + k²)Yfl_x + (2p-3)Y^

= x²^~³X 4- konst.

Dies ist eine Iiekursionsfbrmel, die, falls p eine ganze

Zahl und größer als Eins ist, gestattet, nacheinander T₂ (für p = 2), Tg (für p = 3) usw. auszudrücken als Summe von der Form

konst. T₀ -f- konst. Y₁ -j- g(x)X,

wo g(x) eine ganze rationale Funktion von x bedeutet. Ferner gibt (2) bei der Annahme p = 1 eine ebensolche Formel für Y_x, bei der Annahme p = 0 alsdann für T_₂ usw. Mithin gilt der

Satz 7: Alle elliptischen Integrale von der Form

x^^dx

1/(1 — £C*) (1 — h²X²) ’

worin p eine ganze Zahl bedeutet, lassen sich darstellen als Summen von der Form

honst.

dx

-f konst.J*

x²dx

y (l — x²) (i — h²x²)

4- g(%)V( 1 — x*)(\ —h²x²),

wo g(x) eine ganze rationale Funktion von x ist.

445]

y(l - x²)(l—k²x²)

Dalier ist die Berechnung der elliptischen Integrale zurückgeführt auf die der beiden speziellen elliptischen Integrale

r°=J

o

dx

yu — x⁹) (i — k²x²)

x²dx

y(i — æ²)(l — ft²#²)

W² i)>

AA

die man die elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung nennt. Die Zahl h heißt ihr Modul.

446. Berechnung der elliptischen Normalintegrale erster und zweiter G-attung. Mit Hilfe des Satzes 26 in Nr. 426 kann man die beiden Normalintegrale berechnen. Denn da x² auf das Intervall von 0 bis 1 beschränkt ist und k2 einen positiven echten Bruch bedeutet, ist nach der Binomial-formel (4) in Nr. 125, falls ]/l —h²x² positiv gewählt wird:

= 1 -f \h²x² -f-    /c⁴#⁴ +

1-3-5

2-4-6

yi — k*x*

Diese Reihe konvergiert nach der Bemerkung zn Beginn von Nr. 428 gleichmäßig. Gliedweise Multiplikation mit l:]/l — x2 gibt eine ebenfalls gleichmäßig konvergente Reihe, deren gliedweise Integration nach dem zitierten Satze 26 in Nr. 426 das elliptische Normalintegral erster Gattung auf die Form bringt :

dx

dx

Ÿ( 1 — x)(l — k²x*)

+ä*'/

o

x²dx

yl — x²

*7

0

x⁴dx

yi — x²

Ebenso ergibt sich für das elliptische Normalintegral zweiter Gattung für | x | < 1 :

x²dx

x²dx

y (1 — x²) (1 — Tc²x²)

y i — x²

+“■/

0

x⁴dx

yï—x²

x⁶dx

yi — x²

Die einzelnen Glieder dieser Reihen lassen sich, da teilweise Integration

xmdx

xm

y 1 — x*

VI

‘-f

0

*xm~²dx yi — x*

liefert und hierin m = 2, 4, 6, . . . gesetzt werden kann, nacheinander in der Form:

9(x)V 1-

x² -j-konst. /

*y

0

y i—x²

oder g(x) ]/i—x² + konst. arc sing;

darstellen, wobei jedesmal g(x) eine ganze rationale Funktion bedeutet.

Je kleiner der echte Bruch k² ist, um so schneller nehmen die Glieder der unendlichen Reihen ab. Für größere Werte von Ti² kann man andere, ebenfalls schneller konvergierende Reihen aufstellen, worauf wir jedoch hier nicht eingehen.

447. Elliptisches Normalintegral dritter Gattung.

Nach den Auseinandersetzungen von Nr. 444 betrachten wir jetzt die elliptischen Integrale

dx

(1 +nx*)vx’

wo

X = V(l-x*)(l-1c³x²) ist.

Um für diese

Dabei bedeutet v eine positive ganze Zahl.

Integrale eine Rekursionsformel zu gewinnen, gehen wir von der Gleichung aus:

[X²— (l-|-A²)a;²-f 2Â;²æ⁴](l-f- nx²) — 2 n(v—1)æ²X: (1 + nx*)vX

xX

(1) —_____

v ' dx(t_)_næy-

Bezeichnen wir für den Augenblick 1 -f nx² mit a, so ist

Wenn diese Werte in den Zähler rechts eingesetzt werden, nimmt er die Form an:

(2v — 2) a — (2v —■ 3) ßa -f- (2v — 4) ya²— (2v — 5) da³, wobei cc, ß, y, d die folgenden Konstanten sind:

(2)

* ⁼ ^ (n +    + k*)> ß ⁼ £ tn(n + ²) + (2n + ³)*⁸],

V = ^2 Vn + (w + ³)^²]j ^ ⁼⁼ni'

446, 447J

Die Formel (1) läßt sieh demnach so schreiben:

(2v — 2) a (2 v — 3)ß    (2v — 4) y (2 v — 5) 8 d xX

-ix

avX

V

CO

V — 2 -\r co A

V—3\r

co A

d x cov

Ihre Integration gibt:

(3) (2v-2)aZv-{2v-d)ßZv_₁+(2v-4:)YZv_,-(2v-b)dZv_s

j -f- konst.

xX

(1 -f- nx*)v

Dies ist die gesuchte Rekursionsformel. Für v = 2 ergibt sie Z₂, ausgedrückt durch Z₁₇ Z₀, Z_x und xX : œ, für v = 3 ferner Z₃, ausgedrückt durch Z₂, Zv Z₀ und xX:œ² usw., so daß alle Integrale Zv mit positiven ganzzahligen Indizes v dargestellt werden in der Form:

(4) Zv=konst. Zx -f- konst. Z₀ -f- konst. Z_x -f

g(x)X

P -j- konst.,

(1 -f- nx'i)v

wo g(x) jedesmal eine ganze rationale Funktion von x bedeutet.

Allerdings ist es denkbar, daß der Koeffizient a von Zv in (3) gleich Null wird, nämlich nach (2) für n = — 1 und n = — k². In diesen Fällen ist /i nach (2) gleich k² — 1 bzw. (1 — k²) : k² und also nicht gleich Null, weil k² einen positiven echten Bruch bezeichnet. Die Rekursionsformel (3) nimmt also in den Fällen n = — 1 und n = — k² eine einfachere

Form an:

(2v - 3)ßZv_₁ + (2v - 4)rZv_₂-(2v - 5)äZr_₃

xX

Y -f- konst.,

(1 -f- nx²)v

so daß sich Zlt Z2: Zä, ... bei den Annahmen v = 2, 3, 4, nach und nach in der allgemeinen Form

(5) Zr = konst. Z₀ -f konst. Z_₁-\-

g(x)x

Y + konst.

darstellen lassen, wo wieder jedesmal g(x) eine ganze rafckmale Funktion von x vorstellt.

Nach Nr. 444 ist nun aber Z_x in der Form

(1 -f- nx*)v

Z_t =J*(1 -\- nx²) ÿ = ro + nYi -j- konst.

durch Y₀ und Yt ausdrückbar. Ferner ist Z₀ — K₀. Sobald also n — — 1 oder n = — k² ist, lehren die Formeln (5), daß

[447

alle Integrale Zv durch die schon betrachteten Integrale aus-drückbar sind. Ist jedoch n weder gleich — 1 noch gleich — h², so zeigt (4), daß die Berechnung der Integrale Zv schließlich nur noch die des Integrals

y C - dx ¹ J (l + nx*)X

verlangt. Wir gelangen demnach zu dem

Satz 8: Alle elliptischen Integrale von der Form:

dx

(1 -j- nx*)v |/(1 — xs) (1 — k³x³) ’

worin v eine positive ganze Zahl größer als Eins, n eine Konstante und h² einen positiven echten Bruch bedeutet, lassen sich dar stellen als Summen von der Form:

honst.

dx

(1 -j- næ²)j/( 1 — x³) (1 — k³ x³)

+ honst. J

dx

y( l — x²) (1 — k²xs)

g(x)~\/( 1 —x³)(l — k³x³)

(1

-f honst.J

4- honst.,

x*dx

y( l — a?²) (l — Æ²£c²)

wobei g(x) eine ganze rationale Funktion von x ist. Wenn insbesondere n = — 1 oder n = — h² ist, fehlt in dieser Summe das erste Glied; alsdann gilt der Satz auch für v = 1.

Wir sind also schließlich zu dem Ergebnisse gelangt, daß zu den beiden in Nr. 446 berechneten elliptischen Normalintegralen erster und zweiter Gattung nur noch ein wesentliches Integral hinzutritt, nämlich das sogenannte elliptische Normalintegral dritter Gattung:

dx

(1    nx³)}/( 1 — x³)(l — k³x³)

Die Konstante h, deren Quadrat kleiner als Eins ist, heißt, wie schon in Nr. 445 erwähnt wurde, der Modul. Die Konstante n dagegen wird der Parameter des Normalintegrals dritter Gattung genannt. Ist er gleich — 1 oder — h², so läßt sich, wie wir vorhin sahen, dies Integral auf die Normalintegrale erster und zweiter Gattung zurückführen.

Auf die Berechnung des Normalintegrals dritter Gattung gehen wir nicht ein.

448. Überblick über die elliptischen Integrale.

Die Gesamtheit unserer Untersuchungen über elliptische Integrale lehrt, daß sich jedes elliptische Integral als eine Summe darstellen läßt, deren Summanden außer algebraischen, logarith-mischen und zyklometrischen Funktionen noch die mit Konstanten multiplizierten drei Normalintegrale sind. Allerdings müssen wir hinzufügen, daß wir bei der Anwendung der Partialbrachzerlegung in Nr. 444, wie dort schon hervorgehoben wurde, keine Rücksicht darauf genommen haben, ob die Zerlegung auch rein reell ist. Immerhin zeigen die gemachten Schlüsse, daß die drei Normalintegrale bei der Untersuchung der elliptischen Integrale die grundlegende Rolle spielen.

Es sind dies die drei Integrale:

(!)

X

u - f

J1

o

dx

x²dx

Y(1 — X²) (1 — tc²x*) ⁷

y( i — x²) (i — k²xs)

■/i

0

dx

(1 -}- nx²) y( 1 — x*) (1 — h²x²)

Dabei ist der Modul h ein echter Bruch und der Parameter n von w konstant. Die Quadratwurzel nehmen wir positiv an. Der Variabilitätsbereich von x geht von —1 bis +1.

Eine besonders einfache Form erhalten die Normalintegrale, wenn eine neue Veränderliche cp vermöge der Substitution

x = sin cp

eingeführt wird, was gestattet ist, da x auf das Intervall von — 1 bis -f- 1 beschränkt ist. Wir dürfen alsdann cp auf das Intervall von — |n bis + einschränken, so daß cos cp =Y 1 — Æ2 positiv ist. Die positive Wurzel aus 1 — &²#² wird ferner gleich der aus 1 — ft²sin² <p. Man pflegt sie mit A cp zu bezeichnen:

A cp == ]/l — &² sin² cp.

Nun sind die drei Normalintegrale:

— fe

o    o

(2)

(3)

(4)

w ==

dcp

(1 -j- wsin²qp) A qp

Weitergehende Untersuchungen, auf die wir nicht eingehen, lehren, daß sich die drei Normalintegrale bei beliebiger Annahme der Werte von k² und n in der Tat nicht durch die elementaren Funktionen ausdrücken lassen. Das ist jedoch möglich, wenn das Quadrat des Moduls, das ja ein positiver echter Bruch ist, einen der Grenzwerte Null oder Eins hat. Dies zeigen wir in den beiden nächsten Nummern.

449. Die Normalintegrale mit dem Modul Null.

Ist k = 0, so wird:

r dx

a=J

o

V=J

o

x²dx

dx

y i — x²’

V1 - x²’

Zunächst ergibt sich sofort:

u = arc sin x,

wobei der Winkel im Intervalle von —    bis -j- it zu

wählen ist. Die Integrale v und w lassen sich zwar nach der in Nr. 437 angegebenen ersten Methode berechnen, doch wollen wir hier anders Vorgehen:

Weil — y'l — x² die Ableitung x :]/1 — x² hat, gibt teilweise Integration:

(1)

x]/i — x² -(- f 4____

JV1 - *²

0

(1 -j- nx²) yi — Sc²

+Jy i

o

MH

— x² dx

Bringt man das letzte Glied auf die linke Seite, so liefert die Division mit 2 wegen (1) den Wert von v:

— y#]/1 — x² -f- j arc sina:.

Das Integral w unterwerfen wir der Substitution t

X =    .....

y i -f t²’

wodurch der Integrand rational wird. Da t = 0 für x — 0 ist, kommt:

⁷    t

(2)

dx =

dt

yryf²*’

w=f

0

dt

1 + (1 + n)t²

Ist 1 -f n > 0, so setzen wir ferner ]/l -f- n • t = z und erhalten :

¹ r <iz

Vl + nJ

o

Ist dagegen 1 -f- n < 0 und etwa gleich — m, so daß m > 0 ist, so kommt:

r dt

u~h

0

Im Falle 1 -f n = 0 wird w einfach gleich t. Führen wir überall wieder die ursprüngliche Veränderliche x ein, so haben wir:

1    , x\/l4-n

■' -,—— arc tg —f—¹—

yi -f n y i — x²

i + *’"ŸfT^arctg*-

— mi²

t

i fl__i ,

J \i -y Vm t i — Ym f

0

dt —

¹ in i+y™t

2 ]/m    1 — "j/m1

für w > — 1,

für n = — 1

(3) w =

a:

y i — xs

ln I⁷¹ — x* + æV—l—n

)/i — æ² — x y— i — %

für w < — 1.

,2y-i — «

Im ersten Falle ist der Arkus auf das Intervall von —jjt bis -j-jJt zu beschränken. Die Wurzel aus 1 + n bzw. — 1 — n darf positiv angenommen werden.

450. Die Normalintegrale mit dem Modul Eins.

Im Falle Je = 1 ist nach (1) in Nr. 448:

u-j\

o

dx

— X²’

v~ß

x²dx — x²’

W=J<

0

dx

(1 -f- nx²) (1 — x²)

Die Integranden sind rational, so daß die in § 1 gegebenen Methoden sofort liefern:

(i)

1 -j- x

... — x’

(2)

u = j ln -

ii i ~F x

v = F ln —¹— i l — x

— X.

Ferner ist:

dx

1    . 1-f- x

1 -\-nx² 1 2(1 -\-n) ni—x

M    1 F»J (l-F«aj²"^~l

o

S er r e t-S c hef f e rs , Diff.-u. Integral-Rechnung. II. 4. u. 5. Aufl. 7    [449, 450

Das rechts noch vorhandene Integral wird wie das Integral iv in der vorigen Nummer behandelt. Es ergibt sich auf diesem Wege:

arc

1 -f■ n

(3)

tg(x]/n) +

2(1 + n)

für n > 0,

für n = 0,

2(1 + n)

ln - — — für n <C 0. l — x

Im ersten Falle ist der Arkus auf das Intervall von — 17t bis +^7r einzuschränken. Die Wurzel aus n bzw. — n darf positiv angenommen werden.

§ 4. Integration transzendenter Funktionen.

451. Zurückführung transzendenter Integranden auf algebraische. Nachdem wir uns in diesem Kapitel bisher ausschließlich mit Integralen von algebraischen Funktionen beschäftigt haben, wollen wir jetzt Klassen von Integralen betrachten, deren Integranden transzendent sind.

Da für die Integrale von der ersten Art in den vorhergehenden Paragraphen manche Berechnungsmethoden gewonnen wurden, wird es häufig zweckmäßig sein, Integrale von transzendenten Funktionen durch passende Substitutionen in Integrale von algebraischen Funktionen zu verwandeln. Dies ist natürlich nicht immer möglich. Es gelingt aber bei denjenigen Integralen, die wir hier übersichtlich zusammenstellen:

j f(emx)dx,

J‘f (arc sin x)

a.

yr^x*’

ff (ln x) d*,

J %

Jf(tg x)dx, J arc igx)

dx

1 -f- x

wozu sich noch einige analoge gesellen. Hierin soll überall f eine algebraische Funktion der bei f angegebenen Größe sein. Vermöge der sechs Substitutionen:

t = emx, t = ln x, t = sin x, t= tg#, t = arc sin«, £ = arctg#,

450, 451]

die auf die einzelnen sechs Integrale auszuführen sind, werden sie Integrale von algebraischen Funktionen von t, da f selbst eine algebraische Funktion von t wird und außerdem in den einzelnen Fällen ist:

₇ dt

dx = — ,

mt’

dx

— = dt,

x    ’

dx =

dt

l/l - t*’

7    dt

dX = -r—r-

dx

dx

= dt.

= dt

i 4- x*

452. Integration goniometrischer Funktionen. Liegt insbesondere ein Integral von der Form

¹ +    l/l — x²

J*f(sin#, cos#, tg#, ctg#)^#

vor, wo der Integraud eine rationale Funktion von sin x, cos x, tg# und ctg# sein soll, so läßt sich der Integrand rationalisieren, indem man t = tg|# setzt. Denn dann ist:

1 —i² ,    21

i-f-t*> tgx ~ 1 — t*’

dx =

sm x = --jj—-,, cos x =

,    i - t²

CtSX~~2t

2 dt

1-1-1-

1.

Beispiel: J*== ln£ + konst. = lntg-|#-f-konst.

2. Beispiel:

r dx r 2 dt

J cosæ J 1 — t²

C i rdt

j i+t⁺j l-

= ln

-In

1 + tg|x

- -(- konst.

4- konst. = ln tg(|# + -it) 4- konst.

3. Beispiel:

r, , r±tdt

J tg xdx=Jj—p-

Setzen wir t² = z, so

kommt :

Jtgxdx-ß

= ln + konst. = ln -f konst.

= — ln (cos²\x — sin² \ x) -(- konst. = — ln cos x 4- konst.

4. Beispiel: fctgxdx wird vermöge der Substitution x— j7t —t auf das vorige Integral zurückgeführt, so daß kommt:

J*ctg xdx

2 dz

~^7²

= ln sin x + konst.

453. Wiederholte teilweise Integration. Es seien u und v Funktionen von x, und n bedeute eine positive ganze Zabi. Kann man alsdann n -f- 1 Funktionen vx, v₂, v₃, ... vn, vn + x finden, deren Ableitungen bzw. gleich

V, vxu, v₂u, . . . vn_xu, vnu sind, so kann man auch das Integral

/■

unvdx

berechnen.

Denn nach Voraussetzung ist

(I

dv

n

(!) iè = v’    ■■■ ~ä~

so daß wiederholte teilweise Integration nach Satz 17, Nr. 415, gibt :

junvdx = J unvx'dx =

J un~¹u vxdx =J un~xv₂dx

unvx —

n j‘un~ ¹uv₁ dx,

= un

-i

vî-

(w — 1 )J un~²u v₂dx,

J uv'ndx

I uiivn_xdx =

J uvndx =J v'n+idx = vtl + ] + konst.

= UVn -

ju’vjx,

Werden diese Gleichungen der Reihe nach mit

1, —n, n(n— 1), • • • (— l)M-1w(w--l) • ••3-2, (— l)nn(n— 1) •••2-1

multipliziert und dann addiert, so kommt:

(2) J unvdx = unvx + (— l)n~¹n(n— 1) • • ■?>-2uvn-\-    • •• 2 • 1 vnĄ_x -f- konst.

— nu1l~¹v₂ n(n — 1 ~)un~²v₃ —

Beispiel: Ist u = arc sin x, v = 1, also vx = x, so kommt: d(— Vl—~x*)

dx

d (— x)

v₃ u =

dx

daher v₂ = — ]/l — x², daher va = — x, daher    = ]/1 — x²

usw.

yi — x²

Aus (2) folgt also, falls n eine positive ganze Zahl ist:

(3) j(arcsinÆ)rerfÆ=konst. + Æ[(arcsmÆ)ra—n{n—l)(arcsin^)n_

+ -J

-f- V1—x³ [w(arc sin x)n~l — n (n — 1 ) (n—2) (arc sinx)n~³ H----].

Vermöge der Substitution x = sinz geht hieraus hervor:

(4) Jzncoszdz=konst. -f sinz\zn — n (n — 1 )zn ~² -}----]

-f-cos£[w£"⁻¹—n(n— l)(w—2)#"~³-|----].

Die Endglieder der in (3) und in (4) auftretenden Summen fallen verschieden aus, je nachdem n gerade oder ungerade ist.

454. Auswertung reeller Integrale mit Hilfe des Imaginären. Wir haben die Integration im Bereiche der komplexen Zahlen noch nicht besprochen. Dennoch wollen wir hier an einem lehrreichen Beispiele zeigen, wie man mitunter durch Anwendung imaginärer Größen zu reellen Integralformeln gelangen kann, die sich ihrer umständlichen Form halber der direkten Berechnung leicht entziehen. Um aber völlig korrekt zu verfahren, werden wir die Richtigkeit der gewonnenen Formeln nachträglich durch ihre Differentiation prüfen und dadurch ebenso wie in Nr. 432 den eingeschlagenen Weg schließlich rechtfertigen.

In der Integralformel (1) von Nr. 418 wollen wir für die komplexe Konstante a -f- ib setzen. Alsdann kommt:

J tne(a + ib)ł(lt

(— l)"nl

n(a+ib)ntn

(;«+•&)*

1!

2!

nl

Nun ist nach (3) und (5) in Nr. 373:

e(a + ib)t _ eat . gbt _ ea*(cog })t Ą- i sin bt).

Ist q der absolute Betrag und a die Amplitude von a + ib, also a -j- ib nach Satz 1, Nr. 355, gleich q (cos a + i sin cc), so kommt nach der Moivreschen Formel in Nr. 358 für jede ganze positive Zahl k:

(a -(- ib)k = pÆ(cos ka + i sin ka).

Also wird

pW

cos (n -(- 1) a -f- i sin (n 1) o: cos [— (n -j- 1) <*] + i sin [— (n -J- 1) a]

Qn

Führen wir diese Werte in die Integralformel ein, kehren wir ferner die Reihenfolge der rechtsstehenden Summanden um und schreiben wir z statt t, so ergibt sich:

Izneaz cos bzdz -f ifizneaz sin bzdz

= konst. -f- eaz {cos [bz — (n -f 1)«] -\- i sin [bz — (n + 1) a\} • I    zn

■ | [cos na -f i sin na]—--[cos (n — 1) a -f i sin (n — 1) a]

+ [cos [n — 2)a Ą- i sin (n — 2) a]

n (n — 1) • • •

n(n — 1) zn

Ps

nzn

-l

-2

P²

-(- (— l)re-1 [cos a + i sin a]

Q⁷¹

Multiplizieren wir die beiden geschweiften Klammern aus, indem wir wiederholt von der Formel

(cos A -\- i sin Ä) (cos B -f- i sin B) = cos (A -f B) -j- i sin (A B)

Gebrauch machen, und trennen wir die reellen Glieder von den rein imaginären, so ergeben sich zwei durchaus reelle Formeln, die wir in eine einzige zusammenfassen können:

(1)

zneaz

cos

sin

bzdz

- konst. +    .

" (n — fc)!e*+1 Bin

Hierin gilt entweder überall das Funktionszeichen cos oder überall das Funktionszeichen sin. Außerdem haben q, cos a und sin a die Bedeutungen :

(2) v =

wobei die Wurzel positiv ist.

Nachträglich beweisen wir die Richtigkeit der Formeln (1) dadurch, daß wir zeigen: Die rechte Seite von nach z differenziert, in der Tat zneaz cos bz bzw. zneaz sin bz.

454]

cos a =

cos

ya*+&²’

[bz — (k + 1) «].

sina =

]/aqr&²’

(1) gibt,

Bei der Differentiation von (1) hat man nämlich zn bedenken, daß z rechts einmal vor dem Summenzeichen und zweimal unter dem Summenzeichen auftritt. Infolgedessen ergeben sich für jede der Zahlen 1c = 1, 2, ... n drei mit zn~k behaftete Glieder, nämlich diese:

n\eaz{- 1 )V~*

(n — k) ! Qk

a cos q sin

_ (* + 1) «] zp Bin [!>*-*«]},

b sin C cos

[bz — (k -f 1) a]

cos

wo entweder überall die oberen oder überall die unteren Zeichen gelten. Nach (2) ist der Inhalt der geschweiften Klammer gleich Null. Bei der Differentiation der rechten Seite von fallen also alle mit z°, z¹, £², ... zn~l behafteten Glieder fort. Dagegen ergeben sich zwei mit zn behaftete Glieder, nämlich

a cos q sin

Dies aber ist wegen (2) der Integrand. Also gibt die Differentiation der Formeln (1) in der Tat eine richtige Gleichung. Damit ist die Richtigkeit der Integralformeln (1) bewiesen.

Wir heben hervor, daß sich aus (1) für n = 0 und wegen (2) die oft angewandten Formeln ergeben:

Ist der Integrand f(x) von f f(x)dx ein Produkt von mehreren Sinus oder Kosinus linearer ganzer Funktionen von x, so lassen sich alle Faktoren wegen sin A = cos (A —|;r) als Kosinus solcher Funktionen ausdrücken. Ferner läßt sich nach der Regel

cos A cos B = |-cos (A + B) -f- ~cos(A — B)

jedes Produkt von zwei solchen Kosinus in eine Summe verwandeln, in der wieder Kosinus von linearen ganzen Funktionen

[454, 455

zneaz

(bz — a) +

b sin q cos

(bz — a) J •

(3)

(4)

Jea*

Jea*

b cos bz

-j- konst.,

(2)

von x auftreten. Wiederholte Anwendung dieser Regel zeigt also, daß schließlich jedes Integral von der Form

• • dx

Jcos (ax + b) cos (a x + b') cos (a'x -f b") •

und ebenso jedes Integral, das hieraus hervorgeht, wenn die Kosinus zum Teil oder sämtlich durch die Sinus ersetzt werden, in eine Summe von der Form

Jcos (px + q)dx

verwandelt werden Itann. Da

j cos (jvx + q) dx = ~ sin (px -f- q) + konst. für p 4= 0, J cos qdx = cos q • x + konst.

ist, läßt sich das Integral auswerten.

456. Anwendung auf f cosnxdx für ganzzahliges positives n. Nach der soeben erwähnten Regel ergibt sich zunächst :

2 cos² x = cos 2a; + 1,

2²    cos³ x = (cos 3x + cos x) + 2 cos x = cos 3 a; + 3 cos x,

2³    cos⁴ x = [cos Ax + cos 2x\ -f 3 [cos 2x -f 1]

= cos 4a; + 4 cos 2x -f 3,

2⁴    cos⁵ x = [cos hx -j- cos 3 a;] + 4 [cos 3x -J- cosa;] -f- 6 cos#

= cos 5 a; -j- 5 cos 3x + 10 cosa;,

2⁵cos⁶a; = [cosßa;-}-eos4a;] -|- 5[cos4a; + cos2a;] -RIO[cos2a; + 1] = cos 6 a; -f- 6 cos 4a; + 15 cos 2x -f 10

usw. Man erkennt, daß die Koeffizienten der Kosinus rechts die Binomialkoeffizienten sind, weil jeder Koeffizient als Summe zweier aufeinanderfolgenden Koeffizienten der vorhergehenden Formel entsteht. In den Formeln für gerade Potenzen von cos x tritt eine additive Konstante auf, die jedesmal gleich dem Koeffizienten von cos x in der vorhergehenden Formel ist. Daher kommt allgemein:

455, 456]

x = cos (2n — 1) x -j- 2w 1 cos (2n — 3) #

2²”⁻²cos²”⁻¹

cos (2« — d)xĄ-----h

(2w— 1) (2n — 2) • • (n-|-1)

1 • 2 • • (n — 1)

cosa;,

2n(2»_1 ) cQg(gw_4)x_]----

2 w

22w_1cos²”a;=cos2Ma;-|- — cos(2w —2)#-+

2w (2w — 1)    {n-{- 2)

1 • 2 • • (» — 1)

COS 2a; -f

(2 w — 1) (2 n — 2) • • (« -j- 1)

1 ■ 2 ■ • (w — 1)

Hierbei bedeutet n eine positive ganze Zahl. Integration liefert nun:

2 '-'J<

cos 2n~¹xdx =

sin(2w — l)x

2n — 1

2 n — 1 sin (2 n — 3) x

2n — 8

-—[-konst.,

(2 n — 1) (2 n — 2) sin(2w—5)x

2²

”⁻¹/

cos 2nxdx

sin2 nx . 2 n sin(2n — 2)x 2n (2n— 1) sin(2n — i)x

a; + konst.

2n(2n — 1) • • • (n -|- 2) sin 2 x , (2n — 1) (2 n — 2) • • (n -f- 1) 1.2 •••(»— 1)

Ersetzt man x durch x + so ergeben sich die Werte der Integrale

sin 2n~¹xdx und

J*sin 2nxdx,

wobei n eine positive ganze Zahl bedeutet.

457. Berechnung von f sin"*o?cosnxdx. Dies Integral läßt sich, falls m und n rationale Zahlen sind, mittels der in Nr. 452 angegebenen Substitution t= tg-|a; so verwandeln, daß der Integrand eine algebraische Funktion wird. Insbesondere ist diese Funktion rational, wenn m und n ganze Zahlen sind.

Wir können auch die Substitution sinx =}/t machen, wodurch sich

r* m — 1

sinma;coswa;^a;

= Y /    (1 - t) ²dt

ergibt. Wenn wir t = 1 — z², d. h. cosa; = z setzen, kommt:

sinwa;cosna;^a; = —

rt    m 1

/( 1~Z²) ²

zndz,

und diese Umformung wird man bequem benutzen können, wenn j (m — 1) eine ganze Zahl, d. h. m eine ungerade Zahl, und n rational ist. Denn wenn dann n = p : q ist, wo p und q ganze Zahlen bedeuten, setzt man nach Nr. 434 die Größe yz gleich einer neuen Veränderlichen.

Wenn wir dagegen in (1) die Substitution t — z² machen, also sin# = 0 setzen, kommt:

/»    n — 1

= J 2m( 1 - 2*) T

dz,

sin”*# cos nxdx

also eine analoge Form. Sie gestattet, das Integral zu berechnen, falls n eine ungerade Zahl und m rational ist.

Setzen wir t = #² : (1 4 z²), d. h. tg # = z, so kommt:

sin”*# cos nxdx =

zmdz

w + n + 2 f

(1 + Zr) ~ 2

und diese Form gestattet die Berechnung des Integrals, falls m 4 n eine gerade Zahl und m rational ist.

In jedem dieser drei Fälle läßt sich das Integral weiterhin durch teilweise Integration vereinfachen, ehe man die allgemeinen Methoden für die Integration rationaler Funktionen anwendet.

458. Berechnung von Jsin"* x cos" xdx für ganze Zahlen m und n. Statt der vorher auseinandergesetzten Methoden kann man zweckmäßig auch von vornherein die teilweise Integration an wenden, sobald m und n ganze Zahlen bedeuten. Denn es ist

-/

cos”⁻

sin”*# cosn xdx

, d / sin”< + ¹x Xdx{

so

daß teilweise Integration liefert:

(1)

/■

sin”* x cosnxdx =

cos” ¹Æsin”* + 1æ

4^1= T m 4 1

sin”* + 2# cosn~²xdx.

Im letzten Integrale ersetzen wir einen Faktor sin²# durch 1 — cos²#, wodurch dies Integral in

sin”*# cos” xdx

J*sin”* # cosn~²xdx —

457, 458]

übergeht, so daß in (1) rechts zum Schlüsse wieder das in (1) linksstehende Integral erscheint. Bringen wir es auf die linke Seite, so erhalten wir:

(2) ß

sin“ æ cos nxdx

sin”*⁺¹ x cos” ¹x

m -f- n

, n —1 f

H----1— f i

m -f- n /

sin“xcos n~²xdx.

Ersetzen wir x durch ~n — x und also dx durch — dx und vertauschen wir außerdem m mit n, so folgt:

(3) /

$mmxo,osnxdx

sin”* ¹æcos'*⁺¹a:

m -f n

sin”*- 2 x cos” x d x.

Ersetzen wir ferner n in (2) durch n 2 und m in (3) durch m -f- 2 und bringen wir alsdann jedesmal das rechtsstehende Integral auf die linke Seite, so erhalten wir die beiden Formeln:

sin”*#eos nxdx

f- 2

»■fl

sin”*⁺¹a;cos”⁺¹a:

n -f l

sin“ a: cos n + ²xdx.

(5)/

sin“itcos nxdx

sin“ + 1iccos,i +1 x

m -f 1

m -fl

-J*\sin“ + ² x cos” xdx

Dies sind Relmrsionsformeln, die zur sukzessiven Vereinfachung der Integrale dienen. Die Formeln (2) und (3) sind anzuwenden, falls n bzw. m eine positive ganze Zahl ist, die Formeln

(4) und (5), falls n bzw. m eine negative ganze Zahl ist. Die Gleichungen (2) und (3) sind unbrauchbar, wenn m -f n = 0 ist, aber (2) läßt sich im Falle m -f n = 0 durch die aus (1) folgende Gleichung ersetzen:

+    tg m+2xdx,

die als Rekursionsformel dient, wenn m eine negative ganze Zahl ist. Wenn wir hierin m statt m -f 2 schreiben und das rechtsstehende Integral auf die linke Seite bringen, erhalten wir die Rekursionsformel:

(6)

xdx —

tg

(7)

xdx =

tg“⁻

TO —

~ — kgm~²xdx,

die man anwenden kann, falls m eine positive ganze Zahl ist.

Die Formel (4) ist unbrauchbar, wenn n == — 1 ist, die Formel (5), wenn m — — 1 ist. Man bemerkt auch, daß ihre wiederholte Anwendung die Integrale, in denen n bzw. m eine negative ganze Zahl bedeutet, auf die besonderen Integrale

cosn X ,

sin”* x cos X

dx bzw.

—-dx

sin x

zurückführt, sobald n bzw. m eine ungerade Zahl ist. Auf das erste dieser beiden Integrale wenden wir, wenn m eine positive Zahl ist, die Formel (8) für n = — 1 an, so daß es sieb weiter reduziert, und wenn m eine negative ganze Zahl ist, die Formel (5) für n = — 1. Ebenso wenden wir auf das zweite, wenn n eine positive ganze Zahl ist, die Formel (2) für m = — 1 an, und wenn n eine negative ganze Zahl ist, die Formel (4) für m = — 1.

Man erkennt also, daß das Integral

J*smmxcosnxdx,

worin m und n positive oder negative ganze Zahlen sind, durch wiederholte Anwendung der Rekursionsformeln zurückgeführt werden kann auf solche Integrale von derselben Form, in denen m und n die Werte — 1,0 oder 1 haben. Es sind dies die Integrale

J dx = x -f konst.,

sin xdx = — cos x + konst.,

J*cosxdx = sina; -f- konst.

sin x cos xdx

= ~J sin 2xd(2x) = — -j cos 2x -f- konst

= — \ cos²# -f- konst. = sin²# -+■ konst.,

= ln tg | # + konst.,    = ln tg ({# + \it) + konst.,

J tgxdx

■■J*ctg xdx = ln sin # + konst., wie sich nach Nr. 452 ergibt, sowie das Integral:

dx

’sin# cos x

COS X sinæ

dx

dx =

= — ln cos # 4- konst.,

dx

/n-i-

In diesem machen wir die Substitution # = \ t und erhalten:

f.

dx

sin x cos x

=J*Éat ⁼    2^ ^ons^ ⁼ tg# + konst.

458]

Wir können also auf diesem Wege jedes Integral

J smwÆcosnÆ(?Æ,

in dem m und n positive oder negative ganze Zahlen sind, berechnen.

459. Die Integrale fsiii,nxdx und fcos,nxdx für ganze positive Zahlen m. Die Formel (3) der vorigen Nummer gibt im Falle n — 0:

si nm~² xd x.

sinm xdx = —

sin™ ⁻¹ x cos x

Ist m eine ganze positive Zahl, so wollen wir die Fälle einer ungeraden oder geraden Zahl m trennen. Ist m ungerade, gleich 2k — 1, so kommt:

sin 2k~¹xdx = —

(1)

- sin24- 2 x cos x

2 k — 2k —

j J sin<ik-% xdx\

ist m dagegen gerade, gleich 2k, so kommt: (2) Jsin2,1 xdx = — ~ sin²*⁻

. 2k —

ÆCOSÆ+

sm2k~² xdx.

Dies sind wieder Rekursionsformeln.

Wenn wir k in (1) nacheinander durch k—1, k-2,---2 ersetzen, erhalten wir insgesamt k — 1 Gleichungen, die wir bzw. mit

2k —2

(2k — 2) (2Ä-4)-. ~(2k —1) (27c — 3)~. 5

multiplizieren und alsdann addieren. So finden wir:

1,

(2k —2) (2k — 4) 2k — 1 >    (2k— 1) (2k — 3)

(3)

J*sin²*

~lxdx =

cos x ~ 2k — 1

|^sin

x-\-

2k — 2k —

^sin²*⁻⁴#-!

O

(2k — 2)(2k — 4) .

(2k—2) (2k—b)

sin

2A-6

x-\----

sin² x -f

(2k —2) (2k — 4)---4 (2k —2) (2k —b)---2

(2k —2) (2k — 4).-.4-2

(2k — 3) (2k — 5) • • • 3 • 1

J + konst.

[458, 459

Die Gleichung (2) dagegen liefert, entsprechend behandelt:

(4)

J sin2k xdx =

cosæ

2k

^sin2Æ_1Æ +

2k— 1 . 2k —2

sm

2/t-3

(2k— 1)(2Æ— 3)

(2 k — 2) (2 k — 4)

sin²*⁻⁵^ d----

(2k — l)(2k — 3)- • •

(2jfe —1) (2k — 3)-.-3

; 2sin^] 4

— • x + konst.

Durch Einführung der neuen Veränderlichen j jt — x erhält inan entsprechende Formeln für die Integrale der ganzen positiven Potenzen des Kosinus. Wir erinnern daran, daß wir diese Integrale in Nr. 456 in andererWeise dargestellt haben, nämlich als Summen, die nach goniometrischen Funktionen der Vielfachen des Winkels fortschritten, während jetzt die Summen nach Potenzen goniometrischer Funktionen fortschreiten.

(2k — 2) (2k — 4) • •

2k(2k — 2) (2k — 4) • •

460.

Das Integral j ■

doc

Da dies Inte-

«sinsc -j- bcossc -f- c‘ gral öfters vorkommt, behandeln wir es als letztes Beispiel nach der in Nr. 452 angegebenen Methode, indem wir tg\x = t setzen, wodurch hervorgeht:

⁽¹⁾ /■

dx

-f«

2 dt

— b)t² -f- 2 a t -f- (e b)

a sin x -f- b cos x -f- c

Nach § 1 ergeben sich verschiedene Behandlungsweisen je nach der Beschaffenheit der im Nenner des Integranden stehenden ganzen Funktion zweiten Grades.

Hat erstens diese ganze Funktion zwei verschiedene reelle Nullstellen tx und t₂, so wird das Integral gleich

2 dt

c — bjy—tj (t — t₃)

(c — b) (tx — tj

/* dt /' dt

U t- ti Jr"

t — ts

(c — b) (tx — t,)

.r-

_i tgł^— h

(c — 6) (tx — #₂)    tglx— tz

F konst.

Hierin sind tx und t₂ die Werte

_ — a i y a⁸ -\- b* — ca c — b

so daß sich also für c² < a² -j- &² ergibt:

459. 400]

<8)/

— |/a²-(-&i! — c²—(fr— c) tg^x asinæ + & coax-\- c j/aqi W—c² a + j/a²+fr² — c²—(fr — c) tg+æ

f konst.

Wenn zweitens die in (1) auftretende quadratische Funktion konjugiert komplexe Nullstellen h ± ilc hat, wenden wir auf das in (1) rechts stehende Integral die Formel (11) von Nr. 433 an, indem wir

c+b $ “ c—!>

p- °>

setzen, wobei

^ = —

c— b’

Zc = \ q Ir =

y'c* — a² — fr'²

ist, also für die in der angegebenen Formel (11) auftretende Größe t oder (x — fr) : fr, d. h. also jetzt für ( t — fr) : fr der Wert

(c — b) t + a

t — h

y'c² — a² — fr²

j/c² — a² — fr²

zu setzen ist. Demnach kommt für c² > a² + fr²:

(c— fr)tg|a;+a y'c²— a²— fr²

^y«sina:-(-&cosa:+c ycs_a*_Z&s

Hat endlich drittens die in (1) auftretende quadratische Funktion zwei gleiche Nullstellen so wird das in (1) rechtsstehende Integral gleich

dx

arctg

-f konst.

-f konst.

2 r dt

c~hJ —h)2 _

Hierbei ist c² = a² + fr² und tx = a : (b — c). Demnach ergibt sich im Falle c² = a² + fr²:

4- konst.

(4) r________—__=_______~²__

v '    J a sin x -j- b cos x -f- c    a-|-(c — b)tg\x

Es kann ferner viertens Vorkommen, daß sich die quadratische Funktion in (1) auf eine lineare reduziert, nämlich wenn b = c ist. Alsdann wird das Integral (1) gleich

* ln (at + b) -(- konst.,

so daß sich im Falle a 4=0 ergibt:

(5) f.

dx

usina; 4~ fr (cosa; 4~ 1)

= * ln (a tg j x 4- fr) 4~ konst.

Ist jedoch a = 0, so wird die quadratische Funktion eine Konstante, und es kommt:

(6)

= tg \ x -f- konst.

dx

COS X -f- 1

Hiermit sind alle Möglichkeiten erledigt.

461. Bemerkung über die Logarithmen, die sich beim Integrieren ergeben. Indem wir hier die Vorführung von Beispielen beenden, in denen die Integrale ausgewertet werden können, erscheint es rätlich, noch einmal auf eine Bemerkung von Nr. 402 zurückzukommen, wo wir betonten, daß die Formel:

= ln x -f- konst.

unvollständig ist, falls man sich auf den Bereich der reellen Zahlen beschränkt, da ja auch:

/£-1n(— x) + konst.

richtig ist. Die zweite Formel geht allerdings aus der ersten hervor, wenn die darin auftretende additive Konstante durch ln (— 1) V konst. ersetzt wird. Aber ln (— 1) ist imaginär.

Bei den Anwendungen aller derjenigen Integralformeln, in denen sich auch additive logarithmische Funktionen ergeben, muß man also beachten, daß die Numeri dieser Logarithmen auch stets mit — 1 multipliziert iverden dürfen. So z. B. ist die Formel (2) der vorigen Nummer eigentlich noch zu ergänzen durch diese:

f*    dx    1

J asinæ-b&cosæ-j-c    _

-{-konst.

_ in Vf ².+: ^ “ — — CT + (^ —Qtgy *

c² ]/a²-f-&s—c²-\-a— (b—c)tg^x

Man wird bemerken, daß sich jene Formel (2) in diese ergänzende Formel nicht etwa einfach dadurch verwandeln läßt, daß man der Wurzel das entgegengesetzte Zeichen gibt, vielmehr nur dadurch, daß man zur additiven Konstanten noch eine imaginäre Konstante hinzufügt.

Beachtet man diesen Umstand nicht, so kann man leicht bei Anwendungen der Integralformeln ganz wesentliche Fälle übersehen.

462. Über sonstige elementar auswertbare Integrale. Außer den vorgeführten Integralen lassen sich, noch manche andere mittels der elementaren Funktionen ausdrücken. Bei ihnen erkennt man zuweilen sofort, welche Substitutionen sich als zweckmäßig erweisen, oder ob die teilweise Integration zum Ziele führt. Z. B. wird man, um das Integral auszuwerten, offenbar die Substitution x = sin t machen, wodurch das Integral auf das in Nr 454 unter (3) berechnete zurückkommt Andererseits liegt bei dem Integrale

arc tg x

(! + «)

dx,

da 1 : (1 -\- x)² der Diflferentialquotient von — 1 : (1 + x) ist, die Anwendung der teilweisen Integration nahe, wodurch der Integrand des noch auszuwertenden Integrals rational wird.

Allerdings gibt es viele Fälle, bei denen der einzuschlagende Weg nicht so deutlich erkennbar ist, vielmehr Kunstgriffe zum Ziele führen. Jedoch, was eigentliche Methoden betrifft, so bieten solche Integrale nichts lehrreiches, so daß wir von ihrer Behandlung füglich hier absehen können.

Nur auf einen Umstand weisen wir noch hin, dessen Beachtung zuweilen nützlich ist: Integrale von der Form

7»

dx,

J*-j- = ln (+ f) -f- konst.

deren Integranden also Brüche sind, in denen als Zähler die Ableitungen der Nenner auftreten, gehen vermöge der Substitution f(x) =7 in

über. Demnach ist

7»

f{x)

dx = ln [+ f(xj\ -|- konst.

Diese Regel, die allerdings nur ein spezieller Fall der Methode der Substitution ist, heißt die Methode der logarithmischen Integration. Beispielsweise ist danach

Serret-Scheffers,Diff.-u.Integral-Rechnung. II. 4.u.5.Aufl.

Es wäre also ungeschickt, dies Integral nach der Methode der Partialbruchzerlegung zu behandeln. Ein anderes hierher gehöriges Beispiel ist:

= ln (+ ln x) -f konst.

2 x-\- p

x* px 4- q

- dx = ln [+ (x² + P% + s)l + konst.

f dx ₌ Chdx J x ln x J ln x

Schließlich sei noch erwähnt, daß man oft im Stande ist, für Integrale, in deren Integranden eine ganze positive Zahl n vorkommt, liekursionsformein aufzustellen, die gestatten, die Integrale auf ebensolche mit geringeren Werten der Zahl n zurückzuführen. Hierfür wurden schon an verschiedenen Stellen Beispiele gebracht.

Auf das Verfahren, Integrale durch Entwicklung in unendliche Reihen zu berechnen, kommen wir später zurück. In Nr. 446 haben wir übrigens schon zwei Beispiele dazu vorgeführt.

Drittes Kapitel.

Theorie der bestimmten Integrale.

§ 1. Grenzwerte bestimmter Integrale.

463. Das Ziel der folgenden Betrachtungen. Wenn f(x) eine im Intervalle von A bis B stetige Funktion von x bedeutet und x₀ und X irgend zwei Werte innerhalb dieses Intervalles sind, ist das Integral

x

(1)

J f(x)dx *0

nach Satz 6, Nr. 410, eine stetige und differenzierbare Funktion der oberen Grenze X. Da ferner nach Satz 8, Nr. 412, das von X bis x₀ erstreckte Integral

ajo

J f(x)dx

x

den entgegengesetzten Wert hat, ist das Integral (1) auch eine stetige und differenzierbare Funktion der unteren Grenze x₀.

Wir können also sagen, daß das Integral (1) eine stetige und differenzierbare Funktion der oberen oder unteren Grenze ist, je nachdem man die obere oder untere Grenze als veränderlich auffaßt, und zwar ist der Variabilitätsbereich derselbe wie der Yariabilitätsbereich des Integranden f(x).

Alle Integralformeln des zweiten Kapitels gelten zunächst nur unter der Voraussetzung, daß man die Veränderliche auf einen Bereich beschränkt hat, innerhalb dessen der Integrand stetig ist.

Bei den grundlegenden Untersuchungen in § 2 des 1. Kapitels haben wir ferner das Intervall von x₀ bis X stets als ein endliches Intervall vorausgesetzt.

Es ist hiernach klar, daß wir nunmehr zweierlei zu erwägen haben, nämlich erstens, ob wir imstande sind, das Intervall bis ins Unendliche auszudehnen, und zweitens, ob wir imstande sind, das Intervall auch über Stellen hinweg auszudehnen, wo der Integrand f(x) unstetig wird. Die Erörterung dieser beiden Fragen ist der Gegenstand des gegenwärtigen Paragraphen.

464. Grenzwert eines Integrals mit der oberen Grenze + Wir nehmen an, daß die Funktion f(x) für jedes endliche x x₀ stetig sei. Alsdann ist das Integral

J j f(x)dx

x₀

nach Satz 6, Nr. 410, für jedes endliche X ^ x₀ eine stetige und differenzierbare Funktion von X. Nach der in Nr. 18 gegebenen Definition des Grenzwertes folgt nun:

Das Integral J hat für lim X = + oo einen bestimmten endlichen Grenzwert S, wenn es stets, wie Mein auch eine vorgegebene positive Zahl <5 sein mag, eine positive Zahl n derart gibt, daß der Wert des Integrals J für jedes Xi>n um weniger als 6 von S abweicht:

x

(1)

S <6.

j j*f(x)dx

Xq

Ist dies der Fall, so sagen wir, daß das Integral für lim X = -f- oo konvergent sei. Andernfalls heißt es divergent. Ist es konvergent, so benutzen wir statt der umständlichen Schreibweise

lim

X=+oo

die einfachere:

x

J*f(x)dx = S

X₀

+ 0O

= S.

J‘f(x)dx

x₀

Es ist vielleicht nicht überflüssig, nochmals daran zu erinnern, daß wir nach Nr. 19 unter Zahlen oder Buchstaben stets endliche Größen verstehen. Wenn wir also in der obigen Definition gesagt haben, daß X^>n gewählt werden soll, so bedeutet dies, daß für X jede beliebige endliche Zahl n genommen werden darf.

Daß wir einlntegralJ" mit einem bestimmten endlichen Grenzwerte S konvergent nennen, hat seinen Grund darin, daß jedes Integral nach Nr. 410 als Grenzwert einer Summe, d. h. also als eine Summe von unendlich vielen Gliedern aufzufassen ist, so daß wir wie bei den unendlichen Reihen (vgl. Nr. 101) von Konvergenz oder Divergenz sprechen können. Eigentlich sind auch die Untersuchungen in § 2 des 1. Kapitels Konvergenzbetrachtungen.

1. Beispiel: Da e~x für jedes x stetig ist, bedeutet

x

=j*3~xdx = e~x° — e~x

eine stetige Funktion von X für jeden Wert von X. Für lim X = -f- oo ist lim e~x = 0, also lim J = e~x°. Daher ist J konvergent für X = + oo und hat den Grenzwert S = e~x°, so daß wir schreiben:

+ 00

J e~xdx = e~x°.

■I'o

2. Beispiel: Da 1 : (1 + x²) für jedes x stetig ist, hat man für jedes X:

x

A

x₀

dx

1 + x*

= arc tg X — arc tg x₀

wenn die beiden Arkus in demselben Intervalle von — jse bis \ 7i angenommen werden. Für lim X = -f oo wird lim arctgX = jrt, d. h. es ist:

-foo

I

Xq

dx ,    .

ifX+i ⁼ \7C ~~ arc tg x₀.

3. Beispiel: Es seien K und h ebenso wie xQ und X positive Zahlen. Alsdann ist:

fyAx~

x„

sobald 1c -4= 1 ist, dagegen für 1c = 1 :

x

x₀

f—dx = Xln — •

J x

*0

Hieraus folgt im Falle Tc > 1 :

-f oo

xk

r

X₀

dagegen im Falle 0 < 1c 1 :

+ 00

r

x₀

—r dx = + OO.

4. Beispiel: Für jedes X ist:

x

j*3xdx =

woraus folgt:

a-o

00

e^dx = + oo.

5. Beispiel: Für jedes X ist:

x

/<

0

cos xdx = sin X.

Nun bat aber sin X für lim X = -f- oo keinen bestimmten Grenzwert, also bat auch

+ oo

^cos xdx o

keinen bestimmten Wert.

464]

465. Kennzeichen der Konvergenz eines Integrals mit der oberen G-renze + oo. In den Beispielen war die Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz des Integrals leicht, weil wir das Integral für beliebige endliche Werte der oberen Grenze X auszuwerten imstande waren. Ist dies jedoch bei einem vorgelegten Integrale nicht möglich, so können wir die in voriger Nummer gegebene Definition der Konvergenz nicht unmittelbar anwenden, weil in ihr der Grenzwert S selbst auftritt, der ja von vornherein nicht bekannt ist. Wir sehen uns also genötigt, die Definition der Konvergenz so umzuformen, daß sie frei wird von dem noch unbekannten Grenzwerte S.

Eine ähnliche Aufgabe haben wir bei den unendlichen Reihen erledigt, indem wir die in Nr. 101 gegebene Definition ihrer Konvergenz, in der die noch zu berechnende Summe S der Reihe auftrat, in Nr. 102 so umformten, daß sie von S frei wurde. Wir werden nun auch ganz entsprechend wie damals in Nr. 102 Vorgehen:

Wenn das Integral J für lim X= + oo einen bestimmten endlichen Grenzwert S hat, muß es nach Nr. 464 zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen positiven Zahl 6 eine positive Zahl n derart geben, daß für jede obere Grenze, die größer oder gleich n ist, der Wert des Integrals von S um weniger als <3 ab weicht. Wählen wir nun m > n, so muß also

| J]f(x)dx *0

— S <(3

sein, und dasselbe muß für m = n gelten:

I j f(x)dx

x₀

— S < (9.

Nach Satz 2 in Nr. 4 ist nun:

rn

\ff(x)dx —j*f(x)dx == j jJ f(x)dx — S — J f(x)dx

Xq    Xq    Xq    Xq

-s

m

j*f{x)dx

XQ

-S +

j*f(x)dx — S *0

Die links zwischen den Strichen stehende Differenz ist nach Satz 9, Nr. 412, gleich dem von n bis m erstreckten Integrale, während jeder der beiden Summanden rechts nach dem Vorhergehenden kleiner als 6 ist. Demnach folgt, wenn 2 6 = t gesetzt wird:

(i)

für jedes m > n.

Dies Ergebnis ist der Formel (1) in Nr. 102 analog. Wie damals wollen wir auch jetzt die Betrachtung umkehren, also nicht mehr voraussetzen, daß das Integral J für lim X = -|- oo konvergiere, sondern annehmen: Zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen positiven Zahl t gebe es einen positiven Wert n derart, daß für jedes w > n die Ungleichung (1) besteht. Wir wollen alsdann beweisen, daß das Integral J für lim X = -f- oo konvergiert.

Wie in Nr. 102 bezeichne

U --> ^2 ''> ^3    ’ " ’ -> U -^>

irgend eine solche unbegrenzte Folge von abnehmenden positiven Zahlen, die nach Null strebt (wie z. B. 1, ¹/₂₎ x/₃, . . .). Es seien ferner nv nif n₃, . . . nif . . . solche zu diesen positiven Zahlen tl7 t₂, ts, ... rif .. . gehörige positive Werte von n, für die nach Voraussetzung die Ungleichung (1) gilt, so daß allgemein:

für m > ni

U < f f{x)dx < r.

ni

ist. Addieren wir hier überall das von x₀ bis ni erstreckte Integral, so ergibt sich nach Satz 9 von Nr. 412:

r‘

I f(x)dx

Xq

m    ni

für m > nt.

Tt < f f{x)dx <Jf{x)dx + -r.

a*o    xo

Solche Ungleichungen gehen für i — 1, 2, 3, . . . in beliebiger Anzahl hervor. Sie sind genau so gebaut wie die Ungleichungen (3) in Nr. 102, ja sogar dieselben, wenn wir die Bezeichnungen:

x₀

JH

Sm =j f{x)dx *0

§ i. Grenzwerte bestimmter Integrale.

121

einführen. Also folgt gerade so wie dort, daß lim Sm für limm = -f oo einen bestimmten endlichen Wert S bat. Somit geht der folgende Satz hervor, der dem Satze 2 von Nr. 102 entspricht:

Satz 1: Ist f{x) eine für xj>x₀ überall stetige Funktion von x, so konvergiert das bestimmte Integral dann und nur dann, wenn es stets, sobald eine beliebig kleine positive Zahl t vorgeschrieben wird, eine positive Zahl n derart gibt, daß für jedes m > n die Ungleichung besteht:

< r.

J f(x)dx I

Ygl. Satz 20, Nr. 419, für Integrale mit endlichem Intervalle.

466. Hilfsmittel zur Feststellung der Konvergenz oder Divergenz eines Integrals mit der oberen Grenze

+ oo. Die Analogie mit den unendlichen Reihen läßt sich weiter verfolgen. Wie in Nr. 105 bemerken wir, daß das soeben gewonnene notwendige und hinreichende Merkmal der Konvergenz meistens nicht direkt anwendbar ist, da man den absoluten Betrag des Wertes des von n bis m erstreckten Integrals nur in seltenen Fällen zu berechnen vermag. Vielmehr wird man andere Integrale, deren Konvergenz oder Divergenz schon bekannt ist, zur Vergleichung heranziehen auf Grund eines Satzes, der das Analogon zum Satze 10 in Nr. 105 ist und so lautet:

Satz 2: Wenn zwei Integrale

und

+ oo

j u(x)dx

4- oo

Jv(x)dx

vorliegen und u(x) für jedes xj>a, v(x) für jedes xj>b stetig ist, konvergiert das erste Integral, sobald das zweite konvergiert und es eine Zahl ccj>a und j> b derart gibt, daß für jedes xj>a soivohl v(x) 0 als auch \ u(x) | <1 v(x) ist. — Da-

[465, 466

gegen divergiert das erste Integral und zwar nach j j, sobald das zweite nach + oo divergiert und es eine Zahl a > a und b derart gibt, daß für jedes x a sowohl v(x) 0 als

auch u(x) [ negativ) un^ überdies \u(x)\j>v(x) ist.

Indem wir zum Beweise zunächst die Voraussetzungen des ersten Teiles dieses Satzes machen, entnehmen wir aus Satz 1, Nr. 465, daß es, wie klein auch eine vorgegebene positive Zahl r sein mag, eine positive Zahl n derart gibt, daß für jedes m > n

J v(x)dx < r

ist. Hier sind nämlich die Zeichen für den absoluten Betrag nicht nötig, da wir w > a annehmen können und v(x) dann nach Voraussetzung positiv ist, mithin auch das Integral (nach Satz 12, Nr. 412). Aus Satz 16, Nr. 414, und Satz 14, Nr. 413, folgt nun sofort:

!Ju(x)dx ^j*\u(x)\dx<i.j'v(x)dx<Ct,

womit die Konvergenz des ersten Integrals nach Satz 1, Nr. 465, bewiesen ist.

Dem Beweise des zweiten Teiles unseres Satzes schicken wir die Bemerkung voraus, daß wir uns nur um die von der unteren Grenze a an bis -f °° erstreckten Integrale zu kümmern brauchen, da ja nach Satz 9, Nr. 412, sobald a < a, b < a und X > a ist, auch

X    a    X    X    a    X

vdx

^udx = j*udx 4- judx, J*vdx = J*vdx + J*«

a    a    a    b    b    a

wird und die von a bis a bzw. von b bis a erstreckten Integrale beim Grenzübergange lim X = -j- oo unverändert bleiben. Nach den Voraussetzungen des zweiten Teiles unseres Satzes 2 ist u(x) für xj>a stets positiv oder stets negativ. Weil nun

x

J u(x)dx

= — j — u(x)dx

ist, brauchen wir den Beweis nur für die erste Annahme, nämlich für u(x) > 0, zu führen, so daß also nach den Voraussetzungen des Satzes u(x) ^ v(x) für xi>cc sei. Nach Satz 14, Nr. 413, ist dann für X > a:

x    x

J‘u(x)dx^>:J*v(x)dx

Für lim X = 4- oc strebt das zweite Integral nach + oo, demnach auch das erste. Hiermit ist der Beweis beendet.

Auf Grund des Satzes 2 stellen wir die Konvergenz oder Divergenz eines Integrals durch Vergleichung mit einem anderen Integrale fest. Indem wir dies zweite Integral, das über v(x) erstreckte, in bestimmter Weise wählen, werden wir speziellere Sätze gewinnen.

Wir wollen insbesondere

, \ K

»(*) - *

setzen. Hierbei sollen K und k positive und insbesondere von Null verschiedene Konstanten sein, so daß v(x) für x > 0 stetig und positiv ist. Nach dem 3. Beispiele in Nr. 464 ist alsdann das zweite in Satz 2 auftretende Vergleichungsintegral für 1c > 1 konvergent, während es für 1c 1 den Grenzwert -f- oo hat. Wenn wir also in dem Satze v(x) den angegebenen Wert erteilen und u(x) nunmehr wie gebräuchlich mit f(x) bezeichnen, geht sofort der Satz hervor:

Satz 3: Ist fix) für jedes x x₀ stetig, so konvergiert das

Integral

4- oo

I f{x)dx,

X₀

sobald es zwei positive Zahlen a und K und eine Zahl k > 1 derart gibt, daß ] xkf(x) | K für jedes xj>a ist. — Es divergiert dagegen nach j ^ j , sobald es zwei positive Zahlen a

xi> cc erstens fix) j

| und zweitens \xkf(x)\ K ist.

und K und eine positive Zahl k <[ 1 derart gibt, daß für jedes positiv negativ

Dieser Satz ist ein Analogon zu den Sätzen 11 und 12 in Nr. 105 über unendliche Reihen. Wie wir jenen Sätzen in Satz 13 und 14 ebenda noch speziellere Formen gaben, können wir es jetzt auch mit dem Satze 3 tun. Wir wollen nämlich jetzt insbesondere annehmen, daß fix) für Um x = -\- oo mit 1 : x in einer bestimmten Ordnung verschwinde, vgl. Nr. 127. Die Ordnungszahl sei k, d. h. es habe | xif(x) j für lim^== + oo einen bestimmten endlichen positiven und von Null verschiedenen Grenzwert A. Dies bedeutet: Ist eine beliebig kleine positive Zahl x vorgegeben, so gibt es eine positive Zahl a derart, daß | xkf(x) | für jedes x a zwischen A — x und A -f- x liegt. Ist nun k > 1, so wählen wir K = A -f- x, ist & <] 1, so wählen wir K = A — x und wenden den letzten Satz an. So kommt der

Satz 4: Ist fix) für jedes x ^ x₀ stetig, so konvergiert das

Integral

+ oo

j*f{x)dx,

■r₀

sobald fix) für lim x = + oo in höherer als erster Ordnung mit 1 : x verschivindet. — Es divergiert dagegen nach (    ^ ), so

bald f{x) für lim x = A ⁰⁰ w niedrigerer als erster oder gerade in erster Ordnung mit 1 : x verschwindet und fix) von einem

gewissen Werte a an für jedes xj>a beständig j

ist.

positiv negativ

Wenn ferner f(x) für lim x = -f oo den Grenzwert + oo oder — oo hat, erkennt man sofort aus Satz 1, Nr. 465, die Divergenz des Integrals. Dasselbe gilt, wenn f{x) für lim x = + oo einen bestimmten endlichen und von Null verschiedenen Grenzwert hat. Also fügen wir hinzu:

Satz 5: Ist f(x) für jedes xi>xQ stetig, so ist das Integral

4- ⁰⁰

/f(x)dx

x₀

gewiß nicht konvergent, wenn f(x) für lim x = -f oo nach + oo oder — oo strebt oder einen endlichen und von Null verschiedenen Grenzwert hat.

466]

467. Integrale, deren Grenzen irgendwie nach Unendlich streben. Wir wollen jetzt annehmen, daß f(x) für jedes x x₀ stetig sei, und X < x₀ wählen. Alsdann soll untersucht werden, ob das Integral

x

ijf(x)dx

x₀

für lim X = — oo einen bestimmten endlichen Grenzwert hat. Wir machen die Substitution x = — t, dx = — dt und finden:

- x₀

x

J f(x)dx

Xq

- ij f{— t)dt.

Also ist der fragliche Grenzwert durch die Formel

— oo

J f(x)dx = —J /'(— t)dt

Xq    Xq

zu definieren und dadurch auf den bisher betrachteten Grenzwert eines Integrals mit der oberen Grenze oo zurückgeführt. Da der Wert des rechts stehenden Integrals unabhängig von der Bezeichnung der Veränderlichen des Integranden ist, folgt:

-foo

— 00

(1)

J f(x)dx = — I f{— x)dx.

x₀    — x₀

Soll die untere Grenze eines Integrals nach + oo oder — oo streben, vorausgesetzt, daß der Integrand f(x) für alle Werte von x oberhalb bzw. unterhalb eines gewissen Wertes stetig ist, so läßt sich die Untersuchung leicht auf die bisher betrachteten Fälle zurückführen. Nach Satz 8, Nr. 412, ist ja

(2)

+ 00

Schließlich ist es denkbar, daß beide Integralgrenzen nach Unendlich streben, z. B. die obere Grenze X nach + oo und die

[467

untere Grenze x₀ nach — oo. Dabei wird vorausgesetzt, daß der Integrand f(x) für alle Werte von x stetig sei. Hier verfahren wir so: Es sei a irgend ein zwischen xQ und X gelegener Wert. Dann ist nach Satz 9, Nr. 412:

X    a    X

J f(x)dx =J f{x)dx + j‘f{x)dx

x₀    x₀    a

Beim Grenzübergange folgt also:

-f 00

(3)

+ oo

x)ax.

— 00

— 00

Hierdurch ist der gesuchte Grenzwert auf solche zurückgeführt, die wir schon vorher betrachtet haben.

Es ist leicht einzusehen, daß diese Definition (3) des Grenzwertes von dem gewählten Zwischenwerte a unabhängig ist. Denn wenn b irgend ein anderer Zwischenwert ist, folgern wir aus Satz 9, Nr. 412:

woraus sich für lim xQ= — oo, lim X = -f- oo ergibt:

a    b    b

J f(x')dx =j f(x)dx —Jf(x)dx,

— 00

— 00

Dies aber besagt, daß der Zwischen wert a durch jeden anderen Zwischenwert b ersetzbar ist!

467]

Wir sagen in allen in dieser Nummer besprochenen Fällen, daß das in Rede stehende Integral konvergiert oder divergiert, sobald der Grenzwert bestimmt und endlich ist. Dabei ist im Falle (3) noch

bemerken: Das Integral heißt nur dann

zu

konvergent, wenn beide rechts stehende Integrale konvergieren.

Unser Ergebnis ist:

Satz 6: Die Definition in Nr. 464 und die Sätze 1—5 von Nr. 465 und Nr. 466 lassen sich sinngemäß auf solche Integrale übertragen, deren Grenzen irgendwie nach Unendlich streben, indem man alle derartige Integrale auf Integrale mit der oberen Grenze -j- oo zurückführt.

Wenn die Funktion f(x) insbesondere eine sogenannte gerade Funktion ist, d. h. eine Funktion, der die Eigenschaft f(x) = /*(— x) zukommt, wie z. B. den geraden Potenzen x², x⁴, . . ., so folgt aus (2) für X=0 und wegen (1) für #₀ = 0:

0    — OO    +00    +00

J“f(x)dx = —j f(x)dx = -f J f(— x)dx ==J f(x)dx

-oo    0    0    0

Aus (3) geht mithin bei der Annahme a = 0 der Satz hervor:

Satz 7: Ist f(x) eine gerade Funktion von x und konvergiert das über f(x) von 0 bis + oo erstreckte Integral, so ist:

+ 00 +00 J f(x)dx = 2J f(x)dx.

- oo    0

Wenn f(x) dagegen eine sogenannte ungerade Funktion ist, d. h. eine Funktion, die überall die Eigenschaft f(x) = —f(—x) hat wie z. B. die ungeraden Potenzen x, xA, xh, . . ., folgt aus (2) ebenso:

0 — 00 +00 J*f(x)dx = —j f(x)dx = —J*f(x)dx

-oo    o    0

Wenn also in diesem Falle das Integral

+ oo

J f(x)dx

o

konvergiert, ist nach (3):

+»⁰⁰

J*f{x)dx = 0

— oo

468. Beispiele.

1. Beispiel: Es ist e~x2 eine gerade Funktion. Für Je >1 und lim x = + ⁰⁰ ist nach dem 4. Beispiele in Nr. 131 der Grenzwert von Fe~x2 gleich Null. Nach Satz 7 und nach Satz 3 in Nr. 466 konvergiert daher das Integral

+ 00

+ 00

e~x2dx

— oo

= 2J*e~x2dx. o

2. Beispiel: Ist f(x) für jedes x stetig und |/“(#)| stets kleiner als eine gewisse positive Zahl a, so hat auch Ff{x)e~x2 für lim x — + oo und für lima; = — oo den Grenzwert Null. Daher sind alle Integrale über f(x)e~x2 konvergent, z. B. die Integrale

+ oo

+ oo

e~x2 sinxdx und

Je~x2 cos xdx,

— oo

— oo

von denen das erste wegen sin (— x) = — sin x nach Formel (4) von Nr. 467 gleich Null und das zweite wegen cos (— x) = cos x nach Satz 7 das Doppelte des Integrals von 0 bis + oo ist.

3. Beispiel: Aus dem 2. Beispiele in Nr. 464 folgt:

+ ⁰⁰

dx

+ oo

1 + a:²

— 00

²J

0

dx

r+v- “ *•

f{x),

ist die gebrochene

so

4. Beispiel: Sind die beiden ganzen rationalen Funktionen Fix) und fix) relativ prim (vgl. Nr. 379) und ist x₀ größer als die größte reelle Nullstelle von Funktion F(x) : fix) für xii>x₀ stetig. Sie hat für lim x = + oo einen Grenzwert + oo, wenn der Zähler von höherem Grade als der Nenner ist, dagegen einen von Null verschiedenen endlichen Grenzwert, wenn der Zähler von demselben Grade wie der Nenner ist, und den Grenzwert Null, wenn der Zähler von niedrigerem Grade als der Nenner ist. Nach Satz 4 und 5 von Nr. 466 ist also das Integral

./

+^oo

F(x)

dx

nur dann konvergent, wenn der Grad des Zählers Fix) um mindestens zwei Einheiten kleiner als der des Nenners fix) ist.

468]

Bedeutet xü andererseits eine Zahl kleiner als die kleinste reelle Nullstelle von f(x), so ist F(x):f(x) für jedes x x₀ stetig, und es folgt ebenso, daß

— oo

dx

F{x)

fix)

dann und nur dann konvergiert, wenn der Grad von F(cc) um mindestens zwei Einheiten kleiner als der von f(x) ist. Hat nur imaginäre Nullstellen, so schließen wir, daß

+ 00

F(x)

dx

— 00

ebenfalls unter denselben Umständen konvergiert. Ein spezieller Fall hiervon wurde im 3. Beispiele behandelt.

469. Integrale, bei denen die Konvergenzmerkmale versagen. Daß die Konvergenzmerkmale in den Sätzen von Nr. 466 nicht stets ausreichen, erläutern wir an den beiden Beispielen:

(1)

r sin

J *

dx und

+ 00

J sin (x²) dx.

o

Beim ersten ist anzumerken, daß sina: : x auch für x = 0 stetig ist und nach Nr. 26 den Wert Eins hat. Die Integranden wechseln, wie groß auch x gewählt sein mag, immer noch bei weiterem Wachsen von x das Vorzeichen. Daß die Integrale konvergieren, beweisen wir daher auf anderem Wege: Ist zunächst die obere Integralgrenze endlich, gleich X > 0 gewählt, so gibt es eine ganze positive Zahl n derart, daß X zwischen mt und (n + 1) n liegt, und ebenso eine ganze positive Zahl m derart, daß X zwischen |/m und ]/(m + 1 )jt liegt, wobei die Wurzeln natürlich positiv sein sollen. Daher ist nach Satz 9, Nr. 412:

x

/‘sin

dx =

n    2tt

-faiUx¹dx+ßnx

0    7t

— dx -1----

x

n 7t    X

+ß?d*+ß

sin# ■ dx, x

(n — 1)7t

nrt

sin (x²)dx.

Nach Satz 7, Nr. 411, zeigt schon die graphische Darstellung in Fig. 12 und 13, daß die Summanden rechts abwechselnd positiv und negativ sind und ihre absoluten Beträge beständig abnehmen. Um dies auch rechnerisch zu beweisen, machen wir in den (Je -f l)ten Summanden die Substitution x = n ~f t bzw. x =Yn +1² und erhalten:

(* +1 )n i sina:

! x

dx = —

sini

kn

J sin (x²)dx = — j sin (7²) -J-==dt.

y kn

y\k-1) n

*'§P

MC

3?

Fig. 12.

Alle Wurzeln sind positiv. Da t:(it -\-£) und    + positiv

sind, lehrt der Mittelwertsatz 22, Nr. 420, daß es einen

'Ł

Uf

K:

Fig. 13.

Wert ^ im Intervalle von (ß — l)7r bis Iîtc und einen Wert t2 im Intervalle von ]/(&—l)jr bis j/ßjt derart gibt, daß

(ifc +1) n I äina;

J x

kn

dx = —

kn

ß

sini

(* — 1) 7T

y kn

yim

j*sin {x²)dx =

₂1 sin (t²)dt

V{k-\)n

ist. Die Integrale rechts sind nun die kter* Summanden der Entwicklungen (2), denn wir dürfen in ihnen t mit x bezeichnen. Weil tt : (jr + 7₁) und 7₂:]Ar-|-4² kleiner als Eins sind, nehmen also in der Tat die absoluten Beträge der Glieder der Entwicklungen (2) beständig ab, während die Glieder abwechselnd positiv und negativ sind.

Die Substitution x = (n — 1    + t bzw. x = \{m — 1 )jt -f-t²

ten

im n ferner :

bzw. mten Summanden der Entwicklungen (2) ergibt

(?l — 1) Tt    0

sin#

— 1) TT —1- t

dt,

]/m n

Vn

J sin (x²)dx = (— l)m_1 I sin(7²)-

yjm — l)n    ⁰

Da sin t und sin (t²) im Intervalle von 0 bis it positiv sind und höchstens gleich Eins werden, ist mithin der absolute Betrag dieses nten bzw. mten Summanden der Entwicklungen (2) nach Satz 14, Nr. 413, nicht größer als

y.(m — 1)jt -f-1²

dt.

r dt J (n — l)n + t

o

= ln n bzw.

n —1

Vn

■J

tdt

=]/m7t—y~(m — l)?r,

und diese Werte streben für limw = -|- oo bzw. lim m = oo nach Null. Die ersten n bzw. m Summanden der Entwicklungen (2) sind also abwechselnd positiv und negativ, ihre absoluten Beträge nehmen beständig ab, und für lim n = -j- oo bzw. lim m = -f oo haben sie die Grenzwerte Null. Nach Satz 9, Nr. 104, bilden sie daher für lim n = + oo bzw. lim m = -j- oo konvergente unendliche Reihen. Die letzten Glieder der Entwicklungen (2) sind, da X zwischen nn und (n -f- \)n bzw. zwischen ]/mit und    1)jt liegt, Bruchteile ebensolcher nach Null strebender

Summanden. Folglich ergeben sich für lim X == -f- oo die konvergenten unendlichen Reihen:

+ oo    yn    yZit    ymn

Jsin(x*)dx=J sm(x²)dx-\- j sin(#²)(2a;-|-----f-Jsin(a;²)^^H—

0    0    \n    V(m -1) 71

470. Grenzwert eines Integrals, dessen Integrand an der oberen Grenze unstetig ist. Wir gehen jetzt zu dem zweiten in Nr. 463 angekündigten Probleme über.

Es sei f(x) eine Funktion von x, die für alle Werte von x in einem endlichen Intervalle x₀ x < X stetig ist, jedoch für x = X unstetig wird. Bedeutet xi eine Zahl im Intervalle, die Meiner als X ist, so ist das Integral

•n

J =ff(x)dx

x₀

nach Satz 6, Nr. 410, wohldefiniert. Es bandelt sich jetzt um die Beantwortung der Frage, ob es für lim^ = X einen bestimmten endlichen Grenzwert bat. Nach Nr. 18 ist zu definieren:

ib

jc₀

Fig. 14.

+ 00

/'sin

i'“⁵

dx =

n

.f™£dx+f™

fj X    J X

0    n

71 Tt

**+-+/-*

dx -j- • • *,

(n — 1) n

Das Integral J hat für lim X] = X einen bestimmten endlichen Grenzwert S, wenn es stets, wie Mein auch eine vorgegebene positive Zahl 6 sein mag, einen Wert n im Intervalle x₀ <i n < X derart gibt, daß für jede obere Grenze m im Intervalle n <jm <.X der Wert des von x₀ bis m erstreckten Integrals um weniger als 6 von S abweicht:

(1)

j*f(x)dx

a"o

-8 <6.

Ist dies der Fall, so sagt man, daß das von xü bis X erstreckte Integral konvergiert, und bezeichnet es mit

x

f)f(x)dx.

x₀

Andernfalls heißt es divergent. Zur Verdeutlichung der Lage der Werte #₀, n, m, X fügen wir die Fig. 14 hinzu.

Ist das Integral konvergent, so muß (1) auch für m = n gelten, so daß auch

| J*)f(x)dx

Xq

-S < <s

ist. Hieraus und aus (1) folgt wie in Nr. 465, wenn 2 <5 = x gesetzt wird:

(2)

j f(x)dx

< r.

Wie in Nr. 465 kehren wir jetzt die Betrachtung um Wir setzen also nicht mehr voraus, daß das von x₀ his X erstreckte Integral konvergiere, sondern daß es zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen positiven Zahl r eine Zahl n im Intervalle x₀ <| n < X derart gebe, daß für jedes m im Intervalle n < m < X die Ungleichung (2) erfüllt ist. Es soll also darin wohlbemerkt m < X und nicht gleich X sein.

Bedeutet tlf t₂, t₃, ... wie in Nr. 465 eine abnehmende und nach Null strebende Folge von positiven Zahlen, die wir in (2) nacheinander für r wählen, und sind nu %, n₅, . . . die zugehörigen Werte von n, so ist allgemein:

m

U < f f(?)dx <

für n{ < m < X

Addieren wir hier überall das von xQ bis ni erstreckte Integral, so kommt:

7*    r t*

I f(cc)dx — xt < / f(x)dx < / f(x)dx -f ti

Xq    Xq    Xq

Solche Ungleichungen gehen für i = 1, 2, 3, . . . in beliebiger Anzahl hervor. Sie werden genau dieselben Ungleichungen wie die Ungleichungen (3) von Nr. 102, wenn wir die Bezeichnungen

",

Sn. =j f(x)dx, Sm f{x) dx

Xo    Xq

[470

einführen. Also folgt wie dort, daß lim 8m für lim m = X einen bestimmten endlichen Wert S hat. Daher gilt der

x

Jf(cc)dx *0

Satz 8: Ist die Funktion fix) im Intervalle xQ x < X überall stetig, dagegen unstetig für x = X, so konvergiert das bestimmte Integral

dann und nur dann, wenn es stets, sobald eine beliebig kleine positive Zahl r vorgeschrieben wird, eine Zahl n im Intervalle xo ^ n < X derart gibt, daß für jedes m im Intervalle n < m < X die Ungleichung gilt:

< r-

J f(x)dx

Ist fix) auch für x = X stetig, so ist dieser Satz bekanntlich auch richtig, siehe Satz 20 in Nr. 419.

471. Hilfsmittel zur Feststellung der Konvergenz oder Divergenz eines Integrals, dessen Integrand an der otoeren Grenze unstetig ist. Die Bemerkungen, mit denen Nr. 466 eingeleitet wurde, können wir auch hier machen. Als Hilfsmittel, das in sehr vielen Fällen zur Entscheidung führt, dient der

Satz 9: Wenn zwei Integrale

x

fu(x)dx

und

X

J*v(x)dx

b

positiv

und über

negativ

vorliegen, dabei u(x) im Intervalle a <[ x < X und v(x) im Intervalle b x < X stetig ist, während u(x) für x = X unstetig wird, so konvergiert das erste Integral, sobald das zweite konvergiert und es eine Zahl a < X, die beiden Intervallen angehört, derart gibt, daß für jedes x im Intervalle a <1 x < X sowohl v(x)^0 als auch \ u(x) \ <1 v(x) ist. — Dagegen divergiert das erste Integral und zwar nach j^^j, sobald das zweite nach + oo divergiert und es eine Zahl a < X, die beiden Intervallen angehört, derart gibt, daß für jedes x im Intervalle a ^ x < X sowohl v(x) 0 als auch u(x) j dies 1 u(x) | v(x) ist.

470, 471]

Der Beweis wird ganz ebenso geführt wie der des Satzes 2 in Nr. 466. Der einzige Unterschied ist der, daß statt der Worte: jedes m > n jetzt die Worte: jedes m im Intervalle n < m < X zu setzen sind, wie ja überhaupt jetzt X an die Stelle von + oo tritt.

Als das in unserem Satze 9 auftretende zweite Integral, das Vergleichungsintegral, wählen wir nun das von

v(x) = -—K—

V '    (X-x)

wobei K und Je positive und von Null verschiedene Konstanten bedeuten sollen, so daß v(x) für jedes x < X positiv ist, also ein in Satz 9 aufgestelltes Erfordernis von vornherein durch die Funktion v(x) erfüllt wird. Sind x₀ und x₁ < X gewählt, so kommt, falls Je =}= 1 ist:

Jv(x)dx = Ky* dx

Xq    Xq

(X — X)

,k

ïêi - *•)

l-k

— (X —

dagegen, falls Je = 1 ist:

I v(x)dx = K ln ^    •

Xq

Beim Grenzübergange lima;₁==X erkennt man hieraus: Im Falle Je > 1 wird

x

jv{x)dx =

+ oo;

ist dagegen Je < 1 (aber positiv), so ist das Integral

x

l-k

Jv(x)dx= ₁K_lc(X-x₀)

Xq

also konvergent. Wenn wir außerdem im letzten Satze u(x) mit f(x) bezeichnen, gewinnen wir den spezielleren

Satz 10: Ist fix) im Intervalle x₀ ^ x < X stetig, aber für x = X unstetig, so konvergiert das Integral

x

J*f(x)dx,

Xq

sobald es    eine Zahl a    im Intervalle x₀ <i a    < X, eine    positive Zahl    K und eine    positive    Zahl h < 1    derart gibt,    daß

| (X — x)kf(x) | <1K für jedes x im Intervalle a <i x < X ist. — Es

divergiert    dagegen nach    j^^j,    sobald es eine    Zahl a im Intervalle x₀    a < X, eine    positive    Zahl K und    eine Zahl

| und zweitens j ( X — x")kf(x) | K ist.

derart gibt, daß für jedes x im Intervalle a x < X erstens fix) f positiv 1 negativ

Auch dieser Satz läßt sich wie Satz 3 von Nr. 466 weiter spezialisieren, nämlich wenn f(x) für lim x = X mit 1 : (X — x) in der kten Ordnung unendlich groß wird. Alsdann hat j (X — x)kf(x) | für lim x = X einen bestimmten endlichen positiven und von Null verschiedenen Grenzwert A. Dies bedeutet: Ist eine beliebig kleine positive Zahl r vorgegeben, so gibt es eine Zahl a im Intervalle er₀ ^ a < X derart, daß | (X — x)kf(x) | für jedes x im Intervalle a er < X zwischen A — x und A + r liegt. Ist nun 7c < 1, so wählen wir für K die Zahl A -f- t, ist h 1, so wählen wir für K die Zahl A — x und wenden den letzten Satz an. So kommt

Satz 11: Ist f{x) im Intervalle x₀ x < X stetig, aber für x = X unstetig, so konvergiert das Integral

x

j fix) dx,

x₀

sobald fix) für lim x = X in niedrigerer als erster Ordnung mit 1 : (X — x) unendlich groß wird. — Es divergiert dagegen nach

{^- co} ’ s°bald f(x) für lit/n x = X in höherer als erster oder

gerade in erster Ordnung mit 1 : (X — x) unendlich groß wird und fix) von einem gewissen Wert a < X an für jedes x im

positiv

negativ

j ist.

Intervalle a <1 x < X beständig j

472. Beispiele.

1. Beispiel: Der Integrand sei 1 :]/l — xs. Er ist unstetig für x=l. Aber das Produkt aus ihm und ]/l — x ist für x= l gleich einer von Null verschiedenen Zahl. Der Integrand wird also für limer = 1 mit 1 : (1 — x) in der Ordnung y unendlich groß.

471, 473]

Das von 0 bis 1 erstreckte Integral konvergiert daher nach Satz 11. In der Tat kommt, wenn O < X < 1 gewählt und die Wurzel positiv angenommen wird:

x

Jv

0

wobei der Arkus zwischen — j?t und + j7C liegt, und für lim X = 1 folgt hieraus:

dx

— arc sin X

dx

y 1 — x²

2. Beispiel: Bei dem elliptischen Integrale erster Gattung (vgl. Nr. 445):

i

fj Y( 1 — X²) (1 — Je² X²) ;

0

worin k² einen positiven echten Bruch bezeichnet und die Wurzel positiv ist, wird der Integrand ebenfalls für x = 1 unstetig. Aber er wird wegen

dx

Yl — x •    ¹ ... .    =................¹___

j/( 1 — æ*)(l— k²x²) l/(l 4- #)(1 — k²x²)

für lim x = 1 in der Ordnung \ mit 1 : (1 — x) unendlich groß. Also ist das Integral nach Satz 11 konvergent.

3. Beispiel: Sind F(x) und f(x) relativ prime ganze rationale Funktionen, so ist F(x) : f(x) nur für die reellen Nullstellen des Nenners f(x) unstetig. Es sei a eine solche und zwar m-fache Nullstelle. Nehmen wir an, daß x₀ und X beide kleiner als a, aber größer als die nächst geringere Nullstelle von f{x) sind, so ist das Integral

x

ß

X₀

dx

ten

wohldefiniert. Für lim x = a wird der Integrand in der m Ordnung mit 1 : (a — x) unendlich groß. Nach Satz 11 ist daher das Integral

divergent.

/

Xq

F (x)

dx

4. Beispiel: Behalten wir die Bezeichnungen des letzten Beispiels hei und betrachten wir das Integral

x

f

Xq

F(x)

Vm

dx

für lim X = a. Der Integrand wird für lim x = a in der Ordnung ~m mit 1 :(a — x) unendlich groß. Nach Satz 11 konvergiert also das Integral

./

*0

F(x)

vm

dx

nur dann; wenn a eine einfache Nullstelle von f(x) ist.

473. Integrale von Funktionen, die irgendwo im Intervalle unstetig sind. Wir hatten in Nr. 470, 471 angenommen, daß die obere Grenze X größer als die untere Grenze x₀ des Integrals sei und daß der Integrand f(x) für x = X unstetig werde.

Wir wollen jetzt zunächst die erste Annahme fallen lassen, also x₀ > X annehmen. Wählen wir m im Intervalle X< m < x₀ und machen wir die Substitution x = — t, dx = — dt, so kommt:

tu

Jfix) dx = -Jf{

Xq    Xq

m

lim / f(x)dx = — lim / f(— t)dt.

m = X*y    m = X

Xq

— t)dt,

woraus folgt:

¹

   yn    y    y mn    X

I sm(x²)dx=Jsin(Æ²)(ZÆ+J*sin(a:²)(ia?H-----\-J sin(x^)dx-\-Js

0    0    i/Z,    i/i™ _ 1 ■i ^    yinrt

S err et-S chef f er s, I)i£f.-u. Integral-Rechnung. II. 4.u. ü.Aufl. 9    [408, 400

(i)

Xq

Der links stehende Grenzwert eines Integrals, dessen Integrand an der oberen Grenze unstetig und dessen obere Grenze Meiner als die untere ist, wird hierdurch auf einen Grenzwert von der bisher betrachteten Art zurückgeführt, da ja — X> — x₀ ist. Ist dieser Grenzwert bestimmt und endlich, so heißt das betrachtete Integral konvergent.

1. Beispiel: Nach dem ersten Beispiele der vorigen Nummer ist:

dx

_ r_dt

J⁷

y i — t*

falls die Wurzel positiv ist.

4:72, 473]

Ziveitens wollen wir jetzt annehmen, f(x) sei an der unteren Grenze x₀ des Integrals unstetig, sonst aber im ganzen Intervalle bis zur oberen Grenze X stetig. Wählen wir m innerhalb des Intervalles, so ist nach Satz 8, Nr. 412:

daher

(2)

Der gesuchte Grenzwert wird hierdurch auf den Grenzwert eines solchen Integrals zurückgeführt, dessen Integrand an der oberen Grenze unstetig ist, also auf einen der schon besprochenen Grenzwerte. Sobald dieser Grenzwert bestimmt und endlich ist, heißt das betrachtete Integral konvergent. Nach Satz 10 von Nr. 471 ist also das von x₀ bis X erstreckte Integral z. B. dann konvergent, wenn es eine positive Zahl 7c < 1 derart gibt, daß \{x — x₀)kf(x)\ für alle hinreichend nahe bei x₀ gelegenen und dem Intervalle angehörenden Werte von x nicht größer als eine gewisse endliche Größe K ist.

2. Beispiel: Hiernach ist das Integral

*lna;

xa

dx,

worin 0 < a < 1 sei, konvergent, obgleich der Integrand f(x) = lnx:xa für x = 0 den Grenzwert — oo hat. Denn wenn h eine Zahl zwischen a und 1 bezeichnet, ist nach Satz 27, Nr. 130:

lim xkf{x) = lim

—r = —— lim xk~a = 0,

weil h — a > 0 ist, und dies bedeutet, daß | cdf(x) | für hinreichend kleines positives x kleiner als eine beliebig klein gewählte positive Zahl K ausfällt.

Wir wollen drittens den Fall betrachten, wo der Integrand f(x) im ganzen Intervalle von x₀ bis X stetig ist, abgesehen

[473

von einer Stelle x₁ im Innern des Intervalles. Wir können dabei etwa x₀ < X annehmen ; da der andere Fall x₀ > X nach Satz 8, Nr. 412, sofort auf diesen Fall zurückgeführt werden kann. Wählen wir zwei beliebig kleine positive Zahlen

6 und t, so ist die Summe:

xi — a    X

J‘f(x)dx 4- J f(x)dx

X₀    Xx+1

-iY

Fig. 15.

wohldefiniert, da sich jedes einzelne Integral über ein Intervall erstreckt, in dem der Integrand fix) stetig ist. Wir schließen eben die Unstetigkeitsstelle xl durch kleine Intervalle von den Längen 6 und x vorläufig aus, siehe Fig. 15. Nur wenn beide Integrale für lim 6 = 0 und lim t = 0 bestimmte endliche Grenzwerte haben, sagen wir, daß das Integral

x₀

konvergiert und gleich der Summe jener beiden Grenzwerte ist:

X    Xx-a    x

(3)

I f{x)dx = lim / f(x)dx -f lim / fix)dx.

J    <7 = 0 J    r = 0J

x₀    x₀    Xx + t

Die beiden rechts stehenden Grenzwerte gehören zu den schon vorher betrachteten; der erste nämlich bedeutet ein Integral, dessen Integrand an der oberen Grenze x₁ unstetig ist, und der zweite ein Integral, dessen Integrand an der unteren Grenze xx unstetig ist.

von

3. Beispiel: Es liege das Integral über dx : }/x2 x = — 1 bis«# = + 1 vor. Der Integrand ist für x = 0 unstetig, so daß wir die Zerlegung vornehmen:

Das erste Integral rechts läßt sich durch die Substitution x= — t, dx= — dt auf das zweite zurückführen, so daß kommt:

473]

P dx _ ~ I* dx

X*

JV

-1 0

Das rechts stehende Integral konvergiert, denn es ist, wenn 0 < m < 1 gewählt wird:

/#-»(■ -*=>•

711

woraus für lim m = 0 der Grenzwert 3 hervorgeht. Folglich wird + i

= 6.

r dx

J

Nach dem Vorhergehenden dürfte es nun auch ohne weiteres klar sein, wie wir Vorgehen, wenn der Integrand f(x) an mehreren Stellen im Integrationsintervalle unstetig ist, und es mag genügen, nur noch den Fall zu betrachten, daß f(x) an der unteren Grenze x₀, an einer Stelle xx innerhalb des Intervalles und an der oberen Grenze X unstetig wird, wobei wir wieder x₀ < X annehmen wollen. Wir verstehen unter <?, t, g und x vier beliebig kleine positive Zahlen und betrachten zunächst die Summe:

Xx — G

X-<t'

j f(x)dx -\-J f(x)dx.

Xu+T

mm

a asl

x₀

Fig. 16.

Die beiden Integrale erstrecken sich auf Intervalle, in denen der Integrand stetig ist, da wir die Unstetigkeitsstellen x₀,xx,X durch Intervalle von den Längen x, g + x und g' ausgeschlossen haben, siehe Fig. 16. Es sei nun a ein beliebiger Wert zwischen x₀ und xx und b ein beliebiger Wert zwischen xx und X. Alsdann läßt sich jedes der beiden Integrale nach Satz 9, Nr. 412, in eine Summe zerlegen, so daß sich die viergliedrige Summe ergibt:

a    xl — a    b    X— a '

J f(x)dx -f j f(x)dx +Jf{x)dx -fJ f(x)dx.

x₀+ t    a    +1'    b

Lassen wir jetzt 6, t, <?' und x' nach Null streben, so sind vier Grenzübergänge zu machen, die aber alle vier voneinander unabhängig sind, indem sich jedes einzelne Integral über ein Intervall erstreckt, innerhalb dessen der Integrand f(x) überall stetig ist, abgesehen von nur einer Grenze des Intervalles. Die vier Grenzwerte sind solche von der Art, wie wir sie schon vorher betrachtet haben. Nur wenn alle vier Grenzwerte bestimmt und endlich sind, sagen wir, daß das von x₀ bis X erstreckte Integral konvergiert, und bezeichnen dann als seinen Wert die Summe der vier einzelnen Grenzwerte.

Daß diese Summe dabei von der Wahl der Zwischenwerte a und h durchaus unabhängig ist, läßt sich nach Satz 9, Nr. 412, ebenso beweisen, wie es in Nr. 467 bei der Einschaltung eines Zwischenwertes geschah.

Ebenso wie in dem soeben betrachteten Falle verfahren wir allgemein, indem wir zwischen den Unstetigkeitsstellen beliebige Werte einschalten und das Integral in eine Summe von einzelnen Integralen zerlegen, von denen jedes einzelne sich auf ein Intervall bezieht, innerhalb dessen der Integrand überall stetig ist, abgesehen jedesmal von nur einer Grenze des Intervalles. Dabei muß aber vorausgesetzt werden, daß die Anzahl aller Unstetigkeitsstellen des Integranden endlich sei. Sonst nämlich wäre das Gesamtintegral als eine Summe von unendlich vielen einzelnen Integralen zu definieren, und es stände noch der Beweis dafür aus, daß die unendliche Reihe konvergiert.

Unsere Betrachtungen zeigen, daß wir immer wieder auf die in Nr. 470 und 471 untersuchten Grenzwerte zurückkommen. Wir sagen daher:

Satz 12: Die Definition in Nr. 470 und die Sätze 8—11 von Nr. 470 und 471 lassen sich sinngemäß auf solche Integrale übertragen, deren Integranden an einer endlichen Anzahl von Stellen im Integrationsintervalle unstetig iverden.

4. Beispiel: Wir verallgemeinern das 3. Beispiel, indem wir das Integral 473]

xn

betrachten, wobei a und b positiv sein sollen und n eine positive rationale Zahl, etwa n=p:q sei, so daß p und q ganze positive Zahlen ohne gemeinsamen Teiler bedeuten. Wenn wir noch annehmen, daß q ungerade sei, hat xn für jedes positive und negative x einen bestimmten Wert. Der Integrand ist nur für x = 0 unstetig. Wir zerlegen das Integral daher so:

dx

xn

f— = lim f— + lim f-

J Xn    a = oJ Xn    t = 0 J

— a

wobei ö und t positiv sein sollen. Es ist nun für n --4= 1 :

l*dx

J

Cdx _

? J xn '

t

bl-n

Wenn erstens n Meiner als Eins ist, haben beide Integrale für lim o = 0 und lim r = 0 bestimmte endliche Grenzwerte, und es kommt:

Wenn zweitens n größer als Eins ist, strebt

-P

(— ö)¹~n =V- <5q

für lim 0 = 0 nach -f- oo, falls q—p gerade ist, und nach — oo, falls q—p ungerade ist, während xx~n für lim x — 0 nach -j- <X) strebt. Sobald q—p gerade ist, strebt also das erste Integral nach — oo und das zweite nach + oo, so daß das Gesamtintegral divergiert, indem es gar keinen bestimmten Gegenwert hat; sobald q—p ungerade ist, streben beide Einzelintegrale nach + oo, dasselbe gilt daher vom Gesamtintegral. Wenn drittens n gleich Eins ist, haben wir die Formeln:

dx

ln

a.

rO I *

so daß das erste Integral für lim 6 = 0 nach — oo und das zweite für lim t = 0 nach + oo strebt, das Gesamtintegral also keinem bestimmten Grenzwerte zustrebt.

5. Beispiel: Es seien Fix) und f(x) relativ prime ganze rationale Funktionen von x, so daß Fix) : fix) für jede reelle Nullstelle von fix) unstetig ist. Enthält das Intervall von x0 bis X insgesamt m verschiedene, so zerlegen wir das Integral

f(k)

in Einzelintegrale, von denen sich ein jedes auf ein solches Intervall bezieht, das nur an einer seiner beiden Grenzen eine der m Nullstellen aufweist. Nach dem 3. Beispiele in Nr. 472 sind aber diese einzelnen Integrale sämtlich divergent; dasselbe gilt also auch vom Gesamtintegral. Dagegen ist das Integral

F(x)

VA*)

dx

nach dem 4. Beispiele in Nr. 472 konvergent, wenn alle im Intervalle von x₀ bis X enthaltenen Nullstellen von fix) einfach sind, sonst aber divergent.

474. Integrale mit endlosem Intervalle und Unstetigkeitsstellen des Integranden. Schließlich haben wir noch die beiden Betrachtungsi-eihen, die mit Nr. 464 und Nr. 470 begannen, miteinander zu vereinigen. Denn es kann ein Integral

x

J f(x)dx *0

vorliegen, bei dem eine oder beide Grenzen -f- oo oder — oo werden sollen und der Integrand f(cc) mehrere Unstetigkeitsstellen hat. Liegen alle Unstetigkeitsstellen von f(x) im Intervalle von a bis b > a} so können wir die Zerlegung

X    a    b    X

j‘f(x)dx = jf(x)dx -f-Jf(x)dx + J"f{cc)dx

x₀    xu    a    b

anwenden. Beim Grenzübergange lim x₀ = — oo oder lim X = + oo liegen alsdann drei Integrale vor, von denen das erste und letzte zu den in Nr. 464 bis Nr. 469 betrachteten gehört, das mittlere dagegen zu den in Nr. 470 bis Nr. 473 betrachteten. Wir sagen, daß das Gesamtintegral dann und nur dann konvergiert, wenn die drei Einzelintegrale konvergieren und bezeichnen alsdann die Summe der Werte der drei Einzelintegrale als den Wert des Gesamtintegrals. Es leuchtet wieder leicht ein, daß dieser Wert von der Wahl der Stellen a und b, zwischen denen alle Unstetigkeitsstellen von f(x) gelegen sind, unabhängig ist.

Zum Schlüsse noch eine Bemerkung allgemeiner Art:

Für die regulären Integrale, d h. für solche mit endlichen Intervallen und mit überall stetigen Integranden, haben wir in den vorhergehenden Kapiteln eine Reihe von Sätzen aufgestellt. Es fragt sich, ob diese Sätze auch für Grenzwerte von Integralen gelten. Es würde zu weit führen, wollten wir diese Frage in allen einzelnen Fällen besprechen. Daher mag die allgemeine Bemerkung genügen, daß man zur Entscheidung hierüber zunächst jene Sätze auf reguläre Integrale anwendet und dann die Intervalle durch Grenzübergang soweit ausdehnt, bis sie entweder Unstetigkeitsstellen des Integranden enthalten oder sich ins Unendliche erstrecken. Man hat dann jedesmal festzustellen, inwieweit dabei die in den Formeln vorkommenden Ausdrücke nach bestimmten endlichen Grenzwerten streben. Z. B. die Sätze 8—10 in Nr. 412 über die Vertauschung der Grenzen eines Integrals und über die Zerlegung eines Integrals in eine Summe von Integralen durch Zerteilung seines Intervalles gelten auch für Grenzwerte von Integralen, falls alle verkommenden Integrale konvergent bleiben. Man wird nämlich bemerken, daß die Grenzwerte in Nr. 467 und Nr. 473 unter Aufrechterhaltung dieser Sätze definiert worden sind. Daß unter denselben Umständen auch Satz 13 von Nr. 413 über die Integration einer Summe von Funktionen und Satz 15 in Nr. 414 über die Multiplikation eines Integrals mit einer Konstanten gilt, ist unmittelbar klar.

475. Integrale von Funktionen mit Sprungstellen. Ein besonders einfacher, aber wichtiger Fall ist der, wo der

Serret-Scheffers,Diff.-u.Integral-Becłinung. II. 4.u.5.Aufl.    10    [474, 475

Integrand f(x) eines Integrals nur solche Unstetigkeitsstellen hat, an denen er von einem endlichen Werte zu einem anderen

Eine derartige Stelle soll PPPP eine Sprungstelle der

endlichen W erte übergeht.

Xq

Fig. 17.

Funktion f(x) heißen. Im Intervalle von x₀ bis X mögen die Sprungstellen xv Xfy... xn liegen, während f(x) sonst überall im Intervalle stetig sein soll. Siehe Fig. 17. Nach Nr. 473 ist alsdann, wenn wir xQ < X annehmen:

X    x, — a,    a;₂ — a₂    X

J*f'(x)dx = lim j f(x)dx -f- limJ f(x)dx Ą-----f- lim J*f(x)dx,

x₀    x₀    xt + tx    xn + tn

wobei (jj, <?₂,6n und rlf r₂, . . . tn positive Zahlen bedeuten, die nach Null streben. Hieraus folgt:

X

+J f(x)dx,

xn

x -f- • • •

X    xx    a-₂

J f(x)dx = jf{x)dx J f(x)d

Xq    Xq    X±

vorausgesetzt, daß für fix) an der Stelle xi im Integrale

P .

I f(x)dx

Xi-1

derjenige Wert gewonnen wird, den f(x) mit bis xi wachsendem x erreicht, dagegen im Integrale

JŁ+1

/ f(x)dx

Xi

derjenige Wert, den fix) mit bis xi abnehmendem x erreicht.

Satz 13: Ist f(x) im Intervalle x₀ x <[ X überall stetig, abgesehen von einer endlichen Anzahl von Stellen, an denen fix) jedesmal von einem endlichen Werte zu einem andern endlichen Werte springt, so ist das über das ganze Intervall erstreckte Integral von fix) konvergent.

475J

Es ist hier wohl zu beachten, daß das Integral

X

F(x) =J*f(x)dx, *0

falls die obere Grenze x im Intervalle x₀ <1 x <1 X beliebig gewählt wird, zwar stetig ist, jedoch nicht überall eine bestimmte Ableitung f(x) bat. Denn an der Unstetigkeitsstelle x. z. B. bat F(x) zwei Ableitungen, indem die Grenzwerte

lim F(x* — ft) — F(xt) üm FSxi + — FSxil

Ä = 0    ~h    ' A = 0    h

für positives h gleich den beiden Werten sind, die f(x) mit bis xi wachsendem und mit bis xi abnehmendem x erreicht. Man erkennt dies sofort, wenn man den in Nr. 410 für die Formel (5) daselbst gegebenen Beweis unter der Voraussetzung verfolgt, daß f{xi — ii) und f(xi + h) für positives h und lim/i = 0 zwei verschiedene Werte erreichen. Vgl. auch Fig. 17, Nr. 27 des 1. Bandes.

476. Hauptwert eines bestimmten Integrals und singuläre bestimmte Integrale. Wenn die Funktion f(x) im Intervalle x₀ x X nur an einer einzigen Stelle xt unstetig wird, so daß nach Nr. 473 die Definition gilt:

X    Xy — O    x

(1)

I f(x)dx = lim / f(x)dx -f- lim / f(x)dx, J    o = oj    T = oJ

X₀    X₀    *1-1-t

in der <5 und r positiv sind, kann es Vorkommen, daß der eine Grenzwert -f- oo und der andere — oo ist (wie im 4. Beispiele, Nr. 473), daß aber die Summe beider Grenzwerte einen bestimmten endlichen Wert hat, falls man noch die Bedingung stellt, daß stets ö = r sein soll. Allerdings ist dann das Integral (1) nicht als konvergent zu bezeichnen, da zur Konvergenz nötig ist, daß jeder der beiden Grenzwerte rechts für sich endlich und bestimmt sei. Immerhin hat aber doch der Grenzwert

*j -ff    x

lim    f f(x)dx -f- f f(x)dx

<r=o LJ    J

X₀    x₁ + a

eine gewisse Bedeutung, und man nennt ihn nach Cauchy den Hauptwert des Integrals.

Wir wollen jetzt annehmen, daß die beiden in (1) rechts stehenden Integrale unabhängig voneinander konvergieren, also das Integral (1) konvergent sei. Alsdann muß der in (1) angegebene Grenzwert auch hervorgehen, wenn man a und t so nach Null streben läßt, daß ihr Verhältnis 6 : x stets einen von Null verschiedenen bestimmten Wert behält. Diese Wirkung wird erzielt, wenn man unter X und y zwei positive Zahlen versteht, 6 = Xe, t = ps setzt und darauf die positive Zahl e nach Null streben läßt. Alsdann ist der Grenzwert gleich

:tx — Ae    X

lim J'f(x)dx 4 J f(x)dx .

S ° X₀    Xx + « «

Xy - Ä8    X

Derselbe Wert muß bei der besonderen Annahme X — p = 1 hervorgehen:

xx — e    X

lim j f(x)dx 4- J‘f(x)dx .

*    ⁰ X₀    xx + e

Die Differenz dieser beiden Grenzwerte muß folglich gleich Null sein. Daher ergibt sich nach Satz 9, Nr. 412:

x₁ — s

lim | J*f(x)dx 4- J f(x)dx

¹¹    + s

= 0.

Das erste Integral erstreckt sich über ein Intervall von der Länge (A—l)s, das zweite über ein Intervall von der Länge (g,— 1)«; das erste Intervall liegt vor der kritischen Stelle xv das zweite folgt auf die kritische Stelle.

Hieraus können wir nun den mitunter nützlichen, wenn auch negativen Satz ab leiten:

Satz 14: Ist f(x) im Intervalle x₀ x X überall stetig, abgesehen von einer Stelle xx im Innern des Intervalles, und gibt es zwei positive Zahlen X und p derart, daß der Grenzwert von

4- /US

J‘f(x)dx 4-J*f{x)dx

xx —Ae

xL + £

für nach Null strebendes positives e nicht verschwindet, so divergiert das über f(x") von xQ bis X erstreckte Integral.

Die Grenzwerte der beiden im Satze 14 auftretenden Integrale beißen nach Cauchy zur Stelle xx gehörige singuläre bestimmte Integrale.

Beispiel: Es ist

Sf.1

Cdx

J x

S

so daß der in Satz 14 erwähnte Grenzwert gleich ln (g : X) ist. Da er nicht verschwindet, divergiert das Integral

jda

Jv

= — ln l,

= ln g,

Çdx

J x

für a > 0 und b > 0. Dies erkannten wir schon im 4. Beispiele, Nr. 473.

§ 2. Berechnung bestimmter Integrale aus unbestimmten.

477. Zusammenstellung einiger bestimmter Integrale. Der nächstliegende Weg zur Berechnung eines bestimmten Integrals ist nach Nr. 411 der folgende: Man berechnet das unbestimmte Integral und bildet die Differenz seiner Werte für die obere und untere Grenze. Dabei können sich Schwierigkeiten ergeben, wenn der Integrand Unstetigkeiten hat oder das Integrationsintervall endlos ist. Alsdann muß man die im vorigen Paragraphen entwickelten Theorien anwenden.

Wir wollen hier zunächst eine Reihe von bestimmten Integralen zusammenstellen, deren Berechnung leicht ist. Nach den Formeln (1), (5) und (4) von Nr. 402 haben wir:

— e“

xndx

xn + 1

n -f-1

1    . x

—arctg— a & a

b D(fürw+-1), fi 1/

-f C'(füra=j=0), f

e~axdx

dx

ax

—---b G (für a 4= 0),

arc sin-^-f C^füra^O).

ya²—Æ²

Die beiden letzten Integrale gehen nämlich durch die Substitution x = at in die Integrale (5) und (4) von Nr. 402,

[476, 477

multipliziert mit a bzw. 1, über. Aus diesen Formeln folgt nun ohne weiteres:

(o

1

[/

xndx

—4-r(für n> — n -f-1 v

4- 00

!),/*

0

— ax

dx — ^ (für a > 0),

+ 00

= \n (für a> 0),

wobei die im letzten Integrale auftretende Wurzel positiv sein soll. Aus (3) und (4) in Nr. 454 ergibt sich:

-f oo

(2)/

0

e~axcosbxdx =

e~axsin bxdx

Die Formeln (3) und (4) von Nr. 459 liefern die Werte der dort angegebenen Integrale, falls die Grenzen 0 und jtc sind. Ehe wir sie notieren, bemerken wir noch, daß diese Integrale in andere erwähnenswerte Integrale übergehen, wenn j7t — x bzw. sin x als neue Veränderliche eingeführt wird. Wir bekommen daher mehrere wichtige Integral werte, nämlich:

\2k~ldt ÿi — t*

4⁷¹

<») j.

0

sin2k~¹xdx = j cos2k~¹xdx o

1 ■ 3 • 5 • • • (2 jfc — 1) »

in

\n

/ »

sva?kxdx ==J cos'lkxdx

o

1

=/

0

t2kdt

yi—t*

1 • 3 • 5 • • (2 & — 1) n

Dabei bedeutet Je eine ganze positive Zahl, und die Quadratwurzel ist positiv.

Aus (2) in Nr. 458 ergibt sich, wenn m und n ganze positive Zahlen sind und n > 1 ist:

\n

sinma:cosn xdx =

f !

m -j- nj o

sin”¹ æ cos n~‘ixdx.

Dies ist eine JReJeursionsformel. Ersetzen wir darin n nach und nach durch n — 2, n — 4, . . ., so kommt eine Reihe von Gleichungen, die wir bzw. mit n — 1

m-\- nJ m -\-n — 2 ’

multiplizieren und dann zur angegebenen Gleichung addieren. Je nachdem n ungerade oder gerade, also von der Form 2Je-\-1 oder 2 Je ist, gehen dadurch die Formeln hervor :

sin“# cos 2k+1xdx

2 4-6 --2k

(m 4 3) (m + 5) • • • (m -f- 2 k -j-1)

sin“# cos 2kxdx

1 • 3 • 5 • • • (2 Æ—1)

(m -|- 2) (m -f- 4) • • • (m -f- 21c)

\n

sin“# cos xdx,

/■

0

sin mxdx.

Es ist nun aber:

l⁷¹

sin“ # cos xdx =

sin“ + ¹x    1

- m 'I' ¹ J₀'

so daß die erste Formel für ganzes positives m und h liefert:

⁽⁵⁾ f

sin“x cos2k+txdx =

(m 4- .1) (m 4- 3) • • • (in -f- 2/' -{- 1) ’

während die zweite wegen (3) und (4), je nachdem m = 21 4- 1 oder m = 21 ist, für ganzes positives l und h ergibt:

(ß)

! t>S

J*isin2J + 1#cos²*#<7# =

. 4 • • • 2M • 3 • • • (2/c —1) T- 3 • • • (21 4- 2k + iy ⁷

(7) J*sin²*# cos2kxdx o

1-8 — (2Ï — 1) • 1 • 3 - • • (2*—1) Tt 2 • 4 • • • (21 4 2 k)

1

478. Das

Integral j ——^^—-dx. In den folgenden o

Nummern betrachten wir einige wichtige, zuerst von Euler untersuchte bestimmte Integrale. Das Integral

(i)

/v-¹-

■ r~p

—-dx, x    ⁷

in dem die Konstante p ein positiver echter Bruch sein soll, ist konvergent, da sich der Integrand im Intervalle überall stetig verhält, ebenso an der Grenze x = 1 (nach Nr. 129), während er an der Grenze x = 0 mit 1 : x in derjenigen Ordnung unendlich groß wird, die durch die größere der beiden Zahlen p und 1—p angegeben wird (vgl. Satz 11, Nr. 471, und Satz 12, Nr. 473).

Mittels der Substitution x = 1 : t geht dasselbe Integral, doch multipliziert mit — 1, hervor, und seine Grenzen sind dann -f- oo und 1. Vertauschung der Grenzen gibt nach Satz 8, Nr. 412, wenn wir t wieder mit x bezeichnen, was ja geschehen darf:

(2)

dx.

Kf-'-x-p

Addition von (1) und (2) liefert:

+ oo

(3)

dx.

, Cxp-l-X~P

U ~ \)    1-x

0

Wir wollen das Integral in dieser Gestalt zunächst unter der besonderen Annahme auswerten, daß p die Form (2 m + 1) : 2n habe, wo m und n ganze positive Zahlen bedeuten und m < w sein soll. Es ist dann, wenn wir x = z2n setzen:

z2m

l — z2n

dz,

daher nach Satz 7, Nr. 467:

+ 00

(4)

/ n

U~J-*

n z2m— An~2m~²

— 00

l — z2n

dz.

Auf den rationalen Integranden wenden wir die Partialbruchzerlegung an. Die Nullstellen zk des Nenners sind die 2nteu Einheitswurzeln, die wir nach Nr. 358 in der Form zk = cos G3k -{- i sin Gok (Je = 1, 2, • • • n — 1) annehmen können, sobald

== H--%

— n

gesetzt wird. Von den Nullstellen z = i 1 ist nämlich abzusehen, da in ihnen der Zähler verschwindet. Alle Nullstellen sind

einfach. Also benutzen wir die in Nr. 385 gegebene Partialbruchzerlegung. Der zur Nullstelle zk gehörige Partialbrucb ist

1 zlm + 1-zk Z—Zk

weil z\n den Wert Eins hat. Um aber zu einer reellen Partialbruchzerlegung zu kommen, werden wir diesen Bruch mit demjenigen Bruche vereinigen, der zur konjugiert komplexen Nullstelle gehört, also zu cos coh — i sin tok. Nach der Moivreschen Formel (1) in Nr. 358 ist die Summe beider Brüche:

1    sin (2 m -f-1) a>k sin sin (2 7»-}~

2    z — cos i sinco^    (z— cosco^-f-sin²^ ’

n z\m

„2 n zk

- 2m-2

² ïnz\n V — Zk)

2 z — cos

— i sin

oder

2m-1

so daß sich ergibt:

« -1    +⁰⁰

u=^}sin(2m + 1 KJ ^

^    — oo

sin (ok

(z — cos cop² -f- sin²

dz.

Wird zunächst nur von — Z bis -f- Z integriert, wobei Z endlich sei, so hat das hier auftretende Integral den Wert:

Z -|- cos a>k sin mk ’

œk

-f- arc tg

arc tg

Z — cos sin a>k

wobei die Arkus auf das Intervall von — ~7t bis + zu beschränken sind. Diese Summe hat für lim Z = + oo den Grenzwert 7t. Also ist:

n — 1

u = n sin(2m -f 1)«* = 7t sin

i    i

Setzen wir für den Augenblick (2m -f- l)jt : 2w = a, so wird u = TtS, wobei S = sin 2a + sin 4a -f • • • + sin 2(n— l)a

ist. Jetzt bleibt noch die Berechnung von S übrig. Es kommt zunächst:

2S sin a = (cos a — cos 3a) -f- (cos 3a — cos 5a) -f- ■ • •

+ [cos (2n — 3)a — cos (’2n— l)a] == cos a — cos (2n— l)a.

Wegen der Bedeutung von a ist jedoch (2n — l)a gleich (2m + 1)7t — a, also cos (2n — l)a gleich — cos a, so daß S = ctg a wird. Folglich ergibt sich, wenn wir den Wert von

[478

a wieder einsetzen und auch (2 m 1) : 2n wieder mit p bezeichnen:

(5)

-x-p

—-dx = % ctgpn, sobald p irgend einen positiven echten Bruch von der Form (2m + 1) : 2n bedeutet, worin m und n ganze positive Zahlen sind.

der Form (2 m -f- 1) : 2n einschließen können

von

Wir wollen zeigen, daß diese Formel auch dann richtig ist, wenn p eine beliebige Zahl im Intervalle 0<jo<1 bedeutet. Zu diesem Zwecke gehen wir davon aus, daß wir jede Zahl p, die diesem Intervalle angehört, zwischen zwei Zahlen px und p,

und zwar beliebig eng, da alle Zahlen von der Form (2m-(-l):2n überall dicht liegen (vgl. Nr. 1 und 2). Wir haben nun:

Pi<P <iV

Da x zwischen 0 und 1 liegt, nimmt xp von 1 bis x ab, wenn p von 0 bis 1 wächst. Also wird

x¹~p^ < xl-p < x¹-?*,

folglich

XPl > xp > xp*

xp'~x- X~Pl

>2

p-i-x-p

rPi-1

>

-Pi

1 — X

Für x = 1 haben die Brüche nach Nr. 129 die Werte 1 — 2px 1 — 2p, 1 — 2p₂, die in derselben Rangordnung stehen. Wenn nun eine beliebig kleine positive Zahl ist, folgt nach Satz 14, Nr. 413:

dx.

— x~pj    />~ł- x-*

X    ,/    1 — X

Für lim 0 = 0 hat das erste Integral nach (5) den Wert 7t ctgp^ 7t und das letzte den Wert 7rctgjp₂?t, weil die Formel (5) für px und p₂ gilt. Das mittlere Integral ist, wie wir sahen, ebenfalls konvergent für lim 6 = 0. Also folgt:

7t Ctg px 7t >

/-i

x~p

— — dx > ^ctg/)₂.-r.

Da px und p₂ die Zahl p beliebig eng einschließen, folgern wir, daß die Formel (5) für jedes p im Intervalle 0 <ip < 1 gilt.

478]

¹ + sc p

479. Das Integral

dx. Dies Integral

unterscheidet sich von dem in voriger Nummer betrachteten nur durch die geänderten Vorzeichen und läßt sich, wenn p wie bisher einen positiven echten Bruch bedeutet, in entsprechender Weise auswerten. Ehe wir dies tun, machen wir darauf aufmerksam, daß es sich auf eine wichtige andere Form bringen läßt. Denn es ist

(1)

f-

1 -f- x

dx =

dx.

Substituiert man im letzten Integrale x = 1 : z, so kommt:

fx-p

J ¹ + x

o

i

dx = — I

J ■

-f oo

+ oo

dz.

Schreibt man hierin x statt z, so folgt aus (1):

d. h.:

(2)

P-

0

~¹ + x~p

1 -f- x

dx =

1 +00

■/£- ₊/S

0 1

dx,

dx

+ oo

fxP-¹

J1+«

0

dx.

Das Integral rechts konvergiert nun, weil der Integrand für lim x = 0 mit 1 : x in der Ordnung 1 — p unendlich groß wird und für limÆ = + oo mit l:x in der Ordnung 2—p verschwindet. (Vgl. Nr. 473 und Satz 4, Nr. 466.)

Wir behandeln das Integral in der in (2) rechtsstehenden Form ähnlich wie das der vorigen Nummer, indem wir zunächst wieder annehmen, daß p die Form (2 m + 1) : 2n habe, wo m und n ganze positive Zahlen bedeuten und m < n sein soll. Vermöge der Substitution x = zin ergibt sich dann mit Hilfe von Satz 7, Nr. 467:

+ oo

+ 0°

+ 00

(3)

nz*mdz

nz*mdz

J l + z2n J i + z

0    — oo

4-00

— 00

Der Integrand des letzten Integrals ist rational. Die Nullstellen zk seines Nenners sind sämtlich einfach, so daß sich die Partialbruchzerlegung in Nr. 385 anwenden läßt. Zur Nullstelle zk gehört der Partialbruch

_ nz\m

(z —

weil z\n =— 1 ist. Ferner hat zk den absoluten Betrag Eins und ist daher in der Form cos 0^4- tsinco^ darstellbar, so daß nach der Moivreschen Formel (1) von Nr. 358

nos2weoit4- isin2wG>Ä= — 1, d. h. cos2wcoÄ= — 1, sin2wco/S.= 0 ist. Wenn wir also

2Jc-\- 1

— —— 7t

oder

2m + l

² (*-**)’

(fc = 0, 1,2,

setzen, liegen alle 2n Nullstellen des Nenners in den Formen cos cok -j- i sin œk und cos (— coj -j- i sin (— eok)

vor.

Die Summe der zu diesen beiden konjugiert komplexen

Nullstellen gehörigen Partialbrüche ist nach der Moivreschen Formel gleich

cos — cos (2m -f- 1) a>k ■ z

(z — cos ra^)² 4- sin² co^

Wir formen den Zähler ein wenig um und erhalten dann:

*mdz 1+z

nz

n-1    + °°

2/

o ^

v — oo

— cos

(2m 4- 1) ay (z —

cos

co^ 4- sin (2 m 4~ 1) a>k • sin cok

(z — cos (o^)² 4" sin²o>^

dz.

Das rechts stehende Integral werten wir zunächst zwischen endlichen Grenzen — Z und 4~ Z aus und zwar am bequemsten, indem wir davon Gebrauch machen, daß die in Nr. 432 angegebene Funktion (10) die dort unter (6) stehende Ableitung hat. Wenn wir in jenen Formeln h und h durch cos tok und sin cok, ferner 2Mm_₁ und 2Nm_₁ durch —cos (2m 4-1) o* und — sin (2m 4" 1)®* ersetzen, finden wir, daß das von —Z bis 4- Z erstreckte Integral den Wert hat:

1    ₍    ,    .    , (Z cos« )² -f- sin²«

¥C0S (2m + 1)<D, •    ^    '

Z 4- COS a>k

4- sin (2m -\- V) tok- arc tg

Z — cos

sin cok

■f arctg

sin ak

Dabei liegen die beiden Arkus zwischen — j7C und    so

daß sie beim Grenzübergange lim Z = -f- oo beide gleich ^ Jt werden, während der Numerus des Logarithmus gleich Eins wird. Folglich kommt:

+ 00

nz

dz

1 4- z2n

— 00

= 7t sin[(2m + 1) œk

o

Dasselbe Verfahren wie in voriger Nummer lehrt, daß

71 — 1

sin (2 m -f-1) œk = o

. 2 m -f- 1

Sill

ist. Wenn wir schließlich (2 m -f- 1) : 2n wieder mit p bezeichnen, folgt aus (3):

+ 00

(4)

xv 1 dx

7t

sinpit ’

sobald p einen positiven echten Bruch bedeutet, der die Form (2m -f- 1) : 2n hat, worin m und n ganze positive Zahlen sind. Unter derselben Voraussetzung ist also nach (2):

1 -j- x

(5)

p-

¹ + x-p

7t

dx =

sinp*

Um nun zu zeigen, daß die Formel (4) auch dann gilt, wenn p irgend einen Wert im Intervalle 0 <Cp < 1 hat, genügt es, dasselbe für die Formel (5) nachzuweisen. Dies läßt sich jedoch wegen der geänderten Vorzeichen nicht so leicht bewerkstelligen wie in voriger Nummer der Beweis der Formel (5). Wir schließen vielmehr so: Wäre die Formel (5) richtig, so würde aus ihr und aus der Formel (5) der vorigen Nummer durch Addition folgen:

1 -J- x

ß-

0

"M-*

-p

l -f- x

-x~p

dx =

r~--(- n ctg P 7t

sinp«

oder, wenn wir beide Integrale vereinigen, die Integranden auf einen gemeinsamen Nenner bringen und die Hälfte nehmen:

(6)

— x¹~p

dx = yjrctgÇ-

Es genügt demnach, die Richtigkeit dieser Formel für 0 <_p < 1 zu beweisen. Dabei machen wir davon Gebrauch, daß sie sicher nach dem Vorhergehenden richtig ist, falls p die Form (2 m + 1) : 2n hat, wobei m < n ist.

Wie in voriger Nummer schließen wir p beliebig dicht

durch zwei Zahlen px und pt von dieser besonderen Form ein, so daß

0 <px <p<p₂< 1

ist. Weil x zwischen 0 und 1 liegt, wird:

-x'-P*

rPi-1

>^~r

xp~l — xx~p

> J

Analog wie in voriger Nummer schließen wir hieraus:

- a:⁸

i⁷¹ ctg >

/y-¹

¹

dx > {7t ctg

und weiter, daß die Ergebnisse (6) und (5) für jede Zahl p im Intervalle 0 < p < 1 richtig sind.

480. Partialbruchzerlegung von tg x und ctg x.

Die Formel (5) der vorletzten Nummer führt zu interessanten Entwicklungen von tg x und ctg x in unendliche Reihen von Partialbrüchen. Es ist nämlich:

xp

-i

-x~p

1 — X

xp — xx~p

_ , xr x-p -\---

= xp— xx~p + -

= XP~X—

p-xx~p

— X p + 1 x%-p

usw., daher ergibt sich aus n derartigen Formeln:

n — 1

(1) *

P- 1

- xm-p) +

xn + p

-1

-xn~p

Mithin ist:

m +p — 1_

i

/V+P-l_„n-p

xm-p)dx+ I ₁_x

0

dx.

Weil p — 1 und — p größer als —1 sind, gibt die Anwendung der ersten Formel (1) in Nr. 477 :

n — 1

- x~p

dx

§ 2. Berechnung bestimmter Integrale aus unbestimmten, wobei der Rest Rn die Bedeutung hat:

i

;-d'X.

rxn+p-l_ xn-p

J 1 ~ *

0

Der im Reste Rn auftretende Integrand ist, falls n > 2 gewählt wird, auch für x = 1 stetig. Wir können ihn nach dem Mittelwerjtsatze 22 in Nr. 420 umformen, indem wir

u = xn

xp-x— x~p

setzen und bedenken, daß v überall im Intervalle 0 < x < 1 einerlei Vorzeichen hat. Sind 6 und r beliebig kleine positive Zahlen, so kommt danach:

1 — 0

dx = x\

J 1-x ax’

r

j‘xn+P-l_ xn-p

wobei x₁ im Intervalle 0 < xx < 1 liegt. Hieraus folgt beim Grenzübergange lim 6 = 0 und limr = 0 nach (5) in Nr. 478j

Rn = xxn % c,igp%.

Mithin ist lim Rn = 0 für lim n = + oo, so daß aus (2) für lim n = + oo eine konvergente unendliche Reihe hervorgeht. Da die linke Seite von (2) gleich noigpn ist, haben wir also:

(3) * ctgpn - Q - j^) +    + (üTrS-r,

Fassen wir jedes zweite Glied einer Klammer mit jedem ersten der folgenden Klammer zusammen, so finden wir die übersichtlichere Formel:

l+p) (2— p

Wenn wir hierin pn = x und in (3) pn ■=    — x setzen,

(4) «ctg =

kommt:

i_W_I____

n + xj \2 n — x 2 n -j- xd

(5)

(6)    tg X = (t-¹    — T-K-) + (3----3 -    ,

v/ 0 VI 7t — x \n-\-x) Vf» — x    -f n -)- x,

Weil 0    < 1 war, gelten diese Formeln zunächst nur für

0 < # < 7t bzw. für —jt < # <Aber man sieht, daß sich die Reihen, sobald # durch x -j- % ersetzt wird, nur insofern ändern, als endlich benachbarte Glieder vertauscht werden, und weil ctg (x + jr) = ctg x und tg (# -f- n) = tg x ist, gelten die Formeln (5) und (6) daher für jeden Wert von x, abgesehen von denjenigen Werten, für die einer der Partialbrüche den Nenner Null bekommt.

Da esc x gleich der halben Summe von tgjX und ctg^# ist, folgt aus beiden Reihen durch gliedweise Addition:

(7) esc# = — + (—-—

v '    X    \n — x

2« -j- x

L.) _

n-\-xJ \2 n — x

mit abwechselnden Vorzeichen der Klammern und hieraus, indem wir x durch — x ersetzen:

(8)

sec#

i_\-( ¹ +

Vf« — x

%n + x

aus der Formel (5) von Nr. 479 direkt ebenso hätten finden können, wie soeben die Reihen (5) und (6) aus der Formel (5) von Nr. 478 abgeleitet wurden.

mit ebenfalls abwechselnden Vorzeichen. Allerdings ist die gliedweise Addition der Formeln (5) und (6) nicht ohne weiteres gestattet. Dies Bedenken wird aber dadurch gehoben, daß wir die Reihen (7) und (8)

481. Die Formel von Wallis. Setzt man

ł*

um ==j‘sin mxdx, o

so folgt, weil sinm# mit wachsendem positiven m abnimmt, nach Satz 14, Nr. 413:

-l •

M2* + l ^ U2k ^ M2k

In (3) und (4), Nr. 477, sind nun die Werte von um für m = 2k — 1 und m — 2k ermittelt worden, wobei h eine ganze positive Zahl bedeutet. Daraus folgt:

1 • 3 • • • (2Ä — 1)

2 • 4 - • • 2 k

1 ■ 3 • • • (2k -f 1)

oder

2 2 4 4 1 3 3 H

2k

2k— 2 2V —T'2k — 1 ' 2k +1

^2 2 4 4 2k— 2 2k 2 < 1 ’ 3'3 ‘ 5 “ ' 2k — 1'2k— 1 ’

Der Quotient aus dem links und rechts stehenden Produkte ist 2k : (2k -f- 1), nähert sich also mit wachsendem k der Eins. Die beiden Produkte, von denen das eine kleiner und das andere größer als    ist, müssen sich daher umsomehr der

Zahl nähern, je größer k gewählt wird. Folglich ist jtc der Grenzwert jedes der beiden Produkte für lim k = -p oo, d. h. jjt ist als Produkt yon unendlich vielen Faktoren darstellbar:

7C — —

2k

7    2k— 1 ' 2k + 1

Diese merkwürdige Formel wurde noch vor der Erfindung der Differentialrechnung von Wallis aufgestellt.

§ 3. Die Methode der Substitution hei bestimmten Integralen.

482. Über die Transformation konvergenter Integrale. Wir kommen hier noch einmal auf die Substitutionsmethode von Nr. 417 zurück, die wir im vorhergehenden Paragraphen gelegentlich angewandt haben und die überhaupt bei der Berechnung von bestimmten Integralen von großem Werte ist. Es erscheint nämlich angebracht, einige auf diese Methode bezügliche Einzelheiten noch genauer zu erörtern.

Wir machen zu diesem Zwecke folgende sehr bestimmte Y oraussetzungen :

Es soll t eine Funktion von x in dem Variabilitätsbereiche von x₀ bis X sein. Für x = x₀ sei t = t₀ und für x = X sei t= T. Ferner soll x eine Funktion von t in dem Variabilitätsbereiche von t₀ bis T sein. Nach der Definition der Funktion in Nr. 6 bedeutet dies: Zu jedem x im Bereiche von x₀ bis X soll ein Wert von t im Bereiche von t₀ bis T gehören, und umgekehrt. Wir setzen ferner voraus, daß diese beiden zueinander inversen Funktionen

O)

t = 0(x), x — cp (ß)

überall im Variabilitätsbereiche von x₀ bis X bzw. von t₀ bis T stetige Ableitungen haben, also auch selbst stetig seien (nach Satz 1, Nr. 27).

Serret-Scheff ers, Diff.-u.Integral-Kechnung. II. 4.u 5. Aufl. 11    [481 483

Ist nun f(x) eine im Intervalle von x₀ bis X stetige Funktion von x, so liefert die Anwendung der Substitution x = cp (t) :

X    T

J*f(x)dx = J f[(p(t)]cp'(t)dt.

X₀    t₀

(2)

Der neue Integrand f(cp)(p' ist nach Satz 8, Nr. 22, und nach Satz 15, Nr. 23, eine stetige Funktion von t im Intervalle von t₀ bis T.

Umgekehrt: Ist F(t) eine stetige Funktion von t im Intervalle von t₀ bis T, so liefert die Anwendung der inversen Substitution t= *&(x):

T    X

(3)

J*F(t)dt =JiF[0>(x)]Q'(x)dx,

t₀ und der neue Integrand F((D)<D' ist eine stetige Funktion von x im Intervalle von x₀ bis X.

Ist n irgendwie im Intervalle von x₀ bis X gewählt und m irgendwie im Intervalle von n bis X, so gehört zu x = n ein Wert v von t im Intervalle von t₀ bis T und zu x = m ein Wert g von t im Intervalle von v bis T. Alsdann ist:

(4)

Wir wollen nun die Substitution (1) auch auf Grenzwerte von Integralen anwenden. Es mag z. B. f(x) im Intervalle von x₀ bis X überall stetig sein, abgesehen von der Grenze x = X. Ist alsdann das Integral

x

J f(x)dx

Xq

konvergent, so verhält sich der Integrand f(cp)cp' des neuen, in t ausgedrückten Integrals (2) für jedes t im Intervalle von t₀ bis T stetig, abgesehen von der Grenze t = T, so daß noch bewiesen werden muß, daß das neue Integral ebenfalls konvergiert. Dies aber folgt sofort aus Satz 8, Nr. 470, und aus der Formel (4). Denn nach diesem Satze muß es eine Zahl n 48S]

derart im Intervalle von x₀ bis X geben, daß die linke Seite von (4) absolut genommen kleiner als eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl r ist, wie auch m im Intervalle von n bis X gewählt sein mag, abgesehen von m = X selbst. Dasselbe gilt daher von der rechten Seite von (4), so daß aus demselben Satze 8, Nr. 470, die Konvergenz des neuen Integrals folgt.

Mittels der Formel (4) beweisen wir ganz ebenso: Wenn die obere Integralgrenze X nach -j- oo strebt und das ursprüngliche Integral dabei konvergiert, ist auch das neue Integral konvergent. Dies beruht darauf, daß alsdann der Satz 1, Nr. 465, für das ursprüngliche Integral gilt, woraus nach (4) sofort folgt: Ist T endlich, so gilt für das neue Integral der Satz 8, Nr. 470. Hierbei ist noch zu bemerken: Wenn die obere Integralgrenze X nach -f oo strebt und f(x) für jedes x x₀ stetig ist, wissen wir vom Integranden des neuen Integrals, das von t₀ bis T erstreckt ist, daß es für jedes t von t₀ bis T stetig ist, abgesehen von der Stelle t = T, wo die Stetigkeit zunächst fraglich bleibt; und deshalb ist es nötig, den Konvergenzbeweis für das neue Integral auch dann zu führen, wenn die obere Grenze T endlich bleibt.

Die in Nr. 467, 473 und 474 gegebenen Entwicklungen zeigen nun unmittelbar, daß überhaupt stets die Konvergenz des einen Integrals die des anderen nach sich zieht. Wir können also die Substitutionsmethode in dem folgenden Satze ausdrücken:

Satz 15: Ist eine Substitution x = cp (t) so beschaffen, daß zu jedem Werte von x im Intervalle von x₀ bis X gerade ein Wert von t im Intervalle von t₀ bis T gehört, daß ferner umgekehrt vermöge der inversen Substitution t = &(x) zu jedem Werte von t im Intervalle von t₀ bis T gerade ein Wert von x im Intervalle von x₀ bis X gehört und überdies cp (t) für jedes endliche t im Intervalle von t₀ bis T und &(x) für jedes endliche x im Intervalle von x₀ bis X eine stetige Ableitung hat, so geht das Integral

x

J f(x)dx *0

Kap. III. Theorie der bestimmten Integrale. vermöge der Substitution x = cp(t") in das Integral

164

und das Integral

T

J F(t)dt *0

vermöge der inversen Substitution t = Q(x) in das Integral

x

J*F[<I(x)] <I\x)dx

x₀

über. Sobald eines der Integrale konvergiert, ist auch das transformierte Integral konvergent. Dabei können die Grenzen der Integrale auch unendlich groß werden.

Wir dürfen also die Substitutionsmethode auf konvergente Integrale stets ohne weiteres anwenden. Ja selbst, wenn wir noch nicht wissen, ob ein vorgelegtes Integral konvergiert, dürfen wir die Substitution machen. Denn wenn sich dann herausstellt, daß das neue Integral konvergiert oder divergiert, gilt dasselbe von dem ursprünglichen Integrale.

483. Lineare Substitutionen. Sind wieder æ₀ und X die Grenzen des ursprünglichen Integrals, und soll dies Integral vermöge einer Substitution x = cp(t) in ein Integral mit den vorgeschriebenen Grenzen t₀ und T übergehen, so ist es leicht, insbesondere eine lineare Substitution:

x = a -b bt

ausfindig zu machen, die das verlangte leistet. Denn man hat die Konstanten a und b so zu wählen, daß b =)= 0 und

x₀ — a -f- bt₀, X= a -f bT wird. Daher hat die Substitution die Form:

(1)

Die inverse Substitution ist:

(2)

t=t₀ +

Hierbei haben wir vorausgesetzt, daß die Grenzen x₀, X und t₀, T sämtlich endlich seien.

Sind nur x₀, X und t₀ endlich, während T unendlich groß werden soll, so ist es leicht, eine linear gebrochene Substitution

(3)

a -\-bt x== a' + b't

herzustellen, die das verlangte leistet. Denn man hat die Konstanten a, b, a, b' so zu wählen, daß erstens die rechte Seite nicht frei von t wird, d. h. daß ab' — ab =(= 0 wird, und daß zweitens

„ _ a ~l~ bt₀

⁰    a+b't₀’    b'

wird. Im Falle t₀ =%= 0 können wir z. B. a! = 0, b' = 1 annehmen, wodurch sich ergibt:

xo .

(4)

und t = to ~x

x-X-(X-x₀)^

Ist dagegen t₀ = 0, so leistet die Substitution:

(5)

™_xo 4~ Xt

1+t das gewünschte.

In analoger Weise können wir verfahren, wenn irgend eine der vier Grenzen x₀, X, t₀, T gleich -f- oo oder gleich — oo wird, ja auch, wenn eine der Grenzen xQ und X gleich -f- oo oder — oo und zugleich eine der Grenzen t₀ und T gleich -j- oo oder — oo wird. Denn wenn z. B. X und T positiv unendlich groß werden sollen, leistet die Substitution:

(6)

x = x₀ + t — t₀ und t =    -j- x — xQ

das verlangte.

Hieraus und aus Satz 15 der vorigen Nummer folgt: Satz 16: Liegt ein konvergentes Integral

x

J f(x)dx

x₀

vor, von dessen Grenzen ivenigstens eine endlich ist, so gibt es stets eine lineare oder linear gebrochene Substitution

x — a + bt oder x =

a -\-bt a -\-b't

Kap. III. Theorie der bestimmten Integrale. derart, daß das Integral vermöge ihrer in ein lwnvergentes Integral

166

T

J*F(t)dt

übergeht, dessen Grenzen irgend zwei vorgeschriebene verschiedene Werte haben, von denen wenigstens einer endlich ist.

Besonders häufig wendet man eine linear gebrochene Substitution an, um ein von 0 bis -f- oo erstrecktes Integral in ein von 0 bis 1 erstrecktes Integral zu verwandeln. Es liege also das Integral

+ oo

(?)

j'f(x)dx o

vor. Dabei sei f(x) für jedes x 0 stetig. Der Integral konvergiert nach Satz 4 in Nr. 466 insbesondere dann, wenn

(8)

lim | xkf(x) | = K

X — + 00

einen bestimmten endlichen und von Null verschiedenen Wert hat und Ä> 1 ist. Vermöge der linear gebrochenen Substitution:

, d. h. t - ~

1 —t ’    1Ą- x

(9)

j    dt

dx ~ p geht das Integral (7) über in:

Bezeichnen wir es mit

so daß

J F(t)dt,

o

ist, so wissen wir nach den gemachten Voraussetzungen, daß sich F(t) im Intervalle 0 ^ t < 1 stetig verhält, während es dahin gestellt bleibt, ob F(t) für t = 1 stetig oder unstetig wird. Die Substitution (9) verwandelt nun die Bedingung (8) in:

lim

oder, da r = 1 für t = 1 ist, in:

lim \(l-ty~kF(t)\=K.

Ist nun k < 2, also zwischen 1 und 2 gelegen, so heißt dies, daß F(t) für lim t = 1 mit 1 : (1—t) in niedrigerer als erster Ordnung unendlich groß wird. Ist dagegen kf>2, so bleibt F(t) für lim t = 1 endlich. Wir können also, obgleich es nach Satz 15 der vorigen Nummer schon feststeht, von neuem die Konvergenz des in t ausgedrückten Integrals nach-weisen: Im Falle k < 2 folgt sie nämlich aus Satz 11 in Nr. 471, und im Falle ft 2 ist F(t) auch für t = 1 stetig. Diesen zweiten Fall kann man gelegentlich verwerten, weshalb wir ihn so formulieren:

Satz 17: Konvergiert das Integral

I f{x) dx o

und verschwindet der Integrand f(x) für limx = + oo mit 1 : x in kter Ordnung, wobei k > 1 ist, so geht das Integral vermöge der linearen Substitution in ein konvergentes Integral

i

jjF{t)dt

o

über, dessen Integrand insbesondere auch dann für t = 1 stetig bleibt, wenn k^>2 ist.

484. Verschiedene Substitutionen in verschiedenen Teilen des Integrationsintervalles. Da ein Integral nach Satz 10 von Nr. 412 in eine Summe von Integralen zerlegt werden kann, von denen jedes einem Teile des Gresamt-intervalles zugehört, kann man für verschiedene Teile des Intervalles verschiedene Substitutionen an wenden. Daß dies zuweilen nützlich ist, erläutern wir an dem Beispiele

1 -4- x6,

dx

i y dt

IfäJ yt-t'

worin die obere Grenze X positiv sei. Setzen wir

x³ + 4

(1)

tÿt

und nehmen wir hierbei yt positiv an, so kommt

Vi — ]/i—t³ dx_Vi — yi—t³

21 yt y i — ts>    x⁶ 2 f/2 yt y i —ts ’

so daß das unbestimmte Integral in der neuen Form

(2)x

dx

dt

yt

’ dt

1 ~l~ X⁶

elliptisch wird (vgl. Nr. 440). Wenn man nun ]/l — £³ > 0 wählt, erreicht x, falls t bis Null abnimmt, nach Nr. 129 den Wert Null. Wächst t von 0 bis 1, so gilt dasselbe von x. Dagegen gibt die erste Formel (2) für 1 imaginäre Werte von x. Also ist die Substitution nur für das Intervall 0 <i x 1 zu gebrauchen.

Für das im Falle X > 1 übrigbleibende Intervallstück 1 ^ x X wählen wir dieselbe Substitution, aber mit abgeändertem Vorzeichen von ]/l — t³:

_ Vi+yi-^³__₌ ____

2tyï y i—t³’ f/r+xß    2]/2 y% yi—t *

In (3) soll y 1 — ts wie vorher positiv sein. Jetzt hat x, falls t bis Null abnimmt, den Grenzwert -f oo. Wächst t von 0 bis 1, so nimmt x von + oo bis 1 beständig ab. Der Grenze x = X des alten Integrals entspricht nach (1) die obere Grenze für t:

(3) x =

’\/\ - pl — t³ d x

dx

dt

yt

T ... I⁷⁴ Xa l/T+X⁶²’

die für X > 1 zwischen 0 und 1 liegt und für X = 1 gleich Eins ist.

Zusammengefaßt: Ist X < 1, so brauchen wir nur die Substitution (2), und es kommt:

Ist dagegen X > 1, so zerlegen wir das Integral in das von 0 bis 1 und das von 1 bis X erstreckte und wenden für das zweite die Substitution (3) an, so daß kommt:

•)©

tH

*ll

I<N

S-

a,

<^+-

"tli

M-(»

3||l

<?+• !

Ç-+- |

M-

töl

©(•

Das Integral läßt sich somit stets auf elliptische Integrale zurückführen.

485. Verwandlung willkürlicher oberer Grenzen in bestimmte. Wir erwähnen noch eine eigenartige Umformung von bestimmten Integralen, die gelegentlich von Wert ist. Liegt ein Integral

x

j f(x)dx o

vor, dessen obere Grenze X willkürlich ist, so gibt die Substitution x = Xt, dx = Xdt:

XI    1

ßf(x)dx =ßf(Xt)Xdt = xj f(Xt)dt. ) 0 0

Das neue Integral hat also die beiden völlig festen Grenzen 0 und 1, während das ursprüngliche Integral eine willkürliche obere Grenze X hatte.

So kommt z. B.:

i

xne~xdx = Xn+1J *tne~xtdt.

o

Jetzt spielt X im Integranden die Rolle einer willkürlichen Konstanten.

Ferner ist ebenso:

x

/,

0

dx

-4

o

dt

y(l - XH*) (1 — k² XH²)

Hierdurch wird das elliptische Normalintegral erster Gattung (vgl. Nr. 445), bei dem die obere Grenze X willkürlich ist, als ein elliptisches Integral zwischen den beiden festen Grenzen 0 und 1 ausgedrückt.

§ 4. Differentiation und Integration der Integrale nach einem Parameter.

486. Vorbemerkungen. Wir wollen annehmen, daß eine Funktion fy on x noch von einer willkürlichen Konstanten a, einem sogenannten Parameter (vgl. Nr. 93), abhänge, weshalb wir sie mit f(x, a) bezeichnen. Ein zwischen bestimmten Grenzen xQ und X genommenes Integral von fix, a) wird alsdann einen von a abhängigen Wert haben, also eine Funktion F von a sein:

(1)

x

^'f{x, a)dx =

F(u).

Wir werden zeigen, daß man diese Formel unter gewissen Voraussetzungen in der Art nach dem Parameter a differenzieren darf, daß man links die Differentiation unter dem Integralzeichen ausführt, so daß folgt:

(2)

x

ß

X₀

df{x, a)

da

dx = F\a).

Ist diese Art der Differentiation erlaubt, so ergibt sich daraus eine wichtige Methode zur Gewinnung der Werte gewisser bestimmter Integrale. So haben wir z. B. in (1), Nr. 477, gesehen, daß für a > 0

~h°°

Je

0

— OCX

dx =

ist. Wenn wir hier links unter dem Integralzeichen nach a

485, 486]

differenzieren, was, wie wir sehen werden, erlaubt ist, so folgt sofort:

+ 00

xe~axdx - —,

also eine neue Integralformel.

Wir werden ferner zeigen, daß man unter gewissen Voraussetzungen die Formel (1) in der Art nach a integrieren darf, daß man links die Integration unter dem auf x bezüglichen Integralzeichen ausführt. Und hieraus fließt alsdann ebenfalls eine Methode zur Gewinnung der Werte mancher Integrale.

Ehe wir die hiermit skizzierten Betrachtungen in Angriff nehmen, schicken wir noch einige Bemerkungen voraus:

Wenn die obere Grenze X des Integrales (1) nicht fest gewählt, sondern veränderlich gelassen wird, ist der Wert des Integrals nicht nur von a, sondern auch von der Veränderlichen X abhängig, so daß wir alsdann statt (1) die Formel ansetzen: x

(3)

J*f(x, a)dx — _F(X, a). *0

Wir haben es daher in den folgenden Betrachtungen mit zwei Funktionen von je zwei Veränderlichen zu tun, nämlich mit f[x,a) und F(X, a). Von der Funktion f(x,a) werden wir voraussetzen, daß sie eine stetige Funktion von x und a innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches sei. Nach Satz 7, Nr. 22, bedeutet dies: Ist 6 eine beliebig kleine vorgegebene positive Zahl, so gibt es zu jedem Wertepaare x, a innerhalb des Variabilitätsbereiches eine positive Zahl Je derart, daß der absolute Betrag des Zuwachses von f, nämlich

I I ⁼ I f(x + a +    — f(x> a) I < ⁰

ist, sobald die absoluten Beträge von /ix und /da kleiner als Je sind. Für verschiedene Wertepaare x, a innerhalb des Bereiches kann die zu <? gehörige Zahl Je verschieden groß aus-fallen. Deshalb steht es von vornherein noch nicht fest, daß es eine von x und a unabhängige ZaJd h derart gibt, daß überall im Bereiche infolge von

(4)

\4x \ < Ä, | /da | < Ji

auch stets

(5)

I 4f\ = | f{x -f- /ix, a -f- 4a) — f{x, a) | < 6

ist. Denn es wäre ja denkbar, daß es überhaupt keine von Null verschiedene positive Zahl h gibt, die kleiner als alle möglichen Zahlen k ist.

Daß es nun in der Tat eine positive und von Null verschiedene Zahl h derart gibt, daß überall im Bereiche infolge von (4) die Ungleichung (5) besteht, beruht auf einem Satze über die Schwankung der Funktion fix, a), der die Verallgemeinerung des Satzes 3 in Nr. 405 ist.

Unter der Scliivankung einer stetigen Funktion fix, a) von zwei Veränderlichen x und a innerhalb eines Bereiches wird die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Werte der Funktion innerhalb des Bereiches, also eine ihrer Natur nach stets positive Größe, verstanden. Es gilt nun der

Satz 18: Ist fix, a) eine in dem Bereiche

xQ^x£X, a₀ a A

stetige Funktion von zwei Veränderlichen x und a, so gibt es, wie klein man auch eine positive Zahl ö wählen mag, stets eine positive Zahl h derart, daß die Schwankung der Funktion kleiner als a ist innerhalb einer solchen Umgebung einer jeden beliebigen Stelle (xx, ax) des Bereiches, in der x und a von xx und at um nicht mehr als h abweichen.

Der Beweis wird wie in Nr. 405 geführt. Man wählt also eine positive ganze Zahl n und zerlegt X — x₀ sowie A — a0 in je n gleiche Teile. Dadurch wird der Bereich in n² kleinere Bereiche zerteilt. In jedem von ihnen kann x bzw. a nur noch um den nten Teil von X — x₀ bzw. A — a₀ variieren. Man zerlegt nun abermals in derselben Weise jeden Teilbereich in n² noch kleinere Bereiche, usw. Wie in Nr. 405 zeigt sich, daß es mit der vorausgesetzten Stetigkeit im Widerspruche stehen würde, wenn man nicht nach einer endlichen Anzahl von Schritten zu solchen Teilbereichen käme, innerhalb deren die Schwankung der Funktion kleiner als \<5 ist. Die Teilbereiche, zu denen man gelangt, mögen hinsichtlich x und a die Intervall-Längen \ und h₂ haben. Bedeutet nun h die kleinere der beiden Zahlen \ und h₂, so besteht jeder solche 486]

Teil des Gesamtbereiches, in dem x und a nm nicht mehr als h variieren können, augenscheinlich aus höchstens vier aneinander stoßenden Stücken von vieren der vorhin betrachteten Teilbereiche, in denen die Schwankung der Funktion f kleiner als v ist. Deshalb schwankt die Funktion in dem soeben betrachteten Teile des Gesamtbereiches um weniger als das Vierfache von ~ 6, d. h. um weniger als a, und damit ist Satz 18 bewiesen.

Ohne weiteres folgt daraus, daß in der Tat die Ungleichung

(5) unter den Bedingungen (4) besteht und zwar, wie auch immer das Wertepaar x, a innerhalb des Variabilitätsbereiches gewählt sein mag. Man sagt deshalb, daß die stetige Funktion f{x, a) von x und a innerhalb des Variabilitätsbereiches gleichmäßig stetig ist. (Vgl. Nr. 364 und Nr. 425). Das Wort gleichmäßig bezieht sich darauf, daß bei vorgegebener beliebig kleiner positiver Zahl <3 an allen Stellen des Variabilitäts-bereiches für denselben Zahlenwert h jene Ungleichung (5) unter den Voraussetzungen (4) erfüllt ist.

487. Das Integral als Funktion der oberen Grenze und eines Parameters. Es sei f(x, a) eine stetige Funktion von x und a innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches, der durch zwei für x und a vorgeschriebene endliche Intervalle festgelegt, sei. Sind x₀ und X dem für x erlaubten Intervalle entnommen und gehört a dem für a erlaubten Intervalle an, so ist das Integral

x

(1)

F(X, a) =J*f(x, a)dx

x₀

mit veränderlich gelassener oberer Grenze eine Funktion von X und a in demselben Variabilitätsbereiche, in dem f(x, a) als Funktion von x und a stetig ist. Nach Satz 6, Nr. 410, verhält sich F hinsichtlich X stetig. Wir wollen nun aber zeigen, daß F eine stetige Funktion von X und a ist. Es genügt dabei nicht, nur noch den Nachweis zu führen, daß F eine stetige Funktion von a ist, vielmehr müssen wir den Zuwachs A F ins Auge fassen, den F erfährt, wenn sowohl X um A X als auch a um A a wächst. Er ist: wird. Ist nun G eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl und ist h die für den ganzen Variabilitätsbereich von f(x, a) vorhaudene zugehörige positive Zahl, für die überall im Bereiche die Formel (5) der vorigen Nummer unter den Voraussetzungen \/dx\ < 7i, | /da | < h gilt, so ist, sobald | /da | < h gewählt wird, insbesondere auch:

| f{x, a + /da) — fix, a) | < G.

Hieraus folgt nach Satz 16, Nr. 414, und Satz 14, Nr. 413:

x    x

Gdx = G | X — x₀ |.

(3) J [fix, a + /da) — f\x, a)\dx < ö

Xq    Xq *

Nach Satz 20, Nr. 419, gibt es ferner zu der gewählten Zahl G eine positive Zahl h derart, daß unter der Voraussetzung \/dX\ < & auch x+Jx

(4)

jfix, a + /da)d x

aus

x

(2)|z/F\^ J[f(x,a +4a) — f{x,a)\d

xa

xJF =

so daß nach Satz 2 in Nr. 4

X + JX

x\ +

j J fix, a+z1a)dx x

ist. Verstehen wir unter h von jetzt an die kleinere der beiden Zahlen h und h, so daß immer noch die Ungleichungen (3) und (4) infolge von \/da\ < h und | A X \ < h gelten, so folgt (3) und (4) nach (2):

\/dF\<Gi\X-x,\ + l).

Da nun X — x₀ endlich ist, können wir, falls eine beliebig kleine positive Zahl t vorgeschrieben wird,

<5 =

X-x₀\ + l

annehmen, so daß | AF\ < t wird unter den Annahmen | A X\ < h und \Aa\ < h. Dies aber bedeutet nach Satz 7, Nr. 22, daß F(X,a) eine stetige Funktion von X und a ist. Also gilt der Satz 19: Ist f(x, a) eine stetige Funktion von x und u innerhalb eines Variabilitätsbereiches für x und a, so ist auch das bestimmte Integral

x

J*f(x, a)dx

*o

eine stetige Funktion von X und u innerhalb desselben Bereiches.

Die Voraussetzung nämlich, daß der Variabilitätsbereich durch endliche Intervalle für x und a gegeben sei, braucht nicht im Satze erwähnt zu werden. Denn unter X und xQ werden ja wie immer endliche Größen verstanden, so daß X — x0 endlich ist und deshalb auch in dem Falle, wo der Variabilitätsbereich endlos ist, stets ein endlicher Teil von ihm heraus-gegrilfen werden kann, in dem das Intervall von x₀ bis X liegt.

488. Differentiation des Integrals nach einem Parameter. Wir behalten die Bezeichnungen der vorigen Nummer bei und wollen zu den dort gemachten Voraussetzungen nunmehr noch die hinzufügen, daß fix, a) eine stetige partielle Ableitung fa(x, u) nach a innerhalb des Variabilitätsbereiches habe. Alsdann wollen wir zeigen, daß die stetige Funktion

x

F{X, a) =J f(x,a)dx

XQ

von X und a eine partielle Ableitung nach a hat. Daß F übrigens eine partielle Ableitung nach X hat, wissen wir schon, weil sie nach der Definition des Integrals gleich f(X, a) ist.

Um die Ableitung von F nach a zu gewinnen, halten wir X fest und lassen a um A a wachsen. Dann erfährt F den Zuwachs

X    XX

(1) AF=

= j‘f(x, aĄ- Au)clx—J f(x,a)dx—J\f(x,a-\-Acc)—f{x,aj\dx.

x₀    X₀    x₀

(2)

Nach dem Mittelwertsatze 3, Nr. 28, gibt es unter den gemachten Voraussetzungen einen positiven echten Bruch 6, für den fix, a + Aa) — fix, a) = Aa • fa(x, a + OAa) ist; dabei kann 6 für verschiedene Werte von x verschieden ausfallen. Nunmehr folgt aus (1):

x

= j fa(x, u 4- 0Aa)dx.

x₀

Ist 6 eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl, so gibt es wegen der Stetigkeit von fa(x,a) eine positive Zahl h derart, daß für \Aa\ <Ch auch

I fa(X> « +    - fa(X> a)\<G

ist und zwar für alle Wertepaare x, a im Bereiche. Da dann auch \QAa\ < h ist, wird um so mehr

fa(x, a) — <3 < fa(x, a + OAa) < fa(x, a) + 6.

Alle drei Glieder dieser Ungleichung können wir hinsichtlich x von xQ bis X innerhalb des Bereiches integrieren. Nach Satz 14, Nr. 413, ergibt sich dadurch, daß

zwischen

x

Jfa{x,a)dx *0

x

=J fa(x, a -f- 6 Aa)dx

X₀

X

ö(X — x₀)    und J*fa(x,a)dx + tf(X

Xq

~xo)

liegt, und zwar auch dann, wenn X < x₀ ist. Hieraus folgt:

x

to I a

(3)

\ =j‘fJx,a) dx

x₀

Mithin gilt der

Satz 20: Ist fix, a) eine stetige Funktion von x und a innerhalb eines Variabilitätsbereiches für x und a und hat sie daselbst eine stetige partielle Ableitung faix, cc) nach a, so hat das Integral

x

F(X, a) =J*f(x, a) dx

x₀

die partielle Ableitung nach a:

x

Fa(X, K)    fa(X>K)dX’

x₀

vorausgesetzt, daß alle Werte x von x₀ bis X zusammen mit a dem Variabilitätsbereiche angehört.

Aus demselben Grunde wie beim Satze 19 der vorigen Nummer braucht auch hier die Voraussetzung eines endlichen Intervalles für x nicht ausdrücklich gemacht zu werden, da X — xQ von Natur endlich ist.

Die Formel des Satzes läßt sich auch so schreiben:

di

x    x

\aj f(XW)d*=J⁽

x₀    x₀

df(x, u)

dx

und besagt also, daß die Zeichen

8cc

und

. . . dx

unter den gemachten Voraussetzungen vertauschbar sind. Oder auch: Die Differentiation des Integrals nach dem Parameter a darf unterhalb des Integralzeichens beim Integranden ausgeführt werden.

Beispiel: Da

x

= ~ arc tg a X

r___dx

J i

o

ist, wenn der Arkus zwischen — jit und -f- jA gewählt wird, ergibt sich hieraus durch Differentiation nach a, indem man links unterhalb des Integralzeichens nach a differenziert:

Zccx^dx

= — arc tg a X +    •

l-|-asX⁸'

also z. B. für a — 1 :

S er r et-S chef f er s, Diff.-u. Integral-Kechnung. II. 4. u. 5. Aufl.

12

[488

x*dx

x

/<

0

= arc tg X —

(1+æ²)²

1 + X² >

eine Formel, die wir natürlich auch direkt durch Integration hätten finden können.

489. Integration des Integrals nach einem Parameter. Wir machen wieder dieselben Annahmen wie in der vorletzten Nummer. Dagegen brauchen wir jetzt nicht die Voraussetzung der letzten Nummer, daß fix, a) eine stetige partielle Ableitung nach a habe.

Wir können das Integral

x

J*f{x, a)dx, *0

wenn wir unter X ebenso wie unter x₀ eine bestimmte Zahl verstehen, als eine Funktion von a betrachten und, da diese Funktion nach Satz 19, Nr. 487, stetig ist, auch hinsichtlich a integrieren, etwa von a₀ bis A. Dabei setzen wir voraus, daß das Intervall von a₀ bis A dem Variabilitätsbereiche angehöre. Wir finden so die Funktion:

A X

(1)

x da.

u    f \x) a)d

(X₀ Xq

Andererseits können wir die gegebene Funktion fix, a), indem wir x darin die Rolle eines Parameters spielen lassen und a als Veränderliche auffassen, hinsichtlich a von a₀ bis A integrieren. Das hervorgehende Integral:

A

J *f(x, a)da

«0

ist eine Funktion von x, wenn wir uns a₀ und A bestimmt gegeben denken. Da diese Funktion nach dem erwähnten Satze stetig ist, hat sie ein über x von x₀ bis X erstrecktes Integral:

x A

(2)

a dx.

v =j [j fix, a)d

X₀ cc₀

Wir wollen nun beweisen, daß u gleich v ist.

488, 489J

Zu diesem Zwecke betrachten wir X und A als veränderlich, so daß u und v Funktionen von X und A sind. Die in (1) auftretende eckige Klammer enthält eine Funktion von X und a, die eine Ableitung f(X, a) nach X hat. Wenn diese Funktion hinsichtlich a integriert wird, spielt X die Rolle des Parameters und a die der Veränderlichen. Es ergibt sich daher, daß außer

(3)

noch

x

A)dx

Xq

du

dX

da

ist, da wir wegen Satz 20 nach dem Parameter X unterhalb des auf a bezüglichen Integralzeichens differenzieren dürfen Hieraus aber folgt:

(4)

du

dx

A

= f f(X, a)da.

ao

Die Funktion u von X und A hat also die Ableitungen (3) und (4). Die Funktion v ist gerade so wie u gebaut, nur haben X und A ihre Rolle vertauscht. Wir erkennen also ebenso, daß für v diejenigen beiden Gleichungen gelten, die aus

(3) und (4) durch Vertauschen von u mit v, von A mit X, von a mit x und von a₀ mit x₀ hervorgehen:

U-/**«)*«, £

«0

Aber hieraus und aus (3) und (4) folgt:

dv du dv du dX ⁼ dX’ dJ. ⁼ F2'

Nach Satz 10 von Nr. 74 ist daher die Differenz u — v konstant.

Daß diese konstante Differenz gleich Null ist, folgt daraus, daß sie insbesondere für A = a₀ den Wert Null hat. In der Tat ist für A = a₀ sowohl u = 0 als auch v — 0, d. h. v = 0. Demnach gilt der

Satz 21: Ist f(x, a) eine stetige Funktion von x und a innerhalb eines Bereiches für x und a, dem die Intervalle von x₀ bis X und von cc₀ bis A angehören, so ist

A X    X A

a dx.

J | J*f(x, cc)dx da = J*j f(x, a)d

(Xq xq    x₀ a₀

ln Worten: Soll das Integral

x

J*f{x, a)dx »0

hinsichtlich a von aQ bis A integriert werden, so darf diese Integration nach a unterhalb des auf x bezüglichen Integralzeichens auf den Integranden f(x, a) ausgeübt werden.

Auch hier ist wieder zu bemerken, daß die Voraussetzung eines Variabilitätsbereiches von endlicher Ausdehnung deshalb nicht besonders erwähnt zu werden braucht, weil X — x₀ und A — a₀ von Natur endlich sind.

Unter der Voraussetzung der Stetigkeit von f(x, a) innerhalb der Integrationsintervalle sind also die Zeichen

x

s-

x₀

. dx und

. . da

«0

vertauschbar.

Beispiel: Zur Erläuterung diene das folgende einfache Beispiel. Nach der Methode der teilweisen Integration oder auch nach (1) in Nr. 454 ist

x

/■

o

x sin axdx =

sin aX — aJ cos aX

Wir wollen nach a von a₀ bis A integrieren und können dies links unterhalb des auf x bezüglichen Integralzeichens tun, also hier sin ax nach a integrieren. Da f sin axda gleich — cos ax : x + konst. ist, folgt:

x    A

*sin aX — ccX cos ccX

da

J*[cos a₀x — cos Ax)dx =j'-

0    aa

Führen wir statt a₀, a, A die Bezeichnungen z₀, z, Z ein und setzen wir X = 1, so kommt, wenn wir beide Seiten der Gleichung vertauschen, die Integralformel:

sin z₀

sin£ — z cos z

0²~

dz =

sin Z

da.

oder:

sin cc₀ X sin A X

ß0

sin aX — ccX cos aX

a²

Z0

Daß in der Tat

sin2 , ,    .

—---\- konst.

ist, läßt sich allerdings auch leicht direkt erkennen.

490. Ausdehnung der Ergebnisse auf Integrale mit endlosen Intervallen. Es sei wieder fix, a) eine in einem Variabilitätsbereiche stetige Funktion von x und a. Der Bereich enthalte jetzt alle Werte x^x^, so daß das Integral

sin£ — z cos 2

z²

dz = —

+ 00

(1)

== /fix, a)dx

XQ

gebildet werden kann. Wir wollen voraussetzen, daß dies Integral für jeden erlaubten Wert von a konvergiere.

Da das Intervall endlos ist, dürfen wir den Satz 19 von Nr. 487 nicht ohne weiteres anwenden. Wir werden aber beweisen, daß J eine stetige Funktion der einzigen in J vorkommenden Veränderlichen a ist, vorausgesetzt, daß a dem erlaubten Bereiche angehört. Zu diesem Zwecke lassen wir a innerhalb des Bereiches um A a wachsen. Dann erfährt/ die Zunahme

+ oo

AJ =

=J*f(x, a A Aa) dx —J*f(x, a)dx

Xq    Xq

Da die beiden Integrale auf der rechten Seite nach Voraussetzung konvergieren, lassen sie sich nach Satz 9, Nr. 412, zusammenfassen (vgl. die Schlußbemerkungen in Nr. 474):

(2)

AJ

=J\[fipc, a + Aa)

x₀

— fix, a)\dx.

Weil das rechts stehende Integral konvergiert, gibt es, falls a eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl ist, nach Nr. 464 eine positive Zahl n derart, daß für jedes X w

(3)

— 6 < AJ —

— fix, aj\dx < 6

ist. Das hier auftretende Integral aber bedeutet den Zuwachs, den

x

j‘f{x, a)dx *0

erfährt, wenn a um z1a zunimmt; und für dieses Integral gilt der Satz 19, Nr. 487, da hier die obere Grenze endlich ist. Also können wir |z/a| so klein wählen, daß der Zuwachs dieses Integrals absolut genommen kleiner als 6 wird:

/!

Nach (3) ist aber:

x

lj f{x, cc)dx *0

x

AJ*fix, a)dx

x₀

X

6 < z/r/ < xlj fix, a)d

Xq

X 4- 6.

Folglich liegt z/J zwischen — 2<? und + 2 <?. Demnach erkennen wir, wenn wir noch 2ö — t setzen:

Ist t eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl, so wird, falls |z/a| hinreichend klein ist, auch | z/J] kleiner als t. Mithin ist J eine stetige FunJdion von a.

Das Integral (1) darf mithin hinsichtlich a von a₀ bis A integriert werden, falls das Intervall von a₀ bis A dem Bereiche angehört. Auf diesem Wege geht

(4)

A    A + oo

J'jda^J' J^fix, a)dx

a₀    a₀ x₀

da

hervor. Wir wollen beweisen, daß wir rechts die Reihenfolge der beiden Integrationen vertauschen können.

Da J ein konvergentes Integral ist, gibt es, falls 6 eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl bedeutet, nach Nr. 464 eine positive Zahl n derart, daß für jedes X n 490]

x    x

Jj'f{oc, a)dx — 6 <C J<CJ*f(x, a)d

X₀    Xq

wird. Alle drei Glieder dieser Ungleichung sind stetige Funktionen von a. Nach Satz 14, Nr. 413, ergibt sich daher bei der Integration nach a:

A X

(⁵) f J f(x,a)d

(Xq Xq

x da—

A    A X

6(A— a₀)<J*'jda<C.J* ff(x,a)dx da A ö(A—a₀),

(Xq    (Xq    Xq

wenn wir A > a₀ annehmen. Wäre A < a₀, so wäre > durch < zu ersetzen. Auf die links und rechts stehenden Doppelintegrale ist nun der Satz 21 der vorigen Nummer anwendbar, da die Intervalle endlich sind. Daher ergibt sich:

x A

J L fr(x’a^d

x₀ a₀

a dx —

A    X A

6 (A—a₀) <J Jd a <J j*f(x,a)da dx-\-6(A—a₀).

(Xq    Xq    (Xq

Wenn wir den Wert (4) einsetzen, kommt also:

A +00    X A

j J f(x, a)dx da — j j~ J f(x, a)da

(Xq    Xq    Xq    (Xq

dx < 6 (A — a₀).

Hieraus geht für lim 6 = 0, d. h. für lim X = + °° hervor:

A +00

flff(X> U)d

Xq    Xq

x da =

+ oo A

-f[J f(x, a)da

x₀ a₀

dx,

was zu beweisen war. Mithin gilt der

Satz 22: Wenn f(x, a) eine stetige Funktion von x und a bedeutet und zwar innerhalb eines Bereiches für x und a, dem alle Werte x^x₀ angehören, ist das Integral

+ 00

J*f(x, a)dx, *0

sobald es innerhalb des Bereiches überall konvergiert, eine stetige Funktion von a. Soll diese Funktion hinsichtlich a in einem endlichen Intervalle innerhalb des Bereiches integriert werden, so darf die Integration unterhalb des auf x bezüglichen Integralzeichens auf den Integranden f(x, a) ausgeübt werden.

Wir haben hiermit den Satz 21 der vorigen Nummer auf Integrale mit endlosen Intervallen ausgedehnt. Um nun auch den Satz 20 von Nr. 488, der sich auf die Differentiation nach dem Parameter a bezieht, auf das konvergente Integral J auszudehnen, machen wir wie damals noch die Annahme, daß fix, a) überall im Bereiche eine stetige Ableitung nach a habe. Nach (2) ist:

(6)

A J ,j‘f\(x, cc -f- A cc) — f(x, cc)

x₀

A cc

dx.

Hieraus folgt beim Grenzübergange limz/a = 0, daß

+ 00

re

(?)

—f fa(X, a)dx

Xq

wird, vorausgesetzt, daß das rechts stehende Integral konvergiert. Daher finden wir den

Satz 23: Wenn fix, a) eine stetige Funktion von x und a innerhalb eines Bereiches für x und a ist, dem alle Werte x ']> x0 angehören, wenn ferner fix, a) überall im Bereiche eine stetige partielle Ableitung fa(x, a) nach a hat und die beiden Integrale

und

J f(x, cc)dx *0

+ 00

f fa(X> a)dx

x₀

konvergieren, ist das erste Integral eine stetige Funktion von a und das zweite Integral ihre Ableitung, d. h. es ist:

+ 00

!jf(x,a)dx=f[

Xq    Xq

df(x, a)

dcc

dx.

Es bedarf keiner weiteren Auseinandersetzungen, um klar zu machen, daß die Sätze 22 und 23 auch dann gelten, wenn von den Grenzen der auf x bezüglichen Integrale irgend eine gleich + oo oder — oo oder die eine gleich -f oo und die andere gleich — oo wird. Vgl. Nr. 467. Natürlich sind dann auch immer über f(x, a) die auf das betreffende Intervall bezüglichen Voraussetzungen zu machen.

491. Ausdehnung der Ergebnisse auf Integrale mit unstetigen Integranden. Nunmehr sei fix, a) eine 490, 491] für x₀ x < X und a₀ cc <[ A stetige Funktion von x und u, dagegen sei f(x, a) unstetig für x = X. Dennoch sei das Integral

x

(i)

=J*f[cc, a)dx

Xq

konvergent für alle Werte a von «₀ his A.

Wegen der Unstetigkeit des Integranden für x — X können wir den Satz 19 von Nr. 487 nicht an wenden. Wir können aber beweisen, daß J auch jetzt eine stetige Funktion von a ist, und zwar geschieht dies ganz analog wie in voriger Nummer. Denn falls a um A a zunimmt, hat J den Zuwachs:

x

(2)

AJ =

= f\[f(x, a + A a) — f(x, a)\dx,

x₀

wobei das rechts stehende Integral konvergiert. Nach Nr. 470 gibt es, wie klein auch eine positive Zahl 6 gewählt sein mag, einen Wert n im Intervalle x₀ n < X derart, daß für jedes m im Intervalle n < m < X

(3)

— e < z/</—

wird. Auf das Integral

-J \f(%, ce -f- Au) — f{x, «)] dx < 6

Xq

m

J*f(x, u)dx

Xq

ist der Satz 19, Nr. 487, anwendbar. Wir können also \Au\ so klein wählen, daß der absolute Betrag des Zuwachses, den das Integral erfährt, wenn u um Au zunimmt, kleiner als 6 wird. Der Zuwachs ist das in (3) stehende Integral. Also folgt ganz ebenso wie in voriger Nummer, daß \AJ\<C2<j wird, womit bewiesen ist, daß J eine stetige Funktion von a ist.

Demnach darf J hinsichtlich u von a₀ his A integriert werden, und genau ebenso wie in voriger Nummer ergibt sich, daß diese Integration unterhalb des auf x bezüglichen Integralzeichens ausgeübt werden darf. Denn die Formel (5) der vorigen Nummer gilt auch jetzt, sobald wir darin X durch m ersetzen. Wir haben also den

Satz 24: Wenn f(x, a) eine stetige Funktion von x und a innerhalb eines Bereiches für x und a ist, dem alle Werte von x₀ bis X, abgesehen von X selbst, angehören, indem sich f(x, cc) für x = X unstetig verhält, ist das Integral

J f(x, ä)dx,

*0

sobald es überhaupt konvergiert, eine stetige Funktion von a. Soll diese Funktion in einem endlichen Intervalle innerhalb des Bereiches hinsichtlich a integriert werden, so darf die Integration unterhalb des auf x bezüglichen Integralzeichens auf den Inte-granden f(x, ä) ausgeübt werden.

Ferner ergibt sich analog dem Satze 23 der vorigen

Nummer:

Satz 25: Wenn f(x, cc) eine stetige Funktion von x und a innerhalb eines Bereiches für x und a ist, dem alle Werte von x0 bis X, abgesehen von X selbst, angehören, indem fix, u) für x = X unstetig wird, wenn ferner f(x, a) überall im Bereiche, abgesehen von x = X, eine stetige partielle Ableitung fa(x, cc) nach a hat und die beiden Integrale

dx.

Es bedarf auch hier keiner weiteren Auseinandersetzung darüber, daß Sätze analog den Sätzen 24 und 25 auch dann gelten, wenn fix, a) für mehrere Werte von x innerhalb des Integrationsintervalles von x₀ bis X unstetig wird. Vgl. Nr. 473. Auch ist es klar, wie man durch Zerlegung des Integrationsintervalles und Anwendung dieser Sätze auch den Fall erledigen kann, in dem erstens das Integrationsintervall für x endlos wird und zweitens im Intervalle Unstetigkeiten von f(x, u) Vorkommen. Vgl. Nr. 474.

Bei der Differentiation eines konvergenten Integrals nach einem Parameter a ist, wie die Sätze 23 und 25 zeigen, immer noch festzustellen, ob dasjenige Integral, das bei der Differentiation des Integranden nach a hervorgeht, auch wirklich konvergiert, während bei der Integration nach a von vornherein feststeht, daß das hervorgehende Integral konvergent ist. Man erinnere sich daran, daß eine entsprechende Bemerkung bei der Differentiation und Integration einer gleichmäßig konvergenten unendlichen Reihe zu machen war, vgl. Nr. 426 und 427.

§ 5. Anwendungen auf Beispiele.

+ ao

492. Die

Integrale / •

J i

o

dx

(a?² + «)w

und

+ GO

/•

8

xtt~¹dx.

Nach (1) in Nr. 477 ist:

+ 00

ÏW’ JV

o

UX

dx = ^ (für a > 0).

Dabei ist ]/a positiv. Da die rechten Seiten Ableitungen nach a haben, sind diese Ableitungen nach Satz 23, Nr. 490, gleich denjenigen Integralen, die sich durch Differentiation nach cc unterhalb der Integralzeichen ergeben. Daß nämlich die hervorgehenden Integrale konvergieren, erkennt man sofort nach Satz 4, Nr. 466. Wir können wiederholt nach a differenzieren. Tun wir dies (n — 1) mal, so kommt:

+ 00

<■> h

0

dx

(x² + a)n

1    3-5---(2w —3) at

2    • 4 • 6 • • • (2 n — 2) ' 2 |/äT" ~¹ '

+ oo

(2) Je-axxn-¹dx = o

1.2.3 • • • (n — 1)

n

a.

(für a > 0).

Dabei ist n eine positive ganze Zahl und ]/« positiv. Aus (2) folgt für cc = 1:

+ oo

(3)

j*e~xxn~xdx = (n — 1)! o

Die Integration des zweiten der beiden zu Anfang erwähnten Integrale hinsichtlich a gibt für Ä > 0 und Je > 0 nach Satz 22, Nr. 490, da

ist:

k

/•-

h

ax

da =

„ — hx „ — kx

e — e

(4)

+ 00

J x

o

5s-* Sr"

(für Ä > 0, Je > 0).

Insbesondere folgt für h = 1:

+ 00

(5)

dx = ln Je

(für /c > 0).

+ GO

— /iap

— hx

493. Das Integral

£C

cos bxdx und

Das angegebene Integral ist im

verwandte Integrale.

Falle & = 0,    0, & > 0 schon soeben berechnet worden. Im

übrigen gehen wir hier von den Formeln (2) von Nr. 477 aus:

+ oo

+ 00

/•

o

— ax

cos bx dx =

e-ax J)XdX =

a* + &²

a² + &²

(für a > 0).

Integrieren wir sie hinsichtlich a von h > 0 bis ß > 0, so kommt, weil die Integration auf den linken Seiten unter den Integralzeichen ausgeführt werden darf:

+ oo

—hx „ — hx

0

4-oo

f*„ — hx „ — kx

wj—;

0

cos&Æ(7;z = 41n

(für /?, > 0, Ä; > 0).

sin&Æ (7# = arctg^-—arctg

Dabei sind die Arkus zwischen — jtc und + jjt zu nehmen.

Lassen wir Ji bis Null abnehmen, so erreicht die rechte Seite der Formel (2) den bestimmten endlichen Grenzwert

493, 493]

arc tg (k : b). Erreicht dabei auch das links stehende Integral einen bestimmten endlichen Wert, so ist der Grenzübergang statthaft.

Aber es liegt noch eine Schwierigkeit vor: Beim Grenz-iibergange lim h = 0 darf zunächst nicht ohne weiteres lim hx = 0 gesetzt werden, da ja x bis + oo wachsen soll. Wir wissen nur, daß hx positiv ist. Wir können aber die Formel (2) so schreiben :

+ 00

S(—,

0

— kx

-^ sin bxdx = arc tg ^ — arc tg ~,

und weil

— hx

1- e~hx

hx

ist und dieser Ausdruck für bis Null abnehmendes h stets den Grenzwert Null hat, ob nun hx gleich 0 oder endlich und positiv oder gleich + oo wird, folgt beim Grenzübergange lim/i = 0:

+ 00

(3)

— kx

sin bxdx = arc tg |

(für 7c >0),

sobald noch bewiesen ist, daß dies Integral konvergiert. Es genügt, dies für 6 > 0 zu zeigen. Wir machen die Substitution bx — z und setzen die positive Konstante h : b gleich m, so daß das Integral übergeht in:

+ oo

dz.

ß-e-^r

0

Der erste Faktor des Integranden ist positiv und nimmt von 0 bis 1 zu, wenn z von 0 bis + oo wächst. Nach dem dritten Mittelwertsatze 24 in Nr. 424 kommt daher für Z^> 0:

ß-e

o

— rnz

)    — (1 — e

— mZ

sin z ₇

wobei £ ein Wert im Intervalle von 0 bis Z ist. Der erste Faktor rechts hat für lim Z = + oo den Grenzwert Eins und der zweite nach Nr. 469 einen bestimmten endlichen Wert. Damit ist der Nachweis der Richtigkeit der Formel (3) beendet.

[493

Wir wollen weiterhin Je in (3) nach -f- oo streben lassen Dabei liegt eine ähnliche Schwierigkeit vor wie vorher, jedoch nicht für die obere Grenze lim x = -f oo, sondern für die untere Grenze x — 0. Denn für lim x = 0 und lim Je = -f- oo wird -lim Tex unbestimmt, so daß wir also nicht ohne weiteres für lim Je = -f- oo für Tex den Wert + oo setzen dürfen, für den sich aus (3) ja ergeben würde:

+ 00

(4)

rsin b x

J «

o

dx =

(für 6>0),

eine Formel, in der die linke Seite nach Nr. 469 konvergiert. Vielmehr müssen wir noch folgendes feststellen: Ist ö eine beliebig kleine positive Zahl, so muß gezeigt werden, daß das von 0 bis 6 erstreckte Integral

— hx

(5)

sin bxdx

für lim& = + oo nach Null strebt. Hier ist 1 — e~kx zwischen 0 und 1 gelegen und der Integrand positiv. Nach Satz 14, Nr. 413, ist der folglich positive Wert dieses Integrals für jedes positive Je nicht größer als

dx.

rsin bx

J x

o

Nun ist ferner sin bx <Lbx in dem Intervalle 0 ^ x ^ <?, also das Integral (5) kleiner als

bdx = b<5,

womit der Beweis erbracht ist. Deshalb gilt auch die Formel (4) Insbesondere folgt für 6=1:

+ <»

(6)

dx =

womit der Wert eines schon in Nr. 469 betrachteten Integrals gefunden ist.

493]

§ 5. Anwendungen auf Beispiele. Ersetzen wir b in (4) durch a + b, so kommt:

+ oo

i sin (a -f- b)x

J æ

o

+ 00

dx =

sin (a — b)x

dx = j7t (für a>&>0).

Hieraus folgt durch Addition und Subtraktion:

+ 00

sin ax cos bx

+ 00

dx = -| Jt,

cos ax sin bx

dx = 0 (für «>&>0).

Ferner kommt für a — b > 0 nach (4):

+ oo

I sin ax cos ax

J x

o

dx =

+ 00

j /’sin 2 ax

dx = \tc.

Wir haben demnach gefunden:

+ 00

(7)

da? —

t für a > b > 0, ~ für a = & > 0, 0 für b > a > 0.

+ co

494. Das

Integral j

o

cos ax

1 + £C

die Formel unter (2) in Nr. 477:

dx. Wir benutzen wieder

+ 00

e~ax sin bx dx =

a² + &*

(für a>0),

die wir mit cosb:b multiplizieren:

+ 00

J-

0

— ax

sin bx cos b

dx =

cos b

a* +

(für a > 0).

Wenn wir nun hinsichtlich b von 0 bis 0 integrieren wollen, darf es nach Satz 22, Nr. 490, links unterhalb des auf x bezüglichen Integralzeichens geschehen. Der Integrand ist nämlich auch für b = 0 stetig. Es kommt:

*sin bx cos b

db dx

+ oo    1

(1) J e~ax J

o    o

= / dh (für a>⁰)-

0

Wir wollen jetzt zeigen, daß beide Seiten für lim B = + oo bestimmte endliche Grenzwerte haben, so daß dieser Greuz-übergang erlaubt ist.

Daß zunächst das rechts stehende Integral für lim B = + oo konvergiert, folgt daraus, daß sein Integrand für lim b = + oo mit 1:6 in der Ordnung 2 verschwindet. Links ergibt sich als Wert des Inhaltes der eckigen Klammer für lim B = + oo nach (7) in voriger Nummer, wenn dort x durch b, a durch x und b durch 1 ersetzt wird, entweder oder jit oder 0, nämlich je nachdem #>1, =1 oder <1 ist. Das in (1) links stehende Integral hat also für lim B = + oo die Form:

+ oo

— ax

u dx,

wo u = 0 für x < 1, gleich j7C für x = 1 und gleich \n für x > 1 ist, also der Integrand an der Stelle x = 1 springt. Nach Nr. 475 zerlegen wir dies Integral in das von 0 bis 1 und das von 1 bis + oo erstreckte. Das erste ist gleich Null, das zweite wegen a > 0 gleich

+ 00 — ax~

+ 00

j*3~ax±7tdx =

Somit geht aus (1) für limB = + oo hervor:

+ 00

db

(für a > 0).

Substituiert man hierin x vermöge b = ax, db = adx, so folgt:

+ oo

(2)

cos ax

dx = ~ne~a

(für a>0).

+ <»

Integral j e—x%dx und verwandte Inte-

— OO

grale. Nach dem ersten Beispiele in Nr. 468 konvergiert das Integral

495. Das

+ oo

+°°

dx.

(1)

— 00

494, 495]

Um seinen Wert A zu berechnen, substituieren wir x — at, dx = udt, wodurch sich ergibt:

=²./

+ 00

e~a'ipccdt,

falls a>0 gewählt wird. Multiplikation mit e~“² gibt

+ 00

iral

2 e-^ + Vo'udt.

Nach Satz 22, Nr. 490, dürfen wir nun nach a von 0 bis A > 0 unterhalb des Integralzeichens integrieren:

+ oo

(2)

2e~^ + ^aïada dt.

Es kommt aber vermöge der Substitution a²=z:

* = A-

g-(i + <*)*-

1 +*² _ '

2 = 0

Für z = 0 dürfen wir nicht ohne weiteres (1 + t²)z = 0 annehmen, weil das Integrationsintervall für t in (2) bis + oo erstreckt ist. Aber analog wie in Nr. 493 bemerken wir, daß

1 + i²

für lim# = 0 doch nach Null strebt, weil z abnehmend in Null übergeht. Folglich ist:

(3) f

0

2 e-V + fi)*ctda

-J

A/

e~(-l + t')zdz =

(i + O*

-(1 + P)z

üs W

i + i²

Also gibt (3):

2e-<¹ + r)*'udu= ¹

_g - (1 + i¹) A²

l + /²

Setzen wir diesen Wert in (2) rechts ein, so kommt:

A

M /e-^da o

+ oo

V!

i + e²

dt.

Hierin wollen wir den Grenzübergang lim A = + oo machen. Dabei wird das links stehende Integral nach (1) gleich jA, während der Zähler des Integranden rechts den Grenzwert Eins erreicht, also das Integral rechts den Grenzwert ~7C, nach (1) in Nr. 477. Folglich kommt:

jA²=jjr, d. h. + =]/+.

Weil das Integral (1) offenbar positiv ist, haben wir also:

+ 00

(4)

j e~x*äx = ]Ar > 0.

— oo

Machen wir die Substitution x = £]/«, dx — dt~\/u, indem wir a > 0 und ]/a > 0 wählen, so kommt:

+ 00

(5)

(für a > 0).

Je-°»dt=>Y^>0

— oo

Differenzieren wir diese Formel wiederholt nach a, indem wir links die Differentiation unter dem Integralzeichen ausführen, so gehen lauter konvergente Integrale hervor. Dies Verfahren ist daher nach Satz 23, Nr. 490, gestattet und gibt nach n Differentiationen:

+ oo

(6) J e~aPt2ndt

— 00

1.3.5... (2 n — l)

insbesondere für a = 1 :

+ 00

(7)

e~i‘¹t2ndt =

1 • 3 • 5 • • • (2 w — 1)

2¹¹

y3t >> 0.

— 00

Ferner geht aus (4) vermöge der Substitution: x — t + a, dx = dt hervor:

+ 00

fe-p-2atdt = y^tea'l> 0,

ob nun a positiv oder negativ ist. Ersetzen wir a durch — a und nehmen wir die halbe Summe von beiden Integralen, so finden wir:

+ 00

pj

e2at + e

— 2 at

Wird t = mx, dt = mdx substituiert, a = \n : w? gesetzt und m > 0 angenommen, so ergibt sieb:

+ oo

(8)

— m² £²

enx+e~

nx

dx

— 00

Wäre es gestattet, die reelle Zabi w durch ia zu ersetzen, wo a reell sein soll, so würde hieraus nach (6) in Nr. 373 folgen :

+ oo

(9)

g — m².r² cog nx dx

>0.

— 00

Diese Formel gilt nun in der Tat; das Integral

(10)

-y

+ oo

ß—m-x'¹ g₀g

— 00

konvergiert nämlich, wie man leicht sieht, und die Differentiation nach a unter dem Integralzeichen liefert ein ebenfalls konvergentes Integral, so daß diese Differentiation nach Satz 23, Nr. 490, erlaubt ist. Folglich kommt:

-J

— 00

+ 00

+ 00

Xe-ni>xi sjQ ax tfx =

de~m*x'

dx

sin ax dx

— oo

oder nach teilweiser Integration:

dJ

+ oo

da 2 m²

e~m*x~8\nax

00

2 m²

g — m² x-

cos ax dx,

also nach (10):

Folglich haben wir:

K+ö?)-⁰»

d. h. ln J a² : 4m² ist von a unabhängig und hat also denselben Wert wie für a — 0, d. h. nach (5) ist:

ln J +

a²

— ln

|/ît

4 m²

Dies aber besagt die Formel (9).

oder J —

Viertes Kapitel.¹)

Theorie der Eulerschen Integrale.

§ 1. Der Zusammenhang zwischen den Eulerschen Integralen.

496. Die Eulerschen Integrale erster und zweiter Gattung. Man versteht hierunter nach Legendre die beiden bestimmten Integrale

i

Jxp~¹ (1 0

+ 00

— x)q~¹dx und

Je~xxp~¹dx,

die zuerst von Euler untersucht und seitdem von vielen anderen weiter erforscht worden sind. Ihre Theorie soll uns in diesem Kapitel beschäftigen, das eine Anwendung des dritten Kapitels vorstellt.

Das erste, von zwei Parametern p und q abhängige Integral bezeichnet man mit B (p, q), das zweite, das nur von einem Parameter p abhängt, mit r(p):

1 +00

(1) B(j>, q) =J¹xp~¹(l — x)i~¹dx, r(p) =J¹e~xxp~¹dx. o    b

Das Integral jT(p) wird auch die Gamma funlîtion genannt. Die Parameter p und q sollen positiv sein; die in den Inte-granden auftretenden Potenzen sind nach Nr. 5 ebenfalls positiv, so daß die Integrale positive Werte haben, wenn sie überhaupt konvergieren.

Dies aber tun sie in der Tat. Der Integrand von B(p, q) kann nämlich nur an den Grenzen unstetig sein, und zwar ist er es an der Grenze x = 0, wenn p < 1 ist, und an der Grenze x = 1, wenn q < 1 ist. Aber im Falle q < 1 wird (1 — für lim x = 1 von niedrigerer Ordnung unendlich groß als 1 : (1 —#), so daß hier die Konvergenz nach Satz 11, Nr. 471, verbürgt ist. Im Falle 1 ferner wird xP~x für lim# = 0 von niedrigerer Ordnung unendlich als 1 : x, so daß hier dasselbe gilt, vgl. Satz 12, Nr. 473. Was so wird der Integrand an der unteren Grenze x = 0 nur für p < 1 unstetig, jedoch wieder in niedrigerer Ordnung als 1 : x. Es ist also nur noch die Konvergenz von r(jp) für die obere Grenze lim x — -(- oo zu beweisen. Ist p <[ 1, so verschwindet der Integrand von r(p) offenbar für lim x — + oo ; ist p > 1, so gilt dasselbe nach dem 4. Beispiele in Nr. 131. Zugleich sieht man, daß der Integrand für lim x = + oo in höherer als erster Ordnung mit 1 : x verschwindet. Also steht die Konvergenz nach Satz 4, Nr. 466, fest.

r(p) betrifft,

nun

Machen wir in B(p, q) die Substitution x = 3 : (1 + s) und bezeichnen wir alsdann die neue Veränderliche 3 mit x, so bekommen wir:

i

-/à+*r*

Wenn wir das letzte Integral vermöge der Substitution x =1:3 umformen, alsdann darin 3 mit x bezeichnen und die Grenzen vertauschen, finden wir, da dann beide Integrale rechts von 0 bis 1 erstreckt sind und sich vereinigen lassen:

+ oo

(2) B(p,q)=J 0

a?-¹

(l + xf + 'i

dx

xv~x

(iX +

+^oo

3CP~¹

J (1 + ®)

p+<i

dx.

i

B(p, q) = f

J (1 + *)

Hier tritt zu Tage, daß stets die Formel gilt:

B(p,q) = B(q,p).

Man hätte dies auch aus der ursprünglichen Form von B(p, q) mittels der Substitution x = 1 — 3 erkennen können.

497. Zurückführung der Eulerschen Integrale erster G-attung auf die G-ammafunktion. Ist m eine positive

[496, 497

(3)

(4)

sP-i+aÄ-i

p+'i

dx.

Zahl und wird x — mz, dx = mdz gesetzt, so geht aus der zweiten Formel (1) der letzten Nummer hervor:

+ oo

(1)

r(p) = mPj e~mzzp~¹dz,

also auch die folgende viel benutzte Gleichung:

(2)

mp

; m-

r(j>)

-\-oo

e~ mzzp~¹dz

(für m > 0, p > 0).

Verstehen wir unter x eine positive Zahl, so dürfen wir m = 1 + x setzen. Schreiben wir noch p -f q statt p und multiplizieren wir mit xp~x, so kommt:

(3)

xp 1

=......¹ .. /

(l + ^ + 2 r(p + q)J

+ oo

xp~ ¹ er (x+x)zzp+IJ~¹dz.

Wir dürfen diese Formel nach Satz 22, Nr. 490, und Satz 24, Nr. 491, hinsichtlich x von Null bis X > 0 derart integrieren, daß wir rechts die Integration unter dem auf z bezüglichen Integralzeichen ausführen. So kommt:

xp

dx =

r(p + q)J

0

+ oo

e-2gP + <i~

e~xzxp~¹dx dz.

Da die linke Seite für lim X = + oo nach (2) in voriger Nummer gleich JB(p, q) und der Inhalt der eckigen Klammer für lim X = -f- oo nach (1) gleich r(p) : zp wird, folgt:

r(p)

r(p + q)

B{P, q) =

4-^00

e~zz'l~¹dz

oder nach (1) in voriger Nummer:

(5)

B{p, q) =

r(p)m

np + q)

Da somit die Eulersdien Integrale erster Gattung durch die Gammafunläion ausgedrückt iverden können, werden wir in der Folge nur noch die Gammafunktion genauer untersuchen.

497]

498. Zusammenhang zwischen der G-ammafunktion und den Fakultäten. Teilweise Integration gibt

+ o°

-f 00

e-xXp-\ dx =

— e~xxp~

¹ + (p — 1)J 0 0

+^00

e~xxp~²dx.

Für p > 1 ist der erste Ausdruck rechts gleich Null, so daß nach (1) in Nr. 496 hervorgeht:

r(p)-(p-i)r(p-i)

(i)

(für p > 1).

Aus dieser Rekursionsformel folgt, wenn n eine positive ganze Zahl bedeutet, die kleiner als p ist:

(2)

r(p) = (jp — 1) (p — 2) • • • (p — n) r(p — n).

Bedeutet n insbesondere die größte ganze Zahl, die kleiner als p ist, so folgt, daß die Werte der Gammafunktion sämtlich bekannt sind, sobald sie in dem Bereiche 0 < p 1 berechnet worden sind. Insbesondere ist nach der Definition (1) in Nr. 496 der Wert jT(l) = 1. Wenn also p selbst eine ganze Zahl m ist, gibt (2) für n — m — 1 :

r(m) = 1.2 • 3 • • • (m - 1) = (m - 1)!,

was wir übrigens schon in (3), Nr. 492, fanden. Die Gammafunktion r(p) ist also als eine Verallgemeinerung der Fakultät {p — 1)! für nicht ganzzahliges positives p zu bezeichnen.

499. Die Produkte r(p) F(1 — p) und F(i>) r(p + 4-)-

Nehmen wir p in (5), Nr. 497, kleiner als Eins an, so können wir q = 1 —p setzen, weil dann auch 1 —p positiv ist Da ferner F( 1) = 1 ist, kommt nach (2) in Nr. 496:

4-oo

xp~l

14- x

dx,

also nach der Formel (4) in Nr. 479, die, wie dort bewiesen wurde, für 0 <p < 1 stets gilt:

(1)

(für 0 <Cp < !)•

Liegt p zwischen und 1, so ist 1 —p zwischen 0 und j enthalten. Also sind die Werte von r(p) für 0<jo<1 sämtlich bekannt, sobald sie für 0 < p j berechnet worden sind.

[498, 499

Nach (2) in voriger Nummer folgt weiter: Die Werte der Gammafunktion r{p) sind für jedes positive p bekannt, sobald sie in dem Bereiche 0 < p < \ berechnet worden sind. Insbesondere nämlich ist noch nach (1) für p =

+ oo

(2)

rü)-fGdx-v*

r v*

mit positiver Wurzel. Diese Formel ist nicht neu, denn die Substitution x = z* führt sie auf (4) in Nr. 495 zurück.

B(p, q) in Nr. 496 gibt ferner:

von

Die Definition (1)

1

B(P,P) = / 0

p ¹

— xjiY~xäx.

— xiy~¹dx

i

-fn-a

0

Machen wir hier im Intervalle von 0 bis die Substitution x = -|(l —ys) und im Intervalle von ~ bis 1 die Substitution x = -|(l -4-"j/#), wobei y8 positiv sein soll, so folgt:

B(P, P) = ~

o

— ß

2

l

'(1 — zf~¹dz

Vz

+ wrr

'(1 — zf-xdz

22p,

Vz

oder:

B(p,p) =

(1 — zf~xdz

1/z

(3)

Hierfür läßt sich nach (1) in Nr. 496 schreiben: b(p,p)-^z

Daraus geht weiter nach (5) in Nr. 497 und wegen der Formel (2) hervor:

(4)

r(p)r(p + i) = ^rir(2p),

Die in dieser Formel ausgedrückte

wobei y% positiv ist.

Eigenschaft der Gammafunktion ist in einer allgemeineren Formel enthalten, die wir in Nr. 511 finden werden.

§ 2. Der Logarithmus der Gammafunktion.

500. Die Ableitung der G-ammafunktion. Die Gammafunktion r(p) ist eine Funktion der Größe p, die beliebige positive Werte annehmen kann und daher von jetzt an mit x bezeichnet werden soll. Dann muß man aber die in der Definition (1), Nr. 496, auftretende Veränderliche x anders, etwa mit y bezeichnen. Wir schreiben also:

+ oo

(1)

~lcly.

r(x) =j'<rvyx

o

Nach den Sätzen 23 und 25 von Nr. 490, 491 hat die Funktion r(x) eine Ableitung nach x, wenn dasjenige Integral konvergiert, das aus r(x) durch Differentiation nach x unterhalb des Integralzeichens hervorgeht, und zwar ist alsdann eben dieses Integral die Ableitung:

+ «

(2)

(x) =Je~v\f~x ln ydy. o

Daß dies Integral in der Tat konvergiert, ist leicht einzusehen: Der Integrand wird nur für einen endlichen Wert von y unstetig, nämlich für y = 0. Aber da nach Nr. 130

lim {y • e~y %yx~¹ ln y) = lim =

y = 0    y = 0 y x

ist, wird der Integrand für lim y = 0 in niedrigerer Ordnung als 1 : y unendlich groß, so daß nach den Sätzen 11 und 12 von Nr. 471, 473 die Konvergenz für lim^/ = 0 feststeht. Was die Grenze -j- oo betrifft, so bemerken wir, daß

y ■ e~y yx~x ln y =

ln y

y-xlny

ist und y — x ln y für lim y = -f- oo unendlich groß wird. Folglich ist nach Nr. 130:

lim (y • e~yyx~x\ny) = lim y = +°°

J/= +op

| v*.

= lim

_ ^jey~xlny 2/=+cc (y -- x)e?

— xlny

Also verschwindet der Integrand für lim y = + ⁰⁰ in höherer Ordnung als 1 : y, so daß das Integral nach Satz 4, Nr. 466, konvergiert.

Die Gammafunktion r(x) hat demnach die Ableitung (2), woraus nun noch ihre Stetigkeit für positives x folgt, nach Satz 1, Nr. 27.

501. Darstellung von ln r{x) durch ein bestimmtes Integral. Es sei z eine positive Zahl. Wir gehen alsdann von der Betrachtung des Ausdruckes aus:

(i)

1    r(x)

²    (i + O**

Für die im Minuenden auftretende Funktion r(x) setzen wir den Wert (1) aus voriger Nummer ein. Außerdem ist nach (1) in Nr. 497, wenn darin m durch 1 + z, ferner p durch x und schließlich noch z durch y ersetzt wird:

+ 00

i\x)

(1 + 0*

Demnach wird die Differenz (1) gleich

+ 00

+ 00

e— j*e~yyx~¹dy —    e~{l+2)y yx~¹dy,

0    0

so daß folgt:

V) Çr(x)

1 F(x)

² (i + O*

=y'e~ y yx

dy.

Wir wollen diese Formel hinsichtlich z von s bis n integrieren, wobei s eine beliebig kleine positive Zahl und n eine beliebig große positive Zahl bedeute. Nach den Sätzen 22 und 24 von Nr. 490, 491 darf dabei die Integration rechts unterhalb des Integralzeichens ausgeführt werden. Es kommt:

'h/I

e~z — (1z)~ x

dz dy.

Gehen wir hierin zu den Grenzen lim s = 0 und lim n = + 00 über, so wird das rechts in der eckigen Klammer stehende

500, 501]

Integral nach (5) in Nr. 492 gleich ln y, also die rechte Seite nach (2) in voriger Nummer gleich r'(x) so daß sich ergibt:

(3)

r'{x)

Fix)

■foo

■/[«-'-( ! + *)-*]”,

0

dz

q+*r ₁

vorausgesetzt, daß das hier rechts stehende Integral konvergiert. Dies ist in der Tat der Fall: Der Integrand braucht nur für lim z = + oo untersucht zu werden, da er für endliches z, auch für z = 0, stetig ist. Weil

lim Iz ■ [(3—-(1 + ^)_a;]y} = i™    .*

Z = + 00 ^    ' Z = + 00    (1 + #)

wird, verschwindet der Integrand für lim#= + oo in höherer Ordnung als 1 : z, so daß die Konvergenz nach Satz 4, Nr. 466, feststeht.

Wir wollen die Formel (3) hinsichtlich x von 1 bis zu einem bestimmten Werte x integrieren. Dies darf rechts unter dem Integralzeichen geschehen. Da das unbestimmte Integral der linken Seite gleich ln T(x) -f- konst. und da -T(l) = 1, also lnr(l) = 0 ist, folgt:

(4)

+ oo

ln P(x) =J Jjü: — 1) e~z o

(1 + Z)-¹ -(! + *)-

x~

dz

ln (1 + *)

Denn wegen

Dies Ergebnis läßt sich noch uniformen. r(2) = 1 ! = 1 erhalten wir für x — 2:

+ oo

z(l + z)~²

dz

ln (1 + z) J z

Multiplizieren wir diese Gleichung mit x — 1 und subtrahieren wir sie alsdann von (4), so kommt:

+ 00

(5) ln r(x) = f (x

0

(i+«r¹_(i+*r

x~\

dz

_ ln (l + s)

Hieraus aber finden wir vermöge der Substitution z —    — 1

schließlich:

(6)

ln r(x) == / l(x — 1) e~y

e-y_e-*y~ dy

l-e~y

502. Darstellung von ln r(x) durch eine unendliche Reihe. Wir wollen die letzte Formel nach x differenzieren. Dies darf rechts unterhalb des Integralzeichens geschehen, wenn das hervorgehende Integral konvergiert. Es würde sich so ergeben:

4- oo

(i)

d ln I'(x)

-y

e xy

dx

Daß aber dies Integral konvergiert, folgt daraus, daß der Integrand für lim y = 0 in niedrigerer Ordnung als 1 : y unendlich groß wird und für lim y = -j- oo in höherer Ordnung als 1 : y verschwindet.

Nun ist nach (2) in Nr. 497, wenn wir darin p= 1, also r(p) = 1, ferner m = 1 + h bzw. x -j- Je und z = y setzen:

4-0°

Ic-(* + *)yrfy,

4-oo

yk-Je~{l+k)ydy,

'o

vorausgesetzt, daß l-f&>0 bzw. x-\-k>0 ist. Hieraus folgt: 4-oo

-(!+'*>*_ e-(* + *)*] dy.

r+Æ — x+k J o

Setzen wir hierin ft = 0, 1, 2, • • • n — 1 und subtrahieren wir alle n hervorgehenden Gleichungen von der Gleichung (1), indem wir rechts alle Integrale unter ein gemeinsames Zeichen bringen, so finden wir:

d ln r(x)

da;

iT-0

-i_)

x + n — lj

+ oo

-m

-(» + !) y e-(n + x)y

\-e~y

dy.

Bezeichnet y den mit — 1 multiplizierten Wert der Ableitung von ln r(x) für x = 1, d. h. wird nach (1) unter y die Konstante

(2)

4-oo

-y

T") dy

verstanden, so gibt die Addition dieser Gleichung zur letzten Gleichung:

¹ \

x -f- n — 1 /

d ln r(x)

+ 00

-ß

0

-(w + l)2/_ e~(n + x)y

l — e~v

dy.

Hieraus folgt die Reihenentwicklung: rflnP(x)

(3)

mit dem Beste

dx = - y + (i - -*) + ({ -    + • • •

x -\-n —l)    ^n

+ 00

(4)

-f-

-(n+l)y_ e~(n + x)y

l-e~y

dy.

Da x eine positive Zahl bedeutet, können wir annehmen, daß x zwischen 0 und m liege, wo m eine ganze positive Zahl sei. Weil der Zähler des Integranden von Bn beständig wächst, wenn x wächst, und weil der Nenner des Integranden positiv ist, ergeben sich für x = 0 und x = m Grenzwerte, zwischen denen Bn liegen muß, so daß

+ oo

+ 00

~{n + \)y _ -ny    /*

7Ś—*»<*-<}-

-(n + l)y_ e-(n + m)y

l-e~y

dy

ist. Das erste Integral in (5) hat den Wert:

+ 00

_ e~n»dy = —

Das zweite läßt sich, da m eine ganze positive Zahl bedeutet, so schreiben:

+ oo

• • + e-(n + m-Vy~\dy

k + --- +

= —i--1- _

n +• 1    n + 2

Daher ergibt sich:

1    m — 1

n-\-m — 1 n

_i 7? <"    ^ i

n ^    * ' n -fl T«t ²

Bedeutet nun 6 eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl, so können wir n > (m — 1) : a wählen. Alsdann ist der absolute Betrag von Bn kleiner als 6.

Folglich können wir in jedem endlichen positiven Intervalle 0 < x < m dadurch, daß wir n hinreichend groß wählen, erreichen, daß der absolute Betrag von Bn für alle Werte von x kleiner als eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl 6 wird. Dies bedeutet nach Nr. 425: Für lim n = -f oo geht aus (3) eine unendliche Reihe

— r + (i-è) + (4

(6)

dln r(x)

dx

x 1,

x-\-n — 1/ '

hervor, die innerhalb eines jeden für x vorgeschriebenen endlichen positiven Intervalles gleichmäßig konvergiert.

Die hierin auftretende Konstante y ist nach Definition der Wert, den die Ableitung von ln jV(x) für x = 1 hat, multipliziert mit — 1. Sie heißt die Eidersche Konstante. Über ihre Berechnung sprechen wir in der nächsten Nummer.

Bedeutet x irgend eine positive Zahl, so ist die Reihe (6) insbesondere in dem Intervalle von 1 bis x gleichmäßig konvergent. Wir können daher den Satz 26, Nr. 426, an wenden und die Reihe von 1 bis x gliedweise integrieren. Da ln F(x) für x = 1 gleich Null ist, ergibt sich:

(7)    —?(«-!)+ (ï=!

— ln

+f“¹

V n

x -f n —

und diese Reihe konvergiert gleichmäßig innerhalb eines jeden für x vorgeschriebenen positiven endlichen Intervalles.

Die Konstante y läßt sich aus (7) leicht entfernen. Denn für x = 2 ist r(x) — 1, also ln r(x) = 0, so daß aus (7) folgt:

w + l\ . .

(8) 0 -—— y-f-—ln x j-f ^ ₂ —ln ) -f-----b (

5021

CO '

-ln

Nun können wir die Reihe (8), nachdem sie mit x — 1 multipliziert worden ist, Glied für Glied von der Reihe (7) abziehen, nach Satz 6, Nr. 103. Alsdann kommt: (9) lnF(#) = l)ln —

+ [(^-l)ln,^±¹

und diese Reihe konvergiert ebenfalls gleichmäßig in jedem für x vorgeschriebenen positiven endlichen Intervalle.

Demnach hat der Rest der Reihe, der sich ergibt, wenn ihre m ersten Summanden gestrichen werden, für lim m = -f- oo den Grenzwert Null. Wir können ihm also die Form ln(l + sm) geben, wenn sm eine gewisse Zahl bedeutet, deren Grenzwert für lim m — -f oo gleich Null wird. Folglich kommt, wenn wir den Numerus von ln r(x), also r(x) selbst bilden:

r'o+odf-^¹

oder:

r{*) =

x(x 1) • • • (x -f- m — 1)

(i + èf'd + U

Der vorletzte Faktor hat für lim m = + oo den Grenzwert Eins. Daher können wir das Produkt der beiden letzten Faktoren mit 1 -f- rjm bezeichnen, wenn rjm eine gewisse Zahl mit dem Grenzwerte Null für lim m = -{- oo bedeutet. Somit kommt:

(10)

r0*0 =

m\ m

-i

mithin beim Grenzübergange lim m = -j- oo:

(H)

r(x) = lim

m\ m

x(x -\- 1) • • • (x -f- m — 1)

Schließlich merken wir noch an, daß ans (8) für die Eulersche Konstante y augenscheinlich der Grenzwert hervorgeht:

(12)

tz> M-

ln ni'j.

x mj '    ’

+ (— -\m

503. Berechnung von ln F(1 + oc). Nach der Formel (6) der letzten Nummer ist d ln r(i -f- x)

(i)

dx

Y + (i

ST>) + (

i-i |<M

x -f 2,

und diese Reihe konvergiert innerhalb eines jeden solchen endlichen Intervalles, in dem 1 + x positiv ist, gleichmäßig. Nach Satz 27, Nr. 427, dürfen wir daher diese Reihe Glied für Glied nach x differenzieren, wenn die hervorgehende Reihe ebenfalls gleichmäßig konvergiert. Bei (n — 1) maliger Differentiation geht aber hervor:

(²)^!

1 dn ln IX1 + x) (-l)T    ¹

dxn

... _|--1-

(x-\-m)

und zwar für n = 2, 3, 4, . . ., während für n = 1 die Formel

(1) gilt. Es muß also noch gezeigt werden, daß die in (2) in der eckigen Klammer stehende Reihe gleichmäßig konvergiert. Sehen wir von ihren m ersten Gliedern ab, so ist der Rest gleich

(.x -f    + l)w ' (x -J- m -f- 2)n

also positiv und kleiner als der für n = 2 hervorgehende Rest. Daher genügt es, den Rest zu betrachten, der sich für n = 2 ergibt:

(x -f- m -j- 2)a

(x -J- m -j- l)2 Weil x + 1 > 0 ist, wird

(w -f-1)

Da aber die Reihe der reziproken Werte der Quadrate von 1, 2, 3, . . . nach dem Beispiele in Nr. 105 konvergiert, so läßt sich dadurch, daß m hinreichend groß gewählt wird, erreichen, daß ihr Rest kleiner als eine vorgegebene positive Zahl 6 wird. Dann ist auch 9t < tf, und hieraus folgt die gleichmäßige Konvergenz der Reihe (2) für jedes endliche Intervall, in dem 1 4- x > 0 ist.

Die unendliche Reihe

(3)

S = —j—^^

n in ^ 2n 3n    mn

Ihr Restglied in der Lagrangeschen Form hat nach Satz 24, Nr. 116, und nach (2) den Wert:

(- l)nxn r

_(6x+ l)n (0æ-f2)n

worin 6 ein positiver echter Bruch ist. Da die Reihe in der eckigen Klammer für Ox -f- 1 > 0, mithin für x > — 1 nach

(2) gleichmäßig konvergiert und xn für lim n — -f- co den Grenzwert Null im Falle | æ j < 1 hat, ist die Beihe (4) für |æ|<1 unbedingt und gleichmäßig konvergent, vgl. Satz 11, Nr. 363, und Nr. 428.

Um die Reihe (4) für die Berechnung von ln F(1 -f x) zu benutzen, bedarf man der Werte der Summen Sn. Der Rest von Sn, der nach Streichen der m — 1 ersten Glieder hervorgeht, ist kleiner als

¹

Dies Kapitel steht für sich und kann daher ohne Beeinträchtigung des Späteren überschlagen werden.

496]

1 ,

— + w* m

—---\- m ■

(2 mf

¹ l . . . ₌

(3 mf

und deshalb auch kleiner als die Summe der m — 1 ersten Glieder, dividiert mit mn~¹— 1. Aus folgt überdies:

$»+i — i < ł(s* —1)>

so daß erstens die Überschüsse von Si, S₃, SA, S₅, . . . über die

S erre t-Scheffe r s, Diff.-u. Integral-Rechnung. II. 4.U.5. Aufl. 14

ist für n > 1 nach dem angeführten Beispiele konvergent, und es ergibt sich aus (2):

1 f dn ln r(l -f- x)

Sn

dxn

(für n = 2, 3, 4,.. .),

während nach (1):

d ln r(l -j- x)

dx

ist und ln F(1 + x) für x = 0 verschwindet, wir nach Nr. 116 die Mac-Laurinsche Reihe:

Mithin finden

xi

xs

æ⁴

(4) ln F(1 -j- x) — — yx    y S₂ —r $3 +    $4-----

[503

Einheit schneller abnehmen als die Glieder der geometrischen Progression :

(łm-i),

K)

S₂- 1,    (

— 1 aus Sn — 1 bei hinreichend großem n

und zweitens Sn+1

einfach durch Division mit 2 gewonnen werden kann, wenn man eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen berücksichtigt. Die Werte der Sn bis n = 16 wurden zuerst von Euler berechnet; seine Ergebnisse wurden von Legendre berichtigt und bis n = 35 weitergeführt. Beide bestimmten die Summen auf sechzehn Dezimalstellen. Wir geben hier eine Tafel der Werte bis n = 22, abgerundet auf acht Dezimalstellen.

1,64493407

1,20205690

1,08232323

1,03692776

1,01734306

1,00834928

1,00407736

05 O rH cm co io

T—I T—1

1,00200839

1,00099458

1,00049419

1,00024609

1,00012271

1,00006125

1,00003059

CO D* GO

▼—H r-H rH

1,00001528

1,00000764

1,00000382

19 1.00000191

20    1,00000095

21    1,00000048

22    1,00000024

Für n > 22 ergeben sich die Werte von Sn—1 aus S₂₂—1 durch wiederholte Division mit 2 auf acht Dezimalstellen genau.

Da die Summen Sn mit wachsendem Index n immer weniger von Eins abweichen, kann man aus (4) eine schneller konvergierende Reihe ableiten, indem man die nach Nr. 120 ebenfalls für [ x j < 1 gleichmäßig konvergente Reihe

1/I1    \ OG X² X³ X*

i“(i + *)-T--r + T

Glied für Glied zur Reihe (4) addiert. So ergibt sich:

x³

(5) lnr(l+jr) = ~ln(l+.r) + a;(l-y) + Y(^-l)-y(^-l)+^(^-l)--

Man kann aber eine noch schneller konvergierende Reihe finden. Denn zunächst folgt, wenn x durch — x ersetzt wird, für | x | < 1 :

x²

x³

(6) ln r(l—x) ——ln (1—x)—x (1 —y) 4- y (#₂—1) +- y(^₃~ 1) + Y    + " ‘

5031

Weil jT(l-f^) gleich xT(x) und r(x)T(l — x) gleich jctsinnx nach (1) in Nr. 498 und Nr. 499 ist, haben wir:

nx

sin nx

ln r( 1 -|- x) -f- ln r( 1 — x) = ln

Wenn wir nun diese Gleichung zur Gleichung (5) addieren, alsdann die Gleichung (6) subtrahieren und schließlich mit 2 dividieren, finden wir die für | # | < 1 gleichmäßig konvergente Reihe:

(7) lnr(l+aO=|ln^

nx

nx

xs

Setzt man hierin x = \, so folgt, weil r(-1) gleich jT'(j), d. h. nach (2) in Nr. 499 gleich \Y n ist:

(8)    1 — y = ln -§ + td-)³(S₃ — 1) + f (!)⁵($5 — !) + ••••

Berücksichtigt man noch das Glied mit S9} so ergibt sich der Wert der Eulerschen Konstanten bis auf 16 Dezimalstellen genau, nämlich

y == 0,5772156649 015329.

Eine schnellere Bestimmung von y ohne die vorhergehende Berechnung der Summen Sn werden wir in Nr. 527 finden.

Um r(p) für ein beliebiges positives p zu berechnen, genügt es nach (2) in Nr. 498 und (1) in Nr. 499, die Werte von ln U(1 + x) in dem Intervalle 0 < x < zu kennen. Für solche Werte von x ist die Reihe (7) sehr bequem. Weil darin

usw.

ist, läßt sich ihr Rest leicht abschätzen.

504. Berechnung der Ableitung von ln r{x). Anstelle der unbequemen Entwicklung (1) von Nr. 503 bedienen wir uns zur Berechnung der Ableitung von ln r(x) derjenigen unendlichen Reihen, die sich aus den für ln.r(l -f- x) gefundenen Reihen durch Differentiation ergeben. Nach Satz 27, Nr. 427, ist ja die gliedweise Differentiation erlaubt, sobald die hervorgehenden Reihen gleichmäßig konvergieren. Z. B. die Reihe (5) in Nr. 503 liefert

(1)

ïU+!- y+*(Ą-1) - As, -1)+A(S₄-1) - •

[503, 504

d ln r(i -f x)

dx

und daß diese Reihe ebenso wie diejenige, aus der sie hervor-gegangen ist, für | x | < 1 gleichmäßig konvergiert, folgt aus Satz 19, Nr. 370. Ygl. auch die Bemerkung zu Anfang von Nr. 428. Ebenso ergibt sich aus (7) in voriger Nummer für | x | < 1 :

(2)

+*hîê3

= l-y-x\Ss- 1) - x\Sb - 1)----.

■XX

sin x x

Für rationale Werte von x können wir ein anderes Verfahren ableiten. Durch Addition der Gleichungen (1) und (2) in Nr. 502 geht

d ln T(x)

+ 00

ł~

0

— e~xy

~e~y

dy

hervor und hieraus durch die Substitution y = — ln#:

(3)

<2 ln r(x)

dx

dz.

Daß die Substitution erlaubt ist, obwohl ln z an den Grenzen unstetig wird, folgt daraus, daß dasjenige Integral, das zwischen zwei Grenzen innerhalb des Intervalles von 0 bis 1 erstreckt ist, konvergent bleibt, wenn die Grenzen in 0 und 1 übergehen. Denn der Integrand in (3) bleibt, falls x > 1 ist, an der unteren Grenze stetig und wird, falls x < 1 ist, ebenda in niedrigerer Ordnung als 1 : z unendlich groß. An der oberen Grenze ist der Integrand für jedes positive x stetig. Die Formel (3) gilt demnach für jedes positive x.

Sind nun m und n ganze positive Zahlen und ist x die rationale Zahl m : n, so folgt aus (3) durch die Substitution z — yn die Formel:

(4)

d ln r(x) dx

Hier ist der Integrand rational, so daß das Integral nach § 1 des 2. Kap. ausgewertet werden kann. Z. B. für x = \ hat die Ableitung von ln F{x) den Wert —7 — ln 4.

504]

Ist x insbesondere eine ganze positive Zahl m, so gibt (3):

d ln r(m) dm

505. Verlauf der Funktion F{x) für positives x.

Nach den in Nr. 503 und Nr. 504 gegebenen Methoden kann man die folgende Tafel von Werten in dem Bereiche von x= 1 bis x = 2 berechnen. Nach (1) in Nr. 498, 499 lassen sich daraus leicht die Werte für andere positive Bereiche von x ableiten.

(5)

+ y,sal+i + i-l----+ miTï ‘

x i log X{x)

r{x) !    1 (x) : l'(x)

llogl» I» r'(*):/»

0,8862    0,0365

0,8889    0,0822

0,8935    0,1260

0,9001    0,1681

0,9086    0,2085

0,9191    0,2475

0,9314    0,2850

0,9456    0,3212

0,9618    0,3562

0,9799    0,3900

1,0000    0,4228

1,00 ' 00000    1,0000    —    0,5772

1,05    98834    0,9735    —    0,4978

1,10    97834    0,9514    —    0,4237

1,15    96990    0,9330    —    0,3543

1,20    96292    0,9182    —    0,2890

1,25    95732    0,9064    —    0,2274

1,30    95302    0,8975    —    0,1692

1,35    94995    0,8911    —    0,1139

1,40    94805    0,8873    —    0,0614

1,45    94727    0,8857    —    0,0113

1,50 ; 94754    0,8862

Die Spalte für log r(x) enthält die ..auf fünf Stellen abgerundete Mantisse des gewöhnlichen Logarithmus von r(x). Hier ist überall — 1 die Kennziffer, abgesehen von den Werten für x — 1 und x = 2, wo die Kennziffer 0 ist.

Nach Nr. 496 ist JV(x) für x > 0 stets positiv. Aus (2) in Nr. 503 folgt für n = 2, daß die zweite Ableitung von ln r(x) für x > 0 auch stets positiv ist. Die erste Ableitung von ln r(x) wächst also mit x. Nach (6) in Nr. 502 und nach Nr. 103 hat sie für lim x — -f- oo den Grenzwert -|- oo; sie wird dagegen gleich — oo für lim x = 0. Also wird F'(pc) : r(x) für einen und nur einen positiven Wert von x gleich Null. Demnach erreicht F(x) nur für diesen einen Wert ein Extrem und zwar ein Minimum. Da jT(1) — F(2) = 1 ist, liegt das Minimum zwischen x = 1 und x = 2. Man erkennt ferner aus der Tafel, nämlich aus der Spalte für log r(x) und

0,0365

O 0 0*00    o    o    o    o    o    o

10^0_001>-    t-    CO    CO    o    o    o

94754

94884

95110

95430

95839

96335

96913

97571

98307

99117

00000

der für F '(x) : F(x), daß der fragliche Wert von x zwischen 1,45 und 1,50 liegt. Wir können durch Interpolation in der letzten Spalte den besseren Näherungswert 1,46 gewinnen.

Aus der Formel (1) in Nr. 504 folgt, daß der Überschuß dieses Wertes von x über Eins diejenige Zahl -z ist, für die

= 1 - y + 48, - 1) - 2²(ą - 1) + 2s(S₄ - 1)----

1 -|— z

wird. Da z zwischen 0 und 1 liegt, folgt nach Satz 1, Nr. 101:

1—z+z²—z*-\— = 1 — y+z(S₂ — 1)—z²(S₃—1)-Ms(#d—1)----

oder nach Satz 6, Nr. 103:

zS₃ — z²Ss + zdS± — • • • = y.

Durch sukzessive Näherungsberechnungen gewinnt man hieraus

für x = 1 + z den genaueren Wert:

a = 1 + z = 1,4616321 und aus der Gleichung (5) von Nr. 503 : ln F(x) = ln r( 1 + z)= 1,947 239 2, JT( 1 -{• z) = 0,885 603 2.

Fig. 18.

Da r(x) = D(1+x) : x für lim x = 0 den Grenzwert -f- oo und ebenfalls für lim x = + oo nach (2) in Nr. 498 den Grenzwert + oo hat, nimmt die Bildkurve von y = r(x) für positives x den in Fig. 18 angegebenen Verlauf: Sie hat die positive y-Achse zur Asymptote, fällt mit wachsendem x bis zu dem zu x = 1,4616 ... gehörigen Minimum 0,8856 . . . und steigt weiterhin immer steiler an, da F(x) für ganzzahliges positives x die Fakultät (x — 1)! ist.

§ 3. Die Gammafunktion im komplexen Bereiche.

506. Neuer Ausgangspunkt der Theorie. Daß die

Gammafunktion F(x) als eine Verallgemeinerung des Begriffs der Fakultät (x— 1)! aufzufassen ist, wurde schon in Nr. 498 erkannt. Da die Fakultät nur für ganze positive Werte der

505, 500]

Veränderlichen definiert ist, kann man sich die Aufgabe stellen, eine solche Funktion von x zu ermitteln, die, falls x insbesondere positiv und ganzzahlig ist, gerade (x — 1) ! vorstellt. Das ist natürlich keine bestimmt umschriebene Aufgabe. Tritt man an sie aber in der Weise heran, daß man ein gewisses naheliegendes Verfahren einschlägt, so gelangt man, wie jetzt gezeigt werden soll, in der Tat zur Gammafunktion.

Es seien x und m ganze positive Zahlen. Wenn m unbegrenzt wächst, x aber ungeändert bleibt, strebt der Bruch

(m ff-1) (m -f 2) • • • (m -)- x — 1)

mx~¹

der nicht kleiner als Eins ist, gerade nach Eins. Denn es ist

“+i ₌ l₊i<eS

m    m ⁷

i

X — 1

m + x -1 ^ cir m

nach. (1) in Nr. 117, daher das Produkt der x — 1 Brüche, d. h. der yorgelegte Bruch, kleiner als

X (x — 1)

em

e ^m .

Diese Potenz aber hat für lim m — + oo den Grenzwert Eins. Wir können also für ganze positive Werte von x und m

(m -f-1) p» -+• 2) • • • (m -\- x — 1)

mx

- i —

setzen, wenn wir unter rjm eine gewisse Größe verstehen, die für limm = + oo den Grenzwert Null hat. Hieraus folgt:

(m + x — 1)! =    -f rjm)m\

oder, wenn wir mit x(cc -j- 1) • • ■ (x + m — 1) dividieren:

(* — !)! =

(1 + Vm)-

m ! mx ~ ¹

x (x -f- 1) • • • (x -j- W» — 1)

In Nr. 502 wurde unter (10) dieselbe Formel für r(x) statt (x—1)! aufgestellt. Man sieht also, daß die Formel (11) von Nr. 502, nämlich

in 1 mx 1

(1)

r(x) = lim

in der Tat eine naheliegende Verallgemeinerung des Fakultätsbegriffes vorstellt.

[50(5

Man kann nun, wie es zuerst Gauß getan hat, die Gammafunktion r(x) durch die Formel (1) definieren und dadurch zu den früheren Ergebnissen, wie noch gezeigt werden soll, zurückgelangen. Diese Definition von r(x) gibt uns die Möglichkeit, die Gammafunktion auch für komplexe Werte von x zu definieren, indem wir nämlich in (1) zwar unter m eine ganze positive, nach -f oo strebende Zahl verstehen, dagegen zulassen, daß x einen beliebigen komplexen Wert habe. Die Werte # = 0, — 1, — 2, — 3, ••• sind jedoch auszuschließen, wegen des in (1) auftretenden Nenners.

Hierbei sind aber noch zwei Bemerkungen zu machen: Die Funktion

mx ~¹

wird, falls x komplex ist, zunächst viel wertig. Wegen m = &um wollen wir sie nach (1) in Nr. 373 durch die Formel:

(<as — 1) ln m

mx~i = gl*-¹)¹“»« = 1 +

[(as— l)lnw]²

1!

2!

einwertig definieren, indem wir unter ln m den reellen Logarithmus der positiven Zahl m verstehen. Diese unendliche Reihe konvergiert ja nach Nr. 373 unbedingt. Insbesondere reduziert sich die so definierte einwertige Funktion mx~¹ für reelles x auf den einzigen positiven Wert der Potenz (vgl. Nr. 5 und Nr. 117).

an

Ferner ist zu bemerken, daß die Definition der Gammafunktion durch die Formel (1) nur dann angewandt werden darf, wenn feststeht, daß der Grenzwert (1) auch wirklich bestimmt und endlich ist. Diese Feststellung läßt sich jedoch auf eine andere zurückführen. Nehmen wir nämlich vorläufig der Grenzwert (1) sei in der Tat bestimmt und endlich, so folgt daraus:

ro) =

(1 + Vm)>

m ! mx 1

x(x -j- 1) • • • (as -f- m — 1) wobei 7]m eine gewisse Größe bedeutet, die für lim m = -f oo nach Null strebt. Da für jedes komplexe x auch ist, können wir hierfür schreiben:

506]

r(x) =

m ! mx 1

x(x +!)•••(# + in — 1)

(¹ + w) ⁽¹ +£»)’

wo £m eine gewisse für lim m = + oo verschwindende Größe ist, oder:

r« =

x {x + 1) • • • (x + m — 1)

(1 + em)

2\x~x

« »-¹

₃\X-l

2 /m+l\x~x x 4~ 1    \ m j

₁’(¹ + £m)-

x 4- m —

Nehmen wir beiderseits den Logarithmus, der ja in Nr. 376 auch für komplexe Numeri definiert wurde, und zwar den Hauptwert dieses Logarithmus, den wir jetzt mit ln (statt mit Ln, wie in Nr. 376) bezeichnen wollen, so kommt:

(2)

ln r(x) =    — 1) ln ln -^-1 + • • •

*+4^] + ln(l + 0.

+ [0-l)ln“±±

-ln

Wenn nun wirklich lim sm = 0 ist, wird lim ln (1 4- «TO) auch gleich Null, so daß genau die in Nr. 502 unter (9) angegebene unendliche Reihe hervorgeht.

Um nun zu zeigen, daß der Grenzwert (1) für jedes komplexe x außer x = 0, — 1, — 2, • • • bestimmt und endlich ist, genügt es also nach dem Auseinandergesetzten, zu beweisen, daß die unendliche Reihe

+ 00

(3)

ln r(x) =    \^(x — 1) ln

i

— — ln

x 4* m —

-¹]

konvergiert; und dies soll in der nächsten Nummer geschehen.

507. Konvergenz der Reihe für ln F(x). Zum Beweise bedürfen wir der Entwicklung von ln (1 + x) für den Fall, daß x komplex ist. Daß die Reihe (1) von Nr. 120, nämlich

(1)

i /i i \    x    i x*

ln(l + *)-T-Y + T-.-

auch für komplexes x gilt, sobald | x | < 1 ist und es sich um den Hauptwert des Logarithmus (vgl. Nr. 376) handelt, sieht man so ein: Nach Nr. 376 ist

d ln (l 4~ x)

dx

1 + a?

Kap. IV. Theorie der Eulerscheu Integrale, für 2=4=— 1. Andererseits wissen wir nach Nr. 120, daß die Reihe

218

(2)

X    x² . xs

1    T ⁺ ~3 ~ ' für reelles x nur im Intervalle — 1 < x Y + 1 konvergiert, so daß also ihr Konvergenzkreis nach Satz 11, Nr. 363, der Kreis mit dem Radins Eins um den Nullpunkt der Zahlenebene ist. Diese Potenzreihe hat demnach für | x \ < 1 nach Satz 19, Nr. 370, die Ableitung, die durch gliedweise Differentiation

gewonnen wird, nämlich 1 — x + x² — x³ H-----, die nach Nr. 374

den Wert 1 : (1 -f- x) hat. Für jedes komplexe x, dessen absoluter Betrag kleiner als Eins ist, haben also ln (1 + x) und die Reihe (2) dieselbe Ableitung. Folglich ist ihre Differenz konstant. Da beide für x = 0 verschwinden, ist ihre Differenz

gleich Null. Also gilt für den Hauptwert des natürlichen Logarithmus von 1 -j- x für [ x | < 1 die Entwicklung (1). Hiervon werden wir bald Gebrauch machen.

Fig. 19.

Um nun zu beweisen, daß die Reihe (3) der letzten Nummer innerhalb eines gewissen Bereiches der komplexen Zahlenebene gleichmäßig konvergiert, müssen wir diesen Bereich genauer festlegen: Vor allem sind die Stellen x = 0, — 1, — 2, • • • auszuschließen (vgl. Nr. 506), da für sie das 1., 2., 3., . . . Glied der Reihe unstetig wird, denn es ist

Um

(3)

das mte Glied der Reihe. Wir legen deshalb um die Stellen 0, — 1, -- 2, • • • beliebig kleine Kreise, siehe Fig. 19, und setzen voraus, daß die Stelle x nicht im Innern eines dieser Kreise liege. Außerdem ziehen wir um den Einheitspxmkt einen Kreis von beliebig großem Radius r und setzen voraus, daß die Stelle x im Innern dieses Kreises gelegen sei. Wir weisen 507]

also der Veränderlichen x den in Fig. 19 schraffierten Variabilitätsbereich za. Alsdann sind alle Glieder uv u₂, u₃, . . . der zu untersuchenden Reihe stetig.

Wählen wir den Index m > r -j- 1, so ist auch 1 : m < 1

und also:

1 ₊ 1______

2m²~ 3 m’

Weil die Stelle x innerhalb des Kreises um den Einheitspunkt gewählt wurde, ist x — 1 j < r, daher auch \x — 1 | < m und mithin nach (1):

(®—l )*

(x — l)s

2 m-

3 ms

folglich nach (3):

(x — 1) (x — 2)

2m~

(x 1) [3wS 4łn4 V

(,X — l)³ (x — l)⁴ (x — l)6 '    5 m⁶

3 m⁸

im⁴

Der Inhalt der ersten eckigen Klammer ist positiv und kleiner als das erste Glied 1:3m⁸. Wegen x— 1 <r ist der absolute Betrag des Inhaltes der zweiten eckigen Klammer kleiner als

r³

ri

^.5

3m³

5 m⁶

3 m³

Die Reihe rechts hat aber nach Satz 1, Nr. 101, den Wert

3 m⁴

der kleiner ist als derjenige Wert, der hieraus hervorgeht, wenn r : m im Nenner durch r:(r-\-1) ersetzt wird, weil ja w>r-j- 1 sein soll. Der absolute Betrag des Inhaltes der zweiten eckigen Klammer ist folglich kleiner als

r³(r -f" 1)

3ros

Außerdem ist x — 2 | < r -f 1. Also kommt:

Um I <

r(r -j- 1) , r -}- r³ (r -j-1) 3 ms

Wir setzen nun

₌ r(r-+ 1) r -f r³ (r -f 1) m    2 m²    '

3 m⁸

m + 1

so daß vm > um ' ist, sobald m > r -f- 1 gewählt wird. Die Reihe vx + v₂ + v₃ -f- • • • konvergiert nach dem Beispiele in Nr. 105. Dies bedeutet: Ist t eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl, so gibt es einen Index n derart, daß für jeden

Index mj>n der Rest vm-\- vm+x -j----kleiner als t wird. Wählen

wir überdies m > r + 1, so ist also wegen | um | < vm auch:

-)-•••< r, d. h. | um + um+x + • • • | < r.

Dies aber bedeutet, daß die vorgelegte Reihe ux + u₂ + u₃ -j----

konvergiert und zwar, da die für den Index m gefundenen Bedingungen unabhängig von der Wahl der Stelle x in dem in Fig. 19 bezeichneten Bereiche sind, daß diese Reihe dort gleichmäßig konvergiert.

Da wir den Radius r beliebig groß wählen können, ergibt sich also mit Rücksicht auf die Auseinandersetzungen der letzten Nummer der

Satz 1: Für jedes von 0,-1, — 2, — 3, ••• verschiedene reelle oder imaginäre x ist der Grenzwert

-l

r (x) = lim —

m ! rnx

tu — + »

x (x -(- 1) • • • (x -J- m — 1) ’

worin m eine ganze positive Zahl bedeutet, bestimmt und endlich. Außerdem ist in jedem solchen endlichen Bereiche der Zahlenebene, der frei von den Stellen 0,-1, — 2, — 3, • • • ist, der Hauptwert des Logarithmus dieses Grenzwertes durch die gleichmäßig konvergente Beihe darstellbar:

+ oo

ln TO) [(*-!)    (! + s) - ln (! + ++ '

1

508. Die Reihen für die Ableitungen von lu/⁷^*).

Da wir wünschen, im Anschlüsse an die Betrachtung der Gammafunktion im reellen Bereiche sogleich auch das Wichtigste aus der Theorie dieser Funktion im komplexen Bereiche zu bringen, um nicht diese so eng zusammengehörigen Betrachtungen zu zerreißen, ist es jetzt unerläßlich, vorläufig ohne Beweis von dem Satze Gebrauch zu machen, daß die gliedweise Differentiation einer gleichmäßig konvergenten Beihe im komplexen Bereiche gestattet ist. Der Beweis hierfür wird erst viel später, nämlich in § 4 des 8. Kap., zu geben sein.

§ 3. Die Gammafunktion im komplexen Bereiche. Hiernach folgt aus der Reihe des letzten Satzes, daß

(1)

dln T{x)

dx

+ 00

ist. Wir können aber auch direkt zeigen, daß diese Reihe gleichmäßig konvergiert. Dies tun wir unter denselben Voraussetzungen und nach derselben Methode wie in der letzten Nummer. Indem wir nämlich wieder m > r + 1 wählen, finden wir als Wert des mten Gliedes der Reihe (1) die Entwicklung

2 x — 2 m*

s + ru_____¹ +...i

' |_3 m³ 4 m⁴ ' J

woraus folgt:

2r +1

2 m²

1 -f 3r²(r + 1)

3m"

so daß die Beendigung des Beweises genau so wie in voriger Nummer vor sich geht.

Wenn wir wie in (8), Nr. 502:

+ 00

setzen, folgt aus (1) und hieraus:

(2)

dln r(x)

dx

+ 00

= — 7 -f-

1

¹⁻¹ I s

rH

d. h. die Formel (6) von Nr. 502, die aber damals nur für positives x bewiesen wurde, während wir jetzt wissen, daß sie ebenso wie die Formel (1) für jedes komplexe x gilt, abgesehen von 0, — 1, — 2, — 3, • • •.

Wiederholte Differentiation von (1) oder (2) gibt:

+ oo

(3)

n! dxn

und diese Differentiation ist nach einer oben gemachten Bemerkung gestattet. Wir wollen auch hier die gleichmäßige

[508

Konvergenz direkt beweisen. Indem wir wieder die Annahmen der letzten Nummer für den Variabilitätsbereich von x machen und m > r + 1 wählen, finden wir, daß das mte Glied der in (3) rechts auftretenden Summe, nämlich

₁₊*

(m -f x — 1)H

in dieser Form entwickelt werden kann:

so daß

₌ in    x-i (g-i)

mn L m ' m²

. ¹ T₁ , r , r² i» 1

<    + m +    +'“J ⁼ mn

Um

1    ~\n (r + l)w

mn

ist, woraus nun die gleichmäßige Konvergenz wie früher folgt.

Wenn wir in (3) die Veränderliche x durch 1 -f- x ersetzen, kommen wir zur Formel (2) von Nr. 503 zurück, die damals nur für positive Werte von 1 + x bewiesen wurde, während jetzt feststeht, daß die Formel (3) für jedes komplexe x, abgesehen von 0, — 1, — 2, — 3, • • - , gilt.

Satz 2: Für jedes reelle oder imaginäre x, abgesehen von 0, —1, —2, —3, sind die Ableitungen des Logarithmus der GammafunTdion darstellbar durch die unendlichen Reihen:

d ln r(x)

+ oo

dn ln r(x)

dxn

1

-fco

(—1 )n(n — 1)!

0» + * —i)

dx

m -f- x —

für n — 2, 3, • • • •

Diese Reihen konvergieren gleichmäßig in jedem solchen endlichen Bereiche, der frei von den Stellen 0, — 1, — 2, — 3, . . . ist.

509. Erste Eigenschaft der G-ammafunktion. Aus

der in Nr. 496 gegebenen ursprünglichen Definition der Gammafunktion im reellen Bereiche leiteten wir in § 1 einige Eigenschaften dieser Funktion ab. Wir wollen nun zeigen, daß diese Eigenschaften auch im Bereiche der imaginären Zahlen gelten.

Zunächst folgt aus Satz 1 in Nr. 507 :

508, 509]

m ! mx 1 (1 4- n )

__    '__ m

x(x -f- Ï) • • • (x -j- m — 1)

wobei und sm gewisse Größen bedeuten, deren Grenzwerte für lim m = + oo gleich Null sind. Hieraus ergibt sich

¹ d~ £m ' ¹ + %/

so daß für lim m = -f- oo der Satz hervorgeht:

Satz 3: Für jedes reelle oder imaginäre x, abgesehen von 0, — 1,-2, —3, • • - , hat die Gammafunktion die Eigenschaft:

r(x + 1) = xT(x).

Diese erste Eigenschaft der Gammafunktion wurde in Nr. 498 nur für positives x bewiesen.

510. Zweite Eigenschaft der G-ammafunktion. Nach dem Satze 1 von Nr. 507 kann man setzen:

r{x)~

, r(x +1)

m\ mx( 1 + sj

{x -)-1) {pc -f- 2) • • • {x -f- m)

r(* + i) - *r(*) •

m\ m-*(l+ ftj (1 — x)(2 — x) ■■■ (m — x)¹

wobei wieder lim ?jm = lim d,m = 0 für lim m = -|- oo ist. Hieraus schließen wir:

r(*)-

x(x 1) • • • (x -f- m — 1)

, r(i—*)

X*

F(x)r( i — x)

(* + dn) Ç¹ +    i¹ + &m)

woraus für lim m = + oo folgt:

(1)

Den rechts stehenden Grenzwert kann man aber durch eine andere Betrachtung finden: Nach der in Nr. 358 aufgestellten Moivreschen Formel (1) ist für ganzes positives n:

(cos co + i sin oj)2>1 = cos 2 nco -f- i sin 2n co.

Rechnet man die Potenz nach dem binomischen Satze aus und ersetzt man darin cos² co stets durch 1—sin²co, so übersieht man, indem man die mit i behafteten Glieder ins Auge faßt, daß

(2)

sin 2 nco

sin co cos co

oder

2sin 2nco sin 2 co

ten

Grades von sin²« ist.

eine ganze rationale Funktion (n — 1)

Sie hat also n — 1 Nullstellen. Diese Stellen gehören zu denjenigen Winkeln ca, für die sin 2nco = 0, aber sin 2ca 4= 0 ist, d. h. nach Nr. 373 zu den Winkeln ca = kn \2n, wobei k eine ganze Zahl, aber kot : 2n kein ganzes Vielfaches von |-n ist. Die Zahl k ist demnach von Null verschieden und nicht durch

n teilbar. Für alle hiernach gestatteten Werte von k nimmt sin² ca gerade und nur die folgenden n — 1 verschiedenen Werte an:

(n — 1 )jt

sin²^-,

Der Ausdruck (2) ist somit eine ganze rationale Funktion (n — l)ten Grades von sin²«, deren Nullstellen diese n—1 Werte sind. Nach Nr. 378 besteht demnach eine Gleichung von der Form:

sin²

• • • sin²

sin 2na sin co cos co

= konst. j^sin² ca — sin² • • • j^sin² ca — sin²

(n — l)it

oder auch eine Gleichung von der Form:

sin² co

sin 2 nco

2 n sin co cos co

konst. 1 —

sin² co

sin² -

2n

sin²

(n — 1) 7t

Weil hier die linke Seite für ca = 0 den Wert Eins annimmt, ist der konstante Faktor auch gleich Eins. Setzen wir nun 2nco : % = x, so ergibt sich also für jedes beliebige x und jede ganze positive Zahl n:

/ c\\ •    • Ti X    7iX

(3) smjrÆ = 2n sin — cos — v '    2n 2n

. ₉1tX

sin’-—

sin²

7CX

• o ÎI'

sin²

sin²

(n — 1) 7t

L    2m_

Wir sagen: für jedes beliebige x, obgleich 2nca — tcx gesetzt wurde und die Moivresche Formel nur für reelles « bewiesen worden ist. Daß die Moivresche Formel nämlich auch für komplexes ca gilt, folgt daraus, daß nach (5) in Nr. 373 für jedes komplexe co

cos ca + i sin ca = eil"

und demnach

cos nco -f i sin n co = e!ni"

(cos co -}- i sin co)n = cos wo -j- i sin na

ist.

also auch

Wir lassen nun, um zu dem in (1) auftretenden Grenzwerte zu gelangen, die Zahl n über jede Grenze wachsen. Wegen

n +oo

₀    . nx nx

2n sm — cos — = 7t x, 2»    2 n ⁷

. ₉ nx sin² -—■

lim -

n = + °°sin*

TO²

folgt dann aus (3):

(4)

Hiermit ist der Grenzwert in (1) bestimmt. Setzen wir ihn dort ein, so kommt:

(5)

sin nx

r(x)r(i—x)

d. h. es gilt der folgende Satz, der die zweite Eigenschaft der Gammafnnlition zum Ausdrucke bringt (vgl. Nr. 499):

Satz 4: Für jedes relie oder imaginäre x, abgesehen von den ganzzahligen Werten, hat die GammafunJäion die Eigenschaft:

r(x)r( i-x) = -A~-

v ' v ' sm n x

Die ganzzahligen Werte von x sind nämlich diejenigen, für die r(cc) oder jT(1 — x) unendlich groß wird. Für sie wird auch die rechte Seite der letzten Gleichung unendlich groß.

Da xr(x) nach Satz 3 der vorigen Nummer gleich r( 1 -{-x) ist, folgt noch durch Multiplikation der letzten Formel mit x:

(6)

r(i - x)r(i + *) =

nx

sin nx

511. Dritte Eigenschaft der G-ammafunktion. Sind n und h zwei ganze positive Zahlen, so folgt aus Satz 1, Nr. 507, wenn darin x durch x -f h : n ersetzt wird:

m\ m

* + —¹i    \

" (i + o

(*+£)(* + £ + l)-"(*+ +’»-¹)

Serret-Soheffera, Diff.-u.Integral-Rechnung. II. 4.U.5. Aufl. 15    [510, 511

wobei lim sm = 0 für lim m = + oo ist. Geben wir der Zahl h die Werte 0, 1, 2, . . . n — 1, so gehen n Gleichungen hervor. Indem wir sie miteinander multiplizieren, finden wir:

rwr^ + ^-r^ + V)-

n

(m !) m

n +1 n x--

2 n e+ij

nxinx -j-1) • • • {nx-\-mn — 1) ’

wobei lim rjm = 0 für lim m = -j- oc ist. Andererseits folgt aus Satz 1, Nr. 507, wenn wir darin x durch nx und m durch mn ersetzen:

r(nx) =

{mn)! {mn)

nx —

¹(¹ + V'm)

nx{nx -f-1) ••• {nx -j- mn — 1) ’

Dividieren wir die

wo lim r[m = 0 für lim m = -f- oc ist. beiden letzten Gleichungen miteinander, so folgt:

r(4 + ï)'"r(‘+V)

II

— nx

r{nx)

{rnl)nnnm + 1    1 + n-

n~l '¹ + n'm

’m

(■mn)\ m

Lassen wir nun m über jede Grenze wachsen, so nimmt die rechte Seite einen nur noch von n abhängigen Wert an:

m + 1

(1)

(p{n) = lim

(•ml)nnn

m = + oo

(m n) ! m

so daß kommt:

(2) r(x)r{x+ i) ■ ■ • r(æ +    = »

— nx

r(nx)cp(n).

Um den Wert der Funktion cp(n) zu ermitteln, setzen wir allgemein:

(3)

^ (in) =

Alsdann ist nach (1):

[*(»)]"

cp(n) = ]/n lim

m = + oo

Bezeichnen wir den Kier auftretenden und nach (2) bestimmten und endlichen Grenzwert mit A , weil er von n abhängt, so ist:

ip{mn)

(4)

= VnÄn7

5111

oder auch, wenn m durch 2m ersetzt wird:

(5)

A = lim

m = 4- oo

ip (2 m n)

'S

Daher bekommen wir aus der zweiten Formel (4) und aus

(5):

A-

oder :

= lim

m = + »

\ [-łp (m n)l* ‘ ip (2 m «)

An

n

-lim [{

m = + ⁰⁰

[ip (m) ²J |n _ [ip (m n)]! ip (2 m) J * ip(2 mri)

]•

Aus der zweiten Formel (4) folgt jedoch, wenn darin entweder n durch 2 oder aber zugleich n durch 2 und m durch mn ersetzt wird:

lim

m =+ oo

[ip (mn)]2 ip (2 m n)

[^ (»»)]*

ip (2 m)

Ai

lim

m — -f oo

— Ai

so daß wir erhalten:

A = A~‘-

Nach der ersten Formel (4) ist deshalb:

(*>)

cp(n) = ynA^ ⁻¹. Andererseits kommt nach (4) und (1):

Aa =

qp(2)

(m !)²22m+2

= lim i—-—

y 2 jn = + » (2 m) ! y m

4    _4

3 ’ "5

= lim ]/4 • y • 4

m = + oo '

woraus nach der Formel von Wallis in Nr. 481 folgt, daß

As = ]/2z,

also nach (6)

(p(n) =yn]/2Al 1

ist, so daß schließlich aus (2) hervorgeht:

(7) r(x)r(x+A) ■ ■ • r(x+n-nr) = y 2 % ~¹ yW-² «*+¹ r(n x).

Was die auftretenden Wurzeln betrifft, so ist daran fest-ziihalten, daß

n — 1

]/2jtm~¹ = (2ä)~²'”,    |4    ^

nach den in Nr. 506 getroffenen Festsetzungen ganz bestimmte Werte haben. Insbesondere sind die Wurzeln positiv, wenn die Exponenten positiv sind, so daß es sich nachträglich rechtfertigt, daß wir vorhin bei der Bestimmung von A₂ ein Produkt von Wurzeln zu einer einzigen Wurzel zusammengezogen haben.

In (7) bedeutet n eine ganze positive Zahl. Da T{x) nur für x = 0, — 1, — 2, • • • unstetig ist, sind also in (7) solche Werte von x auszuschließen, die negative ganze Vielfache von 1 : n oder gleich Null sind.

Satz 5: Ist n eine ganze positive Zahl, so hat die Gamma-fwiktion für jedes reelle oder imaginäre x, abgesehen von Null und negativen ganzen Vielfachen von 1 : n, die Eigenschaft:

r(x)r(x + ")••• r(x + n n = y2n~xÿn-*nx+1r(nx).

Die in diesem Satze ausgesprochene dritte Eigenschaft der Gammafunktion geht für n = 2 in die in Nr. 499 unter (4) für positives x gefundene Eigenschaft über.

Der hier für den Satz 5 gegebene Beweis ist unabhängig von den beiden in Nr. 509 und Nr. 510 gefundenen Eigenschaften der Gammafunktion. Um die Konstante A₂ zu bestimmen, kann man sich aber auch der Gleichung jT(|-) = Y 3t nach (2) in Nr. 499 bedienen. Setzt man nämlich in (2) insbesondere x — j und n = 2, so kommt wegen JT(1) = 1 und nach (6) und (4):

y*-4v(2)-f)/2X

d. h. A₂ = ]/2 3t.

Man kann die Funktion <p(ri) nach Legendre auch durch Benutzung der zweiten Eigenschaft der Gammafunktion bestimmen. Setzt man nämlich statt r(x) in (2) den Wert r(x -f- 1) : x und statt r(nx) den Wert r(nx + 1) : nx, so folgt bei der alsdann statthaften Annahme x — 0:

(8)

r (—) r(—) • • • r(5—-) = ?-⁽-

\n/ \n J    \ n ] n

oder, wenn man die Reihenfolge der Faktoren umkehrt:

(9)

r(-—r) r(- NÏ\... r(—) =93 (n) •

\ n /    \ n J \nj n

Da nach (5) in Nr. 510

7t

sin (rch : n)

ist, gibt die Multiplikation von (8) und (9) miteinander:

nV*"¹____

.7t    . 2 7t . (n — 1) 7t

sin— sin-— • • sin --

(10)

[cp(n)Y =

Der Nenner rechts ist gleich n : 2,t~¹, wie wir sogleich zeigen wollen. Daher geht in der Tat der schon oben für q>(n) gefundene Wert hervor.

Um noch zu beweisen, daß, wie behauptet,

. (n — 1) 7t

sm — sm — • • • sin--—

(U)

7t .    2 7t

2n ~¹

ist, gehen wir nach Dirichlet davon aus, daß die n — 1 von Eins verschiedenen Wurzeln der Gleichung x1l=l nach Nr. 358 und Nr. 373 die Form

21ctc , . .

cos--b % sin —

n    n

(* = 1, 2, ... » — 1)

2k n ^

oder e n

haben. Dies sind also die Wurzeln der Gleichung, die aus xn — 1=0 durch Division mit x — 1 hervorgeht, d. h. der Gleichung:

xn~¹+xn-²-{-----b x + 1 = 0.

Mithin ist für jedes x:

2 ( n — 1) Tt

X'¹ ~¹ + xa _ 2 H-----b # + 1 =

also für x — 1 :

(12)

” *)•

Da ferner

zkn • —*

2kn . .

1 — cos---i sm

₀. • k n / k% ... k%\

— 2^ sm — cos--b * sm-—

n \ n    n 1

2    . k7t —^

m — e n

ist, geht aus (12) hervor:

. (n — l'ut sin ----— e

. 7t .    2 Tt

v sin — sin — • • n n

Nun ist aber e*nt gleich i. Die letzte Gleichung geht demnach in die zu beweisende Formel (11) über.

§ 4. Einige Anwendungen der Gamniiifunktion.

512. Die Integrale

Ie

«

— aæ

xv~x cos txdx und

r

;/

aæ

xv~x sin txdx.

Wir wollen in diesem Paragraphen zeigen, daß sich eine Anzahl von wichtigen bestimmten Integralen mit Hilfe der Gammafunktion aus werten läßt.

Die Integrale

-foo

+ 00

(!) % =f¹

0

e-axxp-l costxdx, vp

=J*e~axxp~x sin tx dx, o

in denen x jetzt wieder eine reelle Veränderliche bedeuten soll und a, p und t als positive Zahlen vorausgesetzt werden, sind augenscheinlich konvergent. Es ergibt sich dies wie die Konvergenz von T{p) in Nr. 496, da | cos tx | und | sin tx |    1

sind. Daß die Werte der Integrale von dem Werte der Zahl p abhängen, haben wir durch ihre Bezeichnung mit up und vp hervorgehoben. Wir können up und v auch als Funktionen des Parameters t betrachten und nach t unterhalb der Integralzeichen differenzieren, vorausgesetzt, daß die hervorgehenden Integrale konvergent sind. Diese Differentiation ergibt:

dup

+ 00

dt

/•

0

— ax

xp sin txdx,

dVp

dt

+ 00

=Je~axx1> cos tx dx,

o

und

und man sięht, daß die Integrale nach (1) gleich vp up + d folglich .^ach konvergent sind. Demnach haben wir:

(2)

du    dv

.    ~dt⁼~V9 + x'> dt ~up+\ •

Die in den eckigen Klammern stehenden Ausdrücke sind für beide Grenzen gleich Null, weil a > 0 und p > 0 ist. Also folgt:

P i a

«,+i----t^ + TV

woraus man berechnet:

vp+1 ~t Up    tuP + ¹’

i)

tup + avp

Setzt man diese Werte in (2) ein, so kommt:

tup + avp dvp “Up — tVp

P u*-\-t* r ät    ‘

Die Integrale w ₊₁ und v ₊₁ lassen sich mittels teilweiser Integration auf up und vp zurückführen. Denn wenn man cos tx und sin tx als die Ableitungen von sin tx : t und — cos tx : t nach x benutzt, erhält man:

-, + 00

*W⁼

— OCX

sin t x

+ 00

— Ie~axxp Asintxdx-\--jJe~axxpsintxdx, ⁰ o    o

+ 00

+ 00

e~axxp

cos tx

e~ axxp~lcos tx dx—-

U'

0

e~axxp cos tx dx.

duP dt

Die Auswertung dieser Formeln geschieht am bequemsten, wenn man vorübergehend komplexe Größen benutzt. Denn hiernach ist

[ll1 (up ± ivp) + Phl (t ± i «)] = 0,

wobei ln wie schon in Nr. 507 den Logarithmus im komplexen Gebiete bezeichnet. Diese Formel gilt für die beiden oberen und für die beiden unteren Vorzeichen. Aus ihr schließen wir, daß die Ausdrücke

ln («p + ivp) -\-p ln (t + iu), ln (up — ivp) +p ln (t — icc)

von t unabhängig sind. Dasselbe gilt vom Numerus ihrer Summe und von ihrer mit 2i dividierten Differenz. Diese liefert nach (1) in Nr. 377 Arkusfunktionen. So erkennen wir, daß die beiden reellen Ausdrücke

(i<l + vl) (t² -f- od)p und arctg — jparctg^ -f- y P⁷* von t unabhängig sind.

, arc tg ^ == arc tg ~ ,

Für t — 0 aber wird up nach (1) in Nr. 497 gleich r(p) : ap und v gleich Null. Demnach folgt:

p rr(p)~

UP + VP— (t»    a»)

vp

wenn der Arkus auf den Bereich von — \it bis + -|jt beschränkt wird. Setzen wir t = atgcp, indem wir cp auf den Bereich von 0 bis j7t beschränken, so ergibt sich hieraus:

, F(P) „    . TY»)

% = ±    cosP cp cos pcp, v = ± coap cp smpcp,

*    GT    <XF

wobei entweder beide Plus- oder beide Minuszeichen gelten müssen. Da sich up für t — 0 oder cp — 0 auf r(jp) : up reduziert, gelten die Pluszeichen. Nach (1) ist also:

CtX

xp~¹coa tx dx

r(P)

(3)

ccp

cosp cp cospcp =

r(p)

tr

sinp cp cos pcp

+ 00

/•

o

— (XX

xp~¹smtxdx =

r(p) .    r(p)

—— cosp cp sin pcp = —~ sin? cp sin pcp, ap    tv

wenn a und p positiv sind, sobald cp den zwischen —und + -|t£ gelegenen Winkel bedeutet, dessen Tangente gleicß t:a ist. Daß nämlich die Formeln auch für negatives t gelten, erkennt man sofort aus cos(— tx) = c,ostx und sin(— tx) = — sin tx.

513. Die Integrale

+ GO

xv~~x sintxdx.

xv~x costxdx und

Die Formeln (3) der letzten Nummer wurden nur für a > 0 bewiesen. Wir wollen jetzt zeigen, daß sie auch noch für a = 0 gelten. Allerdings muß dann p auf den Bereich 0 <p < 1 eingeschränkt werden. Denn beim Grenzübergange lim a = 0 gehen die beiden Integrale über in

+ oo

+ 00

(1)

fXP~1 0

cos tx dx und

J*%p -1 sin tx dx,

o

und wir können beweisen, daß sie für p ^ 1 divergieren. Dabei nehmen wir wie vorhin t > 0 an.

51», 513]

also m w > 0

Ist nämlich p > 1, so bedeute k irgend eine positive

ganze Zahl, und es sei

2 itJc 4- \-Tt n _-

gewählt. In dem Intervalle von x — n bis x = m ist sin tx stets positiv und mindestens gleich ~ j y 2 |. Außerdem ist xp~x positiv, also

nt

(2) J*xp~¹8mtxdx> j |]/2 j ^xp~x äx = y | ]/2 j•

Da nun

mp —    == (m — w) (mp~¹ -mp~²n-\-----\- np~ *)

,    \ n-t % ßrtk \n\p-x

> (m — n)nP ¹ = — (--—- '

ist, also für liruw = + oo oder limZ; = + oo auch nach -f-oo strebt, weil p > 1 angenommen wurde, hat das Integral (2) für hinreichend großes n einen Wert, der nicht kleiner als eine beliebig kleine vorgegebene positive Zahl ist. Das zweite Integral (1) divergiert demnach für 1, nach Satz 1, Nr. 465. Ebenso beweist man die Divergenz des ersten Integrals (1) für p > 1, indem man

2 nk

2îtk -j- |-7r

setzt.

Ist p — \ oder 0 <p<i 1, so machen wir in den Integralen (1) die Substitution x = z:t und erhalten, abgesehen vom Faktor 1 : tp, die Integrale :

+ 00

(3)

ßcOSZ ,

/ 1 dz

) z'-P

[’

sin# ₇

Das erste divergiert für p = 1 nach dem 5. Beispiele in Nr. 464, ebenso offenbar das zweite.

Daß dagegen die Integrale (3) für 0<C^<Cl konvergieren und infolgedessen auch die Integrale (1), wird durch eine Betrachtung ähnlich den Überlegungen in Nr. 469 bewiesen, weshalb wir uns kurz fassen und die Betrachtung nur für das zweite Integral (3) anzudeuten brauchen: Indem wir das Intervall in das von 0 bis jr, von n bis 2% usw. zerlegen, ver-

wandeln wir das zweite Integral mittels naheliegender Substitutionen in die unendliche Reihe

71

71

z¹-*

I.

(n + zf-

rdz+f{

0

sin#

(2 n-\- z)¹

-p

dz — • • •

deren Glieder abwechselnd positiv und negativ und absolut genommen kleiner als die Integrale

7t    Tt

rjj.    r

J p-p’

0 0

dz

7t

/'

dz

l-p >

sind, die bis zur Null abnehmende Werte haben. Nach Satz 9, Nr. 104, ist also das zweite Integral (3) als konvergente unendliche Reihe darstellbar. Entsprechendes gilt für das erste Integral (3).

Wir kehren nun zu den Formeln (3) der letzten Nummer zurück. Wir haben gesehen, daß ihre linken Seiten für lim a = 0 und 0 <Cp < 1 bestimmte endliche Grenzwerte haben. Für lim« = 0 wird lim qp =-|:7r, weil tg<p = t:a ist, so daß auch die rechten Seiten bestimmte endliche Grenzwerte bekommen. Demnach finden wir:

»/■

o

a^⁻¹cos txdx

r(P) 1

-jfcosjpjt

-j- 00

■/

0

xp~¹sintx dx

F(p)

tp

für 0<j?<1 und £>0. Wird in der letzten Formel F’(p) nach (1) in Nr. 499 durch 7t : T(1 —p) sinpit ersetzt, so gibt der Grenzübergang liin^ = 0 die schon in Nr. 493 unter (6) gefundene Formel.

\7t

514. Das

Integral / co8l,~i/~x (psm,/—ltpcos2)(pd(p

p /

und verwandte Integrale. Werden die Formeln (3) von Nr. 512 mit P~x multipliziert, so kommt, da t = aigrp ist: + 00

r(p)

^TI

e~ axxp~¹P~¹ cos tx dx —

cos²'_2 + 1 tp sin⁷⁻¹ qpcosjoqp,

ax

xp~xP~¹ sin tx dx =

r(P)

aP~9+l

cos/J~2 + 1 tp sin²“¹ tp sinptp}

wenn a, p und t positiv sind. Unter q wollen wir eine Zahl zwischen 0 und 1 verstehen.

Wir dürfen hinsichtlich t beiderseits etwa von t = s bis t — T integrieren, wobei 0<c<T sei, und zwar darf dies links unter den Integralzeichen geschehen. Aber wir behaupten, daß die hervorgehenden Formeln unter der Voraussetzung p>q auch noch für lim £ = 0 und limT= + oo richtig bleiben. Zum Beweise müssen wir zeigen, daß dann beiderseits bestimmte endliche Werte hervorgehen.

Links treten die Integrale mit der Veränderlichen t auf:

J*f⁷⁻¹ cos txdt, 0

+ 00

P~x sin tx dt

die nach (4) in voriger Nummer gleich

r(q) j cos

r(a) . !

- sm qjc x¹

sind, so daß die Integration der linken Seiten von (1) hinsichtlich t von 0 bis -f-oo, abgesehen von den Faktoren:

r(q) cos^qn,

r(q) sin

das Integral

+ oo

xp~q~xdx

Sr

o

ergibt. Dieses Integral aber ist, weil p > q angenommen wurde, nach (1) in Nr. 497 gleich r(p— q):ap~q.

In betreff der rechten Seiten von (1) bemerken wir, daß darin tg cp = t: a ist. Wenn wir also hinsichtlich t von 0 bis + oo integrieren, muß rechts hinsichtlich cp von 0 bis integriert werden, weil a>0 ist. Wegen dt = adcp : cos²<p müssen wir die rechten Seiten vor der Integration außerdem noch mit « : cos²cp multiplizieren. Alsdann gehen rechts, abgesehen von dem von t freien Faktor r(p) : u¹'⁻¹, die Integrale

» st

j aosp 7 xcp sin7- lcp coepcp dcp, Je o    b

cosp~q~l cp sin⁷⁻¹<p sinpep dcp

hervor, die beide konvergieren. Denn wegen 0<g<l, p> q wird die (q—l)te Potenz von sin cp für lim<p = 0 in niedrigerer

[514

Ordnung unendlich groß als 1:9? und die (jp — q — l)te Potenz von cos cp für lim cp = in niedrigerer Ordnung unendlich groß als l:(j7C — q>), falls sie nicht überhaupt endlich bleibt.

Wenn wir nach der Integration von (1) die beiden Seiten der erhaltenen Gleichungen vertauschen und alles mit ap~q: T(p) multiplizieren, folgt also:

},n

(2)

JcosP-Î_1<p sin²⁻¹ cp cospcp dcp 0

Y

I cos²'⁻²⁻¹ cp sin²⁻¹ cp sin pcp dcp =

r(p-g)m

np)

cos f qn,

r(p — q)r(q)

F{p)

sin y q 7t

für 0 < q < 1 und p > q.

Offenbar können wir hier den Grenzübergang lim q = 1 machen, so daß sich wegen r(p) = (p — 1) r(p — 1) und .T(l) = 1 ergibt, daß für p~>l die Formeln gelten:

\ 7t

(3) J*coslJ~² cp cospcp dcp = 0, j*cosp~²cp smpcp dcp — ^ A 0    0

Setzen wir dagegen in (2) für q den Wert p — 1, so muß p wegen 0<g<l zwischen 1 und 2 liegen. Alsdann kommt:

«4-

(4)/:

0

sinP~²cp cospcp dcp =

sinp ~-¹ cp sinp> cp dcp =

— COS 7t P — 1

Obgleich wir diese Formeln nur für 1 < p < 2 bewiesen haben, gelten sie doch für jedes p > 1. Man gewinnt sie nämlich auch aus den Formeln (3), wenn man cp durch — cp ersetzt.

Wenn wir in der zweiten Gleichung (2) nach (1) in

Nr. 499

m-

ainqjt -r(l — q)

setzen, was wegen 0 < q < 1 geschehen darf, zeigt der Grenzübergang lim q = 0, wobei jP(1 — q) in Eins übergeht, daß beide Seiten der Gleichung bestimmt und endlich bleiben, so daß sich für p > 0 ergibt:

514]

(5)

Es ist bemerkenswert, daß dies Integral einen von der positiven Konstanten p unabhängigen Wert hat

§ 5. Fortgesetzte Betrachtung der Gammafunktion.

515.    Vorbemerkung. Die Theorie der Eulerschen Integrale ist, auch wenn man von ihren Anwendungen absieht, mit dem in § 1—3 Vorgetragenen bei weitem noch nicht erschöpft. Es erscheint uns angebracht, in diesem Paragraphen noch einiges aus der Theorie hinzuzufügen, das besonderes Interesse beansprucht. Die folgende Betrachtung wird beherrscht durch eine mit der Gammafunktion eng zusammenhängende Funktion g(x), die wir zunächst nur für ganzes positives x definieren. Man kann aber ihre Definition auf komplexe Werte von x ausdehnen. Dadurch werden wir dazu geführt, die Gammafunktion für reelles positives x durch eine merkwürdige Reihe, die Stirlingsche Reihe, darzustellen, die zwar durchaus divergiert, jedoch abgebrochen ein besonders bequemes Hilfsmittel zur näherungsweisen Berechnung der Gammafunktion bietet. Die bekannte Formel von Wallis in Nr. 481 ist es, die diesen Betrachtungen als wesentliche Grundlage dient. Schließlich soll der Verlauf der Gammafunktion für beliebige reelle Werte der Veränderlichen erörtert werden.

516.    Über eine mit der Fakultät zusammenhängende Funktion [i(x). Bis auf weiteres sei unter x eine beliebige ganze positive Zahl verstanden. Alsdann betrachten wir die Funktion

(1)

fl(x) =

xl ex

1 • 2 • 3 • • • x • ex

1/2

y 2 7t.xx+±

Darin soll ]/2jt und xl positiv sein. Aus (1) folgt sofort:

f*(*)

ln -

(2)

Weil x eine ganze positive Zahl bedeutet, liegt 1 : x zwischen 0 und 1 und ist höchstens gleich 1. Mithin gilt nach (4) in Nr. 120 die konvergente Entwicklung:

[514, 515, 51«

lü i¹ +    ⁼ lo ~ Ł* + 3"1'³    +

nxn

so daß ans (2) die ebenfalls konvergente Entwicklung folgt:

¹ + —

12a;³ ~ 40a;⁴

In dieser Reihe sind die Glieder abwechselnd positiv und negativ. Der absolute Betrag des Verhältnisses aus dem nten und (n — l)ten Gliede der Reihe ist gleich

(3) ln

----+

2 n (n -f-1) xn

tH

n² 4- n — 2

also gleich 1 : x für n = 2 und kleiner als 1 : x für n > 2. Die absoluten Beträge der Glieder der Reihe (3) nehmen mithin vom zweiten an beständig ab, und zwar selbst für den kleinsten Wert x = 1 von x. Außerdem streben die Glieder mit wachsendem n nach Null.

Man kann also aus (3) den Schluß ziehen:

o < ln< —1—

^    1) ^ 12a;²⁷

oder :

(4)

1<

[i(x -f-1)

Wir können aber auch eine noch niedrigere Grenze für denselben Quotienten finden, und dies soll geschehen, da wir sie später — in Nr. 518 — gebrauchen. Multiplizieren wir nämlich die Gleichung (3) mit x + 1, so kommt:

H(x) — 1___

fi(a;-)-l)    12 a; 120a;³

(x -f-1) ln

(- l)n (n 2)

2 n (n 1) {n -)- 2) xn

₊ ....

In dieser Reihe fehlt das Glied mit 1 : x². Die Glieder der Reihe sind abwechselnd positiv und negativ; und der absolute Betrag des Verhältnisses aus dem nten und (n — l)ten Gliede der Reihe ist gleich

n(n — 1)

(n — 2) (n -j- 3) x ’

d. h. gleich 1 : x für n — 3 und- kleiner als 1 : x für n > 3, selbst für x = 1. Demnach erhalten wir:

51«]

oder:

(x -f- 1) ln

li{x)

ln _ d(Æ) ^    ¹ Jl /I________¹ \ .

g(a; -f- 1) ^ 12® (x -j- 1)    12 \ x    x -f- \]

Nach dieser Einschaltung kehren wir zu (4) zurück. Verstehen wir unter &₀ eine gewisse positive Größe, die kleiner als ^ ist, so läßt sich (4) so schreiben:

(P)

(6)

f*(«)

00

X-

g(a;-f l)

Ersetzen wir hierin x nach und nach durch x + 1, x + 2, . . . 2x — 1, so ergeben sich Gleichungen, in denen an die Stelle von ©₀ andere positive Größen &1} ©₂, ... ©x_₁ treten, die sämtlich kleiner als ~ sind. Es kommt:

&i

+ 1)    (»+D¹

g(a;-f 2)

0,

^(^ + 2) ₌ (* + 9)* ft(® + 3)

(?)

&x-l

fl( 2x—l)    (2 x — l)¹

fi (2 a?)

Insgesamt liegen in (6) und (7) gerade x Gleichungen vor, die wir alle miteinander multiplizieren wollen. Dabei geht rechts eine Exponentialfunktion mit dem Exponenten

X— 1 1

(2® — l)² ^ 12 ‘ x²

©o

®*'

(x -j- 1)

12a;

hervor. Also gibt es eine gewisse positive Größe & kleiner als Y2 derart, daß

(8)

ist. Hieraus folgt:

PW = e

ft (2x)

«! er

(9)

lim

X = -f CO

ft(æ)

fi(2x)

falls x eine ganze positive Zahl bedeutet.

517. Asymptotischer Wert der Fakultät. Wenn wir bedenken, daß nach der Formel von Wallis in Nr. 481

lim y •    •

.T = -f oo

w|

2a; — 2    2a; — 2

2 x — 3    2 x — 1    2 x — 1

2a;

ist, wofür wir auch

lim

l⁴•2⁴ • ■ • X4, • 24æ

x = 4-⁰⁰

l² • 2² • • • (2x)²- X ■ n

oder nach der Definition (1) von y(x) in Nr. 51G

lim

x = + oo

[>(*)?

[a (2 xß²

schreiben können, folgt durch Wurzelausziehen, da die Funktion g stets positiv ist:

(1)

lim

P(aQ]

x = +oo

fi(2x)

= 1.

(2)

Hieraus und aus (9) in voriger Nummer folgt: lim g(x) == 1.

X—+0O

Da g(x) nach (4) in voriger Nummer stets größer als g(x -j- 1) ist, strebt g(x) mit wachsendem x abnehmend zur Grenze Eins, d. h. es ist

(3)

fl{x) = 1 + £,

wenn s eine gewisse positive Größe bedeutet, die für lim x — -f oo den Grenzwert Null hat. Nach der Definition (1) von g(x) in voriger Nummer folgt also:

x'.e*

oder:

Ÿ2 7C-Xx+^

(4)

xl = j/2x e~xxx+? (1 -f- e).

Funktion

Diese Formel besagt, daß sich die Fakultät x! und die

]/2xe-xxa! + l

mit unbegrenzt wachsendem ganzzahligen x asymptotisch einander nähern, d. h. daß ihr Verhältnis um so weniger von Eins abweicht, je größer die ganze positive Zahl x gewählt wird.

518. Einengung der Fakultät zwischen zwei Grenzen. Soeben haben wir eine Funktion von x gewonnen, die sich der Fakultät xl mit wachsendem x derart asymptotisch nähert, daß sie doch immer kleiner als xl bleibt. Wir können nun aber auch eine obere Grenze für xl ableiten:

517, 518]

(5)

Wenn aber die ganze positive Zahl m unbegrenzt wächst, bekommt ln fi (x + m -f- 1) nach (2) in voriger Nummer den Grenzwert Null. Demnach gilt für jedes ganze positive x die Entwicklung :

+ 00

ln g(x) = yiln o

(4)

Nach (3) in voriger Nummer hat man

f*(®) = ¹ + e>

wo s > 0 ist und s = 0 für lim x — -f oo wird. Folglich ist lnfi(ic) positiv. Nach der Definition von fi(x) in (1), Nr. 516, für ganzes positives x und wegen x\ = r(x-f-1) kommt nun:

(2) ln r(x + 1) = ■§■ ln (2 7t) — x + (x -f -§-) ln x + ln g(x).

Also ergibt sich für ganzes positives x:

ln r(x + 1) > \ ln (2 7t) — x + (x + ■§•) ln x.

Ferner besteht überhaupt für jede positive Funktion g(x) die identische Gleichung:

ln g (x) = ln

H(x -f- m) gix -|- w -f- 1)

(i)

(3)

\l(x)

g(æ + l)

+ ln

+ ln

-f- ln|ti(# + m + 1).

jx (oc -f m) fl(x -j- m -f 1)

Die Ungleichung (5) von Nr. 516 liefert mithin:

\ng(x) <^[("

x -f i) (æ -f-1 x 4- 2) (x -f

x -f- 2 x -f- 3) 4" J

oder:

(5)

Hieraus aber folgt nach (2) für jedes ganze positive x:

(6) ln r(x + 1) < j ln (2 n) — x -f (x -f -|) ln x -f-    •

Gehen wir nun in den beiden Ungleichungen (3) und (6) von den Logarithmen zu den Numéris über, so ergibt sich für jedes ganze positive x:

]/2ne~xxx+i<x\ <]/2

7t e

—*+

12 x Xx

Hiermit ist x! zwischen zwei Grenzen eingeschlossen, die um so weniger voneinander abiveichen, je größer x wird.

S erre t-S chef f er s, Diff.-n. Integral-Rechnung. II. 4.n.5.Aufl.    16

519. Die Grudermannsche Reihe. Die Formel (4) der letzten Nummer geht nach (2) in Nr. 516 über in:

+ 00

(1)

ln li 0) ^    + m + |) ln (l + --    -) - l] .

o    '

Setzen wir diesen Wert in die Formel (2) der letzten Nummer ein, so kommt die von Gudermann herrührende Entwicklung:

(2)

ln F(x + 1)

+ 00

= łM2 + -£ + (£ + V)lna:+^[(£ + m+{)ln(l + ^łW)-l].

o    ~

Diese Formel ist freilich nur unter der Voraussetzung abgeleitet worden, daß x eine ganze positive Zahl sei. Wir können nun aber ebenfalls durch Anwendung der für die Fakultät gewonnenen asymptotischen Funktion in Nr. 517 zeigen, daß die Gudermannsche Reihe nur eine Umformung der in Satz 1, Nr. 507, aufgestellten Reihe:

m + 1

+ oo

(3)

ln r(x) £(& — 1) ln

i

-ln

m -f- x —

ist, von der wir wissen, daß sie für jedes komplexe x, abgesehen von Null und den negativen ganzzahligen Werten, richtig ist.

Um dies zu tun, setzen wir von jetzt an voraus, daß x eine beliebige reelle oder komplexe Zahl, abgesehen von Null und den negativen ganzen Zahlen, bedeute. Alsdann sei um das mte Glied der Reihe (3), also:

(4)

-ln

Nach (3) ist ln jT(&) der Grenzwert der Summe ut + u₂ -j-----(- un

für lim n-= + oo. Diese Summe aber können wir identisch in folgender Art umformen:

% + M2 + ‘ ¹ ' +

= i% + 2un + [|(M 1 + %) + i(W2 + UÙ H    f“    + U J\

+ % - ^ + [(», “ Vt) + K - «₈) H----+ (vn - vn_₁)],

wenn wir unter vt, v₂, . . . vn irgend welche Funktionen von x verstehen. Denn die Glieder der letzten Zeile heben sich gegenseitig fort. Hiernach ist:

519]

rUrn

= i U1 + i Un + V1 ~~ Vn + /V [\um + \U%

1

"t"    +1    ^m\"

Wählen wir insbesondere

Vm = (X + m ~ 1) ln {X + m — 1) ~ (X + WÎ — 1), so sind alle Funktionen vlf v₂, vs, ... stetig für jedes komplexe x, abgesehen von negativen ganzzahligen Werten, und es kommt:

= i [0 ~ 1)lu ² ~ ln x\ + j [(*— 1) ln ^¹

x — (x + n — 1) ln (x + n — 1) + % + n — 1 -j- ^

i

rn U i rn

-ln

as-J- w—11

w J

-f x ln X — worin wm die Bedeutung hat:

mW,n,

wm = (« + m - I) ln (l +

m -f- 2

1_)

x -f- m — 1/

-1

H⁻ I⁻ 0® — 1) ln

Aber augenscheinlich ist

n — l

71 — 1

2‘ln

i

m-\- 2

= ln

,    ln (in-f1 ) m = ln

i

2 Inn!—Inn,

so daß kommt:

(B)    2 a« “ Ï [(* - !)    (* + W - ln d + " n -¹)]

-j~ (je — ■§) ln x -f" y — 1) ln |yi (n -j⁻ 1) |

— (x-\-n — l)ln(^ + n— 1) -\-n — 1 + lnw! — |-lnn

71—1

+ 2‘[(a; +

1

«MH*

)ln(l +

-, ¹-T) -ll.

x -\- m — 1/    J

Nun wenden wir die in Nr. 517 für ln n ! . gefundene asymptotische Funktion an. Setzen wir nämlich in der dort entwickelten Formel (4) für x, worunter damals eine ganze positive Zahl verstanden wurde, die ganze positive Zahl n, so erhalten wir

ln n\ = y ln (2jr) — n -f- (n -j- |-) ln n + ln (1 + e),

wobei s für lim n — + oo den Grenzwert Null hat. Diesen Ausdruck führen wir in (5) für ln n\ ein. Ferner hat die in

[519

(5) in der ersten Zeile stehende Summe für lim n = + oo den Grenzwert Null, und sie sei mit r\ bezeichnet, so daß lim rj = 0 für lim n = + oo ist. Alsdann erhalten wir:

r] -f ln (1 + s) -f- i lu (2sr) — 1 -f- (# — i) ln x + \(x—\)\o.n(n + 1)—(x-\-n—l)ln(#-f-n—l)-f n\nn

, ¹-t) - ll.

x -(- m — 1/ J

⁺2m[(x+ i

i) ln (l +

Die Summe der Glieder der zweiten Zeile ist gleich

ln

n(n -f-1)

(x n — 1)

und hat daher für lim n = -j- oo den Grenzwert — (x — 1), so daß der Grenzübergang liefert:

ln r (x) = y ln (2 %) -j- ix — f) ln x — x

-, ¹—T)-ll

x -j- m — 1/ J

+ 00

+2*[o +

1

j) ln i¹ +

Ersetzen wir hierin x durch x + 1, so kommt:

ln r(x -f 1) = | ln (2 at) + (x -f j) ln (x + 1) — (x -f 1)

+_2’»[0 + m + i) ln (l + --) -1]. 1

Wollen wir die letzte Summe statt von m = 1 an schon von m = 0 an erstrecken, so müssen wir noch

(x + j) ln (l + —) — 1

abziehen. Alsdann kommt:

(6)

ln r(x -f 1)

+ oo

—|ln(2«)—x+ (ff+|-)ln ff+ ^mf(a?+ro-f-|)ln(l +    — l] •

o

Dies aber ist die Gudermannsche Formel (2). Wenn wir beachten, daß die Reihe (3) in einem Bereiche, der von negativen ganzzahligen Werten frei ist, nach Satz 1, Nr. 507, gleichmäßig konvergiert, erkennen wir, daß die Entwicklung (6) in

einem Bereiche, der von den stellen x = — 1, — 2, — 3 usw. frei ist, überall gleichmäßig konvergiert. Denn obwohl in (6) auch ln x auftritt und ln x für x = 0 unstetig wird, ist doch zu bemerken, daß das für m = 0 hervorgehende Glied der Summe ebenfalls Ina; enthält und sich diese beiden mit Ina: behafteten Glieder fortheben.

Es folgt hieraus, daß die Reihe (1), nämlich

-foo

(7) ln n (x) =2” [(* + m + *)ln (X + x~+m) ~ X]

o

daß hiermit die Funktion u (x)

so

in einem von den Stellen x = — 1, — 2,-3 usw. freien Bereiche gleichmäßig konvergiert auch im komplexen Bereiche definiert ist, wobei nach (6) auch jetzt noch:

(8) ln(x) = ln r(x -f 1) — \ ln ([2n) -f- x — (x + j) Ina;, das heißt

(9)

li (x) =

r (x -f l)ex

Y^nxx + ^

ist. Falls x eine positive ganze Zahl bedeutet, gibt diese Formel wieder die ursprüngliche Definition (1) von [i (x) in Nr. 516.

(10)

Aus (8) folgt noch:

dlnft(as)    d ln F (as-f-1)

dx

das

d²lng(as) _d*lnr(as-)-1)

dx²

das²

& ¹ M.

Da

lim (x + m -f- |-) ln /l +

X — +00    '

as -f- m,

ist, liefert (7):

(u)

lim ln [i (x) = 0.

x = + oo

Für ganzzahliges positives x hat sich dies schon in der Formel (2) von Nr. 517 ergeben. Fbrner folgt aus (7) durch Differentiation nach x:

d ln (i (as) _ ^

dx

ln

1 + _L_\

x -j-- nij

as m -j- \

(x -j- m) (as -f- m -)- 1)

|51»

Daß diese Reihe gleichmäßig konvergiert, folgt aus der zu Anfang von Nr. 508 gemachten Bemerkung. Der in der eckigen Klammer stehende Ausdruek hat für lim x — + oo den Grenzwert Null Also ist auch:

(12)

iimgLyw„₀,

X = + oo

dx

520. Darstellung von ln fi {x) für positive Werte von x mittels eines bestimmten Integrals. Wir wollen nunmehr annehmen, die Veränderliche x sei eine positive Zahl. Aus Satz 2, Nr. 508, und aus der zweiten Formel (10) der letzten Nummer geht hervor:

+ 00

(x -f- m)²

d² ln [i (x) dx²

oder auch, wenn wir die Summe von m = 0 an erstrecken:

(i)

d² ln (ifx)

dx²

+ 00

1 r 1    , SV ¹

---—r -4- pm-

x • 2ar    (x -f- m)

o

Weil x positiv sein soll, können wir hierin nach (1) in Nr. 477 und nach (2) in Nr. 492

*+ =J e~uxda, o

7—i—r.= / ae~a(x+m)da {x + m)² J

für m — 0, 1, 2, . . . setzen. Alsdann ergibt sich:

+ oo

+ 00

(2)

d*lnp(x)

dx²

ß+

a) e

ax

ae-a(x+mhla.

Wir können nun die Reihenfolge der Zeichen und f im letzten Gliede vertauschen, weil die Reihe

+ 00

(3)

2r

o

ae-u{x + m) = ae-

ux

+ 00

ax

cce 1 — e~ “

nach Satz 1, Nr. 101, und nach den Bemerkungen in Nr. 428 für a 0 gleichmäßig konvergiert (vgl. Satz 26, Nr. 426). Demnach gibt (2):

d² ln +#)

+ 00

+ 00

dx²

= —J (1 + I«)

0

e~

ux

und dasselbe Verfahren gibt weiterhin mit Rücksicht auf (11) in voriger Nummer:

(5)

- — 4-) e~axda. a 2 J

Diese Formel gilt ebenfalls für positives x.

1 —e

oder wegen (3):

d²lng(a:)

+ 00

(4)

dx²

m-

o

— 4 a —- 1 ! e axda.

■-

Diese Formel gilt also für positives x.

Wenn wir sie hinsichtlich x von 0 bis X integrieren, was rechts unter dem Integralzeichen geschehen darf, und dann lim X = + oo setzen, folgt mit Rücksicht auf (12) in voriger Nummer:

d ln g (x)

dx

+ 00

t/U-

o

ł-r)

521. Die Potenzreihe für - (■

“ V

Um von dieser Darstellung von lnp(x) durch ein bestimmtes Integral zu der in Nr. 515 angekündigten Stirlingschen Formel zu gelangen, werden wir zunächst in dieser Nummer den in der Überschrift angegebenen Ausdruck in besonderer Art entwickeln.

Zu diesem Zwecke gehen wir auf die Formel (6) von Nr. 510 zurück, wonach für jedes komplexe x, abgesehen von den ganzzahligen Werten,

ln jr(l + x) + ln r( 1 — x) = ln (ytx) — ln sin itx ist. Durch Differentiation folgt hieraus mit Rücksicht auf (6) in Nr. 373:

(i)

d ln r( 1 + x)    d ln r(l — x)

dx

dx

— in

ei7tx+e~

inx

ginx_g— inx

Nun aber ist nach (2) in Nr. 508:

d ln r(l + x)

+ 00

dx

d ln r( 1 — X)

dx

= — 7 +2' (

1

1

m + xj ’

m — x) ⁷

[530, 531

und wir dürfen diese Reihen gliedweise addieren, so daß aus

(1) folgt:

-f oo

ei7tx + e~

„    :—e~

Diese Gleichung ist im Grunde nichts anderes als die in Nr. 480 unter (3) gefundene Partialbruchzerlegung der Kotangens-Funktion; aber wir haben sie jetzt für beliebiges komplexes x bewiesen, wobei die ganzzahligen Werte von x ausgeschlossen sind. Setzen wir für x den Wert ia : 2 n, so kommt, wenn wir überdies beide Seiten der Gleichung vertauschen:

(2)

2 X -«-a -

j m³ — ar

i

inx

inx

-f 00

(3)

1 — e~a

W)-*2

i

Insbesondere gilt diese Formel für jedes reelle a, da ja nur die ganzzahligen Werte von ia : 2tc ausgeschlossen sind.

Nun ergibt sich durch Partialdivision:

2«-2

,__ -_= ________(_... _1_ __ ZC (h)

(2m»)²-j-cc³ (2mn)³    (2mit)* '    — (2m»)2w m

wobei

<*²“

(2 m 7t)

2n + 2 y

(2 m 7t)³

(2 m»)* ct³

ist und also, falls a reell ist, eine positive Zahl kleiner als Eins bedeutet. Geben wir m die Werte 1, 2, ... r und addieren alsdann alle r Formeln, so bekommt zp a?n den positiven Faktor:

2l&m-

1

(2 m 7t)

<yi

jLmi (2 m 7t)

2n + 2

Dieser Faktor hat demnach die Form:

2n + 2 y

(2 m 7t)

wobei 0 < & < 1 ist. Wir finden mithin:

l" (2m7t)³ -(- a²

-f- a

2n-2

? (2^P + '■*

r

HF &a2n SL-

(2 mn)

2 n + 2*

5»11

Die rechts stehenden Summen haben für lim r = + oo sämtlich nach dem Beispiele in Nr. 105 bestimmte endliche Grenzwerte. Demnach ergibt sich beim Grenzübergange mit Rücksicht auf (3) die Entwicklung:

TH ■ y

+ oo

+ 00

3

+ 00

±2 a2n-2yS?n

(2 m ji)

tH ! CM

² *2;

i

!" (2 m n)

+ 00

—* (2 m Tt)

2n + 2

(4)

Setzen wir nun allgemein: l • 2 • 3 • • • 2 n

2 2w-V» so folgt:

R | M.

(5)

V ¹ a \ i—e~a wobei 0 < & < 1 ist, und zwar gilt diese von Cauchy gegebene Entwicklung für jedes reelle a, ja überhaupt für alle Werte von a, abgesehen von denjenigen, für die ia : 27t eine ganze Zahl ist, d. h. abgesehen von den Werten 2loti, wobei h irgend eine ganze Zahl bedeutet.

Die Entwicklung (5) ist offenbar nichts anderes als eine Maclaurinsche Reihe, ygl. Nr. 372. Es darf in ihr der Grenz-übergang lim n = -f- oo gemacht werden, falls

J) „«2«

n = + oo

lim jg.a«±lg_ = 0 (2«+ 2)!

ist, d. h. nach (4), falls lim (a : 2%f n — 0 ist. Daher gibt (5) eine Potenzreihe, die für alle komplexen Werte von a innerhalb des durch | « | < 2 n bestimmten Konvergenzkreises gültig ist, nämlich:

a⁴ —

(6)

V '    “ \1 — e

522. Die Bernoullischen Zahlen. Jetzt ist zunächst noch Einiges über die Koeffizienten J5₂, R₄, B₆, . . . zu sagen, die in den Entwicklungen der letzten Nummer auftraten. Sie kommen zuerst bei Jalcob Bernoulli vor und heißen deshalb die Bernoullischen Zahlen.

[581, 588

Obgleich die Definition der Zahl B2n durch die Formel (4) eine Potenz von % enthält, sind doch sämtliche Bernoullische Zahlen rational. Man kann nämlich eine Relîursionsformel aufstellen, aus der sie nacheinander zu berechnen sind und ihre Rationalität erhellt. Denn wenn wir in der letzten Entwicklung unter u eine positive Zahl kleiner als 2it verstehen, die

(1 + O (1 - o

ea — e~a

Gleichung mit a² multiplizieren, darauf Eins addieren und dann noch mit

oder

multiplieren, kommt:

i(i + «“+*'“

2 V “    2

/ 2a V1 + 2!    4! “ ⁺ 6!

Ersetzen wir die Exponentialfunktionen durch ihre Reihen nach Nr. 117, so finden wir:

¥(2 + lr + i! + l! ⁺ "')“

l¹ + Ï! + fl + ‘ ' ’) l¹ + Ï! “ 4!^ + ‘ • ') '

Da alle vorkommenden Reihen unbedingt konvergieren, können wir rechts die Multiplikation nach Satz 17 in Nr. 110 ausführen. Alsdann gibt die Koeffizienten Vergleichung auf beiden Seiten die folgenden Formeln:

2 • 2!

tH

2 • 4!

2 • 6!

₌ ± , A

3! '    2! ⁷

_ ¹ ₊ Ł

5! ' 3! i 7 ! ~ 5 !

B,

4! ⁷

5! 2!    3! 4! ^ 6!

usw.

Die allgemeine Rekursionsformel lautet:

2 • (2n) !    (2w + l)!

Bt

B,

(2n—1)!2!    (2 w — 3)!4! ' (2n— 5)!6!

(~ ï)n~XB₂n

(2 n) !

Man sieht daher, daß sich nacheinander für B₂, B±, B₆, . . lauter rationale Zahlen ergeben, nämlich:

ß == I    B = i

-°6    42? -Uo

-®16

^2    6?    30?

■®12 “

691

2730?

R = 1

x'l4 6?

30?

3617

510?

R == A ^10 66

5**]

Wenn wir wie in (3), Nr. 503:

(1)

o _ _L _i_ _L _i_ J:__i

'    2n ' Qn '

setzen, folgt aus (4) in voriger Nummer:

(2)

(2 n) !

₀2w — 1    2 n

&    7X

Weil aber S2n > 1 ist, gellt hieraus für B2n eine untere Grenze hervor:

(3)

ß >    (2 nl!

²₂2n" V'¹

Außerdem folgt aus (2):

Jji±1 = Ihn

(2 n -f 1) (2 n -f- 2) S₂

in²

^2 n

und, weil S2n mit wachsendem n nach Nr. 503 abnimmt:

-^2 n +2 ^2 n

Ferner ergibt sich aus

(4)

(2w + l)(2w+ 2)

4 7t²

(2):

jn _    (2 n) •    ^2 n 1>

2n tfn-XJn-S Sa

also wegen B₂ = und S2n < S₂ :

(2 ft)!

₀2w — 1 2w — 2

£    TT

Hiernach und nach (3) können wir B2n zwischen zwei Grenzen einschließen:

(Ö)

(2 ft)!

(2«)²»-²

Nach den Ungleichungen (7) in Nr. 518 ist aber

y'2z, e-s"(2nf’‘⁺i <(2n)[<Ÿ2ite

24 n

(2«)²“ ⁺ ł

Hieraus und aus den Ungleichungen (5) folgt:

²«+!

(6)

2 (²w)

(2jtfn~z

(2 ft)

2 n +1-

24«

(2jr)2w_ ł

In diesen Ungleichungen ist das Verhältnis aus der oberen und unteren Grenze gleich

jr7C²eUn.

|5«Ä

Statt (3) kann man schreiben:

2 Tt

i > J_. JL . JL

Sobald n > 3 ist, hat das rechts stehende Produkt nur sechs Faktoren, die kleiner als Eins sind, dagegen 2n — 6 Faktoren, die größer als Eins sind. Demnach wird

(?)

hm Kln = + oo.

n = + oo

Bis nehmen die Berno ullisch en Zahlen ab; von da an wachsen sie beständig.

523. Die Stirlingsche Formel. Nachdem wir in Nr. 521 die Entwicklung (5) gewonnen haben, die insbesondere für jedes reelle a gilt, setzen wir sie in der letzten Forme] von Nr. 520 ein und finden so für positives x:

+ oo

(1) hL(i(x) = ^JI o

+ (- U"

+ oo    + oo

e~axda—~J a²e~axda + ^f j ct*e o    o

— (XX

da----

+ 00

+ 00

( a- n

(2n)\J K

-2g-

© a2n e~axda.

Nun aber ist nach (1) in Nr. 496:

+ oo

ccue-axda =

r(2fc+ 1) _ (2 k) !

xn+1 xik+i

für Je = 1, 2, 3, .... Da ferner & eine Funktion von a bedeutet, deren Wert zwischen Null und Eins liegt, läßt sich das letzte Integral nach dem Mittelwertsatze 21 in Nr. 420 auf die Form

+ oo

(2 n) ! x2n + 1

6 ja2ne~axdu oder 0 o

bringen, wobei jetzt 6 einen gewissen Wert jener im Integral auftretenden Funktion (d von a bedeutet, und zwar einen Wert, der von dem gewählten x und n abhängig sein wird und zwischen Null und Eins liegt.

Hiernach ist für jedes positive x:

58», 583]

_    1 | ^6    i___

lnp(*)-ÏTT i

3-4 xs ' b ■ 6 x°

(-1    1    (-ir«a„t,___1_

(2 « — 1)2« x2n~x (2n+ l)(2w-j-2)    a²”*¹’

wobei 0 < 6 < 1 ist.

Tragen wir endlich diese Entwicklung in die Formel (8) von Nr. 519 ein, so ergibt sich die für jedes positive x gültige Stirling sehe Formel:

(2)

’ln JT(ir 1) = j ln (2jt) — x -f (x + f) ln x

___1    . Ba 1

3*4 xs ' 5 • 6 x⁶

(-îf-'üj, i

(*»-!)*» '^î

r1-2' x

B,

(- i)wQ2b+8__

(2«+l)(2» + 2) x^n + ¹ ’

worin 0 < ä < 1 ist.

Diese Stirlingsche Formel ist deshalb bemerkenswert, weil sie für lim n = -(- oo eine divergente unendliche Reihe liefert, aber für endliches n trotzdem sehr gute Dienste für die angenäherte Berechnung von ln r(x -f 1) leistet. Daß die unendliche Reihe in der Tat divergiert und zwar für jedes positive x, folgt sofort daraus, daß das allgemeine Glied, abgesehen vom Vorzeichen, nach (4) in Nr. 521 den Wert

____¹ JL_ . ,._². .. ... 2n 2 . ¹ .( 1 _L _L J_ J____\

(2 «—1)2« x2n~X    2 nx 2nx 2 nx 2n²x y ' 22n ' 32n '    ) hat. Hier strebt zwar der Inhalt der letzten Klammer für lim n = + oo nach Eins; aber unter den übrigen Faktoren ist für jedes bestimmt gewählte positive x nur eine von x abhängige, also bestimmte Anzahl von Faktoren vorhanden, die kleiner als Eins sind, während die Zahl derjenigen Faktoren, die größer als Eins sind, mit n unbegrenzt wächst, so daß die Divergenz nach Satz 4, Nr. 103, einleuchtet.

Die begrenzte Stirlingsche Formel (2) dagegen läßt sich, wie wir nunmehr zeigen wollen, sehr gut verwenden.

524. Einengung von r{x + 1) für positives x zwischen zwei Grenzen. Wenn wir in der Stirlingschen Formel nur die Glieder bis JB2n berücksichtigen, dies mit eingeschlossen, wird der für ln r(x -(- 1) hervorgehende Wert

[533, 534

zu klein oder zu groß, je nachdem n gerade oder ungerade ist, und zwar wird der Fehler absolut genommen kleiner als

(1)

_ ~^2w + 2_ _

(2n + 1) (2n 4- 2) ' x2n + ¹’

weil 6 zwischen 0 und 1 liegt, also kleiner als der absolute Betrag des bei der Fortsetzung der abgebrochenen Entwicklung zunächst auftretenden Gliedes. Man erhält demnach die beste Annäherung an den wahren Wert von ln r(x 4- 1), wenn man noch dasjenige Glied mit berücksichtigt, dem das absolut genommene kleinste Glied unmittelbar folgt. Bei unbegrenzt wachsendem n streben ja die Glieder, wie wir in voriger Nummer sahen, nach + oo, so daß es ein Glied mit dem kleinsten absoluten Betrage gibt.

Wir können mithin ln r(x 4-1) und folglich auch r(x 4-1) selbst für jeden positiven Wert von x mit Hilfe der Stirling-schen Formel zwischen zwei Grenzen einschließen, die übrigens um so näher aneinander rücken, je größer x ist.

Wenn wir z. B. n = 0 wählen, folgt aus (1), da JB₂ = \ ist, daß der Fehler absolut genommen kleiner als 1 : 12x wird. Somit ist:

yln(2^)—^4-(^4-|-)lna:<lnr(a:4-l)<iln (2x)—x + (x + j) ln #4- —^

oder, wenn wir von den Logarithmen zu den Numéris übergehen :

]/2% e~xxx+* < r( 1 + x)<]/2

-x +

12 x Xx +

für jedes positive x. Für ganzzahlige positive Werte von x fanden wir diese Ungleichungen schon unter (7) in Nr. 518.

In Fig. 20 haben wir, um einen Begriff von dieser Annäherung zu gehen, die drei in (2) auftretenden Funktionen für kleine positive Werte von x graphisch dargestellt.

Es sei un der absolute Betrag des mit behafteten Gliedes der Stirlingschen Formel, also 5»4]

(2)

7t e

ra+x)

0,5

Ü5

Fig. 20.

Un =

so daß

(2 n — 1) 2 n (2n -\-1) (2 n -f- 2) xi

u„

U» +1 _ ~^2m + 2 ■®2 n

ist. Hieraus folgt nach (4) in Nr. 522:

un +1

(2 n — 1)2«

n'¹

un

4jr²a;²

Ist x > 1, so nehmen

Für n ?>x wird mithin un + 1 < un. also die Glieder der Stirlingschen Formel zuerst ihren absoluten Beträgen nach ab. Wenn x insbesondere eine ganze Zahl ist, tritt dies sicher bis zu demjenigen Gliede ein, das zu n = 3x gehört.

Nach

525. Der Rest der Stirlingschen Formel.

der Entwicklung (2) von Nr. 523 und nach (4) in Nr. 522 ist der absolute Betrag des Restes

(— l)n0B2n + 2

(2 n -f-1) (2 n -j- 2) ' ~^n + 1 der Stirlingschen Formel der Ungleichung unterworfen:

jj

also nach (6) in Nr. 522 um so mehr dieser:

1 Ynn / n \2w 24m x \e%xj

(1)

Diese Grenze läßt sich leicht logarithmisch fiir gegebenes x und n berechnen.

Wenn x eine ganse positive Zahl ist, nehmen die Glieder der Reihe, wie wir sahen, absolut genommen bis zu dein zu n = 3x gehörigen Gliede ab. Wird n = ?>x gewählt, so folgt

aus

(1):

i*.i<4Gr

yx

Weil x mindestens gleich Eins ist, wird um so mehr:

11 ’üö ~ 6 x

Yx

[5*4, 5*5

Es ist aber:

also:

oder:

(2)

i-(i) Vs<°,s93⁴⁰⁹2,

I Ą. I < 0,3934092 ^

e

]/x

log | BSx | < - 0,4051555 - 2,6057668« - {log«.

Insbesondere ist für x — 1 bereits :

log | B₃ I <-3,0109223, d. h.

I B, | < 0,000 9752< ~

und für x — 10 :

log | Ą₀ I < — 26,9628235, d. b.

-^30 I <

1,09

1027 ;

so daß also der Rest für die 26 ersten Dezimalstellen nicht mehr in Betracht kommt, wenn man die Reihe nach dem mit R₆₀ behafteten Gliede abbricht.

526. Pormeln für die Ableitungen von ln r(x + 1).

Durch Differentiation nach x lassen sich auch für die Ab

leitungen von ln r(x + 1) Entwicklungen ähnlich der Stirling-schen Formel finden. Wir benutzen dabei jedoch nicht direkt die Stirlingsche Formel (2) in Nr. 523, denn in ihr ist 9 eine zwar zwischen Null und Eins gelegene, uns aber unbekannte Funktion von x. Vielmehr gehen wir auf die Formel (1) von Nr 523 für ln/r(«) zurück, in der & unter dem Integralzeichen des letzten Gliedes auftritt und nach den Entwicklungen von Nr. 521 zwar von a und n, aber nicht von x abhängt.

Wenn wir diese Formel r-mal nach x differenzieren,

kommt:

+ 00

/ , Y (fin il (x) ₌    Ç

K ] dxr 2! J '

o

ar e axda—

r‘ f“r+2e

0

da -j----

4- oo

+ 00

-i B

,J2n

(2 n) !

a^n-le^da + (_ir

J &ar+2ne~arda,

o

und hieraus folgt auf dieselbe Weise, wie wir die Formel (1) in Nr. 523 umänderten:

535, 536] wobei nunmehr 6r eine von x, r und n abhängige und zwischen Null und Eins gelegene Größe ist.

Für lim w = + oo würde hieraus wieder eine divergente Reihe hervorgehen. Brechen wir aber die Reihe nach dem mit Bin behafteten Gliede ab, so wird der Fehler absolut genommen kleiner als der absolute Betrag des folgenden Gliedes.

Insbesondere ergibt sich für r = 1 :

(—1 )n + %B (2 n-\- 2)x

Die Formeln (1) und (2) gelten für jedes positive x. Nach (10) in Nr. 519 ist nun:

iSTS±a-i"* + n +

/o\ d\nn(x)___Bi Bj

' ' dx    2xi' kx'

2n + 2

(— l)n J?₂?t 2 nx2n

(3)

(-1 )r

drln(i(x)_r ! Bi (r -)- 2) ! Bi

dr 2\xr+1~

(i)

+ -1)

»-i(r+2w — 2)! Bin    -t\nn (r-\-2n)\ Bzn + l

^+2«-l ~K ¹ / °r (2n -f 2)1 æ'-+ 2 « +1 >

(2») !

dlnfi(æ)

so daß aus (2) folgt:

2x*'kxi

4)

(~l)nB2n , (-1)

ra + 1

⁰l-®2ît+2

2nx2n

(2 n + 2) x

2n + 2

Ferner ergibt sich aus (3) durch (r— 1) malige Differentiation:

r dr ln (i (x)

(-i)

rdrlnr(x -f 1)    (r — 2)!    (r—1)!

dxr

xr

2/

+ -i)

dxr

und, wenn wir hierin die Entwicklung (1) einsetzen:

rdr\nr(x+t) (r—2)! (r—1)! , rj B

2Ïxr₊l

-i)

(5)

dxr

af-¹

2xr

I (y+2)! B< 4!

i (_i \n-l(r-f-2w 2)! B2n . ,_y,a (r-f-2^)! B%n + 2

⁺ ^    (2n)! £Cr + 2«-i"rt l) ⁰r(2n+2)lxr+ 2«+i'

Auch die Formeln (4) und (5) gelten für jedes positive x, und in ihnen ist 0t und dr ein positiver echter Bruch.

527. Die Eulersche Konstante. Wie schon in Nr. 503

•gesagt wurde, können wir die Eulersche Konstante y auch

S e r r e t - S c h e f f e r s, Diff.- u. Integral-Rechnung. II. 4.u.5.Aufl. 17    [£><36, 527

direkt berechnen. Wir gehen dabei von der Formel (5) in Nr. 504 ans, in der wir die ganze positive Zahl m mit x -j- 1 bezeichnen wollen, so daß kommt:

y = 1 + Y + y + ••• +-|

d\a.V{x-{-1)

dx

Hierin setzen wir die Entwicklung (4) der letzten Nummer ein und erhalten:

(i)

Y — 1 +    4"----h ~ — hl æ — Yæ

i    i

^x⁴    2»æ²”

^ 2o:ä

(— 1)”    w + 2

(2 m -f 2)x

2ra + 2 ‘

Lassen wir das letzte Glied fort, so wird der für y hervorgehende Wert zu klein oder zu groß, je nachdem n gerade oder ungerade ist, und der absolute Betrag des Fehlers wird kleiner als

(2)

-Z?2n + 2

(2 n 2) x

2« + 2 '

Setzen wir die in Nr. 522 gefundenen Werte der Bernoullisehen Zahlen ein und wählen wir n — 6, so ergibt sich für y der Näherungswert:

• + —— lnæ — ~—

x    2x

j__¹    *    j_ __i___L_ 4.    *___

T 12a:s    120a:⁴    ' 252a:⁶    240a;⁸ ~    132 a:¹⁰    32760a:12,

_|—

¹ + Y + Y

691

der zu klein ist. Der Fehler ist jedoch wegen Bu = -f- nach

(2) nicht größer als 1:12 a:¹⁴. Wird also z. B. x = 10 angenommen, so beträgt der Fehler weniger als neun Einheiten der sechzehnten Dezimalstelle. Die Berechnung für x = 10 ist ziemlich einfach. Vgl. den in Nr. 503 für y angegebenen Wert.

y = r(x)

528. Geometrische Darstellung der Gammafunktion für reelle Werte der Veränderlichen. Der Verlauf der Kurve

für #>0 ist tins nach Fig. 18, S» 214, bekannt. Die erste Eigenschaft der Gammafunktion, siehe Satz 3, Nr. 509, besagt nun:

527, 528]

r(x) = r^+¹⁾

(1)

Hiernach ist r(x) im Intervalle von x — — 1 bis x = 0 negativ, im Intervalle von x = — 2 bis x = — l positiv, im Intervalle von x =— 3 bis x = — 2 negativ, usw. Für x = §, —1, —2, — 3, ... wird r(x) nach Nr. 506 unendlich groß. Es läßt

■9-

—3

-4

Fig. 21.

sich auch mit Hilfe der zweiten Eigenschaft, nach Satz 4, Nr. 510, aus

(2)

r(x) -

r(l — x) sin nx

der Verlauf der Gammafunktion für #<0 aus dem für #>1 leicht ableiten. Diese Gleichung zeigt ebenfalls, daß r(x) für # = 0, —1, —2, — 3, ... unendlich groß wird.

Die Reihenentwicklung der zweiten Ableitung von ln r(x) in Satz 2, Nr. 508, zeigt ferner, daß

(Z² in r(x) r(x)r"(x) — [r'(x)]

dx²

\m\

17*

[588

und mithin auch r(x)r"(x) für jedes reelle x einen positiven Wert hat. Daher ist r"(x) im Intervalle von x = — 1 bis x=0 negativ, im Intervalle von x = — 2 bis x = — 1 positiv usw. In jedem der Intervalle, die x von 0 bis —1, von —1 bis — 2 usw. abnehmend durchläuft, hat also die Kurve y = r(x) nur ein Maximum bzw. Minimum. Aus (2) folgt durch Differentiation im Falle r'(x) = 0, daß diese Maxima bzw. Minima zu denjenigen negativen Werten von x gehören, für die

«    r'(i-x)

r( i-x)

= 7t Ctg TtX — — 71 Ctg 7t (1 — x)

ist. Setzen wir l—x = z, so haben wir also, um diese Maxima bzw. Minima zu finden, diejenigen positiven Werte von z zu berechnen, für die d ln r(ar)

dz

= 7t Ctg TtZ

wird, und dann x = 1 — z zu setzen. Durch näherungsweise Auflösung dieser Gleichung findet man für die am nächsten bei x = 0 liegenden Maxima bzw. Minima die Werte:

x = — 0,50, r(x) = — 3,54 Maximum,

-1,57

2,30 Minimum,

-2,61

-3,635

— 0,89 Maximum,

0,245 Minimum

Die absoluten Beträge der Maxima und Minima nähern

usw.

sich überdies, je größer —x wird, immer mehr der Null. Fig. 21 gibt eine Übersicht über den Verlauf der Bildkurve von y = r(x) für positives und negatives x.

529. Independente Berechnung der Bernoullischen Zahlen. In Nr. 522 leiteten wir für die Bernoullischen

Zahlen B₂, 1?₄, B₆, ... eine Rekuisionsformel ab. Die ursprüngliche Definition (4) von BSn in Nr. 521 gibt dagegen eine sog. independente, d. h. von der vorhergehenden Berechnung von i?₂, J5₄, ... B,

unabhängige Darstellung der Zahl Bin. Aber obgleich B2n, wie wir wissen, rational ist, enthält diese Darstellung die transzendente Zahl 7t. Man wird daher eine von transzendenten Zahlen freie independente Darstellung der Zahl B%n zu haben wünschen. Wir wollen diese Darstellung, die aller-

5*8, 5*9]

dings etwas umständlich ist, noch als Anhang zu dem gegenwärtigen Kapitel ableiten.

Die Bernoullischen Zahlen sind die Koeffizienten in der Reihenentwicklung (6) von Nr. 521; und dieser Entwicklung können wir, indem wir cc = — z setzen, die Form geben:

_ I + Ei 2 ~ 2!

(i)

i    _ .

4!    ' 6!

Sie konvergiert für jedes komplexe z, dessen absoluter Betrag kleiner als 2n ist. Nun ist aber:

ez-\

e*+ i

Ersetzen wir hier die rechts stehenden Brüche durch die Reihe (1) und durch diejenige Reihe, die aus (1) hervorgeht, wenn 2z statt z geschrieben Avird, so kommt für \z \ <tt:

(2*-l)B, zs

(2)

i-i |<N

(2² — 1 )B₂ g

(2⁶ —1 )B₆ zb

1!

3!

5!

ez+l

Dies ist die Maclaurinsche Reihe für 1 : (ez -f- 1), und daher muß ihr allgemeiner Koeffizient

(3)

(-i)

2 n ~~

_dz

d2w"¹

in-1 .

C -j- l_b = 0

sein, nach Satz 24, Nr. 116.

Wir gehen deshalb darauf aus, die rechts stehende Ableitung zu berechnen. Zunächst ist:

____ -e«

dz ß*_|_ i — i)

und man sieht leicht, daß allgemein für den (2n—l)ten Diffe-rentialquotienten eine Formel

2 n- 1

(4)

15)

,2n — 1

I _A, e'>-V+A,é?"-J‘>+ ■ • • +

e-+l

(e'+O

2w

von dem Index n ab-

d. h. f(z)=f(-z)

hervorgeht, worin Alf Aa, ... A hängige Konstanten bedeuten. Aus (4) sieht man ferner, daß sich die erste Ableitung nicht ändert, wenn z durch — z ersetzt wird, d, h. daß sie eine gerade Funktion von z ist (vgl. Nr. 467). Wenn aber f(z) eine gerade Funktion von ist, folgt durch zweimalige Differentiation, daß auch ihre zweite

(6)

Ableitung f"(z) eine gerade Funktion ist. Schluß von 2n — 3 auf 2n— 1 lehrt daher, daß alle Ableitungen (5) gerade Funktionen sind. Folglich muß

Ax é~2n ~ b* -F Ą e(2n ~ ²>z H-----b A

= Ate: + A₂e2z-j-----b A

=Ak sein. Mithin nimmt die Formel (5)

und also allgemein A die speziellere Gestalt an:

2n-l

e-'

2ra— 1

e(2n-l)z

A[e(2»-lb ₊ ^]₊^[c(2n-^ + e22] + ...₊^_i[e(M ₊ ip + e(»-ip]+Ae

(e’+l)²”

Nehmen wir z reell und positiv an, so ist e~z positiv und kleiner als Eins und nach Satz 1, Nr. 101 :

e~z

ez+1 l + e~z

Weil diese Reihe für jedes reelle positive z gleichmäßig konvergiert, darf sie nach Satz 27, Nr. 427, gliedweise differenziert werden, falls die hervorgehende Reihe ebenfalls gleichmäßig konvergiert. Dies ist in der Tat bei beliebig oft wiederholter Differentiation der Fall, so daß sich ergibt: d2n~¹ l dz2n~x ez+ 1

Ferner ist nach der binomischen Formel:

e~z — e~2z +'e~3z — e~iz H----.

= — e~z -f 22n~¹e~2z — 32n~¹e~3z + 42n~¹e~4:---

_|_ \    __ g2nz _|_    g(2w- 1)3 _j_

2n(2n— 1)

Multiplizieren wir die beiden letzten Gleichungen miteinander, so folgt aus (6):

At\_é~2n-^z+ez] +A₂ \jßn~²>+ e2z] 4-----b An_x [e(»+i)»+e(»-¹)*] + Anenz

= [—e-3 + 22n~¹e~2z—32n-ie-33_|_ 42»-ie--4«----j

2 n (2 n — 1)

Die Ausführung der Multiplikation rechterhand liefert nur positive Potenzen von ez, und die Vergleichung der Glieder mit gleichhohen Potenzen von ez auf beiden Seiten ergibt zunächst A₁ ——1 und allgemein für einen Index 1:

529]

g(2«—2)i _j-----\-^ez + l]-

At= (-1)*    (Je- l)s”-¹4

+ (-i)

Nach (3) und (6) ist aber:

o²»_ 1

k- 1

2m(2 n — 1)

(Je — 2)

2n — 2____

2w(2w — !)•■• (2n — Je -J- 2)

1 • 2 • • • (Je — 1)

A 4~ A* ~f~----h^«-i +    .

gäre — 1

mithin erhalten wir zur Berechnung der Bernoullischen Zahl B2 n die folgende Formel:

„ (22n-l)2w~¹

(-i)

Ą„=

2n(2n — 1)

— 1 + [22re“¹ —— j^²»-¹ —    22re_1 +

j 2 n (2 n—1) • • (n -f-2)

‘ T- 2 • • (n — 1)

Rechts treten die (2n — l)ten Potenzen von n, n—1, n — 2 usw. auf. Ordnet man die Summe nach ihnen, so geht hervor:

(22ä— l)2

+(_!)-» [(. - i)».-._y(w_2)^-₊."+ +|(—i)»^²«-¹—^(w-i)²«-¹H—K—i)w_

An

— 4 w²“-i —

+D+¥+*

2«(2 w —

-[i ₊ ^

+ (_l).₊.[l ₊ ^₊²^z:i>

1-2

1-2

[l +ł"r](w_" !)

] (w — 2)

- + i ²~--2n~^^n ~~ ²⁾] (n — 3)

2n(2n— 1)

2«-1

2a — 1

2a — 1

1 • 2 • • (n — 2)

2    1.2 • • (n — 1)

Dies ist die gesuchte independente Darstellung der Bernoullischen Zahl B2n. Die rechte Seite wird durch Multiplikation mit 2 eine ganze Zahl. Folglich ist

(2²»—1) 22n~lB2n

ein ganzes Vielfaches von n.

Fünftes Kapitel.

Quadratur und Rektifikation yon Kuryen.

§ 1. Quadratur ebener Kurven.

530. Das Vorzeichen der Fläche. Unter der Fläche der Kurve y = f(x) von æ₀ bis X sei immer kurzweg diejenige Fläche verstanden, die von der Kurve, der Abszissenachse und den zu x₀ und X gehörigen Ordinaten eingeschlossen wird und nach Satz 7, Nr. 411, den Wert x

(i)

j*f(x) dx

xo

hat, vorausgesetzt, daß f(x) von x₀ bis X stetig ist. Differenzierbarkeit von f(x) ist bekanntlich nicht erforderlich; dennoch bezeichnen wir das Bild der Funktion y = f(x) der Einfachheit halber als Kurve oder Linie (entgegen der Festsetzung in Nr. 167).

Der enge Zusammenhang zwischen Quadratur und Integration ist der Grund, aus dem man öfters für die Berechnung eines Integrals das Wort Quadratur gebraucht (vgl. Nr. 411).

x A:

Fig. 22.

Die in Satz 7, Nr. 411, gegebene Vor-zeiehenregel läßt sich einfacher ausdrücken:

Durchlaufen wir die Abszissenachse von x0 his X, hierauf anschließend die Ordinate von X bis zur Kurve, alsdann anschließend die Kurve und endlich die Ordinate, die zu x₀ gehört, bis zu ihrem Fußpunkte (siehe Fig. 22 für ver-530] schiedene Fälle), so haben wir der Fläche einen Umlaufsinn gegeben. Der Umlaufsinn soll positiv heißen, wenn die Fläche heim Umlaufen auf derselben Seite liegt, wie die positive «/-Achse für jemanden, der längs der positiven x-Achse hinblickt. Bei der gewöhnlichen Orientierung des Achsenkreuzes soll also der Umlaufsinn positiv heißen, falls die Fläche linkerhand gelegen ist. Nun sieht man: Das Integral (1) stellt den Wert der Fläche dar, falls die Stücke der Fläche mit dem Plus- oder Minuszeichen versehen werden, je nachdem sie positiv oder negativ umlaufen werden.

Nur wenn man jedem ebenen Flächenstücke zunächst einen Umlaufsinn beigelegt hat, ist seine Fläche eine bestimmte positive oder negative Zahl und zwar auch dann, wenn die Begrenzung der Fläche sich selbst schneidet; und nur bei bestimmt gewählten Umlaufsinnen kann man Flächen addieren und subtrahieren.

Jedes beliebig, wenn nur stetig, begrenzte ebene Flächenstück mit bestimmtem Umlaufsinne läßt sich durch solche Flächenstücke ausdrücken, die mittels Integrale von der Form (1) zu berechnen sind.

Z. B. mögen drei Kurven

*2

y = A O),    y =*/>(*) > y = U0)

‘‘*'3

Fig. 23.

so beschaffen sein, daß die erste die p* beiden Punkte P₂, P₃, die zweite die *]| beiden Punkte P₃, Px und die dritte die beiden Punkte Px, P₂ verbindet, so daß sie ein krummliniges Dreieck PXP₂PS einschließen, siehe Fig. 23. Es seien xx, x₂, x₃ die Abszissen der Ecken Px, P₂, P₃. In dem Umlaufsinne PXP₂PS gemessen ist die Fläche des Dreiecks gleich

*1    *.i    a⁻!

(2)

Jfx(x)dx +1 f₂(x) dx +J*f₃(x)dx,

#3    xv    X₂ indem jeder dieser drei Summanden eine bis an die Abszissenachse heranreichende Fläche vorstellt, die ein bestimmtes Zeichen hat, so daß sich die Flächenteile, die nicht innerhalb des Dreiecks PXP₂P₃ liegen, gegenseitig fortheben. In Fig. 23 haben wir die positiven und negativen Summanden durch die Art der Schraffur (von links nach rechts steigend oder fallend) unterschieden.

Beispiel: Eine einfache Anwendung hiervon führt auf die bekannte Formel der analytischen Geometrie für den Inhalt des geradlinig begrenzten Dreiecks P₁P₂P₃. Die Gerade P₂P3 hat nämlich die Gleichung

_ ^2    xs Ui i Uz

»/    -Y*    .    /y»    '    /Y»

*"2 ,X/S

so daß fx(x) diese lineare ganze Funktion von x uud

x₂

J*fiiptydx =

a-j

x v —XV 4- —_—    ^_—

x3.72 V v ™

= j(x₂- X₃) (y₂ + y₃)

wird. Dies ist der Inhalt des zwischen P₂P₃ und der Abszissenachse gelegenen Trapezes, den wir auch direkt aus einer Figur hätten ablesen können. Entsprechende Werte gehen für die beiden anderen Summanden in (2) hervor, und die Summe (2) läßt sich hier so schreiben:

ą yx 1 x.₂ y₂ 1

Diese Fläche ist positiv oder negativ, je nachdem der Sinn P₁P₂P₃ dem des Uhrzeigers entgegen ist oder nicht.

Fig. 24.

Die Summe (2) stellt auch dann die Fläche des krummlinigen Dreiecks PtP₂P₃ vor, wenn die Seiten einander außer in den drei Ecken überschneiden. So hat sie z. B. in Fig. 24 die daselbst angegebene Bedeutung: Die doppelt und entgegengesetzt schraffierten Stücke heben sich gegenseitig auf. Es verbleiben hier drei Stücke einfach schraffiert, von denen eins positiv ist und zwei negativ sind. Wenn zwei der drei gewählten Kurven in eine zusammenfallen, z. B. f₂(x) = f₃(x) ist, gibt (2) die Fläche eines krummlinigen Ziveiecks. Ist insbesondere alsdann f₂(x) eine lineare ganze Funktion, so geht die Fläche 530]

zwischen einer Kurve und Sehne, also die eines Kurvensegmentes hervor.

531. Ersatz der Flächengrenze durch eine angenäherte Grenze. In Nr. 409 wurde die von x₀ bis X erstreckte Fläche der Kurve y = f(x) in der Weise definiert, daß die Kurve zunächst durch einen noch in gewissem Maße willkürlichen treppenförmigen Linienzug ersetzt wurde, so daß eine nur geradlinig begrenzte Fläche vorlag. Der treppenförmige Zug hatte dabei die Eigenschaft, beim Übergange zu lim n = oo nach der wahren Begrenzung hinzustreben oder, wie wir auch sagen, nach ihr zu konvergieren. Als Fläche der Kurve wurde alsdann der Grenzwert der Fläche des Linienzuges definiert.

M-

W5

n-

{C

-o—6-

Mg. 25.

Statt jenes Linienzuges lassen sich nun aber mancherlei andere ersinnen, die ebenfalls nach der Kurve konvergieren. Z. B. können wir das Intervall von x₀ bis X wieder willkürlich in n Teile teilen, die zugehörigen Kurvenpunkte bestimmen und alsdann je zwei aufeinanderfolgende von diesen Punkten durch die Sehne verbinden, so daß ein Sehnenpolygon CM₁M₂ . . . Mn_₁D hervorgeht, siehe Fig. 25. Es weicht von der Kurve um so weniger ab, je kleiner alle Einzelintervalle werden, wobei die Zahl n immer größer wird. Es lassen sich aber auch manche andere, ebenso nach der Kurve konvergierende lückenlose Züge herstellen; sie brauchen auch nicht aus lauter geraden Stücken zusammengesetzt zu sein.

Allgemein möge irgend ein lückenloser Linienzug nach einem gewissen Gesetze derartig konstruiert sein, daß er noch einem Grenzübergange unterworfen werden kann, bei dem er im Intervalle von xQ bis X nach der Kurve y — f(x) konvergiert. D. h. analytisch ausgesprochen: Es möge cp(x) eine solche stetige Funktion im Intervalle von x₀ bis X bedeuten, die noch andere und andere Formen annehmen kann und zwar so, daß, wie klein auch eine positive Zahl r gewählt sein mag, stets eine Funktion <p(x) existiert, für die

fix) — r<, <p(x) <; f(x) + X

(1)

an jeder Stelle x im Intervalle von #₀ bis X ist. Lassen wir x nach Null streben, so können wir alsdann sagen, daß der Linienzug y = cp (x) nach der Kurve y — f(x) konvergiert.

Ist x₀ < X, so folgt aus (1) ohne weiteres nach Satz 14,

Nr. 413:

X

j*f(x) dx

xo

weil X — x₀ endlich ist. Wir haben also den

Satz 1: Konvergiert in einem, endlichen Intervalle ein veränderlicher, aber stetiger Linienzug y = cp (x) nach einer bestimmt gegebenen stetigen Linie y = fix), so ist auch der Grenzwert der Fläche jenes veränderlichen Linienzuges gleich der Fläche der gegebenen stetigen Linie.

Demnach läßt sich die Flächendefinition in Nr. 409 bedeutend verallgemeinern. Statt des treppenförmigen Linienzuges können wir z. B. das in Fig. 25 konstruierte Sehnenpolygon oder irgend einen anderen, nach der Kurve konvergierenden Linienzug anwenden. Da jedes ebene Flächenstück ausdrückbar ist durch solche Flächen, die nur einerseits krummlinig, andererseits durch die Abszissenachse und überdies durch zwei Ordinaten geradlinig begrenzt sind, dürfen wir dasselbe allgemeine Verfahren auf den Rand beliebiger ebener Flächenstücke in endlichen Bereichen anwenden, wodurch wir zu einer Fläche gelangen, deren Grenzwert die fragliche Fläche ist. Hiervon machen wir in der Folge einige Anwendungen.

532. Quadratur in Folarkoordinaten. Ein Kurvenstück AB, siehe Fig. 26, sei in Polarkoordinaten co, q (vgl. Nr. 203) durch die im Intervalle von co₀ bis co₁ stetige Funktion p=/'(co) gegeben. Der Fläche u zwischen der Kurve AB

531, 53»]

und den zu o₀ und co₁ gehörigen Radienvektoren geben wir denjenigen Umlaufsinn, der hervorgeht, wenn AB so durchlaufen wird, daß m die Werte von gj₀ bis cjj annimmt. In Fig. 26, wo m₀ < co₁ gewählt ist, hat die Fläche u also positiven Sinn und demnach das Pluszeichen. Es kann aber auch co₀ > co₁ sein. Wir setzen noch voraus, daß q = /'(cj) im Intervalle von œ0 bis ojj überall positiv bleibe, also nie durch den Wert Null hindurchgehe, d. h. daß die Kurve den Pol der Polarkoordinaten nicht enthalte. Denn dieser Pol spielt ja eine singuläre Rolle, wie in Nr. 203 hervorgehoben wurde.

Wi

.co.

------ ₀

Um nun die Fläche u zu berechnen,

teilen wir ^ AOB in etwa n beliebige

Teile, indem wir n — 1 Radien Vektoren 0Mt, 0M₂, . . . 0Mn_l

eiuschalten. Die Kreise um 0 durch A bzw. Mt, M%, . . . Mn_x

mögen die Radien Vektoren OMx bzw. 0M₂, 0Jf₃, ... OB

in Nx bzw. N₂, Ns, ... N treffen. Jetzt können wir die Kurve

Fig. 26.

nach Satz 1 durch den aus Kreisbogen und Strecken bestehenden Linienzug

AN₁M₁NiM,...Mn_₁Nn

ersetzen, da er zur Kurve konvergiert, falls alle Teilwinkel von AOB nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahl n über jede Zahl wächst.

Ist z/oj der allgemeine Ausdruck für einen beliebigen

unter den n Teilwinkeln und

der Radiusvektor auf dem Anfangsschenkel dieses Winkels, so hat die zugehörige Fläche des Kreissektors den Wert f p²z/(o, so daß

(1)

Bleibt die obere Grenze willkürlich, bezeichnen wir sie also mit co, so ist u eine solche Funktion von tu, für die

du

Tco

= iro) = jq²

ist. Hiermit wird nachträglich der vollständige Beweis für die Formel (1) von Nr. 204 geliefert. Damals fehlte ja noch die exakte Definition der Fläche.

533. Quadratur bei Anwendung¹ einer Hilfsveränderlichen. Es sei eine krummlinige Flächengrenze AB mittels einer Hilfsveränderlichen t durch die beiden im Intervalle von t₀ bis stetigen Funktionen von t gegeben:

(1)

x — cp (f), y =

vgl. (3) in Nr. 168. Dann soll die Fläche u berechnet werden, die zwischen dieser krummen Linie und den vom Anfangspunkte 0 nach ihren Endpunkten A und B gezogenen Strahlen liegt. In Polarkoordinaten co, q hat diese Fläche nach der Formel (1) der letzten Nummer den Wert:

Ü>1

u — ^ J ç²dœ

wu

Hierin ist p² = <p² + und co — arc tg so daß sich ergibt:

<p

, d. h. dco =

cpip' — ip cp'

dt,

(2)

Der Umlaufsinn der Fläche ist dabei derjenige, bei dem die Kurve so durchwandert wird, daß t von t₀ bis tt geht.

534. Beispiele von Quadraturen. Zu den in Nr. 411

gegebenen Beispielen fügen wir hier und in den folgenden Nummern noch andere hinzu.

1. Beispiel: Parabolische und hyperbolische Kurven nennt man diejenigen Kurven, deren Gleichungen bei passender Wahl des Achsenkreuzes die allgemeine Form 532, 533, 534]

konst. xn + konst. ym = 0 haben. Auflösung nach y gibt:

(i)

(2)

y = axr,

wo a und r Konstanten sind. Ist a < 0, so vertauschen wir y mit — y und kommen auf die Annahme a > 0, die wir daher im folgenden machen wollen. Nach Nr. 5 ist die Potenz xr für positives x als positive Zahl definiert. Wir beschränken uns mithin auf positive Werte von x und y.

Ist r > 0, so heißt die Kurve parabolisch; sie geht durch den Anfangspunkt und hat keine Asymptote. Siehe Fig. 27 für r = 3 und a = 0,2. Ist dagegen r < 0, so heißt die Kurve hyperbolisch ; sie geht nämlich nicht durch den Anfangspunkt,

±-

V\

■ib

■ib

Fig. 28.

Fig. 27.

hat aber die Achsen zu Asymptoten (vgl. Nr. 171). Siehe Fig. 28 für r — — 2 und a = 1. Die hyperbolischen Kurven heißen auch polytropisch wegen ihrer Bedeutung in der Wärmetheorie. Die Kurve (1) ist parabolisch oder hyperbolisch, je nach dem die Konstanten n und m dasselbe oder verschiedenes Vorzeichen haben.

Ist r zwischen — 1 und -J- 1 gelegen, so führt die Vertauschung von x mit y zu dem Falle, wo r² > 1 ist. Wir dürfen uns also auf die Annahmen r > 1 (parabolisch) und r < — 1 (hyperbolisch) beschränken. Die von xQ bis x erstreckte Fläche u der Kurve (2) ist:

r _|_ 1 v⁶    ^0    )

wenn y₀ die zu xQ gehörige Ordinate bedeutet. Handelt es sich um eine parabolische Kurve, ist also r > 1, siehe Fig. 27,

[534

x₀

axr dx

xy — XoVo

so können wir x₀ = i)₀ = 0 wählen und erhalten dann u == xy : (r -f 1), d. h. die Fläche ist der (r -j- l)te Teil der Fläche des Rechtecks mit den Seiten x und y. Liegt dagegen eine hyperbolische Kurve vor, ist also r < — 1, siehe Fig. 28, so können wir den Grenzübergang lim x₀ = + ⁰⁰ machen, da dann lim x₀y₀ = 0 wird, so daß u = xy : [r + 1) hervorgeht. Hier ist u negativ, weil die untere Grenze größer als die obere ist. Die Fläche u zwischen der Kurve, der Abszissenachse und der zu x gehörigen Ordinate ist also, obgleich sie sich ins Unendliche erstreckt, der — (r -f- l)te Teil der Fläche des Rechtecks mit den Seiten x und y. In der Fig. 28, wo r — — 2 gewählt ist, sind beide Flächen gleich groß.

Ist überhaupt bei einer Kurve die Fläche u von einer Anfangsabszisse x₀ bis zur Abszisse x gegeben durch die F ormel

(3)

xy — X₀y₀

so folgt durch Differentiation nach x, weil u — y sein muß :

xy + y

r-fl

oder

d\ny

dx

d. h. ln y = r ln x -f- konst. oder y = konst. xr; es liegt also eine parabolische oder hyperbolische Kurve (2) vor.

Fig. 29.

2. Beispiel: Die Lemniskate ist der Ort derjenigen Punkte in der Ebene, deren Entfernungen von zwei festen Punkten Fx und F₂ das konstante Produkt a¹ haben, wobei 2 a ff en Abstand der beiden festen Punkte voneinander bedeutet. Im 2. Beispiele, Kr. 55, wurde die Gleichung der Kurve in rechtwinkligen Koordinaten angegeben, wobei die Gerade der Punkte F1 und F₂ als Abszissenachse und die Mitte von FtF₂ als Anfangspunkt gewählt wurde. In den zugehörigen Polarkoordinaten tu, p lautet die Gleichung der Lemniskate so:

p² = 2a² cos 2 a.

Der Anfangspunkt ist ein Doppelpunkt, nach Nr. 189, und die zugehörigen Tangenten sind die Geraden x + y = 0. Die Kurve

534] besteht aus zwei kongruenten Schleifen, siehe Fig. 29. Nach (1) in Nr. 532 ist

u = a²J i

o

cos2eo dco = ja²sin.2a

die Fläche zwischen der Kurve und den zu 0 und œ gehörigen Radien Vektoren. Für co = ergibt sich -|a² als Fläche einer halben Schleife.

3. Beispiel: Als Cartesisches Blatt bezeichnet man die Kurve mit der Gleichung:

(4)

&³ + 2/³— 3 axy = 0;

sie ist augenscheinlich symmetrisch hinsichtlich der Halbierenden des Winkels der positiven Achsen. Der Anfangspunkt ist nach Nr. 189 ein Doppelpunkt, und zwar sind dort die Achsen die Tangenten. Nach (4) ist:

8 — (—) — 0

X \x)

und:

xs

+ y:'* -    + 3 (* + y) - 3 «    + 3« - 0.

x*+y³-2axy~0

Ix

Die erste Gleichung zeigt, daß y : x für lim x = + oo den Grenzwert g = — 1 hat. Ferner hat y — gx, d. h. x -j- y, nach der letzten Gleichung den Grenzwert h = — a. Es sind g und h die in dem Satze 1, Nr. 171, auftretenden Größen, und wir folgern daraus, daß die Gerade x+y+a=0

Fig. 30.

eine Asymptote der Kurve ist.

Siehe Fig. 30. In den zugehörigen Polarkoordinaten lautet die Kurvengleichung:

3 a sin co cos co Q sin⁸oo -f- cos³«b?

dagegen die Gleichung der Asymptote:

Serret-Scheffers,I)iff.-u.Integral-Itechniing. II. 4.U.5.Aufl. 18

sin to -f- cos co

Nach (1) in Nr. 532 sind mithin

OJ

OJ

u = f a*j j

w„

sin²w cos² co

[sin³to -j- cos⁸ to]²

da =

ł°'/i

£U₀

3 tg²to dco [tg'ho i]² cos² co

¹ + tg³<»o

-ł«’[

und

OJ

O)

-t/

tl>0

dco

(sin to -f- cos to)²

₌ a* Ç 1__

2 J (tgto-j-1)² cos² to «0

dco

= ł«²[

1 + tg to]

1 + tg “o

die Flächen zwischen den zu «₀ und co₁ gehörigen Strahlen und der Kurve bzw. Asymptote. Für o₀ = 0 und a = tc ergibt die Formel für u als Fläche der Kurvenschleife den Wert 4 a². Da

a² r 2

2 Ll — tgto -j- tg²to

— tgto

2 — tg«₀

1 — tg®o + tg*a> o

ist, ergibt ferner die Annahme a₀ = ~tc und a = it als Fläche zwischen der Kurve, der negativen x-Achse und der Asymptote,

,y/

Fig. 31.

— soweit diese Fläche oberhalb der x - Achse liegt —, den Wert \al, obgleich die Fläche eine endlose Begrenzung hat. Derselbe Wert kommt wegen der Symmetrie auch der Fläche rechts von der y- Achse zwischen der Kurve und Asymptote zu und ebenso dem Dreiecke zwischen den Achsen und der Asymptote. Die gesamte Fläche zwischen der Kurve und

ihrer Asymptote ist mit

hin gerade so groß wie die der Schleife.

5341

4. Beispiel: Um die Fläche der Astroide (Nr. 238):

x* + y*=a*

zu berechnen, siehe Fig. 31, stellen wir die Kurve durch die Gleichungen

# = acos³£, i/ = asin³£

mittels der Hilfsveränderlichen t dar, so daß sich für das von t — 0 bis t = |jt erstreckte Viertel der Gesamtfläche nach (2) in Nr. 533 ergibt:

ł*

Wj

0

sin²1 cos²1 dt =

— cos 4t) dt =

Die Gesamtfläche ist mithin gleich drei Achteln der Fläche des Kreises vom Radius a, d. h. des Kreises durch die vier Spitzen der Kurve. Dies folgt auch daraus, daß die Astroide eine Hypozykloide ist (vgl. Nr. 238), und aus Nr. 241.

§ 2. Näherungsweise und mechanische Quadratur.

535. Einschluß der Fläche zwischen zwei Werten.

Für den Fall, daß die Auswertung des Integrals, mittels dessen ein Flächenstück zu berechnen ist, Schwierigkeiten macht, und für den Fall, daß die Begrenzung des Flächenstückes nicht analytisch, sondern nur zeichnerisch gegeben ist, hat man graphische Verfahren ersonnen, die wenigstens näherungsweise den Wert der Fläche zu bestimmen gestatten.

Einige von diesen Verfahren, die hier abgeleitet werden sollen, beziehen sich insbesondere auf Flächenstücke, die von der Abszissenachse, zwei Ordinaten und einer krummen Linie umschlossen werden. In Anlehnung an diejenige Definition der Fläche als Grenzwert einer Summe, die in Nr. 409 gegeben wurde, beruhen sie darauf, daß die Fläche zunächst zeichnerisch durch eine Reibe von Ordinaten in schmale Streifen

zerlegt wird. Dabei wählt man, um zu führbaren Konstruktionen zu

aus-

möglichst leicht kommen, alle Flächenstreifen

gleich breit.

Wenn die Kurve, die das Flächenstück einerseits begrenzt, gegenüber der Abszissenachse teils konvex und teils konkav ist,

co

können wir sie zuvor durch geeignete Ordinaten in solche Teile zerlegen, in denen sie gegenüber der Abszissenachse beständig konvex oder beständig konkav ist, und dann jene Näherungsverfahren auf diese einzelnen Teile anwenden. Um etwas bestimmtes vor Augen zu haben, nehmen wir daher an, die begrenzende Kurve liege vollständig oberhalb der Abszissenachse und wende dieser Achse ihre konkave Seite zu.

Alle Streifen mögen die Breite b haben Wollen wir die Streifen durch größere Trapeze ersetzen, so werden wir statt der oberen krummen Grenzen Tangenten der Kurve anwenden. Die Konstruktion der Tangenten gibt jedoch bei einer

gezeichnet vorliegenden Kurve Anlaß zu Fehlern. Fassen wir aber zwei aufeinanderfolgende Streifen zusammen und denken wir uns nur die Tangente im y Endpunkte ihrer gemeinsamen -4- Ordinate yt konstruiert, wie es in Fig. 32 für die beiden ersten Streifen, also bei yx, geschehen ist, so sehen wir: Die Tangente grenzt ein Trapez von der Breite 2 b und der mittleren Höhe yk ab. Das Trapez hat demnach den Inhalt 2byk, der sich ohne wirkliche Konstruktion der Tangente angeben läßt.

Diese Überlegung veranlaßt uns dazu, die ganze Fläche F in eine gerade Anzahl von gleichbreiten Streifen zu zerlegen, etwa in 2n Streifen. Es mögen y₀, yt, y₂, . . . y2n alle dabei vorkommenden 2n -f-1 Ordinaten in ihrer Reihenfolge bedeuten. Nach dem Vorhergehenden ist nun die Fläche F kleiner als G = 2byx-\- 2byaĄ----+ 2&t/2re_₁.

Bezeichnen wir die Summe aller Ordinaten mit ungeraden Indizes mit p:

Siehe Fig. 32.

\Vo yir

y»

y,rn

(1)

P = Vi + 2/3 + • • • +

so ist also

(2)

G = 2bp > F.

Außerdem wollen wir die Summe aller Ordinaten mit geraden Indizes, abgesehen von y₀ und y2n, mit q bezeichnen:

535]

(3)

Î“ 24 +24+■•■ + 24,

-2 •

Zu Näherungswerten, die Meiner als die Fläche F sind, gelangt man, wenn man die Kurve stückweise durch Sehnen ersetzt, also Sehnenpolygone konstruiert. Wir erwähnen insbesondere drei gebräuchliche Verfahren:

Erstens: Wir verbinden die Endpunkte der Ordinaten mit geraden Indizes

Uof Vu • • •    Vin

aufeinanderfolgend geradlinig, wie es in Fig. 32 geschehen ist; das so entstehende Sehnenpolygon hat die Fläche: ^4 ⁼ &(j/o + y₂) + fr(j/2 +&) + •■' + b(y₂n-2 + y^n)

oder:

(4)

K₁=2bq + b(y₀ + y2n)<F

Zweitens: Wir verbinden die Endpunkte der Ordinaten mit ungeraden Indizes, indem wir aber außerdem den ersten und letzten Endpunkt, also den von y₀ und y2n benutzen, d. h. wir verbinden die Endpunkte der Ordinaten

yo> 2/i> 2/3? .%>••• y^n-z} y%n-\.i y%n aufeinanderfolgend geradlinig, siehe Fig. 33; das so entstehende Sehnenpolygon hat die Fläche:

^2 =    + yi) + &G/i + y-d) + &G/s + yù + • • •

+ b(y2n_s + y₂n-1) + jb(y2n-.i + y2n)

= 2bp -    4- yin_x -y₀- y2n)-

Wo

Vi

Vz

y.'.Vri

Vxn, Wo

Dz

V.'.n-l

Fig. 33.

Fig. 34.

Da < F, dagegen 6r > F ist, zeigt die Vergleichung mit (2), daß die Summe:

(5)

m = I (2/1 + y*n-\-y₀~ y in) > ⁰

ist. Es kommt:

(6)

K., = 2bp —    < F¹.

Drittens: Wir verbinden die Endpunkte aller Ordinaten y07 2/1 » y2>    y%n

aufeinanderfolgend geradlinig, siehe Fig. 34; das so entstehende Sehnenpolygon hat die Fläche:

-^s = iKy<> + yù + i&(yi + y*) + • • • + *&(ya»-i + y*»)

oder:

(7)

■^3 = K# + {?) + i^(y₀ + y 2 n) < F-

Beim ersten Verfahren sind nur n + 1 Ordinaten benutzt worden, beim zweiten eine mehr und beim dritten alle 2n -\-1 Ordinaten. Man darf annehmen, daß dementsprechend K₂ ein besserer Näherungswert als Kx und ferner Ks ein besserer als K₂ sein wird.

Bei roher Annäherung benutzt man für die graphische Flächenbestimmung den Wert K₃, die sogenannte Trapezformel (7).

Da jedoch dm- wahre Wert F zwischen G einerseits und einem der Werte Kx, K₂, K₃ andererseits liegt, wird man bessere Näherungsformeln erhalten, wenn man zwischen diesen Grenzen Zwischenwerte wählt. Je nach der Art, wie man da vorgeht, gelangt man zu einigen oft benutzten Methoden, die wir in der nächsten Nummer auseinandersetzen wollen.

Vorher erwähnen wir noch, daß, falls die begrenzende Kurve nicht, wie wir annahmen, gegenüber der Abszissenachse konkav, sondern konvex ist, F größer als G und kleiner als jeder der drei Werte Kx, K₂₎ Kz ist. Es ist also dann in dem Vorhergehenden und Folgenden überall > mit < zu vertauschen.

536. Näherungsformeln von Poncelet, Parmentier und Simpson. Liegt die Fläche F zwischen zwei Werten G und K} von denen G größer und K kleiner als F ist, und setzt man den Bruch aus positiven Zahlen

«a.¹ <3

G-F

F— K~ ’

so ist

uG + ßK

d. h. F ist dasjenige Mittel aus G und K, das hervorgeht, wenn man G und K die Geivichte cc und ß erteilt. Es kommt

535, 5361

nicht auf die absoluten Werte der Gewichte, sondern nur auf ihr Verhältnis an. Da F selbst unbekannt ist, bleibt allerdings auch der wahre Wert dieses Verhältnisses unbekannt; aber wenn wir darüber vernünftige Annahmen machen, indem wir a oder ß größer wählen, je nachdem F anscheinend näher bei G oder bei K liegt, werden wir die Formel zur Herstellung eines besser geeigneten Näherungswertes für F benutzen können. Unter G verstehen wir die in voriger Nummer unter (2) gewonnene obere Grenze von F und unter K eine der drei ebenda abgeleiteten unteren Grenzen von F.

Da die Werte von a und ß, die wir annehmen, nur schätzungsweise ausgewählt werden, also nicht notwendig die wahren sind, müssen wir, um die Güte der zu gewinnenden Formel festzustellen, noch den größten Wert bestimmen, den der absolute Betrag e des Fehlers erreichen kann. Weil der wahre Wert zwischen G und K liegt, ist dies Maximum die größere der beiden Zahlen

oder

r «G+ßK ccG + ßK ** a + (3    ¹ cc + ß

-K

:-gö

“+ß

(O-K),

also die erste oder zweite, je nachdem ß > a oder a > ß ist. Im Falle a = ß, d. h. wenn als Näherungswert das arithmetische Mittel von G und K genommen wird, sind beide Extreme natürlich gleich groß.

Insbesondere sind folgende Annahmen bemerkenswert: Erstens: G und Kx haben gleiche Gewichte. Dann ergibt sich der Näherungswert:

(1) Fi ⁼    + Fß) = b(jp + q) + j&Gfo + yzn)>

und der absolute Betrag des Fehlers ist :

(i')

h£Hp~a- tyo-łsO-

Die Formel (1) ist nichts anderes als die Trapezformel, da ihre rechte Seite gleich K₃ ist. K.d ist demnach das arithmetische Mittel von G und Kx.

Zweitens: G und K₂ haben gleiche Gewichte. Es ergibt sich dann die Ponceletsche Näherungsformel:

F, — i(G + K,) — 2bp - jim.

(2)

Dabei ist der absolute Betrag des Fehlers:

(2')

= i%i+ Vsn-i- Vo — Vi^

ZU

Drittens: Wenn wir aus der Figur schließen, daß der wahre Wert näher bei G als bei K₂ liegen wird, kommen wir der Annahme, G und K₂ die Gewichte 2 und 1 zu erteilen So geht die Parmentiersche Näherungsformel hervor:

(3)

F₃ = ±(2G + Kf) = 2bp - \bm

mit der Fehlerabschätzung:

(3')

£₃ <] I hm.

Liegt der wahre Wert wirklich näher bei G als bei K, so ist der Fehler sogar absolut genommen kleiner als | hm.

Viertens: Entnehmen wir der Figur die Vermutung, daß der wahre Wert F näher bei Ji₃ als bei G liegt, so kommen wir dazu, G und Kz die Gewichte 1 und 2 zu geben. Weil K₃ das arithmetische Mittel von G und Kx ist, geht dieselbe Annahme hervor, wenn wir G und Kx die Gewichte 2 und 1 erteilen. Wir gelangen so zu der sogenanten Simpsonschen Pegel;

(4)

Fi-i(G + 2Kt)-i(2G + Kt)

= %b(2p + q) + \b(y₃ -f y2n)

mit der Fehlerabschätzung:

(40

iVÿn)>

so daß hier das Maximum nur f des Maximums bei der Trapez-formel beträgt, ja sogar nur falls wirklich F näher bei K3 als bei G liegt. Hiernach ist jedenfalls die Simpsonsche Näherungsformel besser als die Trapezformel.

537. Andere Ableitung der Simpsonschen Regel.

Die Simpsonsche Regel kann auch so geschrieben werden:

(1)

^4 ⁼ jb[(y₀ -f- 4yx + yf) + (y₂ + 4y₃ -j- yf) + • • •

+ (y2n-2 + 4^2»-i + y* »)]•

Hiernach kommt diese Regel auf die Annahme hinaus, daß allgemein zwei aufeinanderfolgende Flächenstreifen von

536, 537]

der Breite b und mit den drei Ordinaten y₀, yi, y₂ zusammen angenähert die Fläche

(2)

IKs/o +    + Vi)

haben.

Zu derselben Annahme und damit auch zur Simpsonschen Regel (1) führt die folgende rechnerische Überlegung: Die krumme Grenze der Fläche sei durch y = f(x) gegeben, und wir wollen yoraussetzen, daß f(x) in dem betrachteten Intervalle bestimmte endliche Ableitungen bis zur dritten Ordnung habe. Wir fassen nun zwei bei der Abszisse xQ beginnende Flächenstreifen von der Breite b ins Auge. Ihre Fläche ist:

26

a;₀+26

J fix^x    f(*o ü fydh,

Xq    0

wenn wir durch die Substitution x = x₀ + h die neue Veränderliche h einführen. Die Funktion von h:

J fixo + h)d]l

o

usw.

verschwindet für h = 0 und hat die Ableitungen f(x₀ -+- h), Also ist nach Satz 19, Nr. 112:

h

J*Kxo + fydh = ïy f(x₀) -f- Y\f'(xo) + Fif"ixo 4" 0

wobei 6 einen positiven echten Bruch bezeichnet. Setzen wir h = 2b, so ergibt sich:

(3)

F- 2bf(x₀) + 2b*f\x₀) +    2db).

Setzen wir nun andererseits:

Vo = /*(*<>), Vi = flx o + b),    V 2 = fixo + 2 ;b) >

so ist ebenfalls nach Satz 19, Nr. 112:

Vi = fixo) + bf(x₀) + lb²f"(xo + &b), y₂ = /K) + 2bf'(x₀) + 2bY'ixo + 2,6), wobei H und ^ positive echte Brüche bedeuten.

Wir wollen nun drei Zahlen cc, ß, y so bestimmen, daß der Ausdruck

(4)

0 = b(ccy₀+ ßyx + yy₂)

um so weniger von dem wahren Werte (3) der Fläche abweicht, je kleiner die Streifenbreite b gewählt wird, d. h. daß die Differenz 0 — F in möglichst hoher Ordnung mit b verschwindet. Es ist :

0 = b {(a + ß + y)f(x₀) + b(ß-f 2y)f'(x₀)

+ n\ßf (^o +    + %yt"{xo-f*

folglich nach (3):

(5)    = (a -f ß + y - 2)f(x₀) + b(ß + 2y- 2)f'(x₀)

+ b²[jßf"(%o + &b) + 2yf'(x₀ + 2rjb) — jf\x₀ -f 29b)].

Also verschwindet 0 — F mit b in mindestens dritter Ordnung, wenn a + ß -f y und ß 2y gleich 2 sind. Da ferner f"(x₀-\-&b), f"(x₀-\-2r]b) und f'(x₀-\-26b) für lim b — 0 den Grenzwert f"(x₀) haben, verschwindet 0 — F mit b in mindestens vierter Ordnung, wenn überdies jß -f 2y gleich ^ ist. Aus diesen drei Forderungen folgt a — ß — j und y — y, d. h. der Wert (4) von 0 geht gerade in den Wert (2) über.

Die Simpsonsche Regel für die Summe der Flächen je zweier aufeinanderfolgender Streifen gibt also gerade denjenigen Näherungswert, dessen Abweichung von dem wahren Werte mit der Streifenbreite in der höchsten, nämlich der vierten Ordnung verschwindet. Wir werden in nächster Nummer sehen, daß sie sogar in der fünften Ordnung verschwindet.

Wenn insbesondere der zweite Differentialquotient von f(oc) konstant, also f(x) eine ganze quadratische Funktion von x ist, folgt aus (5), daß bei Annahme der für a, ß, y gefundenen Werte auch für endliches b die Differenz F — 0 = 0 ist, d. h. die Simpsonsche Regel ist insbesondere für die Fläche einer Parabel

(6)

y = konst. -j- konst. x -f- konst. x2 völlig exakt. Hiermit kommen wir zur Erwähnung der dritten und gebräuchlichsten Art der Ableitung der Simpson sehen Regel. Sie besteht darin, daß man die Kurve für je zwei aufeinanderfolgende Streifen durch eine Parabel ersetzt, deren Achse der y-Achse parallel läuft. Man kann nämlich die Konstanten in (6) so wählen, daß die Parabel durch drei vorgeschriebene Punkte geht.

537]

538. Korrektionsglied der Simpsonschen Kegel.

Wenn man für f(x) die Taylorsche Entwicklung noch bis zu einer höheren Ordnung als in der letzten Nummer benutzt, kann man für die Simpson sehe Regel ein Korreltiionsglied gewinnen, dessen Mitberücksichtigung allgemein gesprochen eine größere Genauigkeit der Formel verbürgt.

Die Simpsonsche Regel kommt ja darauf hinaus, daß man die Summe F der Flächen zweier aufeinanderfolgender Streifen, des Streifens von &₀ bis x₀ -f- b und desjenigen von x₀ -j- fr bis xQ-{- 2b, durch den Wert

(i) ersetzt, während die wahre Summe F mittels der Taylorschen Entwicklung so dargestellt werden kann:

F= 2 bf(x₀) + 2 &²/>o)+1 bsf'\x₀) +1 fr⁴f "Oo)+Ł fr ⁵/'lvK+ 26h), wo 6 einen positiven echten Bruch bedeutet. Wir haben nämlich die Formel (3) der vorigen Nummer um zwei Glieder weiter entwickelt unter der Annahme, daß f(cc) bis zur vierten Ordnung bestimmte endliche Ableitungen habe. Entwickeln wir f(X(j ~f" fr) und f(x₀-\-2b) ebensoweit, so erhalten wir aus

(1) einen Wert für und es kommt:

<1>—F

b⁶ worin auch und rj positive echte Brüche sind. Man sieht hieraus, wenn fIY(x) stetig ist, daß — F sogar in der fünften Ordnung mit b verschwindet, was wir schon in voriger Nummer ankündigten. Ferner ergibt sich:

lim

6 = 0

<J> —F

b⁵

Hieraus schließen wir, daß bei geringen Breiten der Streifen mit großer Annäherung — F gleich ^b⁵f1Y(x₀) sein wird. Daher dürfen wir als einen im allgemeinen besseren Näherungswert als cP betrachten. Weil

r(x₀) = lim

r(x₀+2b)-r(x)

ist, werden wir für hinreichend kleines b auch den Näherungswert

*-ï§ônr>₀ + 2&)-r>₀)]

benutzen können.

Wenn wir nun zu jedem der Glieder

iK24 +    1 + 24+2)

der vollständigen Simpsonschen Regel (1) in Nr. 537 das so gewonnene Korrektionsglied hinzufügen, heben sich die Korrekturen zum großen Teile fort, und es ergibt sich die neue N äherungsformel :

•^5 ⁼⁼l+    -j- 2y₂ + 4y₃ + 2yh H-----f 4y2n_₁ +y₂ J

(2)

+ Ï8Ô (y° — ^2ra)

oder nach (4) in Nr. 536:

(3) F₅ = f&(2p + 2) + IH2/0 + y 2 n) +    ~ y*n)-

Natürlich läßt sich diese Formel wegen der darin vorkommenden Ableitungen dritter Ordnung nicht anwenden, wenn die Begrenzung der Fläche gezeichnet vorliegt, vielmehr nur dann, wenn sie analytisch in der Form y = f(x) gegeben ist.

539. Ein Zahlenbeispiel. In Nr. 535 erwähnten wir schon, was hier noch einmal wiederholt werden mag: Die abgeleiteten Formeln gelten sowohl für solche Kurven, die gegenüber der #-Achse konkav, als auch für soche, die gegenüber der Æ-Achse konvex sind. Im zweiten Falle sind nämlich überall im vorhergehenden nur die Zeichen > und < miteinander zu vertauschen.

Wir wollen jetzt die fünf in Nr. 536 und Nr. 538 gewonnenen Näherungswerte Flf F₂, ... F₅ für die gleichseitige Hyperbel y = 1 : x von x — 1 bis x — 2 berechnen, indem wir zehn Teile annehmen, also n — 10 setzen. Die Werte p und q, vgl. (1) und (3) in Nr. 535, sind hier, abgerundet auf acht Dezimalstellen :

p = 3,459 539 4.3, q = 2,728 174 60, während der wahre Wert F der Fläche gleich ln 2 ist (vgl. 1. Beispiel, Nr. 411). Es ist also bei derselben Abrundung: F = 0,693 14718.

Die Rechnung liefert auf 8 Dezimalstellen genau:

Ft = 0,693 771 40, Fx — F = + 0,000 624 22, F₂ = 0,693 522 72, F₃ - F = + 0,000 375 54, F₃ = 0,692 984 44, F₃-F=- 0,000 162 74, jF₄ = 0,693 150 23,    - F = + 0,000 003 05,

F₅ = 0,693 147 lf, Fb-F=- 0,000 000 07.

Im vorliegenden Beispiele also ist die Simpsonsche Regel (siehe _F₄) den drei andern entschieden überlegen; und die Simpsonsche Regel mit dem Korrektionsgliede (siehe Fh) gibt sogar den Wert von ln 2 genau bis auf einen Fehler von nur 7 Einheiten der 8. Dezimalstelle.

540. Die von einer Strecke überstrichene Fläche.

Man hat Apparate ersonnen, mit deren Hilfe man mechanisch den Inhalt von gezeichnet vorliegenden ebenen Flächenstücken bestimmen kann. Der wichtigste ist das sogenannte Polar-Flanimeter. Um die Wirkungsweise dieses Instrumentes zu verstehen, betrachten wir zunächst die Fläche, die ein Stab von konstanter Länge l überstreicht, wenn er sich irgendwie in der Ebene bewegt.

<r~

B.

Zunächst ersetzen wir

D,

die wahre Bewegung des r Stabes durch die folgende: \

Von den verschiedenen Lagen, die der Stab nach und nach erhält, wählen wir eine beliebige Anzahl heraus. Es seien dies die Lagen H₀R₀, AXB1}... AnBn, siehe Fig. 35. Alsdann verschieben wir A₀B₀ parallel mit sich und so, daß A₀ und B₀ die Senkrechten zu A₀B₀ beschreiben, also ein Rechteck überstrichen wird, und zwar so weit, bis die A₀B0 gegenüberliegende Seite des Rechtecks, die wir A'₀BÓ nennen wollen, durch Ax geht (wenn nötig, ihre Verlängerung). Darauf wird A'o Bq längs der Geraden, auf der A'₀ Bq liegt, soweit

[539, 540

-s

Eig. 35.

verschoben, bis das Ende Ä₀ in A₁ hineinrückt, so daß A₁B'q die neue Lage ist. Schließlich drehen wir AXB'₀' um A₁ in die Lage AXBX. Dasselbe Verfahren wenden wir an, um AXBX in die Lage A₂B₂ überzuführen, usw. Es ergeben sich so als Grenzen einer Er salz fläche außer den Endlagen A₀B₀ und AnBn zwei stetige Linienziige:

AoA'oAU'iA, ...An und BMB'çfB* ...Bn,

von denen der erste aus lauter Strecken, der zweite aus Strecken und Kreisbogen besteht. Wählen wir als Zwischenlagen AXBX, A₂B₂, ... An_xBn_x zwischen der Anfangslage A₀B₀ und der Endlage AnBn immer mehr von den bei der wirklichen Bewegung durchlaufenen Zwischenlagen derart, daß schließlich der Unterschied der Lage zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Stäben AkBk und Ak + 1Bk + x nach Null strebt, so strebt auch die Summe der Flächen aller konstruierten Rechtecke und Kreissektoren zum wahren Werte der Fläche, siehe Satz 1, Nr. 531.

’a

Bezüglich des Vorzeichens setzen wir fest: Geht der Stab aus einer Lage AkBk in eine neue Lage Ak + xBk+x über, so sollen diejenigen Flächenteile, die dabei links von der Richtung von Ak nach Bk liegen, positiv, die andern B negativ gerechnet werden. Die wahre Gesamt-V K fläche hat alsdann denjenigen Umlaufsinn, der durch den Weg von A₀ nach B₀ gekennzeichnet wird (vgl. Nr. 530).

Ajch

Fig. 36.

gemessen im positiven Drehsinne (dem des Uhrzeigers entgegen), gleich A cp. Alsdann ist lAh die Rechtecksfläche und | l²Acp die Sektorfläche. Die wahre Gesamtfläche, die der Stab überstreicht, ist folglich der Grenzwert

11

Betrachten wir nun allgemein das Rechteck mit der Anfangsseite AkBk und den darauf folgenden Kreissektor, siehe Fig. 36. Die zur Grundlinie AkBk oder l gehörige Höhe des Rechtecks sei gleich Ah und zwar positiv oder negativ, je nachdem Ak links oder rechts von AkBk liegt. Ferner sei <)C BfA

F = lim (JglAh -f-    A <p)

oder, da l konstant ist:

(1)

F = l lim ^A h -f- l² lim^z/qp.

Der Grenzwert ist dabei in der oben auseinandergesetzten Bedeutung zu verstehen.

Wir wollen durch irgendeinen Punkt 0 der Ebene zu allen Richtungen A₀B₀, AxBk, .. . AnBn die Parallelen 2₀,

1₂, ... Xn in entsprechendem Sinne ziehen, siehe Fig. 35 auf

S. 285. Alsdann ist:

(2)

^ (Ao; K)-

Diese Formel (2) gilt ebenso wie die Formel (1) für positive und negative Werte der Einzelwinkel ziep. Nach (1) und (2) ist jetzt:

(3)

+    K).

Selbstverständlich ist der Winkel in Bogenmaß zu messen.

541. Das Planimeter von Amsler. Wir wollen jetzt annehmen, der Stab l oder AB liege nicht auf der Ebene auf, sondern sei durch eine geeignete Vorrichtung immer in demselben Abstande über der Ebene und parallel zu ihr gehalten. Ferner trage er an einer Stelle S, die von A die Entfernung a habe, eine Kreisscheibe, deren Ebene zu l und demnach auch zur Zeichenebene senkrecht ist, so daß sich die Scheibe um ihre Mitte S drehen kann. Ihr Radius sei so groß gewählt, daß die Scheibe die Zeichenebene berührt und infolge der Reibung bei der Bewegung des Stabes in Drehung versetzt wird. Wenn sich nun der Stab l aus der Lage AkBk, siehe Fig. 36, in die Lage A'kB'k verschiebt, legt ein Punkt auf dem Umfange der Scheibe infolge der Reibung gerade den Weg Ah zurück. Dieser Weg Ah ist als Bogen auf dem Umfange der Scheibe positiv oder negativ zu rechnen, je nachdem sich die Scheibe von Ak aus betrachtet im positiven Sinne (entgegen dem Uhrzeiger) oder im negativen Sinne dreht. Wird der Stab weiter- . hin aus der Lage ÄkBk in die Lage Ak+lBk verschoben, so dreht sich die Scheibe gar nicht. Wird endlich der Stab aus

Bk um A

der Lage A

herum in die Lage Ak + 1Bk + l gedreht, so hat der Umkreis der Scheibe da, wo er auf der

[540, 541

Zeichenebene ruht, beständig dieselbe Tangente wie ein Kreisbogen vom Radius a im Kreissektor. Also dreht sich jetzt die Scheibe um den Weg az/cp, wieder gemessen als Bogen auf dem Umfange der Scheibe. Insgesamt legt ein Punkt auf diesem Umfange bei der in Pig. 36 dargestellten Bewegung mithin den Bogen 4 h -f a 4 cp zurück. Demnach wird sein Gesamtweg, wenn die Überführung des Stabes l aus der Anfangslage A₀B₀ in die Endlage AnJBn vollendet ist, gegeben durch

s — lim fff(4h -f a 4 cp) — lim^>4h + a lim ^>4 cp oder nach (2) in voriger Nummer durch:

(i)

s = limJg4h -f a ^ (2₀, A„).

Hiernach ist

lim2!4 h = s - a    (A₀, Xn).

Setzen wir diesen Wert in die Formel (3) der letzten Nummer ein, so kommt:

(2)

Können wir es nun so cinrichten, daß (A₀, An) = 0 wird, indem sich die positiven und negativen Summanden 4 cp gegenseitig auf heben, so folgt aus (2) noch einfacher:

(3)

F = Is.

Fig. 35,

Dies wird erreicht, wenn die Endlage AnBn des Stabes mit einer Anfangslage A₀B₀ zusammenfällt, wohlbemerkt aber so, daß der Stab nicht etwa inzwischen eine volle Umdrehung um vier Rechte gemacht hat. D. h. in der Nebenfigur zu S. 285, soll das Winkelfeld, das alle möglichen Lagen A₀,

A₂, ... Xn enthält, kleiner als vier Rechte sein.

In Fig. 37 ist eine derartige Bewegung angedeutet. Dabei sind nur wahre Zwischenlagen AXBX, H₂R₃, ... nicht aber die eingeschalteten Lagen A'₀BÓ, AiBq, . . . angegeben. Beachtet man die den Flächenstücken erteilten Vorzeichen, so sieht man, daß die Fläche F, die der Stab insgesamt überstrichen hat, eine Summe aus teils positiven und teils negativen Stücken ist. In der Figur sind die positiven durch nach rechts steigende, die negativen durch nach rechts fallende Schraffuren gekennzeichnet. 541]

Ferner ist der Umlaufsinn, wie in voriger Nummer bemerkt wurde, derjenige, der sich ergibt, wenn wir von A₀ nach B0 wandern und dann die Bahn B₀B₁B₂... BnAnAn_₁A zurücklegen.

,.A₁A₀

Hierbei wird der Ort a der Punkte A in einem gewissen Sinne durchlaufen. Da er eine geschlossene Linie ist, enthält er einen bestimmten Flächenraum A mit bestimmten Vorzeichen (in Fig. 37 mit dem Minuszeichen). Dasselbe gilt von dem Orte ß der Punkte B, genommen in dem soeben benutzten Fortschreitungssinne. Sein Flächenraum sei B (in Fig. 37 ist

Bq Bit

If

Ar.

ot

Kg. 38.

ft

Fig. 37.

B positiv). In Fig. 38 sind diese .Flächen A und B entsprechend ihren Vorzeichen schraffiert. Bilden wir die Summe A -j- B, so heben sich die Teile, die beide Schraffuren auf-weisen, gegenseitig fort. Dasselbe gilt in Fig. 37 von den Teilen derjenigen Fläche F, die der Stab überstreicht, und man sieht, daß die Summe A -f- B genau die Fläche F ist.

Aus (3) folgt demnach:

(4)

B = Zs-A.

Das Amslersche Polar-Planimeter setzt sich nun aus dem beschriebenen Stabe l oder AB und einem daran in A angeknüpften, ebenfalls zur Zeichenebene parallel geführten Stabe A G zusammen, der in A mittels eines Grelenkes vollständig gegen-

Serret-Scheffers,Difl.-u.Integral-Rechnung. II. 4.u.5.Aufl. 19

(5)

B = Is,

Fig. 39.

über l drehbar ist. Der Endpunkt oder Pol C trägt einen Stift und wird mittels des Stiftes auf der Ebene festgehalten, siehe Fig. 39, während man den Endpunkt B eine geschlossene Kurve ß beschreiben läßt. Dabei wird die Lage von C außerhalb ß so gewählt, daß der Endpunkt A nur hin- und hergehende Bewegungen um C ausführt, ohne eine volle Umkreisung um C zu machen. Die Kurve schreibt, ist dann ein Kreisbogen, dessen Teile aber einmal im einen, dann im anderen Sinne beschrieben werden, so daß der Kreisbogen als eine geschlossene (doppelt zu denkende) Kurve aufzufassen ist, deren Flächeninhalt A = 0 ist. Aus (4) folgt noch einfacher:

et:,

die A be

//

S\J/

nun

d. h. die Fläche B der umfahrenen geschlossenen Kurve ß ist gleich der Länge l des Stabes AB, multipliziert mit dem Gesamtbogen s, den ein Punkt auf dem Umfange der Kreisscheibe S wegen der Beibung zurücklegt.

Beim Planimeter ist an der Kreisscheibe S eine Vorrichtung angebracht, mittels derer man nicht den Bogen s, sondern sein Produkt mit l, also direkt die Größe der umfahrenen Fläche B ablesen kann.

Zu dieser Entwicklung der Theorie des Planimeters ist noch hinzuzufügen: Wir haben von kinematischen Vorstellungen Gebrauch gemacht, nämlich bei der Untersuchung der Drehung der Kreisscheibe. Auf die genaue Begründung dieser Vorstellungen gehen wir hier nicht ein.

§ 3. Rektifikation von Kurven.

542. Definition der Bogenlänge einer ebenen Kurve.

Die Berechnung der Bogenlänge einer Kurve heißt ihre Rektifikation (vgl. Nr. 202). Schon in Nr. 193 haben wir von der Bogenlänge einer ebenen Kurve gesprochen und eine Formel für ihr Differential abgeleitet, die wir anwandten, um für eine Reihe von ebenen Kurven die Rektifikation auszuführen, vgl. z. B. Nr. 224. Wir hoben jedoch schon in Nr. 193 hervor: 541; 54»]

Alle diese Ergebnisse waren noch nicht genügend begründet, weil wir noch keine Definition für die Bogenlänge geben konnten und uns vielmehr mit der landläufigen Vorstellung davon begnügten, um nicht jene einfachen Rektifikationen zu lange aufschieben zu müssen.

Es liegt uns daher jetzt ob, die Bogenlänge einer ebenen Kurve zu definieren und zu zeigen, daß die grundlegende Formel (2) in Nr. 193 für das Differential der Bogenlänge aus der Definition folgt. Ist dies geschehen, so müssen wir noch eine zweite Lücke ausfüllen: In Nr. 193 haben wir nämlich bemerkt, daß wir in der Integralrechnung zeigen werden, daß das Verhältnis eines Bogens zu seiner Sehne den Grenzwert Eins hat, falls der Bogen oder die Sehne nach Null strebt. Auch dies ist mithin noch zu beweisen; es wird in Nr. 544 geschehen.

Wir gehen von den in Nummer 193 schon formulierten Voraussetzungen aus:

In rechtwinkligen Koordinaten sei eine Kurve durch die

Funktion

(i)

y - fix)

gegeben, die in dem betrachteten Intervalle nebst ihrer ersten Ableitung fix) stetig sei. Hier also verlangen wir ausdrücklich die Existenz einer stetigen Ab- i leitung, was bei den Quadraturen nicht nötig war (vgl.

Nr. 404 u. f.).

Insbesondere sollen die gemachten Voraussetzungen in x dem Intervalle von x₀ bis X gelten, so daß zu dem zugehörigen Intervalle AB der Abszissenachse

gehört. Wie in Nr. 404 teilen wir das Intervall AB in n beliebig große Teile, indem wir Punkte Px, P₂, P₃, ... Pn einschalten und die zugehörigen Punkte M₂, Itf₃, . . . Mn_x der Kurve ins Auge fassen. Alsdann konstruieren wir das Sehnenpolygon CM₁M₂ Mä . . . Mn_₁D. dieses Sehnenpolygons verstehen wir die Summe der Längen

[54a

Ti-1

ic

Fig. 40.

siehe Fig. 40, ein Stück CD der Kurve

-i

Unter der Länge

MXM„ . . . Mn_xD. setzen X > x₀ voraus und bringen alle jene Längen positiv in Rechnung. Nun behaupten wir, daß die Länge des Sehnenpolygons einen und nur einen bestimmten endlichen Grenzwert hat, wenn alle Teilintervalle APX, PjP₂, ••• Pn-XB nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahl n über jede Zahl wächst. Ist dies bewiesen, so nennen wir den Grenzwert die Bogenlänge s der Kurve von C bis D oder im Intervalle

Wir

aller einzelnen Sehnen GM

i?

von Xq bis X > x₀.

Ein beliebiger Teilpunkt Mk der Kurve habe die Koordinaten x, y und der folgende Teilpunkt Mk + t die Koordinaten . x + dix, y + By. Die Sehne MkMk+x hat dann die Länge:

= 1 . /.«- \-.lf = ^]/i + (Ü)²,

wobei auch die zweite Wurzel positiv zu nehmen ist, da dix > 0 ist (wegen X > x₀). Aus dem Mittelwertsatze 3 von Nr. 28 folgt nun nach (1):

= f'(x -f 6 dix),

4y __ ftp-f dx) — f(x)

dx

dx

wobei 6 ein positiver echter Bruch ist. Demnach kommt:

(2)

MtMtkl = jx yr+ [f(x + eZxjf.

Weil die Quadratwurzel aus 1 -f- [f'{x)Y stetig ist, können wir die positive Größe dix nach Satz 3, Nr. 20, so klein wählen, daß die in (2) auftretende Quadratwurzel von dieser Wurzel um weniger als eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl 6

ab weicht. Bilden wir mit Hinzunahme von CMX und Mn_xD die Gesamtlänge

des Sehnenpolygons, so folgt, daß S von der Summe

(3)

■ I/" •'

um weniger als <5dix abweicht, d. h. um weniger als ö(X — x₀). Wenn wir

Y1 + \f{x)Y=F(x) setzen und die Abszissen von Mx, M%, . . . Mn_x mit xx, x₂, ... xn_x bezeichnen, hat die Summe (3) ausführlich geschrieben die Form:

Fix,) (xx - x₀) L F(xx) (xs - xx) + ■ • • + F(xn_x) (X - xn_x).

54aj

Nach Nr. 410 ist mithin ihr Grenzwert, falls alle Differenzen /tx oder xx — x₀, x₂ — xX7 ... X — xn_x nach Null streben und dementsprechend n über jede Zahl wächst, gleich dem bestimmten Integrale:

x

J|/l -f [f'(x)fdx.

x₀

X

oder

J*F(x)dx

Xq

Nun aber erreichen wir diesen Grenzübergang, wenn wir die positive Zahl o immer kleiner wählen, wobei auch ä(X—x₀) nach Null strebt, weil X — x₀ endlich ist. Also ergibt sich:

lim S =

Dieselbe Schlußfolgerung können wir unter der Annahme x₀ > X machen. Da wir alsdann nach der Festsetzung in Nr. 169 die Kurve von C bis J) im negativen Sinne durchlaufen, werden wir jetzt alle Sehnen mit dem Minuszeichen versehen. Weil aber auch /Ix negativ wird, ist die Wurzel in (2) nach wie vor positiv zu wählen, mithin auch die in (4).

Wir haben somit den

Satz 2: Ist eine Kurve in einem Intervalle von xQ bis X durch eine Funktion y = f(x) mit einer stetigen Ableitung f\x) gegeben, so haben die Längen aller der Kurve von der Stelle x0 bis zur Stelle X eingeschriebenen Sehnenpolygone den bestimmten endlichen Grenzwert

x

Jv 1 + [f(x)Ydx, *0

falls alle Sehnenlängen einzeln nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahl über jede Zahl ivächst. Werden die Sehnenlängen positiv oder negativ gerechnet, je nachdem x₀ < X oder x₀ > X ist, so muß die Quadratwurzel positiv angenommen werden.

s = Jy 14- [f'(x)fdx

*0

Das Vorhergehende liefert uns also, falls die obere Grenze X willkürlich gelassen und daher mit x bezeichnet wird, die Bogenlänge

der Kurve von bis x. Diese Bogenlänge s ist eine Funktion von x und hat die Ableitung:

(6)

ds

dx

Hiermit ist die Formel (1) von Nr. 193 exakt bewiesen.

543. Definition der Bogenlänge einer Baumkurve.

Genau dasselbe Schlußverfahren läßt sich anwenden, wenn eine ebene Kurve mittels einer Hilfsveränderlichen t in der Form

9>(0>

gegeben ist, wobei cp und im Intervalle von tQ bis T stetige Ableitungen haben sollen. Wir wollen dies aber sogleich verallgemeinern, nämlich eine Raumkurve:

X = cp(f),

(1)

y = %(f),

z = ÿ(<)

ins Auge fassen (vgl. Nr. 251). Dabei sollen cp, x> t im Intervalle von t₀ bis T stetige Ableitungen haben.

Gehören nämlich zu t₀ und T die Endpunkte C und D eines Kurvenbogens, so schalten wir von t₀ bis T beliebige

der Wert t + At gehört, ist

n — 1 Zwischenwerte tlf t₂, ... tn_l ein, zu denen wie in der früheren Figur 40, S. 291, n — 1 Kurvenpunkte Mk, ilf₂, . . . Mn_l gehören, die wir aufeinanderfolgend durch Sehnen verbinden. Wenn allgemein t einer der Werte, etwa für Mk, ist und zum nächsten Punkte M

die Länge der Polygonseite

-y^+'(£)*+ (§)+(H)².

positiv oder

wo die Wurzeln positiv sein solleu, also MkM negativ gerechnet wird, je nachdem t₀ < T oder t₀> T ist, was mit der Festsetzung in Nr. 252 über den Fortschreitungs-sinn der Kurven im Einklänge steht. Dabei bedeuten Ax, z1y, Az die Zunahmen der Koordinaten x, y, z, wenn wir vom Punkte Mk zum Punkte Mk+1 Mittelwertsatze 3 von Nr. 28 ist nun

cp{t + Jt) — cp(t)

dx

dt

dt

/t+i

übergehen. Nach dem

= Cf\t -j- ByAt)

wo 0, einen positiven echten Brach bedeutet, und ebenso

54», 545]

wo auch 0₂ und d₃ positive echte Brüche sind. Aus der Stetigkeit von

(3) folgt, daß wir \At\ so klein wählen können, daß die in (2) auftretende Wurzel, nämlich

V\sp']² + [%' (t 4- 6₂At)Y + (t + 9azlf)Y, von der Wurzel (3) um weniger als eine beliebig kleine vorgegebene positive Zahl 6 abweicht. Dann aber weicht die Summe

s -2mm

2vww+ [*w+ wm^t

aller Polygonseiten einschließlich CMX und Mn_₁D von der Summe

um

weniger als <?^ At, d. h. als ö(T — t₀) ab. Somit hat S beim Grenzüb er gange lim 6 = 0, wobei lim Alt = 0 wird, den Grenzwert

T

fVWW+ [*w+ WWät.

Es gilt also der

Satz 3: Ist eine Raumkurve in einem Intervalle von t₀ bis T mittels einer Hilfsveränderlichen t durch die Funktionen

z — ip(t)

Az

At

= «>'(*+MO,

x = <p(t),

gegeben, die stetige Ableitungen cp'(t), %(t), t'(f) haben, und werden zwischen t₀ und T beliebige n — 1 Zwischenwerte tlf t₂, ... tn_₁ eingeschaltet, so daß zu t₀, tx, t₂, ... tn_x, T aufeinanderfolgende Kurvenpunkte gehören, die durch ein Sehnenpolygon verbunden werden können, so hat die Länge des Polygons, falls alle Seiten des Polygons nach Null streben und dement-sp'echend ihre Anzahl n über jede Zahl wächst, den bestimmten endlichen Grenzwert

T

f|/[?W+TäWW(öT^-

Werden die Längen der Polygonseiten positiv oder negativ gerechnet, je nachdem £₀ < T oder t₀~> T ist, so muß die Quadratwurzel positiv angenommen werden.

Der so gefundene Grenzwert heißt die Bogenlänge der Kurve von t₀ bis T.

Wieder folgt hieraus sofort die Richtigkeit der Formel (3) von Nr. 257 für den Differentialquotienten der zum Intervalle von t₀ bis t gehörigen Bogenlänge s, nämlich:

(4)

ds

dt

-Vit)■+($*+(£)•

Insbesondere kommen wir bei der Annahme, daß z = rj>(f) — 0 sei, zur Bogenlänge der ebenen Kurve, womit dann auch die letzten Formeln (3) und (4) in Nr. 193 exakt bewiesen sind.

Da wir die Bogenlänge als Grenzwert der Länge des Sehnenpolygons definiert haben, folgt ohne weiteres, daß wir bei ein und derselben Kurve für ein bestimmtes Stück stets dieselbe Bogenlänge erhalten, in welcher Weise wir auch die Kurve analytisch geben. Wir wollen z. B. in (1) vermöge

(5)

T = 0o(t)

eine neue Hilfsveränderliche t einführen, die wie folgt beschaffen sei: Erstens sei x von t = t₀ bis t = T eine beständig wachsende oder abnehmende stetige Funktion von t mit einer stetigen Ableitung und habe für t₀ und T etwa die Werte x₀ und T. Zweitens soll umgekehrt vermöge (5) auch t als eine solche stetige Funktion von x im Intervalle von x₀ bis T definiert sein, die eine stetige Ableitung hat. Alsdann möge die Darstellung (1) der Kurve in diese übergehen:

x = &(t), y = X(r), e — W(x).

Nun folgt aus dem Vorhergehenden, daß

T

« -f VT®'WP + [X'WP+t’TMpdr

*0

auch direkt aus

T

*-f'VWW+WWTwWdt

to

hervorgeht, wenn wir hierin vermöge (5) die neue Veränderliche r einführen.

Allerdings gilt dies nicht stets auch für das Vorzeichen, vielmehr nur dann, wenn t mit t beständig wächst. Andernfalls ist das Vorzeichen zu ändern.

Man drückt dies Ergebnis auch so aus: Die Bogenlänge ist — abgesehen von ihrem Vorzeichen — ein Begriff, der gegenüber der Einführung einer neuen unabhängigen Veränderlichen invariant ist.

544. Grenzwert des Verhältnisses des Bogens zur Sehne. Wie wir in Nr. 542 ankündigten, werden wir jetzt den Beweis eines Satzes nachholen, der in Nr. 193 und Nr. 195 für ebene Kurven und in Nr. 257 und späterhin für Raumkurven benutzt wurde.

Es werde die Kurve

unter der Voraussetzung betrachtet, daß cp, i, cp im Intervalle von t bis t Ą- A t stetige Ableitungen haben. Die Länge der zu diesem Intervalle gehörigen Sehne ist gleich der Quadratwurzel aus Ax²Ą- Ay* + Az*, wenn Ax, Ay, Az die Zunahmen sind, die x, y, z erfahren, sobald t um At wächst. Die zum Intervalle gehörige Bogenlänge sei As. Dann ist:

Bogen

z/s

I Co

Sehne

Y~dx* -f- dy* -f- dz*

woraus für lim A t — 0 folgt :

ds

lim

Bogen

dt

Sehne

Aber nach (4) in Nr. 543 ist dieser Bruch gleich Eins. Also folgt Satz 4: Ist eine Kurve

* = y = ń0»

gegeben und haben cp, %, cp in der Umgebung eines Wertes t stetige Ableitungen, so ist in diese)' Umgebung der Grenzwert des

[543, 544

Verhältnisses aus einem Kurvenbogen zur zugehörigen Sehne gleich Eins für den Fäll, daß die Sehne nach Null strebt.

545. Rektifikation in Polarkoordinaten. Wird eine Kurve in der Ebene mittels Polarkoordinaten œ, p in der Form gegeben, so daß f(a) in der Umgebung eines Wertes œ eine stetige Ableitung bat, so ist die Kurve in der Form:

x — q cos 03 = f{a) cos 03y y — q sin œ = f(co) sin 03

mittels der Hilfsveränderlicben œ in rechtwinkligen Koordinaten ausgedrückt. Dabei sind x und y solche Funktionen von ra, die in der Umgebung des betrachteten Wertes g> stetige Ableitungen haben. Hieraus folgt ohne weiteres nachträglich die Richtigkeit der schon in Nr. 205 gefundenen Formeln:

(1) ds² = dx*+ dy² = Q²dc3² + dg², = ]/p² + q'²,

wobei die Quadratwurzel positiv ist, falls die Kurve im Sinne wachsender Werte von co durchlaufen wird.

Ganz ebenso ergibt sich nachträglich die exakte Herleitung des in Nr. 258 für das Bogendifferential ds in räumlichen Polarkoordinaten r, 6, ip gegebenen Ausdrucks:

(2)

ds =y<Ar²+ r²dd² -f- r² sin² 0dtp².

§ 4. Rektifikation einiger Kurven mittels elliptischer

Integrale.

546. Ellipsen- und Hyperbelbogen. Indem wir an die in Nr. 222 und Nr. 223 für die Bogendifferentiale gefundenen Ausdrücke erinnern, sehen wir:

Der Bogen se der Ellipse:

y = j/l — Je² cos cp

(i)

x — sin cp,

mit der halben Hauptachse 1 und der halben Nebenachse ]/l — Ti², d. h. mit der Exzentrizität Te (die zwischen Null und Eins liegt), wird gegeben durch:

(2)

sm²qp dep

A cp *

wenn wir wie in Nr. 448 unter A cp die positive Quadratwurzel verstellen :

(3)

Arp — ]/l — 7c² sin² (p.

Dabei hat cp die aus Fig. 41 einleuchtende Bedeutung, und se ist der von cp — 0 an erstreckte Bogen AM der Ellipse.

Bei der Hyperbel x = (1 - 7c²) tg cp,

Tcÿ 1 — ks sin* cp cos cp

mit der halben Hauptachse 7c und der halben Nebenachse ]/l — Æ², d. h. mit der Exzentrizität 1 : h (die größer als Eins ist), wird der Bogen sh gegeben durch:

4)

1=

JO

Fig. 41.

(⁵)    «z, =

A

J cos² cp . A cp o

— Je¹) dcp

*J

0

<s.

sin²qp dcp

A cp

-7c²

dcp

A cp

+ tg cp . A cp.

Wir haben nämlich in den Formeln von Nr. 223 für a den Wert Y1 — 7c² zu setzen.

JC

*7

Die Hyperbel hat die ?/-Achse zur Hauptachse, siehe Fig. 42. Der Winkel cp kann beliebig gewählt werden, und aus ihm läßt sich, wie die Figur schon W#³

deutlich genug zeigt, der _

Fig. 12.

zugehörige Kurvenpunktilf konstruieren. Der Bogen sh ist von cp = 0 an erstreckt, d. h. der Bogen AM. Der letzte Summand in (5) bedeutet die Länge t der in M konstruierten Tangente, gemessen bis zum Fußpunkte P des Lotes von 0 auf die Tangente.

[546

Nach § 3 des 2. Kap. gehören die hier auftretenden Integrale zu den elliptischen. Gerade der Umstand, daß die Bogenlänge der Ellipse durch ein derartiges Integral ausgedrückt wird, war der Anlaß zur Bezeichnung jener Klasse von Integralen als elliptische Integrale (vgl. Nr. 440). Insbesondere zeigen die Formeln (2) und (5), daß sich se und sh durch die elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung darstellen lassen, nämlich durch die Integrale u und v von Nr. 448.

Nach Legendre bezeichnet man das elliptische Normalintegral erster Gattung mit F (cp) oder auch, da es außer von cp noch vom Modul k abhängt, mit F(k, cp)-, man setzt also:

(6)

F(h, cp) -

. A

J A<P 0

Ferner benutzte Legendre für dasjenige elliptische Integral, das den Ellipsenbogen se angibt, die Bezeichnung F (cp). Wollen wir auch den auftretenden Wert des Moduls Je kenntlich machen, so schreiben wir E(k, cp), also:

(?)

E(k, cp) —J A cp d cp

o

Aus (2) folgt, daß das elliptische Normalintegral zweiter Gattung durch F(1c, cp) und E(k, cp) in der Form

(8)

sin²qp dep

A cp

darstellbar ist. Aus (2) und (5) ergeben sich die Werte des Ellipsen- und Hyperbelbogens in den neuen Bezeichnungen so:

(9) se= E(Jc, cp), sh= (l—k*)F(k, cp) — E(k, cp)-\- tgep. Acp.

547. Reihenentwicklungen für FÇIc, </ ) und E(Jc, cp).

In Nr 446 haben wir die Normalintegrale erster und zweiter Gattung in Reihen entwickelt. Machen wir darin wie in Nr. 448 die Substitution x = sin cp, so gehen Reihen hervor, mittels derer F(k, cp) und E(k, cp) darstellbar sind. Aber ebenso bequem ist es, diese Darstellungen direkt abzuleiten.

540, 547J

^ = l-ffFsin²9> +

§ 4. Rektifikation einiger Kurven mittels elliptischer Integrale. 301 Nach der Binomialreihe (4) in Nr. 125 ist nämlich:

- Je⁶ sin⁶ cp + • • •,

Tt⁶ sin⁶ cp —

05, Ol

7c⁴ sin⁴ cp -f-

2.4-6

Acp = 1 —-|&² sin²cp — ~-g 7c⁴ sin⁴ cp —

und zwar konvergieren diese Reihen, da sie Potenzreihen von ft²sin²<p sind und ft²< 1 ist, für jeden Wert von cp gleichmäßig (vgl. Nr. 428). Nach Satz 26 von Nr. 426 dürfen wir sie gliedweise integrieren. So ergibt sich:

(i)

F Qi, cp) = cp +\Tpjt*mi<p    +    sinV dcp+^

00    0

y Ti²Jsin²cp dep —    Tłjs

0    0

E(k,cp) = cp —

sin⁴<p dep —

Ü>

1-3

2-4-6

sin⁶cp dcp

Ti&J*sin⁶<jp dep 0

Die hierin auftretenden Integrale lassen sich nach Nr. 459 berechnen.

Ist insbesondere cp = jjt, so entnehmen wir aus (4) in

Nr. 477:

*®i a

j sm2ncpdcp =

0

so daß sich ergibt:

(2)

m, ł*>=*« [1+(w+£•!*>)’ + £r|*)* + •••], £(*, i *) - i* [1 -{iky-3(±k>y-5 (jh^**)*

Nach (9) in voriger Nummer ist E(Tc,jOt) die Länge des Ellipsenquadranten mit der halben großen Achse 1 und der Exzentrizität Ti.

Die Werte F(Jc,j7t) und E(]t,\n) bezeichnet man auch mit Fx (Ti) und Ex(Ji):

(3)

*;(*)-

548. Transformation des Moduls k von F(k, cp). Wenn wir wie bisher unter Tc eine Zahl zwischen 0 und 1 und unter A cp die positive Quadratwurzel aus 1— 7c² sin² cp ver-

[547, 548

stehen, gibt es einen Winkel qpl7 der den beiden Gleichungen genügt:

(i)

sin (2cpt — <p) = k sin cp, cos (2^ — <p) — A<p,

weil die Summe der Quadrate ihrer rechten Seiten gleich Eins ist. Dabei ist cp₁ eine stetige Funktion von (p und verschwindet mit cp, denn wir können, weil Acp > 0 ist, vorschreiben, daß 2cp₁ — cp zwischen — j % und -j- it liege. Variiert cp von 0 bis + oo, so gilt dasselbe von cpx, ebenso, wenn cp von 0 bis — oo variiert. Wird umgekehrt cp, angenommen, so gibt es also, wenn wir vorschreiben, daß 2 cp, — cp zwischen — \ n und -f- jit liegen soll, auch nur einen zugehörigen Winkel cp. Es ist daher auch cp eine stetige Funktion von cp,. Insbesondere gehört zu cp = n der Wert cp, = jit.

Multiplizieren wir die Gleichungen (1) mit — sin cp und cos cp oder mit cos cp und sin cp und addieren sie alsdann jedesmal, so kommt:

cos 2 cp! = cos cp A cp — k sin²<p, sin 2^ = sin cp (Je cos cp    Acp).

Hieraus folgt weiter:

(2)

2 sin² cp, = 1 -f- k sin² cp — cos cp Acp, 2 sin cp, cos cp, = sin cp (k cos cp -f Acp),

2 cos² cp, = 1 — Je sin² cp + cob cp Acp.

Ferner ist nach der ersten Gleichung (1):

(3)

tg9» —

sin 2 cp₁

k -f- cos 2 qp₁

und

(4)

Setzen wir nun

iC

wo beide Wurzeln positiv sein sollen, so liefert die erste Gleichung (2):

Nun ist aber

(Acp)² — ß² cos² cp = 1 — k² > 0,

so daß also, weil auch A cp > 0 ist, der Ausdruck k cos <p + A<p stets positive Werte hat. Mithin ergibt sich:

(6)

\<Px =

Setzen wir den hieraus folgenden Wert von 7c cos qp + Aqp in die zweite Gleichung (2) ein, so geht eine Formel für sinqp hervor. Aus (3) können wir darauf auch cos cp berechnen. Die Gleichung (6) liefert schließlich auch A cp. So kommt:

sin cp =

2 sin qpx cos qpt

(?)

(1 -j- k) A J qp, ’

cos cp —

A1 9>i

2k

Acp =

1_msin ^

Ai(jPi

Differentiation der ersten Gleichung (1) gibt mit Rücksicht auf die zweite:

2 dcp₁

k cos qp -f- A qp

oder nach (6):

(8)

d<Pi

1 -|- k dcp 2 A qp

A, qpi

Weil cp₁ mit cp verschwindet, folgt hieraus:

(9)

dqpL

dtp

A qp

Ai qpi

Benutzen wir die in Nr. 546 eingeführte Bezeichnung (6), so gibt (9) die von Legendre aufgestellte Transformationsgleichung :

F&vVÙ-'A-FQ', v).

(10)

Dabei bestehen zwischen cp und qpx die Beziehungen (1), während \ den in (5) angegebenen Wert hat.

Vermöge dieser Formel wird ein elliptisches Normalintegral erster Gattung durch ein elliptisches Normalintegral erster Gattung mit anderem Modul ausgedrückt.

Insbesondere setzen wir noch cp — n. Da

F(k,

549. Reduktion von F{k, cp). Indem man die Transformationsgleichung (10) wiederholt benutzt, kann man ein elliptisches Normalintegral erster Gattung auf ein anderes zurückführen, dessen Modul der Null oder der Eins beliebig nahe kommt. Zwischen k und kx besteht nämlich nach (5) in voriger Nummer die Beziehung

(i)

K-

2 yi

1 + k’

aus der folgt

Kap. Y. Quadratur und Rektifikation von Kurven, ist und (p₁ für cp ===== tc den Wert jtc hat, liefert (10):

F(\,ix)-(l + Jc)F(k,ix) oder, wenn wir die Bezeichnungen (3) in Nr. 547 benutzen:

*;(*.)-(i + *)-f.(*)-

304

(H)

(12)

Vl-h*-\+k>

wo die Wurzel positiv ist, weil k zwischen 0 und 1 liegt. Demnach ergibt sich die positive Wurzel:

yjc =

kx.

i -f yï-V

Wenn man nun in der Rekursions formel

7,    _ *VK

ä*+i Ï + V

worin Ykn positiv sein soll, für n alle positiven und negativen ganzen Zahlen setzt, indem man unter k₀ den Modul k seihst versteht, kann man eine beiderseits endlose Zahlenreihe bilden:

^2» • • •

in der für positiven Index n aus kn '>Ykn_x folgt:

K>^,

dagegen für negativen Index n aus k_n < k²

k_k<V".

(2)

(3)

... h

-27

— »-fl

folgt:

Hieraus ergibt sich

n = + oo

lim k = 1,

n = + oo

lim k_ — 0.

548, 549]

Die Zahlenreihe (3) erstreckt sich also von Null bis Eins. Wählt man n hinreichend groß, so wird k_n beliebig wenig größer als Null und kn beliebig wenig kleiner als Eins.

Da nun nach (10) in voriger Nummer allgemein für jedes ganzzahlige positive oder negative n

(4)

F(k

n + l)

^    9>„)

ist, wenn man außer der Rekursionsformel (2) noch analog den Formeln (1) von Nr. 548 festsetzt, daß

sin (² <Pn +1 - <Pn) = K sil1 <Pn> C0S (² <P

sin² cp n

(5) {

- <Pn) = \<Pn>

— cpn zwischen — jrt und -j- \tc liegen soll,

sein und 2 cp

folgt, daß sich jedes elliptische Normalintegral erster Gattung F(k, cp) durch ein anderes F(k_nf cp_ J oder F(kn, cpn) aus-drücken läßt, in dem der Modul k_n beliebig wenig von Null bzw. der Modul kn beliebig wenig von Ems abweicht.

Wenden wir dies Ergebnis z. B. auf F (Je, -|jt) oder also auf F₁(k) an, so folgt aus (12) in voriger Nummer:

so

(6)

FÀK₊ù-0 + K)FAK),

mithin:

*■>(*) - (i +

-(1 + *_,)(! +k_₁)F₁(k_₁)

- (1 + *-0(1 + *.,)(! + *-») •••(!+

Weil nun Te_n für lim n = + oo nach Null und daher

\n

dep

nach strebt, geht die folgende bemerkenswerte Entwicklung von Fx(Je) in ein unendliches Produkt hervor:

*i(*) - i*(l + *.,) (1 + *_,) (1 +*_,)••••

(7)

Die gewonnene Reduktion eines elliptischen Normalintegrals erster Gattung auf ein solches, dessen Modul beliebig wenig größer als Null ist, gestattet nach (2) in Nr. 547 die Ent-

Serret-S chef fers , Diff.-u. Integral-Bechnung. II. 4. u. 5. Aufl. 20

wicklung von F (Je, cp) in eine unendliche Reihe, in der statt der Potenzen von 1c Potenzen eines Moduls stehen, der so wenig von Null abweicht, wie man will, so daß man zu einer schnell konvergierenden Reihe gelangt.

550. Reduktion von E(kf g>). Aus der Gleichung (8) von Nr. 548 folgt durch Multiplikation mit sin²qp₁ und Anwendung der ersten Gleichung (2) von Nr. 548:

sin^qp, dep,

-i*(i+ *)

sin²qp dep

A qp

A,qPi

und hieraus durch Integration:

sin²qp, dep,

A,epi

= i^(l + &) J* j[--- + j (1 + Je) F(k, cp)

0

- K¹ + ft)sinqp,

also nach (8) in Nr. 546 mit Rücksicht auf (5) und (10) in Nr. 548:

(1) (1 + k)E(k₁,Vl) = E(k, <p) - F(k, <p) +hawq>.

Wegen ä<ä₁b zeigt diese Formel, daß sich auch E(Jc1}<p) auf elliptische Integrale zurückführen läßt, in denen der Modul Je näher bei Null liegt, und durch wiederholte Anwendung dieser Reduktion läßt sich der Wert des Moduls beliebig nahe an Null heranhringen.

551. Die Landensche Transformation. Die zuletzt abgeleitete Formel (1) hat eine merkwürdige geometrische Bedeutung. Aus ihr folgt nämlich nach (9) in Nr. 546, wenn se und sh wie in Nr. 546 den Ellipsen- und Hyperhelbogen bezeichnen und und shi die entsprechende Bedeutung bei derjenigen Ellipse bzw. Hyperbel haben, bei der Je durch Je, und cp durch cpt ersetzt ist:

(i)

sh — se — 2 (1 -f- Je) sei + 2 Je sin cp -]- tg cp . A cp.

Jeder Hyperbelbogen läßt sich also durch zwei Ellipsenbogen aus-drücleen. Man kann aus den entwickelten Gleichungen auch leicht erkennen, daß sich jeder Ellipsenbogen durch zwei Hyperbelbogen ausdrücken läßt.

549, 550, 551]

Diese Beziehungen wurden vor der Entwicklung einer eigentlichen Theorie der elliptischen Integrale schon von Landen gefunden und sind unter dem Namen der Landenschen Transformation bekannt. Andere hierhergehörende Sätze fanden Fagnano, Euler und Legendre.

552. Eine Beziehung zwischen den Umfängen dreier Ellipsen. Wir wollen hier noch ein von Legendre herrührendes Ergebnis ableiten: Wird in (1), Nr. 550, (p = %, also cpx — j7t (vgl. Nr. 548) gesetzt, so kommt:

(i)

(1 + *)Ą ft) = 2 Ex (Je) - (1 - ft²) Fx (ft).

Gehen wir von den elliptischen Integralen, die zu ft und \ gehören, zu denjenigen beiden zurück, die zu ft_t und ft gehören (vgl. Nr. 549), so kommt ebenso:

(1 + t.JĄfi) - 2Ą(*_₁) - (1 - JuW*.,).

Da aber nach (6) und (2) in Nr. 549

2 — k² — 2 yT — F

ist, geht die letzte Gleichung über in:

yr-ft²Et (ft) = yi-ft² (i + ex (i_x)-(i- ft²) fx(ft).

Durch Subtraktion dieser Gleichung von (1) fällt Fx (ft) heraus^ und es bleibt:

FiW 1 + fc-i ’

(2)

V1 - ft² (1 +y 1 - ft²) Ex (ft.,) + (1 + ft) Ex (Je,) ₌ (2₊]/rrft*)Ą(ft).

Nun sind Ex (ft.,), Ex (ft) und Ex (ft,) die Längen der Quadranten dreier Ellipsen mit der großen Halbachse Eins und den Exzentrizitäten ft.,, ft und ftt, nach Nr. 547. Also enthält die Gleichung (2) einen Satz über die Umfänge dieser drei Ellipsen.

Wenn wir mittels der Rekursionsformel (2) von Nr. 549 die nach beiden Seiten endlose Zahlenreihe . . . ft_₂, ft.,, ft, ft1; ft₂, ... bilden und mit Un den Umfang derjenigen Ellipse bezeichnen, deren große Halbachse gleich Eins und deren Exzentrizität gleich ftÄ ist, gilt analog (2) die Beziehung:

(3) VI=Ę(i +VT-Ę)vn_l+0+KWn+₁=(2+Vl=Ę)u,.

[551, 55»

553. Rektifikation der Lemniskate. Diese Kurve

hat in Polarkoordinaten oi, p nach dem 2. Beispiele, Nr. 534, die Gleichung:

(1)

p² == 2 a² cos 2 co.

Hieraus folgt:

2q*

cos 2 co ’

also nach (1) in Nr. 545 das Bogendifferential:

ds

d co.

]/cos 2 ca

Die Wurzeln sind ebenso wie a positiv. Da p für co^ + jir gleich Null wird, beschränken wir co auf das Intervall von — \tc bis -f-jjr, betrachten also nur die rechte Schleife der Lemniskate, siehe Fig. 29, S. 272. Die von 0 bis co erstreckte Bogenlänge

dco

s = f^L

J l/cos 2 ca

0 r

läßt sich leicht durch ein elliptisches Integral ausdrücken. Führen wir nämlich vermöge der Substitution

sin cp

(2)

sin co =

1/2

einen zwischen —-n und    gelegenen Winkel cp als neue

unabhängige Veränderliche ein, so kommt:

d cp

— f,-- ■ •,

J 1/1-ł sin V 0

d. h. der Lemnislcatenbogen ist ein elliptisches Normalintegral erster Gattung mit dem Modul l:]/2 (nach Nr. 448).

554. Rektifikation der zweiteiligen Cassinischen Kurve. Die Lemniskate ist ein besonderer Fall der Cassinischen Kurve, nämlich des geometrischen Ortes derjenigen Punkte in der Ebene, deren Entfernungen von zwei festen Punkten Ft und F% ein konstantes Produkt h² haben. Dabei sei 2 a die Entfernung der beiden festen Punkte voneinander. Ist insbesondere b = a, so liegt eine Lemniskate vor.

Wenn die Mitte 0 von FXF% der Pol der Polarkoordinaten co, q und OFx der Anfangsstrahl ist, hat die Cassinische Kurve die Gleichung:

(i)

p⁴ — 2a²ç² cos 2ra -f- a⁴ = &⁴.

Ist b < a, so zerfällt die Kurve in zwei symmetrische Ovale, von denen jedes einen der beiden festen Punkte umschließt, siehe Pig. 43; und wir wollen in dieser Nummer bei der Annahme &<a bleiben. Es gibt dann einen gewissen Winkel a zwischen 0 und -je, für den b² gleich a² sin 2a ist. Setzen wir diesen Wert von b² in (1) ein, so kommt:

p² = u²(cos 2 cd + j/cos² 2co — cos² 2 a).

Hiernach gehören zu jedem Werte von cd zwischen — a und + a zwei-positive Werte von q. Sie liefern Punkte des rechten Ovals. Wird cd zwischen a und oder zwischen — a und — jst gewählt, so wird p² imaginär. Für cd == a und ebenso für cd = — a fallen die beiden Werte von p zusammen.

Daher sind a und — a die Winkel, die von der Geraden OFx mit den beiden von 0 aus an das Oval gehenden Tangenten gebildet werden. Es ergeben sich alle Punkte dieses Ovals, wenn cd auf das Intervall von — a bis -j- a beschränkt wird.

Zu jedem derartigen Werte von cd gehören zwei Bogenstücke s und 6 der Kurve im Intervalle von 0 bis cd. Es sei s das äußere, a das innere. Beide werden positiv im Sinne wachsender Werte von cd gerechnet; jedes einzelne darf also höchstens bis cd = a oder cd = — a erstreckt werden. Nach (1) in Nr. 545 ist:

(2)

Fz

Fi

or

Fig. 48.

s = a sin 2 a

(X)    _

fycoS2co+ycoS*2co J    j/cos*2<a — cos² 2 a

— cos²2 a

dm,

6 = a sin 2 a

(x)

r-

0

cos 2 ra —]/cos² 2 a> — cos² 2 a

j/cos² 2(û — cos²2a

dm,

so daß sich ergibt:

(3)

— cos 2 a ¹

= a]/2 sin 2 a f—--m

j y cos 2 co o

(4)

S — <5 =

(X)

a}/2 sin 2aJ*j o

da

ycos 2oe> —(- COS 2a

In diesen Formeln sind alle Wurzeln positiv.

Es gibt nun einen Winkel cp zwischen —jic und -f-jjt derart, daß

(5)

sin 03 = sin a sin cp

ist, weil 03 zwischen —a und + a liegt. Da ferner a zwischen 0 und -|jr liegt, gibt es einen Winkel cp zwischen — und derart, daß

(6)

sin 03 =■ cos a sin cp

ist. In die Formel (3) führen wir vermöge (5) die neue Veränderliche cp und in die Formel (4) vermöge (6) die neue Veränderliche cp ein. Alsdann kommt:

00

W

•Ss

0

s + <î = a sin 2 a

s — 6 — a sin 2 a

d cp

■j/l— sin*a sin*qp⁷

dip

yl — cos*asin*i/>

Hierfür können wir nach (6) in Nr. 546 schreiben:

(8)

_F(sin a, cp)

S -f- 6

F(cos a, cp) =

a sin 2 a

Jedes elliptische Normalintegral erster Gattung F (Je, cp) oder F(k, cp) ist daher, welchen Wert sein Modul k auch haben mag, ausdrückbar durch die Summe oder Differenz zweier zwischen denselben Strahlen gelegener Bogen des einen Ovals einer zweiteiligen Cassinischen Kurve. Da ferner

(9)

s =ja sin 2a.[.F(sin a, cp) -f JF(cos a, cp)],

6= ja sin 2a. [JF(sin a, cp) — J^(cos a, cp)~\

ist, läßt sich jeder Bogen dieses Ovals, der am Strahle OFt beginnt, durch die Summe oder Differenz zweier elliptischer

554]

Normalintegrale ausdrücken, deren Moduln sin a und cos a sind, so daß die Summe der Quadrate der Moduln gleich Eins ist.

Die Summe S der Umfänge beider Ovale der Cassinischen Kurve hat den Wert S — 4(s -f- <?), sobald cp in der ersten Formel (7) gleich jit gewählt wird. Nach der Bezeichnung (3) in Nr. 547 ergibt sich also:

(10)

8 = 4 a sin 2 a . Ft (sin et).

555. Rektifikation der geschlossenen Cassinischen Kurve. Wir setzen jetzt voraus, daß b > a -sei. Dann ist die Cassinische Kurve eine einzige, beide feste Punkte F₁ und F₂ umschließende Kurve, siehe Fig. 44. Es gibt nun einen zwischen 0 und gelegenen Winkel a derart, daß a² gleich &² sin 2« ist und also aus (1) in voriger Nummer folgt:

p² = b² sin 2 a (cos 2 ca -j-j/cos² 2 ca + ctg² 2 a).

Hier muß man die Wurzel ausschließlich positiv annehmen, denn wenn sie negativ wäre, würde p² < 0 sein. Der zu œ gehörige Radiusvektor p soll positiv angenommen werden (vgl. Nr. 203).

Geben wir ca einen bestimmten Wert, so möges den zum Intervalle von 0 bis ca gehörigen Bogen bezeichnen, dagegen <5 den zum Intervalle von bis ca -f- ~n gehörigen Bogen, also denjenigen Bogen, dessen Begrenzungsstrahlen aus denen des Bogens s durch positive Drehung um einen rechten Winkel hervorgehen. Beide Bogen s und 6 werden im Sinne wachsender Werte der Amplitude positiv gerechnet. Alsdann folgt aus (1) in Nr. 545:

(i)

Fz_

<r

ct

Fig. 44.

]/cos 2ro -|-ycos²2ffl-l-cgt²2o:

]/cos²2a) -}- cgt²2a

dca,

V©

Ft

->

•-f

l2V

0

y — cos 2 ca -|-ycos²2co-f- cgt²2a

ycos²2a> 4" ctg²2a

dca

[554, 555

und weiterhin:

(2)

a}/2

y ctg 2 a -}-ycos²2a>-|-ctg²2a

sin 2 a

dco,

(3) S — 6 —

«]/ 2 sin 2 cc

Y—ctg2a-f)/⁰⁰⁸*²“-f ctg²2a

ycos² 2a> + ctg² 2a

dco.

Alle Wurzeln sind hierbei positiv.

Wir können oo auf das Intervall von — jjt bis + beschränken. Da ferner a zwischen 0 und \n liegt, gibt es im Intervalle von — bis    Winkel cp und für die

Y cos² 2 œ -j- ctg² 2 a

1 — 2 sin²asin²gp

sin 2 a

1 — 2 cos²a sin²!/)

]/cos²2co -f- ctg² 2 a

ist. Substituieren wir die neue Veränderliche cp in (2) und die neue Veränderliche iff in (3), so kommt:

(6)

sin 2 a

(6)

's

0

dcp

yi — sin² a sin² qp ’

xp

'Sn

0

dty

— cos² a sin² ip ’

sin 2 03 ' = sin 2 a sin 2 œ

wobei die Wurzeln positiv sind. Übrigens lassen sich die Definitionsgleichungen (4) und (5) für cp und ip vereinfachen. Bedeutet nämlich co' den zwischen —und jtc gelegenen Winkel, für den

ist, so nehmen sie die Form an: sin ra'= sin a sin cp,

(?)

sin ro' = cos a sin ijj,

so daß die Analogie mit (5) und (6) in voriger Nummer auffällt. Nach (6) in Nr. 546 können wir die Formeln (6) so schreiben:

(8)

F(sin a, cp) = s-^l

F(cos a, ip) = ~ a

Daher lassen sich ebensolche Schlüsse wie in voriger Nummer machen.

Für o? = ijr ist s + der Bogen eines Quadranten der Cassinischen Kurve. Alsdann ist cp nach (4) gleich ~n, so daß S = 4 62^ (sin a)

(9)

den gesamten Umfang der Kurve angibt.

556. Andere Verallgemeinerung der Lemniskate.

Daß nicht nur die Lemniskate, sondern allgemeiner jede Cassi-nische Kurve mittels elliptischer Integrale rektifizierbar ist, erkannte A. Serret. Von ihm rührt die Entdeckung einer ausgedehnten anderen Familie von Kurven her, die als speziellen Fall die Lemniskate enthält, und bei der die Rektifikation in entsprechenderWeise zu elliptischen Integralen führt. Die einfachsten Kurven von dieser neuen Art lassen sich geometrisch wie folgt definieren:

Es seien OP=a und EM = b zwei gegebene und in P gegeneinander bewegliche Strecken; der Endpunkt 0 sei fest. Der Punkt M soll sich so bewegen, daß seine Tangente beständig durch den sich zu

gleich mit M verändernden Mittelpunkt K desjenigen Kreises geht, der dem beweglichen Dreiecke OPM umschrieben ist.

Siehe Fig. 45.

Wir wählen 0 zum Anfangspunkte und benutzen für den Kurvenpunkt M — sowohl rechtwinklige Koordinaten x, y als auch die zugehörigen Polarkoordinaten

Als unabhängige Veränderliche wollen wir den Winkel cp

Eft

\b

?!

.03

Fig. 45.

03, Q.

wählen, den das bewegliche Dreieck OPM an der festen Ecke

0 hat. Dann ist

(1)

p²-f a² — 2ça cos cp =*= b²,

d. h.

(2)

q = a cos cp -f bAcp.

wenn

Aç) ="|/l — p sin²ç)

gesetzt wird. Diese Wurzel kann sowohl positiv als auch negativ sein. Ferner ist x — ç cos 03 und y = q sin 03, während

[555, 556

(3)

der Punkt P die rechtwinkligen Koordinaten acos(oo — cp) und a sin (co —9?) hat. Sind £, t) die rechtwinkligen Koordinaten des Punktes K, so folgt daraus, daß dieser Punkt auf den Mittelsenkrechten von a und q liegen muß, sofort:

£ cos (co — cp) + sin (co — <p) = | a,

£ cos co -f- sin co = ~ p,

d. h.:

(4)

a cos co — g cos (co -f- qp)

a sin co — g sin (co -j- 9)

Andererseits folgt aus

y = q sin co,

weil q und co als Funktionen von cp aufzufassen sind:

g cos co . co' -f- sin co . g' g sin co . co' — cos co . g' ’

X = Q COS (O,

dy

dx

wobei der Akzent hier wie nachher die Differentiation nach cp andeutet. Da verlangt wird, daß die Kurventangente nach dem Punkte K gehe, soll dieser Wert gleich dem Werte (4) sein. Hieraus ergibt sich:

(a — q cos cp) q = p² sin cp . co'.

Nach (2) und (3) ist aber:

(5)

t

Q =-

a g sin cp

so daß kommt:

(6)

co' =

a(ç cos qp — a)

bg Acp

oder, wenn wir p aus (2) einsetzen und den Bruch umformen:

ab cos cp a*— b * Ä cp

a*

œ a*— 6*

Nun ist aber:

/*COS qp _

J A,p J l/i

d (sin qp)

a*

sin* qp

b . fa .    \

= ~ »re sin ^ sin cp) ,

so daß sich ergibt:

(?)

a*    &*    . (a .    \

°> - a<-ï> V - SÎ3Ï* arcSln (4 Sln’f) '

Die additive Konstante durften wir bei der Integration fortlassen, weil die Richtung der #-Achse passend gewählt werden kann.

556]

(9)

r cl ®

x = (a cos cp -f 6 A<p) cos    ff

r ci²

y = (a cos cp -\-bA<p) sin

arc sin ^sin<p^J, arc sin (J* sin <p^J.

Die Formel (7) läßt sich, wenn ÿ den Winkel des veränderlichen Dreiecks OPM an der Ecke M bedeutet, auch so schreiben:

(8)

co ==

a*

cp —

fc³

a*—&*

Die Bewegung kann demnach auch so definiert werden: Das veränderliche Dreieck OPM mit der festen Ecke 0 und den konstanten Seitenlangen OP = a und PM = h soll sich so bewegen, daß sich der Winkel co der veränderlichen Seite OM = g mit einer festen Dichtung als lineare homogene Funktion der Dreieckswinkel cp und ip bei 0 und M in der Form (8) ausdrückt. Die Gleichungen der Bahnkurve von M, ausgedrückt mittels der Hilfsveränderlichen cp, gehen hervor, wenn wir in q cos co und q sin co die Werte (2) und (7) einsetzen:

a*-fr

Andererseits geben (2) und (7) zusammen die Darstellung der Kurve in Polarkoordinaten.

Nach (1) in Nr. 545 ist das Quadrat der Ableitung der Bogenlänge s der Kurve nach der Veränderlichen cp gegeben durch :

Setzen wir hierin die Werte (5) und (6) ein und berücksichtigen wir die Formel (1), so kommt:

/ dsy / a \2

Vdqp/ \A cp)

Messen wir den Bogen von cp = 0 an positiv im Sinne wachsender Werte von cp, so ist also:

(10)

. r_

/A" 7V

o

dcp

tO Kl

sin* qp

wobei das Plus- oder Minuszeichen zu wählen ist, je nachdem A cp positiv oder negativ angenommen wurde. Ist a < b, so

[556

sin* ip

also ein elliptisches Normalintegral erster Gattung mit dem Modul h : a.

In der Anfangslage cp — 0 liegen alle Ecken des Dreiecks OPM auf einer geraden Linie. Von ihr aus wollen wir den Sektor rechnen, den der Radiusvektor p überstreicht und dessen Fläche nach (1) in Nr. 532 durch

S = j J*o²co'dcp 0

gegeben wird. Wir bemerken nun, daß der Inhalt des Dreiecks OPM den Wert

D = jaQ sin cp

hat, so daß nach (5), (2) und (6)

dB

dcp

wird hiermit die Bogenlänge s durch ein elliptisches Normalintegral erster Gattung mit dem Modul a : h dargestellt.

Ist dagegen a > b, so führen wir statt cp den vorhin erwähnten Winkel cp als unabhängige Veränderliche ein. Es ist nämlich

sin cp = sin cp so daß kommt:

cos cp

=]/¹ - «i sm²^,

A cp — cos Cp

dip

= ie²®'

ist, also S dieselbe Ableitung wie D hat. Weil in der Anfangslage auch I) = 0 ist, folgt:

S = D.

Der Sektor, den der Badiusvektor von 0 bis co uberstreicht, ist also gerade so groß wie die Fläche des zu a gehörigen Dreiecks OPM.

Wenn insbesondere & = a]/2 ist, findet man, daß die Kurve die in Nr. 553 betrachtete Lemniskate ist; jedoch liegt dabei der Anfangspunkt in einem der beiden festen Punkte (vgl.

556]

2. Beispiel, Nr. 534). Die Kurve, die wir betrachten, ist demnach in der Tat eine Verallgemeinerung der Lemniskate.

Die übersichtlichste Darstellung der Kurve geht aus (2) und (8) hervor, wenn man p und œ durch die beiden Veränderlichen cp und cp ausdrückt:

(11) q = a cos cp -f b cos cp, co =

a⁸

, b* , T* V ⁺ 6* — a*

wobei dann zwischen cp und cp die Beziehung besteht:

a⁸ —

(12)

a sin cp — bsinip = 0.

Quadrieren wir die erste Formel (11) und die Formel (12) und addieren sie dann, so kommt:

q =]/a² + &² + 2«& cos t,

wenn cp + cp = t gesetzt wird. Außerdem gibt (12), wenn darin t — cp statt cp eingesetzt wird :

b sin t a -f- bcost ’

so daß aus der zweiten Gleichung (11) folgt:

6⁸    , . ai 4- &*    , b sint

b^a* ¹ + a⁸-^8 arctSa + bcost'

In (13) und (14) liegt eine neue Darstellung der Kurve vor, indem die Polarkoordinaten q und eo darin als Funktionen der Veränderlichen t gegeben werden. Dabei bedeutet t=cp-\-cp den Außenwinkel des Dreiecks OPM bei P. Die Bogenlänge stellt sich jetzt nach (10) so dar:

(13)

(14)

co =

(p = arctg

ff*Y a² -f- 6⁸ -f- 2ab cos t o

Führen wir den halben Winkel t als neue Veränderliche x ein, so kommt:    t

ab dt

2 ab /"»

" i_7 |.

0

dt

4 ab

(« + &)*

sin⁸ t

so daß die Bogenlänge abermals durch ein elliptisches Normalintegral erster Gattung dar gestellt wird, dessen Modul jetzt aber 2 Y ab : (a + b) ist. Dieser Modul liegt stets zwischen 0 und 1 ob nun a oder b die längere von beiden Strecken ist.

Im Falle a = b, in dem der größte Teil der aufgestellten Formeln versagt, gellt eine Kurve hervor, die sich in Polarkoordinaten co, q so schreiben läßt:

]/4a* — q

co = arc cos --

a = cp — jt gcp.

oder auch mit Hilfe der Veränderlichen <p so: q = 2a cos cp,

Der Anfangspunkt ist ein asymptotischer Punkt der Kurve (vgl. Nr. 246), und die Kurve verläuft vollständig innerhalb des Kreises um den Anfangspunkt mit dem Radius 2a.

Auch im allgemeinen Falle a =(= b ist q natürlich nie größer als a -f- b. Man kann insbesondere a und b so wählen, daß sich eine algebraische Kurve ergibt, nämlich wenn man

b = c]/w + 1

a = c]/n,

setzt, wo n eine ganze positive Zahl bedeuten soll. Daß insbesondere für n = 1 die Lemnishate hervorgeht, wurde schon erwähnt.

§ 5. Durch Kreisbogen rek tili zierbare rationale Kurven.

557. Umkehrung der Aufgabe der Rektifikation.

Sind die Koordinaten x, y der Punkte einer Kurve als Funktionen einer Hilfsveränderlichen t gegeben:

x — cp (t)

so ist die von t = 0 an gerechnete Bogenlänge s der Kurve nach Nr. 543 bestimmt durch die Formel:

dt.

Da die Auswertung dieses Integrals wegen der vorkommenden Quadratwurzel allgemein geredet sehr schwierig ist, so daß die Ausführung der Rektifikation nur bei einer geringen Anzahl von vorgelegten Kurven möglich ist, wird man, um zu rektifizierbaren Kurven zu kommen, die Stellung der Aufgabe nach dem Vorgänge von Euler so umkehren:

556, 557]

Nicht die Kurve sei gegeben, sondern die Bogenlänge s als Funktion der Hilfsveränderlichen t. Alsdann sollen x und y so als Funktionen von t bestimmt werden, daß

(i)

fdx\² . !dy\f /ds\²

Vdt) ⁺ KW ~ [dt) ist. Da nun zwei Funktionen x und y von t gesucht werden, die nur einer Bedingung (1) genügen müssen, kann man noch beschränkende Voraussetzungen treffen, z. B. die, daß x und y rationale Funktionen von t sein sollen. Alle Kurven, deren Koordinaten x und y rationale Funktionen einer Hilfsveränderlichen sind, heißen rationale Kurven; man erkennt leicht, daß alle rationale Kurven algebraisch (Nr. 187) sind. Ein Problem, das rationale Kurven betrifft, soll im folgenden behandelt werden.

558. Die Serretschen Kurven. A. Serret stellte und löste eine Aufgabe, die für die einfachsten Fälle schon von Euler behandelt worden war, nämlich diese:

Es sollen die rechtwinkligen Koordinaten x und y der Punkte einer Kurve als rationale Funktionen einer Hilfsveränderlichen t so bestimmt werden, daß die von t = 0 an gerechnete Bogenlänge s gleich demjenigen Bogen eines Kreises ist, dessen Zentriwinkel den Wert zum Tangens hat.

(i)

Ist k der Kreisradius, so soll also s = k arc tg t

sein. Daß sich diese Aufgabe lösen läßt, beruht auf dem Umstande, daß hier

/ds\²    / k \²_ k    k

\di) ⁼ li+lv “ (H-Ö* * (*^T*

ist, während auch

Œ’+sa-Gî+'â&es-'»

ist, so daß sich im vorliegenden Falle beide Seiten der Gleichung (1) der vorigen Nummer in zwei Faktoren zerlegen lassen. Wir benutzen also hier vorübergehend komplexe Größen Es folgt zunächst:

(* + *)* d{x + iy)j j'(t — i)¹ d{x — iy)

(2)

dt

dt

1.

Da x und y rationale Funktionen von t sein sollen, gilt dasselbe von x -+- iy und x — iy und von ihren Ableitungen nach t, also auch von den beiden in (2) links stehenden Faktoren. Nach Nr. 378 können wir daher den ersten Faktor in der Form annehmen:

an

wo c eine Konstante ist und die n -f- m -f 2 Größen a₀, au ... an, b₀,bl} ... bm voneinander verschiedene Konstanten sind, während a₀, a1} ... an, ß₀, ß1} ... ßm positive ganze Zahlen bedeuten. Der zweite Faktor der linken Seite von (2) ist der hierzu reziproke Wert. Also folgt:

(d(ac -f- iy)

(«■-■‘.r(‘-“i)*--•(‘-‘»j*

(< + «’(*■-    (*    (* - » Jm ’

Da die linke Seite der einen Gleichung in die der andern übergeht, wenn i durch — i ersetzt wird, muß dasselbe von den rechten Seiten gelten. Hieraus schließen wir erstens, daß 1 : c zu c konjugiert komplex ist, woraus nach Nr. 373 ohne Mühe folgt, daß c die Form êl hat, wobei X eine reelle Konstante bedeutet. Zweitens folgern wir, daß jede der Zahlen a₀, «J,... an zu einer der Zahlen b₀, b1} ... bm konjugiert komplex sein muß und umgekehrt, so daß also m = n ist und z. B. b₀ zu a₀, \ zu alf ... bn zu an konjugiert komplex sein mag. Hieraus folgt drittens noch, daß a₀= ß₀, u₁ = ßly ... un = ßn sein muß. Wir haben also jetzt:

(3)

(4)

dt

d(x — iy)

dt

an

d(x -f iy)

an

dt

(t + 0’ (( - (t -    ■ ■ ■ {t- bj* ’

wobei b₀ zu a₀, bl zu alf ... bn zu an konjugiert komplex ist.

Es ist zu beachten, daß zwar a₀, alf . ... an, b₀, b1} . . . bn voneinander verschieden sind, der Faktor t + i aber, der im Nenner vorkommt, sehr wohl auch im Zähler auftreten kann. Wir wollen daher, um den allgemeinsten Fall zu erhalten, ins-558]

besondere a₀ = — i annehmen, so daß b₀ = + i wird. Alle anderen a und b sind dann von i und — i verschieden.

Nun soll x -f iy eine rationale Funktion von t sein. In Nr. 431 wurden die Bedingungen dafür gewonnen, daß die Integration einer rational gebrochenen Funktion wie (4) eine rationale Funktion liefert, und zwar auch für den Fall des Vorkommens komplexer Zahlen (vgl. Nr. 432, 433). Die erste Bedingung war die, daß der Nenner der rationalen Funktion (4) keine einfachen Nullstellen haben darf. Daher sind

ai> a₂, ... ccn

notwendig ganze Zahlen und größer als Eins, wenn sie nicht verschwinden. Wäre a₀ = l, so wäre wegen b₀= i die Stelle t = i eine einfache Nullstelle des Nenners. Also ist auch «0 entweder gleich Null oder eine ganze Zahl größer als Eins. Im Falle cc₀ > 1 setzen wir cc₀— 2 = r} so daß sich ergibt:

fcg**(*+ *f (* — aiTl ••■(*— a,fn .

(t — if

im andern Falle dagegen, wo a₀=0 ist, führen wir —t als neue unabhängige Veränderliche ein, woraus hervorgeht, daß sich dieser Fall der Annahme (5) für r = 0 unterordnet. Mithin dürfen wir bei dem Ansätze (5) bleiben.

Darin bedeuten also Ti und A reelle Konstanten, r, ax, ... un lauter ganze positive Zahlen, von denen nur r gleich Eins sein darf, während alle anderen von Eins verschieden sind, aber ebenso wie r gleich Null sein dürfen. Ferner sind ax und bx konjugiert komplexe Konstanten, ebenso a₂ und &₂ usw., schließlich auch an und bn. Überdies sind alle Zahlen at, ... an, b1} ... bn voneinander und von i und —i verschieden. Hierin liegt, nebenbei bemerkt, daß keine der Zahlen ax, ... anJ bx, ... bn reell sein darf. Denn wäre z. B. ax reell, so wäre die dazu konjugiert komplexe Zahl bx auch gleich ax.

559. Die einfachsten Serretschen Kurven. Das

auseinandergesetzte Verfahren liefert alle rationalen Kurven, deren Bogenlänge sich in der Form s = Te arc tg t darstellen läßt, wo t die Hilfsveränderliche, d. h. die Veränderliche der rationalen Funktionen x und y bedeutet. Zu jedem Werte von t geben die Gleichungen, die man durch die Integration der rationalen Funktionen gewinnt, ohne weiteres die zugehörigen

Serret-Scheffers,Diff.-u.Integral-Eeclinung. II. 4. u.5.Aufl. 21    [558* 559

(Ö)

dix 4- iy)

dt

+T

(t - \)Ul • • • (* - KTn

Kurvenpunkte, und der zugehörige Bogen s läßt sich nach der Formel s = k arc tg t sofort als Bogen eines Kreises vom Radius h darstellen.

Wir wollen jedoch die allgemeine Untersuchung nicht weiter durchführen, sondern nur noch den einfachsten Fall ins Auge fassen.

Werden alle a gleich Null gewählt, so ergibt sich aus (5) in voriger Nummer und aus derjenigen Gleichung, in die (5) übergeht, wenn i durch — i ersetzt wird, ohne Mühe, daß die Kurve ein Kreis ist. Am bequemsten ist es dabei den Bruch (t -f i) : (t — i) als neue Yeränderliche zu benutzen.

Sehen wir hiervon ab, so wird der einfachste Fall der sein, in dem n — 1 gesetzt wird. Dann haben wir:

(1)

d(x + iy) kea(t + i)r(t — a)a

dt

wobei die ganze Zahl a > 1 ist und a und b konjugiert komplex, aber weder reell noch gleich i oder — i sind. Setzen wir nun:

(2)

p¹ + (,q + i)

b = p iq}

P* + (2 — 1)

und führen wir die neue Veränderliche

₌ P + »g — * . * + i P + *2 + * t — *

(3)

ein, so kommt:

zr(z-l)a (z — m)a ’

wobei A eine leicht zu berechnende komplexe Konstante bedeutet, während m nach (2) reell ist.

Da x + iy eine rationale Funktion von t sein soll und nach (3) sowohl z eine rationale Funktion von t als auch t eine rationale Funktion von z ist, haben wir zu fordern, daß x + iy rational in z sei. Nach (1) in Nr. 431 liefert jedoch die Integration von (4) dann und nur dann eine rationale Funktion von z, wenn z = m eine Wurzel der Gleichung (r + l)ten Grades

(4)

dix -f iy)

dz

(5)

da~X[zr{z-Vf\ A dz“-¹

aber weder gleich Null noch gleich Eins ist. Denn für m = 0 wäre a = i und für m = 1 wäre a reell.

Setzen wir nun für m eine von Null und Eins verschiedene Wurzel der Gleichung (5) in (4) ein, so liefert die Integration für x iy eine rationale Funktion von z. Darin führen wir alsdann wieder den Wert (3) ein, so daß für x + iy eine rationale Funktion von t mit komplexen Koeffizienten hervorgeht. Wird darin i überall durch — i ersetzt, so geht auch für x — iy eine solche Funktion hervor. Aus beiden ergeben sich schließlich durch Addition bzw. Subtraktion für x und y rationale Funktionen von t mit reellen Koeffizienten, so daß damit die Gleichungen der einfachsten Serretschen Kurven gefunden werden.

560. Eulersche Kurven. Wenn wir noch spezieller r — 1 setzen, gelangen wir zu Kurven, die schon Euler gefunden hat. In diesem Falle gibt die Gleichung (1) der letzten Nummer:

(i)

dt

d(x -j- iy) _ kel)' (t -j- i) (t — a)a (t — i)» (f _ b)a ’

während die Gleichung (5) nach Nr. 71 die quadratische Gleichung (a — 1) (z — l)² + 2 z (z — 1) = 0 wird, die außer z = 1 nur die Wurzel:

(2)

hat. Setzen wir diesen Wert in die letzte Gleichung (2) der vorigen Nummer ein, so liegen die drei Gleichungen vor:

(3)

a = p + iq, h = p — iq, p¹ + q² + 1 = 2aq.

Die ganze Zahl a hat man größer als Eins zu wählen. Alsdann sind p und q als solche reelle Zahlen zu nehmen, die der letzten Gleichung genügen, so daß schließlich die beiden ersten Gleichungen (3) noch die Werte von a und b geben. Doch darf q nicht gleich Null sein. Nunmehr gibt die Integration von (1) eine rationale Funktion von t, die also ein Bruch aus zwei ganzen rationalen Funktionen ist, und zwar ist der Nenner dieses Bruches nach Nr. 430 gleich (t — i)a (t—&)“”S ^er Zähler dagegen von höchstens (a + l)tem Grade. Bezeichnen wir diesen Zähler mit Gif), so muß also

21

[559, 560

___ _______G(t)________

dt (t — i)²(t — b)a-¹

den Wert (1) haben, d. h. es ist:

(—b) G'(t)—[2 (t—b) -f («—1) (£—«)] G(t)=kea    (t— a)a.

Wird das Integral insbesondere von t = a an erstreckt, so ist G(a) — 0. Die vorstehende Gleichung lehrt dann, daß G'(t) mit t — a in der atea Ordnung verschwindet, daher G(t) selbst in der (a+l)ten Ordnung. Weil G(t) nun aber von höchstens (ia + l)tem Grade ist, hat diese Funktion notwendig die Form Konst, (t — a)a + 1. Die Konstante läßt sich nach Nr. 373 in der Form lié"¹ darstellen. Mithin kommt:

(t _ iy (t — b)a

æ + iy=*

+ konst.

Hierbei sind h und y reelle Konstanten. Durch passende Wahl des Anfangspunktes können wir die additive Konstante zum Verschwinden bringen. Dann haben wir, da & zu a konjugiert komplex ist:

(4) x Ą-iy =

heiu (t — a)a + 1 (t — iy (t — &)“

x — iy =

h e~ifx (t — b)a

(* + *)*(* — a)“"¹

Wir führen nun Polarkoordinaten co, p vermöge x — q cos co, y = q sin co ein. Aus (4) folgt dann wegen (3) durch Multiplikation :

(5)

und ferner folgt wegen

g2ico __

aus (4) durch Division sofort:

cos co -{- i sin co

x -f iy

cos co

i sin co x — iy

(6)

ém

= e«> i±i (L- aY.

t — i — b)

Nehmen wir hier beiderseits den Logarithmus, so kommt:

co = y —

'/

i (et + 1) ln (— 1)

oder nach (1), Nr. 377, und da ln (—1) nach (1) in Nr. 376 gleich in gesetzt werden kann:

560]

t - 'p

co = g — 2 arc tg t + 2 a arc tg —-f (a -f 1) n.

Durch passende Drehung des Achsenkreuzes erreichen wir, daß die additive Konstante g -\- (a -f- 1) n wegfällt. Hiernach und nach (5) werden also die Eulerschen Kurven hei passender Wahl des Achsenkreuzes in Polarkoordinaten co, q so dargestellt:

co =

(7)

arc tg t — 2 arc tg t,

1 -f t*

Wir haben hierin den Wert von a aus (3) eingeführt. Die Konstanten p und q müssen so gewählt werden, daß (p²+#² + l): 2 g eine ganze Zahl größer als Eins wird, während h eine beliebig zu wählende Konstante bedeutet, die wir positiv annehmen können, damit q > 0 wird (vgl. Nr. 203).

In (7) liegt alsdann eine Kurve vor, deren rechtwinklige Koordinaten x und y rationale Funktionen von t sind und deren Bogenlänge s, von t — 0 an gerechnet, nach (1) in Nr. 558 die Form hat;

(8)

s = k arc tg t.

Indem wir dies verifizieren, können wir leicht den Wert der Konstanten k feststellen. Denn mittels der Formel (1) von Nr. 545 oder also:

ergibt sich aus (7):

so daß

(9)

ist.

k = h Y(p² -f- g² — l)² + 4g»²

Wollen wir x und y als Funktionen des Radiusvektors q darstellen, so gehen wir am besten auf die Formel (6) zurück. Da g = — (a+l)jt gewählt worden war, muß e^¹ = (—1)“+1 gesetzt werden. Es kommt also:

t + > (t — p — iq\<* — i V* — p + iq)

(10)

cos co -j- i sin co = (— 1)“ +1 v-

Hierin ist der aus der zweiten Gleichung (7) folgende Wert von t einzuführen. Wenn wir dabei die positive Konstante h, von deren Wert ja nur die Größe, nicht die Gestalt der Kurve beeinflußt wird, gleich 1 : q wählen, was geschehen darf, da wir in (7) offenbar q > 0 annehmen dürfen, ergibt sich:

(11)

= P + %T 1 — qQ ’

wenn zur Abkürzung:

(12)

T = Y— q² -f- 2 a p — 1

gesetzt wird. Man muß dabei beachten, daß a den in (3) angegebenen Wert hat. Führen wir den Wert (11) in (10) ein, indem wir dabei überall die Gleichung

p² = 2aq — 1 — q²

benutzen, so finden wir:

cos o, + i sin <0 = Î?*    k-«.*<?>{*-«»+i T>‘.

(a² — 1 )a + lq    Qa

Hieraus ergibt sich durch Multiplikation mit p:

x + iy = gd

v (p-a + iT)

p“-f    ?

indem der konstante Faktor, der ja eine komplexe Zahl ist, mit geiv bezeichnet worden ist. Bei passender Wahl der Längeneinheit können wir <7=1 machen, und bei passender Drehung des Achsenkreuzes erreichen wir die Annahme v = 0.

Jede Eulersche Kurve ist mithin einer derjenigen Kurven ähnlich, deren rechtwinklige Koordinaten x, y als Funktionen des Radiusvektors q durch

(p — ccjr.iT) (1 -Kp ±iTf

(13)

p“-¹

x + iy =

dargestellt werden. Dabei ist a eine ganze Zahl größer als Eins und T die Quadratwurzel (12). Aus (13) folgt sofort, daß x und y einzeln die Formen

x - * (?)

Qa

haben, in denen cp und xp ganze rationale Funktionen von p sind.

560]

§ 6. Rektifikation ohne Integration.

561. Gleichzeitige explizite Darstellung der Koordinaten und der Bogenlänge einer ebenen Kurve.

Eine beliebig ausgewählte ebene Kurve c hat unzählig viele Evolventen, und es sei die Kurve m eine dieser Evolventen. Ygl. Nr. 199. Auf der Evolute c wählen wir zwei Punkte C0 und aus; es seien M₀ und Mt die zugehörigen Punkte der Evolvente m. Nach Satz 15, Nr. 200, ist alsdann der Bogen G₀ Cx von c gleich der Differenz Rx — R₀ der Krümmungsradien Rx und R₀ der Evolvente m in den entsprechenden Punkten Mx und M₀. Hiervon machen wir im folgenden Gebrauch.

Die Evolvente m sei mittels einer Hilfsveränderlichen t in der Form

£ = y “KO

gegeben. Nach (2) in Nr. 197 hat sie in dem zu t gehörigen Kurvenpunkte M den Krümmungsradius

R = kV² + 'V,/23 }

q>' ip" ■— ap' <p''

wobei die Wurzel positiv ist. Ferner hat der zu M gehörige Punkt C der Evolute c, d. h. der zugehörige Krümmungsmittelpunkt, nach (5) in Nr. 197, worin nach (6), Nr. 169,

Im einfachsten Falle a = 2 kommt:

e³ + 6e-2

x--: }

y=*⁺;p-y-?₊₄e-i,

im Falle cc = 3 dagegen, wenn wir den Maßstab auf ein Achtel verkleinern und die positiven mit den negativen Achsen vertauschen :

s₌C+-¹l?,-⁸g + ¹ y_ (J-,¹)M + *0- 9yCTgi ₊ 6₉-1.

e²

e²

(i)

sin v —

<p’

kV² + y²’

zu setzen ist, die Koordinaten:

cos v = —

ip'

yy ²+y²

(2)    # = <p —y

Cp' 1p"-'Ip' cp

ij=\p y y

y² -F y

[560, 561

Stelle (t) nach (1)

Also folgt: Eine beliebige Kurve c können wir uns in der Form (2) gegeben denken, indem darin x und y Funktionen einer Hilfsveränderlichen t sind. Alsdann bat die Bogenlänge s dieser Kurve von der Stelle (£₀) bis zur den Wert

~\t

(3)

wobei die Wurzel positiv ist, wenn die Bogenlänge im Sinne wachsender Werte von t positiv gerechnet wird. Dabei ist jedoch nach Satz 15, Nr. 200, vorausgesetzt, daß die Evolute auf dem zugehörigen Stücke keinen Wendepunkt, singulären Punkt oder Scheitel habe.

Indem wir in (2) für cp und ip irgend welche Funktionen setzen, erhalten wir also mit Leichtigkeit explizite Darstellungen von Kurven, deren Bogenlänge nach (3) ohne jede Integration ebenfalls explizite angegeben werden hann.

562. Kurven, deren Koordinaten als Funktionen des Tangentenwinkels gegeben sind. Besonders einfach gestaltet sich dieselbe Betrachtung, wenn wir uns die Evolvente in der in Nr. 213 angenommenen Form (3) gegeben denken, in der x ihr Tangentenwinkel ist. Die Bleichungen der Evolute sind ebenda unter (8) angegeben. Der Tangentenwinkel der Evolute ist jedoch x    Wenn wir diesen Wert mit x be

zeichnen, haben die Punkte der Evolute die Koordinaten:

(1) x = f(t) sinr -ff"(r) cos r, y = —f'(x)cosx-\-f"(x)sinx. Nach (6) ebenda ist dann der Krümmungsradius der Evolvente:

Also ist auch

(2)

s = f(x) + f"(x) -f konst.

die Bogenlänge der Kurve (1), von einer gewissen Stelle an gerechnet, von der es abhängt, welchen Wert die Konstante hat.

Allerdings ist hier s nicht stets positiv gerechnet im Sinne wachsender Werte von x, sondern nur dann, wenn f'(x) + f'"(x) positiv ist. Im andern Falle hat man den Wert

(2) noch mit — 1 zu multiplizieren.

Sechstes Kapitel.

Kubatur, Koraplanation und mehrfache Integrale.

§ 1. Kubatur durch einfache Integrale.

563. Volumen einer Körper Schicht. Unter Kubatur versteht man die Ausmessung der Volumina, weil die Volumina als Vielfache der Einheit, nämlich des Würfels oder Kubus von der Kantenlänge Eins, darzustellen sind. Die elementare Stereometrie definiert nur die Volumina ebenflächig begrenzter Körper. Liegt ein krummflächig begrenzter Körper vor, so ersetzen wir ihn daher durch einen ebenflächig begrenzten Körper, der so verändert werden kann, daß sich seine Oberfläche überall der des gegebenen Körpers beliebig stark nähert. Als das Volumen des gegebenen Körpers bezeichnen wir alsdann den Grenzwert, dem das Volumen des Ersatzkörpers bei dieser Annäherung zustrebt.

Erst im zweiten Paragraphen wird gezeigt werden, daß man in dieser Weise stets zu demselben Volumen werte gelangt, wie auch der Ersatzkörper beschaffen sein mag.

Zunächst betrachten wir einen Zylinder von der Höhe h,

Der

dessen Grundfläche ein ebenes Flächenstück E ist.

Linie k, die das Flächenstück E umrandet, und von der wir natürlich voraussetzen, daß sie stetig sei, schreiben wir irgend ein Vieleck ein, indem wir beliebige Punkte auf h auswählen und ihrer Reihenfolge nach geradlinig verbinden. Die Fläche des Polygons sei E'. Das Prisma, dessen Grünfläche E' und dessen Höhe h ist, und das dieselbe Richtung wie der gegebene Zylinder hat, ist ein Ersatzkörper, dessen Oberfläche überall nach der des Zylinders strebt, sobald immer neue Punkte von k

[563

als Polygonecken derart eingeschaltet werden, daß die Längen aller Polygonseiten nach Null streben. Zugleich strebt E' nach E, vgl. Satz 1, Nr. 531. Das Prismenvolumen aber hat nach den Sätzen der elementaren Stereometrie den Wert E'h. Folglich ist das Volumen des Zylinders gleich dem Produkte aus seiner Grundfläche E und Höhe h.

Wir gehen zu einer allgemeineren Betrachtung über: Es werde ein ebenes Flächenstück E so bewegt, daß die Ebene stets der ursprünglichen Lage E₀ parallel bleibt, während jedoch das Flächenstück E dabei nach irgend einem Gesetze veränderlich sei nach Umriß und Größe. Das Flächenstück E beschreibt alsdann, wenn wir das Verfahren bis zu einer Endlage E± fortsetzen, einen Körper, siehe Fig. 46. Wir wollen

? /C___~,:£

; i ; '

*.!il

Ec

Asm’

Mg. 46.

sein Volumen berechnen unter der Annahme, daß uns der Flächeninhalt E in jeder Lage bekannt sei. Diese Annahme ist so zu erfüllen: Wir benutzen eine zu allen Ebenen senkrechte Gerade als æ-Achse, positiv im Sinne der auszuführenden Bewegung, so daß zur Anfangsebene E₀ ein Wert x₀ und zur Endebene Et ein Wert X der Abszisse gehört und X > x₀ ist. Zu einer beliebigen Abszisse x, die zwischen x₀ und X liegt, gehört eine Ebene, in der das Flächenstück E den Inhalt u(x) haben möge. Wir setzen voraus, u{x) sei im Intervalle von x0 bis X eine stetige Funktion.

Betrachten wir die zu den Abszissen x und x -f- Hx gehörigen Ebenen E und E\ Zwischen E und E' liegt eine Körperschicht von der Dicke Hx. Wir ersetzen sie durch denjenigen geraden Zylinder von der Höhe Hx, dessen Grundfläche das Flächenstück E und dessen Volumen also nach dem Vorgehenden gleich u(x)Hx ist, weil E den Flächeninhalt u(x) hat.

Wenn wir das ganze Intervall von x₀ bis X durch eingeschaltete Ebenen E irgendwie zerteilen, also den Körper in Schichten von beliebigen Dicken Hx zerschneiden und wie soeben jede Schicht durch einen Zylinder ersetzen, wird auch die Oberfläche des Körpers durch eine neue ersetzt. Die neue 563]

Oberfläche weicht von der eigentlichen um so weniger ab, je kleiner alle Schichtenstärken 4x angenommen werden. Demnach ist das Volumen des Körpers zu definieren als der Grenzwert der Summe

x

¹

+ iq,

y,u(x)jx

x₀

für lim zlx — 0, und diese Summe ist gerade so zu verstehen wie die Summe (2) in Nr. 404, so daß der Grenzwert, weil u(x) stetig ist, nach Nr. 410 den Wert

x

(1)

hat.

-J u(x)dx

x₀

Hiermit sind wir zu einer einfachen Volumenformel gelangt. Sie besagt nebenbei noch: Wenn zwischen der Anfangs- und Endlage der Ebene zwei Körper liegen, die so beschaffen sind, daß jede der parallelen Zwischen ebenen beide Körper in zwei gleich großen Querschnitten trifft, haben beide Körper auch dasselbe Volumen. Dieser Satz ist bekannt als das Cavalierische

Prinzip.

Beispiel: Die Spitze eines Kegels sei als Anfangspunkt 0 gewählt, das Lot von 0 auf die Grundfläche des Kegels sei die positive æ-Achse. Die Grundfläche habe den Inhalt B, und die Kegelhöhe sei gleich h. Eine Ebene E senkrecht zur x- Achse mit einer zwischen 0 und h gelegenen Abszisse x

schneidet den Kegel in einem Flächenstücke u(x), das sich aus der Proportion

sofort ergibt:

u(x) : B = x²: h²

u(x) =

Nach (1) ist demnach das Volumen des Kegels:

h

V=J^x²dx = ±Bh,

o

womit wir zu einer wohlbekannten Formel gelangt sind.

564. Volumen eines Ellipsoid-Segmentes. Wir

schicken voraus: In Nr. 220 ergab sich für die Fläche der Ellipse

[563, 564

mit den Halbachsen a und b der Wert nab. Nun ist aber das Produkt irgend zweier konjugierter Halbmesser der Ellipse mit dem Sinus ihres Winkels gleich dem Produkte ab. Also folgt: Sind a und b nicht die Halbachsen, sondern konjugierte Halbmesser der Ellipse, die den Winkel a einschließen, so ist itab sin <x die Fläche der Ellipse.

Aus einem Ellipsoid, von dem a, b, c drei konjugierte Halbmesser seien, möge nun durch zwei zur Ebene von b und c parallele Ebenen E₀ und Et ein Segment ausgeschnitten sein, dessen Volumen V berechnet werden soll. Nehmen wir a, b und c als Achsen für schiefwinklige Koordinaten x, y, z an, so ist bekanntlich die Gleichung des Ellipsoids

-1,

IT

b-

(>-Vj 4

= 1 oder

so daß eine zwischen E₀ und Ex eingeschaltete parallele Ebene mit der Abszisse x das Ellipsoid in einer Ellipse mit den konjugierten Halbmessern

b]/l

schneidet. Die Fläche dieser Ellipse ist:

u = Ttbc sin cc

wenn a den Winkel von b und c bedeutet. Bildet die Ebene von b und c mit a den Winkel A, so hat das Lot x von 0 auf die Ebene x = konst. die Länge x = x sin A, so daß dx = sin A dx ist. Das Einsetzen dieser Werte und des Wertes u in die Volumenformel (1) der vorigen Nummer gibt

r

~ j si n A dx

sinH

V=j'ttbc sin a

).

== Ttbc sin a

X'³— x'f

3 a²

wenn die Ebenen E₀ und E₁ die Abszissen x₀' und X' haben. Für x₀' == — a, X'= a geht das Volumen ^Ttabc sin a sin A des ganzen Ellipsoids hervor, also das -|^:-fache des Volumens des Parallelepipeds mit den Kanten a, b, c.

5641

566. Volumen eines Rotationskörpers. Dreht sich eine in der #«/-Ebene gelegene Kurve

(1)

Eine ähnliche Rechnung gibt die Volumina der Segmente der andern von Flächen zweiter Ordnung umschlossenen Körper.

565. Volumen eines Stückes eines hyperbolischen Paraboloids. In rechtwinkligen Koordinaten ist

xy = az

die Gleichung eines gewissen hyperbolischen Paraboloids, das die x- und «/-Achse enthält. Wir wollen das Volumen V berechnen, das zwischen der Fläche, dem positiven Quadranten der xy- Ebene und der Ebene

(i)

•x, - u

(2)

gelegen ist. Siehe Fig. 47.

Eine zur x-Achse senkrechte Ebene JE mit der Abszisse x schneidet das Volumen in einem Dreiecke PQR mit der Grundlinie QR = a — x. Die Dreieckshöhe ist der Wert

oc^a

Fig. 47.

von z, der aus (1) und (2) durch Elimination von y hervorgeht, nämlich x(a — x), dividiert mit a -f- x, so daß die Fläche des Dreiecks den Wert

u(x) =

x(a — xy

2 (a -f- x)

hat. Die äußersten Lagen der Ebene E haben die Abszissen x = 0 und x = a. Nach (1) in Nr. 563 ist mithin:

x(a—x)¹

dx

a

-/<

0

—x²-~^axJt-2a²—

u    u

2a8 a -f- x

)^=(^-ln4)a⁸.

y = f{x)

um die x -Achse, so entsteht eine Rotationsfläche, vgl. Nr. 348. Die gegebene Kurve ist eine Meridiankurve der Fläche. Es soll das Volumen V berechnet werden, das von der Fläche und zwei zur Drehachse senkrechten Ebenen mit den Abszissen x0 und X eingeschlossen wird.

Eine zur Drehachse senkrechte Ebene, deren Abszisse x irgend einen Wert zwischen x₀ und X hat, schneidet die Rotationsfläche in einem Breitenkreise vom Radius y = f(x), so daß u(x) — ny² seine Fläche ist und demnach aus (1) in Nr. 563 folgt:

x

(2)

7i j‘ij² dx,

x₀ worin y die Funktion f(x) bedeutet.

Liegen zwei Meridiankuryen

(3)

2/1 = /1O0 und y* = f.2O)

vor, wobei überall y% > y₁ sei, so gehören zu beiden Rotationsflächen. Das zwischen den Flächen gelegene Volumen von x₀ bis X ist die Differenz der Volumina:

r₉

X

— scj*y\ dx

xo

und V₁ =

X

njy\ dx,

xo

d. h. es hat den Wert:

x

(i)

v==nStâ~yl)dx

X₀

Demnach ist es gerade so groß wie das Volumen des zur Meridiankurve: gehörigen Rotationskörpers.

1. Beispiel: Ein Kreis mit dem Radius a liege in der xy- Ebene und sein Mittelpunkt auf der y-Achse und zwar so, daß der Kreis die x-Achse nicht schneide, also die Ordinate 6 des Mittelpunktes größer als a sei. Die Drehung des Kreises um die x-Achse liefert einen Kreisring. Eine Ebene x = konst., deren Abszisse x zwischen — a und + a liegt, schneidet die Oberfläche des Kreisringes in zwei Breitenkreisen, für deren Radien yi und y₂ nach Fig. 48 die Beziehungen gelten:

(5) &+ 2/i = 2&, 2/2 — 2/i = 2]/a²-x², d.h. y\ — ^==46]/a²- x².

566]

Dasjenige Segment des Kreisringes, das zwischen den Ebenen x = x₀ und x = X > x₀ liegt, hat also nach (4) das Volumen:

(6)

x

= 4 J]/¥

Xq

— x²dx,

wobei die Grenzen im Intervalle von — a his -f a zu wählen sind. Zwischen beiden Ebenen liegt nun auch ein gewisses Segment v des erzeugenden Kreises, siehe die Figur; und die Fläche dieses Segmentes ist nach Nr. 409 das Integral

x    %

[y^-yi)dx,

x₀

so daß aus (6) und der zweiten Formel (5) folgt :

V = 2jcbv.

.h'

Das Volumen des Kreisring-Segmentes ist demnach gleich dem Volumen desjenigen Zylinders, dessen Grundfläche das Kreissegment v und dessen Höhe der Weg 2 7tb ist, den die Mitte des erzeugenden Kreises beschreibt. Auf dieses Ergebnis kommen wir in der nächsten Nummer zurück. Das Volumen des ganzen Kreisringes ist gleich Tta².27tb oder 27t²a²b.

2. Beispiel: Rollt ein Kreis vom Radius a in der xy-Ebene auf der Æ-Achse, so beschreibt ein Punkt des Umfanges eine gewöhnliche Zykloide, deren Gleichungen nach (1) in Nr. 231 sind:

x = a(cp — sing?), y = a(l — cosqp).

Dabei ist der Anfangspunkt 0 eine Spitze der Kurve und der Punkt mit den Koordinaten x = 2%a, y = 0 die nächste Spitze. Diese beiden Punkte gehören zu den Werten 0 und 2 7t der Hilfsveränderlichen cp, die nach Nr. 231 den Wälzungswinkel bezeichnet. Nach (7) ist:

Fig. 48.

CD

dx = a(l — cos cp)dcp.

Durch Drehung der Zykloide um die #-Achse geht eine Rotationsfläche hervor. Sie umschließt, von 0 an gerechnet, zu-

[566

(8)

sammen mit einer zur æ-Achse senkrechten Ebene x== X<C%7ta, ein Volumen V, das sich nach (2), (7) und (8) sofort als Integral hinsichtlich der Hilfsveränderlichen cp darstellen läßt:

x

— coscp)³dcp.

= a J y² dx = 7tasJ(1

o    o

Dabei soll & der Wert von cp für x = X sein. Es kommt nach Nr. 456:

V = Tta³

'o

— ^ cos cp -f | cos 2 cp — j cos 3 cp) dcp

= ?ra³(-| O — y sintD + sin 2<P — ^ sin 3(PY.

Insbesondere geht für 0 = 2jt das Volumen 5;ra³ hervor, das durch die Drehung eines ganzen Bogens der Zykloide — von Spitze zu Spitze gerechnet — entsteht.

3. Beispiel: Lassen wir dieselbe Zyldoide um die Tangente ihres Scheitels, nämlich ihres höchsten Punktes (G in Fig. 54, Nr. 231 des 1. Bandes) rotieren, indem wir diese Tangente als æ-Achse wählen, d. h. die zweite Formel (7) ersetzen durch

y = 2a — a( 1 — cosqp) = a( 1 + cos 90), so liefert die Volumenformel (2) in entsprechender Weise:

<j>

— cos9p) dcp,

7t U³J(1 4- COS<p)²(l 0

so daß sich ergibt:

V— 7ta³ (|- ^    \ sin & — \ sin 2 3» — ^ sin 3 O).

Zu dem ganzen Zykloidenbogen gehört das bei der Annahme $ = 2ä hervorgehende Volumen 7t²a³, das also den fünften Teil des im 2. Beispiele betrachteten Gesamtvolumens ausmacht.

567. Die G-uldinsche Regel für die Volumina von Rotationskörpern. Indem wir uns eine mathematische Begründung für eine geeignetere Stelle (in Nr. 602) Vorbehalten, bemerken wir hier ohne Beweis, daß derjenige Punkt S eines ebenen Flächenstückes, den man in der Mechanik als den Schwerpunkt der Fläche definiert, die Ordinate hat:

566, 567]

Dabei wird vorausgesetzt, daß das Flächenstück durch eine stetige Kurve

(2)

y = f(p),

durch die Abszissenachse und durch die zu xQ und X gehörigen Ordinaten begrenzt sei.

Die Volumenformel (2) der vorigen Nummer für den Rotationskörper läßt sich infolge von (1) so schreiben:

x

V = 2jt\)J'y dx

x₀

Hier bedeutet das Integral den Inhalt des ebenen Flächenstückes, das von der Meridiankurve (2), von der Drehachse und von den zu x₀ und X gehörigen Ordinaten begrenzt wird, d. h. gerade desjenigen Flächenstückes, durch dessen Rotation der Körper vom Volumen V entsteht. Andererseits ist 2jtt) der Umfang des Kreises, den der Schwerpunkt S bei der Rotation beschreibt. Hieraus entspringt die sogenannte Guldin-sche Regel für die Ausmessung des Volumens eines Rotationskörpers, die übrigens schon bei Pappus vorkommt: Wird ein ebenes Flächenstück E um eine solche Achse g in seiner Ebene gedreht, die E nicht zerteilt, so ist das Volumen des entstehenden Rotationskörpers gleich dem Volumen desjenigen Zylinders, dessen Grundfläche gleich E und dessen Höhe gleich dem Wege ist, den der Schwerpunkt S von E bei der Drehung zurücklegt. Es leuchtet ein, daß die Fläche E nicht an die Achse g heranzureichen braucht, ebenso, daß dies Ergebnis auch für ein solches Segment des Rotationskörpers gilt, das durch eine unvollständige Drehung von E um die Achse g hervorgeht.

Ein Beispiel zur Guldinschen Regel ist das 1. Beispiel der vorigen Nummer.

S err et- S chef fers, Diff.-u.Integral-Kechnung. II. 4.u.5.Aufl.    22

§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale.

568. Ziel der nächsten Betrachtungen. Es gelang in denjenigen Beispielen, die wir im ersten Paragraphen betrachteten, eine analytische Formel für den Flächeninhalt u(x) eines solchen ebenen Schnittes des auszumessenden Körpers zu finden, der durch eine Ebene x — konst. entstand, so daß alsdann die Formel (1) von Nr. 563, nämlich

x

(1)

==j*u(x)dx,

a-o das gesuchte Volumen lieferte. Aber die Bestimmung der Funktion u{x) erfordert in weniger einfachen Fällen an sich schon die Auswertung eines Integrals, da u(x) als Inhalt eines ebenen Flächenstückes durch eine Quadratur (siehe Nr. 530) zu berechnen ist. In Wahrheit steht also in der Formel (1) kein einfaches, sondern ein sogenanntes Doppelintegral. Andere Doppelintegrale kamen auch schon früher, nämlich in Nr. 489 u. f. vor. Unsere Aufgabe ist es jetzt, eine allgemeine Theorie der Doppelintegrale zu entwickeln.

Die Methode, durch die wir die Formel (1) abgeleitet haben, war unvollständig. Denn wir haben uns dabei damit begnügt, das Volumen zu definieren als den Grenzwert des Volumens eines Ersatzkörpers, der in Nr. 563 in einer ganz bestimmten Weise hergestellt wurde. Es muß also noch gezeigt werden, daß jede Art des Ersatzes der Oberfläche des Körpers durch eine ihr beliebig nahe kommende andere Oberfläche stets denselben Grenzwert für das Volumen ergibt. Deshalb nehmen wir das Problem, Volumina zu definieren und zu berechnen, durchaus von neuem in Angriff. Nachher (in Nr. 579) wird sich herausstellen, daß die Formel (1) in der Tat exakt ist.

569. Ersatz der Oberfläche durch ein Polyeder.

Nach Nr. 251 definiert die Gleichung

(i)

s = f(x> y)

eine Fläche, wenn x, y, z als rechtwinklige Koordinaten gedeutet werden und f(cc, y) eine stetige Funktion von x und y

568, 569]

ist. Den Variabilitätsbereich wollen wir dabei vorderhand in der einfachsten Weise annehmen: Er sei durch die Ungleichungen

(2)

x₀£x£X, y₀£y < Y

festgelegt, worin x₀, X, y₀ und Y gegebene Zahlen seien, so daß der Variabilitätsbereich in der xy-Ebene durch die Fläche eines Bechtecks ABCB dargestellt wird, dessen Seiten den Achsen parallel sind und die Abszissen xQ und X bzw. die Ordi-naten y₀ und Y haben. Ob die Funktion f(x, y) partielle Ableitungen nach x und y hat oder nicht, ist für die folgende Betrachtung völlig einerlei.

Jedem Punkte Q im Innern des Rechtecks ABGD gehören Koordinaten x und y derart zu, daß z = f(x, y) in der Umgebung dieses Wertepaares x, y stetig ist. Für den zugehörigen Punkt P oder (x, y, z) der Fläche ist der Punkt Q die Projektion auf die #t/-Ebene.

Der Einfachheit halber wollen wir ferner vorläufig annehmen, daß die Funktion f(x, y) oder z für alle Stellen des Variabilitätsbereiches positiv sei. Von dieser Voraussetzung machen wir die Betrachtung später frei. Sie bedeutet, daß die Fläche völlig über der positiven Seite der xy-Ebene liegen soll. Errichten wir längs der Kanten des Rechtecks AB CB die zur xy-Ebene senkrechten Ebenen, so umschließen sie zusammen mit der #?/-Ebene und der Fläche (1) einen Raumteil, dessen Volumen wir definieren und berechnen wollen.

Wir verfahren ähnlich wie in Nr. 404, nämlich so: Zwischen xQ und X schalten wir in steigender Reihe eine beliebige Anzahl von Zwischenwerten ein:

/y»    /y»    /y»

* • • ^n-1>

ebenso zwischen y₀ und Y:

y\> y%i ‘ ' ym-M

so daß das Intervall von x₀ bis X in etwa n und das Intervall von y₀ bis Y in etwa m willkürlich anzunehmende Teile zerlegt wird. Jedem Wertepaare xif yt entspricht ein Punkt Qit der Fläche des Rechtecks ABCB. Die Geraden in der xy-Ebene, die den Achsen parallel sind und die Abszissen xu x₂, ... ocn_₁ bzw. die Ordinaten yx, y₂, ... ym_t haben,

[569

zerlegen das Rechteck in n . m kleinere Rechtecke, und die Punkte Qü sind Ecken dieser Rechtecke. Siehe Fig. 49. Längs aller Teilgeraden errichten wir die zur xy-Ebene senkrechten Ebenen, wodurch der Körper in n. m Teile zerlegt wird, die wir Prismen nennen wollen, obwohl sie einerseits nicht eben, sondern krummflächig, nämlich durch die Fläche (1), begrenzt werden.

Jedes dieser n . m Prismen hat eine rechteckige Grundfläche. Unter der Anfangsecke eines dieser Rechtecke verstehen

wir im folgenden immer diejenige Ecke, der die kleinsten Koordinatenwerte x, y zukommen.

<V>

Zur Anfangsecke Qn oder Y (xit Hi) eines der Teilrechtecke des ganzen Rechtecks AB CD gehört nun ein vertikal darüber liegender Punkt Pu der Fläche (1). Indem wir das auf dem Rechtecke stehende Prisma nunmehr oben nicht mehr durch die krumme Fläche (1), sondern durch die Ebene parallel der a^-Ebene und in der Höhe z = f(x{, y}) von Pn begrenzen und in derselben Weise mit allen n . m Prismen verfahren, ersetzen wir den zu berechnenden Körper durch eine Summe von n. m Bechtflachen, von denen das mit der Anfangsecke Qa oder (x{, yf) den Inhalt

f{Xi> Vl) OL⁻*! Xi) (ül + l    Vl)

(3)

/•

Ai

■m

i-r

Fig. 49.

hat. Die Doppelsumme

n—1 m—1

(4)

=]>}    ’ffa, Vi) 0,+i - xi) (jh+i - vi)

0 0

ist also die Summe der Volumina aller Rechtflache. Sie ist so zu bilden: In dem Produkte (3) sind für i bzw. I nach und

569]

nach alle Werte 0, 1, 2, . . . n — 1 bzw. 0, 1, 2, ... m — 1 zu setzen. Alsdann sind alle bervorgehenden n . m Produkte zu addieren. Natürlich ist dabei unter xn bzw. ym nach (2) die Endabszisse X bzw. Endordinate Y zu verstehen.

Indem wir statt der oben krummflächig begrenzten n . m Prismen die n . m Rechtflache einführen, ersetzen wir die Fläche (1) durch ein treppenförmiges Gebilde, nämlich durch ein Polyeder, das aus lauter Rechtecken gebildet wird. Von ihnen sind n . m Rechtecke parallel zur xy-Ebene, alle anderen zu dieser Ebene vertikal, nämlich diejenigen Teile der vertikalen Seiten der Rechtflache, die nicht zwei aneinanderstoßenden Rechtflachen gemein sind.

Daß das Ersatz-Polyeder von der Fläche (1) überall um so weniger abweicht, je kleiner alle Teilintervalle zwischen x0 und X und zwischen y₀ und Y angenommen werden, folgt aus dem in Nr. 486 über die Schwankung einer stetigen Funktion von zwei Veränderlichen aufgestellten Satze 18. Diese beiden Veränderlichen sind jetzt x und y statt x und a, wie sie damals hießen. Nach jenem Satze gibt es, falls 6 eine beliebig klein gewählte positive Zahl bedeutet, stets eine positive Zahl h derart, daß die Höhe des Ersatz-Polyeders über der #?/-Ebene überall um weniger als 6 von der Höhe der Fläche (1) abweicht, sobald nur alle Seiten aller Teilrechtecke von AB CD kürzer als h angenommen werden.

Unser Ziel ist nun, zu zeigen, daß die Doppelsumme J einem bestimmten endlichen Grenzwerte zustrebt, wenn alle Teilintervalle xi+1 — x{ und yl+1 — yv d. h. alle Seiten aller Teilrechtecke des Rechtecks AB CD nach Null streben und demnach die Anzahlen n und m über jede Zahl wachsen. Diesen Beweis führen wir in den beiden nächsten Nummern.

Hier sei nur noch bemerkt, daß man die Doppelsumme J natürlich auch ohne die räumliche Veranschaulichung definieren kann, indem man sich auf die geometrische Deutung in der ;r?/-Ebene beschränkt. Denn die Funktion f(x, y) hat ja für jeden Punkt (x, y), der im Innern oder auf dem Rande des Rechteckes AB CD liegt, einen bestimmten Wert, und die Doppelsumme J ist also die Summe der Produkte der Flächen aller Teilrechtecke (xi+l — xt) (yl+l — y{) mit denjenigen Werten

f(xv yj), die der Funktion jeweils in den Anfangsecken der Teilrechtecke zukommen.

Die vorhin vorläufig gemachte Annahme, daß die Funktion fix, y) überall in ihrem Bereiche AB CD positiv sei, brauchen wir bei dem zu führenden Beweise nicht.

570. Existenz eines Grenzwertes des Polyeder-volumens. Wir haben in der letzten Nummer eine Doppelsumme (4) gebildet, die sich auf eine gewisse Zerlegung des Rechtecks AB CD, des Variabilitätsbereiches der Funktion f, bezog. Da wir diese erste Zerlegung nachher durch weitergehende Zerlegungen verfeinern werden, wollen wir jetzt die Doppelsumme nennen, also setzen:

(1)

- *0 (& + !-&)•

Es bedeute nun Jcit den kleinsten und git den größten Wert, den f(x, y) für die Stellen (x, y) innerhalb des Teilrechtecks mit der Anfangsecke (x., y{) erreicht. Wenn wir f(xi} yj) in (1) durch den nicht größeren Wert Jcit oder durch den nicht kleineren Wert gu ersetzen, gehen zwei Doppelsummen

n—l m — 1

2    ~ x*) (y*+i - y^>

0 0

n —1 m — 1

“ *<) (Vi + 1 - VÙ

Yi

0 0

hervor, zwischen denen Jt gelegen ist, weil die Produkte (xi +1— xf) (ył+1 — y,), die gleich den Flächen der Teilrechtecke sind, positive Werte haben.

Ist ferner K der kleinste und G der größte Wert, den fix, y) in dem ganzen Rechtecke AB CD erreicht, und ersetzen wir in jeden Faktor ~kix durch den nicht größeren Faktor K sowie in yx jeden Faktor giX durch den nicht kleineren Faktor G, so gehen die Produkte von K bzw. G mit der Gesamtfläche von AB CD hervor:

K « K(X - *₀) (Y—yQ), r= G(X — x₀) (F- y₀),

569, 570]

und dabei ist K nicht größer als und T nicht kleiner als y₁. Wir haben also:

(2)

Außerdem ist

n— 1 m —1

(3)

7i —

*1 fei- WO*«

0 0

Hierin bedeutet git~ ku die Schwankung der Funktion f in dem Teilrechtecke mit der Anfangsecke (xv y,). Wenn unter rt eine vorgegebene positive Zahl verstanden wird, können wir nach Satz 18, Nr. 486, annehmen, daß alle Teilrechtecke so klein gewählt seien, daß in ihnen die Schwankung gu — kn stets kleiner als tt wird. Dann folgt:

(4)

7i —    (X — O (J — 2/o)-

Denn wenn in (3) rechts statt gn — ku überall der größere Wert r± gesetzt wird, läßt er sich vor die Doppelsumme bringen, und die verbleibende Doppelsumme bedeutet dann als Summe der Flächen aller n . m Teilrechtecke die Fläche des Gesamtrechtecks AB CD.

Zusammengefaßt: Die auf die Zerlegung desRechtecks A BGJD bezügliche Doppelsumme Jx liegt zwischen den Summen und die aus den Produkten aller Teilrechtecke mit den jeweils kleinsten bzw. größten Werten von f in den Teilrechtecken gebildet sind. Diese Summen und y₁ liegen ihrerseits zwischen den Produkten K und T aus dem Gesamtrechtecke und dem kleinsten bzw. größten Werte, den f im Gesamtrechtecke annimmt. Außerdem ist die Differenz y₁ — kleiner als das Produkt des Gesamtrechtecks mit t₁.

Diese Ergebnisse entsprechen denen in Nr. 406, und wie dort schließen wir weiter. Wir nehmen nämlich eine endlose Folge von lauter beständig abnehmenden und nach Null strebenden positiven Zahlen t1} r₂, r₈, . . . an. Alsdann können wir zwischen den schon benutzten Teilgeraden des Rechtecks neue, ebenfalls zu den Achsen parallele Teilgeraden so eng einschalten, daß die Schwankung von f in den hervorgehenden kleineren Rechtecken überall geringer als r₂ wird. Abermals schalten wir alsdann neue Teilgeraden so ein, daß die

Bei dieser fortgesetzten Verfeinerung der Zerlegung tun wir mit jedem schon vorhandenen Teilrechtecke genau dasselbe, was wir zuerst mit dem Gesamtrechtecke AB CD getan haben. Daher lassen sich die Schlüsse genau so wie in Nr. 406 wiederholen. Es mögen    z₂,    x₃,    . . .    die Summen der Produkte

Schwankung von f in den entstehenden neuen Teilrechtecken überall geringer als t₃ wird, usw. Zu jeder Teilung gehört, wie zur ersten die Doppelsumme J₁, eine Doppelsumme J₂, J₃ usw.

aus allen Teilrechtecken    der    2.,    3.,    ... Zerlegung mit den je

weils kleinsten Werten von f in den betreffenden Teilrechtecken sein. Ebenso sollen y₂₎    y₃,    ...    die    Summen der Produkte aus

allen Teilrechtecken der    2.,    3.,    ...    Zerlegung mit den jeweils

größten Werten von f in den betreffenden Teilrechtecken bedeuten. Da nach Voraussetzung > r₂ > t₃ ... ist, bestehen nun Ungleichungen von folgender Form in unbegrenzter Anzahl:

^    ^ Ti,

X2 ^5 ^2 ^ 72; ^3 = ^3 = 73;

ft —    *1 < T1    (X    -    xo) (Y~    ft»);

72    X2 ^ T2    ^o)    Vq)j

73    T3    (x    *o) (Y    t/o))

*1 £ *2 Ś %₃ .    7l^7₂^73---

Weil Tj, r₂, r₃, ... nach Null streben, folgt hieraus wie in Nr. 406, daß die Folge J1} J₂, J₃, ... einen bestimmten endlichen Grenzwert lim Jn hat.

571. Ein einziger Grenzwert des Polyeder Volumens.

Jetzt ist noch zu zeigen, daß derselbe Grenzwert hervorgeht, wenn wir von irgend einer anderen Zerlegung des Rechtecks AB CD durch Parallelen zu seinen Seiten ausgehen und hier die Zerteilung ohne Ende verfeinern, gerade so wie in Nr. 407.

Es sei r eine beliebig klein gewählte positive Zahl. Eine erste Zerlegung des Rechtecks AB CD denken wir uns so weit getrieben, daß die Funktion f in jedem Teilrechtecke um weniger als x schwankt. Eine zweite Zerlegung des Rechtecks denken wir uns so weit getrieben, daß zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Teilgeraden der ersten Zerlegung mindestens 570, 571]

eine Teilgerade der zweiten verläuft. Wir haben dementsprechend zwei Doppelsummen J und Jr zu betrachten.

Wir greifen irgend eines der Teilrechtecke aßyd der ersten Zerlegung heraus, siehe Fig. 50, worin die starken Linien Teilgeraden der ersten und die schwachen solche der zweiten Zerlegung bedeuten sollen.

Jh

2 -......

a_

fr

.2

Fig. 50.

Wenn wir uns die positive Æ-Achse und die positive y-Achse in den gewohnten Orientierungen nach rechts und oben 1 vorstellen, ist die Anfangsecke eines jeden Rechtecks die links unten gelegene, also die von aßyd der Punkt a. Diejenigen Rechtecke der zweiten Zerlegung, die ganz oder teils dem Rechtecke aßyd angehören, haben als Anfangsecken die in der Figur markierten Punkte; und diese Punkte liegen sämtlich innerhalb derjenigen vier Rechtecke der ersten Teilung, die in a Zusammenstößen. Da nun die Schwankung von f innerhalb jedes dieser vier Rechtecke kleiner als x ist, hat f an den markierten Stellen Werte, die um weniger als x von demjenigen Werte fa abweichen, den f an der Stelle a bekommt.

Zur Summe J’ gehören nun die Produkte der betrachteten Rechtecke der zweiten Teilung mit den Werten, die f jeweils an ihren Anfangsecken hat. Von diesen Rechtecken liegen aber einige nur teilweise im Rechtecke aßyd. Den zu einem solchen Rechtecke gehörigen Summanden von J' zerlegen wir deshalb in eine Summe. Z. B. gehört zu dem Rechtecke ab cd der zweiten Teilung, das durch ad in aghd und gbch zer-zerschnitten wird, als Summand von Jr das Produkt der Fläche ab cd mit dem Werte fa von f für die Stelle a. Von diesem Summanden benutzen wir vorläufig nur das Produkt der zum Rechtecke aßyd gehörigen Fläche gbch mit fa. So machen wir es mit allen Summanden von J', die sich auf Rechtecke beziehen, die ganz oder teilweise zu dem ausgewählten Rechtecke aßyd der ersten Zerlegung gehören. Die Summe aller dieser Glieder von J' heiße S die Summe aller dieser Teilsummen S

so daß die Doppelsumme J' ist. Zum Recht-

aßyd’

aßyd

ecke ccßyd gehört andrerseits ein Summand Paßyi$ der Doppelsumme J, nämlich das Produkt der Fläche aßyd mit fa.

Nach dem, was wir vorhin sahen, weicht aber Sa9y# von um weniger ab als das Produkt der Fläche des Recht-

-^aßyä ecks ccßyd mit t.

Also folgt: Die Doppelsumme J' weicht von der Doppelsumme J um weniger ab als das Produkt der Gesamtheit aller Rechtecke ccßyd der ersten Teilung mit r. Diese Gesamtheit ist aber das ganze Rechteck AB CD, und seine Fläche ist gleich (X — x₀) (V— y₀). Mithin kommt:

\J'-J\<r(X-x₀)(Y-y₀).

Für lim r — 0 folgt hieraus lim J' = lim J.

Hiermit ist der grundlegende Satz gewonnen:

Satz 1: Ist f(x, y) eine in dem Variabilitätsbereiche x₀£x£X,

stetige Funktion der beiden Veränderlichen x und y und werden zwischen x₀ und X sowie zwischen y₀ und Y beliebige Werte in steigender Folge eingeschaltet:

x₀ < xt < x₂ < • • • < xn_x < x, so hat die Doppelsumme

n — 1 m — 1

yo<yi<y2<---<ym-i<Y,

2 y^Xi

0 0

Xi) (.Vl + 1 dl)}

in der xn und ym die Werte X und Y bedeuten sollen, einen von den gewählten Zwischenwerten unabhängigen bestimmten endlichen Grenzwert, falls alle Teilintervalle x₁ — x₀, x₂ —■ xlf. .. X-xn_ 1 und yx — y₀, y^ - ylf . . . Y-ym_₁ nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahlen n und m über jede Zahl wachsen.

Wir erwähnen noch, daß der Beweis zwar auf eine Figur gestützt wurde, diese Figur aber ganz hätte vermieden werden können. Statt z. B. vom Rechtecke AB CD und seiner Anfangsecke A zu sprechen, hätten wir ebenso gut von dem Variabilitätsbereiche

x₀<x£X, y₀£y £ Y

und dem Wertepaare #₀, y₀ des Bereiches reden können. Jedoch wäre der sprachliche Ausdruck dadurch unbeholfen geworden. Jedenfalls ist der Beweis eigentlich von den Hilfsmitteln der Veranschaulichung unabhängig, so daß der in Nr. 7 aufgestellten Forderung Genüge geleistet wird.

572. Das Doppelintegral mit bestimmten Grenzen.

Die Doppelsumme

+i

xi)(ih+1 th)

können wir etwas kürzer schreiben. Es bedeute x, y irgend eines der Wertepaare xif yv und es seien /Ix und Dy die zugehörigen Unterschiede xi+1 — xi und yl+1 — yt zwischen dem Wertepaare xi + 1, yl + 1 und dem Wertepaare xv yv Alsdann schreiben wir die Summe symbolisch so:

J=2 N/'0r> y)Jx Jy-

(i)

/ x / y

Da alle Differenzen xi + 1 — xi und yl+1—yt positiv sind, stellen /Ix und /ly dabei durchweg positive Größen vor.

Die Doppelsumme J ist die natürliche Verallgemeinerung der in Nr. 404 u. f. betrachteten einfachen Summe J, die zu einer Funktion f von nur einer Veränderlichen gehört. In Analogie mit den Ergebnissen von Nr. 410 bezeichnet man den Grenzwert der Summe J, von dem in Satz 1 der vorigen Nummer die Rede war, als ein Doppelintegral :

x Y

(2) lim lim V    y)Dx A y = / ff(x, y)dx dy.

Jx Jy    y

9    xo Vo

Um den Wert dieses Doppelintegrals zu berechnen, kann man so Vorgehen: Jn der Summe J fassen wir zunächst alle mit demselben Faktor yl+t — yl oder /ly behafteten Glieder zusammen und ziehen aus ihnen den gemeinsamen Faktor heraus, so daß diese Glieder die Summe haben:

71 — 1

yi) (xi

(3h

-*<)•

[571, 573

Setzen wir jetzt 1 = 0, 1, 2, ... m — 1, so gehen insgesamt m Summen hervor. Ihre Gesamtsumme ist

771 — 1

(3)

indem sich das zweite Limeszeichen nur auf die Differenzen xi+1 — xi beziehen soll. Die eckige Klammer enthält also den Grenzwert der Summe:

f(xo>Vi) Oi-^o)+f(xnyl) O2 ~^i) + ••• +    (X~xn-1)-

x

Jf{x, yi)dx, *0

Diese Summe aber hat die Form der Summe J in Nr. 410 mit dem einzigen Unterschiede, daß hier überall in f außer den Werten x₀, xx, . . . xn_x noch ein und derselbe Wert y{ auftritt. Folglich ist der Grenzwert dieser Summe nach Nr. 410 das Integral

dessen Integrand außer von x noch von einem Parameter yt abhängt. Nach Satz 19, Nr. 487, worin jetzt a durch yt ersetzt werden muß, ist dies Integral eine stetige Funktion von yl innerhalb des Intervalles    <1 Y. Wir wollen sie mit F(y{)

x

F(yi) =J f(x, vi)dx

Xq

bezeichnen:

(4)

Das Doppelintegral (2), d. h. der Grenzwert (3), hat nunmehr die Form:

in — 1

wobei sich das Limeszeichen auf die Differenzen yl + 1—yt bezieht, und ist daher derjenige Grenzwert der Summe:

F(y 0) (2/1 - Vo) + F(yi) (2/2 - 2/1) + • • • + F(ym-i) (J-ym-Ù,

572] der hervorgellt, wenn alle Differenzen yx — y₀, y% — yx, ... Y—ym_i nach Null streben, wobei ihre Anzahl über jede Zahl wächst. Da F(y) im Intervalle y₀^y^L Y stetig ist, ergibt sich als dieser Grenzwert wieder nach Nr. 410 das bestimmte Integral :

Y

JF(y)dy.

Vo

Somit geht der Wert des Doppelintegrals (2) durch zwei aufeinander folgende einfache Integrationen hervor, denn es ist hiernach :

x

F(y) =Jf(x, y)dx *0

wobei

X Y    Ff x

j j'f(x, y)dx dy =j Jf(x, y)d

r₀ Vo    Vo

x dy.

Daher gilt der

y₀£y£Y

Satz 2: Bedeutet fix, y) eine im Variabilitätsbereiche x₀<x<X,

stetige Funktion von x und y, so ist das Doppelintegral

x Y

J j f(x> y)dx dy,

Va

' d. h. der Grenzwert der Summe:

Xi) (j/l + 1 Vi)

für den Fall, daß alle Differenzen x₁ — x₀, x₂ — xx,... X— xn_x und y₁ — y₀, y% — yt, .. . Y— ym_x nach Null streben und daher ihre Anzahlen über jede Zahl wachsen, gleich dem Ergebnisse der Aufeinanderfolge zweier einfacher Integrationen, nämlich gleich

y x    x Y

dx.

J\J'fix, y)dx dy oder J\_f'fix, y)äy

Vo xo    xo Vo

[57a

Daß wir nämlich auch zuerst hinsichtlich y und alsdann hinsichtlich x integrieren dürfen, läßt sich ganz ebenso zeigen, folgt aber auch sofort aus Satz 21, Nr. 489. Wir haben, wie schon bemerkt wurde, von Nr. 489 an wiederholt Doppelintegrale betrachtet, jedoch nur in spezieller Auffassung, nämlich als Ergebnisse zweier aufeinanderfolgender Quadraturen.

573. Eine Verallgemeinerung. Indem wir die Annahmen der drei letzten Nummern beibehalten, ersetzen wir jetzt die bisher betrachtete Doppelsumme

/ x / y

durch eine ähnlich gebaute Doppelsumme

J' ^f(x, y')^x /ly.

J x Jy

Hierbei soll, wenn /Ix und /ty die Seiten irgend eines der Teilrechtecke sind, unter (x', yr) irgend ein Punkt im Innern des Teilrechtecks oder auf seinem Rande verstanden werden, also nicht mehr notwendig, wie bisher, gerade die Anfangsecke. Die Doppelsumme soll somit aus den Produkten aller Teilrechtecke mit Werten der Funktion für jeweils in den Teilrechtecken irgend wie gewählten Punkte bestehen. Man kann beweisen, daß diese Doppelsumme J' denselben Gegenwert wie die Doppelsumme J hat, falls alle Seiten /Ix und /ly aller Teilrechtecke nach Null streben und demnach ihre Anzahl über jede Zahl wächst.

Denn man darf annehmen, daß die Zerlegung des Gesamtbereiches schon so weit verfeinert worden sei, daß die Funktion f(x, y) in jedem Teilrechtecke /Jx /ly um weniger als eine gegebene beliebig kleine positive Zahl r schwankt, nach Satz 18, Nr. 486. Dann weicht f(x', y') von f(x, y) überall um weniger als x ab, wenn (x, y) die Anfangsecke und (x', y') eine beliebige Stelle eines Teilrechtecks bedeutet. Folglich wird

\ J'-J \ < x^ ^/1x/ly.

/ x Jy

Rechts steht hier die Summe aller Teilrechtecke, d. h. die Fläche (X—x₀) (X—y₀) des Rechtecks ABCD. Strebt nun x nach Null, so folgt lim J' = lim J.

Ebenso wie in Nr. 408 die Definition des einfachen bestimmten Integrals verallgemeinert wurde, kann also auch die des Doppelintegrals mit bestimmten Grenzen verallgemeinert werden, indem man zu Satz 1, Nr. 571 noch hinzufügt:

Satz 3: Die in Satz 1, Nr. 571, vorkommende Doppelsumme hat lei dem dort erwähnten Grenzubergange denselben Grenzwert wie die Doppelsumme

y') (xi

ü 0

worin allgemein x',y' bei dem mit xi+1 — xi und yl+1 — yx behafteten Summanden irgend ein solches Wertepaar bedeutet, das dem Bereiche

angehört.

+ 1’

yi£y'£vi

+1

574. Eine weitere Verallgemeinerung. Da der

Bereich

x₀<x£X, y₀£y<Y,

innerhalb dessen sich die Funktion f(x, y) stetig verhält, in der xy-Ebene durch ein Rechteck veranschaulicht wird, liegt es nahe, den Begriff der in Nr. 569 betrachteten

Doppelsumme in folgender Weise zu verallgemeinern:

Innerhalb desRecht-

ecks werde ein Bereich ,,

WZ.

yz

von Vi geschlossenen, y„ aber sich selbst nicht

E gewählt, der einer

schneidenden stetigen —O-Linie begrenzt sei, siehe Pig. 51. Schaltet man nun wie bisher zwischen xQ und X sowie zwischen yQ und Y irgendwelche Zwischenwerte xx, x₃,... xn_t und yx, y₂,... ym_₁ in steigenden Folgen ein, so entstehen wieder Teilrechtecke. Allgemein bezeichne eu das positiv gemessene Flächenstück, das der Bereich E mit dem Teilrechtecke gemein hat, dessen Anfangs-

ecke (xi, yist. Wenn das Teilrechteck völlig innerhalb E liegt, ist also en seine ganze Fläche; wenn es völlig außerhalb E liegt, ist eiX gleich Null. Wenn schließlich das Teilrechteck vom Rande durchschnitten wird, ist eix zwischen Null und dem Gesamtinhalte des Teilrechtecks gelegen. Auch in diesem Falle ist die Fläche eiX nach Nr. 409 wohldefiniert, weil der Rand eine stetige Linie sein soll. Jedes Flächenstück eix werde nunmehr mit demjenigen Funktionswerte f(xif yx) multipliziert, den die Funktion für die Anfangsecke (xv yx) des Teilrechtecks annimmt, dem eu angehört. Durch Addition aller entstehenden Produkte ergibt sich die zu betrachtende Doppelsumme, die wir so schreiben: indem wir durch den Index E darauf hinweisen, daß alle Flächenstücke eit zusammen die Fläche des Bereiches E ausmachen.

Wir wünschen zu beweisen, daß J einen bestimmten endlichen Grenzwert hat, wenn alle Differenzen % — x₃, x₂ — xx, ... X — xn_t und yt—yQ, y₂ — yt, ... Y—ym_₁ nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahlen über jede Zahl wachsen.

Zunächst schließen wir ähnlich wie in Nr. 570: Ange-genommen werde irgendeine endlose Folge von lauter beständig abnehmenden und nach Null strebenden positiven Zahlen x₁, t₂, x₃, .... Eine erste Zerlegung sei dann so beschaffen, daß die Funktion in jedem Teilrechtecke um weniger als r₁ schwankt. Diese Zerlegung werde durch Zwischenschalten neuer Teilgeraden parallel den Achsen soweit verfeinert, bis die Funktion in jedem Teilrechtecke der neuen, zweiten Zerlegung um weniger als t₂ schwankt, usw. Zu den Zerlegungen gehören wohldefinierte Doppelsummen Jt, J₂, J₃, ... in endloser Folge. Insbesondere sei

Vi)eu

E

die Doppelsumme bei der ersten Zerlegung. Bedeutet nun Jeit den kleinsten und gu den größten Wert, den die Funktion f im Teilstücke eu annimmt, so liegt J₁ zwischen

574]

Ist ferner K der kleinste und G der größte Wert, den die Funktion f im Bereiche E (auch auf seinem Rande) erreicht, so ist x₁ nicht kleiner als K und y₁ nicht größer als f, wenn man

r-°22'»

E

oder also kürzer

r= ge

und

Yx

2k“e‘

E

^j9neir

E

K = KE,

setzt, denn die Fläche E ist die Summe aller Flächen eir Auch kommt:

Yi—*i

und daher, weil die Schwankung gu—lin < xx ist:

yl — xl<x₁E.

Man erkennt also, daß die weitere Schlußfolgerung gerade so wie in Nr. 570 verläuft, d. h. daß in der Tat ein bestimmter endlicher Grenzwert der endlosen Folge Jj, J₂,    ... vor

handen ist.

Daß sich aber auch immer derselbe Grenzwert für die Doppelsumme ergibt, von welcher Art der ersten Zerlegung man auch ausgehen mag, wird wieder gerade so wie in Nr. 571 bewiesen. Denn zu den dort für ein Teilrechteck ab cd an-gestellten Überlegungen brauchen wir nur noch die ganz entsprechende Betrachtung für ein Teilstück hinzuzufügen, das kein vollständiges Rechteck ist.

Schließlich kann man auch genau so wie in Nr. 573 die Doppelsurame durch eine andere ersetzen: Man darf jedes Teilstück eu mit dem Werte multiplizieren, den die Funktion f an irgendeiner Stelle des eu enthaltenden Teilrechtecks annimmt, statt mit dem Werte, den sie an der Anfangsecke des Rechtecks hat. Dies wird wie in Nr. 573 bewiesen. Insbesondere also kann man als jene Stelle einen Punkt wählen, der zu ea gehört und daher innerhalb des Bereiches E oder höchstens auf seinem Rande liegt.

575. Das Doppelintegral erstreckt über einen beliebigen Bereich. Ehe wir die Ergebnisse der letzten

S erre t-S chef fers, Diff.-u. Integral-Rechnung. II. 4.u.5.Aufl. 23    [574j 575

Nummer als Satz formulieren, erörtern wir noch einen Umstand: Wir nahmen an, daß sich die Funktion f(cc, y) innerhalb eines rechteckigen Bereiches

y₀£y£Y

x₀xx<:x,

stetig verhalte, und daß der Bereich E in diesem Rechtecke enthalten sei. Daß wir uns nicht auf die Voraussetzung beschränkten, daß f(x, y) bloß im Bereiche E stetig sei, hatte zwei Gründe:

Erstens lagen Anfangsecken gewisser Teilrechtecke außerhalb E, und zweitens wurde der Satz 18 von Nr. 486 über die Schwankung einer Funktion benutzt, und in diesem Satze trat ein rechteckiger Stetigkeitsbereich auf. Da wir die Teilrechtecke beliebig klein annehmen können, wird der erste Grund hinfällig, sobald nur die Funktion f im Innern von E und auf dem Bande von E stetig ist. Was ferner den Satz über die Schwankung einer Funktion von zwei Veränderlichen betrifft, so bemerkt man sofort, daß der dafür in Nr. 486 ge-gegebene Beweis gerade so auch dann durchgeführt werden kann, wenn der Stetigkeitsbereich irgend ein Bereich E von endlichen Abmessungen ist. Es genügt hier die eine Bemerkung: Wenn xü und X die Extreme der Abszisse und Y und y₀ die Extreme der Ordinate auf dem Rande von E sind, wählt man irgend eine ganze positive Zahl n aus und teilt sowohl das Intervall X — x₀ als auch das Intervall Y — y₀ in n gleiche Teile. Alsdann tut man dasselbe ohne Ende mit jedem entstandenen Teilintervalle. Die Teilgeraden zerlegen E in vollständige und unvollständige Rechtecke, und man erkennt, daß für sie genau dieselben Schlüsse wie in Nr. 486 gelten, indem es nach einer endlichen Anzahl von Schritten eintreten muß, daß die Funktion f in allen Teilstücken um weniger als eine beliebig klein angenommene positive Zahl schwankt, usw. Der so auf einen beliebigen endlichen Bereich E übertragbare Satz 18 von Nr. 486 sei hier ausdrücklich formuliert als der

Satz 4: Verhält sich eine Funktion von x und y in einem Bereiche von endlichen Abmessungen stetig, so gibt es, wie Mein auch eine positive Zahl x gewäldt sein mag, stets eine positive Zahl 6 derart, daß die Schwankung der Funktion kleiner als t

575]

in jedem solchen Teile des Bereiches wird, in dein x und y um nicht mehr als 6 variieren.

Infolgedessen können wir die Ergebnisse der letzten Nummer so formulieren:

22t*»*

E

Satz 5: Die Funktion f(x, y) von x und y verhalte sich stetig im Innern und auf dem Bande eines Bereiches E in der xy-Ehene, den eine geschlossene, aber sich selbst nicht schneidende stetige Linie begrenzt. Wird der Bereich durch Barallelen zu den Achsen zerlegt, ferner das Produkt aus jedem positiv gemessenen Teilstücke en der Fläche E mit demjenigen Werte fP gebildet, den die Funktion f von irgend einer Stelle P des betreffenden Stückes annimmt, und wird schließlich die Summe aus allen so entstehenden Produkten gebildet, so hat die hervorgehende Doppelsumme

einen von der Zerlegung und der Wahl der Stellen P unabhängigen Grenzwert, wenn alle Entfernungen zwischen je zwei aufeinander folgenden parallelen Teilgeraden nach Null streben und dementsprechend die Anzahl aller Teilstücke über jede Zahl wächst.

⁸u

nennen.

Fig. 52.

Man kann die Doppelsumme in zwei Teile zerlegen, wovon sieb der eine auf die vollständigen Teilreebtecke bezieht, die V wir r{j nennen, dagegen der andere auf die unvollständigen, die wir Die Doppelsumme stellt sieb dann so dar:

(1)

1=^1 Jufl‘ri j +    2fp Si j-

E    E

In Fig. 52 sind die sij die schraffierten Flächenstücke. Sie werden durch eine geschlossene gebrochene Linie l von den vollständigen Rechtecken r{j getrennt. Bedeutet M das Maximum des absoluten Betrages der Funktion f im Innern und auf dem Rande k von E, so ist der absolute Betrag des zweiten Teiles der Summe (1) nicht größer als M, multipliziert mit der Summe aller Sijy so daß dieser zweite Teil beim Greuzüber-

23*

[575

gange nach Null strebt, falls die Summe aller s{j, d. h. die zwischen l und k gelegene Fläche nach Null strebt. Ist dies der Fall, so kann man bei dem Grenzwerte lim J von J auf den zweiten Teil verzichten. Wenn dann zIx und Dy die positiv gerechneten Seiten irgend eines vollständigen Teilrechtecks rtj sind und x, y die Koordinaten irgend eines Punktes bedeuten, der im Innern oder auf dem Rande des betreffenden Teilrechtecks rij liegt, ergibt sich folglich diese symbolische Darstellung des Grenzwertes:

(2)

lim J =

Jj f(x, y)DxDy.

Man bezeichnet diesen Grenzwert, der sich, wie gesagt, nur noch auf alle vollständigen Teilrechtecke in E bezieht, wieder als das Doppelintegral

'Jf(x,y)dxdy,

A’

(3)

lim J

erstreckt über den Bereich E.

Wir haben aber noch zu untersuchen, ob die Summe aller sik, d. h. die zwischen l und k gelegene Fläche, beim Grenz-übergange in der Tat nach Null strebt. Da l und k stetige Linien sind und überdies l beim Grenzübergange nach k konvergiert, scheint es ohne weiteres aus Satz 1, Nr. 531, zu folgen. Aber man muß beachten, daß dieser Satz nur dann anwendbar ist, wenn k aus den Bildlinien von nur einer oder von nur einigen stetigen Funktionen y von x besteht. Mit den bisher gemachten Annahmen ist es aber wohl vereinbar, daß k von Parallelen zur y-Achse in unzählig vielen Punkten getroffen wird, und dann ist jener Satz nicht anwendbar. Immerhin Avürde man dann, falls die Parallelen zur Æ-Achse die Linie k nicht unendlich oft treffen, die Abszisse mit den Ordinaten vertauschen und also doch den Satz anwenden können. Dasselbe gelingt durch Einführung eines gedrehten Achsenkreuzes, wenn es überhaupt eine Schar von parallelen Geraden gibt, die k nur in je einer endlichen Anzahl von Punkten treffen. Wir wollen uns aber auf den Fall beschränken, wo k von keiner Geraden in unzählig vielen Punkten geschnitten wird. 575]

Zur Vereinfachung des Ausdruckes wird es bequem sein, die Voraussetzungen für künftige Anwendungen zu formulieren als die

Forderung ®: Die zu betrachtende Funktion von zwei Veränderlichen x und y soll sich in der xy-Fbene innerhalb eines Bereiches und auf seinem Rande stetig verhalten. Dabei soll der Rand eine geschlossene, aber sich selbst nicht schneidende stetige Linie sein, die von jeder Geraden nur in einer endlichen Anzahl von Punkten getroffen wird.

Erfüllt die Funktion f(x, y) diese Forderung für den Bereich F, so ist das Doppelintegral (3) wohldefiniert. Weil es sich in der Form (2) als Grenzwert einer Summe darstellen läßt, in der nur die vollständigen Teilrechtecke AxAy Vorkommen, ist es für die Anwendungen vorteilhaft, sich zu merken, daß man bei der Aufstellung der Doppelsumme, deren Grenzivert das Doppelintegral ist, alle unvollständigen Teilrechtecke unberücksichtigt lassen darf.

576. Eigenschaften des Doppelintegrals. Ehe wir

zeigen, wie man Doppelintegrale berechnet, sollen noch einige Eigenschaften der Doppelintegrale nachgewiesen werden. Wir setzen dabei voraus, daß die Funktion f(x, y) die Forderung % im Bereiche E mit dem Rande k erfülle.

3?ig- 53.

Zerlegt man den Bereich, indem man von einer Stelle von k nach einer anderen Stelle von k innerhalb E eine sich selbst nicht schneidende stetige Linie l zieht, siehe Fig. 53, so entstehen zwei Bereiche Et und E₂. Die Forderung ® erfüllt fix, y) auch in E₁ und E₂. Deshalb sind auch die auf Ex und E₂ bezüglichen Doppelintegrale wohl definiert, und aus ihrer Definition als Grenzwerte von Summen folgt sofort:

(1) j*j*f(x, y)dxdy = JJf(x,y)dxdy + Jjf(x,y)dxdy

Man kann nun den Begriff des Doppelintegrals noch verallgemeinern: Es sei jetzt l eine geschlossene, aber sich selbst

[575, 576

nicht schneidende stetige Linie innerhalb E, siehe Fig. 54. Sie umschließt einen Bereich Ex. Der Rest von E ist ein ringförmiger Bereich E₂. Das Doppelintegral ist auch für den

l l'E'

Fig. 54.

Fig. 55.

Bereich Et wohldefiniert, aber noch nicht für den Bereich E₂, da er der Forderung 2) nicht entspricht. Ziehen wir nun aber eine 1c mit l verbindende und sich selbst nicht schneidende stetige Linie V innerhalb E₂, siehe Fig. 55, so entsteht aus.£4 ein nicht mehr ringförmiger Bereich E', dessen stetiger Rand sich aus h, aus der doppeltzählenden Linie V und aus l zusammensetzt. In diesem Bereiche E' erfüllt die Funktion f die Forderung 2). Wir erhalten daher entsprechend (1):

f f f(x, y) dx dy^JJf(x, y) dx dy -f- JJf(x, y) dxdy.

E*^    Ei    E'

Daraus folgt:

Jf f(x> y) dx dy =j f f(x, y) dxdy    y) dxdy.

E'    Ei

Die rechts stehende Differenz der auf E und Et bezüglichen Doppelintegrale ist aber vollständig unabhängig von der zuletzt gezogenen Linie V, deshalb auch das links stehende, auf E' bezügliche Integral, das daher als das Doppelintegral für den Bereich E₂ bezeichnet werden darf.

Auch wenn f nur im Innern von E₂ und auf dem Rande von E₂ als stetige Funktion von x und y gegeben wird, während es noch dahingestellt bleibt, wie sich f sonst (z. B. im Innern von Ef) verhält, ist das auf E' bezügliche Doppelintegral wohldefiniert, weil sein Rand, der aus 1c, l und V besteht, der Forderung 2) genügt. Man kann dies Integral auf Grund der Formel (1) in Summanden zerlegen, die sich auf Teile von E' beziehen, und daraus erkennt man ohne weiteres, daß das Integral immer denselben Wert hat, wie man auch die Linie V 5761

ziehen mag. Man ist daher berechtigt, es als das auf den Bereich E₂ bezügliche Doppelintegral zu bezeichnen.

Dieser Schluß läßt sich augenscheinlich verallgemeinern, indem man statt zweier noch mehr geschlossene Linien zur Begrenzung des Bereiches annimmt. Demnach können wir die Forderung 2) durch die folgende ersetzen:

Forderung (S: Fie zu betrachtende Funktion von zwei Veränderlichen x und y soll sich in der xy-Fbene innerhalb eines Bereiches und auf seinem Bande stetig __ verhalten. Dabei soll der Band des    .—

Bereiches aus einer geschlossenen, aber ßV \ •• sich selbst nicht schneidenden stetigen ||k    /~'-o    .:i ''ESÈk

Linie oder aus mehreren derartigen

Linien bestehen. Im zweiten Falle    f '    \ f

soll heine der Linien die andern    \ •••••’    • . - -

Fig. 56.

schneiden. Ferner soll es heine Ge- • rade geben, die mit dem Gesamtrande unendlich viele Punkte gemein hat. Siehe Fig. 56.

Jetzt können wir die Formel (1), da sie augenscheinlich auch dann gilt, wenn man E in mehr als zwei Bereiche zerlegt, so als Satz ausdrücken:

Satz 6: Erfüllt die Funktion fix, y) die Forderung (S und wird der Bereich in mehrere Teile Et, E₂, ... En zerlegt, so daß f{x, y) auch in jedem Teilbereiche die Forderung E erfüllt, so ist:

IJ*fdx dy=J*J*fdx dy +JJ*fdx dy -{-•••+j*j*fdx dy

E    E-l    £₂    En

Insbesondere erfüllt die Funktion f = 1 stets die Forderung ($. Das zugehörige Doppelintegral ist der Grenzwert der Summe aller Teilrechtecke des Bereiches E, d. h. die Fläche E selbst und zwar, wie immer, positiv gemessen. Daher kommt:

(2)

Wenn dagegen fix, y) keine Konstante ist, aber die Forderung (S im Bereiche E erfüllt, und wenn K den kleinsten und G den größten Wert bedeutet, den f im Bereiche E und auf seinem Rande annimmt, liegt jeder Summand f(x, y)BxBy

[576

der Doppelsumme, deren Grenzwert das Doppelintegral von f ist, zwischen K/lx/ly und G/lx/ly. Da K und G Konstanten sind, ergibt sich sofort nach (2) der folgende Satz, der übrigens schon in Nr. 574 gefunden und benutzt wurde:

Satz 7: Erfüllt die Funktion fix, y) die Forderung © im Bereiche E und bedeutet K den kleinsten und G den größten Wert, den die Funktion im Bereiche E und auf seinem Bande annimmt, so ist

KE £jjf{x, y) dx dy < GE.

E

Stellt M das Maximum des absoluten Betrages von f(x, y) im Bereiche und auf seinem Rande dar, so ist M der größere der beiden Beträge \K\ und \G\. Daher gilt auch der

Satz 8: Erfüllt die Funktion f(x, y) die Forderung © im Bereiche E und bedeutet M das Maximum des absoluten Betrages der Funktion im Bereiche und auf seinem Bande, so ist

1/y)dxdy

E

Schließlich betrachten wir mehrere Funktionen fl} fif . . . fn von x und y. Wenn sie der Forderung © im Bereiche E Genüge leisten, gilt dasselbe von ihrer Summe f. Das Doppelintegral von f ist nun der Grenzwert einer Summe wobei in jedem Summanden die Funktionswerte ft, f₂, ... fn sämtlich für eine Stelle (x, y) des betreffenden Teilrechtecks sdxziy zu nehmen sind. Die Doppelsumme ist daher gleich der Summe von n einzelnen Doppelsummen:

^    ^?f₂Jxzly + "•    ^fn^x^y.

E    E    E

Daher folgt der

Satz 9: Erfüllen n Funktionen ft(x, y)f f₂(x, y),... fjx, y) die Forderung © in einem gemeinsamen Bereiche E, so ist das Doppelintegral ihrer Summe:

JJ*(fi + f» + • • + fn)d% dy

F,

5T6J

< ME.

§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale. gleich der Summe der einzelnen Doppelintegrale:

Jy*fxdx dy +JJUdxdy Ą-----f j*'Jfndx dy.

E    E    JE

577. Auswertung eines Doppelintegrals durch zwei aufeinanderfolgende einfache Integrationen. Wenn die Funktion /'(æ, y) die Forderung @ der letzten Nummer in dem Bereiche E mit dem Rande Je erfüllt, ist nun noch die Frage zu beantworten, wie man das zugehörige Doppelintegral

J'J'fix, y)dx dy

E

berechnen kann.

Der Einfachheit halber nehmen wir zunächst an, daß die Parallelen zur y-Achse den Rand le in höchstens zwei Punkten treffen. Ist x₀ der kleinste und X der größte Wert, den die Abszisse auf dem Rande erreicht, siehe Fig. 57, so möge die zu einer zwischen x₀ und X gelegenen Abszisse x gehörige Parallele zur ?/-Achse den Rand in den Punkten mit den Ordinaten

J£-

(i) Vx =    y 2 = <pâx)

Fig. 57.

treffen, wobei y₂ > y₁ sei. Die erste Gleichung (1) stellt dann das untere, die zweite das obere Randstück dar. Weil Je stetig ist, sind yt und î/₂ stetige Funktionen von x im Intervalle x₀ < x < X. In der Summe

=2 ^VOb y)^x4y =2y)^x/Jy

E    J x J y

y-Achse beziehen, d. h.

zur

fassen wir nunmehr alle Glieder zusammen, die sich auf Teilrechtecke in einer Reihe parallel mit demselben x und Ax, indem wir schreiben:

(2)

J=y]z1xï^f(x,y)z1y ■

/ix    L /I y

Wir dürfen annehmen, daß in jedem Teilrechtecke AxAy der Wert von f(x, y) für die Anfangsecke des Rechtecks gebildet

[576, 577

werde, d. h. an der Stelle mit den kleinsten Koordinaten x,y. Die in der eckigen Klammer in (2) enthaltene Summe hat alsdann nach Nr. 410 für limz/i/ = 0 den Grenzwert:

^j    V) dy y

Vi

worin yl und y₂ die Werte (1) haben und x die gemeinsame Abszisse aller Anfangsecken der betrachteten Rechtecke ist. In dem Integrale spielt daher x die Rolle eines Parameters. Nach Satz 19, Nr. 487, ist das Integral die Differenz aus einer stetigen. Funktion von x und y₂ und derselben stetigen Funktion von x und yx. Da für yx und y₂ nach (1) stetige Funktionen von x zu setzen sind, folgt, daß dies Integral eine stetige Funktion von x allein im Intervalle x₀<ix<iX ist. Wir wollen sie mit u(x) bezeichnen:

y%    (piw

Jf{x, y)dy =J fix, y)dy = u(x).

Vi    <Pi (*)

Nach (2) ist nun der Grenzwert Hu(x) Ax für lim Ax = 0 zu bilden, d. h. wir summieren jetzt über alle zur y-Achse parallelen Streifen. Der hervorgehende Grenzwert ist nach Nr. 410:

(3)

x

■■J*J‘f(x, y)dx dy =J*u(x)dx,

E    Xq

X

f j*fe y)dx dy = j Jf(x, y)dy

E    x₀ cpx (x)

Der Wert des Doppelintegrals geht also durch Ausführung zweier aufeinanderfolgender Integrationen hervor, wobei die erste zwischen veränderlichen, die zweite zwischen festen Grenzen stattfindet.

Natürlich kann man auch umgekehrt Vorgehen, d. h. zunächst die Summanden für einen Rechteckstreifen parallel der x-Achse betrachten. Ist y₀ der kleinste und Y der größte

577]

lim J =

wofür man nach (3) schreiben kann:

(5)

dx.

Wert, den y auf dem Rande Tc von E erreicht, siehe Fig. 58, so möge, wie wir annehmen wollen, jede Parallele zur x-Achse, deren Ordinate zwischen y₀ und Y liegt, den Rand Je gerade zweimal treffen, etwa in den Punkten mit den Abszissen:

%i =

wobei x₂ > x₁ sei. Dabei sind tp₁ und il>₂ stetige Funktionen

r*»

Ik-

É1I1

Fig. 59.

Fig. 58.

von y im Intervalle y₀ y Y. Also kommt entsprechend der Formel (5):

y V%(y)

(6)

x dy.

J J f(v, y)dxdy = J J fix, y)d

e    vo V'i (y)

O

Komplizierter wird die Auswertung des Doppelintegrals, wenn der Rand Ti von den Parallelen zur x- oder y- Achse in mehr als zwei Punkten getroffen wird. Nehmen wir z. B. den Fall der Fig. 59 an und wollen wir zuerst hinsichtlich y integrieren, so zerlegen wir den ganzen Bereich E durch Parallelen zur y- Achse in Teile Et, E₂, E₃ so, daß der Rand jedes einzelnen Teiles von den Parallelen zur «/-Achse nur zweimal getroffen wird. Alsdann ist nach Satz 6. Nr. 576:

J*J*f dxdy =JJ'f dxdy Ą- j*J*fdx dy J*J fdxdy.

E    Ei    Ei    e₃

Bei jedem einzelnen Teilbereiche E1} E₂, E₃ können wir nun genau so vorgehen wie im Falle der Fig. 57.

Entsprechend hat man in anderen Fällen zu verfahren.

578. Allgemeinere Auffassung des Doppelintegrals.

Der Bereich E, innerhalb dessen über die stetige Funktion f

[577, 578

integriert werden soll, kann auch in anderer Weise als durch Parallelen zu den Achsen zerlegt werden, z. B. wie es in Fig. 60 angedeutet ist, durch zwei Scharen von stetigen Linien.

In jedem entstehenden Teilgebiete “    werde wieder eine Stelle Q oder (x, y)

-Ft

beliebig gewählt und alsdann der zugehörige Wert fą der Funktion f mit dem positiv genommenen Flächeninhalte /iE des Teiles multipliziert. Die Behauptung ist nun die, daß die Summe aller so entstehenden Produkte

Fig. 60.

S=^fąJE

K erstreckt über den ganzen Bereich E, ebenfalls den Grenzwert

J'Jf(x,y)dx dy

F.

hat. Der Grenzübergang soll dabei so stattfinden, daß jedes Teilgebiet /iE nicht nur nach dem Betrage seines Flächenraumes, sondern auch nach seiner geometrischen Ausdehnung ohne Ende abnimmt. Dies erreichen wir so: Wir wählen eine beliebig kleine positive Zahl r, so daß es nach Satz 4, Nr. 575, eine positive Zahl 6 derart gibt, daß die Funktion f in jedem Bereiche, in dem x und y um weniger als <3 variieren,

er

um weniger als t schwankt. Nun sei jeder Teilbereich ziE so klein gewählt, daß er innerhalb eines Quadrates mit Seiten von der Länge 6 parallel den Achsen liegt. Der Grenzübergang findet für lim t = 0 statt.

je

Fig. 61.

Wenn wir nach der früheren Art den Bereich E durch Parallelen zur x- und y- Ache in lauter gleich große Quadrate mit den Seitenlangen 6 zerlegen, gehört jedes Teilgebiet /iE höchstens vier aneinander stoßenden Quadraten 6² an, siehe Fig. 61, worin die Anfangsecken der Quadrate markiert sind. Der im Summanden/^ /IE auftretende Faktor/q ist der Wert von 578]

f(x, y) für eine Stelle Q von BE. Im ganzen Teilgebiete /JE schwankt f(x,y) um weniger als x. Daher weicht/^ von einem Werte, den f(x, y) in irgend einem andern Punkte Q' von BE hat, um weniger als x ab. Andererseits weicht der Wert von f für Q' um weniger als x von demjenigen Werte ab, den f an der Anfangsecke des Quadrates mit dem Punkte Q' erreicht. Wenn wir also in dem Summanden fqBE erstens die Fläche /JE in ihre vier den einzelnen Quadraten angehörigen Teile B₁E, B₂E, BZE und B±E zerlegen und zweitens fq durch die Werte f, f₂, fz, fi von f an den Anfangsecken der Quadrate ersetzen, wird der Summand fą/JE von dem viergliedrigen Ausdrucke flB₁E -f- f₂B₂E -f f$AzE -j- f±B±E um weniger als 2t (/JtE -f-/J₂E -f- BZE -j- B±E), d. h. um weniger als 2xBE ab weichen.

Wenn wir nun die Doppelsumme J wie in Nr. 574 auf Grund der Zerlegung der Fläche in die Quadrate bilden:

ffaiV Vl) eiV

E

wobei die Größen eil die Flächen der innerhalb E gelegenen Quadratstücke bedeuten, unterscheidet sich die Summe von der zu untersuchenden Summe S um weniger als 2 tE, und diese Größe strebt nach Null für lim x = 0. Deshalb kommt lim S — lim J, sodaß sich ergibt:

Satz 10: Erfüllt die Funktion f(x, y) in einem Bereiche E die Forderung ($ von Nr. 576 und wird der Bereich irgendwie in Teile /JE zerlegt, darauf jedes positiv gemessene Flächenstück BE mit demjenigen Werte fq multipliziert, den die Funktion f(x, y) für irgend eine Stelle Q des betreffenden Teiles BE annimmt, und wird schließlich die Summe aller so entstehenden Produkte gebildet, so hat diese Summe den bestimmten endlichen Grenzwert

Jf 'fix. y)dx dy, £

wenn die Ausdehnungen aller Teilgebiete BE nach Null streben und dementsprechend die Anzahl aller Teilgebiete über jede Zahl wächst.

579. Definition des Volumens. Wir sind jetzt endlich in der Lage, die in Nr. 568 versprochene allgemeine Definition des Volumens zu gehen. Zu diesem Zwecke nehmen wir an, im Raume mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z sei eine Fläche

(i)

* - fix, y)

gegeben. Die Funktion f(x, y) soll innerhalb eines Bereiches, der durch ein Flächenstück E der xy- Ebene mit einem Rande k dargestellt wird, der Forderung (£ von Nr. 576 genügen. Indem wir längs 7c den zur :Zî/-Ebene senkrechten Zylinder errichten, umschließen wir durch ihn, durch die cc?/-Ebene und durch die Fläche (1) einen Raumteil, dessen Volumen wir nunmehr definieren als den zugehörigen Wert des Doppelintegrals:

Wegen der Bedeutung des Doppelintegrals erscheint also das Volumen als der Grenzwert einer Summe. Jeder Summand ist dabei das Produkt aus einem positiv gemessenen Stücke z/jEJ des Bereiches E mit dem Werte, den die Funktion f{x, y) für irgend eine Stelle Q des Stückes z1E annimmt, d. h. mit der zu Q gehörigen Koordinate der Fläche (1). Jeder Summand stellt somit den Inhalt eines Zylinders dar, dessen Grundfläche das Stück ZtE des Bereiches E ist, während als seine Höhe die Höhe irgend eines über zlE gelegenen Punktes der Fläche (1) gewählt werden darf. Die Summe erstreckt sich über alle diese Zylinderinhalte, und ihr Grenzwert ist für den Fall zu bilden, wo die Abmessungen aller Grundflächen ZE nach Null streben.

Daraus folgt noch: Das Volumen ist positiv, wenn die z- Koordinaten aller zum Bereiche E gehörigen Punkte der Iläche (1) positiv sind, dagegen negativ, ivenn alle diese z-Koor-dinate negativ sind. Man vergleiche das Entsprechende in Nr. 409. Sind jene Koordinaten für einen Teil Et von E positiv und für den andern Teil E₂ von E negativ, so stellt das Doppelintegral nach Satz 6, Nr. 576, die Differenz der positiv gemessenen Volumina über E^ und E₂ dar.

Daß wir bei der Bildung der Summe, deren Grenzwert das Volumen V ist, lauter einzelne Zylindervolumina addierten, bedeutet, daß die Fläche (1) durch ein treppenförmiges Gebilde ersetzt wird, weil jeder einzelne Zylinder oben eine zur xy-Ebene parallele Begrenzung hat. Das treppenförmige Gebilde besteht aus diesen oberen ebenen und mit den NE kongruenten Stücken sowie aus Teilen der Mäntel der einzelnen Zylinder. Dieses Ersatz-Gebilde ist daher eine stetige Fläche, die beim Grenzübergang nach der Fläche (1) konvergiert (vgl. Nr. 531).

Wir können aber einen noch allgemeineren Ersatz der Fläche (1) benutzen: Es sei nämlich

(2)

* = <pfa y)

die Gleichung einer zweiten Fläche, und dabei erfülle auch die Funktion <p(x, y) die Forderung © von Nr. 576 im Bereiche E. Außerdem sei x eine positive Zahl derart, daß an jeder Stelle (x, y) des Bereiches E und seines Randes k

(3)

f{x} y) — cp(x, y) | < r ist. Zur zweiten Fläche gehört nun das Volumen:

= j' J*(p(x, y) dx dy.

A'

Nach Satz 9, Nr. 576, kommt:

J j\f(%, V) ~ <p(%j y)] dxdy

i?

und also infolge von (3) nach Satz 8 ebenda:

| V — W\ < tE.

Ist die Fläche (2) derart veränderlich, daß man x nach Null streben lassen kann, d. h. konvergiert sie über dem Bereiche E überall nach der Fläche (1), so folgt lim W — V. Demnach gilt entsprechend dem Satze 1 von Nr. 531 der

Satz 11: Erfüllen die Funktionen f(x, y) und q)(x, y), die zwei Flächen z = fix, y) und z = <p(x, y) definieren, in einem Bereiche E der xy-Ebene die Forderung Gs von Nr. 576 und konvergiert die zweite Hache über dem Bereiche E überall nach der ersten Fläche, so ist der Grenzwert des Volumens zwischen E,

[579

dem geraden Zylinder über E und der zweiten Fläche gleich dem Volumen zwischen E, demselben Zylinder und der ersten Fläche.

Wir haben noch zu zeigen, daß die Yolumenformel (1) in Nr. 563 in der Tat aus der oben gegebenen Definition des Volumens entspringt. In Nr. 577 ergab sich unter (4) für das Doppelintegral oder Volumen der Wert:

x

■J‘ j"f(x> y)dx dy =J*u(x)dx,

wobei

E    x₀

vi

war. Darin bedeuteten yx und y» die äußersten Werte, die

JC,

Fig. G2.

zu einem beliebigen x im Bereiche E gehören. Bei festgebaltenem x aber ist z = f(x, y) nichts anderes als die Gleichung der Kurve, in der die zugehörige zur x-Achse senkrechte Ebene die Fläche (1) schneidet. Siehe Fig. 62. Folglich hat u(x) nach Satz 7, Nr. 411, in der Tat gerade diejenige Bedeutung, die u(x) in der Volumenformel (1) von Nr. 563 zukommt. Nämlich u(x) ist die Fläche des Querschnittes, in dem die angenommene Ebene das Volumen V schneidet.

§ 3. Anwendungen.

580. Beispiele zur Berechnung von Doppelintegralen.

1. Beispiel: Es soll dasjenige Volumen V berechnet werden, das zwischen dem hyperbolischen Paraboloid

z = xy,

der xy-Ebene und demjenigen geraden Zylinder liegt, dessen Querschnitt E in der xy-Ebene das zwischen der Parabel

y = x\

der æ-Aehse und der zu x = a gehörigen Parabelordinate y = a2 gelegene Flächenstück ist, siehe Fig. 63 für a = 1. Wir berechnen dies Volumen    a

= j*J*xydxdy,

/;

•*x

\jc*a

Fig. 63.

indem wir zuerst hinsichtlich y, alsdann hinsichtlich x integrieren. Die Gerade in der rry-Ebene, die der y- Achse parallel ist und eine beliebige zwischen 0 und a gelegene Abszisse x hat, gehört dem Bereiche E von y = 0 bis y = a;² an. Also kommt nach (5) in Nr. 577:

a — x²

dx.

V=J \Jxydy

o L₀

Es ist fxydy= xfydy = jx(y*konst.), demnach:

a    a

= j*\x(x%ydx = jJ*xbdx = 0 0

Dasselbe Volumen V soll jetzt auf dem zweiten Wege berechnet werden, indem wir zuerst hinsichtlich x und dann hinsichtlich y integrieren. Eine beliebige Gerade in der a^-Ebene, parallel zur a;-Achse und mit irgend einer zwischen 0 und a2 gelegenen Ordinate y gehört dem Bereiche E von x = Yy bis x = a an, wobei die Wurzel positiv ist. Demnach ergibt sich in Gemäßheit der Formel (6j von Nr. 577:

a*p a

dy.

J j J*xydx ⁰ ^vÿ

Es ist fxy dx = yfxdx = \y{x² -f- konst.) und folglich:

a*

v=fiy(a*—y)dy =

0

so daß wir in der Tat denselben Wert wie vorhin finden.

Serret-Scheffers,Kiff.-u.Integral-Rechnung. II. 4.U.5.Anfl. 24

2. Beispiel: Eine andere einfache Anwendung liefert uns eine merkwürdige von BiricJilet benutzte Formel. Es sei f(x, y) eine stetige Funktion von x und y innerhalb des durch die Geraden x = a, y = 0, y = x begrenzten Bereiches E der xy-Ebene, siehe Fig. 64, so daß die über diesem Bereiche liegende Fläche z = f(x, y) zusammen mit E und den Ebenen x = a, y = 0, y = x ein gewisses Yolumen einschließt, das als Doppelintegral darstellbar ist. Je nachdem wir zuerst hinsichtlich y oder hinsichtlich x integrieren, erhalten wir die beiden Formen des Doppelintegrals:

->

Fig. 64.

(Zp x    -,    cc |— a    -,

J ff(x> V) dV d x =j Jf(x, y)dx dy,

0 Lo    J    0    '-y

und dies ist die Dirichletsche Formel. Sie gilt übrigens auch, wenn f(x, y) gewisse Unstetigkeiten aufweist, worauf wir jedoch nicht eingehen.

581. Das Volumen innerhalb einer geschlossenen Fläche F{pc, y, z) = 0. Wenn eine durch die Gleichung

F(x, y,z) = 0

definierte Fläche einen Raumteil völlig einschließt, wie es z. B.

ein Ellipsoid tut, hat man, um das Volumen dieses Raumteils zu berechnen, nach folgender Anleitung vorzugehen: i    Wir nehmen an, daß es sich

um einen einzigen zusammenhängenden Raumteil handelt und daß diejenigen Parallelen zur z-Achse, die überhaupt die Fläche treffen, sie nur zweimal schneiden, d. h. daß die Gleichung (1) nach z aufgelöst zwei Werte gibt:

(²)    == /iO, y), ^2 = U 0, y),

von denen etwa z₂ der größere sei. Siehe Fig. 65. Die Punkte (x, y, Zj) sind von den Punkten (x, y, z₂) durch eine Kurve c

580, 581]

(i)

CK.

(Ffj,y.i)‘0 YX3

...........i—

Fig. 65.

SPfryJ.o

Ft(x, y, z) = 0

der Fläche getrennt, und zwar ist in jedem Punkte dieser Kurve c die Tangentenebene zur xy-Ebene senkrecht, d. h. die Ableitung

(3)

nach (6) in Nr. 253. Elimination von z aus (1) und (3) gibt die Gleichung der Projektion k der Kurve c auf die ^«/-Ebener

(4)

(p(x, y) = 0.

Die Kurve k ist der Rand desjenigen Stückes E der xy-Ebene, dessen Punkte Projektionen von Punkten der Fläche sind. Die Doppelintegrale

Fi =j    y)dx dy, V₂    j*f₂(x, y)dx dy

A’    E

sind die Volumina zwischen der xy-Ebene, dem zur xy-Ebene senkrechten und die Fläche umhüllenden Zylinder und dem unteren bzw. oberen Teile der Fläche (1). Das zu berechnende Volumen V ist die Differenz von V₂ und Vv Weil die Doppelintegrale V₁ und V₂ Grenzwerte von Summen sind, die sich auf denselbenVariabilitätsbereich E beziehen, ist nach Satz 9, Nr. 576:

r₂ - vx

f[ftfa V) - fi(x, y)] dx dy.

Natürlich hat man bei der Anwendung dieses allgemeinen Verfahrens auf einen bestimmten Fall immer zu untersuchen, ob die Stetigkeitsbedingungen erfüllt sind.

582. Die Volumenformel mit Benutzung von Folar-koordinaten. Zuweilen ist es zweckmäßig, die Grundfläche E nicht gerade in Rechtecke, sondern auf Grund von Nr. 578 in einer anderen, geeigneteren Weise in Teilgebiete 4E zu zerlegen. Es kann z. B. sein, daß sich die Gleichung der Fläche z = f(x, y) besonders einfach darstellt, wenn man in der xy-Ebene vermöge x = p cos co und y = q sin co Polarkoordinaten einführt, so daß sich ergibt:

(i)

Z = (p{co, q).

Dabei wollen wir wie in Nr. 203 annehmen, daß der Radiusvektor p nirgends im Gebiete E negativ sei. In diesem Falle

[581, 582

wird man die Zerlegung von E dadurch bewirken, daß man in der xy-Ebene Strahlen vom Anfangspunkte 0 aus und konzentrische Kreise um 0 zieht. Siehe Fig. 66. Dann entstehen teilweise krummlinig begrenzte Vierecke z1E, und nach Nr. 575 dürfen wir von den am Rande 7c von E \ legenen unvollständigen Vierecken absehen. r Sind co und co -j- Aco die Amplituden benachbarter Strahlen sowie p und p -f AIq ^ die Radien benachbarter Kreise, wobei wir A co und A p positiv annehmen können, so hat das von diesen Strahlen und Kreisen

ge-

Fig. 66.

eingeschlossene Viereck AE die Fläche:

(2) AE = \Aco [(p -|-z/p)² — p²] = pz/coz/p + |-z/co(z/p)². Das Volumen V ist daher wegen (1) der Grenzwert der Summe:

p)z/coz/p +    q)Aco(Aq)².

Zw Z q

d co d q

Wir behaupten, daß der Grenzwert des zweiten Summanden gleich Null wird.

Wenn nämlich M der größte Wert ist, den der absolute Betrag von z = cp (co, p) im Gebiete E erreicht, so ist:

: 2    9)^(o(Aq)²    2(AQyAc».

! Zw dq    /toi d q

Es kommt aber, falls co im Bereiche E von co₀ bis co₁ wächst: ^?(Aq)²Aco = ZA a ■ Z(Ap)² == (co, — co₀) Z(Ap)².

Zw Z q

Nehmen wir, wie es geschehen darf, alle z/p kleiner als eine beliebig kleine positive Zahl 6 an, so ist die Summe der (z/p)2 kleiner als 6 ZAp, d. h. für lim 6 = 0 gleich Null, so daß die Behauptung bewiesen ist.

Mithin hat sich die Volumenformel ergeben:

V = lim ^ ^pgp(co, q)AoAp.

Zco d q

Nun hat dieser Grenzwert wieder die Form des Grenzwertes (1) in Nr. 572 oder des Grenzwertes von J in Nr. 577, indem

582]

nämlich an Stelle der Buchstaben x und y die Zeichen co und p stehen und statt der Funktion f(x,y) die Funktion p<p(co, p) auftritt. Daher ist der Grenzwert nichts anders als das Doppelintegral:

—J*J*Qcp(œ, q) dco dg,

E

(3)

erstreckt über den ganzen Bereich E. Vorausgesetzt wird hierbei, daß f(co, p) im Bereiche E der Forderung @ von Nr. 576 genügt.

Was die wirkliche Auswertung dieses Doppelintegrals betrifft, so verfahren wir wie in Nr. 577, indem wir zuerst hinsichtlich der einen Veränderlichen und dann hinsichtlich der andern integrieren, wobei die Grenzen in entsprechender Weise zu ermitteln sind.

Beispiel: In der Ebene eines größten Kreises einer Kugel vom Radius R werde ein Kreis 1e vom Radius jR konstruiert, der durch den Mittelpunkt geht, siehe Fig. 67. Der gerade Zylinder, dessen Querschnitt dieser Kreis ist, schneidet aus der Kugel ein Volumen aus, das berechnet werden soll. Wir fassen nur die oberhalb des Kreises Je stehende Volumenhälfte ins Auge.

Fig. 67.

Benutzen wir die Ebene jenes größten Kreises als æy-Ebene, so beschränken wir uns also auf positive Werte von z, die bei der Kugel gleich der Wurzel aus R² — x² — y² sind, wenn der Mittelpunkt der Kugel als Anfangspunkt 0 gewählt wird. Die positive x-Achse legen wir durch den Mittelpunkt des Kreises Ł In Polarkoordinaten co, p hat dieser Kreis Je die Gleichung q = R cos co, wobei co von —\tc bis \tc geht, während für die Punkte der Kugel z gleich y R² — p² wird. Dies ist demnach hier die Funktion cp (co, p). Wollen wir zunächst hinsichtlich p integrieren, so haben wir einen beliebigen Wert von co zwischen — j7C und jit anzunehmen und festzustellen, welche Werte von p zu dem durch co bestimmten Strahle innerhalb des Bereiches E gehören. Dieser Bereich ist

das Innere des Kreises Je, so daß q von 0 bis E cos go variieren kann. Folglich gibt (3):

= j J'q ym — Q² CÏQ d03.

+ ^7l R cos tu

Es ist nun

R cos w

R C03 CU

_ __l

J₉yw^dQ~[-iVR>-^]o

o

Hieraus würde für dies Integral der Wert (1 — sin³ co) folgen, da die Quadratwurzel positiv ist und für q = E cos co also gleich E sin co wird. Dabei wird jedoch ein Fehler gemacht. Denn die Quadratwurzel bedeutet die über dem Kreise überall positive Höhe z der Kugel. Für Werte von co zwischen

—    und 0 ist aber sin co negativ, also nicht E sin co, sondern

—    E sin co als Wert der Quadratwurzel zu nehmen. Daher zerteilen wir das Integral hinsichtlich co so:

0    y⁷¹

— sin³ co) dco.

V =J\ E³ (1 + sin³ co) da + J±E³ (1 -4*    ⁰

Das erste geht, wenn co durch — co ersetzt wird, in das zweite über. Also ist:

■1 7t

I **/(!

0

— sin³ co) doo = fR³ [co + cos oo — cos³ co]'

0

\7t

Der Zylinder, von dem oben die Rede war, schneidet aus der ganzen Kugel das Doppelte dieses Volumens aus, so daß der übrigbleibende Teil der Kugel das Volumen -|jtjR³ -f- fiü³ hat-

583. Berechnung eines einfachen Integrals mittels eines Doppelintegrals. Eine lehrreiche Betrachtung ist die folgende, die von Gauß und Poisson herrührt:

Die Fläche

(1)

§ 3. Anwendungen.

co

Ol

ist über jeder Stelle (x, y) der xy-Ebene stetig und bat nur positive Höhen z. Daher können wir bei ihrer Volumenberechnung einen beliebigen Bereich in der a^-Ebene wählen, dessen Rand Je der Forderung (5 in Nr. 576 genügt. Zunächst nehmen wir das Quadrat an, dessen Seitenlange 2 a ist, dessen Mitte im Anfangspunkte 0 liegt und dessen Seiten der x- und y-Achse parallel sind. Das über diesem Quadrate gelegene Volumen ist ein Doppelintegral mit festen Grenzen, das nach Satz 2, Nr. 572, sofort in ein Produkt von zwei einfachen Integralen zerfällt:

+ a +a

■/[/5 ~(*'⁺dy dx

•F a

■■ j^e~x'¹ J'e~v* dy dx =

-Fa    +a

J*!dx. J*

e~v' dy.

Beide Faktoren bedeuten aber dasselbe. Also ist

= (KJe-x'-dx).

Nun wollen wir als Bereich E einen Kreis um den Anfangspunkt mit dem Radius B annehmen. Das Volumen ist bei Anwendung von Polarkoordinaten nach (3), Nr. 582:

da — 7t (1 — e~R*).

positive Höhen z hat, liegt das

nur

Da das Quadrat den Kreis mit dem Radius a einschließt, dagegen vom Kreise mit dem Radius a]/2 umschlossen wird und da die Fläche (1)

Volumen V zwischen den zu diesen beiden Kreisen gehörigen Volumina. Also folgt:

-F a

7t(1 —    e~x* dx^

< x (i — e

— 2 a¹

)•

Es gilt dies für jeden Wert von a, so daß für lim a — + oo wegen

376 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale, lim e⁻“¹ = 0,

lim e~2a* = 0

a = +oo

a = +oo

hervorgeht:

— 00

, d. h.

x2 dxj = 7t

+ 00

J e~ x2 dx = Y7t.

— 00

Dies wurde in Nr. 495 unter (4) auf anderem Wege gefunden.

§ 4. Komplanation.

584. Definition der Größe eines krummen Flächenstückes. Die Aufgabe der Komplanation (Verebnung) ist die, den Betrag der Größe eines bestimmt umrandeten Stückes einer gegebenen krummen Fläche zu berechnen, d. b. auszudrücken als Vielfaches der Flächeneinheit in der Ebene, nämlich des Quadrates von der Seitenlange Eins. Zunächst fehlt jedoch noch eine exakte Definition der Größe eines solchen Flächenstückes. Deshalb stellen wir folgende Betrachtung an:

Es sei

(1)

* = A«» y)

die Gleichung einer Fläche. Was die Funktion f(x, y) betrifft, so müssen wir hier mehr als früher voraussetzen. Wir nehmen an, es sei E ein solcher Bereich in der xy-Ebene, innerhalb dessen nicht nur f, sondern auch die beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung

(2)

ü=fy

P=fX,

der Forderung G von Nr. 576 genügen. Zu jedem Punkte Q dieses Bereiches gehört ein Punkt P der Fläche, indem Q seine Projektion auf die xy-Ebene ist. Die Fläche hat an jedem solchen Punkte P eine Tangentenebene, die nicht zur xy-Ebene senkrecht ist, denn nach (10) in Nr. 253 ist

(3)

Fi3 2 ■+■ s ² -|- i

der Kosinus des Winkels, den die positive Flächennormale mit der £-Achse bildet, wenn die Wurzel positiv angenommen wird.

Unsere Aufgabe besteht darin, die Größe desjenigen Stückes der Fläche (1), dessen Projektion auf die xy-Wo&nQ der Bereich E ist, zu definieren und zu berechnen.

Den Bereich P zerlegen wir wie in Nr. 578 in beliebige Teilbereiche z1E. Wir fassen einen von ihnen ins Auge, siehe Fig. 68, und errichten längs seines Randes den zur xy-Ebene senkrechten Zylinder. Außerdem wählen wir irgend einen Punkt Q von z/P aus, bestimmen den zugehörigen Punkt P der Fläche (1) und konstruieren die Tangentenebene von P. Der Zylinder schneidet aus der Tangentenebene ein ebenes Flächenstück z/P heraus. Verfahren wir so mit allen Teilgebieten z/P von E und bilden wir die Summe aller zugehörigen ebenen Flächenstücke z/P, so behaupten wir, daß diese Summe einen bestimmten endlichen Grenzwert hat, wenn alle Teilgebiete z/P nicht nur ihren Flächeninhalten nach, sondern auch in ihren linearen Ausdehnungen nach Null streben, wobei ihre Anzahl über jede Zahl wächst.

rig. 68.

In der Tat, nach dem zweiten Beispiele in Nr. 414 ist z/P gleich z/P, multipliziert mit dem Kosinus des Winkels, den die Ebene von z/P mit der #?/-Ebene bildet. Dieser Kosinus hat aber den Wert (3). Folglich ist

z/P= =Vp² + q² + lz/P

und also

(4)

=2y~pt + +1 z -E.

Nach Satz 10, Nr. 578, strebt die in (4) rechts stehende Summe, die über den ganzen Bereich E zu erstrecken ist, beim Grenz-übergange nach einem bestimmten endlichen Werte, nämlich dem des Doppelintegrals:

Wir haben also gefunden:

Satz 12: Eine Fläche sei durch die Gleichung

* = /*(«> y)

gegeben; ferner sei E ein Bereich der xy-Ebene, in dem die Funktion f nebst ihren beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung p = fx und q = fy die Forderung (£, Nr. 576, befriedigt. Teilt man den Bereich E irgendwie in Teilbereiche AE, errichtet man auf jedem den zur xy-Ebene senkrechten Zylinder und schneidet diesen Zylinder jedesmal mit der Tangentenebene eines innerhalb des Zylinders gelegenen Flächenpunktes P, so gehen auf diesen Tangentenebenen lauter ebene Flächenstücke A F hervor, deren Summe den bestimmten endlichen Grenzwert

Jj'Vp² + ü² + ¹ dxdy

hat, falls die Ausdehnungen aller Teilgebiete AE nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahl über jede Grenze wächst. Dabei ist die Quadratwurzel des Integranden positiv zu nehmen.

Nunmehr dürfen wir als Größe des betrachteten Stückes der krummen Fläche eben diesen Grenzwert definieren, wobei wir noch hervorheben wollen, daß dies eine stets positive Größe ist.

585. Grenzwert des Verhältnisses eines Flächenstückes zu seiner Projektion. Indem wir die bisherigen Bezeichnungen beibehalten, nehmen wir noch an, daß G der größte und K der kleinste Wert sei, den der Richtungskosinus Z in dem betrachteten Bereiche annimmt. Da dann

¹ < ¹ < ¹

G=~Z = K

oder

j^łV + 2a +

ist, folgen nach Satz 7, Nr. 576, für die Fläche

J'J*Vp² + q² + 1 dxdy

die Ungleichungen:

Wenn wir nun einen Punkt Q von E auswählen, dem ein gewisser Punkt P der Fläche entspricht, können wir annehmen, daß der Bereich E ohne Ende so verkleinert werde, daß er sich auf die Umgebung von Q zusammenzieht, wobei sich F auf die Umgebung von P auf der Fläche reduziert. Bei diesem Grenzübergange streben K und G nach demjenigen Werte, den Z an der Stelle P erreicht. Hieraus folgt der

Satz 13: Wenn in der Umgebung eines Punktes P oder (x, y, z) der Fläche z = f(x, y) die Funktion f und ihre beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung fx und f stetige Funktionen von x und y sind, strebt das Verhältnis aus einem Flächenstücke, dem der Punkt P angehört, und aus seiner Projektion auf die xy-Ebene nach dem reziproken Werte des Eichtungskosinus der positiven Normalen von P gegenüber der z-Achse, sobald die Ausdehnungen des Flächenstückes oder, was dasselbe ist, die seiner Projektion nach Null streben.

Hiermit sind auch die Betrachtungen in Nr. 318 gerecht

fertigt.

586. Komplanation mit Benutzung von Folar-koordinaten. Behalten wir die Voraussetzungen von Nr. 584 bei und führen wir Polarkoordinaten co, p in der xy-Ebene vermöge x = p cos ca und y = q sin ca ein, so können wir den Bereich F wie in Nr. 582 dadurch in Teilgebiete AE zerlegen, daß wir Strahlen von Anfangspunkte 0 aus und konzentrische Kreise um 0 legen, so daß A F nach (2) ebenda den Wert hat:

AE = qAcoAq 4- \Aco(Ap)².

Wie damals dürfen wir ja auch jetzt von den unvollständigen Teilvierecken an* Rande von E absehen. (Vgl. Nr. 575.) An der Stelle (co, p) des Gebietes AE hat der Richtungskosinus Z der positiven Normalen mit der z-Achse einen gewissen Wert, den wir in ca, p auszudrücken haben. Alsdann ist die gesuchte Fläche F nach Satz 12, Nr. 584, der Grenzwert der Summe

dm U o

sodaß

ist.

K<^<G

J «) Jq

[585, 586

Wie in Nr. 582 läßt sich auch jetzt beweisen, daß der letzte Summand den Grenzwert Null hat, so daß kommt:

=J*^ da dg.

JE

(1)

Es erübrigt also nur noch, hierin den reziproken Wert des Richtungskosinus, nämlich durch a und q auszudrücken. Dabei ist die Wurzel positiv und f die Koordinate z. Weil für z = f(x, y), als Funktion von a und q ausgedrückt:

= — fx sin 03 + fy cos 03

^ = fxC08G} +4 sin co,

ist (vgl. das Beispiel in Nr. 72), ergibt sich durch Quadrieren, Addieren und Hinzufügen der Eins:

(2)

Die Wurzel muß positiv sein, wenn q wie in Nr. 203 positiv angenommen wird. Aus der Formel (1) geht demnach die Oberflächenformel hervor:

(3)

j*]/p² + p²^² + zjda dQ.

587. Komplanation von Rotationsflächen. Wir

wenden die letzte Formel zur Berechnung der Oberfläche eines

Rotationskörpers an. Dabei ist es zweckmäßig, die z-Achse als Rotationsachse zu wählen. Es

\ möge also die in der #;z-Ebene \ y\ gelegene Kurve

(1)

* = f(X)

um die z- Achse rotieren.

P==l

Fig. 69.

Wir wollen* dabei nur das Kurvenstück von x = xQ bis x — X > xQ betrachten, siehe Fig. 69. Es erzeugt eine Zone F der Rotationsfläche. Ein beliebiger Punkt (x, z) des Kurvenbogens beschreibt einen Kreis, dessen Projektion auf die xy-Ebene 586, 587]

ein Kreis um den Anfangspunkt 0 mit dem Radius x wird. Folglich ist für einen beliebigen Punkt dieser Zone z = f{q), wenn wir in der xy-Ebene die Polarkoordinaten a, q einführen. Der zur Zone F gehörige Bereich E der #«/-Ebene liegt zwischen den beiden Kreisen um 0 mit den Radien x₀ und A; also kann p von x₀ bis X variieren, während die Amplitude a alle Werte von 0 bis 2n annimmt. Ferner ist wegen z==f(ç):

dz

⁰Q dQ

so

daß die Formel (3) der letzten Nummer liefert:

Q = A. (x) — & 7Z

I IS)V¹⁺^Ti)dadl>

oder, wenn wir q mit x bezeichnen:

d. h.

(2)

X    2 7t

F=ßVi+Wd--fd

x₀    0

X0

da,

² dx.

Ist s die Bogenlänge der Meridiankurve (1), gerechnet von x = x₀ an mit wachsendem x, so ist nach (1) in Nr. 193, worin jetzt y durch z ersetzt werden muß:

ds

dx

-l/î+

so daß also kommt:

(3)

x

= 2    :v^dx,

a-o

wenn man X > x₀ angenommen hat.

Vorausgesetzt ist hierbei, daß z = f(x) eine stetige Funktion von x sei und eine stetige Ableitung dz:dx habe, so daß also die Tangente der Meridiankurve (1) an keiner Stelle zur Drehungsachse parallel sein darf.

Wenn nun die Meridiankurve (1) dennoch an der zu X gehörigen Stelle eine zur z-Achse parallele Tangente hat, wird

[587

Wenn nun x eine stetige Funktion von s ist, ergibt sich:

(h

dz:dx dort unendlich groß, d. h. ds:dx unstetig. Folglich muß man jetzt das Integral (3) als Grenzwert behandeln:

X-t

F = 2 % lim

r

x₀

äs

dxdx’

wobei x positiv ist. Führen wir die Bogenlänge s statt x als unabhängige Veränderliche ein, und ist die Bogenlänge vom Punkte (æ₀) bis so kommt:

zum

Punkte (X) des Meridians (1) gleich S,

S— a

F =27t lim Çxds.

o = 0 t/

27t I xds,

so daß wir doch die Integration bis zu einem solchen Breitenkreise der Rotationsfläche ausführen können, für dessen Punkte die Tangentenebene der Drehachse parallel sind. Solche Breitengrade heißen Kehlkreise. Hat die Rotationsfläche mehrere Kehlkreise, so muß man die Zonen zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Kehlkreisen einzeln berechnen.

WTir nahmen oben X>x₀ an. Wäre X<Cx₀, so würde sich die Fläche aus (3) mit dem Minuszeichen ergeben.

588. Oberfläche des Rotationsellipsoids. Als Anwendung hiervon wollen wir eine Zone des Rotationsellipsoids berechnen, das durch die Drehung einer Ellipse mit den Achsen 2a und 2 b um die Achse 2 a entsteht. Diese Achse nehmen wir als die z-Achse an, so daß

94    10*

H l-o

a I «»

toi

1-A

o

p-

o>

*1

Cr⁴! a

c*;

to\

die Gleichung der Meridiankurve in der xz-Ebene ist. Hier kommt:

dz

dx

V&² — x*

so daß die Formel (2) der letzten Nummer liefert:

587, 588]

*y*V

xo

b⁴ + {a² — b²)x²

~b.

b² — x²

dx.

Dabei ist die Wurzel positiv und X > x₀ vorausgesetzt. Wir können uns beim Ellipsoid auf den Teil mit positiven Werten von z beschränken. Zu den Grenzen x₀ und X gehören alsdann positive Werte z₀ und Z, aber es ist jetzt Z < z₀, siehe Fig. 70.

Wenn wir vermöge (1) die neue Veränderliche z statt x im Integral einführen, ergibt sich ein von z₀ bis Z erstrecktes Integral mit dem Minuszeichen. Vertauschung der Grenzen liefert:

fx

Fig. 70.

F=2it\

a²

rj*]/a⁴ — (a² — b²)z² dz

z

(*o ^ Z)-

Die Oberfläche derjenigen Zone des Ellipsoids, die zwischen der x y -Ebene und der zu ihr parallelen Ebene in beliebiger Höhe z<ia liegt, wobei #>0 sein soll, ist hiernach:

(2)

F=2%K

a²

J y'a⁴ — (a² — b²)z² dz,

o

wobei die Wurzel positiv ist.

Die Fälle a > b und a <6 sind nach Nr. 436 zu unterscheiden. Ist a > b, entsteht also das Ellipsoid durch Botation der Ellipse um ihre Hauptachse, so ergibt die Auswertung des Integrals (2):

F = ^jjzya⁴ — (a² — b²)z² -f

%a²b

arc cös

]/a⁴ — (a² — b²) z²

a²

]/a² — b²

Dabei sind alle Wurzeln positiv, und der Arkus gehört dem Intervalle von 0 bis jc an. Die ganze Oberfläche geht hervor, wenn wir z = a setzen und F verdoppeln. Es ergibt sich der Wert:

2nb² +

2na²b

Ya² — b²

arc cos — •

Ferner geht für b — a und 8 = a aus (2) der bekannte Wert 4na² für die Oberfläche der Kugel vom Radius a hervor., Ist drittens a < b, so entsteht das Ellipsoid durch Rotation der Ellipse um ihre Nebenachse, und es kommt:

E=⁷^8}/a4: + (b² — a²)z² 4

nba²

, 2 ]/fea — a * -j-Ya⁴ -f (&* —

as

l/b² — as

Für 8 = a ist 2F die ganze Oberfläche des Ellipsoids, nämlich

2nba²    &-)-)/&*—a²

yw^a² «

2nb² 4-

589. Die G-uldiusche Regel für die Oberflächen von Rotationskörpern. Wie in Nr. 567 erwähnen wir hier ohne nähere Begründung, die wir uns Vorbehalten (siehe Nr. 602), daß derjenige Punkt, den man in der Mechanik als den Schwerpunkt einer Kurve

8 = f{x)

in der ir^-Ebene im Intervalle von xQ bis X definiert, die Abszisse hat:

Hierin soll s die Bogenlänge der Kurve von der Stelle x = x0 an bedeuten und S die Gesamtlänge von x = x₀ bis x = X sein. Das hier auftretende Integral ist nun nichts anderes als das in der Formel (3) oder (4) von Nr. 587, so daß sich für die Rotationsfläche des betrachteten Kurvenstückes ergibt:

F=*2ni.S.

Diese Formel enthält die Guldinsche Regel. Nach ihr ergibt sich die Oberfläche eines Rotationskörpers gleich der Fläche desjenigen Rechtecks, dessen eine Seite gleich der Länge der Meridiankurve und dessen andere Seite gleich der Länge des Weges ist, den der Schwerpunkt der Meridiankurve bei der Drehung beschreibt.

590. Flächeninhalte sphärischer Dreiecke. Um den

Anfangspunkt 0 als Mittelpunkt legen wir die Kugel vom

588, 589, 590]

Radius Eins, siehe Fig. 71. Sie werde von der positiven x-Achse in A getroffen, und es sei G ein Punkt auf dem in der xy-Ebene gelegenen größten Kreise. Auf demjenigen größten Kreise, der durch C geht und die #-Achse zum Durchmesser hat, werde ein Punkt B angenommen. Dann werde der größte Kreis durch A und B gelegt. So entsteht ein allgemeines rechtwinkliges sphärisches Dreieck ABC. Der rechte Winkel hat den Scheitel C. Wir wollen die Fläche F des sphärischen Dreiecks berechnen.

Pt b

Fig. 71.

Die Projektion des Kreisbogens AB auf die xy-Ebene ist ein Ellipsenbogen, die des Kreisbogens BC dagegen ein Teil des Radius OC. Die Projektion E der Fläche F wird also von einem Kreisbogen, einem Ellipsenbogen und einer Strecke eingeschlossen. Ist a der Winkel des sphärischen Dreiecks bei A, so hat die Ebene A OB die Gleichung z = y tga. Setzen wir diesen Wert von z in die Gleichung x² -J- y² -f- z² — 1 der Kugel ein, so ergibt sich die Gleichung

cos²«

x² +

der Ellipse. Sie lautet in Polarkoordinaten co, p:

cos a

® yi — sin²« cos²oo,

während für die Punkte der Kugel z — ]/l — p² ist.

Es möge h die Seite AG des sphärischen Dreiecks, also der Winkel AOG sein, so daß co im Bereiche E von 0 bis h variiert. Ein Strahl in der x y-Ebene von 0 aus mit der Amplitude a trifft die Ellipse und den Kreisbogen AC in Punkten mit den Radienvektoren:

Pi -1-

Qo

cos a

]/l — sin²« cos²©’ Serret-Sclieffers,I)iff.-u.Integral-Rechnung. II. 4.u.5.Aufl.    25

Wegen 0 =]/l — q² gibt die Formel (3) von Nr. 586 als Fläche des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks:

yi-

-da =j —yi — q

0

_ Qo

also nach (1):

6

-I

0

sin cc sin a

y 1 — sin²« cos²ca

d 03.

Unbestimmte Integration liefert — arc sin (sin a cos co) + konst., so daß kommt:

F = a — arc sin (sin a cos b).

Dabei ist der Arkus zwischen —und -J- zu wählen. Nach den Formeln der sphärischen Trigonometrie ist aber sin a cos b gleich dem Kosinus des Winkels ß des Dreiecks in B, so daß sich schließlich

F = cc + ß —

ergibt. Da der dritte Winkel y des Dreiecks ABC gleich ist, folgt, daß F gleich dem sphärischen Exzeß ist, nämlich gleich dem Überschüsse der Winkelsumme des Dreiecks über it.

Da jedes sphärische Dreieck durch eine seiner Höhen in zwei rechtwinklige zerlegt werden kann, ist es ein Leichtes, weiter zu folgern, daß das letzte Ergebnis in jedem sphärischen Dreiecke gilt.

591. Komplanation eines gewissen Kugelteiles.

Außer der Kugel

sei in der xy-Ebene die algebraische Kurve vierter Ordnung gegeben :

(i)

2x²(x² + y²) — 3(x² — y²) = 0.

Auf ihr werde der gerade Zylinder errichtet. Er schneidet aus der Kugeloberfläche ein Gebiet aus, dessen Größe bestimmt werden soll.

In Polarkoordinaten to, q hat die Kurve (1) die Gleichung:

^ = >/K¹-tg²«),

aus der man leicht sieht, daß die Kurve eine schleifenförmige Gestalt ungefähr so wie die Lemniskate hat (siehe Nr. 534,

590, 591] insbesondere Fig. 29). Sie ist jedoch keine Lemniskate. In Fig. 72 ist sie ebenso wie der größte Kreis der Kugel in der xy-Ebene gezeichnet. Es handelt sich zunächst um die Komplanation desjenigen Teiles der Kugel, dessen Projektion auf die xy-Ebene das in Fig. 72 schraffierte Gebiet E ist, denn die Kurve (1) ist in bezug auf die x-Achse symmetrisch.

'4*

'jjt

Ein Strahl von 0 aus

Fig. 72.

trifft den Bereich E nur dann, wenn seine Amplitude a dem Intervalle von 0 bis angehört, und zwar trifft er den Kugelkreis, sobald oo < -jrjr ist, dagegen die Kurve (1), sobald a > ~jt ist. Wenn wir also zuerst hinsichtlich q, dann hinsichtlich a integrieren, sind als Grenzen für q die Werte 0 und 1 im Falle eo < zu wählen, dagegen die Grenzen 0 und

(2)

Ql “ VU¹- tg2ßJ) im Falle eo >-|jr. Außerdem ist die Kugelhöhe z wie im vorigen Beispiele gleich ]/l — p², so daß das Integral, abgesehen von den Grenzen, dasselbe wie damals ist. Es ergibt sich also die Fläche:

yi -9*

dg

tÄr- Pi

⁺f

4r7t L 0

dg da

d. h. mit Rücksicht auf (2):

1-71

— \)da

=Jda + J( 1 -j/ftg²«

⁰ **

;² ca — i da.

ł*

Der letzte Integrand läßt sich zerlegen in:

2 COS 03

A 1

2 Costco

Y%t g*«»—-J-    |/2 sin² co — A

so daß das Integral mittels der Substitutionen tg co = t bzw. sin co = t leicht auszuwerten ist. Es kommt:

F=\n—[]/fln(tgco +]/ tg² co— )—]/21n(sinco+')/sin²co— j)] = W-f*}/21n(l +"|/2) —]/|-ln(]/2 -f]/3).

mH

ł*

Hierin sind alle Wurzeln positiv. Das achtfache dieses Wertes ist der Betrag des gesamten Flächenstückes, das der zu Anfang erwähnte Zylinder aus der Kugel ausschneidet.

592. Komplanation des allgemeinen Ellipsoids.

Da in der Formel für die Oberfläche:

J j Vp² + q² + 1 dx dy, ■ Ś'

siehe Satz 12, Nr. 584, eine Quadratwurzel auftritt, ist die Komplanation, allgemein geredet, eine schwierigere Aufgabe als die Kubatur, und es hängt viel davon ab, daß man das Integral in geeigneter Weise zu vereinfachen sucht. Man kann dabei von dem Umstande Gebrauch machen, daß sich die Doppelintegrale nach Nr. 578 allgemeiner auffassen lassen, indem man sie als Grenzwerte von Summen betrachtet, bei denen der Integrationsbereich in einer dem gerade vorliegenden Probleme angepaßten Weise in Teilbereiche zerlegt wird.

Insbesondere kann man das Flächenstück F, dessen Komplanation ausgeführt werden soll, so zerlegen: Der Ort derjenigen Punkte der Fläche, deren Normalen denselben Richtungskosinus Z hinsichtlich der z-Achse haben, ist eine gewisse Kurve auf der Fläche. Wir denken uns solche Kurven, die zu verschiedenen konstanten Werten von Z gehören, in beliebiger Anzahl auf der Fläche F gezogen. So mögen zu den Werten Z und Z -f- AZ die Kurven c und cx gehören, und es seien c' und cj die Projektionen dieser beiden Kurven auf die xy-Woene, also im Integrationsbereiche E des Doppelintegrals. Den Streifen zwischen c' und ci können wir durch Querlinien in 591, 593] beliebig schmale krummlinig begrenzte Vierecke AE zerteilen. In jedem dieser Vierecke wählen wir als Punkt Q, von dem in Nr. 578 und auch in Nr. 584 die Rede war, einen Punkt auf der Kurve c, so daß zu allen diesen Punkten derselbe Wert Z gehört. Zu der Summe siehe (4) in Nr. 584, tragen die betrachteten Vierecke AE zwischen c' und c'i den Summanden

bei, worin ^AE der Inhalt des ebenen Flächen Streifens zwischen c' und c\ ist. Dieser Streifen, der nach Null strebt, wenn AZ nach Null strebt, möge die Fläche AG haben. Alsdann ist also das Doppelintegral der Grenzwert

(i)

I = lim ,

der hervorgeht, wenn alle Unterschiede AZ zwischen aufeinanderfolgenden Werten von Z, die zur Definition der Kurven c, c₁ usw. dienten, nach Null streben.

Diese Methode wollen wir in dem Falle des allgemeinen

Ellipsoids

(2)

a² t £2 r cs

anwenden. Nach der dritten Formel (8) in Nr. 253 ist hier:

¹

Tt R

==J*[jioe~f dg 0 0

e*

yi

(3)

b* +

Durch Elimination von z aus (2) und (3) geht die Gleichung

a² — (a² — c²)Z'

₂ .    6²-(&²-C²)Z²    2    1

a\ 1 — Z²)

x +    &4(i _Z2) y i

hervor. Dies ist also die Gleichung der Projektion c derjenigen Kurve c auf dem Ellipsoid, längs derer der Richtungskosinus Z einen und denselben Wert hat. Man sieht, daß c eine Ellipse ist. Die Fläche co dieser Ellipse ist nach Nr. 220:

[59a

na³b³(l — Z³)

(4)

£0 = ■ ■ ■ .......... — ■ - --......... •

y a³ — (a* — C*)Z³ y b³ — (&* — c*)ZZ

Wächst Z um z/2T, so werden die Achsen der Ellipse kleiner, so daß der Zuwachs z/co von o negativ wird. Hier ist also — z/ co die vorhin mit z/ G bezeichnete Größe der Fläche zwischen den zu Z und Z -j- z/ Z gehörigen Ellipsen c und c\, so daß die Formel (1) für die Fläche des Ellipsoids gibt:

Wir beschränken uns auf diejenige halbe Oberfläche des Ellipsoids, für die z positiv ist. Für sie geht Z von 0 bis 1, denn die Normalen derjenigen Punkte des Ellipsoids, die in der #;?/-Ebene liegen, sind zur ^-Achse senkrecht, während der höchste Punkt (z — c) des Ellipsoids auf der z-Achse diese Achse selbst zur Normalen hat. Folglich ist die ganze Oberfläche des Ellipsoids gegeben durch:

(5)

-/

1 da

Z ~Jz

dZ,

also durch ein einfaches Integral. Die Veränderliche des Inte-granden ist hier Z und für dco : dZ ist der Wert der Ableitung von (4) einzusetzen. Strenggenommen hat man dies Integral als einen Grenzwert zu behandeln, indem man die untere Grenze Null zunächst durch eine beliebig klein gewählte positive Zahl ersetzt, die man dann nach Null streben läßt. Indem wir aber statt Z eine zweckmäßige andere Veränderliche cp einführen, wird der Grenzübergang unnötig:

Wenn wir a > b > c voraussetzen und die Bezeichnungen

c

cos ii = — , sm g =

a³ (b³ — c³)

b³ (a³ — c³)

y a³ — c³

d. h.

c = b ]/l — ft²sin² g

gebrauchen, wobei alle Wurzeln positiv sein sollen und g auf den Quadranten von 0 bis beschränkt werden kann, wird diese neue Veränderliche cp durch die Substitution

sin qp sin g

(6)

definiert. Da Z von 0 bis 1 gebt, können wir yorschreiben, daß cp yon 0 bis p, wächst, so daß wir statt (5) erhalten:

(7)

F=-

dco d(p dcp sin 9’

während nach (4) und (6)

«s

(8)

co = 7t ab

cos cp j/l — Æ² sin² cp

wird. Um die Einführung von dco: dcp in (7) in zweckmäßiger Weise zu leisten, bemerken wir, daß nach (8):

d a , ca

= d---b

smqp

= d-—b % ab

smgp

sin cp

ca cos cp

sin² cp

dcp

dcp

Tcasb

dcp

sin²qpyi—ft² sin² <p a*~ c*)/l— Æ² sin² cp

ist. Diesen Wert formen wir noch etwas weiter um. Es ist nämlich

dcp

sin² cpyi — £²sin²gp

_ _ ^ 0OMpV^-rsin>    ä

sin cp    '    T T

dcp

yi — Æ² sin² cp ’

so daß kommt:

dco

sin cp

— Ttab

cos cp Y1 — Æ² sin² cp

sin cp

^ — 7tab]/l — A:²sin² cp dcp

dcp

Demnach liefert (7):

nabe* a²—c² yi— Je* Bin² cp

F= -

CN | 8

¹    Lsin

— nab

cos cp y 1 — &² sin² 9 J¹“

sin 9

________ n ____________________

~b 2jt&]/tt² — c² / ]/l — tfsivdcpdcp -f

o

y

]/a²—c\J j/i — &²sin²9

0

2n 5c²

dcp

Nach (8) ist

nun

ca

cos 9"bl — Ä:²sins9

na

tgcp { a²(&² — c²)cos²9 —

sin 9

_o b(ai—c²) L

yi — &² sin* 9

-Jo

also gleich — jrac² : ]/a²— c², so daß sich ergibt:

[(a²-c²)E(Je, (i) + c* F (Je, yÿ\,

(9) F=2itc² +

ÿas — c²

wenn wir die in Nr. 546 eingeführten Bezeichnungen für die elliptischen Integrale benutzen. Diese Formel für die Oberfläche des Ellipsoids rührt von Legendre her.

daß sich die Integrale nach

so

Im Falle & = c < a liegt, ein verlängertes Rotationsellipsoid und im Falle a = b > c ein abgeplattetes vor. In diesen Fällen wird Je = 0 bzw. 1,

Nr. 449, 450 elementar auswerten lassen. Wir kommen dadurch zu den Ergebnissen, die schon in Nr. 588 gefunden wurden.

§ 5. Einführung neuer Veränderlicher in Doppel-integralen.

593. Stetige Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene. Wir haben die Absicht, zu untersuchen, wie sich ein vorgelegtes Doppelintegral darstellen wird, wenn darin statt x, y neue Veränderliche u, v vermöge zweier Gleichungen

(i)

«— #(*,</), '® - v{x,y)

eingeführt werden. Dabei ist es zweckmäßig, diese Aufgabe zunächst geometrisch zu erfassen, weshalb wir uns vorläufig nur mit den beiden Gleichungen (1) beschäftigen.

Wir verstehen unter x, y rechtwinklige Koordinaten in einer Ebene und unter u, v rechtwinklige Koordinaten in einer anderen Ebene. Wenn und W in einem gewissen Variabilitätsbereiche stetig sind, wird der Bereich durch ein Gebiet in der #i/-Ebene dargestellt. Nach (1) läßt sich alsdann zu jedem Punkte (x, y) dieses Bereiches ein Punkt (w, v) in der zweiten Ebene konstruieren. Dabei kann es Vorkommen, daß zwei verschiedene Punkte (x, y) zu demselben Punkte (w, v) führen. Dies können wir dadurch vermeiden, daß wir den Bereich in der xy-Ebene hinreichend verkleinern, so daß zu jedem Punkte (x, y) des Bereiches nur ein Punkt (u, v) der zweiten Ebene gehört und damit ein Bereich in der zweiten Ebene gewonnen 592, 593] wird derart, daß zu jedem Punkte (u, v) dieses Bereiches nur ein Punkt (x, y) der ersten Ebene gehört. Wir kommen so zu einem solchen Bereiche in der #?/-Ebene, in dem die Gleichungen (1) einwertig auflösbar sind:

(2)

x = cp(u, v), y = ÿ (u, v).

Wir setzen nun für die Folge voraus:

Erstens: Die Funktionen cp und t1> und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung cpu, cpv, fu, sollen in dem betrachteten Bereiche der Wertepaare u, v stetig sein.

Zweitens: Die Funktionaldeterminante von cp und 4>, nämlich

2) =

<Pu<P,

soll ebenda von Null verschieden sein.

Da 2) nach der ersten Voraussetzung stetig ist, besagt die zweite, daß 2) überall im Bereiche einerlei Vorzeichen hat. Ferner sind danach cp und ift voneinander unabhängige Funktionen, siehe Satz 4, Nr. 80. Wir setzen ferner voraus:

Brittens: Jedem Wertepaare des Bereiches der u, v bzw. des Bereiches der x, y entspreche infolge der Gleichungen (2) bzw. ihrer Auflösungen (1) nur ein Wertepaar des andern Bereiches.

Nur falls diese Voraussetzungen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit, Unabhängigkeit und Einwertigkeit erfüllt sind, wollen wir die durch (2) bzw. (1) vermittelte Abbildung der beiden Bereiche eine stetige Abbildung nennen.

Es mag hierbei hervorgehoben werden, daß x, y und ebenso u, v nicht notwendig rechtwinklige Koordinaten bedeuten müssen; es könnten auch andere Koordinatensysteme, wie z. B. Polarkoordinaten oder schiefwinklige Koordinaten, verwendet werden. Allerdings werden wir meistens unter x, y und u, v rechtwinklige Koordinaten in den beiden Ebenen verstehen.

Von zusammengehörigen Stellen (x, y) und (u, v) heiße die eine der Bildpunkt der andern.

594. Eigenschaften im Kleinen für die stetige Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene. Werden

[593, 594

unter den in voriger Nummer gemachten Voraussetzungen zwei Punkte (u, v) und (u + Au, v -f- Av) der einen Ebene ausgewählt, so gehören zu ihnen zwei Punkte (x, y) und (x-\- Ax, yĄ-Ay) der andern Ebene. Dabei ist:

(i)

Ax = cp(u -f Au, v -f- Av) — q>(u, v),

A y = ih(u -f Au, v + Av) — ip(u, v).

Bedeutet <3 irgend eine beliebig kleine positive Zahl, so sei unter der Umgebung (p) der Stelle (u, v) der Bereich derjenigen Punkte (u + Au, v -f- Av) verstanden, für die | Au | < 6, | Av | < <3 ist. Eine entsprechende Ausdrucksweise benutzen wir für die #?/-Ebene.

Ist nun x eine beliebig gewählte positive Zahl, so gibt es nach Satz 4, Nr. 575, zwei positive Zahlen <3₁ und <?₂ derart, daß aus | Au | <    | Av | < <3X folgt: | Ax \ < r, und

daß aus | Au | < <?₂, | Av | < <?₂ folgt: | Ay \ < t. Wählen wir als die Zahl 6 die kleinere der beiden Zahlen <sx und U₂, so schließen wir hieraus:

Zu jeder vorgegebenen beliebig kleinen positiven Zahl x gibt es eine positive Zahl 6 derart, daß überall im Bereiche der Punkt (x -j- Ax, y + Ay) in der Umgebung (t) der Stelle (x, y) liegt, sobald der Punkt (u + Au, v Av) in der Umgebung (u) der Stelle (u, v) gewählt wird.

Denn wenn g den größten Wert bezeichnet, den die absoluten Beträge der Ableitungen cpu, <pv, 4>u, il>g überhaupt im Bereiche annehmen, und | Au | < 6, | Av | < ö gewählt wird, sind | Ax \ und

Statt x kann auch <3 vorgegeben sein.

wenn

| A y | nach dem Mittelwertsatze 28, Nr. 137, nicht größer als die Beträge, die den Summen

6 bzw.

zukommen, d. h. nicht größer als 2g<3. Wählen wir also x größer als 2g<3, so zieht die Annahme, daß der Punkt (u-\-Au, v -f- Av) in der Umgebung (<?) der Stelle (u, v) liegt, wieder nach sich, daß der Punkt (x Ą-Ax, y -f A y) in der Umgebung (t) der Stelle (x, y) liegt.

Zu einer beliebig vorgegebenen positiven Zahl r oder 6 gibt es also eine zweite positive Zahl 6 oder r derart, daß allen Tunkten in der Umgebung (p) der Stelle (ii, v) nur solche

Punkte entsprechen, die in der Umgehung (t) der Stelle (x, y) gelegen sind.

Bedeuten x, y und u, v z. B. rechtwinklige Koordinaten, so sind die beiden Umgebungen umrandet von Quadraten, deren Mitten die Stellen (x, y) und (u, v) sind und deren Seiten den Achsen parallel laufen und die Längen 2t und 2<5 haben.

ht

rer*

t—*

JC

Fig. 73.

Das Ergebnis besagt daher, daß das Innere des Quadrates (o) der wt;-Ebene abgebildet wird als ein Teil des Quadrates (t) der xy-Ebene. Siehe Fig. 73, worin wir diesen Teil durch Schraffieren hervorgehoben haben.

Wir behaupten nun, daß dieser Teil die Stelle (x, y) völlig umschließt, d. h. daß die Stelle (x, y), die ja selbst dem Teile sicher angehört, nicht an seinem Rande, wie etwa in Fig. 74, oder gar für sich liegt. In der Tat: Andern-    ^

Qm

falls gäbe es eine Stelle Q g-------

Cf*

oder (x + Ax, y + /!y) beliebig nahe bei der Stelle

(x, y) derart, daß der Bild- —l-

Ti g. 74.

punkt Q' oder (u -J- Au, v -j- Av) außerhalb des Quadrates (tf) läge wie in Fig. 74, d. h. zwei Stellen (u, v) und (u-{-Au, v-\-Av) der wv-Ebene, für die | Au | oder \Av\ größer als <5 ist, hätten Bildpunkte, die beliebig nabe beieinander liegen und zwar für einen endlichen Wert von cs. Daher würden zwei verschiedene Stellen der wv-Ebene denselben Bildpunkt (x, y) haben. Dies widerspricht der dritten Voraussetzung in Nr. 593.

Derjenige Teil der Umgebung von (r) also, in dem alle Bildpunkte der Umgebung (o) der Stelle (u, v) liegen, enthält die Stelle (x, y) in seinem Innern. Es gibt mithin eine kleinere Umgebung (tr) derart, daß allen Punkten in der Umgebung (V) der Stelle (x, y) nur Punkte in der Umgebung (<?) der Stelle (u, v) entsprechen.

Zu jeder vorgegebenen beliebig kleineu positiven Zabi 6 gibt es demnach eine positive Zahl x' derart, daß ans \Ax\<Cx', I I < r' stets | diu | < ö, I Av | < 6 folgt.

Da es in unserem Belieben steht, x' noch kleiner zu wählen, folgt schließlich:

Satz 14: Bei stetiger Abbildung der xy-Ebene auf die uv-Ebene gibt es zu einer beliebig Mein gewählten positiven Zahl 6 oder t stets eine positive Zahl x bzw. 6 derart, daß allen Stellen in der Umgebung (t) einer bestimmt angenommenen Stelle der einen Ebene nur Stellen in der Umgebung (o) des BildpunMes in der andern Ebene entsprechen.

595. Entsprechen der Richtungen bei stetiger Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene. Bei dieser Gelegenheit wollen wir eine Eigenschaft der stetigen Abbildung erörtern, die allerdings erst später benutzt werden wird. Nach (1) in voriger Nummer ist:

dy

(i)

lp(u -f- du, V -\- dv) — v)

dx

Cp(u 4“ du, V -j- dv) — tp(u, V)

Es gibt nun nach dem Mittelwertsatze 28, Nr. 137, positive echte Brüche 6 und derart, daß der Zähler gleich

j^xhiu -\- 6Au, v -f- 6Av) .Au-\-~xl>(u -j- 6Au, v -f QAv) . Av

und der Nenner gleich

d    d

+ & Au, v -f- ftAv) .Au -f- cp(u-\-ftAu, v -f ftAv). Av

ist, so daß dann die rechte Seite von (1) homogen von militer Ordnung in bezug auf die auftretenden Faktoren Au und Av wird. Wir lassen nun den Punkt (u -f Au, v -\- Av) nach der Stelle (u, v) derart hinwandern, daß die Richtung von (u, v) nach (u -f Au, v -f-Av) einer bestimmten Grenzlage zustrebt, d. h. wir lassen Au und Av derart nach Null streben, daß entweder das Verhältnis Au:Av oder das reziproke Verhältnis Av : Au einen bestimmten endlichen Grenzwert hat. Den Grenzwert von Av: Au werden wir unter Benutzung der Differentiale du und dv mit dv:du bezeichnen. Alsdann folgt, da cpu, cpv, xl>u, thv nach Voraussetzung stetig sind, daß Ay:Ax dem Grenzwerte zustrebt:

594, 595]

dy_ ₌ ißudu + ipvdv _ dx cpudu cp₀ dv

00

Sind x, y und u, v insbesondere rechtwinklige Koordinaten, so ist der Grenzwert dy:dx der Tangens des Winkels a, den eine vom Punkte (x, y) ausgehende Richtung mit der positiven x- Achse bildet. Ebenso ist der Grenzwert dv:du der Tangens des Winkels ß, den eine vom Punkte (u, v) ausgehende Richtung mit der positiven u- Achse bildet. Zwischen diesen beiden Tangens besteht nach (2) die Beziehung:

(3)

t g« =

Vu + % tg ß

+ <PV tg/?'

Sie ist nicht frei von tg ß, denn sonst müßte (pu: <pv = ihu'ißv, d. h. die Funktionaldeterminante ® entgegen der zweiten Voraussetzung in Nr. 593 gleich Null sein. Wir können die Gleichung

(3) von dem Nenner befreien. Es ergibt sich alsdann der Satz 15: Bei einer stetigen Abbildung x = cp(u,v), y = '4>(u, v) einer xy-Ebene auf eine uv-Ebene entsprechen allen von einem Funkte der einen Ebene ausgehenden Richtungen diejenigen Richtungen, die von dem Bildpunkte ausgehen, in der Weise, daß zwischen den Bestimmungsstücken dy:dx und dv.du der beiden Richtungen die bilineare Gleichung besteht:

» i § '■Ö I"« Ssil «

'•ö l^s

ąy

cia:

dv

— ib • -j--ib — 0,

die sowohl nach dy:dx als auch nach dv:du auflösbar ist.

Infolge von (3) ist tg a eine linear gebrochene Funktion von tg ß allein, sobald wir u und v als bestimmt gewählt betrachten, und sie hat bei dieser Annahme die Ableitung:

%, (v+ vv tgj) -fpv (yu +^tgp) (^+9,% ß)²

d tg cc dtg~ß~

oder:

d tg cc

dtgß~ (qp^-f qDptg ßy'

Diese Ableitung hat dasselbe Vorzeichen wie die Funktional-determinante 2), die ja nach Nr. 593 überall im Bereiche positiv oder überall im Bereiche negativ ist. Nach Satz 9, Nr. 30, folgt, daß a mit ß wächst oder abnimmt, je nach-

[595

dem 2) positiv oder negativ ist. Daher heißt die Abbildung gleichsinnig, wenn $D>0 ist, und ungleichsinnig, wenn ®<0 ist. Umläuft ein Punkt eine Stelle (x, y) der einen Ebene im positiven Sinne, so umläuft sein Bildpunkt die Bildstelle (u, v) in der andern Ebene im positiven oder negativen Sinne, je nachdem 5) > 0 oder < 0 ist, vorausgesetzt, daß der erste bewegliche Punkt in einer hinreichend kleinen Umgebung der Stelle (x, y) verbleibt.

596. G-renzwert des Verhältnisses zweier Dreiecks

inhalte hei stetiger Abbildung. Außer der Stelle (u, v) betrachten wir noch zwei zu ihr benachbarte Stellen (u-\-Axu, v 4xv) und (u -f- <d₂u, v Ą- /i₂v). Das Dreieck, dessen Ecken die Punkte in dieser Reihenfolge sind, hat, falls u,v rechtwinklige Koordinaten bedeuten, nach dem Beispiele in Nr. 530 den Flächeninhalt ~(^JxuxJ₂v— zJ₂u Axv).

Zu den drei Punkten gehören Bildpunkte in der xy-Ebene, die wir entsprechend bezeichnen und deren Dreieck den Flächeninhalt j(Axx A₂y — A₂x Axy) hat, so daß das Verhältnis beider Flächen gleich

(i) wird. Hierin ist :

(*=i, 2).

= cp(u -f- A{u, v -j- Atv) — cp(u, v),

A\y = ih(u + A^, v + Atv) — il>(u, v)

Nach dem Mittelwertsatze 28, Nr. 137, läßt sich dafür schreiben :

A{x = — q)(u -f- 0^w, v    • Atu -f-

g

+ JÏ⁽P(U + ⁶i^iu> v + ⁶i^iv) • ^iv>

= du^(u +    v +    • Afu +

g

+    + &i^iU, V + ^i^iV) ⁻ ^iV7

wobei dx, 0₂, frx, positive echte Brüche bedeuten. Wir setzen diese Werte in (1) ein und dividieren dann Zähler und Nenner mit AxuA₂u. Lassen wir alsdann Axu, Axv, A₂u, A₂v nach Null streben, doch so, daß die Brüche Axv:Axu und

595, 596]

zf₂v:A₂u (oder ihre reziproken Werte) zwei verschiedene bestimmte endliche Grenzwerte dyv:dxu und d₂v:d₂u (bzw. die reziproken Werte) erreichen, so kommt, weil die Ableitungen von cp und cjj stetig sind:

lim & = (pu^v-^u(pv=

Wir können daher sagen:

Satz 16: Vermitteln die Gleichungen x = cp (u, v), y = cp (u, v) eine stetige Abbildung einer Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y auf eine Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten u, v und sind P, P1} P₂ drei Punkte der ersten Ebene und P', Pi, Pi ihre Bildpunkte, so ist der Grenzwert des Verhältnisses der Inhalte der beiden geradlinigen Dreiecke PPXP₂ und P'Pi P2 gleich dem Werte der Funktionaldeterminante cpu tk₀—tu<pv, gebildet für die Stelle P', sobald Pi und P'₂ so nach P' streben, daß den Bichtungen der Seiten P'Pi und P'P₂ zwei verschiedene bestimmte Grenzlagen zukommen.

Da wir ein ebenes Flächenstück, das sich in einen Punkt zusammenzuziehen strebt, in lauter Dreiecke zerlegen können, deren Seiten um so weniger von geraden Linien abweichen, je stärker die Zusammenziehung geworden ist, so könnten wir aus dem Ergebnisse den Schluß ziehen, daß das Verhältnis der Fläche eines Stückes der a^-Ebene zur Fläche des entsprechenden Stückes der wv-Ebene nach SD strebt, wobei SD für diejenige Stelle (u, v) zu bilden ist, nach der hin sich das zweite Stück zusammenzieht.

Dieser Schluß ist allerdings nicht streng. Wir werden später sehen, daß das Ergebnis richtig ist (in Nr. 599).

597. Das Problem der Transformation der Doppelintegrale. Nach diesen Vorbereitungen stellen wir uns die Aufgabe, in einem Doppelintegrale

(i)

*=JJf(x,y)dxdy,

J5T

erstreckt über einen Bereich E, die neuen Veränderlichen u, v einzuführen, die mit x, y durch die Gleichungen

(2)

x = cp (u, v), y = ih (u, v)

verbunden sind.

Dabei setzen wir voraus, daß die Funktion f(x, y) in dem Bereiche E die Forderung Nr. 576, erfülle. Außerdem setzen wir voraus, daß E jenem Bereiche von Wertepaaren x, y oder von Punkten (x, y) der xy-Ebene angehöre, für den die in Nr. 593 formulierten drei Voraussetzungen gelten.

Die gestellte Aufgabe hat eine einfache geometrische

Deutung:

Denken wir uns E in eine Anzahl Teilbereiche /IE zerlegt und in jedem einen Punkt Q gewählt, so ist V nach Satz 10, Nr. 578, als Grenzwert der Summe aller Produkte fąAE aufzufassen, wobei fą den Wert von f für den Punkt Q bedeutet und der Grenzübergang in der Weise zu bewerkstelligen ist, daß die Ausdehnungen aller Teile AE nach Null streben. Jeder Stelle (x, y) des Bereiches E entspricht nun eine Stelle (u, v) der wv-Ebene, dem gesamten Bereiche E also ein Bereich E' der wv-Ebene und jeder Zerteilung von E in Gebiete AE eine Zerteilung von E' in Gebiete AE'. Ferner entspricht der Stelle Q von AE eine Stelle Q' von AE' Wir wollen annehmen, Q' habe die Koordinaten u, v, und es sei schon der Wert bekannt, nach dem das Verhältnis

AE : AE’ strebt, sobald sich AE’ auf die Stelle Q' sammenzieht. Dieser Grenzwert wird eine Funktion co von u und v sein:

zu-

(3)

lim

JE

/iE'

= CO (u, V).

Alsdann ist:

lim fą^E == lim fą(o (u, v)AE'.

Wenn Q die Koordinaten x, y hat, so daß fą den zugehörigen Wert f(cc, y) bedeutet, folgt tion von u und v:

(4)

aus

(2), daß fą gleich der Funk-

gebildet für die Stelle Q', ist. Also gibt (4):

lim lEfqAE = lim 2Fq,g)(u. v)AE'

oder:

ff f{x, y) dx dy    v) » (*, ,) dudv.

E    £’

§ 5. Einführung neuer Veränderlicher in Doppelintegralen. 401 Die gestellte Aufgabe wird also zu einer Formel

(5)

JJf(x, y)dxdy =J J*f(<p, if) ca (u, v) dudv

K'

führen, in der sich das rechtsstehende Doppelintegral auf den Bereich E' der tcv-Ebene bezieht. Sein Integrand ist das Produkt der alten Funktion f\ geschrieben in u und v, mit einer allerdings vorerst noch unbekannten Funktion œ (u, v).

Wenn wir in jedem Punkte (x, y) auf der xy-Ebene das Lot von der Länge

* = f(?, y)

(6)

errichten und ebenso in jedem Punkte (u, v) auf der wu-Ebene das Lot von der Länge

(7)

w = co (u, v)f[q> (u, v), ^ (u, v)],

ergeben sich zwei krumme Flächen im xyz-Raume bzw. uvw-Raume, wobei x, y, z und u, v, w rechtwinklige Koordinaten sein sollen. Nach Nr. 579 stehen die beiden krummen Flächen wegen (5) alsdann in folgender Beziehung:

Bedeutet zlE irgend einen Teil des Bereiches E und zlEr den zugehörigen Teil des Bildbereiches E', so ist das Volumen des geraden Zylinders, der die Grundfläche zlE hat und bis an die Fläche (6) reicht, stets gleich dem Volumen des geraden Zylinders, der die Grundfläche zlE' hat und bis an die Fläche (7) reicht.

598. Ausführung der Transformation eines Doppelintegrals. Bei einem einfachen Integrale ist die Einführung einer neuen Veränderlichen mittels der Substitutionsmethode von Nr. 417 leicht zu bewerkstelligen. Wir führen daher die Aufgabe auf diese Methode zurück, indem wir einerseits das Doppelintegral V der letzten Nummer nach Nr. 577 als das Ergebnis der Aufeinanderfolge zweier einfacher Integrationen

dx

J LSf(x’y)dy

auffassen und andererseits die beiden neuen Veränderlichen m, v nicht zusammen, sondern nacheinander einführen.

Serret-Scheff er s, Diff.-u.Integral-Rechnung. II. 4.u 5. Aufl. 26 [SöT, 5ÖS

x = cp (u, v), y =    (u, v)

Bei der Integration hinsichtlich y spielt x die Bolle einer willkürlichen Konstanten. Vermöge der ersten der beiden Gleichungen:

(i)

wird bei dieser Auffassung u als eine gewisse Funktion von v definiert, vorausgesetzt, daß diese erste Gleichung u wirklich enthält, d. h. vorausgesetzt, daß cpu =4= 0 ist. Die so definierte Funktion u von v denken wir uns in die zweite Gleichung (1) substituiert, so daß eine Gleichung zwischen y und v hervorgeht, die also y als Funktion von v definiert. Dabei ist:

worin für du : dv derjenige Wert zu setzen ist, der bei der Annahme x = konst. aus der ersten Gleichung (1) folgt. Diese Gleichung gibt aber:

du

⁰ -    + 9., d-h- Ji

<Pv

<Pu ’

so daß herauskommt:

— dv.

dy = (-^t ⁺ *’)dv“<P.

Führen wir v statt y in das Integral J f(x, y)dy ein, so ergibt sich daher:

dv,

wobei unter u und y die erwähnten Funktionen von v zu verstehen sind.

Wir sind jetzt zu einem Doppelintegrale

(2)

//«*•y)

— dx dv

<Pu

gelangt, in dem x und v die Veränderlichen des Integranden bedeuten. Der Bereich E, auf den sich das in x und y ausgedrückte ursprüngliche Integral bezog, wird durch einen Rand begrenzt, längs dessen eine Beziehung zwischen x und y besteht. Anstelle dieses Bereiches ist jetzt ein Bereich von Wertepaaren x, v getreten, und die Grenze dieses Bereiches wird durch eine Beziehung zwischen x und v ausgedrückt. 598]

Das neue Doppelintegral (2) können wir nun wieder als das Ergebnis zweier aufeinanderfolgender einfacher Integrationen auffassen, und wir dürfen zuerst hinsichtlich x und alsdann hinsichtlich v integrieren:

dx dv.

/[/«*'*>

Bei der Integration hinsichtlich x spielt alsdann v die Holle einer willkürlichen Konstanten. Nun können wir mittels der ersten Gleichung (1), nämlich:

x — (p (w, v),

statt x die neue Veränderliche u einführen, und es ist dabei:

dx = <pudu

zu setzen, so daß kommt:

3)

— cpudu dv.

<Pu

Demnach hat das Doppelintegral schließlich diese Gestalt angenommen:

u dv.

Darin sind jetzt die beiden neuen Veränderlichen u und v eingeführt, d. h. unter x und y sind darin die Werte (1) zu verstehen, so daß wir das neue Integral in dieser Gestalt erhalten:

(3)

JJ*f({p} -ip) Q du dv.

Hierin soll E' den Bereich derjenigen Wertepaare u, v bezeichnen, die vermöge (1) den Wertepaaren x, y des Bereiches E entsprechen.

Bei dieser Transformation haben wir jedoch auf einen Umstand nicht die gebührende Rücksicht genommen: Bei den Doppelintegralen haben wir stets die Veränderlichen des Inte-granden als wachsende Größen angenommen, indem wir die oberen Integralgrenzen größer als die unteren wählten. Dies geschah, weil die Doppelintegrale nach Nr. 579 eine geometrische Bedeutung als Volumina, d. h. als Grenzwerte von Summen von Prismeninhalten haben, wobei die Grundflächen der Prismen

[598

Rechtecke zlx/Jy waren, die wir als positive Größen auffaßten. Da nun die Grenzen der beiden einfachen Integrale, die das neue Doppelintegral (3) liefern, durch den Rand des neuen Bereiches E' bedingt werden, können wir nicht erwarten, daß auch hier stets die oberen Grenzen größer als die unteren werden. Wollen wir diese Vorschrift aber machen, so werden wir eventuell genötigt sein, die Grenzen zu vertauschen, d. h. der neue Wert (3) ist, abgesehen von seinem Vorzeichen, richtig, und es bleibt noch übrig, das richtige Vorzeichen zu bestimmen.

Dies geschieht so: Der Bereich E der Wertepaare x, y zerfällt in zwei Teile Ei und E₂; im einen ist f(x, y) > 0, im andern <0, so daß bei dem Doppelintegrale (vgl. Satz 6, Nr. 576):

(4) J jfix, y)dxdy =Jjfix, y)dxdy+Jj f(x, y) dx dy

E    Ei    Ei der erste Summand rechts positiv und der zweite negativ ist, infolge des Satzes 7, Nr. 576. Den Teilen Ex und E₂ von E entsprechen Teile E[ und E'% und E'. Im ersten ist f(cp, if) > 0, im zweiten < 0. Wenn wir also auch beim transformierten Integrale die oberen Grenzen größer als die unteren wählen und es zerlegen in:

(5) J'Jfiy^&dudv^J    ili)<S)dudv-\-J''j¹f((p,if),£)dudv₎

E’    E/    Ei

so haben hier die Summanden rechts dieselben Vorzeichen wie die in (4), sobald ® > 0 ist; dagegen haben sie die entgegengesetzten Vorzeichen, wenn S) < 0 ist. Wir erinnern hierbei daran, daß ® nach Nr. 593 überall einerlei Vorzeichen hat. Hieraus schließen wir nun: Die Summanden in (4) sind denen in (5) nur dann auch im Vorzeichen gleich, wenn statt 2) der absolute Betrag von ® gesetzt wird. Also haben wir das Ergebnis der Transformation so darzustellen:

(6)

J*J*f(x, y) dxdy=JJ f{cp, f)\c£)\dudv

jw

Ferner wurde oben bei der Ausführung der Transformation (pu=(= 0 vorausgesetzt. Diese Annahme ist, wie wir jetzt zeigen

598]

wollen, unnötig. Nach der zweiten Voraussetzung in Nr. 593 wird SD oder cputhv—nirgends gleich Null, woraus folgt, daß an jeder Stelle entweder cpu=j= 0 oder cpv =f= 0 ist. Wir zerlegen jetzt den Bereich E in zwei Teile Ex und E%- dabei soll Et lauter solche Wertepaare x, y enthalten, für die infolge von (1) die Ableitung <ptt=j= 0 ist, und _27₂ lauter solche, für die <pv =j= 0 ist. Das vorgelegte Doppelintegral läßt sich nun wieder nach Satz 6, Nr. 576, als Summe des auf Et und des auf E₂ bezüglichen darstellen. Beim ersten Summanden ist wegen cpu =j= 0 die vorhin angewandte Transformation anwendbar, so daß er übergeht in:

(?)

J*^f(cp, if) | SD | duclv

xi

Beim zweiten Summanden verfahren wir, weil <pB=t=0 ist? genau so mit dem einzigen Unterschiede, daß wir bei der allmählichen Einführung der neuen Veränderlichen u, v diese beiden Größen ihre Rollen vertauschen lassen, d. h. wir führen zuerst statt x, y die Veränderlichen x und u und alsdann die Veränderlichen u und v ein. Dabei sind also cpu und mit cpv und xpv zu vertauschen. Dies zieht nach sich, daß 2) durch — SD ersetzt werden muß. Weil aber nur der absolute Betrag von SD auftritt, liefert der zweite Summand:

(8)

dudv.

Die Summe der beiden Integrale (7) und (8) aber ist, da E[ und E% den Bereich E' ausmachen, wieder das in (6) rechts stehende Integral. Mithin gilt der

Satz 17: Liegt ein Doppelintegralt.

J j f(x, y)dxdy

F.

vor, erstreckt über einen solchen Bereich E von Wertepaaren x, y, in dem die Funktion f die Forderung @, Nr. 576, erfüllt, und werden durch die Gleichungen:

y = yj(u, v)

X = Cp (u, v),

406 Kap. YI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. die neuen Veränderlichen u und v eingeführt, so geht V über in

® | dudv.

ff f(SP, t) |

F/

Dabei sind u, v ebenso wie x, y in V solche Veränderliche, die bei der Ausführung der Integrationen wachsen, und 5) bedeutet die Funktionaldeterminante : während E' der zum Bereiche E gehörige Bereich der Wertepaare u, v ist. Vorausgesetzt wird bei dieser Transformation, daß erstens cp und ip mit ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in dem Bereiche E' stetig seien, zweitens SD daselbst nirgends verschwinde und drittens die Bereiche E und E' gegenseitig eindeutig aufeinander bezogen seien.

Beispiel: Ist x = v cos u, y = v sin u, so wird £) = — v,

also

fff(x> y)dxdy =J flf(

E    E'

v cos u, vAnujvdudv,

sobald v > 0 ist. Nun sind aber u und v auch als Polarkoordinaten co und g aufzufassen, da ja x = g cos co, y = g sin co ist. Also kommt wegen g > 0 als neuer Ausdruck des Integrals:

fßf(°

E'

cos co, g sin co)dcodg.

Diesen Wert haben wir unter (3) in Nr. 582 direkt berechnet.

599. Grenzwert des Verhältnisses zweier entsprechender Flächenstücke bei stetiger Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene. Wir sind jetzt in der Lage, die in Nr. 596 zum Schlüsse versprochene Schlußfolgerung zu machen. Nach Nr. 597 wissen wir, daß das Integral, in das

ff lf(x, y)dxdy

je

hei der stetigen Abbildung

y = 1>(u, v)

x = cp(u, v),

§ 5. Einführung neuer Veränderlicher in Doppelintegralen. 407 übergeht, die Form

(1)

jfjf(cp, tp)m(u, v)dudv

haben muß, worin

a(u, v) = lim

JE'

ist. Dabei bedeuten AE und AE' einander entsprechende positiv zu messende Flächenstücke von E und E'. Der Grenzübergang soll so stattfinden, daß sich AE' auf den Punkt (u, v) zusammenzieht (vgl. Nr. 596). Die Vergleichung des Integrals (1) mit dem in Satz 17 angegebenen zeigt nun, daß o = | SD | ist. Also folgt:

Satz 18: Wenn bei einer stetigen Abbildung x = <p(u, v), y = il>(u, v) der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y auf die Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten u, v der zu einem Flächenstücke AE der ersten Ebene gehörige Teil AE’ der zweiten Ebene die bestimmt gewählte Stelle (u, v) enthält, und wenn die Ausdehnungen von AE oder, was dasselbe ist, die von AE' nach Null streben, ist der Grenzwert

lim

JE

JE’

600. Komplanation einer Fläche, die mittels

Die in

krummliniger Koordinaten dargestellt ist.

Satz 17, Nr. 598, gefundene Formel für die Transformation eines Doppelintegrals wollen wir benutzen, um den in Satz 12, Nr. 584, gefundenen Wert

(1)

J“' jyf -j- q² -f ldxdy

für ein Stück der Fläche

* - f(x, y)

auf eine bemerkenswerte andere Form zu bringen.

Wenn wir wie in Nr. 593 neue Veränderliche u und v

(2)

vermöge

x = <p(u, v)

einführen, wird z nach (2) ebenfalls eine Funktion % von

[599, 600

(3)

y = v)

u und v. Die Fläche kann daher statt in der Form (2) auch in der Form:

(b

x = cp(u,v), y = ip(u,v), z = i(u,v)

dargestellt werden, indem jetzt x, y und z Funktionen zweier Hilfsveränderlicker u, v sind. Von dieser Art der Darstellung einer Fläche war schon in Nr. 251 die Rede. Man nennt u und v Gaußische oder krummlinige Koordinaten der Fläche. Gehen wir z. B. u einen bestimmten Wert, so sind x, y, z nach (4) Funktionen einer einzigen Veränderlichen v, d. h. sie definieren eine auf der Fläche verlaufende Linie, die man eine Farameterlinie (u) der Fläche nennt. Ebenso gehört zu jedem Werte von v nach (4) eine Farameterlinie (v) der Fläche. Jeder Punkt der Fläche, der durch bestimmte Werte von u und v nach (4) definiert ist, erscheint als Schnittpunkt einer Parameterlinie (u) und einer Parameterlinie (v). Die Parameterlinien überdecken also die Fläche netzartig.

In (1) bedeuten p und ą die Ableitungen von z nach x und y. Nun sind x, y nach den beiden ersten Gleichungen (4) Funktionen von u und v. Daher kommt:

<>!

« I s

C6> |C6>

601 6J

g l<g

« I » OS |C6>

S'il

Oi 1*6

woraus folgt: y z — z y

^ U V    U'' V

x y —y x

U*⁷ V    U V

x y —y x ’

Ferner ist:

U^V ^ U V

®    XuVv - VuXV

Das Flächenstück (1) stellt sich in den Veränderlichen u, v nach Satz 17, Nr. 598, so dar:

J*J*Vp² + g² + i\⁽£)\dudv.

Dies Doppelintegral bezieht sich auf einen gewissen Bereich von Wertepaaren u, v, d. h. auf einen gewissen Bereich von Flächenpunkten mit den krummlinigen Koordinaten u, v. Nach den vorhergehenden Formeln hat dies Doppelintegral den Ausdruck:

I~    ⁺ ^    + (XuVv ~ VuXvfdu dv,

wobei die Wurzel positiv ist. Der Radikand läßt sich so schreiben:

(xl + y\ + O W + yl + ²l) - (Vv + VuVv + *»*,)*•

(5)

Wenn wir nun unter F, F} G die drei Größen verstehen: E = xl + tfu + e*u,

F-Vv+VuVv + Wv,

nimmt das Doppelintegral die einfache Form an:

(6)

JfVËG

— F² du dv.

Die Größen F, F, G, die überhaupt eine wichtige Rolle in der Flächentheorie spielen, falls man Gaußische Koordinaten anwendet, heißen die auf die Fläche (4) bezüglichen Fundamentalgrößen erster Ordnung. Es gibt nämlich noch andere, die als die Fundamentalgrößen zweiter Ordnung bezeichnet werden, aber hier nicht in Betracht kommen.

Die durch den Flächenpunkt (x, y, z) oder (u, v) gehende Parameterlinie (v) hat in diesem Punkte eine Tangente, deren Richtungskosinus nach (3) in Nr. 252 sofort aus (4) durch Differentiation nach u gewonnen werden:

xu

Vu

Ye ’ ye ’ Ye ’

wobei die Wurzel positiv ist, falls wir die Kurve im Sinne wachsender Werte von u positiv rechnen. Entsprechend sind

Vv

ya’ vg’ yg

die Richtungskosinus der durch den Flächenpunkt gehenden Parameterlinie (u). Für den Winkel l beider Tangenten kommt:

YeYg’

wobei die Wurzeln positiv sind. Hieraus folgt:

YeYg

cos l =

sin l =

Y EG —F*

~ YeYg ' wobei auch die Wurzel im Zähler positiv ist, wenn wir den Winkel Â zwischen 0 und n annehmen. Hiernach und nach

(6) wird die Oberfläche gleich dem Doppelintegrale:

I J*]/G sin X du dv.

CO

Nun ist das Bogenelement dus der Parameterlinie (v) in dem betrachteten Flächenpunkte nach (4) in Nr. 257:

dus = Y(x^du)² -{- (yuduf + (zudu)* = ÿEdu,

wobei yE positiv ist. Ebenso stellt dvs =]/G dv das Bogenelement der Parameterlinie (u) in dem Flächenpunkte vor. Daher läßt sich das Doppelintegral (7) so ausdrücken:

(8)

(9)

J'J sin Xdusdvs.

Wir erinnern hierbei daran, daß das Doppelintegral

J J'dxdy

in der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y, hinerstreckt über einen gewissen Bereich, nichts anderes als der Flächeninhalt des Bereiches ist, siehe (2) in Nr. 576. Die Formel (8) besagt etwas ganz Entsprechendes für den Flächeninhalt der krummen Fläche (4):

Zerlegen wir nämlich den betrachteten Bereich der Oberfläche durch die Parameterlinien (tt) und (y) in Teilbereiche, so daß etwa zu u, v und u-\-Au, v-\-Av vier Parameterlinien gehören, die ein krummes Viereck auf der Fläche begrenzen, so mögen Aus und Avs die Bogenlängen der vom Punkte (u, v) ausgehenden beiden Vierecksseiten auf den Parameterlinien (V) und (u) sein. Da die Parameterlinien im Punkte (u, v) Tangenten haben, die den Winkel Â einschließen, nähert sich das Produkt sin lAusAvs um so mehr dem Werte des Flächeninhaltes des Vierecks, je kürzer die Seiten Aus und Avs werden, weil das Viereck dabei danach strebt, einem ebenen Parallelogramme ähnlich zu werden. Ebenso wie wir in (9) unter dxdy den Grenzwert des Inhaltes eines Teilrechtecks AxAy verstehen, läßt sich also in (8) das Produkt sin X dusdvs als Grenzwert des Inhaltes eines Teilvierecks der Fläche (4) auffassen.

601. Komplanation einer Fläche, die mittels räumlicher Polarkoordinaten dargestellt ist. Führen 600, 601] wir nach Nr. 97 räumliche Polarkoordinaten r, 6, xp ein, indem wir setzen:

(1)

x = r sin 6 cos xp, y = r sin 6 sin xp, z — r cos 0 so läßt sich die Fläche z = f(x, y) in der Form :

r cos 6 = f(r sin 6 cos xp, r sin 0 sin xp)

darstellen, und die Auflösung dieser Gleichung nach r möge ergeben:

(2)

r = F(6, xp),

so daß hiermit die Fläche in räumlichen Polarkoordinaten ausgedrückt ist. Wir können jetzt 6 und xp als die Gaußischen Koordinaten u und v in der vorigen Nummer auffassen. Alsdann ist nach den Formeln (1):

x₀ — r cos 6 cos xp -|- re sin 0 cos xp,

Xy = — r sin 6 sin xp -f r^ sin 6 cos xp,

ye — r cos 6 sin xp -f r₀ sin 6 sin xp,

yxfJ = r sin 6 cos xp + sin 6 sin xp, Zy = rv> cos 0,

ze = — r sin 6 -f- re cos 6,

so daß die Fundamentalgrößen E, F, G nach (5) in voriger Nummer diese werden:

E = r² Ą- rl,

G — r² sin² 6 -f r²,,

F = VgTy,

EG — F² = r²[(r² -f- r²e) sin² 6 -f r$]

wird. Das Oberflächenintegral (6) der letzten Nummer wird somit dies:

also

(3)

j ^r]/(r² -f rl) sin² 6 + r% dd dxp.

Dabei soll die Koordinate r positiv gewählt sein.

Handelt es sich z. B. um die Komplanation eines Teiles der Kugelftäche vom Radius r, so ist r konstant, so daß sich das Doppel integral reduziert auf:

r²J J*| sin 9 \ dd dxp

602. Schwerpunkte von ebenen Flächen und Kurven. Als Anhang möge hier noch der Begriff des Schwer-

[601, 60»

punktes, der uns in Nr. 567 und Nr. 589 begegnete, definiert werden.

Es liege ein ebenes Flächenstück E vor. Wie in Nr. 576 wird vorausgesetzt, daß E die dort in der Forderung (5 angegebenen Eigenschaften habe. Nun werde der Bereich in Teilbereiche JE zerlegt. Außerdem sei in der Ebene eine Gerade g gegeben. Wählen wir in jedem Teilbereiche JE einen Punkt Q und verstehen wir unter q seine Entfernung von g, positiv oder negativ gerechnet, je nachdem Q auf der einen oder anderen Seite von g liegt, so wird q eine Funktion der Koordinaten x, y des Punktes Q sein. Die über alle Teilbereiche erstreckte Summe EqJE hat, falls die Ausdehnungen aller Teilbereiche nach Null streben, nach Nr. 578 einen von der Art der Zerlegung unabhängigen Grenzwert, nämlich den Wert eines gewissen Doppelintegrals.

Wenn die gegebene Gerade g in der Normalform die Gleichung hat:

(1)

x cos a -f- y sin ec — p = 0, ist ihre linke Seite der Wert des Abstandes q des Punktes Q oder (x, y) von g und zwar positiv oder negativ gerechnet, je nachdem Q vom Anfangspunkte 0 durch die Gerade g getrennt wird oder nicht. Das erwähnte Doppelintegral ist also dieses:

(2)

’IJix

E

cos ec -f y sin a — p) dxdy.

Man nennt es das statische Moment der Fläche E in bezug auf die Gerade g. Insbesondere ergeben sich, wenn g die #-Achse oder y-Achse ist, die statischen Momente

(3)

Mx

=Jfydxdy, £

Mv

=J*J*xdxdy.

E

Nach (2) ist daher:

Mn = cos a Mu + sin a MT —

9    V    x

pj*j dxdy.

(4)

Das letzte Doppelintegral ist die Fläche E selbst. Also folgt: Mg = cos a My + sin a Mx — pE.

Es gibt nun, behaupten wir, einen Punkt (£, t)) in der Ebene, der so liegt, daß in bezug auf jede beliebige Gerade g

60»]

der Ebene das Produkt des Abstandes des Punktes (g, 9) von g mit der Fläche E gerade gleich dem statischen Momente der Fläche E in bezug auf die gewählte Gerade g ist. In der Tat hat der Punkt mit den Koordinaten:

(5)

.1/

S3-

£ jg; >

diese Eigenschaft. Denn sein Abstand von der Geraden g ist

nach (1) gleich g cos a + t)sina—p oder also nach (5) gleich:

M    Mx

cos a -f- sin a — p

und gibt, mit der Fläche E multipliziert, nach (4) das statische Moment Mg.

Dieser Punkt (5) heißt der Schwerpunkt der Fläche E. Seine Koordinaten sind nach (8) und (5):

(6)

£ = eJJxdxcly,

A’

f y dx dg.

a;

x

=/ydx

x₀

Ist insbesondere E die Fläche zwischen der Kurve y = f(x), der Abszissenachse und den zu x₀ und X gehörigen Ordinaten, so wird:

und :

so daß kommt:

x

Jxy dx

x

J'yidx

CO

x

Jydx

X₀

X

2 J"yd x

x₀

Den Wert von t) hatten wir in der Tat in Nr. 567 unter (1) benutzt.

Wir wenden uns nun zum Begriffe des Schwerpunktes einer ebenen Kurve. Die Koordinaten x und y der Punkte der Kurve seien als Funktionen der Bogenlänge s gegeben (vgl. Nr. 194):

(8)

[ö©a

"Wenn wir die Gesamtlänge S der Kurve in beliebige Teile z/s zerlegen und jedesmal die zugehörige Sehne z/ê nennen, können wir in bezug auf eine beliebige gegebene Gerade g der Ebene die Summe Z'gz/ê bilden, worin q der Abstand des Anfangspunktes der Sehne z/ê von g sein soll. Für lim z/s = 0 strebt diese Summe, weil lim z/§ : z/s nach Satz 4, Nr. 544, gleich Eins ist, nach dem Werte

s

Jf

= / qds. o

Er heißt das statische Moment der Kurve (8) in bezug auf die

Gerade g.

Hat die Gerade g in der Normalform die Gleichung (1),

so ist:

(9)

cos a -f y sin a — p) ds.

Insbesondere sind

(10)

s

yds,

0

s

M„=J*vds o

die statischen Momente der Kurve in bezug auf die x- und y- Achse. Es gibt wieder einen Punkt (je, ty) in der Ebene derart, daß das Produkt seines Abstandes von einer jeden beliebigen Geraden g mit der Gesamtlänge S der Kurve gleich dem statischen Momente M ist. In der Tat hat der Punkt mit den Koordinaten:

(H) diese Eigenschaft, da er von g den Abstand jcosa -j- b sin« — p hat und also das Produkt dieses Abstandes mit S nach (11) und (10) gleich

cos a

-pS,

d. h. nach (9) gleich Mg ist. Dieser ausgezeichnete Punkt (11) heißt der Schwerpunkt der Kurve (8). Seine Koordinaten sind nach (11) und (10) diese:

60Ä]

s

s

£ = xds,

(12)

-±fyds

0

Die Abszisse r haben wir in der Tat in Nr. 589 benutzt.

§ 6. Drei- und mehrfache Integrale.

603. Begriff des dreifachen Integrals. In diesem Paragraphen wollen wir, jedoch ohne alle Einzelheiten gründlich zu besprechen, auch die drei- und mehrfachen Integrale in den Bereich unserer Betrachtungen ziehen. Wir verzichten dabei auf die Existenzbeweise; sie entsprechen den Existenzbeweisen für Doppelintegrale, für Volumina- und Flächenstücke, die in den vorhergehenden Paragraphen ausführlich gegeben wurden.

Ein Raumteil V sei durch eine stetige Fläche von dem übrigen Raume abgeschlossen; ferner sei eine Funktion f(x, y, z) gegeben, die für jeden Punkt (x, y, z) des Raumteiles V stetig sei. Vorausgesetzt wird schließlich noch, daß die Fläche von jeder Geraden nur in einer endlichen Anzahl von Punkten getroffen werde. Wir können das Volumen V in Teile z/F zerlegen und in jedem Teile einen Punkt P wählen. Ist alsdann f der Wert von f für den Punkt P, so bilden wir die Summe 2Jfp A V, erstreckt über alle Teile z/F. Diese Summe hat einen von der Art der angewandten Teilung unabhängigen bestimmten endlichen Grenzwert, falls die Ausdehnungen aller Teile z/F nach Null streben, wobei die Anzahl aller Teile über jede Zahl wächst (vgl. Nr. 578). Dieser Grenzwert wird als das dreifache Integral bezeichnet:

(1)

=J JJ f{x, y, z) dx dy dz,

v

erstreckt über das Volumen V.

Insbesondere kann man die Teilung dadurch bewirken, daß man Teilungsebenen x — konst., y = konst. und z = konst. anwendet. Sind Ax, Ay, Az die Abstände je zweier benachbarter Ebenen der ersten, zweiten oder dritten Art, so ist AxAyAz das Volumen eines Raumteiles z/F, nämlich eines Rechtflachs. Die Summe EfFAxAyAz ist eine dreifache,

[608, 603

erstreckt über alle zIx, alle A y und alle Az, und aus dieser dreifachen Summe geht in naturgemäßer Weise die Bezeichnung des Grenzwertes durch das dreifache Integral (1) hervor (vgl. Nr. 575). Bei der Bildung der Summe HfpAxAyAz darf man ohne Beeinträchtigung des Grenzwertes J von den unvollständigen Rechtflachen absehen, die längs der äußeren Begrenzung von V gelegen sind (vgl. ebenfalls Nr. 575).

Die Auswertung des dreifachen Integrals J geschieht durch drei aufeinanderfolgende einfache Integrationen, z. B. zuerst hinsichtlich z, dann hinsichtlich y und schließlich hinsichtlich x. Dabei sind die Grenzen für die Integration hinsichtlich z Funktionen von x und y, die Grenzen für die Integration hinsichtlich y Funktionen von x und die Grenzen für die Integration hinsichtlich x Konstanten (vgl. Nr. 577). Außerdem sind die oberen Grenzen stets größer als die unteren.

604. Das Volumen als dreifaches Integral. Insbesondere stellt das vorhin betrachtete Integral J das Volumen V selbst dar, wenn die Funktion f gleich Eins gewählt wird:

(1)

J*dxdy dz

Man vergleiche die entsprechende Formel (2) in Nr. 576 für ebene Flächenstücke.

Sind x', y', z schiefwinklige Koordinaten im Raume und a, ß, y die Winkel zwischen der y- und /-Achse, der z- und /-Achse sowie der x- und «/'-Achse, so werden wir Teilebenen parallel den Koordinatenebenen anwenden, so daß die Teile AV Parallelepipede werden. Das Volumen eines Parallel-epipeds, dessen Kanten Ax, Ay, Az den Achsen parallel sind, ist gleich k A x Ay Az, wobei die positive Konstante

k = Y1 — cos² a — cos² ß — cos² y -f 2 cos a cos ß cos y ist. Somit ergibt sich:

= kJ j*j*dx dy dz'.

v

Es seien nun u, v, iv allgemeine krummlinige Koordinaten im Raume. Von derartigen Koordinaten sprachen wir schon in Nr. 327. Sie sind definiert durch drei Gleichungen:

603, 604]

(2) x = cp(u, v, w),

y = x(u, v, w),

0 =1p(u, V, w).

Dabei setzen wir voraus (vgl. Nr. 593), daß xp, %, xp nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in dem betrachteten Bereiche stetig seien, daß zweitens die Funktionaldeterminante von cp, ty, nämlich

<Pu <Pe <Pw

(3)

,U V W,

Xu Xe Xw

''Pu 'Pv 'Pu,

ebenda von Null verschieden, also auch stets von einerlei Vorzeichen sei, und daß drittens zu jedem Wertsysteme u, v, iv nur ein Wertsystem x} y, z und umgekehrt zu jedem Wertsysteme x, y, z nur ein Wertsystem u, v, w gehöre — immer innerhalb der zu benutzenden Variabilitätsbereiche. Durch diese Annahmen wird nämlich auch für die Systeme u, v, w ein Variabilitätsbereich vorgeschrieben.

Den Raumteil V können wir nun dadurch definieren, daß wir die Gleichung der stetigen Fläche, die ihn umschließt, nach Einführung der Werte (2) für x, y und z in der Form

F(u, v, w) = 0

schreiben, so daß hierdurch alle Wertsysteme u, v, w definiert werden, die zu Punkten (x, y, z) auf der Oberfläche des Volumens V gehören. Es handelt sich alsdann darum, die neuen Veränderlichen u, v, w in die Volumenformel (1) einzuführen.

Dabei schicken wir voraus, daß die beiden ersten Gleichungen (2) gewiß nach zweien der drei Veränderlichen u, v, w auflösbar sind. Denn sonst wären alle drei Funktionaldeterminanten

'Vv Xw    Xv<Pw,

'Pu Xe - Xu<P,

<Pw Xu~ Xw<Pu,

gleich Null, also auch was der Voraussetzung widerspricht. Nehmen wir daher an, die beiden ersten Gleichungen (2) seien gerade nach u und v auflösbar, d. h. es sei:

<Pu%v-Xu<Pv 4=0-

(4)

Alsdann ist die erste Gleichung (2) gewiß nach u oder nach v auflösbar, weil sonst cpa= 0 und cpv= 0 wäre, was der An-

Serr et-Scheffers, Diff.-u.Integra’.-Rechnung. II. 4.u.5.Aufl.    27

nähme (4) widerspricht. Wir nehmen deshalb an, die erste Gleichung (2) sei gerade nach u auflösbar, also:

(5)

♦    Wu 4= 0-

Nun können wir das dreifache Integral (1) durch drei aufeinanderfolgende einfache Integrationen auswerten; zunächst betrachten wir die Integration hinsichtlich z, bei der x und y die Rollen von Konstanten spielen. Dann definieren die beiden ersten Gleichungen (2) die Größen u und v als Funktionen von w, weil diese Gleichungen nach u und v auflösbar sind. Dabei ist:

du

dv

0 = Zu dw + %'diï + Zw

n    du    dv ,

Denken wir uns die Funktionen u und v von w in die dritte Gleichung (2) eingesetzt, so ist dies eine Gleichung zwischen z und w, so daß z eine Funktion von w wird mit der Ableitung:

dz

du

dv

dw

Elimination von du : dw und dv : dw aus den drei letzten Gleichungen gibt:

<Pu <Pv <Pw

= 0,

dw.

dw

Zu Zv Zw ib ib ib —

TU T V T 10

also mit Rücksicht auf (3):

3)

dz =

Wir substituieren nun in dem auf z bezüglichen einfachen Integrale die neue Veränderliche w, da wir ja z nach dem Vorhergehenden als Funktion von w auffassen können. Weil das Differential dz alsdann den soeben berechneten Wert hat, geht das dreifache Integral (1) über in:

(6)

-///

dxdydw.

Der Bereich von Wertsystemen x, y, w, auf den es sich bezieht, ist so festzustellen: Gegeben ist der Bereich der Wertsysteme x, y, z des ursprünglichen Integrals V. Lösen wir

nun die drei Gleichungen (2) nach u, v, w auf, so wird w eine gewisse Funktion von x, y, z. Also läßt sich der Bereich der Wertsysteme x, y, w aus dem der Wertsysteme x, y, z erschließen.

Es steht jetzt in unserem Belieben, die Reihenfolge der drei einfachen Integrationen nach x, y, w, wodurch das Integral (6) ausgewertet wird, zu ändern. Wir können z. B. zuerst hinsichtlich y, dann hinsichtlich w und schließlich hinsichtlich x integrieren. Bei der auf y bezüglichen einfachen Integration sind x und w wie willkürliche Konstanten zu behandeln. Wegen (5) definiert jetzt die erste Gleichung (2) die Größe u als Funktion von v, für die

0 = œp + a-

'M d    ' V

ist.

Einsetzung dieser Funktion u von v in die zweiter Gleichung (2) gibt eine Gleichung, die y als Funktion von v definiert, für die

dy

du

dv dv

ist, so daß aus den beiden letzten Gleichungen durch Elimination von du\dv folgt:

dy =

Vu*v-*u*p

dv.

Wenn wir nun in dem einfachen Integrale hinsichtlich y die neue Veränderliche v statt y einführen, folgt aus das Differential dy in der soeben gefundenen Art ausdrückt:

(6), da sich

CO

SIS

— dxdv dw.

Jetzt liegt ein dreifaches Integral vor, das sich auf einen Bereich von Wertsystemen x, v, w bezieht, der wieder aus dem Bereiche der Wertsysteme x, y, z gewonnen werden kann, da v und w infolge von (2) Funktionen von x, y, z sind.

Wieder steht es in unserem Belieben, die Reihenfolge der drei einfachen Integrationen, die den Wert (7) von V liefern, abzuändern. Wir können z. B. zuerst hinsichtlich x, dann hinsichtlich v und schließlich hinsichtlich w integrieren. Bei der ersten dieser drei Integrationen spielen v und w die Bolle von

[604

Konstanten, so daß die erste Gleichung (2) x als Funktion von u definiert, für die

dx = cpudu

ist. Die Einführung dieser neuen Veränderlichen u statt x in das Integral (7) liefert demnach:

(8)

=J^J Qdu dv dw.

Der Wertebereich u, v, w, auf den sich das neue Integral bezieht, ist aus dem Wertehereich x, y, z des ursprünglichen Integrals (1) zu gewinnen, da u, v, w infolge von (2) Funktionen von x, y, z sind.

Wenn wir nun aber vorschreiben wollen, daß u, v, iv während der Integrationen stets wachsen sollen (vgl. Nr. 598), müssen wir 2) in (8) durch den absoluten Betrag von ÜD ersetzen. Also ist

(9)

die Volumenformel für allgemeine krummlinige Koordinaten im Baume.

Die besonderen Annahmen (4) und (5), die wir hei der Ableitung der Formel machten, brauchen nicht im ganzen Bereiche erfüllt zu sein. In einem Teile des Bereiches z. B. kann es sein, daß die beiden ersten Gleichungen (2) nicht nach u und v auflösbar sind, sondern etwa nach u und w. Dann wird man in diesem Teile die Rollen, die v und w vorhin spielten, vertauschen. Aber auf das Endergebnis (9) ist dies ohne jeden Einfluß (ebenso wie in Nr. 598).

Beispiel: Benutzen wir insbesondere als krummlinige Koordinaten u, v, w die räumlichen Polarkoordinaten r, 0, rp} vgl. Nr. 97, d. h. setzen wir:

y = r sin 6 sin ip,

z — r cos 6,

x = r sin 0 cos xp}

so ist die Funktionaldeterminante

'S SS

sin 6 cos tp cos 6 cos ip — sm Q sin ip sin 0 sin ip cos 6 sin ip sin 6 cos ip cos 6    — sin 6

leicht zu berechnen, indem man sie nach dem Multiplikationsgesetze der Determinanten mit der Determinante

<35

.a § o

GO O

cc o

c- o

multipliziert, die den Wert Eins hat. Es kommt:

2) = r² sin 6.

Folglich ist nach (9) das Volumen:

(10)

=J*J J r² sin 6 drdOdÿ

ausgedrückt in räumlichen Polarkoordinaten.

605. Räume von n Dimensionen. Wir beabsichtigen, auch den Begriff eines n-fachen Integrals einzuführen. Dabei legen wir der Betrachtung das Vorhandensein von n unabhängigen Veränderlichen xlf    xn zugrunde. Diesen

n Veränderlichen haben wir einen gewissen Variabilitätsbereich vorzuschreiben. Am bequemsten ist es, die nVeränderlichen als Koordinaten der Punkte in einem Baume von n Dimensionen zu deuten. Da uns jedoch für n > 3 in der Wirklichkeit der Dinge kein solcher Raum zur Verfügung steht, wäre der Einwand berechtigt, daß wir dabei eine Veranschaulichung benutzen, der jede Berechtigung abzusprechen ist. Deshalb wollen wir zeigen, daß es bei anderer Deutung in der Tat Räume von n Dimensionen gibt. Der Unterschied ist nur der, daß wir nicht die Punkte, sondern andere Gebilde als die Elemente des Raumes auffassen.

Betrachten wir z. B. die Gesamtheit aller Kreise in der xy-Ebene. Ein Kreis ist gegeben, wenn wir die Koordinaten a und b seines Mittelpunktes und seinen Radius r kennen. Dabei können a und b beliebige positive oder negative Werte haben. Auch der Radius r darf positiv oder negativ angenommen werden, wenn wir festsetzen, daß wir unter einem Kreise mit positivem bzw. negativem Radius einen solchen verstehen wollen, der im positiven bzw. negativen Sinne, also im Sinne der Drehung von der positiven Æ-Achse zur positiven «/-Achse oder

[604, 605

im anderen Sinne durchlaufen werden soll. Wir verwenden also sogenannte orientierte Kreise. Wenn wir nun die Mittelpunktskoordinaten mit x, y und den Radius mit z bezeichnen, gehört zu jedem Wertsysteme x, y, z ein orientierter Kreis. Umgekehrt versinnlicht jeder orientierte Kreis ein Wertsystem x, y, z. Die Gesamtheit aller Wertsysteme x, y, z wird daher durch die Gesamtheit aller orientierten Kreise in der Ebene dargestellt.

Vo

Um alle Wertsysteme x, y, z zu veranschaulichen, braucht man also den Raum von drei Dimensionen gar nicht. Man kann sich auf die zwei dimensionale Ebene beschränken, wenn man nur nicht ihre Punkte, sondern ihre Kreise als die Träger der Wertsysteme x, y, z auffaßt. Im Raume mit den drei rechtwinkligen Punktkoordinaten x, y, z würden wir einen Variabilitätsbereich V dadurch festlegen, daß wir z. B. ein Volumen, eingeschlossen durch eine Fläche, betrachten. Wir können aber auch bei der neuen Auffassung in der zweidimensionalen Ebene einen Variabilitätsbereich für Wertsysteme x, y, z definieren, indem wir nämlich aus der Gesamtheit aller orientierter Kreise eine Schar herausgreifen. Wenn wir z. B. alle Kreise betrachten, deren Mittelpunktskoordinaten x und y den Ungleichungen: x₀ ^ x ^

unterworfen sind, während ihre Radien z den Ungleichungen:

*o£*ŚZ

genügen sollen, haben wir einen gewissen Bereich der Wertsysteme x, y, z festgelegt. Wenn wir dagegen x, y, z als rechtwinklige Punktkoordinaten im Raume auffassen, wird dieser selbe Variabilitätsbereich durch das Volumen eines Rechtflachs dargestellt.

Wir können die Ebene auch als ein überdimensionales Gebilde auffassen. Z. B. mögen x1; x₂ und x₃, x± die Abschnitte sein, die zwei Geraden g und h auf den Koordinatenachsen bestimmen. Zu einem allgemeinen Wertsysteme xlf x₂, x₃, xL gehört alsdann ein Geradenpaar g, h und umgekehrt zu jedem Geradenpaare g, h ein Wertsystem xt, x₂, x₃, xL. Dabei ist das Geradenpaar g, h verschieden vom Paare h, g. Wir können auch sagen: Zu einem orientierten Winlcel (g, h) in 605]

der xy-Ebene, d. h. zu einem Winkel (g, h) mit bestimmtem Drehsinne gehört ein Wertsystem xt, x₂, x₃, x±, und umgekehrt. Einen Variabilitätsbereich für die Wertsysteme xx, x₂, x₃, xL können wir hier dadurch festlegen, daß wir aus der Gesamtheit aller Winkel (g, h) der Ebene eine Schar herausgreifen, die durch Uugleichungen bestimmt ist, z. B. alle zwischen 0 und oder alle Winkel, deren Scheitel innerhalb eines gegebenen Teiles der Ebene liegen, usw.

Auch den Raum, der nur drei Dimensionen hat, können wir zur Veranschaulichung der Systeme von vier unabhängigen Veränderlichen x1} x₂, x₃, x± benutzen, indem wir z. B. xt, x₂, x3 als die rechtwinkligen Koordinaten des Mittelpunktes einer Kugel und als ihren Radius auffassen, wobei wir x± positiv oder negativ wählen, je nachdem wir die Normalen der Kugel nach außen oder nach innen positiv rechnen. Wir benutzen also orientierte Kugeln. Alle Kugeln z. B., deren Mitten in einem gegebenen Körper liegen, versinnlichen uns einen gewissen Variabilitätsbereich der Systeme von vier Veränderlichen x1}

/y* /yi /y»

J ^3 > ^4 *

Ebenso können wir Systeme von n unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, ... xn in der Ebene oder im dreidimensionalen Raume veranschaulichen, also die Ebene oder unseren Raum als ein Gebilde von n Dimensionen betrachten. Wenn n gerade ist, können wir z. B. in der Ebene ein offenes Vieleck PXP₂... P\ n von \n Punkten betrachten. Hat P₁ die Koordinaten xl, x₂, P₂ die Koordinaten x₃, xà usw., schließlich P\_n die Koordinaten xn_₁, xn, so stellt das Vieleck P₁P₂ ... P\n ein System von n unabhängigen Veränderlichen xt, x₂, ... xn dar. Ist n ungerade, also n = 21c + 1, so erreicht man dasselbe, wenn man z. B. an ein Vieleck von Je Punkten noch eine unbegrenzte Gerade anschließt und etwa den Tangens ihres Winkels mit der positiven x-Achse als die nte Veränderliche xn einführt.

Es sind dies alles nur sehr spezielle Arten der Veranschaulichung; es ist ein leichtes, beliebig viele andere Veranschaulichungen von Systemen von n Veränderlichen in der Ebene oder im Raume herzustellen.

Hiernach dürfen wir sagen, daß es Bäume von n Dimensionen gibt. Dabei ist aber nicht der Punkt, sondern ein ge-

wisses zweckmäßig gewähltes und geometrisch wohldefiniertes Gebilde in der Ebene oder in unserem realen Raume das Element oder der Träger des Wertsystems xlf x₂, . . . xn. Wenn man trotzdem von Räumen von n Dimensionen spricht, in denen xlf x₂, ... xn die Koordinaten eines beliebigen Punktes bedeuten sollen, so ist hierbei das Wort Punkt nur eine bequeme Bezeichnung des Trägers des Wertsystems xu x₂, . . . xn. Es ist nämlich zu beachten, daß man ein und dasselbe Wertsystem xlf x₂, . . . xn auf sehr viele verschiedene Arten in der Ebene oder im gewöhnlichen Raume durch ein geometrisches Gebilde veranschaulichen kann. Es wäre daher eine Bevormundung, wollten wir eine bestimmte Art der Veranschaulichung wie z. B. oben durch Kreise, Winkel, Kugeln oder Vielecke wählen. Um jedermann die Freiheit zu lassen, welche Art der Veranschaulichung er wählen will, benutzt man als symbolische Bezeichnung das Wort Punkt.

Diese Erläuterungen geben uns das Recht, von Räumen von n Dimensionen zu sprechen, wobei wir unter einem Teile des Raumes nichts anders verstehen als einen durch Ungleichungen zu definierenden Variabilitätsbereich der n Veränderlichen x1} x₂, . . . xn.

606, Begriff und Transformation des n-fachen Integrals. Es seien x₁, x₂, .. . xn insgesamt n voneinander unabhängige Veränderliche, die wir als die Koordinaten in einem Raume von n Dimensionen bezeichnen. Ferner sei ein Teil des Raumes ausgewählt, also ein Variabilitätsbereich V für die Wertsysteme x1} x₂, ... xn vorgeschrieben. Endlich bedeute f(x₁, •x^ . . . Xn) eine solche Funktion der n Veränderlichen, die in dem Variabilitätsbereiche V stetig ist.

Wenn wir nun V in Teile A V in beliebiger Art zerlegen, in jedem Teile einen Punkt P wählen, d. h. ein Wertsystem x1} x₂, ... xn auswählen, das dem Teile angehört, und darauf den Wert fP bilden, den die Funktion f für dieses Wertsystem hat, können wir die Summe 2JfPztV betrachten, erstreckt über alle Teilbereiche zJ V. Es läßt sich wieder beweisen (vgl. Nr. 578), daß diese Summe einen von der Art der Teilung unabhängigen bestimmten endlichen Grenzwert hat, sobald alle Teile A V nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahl 605, 606]

über jede Grenze wächst. Hierbei wird gemeint, daß die Inter-Talle, innerhalb derer die Größen xx, x₂₎ . . . xn in jedem einzelnen Teilbereiche zJ V noch veränderlich sind, sämtlich nach Null streben sollen.

Den Grenzwert bezeichnet man als ein n-faches Integral:

(1) J

x₂, . .. xj dxt dx₂ . . . dxn,

und die Auswertung des Integrals kann durch n aufeinanderfolgende einfache Integrationen geleistet werden (vgl. Nr. 577), wobei die oberen Grenzen der Integrale stets größer als die unteren sind.

Es seien nun u1} u₂, ... un neue Veränderliche, die mit xx, x₂, . . . xn durch n Gleichungen verknüpft sind :

xi =    u2, • • ■ Un)

Wir setzen dabei voraus (vgl. Nr. 593), daß alle n Funktionen rpi nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in dem Bereiche V stetig seien, ferner die Funktionaldeterminante

<Pi<p₂ . . . cpn Uy, . . . Un,

ebenda von Null verschieden, also überall in V von einerlei Vorzeichen sei und endlich zu jedem Wertsysteme ux, u₂ ... un infolge von (2) nur ein Wertsystem x1} x₂, ... xn und umgekehrt zu jedem Wertsysteme xx, x₂, . . . xn infolge von (2) nur ein Wertsystem ux, u₂,. . . un gehöre. Es soll also durch die wegen 2) =4=0 nach u1} m₂, ... un auflösbaren Gleichungen (2) auch für die Wertsysteme ul} u₂₎ . . . un ein Variabilitätsbereich V so definiert sein, daß die Bereiche V und U gegenseitig eindeutig aufeinander bezogen sind.

Wir können alsdann genau so wie in Nr. 598 und 604 nacheinander statt x1} x₂, . . . xn die Wertsysteme

X11 X2> • • ' Xn-2> Un-U Un

und schließlich das Wertsystem ux, u₂, . . . un einführen. Die Betrachtungen brauchen wir hier nicht im einzelnen zu wiederholen. Man kann das Endergebnis auch durch den Schluß

[606

(2)

(3)

xx, x₂,. . . xn_1} un,

(f-1,2, ...»).

usw.

(4) J

-Sf-Ji®¹«*-

ü

J.

von n — 1 auf n ableiten. Wir begnügen uns mit der Angabe des schließlich hervorgehenden Wertes des Integrals (1):

9>a, • • • (pn)duxdu₂ . . . dun.

607. Eine Formel von Dirichlet für gewisse bestimmte Integrale. Als Beispiel betrachten wir mit Dirichlet das Integral:

n,p

iAj -j    wo

¹...xPn *( 1—xx—x₃-----xr)p~¹ dxxdx₃...dxn,

worin px, p₂, ... pn, p positive Konstanten seien und das Integral über denjenigen Yariabilitätsbereich V erstreckt werden soll, in dem xx, x₂, ... xn sämtlich positiv sind und ihre Summe xx -f x₂ -|- • • • -f- xn nicht größer als Eins ist. Dies Integral J läßt sich, wie wir zeigen werden, durch Euler sehe Integrale, insbesondere also mittels der Gammafunhtion (vgl. Nr. 496) ausdrücken.

Man kann das Integral durch n aufeinanderfolgende einfache Integrationen auswerten. Die erste möge sich auf xn beziehen. Bei ihr sind xL, x₂, . . . xn_x als Konstanten zu behandeln. Die Grenzen dieses einfachen Integrals hinsichtlich xn sind 0 und 1 — xx — x₂ — • • • — xn_x. Wir wollen nun eine neue Veränderliche t statt xn vermöge der Substitution

xn-i)h dxn=( 1-Xx-X₂-----Xn_x)dt

einführen. Dabei geht t von 0 bis 1. Also kommt:

—*i-*2

p i-i

Pn-1“¹

P + Pn-¹ .Pn-¹

(1-Xx-X₂-----xn_x)

wobei das auf t bezügliche einfache Integral dieses ist:

-Xn-1

P— 1

(1—t) dxv..dx

-1

Dies Integral hat wieder die Form des Integrals J” . An die Stelle von n ist aber n — 1 getreten, an die von p die Zahl p -f- pn. Was den Bereich betrifft, über den sich das (n — 1)-fache Integral erstreckt, so ist zu bemerken, daß xt, x3}... xn_x positiv sein müssen und ihre Summe xx, x₂, . . . xn_₁ nicht größer als Eins sein darf. Wir haben also bei den n—1 Veränderlichen x1} x₂, ... xn_₁ genau denjenigen Bereich zu wählen, der dem bei den n Veränderlichen xx, x₂, . . . xn sinngemäß entspricht, so daß wir das neue Integral mit zeichnen können.

be-

n-l,p+pn

Demnach hat sich die Rékursionsformel ergeben:

-1 ,P + Pn>

Jn,p = B(Vn,P)Jn

die auch für die niedrigeren Werte der Zahl n entsprechend gilt. Geht man bis n = 2, so erhält man durch Multiplikation aller Formeln miteinander:

Jn,p = B(Pn,    P + Pn)B(Pn-2, P + Pn +Pn-l) • • •

■ -B(PitP + Pn + Pn-1 H----+ P2)Jl,p+pn+...+Pi-

Hierin ist nach (1), Nr. 496:

i,p+pn+-•+*>*

"+p*~¹dxL

= B(l>l>P + Pn+ • • ' +K>-

Also folgt:

Jn,p = B(Pn, P)B(j>n-1> P + Pn) • * • B Ol » P + Pn + * * * + P₂) oder nach (5) in Nr. 497 :

(1)

n,p

r(p)nPl)r(p₂) ■ • • r(Pn)

Wegen r'(l) = 1 (vgl. Nr. 498) geht insbesondere für p = 1 hervor:

(2) JJ. . .Jxpf

... x*n x dxxdx₂ ... dxn = Setzen wir hierin allgemein

EMJXpf)-- -r(Pn)

+ Pi + P» H— + Pn)

0'= 1, 2,. . . n),

nach (1) in Nr. 496. Das w-fache Integral J reduziert sich demnach auf ein in — 1)-fâches, nämlich auf das Produkt B(Pn,P) und:

1 Pi ^    Pn—1 ¹\

...Xn_x    (1-Xx-X₂-----xn_x)

von

X2

P + Pn-¹

dxx dx₂... dxn_x.

indem wir unter ax, a₂, ... an und au cc₂, . . . an positive Konstante verstellen, so besteht der Variabilitätsbereich der Wertsysteme zx, z₂, ... zn aus allen denjenigen positiven Werten von e1} z₂, . .. zn, für die

(3)

(tr+(r⁺---⁺(r^

ist. Da die Funktionaldeterminante von z1} z₂, ... zn hinsichtlich x1} x₂₎ . . . xn den positiven Wert

®    . . (Wn~¹

aiai ••• an \aj \aj    \aj

hat, folgt aus (2) durch Einführung der neuen Veränderlichen zx, z₂, . . zn nach der Formel (4) der vorigen Nummer

ai -1 /zn\<*nPn-1

• • • an

ax a„ ■ ■ ■ an

III(%)

(3

an<

dzx dz₂... dzn

r(ft)r(j?,) • •• r(pn)

r(i -\- pi Ą- Pi • -j- pn)

Setzen wir jetzt

d. h.

Pi = ~

n.

so

so daß Jtx, 7t₂, . . . 7tn ebenfalls positive Konstanten sind kommt :

JJ ■ Jigp-¹zp-¹...z5n-¹dz₁ dz₂.. . dzn

•(4)

r(i -F w-x- -F H-----h —)

\    ctg    orra/

Wenn insbesondere n = 3 und cc₁ == a₂ =    = 2 ist, gilt

die Ungleichung (3) für diejenigen Punkte mit den rechtwinkligen Koordinaten zx, z₂, zZf die im Ellipsoid

(5)

(U ⁺ (t)⁺ (t) ”¹

liegen und positive Koordinaten haben. Alsdann ist für diesen Variabilitätsbereich nach (4):

III

zf¹ -¹z**~¹z$*~tdz₁ dz₂ dzs

Diese Formel gibt für itŁ = jr₂ —    — 1 das Volumen des

betrachteten OManten des Ellipsoids (5), nach (1) in Nr. 604.

607]

Setzt man dagegen zwei der Exponenten nt, 3t₂, tc₃ gleich 1 und den dritten gleich 2, so kann man hieraus die Koordinaten des Schwerpunktes des Ellipsoid-Oktanten berechnen. Der Schwerpunkt nämlich ist gerade so wie der eines ebenen Flächenstückes in Nr. 602 auch für Körper definierbar, indem man die statischen Momente

Mx =

•fffx dx dy dz

=j*J*J*y dx dy dz,

M,-

f j^Jzdxdydz

des Körpers hinsichtlich der yz-Ebene, der £Æ-Ebene und der #?/-Ebene bildet und alsdann unter dem Schwerpunkte den Punkt mit den Koordinaten: versteht, wobei V das Yrolumen des Körpers sein soll.

Siebentes Kapitel.

Integration vollständiger Differentiale und Integration längs Kurven.

§ 1. Integration vollständiger Differentiale.

608. Bedingung für ein vollständiges Differential in zwei Veränderlichen. Nach Nr. 74 heißt

(i)

df= fxdx -f- fydy

das vollständige Differential einer Funktion f von zwei unabhängigen Veränderlichen. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Funktion in einem gewissen Variabilitätsbereiche von x, y stetig sei und ebenda stetige partielle Ableitungen erster Ordnung fx und f habe. Wenn ferner auch die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung f und f ebenda stetig sind, gilt nach Satz 3, Nr. 65, die Gleichung:

(2)

fxy ⁼⁼ fyx °der

df df d~ÿ ~ Jx ■

Umgekehrt nehmen wir jetzt an: Es sei ein Differentialausdruck von der Form

(3)

U(x, y)dx + V(x, y)dy

vorgelegt; dabei sollen U und Fin einem gewissen Variabilitätsbereiche stetige Funktionen von x und y sein, und außerdem soll ebenda U eine stetige partielle Ableitung nach y sowie V eine stetige partielle Ableitung nach x haben. Alsdann erhebt sich die Frage, ob der vorgelegte Ausdruck das vollständige Differential einer noch zu bestimmenden Funktion f von x und y ist.

608]

(3)

Weil für das vollständige Differential (1) die Bedingung (2) gilt, lehrt die Vergleichung von (1) und (3), daß die Frage gewiß zu verneinen ist, sobald nicht überall im Bereiche

(4)

dx

ist. Wenn aber diese Bedingung überall im Bereiche erfüllt ist, werden wir (in der nächsten Nummer) eine Funktion bilden, die das vollständige Differential (3) hat, und so erkennen, daß die Bedingung (4) auch hinreichend ist.

609. Integration eines vollständigen Differentials in zwei Veränderlichen. Unter den soeben gemachten Voraussetzungen, wonach also insbesondere überall im Bereiche

dU ₌ dV dy dx

sein soll, bilden wir durch eine einfache Integration die Funktion:

(1)

(2)

X

=j*ü(x, y)dx.

Dabei sollen alle Wertepaare x, y, die während der Integration durchlaufen werden, dem Bereiche angehören. Nach Satz 19, Nr. 487, ist F alsdann im Bereiche eine stetige Funktion von x und y. Ihre Ableitung nach x ist gleich TJ(x, y). Ferner ergibt sich ihre Ableitung nach y infolge des Satzes 20, Nr. 488, durch Differentiation nach y unterhalb des Integralzeichens:

dF

dy

X

-f

dy

dx.

Hierfür können wir aber nach (1) schreiben:

dx dx = [Vfa = V(x, y) - V(a, y).

Es ist somit

= U(x,y), dF

dy

= V(x, y) - V(a, y)

d. h. die Funktion F hat das vollständige Differential: dF = U(x, y)dx + [ V(x, y) — V(a, y)\ dy.

Dies ist der gegebene Differentialausdruck Udx -f- Vdy, vermindert um V(a,y)dy. Nun aber ist V(a,y) der Differentialquotient einer Funktion 0 von y allein, nämlich von:

(4) wobei wir annehmen, daß alle Wertepaare x, y, die während der Integration durchlaufen werden, dem Bereiche angehören. Da also

(5)

d0 = V(a, y) dy

ist, folgt

aus

(3) und (5):

d(F -f- 0) = U(x, y)dx -|- V(x, y)dy.

Also hat F -0 das vorgelegte vollständige Differential. Nach Satz 10, Nr. 74, muß infolgedessen jede Funktion, die Udx -f- Vdy zum vollständigen Differential hat, die Form F -f- 0 + konst. haben, wobei die Konstante willkürlich ist. Demnach gilt der Satz 1: Sind U und V innerhalb eines endlichen Variabilitätsbereiches stetige Funktionen von x und y mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung Uy und Vx, so ist der Differentialausdruck

U(x, y) dx + V(’x, y) dy

dann und nur dann ein vollständiges Differential, wenn überall im Bereiche

d U ^ d V dy dx

ist. Insbesondere stellt dann

x    y

Jü(x,y)dx+j V(a, y)dy

a    b

eine im Bereiche stetige Funktion von x und y vor, deren vollständiges Differential das vorgelegte ist, vorausgesetzt, daß alle Wertepaare x, y, die bei den Integrationen durchlaufen werden, dem Bereiche angehören. Ferner geht jede andere Funktion, die dasselbe vollständige Differential Udx + Vdx hat, aus der soeben angegebenen Funktion durch Addition einer willkürlichen Konstanten hervor.

609]

Man sagt, daß der Differentialausdruck Udx -f Vdy inte-grabel sei, wenn die Bedingung

dy

erfüllt ist, und nennt diese Gleichung die Integrabilitätsbedingung des Differentialausdrucks Udx -|- Vdy.

Beispiel: Hiernach ist

dx —

X2    7

y(x-yYÿ’

{x—yY

wobei x 4= y sei, ein vollständiges Differential, und es kommt:

J U(x,y)dx = /-

xdx

(* — y)

= ln --— —1----—,

a — y x — y a — y⁷

y    y

J V{a, y)dx—J-

b    b

— a²dy

y(a — yY

— ln --

b {a — y) a    a

y (a — b) a — y ' a — b ’

so daß die Summe

-, a — b . b

—    —i:--h--

b a — b

x — y

eine Funktion mit dem vorgelegten vollständigen Differential ist. Die allgemeinste derartige Funktion ist:

—I- konst.

y

610. Verallgemeinerung auf den Pall von n Veränderlichen. Es seien Ult TJ₂, ... Un solche Funktionen von n Veränderlichen x1} x₂, ... xn, die innerhalb eines gewissen Bereiches stetig sind und stetige partielle Ableitungen erster Ordnung haben. Soll alsdann

(1)

TJ₁dx₁ + ü₂dx₂ Ą-----h Undxn

das vollständige Differential

df

df ~ ~dx₁ dXx +

df

dxź

dx g -f- • • • -f⁻

df

dXn

dxn

einer Funktion f sein, so muß

df

df

df

••• Un =

dxb

S er ret-S chef fers, Diff.- u. Integral-Rechnung. II. I. u. 5. Aufl.

dx₃ ’

dxn

²⁸ [609, 610

Die Integrale sind hierbei die Funktionen U1} U₂, . . . Un, jedoch ist x₁ in der zweiten bis letzten durch eine Konstante alf ferner x₂ in der dritten bis letzten durch eine Konstante a₂ ersetzt, usw. Schließlich tritt in Un nur noch xn auf, während darin statt xx, x₂, . . . xn die Konstanten %, a₂, ... an_₁ stehen. Es wird vorausgesetzt, daß alle Wertsysteme xx, x₂, ... xn, die während der Integrationen durchlaufen werden, dem Bereiche angehören.

eine solche Funktion ist.

-i

sein. Es ist aber nach Satz 4, Nr. 65:

JLJ^ ₌ _JL dJL

dx, dx.    dx. dxr

ki    i k

Deshalb müssen U1} U₂, . . . TJn die \n(n — 1) Bedingungen erfüllen :

dxk d x.

Umgekehrt wollen wir zeigen, daß es, falls diese Bedingungen erfüllt sind, stets Funktionen f gibt, die den gegebenen Differentialausdruck (1) zum vollständigen Differentiale haben, und zwar behaupten wir, daß

(2)

du.

(i, Je = 1, 2,... n).

(3)

xx    x₂

f=J    ■ * • zn)dx! +JU₂(at,

dy    a₂

.. xn)dxs

x%

+J* (av

a₂, x₃,...xn)dx₃ + • •

«3

*n

■ +j UJav

an

a₂,...an_₁,xn)dxn

Jedes der n Integrale in (3) ist eine stetige Funktion seiner oberen Grenze und nach Satz 19, Nr. 487, auch eine stetige Funktion jeder einzelnen sonst noch in seinem Inte-granden auftretenden Veränderlichen und kann nach Satz 20, Nr. 488, hinsichtlich dieser Größen unterhalb des Integralzeichens differenziert werden. Also ergibt sich als die partielle Ableitung von f nach x{:

df

*1

fdü, (xlfxit.. ■ Xn)

J    dXi

X₂

dx! +ßU^

• • ■ *n)

a₂

fm

-1

«3-1

dX;

dxi_₁ + Ut(av a₂,...at_x,xi}...xn).

Weil die Bedingungen (2) erfüllt sein sollen, sind hier die Integranden

. . •    durch ^    £5 .

’    oxt    cxy’ dxi’

ersetzbar, und deshalb lassen sich alle Integrale auswerten. Es kommt:

dUx

dUt

dx\ »

dxt

= Ui(Xl> *>>••• Xn) ~    »»,••• Xn)

+ Ut{au z₂,.. . xn) - U{(at, a₂, æ₃, . . . aQ

• • Xn) ~    • • • ai-l, Xi, ■■■Xn)

-U •

~f"

+    . .. ^_1? a>„ ... æj,

d. h. einfacher:

df

was zu beweisen war.

611. Nachweis der Stetigkeit des Integrals eines vollständigen Differentials. Die in voriger Nummer aufgestellte Funktion f ist gewiß hinsichtlich jeder einzelnen der n Veränderlichen x₁₇ x₂, ... xn stetig. Es steht aber noch der Beweis dafür aus, daß sie eine stetige Funktion aller n Veränderlichen ist. Wir werden ihn in dieser Nummer geben. Erst wenn man den Beweis geführt hat, ist man berechtigt zu sagen, daß der Differentialausdruck

U₁dx₁ -f U₂dx₂-\-----1- TJndxn,

bei dem die n(n— 1) Bedingungen

(*, k — 1,2,... n)

cUi ₌ dUA d xk d x{

erfüllt sind, ein vollständiges Differential sei. Alsdann nennt man jede Funktion f, deren vollständiges Differential der vorgelegte Differentialausdruck ist, ein zugehöriges Integral.

Bei dem zu führenden Beweise bedürfen wir des Satzes über die Schwankung einer stetigen Funktion von n Veränderlichen. Unter der Schwankung in einem gewissen Bereiche ist die stets positive Differenz zwischen dem größten und kleinsten

[610, 611

Werte der Funktion im Bereiche zu verstehen. Entsprechend dem Satze 4 von Nr. 575 gilt der

Satz 2: Verhält sich eine Funktion von n Veränderlichen in einem Bereiche von endlichen Abmessungen stetig, so gibt es, wie klein auch eine positive Zahl t gewählt sein mag, stets eine positive Zahl ö derart, daß die Schwankung der Funktion kleiner als x in jedem solchen Teile des Bereiches wird, in dem xx, x₂,... xn um nicht mehr als ö variieren.

Der Beweis wird wie der des Satzes 18, Nr. 486, geführt, vgl. auch die Bemerkungen zu Anfang von Nr. 575, die dort den Satz 4 ergaben.

Die in voriger Nummer unter (3) gefundene Funktion f ist nun eine Summe von n Funktionen. Mithin genügt es nach Satz 13, Nr. 23, zu beweisen, daß jeder Summand stetig ist. Da alle Summanden nach demselben Gesetze gebildet worden sind, abgesehen davon, daß Schritt für Schritt weniger Veränderliche Vorkommen, dürfen wir uns darauf beschränken, die Stetigkeit des ersten Summanden

(i)

=J ül(x₁,x₂, . . . xnjdxt

“i darzutun. Dies geschieht jetzt unter der Voraussetzung eines Bereiches mit endlichen Abmessungen.

Wir lassen die Veränderlichen um Axx, Ax₂, . . . Axn wachsen. Nach Satz 2 gibt es, falls eine beliebig kleine positive Zahl t gewählt worden ist, eine positive Zahl <3 derart, daß unter den Voraussetzungen:

(2)

\Axx\<<5, \Ax₂\<ö, ... \Axn\<ö

überall im Bereiche

(3) | L\ (xx + Ax₁,x₂+Ax₂₎... xn + Axn) - Ul(x₁,x₂,...xn)\<t

wird. Hiervon machen wir nachher Gebrauch.

Wenn xx, x₂ . . xn um Axx, Ax₂, . . . Axn wachsen, erfährt die Funktion (1) von xx, x₂, . . xn, bei der die erste Veränderliche xx die obere Integralgrenze ist, während die anderen als Parameter im Integranden Vorkommen, den Zuwachs:

611]

Diese Differenz formen wir gerade so um wie die in Nr. 487 betrachtete Differenz z/jF. In der Tat liegt nämlich jetzt eine direkte Verallgemeinerung der dort behandelten Differenz vor, indem jetzt xx statt x steht und statt nur eines Parameters a jetzt n — 1 Parameter x₂, x₃, . . xn Vorkommen. Wir erhalten:

xx

<dcp =

-f Ux(xx,x₂ + 4x₂,...xn+4xn)dxx

ax

xx

■ Xn + ^Xn)dXl-J    Xn)dx1

aj

<dcp

xx + J xx    xx

=JUx(x1}xa + 4x₂,...xn + 4xn)dxx—J üx(xx

x₂,...xn)dxx.

xx + J xx

+jUx(xx,x₂ + ^x₂

xx

oder:

z/(jP =

xx

-f[Ux(ocx

x, 4 -zJx₂,... xa 4 4xn) - Ux {xx ,x₂,... xj] dxx

«1

xx + J xx

4Ux (xXJ x₂ 4 x₂ ,

XX

•••«« + 4x„)dx x.

Nach Satz 2, Nr. 4, ist | z/<p | nicht größer als die Summe der absoluten Beträge der beiden letzten Integrale.

Unter den Voraussetzungen (2) zeigt nun (3), daß der absolute Betrag des ersten Integranden kleiner als t ist, und zwar überall im Bereiche, also für alle bei der Integration durchlaufenen Wertsysteme. Nach Satz 16, Nr. 414, und Satz 14, Nr. 413, ist demnach der absolute Betrag des ersten Integrals kleiner als r | xx — ax \. Der Integrand des zweiten Integrals weicht nach (3) unter den Voraussetzungen (2) von U₁(x₁, x₂, . . . xn) um nicht mehr als r ab, hat also die Form Ux 4 ff t, wo ff eine veränderliche Größe zwischen — 1 und 4 1 bedeutet und Ux der Wert der Funktion für das Wertsystem xXf x₂, . . . xn ist. Demnach kann der absolute Betrag des zweiten Integrals nicht größer sein als der von

xx + Jxx

xx + J xx

; j*Uxdxx 4 \fffTdxx j.

xx    xx

Hier ist der zweite Summand wegen | -fr | < 1 nicht größer als t | zlxx | oder also nach (2) nicht größer als xG. Somit haben wir bis jetzt gefunden: Unter den Voraussetzungen (2) ist

(4)

I ziep | < X | xt — üx | +

Xx-\- d Xx

\7u>

xx

+ XG .

Nach Satz 20, Nr. 419, gibt es nun zu der Zahl x eine positive Zahl g' derart, daß

Xx + J Xx

I y Ux dxx

xx

für | Zlxx | < g' wird. Dabei kann g' für verschiedene Wertsysteme xx, x₂, . . . xn verschieden ausfallen. Aber wir nehmen von jetzt an ein bestimmtes Wertsystem xx, x₂, . . . xn an, für das wir die Stetigkeit von qp beweisen wollen. Also ist auch g' eine bestimmte positive Zahl. Bezeichnen wir ferner von jetzt an mit G die kleinere der beiden Zahlen G und g', so haben wir nach (4) das Ergebnis, daß

| Ziep | < x {| xx — ax | -f- 1 + G}

unter den Voraussetzungen (2) ist. Da G < 1 angenommen werden darf, wird um so mehr

| ziep | < x [ \xx — ax | -f- 2}.

Schließlich bedeute nun x' eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl. Dann setzen wir

— ai I + ²

und finden: Es gibt eine positive Zahl G derart, daß |z/y|<r' wird, sobald die absoluten Beträge von zlxx, z1x₂, . . . zlxn sämtlich kleiner als G gewählt werden. Demnach ist ep stetig.

Nach der vorausgeschickten Bemerkung steht mithin auch fest, daß die in voriger Nummer unter (3) gefundene Funktion f an jeder Stelle des Bereiches stetig sein muß. Deshalb dürfen wir sie jetzt ein Integral des vollständigen Differentials

Uxdxx + ü₂dx₂ H-----b Undxn

nennen.

Ehe wir die Ergebnisse der vorigen und dieser Nummer als Satz formulieren, weisen wir noch auf Satz 10 von Nr. 74 hin, woraus folgt, daß das allgemeinste Integral des vorgelegten vollständigen Differentials gleich f -f- C ist, wobei G eine willkürliche Konstante bedeutet. Außerdem heben wir hervor, daß die aufgestellte Funktion f für xx= a1} x₂ = a₂, . . . xn — an verschwindet, siehe (3) in Nr. 610. Daraus folgt, daß f gerade dasjenige Integral ist, das an der Stelle (at, a₂, ... af) den Wert Null hat.

Nunmehr können wir die Ergebnisse zusammenfassen in dem

Satz 3: Sind TJX, U₂, ... Un innerhalb eines Bereiches von endlichen Abmessungen stetige Funktionen von xx,x₂,...xn mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung, so ist der Differentialausdruck :

U₁dx₁ + U₂dx₂ + • • • + Undxn

dann und nur dann ein vollständiges Differential, wenn die \n(n — 1) Bedingungen erfüllt sind:

dUk_

(i, k = 1, 2, ... n).

dU.

I

d'xk dx.

Werden sie erfüllt, so ist dasjenige Integral des Differentials, das an der Stelle (ax, a₂, ... an) des Bereiches verschwindet, darstellbar in der Form:

,-xn)dx₃

j U₁(x₁,x₂,...xffdx₁+jU₂(avx2r..xn)dx₂-f-JU₃(ava₂,x₃

GL±    ^2

%n

’.+J Un(ax,

a₂, • • • aB_i, xn)dxn,

an

vorausgesetzt, daß alle Integrationsintervalle dem Bereiche angehören. Diese Funktion ist im Bereiche stetig. Das allgemeinste Integral des Differentials geht aus diesem einen durch Addition einer willkürlichen Konstanten hervor.

Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen

(i, k = 1, 2, ... n)

du. du.

dxk ~ dx.

heißen wie in Nr. 609 die Integrabilitätsbedingungen des Differentialausdrucks

üxdxx + Uadxi H-----h TJndxn.

Anstatt zu sagen, dieser Ausdruck sei ein vollständiges Differential, sagt man nämlich auch, er sei integrabel.

Man bemerkt, daß der Satz 3, angewandt auf den Fall n = 2, mehrVoraussetzungen macht als der Satz 1 von Nr. 609, wo nur die Stetigkeit von U, V, Uy und Vx verlangt wurde. In der Tat kann man auch im Falle w> 3 die Voraussetzungen weiter beschränken. Darauf gehen wir jedoch nicht ein.

Beispiel: Der Ausdruck

(y + e) dx + 0 + x)dy + (x + y)dz

ist integrabel, denn die drei Funktionen U, V, W genügen den Bedingungen

u„

Uy = Vx.

Es kommt nun:

-a),

JU(x, y, z)dx —j(p -f- z)dx = (y -f z){x

J W(a, b, z)dz =j [a + b)dz = (a -f- b)(z — c).

Daher ist die Summe, nämlich:

yz + zx -f xy — bc — ca — ab,

das an der Stelle (a, b, c) verschwindende Integral, während yz + zx -f xy 4- konst. das allgemeine Integral vorstellt.

§ 2. Multiplikatoren eines Differentialausdrucks in zwei Veränderlichen.

612. Bedingung für den Multiplikator oder Inte-grabilitätsfaktor. Wenn ein Differentialausdruck in zwei Veränderlichen x und y:

¹

dt = B(pn,p),

611, 61»]

§ 2. Multiplikatoren eines Differentialausdrucks in zwei Yeränderl. 441

(1)

(2)

U(x, y)dx + V(x, y)dy die Integrabilitätsbedingung U — Vx des Satzes 1, Nr. 609, nicht erfüllt, kann es doch eine Funktion M von x und y geben, die, als Faktor angebracht, den vorgelegten Differentialausdruck zu einem vollständigen Differentiale M Udx ff- MVdy macht. Derartige Funktionen M heißen Eulersche Multiplikatoren oder Integrabilitätsfaktoren. Natürlich ist M 4= 0 vorauszusetzen.

Die notwendige und hinreichende Bedingung für M läßt sich sofort aufstellen. Denn der Ausdruck (2) ist nach dem erwähnten Satze dann und nur dann integrabel, wenn

(3)

dMTJ dMV

dx

dy

ist. Weil MTJ und MV stetige partielle Ableitungen hinsichtlich x bzw. y haben sollen, setzen wir voraus, daß M ebenso wie U und V im Variabilitätsbereiche stetig sei und daß auch die Ableitungen Mx, My, Uy, Vx ebenda stetig seien. Nun läßt sich die Bedingung (3) so schreiben:

MyU+ M Uy-MXV- MVX = 0

oder kürzer so:

(4)

a ln M

dy

-V

a ln M

dx

-V*-Vr

Dies ist eine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die noch unbekannte Funktion ln M von x und y, vgl. Nr. 89. Wir sagen also:

Satz 4: Damit M ein Multiplikator oder Integrabilitäts-faktor des Differentialausdrucks TJdx -f- Vdy sei, d. h. damit M(Udx -j- Vdy) ein vollständiges Differential sei, ist notwendig und hinreichend, daß ln M der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung genügt:

a ln M

-y.~ LJr

- - V-

ainM

dx

Vorausgesetzt wird dabei, daß U und V nebst ihren partiellen Ableitungen Uy und Vx innerhalb eines Variabilitätsbereiches stetig seien, in dem auch ln M nebst seinen partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sein soll.

Beispiel: Der Ausdruck ydx + dy ist kein vollständiges Differential. Multiplizieren wir ihn mit M = 1 : y, so geht das vollständige Differential dx + dy : y der Funktion x -\-hxy hervor. Hier ist U = y, V — 1, und die partielle Differentialgleichung wird durch die Annahme ln M = — lny erfüllt.

613. Geometrische Deutung des Multiplikators.

Sobald M einen Multiplikator von Udx -f- Vdy und f ein Integral des vollständigen Differentials M(JJdx -f Vdy) bedeutet, also

(i)

f. = MU, f, = MV

ist, können wir die Gleichung f(x, y) = konst. als die Gleichung einer Schar von Kurven in der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x und y deuten. Wir fassen einen bestimmten Punkt P und die durch ihn gehende Kurve der Schar ins Auge. Hat f für die Koordinaten des Punktes P den Wert a, so ist f(x, y) — a die Gleichung dieser Kurve. Da längs der Kurve fxdx-\-fydy = 0 ist, gelten für den Winkel v, den die Kurvennormale mit der positiven #-Achse bildet, nach (2) in Nr. 169 die Formeln:

(2)

cosn =

sinv =

fy

Vä+n

vn+n

Geben wir der Quadratwurzel das Pluszeichen, so bedeutet dies, daß wir die Normale in der Richtung nach denjenigen benachbarten und nicht auf der betrachteten Kurve f = a gelegenen Punkten positiv rechnen, für deren Koordinaten f(x, y) größer als a ist. Dies ergibt sich genau so wie in dem allgemeineren Falle einer Fläche F(x, y, z) = 0 in Nr. 253.

Auf der Normalen vonP wählen wir nun einen Punkt im Abstande h von P, wobei wir h positiv im Sinne der positiven Normalen rechnen. (Siehe Fig. 75.) Hat P die Koordinaten x, y, so hat Pt die Koordinaten x + h cos v, y Ą-h sin v. Durch B₁ geht eine Kurve f{x, y) = konst., bei der die Konstante etwa den Wert a -f- 4u hat. Dann ist:

61», 6131

(x+xic*.^

SS

Fig. 75.

§ 2. Multiplikatoren eines Differentialausdrucks in zwei Veränderl. 443

_ f{x -f ln cos v, y -j- h sin v) — fix, y)

Nach Satz 25, Nr. 129, folgt hieraus für lim/i = 0:

lim ^ = fx cos v + fy sin v

h = 0

oder nach (2) und (1)

lim = MyjP + F²,

A = 0 ¹¹

wobei die Wurzel positiv ist, also auch:

(3)

M = lim

a=o

nyu% +f*

Wenn auf der Tangente der Kurve f=a im Punkte P die Strecke ]/U² + F² abgetragen wird, ist der in (3) rechts stehende Nenner der Flächeninhalt z/P des Rechtecks, das diese Strecke zur Grundlinie und Ji zur Höhe hat. Mithin ergibt sich die folgende von Lie herrührende geometrische Deutung des Multiplikators:

Satz 5: Ist M ein Multiplikator des Differentialausdrucks TJdx + Vdy, so daß M(Udx + Vdy) das vollständige Differential einer Funktion f(x, y) vorstellt, so ist der Wert von M für einen Punkt P oder (x, y) der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y gleich dem Grenzwerte:

AB'

M = lim

A = 0

Darin bedeutet Da die Zunahme, die der Wert von fix, y) an der Stelle P erfährt, wenn ein Punkt von P aus um die Strecke h auf der Normalen der durch P gehenden Kurve f = konst. weiterwandert, während DP der Flächeninhalt des Rechtecks mit der Grundlinie ]/ Iß + F² und der Höhe h ist.

614. Die verschiedenen Multiplikatoren desselben Differentialausdrucks. Ist sowohl M als auch N ein Multiplikator von TJdx -f- Vdy, d. h. sind M{Udx + Vdy) und NiUdx + Vdy) die vollständigen Differentiale zweier Funktionen f und cp, so hat man:

(1) f.-MV, f,-MV;    <p,-NU, <p, = NV.

Daher wird die Funktionaldeterminante

-o,

<Px

d. h. qp ist nach Satz 4, Nr. 80, eine Funktion F von f allein:

cp{x, y) = F(f(x, y)).

Alsdann aber folgt:

= F' ■ fx,

<Py = F'-fy>

wenn

gibt (1):

F' die Ableitung von F nach f bedeutet. Weiterhin

Nmmïs. **

Umgekehrt: Es sei M ein Multiplikator von IJdx -f Vdy und f{x, y) ein zugehöriges Integral. Dagegen sei JV" eine Funktion, die aus M durch Multiplikation mit irgend einer Funktion & von f allein hervorgeht:

N=*Sl(f) M.

Dann ergibt sich:

N{Udx + Vdy) = £i(f)M{Udx + Vdy) = Sl{f)df,

von

d. h. N{Udx + Vdy) ist das vollständige - Dilferential von f Sl (f) df.    Daher muß N ebenfalls ein Multiplikator

Udx -f- Vdy sein.

Beide Betrachtungen zusammen liefern die beiden Sätze: Satz 6: Sind M und N Multiplikatoren ein und desselben Differentialausdrucks Udx + Vdy, so sind die Integrale von M(Udx + Vdy) und von F(JJdx -f Vdy) voneinander abhängig.

Satz 7: Ist M ein Multiplikator des Differentialausdrucks Udx + Vdy, so daß M(Udx-\-Vdy) das vollständige Differential einer Funktion f{x, y) wird, so ist jede Funktion von der Form £1 (f) M ein Multiplikator desselben Differentialausdrucks. Dabei bedeutet Q(f) eine beliebige Funktion von f. Ferner hat überhaupt jeder Multiplikator von Udx + Vdy diese Form SI (f) M.

Wir werden die Sätze über Multiplikatoren im dritten Bande anwenden.

6141

§ 3. Kurvenintegrale.

615. Begriff des Kurvenintegrals als Grenzwertes einer Summe. Wenn ein Differentialausdruck in zwei Veränderlichen x und y vorliegt:

TJdx -f- Vdy,

der kein vollständiges Differential ist, können wir zunächst auch nicht von Integralen dieses Ausdrucks sprechen. Aber indem wir den Begriff des Kurvenintegrals einführen, gelingt es doch, an diesen Ausdruck ein Integrationsverfahren anzuknüpfen. Wir werden es wie den Begriff des einfachen Integrals in § 2 des 1. Kap. durch einen Grenzprozeß gewinnen.

In der xy-Ebene sei nämlich eine Kurve k gegeben, etwa vom Punkte (x₀, yQ) bis zum Punkte (X, Y), wobei wir rechtwinklige Koordinaten benutzen. Wir zerlegen alsdann die Kurve durch eingeschaltete Punkte

0i> 9i), Os, &), ••• 0„-i, y*-i)

in etwa n Stücke, siehe Fig. 76. Wenn U und V an jeder Stelle der Kurve vom Punkte (xQ) y₀) bis zum Punkte (X, Y), d. h. also für jedes Wertepaar x, y, das zu einem dazwischen liegenden Kurvenpunkte gehört, bestimmte endliche Weide haben, können wir die Summe bilden:

Hy.)

Hw

CYJ

Al

n~i, Un-l)

Mg. 76.

J = [ Do Ol - xo) + v₀ (yt - y₀)\ + [ Ux (x₂ - xt) + Vx(y₂ - yj] + • • • + Wn_x{X - xn_x) + Vn_x(Y- yn_x)l

Hierin sollen U₀₇ V₀ die Werte von U und V an der Stelle Oo? Vq) bedeuten, allgemein Ut} Ff die Werte von U und V an der Stelle (xif yi). Die Summe J ist die natürliche Verallgemeinerung der Summe J in Nr. 404, wo an Stelle der Kurve eine geradlinige Strecke, nämlich ein Stück der x-Achse von x₀ bis X, auftrat, so daß die Punkte der Strecke durch nur eine Koordinate x bestimmt waren, während hier für die Punkte der Kurve k beide Koordinaten x und y nötig sind, die allerdings voneinander abhängen.

Man kann nun längs der Kur*e k immer mehr Punkte 0i, y^ zwischen dem Anfangspunkte (#₀, y₀) und dem End-

punkte (X, Y) derartig einschalten, daß alle Differenzen zivischen entsprechenden Koordinaten aufeinanderfolgender Dankte nach Null streben, wobei die Anzahl n aller Teilstücke der Kurve über jede Zahl wächst. Wir wollen unter gewissen Voraussetzungen beweisen, daß die Summe J bei diesem Grenzubergange nach einem bestimmten endlichen Werte strebt, den wir alsdann das längs der Kurve k von (#₀, y₀) bis (X, Y) erstreckte Kurvenintegral

j (JJdx 4 Y dg)

k

nennen.

Die Summe J, um deren Grenzwert es sich handelt, läßt sich etwas übersichtlicher schreiben: Versteht man unter x, y irgend eines der eingeschalteten Wertepaare xi} und unter Ax, Ay die Differenzen xi + 1—xif yi+i — y{, so läßt sich die Summe so darstellen:

(1)

y)Ax + V(x, y)Ay\,

k

wobei der Index k andeuten soll, daß sich die Summe auf alle Differenzen Ax und A y der Koordinaten x und y längs der Kurve k beziehen soll.

616. Existenz des Kurveninteg'rals. In bezug auf auf die Kurve k machen wir nach Nr. 168 die folgenden Voraussetzungen: Sie sei mittels einer Hilfsveränderlichen t in der Form dargestellt:

(i)

X = <p(t),

Zu t = t₀ sollen die Werte x = x₀, y = yQ und zu t = T die Werte x = X, y — Y gehören. Im Intervalle von t₀ bis T sollen (p und ip stetige Funktionen von t mit stetigen Ableitungen cp'(t) und if'{t) sein. In bezug auf die Funktionen U und V machen wir ferner die Voraussetzung, daß sie längs der Kurve k stetig seien. Dies soll bedeuten: Ist (xx, yf) irgend ein Punkt der Kurve k, so sollen einerseits U und V daselbst bestimmte Werte Ut und Vx haben und andererseits diese Werte übereinstimmen mit denjenigen Grenzwerten von U und F, die hervorgehen, wenn x und y längs der Kurve nach xx und yx streben. Vgl. die Definition in Nr. 20. Dies läßt sich 615, 616]

so ausdrücken: Ist 6 eine vorgegebene beliebig kleine positive Zahl, so soll es eine positive Zahl h derart geben, daß für jede Stelle (x, y) der Kurve, die den Bedingungen \x — xx \ <h,

I y - Vi I < *

genügt, auch

U-

\r-v₁\<ö

ist. Alsdann werden, wie man ja leicht beweist, U und V vermöge der Substitution (1) auch stetige Funktionen U(<p, ty) und V(<p, von t im Intervalle von t₀ bis T.

Nun läßt sich die Summe J der vorigen Nummer, ausgedrückt in t, nach (1) so schreiben:

(2)

wobei

J=^[U((p, ty)Acp + V(<p, ÿ)Aip], <0

Aÿ == xp(t -j- At) — ip(t)

Acp = cp(t -f- At) —

ist und die Summe über alle Differenzen At von tQ bis T zu erstrecken ist. Es soll alsdann bewiesen werden, daß J einen bestimmten endlichen Grenzwert hat, wenn alle Differenzen At nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahl über jede Zahl wächst.

Da cp und ip stetige Funktionen von t mit stetigen Ableitungen erster Ordnung sind, ist nach dem Mittelwertsatze 3 von Nr. 28:

Aip = At. 4>'(t -f- &At),

(3) A cp = At. cp'(t -f- 6At),

| ip'(t +At) — f'(t) | < r.

wobei 6 und ff positive echte Brüche bedeuten. Da ferner cp'(t) und t'(t) stetig sind, gibt es nach Satz 3, S. 405, falls t eine beliebig klein gewählte positive Zahl vorstellt, stets eine positive Zahl bzw. <j₂ derart, daß cp' (t) bzw. iF(0 in jedem Teilintervalle, in dem t um weniger als 6 variiert, um weniger als x schwankt, und zwar gilt dies, wie auch t in dem Bereiche von t₀ bis T gewählt sein mag. Bezeichnen wir die kleinere der beiden Zahlen 6l und <?₂ mit <3, so folgt also: Wenn alle \At\ < 6 sind, ist auch | cp'(t-\-At) — cp'(t) | < r,

Da 6 und ff positive echte Brüche sind, gilt dies umsomehr, wenn At durch 6At oder &At ersetzt wird. Unter der

[616

J' =^?[U((p, 1>)cp'(t) + V(<p, f)il>'(t)]At

to

um weniger als

I) = x^ {| U(tp, if;) | + | V(ep, t) |} | At |

‘o

ab weicht. Ist nun M der größte Wert, den | U((p, il>) | -+- | F(<p, tp) | im Intervalle von t₀ bis T erreicht, so wird

to

Die Differenzen At sind, falls t₀ < T ist, sämtlich positiv und, falls > T ist, sämtlich negativ. Daher ist die Summe aller \At\ gleich \ T — t₀ . Unter der Voraussetzung also, daß alle \At\<. 6 seien, wird D <[ xM \T — t₀\. Dieser Wert strebt mit x nach Null. Folglich ist lim J — lim J'.

Wir betrachten deshalb von jetzt an die Summe J'. Darin ist der Inhalt der eckigen Klammer eine gewisse stetige Funktion von t, weil ja Z7(<p, ip) und V(<p, i\i) sowie cp'(t) und ip'(ß) stetige Funktionen von t sind. Diese Summe hat also, abgesehen davon, daß t statt x steht, die Form der Summe

(2) in Nr. 404, von der wir wissen, daß ihr Grenzwert, falls alle Ax nach Null streben, gleich einem bestimmten Integral ist, nach Satz 6, Nr. 410. Deshalb kommt:

T

(4) lim J = lim J' =

J\[ü(cp,    + V(q>,

to

Nun kann aber dieselbe Kurve li durch Einführung einer neuen Hilfsveränderlichen s statt t eine andere Parameterdarstellung bekommen, etwa diese:

(5)

Voraussetzung | At | < <? weichen daher cp'(t + OAt) und t'(t + &At)

(3) weichen folglich A cp und Ay> von cp'(t)At und ty'(t) A t weniger als xAt ab. Mithin folgt weiter, daß die Summe J von der Summe

von

cp'(t) bzw. t'(t) um weniger als t ab. Nach

um

« = ®(s), y = W{s) im Intervalle von s = s₀ bis s = S. Hier würde sich als Kurven integral entsprechend (4) das Integral 616]

s

(6)

*F)Q'(s) + V(0, W) F'(s)]ds

⁸o

ergeben. Daher muß noch bewiesen werden, daß es mit dem Kurvenintegrale (4) übereinstimmt. Dabei nehmen wir an, daß s für t=t₀ und t = T die Werte s₀ und S habe und daß die alte Hilfsveränderliche im Intervalle von s₀ bis S eine stetige Funktion

(7)

t = F(s)

der neuen Hilfsveränderlichen s mit einer stetigen Ableitung erster Ordnung sei. Alsdann ist nach (1) und (5) infolge von

(7):

daher :

<p(t) = hü - m

Vif) =

*'(«)

und überdies

F'(s)>

Vif =

W'(s)

F'(s)

dt = F\s)ds.

Führt man diese Werte in das Integral (4) ein, indem man zugleich die Grenze /₀ und T durch die auf s bezüglichen Grenzen s₀ und S ersetzt, so geht gerade der Integral (6) hervor. Der Begriff des Kurvenintegrals ist deshalb von der zufälligen Art der Parameterdarstellung der Kurve k unabhängig.

Demnach haben wir den

Satz 8: Eine Kurve 1c vom Funkte (x₀, y₀) bis zum Funkte (X, Y) sei durch die Gleichungen

x = cp{t),

definiert, indem zu t = t₀ die Werte x₀, y₀ und zu t = T die Werte X, Y gehören, so daß cp und nebst ihren Ableitungen erster Ordnung cp' und ip' im Intervalle von t₀ bis T stetig sind. Ferner seien U(x, y) und V(x, y) längs der Kurve k stetige Funktionen von x und y. Teilt man dann die Kurve durch eingeschaltete Funkte {x., yf) in Intervalle, so hat die Summe:

y.lüix^yßiXi

- xß + V(xi} yt)(yi+1 - yf)],

erstreckt über alle Teilintervalle, einen bestimmten endlichen Grenzwert, falls alle Differenzen xi+1— xt und yi+l — yi nach Null

S erre t- Schef fers, Diff.- u. Integral-Rechnung. II. 4. u. 5. Aufl. 29

[616

streben und dementsprechend die Anzahl aller Teilintervalle über jede Zahl wächst. Der Grenzivert ist gleich dem bestimmten Integrale :

T

J\üdx + Vdy) =J\[U(<p, *W(t) + V(tp, 1,)4;(t)]dt

k    t«

und bleibt derselbe, ivenn man eine andere Tarameter Stellung der Kurve benutzt.

617. Verallgemeinerung des Integrationsweges.

J\üdx + Vdy)

k

Die Kurve Je heißt der Integrationsweg des betrachteten Kurvenintegrals

Wir haben in dem letzten Satze über diesen Weg beschränkende Annahmen gemacht, die wir jetzt erweitern wollen.

Fig. 77.

Es seien zwei Kurven \ und k₂ gegeben, die erste gehe von P₀ nach Px, die zweite von P₁ nach P₂. Auf jeder von ihnen sollen die Voraussetzungen über Kurven gelten, d. h. kx soll mittels einer Hilfsveränderlichen durch zwei stetige Funktionen —^3 mit stetigen Ableitungen dargestellt sein und ebenso k₂. Dagegen brauchen kx und k2 in Px nicht dieselbe Tangente zu haben, siehe Fig. 77. Ferner sollen U und V längs beider Kurven kx und k₂ stetige Funktionen von x und y sein. Alsdann versteht man unter dem Kurvenintegrale

J{Udx + Vdy),

klt kt

hinerstreckt über den ganzen Weg, der aus Jex und k₂ besteht, die Summe der beiden einzelnen Kurvenintegrale:

J(Udx + Vdy) +J\üdx + Vdy),

i-,

die nach dem letzten Satze wohldefiniert sind. Dies läßt sich noch weiter verallgemeinern:

Der Integrationsweg darf nicht nur eine Stelle haben, an der sich die Tangente unstetig ändert, vielmehr eine beliebige,

aber endliche Anzahl von solchen Stellen aufweisen, so daß das Stück zwischen je zwei solchen Punkten den Voraussetzungen über Kurven genügt. Wir definieren dann das Kurvenintegral als die Summe der einzelnen Kurvenintegrale, von denen sich jedes auf eine der Teilkurven bezieht. Es ist nur eine endliche Anzahl von Sprungstellen der Tangente statthaft, weil sonst das Gesamtintegral in eine Summe von unendlich vielen Gliedern zerfiele, so daß die Konvergenz noch zu untersuchen wäre. Außerdem werden wir die Kurvenintegrale nachher in Beziehung zu Doppelintegralen bringen, bei denen man die in Nr. 576 aufgestellte Forderung © zu beachten hat. Deshalb formulieren wir die

Forderung Die Funktionen U(x,y) und V(x,y), bezüglich derer ein Kurvenintegral betrachtet wird, sollen sich stetig auf einem Integrationswege von folgender Art verhalten : Der Weg soll aus einer endlichen Anzahl von Kurven bestehen, also aus einer endlichen Anzahl von Teilen, von denen jeder einzelne in der Form

x=<p(t), y = il>(t)

mittels einer Hilfsveränderlichen t darstellbar ist, wobei cp(t) und rp(t) sowie ihre Ableitungen erster Ordnung cp'(t) und ip'(t) in dem in Betracht kommenden Intervalle stetig sind. Überdies soll es keine Gerade geben, die mit dem Integrationswege unendlich viele Funkte gemein hat.

Für Intégrationswege k von der angegebenen Art und Funktionen U{x, y) und V(x, y), die dieser Forderung genügen, ist alsdann das Kurvenintegral

J*{TJdx -j- V dy)

k

Es besteht aus der Summe einer endlichen

wohldefiniert.

Anzahl von Integralen, von denen sich jedes einzelne auf einen Intégrations weg bezieht, der eine Kurve ist, so daß jedes einzelne nach voriger Nummer der Grenzwert einer Summe ist. Hieraus folgt dann ohne weiteres:

Satz 9: Erfüllen die Funktionen IJ(x, y) und V(x, y) längs eines Integrationsweges k die Forderung ^ und sind P₀ und P₁

[617

Anfang und Ende von k, so ist das längs k von P₀ und P1 erstreckte Kurvenintegral

J(Udx + Vdy)

k

entgegengesetzt gleich dem Werte desjenigen Kurvenintegrals, das längs desselben Weges im umgekehrten Sinne, nämlich von P1 nach P₀ hin, erstreckt wird.

Ferner gilt der

Satz 10: Erfüllen die Funktionen U(x, y) und V(x, y) längs eines aus mehreren Teilen kt, k₂, ... kn bestehenden Integrationsweges die Forderung $, so ist das längs k erstreckte Kurvenintegral über Udx -{-Vdy gleich der Summe der einzelnen längs der Teile kt, k.₂,... kn über Udx -f Vdy erstreckten Kurvenintegrale.

Unter einem Integrationswege verstehen wir künftig nur solche Wege, wie sie in der Forderung ^ beschrieben worden sind.

618. Das Kurvenintegral längs eines geschlossenen Integrationsweges dargestellt als Flächenintegral. Es

seien U und V innerhalb eines Bereiches der xy Ebene stetige .    Funktionen von x und y, und es bedeute

je.

Vr

JC₀ de

Fig. 78.

k einen in diesem Bereiche verlaufenden, sich selbst jedoch nicht schneidenden, aber geschlossenen Integrationsweg von der in der Forderung der letzten Nummer angegebenen Art. Es seien x₀ und X > x₀ die äußersten Werte, die x auf k erreicht, und y₀ und X> y₀ die äußersten Werte, die y auf k erreicht. Wir wollen ferner zunächst noch annehmen, daß eine zur «/-Achse parallele Gerade mit irgendeiner Abszisse x aus dem Intervalle von x₀ bis X den Weg k nur in zwei Punkten (x, yf) und (x, yf) treffe, wobei «/₂>«/₁ sei, siehe Fig. 78. Ebenso soll eine zur #-Achse parallele Gerade mit irgendeiner Ordinate y aus dem Intervalle von y₀ bis Y den Weg k nur in zwei Punkten {x₁,y) und (x₂, y) treffen, wobei x₂ > xt sei.

Der Integrationsweg k werde im positiven Sinne durchlaufen, d. h. so, daß die von k eingeschlossene Fläche E linker 617, 618]

Hand liegt (wie die positive y-Achse gegenüber der positiven æ-Achse, vgl. auch Nr. 530). Bei der Berechnung des Kurvenintegrals

J\üdx + Vdy)

k

(1)

ist es übrigens einerlei, wo wir den Anfang von k annehmen, da der Intégrations weg geschlossen ist. Nach der Definition ist das Kurvenintegral der Grenzwert einer Summe von zwei Gliedern, nämlich der Summe

=2 u(x> y)Ax +2 r(x> ^

k    k

vgl. (1) in Nr. 615. Den ersten Summanden dürfen wir auf eine solche Teilung des Integrationsweges beziehen, die durch Parallele zur y-Achse bewirkt wird, siehe Fig. 79, und den

-Jt

ńy

y-

li

jfc

Fig. 79.

Fig. 80.

zweiten auf eine solche Teilung, die durch Parallele zur Æ-Achse bewirkt wird, siehe Fig. 80. Denn beide Summanden haben nach Nr. 616 bestimmte endliche Grenzwerte, wie auch die Teilung des Integrationsweges vorgenommen werden möge.

Dem Intervalle zwischen zwei Teilgeraden (x) und (x -f Ax) in Fig. 79 gehören zwei Teilstücke des Weges k an. Wegen des festgesetzten Umlaufssinnes wird Ax bei der Stelle (x, 7/t) in positivem Sinne, bei der Stelle (x, y₂) jedoch in negativem Sinne genommen. Daher ist:

x

lim 2* U(x, y)Ax = lim ^[U(pc, y±) — U(x, y₂)] Ax

k    x₀

X

J[U(oc, yx) — U(x, y₂)] dx

xo

Dem Intervalle zwischen zwei Teilgeraden (y) und (y -f- /ly) in Fig. 80 gehören ebenfalls zwei Teilstücke des Weges Ti an. Jedoch wird hier z!y bei der Stelle (xt) y) in negativem Sinne und bei der Stelle (x%, y) in positivem Sinne genommen. Daher kommt:

lim^V(x, y) 4y = lim^[V(x₂, y) - V{x1} y)] zly

k    Vo

Y

=Jl[y) - v(xi, y)]dv-

Vo

Das Kurven integral (1) ist somit gleich:

x    r

(2) J[TJ(x, yt) — U(x,yJ]dx +J[V(x₂, y) - V(xuy)]dy.

xo    Vo

Nehmen wir nun an, daß U(x, y) im betrachteten Bereiche eine stetige partielle Ableitung Uy und V(x, y) ebenda eine stetige partielle Ableitung Vx habe, so können wir andererseits das Doppelintegral betrachten:

(3)

IM

E

— Uy) dx dy,

erstreckt über die von Ti eingeschlossene Fläche E, denn U und Vx erfüllen die Forderung (S in Nr. 576. Nach Nr. 577 werten wir die Teile

JVxdxdy und J*J Uydxdy

FZ    e

des Doppelintegrals aus, indem wir zuerst hinsichtlich x bzw. y integrieren. Es kommt dann:

Y

JJ Vxdxdy =J[V(xs, y)

E    y₀

X

— U(x, yj] dx.

Jj Uydxdy    [U(x, y₂)

E    x₀

Nach Satz 9, Nr. 576, ist also das Doppelintegral (3) gerade

618] gleich dem Werte (2), d. h.:

/[Udx + Vdy) - ff(r,- Uy)dxdy.

k    E

Das längs des Weges Tc erstreckte Integral über Udx -j- Vdy ist mithin als Flächenintegral darstellbar, erstreckt über den von 1c umschlossenen Bereich E.

Dabei wurde jedoch vorausgesetzt, daß der Rand 1c von einer Parallelen zur x- oder y -Achse höchstens zweimal getroffen werde. Um zu zeigen, daß diese Voraussetzung unnötig ist, beweisen wir, daß das Ergebnis auch für die Summe zweier aneinander grenzender Bereiche Ex und E₂ gilt, falls es für Ex und E₂ einzeln richtig ist. Nach (4) haben wir nämlich: ff \y,~ u,)dxdy -f [Udx + Tdy),

(5)

kl

ffr,- uv)dxdy - f;Udx + Vdy),

wobei die Ränder \ und \ von Ex und E₂ positiv, also so durchlaufen werden, daß die Fläche Ex bzw. E₂ links liegt. Nach Satz 10 der letzten Nummer können wir die rechtsstehen-

ET '

Fig. 81.

den Kurvenintegrale in Summen zerlegen. Ist x der gemeinsame Teil von 1cx und 1c₂, sind dagegen 1cx und Tc' die übrigen Teile von hx bzw. 1c ₂, so ist das erste Kurvenintegral gleich der Summe der beiden längs h[ und x erstreckten und das zweite gleich der Summe der beiden längs 1c₂ und x erstreckten Integrale. Man bemerkt aber in Fig. 81, daß bei den beiden auf x bezüglichen Integralen der Weg in verschiedenen Sinnen durchlaufen wird, so daß diese beiden Integrale nach Satz 9 der letzten Nummer entgegengesetzt gleich sind und die Addition der beiden Formeln (5) ergibt: Das Flächenintegral über den von Ex und E₂ gebildeten Gesamtbereich ist gleich dem Kurvenintegrale, erstreckt längs des von Jc[ und Jc'₂ gebildeten Randes dieses Bereiches, vorausgesetzt, daß das Entsprechende für die Teilbereiche Ex und E₂ gilt.

Liegt nun ein beliebiges ebenes Fläcbenstück E innerhalb des erlaubten Variabilitätsbereiches vor, so können wir es immer so zerlegen, daß der Rand eines jeden Teiles von einer Parallelen zur x- oder î/-Achse höchstens zweimal getroffen wird. Aus der Gültigkeit des Satzes für die Teile folgt alsdann die Gültigkeit für das ganze Flächenstück E. Deshalb gilt der

Satz 11: Sind TJ und V zwei innerhalb eines Bereiches E und auf seinem Bande h stetige Funktionen von x und y mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung Uy und Vx und erfüllen die Funktionen U und V auf dem Bande k die Forderung $ von Nr. 617, so ist das längs k erstreckte Kurvenintegral über Udx + Vdy mittels der Formel

f(Udx + Vdy) -fß’(VTJy)dxäy

k    /<:

darstellbar als ein auf die ganze Fläche E bezügliches Doppel-integral. Bei der Bildung des Kurvenintegrals sind dabei alle Teile von k in positivem Sinne zu durchlaufen, d. h. so, daß die Fläche E gegenüber der Bichtung des Durchlaufens gerade so gelegen ist wie die positive y-Achse gegenüber der positiven x-Achse.

))

Fig. 82.

Dies Ergebnis gilt z. B. auch im Falle einer Fläche E, wie sie in Fig. 82 dargestellt ist. Hier besteht der Rand k aus zwei getrennten Stücken, und es zerfällt das Kurvenintegral in eine Summe von Z/A zweien, von denen sich jedes auf eine der Z/J beiden Randlinien bezieht. Dabei ist der ' Umlaufsinn so wie in der Figur zu nehmen, weil die Fläche F stets links liegen soll. Daß der Satz auch für derartige Fälle gilt, erkennt man sofort, wenn man noch eine Linie von dem äußeren nach dem inneren Rande hin zieht und den Satz auf die jetzt einfach umrandete Fläche F anwendet.

619. Das Kurvenintegral über ein vollständiges Differential. Wieder sollen die Funktionen TJ und V von x und y nebst ihren partiellen Ableitungen U und Vv in einem

Bereiche der xy-Ebene stetig sein. Wir wählen irgend zwei Stellen (x₀,y₀) und (X, Y) in diesem Bereiche, siehe Fig. 83, und ziehen von der ersten zur zweiten zwei verschiedene Integrationswege kx und k₂, von denen wir vorerst annehmen wollen, daß sie einander nicht schneiden. Die Kurven \ und k2 schließen ein Flächenstück E ein. Wenn dies Flächenstück E vollständig m jenem Bereiche gehört, in dem U, V, Uy und Vx stetig sind, können wir den letzten Satz auf E anwenden. Sobald wir dabei kx und k₂ im Sinne der Bewegung von der Stelle (x₀, y₀) zur Stelle (X, Y) durchlaufen, ergibt sich, weil E in Fig. 83 alsdann links von kx, aber rechts von k₂ liegt, die Formel:

o/rjo

Eig. 83.

— Uy)dx dy.

(1) f\üdx + Vdy)-f(Udx + Vdy) -ff (7.

A*2    E

Ist nun insbesondere Udx -j- Vdy ein vollständiges Differential, so verschwindet die Differenz Vx— Uy nach Satz 1, Nr. 609, so daß die rechte Seite gleich Null wird. Dann kommt:

(2)

J ( Udx + Vdy) =jfüdx -f- Vdy),

kx    k₂ wobei sowohl kx als auch k₂ im Sinne von der Stelle (x₀, y₀) zur Stelle (X, Yj zu durchlaufen sind.

J?21

Jii»

faßt)

Fig. 84.

Dasselbe Ergebnis gilt, wenn kx und k₂ einander durchsetzen. Denn z. B. im Falle der Fig. 84, wo kx und k₂ einander im Punkte (xx, yx) schneiden, zerlegen wir kx und k₂ in die Teile kxx, kX2 und k2x, k₂₂, die durch diesen Teilpunkt bestimmt werden. Alsdann ist das längs kxx erstreckte Integral gleich dem längs k2X erstreckten — im Sinne der Bewegung von (x₀,y₀) nach (xx, yf). Ebenso ist das längs kx2 erstreckte Integral gleich dem längs k₂₂ erstreckten — im Sinne der Bewegung von (xx,yx) nach (X, Y). Addition ergibt, daß die Formel (1) auch jetzt besteht, nach Satz 10, Nr. 617. Mithin gilt der

Satz 12: Sind U und Vinnerhalb eines Bereiches der xy-Ebene stetige Funktionen von x und y mit stetigen partiellen Ableitungen Uy und Vx und ist üdx -\-Vdy ein vollständiges Differential, so ist der Wert des von einer Stelle (xQ, y₀) des Bereiches bis zu einer Stelle (X, Y) des Bereiches längs eines Integrationsweges kx erstreckten Kurvenintegrals über TJdx + Vdy gleich dem Werte des längs eines andern Integrationsweges k₂ von demselben Anfangspunkte bis zu demselben Endpunkte erstreckten Kurvenintegrals über Udx + Vdy, vorausgesetzt, daß nicht nur kx und k₂ vollständig dem Bereiche angehören, sondern auch zwischen kx und k₂ keine Stelle liegt, die nicht auch dem Bereiche angehört.

Daß diese letzte Voraussetzung für den Beweis wesentlich ist, soll noch die Fig. 85 erläutern, worin der Bereich das schraffierte ringförmige Stück sei. Das

^fT/7J77T>>.    Flächenstück zwischen kx und k₂ ist hier

ü//,l/r/W^UJnktK    e^n    das üicht als Bereich E für

Fig. 85.

//////////f v/f/N/h e^n Flächenmiegrsl dienen kann, wie es die Anwendbarkeit des Satzes 11 der vorigen Nummer erfordert. Dagegen ge-hört hier zu kx und zu dem Wege % derselbe Integralwert.

620. Umkehrung der Betrachtung. Wir machen dieselben Voraussetzungen wie vorher über die Stetigkeit hinsichtlich U, V, Uy und Vx, wollen aber nicht annehmen, daß Udx + Vdy gerade ein vollständiges Differential sei. Fragen wir uns dann, unter welchen Umständen das von (xQ, y₀) bis (X, Y) erstreckte Kurvenintegral über Udx -\-Vdy einen vom Integrationswege k unabhängigen Betrag haben kann, vorausgesetzt, daß alle statthaften Wege dem Bereiche angehören und keine zwei von ihnen eine Stelle einschließen, die nicht dem Bereiche angehört. Nach (1) in der letzten Nummer müßte

IM

E

(1)

— Uy)dxdy = 0

sein für jedes Stück E der Ebene, das dem Bereiche angehört. Dies gilt z. B. für irgendein Rechteck, dessen Seiten den Achsen

619, 6»0]

parallel sind, siehe Fig. 86, vorausgesetzt, daß die Ecken (x₀, y₀) und (X, Y) so nahe beieinander gewählt werden, daß das ganze Rechteck im Variabilitätsbereiche enthalten ist. Für dieses Rechteck besagt die Formel (1) nach Nr. 572:

X Y

/[/(F‘

xo Vo

— Uy) dy dx = 0.

y.°.

<)

:-r₀

Da X innerhalb gewisser Grenzen veränderlich ist, steht links eine Funktion von X, die gleich Null ist, so daß auch ihre Ableitung verschwindet:

Mg. 86.

r

f(J.~ u,)dy- 0,

Vo

woraus ebenso folgt: Vx — üy = 0, d. h. Udx-j- Vdy muß nach Satz 1, Nr. 609, ein vollständiges Differential sein. Somit haben wir den

Satz 13: Sind U und V innerhalb eines Bereiches der xy-Ebene stetige Funktionen von x und y mit stetigen partiellen Ableitungen Uyund Vx, so ist der Differentialausdruck Udx -f- Vdy dann und nur dann ein vollständiges Differential, wenn das Kurvenintegral

J(Udx + Vdy)

k

hinerstreckt von einer Stelle (x₀, y₀) des Bereiches bis zu irgend einer andern Stelle (X, Y) des Bereiches, einen Wert hat, der stets derselbe bleibt, falls der Integrationsweg k durch irgend einen anderen Integrationsweg von der ersten Stelle bis zur zweiten ersetzt, wird, vorausgesetzt, daß zivischen beiden Integrationswegen keine Stelle gelegen ist, die nicht dem Variabilitätsbereiche angehört.

Achtes Kapitel.

Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

§ 1. Definition der monogenen Funktionen.

621. Vorbemerkung. In diesem letzten Kapitel des zweiten Bandes soll die Integration im komplexen Bereiche auseinander gesetzt werden. Bei diesem Anlasse wollen wir aber auch die Grundlagen der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen entwickeln, da wir im elften Kapitel des ersten Ban des nur das Elementarste darüber hatten bringen können.

In Nr. 365 definierten wir w = u -f- iv als eine Funktion von z = x + iy, wenn eine Vorschrift vorhanden ist, nach der jedem Werte der komplexen Veränderlichen z innerhalb eines Variabilitätsbereiches in der komplexen Zahlenebene ein Wert der komplexen Veränderlichen w zugeordnet wird. Es ist also ein Variabilitätsbereich für das reelle Wertepaar x, y anzunehmen. Sind alsdann u(x, y) und v{x, y) reelle Funktionen von x und y in diesem Variabilitätsbereiche, so ist

(i)

w = u (x, y) + iv(x, y)

der allgemeine Ausdruck einer Funktion der komplexen Veränderlichen z — x + iy. Biesen Funktionslegriff werden wir nun zweckmäßig einschränken. Diejenigen Funktionen nämlich, die wir im elften Kapitel des ersten Bandes betrachteten, z. B. die Potenzreihen, die goniometrischen und Exponentialfunktionen, . der Logarithmus sowie die rationalen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, haben ausnahmslos Anleitungen dw : dz. Wir wollen deshalb feststellen, unter welchen Bedingungen die Funktion (1) eine Ableitung dw : dz hat, und uns alsdann auf Funktionen beschränken, denen Ableitungen zukommen.

631]

Die Ableitung ist nach Nr. 27 zu definieren als der Grenzwert des Bruches :

(2)

Aw A(u-\-iv) Au-\-iAv Az A{x-\-iy) Ax-\-iAy’

worin:

Alu = u(x -f- Alx, y -j- Al y) — u(x, y),

Alv = v{x -f- Alx, y -f Aly) — v(x, y) ist, und zwar als derjenige Grenzwert, der hervorgeht, falls aIx und Aly leide unabhängig voneinander nach Null streben.

Im allgemeinen kann eine von aIx und Aly abhängige Größe verschiedenen Grenzwerten zustreben je nach der Art, wie man aIx und Aly sich der Null nähern läßt, da hier ein doppelter Grenzübergang zu machen ist. Der sehr einfache Ausdruck Aly : aIx z. B. kann für lim aIx = ü, lim dy = 0 alle möglichen Werte annehmen. Man setze nämlich, indem man unter h irgend eine bestimmte Größe versteht, Aly = hAlx. Für lim Alx = 0 ist dann auch lim Aly = 0, während der Grenzwert des Bruches Aly : Alx gleich h wird. Die Zahl h aber konnte ganz beliebig gewählt werden. Der Bruch Aly : Aly also hat für lim Alx = 0, lim Aly = 0 keinen bestimmten Grenzwert. Daher wird auch der Bruch (2) für limz/^ = 0, lim Aly = 0 nur unter gewissen Bedingungen einen bestimmten Grenzwert haben. Diese Bedingungen sollen jetzt ermittelt werden.

622. Bedingungen für die Existenz einer Ableitung. Unter der Voraussetzung, daß u(x, y) und v(x, y) nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetige reelle Funktionen von x, y innerhalb des Variabilitätsbereiches seien, ist es leicht, die Bedingungen für das Vorhandensein eines bestimmten Grenzwertes von Alw : Alz aufzustellen.

Wir schreiben zunächst vor, daß Alx und Aly so nach Null streben sollen, daß dabei stets Aly = kdx bleibt, wobei h eine beliebig gewählte Größe bedeute. Alsdann ist:

Atu = u(x 4- Alx, y + TcaIx) — u(x, y), aIv — v {x + aIx, y + liAx) — v (x, y) und nach (2) in voriger Nummer:

Av

Aw A x

~- + iÄx

Az

1-1-ik

[621, 622

Die Zähler und Nenner der Brüche /Ju : /Jx und /Jv : /Jx verschwinden für lim /Jx = 0, so daß wir ihre Grenzwerte nach Satz 25, Nr. 129, bilden, indem wir Zähler und Nenner für sich nach /Jx differenzieren und alsdann den Grenzübergang lim /Jx = 0 machen. Es kommt so:

du(x, y)

lim

du{x,y)

dx

dy ’

lim

A v dv(x, y)

A x dx

dv(x, y) dy ’

mithin :

lim — ₌ ux + kuV + i(vx + kVy)

Az    1 -4- i*

Dieser Grenzwert ist nur dann von der willkürlich gewählten Größe k unabhängig, wenn sich auch vom Zähler der Faktor 1 -f- ik absondern läßt, d. h. wenn der Zähler für k = i verschwindet. Also ist zu fordern:

ux+ iu,j + Kvx + ivy) = o

Ux~Vy +    = 0.

Da u und v reelle Funktionen sind, zerfällt diese Bedingung in die beiden:

(i)

oder:

(2)

Uy-~Vx-

Ux=Vy,

Sind diese Bedingungen erfüllt, so gibt (1) für jeden Wert von k:

A iv

lim ^7 ^ lur

Aber die Vorschrift, daß /ly : /Jx eine Konstante k sei^ haben wir willkürlich in die Betrachtung hineingebracht. Es handelt sich darum, zu untersuchen, ob /Iw : Az einen bestimmten endlichen Grenzwert hat, wie auch immer /Jx und /Jy nach Null streben mögen. Wir wissen also bis jetzt nur, daß die Bedingungen (2) notwendig sind, und wollen zeigen, daß sie auch hinreichen.

Deshalb nehmen wir jetzt an, daß die Bedingungen (2) erfüllt seien, und lassen /Jx und /Jy in beliebiger Weise nach Null streben. Da wir voraussetzten, daß u und v stetig seien, ist nach Satz 28, Nr. 137:

/Ju=u{x+/Jx,yJr/ly)—u(x,y) = {/lx.ux-}r/Jy.uy)x+eAx,y + ojy, /1v=v(x + /Jx,y + /Jy) — v(x,y)={4x.vx-\-/Jy.vy}x + #jX]y+<>jy,

622]

(3)

wobei 6 und positive echte Brüche bedeuten und die Indizes andeuten sollen, daß x und y in den geschweiften Klammern durch diese Indizes zu ersetzen sind. Es ist bequemer, das Wertepaar x 6 A x, y -\- 6 Ay mit xlf yx und das Wertepaar x + &Ax, y -{^d'zJy mit x₂, y₂ und dementsprechend u (xx, yx) mit ux und v(x₂, y₂) mit v₂ zu bezeichnen, so daß kommt:

(4) Au - I“¹ Ax +

CD! cd

Av = Ax 4- -dx₂ ⁺ a

Ay.

auch noch u(x₂, y₂)

Infolge der Annahmen (2) ist nun, wenn und u₂ bezeichnet wird:

dv₂ __    du₂    dv₂ du₂

dx₂

~    dy₂’    dy₂ ~ dx₂

Demnach lassen sich die Zunahmen (4) so ausdrücken:

JX+wAy’

Au =

CDl CD

Av =

du₂

~wAx+d^Ay’

so daß sich der Bruch

+ l~A~x

dy

Au

Aw    Au -f- iAv    Ax

Az    Ax -f- iAy

Ax

auf die Form bringen läßt:

(5)

Aw_ /dul . du₂\

Az ~~    dyj

s s

IC k©

dux

dy₁ ' Ay dul . 8u₂ Ax dxx dy₂

Ay

Wenn nun u und v, wie wir annah men, stetige partielle Ableitungen erster Ordnung haben, streben

^ Uy d Mg

dUi* dVî

3ul

bzw.

dXy ’

für lim Ax = 0, lim Ay = 0 nach

du

bzw.

du

*y’

weil x₁₇ yx und ebenso x₂, y₂ von x, y nur um 6Ax, OAy bzw. Q'Ax, d'Ay ab weichen. Folglich ist der Grenzwert des

[633

in (5) rechts im Zähler anftretenden Bruches, nämlich des Faktors

von iAy.Ax, gleich Eins, so daß wie in (3) hervorgeht:

(6)

Also gilt der

Satz 1: Es seien u(x,y) und v(x, y) nébst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetige reelle Funktionen von x und y innerhalb eines Variabilitätsbereiches, so daß w = u{x, y) + iv(x, y)

eine Funktion der komplexen Veränderlichen z = x + i y innerhalb des entsprechenden Bereiches der komplexen Zahlenebene ist. Der Differenzenquotient

Aw Au -f- iAv Az Ax + iAy

hat dann und nur dann, wenn innerhalb des Bereiches die Bedingungen

64 g

dv

dx erfüllt sind, für lim Ax = 0 und lim A y = 0 einen solchen bestimmten endlichen Grenzwert, der unabhängig ist von der Art, wie Ax und A y nach Null streben.

623. Monogeue Funktionen. Nach Cauchy heiße von

nun an

(1)

w = u{x, y) -t- iv(x, y) eine monogene Funktion der komplexen Veränderlichen z = x + iy innerhalb eines gewissen Bereiches der komplexen Zahlenebene, wenn u und v nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung innerhalb des zugehörigen Bereiches der reellen Wertepaare x, y stetige reelle Funktionen von x und y sind, die den Bedingungen

(2)

du

dv

dx

genügen. Man nennt diese Bedingungen die Cauchy-Riemannschen Gleichungen.

Jede monogene Funktion hat nach den Ergebnissen der letzten Nummer überall innerhalb des Bereiches eine Ableitung:

dw

-, *    Aw

■5— = lim ——

dz

Az

622, 623]

die wir auch ihren Differentialquotienten nennen und der nach der Formel (6) der letzten Nummer der Wert

du .du

zukommt, wofür wir auch nach (2) schreiben können:

dw du . dv d(u -f- iv) d

dz da ¹ dx

(3)

(4)

Słoi

dx

Wenn wir künftig eine monogene Funktion von z mit f(z) bezeichnen, soll wie auch sonst f'(z) ihre Ableitung bedeuten.

Wir behaupten nun umgekehrt:

Satz 2: Wenn die Größe w = u -f iv innerhalb eines Bereiches der komplexen Zahlenebene als eine Funktion der Größe

z = x + iy definiert ist und zwar derart, daß der Differentialquotient

Aw

Az

Au -f- iAv Ax -j- iAy

für lim Alx = 0, lim Al y = 0 einen bestimmten endlichen Grenzwert cp -j- iil> hat, und wenn u, v, cp und ip innerhalb des Bereiches stetige reelle Funktionen von x und y sind, ist w ebenda eine monogene Funktion von z.

Bedeutet nämlich 6 eine beliebig kleine positive Zahl, so gibt es nach den Annahmen des Satzes eine positive Zahl h derart, daß für

(5)

| z/x I < h, | Dy | < h

auch stets

j Au -f- iAv ; Ax -(- iAy

ist. Wählen wir insbesondere By = 0, so kommt:

(6)

Av

< <3

oder uach einer Bemerkung in Nr. 357 :

Au

Av

d. h. u und v haben hinsichtlich x die stetigen partiellen Ableitungen cp und tl>:

du

d~x ⁼ ^-

Serret-Scheffers,Diff.-u.Integral-Bechnung. II. 4.u.ö.Aufl.    30

[633

Ebenso liefert (6) bei der Annahme Ax = 0:

also

du

dy

-F f <6,

dy

Cf < <3,

so

daß u und v hinsichtlich y die stetigen partiellen Ableitungen — ip und cp haben:

Ci

(8)

dv

Die Ableitungen (7) und (8) erfüllen offenbar die Cauchy-Riemannschen Gleichungen (2); folglich ist Satz 2 bewiesen. Wir können ihn etwas knapper so formulieren:

Satz 3: Ist innerhalb eines Bereiches der komplexen Zahlenebene f(z) eine solche stetige Funktion von z = x -f- iy, die ebenda eine stetige Ableitung f (z) hat, so ist f(z) in dem Bereiche eine monogene Funktion von z.

In Nr. 365 definierten wir die analytischen Funktionen, nämlich die Potenzreihen:

f\z) = C₀ + (z - z₀) + c₂(z- z₀y + • • • + [z - zQ)n -f • • •

Sie sind nach Satz 16, Nr. 367, innerhalb ihrer Konvergenzkreise stetig und haben dort nach Satz 19, Nr. 370, die ebenfalls stetigen Ableitungen:

f 0) =    + 2c,(z - z₀) + • • • + ncn(z - *₀)ra"¹ + • • •.

Hieraus folgt nach unserem Satze: Die analytischen Funktionen sind monogene Funktionen. Nach Nr. 366, Nr 373 und Nr. 374 gehören die ganzen rationalen Funktionen und die Funktionen ez, sin z, cos z\ (1 -f z)m zu den analytischen und demnach auch zu den monogenen Funktionen. Dasselbe gilt nach Nr. 376 für den Hauptwert des Logarithmus, wenn dabei von den Stellen der negativen reellen Achse abgesehen wird. Daß auch die andern, im 11. Kap. des 1. Bandes vorkommenden besonderen Funktionen, z. B. tg z, arc tg z usw., monogen sind, wird sich in den nächsten Nummern zeigen.

Wir werden später erkennen (in Nr. 643), daß sich jede monogene Funktion in der Umgebung einer Stelle z₀ ihres 6»31

Bereiches als Potenzreihe nach steigenden ganzen positiven Potenzen von z — z₀ entwickeln läßt, d. h. in jener Umgebung eine analytische Funktion ist, so daß man also umgekehrt sagen kann: Die monogenen Funktionen sind analytische Funktionen.

624. Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von monogenen Funktionen. Sind ux -f ivx und u₂ -+- iv₂

in einem gemeinsamen Bereiche monogene Funktionen wx und w₂ von z oder x -j- iy, so ist:

du,    dvt    du, _ dv,

dx    dy ’ dy

und w₂ den Cauchy-Riemannschen Gleichungen, wenn nur heim Quotienten von denjenigen Stellen abgesehen wird, wo w2 verschwindet. Es wird genügen, den Beweis z. B. für das Produkt wxw₂ anzudeuten. Bringen wir das Produkt auf die Form u -\- iv, so kommt:

U = uxu₂ — VXV₂,

(1)

dv₂

dx

dx

V = uxv₂ -f- vxu₂.

Differentiation dieser Funktionen gibt nach (1):

du du,    du.₂ dv,    dv,_du,    du, du,    du,

Fx^faU*+UlJ^~JxV*~ViJx~TxU^UiJ^ ⁺ J^V^ViJ^

dv du,

'dy dy

d. h. es besteht die erste Cauchy-Riemannsche Gleichung:

v₂-\-ux

d_PljL.dJSu    djtt^dju, d_u, du, du,

dy ⁺ dy 2 h 1 dy dy 2+ 1 dx ⁺ dx 2 + dy ’

dv

dy

Ebenso ergibt sich die zweite. Da entsprechendes in den andern Fällen gilt, können wir sagen:

Satz 4: Sind wx und w₂ in einem gemeinsamen Bereiche monogene Funktionen von z = x + iy, so gilt dasselbe ebenda von ihrer Summe, ihrer Differenz, ihrem Produite und ihrem Quotienten, wenn man nur im letzten Falle den Bereich soweit einschränkt, daß die Funktion w₂ darin nirgends verschivindet.

Hieraus folgt z. B., daß tg z — sin #:cos z, die in Nr. 375 eingeführte Funktion, monogen in einem solchen Bereiche ist, wo cos z nicht verschwindet. Entsprechendes gilt von

[633, 634

ctg z = cos z : sin z. Auch erhellt, daß eine gebrochene rationale Funktion (Nr. 379) monogen in einem jeden solchen Bereiche ist, in dem ihr Nenner nicht verschwindet.

625. Funktionen von Funktionen. Es gilt ferner der

Satz 5: Ist w = f(z) innerhalb eines Bereiches für z eine monogene Funktion von z und W = F(w) innerhalb eines Bereiches für w eine monogene Funktion von iv, so ist auch W eine monogene Funktion von z und zwar für diejenigen Werte von z innerhalb des ersten Bereiches, denen vermöge w = f(z) Werte w in dem zweiten Bereiche zugehören.

Es sei nämlich z = x + iy und w = f(z) = u{x, y) — iv(x, y), W= F(w) = U(u, v) -f-iV(u, v).

du    dv du    dv

dx    dy ’ dy

genügen. Ebenso sind U und V im zweiten Bereiche reelle stetige Funktionen von u und v mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung, die entsprechend den Gleichungen

Nach Voraussetzung sind u und v im ersten Bereiche reelle stetige Funktionen von x und y mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung, die den Cauchy-Riemannschen Gleichungen

dx

(i)

(2)

du₌dv du

du dv ¹ dv

dV

du

genügen. Beschränken wir uns auf solche Wertepaare x, y des ersten Bereiches, zu denen infolge von w = f(z) Wertepaare u, v gehören, die im zweiten Bereiche liegen, so sind U und V als Funktionen von « und » nach Satz 8, Nr. 22, stetige Funktionen von x und y, die nach Satz 21, Nr. 41, die stetigen partiellen Ableitungen haben:

Ux= Uuux+ Uvvx, K= J>x+ vvvx,

(3)

Uy= UuUy+ üvVy,

Vy = Vuuy+ Vvvy.

Aus (1) und (2) ersehen wir, daß Ux = Vy und Uy = — Vx ist, d. h. U und V, als Funktionen von x und y aufgefaßt, wiederum den Cauchy-Riemannschen Gleichungen genügen. Die Funktion W ist also, als Funktion von z aufgefaßt, monogen.

684, 685]

In dieser Auffassung hat sie nach (4) in Nr. 623 die Ableitung TJX -f- iVx, die sich nach (3) so darstellen läßt:

“ P>. + Pa + •'( *>,+r.O.

d. h. mit Rücksicht auf (1) und (2) so:

dir

dz

- (P.+w„)o,+

oder:

(4)

dTT ₌ dW dw dz dw dz

Die Regel für die Differentiation einer Funktion von einer Funktion (Nr. 33) gilt demnach auch für monogene Funktionen. Als eine Anwendung des Satzes 5 erwähnen wir, daß mit

1 + iz 1 — iz

W-~ lnw,

auch

w-nCT

d. h. nach (1) in Nr. 377 der Arkustangens von z eine monogene Funktion von z ist.

§ 2. Konforme Abbildung.

626. Die durch eine monogene Funktion vermittelte Abbildung. Wenn

(1)

w = u(x, y) -f iv{x, y)

innerhalb eines Bereiches eine monogene Funktion von z — x-\-iy ist, entspricht jeder komplexen Zahl z des Bereiches eine komplexe Zahl w. Wie wir z nach Nr. 355 durch den Punkt der komplexen Zahlenebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x und y veranschaulichen, können wir die komplexe Zahl w durch den Punkt einer zweiten Zahlenebene mit den rechtwinkligen Koordinaten u und v darstellen. Dann entspricht jeder Stelle z des Bereiches in der #-Ebene eine Stelle w der w-Ebene, d. h. der Bereich der z- Ebene wird auf die w- Ebene abgebildet.

In § 5 des sechsten Kapitels sprachen wir allgemein über Abbildungen einer Ebene auf eine andere Ebene. Wenn wir die dort gebrauchten Bezeichnungen x, y und u} v vertauschen,

[625, 626

sind die beiden ersten in Nr. 593 formulierten Voraussetzungen diese: Erstens sollen u und v und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung stetige Funktionen von x und y sein. Das ist hier der Fall, sobald wir uns auf den Variabilitätsbereich der monogenen Funktion w beschränken. Zweitens soll die Funktionaldeterminante

+0

sein. Auch diese Voraussetzung können wir erfüllen, denn wegen der Cauchy-Riemannschen Gleichungen

M»-V

(2)

wird

Uy = ~%

(3)

® = M® 4- w},

also nur dann ÜD = 0, wenn ux und u beide gleich Null sind. Im ganzen Bereiche könnte dies nur dann der Fall sein, wenn u = Fönst, wäre, und aus (2) würde sich dann auch v — konst., also w = konst. ergeben, ein Fall, von dem wir natürlich ab-sehen. Wohl aber ist es denkbar, daß ux und uy und nach

(2) folglich auch vx und vy an einzelnen Stellen des Bereiches oder längs einzelner Kurven im Bereiche der 0-Ebene zugleich verschwinden. Derartige Stellen schließen wir ausdrücklich vom Bereiche, der abgebildet ivird, aus. Die dritte in Nr. 593 formulierte Voraussetzung bezieht sich nur auf die Umkehrung der Abbildung, die wir hier nicht in Betracht ziehen wollen.

Nach Satz 15, Nr. 595, entspricht einer Richtung, die von einer Stelle z der z-Ebene ausgeht und mit der positiven x-Achse irgendeinen Winkel a bildet, eine von der Bildstelle w ausgehende Richtung, die etwa mit der positiven «t-Achse den Winkel ß einschließe. Dabei ist nach (3) in Nr. 595, worin x, y, a mit w, v, ß vertauscht werden müssen und cp und mit u und v zu bezeichnen sind:

~ Uy + Ux tg «

ux -f- u tg a

(4)

V+Vfcga

+Vg“

Der letzte Ausdruck geht durch Anwendung von (2) hervor. Es kommt also:

(5)

*g(ß -a) = -

uy

Statt der Formel (4) von Nr. 595 haben wir ferner:

dtgß ₌________________

dtg a (ux -f- tg u)² ’

mit Rücksicht auf (3) und (4) folgt:

Ux ~|- M»

woraus

"Cs

2) cos² ß

2)

du (u -f u tga)²cos²a (u cosa-|-w sina)‘--|-(—u cosa-(-M sma)²

x y    x    y    y    x

oder einfacher:

(6)

^ = 1, d. h. ß = a Ą- koust.

Die geometrische Bedeutung dieser Formel ist diese : Fassen wir eine bestimmte Stelle der z-Ebene und ihr Bild w in der w-Ebene ins Auge, so ist für zugeordnete Richtungen ß = a -f konst., wie auch die Richtung a von z aus gewählt sein mag. Für einen anderen Punkt z wird jedoch die additive Konstante eine andere sein können. In der Tat ist ja nach (5):

u

ß = «- arctg

X

das letzte Glied also im allgemeinen nicht konstant, sondern von x und y, d. h. von der Wahl der Stelle z abhängig. Wenn wir die #-Ebene und die w-Ebene nebeneinander legen, erhalten wir die den Richtungen a (von z aus) entsprechenden Richtungen ß (vom Bildpunkte w aus) einfach durch Drehung des Büschels aller Richtungen a um einen gewissen Winkel, der von Stelle zu Stelle im allgemeinen ein anderer sein wird, siehe Fig. 87. Es ergibt sich also: Zwei Kurven, die von der Stelle z ausgehen, bilden sich als zwei Kurven ab, die von der Bildstelle w ausgehen und dort denselben Winkel miteinander einschließen wie jene Kurven an der Stelle z, und zwar stimmen auch die Drehsinne beider Winkel überein. Die Abbildung heißt daher gleichsinnig winkeltreu.

Betrachten wir außer einer Stelle z eine benachbarte Stelle z-\-4z in der ^-Ebene. Der Bildpunkt sei mit w-\-zlw

[6æe

X - êixen^a

■z

->■

Fig. 87.

TV

Sócn^c

-S>»

bezeichnet.

Die Strecke von z nach z -f- Az habe die Länge

As und die Strecke you w nach w + Aw die Länge Aa. Alsdann ist, wenn der Stelle z + dz die ïechtwinkligen Koordinaten x -j- /Ix, y + /ly und der Stelle w + Aw die rechtwinkligen Koordinaten u -f Au, v -f Av zukommen:

d. h.

As² = /ix² + /ly²,

/ta² = /tu² -f /lv²,

e-y-

(7)

du idv Au — idv dx -|~ idy dx — idy

Der Grenzwert des ersten Bruches rechts, der ja auch mit Aw\Az bezeichnet werden kann, für lim /Ix = 0 und lim Ay = 0 ist nach Nr. 622 nichts anderes als die Ableitung dw.dz oderwą—iu . Wenn wir in den Schlußfolgerungen von Nr. 622 überall i durch — i ersetzen, erkennen wir ferner, daß der Grenzwert des zweiten Bruches rechts in (7) gleich ux -f- iuy ist. Also folgt mit Rücksicht auf (3):

lim

(8)

Allen Stellen der #-Ebene in der Umgebung einer Stelle z entsprechen demnach die dem Bildpunkte w benachbarten Stellen der w-Ebene derart, daß das Verhältnis aus entsprechenden Strecken einen Grenzwert hat, der zwar von der Lage des Punktes z, jedoch nicht von der Richtung abhängt, in der man von z zu einer benachbarten Stelle gelangt. Man kann also auch sagen: Je kleiner ein Kreis mit dem Mittelpunkte z in der £-Ebene gewählt wird, um so mehr nähert sich sein Bild einem Kreise in der w-Ebene, dessen Mittelpunkt der Bildpunkt w von z ist. Verbinden wir hiermit die Bemerkung über die Winkeltreue, so können wir sagen: Eine in der Umgebung der Stelle z angenommene Figur hat ein Bild, das dem Urbilde ähnlich wird, wenn die Dimensionen der Figur nach Null streben. Man sagt auch nach Gauß, von dem diese Betrachtungen herrühren: die Abbildung ist in den kleinsten Teilen ähnlich. Eine solche Abbildung heißt konform.

Der Ahnlichkeitsmaßstab ist allerdings im allgemeinen von Stelle zu Stelle veränderlich, wie die Formel (8) zeigt, weil ® eine Funktion von x und y ist.

636]

Wir fassen die Ergebnisse zusammen in dem Satz 6: Ist w — u -f iv innerhalb eines gewissen Bereiches eine monogene Funktion von z = x -f iy, so vermittelt sie eine Abbildung dieses Bereiches der z-Ebene auf die iv-Ebene, und zwar ist die Abbildung gleichsinnig winkeltreu und konform Abzusehen ist dabei von allen denjenigen Stellen des Bereiches, an denen die beiden 'partiellen Ableitungen erster Ordnung von u und demnach auch die beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung von v gleich Null sind.

627. Die Gesamtheit aller konformen Abbildungen.

In dem letzten Satze hätten wir auch sagen können: gleichsinnig winkeltreu oder konform. Daß in der Tat die gleichsinnige Winkeltreue ohne weiteres nach sich zieht, daß die Abbildung konform ist, folgt daraus, daß es keine anderen gleichsinnig winkeltreuen Abbildungen gibt als diejenigen, die durch monogene Funktionen vermittelt werden. Dies wollen wir hier beweisen.

Es seien

(0

u = cp (x, y), v = 'ip(pc,y)

die Gleichungen irgendeiner Abbildung der xy-Ebene auf die uv-Ebene, wobei wir voraussetzen, daß cp und xß nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in einem gewissen Bereiche stetig seien und daselbst die Funktionaldeterminante

(2)

® = <P»tv— ^Mp„ + 0 sei. Alsdann bestehen zwischen den Winkeln a und ß einander zugeordneter Richtungen, die von zusammengehörigen Punkten (x, y) und (u, v) beider Ebenen ausgehen, nach (3) und (4) in Nr. 595 die Gleichungen:

'H’x + %    “

dtgß _________________________________

diget (9X+ <jpy tg «)²

Wir müssen nämlich, wie die Vergleichung von (1) mit den Formeln (2) in Nr. 593 zeigt, wieder x,y,u mit u,v,ß vertauschen. Hieraus folgt nun weiter:

tg/3 =

<Px+ Vy %

R IT»

2)

(cpx cos cc -|- cp y sin a)²    (ipx cos a -f- sin a)²

Die Abbildung (1) ist dann und nur dann gleichsinnig winkel-

[686, 687

treu, wenn der Bruch dß:da für jede Richtung cc gleich Eins wird, woraus einzeln folgt, daß

(3) (pl + 1% = 2), (px(pÿ + %% = 0, (fl +    ®

sein muß. Aus der zweiten Gleichung (3) und aus (2) ergibt sich durch Auflösung nach <py und t/y

ib —

Vx®

d. h. wegen der ersten Gleichung (3):

<Py = —    ty = T aî *

Dies aber sind die Cauchy-Riemannschen Gleichungen für <p und il>} so daß also y -f- itl> eine monogene Funktion von z = x -f iy sein muß. Hiermit ist der Satz bewiesen:

Satz 7: Jede gleichsinnig winkeltreue Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene ist konform und wird durch eine monogene Funktion ermittelt.

628. Beispiel einer konformen Abbildung¹. Bei der

monogenen Funktion

_ x — iy

x -f- iy £c* -)- y²

w = u 4- iv — — ¹    z

(1)

ist:

t,- -y .

**+y'

Der Variabilitätsbereich der Funktion ist die ganze 0-Ebene, abgesehen vom Anfangspunkte, wo u und v unstetig werden. Die Funktionaldeterminante hat den Wert

2) = ul + «J =

(2)

U æ²-f y²’

(«* 4- y*)*

und wird nirgends im Bereiche gleich Null. Die Gleichungen

(2) vermitteln also eine gewisse spezielle konforme Abbildung der ganzen xy-Ebene, abgesehen vom Anfangspunkte, auf die ww-Ebene.

Sie läßt sich leicht mittels der sogenannten Transformation durch reziproke Radien herstellen: Ist 0 der Anfangspunkt der xy-Ebene und P ein beliebiger Punkt in dieser Ebene, so besteht die Transformation durch reziproke Radien darin, daß man auf dem Radiusvektor OP von P zu demjenigen Punkte Q 637, 638] übergeht, dessen Radiusvektor OQ gleich dem reziproken Werte des Radiusvektors OP von P ist, so daß stets ist. Man findet Q, indem man die Polare p von P hinsichtlich des Kreises um 0 mit dem Radius Eins konstruiert (siehe Fig. 88 und Fig. 89, je nachdem P außerhalb oder innerhalb des Kreises liegt) und in Q mit der Geraden OP zum Schnitte bringt. Ist P der Punkt ([x, y), so hat Q die Koordinaten

y²'

x* + y*>

Wenn wir Q weiterhin an der #-Achse spiegeln, d. h. P' so

->

jpr

pr

Fig. 89.

Fig. 88.

bestimmen, daß die x-Achse die Mittelsenkrechte zu QP' wird, bekommt P' gerade die in (2) angegebenen Koordinaten u, v.

Wenn man die etv-Ebene mit entsprechenden Achsen auf die xy- Ebene legt, ergibt sich mithin der Bildpunkt P' oder (u, v) eines Punktes P oder (x, y), indem man zunächst auf P die Transformation durch reziproke Radien und auf den dadurch hervorgehenden Punkt Q die Spiegelung an der rr-Achse ausführt. Wir wollen aber im folgenden die beiden Ebenen wieder voneinander trennen.

Es ist bekannt, daß die Transformation durch reziproke Radien jeden Kreis in einen Kreis, insbesondere jeden Kreis durch 0 in eine Gerade und jede Gerade in einen Kreis durch 0 verwandelt. Da die Spiegelung hieran nichts ändert, gilt dasselbe von der zu betrachtenden konformen Abbildung. Es ist leicht, dies direkt zu zeigen. Denn nach (2) haben wir:

(3)

_    — v

y us -j-[6*8

A (x² + y²) -f- Bx -f- Cy -j- D = 0

Nun ist allgemein

die Gleichung eines Kreises in der xy-Ebene. Vermöge der konformen Abbildung (2) entspricht dem Kreise eine Kurve in der wv-Ebene, deren Gleichung durch Einsetzen der Werte (3) hervorgeht und daher so lautet:

A -f- Bn — Cv Ą- D (u² -f v²) = 0, also in der Tat die Gleichung eines Kreises in der MP-Ebene ist. Im Falle ^4 = 0 ergibt sich: Jeder Geraden der a^-Ebene

-Gi

\F==E

lim;

JL

\G=H.

]E===

■7v-&bene

x-Sbene

Fig. 90.

entspricht ein Kreis in der wv-Ebene, der durch den Anfangspunkt geht. Im Falle D — 0 ergibt sich: Jedem Kreise durch den Anfangspunkt der a^-Ebene entspricht eine Gerade in der wv-Ebene. Insbesondere entsprechen den Geraden x — konst. und y = konst. bei der konformen Abbildung diejenigen Kreise u² -f- v² = konst. u und u² + v² = konst. v

der wv-Ebene, die von der v- bzw. w-Achse im Anfangspunkte berührt werden.

In Fig. 90 sind zwei einander entsprechende Gebiete beider Ebenen veranschaulicht, indem sie gleichartig schraffiert und die Punkte gleichartig benannt sind. Insbesondere entspricht dem Innern des Quadrates EFGH der z- Ebene das bis ins Unendliche erstreckte äußere Gebiet der w-Ebene, dagegen dem bis ins Unendliche erstreckten äußeren Gebiete der 2-Ebene die Umgebung des Anfangspunktes der w-Ebene. Zieht man in 628] der linken Figur irgend eine Kurve, so kann man leicht in der rechten Figur den ungefähren Verlauf ihrer Bildkurve ermitteln.

§ 3. Integration im komplexen Bereiche.

629. Definition des Integrals. Es sei f(z) irgendeine stetige Funktion der komplexen Veränderlichen z = x-\-iy innerhalb eines gewissen Bereiches der ^-Ebene (vgl. Nr. 365 und Nr. 367). Vorläufig bedürfen wir nämlich noch nicht der besonderen Voraussetzung, daß f(z) eine monogene Funktion sei. Ferner sei k ein von z₀ bis Z erstreckter Integrationsweg, der innerhalb des Bereiches verläuft und denjenigen Bedingungen genügt, die wir in der Forderung Nr. 617, für einen solchen Weg aufstellten.

Fig. 91.

Wir schalten längs k zwischen z₀ und Z beliebig viele Stellen zif #₂, . . . 0n_₁ ein, siehe Fig. 91. Für jede dieser Stellen hat f(z) einen bestimmten Wert f(zf), f(z₂) usw. Alsdann bilden wir gerade so wie in Nr. 404 die Summe:

(1) J=f(z₀) (et -*₀) + f(zf) (s₈ -*,) + ••• +f{en_ x) (Z 0n—\)

und fragen, ob sie einen bestimmten endlichen Grenzwert hat, falls die Anzahl der eingeschalteten Punkte längs der Kurve k so über jede Zahl wächst, daß alle Differenzen zt — z₀, z₂ — z1} . . . Z — zn_₁ nach Null streben.

In den Betrachtungen in § 2 des 1. Kap. handelte es sich um reelle Größen, hier dagegen ist f(z) ebenso wie z eine komplexe Größe. Es sei:

f{z) = f{x -j- iy) — u (x, y) + iv (x, y)

und

z₀=xQ + iy₀, zt= xx-\-iyx, ... zn_₁=xn_l + iyn_lt Z=X + iY. Der (l -f- l)te Summand von J hat dann den Wert

f(*D    = lu(xv yi) +iv (xv y'i)] [(^+1-^) + %+i-yt)l

Multiplizieren wir dies aus und trennen wir dadurch das Reelle vom Reinimaginären, so ergibt sich, wenn wir noch zur Vereinfachung u(xv yt) und v(xn yf) mit uL und vt bezeichnen: Die Summe J läßt sich auf die Form

(2)

J = P + iQ

[6*8, 6*9

bringen, wo P und Q die reellen Summen sind:

n — 1

+i

+1

Natürlich sind dabei insbesondere unter a?B und yn die Endwerte X und Y zu verstehen. Wenn wir nun

V — — v(x, y)

setzen, hat die Summe P genau die Form der Summe J in Nr. 615, und dasselbe gilt von der Summe Q, wenn wir U=v(x,y), V = u{x, y)

setzen. Nach Satz 8, Nr. 616, der hinsichtlich der Natur des Integrationsweges in Nr. 617 verallgemeinert wurde, folgt also, daß die Grenzwerte von P und Q die reellen Kurvenintegrale sind:

ü = u(x, y)

lim P =

J*{(udx

k

— vdy),

lim Q =

-J (vdx -f udy)

k

Mit Rücksicht auf (2) ergibt sich daher der

Satz 8: Ist k ein von der Stelle zQ nach der Stelle Z gehender Integrationsweg innerhalb des Variabilitätsbereiches einer stetigen, aber nicht notwendig monogenen Funktion f(z) einer komplexen Veränderlichen z = x -f iy und werden längs k zwischen z₀ und Z der Reihe nach beliebig viele Stellen zx, z₃, ... zn_x eingeschaltet, so hat die Summe

f(*o) (*i — *o) + f(eî) (⁰-2 —    + • • • + f(sn-1)    ~ en-l)f

falls alle Differenzen zx — z₀, z₃ — zx, ... Z — zn-x nach Null streben und demnach ihre Anzahl n über jede Zahl wächst, den Grenzwert

J (u dx — v dy) -f- ij {v dx + u dy)

k    k

Hierin bedeuten u und v diejenigen stetigen Funktionen von x und y, die durch die Zerlegung

hervorgehen.

629]

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

Wie wir schon erwähnten, ist die betrachtete Summe J und die sich daran anknüpfende Untersuchung die naturgemäße Verallgemeinerung der in Nr. 404 eingeführten Summe J und der damals angestellten Untersuchung, so daß es nahe liegt, den gefundenen Grenzwert als das bestimmte Integral von f(z) längs k zu bezeichnen. Dann haben wir:

v dx 4- u dy).

(3) J f(z)dz =J (u dx — v dy) + ij*(

k    k    k

Die Bezeichnung mit ff(z)dz ist erlaubt, weil wir erstens noch gar keine Integrale im komplexen Bereiche definiert haben und weil zweitens das neue Symbol im reellen Falle auf das alte Symbol ff(x)dx zurückkommt.

Für die praktische Anwendung ist zu bemerken, daß die Zerlegung des Integrals in der Form (3) sofort hervorgeht, wenn man die Multiplikation ausführt: f(z)dz = (u -f- iv) (dx -f- idy) = udx — vdy + i(vdx -f- udy) und aldann überall das Integralzeichen einsetzt.

630. Eigenschaften des Integrals. Aus der Definition des Integrals als Grenzwertes einer Summe ergeben sich sofort die folgenden Sätze entsprechend den Sätzen 9 und 10 von Nr. 617:

Satz 9: Das innerhalb des Bereiches einer stetigen Funktion f(z) längs eines Integrationsweges k von z₀ bis Z erstreckte Integral der Funktion ist entgegengesetzt gleich dem längs desselben Weges k, jedoch im umgekehrten Sinne, nämlich von Z bis z₀, erstreckten Integral derselben Funktion.

Satz 10: Besteht der Integrationsweg k des Integrals einer stetigen Funktion f(z) aus mehreren Teilen kv . .., so ist das Integral gleich der Summe der auf die einzelnen Teile kv k₂, . . . • bezüglichen Integrale derselben Funktion

Es sei G der größte Wert, den der absolute Betrag von f(z) längs des Integrationsweges k erreicht. Aus Satz 3, Nr. 357, folgt alsdann, daß der absolute Betrag der in voriger Nummer betrachteten Summe J nicht größer als

^2'l*i+i "^1

o

[639, 630

ist. Nach Nr. 356 aber bedeutet | zl+x — zx | die positiv gemessene Länge <5l+x der Strecke von der Stelle zx nach der Stelle zl + x. Also kommt:

I J I ^ G{px + <?₂ + • • • + <3n).

Nach Nr. 543 ist der Grenzwert der Summe aller <? gleich der positiv gemessenen Länge s der Kurve Je von z₀ bis Z, weil der Integrationsweg Je nach Nr. 617 aus lauter Teilen besteht, die den Voraussetzungen in Nr. 543 genügen. Also folgt:

Satz 11: Ist Je ein Integrationsweg im BereicJie einer stetigen FunJetion f(z) und s seine positiv gemessene Bogenlänge und bedeutet G den größten Wert, den der absolute Betrag von f(z) längs der Kurve Je erreicht, so ist

\J f(z)dz <[ Gs.

Wenn f(z) = u -j- iv eine Summe von zwei Funktionen f\ und f₂ von z ist, die in einem gemeinsamen Bereiche stetig sind, und wenn einzeln

f₂(z) = u₂ -F iv₂

ist, wird u — ux -f- u₂ und v == vx -J- v₂, also nach (3) in voriger Nummer:

fx(?) = % + ivx,

j'f(z)dz =J\[(mx + u₂)dx — (vx + v₂)dy]

*k    k

+ *J [(vi + vi)dx + (Mi + u₂)dy\.

k

Da hier rechts reelle Integrale stehen, lassen sie sich zerlegen, vgl. Satz 13, Nr. 413. Dann kommt:

j f(z)dz=Jfx (z) dz +Jf₂(z)dz.

k    k    k

Dasselbe kann man übrigens daraus schließen, daß das Integral von f(z) in Nr. 629 als Grenzwert einer Summe J definiert wurde. Ebenso sieht man, daß

J af{z) dz = aj*f(z)dz

k    k

ist, wenn a irgendeine reelle oder komplexe Konstante bedeutet. Demnach gilt der

630]

Satz 12: Die Sätze 13 und 15 von Nr. 413 und Nr. 414 über die Integrale von Summen und über die Multiplikation eines Integrals mit einer Konstanten gelten auch für die Integrale von Funktionen der komplexen Veränderlichen z — x iy, vorausgesetzt, daß sie sich auf einen Integrationsweg beziehen, der innerhalb des Bereiches verläuft, in dem alle vorkommenden Funktionen stetig sind.

631. Integrale von monogenen Funktionen, ln den

beiden vorhergehenden Nummern verstanden wir unter f(z) irgend eine stetige Funktion der komplexen Größe z = x-\-iy. Von jetzt an wollen wir annehmen, daß f(z) insbesondere eine monogene Funktion sei. Ist wieder

f(z) = u + iv,

so bestehen alsdann die Cauchy-Riemannschen Gleichungen:

du dv    du    dv

dx dy’    dy    dx’

die nach Satz 1, Nr. 609, nach sich ziehen, daß

vdx + w dy und udx — vdy

vollständige Differentiale sind. Das Integral (vgl. (3) in Nr. 629):

(1)    J*f(z)dz =J*(udx — vdy) + ij(vdx -j- udy)

k    k    k

ist also jetzt zurückgeführt auf zwei reelle Integrale über vollständige Differentiale. Hieraus kann man nach Satz 12, Nr. 619, den sehr wichtigen Schluß ziehen:

Satz 13: Ist f(z) eine monogene Funktion von z und gehen in ihrem Bereiche von der Stelle z₀ nach der Stelle Z zwei Integrationswege kx und k.₂ derart, daß sie nur solche Stellen einschließen, die dem Bereiche der Funktion angehören, so hat das längs \ von z₀ bis Z erstreckte Integral der Funktion f(z) denselben Wert wie das längs k₂ erstreckte:

Jf(z)dz*=Jf(z)dz.

k,    k₂

³¹ [630,631

S er ret- S cheffers, Biff -u.Integral-Bechnung. II. 4. u. 5-Aufl.

Ziehen wir nun im Bereiche von f(e) einen geschlossenen Intégrations weg x, der nur solche Stellen einschließt, die dem Bereiche angehören, so können wir z₀ und Z irgendwie auf x wählen und die beiden Teile des Weges von z₀ bis Z mit \ und k% bezeichnen. Die zu kx und k₂ gehörigen Integrale stimmen nach dem letzten Satze überein. Wenn wir jetzt von z₀ über Z nach z₀ zurück integrieren, indem wir die ganze geschlossene Linie x durchlaufen, wird einer der beiden Wege \ und kx in entgegengesetztem Sinne wie vorher durchlaufen, so daß sich nach Satz 9, Nr. 630, auch der entgegengesetzte Integralwert ergibt. Demnach heben sich dann beide Integrale auf. Der Satz 13 kann also auch so ausgesprochen werden:

Satz 14: Ist f(z) eine monogene Funktion von z und ist x ein geschlossener Integrationsweg, der ihrem Bereiche angehört und nur solche Stellen einschließt, die im Bereiche liegen, so ist das längs x erstreckte Integral von f(z) gleich Null:

J*f(z)dz = 0.

X

Beispiel: Wir wollen die monogene Funktion f(z) = z² = (x + iy)² = x* — y² -f 2ixy

integrieren, deren Bereich die ganze Ebene ist. Hier haben wir u = x* — y² und v = 2xy, so daß die Formel (1) für irgend einen Integrationsweg k von zQ nach Z gibt:

(2) j z²dz = y*\(x² — y²)dx — 2xydy] -f- ij*[2xydx-\-(x²—y*)dy].

z₀    k    k

Auf der linken Seite dürfen wir nämlich statt des Integrationsweges k seine Grenzen z₀ und Z angeben, weil eben alle Wege von z₀ bis Z nach Satz 13 denselben Wert des Integrals liefern; und daß dies der Fall ist, wollen wir nun dadurch bestätigen, daß wir irgend einen Integrationsweg

y — «HO

(3)

# = (p(t),

annehmen, wobei cp und cp für t = 0 gleich xQ und y₀ und für t = T gleich X und Y seien, so daß der Weg in der Tat von

631]

dy = ty' dt

der Stelle z₀ = y₀ -j- iy₀ nach der Stelle Z = X -f i Y geht. Nach (3) hat man dann

dx — y dt, zu setzen, so daß (2) liefert:

T

'—yZ)cp —2(pÿ/il>']dt-\-iJ*[2cpipcp' (cp²—il>²)tl>']dt. o

Die Integranden auf der rechten Seite sind die Differential-quotienten von

^(qp⁸ — 3 cpx^²) und -|(3 cp²ÿ — 1p³)

die für t = 0 gleich

IOo — 3 xo yl) und I (³ 4 Va — yl)

und für t = T gleich

|(X-3XY²) und |(3X²r-7³)

sind, so daß kommt:

z

fzHz - i(X» - 8XP) - 1(4 - 3x„y\)

+ *[|(3x!r- rs)-1(3xl% -4)] = K2 + ir)a-K*o + iyo)“,

also, wie zu erwarten war:

z

-4).

Jz²dz^\(Z³

*0

632. Einfach zusammenhängender Bereich. Sind z₀ und Z Stellen im Bereiche einer monogenen Funktion f(z), so daß wir f(z) längs eines von z₀ nach Z gehenden Integrationsweges kx innerhalb des Bereiches integrieren können, so gehört zur Stelle Z ein gewisser Wert des Integrals

(i)

Jf(z)dz *1

Hat man von z₀ nach Z irgend einen anderen Integrationsweg innerhalb des Bereiches gezogen, so wird jener Wert mit

(2)

Jf{z)äz

31*

[631, 632

nach Satz 13 der letzten Nummer überein stimmen, falls zwischen \ und nur solche Stellen liegen, die dem Bereiche angehören. Ist dies aber nicht der Fall, so können wir auch nichts darüber aussagen, ob die Integrale (1) und (2) denselben Wert haben.

V-..........

Fig. 92.

Um also die Gewißheit zu haben, daß das Integral (1) von z₀ bis Z stets denselben Wert hat, wie auch der Integrationsweg kt beschaffen sei, wollen wir den vorhandenen Bereich der mo-nogenen Funktion in der Weise einschränken, daß alle Wege \ die man im Bereiche von zQ nach Z ziehen kann, nur solche Stellen einschließen, die ebenfalls dem Bereiche angehören, so daß dann der Satz 13 ohne die erwähnte Einschränkung anwendbar ist.

ib

Fig. 93.

Hat z. B. der Bereich der monogenen Funktion f(z) die in Fig. 92 angegebene ringförmige Gestalt, so werden Wege \ und lc₂ von z₀ nach Z möglich sein, zwischen denen ein Gebiet liegt, das dem Bereiche nicht an gehört. Wenn wir jedoch die äußere und innere Grenze des Bereiches durch irgend eine Linie a verbinden und vorschreiben, daß kein Integrationsweg diese Linie überschreiten darf, sind von z₀ nach Z nur noch solche Wege möglich, zwischen denen ausschließlich Stellen des Bereiches liegen. Hat der Bereich etwa die noch kompliziertere Gestalt wie in Fig. 93, so genügt es, zwei solche Grenzlinien a und b neu einzuführen, um dieselbe Wirkung zu erzielen.

Fig. 94.

Jeder Bereich läßt sich so durch Hinzufügung passender und in ziemlich hohem Maße willkürlich zu wählender neuer Grenzlinien auf einen Bereich zurückführen, der einfach zusammenhängend heißt, d. h. in dem nur noch solche Wege von einer Stelle nach einer anderen Stelle möglich sind, zwischen denen nur Stellen des Bereiches liegen.

1. Beispiel: Bei der in Nr. 628 betrachteten monogenen Funktion 1 : z besteht der Bereich aus der ganzen ^-Ebene, 63»]

abgesehen von der Stelle z — 0. Da wir von z₀ nach Z auf zwei Wegen \ und k₂ gelangen können, die diese Stelle einschließen, siehe Fig. 94, ist der Bereich nicht einfach zusammenhängend. Schreiben wir aber noch vor, daß kein Weg die negative x-Achse überschreiten soll, so wird der Bereich einfach zusammenhängend, indem alsdann der Weg k₂ in der Figur nicht mehr erlaubt ist.

2. Beispiel: Bei der monogenen Funktion

_    1 -f- #²— yi— 2 ixy

Ï 4- z* 1 -f x² — 2/a + 2ixy    (1 -f- æ²— t/²)² -f- 4x*y*

i :

— 2 xy

V (1 + æ² — y²)² -(- 4x*y²

₌    1 + äP—y*

(1 -j- Æ² — î/²)²    4x*y*’

Die Funktionen u und v und ihre partiellen Ableitungen erster

Ordnung werden nur da unstetig, wo der gemeinsame Nenner

von u und v verschwindet. Da x und y reell sind, tritt dies

nur für x = 0, y = + 1, also nur an

den Stellen z = ± i ein. Der Bereich

\ /A // X if

der Funktion 1 : (1 -(- z²) ist demnach

fl f \k

die ganze Ebene, abgesehen von den

A

-,

beiden Stellen z — + i, siehe Fig. 95.

-i

Fig. 95.

Aber dieser Bereich ist nicht einfach zusammenhängend, denn die in der Figur eingezeichneten Wege k, k', k", k'" von z₀ nach Z schließen paarweise wenigstens eine der beiden Unstetigkeitsstellen ein.

Der Bereich läßt sich jedoch in einen einfach zusammenhängenden verwandeln, indem man etwa von der Stelle + i aus die positive y-Achse und von der Stelle — i aus die negative y-Achse ins unbegrenzte zieht und vorschreibt, daß kein Integrationsweg diese beiden Linien überschreiten darf. Alsdann noch statthafte Wege, wie k und x, schließen keine Ünstetigkeitsstelle mehr ein.

633. Das Integral in einem einfach zusammenhängenden Bereiche als Funktion seiner oberen Grenze. Es sei f(z) eine monogene Funktion; ihr Bereich sei entweder an sich einfach zusammenhängend oder jedenfalls durch geeignete Vorschriften auf einen solchen reduziert worden.

[632, 633

Verbleiben wir nun im folgenden stets innerhalb dieses einfach zusammenhängenden Bereiches, so können wir das von einer Stelle z₀ nach einer Stelle Z erstreckte Integral längs irgendeines Integrationsweges mit

z

JKz)dz

*0

bezeichnen, denn auf allen erlaubten Integrationswegen von z0 nach Z hat jetzt das Integral nach Satz 13 von Nr. 631 denselben Wert.

Wählen wir z₀ bestimmt, dagegen Z veränderlich, so gehört mithin zu jedem Werte von Z innerhalb des Bereiches ein und nur ein Wert des Integrals. Nach der Definition in Nr. 365 ist das Integral folglich eine Funktion seiner oberen Grenze Z. Wir wollen diese Funktion mit F(20) bezeichnen:

z

F(Z)-

Es ist leicht zu sehen, daß F(Z) stetig ist. Bedeutet nämlich Z AZ irgend eine andere Stelle des Bereiches, so wird

z + j z

F[Z + AZ)

also nach Satz 10, Nr. 630, der Zuwachs, den F(Z) erfährt, wenn Z um AZ wächst, dieser:

z + Jz

AF

-ff(e)d0.

z

Dabei ist es gleichgültig, welcher Integrationsweg von Z nach Z+ AZ gezogen wird, so daß wir z. B., wenn Z + AZ hinreichend nahe bei Z liegt, die geradlinige Strecke von Z nach Z -f AZ als Weg annehmen dürfen. Ist 0 eine beliebig klein gewählte positive Zahl, so dürfen wir ferner annehmen, daß die Länge As dieses Weges kleiner als <? sei. Innerhalb derjenigen Umgebung der Stelle Z, die durch | z — Z\ < 6 definiert wird, sei G das Maximum des absoluten Betrages von 033] f(z). Alsdann ist | f(z) | auf dem Integrationswege As nirgends größer als 6r, so daß Satz 11 von Nr. 630 gibt:

| AF\ GrAs<C. G 6,

d. h. für lim 0 = 0 oder lim AZ = 0 wird auch lim AF= 0, daher :

lim F(Z+ AZ) = F(Z).

JZ = 0

Dies besagt aber nach Nr. 367, daß F(Z) eine stetige Funktion von Z ist.

Wir behaupten weiter, daß diese Funktion eine Ableitung hat. Wenn nämlich die monogene Funktion f(z) gleich u-\-iv ist, zerlegen wir F(Z) ebenfalls in der Form U -f iV. Nach (1) in Nr. 631 kommt:

=J*[ydx + udy),

k

=J*(udx — v dy),

k

wobei k irgendeinen Integrationsweg von z₀ nach Z bedeutet. U und V sind reelle Integrale über vollständige Differentiale, wie in Nr. 631 betont wurde, d. h. es smd, wenn Z = X + iY gesetzt wird, die Differentiale von JJ und V:

dXJ = u(X, Y)dX~v(X₎ Y)dY, dV=v(X, Y)dX + u(X, Y)dY,

also:

dF=dü+idV

= u{X, Y) (dX + idY) + iv(X, Y){dX + idY) oder, da dX + idY = dZ ist:

ff = u{X,r) + iv{X,Y)=f{Z).

Die Funktion F(Z) hat somit die Ableitung f(Z). Hieraus aber folgt nach Satz 3, Nr. 623:

Satz 15: Ist z₀ eine bestimmte und Z eine beliebige Stelle in einem einfach zusammenhängenden Bereiche der monogenen Funktion f{z), so ist das von z₀ bis Z erstreckte Integral von f(z) in demselben Bereiche unabhängig vom Integrationswege und stellt eine in dem Bereiche monogene Funktion von Z mit der Ableitung f(Z) vor.

634. Die Integrale von e*, sin z und cos z. Die

Funktion ez ist in der ganzen Ebene monogen (vgl. Nr. 373).

[633, 634

635. Das Integral von 1:#M. Bedeutet n eine ganze positive Zahl, so ist die Funktion zn überall monogen, so daß sich leicht ergibt:

z

I

Xq

zndz =

z

f

*0

Als Integrationsweg von z₀ nach Z können wir daher eine besonders bequeme Linie wählen, etwa die in Fig. 96 angegebene, die aus zwei Strecken a und b besteht. Wenn, wie immer, z = x + iy, z₀ = x₀ -f- iyQ und Z = X -f i Y gesetzt wird, ist y längs a konstant, nämlich gleich y₀, also dy = 0, während x von x₀ bis X geht. Längs b dagegen ist x = X und dx = 0, während y von y₀ bis Y geht. Außerdem ist e* nach Nr. 373 gleich e*(cos y -j- i sin y), also u = e? cos y und v == e* sin y, so daß die Formel (1), Nr. 631, gibt:

Va

-V —*

T a

Fig. 96.

—e^»)(cosy₀+isiny₀),

— cos y0 -F »(sin Y— sin y₀)],

woraus durch Addition sofort der vorauszusehende Wert folgt:

z

/■

*o

tfdz = ez — e?°.

Entsprechend ergibt sich für jeden Integrationsweg:

J*sin z dz = cos z₀ — cos Z,

•a

cos z dz = sin Z —- sin z₀.

Zn + 1~ Zo + 1

Dagegen ist die Funktion 1 :zn überall, aber abgesehen von der Stelle z = 0, monogen. Ihr Bereich wird einfach zusammenhängend, wenn wir z. B. die negative x-Achse als Grenze einführen, die nicht überschritten werden darf. Alsdann ist der in Fig. 97 angegebene lntegrationsweg von z₀ nach Z erlaubt, 634, 635] der aus der Strecke a und dem Kreisbogen b bestellt. Ist z = p(cos m -f- i sin a), siebe Satz 1, Nr. 355, so kommt nach der Moivrescben Formel (1) in Nr. 358:

cos na — i sin na

zn

d. h.

(cos n a —j- i sin n a)

Qn

cos na

— sin na

Q» ’

QÏI

Ist ferner

(1) z₀ = p₀(cos a₀ + i sin G3₀), Z = P(cos SÎ + i sin £1) so folgt, da 2 die rechtwinkligen Koordinaten x = q cos 03, y = Q sin 03 hat, daß für die Stellen z auf a insbesondere q von q₀ bis P veränderlich, aber 03 = 03₀, da = 0, also dx = cos co₀dQ und dy = sin a₀dç ist.

Die Formel (1) von Nr. 631 gibt daher:

/P

l-à\

Fig. 97.

(2)

ß-ß

a ç₀

cos (n — l)co₀

Qn

dg — i

P

i Ain (n-1)₃ ^

fj    Qn

Qo

Längs b dagegen ist q = P, dç — 0, also dx = — P sin a da, dy = P cos a da, während oo von 03₀ bis £1 geht. Somit kommt:

(3)

ß-ß

b w₀

sin (n — 1) a

p/i -1

S2

da + ij*-

a>₀

cos (n — l)w

d 03.

Ist n=%=l, so liefert die Ausführung der Integrationen:

rdz _ _l

J zn n — 1 |_e« -1

p^zi tcos(n — l)ar₀—i sin(n — l)ra₀],

T— = /'■ ■

[cos (» — 1) ®0 —» Bin (» -1) m₀ — cob(» — l)ß

-f- i sin (n — l)iß], und Addition beider Formeln gibt nach (1), wie zu erwarten war:

0 4= 1).

rdz_ i / 1    1 \

J zn    n— l\Zn~l    «»-1 j

zO

Der Fall n = 1 soll in der nächsten Nummer behandelt

werden.

[635

636. Das Integral von 1 : z. Nehmen wir jetzt insbesondere n = 1 an, so liefern die Formeln (2) und (3) der letzten Nummer:

P

J*dz    J‘dg

a    Q₀

S2

~ao),

ln y-, J*-j- = i J*da =

b    co₀

woraus durch Addition folgt:

(i)

— + i(<ß — a₀) = ln ! — I + i(fl — a₀).

Co    Mol

Die Amplituden fl und ra₀ von Z und z₀ sind dabei zwischen — 7C und -f- n gelegen. Das Integral (1) hat nach Satz 15, Nr. 633, die Ableitung 1 : Z\ wir werden es daher als den Logarithmus im komplexen Bereiche bezeichnen und zwar als den von Z:zQ, da es gleich Null für Z = z₀ ist:

(2)

lû f" = lü T₀ \ ⁺    ~~

Rechts steht hier der reelle Logarithmus der positiven Zahl \Z:z₀\. Insbesondere kommt für z₀ = 1 :

(3)

ln Z = ln j Z | + i£l.

Dies ist in der Tat nichts anderes als die Formel (2) von Nr. 376; wir haben also hier den Hauptwert des Logarithmus vor uns. Es ist überall in der Ebene definiert, abgesehen von der negativen x~Achse, siehe Fig. 97 auf voriger Seite.

637. Das Integral von l:(z — c). Vermöge der Substitution 2=0 — c führen wir dies Integral auf das vorige zurück. Es kommt dann nach der Formel (1) der letzten Nummer:

Z    Z — c

frh-f

Z₀    Zq — c

Ein einfach zusammen-

wo ŚZ — co₀ den Zuwachs der Amplitude von 0 — c längs des Integrationsweges bedeutet, hängender Bereich, in dem die F> rmel für alle Integrationswege gilt, läßt sich leicht angeben. Es ist nämlich z = c die einzige Stelle, wo 1 : (z — c) unstetig wird. Wir führen daher 636, 637]

als Grenzlinie etwa die von der Stelle c ausgehende Parallele zur negativen x-Achse ein. Aber wir können z. B. auch irgend einen anderen von c ausgehenden Strahl als Grenze annehmen, die nicht überschritten werden darf.

638. Das Integral von 1 : (1 + 2²). Weil

(i)

¹ ₌ ± (_i___i_\

1 -f- z* 2 \z + * z — i) ist, sind von dem Bereiche dieser Funktion nur die Stellen + i ausgeschlossen. Wir ziehen z. B. von z = i aus die positive und von z = — i aus die negative y-Achse bis ins Endlose wie in Fig. 95, S. 485, und schreiben vor, daß die Integrationswege diese Grenzen nicht überschreiten dürfen. Mit Rücksicht auf Satz 12, Nr, 630, kommt:

(2)

/j*£_ = * (

Jl + 2a 2 \J z + i J z — ij

ZQ    Zq    Zq

Aber nach voriger Nummer ist:

z

fl

dz

z

/;

dz

ln

Z+i

z -f- i

wenn Q, to₀, Sl', ra'₀ die Amplituden von Z — i, z₀ — i, Z -j- i, z₀ + i vorstellen. Setzen wir diese Werte in (2) ein, so ergibt sich:

1 -f Z* 2 ln

(Z-

(3) f+

*o

Wir werden das Integral, da es nach Satz 15, Nr. 633, die Ableitung 1 : (1 -f Z²) hat, mit arc tg Z bezeichnen, sobald es gerade so wie im reellen Gebiete für die Stelle Z — 0 verschwindet. Wir wählen also z₀ = 0, d. h. co₀ und caó als Amplituden von — i und + i gleich —und -f-1■%, so daß kommt:

0

Es muß aber noch gezeigt werden, daß die Formel (1) von Nr. 377 auch aus (4) abgeleitet werden kann. Dies ge-

[637, 638

(4)

arc

to|

ln    |^— Si + 3t). .

schieht so: Sind P und P' die absoluten Beträge von Z—i und Z -j- i, so wird:

1 -f-iZ _____ i — iZ~ Z + i~ P'

~ [cos (Si — Si' -f- 3t) + i sin (Si — Si' -f- jt)].

Z — i

Also folgt aus (3) in Nr. 636 für den Hauptwert des Logarithmus:

= ln p7 -f- i (Si — Si -f- jt),

¹ + iZ — iZ

n ï

daher hieraus und aus (4), weil P':P den absoluten Betrag von (Z -j- i) : (Z — i) bedeutet:

(5)

arotg^=i.ln‘-±||-Hiermit ist die Formel (1) von Nr. 377 bestätigt.

§ 4. Der Cauchysche Satz und seine Anwendungen.

639. Der Fundamentalsatz von Cauchy. Es sei

f(z) innerhalb eines Bereiches eine monogene Funktion von z. Längs des gesamten Randes des Bereiches ziehen wir einen Integrationsweg Ti so, daß er vollständig dem Bereiche angehört. Dieser Weg k wird, falls der Bereich nicht einfach zusammenhängt, in mehrere Teile lc₂, ... zerfallen, siehe Fig. 98. Ferner sei c irgend eine bestimmt gewählte Stelle innerhalb des Bereiches, d. h. des von Ti begrenzten und in der Figur schraffierten Gebietes. Wir betrachten nun die Funktion

(1)

die nach Satz 4, Nr. 624, überall im Bereiche, abgesehen von der Stelle z == c, monogen ist. An dieser Stelle wird (p(z) mit 1 :(z—c) in der ersten Ordnung unendlich groß. Wenn wir aber die Stelle c durch einen um c als Mittelpunkt gelegten Kreis x mit beliebig kleinem Radius r ausschließen, ist cp(z) monogen in dem von Ti und x begrenzten, also dem in der Figur schraffierten Gebiete, abgesehen vom Innern von x.

Wir ziehen nun Verbindungslinien A1? A₂, . . . zwischen den einzelnen Teilen Tc1} Tc2f . . . des Weges Tc und dem Umfange x des Kreises so, daß jede dieser Linien mit einer der andern 638, 639]

zusammenhängt, und verfolgen den in Fig. 99 gekennzeichneten Weg. Hier haben wir der Deutlichkeit halber die Verbindungslinien A₂, ... doppelt gezeichnet und auf kx, Jc₂, und x kleine Lücken gelassen. Man sieht, daß der Weg geschlossen ist und einen einfach zusammenhängenden Bereich umgrenzt, der nur solche Stellen enthält, in denen cp(z) monogen ist. Folglich ist das längs dieses ganzen Weges erstreckte Integral von cp(z) gleich Null, nach Satz 14, Nr. 631.

Dies Integral ist aber nach Satz 10, Nr. 630, gleich der Summe Z derjenigen Integrale, die sich auf die einzelnen Teile des ganzen Weges beziehen. Die Wegstücke Xlf 4₂, . . . werden je zweimal und zwar in entgegengesetzten Sinnen durch-

/a

V/

7/

Fig. 99.

Fig. 98.

laufen, so daß sich die auf sie bezüglichen Integrale nach Satz 9, Nr. 630, in der Summe ZI fortheben. Wenn wir ferner festsetzen, daß der Index Je beim Integrale von cp(z) bedeuten soll, daß der Weg Je so durchlaufen werden soll, daß dabei das von Je umschlossene Grebiet stets linkerhand liegt, bemerken wir, daß da3 Integral

J‘y(z)dz

k

gleich der Summe der auf alle Teile Jcx, Jcÿ, ... von Je bezüglichen Integrale ist, die in Z auftreten. Der äußere Rand Jex nämlich wird nach der Fig. 99 in positivem Sinne durchlaufen, während /c₂ negativen Sinn hat, was aber gerade der gemachten Festsetzung entspricht, daß der Bereich, den Je umschließt, stets linkerhand liegen soll. Deuten wir ferner durch den Index x

beim Integrale an, daß der Kreis x in positivem Sinne zu durchlaufen ist, so muß der auf x bezügliche Teil der Summe 2J mit

-J*y {ß) du

bezeichnet werden, denn nach Fig. 99 wird der Kreis in negativem Sinne umlaufen. Da nun 2J, wie wir vorher sahen, gleich Null ist, kommt also:

J*cp(z)dz —Jcp(z)dz = 0

k    x

oder nach (1):

(2)

f= f-^-dz.

J z-c    Jz — c

k    x

Wir betrachten nun das rechts stehende Integral, bei dem der Intégrations weg der Kreis x ist. Alle Stellen z des Kreises werden durch

(3)

z — c r(cos ca -j- i sin ca)

gegeben, wenn ca von 0 bis 2x variiert, und zwar durchläuft der Punkt z den Kreis dann einmal in positivem Sinne. Dabei ist längs des Kreises:

dz = r(— sin ca + i cos ca)dca = ir(cos ca -f i sin ca)dca=i{z—c)dco. Es kommt also:

fm_dz

J z — c

2 rt

=J*if(z)dca. o

Auch in f(z) haben wir uns dabei für z den Wert (3) eingesetzt zu denken. Ist f(z) = u-\-ivf so folgt hieraus weiterhin:

(4)

Cm

J z — c

dz == —

2 7t    2 n

J*vdca + ij‘udca, 0 0

wobei rechts zwei reelle Integrale stehen, denn u und v sind reelle Funktionen von x und y oder also nach (3) von c-\-r cos œ und r sin ca.

Nun ist f(z) oder u -f iv stetig. Wird eine beliebig kleine positive Zahl 6 gewählt, so kann man also den Kreisradius r

639]

so klein annehmen, daß u und v von denjenigen Werten u0 und v₀, die sie für z = c haben, um weniger als 0 abweichen. Alsdann weichen die beiden Integrale um weniger als 2 7t 6 von

und

2rt

J*v₀do

o

an

J u₀d(o 0

ab, nach Satz 16, Nr. 414. Diese Integrale aber haben, weil u₀ und v₀ Konstanten sind, die Werte 2jtv₀ und 2jtu₀. Es ist also:

an    an

J*vda = 2tiv₀ 4 &CI, J*uda = 2tiu₀ 4 dö, 0 0

wobei und 6 zwischen — 2 7t und 4 2 % liegen. Also gibt (4):

f/^c dz = 2i7t(u₀ + iv₀) 4 {iO — &)&•

Da u₀ -\-iv₀ = f(c) ist, liefert die Einsetzung dieses Integralwertes in (2):

(5)

Aber 6 ist eine beliebig klein gewählte positive Zahl, von deren Wahl der Radius r des Kreises abbängt, indem mit lim 0 = 0 auch lim r = 0 ist. Die linke Seite der letzten Formel bat andererseits mit der Größe des Kreisradius r gar nichts zu tun, da sie ein Integral längs k darstellt. Die rechte Seite von (5) muß also für lim o = 0 denselben Wert haben, d. h. ihr zweiter Summand wird gleich Null, so daß bleibt:

(6)

Hiermit sind wir zu dem wichtigen Satze gelangt:

Satz 16 (Fundamentalsatz von Cauchy): Wenn eine monogene Funktion f(z) vorliegt und ein Teil ihres Bereiches dadurch herausgegriffen wird, daß man ihn durch einen sich nicht selbst schneidenden Integrationsweg Je begrenzt, wobei k sehr wohl in mehrere einzelne geschlossene Linien zerfallen kann,

[639

und wenn eine im Innern des so begrenzten Gebietes gelegene Stelle c ausgewählt wird, ist

sobald die Integration längs k so stattfindet, daß stets das innere Gebiet linkerhand von der eingeschlagenen Richtung liegt.

640. Auswertung reeller Integrale mittels des Cauchyschen Satzes. Ehe wir den Fundamentalsatz in der Theorie der monogenen Funktionen anwenden, soll an einigen Beispielen gezeigt werden, daß er auch für die Auswertung reeller Integrale von Nutzen ist.

1. Beispiel: Zum Bereiche der Funktion f(z) = 1 : (1 — z) gehört die Fläche eines Kreises k um den Mittelpunkt z = 0, vorausgesetzt, daß der Radius R des Kreises kleiner als Eins ist. Außerdem wählen wir c = 0. Setzen wir alsdann entsprechend der Formel (3) in voriger Nummer längs dieses Kreises z = i?(cos co + i sin cd), so ist dz = iz da und

1 — B cos co — i R sin co

1 — R cos co -f- iR sin co 1 — 2 B cos co E2 ?

so daß der Cauchysche Satz, angewandt auf den Kreis k, liefert:

2 7t

fH-i

— B cos co) — B sin co

— 2 R cos co -j- R*

da = 2« je,

da hier f(c) = f(0) = 1 ist. Trennen wir das Reelle ab, so kommen einzeln die beiden reellen Integralformeln:

2 7t

w j 1 — 2 B cos £ö + R* o

— B cos co

da = 2je,

2 n

/r

0

B sin co

— 2 B cos co -f- JB²

da = 0.

Die zweite Formel ist auch direkt zu gewinnen, denn das Integral hat für das nur von 0 bis je erstreckte Intervall offenbar den entgegengesetzten Wert wie für das von je bis 2 je erstreckte. Die zweite Formel gilt also auch für R ^ 1. Die erste Formel (1) ist dagegen für R = 1 nicht mehr richtig, denn dann gibt die direkte Auswertung augenscheinlich den 639, 640]

Wert 7t. Für R > 1 ferner ist das erste Integral gleich Null, weil stets

cos co

1 — R cos co

Ï — 2 R cos co + R*

1    ²    i ¹

ist, woraus sich im Falle jß> 1 durch Integration von 0 bis 2 7t der Wert 2 7t — 2tc = 0 ergibt, da wir auf das zweite Integral rechts wegen 1 : R < 1 die erste Integralformel (1) an wenden dürfen, wenn darin R durch 1 : R ersetzt wird.

2. Beispiel: Es sei f(z) = ez und die Kurve Je ein Kreis um den Mittelpunkt z — 0 mit irgend einem Radius m. Ferner sei c = 0 gewählt. Jetzt gibt der Cauchysche Satz in entsprechender Weise

2 7t

/■

0

ßin cos co + im sin uifl^ _ 27t

oder nach Nr. 373, wenn wir überdies das Reelle abtrennen, die beiden reellen Integralformeln:

2 7t

(2) J*em 008 ÜJ

o

cos (msin co)dc3

2 n

= 271, J3”

0

COS (X)

sin (m sin co) dœ = 0.

3. Beispiel: Es sei f(z) =-= ln (1 + z), wobei wir unter dem Logarithmus seinen Hauptwert (Nr. 636) verstehen. Zum Bereiche gehört hier ein Kreis Je um den Punkt z = 0 als Mitte, vorausgesetzt, daß sein Radius q < 1 ist. Als Stelle c wählen wir wieder die Mitte des Kreises. Ist z gleich q (cos co -f- i sin co) und 1 Ą- z gleich r (cos cp + i sin cp), so wird 1 -p q cos co = r cos cp, p sin co = r sin cp,

woraus folgt:

r = ]/l + 2p cos co -f p²,

cp = arc tg

q sin co

1 -f- ? COS co

Diese Rechnung haben wir schon in Nr. 376 mit andern Bezeichnungen durchgeführt. Hierbei ist r positiv; die Amplitude cp liegt zwischen — 7t und + 7t, ja man sieht, daß sie im Falle p < 1 zwischen — ^7t und -f \ti gelegen ist. Nun kommt nach (3) in Nr. 636:

ln (1 -f- z) = ln [r(cos cp + i sin <jp)] = ln r -\-icp.

Serret-Scheffers,Diff.-u.Integral-Bechnung. II. 4.u.5.Auä.    32

Kap. VIII. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Der Cauchysche Satz gibt demnach:

498

2 71

= 0,

^y*(ln r -f- iy)da o

weil hier f(c) = f(0) = ln 1 = 0 ist. Die Gleichung gibt die beiden einzelnen reellen Integralformeln:

2ji

(3)^ln (1 -f- 2 p cosco + Q²)da — 0,

o

2 7t

J'arc tg

o

q sin a

da =0.

In der zweiten ist dabei der Arkus zwischen — n und -J- jt zu nehmen.

641. Unendliche Reihen von monogenen Punktionen.

Da wir einige besonders wichtige Anwendungen des Cauchy-schen Fundamentalsatzes machen wollen, ist es unerläßlich, die Betrachtungen des § 5, 1. Kap., über die Differentiation und Integration unendlicher Reihen auch auf das komplexe Gebiet auszudehnen.

Es sei w₀, wx, w%, . .. wn, . .. eine unbegrenzte und nach irgend einer Vorschrift gebildete Folge von Funktionen von z. Wir setzen voraus, daß es einen gemeinsamen Bereich in der Zahlenebene gebe, in dem alle diese Funktionen monogen sind und die unendliche Reihe

(1)

f(s) = w₀(«) + Mi, (z) H-----1- W„0) H----

konvergiert (vgl. Nr. 360), so daß die Summe f(z) der Reihe in diesem Bereiche eine Funktion von z ist.

Es ist leicht, zu beweisen, daß f{z) eine stetige Funktion von z ist, sobald wir ferner voraussetzen, daß die Reihe in dem Bereiche überall gleichmäßig konvergiere, vgl. Nr. 364. Wir nehmen also an: Wie klein auch eine positive Zahl 6 gewählt sein mag, stets gebe es einen Index n derart, daß für jede Stelle z des Bereiches und für jeden Index m^>n der absolute Betrag des Bestes

(«) + •••

kleiner als 6 ist:

(2)

I RM I < <*•

Da der Beweis für die Stetigkeit alsdann genau so wie in Nr. 425 geführt wird, begnügen wir uns mit der Formulierung des Ergebnisses:

Satz 17: Liegt eine unbegrenzte Folge von monogenen Funktionen w₀(z), wx(z), w₃(z), ... vor, deren Bereiche einen Bereich gemein haben, innerhalb dessen die unendliche Beihé w₀(z) + wx(z) H-----H wn(z) H----

überall gleichmäßig konvergiert, so ist die Summe der Reihe in diesem Bereiche eine stetige Funktion von z.

Dieser Satz ist jedoch noch unvollständig; wir wünschen nämlich noch zu beweisen, daß die Summe der Reihe eine monogene Funktion von z ist. Aber dieser Beweis beruht auf einer Anwendung des Cauchjschen Satzes, zu der es noch einiger Vorbereitungen bedarf, die wir in den nächsten Nummern treffen. In Nr. 644 werden wir alsdann den Satz 17 vervollständigen.

642. Integration einer gleichmäßig konvergenten Reihe von monogenen Funktionen. Unter den Voraussetzungen der letzten Nummer ist:

(*) + •

f(z) — wQ(z) + wx (z) 4-----\-w

m — 1

Hier ist f(z) stetig, wie sich soeben ergab; da die m Funktionen wQ, wx, ... w x ebenfalls stetig sind, muß folglich auch der Rest Rm{z) stetig sein. Ist k ein Intégrations weg, der innerhalb des gemeinsamen Bereiches aller Funktionen w von z0 bis Z geht, so dürfen wir also längs k integrieren:

C¹)    Jf(z)dz =j*w₀(z)dz +Jwx {z) dz -f----bJwm_x(z)dz

k    k    k    k

+f

k

an-

Wird ferner eine positive Zahl 6 beliebig klein gewählt, so kann man den Index n nach voriger Nummer so 'groß nehmen, daß für m^n der absolute Betrag von Rm (z) überall im Bereiche kleiner als <5 wird. Bedeutet s die positiv gemessene Bogenlänge des Integrationsweges k, so ergibt sich also nach Satz 11, Nr. 630:

32*

[641, 64»

< GS.

(2)

Auch wenn der Bereich nur endliche Ausdehnungen hat, könnte doch die Länge s des Integrationsweges jede Größe überschreiten. Setzen wir aber voraus, daß s endlich sei, so folgt aus (2) für lim G = 0, daß aus (1) die konvergente Entwicklung hervorgeht:

(3) Jf(z)dz =Jw₀(z)dz +J wx(z) de Ą----+Jwn(z)dz + • •

k    k    k    k

Unter der Voraussetzung, daß alle statthaften Integrationswege k Bogenlängen haben, die kleiner als eine gewisse positive Zahl S sind, folgt aus (2) weiter, daß für jede obere Grenze Z, die dem gemeinsamen Bereiche angehört und für jeden Index mf>n auch

| JRm(z)dz' <gS

k

ist, d. h. die Reihe (3) gleichmäßig konvergiert. Dies gibt den Satz 18: Es liege eine unbegrenzte Folge von monogenen Funktionen w₀(z), wl (z), . . . wn(z), . .. vor, deren Bereiche einen Bereich gemein haben, innerhalb dessen die unendliche Reihe

f(z) = w₉(g) + wt(e)-\-----f- wn(e) H-----

überall gleichmäßig konvergiert. Ferner sei z₀ eine bestimmt und Z eine beliebigr gewählte Stelle des gemeinsamen Bereiches und k irgend ein in diesem Bereiche von z₀ nach Z gehender Integrationsweg. Bann darf die unendliche Reihe gliedweise längs k integriert werden, d. h. es ist:

+fwJz)d

k

J*f(z)dz=J*w₀(z)dz+J*wx(z)d

k    k    k

und diese neue Reihe konvergiert für alle Stellen Z des gemeinsamen Bereiches gleichmäßig, falls noch vorausgesetzt wird, daß alle statthaften Integrationswege k Bogenlängen haben, die unterhalb einer angenommenen endlichen Größe bleiben.

Dieser Satz ist ebenso wie Satz 17 der vorigen Nummer noch unvollständig. Wir werden ihn in Nr. 647 ergänzen. 64«]

643. Die monogenen Funktionen als analytische Funktionen. Wir können aber schon aus diesen Sätzen und aus dem Cauchyschen Fundamentalsatze einen sehr wichtigen Schluß ziehen, nämlich die in Nr. 623 aufgestellte Behauptung rechtfertigen, daß jede monogene Funktion als analytische Funktion, d. h. als Potenzreihe (nach Nr. 365) darstellbar ist.

'Æ

W/,

Fig. 100.

Es bedeute nämlich jetzt f(z) eine in einem gewissen Bereiche monogene Funktion von Z] ferner sei z₀ irgend eine Stelle des Bereiches und Je irgendein Kreis um z₀ als Mittelpunkt, dessen Fläche vollständig dem Bereiche angehört, siehe Fig. 100. Außerdem sei c irgendeine Stelle im Innern des Kreises Je. Alsdann ist nach dem Cauchyschen Satze in Nr. 639:

dz.

Den Integranden können wir in eine gleichmäßig konvergente unendliche Reihe verwandeln. Nach Nr. 374 ist nämlich die Reihe

(2) für | t | < 1 gleichmäßig konvergent, und die Voraussetzung } t | < 1 wird erfüllt, wenn wir

t = C-^-z — z₀

setzen, sobald nur die Stelle z weiter als c von z₀ entfernt ist. Wenn wir also um z₀ innerhalb des Kreises Je einen Kreis Je' ziehen, der die Stelle c einschließt, ist die BeiJie

3 — *0

Z — L

gleichmäßig konvergent für alle außerhalb Je gelegenen Stellen z.

Der Kreis Je aber liegt außerhalb Je'. Machen wir nur von der Eigenschaft von f(z) Gebrauch, längs Je stetig zu sein, folgt durch Multiplikation der Reihe mit f(z) : (z — z₀), daß die Reihe

Zq \Z    Zq /

so

(c - *₀) +

(4)

jedenfalls in einem gewissen Bereiche gleichmäßig konvergiert, innerhalb dessen der Umfang des Kreises k liegt. Nach Satz 18 der letzten Nummer gilt demnach diejenige konvergente Entwicklung, die sich durci} gliedweise Integration von (3) längs des Kreises k ergibt. Dabei geht links nach (1) der Wert 2iitf(c) hervor, weshalb wir noch mit 2ist dividieren. Außerdem können die konstanten Faktoren c — z₀, (c — z₀)² . . . rechts aus den Integralen nach Satz 12, Nr. 630, herausgesetzt werden. Bedeuten überdies c₀, c1} . .. cn, .. . die Zahlenwerte:

dz, . ..

c =

°°    2inj z — z₀

k

dz,

Cl    2 ijtJ(z—zoy

k

Cn

so kommt:

2 inJ\

Tldz, . .

f(c) = co + ci(c - *o) + • • • + cn(c - zoy

eine Formel, die wohlbemerkt für jede Stelle c im Innern des Kreises h gilt, da die Werte der Konstanten c₀, ct, . . . cn, garnicht von der Wahl dieser Stelle c abhängen.

Wenn wir deshalb statt c die beliebige Größe z setzen, gelangen wir mit Rücksicht auf die Definition in Nr. 365 zu dem

Satz 19: Ist f(z) eine monogene Funktion von z, ferner z0 irgend eine bestimmt gewählte Stelle ihres Bereiches und k ein solcher im übrigen beliebig großer Kreis mit der Mitte z₀, dessen Fläche vollständig dem Bereiche angehört, so ist f(z) an allen Stellen z innerhalb des Kreises k eine analytische Funktion, nämlich darstellbar durch eine innerhalb des Kreises k gleichmäßig konvergente Potenzreihe:

fO) = c₀ + ct(z — z₀) H----+ cn{z - z₀)n + • • •.

Daß nämlich die Reihe gleichmäßig konvergiert, folgt nach Satz 13 in Nr. 364 sofort aus dem Umstande, daß sie an jeder Stelle z innerhalb k überhaupt konvergiert.

Da nun die analytischen Funktionen nach Nr. 370 Ableitungen beliebig hoher Ordnung haben, die ebenfalls analytisch und also auch nach Nr. 623 monogen sind, folgt weiter:

Satz 20: Eine monogene Funktion f(z) hat innerhalb ihres Bereiches überall Ableitungen von beliebig hohen Ordnungen, und 643]

diese Ableitungen sind in demselben Bereiche monogene Funktionen.

Wir haben schon in Nr. 372 bemerkt, daß die Reihe (4) eine Taylor sehe Reihe ist, denn es ergibt sich:

c»⁼ ••••

644. Nochmals die unendlichen Reihen von mono-genen Funktionen. Wir können jetzt den Satz 17 von Nr. 641 vervollständigen. Unter den Voraussetzungen jenes Satzes ist

(i) innerhalb des gemeinsamen Bereiches von w₀, w eine stetige Funktion von z, von der wir nun zeigen wollen, daß sie auch monogen ist. Es bedeute nämlich z₀ irgend eine bestimmte Stelle des Bereiches und k einen solchen Kreis mit der Mitte zQ, dessen Fläche dem Bereiche vollständig angehört. Ferner sei c irgend eine bestimmt gewählte Stelle im Innern des Kreises Ł Alsdann gilt die Entwicklung (3) der letzten Nummer, da wir bei ihrer Herleitung nur die Stetigkeit von f(z) benutzt hatten, wie dort besonders betont wurde. Aber das Integral der linken Seite jener Formel darf jetzt nicht nach dem Cauchyschen Satze 16 in Nr. 639 gleich 2ijtf(c) gesetzt werden, weil wir ja noch nicht wissen, daß f(z) monogen ist. Statt der Formel (4) der letzten Nummer geht also hervor:

Nun ist aber nach (1):

1 wt(z)

1 wn{z)

2in z — c

2 in z — c

1    f{?) ₌ _J_ Wq(3) ,

2irt z — c 2in z — c '

und zwar konvergiert diese Reihe gleichmäßig in einem gewissen Gebiete, das den Umfang des Kreises k enthält. Wenn wir sie nach Satz 18, Nr. 642, gliedweise läng, k integrieren, dürfen wir rechts den Cauchyschen Satz anwenden, weil w₀, wX} . . . wn, . . . nach Voraussetzung monogen sind. Also kommt:

hfi-~CdZ = Wo(°) + Wl(C) + • • • + Wn(c) + • • •. k

Kap. Vin. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Diese Reihe aber ist nach (1) gleich f(c), d. h.

504

Setzen wir diesen Wert in (2) links ein, so erhalten wir schließlich doch:

f(c) - c₀ + <h(P ~ *o) + • ' * + c»(c - *o)n + • • ••

An allen Stellen c im Innern von k ist f(z) mithin analytisch und daher nach Nr. 623 auch monogen. Wir haben somit den Satz 21: Liegt eine unbegrenzte Folge von monogenen Funktionen w₀ (z), tvl {z), . . . wn(z), . . . vor, deren Bereiche einen Bereich gemein haben, innerhalb dessen die unendliche Reihe

woO) + wx0) H----+ wn(e) H----

überall gleichmäßig konvergiert, so ist die Summe dieser Reihe in dem gemeinsamen Bereiche eine monogene Funktion von z.

645. Zusatz zu dem Cauchyschen Satze. Da für

monogene Funktionen nach dem Cauchyschen Satze in Nr. 639

(1)

wj z — c

k

ist, ergibt sich, wenn auch die Stelle c -f- 4 c innerhalb k liegt:

f(c + 4 c)

dz.

___i_ f_m

2inJ z — c

k

Subtrahiert man hiervon die Formel (1) und dividiert man dann mit 4c, so kommt:

f(c + Ac)-M

Ac

kfw—

k

— Ac

Ac

-de

und daher für lim 4 c = 0:

(2)

0—=

hf

k

(z — c)

Wird diese Formel (2) ebenso wie vorher die Formel (1) behandelt, so gehen entsprechende Formeln für die höheren Ableitungen von f(z) für z = c hervor, die ja nach Satz 20, Nr. 643, vorhanden sind. Mithin gilt der

Satz 22: Unter den Voraussetzungen des Cauchyschen Fundamentalsatzes 16 in Nr. 639 ist

(Z — Ć)

z=c

n\ r ~    I

für w = 1, 2, 3, ...

Wir werden diesen Zusatz zum Cauchyschen Satze sogleich verwerten.

646. Differentiation einer gleichmäßig konvergenten Reihe von monogenen Funktionen. Wir knüpfen wieder an die Betrachtungen der vorletzten Nummer an, wonach

(1)

f{z) «= w₀(e) + wt(z) + w₂(z) + • * • eine monogene Funktion ist. Es möge c eine Stelle des Bereiches und k ein geschlossener Integrationsweg um c innerhalb des Bereiches sein. Alsdann ist auch die Reihe

f(*0    ₌ Wp(*)    ,    , Wi(g) ■____

(z — c)²    (z — c)² ' (z — c)² ' (z — c)² '

gleichmäßig konvergent und monogen in einem Bereiche, dem k zugehört, so daß die wegen Satz 18, Nr. 642, erlaubte gliedweise Integration längs k nach Satz 22 (für n = 1) ergibt:

f{c) = w'o(c) + w\(c) -f w'i{c) H----.

Somit haben wir den

Satz 23: Eine in einem Bereiche gleichmäßig konvergente unendliche Reihe von monogenen Funktionen w₀(z), wt(z), w₂(z),... darf gliedweise differenziert werden, d. h. die monogene Funktion

f{z) = wQ{z) + wx(z) + w₂(z) H----

hat in dem Bereiche die Ableitung

f\z) = w'₀(z) + w[(z) + w's(z) -f----,

die eine überall im Bereiche gleichmäßig konvergente Reihe und zwar eine monogene Funktion vorstellt.

Demnach ergibt sich auch allgemein

(2)

fW(z) = <> (*) + <> (*) + < (#) + •■•

für n = 1, 2, 3 . . ..

Schon in Nr. 508 sahen wir uns genötigt, den Satz 23 gelegentlich anzuwenden. Er weicht übrigens von dem entsprechenden Satze 27, Nr. 427, für das reelle Gebiet insofern ab, als im komplexen Gebiete die gleichmäßige Konvergenz der durch gliedweise Differentiation hervorgehenden Reihe von vornherein feststeht, während sie im reellen Gebiete erst noch besonders untersucht werden muß.

647. Nochmals die Integration einer gleichmäßig konvergenten Reihe von monogenen Funktionen. Wenn insbesondere der gemeinsame Bereich von w₀, wx, wi} ... einfach zusammenhängend und k ein beliebiger in ihm verlaufender Integrationsweg von z₀ nach Z ist, folgt aus (1) in voriger Nummer nach Satz 18, Nr. 642, daß das Integral

J*f(z)dz—J"w₀(z)dz-\- j'wx{z)dz -f J*w₃(z)dz 4- • • •

k    k    k    k für alle Stellen Z des Bereiches eine von der Art des eingeschlagenen Intégrationsweges unabhängige Funktion von Z ist. Allerdings wurde in Satz 18 besonders vorausgesetzt, daß alle Integrationswege k kürzer als eine gewisse endliche Länge 8 sein sollten. Wenn nun der Bereich endliche Abmessungen hat, existiert eine endliche Länge S derart, daß von z₀ bis zu jeder beliebigen Stelle Z des Bereiches ein Weg kürzer als S vorhanden ist; und weil der Bereich einfach zusammenhängt, erreicht das Integral auf diesem Wege denselben Wert wie auf jedem andern Wege von z₀ nach Z. Da f(z) außerdem nach Satz 21, Nr. 644, monogen ist, gilt dasselbe von dem Integrale. Der Satz 18, Nr. 642, ist also so zu vervollständigen:

Satz 24: Liegt eine unbegrenzte Folge von monogenen Funktionen w₀(z), u\(z), w₂(z), ... vor, die einen einfach zusammenhängenden Bereich von endlichen Abmessungen gemein haben, innerhalb dessen die unendliche Beihe

f(*) = *G)0) + w₁ (z) -f w₂ (z) -)----

überall gleichmäßig konvergiert, und bedeutet z₀ eine bestimmt, Z eine beliebig gewählte Stelle des gemeinsamen Bereiches, so ist

z    z    z    z

J*f(z)dx=J*iw₀(z)dz+J*w₁(z)dz +Jw₂(z)dz + • • •

ZQ    Z0    Z0    Z0 eine in dem gemeinsamen Bereiche monogene Funktion von Z. Ihr Wert ist unabhängig von der Wahl des Integrationsweges.

646, 647]

Hiermit sind die Beweise der wichtigsten Sätze von Weierstraß über unendliche Reihen beendet. Wir schließen hieran noch einige andere Anwendungen des Cauchyschen Fundamentalsatzes an.

648. Eine Vergleichungsfunktion. Wenn die Fläche eines Kreises x vom Radius r vollständig dem Bereiche einer monogenen Funktion f(z) angehört und c der Mittelpunkt des Kreises ist, haben wir nach Satz 22, Nr. 645:

dz,

[f{n) «]

eine Formel, die auch für n = 0 gilt, wenn f®(z) = f{z) und 0! == 1 gesetzt wird. Ist nun M das Maximum des absoluten Betrages von f(z) auf dem Kreisumfange, so erreicht der absolute Betrag des Integranden ebenda das Maximum M:rn + 1, so daß, weil überdies s = 2jcr der Kreisumfang ist, aus Satz 11, Nr 630, folgt:

[i

Mithin gilt der

Satz 25: Gehört die Fläche eines Kreises vom Badius r und mit dem Mittelpunkte c vollständig dem Bereiche einer monogenen Funktion f{z) an und ist M das Maximum des absoluten Betrages von f(z) auf dem Kreisumfange, so ist der absolute Betrag der nten Ableitung von f(z) für den Mittelpunkt c nicht größer als n\M:rn. Insbesondere ist |/*(c)| selbst kleiner als M.

Wir bilden nun mit Cauchy die Funktion:

Sie ist in der ganzen Ebene, abgesehen von der Stelle z = c + r auf dem Kreisumfange, monogen und hat die wte Ableitung:

qp («)(#) =

ni M

so daß

«4P

[»«»] » n-W

wird. Daraus folgt der

Satz 26: Wenn die Fläche eines Kreises vom Badius r und mit dem Mittelpunkte c vollständig dem Bereiche einer mo-nogenen Funktion f(z) angehört und M der größte Wert ist, den der absolute Betrag von f(z) auf dem Kreisumfänge erreicht, während cp(z) die im Innern des Kreises monogene Funktion

, X    M

<P(*) =

bedeutet, sind die absoluten Beträge von f(z), f'(z), f"(z) usw. für die Kreismitte z = c nicht größer als die Werte, die bzw. cp{z), (p'(z), cp" (z) usw. daselbst annehmen:

\f(c)\ £<p(c),    [\f^Kz)\]£[cp\z)l

Bei cp und den Ableitungen von cp sind hier die senkrechten Striche nicht nötig, weil diese Größen für z =■= c positive Werte haben.

Die so gewonnene Vergleichungsfunktion cp(z) werden wir im dritten Bande benutzen.

649. Überall endliche monogene Funktionen. Eine andere wichtige Anwendung des Cauchyschen Satzes ist diese: Wenn f(z) eine für jedes endliche z monogene Funktion bedeutet, deren absoluter Betrag die Zahl M nie übersteigt, wie groß auch der absolute Betrag von z gewählt sein mag, kann man beweisen, daß f(z) eine Konstante ist. Legt man nämlich um den Nullpunkt als Mittelpunkt einen Kreis k vom Radius r und wählt man c irgendwo im Innern dieses Kreises, so ist nach Satz 16, Nr. 639:

f(c)

- Lf/=h dl’ K°) = tkj f~r d*’

k    k

also nach Satz 12, Nr. 630:

(i)

z(z — c)

-r dZ.

Für alle Stellen z auf dem Umfange des Kreises aber ist, wie groß auch der Radius r gewählt sein mag, nach Voraussetzung | f(z) | M, ferner \si\—r und \z — c|^>r — |c|, so daß der

648, 649]

Integrand in (1) auf dem Kreisumfange nur solche Werte hat, deren absolute Beträge nicht größer als M:r(r — | c |) sind. Da s = 2nr der Kreisumfang ist, gibt die Formel (1) nach Satz 11, Nr. 630:

• 2nr =

M\c | r— | c j ’

wie groß auch r gewählt sein mag. Der rechts stehende Bruch wird aber für lim r = 4 °° gleich Null, so daß f(c) = f(0) folgt. Damit ist der Satz von Liouville gewonnen:

Satz 27: Ist eine Funktion f(z) für jedes endliche z monogen, während ihr absoluter Betrag, wie groß auch der absolute Betrag von z gewählt werden mag, nie eine bestimmte Zahl übersteigt, so ist f(z) bloß eine Konstante.

650. Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.

Diesen Satz, der bekanntlich zum ersten Male von Gauß bewiesen worden ist, mußten wir in Nr. 378 ohne Beweis anwenden. Wir sind jetzt nach Weierstraß in der Lage, ihn aus dem soeben gefundenen Satze abzuleiten.

Ist nämlich

f{z) = c₀ 4 cxz 4 c₂s² -j-----1- cnzn,

so soll bewiesen werden, daß es wenigstens einen Wert von z gibt, für den f(z) = 0 wird. Setzen wir den Fall, daß es keinen gebe, so wäre auch 1 : f(z) nach Satz 4, Nr. 624, für jedes endliche z monogen. Außerdem strebt der absolute Betrag von 1 : f(z) nach Null, wenn der absolute Betrag von z über jede Zahl wächst. Denn der absolute Betrag von f(z) wächst mit dem von z über jede Zahl. In der Tat ist ja:

f(*) co

Zn

4- —C— -F -c* -Ï- zn-x T- Bn-i

und alle Summanden rechts mit Ausnahme von cn streben nach Null für lim|#j == 4 so daß kommt:

lim ^ = cn für lim | z | = 4 ⁰⁰,

d. h.:

lim = lim —¹—

m cn*n

oder, da lim (1 :#") = 0 wird:

Der absolute Betrag von 1 : f(e) weicht also für alle Stellen z außerhalb eines Kreises um den Nullpunkt um weniger als eine beliebig kleine vorgegebene positive Zahl 6 von Null ab, falls der Radius dieses Kreises hinreichend groß (aber immer noch endlich) gewählt wird.

Die Funktion 1 : f(z) würde somit alle Voraussetzungen des Satzes 27 der letzten Nummer erfüllen, d. h. eine Konstante sein. Von diesem trivialen Falle sehen wir aber ab, indem wir selbstverständlich n > 0 und cn 4= 0 voraussetzen. Die Annahme, daß f(z) nirgends verschwinde, muß deshalb falsch sein. Daher gilt der

Satz 28 (Fundamentalsatz der Algebra): Eine ganze rationale Funktion von z, die nicht bloß eine Konstante ist, hat für mindestens einen Wert von z den Wert Null.

§ 5. Mehrwertige Funktionen.

651. Periodizitätsmodul. Wenn cp(z) eine in einem einfach zusammenhängenden Bereiche überall monogene Funktion ist, wenn ferner c eine solche Stelle in diesem Bereiche bedeutet, wo cp iß) nicht gerade verschwindet, und wenn überdies n eine ganze positive Zahl vorstellt, liegt in

(i)

y(*)

{z-c)n

eine Funktion vor, die ebenfalls überall in jenem Bereiche monogen ist, abgesehen jedoch von der Stelle c, wo sie mit 1 : (z — c) in der wten Ordnung unendlich groß wird. Für f(z) ist der Bereich also nicht einfach zusammenhängend. Die Integration von f(z) längs eines geschlossenen Integrationsweges, der die Stelle c einmal und zwar in positivem Sinne umläuft, ergibt dementsprechend auch nicht den Wert Null, sondern nach Satz 22, Nr. 645, den Wert

(2)

der auch im Falle n — 1 nach Satz 16, Nr. 639, stimmt, sobald 0! = 1 und ç>(°>(c) = cp(c) gesetzt wird.

650, 651]

Wir ziehen nun im Bereiche von einer Stelle z₀ nach einer anderen Stelle Z einen beliebigen Integration sweg Je, siehe Fig. 101. Er überschreite eine beliebig, aber bestimmt von c ans bis an den Rand des Bereiches gezogene und sich selbst nicht schneidende Linie s insgesamt jp-mal von der positiven und q-mal von der negativen Seite her. Dabei verstehen wir unter der positiven Seite von s diejenige, die wir zuerst treffen, wenn wir die Stelle c auf einem kleinen Kreise in positivem Sinne umlaufen. In Fig. 101 ist p = 1, q = 3.

Ui

Ar

-0,

iO

'X.

Fig. 102.

'x

Fig. 101.

Wir ziehen nun nun noch einen solchen Integrationsweg % von z nach Z, der die Linie s gar nicht trifft, was stets möglich ist. Wir gehen alsdann von z₀ längs Je nach Z und von hier längs je nach z₀ zurück und betrachten das Integral von f(z) für diesen geschlossenen Weg. Wie Fig. 102 zeigt, wo wir der Deutlichkeit halber einige Lücken gelassen haben, zerfällt der Weg in mehrere sich selbst nicht schneidende geschlossene Linien. Solche Linien nennen wir einfache geschlossene Linien. Es zeigt sich, daß einfache geschlossene Linien auftreten können, die den Punkt c nicht enthalten. Längs ihrer ergibt sich der Integralwert Null, da f(z) in ihrem Innern monogen ist. Es treten außerdem gerade so viele einfache geschlossene Linien auf, die den Punkt c umschließen, als der Überschuß von p über q oder von q über p beträgt (also in Fig. 102 zwei, weil hier q—p = 2 ist), und zwar haben sie positiven oder negativen Sinn, je nachdem p~>q oder q>p ist. (In Fig. 102

[651

haben sie negativen Sinn.) Längs eines jeden derartigen Umlaufes ergibt sich der unter (2) angegebene Integralwert C oder —G, je nachdem p~>q oder q>p ist. Die Summe aller, auf alle einzelnen geschlossenen Linien bezüglichen Integralwerte ist daher gleich (p — q) C. Da Je im Sinne von zQ nach Z und x im Sinne von Z nach £₀ durchlaufen wird, kommt also :

Jf(z)dz-jf(z)dz

k    y.

= (P - fl) C,

sobald wir auch x im Sinne von z₀ nach Z durchlaufen. Dies Ergebnis ändert sich übrigens nicht, wenn statt s eine andere stetige und sich selbst nicht schneidende Linie 6 von c aus bis an den Rand des Bereiches gezogen wird, vorausgesetzt daß auch 6 den Weg x nicht trifft. Ygl. z. B. 6 in Fig. 101. Die Zahlen p und q werden nämlich für 6 andere als für s (in der Figur p = 0 und q = 2), aber die Differenz p — q, die in der letzten Formel vorkommt, bleibt dieselbe.

Die willkürlich eingeführte Linie s verwandelt den Bereich in einen einfach zusammenhängenden, sobald sie als nicht zu überschreitende Grenze eingeführt wird, und der Weg x ist alsdann gestattet, da er s nicht trifft. In diesem einfach zusammenhängenden Bereiche aber ist das Integral, erstreckt von 2₀ bis Z, nach Satz 15, Nr. 633, eine monogene Funktion F(Z) der oberen Grenze und von der Art des eingeschlagenen Weges x unabhängig. Die letzte Formel lehrt daher:

Sobald von z₀ nach Z statt des Weges x, der s gar nicht trifft, ein solcher Weg Je eingeschlagen wird, der s insgesamt _p-mal von der positiven und g-mal von der negativen Seite her überschreitet, erreicht das Integral nicht mehr den Wert F(Z), sondern den Wert

(3)

ff(*)de = F(Z) + (p

k

-q)G.

Es leuchtet überdies ein, daß wir den Weg h so wählen können, daß p — q irgendeine ganze Zahl wird.

Die Grenzlinie s war willkürlich eingeführt worden. Man ist daher berechtigt, sie aufzuheben, weil sie nicht in der ur-

651]

sprünglichen Stellung des Integrationsproblems enthalten war. Dann aber müssen wir nach (3) sagen, daß das von z₀ bis Z erstreckte Integral nicht mehr eine einwertige (oder eindeutige) Funktion der oberen Grenze Z ist, weil noch der Summand (jp — q)C hinzutritt. Wir müssen also beim Funktionsbegriffe auf die Einwertigkeit, die bisher stets angenommen wurde und in seiner Definition (vgl. Nr. 6 und 365) ausgesprochen war, Verzicht leisten. So gelangen wir hier zu dem Begriffe einer sogar unendlichviel-wertigen Funktion, nämlich einer Funktion, die nur abgesehen von einem additiven beliebigen ganzen Vielfachen von 0 eindeutig ist. Die Zahl 0 heißt ihr Periodizitätsmodul.

Es kann allerdings Vorkommen, daß die Konstante C gleich Null wird. Alsdann wird das Integral auch in dem wegen der Unstetigkeitsstelle c nicht einfach zusammenhängenden Bereiche eine einwertige Funktion.

Beispiel: Es sei <p(z) = 1, d. h. f(z) = 1 :{z — c)n. Hier wird die (n — l)te Ableitung von q>(z) überhaupt stets gleich Null für w > 1, dagegen gleich Eins für n = 1. Nach (2) ist demnach 0=0 für n > 1 und 0 = 2in für n = 1.    Für

n — 2, 3, 4, . . . stellt also das Integral (vgl. Nr. 635): z

r dz

n-l

(z - c)n

(Z-c)

J (

S₀

in der ganzen Ebene eine einwertige und monogene Funktion von Z vor. Dagegen ist das Integral:

z

f dz J z — c

So

eine unendlichviel - wertige Funktion mit dem Periodizitätsmodul 2ijt. Nehmen wir z. B. c = 0 und z₀ = 1 an, so war bisher nach Nr. 636:

z

f— =

J * s

ln Z = ln | Z | + i£l,

wobei ln Z den Hauptwert des Logarithmus bedeutete. Dabei war ln | Z | der reelle Logarithmus des absoluten Betrages

Serret-Scheffers, Diff.-u.Integral-Rechnung. IL 4.U.5. Aufl. 38

von Z und LI die zwischen — n und -f n gelegene Amplitude von Z. Dagegen werden wir jetzt allgemeiner

InZ

z

-J't-

zu setzen haben, indem wir die Linie s etwa wie in Nr. 635 (siehe Fig. 97, S. 489) als die negative x-Achse wählen. Also folgt: Der allgemeine Logarithmus einer komplexen Zahl Z ist eine unendlichviel-wertige Funktion:

ln Z = ln | Z | -f iLl + 2ikn,

wo k eine beliebige ganze Zahl bedeutet. Der Umstand, daß der Periodizitätsmodul 2in: dieser Funktion ln Z imaginär ist, erklärt es, daß wir im reellen Bereiche noch nicht auf die Viel Wertigkeit des Logarithmus gestoßen waren, wohl aber in Nr. 376 in Formel (1) dazu kamen, als wir den Logarithmus im komplexen Bereiche einführten.

652. Mehrere Periodizitätsmoduln. Es liege wieder eine in einem einfach zusammenhängenden Bereiche monogene Funktion cp(ß) vor, und es seien a, h, ... I verschiedene bestimmt gewählte Stellen des Bereiches. Vorausgesetzt wird, daß <p(z) an diesen Stellen nicht verschwinde. Dann ist __y(*)

(z — a)a(z — bf ...(« — */

eine überall im Bereiche, abgesehen von den Stellen a, h,..l, monogene Funktion. Dabei sollen cc} ß, ... X positive ganze Zahlen bedeuten, so daß f(e) z. B. an der Stelle a mit 1 : (z — a) in der aten Ordnung unendlich groß wird.

Auf einem geschlossenen Wege, der die Stelle a einmal und zwar positiv umläuft, aber keine der übrigen Unstetigkeitsstellen h, c, . . I einschließt, erreicht das Integral von f(d) nach Satz 22, Nr. 645, den Wert

2 in

(4)

(1)

f(0~

a—1

’(“ — D! Ldz“-¹ (z — Vf • • • {z — lf-

der nach Satz 16, Nr. 639, auch für a — 1 gilt, wenn dann 0! = 1 gesetzt und das Differentiationszeichen fortgelassen wird. Entsprechend ergeben sich konstante Integralwerte

651, 652]

(2)

'•s

9>(«)

B, ... L bei einfachen positiven Umläufen um b, . . I. Nun ziehen wir von a,b, ...l aus gerade oder krumme, jedoch sich selbst und einander nicht schneidende Linien sa, sb, ... st bis an den Rand des Bereiches, wobei wir die positiven Seiten dieser Linien wie in voriger Nummer festlegen. Fügen wir sa,sb, ... st zur Grenze des Bereiches hinzu, so liegt ein einfach zusammenhängender Bereich vor, innerhalb dessen f(z) überall monogen ist, so daß in ihm bei der Integration der Funktion f(z) von einer bestimmten Stelle z₀ bis zu einer beliebigen Stelle Z eine einwertige Funktion von Z hervorgeht, nämlich:

z

F(Z) -f'f(ż)d*

z₀

Wenn wir jedoch die willkürlichen Linien sa, sb, ... s, nicht als Grenzen betrachten und von zQ nach Z einen Integrationsweg Ti einschlagen, der diese Linien sa, sb, . . . st bzw. pa-, pb- . . . i^-mal von der positiven Seite her und bzw. qa-, qb- . . . genial von der negativen Seite her überschreitet, ergibt sich der Integralwert:

(³) Jf^)d^F(Z)+(pa-qa)Ai-(pb-qb)B-i----\-(p-ql)L.

Z0

Der Beweis wird wie in voriger Nummer geführt.

Dies Integral (3) ist also eine unendlichviel-wertige Funktion von Z, nämlich eine einwertige Funktion, vermehrt um beliebige ganzzahlige Vielfache der Konstanten A, B, . . . L, die man die Periodizitätsmoduln nennt.

Es kann Vorkommen, daß einige der Konstanten gleich Null werden oder daß sich einige von ihnen wie ganze Zahlen zueinander verhalten. Alsdann wird die Anzahl der wesentlichen Periodizitätsmoduln geringer.

Beispiel: Im Falle

ist a = i, b — — i, u= 1, ß = 1, tp(z) = 1, also A — tc, B = — Jt. Hier stehen die Periodizitätsmoduln im Verhält-

[65«

nisse 1 : — 1 zueinander; daher ist nur einer wesentlich. Als die Linie sa benutzen wir etwa wie in Nr. 638 die von der Stelle i aus ins Endlose gezogene positive y-Achse und als die Linie sb die von der Stelle — i aus ins Endlose gezogene negative «/-Achse, siehe Fig. 103. Die positive Seite von sa ist dann die rechte, die positive Seite von sb die linke Seite der «/-Achse. Geht von z₀ nach Z ein Integrationsweg 1c, der sa und sb hzw. pa- und p₆-mal von der positiven und bzw. qa- und g₆-mal von der negativen Seite her überschreitet (in Fig. 103 ist pa~ 1, qa= 1, pb = 0, qb= 2¹)), so ergibt sich nach Nr. 638:

\Z

c>¹

sb

Fig. 103.

Z

/l+? - arc

dz

tg Z - arc tg zQ + (Pi -qt-p₂ + q₉) n,

insbesondere für z₀ = 0:

ï+ zi

= arc tg Z H- (pi -q₁ — p₂ + q₂)n.

Hier tritt, wie gesagt, nur ein wesentlicher Periodizitätsmodul jt auf. Er ist reell, und dieser Umstand ist der Grund, weshalb wir sogleich bei der allerersten Betrachtung des Arkustangens im reellen Gebiete (in Nr. 12) auf die Vielwertigkeit gestoßen waren.

653. Die Vielwertigkeit der Amplitude. Ehe wir

andere Beispiele von mehrwertigen Funktionen bringen, beschäftigen wir uns genauer mit der Festlegung der Amplitude co einer komplexen Zahl z. Nach Nr. 355 ist diese Amplitude nur bis auf additive ganze Vielfache von 23t bestimmt.

Wir nehmen an, einer bestimmten Stelle z₀ werde eine bestimmte Amplitude co₀ beigelegt, z. B. dadurch, daß wir die Vorschrift machen, daß co₀ zwischen — n und + n (oder in irgend einem anderen Intervalle von der Größe 2jr) liegen soll. Bewegt sich alsdann ein Punkt von z₀ aus stetig nach einer anderen Stelle Z, ohne durch den Nullpunkt z — 0 hindurchzugehen, so legt der zugehörige Radiusvektor einen ganz bestimmten positiven oder negativen Drehungswinkel cp zurück. Alsdann können wir festsetzen, daß Z die Amplitude Gj = (o₀-{-(p haben soll. Siehe Fig. 104.

\Z

Fig. 104.

Diese Festsetzung ist jedoch von der Art des Weges abhängig, auf dem wir von z₀ nach Z gelangen. Man erkennt: Ist der Weg von z0 nach Z so beschaffen, daß der Radiusvektor keine volle Umdrehung um die Stelle z = 0 macht, so wird ein anderer Weg von z₀ nach Z, bei dem er k volle positive (oder negative) Umdrehungen um z = 0 vollendet, zur Amplitude a -j- 2 Jen (bzw. & — 2kn) führen. Die Mehr Wertigkeit der Amplitude beruht also auf der Möglichkeit, beliebig viele volle Umläufe um die Stelle e = 0 auszuführen. Daher können wir nur dadurch zu einer einwertigen Festsetzung der Amplitude kommen, daß wir derartige Umläufe unmöglich machen. Dies geschieht, indem wir von der Stelle z = 0 aus eine Grenzlinie s ziehen, die stetig ist, sich nicht selbst schneidet und bis ins Endlose verläuft. Darf der Weg die Grenze s nicht überschreiten, so hat jede Stelle z eine bestimmte Amplitude <n, sobald einer bestimmten Stelle zQ eine bestimmte Amplitude gj₀ vorgeschrieben worden ist.

¹

In Fig. 103 wie auch in der nächsten Fig. 104 haben wir dem Wege nur der Deutlichkeit halber eine möglichst regelmäßige Gestalt gegeben. Wesentlich für das Ergebnis sind ja nur die Übergangsstellen über sa und sb bzw. s sowie z₀ und Z.

Ändert sich nun die Stelle z stetig, so gilt dasselbe von ihrer Amplitude, jedoch nicht mehr beim Überschreiten der Grenze s. Denn wenn wir wieder diejenige Seite von s, die auf einem positiven Umlaufe um z = 0 zuerst getroffen wird, die positive Seite von s nennen, hat eine Stelle auf der positiven Seite von s eine Amplitude, die um 2n größer als die Amplitude auf der negativen Seite von s ist.

Demnach ist s die Grenzlinie eines einfach zusammenhängenden Bereiches, innerhalb dessen die Amplitude co überall einwertig definiert ist und zwar so, daß sich ra darin stetig mit z ändert. Gehen wir dagegen von z₀ nach z auf einem Wege, der die Grenzlinie s insgesamt ^-mal von der positiven und g-mal von der negativen Seite her überschreitet, und addieren wir wiederum zu co₀ den Gesamtwinkel, den dabei der Radiusvektor zurücklegt, so finden wir als Amplitude von z statt des früheren Wertes ra den Wert co + 2 (p— q)n. Insbesondere können wir durch genügend viele Überschreitungen von s erreichen, daß die Amplitude von z einem beliebig festgesetzten Intervalle von der Größe 2n angehört.

Die Stelle z = 0 selbst ist für die Amplituden singulär. Denn für sie ist die Amplitude an sich unbestimmt, oder auch: Für sie hängt die Amplitude ganz davon ab, aus welcher Richtung her wir die Stelle z dorthin rücken lassen.

Fig. 105.

Tritt in einer Formel statt der Amplitude von z etwa die von z — c auf, wobei c eine konstante komplexe Zahl bedeute, so ist zu beachten, daß die Stelle z — c aus den Stellen z und c nach Nr. 356 durch Konstruktion mittels eines Parallelogramms gewonnen wird, siehe Fig. 105. Man sieht daraus, daß die Amplitude von z — c der Winkel ist, den der Strahl von der festen Stelle c nach der beweglichen Stelle z mit der positiven x-Achse bildet. Hier ist nun dasselbe wie vorhin über die Mehrwertigkeit der Amplitude zu sagen. Da die Stelle c jetzt die Rolle spielt, die vorher der Stelle Null zufiel, erkennen wir: Wird von c aus eine sich selbst nicht schneidende stetige Grenzlinie s bis ins Endlose gezogen und außerdem festgesetzt, in welchem Intervalle die Amplitude co₀ von z₀ — c für eine bestimmte Stelle z0 angenommen werden soll, so gehört zu jeder Stelle z eine bestimmte Amplitude ra von z — c, sobald die Grenzlinie s nicht überschritten werden darf. Gelangt man dagegen von z₀ nach z auf einem solchen Wege, der s insgesamt j)-mal von der positiven und g-mal von der negativen Seite her überschreitet, so muß die Amplitude co durch co + 2(jp — q)jt ersetzt werden.

654. Die allgemeine Potenz. Nach dem Beispiele in Nr. 651 ist allgemein:

(i)

ln# = lnp -f ia,

wenn ln p den reellen Logarithmus des absoluten Betrages p yon z und co die Amplitude von z bedeutet. Denn jetzt braucht die additive Konstante 2ikn; nicht mehr angegeben zu werden, da sie schon durch die Unbestimmtheit der Definition der Amplitude co eingeführt wird.

Nun definieren wir, falls m irgend eine bestimmte reelle Zahl ist, die Potenz zm durch die Formel:

(2)

Aus ihr folgt nach (1):

Zm ₌ ymei

(S)

m co

= Qm (cos ma + i sin ma).

Dabei bedeutet pm den absoluten Betrag von zm, nämlich den einzigen reellen positiven Wert, den die mte Potenz der positiven Zahl p nach Nr. 5 hat. Wegen der Vielwertigkeit der Amplitude a ist somit die mte Potenz von z eine unendlichvielwertige Funktion von z, sobald m keine rationale Zahl ist. Wenn dagegen m = r:n ist, wo r und n zwei ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler bedeuten und n stets positiv angenommen werden darf, bleibt der Wert (3) ungeändert, wenn co um 2njt zunimmt, weil dann ma um 2 m wächst. Dann ist die Potenz eine nur noch n-wertige Funktion von #, indem ihre n Werte aus

(4)

— n j~r n ,-r /

zn =yz =yq (

COS

r co

+ isinv)

hervorgehen, sobald man irgend eine der Amplituden a von z aus wählt und außer ihr noch die n — 1 Amplituden a 2 ji, a + 4#, . . :~a + 2(n — l)it benutzt.

Kehren wir zum allgemeinen Falle (3) zurück. Um die Funktion einwertig zu machen, müssen wir die Amplitude nach der Methode der letzten Nummer durch eine von z = 0 aus gezogene Grenzlinie s einwertig machen und außerdem einer bestimmten Stelle z₀ eine bestimmte Amplitude co₀ beilegen. In dem so gewonnenen einfach zusammenhängenden Bereiche

[654

mit der Grenze s wird die Funktion zm einwertig und nach der Definition (2) überdies monogen, da ln z und ez monogen sind.

Da die Regel für die Differentiation einer Funktion von einer Funktion nach Nr. 625 auf die Formel (2) anwendbar ist, gibt sie:

dzm

dz

_ ßin ln z .

Zm

Wir dürfen hierfür kürzer

(5)

dzm

dz

- == mz

nt— 1

schreiben, sobald wir zm~x entsprechend der Definition (3) durch

(6) zm~¹ = p”¹-¹c*(w,_1)c° = Qm~x [cos (m — 1) co + i sin (m — 1) ca]

definieren und hierin die Amplitude ca in demselben Intervalle wie für die Formel (3) wählen. Die Regel für die Differentiation einer Potenz mit konstantem reellen Exponenten (Er. 38) gilt also auch dann, wenn die Basis imaginär ist.

Durch Einsetzen von q (cos ca -j- i sin ca) für z folgt noch

aus (3):

(?)

(cos ca -f i sin co)”* = cos ma -f- i sin ma,

d. h. die Moivresche Formel (1) in Nr. 358 gilt für beliebige reelle Exponenten.

655. Die konforme Abbildung w = ‘]/z. Ist der Exponent m von zm insbesondere der reziproke Wert einer ganzen positiven Zahl n, so ergibt sich nach voriger Nummer eine n-wertige Funktion, nämlich nach (4) die wte Wurzel von z:

(i)

. Ü1

w = Ÿz = ype*w =

î/?(cosl + *sinï)>

die eben für alle möglichen Amplituden co von z doch nur n verschiedene Werte deshalb annimmt, weil co:n gerade um 2 n wächst, also der Kosinus und Sinus ungeändert bleiben, sobald ca um 2n% zunimmt. Führen wir wie in voriger Nummer die Grenzlinie s ein, so ergibt sich ein einfach zusammenhängender Bereich, in dem die wte Wurzel von z eine eindeutige und monogene Funktion von z ist.

Sie vermittelt nach Nr. 626 eine konforme Abbildung der £-Ebene auf die w-Ebene. In der #-Ebene sind co und p die 654, 655]

Polarkoordinaten. Benutzen wir auch in der w - Ebene Polarkoordinaten cp und r, indem wir

w = r (cos cp -j- i sin cp)

setzen, so ist nach (1):

(2)

r - Ÿ9,

CO

w = —,

r n

und das ist der einfachste reelle Ausdruck dieser konformen Abbildung. Man sieht, daß die Kreise p = konst. als Kreise r = konst. und die Strahlen œ = konst. als Strahlen cp = konst.

Z-Sbene

tu- Sbene.

J'y

\K

H'-

Vi

Fig. 106.

abgebildet werden. Aber die ganze z- Ebene wird nur auf einen Teil der w- Ebene abgebildet. Ist nämlich a die Amplitude einer an der positiven Seite der Grenzlinie s gelegenen Stelle a des Bereiches in der £-Ebene, siehe Fig. 106 (worin n = 3 gewählt ist), so hat dieselbe Stelle auf der negativen Seite von s nach Nr. 653 die Amplitude a — 2n. Durchläuft nun z einen Kreis h um den Nullpunkt, so entspricht diesem Kreise nur der nte Teil des Bildkreises k' in der w-Ebene. Lassen wir nämlich die Stelle a an der positiven Seite der Grenze s entlang gehen, so beschreibt der Bildpunkt in der w-Ebene eine ebenfalls vom Nullpunkte ausgehende und sich selbst nicht schneidende stetige und ins Endlose laufende Linie si, das Bild von s. Aber wenn die Stelle a an der negativen Seite von s entlang geht, werden alle Amplituden um 2n kleiner, d. h. dann beschreibt der Bildpunkt nach (z) diejenige Linie s'₀ der w-Ebene, die aus si hervorgeht, wenn wir si um den negativen

Winkel — 2jt:w um den Nullpunkt drehen. Jede Stelle z des durch s begrenzten Bereiches der z-Ebene hat also ihr Bild w zwischen só und si. Der Bildbereich ist in Fig. 106 schraffiert.

Gestatten wir dagegen der Stelle z, die Grenze s zu überschreiten und zwar zunächst nur einmal von der positiven Seite her, so tritt an die Stelle von o der Wert co -f- 2%, d. h. die Formeln (2) sind dann durch

<P =

r-W,

zu ersetzen. Dies bedeutet: Alle Bildpunkte w sind jetzt um den Winkel 2n:n um den Nullpunkt der w-Ebene herumzudrehen. Oder: die ganze z-Ebene derjenigen Stellen z, zu denen man nach einmaliger positiver Überschreitung von s gelangt, wird konform abgebildet auf dasjenige Gebiet, das einerseits von si und andererseits von der Kurve s₂ begrenzt wird, die aus si durch Drehung um den Winkel 2%'.n hervorgeht.

So können wir fortfahren: Durch fortgesetzte Drehung um jeweils 2n:n entstehen insgesamt n kongruente Linien s'o, s'i, Sg . . . s'n_v Sie teilen die w-Ebene in n kongruente Gebiete. Die n- wertige Funktion w = Yz vermittelt eine honforme Abbildung der z-Ebene auf die w-Ebene, bei der die ganze z-Ebene auf jedes einzelne der n Gebiete abgebildet wird. Die Abbildung ist also n-deutig. Alle n Bildpunkte w einer Stelle z bilden ein regelmäßiges n-Ech, dessen Mittelpunkt der Nullpunkt der w-Ebene ist. Vgl. insbesondere die nten Einheitswurzeln in Nr. 358.

Noch sei ausdrücklich bemerkt: Haben wir für eine Stelle z bei bestimmter Auswahl ihrer Amplitude œ den zugehörigen Wert der nten Wurzel w nach (1) berechnet und gehen wir nun von z aus auf einem Wege, der s einmal positiv überschreitet, d. h. auf einem einmaligen positiven Umlaufe um die Stelle z = 0, nach derselben Stelle z zurück, so geht der neue Wert der Wurzel aus dem alten durch Multiplikation mit dem Faktor e*in:n hervor.

Die Stelle z — 0 selbst ist insofern zwar von singulärer Natur, als hier die Amplitude an sich unbestimmt wird (vgl. Nr. 653), aber immerhin bleiben bei der Annäherung von z

655] an den Nullpunkt der Kosinus und Sinus in (1) endlich, während Yq nach Null strebt. Also hat Y~z für lim 0 = 0 den Grenzwert Null. Die Stelle 0 = 0 ist die einzige Stelle der Ebene, der nur ein Wert der nten Wurzel zukommt, während schon in unmittelbarer Nähe von 0 = 0 stets n Werte der Wurzel auftreten. Daher heißt die Stelle 0 = 0 die Ver-

n

zweigungsstelle der Funktion yz.

656. Die Funktion Y(z — a) (z — b). Wenn wir die Amplitude einer Zahl c mit ampl. c bezeichnen, gibt (1) in voriger Nummer:

^ i ampl. (z — a)

]/z — a = ]/| 0 — a\e

Y7-b -yr^rpe*'“'L(-*⁾

Also wird die Quadratwurzel:

(i)

-V(,~ a)(i-b)-y\(,-a)(i-bjie*™i’-a’⁺“*L(‘-ea,

wobei die Quadratwurzel des absoluten Betrages des Produktes (0 — a) (0 — h) positiv anzunehmen ist.

Diese Funktion w ist nicht einwertig, denn die Amplituden können um ganze Vielfache von 2n geändert werden, so daß der Wert von w mit dem Faktor

eik7t _ cos    i sin kn

multipliziert werden darf, wo k eine beliebige ganze Zahl bedeutet. Dieser Faktor ist gleich + 1, wenn k gerade ist, und gleich — 1, wenn k ungerade ist. Also hat die Wurzel gerade zwei Werte, und der eine geht aus dem andern durch Multiplikation mit — 1 hervor.

Um einen einfach zusammenhängenden Bereich zu gewinnen, in dem die Quadratwurzel eine einwertige monogene Funktion von 0 wird, erinnern wir uns an die Bemerkungen, die in Nr. 653 über die Amplitude von 0 — c gemacht wurden. Demnach ziehen wir von den Stellen 0 = a und 0 = h aus stetige sich nicht schneidende Grenzlinien sa bzw. sb bis ins Endlose. Geben wir alsdann für eine bestimmte Stelle 0O den Größen z₀—a und z₀—h bestimmte Amplituden a und ß, so

[655, 656

daß für sie nach (1) die Funktion w den bestimmten Wert

(2)

w₀ = Y\ (z₀ — d) (z₀ — b) | e^d+ß)

hat, so gehören auch zu jeder andern Stelle z bestimmte Werte der Amplituden von z — a und z — b, also auch der Quadratwurzel w, vorausgesetzt, daß wir von z₀ aus nach z auf irgend einem solchen Wege gelangen, der weder sa noch sb überschreitet.

Wenn wir dagegen von z₀ nach z auf einem Wege übergehen, der sa bzw. sb insgesamt pa- bzw. pb-mvl von der positiven Seite her und insgesamt qa- bzw. g₆-mal von der negativen Seite her überschreitet, wird der Wert der Funktion an der Stelle z ein anderer. Der vorige Wert w muß nämlich dann noch mit

ełi'[(pa—2«)+(P6—2ö)12ä oder ê^a+Pb-Qa—'id¹¹

multipliziert werden. Diese Zahl ist gleich -j- 1 oder — 1, je nachdem die in der eckigen Klammer stehende ganze Zahl gerade oder ungerade ausfällt.

Die Stellen z = a und z = b sind die einzigen, an denen sich die beiden Werte der Wurzel w nicht voneinander unterscheiden, da hier w = 0 wird. Deshalb heißen sie die Verzweigungsstellen der Funktion ]/(z — a)(z — b).

Ganz entsprechend erkennen wir, daß

w = V(a- O (*-<*)•••(*- O

eine zweiwertige Funktion ist, die jedoch einwertig und mo-nogen wird, sobald wir von den Stellen clf c₂, . . . cn aus Grenzlinien s₁₇ s₂, ■ . . sn bis ins Endlose ziehen. Die beiden Werte der Funktion unterscheiden sich nur durchs Vorzeichen. Haben wir an einer Stelle z die Amplituden von z — cv z — c₂, . . . z — cn bestimmt gewählt, so hat dort auch

W = Y\ (Z — ct) {z — c₃) . . . (z — Ol gF^ampl.^ —c)

einen bestimmten Wert. Gehen wir nun von z aus auf einem Wege, der si} s₂, . . . sn von der positiven Seite bzw. pt-} p₂-, . . . ivmal UQd von der negativen Seite bzw. q^, q₂-, . . . ^„-mal überschreitet, zur selben Stelle z zurück, so ist der nunmehr

656]

zu z gehörige Wert von w aus dem vorigen durch Multiplikation mit

zu gewinnen. Dieser Faktor ist gleich -f 1 oder — 1. Die Stellen ct, c₂, . . . cn sind die einzigen, an denen beide Werte der Wurzel miteinander identisch, nämlich gleich Null sind. Sie heißen daher wieder die Verzweigungsstellen der Funktion.

657. Die Binomialreihe.

Wir haben in Nr. 654

die Potenz zm mit Hülfe des Logarithmus definiert. Aber nach Nr. 374 steht uns auch ein anderer Weg zur Definition, wenigstens in einem gewissen Bereiche, offen. Denn es ist danach

zm = [1 + 0 - l)]m

mittels der Binomialreihe

em

(1)

für j z — 1 j < 1 darstellbar. Folglich müssen wir noch beweisen, daß dieser Wert von zm im Bereiche | z — 11 < 1 mit einem derjenigen Werte übereinstimmt, die zm nach der Definition in Nr. 654 annimmt.

(m — 1) (m — 2)

— m [l +    (2 — 1 ) +

Definieren wir zm im Bereiche | z — 1 | < 1 durch die Formel (1), so liegt eine im Kreise um die Stelle z — 1 und mit dem Radius Eins überall einwertige und analytische, d. h. monogene Funktion vor, deren Ableitung nach Satz 19, Nr. 370, ist: dzm

2!

dz

Multiplizieren wir diese Formel mit z oder 1 Ą- {z — 1) und fassen wir die Glieder mit gleichhohen Potenzen von z — 1 zusammen, so kommt:

dzm

dz

also nach (1):

zm

Folglich ist

dzm —— = m — dz    z

d\nzm _ dz z *

d. h. ln zm = m ln z -f konst.

oder:

(2)

zm = konst. emln*.

Für z = 1 aber gibt die Formel (1) den Funktionswert Eins. Bezeichnet der Logarithmus in (2) den Hauptwert, so ist auch ln 1 = 0, d. h. der konstante Faktor gleich Eins. Die Formel (2) deckt sich daher mit der Definitionsformel (2) in Nr. 654, sobald der Logarithmus darin den Hauptwert bedeutet.

658. Die Funktion arc sin z. Im Reellen ist:

(i)

, Z

arc sin z = arc tg ■■ — • ⁶ yl-z*

Diese Definition wollen wir auch im komplexen Bereiche benutzen; es ist dann leicht, den Arkussinus durch den Logarithmus auszudrücken. Denn die Formel (1) in Nr. 377, nach der

1 -f- iw

(2)

— iw

arc tg w = Yi ln \

Nr. 651 und 652 in all-

ist und die wir in Nr. 638 unter (5) von neuem bewiesen haben, gilt auch dann, wenn wir den Logarithmus und den Arkustangens wie in den Beispielen zu gemeinster Weise, d. h. als unendlich viel- wertige Funktionen auffassen, weil der Logarithmus alsdann bis auf additive ganze Vielfache von 2i% und der Arkustangens bis auf additive ganze Vielfache von % bestimmt ist. Wenn wir nun in (2) für w den Wert z:}/l — z² einsetzen, kommt nach (1):

arc sin z =

4lnV—-+<‘-

2î Y1 — z³— iz Der Numerus ist das Quadrat von iz-\-Yl — z². Also folgt schließlich:

(3)

arc sin# =

— i ln (iz -f ]/1 -- z²).

Den Bereich für z können wir bekanntlich so begrenzen, daß sowohl die Quadratwurzel als auch der Logarithmus daselbst einwertig und monogen wird, folglich auch arc sin z. Alsdann ergibt sich als die Ableitung, da wir die Regel der Differentiation einer Funktion von einer Funktion nach Nr. 625 anwenden dürfen:

d arc sin z

dz

iz -f y 1    z²

d. h. nach (6) in Nr. 373:

(5)

z = sin w.

Mithin ist w = arc sin z auch im komplexen Bereiche die zu z = sin w inverse Funktion.

Aus (3) erhellt, daß arc sin z eine unendlich vielwertige Funktion ist. Nehmen wir an, daß zu den Werten, die sie für ein bestimmtes z erhält, insbesondere w und w gehören, so muß nach (5)

sin w' — sin w — 0

sein. Da nun die goniometrischen Formeln nach Nr. 373 auch im komplexen Bereiche gelten, folgt:

w 4- w . ---sin

cos

oder:

(4)

d arc sin z

yi — z*’

also dieselbe Ableitung wie im reellen Bereiche.

Ferner folgt aus (3), wenn arc sin £ mit w bezeichnet wird:

ie+y 1 —#² = éw

und hieraus durch Auflösung nach z:

dz

w' —

d. h. wegen der in Nr. 373 über das Verschwinden des Sinus und des Kosinus gemachten Bemerkung:

w' = — w -f- (2k + l)jt oder w = w -)- 2kn, wo k eine beliebige ganze Zahl ist.

Alle Werte, die arc sin z für ein bestimmtes z erreicht, gehen also aus einem dieser Werte hervor, wenn man entweder zu ihm ein gerades ganzes Vielfaches von % oder zu dem entgegengesetzten ein ungerades ganzes Vielfaches von n addiert.

Die Ergebnisse über die Viel Wertigkeit von arc sin £ sind also genau dieselben wie im reellen Bereiche, siehe Nr. 12 unter c.

In entsprechender Weise läßt sich die Funktion arccos# einführen und darstellen.

659. Ein Hilfsatz. Nachdem wir auf verschiedenen Wegen zu mehrwertigen Funktionen gelangt sind, wobei wir

[658, 659

stets erkannten, daß es möglich war, den Bereich in der 0-Ebene so zu begrenzen, daß sich die Funktionen darin als einwertige und monogene Funktionen betrachten ließen, wollen wir zum Schlüsse noch einen anderen Weg skizzieren, auf dem man ebenfalls unter Umständen zu mehrwertigen Funktionen kommt. Dabei bedürfen wir eines Hilfsatzes, der in dieser Nummer bewiesen werden soll:

Satz 29: Gibt es im Bereiche einer monogenen Funktion f(z) ein Wegstück, für dessen Punkte die Funktion f(z) den Wert Null hat, so ist die Funktion überhaupt gleich Null.

Zunächst zeigen wir, daß unter den Voraussetzungen des Satzes auch f'(z) den Voraussetzungen genügt. Sind nämlich z und zt zwei Stellen jenes Wegstückes l, so daß f(z) = 0 und f(zf) = 0 ist, so hat man auch:

= o.

z₁ — z

Strebt zx längs des Wegstückes l nach z, so bekommt die linke Seite nach Nr. 622 den Grenzwert f (z). Demnach ist f(ß) = 0 an jeder Stelle z des Wegstückes l. Da auch f (z) eine monogene Funktion ist, beweist man ebenso, daß f"(z) an jeder Stelle z des Wegstückes l verschwindet, usw.

Bedeutet nun z₀ irgend eine Stelle von l, so ist f(z) innerhalb desjenigen Kreises k um z₀, dessen Fläche noch völlig dem Bereiche von f(z) angehört, nach Satz 19, Nr. 643, als analytische Funktion

(1)

f(*) = c₀ + cx(z - z₀) ----+ cn(z -z₀)n-\----

darstellbar. Dabei haben die Koeffizienten c₀, c1} . . . cn, die in Nr. 643 unter (5) angegebenen Werte und sind folglich sämtlich gleich Null, weil f(z), f'{z), . . . f^n\z), . . . für z = z0 verschwinden. Also ist f(z) nach (1) innerhalb des Kreises k überall gleich Null.

Macht die Fläche dieses Kreises k schon den ganzen Bereich der Funktion f(z) aus, so ist Satz 29 bewiesen. Andernfalls stellen wir dieselbe Betrachtung für alle Stellen z₀ von l an, so daß f(z) innerhalb aller bis an den Rand gehender Kreise um die Stellen von l überall verschwindet. Ist hiermit der ganze Bereich von f(z) noch immer nicht erschöpft, so 659]

bedenken wir, daß für irgend eine Stelle zx innerhalb irgend eines dieser Kreise f(z) nebst allen Ableitungen verschwindet, daher die Darstellung von f(z) als analytische Funktion von z — zx in der Umgebung von zx ebenso ergibt, daß f(z) innerhalb desjenigen Kreises um zx überall gleich Null ist, der bis an den Rand des Bereiches geht. Dabei kann zx so gewählt werden, daß der Kreis um zx über den schon vorher ermittelten Teil des Bereiches hinausreicht, in dem f(z) verschwindet. Wir können also denjenigen Teil des Bereiches, in dem f(z) überall gleich Null ist, immer noch vergrößern, bis wir schließlich den ganzen Bereich erschöpft haben, womit dann der Satz 29 bewiesen ist.

Als Folgerung ergibt sich nun der

Satz 30: Wenn die Flächen der Konvergenzkreise zweier Potenzreihen

und

co + ci0 - *₀) + * * * + c»0 - *o)" + •*•■

Vo + Yi(* — *i) + • • • + y«(* ~ #i)* + • • • mit den Mittelpunkten z₀ und zx ein Gebiet gemein haben und die Werte beider Reihen an jeder Stelle z längs eines in diesem Gebiete gelegenen Wegstückes l übereinstimmen, haben sie überhaupt in diesem gemeinsamen Gebiete übereinstimmende Werte.

Denn jede Reihe definiert innerhalb ihres Konvergenzkreises eine monogene Funktion f(z) bzw. cp(z), so daß f(z) — cp(z) im gemeinsamen Bereiche monogen ist und die Voraussetzungen des Satzes 29 erfüllt, also f(z) — <p(z) überall im gemeinsamen Bereiche verschwindet.

Der Satz 30 enthält als speziellen Fall den Satz 21 von

Nr. 371.

660. Analytische Fortsetzung einer Funktion. Wir

_ wollen nach diesen Vorbereitungen annehmen, es liege eine Potenzreihe

(i)

«0 + <i(s — *o) + hO - O* H----

vor. Der Mittelpunkt ihres Konvergenzkreises k₀ ist z₀. Innerhalb k₀ wird durch (1) eine monogene Funktion f(z) definiert. Es kann sein, daß der Bereich dieser Funktion f(z) über den Kreis k₀ hinausgeht, und wir wollen zeigen, durch welches Verfahren sich dies feststellen läßt.

Serret-Soheffers,Diff.-u.Integral-Kecłmung. II. 4.u.5.Aufl. 34    660

•)

rw, • •

vgl. (5) in Nr. 643, und andererseits lassen sich f(z^), f'(z\), . aus der Reihe (1) und den durch gliedweise Differentiation von (1) hervorgehenden Reihen durch Einsetzen von z = zx berechnen, nach Satz 19, Nr. 370. Folglich ist:

«o = co + ci0i “ *o) +    ~ %>² + • ‘

(3)

Es sei zx irgend eine Stelle innerhalb &₀,⁷ siehe Fig.r 107. Nach Satz 19, Nr. 643, ist f(z) in der Form einer Potenzreihe

a₀ + at(z — et) + a₂(z — exy H----

darstellbar innerhalb desjenigen größten Kreises \ um zx als Mitte, der noch vollständig in dem Bereiche von f(z) liegt.

Nun kennen wir den Umfang des Bereiches ja noch nicht, aber sicher gehört der Kreis k₀ zum Bereiche; es steht also fest, daß die neue Reihe (2) gewiß innerhalb desjenigen Kreises x₁ um zx als Mitte honvergiert, der noch vollständig in Jc₀ enthalten ist.

Der Radius des wahren Konvergenzkreises Jcy von (2) muß also mindestens so groß wie der von xx sein.

Es [ist nun wichtig, zu bemerken, daß die Form der Reihe (2) durch die gegebene Reihe (1) vollständig bestimmt wird. Innerhalb xx stellen nämlich (1) und (2) überall dieselbe Funktion f(z) dar. Nun ist einerseits nach (2):

(2)

\K

•Xo,

Al

• Fig. 107.

— [1.2c₂ + 2.3c₃(zx z₀) -f- 3.4cx(zx zoy ],

Die neue Reihe (2) ist also eine ganz bestimmte, sobald die Reihe (1) gegeben ist.

Wie gesagt, kann der Konvergenzkreis kx der Reihe (2) über den Kreis k₀ hinausgreifen. Nehmen wir an, daß wir diesen wahren Konvergenzkreis Tcx ermitteln könnten, so würden wir dasselbe Verfahren für alle Stellen zx im Innern von k0 anwenden und so den Bereich, in dem die Funktion f(z) be-660]

kannt wäre, durch die über k₀ hinausreichenden Flächenstücke aller Konvergenzkreise kx erweitern. Hierbei ist aber noch ein sehr wesentlicher Punkt zu erörtern:

Ist z₂ eine andere Stelle innerhalb k₀, ferner

\    \ (s — et) + \ (e — z₂f H----

die zugehörige Potenzreihe und k₂ ihr Konvergenzkreis, und greifen kx und k₂ beide über k₀ hinaus, so kann es sein, daß die Flächen von kx und k₂ auch außerhalb k₀ ein Gebiet gemein haben, wie es Fig. 107 zeigt, wo dies Gebiet stark schraffiert ist. Es soll nun bewiesen werden, daß die Reihen (2) und (4) an jeder Stelle z dieses Gebietes übereinstimmende Werte haben. Für diesen Beweis ist der Umstand ausschlaggebend, daß die beiden Kreise kx und k₂, sobald sie ein Flächenstück außerhalb k₀ gemein haben, stets auch ein Flächenstück innerhalb k₀ gemein haben. Siehe das schwach schraffierte Gebiet in Fig. 107. In diesem Bereiche haben die Reihen (2) und (4) an jeder Stelle z denselben Wert wie die Reihe (1), also miteinander übereinstimmende Werte, woraus nach Satz 30 der letzten Nummer folgt, daß die Reihen (2) und (4) auch in dem außerhalb k₀ gelegenen gemeinsamen Gebiete an jeder Stelle z übereinstimmende Werte haben.

Die geschilderte Erweiterung des Bereiches der ursprünglich nur durch die Potenzreihe (1) innerhalb des Kreises k0 definierten monogenen Funktion f(z) führt also bis jetzt nirgends zuWidersprüchen. Man nennt das ein geschlagene Verfahren die analytische Fortsetzung der Funktion.

Durch die Hinzufügung aller Konvergenzkreis-Flächen kx, k₂, . . ., die zu allen Mittelpunkten zx, z₂, ... innerhalb der Kreisfläche kQ gehören, haben wir so einen größeren Bereich von f(z) gewonnen, dessen Fand r nunmehr aber nicht notwendig ein Kreis, sondern irgend eine geschlossene Linie sein wird.

(5)

«i, d

2> *

Genau dasselbe Verfahren der analytischen Fortsetzung können wir jetzt auf den neuen Bereich anwenden. Wir wählen z. B. eine Stelle z₃ außerhalb k₀ und innerhalb kx und leiten aus der innerhalb kx gültigen Reihe (2) die Reihe d₀ -f- dx{z - zs) + d₂(z — z₅y + • • • für die Umgebung von z₃ ab, indem wir ihre Koeffizienten d₀, . . aus den Koeffizienten a₀, ax, a₂, . . . der Reihe (2) und aus zs — zx ebenso berechnen, wie a₀, ax, a₂, . . . vermöge

[660

(3) aus c₀, cl} c₂, ... und aus zt — z₀ gewonnen wurden. Falls der wahre Konvergenzkreis lt₃ der Reihe (5) über den Rand r hinausgreift, gelangen wir so zu einer abermaligen Erweiterung des Bereiches der monogenen Funktion f{z).

(6)

Es ist aber sehr wohl denkbar, daß wir auf diese Weise zu einem Widerspruche kommen, weil der Hand r jetzt kein Kreis zu sein braucht. Ist zi z. B. eine andere Stelle innerhalb r, und zwar innerhalb k₂ und außerhalb kv und hat man für sie aus der Reihe (4), die innerhalb k₂ gilt, die neue Reihe eo + ßi (* — zj + e₂(z — z±y H----

gewonnen, deren wahrer Konvergenzkreis kL über r hinausgeht, so ist es denkbar, daß die Kreise k₃ und /c₄ außerhalb r ein Gebiet gemein haben, ohne auch innerhalb r

*»

fîi¹

Fig. 108.

ein Gebiet gemein zu haben, wie es Fig. 108 zeigt. Wir können deshalb nicht mehr wie vorhin beweisen, daß die Reihen (5) und (6) an jeder Stelle z ihres gemeinsamen Gebietes übereinstimmende Werte haben.

Es ist also sehr wohl denkbar — und kommt tatsächlich vor —, daß die analytische Fortsetzung dazu führt, daß wir für eine Stelle z mehrere Reihen finden, die verschiedene Werte haben. Dies wird sich in noch stärkerem Maße bei weiterer Fortsetzung zeigen können. Wir sehen also, daß auch die analytische Fortsetzung einer monogenen Funktion zu einer mehrwertigen Funktion führen kann.

Wir wollen dies jedoch nicht an Beispielen durchführen, da das Verfahren der analytischen Fortsetzung bei der praktischen Ausführung deshalb Schwierigkeiten bereitet, weil man die unzählig vielen Koeffizienten der neuen Reihen berechnen muß. Es gelingt allerdings in manchen Fällen, sie durch Kunst-grilfe zu ermitteln. Wir begnügen uns damit, allgemein gezeigt zu haben, daß man durch dieses Weierstraßsehe Verfahren zu mehrwertigen Funktionen gelangen kann.

6601 -

Einleitung zn dem Anhänge von A. Harnack.

Der auf S. 540 beginnende Anhang, der von A. Harnack herrührt, ist ein unveränderter Abdruck nach dem Originale in der ersten Auflage dieses Werkes. Er stellt eine knapp gehaltene Monographie über ein Spezialgebiet dar und knüpft an einige Betrachtungen des Lehrbuches in der ersten Auflage an, die teils von Harnack und teils von Serret herrührten und die wir des besseren Zusammenhanges halber erst hier als Einleitung zum Anhänge geben.

A. Über die Integrierbarkeit einer reellen Funktion von einer reellen Veränderlichen. Es sei f(x) eine in dem endlichen Intervalle von x₀ bis X > x₀ überall definierte reelle Funktion der reellen Veränderlichen x. Wird das Intervall von x₀ bis X in beliebige n Teile A₁, J₂, ... An zerlegt und sind x[, x'₂, . . . x'n solche Werte von x, die den Intervallen von x₀ bis x₀ -(- von x₀ -j- At bis x₀ -j- A₁ -f- J₂ usw. angehören, so bilden wir wie in Nr. 408 die Summe:

(1)

f(x[)A₁ -f- f(x₂)A₂ -J- • • • + f(x'n)An.

Es soll nun die Frage beantwortet werden, unter welcher Bedingung diese Summe einen bestimmten endlichen Grenzwert hat, sobald alle Teile , A₂, ... An nach Null streben und dementsprechend die Anzahl n über jede Zahl wächst und überdies x[, x₂, ... x'n immer irgendwo in den einzelnen n Intervallen gewählt werden. Hat die Summe (l) einen bestimmten endlichen Grenzwert, so sagen wir, daß die Funktion f(x) in dem Intervalle von x₀ bis X > x₀ integrierbar sei.

Wir wissen schon, daß ein bestimmter endlicher Grenzwert vorhanden ist, sobald f(x) stetig ist, nach Satz 5, Nr. 408, ebenso dann, wenn f(x) überall im Intervalle abgesehen von einer endlichen Anzahl von Sprungstellen stetig ist, nach Satz 13, Nr. 475. Aber jetzt wollen wir nur das Eine voraussetzen, daß f(x) im Intervalle überall endlich sei. Daher können wir hier den Satz 3, Nr. 405, über die Schwankung einer Funktion nicht anwenden.

Sind kx, &2, . . . kn die kleinsten und gx, g₂, . . . gn die größten Werte, die f(x) in den n Teilintervallen erreicht, so liegt die Summe (l) zwischen den Summen

(2) K = 1cxztx -\-k₂J₂-\-----\-lcn/1n, y = gxAx+g₂A%-\-----\-9n^n.

Genau so wie in Nr. 406 verfeinern wir die Teilung Schritt für Schritt dadurch, daß wir bei jedem neuen Schritte jedes schon vorhandene Teilintervall für sich in eine beliebige Anzahl kleinerer Gebiete zerlegen und nach jedem Schritte eine auf die gewonnene Zerlegung bezügliche Summe entsprechend der Summe (l) bilden. Alsdann können wir dieselben Schlüsse wie in Nr. 406 machen, abgesehen von denjenigen, hei denen der Satz 3 von Nr. 405 über die Schwankung angewandt wurde. Wir gelangen demnach wieder zu den in Nr. 406 mit (2) und (4) bezeichneten Ungleichungen, nicht aber zu den Ungleichungen (3) ebenda. Danach haben auch jetzt die Größen x₂, ... einen Grenzwert % und die Größen yx, y₂, ... einen Grenzwert y, so daß die zu untersuchende Summe einem Werte zustrebt, der zwischen % und y liegt. Wir können jedoch jetzt nicht folgern, daß die Grenzwerte % und y übereinstimmen. Vielmehr müssen wir sagen: Wir sind nur dann sicher, daß die Summe (l) nach einem bestimmten endlichen Grenzwerte strebt, wenn n = y oder h — y = 0 wird. Mit anderen Worten:

Die Bedingung der Integriert)arkeit besteht darin, daß der Grenz

wert von

(3)

(ûi -K)A + (dt - J'jH + • • • + (gn - K)

gleich Null sein muß.

Ist diese Bedingung erfüllt, so folgt daraus, daß es gleichgültig ist, wo wir die Werte x x, x\, ... xn in den n Teilgebieten wählen. Wir dürfen also der Summe (l) die speziellere Form

(4)

J — f(.Xo) ^1 + f(Xl) ^2 H-----1" f(Xn -1)

gehen, indem wir x x, x₂, ... x n als die Anfangswerte x₀, xt... xn _ x von x in den n Intervallen annehmen.

Aber da wir bisher nur solche Teilungen betrachtet haben, bei denen Schritt für Schritt jedes schon vorhandene Teilintervall für sich in neue Teile zerlegt wurde, müssen wir noch zeigen, daß die gewonnene Integrabilitätsbedingung nach sich zieht, daß auch jede auf eine andere Teilung bezügliche Summe J' denselben Grenzwert wie die Summe J hat. Demnach nehmen wir wie in Nr. 407 eine zweite Teilung an, die schon so weit getrieben sei, daß zwischen je zwei Teilstellen der ersten Teilung, zu der die Summe (4) gehört, mindestens eine Teilstelle der zweiten Teilung liegt. Ist J' die auf die zweite Teilung bezügliche Summe, so läßt sich Jr in n Summanden Sx, $₂, ... Sn zerlegen, von denen sich jeder auf einen der n Teile

z/₂, ... Jn der ersten Teilung bezieht, und alsdann folgt gerade so wie in Nr. 407:

f(x₀) Ą - (r/j - kt)    f(x₀) A₁ + (gt -\)AX,

f(%\) ^2 (ß% ^2) ^2    = ffai)^2 C^2 ^2) ^2 1

/■(*« -i)4n-(?n- K) 4n£Sn£f(xn_₁)4n + {gn - kn) An und hieraus durch Addition, daß

I J'-* I ^ Ol ~ h)Ą + O2 - 2)4 + * * * + 0„ ~ h)Jn ist. Wenn aber die Summe (3) in der Tat den Grenzwert Null hat, schließen wir hieraus, daß J'—J ebenfalls nach Null, d. h. J' nach demselben Grenzwerte wie J strebt.

Weil g₁ — \, g.₂ — h₂,...gn — kn die Schwankungen der Funktion f(x) in den Teilintervallen Ax, As, ... An sind, läßt sich die Bedingung der Integrierbarkeit so aussprechen :

Die im Intervalle von x₀ bis X^>x₀ überall definierte Funktion f{x) ist integrierbar, wenn bei irgendeiner Zerlegung des Intervalles X — x₀ in Teilintervalle die Summe der Produkte der Größen aller Teilintervalle mit den in den Intervallen vorkommenden Schwankungen nach Null strebt, sobald man die Zerlegung fortgesetzt so durch neue Zerlegungen ersetzt, daß alle Teilintervalle nach Null streben und dementsprechend ihre Anzahl über jede Zahl wächst.

Daß diese Bedingung bei stetigen Funktionen und bei Funktionen mit einer endliehen Anzahl von Sprungstellen erfüllt ist, bemerkten wir schon oben. Sie ist aber unter Umständen auch dann erfüllt, wenn im Intervalle von x₀ bis X unzählig viele Sprungstellen auf-treten.

Es möge nämlich f(x) im Intervalle von x₀ bis X überall endlich sein; doch soll das Intervall unzählig viele Sprungstellen von f(x) in der Art enthalten, daß sie sich erstens in eine endliche Anzahl von Teilintervallen einschließen lassen und daß zweitens die Summe der Größen dieser Teilintervalle so klein gemacht werden kann, daß sie kleiner als eine beliebig klein gewählte positive Zahl 6 wird. Ist dann G der größte und K der kleinste Wert, den f(x) an irgendeiner Sprungstelle haben kann, so ist das Produkt der Teilintervalle, in denen Sprungstellen Vorkommen, mit den zugehörigen Schwankungen von f(x) nicht größer als o(G — II). Dieses Produkt aber strebt mit 6 nach Null. Da außerdem für den übrigen Teil des Gesamtintervalles die Bedingung der Integrierbarkeit erfüllt ist, gilt sie folglich auch jetzt noch für das Gesamtintervall.

Ist die Bedingung der Integrierbarkeit der Funktion f(x) im Intervalle von x₀ bis X erfüllt, so gilt sie auch für jeden Teil dieses Intervalles. Ist x irgendein Wert zwischen x₀ und X, der auch gleich X sein darf, so bezeichnen wir den Grenzwert der Summe (l), die sich auf das Intervall von x₀ bis x bezieht, als das bestimmte Integral

X

(5)

F(x) =J*f(x)dx

3-0

Obgleich wir jetzt die Stetigkeit von f(x) nicht fordern, gelten doch die früheren Sätze:

Erstens: Bas Integral ist für jedes x im Intervalle x₀<^x X eine stetige Funktion der oberen Grenze x.

Denn wie in Nr. 410 ist

F(x h) — F(x) = lim ^ f(x)Ax,

wo die rechts stehende Summe entsprechend der Summe (l) für das Intervall von x bis x -f- h gebildet wird, und wie damals kommt

x + h

Ich f(x)Ax^gh,

X

wenn Ic den kleinsten und g den größten Wert von f(x) im Intervalle von x bis x-\-h bedeutet, vorausgesetzt, daß h)> 0 ist. Im Falle Ä<0 ist < durch > zu ersetzen. Hieraus folgt weiter, wenn h)> 0 ist:

(6)

lim Ich lim [F(x -f- hj — F(x)\ lim gh, h = o

während im Falle h < 0 die Zeichen < durch > zu ersetzen sind. Da k und g endlich sind, schließen wir:

lim F(x + h) = F(x),

d. h. nach der Definition in Nr. 20 ist F(x) stetig.

Zweitens: Bas Integral hat an einer Stelle x, die keine Sprungstelle ist, die Ableitung f(x).

nur:

Dies ergibt sich wie in Nr. 410. Wenn dagegen x eine Sprungstelle ist, folgt aus (6)

k < lim

A = 0

F (x Ah) — F{x)

<9-

Aus der Definition des Integrals als Grenzwertes einer Summe folgt noch:

Brittens: Sind x₁ und x₂ Stellen im Intervalle von x₀ bis X,

so ist:

Xx    Xr    Xi

j‘f(x)dx +J‘fix) dx =J f(x)dx

x₀    xx    x₀

Dies gilt auch im Falle xx > x₂, sobald wir nur noch die Definition hinzufügen, daß für xx > x₂

X*    xx

Jf(x)dx = —J*f(x)dx

Xi    xa

sein soll.

Sind zwei Funktionen in einem Intervalle integrierbar, so beweist man leicht dasselbe für ihre Summe und ihr Produkt. Ebenso gilt für integrierbare Funktionen fix) der Satz 12 von Nr. 412, wonach im Intervalle von x₀ bis X > x₀ das Integral von f(x) positiv ist, sobald f(x) daselbst überall positive Werte hat. Endlich gilt der Satz 17 von der teilweisen Integration in Nr. 415, nämlich:

x    x

uv dx,

J*uv dx — \uv\ —J*i

x₀    x₀

auch für,Funktionen u und v, sobald sie im Intervalle Ableitungen haben, die integrierbar sind.

Schließlich noch eine Definition: Eine Funktion f(x) heißt in einem Intervalle absolut iniegrierbar, sobald ihr absoluter Betrag | f(x) | daselbst integrierbar ist.

B. Die Koeffizienten der Fourierschen Reihe. Wir

betrachten die bestimmten Integrale

cos kx cos Ix dx,

7t

/■

o

sin kx sin Ix dx,

worin k und l ganze positive Zahlen sein sollen. Die Summe bzw. Differenz dieser Integrale ist

7t    7t

J*cos (k — l)x dx bzw. J*cos (k l)x dx

Im Falle k =4= l sind diese beiden Integrale gleich Null, im Falle k — l =f= 0 dagegen ist das erste gleich % und das zweite gleich Null. Ist endlich k = l — 0, so sind beide Integrale gleich ic. Hieraus folgt :

0

1 fürA; —1=^=0, 0    [ = Z = 0,

vorausgesetzt, daß k und l ganze positive Zahlen sind. Da sich die Integranden nicht ändern, wenn x durch — x ersetzt wird, folgt

[A,B

7t

w 4/

o

coskxcoslxdx—

1,

<N «

7t

/■

o

sinkxsinlxdx—

—7t

coshxcoslxdx=

+ 1t

-7t

4-i

smkxsmlxdx=

lfürfc

=^+o,

0.

ferner für die Integration im Intervalle von —n bis -f-n:

Auf demselben Wege ergibt sich:

+ 7t

(3)

/■

cos hx sin Ixdx = 0

sin hx cos Ixdx = 0,

— 7t

-7t

wenn h und l ganze Zahlen bedeuten.

Es mögen nun <p(x) und ip(x) zwei reelle Funktionen von x sein, die sich innerhalb des Intervalles von x = 0 bis x — % durch gleichmäßig konvergente unendliche Reihen (vgl. Nr. 425) von der Form

(4) cp(x) = jA₀ + A₁ cos x -f- A₂ cos 2# + • • • -f Ak cos hx -\- • • •, Bx sin x + J5₂ sin 2 x -f- • • • + Bk sin hx -f • • •

darstellen lassen. Diese Voraussetzung zieht nach sich, daß <p{x) eine gerade und 'ip(x) eine ungerade Funktion (vgl. Nr. 467) und ip(0) = ip(7t) = 0 ist. Es ist leicht, die Koeffizienten dieser Reihen als bestimmte Integrale darzustellen, nämlich auf dem folgenden von Euler und Fourier angegebenen Wege:

Man multipliziert die Gleichung (4) mit (2 cos hx) : n und integriert alsdann von 0 bis %. Nach Satz 26, Nr. 426, darf diese Integration gliedweise ausgeführt werden. Mit Rücksicht auf (l) geht alsdann rechts nur Ak hervor, so daß wir haben:

(5) 7fj(x) =

(6)

7t

= - - f tp(x) cos hx dx (h = 0

0, 1, 2,...).

Mit der Reihe (5) verfährt man entsprechend: Man multipliziert sie mit (2 sin hx) : % und integriert alsdann von 0 bis n, so daß mit Rücksicht auf (l) folgt:

(7)

7t

- l f V(x) si

0

n hx dx

Die soeben betrachtete Funktion cp(x) bzw. ty(x) ist, wie bemerkt, gerade bzw. ungerade. Dies braucht nicht mehr der Fall zu sein bei einer Funktion f(x), von der wir voraussetzen, daß sie im Intervalle von — % bis -f n durch eine gleichmäßig konvergente unendliche Reihe vor der Form

(8) f(x) = \A₀ -f- Ax cos x -f A₂ cos 2x -f • • • + -4* cos + * ' • + Bx sin x + Bs sin 2x + • • • -f- Bk sin hx + • • •

B]

Die Veränderliche x tritt in (8) in den goniometrischen Funktionen auf. Andererseits kommt sie auch in den bestimmten Integralen (9) vor. Um Verwechslungen vorzubeugen, die entstehen können, wenn wir die Werte (9) der Koeffizienten in (8) einführen, wollen wir die Veränderliche der Funktion f in (9) mit a statt x bezeichnen. Alsdann ergibt sich:

Läßt sich eine reelle Funktion f(x) von x in dem Intervalle von x — — % bis x = -\- n durch eine gleichmäßig konvergente unendliche Leihe darstellen, die nach den Kosinus und Sinus der ganzen positiven Vielfachen von x fortschreitet’.

00

f(x) = jA₀ -f- (Ak cos kx -f- Lk sin kx),

i

so haben die Koeffizienten der Leihe die Werte:

4* 7t

darstellbar sei. Aber auch hier können wir die Koeffizienten leicht als bestimmte Integrale gewinnen. Wir multiplizieren nämlich die Gleichung (8) mit (cos kx):n bzw. (sin kx): n. Darauf ergibt sich durch gliedweise Integration von — n bis -j- n infolge von (2) und (3):

+ 7t

(9) A -v/h*)

cos kx dx

- ~fik»)si

n kxdx.

— 7t

-7t

4* 7t

■A-k

cos ka da,

Bk

n kada.

-7t

— 7t

Es ist dies die sogenannte Fourier sehe Leihe.

Die Voraussetzung über die gleichmäßige Konvergenz stellt jedoch die Anwendbarkeit der Fourierschen Reihe für irgendeine im Intervalle von —n bis + n gegebene Funktion f(x) in Frage. Es entsteht die Aufgabe, zu untersuchen, welche Bedingungen die Funktion f{x) selbst erfüllen muß, damit sie in eine Fouriersche Reihe entwickelbar sei, und dies ist das Problem, dessen Theorie in dem folgenden Anhänge dargelegt wird.

[B

Anhang.

843

Grundriß der Theorie der Fourierschen Reihe und des Fourierscheu Integrales

von

Axel Harnack.¹)

1. {Die zu entwickelnde Funktion.} Für die analytische Darstellung von Funktionen, welche möglichst wenigen Voraussetzungen genügen oder, wie man auch kurz sagt, für ein bestimmtes Intervall der reellen Variabelen x willkürlich definiert sind, ist, zumal in der Theorie und Anwendung partieller Differentialgleichungen, die Beantwortung der Frage wichtig: Läßt sich jede Funktion durch eine trigonometrische Reihe dar stellen, und tvie sind dann die Koeffizienten dieser Reihe zu bestimmen? Fourier, welcher zuerst in seiner Theorie der Wärmeleitung die systematische Untersuchung dieser Frage begonnen hat, die früher schon Gegenstand der Kontroverse zwischen Euler und D’Alembert bildete, gab zur Lösung derselben im allgemeinen nur das Verfahren an, welches in den Paragraphen 502 flg. ausgeführt worden ist²), von dem wir aber sahen, daß es den ersten Teil des Problems gar nicht, den anderen nur mit Hilfe einer besonderen Voraussetzung beantwortet.

Unter einer in einem reellen Intervalle von z = a bis z — b willkürlich gegebene Funktion f(ß) verstehen wir, daß für jeden einzelnen Wert von z ein Funktionswert irgendwie definiert ist. Ein sehr wesentlicher Unterschied solch einer Funktion von allen rationalen, algebraischen sowie überhaupt von allen Funktionen, die durch konvergente Potenzreihen nach der Taylorschen Formel darstellbar sind, besteht darin, daß bei diesen die Definition der Funktion innerhalb eines noch so kleinen endlichen Intervalles zugleich über den ganzen weiteren Verlauf derselben entscheidet. Denn kennt man von einer konvergenten Potenzreihe die Werte der Funktion in der Umgebung einer Stelle, so daß man daselbst die Werte sämtlicher Ableitungen zu bilden imstande ist, so folgt aus diesen Werten auch die gesamte Potenzreihe. Bei einer willkürlichen Funktion dagegen entscheidet die Beschaffenheit der Funktion innerhalb eines bestimmten Teiles der Strecke a bis b noch gar nichts über den Verlauf der Funktion außerhalb dieses Teiles. Eine in diesem Sinne willkürliche Funktion kann also sicherlich nicht für das gesamte Intervall von 844 a bis b durch eine Potenzreihe ausgedrückt werden.

Wir wollen aber den Begriff der willkürlichen Funktion für das folgende noch etwas einschränken. Die Funktion f(z) sei für das Intervall von a bis b so definiert, daß sie mit Ausnahme einzelner, in endlicher Anzahl vorhandener Punkte bei jedem Werte von z einen bestimmten Wert hat, und daß sie auch mit Ausnahme derselben Punkte überall stetig verläuft. An den Ausnahmepunkten aber möge die Funktion so beschaffen sein, daß zwar lim/^# -f- li) und lim f(z — li) für h — 0 daselbst bestimmte Werte besitzen, daß aber diese Grenzwerte voneinander verschieden sind. An solch einer Stelle z selbst werde der Wert der Funktion ganz unbestimmt gelassen; wesentlich für die Beschaffenheit der Funktion in der beiderseitigen Umgebung solch einer Stelle ist dann nur der Umstand, daß sie daselbst eine sprungweise Wertänderung erleidet. Die Funktion f(z) ist dann auch im Intervall von a bis b integrierbar {vgl. A,

S. 533—537}, und diese Eigenschaft, welche wir der willkürlichen Funktion auferlegen, bildet Auch eigentlich nur die³) notwendige Einschränkung für die Theorie, welche wir zu entwickeln haben. Indessen würde es hier zu weit führen, die ganze Theorie für die integrierbaren Funktionen überhaupt auszuführen; wir richten unsere Aufmerksamkeit zunächst also immer nur auf diejenigen integrierbaren Funktionen, welche zugleich mit Ausnahme einzelner Punkte stetig sind und in der Umgebung dieser Punkte weder unendlich noch unbestimmt werden, sondern bestimmte sprungweise Wertänderungen haben.

2. {Stellung des' Problems.} Eine Funktion, die für das Intervall von a bis ^definiert ist, kann stets so transformiert wer-

den, daß ihr Argument das Intervall von — n bis -j- n durchläuft. Dann setzt man:

2 z — {a -j- b)

oder z —

x(b — a) -f- n(a + b)

2 7t

so entspricht jedem Werte von z ein Wert von x, und wenn z das Intervall von a bis b durchläuft, erhält x alle Werte von — % bis + Tt. Demnach können wir die Aufgabe auf die Form reduzieren: Es sei im Intervalle von x — — n bis x — -{■ n eine Funktion fix) willkürlich definiert, doch so, daß sie mit Ausnahme einzelner Punkte, an denen sie bestimmte sprungweise Wertänderungen erleidet, stetig ist; kann diese Funktion durch eine trigonometrische Reihe dargestellt werden, und ivie sind dann die Koeffizienten derselben zu bestimmen?

Die richtige Methode, diese Frage, wenn auch nicht vollständig zu lösen, so doch für die wichtigsten Fälle zu erledigen, eröffnete 845 Dirichlet (Crelles Journal, Bd. 4); er lehrte, daß dieselbe nicht in der aufgestellten Form zu untersuchen ist, soifdern in der umgekehrten Reihenfolge. Bildet man für die Funktion fix) die trigonometrische Reihe, bei welcher die Koeffizienten die von Fourier angegebene Integralform haben, nämlich:

(l) A₀ =    ¹f(x)dx, Ak=~J*jf{x)coskxdx,    t{x)smkxdx,

— 7t

-7t

— 7t

so ist vor allem zu untersuchen, ob diese Reihe

k = oo

“ A₀ + (A cos + Bk s^n k%)

i- = i

bei jedem Werte von x konvergiert und {im Intervalle von — it bis -f n) den Wert f(x) liefert. Alsdann läßt sich weiter fragen, ob dieselbe Funktion etwa noch durch andere trigonometrische Reihen darstellbar ist oder nicht.

3. {Satz über die Koeffizienten der Fourierschen Reihe.) Wir wenden uns zur Beantwortung des ersten Teiles und schicken den folgenden Satz voraus:

Ist fix) eine im Intervalle von — 7t bis n endliche und integrierbare Funktion, so haben die Integrale

Jfix) cos nxdx und Jf(» si

nnxdx

— 7t

— 7t

für n = oo den Grenzwert Null.

Dabei ist selbstverständlich der Grenzprozeß so zu vollziehen, daß zuerst bei endlichem Werte von n die Integrale ermittelt werden

und alsdann in den gewonnenen Ausdrücken n über jeden Betrag hinaus wächst. Bildet man das Integral:

+ Jt

ÇI/O) - Y Ao —^(Äk cos hx + Bk sin Äa?)]

J    ⁴ = 1

k = n

dx,

— 7t

in welchem die Koeffizienten A und B die oben [Gleich, (l)] definierten Werte haben und n eine bestimmte beliebig große ganze Zahl bedeutet, so wird dasselbe gleich⁴):

k = n

+ Jt

f[m

A>

j'f(x)dx

— Jt

— 7t

k = n ~    ^

² ^ Äkjf(X)

k = 1 L _ jt

+ Jt

cos Jcx dx + BkJ⁴f(x)sinkxdx ,

also {nach (l)} gleich:

+ Jt

k^l

846

—jt

es besteht demnach die Gleichung:

+ 7t

Af{m)

k—n

— 71

^ (A^cosfea; -f- Bksmlcx) dx

k = 1

+ Jt

=jifixjfdx

!"

-Jt

k= 1

welche für jeden endlichen noch so großen Wert von n gültig ist. Die linke Seite dieser Gleichung ist nun bei jedem Werte von n eine positive Größe, weil die Funktion unter dem Integrale ein Quadrat ist, mithin muß auch die rechte Seite stets positiv bleiben. Würden nun die Beträge der Größen Ak und Bk bei noch so großen Werten von k nicht nach Null konvergieren, sondern immer wieder Werte erlangen, die um eine bestimmte endliche Größe von Null verschieden sind, so müßte die rechte Seite bei beliebig wachsenden

Werten von n negativ werden. Man erkennt also, daß sich ein n linden läßt, von dem ab

Zw+b>⁵) k = n

kleiner bleibt als eine beliebig kleine {positive} Zahl d, wie groß auch m werden mag, und daß folglich auch⁵)

schließlich kleiner werden und bleiben als d, d. h. daß lim An = 0 und lim Bn = 0

ist.

Da die Funktion f(x) willkürlich ist, so kann man sie insbesondere so wählen, daß sie in einem Teilintervalle a bis b der Strecke — 7t bis + 7t von Null verschieden ist, außerhalb derselben aber Null ist. Man erkennt dann, daß auch

lim

b

i J⁵f(x) cos nxclx

und lim

6

jf(X) Si

n nx dx

(— 7t <^a < b    -j- ft) für n — oo den Wert Null haben. Desgleichen

sieht man leicht ein: falls das Intervall von a bis b das Intervall — 7t bis -f- 7t umfaßt, so kann man dasselbe in Teile zerlegen, die innerhalb der Strecken von — 7t bis 7t, von -f- n bis + 37t, von 347 — 7t bis — 37t usw. liegen, und da dann für jede dieser Strecken die Grenzwerte der Integrale Null werden, so gilt der Satz noch allgemeiner als unsere anfängliche Behauptung: Für jede überall endliche und integrierbare Funktion werden in einem beliebigen endlichen Integrationsintervalle von a bis b die Grenzwerte der Integrale

b    b

nnxdx

J'f(x) cos nxdx und j⁵f(x)si

gleich Null, wenn n die Reihe der ganzen Zahlen durchlaufend über jeden Betrag hinaus wächst.

Bemerkung. Der Beweis bleibt gültig, falls f(x) eine integrierbare Funktion ist, die derart unendlich wird, daß auch ihr Quadrat integrierbar ist; und der Satz selbst bleibt bestehen, wenn die Funktion absolut integrierbar ist. Es gibt aber auch integrierbare Funktionen, welche derart unendlich werden, daß die Größen An und Bn nicht nach Null konvergieren; für diese ist die Anwend-

barkeit der Fourierschen Reihe ausgeschlossen. Das Verschwinden der Grenzwerte der Integrale An und Bn ist in anderer gleichfalls sehr einfacher Weise von Biemann bewiesen worden (Ges. Werke, S. 240⁶) und zwar direkt aus den Eigenschaften einer integrierbaren Funktion f(x) und dem Umstande, daß die Funktionen sinnx und cos nx in Intervallen von der Größe 2jt : n ihr Zeichen wechseln.⁷)

4. {Zurückführung der Summe der Reihe auf den Grenzwert eines Integrals.} Soll die Fouriersche Reihe bei jedem Werte von x {zwischen — n und -f vr} den Wert der Funktion f(x) ausdrücken, so muß die Summe:

+ 71    J__rep    + 7t    + 7t

n Jeu du

^J⁶f(cc)dct-{- ^    coskxJ⁶f(a)cosTcada-\-smkxJ⁶f(a) si

— 7t    k — 1 L    — 7Ï    — Tr

+n    k—n +⁶

— x)da

= Ka)dcc + j Ka)C0S ⁶(«

— 71    ^ ⁼ ^ —7t

bei beliebig wachsendem Werte von n sich unbegrenzt dem Werte f(x) nähern. Wir bezeichnen die Summe dieser Terme bis einschließlich derer mit dem Index n durch Sn(x). Die Reihe

cos(u — x) + cos2 (u— x) -f cos3 (a— x) -j-----f- cosw (a — x)

läßt sich durch einen geschlossenen Ausdruck darstellen; nennt man der Kürze halber s die Summe:

s — cos# -f- cos 2# -f- cos 3# -f- • • • -f- cos n#,

so folgt, wenn man beide Seiten mit 2 cos# multipliziert und die Produkte der Kosinus in Summen verwandelt:

2s cos z = (cos 2# + l) -j- (cos 3# -f- cos#) -f (cos 4# + cos 2z) -1----348

-f- [cos (n -f- 1)# -f-

cos

0 - 1)#]

= 1 + cos# + 2cos2# -}- 2cos3# -\-----b2eos(w—l)#-f-cosw#

+ cos(n -j- l)#.

Demnach wird:

2s (1 — cos #) = — 1 -f- cos# -f- cos nz — cos (n -j- 1)#

oder:

cos nz — cos (n + 1)#

2(1 — cos#)

ain(n + j)# 2 sin ^ z

also ist:

sin(w-j-4-)(a—x)

2 sinket — x)

+ cos (a — x) + cos 2 (a — x) -\-----[- cosn{a — x)

und:

2 sin 4 (a — x)

da.

+ Tt

Sn(X) =    K*)

sin (n 4- i) (a — x)

Es ist zu untersuchen, ob der Wert dieses Integrales bei beliebig wachsendem Werte von n nach f(x) konvergiert. Dasselbe zerlegt sich in zwei Teile; es ist:

+ 7t

SJx)—¹d f(a)

sinw(a — x)cosJ (a—x)

— 7t

2 sin^(a — x)

da+^Jfi«)

cos n(a — x)da.

— 7t

Das zweite Integral konvergiert mit beliebig wachsendem Werte von n nach Null. Denn wie im § 3 bewiesen wurde, konvergieren die einzelnen Teile

+ 7t

cos nx

J*f(a) cos na da

und sin nx

+ 7t

J /'(«) si

n nada

— 7t

— 7t

nach Null. In dem ersten Integrale ist die zu integrierende Funktion an der Stelle a — x irregulär, weil der Nenner für diese Stelle Null wird. Bestimmt man aber ein beliebig kleines Intervall von a = x — ö bis a — x + d (wir betrachten dabei zunächst den Fall, daß x innerhalb des Integrationsintervalles und nicht an den Grenzen desselben gelegen ist), so ist die Funktion

cos ^ (a — x)

2 sin ^ (a — x)

außerhalb desselben durchaus endlich, und mithin konvergiert auch

x— â

f(“)

+ 71

349 f(cc)

sin n (a — x) cos-^(a — x)

— 7t

2 sin \ (a — x)

da + nff(a)

X+ Ô

sinw(a — a?)cos \{a — x) 2sin-f(a— x)    K

bei beliebig wachsendem Werte von n nach Null. Also ist nur noch der Grenzwert des Integrales

X + Ô

sin n (a — x) cos \{a — x) ^

2 sin \{a — x) dcC

zu betrachten, und damit ist zugleich der Satz bewiesen:

Der Wert der Fourierschen Reihe hängt an jeder Stelle nur ab von dem Verhalten der Funktion in der unmittelbaren Umgebung dieser Stelle.

Bemerkung. Der Satz gilt überhaupt, sobald die Funktion /'(#), auch wenn sie im Intervalle unendlich wird, die Eigenschaft hat, daß

4-n

lim ff(a)

n = ooJ

cos nada

lim / f(a) sin nada und lim n = <x>J

-n

Null werden, d. h. sobald diese zur Bildung der Fourierschen Reihe unerläßlichen Bedingungen erfüllt sind.

5. {Umformung des Integrals.} Wir setzen nun in dem

{noch zu untersuchenden zuletzt erwähnten} Integrale a — x — ß, da = dß, so daß es die Form erhält:

+ ä

J'f{*

-Ô

■ Où

sinwßcos^ß^ 1 2siniß = ~

sinw|3cos^|3

2siiïyp

OÙ

Der Grenzwert dieses Integrales, in welchem ö eine beliebig klein fixierte {positive} Größe bezeichnet, für n — oo entscheidet über den Wert der Reihe an der Stelle x.

Auch dieses Integral kann man noch vereinfachen. Bildet man das Integral

cos i ß

sin nß dß,

so hat dasselbe zufolge des früheren Satzes {in § 3} den Grenzwert Null; denn die mit sin nß multiplizierte Funktion {d. h. der Inte-grand, abgesehen von sin nß) bleibt auch für ß = 0 endlich. Mithin folgt: Wenn

â

ißM» + ß) + K* ~ ß)l 0

COS iß 2 sin i ß

sin nß dß

350

für n = oo einen bestimmten Grenzwert hat, so hat auch

ô

ij w+ß)+A*

Ó

-«]

sin nß

dß

für n = oo denselben Grenzwert, und umgekehrt. Demnach lautet das Ergebnis:

Die Fouriersche Beihe hat an der Stelle x einen bestimmten Grenzwert, falls das Integral

<30-

35*

Bin nß

[4,5

für n — oo einen bestimmten Wert besitzt, und zwar ist der Grenzwert dieses Integrales zugleich der Wert der Reihe an der Stelle x.

Handelt es sich um den Wert x — -j- n oder x — — 7t, so lehrt dieselbe Betrachtungsweise, daß man aus der Summe Sn(x) in beiden Fällen nur die Grenzwerte der Terme⁸)

— rt + ö

— 71

7T — Ô

sin n (a — jt) cos ^ (a — 7t)

2 sin ^ (cc — 7t)    ⁰¹

zu betrachten hat, also den Grenzwert des Integrales:

ö

limif[f(+ ⁸ - ß) + f(- » + ß)1 0

sin n ß cos 4 ß 2 sin \ (i

va

ô

- lim ~ r[f(+ n-ß) + f(-n + /»)] 0

sin nß

6. {Hinreichende Bedingungen für die Darstellbar-keit einer Funktion.} Die Funktion f(x -f- ß) + f(x — ß) konvergiert für ß = 0 nach dem Werte f(x -j- 0) + f(x — 0), da wir angenommen haben, daß unsere Funktion f(x) allenthalben bestimmte Werte fix -j- 0) und fix — 0) besitzt.⁹) An einer Stelle, an welcher die Funktion stetig ist, sind diese Werte einander gleich, an den Unstetigkeitsstellen sind sie verschieden. Setzt man die Differenz

351

[fix + ß) + fix - /3)] - [fix + 0) + fix - 0)] = k(ß),

so ist l(ß) eine stetige Funktion, welche für ß = 0 den Wert Null hat, und es wird:

lim5» =

7t

.J’^dß+lümjKß)

0 0

sin nß

dß.

Es ist nun:

nd

*sin n ß

dß

dz,

also (§ 494 {jetzt (6) in Nr. 493}):

lim f^i dß-Jim

n = XfJ ß    n = coçj    Z

0 0

dz =

-f:

o

dz = Y 7t.

Mithin wird:

lim S (x) = 4- [f(x + 0) + fix —

a | m.

■CG

sin n ß

-Cü

Ai

■ps

Der Wert der Fourierschen Reihe wird also an einer Stelle, wo die Funktion stetig ist, gleich f(x) und an einer Stelle, wo die Funktion eine sprungweise Wertänderung erleidet,, gleich dem Mittel aus diesen Werten, wenn

ö

¹

{Abgesehen von belanglosen äußerlichen Abänderungen wird hier der Harnacksche Anhang aus der 1. Hälfte des 2. Bandes der 1. Auflage (1885), S. 343—379, unverändert wiedergegeben. Die Seitenzahlen des Originals sind am Rande notiert. Zusätze des Herausgebers im Texte wie in den Anmerkungen sind durch Einschluß in geschweifte Klammern kenntlich gemacht. Die Anmerkungen beschränken sich darauf, die manchmal sehr knappe Entwicklung zu erläutern sowie die hin und wieder etwas nachlässige Ausdrucksweise zu verbessern.}

²

{Jetzt die Bemerkungen unter B, S. 537—539.}

³

{Statt nur die stände besser: die einzige.)

⁴

{Denn nach (2) und (3) unter B ist

+ £¹⁰ = «    k = n

⁵

{Statt |æ| schreibt Harnack abs [#] oder auch nur [a:], Wir haben dafür hier und im folgenden die jetzt gebräuchliche Bezeichnung |a:| gesetzt.}

⁶

{In der 2. Auflage von 1892 auf S. 254, 255.)

⁷

{Gemeint ist, daß sin na: und cos na: in einer Hälfte eines Intervalles von der Größe 2 7t : n entgegengesetztes Vorzeichen als in der anderen Hälfte haben.}

S er r et- Sch eff er s,Diff.-u. Integral-Rechnung. II. 4.U.5. Aufl.

⁸

{Daß diese beiden Terme nicht einzeln zu betrachten sind, vielmehr ihre Summe gebildet werden muß, folgt daraus, daß - die Fouriersche Reihe, falls sie überhaupt gilt, nicht nur auf das Intervall von — 7t bis 7t beschränkt ist, vielmehr für jedes x aufgestellt werden kann, da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode 2« sind. Die Umgebung der Stelle n geht also von 7t — 8 bis n -(- 8. In dem Intervalle von 7t bis n -f- 8 hat aber die Fouriersche Reihe dieselben Werte wie im Intervalle von — % bis — n -(- 8. Also ist die Summe der auf die Intervalle von — n bis — 7t -f- 8 und von 7t — 3 bis n bezüglichen Integrale zu bilden.}

⁹

{Unter fix -)- 0) und f(x — 0) werden die Grenzwerte von f{x -j- ß) und f(x — ß) für lim ß = 0 unter Annahme positiver Werte von ß verstanden. Nach den Voraussetzungen von § 1 kann es ja Stellen x geben, an denen diese beiden Grenzwerte verschieden sind.}

¹⁰

I (Ak cos kx -|- Bk sin kx) J dx = v. (A| -)- i?|).}

lim

"CG

¹J>

o

bei noch so großen Werten von n durch Wahl von {hinreichend kleinem positiven} d beliebig klein bleibt.

Es ist bisher nur gelungen, Bedingungen für das Verhalten der Funktion X (j3) anzugeben, welche hinreichend sind, damit diese Forderung erfüllt ist, und es ist durch Beispiele bewiesen worden, daß die Voraussetzung der Stetigkeit der Funktion f{x) oder allgemeiner der Funktion 1 (ß) für sich allein nicht genügt. Ich führe im folgenden nur die für die Anwendung der Fourierschen Reihe wichtigsten Fälle an.

Erstens: Besitzt die stetige Funktion X(ß), welche für ß = 0 verschwindet, in der Umgebung der Stelle ß — 0 nicht unendlich viele Maxima und Minima, so kann man nach dem zweiten Mittelwertsatze (§ 463 {jetzt Satz 24 in Nr. 424}) schließen:

T3Û

sin nß

0

dß - l(d)ß

nö

sin nß

dß = X(S)\j~dz,

n6ö

{wobei 6 einen positiven echten Bruch bedeutet}.

Denn man kann das Intervall ô so klein machen, daß die {ab- 852 soluten} Beträge der Funktion X (j3) nur wachsen, während ß das Intervall von 0 bis ö durchläuft. Nun läßt sich aber ô von vornherein so klein wählen, daß A(d) beliebig klein ist; ferner ist das Integral

rechts, wie groß auch n werden und welchen Wert auch 6 haben mag, {nach Nr. 469 } stets endlich. Also ist der Wert des Integrales

sin nß

unabhängig von n, lediglich durch Wahl von ô beliebig klein, d. h. es wird:

lim Sn(x) = %[f{x + 0) + f(x — 0)].

zer-

Insbesondere gilt das Resultat auch dann, wenn die Funktion f(x) zu beiden Seiten der betrachteten Stelle nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, denn dann läßt sich die Funktion l(ß) in die beiden Teile f{x + ß) — f(x 0) und f(x — ß) — f(x — 0) legen, und auf jeden derselben kann der nämliche Schluß angewandt werden. (Bedingung von Dirichlet.')

Zweitens: Sind die Beträge (absoluten Werte) der Funktion k(ß):ß integrabel in der Umgehung der Stelle ß = 0, so ist:

sin nß dß

kleiner als

ô

I\

0

dß.

Dieses Integral kann der Voraussetzung nach¹) durch Wahl von ö beliebig klein gemacht werden, wodurch wiederum die Konvergenz der Reihe nach dem gewünschten Werte bewiesen ist.

Ist insbesondere l(ß) dem {absoluten} Betrage nach stets kleiner als das Produkt Cßa, wobei C eine Konstante, a irgend eine positive Zahl ist, so ist die Bedingung der absoluten Integrierbarkeit erfüllt.²) (Bedingung von Lipschitz.)

Hieraus folgt: Wenn die Funktion

SO

I jXL

's

■'s

ICO.

endlich bleibt auch für ß = 0, was besonders dann der Fall ist, wenn die Funktion f(x) an der betrachteten Stelle einen bestimmten end-353 lieben Wert des vorwärts gebildeten und ebenso des rückwärts ge-

35

[3,4

bildeten Differentialquotienten besitzt*), so konvergiert die Fouriersche Reihe an dieser Stelle nach dem Werte

+ o) + f{x - o)].

Drittens: Das letzte Resultat, daß die Reihe allenthalben konvergent ist, wenn für die Funktion f(x) der vorwärts und der rückwärts gebildete Differentialquotient allenthalben endlich sind, läßt sich noch verallgemeinern. Es genügt, daß der Differentialquotient der Funktion f(x), auch wenn er unendlich wird, doch absolut integrierbar sei**). Denn es besitzt alsdann die Funktion X (ß) eine absolut integrierbare Ableitung: X'(ß) — f'(x ß) — fix — |3), und es wird nach dem Satze der teilweisen Integration:***)

■Co

sin nß

■ce

dß =

ô    ô

=J*ißa) da’.f

0    a

sin n ß

50.

"Cb

ó    nâ

~ji’(a)daß^

0    na

dz.

Wenn nun die absoluten Werte der Funktion A/(a) integrierbar sind, so ist: ^

nd

0    na

Zdz |<

denn der {absolute} Wert des Integrales

nd

na

*) {Hieninter sind die Grenzwerte von

und

für positives ß und lim (5 — 0 verstanden.}

) {Bei den Betrachtungen unter B setzten wir voraus, daß die zu integrierende Funktion überall endlich sei. Hier werden nun auch solche Stellen x zugelassen, an denen sie unendlich wird. Eine solche Stelle ist bei der Untersuchung der Integrierbarkeit wie in Nr. 470 u. f. zunächst durch ein kleines Intervall auszuschließen. Darauf ist der Grenzwert zu untersuchen, der sich für das Integral ergibt, wenn dies Intervall nach Null strebt.}

***) {Die teilweise Integration ist auf

f(x + ß)-f(x + 0)

f(x — ß) — f(x — 0)

~ß

Ô n Ô

[ß

0    L ce

sin nß

-ob

••

dß da

auszuführen. Dadurch verwandelt sich das Integral in

ce = 0

Der Inhalt der ersten Klammer ist für a — S gleich Null, weil darin das

ist bei jedem {positiven} Werte von a und n nie größer (§ 466, Beispiel 2 {jetzt Nr. 469}) als:

7t

Çäin ^

J — de-

0

Die rechte Seite kann nun durch Wahl von d von vornherein beliebig klein gemacht werden, ganz unabhängig von w, daher ist auch {der absolute Betrag von}

■Cö

sin n ß

dß

durch Wahl von ö bei allen Werten von n beliebig klein, womit wiederum die Konvergenz bewiesen ist. (Bedingung von du Bois-Hey mond.)

Als das für die Anwendung der Fourierschen Reihe in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen wichtigste Resultat 354 heben wir hervor, daß jede im Intervalle von —n bis -f- n irgendwie definierte Funktion, deren Ableitung entweder endlich und integrierbar oder absolut integrierbar ist (an den Sprungstellen der Funktion sind immer die vor- und rückwärts gebildeten Ableitungen gesondert zu betrachten), durch eine allenthalben konvergente Fouriersche Reihe darstellbar ist, derart, daß an den Sprungstellen der Funktion die Reihe den mittleren Wert annimmt. Dadurch allein schon erhält diese Reihenentwicklung eine besonders wichtige Bedeutung im Vergleich mit den gewöhnlichen Potenzreihen; denn diese setzen die Stetigkeit nicht nur der ersten, sondern überhaupt aller Ableitungen voraus.

Endlich bemerken wir noch, daß an den Stellen x = + n oder — 7t die Reihe nach dem Werte    n — 0) + f{~ n + 0)] kon

vergiert, sobald die Funktion an den Stellen x — + 7t eine der drei Bedingungen erfüllt. Ist also die willkürliche Funktion so beschaffen, daß ihre Werte an den beiden Grenzen des Intervalles verschieden sind, so kann durch die Fouriersche Reihe immer nur der mittlere Wert dieser beiden ausgedrückt werden.

von a bis 8 erstreckte Integral auftritt. Er verschwindet aber auch für a = 0, weil X (0) = 0 ist. Mithin kommt :

’S*

rcc.

<30.

IS

■Cö

dcc.

Rechts können wir ß statt a setzen. Vertauschung beider Seiten der Gleichung liefert die Gleichung des Textes.}

Bemerkung'. Wird die Funktion f(x) an einzelnen Stellen unendlich, so jedoch, daß die notwendigen Bedingungen (§ 3) erfüllt sind, so konvergiert die Fouriersche Reihe sicherlich an jeder anderen Stelle, welche eine der drei entwickelten Bedingungen erfüllt. Wie sie sich an der Unendlichkeitsstelle verhält, ist eine minder wichtige Frage; sie kann dort möglicherweise sogar konvergieren, doch stellt sie dann mit diesem Werte nicht die Funktion dar. Ferner erkennt man, daß punktuell hebbare Unstetigkeiten³) der Funktion f(x) gar keinen Einfluß haben auf die Reihe und daher auch niemals durch dieselbe dargestellt werden.

7. {Stellung eines neuen Problems.} Der Beweis, welchen wir geführt haben, gibt uns Bedingungen an, unter denen die Fouriersche Reihe nach dem Werte j[f(x + 0) -f- fix — 0)] konvergiert. Es ist daher die Frage nicht ohne Bedeutung, ob die Reihe an einer bestimmten Stelle x nicht auch konvergieren kann, ohne daß sie gerade diesen Wert annimmt. Die Antwort aber lautet: Wenn die Fouriersche Beihe an einer Stelle konvergiert, an welcher \ \f ix + 0)

-j- fix — 0)] einen bestimmten Wert hat, so konvergiert sie auch immer nach diesem Werte. Der Beweis dieses Satzes ergibt sich, wenn man zuvor auf zwei allgemeine Eigenschaften der trigonometrischen Beihen überhaupt eingeht, von denen die eine im wesentlichen von Herrn G. Cantor, die andere von Biemann aufgestellt wurde. Dieselben sind zugleich wichtig für die Beantwortung der Frage: Ist jede trigonometrische Reihe, welche eine Funktion fix) definiert, eine Fouriersche ? 355 Man erkennt von vornherein die Beschränkung des Satzes : Die Funktion fix), welche durch eine trigonometrische Reihe definiert ist, muß, falls die Koeffizienten der Reihe die Fouriersche Integralform haben sollen, jedenfalls eine integrierbare sein. Sonach kommen wir auf das in den § 502 fig. {hierB, S. 537—539} nur unter einer bestimmten Annahme gelöste Problem:

Haben in jeder trigonometrischen Beihe

71 = 00

|A) + (An C0S nX + Bn Sin nX)l

n = 1

wenn sie im Intervalle von —n bis + u eine Funktion fix) definiert, welche integrierbar ist, die Koeffizienten An und Bn die Werte:

4- n

An

n

-bjä)

cos nxdx,

+ 7t

n nx dx?

— 7t

— 7t

Diese Frage ist im wesentlichen zu bejahen. Der Weg zu ihrer Beantwortung ist von Herrn du Bois-Reymond zuerst angegeben worden. Im folgenden soll der Beweis geführt werden unter der Einschränkung, daß f(x) zugleich eine im allgemeinen stetige Funktion ist, d. h. eine solche, die nur an einzelnen Stellen eine sprungweise Wertänderung erleidet.

8. {Verallgemeinerung des Satzes in § 3.} Wenn eine trigonometrische Reihe

n — oo

jA₀    (An cos nx + Bn sin nx)

überhaupt in einem noch so kleinen Intervalle konvergieren soll, so muß sie notwendig die Eigenschaft haben, daß lim An und lim Bn für n — oo verschwinden. Diesem von Hrn. Cantor aufgestellten Satze (Math. Ann. Bd. 4 u. 5) können wir eine erweiterte Fassung gehen, indem wir folgende allgemeine Erkenntnis über Konvergenz und Divei’genz unendlicher Reihen voranstellen. Die Stellen, an denen eine unendliche Reihe divergiert, können von zweierlei Art sein. Entweder wächst die Summe der Reihenglieder über jede Grenze, die Reihe wird alsdann an dieser Stelle in bestimmter oder unbestimmter

Weise unendlich, oder es oszillieren die Werte dieser Summe zwischen endlichen Grenzen. Im ersten Falle kann das Maß der Divergenz ein unendliches genannt werden, im zweiten läßt sich ein endliches Maß fixieren. Denn bezeichnet man mit Sn_l die Summe der Glieder, welche den Index 0, 1, ...bis n — 1 besitzen, und bildet man die Folge 8u_lt 8U, Sn

+ i» • •

un-

n,k

., so existiert eine obere Grenze Gn und 356 eine untere gn, welche von den Gliedern in dieser Folge nicht überschritten wird. Läßt man den Index n beliebig wachsen, so erhält Crn, indem es entweder konstant bleibt oder nur ab nimmt, einen Grenzwert G\ und ebenso bekommt gn, indem es entweder konstant bleibt oder nur zunimmt, einen Grenzwert g'. Diese Werte Gr' und g' sind alsdann die äußersten Grenzen für die schließliche Oszillation der Reihensumme, und ihre Differenz soll das Maß der Divergenz an der betrachteten Stelle heißen. Ist dieses Divergenzmaß Null, so konvergiert die Reihe daselbst Bezeichnet man die Differenz Sn+k—Sn mit R,hki so hat die Folge der Reste Rn t, R^₂,... die Eigenschaft, daß ihr { absoluter} Betrag niemals größer sein kann als Gn— gn. Wird also das Divergenzmaß schließlich {d. h. für hinreichend großes n} kleiner als eine Zahl d: so kann man eine Stelle n ausfindig machen, von der ab die Beträge sämtlicher Reste R abhängig von k stets kleiner bleiben als d. Eine Reihe soll in einem Intervalle im allgemeinen konvergent heißen, wenn alle die Stellen, an denen das Divergenzmaß größer ist als eine bestimmte, beliebig zu fixierende Zahl d, in keinem noch so kleinen Teilintervalle überall

dicht sind. Dies besagt, daß man in unmittelbarer Nähe einer jeden Stelle ein Intervall bestimmen kann, so daß für sämtliche Stellen in diesem Intervalle das Divergenzmaß gleich oder kleiner ist ist als d. Der Satz, welchen wir beweisen wollen, lautet nun: Eine trigonometrische Reihe, tvelche m einem beliebigen Intervalle im allgemeinen konvergent ist, muß schließlich verschwindende Koeffizienten haben, d. h. es muß lim An — 0 und lim Bn — 0 werden.

Eine trigonometrische Reihe, für welche die Koeffizienten An und Rn nicht verschwindende Grenzwerte haben, kann zwar auch bei unendlich vielen Werten von x konvergieren; es gibt aber in jedem noch so kleinen Intervalle Stellen, an denen sie divergiert und zwar mit einem Divergenzmaße, das größer ist als eine bestimmte endliche Zahl.

An jeder Stelle, wo das Divergenzmaß kleiner wird als d, kann man eine untere Grenze für den Index n bestimmen, so daß sämtliche Reihenglieder, deren Index gleich oder größer als n ist, dem {absoluten} Betrage nach kleiner werden als d. Da nun die Punkte, an denen das Divergenzmaß größer ist als d, in keinem noch so kleinen Intervalle überall dicht sehr sollen, so kann man in unmittelbarer Nähe einer jeden Stelle ein Teilintervall bestimmen, in welchem kein Punkt liegt, an dem das Divergenzmaß größer ist als d. Solch ein Intervall habe die Länge 2 s und erstrecke sich von x — s bis x -j- s.

Man kann dann also einen Wert für n bestimmen, so daß für diesen sowie für alle größeren Werte die Glieder:

357

An cos n(x s) + Bn sin n(x -f- s)

.== (An cos nx -f Bn sin nx) cos ns — (An sin nx — Bn cos nx) sin ns, An cos n(x — s) -f- Bn sin n (x — e)

= (Mw cos nx + Bn sin nx) cos ns -j- (An sin nx — Bn cos nx) sin ns

beide dem {absoluten} Betrage nach um eine bestimmte Größe kleiner werden als d. Es bedeutet dabei x einen Wert in beliebiger Nähe einer jeden Stelle, s irgendeinen Wert innerhalb des konstruierten Intervalles. Zu jedem Werte von s kann eine andere Grenze für n gehören; es ist noch nicht gesagt, daß bei jedem Werte von s derselbe Wert von n ausreicht.

Durch Addition und Subtraktion der beiden vorstehenden Größen erkennt man, daß auch jede der Größen

(4

cos nx -(- Bn sin nx) cos ns und (Mra sin nx — Bn cos nx) sin ns

{ihrem absoluten Betrage nach} jedenfalls kleiner sein muß als 2d. Multipliziert man die erste Größe mit sin nx sin ns, die zweite mit cos nx cos ns, so findet man durch Subtraktion, daß Bn sin 2ns, und analog, daß An cos 2ns {absolut genommen} kleiner werden

als 4d = ö', also kurz gesagt kleiner gemacht werden können als eine beliebig {klein} vorgegebene {positive} Zahl ö'. Setzt man 2f = a, so wird also für alle Werte von a in einem bestimmten Intervalle, dessen Grenzen wir mit a und b bezeichnen wollen, {der absolute Wert von} limi?n sin n a und lim An cos na kleiner als ö Für jeden Wert von a innerhalb des angegebenen Intervalles muß also die Reibe:

sin (n h) a J, ...

| Bn sin na |, . . . | B

7i + k

schließlich nur Glieder enthalten, deren Betrag kleiner ist als d'r und dies kann, wie nun bewiesen werden soll, nicht anders erfüllt sein, als wenn von einem bestimmten Wert von n an sämtliche Koeffizienten

7i + i> * * "

dem {absoluten} Betrage nach kleiner sind als d'.

Denn nehmen wir an, daß dieses nicht der Fall ist, so kann man aus dieser Reibe eine andere berausbeben:

nki • • •7

B jjj , -Rt7₂7 m t . JB

die Produkte    «, . . .    . . . insgesamt von einem ungeraden

Vielfachen von n um weniger als eine beliebig kleine {positive} Größe

deren Glieder { absolut genommen } sämtlich gleich oder größer sind als ö'. Dann ließe sich aber auch in dem angegebenen Intervall ein Wert a fixieren, für welchen lim | Bn sin na | nicht kleiner wird als ö'. Aus der Reibe der wachsenden ganzen Zahlen «lt w₂, . . . nk, . . . hebe man {nämlich} eine neue Reihe heraus:    . . . n'k, . . ., so daß

358 r\ abweichen. Wenn dieses möglich ist, so differiert auch sin na beliebig wenig von dem Werte + 1 und also der {absolute} Betrag von Bn' sin na beliebig wenig von einem Werte, der gleich oder größer ist als ö'.

Man setze {um zu beweisen, daß dies möglich ist} :

oder:

7t

< CC <

~v

n\

n I

2/j — -f- 7]

n\

yt bezeichnet eine ganze ungerade, zunächst noch unbestimmte Zahl. Der Wert von a fällt in das gegebene Intervall von a bis &, wenn:

n i

+ v

7t

a<

ist oder

n\

b>

(n\a + n) y < Vi < (w'x& - v) y *

Dieses Intervall enthält sicherlich eine ungerade Zahl wenn

[n\(b - a) — 2rß ^ ^ 2, also n\ I>

gewählt ist. Durch diese Forderung ist nur eine untere Grenze für die zu bildende Reihe {der} n fixiert, und in diesem Umstande liegt der Kern des ganzen Beweises. Hat man also aus der Reihe , w₂, ... die Zahl n\ und demgemäß y₁ diesen Ungleichungen entsprechend fixiert, so ist a auf das Intervall beschränkt, das kurz mit

y ly-’J

n i

y₁ — -j- 7]

n\

n\

bezeichnet sei und und die Länge 2y:n\ hat.

In diesem Intervalle können wir nun wiederum a so aussuchen, daß für einen Wert w', welcher größer ist als n' und in der Reihe Wj, n₂₎ . . . nk, ... vorkommt, die Ungleichungen bestehen:

m _L

y*

<«<

Vt

Die ungerade Zahl yz muß den Bedingungen genügen:

und dieses Intervall enthält sicherlich eine ungerade Zahl yz, sobald

n[

359

[wg (&' —a) —2 oder % ^

gewählt ist. Auf diese Weise erhalten wir nun eine untere Grenze, nach welcher % aus der ursprünglichen Reihe nx, w₂, ... zu wählen ist, und nachdem y₂ den obigen Ungleichungen gemäß fixiert ist, bleibt der Wert von a noch innerhalb eines Intervalles von der Länge 2 7] : n2 willkürlich.

In diesem Intervalle kann man ein neues bestimmen, so daß für eine Zahl n3 > nź das Produkt a von einem ungeraden Vielfachen yz von ~7C um weniger als e differiert, und indem man diesen Prozeß fortsetzt, gewinnt man als Grenze eine Stelle a, für welche

n[cn, n^cc, nśa, ...

der aufgestellten Forderung stets genügen, so daß auch die {absoluten} Beträge von

i?ni'sina, H^'Sinw^«, -B^sinwśa, ...

um eine beliebig kleine Größe von A unterschieden sind. Es wird also {der absolute Betrag von} lim Bn sinwa nicht um eine bestimmte Größe kleiner als <f, d. h. die Reihe müßte in jedem noch so kleinen Intervalle ein Divergenzmaß besitzen, das gleich oder größer ist

als <F; sie wäre dann nicht unserer Definition entsprechend im allgemeinen konvergent. In derselben Weise ist der Beweis für die Koeffizienten An zu führen.

Soll eine Funktion f(x), welche durch eine trigonometrische Reihe definiert ist, zugleich auch integrierbar sein, so muß diese Reihe auch im allgemeinen konvergieren. Denn anderen Falles würde die Funktion f{x) in jedem kleinsten Intervalle unbestimmt werden, und die Schwankungen der Funktion, d. h. die Differenz der verschiedenen Werte, welche man an solch einer Stelle durch fortgesetzte Summation der Reihenglieder erhält, bliebe dabei größer .als eine endliche Zahl . Bei einer integrierbaren Funktion aber müssen alle die Stellen, an denen die Schwankungen größer sind als eine endliche Zahl d', sich in Intervalle einschließen lassen, deren Summe beliebig klein wird-, sie können also nicht überall dicht über ein noch so kleines endliches Intervall verteilt sein. Sonach hat man den Satz: In jeder trigonometrischen Reihe werden, wenn sie eine integriert)are Funktion definiert, die Koeffizienten zuletzt unendlich klein, d. h. es ist lim An = 0 und lim Bn — 0 für n = oo.

9. {Zweimalige Integration der trigonometrischen Reihe.) Die zweite von Riemann (Ges. Werke, S. 231 flg. { 2. Aufl. S. 245 flg.} ) erkannte Eigenschaft einer jeden trigonometrischen Reihe, deren Koeffizienten zuletzt unendlich klein werden, ist die folgende:

860

Bildet man aus der Reihe:

n =oo

+ x, (An cosw# + Bnsinnx),

71 = 1

deren Wert an jeder Stelle, wo sie konvergiert, mit f(x) bezeichnet sei, durch zweimalige gliedweise Integration der Reihe:

71 = 00

$A₀x* —    (Ancosnx + R^sinw«),

71 =1

so konvergiert diese Reihe bei allen Werten von x und stellt im Intervalle von — u bis -j- 7t eine stetige Funktion F(x) dar. Diese stetige Funktion hat erstlich die Eigenschaft, daß:

F(x -f- 2 a) — 2 Fix) -f- F (x — 2 a)

-f(*)

4a²

lim -

a= o

wird bei allen Werten von x, an denen f(x) einen bestimmten Wert hat, und daß dieser Gegenwert jedenfalls innerhalb der Schwankungen des Reihenwertes liegt an einer Stelle, an welcher die Reihe divergiert; ferner die Eigenschaft, daß:

2a

j.    F(x-)- 2 a) — 2 F(x) + F(x — 2 a)

a = 0

wird hei allen Werten von x.

8, 9]

Die Konvergenz der neuen Reihe und ihre Stetigkeit erkennt man, wenn man die Summe aller Glieder bis einschließlich derer mit dem Index n durch N, den Rest der Reihe, d. h.

k = oo

-*-₂ (Ak cos Je x + Bk sin Jcx)

k — n +1

mit R und den größten Wert {des absoluten Betrages} von Ak cos Jcx + Bk sin Tex für Jc^> n mit s bezeichnet. Alsdann bleibt der {absolute} Betrag des Restes offenbar kleiner als

£ [(n + 1)* ^ (» + 2)

i ₊.. ,i < ±*)

(n -j- 3)² ' J n

und kann also in beliebig kleine Grenzen eingescblossen werden, wenn man nur n hinreichend groß nimmt. Die trigonometrische Reihe ist demnach hei allen Werten von x eine gleichmäßig konvergente, und daraus folgt dann auch, daß F(x) stetig ist. Denn man kann die Differenz F(x + Ax) — F(x) beliebig klein machen, wenn man zuerst n so groß wählt, daß R, welche Werte auch x und x + Ax haben mögen, {absolut genommen} beliebig klein ist, und alsdann Ax so fixiert, daß auch die Differenz der Werte von N für x und x + Ax {absolut genommen} beliebig klein ist.

Man bilde {zweitens} den Quotienten:

361

F(x -f- 2 a) — 2 F(x) -)- F(x — 2 a)

4a²

U — 00

— łA> + ^ (A

COSW&

Wenn nun

n =oo

4- ^ (Ancosnx 4- Bnsin«#) = fix)

71 = 1

ist, wobei fix) entweder einen bestimmten Wert bezeichnet oder einen unbestimmten Wert, der innerhalb des Wertevorrates der Reihensumme an der Stelle x liegt, so muß sich, wenn man die Reihe

k = n — 1

IA> + ^ (AkcosJcx 4- Bk sin Jcx) = f(x) -f- sn

_ * = i

*) {Es ist nämlich

(n 4- Je — 1) (n 4- Je) w4-/c — 1

n + Je'

so daß, wenn man Je = 1, 2, 3, ... setzt und alle Ungleichungen addiert,, sofort hervorgeht:

(n -f Je)'

(n +A)2 T(« + 2)2 T(«+ 3)²

setzt, für eine beliebig gegebene {positive} Größe ô ein Wert m von n angeben lassen, so daß, wenn n)> m wird, {der absolute Betrag von} sn < d wird. Wir nehmen nun {die positive Größe} a so klein an, daß ma <i% wird, und bringen ferner mittels der Substitution

Ancosnx -f Bnmxnx = sn+1 — en

die obige Reihe {für den Quotienten} auf die Form:⁴)

n =oo

sin(n — 1) a

^ ²    ^sin na^²J

(n — 1) et

fO) +2 ⁴«[(

71 = 1

Diese Reihe teilen wir { abgesehen von ihrem ersten Gliede f(x) } in drei Teile, indem wir

1.    die Glieder vom Index 1 bis m einschließlich,

2.    die Glieder vom Index m -f- 1 bis zur größten unter n : a liegenden ganzen Zahl, welche s heiße,

3.    die Glieder vom Index s -f- 1 bis oo zusammenfassen. Der erste Teil besśeht aus einer endlichen Anzahl stetig sich ändernder Glieder und kann daher seinem Grenzwerte Null beliebig genähert werden, indem man a hinreichend klein werden läßt; der zweite Teil ist, da der Faktor von en beständig positiv ist, indem sina; : x in den ersten beiden Quadranten eine durchaus abnehmende Funktion ist, offenbar dem {absoluten } Betrage nach kleiner als

^r/sinmaX² /sinsa\2_|

LV ma /    \ sa } J’

{also auch kleiner als d}. Im dritten Teile endlich zerlege man das allgemeine Glied in

362

und

'•[(

*c„

[(

sin (n — 1) a

sin (n — 1) a

na

(n — 1) a

)-(

sin (n — l)a

na

)]

sin (2 n — 1) a sin a

(na)

Dann leuchtet ein, daß dieses Glied { absolut genommen} kleiner ist als

^[(n— l)²a²    w²a²]    ^ w² a ’

und folglich die Summe von n = s -f- 1 bis n = oo kleiner ist als ⁵ [s4² + si ] ‘

Dieser Wert geht, da s die größte unter it : cc liegende ganze Zahl bedeutet, für ein unendlich kleines a über in

Die Reihe

71 = 00

71= 1

sin (n — 1) a\ ² /sin n a\ 2_| /    \ ncc ) J

(« — 1) a

nähert sich daher mit abnehmendem {positiven} cc einem Grenzwert, der {absolut genommen} nicht größer als

sein kann, also, da ö beliebig klein gemacht werden kann, Null werden muß, und folglich konvergiert

F{x -f- 2 cc) — 2 F(x) -f- F(x — 2 k)

4k²

welches gleich

71=00

71= 1

sin (n — 1) a

(n — 1) cc

^² ^sin»a^²J

ist, wenn a nach Null konvergiert, gegen f(x), womit die aufgestellte Eigenschaft bewiesen ist; f(x) bedeutet dabei einen Wert innerhalb des Wertevorrates der ursprünglichen Reihe an der Stelle x, also, wenn die Reihe an dieser Stelle konvergiert, diesen bestimmten Wert.

Es soll nun {drittens} noch gezeigt werden, daß F(x 4- 2 cc) — 2 F(x) Ą-F{x — 2 a)

lim

2a

a = 0 .

Null wird und zwar gleichmäßig nach Null konvergiert, d. h. bei allen Werten von x durch Wahl eines hinreichend kleinen {positiven} Wertes von a {absolut genommen} kleiner gemacht werden kann als eine beliebig vorgegebene Zahl. Um dieses zu beweisen, teile man die {Glieder der} Reihe

71= 00

Mo +2) M»

cos nx

+ B,smnx) (™)’

71= 1

Serret-Scheffers, Diff.-u. Integral-Rechnung. II. 4.u.5.Aufl.    36

[9

n = oo

n = 2

Hier darf nun die erste Summe von n = 1 an erstreckt werden, da der in ihr auftretente Faktor von sn für n — 1 gleich Null wird, nach Nr. 26, Vereinigung beider Reihen gibt alsdann die des Textes.}

71 = 1 n = oo

=«4+_2'e„[(

n = 2

sin(w — 1) a

(n — 1) a

®]

in drei Gruppen, von denen die erste alle Glieder bis zu einem festen Index m enthält, von dem an die {absoluten Beträge der} Koeffizienten An und Bn immer kleiner als {eine positive Zahl} e bleiben, die zweite alle folgenden Gliedei*, für welche na gleich oder kleiner ist als eine feste Größe c, die dritte den Rest der Reihe umfaßt. Die Summe der ersten endlichen Gruppe bleibt endlich, d. h. sie ist {absolut genommen} bei allen Werten von x kleiner als eine endliche Zahl Q. Die Summe der zweiten Gruppe ist {absolut genommen} kleiner als

-2<SZ)'

n = m+l

Die Anzahl der Glieder in dieser Summe ist kleiner als s, und daher ist diese Summe kleiner als 2sc : a*). Die dritte Summe endlich ist { absolut genommen als} kleiner als

n — oo

n = oc

n = s-\-1    n = s +1

Folglich bleibt***)

F(x -f- 2 a) — 2 F{x) -f- F(x — 2 a)

bei allen Werten von x, woraus der behauptete Satz folgt.

10. {Problem der Integration des zweiten mittleren Differentialquotienten.} Auf Grund des Ergebnisses in dem letzten Paragraphen hat man nun das Problem zu behandeln (du Bois-Bcymond, Abhandlungen der k. bayerisch. Akad. der W., II. Kl., Bd. 12): Wenn man von einer in einem bestimmten Intervalle stetigen Funktion F(x) weiß, daß ihr zweiter mittlerer DifFerentialquotient, nämlich:

lim

Jx = 0

F(x Bx) — 2 F(x) -j- F(x — A x)

Ax²

= lim

A x = 0

A²F{x)

Ax²

*) {Hier bedeutet s die größte ganze Zahl, die nicht größer als c:a ist, und überdies ist sin²(wa) < (na)², woraus sofort die Behauptung des Textes folgt.}

**) {Denn es ist nach der Anmerkung zu S. 559:

n — oo

n — oo

1    _ 1 ''VT 11    1

aLj n²a² a²    n² a² s-j-1

n = s + 1

und außerdem s -f- 1 )> c : a.} ***) { Zunächst ergibt sich

2sc 2s ' ac

Fix -f 2 a) — 2 F(x) -(- Fix — 2 a)

4a²

Im Original fehlt links die Angabe des absoluten Betrages.}

9, IO]

an jeder Stelle gleich ist einer integrierbaren Funktion f(x), d. h. an allen Stellen, wo die Funktion f(x) einen bestimmten Wert hat, ebenfalls diesen Wert besitzt, an denjenigen dagegen, wo f(x) unbestimmt zwischen endlichen oder unendlichen Grenzen ist, einen bestimmten oder unbestimmten Wert besitzt, der innerhalb der nämlichen Unbestimmtheitsgrenzen liegt, kann man dann umgekehrt von der Funktion F(x) behaupten, daß sie sich durch zweimalige Integration aus f(x) ableiten läßt, daß also die Gleichung besteht:

F{x) = FJx) + Cx + C,

wobei

¹

{Nämlich weil l(ß):ß absolut integrabel sein soll.}

²

(Denn dann ist | X(ß) : ß | <[ Cßa~ \ so daß die Schwankung von | l(ß) : ß | für jedes Stück des Intervalles von 0 bis 8 kleiner als Cd“⁻¹ wird. Folglich ist die Summe der Produkte aller Teile dieses Intervalles mit den zugehörigen Schwankungen kleiner als C8a. Diese Größe aber strebt mit 8 nach Null, weil a^>0 ist. Mithin erfüllt j l(ß) : ß | die unter A, S. 534, aufgestellte Bedingung der Integrierbarkeit.}

³

{Ist fix) in einem Intervalle stetig, schreiben wir nun aber f(x) an einer Stelle a des Intervalles nicht den Wert f(a), sondern irgendeinen andern Wert zu, so hat die Funktion daselbst eine punktuell hebbare Unstetigkeit.}

⁴

{Zunächst kommt die Form :

364

Fi (x) f(y) (x - y)dv

{ist}, C und C bestimmte Konstanten sind und y eine willkürlich fixierte Größe bezeichnet?*)

Die aufgeworfene Frage ist leicht zu entscheiden, wenn wir annehmen, daß die Funktion f(x) eine im allgemeinen stetige Funktion ist, die nur an einzelnen Stellen eine sprungweise Unstetigkeit erleidet; für den allgemeinsten Fall, in dem von f(x) nur bekannt ist, daß es eine integrierbare Funktion ist, die also auch unendlich werden kann, ist die Beantwortung schwieriger.

11. {Ein Hilfsatz.} Wir stellen folgenden Hilfsatz voraus:

Weiß man von einer stetigen Funktion cp (x), daß innerhalb eines gegebenen Intervalles der zweite mittlere Differentialquotient an allen Stellen den Wert Null hat, so ist cp(x) eine ganze lineare Funktion von x.

Das gegebene Intervall erstrecke sich von x — a bis x = Ł; man bilde:

und

zO) = ± t(x) — -HO —a) (P — x),

wobei d eine beliebig kleine positive Zahl bedeutet. Es ist nun

-±

cp(x-\- Ax)— 2 cp (x) -j- cp (x—Ax)

Ax*

*) {Harnack hat u statt y- da aber a in § 12 in anderer Bedeutung auftritt, mußte hier ein anderes Zeichen gewählt werden. Daß in der Tat die hier angegebene Funktion Fx (x) bei der Integration herauskommt, wird in § 12 verifiziert.}

**) {Geänderter Wortlaut des ursprünglichen Textes: cp(x) eine lineare Funktion von x mit konstanten Koeffizienten.}

36*

[10, 11

ein Wert, der an jeder Stelle des für cp(x) gegebenen Intervalles schließlich positiv wird für {lim} Ax = 0, denn der Differenzenquotient der Funktion cp (x) wird durch Wahl von /Ix beliebig klein. Hieraus folgt, daß die stetige Funktion %(#), welche an den beiden Endpunkten des Intervalles a und b den Wert Null hat, im Innern des Intervalles kein Maximum besitzen kann. Denn wenn xt eine Stelle bezeichnet, an welcher dieses Maximum liegt, so ist:

%(xi + Ax) - xM £ 0, x(xi — Ax) — %(xt) £ 0;

es wird dann:

z(*t + Ax) ~    + zOi - Ax) £ o,

nicht aber positiv. Daraus folgt, daß die stetige Funktion y(#) im ganzen Intervalle von a bis b nicht positiv werden kann; also ist:

365

± tfj(x) — $d(x — a) (b — x) < 0

oder

+ ifj(x) < \S(x — a) (b — x) < Ąö(b — a)².

Da S beliebig klein {d. h. beliebig nahe bei Null} ist, so folgt hieraus, daß auch der Betrag von ip(x) beliebig klein wird, d. h. daß

cp(x) = cp(a) -f !^[>(&) — g>(a)]

ist. {Also ist cp (x) in der Tat eine ganze lineare Funktion.}

12. {Integration des zweiten mittleren Dififeren-tialquotienten.} Bezeichnet man nun die Differenz zwischen den im § 10 definierten Funktionen, F(x) — Ft(x), mit cp(x), so ist:

-lim

Ax*

lim

A*F(x)

/Ix*

— lim

A*F\ix)

Ax* ’

und es wird:*)

A X

^ A    ⁼ Ax*J^X

0

-j- a) -j- fix — «)] (/Ix — a) da

f(x -(- 0/ix) -)- fix — 0/1 x)

*) { Zunächst kommt :

x + Ax

J*F₁ {x) = jf(y) ix -F Ax — y) dy

Y

x— A x

² ffiy) ix -y)dy-f jfiy){x — Ax — y)dy. Y    Y

Die drei Integrale heben sich, soweit sie sich auf das Intervall von y bis x erstrecken, gegenseitig fort, so daß bleibt:

wenn man mit f(x -f- 0/Ix) und fix — O/Ix) mittlere Werte bezeichnet, welche innerhalb der Werte der Funktion f(x) in den Intervallen von x bis x -f- /Ix und x bis x — /ix gelegen sind.*) Betrachtet man zunächst solche Intervalle, in denen die Funktion f(x) keine sprungweisen Wertänderungen erleidet, vielmehr durchaus stetig ist, so wird für jede Stelle in denselben:

lim

Ax*

= lim

A*Fjx)

Ax*

— lim

A'FX (x)

/1x*

= f{x) — lim

fix -f- 0 /Ix) -f- f{x — OAx)

also gleich Null; mithin ist in jedem dieser Intervalle die Differenz

F(x)-F₁{x)

eine lineare Funktion Cx -j- C' {nach § 11}.

Betrachtet man aber ein Intervall, in welchem die Funktion f(x) eine sprungweise Wertänderung erleidet, während sie zu beiden Seiten dieser Stelle stetig ist, so wird auch hier überall lim A²cp : /ix2 gleich Null; denn an der Sprungstelle x — c ist lim A²F(x) : Ax2 gleich $[f(c + 0) -f f(c — 0)], und denselben Wert erhält auch lim A²F₁(x) : Ax².

(Hiermit ist gezeigt, daß die § 10 aufgeworfene Frage bejahend zu beantworten ist.}

13. {Beweis dafür, daß die trigonometrische Reihe 366 die Fouriersche sein muß.} Diese Ergebnisse führet zu dem Satze: Ist durch die trigonometrische Beihe

n — oo

ĄA₀ -\-^(An cos nx -f Bn sin nx)

71 = 1

eine im Intervall von — n bis -j- n im allgemeinen stetige Funk-

X— A X

A*F₁ ix) =jfiy) ix + Ax — y) dy +Jf(ÿ)(x — Ax — y)dy.

Wird die neue Veränderliche cc im ersten Integrale vermöge der Substitution y = x -j- cc und im zweiten vermöge der Substitution y — x — oc eingeführt, so folgt:

A x

A*FX ix) =J\fix -f- cc) -f fix — a)] [Ax — cc\dcc o

und hieraus durch Division mit Ax* die Formel des Textes.}

*) {Die beiden 6 sind jedoch im allgemeinen verschiedene positive echte Brüche.}

tion f(x) definiert, welche nur an vereinzelten Stellen sprungweise Unstetigkeiten erleidet, so besteht bei allen Werten von x die Gleichung : ¹ ²)

n = oo

{A₀x²— ^>^(-iracos nx Ar Bn sin nx) =J f(y)(x — y) dy+Gx+C'

— 7t

Bezeichnet man das Integral auf der rechten Seite kurz mit Fl (x), so folgt, weil die auf der linken Seite stehende Summe eine periodische Funktion mit der Periode 2 7t ist:

Ft (x + 2 7t) + C(x -f 2tt) + G' — \A₀(X -f- 2%)

oder:

— F^(x) -f- Cx -|- C — ^AqX²

Ft(x + 2n) = Ft(x) — 2 Gu A₀(xn Ar n²), und weil für x — — n die Funktion Fx(x) verschwindet, so ist:

Fx(u) — — 2 G u.

renziert :

Aus derselben Gleichung folgt, wenn man sie nach x diffe

Fi(x -f- 27t) = Fi(x) A₀7t,

also für x — — 7t:

Fi(7t) = Fi(— 7t) -f⁻ Aq7t = Aq7t.

Da die neu gebildete Reihe eine gleichmäßig konvergente ist, so kann sie gliedweis integriert werden. Man findet sonach die Relationen:

J [F^x) -fi- Gx -f- C'] sin nxdx = — — 7t

denn es ist:

Ą-rt

Jx² sin nxdx = £

+ 7t

+ Jt

— x² cos nx

x cos nxdx

— 7t

— 7t

— 7t

+ 7t

4-7t

+ 7t

— x² cos nx

] + Ti p^] - Ar in nxdx = 0«)

— 7t

— 7t

— 7i.:

und:

+ 7t f ïFt(x) + Cx + C'\ cos nxdx = — ^ Anu + (— l)"^jt

— 7t

denn es ist:

4“ Tt

/»

/ 9    , rx² ninnxl 2 /

/ # cos nxdx — ---J — — I :

— 7t

— 7t

+ TT

4“ TT

4" Tt

_ pm«*!    a M    \ / cos /fix dx - i?(- 1)».

L w J    n L w J    n*J    ny

— 7t

— 7t

— 7t

Die Funktion Fx (x) besitzt eine stetige Ableitung, und sonach wird vermittels teil weiser Integration das erste Integral*) gleich:

[-nrK(«) + cx + c']] + lf[#(*) + o]

cos nxdx.

— 7t

— TL

Aber auch dieses Integral läßt die teilweise Integration zu, weil F[(x) stetig ist und die integrierbare Ableitung fix) besitzt; demnach folgt:

4 7t

4" Tt

- ± Bnn - [- ^ [F, (*) + Cx + C']l +    (*) + C]]

— 7t

— 7t

4" Tt

n nxdx.

Die Werte in den Klammern verschwinden²), und man erhält:

+ Tt

n nxdx.

— 7t

Auf ähnliche Weise findet mau:

4- Tt

An

= —J*f(x) cos nxdx.

— 7t

Sonach ist der Satz bewiesen: Ist durch eine trigonometrische Beihe eine im allgemeinen stetige Funktion f(x) definiert, welche nur an vereinzelten Stellen eine sprungweise Wertänderung besitzt, so ist die Beihe eine Fouriersche.

4“ Tt

*) { Gemeint ist J\Fl (x) -f- Cx -f- C'] sin nx dx. j ³

— Tt

Bemerkung⁴. Um den Satz in seiner allgemeinsten Fassung zu beweisen, d. h. nur unter der Voraussetzung, daß die Funktion f(x)r welche durch die trigonometrische Reihe definiert ist, integrierbar ist, woraus nach § 8 hervorgeht, daß die Koeffizienten der Reihe zuletzt unendlich klein werden, muß man wiederum den Nachweis führen, daß die durch zweimalige gliedweise Integration aus der gegebenen {Reihe} abgeleitete Reihe gleich

368

wird. Alsdann bleiben die weiteren Schlüsse des letzten Paragraphen bestehen. Zu dem Zwecke hat man den Satz zu beweisen: Wenn eine stetige Funktion die Eigenschaft hat, daß ihr zweiter mittlerer Differentialquotient lim z/²F(x) : z/æ² gleich wird einer integrierbaren Funktiön f(x), die zugleich auch Stellen besitzen kann, an denen sie unendlich wird, so ist F(x) durch zweimalige Integration aus f(x) bis auf eine { additive} lineare { ganze } Funktion darstellbar. Dieser Satz läßt sich in der Tat beweisen, wenn, was hier der Fall ist, die Bedingung hinzukommt, daß lim z/²_F(V) : Ax allenthalben gleich Null wird, und wenn noch die Voraussetzung gemacht wird, daß die Unendlichkeitsstellen der Funktion f(x) isoliert sind oder nur eine „abzahlbare“ Menge bilden. (Math. Annal. Bd. 23, S. 266, Bd. 24, S. 246).

Ebenso kann man den in § 7 erwähnten Satz beweisen: Wenn eine Fouriersche Reihe, deren Koeffizienten mit den Integralen einer Funktion f(x) gebildet sind⁴), schließlich verschwindende Koeffizienten erhält, so stimmt der Wert der Reihe überall, wo sie konvergiert, mit dem Werte [ fix -j- 0) -f- f(x — 0)] überein, vorausgesetzt, daß dies überhaupt ein bestimmter Wert ist; und an jeder Stelle, wo die ursprüngliche Reihe divergiert, jedoch mit endlichem Divergenzmaße, liegt der Wert von \ [f(x. -j- 0) + fix — 0]) innerhalb der Schwankungen der Reihe an dieser Stelle, oder die Unbestimmtheitsgrenzen dieses Ausdruckes fallen nicht außerhalb der Schwankungen der Reihe.

Endlich kann man auch das allgemeine Theorem beweisen: Eine Funktion fix)-, welche durch eine trigonometrische Reihe, deren Koeffizienten zuletzt unendlich klein werden, definiert ist, kann nicht durch eine andere, von dieser verschiedene trigonometrische Reihe 369 dargestellt werden, wenn man von diesen beiden Reihen entweder verlangt, daß sie bei allen Werten von x übereinstimmen sollen, oder auch nur, daß ihre Differenz im allgemeinen Null ist und erstlich nur an Stellen, welche eine diskrete Menge bilden, endlich und dem Betrage nach größer ist als eine beliebig kleine endliche {positive} Zahl ô (resp. zwischen Unbestimmtheitsgrenzen liegt, deren Beträge

größer sind als ä), zweitens nur an Stellen, welche eine reduktible Menge bilden, unendlich wird (resp. zwischen Unbestimmtheitsgrenzen liegt, deren Betrag unendlich groß wird).

14. {Die Fouriersche Integralformel.} In § 6 haben wir gewisse Bedingungen erkannt, unter denen eine im Intervalle von — n bis -j- n irgendwie definierte integrierbare Funktion f(x) durch eine Fouriersche Reihe von der Form:

* = 00

hj

- 7t    k~¹

cos Tex

J f{a) coskada -f- sin kxj f(a) si

n kada

- 7t

dargestellt werden kann, so daß bei jedem Werte von x innerhalb dieses Intervalles die Reihe entweder den Wert f(x) oder den Wert \Yf(x + 0) -f- f{% — 0)] erhält. Kehren wir nannten allgemeineren Voraussetzung zurück, daß eine Funktion f{z) im Intervalle von — l bis + l gegeben ist, so erhalten wir für diese Funktion unter denselben Bedingungen eine trigonometrische Darstellung, indem wir

nun zu

der im § 2 ge-

substituieren. Alsdann wird

* = oc

cp {x) = A₀ -(- {Ak cos Jcx -f- Bk sin Tex)

und

Ao

Ak

= ij‘<p(*)°oskxdx = ±-f ffë)

cos kx dx

— 7t

— 7t

+ 7t

**

— (p (x) sin kxdx

sin kx dx

— 7t

— 7t

-Vf®

-l

r

= jJ fix) Sin.

cos

knz

knz

dz,

dz,

-i

folglich:

(Ü

▼H

Ke) — YlJ

370

-i

* = 00    + ‘

*=iL

cos

1c 7t CC

da 4- sin

knz

kncc

da .

-i

Ist die Funktion f(z) so beschaffen, daß sie im Intervalle von — I bis 0 dieselben Werte wie im Intervalle von Z bis 0 hat⁵), so werden die Integrale Bk — 0, und die Gleichung reduziert sich auf die Form:

(2) f(‘)

da.

kn z

cos

kn a

cos~~r

Ist aber — z) — — /“(#), so werden die Integrale Ak = 0, und man erhält:

(3)

/■» =

* = 00    ‘

2 X1 . kn z l -, \

yZj sin i J W sin

*= 1    o

kn a

- da.

Diese Darstellungen einer sogenannten willkürlichen Funktion beziehen sich immer auf ein endliches, wenn auch beliebig großes Intervall. Es entsteht daher schließlich noch die Frage, ob man auch für eine Funktion, die für das ganze Intervall von x — — oo bis x = -j- oo irgendwie definiert ist, eine einheitliche analytische Darstellung dieser Art gewinnen kann. In der Tat läßt sich dieselbe zunächst durch eine naheliegende Schlußfolgerung vermuten und sodann streng beweisen⁶). Man setze:

J"⁵ f(a) cos (qa)da = <p(y), j⁶f(a) sin (qa)da — (q) ,

-i    -i ferner:

also

l n

Dann erhält die Reihe (l), in welcher x statt z geschrieben wird, die Form:

k — oo

f(x) = ~ 93(0) -f ~ [cos (]cxd)cp(]cd) + sin (ft^d^^d)].

Läßt man nun l unbegrenzt wachsen, wobei d nach Null konvergiert, so steht zu erwarten, daß die Summe rechts übergeht in das bestimmte Integral⁷):

oo

oder, weil für l = oo

+ 00

<p (q) = Jf(«)

— 00

[[cos (qx)q>(q) + sin (qx)ty(q)]dq

0

4- oo

t(q) =Jf{«) sin (qa)da

cos

(qci)da

— 00

wird, daß die Gleichung besteht:

00

4-00

4-oo

/O)=ffj d ą [cos (« X)Jr(a)

0    — oo

cos

(#a)da-f-sin(g;r))Jf(a)sin(gqa)da ,

das heißt:

/■(*)

+ 00

- *«)

0    — oo

cos q(x — a)da.

Die Gleichung, die Fouriersche Integral formel, ist zu beweisen.

15. (Verallgemeinerung des G-renzwertes in § 5.}

Der in § 3 bewiesene Satz, welcher das Fundament für alle diese Untersuchungen bildet, läßt sich in allgemeinster Weise so aussprechen :

Ist f(x) eine in einem beliebigen, aber endlichen Intervalle von a bis b überall endliche und integrierbare Funktion, so wird:

lim

b

j'KX)

cos nxdx und

lim

l

vjf(x) si

n nx dx

für n = oo gleich Null, wenn die Zahl n in beliebiger Weise über jeden Betrag hinaus wächst.

Denn da früher dieser Satz bewiesen wurde, falls n die Reihe der ganzen Zahlen durchläuft, so erkennt man leicht: Wenn n von der Form m-\- ß ist, wobei m eine {positive } ganze Zahl, ß eine {positive} Zahl kleiner als Eins bedeutet, so wird:

cosmxsinßxdx

und die rechten Seiten konvergieren mit wachsenden Werten von m nach Null.

3752

Daraus folgt nun wie früher: Der Grenzwert des Integrales

b

ix

7tj ' K '    X

für q = oo hängt nur ab von dem Verhalten der Funktion f(x) in unmittelbarer Umgebung der Stelle æx*).

Liegt x₁ außerhalb des Intervalles von a bis b, so wird dieser Grenzwert gleich Null; liegt dagegen x₁ innerhalb des Intervalles, so wird der Grenzwert gleich vorausgesetzt, daß eine der im § 6 als hinreichend erkannten Bedingungen erfüllt ist. Fällt endlich x₁ mit einer der Grenzen a oder b des Integrationsintervalles zusammen, so ist unter denselben Bedingungen der Grenzwert des Integrales gleich \f{a + 0) oder \f(b - 0).

16. {Verallgemeinerung auf endlose Intervalle.]

Der vorstehende Satz besteht aber auch unter gewissen Bedingungen, wenn die Grenzen des Integrales unendlich werden. Läßt man zuerst b unendlich werden, betrachtet {man} also das Integral

X — X₁

{für beliebig großes w}, so muß, damit der obige Satz seine Geltung behält, erstlich dieses Integral bei jedem endlichen Werte von q

*) {Liegt nämlich nicht im Intervalle von a bis &, so ist der Grenzwert nach dem Vorhergehenden gleich Null. Liegt dagegen xx im Intervalle, so wählen wir eine beliebig kleine positive Zahl 8 und zerlegen das Integral in die Summe:

Xt+â

xx — â

a?, — â

dx.

— x₁

xx + ô

Die Grenzwerte des ersten und dritten Integrals für lim q — oo sind gleich Null, da hier xx nicht in den Intervallen liegt. Es bleibt also das zweite Integral übrig, das sich nur auf die Umgebung der Stelle xx bezieht. Analog ist zu schließen, wenn xx in a oder b liegt.}

einen bestimmten Wert haben, zweitens muß, nachdem u > xt angenommen ist,

dx

— xi

entweder bei festem Werte von u durch Wahl von q oder durch Wahl von u unabhängig von q kleiner als eine beliebig kleine Größe d gemacht werden können, wie groß auch w^>u gewählt werden mag.

Für diese Forderungen lassen sich hinreichende Bedingungen angeben, die in einfacheren Aussagen über die Funktion f(x) bestehen.

Einstens: Wenn f(x) bei beliebig wachsenden Werten von x schließlich keine Oszillationen mehr macht, sondern von einem be- 373 stimmten Werte für x an entweder beständig wachsend oder beständig abnehmend einer bestimmten endlichen Grenze für x = oo zustrebt, so ist nach dem zweiten Mittelwertsatze (§ 463):⁸)

(•yizHx-x,) ix

J    X X,

u + 0 (mj — u)

dx,

- f{«)

falls die {absoluten} Beträge der Funktion f(x) im Intervalle von u bis oo nicht zunehmen, und

dx,

dx

— x.

-/■(»)

u    u+ 0{w — u)

falls die {absoluten} Beträge der Funktion f(x) in dem Intervalle von u bis oo nicht abnehmen. Die beiden Integrale rechts aber werden, wenn u fixiert ist, durch Wahl von q (absolut genommen} beliebig klein, wie groß auch w gewählt ist.⁹)

Zweitens: Wenn f(x) zwar für x — oo unendlich viel Maxima und Minima hat, aber f(x) : (x — xt) absolut integrierbar ist. Denn es ist alsdann¹⁰):

r sing

J x

I äin^

J ²

dx \ <

— «i

00

00

und dieser Ausdruck wird durch Wahl von u bei jedem Werte von q beliebig klein.

Drittens: Wenn f(x) für x = oo endlich bleibt und eine Ableitung besitzt, die im Intervalle bis x = oo absolut integrierbar ist. Denn es ist*):

dx

— xx

dx,

CO

also:

jf{xy^=J?Ädx

00

=f[oo)

00

— xx

dx—

jflx)dxf™^Ldx

oder gleich:

00

K°°)

— Xx

dx—

s (* - xi)

//W-T

00

dz.

g(u — xx)

q{x-Xx)

374

f sin z

Das Integral / ——dz ist {absolut genommen) jedenfall

s nicht

q{u-x,)

71

größer als der Wert;

o

dz (§ 466, Nr. 2 {jetzt Nr. 469}). Be

zeichnet man diesen Wert mit a, so ist der {absolute} Betrag des zweiten Integrales kleiner als

00

af0*0 Idx'

er wird also ebenso wie das erste Integral der rechten Seite durch

*) {In dem Doppelintegrale rechts tritt die Yeränderliche x in zweierlei Bedeutung auf. Es wäre besser, dies Doppelintegral so zu schreiben:

dz dx.

Die Formel ergibt sich, indem man auf dieses Integral die teilweise Integration ausführt.}

Wahl von u {absolut genommen} beliebig klein, wie groß auch q werden mag.

Unter gleichartigen Bedingungen für die untere Grenze — oo besteht dann der Satz:

-foo

m*mT_Xiæùd*=i \Axx + °)+f(?i - o)]

— 00

für jeden endlichen Wert von xv

17. {Übergang zum Fourierschen Integrale.} Von

dem behandelten einfachen Integrale kann man nun leicht zu einem zweifachen Integrale übergehen. Es ist:

also ist:

J cos q(x — xx)dq =

o

— a?i

b    q    b

dx.

— Xi

J f{x)dxJ cos q(x— xx)dq ==J*——

a    0    a

Auf der linken Seite kann man, da f(x) integrierbar ist, die Folge der Integrationen vertauschen, und demnach wird:

q    b

J*d qj* f(x) cos q (x

0 a

xx)dx=J

dx,

und folglich besteht {nach § 15} der Satz*):

— xx)dx

⁹ n

lim — I dq I f(x) cosg(æ

0 a

ist gleich Null, wenn xx außerhall) des Intervalles von a bis b liegt, dagegen gleich \\f{xx + 0) -j- f(xx — 0)], wenn xx innerhalb dieses 875 Intervalles liegt. Ist xx = a oder 5, so ist der Grenzwert bezüglich gleich j f(a -f- 0) oder \f(b — 0).

Diese Formel gilt auch, wenn a und b unendlich werden, vorausgesetzt, daß die Funktion f(x) im Unendlichen die in § 16 als hinreichend erkannten Eigenschaften besitzt; es ist alsdann:

? b

— xx)dx.

q = oo 6 =

i 1/0*1 + 0) + f(xx — 0)] = lim lim ^ jdqjf(x) cosq(x

a= — oo q    b

*) {Im Original fehlt der Faktor 1 : n.}

V' = lim V für & = oo.

so ist:

Hierbei ist die Reihenfolge der Grenzprozesse zu beachten. Es ist zuerst das zweifache Integral zwischen endlichen Grenzen zu bilden, sodann sind a und b unendlich und schließlich q unendlich zu setzen. Man kann auch zuerst q unendlich werden lassen, wenn man a und b so bestimmt hat, daß der Punkt xt eingeschlossen wird; wesentlich nach dem bisherigen Beweisgang aber ist, daß zuerst das Doppelintegral mit endlichen Grenzen gebildet wird.

18. {Crültigkeitsbedingungen für die Fouriersche Integralformel.} Schließlich bleibt nur noch die Frage: Unter welchen Bedingungen gilt nun auch die Gleichung:

00

+ 00

ł + 0) + f(%x —

0)] = ~J‘dqJ*f(x) cos q(x — xt)dx,]

0    — oo

welche wir oben {in § 14} als die Fouriersche Integralformel bezeichnet haben? Setzt man

% b

J dq J*f(x) cos q(x — xt)dx =

0 a

U,

dx = V,

so ist {nach § 17} bei jedem endlichen Werte von b:

U = V.

Setzt man ferner:

q    oo

JdqJlf(x)

0 a

00

cos q(x — xt)dx = Z7',

y\

Damit nun auch die Gleichung U' — V bestehen bleibe, muß U' = lim U für b = oo

sein, d. h. es muß {sein} :

376

q    oo

J*ïq. j*f(x)cos q(x — x^)dx = l

0 a

lim

2 *

¹ J dqjcos(l(x

0 a

— x^)dx.

Diese Gleichung erfordert einerseits, daß die rechte Seite überhaupt eine bestimmte Grenze hat, was der Fall ist, sobald sich eine untere Grenze n ausfindig machen läßt, so daß für jeden Wert w > u:

p    W

— xt) dx

j*dq j‘f(x) cosq(x

0 u

17, 18]

{absolut genommen} kleiner wird als eine beliebig vorgegebene {positive} Größe d ; andererseits daß

J¹¹f(x) cosq(x — xt)dx

ein bestimmter Wert ist, dessen Integral nach q beliebig klein ist, wenn u hinreichend groß gewählt wird. Unter q ist dabei eine endliche bestimmte Größe zn verstehen.

Auch hierfür lassen sich wiederum hinreichende Bedingungen angeben, durch welche die zuletzt (in § 16} gefundenen drei eingeschränkt werden.

Erstens: Wenn f(x) bei beliebig wachsenden Werten von x schließlich keine Oszillationen mehr macht, sondern von einem bestimmten Werte von x an entweder beständig wachsend oder beständig abnehmend für x = oo nach Null konvergiert und dabei integrierbar ist. Denn alsdann ist:

u + e (w — u)

jj f(x) cos q(x — xx) dx = f(u)J cos q(x — xx) dx

U

sin q(x — xt)

u + 0(w — u)

= f(u) [

also:

q w

fd'ij f(x)cosq(oc

0 u

— Xt)dx

sin q[w -(- 0 (w — u) — x^ sin q(u —

dz.

i)

Dieser Wert ist, wie groß auch w werden mag, {absolut genommen} jedenfalls kleiner als¹¹)

und wird also mit f(u) {absolut genommen} kleiner als jede vor- 877 gegebene Größe. Desgleichen ist auch nach dem ersten Mittelwertsatze {jetzt Satz 21, Nr. 420}¹²):

37

[18

J f(x)

cos

00

q(x — xt)dx = M[cos q(x — a?₁)]J f(x) dx

also dem {absoluten} Betrage nach nicht größer als

00

¹

{Unter F(x) wird nämlich nun wieder die in § 9 definierte Funktion verstanden.}

²

{Außerdem sind die Formeln (2) und (3) unter B, S. 538, zu berücksichtigen.}

³

{ Weil Fx{n) — — 2 Cx und Ft (— n) — 0 ist }

⁴

{D. h. die auf S. 567 angegebenen Werte An und Bn haben.}

⁵

{Exakter: es soll —z) = f(z) sein.}

⁶

Ich befolge dabei im wesentlichen die Methode, welche Herr C. Neumann in seiner Schrift : Über die nach Kreis-, Kugel- und Zylinder-Funktionen fortschreitenden Entwicklungen (Leipzig 1881), S. 54—70, ausgebildet hat.

⁷

{Denn wenn ą = kS, Jq — (k -j- l)d — kd = â gesetzt wird, hat die Summe die Form der Summe J in Ńr. 404.}

⁸

{Jetzt Satz 24, Nr. 424. Daß nämlich dieser Satz für endliche und integrierbare Funktionen überhaupt gilt (nicht nur für stetige), läßt sich leicht beweisen. 0 bedeutet wieder einen positiven echten Brnch.}

⁹

{Es ist nämlich, wenn q(x — xt) — z gesetzt wird:

q [u + O {w — u) — «J

dz,

q{u-xx)

und dies Integral hat nach Nr. 469 für lim q — oo den Grenzwert Null. Ebenso ist der Schluß für das zweite Integral zu machen.}

¹⁰

{Im Original fehlt links die Angabe des absoluten Betrages.}

¹¹

{Im Original fehlt die Angabe des absoluten Betrages.}

¹²

{Hierbei bedeutet M [cos q (x— a^)] einen der Werte, die cos q(x — xx) im Intervalle annimmt.}

Serret-Scheffers,Diff.-u. Integral-Kechnung. II. 4.u.5. Aufl.

JKx)d

Zweitens: Wenn f(x) zwar für x — oo unendlich viele Maxima und Minima hat, aber dabei absolut integrierbar ist. Denn alsdann ist*):

00

IJ*f(x) cos q(x — a?₁) dx\ <J*| f(x) | dx

Drittens: Wenn f(x) eine stetige Funktion ist, die für x = oo nach Null konvergiert und deren Ableitung f\x) absolut integrierbar ist. Denn es ist:

— xt)dx,

J/-(»cos q(x—x^dx=\f(x)

also:

q w

J*dqJ“f(x) cosq(x—xl)dx=f(w)^J

0 u    0

sin q(w—x,)

?

/(„)iß

0

dq

q    w

— Xj)dx.

f\x) sin q(x

0 u

Die beiden ersten Terme rechts werden {absolut genommen} mit f(u) und f(w) beliebig klein, der dritte ist gleich:

dq,

also {absolut genommen} kleiner als das Produkt von

7t

J | f\x) | dx

u    0

dz,

welches durch Wahl von u beliebig klein wird.

*) {Im Original fehlt links die Angabe des absoluten Betrages.}

Desgleichen ist:

378

00

J f(x) cosq(x — x₁)dx=lf(x)

sin q(x — xx)

00

sin^a:— a;,)

ist bei allen Werten von ą nicht

Der [absolute [Wert von

größer als Eins; also wird die rechte Seite dem {absoluten} Betrage nach nicht größer als¹)

00

f{u) \ +J\ f 0) i äx

oo erfüllt, so besteht

Ist solch eine Bedingung auch für x = die Gleichung:

q +oo

v/d,{~x)

0    — oo

+ 00

cos

q(x — xt) dx =j f{x) S^X Xl)

— 00

— a-j

dx.

Konvergiert nun q nach Unendlich, so geht die rechte Seite in den Wert \[f(x -f- 0) -f- f(x — 0)] über, weil mit den Bedingungen dieses Paragraphen zugleich die Bedingungen im § 16 ²) erfüllt sind. Sonach wird auch

00

+’oo

— xt) dx = [f(xt -f 0) + f(%i — 0)1 •

^ j dq I f(x) cos q(x

0    — oo

| [Unter den als ausreichend erkannten Bedingungen für die Gültigkeit dieser Gleichung wollen wir die beiden nochmals hervorheben, die für die Anwendung am wichtigsten sind. Die Fouriers che Integralformel gilt bei jedem Werte von x:

1.    für jede stetige Funktion, die im Intervalle von — oo bis -j- oo an keiner Stelle, auch nicht im Unendlichen, unendlich viele Maxima und Minima hat und im ganzen unendlichen Intervalle integrierbar ist (solch eine Funktion verschwindet für x = + oo) ;

2.    für jede stetige Funktion, die für x = + oo den Wert Null hat und deren Ableitung absolut integrierbar ist.

19. {Spezialisierung der Formel.}

Die allgemeine

Formel erhält eine speziellere Form, sobald f(x) entweder eine paare

379

oder eine unpaare Funktion**) ist; denn schreibt man dieselbe in der Form:

oo

+ 00

dqf f(x) (cos qx cos qx₁ -f- sin

0    — oo

so folgt:

qx sin qx^)dx

⁼ \[Kxi + °) + f(xi — o)],

Ist f(x) = f(— x), so wird für xt > 0:

OO

00

~ f*<dqeosqxt j''f(x)

Ô    6

cos

qxclx = \[f(xx + 0) + f(x i — 0)],

und ist f(x) = — f(— x), so wird für xi > 0 ;

00

oo

a to

J*dq sin dxx J*f(x) si*1 rlx dx = | [f(xi + 0) -f f(xt — 0)]. 0 0

*) {D. h. eine gerade oder eine ungerade Funktion.}

Geschichtliche Anmerkungen

zum ersten und zweiten Bande.

1. ³) Den Grundsatz von der Erhaltung der formalen Gesetze hat zuerst H. Hankel (1839—1873) in voller Klarheit (als das Prinzip der Permanenz formaler Gesetze) ausgesprochen. Er ist auch der erste unter den deutschen Mathematikern, der die drei formalen Gesetze (die er das kommutative, assoziative und distributive Gesetz nennt) deutlich unterschieden hat. Siehe seine „Theorie der komplexen Zahlensysteme Leipzig 1867 (erster und einziger Teil der „ Vorlesungen über die komplexen Zahlen und ihre Funktionen“). Die Bezeichnungen kommutativ und distributiv schreibt er F. J. Servois (in den Annales de Mathém. pures et appl. 5. Bd. 1814, S. 93) zu, während er vermutet, daß die Bezeichnung assoziativ von W. B. Hamilton (1805—1865) geprägt worden sei.

Für den logischen Aufbau der Arithmetik des rationalen Zahlenbereiches kommt außer dem genannten Werke Hankeis auch das „Lehrbuch der Arithmetik für höhere Lehranstalten“ von H. Graßmann (1809 bis 1877), Berlin 1861, in Betracht (Bruchstücke daraus in den „Gesammelten mathematischen und physikalischen Werken2. Bd., 1. Teil Leipzig 1904, S. 295 u. f.).

Die Ausdrucksweise überall dicht rührt von G. Cantor her (siehe Math. Ann. 15. Bd., 1879, S. 7).

2.    B. JDedekind stellte in der Schrift „Stetigkeit und irrationale ZahlenBraunschweig 1872, die im Texte benutzte Definition der irrationalen Zahlen durch das sogenannte Schnittverfahren auf. Sie ist unabhängig davon, wie man die Zahlen formal darstellen will. Anders bei G. Cantor (Math. Ann. 5. Bd. 1872, S. 123 u. f.), E. Heine (1821 bis 1881, im Journal f. Math. 74. Bd. 1877, S. 174 u. f.), K. Weierstraß (1815—1897, in seinen Berliner Vorlesungen von 1864 an) und Ch. Méray {„Nouveau précis d’analyse infinitésimale“, Paris 1872).

Die Dedekindsche Theorie ist in viele Lehrbücher übergegangen. Eine kritische Vergleichung gab G. Cantor (Math. Ann. 21. Bd. 1883, S. 545 u. f., insbes. S. 565 u. f.). P. du Bois-Beymond (1831—1889) bestritt in dem 1. (einzigen) Teile des Buches „Die allgemeine Funktionentheorie“, Tübingen 1882, die Möglichkeit, die Theorie der Zahlen getrennt von der Theorie der geometrisch meßbaren Größen zu entwickeln. Siehe die geschichtlich-kritische Darstellung bei A. Pringsheim: „Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse“, Enzyklopädie der math. Wiss. 1. Bd. 1. Teil, Leipzig 1898, S. 47 u. f.

8. G. Cantor hat es wohl zuerst deutlich ausgesprochen, daß die Behauptung, jeder irrationalen Zahl sei eine Strecke der Meßgeraden zugeordnet, ein Axiom ist, siehe Math. Ann. 5. Bd. 1872, S. 123 u. f., insbes. S. 128. Nach B. Dedekind (a. a. 0.) gibt erst dies gegenseitige Entsprechen dem Begriffe der Stetigkeit der Geraden einen Inhalt.

4.    Der absolute Betrag einer Zahl, namentlich der einer komplexen Zahl, vgl. Nr. 355) wurde zuerst von J. B. Argand (1768—1822) in den Annales de Mathém. 5. Bd. 1814, S. 197 u. f., insbes. S. 208, der Modul genannt. Die Bezeichnungen absoluter Betrag und | a | wurden durch

K. Weier Straß' Vorlesungen in Berlin gebräuchlich.

5.    Potenzen und Wurzeln mit beliebigen irrationalen Exponenten treten in dem Briefe von J. Netvton (1643—1727) an Leibniz vom 13. Juni 1676 auf (siehe „Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern“, hrsg. von G. J. Gerhardt, 1. Bd. Berlin 1899, S. 181).

6.    Im Jahre 1692 scheint G. W. Leibniz (1646—1716) zuerst das Wort Funktion in mathematischem Sinne gebraucht zu haben, aber nur zur Bezeichnung gewisser veränderlicher Strecken, und zwar in der Abhandlung: „De linea ex lineis numéro infinitis ordinatim ductis usw.“ in den Leipziger Acta Eruditorum S. 168 u. f., insbes. S. 170, alsdann auch im Jahre 1694 (in den Acta Eruditorum, siehe „Leibnizem mathematische Schriften“, hrsgg. von C. J. Gerhardt, in 7 Bänden Berlin und Halle 1849—63, 5. Bd. S. 301 u. f., und in einem Briefe, siehe „Per Briefwechsel usw.“, 1. Bd. S. 740). In demselben Jahre bediente sich Jakob Bernoulli (1654—1705) des Wortes Funktion in demselben Sinne (in den Acta Eruditorum, siehe „Jacobi Bernoulli Basileensis Opera“, 1. Bd. Genf 1744, S. 618). In einem 1698 an Leibniz gerichteten Briefe (siehe „Leibnizem math. Schriften“, 3. Bd. S. 507) sprach Johann Bernoulli (1667—1748, Bruder von Jakob Bernoulli) allgemeiner von irgendwelchen Funktionen der Ordinaten, und Leibniz antwortete, daß er das Wort in demselben Sinne gebrauche (ebenda S. 525). In demselben Jahre schlug ferner Joh. Bernoulli vor, eine Funktion von x mit X oder £ zu bezeichnen (ebenda S. 531), was Leibniz (ebenda S. 537) billigte, wenn er sich auch selbst anderer Zeichen bediene. Weiterhin nannte Jak. Bernoulli in den Acta Eruditorum desselben Jahres eine solche Kurve eine Funk-tionslinie, die bald transzendent, bald algebraisch sein kann. Öffentlich gebraucht wurde das Wort Funktion im allgemeinen mathematischen Sinne erst von Joh. Bernoulli im Jahre 1706 (siehe Mém. de l’Acad. des Sciences de Paris 1706, S. 235 u. f., und „Johannis Bernoulli Opera omnia“, Lausanne und Genf 1742, 1. Bd. S. 424). Allerdings findet sich hier noch keine Definition, wohl aber in seiner Abhandlung von 1718 (Mém. de l’Acad. des Sciences de Paris 1718, S. 106, siehe auch „Opera“, 2. Bd. S. 241): „On apelle ici fonction d'une grandeur variable, une quantité composée de quelque manière que ce soit de cette grandeur variable et de constantes.“ Zwölf Jahre später (1730) unterschied er zwischen algebraischen und transzendenten Funktionen (siehe „Opera“

3. Bd. S. 174).

Die erste zusammenhängende Lehre von den Funktionen gab

L. Euler (1707—1783) in seiner „Introductio in analysin infinitorum“, 2 Bände Lausanne 1748, worin ganz im Sinne Joh. Bernoullis definiert wird (S. 4 des 1. Bandes): „Functio quantitatis variabilis, est expressio analytica quomodocunque composita ex illa quantitate variabili, et numeris seu quantitatibus constantibus“. Ebenda (S. 5 bis 7 des 1. Bandes) wurden die Funktionen in algebraische und transzendente, dann die algebraischen in rationale und irrationale, ferner die rationalen in ganze (integra) und gebrochene (fracta) eingeteilt. Überdies tritt der Begriff der unentwickelten und der mehrwertigen (multiformes) Funktionen auf.

Man muß beachten, daß es den Mathematikern jener Zeit als selbstverständlich erschien, daß jede Funktion als ein analytischer Ausdruck, wie wir heute sagen, darstellbar sei. Zu der modernen Auffassung, auf der die Definition in Nr. 6 beruht, hat man sich erst nach langen Kämpfen durchgerungen. Den Anstoß gab die Beschäftigung mit Problemen der mathematischen Physik. Die Untersuchungen von J. le Bond d’Älembert (1717—1783), L. Euler und Daniel Bernoulli (1700—1782, Sohn des Joh. Bernoulli) über das Problem der schwingenden Saite führten zu einem heftigen Streite darüber, ob willkürlich gezogene Kurven als Bilder von Funktionen zuzulassen seien. Einen Fortschritt erkennt man darin, daß L. Euler in seinen „Institutiones calculi integralis“, 3 Bände Petersburg 1768—1770, 3. Bd. S. 39, von derartigen irregulären Funktionen spricht. Der junge L. Lagrange (1736—1813) bewirkte durchseine Untersuchungen über die Fortpflanzung des Schalles (von 1759 an) ein neues Auf leben des Kampfes. Volle Klarheit wurde erst durch die Arbeiten von

J. B. Fourier (1768—1830) über die Wärmeleitung und Darstellung willkürlicher Funktionen durch trigonometrische Reihen (von 1807 an) und von G. Lejeune Dirichlet (1805—1859) gewonnen.

In seiner Abhandlung „ Über die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Kosinusreihen“ (Repertorium der Physik 1. Bd. 1837, S. 152 u. f., siehe auch „Gesammelte Werke“ 1. Bd. Berlin 1889, S. 133 u. f., oder Ostwalds Klassiker Nr. 116, Leipzig 1900) definiert Dirichlet in § 1: „Man denke sich unter a und b zwei feste Werte und unter x eine veränderliche Größe, welche nach und nach alle zirischen a und b liegenden Werte annehmen soll. Entspricht nun jedem x ein einziges endliches y und zwar so, daß, während x das Intervall von a bis b stetig durchläuft, y — f(x) sich ebenfalls allmählich verändert, so heißt y eine stetige oder kontinuierliche Funktion von x für dieses Intervall. Es ist dabei gar nicht nötig, daß y in diesem ganzen Intervalle nach demselben Gesetze von x abhängig sei, ja man braucht nicht einmal an eine durch mathematische Operationen ausdrückbare Abhängigkeit zu denken. Geometrisch dargestellt, d. h. x und y als Abszisse und Ordinate gedacht, erscheint eine stetige Funktion als eine zusammenhängende Kurve, von der jeder zwischen a und b enthaltenen Abszisse nur ein Punkt entspricht.“ Sehen wir von der Stetigkeit ab, die für den Funktionsbegriff an sich nicht in Betracht kommt, so haben wir hier diejenige Definition der Funktion vor uns, die in Nr. 6 als Grundlage gewählt worden ist.

Man vergleiche zur Entwicklung des Funktionsbegriffes die Habilitationsschrift „Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Beihe“, 1854, von B. Biemann (1826—1866, abgedruckt im 13. Bde. d. Abh. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1867, siehe auch „Gesammelte mathematische Werlte und wissenschaftlicher Nachlaß“, 2. Aufl. Leipzig 1892, S. 227 u. f.), ferner M. Cantor, „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 3. u. 4. Bd. Leipzig 1900—1908, an verschiedenen Stellen, und A. Pringsheim, „Grundlagen der allgemeinen Funktionenlehre“, Enzyklopädie der math. Wiss. Bd. II A 1, S. 1 u. f.

Was das Funktionszeichen betrifft, so ist das Wesentliche daran, daß zum Zeichen die zugehörige unabhängige Veränderliche hinzugefügt wird. Dies geschieht in der Abhandlung von A. CI. Clairaut (1713 bis 1765): „Solution de plusieurs problèmes, où il s’agit de trouver des courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une équation donnée“ (Histoire de F Acad, de Paris 1734, S. 196 u. f.), wo T\u eine Funktion von u bezeichnet, ferner in L. Euler's Abhandlung von demselben Jahre, die aber erst 1740 herauskam: „Ad-ditamentum ad dissertationem de infinitis curvis ejusdem generis“ (Com-mentarii Acad. Petropolitanae ad annos 1734 et 1735, 7. Bd. S. 187), wo der Buchstabe f mit dem in Klammern dahinter gesetzten Zeichen der Veränderlichen gebraucht wird. Auch tritt qp (0) als Funktion einer Veränderlichen z auf in J. le Pond d’Alembert’s „Pecherches sur différens points importons du système du monde“, in 3 Bänden, 1. Band Paris 1754.

7.    Spuren der Koordinaten sind schon bei den Alten zu üuden, aber die methodische Anwendung — zunächst nur in der Ebene — findet sich erst bei P. Descartes du Perron (lat. Cartesius, 1596—1650) in dem Buche „La géométrie“, Leiden 1637, dem ersten Werke über die heutzutage analytische Geometrie genannte Disziplin (Neudruck Paris 1886, deutsch von L. Schlesinger, Berlin 1894), für spezielle Fälle auch bei P. de Fermat (1602—1665). Das Wort Abszisse tritt zuerst bei Stefano degli Angeli (1623—1697) auf {„De infinitis parabolis“, 1654, und „Mis-cellaneum hyperbolicum et parabolicum“, 1659). Die Ordinaten heißen bei Descaries die appliquées par ordre, in der lateinischen Ausgabe: „Geometria a Penato Descartes anno 1637 gallice édita“, von Fr. van Schooten (1615—1660), Amsterdam 1659, die ordinatim applicatae. Die römischen Feldmesser des Altertums nannten Scharen von Parallelgeraden lineae ordinatae, und die Wortverbindung ordinatim applicatae kommt schon bei J. Kepler (1571—1630) im Jahre 1615 vor {„Johannis Kepleri astronomi Opera omnia“, hrsg. von Chr. Frisch, 4. Bd. S. 598).

8.    Zuerst scheint P. Pombelli das Wort Potenz für Quadrate in seinem Buche ,,L’algebra“, Venedig 1572 und Bologna 1579, angewandt zu haben. S. Stevin (1548—1620) benutzte es in seinem Buche „L’arithmétique usw.“ 1585 auch für den Kubus. Das Wort Exponent gebrauchte M. Stifel (1486 oder 1487—1567) in seiner „Arithmetica intégra“, Nürnberg 1544, zuerst zur Bezeichnung der Glieder einer arithmetischen Progression, denen die Glieder einer geometrischen Progression entsprechen, wie z. B. 1, 2, 3, . . . zu a, a², a³, . .. gehören. Alsdann kam dasselbeWort bei CI. Fr. AI. Dcchales (1621—1678) in seinem „Cursus seu mundus mathematicus“, 3 Bände Lyon 1674, 4 Bände 1690, vor. Dort wurden die Potenzen a², a³, . . . durch die rechts von der Basis angeschriebenen Exponenten charakterisiert (al, a2, . . .). Den Namen Ex-ponentialgroßen hat Joh. Bernoulli nach einem Vorschläge von G. W. Leibniz aufgenommen; auch stellte er 1697 in den Acta Eruditorum die Grundregeln für das Rechnen mit Exponentialgrößen auf (siehe seine „Opera“, 1. Bd. S. 179 u. f.).

9. Bezüglich des philologischen Ursprunges des Namens Sinus (aus dem Indischen oder Arabischen durch Übertragung in das Lateinische) verweisen wir auf M. Cantor, „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 1. Bd. 3. Aufl. Leipzig 1907, S. 658 u. 737. Der Name Cosinus (gleich complementi sinus) rührt von E. Gunter (1581—1626) her. Die Namen Tangens und Secans traten zuerst in der „Geometria rotundi“ von Th. Finde (1561—1613), Basel 1583, auf. Das Wort Trigonometrie scheint von B. Pitiscus (1561—1613) erfunden zu sein, der zu den „Sphaericorum libri tres“, Heidelberg 1595, von A. Scultetus (1566—1625) einen Anhang „Trigonometria, sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspieuus“ lieferte (später zu einem selbständigen Werke Augsburg 1600 erweitert).

Die modernen kurzen Bezeichnungen der trigonometrischen Funktionen sind im wesentlichen von L. Euler eingeführt worden, wie überhaupt für die Gestaltung unserer Trigonometrie seine „Principes de la trigonométrie sphérigue tirés de la méthode des plus grands et plus petits Mém. de l’Acad. des Sciences et Belles-Lettres (Berlin), année 1753, 9. Bd., Berlin 1755, S. 223 u. f., und seine „Trigonometria sphaerica uni-ver sa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata“, Acta Acad. Petropolitanae pro anno 1779, pars prior, Petersburg 1782, S. 72 u. f. (Verdeutschungen beider Abhandlungen durch E. Hammer, Ostwalds Klassiker Nr. 73, Leipzig 1896) grundlegend sind. Ferner gebührt Euler das Verdienst, zuerst die trigonometrischen Größen nicht mehr geometrisch als Strecken, sondern als Verhältnisse und zwar als Funktionen des Winkels oder Arkus (d. h. des zugehörigen Bogens des Kreises vom Radius Eins) aufgefaßt zu haben. Hierfür kommen namentlich seine Abhandlung „Methodus facilis computandi angulorum sinus ac tangentes tam naturales quam artificiales“, Comment. Acad. imp. Petropolitanae pro anno 1739, Petersburg 1750, S. 194 u. f., und seine „Introductio in ana-lysin infmitorum“, 1. Bd. Lausanne 1748, in Betracht.

Die trigonometrischen Kurven traten zuerst mit geometrischen Definitionen auf, so die Sinuskurve zum Zwecke der Flächenberechnung bei der gemeinen Zykloide (siehe Nr. 231) bei Giles Personier (lat. Persone-rius, meistens nach seinem Geburtsorte Boberval genannt, 1602—1675) in der Abhandlung „De trochoide ejusque spatio“ um 1636 herum (abgedruckt in den Mém. de l’Acad. Roy. der Sciences, 6. Bd., Paris 1730, S. 295 u. f.) und die Tangenskurve in den „Lectiones maihematicae“, London 1670, von J. Barrow (1630—1677), siehe „The mathematical works“, Cambridge 1860, S. 250.

10.    L. Euler in der „Introductio“ 1. Bd. S. 10: „Si fuerit y functio quacunque ipsius z; tum vicissim z erit functio ipsius y.“

11.    Über die Geschichte der Logarithmen siehe die Bemerkungen bei Nr. 47.

13. Die Ausgestaltung des Grenzbegriffes verdankt man besonders A. Cauchy (1789—1857), siehe seinen „Cours d’analyse de .l’école royale polytechnique. I. Partie. Analyse algébrique“, Paris 1821 (auch „Oeuvres complètes“, 2. Serie, 3. Bd. Paris 1897, deutsch von C. Itzigsohn, Berlin 1885).

15. Wie A. Pringsheim (in der Enzykl. d. math. Wiss. I A 3, S. 66) vermutet, kommt das Limeszeichen zuerst in der Abhandlung von S. L’Huilier (1750—1840): „Exposition élémentaire des principes des calculs supérieurs“, Berlin 1786, vor (auch „Principiorum calculi differentialis et integralis expositio“, Tübingen 1795); es wurde aber erst durch A. Cauchy gebräuchlich.

17. Die Definition des Unendlichgroßen bei A. Cauchy, a. a. O. S. 4 u. 27. Vgl. auch B. Bolzano (1781—1848), „Paradoxien des Unendlichen“, hrgg. von Fr. Prihonsky, Leipzig 1851, S. 28 u. f. (auch Mayer und Miiller’s Wissenschaftliche Klassiker in Faksimile-Drucken, 2. Bd. Berlin 1889).

von

20.    Über die Stetigkeit hat sich G. W. Leibniz 1687 in den P. Bayle herausgegebenen „Nouvelles de la république des lettres“ S. 744 (siehe auch „Leibnizem math. Schriften“, 4. Bd. S. 93, oder den Abdruck in dem „Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en geometrie“ von M. Chasles — 1793 bis 1880 — 3. Aufl. Paris 1889, S. 357) so geäußert: „Lorsque la différence de deux cas peut être diminuée au-dessous de toute grandeur donnée, in datis, ou dans ce qui est posé, il faut qu’elle se puisse trouver aussi diminuée au-dessous de toute grandeur donnée in quaesitis, ou dans ce qui en résulte; ou, pour parler plus familièrement, lorsque les cas (ou ce qui est donné) s’approchent continuellement et se perdent enfin l’un dans l’autre, il faut que les suites, ou événements (ou ce qui est demandé), le fassent aussi.“ Hiermit stimmt im wesentlichen A. Cauchy’s Definition in seinem bei Nr. 13 genannten „Cours d’analyse“, S. 34 {„Oeuvres“ a. a. O. S. 43), überein. Die völlig exakte Definition findet sich zuerst in der Abhandlung von B. Bolzano-. „Bein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen je zwei Werten, die ein entgegengesetztes Besultat gewähren, tvenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege“, Prag 1817 (auch Mayer und Miiller’s Wissenschaftliche Klassiker in Faksimile-Drucken, 8. Bd. Berlin 1894, sowie Nr. 153 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1905). Hier heißt es auf S. 11, 12: „Nach einer richtigen Erklärung nämlich versteht man unter der Redensart, daß eine Funktion f(x) für alle Werte von x, die innerhalb oder außerhalb gewisser Grenzen liegen, nach dem Gesetze der Stetigkeit sich ändere, nur soviel, daß, wenn x irgend ein solcher Wert ist, der Unterschied f{x —co) — f{x) kleiner als jede gegebene Größe gemacht werden könne, wenn man co so klein, als man nur ivill, annehmen kann.“ (Natürlich ist hier immer stillschweigend von den absoluten Beträgen die Rede.)

21.    Satz 5 dieser Nummer ist das Hauptthema von B. Bolzano’s soeben genannter Schrift. Der im Texte gegebene Beweis rührt her von A. Cauchy {„Cours d’analyse usw.“, S. 460 u. f., „Oeuvres“ a. a. O. S.378 u. f.). Wir benutzen die Gelegenheit, darauf hinzuweisen, daß in Nr. 21 auch der später implizite benutzte Satz hätte bewiesen werden müssen, nach dem eine in einem Intervalle stetige Funktion f{x) dort auch stets ein Maximum und ein Minimum hat. Den Beweis mag man z. B. bei A. Genocchi (1817—1889), „Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung“, hrsg. von G. Peano, deutsch von G. Bohlmann und A. Schepp, Leipzig 1899, S. 15, nachlesen.

22.    Zur Geschichte der Entwicklung des Grenzbegriffes und der Stetigkeit überhaupt sehe man A. Pringsheim, „Irrationalzahlen und

Konvergenz unendlicher Prozesse“, Enzyklop. d. math. Wiss. I A 3, S. 47 u. f., insbes. von S. 63 an, und „Grundlagen der allgemeinen Funktionentheorie“, ebenda II A 1, S. I u. f. Hier wollen wir noch erwähnen, daß

K. Weierstraß (in seinen Berliner Vorlesungen von 1861 an) zuerst die Lehre von den Funktionen mit einer bis dahin nicht erreichten Strenge systematisch entwickelt hat.

27.    Die Bezeichnung Ableitung oder Perivierte (fonction dérivée) hat ihre Wurzel in dem Worte derivare, das G. W. Leibniz in einem an

H. Oldenburg (ca. 1615—1677) gerichteten und für J. Newton bestimmten Briefe vom 21. Juni 1677 (siehe „Der Briefwechsel usw.“, l.Bd. S. 240 u. f., insbes. S. 243) gebrauchte. Es heißt dort: „Aequationem differentialem voco talem qua valor ipsius dx exprimitur, quaeque ex alia derivata est, qua valor ipsius x exprimebatur“. Diese Stelle ist auch deshalb interessant, weil hier zum ersten Male das Wort Differentialgleichung (vgl. Nr. 86) vorkommt.

Die Bezeichnung der Ableitung von fix) mit f ix) wurde durch J. L. Lagrange’s „Théorie des fonctions analytiques“, Paris 1797, 2. Aufl. 1813 (hier S. 18 u. f.) gebräuchlich.

In betretf der in Nr. 27 aufgestellten Forderung 5t sei bemerkt: Alle Versuche, zu beweisen, daß eine in einem Intervalle stetige Funktion daselbst, abgesehen von einzelnen Stellen, eine bestimmte endliche Ableitung habe, mißglückten. In seiner 1854 eingereichten Habilitationsschrift „Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Beihe“, siehe die Anmerkungen zu Nr. 6, stellte B. Biemann eine stetige Funktion fix) auf, die für keinen rationalen Wert von x eine Ableitung hat, wohl aber für jeden irrationalen i„Gesammelte Werke usw.“, 2. Aufl. S. 242 u. f.). Alsdann bildete K. Weierstraß eine stetige Funktion, die sogar nirgends eine Ableitung hat (in seinen Berliner Vorlesungen 1861, zuerst veröffentlicht von P. du Bois-Beymond im Journ. f. Math. 79. Bd. 1875, S. 29 u. f., vergl. auch H. A. Schwarz, „Gesammelte mathematische Abhandlungen“ 2. Bd. Berlin 1890, S. 269 u. f.). Jetzt kann man beliebig viele derartige Funktionen konstruieren.

28.    Unter dem Namen des Bolleschen Theorems kennt man den von

M. Bolle (1652—1719) in seinem „Traité d’algèbre“, Paris 1690, S. 125 u. f., aufgestellten, wenn auch nicht bewiesenen Satz. Bolle bedient sich dabei einer der Anschauung entlehnten Sprache, während wir seinen Satz heutzutage so formulieren können: Wenn cp ix) eine rationale ganze Funktion von x ist, die an den Grenzen x₀ und X eines Intervalles den Wert Null annimmt, gibt es mindestens eine Stelle im Innern des Intervalles, an der die Ableitung cp'ix) den Wert Null hat. Die Funktion cp ix) braucht aber nicht rational und ganz, sondern nur stetig zu sein. Der Mittelwertsatz ist demnach eine übrigens naheliegende Verallgemeinerung des Satzes von Bolle.

Man findet ihn in L. Lagrange’s „Théorie des fonctions analytique“ (Paris 1797, in der 2. Auflage 1813 auf S. 65 u. f. : „ce beau théorème nouveau et remarquable par sa simplicité et sa généralité“, zugleich mit der Verallgemeinerung, siehe Satz 19, Nr. 112).

Bl. Satz 10 in A. Cauchy’s „Leçons sur le calcul différentiel“, Paris 1829, S. 37.

32. Man datiert die Erfindung der Differentialrechnung und Integralrechnung (siehe Nr. 399), die man unter dem Namen der Infinitesimalrechnung zusammenfaßt, von J. Neiuton (1643—1727) und G. W. Leibniz (1646—1716, auch Leibnitz, lat. Leibnuzius, Leibnüzius, Leibnitius). Eigentlich aber bewegten sich viele Bestrebungen der Mathematiker schon seit Beginn des 17. Jahrhunderts in derselben Richtung, so daß als Vorläufer von Newton und Leibniz namentlich zu nennen sind (— geordnet nach den Geburtsjahren —): J. Kepler (1571—1630), Gregorio a St. Vincentio (1584—1667), B. Descartes du Perron (lat. Cartesius, 1596—1650), B. Cavalieri (1591 oder 1598—1647), P. de Fermat (1602—1665), G. Per-sonier (lat. Personerius, gen. Boberval, vgl. Nr. 9, 1602—1675), E. Torri-celli (1608—1647), J. Wallis (1616—1703), B. F. de Sluse (1622—1685), Bl. Pascal (1623—1662), J. Hudde (1628—1704), Chr. Huygens (1629 bis 1695), J.Barrow (1630—1677) und J. Gregory (1638—1675). Insbesondere beschäftigte man sich mit den folgenden vier Problemen und zwar teils in spezieller, teils in allgemeiner Auffassung: erstens mit dem Probleme der Maxima und Minima, zweitens mit der Bestimmung der Tangenten, drittens mit der Ermittelung von Flächeninhalten, Volumen und Bogenlängen, viertens endlich mit dem sogenannten umgekehrten Tangentenprobleme, nämlich mit der Aufgabe, aus einer als bekannt angenommenen Eigenschaft der Tangenten einer Kurve diese Kurve selbst zu ermitteln. Alles dies sind Aufgaben, deren systematische Lösung später durch die Methoden der Infinitesimalrechnung gegeben wurde; zum Teil sind sie bloß geometrische Einkleidungen der Grundaufgaben der Differential-und Integralrechnung.

Über den Anteil, den Newton und Leibniz an der Erfindung der Differential- und Integralrechnung haben, erhob sich noch bei Lebzeiten beider ein häßlicher Streit, der nicht frei von politischen Beeinflussungen war. Daß eine damals von der Londoner Royal Society aufgestellte Behauptung, wonach Leibniz als ein Plagiator erschien, irrig und auf nicht einwandfreiem Wege durch die dafür bestellte Kommission zustande gekommen war, steht namentlich infolge der gründlichen Quellenforschungen von C. J. Gerhardt (1816—1899) fest, siehe seine Schriften: „Die Entdeckung der Differentialrechnung durch Leibniz“, Halle 1848, und „Die Entdeckung der höheren Analysis“, Halle 1855. Vgl. auch die ausführliche Darstellung in M. Cantor’s „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 3. Bd. 2. Aufl. Wir zitieren hieraus das Endurteil (S. 328): „Es ist heute anerkannt, daß schon im siebzehnten Jahrhunderte die Infinitesimalrechnung so iccit vorbereitet war, daß ihr hauptsächlich eine einheitliche Sprache und eine Schrift fehlte. Beides hat Leibniz ihr selbständig gegeben, so wenig es ihm einfiel, in Abrede zu stellen, daß er auf den Schultern von Vorgängern stand, daß diese sich ausgiebig und erfolgreich mit Infinitesimalaufgaben beschäftigt hatten. Daß Newton nicht minder selbständig Ähnliches besaß, früher besaß als Leibniz, wird ebenso wenig geleugnet werden, aber sein Wort Fluxion kam erstmalig 1687 in den „Prinzipien“, seine Bezeichnung, in der er lange schwankte, erstmalig 1693 durch Wallis an die Öffentlichkeit, während Leibnizens Abhandlung von 1684 schon als Markstein in der Geschichte der Mathematik vorhanden war.“ Die Schriften, auf die hier angespielt wird, nennen wir nachher. Die Bezeichnung Fluxion hei Newton bedeutet im. Wesentlichen

dasselbe wie die Ableitung einer Funktion, die ihrerseits Fluente heißt. Die Bezeichnungen: Differential und Differentialquotient gehen auf Leibniz zurück. Auch rühren von ihm die treffenden Bezeichnungen dx, dy usw. für die Differentiale her.

Die Einsicht in Recht und Unrecht bei dem Prioritätsstreite wurde dadurch erschwert, daß dabei zum Teil solche Manuskripte und Briefe in Betracht kamen, die erst viel später im Drucke veröffentlicht wurden, aber doch schon kurz nach ihrer Entstehung mehr oder weniger allgemein bekannt waren.

Newton scheute vor Veröffentlichung seiner Entdeckungen zurück, obgleich er sich schon seit etwa 1665 mit der Fluxionenrechnung beschäftigte. In seinem berühmten Hauptwerke „Philosophiae naturalis principia mathematica“, Amsterdam 1687, hat er es vermieden, die neue Methode zu benutzen, obgleich die meisten Ergebnisse darin durch die Fluxionenrechnung gefunden wurden. Nur in einem Zusatze (dem Scholion nach Lemna II des 2. Buches) spricht er davon (wir geben die Übersetzung nach M. Cantor a. a. O. S. 203) : „In Briefen, welche ich vor etiva zehn Jahren mit dem sehr gelehrten Mathematiker G. W. Leibniz wechselte, zeigte ich demselben an, daß ich mich im Besitze einer Methode befände, nach welcher man Maxima und Minima bestimmen, Tangenten ziehen und ähnliche Aufgaben lösen könne, und zwar lasse sich dieselbe eben so gut auf irrationale wie rationale Größen anwenden. Indem ich die Buchstaben der Worte (ivenn eine Gleichung mit beliebig vielen Fluenten gegeben ist, die Fluxionen zu finden, und umgekehrt), welche meine Meinung aussprachen, versetzte, verbarg ich dieselbe. Der berühmte Mann antwortete mir darauf, er sei auf eine Methode derselben Art verfallen, die er mir mitteilte, und welche von meiner kaum iveiter abwich als in der Form der Worte und Zeichen“. Der noch vorhandene Brief von Newton an Leibniz, an die Mittelsperson H. Oldenburg gerichtet und vom 24. Okt. 1676 datiert (siehe „Der Briefwechsel usiv.“, 1. Bd. S. 203 u. f.) enthält in der Tat ein Anagramm, das gewiß seinen Zweck, Newtons Methode zu verbergen, vollkommen erfüllte. In der zweiten Auflage der „Prinzipien“ von 1714 erschien die zitierte Bemerkung mit einem kleinen Zusatze wieder, während sie in der dritten nach Leibnizem Tode erschienenen Auflage von 1726 durch eine ganz andere Bemerkung ersetzt wurde, in der der Name Leibniz gar nicht mehr vorkam.

Im Gegensätze zu Newton teilte Leibniz jenem sein eigenes Verfahren der Tangentenbestimmung offen in einem an ihn durch Vermittelung von Oldenburg gerichteten Briefe vom 21. Juni 1877 mit (siehe „Der Briefwechsel usw.“, S. 240 u. f.). Im Übrigen kommen für die Streitfrage namentlich in Betracht: Zunächst Newton³s Erstlingsschrift „De analysi per aequationes numéro terminorum infinitas“, vor 1669 verfaßt, aber erst gedruckt in den „Opuscula mathematica Newtonis“, hrgg. von G. Castillion, 3 Bände Lausanne 1744 (1. Bd. S. 3 u. f.), ferner die Abhandlung „Methodus fluxionum et serierum infinitarum“, die 1671 als Anhang zu einem fremden Werke erscheinen sollte, aber erst (ob unverändert oder ergänzt, steht dahin) nach Newton’s Tode 1736 in G. Colson’s englischer Übersetzung herauskam und von G. Castillion in den „Opuscula usw.“, 1. Bd. S. 31 u. f., ins Lateinische zurückübersetzt wurde. Alsdann die Abhandlung „De quadratura curvarum“, die 1704 erschien (in den „Opuscula usw.“ 1. Bd. S. 201 u. f., deutsch von G. Kowalewski als Nr. 164 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1908). Die erste Kenntnis von Newton’s Fluxionenrechnung erhielten seine Zeitgenossen 1693 durch Auszüge aus Briefen, die Newton am 27. Aug. und 17. Sept. 1692 an J. Wallis gerichtet hatte. Diese Auszüge wurden von Wallis in der Ausgabe seiner eigenen „Opera mathematica“, 2. Bd. Oxford 1693, S. 391 u. f., veröffentlicht (siehe auch „Opuscula math. Newtonis“ 1. Bd. S. 359 u. f.).

Yon Leibniz wären eigentlich zahlreiche kurze Schriften in den Leipziger Acta Eruditorum zu erwähnen. Die wichtigste hat den Titel : „Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus“, ActaErud. Leipzig 1684, S.467u.f. (abgedruckt in „Leibnizens mathematischen Schriften“, 5. Bd. S. 220 u. f., Neudruck in F. Giesel’s Programmschrift der Realschule 1. 0. zu Leipzig 1884, deutsch von G. Koivaleivski in Nr. 162 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1908). Dies ist die erste Veröffentlichung über die Differentialrechnung überhaupt, und darin treten schon die Differentialzeichen wie dx usw. auf. Nebenbei bemerkt erscheint hier auch zum ersten Male der Doppelpunkt als Divisionszeichen („ubi notetur me divisionem hic designare hoc modo, x : y, quod idem ac x

divis. per y seu "“"•“)⁴)• Auch der Name Differentialrechnung kommt

hier zuerst vor: „Ex cognito hoc velut Algoritmo⁵), ut ita dicam, calculi hujus, quem voco differentialem, . . Dagegen tritt das Integralzeichen f im Drucke zuerst in Leibniz’ Abhandlung „De geometria recon-dita et analysi indivisibilium atque infinitorum“, Acta Eruditorum 1686 („Leibnizens math. Schriften“, 5. Bd. S. 226 u. f.) auf. Aus den erhaltenen Manuskripten von Leibniz sieht man, daß er schon am 29. Okt. 1675 die neuen Zeichen d und f hatte (abgedruckt in dem Werke „Der Briefwechsel usw.“ 1. Bd. S. 151 u. f., insbes. S. 154): „Utile erit scribi fpro omn., ut fl pro omn. I, id est summa ipsorum l“, sowie: „Nempe ut f augebit, ita d minuet dimensiones. f autem significat summam, d differentiam“. Überhaupt hatte Leibniz ein besonderes Verständnis dafür, von welcher Wichtigkeit zweckmäßige Bezeichnungen sind. So sagt er gelegentlich in einem Briefe von 1678 an W. v. Tschirnhaus (1651—1708, siehe „Der Briefwechsel usw.“, S. 375): „In signis spectanda est commoditas ad

inveniendum, quae maxima est, quoties rei natur am intimant paucis exprimant et velut pingunt, ita enim mirifce imminuitur cogitandi labor“. In der Tat sind es die von Leibniz herrührenden, heutzutage allgemein gebräuchlichen Bezeichnungen, die, wie er hier mit Recht sagt, die innerste Natur der Begriffe mit wenigem ausdrücken und daher die Denkarbeit außerordentlich verringern. Dagegen werden die Newtonachen Bezeichnungen nirgends mehr angewendet. Von den Abhandlungen von Leibniz ist eine Auswahl in deutscher Sprache von G. Kowalewski im 162. Bande von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1908, herausgegeben worden.

Die Zweckmäßigkeit des Leibnizischen Algorithmus zeigt sich auch darin, daß seine Ideen die schnellste Verbreitung fanden und insbesondere die vielen neuen Ergebnisse zu Tage förderten, die wir den Brüdern Jacob Bernoulli (1654—1705) und Johann Bernoulli (1667—1748) verdanken.

Als das erste Lehrbuch der Differentialrechnung ist die „Analyse des infiniments petits, pour l’intelligence des lignes courbes“ des Marquis G. F. de l’Hospital (1661—1704) zu bezeichnen, Paris 1696 (weitere Auflagen 1716, 1720 und 1768). De l’Hospital war ein Schüler von Leibniz ; sein Buch dürfte manches Joh. Bernoulli verdanken. Es erschöpft den Gegenstand natürlich durchaus nicht. Das erste umfassende Lehrbuch sind

L. Euler’'s „Institutiones calculi differentialis“, 2 Bände Petersburg 1755. Wir zitieren daraus künftig nach der Übersetzung „Leonhard Eulers vollständige Anleitung zur Differentialrechnung“ von J. A. Chr. Michelsen (1749—1797), in 3 Bänden Berlin und Libau 1790—1793. Im Übrigen sei noch auf den Bericht von G. Bohlmann verwiesen: „Übersicht über die wichtigsten Lehrbücher der Infinitesimalrechnung von Euler bis auf die heutige Zeit“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 6. Bd. 1899, S. 93 u. f.

33. Die Idee der Differentiation einer Funktion von einer Funktion steckt in spezieller Anwendung schon in Newton’s „Methodus fluxionum“, siehe „Opuscula usw.“ 1. Bd. S. 57 u. 58.

34—30, 38. Siehe Leibniz’ „Nova methodus usw.“ von 1684, insbes. zu Nr. 38, 39 auch einen Brief von 1677, vgl. „Der Briefwechsel usw.“, S. 242.

41. Die Regel des Satzes 21 in Worten in Euler’s „Vollständiger Anleitung zur Differentialrechnung“, 1. Band, S. 146 (§ 170), allerdings nur für algebraische Funktionen, alsdann allgemein S. 183 (§ 213) und weiterhin. Über das Zeichen d statt d näheres bei Nr. 66.

45. Die Formel

1-2-3

war Daniel Bernoulli 1728 bekannt, siehe „Correspondance mathém. et phys. de quelques célèbres géomètres du X VIII. siècle“, hrgg. von P. H. Fuß,

1. Bd. Petersburg 1843, S. 246. L. Euler machte sie zur Grundlage der Theorie der Exponential- und logarithmischen Funktionen, siehe insbes. seine „Introductio“ 1. Bd. S. 85 u. f. Allerdings genügen seine Betrachtungen nicht den heutigen Anforderungen an Strenge. Exakt bewiesen wurde die Formel z. B. von J. A. Grunert (1797—1872) im Archiv f. Math. 1. Bd. 1841, S. 204 u. f.

Die Bezeichnung e rührt von L. Euler her, siehe seine Abhandlung „Variae Observationen circa séries infinitas“, Comment. Acad. Petropol. ad annum 1739, 9. Bd. Petersburg 1744, S. 160 u. f., insbes. S. 187 : „posito epro numéro cujus logarithmushyperbolicus est 1“, sowie die „Introduction, 1. Bd. S. 90: „Ponamus autem brevitatis gratia pro numéro hoc 2,718281828459 etc. constanter litteram e“. Nebenbei sei bemerkt: Auch das Zeichen n ist erst durch Euler gebräuchlich geworden (siehe die vorhin genannte Abhandlung von 1739, S. 165), obgleich es schon einmal von W. Jones (1675—1749) in seiner „Synopsis palmariorum matheseos“ 1706, S. 243, 263 u. f., gebraucht worden war.

47. Älter als der Logarithmenbegriff ist die charakteristische Beziehung, die zwischen den Numéris und ihren Logarithmen besteht: Bilden die Numeri eine geometrische Progression, so bilden die Logarithmen eine arithmetische. Schon N. Chuquet ordnete in seinem 1484 zu Lyon geschriebenen und bekannt gewordenen, aber nicht gedruckten Werke „Le triparty en la science des nombres“ die Glieder zweier derartiger Progressionen einander zu, und M. Stifel hob in seiner „Arith-metica integraNürnberg 1544, den Nutzen dieses Entsprechens hervor. Das Verdienst, das eigentliche logarithmische Rechnen eingeführt zu haben, müssen wir aber dem Engländer J. Neper (auch Napier, Napeir, Napair genannt, lat. Neperus, 1550—1617) zuschreiben. Auch rührt von ihm der Name Logarithmen her. Die erste Logarithmentafel ist in seiner „Descriptio mirifici logarithmorum canonis“, Edinburg 1614, enthalten. Über die Art, wie diese Tafel zustande gekommen war, gibt die früher verfaßte, aber erst nach Neper’s Tode erschienene „Gonstructio“ von 1619 Auskunft. Neper’s Gedankengang ist in moderner Ausdrucksweise etwa dieser: Eine Strecke von der Länge 10000000 wird von einem Punkte so durchlaufen, daß er in jeder Zeiteinheit ein Zehnmilliontel des noch zu erledigenden Weges zurücklegt. Bezeichnet x den nach y Zeiteinheiten noch übriggebliebenen Weg, so ist also:

x = 10⁷

Die Zahlen y heißen die Logarithmen der Zahlen x. Man sieht: Während y die zunehmende arithmetische Progression 1, 2, 3, . . . durchläuft, nimmt x nach und nach die Werte in einer abnehmenden geometrischen Progression an. Setzen wir

a,

so kommt:

io?

oder

y -«w *

-- loS j0⁷ ’

w~a

d. h. die mit Zehnmillionen dividierten Zahlen x und y sind diejenigen, die wir die Numeri und Logarithmen mit der Basis a nennen. Da 107 sehr groß ist, wird a nach Nr. 46 nahezu gleich

10⁷

Die Basis der Neperschen Logarithmen ist somit nahezu gleich 1 : e.

Näheres über die Art, wie Neper seine Tafeln berechnete, mag man in

M. Cantor’s „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 2. Bd. 1900, S. 730 u. f., nachlesen. In dem der „Constructio“ hinzugefügten „Appendix“ wird über den Fall gesprochen, wo die Zahl Eins den Logarithmus Null und die Zahl 10 oder 1 : 10 den Logarithmus Eins hat. Es wurden jedoch keine derartigen Logarithmen wirklich berechnet. Dieser „Appendix“ dürfte das gemeinsame Eigentum von Neper und H. Briggs (1556 bis 1630) sein. Weil Briggs 1617 die von ihm selbst berechnete „Lo-garithmorum chilias prima“ mit der Basis 10 in acht Dezimalstellen herausgab, ist er als der Erfinder der gewöhnlichen Logarithmen zu bezeichnen. Sieben Jahre später ließ er eine „Arithmetica logarithmica“ mit den vierzehnstelligen gewöhnlichen Logarithmen der Zahlen von 1 bis 20000 und von 90000 bis 100000 erscheinen. Frühzeitig trat die irrtümliche und bis in die Neuzeit erhaltene Meinung auf, daß Neper die Logarithmen mit der Basis e (statt mit der Basis 1 : e) berechnet habe, so schon bei E. Halley (1656—1742) in einer Abhandlung über die Logarithmenberechnung in den Philosophical Transactions 19. Bd. 1695, S. 58 u. f.

Andererseits hatte in Deutschland J. Bürgi (auch Bürgi und Byrgi geschrieben, 1552—1632 oder 1633) und zwar vermutlich im ersten Jahrzehnte des 17. Jahrhunderts ein Tafelwerk berechnet, das aber erst 1620 in Prag gedruckt wurde: „Arithmetische und Geometrische Brogreßtabuln, sanibt gründlichen unterricht, wie solche nützlich in allerley Rechnungen zu gebrauchen und verstanden werden sol“. Dies Tafelwerk ist in zwei Farben gedruckt, die schwarzen Zahlen bilden eine geometrische, die roten eine arithmetische Progression, und nach den roten ist die Tafel geordnet. Die roten Zahlen beginnen mit 0, 10, 20 usw., die schwarzen mit

100000000,    100010000,    100020001 usw.,

d. h. 10 ist die konstante Differenz und 1,0001 der konstante Quotient der ersten bzw. zweiten Progression. Nennen wir die rote Zahl x und die zugehörige schwarze y, so haben wir hier:

Da der Inhalt der eckigen Klammer nahezu gleich der Zahl e ist, kommt also angenähert:

y — 10⁸ e¹⁰

oder

10⁶

d. h. die mit 100000 dividierten Zahlen x von Bürgi sind nahezu die natürlichen Logarithmen der mit lOOOOOOOO dividierten Zahlen y.

Über die weitere Entwicklung der Logarithmentafeln siehe M. Gantor, „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 2. Bd. 2. Aufl. 74. Kap. Bei Satz 25 ist auf Joh. Bernoulli’s „Additamentum effectionis quadra-turarum et rectificationum per seriem quandam generalissimam“ in den Acta Eruditorum von 1694 (siehe auch „Opera“, 1. Bd. S. 125 u. f.) zu verweisen.

38

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integral-Rechnung. II. 4. u. 5. Aufl.

48—50. Allgemein hat schon Leibniz die Funktion u (x)® ⁽'T) in den Acta Eruditorum 1695 differenziert, siehe „Leibnizem mathematische Schriften“, 5. Bd. S. 325.

51. Die aus der geometrischen Natur der trigonometrischen Kurven bekannten Differentiationsregeln für die goniometrischen Funktionen brachte B. Cotes (1682—1716) in seiner „Aestimatio errorum usw“, 1722 aus dem Nachlasse gedruckt, auf ihre knappe Form.

56—58. Der Name und die allgemeine Theorie der Funktionaldeterminanten rühren von C. G. J. Jacobi (1804—1851) her: „De determinan-tibus functionalibus“, Journal f. Math. 22. Bd. 1841, S. 319 u. f. (auch „Gesammelte Werke“, Berlin 1881—91, 3. Bd. S. 393 u. f., sowie deutsch von P. Stöckel als Nr. 78 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1896).

¹

{Im Original steht f(u) -)- Jabs. [f'(#)] dx.}

²

{Im Original steht §17.}

³

Die Zahlen beziehen sich auf die Nummern in der vierten und fünften Auflage. Beim ersten Bande sind sie dieselben wie in der dritten Auflage.

⁴

Auch der Punkt als Multiplikationszeichen wurde zuerst von Leibniz angewandt und zwar in einem Briefe vom 28. April 1693 an den Marquis G. F. de l’Hospital („Leibnizens mathematische Schriften“ 5. Bd. S. 209 u. f.). Ferner verdanken wir ihm die Indizes 1, 2, 3, . . . als Stellenzeiger, nur schreibt er statt ax, ai, as ... in der heute nicht mehr gebräuchlichen Weise ₂a, sa, . . ., nämlich in der Abhandlung „Compendium quadraturae arithmeticae“, die vermutlich von 1676 stammt und handschriftlich erhalten ist („Leibnizens mathematische Schriften 5. Bd. S. 100).

⁵

Das Wort Algorithmus, das zu Leibnizens Zeiten längs als Bezeichnung für besondere Rechnungsarten gebräuchlich war, ist durch Verstümmelung des Namens Alchwarizmi, eines arabischen Mathematikers des 9. Jahrhunderts, entstanden. Siehe AI. Cantor „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 1. Bd. 3. Aufl. Leipzig 1907, S. 714.

59. Höhere Differentiale treten schon in Leibniz’ „Nova methodususiv.“ von 1684 auf.

64. Die partielle Differentiation wurde von L. Euler in seiner „Vollständigen Anleitung zur Differentialrechnung“ im 1. Bande von S. 180 an (von § 208 an) behandelt. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung einer Funktion V von x und y bezeichnete er mit P und Q, dagegen die von P nach y bzw von Q nach x mit

(dP\

\dy)

Vd x) '

und

siehe S. 197, 198 (§ 231). S. F. I^acroix (1765—1843) verbreitet sich in seinem „Traité du calcul différentiel et du calcul intégral“ (in 3 Bänden

2. Aufl. Paris 1810—1819, insbes. 1. Bd. S. 243 u. f.) ausführlich über die von verschiedenen Autoren gebrauchten Bezeichnungsarten, wobei er bemerkt, daß Lagrange für die Ableitungen, die wir heutzutage mit

dz    dz d²z d²z d²z

dx ' dy ' cx² ' dy² ' dxdy

bezeichnen, die Symbole

f\xiy)i f,y)i t"(x,y), f„(x,y), f'{x,y)

gebraucht oder auch die Symbole

/», f(y), f», r(y), f'\x,y),

wogegen er im Hinblicke auf partielle Ableitungen von noch höherer Ordnung ein wendet: „De quelle quantité de parenthèses très - resserrées ne faudrait-il pas charger les calculs, en suivant cette marche? Les accens,. dont le nombre devient bientôt assez difficile à saisir, sont-ils aussi coin-modes que les exposons de la caractéristique d? Enfin, quand on veut représenter plusieurs fonctions à-la-fois, ne faut-il pas introduire d'autres signes que la lettre f? Il paraît que cette dernière considération a engagé M. Lagrange à modifier de nouveau sa notation, en affectant aux coeffi-ciem différentiels du premier et du second ordre de la fonction Z, dépendante des trois variables x, y et z, les signes suivons:

(£)• ( -)• (f)-

( ;), ( ;). (£). (£). (£)•

(Note X de la „Résolution des équations numériques“) . . . Mais il faut surtout remarquer, que la quatrième notation de M. Lagrange présente pour chaque coefficient différentiel le même nombre de signes que celle d’Euler et celle de Waring, le premier analyste qui ait transporté en Angleterre le calcul des différentielles partielles. Voici un exemple de ces trois notations placées dans l’ordre de leurs dates-.

(éÂy)’ (Ą)’ (^y)’

Dans la seconde, qui est celle de Waring, les points adoptés par Neivton et par tous les Géomètres anglais, ont pris la place des d, dont s’est servi Leibnitz, et tous les Géomètres du continent, sortis de son école.“ (S. 245, 246.) Lacroix bezieht sich hier auf die „Meditationes analyticae“, Canter-bury 1776 u. später, von E. Waring (1734—1798). Im Jahre 1786 hat A. M. Legendre (1752 — 1833) in der Abhandlung „Sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le calcul des variations“, Histoire de l’Académie, année 1786, Paris 1788, S. 8, bei den partiellen Ableitungen das runde d statt des geraden d benutzt. Er blieb ohne Nachahmer, und es wurde in Frankreich Brauch (noch bis zur letzten Hälfte des 19. Jahrhunderts), die partiellen Ableitungen gerade so wie die gewöhnlichen zu schreiben. In Deutschland dagegen bürgerte sich die von C. G. J. Jucobi 1841 in seiner Abhandlung „De determinantibus functio-nalibus“ (S. 320 des Originaldruckes, siehe Anmerkung zu Nr. 56—58) von neuem eingeführte Schreibweise mit dem runden d schnell ein. Siehe auch seine „Dilucidationes de aequationum differentialium vulgarium syste-matis earumque connexione cum aequationibus differentialibus linearibus primi ordinis“, Journal f. Math. 23. Bd. 1842, S. 4 („Ges. Werke“ 4. Bd. S. 152). Diese Schreibweise ist jetzt allgemein gebräuchlich. A. Cauchy bezeichnete die partielle Ableitung einer Funktion u nach einer Veränderlichen x mit Dx(u), siehe „Exercices d’analyse et de physique mathématique“, 4 Bände 1839—1847, 3. Bd. (1844), S. 16.

65. Der durch fXy — fyx ausgedrückte Satz tritt zuerst in L. Euler’s Abhandlung „De infmitis curvis ejusdem generis“ auf (Commentarii Acad. Petrop. ad annos 1734 et 1735, 7. Bd. S. 174 u. f., insbes. S. 177). Sein Beweis in der „Vollst. Anleitung zur Differentialrechnung“, 1. Bd. S. 193 (§ 226), ist wie alle älteren Beweise rein formal und daher nicht stichhaltig. Die Voraussetzungen, in Folge deren die Reihenfolge der partiellen Differentiationen einerlei ist, wurden erst von H. A. Schivars in den Verhandlungen der Schweizerischen Naturf. Gesellsch. 56. Bd. 1873, S. 239 u. f. streng untersucht (s. a. „Gesammelte mathematische Abhandlungen“, 2. Bd. Berlin 1890, S. 275 u. f.). Insbesondere zeigte er, daß es genügt, die Stetigkeit von fx, fy und fXy allein vorauszusetzen. Alsdann hat

J. Thomae in seiner „Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale“, Halle 1875, S. 22, bewiesen, daß es ausreicht, nur die Stetigkeit von fx und fxy zu fordern. Schließlich hat U. Dini die Voraussetzungen noch weiter eingeschränkt in seinen „Lezioni di analisi infinitesimale“, 1. Bd. Pisa 1877, S. 122 u. f. Ältere Literatur findet man bei H. A. Schwarz a. a. 0. und eine zusammenfassende Darstellung bei 0. Stolz (1842 bis 1905) in seinen „Grundzügen der Differential- und Integralrechnung“ 1. Bd. Leipzig 1893, S. 146 u. f. Einen einfacheren Beweis des Satzes

38*

von Thomae gab A. Timpe, Math. Ann. 65. Bd. 1908, S. 310 u. f. In dem bei Nr. 21 erwähnten Werke von A. Genocchi und G. Peano findet sich auf S. 161 das Beispiel

f=xy

x³ — y²

+ y%

einer Funktion, die an der Stelle x — 0, y — 0 zwar stetig ist, für die * aber dort f*y — — 1 und fyx — ~j- 1 ist.

77—80. Eine wesentliche Ergänzung dieser Betrachtungen stellen die Nrn. 693—699 des 3. Bandes dar, wo die Existenzbeweise für unentwickelte Funktionen und ihre Ableitungen gegeben werden. Hier kommt dagegen zunächst die Abhandlung von C. G. J. Jacobi: „De determinan-tibus functionalibus“ (1841) in Betracht, die bei Nr. 56—58 angeführt wurde. Zur Vorgeschichte der Funktionaldeterminante (siehe Nr. 80) verweisen wir auf die Ausführungen von P. Stachel, S. 60 und 81 der deutschen Ausgabe in Nr. 78 von Ostwalds Klassikern.

81. Jacobi hob selbst hervor (S. 328 des Originals, S. 15 der Klassiker-Ausgabe), daß die Funktionaldeterminante eine Verallgemeinerung des Begriffes des Differeutialquotienten ist. Satz 5 des Textes ebenda S. 340 (bzw. S. 31), wo Jacobi auf die Analogie mit der Formel

dz dy _ dz dy dx dx

hinweist, und Satz 6 des Textes ebenda S. 337 (bzw. S. 27). Um die Analogien besser hervortreten zu lassen, hat W. F. Donkin die Funktionaldeterminante von n Funktionen yx, y₂, . . . yn von n Veränderlichen xt, x₂, . . . xn mit

d(xt, x₂, . . . xn)

bezeichnet, siehe „On a dass of differential équations, including those which occur in dynamical problems“, Philosophical Transactions Bd. 144 (1854), 1. Teil S. 71 u. f., insbes. S. 72.

86—88. Siehe L. Euler’s „Vollständige Anleitung zur Differentialrechnung“, 1. Bd. S. 250 u. f. (§ 289 u. f.)

91. Der Name der homogenen Funktionen wurde 1726 von Joh. Bernoulli in der Abhandlung „De integrationibus aequationum differentialium“ eingeführt (Commentarii Acad. Petropolitanae 1. Bd., siehe auch „Opera“

3. Bd. S. 108 u. f.): „p et q désignant functiones rationales et homogeneas indeterminatarum x et y utcumque inter se complicatarum atque permix-tarum, modo indeterminatae in singulis terminis eandem habeant exponen-tium summam propter quod functiones, quae ita sunt comparatae, . . . voco homogeneas“ (in § IX). Hier handelte es sich um rationale Funktionen. Dann heißt es bei L. Euler in der „Introductio in analysin in-finitorum“, 1. Bd. 1748, S. 64: „Natura functionum homogenearum quoque ad expressiones irrationales extenditur.“ Von transzendenten homogenen Funktionen ist hier noch nicht die Rede. Wohl aber tritt auf S. 65 das allgemeine Kennzeichen auf: „Si fuerit V functio homogenea n dimen-sionum ipsarum y et z, in eaque ponatur ubique y — uz, functio V abibit in productum ex potestate zn in functionem quandam variabilis u“. Der Satz 9 des Textes findet sich für den Fall von zwei Veränderlichen in

Euler’'s „Vollständiger Anleitung zur Differentialrechnung“ 1. Bd. S. 190 (§ 222).

93. Das Wort Parameter benutzte G. W. Leibniz ursprünglich nur für Konstanten, die in einer Gleichung zwischen Yeränderlichen Vorkommen (in einer geschriebenen Arbeit „Compendium quadraturae arith-meticae“, siehe „Leibnizem Schriften usw.“ 5. Bd. S. 103 : „Parameter est recta constans aequationem ingrediens“). Beim Problem der Einhüllenden einer Kurvenschar (siehe Nr. 210—212), mit dem sich Leibniz in der Abhandlung „De linea ex lineis numéro infinitis ordinatim ductis inter se concurrentibus formata easque omnis tangente“ (Acta Eruditorum 1692, „Leibnizem Schriften usw.“, 5. Bd. S. 266 u. f.) beschäftigte, traten aber Parameter auf, die von Kurve zu Kurve andere, also veränderlich waren. Heutzutage braucht man das Wort Parameter teils für willkürliche Konstanten, teils für Hilfsveränderliche.

Von L. Euler wurden Hilfsveränderliche bei der Betrachtung verschiedener spezieller Kurven in der „Introductio in analysin infinitorum“ (1748) benutzt. Die allgemeine Parameterdarstellung wie unter (1) des Textes dürfte sich zuerst bei den Raumkurven und erst später bei den Kurven in der Ebene eingebürgert haben.

100.    A. M. Legendre in der Histoire de l’Académie 1787, Paris 1789, S. 314. Auf die Bedeutung der Legendre'sehen Transformation wird in Nr. 890 eingegangen.

101.    Der Kunstausdruck konvergent wurde von J. Gregory in dem Werke „Vera circuli et hyperbolae quadratura“, Padua 1667 (abgedruckt in den „Opera varia“ von Chr. Huygens, hrsg. von s’Gravesande, Leiden 1724, 2. Bd.), eingeführt. Es handelte sich da um die endlose Folge der Flächeninhalte der einem Kreise umschriebenen oder eingeschriebenen regelmäßigen Vielecke mit wachsenden Seitenzahlen, und schon in der Vorrede heißt es, es entstehe eine „séries polygonorum convergens, cujus terminatio est circulas“. Im 17. und 18. Jahrhundert beschäftigte man sich vielfach mit speziellen unendlichen Reihen; ab und zu wurde dabei ihre Konvergenz durch besondere Schlüsse bewiesen, aber es fehlte eine Definition der Konvergenz, und man hatte keine deutliche Vorstellung davon, daß man mit divergenten Reihen nicht rechnen darf. Niclaus Bernoulli (1687—1759), ein Neffe von Jakob und Johann Bernoulli, spricht z. B. in einem Briefe an Leibniz von 1713 (siehe „Leibnizem Schriften usw.“, 3. Bd. S. 982 u. f.) von der Divergenz einer Reihe, ohne zu sagen, was er darunter versteht. In seiner Antwort vom selben Jahre (ebenda S. 985) braucht dagegen Leibniz die Bezeichnung advergente Reihe statt konvergenter Reihe und drückt sich schon ziemlich klar aus, indem er sagt: „Illud certum est, quoties quantitas est impossibilis, seriem non posse esse adverg entern, seu talem, quae tamdiu continuant possit, ut a quantitate aliqua finita possibili différât quantitate minore quam sit data: alioquin enim utique possibili Uli finitae aequabitur. Etsi autem non possit pro certo dici, vice versa seriem non advergentem exprimere quantitatem fini-tam impossibilem, cum fortasse infinitam exprimere possit.“ Unter einer quantitas impossibilis wird dabei eine imaginäre Größe verstanden.

N. Bernoulli hatte nämlich von der Reihe

~¹ + kx +

2-4

x* +

2.476* +"•

gesprochen, deren linke Seite für x )> 1 doch offenbar imaginär ist. (Es ist dies ein Spezialfall der Binominalreihe, siehe (4) in Nr. 125 für n = —    ) Im wesentlichen wird Leibniz hiernach die Definition des

Textes in Nr. 101 vorgeschwebt haben. Euler dagegen stand auf dem Standpunkte, daß man mit Reihen immer rechnen dürfe, gleichviel ob sie konvergieren oder divergieren: „Summa cujusque seriei est valor ex-pressionis illius finitae, ex cujus evolutione ilia sériés oritur.“ (Siehe Euler’'s Brief an Chr. Goldbach von 1745 in der „Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XV 111. siècle“, hrgg. von P. H. Fuß, 2 Bände Petersburg 1743, 1. Bd. S. 323 u. f.). Zu dem Einwande von Niclaus Bernoulli, daß man nach dieser Definition auf verschiedenenWegen zu verschiedenen Summen divergenter Reihen kommen könnte, bemerkte Euler: „ich glaube aber geiviß zu seyn, daß nimmer eben dieselbe séries aus der Evolution zweyer wirklich verschiedener ex-pressionum fmitarum entstehen könne“. Man hat hierbei zu beachten, daß es sich für Euler immer nur um solche Reihen handelte, die durch bestimmte Rechenoperationen aus vorgelegten Funktionen hervorgehen. In seiner Abhandlung „Be seriebus divergentibus“ (Novi Comment. Acad. Petropol ad annum 1754 et 1755, 5. Bd. Petersburg 1760, S. 205 u. f.) erklärte er im ersten Paragraphen konvergente Reihen als solche, deren Glieder fortwährend abnehmen und schließlich verschwinden. Daß dies nicht genügt, zeigt das in Nr. 103 nach Satz 4 gegebene Beispiel. Euler kommt weiterhin in derselben Arbeit auf seine obenerwähnte Definition der Summe einer jeden konvergenten oder divergenten Reihe zurück. Dagegen sprach sich G. Gramer (1704—1752) in seiner „Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques“, Genf 1750, S. 174, im Wesentlichen wie Leibniz aus. — Bei dieser Gelegenheit machen wir auf B. Beiff's wertvolle „Geschichte der unendlichen Reihen“, Tübingen 1889, aufmerksam.

Die endlose geometrische Progression wurde zuerst von Nicolaus Mercator (eigentl. Kaufmann, gest. 1687, nicht zu verwechseln mit dem Kartographen Gerhard M.) in seiner „Logarithmotechnia sive methodus construendi logarithmos nova, accurata et facilis“, London 1668, durch fortgesetzte Partialdivision 1 : (1 -f- a) gewonnen. Nie. Bernoulli bemerkt in einem Briefe von 1743 an L. Euler (siehe „Correspondance usw.“ von P. H. Fuß, 2. Bd. S. 701 u. f.), es wäre nicht etwa

sondern

₁hc=1+x+xt + "

'/

00 + 1

Es ist klar, was er damit gemeint hat.

102. Ein Kennzeichen der Konvergenz wurde von keinem Mathematiker des 18. Jahrhunderts aufgestellt. Der Satz 2 des Textes findet sich vielmehr erst bei B. Bolzano in seiner bei Nr. 20 erwähnten Abhandlung von 1817: „Bein analytischer Beweis des Lehrsatzes usw.“, S. 32 (in Nr. 153 von Ostwalds Klassikern S. 19, 20): „Unter diesen (nämlich Reihen) ist besonders merkwürdig die Klasse derjenigen Reihen, welche die Eigenschaft besitzen, daß die Veränderung (Zu- oder Ab-■nähme), welche ihr Wert durch eine auch noch so weit getriebene Fortsetzung ihrer Glieder erleidet, immer kleiner verbleibt als eine gewisse Größe, die wieder selbst so klein, als man nur immer wHl, angenommen werden kann, wenn man die Reihe schon vorher iveit genug fortgesetzt hat“, ferner auf S. 35: „Lehrsatz. Wenn eine Reihe von Größen

n + r

Fx, Fx, Fx, . . . Fx, . . . Fx von der Beschaffenheit ist, daß der Unterschied zwischen ihrem

n    n + r

nten Gliede Fx und jedem späteren Fx,

sei dieses von jenem auch noch so iveit entfernt, kleiner als jede gegebene Größe verbleibt, w:nn man n groß genug angenommen hat: so gibt es jedesmal eine gewisse beständige Größe, und zwar nur eine, der sich die Glieder dieser Reihe immer mehr nähern und der sie so nahe kommen können, als man nur will, wenn man die Reihe iveit genug fortsetzt.“

n

Hierbei bedeutet Fx dasselbe wie Sn im Texte.

Da die Abhandlung von B. Bolzano seinerzeit kaum bekannt wurde, schrieb man sonst dies Merkmal A. Cauchy zu, der es im wesentlichen in der Tat auch aufstellte, aber erst 1821 im „Cours d’analyse de l’école polytechnique“ (vgl. Nr. 13), S. 125 {„Oeuvres complètes“ 2. Serie, 3. Bd. S. 116).

103. Daß die Summe der sogenannten harmonischen Reihe

to| M-

iH | CO

iH j

tH g

jede Zahl übersteigt, zeigte Jacob Bernoulli 1689 wie im Texte, siehe die „Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis eorumque summa finita“ („Jacobi Bernoulli Basileensis Opera“, Genf 1744, 1. Bd. S. 373 u. f., insbes. S. 392, übersetzt von G. Kowalewski in Nr. 171 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1909, S. 17 u. f.). Er bemerkte dabei, daß sein Bruder Johann zuerst bewiesen habe, daß die Summe unendlich groß sei (vgl. Joh. Bernoulli’s „Opera“, 4. Bd. S. 8).

104.    Satz 8 wurde von A. Cauchy 1821 aufgestellt und bewiesen in dem bei Nr. 13 erwähnten „Cours d’analyse usiv.“, S. 142 {,,Oeuvres“ a. a. O. S. 129), dagegen Satz 9 schon 1714 von G. W. Leibniz in einem Briefe an Joh. Bernoulli, siehe „Leibnizem Schriften“ 3. Bd. S. 926.

Der Ausdruck unbedingt konvergent stammt von K. Weierstraß, Journal f. Math. 51. Bd. 1856, S. 41, wenigstens nach der Vermutung von A. Pringsheim, dessen Artikel „Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse“ im 1. Bande 1. Teil der Enzyklopädie der math. Wissenschaften, Leipzig 1898, S. 47 u. f., wir auch hier anführen, weil er eine zusammenfassende Darstellung des gegenwärtigen. Standes der Lehre von der Konvergenz enthält.

105.    Die Sätze dieser Nummer rühren im wesentlichen von A. Cauchy her, siehe „Cours d’analyse usw.“, 6. Kap. {„Oeuvres“ a. a. O. S. 114 u. f.) Die Fälle, in denen die Reihe des Beispiels konvergiert oder divergiert, wurden zuerst von E. Waring in seinen „Meditationes analyticae“, Canter-bury 1781, angegeben.

Dies soll der Wert sein, den eine Funktion x von z annimmt, wenn z um v wächst. Die Newtonschen Fluxionssymbole

«¹•1 H-

:x

sind in der Tat nichts anderes als die Ableitungen x', x'\ x , . . . von x nach z. Abgeleitet hat Taylor die Formel dadurch, daß er die Gleichung

f(z -\- n A z) = f{z) ;f- -y- Af(z) -f-

108. Die am Schlüsse aufgestellte Behauptung bewies B. Riemann 1854 in seiner bei Nr. 6 erwähnten Habilitationsschrift (siehe „Ges. Werke usw.“ 2. Aufl. S. 235).

100. Satz 16 wurde zuerst ausdrücklich bewiesen von W. Scheibner (1826—1908), „Über unendliche Reihen und deren KonvergenzGratulationsschrift Leipzig 1860, S. 11.

110. Satz 17 bei A. Cauchy, „Cours d’analyse usic.“, S. 147 („Oeuvres“ a. a. O. S. 132 u. f.).

112. Nach einem Ausspruche von S. L'Huilier in seiner bei Nr. 15 erwähnten Schrift scheint es, daß die Bezeichnung der Reihe (5) als Taylorscher Reihe schon im Jahre 1786 gebräuchlich war. Sie steht in dem Werke von Br. Taylor (1685—1731): „Methodus incrementorum directa et inversa“, London 1717, auf S. 23 in der Form:

x + x-^ + 'x

Ï. 2i¹

+¹•

vs

1.2. Si¹

etc.¹)

n(n — 1)

1 • 2

worin Af(z), A-f(z), Asf(z), . . . Anf(z) die Differenzen erster, zweiter bis wtcr Ordnung von f(z) bei Annahme des Inkrementes Az bedeuten (vgl. Nr. 63), auf den Fall limn = oo ausdehnte, wobei lim nAz = v eine endliche Größe bleibt, indem Az nach Null strebt.

Anwendungen hat Taylor in seinem Werke nicht gemacht, und natürlich hat er auch keinerlei Bedenken über die Ausdehnung der Reihe bis ins Unendliche geäußert.

Im Grunde genommen steckt die Taylorsche Reihe schon in der Entwicklung, die Joh. Bernoulli 1694 in seinem bei Nr. 47 genannten „Additamenturn usw.“ für ein Integral gegeben hat und die in Br. Taylor’s „Methodus incrementorum“ auf S. 38 mit einer allerdings etwas exakteren Herleitung wiederkehrt. Auf den gegen ihn in den Acta Eruditorum von 1721 gemachten Yorwurf, hier Joh. Bernoulli nicht genannt zu haben, hat Taylor geschwiegen.

Was das Restglied betrifft, so sei zunächst bemerkt, daß L. Euler es die Mantisse nennt (in seiner bei Nr. 101 genannten Abhandlung „De seriebus divergentibus“), ferner, daß L. Lagrange, als er das Restglied in seiner „Théorie des fonctions analytiques“, Paris 1797, aufstellte, es keineswegs zur Konvergenzuntersuchung (vgl. Satz 20) haben wollte, sondern nur, um eine Schranke für den Restbetrag zu bekommen: „Mais pour notre objet, il importe moins de connaître les restes exacts de la série développée jusqu'à un terme quelconque,, que d'avoir des limites de ces restes pour pouvoir apprécier Terreur qu'on peut commettre en ne tenant compte que de quelques-uns des premier termes“ (2. Auflage 1813, S. 63). In der Tat ist dies hei den praktischen Anwendungen zumeist der einzige Zweck der Betrachtung des Restgliedes. Darauf hat neuerdings wiederholt F. Klein hingewiesen, z. B. in „Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie, eine Revision der Prinzipien“, autograph. Vorlesung, ausgearb. von C. Müller, Leipzig 1902, S. 109 u. f. Das Restglied (4) steht bei Lagrange in der 2. Aufl. von 1813 auf S. 67 u. f. Er hat es auf anderem Wege als im Texte, nämlich mittels Integration gefunden, während A. M. Ampere (1755—1836) es in seinen „Leçons sur le calcul des fonctions“ (Journal de l’école polytechnique cah. 12, 1805) als eine Folge der Mittelwertsätze erhielt.

113.    Siehe A. Cauchy's „Résumé des leçons données à l’école royale pohjtechnique sur le calcul infinitésimal“, 1. Bd. Paris 1823, S. 147 u. f., und „Exercices de mathématiques“, 1. Band 1826, S. 27 u. f.

114.    Vgl. hierzu die über Br. Taylor’s Methode bei Nr. 112 gemachten Bemerkungen.

115.    Das Beispiel e x2 benutzte schon A. Cauchy in dem soeben genannten „Résumé usw.“ S. 152, um zu zeigen, daß es nicht genügt, bloß die Konvergenz der Taylorschen Reihe festzustellen.

116.    C. Maclaurin (1698—1746) leitete in seinem „Treatise of fluxions“, Edinburg 1742, S. 610 u. f., die nach ihm benannte Reihe einfach dadurch ab, daß er F{x) gleich einer nach steigenden ganzen positiven Potenzen von x fortschreitenden Reihe setzte, sie wiederholt differenzierte und alsdann mittels der Annahme x — 0 aus den gewonnenen Reihen die Koeffizientenwerte ermittelte. Er erklärte selbst, daß sich seine Reihe schon in Br. Taylor’s „Methodus incrementorum“, siehe Nr. 112, finde.

117.    Die Exponentialreihe wurde von J. Newton in der bei Nr. 32 genannten Abhandlung „De analysi per aequationes usw.“ (j,Opuscula Newtoni“ 1. Bd. S. 20 u. f.) aufgestellt. Daß sie für jedes x konvergiert, hob L. Euler in der Schrift „De la controverse entre Mrs. Leibnitz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires“ hervor (Mém. de l’Acad. de Berlin, année 1749, 5. Bd. Berlin 1751, S. 139 u. f., insbes. S. 150).

118.    Siehe J. Liouville (1809—1882) im Journal de mathém. 5. Bd. (1840), S. 192 u. f. Daß die Zahl e sogar transzendent, d. h. keine Wurzel einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist, bewies Ch. Hermite (1822—1901), siehe Comptes Rendus 77. Bd. 1873, S. 18 u. f., 74 u. f., 226 u. f., 285 u. f. (auch die besondere Schrift „Sur la fonction expionentielle“, Paris 1874).

119.    Auch die Reihen für sina; und cos« wurden von J. Newton

in der Abhandlung „De analysi per aequationes usw.“, siehe Nr. 117, gefunden.

120. Die Reihe für ln (1 -{- x) findet sich zuerst in N. Mercator's „Logarithmotechnia“ von 1668 (siehe die Bemerkungen zu Nr. 101) wo sie durch Integralbetrachtungen gewonnen wird, elementar abgeleitet dagegen von E. Halley in den Philosophical Transactions, 9. Bd. 1695, S. 58 u. f.

122. Der Name Modul rührt von B. Cotes her, der ihn 1712 in einem Briefe an J. Neicton benutzte (siehe Edleston, „Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes“, London 1850, S. 117) sowie in seiner „Logometria“ in den Philosophical Transactions 29. Bd. 1714, S. 5 u. f. Der Begriff des Moduls war allerdings damals schon nicht mehr neu.

125, 126. Die Binomialformel (a -j- b)m für ganzes positives m scheint schon M. Stifel 1544 bekannt gewesen zu sein, siehe M. Cantor, „Vorlesungen über Geschichte der Math.“ 2. Bd. 2. Aufl. 1899, S. 433. Wenigstens kannte er schon die Binomialkoeffizienten („Arithmetica integra“, Nürnberg 1544, Fol. 44 b), da er sie mit Hilfe einer Rekursionsformel ermittelte. Die unbegrenzte Binomialreihe für nicht ganzzahlige positive Exponenten gab zuerst J. Newton in der bei Nr. 32 erwähnten Abhandlung „Be analysi per aequationes usw.“, vgl. auch seine Briefe an H. Oldenburg von 1676 (abgedruckt in den „Opuscula Newtonis“, 1. Bd. S. 307 und 328). Von Newton rührt auch die independente Darstellung der Binomialkoeffizienten her. Stifel hatte sie nur durch eine Rekursionsformel ermittelt. Ohne Beweis wandte Newton die Reihe auch für beliebige reelle Exponenten m an. Den ersten Beweis für die Binomialreihe gab L. Euler in den Nov. Commentar. Petropolit. 19. Bd., ad annum 1774 (erschienen 1775), S. 103 u. f. Doch fehlte noch die vollständige Untersuchung der Giltigkeit der Reihe für (1 -f- x)m für | x | — 1. Diese (sowie die Ausdehnung auf imaginäre Exponenten) gab erst N. H. Abel (1802—1829) in seiner berühmten Abhandlung „Untersuchungen über die Beihe

in

l + Tx-\

m (m — 1)

x* +

m (m — 1) (in — 2)

1-2-3

im Journal f. Mathematik 1. Bd. 1826, S. 31 u. f., siehe auch die französische Übersetzung in den „Oeuvres complètes“, neue Ausgabe von L. Syloiv und S. Lie, in 2 Bänden, Christiania 1881, 1. Bd. S. 219 u. f., sowie Nr. 71 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1895, hrsg. von A. Wangerin.

129. Die Vorschrift zur Behandlung eines Bruches für solche Werte der Veränderlichen, für die Zähler und Nenner verschwinden, tritt öffentlich zuerst in der „Analyse des infiniments petits, pour l'intelligence des lignes courbes“ des Marquis G. F. de l’Hospital, Paris 1696, auf, S. 145 u. f. Diese Vorschrift hat aber Joh. Bernoulli im Jahre 1694 auf ausdrückliches Verlangen an de VHospital mitgeteilt (siehe M. Cantor, „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 3. Bd. 2. Aufl. 1901, S. V des Vorwortes). Deshalb nahm auch Joh. Bernoulli die Methode für sich in Anspruch in den Acta Eruditorum von 1704 (siehe seine „Opera“, 1. Bd. S. 401).

186. Vgl. die Anmerkungen von Nr. 45 und 117. Siehe auch A. Cauchy in dem bei Nr. 113 genannten „Bésurné usw.“, S. 2 u. f.

137. Die Verallgemeinerung der Taylorschen Beihe für den Fall von mehreren Veränderlichen gab zuerst Gr. Fontana (1735—1803) in einem Zusatze zu den „Principj fondamentali del calcolo differenziale e integrale appoggiati alla dottrina de’ limiti“, Pavia 1788, von A. L. Lotteri (1760 bis 1839).

140.    Maximal- und Minimalaufgaben waren im Altertume nur spärlich behandelt worden, so von Euklid (um 300 vor Chr.), siehe die Bemerkung zu Nr. 141, von Apollonius von Pergae (etwa 250 bis 190 vor Chr.), Zenodorus (zwischen 200 vor Chr. uud 90 nach Chr.) und Pappus von Alexandrien (etwa 300 nach Chr.), ebenso spärlich im Mittelalter, nämlich von Regiomontanus (eigenth Joli. Müller, 1436 bis 1476, vgl. M. Cantor, „Vorlesungen über Geschichte der Math.“, 2. Bd. 2. Aufl. 1900, S. 283), von N. Tartaqlia (ca. 1500—1557) und H. Cardano (1501—1576).

Daß eine Funktion f(x) nur für solche Werte von x einen Extremwert haben kann, für die f {x) — 0 ist, dürfte schon J. Kepler in seiner „Stereometria doliorum“, Linz 1615, erkannt haben, wenn er natürlich auch noch nicht diesen modernen Ausdruck dafür hatte. Er sagt (siehe „Kepleri opera omnia“, hrgg. von Chr. Frisch, 8 Bände Frankfurt 1858 bis 1872, 4. Bd. S. 612): „circuni maximum vero utrimque circumstantes décrémenta habent initio insensibilia“. Alsdann ist namentlich P. de Fermat zu nennen, der in einem 1638 an R. Descartes geschickten Manuskripte, vermutlich „Methodus ad disquirendum maximum et minimum“ (aufgenommen in den „Varia opera mathematica“, Toulouse 1679, S. 63 u. f., siehe „Oeuvres“, hrsg. von P. Tannery und Ch. Henry, 3 Bände Paris 1891—96, 1. Bd. S. 133 u. f.) eine ausführliche Vorschrift zur Bestimmung derjenigen Stellen gab, wo eine Funktion ein Maximum oder Minimum haben kann. Diese Vorschrift ist im Grunde genommen nichts anderes als die Bestimmung derjenigen Werte der Veränderlichen, für die die Ableitung verschwindet. Aber Fermat gab keinen Beweis für seine Vorschrift; ebensowenig war die Rede von der Frage, ob wirklich da, wo die Ableitung verschwindet, ein Maximum oder ein Minimum eintritt. Außerdem bezieht sich die Vorschrift nur auf rationale Funktionen.

141.    Das erste Beispiel dieser Nummer ist die älteste Aufgabe über Extremwerte. Sie findet sich in geometrischer Einkleidung in Euklid’s „Elementen“ (Satz 27 des 6. Buches, siehe z. B. die Ausgabe von J. L. Heiberg, Leipzig 1883—88).

142.    War es nach dem bei Nr. 140 Gesagten schon bei der Erfindung der Differentialrechnung einigermaßen selbstverständlich, daß f (xu) = 0 eine erste notwendige Bedingung für ein Maximum oder Minimum der Funktion f(x) an der Stelle x₀ ist, so wurde auch die Unterscheidung der drei möglichen Fälle, nämlich eines Maximums oder eines Minimums oder keines Extremwertes überhaupt, alsbald von G. W. Leibniz in seiner bei Nr. 32 erwähnten „Nova methodus usw.‘< von 1684 gegeben (siehe die deutsche Ausgabe von G. Koivalewski, S. 4 u. 5). Die allgemeine Unterscheidungsregel in Satz 1 kommt zuerst in C. Maclaurin’s „Treatise of fluxions“ von 1742 (siehe Nr. 116) auf S. 226 u. S. 659 vor.

145. P. de Fermat hat sich 1662 mit diesem Probleme beschäftigt Dieselbe Aufgabe behandelte G. W. Leibniz in der Abhandlung „Unicum opticae, catoptricae et dioptricae principium“ in den Acta Eruditorum von 1682, S. 185 u. f., sowie in der „Nova methodus usw.“ von 1684 (in der deutschen Ausgabe von G. Koivalewski S. 9 u. 10).

153. Das erste Beispiel für Maxima und Minima von Funktionen von n Veränderlichen scheint C. Maclaurin gegeben zu haben und zwar in einem Briefe von 1729 (in den Philosophical Transactions 36. Bd., S. 59 u. f.), wo es sich darum handelt, eine Größe in n Teile so zu zerlegen, daß das Produkt aller Teile am größten wird. Siehe ferner L. Euler, „Vollständige Anleitung zur Differentialrechnung“, 3. Bd. S. 69 u. f. (§ 286 u. f.).

154.    Die Umformung (3) des Restes zuerst hei L. Lagrange, in den „Recherches sur la méthode de maximis et minimis“, Miscellanea Taurinensia 1. Bd. 1759 (siehe auch „Oeuvres complètes“, hrsg. von A. Serret und Gr. Darboux, 14 Bände, Paris 1867—92, 1. Bd. S. 3 u. f., insbes. S. 7), ferner vgl. auch seine „Theorie des fonctions analytiquesS. 263 u. f.

155.    Das Peano’sehe Beispiel findet sich in A. Genocchi’s bei Nr. 21 genanntem Werke auf S. 332.

156.    157. Die Frage, wann eine quadratische homogene rationale Funktion definit', semidefinit oder indefinit ist, wurde von L. Lagrange (vgl. Nr. 154) und von A. Cauchy in seinem bei Nr. 113 erwähnten „Résumé usw.“ auf S. 61 u. f. behandelt und von J. Sylvester (1814 bis 1897) im Falle von n Veränderlichen gelöst (Philosophical Transactions Bd. 143, 1853, S. 481). Ferner sind zu nennen F. Richelot (1808—1875) in den Astron. Nachrichten 48. Bd. 1858, S. 273, F. Brioschi (1824 bis 1897) in den Annali di Matematica 1. Serie 2. Bd. 1859, S. 61, 0. Stolz, Wiener Sitzungsberichte 68. Bd. 1868, S. 1063, sowie L. Scheeffer (1859 bis 1885) in den Math. Ann. 35. Bd. 1885, S. 541 u. f.

163. Diese Aufgabe zuerst in B. Cavalieri s „Exercitationes geo-metricae sex“, 1647, S. 504 u. f.

165, 166. Die Multiplikatoren %t, ... Xr hat L. Lagrange eingeführt, zunächst in der „Théorie des fonctions analytiques“ S. 267 u. f., wo auch zuerst die Theorie der Maxima und Minima unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen behandelt wird.

167.²) In der Integralrechnung (im zweiten Bande) kommen häufig solche Linien in Betracht, die Bilder stetiger Funktionen sind, wobei es gleichgiltig ist, ob diese Funktionen Ableitungen haben oder nicht (vgl. dazu die Anmerkungen zu Nr. 27). Wenn sie dort auch der Kürze halber zuweilen Kurven genannt werden, wird doch immer ausdrücklich darauf hingewiesen, daß die Existenz einer Ableitung nicht gefordert wird, z. B. in Nr. 404.

vor.

quis“ von J. L. Heil erg, 2 Bände Leipzig 1890 u. 1893, 1. Bd. S. 194.

171. Der Name Asymptote kommt zuerst bei Apollonius von Pergae Siehe „Apollonii Pergaei quae graece exstant cum commentariis anti-

172. Wende- oder Inflexionspunkte zuerst bei P. de Fermat in der „Methodus ad disquirendum maximum et minimum“, die bei Nr. 140 genannt wurde (in den „Varia opera“ S. 73 und in den „Oeuvres“ 1. Bd. S. 166). Daß im Falle eines Wendepunktes f''(pc) = 0 sein muß, bemerkte G. W. Leibniz in der „Nova methodus usiv.“ von 1684 (in der deutschen Ausgabe von G. Kowalewski auf S. 5).

175. Für die Einführung der homogenen Koordinaten kommen namentlich „Der barycentrische Calcul“, Leipzig 1827, von A. F. Möbius (1790—1868) und die Werke von J. Plücker (1801—1868) in Betracht: „Analytisch-geometrische Entwicklungen2 Bände Essen 1828—31, „System der analytischen Geometrie“, Berlin 1835; überdies Plücker’s Abhandlung im Journal f. Mathem. 5. Bd. 1830, S. 1 u. f. Zur allgemeinen Aufnahme der homogenen Koordinaten trug alsdann besonders 0. Hesse (1811 — 1874) bei, vgl. seine verschiedenen „Vorlesungen über die analytische Geometrie“, die Leipzig 1861 (3. Aufi. 1876), Leipzig 1865 (4. Aufl. 1906) und Leipzig 1874 erschienen.

178. Bezüglich der Hesse’sehen Determinante siehe die Abhandlungen von 0. Hesse im Journ. f. Math. 28. Bd. 1844, S. 68 u. f., 42. Bd. 1851, S. 117 u. f., und 56. Bd. 1859, S. 263 u. f. (in den „Gesammelten Werken“, München 1897, S. 89 u. f., S. 289 u. f., S. 481 u. f.).

210. W. von Tschirnhaus hat, allerdings wohl erst von Chr. Huygens darüber unterrichtet, 1682 der Pariser Akademie der Wissenschaften teils richtige, teils falsche Bemerkungen über die Einhüllenden der von einer Kurve reflektierten Strahlen gemacht. Die erste Theorie der Einhüllenden, insbes. die in Nr. 210 entwickelte Vorschrift gab G. W. Leibniz in der Abhandlung „De linea ex lineis numéro infinitis ordinatim ductis inter se concurrentibus formata easque omnes tangente“, Acta Eruditorum 1692 (siehe „Leibnizem Schriften“ 5. Bd. S. 266 u. f.)

214. A. Cauchy, „Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie“, 1. Bd. Paris 1826, S. 128 u. 367.

221. Die Bestimmung der Hyperbelfläche ist in der Geschichte der Mathematik von besonderer Bedeutung. Näheres darüber bei Gelegenheit von Nr. 407.

251. Die wichtigsten älteren Arbeiten, in denen die Theorie der Raumkurven geschaffen wurde, sind die folgenden: A. CI. Clairaut, „Recherches stir les courbes à double courbure“, Paris 1731, Tinseau, „Solution de quelques problèmes relatifs à la théorie des surfaces et des courbes à double courbure“, prés, en 1774, Mém. des savants étrangers 9. Bd. 1780, S. 593 u. f., L. Euler, „Methodus facilis omnia symptomata linearum cur-varum non in eodem piano sitarum investigandi“, Acta Acad. Petropo-litanae 1. Bd. 1782, S. 19 u. f., G. Monge (1746—1818) in einer Reihe von Abhandlungen seit 1771, in seinem Werke vereinigt: „Application de l’analyse à la géométrie“ (1. Aufl. unter dem Titel „Feuilles d’analyse appliquée à la géométrie“, Paris 1795, 5. Aufl. Paris 1850), Lancret (1774 bis 1807), „Mémoire sur les courbes à double courbure“, prés, en 1802, Mém. des savants étrangers 1. Bd. 1806, S. 416 u. f., B. de Saint-Venant (1797—1886), „Mémoire sur les lignes courbes non planes“, Journal de l’école polyt. 30. cah. 1845, S. 1 u. f.

272. Die grundlegenden Formeln dieser Nummer wurden fast gleichzeitig von F. Freuet in seiner Thèse: „Sur les courbes à double courbure“, Toulouse 1847 (siehe auch Journal de Mathém. 17. Bd. 1852, S. 437 u. f.) und von J. A. Serret (1819—1885, Journal de Mathém. 16. Bd. 1851, S. 193 u. f.) gefunden.

278—280. Siehe G. Monge’s bedeutendes Werk „Application de l’analyse à la géométrie“, das bei Nr. 251 genannt wurde, insbes. S. 29 u. f. der 5. Auflage.

303. Für die Krümmungstheorie der Flächen kommen von älteren Arbeiten namentlich in Betracht zunächst L. Euler’s „Recherches sur la courbure des surfaces“, Histoire de l’Acad. à Berlin 16. Bd. 1760, S. 119 u. f., alsdann die „Développements de géométrie“, Paris 1813, von Ch. Dupin (1784—1873) und schließlich die „Disquisitiones generales circa superficies curvasCommentationes societatis Gottingensis recentiores, 6. Bd. ad. a. 1823—1827, Göttingen 1828, S. 99 u. f., von C. F. Gauß (1777—1855). Diese Abhandlung wieder abgedruckt in G. Monge's „Application usw.“ (siehe Nr. 251) in der 5. Aufl. von 1850, S. 505 u. f., und in „Carl Friedrich Gauß’ Werken“, 4. Bd. Göttingen 1873, S. 217 u. t'., ferner ins Deutsche übersetzt von A. Wangerin in Nr. 5 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1889.

305. Siehe Ch. Meusnier (1754—1793), „Mémoire sur la courbure des surfaces“, Mém. des Savants étrangers 10. Bd. (lu 1776) Paris 1785, S. 477 u. f.

310, 311. Siehe S. 12 u. f. von Dupin’s „Développements usw.“

315. Die konjugierten Tangenten wurden ebenfalls von Dupin a. a. O. S. 41 u. f. eingeführt.

318. Vgl. C. F. Gauß’ bei Nr. 303 erwähnte Abhandlung, Art. 8 (S. 17 der Wangerin’sehen Übersetzung). Die exakte Definition des Flächeninhaltes einer krummen Fläche findet man in Nr. 584 des zweiten Bandes; auch möge man Satz 13 von Nr. 585 heranziehen.

332. Satz 25 bei Ch. Dupin a. a. O. S. 330.

334—337. Siehe G. Monge’s bei Nr. 251 genannte „Application usw“, in der 5. Auflage auf S. 139 u. f.

351. Die letzten Schlüsse dieser Nummer bedürfen einer kleinen Ergänzung: Die letzten sechs Formeln lehren zunächst nur, daß (px und /ipx Funktionen von p allein und ebenso cpy und Funktionen von q allein sind. Erst die vorher aufgestellte Formel

P1 = <Px<Pv + VxVy

zeigt alsdann, daß eine Gleichung zwischen p und q besteht.

Der Satz 36 wurde zuerst von O. Bonnet (1819—1892) bewiesen, siehe Annali di Matern. 2. Serie, 7. Bd. 1875, S. 61 u. f.

354. Imaginäre Größen traten zuerst bei den italienischen Alge-bristen in der Mitte des 16. Jahrhunderts auf, nämlich als Wurzeln algebraischer Gleichungen, zunächst solcher zweiten Grades. Man be-zeichnete sie als unmöglich, so z. B. H. Cardano (1501—1576) in der „Practica arithmeticae generalis“ von 1539 (in seinen „Opera“, Lyon 1663,

4. Bd. S. 14 u. f., insbes. S. 112). Immerhin wagte es Cardano aber auch

schon, mit solchen Größen Rechenoperationen yorzunehmen. So z. B. multiplizierte er in seiner „Artis magnae sive de regulis ulgebraicis Uber unus“, Nürnberg 1545 („Opera“ 4. Bd. S. 221 u. f., insbes. S. 287) zwei konjugiert komplexe Größen miteinander, um ein reelles Produkt zu erhalten. Da A. Girard (gestorben 1532) zu der, wenn auch nicht genügend begründeten Einsicht gelangte, daß die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung gerade so groß wie ihr Grad sei (in seiner „Invention nouvelle en algèbre³)“, Amsterdam 1629, Neudruck Leiden 1884), behielt er die komplexen Wurzeln als wesentlich zur Gültigkeit allgemeiner Sätze bei („On pourvoit dire: à quoy sert ces solutions qui sont impossibles? Je réponds: pour trois choses, pour la certitude de la reigle générale, et qu’il n’y a point d’autres solutions, et pour son utilité.“) Die Ausdrücke reell und imaginär finden sich zuerst in II. Descartes’ „Géométrie“ (siehe Nr. 7, insbes. Neudruck von 1886, S. 63): „Au reste, tants les vraies racines que les fausses (d. h. die negativen) ne sont pas toujours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires, c’est-à-dire qu’on peut bien toujours en imaginer autant que j’ai dit en chaque équation, mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celles qu’on imagine.“

Eine neue Art des Auftretens imaginärer Größen ergab sich bei dem Probleme der Integralrechnung, diejenigen Funktionen zu ermitteln, deren Ableitungen rational gebrochen sind, einer Aufgabe, mit der sich namentlich G. W. Leibniz und Joh. Bernoulli beschäftigten. Sie gelangten dabei zu Funktionen mit Ableitungen von der Form 1 : (x -f- konst.), d. h. zu Logarithmen von der Form ln (x -f- konst.), wobei aber die Konstanten unter Umständen imaginär wurden (vgl. Nr. 430, vorletzter Absatz); so z. B. heißt es in einem Briefe von Leibniz an Bernoulli aus dem Jahre 1702: „quadraturas rationales (d. h. die Bestimmung von Funktionen der vorhin charakterisierten Art) reduxi ad logarithmos, vel veros, vel imagi-narios“ (siehe „Leibnizem Schriften“ 3. Bd. S. 703 u. f.). Man sehe ferner die Abhandlung von Leibniz: „Specimen novum analyseos pro scientia infniti circa summas et quadraturas“, Acta Eruditorum 1702, S. 210 u. f. (,,Leibnizem Schriften“ 5. Bd. S. 350 u. f., deutsch von G. Kowaleivshi in Nr. 162 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1908, S. 43 u. f.). Hierin wird (auf S. 52 der Übersetzung) bemerkt, daß jede imaginäre Wurzel einer Gleichung eine Gefährtin habe, weil ]/— 1 zweiwertig sei (vgl. Satz 23 von Nr. 378), so daß folglich in dem Probleme, um das es sich handelt, die mit imaginären Größen behafteten Glieder paarweise auf-treten und ihre paarweise Zusammenfassung doch reelle Ergebnisse liefert (wie in Nr. 432 auseinander gesetzt wird). Die Frage, ob man auf dem Wege einer rein formalen Anwendung des Imaginären zu richtigen reellen Schlußformeln kommt, wurde dabei gar nicht erörtert. An eine Fortsetzung der Abhandlung schließt sich eine Note von Joh. Bernoulli: „Problema exhibitum a Jo. Bernoulli“, Acta Eruditorum 1703,

S. 26 u. f., ein Auszug aus einer größeren Abhandlung: „Solution d’un problème concernant le calcul intégral“ in den Mém. de l’Acad. pour l’année 1702, Paris, die aber erst 1704 (S. 289 u. f.) herauskam (siehe auch seine „Opera omnia“ 1. Bd. S. 393 u. f.). In jener Note sowie in der weiteren Abhandlung „Angulorum areuumque scctio indefinita“, Acta Eruditorum 1712, S. 274 u. f. („Opera omnia“ 1. Bd. S. 511 u. f.) kommen Formeln vor, die im Wesentlichen dasselbe besagen wie die Formel (1) von Nr. 377, d. h. es wurde darin der Zusammenhang zwischen den Arhusfunktionen und Logarithmen im imaginären Bereiche aufgedeckt. In den Jahren 1712 und 1713 beherrschte den Briefwechsel zwischen Joh. Bernoulli und d. W. Leibniz die Streitfrage, was unter Logarithmen negativer Zahlen zu verstehen sei, siehe „Leibnizem Schriften“ 3. Bd. S. 881 u. f., wobei Leibniz die richtige Ansicht vertrat, daß es notwendig imaginäre Größen sein müßten, während Bernoulli daraus, daß Ina; und ln (—x) dieselbe Ableitung 1 : x haben, den Schluß ziehen zu dürfen glaubte, daß ln (—x) dasselbe wie Ina; sei. Auch mit L. Euler führte Bernoulli in den Jahren 1727 bis 1729 eine briefliche Auseinandersetzung über eben diese Frage sowie über die Frage nach den Logarithmen imaginärer Größen. Diese Briefe findet man abgedruckt durch G. Ene-ström in der Bibliotheca mathem. 3. Reihe 4. Bd. 1903, S. 338 u. f., die wesentlichen Stellen übersetzt bei E. Lampe, „Zur Entstehung der Begriffe der Exponentialfunktion und der logarithmischen Funktion eines komplexen Arguments“, Abhandlungen zur Geschichte d. math. Wiss. 25. Bd. 1907 S. 119 u. f. (insbes. S. 121 u. f.). Die dabei von Euler entwickelten Ansichten zeigen, wie er schon damals auf dem Wege war, den allgemeinen Logarithmenbegriff im komplexen Bereiche zu erkennen.

Nunmehr sind die „Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis“, London 1730, von A. de Moivre (1667—1754) zu nennen, worin auf der ersten Seite jene Formel steht, die ihres Entdeckers Namen bekommen hat, wenn sie auch dort nicht gerade so formuliert ist, wie man es jetzt tut, vgl. (1) in Nr. 358. Hier werden ganzzahlige Potenzen und Wurzeln von cos co -f- i sin co gebildet.

Im Jahre 1746 stellte ferner J. le Rond d’Alembert sowohl in seinen „Reflexions sur la cause générale des vents“, Prix de Berlin pour l’année 1746, Paris 1747, Art. 79, S. 141 u. f., als auch in seinen „Recherches śmie calcul intégral. Première partie: De l’intégration des fractions rationelles“, Mém. de l’Acad, année 1746, Berlin 1748, S. 182 u. f., die Behauptung auf, daß sich jeder analytische Ausdruck, in dem konstante oder veränderliche imaginäre Größen Vorkommen, auf die Form p -{- iq bringen lasse, wo p und q reell sind. Den Beweis für Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten konnte er leicht bringen, vgl. (1), (2) und (3) in Nr. 354, ebenso gelang ihm in der ersten der beiden Abhandlungen der Naclrweis für die Potenz (x -(- iy)a + ib dadurch, daß er zunächst das Differential ihres Logarithmus zerlegte (vgl. hierzu wie überhaupt zu dem Vorhergehenden P. Stäckel, „Integration durch imaginäres Gebiet“, Bibliotheca mathem. 3. Folge 1. Bd. 1900, S. 109 u. f., insbes. 112).

Der eigentliche Schöpfer der Theorie der elementaren Funktionen im komplexen Bereiche ist aber L. Euler. Außer den schon oben erwähnten Briefen kommen Korrespondenzen aus den Jahren 1740 und 1741 in Betracht (vgl. M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der

_ -    7 ⁼

Math.“ 3. Bd. 2. Aufl. S. 689), die zusammen mit seiner Abhandlung „De summis serierum reciprocarum ex potestatibus numerorum naturalium ortarum“, Miscellanea Berolinensia 7. Bd. 17.43, S. 172 u. f., zeigen, daß ihm die Ausdrücke des Sinus und Kosinus durch Exponentialgrößen und Imaginäres, vgl. (6) in Nr. 373, geläufig waren. Ferner lehrt sein Briefwechsel mit d’Alembert 1747 (übersetzt von JE. Lampe a. a. O. S. 125 u. f.), daß er die Unendlichviel-Wertigkeit des Logarithmus im imaginären Bereiche erkannt hatte, vgl. (1) in Nr. 376 sowie (4) in Nr. 651. Außerdem ist das 8. Kap. seiner „Introductio in analysin infinitorum“, 1. Bd., zu nennen; diese „Introductio“ war nach seinem eigenen Zeugnisse (siehe E. Lampe a. a. 0. S. 134) schon etwa drei Jahre vor ihrem Erscheinungsjahre 1748 geschrieben worden. Ferner die Abhandlung: „De la controverse entre Mrs. Leibnitz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires“, Mém. de l’Acad. de Berlin, année 1749, 5. Bd. Berlin 1751, S. 139. Yon Euler rührt übrigens auch das Zeichen i für y— 1 her. Zwar kommt es in der „Introductio“ noch nicht in dieser Bedeutung vor (hier steht es vielmehr für oc, z. B. auf S. 103 des 1. Bandes), aber in dem in der 2. Aufl. hinzugekommenen Supplement-bande seiner „Institutiones calculi integralis“, Petersburg 1792—94, findet sich auf S. 183 u. f. eine Abhandlung mit dem Titel: „De formulés diffe-rentialibus angularibus maxime irrationalibus, quas tarnen per logarithmos et arcus circulare integrare licet“, gelesen in d. Akad. Petersburg 1777, worin es auf S. 184 heißt: „Quoniam mihi quidem alia adhuc via non patet istud praestandi, nisi per imaginaria procedendo, formulam ]/— i

littera i in posterum designabo, ita ut sit ii = — 1, ideoque 4

— i“.

Dies ist die älteste bekannte Stelle, an der i für Ÿ—1 gebraucht wird.

Über den Anteil, den weiterhin namentlich L. Eider, P. S. Laplace (1749—1827), S. D. Poisson (1781—1840), C. F. Gauß und A. Cauchy an der Entwicklung des Integralbegriffes im imaginären Gebiete haben, wird gelegentlich zu sprechen sein. Hier sei nur noch bemerkt, daß erst die gewichtige Autorität von Gauß die Bedenken gegen die grundsätzliche Einführung der imaginären Größen zu heben vermochte, siehe insbesondere seine Selbstanzeige der „Theoria residuorum biquadraticorum, commutatio secunda“, Göttinger gelehrte Anzeigen 1831 (,, Werke“ 2. Bd. Göttingen 1863, S. 169 u. f.). Darin heißt es (auf S. 171 in den „ Werken“) : „Der Verf. nennt jede Größe a -{-bi, wo a und b reelle Größen bedeuten, und i der Kürze wegen statt Ÿ— 1 geschrieben ist, eine komplexe ganze Zahl, wenn zugleich a und b ganze Zahlen sind.“ Hierdurch wurde die Bezeichnung komplexe Zahl gebräuchlich. Auf S. 174—178 (des Abdruckes in den „ Werken“) setzte Gauß auseinander, warum die Erweiterung des Zahlenbegriffes auf das imaginäre Gebiet gestattet sei. Die Einführung der komplexen Größen auf rein arithmetischem Wege, ohne Einmischung ungehöriger transzendentaler Vorstellungen, hat schließlich W. B. Hamilton gegeben, siehe seine Abhandlung: „Theory of conjugate functions or algebr aie couples; with a preliminary and elementary essay on algebra as the science of pure time“, Transactions of the Irish Acad. 17. Bd. 2. Teil vom Jahre 1835, Dublin 1837, S. 293 u. f., sowie die Vorrede zu seinen „Lectures on quaternions“, Dublin 1853. Hierauf stützt sich die Darstellung in H. Hankel’s bei Nr. 1 genanntem Werke S. 67 u. f.

¹

Im Original der Druckfehler f statt żs.

²

Mit dieser Nummer beginnen die Anwendungen der Differentialrechnung auf die Geometrie. Um die geschichtlichen Anmerkungen nicht zu sehr anschwellen zu lassen, geben wir dazu nur wenige Zitate. Über die einzelnen ebenen Kurven findet man überaus zahlreiche geschichtliche Nachweise in dem Werke von G. Loria : „Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven“, deutsch von F. Schütte, 1. Aufl. Leipzig 1902, 2. Aufl. 1. Bd. 1910. Im übrigen verweisen wir auf die Artikel in der Enzyklopädie der mathem. Wissenschaften im 3. Bande. Eine Reihe von Zitaten findet man außerdem in des Herausgebers „Anwendungen der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie“, 1. Bd. 2. Aufl. Leipzig 1910, 2. Bd. 1. Aufl. 1902.

³

Nebenbei bemerkt: wir verdanken diesem Werke die Zeichen -f- und — sowie den Bruchstrich für die Addition, Subtraktion und Division; auch werden darin die Produkte wie jetzt einfach durch Nebeneinanderstellen der Faktoren gebildet.

39

S er re t-Sehe ff er s, Diff.-u. Integral-Rechnung. II. 4.u. 5. Aufl.

355, 356. Einen ersten unklaren Versuch einer Versinnlichung der komplexen Größen machte H. Kühn (1690—1769) in der Abhandlung: „Meditationes de quantitatibus imaginariis construendis et radicibus imaginants exhibendis“, Nova Commentarii Acad. Petrop. ad annum 1750 et 1751, 3. Bd. 1753, S. 170 u. f. Über andere ebenso unvollkommene Versuche siehe H. Hankel in dem bei Nr. 1 genannten Werke S. 82. Dagegen erschienen im Jahre 1799 zwei Abhandlungen, in denen die komplexen Größen in der jetzt gebräuchlichen Weise als Punkte in der Ebene versinnlicht wurden, nämlich die Dissertation von C. F. Gauß: „Demonstratio nova theorematis omnern functionem algebraicam rationalem intégrant unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse“, Helmstädt 1799 (,, Werke“ 3. Bd. Göttingen 1866, S. 1 u. f., deutsch von E. Netto in Nr. 14 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1890, S. 3 u. f.,. aber ohne die notwendige von Gauß seihst gegebene Figurentafel) und die Arbeit von C. Wessel (1745—1818): „Om direktionens analytiske be-tegning“, Danske Selsk. Skr. N. Samml. V, Kopenhagen 1799 (eingereicht schon 1797, Neudruck im Archiv for Math, og Naturv. 18. Bd. 1896, auch unter dem Titel „Essai sur la représentation de la direction“, Kopenhagen 1897). Während aber Gauß nur die Zahlen r (cos ta -f- î'sinco) als die Punkte mit dem Polarkoordinaten co und r darstellte (im 16. Art., S. 22 in den „Werken“) und sonst weiter keine Operationen mit den Punkten vornahm, entwickelte Wessel sogleich die ganze in Nr. 356 gegebene geometrische Darstellung der Grundoperationen mit komplexen Zahlen. Die Arbeit von Wessel wurde aber seinerzeit garnicht beachtet, vielmehr erst fast hundert Jahre später ans Tageslicht gezogen. Auch die besondere Schrift von J. R. Argand: „Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires, dans les constructions géométriques“, Paris 1806, in der im wesentlichen dasselbe enthalten war, blieb seinerzeit unbeachtet. So kam es, daß man lange Zeit C. F. Gauß diese geometrischen Deutungen zuschrieb und zwar deshalb, weil er sie in der bei voriger Nummer erwähnten Selbstanzeige im Jahre 1831 auseinander setzte (siehe „Werke“ 2. Bd. S. 174 u. f.).

358.    Die dritten Einheitswurzeln sind wohl zuerst deutlich bei J. Colson (1680—1760) in den Philosophical Transactions 25. Bd. 1707, S. 2353 u.f., angegeben.

Zur Moivreschen Formel siehe die bei Nr. 354 gemachte geschichtliche Bemerkung.

359,    360. Vgl. A. Cauchy, „Cours d’analyse de l'école polytechnique.

1. Analyse algébrique“, 1821, 9. Kap. § 1 (in den „Oeuvres“, 2. Serie 3. Bd., S. 230 u. f.). Der Name Häufungsstelle rührt von K. Weierstraß her.

361.    Siehe A. Cauchy, „Résumés analytiques“, Turin 1833, S. 112.

362.    Zur Multiplikation von Reihen mit komplexen Gliedern vgl. A. Cauchy’s „Cours d’analyse usw.“, S. 283 („Oeuvres“, a. a. O. S. 237).

363.    Der Satz 9 wurde in der sinngemäßen Beschränkung auf den reellen Fall von N. H. Abel in der bei Nr. 125, 126 genannten Arbeit von 1826 („Oeuvres“ 1881, 1. Bd. insbes. auf S. 223) dargetan. Ein anderer Beweis findet sich bei P. F. Arndt, Archiv f. Math. 25. Bd., 1855, S. 211 u. f. Der allgemeine Satz wohl zuerst bei K. Weierstraß, vgl. S. Pincherle, Giomale di mat. 18. Bd. 1880, S. 328. In bezug auf den

Konvergenzkreis siehe A. Cauchy, „Cours d’analyse usiv“, S. 286 („Oeuvres“ a. a. 0. S. 240), ferner Ch. Briot (1817—1882) und J. C. Bouquet (1819 bis 1885), „Théorie des fonctions doublement périodiques et, en particulier, des fonctions elliptiques“, Paris 1859, S. 13. Hier wird auch auf A. Cauchy’s „Exercices d’analyse et de physique mathématique“, 4 Bände Paris 1839 bis 1847, 3. Bd. S. 388, verwiesen.

864.    In zwei von 1841/42 datierten, aber damals nicht veröffentlichten Aufsätzen von K. Weierstraß kommt schon die gleichmäßig bzw. gleichförmig genannte Konvergenz vor, siehe „Werke“, Berlin 1. Bd. S. 67, 70, 73 und 81. Die Grundlagen für den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz wurden in der publizierten Literatur zuerst von G. Stokes (1819—1903), Transactions of the Cambridge Philos. Soc. 8. Bd. 1847, erschienen 1849, S. 533 u. f. On the critical values of the sums of periodic series“), und von Pli. L. Seidel (1821—1896), Abh. d. math.-phys. Kl. d. Bayr. Ak. 5. Bd. München 1847, S. 381 u. f. {,,Note über eine Eigenschaft der Beihen, welche diskontinuierliche Funktionen darstellen“, s. a. Nr. 116 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1900, S. 35 u. f.) geschaffen. Übrigens enthielt N. H. Abel’s bei voriger Nummer erwähnte Abhandlung schon implizite den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz für den Fall von Potenzreihen.

865.    Allgemeine geschichtliche Nachweise bei Nr. 621—623.

367. Satz 16 a. a. 0. bei Briot und Bouquet S. 14.

370. Ygl. ebenda S. 16 u. f.

373. Die Formeln dieser Nummer hatte schon L. Euler, wie bei Nr. 354 erwähnt wurde.

375. Siehe die Anmerkungen zu Nr. 125, 126.

376—377. Siehe die Anmerkungen zu Nr. 354.

378. Ygl. bezüglich des Fundamentalsatzes der Algebra die Anmerkungen zu Nr. 650. Infolge des Satzes 24 ist jede ganze rationale Funktion von einer Yeränderlichen und mit reellen Koeffizienten ein Produkt von lauter linearen und quadratischen ganzen Funktionen mit ebenfalls reellen Koeffizienten. Dies bestritt seinerzeit G. W. Leibniz, veranlaßt durch eine irrtümliche Behandlung der Funktion æ⁴ -J- a⁴, siehe sein „Specimen novum usw.“ von 1702, das bei Nr. 354 erwähnt wurde (in der angegebenen Übersetzung auf S. 55 u. f.).

381—397. In dem soeben genannten „Specimen novum usw.“ von G. W. Leibniz, ferner in der Fortsetzung „Continuatio analyseos qua-draturarum rationalium edi captae in his Actis M. Majo 1702“, Acta Eru-ditorum 1703, S. 19 u. f. {,,Leibnizem Schriften“ 5. Bd. S. 361 u. f., deutsch von G. Kowalewski in Nr. 162 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1908, S. 58 u. f.) sowie in Joh. Bernoulli’s „Solution d’un problème concernant le calcul intégral“ von 1702 (schon bei Nr. 354 genannt) kommen die ersten Partialbruch - Zerlegungen vor und zwar auch für den Fall mehrfacher oder komplexer Nullstellen des Nenners. Unabhängig davon behandelte A. de Moivre dasselbe Thema in den Philosophical Transactions 32. Bd. 1722, S. 162 f. Bei L. Euler findet sich die Theorie der Zerlegung in Partialbrüche sowohl in der „Introductio in analysin infinito-rum“ 1. Bd. S. 23 u. f. und S. 161 u. f., als auch in den „Institutiones calculi integralis“ 1. Bd. S. 31 u. f., 2. Bd. S. 432 u. f. (hier insbes. Satz 5

39*

von Nr. 386), und in der „Vollständigen Anleitung zur Differentialrechnung“ im 18. Kap. d. 3. Bandes (d. h. 2. Bandes der lateinischen Originalausgabe). Das Verfahren, die Veränderliche x durch a Ą-h zu ersetzen und dann nach Potenzen von h zu entwickeln, siehe Nr. 388, geht zurück auf L. Euler’s Abhandlung „Nova methodus fractiones quascungue rationales in fractiones simplices resolvendi“, Acta Acad. Petrop. pro anno 1780, pars prior, Petersburg 1783, S. 32 u. f.

Die Zerlegung in Partialbrüche wird in Nr. 430—433 zur Integration rationaler Funktionen benutzt, und die gegebenen Zitate beziehen sich auch auf diese Anwendung. Dasselbe gilt bezüglich der weiteren Ausbildung der Zerlegung, für die namentlich in Betracht kommen L. Lagrange, Nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, années 1792 et 1793, Berlin 1795 {„Oeuvres“, 5. Bd. S. 640), C. G. J. Jacobi’s Dissertation „Disquisitiones analyticae de fractionibus sivnplicibus“, Berlin 1825 („ Werke“

з.    Bd. S. 1 u. f.), A. L. Crelle (1780—1855), Journal f. Math. 9. Bd. 1832, S. 32 u. f., R. Baltzer (1818—1887), Leipziger Berichte 25. Bd. 1873, S. 523 u. f., insbes. S. 535, G. Duhamel (1797—1872), „Cours d’analyse“

2. Aufl. Paris 1847, deutsch von H. Wagner, Braunschweig 1855, 1. Teil S. 192 (Nachweis der Einzigkeit der Partialbruch-Zerlegung, vgl. Nr. 384

и.    396) und Ch. Hermite, Nouv. Annales 11. Bd. 1872, S. 145 u. f., Annales de l’école norm. sup. 2. Serie, 1. Bd. 1872, S. 214 u. f., „Cours d’analyse“ Paris 1873, S. 265.

398. L. Lagrange

? ))

Mémoire sur la méthode d’interpolation“, Nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, années 1792 et 93, Berlin 1795, S. 271 u. f. {,,Oeuvres“ 5. Bd. S. 627 u. f.), ferner „Leçons élémentaires sur les mathématiques“, 1795 (,,Oeuvres“ 7. Bd. S. 284 u. f.). Die Lagrangesche Interpolationsformel ist dieselbe Funktion wie die von J. Newton gegebene, die für die Praxis bequemer aufgebaut ist, siehe „Philosophiae naturalis principia mathematica“, in der Ausgabe von 1714 auf S. 446 (Lib. III, Lemma V). Der Ausdruck Interpolation rührt von J. Wallis her („Arith-metica infinitorum“, 1659, in den „Opera mathematica“, Oxford 1699, 1. Bd., S. 443).

399—401. Auch auf diese Nummer beziehen sich die zu Nr. 32 gegebenen geschichtlichen Anmerkungen. Wir fügen noch hinzu: Auf G. W. Leibniz’ Notizenzettel vom 29. Okt. 1675 (siehe „Der Briefwechsel von G. W. Leibniz mit Mathematikern“, 1. Band, S. 151 u. f., insbes. S. 154) kommen die Formeln vor:

Hier ist i 'i das Gleichheitszeichen. Gemeint sind also die Formeln:

jxdx=^, j.

x²dx =

03    ^

cs

(vgl. (1) in Nr. 402); wie man sieht, hat Leibniz damals noch die Hinzufügung des Differentials unterlassen. In seiner Notiz vom 11. Nov. 1675 „Methodi tangentium inversae exempla“ (a. a. O. S. 161 u. f.) wurden die Zeichen f und d wie vorhin gebraucht. Während er zunächst wie bisher -- als Bezeichnung des Differentials verwendet, kommt aber mitten im Texte (S. 163) das neue Zeichen dx vor mit der Randnote: „Idem est dx et * , id est différentiel inter duas x proximas“, dann weiterhin auch hx und dy statt dx und dy und schließlich:

's

Diese sowie andere ähnliche Formeln zeigen, daß er hier die endgültige Ausdrucksweise gefunden hat; immerhin bedient er sich aber in derselben Notiz weiterhin auch noch der vorhin gekennzeichneten symbolischen Darstellungen. Wie schon bei Nr. 32 erwähnt wurde, kommt das Integralzeichen f bei Leibniz im Drucke zuerst 1686 vor. Der kurze Name Integral tritt dagegen im Drucke zuerst bei Jakob Bernoulli in den Acta Eruditorum von 1690 auf (siehe „Jac. Bernoulli Opera“ 1. Bd. S. 421 u. f.). Johann Bernoulli hat dagegen für sich diesen Namen in Anspruch genommen, vgl. M. Cantor, „ Vorlesungen über Gesch. d. Math.“

3. Bd. 2. Auü. S. 219.

403, 404. Ursprünglich ist die Integralrechnung bei G. W. Leibniz eine Summenxechnung {„calculas summatorius“ in „Leibnizens Schriften“, 3. Bd. S. 118). In Joh. Bernoulli’s und L. Euler’s Arbeiten tritt dagegen die Auffassung des Integrals als einer Funktion mit gegebenem Differentialquotienten in den Vordergrund. A. Cauchy kehrte zur ursprünglichen Auffassung zurück, indem er das Integral als Grenzwert einer Summe von der Form J in Nr. 404 definierte („Résumé des leçons à l’école polytechnique“, Paris 1823, S. 81, und Journal de l’école polyt. 19. cah. 1823, S. 571 und 590) und die Unabhängigkeit des Grenzwertes von der Art der Teilung des Intervalles bewies (im „Résumé usw.“ S. 83, 84).

405. Der Name Schwankung wurde von B. Riemann in seiner schon oft erwähnten Habilitationsschrift eingeführt {„Ges. math. Werke“, 2. Aufl. S. 240). Zuerst bewiesen wurde Satz 3 von E. Heine im Journal f. Math. 74. Bd. 1872, S. 188 (vorher ausgesprochen ebenda 71. Bd. 1870, S. 361, zunächst für den Fall von zwei unabhängigen Veränderlichen, vgl. Satz 18 in Nr. 486).

407.    Gregorio a St. Vincentio zeigte in seinem „Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni“, 1647, 6. Buch, daß die von einer bestimmten Ordinate an gemessenen Flächenräume der Hyperbel eine arithmetische Progression bilden, wenn die Endordinaten in geometrischer Progression stehen. A. de Sarasa (1618—1667) erkannte in seiner Streitschrift „Solutio problematis a. R. P. Marino Mersenno propositi“, 1649, daß die Flächenräume durch Logarithmen ausgedrückt werden. Demgegenüber ist es interessant zu sehen, daß J. Newton in seiner „Analysis per aequationes“ (siehe Nr. 32) nicht im Stande war, 1 : x zu integrieren.

408.    Diese Verallgemeinerung findet sich bei A. Cauchy in dem bei Nr. 403, 404 genannten „Résumé usiv.“ auf S. 82.

410. L. Euler gibt in seinen „Institutiones calculi integralis“ die Grenzen eines bestimmten Integrals besonders in Worten an. Er unterscheidet das vollständige Integral von den partikularen Integralen, bei denen die additive Konstante in gewisser Weise schon bestimmt ist, siehe 1. Bd. S. 18. In Abhandlungen Euler’s kommt aber auch die Bezeichnung des von a bis b erstreckten Integrals mit

J f(x)dx

~~ab x — a~

ad x—b_ vor, wobei also die untere Grenze oben steht, siehe z. B. Supplementhand IV der „Institutiones calculi integralis“, S. 337 in einer Arbeit von 1781. Derselben Ausdrucksweise (aber ohne die Wörtchen ab und ad) bediente sich S. F. Lacroix in seinem „Traité du calcul différentiel et du calcul intégral“ 3. Bd. (in der 2. Aufi. auf S. 468). Die jetzt gebräuchliche Angabe der Grenzen wurde von J. B. Fourier eingeführt, „Theorie analytique de la chaleur“, Paris 1822, S. 252 („Oeuvres“ 1. Bd. Paris 1888 S. 226).

412. Sätze von A. Cauchy, siehe z. B. „Leçons sur le calcul différentiel et intégral“, hrsg. von M. Moigno (1804—1884), Paris 1840—44, 2. Bd. S. 48.

413, 414. Siehe L. Euler’s „Institutiones calculi integralis“, 1. Bd. S. 25.

415. Bl. Pascal war schon 1659 im Besitze des Satzes von der teilweisen Integration, natürlich nicht in der modernen Ausdrucksweise siehe M. Cantor, „Vorlesungen über Gesch. d. Math.“ 2. Bd. 2. Aufl. S. 916' Das Verfahren war G. W. Leibniz wohl bekannt. L. Euler wandte es in seinen „Institutiones calculi integralis“ häufig an, z. B. 1. Bd. S. 121.

417. Auch die Substitutionsmethode wandte L. Euler fortwährend an, z. B. in den „Institutiones calculi integralis“ im 1. Bande auf S. 29 und später.

419.    Die durch Fig. 11 erläuterte und dem ersten Mittelwertsatze äquivalente geometrische Tatsache war z. B. schon J. Newton bei seinen Interpolationsbetrachtungen (vgl. Nr. 398) wohl bekannt. Siehe auch A. Cauchy’s „Résumé usw.“, S. 87.

420.    In A. Cauchy’s „Résumé usw.“ auf S. 92.

421.    422. Der Rest der Taylorschen Formel wurde mittels Integration von P. S. Laplace in seiner „Théorie analytique des probabilités“, Paris 1812 („Oeuvres“ 7. Bd. S. 193) ermittelt, fernerhin auch von A. Cauchy im „Résumé usw.“ S. 140, 145 und 147.

423.    Siehe N. H. Abels berühmte bei Nr. 125, 126 genannte Abhandlung, in den „Oeuvres“ 1. Bd. 1882 insbes. S. 222.

424.    Siehe O. Bonnet, Mém. de l’Acad. des Sciences de Belgique, 23. Bd. Brüssel 1849, S. 8 u. f., Journal de math. 14. Bd. 1849, S. 249 u. f.

425.    Siehe die Anmerkungen bei Nr. 364. Der Beweis der Stetigkeit wurde von N. H. Abel a. a. 0. für Potenzreihen auf Grund derjenigen Eigenschaft geführt, die man jetzt die gleichmäßige Konvergenz nennt (siehe „Oeuvres“ 1. Bd., Theorem IV auf S. 223). Ein anderer Beweis bei L. Dirichlet, Journ. de mathém. 2. Serie, 7. Bd. 1863, S. 252 u. f. („Werke“ 2. Bd. S. 303 u. f.). Siehe alsdann auch A. Cauchy, Comptes Rendus 36. Bd. 1853, S. 454 („Oeuvres“¹, 1. Serie 12. Bd., S. 30 u. f.).

428. Die Reihe für arc tg x gab J. Gregory 1671 an (siehe „Correspondance de J. Collins et d’autres savants célèbres du XVII. siècle relative à l’analyse supérieure“, hrsg. von J. B. Biot und F. Lefort, Paris 1856,

S. 79 u. f.), insbesondere auch die Reihe für Man pflegt die Reihe für jedoch nach Leibniz zu benennen, da dieser sie aufs neue fand und zwar vermutlich 1674 (siehe „Leibnizens Schriften“ 2. Bd. S. 16 und „Der Briefwechsel usiv.“ S. 566).

430—433. Siehe die Anmerkungen zu Nr. 381—397.

440—450. Die ersten Untersuchungen über elliptische Integrale finden sich bei Jak. Bernoulli, G. C. de’Toschi di Fagnano (1682 — 1766), C. Maclaurin, J. le Bond d’ Alembert, Ch. Bossut (1730 — 1814), L. Lagrange, vor allem aber bei X. Euler, siehe insbes. „Consideratio formularum, quarum integratio per arcus sectionum conicarum absolvi potest“, Novi Comment. Acad. Petrop. 8. Bd. 1760 u. 1761, Petersburg 1763, S. 129 u. f., sowie „De reductione formularum integralium ad rectificationem ellipsis et hyperbolae“, ebenda 10. Bd. 1764, Petersburg 1766, S. 3 u. f., worin zuerst eine Art Klassifikation der elliptischen Integrale aufgestellt wurde. Darauf beziehen sich auch die Arbeiten von A. J. Lexell (1740—1784): „De reductione formularum integralium ad rectificationem ellipseos et hyperbolae“, Acta Acad. Petrop. 1778, 1. Teil, Petersburg 1780, S. 58 u. f., sowie „Ad dissertationem de reductione ... additamentum“, ebenda 2. Teil, Petersburg 1781, S. 55 u. f. Untersuchungen der Früheren, die sich auf die Summen oder Differenzen gewisser Ellipsen- und Hyperbelbögen bezogen, namentlich von Fagnano, wurden von Neuem von J. Landen (1719—1790) ausgeführt, dann aber wesentlich ergänzt durch seine Abhandlung: „An investigation of a general theorem for ftnding the length of any arc of any conic hyperbola, by means of two elliptic arcs, with some other new and useful theorems deduced therefrom“, Philosoph. Transactions 45. Bd. 1775 S. 283 u. f. (vgl. hierzu Nr. 551). Späterhin fand wieder A. M. Legendre aufs neue das Landensche Ergebnis in seinem „Mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse“, Hist. de l’Acad. 1786, Paris 1788, S. 616 u. f. Alsdann zeigte er in dem „Second mémoire . . ., et sur la comparaison de ces arcs“, ebenda S. 644 u. f., daß man eine unendliche Folge von Ellipsen auffinden kann, deren Umfänge von der Rektifikation von nur zweien unter ihnen abhängen, siehe Nr. 552. Die systematische Behandlung der elliptischen Integrale beginnt aber eigentlich erst mit Legendre’s „Mémoire sur les transcendantes elliptiques, où Von donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces transcendantes qui comprennent les arcs d’ellipse, et qui se rencontrent fréquemment dans les applications du calcul intégral“, der Pariser Akademie zwar 1792 vorgelegt, jedoch als selbständige Schrift Paris, an II (1793) erschienen, weil die Akademie inzwischen durch die Revolution abgeschafft worden war. Diese Schrift ist sehr selten und wurde kaum beachtet; das Wesentliche aus ihr fand jedoch Aufnahme in Legendre’s „Exercices de calcul intégral sur divers transcendantes et sur les quadratures“, 3 Bände Paris 1811—1816, und wurde nunmehr allgemein bekannt. Die neuere Geschichte der elliptischen Integrale ist so ausgedehnt, daß wir darüber im Rahmen dieser Anmerkungen nicht berichten können,

463—475. Hauptsächlich verdanken wir L. Euler die Berechnung einer großen Anzahl von bestimmten Integralen. Ohne Bedenken wandte er seine Methode auch auf solche Integrale an, deren Grenzen nach Unendlich streben oder deren Integranden an einzelnen Stellen unendlich groß werden. Die bezüglichen Einzelarbeiten Eulers können wir aber hier nicht anführen (einen kurzen Überblick findet man in G. Vivantes Bericht über die Geschichte der Infinitesimalrechnung in M. Cantor’s „Vorlesungen über Gesch. d. Math.“ 4. Bd. Leipzig 1908, S. 742 u. f.). Für die Theorie derartiger Integrale, die man auch uneigentliche Integrale nennt, kommen namentlich in Betracht A. Cauchy’s „Résumé usw.“, S. 93 u. f. (erwähnt bei Nr. 113), ferner B. Riemanns Habilitationsschrift (erwähnt bei Nr. 5), dann J. Worpitzky (1835—1895) mit der Schrift „Über die Endlichkeit von bestimmten Integralen“, Berlin 1867, und P. du Bois-Reymond im Journal f. Math. 76. Bd. 1872, S. 88 u. f. Siehe außerdem A. Pringsheim, Math. Ann. 37. Bd. 1890, S. 591 u. f., und 0. Stolz, „Grundzüge der Differential- und Integralrechnung“, 1. Teil Leipzig 1893. Diese Untersuchungen beziehen sich übrigens auf den allgemeinen Fall, wo der Integrand eine integrabele Funktion ist, vgl. Nr. A der Einleitung zum Harnack’sehen Anhänge, S. 534.

Die in Nr. 467 auftretenden Begriffe der geraden und ungeraden Funktionen finden sich in L. Euler’s „Introductio in analysin infinitorum“,

1. Bd. S. 11 u. f. (functiones pares und impares).

47G„ Siehe A. Cauchy’s oft erwähntes „Résumé usw.“, S. 96, 97.

478, 479. L. Euler, „De valore formulae integralis

Sm-₁±Zn~m

-1

1 ±zn

dz,

casu quo post integrationem ponitur z — 1“, Novi Comment. Acad. Petrop. 19. Bd. 1774, Petersburg 1775, S. 3 u. f.

480.    Auch die Teilbruchreihen für tgx und ctg x rühren von L. Euler her. Die Reihe (3) findet sich z. B. in seiner „Introductio in analysin infinitorum“, 1. Bd. S. 140.

481.    Siehe J. Wallis, „Arithmetica infinitorum“ 1659, auch „Opera mathematica“, Oxford 1699, 1. Bd. S. 355 u. f., insbes. S. 469. Ygl. hierzu R. Reiff's „Geschichte der unendlichen Reihen“, Tübingen 1889, S. 6 u. f. Zur Schlußbemerkung von Nr. 481 fügen wir noch hinzu, daß Wallis der Erste war, der Grenzübergänge in der heute üblichen exakten Form ausführte, ebenda S. 382 u. f.

486.    Zu Satz 18 vgl. die Anmerkung zu Nr. 405.

487.    Zum Integral als Funktion der oberen Grenze und eines Parameters vgl. G. F. Meyer's „Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale zwischen reellen Grenzen, mit vorzüglicher Berücksichtigung der von P. Gustav Lejeune - Dirichlet im Sommer 1858 gehaltenen Vorträge über bestimmte Integrale“, Leipzig 1871, S. 181, sowie Math. Ann. 6. Bd. 1874, S. 313 u. f., insbes. S. 317.

488.    489. Im Jahre 1697 wurde von G. W. Leibniz zum ersten Male ein Integral nach einem Parameter differenziert und zwar in einem Briefe an Joh. Bernoulli, siehe „Leibnizem Schriften“ 3. Bd. S. 453, Antwort S. 462. Sie nannten das Verfahren „differentiare de curva in cur-vam“. Davon ist auch 1715 in ihrem Briefwechsel die Rede, siehe a. a. 0 S. 937 u. f. L. Euler leitet aus der Differentiation der Integrale nach Parametern in seiner „Nova methodus quantitates integrales determinandi“, Nova Comment. Acad. Petrop. 19. Bd. 1774, Petersburg 1775, S. 66 u. f., wieder abgedruckt im 4. (Supplement-)Bande der „Institutiones calculi

integralis“, S. 260 u. f., ein „primum principium integrationum“ ab (S. 266),. das eben darin bestand, aus schon bekannten Integralformeln durch Differentiation nach Parametern neue zu gewinnen. Daran schließt sich (S. 269) die Integration nach einem Parameter und (S. 270) das „secun-dum principium integrationum“, nämlich die Methode der Gewinnung neuer Formeln durch Integration schon bekannter Integralformeln nach Parametern.

Die Frage, wann die Differentiation oder Integration eines Integrals nach einem Parameter erlaubt ist, wurde erst im 19. Jahrhundert gründlich untersucht. Siehe zunächst A. Cauclxy’s „Résumé usw.“, S. 129 u. f. Zusammenfassende Darstellung bei 0. Stolz, „Grundzüge der Differential-und Integralrechnung“, 1. Teil Leipzig 1893, S. 440 u. f.

495. Der Weit des insbesondere auch für die Wahrscheinlichkeitsrechnung wichtigen Integrals

+ OO

3:2 dx

— 00

wurde in der in Nr. 495 gegebenen Art von P. S. Laplace ermittelt, siehe „Mémoire sur les probabilités“, Mém. de l’Acad. 1778, Paris 1781 0,Oeuvres“ 9. Bd. Paris 1893, S. 381 u. f.). Ygl. auch Nr. 583.

496—498. Die Benennung der beiden Integrale (1) in Nr. 496 als Eulersche bei A. M. Legendre, „Exercices de calcul intégral usw.“ (vgl. Nr. 440—450), 1. Bd. (1811) S. 221, 2. Bd. (1814) S. 3 u. 4. Yon Legendre stammt auch das Zeichen P, dagegen das Zeichen B(p, q) von J. Ph. Binet (1786—1856), Journal de l’école polyt. 27. cah. 1839, S. 131. Das Integral B(p, q) war schon von J. Wallis, J. Newton und von J. Stirling (1692—1770) in seiner „Methodus differentialis sive tractatus de summa-tione et interpolatione serierum infinitarum“, London 1730, S. 125, betrachtet worden. Aber die ersten wichtigen Untersuchungen darüber sowie über F{p) verdankt man L. Euler. Sie beginnen 1730 mit der Abhandlung „De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt“, Comment. Acad. Petrop. ad annos 1730 et 1731, 5. Bd. S. 36 u. f. Hierin wird von der Reihe 1 ! —(- 2 ! -j- 3! —(- - - -ausgegangen, deren allgemeines Glied n\ auch in der Form eines unendlichen Produktes

lx~n2n 2¹“w3m    31_re4”

1 -}- n    2 -|- n    3 -|- n

i

geschrieben werden könne. Da nun dies Produkt z. B. für den nicht ganzzahligen Wert n — \ nach der Formel von J. Wallis, siehe Nr. 481, gleich j/7t sei, wird Euler zu der Aufgabe geführt, nl auch für nicht ganzzahlige Werte n zu definieren. Zu diesem Zwecke benutzte er das Integral B(p, q) und zwar in der Form

l

dx,

pc\l - x)n

wrorin e irgend eine Konstante bedeuten sollte. Die Binomialentwicklung von (1 — x)n lehrte nämlich, daß das Integral für ganzzahliges positives n

l

den Wert n! : (e -f-1) (e -f- ²) ■ • • (ß + w -f- 1) Łat. Somit fragte es sich, welcher Wert dem Integral für ein nicht ganzzahliges n zukommt. Durch Umformung des Integrals, wobei der Wert einer unbestimmten Form (1—xz) : ez iür lim ,2 = 0 zu ermitteln war, gelangte er alsdann zu der Formel:

/(— ln x)n dx — n\

o

für ganzzahliges positives n. Daß dies Integral zur Gammafunktion in der Form (1) von Nr. 496 führt, sieht man, indem man für —Ina; eine neue Veränderliche x setzt, denn dann kommt:

+ 00 je Xx”dx = n\.

Die Gammafunktion also diente Euler zur Verallgemeinerung der Fakultät für nicht ganzzahliges n, siehe Nr. 498. Schon in einem Briefe von 1729 an Chr. Goldbach (1690—1764), siehe „Correspondance math, usw.“ von Fuß (vgl. Nr. 101), 1. Bd. S. 3 u. f., hatte Euler überdies die Gammafunktion als unendliches Produkt, d. h. \nr(x) als unendliche Reihe dargestellt, nämlich als die Reihe (9) in Nr. 502. Von den verschiedenen Arbeiten, die Euler außerdem den Funktionen B(p, q) und r(p) gewidmet hat, nennen wir noch „Evolutio formulae integralis

a valore x = 0 ad x — 1 extensa“, Novi

J'xf⁻¹ dx(lx)n, integratione Comment. Acad. Petrop. 16. Bd. 1771, Petersburg 1772. S. 91 u. f., wieder abgedruckt im 4. (Supplement-) Bande der „Institutiones calculi integralis“, S. 78 u. f., und „De valoribus integralium a termino variabilis x — 0 usque ad x = oo extensorum“, 1781 der Petersburger Akademie vorgelegt, aber erst im 4. Bande der „Institutiones“, S. 337 u. f., abgedruckt. Hier tritt die Gammafunktion in der Form (1) von Nr. 496 auf; übrigens bezeichnet Euler dabei (n — 1)! mit A. Die Formel (5) von Nr. 497 steht in der zuerst genannten Arbeit auf S. 94. Eine vollständige Liste von Euler’s hierher gehörigen Arbeiten wird in N. Nielsen’s „Handbuch der Theorie der Gammafunktion“, Leipzig 1906, S. 304 u. f., gegeben. Dies Buch enthält überhaupt zahlreiche geschichtliche Notizen. Wir müssen uns hier auf die notwendigsten beschränken.

499. Formel (1) rührt von L. Euler her, „Institutiones usw.“

4.    Bd. S. 105.

503. Berechnung der Summen Sn bei L. Euler: „De summis serierum reciprocarum“, Comment. Acad. Petrop. 7. Bd. 1734—35, Petersburg 1740, S. 123 u. f., und in der „Vollst. Anleitung zur Differentialrechnung“ 2. Bd. S. 173 u. f. (§151, verdruckt in § 132), ferner bei A. M. Legendre in den „Exercices de calcul integral“, 2. Bd. Paris 1814,

5.    65, und im „Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes“, 2. Bd.- Paris 1826, S. 432. Die Konstante C hat Euler selbst auf 16 Dezimalstellen berechnet, siehe Acta Acad. Petrop. 1781, 2. Teil, S. 46, und Nova Acta Acad. Petrop. 4. Bd. 1786, Petersburg 1789, S. 3.

505. Die Tafel ist nach der bei C. F. Gauß, „Disquisitiones generales circa seriem infinitam

1 i «P ■ <*(<* +Üßtft+l) i a(«+l)(« + 2)P(/? + l)(p-f2) ^■    l-2.y(y + l)

1.2.3 y(y + 1) (y + 2)

æs-(- etc..

pars prior“, Commentationes soc. scient. Gottingensis recentiores, 2. Bd. Göttingen 1813, „ Werke“ 3. Bd. 1866, S. 123 u. f., insbes. S. 161 u. 162, hergestellt worden. Gauß bezeichnete r(x) mit TT(a;—1).

506. Siehe C. F. Gauß a. a. 0., insbes. S. 145.

507. Siehe Öhr. Gudermann (1798—1852), „Additamentum ad func-tionis r(a) theoriam“, Journal f. Math. 29. Bd. 1845, S. 209 u. f.

518. Siehe J. A. Serret in den Comptes Rendus 50. Bd. 1860,

S. 662.

522. Die Zahlen B

Bi usw. treten, mit A, —B, C, —D usw. bezeichnet, zuerst in Jak. Bernoullis „Ars conjectandi“ auf, dem ersten grundlegenden Werke über die Wahrscheinlichkeitsrechnung, unvollendet nach des Verfassers Tode von seinem Neffen Nik. Bernoulli in Basel 1713 herausgegeben (deutsch von B. Haußner als Nr. 107 und 108 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1899). Unter S(nc) versteht Jak. Bernoulli die Summen der cten Potenzen der n ersten natürlichen Zahlen; aus den Formeln für S(nc) im Falle c = 1 bis c = 10 schließt er (auf S. 97 u. f., bzw. S. 99, 1. Bd. der Übersetzung) durch unvollständige Induktion auf das Bestehen der Formel

rFÏ<,+1+î*'+±(₁>*"¹

und findet

+ ï(3)^“O'3 + ï(5)C'‘C"⁵ + ï(0i,”'

tH \ZD

, -B = —

¹ <7-A. D- ¹

30’

42 ’

30 ’

L. Eider sagt in seiner „ Vollständigen Anleitung zur Differentialrechnung¹¹,

2. Bd. S. 137 (§ 122), wo er die ersten fünfzehn Zahlen berechnet, daß man jene Zahlen nach dem Namen ihres Erfinders die Bernoullischen Zahlen nenne. Die in Nr. 522 angegebene Rekursionsformel für die Bernoullischen Zahlen rührt von A. de Moivre her, siehe seine „Miscel-lanea usw.“ (bei Nr. 354 erwähnt) in dem angehängten „Complementum“ S. 6 u. f.

523. Siehe J. Stirling, „Methodus differentialis usw.“ (bei Nr. 496 bis 498 erwähnt), S. 135.

536. Die Formel (3) bei Th. Parmentier, Nouv. Ann. 14. Bd. 1855, S. 370 u. f., die Formel (4) bei Th. Simpson (1710 — 1761), „Mathematical dissertations on physical and analytical subjects“, London 1743, S. 109. Simpson hat die Regel mittels Ersatzes der Kurvenbogen durch Parabeln gefunden, wie es in Nr. 537 zum Schlüsse gesagt wird. Der Begriff der Gewichte, von denen zu Anfang von Nr. 536 die Rede ist, wurde zuerst zur Beurteilung von Beobachtungsfehlern durch B. Cotes eingeführt und zwar in der nachgelassenen Abhandlung „Aestimatio errorum in mixta mathesi per variationes partium trianguli piani et sphaerici“, gedruckt 1722.

541.    Das Polarplanimeter wurde 1854 von J. Amsler erfunden, siehe Vierteljahrsschrift der naturforsch. Ges. in Zürich, 1. Bd. 1856, S. 44 u. f. (auch als besondere Schrift Schaffhausen 1856).

542.    Die älteste, wenigstens die zuerst veröffentlichte Rektifikationsmethode rührt von H. van Heuraet her, der sie in einem Briefe 1659 beschrieben hat, siehe die „Geometria a Renato Descartes anno 1637 gallice édita“, hrsg. von Fr. van Schooten, Amsterdam 1659, I S. 517 u. f.). Er ersetzte die zu rektifizierende Kurve y — f(x) durch diejenige mit der Ordinate t) = konst. 4/1 -f- y's. Alsdann ist ja die Bogenlänge

s — JVl -j- y ² dx = konst. J'tfdx,

x₀

X₀

d. h. proportional der Fläche der neuen Kurve. Somit wurde die Aufgabe der Rektifikation auf die der Quadratur zurückgeführt. Angewandt hat van Heuraet die Methode auf den Fall der gemeinen Zykloide. Die Bestimmung der Bogenlänge der gemeinen Zykloide und der sernikubi sehen Parabel (y⁸ = konst. x²) waren überhaupt die ersten Beispiele von wirklich ausgeführten Rektifikationen. Sie wurden auch von verschiedenen anderen Mathematikern geleistet, so von W. Neil (1637—1670), dir. Wren (1632—1723) und G. Personier de Roberval.

546— 552. Siehe die Anmerkungen zu Nr. 440— 450.

554, 555. Die Cassinische Kurve hat ihren Namen nach dem Astronomen G. D. Cassini (1625—1712), vgl. G. Loria, „Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven“, deutsch von Fr. Schütte, Leipzig 1902, S. 193 u. f. Bezüglich der Rektifikation siehe J. A. Serret, Journal de math. 8. Bd. 1843, S. 145 u. f.

556. Siehe J. A. Serret, Journal de math. 10. Bd. 1845, S. 421 u. f., 11. Bd. 1846, S. 89 u. f.

557—559. Siehe J. A. Serret, Journal de l’école polyt. 33. cah. 1853,

S. 69 u. f.

560. Siehe L. Euler

> )>

De curvis algebraicis quarum omnes arcus per arcus circulares metiri liceat“, der Petersburger Akad. 1781 vorgelegt, aber erst veröffentlicht in den Mém. de l’Acad. de St. Péters-bourg 11. Bd. 1830, S. 114 u. f. In einer früheren Abhandlung „De in-numeris curvis algebraicis, quarum longitudinem per arcus ellipticos metiri licet“, Nova Acta Acad. Petr. 5. Bd. 1787 (vorgelegt schon 1776), Petersburg 1789, S. 71 u. f., hatte er die irrige Behauptung aufgestellt, daß es außer dem Kreise selbst keine durch Kreisbögen rektifizierbare algebraische Kurve gäbe. Diese Behauptung nahm er in der vorher erwähnten Abhandlung feierlich zurück.

563. Siehe B. Cavalieri, „Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota“, Bologna 1635, verbesserte Ausgabe 1653, S. 482 u. f. der zweiten Ausgabe.

567. Siehe P. Guldin (1577—1643), „Centrobaryca“, Wien, 1. Buch 1635, 2. Buch 1640, 3. u. 4. Buch 1641. Die Guldinsche Regel steht im 2. Buche. Bei Pappus kommt die Regel im 7. Buche vor, siehe die Ausgabe von Fr. Hultsch in 3 Bänden, Berlin 1875—78, 2. Bd. S. 682 u. f.

568—579. Die Geschichte der Doppelintegrale beginnt mit der Integration eines einfachen Integrals nach einem Parameter. Vgl. daher die Anmerkungen zu Nr. 488, 489. Siehe auch die Abhandlung von L. Euler: „De formulis integralibus duplicatis“, Novi Comment. Acad. Petrop. 14. Bd. 1769, 1. Teil Petersburg 1770, S. 72 u. f., abgedruckt im Supplementbande der „Institutiones calculi integralis“, S. 416 u. f. Die exakte Theorie der Doppelintegrale wurde erst im neunzehnten Jahrhunderte geschaffen, ja man kann sagen, daß sie noch nicht vollendet ist, z. B. in bezug auf nach Unendlich strebende Grenzen oder Integranden. Im Übrigen aber ist die Zurückführung der Doppelintegrale auf zwei aufeinanderfolgende einfache Integrationen heute wohl als geklärt anzusehen. Ygl. namentlich C. Jordan, Journ. de math. 4. Serie, 8. Bd. 1892, S. 69 u. f., „Cours d'analyse de l’école polytechnique“, 2. Aufl., 3 Bände Paris 1893—1896, insbes. 1. Bd., und A. Pringsheim, Sitzungsber. der math.-phys. Kl. d. bayr. Akad. zu München, 28. Bd. 1898, S. 59 u. f., 29- Bd. 1899, S. 39 u. f.

58B. C. F. Gauß pflegte diese Betrachtung in seinen Vorlesungen zu geben, siehe die Bemerkung von E. Schering (1833—1897) in den „ Werken“ 7. Bd. Gotha 1871, S. 290.

584. Zum ersten Male wurde die Infinitesimalrechnung zur Bestimmung gekrümmter Flächenstücke von G. W. Leibniz 1692 auf einem Flugblatte angewandt (siehe „Leibnizem Schriften“ 5. Bd. S. 270 u. f.), wo die sogenannte Florentiner Aufgabe gelöst wurde. Sie bestand darin, aus einer Halbkugel rings um den Grundkreis vier gleiche Öffnungen so herauszubrechen, daß die noch verbleibende Oberfläche genau zu bestimmen sei, und war von V. Viviani (1602—1703) unter angenommenem Namen (nämlich mit der Bezeichnung: autore D. Pio Liści Pusillo geometra, einem Anagramm von autore postremo Galilei discipulo) in demselben Jahre kurz vorher ebenfalls auf einem Flugblatte gestellt worden. Das Wort Komplanation scheint zuerst in einer Abhandlung von Jalc. Bernoulli über die Komplanation konoidischer und sphäroidischer Oberflächen vorgekommen (wohl von 1691 oder 1692, vgl. M. Cantor, „Vorlesungen über Gesch. d. Math.“ 3. Bd. 2. Aufl. S. 221 und „Jac. Bernoulli Opera“, 2. Bd. S. 739 u. f.). Das Doppelintegral für ein beliebiges Flächenstück findet sich bei L. Euler in der bei Nr. 568—579 genannten Abhandlung von 1769 und zwar auf S. 443 des Supplementbandes der „Institutiones“. Man kann die zu berechnende Fläche allgemein durch ein Polyeder ersetzen, dessen Ecken sämtlich nach der Fläche und dessen Kanten sämtlich nach Null streben, jedoch muß man dabei fordern, daß die Ebenen des Polyeders zugleich nach den Tangentialebenen der Fläche streben. Auf diese notwendige Einschränkung hat H. A. Schwarz aufmerksam gemacht, siehe seine Mitteilung in dem autographierten „Cours de M. Hermite, professé pendant le 2e semestre 1881/82, second tirageParis 1883, S. 35 u. f., oder H. A. Schwarz, „Gesammelte math. Abhandlungen“, 2. Bd. Berlin 1890, S. 309 u. f., ferner unabhängig davon O. Holder, „Beiträge zur Potentialtheorie“, Stuttgart 1882, S. 29.

589. Siehe die Anmerkung zu Nr. 567.

59B. Der Begriff der Abbildung im allgemeinsten Sinne, und zwar im Falle der Darstellung der Kugelfläche in der Ebene, kommt vielleicht zuerst in L. Eulers’s Abhandlung „De repraesentatione superficiel sphae-ricae super plano“ vor, Acta Acad. Petrop. 1777, 1. Teil Petersburg 1778,

S. 107 u. f. (übersetzt von A. Wangerin in Nr. 93 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1898, insbes. S. 1).

597, 598. Auch die Einführung neuer Veränderlicher in Doppelintegralen hat zuerst L. Euler in der bei Nr. 568—579 erwähnten Abhandlung von 1769 betrachtet, von S. 429 des Abdruckes im 4. Bande der „Institutionen“ an. Das Ergebnis des Satzes 17 von Nr. 598 findet sich dort auf S. 431, und zwar ohne Angabe des absoluten Betrages der Funktionaldeterminante ; doch kommt L. Euler ausdrücklich darauf zu sprechen, S. 432 u. f.

G04. Die Transformation dreifacher Integrale findet sich zuerst bei L. Lagrange, „Sur l'attraction des sphéroides elliptiques“, Nouv. Mém. de l’Acad., année 1773, Berlin 1775, S. 121 u. f. {„Oeuvres“ 3. Bd. S. 619 u. f.), und zwar auch für Polar- und allgemeine krummlinige Koordinaten.

606.    Die Transformation «-fâcher Integrale führte C. G. J. Jacobi aus, siehe Journ. f. Math. 12. Bd. 1833, S. 38 u. f., und 22. Bd. 1841, S. 319 u. f. (s. auch „Gesammelte Werke“ 3. Bd., S. 233 u. f. und S. 395 u. f.).

607.    Siehe G. Lejeune-Dirichlet, Abhandl. d. Berliner Akad. 1839, Berlin 1840, S. 61 u. f. {„Gesammelte Werke“ 1. Bd. S. 391 u. f., auch in Nr. 19 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1890, S. 98 u. f.).

609. Siehe L. Euler, „Institutionen calculi integralis“ 1. Bd. S. 318 u. f., insbes. S. 324, 325.

612. Das erste Mal kam ein spezieller Integrabilitätslaktor bei Joli. Bernoulli in seinen „Lectiones matliematicae de methodo integralium aliisque“ 1742 vor {„Joli. Bernoulli Opera“, 3. Bd. S. 385 u. f., insbes. S. 416). Man darf aus einer Äußerung L. Euler’s in dem Aufsatze „Pro-blematis isoperimetrici in latissimo sensu accepti solutio generalis“, Comment. Acad. Petrop. ad annos 1732 et 1733, 6 Bd. Petersburg 1738 (bzw. 1739). S. 123 u. f., insbes. S. 134, entnehmen, daß er schon damals den Begriff des Multiplikators hatte. In seiner Abhandlung „Be infinitis curvis ejusdem generis“, Comment. Acad. Petrop. ad annos 1734 et 1735, 7. Bd. Petersburg 1740, S. 174—189 und dann wieder S. 180—183, kommt in einem speziellen Falle ein integrierender Faktor vor. In A. CI. Clairaufs Abhandlung „Beclierches générales sur le calcul intégralHistoire de l’Acad. de Paris, année 1739, S. 425 u. f., ist dann ebenfalls und zwar im allgemeinen Falle von einem Faktor die Rede, durch den ein Differentialausdruck integrierbar wird, ebenso in seiner Abhandlung „Sur l’intégration ou la construction des équations différentielles du premier ordre", Hist. de l’Acad. de Paris, année 1740, S. 293 u. f., und zwar auch für den Fall dreier Veränderlicher. Ferner bemerkte L. Euler 1755 auf S. 205 (§ 240) des 1. Bandes der „Vollst. Anleitung zur Differentialrechnung“, daß die Frage, ob ein Differentialausdruck Pdx -j- Qdy, in dem Px von Qy verschieden ist, durch Differentiation irgend einer Funktion entstanden sei, erst in der Integralrechnung beantwortet werden könne. Schließlich sind seine „Institutiones calculi integralis“ zu nennen, wo im 1. Bande S. 315 die Überschrift steht: „De integratione aequationem ope multiplicatorum“ und auf S. 327 die Bedingung für einen Multiplikator angegeben wird, siehe (4) in Nr. 612.

618. Siehe S. Lie (1842—1899), Forhandlinger i Videnskabs-Sels-kabet, Christiania 1874, S. 242 u. f., insbes. S. 251 u. f.

015. Ein Kurvenintegral kommt (vielleicht zum ersten Male) in A. Cl. Clair aut’s „Théorie de la figure de la terre, tirée des principes de l’hydrostatique“, Paris 1748, vor (vgl. P, Stöckel in der Bibliotheca math.

3. Folge 2. Bd.,' S. 111). Im übrigen entwickelte sich der Begriff des Kurvenintegrals zugleich mit dem der Integration monogener Funktionen auf Wegen in der komplexen Zahlenebene. Siehe die Anmerkungen zur Nr. 629. Der Begriff des reellen Kurvenintegrals ist z. B. auseinandergesetzt bei E. Picard, „Traité d’analyse“, 1. Bd. Paris 1891, S. 70 u. f. Siehe auch A. Pringsheim, Sitzungsberichte d. math.-phys. Klasse d. Akad. zu München, 25. Bd. 1895, S. 39 u. f. (insbes. S. 48 u. f.) und S. 295 u. f., sowie L. Heffter, Nachr. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1902, S. 115 u. f.

618.    Satz 11 wird der Green’sehe Satz in der Ebene genannt. G. Green (1793—1841) hat jedoch einen allgemeineren Satz für den Raum ausgesprochen, siehe „An essay on ihe application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism“, Nottingham 1828, S. 10 (deutsch von A. J. von Öttingen und A. Wangerin als Nr. 61 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1895, insbes. S. 24).

619,    620. Die Grundideen hiervon schon in Clairaut’s bei Nr. 615 erwähntem Werke, S. 37.

621—623. Vgl. die Anmerkungen zu Nr. 354. Die Fragestellung in Nr. 621 und ihre Beantwortung in Nr. 622, 623 rührt im wesentlichen von A. Cauchy her, der auch die Bezeichnung monogen eingeführt hat, siehe „Exercices d’analyse et de physique mathématique“, 4. Bd. Paris 1847, S. 346, vgl. auch Ch. Briot und J C. Bouquet, „Théorie des fonctions doublement périodiques usw.“, Paris 1859, S. 7. Die Bedingungsgleichungen (2) in Nr. 623 heißen aber die Cauchy - Riemannschen, weil sie insbesondere auch für B. Riemann den Ausgangspunkt seiner „Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Größe", Dissertation, Göttingen 1851, 2. Abdruck 1867, „Ges. math. Werke“ 2. Aufl. S. 3 u. f., bildeten. Die beiden Gleichungen (2) von Nr. 623 traten allerdings schon bei J. le Rond d’Alembert in seinem „Essai d’une nouvelle théorie de la résistance des fluides“, Paris 1752, auf, aber dort spielte das Imaginäre nur die Rolle eines Hilfsmittels. In seiner Abhandlung „De integrationibus maxime memorabilibus ex calcula imaginariorum oriundis“ von 1777 in den Nova Acta Petrop. ad annum 1789, 7. Bd. Petersburg 1793, S. 99 u. f., beschäftigte sich L. Euler damit, eine reelle Funktion Z einer reellen Veränderlichen z dadurch zu integrieren, daß er z durch eine komplexe Größe x-friy ersetzte, indem er alsdann Z als Funktion von x-jriy nach d’Alembert’s 1746 ausgesprochener Behauptung (vgl. die Anmerkungen zu Nr. 354) und entsprechend das Integral in seinen reellen und rein imaginären Teil zerlegte und die Bedingungen dafür aufstellte, daß die beiden reellen Differentialausdrücke, die nunmehr als Integranden auftreten, vollständige Differentiale vorstellen, vgl. die Schlußbemerkung in Nr. 629.

626, 627. Älter als der Begriff der konformen Abbildung der Ebene auf die Ebene ist der einer solchen Abbildung der Kugel auf die Ebene. Die stereographische Projektion, bei der die Kugel von einem ihrer Punkte aus mittels Zentralprojektion auf eine Ebene abgebildet wird, die zur Tangentialebene jenes Punktes parallel ist, gab das älteste

Beispiel einer winkeltreuen Darstellung der Kugel. Sie tritt schon bei Claudius Ptolemäus (um 150 n. Chr.) in seinem „Almagest“ auf („Ptole-maei opera quae exstant omnia“, hrsg. von J. L. Heiberg, 2 Bände Leipzig 1898 u. 1903, im 24. Kap. des 1. Buches, und soll von Hipparch (um 150 v. Chr.) herrühren; ihren Namen bekam sie von Fr. d’Aeguitton (auch d’Aguillon, lat. Aquilonius, 1566—1617) in seiner „Optica“ von 1613 (im 6. Buche). Außerdem veröffentlichte G. Kremer (lat. Mercator, 1512—1594) im Jahre 1569 zu Duisburg seine noch heute als Seekarte benutzte Weltkarte, die ebenfalls eine konforme Abbildung der Kugel auf die Ebene war. Weiterhin sprach J. H. Lambert (1728—1777) in dem Werke „Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung“, 3. Teil Berlin 1772, unter der Überschrift „Anmerkungen und Zusätze zur Entwerfung von Land- und Himmelscharten“, S. 105 u. f., unter Anderem auch von der Forderung der Winkeltreue bei einer Karte, nämlich von der „allgemeineren Methode, die Kugclfläche so zu entiverfen, daß alle Winkel ihre Größe behalten“ (S. 134 u. f.), aber er beschränkte sich doch immer zu früh auf speziellere Abbildungsarten, wodurch er allerdings die Zahl der bekannten konformen Abbildungen der Kugel auf die Ebene vermehrte. (Siehe auch die Ausgabe von A. Wangerin, Nr. 54 von Ostwald’s Klassikern, Leipzig 1894, insbes. S. 24 u. f.). Von Interesse ist seine Bemerkung auf S. 156 (bzw. 40), daß die Mitteilung seiner Formeln an L. Lagrange diesen bewogen habe, darüber noch fernere Untersuchungen anzustellen. Nunmehr ist auch L. Euler mit der Abhandlung „De repraesentatione superficiei sphaericae super plano“, Acta Acad. Petrop. 1777, 1. Teil, Petersburg 1778, S. 107 u. f., zu nennen, worin die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine winkeltreue Abbildung der Kugel auf die Ebene entwickelt werden (auf S. 118, in der Übersetzung von A. Wangerin in Nr. 93 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1898, auf S. 18). Er spricht dann von zwei Methoden, um diese Bedingungen zu erfüllen, wovon die zweite auf die allgemeinste Lösung führe (S. 119 bzw. 19). Bei dieser zweiten Methode (S. 124 u. f. bzw. S. 26 u. f.) verwendet er die Kombination x iy der Koordinaten, und dies ist die erste Stelle überhaupt, wo komplexe Veränderliche zur Herstellung konformer Abbildungen benutzt werden. Seine Ergebnisse sehen so aus (S. 125 bzw. 28):

x — .T(lns — it) -f- IXlns^-f- , iy — jT(lns — it) — r\'lns -j- it).

Dabei bedeutet t die geographische Länge und s den Tangens von \n-\-\u, wenn u die geographische Breite ist. Auch L. Lagrange hat sich mit der konformen Abbildung der Kugel auf die Ebene beschäftigt, siehe „Sur la construction des cartes géographiques“, Nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, année 1779, S. 161 u. f. (übersetzt von A. Wangerin in Nr. 55 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1894). Seine Ergebnisse gehen aber nicht wesentlich über die von Euler hinaus. Wenn man bedenkt, daß man zuerst die Ebene stereographisch (und daher winkeltreu) auf die Kugel, alsdann wieder die Kugel in allgemeinster Weise winkeltreu nach Euler auf die Ebene abbilden kann, muß man also sagen, daß durch Euler die Aufgabe gelöst worden war, die Ebene in allgemeinster Weise winkeltreu oder konform auf eine andere Ebene abzubilden. Für beliebige Flächen wurde dieselbe Aufgabe schließlich von C. F. Gauß in seiner Preisschrift gelöst: „Allgemeine Auflösung der Aufgabe: Die Teile einer gegebenen Fläche auf einer andern gegebnen Fläche so abzubilden, daß die Abbildung dem Abgebildeten in den Feinsten Teilen ähnlich wird“, Astron. Abhandlungen Heft 3, Altona 1825, S. 1 u. f., „ Werke“ 4. Bd. Göttingen 1873, S. 189 u. f. (auch in Nr. 55 von Ostwalds Klassikern, S. 57 u. f.).

629. Außer L. Euler (siehe z. B. die Anmerkungen zu Nr. 621 bis 623) hat gelegentlich auch P. S. Laplace Integrale von komplexen Funktionen betrachtet, vgl. den Bericht von P. Stachel, der bei Nr. 354 genannt wurde, auf S. 116. Wenn ferner auch S. D. Poisson bemerkenswerte Ergebnisse auf diesem Wege gefunden hatte (siehe „Mémoire sur les intégrales définies“, Journal de l’école polyt. 16. cah. Paris 1813, S. 215 u. f., sowie vier Fortsetzungen, „Suite du mémoire usiv.“ ebenda 17. cah. 1815, S. 612 u. f., 18. cah. 1820, S. 295 u. f., 19. cah. 1823, S. 404 u. f., 20. cah. 1831, S. 222 u. f., insbes. die 2. und 3. Fortsetzung), z. B. erkannt hatte, daß Integrale zwischen reellen Grenzen bei der Benutzung einer reellen oder imaginären Wertereihe von der einen zur anderen Grenze verschiedene Ergebnisse liefern können (siehe P. Stächel’s Bericht S. 119), so ist doch A. Cauchy der erste, der die Integrale im komplexen Bereiche nicht als Funktionen mit vorgeschriebenen Differentialquotienten, sondern als Grenzwerte von Summen definierte. Insbesondere kommen von ihm in Betracht: „Mémoire sur les intégrales définies“, Mém. prés, par divers savants, vorgelegt 1814, 2. Serie 1. Bd. Paris 1827, S. 599 u. f. („Oeuvres complètes“ 1. Serie, 1. Bd. S. 319 u. f.), „Pesumé des leçons données à l’école polyt.“, Paris 1823 („Oeuvres“ 2. Serie 4. Bd., S. 5 u. f.), „Mémoire sur les intégrale définies, prises entre des limites imaginaires“, Paris 1825 (abgedruckt im Bullet, des sciences mathém. et astr. im 7. u. 8. Bande 1874 u. 1875), „Mémoire sur les intégrales définies où l’on donne une formule générale de laquelle se déduisent les valeurs de la plupart des intégrales définies déjà connues et celles d’un grand nombre d’autres“, Annales de mathém. 16. Bd. 1825, S. 97 u. f., 17. Bd. 1826, S. 84 u. f., und „Considérations nouvelles sur les intégrales définies qui s’étendent à tous les points d’une courbe fermée, et sur celles qui sont prises entre des limites imaginaires“, Comptes Rendus 23. Bd. 1846, S. 689.

Während A. Cauchys Gedankengang in den früheren Abhandlungen durchaus rein analytisch war, verhält es sich von 1825 an anders. In seinem oben genannten „Mémoire“ von diesem Jahre heißt es (auf S. 284 des Abdruckes) : „si l’on suppose que x et y représentent des coordonnées rectangulaires, l’équation ... représentera une courbe . . .“, und von da an macht er beständig von geometrischen Vorstellungen Gebrauch. Die erste zusammenhängende Darstellung der Cauchy'&chen Theorien gaben Ch. Briot und J. C. Bouquet in ihrem bei Nr. 363 genannten Werke.

Schließlich ist noch zu erwähnen, daß C. F. Gauß, wie ein Brief an F. W. Bessel (1784—1846) von 1811 beweist (abgedruckt in Gauß’ „Werben“, 8. Bd. Leipzig 1900, S. 90 u. f.), schon damals im Besitze von Sätzen über Integration durch imaginäres Gebiet war, die A. Cauchy erst 1825 gab. Siehe auch seinen dritten Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra: „Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia“, Comment. Soc. Got-

40

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integral-Rechnung. II. 4. u. 5. Aufl.

tingensis recentiores, 3. Bd. ad annum 1814/15, Göttingen 1816, S. 135 u.f. („Werke“, 3. Bd. Göttingen 1866, S. 57 u. f., deutsch von F. Netto in Nr. 14 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1890, S. 61 u. f.). Die Anfangsgeschichte der Integration im komplexen Bereiche wird ausführlich dajrgestellt in P. Stöckels wiederholt erwähntem Berichte.

631. Der Satz 14 wird oft der Cauchysche Integralsatz genannt. Er findet sich zuerst in A. Cauchy’s schon bei Nr. 629 erwähntem und als besonderes Heft 1825 herausgegebenem „Mémoire sur les integrales définies, ‘prises entre des limites imaginaires“ in § 3. Ygl. A. Pringsheim, Sitzungsberichte d. math.-phys. Kl. d. bayr. Akad. 25. Bd. 1895, S. 39 u. f.

639. Siehe A. Cauchy’s „Exercices d’analyse2. Bd. Paris 1841, S. 52, ferner Comptes Rendus 12. Bd. 1841, S. 871 u. f. (auch schon in einer Turiner Abhandlung von 1831).

641. Der schon sehr große Umfang der Anmerkungen nötigt uns, in bezug auf die Funktionentheorie, die im wesentlichen mit dieser Nummer einsetzt, genauere geschichtliche Angaben zu unterdrücken. Wir verweisen allgemein auf W. F. Osgoods Bericht II B. 1 in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Leipzig 1901. Yon Originalwerken nennen wir noch außer A. Cauchy’s und B. Biemann’s wiederholt genannten Schriften die Abhandlungen von K. Weierstraß, abgedruckt in seinen „Mathem. Werken“, insbes. Bd. 1—3, Berlin 1894 bis 1903.

650. Zum Fundamentalsatze der Algebra vgl. zunächst das bei Nr. 354 über A. Girard Gesagte. Verschiedene Beweisversuche aus dem 18. Jahrhunderte sind fehlerhaft oder bloß Zirkelschlüsse. Den ersten wirklichen Beweis gab C. F. Gauß in seiner Dissertation von 1799, vgl. Nr. 355, 356. Später gab er noch drei weitere Beweise. Man findet sie zusammengestellt (bzw. auch übersetzt) von E. Netto in Nr. 14 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1890. Siehe auch die Darstellung in H. Hankel’s bei Nr. 1 genanntem Werke, S. 87 u. f.

KRAKÓW j

Sachregister.

Die Zahlen bedeuten nicht die Seiten, sondern die Nummern des Textes, insbesondere die kursiven Zahlen die Nummern des Harnack sehen Anhanges, während A und B die Abschnitte der Einleitung zu diesem Anhänge bezeichnen.

In der Regel gehen unter ein und demselben Stichworte die allgemeineren Begriffe den spezielleren voran.

Abkürzungen: Fkt. = Funktion, kompl. = komplex, Koord. = Koordinaten, Log. = Logarithmus, mon. = monogen, rat. = rational, Yeränd. =

Veränderliche.

A.

Abbildung der Ebene stetig 593, im kleinen 594—596, 599, gleichsinnig 595, 626, insb. Abbildung d. Richtungen 595, konform oder mittels mon. Fkt. siehe konforme Abb., winkeltreu 626—628.

Ableitung des Integrals 401, des bestimmten Integrals 410, einer Fkt. einer kompl. Yeränd. 621, 622, einer gleichmäßig konvergenten Reihe 427, 428, 646, einer mon. Fkt. 623, höherer Ordnung einer mon. Fkt. 643, des Integrals einer mon. Fkt. 633, des Arkussinus im kompl. Bereiche 658, der Bogenlänge 542, 543, der Gammafkt. 500, des Log. der Gammafkt. 502—504, 508, 526, siehe auch Differentialquotient.

Absolute Integrierbarkeit A.

Absoluter Betrag d. bestimmten Integrals 414, bei beliebig engen Grenzen 419, im kompl. Bereiche 630.

AdditiveKonstante beim Intégral 400, 651, 652.

Algebraische Funktionen integriert 429—450, von elementaren Fktn. integriert 451.

Algebraische Summe von Integralen 413.

Amplitude vielwertig 653.

Amslers Planimeter 541.

Analytische Fortsetzung einer Fkt. 660.

Analytische Funktion als mon. Fkt. 623, Umkehrung 643.

Anfangsecken 569.

Anfangs wert des Integrals 400.

Anwendungen des Cauchyschen Satzes 640, 643—646, 648, 649, 651, 652.

ArithmetischesMittel der Ordi-naten 419.

Arkusfunktionen beim Integrieren rat. Fktn 432, 433.

Arkussinus im kompl. Bereiche 658.

Arkustangens als Integral 638, als mon. Fkt. 625, ausgedrückt durch Log. 638, unendlichvielwertig 652.

Astroide 534.

A sympto tisch er Wert der Fakultät 517.

B.

Bedingung für Ableitungen im kompl. Bereiche 622, für Dar-stellbarkeit durch Fouriersche Reihe oder Integralformel 6, 16, 18, für Integrierbarkeit A, für Multiplikatoren 612, für rat. Integrale rat. Fktn. 431, 558, für Unabhängigkeit des Integrals vom Wege 619, 620, für vollständige Differentiale 608—611.

Berechnung der Ableitung des Log. d. Gammafkt. 504, 526, der Bernoullischen Zahlen 522, 529, der Eulerschen Konstanten 503, 527, der Gammafkt. 503, 505, 528, • des Log. der Gammafkt. 503, 523, 525, von n 428, 481, der Summe der reziproken Werte der Potenzen der natürlichen Zahlen 503.

Bereich siehe einfach zusammenhängender Ber. u. Integrationsber.

Bernoullische Zahlen 522 -527, independent berechnet 529.

Bestimm teslntegr a 1410,412, A, abgeschätzt 413, Beispiele 411, 413, 418, 445—450, 464, 468, 469, 472, 473, 476—480, 484, 489, 492 bis 502, 512—514, 534, 546, 554 bis 556, 564—566, 631, 634—638, 640, 651, 652, berechnet aus unbestimmtem 411,    477—480,

differenziert 410, A, differenziert nach einem Parameter 488, 490, 491, dividiert mit dem Intervalle 419, eingeschlossen in beliebig engen Grenzen 419, eingeschlossen zwischen zwei Werten 412—414, als Funktion der oberen Grenze 410, mit den Grenzen -f- oc oder — OO 463—469, 474, 482, 483,

490,    Hauptwert 476, integriert nach einem Parameter 489—491, in Mittelwertsätzen siehe Mittelwertsätze, singulär 476, stetig 410, A, als stetige Fkt. der oberen Grenze und eines Parameters 487, mit Sprungstellen 475, bei Substitution neuer Yeränd. 417, 418, 462, 482—485, bei teilweiser Integration 415, mit unstetigem Inte-granden 463, 470—476, 482, 483,

491,    bei Vertauschung der Grenzen 412, 617, 630, A, mit willkürlicher oberer Grenze verwandelt in eines mit bestimmter oberer Grenze 485, einer positiven Fkt. 412, berechnet mittels der Gammafkt. 512—514, von Fourier 14—19, dessen Grenzwert die Fouriersehe Reihe ist, 4, 5, für den Rest der Taylorschen Reihe 421, 422, spezielle siehe im Inhaltsverzeichnisse, siehe auch Integrale, Doppelintegral, mehrfaches Integral u. Kurvenintegral.

Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra 650.

Beziehung zwischen den.Um-fängen von Ellipsen 552.

Bildpunkte bei Abbildung der Ebene 593, 626.

Bilineare Gleichung für entsprechende Richtungen bei Abbildungen 595.

Binomialreihe im kompl. Bereiche 657.

Bogenelemente der Parameterlinien 600.

Bogenlänge definiert 542, 543, als Integral 401, 542, 543, des Integrationsweges 630, 642, siehe auch Rektifikation.

B (p, q) siehe Eulersche Integrale.

Bruch aus mon. Fktn. 624.

C.

Cartesisches Blatt 534. Cassinische Kurven 554, 555. Cauchyscher Fundamentalsatz 639, Zusatz 645, angewandt 640, 643—646, 648, 649, 651, 652. Cauchysche Restform 422. Cauchy-Riemannsche Gleichungen 623.

Cavalierisches Prinzip 563.

D.

A cp oder j/l — fc²sin²qp 448, 546, 548, siehe auch elliptische Integrale.

Differentialausdruck 608—610, durch Multiplikator vollständig gemacht 612—614, siehe auch vollständiges Differential.

Differential désintégrais 401, 410, bei Einführung neuerVeränd. 417.

Differentialquotient siehe Ableitung und Differentiation, vorwärts und rückwärts gebildet 6, zweiter mittlerer 10—12.

Differentiation einer Fkt im kompl. Bereiche 621, 622, insbes. einer Fkt. von einer Fkt. 625, einer gleichmäßig konvergenten Reihe 427, 508, 646, gliedweise 427, 508, 646, eines Integrals 401, 410, eines Integrals nach einem Parameter 488, 490, 491, des Integrals einer mon. Fkt. 633, invers zur Integration 401, einer mon. Fkt. 623, einer mon. Fkt. wiederholt 643, des Arkussinus im kompl. Bereiche 658, der

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Einfach zusammenhängender Bereich einer mon. Fkt. 632, einer gleichmäßig konvergenten Reihe von mon. Fktn. 647, hergestellt durch neue Grenzlinien 632, 635—639, für l:(l-f z³) 632, 638, für 1 : zn 635, für ln 2 636, für ln (z — c) 637.

Einfache geschlossene Linie 651.

Eingeschriebenes Polyeder 569.

EingeschriebenesPolygon404.

Einschluß des Integrals zwischen zwei Werten 412, 414, 419.

F'{k, cp) und Et siehe elliptische Integrale.

Elementare Funktionen 401, 429, 462.

Ellipse quadriert 564, rektifiziert 546, 552, rektifiziert mittels Hyperbeln 551.

Ellipsenumfänge 552.

Ellipsoidfläche 592, insbes. Rotationsfläche 588.

Ellipsoidvolumen 564, 607.

Elliptische Integrale 440—450, 546—556, reduziert 441—444, E(Jc, cp) und FQc, qp) 546—550, 592, Et und F₁ 547—549, 552, angewandt zur Rektifikation 546 bis 556, siehe auch elliptische Normalintegrale.

Elliptische Normalintegrale erster Gattung 445, 446, 448, 472, 485, 546—556, zweiter Gattung 445, 446, 448, 546—552, dritter Gattung 447, 448, reduziert auf anderen Modul 548—550, mit Modul Eins 450, mit Modul Null 449, mit Modul 1 : j/2 553.

Eulersche Integrale erster Gattung B(p, q) 496, 499, 607, reduziert auf die Gammafkt. 497, zweiter Gattung siehe Gammafkt.

Eulersche Konstante 502, berechnet 503, 527.

Eulersche Kurven 560.

Eulerscher Multiplikator 612 bis 614.

Evolventen und Evolute 561, 562.

Existenzbeweise für einfache Integrale 406—408,    410, für

Doppelintegrale 569—571, 573 bis 576, 578, für Integrale im kompl. Bereiche 629, für Kurvenintegrale 616, 617.

Exponentialfunktion 506, als mon. Fkt. 623, integriert 634, angewandt zur Definition der Potenz 654.

Exzeß, sphärischer 590.

F.

Fakultät im Zusammenhänge mit d. Gammafkt. 498, 502, 506, 509,

516,    ihr asymptotischer Wert

517,    eingeschlossen zwischen zwei Grenzen 518.

F(k, cp) und Ft siehe elliptische Integrale.

Flächein der Ebene als Integral 401, 403, 411, als Grenzwert einer Polygonfläche 404, 406—409, projiziert auf eine andere Ebene 414, 584, ihr Vorzeichen 409, 411, 530, 540, 541, ihre statischen

Koeffizienten

einer

von

Momente 602, überstrichen durch eine Strecke 540, 541, des Dreiecks 530, siehe auch Quadratur.

Fläche im Raume ersetzt durch angenäherte Fläche 563, 568, insbes. durch Polyeder 563, 569 bis 572, 579, 584, siehe auch Komplanation und Kubatur.

Flächenintegral siehe Doppelintegral.

Flächenstreifen für näherungsweise Quadratur 535.

Formel von Wallis für tt 481, 511, 517.

Fouriersches Integral 14—19.

Fouriersche

siehe Koeffizienten der Fourier-schen Reihe.

Fouriersche Reihe B, 1—19, Grenzwert ihrer Koeffizienten 3, reduziert auf den Grenzwert eines Integrals 4, nur abhängig vom Verhalten der Fkt. in der Umgebung 4, an den Intervallgrenzen 6, Umkehrung der Problemstellung 7, identisch mit trigonometrischer Reihe 13, umgeformt in das Fouriersche Integral 14, 17—19.

Fundamentalgrößen

Fläche 600, in Polarkoordinaten

601.

Fundamentalsatz der Algebra 650.

Fundamentalsatz von Cauchy

639,    Zusatz 645, angewandt 640, 643—646, 648, 649, 651, 652, insb. zur Berechnung reeller Integrale

640.

Funktion absolut integrierbar A, analytisch 623, dargestellt durch Fouriersches Integral 14—19, dargestellt durch Fouriersche Reihe B, 1, 2, 6, 13, dargestellt durch trigonometrische Reihe 7, 13, elementar 401, 429, mit gegebener Ableitung s. Integrale, gerade oder ungerade 467, B, 14, 19, gleichmäßig stetig 486, 611, integrierbar A, einer kompl. Veränd. 621, 622, einer kompl. Veränd. mit Ableitung 623, einer kompl. Veränd. integriert 629, monogen siehe mon. Fktn., ihre Schwankung 405, 486, 569—571, 573—575, 578, 611, A, stetig 404, 405, 486, 610, 611, 622, 629, stetig längs einer Kurve 616, 617, mit Sprungstellen 475, A, 1, 2, willkürlich 7, mit zweitem mittlerenDifferential-quotienten gleich Null 11, mit integrierharem zweiten mittleren Differentialquotienten 10,12, siehe auch die Stichworte für spezielle Pktn., Mehrwertigkeit und unendlichviel-wertige Fkt.

Funktionaldeterminante bei Abbildung der Ebene 593, 599, 626, als Grenzwert des Verhältnisses ebener Flächen 595, 596,

599,    bei konformer Abbildung 626, bei krummlinigen Flächenkoord.

600,    bei krummlinigen Raum-koord. 604, bei krummlinigen Koord. im Raume von n Dimensionen 606, bei räumlichen Polar-koord. 604, bei Transformation von Doppelintegralen 598, bei Transformation von dreifachen Integralen 604, bei Transformation von w-fachen Integralen 606.

GL

Gammafunktion definiert für positive Veränd. 496, definiert im kompl. Bereiche 506, dargestellt als unendliches Produkt 502, 506, 507, als Verallgemeinerung der Fakultät 498, 506. 509, ihr Verlauf für positive Veränd. 505, ihr Verlauf für negative Veränd. 528, berechnet für positive Veränd. 503, differenziert 500, ihre erste Eigenschaft r(x -f-1) = xT(x) 498, 509, ihre zweite Eigenschaft T{x) F(1 —x) — nx : sin nx 499, 510, ihre dritte Eigenschaft 511, Wert I\p) .T(p-j-■$■) 499, für positive Veränderliche in zwei Grenzen eingeschlossen 524, ihr Log. als bestimmtes Integral 501, ihr Log. als Gudermannsche Reihe 519, ihr Log. als Stirlingsche Formel 523, 525, ihr Log. als unendliche Reihe 502, 503, 506, 507, ihr Log. differenziert für positive Veränd. 502—504, ihr Log. differenziert im kompl. Bereiche 508, für die Berechnung der Eulerschen Integrale 1. Gattung 497, für die Berechnung bestimmter Integrale 512—514, für die Berechnung

f(x — 0) 6.

eines gewissen w-fachen Integrals 607.

Ganze rationale Funktion integriert 414, 429, monogen 623, ihre Nullstellen 650.

Gaußische Koordinaten 600.

Gebrochene rationale Funktion integriert 430—433, mono-gen 624.

Gemeine Zykloide rotierend 566.

Geometrische Deutung der Einführung neuer Yeränd. in Doppelintegralen 597, desgl. in dreifachen Integralen 604, des Multiplikators 613, siehe auch Abbildung.

Gerade bei Transformation durch reziproke Radien 628.

Gerade Funktion 467, B, 14, 19.

Gewichte von Näherungswerten 536.

Gleichmäßige Konvergenz einer unendlichen Reihe im Reellen 425, im kompl. Bereiche 641, der differenzierten Reihe 427,428, 646, der integrierten Reihe 426, 428,

642,    647, einer Potenzreihe 428,

643,    einer Reihe nach den Kosinus und Sinus der Vielfachen der Yeränd. siehe Fouriersche Reihe und trigonometrische Reihe, siehe auch das nächste Stichwort.

Gleichmäßig konvergente Reihe von monogenen Funktionen 641, differenziert 646, integriert 642, 647, als mon. Fkt.

644,    stetig 641.

Gleichmäßige Stetigkeit 486.

Gleichseitige Hyperbel 407, 411, 539.

Gleichsinnige Abbildung 595, 626.

Gliedweise Differentiation

427,    508, 646.

Gliedweise Integration 426,

428,    642, 643, 647, der trigonometrischen Reihe 9.

Goniometrische Funktionen integriert siehe Integral e spezieller Art, als mon. Fktn. 623, 624, in Partialbrüche zerlegt 480.

Grenzen des Integrals 410, bei Einführung neuer Veränd. 417, 418, 482, 483, 485, unendlich groß 463—469, 474, vertauscht 412, 617, 630, A.

Grenzlinien zur Herstellung einfach zusammenhängender Bereiche 632, 635—639, 651—656, ihre positive Seite 651—653.

Grenzwert(e) der Integrale mit endlosen Intervallen 464—469, 482, der Integrale mit unstetigen Integranden 470—476, 482, der Integrale mit unstetigen Integranden und endlosen Intervallen 474,482, der Integrale mitSprung-stellen des Integranden 475, eines Integrals als Summe der Fourier-schen Reihe 4, 5, 15, 16, der Koeffizienten der Fourierschen Reihe 3, der verallgemeinerten Koeffiz. der Fourierschen Reihe 15, der Koeffiz. der trigonometrischen Reihe 8, der Polyederfläche 584, des Polyedervolumens 568—571, 579, der Polygonfläche 404, 406 bis 410, einer einfachen Summe als bestimmtes Integral 410, einer einfachen Summe als Integral im kompl. Bereiche 629, einer einfachen Summe als Kurvenintegral 615, 616, 629, einer Doppelsumme als Doppelintegral 569—578, 584, einer dreifachen Summe als dreifaches Integral603,d. Verhältnisses d. Bogens zur Sehne 544, des Verhältnisses zweier Dreiecke bei Abbildung d. Ebene 596, des Verhältnisses zweier Flächen bei Abbildung der Ebene 599, des Differenzenquotienten im kompl. Bereiche 621, 622, /’(#-}-0) und

Gudermannsche Reihe 519. Guldinsche Regel für Rotationsflächen 589, für Rotationskörper 567.

H.

Hauptwert des bestimmten Integrals 476, des Log. 506, 507, 636, 638, 651, des Log. als mon. Fkt. 623, des Log. zur Darstellung des Arkustangens 638.

Hilfsfunktion g(a?) in der Theorie der Gammafkt. 515—521.

Hilfsatz über positive Zahlen 423.

Hyperbel rektifiziert 546, insbes. mittels Ellipsen 551, gleichseitige quadriert 407, 411, 539.

Hyperbolische Kurven 534.

Hyperbolisches Paraboloid 565, 580.

I.

Independente Berechnung der Bernoullischen Zahlen 529.

Integr abelerDifferentialaus-druck 609, 611.

Integrabilitätsbedingung eines Differentialausdrucks 609, 611, für eine Fkt. A.

Integr abilität sf a ktor612—614.

Integrale allgemein 399, 410, A, bestimmte siehe bestimmtes Integral, als Fktn. mit gegebenen Differentialquotienten 399—402, als Grenzwerte von Summen 410, A, als Fktn. der oberen Grenze 410, als Fktn. der oberen Grenze u. eines Parameters 487, von derselben Fkt. 400, von Fktn. mit konstanten Faktoren 414, von Produkten 415, 416, 420, 424, von Summen 413, von vollständigen Differentialen 609—-614, längs Kurven siehe Kurvenintegral, von vollständigen Differentialen längs Kurven 619, 620, im kompl. Bereiche 629—639, 642—649, 651, 652, in einfach zusammenhängendem kompl. Bereiche 632, in einfach zusammenhängendem Bereiche als Fktn. der oberen Grenze 633, von mon. Fktn. 631, von mon. Fktn. als mon. Fktn. 633, von mon. Fktn. unabhängig vom Wege 631, im Zusammenhänge mit Multiplikatoren 612—614, differenziert 410, 633, multipliziert mit Konstanten 414, als unendlichvielwertige Fktn. 651, 652, der absoluten Beträge der Integranden 414, A, siehe auch Doppelintegral, dreifaches Integral, Grenzwerte, mehrfaches Integral, Integration und die nächsten beiden Stichworte.

Integrale spezieller Art im reellen Bereiche: von algebraischen Fktn. 429—450, von algebraischen Fktn. elementarer Fktn. 451, einfachste 402, von elementaren Fktn. 429, elliptische siehe elliptische Integrale und Normalintegrale, Eulersche siehe Eulersche Integrale u. Gammafkt., Fouriersche 14—79, von ganzen rat. Fktn. 402, 414, 418, 429, von gebrochenen rat. Faktn. 401, 402, 418, 480—433, 558, von gonio-metrischen Fktn. 402, 452, 455 bis

460,    von Potenzen 402, von Produkten von Kosinus linearer ganzer Fktn. 455, von rat. Fktn, goniometrischer Fktn. 452, von

rat. Fktn. von y'a -\-bx 434, von rat. Fktn. von x und ~\/aĄ-bx 435, von rat. Fktn. von x und y a -f- bx -f- cx² 436—438, von rat. Fktn. von x, y<x-\-bx und Y ce -f ßx 439, von rat. Fktn. von x und einer Quadratwurzel einer ganzen Fkt. 3. oder 4. Grades s. elliptische Integrale, von transzendenten Fktn. 451—462,von unv 453, von l'.y\ — x² 402, von

1 -.y 1 — xn 413, von sin x und cos x 402, von tg x und ctg x 452, von 1 : sin x und 1 : cos x 452, von cos” x und sin” x 456, 459, von sinm x cos” x 457, 458, von 1 : (a sin x -f- b cos x -f- e) 460,

461,    von xn cos x 453, von ex 402, von xne~x 416, von xneax cos bx und xneax sin bx 454, insbes. in speziellen Fällen 416,453, von Ina? 416, von (ln x)² : X 418, von (lna?)”æ™⁻¹ 418, von (arc sin x)n 453, siehe auch Integration.

Integrale spezieller Art im komplexen Bereiche: von z2 631, von zn und 1 : zn 635, von 1 : z 636, 651, von 1 : (z — c)

637,    651, von 1 : (1 + Z²) 632,

638,    652, von 1 : (jg — cf 651, von e\ sin z, cos z 634, mit Periodizitätsmoduln 651, 652, siehe anch Integration.

Integralrechnung 399.

Integralzeichen 401, 403, 410.

Integrand • 401, größer als ein anderer 413, positiv 412, rationalisiert 434—439, 452, 460, unstetig 470—476, 482, 491, A, von der Form uv 415, 416, von der Form unv 453.

Integration 399, 410, 411, bezeichnet als Quadratur 411, 530, von gleichmäßig konvergenten

U nstetigkeitsstellen

um

bz w.

Reihen 426, 428, 642, 647, eines Integrals nach einem Parameter 489—491, invers zur Differentiation 401, im kompl. Bereiche 629—639, 642—645, 647—649,

651,    652, längs Kurven s. Kurvenintegral, durch Rationalisieren des Integranden 434—439, 452, 460, reeller Fktn. mittels des Imaginären 432, 454, 640, durch Substitution 417, 418, 462, 482 bis 485, teilweise 415, 416, A, teilweise wiederholt 453, unendlicher Reihen 426, 428, 642, 643, 647,

herum 639, 645, 651, 652, vollständiger Differentiale 609—611, des zweiten mittleren Differentialquotienten 10,12, siehe auch Integrale und Integrationsmethoden sowie gliedweise Integration.

Integrationsbereich

-intervall 410, 572—578, 597, 598, 603, 604, 606, 609—611, 615—620, 631—640, 642—645, 647—649.

Integrationsmethoden für algebraische Fktn. 429—450, für bestimmte Integrale 477—480, 482—486, 489—502, 512—514, 607, für rat. Fktn. 430, 432, 433, für spezielle Fktn. siehe Integrale spezieller Art im reellen oder kompl. Bereiche, fürtranszendente Fktn. 451—462, für unbestimmte Integrale 413—418.

Integrationsweg 617—620, 629 bis 639, 642—649, 651, 652, in einfach zusammenhängendem Bereiche 632—639, 647, 649, 651,

652,    geschlossen 618, 631, 639, aus mehreren Teilen bestehend 617, insbes. Kreis 639, 640, 643 bis 645, 648, 649.

Integrierbarkeit eines Differentialausdrucks 609, 611, einer Fkt. A, unendlicher Reihen 426, 428, 642, 643, 647.

Intervall siehe Integrationsbereich, der Fourierschen Reihe B,^.

Inverse Operation 401, Substitution 417, 482.

K.

Kegelvolumen 563.

K ehlkreis 587.

Koeffizienten der Fouriersehen Reihe B, £, 7, ihre Grenzwerte 3, verallgemeinert 15.

Koeffizienten der trigonometrischen Reihe 8.

Komplanation 584—592, in ebenen Polarkoord.586, in krummlinigen Koord. 600, in räumlichen Polarkoord. 601, durch Zerlegung in Zonen 592, des allgemeinen Ellipsoids 592, von Kugelteilen 590, 591, 601, von Rotationsflächen 587, 589, des Rotationsellipsoids 588, von sphärischen Dreiecken 590.

Komplexer Bereich und komplexe Veränderliche 506 bis 611, 519, 621—660.

Konforme Abbildung 626, stets durch mon. Fkt. vermittelt 627, mittels Transformation durch reziproke Radien 628, mittels ]/z 655.

Konstante von Euler 502, berechnet 503, 527.

Konstanter Faktor désintégrais oder Integranden 414.

Konstanter Summand des Integrals 400.

Konstanz einer überall endlichen und mon. Fkt. 649.

Konvergenz gleichmäßig siehe gleichmäßige Konv. und gleichm. konv. Reihe von mon. Fktn., von Integralen mit endlosen Intervallen 464—469, 474, 482, 483,

490,    von Integralen mit unstetigen Integranden 470—476, 482, 483,

491.

Konvergieren einer Fläche nach gegebener Fläche 563, 568, 569, 579, einer Linie nach gegebener Kurve 531, 532, 540.

Koordinaten krummlinig auf Flächen 600, krummlinig im Raume 604, eines Raumes von n Dimensionen 605, siehe auch Polarkoordinaten.

Körperschicht 563.

Korrektionsglied der Simpson-schen Regel 538.

Kosinus als mon. Fkt. 623, 634, integriert 402, 411, 634.

Kreis, seine Fläche 411, als Integrationsweg 639, 640, 643—645, 648, 649, orientiert 605, zur Rektifikation von Kurven 558—560, rotierend 566, bei Transformation durch reziproke Radien 628.

Kreisring 566.

Krummlinige Koordin aten auf Flächen 600, im Raume 604, 605, im Raume von nDimensionen 606.

Krümmungsradius 561.

Kubatur durch einfaches Integral 563, 568, 579, durch Doppelintegral 568, 569, 579, durch Doppelintegral bei geschlossener Fläche 581, durch dreifaches Integral 604, in ebenen Polarkoord. 582, 598, in räumlichen Polarkoord. 604, von Kegeln 563, von Körperschichten 563, von Rotationskörpern 566, 567, von Zylindern 563, des Ellipsoids 564, 607, des hyperbolischen Paraboloids 565, 580, des Kreisringes 566, eines gewissen Kugelteiles 582.

Kugel, Komplanation von Teilen 590,591,601, Kubatur eines Teiles 582, orientiert 605.

Kurven dargestellt mittels des Tangentenwinkels 562, ersetzt durch angenäherte Linien 531, 532, 540, 541, ersetzt durch Parabelstücke 537, ersetzt durch Polygone 404—409, 535—537, ersetzt durch Sehnenpolygone 542, 543, rektifiziert siehe Rektifikation, ihre Schwerpunkte 589, 602, ihre statischen Momente 602, von Euler 560, von Serret 556, 558, 559.

Kurvenbogen u. Kurvenlänge siehe Rektifikation u. Bogenlänge.

Kurvensegment 530.

Kurvenintegral als Grenzwert einer Summe 615, 616, 629, mit beliebigem Intégrationswege 617, mit geschlossenem Wege 618, unabhängig vom Wege 619, 620, über ein vollständiges Differential 619, 620, dargestellt als Flächenintegral 618, im kompl. Bereiche 629—639, 642—645, 647—649, 651, 652.

Kurvennetz in der Ebene 578, 584, auf einer Fläche 600.

Kurvenschar in der Ebene 613.

L.

Lagrangesche Restform 422. Landensche Transformation 551.

Lemniskate quadriert 534, rektifiziert 553, verallgemeinert 556.

Lineare partielle Differentialgleichung 1. O. für Multiplikatoren 612.

Lineare Substitutionen 440, 441, 483, 2.

Logarithmus als Integral 402, 430, 432, 433, 461, 636, 651, als mon. Fkt. 623, 636,651, als Potenzreihe im kompl. Bereiche 507, unendlich viel - wertig 651, sein Hauptwert 506, 507, 623, 636, 638, 651, zur Darstellung von Arkussinus 658, zur Darstellung von Arkustangens 638, zur Definition der Potenz im kompl. Bereiche 654.

Logarithmus der Gammafunktion 501—503, 505, differenziert 502, 504, 505, 508, 519, 526, als Gudermannsche Reihe 519, im kompl. Bereiche 506—508, 519, 523, 524, als Stirlingsche Formel 523.

M.

Maß der Divergenz 8.

Maximau. Minima der Gammafunktion 505, 528.

Mechanische Quadratur 540, 541.

Mehrfaches Integral 606, von Dirichlet 607.

Mehrwertigkeit einer Fkt. 651,

652,    654—658, 660, bei konformer Abbildung 655, der Amplitude

653,    von Potenzen 654, von Wurzeln 654, 655, siehe auch unendlichviel-wertige Fkt.

Methoden siehe Integrationsmethoden.

Mittel der Ordinaten 419, von zwei Werten mit Gewichten 536.

Mittelwertsätze für bestimmte Integrale 419, 420, 424.

Modul eines elliptischen Normalintegrals 445, 447, transformiert 548, gleich Eins 450, gleich Null 449.

Moivresche Formel 478, 479, mit beliebigem reellen Exponenten 654, für kompl. Winkel 510.

Momente, statische 602, 607.

Monogene Funktionen definiert 623, als analytische Fktn. 643, 659, 660, analytisch fortgesetzt

P.

Q-

660, in einfach zusammenhängenden Bereichen 632, 633, gebildet durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division von mon. Fktn. 624, integriert 631 bis 633, 639, 645, für konforme Abbildungen 626—628, 655, von mon. Fktn. 625, verglichen mit einfacherer mon. Fkt. 648, überall endlich 649, die längs Wegstücken verschwinden, 659, mehrwertig 651, 652, 654—656, 658, 660, siehe auch die Stichworte für spezielle Fktn.

Multiplikator 612—614, geometrisch gedeutet 613.

N.

Näherungsweise Quadratur 535—539.

Neue Veränderliche in einfachen Integralen 417, 418, 462, 482—485, in Doppelintegralen 597—601, in der Ebene gedeutet als Abbildung 593—596, 655, in dreifachen Integralen 604, in w-fachen Integralen 606.

Normalformen des Radikanden eines elliptischen Integrals 443.

Normalintegrale siehe elliptische Normalintegrale.

0.

Oberfläche ersetzt durch angenäherte Oberfläche 563,    568,

insbes. durch Polyeder 563, 569 bis 571, 579, 584.

Oberflächenintegral u. -mes-sang siehe Komplanation.

Orientierte Kreise und Kugeln 605.

7i 428, siehe auch Formel von Wallis. Parabeln für näherungsweise Quadratur 537.

Parabolische Kurven 534.

Paraboloid, .hyperbolisches 565, 580.

Parameter eines Integrals 486,

487,    wonach differenziert wird,

488,    490, 491, wonach integriert wird, 489, 490, 491.

Parameter des elliptischen Normalintegrals 3. Gattung 447.

Parameterlinien auf Flächen 600.

Parmentiersche Formel für näherungsweise Quadratur 536.

Partialbruchzerlegung beim Integrieren rat. Fktn. 430—433, von goniometrischen Fktn. 480.

Periodizitätsmodul eines Integrals im kompl. Bereiche 651, 652, des Arkustangens 652, des Logarithmus 651.

Planimeter 540, 541.

Polarkoordinaten in der Ebene 532, 545, 582, 586, 598, 635, im Raume 545, 601, 604.

Polarplanimeter 540, 541.

Polyederflächen 584.

Polyedervolumina 569—571.

Polygonflächen 404, 406—410, 535—538.

Polygonlängen 542, 543.

Polytropische Kurven 534.

Ponceletsche Formel für näherungsweise Quadratur 536.

Positive Seite einer Grenzlinie 651—653.

Potenzen integriert siehe Integrale spezieller Art, im kompl. Bereiche definiert 654, berechnet mittels der Binomialreihe 657.

Potenzreihe differenziert u. integriert 428, zur Darstellung einer mon. Fkt. 623, 643, 660, längs eines Wegstückes gleich einer andern 659, für [1 : (1 — e~a) — 1 : a — ■£] : cc 521.

Produkte von mon. Fktn. 624, der Sinus der Vielfachen eines Winkels 511.

Projektion einer ebenen Fläche auf eine Ebene 414, 584.

Punkt im Raume von n Dimensionen 605.

Quadratur 411, 530, in Polar-koord. 532, bei Anwendung einer Hilfsveränd. 533, mechanisch 540, 541, näherungsweise 535—539, eines Dreiecks von drei Kurven 530, eines Segmentes 530, der Astroide 534, des Cartesischen Blattes 534, der Ellipse 564, der gleichseitigen Hyperbel 407, 411, 539, der hyperbolischen Kurven 534, des Kreises 411, der Lemnis-kate 534, der parabolischen

Radikand des Integranden eines elliptischen Integrals 440, 441, 443, 448.

Rationale ebene Kurven 557, spezieller Art 558—560.

Rationale Funktionen siehe ganze und gebrochene rat. Fktn., integriert siehe Integrale spezieller Art.

Rationale Integrale von rationalen Funktionen 431, 558.

Rationalisieren

von

Kurven 534, von Serretschen Kurven 556, der Sinuslinie 411.

Quadratwurzel im kompl. Bereiche 656, im Integranden siehe Integrale spezieller Art, von 1 — k² sin² (p 448, 546, 548, 549, siehe auch elliptische Integrale und elliptische Normalintegrale.

Quotienten monogener Funktionen 624.

R.

Integranden 434—439, 452, 460.

Raum von n Dimensionen 605, 606.

Reelle Integrale ausgewertet mittels des Imaginären 432, 454, 640.

Regel für die Differentiation einer Fkt. von einer Fkt. 625, einer Potenz im kompl. Bereiche

654.

Reguläre Integrale 474.

Reihe siehe unendliche Reihe, gleichmäßige Konvergenz, gleichmäßig konvergente Reihe und Potenzreihe, von Gudermann 519, von Stirling 515, 523, 525, 526, von Taylor 421, 422, 643.

Rektifikation 401, 542, 543, 545, in der Ebene 542, in Polarkoord. 545, im Raume 543, ohne Integration 561, 562, von Kurven, die mittels d. Tangentenwinkels dargestellt sind, 562, Umkehrung des Problems 557, der Cassinischen Kurven 554, 555, der Ellipse u. Hyperbel 546, 551, 552, mittels elliptischer Integrale 546—556, der Eulerschen Kurven 560, mittels Kreisbogen 558—560, derLemnis-kate 553, der verallgemeinerten Lemniskate 554—556, der Serretschen Kurven 558, 559.

Rekursionsformeln 416,    433,

445, 447, 458, 459, 477, 522, 549, 552, 607.

Rest einer gleichmäßig konvergenten Reihe 425, 426, 428, 641, 642, der Stirlingschen Formel 525, der Taylorschen Reihe als bestimmtes Integral 421, 422.

Reziproke Radien 628.

Richtungen transformiert bei Ab-bildung 595, bei konformer Abbildung 626, 627.

Rotationsellipsoid 588.

Rotationsfläche 587—589.

Rotationskörper 566, 567, des Kreises 566, der gemeinen Zykloide 566.

. S.

Scharvon Kurven inderEbene 613.

Schiefwinklige Koordinaten 564, 604.

Schwankung einer Fkt. von einer Yeränd. 405, A, einer Fkt. von zwei Yeränd. 486, 569—571, 573 bis 575, 578, einer Fkt. von n Yeränd. 611.

Schwerpunkt einer ebenen Fläche 567, 602, eines Körpers, insbes. des Ellipsoidoktanten 607, einer Kurve 589, 602.

Segment einer Kurve 530, des Ellipsoids 564, des hyperbolischen Paraboloids 565.

Sehnenpolygon 535—538, 542, 543.

Sek ans und Kosekans zerlegt in Partialbrüche 480.

Serretsche Kurven rektifizierbar mittels elliptischer Integrale 556, mittels Kreisbogen 558, 559.

Simpsonsche Regel für näherungsweise Quadratur 536, 537, ihr Korrektionsglied 538.

Singuläre bestimmte Integrale 476.

Sinn des Umlaufens einer ebenen Fläche 530, 541, 618, 639.

Sinus integriert 402, 634, als mon. Fkt. 623, 634, als unendliches Produkt 510.

Sinuslinie 411.

Sphärische Dreiecke 590.

Sphärischer Exzeß 590.

Sprungstellen von Fktn. 475, 1.

Statische Momente 602, 607.

siehe Integrale

Art,

U.

Stetige Abbildung siehe Abbildung der Ebene.

Stetige Funktionen mit stetigen Ableitungen im kompl. Bereiche 623.

Stetigkeit einer Fkt. von einer Veränd. 404, 405, einer Fkt. von zwei Yeränd. 486, 622, einer Fkt. von n Yeränd. 610, 611, einer Fkt. im kompl. Bereiche 629, einer Fkt. von zwei Veränd. längs einer Kurve 616, 617, des bestimmten Integrals 410, des bestimmten Integrals als Fkt. der oberen Grenze und eines Parameters 487, der Integrale von vollst. Differentialen 609, 611, der Kurvenintegrale im kompl. Bereiche 633, der Amplitude 653.

Stirlingsche Formel oder Reihe 515, 523, 525, 526.

Substitution inlntegral en 417, 418, 441, 462, 482—485, 2, verschieden in verschiedenen Teilen des Intervalles 484, zur Verwandlung willkürlicher Grenzen in bestimmte 485, in konvergenten Integralen 482, 483, in elliptischen Integralen 440, 441, 443, 448, siehe auch Transformation.

Summen zur Definition von Integralen siehe Grenzwerte, von Integralen mit verschiedenen Grenzen 412, A, von Integralen mit verschiedenen Integranden 413, von Doppelintegralen 598, von Kurvenintegralen 617, 630, von mon. Fktn. 624, der reziproken Werte der Potenzen der natürlichen Zahlen 503, der Sinus oder Kosinus der Vielfachen eines Winkels 478, 479, 4.

T.

Tafel für die Werte der Gammafkt. 505, für die Werte der

Reihen 1: l*-fl :2“-f 1:3B-|----

503.

Tangens und Kotangens als mon. Fktn. 624, zerlegt in Partialbrüche 480.

Tangentenwinkelebener Kurven als unabhängige Veränderliche 562.

Taylorsche Formel oderReihe bewiesen mittels bestimmten Integrals 421, 422, für mon. Fkt. 643.

Teilweise Integration 415, 416. A, wiederholt 453.

Träger von Wertsystemen 605.

Transformation von einfachen Integralen siehe Substitution, von Doppelintegralen 597, 598, von Doppelintegralen durch Einführung ebener Polarkoord. 598, von Doppelintegralen durch Einführung krummliniger Koord. 600, von Doppelintegralen durch Einführung räumlicher Polarkoord. 601, von dreifachen Integralen 604, von mehrfachen Integralen 606, von Landen 551, des Moduls eines elliptischen Integrals 548, durch reziproke Radien 628. Transzendente Integranden spezieller reduziert auf algebraische 451.

Trapezformel für die angenäherte Quadratur 535, 536.

Trigonometrische Reihe 1, 7, Grenzwerte ihrer Koeffizienten 8, zweimal integriert 9, identisch mit der Fouriersehen Reihe 13.

Übereinstimmung vonPotenz-reihen 659, 660.

Umfänge dreier Ellipsen 552.

Umkehrung des Problems der Differentiation 399, 401, der Fourierschen Reihe 7, der Rektifikation 557.

Umlaufungssinn bei ebenen Flächen 530, 541, 618, 639.

UngeradeFunktion467,B, 14,19.

Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Wege 619, 620, des Integrals einer mon. Fkt. vom Wege 631—633, 647.

Unbestimmtes Integral 411, siehe auch Integral usw.

Unendliches Produkt für das elliptische Integral Ft (k) 549, für die Gammafkt. u. ihren Log. siehe Gammafkt. u. Log. der Gammafkt., für 7i 481, 511, 517, für den Sinus 510.

Unendliche Reihe von Fktn. 425—428, von Fktn. differenziert

427,    von Fktn. integriert 426,

428,    von mon. Fktn. siehe gleichmäßige Konvergenz und gleichmäßig konv. Reihe, von Fourier

siehe Fouriersche Reihe, für ein elliptisches Integral 446, 547, für die Gammafkt. und ihren Log. siehe Gammafkt. und Log. der Gammafkt., für den Log. im kompl. Bereiche 507, für Arkussinus und Arkustangens 428, für eine goniometrische Fkt. 480, für n 428, für    l:2w-fl:3B-f •••

503, siehe auch Potenzreihe.

Ünendlichviel-wertige Funktion 651, 652, insbes. Amplitude 653, Arkussinus 658, Arkustangens 652, Log. 651, Potenz 654.

Un stetigkeitsstellen bei konformer Abbildung 626, an denen eine mon. Fkt. in bestimmter Ordnung unendlich groß wird, 651, 652.

integriert 609, in zwei Veränd. hergestellt mittels Multiplikators 612—614, in zwei Yeränd. integriert längs eines Weges 619, 620, 631, in n Veränderlichen 610, 611, bei der Integration mon.. Fktn. 631.

Volumenberechnung siehe Kubatur.

Volumenvorzeichen 579.

Vorwärts und rückwärts gebildeter Differentialquotient 6.

Vorzeichen der ebenen Flächen 409, 411, 530, 540, 541, der Funktionaldeterminante 593, 595, 598, 604, 606, der Volumina 579.

W.

Periodizitäts-

V.

Variabilitätsbereich siehe Integrationsbereich und einfach zusammenhängender Bereich.

Verallgemeinerung der Lem-niskate 556.

Veränderliche beim bestimmten Integral in zweierlei Bedeutung 410, neu eingeführt siehe Substitution und Transformation.

Vergleichung der Regeln für näherungsweise Quadratur 539.

Vergleichungsfunktion für eine mon. Fkt. 648.

Vergleichungsintegral für die Untersuchung der Konvergenz eines Integrals 466, 471.

Verhältnis zweier Multiplikatoren 614.

Verschiedene Substitutionen in verschiedenen Teilen des Integrationsintervalles 484.

Vertauschbarkeit der Reihenfolge von Differentiation u. Integration 401, 488, 490, 491, zweier Integrationen 489—491, 572, 577, 580, 598, 604.

Vertauschung der Integralgrenzen 412, 617, 630, A.

n

Verzweigungsstelle(n) von yz 655, einer Quadratwurzel 656.

Vollständiges Differential in zwei Veränd. 608, in zwei Veränd.

Wallis Formel für n 481, 511, 517.

Wesentliche moduln 652.

Wiederholte teilweise Integration 453.

Willkürliche Funktion 1, 2.

Willkürliche Grenze des Integrals verwandelt in bestimmte 485.

Willkürliche Konstante beim Integrieren 400, 401.

Winkel der Parameterlinien einer Fläche 600.

Winkeltreue Abbildung 626, 627.

Wurzeln im komplexen Bereiche 654—656.

Z.

Zusammengesetzter Integrationsweg 617.

Zusatz zum Cauchyschen Satze 645

Zweiter mittlerer Differentialquotient 10, gleich Null 11, integriert 12.

Zykloide rotierend 566.

Zyklometrische Funktionen beim Integrieren rat. Fktn. 432, 433, integriert siehe Integrale spezieller Art.

Zylindervolumen 563.

Berichtigungen.

Zum ersten Bande in der 4. u. 5. Auflage.

Seite 46, Zeile 9 von oben ist unexakt. Man kann aber den Beweis für alle Möglichkeiten kürzer so führen: Unter xx sei derjenige Wert von x im Intervalle von x₀ bis X verstanden, für den cp(x) am größten wird. Dann haben die beiden Quotienten (3) verschiedene Vorzeichen, woraus leicht alles übrige wie im Texte folgt.

„    49, Satz 10 gilt auch, wenn F'(x) für x — x₀ oder x — X ver

schwindet, da ja xx nicht mit x₀ oder X zusammenfällt.

213, Zeile 1 von unten lies zuletzt im Nenner: (1 -f- dx)n~m.

222, Zeile 7 von oben ist nicht korrekt. Aber eine besondere Beweisführung im Falle F'(x₀) — 0 ist gar nicht nötig, weil ja der vorher angewandte Satz 10 von Nr. 31 auch für F'(x₀) = 0 gilt.

„    289, Zeile 7—2 von unten sind zu streichen, und in Satz 2, S. 290,

ist nach erstreckt hinzuzufügen: und überdies eine Asymptote hat sowie zum Schlüsse des Satzes zu sagen: die Asymptote. „    „    lies: Moduls.

„    „    lies in der zweiten Spalte: Funktionen

Zum zweiten Bande in der 4. u. 5. Auflage.

Seite 177, Zeile 5 von oben lies: angehören.

„    213 lies in der Tafel und zwar in der Spalte für F' (x) : F(x) bei

x = 1,10 und æ = l,25 die Zahlen: —0,4238 und — 0,2275.

„    433 lies im Kolumnentitel: Differentiale statt Integrale.

„    507, Zeile 6 von oben lies: k statt x.

Druck von B. Gr. Teubner in Leipzig.

t

Ahrens, Dr. W„ in Magdeburg, mathematische Unterhaltungen und Spiele. 2., vermehrte und verbesserte Auflage. In 2 Bänden, gr. 8. In Leinwand geb.

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Weber, Dr. H., und Dr. J. Wellstein, Professoren an der Universität Straßburg i. E., Enzyklopädie der Elementar-Mathematik. Ein Handbuch für Lehrer und Studierende. In 3 Bänden, gr. 8.

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