WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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HANDBUCH

DEK

VERMESSUNGSKUNDE

VON weil. Il“ W. JORDAN

PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU HANNOVER • FORTGESETZT VON

WEIL. C. REINHERTZ

PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU HANNOVER.

ZWEITER BAND

FELD- UND LAND-MESSUNG

MIT ZAHLREICHEN ABBILDUNGEN

SIEBENTE ERWEITERTE AUFLAGE

BEARBEITET VON

D? O. EGGERT

PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU DANZIG

STUTTGART

J. B. METZLERsche BUCHHANDLUNG

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•J. B. METZLER SCHE BUCHDRUCKEREI, STUTTGART.

VORWORT ZUR FÜNFTEN AUFLAGE.

Diese 5. Auflage des II. Bandes Handbuch der Vermessungskunde unterscheidet sich von der nur 4 Jahre vorher ausgegebenen 4. Auflage durch Aufnahme der inzwischen angewachsenen Wissenszweige oder inzwischen nützlich gefundenen Verbesserungen und Ergänzungen. Dahin gehören z. B. das Prytzsche Stangenplanimeter, neuere Untersuchungen über Nivellieren, neue Messungen und Theorien zu den Polygonzügen, Aneroid-behandlung der Physikalisch-technischen Beichsanstalt, neue Tachymeter, Distanzmesser und viele andere kleinere Ergänzungen, welche alle unterzubringen insofern schwierig war, als dafür Baum durch Streichungen und Zusammendrängungen in früherem gewonnen werden mußte. Durch gründlichstes Sichten und Konzentrieren, mehrfache Anwendung von kleinerer Schrift usw. ist es gelungen, alles mit einer Umfangsvergrößerung von nur ll/₂ Bogen zu bewältigen, während der Verkaufspreis des Bandes nicht erhöht, sondern gegen die 4. Auflage' erheblich vermindert worden ist, was die Verlagshandlung durch Vergrößerung der Auflage und vermehrten Absatz im Buchhandel wieder einzubringen hofft.

Die Doppelstellung des Buches erstens als Lehrbuch für Studierende und sogar für Anfänger, und zweitens als Handbuch für Praktiker und Beamte, eine Doppelbedeutung, welche von der Kritik wiederholt anerkannt worden ist, mußte erhalten werden; und dazu ^vollen wir, wie bei den beiden andern Bänden, auch hier eine Übersicht derjenigen Abschnitte geben, welche als erster Lehrgang benützt werden sollen, bei vorläufiger Überschlagung des übrigen, sowie des Kleingedruckten. Diese, etwa auch in einem 3-4stündigen Wintersemester-Vortrag zu bewältigenden Teile, können sein¹):

Einleitung § 1. Kap.

II. § 13.—16. (§ 17.) § 18.—20. Einschaltung von § 2.-7. (§ 8. 9.) 10. und dann § 21.-25.

III.    § 26.-27. § 29.-31. (§ 32.-35.),

IV.    § 36.-37. § 41. (§ 42. 44.),

V. § 45.-46. (§ 47.-48.) § 49.-51. (§ 52.) § 53. (§ 54.-55.),

VI. § 56.-60. § 62.-63. (§ 65.) § 66.-67.,

VII. § 68.-72.,

„    VIII. § 73 —77. (§ 78.) § 79.-83. (§ 84. 86. 88. 89.) § 90. (§ 91.-93.),

„ IX. § 94.-95. (§ 96.-99. 102.—104.),

„    X.    §    108.-114.    (§ 115.) § 116.    118.    (§    119.—120.) § 122. 128.-129,,

,    XI.    §    132.—133.    § 135.—137. (§    139.    147.),

„ XII. § 149.-157. (§ 158. 160.) § 161.—162.,

„    XIII.    §    168.—169".    (§ 170.-173.),

,    XIV.    §    174.-189..

,    XV.    §    191.—193.,

,    XVII.    §    201.—209.    (§ 210.-213.).

Diese verhältnismäßig wenigen Paragraphen stellen ein einfaches Lehrbuch vor, nach dessen Bewältigung die übrigen fachwissenschaftlichen Teile, geschichtliche und kritische Notizen usw. sieh von seihst als Ergänzung darbieten werden.

Um die preußischen Landmesser und die preußischen Geodäsie-Studierenden, welche auf die Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881 angewiesen sind, uns dauernd als Leser zu erhalten, haben wir auf jene Anweisung möglichst Rücksicht genommen, z. B. deren Fehlergrenzen zitiert, deren feststehende Bezeichnungen erklärt, die Vorwärts- und Rückwärts-Einschneideformulare der Anweisung IX. unseren eigenen Formularen zur Vergleichung gegenübergestellt usw., kurz alles getan, um dem preußischen Leser das Verständnis und eigene Urteile über seine für ihn bindenden Vorschriften zu eröffnen; während der bayrische, württembergische usw. Geometer das Verständnis seiner landesüblichen Geodäsie auch ohne besonderes Hinweisen in unseren Paragraphen finden wird, und der freie Landmesser und Ingenieur (unser Buch hat sich auch im Ausland viele Freunde erworben) durch jene Zitate nicht gehindert ist.

Außer den geodätischen Instrumenten und deren Gebrauch zu den Messungen hat ein modernes Lehrbuch der Geodäsie die geodätischen Berechnungen, namentlich die trigonometrischen Berechnungen, dann die Fehlerausgleichungen und die Genauigkeitsbetrachtungen zu behandeln, denn gerade diese letzteren Verhältnisse sind es, über welche der Praktiker Belehrung wünscht, und an gut gewählten und durchgearbeiteten Zahlenbeispielen eines Lehrbuchs am besten Auskunft findet. Deshalb sind von Anfang an namentlich die trigonometrischen, aber auch alle anderen Berechnungen mit den nötigen Hilfstafeln²) und dann Genauigkeitsmitteilungen aus allen Zweigen unseres Faches eine der wichtigsten Sorgen des Verfassers, gewesen.

Da alle unsere mitgeteilten Messungen mit den einfachsten Mitteln gemacht sind, z. B. die Längenmessungen mit den gewöhnlichen Meßlatten, Triangulierungen meist mit kleinen Theodoliten usw., und da auch die angewandte Zeit und Mühe und die persönliche Messungsschärfe unserer Beispiele nicht mehr als die mittlere ist, dürfen aUe unsere zahlreichen Mitteilungen von Genauigkeitsbeispielen als solche aufgefaßt werden, welche jeder andere pünktlich arbeitende Landmesser ohne andern als den gewöhnlichen Kostenaufwand erzielen kann, die ihm also als Wegweiser dafür dienen können, daß, wenn er wesentlich ungünstigere Werte erzielt, irgend etwas in der Messung oder in der Berechnung nicht in Ordnung ist.

Den mancherlei Zuschriften aus dem Auslande und wiederholten Übersetzungs-projekten möchte ich nach den Erfahrungen mit zwei bisherigen fremdsprachlichen Ausgaben, unter herzlichstem Danke für anerkennende Urteile, etwaige ganze oder partielle fremdsprachliche Benützung dieses Bandes mit Erbittung bestimmt formulierter ausführbarer Anträge anheimgeben.

Unter den amtlichen Gönnern unseres Buches möchten wir namentlich solchen danken, welche staatliches Material in der einen oder andern Form gegeben haben.

usw.

Den vielen Einsendern von geodätischen Drucksachen, Sonderabdrücken sei der Dank durch Einreihung an passender Stelle ausgedrückt.

den zahlreichen Hilfstafeln des Handbuchs der Vermessungskunde zum

Die Literaturangaben, welche an geeigneten Stellen im Text angegeben oder am Schlüsse der einzelnen Kapitel zusammengestellt sind, wurden ergänzt und gesichtet. Vom X. Kapitel an. Nivellieren, sind auch jeweils die laufenden Literaturberichte der Zeitschrift für Yennessungswesen angegeben, welche, je länger sie systematisch fortgesetzt werden, um so wertvoller werden.

Die jährlichen Übersichten der Literatur für Yermessungswesen werden in der Zeitschrift für Vermessungs wesen an folgenden Stellen gefunden :

1876 S. (1)—(72); 1877 S. (1) — (S8) ; 1878 S. (1) —(39): 1879 S. (117)—(150); 1881 S. (1)—(44) ; 1882 ■ S. 185—232; 1883 S. 369-423; 1884 S. 437—478; 1885 S. 321-352; 1886 S. 401-457; 1887

S. 473-502, 514—519; 1888 S. 404—429, 465—479, 497—510, 527—543; 1889 S. 496—507, 513-528,

543-558, 561-573, 580—586; 1890 S. 417—448, 513—542; 1891 S. 545—554, 577- 590, 593—609;

1892 S. 465 — 496; 1893 S. 441-487; 1894 S. 457-488, 498—506; 1895 S. 425-455, 473—479:

1896 S. 481—504, 517—544; 1897 S. 545-561, 569—589; 1898 S. 441—471, 473—489; 1899

S. 561—591, 614-619; 1900 S. 469—487, 501—515, 525- 537; 1901 S. 421—443, 453—472; 1902

S. 621-636, 647—667, 669—677; 1903 S. 505—535, 537—545: 1904 S. 599-606, 613—629, 633-651:

1905 S. 593—606, 611—623, 626-634, 641 — 653; 1906 S. 761-770, 806-813, 817-828, 849—860,

873—879: 1907 S. 801—813 , 833 - 845 . 866—873 . 907— 910.

Diese Zitate mögen als Ergänzungen der im Buche selbst enthaltenen Literaturangaben gelten, wie überhaupt wohl ohne Überhebung behauptet werden darf, daß die seit 25 Jahren vom Verfasser fachwissenschaftlich redigierte Zeitschrift für Vermessungswesen in Verbindung mit den 4 bis 5 Auflagen des Handbuchs der Vermessungskunde eine in allen wesentlichen 'feilen stichhaltige Darstellung der deutschen Geodäsie der abgelaufenen Periode ist.

Alit diesem II. Band, 5. Auflage 1897, können wir — Verfasser, Verleger und unsere ersten Leser — den 25 jährigen Geburtstag dieses Buches feiern, indem die erste Auflage als „Taschenbuch der praktischen Geometrie“ mit Vorwort von Karlsruhe, »September 1872, ausgegeben wurde¹ (während auf dem Titel unrichtig 1873 stand).

Der Verleger hat im Laufe der Jahre bei guter Ausstattung mit niedrigstem Ladenpreise sein Interesse für Verbreitung des Buches bewiesen.

Verfasser ist inzwischen Preuße geworden, und glaubt damit die Erfahrung gemacht zu haben, daß ebenso wie ein Gebilde auf der geodätischen Erde nur durch Beobachtungen von mindestens zwei Standpunkten richtig aufgenommen werden kann, so auch die amtlich geodätischen Zustände der einzelnen Staaten nur durch vergleichende Beobachtungen auf staatlich verschiedenen Standpunkten richtig verglichen und beurteilt werden können.

Hannover. September 1897.

Jordan.

VORWORT ZUR SIEBENTEN AUFLAGE.

Die vorliegende 7. Auflage des zweiten Bandes von Jordans Handbuch der Vermessungskunde, dessen weitere Bearbeitung mir übertragen worden ist, enthält gegenüber den beiden vorhergegangenen Auflagen keine grundlegenden Änderungen. Zu letzteren fehlte es einerseits, wenn die Herausgabe sich nicht allzusehr verzögern sollte, an genügender Zeit; andrerseits schien mir aber auch gerade für diesen Band in den meisten Abschnitten eine tiefgehende Änderung nicht erforderlich. Infolgedessen habe ich mich darauf beschränkt, die seit dem Erscheinen der 6. Auflage eingetretenen Fortschritte auf dem Gebiet der Landmessung einzufügen und hierzu teilweise Umarbeitungen der betreffenden Kapitel vorzunehmen.

Im ersten Kapitel wurden die Hauptformeln für die Ausgleichung nach vermittelnden und bedingten Beobachtungen in ähnlicher Form wie in der früheren vierten Auflage wiedergegeben, so daß für die im vorliegenden Bande vorkommenden Ausgleichungen nahezu alles Erforderliche im ersten Kapitel zu finden ist.

Weitere größere Ergänzungen sind vorgenommen in der Beschreibung der Bechenhilfsmittel, der Fehlertheorie von Polygonzügen, der barometrischen Höhenmessung und besonders der Photogrammetrie. Letzteres Kapitel, das in der 6. Auflage keine wesentliche Änderung erfahren hatte, habe ich einer weitergehenden Bearbeitung unterzogen, da auf diesem Gebiet gerade in den letzten Jahren erhebliche Fortschritte sowohl in praktischer als auch besonders in theoretischer Hinsicht zu verzeichnen waren. Der stereophotogrammetrischen Messungsmethode, die augenblicklich auch bereits die ersten Entwicklungsstufen überschritten hat, ist ein besonderer Abschnitt gewidmet worden.

Die die Instrumentenkunde umfassenden Teile des Werkes, die schon in der 6. Auflage namhafte Erweiterungen erfahren haben, wurden, soweit es die zur Verfügung stehende Zeit ermöglichte, weiter ausgestaltet unter gleichzeitigem Ersatz veralteter Abbildungen.

Wenngleich ich mich bemüht habe, für die eingefügten Ergänzungen durch Kürzungen anderer Teile Platz zu gewinnen, so ist der Umfang des Bandes doch um drei Bogen gegen die letzte Auflage gewachsen.

Nicht unterlassen möchte ich es, mit dem Ausdruck verbindlichsten Dankes zu erwähnen, daß mir aus dem Nachlaß des verstorbenen Professors Dr. Beinhertz alle auf die Bearbeitung des Handbuches bezüglichen Notizen von Frau Professor Beinhertz zur Verfügung gestellt wurden, nach denen manche Änderung vielleicht im Sinne einer von ihm beabsichtigten neuen Bearbeitung vorgenommen werden konnte.

Derselbe Dank gebührt auch der Verlagsbuchhandlung, die das dem Verfasser und dem Herausgeber der letzten Auflage stets bewiesene bereitwillige Entgegenkommen auch auf den Bearbeiter der neuen Auflage in weitgehendem Maße übertragen hat.

Danzig-Langfuhr, im Oktober 1908.

O. Eggert.

DRUCKFEHLER-BERICHTIGUNG.

'S. 115, Zeile 14 lies: „il/ K auf die Seite AN“ statt: „ME und die Seite AN“. S. 281, Zeile 1 lies: „Fig\ 20“ statt: „Fig. 21“.

§    1. Einleitung

INHALTSÜBERSICHT.

Seite

Kapitel I. Das arithmetische Mittel und der mittlere Fehler.

§ 2. Erklärungen...................

•§ B. Der durchschnittliche Fehler

§ 4. Der mittlere Fehler.................

-§ 5. Das Fehlerfortpflanzungsgesetz.............

§    6.    Zusammenwirkung unregelmäßiger und regelmäßiger Fehler .    .

§    7. Das einfache arithmetische Mittel............

§    8. Das allgemeine arithmetische Mittel...........

§ 9. Ausgleichung eines Ahschlußfehlers...........

•§10. Beobachtungsdiiferenzen...............

§ 11. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen........

§ 12. Ausgleichung bedingter Beobachtungen..........

. . 12

12

16

22

26

28

BO

Kapitel

Die einfachsten Arbeiten des Feldmessens und ihre Verbindung zu kleineren Aufnahmen^'

§ 13. Bezeichnung von Punkten.....

•§ 14. Abstecken von geraden Liniąn ....

§ 15. Kreuzscheibe, Winkelkreuz, Winkeltrommel

§ 16. Spiegelinstrumente .    . x......

•§ 17. Prismeninstrumente........

§ 18. Längenmessung mit Meßlatten ....

§ 19. Längenmessung mit dem Stahlband und mit der Kette ■§ 20. Maßvergleichung für Meßlatten und Meßbänder .    .    .

§ 21. Genauigkeit der Längenmessung........

§ 22. Ausgleichung von Längenmessungen.......

§ 23. Meßrad, Schrittmaß, Marschzeit........

§ 24. Kleinmessung durch Koordinatenaufnahme. Handriß . •§ 25. Erweiterung der Aufnahmen. Liniennetz.....

33

34

35

37

. 41

50

56

63

. 69

82

84

■ 96

96

Kapitel III. Berechnung und Teilung der Flächen.

§ 26. Flächenbestimmung durch rechtwinklige Koordinaten .    .

§ 27. Flächenbestimmung nach einem Plan.......

■§ 28. Genauigkeit der Flächenbestimmung........

100

105

Seite

§ 29. Besondere Formeln für Dreiecke und Vierecke......    .

§ 30. Teilung eines Dreiecks...............

§ 31. Parallelteilung von Vierecken.............

§ 32. Vierecksteilung durch gegebene Punkte.........

§ 33. Vierecksteilung und Polygonteilung nach Seitenverhältnissen .    .

§ 34. Grenzregulierung.................

§ 35. Allgemeines über Flächenteilung............

113

115

117

118

. 121

127

. 129

Kapitel (V.y Mechanische Hilfsmittel für Berechnungen.

§ 36. Das Amslersche Polarplanimeter § 37. Die Roll-Planimeter von Coradp § 38. Das Prytzsche Stangenplanimeter .......

§ 39. Allgemeine Theorie der Umfahrungsplanimetej/.    .    .

§ 40. Genauigkeit der Planimetermessungen. Geschichtliches

§ 41. Logaritlimische Rechenschieber........

§ 42. Die Burkhardtsche Rechenmaschine.......

§ 43. Ältere Rechenmaschinen von Pascal, Leibniz, Hahn .

§ 44. Neuere Rechenmaschinen..........

132

139

143

147

151

154

161

166

169

Kapitel

Hauptbestandteile der Mefeinstrumente.

§ 45. Die Libelle

§ 46. Gebrauch der Libelle........

§ 47. Empfindlichkeit der Libelle. Genauigkeit

§ 48. Das Sehen mit freiem Auge.....

§ 49. Die Konvexlinse.........

§ 50. Die Lupe............

§ 51. Das einfache Fernrohr........

§ 52. Zusammenwirken zweier Linsen .... § 53. Fernrohre mit zusammengesetzten Okularen § 54. Fernrohre mit gebrochener Brennweite .    .

§ 55. Das Mikroskop..........

176

178

181

.    187

. 190

194

196

. 211

213.

Kapitel VI./ Der Theodolit.

§ 56. Beschreibung des Theodolits . .........

§ 57. Der Nonius................

§ 58. Das Ablesemikroskop.............

§ 59. Die Achsenfehler des Theodolits.........

§ 60. Bemerkung’en zu den Achsenfehlern des Theodolits .    .

5; 61. Berechnung der Fehlereinflüsse der Theodolitachsenfehler

§ 62. Exzentrizität des Fernrohrs..........

§ 63. Exzentrizität der Alhidade...........

§ 64. Berechnung der Exzentrizität der Alhidade.....

§ 65. Teilungsfehler des Kreises...........

§ 66. Messung eines Horizontalwinkels........

§ 67. Behandlung des Theodolits im Feldgebrauch .....

216

234

. 236

241

. 246

248

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. 261 . 264 . 269

Kapitel VI\y Koordinatenrechnung.

Seite

| 68. Erklärungen und Vorbereitungen § 69. Grundformeln der Koordinatenrechnung

§    70. Tafelwerke, Rechenformulare und verschiedene Bemerkungen.....280

§ 71. Umformung der Koordinaten .    .    .

§    72. Koordinatenberechnung im Liniennetz

271

273

284

289

Kapitel VIII. Triangulierung.

§ 73. Allgemeines

§    74. Grundaufgabe der Triangulierungsberechnung

§    79. Bildung der Abrisse.......

§    80. Beispiele einer Triangulierung ....

§    81. Vorwärtseinschneiden durch zwei Strahlen

§    82. Die Aufgabe des Rückwärtseinschneidens

§ 83. Rückwärtseinschneiden mit Koordinaten .

§ 84. Verschiedene Nebenbetrachtungen zur Aufgabe des Rückwärtseinschneidens 360

§ 85. Rückwärtseinschneiden mit zwei Punkten........

§    86. Unzugängliche Entfernung.............

§    87. Punktbestimmung durch Gegensehnitt.........

§    88. Einschneiden mit fehlerzeigender Figur.........

§    89. Schärfere Punktauswahl in der fehlerzeigenden Figur ....

§    90. Anordnung einer Kleintriangulierung..........

§    91. Stadttriangulierung................

§ 92. Abrisse und Koordinaten der Weußisohen Triangulierungen . .

§ 93. Schlußbemerkungen zu den preußischen Triangulierungen . . .

296

299

311

317

322

. 333

335

343

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352

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. . 369

376

379

388

392

396

. . 399 . . 404

Kapitel IX. / Polygonale Züge.

§    94. Grundformeln

§ 95. Beispiel einer Zugberechnung.......

§    96. Weiteres über Zugberechnung.......

§    97. Anlage eines Polygonnetzes........

§ 98. Weiteres über Polygonnetze........

§    99. Festlegung und Versicherung der Polygonpunkte

§ 100. Winkelmessung .    ..........

§ 101. Längenmessung............

§ 102. Abloten und Umsetzen..........

§ 103. Längenfehler und Querfehler........

§ 104. Mittlere Winkelfehler..........

§ 105. Fehlertheorie des gestreckten gleichseitigen Zuges § 106. Strenge Ausgleichung gestreckter Polygonzüge § 107. Gestreckte ungleichseitige Züge.......

407

411

416

421

427

431

437

439

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447

452

456

463

Kapitel X. Nivellierung.

Seite

. 470

§ 108. Einleitung .    ...........

§ 109. Aufnahme von Längennivellements .....

§ 110. Aufnahme von Querschnitten.......

§ 111. Mächennivellierung...........

§ 112. Nivellierinstrumente...........

§ 113. Horizontalstellung und 'Stative.......

§ 129. Eisenbahnnivellements und sonstige Feinnivellements

§ 130. Die Schwerkraft an der Erdoberfläche.....

Ś 131. Hohen und Niveaufläche am Ellipsoid.....

472

. 476 . 478

480

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.    532

535

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546

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558

. 561

564

Kapitel XI. Trigonometrische Höhenmessung.

§ 132. Messung der Höhenwinkel............

§ 133. Berechnung der Höhenwinkel .... -......

§ 134. Höhenwinkelmessung mit Libellenablesung.......

§ 135. Einfache Theorie der trigonometrischen Höhenmessung .    .

§ 136. Zahlenbeispiele zur Höhenberechnung.........

§ 137. Messung von Turmhohen.............

§ 138. Weitere Entwicklungen.............

§ 139. Anwendungen auf die Meeresfläche.........

§ 140. Die trigonometrische Höhenaufnahme in Württemberg 1860—1880 . . 593

§ 141. Höhenmessung aus einem Zwischenpunkte...........

§ 142. Ausgleichung eines Höhennetzes nach bedingten Beobachtungen (mit

Korrelaten).....................

§ 143. Ausgleichung eines Höhennetzes nach vermittelnden Beobachtungen .    .    599

§ 144. Theorie der Strahlenbrechung § 145. Beispiel einer Vergleichung der Refraktionstheorie mit der Erfahrung . 608 § 146. Reihenentwicklung für den Refraktionskoeffizienten § 147. Täglich periodische Änderung der Refraktion .    .

§ 148. Literatur über trigonometrische Höhenmessung und Refraktion .    . .    .    617

568

569 573

. . 576

580

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. 590

594

596

603

610

614

§ 149. Grundzüge der Theorie

Kapitel XII. Barometrische Höhenmessung.

Seite

620

62a

§150. Quecksilberbarometer...............

§ 151. Korrektionen der Quecksilberbarometer.........

§ 152. Schwerereduktion................

§ 153. Quecksilberthermometer und Siedethermometer......

§ 154. Federbarometer.................

§ 155. Reduktionsformeln für Federbarometer.........

§ 156. Temperaturkorrektion der Federbarometer........

§ 157. Teilungskorrektion der Federbarometer.........

§ 158. Änderung der StandkQrrektion. Elastische Nachwirkung . .    .

§ 159. Temperatur und Feuchtigkeit der freien Luft.......

§ 160. Vollständige barometrische Höhenformel ........

§ 161. Barometrische Höhentafeln.............

§ 162. Messung und Berechnung barometrischer Höhen......

§ 166. Periodische Fehler der barometrischen Höhen § 167. Literatur der barometrischen Höhenmessung

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. .    648

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. . 683

691

694

Kapitel XIII. Distanzmesser.

§ 168. Erklärungen .........

§ 169. Der Okularfadendistanzmesser mit Latte § 170. Verschiedene Distanzmesser mit Latte § 171. Basislineal mit 2 Fernrohren

§ 172. Reflexionsdistanzmesser......

§173. Verschiedene Distanzmesser ohne Latte

698

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702

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709

713

Kapitel XIV. Tachymetrie.

§ 174. Tachymetertheodolite...............

§ 175. Distanzlatten...................

§ 176. Optische Theorie der verschiedenen Distanzmesserfernrohre .    .

§ 177. Bestimmung der Konstanten des Fadendistanzmessers ....

§ 178. Stimmung des Distanzmessers auf 1c = 100.......

§ 179. Genauigkeit der Fadendistanzmessung..........

§ 180. Geneigte Ziellinien................

§ 181. Verschiedene Hilfsmittel für cos² a und l/₂ sin 2 a (Diagramme, Zahlen-

tafcln)......................

§ 182. Selbstrechnende und reduzierende Tachymeter..........

§ 183. Der Kompaß.....................

§ 184. Kompaßzüge.....................

72o

733

. . 736 . . 740 . . 745

748

753

757

767

774-

781

786

§ 185. Strahlenzieher

§ 186. Meßbandzüge mit dem Stockkompaß u. mit Freihand-Höhenwinkelmessung 788 § 187. Tachymetrische Aufnahmen................792

§ 188. Horizontalkurven .    .    .    .

§ 189. Flüchtige Aufnahmen . . § 190. Literatur über Tachymetrie

798

803

Kapitel XV. Meßtischaufnahme.

Seite

§ 191. Meßtisch und Kippregel .

§ 192. Anwendung des Meßtisches § 193. Allgemeine Betrachtung der Meßtischaufnahmen

809

812

816

Kapitel XVI. Photogrammetrie.

§ 194. Grundbegriffe.............

§ 195. Konstruktion des Lageplans und der Höhen .    .

§ 196. Bestimmung der Bildweite r und des Hauptpunktes § 197. Photogrammetrische Aufnahme der Oase Dachei in der Libyschen Wüste 828 § 198. Photogrammetrischer Theodolit ....

§ 199. Stereophotogrammetrie.......

§ 200. Besondere Aufgaben der Photogrammetrie

818

. 820

822

830

838

Kapitel XVII. Vorarbeiten für Eisenbahnbau usw.

. § 201. Allgemeine Vorarbeiten .    ...........

§ 202. Flußaufnahmen...............

§ 203. Abstecken von langen geraden Linien...... .

§ 204. Kreisbogen aus zwei Tangenten und dem Halbmesser .    .

§ 205. Unzugänglicher Tangentenschnitt.........

§ 206. Einzelpunkte mit rechtwinkligen Koordinaten.....

§ 207. Einzelpunkte mit Peripherie winkeln........

§ 208. Einrückungen und Näherungen..........

§ 209. Verschiedene Bestimmungsarten für Kreisbögen ....

§ 210. Korbbogen.................

§ 211. Dreifacher Korbbogen der Gotthardbahn mit allgemeiner Koordinaten^

berechnung.....................

§ 212. Übergangskurven....................

§ 213. Tunnelabsteckungen ...................

Kapitel XVIII. Die deutschen Landesvermessungen.

GOOOGOOOCOOOOOOOOOOO

CO CO GO oo CO CO'

o to

§ 214. Geschichtlicher Rückblick.......

§ 215. Katastervermessungen und Stadtvermessungen § 216. Topographische Karten........

895

896

903

Anhang.

[1] [43] f44] [47]

Hilfstafeln .    .

Maßvergl eich un g

§ 1. Einleitung.

Die Vermessungskunde (Geodäsie) beschäftigt sich mit dem Messen einzelner Teile der Erde, und mittelbar mit dem Messen der Erde selbst.

Man wendet die Namen Feldmessung, Landmessung, Erdmessung an, wenn es sich um Messung von kleineren oder größeren Teilen der Erdoberfläche handelt.

Messen heißt das Bestimmen des Verhältnisses zweier gleichartiger Größen. Als unmittelbar zu messende Größen kommen hier nur in Betracht Längengrößen und Winkelgrößen, auf diese wird die Bestimmung aller anderen geometrischen Größen zurückgeführt.

Als Maßeinheit für Längengrößen dient (eine ursprünglich willkürlich gewählte Länge) das Meter, mit seinen Vielfachen und Unterabteilungen, namentlich :

1000 Meter = 1 Kilometer, 1000 m = 1 4m

Ein Hundertstel-Meter = 1 Zentimeter, 0,01 m = 1 cm

Ein Tausendstel-Meter = 1 Millimeter, 0,001 m = 1 mm.

Die Zwischenstufen 100 m, 10 m. 0,1 m werden gewöhnlich nicht besonders benannt, dagegen wird bei feinen Maßvergleichungen noch ein kleinerer Teil benannt: Ein Tausendstel-Millimeter = 1 Mikron, 0,001 mm = 1 u.

Die metrischen Flächenmaße des Feld- und Landmessens sind:

100 Quadratmeter = 1 Ar, (10 m)² = 100 qm = 1 a

10 000 Quadratmeter = 100 Ar = 1 Hektar, (100 m)² = 1 4a

100 Hektare = 1 Quadratkilometer, (1000 m)² = 1 q/hm.

Als Maßeinheit für Winkelgrößen dient der einer vollen Umdrehung einer Geraden um einen Punkt entsprechende Winkel, mit Teilung in 360 Grad (alte Teilung) oder 400 Grad (neue Teilung).

und b die beiden Halbachsen sind.

wo a

Die Oberfläche der Erde ist. abgesehen von Bergen und Tälern und sonstigen örtlichen Unregelmäßigkeiten, nahezu diejenige, welche eine schwach exzentrische Ellipse bei der Umdrehung um ihre .kleine Achse erzeugt. Der Quadrant dieser Ellipse hat eine Länge von rund 10,000 000 Metern, und die Abplattung der Ellipse ist rund a — b _ 1 ⁼ 299’

In genauerer Definition bezeichnet man als ideale oder mathematische Erdoberfläche diejenige Fläche, die der ruhende Meeresspiegel, abgesehen von Flut und Ebbe, Wellenschlag usw. bildet.

7. Aufl.

Da die Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit in allen Punkten rechtwinklig zu der auf die einzelnen Flüssigkeitsteile wirkenden Kraft ist, also eine Niveaufläche bildet, so folgt, daß die Flächenvertikale in der Richtung der Schwerkraft liegt. In-Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd.

wo die mit + beigefügten Beträge die mittleren zu fürchtenden F’ehler sind.

Die große Halbachse der Ellipse ist a = 6 877 897 Meter und die kleine Halbachse

ist b = 6 356 079 Meter, woraus sich der angegebene Abplattungswert berechnet. Das geometrische Mittel der drei Hauptachsen des Umdreliungsellipsoids ist |Zaab = 6 370 283 Meter; dieser Wert ist gleich dem Halbmesser einer Kugel, welche mit dem Ellipsoid gleiches Volumen hat. Das arithmetische Mittel der drei Hauptachsen ist

= 6 370 291 Meter, und dieser Wert ist zugleich auf ein Meter genau gleich

folgedessen kann man sich die ideale Erdoberfläche von den Küsten aus unter den Kontinenten verlängert denken und gelangt somit zu einer geschlossenen Fläche, die man auch als Geoid bezeichnet.

Form und Größe der idealen Erdgestalt sind veranschaulicht durch folgende Zahlen, welche Bessel im Jahre 1842 für das die allgemeine Erdfigur ausdrückende Ellipsoid berechnet hat, und welche noch heute in Gebrauch sind:

Quadrant

Abplattung

Q = 10 000 856 m ± 498

•m

299 + 5 '

et —|— a —j⁻ b

dem Halbmesser einer Kugel, welche mit dem Ellipsoid gleiche Oberfläche hat.

Für begrenzte Stücke der Erde — Vermessungsgebiete — kann das zugehörige Ellipsoidstück genügend genau durch eine sich ihm möglichst anpassende Kugelober-fläche ausgedrückt werden.

Für summarische Berechnungen ohne Rücksicht auf die Abplattung der Erde kann man in runder Zahl annehmen :

Erdhalbmesser r = 6 370 000 Meter.

Neuere Messungen und Berechnungen haben wohl Resultate ergeben, die die Besselschen an Genauigkeit übertreffen; da jedoch das Geoid überhaupt nicht genau die Gestalt eines Rotationsellipsoids hat, und da für alle praktischen Zwecke die Besselschen Erddimensionen genügen, so werden letztere auch heute noch meistens allen Berechnungen zugrunde gelegt.

Die Richtung der Schwerkraft, welche durch das an einem Faden aufgehängte Bleilot — das ursprünglichste aller geodätischen Instrumente — angegeben wird, und die alle Lotlinien rechtwinklig durchschneidende Geoidfläche bilden die Grundlage für alle Messungen an der Erdoberfläche, indem alle Punkte, Linien und Flächenteile der physischen Erdoberfläche durch Projektion in der Schwerkraftrichtung auf die Geoidfläche bezogen werden. Für Berechnungen und für die Herstellung von Karten und Plänen tritt indessen an die Stelle des mathematisch nicht zu definierenden Geoids entweder das Besselsche Erdellipsoid, oder, wenn.eine genäherte Berücksichtigung der Erdkrümmung genügt, die Kugel, oder auch, wenn die Krümmung überhaupt vernachlässigt werden kann, die Ebene.

Je nachdem man bei Messungen die Ausdehnung der Erdoberfläche nur in horizontalem oder vertikalem Sinne in Betracht zieht, unterscheidet man L a gerne ssungen und Höhenmessungen (Horizontalmessungen und Vertikalmessungen).

Bei Lagemessungen unterscheidet man je nach der Gestalt der zugrunde gelegten Erdoberfläche vier Stufen:

Man betrachtet die Erdoberfläche

1. als Ebene, was etwa bis zur Ausdehnung von 1 Quadratmeile (= 55 Quadratkilometer) ausreicht,

coc

2.    als Kugel, deren Halbmesser der Erdkrümmung an der betreffenden Stelle möglichst entspricht (z. B. für Hannover rund r = 6 380 000 -m). Diese Annahme reicht bis zu einer Ausdehnung von einigen hundert Quadratmeilen,

3.    als Ellipsoid von gegebenen Größenwerten; diese Annahme reicht bis zu einer Ausdehnung von 1000 und mehr Quadratmeilen,

4.    man untersucht die Abweichungen, welche zwischen der Annahme eines Umdrehungsellipsoids und der wirklichen idealen Erdform, dem Geoid, noch bestehen.

Diese Unterscheidung 1, 2, 3, 4, nach den angegebenen Gültigkeitsbereichen wendet man nur für Lagemessungen an ; bei Höhenmessungen wird die Erdkrümmung viel früher merklich; die Erdkrümmung beträgt z. B. auf I hm Entfernung bereits 8 c-m in der Höhe. Höhenmessungen werden nicht nach der Ausdehnung, wie die Lagemessungen, sondern nach anderen Rücksichten eingeteilt.

Im folgenden werden wir zuerst nur Lagemessungen, und später die Höhenmessungen behandeln.

Zur Klarstellung der hauptsächlichsten Begriffe für das Messen an der Erdoberfläche betrachten wir noch die beiden Figuren 1 und 2. Wir beschränken uns dabei auf die beiden Fälle der kugelförmigen und der ebenen Erdoberfläche, die im vorliegenden Bande fast ausschließlich behandelt werden.

In Fig. 1 seien A und B zwei Punkte der physischen Erdoberfläche, die durch Marken, etwa durch Steinpfeiler mit eingemeißeltem Kreuz, bezeichnet sind. NN sei die durch eine Kugel ersetzte Geoidfläche. Die Lotrichtungen in A und B. die durch ein einfaches Lot oder durch einen lotrecht aufgestellten Stab sichtbar gemacht werden können, bestimmen die durch die Punkte A

B-------

w*

Ha

Fig. 1.

und B gehende Vertikalebene AMB, sowie die Projektionen u und b der beiden Punkte auf die Kugel.

Im

Unter dem Abstande der beiden Punkte A und B oder der horizontalen Entfernung AB verstehen wir die Strecke s₀ = ab, die auf der Kugelfläche NN gemessen wird. Die Figur zeigt ohne weiteres,«daß der Abstand s₀ = ab den Abständen AA! oder BB' verschieden ist, die sich in manchen Fällen aus

von

den Messungen unmittelbar ergeben.

Die lotrechten Abstände Ha und Hb der Punkte A und B von der Kugelfläche NN sind die Meereshöhen der Punkte, ihre Differenz ist der Höhenunterschied 1ia — b = AB' — A' B = Hb — Ha. Die geodätischen Messungen in den beiden Punkten ermöglichen nur die Bestimmung ihres Höhenunterschiedes ; zur Ermittlung der Meereshöhen selbst sind die Höhenunterschiede einer Reihe aufeinander folgender Punkte zu messen, deren unterster in der Meeresfläche selbst liegt.

Außer der Entfernung und dem Höhenunterschied sind als weitere Messungselemente die Zenitdistanz z und der Höhenwinkel ix zu betrachten, die Winkel, die

die Gerade AB mit der Lotrichtung und mit der Horizontalen in A bildet. Dieselben Winkel kommen auch für die Gerade im Punkte B in Frage.

Ist der Abstand der beiden Punkte A und B so gering, daß der Fall 1 der Übersicht von S. 2 vorliegt, so geht die Kugelfläche der Fig. 1 in eine Ebene über,

und wir erhalten die nebenstehende Fig. 2, in der die Horizontalehenen soude auch die Lotrichtungen beider Punkte einander parallel sind. Zur Definition der horizontalen Entfernung der beiden Punkte spielt dann die Meeresfläche keine Rolle mehr, die Entfernung AB ist unabhängig von der Höhe gleich dem Abstand s der beiden Lotlinien in A und B. Für die Zenitdistanzen und Höhenwinkel der Geraden AB in ihren ,    ^ beiden Endpunkten gilt in diesem Falle der

einfache Satz, daß die ersteren sich zu 180° ergänzen, die letzteren bei entgegengesetztem Vorzeichen gleich sind.

Ist im Gelände außer den beiden Punkten A und B noch ein dritter Punkt C bezeichnet, so bilden die Projektionen der drei Punkte auf die Kugelfläche (nach Fig. 1) ein sphärisches Dreieck, die Projektionen auf die Horizontalebene (nach Fig. 2) ein ebenes Dreieck. Zu den bisher genannten Messungselementen kommt dann noch ein weiteres hinzu. Den Winkel, den die Projektionen ab und ac der Linien AB und AC im Punkte a bilden, bezeichnen wir als einen Horizontalwinkel; er ist gleichbedeutend mit dem Winkel, den die beiden Vertikalebenen AB und AC im Punkte A einschließen.

Fig. 2.

B'

ff

A4

H«!

lA'

Durch Messung von horizontalen Entfernungen, Höhenunterschieden, Horizontal-und Höhenwinkeln lassen sich die Aufgaben der Feld- und Landmessung lösen.

Alle Messungen sind mit unvermeidlichen Fehlern behaftet, und es ist eine der wichtigsten Aufgaben der Vermessungswissenschaft, die Wirkung der Messungsfehler zu erforschen, die Fehler auszugleichen und über die unvermeidlich bleibenden Ungenauigkeiten der Ergebnisse an Messungen und Berechnungen Rechenschaft zu geben. Dieser Aufgabe ist unser nachfolgendes erstes allen anderen Kapiteln technischen Inhaltes vorausgeschicktes Kapitel gewidmet'.

Kapitel I.

Das arithmetische Mittel und der mittlere Fehler.

§ 2. Erklärungen.

Wer sich mit Messungen irgend welcher Art beschäftigt, macht dabei die Erfahrung, daß diese Messungen Fehlern ausgesetzt sind.

Man hat hauptsächlich zwei Mittel, die Richtigkeit und Genauigkeit von Messungen zu prüfen: entweder wiederholt man eine Messung unmittelbar und sieht zu, ob man das Ergebnis der ersten Messung wieder erhält, oder man mißt verschiedene Größen, welche unter sich in einer bekannten Beziehung stehen, je einmal, und untersucht, oh die Messungsergebnisse die erwähnte Beziehung zeigen ; z. B. man mißt die drei Winkel eines ebenen Dreiecks und vergleicht deren Summe mit 180°. Wenn man hei jeder Messung sich eine derartige Probe verschafft, und dieselbe in aller Strenge verfolgt, so wird man zu dem Schluß geführt, daß keine Messung vollkommen fehlerfrei ist.

Trotz dieser unvermeidlichen Mangelhaftigkeit der Beobachtungen werden doch die Fehler gewisse Grenzen nicht übersteigen, sofern der Beobachter die nötige Sorgfalt anwendet. Ist letzteres nicht der Fall, so treten „grobe Fehler“ auf (z. B. falsches Zählen der ganzen Lattenlagen bei Längenmessungen u. a.). Solche grobe Fehler sollen von den folgenden Betrachtungen ausgeschlossen sein.

Gewisse Messungsfehler wirken immer in demselben Sinn, z. B. das Ausweichen der Meßlatten aus der zu messenden Geraden führt immer auf ein zu großes Messungsresultat. Obgleich die Theorie der Beobachtungsfehler sich auch mit solchen „regelmäßigen“ oder „einseitig wirkenden“ Beobachtungsfehlern zu befassen hat, werden wir doch im folgenden, sofern nicht das Gegenteil bemerkt ist, die Annahme machen, daß einseitig wirkende Fehler nicht zu befürchten sind, sondern nur unvermeidliche, unregelmäßige Beobachtungsfehler, welche gleichwahrschcinlich positiv oder negativ sind.

Sobald man erkannt hat, daß die wahren Werte der beobachteten Größen in aller Strenge zu bestimmen unmöglich ist, hat man sich ein weniger hohes Ziel zu stecken, nämlich nur die Erreichung der unter gegebenen Umständen besten Werte der Unbekannten, welche sich der Gesamtheit aller Messungen am besten anpassen. Je nach der Art der Beobachtung und der Anzahl der angewendeten Probemessungen wird man den wahren Werten der Unbekannten mehr oder weniger nahe kommen; man kann deswegen nach Ermittlung der bestanschließenden Werte noch die Frage aufwerfen, welche Genauigkeit erzielt worden ist.

§ 3. Der durchschnittliche Fehler.

10 Kił.

(7)

§18. Längenmessimg mit Meßlatten.

§ 21. Genauigkeit der Längenmessung.

§ 22. Ausgleichung yon Längenmessimgen.

§ 27. Flächenbestimmimg nach einem Plan.

Sei nun A B N AI = F die ursprünglich abzuschneide

P \\

§ 41. Logarithmische Rechenschieber.

§p

§ 49. Die Konvexlinse.

h; di1

Ep

§ 60. Bemerkungen zu den Achsenfehlern des Theodolits.

360

Xp — Xa — COS q> , Xp — Xb — a cos ip

0!L-J-5’7L^®Z’61_Ü9’14

iS!

§ 78. Besondere Zentrierungsverhältnisse.

§ 80. Beispiel einer Triangulierung.

§ 82. Die Aufgabe des Rückwärtseinschneidens.

§ 84. Yerschiedene Nebenbetraclituiigen zur Aufgabe des Rückwärtseinscliueidens.

Nachdem somit die vier Entfernungen 3,1 , 4,1 , 3,

§ 89. Schärfere Punktauswahl in der fehlerzeigenden Figur.

§ 93. Schlußbemerkungen zu den preußischen Triangulierungen.

§ 97. Anlage eines Polygonnetzes.

”*2 = "2+(«Vt')2+(ł‘>)+(ł<>)2

§ 104. Mittlere Winkelfehler.

§ 107. Gestreckte ungleichseitige Züge.

§ 113. Horizontalstellung und Stative.

§ 118. Festlegung und Versicherung der Nivellierungspunkte.

(8)

§ 127. Bildung der Normalgleicliungeii usw. nach der Figur.

§ 129. Eisenbahnnivellements und sonstige Feinnivellements.

§ 134. Höhenwinkelmessung mit Libellenahlesung.

r f t\2

Man sieht hieraus, daß trotz der rohen Annahme von

§ 150. Quecksilberbarometer.

$ 153. Quecksilberthermometer, Siedethermometer.

§ 157. Teilungskorrektion der Federbarometer.

§ 161. Barometrische Höhentafeln.

§ 163. Reduktion schiefer Entfernungen durch Aneroiddifferenzen.

§ 167. Literatur der barometrischen Hölienmessung.

§ 172. Reflexionsdistanzmesser.

II

5. Die Multiplikation mit Je kann auch mit dem B e

1877. Erede, la celerimensura cogli strumenti comm

§ 185. Strahlenzieher.

§ 189. Flüchtige Aufnahmen.

Durch diese Berechnungen und Konstruktionen fand s

mit 20 Strecken,

§ 206. Einzelpunkte mit rechtwinkligen Koordinaten.

§ 211. Dreifacher Korbbogen der Gotthardbahn mit allgemeiner Koordinatenberechnung.

§ 215. Katastervermessimgen und Stadt Vermessungen.

Ausdehnung der Luft durch die Wärme.

Mafe-Vergleichung.

¹

Es ist die §-Einteilung der vorliegenden 7. Auflage hier angeführt.

²

Ein Auszug aus

Handgebrauche ist gegeben in „Mathematische und Geodätische Hilfstafeln von W. Jordan, Hannover, Helwingsche Verlagsbuchhandlung 1896“, 120 Seiten, Preis 1 Jt

§ 3. Der durchschnittliche Fehler.

man a\is

Die ersten Fehlerbeträchtungen führen immer auf eine Durchschnittsberechnung, welche zur Einführung in das Verständnis der Sache hier zuerst mitgeteilt werden muß. Wenn die Fehler mehrerer gleichartiger Beobachtungen bekannt sind, so kann diesen Fehlern (absolut genommen, d. h. ohne Rücksicht auf die Vorzeichen)

einen Durchschnittswert bilden, welcher „durchschnittlicher Fehler“ heißt. Allerdings kennt man die wahren Beohachtungsfehler im allgemeinen ebensowenig als die wahren Werte der beobachteten Größen, doch hindert dieses nicht, den strengen Begriff des durchschnittlichen Fehlers zu bilden, d. h. wenn ^ e₂ £3 . ... £» eine Anzahl wahrer Beobachtungsfehler von gleicher Art sind, so ist der durchschnittliche Fehler:

(1)

[±«]

wobei das Zeichen [Hb e] die absolute Summe der s (im Gegensatz zu der algebraischen Summe) andeuten soll, indem die eckige Klammer als Summenzeichen dient.

Als Beispiel für die Berechnung des Durchschnittswertes wahrer Fehler nehmen

wir folgendes :

Bei der „Gradmessung in Ostpreußen“ wurden in 22 Dreiecken alle Winkel a, ß, y gemessen und die Winkelsummen mit den theoretischen Summen 180° + sphär. Exzeß verglichen. Dabei ergaben sich folgende 22 Widersprüche :

Num. s

a + ß + y — (180° + sphär. Exzeß) Num.

= s Num. s

+ 0,86"

+ 0,93

0,51

CT* ö r-4

+ 0,56"

0,00

— 0,59

17.    +1,62"

18.    +1,62

19.    +1,67

- 1,46

12.

0,00

20.

0,72

0,95

1,40

+ 1,76 + 0,92

21. .-1,35

22.

0,98

6,47

8,29

Durchschnitt =

[± e] _ 22,72"

Summe 22,72" = [± e]

22~ =±W'.

Betrachtet man nun die Winkelsumme a + ß + y eines Dreiecks als Messungsgröße, so hat man den durchschnittlichen Fehler desselben hiermit bestimmt = + 1,03", und dieser Wert als durchschnittlicher Dreiecksfehler hat immer ein gewisses Interesse (dagegen wurde der durchschnittliche Fehler eines einzelnen Dreieckswinkels hierbei nicht gefunden).

Ebenso wie diese Dreiecksschlußfehler haben auch die Differenzen, welche man hei Messung*Wiederholungen findet, den Charakter wahrer Beohachtungsfehler f.

Im Gegensatz zu diesen wahren Beobachtungsfehlern stehen die scheinbaren Fehler, welche man z. B. findet, wenn man das arithmetische Mittel mehrerer Beobachtungen mit den einzelnen Beobachtungen vergleicht. Dieses gibt folgendes :

Beobachtungen :    ^ G h

l\ + 1% + I3 +    - ln

...ln

(2)

Arithmetisches Mittel : x — oder mit Annahme der eckigen Klammer als Zeichen für algebraische Summierung:

ra

(3)

+ >}2 + <‘3 + • • • —    — (^1 + ^ + ^3 + • • •)

[■«] = nx — [Z].

(4)

Man bildet die scheinbaren Fehler, d. h. die Differenzen :

= •» — h

V₂ — X - h>

Vn — X — lyl,

v₃ = x — ls...

dabei bemerkt man. daß die algebraische Summe dieser Differenzen = 0 ist, nämlich:

Wegen (2) und (3) gibt dieses [>] = 0.    •

Diese Gleichung (4) ist wertvoll als Rechenprobe.

Diese scheinbaren Fehler v behandelt man näherungsweise wie wahre Beobachtungsfehler e, d. h. man berechnet nach Anleitung der Gleichung (1) den durchschnittlichen Fehler:

[±®1

Beispiel. Ein Winkel ist fünfmal unabhängig gemessen worden :

Differenzen v

35° 26'

g ;

bS) Sc O 00 WC WC ö H 03 r—I C3 1—1

Probe

cd r-T O (O CO

[+®] = + 7,4 [-*] = - 7,4

M - o

14,8"

Summen: 94"

Mittel x = 35° 26' 18,8"

14,8

= 2,96" = durchschnittlicher Fehler.

Damit hat man ein Maß für die mutmaßliche Genauigkeit einer einzelnen Beobachtung. Nun wäre es weiter von Wichtigkeit, zu wissen, wie sich die Genauigkeit der einzelnen Beobachtung zur Genauigkeit des arithmetischen Mittels verhält, allein diese und andere hier sich anschließende Fragen lassen sich auf Grundlage des durchschnittlichen Fehlers und der vorstehenden einfachen Betrachtungen nicht lösen.

$ 4. Der mittlere Fehler.*

Aus einer Anzahl n wahrer Beobachtungsfehler D *2 *3 • • •bilden nur einen Mittelwert m nach der Gleichung:

(1)

m — j/-

Man nennt diesen aus den Quadraten der Fehler abgeleiteten Mittelwert den „mittleren Fehler“ oder „mittleren zn fürchtenden Fehler“ (error médius metuendus).

Der mittlere Fehler bietet gegenüber dem durchschnittlichen Fehler den Vorteil, daß bei der Summierung [g2], da alle Quadrate positiv sind, keine Unterscheidung der Vorzeichen nötig ist, sowie daß das Vorzeichen der Quadratwurzel unbestimmt + aus der Rechnung hervorgeht. Abgesehen von diesen äußerlichen Unterschieden ist aber der mittlere Fehler ein besseres Genauigkeitsmaß als der durchschnittliche Fehler, wie sich schon dadurch zeigt, daß in den Quadraten die großen Fehler mehr ins Gewicht fallen.

Der mittlere Fehler ist im allgemeinen größer als der durchschnittliche Fehler, und nur, wenn alle Einzelfehler t gleich sind, so werden auch der durchschnittliche und der mittlere Fehler einander gleich; dieses läßt sich zunächst für zwei Elemente leicht einsehen; hat man nämlich zwei wahre Fehler 6₁ und «₂, so ist;

der durchschnittliche Fehler

der mittlere Fehler

i/el² +fi2²

w = y ~ 2—

»;2

s^² _j_ g₂2    2    -f- 2 e₂2

Um festzustellen, welches von beiden der größere Wert ist, behandeln wir die Differenz beider:

m² —

,₉ _ cl² + e2² — 2 äl ć2

4

, also

_ (fcl — ⁶2)²

(2)

Als Quadrat ist dieses stets positiv, es ist. also stets t/t² größer als f² (ausgenommen den besonderen Fall e₁ = £₂, in welchem /// und t gleich werden).

Dieser Beweis (2) läßt sich leicht auch auf beliebig viele Elemente e₂...

ausdehnen.

Zur weiteren Vergleichung zwischen dem durchschnittlichen Fehler und dem mittleren Fehler betrachten wir folgende zwei Fehlerreihen:

I. 5    6    2    7

dl. 14    3    0    0

r. 'ji

8 10 9 3 5 20 2 2 1 10

Summe Quadratsumme

58 j

402

58

750

Der durchschnittliche Fehler wird in beiden Fällen gleich, nämlich = 5,8, der mittlere Fehler dagegen wird :

-, /750

= Vw = ±a-m-

Der mittlere Fehler läßt die erste Reihe besser erscheinen als die zweite Reihe, und in der Tat ist eine ziemlich gleiche Fehlerverteilung bis zur Grenze 10 günstiger als das zweimalige Überschreiten dieser Grenze mit 14 und sogar 20 bei II, was durch das zweimalige Vorkommen von 0 nicht aufgewogen wird.-

Obgleich man auf diese oder ähnliche Art die Einführung des „mittleren Fehlers“ wohl als zweckmäßig darstellen kann, gelingt es doch nicht, diese V ahl eines Genauigkeitsmaßes als notwendig nachzuweisen. Die beste Rechtfertigung des „mittleren Fehlers“ liegt aber darin, daß sich auf ihn eine allseitig befriedigende und nun schon seit 100 Jahren anerkannte Fehlertheorie gründen läßt.

Indem wir hiernach die Definition des mittleren Fehlers nach der Gleichung (1) festhalten, wenden wir diese Gleichung auf das frühere kleine Beispiel § 3 S. 7 an, zunächst mit der Annahme, als ob die scheinbaren Fehler v wie wahre Beobachtungsfehler £ behandelt werden dürften.

Beobachtungen 35° 26' 16"

r2

20

18

25

15

+ 2,8" -1,2 -(- 0,8 -6,2 + 3,8

7,84

1,44

0,64

38.44

14.44

94

Summe Mittel 35° 26' 18,8"

[r] = 0,0 [t’2] = 62,80

62,80

= ±3,54"    (?).

(3)

L)ieser Berechnung (3) haben wir ein Fragezeichen (?) zugesetzt, weil es fraglich ist, ob die zunächst gemachte Annahme der v als wahrer Fehler zulässig ist? Die Antwort hierauf wird in unserem späteren § 7 gegeben werden. Inzwischen müssen wir uns einer anderen Betrachtung zuwenden.

Der mittlere Dehler nach der Im vorstehenden gegebenen Definition ist der Grundbegriff der Genauigkeitsuntersuchungen ; neben diesem mittleren Fehler hat der durchschnittliche Fehler, der sich zuerst in § 3 dargeboten hat, eine nur sehr untergeordnete Bedeutung.

Es bestehen noch zwei andere Fehlermaße, welche wir hier wenigstens summarisch erwähnen wollen, nämlich der wahrscheinliche Fehler und der Grenzfehler. Der wahrscheinliche Fehler ist so bestimmt, daß in einer größeren Fehlerreihe gleich viele Fehler ihrer absoluten Größe nach unter dem wahrscheinlichen Fehler liegen als über ihm, oder daß das Fallen eines Fehlers unterhalb des wahrscheinlichen Fehlers gleich wahrscheinlich ist wie das Fallen oberhalb desselben.

Die Theorie der Fehlerwahrscheinlichkeiten (auf welche wir hier nicht eingehen) hat zwischen dem mittleren Fehler m, dem durchschnittlichen Fehler t und dem wahrscheinlichen Fehler r die folgenden Verhältnisse gefunden:

m = 1,2533 t = 1,4826 r

oder

t = 0,7979 m,

r = 0,6745 m,

d. h. der mittlere Fehler ist nahezu = ⁸/₄ des durchschnittlichen und = s/₂ des wahrscheinlichen Fehlers, oder der wahrscheinliche Fehler nahezu = ²/₃ des mittleren Fehlers usw.

In der Praxis braucht man den durchschnittlichen und den wahrscheinlichen Fehler im allgemeinen nicht, dagegen gibt es noch ein Fehlermaß, das in der Praxis sehr wichtig ist, nämüch den Grenzfehler M, für dessen Bestimmung die Theorie keinen völlig festen Anhaltspunkt bietet, kann jedoch gewöhnlich annehmen, daß der Grenzfehler einer Messungsart etwa gleich dem Dreifachen des mittleren Fehlers sei, also M=3tn. — Zu bemerken ist hierzu, daß die für bestimmte Messungsarten als zulässig betrachteten Grenzfehler in Übereinstimmung mit den an die Ergebnisse der Messungen gestellten Anforderungen festgesetzt werden.

Man

§ 5. Das Fehlerfortpflanzungsgesetz.

Es handelt sich um die Frage, in welcher Weise sich die mittleren Fehler ge-Größen auf die hieraus durch Bechnung abgeleiteten Größen übertragen.

messener

Diese wichtige Frage muß erledigt sein, ehe weitere Aufgaben gelöst werden können. Wir behandeln zuerst einzelne besondere Fälle dieser Frage, nämlich Multiplikation und

Addition gemessener Größen.

I. Multiplikation. Eine gemessene Größe x, deren mittlerer Fehler = ±in ist, wird mit einer konstanten (fehlerfreien) Zahl a multipliziert ; es handelt sich um den mittleren Fehler M des Produktes

(1)

X = ax.

Durch die Multiplikation mit a werden auch die der Größe x anhaltenden Fehler betroffen; man kann also rasch überblicken, daß das Ergebnis sein wird:

M = am.

Zur Veranschaulichung mag das Messen einer Geraden mit unsicheren Latten dienen. Wenn eine Meßlatte an sich um den Betrag + m unsicher ist, d. h. wenn sie ungenau mit dem Normalmaß verglichen ist und wenn die Handhabung der Messung seihst ganz fehlerfrei ist (d. h. wenn von den Messungsfehlern selbst hier gar nicht die Rede sein soll), so wird hei dem «maligen Anlegen der fehlerhaften Latte olfenbar ein Fehler M = am erzeugt, und zwar + M, wenn + m im Vorzeichen unbestimmt ist.

II. Addition. Zwei voneinander unabhängig gemessene Größen x und x', deren mittlere Fehler bzw. m und m' bekannt sind, werden addiert; es fragt sich, welches ist der mittlere Fehler M der Summe

(3)

.21 x —|— x .

Auf den ersten Blick könnte es scheinen, als ob einfach zu setzen wäre :

M = m -f- m' (?),

allein sobald man die Sache näher betrachtet, so bemerkt man, daß dieses nur dem äußersten Fall der Häufung der Fehler m und m' entspricht, während bei unregelmäßigen Vorzeichen + m und + m! auch der Fall der gegenseitigen Tilgung m — m' berücksichtigt werden muß.

Um den Begriff des mittleren Fehlers anwenden zu können, denken wir uns die Addition x x = X nicht nur einmal, sondern wiederholt (etwa «mal) vorgenommen, und wir ziehen alle Fehler, s, s' usw. in Betracht, welche bei allen diesen Fällen auftreten. Im ersten Falle habe man x behaftet mit dem Fehler e, und x' behaftet mit f', dann ist zweifellos der Fehler von X im ersten Falle gleich s -+- was mit Ö bezeichnet werden soll. Dieses »mal angewendet gibt:

$1 = + £]/

$2 = e2 “F s2,'

$3 —    + e₃' bn — Sn -f- Sn •

Um zu mittleren Fehlern überzugehen, müssen wir quadrieren :

ój² —    fq'2 _j_ 2 Si

d₂² = «2² “F S-2 ² 4- 2    S--1

Ô3² = e₃²    «₃ -    2    e₃ e₃'

Öre² — £«² -F ^/^,2 -|- 2 Sn Sn

Quadratsunnne [Ó²] = [s²] -j- [>/²] -f- 2 [s e'] Quadrat. Mittel

n n n    n

Hier ist zufolge der Definition des mittleren Fehlers :

J = m! 2,

n

(4)

G²]

[F²]

(5)

[*«']

ist?

und es fragt sich noch, was -—

n

Dieses ist der Durchschnittswert aller Produkte ćj s{, e₂e₂' usw., und da alle s gleich wahrscheinlich positiv oder negativ sein sollen, also auch kein Grund vorhanden ist, warum in der Reihe der Produkte s{, s% s% . .. die positiven oder negativen Be

träge überwiegen sollten, so ist der Durchschnittswert des letzten Gliedes in (4) gleich Null zu setzen. (Genauer gesagt, der Grenzwert, gegen welchen hei wachsender Anzahl n jenes Glied konvergiert, ist gleich Null.)

Damit und wegen (5) gibt nun die Gleichung (4) : fff ² = m2 _|_ m'2

oder

(6)

Dieser wichtige Satz über die Fedüerfoiipflanzung ist also gleichlautend mit dem pythagoräischen Satz der Geometrie, indem fff als Hypotenuse zu den Katheten rn und m! gehört, und daher leicht zu merken. Er lautet: Wenn eine Messung mit dem mittleren Fehler +.m addiert wird zu einer zweiten Messung mit dem mittleren Fehler + m\ so entsteht eine Summe, deren mittlerer Fehler + fff die Quadratwurzel aus der Quadratsumme von m und m’ ist, oder es ist der Summenfehler fff die Hypotenuse zu den Teilfehlern m und m' als Katheten.

Derselbe Satz gilt wie für Summen, so auch für Differenzen, d. h. wenn aus den Messungen x + in und x'+_m' die Differenz I) = (x + in)— (x + iri) gebildet wird, so haftet an dieser Differenz derselbe mittlere Fehler fff = V in- ff- in' 2 wie an der Summe x ff- x'. Man überzeugt sich hiervon leicht, wenn man die vorstehende Entwicklung nochmals durchgeht, denn es wird sich mit x — x statt x ff- x' nichts ändern, als daß in (4) das letzte Glied negativ wird; da aber dieses letzte Glied in (4) gleich Null wird, bleibt alles bestehen.

Beispiel. Ein Winkel a ist bestimmt durch Zusammensetzung aus zwei Winkeln ß und y nach a = ß ff- y. Die mittleren Fehler der Winkel ß und y sind bekannt : jF niß und Hb niy ; der mittlere Fehler von a ist somit Ma = ßr_ \Jff- wiy². Das Gleiche gilt, wenn a die Differenz zweier Winkel wie a = ß — y ist.

Der wichtige Satz (6) läßt sich auch auf mehr als zwei Messungen leicht ausdehnen. Hat man drei Elemente:

X = (x ± m) (x' ± m') + (x" + m"),

so kann man zuerst die zwei ersten Elemente nach dem Satze (6) zusammenfassen und dann das dritte hinzunehmen, d. h. man hat für drei Elemente :

M2 = (W2 + m'2) + m"2 .

So kann man beliebig fortfahren, wodurch man allgemein erhält:

(7) •

fff 2 — m² + ?n'² -f- m"² + m’”² + ...

Sind hierbei alle Einzelfehler m, m'. m" ... einander gleich, was als besonderer Fall oft vorkommt, so wird bei nFehlern:

(8)

fff² — rrfi -\- vfi ff- u?² ff- ... = n m2 fff = m Yn.

Zur Veranschaulichung mag wieder das Beispiel der Lattenmessung dienen; jedoch soll nun im Gegensatz zu dem früheren Falle bei (2) angenommen werden, daß die Latten an sich fehlerfrei seien, daß aber bei jeder Lattenlage ein aus der Handhabung entspringender Fehler begangen wrerde, dessen Mittelwert gleich + m sei, wobei das Überwiegen positiver oder negativer Fehler völlig ausgeschlossen sein soll. (Letzteres ist bekanntlich nicht wirklich der Fall, doch sei davon jetzt nicht die Rede.)

Unter diesen Voraussetzungen haben wir die Gleichung (8) gültig für «maliges Lattenanlegen mit + m als mittlerem Fehler einer Anlage, und hiernach ist der mittlere

Lattenmessungsfehler proportional der Quadratwurzel aus der Anzahl n der Lattenanlagen, d. h. auch proportional der Quadratwurzel aus der gemessenen Länge L (weil L proportional n).

III. Lineare Funktion. Durch Verbindung der beiden Sätze I für Multiplikation und II für Addition bzw. Subtraktion erhalten wir den allgemeinen Satz für Bestimmung des mittleren Fehlers einer linearen Funktion gemessener Größen:

Wenn x, x', x" . . . gemessene Größen und m, m', m" . .. deren bekannte mittlere Fehler sind, so handelt es sich um die lineare Funktion :

(9)

X — ax-\- cd x’ -h a" x" -j-... ,

deren mittlerer Fehler M sich nach dem Vorhergehenden leicht ergibt:

(10)

M= Y (fünf + (cd m'f 4- (a"m"f + . . . .

§ 6. Zusammenwirkimg; unregelmäßiger und regelmäßiger Fehler.

Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, daß keine konstanten oder einseitig wirkenden Fehler vorhanden sind; indessen gilt der Hauptsatz des vorigen § 5 über Fehlerfortpflanzung auch dann noch, wenn es sich um Kombination eines unregelmäßigen mit einem regelmäßigen oder mit einem konstanten Fehler handelt, denn der Mittelwert

\s e'l

L —J , auf welchen es bei (4) § 5 S. 10 hauptsächlich ankommt, konvergiert auch dann

noch gegen Null, wenn nur e oder V gleichwahrscheinlich positiv und negativ ist.

Als Beispiel hierfür nehmen wir wieder die Längenmessung mit Meßlatten. Eine solche Messung ist nämlich nicht nur mit unregelmäßigen Fehlern, sondern auch mit regelmäßigen Fehlern behaftet. Solche regelmäßige Fehler sind z. B. das Ausweichen aus der Geraden nach links oder rechts, nach oben oder unten. Diese Ausweichungen heben sich durchaus nicht gegenseitig auf, sondern sie geben lauter positive Fehler, d. h. Fehler, welche die Länge zu groß erscheinen lassen.

Bezeichnen wir den Durchschnittswert der durch das Ausweichen entstehenden

regelmäßigen Fehler mit c, den bei jeder Lattenlänge auftretenden unregelmäßigen Fehler mit + m, so ist bei n maliger Lattenanlage der mittlere Gesamtfehler der Lattenmessung

(1)

M = y (n c)² + (V n mT ⁼ V"n2 c² + n m².

Der Begriff des mittleren Fehlers ist also nicht an die Bedingung gleicher Wahrscheinlichkeit für positive und negative Einzelfehler gebunden; man kann den mittleren Fehler auch als Genauigkeitsmaß für solche Messungen benützen, bei welchen einseitig wirkende Fehlerquellen vorhanden sind; doch darf natürlich ein mittlerer Fehler, welcher konstante Teile enthält, im allgemeinen nicht ebenso weiter behandelt werden wie ein mittlerer Fehler, welcher solche Teile nicht enthält.

§ 7. Das einfache arithmetische Mittel.

Wenn eine Messung mehrfach gleichartig und unabhängig wiederholt worden ist mit den Ergebnissen , U, (% ■ • . 7«, so nimmt man als bestanschließenden Wert das arithmetische Mittel:

(1)

in

Es folgt also :

(6)

y n

' d. h. der mittlere Fehler M des arithmetischen Mittels x wird erhalten aus dem mittleren Fehler m einer Einzelbeobachtung durch Division mit der Quadratwurzel Yn aus der Anzahl n der Beobachtungen. Wir werden diesen wichtigen und interessanten Satz nachher mit Fig. 1 S. 15 noch etwas näher betrachten, zuvor aber müssen wir uns nochmals der Gleichung (4) zuwenden, um die daselbst noch offengelassene Frage zu behandeln, inwiefern die scheinbaren Fehler v zur Vertretung der wahren Fehler e geeignet sind.

Diese wahren Fehler e bleiben unbekannt, aber dennoch kann man die Abweichungen zwischen den v und den e näherungsweise berücksichtigen in folgender Weise :

Im Gegensatz zu dem arithmetischen Mittel x bezeichnen wir mit X den wahren Wert der Unbekannten, und mit e die wahren Beobachtungsfehler im Gegensatz zu den scheinbaren Beobachtungsfehlern v; dann haben wir die Gleichungen:

(7)

Die Abweichungen der Einzelmessungen von dem Mittel x, d. h. die scheinbaren Fehler sind :

v₁= x — \ v₂ = x — l2 vs = x — \ >

(2)

Vn = X — ln

deren Summe wegen (1) gleich Null ist, d. h. :

[®] = 0 •

Durch Quadrierung der scheinbaren Fehler r findet man den mittleren Fehler einer Beobachtung zunächst näherungsweise durch die Formel:

(3)

r 11

(4)

Es handelt sich nun um Bestimmung des mittleren Fehlers M des arithmetischen Mittels selbst, wozu die Anleitung des Satzes über Fehlerfortpflanzung (10) § 5 S. 12 dient, denn vermöge (1) ist x eine lineare Funktion der beobachteten Größen l, denen sämtlich der mittlere Fehler in zukommt, wie sich noch deutlicher zeigt, wenn man die Gleichung (1) auseinander zieht und so schreibt :

1 ,    1 ₇ 1 . 1 ₇

X — Zi —-— '9 “ł--*3 “'n .

'Yl    fl    fl    fl

Es treten also die lx, 1₂, /₃.. . an Stelle der früheren x, x, x" . . . in (9) § 5, und die dort mit a, a' a" . .. bezeichneten Koeffizienten sind in unserem Falle (5)

—, die mittleren Fehler m, in' m" .. . sind in unserem Falle alle einander n

gleich, = m, also gibt der Satz (10) § 5 S. 12 nun:

M = m 1/a² -    f-. . .

sämtlich =

ro

(5)

«2 + a' 2 4- a" 2

Î' rH | g

1 \2 1

also e = r-j- (X — x).

Wenn man dieses auf n Fälle anwendet und die «q, to. .. en quadriert, so

erhält man:

ćl2 = Vl2 _|_ (X — x)2 -+- 2 vx (X — x) 6₂2 = ?;₂2 ₊ (X — x)2 + 2 »₂ (X — x)

8n² = «„2 + (X _ ,X'j2 + 2 V„ (X — X)

Summe [e²] — [t-2] _|_ H (X — x)² -+- 2 (rq + »₂ -j- ... *>»») (X — x).

Nun ist aber die algebraische Summe tq -f- »₂ + • •. % = [»] = 0 nach (3), also

[e²] - [w²] n (X — x)2.

x, d. h. die Abweichung des arithmetischen Mittels x von dem wahren Wert X der Unbekannten ist in aller Strenge niemals zu bestimmen; allein man kann wenigstens für X — x einen guten Näherungswert einführen, indem man dafür den mittleren Fehler M des arithmetischen Mittels selbst setzt, d. h. nach (6):

bleibt nur:

Der Wert X

X —-x — M=

m²

(8)

1/n

(X — xf = — n

(9)

Damit gibt (8) :

[62] = [q-2] H- 0(2 .

Es ist nun in aller Strenge nach der Definition des mittleren Fehlers:

[62]

denn die wahren Fehler e müssen den streng richtigen mittleren Fehler bestimmen. Damit wird (9):

il 0(2 — [(?2J _f_ o(2 .

Diese Gleichung kann nach m² aufgelöst werden und gibt :

[‘■²J

oder

(10)

j?(2 = -

n — 1

Das ist die gesuchte richtige Formel, welche an Stelle der genäherten Formel (4) tritt; die Formel (10) kann man auch wieder in (6) einsetzen. womit man hat:

-Y

(11)

n (n — 1) '

Die Formel (10) sagt im Vergleich zu (4), daß die Fehlerquadratsumme durch die Anzahl der überzähligen Beobachtungen zu dividieren ist, denn von den n Beobachtungen ist eine notwendig, um die Größe x überhaupt kennen zu- lernen.

Die neue Formel (10) erscheint auch ohne die mathematische Herleitung nach dem bloßen Anblick besser als die frühere Formel (4); namentlich in dem besonderen Fall mit n = 1. Hierfür würde (4) geben [c²] = 0, also m = 0. Dagegen (10) gibt

-Yv

zwar auch [e²] = 0, aber auch im Nenner n — 1 = 0, also im ganzen m

d. h. unbestimmt, und in der Tat muß beim Vorhandensein von nur einer Beobachtung die Genauigkeit unentschieden bleiben. (Als letzten extremen Fall kann man auch noch 71 — 0 setzen, d. h. nach der Genauigkeit einer Beobachtung fragen, welche gar nicht gemacht worden ist; auch hierfür gibt (10) die richtige Antwort, indem wegen n— 1 =0 — 1 = — 1 der mittlere Fehler >» imaginär wird.)

Zur Anwendung der in vorstehendem entwickelten Theorie des einfachen arithmetischen Mittels nehmen wir nochmals das kleine Zahlenbeispiel vom Schlüsse des § B S. 7 mit fünf Beobachtungen :

Beobachtungen l 1    35° 26’ 16"

20

— 1,2

18

25

15

cT co co

38.44

14.44

= 94

0,0

Summe

Mittel = 35° 26’ 18,8".

Mittlerer Fehler einer einzelnen Beobachtung:

62,80 = [®a]

Probe.

Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels:

=/4

3,96

(n — 1) ~ y r>

Im ganzen schreibt man nun abgerundet:

äj= 35° 26' 18,8" ±1,8".

Vn

[®²]

= ± 1,77".

Graphische Darstellung der Gleichung (6).

Die oben S. 13 gefundene Gleichung (6) ist in mehr als in einer Hinsicht sehr wichtig, sie sagt in Worten, daß der mittlere Fehler des arithmetischen Mittels sich im Verhältnis der Quadratwurzel der Anzahl der Messungen verkleinert. Zur Veranschaulichung dieses Gesetzes kann man M als Ordinaten der Abscisse n auftragen, wobei man eine hyperbelartige Kurve dritten Grades erhält, welche in der nachfolgenden Figur dargestellt ist. Die Zahlenwerte hierfür sind: n =

1    2    3    4    5    6    8    10    20    50    100

= 1,00    0,71    0,58    0,50    0,45    0,41    0,35    0,32    0,22    0,14    0,10    (

• (12)

Fig. 1.

Graphische Darstellung der Gleichung (6) : M =

y r»

0M= 1,00

_    M=0,32

M= 0,22

—9~

9    10

iS

20

Die Kurve läuft asymptotisch aus, d. h. der mittlere Fehler M nähert sich unbegrenzt der Null, ohne den Wert Null selbst je zu erreichen. Die ersten 5 — 10 Wiederholungen gehen rasch eine Abnahme von M, d. h. eine Genauigkeitssteigerung ; dann aber hat weiteres Wiederholen wenig Erfolg; und um den mittleren Fehler einer ersten Messung auf ein Zehntel seines Wertes herunter zu bringen, müßte man 100 Wiederholungen machen.

Das tut man aber gewöhnlich nicht; eine und dieselbe Messung pflegt man höchstens 5—10 mal zu wiederholen, und zwar nicht bloß deswegen, weil von da an der Wert M nur noch langsam abnimmt, sondern aus einem noch viel wichtigeren Grund: die Gleichung (6) und die danach berechneten Zahlenwerte (12) nebst der dazugehörigen Kurve setzen nämlich voraus, daß die Messungen nur mit unregelmäßigen. positiv oder negativ gleich wahrscheinlichen Fehlern behaftet seien. und dieses ist in Wirklichkeit fast nie der Fall.

Gilt z. B. für den mittleren Fehler einer Beobachtung ein Ausdruck von der Form (1) § 6 S. 12, so ist die Gleichung (6) nicht unmittelbar verwendbar. Durch die Mittelung der Beobachtungen wird nur der aus den unregelmäßigen Fehlern entspringende Teil des mittleren Fehlerquadrats verkleinert; es wird demnach der Gesamtwert des mittleren Fehlers in diesem Falle hei wachsender Anzahl der Beobachtungen sich nicht der Null. sondern dem Wert des regelmäßigen Fehlers nähern. Solche konstante Fehlerquellen wirken fast hei allen Messungen mit, und man kann eine Verfeinerung des Resultats durch Wiederholung der Beobachtungen nur dann erzielen, wenn dabei auch die Nebenumstände möglichst abgeändert, z. B. hei Winkelmessungen nach und nach verschiedene Striche der Kreisteilung benützt werden usw.

Einführung des Gewichtes.

Zur späteren Anwendung (im folgenden § 8.) betrachten wir nochmals die

wichtige Gleichung (6) in anderer Hinsicht:

,, m

M— —

]/n

oder

ttl²

M² = —

(13)

Es folgt hieraus, daß man das arithmetische Mittel als Ergebnis einer Beobachtung betrachten kann, deren mittlerer Fehler M ist; es ist also das Genauigkeitsverhältnis dieser fingierten Beobachtung und einer ursprünglichen Beobachtung durch die Werte M und m festgestellt.

Dieses führt zu dem Begriff des Gewichtes.

Das Verhältnis von m² zu M² ist bestimmt durch die Zahl n, welche angibt, wie viele Beobachtungen der einen Art in ein arithmetisches Mittel vereinigt werden müssen, damit dieses die Genauigkeit einer Beobachtung der anderen Art hat. n heißt in diesem Falle das Gewicht der letzteren Beobachtung (wobei man das Gewicht einer Beobachtung der ersteren Art = 1 setzt).

§ 8. Das allgemeine arithmetische Mittel.

Wenn zur Bestimmung einer Unbekannten mehrere ungleichwertige Beobachtungen vorliegen, d. h. solche, denen von vornherein nicht gleiche Genauigkeit zuzuschreiben ist, so ist das im vorigen § 7 behandelte einfache arithmetische Mittel nicht

der bestanschließende Wert der Unbekannten. Wie in diesem Falle zu verfahren ist, wird eine Betrachtung zeigen, welche wir mit einem einfachen Falle einleiten:

Man habe fünf gleichartige Beobachtungen l{, Z₂', Z₃', Z₄', Z₅' und deren einfaches arithmetisches Gesamtmittel :

_h' ■+■ h' + ht + h' ■+■ h'

x_ _ .

Außerdem betrachten wir zwei Partialmittel aus zwei und drei Beobachtungen :

j —    •+• h' + h'

(1)

_ l\ + l{

^— 2

dann ist leicht einzusehen, daß man aus den Partialmitteln Z₄ und Z₂ wieder das Gesamtmittel x hersteilen kann, ohne Zurückgreifen auf die ursprünglichen Beobachtungen V ; es ergibt sich nämlich aus (1) und (2):

_ 2 Zx + 3 Z2 2 + 8 •

Der an diesem einfachen Falle mit 2 + 3 = 5 Beobachtungen gezeigte Grundgedanke läßt sich leicht auch allgemeiner durchführen ; wir wollen Gruppenmittel Z₂, Z₃. .. aus px, p₂, p%. .. ursprünglich gleich genauen Beobachtungen annehmen, und daraus nach Analogie von (3) das Gesamtmittel berechnen

æ _ Pl h + P% h +^3 ^3 ~h • • • _ [p l]

Pl ■+■ Pz ”+■ P3 ■+* • • •    [ _

Die Zahlen p haben hier die Bedeutung von Ge wichten nach der Erklärung am Schlüsse des vorigen § 7, d. h. die p sind dasselbe, was die dort mit n bezeichneten Wiederholungszahlen, zu welchen die Partialmittel Zl5 Z₂, Z₃... gehören.

Wir gehen einen Schritt weiter, indem wir annehmen, daß diese lh Z₂, Z₃.. . nicht Partialmittel, sondern selbst unmittelbare Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit seien; dann müßte man ebenso verfahren wie im vorigen Falle nach Gleichung (4), nachdem man zuvor diejenigen Zahlen p ermittelt hätte, welche den einzelnen Genauigkeiten entsprechen, und dieses wird erreicht, wenn man für p die Gewachte nach der am Ende des vorigen § 7 S. 16 gegebenen Definition nimmt.

Da übrigens der Wert von x in (4) nicht verändert wird, wenn man alle Gewichte p mit einer beliebigen Zahl multipliziert, so folgt, daß es zur Lösung der Aufgabe genügt, wenn solche Gewichte p benützt werden, welche den früher als Gewichte definierten Zahlen proportional sind, und wir werden deswegen künftig allgemein die Gewichte nur als Verhältniszahlen auffassen.

Es läßt sich weiter leicht zeigen, daß die Gewichte p umgekehrt proportional den Quadraten der mittleren Fehler sein müssen, weil nach (6) § 7 S. 13 der mittlere Fehler umgekehrt proportional der Quadratwurzel aus der Anzahl der Wiederholungen d. h. aus der Gewichtszahl p ist. Um dieses deutlicher zu zeigen, wollen wir die erwähnte Gleichung (6) § 7 S. 13, nämlich

[P] '

(2)

(3)

(4)

Y'n

in welcher n als Geweht auftritt, auf zwei Fälle mit n=p und n = p’ an wenden:

Vp

M! =

Vp‘

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Hieraus ergibt sich der Satz: Wenn M, M’ die mittleren Fehler, und p, p' die Gewichte zweier Beobachtungen sind, so ist:

p __M'2 p' ~ M*

M _ Yp'

d. h. die Gewichte verhalten sich umgekehrt wie die Quadrate der mittleren Fehler, oder die mittleren Fehler verhalten sich umgekehrt wie die Gewichtswurzeln.

Für die im § 5 nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz berechneten mittleren Fehler können wir hiernach unmittelbar die Gewichtsformeln aufstellen.

oder

(5)

Ist

(1)    X = ax

(2)    X = x-h x' + x" . . .

(3)    X — x + x’ + x" . . . mit m = w! = m" .. .

(4)    X = a x -f- a! x' + a" x" ...,

so erhalten wir

(1) M = a m

und —- =

(2) M = Vm2 4. m'2 + m"2 ...

SS T

1 1

—7--1--77 • • •

p p

(3) M = m Yn

a! 2    a" 2

H--T fl--77 • • •

p    p

(4) M = Y(a m)² fl⁻ {a> m')² "T (a" m")i • • • v

Ein dem Begriff Gewicht verwandter Begriff ist der der Genauigkeit; bei abnehmendem mittlerem Fehler wächst sowohl das Gewicht als die Genauigkeit, jedoch in verschiedenem Maß. Während das Gewicht umgekehrt proportional dem Quadrat des mittleren Fehlers ist, verstehen wir unter Genauigkeit eine Größe, welche nur umgekehrt proportional dem mittleren Fehler selbst ist. Übrigens ist kein Bedürfnis vorhanden, besondere Genauigkeitszahlen in unsere Rechnungen einzuführen.

In welcher Weise die Gewichte ermittelt werden, läßt sich nicht allgemein angeben. Am einfachsten ist die Bestimmung der Gewichte, wenn man es nicht mit unmittelbaren Beobachtungen, sondern, entsprechend der Untersuchung am Anfang dieses Paragraphen, mit Partialmitteln aus einzelnen Beobachtungsgruppen zu tun hat, was zuweilen vorkommt.

P\,P*Pz---Pn-

Der bestanschließende Wert der Unbekannten ist das arithmetische Mittel:

Nachdem die Bedeutung der Gewichte p erklärt ist, gibt sich alles Weitere ähnlich wie beim einfachen arithmetischen Mittel. Wir haben bis jetzt folgendes: Gegeben die Beobachtungen : Q, /₂, l₃ . . .ln mit den Gewichten:

X =    ^1 P-Z h A~ Pz h A~ • • • P" h __ [p jl

Pl fl~Ü2 + PZ A“ • • • P"

Man bildet wie früher die scheinbaren Fehler:

•?4 = x —• lx mit dem Gewicht pl r₂ =x — l₂ „ v₃ = x — J₃ „

[P) ‘

(6)

Ü2

Pz

Wenn man diese v bzw. mit ihren p multipliziert und sie dann addiert, so erhält man wegen (6) :

[ p i?] = 0 .

(8)

00

Wir betrachten nun einen solchen mittleren Fehler m, welcher zu einem Gewichte p — 1 gehört; ob unter der Reihe der px,p^,Ps ■ ■ ■ wirklich ein Wertp = 1 vorkommt, ist dabei gleichgültig, jedenfalls kann man sich einen solchen Wert p — 1 denken und den ihm entsprechenden mittleren Fehler m betrachten, welchen man auch kurz „Gewichtseinheitsfehler“ nennt. Hieraus und aus den Gewichten p±, p%, jJ?> ■ ■ ■ folgen auch nach den Verhältnissen (5) die mittleren Fehler der Z1; /₂, ?₃ ..., nämlich bzw.:

Vp 2

(9)

Vpi

Um nun das Fehlerfortpflanzungsgesetz anzuwenden, schreiben wir zuerst (6) in der auseinandergezogenen Form :

Vps

ypn

x = ~h + r~-j

[p]    [p\

[p]

(10)

Dieses (10) entspricht der allgemeinen Gleichung (9) § 5 S. 12, und unsere (9) entsprechen den m, m', m" ... in (10) § 5 S. 12; man wird deshalb nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz von § 5 nun haben :

M*=(^

Pi

PS m \²

v[p] y pl;

Wp%

Wp%.

⁼ {[p\j    ⁺^⁺(yP3)²+--j

(11)

rn

M = —

V[p] '

Das Gewicht des arithmetischen Mittels ist = \_p\.

Wir gehen über zur Bestimmung des mittleren Fehlers m einer Beobachtung vom Gewicht 1 (Gewichtseinheitsfehlers). Wenn die Gewichte p alle = 1 wären, so würde man aus den scheinbaren Fehlern v in (7) höchst einfach einen Mittelwert bilden wie beim einfachen arithmetischen Mittel in § 7; und da dieses nicht der Fall ist, wollen wir die zu ungleichen Gewichten gehörigen v reduzieren auf gleiches Gewicht p — 1 ; nämlich nach den Proportionen (5) muß sein :

Gewicht Fehler

Gewicht Fehler

JPI

®1

P2

p?,

vl yPl reduziert

«aVfts

vs ypn

dabei ist angenommen, daß die scheinbaren Fehler v den Gesetzen der wahren mittleren Fehler folgen, was zulässig ist. Man berechnet nun aus den auf das Gewicht 1 reduzierten Fehlerbeträgen den mittleren Gewichtseinheitsfehler nach der früheren Formel (10) § 7 S. 14, nämlich:

to² =

in VPif -i-    V+ (% V P3)² + • ■ • _ Ip ^²]

n — 1

_ -i/[pj3

y n — 1 ’

Nun hat man in den beiden Gleichungen (11) und (12) die ganze Fehlertheorie des allgemeinen arithmetischen Mittels; man kann auch aus (11) und (12) zusammen noch bilden:

(13)

[p v²]

[p] (n — 1) '

Zu einem Zahlenbeispiel wollen wir mit der nachfolgenden Fig. 1 eine Höhenberechnung nehmen, hei welcher die Gewichte nicht etwa durch ungleichartige Messungswiederholungen bestimmt sind, sondern aus der Natur der Aufgabe sich selbst ergeben.

Fig. 1.

418,71m

619,02 ri

Pj

Ec-

/? 28,83

928,18ffî

Dq/

°480.81m

1247,01"¹

1:200000

10 Kił.

Es seien nämlich AB C B E F Höhenpunkte der Landesaufnahme, deren Höhen über N. N. unabänderlich gegeben sind, z. B. A die Höhe 1043,64 m. über N. N. usw. Wir nehmen auch an, diese sechs Höhenangaben der Landesaufnahme seien fehlerfrei, oder es sollen ihre Fehler nicht in Betracht kommen neben den Fehlern der 6 fachen Höhenbestimmung von einem Punkte P aus, in welchem die Höhenwinkel nach A, B usw. gemessen und mit den bekannten Entfernungen P A, P B usw. zu Höhenberechnungen benützt worden sind. Auf diese Weise ist folgendes erhalten worden :

Gegebene Höhen über W. N.

Zielweite s

Gemessene

Höhenunterschiede

Berechnete Höhen von P über N. JV.

AP = 2010 m BP = 8903 CP = 5820 BP = 3002 EP = 6197 F P = 5800

728,91 m 728,22 729,05 728,58 729,02 ' 728,84

PH-

A    1043,64 -m- h₁    =    —    314,73

B    619,02    h₂    =    +    109,20

C    480,81    h₃    =    +    248,24

(14)

D    1247,01    /<₄    =    —518,43

E    928,18    hb    =    —    199,16

F    418,71    h₆    =    +    310,13

(Einfaches Mittel = 728,77-m)

Das einfache arithmetische Mittel der sechs Höhenbestimmungen für den Punkt wäre 728,77 w; dieses einfache Mittel dürfen wir aber nicht als Besultat annehmen, weil bei der Ungleichheit der Entfernungen s die sechs Bestimmungen nicht gleichwertig sind. Aus der Theorie der trigonometrischen Höhenmessung weiß man, daß die Fehler der Höhenunterschiede h nahezu proportional den Zielweiten s sind, und folglich müssen die Gewichte p umgekehrt proportional den Quadraten der Zielweite s sein,

also p —    •

Die Maßeinheit ist hierbei beliebig; wir nehmen s in Kilometern, und zwar abgerundet nach (14) :

s = 2,0    8,9    5,8    3,0    6,2    5,8 4m.

Hieraus werden die Gewichte berechnet:

(15)

p = -g = 0,25    0,01    0,03    0,11    0,03    0,03.

Wir haben absichtlich ziemlich stark abgerundet, weil es keinen praktischen Wert hat, in solchen Fällen, wo die Gewichtsbemessung selbst auf gewissen, nicht strengen Annahmen beruht, mit vielen Dezimalen zu rechnen.

Mit den Höhen von (14) und den Gewichten (15) erhalten wir nun folgende Berechnung, welche den Formeln (6), (11) und (12) folgt:

p v²

0,0200 0,0016 0,0037 0,0015 9,0070 0,0011 0,0000

pl v = 0,83 — l pv 728 + 0,91    0,25    0,2275    — 0,08

+ 0,22    0,01    0,0022    + 0,61    +0,0061

+ 1,05    0,03    0,0315    —0,22    —0,0066

+ 0,58    0,11    0,0638    + 0,25    +0,0275

+ 1,02    0,03    0,0306    —0,19    —0,0057

+ 0,84    0,03    0,0252    —0,01    —0,0003

Summen 0,46

0,3808 r = M ₌ 0,3808

= 0,83

-./[pv2] _ -j/ÖfiÏ49 r n—1⁻V 5

+ 0,0010    0,0149

Probe \p> »]

[P]

0,46

= + 0,055

-m.

(16)

0,055

V[p\~V^>

= +. 0,080 m.

Also im ganzen:

K -- 728 -tn -\- x — 728,83 m mit dem mittleren Fehler :    + 0,08 m .

§ 8.

Anmerkung zu Die im vorstehenden behandelten Formeln gestatten zum Teil einfache mechanische Deutungen :

Denkt man sich nach Fig. 2 verschiedene Gewichte +, p₂, ps . . . an einer Drehachse A mit Hebelarmen l₂, l₈ . . . wirkend, so sind die statischen Momente dieser Gewichte bzw, P\ l\, p₂ ?9, Pzh ■ ■ -, und die Gleichung

[Pl]

rig. 2.

I---------1 ₂

—Zi—>

— 3J---^

---->

P2

[p]

Pi

P3

liefert denjenigen Hebelarm x, welcher mit der Summe aller Gewichte [p\ belastet dasselbe statische Moment gibt, wie die Summe der Einzelmomente.

0P]

Denkt man sich nun die Drehachse von A um den Betrag x nach B verschoben,

dann haben die Gewichte pv p₂, p₂ in bezug auf die neue Achse B die Hebelarme

v₂ = x —1₂

vx, v₂, v₃, wobei und es ist:

v₃ = x — 7g,

«h = x — lx

Pi vi + Pz H + P3 % = [pv] = 0,

Auch die Summe [p w²] hat eine mechanische Deutung; es ist dieses das Trägheitsmoment des soeben erwähnten Massensystems in bezug auf die Achse B, und die Bedingung [p r²] = Minimum, welche den Mittelwert x im Sinne der Ausgleichungsrechnung bestimmt, heißt im Sinne der Mechanik, es soll B eine Achse kleinsten Trägheitsmomentes sein.

oder es ist B der Schwerpunkt eines den Gewichten p1; p₂, Ps entsprechenden Massen-systems.

§ 9. Ausgleichung eines Abschlußfehlers.

Sehr häufig tritt für Messungen die einfache Bedingung auf, daß ihre Summe einem bestimmten Wert gleich sein soll, z. B. die Winkelsumme im Dreieck, im Vieleck, die Summe der Höhenunterschiede in einem geschlossenen Zuge (Schleife) oder zwischen unveränderlich gegebenen Festpunkten usw.

Wenn in einem ebenen Dreieck die drei Winkel mit gleicher Genauigkeit gemessen werden, so wird wegen der Messungsfehler ein Widerspruch der Winkelsumme gegen 180° auftreten, welchen man auf die drei gemessenen Winkel zu gleichen Teilen verteilt. Dieses bekannte Verfahren soll nun durch das Prinzip des arithmetischen Mittels begründet werden.

Man habe n gleichartige Messungen :    /₍ /₂ /₃ ... . ln

(1)

S —    ln) — 0

S — (lj -j- l₂ -+- —f-    ln) — W

Es soll sein :

Es ist :

S drückt die durch die Bedingung der Aufgabe feststehende Summe aus, w den sich ergehenden Widerspruch.

(2)

x' — li mit dem Gewicht = p' = 1,

Für jede gesuchte Größe, z. B. die erste, sind zwei unabhängige Beobachtungsergebnisse vorhanden, erstens

zweitens x ' — S — (l₂    1$ -1- . . . -P ln) —- l\ ■ io mit dem Gewicht — p . (o)

Das Gewicht p" wird für die (n — 1) Messungen l₂ bis ln

(4)

P" =

^1’

oder ausführlicher :

mittlerer Fehler von xf ist m' = 4^ m

r    »    » x" istm" = +w+)» + ... + m für (n — 1) Beobachtungen

m ' : m" = 1 : Yn — 1 P :P' ⁼«i⁷2'm⁷⁷2

Der Mittelwert aus (2) und (3) ist also mit Rücksicht auf die Gewichte nach (4)

§ 8 S. 17:

(11 — 1) l\ -t-    -f- io_ W

n    — ¹ n

Dasselbe gilt auch für die übrigen Größen, welche mit y, z... bezeichnet sein mögen ; so hat man:

(5)

, w Z — ln

))

Summe x + y-+...-\-z = S=l₁-\-l<i-\-...-hln-\-w, d. h. der Widerspruch w wird auf die einzelnen Beobachtungen gleich verteilt.

Um nun noch die mittleren Fehler zu berechnen, müssen wir festhalten, daß bei der gewählten Behandlungsweise wir in (2) und (3) es mit zwei Beobachtungen einer Unbekannten x zu tun haben.

Die Verbesserung oder der scheinbare Fehler v' der ersten Beobachtung x'

nach (2) ist:

(6)

und die Verbesserung oder der scheinbare Fehler v" der zweiten Beobachtung x" nach (3) ist aus den Beobachtungen \ bis ln :

v" = —

to

W (    IX

=----{n— 1);

n

(7)

der mittlere Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1 wird also (nach der Formel (12) § 8 S. 19):

-±Y

f/ w'2 -I- p" v" ²

-±A

(8)

Da den gleich genauen Beobachtungen ^ ?₂ h • • • ln das Gewicht 1 zugeteilt war, so ist dieser Wert m zugleich der mittlere Fehler der Beobachtungen vor der Ausgleichung. Nach der Ausgleichung erhalten die verbesserten Werte x, y .... z ein größeres Gewicht, nämlich die Summe

p' 4-p" = 1 +

(9)

n — 1 n — 1 ’

und damit wird der mittlere zu fürchtende Fehler nach der Ausgleichung (nach Formel (11) § 8 S. 19):

M= ±

(10)

₇/ n

}    i

nx

Der mittlere Fehler nach (8) m = +_ —-— läßt sich sehr anschaulich unmittel-

\ n

bar deuten : der Schlußfehler w ist nämlich die unregelmäßige Zusammen Wirkung aller Fehler + m, also :

+ m + m -t- . ... + m = + w, woraus m² -+• «i²

?n² = w- oder n. m² — w² ,

was mit (8) übereinstimmt.

Formel (9) drückt den durch die Ausgleichung erhaltenen Genauigkeitsgewinn aus, welcher um so größer ist, je kleiner n.

+ 2,7

W r—

„ ausgeglichenen „ M = +-y y 2 = + 3,8".

o

Handelt es sich um Beobachtungen von ungleicher Genauigkeit, so haben wir unter Berücksichtigung der Gewichte die folgende Ableitung:

Gemessen : mit den Gewichten :

Es soll sein:

Es ist:

ln

(H)

t—H

Zu einem Zahlenbeispiel nehmen wir den einfachen Fall der Winkelsumme im ebenen Dreieck. Die Zahlen sind den trigonometrischen Anschlußmessungen für den Dreieckspunkt Hochschule § 78 entnommen.

Punkt Gemessene Winkel 49° 22' 37,5"

38 55 26,3 91 41 48,1

(1)

(2)

(B)

Yerhesserung Ausgeglichene Winkel + 2,7"

+ 2,7 + 2,7

49° 22' 40,2" 38 55 29,0 91 41 50,8

Summe: 179° 59'51,9" Soll :    180° 00' 00,0"

+ 8,1"

+ 8,1"

180° 00' 00,0"

W

mittlerer Fehler der gemessenen Winkel m = + —— = jp 4,7"

Das Gewicht p" wird nach § 8 S. 18 bestimmt durch

P-2 PS

Pn

= +]-+ LP J Pi

(14)

der Mittelwert aus (12) und (13) ist nach (4) § 8 S. 17

hPl + ffi + ™)P" . -,__

px + p"    ¹ Pi+P

«® = Z₁ +

5+i

und mit Einführung des Wertes von —

₇ 1 X -    -f- —

aus (14) : w

= ly + Vy ebenso für die übrigen Größen

Pi

(15)

«Nl

= ln + Vn

Summe i x —h* y ~f~... ■+■ z — S — -4— 12 *4“ • • • “4~ ln *4“ tv — [/] 4- [v].

In Worten: Der Widerspruch w wird auf die einzelnen Messungen umgekehrt proportional ihren Gewichten verteilt.

<X>

Aus den Verbesserungen vx r₂ ... vn ergibt sich analog den Formeln (6) (7) (8) S. 28:

1 MJ²

[p v²] =

1 w²

w²

l²

P»

[ifm'

(16)

Der mittlere Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1 ist:

rn

also m = Hh

(17)

Die mittleren Fehler der Beobachtungen mit den Gewichten p₁2>2 - • ■ P» sind nach (5) § 8

ŸPl ² ŸP2 ’

Der mittlere Fehler M^ der ersten ausgeglichenen Beobachtung wird erhalten, indem man m mit der Quadratwurzel der Gewicht,ssmrnne p, p" dividiert; die Ausführung gibt :

. . . m» = —₌

Vpn'

(18)

Ml = fï

vm-j)

ebenso für die übrigen Beobachtungen

to¹

r Pz \L P J PiJ

r-H

A(rii_i).

Pn\LPJ p»j

Wenn alle Gewichte p₁ = p₂ = • • -pn — 1 werden, so gehen die Formeln (15) (17) (19) in (5) (8) (10) über.

Beispiel: In dem Dreieck Oggersheim—Mannheim—Speyer, welches in Fig. 1. dargestellt ist, hat man

Gemessene Winkel = 72° 16' 44,86" = 90    1 56,46

= 17 41 17,43

Gewichte Pa = 27 Pß — 42 ny — 65

Fig. 1.

Summe : « + ß + y = 179° 59' 58,75" 180° 0' 0,29" — 1,54"

Soll:

Widerspruch :

Gewichts-Beziproken :

Pcc

= 0,037    , — = 0,024 , — = 0,015

py

\yl

Pß

= 0,076.

Winkelverbesserungen : va =

0,037

0,076

1,54" =    0,75" Vß = + 0,49" vy = + 0,30"

179° 59' 58,75"

+ 1,54"

180° 0' 0,29"

Nach (17) bestimmt man den mittleren Fehler für die Gewichtseinheit:

Gemessen 72° 16'. 44,86" 90    1 56,46

17 41 17,43

Verbesserungen -+- 0,75"

+ 0,49 + 0,30

Ausgeglichen 72° 16' 45,61" 90    1 56,95

17 41 17,73

m = ± 5,59".

und nach (19) berechnet man die mittleren Fehler der ausgeglichenen Winkel, und hat damit das Schlußergebnis :

a = 72° 16' 45,61" ±0,77" ß — Q0 1 56,95 ± 0,72 y = 17 41 17,73 ± 0,61.

In ähnlicher Weise, wie hier mit der Aufgabe der Dreiecks Winkelausgleichung geschehen ist, können noch manche andere Aufgaben, welche beim ersten Anblick eine Ausgleichung mit mehreren Unbekannten zu verlangen scheinen, auf die Bestimmung einer Unbekannten durch das arithmetische Mittel zurückgeführt werden, jedenfalls kann eine Ausgleichung mit einer Summenprobe für mehrere unmittelbar gemessene Größen ganz nach dem vorhergehenden Muster einer Summenprobe für drei Elemente behandelt werden.

§ 10. Bestimmung des mittleren Fehlers aus Beobachtungsdifferenzen.

Wenn man eine Messung zweifach macht, z. B. eine Gerade hin und her mißt oder eine Nivellierung hin und her macht usw., so kann man auf je zwei solcher Messungen die Sätze vom arithmetischen Mittel § 7 anwenden. Sind lx und 1₂ beide Messungsergebnisse mit der Differenz — /₂ — d, so hat man das Mittel :

und die scheinbaren Fehler:

₇ _ d «l - « — h - — y

Es ist also der mittlere Fehler einer Messung nach (10) § 7 S. 14 mit n — 2:

"d% dt d

*⁺T~yf

und der mittlere Fehler des arithmetischen Mittels nach (6) § 7 S. 13 :

und v₂ —

-m-/

(1)

(2)

Wir merken uns hiervon insbesondere die Gleichung (1), nämlich d = m ]/2; d. h. die zu erwartende Differenz zweier Messungen ist gleich dem |/2fachen des mittleren Fehlers einer Messung.

Nach Klarstellung dieser sehr einfachen Verhältnisse gehen wir einen Schritt weiter, indem wir mehrere solcher Wiederholungsmessungen zusammennehmen. Man

habe z. B. verschiedene Linien, jede hin nnd her, oder verschiedene Nivellierungsstrecken, jede für sich hin und her, gemessen und in jedem dieser Fälle eine Differenz d erhalten. Wir wollen aber dabei zunächst annehmen, die verschiedenen Längen oder Nivellementsstrecken usw. seien nahezu gleich lang, oder allgemeiner, die Differenzen d gehören zu Messungen von lauter gleichen Gewichten, dann kann man aus einer Anzahl n solcher Differenzen eine mittlere Differenz B berechnen nach der Formel:

Z>2 =

di² -+- f/₂² -h d₃2 -t- . . . <lnl

oder L»2 = 1^1

= J/m

r n

(3)

Der Nenner n ist hier streng richtig und nicht etwa durch n — 1 zu ersetzen, wie bei (10) § 7 S. 14, denn die Differenzen d haben den Charakter wahrer Fehler und nicht bloß scheinbarer Fehler.

Aus (1), (2) und (8) zusammen folgt nun auch, indem man die mittlere Differenz B an Stelle der einzelnen Differenz d von (1) und (2) setzt:

-łO?

(4)

(5)

Wenn nun aber Differenzen dx d%. . . dn vorliegen, welche zu ungleichgewich-

zu einem Hin- und Hemivellement der

tigen Messungen gehören, z. B. wenn dx Strecke sx, dagegen d,₂ zu s₂ usw. gehört, allgemein wenn dx vom Gewichte px, dagegen d2 so darf man auch die mittlere Differenz I) nicht mehr nach (8) berechnen, sondern hat dann die mittlere Differenz B für das Gewicht 1 mit Einführung der Ge-

zu einer Doppelmessung zu einer Doppelmessung vom Gewichte usw. gehört,

man

wichtszahlen in (3) nach Analogie von § 8 zu berechnen:

Pl    P‘i d<₂-    . . ■ pn dn~

Z>2

il

L>2 ₌

[p ^²]

(6)

Also ist auch der mittlere Fehler m einer einzelnen Messung vom Gewichte 1 :

(7)

in = ——

V2

und der mittlere Fehler m eines Mittels aus zwei Messungen vom Gewichte 1 :

(8)

Als eine der wichtigsten Anwendungen dieser letzteren Formeln wollen wir Längen, oder Hin- und Hernivellierungen nehmen. Wir

den s zu

Wiederholungsmessungen von nehmen an, daß diese Messungen mittlere Fehler haben, welche mit den Quadratwurzeln der Entfernungen s wachsen (vgl. hierzu (8) § 5 S. 11), folglich sind die Gewichte umgekehrt proportional den (]/ s )², d. h. umgekehrt proportional setzen, und damit werden (6), (7) und (8):

Mittleres Differenzquadrat :

, Si «2 ⁺ " ' «•» J n L S J

Mittlerer Fehler einer Messung:

Mittlerer Fehler der Doppelmessung : M

-zim

■wm

für s = 1

für s=l.

(9)

(10)

Wir wollen diese sowohl für Längenmessungen als auch für Nivellements gültigen Gleichungen auf ein klassisches Beispiel anwenden. Bessel hat hei seiner Gradmessung in Ostpreußen eine Basis in zwei Teilen je zweifach gemessen, nämlich :

1. Teil:

441,1852 m 441,1839 m

1.    Messung

2.    Messung

2. Teil: 1381.1571 1381,1632 m

Gesamtmittel 1822,3447 m.

(H)

Differenzen d± = + 1,3 mm d₂ = — 6,1 mm Indem man nun die Differenzen d in Millimetern, die Entfernungen in Kilometern zählt, also .s₁ = 0,441 und s₂ = 1,381, wobei n = 2 ist, hat man nach (9):

1 / 1,32    6,12

4 \0,441 ⁺ 1,381

Dieses ist der mittlere Fehler einer Messung der Längeneinheit von 1 4m. Der mittlere Fehler eines Mittels aus je zwei zusammengehörigen (Hin- und Her-) Messungen einer Länge von 1 4m wird nach (10) :

2,78

m² =

= 7,70

m =    2,78 mm für 1 4m.

(12)

M= —

]/2 ]/2

- _+ 1,96 mm (für 1 4m).

(13)

Endlich kann man aber auch den mittleren Fehler des Gesamtmittels 1822,3447 m

berechnen :

M' = M y«! + s₂ = 1,96 Ÿ1,822 = ± 2,65 Man würde also nun aus (11) und (14) das Schlußergebnis bilden: Basislänge = 1822,3447 m + 0,0027 m.

mm.

(14)

(15)

Die vorstehenden §§ 2—10 enthalten das Wesentliche der Fehlertheorie und Ausgleichungsrechnung, was zur Beurteilung der Genauigkeit von Messungen und Rechnungsergebnissen in den einfachen Fällen der Praxis genügt.

In den folgenden beiden Paragraphen entwickeln wir noch einige weitere Aufgaben der Ausgleichungsrechnung, um bei den späteren Anwendungen darauf Bezug nehmen zu können.

§ 11. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen.

Das Prinzip des arithmetischen Mittels läßt sich auch auf den allgemeineren Fall anwenden, in dem nicht die mehrfache Messung einer einzelnen unbekannten Größe, sondern die Messung verschiedener Funktionen meln-erer Unbekannten vorliegt. Indem wir uns auf lineare Funktionen dreier Unbekannten beschränken, nehmen wir an, daß die Messung der «Größen (« > 3)

a-^x + b-^y + ^z 02 x -f- &₂ y -p c₂ z

Un & ~I⁻ h» y -F c*i z

die Werte 7₂, ... ln ergeben habe.

Sehen wir zunächst die Unbekannten y und z als bekannt an, so ergibt sich aus der ersten Messung für x der Wert

<h

ai

und wenn die Gewichte der Beobachtungen l gleich Eins sind, so hat diese Bestimmung von x nach der Zusammenstellung S. 18 das Gewicht a-^.

Ebenso geben die weiteren Beobachtungen ebenfalls je einen Wert von x mit besonderem Gewicht, und wir erhalten im ganzen die folgenden nWerte:

Ol

ai

Gew. CT]²

» a2²

(2)

ln    bn

(ln    dn ^

Hieraus bilden wir nach Gleichung (4) § 8 S. 17 das arithmetische Mittel

Cm

¹¹ H

„    <*n² .

a 2 (h_h

¹ \ax a₁ J

C1

«1

zj + «2²

a₂

hy-S*e)

«2 a2 /

oder in einfacher Form:

_[al] — [ab] y — [ac] z

[aa]

Führen wir dieselbe Betrachtung für die Unbekannte y durch, indem wir x und e als bekannt ansehen, so finden wir in analoger Weise

[b l] — [ab] x — [6c] z

V = [66]

und für die dritte Unbekannte

- — [c^] — iac\ x — c\ V

[cc]

(3)

Schreiben wir die drei gefundenen Gleichungen in der Form [a a] x + [a 6] y + [a c] z — [a Z]

[a 6] x + [6 6] y -f- [6 c] z = [61]

[ac] x [6 c] y [cc] z = [c Z],

so können wir hieraus die Mittelwerte der drei Unbekannten berechnen.

Nach der Bestimmung der Unbekannten können wir auch die scheinbaren Fehler v angeben, indem wir die gefundenen Unbekannten in die beobachteten Größen (1) einsetzen und deren Werte mit den Messungen l vergleichen. Es ist

v₁=aiX*Ą-b₁y-ł-c₁z — li

(4)

V% — <*2 x + 6₂ y -+- c₂ z — ?2

Vn — dn X —(- bn y H⁻ C« Z — ln •

Man bezeichnet die Gleichungen (8) als Normalgleichungen und die Gleichungen (4) als Fehlergleichungen.

ist.

Aus (4) und (B) folgt noch, daß

[av] = 0 \bv] = 0 [cv] = 0

(5)

Zur Berechnung des mittleren Fehlers einer Beobachtung geben wir noch unter Verweisung auf Band I, 5. Aufl. 1904 S. 87 die Formel

(6)

ohne weitere Begründung an, in der der Nenner n — B die Anzahl der überschüssigen Beobachtungen bezeichnet; bei u Unbekannten lautet der Flenner n — u.

Ungleiche Gewichte der Beobachtungen. Die vorstehende Entwicklung führt auch dann zur Bestimmung der Unbekannten, wenn die Beobachtungen l nicht gleich genau sind, sondern die Gewichte Jh, P2- • - P» haben. Nach der Zusammenstellung der Gewichtsformeln von S. 18 sind in diesem Falle die Gewichte der Ausdrücke (2) gleich a^Pi, a₂²p₂ ■ • ■ an²p>i zu setzen, und für die Unbekannte x ergibt sich dann der Mittelwert

\

-rV

a-.

►SP

*)+«2ai>2 (I;

h y _ g)

H J

al²Pl +    + • • •

Analog dem Früheren gelangen wir zu den Normalgleichungen [a ap] x —h [a bp\ y -i- [a cp] z = [a lp]

[ab p] x -Ą-\bb p]y -f- \bc p] z = \blp\

\a cp\ x -f- [& c p] y -f- [c cp] z = [clp\ ,

(7)

aus denen die Unbekannten wieder ermittelt werden können. Entsprechend den Gleichungen (5) finden wir aus den Fehlergleichungen (4) und den Normalgleichungen (7) noch die wichtigen Beziehungen [apv] - 0

\bpv\ = 0

(8)

[cp v] — 0.

Endlich fügen wir zur Berechnung des mittleren Fehlers der Gewichtseinheit noch die für nBeobachtungen und uUnbekannte gültige Formel hinzu:

(9)

§ 12. Ausgleichung bedingter Beobachtungen.

Nachdem wir im § 9 die Ausgleichung solcher Messungen behandelt haben, deren Summe von vornherein gegeben ist, wollen wir nun noch einen Schritt weiter gehen und annehmen, daß die Beobachtungen mehreren linearen Bedingungsgleichungen genügen sollen. Wir beschränken uns auf fünf Beobachtungen 1₂,... Z5, und wollen nun die Verbesserungen c1? r₂... v₅ so berechnen, daß die folgenden drei Gleichungen erfüllt werden:

ai Ul + ?'i) -f- a2 (h + vi) + «3 (lo + %) + «4 (I4 + ^4) -+■ a5 (h 4“ vh) ⁼ 9

(1)

Ui + ®i) + bz U2 + vz) + b₃ (I3 + %) + ^4 (^4 + C4) + b₅ Uh + vh) — 9

C1 Ul + «1) -ł- C₂ U2 + v2) +• c3 Uz + vn) +• c4 (h +    + ch Uh + vh) ⁼ 9 -

Diese Aufgabe läßt sich auf die des vorigen Paragraphen zurückführen. Denn da

zwischen den fünf unbekannten Verbesserungen v drei Gleichungen bestehen, so sind nur zwei Verbesserungen als unbekannt anzusehen. Wir können also zwei Verbesserungen als Unbekannte auffassen und durch sie alle fünf Verbesserungen ausdrücken, wodurch wir fünf Fehlergleichungen erhalten. Indem wir die Unbekannten mit x und y bezeichnen, können wir die folgenden fünf Gleichungen aufstellen

‘0\ — —    x -+- ßi y

(2)

r₂ = — ?2 + a2 æ + $2 y

vö — — h "h a5 x ■+■ |Sfe y,

deren Koeffizienten « und ß so gewählt werden müssen, daß sie die Gleichungen (1) erfüllen. Werden die Gleichungen (2) in die Gleichungen (1) eingesetzt, so ergibt sich

[a a] x -+■ [« ß]y — 0 [b a] x -t- \b ß] y =0 [c a\x -f- [e ß] y — 0 ,

welche Gleichungen aber für beliebige Werte von x und y nur dann gelten können, wenn

[ca] = 0 [cß] = 0

[& a] = 0 [bß] = 0

(3)

[aa] — 0 [aß] = 0

ist. Die zehn Koeffizienten a und ß müssen also den sechs Bedingungen (3) genügen, im übrigen können sie willkürlich angenommen werden.

Nachdem wir so die Fehlergleichungen (2) erhalten haben, können wir die Unbekannten x und y und die Verbesserungen v nach § 11 bestimmen. Aus den Gleichungen (5) § 11, nach denen

(4)

[« v] = 0 und    [ß v] — 0

sein muß, können wir aber folgern, daß die Verbesserungen v sich durch Ausdrücke von der Form

(5)

V^ = (l-y k^ -+- bi &2 “t“ C1 ^3 *2 — Cl^x + &2 ^2 c2 ^3

v5 = «5    + &5 k₂ -+- C~ ks

darstellen lassen müssen, in denen die Größen klr k₂, ks noch näher zu bestimmen sind ; denn wenn man die Gleichungen (5) der Reihe nach mit a^, a₂... a5 und dann mit ßi, ßz-’-ßö multipliziert und jedesmal die Summe bildet, so werden die Gleichungen (3) und (4) erfüllt.

Werden die Verbesserungen v aus (5) in die Bedingungsgleichungen (1) eingesetzt, so ergeben sich die drei Normalgleichungen

(6)

[aa] kx + [ab] k₂ + [ac] k?} -+- [a 1} = 0 [a b] k^ [b 5] k₂ -t- [b c] k% -+- \b b] =0 [a c] \ + [6 c] k₂ -+- [c c] ks + [c Z] = 0

aus

denen die Korrelaten k berechnet werden können. Mit den Gleichungen (5) und (6) ist die Aufgabe gelöst, und man sieht, daß auch die vorstehende Ausgleichung „bedingter Beobachtungen“ auf das arithmetische Mittel zurückgeführt werden kann.

Zur Berechnung des mittleren Fehlers einer Beobachtung kann unmittelbar die Gleichung (6) des vorigen Paragraphen angewendet werden. Da jetzt die Anzahl der

überschüssigen Beobachtungen gleich der Anzahl r der Bedingungsgleichungen ist, so wird

(7)

Haben die Messungen verschiedene Gewichte p%. ■ .p$, so läßt sich die Ausgleichung ganz entsprechend durchführen. Statt der Gleichungen (4) haben wir nach (8) (S. 30)

[iccvp] — 0 und [ßvp] = 0 und infolgedessen müssen wir an die Stelle der Gleichung (5) die neuen Gleichungen

V\V\ = (Zj -t- H~ C1 ^3 V*2 j)o (7 o l'\    C% JCg

(8)

(9)

vhPh = a5^'l + &5 &2 + c5 ^3

setzen, die den Gleichungen (4) und (8) genügen. Durch Einsetzen der sich hieraus ergehenden Werte der v in die Bedingungsgleichungen (1) finden wir die neuen Normalgleichungen

(10)

[7 ]h+[7] *²⁺[7] *³⁺[7]⁼⁰ •

Die Formel für den mittleren Fehler der Gewichtseinheit geht hierbei über in

"(11)

= ±/^-

In § 11 und 12 haben wir die Ausgleichung vermittelnder und bedingter Beobachtungen, zum Teil ohne Begründung, soweit behandelt, als sie im vorliegenden Bande angewendet wird. Die vorstehenden auf dem Prinzip des arithmetischen Mittels beruhenden Ausgleichungsregeln sind dieselben , die sich bei allgemeiner Behandlung der Aufgabe nach der Methode der kleinsten Quadrate ergeben.

Die ganze Theorie der Beobachtungsfehler und der Ausgleichungsrechnung wird gelehrt in unserem I. Bande, „Handb. d. Verm.“, 5. Aufl., 1904, Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Kapitel II.

Die einfachsten Arbeiten des Feldinessens und ihre Verbindung zu kleineren Aufnahmen.

§ 13. Bezeichnung von Punkten.

Ein Punkt im Sinne der Feldmessung wird für Lagemessungen bezeichnet durch eine lotrechte körperliche Linie, d. h. eine Bake (Fluchtstab, Stange usw.) oder eine Kirchturmspitze usw.

Wir unterscheiden künstliche Punktbezeichnung und natürliche Punktbezeichnung, und zählen zur ersteren alle besonders für Vermessungszwecke aufgestellten Zeichen, welche man auch unter dem Gesamtnamen Baken zusammenfaßt, während zur zweiten, der natürlichen Art, alle solche Zeichen gehören, welche ursprünglich ohne Beziehung zu Vermessungszwecken entstanden sind, namentlich Kirchtürme. (Man kann auch zugängliche und unzugängliche Punkte unterscheiden, zu letzteren gehören meist die Kirchtürme.)    »

Die gewöhnlichen Feldmeßbaken (Fig. 1 S. 34) sind Stäbe von 1,8 bis 3 Meter Länge, unten mit eiserner (gehärteter) Spitze, zum Einstoßen in den Boden, versehen (der eiserne Schuh, dessen Unterteil die Spitze ist, soll nach oben zwei Lappen haben, welche das Holz von zwei Seiten noch über die Höhlung des Schuhs umfassen; die zweckmäßigste Befestigung des Schuhs wird erzielt durch einen dauerhaften Kitt). Die Baken werden etwa von halb zu halb Meter weiß und rot oder schwarz angestrichen, auf weitere Entfernungen oben mit einer weiß-roten Fahne versehen.

Unsere kleinen Baken sind mit Spitze 1,8» hoch, 2l/₂ bis 3 cm dick. Der Querschnitt ist quadratisch mit abgeschrägten Kanten oder rund, größere Baken von 3 -m Höhe sind 4 c-m dick. Einzelne Baken versieht man an einer Seite mit Dezi

meterteilung, um sie gelegentlich als Maßstäbe zu verwenden.

Neuerdings werden auch vielfach Baken aus Möbelrohr verwendet ; Fig. 2 (S. 34) zeigt eine solche eiserne Böhrenbake mit Auszug von Baschke. Fig. 3 (S. 34) zeigt einen Bakenhalter, ein einfaches eisernes dreibeiniges Gestell, zum Aufstellen der Baken über Marksteinen, auf Pflaster oder festem Boden.

Zu gleichem Zweck werden auch zwei oder drei Baken zu einem Gestell verbunden, wozu neuerdings zwei mit Gelenk verbundene Binge (Doppelringe) zum Zusammenhalten der Baken in den Handel gebracht sind.

Die lotrechte Stellung der Stäbe wird geprüft durch Zielen längs der Schnur des Senkels aus zwei sich annähernd rechtwinklig kreuzenden Bichtungen.

Statt des Senkels kann auch eine an den Absteckstab befestigte Dosenlibelle Verwendung finden, wozu die vom Mechaniker Butenschön in Bahrenfeld bei Hamburg

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aull.

unter dem Namen „Lattenrichter“ gelieferte Anlegelibelle (Fig. 4) sehr zu empfehlen und dem im Winde schwankenden Schnurlot vorzuziehen ist.

Fig. 2.

Fig. l.

Feldmeßbaken (Maßstab 1 : 25).

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Fig. 3. Bakenhalter.

Kleine Baken 1,8 m lang.

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Fig. i-

Lattenrichter.

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Die Baken dienen zur Punktbezeichnung für das Messen selbst auf kurze Dauer. Zur Punktversicherung auf größere Dauer hat man Holzpflöcke, Drainrohre, eiserne Rohre, Marksteine usw. Marksteine sind das Mittel zur dauernden, auch rechtlich gültigen Bezeichnung von Punkten.

§ 14. Abstecken von geraden Linien.

Eine gerade Linie oder kurz eine Gerade, im Sinne der Feldmessung, ist bestimmt durch die Aufeinanderfolge mehrerer Punkte (Baken), die in einer lotrechten Ebene liegen. Der Abstand der Baken voneinander beträgt in der Ebene etwa 50 bis 100 Meter, auf unregelmäßigem Boden etwa 20—50 Meter.

Wenn zwei Punkte einer Geraden gegeben sind, und die Aufgabe vorliegt, die Gerade durch weitere Punkte abzustecken, so hat man zwei Fälle zu unterscheiden, ob nämlich die Verlängerung über die zwei gegebenen Punkte hinaus geschehen soll, oder ob die Absteckung zwischen jenen Punkten stattfinden soll.

Das erstere geschieht durch „Einrichten“ weiterer Punkte in der Verlängerung der zwei gegebenen, das zweite geschieht durch „Einweisen“ zwischen die gegebenen Punkte.

1. Einrichten.

Wenn in Fig. 1 A und B gegeben sind, so wird die Bake C dadurch in die Gerade A B eingerichtet, daß man sie so steckt, daß C, B und A in Deckung erscheinen; ebenso wird mit I) usw. fortgefahren.

Fig. 1.

Abstecken einer Geraden A B CD.

I)

2. Einweisen. Hierzu ist ein Gehilfe erforderlich. Wenn in Fig. 1 die Endpunkte A und I) gegeben sind, so schickt man den Gehilfen ungefähr in die Gegend von B (oder C) und weist ihn durch Zeichen (Aufheben der linken oder rechten Hand od. dgl.) so ein. daß die Baken sich decken. Hat man mehrere Baken einzuweisen, so sind stets die entfernteren zuerst zu stecken, damit ihre Stelle nicht durch die näherstehenden (unter größerem Winkel erscheinenden) Baken verdeckt wird. Der Eingewiesene hat, um rasch zum Ziele zu kommen, jeweils den Baum zwischen den zwei letzten Versuchen zu halbieren.

Hat man keinen Gehilfen und kein besonderes Absteckwerkzeug (§ 15—17), so kann man auch durch mehrfaches Probieren eine Gerade zwischen den Endpunkten abstecken, indem man (nach Fig. 1) B und C zuerst schätzungsweise steckt, und dann durch abwechselndes Zielen längs C B A und BC D usw. die Punkte B und C allmählich in die Gerade ABC D hineinbringt.

Da das Auge für die gegenseitige Deckung einer Fluchtreihe von Baken sehr empfindlich ist, kann man sehr lange Gerade, bis zu 14m und mehr, lediglich von freiem Aug, durch fortgesetztes Verlängern, ab stecken, ohne daß die Geradrichtung zu wünschen übrig ließe; natürlich kommt es aber dabei auch sehr auf gutes Auge und Übung des Feldmessers an. Wenn erforderlich wird ein Feldglas zu Hilfe genommen.

§ 15. Kreuzsclieibe, Winkelkreuz, Winkeltrommel.

Mit diesen Namen werden die verschiedenen einfachen Werkzeuge bezeichnet, welche mit zwei gegenseitig rechtwinkligen Absehvorrichtungen versehen zum Abstecken rechter Winkel dienen. Ein solches Instrument, „groma“, war schon bei den römischen Agrimensoren im Gebrauch, und die Feldmesser aller Völker und Zeiten bedienen sich desselben in irgend einer der zahlreichen Formen, welche dasselbe angenommen hat.

Die Benennung Kreuz-„Scheibe“ deutet auf die frühere einfachste Form eines solchen Werkzeugs, nämlich als Scheibe mit zwei Kreuzschnitten oder Kreuzzielstiften od. dgl., während heute die Scheibenform durch andere Formen ersetzt ist, wie z. B. in Fig. 1—3 (S. 36) gesehen wird.

Die in Süddeutschland (in Württemberg seit Anfang der Landesvermessung) übliche Kegelform (Fig. 1) hat mancherlei Vorzüge: Bei gleicher Höhe der Instrumente

Fig. i.

Kegelkreuzscheibe.

Fig. 2.

Winkelkreuz.

Fig. 3.

Winkeltrommel.

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gestattet der Kegel steileres Zielen als der Zylinder. Die Kegelkreuzscheibe mit ihrer vorstehenden starken eisernen Grundplatte ist Beschädigungen (etwa beim Umfallen) weniger ausgesetzt als die Zylindertrommel. Auch kugelförmige Winkelköpfe sind sehr zweckmäßig, da sie Auf- und Abwärtszielen in bequemer Weise gestatten.

Die Absehvorrichtung (Diopter) besteht entweder aus zwei einander gegenüberliegenden Spalten (Fig. 1) oder einer Spalte mit gegenüberliegenden Fäden (Fig. 2) als Doppeldiopter zur Hin-und Herzielung. Erforderlich sind zwei solcher Diopter, welche einen Winkel von 90° bilden; unter Umständen benützt man auch ein drittes oder viertes Diopter zur Absteckung von 45 °-Winkeln (Halbsclmitte Fig. 3), so daß mit dem Instrumente nicht nur rechte Winkel, sondern auch halbe rechte Winkel abgesteckt werden können. Dies kann gebraucht werden bei der Koordinatenaufnahme § 24, um die Länge von Ordinaten auf der Abszisse zu messen, zur Probe oder zur Bestimmung unzugänglicher Ordinaten.

Zur Vergleichung der beiden Arten von Absehvorrichtungen ist zu bemerken : Eine Spalte mit einem gegenüberstehenden Faden hat den Vorzug des deutlicheren und bequemeren Sehens; zwei einander gegenüberliegende Spalten haben dagegen den Vorzug der Möglichkeit des Vor- und Rückzielens (ohne Doppeldiopter), der Unveränderlichkeit und der Dauerhaftigkeit.

Der Durchmesser der Kreuzscheibe kann, wenn das Instrument nicht schwerfällig werden soll, nicht über 20 cm genommen werden, meistens beträgt er nur etwa 8—12 cm.

Die Breite der Spalten kann bis zu 1 mm betragen. Durch sehr enge Spalten läßt sich die Genauigkeit nicht vergrößern. Die beste Breite der Spalten dürfte V2-³/4

sein, wodurch genügendes Gesichtsfeld und hinreichende Genauigkeit erzielt

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wird. Im ebenen Lande ist die Kreuzscheibe weniger wichtig, weil hier der Winkelspiegel und das Winkelprisma (§ 16—18) bequemer sind; da aber auch im ebenen Lande gelegentlich steile Sichten, z. B. an Eisenbahndämmen, nicht selten sind, so können die hier beschriebenen einfachen mechanischen Werkzeuge zum Abstecken rechter Winkel nicht abgeschafft werden, und jedenfalls im Gebirgs- und Hügellande, an steilen Rebbergen usw. bleiben diese Werkzeuge im ständigen Gebrauch.

Die Kreuzscheibe dient 1. zum Errichten von Senkrechten (durch Einweisen), 2. zum Fällen von Senkrechten (durch Probieren), 3. zum Aufsuchen eines Punktes einer Geraden zwischen zweien ihrer Punkte durch Yor- und Rückzielen mit allmählichem

Fig. i.

Richtigstellen.

I)

Die Prüfung der Kreuzscheibe (Fig. 4) geschieht durch Abstecken eines rechten Winkels ACD und Anlegen eines zweiten rechten Winkels DCB an den ersten, mit gleicher Benützung des Instruments, worauf AGB eine Gerade sein muß.

Oder statt dessen steckt man AGI) ab und dann BCJD, und sieht zu, ob beidemal derselbe Punkt 1) erhalten wird.

Oder man wendet den Satz, daß die Summe der zwei Nebenwinkel 180° sein muß, auch noch in anderer Weise an.

Berichtigung ist nicht immer möglich.

Was die Genauigkeit des Absteckens mit der Kreuzscheibe betrifft, so kann der mittlere Zielfehler etwa = 2' angenommen werden.

Verfasser hat dieses durch verschiedene Versuche gefunden („Zeitschr. f. Verm. 1875“ S. 303 und 1886 S. 27 und 586); vgl. auch den Schluß von § 17 S. 50.

Hiernach hat man auf 50 m Entfernung einen mittleren Fehler

3 cm .

2'

-    50 - 0,03 m oder rund =

Aus diesem Grunde gestatten die Kataster-Vermessungsanweisungen meist keine längeren Ordinaten als 30 m, 40 m, höchstens 50 m.

Bei gutem Auge und Übung kann man die Genauigkeit auch bis + 1' bringen ; andrerseits ist an Abhängen, wenn i der Kreuzscheibenstock nur nach Augenmaß lotrecht gestellt wird, und bei schlechter Beleuchtung, wohl ein mittlerer Fehler von + 5' zu fürchten. (Vgl. hierzu auch noch den Schluß von § 17 S. 50.)

§ 16. Spiegelinstrumente.

Außer den Werkzeugen zum Winkelabstecken, welche im vorigen § 15 beschrieben wurden, gibt es auch verschiedene optische Einrichtungen, welche dieselben Zwecke auf bequemere Weise erreichen, da sie durch Reflexion die beiden Zielungen vereinigen, allerdings nur im ebenen Lande oder bei schwach geneigten Sichten ohne weiteres anwendbar sind.

Von solchen optischen Instrumenten betrachten wir zuerst den Winkelspiegel. Fig. 1 und 2 S. 38.

Die Wirkungsweise des Winkelspiegels beruht auf dem Gesetz der Reflexion des Lichtes (gleiche Winkel mit der spiegelnden Ebene). Der Winkelspiegel besteht im wesentlichen aus zwei (bei der Anwendung vertikal stehenden) spiegelnden Ebenen AC, AB (Fig. 8). Infolge von Reflexion an jeder derselben macht ein von P ausgehender Strahl den Weg PBCQ und scheint daher dem in Q befindlichen Auge von Q' herzukommen.

Fig. l.

Winkelspiegel

zum Gebrauch in freier Hand.

Fig. 2.

Winkelspiegel

zum Gebrauch auf einem Stock.

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Die Beziehung zwischen dem Winkel Q’ D P = cp des eintretenden und des austretenden Strahls und dem Winkel B AC = a der beiden Spiegel gibt sich nach Fig. 3:

Aus dem Dreieck ABC folgt : a -+- (900 Aus dem Dreieck B CB folgt : g> = 2 ß -+- 2 y.

« = ß-h y ■

Die Gleichung (1) gibt :

ß) + (90° — y) = 180°.

(1)

(2)

(3)

Dieses (3) mit dem vorhergehenden (2) verbunden gibt die Gleichung, welche das Hauptergebnis enthält, nämlich:

(4)

qp — 2 a.

Beim Winkelspiegel ist a = 45°, folglich cp = 90°.

Die Anwendung des Instruments zeigt Fig. 4. Um von P eine Senkrechte PQ auf die Gerade MN zu fällen, schreitet man, mit dem Auge 0 nach NM schauend> in dieser Geraden so lange vor, bis das doppelt reflektierte Bild von P in dem Spiegel AB unter der (über den Spiegel hinweg gesehenen) Bake N erscheint.

Diese Art der Anwendung ist nicht die einzige ; man kann in Fig. 4 auch Q P als die gegebene Gerade, und NQ als die zu fällende Senkrechte betrachten.

Außerdem kann man in beiden Fällen links und rechts vertauschen, und hat somit im ganzen 4 Fälle der Anwendung, welche nach kurzer Übung mit Sicherheit angewendet und ausgewählt werden.

Fig. 4.

Gebrauch des Winkelspiegels.

Fig. 3.

Theorie des Winkelspiegels.

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Wenn man in der zuletzt angegebenen Weise eine Senkrechte zweifach bestimmt, etwa zuerst nach Fig. 4 und dann mit Yertauschung von links nach rechts, d. h. P mit P', und A nach rechts, so hat man eine Probe, welche in dreifachem Sinn gebraucht werden kann:

1. Wenn das Instrument als solches richtig ist und P ' Q P eine richtige Gerade ist, so hat man die Sicherheit richtigen Zielens und richtiger Handhabung des Instruments.

2.    Wenn P' QP eine richtige Gerade ist, richtig gezielt worden ist, und dennoch die Umwendung von links nach rechts einen Widerspruch gibt, so ist das Instrument falsch und bedarf einer Veränderung des Winkels a, welchen die beiden Spiegel nach Fig. 3 unter sich bilden. Dieser Winkel « ist dann nicht genau 45° und kann durch Richteschrauben (z. B. die Zug- und Druckschrauben Z und I) in Fig. 1) berichtigt werden, wozu nur wenige Versuche erforderlich sind.

3.    Wenn das Instrument an sich richtig ist (a = 45°) und wenn es richtig behandelt wird, so kann man die Probe mit Vertauschung von P und P' in Fig. 4 auch dazu benützen, zu bestimmen, ob Q sich in der Geraden P' P befindet. (Der Winkelspiegel erfüllt dann mit zwei Stellungen denselben Zweck, wie das nachher zu beschreibende Spiegelkreuz [Fig. 5—10 S. 40—41] in einer Stellung.)

Der Strahlenschnittpunkt D in Fig. 3 ist, wovon man sich durch Aufzeichnung nach Fig. 3 leicht überzeugt, ein wenig veränderlich; man kann deswegen nicht ein für allemal genau angeben, an welcher Stelle des Instruments das Absenkeln auf den Boden stattfinden soll ; jedenfalls liegt aber der richtige Winkelscheitel nicht im Schwerpunkt des Instruments wie in Fig. 1, sondern nahe der Hauptöffnung, wie die Befestigung des Stockes in Fig. 2 zeigt.

Zweckmäßig ist es auch, statt der in Fig. 1 und 2 S. 38 dargestellten Gehäuse den Spiegel in einem der Winkeltrommel (Fig. 3 S. 36) ähnlichen Gehäuse mit weiten Durchblicken anzubringen, wodurch bei unschädlicher Einengung des Gesichtsfeldes der Winkelpunkt gut zentriert ist.

Den Winkelspiegel auf einem leichten Stock zu tragen (Fig. 2) ist dem Gebrauch in freier Hand (Fig. 1) vorzuziehen, wenn man das Abloten auf den Boden auf 1-2 cm genau haben will. (Benützung der Anlegelibelle Fig. 4 S. 34.)

Die Zielgenauigkeit des Winkelspiegels beim Feldmessen ist derjenigen der Kreuzscheibe nahezu gleich, nämlich etwa 2' (vgl. den Schluß von § 15).

Von den im Handel in mancherlei Form gebotenen Instrumentchen sei noch erwähnt ein Spiegel in flacher Form, dessen überklappbares Gehäuse beim Gebrauch als Handgriff dient.

Einige neue Formen von Winkelspiegeln sind mitgeteilt in der „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 104 Schmidt, Doppel winkelspiegel; ferner 1888 S. 331 Piro und 1888 S. 543—544 ein Doppelwinkelspiegel von Oberamtsgeometer Wendelstein in Cannstatt, den wir im folgenden wiedergeben.

Doppélmnkélspiegél von Wendelstein.

Dieser Winkel Spiegel besteht nach Andeutung von Fig. 5 und 6 aus den drei Spiegeln a, b, c. Die zwei vordem Spiegel a und b stehen im rechten Winkel aufeinander, und dem dritten Spiegel c unter einem halben Rechten gegenüber.

Die Wirkungsweise des Instruments und dessen Gebrauch ist der hinlänglich bekannte, nach Andeutung von Fig. 7 (so, daß bei Einbringung des Instruments in den Zwischenpunkt C einer geraden Linie A B die beiden von links und rechts her reflektierten Bilder der Punkte A und B Übereinanderstehen, d. h. einander decken. Deckt nun ein vierter außerhalb der Geraden AGB befindlicher Punkt 1) ebenfalls die Bilder A und B, so steht DC rechtwinklig zu AB.

Man muß etwas seitwärts neben der vorderen Verbindungsachse der Spiegel a und b hineinsehen, links über dem Spiegel a hinweg und rechts unter dem Spiegel b. Den vierten Punkt I) muß man, wie beim gewöhnlichen Winkelspiegel, über oder unter dem Instrument selbst zur Deckung bringen.

Fig. o.

Fig. 5.

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Fig. 7.

(Dieser Winkelspiegel ist zu haben bei Mechaniker Sartorius in Göttingen.)

b.

B'

Das Spiegelkrem (Fig. 8 u. 9) besteht aus zwei rechtwinklig gegeneinander gestellten Spiegeln. Dasselbe dient zum Aufsuchen eines Punktes auf der Geraden zwischen zwei gegebenen Punkten.

Dieses Instrumentchen wurde im Jahr 1844 von Kegierungsgeometer Berlin in Grunerts Archiv 4. Teil S. 126 beschrieben. Nach einer Mitteilung von Professor Schols in Delft wurde das Spiegelkreuz erfunden von Lüpkens in Luxemburg. Hierbei ist hinzuweisen auf den Gaußschen Spiegelkreuz-Heliotrop von 1821 (vgl. Handbuch Bd. III,

Fig. 10.

Fig. 8.

Das Spiegelkreuz.

5. Auf!., § 4), wie überhaupt zu bemerken ist, daß der Winkelspiegel nur einen speziellen Fall des seit 1731 bekannten Spiegelsextanten (Newton-Hadley) darstellt.

Fig. 9. Theorie des Spiegelkreuzes.

Die durch Fig. 9 veranschaulichte Theorie des Spiegelkreuzes ist einfach: Wenn C sich auf der Geraden AB befindet, so erscheinen dem Auge in 1) die beiden Spiegelbilder von A und B in Deckung. Es kann dabei CD ungefähr rechtwinklig zu A B sein, die schiefe Stellung CD ist in Fig. 9 nur gewählt, um anzudeuten, daß C D nicht notwendig rechtwinklig zu AB sein muß.

Die Prüfung des Instruments geschieht durch Aufsuchen des Punktes C, indem man in die Gerade AB sowohl von D her als auch'von der anderen Seite herkommend eintritt. Erhält man hierbei zwei verschiedene Punkte, so erfolgt die Berichtigung durch Veränderung des Winkels der beiden Spiegel vom gefundenen mittleren Punkt

Eine zweckmäßige Vereinigung des gewöhnlichen Winkelspiegels mit einem Spiegelkreuze zeigt Fig. 10 nach einem Instrumente von Mechaniker ßaschke in Glogau.

Die beiden oberen Spiegel bilden unter 45° einen gewöhnlichen Winkelspiegel wie Fig. 1 (S. 38) und die beiden unteren Spiegel bilden unter 90° das Spiegelkreuz ebenso wie Fig. 8. Man kann also mit diesem Spiegel gleich gut 90° und 180° abstecken.

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§17. Prismeninstrumente.

Außer den Spiegeln, welche nur durch Reflexion -wirken, können auch Prismen mit Reflexion und Brechung zum Ersatz der mechanischen Winkelinstrumente benützt werden.

Die optischen Brechungsgesetze, sin a = n sin ß, die totale Reflexion usw. setzen wir als bekannt voraus, und behandeln damit zwei Prismen, von denen wir technischen Gebrauch machen werden.

I. Das rechtwinklige gleichschenklige Prisma.

Wir betrachten zuerst ein rechtwinkliges gleichschenkliges Glasprisma mit Brechungen und Reflexion eines Lichtstrahles nach Fig. 1 und 2 (S. 42), woraus sich finden wird, daß die Hypotenusenebene wie ein ebener Spiegel wirkt.

In Fig. 1 und 2 wird der Eintritt eines Strahles an einer Kathetenebene, dann Reflexion an der Hypotenusenehene und Wiederaustritt an der andern Kathetenebene Fig. J.

Reflexionsprisma.

Fig. 2.

ot

dargestellt. Diese beiden Figuren geben, indem der Brechungskoeffizient des Glases mit n (etwa = 1,5) bezeichnet wird:

Fig. 1

45°-t-(ß + 90°) -t- y = 180° 45 + {Ô + 90 ) + y = 180

Fig. 1 und Fig. 2

sin a — n sin ß j sin e = n sin ö | ’

Fig. 2

45° + (90° — ß) + y = 180°) 45 + (90 — Ó') H- y = 180 )'

(1)

(2)

Die Gleichungen (1) gehen ß = Ö, und dieses in die Gleichungen (2) ein

gesetzt gibt:

(3)

a = e .

Damit ist bewiesen, daß die Hypotenusenehene eines rechtwinkligen gleichschenkligen Prismas (Fig. 1 und 2) in bezug auf die Richtungsveränderung eines Strahles ebenso wie ein ebener Spiegel wirkt.

In Fig. 1 findet mit y jedenfalls totale Reflexion statt; in Fig. 2 nur dann, wenn der Winkel a sehr klein ist, nämlich kleiner als 4°48', was daraus folgt, daß y in

Fig. 2 nicht größer sein darf als entsprechend der Gleichung cos ymax — A } wo n der

Brechungskoeffizient des Glases ist, woraus mit n = 1,5 yma* = 48° 12' folgt, sodann ßmin — 3° 12', sin ama* — n sin 3° 12', <x,na* = 4° 48'.

In dem Falle von Fig. 2 wird also mit y sehr oft nicht totale Reflexion an der Hypotenusenebene stattfinden, und dann tritt der größte Teil des Lichtes an der Hypotenusenebene aus. Dieses kann aber verhindert werden dadurch, daß man die Hypotenusenebene mit Silberfolie belegt.

Fig. 3.

Eine zweite Anwendung des Prismas, nämlich Konstante Ablenkung <p = 90°. zur Erzeugung konstanter Ablenkung, zeigt Fig. 3. Die Brechung am Eintritt gibt:

(4)

sin a = n sin ß.

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ß_

ß\ß

Aus (5) und (6) folgt ß = ö.

Zwei Dreiecke mit der Spitze 45° rechts geben: ß + (y+ 90°) + 45° = 180°

(90° — Ô) + (90° — y) -h 45° = 180°.

Die Brechung am Austritt gibt:

sin e — 11 si n 8.

Damit geben (4) und (7) zusammen:

(5)

- (6)

(7)

(8)

Damit ist auch in Fig. 8 der Winkel cp des eintretenden und des austretenden Strahles bestimmt:

<jp = 90°.

Der hier hei Fig. 3 betrachtete Lichtstrahl, welcher an einer Kathete eintritt, im Innern an der andern Kathete und an der Hypotenuse reflektiert wird, und dann an der andern Kathete austritt, heißt der feste Strahl, im Gegensatz zu dem in Fig. 1 und Fig. 2 betrachteten, nur an der Hypotenusenebene reflektierten, hei der Drehung des Prismas beweglichen Strahl.

Außer diesen Kennzeichen hat man zur Unterscheidung beider Strahlen folgendes :

1.    Der feste Strahl ist immer in der Nähe einer scharfen Kante (mit 45°) zu suchen, und zwar an der dem Eintritt abgewendeten Kante.

2.    Der feste Strahl ist lichtschwach, wenn die Hypotenusenebene unbelegt ist, denn der Winkel y in Fig. 3 ist für totale Reflexion zu klein. Wenn man dagegen, was neuerdings geschieht, die Hypotenusenebene mit Silberfolie belegt, so ist auch der feste Strahl lichtstark.

Während die erste Wirkungsweise des Prismas nach Fig. 1 und 2 schon lange bekannt war, ist die zweite Anwendung mit konstanter Ablenkung um 90° von Bauernfeind 1851 entdeckt worden (Theorie und Gebrauch des Prismenkreuzes von Prof. Carl Max Bauernfeind, München 1851, Joh. Palms Hofbuchhandlung, S. 22—23). weshalb dieses Prisma Fig. 3 mit Recht Bauernfeinds Namen trägt.

Zahlreiche andere Formen und Anwendungen von Prismen gibt Bauernfeind in „Elemente der Vermessungskunde“, 6. Aufl. 1879, I, S. 39—47 und 194—204, 7. Aufl. 1890, I. S. 39—51 und 201 -235, namentlich das symmetrische vierseitige Prisma zum Abstecken von 90° und 45°.

Das Bauer nfeindsche Winkelprisma.

Das Winkelprisma, mit zwei verschiedenen Formen seiner äußeren Fassung zeigen Fig. 4 und Fig. 5 (von Ertel u. Sohn in München). Auch hierfür ist Gebrauch auf einem Lotstab angezeigt.

Fig. 5.

Winkelprisma.

Fig. i.

Die Anwendung dieses Instrumentes ergibt sich aus Fig. 3. Das vor einer der Kathetenflächen befindliche Auge empfängt den doppelt reflektierten Strahl, der mit der direkten Zielung über das Prisma in Deckung zu bringen ist.

Die Prüfung des VY mkelprismas be-steht, entsprechend der des Winkelspiegels, -    j

darin, daß man von einer scharf ausgerichteten Linie aus eine Senkrechte links und rechts nimmt, wobei kein Widerspruch entstehen darf. Außerdem darf das Prisma beim schwachen Drehen in der Hand keine Drehung des Lichtstrahls geben. Einmal richtig befunden, bedarf das Instrumentchen keiner Nachprüfung, solange es überhaupt dienstfähig ist.

Der Winkelpunkt liegt, wie Fig. 3 zeigt, vor den Kathetenflächen; als mittlerer herabzulotender Punkt wird ein nahe dem rechten Winkel liegender angenommen (Fig. 5).

Die aus der ungenauen Festlegung des Winkelscheitels hervorgehenden Fehler werden selten, allenfalls hei Stadtvermessungen, eine Kolie spielen. Zur Vermeidung solcher Fehler hat Landmesser Sehellens („Zeitschr. f. Verni. 1906“ S. 457 -463) den Lotstah mit dem Prisma durch einen beweglichen Kiegel verbunden, wodurch hei bestimmter Stellung des Prismas der Stab in den Winkelscheitel gebracht werden kann.

Fig. 7.

Fig. 6.

Die Fig. 6 und 7 zeigen diese Einrichtung, indem a den beweglichen Kiegel und b den Lotstab in den beiden Stellungen andeutet, die durch zwei Anschlagstifte festgelegt sind ; in c ist auf dem Kiegel ein Visierstift angebracht. Beim Gebrauch wird das Prisma so gehalten, daß der Stift sich mit der in der Mitte des Gesichtsfeldes erscheinenden Bake deckt; in diesem Falle ist die Hypotenusenfläche der Messungslinie parallel.

Das Bauernfeindsche Prismenkreuz.

Auf die Verbindung zweier rechtwinkliger gleichschenkliger Prismen gründet sich die Konstruktion und Anwendung des von Bauernfeind erfundenen Prismenkreuzes.

Fig. 8.

Ältere Anordnung.

Fig. 9.

Prismenkreuz. Neuere Anordnung.

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Er gibt zwei Formen dieser Prismenkreuze an, welche beide dazu dienen, einen Punkt in die Gerade zwischen zwei gegebene Punkte zu bringen.

Die erstere ältere Form besteht aus der Querstellung zweier Reflexionsprismen übereinander, und ist im wesentlichen nichts andres als ein Spiegelkreuz nach Art von Fig. 8 § 16 S. 41, bei welchem die Spiegel durch Hypotenusenebenen ersetzt sind.

Dieses Prismenkreuz ist ein besonderer Fall des schon 1834 von Steinheil in München erfundenen Prismenkreises mit veränderlichem Prismenwinkel, nämlich als besonderer Fall mit rechtem Winkel zwischen den Hypotenusen von Bauernfeind 1851 zur Feldmeßanwendung gebracht.

Die zweite neuere Form des Prismenkreuzes ist eine zweifache Anwendung des von Bauernfeind erfundenen Prismas von konstanter Ablenkung nach Fig. 3 S. 42.

Nach diesen Vorbemerkungen werden die vorstehenden Figuren 8 und 9 leicht zu verstehen sein, mit Zuziehung von Fig. 8 a und 9 a.

Wirkungsweise des Prismenkreuzes. (Zu Fig. 8 und 9 gehörig.)

Fig. 9 a.

Fig. 8 a.

A)

Da die Hypotenusenebenen wie ebene Spiegel wirken, so geben die beiden rechtwinklig zueinander gestellten Hypotenusenebenen in Fig. 8 a dieselbe Wirkung, wie das Spiegelkreuz, Fig. 8—9 § 16 S. 41.

In der zweiten Zusammenwirkung beider Prismen nach Fig. 9 a für die neuere Anordnung von Fig. 9 gibt jedes einzelne Prisma dieselbe Brechung eines Lichtstrahls wie bei Fig. 3 S. 42,

In beiden Fällen sieht das Auge in I) die beiden Bilder von A und von B in Deckung, wenn das Instrument sich auf der Geraden A B befindet.

Fig. 10.

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In der „Zeitschrift für Instrumentenkunde 1888“ S. 283 beschreibt Lorber ein Prismenkreuz von Starke und Kämmerer in Wien, welches in der ą durch Fig. 10 erläuterten Weise aus zwei Winkelprismen zusammengesetzt und in einem zylindrischen Gehäuse mit festgelegten Durchblicken angebracht ist. Diese Anordnung hat sich beim Gebrauch im Felde als sehr zweckmäßig erwiesen.

man

macht kehrt und wiederholt die Einrichtung;

ein hierbei auftretender Widerspruch wird hälftig durch Drehen der Prismen mit

Zur Prüfung eines Prismenkreuzes richtet sich mit dem Instrument in eine Gerade ein,

Richteschrauben weggesehafft.

Nach diesem soll man sich aber auch überzeugen, ob kleine Drehungen des Instruments, ohne Standänderung, kein Ausweichen der Bilder A und B erzeugen (wozu die nachfolgende Theorie S. 47—49 gehört).

il. Das fünfseitige Prisma von Prandtl.

Das in „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 462—467 von Prandtl beschriebene Prisma ist in Fig. 11 und 12 im Querschnitt abgebildet, wobei zu der Spitze mit 45° bemerkt sei, daß sie in Fig. 11 bei p nur der Theorie wegen ausgezogen ist, während sie in der Praxis ahgeschnitten werden kann, so daß nur das fünfseitige Stück abfed von Fig. 12 übrig bleibt.

Das Wesen der Sache besteht darin, daß ein eintretender Strahl A L nach seinem Wiederaustritt eine Richtung L B annimmt, welche zur Eintrittsrichtung rechtwinklig ist. daß also ALB= 90° wird.

Fig. 12.    ’/a natürliche Größe.

Fig. 11. Natürliche Größe.

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Dieses läßt sich kurz ohne Gleichungen einsehen, denn innerhalb des Prismas ist der Vorgang ganz derselbe wie beim Winkelspiegel mit p = 45° (vgl. Fig. 3 § 16 S. 39 mit a = 45°), folglich ist G — 2 p = 90°, und da auch im übrigen leicht zu überblicken ist, daß im Innern des Prismas der Winkel = g%, und dann auch außerhalb Q = /₂ wird, so muß wegen P = 90° auch der Winkel ALB = 90° werden, so daß man das Prisma zum Ahstecken rechter Winkel verwenden kann.

Dasselbe in Gleichungen geschrieben ' ist :

(9)

G = 2p

(10)

(H)

Gr -+• Q\ — g% -f- P und L -+- Zj = Q + P cos li = n cos gi und cos Z₂ — n cos g% .

Wenn dabei p = 45° und P — 90°, so ist auch G ■= 90° folglich wegen (10) gx = p₂. also wegen (11) auch Q = Z₂. und damit wieder wegen (10) L = P — 90°, was zu beweisen war.

Die beiden Winkel b und d sind in dieser Theorie gar nicht vorgekommen, man weiß nur, daß sie zusammen 360° — (90° + 45°) = 225° sind, also jeder derselben

b = d = 112° 30', wenn sie einander gleich sind, was aber keine Notwendigkeit für das Bisherige ist.

Fig. 13.

Aber aus anderen Gründen ist es gut, die beiden Winkel bei b und d gleich, also auch die Kanten a b und a d gleich zu machen, kurz das ganze Prisma symmetrisch zu gestalten; es wird nämlich dadurch die Helligkeit und die Größe des Gesichtsfeldes größer, wie mit Hilfe von Fig. 12 gezeigt werden kann.

Diese Fig. 12 ist so zu verstehen, daß c/₂ a₂ das Gesichtsfeld vorstellt für ein vor a b befindliches Auge. Alle rechts zwischen a d rechtwinklig eintretenden Strahlen machen nämlich solche Wege und treten vorn in ab so aus, als ob sie von a₂d% ausgehend ohne Prismenbrechung nach a b gelangten. (Näheres hierzu hat Prandtl in „Zeitsclir. f. Yerm. 1890“ S. 464 angegeben.)

Die technische Ausführung des Prandtischen Winkelprismas zeigt Fig. 13 von der optischen Werkstätte von Carl Zeiß in Jena.

Yor dem Bauernfeindschen Prisma hat das Prandtische manche Vorzüge; erstens gibt es hellere Bilder und auch etwas größeres Gesichtsfeld, und zweitens wirkt der beim Schleifen des Prismas übrig gebliebene Fehler weniger ungünstig, weil die Lichtstrahlen im allgemeinen mehr rechtwinklig auf die brechenden Prismenflächen treffen als bei Bauernfeind, was in der nachfolgenden Theorie seine Begründung hat.

Vierseitige Winkelprismen können auch zur gleichzeitigen Absteckung von zwei Winkeln, z. B. von 45° und 90° oder 90° und 180°, fünfseitige auch gleichzeitig für 45°, 90° und 180° verwendet werden. Solche Prismen sind beschrieben in Bauernfeind, Elemente der Vermessungskunde, 7. Aufl., Stuttgart 1890, Bd. I S. 211—227, und in Vogler, Lehrbuch d. prakt. Geometrie, Braunschweig 1885, Bd. I S. 309—312.

Ein Doppelprisma aus zwei sog. 45°-Prismen mit Winkeln von 45°, 22l/₂° und 112i/₂⁰ zum Abstecken von Winkeln von 45° (in aufgeklappter Stellung) und 90° (in zusammengeklappter) beschreibt Doergens im „Zentralblatt der Bauverwaltung 1897“ S. 286.

Optische Fehlertheorie der Winkelprismen.

Der Praktiker wird sich nn allgemeinen damit begnügen, die Winkelprismen ebenso wie die Winkelspiegel, die Kreuzscheiben usw. daraufhin zu untersuchen, ob zwei als 90° abgesteckte Winkel zusammen die leicht ausführbare Probe auf 180° usw. erfüllen, und wenn wir noch raten, das Bauernfeindsche oder Prandtische Winkelprisma auch daraufhin zu untersuchen, ob es beim leichten Drehen in der Hand wirklich /erstehende Bilder gibt, so ist den Bedürfnissen der laufenden Praxis genügt. Es ist aber eine sehr interessante weitergehende theoretische Frage, welchen Einfluß falscher Schliff eines Prismas auf die Winkelabsteckung 90° hat. Bei den Prismen ist nämlich die Sache nicht so einfach wie beim V inkelspiegel. wo eine Abweichung des Winkels a, den beide Spiegel unter sich bilden, von seinem Sollwert 45°, also z. B. a ■—45° = x, sich kurz als 2 x im abgesteckten Winkel 90° äußert, so daß man 90° -+- 2 a? statt 90° erhält.

Die Prismen werden wohl im allgemeinen auf V genau geschliffen sein; Prof. Lorber gab in „Zeitsclir. f. Instrumentenkunde 1888“ S. 417—418 an, daß er sogar Schliffehler von 2', 4' und 7' gefunden hat, indessen nach Mitteilung des Instituts

Zeiß in Jena sind die von dort ausgehenden Prismen jedenfalls innerhalb V richtig anzunehmen und können auch, wenn besondere Mühe angewendet wird, auf wenige Sekunden genau geschliffen werden, was hei unserem Instrument Fig. 13 (S. 47) der Fall ist.

Nehmen wir nun an, daß unsere Prismen auf + 1' genau geschliffen seien, so entsteht die weitere Frage, welche Einflüsse solche Fehler auf die abgesteckten 90°-Winkel ausüben?

Bei dem einfachsten Fall der Hypotenusenreflexion mit Fig. 1 S. 42 kommt es auf den rechten Winkel seihst nicht an, sondern nur auf die Symmetrie der 45°-Winkel; und wenn etwa der eine dieser zwei Winkel = 45° + 2 d und der andere 45° — 2 Ö ist (oder auch 45°+# + 20' und 45° + # — 2 Ö), so macht das, wie in Verfassers „Grundzüge der astronomischen Zeit- und Ortsbestimmung 1885“ S. 252—253 gezeigt ist, einen Fehler, welcher auf Fig. 1 S. 42 bezogen so ausgedrückt wird:

(12)

a — e —

also wenn der Brechungskoeffizient des Glases rund n = 1,5 gesetzt wird:

a — « = 2d'\/l + 1,25 sec² a .

2 8 Vl + (n² — 1) sec² a ,

(13)

Eine ganz ähnliche Formel haben wir auch infolge einer Verhandlung mit Landmesser Deubel in „Zeitsehr. f. Verni. 1886“, S. 138 und 176 gefunden, welche sich auf die nachstehenden Figuren 14 und 15 bezieht.

Fig. 15. 45“ + ^-X

Fig. 14 45"+|-T

"SP*

^ '.....V-:'

45V^+r

Es ist dabei angenommen, daß die drei Prismenwinkel folgende Werte haben:

C = 45° + ~

A = 90° — x

H = 45° + 4 —

A + B + C = 180°,

d. h. es ist x der Fehler des rechten Winkels A, und r ist das Maß der Unsymmetrie.

Auch die hierzu gehörige Entwicklung, welche in „Zeitsehr. f. Verm. 1886“, S. 138—140 mit S. 176 gegeben und auch in unserem „Handb. d. Verm.“, II. Band.

4. Aufl. 1893. S. 40—41 enthalten war, wollen wir diesesmal aus Baumrücksichten übergehen und nur die Schlußformeln, auf Fig. 14 und 15 bezogen, vorführen, wobei wir zugleich einen an den genannten Stellen auftretenden Fehler berichtigen:

(14)

90° = x — 2 (x + r) ”\A + (n² — 1) sec² a cp' — 90° = x — 2 (x — t) Vl + (n² — 1) sec² a'.

Jede einzelne dieser Gleichungen dient zur Beurteilung des Prismas als Werkzeug zum Abstecken von 90°, und beide Gleichungen zusammen geben die Kritik des Bauernfeindsehen Prismenkreuzes Fig. 7 S. 39. Wird nämlich a = u und x = 0. so wird qp 4- qp' = 180° und das Prismenkreuz kann also für den Zufall a = a als richtig erscheinen, ohne doch allgemein richtig zu sein.

Um von den wahren Fehlern auf mittlere Fehler übergehen zu können, bezeichnen wir den Fehler des Winkels C mit y, setzen also

v ~ T

Der Fehler des Winkels B ist dann:

und die Gleichungen (14) und (15) gehen über in

(jp — 90° = x — (x + 2 y) Y 1 4- (n² — 1) sec² a cp' — 90° — x — (x — 2 y) V"l 4- (n² — 1) sec² a .

Beim Gebrauch des Prismas wird der Einfallswinkel « meistens nahezu gleich 45° sein; führen wir hierzu für n den runden Wert 1.5 ein, so ist der Wurzelausdruck gleich 1.87. Nehmen wir nun statt der beiden wahren Fehler x und y einen gemeinsamen mittleren Fehler 4- m an. so ergibt sich nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz (10) 8. 12 der mittlere Fehler einer Winkelabsteckung aus beiden Gleichungen übereinstimmend zu

(10)

(17)

oder

M = ± m V(0,87)2 ₊ (3,74)2 itf = 4- 3.8 m .

Aus den im Anhänge S. 50 aufgeführten Genauigkeitsangaben muß man schließen, daß im allgemeinen die Schliffehler wesentlich kleiner als 1' sind.

Zu dem Prandtischen Prisma hat der Erfinder selbst eine optische Fehlertheorie in ..Zeitsehr. f. Verni. 1890’ S. 465 -467 gegeben, welche wir in anderer Form (mehr im Anschluß an unsere vorstehenden Gleichungen (12)    (15)) so vorführen :

Es wird angenommen, daß in Fig. 11 S. 46 der Winkel P nicht genau = 90° und der Winkel p nicht genau =45° sei. worauf zu untersuchen ist. was das für einen Einfluß auf die Winkel /, und 1₂ oder auf den zu benützenden rechten Winkel L hat.

Wir wollen kleine Winkelfehler x und y annehmen, so daß ist :

also

P = 90° 4- x

p = 45° 4-y,

(18)

Damit folgt aus der früheren Gleichung (10) S. 46. da G — 2p bleibt:

und

!h> — 9l — ^ V x Die beiden früheren Gleichungen (11) S. 46 subtrahiert geben: cos h — cos ll = n (cos y₂ — cos pyt), also

(19)

(Io — (j ) sin 1 — — n (y₂ — (Ji) sin y.    (20)

Aus (11) S. 46: sing

/ cos²l ₇/ n² — 1 4~ sin²1

V ¹ ji2 _ r n²

Dieses in (20). (19) und (18) eingesetzt gibt:

x+{2 y — x) Y1 4- (>>2 — 1) cosec² l und wenn wir den Winkel l durch den Einfallswinkel a = 90° — / ersetzen : L — 90 ⁰ = x — (x — 2 y) Y^ -+- T«² — 1 ) sec² a .

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. IX. Bd. 7. Aufl.

L = 90°

(21)

(22)

Da diese Gleichung mit (17) übereinstimmt. so ist der Fehlereinfluß beim Prandtischen Prisma derselbe wie beim Bauernfeindschen Prisma; der Vorteil des ersteren besteht jedoch darin, daß der Einfallswinkel a im allgemeinen kleiner sein wird. Im Grenzfalle a — 0 ist der Wurzelausdruck gleich 1.5 und der mittlere Fehler einer Winkelabsteckung wird dem Obigen entsprechend

M = ± 3,0 m .

Anhang zu § 15—17.

Über die Genauigkeit der Instrumente zum Abstecken von rechten Winkeln handelt eine Abhandlung von Professor Lorber in Leoben, „Zeitschr. für Instrumentenkunde 1888“ S. 381—388 und S. 412-419.

Auf S. 386 gibt Lorber den mittleren Absteckuugsfehler : bei der Kegelkreuzscheibe .    . . ± 1,6'

„    „ Zylinderkreuzseheibe . .

bei dem Winkelspiegel . . . . ± 1,3'

„    „ Winkelprisma

vgl. hierzu auch das schon am Schlüsse von § 15 S. 37 Gesagte, und als einzelnes Beispiel mag auch „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S 347 zitiert werden, wo die vier mit dem 'Winkelspiegel abgesteckten Winkel nach der Theodolitmessung und Ausgleichung wurden :

2,6

1,1

89° 59' 29"

90° 1' 40"

89° 59' 37 '

also Fehler:

— 0' 31"

+ 1' 40"

— 0' 23"

89° 59' 14" — 0' 46".

§18. Längenmessimg mit Meßlatten.

Das wichtigste Werkzeug zur Längenmessung im Felde sind die in umstehender Fig. 1 gezeichneten Meßlatten. Das sind Maßstäbe aus möglichst astfreiem, gut abgelagertem Tannenholz hergestellt, gewöhnlich 5 m lang, an den Enden mit Metallschuhen versehen, welche entweder eine starke glatte Endfläche oder eine stumpfe Keilschneide tragen (vgl. Fig. 6 S. 53).

Der zweckmäßigste Querschnitt ist ein Rechteck, dessen Ecken stark abgerundet werden, so daß nahezu ein elliptischer Querschnitt entsteht. Derartige Latten liegen mit der breiten Seite auf dem Boden sicher auf, rutschen und rollen nicht, und biegen sich beim Staffeln hochkant gehalten nicht durch. Die Querschnittallmessungen sollen etwa sein 50 X 30 mm in der Mitte der Latte und 40 X 80 mm an den Enden in den Metallbeschlägen, welche wie bei den Baken am besten durch einen dauerhaften Kitt befestigt werden.

In Württemberg, wo diese Meßwerkzeuge seit Jahrhunderten im Gebrauch sind, wurden sie häufiger Meßstaugen genannt, auch wurde ein. Unterschied nach der Herstellungsart gemacht. Meßlatten werden aus Brettern geschnitten. während Meß-xtangeii aus schwachen Tannenstäminchen hergestellt werden. Die ersteren bleiben bei entsprechender Stärke meist gerade, brechen aber leicht ab, da sie meist über die Jahresringe geschnitten sind. Die Stangen sind zwar. weil sie den Kern in sich tragen, meistens dauerhafter, werden aber bei Einwirkung der Wärme leicht krumm. ..sie verziehen sich“. (Steiff, .Zeitschr. f. Verm. 1893" S. 243.) Zum Schutz gegen Feuchtigkeit, und um das Abfasern des Holzes zu vermindern, werden die Latten mit Ölfarbe angestrichen, um zugleich Einteilung zu erzielen von Meter zu Meter mit verschiedenen Farben (weiß und rot. schwarz und rot). Die weitere Teilung auf Dezimeter (ev. Halbdezimeter) wird ebenfalls durch Farbenstriche oder durch Nägel mit runden Köpfen bewirkt. Zentimeter können geschätzt werden.

Statt der Fünfmeterlatten kann man bei engen Verhältnissen, zur Erleichterung des Transports usw., auch Latten von vier. drei, zwei Meter an wenden. (Früher in

<ler Rutenzeit hatte man Latten von einer Rute = drei Meter und von zwei Ruten = sechs Meter.)

Anwendung der Latten auf ebenem Boden: Zur Messung einer Linie sind zwei Latten erforderlich. In der Ebene genügt nötigenfalls ein Arbeiter; derselbe legt die Latten, die er am hinteren Ende hält, eine vor die andere, unmittelbar auf den Boden, indem er. in der Linie stehend, nach den Baken schaut, welche die Gerade bezeichnen. Beim Aufheben wird die Latte durch die Hand geworfen und dann wieder in die Gerade vorsichtig an die schon liegende Latte angelegt. Die hintere Latte wird stets zuerst zurückgezogen, damit die vorderste nicht verschoben werden kann. Die richtige Unterweisung der Arbeiter in sorgfältiger Handhabung der Latten ist von Wichtigkeit.

Während nötigenfalls ein Arbeiter mit zwei Latten messen kann, ist es zu kräftigem Betriebe doch besser, zwei Mann zu haben, von denen dann der eine die erste, dritte, fünfte usw. Latte und der andere die zweite, vierte usw. Latte legt.

Fig. 1. Meßlatten von 5 nt Länge (Maßstab 1 : 25).

QZH

Das Zählen geschieht laut im Augenblick des Aufhebens; eine Latte, welche noch liegt, gilt noch nicht als gezählt. Das laute Zählen schützt gegen Zählfehler: ferner hat man als Mittel dagegen äußerliche Unterscheidung der Latten, indem z. B. die erste Latte mit weiß anfängt und die zweite mit rot. oder eine schwarz-weiße und eine rot-weiße Latte benützt; dann hat in der ganzen Linie weiß ungerade und rot gerade Zählung usw. Bei kürzeren Linien und solchen mit vielen Zwischenpunkten zählt man sofort die Anzahl der Meter, also fünf. zehn, fünfzehn . . . Meter. Bei langen Linien ohne Zwischenpunkte kann man auch die einzelnen Latten zählen und nachher mit fünf multiplizieren.

An Abhängen wird nach der Staffelmethode gemessen, d. h. es werden die Latten wagerecht gerichtet, mit Senkel oder Lotstab abgelotet und die einzelnen Lattenlagen durch die Ablotung aneinandergereiht. Es sind dazu zwei Mann erforderlich. Der Lotstab ist am besten prismatisch oder oval (fischbauchförmig) mit scharfer Kante, wobei nicht seine Mitte, sondern seine Kante den Endpunkt der Meßlatte bezeichnet. Der Lotstab wird bei kleinen Höhen oder groben Messungen nach Augenmaß. bei größeren Höhen mittels des Handsenkels lotrecht gestellt; auch kann man einen Lotstab mit Dosenlibelle sehr gut gebrauchen.

Wir hatten uns früher eine Dosenlibelle zum Anschrauben an einen Lotstab besonders machen lassen, nehmen nun aber den Seite 34 in Fig. 4 dargestellten .Lattenrichter- von Mechaniker Butenschön in Bahrenfeld bei Hamburg.

Die Horizon tali tat der Meßlatte selbst wird beim Startelmessen nach dem Augenmaß geprüft oder dadurch, daß man die Latte um ihren festen Endpunkt einen Kreisbogen beschreiben läßt, wobei dann diejenige Lage der Latte die horizontale ist. welche

den größten Abstand des Lotstabes von dem festen Ende verlangt, oder besser noch dadurch, daß man sich mitten vor die Latte stellend die Gleichheit der vier rechten Winkel prüft, welche Senkel oder Lotstab mit der Latte bilden müssen.

Die Aufsetzung einer Libelle auf die horizontale Latte bei Staffelmessung ist nur dann nötig, wenn man nicht nur die horizontalen Entfernungen, sondern auch die Höhen erhalten will, d. h. wenn man Profile aufnehmen will.

Auf schwach, aber nahezu gleichförmig geneigtem Boden wird nicht immer bei

Fig. 3.

Schiefe Messung mit Zwischenmaß z.

h i\

jeder einzelnen Lattenlage abgelotet, sondern es wird der Zwischenraum bestimmt, welcher zwischen je zwei Lattenenden zu bleiben hat, und zwar durch emmaliges Abloten, worauf der dabei beobachtete Zwischenraum nach Schätzung beibehalten wird. Ist (Fig. 3) h die Staffelhöhe für die schiefe Länge l, so ist der einzuhaltende Zwischenraum :

Z = V/2 ₊ /,2

Wenn nun h verhältnismäßig klein gegen 1 ist, so rechnet man genähert :

l.

(1)

1 4-

lß

Iß

(2)

Zählt man hierbei h in Dezimetern und z in Millimetern, so hat man bei z mm = (h 3m)2,

Fünfmeterlatten schlechthin : z. B. wenn h = 3 3m ist, so muß der Zwischenraum z = 9 mm genommen werden.

Es ist auch schon mehrfach empfohlen worden, den Lotstock mit einer Teilung und Bezifferung zu versehen, welche sofort das Zwischenmaß £ abzulesen gestattet. Man hat hierbei h — ^ z (z -h 21) für gleichförmig wachsende z zu berechnen und die z den entsprechenden Ix beizuschreiben, z. B. :

0,00 m

0,30 m

h = 0,000 m 0,709 m 1,005 m 1,234 m 1,428 uv 1,601m 1,758 m (vgl. hierzu Schmitz, Zeitsehr. f. Venn. 1873“, S. 77 -88).

Dabei muß man aber die Latte selbst ebenso genau horizontal halten, als man im anderen Falle den Lotstock vertikal halten müßte.

0,05 m

0,10 m 0,15 m 0,20 m

0,25 m

Einige Einzelheiten von Meßlatten sind noch in den nebenstehenden Fig. 4    7

angegeben. Fig. 4 zeigt eine zerlegbare Meßlatte nach Angabe von und Fig. 7 zeigt eine zum Zusammenklappen eingerichtete 4 niker Raschke in Glogau.

zum Zweck des Transports in drei Teile von je 1,667 m Tasler in Berlin („Zeitschr. f. Venn. 1888" ß. 600) m lange Latte von Mecha-

Fig. 5 von Ottsen („Zeitschr. f. Verm. 1888* S. 202) zeigt eine Schraubenvorrichtung zum Richten der Lattenlänge nach dem Normalmaß, zugleich auch ein abgerundetes Ende der Latte.

Zur Längenregulierung von Meßlatten erwähnen wir auch noch eine Konstruktion von Stadtgeometer Fetzer in Biberach (.Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 150- 153), welche dazu dienen soll, daß die Latten jederzeit auf dem Felde, ohne einen Handwerksmann zu Hilfe nehmen zu müssen, auf das richtige Maß gestellt werden können.

Ferner sei noch erwähnt eine von Landmesser Hesselbein in Remscheid konstruierte vierseitige Meßlatte mit vier in Längskehlungen der Seiten liegenden und

Fig. 6.

Fig. L Zerlegbare Meßlatte (drei Teile von je 1,607 nt Länge).

-__________________250— — —

:1_____

i \.....

JlL

Fig. 5. Lattenende mit Läugenbericlitigung.

Fig. 7. Zusammenlegbare Meßlatte, i m lang, von Rasclike in Glogau.

dadurch geschützten Teilungen mit einer Justiervorrichtung, bestehend aus einem mit der Latte fest verbundenen und einem in diesem verstellbaren, mit Stahlschneide versehenen Stahlrohr (P.E.G.M. 80158).

Indessen haben wir hei solchen Einrichtungen. wie auch Schraube a Fig. 5, immer das Bedenken, daß sie auch von Unbefugten in Angriff genommen werden oder sich heim Messen ändern können. Wir lassen lieber unsere Meßlatten ein für allemal innerhalb mäßiger Grenzen richtig, führen über die von Zeit zu Zeit erfolgte Vergleichung Buch und bringen für genaue Zwecke die Korrektionen in Rechnung.

Die Hauptsache hierbei, nämlich die metronomische Maßvergleichung selbst, bringt unser nachfolgender § 20.

Fig. 6 S. 53 gibt noch nach Nagel und Gerke ein Lattenende mit abgerundeter Querrippe, wobei dann stets eine horizontale Rippe gegen eine vertikale Rippe der nächsten Latte zu liegen kommt.

Wir werden über Schneidenlatten noch besonders in § 21 handeln.

Gradbogen zum Messen der Lattenneiguiujeii.

In Württemberg hat man schon frühzeitig bei den Lattenmessungen außer dem Abloten die Neigungsmessung mit einem Gradbogen angewendet. In Kohler, „Die Landesvermessung des Königreichs Württemberg, Stuttgart 1858" S. 211. wird hierüber

Fig. 8.

Gradbogen (Halbmesser = 44 cm).

« Handgriff zum Anschrauben bei 6, c Zulegemaßstab.

1°

berichtet, daß 1833 -1837 bei einer ausgedehnten Polygonisierung die Messung sämtlicher Polygonseiten mit der Gesamtlänge zu 383 hm mittels ISschühiger (4,3 m langer] Meßlatten in Verbindung mit einer Setzwage mit Gradbogen ausgeführt wurde. Die Meßlattenenden waren ähnlich denjenigen an den Basismeßstangen mit Stahlschneiden versehen und der Gradbogen hatte, hei einem Halbmesser von 9,6 Zoll (28 cm), eine Einteilung von 10' zu 10'. Die Messung ging von Polygonpunkt zu Polygonpunkt, Berg auf, Berg ab. „Diese Messungen haben gezeigt, daß der Fehler auf 1000 Fuß Länge, selbst in ganz unebenem Lande, wo Neigungen von 20° bis 30° vorkamen, nie über einen Zoll betrug" (286 m mit 3 cm), „man konnte mit drei Gehilfen täglich eine Länge von 13 000 bis 16 000 Fuß (3.7 bis 4,6 fnn) messen." Dazu ein Zitat Proß. „Lehrbuch der praktischen Geometrie 1838" $ 35 : „Überlegenheit der württemb. Meßstäbe über die Kette“. Der Gradbogen ist auch in Württemberg unter den vorgeschriebenen Instrumenten des Geometers aufgeführt. (Technische Anweisung vom 30. Dez. 1871. § 2.)

Vorstehendes wird von Steiff in „Zeitsehr. f. Venu. 1893" S. 242—249 berichtet, und es wird dabei ein neuerer Gradbogen von Geometer Gonser beschrieben (zu beziehen von Mechaniker Keinath in Onstmettingen, Württemberg), der in unserer vorstehenden Fig. 8, gezeigt wird.

Die Anwendung des Gradbogens ist einfach; man setzt denselben mit seiner unten ausgefrästen Auflagefläche auf die Mitte der Latte und liest an dem Pendel (das eine Halte- und Auslösevorrichtung hat) den Neigungswinkel a auf 10' (oder in neuer Teilung auf 10c) ab; oder es sind auch Instrumente konstruiert, welche geradezu

/ Icos >' abzulesen gestatten. Zur nachfolgenden Reduktion braucht man eine Tabelle, ähnlich wie auf Seite [3] unseres Anhangs. Eine besondere Tafel hierzu enthält der in jedem Jahr in Stuttgart erscheinende Kalender für Vermessungswesen und Kulturtechnik von Schlebach. Die dort gewählte Längeneinheit von 10 w gibt in Stufen von 10' bzw. 20 o eine Rechensch ärfe von i/2 Halbierung der Summe. (Weiter kennen wir noch eine solche Tafel von Geometer Menner [s. unten] in Stufen von 5' und für eine Einheit von 5 m.)

und erfordert nur am Schlüsse die

mm

Eine ähnliche Form eines Neigungsmessers für Meßlatten haben wir nach einer Mitteilung von Hammer in „Zeitschr. f. Venn. 1896“, S. 665    671 in dem Meßlatten -

Reduktor von Bereinigungsfeldmcsser Krayl. bestehend aus einem gleichschenkligen Rahmendreieck von 1,5 uv Schenkel und 1,3 m Basis, auf die Latte aufzusetzen und zum Transport zusammenzuklappen. Neigungsmessung durch Pendel and Libelle.

Geometer Menner in Sigmaringen, über dessen Reduktionstafel für l — lcos a in „Zeitschr. f. Venu. 1886" S. 586 berichtet wurde, hat auch für die Teilung nach Graden einen „Cosinus-Meßkeil“ hergestellt, bestehend in einer Aluminiumscheibe in Form eines rechtwinkligen Dreiecks, mit einem Winkel von 22¹/₂°. Rechtwinklig zur größeren Kathete ist eine Teilung angebracht und so beziffert, daß die kleinere Kathete die Länge der Verkürzung 5 — 5 cos a einer Fünfmetermeßlatte darstellt für die an der Teilung angegebenen Gradwerte. Zur Herstellung des richtigen Zwischenraumes wird der Meßkeil zwischen die beiden Latten enden, der Neigung entsprechend, eingeschoben. Dieses Verfahren wird von Weitbrecht empfohlen in den „Mitteilungen des Württb. Geometervereins 1892“. S. 42- -45.

Auch in neuster Zeit wird der Meßkeil für Lattenmessungen in Verbindung mit einem Libellengradbogen einfachster Form von Oberlandmesser Deubel („Zeitschr. f. Verm. 1906“, S. 60—66) empfohlen.

Sehen wir von diesem „Cosinus-Meßkeil“ ab (den man auch bei der Bandmessung verwenden könnte) und bleiben wir bei der Gradbogenneigungsmessung stehen, so ist dazu noch zu sagen, daß die Württemberger das Verfahren mit großer Vorliebe anwenden. Herr Obersteuerrat Schlebach hat uns im Oktober 1896 dazu geschrieben: Ich habe früher auch nicht dafür geschwärmt, wurde aber belehrt, als ich vor Aufstellung der Fehlergrenzen für Längenmessungen mit den Vermessungsarbeiten des Katasterbureaus eine große Zahl von Versuchsmessungen machte, aus welchen sich ergeben hat. daß das mit dem Gradbogen erzielte Maß dem wirklichen Maß stets näher kommt, als dasjenige mit Senkel. Die mittleren Fehler verhalten sich: Gradbogen: Senkel = 7:12; das Gelände war ziemlich kupiert (Klasse II All).

In einer Minute wurde gemessen mit Gradbogen eine Strecke von 17.4 uv. mit Senkel eine Strecke von 16.9 m.

Die Anzahl der Hilfsarbeiter war bei beiden Messungen gleich.

Eine große Zahl von Versuchsmessungen wurden u. a. gemacht auf zwei Strecken von 130 m bzw. 270 m, wobei gefunden wurde :

beim Gradbogen beim Senkel

bei der Strecke von 130 m der mittlere Fehler einer Messung yb 5,7 cm jF 10,4 cm „    „    „    „ 270 m „    „    „    „    „ jF 11,4 cm + 18,1 cm.

Auch von anderer württembergischer Seite wird uns der Gradbogen sehr gerühmt, was wir, da Verfasser selbst keine Erfahrungen dazu hat. im Vertrauen auf die stets bewährte Geometerpraxis der Nachfolger Bohnenbergers hier anführen. In

dem Aufsatz von Steift in .Zeitsehr. f. Verni. 1893" S. 242 —240 sind auch Zitate Längenmessung so vollständig gesammelt, daß wir sie liier wiedergeben:

zur

Neigungsmesser : „Zeitschr. f. Verm. 1872“ S. 66, 158, 214, 240, 243; 1873 S. 113, 114; 1877 S. 676; 1885 S. 88, 277, 305; 1887 S. 6-13; 1889 S. 647 und 1890 S. 87.

Kampf um die Vorzüge der Latten: „Zeitschr. f. Verm. 1872“ S. 17—36, 120—129, 154—162, 221—225: 1873 S. 185—211, 344—362; 1874 S. 288-291; 1877 S. 264, 415—417. F. G. Gauß, Die trig. und polyg. Rechnungen in der Feldmeßkunst 1876, S. 170. Brönnimann, Katastervermessung S. 101. Proß, Lehrbuch der praktischen Geometrie. Stuttgart 1838, § 35, Tafel der Abzüge («». vers.) für die Streckeneinheit 10 von 0° bis 48° ln Stufen von 10' zu 10' und § 38, Bemerkungen über die Genauigkeit der Messungen mit Meßlatte und Meßkette: „Bei der Württ. Landesvermessung wurden durchaus bloß Meßstäbe angewendet; und es ist wohl noch keine Detailvermessung mit mehr Genauigkeit angeführt worden, als diese“.

Ein anderes Hilfsmittel zur Lattenreduktion beschreibt H. Schulze in der „Zeitschr. f. Verni. 1901“ S. 549—554. Das als „Lattenreiter" bezeiclmete Instrument ist eine auf die Fünfmeterlatte aufsetzbare Libelle, an deren Skala direkt die Reduktion in Millimeter abgelesen werden kann. Die Krümmung der Libelle ist so bestimmt, daß von 0°—14° Neigung die mit dem Neigungswinkel ungleichmäßig wachsende Reduktion in einer gleichmäßigen Libellenskala zur Ablesung kommt. Es werden S. 552 Versuchsmessungen mit Angaben über die erreichte Genauigkeit und den Zeitverbrauch im Vergleich zur Staffelmessung mitgeteilt.

Zu alledem muß aber bemerkt werden, daß das Messen mit schiefen Lattenlagen und Neigungsbestimmung sich nur lohnen kann bei durchlaufenden Längenmessungen. etwa als Polygonseiten, während zur Stückvermessung u. dgl.. überhaupt wenn viele Zwischenpunkte Vorkommen, das Staffelmessen seiner Einfachheit wegen den Vorzug verdient.

§ 19. Längenmessung- mit dem Stahlband und mit der Kette.

Das in umstehender Fig. 1 dargestellte Stahlband ist für viele Messungen ein sehr zweckmäßiges Werkzeug. Das Band besteht aus gehärtetem Stahl, ist gewöhnlich 10— 20 m lang. 15- 20mm breit, etwa 0.3—04mm dick, in Meter und Dezimeter (ev. Halbdezimeter und Zentimeter) geteilt. Die Meter-. Halbmeter- und Fünf-metermarken müssen deutlich durch runde, eckige usw. Plättchen unterschieden sein. An den Enden sind, durch Vermittlung der nötigen Gelenke, metallene Ringe R von 3—4 cm Durchmesser befestigt, welche über entsprechende Stäbe geschoben werden. Mit diesen Stäben wird das Band durch zwei Mann gehandhabt. Für den Transport und die Aufbewahrung wird das Band auf ein Gestell A aufgerollt.

Bei der Anwendung im Felde, mit zwei Arbeitern, wird das Band längs der zu messenden Linie auf dem Boden ausgespannt, das hintere Ende wird auf den Anfangspunkt der zu messenden Linie gebracht, und nachdem der vordere Endpunkt durch einen eingesteckten Stab oder eisernen Nagel bezeichnet ist. rückt das ganze Band um seine eigene Länge vor. und so fort. Die vom Hintermann gesammelten Nägel (Fig. 6

S. 58) oder Pflöcke geben zugleich die Zählung der ganzen Bandlagen.

Neuere Band- bezw. Kettenstäbe mit spatenförmigem Schuh, um festeren Halt gegen das Ziehen beim Spannen zu geben, sind von Rasclike in „Zeitschr. f. Verm. 1894" S. 638 abgebildet und beschrieben.

Während hei dem Meßband Fig. 1 die Bandlänge durch den Mittelpunkt der Endringe Ji. und beim Messen durch die Spitzen oder Schneiden der lotrecht gehaltenen. in den Ringen zentrisch laufenden Spannstäbe bezeichnet wird, werden neuer-

Fig. 1. Stahlmeßband mit Endringen.

■J:

Fig. 2. Stahlmeßband mit Endmarken und Spamnmgsmesser.

Eo

Sp

\K ta

dings zur Erzielung einer schärferen Aneinanderreihung der Bandlagen Bänder verwendet, welche die Bandlänge als Strichinaß durch Endmarken angeben, wie in Fig. 2 hei E₀ angegeben ist, so daß das Band etwas länger, an jeder Seite einige Dezimeter, als die Nominallänge ist. Bei dieser Form der Meßbänder dienen die Stäbe nur zum Ausspannen; statt der Endringe H werden daher, das Band mit der Hand gespannt werden soll. Handgriffe

an jeder Seite nur

Fig. 2 a.

wenn

angebracht, in diesem Fall braucht das Band etwa um 1 d\n länger zu sein. Derartige Meßbänder sind erwähnt in der „Zeitschr. f. Venn. 1894“ S. 348 von Fuchs, S. 401 von Kremer. S. 542 von Konegen. Die Bezeichnung der Bandlagen _    geschieht durch Einsetzen der Zählnadeln (Fig. 6 S. 58); auf städti

schen Straßen erschien uns zweckmäßig und hinreichend ein mit einer scharfen Stahlzählnadel eingedrücktes Zeichen, kenntlich gemacht durch Umrahmung mit einem Kreidering. Von besonderen Anreihehilfsmitteln sowie dem in Fig. 2 eingezeichneten Spannungsmesser SP. welcher zur Regulierung der Bandspannung bei feinen Messungen erforderlich ist. und von Fig. 2a wird später in § 21 die Rede sein.

Im Anschluß hieran erwähnen wir auch noch die heute wenig mehr gebrauchte, aber durch ihr Alter ehrwürdige Meßkette.

Fig. 3. Meßkette, ausgestreckt.

(Fig. 1—6 zeigen Meßbänder und die Meßkette mit allem Zubehör von der in Meßbändern und Meßketten bewährten Werkstätte von Julius Raschke in Glogan.)

Fig. 4. Meßkette, zusammengelegt.

Fig. 5. Bandstäbe.

II;

Fig. 6. Zählnadeln.

Mi

Die Feldmeßkette besteht aus einzelnen etwa 0.5 w langen. 3 -mm dicken Gliedern von Eisen oder Messing, welche durch Hinge verbunden sind. Die Enden sind mit größeren Ringen versehen zur Befestigung an Stäben. Die Anwendung der Kette ist dieselbe, wie die auf S. 56 beim Bande beschriebene. Die Kette ist wegen des häufigen Verschlingens der Glieder, wegen des Dehnens der Ringe und Ösen u. dgl. zu guten Messungen nicht geeignet. Meßketten mit kurzen Gliedern (1 3m) werden bei manchen Messungen des bequemeren Zusammenlegens wegen gebraucht.

Die Meßkette war früher das wichtigste Werkzeug der norddeutschen Feldmesset (in Württemberg war sie nie im Gebrauch).

Reduktion schief gemessener Band- und Kettenmessungen.

Da das im Felde gebräuchliche Zwanzigmetermeßband sich nicht so bequem dem Gelände anschmiegt wie die kurze Latte, wird viel mit schief aufliegendem Bande gemessen und zu jeder schiefen Bandlage 1 der Neigungswinkel a bestimmt, worauf die horizontale Länge / cos a oder die Reduktion I — / cos a zu berechnen ist.

Es handelt sich also um Neigungsmessung, wobei die Höhenwinkel zwischen

den Köpfen der gleichlangen und gleichmäßig in den Boden eingedrückten Bandstäbe, also parallel der Meßbandlage, gemessen werden. Zur schärferen Bezeichnung des Zielpunktes wird eine Zielscheibe (mit rot-weißen Feldern) auf den Kopf des Bandstabes gesteckt. Im Notfall kann man sich zu dieser Neigungsmessung eines einfachen Gradbogens, der mit dem Zirkel auf ein kleines mit Papier überzogenes Brett auf getragen ist, mit angehängtem Lotfaden bedienen, und leicht Genauigkeit von etwa 1° erreichen; ein für diesen Zweck konstruiertes Instrument zeigt Fig. 7 und 8 S. •>!).

Das Instrument besteht aus einem kreisförmigen Gehäuse AA, in welchem sich

ein geteilter Kreisbogen B B zentrisch um wichtes I) ist der Schwerpunkt des ganzen um C drehbaren Teiles so bestimmt, daß der zum Nullstrich der Teilung gehörige Halbmesser sich immer horizontal stellt. Die

C bewegt. Durch Zufügung eines Ge-

Da die Fig. 7 das Instrument mit abgenommenem Deckel zeigt, geben wir auch noch eine äußere Ansicht desselben Instrumentes in Fig. 8.

-7=5

rHU

yyjrjjjlpi

------iß cm—

zylindrische Wand des Gehäuses trägt bei E eine Sehspalte, gegenüber auf einer Glasplatte G G angebracht eine Zielmarke F. Die Kreisteilung B 11 ist nicht auf einer Ebene aufgetragen, sondern auf einer Kegelfläche, so daß alle Teilstriche ungefähr unter 45° gegen die Zeichenebene der Figur ge- Neigungsmesser für schiefe Bandmessung (von Zugmaier und Siekier), neigt sind. Das Auge • kann daher von F aus den Teilstrich ablesen, welcher sich an der Ziel-marke F befindet. Damit ist der Höhenwinkel der Ziellinie E F bestimmt.

Fig. 7.

' 8».,

Vs

'sfcj

|-£j

Hierzu sei noch über die Öffnung B, welche in Fig. 7 wegen des abgenommenen Deckels nicht vorkommt, einiges bemerkt:

Die Teilung wird bei T durch ein Glasfenster beleuchtet, und von 0 aus abgelesen; wenn nun hierbei der Kreisbogen im Innern schwingt, so muß man zum

Fig. 8. Zugmaier-Sicklers Neigungsmesser.

Äußere Ansicht (Kreisdurchmesser = 16 cm).

À; :

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E,

N.

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Fig. 8 angedeutet ist, die Schwingungen hemmen;

Ablesen bei T warten, bis er nahezu zur Ruhe gekommen ist; man kann allerdings durch den Knopf, welcher oben an

allein man kann dann nicht beliebig mehr oder weniger von neuem schwingen lassen. Hierzu dient die Öffnung hei B. Während die rechte Hand das Instrument ans Auge hält, kann man nun mit einem Finger der linken Hand bei II hineingreifen, anlialten. auf oder ab, schwach oder stark anstoßen usw., und dadurch die Messung beschleunigen und verfeinern.

Auch an unseren übrigen ähnlichen Freihand-Höhenmessern (Fig. 9 u. a.) haben wir solche Öffnungen B angebracht, und erst nach dieser Verbesserung wurde die gewünschte Handlichkeit und Genauigkeit erzielt.

Bandlmgens Neigungsmesser.

Der Grundgedanke dieses hübschen Instrumentchens ist derselbe wie bei dem vorhergehenden; ein Kreis schwingt im Innern einer zylindrischen Kapsel. Die Teilung liegt aber auf der dem Auge zugewendeten zylindrischen Fläche des Kreisrades hei T.

Fig. 9.

Randhagens Höhenwinkelmesser. Kreisdurchmesser = 7,5 cm, Länge 01 = 13 cm.

ÏAD

und wird durch eine Lupe ()' abgelesen, neben welcher das Zielrohr OA sich befindet. Man hat also beim Gebrauch abwechselnd in die Lupe ö und in das Zielokular 0 zu schauen, und denjenigen Strich der Teilung T zu bestimmen, welcher sich neben dem

ß'ö

Horizontalfaden des Zielrohres O A zeigt.

Jü

■    Die Teilung T gibt ganze

fj?l

wĘS Grade, Zehntel werden geschätzt. Die Öffnung bei B hat denselben Zweck, wie die Öffnung B in Fig. 8. Zweckmäßig ist zur Schonung der Achse eine Arretier Vorrichtung I). welche den Kreis ständig festhält, so daß er nur im Augenblicke der Ablesung durch Druck auf I) ausgelöst wird.

Weiteres über diese Art von Neigungsmessern gibt Doll. „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 647; Koll 1890 S. 87 und Brandis 1892 S. 603- -604. Hiernach gehört die Erfindung dieses Instrumentes der Firma Paetz & Flohr in Berlin 1855 oder dem Forstdirektor Burckhardt in Hannover 1866.

Die kleineren Instrumente Fig. 9 sind handlicher und stabiler als die größeren Fig. 7 und 8.

Spiegel-Neigungsmesser.

Nach einem sehr schönen Grundgedanken („Albney's level"j. welcher auch schon anderwärts früher verwertet worden ist. konstruieren die Mechaniker Tesdorpf in Stuttgart (jetzt Sartorius in Göttingen), Bandhagen in Hannover und andere "W erkstätten Instrumente, deren eines im wesentlichen in Fig. 10, 11 und 12 S. 61 gezeichnet ist.

In Fig. 11 S. 61 ist OA die Ziellinie im Innern eines Rohrs, welches bei S einen schiefen Spiegel enthält, der die linke Hälfte des Rohres ausfüllt, und die rechte Hälfte frei läßt (s. die Gesichtsfeldzeichnung Fig. 12). Der Spiegel S reflektiert das Bild der Blase B einer Libelle L L. welche oben angebracht ist. und beim Gebrauche einspielen muß.

Man sieht dann in dem Gesichtsfeld Fig. 12 links die Blase im Spiegel S, und rechts den Zielpunkt A.

Fig. io.

Spiegel-Neigungsmesser (Länge 16 cm).

»-WHI

ff

LTESOORI

Sf

Die Handhabung ist nun diese: Man faßt das Instrument Fig. 10 am Griff /' mit der rechten Hand, und zielt mit dem Faden g im Bohr nach dem jeweiligen Zielpunkt. Gleichzeitig hält die linke Hand den geränderten Knopf e, und dreht denselben so. daß das Bild der Blase links vom Zielpunkt erscheint. Die Blase wird

Fig. 11.

Darstellung des Prinzips zu Fig. 10.

.4.....

-i.s

Fig. 12. Gesichtsfeld.

f0

fia

natürlich nie ganz ruhig werden; wenn jedoch die Empfindlichkeit passend gewählt ist, so fühlt man doch bald, in welcher Stellung man den Knopf e mit der linken Hand anhalten muß.

zu

Ist dieses geschehen, so kann man noch die Klemmschraube b anziehen, und dann das Instrument in beliebige bequeme Haltung bringen, um die Teilung mit dem Index oder Nonius d abzulesen. Am besten ist es, die Klemmschraube b gar nicht benützen, sondern dem Knopf e so viel allgemeine Beibung zu geben, daß die Al-hidade d während der kurzen Dauer vom Zielen bis zum Ablesen stehen bleibt. Auch wenden wir keinen Nonius an dem Zeiger bei d (Fig. 10) an, sondern nur einen Indexstrich. an welchem ganze Grade unmittelbar abgelesen und Zehntelgradc geschätzt werden.

Alle diese Neigungsmesser geben leicht Genauigkeit von etwa 1/2 Grad, vollkommen ausreicht, wenn es sich nur um Beduktionen l cos a handelt.

Später werden wir auch noch die Anwendung der Instrumentchen zur HÖhen-behandeln haben, wo es auf größere Genauigkeit des schon jetzt bemerkt sei. daß man bei sorgfältiger

was

bestimmung nach l sin a Neigungswinkels u ankommt, wozu Handhabung ±0,2° bis ±0,1° erreichen kann.

zu

Nachdem die Neigungswinkel <c der einzelnen Bandlagen bzw. Kettenlagen bestimmt sind, wird die Reduktion mit Benützung einer Hilfstafel (S. [3] unseres Anhangs) leicht berechnet, wie folgendes kleine Beispiel zeigt :

Schiefe Länge

Neigungswinkel

Reduktion L — L cos a

1 volles Band

20 m

5°

20

0,08 m

0,11

20

0,19

20

10

0,30

20

13

0,51

20

15

0,68

20

17

0,87

Reststrecke

17,30 in

20

1,04

(0,60 + 0,42 + 0,02)

Schiefe Länge = 157,30 m

Horizontale Länge = 157,30 m — 3,78 m = 153,52 m.

Neigungsmesser auf einem Stock oder Stativ können auch gebraucht werden, wie Big. 13 nach Mitteilung von Deubel, „Zeitsehr. f. Verm. 1892“ S. 211 zeigt. In dem Diopterrohr ist ein Spiegel angebracht, welcher die Libelle L durch Reflexion gleichzeitig mit dem fernen Zielpunkte zu sehen gibt.

Damit sollen auch Höhen bestimmt werden, was uns später beschäftigen wird. Weiter haben wir im Anschluß hieran auch den Horizontalmesser von S. 119 der Preußischen Anweisung AdII vom 25. Okt. 1881 (2. Ausgabe) zu erwähnen. Jener

Horizontalmesser wird auf einen Bandstab aufgesteckt und hat sonst ungefähr die Form von Fig. 13. hat aber am Kreisbogen nicht eine Gradteilung, sondern eine Teilung, welche sofort 20 — 20 cos a gibt. d. h. die Verkürzung für ein schiefes Zwanzigmeterband bei einem Neigungswinkel a. Diese Ver-kürzung kann sogleich im Felde zwischen je zwei Bandlagen berücksichtigt werden.

Prüfung. — Um zu prüfen. ob die vorbesprochenen Instrumente richtige Höhen- bzw. Tiefenwinkel geben, mißt man die Winkel zwischen zwei fest aufgestellten Bandstäben hin und her. und sieht zu. ob der Höhenwinkel hin dem Tiefenwinkel her gleich wird. Zeigt sich ein Fehler, so kann derselbe bei dem Instrument Fig. 7 S. 59 durch Verschieben des Gewichtes I). bei Instrument Fig. 10 8. 61 an der Libellcnschraube c verbessert werden. Hätte man z. B. einen Höhenwinkel -f- 3° und zurück den Tiefenwinkel — 5°

Fig. 13

Fig. 14.

0,00m

0,0cm

3,78 m

fl!

0,63m

1,0cm

ff

iffrii

AL

0,8 9 m-----

1,09m-----

1,26m-----

1,41m-----

1,55m-----

2,0cm

3,0cm

4,0cm

5,0cm

6.0cm

gemessen, so wäre der richtige Winkel für die Hin- oder Herzielung +4° oder —4°. und daraufhin das Instrument zu verbessern.

schief gemessen

Endlich gibt es noch ein Verfahren der Reduktion durch Horizontalsicht mit einem dieser Neigungsmesser oder einem Freihandnivellierinstrument von dem oberen Ende des einen Bandstabes nach dem anderen Stabe, welcher sofort so geteilt ist. daß man die Reduktion davon ablesen kann, wie Fig. 14 nach Mitteilung von Wilski in „Zeitsehr. f. Vérin. 1895" S. 309—310 zeigt. Hat man 20 und 0,63 m Höhenunterschied, so ist die Reduktion :

= 20,000 — Y202 _ o,632 = 0,01 m . wonach die Teilung von Fig. 14 mit Hinweis auf Fig. 3 § 18 S. 52 leicht verständlich sein wird.

§ 20. Maßvergleiehung für Meßlatten und Meßbänder.

Die Normalmaße zur Herstellung und zur zeitweiligen Vergleichung der Meßlatten und der Meßbänder müssen auf amtlichem Wege erhalten werden. I)ic Kaiserliche Xormaleiehungs-Konunission in Berlin und die ihr unterstellten Eichungsämter verwalten die Normalmaße nach folgenden Abstufungen :

1.    Deutsches Urmeter und Urkilogrannn. Art. 2 und 5 der Maß- und Ge-wichtsordnung.

Diese können nur von der Normal-

2.    Unmittelbare Kopien der Urinaße. eichungs-Kommission hergestellt werden.

3.    Hauptnormale werden von einzelnen Aufsichtsbehörden ausgegeben.

4.    Kontrollnormale werden von allen Aufsichtsbehörden ausgegeben und zwar sowohl an die Eichämter als an Private. Der Maximalfehler eines Kontrollnormals ist ¹ .>₀ des entsprechenden im öffentlichen Verkehr zulässigen Fehlers.

5.    Gebrauchsnormale sind hauptsächlich für den Gebrauch der Eichämter bestimmt. Der Maximalfehler eines Gebrauchsnormals ist V- des entsprechenden im öffentlichen Verkehr zulässigen Fehlers.

6.    Neu geeichte Verkehrsmaße werden von den Eichämtern an das Publikum ausgegeben. Der Maximalfehler derselben ist i/₂ des entsprechenden im öffentlichen Verkehr zulässigen Fehlers.

Für die Gebrauchsnormale bestehen folgende Fehlergrenzen:

Ein Meter von Messing, als „Handelsmaß".

Ein Meter von Messing, als „ Präzisionsmaß “,

Ein Meter von Holz Ein Doppelmeter von Holz Ein Anschlagmeter von Stahl Ein Bandmaß von 20 Meter Länge bei Spannung von 20 4<3

Die hölzernen Meßlatten werden eichamtlich als ..Werkmaßstäbe“ behandelt, und nach der Eichordnung ist der größte im öffentlichen Verkehr zu duldende Fehler einer Fünfnieterlatte = +_ 8 -mm. und der größte bei der Eichung selbst zulässige Fehler = +4 -mm. entsprechend bei Zwanzigmeterstahlbändern bzw. 4 mm und 8 mm.

Diese Fehlergrenzen sind bei hölzernen Meßlatten für gute Feldmessung zu weit, es sind deswegen von der preußischen Katasterverwaltung besondere Bestimmungen

hat zulässige Differenz 0.10 Millimeter 0,04

0,3 0.6 0.3

1.6

getroffen, wonach der Feldmesser sich nur die Normalmaße amtlich zu verschaffen hat, nach welchen er dann seine Feldgebrauchsmaße selbst richtig stellt.

Diese Bestimmung wurde in der .Zeitsehr. f. Venn. 1884“ S. 160-161 mitgeteilt und enthält im wesentlichen folgendes:

Die Normalmaße müssen mindestens die Genauigkeit von Gebrauchsnormalen im Sinne des § 51 der Eichordnung vom 16. Juli 1869 (Beilage zu Nr. 82 des Bundesgesetzblattes für 1869) besitzen, und in Gemäßheit des ersten Nachtrags vom 80. Juni 1870 zu der Eichordnung (Beilage zu Nr. 29 des Bundesgesetzblattes für 1870) bzw. des zehnten Nachtrags vom 25. März 1878 (Zentralblatt für das Deutsche Reich. 1878 S. 205) mit einem Beglaubigungsscheine versehen sein. Es sind tunlichst nur solche Normalmaße zu verwenden, welche bei 15° Celsius ihre richtige Länge haben.

Bei der Prüfung nach den Normalmaßen dürfen (unter Berücksichtigung der

Wärmeausdehnungen) die Feldgebrauchsbänder und Latten folgende Abweichungen im Zuviel oder Zuwenig haben:

a) die Stahlbandmaße von 20 m Länge höchstens 3,5 mm

2,4 „

1,6 „

1.3 ,

h) „

c) „ Meßlatten

4) „    „

„ 10 „

(1)

1-1 „

Zum handlichen Gebrauche und zum leichten Transporte empfehlen sich als Normalmaße zwei Stahlstäbe von 1 m Länge, mit keilförmig abgeschrägten Enden, welche kreuzweise voreinander gelegt werden. Solche Normalmaße können von Mechaniker Bamberg in Friedenau bei Berlin bezogen werden, zugleich mit Eichung der Stäbe als „Gebrauchsnormale“ durch die Kaiserliche Normaleichungs-Kommission.

Die 1901 für die Hannoversche geodätische Sammlung von Bamberg gelieferten Stahlnormale Nr. 7217 a und 7217 b haben nach dem Beglaubigungsschein der Kaiserl. Normaleichungs-Kommission vom 2. Nov. 1898 die Gleichung :

Stab 7217 a = 1 m 7217b = 1 „

Beide Stäbe sind also bei der Prüfung bis zur zweiten Dezimalstelle des mm als gleich

— 0.01 mm bei t = 18°. Für 0,01 mm + 0,011 (22° — 18°)

₌ l w _|_ 0.03 mm. Derartige, bei mittlerer Gebrauchstemperatur ihre Normallänge angebenden Stäbe haben den Vorteil, daß für manche Zwecke ohne Temperaturbestimmung verglichen werden kann, da Temperaturschwankungen von + 10° also hierbei zwischen 8° bis 28° einer Maximalabweichung von + 0,1 mm von der Normallänge entsprechen, unter Umständen vernachlässigt werden kann.

-4- 0.011 (t -— 18) mm 0.01    „    +0,011 (t —18)    „    .

0,01

(2)

lang befunden worden und haben ihre Normallänge 1 m -4-22° ist z. B. die Länge der Stäbe 1 m —

m in

was

Nachdem man in den Besitz eines Normalmaßes und der eichanjtlichen Gleichung

desselben gelangt ist, legt man eine Tabelle dafür an.

Für zwei ältere ebenfalls der Technischen Hochschule zu Hannover gehörige Endmaße von Messing mit Stählenden, die nach dem Beglaubigungsschein der Kaiserl.

3. Mai 1884 die Gleichungen haben:

Normaleichungs-Kommission vom

I = 1 m + 0.04 mm + t X 0,0182 mm

(3)

n = lm — 0.09 „ + t X 0,0182 wurde für jeden Grad von t = 0° bis 30° eine Tabelle berechnet, wovon hier nur der Teil von 10° bis 20° mitgeteilt werden soll.

Aus derselben entnimmt man, daß z. B. bei 14° der Messingstab I zwischen seinen Schneiden die Länge = lw + 0,30 mm und der Stab II die Länge 1 m -+-0,16 mm. also I -t- II = 2 m -+- 0.46 -mm hat.

Eine allgemeinere kleinere Tabelle dieser Art für Ausdehnung von Messing, Eisen und Tannenholz haben wir im Anhang Seite [2] gegeben.

Nach diesen Vorbereitungen kommen wir zu der Vergleichung selbst.

Als Vergleichapparat für Meßlatten dient ein starkes forchenes Brett BB' (Fig. 1), auf welchem, im Abstand von etwas mehr als 5 m, zwei Stahlschneiden SS' befestigt sind. Nachdem die zu untersuchende Latte LL' auf das Brett zwischen die Schneiden gelegt ist, wird der noch bleibende Zwischenraum z mit einem Stahlkeil sehr bequem auf 0,1 -mm genau gemessen.

II

mm

O r-4 <M CO i-H 1-H r—I pH l—«

15

. 16

17

18

19

20

mm

+ 0,22    + 0,09

0,24

0,26

0,28

0,30

I-hII

mm + 0,31

0,11

0,13

0,15

0,16

+ 0,31    +0,18

0,33

0.35

0,37

0,39

0,40

0,35

0,39

0,42

0,46

0,20

0,22

0,24

0,26

0,27

+ 0,50 0,53

0,57

0,61

0,64

0,67

S I

rVT U* '    ..

B " " k------------

Fig. 1.

Vergleichapparat für Meßlatten.

L‘

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r Tr^'    '    J “    .

--------5-------------------------->!    B’\

In dieser Figur bedeutet das eingeschriebene 5 m nicht genau 5 m, sondern ist nur Andeutung der Lattenlänge von ungefähr 5 m.

Dieser Meßkeil, in der Figur unten gezeichnet, ist mit einer Teilung versehen, welche die jeweilige Dicke des Keils, bis zu welcher er zwischen die Schneiden ein-gesehoben werden kann. d. h. den Zwischenraum z, unmittelbar auf 0,1mm angibt, wobei 0.01 mm noch geschätzt werden kann. (Statt der festen Schneide S' und Meßkeil kann man auch eine in einem Schlitten verschiebliche Schneide an wenden, deren Stellung an einer auf dem Balken befestigten mm-Skala mit Nonius abgelesen wird.)

Fig. 2. Meßkeile.

Bequemer als ein einzelner Meßkeil sind zwei Keile (Fig. 2), von denen der eine die Teilung, der andere einen Ablesestrich trägt. Beim Messen werden die Keile längs ihrer Sehrägflächen so weit gegeneinander verschoben, daß sie den Zwischenraum z ausfüllen ; die Ablesung gibt dann die Größe von z an.

©:

In diesem Falle können die Schneiden S und S' auch durch zylindrische Flächen ersetzt werden.

Zur Messung des Abstandes der festen Schneiden dienen die oben bei (2) oder (3) erwähnten Endmeter mit stumpfen Stahlschneiden, welche auf dem Brett sorgfältig aneinander abgeschoben werden, und für das Restmaß der Meßkeil. Durch Wiederholung dieses Abschiebens überzeugt man sich, daß man dadurch rasch den Schneidenabstand leicht auf 0.05 mm genau bestimmen kann.

Um bei Wiederholungen stets andere Ablesungen zu erhalten, kann man auch den Abstand der festen Schneiden S und S' etwas größer machen, so daß an beiden Enden ein kleiner Zwischenraum z mit dem Meßkeil zu messen ist.

Jordan, Handbuch der Vermessungsbunde. II. Bd. 7. Aufl.

Folgendes ist ein Beispiel für den einfachen Apparat Fig. 1, wobei die Messingstäbe I und II mit der obigen Tabelle gebraucht worden sind. Man muß sich hierbei eines vorgedruckten Schemas bedienen, welches die Tabelle für die Meter I und II gedruckt mit enthält.

Temperatur t = 17.2° 16,5°

Mittel t = 17°

Hannover, den 15. September 1887, Meßlattenvergleichung. Tabelle S. 65 I 0,35 mm II 0.22 I 0,35 II 0.22 I 0.35

Summe Keil k

I II

5m+ 1,49 mm

+ 14,20

Summe 1,49 mm

C — 5m + 15.69mm = Abstand der Schneiden des Komparators.

= Latte + Keilmaß s (Fig. 1 S. 65).

Latte Nr.

Messung 1

Keilmaß 2 Fig. 1 S. 65 Messung 2

Mittel

Lattenlänge

C— z

O O CO --3 OS o»

12,24 mm 12,44 12,72 12,29 12,96 11,86

12,22 mm

12,57

12,96

12,41

12,89

11, S9

12,23 mm 12,51 12,84 12,35 12,93 11,88

5 m -|- 15,69 mm

« +3,81

Das Ergebnis ist, daß alle diese fünf Latten etwas zu lang sind, im Mittel um etwa 3 mm auf 5 m, was nach der amtlichen Grenze (1) S. 64 zu viel ist. Man könnte nun die Latten berichtigen, wir haben aber dieses seit Jahren nicht getan, soweit nicht Zerbrechen einer Latte usw. dazu Veranlassung gaben. Für die gewöhnlichen Messungen (jedenfalls für Schulübungen) hat ein Zuviel von 3 mw auf 5 m nichts zu sagen, und für alle genaueren Zwecke bringen wir die Korrektion in Rechnung.

Bei der Prüfung von Vier- und Dreimeterlatten benutzt man denselben Schneidenabstand, indem man einen oder beide Normalstäbe an die Latte anlegt, um den Schneidenabstand C zu füllen.

Über die Änderungen, welche hölzerne Meßlatten erfahren, haben wir schon früher Versuche über Karlsruher Latten in der „Zeitsehr. f. Venn. 1877" S. 69 mitgeteilt, und über Hannoversche Latten in der dritten Auflage dieses Buches S. 22. Die Versuche wurden fortgesetzt und ergaben im allgemeinen jährliche Änderungen von nur etwa 1 mm auf 5 -m.

Der Schneidenabstand selbst, nämlich die Konstante C, hat sich bei unserem hannoverschen in einem Korridor der Hochschule aufgestellten Brette seit 12 Jahren so ergeben :

15. Sept. 1887 19. Aug. 1888 26. Okt. „ 21. Okt. 1889 6. März 1890

29.    Okt.

28. Aug. 1891 10. Sept. 1892

30.    Okt. 1893

4. Juli 1894 27. Sept. „ 27. Okt. „ 16. Nov. 1895 23. Okt. 1896 23. Okt. 1897 7. Nov. 1898 11. Nov. 1899

C = 5 m + 15,69 mm 15,72 16,04 15,85 15,83 15,63 15,82 15,54 15,89

C = 5 m + 15,29 mm 16,08 16,39 16,04 15,81 15,84 15,80 15,45

Die größte Änderung in diesen 12 Jahren waren 15,29

16,39 = 1,10 mm (also auf 1 m 0.22 -mm) vom Juli bis Oktober 1894, doch geben diese Zahlen kein richtiges Bild der Änderungen, weil fast alle Bestimmungen nahezu zur gleichen Jahreszeit,

im Herbst, gemacht sind. Immerhin kann man hieraus schließen, daß die Messung des Schneidenabstandes selbst hei häufigem Gebrauche nicht jedesmal gemacht zu werden braucht. Indessen hei Witterungswechsel soll man sich nie auf die Unveränderlichkeit von Hölzern verlassen.

Über die Abhängigkeit der Längenveränderung hölzerner Maßstäbe von Temperatur und Feuchtigkeit sind eingehende Untersuchungen angestellt worden, deren Ergebnisse für Meß- und Nivellierlatten von Bedeutung sind.

Wied. Ann. d. Physik und Chemie, 1888, Bd. 34, S. 361 — 397. Hildebrand, Untersuchungen über den Einfluß der Feuchtigkeit auf den Längenzustand von Hölzern und Elfenbein.

Wied. Ann. d. Physik u. Chemie, 1897, Bd. 61, S. 208. Stadthagen, Untersuchungen über die Abhängigkeit der Längenänderungen von Holzstäben von Feuchtigkeit und Temperatur.

Verhandlungen der vom 3.—12. Okt. 1898 in Stuttgart abgehaltenen 12. allgemeinen Konferenz der internat. Erdmessung. Berlin 1899 (G. Reimer), Beilage CIS. 525—568. Lallemand, Bericht über die Goulierschen Untersuchungen über die Längenänderung von Holzmaßstäben. (Hierüber Zeitschr. für Verm. 1902 S. 192—201. Mitteilung von Petzold.)

Das wesentlichste für Meßlatten direkt in Betracht kommende dieser Untersuchungen ist, daß Tränken mit Öl, Paraffin und sonstigen Mitteln keinen Schutz gegen Feuchtigkeitseinwirkungen bietet, sondern den Einfluß nur abschwächen kann. Das beste Mittel ist: Verwendung ausgesuchten, abgelagerten Holzes, und guter, dichter Ölanstrich. Die Wärmeausdehnung ist abhängig vom Feuchtigkeitsgrade, und die Längenänderungen infolge der Feuchtigkeitsschwankungen von der Temperatur. Meßlatten, welche bei mittleren Temperatur- und Feuchtigkeitsverhältnissen verglichen sind, können infolge der natürlichen Temperatur- und Feuchtigkeitsschwankungen Längenänderungen zeigen, welche auf Im sowohl wegen Temperatur- wie Feuchtigkeitseinwirkungen im Mittel je 0,2 mm betragen und bis zu je 0,5 mm anwachsen können, so daß man im allgemeinen Abweichungen von ± 0,3 mm zu erwarten hat.

Vergl&icliapparat für Stahlbänder und Ketten.

Zur Vergleichung und Berichtigung der Stahlbänder kann man sich eines Kontroll-normalbandes bedienen. Da ein solches Band verhältnismäßig teuer ist, und da man metallene Kontrollmeterstäbe wohl für andere Zwecke ohnehin hat, kann man auch mit Stäben die Bandvergleichung vornehmen.

Fig. 3. Vergleichapparat für Meßbänder.

LP

ii

ii!

OMR

<r—n—>i Ä<-a->:

20(m)

CO-

Hierzu wurde auf der Brüstungsmauer der nördlichen Altane der Technischen Hochschule in Hannover die durch Fig. 3 veranschaulichte Einrichtung getroffen:

Es ist B ein etwa 2cm dicker eiserner Bolzen, welcher in die Brüstung eingegossen ist und zum Anhalten des linksseitigen Ringes des zu untersuchenden Bandes dient. Rechts befindet sich eine Rolle mit angehängtem Gewicht, wodurch dem Band eine gewisse Spannung erteilt werden kann.

Ein in Millimeter geteilter Messingmaßstab ist in die Mauer eingelassen, dessen Nullpunkt 0 den Abstand A von der rechten Fläche des Bolzens B hat. Zur Bestimmung dieses Abstandes A werden die zwei messingenen Endmeterstäbe, welche oben bei (3) S. 64 beschrieben wurden, von dem Bolzen B an zwanzigmal abgeschoben, und geben die Entfernung BM — 20 nominelle Meter, was in Fig. 3 S. 67 mit 20 (m) angedeutet ist. Diese zwanzigfache Meterabschiebung trifft den Punkt M oder den Strich a der Teilung, während das zu untersuchende Stahlband Ins zum Punkte R oder dem Striche n der Teilung reicht. Sind nun I und II die Meterlängen bei der betreffenden Temperatur, so hat man :

A = 10 (I -4- II) — a .

Wenn der Bolzen B nicht genau die halbe Dicke des Bandringes hat, so kommt noch die kleine Reduktion d links, nach Andeutung der Figur, hinzu, und damit wird : Bandlänge S = A -f- n -\- d S = 10 (I -p II) -

oder :

Cl —f- 71 —f“ (l .

(4)

(5)

(6)

Beispiel.

Am 9. November 1886 wurde unser Stahlband (Nr. 2096) bei einer Temperatur von 11° auf dem beschriebenen Apparat mit einer Spannung von 5 hg verglichen.

Zuerst wurden die beiden Messingendmeter zwanzigmal abgeschoben und gaben Überschußmaß

a = 8,4 mm.

Diese Messingmeter haben nach der Tabelle (3) S. 64 bei 11° zusammen die Länge :

I + II = 2 m -f- 0,35 mm

also

10 (I -f- II) = 20 -m + 3,5 mm Die kleine Reduktion am Ringe links und die Ablesung am Ringe rechts gaben :

d = 3,0 mm und n =1,5 mm.

Es ist also nun nach (6) die Stahlbandlänge:

0,4 mm .

Bandlänge

S = 20 m -+- 3,5 mm ■— 8,4 mm -+- 1,5 mm -+- 3,0 mm S = 20 m

Das Band ist also um 0,4 mm zu kurz, d. h. hinreichend richtig.

Die Temperatur des Bandes selbst ist hierbei nicht in Rechnung gebracht, es ist nur die Länge des Bandes in der Temperatur, welche gerade stattfand, (11°) bestimmt worden. Da man bei den Messungen im Felde selbst die Temperatur des Bandes auch nicht berücksichtigt, so ist es am einfachsten, die Vergleichungen bei mittleren Temperaturen möglichst bei 15° zu machen, und von der Temperatur des Bandes abzusehen. Übrigens kann man auch die Temperaturausdehnung des Bandes, welche für 10° und 20 m rund 2 mm ausmacht, nach der Tabelle S. [2] des Anhangs berücksichtigen.

Wenn man mehrere Bänder nacheinander vergleicht , so gilt die Berechnung von A nach (4) für alle gemeinsam.

Hat man viele Vergleichungen zu machen, so legt man natürlich ein auto-

Ein solches

graphiertes Schema an, in welchem alles Konstante vorgedruckt ist.

Schema schützt namentlich vor den in solchen Fällen gefährlichen Vorzeichenfehlern.

Es ist noch ein Wort über die Spannung des Stahlbandes zu sagen: Wir haben eine Spannung von 5 ftcj angenommen, welche durch die Rollenvorrichtung von Fig. 3 bestimmt wird.

für eine Spannungszunahme

Die mit verschiedenen Gewichten gemachten Erfahrungen gaben von 10 eine Bandstreckung im Mittel etwa = 2 mm.

Das Band hat 20 mm Breite und etwa 0,5

in.

mm Dicke, also einen Querschnitt = lOcpmrn oder = 0,1 cpm.; man berechnet hieraus einen Elastizitätsmodul = 1 000 OOO&cpfürl qc (Für das in Fig. 2 S. 57 abgebildete Band wurde 2 380 000 gefunden.)

Eine interessante Untersuchung über den Elastizitätsmodul von Stahlmeßbändern hat neuerdings Hausmann angestellt in „Mitteilungen aus dem Markscheidewesen.“ Neue Folge. 1902. Heft 4 S. 6—24 (auch „Zeitschr. f. Yerm. 1903“), wonach der Elastizitätsmodul rund 2 000 000 ist. (Für sechs Bänder war der kleinste Wert 1 920 000. der größte 2 100 000.)

Eine andere Einrichtung zur Bandprüfung ist neuerdings in der hiesigen Hochschule getroffen worden. Diese einfache Einrichtung eignet sich ebenso wie die in Fig. 1 S. 65 beschriebene Vorrichtung mit abschraubbaren Keilschneiden zum Transport und Maßvergleichung im Felde (z. B. bei Revisionen während umfangreicher örtlicher Arbeiten, wie Katastermessungen); am Ort der Vergleichung ist nur erforderlich eine wagerechte glatte Unterlage (Fußboden) von etwas über 20 m.

Auf der Meßbahn werden in nahe 20 m Abstand in einer durch einen gespannten Faden bezeiehneten Linie zwei Millimetermaßstäbe befestigt. Für vorübergehende Einrichtungen genügen einfache, nach einem guten Kartierungsmaßstab verglichene Millimeter-Kartonmaßstäbe. Alan denke sich in Fig. 3 S. 67 den einen dieser Maßstäbe noch vom Bolzen B aus eingezeichnet. Der Abstand der Nullstriche dieser Maßstäbe wird längs des gespannten Fadens mehrfach mit Normalmaßen gemessen, wobei man die Endlagen der vertikalen Schneiden der Stäbe auf !/₁₀ -mm unmittelbar in der Milli -meterteilung abliest. In der durch den Faden bezeiehneten Linie wird, wie in Fig. 3

S. 67 eine starke Schraube oder ein Bolzen eingelassen. Der Abstand dieses Bolzens B von der Teilung muß der Form der zu prüfenden Bänder nach Fig. 1 oder Fig. 2 S. 57 entsprechend genommen werden, so daß die Ringmitten Fig. 1 S. 57 bzw. die Endmarken Fig. 2 S. 57 in die Teilungen fallen. Nach Ausspannung des Bandes werden in beiden Skalen die Ablesungen genommen, die zusammen mit dem Abstand der Maßstabnullstriche die Länge des Meßbandes geben.

§ 21. Genauigkeit der Längenmessung.

I. Die Einzelfehler.

Bei der Längenmessung entstehen Fehler beim Einrichten der Meßwerkzeuge in die Linie, beim Wagerechtrichten oder der Neigungsmessung, bei der Aneinanderreihung der einzelnen Lagen, bei der Staffelmessung durch das Abloten, beim Meßbande durch ungleichmäßige Spannung und Durchbiegung; dazu kommen noch beim Vergleichen von Messungen mit verschiedenen Werkzeugen die Fehler des Maßwertes (einschließlich Feuchtigkeits- und Temperaturausdehnung) und die beim Anlegen und Abfesen an den Messungspunkten gemachten Fehler.

Ist die Ausweichung der Lage einer Latte oder eines Bandes von der Länge L, sei es in horizontalem oder vertikalem Sinne a, so tritt der Unterschied d der Länge L von ihrer Projektion auf die richtige Lage als stets in gleichem Sinne auf das Ergebnis einwirkende Abweichung auf. Es ist

d = L — Vlß—'cß,

(1)

und für kleine Ausweichungen a wie in (1) und (2) S. 52

d. h. der Einfluß des Ausweichefehlers wächst mit seinem Quadrate. Die folgende Zusammenstellung gibt eine Anschauung vom Betrage der Unterschiede d :

2,5 ent

0,06 ww 0,01mm 1,5 mm 0,25 mm 0,06 mm 0,015 mm 0,00mm.

Zu beachten ist hierbei : daß die Ausweichungen a nicht rein zufällig von Lage zu Lage auftreten, sondern durch die äußeren Umstände bedingt, ihren Betrag allmählich ändern können. Auf glatten Unterlagen können Meßlatten sehr scharf aneinandergefügt werden. (Der Fehler einer Lage ist nur mit feinen Hilfsmitteln meßbar und übersteigt nicht einige hundertstel Millimeter.) Aber schon hei kleinen Abweichungen von vollkommen glatter Unterlage wachsen die Abweichungen; z. B. wurde für 20m, d. h. zwei Lagen eines Paares Fünfmeterlatten auf dem ausgetretenen Fußboden von Hochschulsälen aus dem arithmetischen Mittel zahlreicher Messungen die mittlere Abweichung einer Messung zwischen jp 0,12 und +. 0,17 mm gefunden.

Durch die Ausweichungen a in horizontalem und vertikalem Sinn kann ein in entgegengesetztem Sinn wirkender Anreihefehler entstehen. Wird bei Latten mit glatten Endflächen an eine liegende Latte die nächstfolgende mit einer Ausweichung n ihres Vorderendes aus der durch die liegende Latte bestimmten Richtung angelegt, so entsteht durch diesen Lagefehler der zweiten Latte ein Klaffen der Endflächen, welchem eine Verschiebung v der Mitte ihres Hinterendes entspricht. Haben die Endflächen die Breite g, so besteht die Proportion

fl = a:L oder v =

50 cm

a =

5 m-Latte :    25 mm

20 m-Band :    6,25 mm

25 cm 6 mm

10 cm

1 mm

5 cm

1 cm

0,25 mm

(2)

oder nach (1)

v = ^-d. a

Daß auch bei Schneidenlatten derartige Anlegefehler entstehen können, wenn die beiderseitigen Achsen nicht aufeinander passen, zeigt die Fig. 1.

Fig. 1. Schneidenlatten.

flSfll

WÊmÈMÈ

Die beim Abloten mit den üblichen Hilfsmitteln zu fürchtenden Fehler sind verschieden; hei Ablothöhen von rund 1 U₂m gilt etwa das Folgende:

Gewöhnlicher Fluclitstab (Gewicht 3/₄ 4<j ) +. 5 Senkelstab (Gewicht 1 4$) + 2 mm Senkel (Schnurlot) (Gewicht i/₂4q)    i

Will-

+ II/2 mm .

Libellenstah (Lattenrichter, Fig. 4 S. 34)    )

Für größere und kleinere Ablothöhen ändert sich der Fehlerbetrag entsprechend.

Beim Meßbande von Fig. 1 S. 57, bei welchem die Bandlage durch die lotrecht einzusetzenden Ziehstäbe bezeichnet wird, kann der Anreihefehler sehr groß, rund + 5 ww werden; viel günstiger ist die Anreihung beim Meßband Fig. 2 S. 57, bei welchem die Bandlage durch an den Endmarken einzusetzende Zählnadeln bezeichnet wird; der zu fürchtende Fehler ist je nach der Höhe des Meßbandes über dem Boden _+ 1 bis 2 mm, bei auf dem Boden aufliegendem Bande etwa + i/g-mm. Wenn für exakte Messungen an den Endmarken angeschraubte Lineale, Fig. 2 a S. 57, benutzt werden und auf in den Boden eingeschlagenen Holztellern oder eisernen Platten Striche gezogen werden, so beträgt der Anreihefehler nur Bruchteile des Millimeters; wird die neue Bandlage nicht an den vorher gezogenen Endstrich angelegt, sondern in einem kleinen Abstand ein neuer Strich gezogen (mit Bleistift oder der Messerschneide) und der Abstand mit dem Millimeteranlegemaßstab gemessen, so kann die Genauigkeit wohl auf 0.1 mm gebracht werden. Eine neue Anreihevorrichtung beschreibt Löschner in seiner Schrift: „Genauigkeitsuntersuchungen für Längenmessungen mit besonderer Berücksichtigung einer neuen Vorrichtung für Präzisionsstahlbandmessung“ Hannover 1902, S. 28—33, vgl. auch „Zeitschr. f. Verni. 1903“.

Eine besondere Fehlerquelle liegt heim Meßbande in der Spannung. Auf S. 69 oben war angegeben, daß ein aufliegendes Band bei je 54<j Spannungszunahme um 1 mm gereckt wurde; für ein 20mm breites Meßband wurde gefunden 0.72mm + 0,05 mm. Die mittlere unregelmäßige Abweichung in der Spannung von 15 4 <3. für ein Zwanzigmeterband wurde aus einigen Versuchsreihen für drei Personen gefunden zu rund + 1,5 4fr (14,3 4cj + 1,6 4g ; 16,6 4fr + 1,6 4fr; 14,7 4<j- Hb 1,3 4g-). Danach kann, wenn kein Spannungsmesser verwendet wird, der von unregelmäßiger Spannung bei aufliegendem Band (z. B. hei der Prüfung) herrührende Fehler etwa zu i/₄—l/smm angenommen werden, d. h. falls auf möglichst gleichmäßige Spannung geachtet wird.

Anders verhält sich die Sache bei nicht aufliegendem, durch Zug gespanntem Bande; selbst hei der stärksten, bei der Messung noch anwendbaren Spannung, hängt das gewöhnliche Zwanzigmeter band noch mindestens 5 cm durch.

Die Genauigkeit der Meßbandmessung ist also je nach dem Gebrauch mit und ohne Spannungsregulierung aufliegend, halb unterstützt oder freischwebend, und der Art der Bezeichnung der Bandlagen verschieden. Für Messung auf eingetretenen Platten mit Strichziehung am Lineal (Fig. 2a S. 57) fand sich für die Zwanzigmeterlage mit Spannungsmesser bei aufliegendem Bande die mittlere Abweichung ±0,10 bis ±0,20 mm; bei Einstich mit Zählnadeln in Asphaltpflaster an den Endmarken E₀ (Fig. 2 S. 57) ohne Spannungsmesser fand sich ± 1 mw, bei Ablotung mit kurzen Zählnadeln (Fig. 0 S. 58) bei auf den Kiegeln der Ziehstäbe aufliegendem Bande (Fig. 2) ergab sich ±2mm; mit auf den Kiegeln der Ziehstäbe aufliegendem Band (Fig. 1 S. 57) und nach Augenmaß (d. h. ohne Libellenstab) erfolgendem lotrechten Einsetzen der Ziehstäbe, also dem in der Feldmessung üblichen Gebrauch, fand sieh als Mittel aus mehreren Versuchen für verschiedene Bandzieher ± 5,5 mm.

Als Ergebnis dieser Prüfung kann daher gesagt werden: Die Zwanzigmeterlage kann auf wagerechter Unterlage mit einem Paar gut aufliegender Meßlatten mit Endschneiden (Fig. 6 S. 53) oder einem Meßbande mit Endmarken (Fig. 2 S. 57) im allgemeinen gleich genau gemessen Averden. die mittlere Abweichung beträgt im günstigsten Fall etwa +0,1 bis + 0,2 wm; diese Abweichung steigt je nach dem Ein-fiuß der Unterlage, den Unebenheiten des Erdbodens, den zu überwindenden Hindernissen, der Art des Gebrauchs der Meßwerkzeuge, der Bestimmung der Endlage, den Ablothilfsmitteln usw., und kann bei schwierigeren oder gröberen Messungen bis zu + 1 cm. ja + 2 cm anwaelisen.

II. Das Zusammenwirken der Einzelfehler.

Die vorher betrachteten verschiedenen und verschiedenartigen Einzelfehler sind bei der Durchmessung von Linien in hohem Grade von den begleitenden Umständen abhängig und beeinflussen sich gegenseitig. Um das Anwachsen des Fehlers mit der durchmessenen Länge auszudrücken, können wir die Einzelfehler in zwei Gruppen einteilen, in solche, welche mit der durchmessenen Länge regelmäßig fortschreiten nach der Beziehung + f. s (Formel 1, 2 § 5 S. 9), und solche, welche von Lage zu Lage unregelmäßig auftreten. nach der Beziehung Hh u V « ( Formel 8 § 5 S. 11). Hieraus ergibt sich dann nach § 6 S. 12 der Gesamtfehler

jp VV² s² + s.

Vergleicht man Messungen von Punktabständen, so kommt noch der Fehler der Anlegung der Maße und der Ablesung an diesen Punkten + a hinzu, aus (B) wird

± Va2 -j- /'2 „2 + „2 ,s .

Bei der Verwendung verschiedener Meßwerkzeuge ist zudem in f die Abweichung der Maßeinheiten enthalten.

Wenn nun in (3) entweder die Fehlerteile, welche der Beziehung + fs oder diejenigen, welche der Beziehung + u Vs folgen, überwiegen, so daß gegen das eine Glied das andere zurücktritt oder ganz verschwindet, so hat man die Grenzfälle

±fs + U V S •

(8)

(4)

(5)

und

welche man wohl als das „Prozentgesetz" und das „Quadratwurzelgesetz“ der Längenmessung einander gegenüberstellt. In früheren Zeiten hat man fast ausschließlich das Prozentgesetz angenommen; man sagte z. B.. der mittlere Fehler einer Messung sei ein Tausendstel = 0.1 °/₀ der Länge usw. Für die Beurteilung von Doppelmessungen, deren Abweichungen ganz den Eindruck zufälliger Fehler machen, hat man vielfach die Beziehung (6) zugrunde gelegt.

(6)

III. Ergebnisse einer Untersuchung über die Fehlerfortpflanzung.

(Bonner Basismessung.)

Die Gelegenheit der Basismessung bei Bonn 1892. welche auf einer Linie eine Beihe als fehlerfrei zu betrachtender gleicher Punktabstände darbot. wurde benützt, um die Frage der Fehlerfortpflanzung bei Messungen mit den üblichen Längenmeßwerkzeugen zu studieren. („Zeitsehr. f. Venn. 1896“ S. 7—14. 33—61; Reinhertz, die Ergebnisse der Messung der Bonner Basis mit Meßlatten und Meßband.)

Die Bonner Basis war zum erstenmal unter General von Baeyer im Jahre 1847 in der Länge von 2134 m zweifach mit dem Besselschen Apparate gemessen worden. Im Jahre 1892 wurde in der Nähe der früheren Basis, und auf dieselbe bezogen, eine neue 2513 m lange Linie 6 fach neu gemessen, nämlich 4 fach von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme mit dem Besselschen Apparat und 2 fach vom Geodätischen Institut mit dem Brunnerschen Apparat (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 2: Königl. Preuß. Landes-Triangulation. Hauptdreiecke. Neunter Teil. Berlin 1897 S. 249—274; Veröff. d. Königl. Preuß. Geodät. Inst. Die Neumessung der Grundlinien bei

Strehlen, Berlin und Bonn, ausgeführt durch das Geodät. Institut. Berlin 1897). In der mittleren Basishöhe gab sich folgende Vergleichung :

Landesaufnahme

2512,981m (Bessels Apparat)

Geodätisches Institut, Mittel aus zwei Messungen = 2512,995 m (Brunners Apparat) vier

Differenz 11 mm .

Die Einteilung der Basis in 15 Strecken entsprach dem Besselschen Apparat, dessen vier Stangen von je zwei Toisen = 3,898 m zusammen rund 15,6 m sind, also in zehn Lagen die Streckenlänge rund 156 m geben, was die Normallänge einer der genannten 15 Strecken ist. Von diesen 15 Strecken wurden die letzten neun, nämlich zwischen den Fixpunkten (7) und (16) mit gewöhnlichen Feldmeßwerkzeugen, Latten und Bändern nachgemessen. Das ganze Meßverfahren war das beim gewöhnlichen Feldmessen übliche, die Gerade wurde durch Baken in Abständen von 40—50 m ausgerichtet, die Meßbahn hatte etwa die Beschaffenheit eines natürlichen Feldweges in ebenem Gelände mit Gefälle von nur 0,7 m auf 1 km.

Die Latten, teils fünfmetrig, teils viermetrig, hatten glatte Endflächen, breiten ovalen Querschnitt und Dezimeterteilung; das Meßband hatte drehbare Endringe, hölzerne Ziehstäbe und ebenfalls Dezimeterteilung (Fig. 1 S. 57).

Die Ablesungen an den 0,2 w unter der Erdoberfläche versenkten Festpunkten geschahen durch Heraufloten mit dem Schnurlote, wobei auf die Dezimeterteilung der Latten und des Bandes ein kleiner Millimetermaßstab gelegt wurde.

Die Messung fand statt an drei Tagen im August 1892 mit drei Landmessern, Assistenten der Landw. Akademie Poppelsdorf, deren jeder die 1405m zwölfmal durchmaß, nämlich je viermal mit jedem der drei Werkzeuge; es sind also im ganzen 50,58km gemessen.

Die Latten und das Band wurden vor, während und nach den Messungen mit dem Normalmaß verglichen auf Komparatoren, welche den in § 20 beschriebenen Einrichtungen entsprechen.

Die auf den Komparatoren erhaltenen Werte, welche vor, während und nach den Feldmessungen innerhalb 0,1 mm übereinstimmten, sind bei den nachfolgenden Messungsangaben in Rechnung gebracht.

Von den 324 Einzelwerten, welche in „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 11—13 mitgeteilt sind, gibt nachstehende Tabelle nur die 54 Mittelwerte, deren jeder sechs Einzelmessungen enthält, und dazu die 18 Werte der Basisapparate Brunner und Bessel, diese aber nicht mehr hin und her, sondern nur einfach, weil die Hin- und Hermessungen mit jedem Basisapparat für sich alle innerhalb 1 mm stimmen, während sie allerdings gegeneinander erheblich differieren.

(7)

Bonner Basismessnng 1892.

Strecke

Feldmeß Werkzeuge

Basisapparate

von bis

Fünfmeterlatten hin her

Viermeterlatten j Zwanzigmeterband hin her

hin

her

Brunner

Bessel

(16)-(15) (16) — (14) (16)—(13) (16)—(12) (16)—(11) (16)—(10) (16)—(9) (16)—(8) (16) —(7)

156,463

312,530

468,498

624,621

780,752

936,784

1092,953

1248,930

1405,015

, 935 , 909 . 992

156,459

312,520

468,485

624,600

780,722

936,749

1092,908

1248,880

1404,960

156,479

312,554

468,515

624,650

780,806

936,870

1093,058

1248,059

1405,175

,    469

, 565 , 551 , 704 , 863 , 927 , 099 , 109 , 213

156,459

312,530

468,500

624,621

780,757

936,791

1092,958

1248,931

1405.018

156,457

312,525

468,492

624,610

780,743

936,774

1092,938

1248,909

1304,993

1405.004 m

1404,954 m

1405,194«»

1405,006 m

1404,979 Mi 0,011 1 405

Differenz 0,025 m ist metronomischer Art (Bréteuil)

0,038 1 405

Betrachtet man diese Zahlen, so fällt zuerst die große Genauigkeit der Feld-meßergebnisse auf, bei 1,44m differieren die verschiedenen Lattenmessungen nur um

= 0,0008 o/,,

= 0,0027 o/o

Zentimeter. Andrerseits zeigen die beiden Basisapparatmessungen, bei welchen mit Tausendstelmillimetern operiert wurde, eine große Abweichung von 25 mm auf 1.4 4m. Das Mittel aus allen Lattenmessungen, nämlich 1404,979 m, differiert von dem Basis-apparatmittel 1405,006m nur um 27mm, d. h. nicht viel mehr als die Basisapparatmessungen unter sich.

Fünfmeterlatte

Vier

meter

latte

Zwanzig-I Viermeter- I meterband I latte

Fünfmeterlatte

Strek-

ken-

länge

arithm.

Brun-

Mittel

ner

Bessel

arlthm.

arithm.

arithm.

Mittel

Mittel

Mittel

der

Beob

achter

mittlere

unregel

mäßige

Ab

wei

chung

Quadrate der j Teilfehler in mm nach:

Gesamtfehler

j Va* -f «2»-f y 2 «2

er² | -)- M² s l-f- f°-si

10

156

mm ± 4,0

mm ± 5,4

mm

± 6,1

312

8,4

8,4

8,6

mm ± 10,2 13,6

cm

± 4,6

mm ± 8,7

mm

± 4,5

mm

}(8)

10

+ 3,2

+ 13,6

± 5,2

7,6

6,4

3,3

10

6,4

54,5

8,4

468

12,7

11,8

13,2

20,1

11,0

9,2

6,7

10

10,0

122

11,9

624

15,8

15,7

16,4

24,2

12,7

8,4

3,8

10

13

217

15,5

780

20,1

23,2

19,8

28,6

13,2

9,0

5,1

10

16

340

19,1

936

23,7

26,2

22,8

36,7

14,3

10,0

4,8

10

19

490

22,8

1092

24,9

27,1

25,0

42,4

15,4

10,3

5,1

10

22

668

26,5

1248

31,0

34,4

32,1

49,1

17,8

13,7

6,7

10

25

870

30,1

1405

32,9

35,2

33,7

58,3

20,8

16,3

4,8

10

29

1100

33,8

Die vorstehende Tabelle gibt die mittleren Fehler, gebildet aus den Quadratsummen der Abweichungen der einzelnen Ablesungen gegen ihr arithmetisches Mittel, und für die Fünfmeterlatte auch gegen die Angaben der beiden Basisapparate von Brunner und Bessel. Man entnimmt als allgemeinen Ausdruck für die Messungsgenauigkeit dieser Gruppen, daß für 1 bei der Fünfmeterlatte der mittlere Fehler sich zu rund + 2,6 cm ergeben hat, bei der Viermeterlatte zu rund + 5 cm, beim Zwanzigmeterband zu rund + 18cm.

Die beiden Tabellen lassen schon auf den ersten Blick ein lineares Wachsen des Fehlers erkennen, noch mehr aber die dazu „Zeitschr. f. Venu. 1896“ S. 35, 37. 41, 48 gegebenen graphischen Darstellungen.

In den letzteren zeigen die Abweichungen zwischen den Ergebnissen der Meßwerkzeuge und den Angaben der Basisapparate für jede einzelne Durchmessung der Linie einen ausgeprägten Gang; die Linienzüge zeigen nur geringe Schwankungen und lassen sich sehr gut durch gerade Linien ersetzen. Die Kichtungsfaktoren dieser Geraden liegen z. B. bei den einzelnen Messungen der Strecke mit den Fünfmeterlatten, bezogen auf die Angaben des Brunnerschen Apparates zwischen den Grenzen — 0,0000202 und + 0,0000530 mit dem arithmetischen Mittel + 0,0000109 ; durch Zulegung von — 0,000018 ergeben sich daraus die Faktoren in bezug auf den Besselschen Apparat. Die Faktoren zeigen für alle drei Meßwerkzeuge eine deutliche Gruppierung nach den Beobachtern („Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 41 Fig. 5), so daß die mittleren Abweichungen, berechnet gegen die arithmetischen Mittel der einzelnen Beobachter, erheblich kleiner ausfallen, wie in obiger Tabelle durch Spalte 7 im Vergleich zu Spalte 5 erläutert wird.

Die Unterschiede, welche infolge des Schwankens der Linienzüge gegen den linearen Gang übrig bleiben, können wir als „unregelmäßige Abweichungen“ auffassen. Die mittlere „unregelmäßige Abweichung“ (das quadratische Mittel sämtlicher V erte) fand sich : für die Fünfmeterlatten zu + 5,1 mm ; für die Viermeterlatten zu +_ 5.4 mm :

für das Zwanzigmeterband zu + 4,1 cm. In Spalte 8 der Tabelle S. 74 sind für die Fünfmeterlatten diese unregelmäßigen Abweichungen für jeden einzelnen Festpunkt angegeben.

Wird die durch den Basisapparat gegebene Länge der ganzen Linie vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt als Sollwert betrachtet, und werden dann durch die Messungen mit den Meßwerkzeugen die Zwischenpunkte eingeschaltet, d. h. also die für die Praxis wichtige Aufgabe gelöst: „Zwischen zwei gegebene Festpunkte eine Anzahl von Zwischenpunkten einzumessen“, so bleiben den vorstehenden Fehlem entsprechende „unregelmäßige Abweichungen“, die „Einsehaltefehler“ übrig, deren mittlere Werte für die vorliegenden Messungen waren: für die Fünfmeterlatten jp 5,9mm; für die Viermeterlatten + 6,4 mm : für das Zwanzigmeterband + 5,3 cm.

Die Quadrate dieser unregelmäßigen Abweichungen enthalten aber einen erheblichen konstanten Teil, welcher dem an jedem einzelnen Punkte gleichmäßig gemachten unregelmäßigen Fehler entspricht, also dem Fehler der Ablotung und Ablesung des Maßes am Meßwerkzeug. Bei den vorliegenden Messungen war mit dem Schnurlot auf die 2 dm unter der Erdoberfläche liegenden Basisfestpunkte abgelotet worden und an auf die Meßwerkzeuge aufgelegten Millimetermaßstäben abgelesen worden, wofür durch besondere Versuche gefunden war ± 2,6 mm ; nach den Quadraten der unregelmäßigen Fehler wurde hierfür eingeführt ± 3,16 mm.

Die nach Abzug dieses konstanten Teiles übrig bleibenden Beste der Quadrate der unregelmäßigen Abweichungen lassen im allgemeinen ein Wachsen mit der Entfernung erkennen, wie es nach (6) S. 72 sein soll.

■Werden die beobachteten Fehlerwerte in dieser Weise nach der in (4) S. 72 gegebenen Beziehung ausgedrückt, so ergeben sich die in Spalte 9 der Tabelle (8) angegebenen Quadrate der Fehlerteile und in Spalte 10 der danach berechnete Fehler, welcher mit den beobachteten Fehlern in den Spalten 2, 3, 4 zu vergleichen ist. Die Spalte 9 zeigt den verschiedenen Beitrag der Einzelfehler zum Gesamtfehler mit «² = 10, «² = 0,02040 und f- = 0,000560.

Da die Einzelfebler nicht voneinander unabhängig sind, sich vielmehr unter der Einwirkung äußerer Umstände gegenseitig beeinflussen und verschiedene Beträge annehmen, ist ein allgemein gültiges Verhältnis der Fehlerteile f und u nicht anzugeben. Es ist demnach auch erklärlich, daß Versuche, welche gemacht worden sind, um die für verschiedenartige Messungen von Linien verschiedener Länge gefundenen Abweichungen durch eine Gleichung auszudrücken unter der Annahme der beiden Grenzfälle, daß entweder der fortschreitende oder der unregelmäßige Fehlerteil der wesentlichste sei, zu keinem allseitig befriedigenden Ergebnis führen konnten. Die Tabelle (9) zeigt z. B., daß dieselbe Fehlerreihe sich mit guter Übereinstimmung durch

20 m

50

100

200

400

600

800

a = + 2 cm | a — ± 1 cm für die Zwanzigmeterlage :

u = ± 2 cm

u — ± 1 cm / = ±0,5 cm f = ± 0,4 cm

Anw. IX, Taf. I I (0,01 ]/i s H- 0,005 s²)

0,004 ps 2 cm-j-0,OOlF*' -f- 0,00022 . s -f 0.00011 . s -f 0,0002 s

2,5 cm

dr 2,3 cm

± 2,3 cm

± 2,3 cm

± 2,9 cm

+]

2,9

3,9

6,3

11,1

16,1

21,0

1000 ! 26,0

3,5

3,6

3,6

5,0

7,6

12,0

16,3

20.4

24,5

5,3

4,7

7,9

6,9

12,2

11,3

16,2

15,7

20,0

23,8

20,1

24,5

P p p jo -1 O. CO JO

1

± 2,8 cm

3,7

5,0

7,4

12,0

16,5

20,8

25,2

verschiedene Gleichungen mit in abgerundeten Zahlen angenommenen Koeffizienten ausdrücken läßt und daß diese Koeffizienten nur die Bedeutung empirisch abgeleiteter Werte haben können, und nicht als ein Ausdruck für die regelmäßigen oder unregelmäßigen Fehlerteile angesehen werden dürfen. Die beiden Grenzfälle «Vs und ß . s zeigen entweder für die kleineren oder die größeren Entfernungen besseren Anschluß. („Zeitschr. f. Yerm. 1879“ S. 357.)

Einen Beitrag hierzu gibt neuerdings Löschner in der Schrift „Genauigkeitsuntersuchungen für Längenmessungen mit besonderer Berücksichtigung einer neuen Vorrichtung für Präzisions-Stahlbandmessung“, Hannover 1902 S. 46    56. Von den

dort herangezogenen sechs verschiedenen Fehlerausdrücken zeigen im allgemeinen die empirischen Formeln « -j- ß s und « s -f- ß ]/s besseren Anschluß als die Gleichungen y«s-)-ßs² und « j/s. (Vgl. auch „Zeitschr. f. Verm. 1903“.)

IV. Mittlerer Fehler aus Doppelmessungen.

Besonders geeignet für die Beurteilung der Messungsgenauigkeit sind Abweichungen zwischen Doppelmessungen von Polygonseiten, wie sie die Praxis als wertvolles Material in großem Umfange darbietet. Hierbei ist aber das vorerwähnte (S. 75) verschiedenartige Verhalten der fortschreitenden und der unregelmäßigen Abweichungen und der oft beträchtliche Wert des konstanten Fehlerteiles a (Formel (4) S. 72) zu beachten. Den besten Überblick über den Verlauf der Fehler erhält man durch Aufträgen der Abweichungen als Ordinaten zu den Längenabszissen. In einer solchen Darstellung pflegen die die Abweichungen darstellenden Punkte den Charakter ganz unregelmäßig verteilter Fehler zu zeigen, welche nur ganz allgemein ein Wachsen mit der Entfernung erkennen lassen, so daß es als naheliegend erscheinen kann, zunächst den Grenzfall « ]/.s anzunehmen. Dann handelt es sich um die in § 10 S. 26 erläuterte Ableitung aus Beobachtungsdifferenzen nach den dort angegebenen Formeln (9) und (10) S. 28.

Daraus ergibt sich auch für den Fall von n Doppelmessungen, welche die Differenzen d₁. d₂... du ergeben haben. indem wir zur Bequemlichkeit das Zeichen d nicht bloß für die einzelnen Differenzen, sondern auch für die mittlere Differenz anwenden :

mittlere Differenz

-Vffl

mittlerer Fehler der Doppelmessung »>' =    ~ ~j/ — jj~rj

mittlerer Fehler einer Messung

(10)

Dabei gelten d, w und m' für die Gewichtseinheit, oder die entsprechende Längeneinheit, welche an sich willkürlich genommen werden kann. z. B. Z = 1 m, / — 100 m usw.

Folgendes kleine Zahlenbeispiel mit sieben Doppelmessungen mag die Anwendung der vorstehenden Formeln veranschaulichen:

Nummer

Erste

Messung

Zweite

Messung

d = ?i — l.

di

oder 100 —

153,135 m 102,180 158,055 95,498 154,862 94,400 81,764

153,120 m 102,180 158,068 95,490 154,870 94,408 81,763

-(- 15 mm \    235

— 13 + 8

169

64

64

I 64

14,70

1470

0,00

1,07

0,67

0,41

0,68

0,01

107

(ID

67

41

68

839,894 m

839,899 m

17,54

1754

Dabei gilt die vorletzte Spalte für die Einheit l — 1 m und die letzte Spalte für I — 100 m ; man kann nach dem einen oder dem anderen rechnen. Man hat hieraus :

- 15,8 mm auf 100 m

mittlere Differenz d

-I

/17,54

=— = 1,58 mm auf 1 moder 7

mittlerer Fehler einer Messung m = 1.12 mm ., mittl. Fehler d. Doppelmessung m' = 0,79 mm „

Diese zur Tabelle (11) gehörige Rechnung mit nur 7 Linien, ist ausführlich hier hergesetzt, um das Rechnungsverfahren und die Anwendung der Formeln zu zeigen. In der Praxis wird man meistens viel mehr Vergleichungen, oft deren hunderte, haben.

Dieses kleine Beispiel stammt aus der Stadtvermessung von Linden 1887, welche im ganzen 152 Polygonseiten enthielt, deren Doppelmessungen alle nach dieser Art berechnet, die Summe

J = 119,6 gab, also:

mittlere Differenz d

11,2 mm „ 7,9 mm „

~ Ss

-y

= 0,887 mm auf 1 m oder 8.87 mm auf 100 m.

152

Auf einem Umfangspolygon der Gemarkung Hannover sind im Jahre 1894 99 Polygonseiten von zusammen 17 577 m Länge (also im Mittel eine Strecke = 178 m) je vierfach gemessen worden, und zwar von zwei Beobachtern P. und R. mit stumpfen Latten und mit Schneidenlatten, so daß P. einen Teil des Ganzen mit Schneidenlatten hin und her, und den übrigen Teil mit stumpfen Latten hin und her, dagegen R. umgekehrt jenen ersten Teil mit stumpfen Latten und den zweiten Teil mit Schneidenlatten ebenfalls hin und her behandelte. Da jede Hin- und Hermessung (mit denselben Latten und denselben Arbeitern unmittelbar aufeinander folgend) eine Differenz ü. gibt, mußten auf

d*

diese Weise zweimal 99 Differenzen d entstehen, deren Beträge 100 — ausgerechnet wurden, wie aus

s

folgender Tabelle zu ersehen ist, zu welcher nur die kleine Nebenbemerkung noch nötig ist, daß aus hier nicht näher anzugebenden Gründen die Strecken von P. und R. nicht genau dieselben sind, so daß das eine Mal 99 und das andre Mal 98 Strecken auftreten. Die Streckenlängen l sind im folgenden

l

in Metern und die Differenzen d in Millimetern gezählt, so daß d² : —

Längeneinheit von 100m reduzierte Differenzquadrat ist:

(12)

100 d²

--das auf die

Anzahl Beobachter

Latten

100

tv ^ IO W tO ft*. CO O îC O O

ai (g ni ft- ß- ft;

Schneiden

Schneiden

stumpf

Schneiden

stumpf

stumpf

4063

3850

3588

2625

10180

2825

10,1 mm auf 100 m

H,5    „    r

10,9    «    „

9,5

16,0

9.0

197

27131

11,7 mm auf 100 m

Nach Beobachtern gruppiert gibt dieses: 99    P.

9S

11501

15630

10,8 mm auf 100 m

12,6

Die Gruppierung nach Latten gibt :

] Schneiden | stumpf

98

10538

16593

I 10,4 mm auf 100 m \ 12,9    *    „

Die letzte Vergleichung scheint zugunsten der Latten mit Schneiden zu sprechen; wenn man aber näher zusieht, so ist das nicht unbedingt der Fall, denn der kleine Unterschied 10,4 gegen 12,9 rührt von den entschieden schlechteren Messungen der fünften Gruppe des Beobachters R. her, wie ja auch die Vergleichung zwischen den Beobachtern selbst in gleichem Maße zu Gunsten von P. und zu Ungunsten von R. ausfiel, mit 10,8 gegen 12,6.

Wenn wir alle unsere Messungen von Linden und Hannover zusamniennelimen, so erhalten wir die mittlere Differenz für 100 m :

11960 + 27131

39091

349

— 10,6 wto auf 100 m.

(14)

152 + 197

Diesen Mittelwert halten wir für gute Polygonseitenmessungen nach unseren Erfahrungen für richtig und mit einfachen Hilfsmitteln erreichbar; wir haben hiernach, mit Abrundung auf 10,0 statt 10.6, folgendes zur Übersicht berechnet:

Gemessene Länge

Mittlere Differenz (hin und her)

Mittlerer Fehler einer Messung

l — 50 m 100 m d = 7,1 mm 10,0 mm

m — 5,0 der Doppelmessung m' = 3,5 einer Messung in %

7,1

5,0

150 m    200 m    300 m

12,2 mm    14,1 mm    17,3 mm

8,7    10,0    12,3

|    500 m

22,4 mm

15,8

6,1

7,1

8,7

11,2

0,010 o/o 0,007 o/₀    0,006 o/₀

Da die Fehler selbst als mit \fl wachsend angenommen sind, müssen die Prozente mit wachsendem l abnehmen.

0,005 0/₀    0,004 o/o

0,003 o/₀

Ältere Messungen.

In früheren Zeiten sind zahlreiche Längenmessungen behandelt: „Zeitsehr. f. Verm. 1872“ S. 17—36, 120—129, 154—162, 199—200, 221 -225; 1873 S. 185-211 und S. 344 -362, sowie auch Wastler, 845 Doppelmessungen mit der Kette („Zeitsehr. des österr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1876“ S. 33—37), und Lorber, 5970 Doppelmessungen mit Latten, Kette, Stahlband und Drehlatte. Berg und Hüttenmännisches Jahrbuch 1877, I. Heft; auch Winkler in Graz, Schlömilchs „Zeitschr. f. Math. u. Phys. 1861“ S. 109—119.

Hieraus haben wir in der vorerörterten Weise folgende Mittelformel gebildet für l in Metern :

m = 0,003 \fl oder 0,03 m auf 100 m = 0,005

m = 0,008 VT

für Lattenmessung für Stahlbandmessung für Kettenmessung

Hiernach ist folgendes berechnet mit Zufügung eines Vergleichswertes von 0.03%.

0,05

??

(15)

?!

0.08

welches als regelmäßiger Fehler gelten kann:

Ge

messene

Länge

Latten

Unregelmäßige Fehler ce]// | Stahlband

Kegelmäßige

Fehler

Kette

10 m

50

± 0,01 m = 0,10 % ! ± 0,02 »» = 0,20 o/o

0,02    0,04

± 0,03 m — 0,30 o/o

0,04

0,08

0,06

0,12

0,003 m = 0,03% 0,015    0,03

100

0,03

0,03

0,05

0,05

0,08

200

0,04

0,02

0,07

0,035

0,11

0,08

0,055

0,03

0,06

0,03

0,03

(16)

300

0,05

400

0,06

0,09

0,030    j    0,14

0,025    |    0,16

0,022

0,016

0,047

0,040

0,036

0,025

0,03

0,017

0,015

0,014

0,009

0,09

0,10

0,12

0,03

0,18 0,25

Zu diesen Ableitungen sei aber erwähnt, daß die rechnerische Behandlung derselben Messungsergebnisse nach anderen Annahmen, z. B. den in der Tabelle 9 auf Seite 75 angegebenen Gleichungen zeigt, daß die gegen diese Ausdrücke übrigbleibenden Fehler vielfach so groß sind, daß die Abwei-

500

0,07

0,11

0,15

0,03

1000

0,09

0,16

0,30

0,03

chungen der verschiedenen Gleichungen untereinander dagegen nicht in Betracht kommen. (Vgl. auch die schon zitierte Schrift von Lösehner, ,Genauigkeitsuntersuchungen von Längenmessungen“, Hannover 1902, S. 46—56 und „Zeitschr. f. Verm. 1903“.) Daher erscheint für viele Fälle die einfache Form a -)- (1. s als sehr empfehlenswert, wobei dann auf jede fehlertheoretische Deutung der Koeffizienten von vornherein verzichtet wird. Vgl. hierzu „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 59.

V. Amtliche Fehlergrenzen.

Übergehend zu amtlichen Genauigkeitsangaben müssen wir außer dem mittleren Fehler und der mittleren Differenz auch noch den Maximalfehler oder Grenzfehler in Betracht ziehen, ohne den man bei amtlichen Genauigkeitsangaben nicht auskommen kann. In einer Kommission für geometrische Genauigkeitsbestimmungen, deren Beschlüsse in „Zeitschr. f. Yerm. 1879“ S. 352—374 veröffentlicht wurden, haben wir den Grenzfehler gleich dem Dreifachen des mittleren Fehlers angenommen (Zeitschr. 1879* S. 354) und diese Annahme ist z. B. auch bei den Fehlergrenzfestsetzungen der Preußischen Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881 beibehalten worden.

Setzen wir also den Maximalfehler 31 = 3 m, so haben wir auch die größte zulässige Abweichung zweier Messungen unter sich: a = MŸ2 = 3 Y2 m = 4,24m oder rund a = 4 rn .

zur

Die Annahme 31 = 3 m für den Maximalfehler 31 ist eine fast willkürliche ; eine mathematische Theorie für den unsicheren Grenzfehler von Messungen haben wir in unserem I. Bande „Hanclb. d. Yerm.“ 5. Aufl. 1904, § 142—143 gegeben und es ist ferner von Blümke in „Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 51, 276, 561; 1898 S. 313; 1901 S. 229 hierzu eine Entwicklung gegeben worden. Es kann das einen Beitrag liefern Lösung der für amtliche Genauigkeitsgrenzen so wichtigen Frage; allerdings sprechen bei diesen amtlichen Genauigkeitsvorschriften auch noch praktische Rücksichten mit. Wir bleiben vorläufig bei der Annahme 31 = 3 m stehen und betrachten die darauf gegründeten Bestimmungen der Preußischen Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881,

2. Ausgabe 1894 S. 21. Diese geben unter Festhaltung unseres im § 6 S. 12 gegebenen Fehlergesetzes m = \^a²l 4- ß² , worin statt n die Länge l eintritt, da n die Anzahl der Latten- oder Bandlagen der gemessenen Länge l proportional ist:

I. auf günstigem Boden:

Fehlergrenzen der Anweisung IX.

II. auf mittlerem Boden:

(17)

a = 0,01 V 4 7 -+- 0,005 Z2

a = 0,01 V6Z + 0,0075 72

oder

= j/(o,20o/ i4)“+(o,071i4)²

oder

= /(o,245 }/3.J+ (o,087 j(₀)²

III. auf ungünstigem Boden: a = 0,01 V 8 l -+- 0,0172

oder

und der Anteil

Zum Vergleich sei hin-

Im Fall I ist also für 100 -m der Anteil a\ l - 0,20 m ß l — 0,07 m, für 1000 m : a \/l = 0,63 -m, ß 7 = 0,71 gewiesen auf die Fehlerteile in Spalte 3 der Tabelle (9) S. 75 mit der Spalte 4, welche die der Fehlergrenze der Anw. IX Fall I entsprechenden mittleren Fehler enthält, und damit nahe übereinstimmt.

Den vorstehenden Fehlergrenzformeln entspricht folgende Tabelle : Fehlergrenzen der Preußischen Anweisung IX.

Gemessene

Länge

Zulässige Differenz zweier Messungen ;

I. günstig

II. mittel

III. ungünstig

10 in

0,06»i =0,60 °/o

0,08 m = 0,80 »/o

50

0,14

0,28

0,18

0,36

0,09 m = 0,90 «/o 0,20    0,40

100

0,21

0,21

0,26

0,26

0,30

0,30

200

0,32

0,16

0,39

300

0,41

0,14

0,50

0,195    0,45

0,167

0,57

0,225

0,190

(18)

400

500

1000

2000

3000

Zum Vergleich sei wieder hingewiesen auf die Tabelle (9) S. 75 und die Ergebnisse der Bonner Messungen Tabelle 7 und 8 S. 73 und 74.

Weitere Genauigkeitsbestimmungen und Fehlergrenzen für Längenmessungen sind mitgeteilt in :

„Zeitschr. f. Venn. 1888“ S. 126 Fehlergrenzen in Württemberg,

.. Hessen,

VI

1888“ S. 189

„ Baden,

•?

V)

v>

1888“ S. 233

1888“ S. 355 Genauigkeit der Längenmessungen in Hamburg, 1888“ S. 550 und 1893 S. 134 Elsaß-Lothringen,

1891“ S. 395 Lattenmessungen in Berlin,

1898“ S. 329 Zur Lattenmessung in der Terrainneigung.

1899“ S. 449 Zur Genauigkeitsfrage einfacher Lattenmessungen.

Die Fehlergrenzen anderer Staaten entsprechen im allgemeinen den mitgeteilten preußischen, teils sind sie etwas enger, teils etwas weiter gehalten Gleichungen andere Gestalt; z. B. gilt im Fall I.

auch haben die

= 0,01 V l -+- 0,0005 l,

für Württemberg: zulässige Differenz für Elsaß-Lothringen : zulässige Differenz = 0,008 \/ l -f- 0,00064 l für das Polygonnetz,

( Katastervermessung)

•1

= 0,006 V I —)— 0,00040 / -f- 0,05 für die Stück-

Vermessung.

VI. Schlu&bemerkung.

Die verschiedenen amtlichen Genauigkeitsvorschriften, die Veröffentlichungen von Genauigkeitsuntersuchungen hei Kataster- und Stadtvermessungen, die Ergebnisse der Bonner Messungen, die experimentell ermittelte äußerste Grenze der mit den gewöhnlichen Meßwerkzeugen noch erreichbaren Genauigkeit lassen einen großen Spielraum für Längenmessungen verschiedener Art; im allgemeinen liegen die mittleren Fehler

(linear ausgedrückt) etwa zwischen den Grenzen

und

3 000'

Die in jedem Fall

100 000

erreichbare oder erreichte Genauigkeit hängt wesentlich davon ab, in welchem Maße Geländehindernisse vorhanden sind, oder deren Einfluß durch irgendwelche Hilfsmittel aufgehoben werden soll (Zeit und Kosten), oder aufgehoben worden ist. Auf glatter

Landstraße oder städtischen Straßen kann der mittlere Fehler (wieder linear ausgedrückt) ohne große Mühe auf    gebracht werden; die Bonner Fünfmeterlatten

wohl als normal zu

messung ergab auf Feldweg ohne Abschnürung auf 1,4 4m (Baken etwa in 40—50 Abstand)    , bei guten Polygonseitenmessungen ist

reduktion schon

100 000

zwei Paar Fünfmeterlatten oder auch Viermeterlatten mit Endschneiden (also die Zwanzigmeter- oder Sechzehnmeterlage) Verwendung finden, und um ein Urteil über den Gang der Fehler zu erhalten, stets an einigen Zwischenfestpunkten abgelesen werden. Die Basismessung für Haupttriangulierungen ist in diesem Handbuche Bd. III, 5. Aufl. 1907, Kap. I behandelt.

Für die Feldmessung sind Fünfmeterlatten günstiger als Viermeter- und Dreimeterlatten und dem gewöhnlichen Stahlband (Fig. 1 S. 57) überlegen; das Stahlband (Fig. 2 S. 57) mit Madelmarkierung ist günstiger als die Form Fig. 1 mit Ziehstabmarkierung (vgl. S. 71), diese aber für taehymetrische Meßbandzüge (Kap. XIV) zu wählen.

betrachten. Soll in besonderen Fällen die Messungsgenauigkeit der erreichbaren Grenze nahegebracht werden, z. B. bei Grundlinien für Kleintriangulierungen (Grundlinien II. oder III. Ordnung), so handelt es sich nur darum, eine gute Meßbahn auszuwählen oder herzustellen (Schienenstrang, Lattensteg, Meßband-Endplatten), wozu vielfach einfache Hilfsmittel ausreichend sind und zu beachten ist, daß das Meßband (Fig. 2 S. 57) mit Endlineal oder besonderer Anreihevorrichtung besser zur Überwindung kleiner Hindernisse geeignet ist als die Meßlatte, aber 1° Temperaturunsicherheit in der Maßgibt. Im übrigen sollten bei derartigen Feinmessungen stets

Was die weitere Vergleichung der verschiedenen Vorzüge und Nachteile der Meßlatten, des Stahlbandes (der Kette) usw. betrifft, so ist noch zu erwähnen, daß zwar die Meßlatten die größere Genauigkeit geben, aber die Messung mit dem Stahlband und mit der Kette im freien Feld etwas rascher von statten geht und für die Arbeiter auf die Dauer weniger ermüdend ist.

Der Deutsche Geometerverein hat im Jahre 1873 auf einer Hauptversammlung in Nürnberg Versuchsmessungen mit diesen Werkzeugen angestellt, worüber ein ausführlicher Bericht in der „Zeitschr. f. Venn. 1873" S. 344—362 von uns veröffentlicht wurde. (Auch Geschwindigkeitsvergleiche S. 359.)

In jedem Fall muß das für die vorliegenden Umstände passende und zweckentsprechende Werkzeug ausgewählt werden. In Norddeutschland herrschte früher der Gebrauch des Meßbandes (Kette) vor, in Süddeutschland der der Latten.

Z. B. bei der Berliner Stadtvermessung waren, ebenso wie bei der preußischen Katastervermessung, die Latten anfangs wenig im Gebrauche ; man maß viel mehr mit dem Stahlbande, während jetzt die Latten den Sieg errungen haben. In einem auto-graphierten Erläuterungsbericht zu den in der Berliner Gewerbeausstellung 1879 von der städtischen Bauverwaltung ausgestellten Vermessungsarbeiten im Mai 1879 wurde gesagt: „Anfänglich wurden die Längenmessungen mit 20m langen, mit Handgriffen versehenen Stahlbandmaßen ausgeführt, seit Mitte 1877 werden aber ausschließlich auch bei Stückvermessung Meßlatten von 5 m Länge verwendet.“ Ferner in „Zeitschr. f. Venn. 1891“ S. 395 berichtet von Hoegh, daß auf 1000 m die Latten einen mitt-

7. Aufl.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd.

leren Fehler von 67 mm, dagegen das Stahlband 90 mm ergeben hat. Daß man in Württemberg die Überlegenheit der Meßlatten schon viel früher wußte, haben wir schon in einem Zitat von § 18 S. 54 berührt.

Einen Umstand möchten wir bei diesen Vergleichungen noch besonders hervorheben, das ist Vereinfachung der Messungsakten. Man kann z. B. wohl mit schief aufliegendem Band oder mit schiefliegenden Latten und mit einem Neigungsmesser rasch und genau messen ; auch die Ausrechnung der l — Z cos « ist an sich nicht schlimm ; aber man bekommt auf diesem Wege für jede Streckenmessung ein langes Protokoll, das nicht wohl vernichtet werden kann, sondern den Vermessungsakten irgendwo beigefügt und in allen Zweifelsfällen nachgerechnet werden kann. Mißt man aber mit Latten an Abhängen in Staffeln, so bekommt man eine Zahl als Ergebnis, welche alle Weiterungen und Umständlichkeiten abschneidet. Deswegen sollen auch die in § 18 S. 54—55 beschriebenen Lattenmessungen mit Gradbogen nur für Polygonseiten, aber nicht für Stückvermessungsmaße gelten.

§ 22. Ausgleichung yon Längenmessimgen.

ln der Feldmessung kommen kaum andere Ausgleichungen von Längenmessungs-fehlern vor, als Mittelbildung bei Hin- und Hermessungen (auch bei mehrfacher Wiederholung) oder Einschaltung von Zwischenpunkten auf durchgemessenen Linien. Das übliche und sich ohne weiteres ergebende Verfahren ist Verteilung des Abschlußfehlers proportional den Längen. Für eine regelmäßig mit der Länge wachsende Abweichung ist diese Proportionalverteilung unmittelbar gegeben. Ist w der Abschluß widersprach für die gesamte Länge X, so ist der Verteilungsfaktor

f=4

(2)

und die Einzelverbesserungen für die Zwischenpunkte in den Abständen Z₁Z₂ ... Z„ sind v₁ = f.l₁ , v₂ = f.l₂..., vn = f.l„.

Für „unregelmäßige“ Fehler, welche nach der Beziehung Y1 wachsen sollen, deren Gewichtsreziproken demnach proportional Z sind, gilt das gleiche Fehlerverteilungsverfahren.

Wir wollen dieses näher betrachten an dem Fall, daß auf einer Geraden zwischen

zwei unabänderlich gegebenen Fixpunkten weitere Punkte einzumessen sind, und machen also dabei die Annahme, daß der mittlere unregelmäßige Längenmessungsfehler proportional der Quadratwurzel der Länge wächst, oder daß das Gewicht umgekehrt proportional der Länge selbst ist.

Fig. b

Längenausgleichung w — L — (l -f- l').

k-----

------L-

fc-—l-

<w>

Der festgegebene Abstand der Fixpunkte sei L, die Messung soll aber einen Widerspruch w ergeben, indem statt L der Wert L —- w erhalten -->{ wird. Ein Zwischenpunkt sei festgelegt durch —H den gemessenen Abstand Z vom ersten Fixpunkt

------li-------->j und den gemessenen Abstand ?' vom zweiten

¹ Fixpunkt (vgl. Fig. 1) ; es ist also :

K----X----->

Der durch die Ausgleichung zu findende Abstand des Zwischenpunktes vom ersten Fixpunkt sei = x.

L — l -t- Z' ■+■ u-.

(3)

Nun hat man zwei Bestimmungen für x:

1.    x₁ = 7 mit dem Gewicht Jh — -y,

2.    X2 — L — 7' oder wegen (B) : ,r₂ = 7 -f- w mit dem Gewicht p₂ = nach (15) § 9 S. 24 ist

T⁷’

nun

a? = 7 -f

(6)

ÏTVW-I^LU'-

Die Verbesserungen der ersten Bestimmung 7 und der zweiten Bestimmung

L — V sind daher:

und

(7)

= -f- -j- w

d. h. der Widerspruch ir wird auf zwei Strecken 7 und 7' proportional den Streckenlängen verteilt.

Der mittlere Messungsfehler für die Länge 1 ist nach (17) § 9 S. 25 :

ic

Vl'

(8)

Dieses läßt sich auch unmittelbar einsehen, indem w als der mittlere Fehler einer Messung der Länge L zu betrachten ist. Der mittlere Fehler von x nach der Ausgleichung ist sodann nach (19) § 9 oder (11) § 8:

Vï>\ +lh

~L

%-y/TT',

(9)

d. h. der mittlere Fehler der Punktfestlegung durch Einmessen zwischen zwei Fixpunkten ist proportional der Ordinate Yll’ des über der Geraden L als

beschriebenen Kreises; er wird am größten in der Mitte mit 7 = 7'= ₉-

Durchmesser

w

nämlich = —

T*

Etwaige Fehler der Fixpunkte selbst (oder sonstige Reduktionen) müßte man, sie wenigstens möglichst zu zerstreuen, ebenfalls den Längen proportional verteilen; ebenso die einseitig wirkenden Messungsfehler. Es führt also die Proportionalverteilung von selbst zu dem überall befriedigenden 4 erfahren.

Hat man eine Linie einmal durchlaufend = L und sodann in zwei Absätzen l _|_ i’ gemessen, so verfährt man nach demselben Prinzip; man nimmt nun für die

L und 7 4- 7' (sofern nicht etwa durch das Absetzen

um

Gesamtlänge das Mittel x aus eine außergewöhnliche Unsicherheit entstanden ist) und verteilt den Widerspruch

_n _|_ i') proportional den drei Strecken L. 7 und 7', oder was dasselbe ist, man

verteilt den Widerspruch x — (7 + 7’) proportional den zwei Strecken 7 und 7'.

Der bei der Durchmessung von Linien, ohne Absetzen, an jedem Zwischenpunkte gemachte Fehler (konstanter Fehler a S. 72) ist unabhängig von der Messung und bleibt an jedem Punkte haften.

Wie genau solche Einschaltungen sein können, zeigen die Bonner Messungen, bei denen der mittlere Schaltfehler bei den Fünfmeter- und Viermetermeßlatten ± 5,9

gefunden war, S. 75 und „Zeitsehr. f.

mm

bzw. ± 6,4 m-nv und beim Meßband ± 5,3 Verm. 1896“ S. 45.

Die Einschaltung von Bindepunkten (Kleinpunkten) in Liniennetzen wird im

crrw

Kap. VH behandelt werden.

Die Ausgleichung von Längenmessungen, welche nicht auf einer Geraden vorgenommen werden, also die Ausgleichung eines durch Längenmessungen genommenen Polygons hat Steuerrat „Zeitschr. f. Verm. 1873“ S. 145 — 171 behandelt, wobei jedoch allen Messungen, unabhängig von den Längen, gleiche Gewichte zugeteilt sind.

Vorländer in der

§ 23. Meßrad, Schrittmaß, Marschzeit.

I. Das Meßrad.

Unter „Meßrad“ versteht man ein Rad, das mit einem Zählwerk für die Umdrehungen versehen ist, wodurch hei der Abwicklung des Rades auf einer Geraden die Länge dieser Geraden auf bequemste Weise gemessen wird.

Figur 1 zeigt ein Meßrad von Wittman in Wien; dasselbe hat einen Umfang von einem Meter und ist mit einer Vorrichtung B zum Halten und Handhaben versehen (die größeren Räder haben ein schubkarrenartiges Gestell, welches sich an B anschließt). Die Achse des Rades setzt ein Zahnwerk in Bewegung, welches in dem Gehäuse C J) die Zahl der Umdrehungen an einzelnen Zifferblättern abzulesen gibt.

In betreff der Genauigkeit, welche das Meßrad liefert, sind Versuche von Tinter in Wien angestellt und in der „Zeitschr. des österr. Ing.- und Arch.-Vereins 1875“ Heft II und III mitgeteilt; ferner wird von Schlebach berichtet in der „Zeitschr. f. Verm. 1877“ S. 241—249 über eine größere Reihe von Versuchen mit einem Rad von 2 nv Umfang.

Auszüge hieraus waren in der 4. Auflage dieses Bandes, 1893 S. 62—63 mitgeteilt ; wir beschränken uns hier auf die Angabe, daß auf genügend gebahntem hartem Wege das Rad Vorzügliches leistet, etwa m — 0,02 ]// :

50 -m.

0,14

10 nv ±0,06

200 nv

500 nv 1000 nv

0,20

0,28

0,45

0,63

Fig. 1.

III

LQJ

aber solche Wege hat man beim Feldmessen im allgemeinen nicht, und z. B. auf einem hannoverischen Exerzierplatz mit losem Sand gab unser sonst gutes Rad bereits Fehler von 8 °/o zu wenig.

Zu ausgedehnten Kontrollie-z. B. der Distanzsteine an

rungen

Straßen und Eisenbahnen, wird sich das Meßrad eignen, und es empfiehlt sich dann, das Zählwerk mit einem Glockenschlag zu versehen, welcher

etwa alle 100 nv, 500 nv usw. tönt.

II. Schrittmaß.

%D

6'X

Die Entfernungs - Bestimmung durch Abschreiten ist eine so bequeme und einfache, daß ihr trotz der augenscheinlichen Unsicherheit für manche Zwecke eine hohe praktische Bedeutung zukommt. Aus diesem Grunde hat Verfasser seit Jahren Erfahrungen über Schrittmaße gesammelt.

Die erste Frage betrifft die Schwankungen der Schritte verschiedener Menschen.

A.A

Zur Beantwortung dieser Frage haben wir nach und nach 535 Schrittwerte gesammelt, welche seit 1873 bis 1896 bei den ersten Längenmessungen der Studierenden an den technischen Hochschulen zu Karlsruhe und Hannover gewonnen wurden, indem Linien von 150—250 w mit Latten und Meßbändern auf ebenem Boden gemessen und nachher von den Messenden abgeschritten wurden. Nach der Größe geordnet geben diese 535 Schrittwerte folgende Übersicht:

Schritt Anzahl 68 cm 1 mal

Schritt 77 cm

70

78

71

79

72

80

73

8 ,,

81

74

75

76

82

83

84

Anzahl

40    mal

58    „ 50 „

59    „

49 *

41    „ 30 „ 29 „

Schritt Anzahl 85 cm 21 mal 23 „ 25 „ 88 12 „

86

87

89

90

91

92

Schritt Anzahl 93 cm 3 mal 2 *

1 V 1 „

94

95

96

7 mal 102 mal 356 „ 70 „

102 mal I

Der größte seit 1873 von uns beobachtete Schritt eines Studierenden ist nun s = 96 cm (vom Jahr 1891 Studierender J. 1,90 m hoch).

Das Mittel aus allen Werten ist [ns] : [n] = 43274 : 535 = 80,9 cm und, wenn man die einzelnen Schrittwerte als ebenso viele unabhängige Bestimmungen einer Unbekannten auffaßt, so findet man aus den Abweichungen dieser Bestimmungen von ihrem Mittelwerte den mittleren Fehler einer solchen Bestimmung ungefähr = 5 °/₀ ; hiernach hat man das Recht, wenn ein Schrittmaß in der Ebene vorliegt, ohne daß man über die Persönlichkeit des Schreitenden oder sonstige Umstände etwas Besonderes weiß, 1 Schritt rund = 80 cm anzunehmen, und der damit berechneten Länge einen mittleren Fehler von etwa 5 °/₀ zuzuschreiben.

Die Verteilung der Häufigkeitszahlen n, die man am besten durch Aufträgen dieser Zahlen n als Ordinaten zu den Schrittwerten s als Abszissen veranschaulicht, zeigt, wie zu erwarten, ein unbestimmtes Auslaufen gegen die untere und die obere Grenze, aber keine Symmetrie gegen den Mittelwert. Vielmehr hat 80 c m das deutlich ausgesprochene Maximum der Häufigkeit (n — 59), von welchem die Kurve nach beiden Seiten rasch abfällt und beim Mittelwerte 81 nur noch n — 49 zeigt.

Wir haben teilweise nicht nur die Schrittwerte, wie schon oben angegeben, bestimmt, sondern auch die Manneshöhen der Schreitenden dazu gemessen, woraus folgende Tabelle zusammengestellt wurde :

Manneshöhe h = 1,60 in Schrittwert s = 78 ein

Im Gesamtmittel hat man wieder 81cm Schritt bei 1,75 m Manneshöhe.

Das Älter der Schreitenden war im Mittel etwa 20 Jahre; mit zunehmendem Alter nimmt die Schrittgröße wieder um mehrere Zentimeter ab.

Man kann annehmen, daß der Schritt eines und desselben Menschen, von Zeit zu Zeit neu bestimmt, Entfernungsbestimmungen etwa auf 2 °/₀ genau gibt, wenn keine ungünstigen Ursachen einwirken. Solche Ursachen sind z. B. Steigung des Weges und Ermüdung nach langem Marsche. Zur Prüfung des Schrittmaßes für Nivellementszwecke beging der Verfasser im September 1881 die Straßenstrecke von Freudenstadt nach Lautenbach über den Kniebis, und schritt den größten Teil derselben nach den Straßensteinen ab. Es fand sich die Schrittlänge :

70 mal

356 mal

535 mal

1,65 1,70 1,75 1.80 1,85 79    80    81    82    83

1,90 m 84 cm .

78,0 cm,

auf wagerechter Straße

auf der Kniebisstraße mit 7,4 °/₀ Steigung aufwärts .    76,3 „

(Mittagspause)

auf der Kniebisstraße mit 7,4 °/₀ Gefälle abwärts . . 76,8 „ auf wagerechter Straße nach 7 ständigem Marsche . . 75.0 , .

Also trotz erheblich verschiedener Umstände ergaben sich doch nur Abweichungen bis zu 4 °/₀ vom Mittel (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1882“ S. 299).

Viel bedeutender werden die Änderungen, wenn man auf Gebirgspfaden oder pfadlos an Abhängen marschiert. Zur Gewinnung der Schrittwerte unter solchen Verhältnissen benützte der Verfasser tachymetrische und Meßbandzüge. Aus 136 Vergleichsstrecken fand sieh nach graphischer Ausgleichung : aufwärts Steigung 0°

Schrittwert 77 cm

abwärts Gefälle 0°

Schrittwert 77 cm

70

74

10

62

10

72

15

56

15

70

20

50

20

67

25

45

25

60

30

38

30

50.

Bei 30° Steigung ist also die Horizontalprojektion eines Schrittes nur noch die Hälfte von dem Werte in der Ebene, während bei 30° abwärts ein Schritt immer noch etwa ²/₃ des Wertes in der Ebene als Horizonalprojektion gibt. (Weiteres hierüber s. „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 485—488.) In „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 225 wies Kahle darauf hin. daß obige Verhältnisse für steigende Strecke gut der Formel sa = s₀ ( 1—sina) folgen; ähnlich gibt Rziha in der „Schweizerischen Bauzeitung 1894“ S. 22

für Steigung Xy — s (1 — sin a)

Gefälle

2 / '

Schrittmaß mit Aneroiddifferenzen. Beim Abschreiten an Abhängen kann man die Reduktion auf horizontales Metermaß in Verbindung mit barometrischen Höhenmessungen machen, indem man die Differenz der Aneroidablesungen am Anfang und am Ende einer Strecke als Maß für die Höhendifferenz nimmt. Obgleich das mehr in das Kapitel über barometrische Höhenmessung gehört, sei die Sache doch auch hier schon erwähnt. Wir haben dieses Verfahren, Schrittmaße zu reduzieren, zuerst in „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 485—488 behandelt, und die Sache hat Anklang gefunden, wie aus den Wreiterführungen zu ersehen ist: Heil, „Tabellen zur Verwandlung von Schrittwerten in Metermaß“, Darmstadt 1891, Hammer. „Zeitschr. f. Verm. 1885“ S. 305, 1892 S. 353—368 und Kahle, „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 231. Wir werden bei der barometrischen Höhenmessung und an anderem Orte darauf zurückkommen.

Mechanische Schrittzähler, zur Ersparung des Schrittzählens in Gedanken, sind schon mehrfach konstruiert worden. In unserer Hannoverischen Sammlung befindet sich ein solches Instrument vom Jahre 1833, welches, durch eine Schnur mit dem einen Bein des Schreitenden in Verbindung gesetzt, jeden Zug durch einen Schalthaken auf ein Zählwerk überträgt.

In dem „Mathematischen Salon“ in Dresden sind Schrittzähler in Form von

Gehstöcken oder Spazierstöcken, welche, hei jedem Schritte auf den Boden gestoßen, die Zahl der Stöße durch ein im Innern angebrachtes Zählwerk registrieren. In neuerer Zeit hat man Schrittzähler von Taschenuhrform, welche, durch die Erschütterung des schreitenden Menschen in Bewegung gesetzt, diese Erschütterungen durch

Schrittzähler.

Fig. 2.

Fig. 1.

100

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ÜÜ

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fo

' VJ

50

f/i

ein Uhrzählwerk registrieren. Vorstehende Fig. 1 Zeigt die Vorderansicht und Big. 2 die Rückansicht mit Andeutung des schwingenden Pendels.

Unser Instrument Fig. 1 zählt bis zu 25 000; der große Zeiger zählt die einzelnen Schritte, der kleine Zeiger rechts zählt die Hundert und der kleine Zeiger links zählt die Tausend ; Fig. 1 zeigt z. B. :

44 -t- 600 -f-19 000 oder 19 644,

Man wird natürlich kein solches Instrument in Gebrauch nehmen, ohne sich vorher von der richtigen Wirkung überzeugt zu haben. Für unser Instrument fanden wir Überzahlungen von etwa 1 bis 2 %.

Herr Mechaniker Raschke in Glogau, aus dessen Preisverzeichnis die vorstehende Fig. 2 entlehnt ist, verkauft solche auch anderwärts zu findende Schrittzähler, und teilte uns mit, daß sie meist aus Schweizer oder französischer Uhrenindustrie stammen.

An diesen Instrumenten ist vor Beginn und nach Beendigung des Abschreitens abzulesen; die Differenz der beiden Ablesungen gibt die Anzahl der zurückgelegten Schritte. Andere Schrittzähler haben auch eine Vorrichtung, mit der durch Druck auf einen Knopf die drei Zeiger auf Null gestellt werden können.

III. Marschzeit.

Auch die Zeit, welche zum Begehen einer Linie erforderlich ist, kann als relatives Entfernungsmaß benützt werden.

Fortsetzung S. 90.

88

Fig. 5. Stückvennessungs-Handriß der Stadtvermessuig von Berlin. Maßstab ungefähr 1 : 250. (Siehe Seite 95.)

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Yor Einführung des Metermaßes zählte man in vielen Staaten amtlich nach „Stunden“, z. B. war die wftrttembergische Stunde = 18 000 württembergische Fuß = 3.724 km. die badische Stunde = 16000 badische Fuß - 4,800 4m usw. Solche kleine Stunden scheinen aus der Zeit der Frachtwagen zu stammen.

Die mittlere Geschwindigkeit eines Mannes ohne Gepäck ist etwa 5—6 4m in einer Stunde. Verfasser fand für sich als „Tourist“ im Mittel 5,7 4m mit Schwankungen zwischen 5,3 4m und 6,1 4m. Die größte uns bekannt gewordene Marschleistung (Sport) ist 18 4m in zwei Stunden fünf Minuten, d. h. 8,65 4m in einer Stunde.

Zu geographischen Aufnahmen auf Reisen braucht man mehr die Geschwindigkeit von Tieren, z. B. von Reitpferden, von Zugtieren, von Kamelen usw. Für letzeren Fall hat Verfasser im Winter 1873 — 74 auf der libyschen Expedition mit Rholfs folgende Zahlen gefunden:

Strecke

Marschzeit

Tage

Stunden

Weg in 1 Stunde

km

Hamrah—Farafrah Farafrah—Dachei Dachei—Regenfeld Regenfeld—Siuah . Siuah—Beharieh . Beharieh—Farafrah Farafrah—Dachei . Dachei—Chargeh . Chargeh—Esneh .

12 Va

91,0

44,1

7 Va

51,6

14

10

3 Va

3,85

4,14

3,61

126,5

92,0

38,3

42,6

53,0

58,8

4,02

4,07

4,52

4.29

4,03

3,79

597,9

Gesamtmittel :

68i'₂

Summen

4,005 km in 1 Stunde.

Der Geograph hat hiernach das Recht, die Itinerare von Kamelkarawanen in Nordostafrika nach dem Maßstab 1 Stunde = 4 Kilometer zu verwerten, und zwar wird man bei längeren Strecken mit diesem Maßstab kaum um fünf Prozent fehlen.

Weiteres hierüber gibt des Verfassers „Physische Geographie und Meteorologie der libyschen Wüste, Cassel 1876“ S. 45—60 und der vom Verfasser bearbeitete Abschnitt S. 41—46 des Werks: „Anleitung zu wissenschaftlichen Beobachtungen auf Reisen“, herausgegeben von G. Neumayer, Berlin 1888, S. 44—46. (Xu der 3. Aufl. 1906 bearbeitet von Peter Vogel.)

In der afrikanischen Geographie sind solche Untersuchungen sehr wichtig, man muß jeden Fall (z. B. Ochsenwagen in Südwestafrika, Menschen als Träger in Ostafrika usw.) besonders behandeln, am besten durch astronomische Breitenmessungen auf nahezu südnördlich gerichteten Märschen.

Die Geschwindigkeit des Menschen wird hauptsächlich vermindert durch losen Sand (in der Wüste und am Meeresstrande) und durch Gegenwind: aber sogar alle diese Umstände in Verbindung mit Ermüdung nach langem Marsche scheinen die stündliche Leistung des Menschen nicht unter 4 4m herunterdrücken zu können.

§ 24. Kleinmessung durch Koordinatenaufnahine. Handriß.

Ist eine gerade Linie abgesteckt, wie in § 14 erläutert, und werden im Felde bezeielinete Punkte (Grenzsteine, Gebäudeecken usw.) durch Fällen von rechten Winkeln mit Kreuzscheibe, Winkelspiegel usw. auf die ausgesteckte Gerade bezogen, sodann

die gerade Linie und die Abstände gemessen, so ist die gegenseitige Lage dieser Feldpunkte bestimmt (vgl. Fig. 1 u. 2).

Man kann demnach durch Abstecken von rechten Winkeln und Längenmessung ein mäßiges Gebiet aufnehmen, indem man eine Gerade durchsteckt und von allen Punkten, die man haben will, rechte Winkel auf diese Gerade fällt.

Die Aufzeichnung geschieht in einem „Handrisse“, d. h. in einer Zeichnung, welche im Felde selbst mit fortschreitender Messung, nach nahezu richtigen Verhältnissen, gefertigt wird, zuweilen nur nach Augenmaß, oder auch mit einem Anlege-maßstab ocl. dgl. ; das Wichtigste bei der Handrißführung sind aber die eingeschriebenen Maße.

Das Einschreiben der Maße kann nach verschiedenen Systemen geschehen, deren einige im folgenden angedeutet sind.

Fig. 1. Württemberg, Baden usw.

/6,2Z

T'/^XS

O&'P

In Fi g. 1 sind alle Koordinatenmaße rechtwinklig quer zu der betreffenden Linie geschrieben. Die Abszissen 28,22 38,63 usw. sind durchlaufend gemessen. Außerdem sind einzelne Maße schiefer Entfernungen parallel den betreffenden Linien geschrieben, z. B. 28,32 17,56. Diese Schreibweise ist in Süddeutschland und auch anderwärts festgesetzt.

big. 2 unterscheidet sich von Fig. 1 dadurch, daß die Ordinatenmaße, z. B. 16,2 7,8 usw., in demselben Sinn wie die zugehörigen Abszissen 23,2 38,6 usw. geschrieben sind. Die Maße sind in Fig. 2 auf 0,1 nv abgerundet, was je nach Umständen zu geschehen hat, ob es sich um scharf bezeichnete Punkte (Grenzsteine,

Fig. 2. Preußen.

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60/h

überhaupt Eigentumsgrenzen oder sonstige Marken) oder einfache Geländepunkte (Raine. Feldwege, Gräben usw.) handelt.

In Fig. 3 S. 92 ist der Handriß einer Aufnahme mit quer geschriebenen Koordinatenmaßen gezeichnet (Zeichnung von Dr. Doll, Karlsruhe). Die Hauptaufnahmelinie ist AB; die darauf errichteten Senkrechten dienen zum Teil seihst wieder als Abszissenlinien. Dabei sind schiefe Entfernungen in der Zeichnung durch kurze Linien,

Handriß einer Aufnahme mit Meßlatten und Kreuzscheibe nach badischem Verfahren.

Handriss

einer Aufhahm e mit Messlatten.

und Kreuxscheibe.

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Avelche die Messungsrichtung andeuten, von den Koordinatenmaßen unterschieden, oder durch beigesetzte Häkchen hervorgehoben, wie z. B. bei der Wasserbreite 2,90 und der Brückenbreite 3,90.

Dieser Handriß zeigt den Zusammenhang für eine kleine Aufnahme, ausgeführt durch Absteckung rechter Winkel und Längenmessung. Die Proben für die Richtigkeit der gemessenen Zahlen (Messungsproben) sind gewonnen durch die Abstände der festen Punkte (Steinabstände, Kopfbreiten, Hausmaße).

Ferner zeigt Fig. 4 S. 93 einen Handriß der Stadtvermessung von Hamburg aus dem Werke: „Vermessung der freien und Hansestadt Hamburg“, von H. Stück, Obergeometer. IV. Teil (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 312).

Der Handriß erläutert ebenfalls die Anwendung der Messungsproben, welche liier hauptsächlich bestehen in der Messung von Abständen der festen Punkte (Steine, Hauseeken) untereinander, von benachbarten Messungspunkten (z. B. Kr. 32), Ordinaten-fußpunkten (z. B. 11,7) und Linienpunkten (z. B. 40,0). Die zweckmäßige Anordnung dieser Versicherungen ist von wesentlicher Bedeutung für die Güte einer Aufnahme.

Kleinere Handrisse kann man von freier Hand in ein Feldschreibbuch zeichnen ; für größere Handrisse im Format 60 cm X 40 cm, wie es in der Katastervermessung

Fig. 6.

Feldtisch für Handrißzeichnung.

vorkommt, bedienen sich viele Feldmesser eines leichten Feldtisches, der auf einem Stocke leicht be-

festigt ist.

Fig. 6 zeigt einen solchen leichten meßtischartigen Rahmen, der bei der Handrißzeichnung der rheinischen Katastervermessung gebraucht wird. In losem Boden be

„Handrißmappen“, sind vielfach in Gebrauch.

Die Koordinatenmessung in Städten geschieht in neuerer Zeit vielfach nicht mehr mit dem V inkelspiegel, sondern mit einem hölzernen geradezu auf den Erdboden

steht die ganze Feststellung dieses Rahmens in dem Stativstock, welcher in den Boden gesteckt wird und mit einer Hülse den Tischrahmen trägt. Der Rahmen (Fig. 6), 75 cm lang und 55cm breit, ist doppelt und läßt sich auf klappen, um das Zeichenpapier dazwischen zu legen. Nur der äußere Rahmen ist von Holz, der innere Boden nur von Pappe, das Ganze also von geringem Ge-wicht. Auf Pflaster oder sonst festem Boden dient ein eisernes dreibeiniges Gestell dem Stativstock als Halt. („Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 232. Vgl. auch „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 569 ' und 1893 S. 218.) Diese und ähnliche Einrichtungen, auch

gelegten Winkelmaß. Dieses Verfahren wurde zuerst in Berlin angewendet und wurde von Ottsen in der „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 195 so beschrieben (vgl. Fig. 7):

Für die Abzissenlinien hat man eine Hanfschnur von etwa 20-25 w Länge und 2-3 mm- Stärke. Dieselbe wird vor dem Gebrauch eingekreidet, in der Richtung der zu messenden Linie ausgespannt und über zwei vorhandene Marken kräftig angezo’gen, worauf durch ein kurzes Anheben der erforderliche Schnurschlag (wie bei den Zinnner-leuten) gegeben wird. Auf diese Weise kann man eine Linie als Abszissenlinie für die Kleinaufnahme durch einen scharfen Kreidestrich markieren. Statt des Winkelspiegels wird ein hölzerner Winkel, dessen Kathetenschenkel 1,5 und luv lang sind, mit dem einen Schenkel an den Kreidestrich angelegt und an diesem so lange verschoben, bis der andere Schenkel die gewünschte Richtung erfaßt hat. Zur Verlängerung des Schenkels dient erforderlichenfalls eine kleine Schnur. Der Ordinatenfußpunkt wird nun mit einem Rotstift an der Abszissenlinie markiert und bei der nachfolgenden Messung notiert.

Die Fig. 7 gewährt eine Ansicht dieses Verfahrens, wobei P und Q zwei eingehauene Zeichen, B B' und CG’ zwei mit dem Winkel bestimmte Ordinaten sind.

Weiter gibt Herr Ottsen eine Handrißzeichnung in 1:250 für Straßen- und Gebäudeaufnahmen in Berlin, welche wir auf S. 88 u. 89 (Fig. 5) zum Abdruck bringen, unter Verweisung auf die vielen wertvollen Einzelmitteilungen, welche der Verfasser Ottsen in „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 193—202 dazu gegeben hat.

Auch ein schätzbarer Artikel von Mühlenhardt „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 241—251 : „Über die Anlage des der Detailaufnahme zugrunde zu legenden Polygonliniennetzes in Städten“, ist hier zum Lesen zu empfehlen.

Wir kehren nochmals zur Handrißführung im allgemeinen zurück :

Das Führen eines guten Handrisses ist nicht so leicht, als es auf den ersten Blick scheint; es gehört viele Übung dazu. Der Handriß ist so deutlich und korrekt in Zeichnung. Zahlen und Schrift zu führen, daß danach das Aufträgen nötigenfalls auch durch einen anderen Sachverständigen bewirkt werden kann.

Fig. 7.

S t r a fi e n a u fn ah m e in Berlin.

W/-

oo

■o

Über die Führung der Handrisse, Schreibung der Zahlen, Art der Zeichnung, Signaturen, Format und anderes Zugehörige sind in den einzelnen Staaten durch Vermessungsanweisungen besondere Vorschriften erlassen.

Die Handrißführung hat sich in zwei ganz verschiedenen Wegen entwickelt, welche durch Fig. 8 und 4 S. 92—93 charakterisiert sind.

Auf dem einen Wege (Baden, Preußen) geht man darauf aus, im Felde selbst eine möglichst fertige Zeichnung großen Formats zu erlangen, und deswegen ist man in Preußen sogar soweit gegangen, die Handrißzeichnung im Felde mit Tinte zu machen (soweit Witterung und andere Umstände dieses gestatten).

Der andere Weg (Hamburg (Fig. 4 S. 93) führt nicht unmittelbar zum Ziele, denn im Felde selbst werden nur rohe Handrisse, im ursprünglichen Sinne des Wortes, in kleinstem Format (Hamburg 22 c-m X 10 cm) gefertigt, welche erst nachher im Zimmer zusammengetragen werden. (Linienhandriß.)

In Bayern werden (auf Anregung von Steuerrat Steppes) in neuerer Zeit die Handrisse mit besonders hergerichteter autographischer Tinte gezeichnet und nachher vervielfältigt. Das Format ist 38 auf 38 ent (nach dem Druck in der Mitte gebogen). (Vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 19.)

In Baden wurden in jüngster Zeit alle Handrisse photographisch vervielfältigt („Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 396).

Die Vervielfältigung der Handrisse ist für allseitigen bequemen Gebrauch dieses wichtigen Zahlenmateriales von grundlegender Bedeutung.

§ 25. Erweiterung der Aufnahmen. Liniennetz.

. Aufnahmen einzelner Grundstücke, oder eines kleinen Grundstückkomplexes können in dieser Weise lediglich durch Ausstecken einer Hauptaufnahmelinie und Fällen von Senkrechten erledigt werden. Da nach § 15—17 die Winkelabsteck-Instru-* ' mente bei der Feldaufnahme Fehler im rechten Winkel bis zu einigen Minuten erwarten lassen, so daß die Absteckfehler bis zu Viooo c^er abgesteckten Länge betragen * können, so dürfen für exakte Aufnahmen, insbesondere für Katasterzwecke, die Ordi-naten eine bestimmte Grenze (40—50 m) nicht übersteigen, während die Längenmessung viel weiter ausgedehnt werden kann. Bei langen Ordinaten muß die Fußpunktbestimmung mehrmals sorgfältig wiederholt werden.

an.

Um ausnahmsweise eine lange Senkrechte PA von einem Punkt P auf eine Gerade A B zu fällen, kann man auch wohl so verfahren, daß man zuerst A ungefähr mit dem Winkelspiegel aufsucht; dann nimmt man einen Punkt B auf der Geraden mißt PA und PB. worauf berechnet werden kann:

BA = yr IB - P .42.

mäßiger Breite (etwa 100 m) unmittelbar aufnehmen ; z. B. bei

Man kann also mit Meßlatten und Kreuzscheibe usw. einen Feldstreifen von großer Länge, aber nur

der Aufmessung von Eisenbahnen, Straßen usw. handelt es sich um derartige Aufnahmen auf Grund der gegebenen Abszissenlinien.

Liniennetz.

Handelt es sich um die Aufnahme eines größeren Geländeabschnittes, so muß über das aufzunehmende Gebiet ein System von Aufnahme- oder „Messungs“ -Linien so gelegt werden, daß die aufzumessenden Feldpunkte mit möglichst kurzen Abständen auf diese Messungslinien bezogen werden können.

Da ein Dreieck durch seine drei Seiten bestimmt ist, und man jedes Vieleck in Dreiecke zerlegen kann, so kann man jedes Vieleck durch Längenmessung aufnehmen. Ein solches Liniennetz, das man durch zahlreiche eingebundene Kreuzungslinien. Diagonalen usw. versichert , gibt auf weite Entfernung verhältnismäßig große Genauigkeit und eine gute Unterlage für die Einzelaufnahme.

Namentlich in Norddeutschland war dieses Verfahren bei den in früherer Zeit nur mit der Meßkette und dem Winkelkreuz oder Winkelspiegel ausgerüsteten Feldmessern sehr verbreitet, und es wurden ganze Ortschaften und F eidmarken so umsponnen.

Für Aufnahmen von beschränkter Ausdehnung wird diese Methode auch heute noch vielfach angewendet. Ein Viereck, in dem außer den vier Seiten auch die beiden Diagonalen und deren Schnittpunkt gemessen sind, bildet ein vortreffliches Hilfsmittel zur Bestimmung der gegenseitigen Lage der fünf Punkte. In die Seiten und Diagonalen werden weitere Messungslinien eingebunden, so daß schließlich die Einzelaulnahme mit Hilfe kurzer Ordinaten erfolgen kann.

Parallelennetz. — Ein eigenartiges Verfahren entwickelte sich bei der württem-bergischen Landesvermessung (1820—1840), bevor die Polygonzüge zur Grundlegung •1er Katastervermessung verwendet wurden. Auf Grund der auf dem Meßtisch ausge-

Fig. 1.

Württembergisches Parallelen netz (Maßstab 1: 2500).

'■i

.!___ZÎJ

fl

f.

führten graphischen Kleintriangulierung wurde ein Netz von Parallelen, welches bezahlreiche Proben bietet, abgesteckt und auf dieses die Einzelmessung bezogen.

quem wie Fig. 1 zeigt.

Näheres über die eigentümliche Parallelenmethode der älteren württemb. Landesvermessung gibt Weitbrecht in der „Zeitschr. f. Venn. 1890“ S. 69 u. 129.

Bei der Theodolitaufnahme gibt die Triangulierung und Polygonisierung die

Grundlage des für die Stückvermessung erforderlichen Liniennetzes, wovon Fig. 2 S. 98

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aull.    7

ein Beispiel darstellt. Die starken Linien bedeuten Polygon seiten. Die Aufnahmelinien sind stufenweise in den Rahmen des Polygons eingeschaltet; zunächst ist der Polygonrahmen durch „Hauptlinien“ in mehrere für sich selbständig zu behandelnde Abschnitte zerlegt, in welchen je für sich die „untergeordneten“ Linien in die „übergeordneten“ eingeschaltet sind. Zunächst sind auf den Polygonseiten die Bindepunkte bestimmt. Die Linie 1—2 teilt dann das Polygon in zwei Teile, einen linken und einen rechten Teil. Für den linken Teil ist durch die Numerierung die Linienfolge gegeben. Die Linie 3—4 teilt diesen linken Teil in einen oberen und einen unteren. Linie 5—6 ist im oberen Teil festgelegt. Der untere Teil wird durch die Linien 7—8 und 9—10 in drei Teile zerlegt, in welche je für sich nun wieder die einzelnen Linien in der durch die Numerierung gekennzeichneten Weise eingeschaltet sind. Der Zusammenhang eines Liniennetzes soll möglichst einfach sein und in möglichst wenig Zwischenstufen vom Hauptrahmen zur letzten Stufe herabführen.

Fig 2. Liniennetz.

11

-y3

'17

16

I3

(15)

14

_±_

19

21U

18

o-

12

10

23«

■20

'22

;o

Tn

100

200

Die richtige Lage jeder einzelnen Linie ist durch die Einfügung der kurzen punktierten Linien, kleine Querverbindungen („Streben“), Verlängerungen usw. gesichert, wobei einzelne dieser Versicherungslinien wieder als untergeordnete Aufnahmelinien gelegentlich verwendet worden sind.

Die Koordinatenberechnung für Liniennetze wird im Kapitel VII § 72 behandelt

werden.

Abstecken und Messen mit Hindernissen.

Um beim Ahsteeken und Messen einer Geraden ein nicht zu ausgedehntes Hindernis zu umgehen, wendet man Parallelabweichen mit der Kreuzscheibe an, wie in Fig. 8 angedeutet ist.

Kg. 3.

Parallelausweichen.

u::.u

Liegt eine teilweise hindernde Fläche auf einer ahzusteckenden Geraden AB(tTJ Fig. 4. so kann die Anlage einer seitlichen Hilfslinie B' C zum Ziel führen. Aus BB'. B'C',

Kg. 4.

Seitwärtseinmessen.

CU lassen sich die Koordinaten der Punkte P. Q. C durch einfache Proportionen berechnen, und dann P, Q, C usw. seitwärts einmessen.

feiSSlvövö'

a? V

Kg. 5.

FluÊauthahme durch 45°-Schnitte.

Eine Kreuzscheibe mit Halbschnitt, welche Winkel von 45° abzu-stecken gestattet, oder ein entsprechendes Spiegel- oder Prismeninstrument dient dazu, um das jenseitige Ufer eines Flusses in der durch Fig. 5 angedeuteten Weise aufzunehmen. Auch in anderen Fällen kann wohl ein solches Instrument zur Aufnahme unzugänglicher Ördinaten verwendet werden.

Man wird im allgemeinen besser daran tun, durch Wahl der Aufnahmelinien usw. Hindernisse zu vermeiden, als auf deren Überwindung besonderen Scharfsinn zu verwenden.

Kapitel III.

Berechnung und Teilung der Flächen.

§ 26. Flächenbestimmung durch rechtwinklige Koordinaten.

Wenn eine Figur nach Koordinaten aufgenommen ist, so wird sie durch die Messungslinien in rechtwinklige Dreiecke und Trapeze zerlegt, wie Fig. 1 andeutet, deren Fläche F bestimmt wird durch die Formel :

2 F — (xli% —f- b (/?2 4- /13) 4- c (Ji% —|- bą) 4- (l (h j —|— h/) —f— c//-,

Hierbei können sogenannte verschränkte Trapeze, hei welchen die schiefen Seiten von der Aufnahmeachse geschnitten werden, nach derselben Formel wie gewöhnliche Trapeze behandelt werden, indem e /    3ie zwei Parallelseiten mit verschiedenen

/    Zeichen eingeführt werden.

Fig. 1.

Rechtwinklige Dreiecke und Trapeze.

h₂

h3 'S

Fig. 2.

Verschränktes Trapez A B B₍₎ A₀.

(1)

Dieses zeigt die Betrachtung von Fig. 2. Es handelt sich um die Differenz zweier Dreiecke :

L\AA₀S - BB₀S.

f/f

WM

y/KS b Bo r—

iV-

Fig. 3.

(Maßstah 1: 200.)

Dabei ist:

2 A A .1₀ S = a y und 2 /\ B B{) S = b //' 2 ( A A A₀ S — A V S S) = ay - In/. (2) Andrerseits gibt das verschränkte Trapez mit A₀ B₍₎ = a 4-b = x:

X 0/ — y') = (« ■+■ b) (y — /)

— a y - b / -\-by    « y'.

Die zwei letzten Glieder heben sich auf, weil die Proportion besteht:

a: y = b: //' •

99/6'

Es ist also :

* (y — //) = « !) —./,

und durch Vergleichung⁻ von (3) und (2) hat man für Fig. 2 :

2 (A A A₀ S- A SB₀ S) = .x(y - »/')• (4)

(3)

Ah

tfS?

ZZOL^

PO'M

Als Beispiel für diese Art der Flächenberechnung dient Fig. 3 und die dazuge-zz'z/ hörige folgende Zahlenberechnung:

4- (15.88 + (70,28 -+■ (91,56 4- 91.56 X (12.22 4-10,05) 13,27x10.05

13,27) X 30,24 15,88) X (30,24 + 22,04) = + 54,35 x 52,28 = 4- 2841,4 70,23) x (22,04 — 12,22) = 4- 21.33 x 9,84 = 4- 209,5 = 4- 91,56 x 22,27 = + 2039,0 = — 13,27 X 10,05 =

4- 2,61 X 30,24 = 4-    78,9

133,4

Summen : 4- 5168,8

133,4

5035,4 2517,7 qm 25 a 17,7 qm.

Umformungen der Flächenberechnung.

Man kann die Grundformel (1) S. 100 auch in folgende Gestalt bringen:

2 l¹ —- (V(. 4-1 > ) Zig 4- (b 4~ c) Zig 4- (c 4— d) Iią 4~ (d ~4 c) .

Dieses entspricht der nachher zu behandelnden allgemeinen Formel (8).

(Ein Zahlenbeispiel dafür wird bei Fig. 1 § 34 S. 127—128 gegeben werden.) Allgemeiner betrachtet gibt die Flächenberechnung nach rechtwinkligen Koordinaten vier verschiedene Formen, welche wir an dem Beispiel eines Fünfecks zeigen. Denkt man die Zerlegung in Trapeze ausgeführt, mit Ordinaten y, so wird:

2 F = (a*₂ — xd («/₂ + Hl) x2) (2/3 + y2)

*3) (.'74 + 2/3)

G- (x5 —    Ü/5 G- 2/4)

+ 0»i — *5) (2/1 4- 2/5)

Wenn man dieses ausmultipliziert und nach x ordnet, so erhält man :

—    2 F = Xi (y₂ — y5)

G- x₂ (]/:-> Z/l)

+ x3 (//4    z/2)

4- X₄ (y₅ — y?>)

g- x5 (7/1 — y4)

Wenn man dagegen nach y ordnet, so findet man aus (6) :

2 F = y₁ (ar₂ — x₆)

G- y% (■% — x{) g- Z/3 (•/;4 'Wi

G- z/4 (x>5    ■%)

G- Z/5 (x‘l x4)

Dieses kann man noch in eine vierte Form bringen:

—    2 F = (2/2 —Z/i)0«l + x2)

4- (7/3 — Z/2) (x2 G* X₃)

4- (Z/4    Z/3) (x3 G⁻ X4)

G⁻ (Z/5 — Z/4) (x4 + xh)

G-(z/i -Z/₅)feG-*i)

(5)

G- (x3

I.

II.

III.

IV.

4- (x₄

Allgemein :

—" xn) {yn + 1 4- 2/«))

= £ x (y>i + 1 + y>if) •

2F= Z((x,

(6)

Allgemein : — 2 l¹ — Ai (?/« -f- 1

Allgemein : 2 F =Z[yu(xit

Allgemein :

2/>> -

(7)

(8)

£ ({yn +1 — IJn) («« 4- x« + 1)) , = —    (/] y {xn 4~ x>i + i)j •

(9)

Die vier Formeln (6)—(9) S. 101 geben die Fläche F positiv, wenn die Numerierung (1), (2), (3)... im Sinne von links nach rechts geht [z. B. im Sinn (17), (18), (19) in Fig. 4], und wenn, wie bei Landesvermessungs-Koordinaten immer geschieht, die Drehung von x nach -+- y ebenfalls positiv ist (z. B. -+- x nach Norden, y nach Osten).

Fig. 4.

Geschlossenes Polygon mit 15 Ecken (Maßstab 1 : 5000).

X = + 95 400™

18

17

19

20

o-

+ 95 300

I00m

+-]—i—f—(—I—1—f-

-i- 95 200

ó 22

+ 95 100

LO

CM

o

lO

CO

r15 300

-15 200

X = + 95 000

Was sonst noch hierzu zu bemerken ist, erklärt sich am besten durch ein ausgerechnetes Zahlenbeispiel (siehe S. 103 und 104), welches wir zu Fig. 4 gehen.

Wir haben auf S. 104 in Übereinstimmung aus allen vier Formeln, ohne Bück-sicht auf das Vorzeichen -|- oder —, welches hier keine Bedeutung hat:

2 F = 121 345,4 qm F = 60 673 qm

oder

F = 6 IVa 6 a 73 qm .

Nach allen vier Formeln wird man natürlich im allgemeinen nicht rechnen, das geschah in unserem Falle nur zur Vergleichung.

Die Doppelrechnung nach zwei verschiedenen Formeln bietet eine sehr gute Bürgschaft für die Bichtigkeit des übereinstimmend erhaltenen Resultats ; sie hat jedoch gegenüber zwei unabhängig geführten Bechnungen nach nur einer Formel den Nachteil, daß man im Falle der Nichtübereinstimmung der Besultate nicht sofort sieht, wo die Bechnungen auseinandergehen.

Die bei solchen Flächenrechnungen vorkommenden mühsamen Zahlenrechnungen können teilweise ersetzt werden durch die Anwendung von Produktentafeln. deren es heute mehrere gibt; es seien genannt:

(Fortsetzung S. 105.)

Punkt

Koordinaten zu Fig. 4 S. 102 und Vorbereitung zur Flächenberechnung S. 104.

yn

y>‘+1

— yn- 1

Xn

zl x

x» + i yn

— Xn — 1 Vyn 4 1

Xn

(17)    15 442,82m

4 95 329,61m

4- 51,26

13.94

834,38

673,16

(18)    . . 391,56

+ 100,99

. . 343,55

4 49,73

5,29

i+ 8,65

733,39

681,81

(19)

.. 341,83

4 111.45

.. 338,26

4 61.72

0,82

6,11

621.94

675,70

(20)| ..280,11

. . 337,44

4 87,97

— 40,14

— 40,96

472,25

634,74

(21)

. . 192,14

j-t- 49,65

.. 297,30

—152,76

— 38,32

—112,62

422,60

481,98

(22)

. . 230,46

4 7,33 ¹

— 30.99

. . 184.68

—102,54

— 215,16

453.59

266,82

.. 223,13

— 38,84

. .    82.14

— 46,17

4 0,89

- 101,65

492,43

165,17

(29)    .. 269,30

— 130.75

..    83,03

— 84.58

+ 10,81

|+ 11,70

623.18

176,87

(28)    . . 353,88

— 31,37

— 115,95

. . 93,84

6,11

4,70

739,13

181,57

(27) j .. 385,25

— 54,75

. .    87.73

— 23.38

4 8,82

4-    2,71

793,88

184,28

(26)

.. 408,63

I— 30,74

. .    96,55

7,36

— 22,44

- 13,62

(25)

.. 415,99

4-    2,93

. .    74.11

4- 10,29

— 11,05

— 33,49

824,62

821,69

170,66

137,17

(24)

.. 405,70

4 17,83

..    63,06

4 7,54

— 36,89

— 47,94

803,86

89,23

(23)

.. 398,16

61,67

..    26,17

— 69,21

— 32,88

4,51

(10)

.. 467,37

— 44,66

. . 58,55

4 24,55

+271,06

4 303,44 j

865,53

910,19

84.72

388,16

(17)

.. 442.82

+ 75,81

.. 329,61

+ 285.00

.. 391,56

(+ 51,26)|

.. 343,55

(4- 13,94)

Summen

4300,39 ; 4 508,35 — 300.39 j— 508,35

Summen

4337,90

—337,90

+ 616,20 616.20

Flächenberechmmg zu Fig. 4 S. 102.

Berechnung I. (Formel (6) S. 101).

Berechnung II. (Formel (7) S. 101).

Vn

+yn-\-1

Produkt

Ax(yn + y«. + i)

Xn

Produkt

Xn (yn + i—yn — l)

4- 13,94 834.38

—    29 733,39

—    82 621,94

—    40,14 472,25

—    112,62 422,60

—    102.54 453,59

+    0,89    492,43

+ 10.81 623,18

—    6,11    739,13

—    8,82    793,88

—    22,44 824,62

—    11,05 821.69

—    36,89 803,86 + 32,38 865,53 + 271,06 910,19

3 879.6 510.0 18 956,1 47 593,2 46 511,1

4 516,1

18 504,5 9 079,7 29 654,4

: + 179 204,7

Berechnung III. (Formel (8)

Xn+l Xn—i

yn

11 631,3    + 100,99    343,55

Hr 111,45    338,26

+ 149,69    337,44

+ 49,65    297,30

—    30,99    184,68

h~    75,81    229,61

7 002,0

28 025,9 246 716,1

—300 550,2

S. 101).

Produkt

y>i(Xn+ 1 —Xn — l)

34 695,1 37 699,1 50 511,4 14 760,9

5 723,2

3    190,3 10 856.2 10 880.7

4    803.2 2 967.9

217,1 1124,4

24 987,7 ;

1    613,9

2    614,8

+ 163 995,7    — 42 650,2

2 F = + 121 345,5

Berechnung IV. (Formel (9) S. 101).

Xn

+ Xn+1

Produkt

A I) (Xn -+- Xn +• l)

F ß + b « W CO 4^ b 2 ü! js o Oł oo

bo H-¹ Qi

M^IOOWWOOoiOStOMoSoHH

8 " £ 3 g g g 88 g 5 b b 'b g g

3 387,0

2 088,6 , 11 473,3 | 29 351,3 | 49 585,8 I 22 681,2 !

5 565,5 13 931,5 19 449,3 | 1 795,7 !

3 150,3 1 663,2 1 044.0

141 818.8 126 203,7

-h 51,26    673,16

+ 49.73    681,81

+ 61.72    675,70

+ 87,97    634.74

—    38.32    481.98

+ 7,33    266.82

46,17    165,17

-    84.58    176.87

—    31.37    181.57

—    23,38    184.28

—    7,36    170,66

-h 10,29    137.17

89,23

—    69,21    84,72

24.55    388,16

+ 7.54

34 506,2 33 906,3 41 704,2 55 838,1

18 469,5

1 955,8

1 411.5 672,8

9 529.3

7 625.9 14 959,7 5 695,9 4 308.5 1 256,1

5 863,5

+ 155 922,2 -227 267,5

+ 179 524,2    — 58 179,1

2 F= —121 345,3

2 F = -+- 121 345,1

1.    Dr. A. L. Crelles Rechentafeln, Neue Ausg., von Seeliger, Berlin 1907.    3- und 3stellig.

2.    Rechentafeln, nebst Sammlung häufig gebrauchter Zahlenwerte, von Dr. H. Zimmermann,

Regierungsrat, 5. Auf!., Berlin 1907.    3- und 2stellig.

3.    Rechnungstafeln zum Gebrauch für Schulen und Praxis von L. Zimmermann, Liebenwerda 1895, „Zeitschr. f. Venu. 1896“ S. 30. 2- und 3stellig.

4.    Rechentafeln, welche die Produkte aller Zahlen unter 10 000 in alle Zahlen bis 100 enthalten. Große Ausgabe von L. Zimmermann, 3. Aufl., Liebenwerda 1906. 2- und istellig mit einmaligem Zusammensetzen.

5.    Tafel der Viertelquadrate aller ganzen Zahlen von 1—200 000, von Joseph Blater, Wien 1887,

„Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 485

\ (« + br- - -I (« - br-.

4    4

Außer diesen Zahlentafeln haben wir zur Ausrechnung der Produkte für Flächenberechnung als bestes Mittel die Rechenmaschine, welche wir in § 41 behandeln werden.

Besonderer Fall des Dreiecks und Vierecks.

Die Mache eines Dreiecks in den Koordinaten der drei Eckpunkte ausge-

drückt, ist:

2 F = x₁ 0/2 — t/₃) 4- x₂ 0/?, — lh) + Ü/i — 2A>), was man auch in Determinantenform schreiben kann.

(10)

In zwei Glieder umgesetzt hat man :

2 F = 0/i — Vs) («3 — x2) — Dl — xz) (2/3 — 2/2) • Für ein Viereck gestaltet sich die Inhaltsformel ebenso einfach, es wird nämlich nach (7) S. 101 ohne Rücksicht auf das Vorzeichen :

2 V — dq 0/₂ — 7/4) -+- *2 (2/3    2/i)

4- -Bo (i/₄ — t/₂) 4- •b₄ (l/i — 2/3)

27= (2/1 — 2/3) (-*4 — xz)

(H)

I (12)

— Otq — XZ) (i/4 — 7/2)    (13)

Fig. 5.

CL

d'

(V

Diese Formel läßt sieh unmittelbar geometrisch deuten, sie entspricht in Fig. 5 der Differenz zweier Rechtecke :

ab c d — a V c d'.

Indem man das große Rechteck ab cd wieder in vier Rechtecke mit den Diagonalen A B, HC, CD, DA zerlegt denkt, findet man:

2 V — 2 .4 B C D = ab cd — a' b' c' d‘.

§ 27. Flächenbestimmimg nach einem Plan.

Mißt man die Grundlinie a und die Höhe h eines auf einem Plan gezeichneten

ah

Dreiecks, so kann man daraus durch Multiplikation — den Inhalt des Dreiecks berechnen.

Mißt man in einem Viereck eine Diagonale d und die Summe der zugehörigen Dreieckshöhen (/fq 4- \), so ist

2 F = d (h\ 4- 2*2) •

I111 Plan braucht hierbei weder die Diagonale noch die beiden Höhen ausgezogen zu werden; es wird eine Kathete des Zeichendreiecks in die Diagonale gelegt, parallel abgeschoben, bis sie durch einen der gegenüberliegenden Eckpunkte geht, diese Richtung durch eine feine Bleilinie markiert, darauf der gegenüberliegende Eckpunkt projiziert und die Diagonale, sowie die Höhensumme mit dem Maßstab abgelesen.

Sehr zweckmäßig ist hierzu eine mit einem feinen Quadratnetz (Millimeternetz) überzogene Glasplatte mit genau rechtwinklig zueinander stehenden und den Teilungslinien parallelen Schiebekanten, so daß Schiehedreieck und Maßstab vereint sind.

Da jedes Vieleck durch Diagonalen in Dreiecke zerlegt werden kann, so hat man damit auch die Möglichkeit, jede Vieleckfläche zu bestimmen. Dieses Verfahren ist sehr sicher, aber etwas mühsam.

Rasch geht auch das Verwandeln eines Vielecks in ein Dreieck durch das in Fig. 1 angedeutete Verfahren des wiederholten Parallelabschiebens.

Fig. 1.

Flächen vor Wandlung durch Parallelabschieben.

\\

\>

\We

,y‘

In Fig. 1 ist rechts D E F = D E' F und so zweimal auch links, wodurch schließlich das ganze Sechseck in ein Dreieck C' 1) F/ verwandelt wird, dessen Fläche aus der Grundlinie C E’ und der Höhe DD’ erhalten wird.

Bei einiger Übung, wobei die vielen Hilfslinien CA, B B' usw. nicht wirklich gezogen werden, leistet dieses Verfahren für viele Zwecke gute Dienste. Es wird hierbei auch wohl zur Vereinfachung der Multiplikation eine Linie (Grundlinie, Höhe) zu einer runden Zahl (20, 50, 100) gemacht.

Fig. 2.

Zerlegen ln Parallelstreifen.

Zu diesen Verwandlungen hat Vermessungsinspektor Hofmann ein Hilfsinstrument für das Parallelabschieben konstruiert, welches in der „Zeitschr. f. Venn. 1874“ S. 83—85 von Doll beschrieben wurde (auch in Sicklers Instrumentalkatalog). Man vergleiche zu solchen Flächenbestimmungen auch „Deutsche Bauzeitung 1890“ S. 537, und für theoretisches Interesse sei hier noch zitiert: Collignon, E., Graphisches Verfahren zur Flächen Verwandlung. Annales des ponts et chaussés 1887 S. 9; „Zeitschr. f. Venn. 1888“ S. 294.

Ein Naherungsverfahren zur Flächenbestimmung, namentlich für unregelmäßige langgestreckte Figuren, ist in Fig. 2 angedeutet. Man legt ein Netz von Parallelen (Pauspapier, Fadennetz, „Harfe“, „Zeitschr. f. Venn. 1872“ S. 64), deren Abstand eine runde Zahl, etwa 2wm ist, auf die zu bestimmende Fläche und ermittelt die Summe der „verglichen“ in der Mitte zwischen den Netzlinien gemessenen Längen der entstehenden Streifen durch Abgreifen und mechanisches Addieren mit dem Zirkel, so daß man durch Multiplikation dieser Summe mit dem Abstand der Parallelen die Fläche bekommt. Hierzu hat man auch „Additionszirkel“, welche bis zu einem festen Anschlag eine konstante, runde Länge gehen und durch ein Zählrädchen die Anzahl der vollen Anschläge zählen.

Auch die schon S. 106 erwähnte, mit Quadratnetz versehene Glastafel eignet sich sehr gut zum Ablesen der mittleren Höhe der Streifen, indem durch Parallelverschieben die Anfangslinie jedesmal in die untere Grenzlinie des Streifens gebracht und an der oberen abgelesen wird.

Nach diesem Prinzip ist von Mönkemöller ein sehr empfehlenswertes Schiebeplanimeter konstruiert worden, welches in „Zeitsehr. f. Verm. 1895“ S. 881—336 beschrieben ist (vgl. auch „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 443). Die Aufsummierung der Streifenhöhen erfolgt hierbei durch eine auf einer Gleitschiene laufende Rolle. (Vgl. auch .Der Kartenmesser“ von Mauck „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 273—282.)

Fig. 3.

C= Viercckspunkt a.

Kloths Hyperbeltafeln. Da eine Hyperbel mit rechtwinklig sich schneidenden Asymptoten der geometrische Ort für konstantes Produkt xy ist, kann man sie zur Flächenbestimmung benützen. Die von Katasterkontrolleur Kloth in Osnabrück erfundene Tafel zur mechanischen Flächenermittlung besteht aus einer durchsichtigen Platte, deren Unterseite auf dem Wege der verkleinerten Photographie mit zwei symmetrisch liegenden halben Scharen gleichseitiger Hyperbeln überzogen ist.

Die Hyperbelkurven besitzen alle dieselben Asymptoten in der nebenstehenden Figur C A und C B. Die zu ermittelnde Fläche zerlegt man, wie bei einer Zirkel- und Maß" stabberechnung, in Dreiecke und Vierecke.

Ein Viereck, ab cd, wird in folgender Weise berechnet: Man legt die Tafel so auf die Karte, daß der Asymptotenschnittpunkt C auf einen Eckpunkt, etwa o, fällt, und die Achse der Tafel CA durch den gegenüberliegenden Eckpunkt b geht. Hierauf wird die Tafel an einem Lineal verschoben, bis C A durch den Punkt c geht. Sodann liest man an dem Punkt b zwischen den Kurven den Flächeninhalt des Dreiecks abc ab. Hierauf verschiebt man die Tafel an dem Lineal so weit, daß die Linie C .1 durch den Punkt ä geht. In dieser Lage wird bei b zwischen den Kurven der Inhalt des Dreiecks abd abgelesen.

Vgl. Wilski .Zeitschr. f. Verm. 1S92“ S. 628—629; vgl. hierzu auch Schlebach „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 60 und Kloth „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 338-340.

Waues Flächenmesser. Wird zur Grundlinie s eines Dreiecks (Fig. 4) in beliebigem Abstande h eine Parallele gezogen und mit s um B ein Bogen T geschlagen, so ist der senkrechte Abstand des Punk- ! tes A von C B ebenfalls gleich h. Wenn hierauf fi j mit Hilfe einer Parallelen zur Grundlinie durch C \ die Strecke s' gefunden wird, so ist der Inhalt j

Es werden also

Fig. 4.

s' h

h/

des Dreiecks ABC gleich — .

durch diese Konstruktion Dreiecke von beliebiger Gestalt in Dreiecke von der konstanten Höhe h umgeformt.

Nach diesem Grundgedanken ist das Wauesche Flächenberechnungsinstrument konstruiert, hei dem mit Hilfe eines beweglichen eingeteilten Lineals die Strecke s' für beliebig gestaltete Dreiecke gemessen werden kann. Da die Höhe h konstant

s' h

bleibt, so ist das Lineal derartig geteilt, daß man unmittelbar das Produkt — ablesen kann. (Vgl. „Zeitschr. f. Venn. 1905“ S. 554—558.)

Änderung de.* Papiers.

Das Zeichenpapier ändert seine Größe bei verschiedenen Feuchtigkeitsverhältnissen, auch sind die Änderungen nach verschiedenen Richtungen durchaus nicht immer gleich. Ungleiches Eingehen ist die Regel bei feucht gedruckten lithographierten Karten, welche in der einen Richtung bis zu 1%, in der anderen 1,5% Eingang zeigen, was von dem Durchziehen unter der Walzenpresse herrührt.

Wir betrachten zuerst [die Änderung nur nach einer Richtung eines Quadratnetzes, wie in Fig. 5 angedeutet ist. Hier sei A'B' eine unrichtige verkürzte Seite und AB die ursprüngliche richtige Länge, welche schief angelegt ist, um Proportionalabmessung des Stückes A! P oder B' P mit Hilfe eines hölzernen Anlegemaßstabes anzudeuten.

(In dieser Weise pflegte Verfasser Koordinaten aus den lithographierten württembergischen Flurkarten abzumessen ; vgl. auch Hammer „Zeitsehr. f. Venn. 1895“ S. 161.)

Fig. 5.

B'S

A/T

Änderung nach einer schiefen Bichtung.

Ein Quadrat (Fig. 6) hat nach einer Richtung p % und nach der dazu rechtwinkligen Richtung #% Eingang; um wie viele Prozent p' % ist die schiefe Linie 1 eingegangen, welche die Katheten a und b abschneidet?

Es seien a, b, 1 die ursprünglichen (richtigen) Maße und bzw. a', ?/, V die durch den Karteneingang veränderten Maße, dann bestehen die Gleichungen:

Fig. 6.

V%

/ : y «2 _f_ iß Der Annahme zufolge ist:

r = ya'*-\-b%

a' = a 1

100

r,%

V'

(1)

löör

Es ist hinreichend genähert :

also

p%

«' 2 = a 2

U-m

V 100/

a' 2 + V 2 = «2    b 2 —

i*₀(a2p + lß<i) = (a2Äb2)h

2 «² p + b² q)

100 a- + iß

}/a’ 2 + b'2 = F = i(l

1 a-p -j~ Iß g\

lÖO ff² _|_iß. )■

(2 )•

Die Vergleichung von V nach (1) und (2) gibt den gesuchten prozentischen Eingang p' nach der schiefen Richtung von 1 :

(3)

P' =

a%p + b²ÿ

fl2 + &2    •

Eine Flächenberechnung nach dem Plan bekommt also unter allen Umständen den Prozentsatz p + q als Zuschlag, mag die Berechnung nach den Hauptrichtungen, mit den Eingängen p und q selbst , oder nach irgend welchen anderen Richtungen oder auch mit dem Planimeter gemacht sein.

Bei mit Quadratnetz versehenen Karten wird der Karteneingang durch Maßvergleichung in den Koordinatenrichtungen festgestellt.

Die allgemeine Theorie des Karteneingangs behandeln W. Laska („Zeitsehr. f. Verm. 190(5^ S. 113 — 121) und K. Fuchs („Zeitschr. f. Verm. 1907“ S. 289—298).

Bemerkt sei, daß sich herausgestellt hat, daß zu große Stärke und Schwere des Papiers nicht günstig ist. Schwächere Papiere haben vielfach ein gleichmäßigeres Verhalten gezeigt als stärkere, am besten hat sich „Büttenpapier“ bewährt. Auch das Aufziehen auf Leinwand und das Zusammenzweifelhaftem Erfolg. Von besonderer Bedeutung ist der Aufbewahrungs

kleben (Karton) ist von

können.

Die Formel (3) sagt in Worten: p' ist ein arithmetisches Mittel ans p und q, wobei diesen Werten die Gewichte a- und h- heigelegt werden.

Man kann auch den Richtungswinkel der schiefen Geraden einführen; setzt man

nämlich :

b ,

— = tang q

so wird p' = p cos² q> -p q sin² q

(4)

Diese Bestimmung des Eingangs nach einer schiefen Richtung ist hei Flächenermittlungen nur dann nötig, wenn es sich um eine aus dem Plan abgenommene Dimension handelt, wobei die andere Dimension etwa unmittelbar im Felde gemessen sein kann. Dagegen hei Flächenbestimmungen aus zwei rechtwinklig zueinander stehenden Kartenmaßen kommen immer nur die Eingänge der Ränder p und q in Betracht, wie folgende Betrachtung- zeigt :

In Fig. 7 werde ein Rechteck m x n berechnet, wobei in den schiefen Eingang p' und n den schiefen Eingang q' haben soll ; dann ist nach (4 ) :

p' = p cos² q> -j- ([ sin² q>    und q' = p sin² q + q cos² q

also zusammen:

Fig. 7.

-ci-P%

b m ¹¹

p' + q' = p + q

Statt mn hat man also zu rechnen:

(5)

'?%

in n 1-4-

p'

100

100

= in ii

P + g\

loo r

und Gebrauchsort, welcher möglichst geringe und gleichmäßige Feuchtigkeit und mittlere gleichmäßige Temperatur haben soll. Daher zeigen im allgemeinen in Amtsräumen lagernde Karten nur geringe Änderungen, während Karten, welche sowohl im Zimmer als auch im Felde gebraucht, gerollt und verpackt werden, recht erhebliche Änderungen erleiden

§ 28. Genauigkeit der Flächenbestimmung.

einige theoretische Betrachtungen anstellen,

Über Flächengenauigkeit kann

wenig unmittelbare Anwendung gestatten, aber doch die wichtige Frage Wir werden daher hier zuerst einige solche theoretische Formeln

man

welche zwar einigermaßen auf hellen, entwickeln und nachher die Ergebnisse der Piaxis anfügen.

Wenn ein Rechteck aus zwei Seiten n und b berechnet wird, so ist die Fläche :

F = a Xb.

(1)

VV enn nach Fig. 1 die Seiten a und b die Fehler + A a und + A h haben, so wird auch die Fläche F einen Fehler + A F erhalten, und zwar ist :

F + Zf F — (a + A a) x (b + A b) = ab + aA b + b A a 4- A a A b . Vergleicht man dieses mit (1) und vernachlässigt dabei den kleinen Wert A a Ab,

so wird :

+. A F = + a Zl b + b zl a

Wenn zl a gleich zl b ist, dagegen a erheblich größer als b, so ist auch der Fehlerteil « zl b viel größer, als b 1 a. Daraus erklärt sich die jedem Landmesser geläufige Kegel, daß man |! hei langgestreckten Grundstücken die kurzen Seiten £.a verhältnismäßig viel genauer messen soll, als die langen Seiten, und bei den langgestreckten Eigentumsstücken (Fig. 2), welche der Feldbearbeitung wegen die gewöhnlichen sind, kann man deswegen es so einrichten, daß die Breiten

A B, CI) usw. unmittelbar im Felde auf 1 cm genau gemessen, die Längen A C, Bl) usw. aber nur aus dem Plan, vielleicht auf 0,1 m genau abgenommen werden.

Wir kehren nach diesem zu unserer theoretischen Fehlerformel (2) zurück, und machen jetzt die Annahme, daß zla und zlh nicht bestimmte Fehler, sondern von jetzt ab mittlere Fehler vorstellen sollen, dann wird der mittlere Fehler Zl F :

A F = Y(aAb)* + (bJa)t.    (3)

Um weitere Schlüsse hieraus zu ziehen, muß man Annahmen machen in bezug auf die Fehler A a und A b.

I. Annahme. In der Formel (3) sei : A a = Ab — c

oder die Längenfehler sind konstant, von den Längen selbst unabhängig, was etwa heim Abstechen aus Plänen stattfindet ; damit haben wir durch Einsetzen von (4) in (3) :

A F = c V«2 + Iß.

Der Flächenfehler ist proportional der Diagonale des Kechtecks.

Wir wollen nun statt der beiden Seiten a und b die Fläche F und das Seitenverhältnis a : b einführen, d. h. wir setzen :

ab = F und

Fig 1.

Fig. 2.

C'

>S’

sr

srf

Çf l/l

y o

A JB

A'

Dadurch werden b und a in F und n ausgedrückt :

a = VFn.

Damit wird (5) :

(2)

(4)

(5)

(6)

Hiernach haben wir (abgesehen von n) den Satz, daß beim unmittelbaren Abmessen aus einem Plan der Flächenfehler A F proportional der Quadratwurzel der Fläche F ist.

Um Zahlenwerte einzuführen wollen wir setzen

Abmeßfehler : c =    0,1 mm

und berechnen danach zur Übersicht folgende Tabelle:

(9)

Fläche F

Vf

n—\

ii — 2

n — 10

qcm

Cm

qcm

A F-

25

100

10

225

15

400

20

900

30

H    t-    H    00    <M

©    ©    rH    cy    -<*

©    ©    ©    ©    ©    ©

J    (M    CO CO    41    N    t-

g    ©    © tH    <N    CO    ^

W ©*'©©<© © ©

”*3

S    CM    y*    CO    t*    t£>    CO

§    O    tH    CO    CO

©    ©    ©    ©    ©    ©

qcm

OO CI CO ^ IO ^ ^

© © o o © ©

II. Annahme. In der Formel (8) sei :

A a = C a ,

Ab = Cb

(11)

oder die Längenfehler sind den Längen selbst proportional ; dieses gibt durch Einsetzen in (3) :

/] F = CV{aty² + (« W = CVZF-

In diesem Falle ist also der Flächenfehler proportional der Fläche F selbst, und vom Seitenverhältnis n unabhängig.

III. Annahme. In der Formel (3) sei:

A a = Je Ya ,

oder die Längenfehler sind den Quadratwurzeln der Längen proportional, was hei unregelmäßigen Fehlerursachen zutrifft. Durch Einsetzen von (13) in (3) hat man: A F = h V«²b A b* a = kVab(a + b).

Wenn man wieder das Seitenverhältnis n nach (6) einführt, erhält man:

= Je p' F³ ]/l -f- n oder = Je pF³ p n ~j/1 H---.

Je nachdem n gewählt wird, hat man es mit einem mehr oder weniger gestreckten Rechteck zu tun.

n = 1 gibt :

A F = Je p/F³ Ÿ2 = 1,414 Ä- p~F~³

Ab = Je Vb

(12)

(13)

(14)

(15)

n = 10 oder n — 0,1 gibt:

A F = Je Y F³ y 12,T = 1,865 Je pF³ .

(16)

Den mittleren unregelmäßigen Fehler der Latten- oder Bandmessung nehmen wir, um zugleich kleine einseitige Fehlerteile mit zu berücksichtigen, nach § 21 S. 78 zu 5 cm auf 100 m oder 0,005 m für 1 m, d. h. :

oder

A a = 0,005 Y a

Setzt man dieses in (16), so wird: für « = 1, A F — 0,00707 pF³ |

Je = 0,005 m .

(17)

für n = 10, A F = 0,00932 VF³. (18)

Hiernach ist folgender theoretischer Flächenfehler für Feldmessung berechnet:

Fläche F

Quadrat

Rechteck 1 X ¹⁰

qm

qm

1 qm =

10    „    =    10

A F — 0,01

qm

AF — 0,01

0,04

0,05

(19)

100

0,2

0,3

10 „

1000

1,3

1,7

lha = 10000 10 „ = 100000

7,1

9,3

39.8

52,4

Dieses sind rein theoretische Fehlerwerte; in der Praxis werden die Fehler immer größer sein, weil außer den von uns betrachteten Längenfehlern A a und A b immer noch andere Fehlerquellen vorhanden sind.

Für die Praxis kann unsere theoretische Betrachtung nicht viel mehr bieten, als die Form der Fehlerfunktion, welche jedenfalls nicht nach (12) gewählt werden darf; oder es sind die früher in manchen amtlichen Vermessungsvorschriften gegebenen Flächenfehler-Bestimmungen nach Prozenten (z. B. l/₂ % Grenzfehler) jedenfalls zu verwerfen. Für Feldmessungen wird man wohl eine zwischen (8), (12) und (15) vermittelnde Form anzunehmen haben.

Ergebnisse der Praxis. Fehlergrenzen.

Bei der preußischen Katastervermessung sind für die Flächenberechnung Genauigkeitsbestimmungen getroffen worden, wobei die Form angenommen wurde:

A = 0,01 Y60 F -+- 0,02 F% oder = Y0,0060 F + 0,000002 F2 (Anweisung VIII vom 25. Oktober 1881 S. 74 und 175), wo F den Flächeninhalt in Aren und A die höchstens zulässige Abweichung zweier Flächenberechnungen, ebenfalls in Aren, bedeutet. Aus der hierzu gehörigen Fehlertabelle bilden wir folgenden Auszug:

Fehler grenzen für Flächenberechnung nach der Anweisung VIII.

Fläche

Zulässige

Abweichung

Fläche

Zulässige

Abweichung

2 ,,

8 qm 11 .

16 „ =0,16 „ 19    „ = 0,19 „

0,08 a oder 8,0 %

0,11 „

5,5

4,0

3,2

10 »

22 * 25 „

0,22 „

0,25 „

2,8

2,5

10 ha 20 „ 40 „ 60 „ 80 „ 100 „

cö

oder 0,280 "/„ 0.225 0,188 0,173 0,166 0,161

20 a

50 *

100 „ 200 „ 500 „ 1000 „

1 ha

10 A

35 qm 55    „ = 0,55 „

79 „

0,35 a oder 1,75 n/₀

1,10

113    „

187 „ 283    „

0,79 „ 1,13 * 1,87 „ 2,83 „

0,79

0,56

0,37

0,28

200 ha 300 „ 400 „ 500 „ 600 „ 700 „

oder 0,152 0/,, 0,148 0,146 0,146 0,145 0,144

Weitere neuere amtliche Bestimmungen über Flächengenauigkeit findet man an den Stellen, die wir bereits in § 21 S. 80 zur Längenmeßgenauigkeit zitiert haben.

Ausgleichung von Flächenbestimmungen.

Bei der Flächenbestimmung handelt es sich hauptsächlich um Mittelbildung aus den für die gleiche Figur mehrfach auf verschiedene Weise berechneten Größen. Ist hierbei eine Bestimmung genauer als die andere, so können passende Gewiehtszahlen angenommen und nach dem allgemeinen arithmetischen Mittel § 8 gerechnet werden. Ist eine Berechnung aus Koordinaten oder Messungszahlen, eine andere graphisch erfolgt, so kann die erstere unmittelbar als Ergebnis, und die letztere lediglich als Probe betrachtet werden. Alle diese Berechnungen müssen innerhalb der dafür festgesetzten Fehlergrenzen übereinstimmen.

Bei Anwendung der Flächenbereclmung im großen wird jede einzelne Fläche doppelt berechnet, und, wde angegeben, das Mittel gebildet. Für abgeschlossene Flächenkomplexe mit vielen Einzelflächen (Kartenblätter, Blöcke, Fluren) wird zuerst der Flächeninhalt für die ganze Fläche durch eine „Hauptberechnung“ (am besten aus Koordinaten wie für Fig. 4 S. 102) als „Sollwert“ festgestellt und auf diesen das Ergebnis der Einzelberechnung proportional der Flächengröße verteilt. Hierbei kann nach § 9 S. 25 der mittlere Fehler der „Berechnung der Flächeneinheit“ sowie der einzelnen Flächen abgeleitet werden. Zu Genauigkeitsbestimmungen bei den in der Praxis zahlreich vorkommenden Doppelberechnungen von Flächen ist besonders die in § 10 S. 27 behandelte Bestimmung des mittleren Fehlers aus Beobachtungsdifferenzen geeignet.

§ 29. Besondere Formeln für Dreiecke und Vierecke.

Als Vorbereitung der später folgenden Theorie der Flächenteilung behandeln wir die wichtigsten Flächenberechnungsformeln:

1. Gegeben ist die Grundlinie c und die Höhe h eines Dreiecks (Fig. 1), dann ist die Dreiecksfläche :

c ll

(1)

2. Gegeben zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel b c a (Fig. 1), dann ist : A = -^~bc sin a .

(2)

Fig. i.

3. Gegeben eine Seite c und die beiden anliegenden Winkel

a und ß.

Nach (2) und nach dem Sinussatz ist: 2 A = b c sin a und b —

a.

QCu

sin y

e² sin a sinß _ c² sin a sin ß sin (a ß)

oder 2 A —

C²

cot g a -h cot g ß '

(3)

siny

Diese Formel findet man auch, mehr geometrisch, durch Zuziehung von Fig. 1, mit Zerlegung c = p -+- q.

4. Wenn alle drei Seiten a , b , c eines Dreiecks gegeben sind, so berechnet man die Fläche A na°h 3er Formel:

A = V« (s — «) (s — b) (s — c),

wo s =

ci —J— b —j— c

(4)

•Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aull.

Mg. 2.

c'

Fig. 3.

5.    Man kann die Produktformel (2) auch allgemeiner auffassen. Wenn nach Fig. 2 die Seiten b und c sich schneiden, also die Diagonalen eines Vierecks bilden, so ist, wie leicht einzusehen, die Vierecksfläche F bestimmt durch :

2 V —bcsin a.

6.    Eine weitere Verallgemeinerung der Produktformel (2) bekommt man durch Betrachtung zweier Seiten b und c, welche sich gar nicht treffen.

Fig. 3 gibt:

(5)

Ąa.

b c sin a = (ßb b') —    ^(c -f- c') — c') si

' d 'C

= (b -(- b') (c -I- c') sin a

—    (b -f- b') c¹ sin a

—    (c —f— c') b’ sin a -4- b' c' sin a

z/K

JE b

d. h.:

Dû H—¹

b c sin a = 1+11 a III a IV + T'

-(J +III +F) + IV -f- F)

-{I

hieraus :

b c sin a = 2 (II— I).

(6)

7. Die Fläche F eines Trapezes, dessen Parallelseiten a und b sind, mit dem Abstand li, wird berechnet

2 F = (a + b) h .

8. Ein beliebiges Viereck ABCD (Fig. 4) wird aus drei Seiten c, a, b und den beiden davon eingeschlossenen Winkeln A und B berechnet durch die Formel: 2 V= ca sin A-\- ab sin B — cb sin (A + B).

Dieses wird mit den Hilfslinien von Fig. 3 begründet:

casinA = 2&DAB = 2(IV-VlI) ab sin B = 2 /\ A B C — 2 (III -f- II)

— cb sin (A + B)

Fig. i.

= — 2 (II — J) , wegen (6)

(7)

(8)

A'

Fig. 5.

my

=?

Summe = 2 (JF-f IIIA-11+1) = 2 V.

Das letzte Glied in (8), nämlich c b sin (A + B), hat außer der soeben benützten Bedeutung 2 (II — I) nach (6) auch die Bedeutung des doppelten Dreiecks C B D' = M (Fig. 4). Wir nennen dieses Dreieck M das Konvergenzdreieck für die Seiten c und b, und entsprechend AB D' — N das Konvergenzdreieck für die Seiten a und d.

■fl

Die Formel (8), angewendet auf das nachfolgende Viereck Fig. 5 lautet:

2 F = a m sin a A an sin ß — mn sin (a A~ ß) •

9. Wenn zwei Gegenseiten ab gegeben sind (Fig. 5), und alle Winkel a ßy ö (nämlich drei Winkel unabhängig, und der vierte durch die Summe a + ß -4- v + ö = 360°), so kann das

(9)

Yiereck als Differenz zweier Dreiecke nach (3) aufgefaßt werden, und es ist daher die Yierecksfläche V bestimmt durch:

«2

cotg a + eotcj ß cotg (180° — y) + cotg (180° — S)

«2

(10)

cotg a -f- cotg ß cotg y -f- cotg d '

Wir werden bei den Aufgaben dieses Kapitels zum Teil schon die allgemeinen Formeln der Koordinaten- und Azimutrechnung benützen, welche wir erst in Kapitel YIII eingehender behandeln werden. Es können somit die einzelnen Werte unserer Gleichungen auch durch Koordinaten ausgedrückt und in die Formeln eingeführt werden.

§ 30. Teilung eines Dreiecks.

I. Es ist ein Dreieck ABC (Fig. 1) gegeben, und auf einer Dreiecksseite ein Punkt M. Es soll durch M eine Teilungslinie MN gelegt werden, welche den In-

rig. l.

halt M AN = F absehneidet. (In Fig. 1 ist bei M in kleiner Fehler.)

Die einfachste Auflösung dieser Aufgabe besteht darin, daß man von M die Höhe MF und die Seite AN fällt, und dann die Seite AN — m berechnet nach der Bedingung :

2 F

NI,

m (M E) = 2 F ,

(1)

ME'

Wenn man nicht unmittelbar im Felde die Höhe M E fällen und messen kann, und wenn dagegen die Seite AM und der Winkel A gegeben sind, so berechnet man :

M E = A M sin A , also :

Hf

■>

(2)

A M sin A ’

Man kann diese einfache Aufgabe auch dadurch lösen, daß man die Länge der Senkrechten D N berechnet :

DN=--

AM'

(3)

Dann steckt man eine Parallele zu AM im Abstand 1) N, und bestimmt den Punkt N als Schnitt dieser Parallelen mit der Geraden A B.

Fig. 2.

VjO

H. Yon einem Dreieck BAC (Fig. 2), oder wras hier dasselbe ist, von einem offenen Winkelraum B AC = <x, soll eine Fläche F abgeschnitten werden durch eine Teillinie P N M, welche durch einen gegebenen Punkt P geht, und zwar sei P gegeben durch den Winkel B AP — ß, und durch die Entfernung A P = a.

ft

Wir setzen die Abschnitte A N — n und A M = m, und haben dann zwei Gleichungen :

m n sin a = 2 F (Fläche)

m n sin u -(- n a sin (ß — a) = a m sin ß (Gerade M N F).

Bestimmt man n aus (5) und setzt es in (4), so wird:

rn sin a

a m sin ß

m sin a + a sin (ß — a)

a m² sin a sin ß = 2 m F sin a + 2 a F sin (ß — a)

_ F sin u + Y F² sin² a + 2 F «² sin a sin ß sin (ß — a) a sin a sin ß

oder

a sin ß~ a sin ß Das zugehörige n wird nach (4) :

n - -

1+2

n sin ß a sin (ß — u)

sin a

(6>

m sin a '

(7>

Es Ist nicht uninteressant, vom rein algebraischen Standpunkt die verschiedenen Lösungen zu betrachten, welche diese quadratische Gleichung (6) darbietet.

Lassen wir a und ß kleiner als 180° bleiben, so ist die Wurzel in (6) immer reell, wenn ß — a positiv, oder ß größer als a ist, d. h. nach Fig. 2 S. 115. wenn der Punkt P außerhalb des Winkelraums a liegt. Man bekommt dann zwei reelle 'Werte m, von denen aber der eine negativ

ist, und einem Abschneiden auf der Rückverlängerung von A B entspräche, was keine praktisch brauchbare Lösung gibt.

Fig. 3.

.N

Pa

0‘

.a

Wird ß = er, so liegt der Punkt P auf der Geraden A C selbst, und wir haben den früheren einfachen Fall von Fig. 1 S. 115, was sich auch daran zeigt, daß dann (6) mit dem oberen Zeichen in (2) übergeht. Las untere Zeichen gibt mit ß — <x in (6) m = 0, was mit n — oc als unendlich langer und schmaler Streifen zu deuten wäre, und praktisch bedeutungslos ist.

Wird ß kleiner als a, so liegt der Punkt P im Innern des Winkelraumes «, und dann hat man nochmals zwei Fälle zu unterscheiden, ob nämlich die Wurzel in (6) reell oder

imaginär wird; im ersten Fall hat man zwei Werte m, im zweiten Falle keinen. Nach Fig. 3 erklärt sich das geometrisch durch das Parallelogramm mit der Diagonale A P, welches die Fläche hat:

sin (a — fl)

A Q P Q’ = A Q X V = a² sin ß

sm n

III. Von einem Winkelraum MAN — a (Fig. 4) soll eine Fläche MAN = F abgeschnitten werden durch eine Teillinie MN, welche einer gegebenen Geraden Mr Nr Fig. 4.

N!

parallel werde. Damit sind die Winkel ß und y des Dreiecks MA N bestimmt, und damit auch das Seitenverhältnis :

n sin ß m s in y

Hierzu hat man noch die Flächengleichung :

(8)

(9)

mV

m n sin a = 2 F.

Damit hat man zwei Gleichungen, welche sieh leicht nach m und n auf lösen lassen, nämlich:

-y

sin y

"Ce

sin a sin y

Wegen a M ß + y = 180° kann man diese auch so schreiben:

sin a sin ß

m = Y2 F (icotg a + cotg ß) was auch unmittelbar aus (3) § 29 S. 113 folgt.

n = \[2 F {cotg a + cotg y),

Zu diesen Dreiecksteilungen ist zu bemerken, daß alle Geraden, welche von dem Winkelraum a ein konstantes Flächenstück abschneiden, Tangenten einer Hyperbel sind mit den Schenkeln des Winkels a als Asymptoten. (Weiteres gibt eine Abhandlung von Zwicky in der „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 24—28 und 38—41, vgl. auch Kloths Hyperbeltafel Fig. 3 g 27 S. 107.)

§ 31. Parallelteilimg von Tierecken.

I. Von dem Viereck ABC D (Fig. 1) soll ein Stück F abgeschnitten werden durch eine Parallele MN zur Seite AB.

Denkt man sich die Seiten A I) und B C bis zu ihrem Schnitt verlängert, so erscheint das Trapez F als Differenz zweier •ähnlicher Dreiecke, es ist also nach (3) § 29 S. 113:

Fig. 1.

D,

ff²

æ²

NC

cotg a + cotg ß cotg a + cotg ß ' Diese Gleichung nach x aufgelöst gibt: x = Y a% — 2 F (cotg a H- cotg ßj 2 F

(1)

NI,

IW

*==àN

J!

und sodann:

(2)

a A- x

Die Winkel a und ß brauchen nicht in Gradmaß gegeben zu sein; häufig kann man cotg a und cotg ß unmittelbar bestimmen, wie folgendes Beispiel mit Fig. 2 zeigt:

Das Viereck ABC T) soll durch eine Parallele MN zu AB halbiert werden.

Man nimmt das Viereck durch Koordi-

Fig. 2.

37.10

li

30.02

-69.00-

JT

15.3t

naten in Beziehung auf A B als Aufnahme-linie auf, und berechnet die Fläche desselben aus den Aufnahmemaßen nach (8) § 26 S. 101, nämlich :

Ä\oc

P>‘~

OTT

-SO. 20-

/3\ B

59. 22

65.30

oder auch

37,10 X 54,12 = 2007,85 30,02 X 85,30 = 2560,71

5,10 x 37,10 =

59,22 x 67,12 = 3974,8 26,08 x 30,02 = 782,9

— 189,2

-t- 4757,7— 189,2 2 V — 4568,5

2 V = 4568,56

Fläche des Vierecks V = 2284,3.

Wenn das Viereck halbiert werden soll, so ist das von unten abzuschneidende

Flächenstück F gleich der halben Vierecksfläche, also 2 F — V = 2284,3 — 5,10

26,08

(3)

= + 0,8688

= — 0,1375    , cotg ß =

cotg a -f- cotg ß = -+■ 0,7313 x = V8Ö^Ö² — 2284,3 X 0,7313 = 69,00 2284,3

V ~ 80,20 + 69,00

Damit läßt sich die Parallele MN abstecken, worauf man die Probe hat, daß ihre Länge MN = x — 69,00 sich ergeben muß. Zur Absteckung kann man auch A M und B N berechnen.

Zur weiteren durchgreifenden Flächenprobe kann man die Fläche des Best-Vierecks MN CI) nochmals unabhängig aufnehmen, etwa durch eine Diagonale I)N mit ihren zwei Senkrechten oder den Ordinaten von M und N in bezug auf die Abszisse DC, wobei diese Eestfläche auf wenige Quadratmeter genau wieder = F = 1142 qm werden muß.

cotg a =

37,10

30,02

= 15,31 .

II. Vierecksteilung parallel einer beliebigen Gerculen M' N'.

In Fig. 3, soll die Fläche AB NM — F werden, wobei die Teilungslinie MN parallel M' N' sei.

Fig. 3.

Man kann diesen Fall auf den vorhergehenden Fall von Fig. 1 zurückführen, indem man durch A die Parallele AB' zu M’ N' legt, das Dreieck ABB' berechnet und dann die Teilung auf AB' N AI bezieht.

D,

Man hat also gegeben A B = «, Winkel bei A = a,

Ml

;b'

otp

Winkel bei B = ß. Die Parallelenrichtung sei durch den Winkel cp gegeben, dann ist auch bekannt:

Winkel a — qp bei A

und

Winkel ip = ß + cp bei B'

A¹

Süß

a . _

—- sin ß smxp r

2 A B B’ = a a' sin cp oder = a B B’ sin ß .

Statt A B N M = F von A B aus abzuschneiden, schneidet man nun nach dem vorigen Falle F — /\ABB' von A B' aus ab.

Statt dieser Zurückführung auf die vorhergehende Aufgabe kann man die Vierecksteilung parallel einer beliebigen Geraden auch unmittelbar nach Fig. 5 § 29 S. 114 behandeln, indem man die dort erhaltene Gleichung (10) nach b auf löst und dann in und n berechnet. (In dritter Auflage dieses Bandes, 1888, S. 63.)

<P

AB' = a' =

BB' =

a

— -sin cp sm >p

(4>

(5>

§ 32. Vierecksteilung durch gegebene Punkte.

I. Von dem Viereck ABC D (Fig. 1) soll ein Stück AB NM = F abgeschnitten werden durch eine Gerade MN, welche durch einen auf AI) gelegenen Punkt AI geht.

Es sind also die zwei Seiten a, m, die zwei Winkel a, ß und der Inhalt F gegeben, und man hat nach (9) § 29 S. 114 die Gleichung:

Fig. 1.

\C

2 F — a m sin a-j-an sin ß — in n sin (a -h ß).

Diese Gleichung kann man nach n auflösen :

a m sin a

a sin ß — m sin (a -+- ß)

Diese Aufgabe kann in folgender Weise sehr praktisch verwertet werden :

Man habe auf irgend eine Weise, z. B. durch Konstruktion, auf einem Plane-eine Teillinie MN gefunden, welche die Flächenteilung nahezu liefert, welche außerdem nach irgend welchen anderen Rücksichten, z. B. mit Richtung nach einem entfernten Punkte oder parallel einer gegebenen Geraden oder dgl. gelegt wurde.

Da nun solche Nebenbedingungen gewöhnlich nur beiläufig so genau erfüllt werden müssen, als die Planzeichnung zeigt, während die Flächenteilung so genau richtig werden soll, als man auf dem Felde messen kann, ist es völlig genügend, den einen Abstand m nach dem Plan anzunehmen, und den anderen dazugehörigen Abstand n nach der Formel (1) scharf zu berechnen.

SH

'a

,N

,n

(1>

II. Von dem Viereck ABC D (Fig. 2) soll ein Stück AB NM = F abgeschnitten werden, durch eine Gerade A'MN, deren Festpunkt A' auf der Verlängerung von BA liegt.

Fig. 2.

,c

Nach (3) § 29 S. 113 hat man durch Betrachtung der zwei Dreiecke A! B N und A ' A AI :

(a + cj²

C2

A‘

m|q

\ n

F P\

tt

cotg (f -+- cotg ß    cot g (f — cot g a '

wo

Diese Gleichung kann nach cotg qp aufgelöst werden :

2 F (cotg² (f H- cotg cf (cotg ß — cotg «) — cotg a cotg ß) = cotg (f ((a    c)² — c²) — (a + c)² cotg a — c² cotg ß.

Dieses ist eine quadratische Gleichung von der Form:

A cotg² cf — B cotg qp —ł— <7 = 0,

=    2 F'

=    2 F (cotg a — cotg ß) + (a -+- c)² — c²

= — 2 F cotg a cotg ß A- (« H- c)² cotg a + c² cotg ß, damit ist :

Iso

(2)

cotg Cf, =

b± Vb² — AAC

Fig. 3.

(3)

(a + c) sin Cf

c sin <jp sin (a — qp)

ZurJProbe kann man dann noch berechnen :

sin (ß + Cf)

• (4)

!\\

-e-e

,Mv

2 F — a m sin a -+- a n sin ß — m n sin (a ß). (5)

Folgendes ist ein Zahlenbeispiel hierzu nach Fig. 3: Das Viereck 1, 2, 3, 4 soll vom Schnitt der verlängerten 1, 4 und 2, 3 aus in drei gleiche Teile geteilt werden.

Die vier Eckpunkte des Vierecks sind durch ihre Koordinaten gegeben:

Punkt 1

ci

0,00 -m

0,00

x₁ —

x₂ = H- 35,62 x₃ = -i- 104,70 xJft = Ar 68,10

trt.

a.

Der Inhalt des Vierecks wird aus diesen Koordinaten berechnet :

Viereck F= 5676,0 q-m dazu — V— F—1892,0 qm-und ^ V= F' = 3784,0 qw .

Cr

D2500

50m

100™

Aus den Koordinaten berechnet man auch die Richtungswinkel, Winkel und Seiten:

_ Pi — Va ^1—^4 sin (4,1) cos (4,1)

tang (4,1) = —

!/4

æ\—XA

4,1 =

RicTitungsmnkel

Winkel

Seiten

(4,1) = 184° 48'

Richtungswinkel, Winkel und Seiten

(2,3) = 326° 41'

(1,2)= 70° 0'

(1) = 65° 12' 4,1 = 68,34 m = a

(5) = 38° 7'

(2,3) = 326° 41'

(2) = 76° 41' 1,2 = 104,14

(4,1) = 184° 48'

(3,4) = 231° 57'

(3) = 85° 16' 2,3 = 82,67

4,3

C sin (5)

sin (3) = 95,84

(4) = 132° 51' 3,4 = 59,37

360° 0'

a-\-c —

(4,1) = 184° 48'

Damit findet man auch die Koordinaten des Schnittpunktes 5 : Punkt 5 :

1,2 sin (2) = 164,18 sin (5) a = 68,34m.

in Fig. 3 :

y§ =    13,73 m

Um die Formeln (2)—(5) anzuwenden, hat man für die erste Teillinie AG

ß = (1) = 65° 12' a -f— c — 164,18 m c = 95,84 m . Damit bekommt man aus (2) die Koeffizienten A, B, C und den Winkel cp : A = 3784 B = 12 511 C = — 19138 <p = 12°41'

_ (a + c) sin cp _

¹¹ _ sin (ß -h cp) —

F = 1892,0 cjm

« = (4) = 132° 51' a = 68,34 m

c sin cp sin (a — cp)

= 24,339 m

36,869 m .

Die zweite Teillinie 5BB in Fig. 3 wird ebenso behandelt; sie gibt mit F' — 3784 qm :

cp’ = 25° 44'

m’ = 43.54

n' = 71,30.

Damit kann man die Koordinaten der vier Teilpunkte berechnen : A y = + 24,87 -h 34,65

x = -4- 83,10 -+-12,61

B y = + 40,00 1)    + 67,00

x =    94,94

+ 24,39.

Wir haben dieselbe Aufgabe früher in der „Zeitschr. f. Verm. 1882“ S. 426-427

in anderer Wreise behandelt, indem die Entfernungen m und n unmittelbar als Unbekannte von quadratischen Gleichungen bestimmt wurden (vgl. auch „Zeitschr. f. Venu. 1893“ S. 495).

Fig. i.

/Ab

,a

III. WTenn das Viereck (Fig. 4) von einem beliebig gegebenen Punkt P aus geteilt werden soll, so kann man diese Aufgabe immer auf die vorhergehende Fig. 2 S. 119 zurückführen, indem man die Gerade P A' B zieht. P selbst sei gegen das Viereck festgelegt durch N r und 1p, dann kann man jedenfalls das Dreieck PAB aus zwei Seiten a und r und dem eingeschlossenen Wrinkel tp auf lösen, und man hat damit die Seite PB. sowie die zwei Winkel (y — cp) bei P und Ó' bei B. worauf auch der Winkel bei A', dann die Entfernungen A'A, A'P, A' B und die' Dreiecksfläche ABA' leicht gefunden werden.

Sei nun A B N AI = F die ursprünglich abzuschneidende Fläche, so nimmt man jetzt die Differenz F— /\.AB A' = F’, und schneidet diese Differenz F’ von der Linie PA’B aus, gegen MN hin, nach der vorigen Aufgabe mit den Formeln

(2) und (3) ab.

Folgendes ist ein Zalilenbeispiel hierzu, indem das Viereck 1, 2, 3, 4 von Fig. 5 durch eine von n ausgehende Gerade nPP' halbiert werden soll. Es ist Viereck V = 9666,1 cpm , also F = 4833 , P A 2 P' = F' = 3460 ,

a+ c = 138,06 , c = 19,29 , <p = 20°25'

Fig. 5.    (1 : 2000.)

Punkt -F y

4.

P 19,29 46,88 P' 146.76 69,35

P'

(3)

Wir haben dieses Zahlenbeispiel früher in der „Zeitschr. f.

Verm. 1882“ S. 422 bis 425 in anderer Weise behandelt.

Zum Schluß sei

noch eine theoretisch hübsche Teilungsaufgabe erwähnt (Fig. 6) :

Zwei Grundstücke AB Gr F = I und BGH G — II liegen mit gemeinschaftlicher Grenze B G zwischen dreien Geraden AF, BG, CH, wobei aber die drei Geraden, nach links verlängert, sich nicht in einem Punkte schneiden. Die gebrochene Grenze F GH soll in eine gerade Grenze F' G' H verwandelt werden, so daß die Flächen unverändert bleiben, nämlich ABG' F' — I und B G' H’ G = II.

Auf dem Wege des Probierens wird die Aufgabe jedenfalls zu lösen sein. Eine theoretische Lösung „vermittelst neuerer Geometrie“ wurde gegeben von Baur in der „Zeitschr. f. Verm. 1874“ S. 29—44 und eine Lösung auf trigonometrischem Wege von Nell in der „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 497—503. Dabei wird auch eine ältere Auflösung der Aufgabe zitiert aus „Meier Hirsch, Sammlung geometrischer Aufgaben, II. Teil, S. 49“. Berlin 1805.

\0C

~a

(1)

(2)

Fig. 6.

F!_f

ty

G^-/Gr

31

CD

i\

\l

§ 33. Yierecksteilung und Polygonteilung nach Seitenverhältnissen.

Von allen theoretischen Teilungsaufgaben ist die Teilung nach Seitenverhältnissen eine der wenigen, welche mannigfache praktische Verwertung gestattet, in der Anwendung auf Teilung langgestreckter Polygone, weshalb wir diese Aufgabe ausführlicher behandeln.

Wenn man die Vierecksformel (9) § 29 S. 114, auf das Viereck Fig. 1 zweifach anwendet, so erhält man :

2 J = am sin A-\-am' sin B — m m' sin (A -f- B)

2F= a n sin A-\-an' sin B — n n' sin (A + B).

Dabei ist J die Fläche des ganzen Vierecks A B C1), und F die Fläche eines abzuschneidenden Stücks.

Das Produkt m m' sin (A + B) wollen wir besonders bezeichnen :

Fig. 1.

■m

in'

11’

m m! sin (A-\-B) = 2 M, d. h. es ist M die Fläche eines Dreiecks mit den Seiten m und m' und mit dem eingeschlossenen Winkel 180° — (VI -f- 71). Damit kann man die Gleichung (1) so schreiben:

(3)

(4)

J)

2 J = a(m sin A -)- m' sin B) — 2 M.

Nun wird festgesetzt, daß eine Teilungslinie die beiden Seiten A B und I) C nach gleichen Verhältnissen teile, d. h. :

n'

(5)

Damit wird (2) :    2 F — v a (m sin A + m' sin B) — v² m m'sin (A -f- B).

Berücksichtigt man hier die durch (3) und (4) eingeführten einfacheren Zeichen M und J, so wird:

2 F = 2 v ( J + M) — 2 z?² M

Die Auflösung dieser quadratischen Gleichung gibt:

J+M

v — —-

2 31

oder

v² AI — v (J-+- 31) + F = 0 .

(6)

/mi

(7)

31'

Diese Auflösung (7) wird aber unbrauchbar in dem oft eintretenden Fall, daß die Seiten A B und B C nahezu parallel werden, denn dann wird A -f- D nahezu = 180°, folglich nach (3): 31= 0, und (7) gibt hiermit:

v = <x    oc² — oo.

(8)

Um diesem Übelstand auszuweichen, bestimmt man besser - statt v, d. h. man

v

rechnet nach (6) :

31— (J-+ 31) ~ + F ^j²= 0.

(9)

Diese quadratische Gleichung kann man wieder nach

auf lösen :

JA-31

(10)

Davon ist aber nur tim Wurzel praktisch brauchbar, und zwar dieses Mal die mit + (was nachher noch besonders erörtert werden soll); wir schreiben daher nun (10) nur noch mit +, zugleich etwas umgeformt:

Ja-3i ja-3i 2F ⁺ 2F

/    4 M F

y ¹ (J₊3lf

(H)

In dem besonderen Fall der Flächenhalbierung wird 2 F — J, und damit vereinfacht sich die vorstehende Formel auf :

<s I I-¹

v₂

/■+(?)■

(12)

Ausdehnung auf Polygone.

Die im bisherigen behandelte Vierecksteilung ist auch einer Ausdehnung auf Polygone fähig, wenn man nämlich mehrere Vierecke aneinander reiht, wie in der nachfolgenden Fig. 2 zu sehen ist, und wenn man für alle Teillinien A" B" C" I)" E" dasselbe Verhältnis festsetzt :

(13)

1 _ AA" _BB" __ CC" _ DB" _ E E" 'v ~ AA' ~ ~BB ~ ÖC⁷ ” DlY ~ ÜTW

Fig. 2.

B 46i56

n 46

B"

I6₎9I

C"

18,01

As

D"

!802\

20,39'

21,05

1914

31^3

21,0

58

Z0 53,

rA‘.

E‘

I 2Q0D

H-

50

100™

so kann man die frühere Betrachtung von Fig. 1 S. 122 wiederholt anwenden, und man bekommt dieselben Gleichungen (6), (9) u. ff., wenn man unter J die< Summe aller ganzen Vierecke und unter F die Summe der abzuschneidenden Vierecke versteht, oder kurz, wenn J und F nun die entsprechenden langgestreckten Polygone sind.

Zu einem Zahlenbeispiel nehmen wir das langgestreckte Polygon in Fig. 2.

Die Koordinaten der Eckpunkte sind:

0,00

0,00

B + 4^,93 +17,05 C + 87,44 +19,22 D + 123,34 + 14,33 E + 150,37

A'    +    21,77    —82,44

B'    -+-    51,57    —19,27

C    +    88,43    —17,21

D'    +    110,23    —22,44

E'    +    130,96    —32,79

(14)

0,00

Man berechnet aus den Koordinaten zunächst den Inhalt:

(15)

J= 5115,0 qm.

Aus den Koordinaten kann man auch die Seiten und Richtungswinkel berechnen :

Richtungswinkel    Differenzen

(Ä A) = 326° 8'

(B' B) = 343 40 (C C)=    6    17

{D'D)= 19 37 (E'E)= 30 37

Seiten

A' A = 39,067 m B’ B = 37,846 C G = 36,650 IP D = 39,037 E'E= 38,104 ■

17° 32' 22 37 13 20 11 0.

Das Ganze soll halbiert werden, weshalb die Formel (12) zur Anwendung kommt. Da J nach (15) bekannt ist, handelt es sich nur noch um M, und dieses berechnet sich mit den Angaben (16) so:

2 M = 1592,59 M= 796,3.

(17)

39,067 x 37,846 sin 17° 32' = 445,42 37,846 x 36,650 sin 22 37 = 533,41 36,650 x 39,037 sin 13 20 = 329,94 39,037 x 38,104 sin 11    0 = 283,82 .

Nach der Bezeichnungsweise von Fig. 1 ist aber dieser Wert M, welcher zu Fig. 2 S. 123 gehört, negativ, weil die Linien A' A, B' B usw. von Fig. 2 von unten nach oben divergieren. Wir haben nun nach (15) und (17):

J = 5115,0

M= — 796,3

— 0,15568

(18)

xmd die übrige Einsetzung in (12) gibt:

also

v = 0,53869 ,    1 — v = 0,46131. (19)

^ = 0,84432 +1,01205 = 1,85637

Wenn man mit diesem 1 —v und mit v die unter (16) gegebenen Entfernungen A' AB’ B usw. multipliziert, so bekommt man die folgenden Teilwerte:

oberer Teil unterer Teil

18,022 17,459 16,907 18,008 17,578 21,045 20,387 19,743 21,029 20,526

(20)

37,846    36,650    39,037    38,104.

Summe 39,067

Diese Strecken sind, auf 1 cm abgerundet, in Fig. 2 eingeschrieben.

Die in (17) berechneten Werte für AT. welche nach (6) und (8) § 29 S. 114 die Differenz der zwischen den Vierecksseiten liegenden Diagonalendreiecke oder das Konvergenzdreieck der betreffenden Vierecksseiten sind, kann man unter Einführung der Flächenformel (11) § 26 S. 105 auch direkt in den Koordinaten der Eckpunkte aus-driicken, womit dann die Einführung der Winkel in die Rechnung vermieden wird.

(21)

Mit der Bezeichnung der Fig. 1 § 33 S. 122 erhält man für die Seiten min' 2 AI = (ya — yb) (xc — xd) — (xa — Xb) (yc — yd), womit man für unser Beispiel (Fig. 2) S. 123 mit den Koordinaten in (14) folgende Berechnung hat:

(ya — yd) X (xc — xd) — (xa — xd) X (yc — yd)

—    21,77 x 36,32

—    10,64 x 36,43 + 4,01x36,77 + 13,11X32,79

+ 32,44

X 10,64 = — 445,53 X 4,01 = — 533,25 X 13,11 = —330,15 X 19,41 = —283,82

2 AI = — 1592,75 AI = — 796,4.

(22)

Wenn in Fig. 1 S. 122 die Abschneidung nicht von der Seite .4 D her, sondern von B C her vorgenommen werden soll, so ändert M sein Vorzeichen, denn in (3) tritt dann sin (7J -)- C) an die Stelle von sin(A-\-D), und an Stelle von F muh J — F treten, ebenso auch 1 — v an Stelle von v, weil auch die Strecken auf A B und D C dann von B und C her abgetragen werden sollen. Dieses bestätigen auch die Formeln, denn nach (7) hat man :

j—m+y—

1 —v =

j-M±y... — 2 M

(23)

Der Ausdruck unter der Wurzel in (23) S. 124 kann aber an und für sich so umgeformt werden : (J-f- M)2 — 4 MF= (J⁻ — M)* + 4 M (J— F)

also:

(24)

- (J— M) + YJj— M)Z + 4 M(J— F)

2 M

Übrigens braucht man in praktischen Fällen keine Furcht wegen etwaigen Irrtums im Zeichen von M zu haben, denn wenn M sein Zeichen wechselt, so geht v in 1 — v über; auf welche Seite aber v und 1 — v gehört, das zeigt meist der bloße Anblick der Figur; in unserem Fall Fig. 2 S. 123 muß offenbar der schmälere Teil oben sein. Nur wenn etwa das Polygon ABCDE einen Wendepunkt hätte, oder nahe gerade wäre, könnte der unmittelbare Anblick einen Zweifel bestehen lassen.

Was das Doppelzeichen der Wurzel in (7) oder (10) betrifft, so ist immer nur ein Zeichen praktisch brauchbar, das zweite, praktisch unbrauchbare Zeichen gibt nämlich eine Lösung entweder mit negativem v oder mit so großem v, daß die Teillinie in den Scheitelraum jenseits BC Fig. 1 S. 122 zu liegen kommt. Welches Zeichen nun in jedem Falle zu nehmen ist, das kann man nur praktisch entscheiden. Daß in (11) und (12) das Vorzeichen -(- das richtige ist, wird noch mehr aufgeklärt werden durch die Keihenentwicklungen, zu welchen wir nun übergehen.

Näliermigsformeln.

Wenn M klein ist, so kann man (11) S. 122 in eine Reihe entwickeln, deren

Anfang ist:

J+M ~ 2 F ^

J L M\

j₊M( 2 MF \ _J+M M 2 F V¹ ~ {J-1- Mf) ' F J+M

M genähert = jl +    ^1 — yj J

r-l | S>

(25)

und nmgekehrt:

!1 — 7 (* —

für die Halbierung der Fläche J hat man J — 2 F, folglich :

[%2 = \ — \ -j (genähert).

| (genähert);

(26)

(27)

(28)

Wir brauchen auch eine Näherung für die Konvergenzgröße M. Nach (3) S. 122 ist: 2 M — m m' sin (A D)

und wenn das Viereck ein Trapez, Fig. 3, wird, so geht dieses über in: 2 AI = ( cl — V) h.

In diesem Falle ist der Gesamtinhalt des Vierecks:

M __ a — b J ~~ a-+-b

Setzt man (30) in (26), so bekommt man:

2/=(« + &) h    also

ÎL^i-^feenSh«*)

(29)

(30)

(31)

Fig. 3.

*------

-3

} /ft—&    \

und für den besonderen Fall der Halbierung mit 2 F — J:

(genähert).

(32)

1    1 a

Vll?⁼2~4ä

Wir wenden diese Näherungsformel auf Fig. 2 S. 123 an und haben:

Fig. i.

oben

44,34

46,56

36,23

30,59

unten

32,58

31,93

27,31

23,17

(33)

6 = 157,72 a = 114,99 a — b _ -42,73 _ a +6 “272,71 = v = 0,5000 -+- 0,0392 = 0,5392 1 — v = 0,4608

während die genaue Berechnung nach (19) S. 124 gab :

v = 0,5387 , 1 — v = 0,4613.

Zum Schlüsse wollen wir noch die Bestimmung der Konvergenzflächen durch Zeichnung behandeln.

Wir nehmen hierzu in Fig. 4 ein langgestrecktes Zehneck, welches als Teil des Stückvermessungsrisses Kartenblatt Nr. 2, Biß Nr. 1, von den lithographierten Anlagen der Anweisung VIII vom 25. Oktober 1881 herausgezeichnet wurde, und wir stellen uns die Aufgabe, dieses Grundstück der Länge nach zu halbieren.

Die in den Steinlinien liegenden Grundstücksbreiten setzen wir als direkt gemessen voraus, nämlich:

A A' = 53,20 w B B' = 53,00 mj CC = 48,80m DD’ = 43,30m[(35) E JE' = 35,20 m. J Der Gesamtinhalt ist in solchen Fällen wohl schon bekannt ; nötigenfalls müßte er besonders berechnet werden. Wir fanden planimetrisch : Gesamtinhalt von Fig. 4 J — 82,02 a .

Nun konstruiert man durch Parallel-abschieben die vier Konvergenzflächen M. oder indem man je zwei zusammennimmt, die in Fig. 4 schraffierten Teile, welche planimetrisch bestimmt wurden, und gaben:

Mx = +21.6 M₂ — — 5,4 Mi + M₂ = M = ■+■ 16.2 a.

«3

co

<c

oo|

39,4

36.4

E‘£ï

to\

S-'

in

CJ

— 0,15669

8'8k —

tn

oo

0QZIM

TS

0 LU 01

j (34)

(36) .

(37)

Setzt man J von (36) S. 126 und M von (37) in die Formel (12) S. 123, so

erhält man :

- = 2,031196 v = 0,49232    1 — v - 0,50768

und wenn man mit 1—v und mit v die Breiten (35) S. 126 multipliziert, so erhält man folgende Teilstrecken :

(1-®)

Diese Breiten sind, auf Dezimeter abgerundet, in Fig. 4 S. 126 eingeschrieben. Außerdem kann man auch hier die Näherung (32) S. 125 anwenden, und nachher nötigenfalls nochmals verbessern.

Vgl. hierzu F. G. Gauß und Yogler („Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 277). Die Näherungsentwieklungen (23—32) mit Fig. 4 S. 124—126 haben wir in der „Zeitschr. f. Yerm. 1886“ S. 469—473 zuerst angegeben. (Vgl. auch Wilski „Zeitschr. f. Verm. 1885“ S. 289—298; Zimmermann, „Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 321—333 und 1895 S. 80, 383 ; Firmenich, „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 85—90 ; Abendroth, „Zeitschr. f. Verm. 1898“ S. 490; Ehrhardt , „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 317—326, 338-343; Wildt, „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 477-486.

§ 34. Grenzregulierung.

Die im bisherigen behandelten Teilungsaufgaben finden oft Anwendung in der Form von Grenzregulierung.

Es handelt sich dabei darum, unter Bewahrung der Flächenverhältnisse, statt unregelmäßiger Grundstücksformen regelmäßige Figuren, welche durch möglichst wenig Marksteine vermarkt werden können, zu erhalten. Innerhalb einer Flurabteilung, eines „Gewannes“, hat man es hierbei gewöhnlich nicht mit der „Gewannengrenze“, sondern nur mit Eigentumsgrenzen innerhalb der Gewannen zu tun. Wir behandeln einige Beispiele ;

Fig. 1.

>N

Alte Grenze ABCDEF. Neue Grenze A A". (Maßstab 1: 100.)

16.22

; u. u

! 5. OS

n 3-69

17.43

(82. 97)

19.27    “

3.00

9.73 \s.5t

fA'

'10.22

grenzen durch A geht.

(Fig. 1) Eine Eigentumsgrenze ABCDEF zwischen zwei Gewannen A M und F N soll in eine gerade Grenze A A" verwandelt werden, welche

Es wird die Gerade A A' als ungefähr richtige Lage der neuen Grenze gesteckt und die Fläche zwischen ihr und der alten Grenze aufgenommen, wie Eig. 1 S. 127 andeutet. Die Flächenberechnung nach der Formel (5) § 26 S. 101 gibt:

-+-    4,11    (16,22 + 17,43) =    + (    4,11    x    33,65) =    +    148,30

4-    5,08    (17,43 + 19,27) =    + (    5,08    X    36,70) =    +    186,44

H-    3,69    (19,27 + 14,82) =    4- (    3,69    X    34,09) =    +    125,79

—    73,65

—    155,65

—    3,00    (14,82 + 9,73) =    — (    3,00    x    24,55) =

—    10,22 ( 9,73 4- 5,50) = — (10,22 x 15,23) =

4- 450,53 — 229,30

2 jF = -h 221,23 F = 110,6 q m.

Die vorläufig angenommene Linie A A! teilt also so, daß oberhalb derselben um 110,6 cf-m zu viel (und damit unterhalb um 110,6 ąnv zu wenig) Fläche ist. Man muß daher A A' oberhalb nach A A" so verschieben, daß das Dreieck A A' A" die fehlende Fläche 110,6 qm bringt. Der Punkt A” ist dadurch bestimmt, daß sein Abstand y von der Geraden A A' werden muß :

m,

110,6 _ 221,23 V Ł 82,97    82,97

oder die schiefe Entfernung A' A" wird :

44 =

1/10,222 + 5,502

10,22

2,666 =

11,61

10.22

2,666 = 3,02 nt.

Damit läßt sich der Punkt A" bequem abstecken.

Al

Fig 2.

(Maßstab 1 : 200.)

7yZS

su*

(Fig. 2.) Eine zwischen zwei parallelen Gewannengrenzen A M und J) N liegende gebrochene Eigentumsgrenze ABC D soll in eine gradlinige auf A M

ver-

6.70

OZÏJZ.

iOQ6'

rechtwinklig stehende Grenze PQ ” wandelt werden.

Man nimmt A JE rechtwinklig zu den Gewannengrenzen als Aufnahmelinie, mißt die in der Figur eingeschriebenen Maße und berechnet die Fläche:

20,26 x 7,26

= 147,49

(59,84 — 20,26) (7,28 + 8,34) = 39,58 x 15,62 = 618,24 (90,04 — 59,84) (8,34 4- 6,24) = 30,20 x 14,58 = 440,32

2 F = 1206,05 F = 603,0 ą m.

Hieraus berechnet man den Abstand y der Parallelen PQ von der Aufnahme

linie A E :

nt.

603,0    „ m

V ~ 90,04 _ 6,7 *

Damit kann die Parallele P Q abgesteckt werden.

Wenn die Gewannengrenzen nahezu parallel sind, so kommt man vielleicht durch Probieren rascher zum Ziel, une in Fig. 3 S. 129 angedeutet ist: Die Grenze ABC soll parallel PB gemacht werden, wobei PA und K C nicht parallel sind.

Man steckt bei schätzungsweise richtiger Fläche M' N' parallel P R ab und sieht zu, wieviel die Fläche PM' AT i? von PÀBCB ab weicht; sollte z. B. M' N' zu wenig geben, so verschiebt man parallel nach MN, so daß der schmale, als Bechteek zu behandelnde Streifen MN N' M' den Fehler deckt, d. h. ^ wenn dieser Streifen = F — F' ist, so berechnet man seine Breite y aus der Gleichung:

F— F'

MN '

Einige weitere Näherungsverfahren zeigt Fig. 4. Wenn die Grenze AB CD, welche nicht viel von der Geraden A D ab-weieht, und nahezu rechtwinklig zu A M (oder D N) ist, gerade gemacht werden soll, j' wird AA’ gleich dem Abstand B B ge- A macht, und dadurch C B A in C A A verwandelt, und ebenso wird D C A in D A A" verwandelt. Um die Grenze MN ihrer Rich-

M

MT-----

Fig. 3.

Fig. 4.

so

J)

tung nach wenig zu verändern, kann man sie M ihren Halbierungspunkt P in die Lage M AP N drehen.

Bei Grenzverlegungen sind zuweilen auch verschiedene Bonitätsverhältnisse zu berücksichtigen. Ein hübsches Beispiel dieser Art wurde von Landmesser Voigt in „Zeitschr. f. Verm. 1886“ S. 20—22 mitgeteilt: Das Grundstück 8 (Fig. 5 S. 180) liegt in der Stadt Königswinter a. Eh., und wird, wie die Figur andeutet, nördlich ° einer Straße und südlich Von der Eisenbahn begrenzt, und ein zweites Grund-die Straße und ist insofern wertvoller. Die Besitzer haben

um

{N’

von

stück K grenzt nur an sich geeinigt, das Wertverhältnis K : S rund =3:2 anzunehmen. Daß diese Annahme selbst ursprünglich eine unsichere war, ist für die Arbeit des Landmessers gleichgültig; für ihn kommt es nur darauf an, die einmal gegebenen Bedingungen geometrisch gut durchzuführen.

Die von Voigt gegebene Auflösung dieser Aufgabe ist in der „Zeitschi. f. Verm. 1886“ S. 22 zu finden. (Teilung O M Fig. 5 S. 130.)

Hierzu ist auch zu zitieren: Zwicky, Das polare statische Moment und seine Anwendung zur mittleren Entfernung eines Grundstückes von der Betretungsstelle. „Zeitschr. f.

Bestimmung der Verm. 1890“ S. 369-377.

Ferner sei zitiert: Wilcke, „Zeitschr. f. Verm. 1901“ S. 159-163, 307, Teilung eines Grundstücks mit veränderlichem Wert der Flächeneinheit.

Zur Frage, wie genau die Flächenteilungen für gewisse Zwecke sein sollen, mag noch bemerkt werden, daß in der Friedrichstraße in Berlin Grundstücke zum Teil mit 5—6000 Jl. pro Quadratmeter bezahlt werden.

§ 35. Allgemeines über Flächenteilimg.

Flächenteilungs-Aufgaben kommen in der Feldmessung hauptsächlich in zweifacher Art vor, nämlich: 1. unmittelbar als Teilung, z. B. bei Erbschaften oder bei Ausscheidung statt gemeinsamer Benützung, 2. als Grenzregulierungs-Aufgaben, wie im vorigen § 34 an kleinen Beispielen gezeigt wurde.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd.

7. Aufl.

Kleinere Grenzverlegungen kommen oft vor der Neuvermessung einer Gemarkung

und vor der Versteinung der Grenzen vor, und haben dann namentlich den Zweck, die Versteinung möglichst einfach zu machen. (Baden.)

zig. 5.

(Maßstab 1 : 1000.)

Die durch reine Rechnung zu lösenden Teilungsaufgaben —müssen immer verhältnismäßig ein

Strasse

>■

fach sein. Wenn die Teilungsaufgaben zusammengesetzt und verwickelt werden, so gelangt man durch einige wiederholte Versuche viel rascher zum Ziel, als durch strenge Rechnung, namentlich wenn die Nebenbedingungen (z. B. die Teillinien durch gegebene Punkte oder nach gegebenen Richtungen zu legen) weniger genau erfüllt sein müssen, als die Hauptbedingung der richtigen Flächenteilung. In solchen Fällen macht man eine erste

Teilung auf einem genügend großen Plan und verbessert nötigenfalls nach der Übertragung auf das Feld.

Wird, wie das neuerdings bei städtischen Vermessungen wohl geschieht, für die Aufnahme eine weit-gehendeKoordinatenberechnungaus-geführt, so kann statt der auf dem Plan graphisch zu erledigenden An-näherungsbestinnnung in ähnlicher "’Ö- Weise rechnerisch, unter Benutzung der Koordinaten und des Handrisses verfahren werden. Wären z. B. die Grenzlinien der Aufnahme in Fig. 5 durch die Koordinaten ihrer Brecli-punkte gegeben, und der dem Grundstücke K entsprechende Flächenwert abzusetzen, so daß MO parallel AB wird, so würde der Punkt M so anzunehmen sein, daß schätzungsweise der Flächenbedingung genügt würde. Nachdem für diesen Punkt Koordinaten berechnet sind, wird der Durchschnitt 0 der zu AB parallelen MO mit der unteren Grenzlinie berechnet, so daß nun die Flächenabweichung aus den Koordinaten und danach ohne irgend eine Messung im Felde rein rechnerisch die Verschiebung und endgültige Lage von O M abgeleitet werden können. Es sind dann im Felde nur noch die berechneten Absteckungsmaße abzusetzen und die richtige Lage der Grenzlinie zu prüfen.

Trotzdem behalten die direkten Berechnungen der Flächenteilungen immer ihren eigentümlichen Wert; zum mindesten enthalten sie einen guten Übungsstoff für landmesserische Berechnungen; und wer sich mit solchen Teilungsberechnungen vertraut gemacht hat, wird wohl auch in der Praxis Anwendung dafür finden.

Ji

y ~~ b    K

Eisenbahn

HL

io Ć

Es ist hierzu zu zitieren : „Anleitung zur Berechnung und Teilung der Polygone, von H. Hölscher. Berlin und Charlottenburg 1864.“

F. G. Gauß. Die Teilung der Grundstücke, insbesondere unter Zugrundelegung rechtwinkliger Koordinaten. 4. Auflage. Berlin 1904.

Dörgens. Die Berechnung und Teilung der geradlinig begrenzten Grundstücke. Berlin 1871.

Vogler. Geodätische Übungen für Landmesser und Ingenieure. 2. Auflage. 1. Teil. Berlin 1899 S. 1-42.

In unserer Behandlung der Sache in den vorstehenden §§ 30—34 haben wir danach getrachtet, möglichst geometrisch anschauliche Formeln mit Seiten und Bichtungswinkeln zu erhalten.

Als wichtigste Anwendung der Flächenteilungslehre haben wir hier noch die Verkoppelungen oder Güterzusammenlegungen, Feldbereinigungen ganzer Gemarkungen oder sonstiger Flurbezirke zu erwähnen. Es werden dabei alle Eigentumsstücke zusammengewürfelt und neu ausgeteilt, so daß jeder Eigentümer den Wert seines Anteils wieder erhält, allerdings oft in anderer Lage und sonst in anderen Verhältnissen.

Die beiden Hauptfaktoren zur Wertbestimmung eines Grundstücks sind: 1. die Fläche und 2. die Bonität. Die Flächenverteilungen hierbei theoretisch zu rechnen wie in unseren Beispielen von §§ 30—34, davon kann im allgemeinen keine Rede sein ; man macht einen großen Plan, etwa 1 : 500, und teilt hierauf nach Zeichnung.

Das neueste und wichtigste amtliche Werk hierüber in Preußen ist:

Dienstvorschriften für die in der Provinz Hannover beschäftigten Spezialkommissare nnd Vermessungsbeamten der Kgl. Generalkommission für die Provinzen Hannover und Schleswig-Holstein zu Hannover, Berlin 1891. 3 Teile. (Bericht hierüber s. „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 289—296.)

Ferner ist hier anzuführen:

Das Kgl. Bayerische Gesetz, die Flurbereinigung betreffend, vom 29. Mai 1886, erläutert Müller, Kegierungsdirektor (dann Kgl. Staatsminister), und Haag, Ministerialrat, mit Ein-

von v.

leitung von K. Schreiber, Bezirksamtmann (Separatabdruck aus der Gesetzgebung des Königreichs Bayern). Erlangen 1891. (Bericht hierüber s. „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 88—90.)

Die zahlreichen Flächenbestimmungen bei den Verkoppelungen haben zu vielen besonderen Hilfsmitteln (außer dem gewöhnlichen Planimeter usw.) geführt. Z. B.:

Präzisionsreißzeug (Lupe, Nadel, Stellzirkel) von Lehrke („Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1887“ g 218—219). Multiplikationsmaßstab von Koch, „Zeitschr. f. Verm. 1872“ S. 58 und 1882 S. 322. Scherers Rechentafel, „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 153 und 1900 S. 413.

nur

Über die hierbei bestehenden Eigentümlichkeiten hat uns Herr Deubel in Rotenburg folgendes mitgeteilt : Es handelt sich bei den Zusammenlegungen im Gegensatz zu dem Kataster um graphische Flächenermittlung in ausgedehntestem Maße, so daß das Gerippe, die Sektionen und Blöcke (größere Feldabschnitte von Wegen umschlossen) aus Koordinaten und teilweise aus Messungszahlen gerechnet weiden können, alles übrige, namentlich die vielen Bonitätsabschnitte in den einzelnen Grundstücken, Elementen und Plänen und auch die ganzen Flächen der Elemente und 1 lanstücke müssen lediglich auf der Karte gerechnet werden, und die Pläne werden nach dieser in die Örtlichkeit übertragen. Der etwa zu machende Einwand, daß man doch möglichst mit gemessenen Längen bzw. Grundstücksbreiten rechnete, ist also hier nicht stichhaltig, und deswegen sind die graphischen Hilfsmittel hier besonders am Platz.

Vgl. hierzu auch „Zeitschr. f. Verm. 1890“ Hüser S. 638; Ramami 1894 S. 445; 1895 S. 588; Deubel 1901 S. 644 und Hüser, Die Zusammenlegung der Grundstücke, Berlin 1890.

Kapitel IV.

Mechanische Hilfsmittel für Berechnungen.

§ 36. Das Amslersche Polarplanimeter.

Das im Jahre 1856 von Amsler in Schaffhausen erfundene Polarplanimeter, welches die Fläche einer ebenen Figur durch einfaches Umfahren bestimmen läßt, ist in Fig. 1 in Ansicht gezeichnet, wozu noch Fig. 2 und Fig. 3 S. 133 und Fig. 4 S. 134 für die Theorie gehören.

Fig. l.

Das Amslersohe Polarplanimeter.

cn

r-

~a

cc

\ -n

Die Fig. 1 und die umstehende Iig. 2 zeigen das Instrument mit den eingeschriebenen Meßbezeichnungen B' , B , r , r', welche wir auch in der nachfolgenden Theorie beibehalten werden. P ist der Pol, welcher auf der Zeichnung befestigt wird. Um diesen Pol dreht sich der Arm PS = B', welcher Polarm heißt.

Der andere Endpunkt S des Polarms PS wird also einen Kreis vom Halbmesser B' um den Pol P beschreiben.

Ein zweiter Arm S F = B, welcher Fahrarm heißt, ist in S gelenkartig mit dem Polarm verbunden, und auf diese Weise kann der Fahrstift F seinerseits wieder einen Kreis vom Halbmesser B um den Punkt S beschreiben.

Unter dem Fahrarm FS befindet sich ein Laufrad A, dessen Umdrehungen durch ein Zählwerk gezählt werden ; mit einem Nonius können Tausendstel einer Umdrehung gemessen werden. Aus den Umdrehungen dieses Rades A wird auf die umfahrene Fläche geschlossen.

Der Abstand des Rades A vom Gelenkpunkt 8 ist = r, und zwar in Fig. 2 auf der Rückverlängerung von R gemessen. (Es gibt auch Instrumente, bei welchen das Rad A auf der Strecke S F selbst sich befindet. In diesem Fall gilt unsere Theorie mit den nachfolgenden Formeln ebenfalls, nur ist dann r negativ zu setzen.)

Befahrung eines schiefen Weges x. (Fig. 3.)

1.    Wenn das Laufrad in seiner eigenen Richtung einen Weg b befährt, so wird ein Bogen b am Radumfang abgewickelt.

2.    Wenn das Rad in der Richtung seiner Achse irgend einen beliebigen Weg befährt, so wird kein Bogen am Radumfang abgewickelt.

Fig. 3.

Fig. 2.

Schiefer Weg x.

g> ÀÎ;

p b TeC

x.

3. Wenn der Radmittelpunkt die geradlinige Bewegung x macht, in einer Richtung, welche den Winkel a mit der Radebene (oder den Winkel [90° — a] mit der Radachse) bildet, so wird ein Bogen b am Radumfang abgewickelt, entsprechend der

Gleichung :

b = xeos a .    (1)

Diese Gleichung gilt auch, wenn das Rad A sich auf einem Kreise um den Pol P bewegt, wobei x ein Bogen dieses Kreises und a der Winkel zwischen der Radachse und dem Kreishalbmesser ist. Dieser Fall ist in der nachfolgenden Fig. 4 S. 134 angenommen, zu der wir nun übergehen.

Wenn der Fahrstift F (Fig. 4) einen Kreisbogen F F' vom Halbmesser f und dem Zentriwinkel F P F’ = q> beschreibt, so beschreibt der Radmittelpunkt A jedenfalls auch einen Kreisbogen um P mit demselben Zentriwinkel cp.

Ist AP — f der Halbmesser dieses Kreisbogenweges von A, so ist die Länge dieses Kreisbogens (der nicht in der Figur dargestellt ist) :

X = f cp,

wobei cp in analytischem Maße verstanden wird.

man

Dieser Bogen x entspricht dem Wege x des Rades in der vorbereitenden Fig. 3; hat also nach der Grundgleichung (1):

b = x cos a = f cp cos a .

Es handelt sich nun um Bestimmung von f cos a aus den Dimensionen des Werkzeuges und aus dem Halbmesser f der Bahn des Fahrstiftes F.

Wenn man die Projektionen von f und von B' und den Fahrarm FA ins Auge faßt, und den Winkel ß einführt, so gibt Fig. 4 :

f cos a = B' cos ß — r.

Ferner gibt das Dreieck P FS:

Es ist also nach (2):

/‘2 = i?2 ₊ 22'2 + 2 B B' cos ß .

'f% — _Z?2 — jß'2

b = cf (B ' cos ß — r) — cp

B b = (p — B2 - 22'2 — 2 B r).

LJ

Um alle konstanten Teile zusammenzufassen, setzt man:

R* + B'* + 2Br = C*.

Damit wird die Gleichung (3) in folgende Form gebracht :

also

(3>

(4)

Bb =

l(jp(/’2-U2).

(5)

Fig. 4.

rnl

' \R

I SAß

A'

1/ f

X’

VIA

F"

P \\

' \c

J\r<

HW

ir

A₀ ~ So

Die in (4) eingeführte Größe C hat eine einfache geometrische Bedeutung; es ist nämlich C derjenige Wert der Fahrweite /’, für welchen die Bichtung des Halbmessers f rechtwinklig zum Fahrarm FA ist, d. h. es ist in dem unteren Teile von Fig. 4 P F₀ = C, wobei P H₀ rechtwinklig zu A₀ F₀ ist.

cp in (5) geometrische Bedeutungen; es sind dieses nämlich Sektorflächen von Kreisen mit den Halbmessern / und 0, und die Differenz derselben, welche in (5) vorkommt und welche dem Produkt R b gleich ist, bedeutet die Fläche des in der Fig. 4 S. 134 stark schraffierten Kreisringstücks F F' F" F'". Damit hat man den Satz:

Dieses erhellt sowohl aus der Gleichung (4) unmittelbar, weil hierbei r die Projektion von R' ist, als auch aus der Gleichung (5) in Verbindung mit Pig. 3 S. 133, denn im unteren Teile von Pig. 4 S. 134 ist der Winkel a = 90°, und das gibt nach der Grundgleichung (1) mit Pig. 3 S. 133 auch 5 = 0, was in der Gleichung (5) erfüllt ist mit /'= C.

Der Kreis, dessen Halbmesser C ist, soll der „Grundkreis“ heißen; und wir wissen nun, daß, wenn der Fahrstift sich auf dem Grundkreis bewegt, keine Rad-drehung stattfindet.

Nunmehr zeigen auch die Werte -y /'² cp

und

~2

Wenn ein um den Pol P gezogener Kreisbogen FF' (also nicht eine geschlossene Kurve) befahren wird, so wird an dem Rade ein Bogen b abgewickelt, welcher, mit R multipliziert, den Flächeninhalt eines Kreisringstücks gibt, begrenzt durch den befahrenen Kreisbogen FF' selbst, durch den Grundkreis F" F’" und durch die den Bogenenden zugehörigen radialen Linien F' F" und F'" F. Nachdem diese Deutung der Gleichung (5) erkannt ist, läßt sich alles weitere ohne Rechnung, lediglich durch Anschauung finden.

Hierbei ist es jedoch nötig, einen bestimmten Drehsinn und bestimmte Vorzeichen der Raddrehungen und der Flächen einzuführen. Fährt man mit rechts drehendem Winkel cp und außerhalb des Grundkreises, so soll das Kreisringstück F F' F'' F’" positiv genommen werden, und das Rad soll in diesem Fall wachsende Ablesung geben. (Wir nehmen auch an, daß das Rad vom Pol aus gesehen immer rechts sei, oder daß das Rad niemals den Polarm R' überschreitet.)

Betrachtet man nun das Durchfahren des staffelförmigen Linienzuges N L M oder M’ L' N' Fig. 4 S. 134, so läßt sich zuerst einsehen, daß die beim Durchfahren der radialen Strecken abgewickelten Bögen sich gegenseitig auf heben müssen, also nicht in Betracht kommen. Nachdem dieses eingesehen ist, wollen wir irgend einem Linienzug zwischen M und N oder M' und N' eine enganschließende staffelförmige Linie mit unendlich kleinen Absätzen substituieren, und die zu umfahrende Fläche entsprechend in radiale oder bogenförmige Elementarstreifen zerlegt denken (wobei die Grenzlinien zwischen den Streifen hin und her, also unwirksam, zu befahren wären); dann führt der vorige Satz in einfachen Schlußfolgen zu den folgenden zwei Ergebnissen :

1. Wenn ein geschlossener Linienzug durchfahren wird, welcher den Pol nicht in sich schließt, so wird am Rad ein Bogen b abgewickelt, welcher, mit R multipliziert, den Inhalt der umfahrenen Fläche gibt. Die umfahrene Fläche F wird also bestimmt durch die Gleichung:

(6)

F = b R (Pol außerhalb).

2. Wenn ein geschlossener Linienzug durchfahren wird, welcher den Pol einschließt, so liefert das Produkt R b die Fläche zwischen dem umfahrenen Linienzug und dem Grundkreise, d. h. noch nicht die von dem Linienzug selbst umschlossene

Fläche F. Um diese Fläche F zu erhalten, muß man zu R b noch die Fläche des Grundkreises selbst, d. h. C² n addieren, und man hat damit :

(7)

F = b R' -h G² 7i (Pol innerhalb).

Statt des abgewickelten Bogens b wollen wir nun die Umdrehungszahl n einführen. Da der Radhalbmesser = r’ ist (Fig. 2 S. 138), so gibt eine Umdrehung als Bogenabwicklung den Radumfang 2 r' n, also gehen n Umdrehungen des Rades die Bogenabwicklung :

GO' 5T o'

2 r tc n = b .

Damit gehen (6) und (7) : F — 2 Rr' n n

(Pol außerhalb) F = 2 R r' n n + (7² n (Pol innerhalb).

also:

Es empfiehlt sich noch, für 2 Rr' n ein besonderes Zeichen einzuführen :

2 Rr’ji = (f)

F = (f)n F = (f) n + C 2 TT

(Pol außerhalb) (Pol innerhalb).

T—l' CM’

T—• r-H

(f) hat die Bedeutung des Flächen wertes für eine Radumdrehung n = 1.

Es ist nun olfenbar erwünscht, (f ) = 1 oder =10 oder =100 oder gleich irgend einer Potenz von 10 zu machen, damit die Multiplikation mit (f) möglichst bequem wird. Um dieses zu erreichen, kann man den Arm R durch Verschieben in seiner Hülse ändern, und man kann berechnen, wie groß R sein muß, damit (f ) = 1 wird, nämlich nach (11):

oder

100

2 r' n'

2 r n

Bei unserem Instrument ist ungefähr r' = 1 cm, also :

oder

100

R = — = 0.159 cm

27T

R — p;— = 15,9 cm. 2 n

Eine solche Bestimmung von R ist noch sehr ungenau, sie dient aber als Ausgang für die genauere Bestimmung durch Umfahren von Probeflächen.

Hierzu mißt man H = 15,9 cm beiläufig ab und macht eine Marke an dem Fahrarm. Dann umfahre man eine Probefläche, etwa F= 100 qcm, und wir wollen annehmen, die Umfahrung gebe 97,6 cm, d. h. zu wenig.

Nach Gleichung (9) bestehen für zwei aufeinander folgende Versuche mit den Armlängen Rh R₂ und den entsprechenden Ablesungen nv n₂ die Gleichungen:

F = 2 Ri r' n = 2 R₂ r' n n2 R₂:R₁ = nx : n₂ .

Hieraus folgt zur Regulierung der Armlänge R die Regel:

Wenn man bei einer Probeumfahrung zu wenig erhalten hat, so muß man den Fahrarm R verkleinern. Wenn man bei einer Probeumfalirung zu viel erhalten hat. so muß man den Fahrarm R vergrößern.

Im Fall des obigen Beispiels muß R = 15,9 übergehen in 15,9 braucht eine Verkürzung:

also :

97,6

100

oder man

/JR = 15,9

97,6

100

15,9 = —15,9

100 — 97,6

JR =

2,4

15,9 cm = — 0,88 cm.

Oder kurz : Man muß den Arm B um ebensoviel Prozent seiner Länge verkleinern, als man an Fläche zu wenig Prozent erhalten hat, und umgekehrt.

Wenn eine erste solche Stimmung noch nicht ganz zum Ziele führt, so macht man eine zweite usw.

Um eine durch Versuche ermittelte Armstellung dauernd zu bezeichnen, macht man eine Strichmarke, wenn nicht etwa bereits von dem Mechaniker eine Marke angebracht ist.

Dieses gilt zunächst nur für Außenpol. Für Innenpol hat man noch die Konstante C² n zu bestimmen, deren Wert man ebenfalls zuerst berechnen kann nach der Gleichung (4): (7² = R² -+- i?'² 4- 2 B r. Unser Instrument hat: B' = 15,9 cm, B = 15,7 ein., r — 3,4 cm, womit (7 ² 7T = 1908 qcm. Wenn man sich auf unmittelbares Abmessen einlassen will, so kann man C auch noch viel einfacher finden: Man stellt das Instrument so auf ein Reißbrett, wie der untere Teil von Fig. 4 S. 134 andeutet, nämlich mit P4₀ rechtwinklig zu A{) F{), dann ist P_F₀ geradezu = C, und man hat damit die Ausrechnung von C nach der Gleichung (4) erspart.

Eine Verbesserung der so vorläufig erhaltenen Konstanten CA n erhält man durch Umfahren einer Figur von bekanntem Inhalt mit innseitigem Pol und Vergleichung des Resultats mit dem bekannten Flächenmaß. Z. B. das Umfahren eines Quadrats von 1600 qcm gab: n — —295,0, und da 1600 = n -+- (7² n, so ist (72 77 = 1895,0.

Eine genäherte Kenntnis der Konstanten C² n vor der genauen Bestimmung ist immer zu empfehlen, weil das Zählwerk mehr als 100 Rad Umdrehungen, d. h. in unserem Falle mehr als 1000 qcm nicht mehr angibt. Wenn nun die Konstante größer ist als die umfahrene Fläche, so wird n negativ, was ebenfalls beim Ablesen wohl zu beachten ist. Im obigen Falle wurde z. B. zu Anfang 149,1 und am Ende 854,1 qcm abgelesen, woraus mit Rücksicht auf den bereits ungefähr bekannten Wert G'² n gebildet wurde : n = 854,1 — 1149,1 = — 295,0, also F = — 295 -t- 1895 = + 1600, wie es sein soll.

Die Anwendung des Planimeters mit Innenpol vermeidet man tunlichst, indem man große Flächen zerlegt und in Teilen mit Außenpol umfährt usw.

In neuerer Zeit wird der Fahrarm des Polarplanimeters immer mit einer durchlaufenden Einteilung in halbe Millimeter versehen, so daß die durch Versuche gefundenen Einstellungen in Tabellen zusammengestellt werden können. Auch ist es üblich, nicht die vollen Umdrehungen, sondern die Tausendstel der Umdrehungen, die Noniuseinheiten, abzulesen. Bezeichnen wir die letzteren mit n', die Fahrarmeinstellung mit e und den Abstand des Nullpunktes der Fahrarmteilung vom Scharnier mit e₀, so ist

n'

und

B — ~^(e    e₀)

(e — e₀) r' n n’ _

Toöö ~

= Je gesetzt ist. Sind hierbei alle Längen in Millimetern gegeben, so wird F

n 1000

(e — e₀) Je n’

(14)

r' TT

ÏÔÜÔ

in Quadratmillimetern erhalten. Nehmen wir noch an, es seien die Flächen auf einer Karte im Maßstab 1 : m zu ermitteln und in Quadratmetern anzugeben, so ist

wo

F’

Die Größe

Wl²

w = (e — e₀)Jc -—2 ,

^-N    ✓-S

H—⁴    )—k

Ob    OT

mit der die Rollenumdrehungen zu multiplizieren sind, wird als Wert der Nonius-einlieit bezeichnet.

In der Regel erhält man vom Mechaniker mit dem Planimeter eine kleine Tabelle, die für verschiedene Kartenmaßstäbe und für verschiedene runde Werte der Noniuseinheit die Fahrarmeinstellung e angibt. Für das der Danziger Sammlung gehörige Polarplanimeter Nr. 1248 von Dennert und Pape in Altona sind z. B. die folgenden Werte gegeben:

Verhältnisse

Einstellung des Nonius am Fahrarm

Wert der Noniuseinheit

1 : 1000 1 : 1250 1 : 2000 1 : 500 1 : 250

336,0

269.2

169.2 336,0

136.2

O 03 o

rH t“H 0-4

'bi

J*>

IO

cci

Man kann diese Angaben auch benutzen, uni die Konstanten e₀ und rechnen, so daß nach der Gleichung

zu !be-

w 10002

in²

(17)

die Einstellung des Fahrarms für beliebige Werte von w und m berechnet werden kann. Aus der ersten und letzten Zeile der vorstehenden Tabelle findet man e₀ = 3,0

und

^ = 33,3; die Gleichung (17) nimmt also für das vorliegende Instrument die

Form an;

e = 3,0 -+- 33,3

10002 m2 Wm

(18)

Das Kompemationsplanimeter.

Unter den Fehlern, welche dem Polarplanimeter anhaften können, spielt die Rollenschiefe eine wichtige Rolle ; wenn nämlich die Achse der Laufrolle nicht parallel der Achse des Fahrarms R ist, so entstehen Fehler, die in einseitigem Sinne wirken, wenn z. B. die Rolle und der Arm immer auf einer Seite der umfahrenen Figur sich

Fig. 6.

! Ci

Ujfi

,d*

II;

f*Si!s

befinden. Um diese Fehler zu eliminieren, hat Coradi in Zürüch das in Fig. 5 gezeichnete Kompensationsplanimeter konstruiert, welches so eingerichtet ist, daß man mit dem Fahrarm A unter dem Polarni P durchfahren und dadurch das Instrument leicht in zwei zueinander symmetrische Stellungen bringen kann. Man macht nun die Rollenschiefe dadurch möglichst unschädlich, daß man eine Figur in zwei möglichst symmetrisch zur Figur liegenden Stellungen des Coradischen Planimeters Fig. 5 umfährt und aus beiden Ergebnissen das Mittel nimmt. (Weiteres hierzu s. „Zeitschr. f. Yerm. 1894“ S. 853—367.) Hierzu gehört auch „Zeitschr. f. Yerm. 1878“ S. 264-266 Reitz, Theorie der Rollenschiefe; Wilski, Rollenschiefe und Scharnierschiefe, „Zeitschr. f. Yerm. 1892“ S. 609 und „Zeitschr. f. Yerm. 1880“ S. 27, wo Coradi mitteilt, daß bei einem gut justierten Planimeter der mathematische Fahrarm um einen kleinen Winkel von der zur Rollenachse parallelen Lage nach der vom Polarni abgewendeten Seite hin abweicht.

§ 31. Die Rollplanimeter von Coradi.

(Systeme Hohmann-Coradi.)

Von allen den verschiedenen neueren Planimetererfindungen zeichnet sich das Rollplanimeter dadurch aus, daß es nach einer Richtung ins Unendliche geführt werden kann. Das Instrument wird nämlich mit keinem Punkte auf der Zeichnungsebene festgemacht, wie die Polarplanimeter, sondern liegt nur mit Rollen auf. Die Meßrolle liegt nicht auf dem Zeichenbogen auf, sondern wird in anderer Weise abgewickelt.

Man kann daher eine Fläche von entsprechender Breite (34 c-m bei Fig. 1) und von unbegrenzter Länge damit umfahren.

Das ScheibenröUplanimeter.

Hach unserem im Jahr 1886 angeschafften hannoverschen Exemplar, mit Benützung der vom Erfinder veröffentlichten Ansichtszeichnung Fig. 1 und der dazu gezeichneten theoretischen Fig. 2 S. 140 erhalten wir folgende Beschreibung und Theorie dieses Instruments :

Fig. 1. Etwa

— natürlicher Größe.

Abstand der Rollen li, = 16 cm. Durchmesser der großen Scheibe = 5,5 cm.

C Ci

---

A-_____c.

HES

■P

jjgrMi

Ein langer Rahmen BB dient allen übrigen Teilen als Stütze. Zunächst ist unter diesem Rahmen BB eine lange Rollenachse angebracht, welche an ihren Enden zwei Laufrollen RlR₁ trägt. Diese Rollen, mit rauhem Rande, laufen auf der Zeich-

nungsebene und übertragen ihre Drehung auf die horizontale Scheibe A mittels konischer Räderübersetzung Rc, R?>. Wird ein Weg dx rechtwinklig zu BB durchlaufen, so gibt dieses einen Rollwinkel d w an der Rolle vom Halbmesser Bl :

dx

d w =    --

i?i

und wegen der eingeschalteten konischen Räder, deren Halbmesser R₂ und U₃ sind, gibt das eine Drehung d ß an der Scheibe A :

Fig. 2.

dß =

R₂dx

—— = k a x.

(1)

OL/

y-

Bi

iS

CO,

-B,

f.

Indem hier Je als konstant eingeführt wird, haben wir zunächst eingesehen, daß die Scheibendrehung dß dem Rollenweg dx proportional ist.

Um die übrige Einrichtung zu verstehen, betrachten wir den Fahrarm SF und den damit rechtwinklig verbundenen Radarm S E (Fig. 2). Dabei ist S ein auf dem Rahmen BB angebrachter Gelenkpunkt, um welchen die beiden Arme S F und

SE sich drehen können; diese beiden Arme machen in Fig. 2 den Winkel cp mit der Richtung S X bzw. mit S Y, welches in BB liegt.

Der Arm S F/ gabelt sich hei E' und gibt dadurch dem Rade E ein Achsenlager in der Richtung E G. Das Rad E (mit welchem ein Zählwerk verbunden ist) liegt auf der Scheibe A lose auf. und übernimmt daher die Drehung d ß der Scheibe A nach dem Maße der Gleichung :

(2)

db = rd ß cos a.

Dabei ist db der Bogen, welcher am Umfang des Rades E abgewickelt wird, wenn das Rad den Abstand r von der Scheibenmitte hat, und der Winkel a hat dieselbe Bedeutung wie beim Polarplanimeter in der früheren Fig. 3 § 36 S. 133.

(3)

Die Gleichungen (1) und (2) führen vollends zur Theorie des Rollplanimeters : db — 1er dx cos a.

Nach Fig. 2 ist : a -+- (f -+- ß = 90°

und

sin <jp sin (cp + ß) cos a ’

Je a 7 ydx.

db = Je a sin cp dx =

Hier sind Je und a konstant , der Arm f ist nur zur Maßstabsregulierung verschiebbar, für die Gleichung (4) also auch konstant; es ist also gezeigt, daß eine

also :

(4)

Fahrung nur von F nach FL (Fig. 2 S. 140) eine Radabwicklung db gibt, welche der Bechtecksfläche yd x proportional ist.

Eine Umfahrung um das Bechteck herum, nämlich F F\ F% F?> F, würde dasselbe gehen, denn F₂ und F\ F heben sich auf, und die Fahrung F%FS in der x-Achse gibt keine Abwicklung db, weil dabei a — 90° ist.

Daß vollends die Umfahrung irgend einer Fläche der Integration der Gleichung (4) entspricht, wird ebenso eingesehen, wie heim Polarplanimeter, und braucht hier nicht weiter erörtert zu werden.

Der in einer Hülse verschiebbare Arm S F — f in Fig. 2 S. 140, oder F in Fig. 1 S. 139 ist mit einer Teilung versehen, und kann durch Versuche so gestellt

werden, daß in (4) die Konstante = 1 oder =100 usw. wird, daß man also die

Flächen unmittelbar aus den Ablesungen bekommt. Die Ablesung ist dabei dreifach, zweimal auf der Scheibe und einmal am Bade, z. B.

Zeiger in der Mitte der Scheibe:

„ am Bande „    „

34

17

Rad :

328

357328

Summe :

Im übrigen ist die Behandlung wie beim Polarplanimeter.

Das Kugelröllplcmimete)'.

Eine weitere Verfeinerung der Planimetermessung kann nun mit möglichster Vermeidung der gleitenden in Fig. 3 S. 133 gezeigten Bewegung dadurch erzielt werden, daß ein Zylinder auf einer Kugel sich wälzt. (Amsler, „Zeit,sehr. f. Instrumentenkunde 1884“ S. 17-24).

Fig. 3. Etwa >/₂ der natürlichen Größe. Abstand der Bollen 12 und 16 cm.

ÜB

H. FISCHER.)^.

Fig. 3 stellt ein mit Ausnutzung dieses Gedankens konstruiertes Kugelrollplanimeter von Coradi dar. Der Unterbau ist ein Wagen ähnlich dem des Scheibenrollplanimeters Fig. 1 S. 139. Beiden gemeinschaftlich ist auch die Führung durch die starken

Eolien R'JR,'. Parallel zur Eollenachse liegt über der linken Rolle die Achse der Kugelkalotte K-, auf dieser Achse befindet sich auch ein fein geschnittenes Zahnrädchen, das auf der Rolle läuft und die Bewegung der letzteren auf die Kugelachse überträgt.

Der ähnlich wie in Fig. 1 S. 139 angebrachte, um eine vertikale Achse drehbare Fahrarmrahmen M trägt die zum Fahrarm parallele Drehachse des an K angelehnten Zylinders, dessen Umdrehungen an Meßrolle und Zählscheibe abgelesen werden. Kugelsegment und Zylinder sind durch Federzug (s. in der Figur links neben M) stets in Berührung.

An der Hand der Fig. 4 geben wir eine elementare Theorie des Instruments.

Es ist x, y ein auf die Wellenachse von K bezogenes rechtwinkliges Koordinatensystem

Fig. 4.

in der durch die Achse der

Welle und des Zylinders gedachten Ebene ; es fällt somit x in die Fahrrichtung.

'C

Pi

<p

fj

UT U.

IIf >

! 3

Befindet sich der Fahrarm in dieser Abszissenstellung, so berührt der Zylinder g das Kugelsegment im Pol, und beim Fahren tritt keine Drehung des Zylinders ein. Hat der Fahrarm f die in Fig. 4 gezeichnete Stellung, in der er mit der .r-Achse den Winkel cp einschließt, so berührt die Zylindermantellinie den Kugelsehnitt in dem durch den Zentriwinkel qo bestimmten Parallelkreis n, mit dem Radius np — K sin cp, wenn K = Radius der Kugel. Wird in dieser Fahrarmstellung in der Fahrrichtung der Weg dx durchlaufen, so ist, wenn r der Radius des kleinen Zahnrädchens ist, der Drehwinkel der Kugelachse

dx

(5)

d ß — —•. r

Der hierdurch auf dem Berührungsparallelkreis abgewickelte Bogen ist

(6)

db =

dx _ . dx „ y ,    ₇

— R sin cp = — K — = ky dx ,

d. h. proportional dem auf das Koordinatensystem bezogenen Flächenelement. Diese Abwicklung wird durch die Berührung auf den Zylinder übertragen und an dessen Meßrolle und Zählscheibe abgelesen.

Eine Umfahrung um das Rechteck herum würde dasselbe geben, denn die Fahrungen um F₂ und Fs F geben einander genau entsprechende kleine Verschiebungen dx' mit entgegengesetzten Vorzeichen, sie heben sich auf. und die -Fahrung in der Grundstellung F₂ F?> gibt keine Abwicklung. Damit haben wir die gleiche Beziehung wie bei den anderen Planimetern.

Der Fahrarm ist ebenfalls verstellbar und mit Teilung versehen: er läßt eine Winkelbewegung qp von 30° nach jeder Seite zu, so daß Flächen von beliebiger Länge und der eingestellten Fahrarmlänge entsprechender Breite umfahren werden können.

Die vorstehende Theorie ist nicht streng; sie setzt voraus, daß die vertikale Drehungsachse des die Zylinderachse tragenden Rahmens M durch den Mittelpunkt der Kugel geht, was nach Fig. 3 nicht zutrifft. In Fig. 4 wird angenommen, daß die Berührung zwischen Kugel und Zylinder stets in dem horizontalen Großkreise K der Kugel stattflndet; bei der wirklichen Ausführung des Instruments nach Fig. 3 ist dies nur in der Normalstellung des Fahrarms, also mit <p = 0, der Fall, während für jede andere Stellung des Fahrarms der Berührungspunkt unterhalb des horizontalen Großkreises K liegt. Infolgedessen wird der Radius des Parallelkreises, auf dem die Berührung stattflndet, nicht mehr durch die Gleichung n p = K sin <p dargestellt. Andrerseits liegt die Tangente des Parallelkreises im Berührungspunkt nicht senkrecht zur Zylinderachse, und diese beiden von Fig. 4 abweichenden Umstände bewirken, wie sich leicht nachweisen läßt, daß die Gleichung n p = K sin <P und damit auch die ganze vorstehende Theorie ihre Richtigkeit behält. Über die strenge Theorie des Kugelrollplanimeters, vgl. Franz Lorber, Über Coradis Kugelplanimeter, „Zeitschr. f. Verm. 1888“ 8. 161—187.

Der Grundgedanke, die Meßrolle nicht auf der Karte, sondern auf einer mit dem Instrument verbundenen Scheibe bzw. einer Kugel gleiten zu lassen, ist von Coradi auch zur Herstellung freischwebender Planimeter verwertet worden, die von der Beschaffenheit der Karte vollständig unabhängig sind. Diese Instrumente haben die Gestalt eines Polarplanimeters, dessen Pol im Zentrum einer kreisförmigen auf der Karte liegenden Messingscheibe befestigt ist. Der Polarm trägt ein kleines Zahn-rädchen, das auf dem gezähnten Rande der Scheibe läuft; das Rädchen vertritt die Rollen der Rollplanimeter und setzt beim Gebrauch des Instruments die Scheibe A bzw. die Kugel K in Fig. 1 u. Fig. 3 in Bewegung.

Die weitere Einrichtung entspricht ganz derjenigen der beiden Rollplanimeter. Man bezeichnet diese Instrumente als Scheiben-Polarplanimeter und Kugel-Polarplanimeter. Näheres hierüber ist gegeben von Lorber in „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 1—19 und 1888 S. 176-187.

§ 38. Das Prytzsehe Stangenplanimeter.

Ein Planimeter von überraschender Einfachheit ist von dem dänischen Kapitän Prytz erfunden worden und vom Erfinder erstmals beschrieben und theoretisch erläutert worden in der „Tekniske Forenings Tidsskrift 1886“. Auch der Fabrikant Cornelius Kundsen in Kopenhagen, von welchem unser hannoversches Instrument bezogen ist. gab dazu eine Beschreibung und Theorie in einer kleinen Broschüre: „Le Planimètre hachette ou le stang-planimètre de H. Prytz, Capitaine, est fabriqué chez Cornelius Kundsen, ingénieur opticien. Copenhague imprimerie de Hoffensberg 1894.“ Ferner haben wir einen Aufsatz des Erfinders in der Tidsskrift for Opmaalings- og Matrikul-vaesen, Januar 1895 S. 383—392.

Nach diesen Originalschriften gab Professor Runge eine Darstellung in der „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 321—331, und eine spätere, mehr geometrisch anschauliche Behandlung der Theorie ist von Hamann in der „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 643—650 gegeben. In der früheren 5. Auflage dieses Handbuches war ebenfalls eine ausführliche Theorie dieses interessanten Instrumentes gegeben worden.

Die äußere Ansicht und die Konstruktion des Instrumentes zeigt die der Schrift des Erfinders entlehnte Fig. 1. Wir sehen hier lediglich eine Stange von der Länge

l — 25 cm, welche rechts mit einer Spitze S und links mit einer messerartigen Schneide M versehen ist; und die Handhabung besteht darin, daß die Spitze S zur Flächenumfahrung wie hei dem Polarplanimeter benützt wird, während dabei die Schneide M in

Fig. l.

Das Prytzsche Stangenplanimeter. Maßstab 1:5, l — 25 cm.

Wm

»!

ihrer eigenen Richtung auf dem Papier hin- und hergezogen wird und in ihrer Anfangslage und Endlage in das Papier eingedrückt zwei Marken liefert, deren Querabstand als Maß für die umfahrene Fläche dient.

Wenn nämlich in Fig. 2 die Fläche F mit der Spitze S in dem Sinne 1,2,3,4,5,1 umfahren l. wird, so macht die Messer-schneide Mlinks den Weg l',2',S',4',5' , und es ist dabei die Rückkehrspitze bei 3' charakteristisch. Während F eine geschlossene Umfahrung hat, ist die Messerschneidenkurve V , 2', 3', 4', 5' ««geschlossen geblieben, und der Kurvenabstand c = Y 5' gibt nun für die umfahrene Fläche F, wenn sie klein ist, in erster Näherung den Inhalt durch das Produkt cl dieses Schneidenquerabstandes c in die Arnilänge l.

Mit Hinweis auf die in der 5. Auflage 1897 S. 120 -130 gegebene ausführliche Theorie soll hier zur einfachen Erläuterung des Instrumentes eine vom Verfasser, „Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 315—317 gegebene geometrische Betrachtung dienen,

Fig. 2.

3*

2‘

H ic

:5‘

LP

5'f = c

3o

welche die Hauptanwendung als Näherungs verfahr en an einem kleinen und schmalen Rechteck nachweist. (Es sei bemerkt, daß dies eine der letzten Arbeiten Jordans für die „Zeitschr. f. Verm.“ war und erst nach seinem Tode veröffentlicht Avurde.)

In nachstehender Fig. 3 sei A B O 1) = m X n ein kleines und namentlich schmales Rechteck, das im Sinne AB C D so umfahren Avird, daß AB zu Anfang in der Richtung des Planimeterarmes l liegt.

Die Schneide mache den Weg ab cd erstens links und, nachdem das Instrument um 180° umgeschwungen ist, nochmals rechts a' b' c' d!.

Da die Querdimension n verhältnismäßig klein sein soll gegen die Armlänge l und auch gegen die andere Rechteckseite m, so können auch alle in Betracht kommenden Querlinien d a, d' a' usav. als kleine gerade Ordinaten rechtivinklig zur Hauptrichtung a AB a angenommen werden, und der mehrfach vorkommende Winkel e ist klein und kann e = n:l angenommen werden.

Fig. 3.

Wi

'mmmmm.

cl

Y.------’■

Ir

-in- B

a‘

b‘

Tl

u\

a, '

to

Außer der eigentlichen Rechteckumfahrung ABCI) mit Schneide links und dann auch mit Schneide rechts, betrachten wir links auch noch die Fahrung AB C E A und rechts ABC F A, d. h. zwei umfahrene Flächen, deren arithmetisches Mittel wieder gleich A B CI) = ni X n ist.

Auf diese Weise bekommen wir links einen Schneidenfahrweg ab ce, der lediglich aus zwei Geraden ab und ce besteht und rechts zwei Gerade a b' und cf'. Mag nun die Abweichung der Kurve cd links von der Geraden ce sein welche sie will, sie ist jedenfalls dieselbe wie die Abweichung der Kurve c' d! rechts von der Geraden c' f — das folgt daraus, daß der Ablenkungswinkel e in gleicher Weise wirksam ist —, kurz die Ordinatenstücke de links und d' f rechts sind gleich, und wenn ae = a' f — m sin e ist, so ist auch

= m sin e .

Es ist aber, wie schon zu Anfang bemerkt wurde, sin e = —, also ad-\-a' cl'

(1)

(2)

l = m n .

Damit haben wir den Grundsatz der Prytzschen Planimeteranwendung: Man umfährt die Figur einmal mit Stange links und findet den Schneidenquerwert = a d, dann

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

also Fläche = 25 X 2 = 50 q.cm = m n .

Würde die Umfahrung nur in einer Lage gemacht und z. B. gerechnet sein : Fläche = p 1 oder p' l, so würde dies Ergebnis nur eine ganz grobe Näherung bedeuten, deren Abweichung vom richtigen Wert in erster Näherung wieder durch die offene und durch a d bzw. a’ d' zu schließende, von der Schneide umfahrene Fläche ausgedrückt würde. Diese Flächen bezeichnet man als „Restflächen“, und das Beispiel zeigt, daß dieselben je nach der Stellung des Planimeters bei der Umfahrung verschieden sein können. In Fig. 2 S. 144 ist die Restfläche 1' 2' 3' 4' 5' F mit H bezeichnet.

Für den gewöhnlichen Gebrauch muß daher der Einfluß der Restflächen durch Anordnung der Umfahrung möglichst klein gemacht werden. Dazu führt zunächst das am Beispiel dargestellte Verfahren der Umfahrung in zwei möglichst symmetrisch um 180° sich gegenüberstehenden Lagen und Mittelbildung aus den beiden so erhaltenen Schlußbögen p und p', also die allgemeine Regel :

l.

(3)

p -+- p'

Man kann das Verfahren auch noch dadurch verbessern, daß man die Umfahrung nicht von einem Peripheriepunkt 1 = 5 wie in Fig. 2 S. 144, sondern von einem Innen-punkt 0 = 6 ausgehen läßt, daß man also in Fig. 4 die Fläche F so umfährt: 0, 1. 2, 3, 4, 5, 6 = 0, wie auch schon in der Ansichtsfigur 1 S. 144 angedeutet ist. Die Schlußbogen werden dadurch in Fig. 4 links 0,6 = d' und rechts 0,6 = d", also dann wieder entsprechend :

(4)

rechts ad'-, das Mittel aus ad und d d' mit der Stangenarmlänge multipliziert gibt die Fläche AB C D = mxn.

Ein derartiger Versuch mit unserem Instrument, dessen Stangenlange l = 25 cm ist, wurde mit einem Rechteck m = 10 cm und n = 5 cm gemacht. Es ergab sich links ad = p — 25 mm p -f-p'

rechts a' d' = p' = 15 mm

Mittel

= 20 mm = 2 cm

2~¹-

Um die beiden Symmetralumfahrungen von Fig. 4 auf emmal machen zu können, hat der Verfasser ein zweiarmiges Stangenplanimeter machen lassen, dessen beide Teile in einem Fahrstift S leicht gelenkartig verbunden sind.

Das beste Ergebnis erhält man, wenn hierbei der Innenpunkt dem Schwerpunkt

Fig. 4.

Restfläche H

Fläche F

Restfläche H"

\§

gJl

|2

(( 12

'5

B-

d“

C‘

i-

der Figur naheliegt. Die weitere Verfolgung der Theorie (5. Aufl. 1897 S. 129) zeigt, daß die vollständige Umfahrungsgleichung in die Form

1.f 4 Z2

F = cl 1

(5)

gebracht werden kann, worin r der mittlere Abstand des Innenpunkts vom Anfang, oder genähert das Mittel des größten und kleinsten dieser Abstände bedeutet. Wenn r : l = 1 :10 ist, so wird r¹ 2 :4 ?² — 1 : 400, oder der Betrag des zweiten Gliedes in (5) nur 0,25% des Hauptgliedes.

Man kann auch schon eine einzelne Restfigur (II' oder II") bei Umfahrung in •einer Lage nahezu zu Null machen, wobei die Figur eine Überschneidungsform ähnlich wie ein sogenanntes verschränktes Viereck annimmt, und es hat Hamann in „Zeitschr. f. Venn. 1896“ S. 646 mit Fig. 4 daselbst dazu die Regel gegeben, die Anfangsstellung des Fahrarms l so zu wählen, daß die in S errichtete Normale zu l die Umfahrungsfläche F nahezu halbiert.

§ 39. Allgemeine Theorie der Umfahrimgsplanimeter.

Wir betrachten in Fig. 1 eine Gerade von der Länge l, welche zwei geschlossene Kurven F und H so umfährt, daß der rechtseitige Endpunkt stets auf der Kurve F und der linkseitige Endpunkt stets auf H bleibt, während G die von der Geraden I überstrichene Fläche ist. Mit F und H sollen nicht bloß die befahrenen Kurven, sondern auch die von denselben umschlossenen Flächen bezeichnet werden, und dann wird sich ergeben, daß F = — G -h H.

Um dieses zu beweisen, wollen wir der über die Fläche G hin streichenden Geraden einen Bewegungssinn zuteilen, so daß etwa von 1 über 3 ... bis 5 als positive Flächenstreichung und dann von 5 über 9 ... bis 1 rückwärts als negative Flächenstreichung gelten soll, wobei G die algebraische Summe der so überstrichenen Flächen ist.

Wir wollen auch noch G trennen in einen positiven Teil G' und einen negativen Teil G", wobei G' den ausgezogenen Teilen und G" den punktierten Teilen von Fig. 1 entsprechen soll, dann ist absolut genommen F -+- G' = G" -+- H, oder da G' — G" — Gr, haben wir:

______

Lfi

sp _r

i.

---9-,

;G:

7/

(1)

Überschneidungen von der Form oo od. dgl. haben, gilt immer eine Gleichung von der Form (1), wenn man nur immer die Vorzeichen der einzelnen Teile richtig beachtet» was ja aber auch bei allen anderen Flächenintegrationen u. dgl. der Fall ist.

Wir gehen über zur Differentialformel für die Flächenüberstreichung, und denken uns eine begrenzte Gerade von der Länge l nach Fig. 2 aus der Lage lx in die-Lage Z₃ gebracht, erstens durch eine Parallelverschiebung von Zx nach Z₂ mit dem Querab stand dh, und dann durch eine Drehung d cp um den linken Endpunkt im positiven Sinn. Dann ist die von lx bis Z₂ überstrichene Fläche als Summe eines-Parallelogramms und eines Sektors:

dG =

i -t i    V ₇

l d Ji —f“ ~çy ■ cl cp »

(2)

Fig. 2.

Im

dhjAd ^ w

LT

Statt der bisher angenommenen Bewegung von lx über Z₂ nach Z₃ wollen wir nun den Fall setzen, es finde die Bewegung von lx nach Z4 durch Querverschiebung um dh' statt und dann von Z₄ nach Z₃ durch Drehung dieses Mal um den rechten Endpunkt, im übrigen aber wieder im den Winkel d cp. Dann wird der Flächenstreifen zwischen Z₄

d Cf

i—

positiven Drehsinn um und 1?1 erhalten als Differenz zwischen einem Parallelogramm Idh' und einem Sektor

Z2

d (p, d. h..

72

— Ydcp'

Da aber dh' — dh 4-1d<jp, so geht vorstehende Gleichung (3) alsbald wieder in (2) über. Man kann die Gleichungen (2) und (3) auch integrieren:

oder

d G — Idh'

(3)

G = l J d h -t- 2“^/*^ T

d h' —

tfd*-

(4)

Wir wollen diese Gleichungen genau betrachten und ihrer Entstehung eingedenk sein, um bei späteren Anwendungen der Gleichungen keinen Fehlschluß zu begehen.

Wenn eine Gerade l sich mit Parallelverschiebungen dh und mit Drehungen daraus die überstrichene Fläche d F ableiten will, so kann

dtp bewegt, und wenn man man nicht von Parallelverschiebungen d h und Drehungen d cp schlechthin reden, ohne zu sagen, auf welchen besonderen Punkt der Geraden l sich jene Größen beziehen. Bezieht man z. B. beides auf den linken Endpunkt von l in Fig. 2, so ist f dh die Summe aller am linken Ende auftretenden Wegprojektionen rechtwinklig zu l gemessen, und entsprechend ist es am rechten Ende mit dh'-, es ist aber f <1 h durchaus nicht statt links mit dh oder rechts mit dh' etwa in der Mitte mit

= fdh'. Wenn man dh" rechnet, so kann man statt (4) auch ohne Rücksicht auf die dcp> schreiben:

G = l f dh".

(4 a)

Fas Polarplanimeter. Wir stellen folgende Vergleichung an:

Allgemeine Theorie Fig. 1 S. 147

Kreis mit Halbmesser R' entspricht Kurve und Fläche H

Länge l

Kurve und Fläche F.

Polarplanimeter

Fig. 4 S. 134

Fahrarm R Umfahrene Fläche F

Wenn nun in Fig. 4 S. 134 eine Fläche so umfahren wird, daß der Pol V ■außerhalb bleibt, so kehrt die streichende Gerade oder der Fahrarm jR nach verschiedenen Bewegungen in seine Anfangslage zurück, die algebraische Summe seiner Drehungen ist daher gleich Null, oder in Gleichung (4) ist £ d q> — 0, also G = 1 £ dh oder = l £ d h ", was dann in beiden Fällen soviel heißt, als es sei £ d h — £ dh' die algebraische Summe aller Parallelverschiebungen des Arms R, welche gemessen wird durch die Umdrehungen des Laufrades ; oder wenn die Summe aller EadabWicklungen = b gesetzt wird, so ist :

(5)

G = Bb.

Die Fläche H der allgemeinen Fig. 1 S. 147 ist in diesem Falle des Polarplanimeters entweder = Null oder = B’^n, denn die Kurve H ist heim Polarplanimeter in Fig. 4 S. 134 repräsentiert durch den Kreis vom Halbmesser B', von dem entweder ein Stück hin und her befahren wird, wenn der Pol außerhalb der Fläche F steht, oder von dem der ganze Umfang in einem Sinn umfahren wird, wenn der Pol innerhalb der Fläche F sich befindet. Im ersten Falle wird die Fläche H = Null, und dann wird nach der allgemeinen Gleichung (1) F — — G oder wegen (5) nun F — —Bb, was mit dem früheren (6) § 36 S. 135 übereinstimmt, abgesehen vom Vorzeichen, das aber insofern keine Kolie spielt, als es ja nur von dem willkürlichen Sinne der Umfahrung oder von der Bezifferung des Laufrades abhängt. Im zweiten Falle des Polarplanimeters, wenn nämlich der Pol innerhalb der umfahrenen Fläche F steht, wird bei der Umfahrungsart von Fig. 4 S. 134 :

£ d qp = — 2 n

.also nach (4) und (4 a), da wieder l — B ist :

G = B £ dh — BP 7i Die Fläche H der allgemeinen Fig. 1 S. 147 wird in diesem Falle des Polarplanimeters der Vollkreis vom Halbmesser B', also H=B'Z n, und wir haben also nun aus (1), (4) und (6) zusammen:

F = — B £ d h -j- B* n    B'² 7t oder = — B £ dh' — B* n -+- B’2 n

F = — R £ dh" + R' 2 Tr.

Diese drei Formen müssen sich auf dm zurückführen lassen, ebenso wie (4) und (4a) dasselbe bedeuten. Wenn in Fig. 4 S. 134 dh sich auf den Weg von S bezieht, dh' auf den äußeren Weg von F und dh" auf die Mitte zwischen S und F, so ist :

d h" = dh — B

oder :

oder

oder

= B£ dh".    (6)

(?)

(7 a)

dh' — dh — Bdq>

d(£

£dh' = £dh — 2Rji

/ d h" — £ dh — Btt und damit gehen in der Tat alle drei Formen (7) und (7 a) in eine über.

Die Summe aller Parallelverschiebungen dh, welche im ersten Falle mit Pol außerhalb einfach =b, d. h. gleich der Radabwicklung war, gleichgültig an welcher Stelle des Armes B sich das Rad befand, wird nun im zweiten Falle mit Pol innerhalb nicht mehr so einfach ; es kommt dieses Mal der Abstand r des Rades vom Gelenkpunkt S mit herein (Fig. 4 S. 134), denn es wird, wenn die dh sich auf den Punkt S beziehen, die Radabwicklung :

b = £ dh-— 2 r n.

Setzt man dieses in (7) ein, so bekommt man:

Dieses ist die frühere Gleichung des Polarplanimeters für Innenpol (7) S. 136, abgesehen von dem hier bedeutungslosen Vorzeichen von b.

Die Böllplanimeter.

Während also beim Polarplanimeter die Kurve H Fig. 1 S. 147 durch die Zwangsführung um den Pol zu einem Kreisbogen bei Pol außerhalb, und zu einem Vollkreis bei Pol innerhalb wird, wird die Kurve H beim Rollplanimeter zu einer geraden Linie ; man kann daher die Rollplanimeter auch als Linearplanimeter bezeichnen. Das eine Ende des Fahrarms f in Fig. 2 und 4 S. 140 und S. 142 bleibt auf der x-k dise des: Instrumentes. Die Fläche H ist stets Null wie beim Polarplanimeter im Fall Pol außerhalb, man kann also auch sagen, die Rollplanimeter sind Polarplanimeter mit dem Polarm = oc. Die allgemeine Gleichung (4) S. 148 wird zu (5) S. 149.

Das Stangenplanimeter.

Wenn man die Gleichung (4) S. 148 auf das Prytzsche Stangenplanimeter anwendet, so findet man zuerst die Eigentümlichkeit, daß hierbei alle Querverschiebungen äh — Q sind, weil die Schneide keine andere Bewegung als mit der Stange Z als Tangentenrichtung gestattet. Betrachten wir nun wieder den Weg der Messerschneidenkurve 1' 2' 3' 4' 5' in Fig. 2 S. 144, welche ungeschlossen geblieben war, so kann dieselbe vollends geschlossen werden durch eine Drehung des Instrumentes um den Punkt der Spitze S = 1,5 rechts, wobei die Messerschneide M links den Kreisbogen 5',1' = c mit einem Zentriwinkel <jp bei 1,5 beschreibt. Da die Armlänge 1,1' = 5,5' = T ist, hat man c als Kreisbogen:

c = lep

bzw.

(9)

oder e' als Sehne genommen:

c3

(9 a)

2 4Z²'

Im übrigen machen wir nun eine zweifache'Anwendung der Gleichung (4), und nehmen für den ersten Teil die Form mit äli und für den zweiten Teil die Form mit d h', also :

5    V

f’dy + l j <

L    5'

äh' —

fyv

5'

Im ersten Teil ist immer d h — 0 und im zweiten Teil (Kreisbogen c = lq>) ist immer d h! = 0, es ist also, da die Drehungssumme von 1 bis 5 gleich der negativen Drehungssumme von 5' bis 1' ist, die Fläche:

G = ~fdq> = -fdrp = V fdy =

"i    5    i

(10)

V (Ts - Ti) •

Die Richtungsdifferenz <p₅ — r/₁ entspricht dem Winkel (jp, welcher in Fig. 2 qp nach der bisher angenommènen Zählweise; nehmen

eingeschrieben ist, und zwar wir also nach (4) G = Gą; und greifen zurück nach der Grundgleichung (1) F=— G+ Hr

so haben wir nun die umfahrene Fläche:

(11)

F = ?2 qp -|- JJ.

Der Wert Z² qp oder bei kleinem Cf> genähert Z² q> = c 1 läßt sich leicht bestimmen, aber die linksseitige Restfläche H in Fig. 2 S. 148 bereitet eine neue Schwierigkeit,

und die Flächenbestimmung von F ist noch nicht weiter gediehen, als daß sie auf ein Rechteck c l und eine andere krummlinig begrenzte Fläche H zurückgeführt ist.

Indessen ein Gewinn ist doch schon durch den Umstand erzielt, daß die Restfläche H bei gewöhnlichen Verhältnissen erheblich Meiner ist als die ursprüngliche Fläche F, und um so mehr kleiner, je kleiner die Dimensionen von F im Verhältnis zur Stangenlange l sind. Ja man kann sogar bei sehr kleinen Flächen F die Restfläche H geradezu vernachlässigen, und das gibt die in § 38 gezeigte praktische Anwendung des Stangenplanimeters mit den Formeln (2) bis (4) S. 145 u. 146. Die weitere analytische Theorie hierzu, welche zu der zweiten Gebrauchsformel (5) § 38 S. 147 führt, war gegeben in der 5. Aufl. 1897, S. 126—129.

§ 40. Genauigkeit der Planimetermessungen. Geschichtliches.

Nachdem man sieh durch einige Probeumfahrungen überzeugt hat, daß ein Planimeter im ganzen richtig arbeitet, geht man dazu über, eine und dieselbe Figur bei verschiedenen Stellungen des Instrumentes, namentlich verschiedenen Polstellungen beim Polarplanimeter, zu umfahren.

Folgendes zeigt einen solchen Versuch für ein Polarplanimeter mit unveränderter Armlänge, aber geänderter Polstellung:

Polstellung I.

Ablesungen Differenzen 6968 8937 0904 2875 4845

196,9 qcm 196,7 197,1 197,0

Polstellung II. Ablesungen Differenzen 1622 3602

5581

7565

9549

198,0 qcm 197,9 198,4 198,4

(1)

198,18 qcm

Mittel 196,92 qcm

Die Differenz beider Ergebnisse beträgt 1,26 q-cm oder 0,6 °/₀.

Kommen so starke Abweichungen vor, so wird man sich nicht befriedigt erklären. Die bei verschiedenen Polstellungen erhaltenen Flächenbestimmungen sollten wenigstens innerhalb 0,5 °/₀ unter sich stimmen.

Der Grund solcher Abweichungen liegt hauptsächlich in einer Schiefe der Rollen-achse gegen die Achse des Fahrarmes B beim Polarplanimeter, wie schon am Schlüsse von § 36 S. 138 angegeben wurde mit Vorführung des Kompensationsplanimeters, welches den Fehler der Rollenschiefe am besten beseitigt.

Coradi gibt in einer Schrift : „Die Planimeter Coradi (Systeme Hohmann-Coradi und Lang-Coradi), Zürich 1901“, eine Anleitung zu Gebrauch und Prüfung der Planimeter. Die allgemeine Gebrauchsregel für die günstigste Instrumentstellung lautet : „Man stellt den Fahrstift in die Mitte der zu messenden Fläche, stellt dann den Pol so, daß die verlängerte Rollenebene durch den Pol geht — beim Rollplanimeter so, daß Fahrstab und Laufwalze rechtwinklig zueinander sind —, fährt in dieser Instrumentstellung an die Grenze der Figur, und nimmt dort den Anfangspunkt der Umfahrung. “

Man hat auch ein Kontrollineal eingeführt, d. h. ein Lineal mit Polstift und Einsatzlöchern für den Fahrstift des Planimeters, um Kreise von genau bekanntem Halbmesser zu umfahren. Hierbei muß aber das Lineal herumgeführt un ci der Fahrstift durch ein Auflegegewicht im Einsatzloch festgehalten werden.

Gehen wir nun zu den unregelmäßigen Fehlern der Planimetermessungen über, so wird es sich zuerst fragen, welche Funktion für das Fehlergesetz anzunehmen ist. Den Fehler der Fläche selbst proportional zu setzen, ist jedenfalls nicht zulässig, denn der sogenannte relative Fehler, d. h. das Verhältnis eines Flächenfehlers A F zur gemessenen Fläche F, ist bei kleinen Flächen viel größer als bei großen Flächen.

Ein allgemeines Fehlergesetz kann sich an die unmittelbare Abmessung eines Rechtecks anschließen, wofür wir in (8) § 28 S. 110 die Form gefunden haben:

(2)

A F = Je ]/F.

Lorber nahm eine zusammengesetzte Fehlerfunktion (s. „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 17) von dieser Form:

AF = c(f) + k y Fit),

(3)

wo (f) der Flächenwert für eine Radumdrehung (n = 1) ist. Für ein Polarplanimeter fand Lorber:

(4)

AF= 0,00126 (/) + 0,00022 VF(f), wobei alles in Quadratzentimetern gerechnet ist. Ein konstantes Glied c(f) in (3) ist wohl gerechtfertigt, allein allgemein schwer zu bestimmen. Wir wollen die einfache Fehlerform (2) unseren weiteren Betrachtungen zugrunde legen, dabei verstehen wir unter A F zunächst nur den rein unregelmäßigen Messungsfehler, welcher durch wiederholtes Befahren derselben Figur mit derselben Polstellung lediglich aus den Abweichungen aufeinanderfolgender Bestimmungen berechnet werden kann, welcher also etwaige Instrumentenfehler, falsche Armlänge, Rollenschiefe usw. nicht mitenthält.

Dieser unregelmäßige Fehler ist sehr klein ; man kann etwa annehmen :

A Fx = 0,003 y F

Wenn man dagegen den mittleren Flächenfehler mit Rücksicht auf die Instrumentenfehler, Armlängenunsicherheit, Rollenschiefe usw. kennen mil, so reicht die Formel (5) bei weitem nicht aus. Es ist wahrscheinlich, daß dann eine Fehlerfunktion mit einem Gliede von der Ordnung F anzunehmen wäre, d. h.

(5)

(A F₁ und F in cf cm).

AF= JcxF± Jc₂YF oder A F = ÿk* F* + Jfcf F.

Da uns kein genügendes Material zur Bestimmung einer Funktion (6) zu Gebot steht, behalten wir auch für den Gesamtfehler der Planimetermessung die einfache Form (2) bei und setzen auf Grund eigener Versuche und zahlreicher Vergleichungen verschiedener Autoren folgendes :

Umfahrene

Fläche

yy

Mittlerer Fehler einer Planimeterumfahrung' ohne Rücksicht auf Instrumentenfehler

± 0,003 yy

mit Rücksicht auf Instrumentenfehler

± 0,03 yy

1 qcm

10

1,00 cm 3,16

25

5,00

100

225

400

1000

10,00

15,00

20,00

31,62

± 0,003 qcm oder 0,30 % 0,009 0,015 0,030 0,045 0,060 0,095

0,09

, 0,06

0,03

0,02

0,015

0,01

±0,03 qcm oder 3,0%

0,09

0,15

0,30

0,45

0,60

0,95

0,9

0,6

0,3

0,2

0,15

0,10

Für eine Menge von Fällen reicht die zweite Genauigkeit unbedingt aus, z. B. für Querprofile bei Erdmassenberechnungen usw.

Die erste Genauigkeit ist nicht geringer als die Genauigkeit , mit welcher man eine Figur überhaupt auf dem Papier zeichnen kann.

Obgleich man die Instrumentenfehler nie ganz wegschaffen kann, und somit der rein unregelmäßige Umfahrungsfehler 0,003 ]/F zunächst nur theoretische Bedeutung hat, kann man der dadurch angedeuteten großen Genauigkeit doch sehr nahe kommen, indem man zu jeder Figur auch eine nahezu mit gleicher Polstellung umfahrbare Kon troll -figur umfährt. Dieses kann man z. B. hei Katasterplänen, indem man immer das nächstliegen de Koordinatennetzquadrat mit umfährt, und alle Flächen durch ihre Verhältnisse zu den Netzquadraten bestimmt (wodurch zugleich auch der Eingang des Papiers berücksichtigt wird). Eine ausgedehnte planimetrische Messungsarbeit dieser Art mit den Trapezen der geographischen Längen und Breiten als Normalfiguren für den Kontinent Asien wurde gemacht von Landmesser Trognitz auf S. 54 u. ff. des Werkes : „Die Bevölkerung der Erde VIII“ von Wagner und Supan, Gotha. Justus Perthes 1891.

Einen Vergleich der Genauigkeit verschiedener Instrumente bezogen auf die gleiche Fläche von 100 qcm kann man rund so geben : der mittlere Fehler soll beim gewöhnlichen Polarplanimeter (Fig. 1 S. 132) nicht über l/₅₀₀ gehen, beim Kompensations-Polarplanimeter (Fig. 5 S. 138) erreicht man i/₁₀₀₀, ¹¹¹¹4 die verschiedenen Präzisionsplanimeter (Fig. 1 und 3 S. 139 und 141) gestatten, den Fehler bis auf i/₃₀₀₀ ev-noch weiter herabzubringen. Vgl. z. B. Lorber, „Zeitschr. f. Venn. 1884“ S. 18, 1888 S. 175, 186.

Sehr kleine und langgestreckte Flächen werden mit dem gewöhnlichen Polarplanimeter nicht genau erhalten; für solche Flächen ist eine in Quadratmillimeter geteilte Glastafel mehr zu empfehlen (vgl. § 27 S. 106 u. 107). Hierzu gehört auch der Kartenmesser von Mauck. „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 273—282 und Günther, Äquidistanzplanimeter, „Zeitschr. f. Verm. 1882“ S. 353—359 und 1883 S. 37—43; auch Günther, „Zeitschr. f. Verm. 1886“ S. 506—512. Sodann sei besonders wieder genannt: Mönkemöller, „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 331—336 und 1899 S. 549.

Für das Prytzsche Stangenplanimeter kann man für gewöhnlichen Gebrauch in runder Zahl etwa annehmen Vioo- Genauigkeitsuntersuchungen gab Hammer in „Zeitschr. f. Instr. 1895“ S. 93 und Hamann in „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 649, wobei Flächen zwischen 9 qcm und 88 qcm mit mittleren Fehlern von 0,5% bestimmt wurden.

Auch in „Zeitschr. f. Instr. 1896“ S. 309 gibt Hammer Zitate aus „Engineering 62.1896“ S. 255 mit Versuchen von Goodmann: gegen Amsler = 100. Prytz = 100 yb 0,6, Simpson Regel = 100 yh 1,0, Harfe = 100 + 2,4.

Geschichte und Literatur des Planimeters.

Wir zitieren zunächst aus Bauernfeind, „Elemente der Vermessungskunde, 7. Aufl. 1890“ H. Band, S. 228: Das Prinzip, auf dem die allein brauchbare Klasse der die Figur umschreibenden Planimeter beruht, wurde von dem bayerischen Trigonometer Hermann 1814 erfunden und 1817 angewendet; diese Erfindung ist aber, da Hermann sie bloß seiner Vorgesetzten Stelle vorlegte, wieder in Vergessenheit geraten. Gonella in Florenz 1824 und Oppikofer in Untereppikon 1827 konstruierten zwei von dem Hermannschen Instrument wenig abweichende Planimeter, deren letzterer von Emst in Paris teilweise und dann von Wetli in Zürich weiter verbessert wurde.

Dieses Hermann-Wetli-Hansensche Instrument ist ein Linearplanimeter, mit zwei zueinander rechtwinkligen Bewegungen, welche aber bei unserem hannoverschen Exemplar (beschrieben und ahgehildet in Hunäus, „Die geometrischen Instrumente“, Hannover 1864, S. 641) nur ein Rechteck von 10 cm X 16 cm zu umfahren gestatten. Dieses und der hohe Preis (unser Instrument 1849 von Ausfeld in Gotha bezogen, 76 Taler) hat die Einführung des Instruments in die Praxis erschwert, und es ist trotz guter Genauigkeit und der Einfachheit seiner Theorie aus der Praxis verschwunden, seit Amsler in Schaff hausen 1856 das reizende kleine, viel leistungsfähigere und wohlfeilere Polarplanimeter erfunden hat, welches rasch in der Praxis aller Flächenbestimmungen sich eingebürgert hat.

In den letzten Jahren sind zahlreiche neue Planimetererfindungen gemacht worden, von denen die in unserem vorhergehenden § 37 beschriebenen Rollplanimeter von Hoh-mannn-Coradi hauptsächlich zu erwähnen sind.

Bauernfeind, Die Planimeter von Ernst, Wetli und Hansen, von Prof. Dr. C. M. Bauernfeind, München 1853 und Zur Geschichte der Planimeter, Dinglers Polytechnisches Journal, Jahrg. 1855, S. 81—87.

¹

—G + H.

Eine zweite anschauliche Begründung dieser Gleichung liegt darin, daß man die Fig. 1 als Projektion einer zylinderartigen Röhre auffaßt, deren beiderseitige Öffnungsverschlußflächen sich in F und H projizieren, und deren Mantellinien, teils diesseits, teils jenseits gedacht, sich in den verschiedenen Geraden von Fig. 1 darstellen. Da nun die algebraische Flächenprojektionssumme eines geschlossenen Körpers gleich Null sein muß (ebenso wie die algebraische Linearprojektionssumme eines geschlossenen Polygons gleich Null ist), und da wir uns F und H auf verschiedenen Projektionsseiten liegend denken, so ergibt sich F -+- G = H, d. h. dasselbe wie oben (i).

²

In Fig. 1 ist die Sache so einfach als möglich angenommen, F und H sind Kurven ohne Verschlingungen, und die verschiedenen Lagen der Geraden in G lassen auch die Flächenzusammensetzung aus einzelnen Streifen deutlich erkennen. Aber auch in viel verwiekelteren Fällen, z. B. wenn die Kurven F und H Verschlingungen,

Amsler, Über die mechanische Bestimmung des Flächeninhaltes, der statischen Momente und der Trägheitsmomente ebener Figuren, insbesondere über einen neuen Planimeter, von Jakob Amsler, Professor am Gymnasium in Schaß'hausen. (Abgedruckt aus der Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich.) Schaffhausen, A. Beck & Sohn 1856.

Bremiker, Theorie des Amslerschen Polarplanimeters, Berlin 1863.

Favaro, Beiträge zur Geschichte der Planimeter, von Dr. Anton Favaro, Professor an der Universität zu Padua. Allgemeine Bauzeitung, begründet von Förster 1873, S. 68—90 und 93—108 mit Bibliographie der mechanischen Planimetrie 1815 — 1872, S. 105 — 109.

Nach diesen häuft sich die Literatur sehr; wir nehmen nur noch „Zeitsehr. f. Verm. 1878“ S. 249—266; 1880 S. 25—37: 1884 S. 1—19 und S. 479—482; 1886 S. 216, 242, 560: 1888 S. 161-187; 1892 S. 609, und im übrigen sei auf die jährlichen Literaturübersichten der „Zeitsehr. f. Verm.“ verwiesen.

§ 41. Logarithmische Rechenschieber.

Der logarithmische Rechenschieber (Fig. 1—4 S. 155) ist ein mechanisches Hilfsmittel zur Ausführung kleiner Multiplikationen, Divisionen und ähnlicher Rechnungen, mit einer Genauigkeit von ungefähr i/₈ o/₀. Für solche kleinere Rechnungen ist der Rechenschieber ein ungemein nützliches Hilfsmittel, jedoch nur dann, wenn der damit Rechnende infolge genügender Übung die einzelnen Operationen rasch ohne Besinnen, gewissermaßen mechanisch auszuführen imstande ist, wenn er die ganze Handhabung „im Griff“ hat.

Auf S. 155 geben wir das Instrument mit Erklärungszeichnungen. Der Rechenschieber besteht in der Regel aus drei Teilen, welche sind :    ,

1.    der Hauptteil, Lineal,

2.    der Schieber, welcher sich mittels Nuten in dem Lineal verschieben läßt,

3.    der Läufer.

Das Lineal und der Schieber sind meist 25 cm lang, aus Holz gefertigt.

Gute Rechenschieber liefert gegenwärtig Dennert und Pape in Altona auf einer weißen, elfenbeinartigen Masse, Zelluloid oder Zellhorn, in scharfen schwarzblauen Strichen; der Läufer besteht aus einem Glasplättchen mit Strichmarke in Aluminiumrahmen. Ähnliche Rechenschieber werden von A. W. Faber geliefert.

Das Lineal und der Schieber tragen auf ihrer Vorderfläche die Hauptteilungen für Multiplikation, Division und Quadrierung; häufig ist die Rückseite des Schiebers auch noch zu Teilungen für sin, cos, tang usw. verwertet (die aber selten gebraucht werden).

Schieber

01

1,0

L*

Fig. 1. Ansicht des Rechenschiebers in natürlicher Größe (ohne Läufer),

8    9    10

9    10

6    7

tniTïïTTÏÏTïïTn

Fig. 2. Lineal und Schieber mit den Hauptteilstrichen, in V2 natürlicher Größe.

laufer

’ à

OB 61 81 M    ⁹1 1 St l *1 lE l __—,

—^    ¹    1 Oll 6 8¹ Z¹ 9¹ S¹

I9 ' !io|

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si 1111 I 1 1 i i M ⁶L

il fi¹ s¹ tï 91 1 V e!

18

li ¹ I7

G¹

S]

?}

12

Fig. 3. Logarithmische Hauptteilung, im Maßstab von Fig. 1 und 2.

i-

60

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

Fig. i. Vereinfachter Bechenschieber.

16    8 L

FilTlI 11

J1

Teilung x = 1

Teilung log x — ü

Lineal

iL

ni

nrn

:c

Der Läufer hat den Zweck, einzelne Stellen der Skalen zu markieren, wozu eine abgeschrägte Endfläche oder Strichmarke auf einem Glasplättchen dient.

Auf S. 155 haben wir in Fig. 1 die am meisten verbreitete Schieberteilung und in Fig. 4 eine vereinfachte Teilung, welche auf unseren Wunsch von Dennert und Pape hergestellt wurde.

Die Teilung und die Anwendung des Bechenschiebers gründen sich auf die algebraischen Sätze über die Logarithmen, insbesondere für Multiplikation:

(1)

log ( a b) = log a -+- log b .

Um den Gebrauch des Instrumentes hiernach zu erklären, machen wir die Annahme, man wolle sich selbst einen Bechenschieber für Multiplikation konstruieren. Man entnimmt hierzu aus einer beliebigen Logarithmentafel die Werte.: log 1 = 0,0000 , log 2 = 0,8010 , log 3 = 0,4771 , log 4 = 0,6021.... % 1,1 = 0,0414.

Diese Werte sind in Fig. 3 S. 155 dargestellt, wobei die untere Teilung gleichförmig ist. Es ist z. B. der Teilstrich für 2 aufgetragen bei 0,301 der unteren Teilung, der Teilstrich für 3 bei 0,477 der unteren Teilung usw.

Man könnte nun bereits unsere obere Teilung von Fig. 3 S. 155 zum Multiplizieren verwenden, etwa unter Zuziehung eines Zirkels. Um z. B. 2x3 zu multiplizieren, nehme man den Abstand 1—2 von jener Oberteilung (Fig. 3) in den Zirkel, sodann den Abstand 1—3, und man wird finden, daß diese beiden Strecken, mit dem Zirkel aneinander gesetzt, und dann wieder von 1 an nach rechts abgetragen, genau bis zum oberen Teilstrich 6 reichen, weil nach dem algebraischen Satze (1) :

(2)

log 2 log 3 = log 6.

In der Tat war dieses die erste graphisch-mechanische Verwertung des logarith-mischen Gesetzes in der Gunterskale (vgl. hierzu „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 236).

Statt der Benützung einer Skale _ mittels eines Zirkelsj kann man nun aber die Aneinanderfügung zweier Skalenwerte viel besser dadurch bewerkstelligen, daß man zwei gleiche Skalen nebeneinander verschiebt, und dadurch kommen wir auf den Bechenschieber.

Dieses wird durch die nachfolgende Fig. 5 veranschaulicht.

Fig. 5. Addition zweier Logarithmen, durch Aneinanderschieben zweier Teilungen.

6    7    8    9 10

Will man 2x3 multiplizieren, so stellt man 1 der unteren Teilung auf 2 der oberen Teilung, geht auf der unteren Skale bis 3 vor und liest, von da wieder zur oberen Skale hinaufweisend, oben das Produkt 6 ab, und bei derselben Schieberstellung kann man ebenso die Produkte 2x2=4, 2x4 = 8 und 2x5 = 10 usw. bilden.

So verfährt man auch mit dem hölzernen Instrument (Fig. 1 und 4 S. 155), indem man den Schieber in dem Lineal bewegt, und dadurch die untere Teilung neben der oberen Teilung hin und her schiebt.

Wenn man ein Produkt bilden will, welches größer als 10 ist, so würde die eine Teilung (Fig. 1) nicht ausreichen, deshalb kommt in Fig. 1 bei 10 rechts eine Wiederholung der ersten Teilung.

Wenn man 0,2 x 3 rechnen will, so verfährt man genau ebenso wie hei 2x3, und schreibt zum Schlüsse 0,6 statt 6. Die Stellung des Dezimalkommas gibt der Rechenschieber nicht, diese ist einer Nebenüberlegung durch Kopfrechnung überlassen.

Nachdem wir hiermit die Multiplikation erklärt haben, ist auch die Division als Umkehrung der Multiplikation erklärt. Man denke sich stets die Kante zwischen Lineal und Schieber als Bruchstrich, z. B. in Fig. 1 S. 155 links oben:

A

■ entspricht dem Bruch —

d. h. man stellt mittels des Läufers in dieser Weise A über B, und liest den Quotienten links, über 1 des Schiebers, am Lineal ab, z. B. 2,6 in Fig. 2 S. 155.

Auch das Produkt —

Man stellt wieder A über B, sucht B' auf der Teilung B, und entnimmt darüber das Resultat A! auf der Teilung A.

Die Teilung C Fig. 1 S. 155 hat doppelten Maßstab von A oder B, es geben also B und C zusammen Quadrate und Quadratwurzeln, was zwar unmittelbar wenig Wert hat, weil hierfür die Anwendung einer Zahlentabelle viel bequemer ist; man

und ähnliche, mit Hilfe der Teilung O

A

B' = A! wird ähnlich gefunden in dieser Weise:

kann aber auch Ausdrücke, wie

c ’yc

abschieben, und das ist oft nützlich ; indessen hierauf und auf Beschreibung der Rechnung mit sin a, tang a usw., wozu die Teilungen auf der Rückseite des Schiebers dienen, wollen wir nicht näher eingehen, weil doch nur persönliche Übung (wobei man eine gewöhnliche Rechnung nebenher macht) zum Ziel führen kann, und weil letztere Rechnung mit dem Schieber verhältnismäßig wenig Verwendung finden.

Über die Genauigkeit des Rechenschiebers kann man sich leicht Rechenschaft geben durch Versuche, wie folgendes kleine Beispiel zeigt, wobei unter Soll das richtige, nachher ausgerechnete Produkt eingesetzt ist.

Bechenschieber-

Soll

Fehler

100 e

100 f\2

produkt

2,34 x 7,69 = 18,0 9,61 x 1,42 = 13,68 7,22 x 6,13 = 44,4 3,45 X 7,78 = 26,8

17,99

13,65

44,26

26,84

+ 0,01 + 0,03 + 0,14 — 0,04

0,06 %

0,22

0,32

0,15

0,0036

0,0484

0,1024

0,0225

_ j/0,1769

- 0,21 o/₀.

Summe 0,1769

Mittlerer Fehler

Die hier gemachte Quotientenberechnung entspricht dem logarithmischen Gesetz : dlog x = 0,4343 ^ = 0,4343 x 0,0021 .

Man kann daraus auch rückwärts theoretisch ableiten, welche Ablesungsschärfe auf der 125 -mm langen Teilung dem Fehler 0,21 % entspricht. Da nämlich log 10 = 125 mm lang dargestellt ist, und theoretisch log 10=1 ist, muß man d log x ebenfalls mit 125 mm multiplizieren, d. h. 0,21% von 125 mm 0,4343 = 0,114 mm rechnen, um den linearen Fehler auf dem Schieber zu kennen. Dieser Fehler 0,114 mm enthält die Fehler von drei Einstellungen bzw. Ablesungen bei der Entstehung eines Produktes, es ist also der mittlere Fehler einer Einstellung oder Ablesung = 0.114 mm: \fZ — 0,066 mm, was wohl möglich ist.

(3)

Übrigens haben viele Rechner auch erheblich geringere mittlere Fehler mit dem Rechenschieber gefunden, als das vorstehende kleine Beispiel gibt. Versuche über Rechenschiebergenauigkeit sind mitgeteilt in der „Zeitschr. f. Venn. 1887“ S. 57 0,16 o/o; 1891 S. 119 0,07 o/₀, S. 423 0,08 o/o; 1891 S. 433 0,125 o/₀. Man kann also die Rechenschiebergenauigkeit zu etwa 0,1 °/₀ bis 0,2 °/₀ des Resultats annehmen, doch gehört zur Genauigkeit von 0,1 °/₀ eine scharfe Anstrengung, und bei schneller Handhabung wird man die Genauigkeit nur zu etwa 0,2 %, manchmal sogar nur 0,3 % annehmen können.

Wir wollen hierzu auch nochmals unseren vereinfachten Schieber Fig. 4 S. 155 betrachten. Verfasser, der seit Jahrzehnten fast täglich den Rechenschieber in der Hand hat, wendet für den täglichen Bedarf fast nur noch diesen unendlich bequemen Schieber Fig. 4 S. 155 an.

Es wird allerdings auf die Beschaffenheit der Augen ankommen, wenn die Wahl zwischen dieser neuen einfachen Teilung und der alten gewöhnlichen Teilung getroffen wird. Verfasser findet bei Lampenlicht die gewöhnliche Teilung zu eng, und auch sonst, bei Tage, nicht bequem genug, wenn es sich nur um flüchtige Rechnungen handelt. Letztere sind es aber doch, welche am häufigsten mit dem Schieber gemacht werden; die erreichbare Genauigkeit von 0,1 bis 0,2 % wird selten gebraucht, wir rechnen meist nur mit 0,3 bis 0,5 °/₀ Schärfe und greifen, wenn 0,1 °/₀ erwünscht wird, lieber zur Logarithmentafel oder zu anderen Hilfsmitteln, zu welchen wir nun noch übergehen.

Außer dem gewöhnlichen 25 cm langen Rechenschieber gibt es auch solche von 50 cm Länge, die aber schon nicht mehr so handlich sind.

Die Bechemclieibe. Da auf dem geraden Rechenschieber zwei gleiche Teilungen hintereinander nötig sind, ist es naheliegend, die Teilung auf einem Kreis aufzutragen, so daß das Ende von selbst wieder in den Anfang übergeht. (Zuerst 1816 von Jomard

Fig. 6. (Raddurchmesser = 12 cm.)

Der Durchmesser

ausgeführt.) Eine solche Rechenscheibe (von Mechaniker Landsberg in Hannover) wurde von uns mehrfach benützt.

===

gefertigte kleine Rechenscheibe mit einem mittleren Fehler von nur 0,02 °/₀ („Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 303) und eine größere (220 mm Durchmesser) mit gesteigerter Genauigkeit („Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 697—698); desgl. Ingenieur Puller eine

ist =15 cm, also die Teilungseinheit = Ihn — Al cm, d. h. fast viermal so groß als die Teilungseinheit 12,5 cm des gewöhnlichen Rechenschiebers. Die Genauigkeit ist auch entschieden größer als beim gewöhnlichen geradlinigen Schieber, indessen ist die Kreisform der Übersicht und Raschheit der Rechnung nicht nützlich. Den mittleren Fehler dieser Rechenscheibe fanden wir 0.12 %. Bezirksgeometer Röther benützt eine von ihm seihst

größere Scheibe von 477 Ferner berichtet Luedecke in der „Zeitsehr. f. Yerm. 1891“ S. 346 über Rechenapparate nach dem Prinzip des Rechenschiebers, von Billeter in Zürich, mit mittlerem Fehler von 0,01 o/₀ bis 0,04 %.

Durchmesser („Zeitschr. f. Yerm. 1901“ S. 296 -299).

mm

Das Bechenrad von A. Beyerlen in Stuttgart wurde von Baur beschrieben in dem „Gewerbeblatt aus Württemberg 1886“ S. 201 -206, von wo unsere Fig. 6 S. 158 entlehnt ist (vgl. auch „Zeitschr. f. Yerm. 1886“ S. 382—385). Das Instrument hat die gewöhnlichen logarithmischen Teilungen auf zwei nebeneinander laufenden Zylinderflächen. (Dieses Rechenrad in zwei Größen wurde von Mechaniker Tesdorpf in Stuttgart geliefert.)

Fig. 7.

Maßstab etwa 1 : 8 (Walzenlänge = 50 cm).

-r,

. L.- .

■K

Wir kommen nun zu denjenigen Apparaten, welche die logarithmische Gesamt-teilung in eine Zahl von Unterabteilungen zerlegen, die man auf einer Zahl von Parallelstreifen anbringen kann.

Fig. 8.

Hannyngtons Rechentafel.

Natürliche Größe 68 cm lang, 20 cm breit, verkleinerte Darstellung in ¹/₆ der natürlichen Größe.

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Hierher gehört zuerst die logarithmische Bechentafel von Scherer, „Zeitschr. f. Yerm. 1892“ S. 158 und 1893 S. 54—60 mit Zeichnungen und Genauigkeitsnachweisen S. 59 im Mittel 0,02 o/₀.

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Zweiteiliger Rechenschieber von Lallemand, etwa «/, natürlicher Größe. Zeitschr. f. Verm. 1900 S. 233-236.

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Fig. 9.

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Dasselbe Prinzip der Streifenzerlegung benutzt die in Fig. 7 S. 159 dargestellte Rechenwalze von Thacher, von der man in Kürze sagen kann, daß sie einen 18 Meter langen auf 40 Streifen verteilten gewöhnlichen Rechenschieber vorstellt. Die 40 Streifen sind auf dem äußeren Zylinder angebracht mit Durchbrechungen, durche welche man die entsprechenden 40 Teilungen des inneren verschiebbaren und drehbaren Kernzylinders sehen kann. (Näheres hierüber gibt die Schrift: „Thachers Calculating Instrument or cylindrical sliderule“. New-York: D. van Nostrand, 23 Murray and 27 Warren Street, 1884.) Versuche damit gab Hammer in der „Zeitscbr. f. Yerm. 1891“ S. 433—441 (und Beschreibung noch eines anderen verwandten Werkzeuges von Fuller). Erfand Genauigkeit nahe wie mit fünfstelligen Logarithmen, jedoch ist das Zusammensuchen der vielen Striche und Zahlen sehr mühsam, weshalb wir mit dem Exemplar unserer Hannoverschen Hochschule, nach welchem Fig. 7 S. 159 hergestellt ist, bis jetzt nur wenig Versuche, aber noch keinen dauernden Gebrauch gemacht haben.

Als eine weitere Ausführung des Streifenprinzips für logarithmische Skalen haben wir einen neuen englischen Rechenapparat, welcher bezogen werden kann von Aston & Mander, 25 Old Compton Street, Soho, W. London, Erzeuger der Rechenapparate System Hannyngton, äquivalent Rechenstäben bis zu zehn Meter Länge. Von dieser Quelle haben wir einen solchen Apparat bezogen, welcher in der Zeichnung Fig. 8 S. 159 dargestellt ist.

aus

neueren

Der obere Hauptteil dieser Zeichnung enthält in Gitterform oder Rostform das Rechenbrett selbst mit 11 Skalen von je 61 cw Teilungslänge ; der untere Teil der Zeichnung Fig. 8 stellt den acht Teilstäben bestehenden ebenfalls rostartig konstruierten beweglichen Schieber vor, welcher an verschiedenen Stellen des Hauptteils eingesetzt werden kann und dadurch die fortgesetzt in einander übergehenden Skalen des Hauptteils nach Umständen auszunützen gestattet. Das Ganze kann betrachtet werden als ein in Teile zerschnittener und in Parallelstücken angeordneter Rechenschieber von drei Meter Länge. Von allen den größeren logarithmischen Rechenapparaten fanden wir diesen Hannyngton am bequemsten.

Auf dem gleichen Prinzip beruht der von dem Direktor des französischen Landesnivellements und Ivatastervermessungs-

Ch. Lallemand neuerdings für die polygonometrischen

wesens

Rechnungen bei den französischen Katasterneumessungen konstruierte zweiteilige jRechenschieter. ,Zeitsehr. t. Verm. 1900“

S. 233—236.

Der in Fig. 9 dargestellte Schieber hat die äußere Form des gewöhnlichen 50 cm-Schiebers ; die Skala, deren Einheit 100 cm ist, ist in zwei Teile zerlegt, die eine Hälfte 10 bis 91,62 befindet sich auf der oberen, die andere Hälfte 31,62 bis 100 auf der unteren Linealteilung. (Der Deutlichkeit wegen hat in der Figur ein Teil der Skalenstriche weggelassen werden müssen.) Der Schieber trägt zwei entsprechende Skalen in umgekehrter Anordnung, wie Fig. 9 zeigt. Dieser Anordnung entsprechen die Gebrauchsregeln für Multiplikation und Division, welche Lallemand „Zeitschr. f. Venn. 1900“ S. 234—235 gibt.

Z. B. für Multiplikation nach Fig. 9 hat

man :

10,82 (obere Linealteilung mit unterem Zeiger) X ⁵⁰ (obere Schieberteilung) = 541 (untere Linealteilung),

oder bei anderer Zählung z. B.

10,82 (obere Linealteilung mit unterem Zeiger) X 20,5 (untere Schieberteilung) = 221,8 (obere Linealteilung).

Hierbei ist die Verwendung des mit Lupe versehenen Läufers gezeigt. Für Division ergibt sich entsprechende Umkehrung der Gebrauchsregel.

Auf der Rückseite des Schiebers, deren man sich durch Umstecken bedient, ist eine logarithmische Sinusskala für zentesimale Teilung angebracht.

Der Fehler ist ungefähr i/₈ des für den gewöhnlichen 25 cm-Schieber anzunehmenden, und so gering, daß dieser zweiteilige Schieber von Lallemand bei den französischen Katasterneumessungen für die polygonometrischen Rechnungen statt der sonst zu benutzenden vierstelligen Logarithmentafel hat eingeführt werden können.

Der Schieber wird geliefert von der Firma Taverniet-Gravet, 19 Rue Mayet, Paris (Preis 80 Mk.).

Ein kleinerer Rechenschieber ist nach demselben Prinzip von Dr. Frank in Stuttgart konstruiert worden, worüber Hammer in „Zeitschr. f. Venu. 1903“ S. 401-405 berichtet. Die Skala hat eine Gesamtlänge von 50 cm ; durch Zerlegung in zwei Teile wird also die handliche Größe des gewöhnlichen 25 cm-Rechenschiebers erreicht. Die Genauigkeit wird vom Erfinder zu 0,05 °/₀ angegeben, was der Bearbeiter durch eigene Versuche bestätigt fand. Die Rückseite des Schiebers enthält eine Skala zur Ablesung von vierstelligen Logarithmen; die sonst üblichen Skalen für die trigonometrischen Funktionen sind nicht vorhanden. Der Rechenschieber wird von Dennert und Pape in Altona hergestellt.

§ 42. Die Hurkh ard ? sc 11 e Rechenmaschine.

Die Rechenmaschine, welche im wesentlichen eine Erfindung des Philosophen Leibniz ist, wurde in der heute gebräuchlichen Form von Thomas in Colmar konstruiert und wird jetzt in Deutschland von Arthur Burkhardt in Glashütte in Sachsen fabrikmäßig hergestellt. Die äußere Form der Burkliardtschen Maschine zeigt nachstehende Fig. 1 mit geöffnetem Kastendeckel.

Die Theorie und Wirkungsweise dieser Burkhardtschen bzw. Thomasschen Rechenmaschine erläutern wir im Anschluß an die Fig. 2 S. 163.

Die zuerst in Betracht kommenden Teile sind die Staffelwalzen W, deren unsere

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Zeichnung 6 veranschaulicht, nämlich im Grundriß W W und im Aufriß W W.

Jede solche Walze ist auf

2^ ihrer Oberfläche vollkommen zylindrisch, der übrige Teil

9

von ist besetzt durch 9 Zähne von verschiedener Länge. Denkt man sich die Länge

der Walze in 10 Teile geteilt, so hat der längste Zahn 9 Teile, der nächste 8, usf. und der kürzeste hat die Länge 1 Teil. Schneidet man eine Walze bei 0, so erhält man einen vollkommen kreisförmigen Querschnitt, schneidet man sie bei 9, so erhält man einen Kreis von 9 aufgesetzten Zähnen.

In der Ansicht der Walze stufen sich die ungleich langen Zähne staffelartig ab, weshalb sie (nach Eeuleaux) Staffelwalzen heißen.

Fig. l.

(Maßstab etwa 1:5 der natürl. Größe.)

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ii

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Diese Staffelwalzen stehen im Eingriff mit Zahnrädern <> S. 163 (im Grundriß a a, im Aufriß a' a'), welche auf ihren horizontalen Achsen (parallel den Walzenachsen) so verschoben werden können, daß sie nach Umständen mit mehr oder weniger Walzenzähnen Zusammenkommen. Die Verschiebung wird mit den Knöpfen A von oben g⁻e-maclit, und wenn z. B. ein Knopf A auf 6 stellt, so ist das darunter befindliche Rad a so auf der Walze gestellt, daß es bei einer Umdrehung der Walze mit 6 Zähnen derselben in Eingriff kommt.

Die sämtlichen Walzen stehen durch konische Räder mit einer Längstransmission so in Verbindung, daß bei einer Umdrehung der Kurbel K. welcher eine Umdrehung der Transmissionsachse entspricht, sich auch edle Walzen je einmal umdrehen.

Die kleinen Räder a stehen (ebenfalls mittels konischer Räder) in Verbindung mit Zifferscheiben C, welche ihre Achsen in c.. .c haben. In unserer Zeichnung links oben ist nur eim solche Zifferscheibe C, nämlich beim achten c gezeichnet, und zwar punktiert, weil sie unter der Gesamtdeckplatte sich befindet. Jede volle Umdrehung eines Rades a dreht auch die entsprechende Scheibe G einmal um und führt dabei die

aufgeschriebenen Ziffern 128456789 0 sämtlich unter dem Schauloch B vorbei ; steht also zu Anfang in einem Schauloch die Ziffer 0, und dreht man die Kurbel ein-

Fig. 2.

Die Burkhanitsehe Kechenmaschine. (Maßstab 1: 3 der natürl. Größe.)

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mal um, während das Rad a mittels seines Knopfes A auf 6 gestellt ist, so kommen 6 Walzenzähne mit 6 Zähnen von a in Eingriff, drehen also a und die damit ver-

bundene Zifferscheibe C um 6 Teile, und nach Vollendung der Kurbeldrehung wird man, statt ursprünglich 0, in dem Schauloch die Ziffer 6 erblicken.

Hiermit ist folgendes erkannt: Wenn man alle Zifferscheiben in der Schaulöcherreihe B B (S. 163, obere Reihe) auf 0 stellt, dann die Knöpfe A bzw. auf 9 3 4 6 0 6 stellt, und dann die Kurbel einmal umdreht, so wird nachher in den 6 Schaulöchern ebenfalls zu sehen sein: 9 3 4 6 0 6.

an-

Wenn anfänglich die Zifferscheiben nicht auf 0 gestanden haben, so drehen sie sich doch bei einer solchen Operation genau um so viele Teile, als jeder Knopf A gibt ; wenn z. B. die erste Scheibe (von rechts) 6 zeigt, und der entsprechende Knopf A ebenfalls 6, und man dreht die Kurbel einmal um, so zeigt dabei das erste Schauloch B (rechts) folgende Veränderungen: 6 7 8 9 0 1 2, und am Schluß der Operation hat man 2. Alle anderen Scheiben sind dabei unverändert geblieben. Das ist aber noch nicht das, was wir wollen; wir möchten nämlich statt 2 das Ergebnis 12 haben, und dazu ist nötig die

Zehnerübertragung. Die Achsen der Räder a tragen nicht bloß die Räder a selbst, sondern in der Verlängerung auch noch andere Räder a" a", welche jedoch mit den Walzenzähnen nicht in Berührung kommen; dagegen tragen die Wälzenachsen ebenfalls in der Verlängerung noch besondere Zähne z, welche zwar im allgemeinen nicht in der Ebene der Räder a" liegen, und deswegen nicht in dieselben greifen können, 'welche jedoch ausnahmsweise in die Ebene a" a" geschoben werden können.

Jede Zifferscheibe hat nämlich unten einen Daumenansatz q (s. im links oberen Teil der Zeichnung S. 163), und in dem Moment, in welchem die Zifferscheibe von 9 auf 0 übergeht, drückt dieser Daumen q mittels einer Hebelübersetzung den besonderen Zahn z der wichsten Walze in die Ebene der Räder a" a".

Die Zähne z sind im Grundriß unserer Zeichnung (S. 163 rechts unten) durch verschieden lange Striche angedeutet, weil die Zähne verschiedene Winkel mit dem Horizont machen und sich deshalb verschieden lang projizieren.

Projiziert man eine Walze nebst dem Zahn z auf ihre Querschnittsebene, so erhält man, wie die besondere größere Zeichnung W₂ (s. links unten in der Zeichnung S. 163) für die zweite Walze zeigt, einen Kreis mit 10 Zähnen, denn zu den 9 verschieden langen Walzenzähnen, welche sich als die gleich geformten Zähne 12 34 56789 projizieren, kommt noch der Zehnerzahn 10 in unmittelbarem Anschluß.

Wir kehren nun zu den Walzenumdrehungen zurück und denken uns wieder den ersten Knopf A (rechts) auf 6 gestellt. Steht die zugehörige Zifferscheibe B auf 0, so wird sie durch eine erste Kurbeldrehung auf 6 gebracht, und durch eine zweite Drehung allerdings wieder wie früher auf 2, allein während sie von 9 auf 0 sprang, setzte der Daumen q die Zehnerübertragung an der zweiten Walze in Tätigkeit, und die zimte Scheibe ist um 1 vorgerückt, obgleich der zweite Knopf auf 0 stand.

Wenn der zweite Knopf A vorher nicht auf 0 stand, so hat bei einer Kurbeldrehung die zweite Scheibe sowohl die ihr unmittelbar von ihrer Walze übertragene Drehung auszuführen, als auch die etwa durch die Zehnerübertragung von der ersten Scheibe her geforderte Drehung, und damit diese zwei Ursachen die gewünschten Wirkungen hervorbringen, erfolgt immer die Zehnerübertragung, nachdem alle Walzenzähne an der Eingriffsstelle vorübergegangen sind, denn würde etwa der Zehnerzahn gleichzeitig mit einem Walzenzahn eingreif en, so würden diese beiden Zähne an ein und derselben Achse doch keine andere Drehung her Vorbringen, als einer allein.

Der Zehnerzahn zH (für die nte Walze) wird in dem Augenblick in die Ebene der Zehnerräder n" a” geschoben, wenn unter dem Schauloch Bn — 1 der Übergang von 9 auf 0 stattfindet, d. h. während die Walze Wn — i wirksam ist. Der Zehn erzahn zn muß aber natürlich vorher in die Wirkungsehene a" a" geschoben werden, ehe er daselbst auf das Rad a"n wirken kann. Die Zeit der Wirkung dieses Zehnerzahnes zn ist also zwei Bedingungen unterworfen:

1.    er muß nach allen Zähnen seiner eigenen Walze W» wirken,

2.    er muß wirken, nachdem alle Zähne von Wn — l, den Zehnerzahn zn — i inbegriffen, an ihrer Eingriffsstelle vorühergegangen sind, denn möglicherweise wird der Übergang von 9 auf 0 im Schauloche Bn — i nicht durch einen Walzenzahn, sondern gerade durch den Zehnerzahn ,zn — i veranlaßt ; dieser Übergang von 9 auf 0 hei Bn — i muß aber, wie schon früher erwähnt, als Ursache des Vorschiebens von zn in die Ebene a" a", dem Eingriff von zn vorangegangen sein.

Aus der Vereinigung dieser beiden Bedingungen folgt die Notwendigkeit fortgesetzter Verzögerung der Walzen Wirkung, und hieraus erklärt sich die verschiedene Zahnstellung der Walzen W' W (s. unten rechts in der Zeichnung S. 163).

Ein leerer Raum gjif jeder Walze ist nötig, damit die Wirkungen verschiedener

Kurhelclrehungen gehörig auseinander gehalten werden. (Der leere Raum auf einer

16

Walze beträgt bei Burkhardt — mit — für die Zähne.)

9    13    9

— für die Zähne und bei Thomas ^ mit ₀₉

Damit ist alles erkannt, was zum Addieren und Multiplizieren gehört.

Das Addieren versteht sich nach dem Bisherigen von selbst, und das Multiplizieren sei an einem Beispiel gezeigt:

Multiplikation. 934 606 X 62 142.

Man steckt mit den Knöpfen A den einen Faktor 934 606 als Multiplikandus auf, wie unsere Figur S. 163 zeigt. Der Wendehehel V steht auf „Add. u. Mult.“ Der Pfeil hei P zeigt auf das erste kleine Loch rechts 1) ; alle Schaulöcher B zeigen 0.

1 869 212

Man dreht die Kurbel zweimal und erhält.......

39 253 452

Man hebt den ganzen Rahmen MN und fährt um 1 Teil mit MN nach rechts hinaus, dann dreht man viermal und erhält .    .    .

Man hebt den Rahmen abermals, fährt nochmals damit nach

132 714 052

rechts, dreht einmal und erhält.............

2 001 926 052 58 078 286 052

So fährt man fort mit den übrigen Ziffern 2 und 6 des Multiplikators und erhält für 2................

und für 6 zum Schluß................

Die letzte Zahl ist das gesuchte Produkt.

Man wählt natürlich hierbei die kleinere Zahl als Multiplikator.

Hat man mehrere Produkte zu addieren, z. B. ab-b cdefso bildet man ab, läßt alles stehen und macht cd usw., wodurch sich die Summe ab-Ą-cdA-... von selbst bildet.

Um zur Subtraktion und Division überzugehen, bleibt nur noch übrig, zu zeigen, daß die Bewegung aller Zifferscheiben vollständig umgekehrt werden kann, was auf .8. 163 unten links in der Figur HJ mit den Kegelrädern Ad. und Sub. angedeutet ist.

Wir wollen nicht mehr näher darauf eingehen, da ohne die Maschine in der Hand zu haben man nicht alles erfassen kann und da heim Ankauf einer Maschine eine ausführliche Beschreibung und Gebrauchsanweisung vom Fabrikanten Burkhardt in Glashütte beigegeben wird.

§ 43. Ältere Rechenmaschinen Yon Pascal, Leibniz, Hahn.

Auf der Königlichen Bibliothek in Hannover befindet sich eine von Leibniz etwa vor 200 Jahren erfundene Originalrechenmaschine, von welcher schon mehrfach in der „Zeitschr. f. Verni. 1880“ S. 305—312, 1887 S. 226—229, S. 593—596 und 1892 S. 545—551, 1897 S. 289—315, 8.392—398, 1898 S. 163—167 Mitteilung gemacht worden ist.

Die Pascalsche Rechenmaschine (Additionsmaschine).

Wir wollen auch die Vorgängerin, nämlich die Maschine von Pascal (geh. 1623r gest. 1662), erwähnen, wobei uns als die Hauptquelle dient: „Oeuvres complètes de Biaise Pascal, tome troisième. Paris, librairie Hachette & Cie. 79 Boulevard St. Germain, 1890.“ Dasselbe enthält auf S. 196-—208: „Description de la machine arithmétique de Pascal, par Diderot (tirée du premier volume de l’encyclopédie).“

Fig. 1.

Pascalsche Rechenmaschine (Additionsmaschine).

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Die Q sind in Fig. 1 teilweise als O geschnitten, auch steht Unités statt Unités.

Vorstehendes ist die dazu gehörige Figur: in derselben bedeutet XOP R eine Kupferplatte, welche die Oberfläche der Maschine bildet. Man sieht auf dem unteren Teil dieser Platte eine Reihe X O von Kreisen Q, Ç, Q usw., alle beweglich um ihre Mittelpunkte Q- Der erste Kreis rechts hat 12 Zähne, der zweite 20 Zähne und alle links folgenden Kreise haben 10 Zähne. (Dieses entspricht der Münzteilung deniers, sols, livres, nämlich 1 livre =20 sols, 1 sol = 12 deniers; heute würde-Pascal ohne Zweifel alle Kreise mit 10 Zähnen gemacht haben.)

Bei 5 befinden sich Hemmstücke, und zwar über den Kreisen, die sich darunter frei drehen. Diese S dienen zum Anhalten von Stiften, die man in der Hand hält und zwischen die Zähne der beweglichen Räder Ç;steckt, um dieselben in der Richtung 6, 5, 4, 3 zu drehen, wenn man die Maschine in Tätigkeit setzt.

unserem

Subtraktion PR verschoben wird.) Die Leiste PR trägt Rädchen mit Ziffern, welche den Ziffern der Räder Q entsprechen (nämlich rechts 12, 20, dann 10, 10..) Eine Zehnerübertragung ist vorhanden mit gleicher Wirkung wie bei der Leibnizschen und heutigen Thomas-Burkhardtschen Maschine.

Die Linie Y Z enthält eine Reihe von Löchern, durch welche man Ziffern sieht und zwar in Falle 436 809 livres, 15 sols, 10 deniers. (Dieses ist die Lage PR für Addition, während für

Handhabung der Maschine für Addition : Man stellt die Decke Pli so, wie Fig. 1 zeigt, daß also die Löcher YZ offen sind. Alle Bäder NO werden auf Null gestellt. Man habe folgendes zu addieren:

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Man nimmt den Führstift, führt ihn in den 8. Zahn des äußersten Rades Q rechts und dreht dieses Rad bis zu dem Anschlag S. Ebenso verfährt man bei dem zweiten Rade mit dem Stift, welcher in 7 gesteckt und bis zum Anschlag <8 gedreht wird, und so tort mit 9 bei dem dritten und 6 bei dem vierten Rad ; damit hat man die erste Summe 69' 7* 8rf auf den Schaulöchern erhalten. Nach diesem verfährt man ebenso mit dem zweiten Summanden 584' 15« 6d, worauf die Summe entsteht: 654' 3s 2A Multiplikation kann man durch fortgesetztes Addieren machen. Das mag genügen, einzusehen, daß die Pascalsehe Maschine nur eine Art Additionsmaschine für den besonderen Zweck der Geldzahlung war.

Es gibt heute eine große Zahl reiner Additionsmaschinen (Comptometer, Comptograph), welche durch fortgesetztes Addieren in den einzelnen Stellen auch die Möglichkeit bieten, Produkte zu bilden. Vgl. hierzu „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 171—180.

Die geodätische Sammlung der Technischen Hochschule Hannover besitzt ein Comptometer von Feit und Tarrant in Chicago mit 8X9 Tasten.

Die Leibnizsche Rechenmaschine.

Wir gehen nun über zu der Rechenmaschine von Leibniz (geb. 1646 zu Leipzig, gest. 1716 zu Hannover) und zitieren aus der „Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 226—229, sowie 1887 8. 593—596 und aus dem „Archiv der Geschichte der Philosophie, herausgegeben von Ludwig Stein, Band I. Berlin, Georg Reimer, 1888“ S. 78—91 „die in Halle aufgefundenen Leibniz-Briefe“ :

Im Jahre 1695 schrieb Leibniz an Ludolf: „Und nun ist mein arithmetisches Instrument vollendet, dem ähnliches bis jetzt nicht gesehen worden ist, da es gänzlich eigener Art ist.“ Ähnlich auch in einem Briefe an Thomas Bernet: „Ich habe auch das Glück gehabt, eine arithmetische Maschine herzustellen, welche unendlich verschieden ist von derjenigen Pascals, da die meinige die großen Multiplikationen und Divisionen in einem Augenblick macht und ohne Nebenhilfe von Additionen und Subtraktionen.“

Nach diesem geben wir in Fig. 2 und Fig. 3 S. 168 zwei Zeichnungen der in Hannover befindlichen Leibnizschen Maschine.

Fig. 2.

Leibnizsche Kechenmaschine in Hannover nach Photographie im April 1892.

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Im April 1892 haben wir eine Photographie der in der Königlichen Bibliothek Hannover befindlichen Maschine hergestellt (Fig. 2 S. 167), welche in Verbindung mit Fig. 8 eine Vorstellung der Sache geben kann.

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Fig. 3.

Leibnizsche Rechenmaschine, geometrische Zeichnung (Länge 67 cm).

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Die von Leibniz selbst gegebene lateinische Beschreibung haben wir schon in der „Zeitsehr. f. Venu. 1887“ S. 227 -229 abgedruckt, wir wollen eine deutsche Übersetzung des Hauptteils jener Beschreibung, nämlich Gebrauchsanweisung zum Multiplizieren, hierhersetzen :

Es sei eine gegebene Zahl mit einer zweiten gegebenen Zahl zu multiplizieren, jedoch soll das Produkt nicht über 10 Stellen sein, z. B. 1709X365. Die Zeiger der 8 Räder stehen zuerst alle auf 0 ; dann stellt man die Zeiger auf den 4 kleinen Rädern (Rotae minusculae) rechts bzw. auf 1 7 0 9; die Lage des beweglichen Teiles (Pars mobilis) sei im Anfang so, daß der erste Strich der 8 Räder des beweglichen Teiles dem ei’sten Striche der 12 Räder des unbeweglichen Teiles (Pars immobilis) entspricht; auf dem unbeweglichen Teil zeigen alle Löcher 0.

Da nun 1709 mit 365 multipliziert werden soll, multiplizieren wir 1709 mit 5, was so geschieht ; Man steckt einen kurzen Stift in das Loch 5 des größeren Rades rechts (Rota majuscula), und zwar 5 auf der äußeren Teilung, dann wird das große Rad (Magna rota), das sich in der Mitte befindet, am Griffe umgedreht, wodurch sich auch die bewegliche Scheibe des größeren Rades (majuscula) drehen wird. Bei fortgesetzter Bewegung wird bald der eingesteckte Stift an ein Hindernis anstoßen, welches an dem größeren Rade (Rota majuscula) zwischen 0 und 9 sich befindet. Der Widerstand belehrt uns, daß diese Operation beendet ist, und durch die Löcher des unbeweglichen Teiles erscheint das Produkt aus 1709 und 5, nämlich 8545.

Zur Multiplikation mit der zweiten Ziffer 6 wird der bewegliche Teil nach links verschoben, so daß das erste der 8 Räder mit dem zweiten der 12 Räder zusammen stimmt. Dann wird der Stift auf 6 abermals der äußeren Teilung gesteckt, und das vorige wiederholt usw.

Aus diesem geht hervor, daß die kleinen Scheiben (Rotae minusculae) auf dem beweglichen Teil (Pars mobilis) den Schlitzen mit Schiebeknöpfen bei der heutigen Burkhardtschen Maschine entsprechen. Die Schaulöcher auf dem unbeweglichen Teil entsprechen den Schaulöchern auf Burkhardts beweglichem Teil. Die gegenseitige Beweglichkeit ist bei Leibniz umgekehrt im Vergleich mit Burkhardt, was unwesentlich ist, da es nur auf die relative Bewegung ankommt. Die Kurbel K links dient zum Hinausrücken um je 1 Element beim Multiplizieren mit 10, 100 usw. und das vordere Rad (Magna Rota) liefert die Triebkraft im ganzen wie die Kurbel rechts bei Burkhardt. Die Staffelwalzen sind bei Leibniz schon ebenso wie bei Thomas und Burkhardt.

Eine neuere eingehende Beschreibung als Ergebnis neuerer Untersuchungen und Begutachtungen der in der Königlichen Bibliothek zu Hannover befindlichen Leibniz-sclien Originalrechenmaschine hat der Verfasser gegeben in der ,. Zeitsehr. f. Verm. 1897“

S. 289—815. und „Zeitschr. f. Venu. 1898“ S. 168—167.

Endlich ist zu berichten, daß auf ministerielle Anordnung in letzter Zeit Herr Arthur Burkhardt in Glashütte das in der Königlichen Bibliothek in Hannover befindliche Leihnizsche Werk, mit welchem bis dahin keinerlei Manipulationen gestattet waren, auseinander genommen, gereinigt und auf seine Gangfähigkeit untersucht hat und über das Ergebnis seiner Arbeit in der „Zeitsehr. f. Yerm. 1897“ S. 392—398 berichtet.

Eine der Leibnizschen Maschine sehr nahe verwandte Rechenmaschine ist 1776 ausgeführt worden von dem Pfarrer Philipp Matthias Hahn in Echterdingen hei Stuttgart, einem scharfdenkenden Mathematiker und Mechaniker, welcher sich neben der Seelsorge mit mathematischen Berechnungen und astronomischen Uhren beschäftigt hat. Hahn hat mehrere solcher Werke hergestellt, deren eines von uns auf der loan exhibition in London 1876 gesehen und richtig funktionierend gefunden wurde (vgl. „Zeit.sehr. f. Yerm. 1876“ S. 458).

An dieser Stelle ist .auch zu zitieren: Deutsche Mathematiker-Vereinigung, Sonderabdruck aus dem 1892 herausgegebenen Katalog mathemathiseher Modelle, Apparate und Instrumente (Mehmke) :

23. Rechenmaschine von Chr. L. Gersten (1733 — 1744 Professor in Gießen), erfunden 1722, im Besitz des Großh. Hessischen Museums in Darmstadt, Maschine zum Addieren und Subtrahieren.

27. Rechenmaschine von J. H. Müller, Ingenieur-Hauptmann in Darmstadt, erfunden 1782, ausgeführt 1783, im Besitze des Großh. Hessischen Museums in Darmstadt. Zylindrisches Gehäuse, 28 cm Durchmesser, 10 cm Höhe. Multiplikation ähnlich wie bei Hahn und Burkhardt.

Ferner ist zu zitieren eine Abhandlung von Mehmke, Zur Geschichte der Rechenmaschine in dem Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, III. Band, Berlin 1894 S. 59—62.

Auch sei noch erwähnt eine Broschüre: „Die sogenannte Thomassche Rechenmaschine von F. Reuleaux, zweite umgearbeitete und erweiterte Auflage, Leipzig 1892.“

§ 44. Neuere Rechenmaschinen.

Neben dem zurzeit verbreitetsten und anerkanntesten Typus der unmittelbar von der Leibnizschen Maschine ausgehenden, in § 39 beschriebenen Thomas-Burk-hardtschen Rechenmaschine sind neuerdings mehrere andere Maschinen konstruiert worden, von denen nur einige erwähnt werden können. (Eine wertvolle Übersicht ist gegeben worden von R. Mehmke in Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften Bd. I F, Leipzig 1901, S. 952 u. ff.)

I. Die Becliemnaschine von Selling.

Ein neues Prinzip von Rechenmaschinen wurde von Professor Selling in Würz-' bürg eingeführt, das Prinzip der „Nürnberger Schere“, d. h. einer storchschnabel-artigen Verbindung von Parallelogrammen, wobei eine Bewegung des ersten Gelenkpunktes sich im zweiten, dritten . .., zehnten Gelenkspunkte in zweifacher, dreifacher ... zehnfacher Größe ausdrückt. Für jede Ziffer des Multiplikators ist nur eine Bewegung notwendig. Die Zehnerübertragung, die mit Hilfe von Planetenrädern erfolgt, ist so eingerichtet, daß sie gleichzeitig mit dem Additionsapparat arbeitet, während bei der Thomasschen Maschine die beiden Teile nacheinander in Tätigkeit treten. Infolge der kostspieligen Herstellung hat die Maschine wenig Verbreitung gefunden.

Die Maschine ist zuerst beschrieben in einer Schrift: „Eine neue Rechenmaschine von Dr. Eduard. Selling, Professor für Mathematik und Astronomie an der Universität Würzburg, mit zwei lithogr. Tafeln, Berlin 1887.“ (Patent Nr. 39634 vom 16. April 1886.) Besprochen in der „Zeitschr.

f. Instrumentenkunde 1887“ S. 403 und 443, ferner ,Zentralzeitung f. Optik u. Mech. 1888“ S. 3; „Naturw.-techn. Umschau“, 5. Bd. S. 198: „Gaea“, 25. Bd. S. 134: „Der Maschinenbauer“, 24. Bd. S. 548; namentlich aber der neuesten Entwicklungsstufe entsprechende Beschreibung von Poppe in „Dinglers Polytechn. Journal 1889“, 271. Bd. S. 193, 205 und Tafel 10. Eine einfache Darstellung des Prinzips findet sich in J. Lüroth, Vorlesungen über numerisches Rechnen. Leipzig 1900. Eine verbesserte Form seiner Maschine beschreibt Sellingin „Zeitschr. f. Math. u. Phys. 1905" S. 86 — 103. Die ältere in Fig. 1 dargestellte Maschine wurde von Mechaniker Max Ott in München hergestellt.

Wir unterscheiden zwei getrennte Teile, die Nürnberger Schere und die Zahn-und Zählräder, welche während des Arbeitens in Verbindung gebracht werden. Die Nürnberger Schere verbindet zehn Stäbchen 0—9 miteinander, von denen der Stab 0 feststeht, während die Stäbe 1—9 beim Öffnen der Schere verschoben werden. Auf

Fig. 1.

Sellings Rechenmaschine. (Maßstab etwa 1 : 10 der natürl. Größe.)

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diesem System ruhen Zahnstangen, die den zehn Stäben entsprechend mit Löchern versehen sind; bei geschlossener Schere werden die Zahnstangen mit den Stäben nach Maßgabe des Multiplikandus durch Stifte verbunden. Beim öffnen der Schere setzen die Zahnstangen ebensoviele Zahnräder in Bewegung, die mit den Zählrädern in Verbindung stehen. Diese Verbindung wird durch je ein Planetenrad hergestellt, dessen Achse an dem Zählrade befestigt ist. Durch diese sehr sinnreiche Anordnung ist ein gleichzeitiger Antrieb der Zählräder durch die Nürnberger Schere und durch die Zehnerübertragung ermöglicht.

II. Die Rechenmaschine Brunsviga.

Auf der Versammlung des Vereins Deutscher Ingenieure am 29. August 1892 in Hannover wurde eine neue Rechenmaschine vorgeführt, welche in ihrer äußeren Form durch nachstehende Zeichnung (Fig. 2) dargestellt wird.

Die neue Rechenmaschine ist von W. Odhner in Petersburg erfunden. Die Statfelwalzen sind ersetzt durch Zahnräder, an welchen durch Einstellung von innen heraus nach Bedarf mehr oder weniger Zähne (zwischen 1 und 9) wirksam gemacht werden können.

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Dementsprechend befinden sich im oberen Teile von Fig. 2 neun, in der Ruhelage sämtlich auf 0 stehende Hebel, welche in den Schutzen der Zifferplatte nach Bedarf auf die Zahlen 0 bis 9 einzustellen sind. In Fig. 2 erscheint die Zahl 769865 eingestellt; und dieses ist der eine Faktor zum Multiplizieren. Will man nun z. B. den Multiplikandus 769865 mit fünf multiplizieren, so dreht die Kurbel fünfmal im Sinne -f- und erhält unten das Produkt 3849325. Ist der Multiplikator

mehrstellig, so schiebt inan noch für jede neue Multiplikatorziffer den oberen Teil nach links, und dreht die Kurbel weiter; dieses alles wie bei Leibniz-Burkhardt.

Zur Subtraktion und Division dreht man einfach die Kurbel in umgekehrtem Sinne.

Einiges Weitere gibt die Schrift „Patent automatische Rechenmaschine Brunsviga“. Grimme, Xatalis & Co., Commandit-Gesellschaft auf Aktien, Braunschweig.

Eine Beschreibung dieser Maschine gibt „Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure 1892“ S. 1522—1523, und „Société des arts, Bulletin de la classe d’industrie et de commerce, Genève librairie J. Jullien 1893“ Nr. 17 S. 346—354.

Eine eingehende Kritik dieser Maschine gibt Sossna in der „Zeitschi. f. Verm. 1901“ S. 636 —644,

(Neuerdings wird dieser Maschinentypus in weiter ausgebildeter Form mit der Bezeichnung Berolina in den Handel gebracht.)

Fig. 2.

Rechenmaschine Brunsviga. (Maßstab etwa 1 : 3 der natürl. Größe.)

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Die Rechenmaschine von Küttner (vgl. „Dinglers Polytechnisches Journal 1896“,. 300. Band* S. 199—207) und die nach ähnlichem Prinzip konstruierte'Rechenmaschine „Monopol“ sind ebenfalls Repräsentanten des Odhner-Typus. Der Vorteil dieser Maschinen besteht in einer Zehnerübertragung, mit der das Umdrehungszählwerk versehen ist; infolgedessen werden von diesem Zählwerk auch Umdrehungen richtig angegeben, die über die Grenzen 0 und 9 hinausgehen. Hiervon kann man zur Verminderung der Umdrehungsanzahl Gebrauch machen. Ist z. B. mit 9 zu multiplizieren, so wird man nur eine Rückwärtsdrehung an Stelle von neun Vorwärtsdrehungen ausführen; es gilt also als Regel, daß man für jede Stelle des Multiplikators die Kurbel vorwärts oder rückwärts so lange dreht, bis das Zählwerk den Multiplikator angibt.

III. Hie Rechenmaschine von Steiger und Egli. (Multiplikationsmasehine.)

Die Thomas-Burkhardtsche Maschine multipliziert bei jeder Kurbelumdrehung

den Multiplikandus in seiner Stelle mit 1 und macht also so viel Kurbelumdrehungen notwendig, als durch die Quersumme des Multiplikators angezeigt wird. Bei dieser Steiger und Eglischen Maschine braucht man für jede Stelle nur eine Kurbel

neuen

Umdrehung, sie gibt demnach unmittelbar einstellige Multiplikationen, wozu neben der Einstellung des Multiplikandus nur notwendig ist die Einstellung der Multiplikatorziffer, während die Stellenverschiebung bei der Kurbelumdrehung selbsttätig vor sich geht.

Der Maschine wird eine Beschreibung des Verfertigers beigegeben: „Neue Rechenmaschine zur Ausführung der vier Spezies von Otto Steiger und Hans W. Egli, Zürich, Buchdruckerei von F. Lohbauer. Außerdem ist die Maschine beschrieben in Lüroth, Vorlesungen über numerisches Rechnen. Leipzig 1900 S. 29—32; ferner ausführlich von Sossna in „Zeitschr. f. Verra. 1899“ S. 674—696, und kurz von Mehmke in der „Eneyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen“. Leipzig 1901, Band I F, S. 971. Mit Benutzung dieser Stellen geben wir nach einem uns seitens des Lieferanten zur Prüfung überlassenen Exemplar nachfolgend eine Erklärung der Maschine.

Die äußere Anordnung der Maschine ist der Burkhardtschen ähnlich; die Abmessungen des Kastens sind jedoch sehr groß; Länge 66 cm, Breite 31 cm, Höhe 18 cm. Fig. 3 zeigt die Deckplatte, welche nach dem uns überlassenen Exemplar Nr. 27 gezeichnet wurde.

In der Mitte der oberen Hälfte der Deckplatte befinden sich die Schlitze für die Einstellung der zu behandelnden Zahl, z. B. des Multiplikandus 3768. Die darunter befindliche Schaulochreihe gibt diese Einstellung wieder. Rechts bei U befindet sich der Knopf für den Umstellmechanismus auf die vier Rechnungsoperationen: Addition, Multiplikation, Division, Subtraktion A, M, D, S. Auf der linken Seite bei H ist der Hebel (Faktorenhebel) und die Zahlenreihe 0 ... 9 zur Einstellung der Faktorstelle (z. B. des Multiplikators). An der rechten Seite des Kastens liegt die Antriebkurbel K, welche stets in demselben Sinne gedreht wird. Die Schaulochreihe g... g ist die Produktspalte (bzw. Dividendus, Summe, Rest), und die Reihe /'.../'bei der Multiplikation die Multiplikatorspalte in Übereinstimmung mit den nacheinander folgenden Einstellungen des Faktorenhebels, bzw. bei der Division die Quotientenspalte. W ist der Knopf für die Wagen Verschiebung, wodurch die Reihen g... g und f... f an die erforderliche Stelle gebracht werden können. Die Löschervorrichtungen für die Reihen g... g (Resultatreihe) und f...f (Kontrollreihe) sind durch die Knöpfe B und C angedeutet.

Fig. 3.

(Maßstab etwa 1 : 7 der natürl. Größe.)

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Um eine Anschauung von der Wirkungsweise der Maschine zu erlangen, betrachten wir den Vorgang bei der Multiplikation an einem Beispiel: 6 X 3768 = 22608, welches in Fig. 8 dargestellt ist.

Es wird der Multiplikandus 3768. wie schon angegeben, in den Schlitzen eingestellt; (in Fig. 3 sind aus Mangel an Raum an den Einsteilsehlitzen nur die geraden Zahlen eingezeichnet). Hierdurch erfolgt eine Einschaltung ähnlich der bei der Leib-nizschen Maschine, indem Schalträder mit einem in der Längsrichtung der Maschine liegenden Zahnstangensystem (je eins für eine Ziffer) in bestimmter Weise zum Eingriff’ gelangen, so daß, wenn das System verschoben wird, durch einen Übertragungs- und Anzeigemechanismus die Verschiebung in den Zifferscheiben als Ergebnis zum Ausdruck kommen kann. Nun wird der Faktorenhebel H auf 6 eingestellt, wodurch ein an der linken Seite des Kastens gelegener Instrumentteil, der sog. „Einmaleinskörper“, in vertikalem Sinn bewegt wird und an seine gerade notwendige Stelle gelangt. Dieser „Einmaleinskörper“ gibt der Maschine den Charakter der Multiplikationsmaschine; er besteht aus einem eigenartigen System von Stäbchen, welche getrennt nach Einern und Zehnern das „kleine Einmaleins“ linear darstellen. (Entsprechend den Staffelwalzen hat man hier Staffelplatten.) Wird nun die Kurbel K gedreht, so greift dieser „Einmaleinskörper“ mit seinen Staffelplatten, Zehner- und Einer-Stäbchen so in die Stellung der Zahnstangen und den Übertragungs- und Auzeigemechanismus ein, daß in der Zifferreihe g... g das Ergebnis (z. B. 22608) erscheint. Die Maschinenwirkung erfolgt hierbei in vier Stufen mit je ein viertel Kurbelumdrehung, wobei der Einmaleinskörper in eigenartiger Weise je zweimal hin und her geführt und eingerichtet wird, so daß je einmal die Zehner- und Einer-Lamellen auf die Zahnstangen wirken können und der Wagen des Übertragungsmeehanismus verschoben wird.

Den zahlenmäßigen Vorgang bei der Multiplikation erläutert an unserem Beispiel die folgende Zusammenstellung:

3    7 ß 8

Ï8 42 86 48

Zahlenreihe der Ergeb- (Aufgabe 6 X 3768 = 22608 nisspalte <j ... (j am j ß X Ende des

Zehnereinwirkung aufdieZahnstangen und Übertragung auf die Ziffersoheiben.

Stellenverschiebung und Einstellung des Einmaleinskörpers auf Einerwirkung (ev. Zehnerzusetzung).

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Zehnerzusetzung.

der Umdrehung.

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Ist die Multiplikation mit der ersten Stelle ausgeführt, so folgt die mit der zweiten usf. Wegen weiterer Einzelheiten sei auf die genannte eingehende Beschreibung von Sossna, „Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 674—696, verwiesen. Jeder Maschine wird eine Gebrauchsanweisung für die Handhabung und Behandlung beigegeben.

IV. Die Rechenmaschine „Gauß“.

Dem Bestreben, eine einfachere und wohlfeilere Rechenmaschine zu konstruieren, verdankt die neueste Maschine „Gauß“, eine Erfindung des Mechanikers Ch. Hamann in Friedenau-Berlin, ihre Entstehung. Die Einrichtung dieser Maschine ist beschrieben von J. W. G. Schulz in „Zeitschr. f. Instr. 1906“ S. öO—58, ihr Gebrauch von Semmler

in „Zeitsehr. f. Verm. 1906“ S. 10—14 und 33—38.    Auffällig ist zunächst die

geringe Größe der in Fig. 4 dargestellten Maschine, die bei einem Durchmesser 12,5 cm eine Höhe von 10 cm hat; dementsprechend beträgt das Gewicht einschließlich Kasten nur 2,6 fup.

von

Der Vertrieb erfolgt durch das Technische Versandhaus R. Reiß in Liebenwerda.

Die Maschine ruht, zur bequemeren Handhabung nach vorne geneigt, auf einem gußeisernen Fuß. Der Hauptteil, eine flache zylindrische Büchse, enthält das Zählwerk, dessen Ziffernscheiben auf der Oberfläche der Büchse durch kleine Schaulöcher hindurch abgelesen werden können. Auf der Büchse ruht innerhalb des die Schaulöcher tragenden Ringes eine kreisförmige Scheibe, der Schaltdeckel, der mittels der Kurbel gedreht und mittels des am Fuß unten links sichtbaren Hebels gehoben werden kann.

Das Multiplizieren erfolgt wie bei der Burkhardtschen Maschine. Nachdem die auf dem Schaltdeckel befindlichen Schieber auf den Multiplikandus eingestellt sind, wozu die Ziffern links von den Schlitzen dienen, wird die letzte Stelle des Multiplikators mit der Kurbel abgedreht, worauf das Produkt in den Schaulöchern auf dem oberen Rande des Zählwerks erscheint; hierauf wird der Schaltdeckel um eine Stelle weiter gedreht, die vorletzte Stelle des Multiplikators abgedreht usw. Vor Beginn der Kurbeldrehungen kann übrigens der auf dem Zählwerk befindliche Ring, der die Schaulöcher trägt, ein wenig gedreht werden, so daß ein zweiter Kranz von Ziffern zum Vorschein kommt, an dem die Anzahl der Kurbeldrehungen, also schließlich der ganze Multiplikator zu sehen ist. Erst nach Beendigung der Multiplikation wird der Ring gedreht, um die Ziffern des Resultats sichtbar zu machen. Die Maschine ist für einen Multiplikandus von sechs Stellen eingerichtet; der Multiplikator dagegen kann bei der kreisförmigen Anordnung des Mechanismus unendlich viele Stellen haben.

Für Subtraktion und Division wird zunächst der links von der Kurbel sichtbare

Fig. 4.

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Schieber, der bisher auf -+- stand, auf Büchse des Zählwerks angebrachten Knöpfe wird der Dividendus und mittels der

Schieber des Schaltwerks an den Ziffern rechts von den Schlitzen der Divisor eingestellt. Dreht man hierauf die Kurbel wieder rechtsläufig, so wird bei jeder Drehung der Divisor einmal vom Dividendus abgezogen. Durch fortgesetztes Drehen der Kurbel und Verstellen des Schaltdeckels kann demnach auch die Division vollständig durchgeführt werden. Bei der Kreisform der Maschine ist nur der Divisor auf sechs Stellen beschränkt; es ist somit möglich, Dezimalbrüche mit unendlich vielen Stellen auszu

rechnen.

Das Charakteristische der Hamannschen Maschine besteht darin, daß nur eine

einzige Stufenscheibe und eine einzige Zehner Übertragung vorhanden ist, während hei der Thomasschen Maschine für jede Stelle des Multiplikandus eine Stufenwalze und für jede Stelle des Produktes eine Zehnerübertragung vorhanden sein muß. Infolgedessen war es möglich, die Größe der Maschine sehr zu vermindern.

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Stufenscheibe der Rechenmaschine „Gauß¹'.

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Die Stufenscheibe mit der Zehnerübertragung ist in Fig. 5 abgebildet; sie liegt in der Maschine zwischen dem Schaltdeckel und dem Zählwerk und wird durch die Kurbel in Bewegung gesetzt. Im Schaltdeckel befinden sich unter den sechs Schlitzen sechs Achsen, auf denen je ein Zahnrädchen (Läuferrädchen) durch den Schieber verschoben werden kann. Wird beim Einstellen des Multiplikandus einer der Schieber z. B. auf vier gestellt, so steht das Läuferrädchen vier Zähnen der Stufenscheibe gegenüber; bei einmaliger Kurbelumdrehung wird mithin das Rädchen um vier Zähne weiter gedreht werden. Ein zweites, am Ende der Achse, also an der Peripherie des Schaltdeckels festsitzendes Rädchen überträgt die Bewegung auf die darunterliegende Achse des Zählwerks, so daß die dazu gehörige Ziffemscheibe von Null auf vier übergeht. Die Übertragung erfolgt durch Zahnräder, die unter den festen Rädern des Schaltwerks auf den Achsen des Zählwerks befestigt sind.

Wir fügen noch einiges über die Zehnerübertragung hinzu. Auf den Achsen des Zählwerks sitzt unmittelbar neben dem festen Rädchen noch ein verschiebbares, das, sobald das erstere eine volle Umdrehung vollzogen hat, durch einen keilförmigen Zapfen ein wenig nach innen gedrängt wird. Beim Drehen der Stufenscheibe gelangt es auf den Hebelarm iv und drückt diesen nach unten. Hierdurch tritt ein radialer Zahn aus der Oberfläche der Scheibe heraus und dreht das Läuferrädchen der vorhergehenden Achse, die unmittelbar darauf über den Zahn zx hinweggeht, um einen Zahn weiter. Damit ist die Zehnerübertragung vollendet; man sieht hieraus zugleich, daß der einfache Mechanismus auch die Zehnerübertragung mehrerer aufeinander folgender Stellen ohne Schwierigkeit bewirken kann. Für die nähere Einrichtung verweisen wir auf die oben genannten Abhandlungen.

Kapitel V.

Hauptbestandteile der Meßinstrumente.

§ 45. Die Libelle.

Das Wort Libelle, lateinisch libella, ist Deminutiv von libra = Wage und ist sprachlich stammverwandt mit dem französischen niveau. Bei der Wahl eines Fremdwortes an Stelle von „Wasserwage“ ist es für uns richtiger, aus dem Lateinischen unmittelbar „Libelle“ zu entlehuen, als auf einem Umwege das spätere französische „niveau“. Damit wird auch gegen Unformen wie „Libellenniveau“ u. a. das Genügende gesagt sein.

Die Libelle dient zur Bestimmung der horizontalen und vertikalen Richtung mittels der Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit.

Die Flüssigkeit ist hierbei in ein Glaßgefäß eingeschlossen, das äußerlich entweder die Gestalt einer Röhre oder einer Dose hat, und danach unterscheidet man Röhrenlibellen und Dosenlibellen.

Die Böhrenlibelle.

Eine Röhrenlibelle besteht im wesentlichen aus einem Glasgefäß, dessen Innenfläche durch Umdrehung eines flachen Kreisbogens um eine Sehne erzeugt gedacht

Fig. 1.

Längenschnitt einer Köhrenlibelle (mit übertriebener Krümmung).

Fig. 2.

Böhrenlibelle, nur oben geschliffen, mit Scheidewand S.

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werden kann (Fig. 1). Mitunter ist auch nur ein Teil der Innenfläche, nämlich der obere Teil, so geformt, während der untere Teil zylindrisch ist (Fig. 2).

Die Libellenröhren pflegen 8 cm—16 cm lang und 1,3 cm—1,8 cm weit zu sein. Die mechanische Herstellung der Libellenröhre geschieht durch Ausschleifen einer vorher zylindrischen Röhre mit einem Schleifdorn, einem Metallstäbchen, dessen Oberfläche nach dem Radius der herzustellenden Libelle abgeschliffen ist. Die Glasröhre wird auf diesen in horizontaler Lage befestigten Dorn aufgestreift und vermittels eines Streichbrettchens in Drehung versetzt. Minderwertige Libellen werden auch einfach durch Biegen einer Glasröhre hergestellt. Der seitliche Verschluß geschieht in der Regel durch Zuschmelzen, bisweilen auch durch Einkitten eines Glasstöpsels. Die Röhre wird derartig mit Äther gefüllt, daß ein kleiner Teil von Flüssigkeit frei bleibt und nur Ätherdämpfe enthält; letztere nehmen in Gestalt einer Blase die höchste Stelle der Libellenröhre ein.

Um die Länge der Blase, welche sich mit der Temperatur der Flüssigkeit verändert (und bei mangelhaftem Verschluß stets größer wird), regulieren zu können, versieht man größere Libellen mit einer Scheidewand S (Fig. 2), welche verschiedene Verteilung der Flüssigkeit in beiden durch sie abgegrenzten Räumen, nämlich der eigentlichen Libelle und der „Kammer“ gestattet.

Fig. 3.

Diese Einrichtung wird in Fig. 3 (von Tesdorpf) ausführlicher gezeigt. Zwischen dem Hauptraum E und der Kammer A ist eine Scheidewand b mit seitlicher Öffnung a, durch welche Flüssigkeit aus E nach A getrieben und dadurch die Blase vergrößert werden kann und umgekehrt. Die Libelle Fig. 3 zeigt Teilung oben und unten, und ist auch auf beiden Seiten geschliffen, während manche Libellen nach Andeutung der schematischen Zeichnung Fig. 2 nur einseitig geschliffen sind.

Für Feldmessungen ist eine zugeschmolzene Libelle ohne Kammer vorzuziehen, denn die nicht zugeschmolzenen, nur zugekitteten Libellen sind selten genügend dicht. Die Blasen werden deswegen mit der Zeit immer länger, und schließlich, trotz der Kammer, zu lang.    »

Kleine Blasen sind sehr träge, sie bewegen sich langsamer als große Blasen; die Blasenlänge ist etwa gleich einem Drittel oder der Hälfte der geschliffenen Röhrenlänge zu machen.

ver-

Eie Fassung der Libelle dient zur Verbindung der Libelle mit denjenigen Geraden der Instrumente, zu deren Einrichtung sie dienen soll. (Linealkante, Fernrohrachse, Horizontal- oder Vertikalachse usw.) Man unterscheidet hiernach liegende, stehende, hängende, Reiterlibellen usw. Die Fassung muß eine Richtevorrichtung haben, bestehend in Zug- und Druckschrauben, Schraube mit Gegenfeder, Mutter mit Gegenmutter usw., damit die Lage der Libelle in vertikalem und zuweilen auch in horizontalem Sinn geändert und gestimmt werden kann. Diese Einrichtung wird sehr schieden gemacht, je nach dem Instrument, an dem die Libelle angebracht ist, je nachdem es sich um eine kurze oder lange, grobe oder feine Libelle handelt. Die später dargestellten Instrumente zeigen verschiedene Anordnungen, auf die wir dabei zurückkommen.

Fig. 4.

*/

Eine Röhrenlibelle mit Fassung von Ertel zeigt Fig. 4 nach „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 122. Statt des bei kleineren Libellen häufig angewendeten Eingipsens ist hier Umwicklung mit laekgetränkten Leinenfäden d und e angewendet. Die Höhenstimmung geschieht rechts durch eine Schraube mit Gegenfeder a.

Stimmung (welche nicht bei allen Libellen, sondern dienen zwei horizontale Richteschrauben links (b und c rechts sind lediglich Befestigungs-

Zur Horizontal-

nur

zu gewissen Zwecken nötig ist)

Schräubchen).

Liegende Libellen, z. B. zur Horizontalstellung einer Glasplatte (künstlicher Horizont), können

Es wird hierbei die Glasröhre unten nach einer Ebene

auch ohne Metallfassung gebraucht werden, so weit ausgeschliffen, daß sie feste Lage hält. Eine solche Lagelibelle braucht auch keine Richteschrauben, und ist, wenn einmal richtig, immer richtig, solange sie überhaupt dienstfähig bleibt.

Die Dosenlibelle.

Eine Dosenlibelle besteht aus einem Metallgefäß mit kugelförmig ausgeschliffener Glasdeckplatte. (Schnitt etwa wie in Fig. 2 S. 176 ohne die Scheidewand S.) In der Mitte des Glasdeckels sind einige konzentrische Kreise als Marke für die Einstellung der kreisförmigen Blase angebracht. Der Boden des Metallgefäßes enthält zum Einfüllen der Flüssigkeit eine Öffnung, die durch eine Schraube verschlossen wird.

Von dem Stuttgarter Mechaniker Mollenkopf wird eine neue Dosenlibelle hergestellt, die wie die Röhrenlibelle aus einem zugeschmolzenen Glaskörper besteht; das Metallgefäß dient hier nur als Fassung. Indessen scheint diese Libelle noch keine große Verbreitung gefunden zu haben. (Näheres hierüber ist angegeben in Zeitsclir. f. Verm. 1904 S. 699—700.)

Dosenlibellen dienen an geodätischen Instrumenten hauptsächlich nur zur groben Einstellung ; daher ist der Radius der kugelförmigen Innenfläche klein, etwa i/₂ m bis 2 m. Dosenlibellen haben also geringe Empfindlichkeit, sie zeigen häufig nur 1' deutlich, sie sind dafür aber sehr bequem.

Die Röhrenlibelle wurde 1661 von dem Franzosen Thévenot erfunden; vgl. Wolf, Handbuch der Astronomie, dritter Halbband, Zürich 1892 S. 8—10: C. Müller, „Zeitschr. f. Verm. 1906 S. 673—678. Man hielt lange die Köhrenlibelle für eine innen zylindrische Röhre; erst am Schluß des 18. Jahrhunderts scheint man erkannt zu haben, daß die Glasröhre etwas gebogen sein müßte. Die ursprüngliche unrichtige Auffassung hat sich indessen bei einzelnen Verfassern von Lehrbüchern der praktischen Geometrie bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts erhalten. (Vgl. Nagel, Zivilingenieur 1877, S. 189—190; Vogler, Lehrb. d. prakt. Geometrie, 2. Teil, Höhenmessungen, 1894 S. 21; C. Müller, Zeit-schr. f. Verm. 1907 S. 258—259.)

§ 46. Gebrauch der Libelle.

Bei nahezu wagrechter Lage der Röhre bildet sich an der höchsten Stelle des tonnenförmigen Innenraumes infolge des Auftriebs die Blase in langausgezogener, genau symmetrischer Gestalt ; die Mitte der Blasenoberfläche bezeichnen wir kurz als Blasenmitte.

Um die Stellung der Blasenmitte auf der Röhre zu bestimmen, ist die Röhre" mit einer Teilung versehen, die bei kleineren Libellen zuweilen nur aus wenigen gegen die Röhrenmitte symmetrisch liegenden Strichen (vgl. Fig. 3 § 45 S. 177), bei größeren Libellen aber zweckmäßig aus einer durchlaufenden gleichförmigen Teilung wie in Fig. 4 § 45 S. 177 mit Bezifferung besteht; für größere und feinere Libellen etwa von 0 bis 40 oder 50, für kleinere bis 30. Die Mitte der Teilung gilt als „Normalpunkt der Teilung“ oder als „Mittelmarke“.

„Achse der Libelle“ heißt die im Normalpunkt der Teilung N, im Vertikalschnitt Fig. 1 und 2 S. 179 an die Innenfläche gezogene Tangente.*) Wenn die Achse horizontal ist, so fällt also die Blasenmitte M mit dem Normalpunkt N zusammen, oder „die Blase spielt ein“.

Wenn die Achse nicht horizontal ist, so hat die Blasenmitte einen gewissen Abstand vom Normalpunkt, welcher „Ausschlag“ der Blase heißt, und gewöhnlich in Einheiten der Teilung „Strichen“ (linear) gemessen wird. Die Teilungseinheit (1 Strich) ist meist noch = 2,26 mm, d. h. 1 Pariser Linie, neuerdings auch = 2 mm.

*) Es Ist hierzu auch eine analytisch-geometrische Theorie der Libellenachse von Helmert in der „Zeitsehr. f. Verm. 1878“ S. 185 — 192 zu erwähnen.

Der Begriff der Empfindlichkeit einer Libelle ist durch Fig. 1 und Fig. 2 veranschaulicht. Fig. 1 zeigt eine Libelle mit horizontaler Achse AB, und Fig. 2 mit geneigter Achse A! B'. Im ersten Fall fällt also die Blasenmitte M mit dem Normalpunkt N zusammen, im zweiten Falle hat die Blasenmitte M von dem Normalpunkt N den Abstand a, welcher „Ausschlag“ heißt.

Fig. 2.

Geneigte Libelle mit dem Ausschlag a.

Fig. l.

Einspielende Libelle.

A!

OC

.......-4e a

lN'

c3!

ci

'd I &

Wenn C bzw. C der Krümmungsmittelpunkt der Libelle ist, so ergibt sieb zwischen dem Ausschlag a, der Achsenneigung a und dem Krümmungshalbmesser R die Beziehung:

(1)

Das Verhältnis ~ der Maßzahlen für den Ausschlag a und die Achsenneigung a

ist also konstant, wenn der Krümmungshalbmesser R auf die ganze Länge der Libelle konstant ist, d. h. wenn die Libelle gut kreisförmig geschliffen ist. Dieses wird bei der Herstellung angestrebt und bei der Theorie angenommen.

Die Empfindlichkeit wird gewöhnlich durch die einem Ausschlag a von 1 Strich entsprechende Neigung a angegeben.

Obgleich die verschiedenen Prüfungen und Berichtigungen von Libellen besonders zu behandeln sein werden, wenn von den Instrumenten die Rede ist, an welchen die Libellen angebracht sind, so ist es doch nützlich, zwei Aufgaben vorweg zu nehmen, die bei fast allen Instrumenten auftreten: Das Horizontalstellen von Linien und das Vertikalstellen von Drehachsen beliebiger Instrumente.

Beim Gebrauch der Libelle hat man hauptsächlich zu unterscheiden, ob sie verbunden ist mit einer horizontalen (liegenden) Achse oder einer vertikalen (stehenden) Achse.

Horizontalachsenlibelle, Umsetzen, Spielpunkt.

Ist eine Libellenachse AB parallel zu einer mit ihr fest verbundenen Linie Gl), so ist CB horizontal, sobald die Blase auf den Normalpunkt einspielt.

Fig. 3.

Umsetzen einer Libelle.

2 ex. AÎ-

WM'"

Wenn in Pig. Biß eine Libellenachse, und CB eine mit ihr fest verbundene Instrumentachse, Linealkante, oder sonst eine feste Gerade ist, und untersucht werden soll, ob beide Achsen A B und ^

CD parallel sind, so setzt man CD auf eine feste Unterlage und gibt dieser eine solche Stellung, daß die Blase einspielt, also die Achse der Libelle horizontal ist. Legt man nun die Libelle um (in die Lage A' B'), so wird die Blase nur dann einspieleu, wenn die Unterlage horizontal ist ; andernfalls entspricht der Ausschlag der Blase dem doppelten Winkel zwischen AB und CD, d. h. dem Winkel 2 a.

Man hat daher mittels der Libellenrichteschraube die Hälfte des Ausschlags wegzuschaffen und, wenn man zugleich die Unterlage horizontal machen will, diese so-zu neigen, daß die andere Hälfte des Ausschlags verschwindet.

Spielpunkt der Libelle. Das Umsetzen der Libelle führt noch zu einer weiteren

Betrachtung.

Statt mittels der Richteschrauben die Libellenachse zu neigen, kann man auch einen anderen Normalpunkt, den sog. „Spielpunkt“, auf der Teilung bestimmen und zum Wagrechtstellen der Unterlage benutzen. Hierunter versteht man denjenigen Punkt der Libellenteilung, dessen Tangente parallel zur Unterlage liegt.

Man habe z. B. eine Libelle mit durchlaufender Teilung, mit dem Mittelstrich 25. Dieselbe gebe die Ablesungen entsprechend Fig. 4 :

1.    Lage AB: links 21,8

2.    Lage Ti ' A' : rechts 6,3

rechts

links

CO CO

Mittel = 30,6 „    = 14,4

Mittel 14,0

31,0

22,5

Spielpunkt = Gesamtmittel: 22,5.

Fig. i.

A!

7.0 30 40 ,

B JL

Der Punkt 22,5 ist, wie Fig. 4 zeigt, der Spielpunkt der Libelle in bezug auf die Unterlage, und wenn man die letztere so weit neigt, daß der Blasenmittelpunkt auf 22,5 steht, so ist sie horizontal gestellt.

Man könnte zwar mit den Richteschrauben dahin wirken, daß das Mittel der Ablesungen von 22,5 auf 25,0 kommt, indessen ist es häufig einfacher, nun den Spielpunkt 22,5 als neuen Normalpunkt anzunehmen, und mechanisch nichts mehr zu ändern. Dieses ist namentlich bei sehr empfindlichen Libellen nützlich bzw. notwendig, -weil der Spielpunkt sich durch mehrfache Ablesungen viel genauer bestimmen läßt, als der ursprüngliche Normalpunkt sich durch die Richteschrauben festhalten ließe.

Neigungsmessung mit der Libelle. Durch das Umsetzen der Libelle nach Fig. 3 S. 179 kann man auch die Neigung der nahezu horizontalen Unterlagsgeraden CI) Fig. 3 (z. B. einer horizontalen Instrumentenachse) bestimmen, ohne den kleinen Winkel bzw. Fehler a zu kennen. Man setzt die Libelle in beiden Lagen auf und erhält aus dem arithmetischen Mittel beider Ausschläge die gesuchte Neigung, unabhängig von dem Libellenfehler a (Fig. 3), ferner bestimmt die halbe Differenz der Ausschläge diesen Fehler a, d. h. den Winkel zwischen der Libellenachse und der Auflagelinie.

Vertikalachsemmlle.

Zum Lotrechtstellen der Drehachse eines Instruments (Stehachse) ist die Libelle an dem Instrument angebracht, so daß sie beim Drehen des Instruments sich ebenfalls

um dessen Achse dreht. Es kann hierzu auch eine Aufsatzlibelle (Reiterlibelle) benutzt werden, die aber für diesen Zweck wie eine feste Libelle behandelt werden muß. Ist die Libelle berichtigt, also ihre Achse senkrecht zur Stehachse des Instruments, so hat man sie nur in zwei aufeinander senkrecht stehenden Richtungen zum Einspielen zu bringen, um die Stehachse lotrecht zu stellen.

Ist die Libellenachse nicht senkrecht zur Stehachse, so kann man die Berichtigung ähnlich wie bei der Horizontalachsenlibelle vornehmen, wobei an die Stelle des Umsetzens das Drehen des Instruments um 180° um die Stehachse tritt. Spielte die Libelle bei der ersten Stellung des Instruments ein, so hat man nach dem Drehen die Hälfte des Ausschlags an den Justierschrauben der Libelle zu beseitigen.

Man wird aber auch hier, wenn der Ausschlag nicht zu groß ist, vorziehen, <len Spielpunkt der Libelle zu bestimmen und die Libelle in zwei aufeinander senkrechten Stellungen des Instruments auf den Spielpunkt einzustellen. Der Spielpunkt -der Libelle in bezug auf die Stehachse ist derjenige Punkt der Libellenteilung, dessen Tangente senkrecht zur Stehachse steht; seine Bestimmung erfolgt bei nahezu lotrechter Stellung der Stehachse durch Ablesen an der Libelle und Wiederholung der Ablesung nach Drehung des Instruments um 180°, also ganz entsprechend dem Verfahren bei der Horizontalachsenlibelle.

Dosenlibelle.

Es ist noch kurz anzugeben, wie eine Dosenlibelle geprüft wird. Bei der Dosenlibelle, welche am Schlüsse von § 45 S. 178 beschrieben wurde, kommt nicht eine Achs-linie, sondern eine Achsebene in Betracht, d. h. die im Normalpunkt (welcher durch -das Zentrum der auf dem Glasdeckel angebrachten konzentrischen Kreise bezeichnet wird), an die innere Kugelfläche gelegte Berührungsebene. Hierbei wird auch wohl der Radius des Normalpunktes als Achse der Dosenlibelle bezeichnet.

Soll die Dosenlibelle als Setzlibelle dienen, so muß diese Berührungsebene parallel der Unterlagsebene sein. Um das zu untersuchen, setzt man die Dosenlibelle auf eine passende Unterlage mit Stellschrauben, und bringt die Blase mit diesen Stellschrauben zum Einspielen. Nun dreht man die Dose um sich selbst und sieht zu, ob ein Ausschlag entsteht, und nach welcher Richtung der Ausschlag am größten ist. Die so gefundene, am weitesten ausschlagende Blase wird mit Richtesehrauben an der Dose hälftig gegen die Mitte getrieben, und wenn man dann die Blase wieder zum Einspielen bewegt, so wird sie beim Umdrehen in der Mitte stehen bleiben. (Hat die Dose keine Richteschrauben, so kann man vielleicht durch Abschleifen der Unterfläche helfen.)

Ist die Dosenlibelle mit einer vertikalen Achse verbunden, so verfährt man analog, indem man die Libelle um die Achse dreht.

§ 47. Empfindlichkeit der Libelle. Genauigkeit.

Zur Bestimmung der Empfindlichkeit der Libellen dient der in Fig. 1 und Fig. 2 S. 182 dargestellte Libellenprüfer, der im wesentlichen in einem starren Arm von der Länge l besteht, an einem Ende mittels zweier Stützen oder Schrauben A, und am andern Ende mittels einer Schraube S auf fester Unterlage ruhend.

Der Libellenprüfer Fig. 2 ist 1868 von Siekier in Karlsruhe für uns hergestellt. Fig. 1 zeigt hierzu einige Vervollständigungen (z. B. das Thermometer TT' u. a.) von Wolz in Bonn nach Beinhertz, „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 258.

Fig. 1. Libellenprüfer.

B¹

Q.

D‘

c'

fl

PS

Hfl

B’B = Hauptarm, S = Meßschraube, AA' = Stützschrauben m. d. Querlibelle Q, CG’, JLD'=Libel-lenlager,

TT' = Thermometer.

Fig. 2.

Libellenprüfer (geometrische Zeichnung).

(1

Wenn h die Ganghöhe der Schraube und l die Länge des Arms ist, so entspricht einer Schrauben Umdrehung die Neigung:

§§#

mmmm

«1 = j Q •

(1)

daß rq eine runde Zahl wird, und l — 488,3 m-m, womit

Die Dimensionen h und l sind so zu wählen,

Z. B. hat unser hannoverscher Libellenprüfer h — 0,51 -mm

= 4 Minuten wird, weshalb die Scheibe in 240 Teile geteilt ist.

Die hier nötige Messung der Ganghöhe h kann man wohl genügend dadurch machen, daß man 10 oder 20 usw. Gänge an verschiedenen Stellen der Schraube abzählt (auf Papier abdrückt od. dgl.) und mit dem Zirkel mißt.

oder das Verhältnis h : l dadurch bestimmen, daß man in die Stützenlager DD' ein Fernrohr einlegt und damit eine Teilung (Nivellierlatte) in bekannter Entfernung abliest, während die Schraube S bewegt wird.

Folgendes ist ein Beispiel einer Libellenempfindlichkeitsbestimmung (Libelle eines Nivellierinstruments) mit dem Libellenprüfer Fig. 1 und 2 :

«1

Außerdem kann man den Winkel

Schraube

Blase

links

rechts

Ausschlag links rechts

Blasen

länge

3' O"

43,2

41,6

40,1

38,4

37,0

35,5

34,1

32,6

31.1

29,6

28,1

26,5

25,0

23,5

22,0

2' 20" 140"

21,5

21,2

21,5

21,2

Mittel

21,35

Im Mittel hat man 21,35 Striche Ausschlag auf eine Neigung von 2'20" = 140". Auf 1 Strich kommt also:

= 6,56".

140

21,85

Die Wiederholung der Messung in umgekehrter Folge gab 6,7", wir nehmen also im Mittel:

Empfindlichkeit = 6,6" auf 1 Strich.

Die Zeitdauer einer solchen Versuchsreihe war 20 Minuten. Oft ist es besser, noch langsamer zu verfahren, weil die Blase langsam zur Ruhe kommt.

Die Ausschläge sind für die 14 Schraubenbewegungen hinreichend gleich, nämlich zwischen den Grenzen 1,4 und 1,7 schwankend. Wenn für gleiche Sehraubendrehungen die Ausschläge gleich sind, so ist bewiesen, daß die Röhre gut kreisförmig geschliffen ist, sofern die Schraubengänge alle gleich sind.

Umgekehrt kann man auch durch Vergleichung desselben Libellenausschlags an verschiedenen Stellen der Schraube untersuchen, ob die einzelnen Schraubengänge gleich sind; dabei ist es nützlich, die linksseitigen Stützen A in Fig. 2 S. 182 auch als Schrauben einzurichten, wie in Fig. 1 S. 182 bei A A' zu sehen ist.

Die Blasenlänge erscheint in dem obigen Beispiel etwas veränderlich, nämlich zwischen 17,2 und 17,5, was auf Temperaturänderung während des Versuchs beruht, aber vielleicht auch auf ungleiche Röhrenweite hindeuten kann.

Bei Instrumenten für Feld- und Landmessung sind etwa folgende Empfindlichkeiten zu empfehlen:

Hauptnivellierung .    .

Großer Theodolit für Horizontalwinkel

. 5" auf 1 Strich von 2,26 nvm

und großes Nivellierinstrument . 10" „ „

(3)

Feldmeßtheodolit und gewöhnliches Nivellierinstrument .    .

• • 20 „ „

Kleines Nivellierinstrument .    .    B0"-40    „ „

Freihandhöhenmesser, Setzlatte,Dosen-

JJ

r>

(vgl. hierzu „Zeitschr. f. Instru-mentenkundel890“ S. 359 und „Zeitschr. f. Venn. 1891“ S. 277.)

libelle.......

Dosenlibelle für Nivellierlatten

■    2-4' „ „

• 5-10' „ „

Wenn die Libellen zu empfindlich sind, d. h. nicht zur Ruhe kommen, so erschweren sie die Arbeit, ohne an Genauigkeit etwas zu nützen.

Genauigkeit der Libelle.

Eine Reihe von Untersuchungen über Libellen sind mitgeteilt in der „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1890“ S. 809—323 und 347- 360, und „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 257—279; Reinhertz, „Mitteilungen über Beobachtungen an Libellen“, woraus wir folgendes entnehmen:

Die Genauigkeit, mit welcher man die Blasenmitte auf den Normalpunkt der Teilung einstellen, oder die Blasenstellung gegen die Teilstriche ablesen kann, hängt von der Empfindlichkeit der Libelle ab, wie folgende Tabelle in runden Zahlen zeigt :

Für 17 Libellen mit Empfindlichkeiten zwischen 3" und 55" ließen sich die auf dem Libellenprüfungsapparat Fig. 1 S. 182 bestimmten mittleren Fehler ausdrücken durch folgende Formeln:

mittlerer Fehler des Einstellens in Sekunden + 0,09 YA*

„ Strich

0,09

Va*

„ Ablesens

0,20

VA"'

3" auf 1 Strich

± 0,15" oder ± 0,05 Strich

0,2

0,04

10

0,3

0,03

20

0,4

0,02

0,35

0,5

(4)

0,85

30

0,5

0,015    „

1,2

0,04

60

0,7

0,01

1,6

0,03

1 Strich = 2,256 mm

Mittlerer Fehler

des Ablesens

Empfindlichkeit der Libelle

des Einstellens

„ Sekunden + 0,20 Y A” „ Strich

worin A" = Empfindlichkeit auf 1 P. L.

Hiernach ist das Einstellen der Blase genauer als das Ablesen der Blasenstellung, allerdings ist das Einstellen auch viel mühsamer. Es hat dies seinen Grund darin, daß man die kleinen Abweichungen der Blasenenden zwischen den Skalenstrichen durch Einstellen mit der Schraube sehr scharf gleich machen, aber weniger genau die Blasenstellung in Bruchteilen der Skala ausdrücken kann.

Aus diesen Zahlen geht auch hervor, daß durch Steigerung der geometrischen Empfindlichkeit nicht proportionale Steigerung der Genauigkeit entsteht, woraus folgt, daß man im Felde mäßig empfindliche Libellen anwenden soll.

Daß die Blasen&m^e einen erheblichen Einfluß auf die Genauigkeit ausübt, haben wir schon zu Anfang in § 45 S. 177 angegeben; kleine Blasen sind sehr träge, weshalb die Blasenlänge etwa die Hälfte der Böhrenlänge sein soll. Bei den zitierten Untersuchungen fand sich z. B. bei einer Libelle von 16" Empfindlichkeit:

10

16

20

29 Striche

Blasenlänge

mittl. Einstellfehler 1,4"

also bei langer Blase erheblich größere Genauigkeit als bei ganz kurzer Blase (rund 5,6" Blasenlänge).

Für Dosenlibellen mit einer in P. L. ausgedrückten Empfindlichkeit von 4' bis 5', entsprechend einem Krümmungsradius von rund 1,5 m bis 2,0 m, ergab sich bei einem Durchmesser der Blase von 10 mm bis 15-m/m der mittlere Einstellfehler zu rund +. 5".

0,6"

0,4"    0,3"    0,2"

(5)

Einfluß der Wärme und des Glases.

Die erste Einwirkung der Wärme auf die Libelle besteht in der Änderung der Blasenlänge; die Blase ist in der Kälte erheblich größer als in der Wärme.

Wir fanden z. B. bei einem Nivellierinstrument (Bamberg), dessen Libelle keine Scheidewand hat. bei einer Empfindlichkeit von 6,6" auf 1 Strich :

Temperatur t = 0°

Blasenlänge l = 26,5 24,5 22,5 20,5 18,5 16,5 Striche A t = 1 ° entspricht Al = 0,4 Striche.

Wenn man diese Verhältnisse für eine Libelle bestimmt hat, so kann die Libelle zugleich als Thermometer benützt werden.

Der Einfluß der Temperatur auf die Blasenlänge ist bei verschiedenen Empfindlichkeiten verschieden, wie folgende Mittelwerte aus den zitierten Untersuchungen zeigen :

5°    10°    15°    20°    25° C.

(6)

Empfindlichkeit

Blasenlänge l bei 0° bei 15° bei 30°

Änderung A l für 1°

5 auf 1 Strich

© Ift © © «-< H    CO

to fco to CO CO 00 hł* Oi c to

to to to to IO o © to **• Ol

co 00 GO Ł— 00

tH rH rH t—t t—i

© © © © ©

"h-*    ^

CO ^ CO Ol Ol

Die Tabelle zeigt, daß für empfindliche Libellen der Temperatureinfluß auf die Blasenlänge erheblich größer ist als für gröbere; daher werden feinere Libellen mit einer Kammer versehen, wie § 45 S. 176 und 177 schon angegeben wurde.

Die Wärme übt auf die Libellen noch andere Einflüsse aus, wie z. B. folgender Versuch zeigt. Eine Libelle mit Empfindlichkeit 5,6" auf 1 Strich wurde gegen die Sonne gestellt. Die Blase ging der Sonne zu um 0,5 Strich, um T Strich beim Gegenversuch, indessen zog sich namentlich das entferntere Blasenende der Sonne zu, entsprechend der Verkleinerung der Blasenlänge (vgl. hierzu das Zitat Liagre S. 186). Man schützt deswegen die Libellen durch Überziehen der Fassung mit schlechten Wärmeleitern (Papier, Tuch, Holz) oder durch doppelte Fassung.

Im Felde muß ein Instrument mit einer empfindlichen Libelle stets unter einem Sonnenschirm gehalten werden.

Auch die Empfindlichkeit der Libelle kann mit der Temperatur etwas veränderlich sein. Wir fanden z. B. bei der oben erwähnten Libelle ohne Scheidewand, deren Blasenlänge sich also nur infolge der Temperatur verändert, bei Temperaturen zwischen 0° und 25° die Empfindlichkeit etwa zwischen 6,7" und 6,0" auf 1 Strich.

In den zitierten Untersuchungen sind auch 21 Libellen in Hinsicht auf die Änderung ihrer Angaben mit der Temperatur behandelt. Davon zeigten bei Temperaturen zwischen —4° und -+-28° die meisten, nämlich 16, keine Änderungen größer als das Dreifache des zu fürchtenden Bestimmungsfehlers, und von den fünf übrigen, welche merkbare Änderungen hatten, waren vier mit wachsender Empfindlichkeit bei steigender Temperatur und nur eine mit abnehmender Empfindlichkeit. Die auffälligsten Werte waren („Zeitsehr. f. Instrumentenkunde 1890“ S. 858) Libelle Nr. 13 und 8:

Libelle Nr. 5

Angabe

— 4,3°    9,59"    auf    1    Strich

Nahe konstant.

Libelle Nr. 8 (Ausnahme) Angabe —    4,0°    16,2" auf 1 Strich

+ 9,0    16,0    „    „    „

Libelle Nr. 13 Angabe

—    2,2°    9,4"    auf    1    Strich

Angabe abnehmend,

Empfindlichkeit wachsend. Empfindlichkeit abnehmend.

Temp.

Temp.

Temp.

16,4    „    „

+ 28,0    16,9    „    „

Angabe wachsend,

Alle diese Libellen waren in Metallfassung; es kann also sein, daß nicht die Glasröhren an sich ihre Krümmungsverhältnisse geändert haben, sondern daß die Temperaturänderungen äußere Spannungen und Formänderungen erzeugt haben. Bei alledem besteht die Warnung, daß man Libellen, deren Angabe zur Rechnung benützt wird, z. B. beim Nivellieren mit nicht einspielender Blase, nicht schlechthin mit einer Angabe benützen, sondern aucli bei verschiedenen Temperaturen auf ihre Empfindlichkeit untersuchen soll.

Für Libellenuntersuchungen in diesem Sinne ist außer der im vorstehenden benützten Abhandlung zu zitieren :

Liagre, sur les oscillations du niveau à bulle d’air et sur les moyens d’y remédier. Gru-nerts „Archiv der Math. u. Phys.“, 6. Teil, 1845 p. 400—404 und 7. Teil, 1846 S. 1—3.

Hensoldt, „Das orthoskopische Ocular“, von Karl Kellner, nebst einem Anhang zur Kenntnis-und genauen Prüfung der Libellen von M. Hensoldt, Mechaniker. Braunschweig 1849.

Chemische Wirkungen.

Außer den durch Wärme verursachten Abweichungen von der rein geometrischen Theorie zeigen die Libellen manchmal auch andere Mißverhältnisse, welche in der chemischen Beschaffenheit des Glases und der Füllungsflüssigkeit ihren Grund haben. Als Beispiel können wir die bei (6) S. 185 benützte Libelle von 6,6" Empfindlichkeit anführen, welche nach einigen Jahren des Gebrauchs Störungen zeigte, wie wenn sie ganz ungleichförmig geschliffen wäre. Diese Libelle gab nämlich im Juni 1886 auf dem Libellenprüfer unter anderem für 10" Neigung folgende ganz ungleiche Ausschläge ;

5,4    0,1    2,2    0,0    0,1    3,6

d. h. die Blase blieb teilweise klebend, teilweise machte sie wieder Sprünge.

Die Libelle wurde deshalb an Mechaniker Bamberg geschickt, welcher uns darüber folgendes mitgeteilt hat : Der Fehler, daß die Libelle nicht mehr funktionierte, lag daran, daß die Füllungsflüssigkeit stark abgesetzt hatte, resp. das Glas durch wässerige Beimischung, wahrscheinlich durch Absorption während des Schleifens, Teilchen ausgeschieden hatte, welche punktartig die Schlifl'fläche belegten und so den regelmäßigen Gang der Blase hemmten. Es ist dieses ja eine bekannte Erscheinung fast aller Libellen der neueren Zeit und hat seinen Grund in dem Bestreben der Glasfabrikanten, möglichst leicht schmelzbare und verarbeitbare Gläser zu erzielen auf Kosten der Dauerhaftigkeit derselben gegen äußere Einflüsse. Das Ansetzen der Libellen läßt sich dadurch vermeiden, daß dieselben nach dem Schliff etwa 14 Tage in Alkohol und Äther gespült und dann erst wieder gefüllt werden.

Die fragliche Libelle hat in der Tat wieder den alten Gang der Blase und Zuverlässigkeit der Angaben wieder erlangt. („Zeitsehr. f. Yerm. 1887“ S. 89.)

Dieser einzelne Fall aus unserer eigenen Erfahrung von 1886 kann als Beispiel für die Mißlichkeiten dienen, die bei Libellen Vorkommen können, namentlich in neuerer Zeit. (Aus älterer Zeit haben wir manche Libellen von Landesvermessungs-Instrumenten von Württemberg, Baden, Hannover benützt, deren Libellen an den Enden zugeschmolzen seit Jahrzehnten dienstfähig sind.)

Jetzt ist die Untersuchung der Libellen der Physikalisch-technischen Reichsanstalt, Abteilung II, in Charlottenburg übertragen. Man bedient sich dort einer Reaktion: Jod-Eosin verbindet sich mit dem Alkali, welches aus der Einwirkung des Wassers auf das Glas entstanden ist. Folgendes sind einige Literaturangaben hierzu:

Rieth, Unregelmäßigkeiten der Libellen. „Zentralzeitung f. Optik und Mech. 1887“ S. 133 ; „Zeitschr. f. Yerm. 1887“ S. 297. Einfluß des Glases auf die Beweglichkeit der Libellen. Dinglers „Polytechnisches Journal 1887“, 264. Bd. S. 501.

Weber, Ursachen der Eehler an Libellen. „Zentralzeitung f. Optik und Mech. 1838“ S. 253. Mylius, Über die Störungen der Libellen. Mitteilung aus der Physikalisch-technischen Reichsanstalt. „Zeitschr. f. Instrumentenk. 1888“ S. 267, 428. Mylius u. Förster, Über die Löslichkeit der Kali- und Natrongläser in Wasser. „Zeitschr. f. Instrumentenk. 1889“ S. 117—122. Löwenherz, Störungen bei Libellen, „Zeitschr. f. Instrumentenk. 1891“ S. 166. Über zweckmäßiges Libellenglas s. auch „Zeitschr. f. Instrumentenk. 1892“ S. 170.

§ 48. Das Sehen mit freiem Auge.

Teils als Vorbereitung der Theorie der optischen Instrumente, Lupen, Fernrohre, Mikroskope usw., teils wegen selbständiger Bedeutung für das Messen, behandeln wir hier das Sehen mit freiem Auge.

Die günstigste Sehweite.

Das normale Auge sieht einen Gegenstand am deutlichsten, wenn er sich in einer gewissen Entfernung, etwa, 20 cm- bis 25 cm vom Auge befindet; diese Entfernung heißt „günstigste Sehweite“. Wird die Entfernung vergrößert, so kann sich das Auge der vergrößerten Entfernung auch noch anpassen (Akkommodation) bis zur Entfernung unendlich, z. B. beim Sehen der Sterne. (Die Pupille erweitert sich für die Feme, s. Helmholtz, „Physiologische Optik 1867“ S. 103.)

Wird die Entfernung eines Gegenstandes vom Auge erheblich kleiner als die günstigste Sehweite, so findet kein deutliches Sehen mehr statt.

Verschiedene Personen haben verschiedene günstigste Sehweiten. Es gibt Kurzsichtigkeit mit 10 cm und noch weniger Sehweite, und Weitsichtigkeit mit 50 cm Sehweite. Kurzsichtige und Weitsichtige, welche passende Brillen tragen, gelten für die Okularstellungen usw. bei Meßinstrumenten als normalsichtig.

zu

Das Auge kann von zwei Gegenständen, welche verschiedene Entfernungen haben, immer nur einen deutlich sehen; zwar gelingt es, indem man zwei verschieden entfernte Gegenstände 'nach einander betrachtet, bald den einen, bald den andern deutlich sehen, und so zusammen zu bringen (vgl. Helmholtz, „Physiologische Optik 1867“ S. 92), aber die Unmöglichkeit, auf zwei verschiedene Entfernungen gleichzeitig zu sehen, bleibt immer ein Hauptübelstand der Fadendiopter (vgl. Fig. 2 S. 36), weil hier das Auge den etwa 20 cm entfernten Faden und ein vielleicht viele Hunderte von Metern entferntes Ziel beobachten soll.

Genauigkeit des Zielens.

Die erste Frage betrifft die Genauigkeit, mit welcher man die gegenseitige Lage zweier benachbarter Punkte, namentlich das Aufeinanderfallen zweier Punkte beurteilen kann, oder kurz die Genauigkeit des Zielens mit freiem Auge.

Man kann sich davon leicht durch Versuche Bechenschaft geben; z. B. haben wir für das Zielen durch Kreuzscheibenspalten bereits auf S. 37 angegeben, daß der mittlere Zielfehler sich durch Versuche = V—2' ergeben hat.

Als erster Versuch zur Einweiseschärfe haben wir mit Studierenden mehrfach auf etwa 10 m Entfernung durch ein Diopter einen Bleistift auf eine Teilung einweisen lassen, und hierbei mittlere Fehler von 1'—2' erhalten, oder ähnliche sonstige Versuche mit völlig ungeübten Leuten angestellt (vgl. z. B. „Zeitsehr. f. Venn. 1887“ S. 652), fast immer mit dem Ergebnis, daß der mittlere Fehler etwa 1'—2' war.

Das ist aber bei weitem noch nicht die äußerste erreichbare Genauigkeit, denn bei günstiger Beleuchtung und sonstiger guter Anordnung kann ein Beobachter mit guten Augen eine nahezu 10 fach größere Genauigkeit des Zielens erreichen als die soeben genannte.

Stampfer berichtet schon in seinem Buche: „Theoretische und praktische Anleitung zum Nivellieren, Wien 1845“ S. 13 u. ff. : Der Fehler einer Visur mit unbewaffnetem Auge (durch Diopter), welchen bisher verschiedene Schriftsteller von ²/₃ bis 1 Minute annahmen, geht bei zweckmäßiger Einrichtung des Visirwerkzeuges unter günstigen Umständen auf 10 Sekunden, bei vorzüglicher Gesichtsschärfe und Übung noch weiter herab. (Vgl. auch Auszug aus Stampfer, „Zeitschr. f. Venn. 1886“ S. 98.)

Umfassendere Versuche als für das Zielen mit freiem Auge hat man für das Zielen durch Fernrohre, was hier insofern mit erwähnt werden kann, weil nahezu die Zielschärfe eines «fach vergrößernden Fernrohrs gleich der «fachen Zielschärfe des freien Auges angenommen werden kann.

Wir zitieren die Fernrohrzielversuche, welche E. Wagner angestellt und in der „Zeitschr. f. Verm. 1886“ S. 87—89 und S. 97—104 mitgeteilt hat, nämlich Einstellung eines vertikalen Fernrohrfadens auf einem weißen Streifen auf schwarzem Grunde. Breite des Streifens = 2 wm, 8 mm und 20 mm, bei Zielweiten zwischen 50 m und 500 m. Bei 25 fâcher Fernrohrvergrößerung fand sich im ganzen ein mittlerer Zielfehler von nur +_ 0,287", also auf freies Sehen nach obiger Annahme reduziert, = 25 X 0,287 = -±_ 7,2”. Die Zielschärfe ist hier etwa zehnmal so groß als bei dem oben erwähnten Ein weisen eines 10 m entfernten Bleistiftes mit dem Diopter.

Der Wagnersche Versuch mit + 7" stimmt auch nahezu mit den Angaben von Stampfer und anderen, und wir wollen nun den Gesamtschluß ziehen, daß man bei der Zieleinrichtung nach Fig. 2 S. 190 mit unseren gewöhnlichen Feldmeßinstrumenten, mit Fernrohren oder Mikroskopen von 15—20 fâcher Vergrößerung wohl eine Zielschärfe von 1" erreichen kann. (Naturgemäß ist die Zielgenauigkeit bei praktischen Arbeiten auch abhängig von der Beschaffenheit und Sichtbarkeit der Signale.)

Physiologie des Auges.

Alle diese Verhältnisse werden wesentlich aufgeklärt durch die physiologischen Ergebnisse der Untersuchung des menschlichen Auges. Förster hat hierüber im Jahre 1878 eine Abhandlung in „procès verbaux“ des internationalen Maß- und Gewichtskomitees geschrieben, welche wir in der „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 117—124 in Übersetzung brachten. Hieraus entnehmen wir folgendes:

In nachstehender Fig. 1 ist K ein Punkt in der Achse der Linse des Auges, welcher näherungsweise (Zusammenfassung der beiden Knotenpunkte) als Zentralpunkt bei der Erzeugung von Netzhautbildern betrachtet werden kann.

Wenn ein Linienelement von 1M, im Abstand 206 mm vom Auge, Lichtstrahlen auf die Augenlinse wirft, so entsteht auf der Netzhaut, 15 mm hinter dem Punkte K. ein Bild von der Größe:

15

¹“X2Ö6 = ⁰'⁰⁷³'''

(1)

Dabei mag lM vorerst irgend welche Größe bedeuten, nachher werden wir darunter 0,001 -mm verstehen, so daß dann der Gesichtswinkel für 1 M wird :

0,001

nvnv

206

206

mm

206265” = 1”.

(2)

Fig. 1.

Schematische Darstellung des Sehens.

t'P

kJ

*0,073/t

206-

mm

-±----IS-—-

■4

Es wird nun die Frage aufgeworfen: Welches muß die Minimaldimension eines Bildes auf der Netzhaut sein, wenn dieses Bild noch sicher wahrgenommen werden soll?

Schon im 18. Jahrhundert war eine ähnliche Frage der Gegenstand experimenteller Untersuchungen von Jurin und von Tobias Mayer in Göttingen. Ein Bericht über alle hierauf bezüglichen Arbeiten, sowie die wichtigsten Ergebnisse finden sich in der „Physiologischen Optik“ von Helmholtz (S. 209—224 und S. 841—842); ferner sind hier die Versuche von Laugier („Astr. Nachr.“ Nr. 1086 [46. Band, 1857 S. 81]) und vor allem die schönen Arbeiten von J. A. Broun (1875) im XXII. Band der „Proceedings“ der Royal Society von London (S. 522) zu erwähnen.

Die Physiologie erklärt die Lokalisierung der Eindrücke, und folglich das Unterscheidungsvermögen, durch die in der Netzhautschicht befindlichen sogenannten Zapfen oder Stäbchen.

Die Empfindlichkeit der Netzhaut ist nicht in allen Teilen gleich groß; sie ist am größten in der Netzhautgrube, die in der Mitte des gelben Flecks liegt, und nimmt von hier aus nach allen Seiten ab. Nur die in der Netzhautgrube abgebildeten Objekte werden deutlich wahrgenommen, während die auf die übrigen Teile der Netzhaut fallenden Bilder mit der Entfernung von der Netzhautgrube an Deutlichkeit verlieren. Für das deutliche Sehen kommt mithin nur die Netzhautgrube in Betracht, die durch Bewegung des Auges auf die einzelnen Objekte gerichtet wird. Durch L. Heine wurde nachgewiesen, daß die Zapfenenden in der Netzhaut polygonal angeordnet sind. Die Oberfläche der Endschnitte dieser Zapfen hat einen mittleren Durchmesser von ungefähr 4,5M und schwankt zwischen 2M und 6M; dieselben finden sich am dichtesten auf dem sogenannten gelben Fleck und ganz besonders in der Netzhautgrube.

Man hat gefunden, daß zwei helle Punkte oder zwei helle Linien auf dunklem Grunde (oder auch zwei dunkle Punkte oder Linien auf hellem Grund) nur getrennt gesehen werden können, wenn der Gesichtswinkel, unter welchem ihr Abstand erscheint, etwa 60” erreicht, d. h. wenn auf der Netzhaut das Intervall zwischen den Zentren beider Bilder den Wert 60 X 0,073M = 4,4M erreicht. Die Übereinstimmung dieser Minimaldistanz mit dem soeben genannten mittleren Durchmesser der Stäbchen hat unmittelbar die Erklärung der Trennungsgrenze geliefert; zwei nahe gleiche Objekte erscheinen dem Auge nur dann als getrennt, wenn der Abstand der Mitten ihrer Netzhautbilder ebenso groß oder länger ist als der Abstand der Mitten zweier benach-barter Stäbchen; denn nur unter dieser Bedingung und unter der Annahme, daß die Intervalle zwischen den einzelnen Stäbchen sehr klein sind, was an der Stelle des gelben Flecks ist, werden die optischen Schwerpunkte der Bilder der beiden Objekte auf zwei verschiedene benachbarte Stäbchen fällen. Wenn dagegen die beiden Bildmitten noch auf die Oberfläche eines und desselben Stäbchens fällen, so werden sie nicht getrennt wahrgenommen, sondern sie gehen ineinander über, und ihre Wirkungen vereinigen sich.

Diese Grenze des Trennungsvermögens (4,4 f¹ Minimalabstand der Bildzentren) ist nicht zu verwechseln mit der andern mindestens fünfzigmal weiteren Grenze der Sichtbarkeit eines einzelnen Objekts (0,09 ^ Minimalgröße des Netzhautbildes).

Förster hat nun Versuche angestellt in der Anordnung von Fig. 2, d. h. es wurde ein Teilstrich oder ein Faden zwischen zwei Fäden so eingestellt, daß links und rechts weiße Zwischenräume h, b blieben, deren Gleichheitsschätzung zur Einstellung in die Mitte diente.

Das Minimum der Lichtbreite b, bei welchem der helle Streifen überhaupt noch gesehen werden konnte, ergab sich, auf die Netzhaut projiziert, =2,5.“, oder etwa gleich - Stäbchenbreite (während nach Broun für eine dunkle Linie auf hellem Grunde 0,091¹ genügt).

Mit dieser Minimalbreite 2,5 (*■ wurde bei 25 fâcher Vergrößerung Fig. 2. ein wahrscheinlicher Fadeneinstellfehler = + 0,25.“ (auf der Netzhaut gemessen) gefunden. Reduziert man dieses auf Objektgröße und freies Sehen, so

§ 1 £ | £ hat man b = 13,7 X 2,5f* = 84.“ oder = ^

O CE*

13 V tt

-m-m

entsprechend 34" Gesichtswin-

- kel, und einen wahrscheinlichen Einstellfehler = 13,7x0.25^ = 3,4^ oder rund =3,4" Gesichtswinkel. Oder bei 34 fâcher Vergrößerung hätte man einen wahrscheinlichen Fehler von 0,1M am Objekt.

Dagegen braucht man viel stärkere Vergrößerungen, wenn man dieselbe Einstellgenauigkeit erreichen will mit breiteren Lichtstreifen zwischen den Strichrändern und den beiden Fäden.

Wenn z. B. die Breite b dieser hellen Intervalle zwischen den Fäden und den Strichrändern so weit geht, daß sie acht Nervenelemente (Stäbchenendflächen) der Netzhaut bedeckt, so braucht man zur Erreichung derselben Genauigkeit (0,1 A* wahrscheinlicher Einstellfehler) schon eine 85fache Vergrößerung, und b b wenn jene Breite bis zu 15 Nervenelementen wächst, so braucht man 150 fache Vergrößerung.

Als wichtigstes Schlußergebnis dieser gesamten Untersuchungen hat man sich zu merken: Man soll die zu vergleichenden Lichtbreiten b (Fig. 2) möglichst klein machen.

§ 49. Die Konvexlinse.

Eine Linse ist ein durch zwei Kugelabschnitte begrenzter Glaskörper. Von den verschiedenen Formen von Linsen kommt bei Meßinstrumenten fast nur die Konvexlinse oder Sammellinse vor (mit dem Grenzfall plankonvexe Linse). Die Wirkung der Linsen beruht auf der Brechung des Lichts.

Achse der Linse heißt die gerade Verbindungslinie der zu beiden Begrenzungsbächen gehörigen Kugelmittelpunkte ; in nachfolgender Fig. 1 ist die durch die Linsenmitte 0 gehende Gerade AA' die Achse.

Brennpunkte der Linse sind zwei Punkte F und F' auf der Achse liegend (Fig. 1), welche beide gleiche Abstände FO = O F' — f von der Linsenmitte haben; und dabei heißt f die Brennweite der Linse, deren Wert in der Optik bestimmt wird durch die Gleichung

(i)

wobei n der Brechungskoeffizient des Glases und r, r' die Krümmungsradien der Linsen-flächen sind.

Nach diesen Erklärungen können wir die Brechung eines Lichtstrahls durch «ine bikonvexe Linse betrachten (vgl. Fig. 1). Ein Lichtstrahl geht von einem Punkte A in der Achse der Linse aus, wird an beiden Linsenflächen gebrochen und schneidet die Achse wieder auf der andern Seite der Linse in einem Punkte A!.

Fig. 1.

-----D-------

------»k---------d

----->1

!A'

k-------f----->{<------f----->

Für die Abstände D und d der Punkte A und A’ von der Linsenmitte 0 liefert •die Optik die wichtige Gleichung:

(2)

1 1 1 B ⁺ d=J’

wobei f die schon in Gleichung (1) bestimmte konstante Brennweite bedeutet.

Dieses (2) ist die wichtige Grundgleichung für die Brechung eines Lichtstrahls durch eine Linse. Es ist dadurch ausgesprochen, daß alle Strahlen, welche von einem Punkte A der Achse ausgehen, sich nach der Brechung wieder in einem Punkte A! der Achse vereinigen.

Zwei solche Punkte A und A! auf der Achse nennt man „konjugiert“.

Dieselbe Gleichung wie (1) gilt auch für zwei Punkte außerhalb der Achse, aber nur wenig seitwärts der Achse liegend, welche auf einer durch die Linsenmitte gehenden Geraden liegen, d. h. wenn in Fig. 2 A und E zwei konjugierte Punkte auf der Achse selbst, dann A! und E’ zwei konjugierte Punkte anderer Lage sind, so bestehen die zwei Gleichungen:

und

(3)

ł 1-1

B~*~~ä~ f

Da wir schon die Gleichungen (1) und (2) hier nicht entwickelt, sondern nur aus der Optik als bekannt zitiert haben, könnten wir wohl auch die zweite Gleichung (3) schlechthin als bekannt annehmen, indessen ist es auch leicht, mit Hilfe von Fig. 2 S. 192 den Nachweis für ZF und d' zu geben.

Um eine Beziehung zwischen 7/ und d' zu erhalten, nehmen wir die Winkel a, ß, y zu Hilfe, und haben damit :

— sin (ft ~ y)

sin ß

Ä-

I) _ sin (« y)

T)' sin a

oder weil die Winkel sämtlich klein sind:

1₌± tzl

d! d ß

d + ⁷ [wä ~ Iß) '

D a = d ß.

Fig. 2. Konjugierte Punkte A und E, A' und E'.

1 a + y

(4)

Nach Fig. 2 ist aber:

~JTß

je----B

V-

-dL

E'

Damit fällt das letzte Glied in (4) fort, und damit ist die zweite Gleichung (3)

bewiesen.

Alle Strahlen, welche von einem Punkte A' außerhalb der Achse ausgehen, werden sich nach der Brechung wieder in einem Punkte E' vereinigen, welcher mit A’ und der Linsenmitte auf einer Geraden liegt. Die Punkte A! und E' heißen konjugiert, ebenso wie auch A und E konjugiert sind.

Bei der Gleichung (3) wie überhaupt bei allen vorstehenden Betrachtungen ist angenommen, daß die Neigungswinkel a, ß, y usw. in Fig. 2 sehr klein seien, so daß auch die schiefe Entfernung AB = D usw. gesetzt werden kann.

Wir betrachten nun verschiedene Fälle der Grundgleichung (2) bzw. (3).

Allgemein :

1 1 1

1. D — oo

oo

2.    oo>Z>>2/’

3.    D — d = 2 f

4.    2f>D>f

5.    D = f

gibt

gibt

oo

d = f d>f

Fernrohr-Objektivlinse

Grenzfall

d j> 1) Mikroskop-Objektivlinse

d = oo

6. D = f—x

d wird negativ, Lupe.

Die Fälle 1 bis 2 haben wir bei der Objektivlinse eines Fernrohrs; den Fall ß haben wir bei der Okularlinse eines einfachen Fernrohrs oder bei einer Lupe; Fall 4 kommt vor beim Objektiv eines Ablesemikroskops.

Wenn nach Fall 1 ein Punkt in der Richtung der Achse der Linse unendlich entfernt ist, so fällt sein Bild nach der Brechung in den Brennpunkt auf der anderen Seite der Linse. Da alle von einem unendlich entfernten Punkte auf die Linse fallen-

den Strahlen als parallel gelten, so folgt weiter, daß jeder mit der Achse parallel einfallende Strahl nach der Brechung durch den Brennpunkt geht. Fall 5 stellt die Umkehrung dieses Strahlenganges dar.

Einen parallel zur Achse einfallenden Strahl nennt man Hauptstrahl.

Der optische Mittelpunkt.

Fig. 3.

Optischer Mittelpunkt 0.

In der vorstehenden Theorie wird die Annahme gemacht, daß die Linsendicke verschwindend klein sei gegen die übrigen in der Achsenrichtung in Betracht kommenden Dimensionen, jedoch ist es für das Verständnis der optischen Instrumente von Wert, unmittelbar zu zeigen, daß die Gerade A' E' in Fig. 2 S. 192 durch einen festen Punkt der Linse geht. Es ist dies nämlich derjenige Punkt, welcher die Eigenschaft hat, daß jeder durch ihn gehende Strahl ungebrochen bleibt. Dieser Punkt heißt der optische Mittelpunkt der Linse, er liegt auf der Achse der Linse und teilt die Dicke der Linse in

zwei Teile, im Verhältnis der beiden Krümmungshalbmesser, er liegt dabei stets näher der stärker gekrümmten Fläche. Dieses läßt sich so zeigen (vgl. Fig. 8):

i“

Ebenso wie bei dem Durchgang eines Strahls durch ein planparalleles Glas, wobei keine Riehtungsänderung erfolgt, ergibt sich für den optischen Mittelpunkt die Bedingung, daß die zwei Berührungs-ebenen-der Linse am Eintritt und am Austritt eines durch ihn gehenden Strahls parallel sein müssen, oder daß die dem Eintritt und Austritt zugehörigen Kugelhalbmesser parallel sind. Ist also 0 der optische Mittelpunkt (Fig. 3) und A II B' A' ein durch ihn gehender Strahl, so soll 1> A' parallel BA, und C P> parallel IIC sein, woraus folgt:

und genähert:

BO : OB' = BC:B' C = r : r'

Fig. 4. Optischer Mittelpunkt der plankonvexen Linse.

BO: OB' = DO : OU

also :

DO : OD' = r : r'.

Bei der plankonvexen Linse liegt der optische Mittelpunkt auf der konvexen Seite selbst, wie in Fig. 4 angedeutet ist.

Einen Lichtstrahl, der durch den optischen Mittelpunkt der Linse geht, nennt man einen Hauptstrahl.

Konstruktion konjugierter Punkte mittels zweier Hauptstrahlen (Fig. 5 S. 194).

Als Hauptstrahlen haben wir bisher folgende bezeichnet:

1.    einen Strahl parallel der Achse, z. B. PQ in Fig. 5 ;

2.    einen Strahl, der durch den optischen Mittelpunkt der Linse geht, z. B. POp in Fig. 5.

13

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Damit kann man zu jedem Punkte P seinen konjugierten Punkt p konstruieren. Man zieht von P aus beide Hauptstrahlen, nämlich PQ parallel der Achse, und PO nach dem optischen Mittelpunkt, oder auch PF' und dessen Yerlängerung bis zur Linse und Ablenkung parallel zur Achse bis p.

Fig. 5. Hauptstrahlen PQ und POp.

(t

P'<-

J)

T"

■P

PQ geht nach der Brechung durch den Brennpunkt F, und PO bleibt ungebrochen, man findet daher p als Schnitt der verlängerten QF und PO.

Diese Konstruktion gilt auch für diejenigen Fälle, bei lvelchen I) oder d

negativ ist.

§ 50. Die Lupe.

Einen besonderen Fall der im vorigen § 49 behandelten Konvexlinse bildet die Lupe, als Konvexlinse mit kleiner Brennweite. Eine solche Linse dient zur Erzeugung vergrößerter Bilder naher Gegenstände (vgl. Fig. 1).

Kg. X. Lupe.

P¹

A/

JLy

Ein Gegenstand P befindet sich zwischen der Linse L und dem linksseitigen Brennpunkt F dieser Linse. Man findet die Lage des dem Punkte P konjugierten Punktes P' mittels der beiden Hauptstrahlen (nach Fig. 5 § 49), welche in dem Falle der Fig. 1 sich durch Pdc/cverlängerung auf derselben Seite der Linse schneiden, auf welcher P ist, nämlich in dem Punkte P'.

Als Beziehung zwischen den Abständen y und <1 hat man die Grundgleichung (2) §49 S. 191, mit Rücksicht darauf, daß der Gegenstand und das Bild auf derselben Seite der Linse liegen, nämlich entsprechend dem Fall (6) auf S. 192. wo d negativ wird :

1 1 _ ¹

~ÿ~~d~J'

Diese Gleichung gibt nach y aufgelöst :

1    1    1 _d-hf

d d f

(1)

df

(2)

Für die weitere Untersuchung ist es nötig, den Ort des Auges A vor der Lupe wissen ; das Auge hat hier einen gewissen Spielraum, der etwa gleich der Brennweite f der Linse ist. Wir lassen die Entfernung des Auges von der Lupe vorerst noch unbestimmt, indem wir sie = e einführen.

zu

(4)

Wenn der-

Vergrößerung. Direkt gesehen muß der Gegenstand h in die günstigste Sehweite w gebracht werden, er erscheint dann unter dem Gesichtswinkel —.

iv

selbe Gegenstand mit der Lupe betrachtet wird, so hat er, da der Ort des Auges in A angenommen ist, die scheinbare Größe H in der Entfernung — iv, also erscheint er

7/

Nun gelangen die von P selbst ausgehenden Strahlen mit solcher Divergenz in das Auge A, als ob sie von P’ ausgingen; im Auge wird daher ein vergrößertes aufrechtes Bild H des Gegenstandes h erzeugt.

Wenn hierbei deutliches Sehen stattfinden soll, so ist der Abstand des Auges von dem Bilde gleich der günstigsten Sehweite iv anzunehmen, d. h. : iv = d + e

Dadurch wird auch der Abstand y ein bestimmter, nämlich nach (2) und (8):

oder

d = iv — e .

(3)

unter dem Gesichtswinkel--, und demnach ist die Vergrößerung :

oder vermöge (3) und (4):

w — e A- f

'S. I

iv . e

+ 1 — -,

(5)

Da beim Kurzsichtigen w kleiner ist als beim Weitsichtigen, so hat der Kurzsichtige eine schwächere Vergrößerung als der Weitsichtige, da aber der Kurzsichtige ohne Lupe den Gegenstand näher ans Auge hält als der Fernsichtige, so hat er hier schon einen größeren Gesichtswinkel; durch die Lupe sehen beide den Gegenstand gleich groß.

Aus (5) ist ersichtlich, daß eine Linse nur dann als Lupe brauchbar ist ihre Brennweite f Meiner als die Sehweite iv ist (damit v größer als 1 wird).

Wenn man in (5) verschiedene Werte e einführt, welche der Schwankung des Aug-ortes entsprechen, so findet man:

wenn

mit e = 0

Vincix —

(6)

li

mit e = f

Die unvermeidlichen Schwankungen des Auges vor der Lupe sind also von wenig Einfluß auf die Vergrößerung. Wichtiger ist es, zu wissen, ob diesen Aug-ortsschwankungen etwa erhebliche Veränderungen des Objektabstandes y entsprechen. Dazu entwickeln wir die Formel (4) für y in eine Beihe:

Vmin — —ń

(7)

iv — e

f-e

iv

IV

C/S .

U' w

Je nachdem man hier e = 0 oder e — f einsetzt, gibt diese Formel (8) Werte von >/, welche um

verschieden sind. Für w = 25 cm und f — 1 cm gibt dieses

nur 0,016-mm, was ganz unmerklich ist.

Zugleich kann man aus der Gleichung (8) ersehen, welchen Einfiuß eine Ände

rung der Sehweite w auf die Einstellung y hat.

Für zwei verschiedene Sehweiten w und w' hat man für diese Überlegung genügend genau:

— w'

yj w'

Für w — 25 cm, w' — 10 cm, / — Lern ist also nur y = 0,6 mm.

Der Kurzsichtige wird also die Lupe in diesem Fall um 0,6 mm näher an den Gegenstand halten als der Weitsichtige.

A v = Pw-

P)

Obgleich wir die sphärischen Abweichungen der Linsen nicht in unsere Betrachtung ziehen, kann doch die Bemerkung hier angefügt werden, daß gute Lupen nicht beiderseits gleich gekrümmt sind, und daß man stets die flachere Seite dem Objekt zukehren soll.

§ 51. Das einfache Fernrohr.

Die bisher behandelte Theorie der Konvexlinse als Objektivglas und als Lupe genügt bereits zur Erklärung der Wirkungsweise des einfachen ( Kepler schm) Fernrohrs.

Ein solches Fernrohr besteht nach Andeutung von Fig. 1 aus einer Verbindung zweier Konvexlinsen, nämlich dem Objektiv 0 und dem Okular L, welche verschiedene Brennweiten bzw. F und f haben. Die Brennweite F des Objektivs ist größer als die Brennweite f des Okulars.

Kg. 1. Das einfache Fernrohr.

Die Wirkungsweise dieses Fernrohrs läßt sich so erklären : Das Objektiv 0 erzeugt von einem entfernten Gegenstand Q

ein umgekehrtes verkleinertes Bild F, welches durch das als Lupe wirkende Okular L betrachtet wird. Die Entfernung d des Bildes P von dem Objektiv findet sich aus der gegebenen Entfernung B des Gegenstandes Q von dem Objektiv, und der Brennweite F des letzteren, durch die Grundgleichung:

1 1 _ ¹

B⁺Yf~F’

k-----

Obj.

-A

—*j»-----d-------

L----( F)------Mf)J

welche, nach d aufgelöst, den Abstand der Bildebene gibt:

, woraus d — F =

B=~F

(la)

oder in Reihenentwicklung :

-f-

Öl Hy

Y)

-h...

(lb)

Da I) meist sehr groß ist, so ist d nahezu — F-, es gibt z. B. eine Entfernung J) = 300 m bei einer Brennweite F — 0,3 -itv nur d — F = 0,0003 m oder = 0,3 -mm. Die Einstellung der Bildweite d kann überhaupt kaum auf 0,3 mm genau gemacht werden, es ist daher hei den kurzen Objektivbrennweiten der Meßinstrumente schon bei Zielpunktsentfernungen über 300 m der Okularauszug mit der Auszugsweite d nahezu ebenso zu stellen wie für die Zielweite Unendlich.

Der Abstand y des Bildes P vom Okular L ist abhängig von der Brennweite f des Okulars und von der deutlichen Sehweite w des beobachtenden Auges, es ist jedoch y immer nahezu = f. wie aus der Gleichung (8) S. 195 des vorigen § 50 hervorgeht, denn hiernach ist :

/’²

(2)

y — f — —

U'

Setzt man beispielshalber hier f — 1 cm , w = 20 cm , so wird :

0,05

cm = — 0,5 mm.

Alan kann also näherungsweise y — f annehmen.

Das Fadenkreuz und die Zielachse.

Mit dem bisher beschriebenen Fernrohr kann man zwar entfernte Gegenstände betrachten, man kann aber keinen bestimmten Punkt des Bildes anzielen. Hierzu ist es nötig, an dem Fernrohr zwei feste Punkte zu haben, welche dem Okularloch und dem Faden eines Diopters, oder dem Visier und dem Korn eines Geschützes entsprechen.

Diese zwei festen Punkte sind das Fadenkreuz und der optische Mittelpunkt

des Objektivs.

Das Fadenkreuz dient dazu, einen Punkt des Bildes im Innern des Fernrohrs bezeichnen zu können. Alan hat in der Ebene dieses Bildes auf dem als Okularblen

dung dienenden Bing zwei sich rechtwinklig schneidende Fäden (Spinnfäden) ausgespannt, deren Kreuzpunkt mit einem bestimmten Punkte des Bildes zusammenfällt.

Die Einsetzung des Fadenkreuzes im Innern der Okularröhre ist durch Fig. 2 veranschaulicht, welche wir später beim Theodolit noch näher betrachten werden.

Fig. 2. Das Fadenkreuz.

ff

JB

\ [I

Der zweite feste Punkt im Fernrohr, welcher zusammen mit dem Fadenkreuzpunkt die „ Ziellinie“ bestimmt, ist der schon erwähnte optische Mittelpunkt des Objektivs.

Da stets ein Punkt Q, sein Bild P und der optische Alittelpunkt O des Objektivs in einer Geraden liegen (Fig. 1 S. 196), so heißt ein Punkt „angezielt", wenn sein Bild P mit dem Fadenkreuzpunkt zusammenfällt, gerade so wie z. B. bei einem

Geschütz die von Visier und Korn gebildete Ziellinie den Punkt deckt, auf welchen gezielt wird. (Die Zielachse wird mit der optischen Achse der Objektivlinse im allgemeinen nicht zusammenfallen).

Die Zielachse hat nach der vorstehenden Definition keine unveränderliche Lage in bezug auf das Fernrohr; denn da der Fadenkreuzschnittpunkt meistens nicht in der optischen Achse des Objektivs liegt, so wird beim Verschieben des Okularauszuges die Ziellinie sieh um den optischen Mittelpunkt des Objektivs drehen. Es läfit sich nun eine andere mit dem Fernrohr fest verbundene Gerade angeben, die durch alle mit dem Fadenkreuz eingestellte Ziele hindurchgeht, also von der Stellung des Okularauszugs unabhängig ist. Diese Eigenschaft besitzt die Gerade, in welche die Bewegungsrichtung des Fadenkreuzes nach der Brechung durch das Objektiv übergeht. Vogler bezeichnet diese unveränderliche Ziellinie als „Hauptvisierachse“ (Lehrb. d. prakt. Geometrie 1. Teil 1885 S. 77).

Das Anzielen eines entfernten Punktes geschieht durch folgende Operationen:

1.    Die Entfernung y zwischen dem Fadenkreuz und dem Okular, welche von der Brennweite des Okulars und von der deutlichen Sehweite des beobachtenden Auges abliiingt [s. oben (2)], wird durch Verschieben des Fadenkreuzes oder des Okulars in der Okularröhre so reguliert, daß das Fadenkreuz deutlich gesehen wird (vgl. die Theorie der Lupe § 50 S. 194).

2.    Die Okularlinse samt dem Fadenkreuz, d. h. der ganze Okularkopf, wird gegen das Objektiv in solche Stellung gebracht, daß der Gegenstand, auf welchen das Fernrohr gerichtet ist, deutlich gesehen wird, und dann kann ein bestimmter Punkt des betrachteten Gegenstandes zur Deckung mit dem Fadenkreuz gebracht, d. h. angezielt werden.

Von diesen zwei Einstellungen ist die erste ein für allemal vorzunehmen, sofern nicht verschiedene Beobachter mit verschiedenen Augen das Fernrohr zusammen benützen, während die zweite bei jedem Zielpunkt zu wiederholen ist.

Ein kurzsichtiger und ein weitsichtiger Beobachter werden die Stellung des Fadens gegen das Okular verschieden nehmen, jedoch wird diese Verschiedenheit höchstens 1 mm betragen, wie aus der Lupentheorie in (9) § 50 S. 196 und aus der daran geknüpften Bemerkung entnommen werden kann.

Wenn ein Kurzsichtiger eine seinem Auge entsprechende Brille trägt, so kann er mit einem anderen Beobachter mit normalem Auge abwechselnd ein Fernrohr benützen. ohne daß Fadenverstellung nötig ist.

„Parallaxe“ des Fadenkreuzes heißt eine Abweichung der Fadenkreuzebene von der Bildebene; sie zeigt sich dadurch, daß bei einer Verschiebung des Auges von unten nach oben oder von links nach rechts sich der Fadenkreuzpunkt gegen das Bild verschiebt.

Wenn man eine solche Parallaxe bemerkt, so ist es das erste, den Okularkopf neu einzustellen. Kann man damit die Parallaxe nicht beseitigen, so muß man den Abstand y zwischen der Okularlinse und dem Fadenkreuz von neuem stellen. Dieser Fehler muß sorgfältig behoben werden.

Vergrößerung.

Die Vergrößerung des Fernrohrs ist das Verhältnis der Gesichtswinkel, unter welchen das Bild eines Gegenstandes im Fernrohr und der Gegenstand selbst erscheinen. Setzt man voraus, daß der Gegenstand ziemlich weit entfernt ist, so kann der letztere Gesichtswinkel gleich dem in Fig. 1 S. 196 angedeuteten Winkel ß genommen werden, weil dann die Fernrohrlänge L O gegen die Entfernung I) vernachlässigt werden kann.

Der Gesichtswinkel für das Bild kann = a genommen werden, wenn man das Auge als unmittelbar hinter dem Okular befindlich voraussetzt. Da ferner genähert (l — F und y — f ist, so ist die Vergrößerung:

(3)

r —■

Die Bestimmung der Vergrößerung könnte theoretisch geschehen durch Messen der Brennweiten F und f, es ist jedoch das folgende unmittelbare Verfahren vorzuziehen: Man schaut mit dem einen Auge durch das Fernrohr nach einer geteilten Latte, und mit dem andern Auge gleichzeitig nach derselben Latte, und bringt dabei die mit beiden Augen gesehenen Bilder zur Deckung. Die Vergrößerungszahl ist dann gleich der Anzahl der direkt gesehenen Lattenteile, welche von dnem vergrößert gesehenen Teil überdeckt werden. Dies geht jedoch nur auf kurze Entfernungen.

Wir fanden folgendes Verfahren besser:

Alan schaut mit dem rechten Auge in das Fernrohr, nach einer geteilten Latte, in der linken Hand hält man einen Zirkel in deutlicher Sehweite. Nun bringt man die Zirkelspitzen mit dem Lattenbilde in scheinbare Deckung, und kann, fast so genau wie auf der Zeichnung, mit dem Zirkel in der Luft die Lattenteilung abgreifen und nachher auf einem Alaßstab messen. Ist L die Entfernung der Latte und T der betrachtete Lattenteil, ist entsprechend l die Entfernung des Zirkels vom Auge und t die mit dem Zirkel gemessene Größe des Lattenteilbildes, so ist die Vergrößerung:

(4)

t T _t_L T : ~L ~ Y T ‘

Ein Nivellierinstrument gab so : L = 33 m ,

o,i

t = 4,2 cm

, l = 36 cm — 38,5.

4,2 33 36 Ö7l

Eine andere Methode ist folgende. Bei Einstellung auf ein sehr weit entferntes Ziel ist nach (1) S. 196 d= F und nach (2) S. 197 nahe y = wie schon in (3) ausgedrückt ist. Nach Fig. 4 S. 201 und Fall 1. und 5. S. 192 geht nun bei dieser gegenseitigen Linsenstellung ein auf das Objektiv fallendes Lichtbüschel mit dem Durchmesser A Fig. 4 durch einen Punkt der gemeinschaftlichen Brennebene und tritt mit dem Durchmesser o aus dem Okular wieder aus. — Aus (3) und Fig. 4 folgt

also

(5)

(6) ■

Betrachtet man das lichtempfangende Objektiv als Gegenstand optischer Abbildung durch das Okular, so erkennt man, daß in der zugehörigen Okularbildebene das Objektivbild entstehen wird. Der Abstand d desselben vom Okular ergibt sich nach der Grundformel (2) § 49 S. 191 zu

(7)

f d+i)’

,    (F + f)f

F+f-f

d. h. genähert d = f.

Eichtet man nun in der angegebenen Linsenstellung das Objektiv gegen das

Tageslicht und mißt den Durchmesser des Lichtbildchens und des Objektivs (innere Durchmesser ohne Blenden), so hat man nach (6) eine Bestimmung der Vergrößerung. Zur Auffangung und Alessung des Lichtbildchens genügt ein an einen in Millimeter geteilten Maßstah geklebtes Stückchen Pauspapier, das man so hält, daß das scharf begrenzte Lichtkreischen mit seinem Durchmesser die Maßstabkante trifft (Ramsdens Dynam eter). Für das oben erwähnte Fernrohr fand sich A = 86 mm, o = 0.95 mm; r = 38,0 mm. (Hierbei muß allerdings verwiesen werden auf § 53 I.)

Feinere Methoden der Vergrößerungsbestimmung gibt Thompson, „Zentralzeitung f. Mechanik und Optik 1892“ Nr. 5 S. 45-47.

Kellner, „Zeitschr. f. Instrumentenk. 1900“ S. 1—17, 33—46.

Gesichtsfeld.

Das Gesichtsfeld des Fernrohrs ist derjenige kegelförmige Raum, der mit dem Fernrohr auf einmal übersehen werden kann.

a sei, heißt Okularblendung oder Diaphragma

An der Stelle, wo das Bild im Fernrohr entsteht, ist ein Ring angebracht, der alle zu weit von der Achse des Okulars abstehenden Strahlen von diesem abhält. Dieser Ring, dessen Durchmesser (er trägt zugleich das Fadenkreuz, Fig. 2 S. 197).

Da jeder Punkt (Fig. 3) mit seinem Bilde und dem optischen Mittelpunkt des Objektivs in einer Geraden liegt, so dient der Winkel a, dessen Scheitel im optischen Mittelpunkt des Objektivs ist, und dessen Schenkel durch die Endpunkte eines Durch-

Fig. 3. Gesichtsfeld cc

ec

ci-—g§---

jF

messers der Okularblendung gehen, als Maß des Gesichtsfeldes, und es ist :

(8)

a

a = pV-

Der Durchmesser a der Okularblendung oder der wirksame Teil der Okularlinse darf nicht zu groß genommen werden, damit nicht eine zu stark gekrümmte Linse und ein verzerrtes Bild erhalten wird.

Man kann im Mittel etwa annehmen, daß diese Öffnung a nur etwa gleich der Hälfte der Okularbrennweite f sei, also a = 0,5 f\ dann wird der Ausdruck für die Größe des Gesichtsfeldes nach (8), wenn man zugleich wieder die Vergrößerung nach (3) berücksichtigt:

a — 0,5 ~ o — 0,5 -t-

Gesichtsfeld a =

in runder Zahl:

Hiernach kann man etwa annehmen: Vergrößerung v = Gesichtsfeld

10

30

in Graden.

(9)

20

30

40

3°    1° 30'    1°    0⁰ 45'.

Je stärker die Vergrößerung, um so kleiner wird das Gesichtsfeld.

Die unmittelbare Messung des Gesichtsfeldes eines Fernrohrs ist sehr einfach: Man merkt zwei einen Durchmesser des Gesichtsfeldes begrenzende Punkte und bestimmt den Winkel der zwei nach ihnen gehenden Strahlen mit einem V inkelmeß-instrument, oder durch Messen des Abstandes beider Punkte und der Strahlenlängen.

Helligkeit.

Um die Helligkeit eines leuchtenden Gegenstandes im allgemeinen zu definieren, betrachtet man die Lichtmenge L, welche er in das Auge schickt, und die Fläche JS ²

auf der Netzhaut des Auges, welche von der Lichtmenge L getroffen wird ; dann versteht man unter Helligkeit das Verhältnis:

AT² "

sprechend

Betrachtet man denselben Gegenstand durch ein Fernrohr, so habe man ent

1/

H' = ——

N’²’

und nun versteht man unter Helligkeit des Fernrohrs das Verhältnis:

_H' L' N*

h~ r-lW*-

(10)

Fig. i. Strahlenbüschel A und o. Helligkeit des Fernrohrbildes.

"V"

—i-

----

Um dieses Verhältnis näher zu bestimmen, muß man die öffnungsweite der Pupille des Auges kennen, durch welches das Licht aufgenommen wird.

In Fig. 4 ist diese Pupillenöffnung = O angedeutet, und wir wollen annehmen, es sei 0 größer als der Durchmesser o des aus dem Okular kommenden Lichtbündels, oder höchstens gleich o.

Die Lichtmenge L, welche ein Auge mit der Öffnung 0 bei natürlicher Beleuchtung aufnimmt, ist der Öffnungsfläche proportional, kann also gesetzt werden :

(ii)

L — X (ß,

dagegen die Lichtmenge L', welche durch das Fernrohr ins Auge kommt, ist nach Fig. 4 proportional o² und sei daher zunächst:

(12)

L' = x' o².

Die Stärke ist hierbei größer als X, denn alles Licht, welches auf die Ob

A \²

jektivfläche vom Durchmesser A gefallen ist, wird auf die geringe Dicke o konzentriert, folglich :

(13)

X' = X

Nun geben (11), (12) und (18) zusammen:

H²

(14)

L O² '

Der zweite Quotient von (10) ist leicht anzugeben, nämlich:

JV² _ 1 iV'2 “ Z/² ’

denn die Vergrößerung v ist das lineare Verhältnis des durch das Fernrohr erzeugten Netzhautbildes N' zu dem direkt erhaltenen Netzhautbilde Ar. Aus (10), (14) und (15) haben wir nun:

(15)

Helligkeit h =

A.²

(ß r- *

(16)

Es wurde vorausgesetzt, daß 0 größer als o oder gleich o sei. Setzt man nun 0 = o, so wird die Helligkeit am größten, nämlich :

hmax —

(17)

A2    F2 1    1

------------ ₌ - - — f-& —- I

₀2 ,fl    j‘2 y;2    v2

d. h. die größte erreichbare Helligkeit ist die „natürliche Helligkeit“ = 1.

(Hierbei ist von den Lichtverlusten heim Durchgang durch die Linsen, welche 20—30% ausmachen können, von Farbenzerstreuung usw. abgesehen.)

Wir betrachten auch noch den bisher ausgeschlossenen Fall, daß 0 kleiner als o sei. In diesem Falle, der jedoch bei Meßinstrumenten selten Vorkommen wird, kann nur ein Teil des aus dem Okular kommenden Lichtbündels vom Auge aufgenommen werden, und es bleibt ein Teil der Objektivöffnung unbenützt. Im übrigen aber hat man ganz dieselben Verhältnisse, wie wenn O = o ist, also h = 1.

Im ganzen wissen wir nun folgendes : Man sieht in einem Fernrohr die Gegenstände höchstens ebenso hell wie in der freien Luft, im allgemeinen weniger hell. Anders verhält es sich bei Sternbeobachtungen. Die Fernrohrbilder von Fixsternen sind heller als die unmittelbar gesehenen Sterne, weil diese Sterne leuchtende Punkte sind, so daß keine Vergrößerung v — N' : JV stattfindet. (Weiteres hierüber s. Helm-lioltz, „Physiologische Optik“, Leipzig 1867 S. 174.)

Der Durchmesser der Pupille ist selbst veränderlich, bei starkem Lichte verengt sich die Pupille und erweitert sich bei schwachem Lichte, auch die Akkommodation hat Einfluß, wie am Anfang von § 48 S. 187 angegeben wurde. Dennoch kann man in der Gleichung (16) einen Mittelwert von 0 einsetzen, zumal die ganze vorstehende Betrachtung nur die Bedeutung einer allgemeinen Veranschaulichung der Helligkeitsverhältnisse hat. Setzt man etwa 0 = 2 mm, oder rund <ß = 5, so wird :

Helligkeit h = ~ (Änifn)²

Unsere besseren Feldmeßinstrumente haben Objektivöffnungen etwa A = 30 mm bis 40 mm, und Vergrößerungen etwa v = 20 bis 30. Dieses gibt :

40 mm

Objektivöffnung A =    30 mm

Vergrößerung

Helligkeit (relativ) li = 0,45

v =    20

30 mm

40 mm

30

20

30

0,20

Dieses kann zu der Bemerkung führen, daß es z. B. nicht nützlich ist, ein Objektiv von 30 Vergrößerung auf Kosten der Helligkeit geht.

Übrigens kommt hier alles auf die besonderen Umstände an. So werden z. B. den starken Nivellierfernrohren hellblaue Blendgläser beigegeben, weil das Bild einer weißen von der Sonne beschienenen Nivellierlatte manchmal zu grell ist. Auch werden einem Fernrohr verschiedene Okulare, ein stärker und ein schwächer vergrößerndes zugegeben, letzteres bei schlechter Beleuchtung zu gebrauchen. Ebenfalls hilft bei zu starker Beleuchtung Verkleinerung der Objektivfläche durch Vorgesetzte Blendringe.

mm

0,80

0,36

Durchmesser mit 30fâcher Vergrößerung anzuwenden, weil die

Das einfache oder Keplei-sche Fernrohr, welches wir im vorstehenden beschrieben haben, wurde 1611 von Kepler erfunden, nachdem schon 1G0S der Holländer Hans Lippershey das aus einem konvexen Objektiv und einem konkaven Okular bestehende holländische oder Galileische Fernrohr erfunden hatte, welches im Feldmessen keine andere Verwendung findet als etwa als „Feldstecher-* zum Erkunden, weil es nicht mit einem Fadenkreuz versehen werden kann.

Das Fadenkreuz tritt erst etwa 30 Jahre nach Erfindung des Fernrohrs auf, nämlich etwa 1640 als Erfindung des Engländers William Gascoigne. (Vgl. hierzu Hammer, Zur Geschichte des Fadenkreuzes, „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 513—517.)

Weiteres hierzu gibt Wolf, „Handbuch der Astronomie, zweiter Halbband, Zürich 1891“ S. 320 und dritter Halbband 1892 S. 22.

§ 52. Zusammenwirkung zweier Linsen.

Wir betrachten in Fig. 1 zwei Linsen L und L', mit gemeinsamer Achse PP' P", im Abstande a zwischen L und L'.

Eig. 1

---->

fs

!5l

1—y-t

%---- - d

>:<-

Von einem in der Achse gelegenen Punkt P, der den Abstand D von der ersten Linse L hat, fällt ein Lichtstrahl PL auf die erste Linse und wird durch sie nach dem Punkte P" der Achse geworfen; ehe er aber diesen Punkt P" erreicht, wird der Strahl durch die Linse L' noch einmal gebrochen und dadurch nach P' geworfen, wo er die Achse schneidet.

Da P und P" in bezug auf die Linse L konjugiert sind, sowie P" und P' in bezug auf die linse //, so bestehen folgende zwei Gleichungen :

(1)

1 1 1

---h

dabei sind f und f die Brennweiten der beiden Linsen.

Um aus den Gleichungen (1) x zu eliminieren, lösen wir die erste Gleichung nach a -f- x und die zweite Gleichung nach — x auf:

1    1_D—f

J)~ ~Uf~

J)f

a -+-x

= y~f' Vf'

a 4- x =

f'y

f y'

Die Addition dieser zwei Gleichungen gibt:

____f'y

D-f f'-y'

Man kann diese Gleichung (2), welche die Beziehung zwischen D und y zunächst ausdrückt, auf folgende Gestalt bringen:

Df

(2)

wobei u

y+v f"

v und /" folgende Bedeutung haben:

a f

U * f+r-a

f" =

ff'

af

v —:--

f + f'-a

f + f'-a

Diese Gleichungen (3), (4) und (5), welche das Resultat unserer ganzen Betrachtung enthalten, haben wir zunächst hergeschrieben, und haben noch die Aufgabe, ihre Richtigkeit aus der Gleichung (2) nachzuweisen.

Zu diesem Zwecke ordnen wir sowohl die Gleichung (2) als auch die Gleichung

(3) nach den Gliedern D , y und Dy.

Bringt man zuerst (2) auf gleiche Nenner, so wird:

« (I) - f){f’-y) = Df (f —y) — f y (D - f).

(6)

Wenn man dieses ausmultipliziert und nach D , y und Dy ordnet, so erhält man: Df' (f-a) -+-yf{f - a) - Dy (f+f'-a)+ ff' a = 0 .

Den Koeffizienten von Dy wollen wir, weil er mehrfach beisammen bleibt, besonders bezeichnen :

und damit wird (6) :

f + f> — a = s

(7)

Dy ₊ Lîla

. s

Wenn man ebenso auch die Gleichung (3) nach D , y und Dy ordnet, so wird:

D (f" — v) -+-y (f" — u) — Dy + (u-f- v) f" — uv = 0.

Indem man die entsprechenden Koeffizienten von (8) und (9) einander gleich setzt, erhält man folgende drei Gleichungen zur Bestimmung von u, r und f" :

D I" <£ -«)

= 0.

(8)

(9)

f" — v =

(f-a)

f" (u -f- v) — UV —

ff

(10)

f" — u =

(f-a)

Wenn man hier die beiden Gleichungen links multipliziert, so erhält man:

ff'

f" ² — f” (u -f- v) -f- UV —

Wenn man die Gleichung rechts von (10) hiermit vergleicht und auch die Bedeutung von s nach (7) zuzieht, so erhält man:

s²

(11)

ff,

f"2 ₌ ^ff

- r-X

(12)

Dieses ist in der Tat die Gleichung (5), und aus der linksseitigen Gruppe von (10) ergeben sich auch die beiden Gleichungen (4), so daß das System (3) (4) (5), das wir zuerst hingeschrieben haben, nun bewiesen ist.

Der Wert f" nach (5) heißt die „äquivalente Brennweite“ des Linsensystems mit den Brennweiten f und f und dem Abstand a.

Aus der Gleichung (3) folgt, daß zwei feste Punkte H und H' existieren (Fig. 2) welche die Abstände u und v von den zwei Linsen L und 77 haben. Diese Punkte 77 und 77' heißen die Hauptpunkte und die ihnen entsprechenden Normalebenen zur Achse heißen die Hauptebenen des Linsensystems.

In dieser Figur ist angenommen, daß D -p a + d größer als D' + d' sei, oder daß (ü -f- a -J- d) — (D' -f- d') = t positiv sei. Sehr oft ist dieses nicht der Fall; wenn man jedoch Fig. 2 so zeichnet, daß H und II' rechts und links übereinander übergreifen, so wird die Figur weniger übersichtlich.

Die Gleichung (3), welche im wesentlichen dieselbe Form hat wie die einfache Konjugationsgleichung für eine einzelne Linse, gilt zunächst nur für zwei Punkte P und P', welche in der gemeinsamen Achse beider Linsen liegen; wenn es sich auch

um solche Punkte handelt, welche nicht in der Achse selbst liegen, z, B. P und P' Fig. 2, so kann man hierauf die frühere Betrachtung von Fig. 2 § 49 S. 192 übertragen,

Fig. 2.

Haupt- und Knotenpunkte H und H'.

<--------

----------a.--------

----d —

JH

----U----->;

V-~

àP‘

^-------D*-------

-----^

-----d--------

—»1

W-t-*

und wir finden dann, daß in Fig. 2 die Punkte P und P' dann konjugiert sind, wenn erstens die Gleichung (B) erfüllt ist, und wenn zweitens PH parallel H' P' ist.

Dieses war Veranlassung zur Zeichnung von Fig. 3, in welcher die Punkte H und H’ von Fig. 2 zusammengerückt sind, so daß der tote Kaum t von Fig. 2 verschwindet.

Da nun in Fig. 2 PH und H' P' parallel waren, muß in Fig. 3 PHH' P' eine Gerade sein.

Aus diesem Grunde heißen die Punkte H und H' auch Knotenpunkte des Linsensystems.

Fig. 3.

Fingierte Linse f" mit zusammengerückten Haupt- und Knotenpunkten UH'.

h; di¹

Wenn man nach Fig. 2 die Abstände konjugierter Punkte P und P' von den Haupt- und Knotenpunkten H und H’ an zählt, indem man setzt :

(V = d -+- v,

B' = D -f- u

(13)

so bekommt man die sehr übersichtliche Gleichung:

_1_ _1_

D' ⁺ (V ~ f" ‘

Besonderer Fall H = oo .

(14)

Wenn B = oo gesetzt wird, so gehen die Gleichungen (3) bis (5) in folgende über, in welchen der besondere Wert von y mit t/₀ bezeichnet ist:

= -777- also Vo + V = f"

!Jo + v

af

v-f+r-a

oo

ft"

f+f’-a

(15)

(16)

f'(f-«)

Dieses führt noch zur Definition der Brennpunkte (welche in Fig. 2 und Fig. 3 S. 205 nicht eingetragen sind).

Die Brennpunkte erhält man, wenn man von den Hauptpunkten H und H' aus die Brennweite f" auf der Achse abträgt.

wenn man

Den rechtsseitigen Brennpunkt in Fig. 2 S. 205 erhält man auch, den Abstand y₀ nach (17) von der Linse L' nach rechts abträgt.

Anmerkung: Die Sätze von den Haupt- und Knotenpunkten eines Systems von zwei Linsen lassen sich auf drei und beliebig viel Linsen ausdehnen.

Fig. 4.

Zusammenwirkung von drei Linsen.

--Dl-------

—cJ-) —*r*— D 2

d2-r

—d₃

d3-----*

f3

f.

In Fig. 4 seien drei Linsen zentrisch auf einer Achse aufgereiht, und ein Lichtstrahl gehe von einem Punkte A der Achse aus durch alle drei Linsen, und komme wieder in B in die Achse: dann hat man mit den eingeschriebenen Bezeichnungen :

_ + A ₌ __

t>i ^ d₁ /,

J_-_L

D 2⁺ d₂ /„ ’

¹ | ¹ ₌ 1 Bi -}- u d₂ v f"

Dabei sind u, v und f" Funktionen von fx, f., und a. Die dritte Linse gibt:

-L + -L = -L.

d₃ /g

Nach demselben Gesetz, welches von (18) auf (19) geführt hat, muß es möglich sein, aus (19) und (20) abermals eine Gleichung herzuleiten von folgender Form:

(18)

also nach (3):

(19)

(20)

wo u, v und f'" Funktionen der Brennweiten fx f, f₃ und der Abstände a a der einzelnen Linsen sind.

Was in unseren vorstehenden §§ 49—52 behandelt wurde, enthält die zum Verständnis der Instrumente des Feldmessens unerläßlichen optischen Theorieen. Für weitere Zwecke dienen die neueren Theorieen seit Gauß :

Gauß, Dioptrische Untersuchungen, Göttingen 1840 (Gauß Werke V. Band S. 245 — 276).

Neumann, Die Haupt- und Brennpunkte eines Linsensystems, elementare Darstellung der Gaußschen Theorie. Leipzig 1866.

Keusch, Konstruktionen zur Lehre von den Haupt- und Brennpunkten eines Linserisystems, Leipzig 1870.

Zech, Die Geometrie unendlich dünner Strahlenbündel usw. Schlömilchs „Zeitschr. für Math, und Ph. XVII, 1871“ S. 353-374.

Fenner, Die Theorie der optischen Linse und Linsensysteme in einfacher geometrischer Darstellung. „Zeitschr. f. Vermessuugsw. 1890“ S. 321—329, 410—413; „Zentralzeitung für Optik und Mech. 1890“ S. 181—184.

Jadanza, Per la storia del cannocchiale, Accademia reale delle scienze di Torino, 1895—1896.

Czapski, Theorie der optischen Instrumente nach Abbe; 2. Auf!., Leipzig 1904.

Heath, Lehrbuch der geometrischen Optik; deutsch von Kanthack: Berlin 1894.

Classen, Mathematische Optik, Leipzig 1901.

Gleichen, Lehrbuch der geometrischen Optik. Leipzig 1902.

Gleichen, Leitfaden der praktischen Optik, Leipzig 1906.

Drude, Lehrbuch der Optik, 2. Auf!., Leipzig 1906.

§ 58. Fernrohre mit zusammengesetzten Okularen,

I. Das Ramsdensche Fernrohr.

Das in § 51 betrachtete einfache (Keplersche) Fernrohr gibt wegen der sphärischen und chromatischen Abweichungen nur bei schwacher Vergrößerung und bei kleinem Gesichtsfeld gute Bilder.

Beim Objektiv wird den sphärischen und chromatischen Abweichungen durch die aus Kronglas und Flintglas zusammengesetzte achromatische Linse mit passenden Krümmungen entgegengewirkt, und ein solches Objektiv gilt für unsere Zwecke als eine Linse.

Beim Okular wird die Brechung auf zwei getrennt stehende Linsen verteilt, deren Wirkung nach § 52 zu beurteilen ist.

Die einfachste Anordnung dieser Art zeigt das Ramsdensche Okular, welches wir in Fig. 1 veranschaulichen.

Fig. 1. Fernrolli- mit Ramsdenschem Okular.

L'

's»

"t

r.....

Das Okular bestellt in seiner Grundform aus zwei Plankonvexlinsen, nämlich dem eigentlichen Augenglas L und dem sogenannten Kollektivglas L' ; beide haben unveränderlichen Abstand a und befinden sich fest in der Okularröhre, gehen also beide beim Ausziehen oder Einziehen der Okularröhre miteinander vom Objektiv oder

zum Objektiv.

Das Fadenkreuz K bezeichnet die Stelle, wo das vom Objektiv 0 erzeugte Bild

entsteht.

Die ganze Wirkungsweise wird auf die Wirkungsweise des einfachen Fernrohrs zurückgeführt, wenn man JJ' nach Brennweite und Lage bestimmen kann.

Die Brennweiten und die Lagenverhältnisse der beiden Linsen L und L' sind in Fig. 1 angedeutet. F ist der gemeinsame Brennpunkt rechts, und wenn man alle Maße auf die Brennweite f des eigentlichen Okularglases und den Linsenabstand a (rund 1 cm) bezieht, so hat man :

für die zwei Linsen L und IJ eine äquivalente Okularlinse

Linse L mit der Brennweite

> Abstand LL' = a =

Differenz /' — a =

Die äquivalente Brennweite des Okularsystems ist nach (5) § 52 S. 203 :

9    9

tö/ - ‘g’"-

ff,

(1)

Auch die Bleichung (17) § 52 S. 205 läßt sich auf unseren Fall anwenden (man beachte, daß in Fig. 1 S. 203 und in der neuen Fig. 1 S. 207 die Stellungen f und f links und rechts vertauscht sind). Man erhält auf diese Weise :

f2)

y f + f'-a 50'    10 '    40 •

Das Fadenkreuz K liegt hiernach sehr nahe an der Linse IV.

Nun kann man auch die Formeln für Vergrößerung. Gesichtsfeld und Helligkeit eines einfachen Fernrohrs von (3), (8), (16) § 51 S. 199—201 auf unseren Ramsden-schen Fall übertragen, indem man überall f" an Stelle von f setzt.

Oder: Man denke sich zuerst ein einfaches Fernrohr mit der Objektivbrennweite F und der Okularbrennweite f, und dann ein Ramsdensches Fernrohr mit derselben Objektivbrennweite F und derselben Okularbrennweite f, aber mit Einschaltung der Linse I! mit der Bf3hn weite f ; dann hat man folgende Vergleichung :

Vergrößerung Gesichtsfeld Helligkeit

Einfaches Fernrohr

(3)

¹ A.²

F 10

--~ — V

f" 9

Durch die Einschaltung der Linse IV wurde die Vergrößerung ein wenig gesteigert (bzw. die Anwendung des Okulars mit der Brennweite f möglich gemacht).

Ramsdensches Fernrohr r/ =

a' =

Toa

100

(4)

II. Das Huyghenssche Fernrohr.

Das Huyghenssche Fernrohrokular, welches durch Fig. 2 angedeutet ist, hat ebenfalls wie das vorher beschriebene Ramsdensche, zwei getrennte Linsen A und L' in festem Abstand, mit gemeinsamen rechtsseitigem Brennpunkt F.

Das Bild und das Fadenkreuz befinden sich aber zwischen den beiden Linsen,

bei K.

Die durch das achromatische Objektiv L eintretenden Strahlen werden vor ihrer Vereinigung zu einem Bilde zum zweitenmal gebrochen durch die Kollektivlinse L', und erzeugen in einer Ebene zwischen L' und A, woselbst das Fadenkreuz K ausgespannt ist, ein kleines verkehrtes Bild, welches sodann durch die als Lupe wirkende Okularlinse A vergrößert wird.

Fig. 2.

Fernrohr mit Huyghensschem Okular.

Z'

L"

Kren..

Flint.

'f......

—L--1_____j

sammen.

Um die Wirkungsweise dieses Fernrohrs auf den lall eines einfachen Fernrohrs § 51 zurückzuführen, betrachten wir nun das Kollektiv IV mit dem Objektiv L zu-Für die äquivalente Brennweite, die wir diesesmal mit F" bezeichnen, und

lar den Abstand g des Fadenkreuzes vom Kollektiv haben wir nach (5) und (17) § 52 S. 203 und S. 205 die Formeln:

Ff

₌ f (F-a)

F + f - a

Dabei ist F die Brennweite des Objektivs, und es wird angenommen, daß die Zielweite unendlich, also a konstant ist.

Alan kann den Abstand a (zwischen dem Objektiv L und dem Kollektiv F) aus den zwei Gleichungen (5) eliminieren und bekommt damit :

F-hf

(5)

y= W'².__

J F+f'—a ’

F" =

/'

(6)

Nun müssen die Brennweitenverhältnisse bekannt sein : dieselben sind in Fig. 2 eingeschrieben, nämlich :

(7)

f=3/o,

wo /₀ die Brennweite der eigentlichen Okularlinse A ist.

Das in K befindliche Bild soll durch die Lupe A betrachtet werden; es muß daher K nahezu im Brennpunkt der Linse A sein, oder es muß der Abstand K A nahezu gleich der Brennweite f₍₎ sein, woraus folgt:

(8)

!J = f — 2 h oder V = /o •

Setzt man (7) und (8) in (6) ein, so wird :

(9)

F'=lF.

Diese zwei Gleichungen (8) und (9) enthalten alles, was zum Verständnis der “Wirkung des Huvghensschen Fernrohrs und zur Zurückführung auf das einfache Fernrohr § 51 notwendig ist.

Das Fadenkreuz erhält nach (8) seine Stelle in der Mitte zwischen der Kollektivlinse und der eigentlichen Okularlinse.

Zur Vergleichung mit dem einfachen Fernrohr denken wir uns nun wieder ein einfaches Fernrohr mit der Objektivbrennweite F und mit der Okularbrennweite f₀, und damit erhalten wir folgendes:

Vergrößerung

Einfaches Fernrohr

( remhtsfdd Helligkeit 1 A 2

30

/o

7*2

(10)

Huyghenssehes Fernrohr r =

fo

a' =

(H)

Durch die Einschaltung der Kollektivlinse mit der Brennweite f ist also die Vergrößerung schwächer geworden, dagegen das Gesichtsfeld und die Helligkeit gewachsen.

Die allerdings nur schematische Vergleichung mit den entsprechenden Werten des Bamsdenschen Okulars (3) und (4) S. 208 zeigt, daß beim Bamsdenschen Okular die Vergrößerung, beim Huvghensschen Okular das Gesichtsfeld und die Helligkeit bevorzugt sind.

Die Zielachse des Huyghenssehen Fernrohrs ist nach der Anschauung, die wir im vorstehenden gewonnen haben, bestimmt durch das wirkliche Fadenkreuz K und durch den optischen Alittelpunkt einer fingierten Linse L". Statt des letzteren Punktes können wir auch nach der neueren Theorie (§ 52) einen Haupt- und Knotenpunkt Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

nehmen, welcher der Verbindung der beiden Linsen L und L' entspricht. Der tote Abstand, welcher in Fig. 2 § 52 S. 205 mit / bezeichnet ist, kommt dann nicht weiter in Betracht, indem man ihn in der Richtung nach dem Zielpunkt hin hinausgerückt und die Zielweiten entsprechend größer denkt.

Wenn verschieden große Zielweiten gebraucht werden, so hat das in unserer Theorie zur Folge, daß auch der Abstand a zwischen L und IJ und damit auch die Brennweite F" der fingierten Objektivlinse L" sich ändert. Indessen bei dem beschränkten Gebrauch, den wir hier von dieser Brennweite zur Aufstellung der Formeln (11) gemacht haben, ist das ohne Belang, weil ja die Vergleichsformeln (10) auch zunächst für unendliche Zielweiten und nur näherungsweise für andere Fälle gelten.

III. Das orthoskopische Okular von Kellner.

Dem Ramsdenschen Okular ähnlich ist ein an Meßfernrohren häufig gebrauchtes, von Mechaniker C. Kellner in Wetzlar 1851 erfundenes Okular, welches „orthoskopisch“ genannt wurde, weil es gerade ungekrümmte perspektivisch richtige Bilder liefern soll. Das Augenglas, Kollektiv und Fadenkreuz dieses orthoskopischen Okulars haben gegenseitig relativ gleiche Stellungen zueinander, wie die entsprechenden Teile des Rams-denschen Okulars Fig. 1 S. 207, nämlich vom Okular aus gesehen das Fadenkreuz hinter beiden Linsen; jedoch sind die gegenseitigen Entfernungen andere als bei Ramsden, auch besteht die eigentliche Okularlinse hei Kellner aus zwei achromatisch zusammenwirkenden Teilen, ähnlich wie ein achromatisches Objektiv. Die vordere Linse zeichnet sich durch besonders angeordnete, günstig wirkende Krümmungsradien aus.

Da wir auf die rein optischen Verhältnisse, chromatische und sphärische Abweichungen u. dgl. hier überhaupt nicht eingehen können, genügt die vorstehende Erwähnung des orthoskopischen Okulars, das dem Praktiker einfach die Bolle eines Ramsdenschen Okulars spielt.

Ähnlich verhält es sich mit anderen Anordnungen, welche eine möglichst günstige Abbildung ergeben sollen.

Allgemeine Prüfung der Fernrohre.

Die im vorstehenden behandelte Theorie der zwei gebräuchlichsten Fernrohrokulare hat sich nur mit der geometrischen Konstruktion der Bilder beschäftigt; ob diese Bilder auch optisch gut sind, ist durch den Erfolg zu erproben.

Ein Umstand läßt sich jedoch unmittelbar erkennen :

Beim Huyghenssclien Fernrohr gehen die vom Objektiv herkommenden Strahlen einerseits und die von dem Fadenkreuz herkommenden Strahlen andererseits nicht durch dieselben Linsen ins Auge. Die Krümmungs- und Brennweitenverhältnisse der Kollektivlinse und der Okularlinse sind so gewählt, daß ein möglichst gutes Bild des betrachteten Gegenstandes erzeugt wird, während für die vom Fadenkreuz kommenden Strahlen die Okularlinse besser in umgekehrter Stellung wäre (konvexe Seite außen). Solange nur ein Fadenkreuzpunkt in der Mitte des Gesichtsfeldes gebraucht wird, ist dieser Übelstand von geringer Bedeutung; wenn aber mehrere Fäden deutlich gesehen werden sollen, wie z. B. beim Distanzmesser, so werden beim Huvghensschen Okular diejenigen Fäden, welche nicht Durchmesser des Gesichtsfeldes sind, undeutlich und krumm erscheinen.

Wenn man auch nach dieser theoretischen Rücksicht z. B. für Distanzmesser

kein Huyghenssches Okular anwenden soll, so haben wir doch auch z. B. ältere Frauen-hofersche Fernrohre mit Huyghensschen Okularen als Distanzmesser vorzüglich gefunden. {Vgl. hierzu Hensoldt, „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1885“ S. 418—420.)

Das beste Prüfungsmittel für die Güte der Fernrohrbilder hat der Landmesser in seinen Nivelliei'latten. Ein Nivellierfernrohr muß z. B. auf 50 Meter Entfernung

die Zehntel einer Zentimeterteilung scharf zeigen

Größere oder

geringere Ansprüche sind nach dem Zweck, der erreicht werden soll, zu bemessen.

Eine Anschauung von der optischen Leistung eines Meßfernrohrs erhält man aus der Gleichung (4) § 51 S. 199. Das Fernrohr zeigt dem Auge in der deutlichen Sehweite ir = / = 25 cm von einem in der Entfernung L befindlichen Gegenstände, z. B. einem Teilungsintervall T der Nivellierlatte, ein Bild von der scheinbaren Größe t. welche nach Formel (4) § 51 S. 199 ist:

(12)

Für w = 0,25 nv , T — 1 cm , v = 25 erhält man

62,5

/mm =

50 m

= 6,2 mm 2,5 mm- 1,2 mm

Für T = 1 3m, z. B. eine Signalstange, T = 1 m, eine Signalpyramidenkappe, erhält man bei den gleichen Entfernungen 10- bzw. lOOfach größere Bilder, oder diese Bildgrößen in der 10- bzw. 100 fachen Entfernung. Hierbei kommen die Ausführungen des § 48 in Betracht (Trennung, Sichtbarkeit).

= 10 m

25 m

150 m

100 m 0,62 mm 0,42 mm

500 in

1000 -m

200 m

0,81mm- 0,12 mm 0,06 mm.

§ 54. Fernrohre mit gebrochener Brennweite.

zu er-

Aus der Grundgleichung für die Fernrohrvergrößerung r — F : /'. welche in (8) § 51 S. 199 entwickelt wurde, weiß man, daß es für die Vergrößerung von Wichtigkeit ist. eine möglichst große Brennweite F des Objektivs zu haben; dem steht aber entgegen der Wunsch, den ganzen Apparat in mäßigen Dimensionen handlich halten. Es gibt aber ein Mittel, eine größere Brennweite auf kleinen Raum, etwa auf ein Drittel ihrer Länge, zusammenzudrängen, indem man sie durch Reflexionen hin und her führt. Dieses Prinzip wird in Fig. 1 und 2 S. 212 dargestellt.

Fig. 1 S. 212 entspricht insofern nicht genau dem Zeißschen Instrumente, als das Okular D E nicht ein Huyghenssches mit Fadenkreuz F zwischen den Linsen, sondern nach Art des Ramsdenschen eingerichtet ist, mit Kollektivlinsc T) einfach und zweifach verkitteter achromatischer Okularlinse E.

Zu diesen Gedanken sei zitiert: „Handbuch d. Venn. I. Band, 2. Aufl. 1877” S. 582 und „Handhuch d. Venn. II. Band, 4, Aufl. 1893“ S. 603, was, soviel uns bekannt geworden, patentamtliche Berücksichtigung wie eine Art Priorität gefunden hat.

Bei den ausgezeichneten Doppelfernrohren der optischen Werkstätte von Karl Zeiß in Jena (D.R.P. 76 735 und 77 086) wird ein Okular vom Typus des astronomischen Okulars (vgl. die Anmerkung oben) in Verbindung mit einem System von Reflexionsprismen benützt. Dieses Prinzip ist „nach Porro“, wozu verwiesen wird aut „Eisenlohrs Physik, 11. Aufl. 1876” S. 317 und Dr. Czapski, „Über neue Arten von Fernrohren, Berlin 1885” S. 35 u. ff.

Mit Fig. 1 wollen wir den Grundgedanken der Zeißschen kurzen Handfernrohre erläutern :

Die von einem entfernten Punkt P kommenden Strahlen fallen auf das Objektiv A, gehen durch dasselbe nach dein Prisma B B'. dann zurück nach dem

Fig. 1.

Fig. 2.

Doppelfernrohr von Zeiß in Jena.

Maßstab 1:2 d. nat. Größe.

<4_>e

<p2>°

B'

te'üig

aas

c\/c‘

Pi

Prisma C C und gehen von da nach dem Okular mit den zwei Linsen /) und E. welches nach Umständen auch ein Fadenkreuz F haben kann. Das Ganze ist also zu betrachten als ein Fernrohr mit dem Objektiv A und dem Okular I) E, wie wenn der Abstand zwischen A und I) gleich A B -j- B' C -t- C I), also rund gleich der dreifachen äußerlich sichtbaren Länge des Apparates wäre.

Was in Fig. 1 als in einer Ebene liegend gezeichnet ist, das liegt in Wirklichkeit in zwei Ebenen, indem die Ebene CC I) gegen die Ebene A B />" um 90° ' verdreht ist.

Unser hannoversches Instrument, welches der Fig. 2 entspricht, hat 8fache Vergrößerung und fast 5° Gesichtsfeld; es gibt ganz überraschend helle und scharfe Bilder.

Der Geodät ebenso wie der Offizier u. a. wird solche Fernrohre (welche auch als monokular geliefert werden) wohl zunächst nur als „Feldstecher“ beim Erkunden von Triangulierungen u. dgl. gebrauchen, und hier sind die fraglichen Instrumente unübertrefflich. Für geodätische Instrumente ist das verkürzte Fernrohr bisher nur von Fennel zur Konstruktion eines besonders bequem transportierbaren Nivellierinstruments benützt worden, worüber das Kapitel X Näheres bringt; wir glauben aber, daß auch für andere geodätische Zwecke diesen Fernrohren ein weites Anwendungsgebiet offen steht, nämlich zur kompendiöseren Gestaltung von Theodoliten, 'Tachymetern usw. Man weiß ja, welche Sorge die Mechaniker haben, das Fernrohr eines solchen Instrumentes zum bequemen Durchschlagen einzurichten ; entweder muß man die Lagerständer ungebührlich hoch machen, oder man muß das Fernrohr an den Lagern unsymmetrisch fassen, um entweder mit dem Okular oder mit dem Ob-

jektiv durchzukommen usw. Oder bei Instrumenten zum Reisegebrauch (in Afrika usw.) wird es eine lang gesuchte Vereinfachung sein, wenn man zu möglichst kleinen Kreisen auch ein kurzes aber doch leistungsfähiges Zeißsches verkürztes Fernrohr wählen kann.

Nur mit wenigen Worten wollen wir hier auch noch das Zeißsche „lielief-doppelfernrohr" erwähnen, bei welchem die Objektive der zu beiden Augen gehörigen Fernrohre auf 25 c m auseinandergerückt sind, aber doch durch Prismenreflexionen auf den natürlichen Augenabstand von etwa 6—7 cm wirken. Es wird dadurch eine Art stereoskopischen Sehens erzeugt, welches die Plastik der Bilder wesentlich steigert, und jedenfalls späterhin noch praktische Anwendung finden wird. Wir werden bei den Distanzmessern hierauf zurückkommen; inzwischen sei hierzu zitiert: Doll, Optische Werkstätte von Zeiß in Jena, „Zeitsehr. f. Venn. 1895“ S. 119—122 und kleine Skizzen des Zeißsehen Doppelfernrohrs in _ Zeitsehr. f. Instr. 1895“ S. 386, S. 418—419 und „Zentralzeitung f. Optik u. Mech.“ S. 11—12, S. 23.

§ 55. Das Mikroskop.

Ähnlich wie das Fernrohr zur Gewinnung vergrößerter Bilder entfernter Gegenstände dient, benützen wir das Mikroskop zur Vergrößerung naheliegender Gegenstände, namentlich zum Ablesen feiner Teilungen.

Nach Andeutung von Fig. 1 und Fig. 2 besteht ein Mikroskop aus einem Objektiv 0 und einem Okular, das meist aus zwei Linsen . 1 und B zusammengesetzt ist. ähnlich wie die Fernrohrokulare.

Man hat auch die zwei wesentlich verschiedenen Anordnungen nach Ramsden und Huyghens, welche wir schon in § 53 kennen gelernt haben.

Auch der bei K ausgespannte Doppelfaden hat dieselbe Bedeutung wie das Fadenkreuz eines Fernrohrs.

In Fig. 1 ist außer den Linsenverhältnissen noch eine Schraube S angedeutet, von welcher wir später bei der Ablesung einer Kreisteilung reden werden (§ 58).

Die Vergrößerung eines Mikroskops kann man ähnlich bestimmen, wie bei (3), (4), (5) § 51 S. 199 für ein Fernrohr angegeben ist, zumal wenn man ohnehin eine Teilung von bekannter wahrer Größe im Gesichtsfeld des Alikroskops hat.

Wir wollen hier noch eine Sache behandeln, welche wohl zunächst übergangen werden kann, die aber später bei der Kreisablesung von Theodoliten von Wichtigkeit sein wird, nämlich Stimmung eines Mikroskopes zur Ablesung einer Teilung (Fig. 3 S. 214).

Fig. 1.

mit Kamsdenschein Okular.

Ar®*!

■4-K

TP

Hls

Mikroskop    Fig. 2.

mit Huyghensschem Okular.

rA

'F'

1111 ł v-i-

Solche Mikroskope haben im Gesichtsfeld, K Fig. 1 und 2 S. 213, gewisse Fadenabstände s (Fig. 3), welche mit der Einheit t der zu betrachtenden Teilung in Beziehung stehen sollen.

Fig. 3.

SV

Bei Schraubemnikroskopen ist der Fadenabstand ,s-gleich der Verschiebung, welche der Faden durch eine Schraubenuindrehung erfährt (vgl. § 58).

In Fig. 3 ist ein einfaches Mikroskop angedeutet, von dem hier nur das Objektiv in Betracht kommt. Außerdem Teilungswert t und dem Fadenabstand s (Schraubenwert) sind die Abstände d und B von dein Objektiv angegeben. Die Brennweite des Objektivs sei /', dann bestehen die zwei Gleichungen :

1 2-1

7) ⁺ d ~ f

Wenn man hier entweder d oder J) eliminiert, so

und

T)-~r

(1)

i/

erhält man :

n = /■+

sf

tf

r+t-

(2)

Während diese Gleichungen für ein richtig gestimmtes Mikroskop g-elten sollen, bei welchem s einen gewünschten Wert, z. B. genau eine Schraubenumdrehung, liât, betrachten wir nun einen Fall mit anderen Werten I)' , d' und s', wobei s' zu groß oder zu klein sei im Vergleich mit dem gewünschten genauen Wert s. Dann hat man statt (2) folgende andere Gleichungen :

sf

d'

/'+

tf

(3>

Aus (2) und (3) folgen die Differenzen :

f*

sf

v = i

Nach (1) kann man hier einsetzen :

-4‘M)

(4)

Bä

1)

und

T ~ ~d '

Auch kann man in der zweiten Formel (4) näherungsweise im Nenner vor der Klammer V = s setzen, und damit wird (4) :

B -(- d

D — B'

7>2    /

- BT~d[

und d — d' —

also auch

B + d

(B + d) — (7/ + (V) = (B- d) (l —Çj-

(5)

(6)

Diese Gleichungen (o) und (6) kann man unmittelbar benützen, wenn das Mikroskop entweder überhaupt nur ein einfaches Okular hat, oder wenn das Okular wie bei Fig. 1 S. 213 so konstruiert ist, daß keine Kollektivlinse zwischen das Objektiv und den Faden K zu stehen kommt, wie in Fig. 2 S. 213. Für diesen Fall müßte man eine besondere Untersuchung anstellen, auf welche wir uns hier nicht einlassen. (Eine entsprechende Theorie werden wir später beim Distanzmesser zu behandeln haben.) Ablesemikroskope haben optisch in der Kegel die Anordnung der Fig. 1 S. 213.

Um die Bedeutung der Formeln (5) und (6) durch ein Zahlenbeispiel zu ver-

anschaulichen, wollen wir annehmen, eine Mikroskopschraube gehe für 5' Teilung den Umdrehungswert 5' 9”, dann ist :

= 1.030 , 1 ----= — 0,030.

>■

_ 5MT _ 30fT “ W' ~ 300"

Die Abstände T) und d wurden gemessen:

(-)

I) + d= 133

mm

D — 85 mm d — 48 mm dann berechnet man nach (5) und (6):

d — d' = -f 0,52 mtn.

Man muß hiernach das Objektiv um 0,52 mm von der Teilung hinaufschieben, und dann noch das Fadenkreuz (samt dem Okular) um 1,63 mm in der Objektivröhre herunterschieben. Die letztere Verschiebung um 1,63 mm reguliert sich auch ganz von selbst, nach dem deutlichen Sehen. Im einzelnen richtet sich die Behandlung nach der bei verschiedenen Instrumenten verschiedenen Einrichtung der Mikroskopröhre (vgl. Fig. 8 § 58 S. 239).

1) — ])’ =    1,63 nun

Kapitel YI.

her Theodolit.

Über die Etymologie des Wortes „Theodolit“ vgl. Sanders „Zeitschr. i. Verm. 18S0“ S. 55, und Zöppritz „Zeitsohr. f. Verm. 1883“ S. 321. Das Wort Theodolit scheint hiernach aus dem Arabischen durch Verschmelzung mit dem englischen Artikel the entstanden zu sein. W'eiteres über Geschichte und Etymologie von Theodolit gibt Wolf, „Handbuch der Astronomie“, Zürich 1892, dritter Halbband S. 4S -49; ferner Vogler, „Lehrbuch der praktischen Geometrie“, Braunschweig 1885 S. 126, Alhidade arabisch = all-idhada = Arm und S. 362 erste englische Quelle 1571, „Instrument called Theodolitus“. Das in diesem Zusammenhang auch zu erwähnende Wort limbus ist lateinisch und heißt Saum oder Streifen.

§ 56. Beschreibung des Theodolits.

Der Theodolit ist ein Instrument, das zum Messen von Horizontal winkeln oder auch zum Messen von Horizontalwinkeln und von Höhenwinkeln dient „.(vgl. S. 3 u. 4).

Wir behandeln in diesem Kapitel znnächst die Horizontalwinkelmessung mit dem Theodolit. Unsere Instrumentenbeschreibung befaßt sich zunächst mit den einzelnen Instrumententeilen und gibt dazu Abbildungen von acht ausgewählten charakteristischen Formen von Theodoliten.

1. Das Fußgestell.

Der Unterteil des Theodolits besteht, wie hei den meisten Messungsinstrumenten,

aus einem Dreifuß, welcher in Fig. 1 durch das Mittelstück F G mit den drei Fortsätzen A angedeutet ist.

Fig. 1.

Ililil '"‘Hl

21

fl

21

Mil

_D

D‘

flWmm

WÉ3ÊA

Die Fortsätze A haben Schraubenmuttern, in welchen die drei Stellschrauben />' laufen. Die Schraubenmuttern sind zur Regulierung des Ganges der Stellschrauben geschlitzt.

Durch diese Stellschrauben B, in Verbindung mit einer Libelle (von welcher später die Rede sein wird), wird das Lotrechtstellen der Steli-achse des Instrumentes bewirkt, eine Operation, welche (nach § 46 S. ISO, 181) mit wenigen Handgriffen erlernt wird und keiner Beschreibung bedarf.

In Fig. 1 ist auch die Verbindung des Dreifußes F G mit einem hölzernen Stativ angegeben, indem das Stativ im Vertikalschnitt gezeichnet ist. und dabei die Stativplatte C mit den Fußschrauben H zeigt. Die Öffnung DD' ist mit weitem Spiel-

raum gemacht, damit für den Dreifuß mit dem Zapfen K und mit dem angehängten Lote S auch nach der Aufstellung des Statives noch eine hinreichende Verschiebung auf der Stativplatte verfügbar bleibt. Nach unten ist die Öffnung 1)1)' durch die verschiebbare Platte K geschlossen, und die Mutter M, mit der darüber gespannten Spiralfeder, hält die Platte K an den Dreifuß mäßig gepreßt, so daß noch Umdrehen der Schrauben Jl möglich ist. Die Fußschrauben B stehen in der Regel nicht unmittelbar auf C dem Stativ köpf wie in Fig. 1, sondern in Fußtellern wie in Fig. 2 und den folgenden Fig. 15—17. Diese Fußteller sind häufig mit den Stellschrauben fest verbunden oder untereinander “durch drei Arme mit einem um den Zen-tralzapfen gelegten Ring.

Eine besondere Anordnung des Fußgestells zeigt Fig. 2 von Mechaniker Tes-dorpf in Stuttgart, nämlich Verbindung des Dreifußes A mit einer plan geschliffenen Platte ß. die sich leicht auf dem metallenen Stativkopf < ' verschieben läßt. Bei Einstellung der Dreifußstellschrauben gleitet ein Kugelstück H ohne Spielraum oder Klemmung innerhalb des umschließenden Zylinders auf und ab.

Fig. 2.

Ml

ćU

c’

U'

Jp

ffi-

US

SMlis

Fig. 3.

¹¹¹1 ni'i'i¹1 ult

«as

U-S

Die Dreifußstellschrauben c ruhen in Kugellagern a, die mit •der Grundplatte B derart verbunden sind, daß ein Abheben des Instrumentes von dieser Platte unmöglich ist; dagegen sind die Kugellager horizontal nach jeder Dichtung hin beweglich.

Der Aufhängepunkt der Senkelschnur befindet sich unmittelbar unter der Drehungsachse G des Instruments, wodurch ein genaues Abloten ermöglicht wird.

sw

UN

!..

Jl

Kleine und leichte Instrumente werden auf dem Stativ befestigt, wie Fig. 1 und Fig. 2 zeigen, so daß man das Stativ samt dem Theodolit weiter tragen kann; größere und schwerere Instrumente werden zur Messung

Ißlli

einfach aufgesetzt und hei jedem Transport abgenommen. Auch mit kleinen Instrumenten kann so verfahren werden, wenn keine Gefahr des Abfallens vom Stativ besteht, oder kein Bedürfnis ist, das Instrument auf dem Stativ weiter zu tragen. Die Aufstellung und Zentrierung für solche Fälle zeigt z. B. Fig. 21 S. 232.

Das Stativ soll dem Theodoliten eine durchaus sichere Aufstellung geben, daher muß es stabil sein, darf aber nicht zu schwer werden. Eine sehr verbreitete Form zeigt Fig. 1 S. 216; das zylindrische Gelenk wird durch die Schraube H in der Stativplatte gehalten. Die Fig. 2 S. 217 und Fig. 17 S. 228 zeigen Stative mit metallenen Kopfplatten, an denen das Bein um eine kräftige Gelenkachse drehbar ist. In Fig. 2 S. 217 sollen die Latten K des Beines durch eine Flügelmutter an die Flansche C angezogen werden.

Die zweckmäßigste Form der Stative erörtert Vogler in der „Zeitschr. f. Venn. 1886“ S. 104—113. Danach ist von Mechaniker Wolz in Bonn ein Stativ konstruiert worden, bei welchem (Fig. 3 S. 217 und Fig. 15 S. 226) die Beine in Gelenkkugeln K mittels der Druckstücke <1 und Schrauben S gehalten werden (vgl. „Zeitschr. f. Verni. 1887“ S. 468—470). Einige besondere Stative werden in Kap. IX, X und XIV zu-erwähnen sein.

2. Der Horisontätkreis, Teilkreis (Limbnsj.

Der Horizontalkreis ist eine Scheibe, hei kleinen Instrumenten massiv, bei größeren Instrumenten-meist zur Verminderung des Gewichts mehrfach durchbrochen. Am Rande der Kreisscheibe ist auf einem eingelegten Silberstreifen die Teilung fein eingerissen. In Fig. 4 ist K die Kreisscheibe mit der Teilung T.

Fig. 4.

Die Teilung gibt unmittelbar nur etwa Sechstelsgrade (10'). so daß 2160 Teilstriche am Rande vorhanden sind, was bei einem Kreisdurchmesser von 20 cm eine Teilungseinheit von nur 0,29 mwv gibt (1° = 1,75 mm). Die Hilfsmittel, welche man hat, um an einer solchen Teilung Ablesungen von 10" und noch feiner zu machen, werden wir in § 57— 59 besonders behandeln. Bei neuer (400 <j) Teilung wäre für diesen Kreisdurchmesser 1 (j = 1,57 -nun , und die direkte Teilung 0,2 <3. Die in der Landmessung gebrauchten Theodolite haben Kreisdurchmesser von lfi cm bis 30 cm. Die gebräuchlichsten Verhältnisse sind 13 cm bis 16 cm (5—6 Zoll); größere Durchmesser als 30 cm sind selten. Es ist bei 10 cm : 1° = 0,87 15 cm : 1° = 1,31 mm ;

20cm : 1° = 1,75 mm;

30 c 111 : 1⁰ = 2,62 mm ,

wonach die Größe der Teilintervalle eines Instrumentes sich beurteilen läßt.

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f ~ k"

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3. Die Alhiclade.

Der Kreis kann mit dem Untergestell des Theodolits fest verbunden sein ; es ist aber aus zahlreichen Gründen besser, den Kreis gegen das Untergestell drehbar zu machen.

Alhidade heißt der Zeiger, welcher zur Ablesung am Kreis gebraucht wird. Die Alhidade wäre daher in der einfachsten Gestalt ein um den Kreismittelpunkt sich drehender Zeigerarm. Bei kleinen Theodoliten besteht die Alhidade aus einer mit dem Teilkreis konzentrischen Kreisscheibe A, Fig. 4, welche an den beiden Enden eines Durchmessers die Ablesevorrichtungen, Nonien AT Fig. 4 S. 218 (oder Mikroskope), trägt. Man kann hiernach den Teilkreis und die Alhidade mit dem Zifferblatt und dem Zeiger einer Uhr vergleichen.

Die Alhidadenscheibe A des Theodolits trägt das zur Einstellung der Zielrichtungen dienende Fernrohr durch Vermittlung zweier Träger (7. S. 221), und ist mit diesem Oberteil um die vertikale Achse V drehbar, wie Fig. 4 8. 218 zeigt.

4. Die vertikale Achse.

Die Vertikalachse ist die Hauptachse des Theodolits. Die Achsenform ist konisch und zur Erzielung guter Führung möglichst lang. Fig. 4 zeigt oben und unten die Führungsstellen der in der Büchse B des Dreifußes drehbaren Achse V. Diese einfache Achsenanordnung der Fig. 4 wird bei den kleinen und mittleren Feldmeßtheodoliten angewendet.

Eine andere Anordnung ist folgende: es steht ein starker Achszapfen fest auf dem Dreifuß und trägt die Büchse mit dem Oberteil. Diese Form wird in der Hegel bei Mikroskoptheodoliten gewählt, vgl.

Nun soll bei den meisten Theodo

Fig. 19—21 S. 230-232.

liten der Kreis selbst gegen das Untergestell drehbar sein. Dazu wird entweder nur der Kreis, um bequem verschiedene Kreisstellungen bei der Messung verwenden zu können, auf einer kurzen konischen Fläche mit Reibung drehbar gemacht (gewöhnlich bei den Instrumenten Fig. 19—21, S. 230—232 angewendet, aber auch bei Fig. 4 S. 218 möglich), oder aber es wird ein doppeltes Achsensystem verwendet. Man nennt mit einem doppelten Aehsen-system ausgerüstete Instrumente „Repetitionstheodolite“ (§ 60).

Die Anordnung des Repetitionsachsensystems ist verschieden ; die gebräuchlichsten Anordnungen zeigen Fig. 5 und 6.

Fig. 5.

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Fig. (>.

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In Fig. 5 ist die Alhidadenachse V in der Kreisbüchse B und diese wieder in der feststehenden Fußgestell-büchse I) drehbar. Diese Fig. 5 ist der Schnitt des Instrumentes’in Fig. 17.

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Fig. 6 8. 219 zeigt eine andere Anordnung; hier steht auf dein Dreifuß I) eine feste Mittelachse M, in dieser ist die Alhidadenachse V und um dieselbe die Kreisbüchse II drehbar : das Achsensystem ist also die Verbindung der beiden angegebenen Grundformen.

Neben diesen beiden gebräuchlichsten Systemen (Fig. 5 stellt wohl das gebräuchlichste dar) werden noch andere Anordnungen gebraucht, wie überhaupt fast jede mechanische Werkstätte für die verschiedenen Instrumentteile besondere Konstruktionen bevorzugt.

Das Material der Achsen soll so ausgewählt werden, daß die durch die Keibung entstehende Abnutzung den Achsgang nicht stört, dementsprechend wird für die Alhidadenachse in der Kegel Stahl, für die Büchsen Botguß und Gelbguß verwendet.

5. Feder Unterstützung der vertikalen Achse.

Bei kleineren Instrumenten kann man den konischen vertikalen Zapfen schlechthin mit seinem natürlichen Gewicht in das Lager abwärts drücken lassen, oder ein zu tiefes Eindringen und Festsetzen der Achse verhindern durch eine am oberen Ende des Achszapfens angesetzte, auf dem Büchsenrand laufende schmale Schleiffläche.

Bei größeren Instrumenten läßt man den Zapfen nicht mit seinem ganzen Gewicht in das Lager drücken, damit die Reibung zwischen dem Zapfen und dem Lager, bei bedeutendem Gewicht des ersteren (welches durch das Gewicht der Fernrohrträger und des Fernrohrs selbst noch vermehrt wird), nicht zu stark wird. Man läßt dann das untere Zapfenende (z. B. a in Fig. 5) sich auf eine Feder (f in Fig. 5) stützen, deren Spannung ev. durch Schrauben reguliert werden kann.

Die Anordnung dieser Federung ist sehr mannigfaltig, man hat z. B. dreiarmige ebene Federn. Spiralfedern, kugelabschnittförmige Federn usw. Wenn ein doppeltes

Fig. 7

zu Fig. 19 S. 230 gehörig.

Achsensystem vorhanden ist, so muß ihm auch eine doppelte Federung entsprechen, d. h. es müssen dann beide unabhängig voneinander untere stützt werden. Die Federung der Vertikalachse ist oft von außen kaum zu erkennen.

Bei dem großen Instrument von Bamberg, Fig. 19 S. 230, wo die konische Achse JB aufwärts gerichtet ist, ist in der Mitte eine Handschraube angebracht (/'in der beistehenden Fig. 7), durch deren Drehung man den Gang der Alliidade leichter oder härter machen kann. Dieses ist in Fig. 7 besonders gezeichnet.

Die vertikale Achse endet oben in einer kleinen Halbkugel; die Mutter c verhindert ein unfreiwilliges Abheben der Büchse b von der Achse. In der Kopfplatte e bewegt sich zentrisch zur Achse die feine Schraube/¹ und drückt auf die harte Stahlplatte g, welche auf der oben schon erwähnten kleinen Halbkugel auf liegt. Ist die Schraube f zurückgeschraubt, so dreht sich die Büchse schwer auf der Achse, und umgekehrt. Wenn man die Teile von Fig. 7 auseinandernehmen will, so wird zuerst die Kopfplatte e abgeschraubt, hierauf die Mutter c mittels des beigegebenen Stiftschlüssels, worauf man die Büchse b von der Achse abheben kann.

<>. Die Klemmvorrichtung und die Feinbewegung (Mikrometerbewegung).

Diese dienen zusammen zum groben und zum feinen Einstellen des Fernrohrs und der Alhidade. Wenn ein doppeltes Achsensystem vorhanden ist, so wird eine zweite Klemm- und Feinbewegungsanordnung erforderlich.

Man unterscheidet Rand-, Ring- und Zentralklemmen. Die Klemme ist ein bewegliches Stück — ein Läufer am Kreisrand, oder ein um die Achsenbüchse drehbarer Ring —, welches durch eine Zug- oder eine Druckschraube (Klemmschraube) in beliebiger Lage festgeklemmt werden kann. Bei der Ringklemme wird ein aufgeschlitzter, zum Drehen Spielraum bietender Ring durch eine Zugschraube, bei der Zentralklemme ein geschlossener Ring durch eine vermittelst eines Druckstückchens wirkende Druckschraube festgesetzt. Fig. 16 S. 227 zeigt eine Ringklemme (obere Klemme unter dem Kreis), die Fig. 4 -6 S. 218—219, Fig. 15 und 17—22 S. 226 und S. 228—233 zeigen Zentralklemmen.

Die Feinbewegung der Alhidade bzw. des Kreises gegen den feststehenden Teil erfolgt in der Regel dadurch, daß die Spitze einer von der Klemme getragenen Fcin-stellschraube auf einen Mitnehmer oder einen Zapfen wirkt, gegen den sie durch Federdruck angelehnt wird. Die Fig. 4—6 S. 218—219 lassen den Zusammenhang erkennen. Bei dem Repetitionsachsensystem der Fig. 5 S. 219 ist ein besonderer, an den Kreis angeschraubter Mantel in erforderlich, um die beiden Klemm- und Feinstellvorrichtungen aufzunehmen, während bei der Anordnung der Fig. 6 diese Teile direkt von der Kreisbüchse B getragen werden. Auch diese Klemm- und Feinstellvorrichtungen werden verschieden ausgeführt. Die Hauptsache bei allen Feinbewegungen ist, daß kein „toter Gang“ entsteht, d. h. daß nach Anziehen der Klemmschraube, und ohne Angriff der Feinbewegungsschraube, keine Drehung der Alhidade, also auch keine Verstellung des Fernrohrs oder des Fadens im Gesichtsfeld möglich ist. Zentralkleinmen bewähren sich wohl am besten.

7. Die horizontale Achse und das Lager der horizontalen Achse.

Fig. s.

Die horizontale Achse H Fig. 4 8. 218, um welche sich das Fernrohr beim Auf- und Niederkippen dreht (Kippachse), liegt meistens in zwei V-förmigen Lagern (vgl. Fig. 9 bis Fig. 12 8. 222); die beiden Enden der stählernen Horizontalachse sind zylindrisch abgedreht und berühren die V-förmigen Lager nur in je zwei Linien.

Bei kleinen Instrumenten werden häufig zylindrische geschlossene Lager vorgezogen (Fig. 15

8. 226), bei denen allerdings ein Umlegen des Fernrohrs nicht möglich ist.

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Zur Vertikalbewegung des Fernrohrs wird meistens eine Klemme mit Feinbewegung (vgl. Fig. 4 8. 218) angebracht. Bei Theodoliten ohne Höhenkreis ist eine starre Verbindung des Fernrohrs mit der Kippachse durch die Klemme nicht erforderlich, weshalb häufig die in Fig. 8 dargestellte * Federklemme“ benützt wird. Bei „4 wird ein Klemm-

plättchen durch eine Spiralfeder auf die Kippaclise gedrückt, wobei der Druck mittels einer Schraubenmutter derartig reguliert werden kann, daß einerseits die Feinbewegung des Fernrohrs C—D durch den Klemmarm B und die Federschraube E—F, andrerseits auch die grobe Kippbewegung ohne Lösung der Klemme ausgeführt werden kann.

Die Achsenlager sind durch die Lagerstützen S in Fig. 4 S. 218 mit der Allii-dade A verbunden. Diese Stützen müssen recht stabil sein, um der Kippachse, die ihrerseits wieder eine sichere Führung und daher eine genügende Länge haben muß, ein sicheres Lager zu geben ; andrerseits dürfen die Stützen aber auch nicht zu schwer sein. Bei kleinen Instrumenten wendet man wohl einfache gerade oder nach oben etwas auseinandergehende Stützen an (Fig. 15 S. 226 und Fig. 4 S. 218). Sein-zweckmäßig sind die Formen, welche das ganze Gewicht des Oberteils auf die Achse verlegen, wie Fig. 16 S. 227; besonders empfehlenswert erscheint der rippenförmige, sehr widerstandsfähige und doch leichte Querschnitt der Stützen in Fig. 17 S. 228. Die Stützenanordnung bei Stehaclisen zeigen die Figuren 10—21 S. 230—232.

Fig. 9.

Fig. 10.

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Fig. 12.

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Da die Ilorizontalachse senkrecht zur Steliachse liegen soll, so wird das eine der Achsenlager mit einer Vorrichtung zur Regulierung der Höhenlage-versehen. In der Regel hat hierzu die eine Fernrohrstütze einen Spalt, der durch Zug- und Druckschrauben verengt oder erweitert werden kann (Fig-. 9). Bei geschlossenen zylindrischen Lagern wird ein horizontaler Spalt mit Zug- und Druckschrauben angewendet (Fig. 10). Eine Verbesserung der letzten Konstruktion zeigt Fig. 11, bei der die Schrauben einander gegenübergestellt sind, um eine Biegung des oberen Lagerteils, die bei Fig. 10 * möglich ist, zu vermeiden. Eine ältere, vorwiegend bei größeren Instrumenten gebräuchliche Anordnung zeigt Fig. 12.

8. Das Fernrohr.

Nachdem wir das Fernrohr im allgemeinen bereits ausführlich in § 53 beschrieben haben, ist es jetzt nur noch nötig, einige Einzelheiten zu behandeln.

Zunächst ist zu erwähnen, daß die Vergrößerungen der Fernrohre für kleinere Instrumente etwa 15—20 fach sind, für mittlere 20 —30fach, für sehr große 50- und 60fach, andrerseits für die kleinsten Formen des Instruments oft auch nur 10fach.

Damit die Zielachse Z des Fernrohrs Fig. 4 S. 218 genau in eine bestimmte Lage (nämlich rechtwinklig zur horizontalen Achse //) gebracht werden kann, muß das Fadenkreuz im Innern der Röhre quer zur Längsrichtung verschiebbar sein. Diese Verschiebung des Fadenkreuzes im Innern der Okularröhre ist durch Fig. 4 S. 218 und Fig. 13 veranschaulicht, welch letztere wir schon in § 51 S. 197 bei der Erklärung der Zielachse betrachtet haben.

Das Fadenkreuz Fig. 13 befindet sich bei F auf dem konisch gestalteten Diaphragmaringe B JB. Will man das Fadenkreuz nach links rücken, so hat man die linke Schraube zu lösen und die rechte Schraube entsprechend nachzudrehen usw.

In Fig. I S. 218 ist die Anordnung für das Rainsdensche Okular dargestellt, das Okular läßt sich etwas hinein- und herausschieben.

In Fig. 13, welche die Anordnung bei Huyghensschem Okular zeigt, ist auch eine Verschiebung des Fadenkreuzes in Längsschlitzen angedeutet, welche der Regulierung des Abstandes y in der Theorie von (4) § 50 S. 195 entspricht. Statt dieser Verschiebung des Fadenkreuzes selbst wird sonst auch eine Verschiebung der Okularlinse angewendet, welche denselben Zweck erreicht. Es gibt aber Fälle, in welchen es nicht gleichgültig ist, ob das Fadenkreuz oder die Okularlinse verschoben wird. (Wir werden später beim Distanzmesser in Kap. XIV darauf zurückkommen.)

Das Fadenkreuz des Theodolitfernrohrs besteht häufig nicht nur aus einem einfachen Linienkreuz, wie in Fig. 13, sondern der Vertikalfaden ist ein Doppelfaden zur scharfen Einstellung im Sinne der zu Fig. 2 § 48 8. 190 angegebenen Theorie (§ 76).

Fig. 13.

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Die Bewegungen des Fernrohrs, welche teils während des Messens selbst, teils zur Fehlertilgung gemacht werden, führen bestimmte Namen :

1. Kippen heißt eine Auf- und Niederbewegung des Fernrohrs mit Drehung um die horizontale Achse.

Das Fernrohr soll für gewöhnlichen Okularauszug im Gleichgewicht sein, so daß man Horizontalwinkel auch ohne Benützung der Vertikalfeinbewegung messen kann.

2.    Durchschlagen heißt eine vollständige Kippung des Fernrohrs um 180°, so daß das Objektiv und das Okular vertauscht werden.

Zum unmittelbaren Durchschlagen ist erforderlich, daß die Femrohrträger genügend hoch sind und das Fernrohr nicht zu lang ist. Bei Fig. 4, 16 und 18 8. 218, 227 und 229 kann man mit dem Okular unten zwischen den Trägern durchkommen, bei Fig. 15 8. 226 und Fig. 17 8. 228 mit dem Objektiv. Bei dem größeren Instrument Fig. 19 8. 230 und bei Fig. 21 8. 282 kann man nicht unmittelbar durchschlagen, sondern nur mittelbar, dadurch, daß man das Fernrohr zuerst aus den Lagern hebt und mit vertauschtem Objektiv und Okular wieder einlegt, dagegen kann bei Fig. 20 und 22 8. 231 u. 233 das Fernrohr ungehindert durchgeschlagen werden, weil es exzentrisch ist (§ 62).

Unmittelbares Durchschlagen des Fernrohrs ist dringend zu wünschen. Wenn das Durchschlagen mit dem Okularende geschieht, so muß so viel Baum sein, daß auch der Okularauszug für Ziel weiten bis 50 m durchgeht.

3.    Umlegen heißt Ausheben des Fernrohrs aus den Lagern und mit vertauschten Zapfen (links und rechts) wieder einlegen. Das Umlegen wird manchmal durch unsymmetrische Teile, am Höhenkreis usw., erschwert, oder auch ganz unmöglich gemacht.

9. Libellen.

Man kann mit einer Libelle zum Horizontalstellen des Instruments auskommen. die meisten Theodolite haben aber zwei und manchmal drei Libellen.

Wir unterscheiden zwei wesentlich verschiedene Arten der Libellen am Theodolit: nämlich I. Horizontalachsenlibelle (Reiterlibelle), und II. Alhidadenlibelle (Vertikal-achsenlibelle), vgl. § 46 8. 179 u. 180.

Eine etwa auf dem Fernrohr selbst befestigte Libelle kann das Instrument zum Nivellieren geeignet machen; für den Theodolit als Winkelmesser hat sie keinen W ert, und bleibe hier außer Betracht. Selbst zürn Messen von Höhenwinkeln ist eine solche Fernrohrlibelle kein gutes Mittel. Wir beschränken daher unsere Betrachtung auf die oben unter I. und II. angegebenen Anordnungen.

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Fig. 14. Reiterlibelle.

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Die Reiterlibelle auf der horizontalen Achse ist nicht fest, sondern abnehmbar, und kann in zwei Lagen aufgesetzt werden. Eine solche Libelle ist in Fig. 18, 19 und 21 aufgesetzt gezeichnet und in Fig. 16 abgenommen angedeutet. Auch die Justierschrauben der Reiterlibelle sind hierbei deutlich sichtbar.

Eine andere von Tesdorpf eingeführte Anordnung der Libellenrichteschrauben ff zeigt Fig. 14.

I )ie Horizontalachsenlibelle hat bei Landmeßtheodoliten durchaus nicht die Bedeutung wie bei

astronomischen Theodoliten, weil heim Landmessen selten starke Zielneigungen Vorkommen, und bei nahezu wagrechten Ziellinien, welche in der Landmessung die Regel bilden, es auf scharfe Horizontierung der horizontalen Achse weniger ankommt.

II. Alhidadenlibelle.

Unter Alhidadenlibelle verstehen wir jede mit der Alhidade des Horizontalkreises fest verbundene Libelle, in der Mitte oder seitwärts, sei es eine Röhrenlängslibelle in der Längsrichtung des Fernrohrs (X₂ Fig. 16 S. 227), welche für Höhenwinkel nötig ist, oder eine Röhrenquerlibelle in der Richtung der Horizontalachse (z. B. L Fig. 4 S. 218), oder eine Dosenlibelle (z. B. 1) bei Fig. 15, oder ein Paar Kreuzlibellen (letztere z. B. bei Fig. 17 S. 228).

Eine Dosenlibelle sollte an keinem Theodolit fehlen. Bei kleinen Feldmeßtheodoliten genügt eine solche meist überhaupt zum Messen der Horizontalwinkel. Bei größeren Theodoliten, welche außerdem mit einer feineren Röhrenlibelle versehen sind, dient die Dosenlibelle zum ersten vorläufigen Einstellen, wodurch einesteils überflüssige Arbeit gespart und andernteils die Achse des Theodolits vor vielem überflüssigem Drehen bewahrt wird.

Wenn ein Theodolit eine Alhidadenlibelle und eine Reiterlibelle hat (wie z. B. in Fig. 16 S. 227), so kann man im allgemeinen schlechthin mit der Alhidadenlibelle messen, und die Reiterlibelle nur ausnahmsweise, etwa zur Prüfung und Berichtigung der Horizontalachse, benützen. (Um dieses anzudeuten, ist die Reiterlibelle in Fig. 16 8. 227 abgesetzt gezeichnet.)

10. Allgemeine Bemerkungen über Theodolite.

Fernrohr. Bei kleinen Theodoliten zum Feldgebrauch für Polygonisierung u. dgl. muß das Fernrohr unmittelbar durchgeschlagen werden können (ohne Ausheben); geht das Durchschlagen mit dem Okular, so muß auch der Okularauszug für 50-m Entfernung noch durchgehen. Zum Zielen auf sehr kurze Entfernungen bei Zentrierungen usw., sowie als „Sucher“, soll auf dem Fernrohr eine einfache Zielvorrichtung, „Korn“ und „Visier“, angebracht sein.

Zur Bezeichnung der Kreisstellung und Verdrehung des Kreises zwischen je zwei Sätzen (§ 76) ist ein Zeiger anzubringen (bei Mikroskoptheodoliten sehr gebräuchlich) aber nicht fest, sondern selbst drehbar.

Lothaken und Zentrierstift. Wenn ein Theodolit abwechselnd auf einem Steinpfeiler, einer Eisenplatte usw. und dann wieder auf einem Stativ gebraucht wird, so soll er mit einem Zentrierstift und mit einem Haken zum Anhängen eines Lotes versehen sein, welche beide gut zentrisch und sich nicht gegenseitig hindernd angebracht sein müssen.

Die nachfolgenden Figuren 15 bis 22, sowie Fig. 4 S. 218 geben mit den beigefügten Erläuterungen einen Überblick über die wesentlichsten Theodolitkonstruk-tionen, welche in der Landmessung gebraucht werden. — Fig. 4, 15 und 16 zeigen zunächst kleinere Instrumente, Fig. 17 einen einfachen Theodoliten mit Strichmikro-skopen, Fig. 18 einen Theodoliten mit Skalenmikroskopen, Fig. 19 einen größeren. Fig. 20 und 21 je einen kleineren Schraubenmikroskoptheodolit, schließlich noch Fig. 22 eine wohl erwähnenswerte besondere Ablesungsart für ein kleines Instrument.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Auli.

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Fig. 15.

Kleiner Feldmeßtheodolit.

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Kleiner Feldmeßtheodolit von Mechaniker Wolz in Bonn.

Dieses Instrument eignet sich namentlich zum Messen von Polygonzügen und Kleintriangulierungen. Der Horizontalkreis K ist verdeckt und hat 14 cm Durchmesser; er ist in l/₃° geteilt und gibt an beiden Nonien 20". Das ßamsdensche Fernrohr ist 28 cm lang und mit dem Objektiv durchschlagbar, aber nicht umlegbar. Die Vergrößerung des Fernrohrs ist 20 fach. Das Instrument hat nur die Dosenlibelle D zwischen den Fernrohr träger n. Das Instrument hat ein Doppelachsensystem nach der Anordnung von Fig. 5 S. 219. Die beiden Klemmen k und Je’ (Zentralklemmen) mit Feinbewegung f und f sind aus der Figur ersichtlich. Zur Vertikalbewegung des Fernrohrs dient die Klemme k" und Feinbewegung f". Das Horizontalachsenlager hat keine Korrektionsschraube. Das Stativ hat Metallkopf und die an Fig. 3 S. 217 schon gezeigte Anordnung. Das Instrument ist in allen seinen Teilen einfach aber kräftig konstruiert.

Für Polygonzüge und ähnliche Messungen sind Instrumente gleicher Bauart geeignet, mit einfacher Vertikalachse, wie das als Schema eines einfachen Theodolits benützte Instrument Fig. 4 S. 218, welches 11,5 cm Kreisdurchmesser mit Teilung in i/o ° und Nonienangabe i/₂' hat.

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Fig. 16. Kleiner Feldmeßtheodolit.

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Kleiner Feldmeßtheodolit von Mechaniker Bandhagen in Hannover.

Dieses Instrument eignet sich wie das vorhergehende zum Messen von Polygon-■zügen und von Triangulierungen IY. Ordnung. Mit dem Höhenkreis wird zugleich die Verwendbarkeit zu Polygonhöhenzügen und zur Höhenmessung für nachfolgende Tachy-metrie gesichert.

Der Horizontalkreis hat 15 cm Durchmesser und gibt 20" Ablesung an zwei Nonien, der Höhenkreis hat 12 cm Durchmesser und gibt 30" Ablesung. Das Huvghens-selie Fernrohr ist 28 cm lang und wird mit dem Okular durchgeschlagen. Die Vergrößerung des Fernrohrs ist 18 fach.

Es sind drei Libellen vorhanden : Eine Dosenlibelle L₁ in der Mitte (in der Figur nicht sichtbar), eine Böhrenlängslibelle L₂. welche bei der Messung von Höhenwinkeln unbedingt nötig ist, aber auch zum allgemeinen Horizontalstellen für Horizontal-winkel gebraucht wird. Die Empfindlichkeit dieser Libelle L₂ ist etwa F auf einen Strich. Eine Beiterlibelle L₃ kann auf die Horizontalachse aufgesetzt werden (in der Figur abgesetzt gezeichnet). Diese Libelle Ls mit Empfindlichkeit von 1' auf einen Strich wird bei den Messungen selbst gewöhnlich nicht gebraucht, sondern dient nur zur Prüfung und Berichtigung der Horizontalachse.

Fig. 17.

Kleiner Feldmeßtheodolit mit Strichmikroskopen.

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Kleiner Feldmeßtheodolit mit Strichmikroskopen von Otto Fennel Söhne in Cassel.

Der Horizontalkreis hat 10cm Durchmesser, ist in i/₆° geteilt und wird mit Strichmikroskop abgelesen, wie in § 58 S. 286 erläutert werden wird. DaslBamsden-sche Fernrohr mit orthoskopischem Okular ist 13cm lang, und mit dem Objektiv durchschlagbar; die Vergrößerung ist 12faeh. Auf der Alhidade sind zwei rechtwinklig zueinander stehende Röhrenlibellen (Kreuzlibellen) angebracht. Das Instrument hat ein Doppelachsensystem nach der Anordnung von Fig. 5 S. 219. Vgl. „Zeitsehr, f. Venn. 1902“ S. 213—217. (Ein größeres Instrument dieser Art mit Höhenkreis wird in Kap. XIY als Tachyinetertheodolit erwähnt werden.) Die gleiche Bauart haben auch größere Instrumente mit 13 cuv Kreisdurchmesser mit Ablesung durch zehnteilige Skalenmikroskope nach Fig. 2 § 58 S. 237.

Fig. 18.

Skalenmikroskoptheodolit.

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Repetitionstheodolit mit Skalenmikroskopen von Max Hildehrand in Freiberg i. S. für die geodätische Sammlung in Danzig 1905 bezogen.

Der Limbns des Horizontalkreises hat 14,5 cm Durchmesser, ist in 15' geteilt und gibt mit den beiden Skalenmikroskopen unmittelbar 1', durch Schätzung 0,1' an. Die Vergrößerung der Mikroskope ist 25 fach.

Der Höhenkreis hat 11 cm Durchmesser und Einteilung in 20' ; die Ablesung erfolgt bis auf 30" mit zwei Nonien.

Das Fernrohr hat 25 cm Länge und 20 fache Vergrößerung. An Libellen sind vorhanden: zwei Kreuzlibellen (1' Angabe) für den gewöhnlichen Gebrauch, eine Allii-dadenlibelle für den Höhenkreis und eine Reiterlibelle zur Verwendung bei steilen Visuren und bei der Justierung des Instruments.

Fig. 19. Berliner Mikroskoptheodolit (II. Ordnung).

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Mikroskoptheodolit von Mechaniker Bamberg in Friedenau bei Berlin.

Der Horizontalkreis K hat 21 cm Durchmesser, ist in 5' geteilt und wird durch zwei Schraubenmikroskope M und mit 17 fâcher Vergrößerung abgelesen (§ 58 S. 239). Das Fernrohr hat 44 cm Länge und gibt mit zwei Bamsdenschen Okularen 40 fache und 55 fache Vergrößerung. Es ist nur eine Libelle L als Beiterlibelle auf der Horizontalachse angebracht, mit Empfindlichkeit = 5,6”. Beim Durchschlagen muß das Fernrohr aus den Lagern gehoben und die Libelle L abgenommen werden.

Dieser Berliner Mikroskoptheodolit, welcher in seinem Bau zum Teil den Instrumenten der früheren Werkstätte von Pistor und Martins nachgebildet ist, ist zurzeit hei der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme eingeführt, und zwar in dieser Größe: Kreisdurchmesser =21 cm für Triangulierung II. Ordnung und entsprechend mit 27 cm und 35 cm für I. Ordnung.

Fig. 21. Mikroskoptheodolit mit Höhenkreis und exzentrischem Fernrohr (III. Ordnung).

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Mag,

km

kl

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Durchmesser des Horizontalkreises „    „ Höhenkreises

Vergrößerung des Fernrohrs

, Objektivs

139 mm 120 mm. 31 mm.

18 u. 30.

Empfindlichkeit der Libelle

der Horizontalkreismikroskope „ Höhenkreismikroskope

15.

17.

14.2" auf 1 Strich.

Dieses Instrument, der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme gehörend (von Mechaniker Bamberg in Friedenau bei Berlin), dient zur Triangulierung III. Ordnung mit trigonometrischer Höhenmessung. (1891. Triangulierung von Hannover, .,Zeitsehr. f. Venn. 1892“ S. 22.)

Die Kreise sind in 10' geteilt, von Grad zu Grad beziffert und werden an den Mikroskopen nach Doppelsekunden abgelesen. (Das Instrument der Hannoverschen Sammlung ist zur Ablesung von Einzelsekunden beziffert worden.)

Das Fernrohr ist exzentrisch, was aus zwei Gründen nützlich ist: erstens wird dadurch das fortgesetzte Durchschlagen des Fernrohrs ohne Ausheben ermöglicht und zweitens wird dadurch für den Höhenkreis und dessen Mikroskope gut Raum geschafft, wobei die Mitte des Instruments für die in der obigen Figur nicht sichtbare Libelle frei bleibt. Diese in der Richtung des Fernrohrs angebrachte Libelle dient zum allgemeinen Horizontalstellen und dann besonders noch zum Höhenwinkelmessen, wobei die jeweilige Blasenstellung an der Libellenteilung abgelesen wird.

Für steile Ablotungen, Turmanschlüsse usw. ist diesem Instrument der Hannoverschen Sammlung eine Aufsatzlibelle auf der horizontalen Achse zugefügt worden.

Mm

Durchmesser des Horizontalkreises = 130 mm. „    „ Höhenkreises

„    „ Objektivs

= 80 mm.    ;

= 33 mm.

— 260 mm.

= 30.

= 15.

= 14” auf 1 Strich.

Brennweite „    „

Vergrößerung des Fernrohrs „    der Mikroskope

Empfindlichkeit der Reiterlibelle

Fig. 21. Mikroskoptheodolit zur Triangulierung III. Ordnung.

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Dieses von Mechaniker Wanschaff in Berlin für unsere Sammlung 1891 ange-schaffte und 1892 zur Stadttriangulierung von Hannover verwendete Instrument hat ein zentrisches Fernrohr, welches aus seinen Lagern ausgehoben und damit durchgeschlagen werden kann. Der Horizontalkreis ist in 10' geteilt , von 1 ° zu 1 ° in feiner Gravierung beziffert, und Avird durch zwei Mikroskope nach einzelnen Sekunden abgelesen. Ein kleiner Höhen -kreis von nur 8 cm Durchmesser gibt mit einer Handlupe Ablesung von 1'; zu diesem Höhenkreischen gehört eine darüber angebrachte Libelle mit besonderer Einstellung. An Libellen sind sonst noch vorhanden eine Dosenlibelle (links unten) von geringer Empfindlichkeit, nur zum ersten vorläufigen allgemeinen Horizontalstellen, und eine Reiterlibelle oben auf der Horizontalachse zum scharfen Einstellen nach ZAvei Richtungen.

Unsere Figur zeigt auch die Aufsetzung des Instruments auf dem hölzernen Stativkopfe mit Zwischenlage einer dreiarmigen Unterplatte zum Zentrieren. Die Stativkopfplatte wird zuerst mit einer Dosenlibelle (links unten) selbst beiläufig horizontal gestellt, dann die dreiarmige Unterplatte aufgelegt und so lange verschoben, bis die zentrische Ablotung stimmt ; dann werden die drei Schraubenspitzen niedergeschraubt und eingedrückt, worauf der Theodolit mit seinen Fußspitzen in die drei Rillen zentrisch eingesetzt Averden kann.

ZalmkreistheoMit von Rende.. Vom Mechaniker Heyde in Dresden wird seit 1896 eine besondere Methode der Winkelmessung angewendet, deren neueste verbesserte Form in Fig. 22 und 23 dargestellt ist. Das Instrument ist beschrieben

Fig. 23.

Fig. 22.

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von Hammer in „Zeitschr. f. Instrumenten-kunde 1905“ S. 2—3, woraus wir folgendes entnehmen. Die beiden Kreise haben statt der gewöhnlichen Kreisteilung mit Strichen am äußeren Rande eine Zahnradteilung von 360 Zähnen; hierzu ist eine grobe Strichteilung angebracht, an der mit einem einfachen Zeiger bis auf 1 ° abgelesen werden kann. Zur feineren Ablesung dient eine sogenannte Peripherieschraube (vgl. Pig. 23), die sich ihrer ganzen Länge nach den Randzähnen des Kreises anschmiegt. Die Schraubenspindel ist mit zwei zylindrischen Lagern in einem Rahmen befestigt, der sich um die Spitzenachse sg .sy bzw. s₂ $2 dreht. Mit den Knöpfen a und b sind Exzenter verbunden, die beim Drehen der Knöpfe die Schrauben aus den Kreiszähnen herausheben. Es kann dann sowohl die Drehung um die Stehachse wie die um die Kippachse unbeschränkt ausgeführt werden; die eingeschalteten Schrauben wirken zugleich als Klemmen, während die Meßschrauben A und B dann auch zur Feinbewegung dienen. Es ist auch noch eine Limbusklemme nebst Feinbewegung zur Repetitionsmessung vorhanden. Das Messungsverfahren ist sehr einfach: Bei ausgeschalteten Schrauben (geöffneten Klemmen) wird das Fernrohr grob eingestellt, worauf die Schrauben eingelegt werden; die feine Einstellung erfolgt dann mit den beiden Schrauben A und B wie bei jedem andern Theodolit. Hierauf werden zuerst die ganzen Grade an den Zeigern ahgelesen. Die Schraubentrommeln A und B sind in 60 Teile geteilt, so daß die einzelnen Minuten direkt abgelesen, die Zelintelminuten geschätzt werden können. Gegenüber der früheren Heydeschen Ablesevorrichtung, die in der vorigen Auflage S. 220 beschrieben war. ist die Handhabung bei der jetzigen Einrichtung dieselbe wie beim gewöhnlichen Nonientheodolit, während die Genauigkeit nach Angabe des Mechanikers größer sein soll.

§ 57. Der Nonius.

Der Kreis eines gewöhnlichen Feldmeßtheodolits ist gewöhnlich nicht weiter geteilt als etwa in Halbe-, Drittel- oder Sechstelgrade, man kann aber die Ablesung wohl auf i/₆₀ dieses Wertes herabbringen durch eine kleine Hilfsteilung, welche Nonius heißt. (Bei neuer Teilung wird angewendet Kreisteilung in 0,5 g, 0,2 g usw.)

Bei dem Ablesen der Stellung eines Zeigers auf einer Teilung kommen immer zwei Operationen vor; erstens die Bestimmung, hinter welchem Teilstrich der Zeiger einschneidet, und zweitens die Messung des Abstands des Zeigers von dem vorhergehenden Teilstrich. Die letztere Operation wird bei rohen Messungen durch eine Schätzung ersetzt, bei Theodoliten führt man sie aus mittels des Nonius oder des Mikroskops.

Der Nonius besteht aus einem kleinen längs der Hauptteilung verschiebbaren Maßstab, dessen Teilung derjenigen der abzulesenden Teilung nahezu gleich ist.

Ist L die Teilungseinheit des Kreises, N diejenige des Nonius, und n eine ganze Zahl, so ist:

(» — 1 )L = n N, also L> N L — N=

Man teilt also (n — 1) Kreisteile in n Nonienteile, z. B. 9 L in 10 A (Fig. 1) oder 59 L in 60 N (Fig. 2).

Der durch die Gleichung (2) bestimmte Wert a heißt die „Angabe des Nonius“. Wenn irgend ein Noniusstrich mit einem Kreisstrich zusammentrifft, so stehen die zwei nächsten Striche um a, die zwei darauffolgenden Striche um 2 a voneinander ab usw.

Fig. 1.

lOteiliger Nonius. (Ablesung 3 von rechts nach links, im ganzen 22,3.)

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JO

23

2S 27    26

24    2.3

22

2/

6'

Wenn also z. B.-(Fig. 1) der dritte Noniusstrich mit einem Kreisstrich zusammenfällt, so steht der Nullstrich    des    Nonius    um    3 a    von dem Strich 22 des Kreises

ab, und da hier n =10, also a    = 0,1 L, so    ist    die    Stellung des Noniusnullstrichs .

gegen die Kreisteilung angegeben durch die Ablesung:

22 + 3 x 0,1 = 22,3 .

Wenn ein Kreis in Grade    geteilt    ist,    so    ist L — l/o ° = 10', und wenn

hierbei n = 60, so ist a = ^ =    10".    Dann    wird man den Nonius nicht so beziffern:

0    10"    20"    30"    40"    50"    60"    70"    80"    ...

sondern so :

v rio" r 20" .

0    10"    20"    30"    40"    50"

wobei Abkürzungen angewendet werden.

Fig. 2.

COteiliger Nonius. (Ablesung 2' 40" von rechts nach links, im ganzen 60° 52' 40''.)

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6.3°

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Kreis

Man hat nun folgende Ableseregel:

1.    Man betrachtet den Noniusnullstrich als Zeiger und suc-ht (von rechts nach links) denjenigen Kreisstrich, hinter welchem der Zeiger abschneidet, z. B. 60° 50' Fig. 2.

2.    Man sucht auf dem Nonius (ebenfalls von rechts nach links) denjenigen Strich, welcher mit einem Kreisstrich zusammenfällt, und liest die diesem Noniusstrich zugehörende Ziffer ab, z. B. 2' 40".

3.    Man schlägt die zweite Ablesung der ersten zu, also :

60° 50' + 2' 40" = 60° 52' 40".

Sollte kein Noniusstrich mit dem Teilungsstrich genau Zusammentreffen, so nimmt man nach Schätzung ein Mittel derjenigen zwei Striche, welche am besten passen.

An gewöhnlichen Nonientheodoliten vielfach gebrauchte Teilungsanordnungen sind :

a = 1'

30"

20"

30"

L = i/₂°

n — 30

v₂

Vs

Vs

Vs

60

60

40

20

1'.

Die drei ersteren Anordnungen sind die zweckmäßigsten.

Überteüung. Die Nonien haben gewöhnlich am Anfang und am Ende ein bis zwei überschüssige Teilstriche, z. B. in Fig. 2 ist rechts von Null noch ein Strich. Diese Überteilstriche sind angenehm zum Vergleichen, wenn es sich um Ablesung ganz am Anfang oder ganz am Ende des Nonius handelt. Auch kann man die Überteilung zur Untersuchung der Hauptteilung benützen.

Der im bisherigen beschriebene sog. nachtragende Nonius, mit den Gleichungen (1) und (2), ist der gewöhnliche, rvelcher bei Theodolitteilungen allein vorkommt, die Ablesung geht hierbei in dem Sinne mit der Hauptteilung.

Nun gibt es aber auch einen zweiten, sehr selten, z. B. bei Barometern, vorkommenden Vortragenden Nonius, mit Ablesung in dem Sinne gegen die Teilung.

Die hierfür gültigen Gleichungen sind :

(3)

(n + l)i = njy und N—L = — = a.

n

Genauigkeit der Nonienablesung. Aus einer größeren Anzahl von Beobachtungen, über die der Bearbeiter in „Zeitschr. f. Verm. 1907“ S. 635—637 berichtet hat. geht hervor, daß die Verschiebung eines Noniusstrichs gegen einen Limbusstrich noch wahrnehmbar ist, wenn der Sehwinkel, unter dem die beiden Striche dem Auge erscheinen, größer als 3,3" ist. Bei Nonienablesungen am Theodolit wird der Scheitel des Seh-winkels im Durchschnitt auf etwa 50 mm der Teilung genähert, so daß die Koinzidenz eines Nonius- und Limbusstriches nach dem Obigen mit einer Genauigkeit von rund 0,001-mm wahrgenommen werden kann. Hierdurch gelangen wir zu folgender Tabelle des mittleren Fehlers einer Nonienablesung bei verschiedenen Limbusdurch-messern unter der Voraussetzung, daß Teilungsfehler vernachlässigt werden können und der Nonius zweckmäßig angeordnet ist.

Mittlerer Fehler einer Nonien ablesung

Liinbus-durchmesser cm

22

±1,9

16

2.6

14

3,0

12

3,5

10

4.1 .

Indessen ist zu beachten, daß hierdurch nur die erreichbare Ablesegenauigkeit angegeben ist, auf die bei kleinen Instrumenten zugunsten der Bequemlichkeit der Ablesung verzichtet wird.

Über die Geschichte und Benennung von Nonius (bzw. Vernier) s. Günther, „Handb. d, math. Geographie, Stuttgart 1S90“ S. 121 und Wolf, „Handb. d. Astronomie, Zürich 1892“, dritter Halbband S. 35.

§ 58. Das Ablesemikroskop.

Der Grundgedanke des Mikroskops ist bereits in § 55 S. 213 mitgeteilt.

Fig. 1.

Gesichtsfeld des Strichmikroskops.

I. Das Skalenmikroskop.

Schon mit einem festen Faden im Gesichtsfeld

ro

RS

Ln

lassen sich Ablesungen schätzen, wie aus Fig. 1, welche eine 10'-Teilung stark vergrößert zeigt, sich ohne weiteres ergibt.

Die Ablesung ist 124° 36'. Diese einfache Anordnung, daß 1/₁₀ von 10', also 1', geschätzt wird, ist sehr bequem. Das Instrument Fig. 17 § 56 S. 228 hat diese einfachen Strichmikroskope, worüber in „Zeitsehr. f. Verni. 1902“ S. 213—217 einiges Weitere mitgeteilt ist.

Bemerkenswert sind besonders noch die von Fennel eingeführten, neben den Mikroskopen in Fig. 17 8. 228 sichtbaren vertikalen Beleuchtungsröhrchen, welche oben mit einem Planglas geschlossen sind und Tageslicht unmittelbar auf die Ablesestelle bringen.

Genauer wird die Ablesung, wenn man bei stärkerer Vergrößerung eine ganze Hilfsteilung mit in die Bildebene des Mikroskps aufnimmt. In Fig. 2 z. B. sind die 11 Striche 10.. . 0 auf einem Glasplättchen in der Bildebene (K Fig. 1 oder 2 § 55 S. 213) des Mikroskops eingerissen, und somit fest im Mikroskop. Der Abstand 10... 0 ist gleich einem Intervall der Kreisteilung. Die Teilstriche des Limbus erscheinen im Mikroskop beträchtlich dicker als die Skalenstriche ; infolgedessen läßt man in neuerer

Zeit die ersteren zur Erhöhung der Genauigkeit spitz auslaufen, so daß lediglich die Spitze in Betracht kommt. Da der Kreis in 20' geteilt ist, so gibt ein Skalenintervall 2' an, und der Abstand des Nullstrichs der Skala vom vorhergehenden Limbus-strich ist in Fig. 2 gleich 3,4 Intervallen oder gleich 6,8'. Bequem ist es bei der vorliegenden Anordnung, lediglich Doppelminuten abzulesen, in Fig. 2 z. B. 23,4, und dann die Ablesungen beider Mikroskope zu addieren ; die Summe beider Ablesungen gibt sofort das arithmetische Mittel in Minuten.

Fig. 2.

Gesichtsfeld, des Skalenmikroskops (von Otto Fennel Söhne in Cassel.)

10 0

Häufig wird der Kreis auch mit 10'

26

ro

Teilung versehen, so daß man mit dem Skalenmikroskop unmittelbar Minuten schätzen kann.

Die Ablesung an Skalenmikroskopen ist auch sehr geeignet für zentesimale Kreisteilung.

Ein Skalemnikroskop muß mit seinen Strichen (0' und 10' in Fig. 2) auf die abzulesende Teilung gestimmt werden, wie das sogleich beim Schraubenmikroskop behandelt werden wird, vgl. auch § 55 S. 214.

Einiges Weitere über Skalenmikroskope ist angegeben von Hensoldt „Zeitsehr. f. Verra. 1879“ S. 497-505, Schmidt 1879 S. 505-507 , Hahn 1880 S. 202-207, Breithaupt 1880 S. 207—210, Spindler 1880 S. 240-243.

II. Das Scliraubenmikroslcop.

Fig. 3. Schraubenmikroskop.

^ TCsHj

■"_F

Fig. 3 zeigt das Innere des Mikroskopkastens zu dem Mikroskop des Instrumentes Fig. 19 S. 230. In dem Kasten K ist ein Schlitten A, welcher zwei Parallelfäden F trägt. Der Schlitten A samt diesen Parallelfäden F wird durch die Schraube S, welche durch die Federn C, C mit ihrer Spitze gegen die feste Platte P gedrückt wird, bewegt, und man kann da-durch die Fadenmitte F über einen im Gesichtsfeld sichtbaren Teilstrich G' ein stellen (so daß der Strich zwischen den Fäden erscheint).

Die Verschiebungen des Fadens F sind den Umdrehungen der Schraube S proportional; wir wollen der Einfachheit wegen zunächst annehmen, daß eine Umdrehung der Schraube S und der Trommel B gerade den Faden F von einem Teilstrich zum folgenden Teilstrich verschiebt. Eine Trommel B auf der Achse der Schraube S ist dem Intervall zwischen zwei Teilstrichen entsprechend eingeteilt, so daß man an der Trommel B jeden Bruchteil eines Kreisintervalls messen und am Zeiger I Fig. 4 S. 238 ablesen kann.

Ein toter Gang der Schraube S wird möglichst unschädlich gemacht durch die Spiralfedern C (Fig. 3). Um eine gewisse Stellung des Fadens F im Gesichtsfelde als

Normalstellung zu bezeichnen, dient eine dünne Platte P (Fig. 4), welche durch das Verbindungsstück I) mit dem Kasten K in Verbindung steht, g In Fig. 4 und 5 ist diese Deckplatte P oder P' besonders gezeichnet.

Die Deckplatte P Fig. 4 trägt in der Öffnung für das Gesichtsfeld einen Zeiger Z, unter welchem die Normalstellung der Fäden ist, oder wenn nicht eine Umdrehung der Schraube die Fäden von einem Teilstrich des Kreises zum folgenden schiebt, sondern z. B. fünf Umdrehungen, so müssen fünf Zeiger /f nebeneinander, d. h. ein sogenannter „Dechen“ vorhanden sein (Fig. 5), damit die einzelnen Umdrehungen der Schraube abgezählt werden können. Der Anfangszahn des Dechens kann etwa noch besonders als Hauptzeiger gestaltet sein.

Fig. 5. Deckplatte mit Rechen R.

Fig. 4. Deckplatte mit Zeiger Z.

G'

ii

■Hfl

Fig. 6. Gesichtsfeld des Mikroskops.

wm

tri

m.

6C

7°

Wmm,

Die Deckplatte P oder P' mit dem Zeiger Z oder dem Dechen P kann mit Hilfe der Schraube F (Fig. 3—5), gegen welche die Feder G drückt, etwas verschoben werden, damit die Normalstellung der Fäden der Ablesung Null an der Trommel P> entspricht.

Fig. 7.

Normalstellung.

Damit ist die Konstruktion und die

Ablesestellung.

\T7

ui O

i?

<P 4,

° er o__

■A

Wirkungsweise des Schraubenmikroskops genügend erklärt, und wir können den Vorgang beim Einstellen und Ablesen an Fig. 0 und Fig. 7 (zu dem Theodolit Fig. 19 § 56 S. 230) näher verfolgen.

Der Ivreis ist in —

12

Grade = 5' ge-

teilt, und eine Trommelumdrehung schiebt die Fadenmitte von einem Strich zum folgenden.

wird die Fadenmitte zwischen zwei Teilstriche gebracht, z. B.:

Bei normaler Trommelstellung A

Strich links 6° 25'

Fadenmitte

Strich rechts 6° 30'.

Nun dreht man mit der Schraube die Fadenmitte auf den linken Strich 6° 25' und liest an der Trommel hierfür ab : 2' 26”. Dann ist die ganze Ablesung :

6° 25' + 2' 26” = 6° 27 26”.

Wir geben hierzu noch mit Fig. 8 (nach Bamberg, „Anweisung zur Behandlung der Instrumente usw.“.

Berlin 1883) eine Darstellung der mechanischen Einrichtung eines Schraubenmikroskops im ganzen:

Dabei ist x das Objektiv, a das Ramsdensche Okular, b das Schraubenmikrometer, c das äußere Mikroskoprohr, d das in c verschiebbare Objektivrohr, e der m‘

Lichtwerfer. Das Mikroskop ist mit Klemmringen f und g an Trägern befestigt und kann darin verschoben und mittels Klemmschrauben festgeklemmt werden. Durch Yerschiebung des Objektivrohrs d in c kann die Vergrößerung im Verhältnis der Kreisteilung zur Ganghöhe der Mikrometerschraube abgestimmt werden.

Fig. 8.

Schraubenmikroskop zu Fig. 19 § 56 S. 230.

.. —

h.

FT

Üf

Stimmen des Mikroskops auf die Teilung.

Die soeben bei Fig. 8 erwähnte Verschiebung des Objektivrohrs d in c und die Verschiebung des ganzen Mikroskops in den Klemmungen f und g entspricht der Theorie, welche bereits früher in § 55 mit Fig. 3 S. 214 behandelt worden ist. Es handelt sich darum, ob die Bewegung der Fadenmitte, von einem Strich zum folgenden Strich, genau durch eine Umdrehung der Schraube (oder eine ganze Zahl von Umdrehungen) bewirkt wird.

Dieses erfährt man dadurch, daß man den Abstand je zweier Nachbarstriche mittels der Trommel an vielen Stellungen der Teilung mißt.

Stimmt die Umdrehung nicht genügend auf die Teilung, so muß man mit fortgesetztem Hinauf- und Herabschieben die Stimmung durch Probieren erlangen, wozu die Theorie von § 55 S. 214 die Wege näher weisen kann. Im übrigen sei hier noch bemerkt, daß man zu Messungen III. und II. Ordnung die Vergrößerung der Mikroskope auf die Teilungen abstimmt, so gut es geht, und die noch bleibenden kleinen Stimmungsfehler in den übrigen Teilungs- und Ablesungsfehlern usw. aufgehen läßt. Einen Teil des Vergrößerungsfehlers bringt man auch schon dadurch weg, daß man die Fadenmitte stets auf beide Striche, links und rechts, einstellt, und aus beiden Ablesungen das Mittel nimmt.

Zu allen Schraubeneinstellungen ist zu bemerken, daß man immer nur in einem bestimmten Sinn, z. B. von rechts nach links, einstellen soll, weil man nie darauf rechnen kann, daß die Schraube völlig ohne toten Gang ist, und weil ein toter Gang durch dieses Verfahren tunlichst unschädlich gemacht wird; die letzte Drehung der Mikroskoptrommel geschieht stets im Sinne des- Hineinschraubens, also rechts herum. (Dasselbe gilt auch von der Feinstellung der Alhidade.)

Die ganzen Grade kann man in dem kleinen Gesichtsfelde des Mikroskps nicht immer ablesen. Das Mikroskop gibt z. B. 27' 26” und die zugehörigen Grade muß man oft anderwärts, z. B. an einem besonderen Zeiger oder dergleichen suchen. Das wird vermieden, wenn der ganze Kreis durchlaufend von 1° zu 1° beziffert ist, Avie bei dem Instrument von Bamberg Big. 20 und dein von Wanschaff Big. 21 § 56 S. 231 und 232 der Ball ist. Man sieht dann mit einem Blick die ganzen Grade und Zehner-minuten, z. B. 46° 20', avozu noch 7'26" an der Trommel kommt, es ist also im ganzen 46° 27'26".

////

ange-

Doppelsekunden. Bei vielen Instrumenten ist die Bezifferung der Trommel nicht geradezu nach Sekunden, sondern nach Doppelsekunden gemacht, das hat den ZAA’eck, bei der Mittelbildung aus den Ablesungen zweier Mikroskope das Halbieren zu ersparen, wie folgendes Beispiel zeigt, wobei die Doppelsekunden durch das Zeichen deutet sind.

Bezifferung nach Sekunden 50° 36'+ 3' 6" + 3' 41"

Mikroskop I. Mikroskop II.

Bezifferung nach Doppelsekunden 50° 36' -t- 3' 3,0"" + 3' 20,5""

Summe Mittel

Gesamtablesung

Dieser kleinen Ersparung an Kechenarbeit stehen auch einige Nachteile gegenüber. Z. B. Avenn Messungen an einem Mikroskop für sich allein stehen, wie hei Untersuchungen von Teilungsfehlern usw., sind die Doppelsekunden nur hinderlich. Verfasser hat an allen seinen Instrumenten einfache Sekundenbezifferung.

Bür Triangulierung II.—III. usav. Ordnung ist dem Landmesser zu raten, die Mikroskope auf die Teilung abzustimmen so gut es geht, und dann die Ablesungen, sei es an einem oder je an zAvei Strichen, zu benützen, Avie sie ausfallen. Wenn man stets auf beide Striche links mul rechts von der Badenmitte einstellt, kann man beide Ablesungen aufschreiben oder auch sofort im Kopf das Mittel nehmen und nur dieses aufschreiben.

+ 6' 47"

+ 3’ 23,5"

50° 39' 23,5"

23,5""

23,5"

50° 39' 23,5"

Dagegen bei Triangulierung I. Ordnung wird man jedenfalls auf beide Striche einstellen, beide aufschreiben und nicht bloß das Mittel nehmen, sondern man kann auch den Vergrößerungsfehler des Mikroskops in Rechnung bringen, wie bei der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme geschieht, in folgender Weise :

Es sei durch die Trommelablesungen an je zwei aufeinanderfolgenden Teilstrichen ermittelt, daß hierbei die Trommel nicht, wie sie soll, z. B. 5'= 300", sondern 300" -)- b gibt, oder allgemeiner t -}- 5, dann ist :

1 Trommelteil = 1--Sekunden.

AA’enn man nun sowohl auf den Strich links als auch auf den Strich rechts einstellt, und dabei bzw. I und r erhält, so ist :

die verbesserte Ablesung links =l(l — -y)

lö

die verbesserte Ablesung rechts —t — (t —

4-4)

i * — r R

— r -j----o •

Das Mittel ist :

oder = a -j- A.

Zu dem arithmetischen Mittel a der Ablesungen am linken und rechten Strich kommt also noch eine kleine Verbesserung:

Hiernach kann für gegebene Verhältnisse ein Hilfstäfelchen berechnet worden.

Vergleichung zwischen Nonien und Mikroskopen.

Wenn es sieh um die Erreichung der äußersten Ablesungsschärfe handelt, so hat das Schraubenmikroskop den Vorzug, weshalb es bei Triangulierungen I.—II. Ordnung, wohl auch III. Ordnung fast ausschließlich angewendet wird.

Bei den gewöhnlichen Feldwinkelmessungen dagegen, zum Zweck von Polygonzügen und kleinen Triangulierungen III.—IV. Ordnung u. dgl., hei denen die reine Ablesegenauigkeit nicht von so hervorragender Bedeutung ist, hei denen die genaue Zentrierung des Instruments, Zentrierung und lotrechte Stellung der Baken und vieles andere, mehr Einfluß auf die Güte der Arbeit hat, als allein die Ablesung der Winkel, wird der Nonius nicht verdrängt werden. Die Nonien sind viel weniger Beschädigungen ausgesetzt als die Mikroskope, und wohlfeiler als letztere; sie erfordern, wenn einmal richtig, niemals mehr eine Stimmung wie die Mikroskope. Die Nonienablesung geht hei zweckmäßiger Anordnung vielleicht auch etwas rascher von statten als die Trommeldrehung und Ablesung, und steht der Mikroskopablesung an Genauigkeit nicht so sehr nach; z. B. ist für ein Instrument mit Schraubenmikroskopen wie Fig. 20 u. 21 S. 231 und 232 für eine in beiden Fernrohrlagen gemessene Richtung (§ 76) ein mittlerer Fehler von etwa +. 2” zu erwarten, für einen Nonientheodolit gleicher Größe bei 20” Nonienangabe etwa + 5—6”. Daß die Ablesung auf 1' am einfachen Strichmikroskop (Fig. 1 S. 236) bei für manche Zwecke hinreichender Genauigkeit bequem ist und äußerst rasch geht, liegt auf der Hand. Ebenso ist die Ablesung am Skalenmikroskop bequem ; letzteres steht in bezug auf Genauigkeit etwa zwischen Nonius und Schraubenmikroskop, bedarf aber auch der Prüfung und Berichtigung.

Indessen mancher liest lieber am Mikroskop ab als am Nonius.

Ob ein Nonius richtig geteilt ist, kann jeder nach dem Augenschein der Übergreifungen usw. beurteilen ; ob aber eine Mikroskopschraube nicht erhebliche periodische und andere Fehler hat, ist nicht so leicht zu entscheiden (vgl. hierzu unsern III. Band .,Handb. d. Venu. 5. Aufl. 1907“ § 5). Die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme gibt ihren Trigonometern nur solche Mikroskopinstrumente in Gebrauch, deren Schrauben von einem besonders zu diesem Zwecke angestellten Sachverständigen untersucht und richtig befunden sind.

Mechaniker Heyde in Dresden beschreibt in der „Zeitsehr. f. Instrumentenkunde 1888“ S. 171 bis 175 einen Theodolit mit einer anderen Art mikrometrischer Ablesung. Das Instrument trägt auf einer besonderen in der Kreisachse laufenden Alhidade ein paar Strichmikroskope mit Doppelfäden und die Ablesung erfolgt durch die Angabe einer der Feinstellung entsprechenden Mikrometerschraube, nachdem der Doppelfaden eines Mikroskops auf den betreffenden Teilstrich eingestellt wurde ; zu beiden Mikroskopeinstellungen und Ablesungen wird demnach nur eine Mikrometerschraube gebraucht.

§ 59. Die Achsenfehler des Theodolits.

Wir betrachten drei eigentliche Theodolitachsen und eine Libellenachse, also im ganzen vier Achsen. Dieselben sind (mit Veranschaulichung durch die nachfolgenden schematischen Figuren 1 und 2) die folgenden :

1.    die Vertikalachse V

2.    die Horizontalachse H

3.    die Zielachse Z (Kollimationsachse).

Hierzu noch:

4. eine Libellenachse L.

Zwischen diesen vier Achsen müssen folgende Beziehungen bestehen:

Allgemeim Bedingungen.

[1]    Z _L H , Zielachse rechtwinklig zur Horizontalachse.

[2]    ÜF, Libellenachse rechtwinklig zur Vertikalachse.

[8] HA. V , Horizontalachse rechtwinklig zur Vertikalachse.

Diese drei allgemeinen Bedingungen nehmen verschiedene Formen an. je nach der Anordnung der Libelle.

Wir betrachten die zwei verschiedenen Libellenanordnungen, welche schon bei 9. § 56 S. 224 besprochen worden sind, und indem jeweils nur eine Libelle vorausgesetzt wird, haben wir folgende schematische Darstellung, welche wir voranstellen :

II. AThidadenlibeUe.

I. Horizontalachsenlibelle.

(Vertikalachsenlibelle.) Fig. 2.

(Beiterlibelle.)

Fig. 1.

für I und II gemeinsam

1.    Z±H

2.    L J_ V

3.    HA. V.

1.    ZA.H

2.    L parallel 7/ 8.117

Nach dieser schematischen Einteilung, welche vielleicht nach der ausführlichen Behandlung noch mehr Bedeutung gewinnt, gehen rvir zu den Einzelheiten über:

1. Die Frage, ob die Zielachse rechtwinklig zur Horizontalachse ist, betrifft beide Anordnungen I und II gemeinsam und wird in beiden Fällen am besten vorausgeschickt. Man kann die Untersuchung auf folgende vier Arten machen :

a) (Fig. 3.) Bei beliebig aufgestelltem Instrument I wird ein Punkt A angezielt und dann das Fernrohr umgelegt (Lager vertauscht). Dann muß beim Kippen des Fernrohrs der Punkt A abermals am Fadenkreuz erscheinen. Erscheint statt dessen ein anderer Punkt A'. so ist AIA' der doppelte Zielachsenfehler und man hat die Hälfte des sich zeigenden Fehlers AIA' durch seitliche Verschiebung des Fadenkreuzes wegzuschaffen, in dem Sinn, welchen der unmittelbare Anblick verlangt. (Vgl. Fig. 13 S. 223.)

Fig. i.

A\WA"

A’\

b) (Fig. 4.) Außer dem Umlegen des Fernrohrs (das zuweilen durch den Höhenkreis verhindert wird) kann man auch Durchschlagen mit Drehen um 180° in folgender Weise benützen: Es wird ein Punkt A angezielt und dann das Fernrohr durchgeschlagen, so daß es nach A' gerichtet erscheint. Dann dreht man mittels der Kreisteilung die Al-hidade und mit ihr das Fernrohr um 180°, so daß es nach A" gerichtet wird. Wenn nun A" nicht mit A zusammenfällt, so ist A J A" der doppelte Zielachsenfehler, dessen Hälfte wie bei a) weggeschafft wird.

Oft ist es bequemer, nach dem Durchschlagen wieder auf den

ersten Punkt A einzustellen und umgekehrt an der Teilung nachzusehen, ob die Drehung genau 180° war. Z. B. man stellt das Fernrohr auf einen Punkt A ein. und liest entsprechend am Kreis mit einem Nonius ab: 127° 16' 0'', darauf schlägt man das Fernrohr durch, zielt denselben Punkt A nochmals an, und liest an demselben Nonius ab: 307° 19'0"; dann beträgt der doppelte Fehler 3'0’' und man berichtigt den Fehler, indem man den Nonius auf 307° 17' 30" stellt und dann das Fadenkreuz seitlich so verschiebt, daß es den Punkt A deckt.

Wir haben hier nur von einem Nonius (oder Mikroskop) gesprochen; wenn die entsprechende Behandlung am zweiten Nonius ein abweichendes Resultat geben sollte, so nimmt man das Mittel aus beiden Resultaten; übrigens ist im vorliegenden Falle eine Unsicherheit von 10"—20" unerheblich.

Die so beschriebene Untersuchung stellt sich bei praktischen Winkelmessungen immer von selbst ein; man kann in jedem Feldsehreibbuch naclisehen, ob das Instrument einen erheblichen Zielachsenfehler hatte, indem man zusieht, ob zusammengehörige Ablesungen in zwei verschiedenen Fernrohrlagen um 180° verschieden sind.

Die bisher beschriebenen zwei Methoden ä) und b) reichen zur Untersuchung* des Zielaehsenfehlers immer aus, sie sind sehr bequem, weil man sie, ohne ins freie Feld zu gehen, auf einer festen (steinernen) Fensterbank anwenden kann. Der theoretischen Vollständigkeit wegen führen wir noch zwei andere Methoden an:

Fig. 5.

c)    (Fig. 5.) Nachdem mit dem Instrument I ein Punkt A angezielt worden ist, wird durchgeschlagen, und ein zweiter Punkt B angezielt. Wenn die drei Punkte AIB nicht in einer Geraden liegen, was in A oder in B untersucht werden muß, so ist der Winkel BIB' der doppelte Zielachsenfehler.

Diese Untersuchung kann man nicht gut anders als im freien Feld mit Bakenabsteckung machen.

ß I ! \B'

Fig. 6.

d)    (Fig. 6.) Es wird ein Punkt A angezielt, das Fernrohr durchgeschlagen und ein zweiter Punkt B angezielt. In der zweiten Fernrohrlage wird nochmals A angezielt, und dann das Fernrohr nochmals durchgeschlagen. Wenn statt B ein anderer Punkt B' erscheint, so ist BIB' der vierfache Zielachsenfehler.

Hier kann wenigstens der erste Zielpunkt A ganz willkürlich sein ;

B und B' sind durch Bakeneinweisung oder Ablesung an einer horizontal gelegten Latte zu gewinnen.

b'

Nach Erledigung des Zielachsenfehlers tritt die schon oben bei Fig. 1 und Fig. 2 S. 242 vorbereitete Unterscheidung nach der Libellenanordnung ein:

Anordnung I. HorizontalachsenlileUe (Beiterlibelle). (Fig. 1 S. 242.)

2. Die Libellenachse soll parallel der Horizontalachse sein.

Das Verfahren der Libellenberichtigung ist bereits S. 179 u. 180 erläutert worden. Die Reiterlibelle wird auf die horizontale Achse aufgesetzt und mittels der Stellschrauben zum Einspielen gebracht; dann setzt man die Libelle auf der Achse um und verbessert die Hälfte des sich zeigenden Ausschlags an der vertikal wirkenden Korrektionsschraube der Libelle und die andere Hälfte an den Stellschrauben des Theodolits.

Man kann auch, wie S. 180 gezeigt wurde, den Spielpunkt der Libelle in bezug auf die Horizontalachse ermitteln, die Luftblase mit den Stellschrauben des Theodolits auf den Spielpunkt einstellen und hierauf die Libelle mit ihren Korrektionsschrauben einspielen lassen.

Hierbei ist noch eine Nebenfrage zu erledigen, betreffend die sogenannte Libellenkreuzung. Wenn man nach Ausführung der vorher erwähnten Libellenberichtigung die Heiterlibelle seitlich dreht und dabei ein Ausweichen der Blase beobachtet, so hat man die Libelle mittels der seitlich wirkenden Korrektionsvorrichtung in der Fassung zu verschieben, und zwar nach folgender leicht zu begründenden Kegel. Wenn die Libelle so vor dem Beobachter aufgestellt ist, daß er das eine Libellenende zur linken Hand und das andere zur rechten Hand hat, und wenn dann beim Drehen der Libelle herwärts gegen den Beobachter die Blase dem rechten Libellenende zuläuft, so ist das rechte Libellenende dem Beobachter zu nähern, und umgekehrt.

3. Die Libellenachse soll rechtwinklig zur Vertikalachse sein.

Es wird zuerst mit Benützung der Reiterlibelle und der drei Stellschrauben des Theodolits ein allgemeiner Versuch gemacht, die Vertikalachse lotrecht zu stellen; wenn es sich hierbei zeigt, daß es nicht möglich ist, die Reiterlibelle allgemein zum Einspielen zu bringen, so liegt die Libellenachse nicht senkrecht zur Vertikalachse. Die Berichtigung erfolgt nach S. 181, wobei jedoch die Justierschrauben des Horizontalachsenlagers statt der Libellenschrauben benützt werden. Man stellt die Horizontalachse parallel zur Verbindungslinie zweier Stellschrauben und bringt mit diesen die Reiterlibelle zum Einspielen. Dann wird die Alhidade (ungefähr) um 180° gedreht und zunächst die Hälfte des sich zeigenden Libellenausschlags mittels der Stellschrauben des Theodolits weggeschafft. Die andere Hälfte des Libellenausschlags wird an den Lagerschrauben durch Heben oder Senken des einen Horizontalachsenlagers weggeschafft (vgl. Fig. 9—12 § 56 S. 222). Nach diesem dreht man noch das Instrument um 90° und bringt in dieser Lage den ganzen sich zeigenden Libellenausschlag mit den Stellschrauben zum Verschwinden.

Auch hier kann man, wenn die Horizontalachse nicht zu stark verstellt ist, zunächst den Spielpunkt nach S. 181 bestimmen, hierauf die Vertikalachse lotrecht stellen und dann die Libelle mit Hilfe der Schrauben am Horizontalachsenlager einspielen lassen.

Anordnung II. AlhidadenUbeUe ( VertikalachsenMbeUej. (Fig. 2 S. 242.)

1.    Die Zielachse soll rechtwinklig zur Horizontalachse sein.

Diese Untersuchung (welche für die Libellenanordnungen I und II dieselbe ist) haben wir schon mit Fig. 3 — 6 S. 242—243 erledigt, es folgt also sofort:

2.    Die Libellenachse soll rechtwinklig zur Vertikalachse sein. Dieses wird ähnlich wie bei I 3. behandelt, indem man unmittelbar das Verfahren von S. 181 anwendet :

Es wird zuerst ein Versuch allgemeiner Lotrechtstellung der Vertikalachse gemacht ; wenn es sich hierbei zeigt, daß es nicht möglich ist, die Libelle allgemein zum Einspielen zu bringen, so stellt man sie parallel der Verbindungslinie zweier Stellschrauben und bringt sie mit diesen Stellschrauben zum Einspielen. Dann wird die Alhidade (samt der Libelle) um 180° gedreht und die Hälfte des sich zeigenden Ausschlages mittels der Korrektionsschraube der Libelle weggeschafft.

Dadurch ist die Libellenachse rechtwinklig zur vertikalen Achse gemacht worden ; um zugleich die vertikale Achse genau vertikal zu machen (das Instrument horizontal zu stellen), schafft man die noch übrige zweite Hälfte des Libellenausschlags mittels der Stellschrauben des Instruments weg. Dann dreht man die Alhidade samt der

Libelle um 90° und bringt den sich jetzt zeigenden ganzen Ausschlag mittels der dritten Stellschraube zum Verschwinden.

Hat man nicht eine Köhrenlibelle, sondern eine Dosenlibelle fest verbunden mit der Alhidade, so bringt man dieselbe bei feststehender Alhidade mit den Stellschrauben zum Einspielen, dreht dann die Alhidade samt der Libelle und korrigiert in derjenigen Stellung, in welcher der größte Ausschlag entsteht, die Hälfte des Ausschlags an den Korrektionsschrauben der Dosenlibelle und, um zugleich die vertikale Achse vertikal zu machen, die andere Hälfte mit den Stellschrauben, worauf beim Drehen der Alhidade die Dosenlibelle allgemein einspielen wird.

3. Die Horizontalachse soll rechtwinklig zur Vertikalachse sein.

Nachdem die Vertikalachse infolge der unter 2. besprochenen Operationen vertikal gestellt worden ist, wird von der Horizontalachse verlangt, daß sie in jeder Lage horizontal ist.

Wenn man sich zwei mit der Instrumentenmitte in einer vertikalen Ebene liegende Punkte verschaffen kann, so müssen beim Niederkippen des Fernrohrs (bei feststehender Alhidade) beide Punkte am Fadenkreuz erscheinen.

Zwei Punkte liegen jedenfalls mit der Instrumentenmitte in einer vertikalen Ebene, wenn sie in einer und derselben vertikalen Geraden liegen. Dieses führt zunächst zu der folgenden anschaulichen Prüfungsmethode:

a) Es wird eine lange Senkelschnur aufgehängt und zugesehen, ob beim Niederkippen des Fernrohrs das Fadenkreuz immer an dieser Schnur bleibt. Das Pendeln des Senkels kann dadurch vermindert werden, daß man das Senkelgewicht in ein Gelaß mit Wasser tauchen läßt. (Für eine rohe Untersuchung, Feststellung der Abweichung, genügt auch wohl sta£t der Senkelschnur eine vertikale Hauskante.)

genau lotrecht steht.

aber mit der Instrumentenmitte in einer vertikalen Ebene liegen, erhält man folgen

V) Projektion auf eine horizontale Latte P' Q P" (Fig. 7). Schärfer lotet man mit dem Instrument seil,st* ab, wobei nur die Bedingung ist, daß die Vertikalachse Zwei Punkte, welche zwar nicht in einer vertikalen Geraden,

dermaßen :

Fig. 7.

Es wird ein hochgelegener Punkt P angezielt , und durch Niederkippen des Fernrohrs auf eine unten befestigte horizontale Teilung (Maßstab, Nivellierlatte) projiziert. Dieses wird nach erfolgtem Durchschlagen wiederholt, und wenn das zweitemal nicht derselbe Projektionspunkt P' erhalten wird wie das erstemal, sondern ein anderer Punkt P", so ist der zwischen P' und P" in der Mitte liegende Punkt Q der richtige Projektionspunkt, welcher dann mit P denselben Dienst leistet, wie die Lotschnur.

T' Q T"

c) Künstlicher Horizont (Fig. 8 S. 246). Man verschafft sich einen horizontalen Spiegel A13 und läßt einen hochgelegenen Punkt P sich in diesem Spiegel reflektieren, so daß man sein Spiegelbild P' unten sieht. (Fig. 8 gilt zunächst für P unendlich entfernt, in der Hauptsache aber auch für jede Entfernung.)

Dann stellt man den Theodolit so auf, daß man sowohl den hochgelegenen Punkt P als auch das Spiegelbild P' beim Auf- und Niederkippen im Gesichtsfelde des Fernrohrs findet. Hat man nun den oberen Punkt P scharf angezielt, so soll beim Niederkippen des Fernrohrs auch der untere Punkt P' am Fadenkreuz erscheinen.

Als horizontaler Spiegel A B kann eine Schale mit Flüssigkeit genommen werden (Quecksilber, Wasser mit etwas Tinte vermischt usw.); hei ruhiger Luft genügt dieses, und hei bewegter Luft kann man eine Schutzhülle (Fig. 9) anwenden. (Über Glashorizonte usw. ist weiteres mitgeteilt in des Verfassers „Grundzüge der astron. Zeit-und Ortsbestimmung, Berlin 1885“ S. 162—167.)

Fig. 8.

Künstlicher Horizont.

Fig. 9. Schutzhülle.

CP

p'_

Das Gefäß oder den Spiegel AB stellt man dem Theodolit ganz nahe; trotzdem ist die Okularstellung für P und P' dieselbe, weil nicht die wirkliche Entfernung des Gefäßes oder Spiegels AB, sondern die scheinbare Entfernung des Punktes P' für die Okularstellung maßgebend ist.

Bei allen hier genannten drei Methoden a), b), c) wird ein sich zeigender Fehler durch Heben oder Senken des einen Fernrohrlagers (Fig. 9-—12 § 56 S. 222) weggeschafft, und zwar ist das rechte Lager zu heben (oder das linke zu senken), wenn das Fadenkreuz beim Abwärtskippen nach rechts abzuweichen scheint, weil das Fernrohr die Gegenstände umgekehrt zeigt.

Bei der Methode c) ist die Hälfte des sich zeigenden Fehlers wegzuschaffen, bei a) und b) ebenfalls die Hälfte dann, wenn die Ziellinien nach den beiden maßgebenden Punkten um gleich viel aufwärts und abwärts gegen den Horizont geneigt sind. Wenn die Neigungen der Visuren nicht gleich sind, so ist die Verbesserung" danach zu bemessen, daß bei horizontaler Ziellinie der Fehler der Horizontalachse unschädlich ist. Wenn also z. B. bei der Methode b) (Fig. 7 S. 245) Q in der Instrumentenhöhe liegt, so wird man zuerst nach Q zielen, dann aufwärts kippen. und den ganzen bei P sich zeigenden Fehler mittels der Lagerschrauben wegschaffen; wenn dagegen z. B. die Ziellinie nach P doppelt so stark aufwärts als die nach Q abwärts geneigt ist, so wird man zuerst auf Q einstellen, und dann von dem bei P sich zeigenden Fehler aufheben usw. (streng genommen sind die Visurabweichungen den Tangenten der Höhenwinkel proportional, wie in § 61 gezeigt werden wird).

§ 60. Bemerkungen zu den Achsenfehlern des Theodolits.

Eliminierung von Achsen fei>lem.

Von den drei Achsenfehlern lassen sich zwei durch Durchschlagen des Fernrohrs eliminieren, nämlich der Zielachsenfehler und der Horizontalachsenfehler.

Um dieses einzusehen, braucht man nur sich klar zu machen, daß durch Durchschlagen des Fernrohrs diese beiden Fehler von links nach rechts oder umgekehrt

gebracht werden, daß also die Messung in beiden Fernrohrlagen zwei Werte gibt, deren arithmetisches Mittel von jenen Fehlern frei ist.

Soweit nicht die unmittelbare Anschauung des Theodolits selbst zum Verständnis dieser Behauptung führt, kann auch Fig. 3 § 59 S. 242 und Fig. 7 § 59 S. 245 zu Hilfe genommen werden.

Bei der Horizontalachse ist hierbei angenommen worden, daß sie nur deswegen nicht horizontal ist, weil sie nicht genau rechtwinklig zur Vertikalachse ist, welch letztere zunächst als genau vertikal gelten mag.

Ist die Vertikalachse seihst nicht genau vertikal, so entsteht ein Fehler in der Horizontalwinkelmessung, welcher weder durch Durchschlagen noch durch Umlegen usw. getilgt werden kann.

Wie der Vertikalachsen- oder Aufstellungsfehler mit dem eliminierbaren Horizontalachsenfehler zusammenwirkt, wird bei der späteren Berechnung der Fehlereinflüsse (§ 61) deutlicher gemacht werden.

Die Aufeinanderfolge der Prüfungen und Berichtigungen. muß nicht notwendig in allen Beziehungen so eingehalten werden, wie im vorigen § 59 angegeben ist.

Bei I. (Horizontalachsenlibelle) ist die Frage nach der Zielachse ganz unabhängig von den Libellenfragen, und braucht deswegen nicht notwendig vorangestellt zu werden; es ist nur nötig, daß die Libelle vorher parallel zur Horizontalachse gemacht wird, ehe ihre Rechtwinkligkeit zur Vertikalachse untersucht wird.

Bei II. (Alhidadenlibelle) ist umgekehrt die Zielachsenfrage jedenfalls vorher zu erledigen, ehe die Rechtwinkligkeit der Horizontalachse zur Vertikalachse in Betracht kommt.

Theodolit mit mehreren .Libellen.

Wenn nicht bloß eine Libelle vorhanden ist, sondern eine Horizontalachsenlibelle und eine Alhidadenlibelle, so kann man die oben unter I und II § 59 S. 243 und 244 beschriebenen Prüfungsverfahren beliebig verbinden, z. B. kann man zuerst nur die Horizontalachsenlibelle anwenden, und zum Schluß die Probe mit dem künstlichen Horizont machen. In der theoretischen Darstellung war es aber nötig, beide Libellenanordnungen auseinander zu halten.

Veränderlichkeit der Zielachse.

Die Zielachse hat, wie wir bereits S. 198 gesehen haben, keine unveränderliche Lage in bezug auf das Fernrohr, infolgedessen wird auch der Zielachsenfehler sich bei der Verschiebung des Okulars ändern. Wenn jedoch bei der Beseitigung des Zielachsenfehlers nach einem der S. 242 u. 243 beschriebenen Verfahren das eingestellte Ziel A in unendlich großer Entfernung liegt, so wird, wie sich leicht einsehen läßt, die „Hauptvisierachse“ senkrecht zur Horizontalachse gestellt, wodurch die Richtigkeit jener Verfahren für jeden Fall erwiesen ist.

Voraussetzung für das Vorhandensein der Hauptvisierachse ist nur, daß das Fadenkreuz sich beim Verschieben des Okulars in einer Geraden bewegt. Erfolgt diese Bewegung in einer beliebigen, aber feststehenden Kurve, so kann von der Beseitigung des Zielachsenfehlers für kurze Zielweiten nicht mehr die Rede sein; er kann dann nur durch Durchschlagen des Fernrohrs unschädlich gemacht werden. Das Fernrohr ist also so lange brauchbar, als der Okularauszug einen konstanten Gang hat.

t'berflüssige Feinheiten.

Der Zielachsenfehler (Kollimationsfehler) ist in allen Beziehungen ein wenig schädlicher Fehler für Feld- und Landwinkelmessung, und deswegen ist es für diese Zwecke auch nicht nötig, die besonderen Hilfsmittel kennen zu lernen, welche man in der Astronomie hat (Kollimatoren), um den astronomisch viel wichtigeren Kollimationsfehler genau zu untersuchen und zu bestimmen.

Ähnlich verhält es sich auch mit der Frage, ob die Zapfenenden der Horizontalachse genau gleichen Durchmesser haben. Für Feld- und Landmessung ist das wohl immer genügend der Fall. (Vgl. des Verfassers „Grundzüge der astron. Zeit- und Ortsbestimmung, Berlin 1885“ S. 46.)

Bei sorgfältiger Behandlung ist das oft wiederholte Prüfen und Berichtigen eines Theodolits in Hinsicht auf Aehsenfehler nicht nötig. Ob an den Libellen etwas fehlt, zeigt sich meist beim Gebrauche selbst, auch der Zielachsenfehler (Kollimationsfehler) zeigt sich aus den Ablesungen in zwei Fernrohrlagen immer unmittelbar.

In denjenigen Fällen, in denen etwa nur in einer Fernrohrlage gemessen oder abgesteckt wird, handelt es sich stets um weniger feine Messungen und hierfür ist es leicht, die Achsenfehler nach § 59 genügend zu berichtigen, so daß sie außer Betracht bleiben können.

Überhaupt spielen in der Landmessung die Theodolitachsenfehler nicht die Bolle, welche nach dem Umfang und der Ausführlichkeit ihrer Theorie vermutet werden könnte. Wenn Theodolitmessungen schlecht sind, so ist in der größten Mehrzahl der Fälle irgend etwas anderes Schuld als die Achsenfehler.

Trotzdem ist die Theorie dieser Fehler unentbehrlich, weil nur, wer das volle Verständnis hat, ermessen kann, wo und wieviel von den strengen Forderungen nachgelassen werden darf.

§ 61. Berechnung der Fehlereinflüsse der Theodolitachsenfehler.

Die nachfolgenden Berechnungen gehören mehr in die „höhere Geodäsie“, mögen jedoch auch hei der Feld- und Landmessung im Sinne der Triangulierung II. bis III. Ordnung von Nutzen sein.

Sphärische Differentialformeln als Vorbereitung.

In Fig. 1 ist ABC ein schmales Differentialdreieck mit der kleinen Seite c und dem kleinen Winkel Von B ist eine Senkrechte BB' gefällt, so daß ein kleines rechtwinkliges Dreieck A B' B entsteht, welches in erster Näherung als eben behandelt werden darf.

Fig. 1.

In dem ebenfalls rechtwinkligen Dreieck CBB' hat

hat man :

sin y =

sin y sin a

b.

Li]

x.

"y..

V-

setzen :

y = y sin a .

Mit gleicher Annäherung kann man auch mit A C = b y — y sin b . sin ß _ sin b sin a sina

Weiter ist

i-¹ i—i

,CO IO

l)a ß und a nahe gleich sind, entwickeln wir die Differenz ß —- a und setzen : ß = « + (ß — a) und entsprechend b = a h- x

sin b —■ sin a + x cos a

folglich nach [8] :

sin ß — sin a + (ß — a) cos a

[4]

[5]

a) cotg a = 1 x cotg a oder ß — a — x cotg a tang a. Es ist aber nach Fig. 1 : x tang a = y y = c sin a.

Hieraus mit Zuziehung von [1] :

ß — a = y cos a oder ß — a = c sin a cotg a .

(Die Formel [1] entspricht dem Parallelkreisbogen, und die Formel [5] entspricht der Meridiankonvergenz auf der Erdkugel.)

Nach dieser Vorbereitung gehen wir über zu der Berechnung, um wieviel ein

Horizontalwinkel falsch erhalten wird, wenn die drei Achsenfehler gewisse Werte haben.

1. Die Zielachse ist nicht rechtwinklig zur Horizontalachse, sondern sie macht mit der letzteren einen Winkel 90°

c, d. h. es ist c die Abweichung der Zielachse von der Lage, welche sie haben sollte, (c = Zielachsenfehler oder Kollimationsfehler.)

2. Die Horizontalachse ist nicht rechtwinklig zur Vertikalachse, sondern sie

macht mit derselben einen Winkel 90°

i, oder es ist i die Abweichung der Horizontalachse von der Lage, welche sie haben sollte. Wird die Vertikalachse als genau vertikal vorausgesetzt, so ist also i die Neigung (Inklination) der Horizontalachse gegen die wahre Horizontale.

3. Die Vertikalachse ist nicht genau vertikal, d. h. der Theodolit ist nicht richtig aufgestellt. Die Abweichung der Vertikalachse von der wahren Vertikalen, oder der Aufstellungsfehler sei = v.

Diese drei Achsenfehler c, i, v betrachten wir zunächst nicht gemeinsam, sondern unter der Voraussetzung, daß es sich um kleine Abweichungen handelt, einzeln, und bezeichnen die durch sie erzeugten Horizontalprojektionsfehler eines Zielstrahles bzw. mit (c), (?'), (ij. In der Rechnung werden c, i, v demnach als kleine Winkel behandelt.

Nun denken wir uns um die Instrumentenmitte (ideellen Schnittpunkt der drei Achsen) eine Kugel von beliebigem Halbmesser gelegt, um die in Betracht kommenden Winkelgrößen als Seiten und Winkel von sphärischen Dreiecken zu veranschaulichen.

Man denke sich dazu in den Fig. 2, 3, 4 S. 250, 251 den Kreis AB um I als den in die Ebene der Horizontalachse A B hinaufgehobenen Horizontalkreis, und an beliebiger Stelle den Nullpunkt der Teilung, sowie mit der Achse AB fest verbunden den Ablesezeiger ebenfalls in beliebiger Stellung. Nun ist zu untersuchen, um wieviel jeder der erwähnten Achsenfehler je für sich die Ablesung für eine bestimmte Einstellung beeinflußt.

1. Zielachsenfehler (Kollimationsfehler).

In Fig. 2 S. 250 ist AB die Horizontalachse, TZ die Vertikalachse, TZ'. IP, II)' sind die drei Lagen der falsch gerichteten Zielachse, welche die Winkel ZIZ' = QIP = CIJ)’ — c mit den entsprechenden richtigen Lagen IZ IQ IC der Zielachse machen, so daß der Zielachsenschnitt Z’ P ZF ein Parallelkreisbogen zum Normal

schnitt Z Q C ist.

Es ist ein Punkt P angezielt, dessen Höhenwinkel DIP — h ist. Wäre die Zielachse richtig, so würde die zur Kippachse normalstehende Ebene ZQC mit der Ebene Z PI) zusammenfallen; wegen des Fehlers c muß die Normalebene um den

Fig. 2.

PlcJOL

fl

\c

kl

ÜB’ C

Winkel CID gedreht werden.

Z Dieser Winkel, um den auch die sf    Alhidade gedreht werden muß,

f    stellt mithin den Einfluß des

!    Zielachsenfehlers dar. P Q sei

(X    ein Teil des durch A, P und

B gehenden Großkreises, der ZC rechtwinklig schneidet.

In dem schmalen rechtwinkligen Dreieck Z P Q, welches in Fig. 2 rechts nochmals besonders herausgezeichnet

wurde, ist nach der Vorbereitungsformel [1] zu setzen

c = Z sin (90 ⁰ — fi) oder c — Z cos h.

Der Winkel Z ist aber identisch mit dem Bogen DC oder dem Winkel CID, der nach dem Obigen den Einfluß (c) des Zielachsenfehlers c darstellt. Mithin ist

(1)

(2)

0- ' — -T •

cos h

Um zu überlegen, wie groß der Zielachsenfehler c etwa werden kann, denke man sich ein Fernrohr, dessen Brennweite =30 cm ist; steht dann das Fadenkreuz

um 0,1 mm falsch, so ist c =

0,1

300

(/ = 1,15'.

Bei horizontaler Zielachse ist (c) = c ;

um zu sehen, wie sich (c) mit dem Höhenwinkel der Zielachse ändert, ist der Betrag von (c) — c in der nachstehenden Tabelle für verschiedene Werte von c nach (2) zusammengestellt worden :

I. Einfluß des Höhenwinkels auf den Zielachsenfelüer.

Höhen Winkel h

1°

2°

3°

4°

5°

10°

20°

45°

10"

0,00"

0,01

2'

0,02

5'

0,05

10'

0,09

H    t-    CO    t-

O    O    O    T-l    CO

©    ©    ©    ©    ö'

j 0,01" I 0,02"

!    0,08    !    0,15

0,16    0,29

0,41    | 0,73 I

i 0,82 i 1,46

4"

25

50

2. Honzontcuachsenfelłler.

Z' z

Fig. 3.

90°-h

i,

dQ

ïï

Ai—

ävC

In Fig. 3 ist AB die Z richtige Lage der Horizontal-(i) achse, und A' B’ die um den Winkel i geneigte falsche Lage der Horizontalachse. Hie Zielachse bewegt sich daher heim Kippen des Fernrohrs in der Ebene C P Z' statt in der Ebene C Q Z, wie es sein sollte.

Wird ein Punkt P angezielt, so wird er fälscli-

lieherweise nach C projiziert, während er vom wahren Zenit Z aus nach D projiziert werden sollte, oder es ist DG — (i) der zu findende Projektionsfehler.

Dieser Wert (i) findet sich aber auch oben bei Z in dem Winkel P ZQ = (i), wie in der Nebenfigur von Fig. 3 S. 250 rechts besonders angedeutet ist. Hier erscheint auch der Winkel PCQ = i, und da auch die Höhe h = CQ, und das Komplement 90°—h — QZ ist, haben wir aus der Nebenfigur von Fig. 3 nach der Vorbereitungsformel [1] in zweifacher Anwendung:

und P Q = i sin h ,    (?) = i tang h.

PQ = (/) sin (90° — 7t)

(3)

(■i ) cos h = i sin h Hiernach ist folgendes berechnet:

II. Fehlereinfluß des Horizontalachsenfehlers i.

Höhenwinkel h

1°

2°

3°

4°

5°

10°

20°

45°

© rH C* O ©

0,17"    0,35"    0,52"    0,70"    0,87"

io"

1,05

2,10

3,14

4,20

5,25

1' 0

6,29    8,39    10,50

5,24    10,48    15,72    20,98 26,25

10,47    20,95    31,44    41,96    52,49

2,09

4,19

V» co

10 0

3. Vertikalachsen,fehler oder Aufstellungsfehler v.

Wir nehmen in Fig. 4 an, die Vertikalachse IZ' stehe schief, oder sie sei um den Winkel v gegen die wahre Vertikale IZ geneigt. Infolge hiervon hat die (zur Vertikalachse rechtwinklige) Kreisebene die Lage V KG' statt FKC, wobei der Winkel F' IF beider Ebenen gleich dem Fehlern der Vertikalachse ist. Wird irgend ein Punkt P angezielt, so wird er von ZZ aus nach E projiziert, während er von dem wahren Zenith Z aus nach 1) projiziert werden sollte.

Fig. 4.

D'.

■AZ

z z'

~\v

«8

z<

U¹

~ic’

Der zu berechnende Projektionsfehler ist also die Diiferenz (zunächst ohne Rücksicht auf das Vorzeichen):

FD — F' E

oder

(4)

u — u' = (r)

Die Winkel u und u', welche Mer als Bögen erscheinen, kommen bei Z und hei Z' auch als Zenitwinkel vor, wie in der Nebenfigur rechts bei Fig. 4 besonders

angedeutet ist. Wir können daher mit Anwendung der Vorbereitungsformel [5] sofort angeben :

u — u' = v sin u' cotg (90 ⁰ — li) oder, weil hier u' und u auch verwechselt werden dürfen :

(5)

u — u' — v sin u tang h = (r).

Man kann dieses Resultat (5) auch noch auf eine andere Art begründen: Wenn der Punkt P in Fig. 4 S. 251 angezielt werden soll, so muß die Horizontalachse die Lage A'B' haben, im Grundriß rechtwinklig zu IE, bzw. zu ID, wobei die Neigung gegen die wahre Horizontalebene — AIAr — i' sei. Man hat nun ein Dreieck AT AH', welches bei A rechtwinklig ist, und dessen Kathete K A wieder = u ist, weil FI) ■+- DK — 90° und DK-\-KA = 90°. Es ist also:

(6)

A A! — K sin K A, d. h. i' = v sin u.

Eine Horizontalachsenneigung i' erzeugt aber nach (3) einen Fehler:

(i) = %' tang h = v sin u tang h.

Dieses stimmt mit dem früheren (5) überein, und die Formel (5) oder (6) sagt nun : Der Vertikalachsenfehler v gibt zunächst eine Komponente v sin u auf die Horizontalachse, und dieses v sin u, als Horizontalaehsenfehler, erzeugt nach dem Gesetze (3) einen Projektionsfehler = (v sin u) tang Ji. Der Azimutwinkel u wird hierbei gezählt von der Richtung IF an, in welcher die größte Kreisneigung stattfindet.

Zusammenwirkung der drei Einzelfehler.

Wenn mit einem Theodolit gemessen wird, dessen Zielachse den Fehler c hat. dessen Horizontalachse den Fehler i hat, und dessen Vertikalachse bei der Aufstellung eine Neigung v gegen die wahre Vertikale erhalten hat, so, kombinieren sich die drei Einflüsse (c) (i) (v), und zwar ist der Gesamtfehler:

(7)

(s) = (e) + (») -+- (»).

Die Berechtigung dieser Addition (7) läßt sich so zeigen : Jedenfalls ist der Fehler (s) eine Funktion von c , i und v, welche verschwindet, wenn c , i und v einzeln = 0 werden. Denkt man sich diese Funktion mittels des Taylorschen Satzes nach Potenzen von c, i, v entwickelt, so sind die drei ersten Glieder der Entwicklung die Werte (c) , (t) , (v) ; und die Gleichung (7) stellt einen Näherungswert des Gesamtprojektionsfehlers vor, mit demselben Kecht, wie (c) , (*) und (v) einzeln unter Vernachlässigung der höheren Potenzen c- , /- usw., genügende Näherungswerte sind.

Wenn Glieder zweiter Ordnung in den Ausdrücken von (c), (i) oder (v) vorkämen, so würde die einfache Addierung nach (7) nicht zum Ausdruck des Gesamtprojektionsfehlers genügen, denn sonst würden die Produkte cv , ci , i v verloren gehen.

Felderformel für einen gemessenen Winkel.

Die bisherigen Betrachtungen beziehen sich immer nur auf einen Zielpunkt P, und geben den Projektionsfehler für denselben. Bei der Messung eines Winkels kommt noch ein zweiter Zielpunkt P' hinzu, und der Winkelfehler ist die Differenz der beim rechtseitigen und linkseitigen Zielstrahl begangenen Projektionsfehler. Wenn h und li' die beiden Höhenwinkel sind, und u und u' die Azimutalwinkel, von der Richtung der größten Kreisneigung an gezählt, so hat man die Gesamtformel für den Winkelfehler 1 :

A = c (sec h’ — sec li) i (tang li — tang h) + v (tang li sin li — tang h sin u).    (8)

Wenn h = li ist, so fallen die zwei ersten Glieder fort; dieselben fallen auch dann fort, wenn mit zwei verschiedenen Fernrohrlagen gemessen wird, denn beim

Durchschlagen ändert sich das Vorzeichen von c und von i. Für Messung mit Durchschlagen des Fernrohrs hat man also nur:

/!' = v (tang h' sin u' — tang h sin u).

(6)

Dieser Wert erreicht bei gleichen Werten h und h' sein Maximum in bezug auf u und u', wenn sin u' = — sin u, oder wenn :

u = ± 180°

u’ — u ist der zu messende Winkel, es wird also für h = IT der Fehler z/' am größten, wenn der zn messende Winkel nahezu 180° ist (was z. B. bei Polygonzügen der Fall ist). Nimmt man lï = h und u' — u = 180°, so wird:

= 2 v tang h ,

wofür Zahlenwerte aus der Tabelle II. S. 251 zu entnehmen sind.

u’

max

§ 62. Exzentrizität des Fernrohrs.

Es gibt Theodolite, bei welchen das Fernrohr nicht in der Mitte, sondern seitlich angebracht ist.

Solche Theodolite sind schon in § 56 S. 231 u. 283 beschrieben, und ein weiteres Beispiel dieses Falles geben wir noch in Fig. 1. Der Grund für die seitliche Anbringung des Fernrohrs besteht hier darin, daß dadurch bequemes Durchschlagen ohne hohe Träger, und Steilzielungen bis 60° und mehr, möglich gemacht werden. Das Instrument Fig. 1 hat diese Anordnung deswegen, weil es gleichzeitig zu astro-

Fig. 1.

Uli

nomischen Messungen und zu topographischen Aufnahmen (mit dem aufgesetzten Kompaß Ti) in der Libyschen Wüste 1873—1874 von uns benützt worden ist.

(Weiteres hierüber siehe in des Verfassers „Physische Geographie und Meteoro-

logie der Libyschen Wüste, Kassel 1876“, und „Grundzüge der astronomischen Zeit-und Ortsbestimmung, Berlin 1885“ S. 38.)

Die Exzentrizität des Fernrohrs wird mit ihrer Wirkung auf Horizontalrichtungsund dementsprechend Winkelmessung eliminiert, wenn man mit beiden Fernrohrlagen mißt (Durchschlagen) und aus den beiden hierbei erhaltenen Messungsergebnissen das Mittel bildet.

Dieses läßt sich mit Fig. 2 leicht zeigen: Wenn die Zielachse des Fernrohrs gegen die Kreismitte L eine Exzentrizität, etwa == e hat, so berühren alle Zielachsen

im Grundriß einen Kreis, der mit dem Halbmesser e um die Teilkreismitte L gezogen ist. Ist A ein Zielpunkt, so ist A L die zentrale Richtung und die Tangenten von A an den Exzentrizitätskreis sind die Zielachsen des exzentrischen Fernrohrs in seinen beiden Lagen. Die Richtungsabweichungen qp sind in beiden Fernrohrlagen gleich groß und entgegengesetzt, woraus zunächst schon zu schließen, daß das arithmetische Mittel der beiden Lagen den richtigen Wert angibt. Das gleiche gilt für B und andere Zielpunkte, ebenso für die aus den Richtungen abgeleiteten Winkel. Für die zwei Zielpunkte A und B ist der Winkel, den man messen will :

AL B = a .

Wegen der Exzentrizität mißt man aber in liage I den Winkel a’ und in Lage II. den Winkel a". Aus Fig. 2 entnimmt man : a' -+- ß + <p = 180°

a -+* y -+- <p = 180°

Aus diesen vier Gleichungen findet man:

a «" = 2 a oder a =

Fig. 2.

<p ft

ABA

d!

\/l

a" -+- y + ip = 180° a-hß-hip = 180°.

a’ + a"

(1)

(2>

(S)

nämlich :

Damit ist der oben ausgesprochene Satz bewiesen.

Die vier Gleichungen (1) und (2) geben auch die Differenzen von a, a' und u",

(4)

a —- a" = 1p — cp ci" — a' = 2 (qp — tp).

Die Parallaxenwinkel qp und ip bestimmen sich aus der Exzentrizität e und ■den Entfernungen der Zielpunkte A und B. Setzt man diese Zielweiten = a und = b, .■so hat man:

a — a' — cp — ip

(5)

e

VJ = h a •

e = 0,1 rn und a = 1000 m gibt qp = 21".

Die Prüfung und Berichtigung der Achsenfehler muß bei exzentrischem Fernrohr teilweise ein wenig anders gemacht werden, als in § 59 angegeben ist.

Die Untersuchung des Zielachsenfehlers nach Fig. 4 S. 242 mit Durchschlagen und Drehen um 180° kann auch bei exzentrischem Fernrohr angewendet werden, wenn ■die Zielweite sehr groß ist.

Z. B.:

(6)

(7)

Hat man keinen genügend weit entfernten Zielpunkt oder will man aus anderen Gründen die Untersuchung schärfer machen, so kann man zwei um 2 e von einander abstehende Zielpunkte an wenden, oder andere durch einfache Überlegungen sich ergebende Abänderungen der Methoden von § 59 benützen.

§ 63. Exzentrizität der Alliidade.

In Fig. 1 ist L der Teilkreismittelpunkt, welcher zugleich Drehpunkt der Alliidade sein soll, so daß hei jeder Alhidadendrehung um L die am Kreis abgelesenen Bögen, z. B. C P Q, den entsprechenden Drehungswinkeln in L entsprechen.

Wenn nun aber die Alhidade sich nicht um den

Kreismittelpunkt L, sondern um einen anderen Punkt A dreht, so werden die am Kreisrande abgelesenen Bögen auch nicht mehr den Drehungswinkeln in A als Maß dienen können, und zwar genügt schon eine ganz kleine Exzentrizität L A = e, um die Winkelmessung ganz erheblich falsch zu machen, wie sich so zeigen läßt:

Man habe in Fig. 1 von der Zentrallinie CAL aus

Fig. 1.

eine Drehung C A P = cp um den Alhidadendrehpunkt A, und dieses cp ist auch der Winkel, welchen das Fernrohr (mit der Alhidade verbunden) durchläuft, d. h. der Winkel, welchen man im Felde messen will. Aber am Kreisrande wird ein Bogen C P abgelesen, welcher einem anderen Winkel entspricht, nämlich dem Winkel C L P = cp'; und die Differenz cp — cp' — e stellt den Fehler vor, der bei der Winkehnessung C P infolge der Exzentrizität e begangen wird. Man kann e leicht berechnen aus dem Dreieck L A P, mit L P = r, denn es ist :

e sin tfi

C¹

oder £ = - ' sin cp .

Dieser Wert wächst demnach mit dem Betrage der Drehung von der Zentrallinie LA aus und wird am größten, wenn cp = 90° wird, d. h. wenn L P rechtwinklig zu L A wird, wie in Q der Fall ist, weshalb der kleine Winkel bei Q wird :

fn = —' ■

sin e

(1)

(2.)

Nehmen wir etwa an, es betrage die Exzentrizität e — 0,1mm und der Kreishalbmesser sei r — 100 mm, so wird bereits :

Fig. 2.

0,1

en = —206 265" = 206" = 3' 26".

Man sieht also, wie sehr schädlich eine kleine Exzentrizität e wirkt, und daß die Alhidade nicht bloß auf 0,1 mm, sondern auf 0,01 mm genau zentriert sein muß, wenn man nur auf 10"—20" genau messen will.

All dieses gilt für den Fall, daß die Alhidade A P miarmig ist, wie in Fig. 1 zu sehen; wenn dagegen die Alhidade doppehrmig ist, wie in Fig. 2 mit IAH angedeutet ist, so treten andere Verhältnisse ein, und man wird den so sehr schädlichen Exzentrizitätsfehler

il'/

Ms,

4"

a

m\

Il AII’ — a. — Ui A in’

W A IW = g = II A UI.

durch Ablesen an beiden diametral liegenden Enden der Alhidade eliminieren können.

Dieses soll an Fig. 2 S. 255 weiter verfolgt werden.

Die Alhidade denken wir uns zunächst wie auch in Fig. 1 S. 255 als eine mathematische Gerade, welche sich nicht um den Kreismittelpunkt L, sondern um einen anderen Punkt A drehen soll.

Diese Alhidade ist doppelarmig, und trägt an den beiden Armenden die Nonien oder Miksoskope I und II (wobei IAll eine Gerade ist). Nachdem die Alhidade um einen Winkel a gedreht ist, habe sie die Lage I' A IF (III und III' kommen erst später in Betracht).

Bei der Winkelmessung folgt die Alhidade jeder Drehung des Fernrohrs, es ist deswegen der Winkel IAI'=a, welchen zwei Alhidadenlagen AI und AI' einschließen, derjenige Winkel, welchen man mit dem Theodolit messen will. Am Kreis werden aber zwei Bögen IT und IIIT abgelesen, zu welchen andere Zentriwinkel a' und a" gehören. Es ist aber a das arithmetische Mittel von a' und a", d. h. :

(3)

Um dieses zu beweisen, betrachten wir die in Fig. 2 S. 255 mit a! und

eingeschriebenen Winkel und linden, daß sie als Zentriwinkel und Peripheriewinkel

auf dem gemeinsamen Bogen II' stehen. Ebenso verhält es sich mit a" und

welche auf dem gemeinsamen Bogen II IT stehen. Zugleich ist a ein Außenwinkel des Dreiecks A III', folglich ist :

a"

T’

<Z a"

~2⁺T’

womit die Gleichung (3) bewiesen ist.

Wir gehen weiter zu der Annahme, daß die beiden Alhidadenarme I und II nicht genau diametral stehen, sondern in A eine kleine Knickung haben ; oder es seien nun I und III die beiden Alhidadenenden, welche, nach erfolgter Drehung um den Winkel «, in die neuen Lagen T und III' kommen.

Es ist jedenfalls klar, daß der Winkel III A ITT, welchen die beiden Arme A III und A ITT einschließen, wieder — a — IIA IT ist, und es wird auch, praktisch genommen, keinem Zweifel unterliegen, daß die beiden kleinen Bögen IIIII und III’ II', welche zu den zwei kleinen Winkeln ö gehören, ebenfalls gleich sind. Genau ist das nicht der Fall, weil A ein exzentrischer Punkt ist, also die beiden Ö streng genommen nicht Zentriwinkel sind; allein für die Exzentrizität e kann die Differenz der beiden kleinen Bögen III II und IIT IT höchstens betragen in der Richtung der Zentrallinie:

(4)

(IIIII— IIT II')max = (>• ±e) 8 — r Ö = ±eö und dieser Wert (4) ist für die gewöhnlichen Werte von e und ö verschwindend klein.

Wir haben also jetzt den wichtigsten Satz (3) für die Alhidadenexzentrizität bewiesen, welcher sagt, daß der Einfluß dieser Exzentrizität unschädlich gemacht wird, wenn man an zivei Alhidadenarmen, mit Nonien oder Mikroskopen, abliest, welche genau oder wenigstens nahezu um 180° gegeneinander abstehen.

Ohne hieran noch etwas ändern zu wollen, können wir doch noch eine nützliche Betrachtung anstellen in bezug auf die Alhidadenknickung g ; diese kann nämlich selbst als Folge einer Exzentrizität aufgefaßt werden. In Eig. 2 S. 255 ist £ der kleine Winkel, um welchen die beiden Alhidaden-arme A I und A III gegen eine Gerade in 180° geknickt sind, was einfach davon herrühren kann, daß vom Alhidadendrehpunkt und Mittelpunkt A durch irgend ein Versehen die beabsichtigte Gerade IAH nicht eingehalten wurde. Indessen wird sich die Knickung 5 häufiger dadurch einstellen, daß A zwar Alhidadendrehpunkt, aber nicht richtiger Alhidadenmittelpunkt ist, d. h, nicht derjenige Punkt, durch welchen eine Gerade III geht. Wenn nämlich eine fehlerlos gezogene Gerade durch einen anderen Punkt A' geht, der selbst aber nicht im Drehpunkt A liegt, so stellt A A’ die Exzentrizität des Alhidadenmittelpunkts A' gegen den Alhidadendrehpunkt A vor, und der Winkel g entsteht dadurch, daß man von A aus (statt von A') nach / und dem Gegenpunkte zu I zwei Alhidaden-arrne zieht. Das entspricht auch insofern der Wirklichkeit, als die Alhidade eine metallene Scheibe ist mit dem Drehpunkt A und den /iaadstrichen I und 7/bzw. III, während die Radien A I, A II usw. nur gedachte Linien sind.

Mag man nun den kleinen Winkel g auf die eine oder andere Art erklären, das Hauptergebnis (3) unserer Untersuchung wird dadurch nicht beeinflußt.

Elimination der Exzentrizität durch Durchschlagen.

Auch wenn nur ein Nonius (oder Mikroskop) angebracht ist, kann die Exzentrizität der Alhidade für Horizontalwinkelmessung doch unschädlich gemacht werden, nämlich durch Durchschlagen des Fernrohrs und Messen in zwei Fernrohrlagen, was ja ohnehin für andere Zwecke erforderlich ist. Man überzeugt sich hiervon durch Betrachtung von Fig. 2 S. 255, wobei I und E die Ablesungen für die erste Fernrohrlage, und II und II' die Ablesungen für die zweite Fernrohrlage vorstellen können (sowie auch durch Formel (1) S. 255, worin cp und (<J    180°) auftritt).

Einfluß der Exzentrizität auf den Nonius.

Solange die Exzentrizität e Mein ist, hat sie auf die Nonienablesung keinen merklichen Einfluß ; nur wenn sie über das gewöhnliche Maß hinausgeht, ist auch die Nonienablesung dadurch beeinträchtigt, was wir näher untersuchen rvollen:

In Fig. 2 S. 255 ist angenommen, daß die Alhidade eine mathematische Gerade sei; in Wirklichkeit ist aber die Alhidade eine metallene Scheibe, welche sich innerhalb des kreisförmigen Alhidadenrandes drehen soll, und daraus folgt, daß die Exzentrizität nur ganz unbedeutend, vielleicht 0,01mm bis 0,05mm sein kann, denn sonst würde die Alhidade beim Umdrehen auf einer Seite klaffen und auf der anderen Seite pressen. Nur bei sogenannten fliegenden Nonien (an Höhenkreisen), welche auf der Ebene des Kreises flach aufliegen, könnte die Exzentrizität erheblich sein, ohne daß sie sich durch Klaffen oder Reiben usw. verriete.

Hier kommt die Frage ins Spiel, ob der exzentrisch herumgeführte Nonius überall das ihm zugehörige Kreisintervall genau decken kann? Rückt der Nonius zu weit heraus, so erscheint er zu klein, rückt er zu weit hinein, so ist er zu groß. Wenn z. B. ein Kreis in Sechstelgrade = 10' geteilt ist, und der Nonius 10" angibt, wenn dabei r = 100mm und e = 0,01mm angenommen werden, so bringt das, wie durch eine einfache Rechnung naehgewiesen wird, einen Nonienfehler von 3,5".

Zusammenfassung.

Eine mäßige Exzentrizität zwischen Teilkreis und Alhidade ist bei Theodoliten so gut wie unschädlich, da man dieselbe durch Ablesen an zwei gegenüberstehenden Nonien oder Mikroskopen (bzw. durch Messung in zwei Fernrohrlagen) leicht eliminieren kann.

Nur bei Instrumenten, welche keinen Vollkreis haben, sondern nur einen Kreissektor, z. B. an untergeordneten Höhenwinkelinstrumenten (und bei den in der Feld-

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

messung kaum angewendeten Spiegelsextanten) bedarf die Alhidadenexzentrizität besonderer Beachtung.

Für gewöhnliche praktische Zwecke genügt diese Kenntnis der Sache, und nur für tieferes theoretisches Eindringen ist die weitere Verfolgung der Sache nach § 64 zu empfehlen.

§ 64. Berechnung der Exzentrizität der Alhidade.

Obgleich wir im vorigen § 63 gesehen haben, daß die Alhidadenexzentrizität

sich bei Theodoliten leicht eliminieren läßt und praktisch weiter nichts nötig ist,

verfolgen wir die Exzentrizitätsverhältnisse doch noch weiter durch Rechnung, weil

sich damit auch ein erster Einblick in die Güte der Kreisteilung (§ 65) ergeben wird.

In Fig. 1 bedeutet wieder wie bisher:

I den Kreismittelpunkt,

A den Alhidadendrehpunkt,

A I und A II die beiden Alhidadenarme,

welche nicht genau um 180° gegen einander stehen.

sondern die Knickung Ö bilden.

A' A" ist die Zentrallinie, welche durch die

beiden Punkte A und I geht, und cp ist der Winkel.

welchen bei irgend welcher Alhidadenstellung, der

Arm A mit der Zentrallinie A A' bildet.

Dadurch ist die ganze Fig. 1 geometrisch bestimmt, namentlich auch der

Winkel 6 = I) I B. um welchen die beiden Halbmesser II und LB gegen 180°

abstehen. Dabei ist B mit I und A auf einer Geraden, und im übrigen gibt das

schmale Dreieck L A B, mit L A = e und L B = r das Sinusverhältnis :

£ 2 6 sin — : e = sin cp : r oder e = — o sin cp .

(>

Setzt man 2 — p = sm, r K

Es ist hm der größte Wert von h, welcher entsteht mit cp = 90°, oder wenn die Alhidade rechtwinklig zur Zentrallinie A' A" steht. (Dabei ist em = 2 en, wenn f;n der Wert von § 63 Fig. 1 S. 255.)

Der Betrag d. um welchen die Ablesungsdifferenz II—I beider Nonien oder Mikroskope von 180° verschieden ist, ergibt sich aus Fig. 1 :

Fig. 1.

Aa"

Ik

tk

(i)

so wird e — hm sin cp .

(21

(3)

d = II— I — 180° = 0 + 6.

Hier ist Ö konstant, dagegen 6 nach dem Gesetze der Gleichung (2) veränderlich folglich auch d eine Funktion von cp. Bezeichnen wir mit d^ denjenigen Wert von d welcher zu einem gewissen Wert von cp gehört, und mit d.₂ denjenigen Wert von d welcher zu cp + 180°, d. h. zu einer Umstellung der Alhidade gehört, so haben wir dx = ö + hm sin cp

r/₂ = Ö -h hm sin (cp jU 180°) = Ö — h. j Die Summe und die Differenz hiervon geben :

(4)

ch + ⁽h _ ß

d-\ — d.)

--~ = h — hm SU! <p .

(5)

Zur Bestimmung von A genügen streng genommen zwei zusammengehörige Werte cl± und <7₂, tviihrend zwei solche Werte d₁ und d₂ in hezug auf s, wenig aus-sagen. Um die Veränderungen von e zu untersuchen, macht man eine über den ganzen Kreis gleichförmig verteilte Beobaehtungsreihe.

AVir geben hierzu das folgende einfache Beispiel. Ein kleiner Theodolit mit einem Kreis von nur 10 cm Durchmesser wurde von 20° zu 20° an beiden Nonien abgelesen, und gab dabei folgendes :

Non.

Nonius Non.

Nonius

JI

II

d,

cbt

0° 1,5’

20

1,0

40    0,5

60    0,5

80 0,0

100

120

140

4" + + +

0,0

0,0

0,0

1,0

160    0,5

0,0

0,0

+ 1,0

+ 0,5

+ 2,5' j + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,0 + 2,5 + 2,0 | + 3,0

+ 2,0 j

*1 « « °~ *1 °- °-OOrHy—

+ 1,25' | — 0,25' + 1,25 ¹ +0,25 + 1,25 i + 0,75 + 1,25 i + 0,75 + 1,00 + 1,00 + 1,25 | + 1,25 + 1,00 ; + 1,00 + 1,50 i + 0,50 -J— 1,00 i -}- 0,50

(6)

Mittel + 1,19'

Hierdurch ist g = + 1,19 genügend bestimmt.

AV a s die Werte e betrifft, so ist zuerst zu bemerken, daß deren Reihe, als Funktion von /, in der Tabelle (6), nur hälftig angegeben ist, nämlich von 1 — 0° bis /=160°. Die andere Hälfte von 180° bis 340° würde sich von der ersten Hälfte nur durch die Vorzeichen unterscheiden, nämlich + 0,25' — 0,25' — 0,75' usw. und braucht deswegen nicht besonders hergesetzt zu werden.

Wir wollen die Werte S nach (5) als Funktion von sm und <p darstellen; wir müssen zu diesem

(-)

Zwecke setzen;

S --- Sm sin <p — Sm sin (I— <P₀), wobei 7, wie bisher, die Ablesung am Nonius 1 ist und <P₀ derjenige AVert von I, welcher der Zentrallinie .4' A" in Fig. 1 S. 258 entspricht, oder für welchen e = 0 wird.

Streng genommen würden zwei AVerte S genügen, um die beiden Konstanten £m und <P₀ der Gleichung (7) zu bestimmen; da wir neun beobachtete AA’erte s haben, ist eine Ausgleichung zu machen. Die Fehlergleichungen sind zunächst nach (7) :

Sm sin (7 — <p₀) — S.

Hierbei Ist ;

Daraus ergibt sich:

sin (/ — <Po) = sin I cos <P₀ — cos I sin <P„. v = a x b y — S ,

wobei die einzelnen Teile folgende Bedeutungen haben :

a - sin I

Koeffizienten : Unbekannte :

b = — cos I y — Sm sin <P₀ .

(10)

(11)

X = Sm cos <P()

Hat man diese Hilfsunbekannten x und y bestimmt, so kann man daraus auch wieder die ursprünglichen Unbekannten 9>„ und Sm finden mittels der Gleichungen :

COS <P0

Die Fehlergleichungen (9) führen auf die Nonnalgleichungen :

[a a] * + [»!)] i/ — [a fi] = 0 |

[a h] x + [6 6] y — [6 e] = 0. j ’

Bei der einfachen Natur der Koeffizienten a und b nach (10) werden die Summen [a a], [a 5] usw. sehr einfach, nämlich, wenn n die Anzahl der gleichförmig auf den Halbkreis verteilten £ ist (in unserem Falle n = 9) :

tang <P ₀ =

« -s

Sm —

sin >Po

(12)

(13)

[a fc] = 0

[6Ł]

(14)

[a «] = y

Diese Summen sind leicht zu begründen, denn bei der gleichförmigen A'erteilung der Ablesungen I steht jedem a- — sin- I ein entsprechendes sin² (90° + I) = cos² I gegenüber und ebenso verhält es sich bei ?/- ; dann ab = — sin I cos I sind in symmetrischer Summierung = Null. (Übrigens

haben wir einen geometrischen Beweis der Summen (14) in Band I, „M. d. kl. Q.“ 5. Aufl. 1904, S. 111 gegeben.)

Mit den Summen (14) werden die Normalgleichungen (13) sehr einfach, nämlich: n

— x — [8 stn 7] = 0

und

ferner nach (12) und (15) :

tang 9>o

n

— y + [8 cos 7] = 0 ,

(15)

— [p cos I]

[8 sin 7]

Man kann auch noch die nach der Ausgleichung übrig bleibende Quadratsumme [v v] angeben; es ist nach Band I, „M. d. kl. Q.“, 5. Aufl. 1904, S. 53, Formel (17)

ĆOT ---

2 [ — 8 cos 7]

sin Ç>o

2 [8 sin 7] n cos <p o

(16) und (17)

(18)

[vv, = lin-^^Æ

[a à] [5 6.1]

In unserem Falle ist jedoch [a 6] = 0 [s. o. (14)], und deshalb wird zunächst [6 1 . 1] = [6 1] und [6 6 . 1] = [6 6], und wenn man auch im übrigen (9) und (10) berücksichtigt, so wird :

2 2

[» » = [St]--[t sin 7]² — - - [8 cos 7]²

oder wegen (17) :

[v e] = [e 8] —

8m².

(19)

Mittlerer Fehler eines beobachteten Wertes e :

(20)

Die Gleichungen (16), (17), (19), (20) enthalten die Auflösung der vorgelegten Aufgabe. Die Ausrechnung hiernach zeigt folgende Tabelle :

vor der Ausgleichung

nach der Ausgleichung

8 sin I

£ cos I

7—5° 30'

<P

1,070 sin (p — s'

6' — 8

0°

20

40

60

80

100

120

140

160

++++++++I

11 î S fi 5 S « s

— 0,000 j

1,231

0,866 j

0,321 0,171 !

— 0,250

— 0,217 0,500 0,383 0,470

0.0625

0.0625

0,5625

0,5625

1,0000

1,5625

1,0000

0,2500

0,2500

— 5° 30'    — 0,10'    +    0,15'    0,0225

-f- 14    30    +    0,27    +    0,02    !    0,0004

34    30    +    0,61    —    0,14    I    0,0196

54    30    -f 0,87    -f 0,12    ;    0,0144

7 4    30    +    1,03    +    0,03    j    0,0009

94    30    ¹    + 1,07    —    0,18    !    0,0324

114    30    |    + 0,97    —    0,03    0,0009

134    30    j    + 0,76    +    0,26    0,0676

154    30    I    + 0,46 !    — 0,04    0,0016

n~ 9

— 0,461

5,3125

0,1603

tang 9>„

•c7n —

— +_°’461 ~ ++792 1 0,461 _ 1    4,792

4,5 sin <Po    4,5 cos <P₀

<p₀ = 5° 30' .

(21)

== 1,070.

(22)

Also die Ausgleichungsfunktion nach (7) :

(23)

8 = 1,070 sin (7—5° 30’).

Die hiernach berechneten Werte e sind mit der Bezeichnung e', zur Unterscheidung von den beobachteten 8, in obiger Tabelle eingesetzt. Ihre Vergleichung mit den beobachteten 8 gibt die einzelnen v und dann [y e].

Zur Probe hierfür hat man nach (19) :

[v r] = 5,3125 — 4,5 (1,070)² = 0,1605 .

Der mittlere Fehler eines beobachteten Wertes 8 wird gefunden :

(24)

_ 7/ °-¹⁶

m r 9 — 2

= ± 0,15' = ± 9".

(25)

Die beobachteten und die ausgeglichenen Werte 8 sind in Fig. 2 graphisch dargestellt.

Die beobachteten 8 sind nur von 0° bis 180° angegeben, von 180° — 360° würden sie mit

umgekehrten Zeichen wiederkehren. Die ausgeglichenen e (d. h. £' in der obigen Tabelle) sind von 0° bis 360° gezeichnet, damit die Sinuslinie deutlich hervortritt. Der Wert <p₀ — 5° 30' entspricht dem Schnitt der Kurve mit der Abszissenachse, und die größte Ordinate Sm = 1,07' gehört zu der Abszisse 95° 30'.

Eig. 2.

Exzentrizitätskurve fi = Sm sin (I — <p₀). (Ordinatenmaßstab 1 cm — T.)

oT

360

[M

<^^20 Lfo 60 W1Ô0 120 140 160 Non.l.

200 220 240 260 280 300 320 340

l⁽fo=5°30¹

Der exzentrische Alhidadendrehpunkt A liegt auf dem Kreishalbmesser L A, welcher zu dem Teilstrich 5° 30' gehört, und wir können auch die lineare Exzentrizität e selbst angeben, nämlich nach (2) S. 258 mit r = 50 mm :

2 — (J = Sm = 1,070'

Gm

e =-r — 0,0078 mm,

(26)

§ 65. Teilungsfeliler des Kreises.

Wie alle mechanischen Operationen, so ist auch die Ausführung der Teilung eines Kreises mit Fehlern behaftet. Man hat die Erfahrung gemacht, daß die Teilungsfehler sich in zwei Klassen einteilen lassen:

1.    unregelmäßige, an allen Stellen gleich wahrscheinlich positive oder negative Fehler,

2.    regelmäßige oder systematische, an gewissen Stellen des Kreises durchaus positive, an anderen Stellen durchaus negative Fehler.

Man kann sich die Erscheinung der regelmäßigen Fehlerverteilung etwa so erklären: Das Übertragen einer als fehlerfrei angenommenen Originalteilung auf einen neuen Kreis wird dadurch bewerkstelligt, daß eine Art von Alhidade auf die Striche des Originalkreises eingestellt wird, worauf ein mit der Alhidade verbundener L’eißer entsprechende Striche auf dem neuen Kreis liefert. Wenn nun hierbei ein seitlicher Druck ausgeübt wird, schiefe Beleuchtung stattfindet usw., so entstehen Teilungsfehler. Eine solche Fehlerursache wirkt gewöhnlich längere Zeit, sie verändert sich allmählich, und entsprechend ändern sich die seitlichen Abweichungen der Teilstriche. Auch ungleiche Erwärmung und dadurch bedingte ungleiche Ausdehnung der Kreise und Spannungen können allmählich sich ändernde Teilungsfehler erzeugen.

Bei der Winkelmessung strebt man den Einfluß der Teilungsfehler dadurch herab zumindern, daß man die Ablesungen für einen Zielpunkt an verschiedenen gleichmäßig über den Kreis verteilten Stellen wiederholt in der Erwartung, daß dann die Teilungsfehler unregelmäßig wirken und im Mittel der Ablesungen sich auf heben werden (§ 66 und 76).

Untersuchung der Teilungsfehler.

Da eine Kreisteilung in sich selbst zurückkehrt, so kann man irgend einen Strich, z. B. den Nullstrich, als fehlerfrei annehmen, und alle beobachteten Fehler den anderen Strichen zuweisen; man sagt z. B., der Strich 80° 10' hat den Fehler —t— 1", obgleich man natürlich auch sagen könnte, der Nullstrich hat den Fehler — 1".

Das einfachste Mittel, eine Teilung mit Nonienablesung zu untersuchen, besteht darin, daß man die Nonienlänge auf der ganzen Teilung herumträgt, und mittels der Überteilstriche des Nonius bestimmt, ob die Nonienlänge überall ein gleich großes Stück der Teilung deckt. Zeigen sich hierbei Ungleichheiten, so darf man dieselben jedoch nicht ohne weiteres als Teilungsfehler betrachten, denn es ist hierbei auch die Exzentrizität wirksam (§ 63). Jedenfalls gibt aber das Durchführen der Nonien einen ersten Aufschluß über die Teilung im ganzen, ob grobe Unregelmäßigkeiten usw. Vorkommen.

Wir haben einen Ertelsehen Theodolit der Karlsruher Sammlung (vgl. 6. Aufl. 1904 Fig. 17 S. 215) mit zentesimaler Teilung in dieser Weise untersucht, nämlich den Nonius / und den gegenüberstehenden Nonius III von 10 g zu 10 g der Teilung durchgeführt und beides doppelt gemacht, woraus sich ergab (wie zu erwarten war), daß die Teilung keine groben Fehler hat. Dagegen ist der Nonius I im Mittel um 4,9 cc und der Nonius III im Mittel um 18,8 cc zu groß.

(3>

Aus den Wiederholungen fanden wir den mittleren Fehler einer Nonienablesung : a — ± 6,03 cc (Sekunden neuer Teilung)

= ± 1,95" (Sekunden alter Teilung).

Dieses ist gelegentlich ein Beweis, daß die Nonienablesung einer größeren Genauigkeit fähig ist, als seit Einführung der Schraubenmikroskope manchmal angenommen wird. (Einiges weitere hierzu war in Band II, 4. Aufl. 1893, S. 216 gegeben.)

Teilungsfeliler diametrale)' Striche.

Wenn man eine Ausgleichung der gleichförmig über den ganzen Kreis verteilten Diametralablesungen durchgeführt hat, wie wir an einem kleinen Beispiel § 64 S. 259 gezeigt haben, so kann man aus den übrigbleibenden Fehlern v einen Schluß auf die Teilungsfehler ziehen, in dem Sinn, daß jene übrigbleibenden Fehler v, soweit sie nicht durch reine Ablesungsfehler zu erklären sind, in Teilungsfehlern ihren Grund haben.

Um die Teilungsfehler von den Ablesefehlern zu trennen, hat man auf die Bedeutung von s nach (3), (4) und (5) § 64 S. 258 zurückzugehen:

(4)

do = IL — I₂ — 180° .

180°

d, = IĄ-Ą

Diese Gleichungen gelten zunächst ohne Kücksieht auf Teilungsfehler. Wir wollen nun die Teilungsfehler in Rechnung nehmen, und durch das Vorgesetzte Zeichen t jeweils einen Teilungsfehler oder einen Teilungsfehlereinfluß andeuten; damit geht (4) über in:

dx + tdx = (IIX +1IIX)-(Ix +1Ix)-180°, d₂ + td₂ = (IL + tII₂)—(I₂ +1I₂)- 180'°. (5) Da aber dx und d₂ sich auf diametrales Umstellen der Alhidade beziehen sollen, so kommt die Ablesung II₂ sehr nahe an die Stelle Ix, und J₂ an die Stelle von IIX. Man darf deswegen setzen :

und

tl₂ — t IIX.

(<3)

t II₂ = t Ix

Wenn man dieses (6) in (5) berücksichtigt, und dann mit Rücksicht auf (4) subtrahiert, so findet man :

tdx — t d₂ _

■1

tllx — tlx.

(7)

Dabei ist nach (5) § 64 S. 258

(8)

Man kann also mit dem Zeichen t auch statt (7) schreiben :

tl : tll—tl,

Hiernach darf angenommen werden :

(11)

d. h. ein einzelner Wert <<■ enthält die Differenz der Teilungsfehler für die beiden in e wirksamen Diametralstriche. Andererseits enthält jedes e die Zusammenwirkung von vier Ablesefehlern, nach (4) und (8):

r Aih-h)-{ih-h)

ms =

— (i .

(10)

m2 = 2 <2 + «2    ,

Dabei ist «t der mittlere Fehler nach der Ausgleichung (20) § 64 S. 260, t der mittlere Teilungsfehler eines Striches, und a der mittlere Ablesungsfehler an einem Nonius oder Mikroskop. Für die Zulässigkeit der Gleichung (11) wird ein mehrfacher Zeichenwechsel der Teilungsfehler t vorausgesetzt.

Um die Formel (11) auf unseren Ertelsehen Theodolit anzuwenden, mag es genügen, hier mitzuteilen, daß eine Exzentrizitätsausgleichung genau nach dem Muster des kleinen Beispiels § 64 S. 259—261 gemacht worden ist, welche für die Teilstriche Off 10# 20 g . . . 190g folgende übrig-bleibende Fehler geliefert hat (in Zentesimalsekunden) :

— 2,6 cc    — 3,4 cc    -p 5,7 cc    -p 2,0 cc    -p 5,0    cc — 0,5 cc    — 0,5 cc    — 12,8 cc    — 7,0 cc    — 4,2 cc

+ 2,4    -P 7,2    -P 4.6    -p 0,9    -f 2,3    + 1,9    - 1,6    + 7,0    — 3,1    — 10,5 .

Die Quadratsumme dieser Werte ist 570,68, also der mittlere Fehler:

»=y

570,68

(12)

- = ± 5,63 cc (Zentes.-Sekunden).

Um die Gleichung (11) anzuwenden, brauchen wir den mittleren Ablesefehler « = ±6,03 cc nach (3) ; indessen kommt dieser hier nicht unmittelbar zur Anwendung, weil die Ablesungen, welche in die Ausgleichung eingingen, sämtlich Mittel aus je vier Wiederholungen waren (Ablesungen am Anfangsstrich des (Nonius und am Endsirich, und beides wiederholt). Es ist also hier nur zu nehmen:

6,03

a = —^ = 3,015 cc .

20 —

Vi

(13)

Setzt man diese Werte (12) und (13) in (11), so wird :

/ 5,63² — 3,015-

= ± 3,36 cc oder = ± 1,1" ,

(14)

oder in Worten: Der mittlere Teilungsfehler des Ertelsehen Theodolits ist nur etwa drei Zentesimalsekunden oder eine Sexagesimalsekunde.

Bestimmung der regelmäßigen Teilungsfehler durch Repetitionsmessung (vgl. § 66). Wenn man einen Winkel, der durch Repetition im ganzen Kreis aufgeht, z. B. den Winkel 45° oder 60°, durch Repetition im ganzen Kreis herum mißt, so kann man dadurch die Teilungsfehler an den benützten Kreisstellen bestimmen.

Man denke sich z. B. einen Winkel von 60° (oder sehr nahe = 60°) sechsmal

gemessen :

«! -P t 60 — 10 «2 -M 120 — £ 60

«₃ -ht 180 — 1120

t 300

Mittel a -h

0 — 0.

Das arithmetische Mittel ist von Teilungsfehlern frei ; subtrahiert man also dieses Mittel von den sechs einzelnen Messungen, so bekommt man, da 10 = 0 zu setzen ist, die Teilungsfehler für die fünf Teilstriche 60° 120° 180° 240° 300°.

Übrigens ist es nur nötig-, den halben Kreis von 0° bis 180° in dieser Weise zu durchlaufen, weil man immer an zwei gegenüberliegenden Nonien oder Mikroskopen abliest; und die Teilungsfehler, welche man so erhält, gelten dann für die Mittel je zweier Diametralstriche.

Ein Beispiel einer solchen Untersuchung ist von Helmert in der „Zeitschr. f. Verm. 1875“ S. 327—341 mitgeteilt. Es handelt sich um einen Theodolit von Starke und Kämmerer mit 16 cm Kreisdurchmesser, von 10' zu 10' geteilt, mit zwei Mikroskopen von 50fâcher Vergrößerung. Die Hauptzahlenwerte sind folgende:

I. Der mittlere zufällige Einstellungs- und Ablesefehler eines Mikroskops =± 1,61".

II. Der zufällige Teilungsfehler der Striche des Horizontalkreises = ± 0,33".

III.    Teilungsfehler diametraler Striche = ± 2,71".

IV.    Systematische Teilungsfehler wurden durch Repetitionsmessung mit Winkeln von 45,9° und 47,2° bestimmt; für das Mittel zweier diametraler Striche fand sich der mittlere Fehler = ± 3".

Eine wertvolle Untersuchung von Teilungsfehlern ist von General Schreiber angestellt und in der „Zeitschr. f. Verm. 1878“ S. 213 berichtet worden. Zwei gute Theodolitteilungen von 1872 zeigten Teilungsfehler von nur schwach ausgeprägtem regelmäßigem Charakter, so daß es sich nicht lohnt, die einzelnen Beobachtungen zu korrigieren; die Teilungstehler können vielmehr wie rein zufällige Fehler angesehen werden. Der mittlere in einer Winkelbeobachtung (wobei jede Einstellung an jedem Mikroskop auf zwei Teilstrichen abgelesen ist) enthaltene Teilungsfehler fand sich bei zwei Theodoliten bzw. ± 0,80" und ± 0,64" (mit ± 0,06" Unsicherheit der Untersuchung selbst).

§ 66. Messung eines Horizontalwinkels.

Einfache Winkdmessung.

Das Instrument ist auf dem Winkelpunkt fest aufgestellt, durch Richtigstellung der Fernrohr- und Mikroskopokulare oder Ableselupen zur Messung vorbereitet, und horizontiert.

Alan stellt den Zielpunkt links L ein, und den zweiten Punkt rechts R ein. liest beidemal beide Nonien oder Mikroskope ab, und hat den Winkel als Differenz zwischen den Ablesungen links und reeht-s. Das wird mit durchgeschlagenem Fernrohr wiederholt, und aus den Ergebnissen beider Fernrohrlagen das Mittel genommen.

Will man das Ganze wiederholen, so verdreht man zuvor den Kreis, und he* kommt dadurch ganz andere Ablesungen, welche ein zweites Ergebnis für den Winkel mit den unvermeidlichen kleinen Abweichungen durch die Ungenauigkeiten der Messung ergehen.

Das Folgende gibt ein Beispiel:

Zielpunkt

Fernrohrlage I

Fernrohrlage II

Non. 1

Non. 2

Non. 1

Non. 2

Mittel aus allen

Ablesungen

es -

20° 44' 50" 197 07 00

44' 50" 07 20

200° 44' 50"    45' 10"

17 07 30    07 20

20° 44' 55" 197 07 17

176° 22' 22"

Winkel = R — L 176° 22' 10"    22 30"    176° 22' 40"    22' 10 '

Weiteres über die Durchführung der Horizontalwinkelmessung auch für mehr als zwei Zielpunkte wird in § 76 und 100 behandelt werden.

JRepetitionsmessung.

Hat der Theodolit doppeltes Achsensystem (§ 56 8. 219), so kann man nach dem sogenannten , Répétitions verfahren “ messen, welches darin besteht, daß man durch Be-nutzung der doppelten Achsendrehung bei jeder Wiederholung den Winkel zu der vorhergehenden Ablesung mechanisch zufügt.

1.    Man stellt hei festem Kreis das Fernrohr auf den linksseitigen Zielpunkt L und liest den Wert «₀ ab.

2.    Man stellt ebenso auch das Fernrohr auf den rechtsseitigen Zielpunkt B und liest den Wert ax ab.

3.    Man dreht den Kreis samt der daran festgeklemmten Alhidade zurück, so daß abermals L angezielt werden kann, wozu die Hemmung und Feinstellung an den Mikrometerschrauben des Kreises gemacht wird.

4.    Man stellt bei festem Kreis, nachdem die Alhidade gelöst ist, das Fernrohr zum zweitenmal auf B, hat dadurch den Winkel noch einmal neben der ersten Messung auf dem Kreis abgetragen, und findet bei der Ablesung den Wert «₂- Hat man dieses n mal wiederholt, wobei die Ablesungen a₀ a\ a2 a3 • • Cln —1 Un seien, so erhält man aus je zwei auf einander folgenden Ablesungen einen Wert des Winkels, nämlich :

al — «0 «₂ — ax

a₃

CI o

An . -

(in du — 1

Da bei der Summierung, wie bei dieser mechanischen Addition, die Zwischenwerte , «9 • • ⁽'n- i herausfallen, so wird das arithmetische Mittel:

Cln —

' (1)

Man pflegt hierbei den Nonius I nahe auf 0° 0' 0” zu stellen, und damit erhält man eine Messung, welche durch folgendes Beispiel erläutert wird :

Nr.

Nonius I

Nonius II

Horizontalwmkel-messung mit 5 fâcher Repetition.

O H IN CO ^ Ifj

0° 0' 0"

179° 59' 50"

113    28    0

653° 28' 20"

653° 28' 10"

5 fach (293° +360°),

1306° 56' 30" 130 41 39.

10 fach :

lfach Ergebnis:

Die an einem Nonius angegebenen Zwischenablesungen 1. 2. 3. 4. wurden bei der Berechnung des Winkels nicht benützt, und brauchen deswegen nicht gemacht zu werden. Die erste Zwischenablesung dagegen (1. — 130° 41' 20") wird wenigstens an einem Nonius gemacht, damit kein Zweifel entsteht, ob während des ganzen Verlaufes der Repetitionen der Nonius durch 360° gegangen ist, ob also am Schlüsse 360° , 720° . . . zuzuzählen ist. Auch ist die erste oder eine andere Zwischenablesung erwünscht, damit man aus ihrer Vergleichung mit dem Schlußergebnis sehen kann, ob kein grober Fehler im Verlauf der Messung vorgekommen ist.

Nach jeder Femrohreinstellung kann- man den Kreis unten vom Untergestell

lösen und zum Ablesen bequem herdreben ; dadurch wird das Herumgehen des Beobachters um das Instrument erspart, was zur Vermeidung von Erschütterungen gut ist, namentlich aber auch auf beschränktem Baume (Messen auf einer Altanbrüstung usw.) von Wert ist.

Alan verbindet die Repetition mit Durchschlagen des Fernrohrs, wobei dann die gesamte Anzahl der Repetitionen als eine gerade Zahl genommen wird. Alan schlägt nach der ersten Hälfte der Messungen durch, und mißt weiter wie vorher, oder man mißt in der zweiten Fernrohrlage den Ergänzungswinkel zu 360°. In der IX. Anweisung der preußischen Katasterverwaltung wird in der II. Fernrohrlage der Winkel von rechts nach links eingestellt (subtrahiert).

Das Folgende ist ein Beispiel zu einer vollständigen 6 fachen Repetitionsmessung in beiden Fernrohrlagen mit Messung des Ergänzungswinkels in der II. Fernrohrlage.

Standpunkt : E. Winkel : Marktkirche—Linden—Wasserturm.

Fernrohvlage 1.

Non. 1.

Non. 2. I Mittel

Winkel

0° 29' 40" 65 57 00

lfach 3 fach 196 51 20 6 fach ;    33 13 00

29' 20" |    29' 30" |    0° 00' 00"

(65    27    20)

196 21 40 392    43    40

51 10

51 00 j 13 20 I 13 10

Fernrohrlage II.

Mittel aus allen Beobachtungen.

Non. 1. ISO³ 34' 20"

Non. 2.

34' 00"

Mittel

34' 10"

Winkel 0° 00' 00"

0° 00' 00"

1 fach 3 fach 6 fach

16 56 20 213 17 40

56 00 56 10 17 40 17 40

196 22 00 392    43 30

196 21 50 392 43 35

= 65° 27' 16"

= endgültiger Winkel.

Fehlertheorie der Repetitionsmessimg.

Es sei u der mittlere Einstell- oder Zielfehler des Fernrohrs und ß der mittlere Fehler der Ablesung an der Teilung für das Mittel aus beiden Nonien. Wenn man einen Winkel einfach mißt, indem man links einstellt, dann rechts einstellt, und jedesmal abliest, so kommen hierbei zwei unabhängige Zielfehler a und zwei unabhängige Ablesefehler ß in Betracht, und der mittlere Fehler des Winkels ist demnach:

M₁ = V«2 + «2 ß2 _|_ ß2 = Y2 («² -j- 02) .

Wiederholt man dieses «mal unabhängig und nimmt das Mittel aus den «Sätzen, so wird der mittlere Fehler dieses Mittels durch Division mit ]/n erhalten, also:

(3)

(n fache Satzmessung) :

Mißt man dagegen denselben Winkel durch «fache Repetition ohne Zwischenablesungen, so ist die Differenz an — (*₀ zwischen der letzten und ersten Ablesung,

behaftet mit den Fehlern von 2 n Einstellungen, aber nur von zwei Ablesungen. Der mittlere Fehler der Differenz an — «₀ ist daher :

M' = y2 n «2 + 2732.

Aus der Differenz an — «0 berechnet man den Winkel a selbst durch Division mit n, und der mittlere Fehler Mr der Repetitionsmessung a wird entsprechend aus M' berechnet :

ß²)

"WU

11 r n \

(nfache Repetition):

Die Vergleichung der zwei Ausdrücke (3) und (4) zeigt deutlich, daß der Satzmessungsfehler (3) größer ist als der Repetitionsfehler Mr, und zwar umso mehr, je größer der Ablesefehler ß im Vergleich mit dein Einstellfehler a ist. Da außerdem bei der Repetition die Arbeit der Zwischenablesungen fortfällt, so ist hiernach die Repetition im Vorzug vor der einfachen Messung.

Um Zahlenwerte einzuführen, braucht man bei (3) nur a² -+- ß² zusammen zu bestimmen, während man diese Größen für die Einführung in (4) getrennt haben muß.

Mr =

a² H-

(4)

Es sind zwei altere hierauf bezügliche Untersuchungen vorhanden, nämlich von Struve, mit-

geteilt in den „Astr. Nachr., 2. Band (1824)“ S. 431—440, 451—454, 457—464 und von Bessel in den „Astr. Naehr., 11. Band (1834)“ S. 269 — 290, sowie „Gradmessung in Ostpreußen“ S. 73. Struve fand den Zielfehler a

±1,06" und den Ablesefehler an einem Nonius ßi — ± 1,04“, also für das Mittel aus beiden Nonien den Ablesefehler ß = (3, : Y 2 = ± 0,74". Bessel fand den Zielfehler a — ± 0,84" und ßi — ± 1,87" für das Mittel aus vier Nonien, also für zwei Nonien den Ablesefehler ß = ß± Y 2 = ± 2,64". (Diese Annahmen haben sieh später nicht bewährt, wie mitgeteilt wird in der „Gradmessung in Ostpreußen“ S. 136—137, und in dem Werk : „Die Königl. Preuß. Landestriangulation, Hauptdreiecke, I. Teil“, Berlin 1870 S. 45.)

Auch die Ergebnisse unseres vorigen § 65 über Teilungsfehler usw. sind hier zuzuziehen namentlich (3) S. 262 und die Angaben am Schlüsse von § 65 S. 264.

Um zu einer sunimariselien Vergleichung der Genauigkeit der Winkelmessung in getrennten Sätzen und der Repetitionsmessung zu gelangen, nehmen wir in runden Zahlen den mittleren Zielfehler a — ± 1" und den mittleren Ablesungsfehler ß = ± Damit geben die Formeln (3) und (4) :

Repetition

Satzmessung

a — 1" n — 1

Vn

io

⁸-²"

<n : g

±3,2"

1,4

0,9

(5)

n = 10

V)

1,0

0,5

Der Satzmessungsfehler ist größer als der Repetitionsfehler. Noch viel mehr wird das der Fall sein, wenn wir andere Annahmen für a und ß machen, z. B. für einen kleineren Nonientheodolit a = 1" und ß = 5", damit wird:

= 1" n = 1

±7,2"

±7,3"

3.2

1,5

(6)

10

2,3

0,8

Die Vorteile der Repetition treten hier noch deutlicher hervor, und bleiben auch in gewissem Grade erhalten trotz der ungünstigen Umstände, die wir nun besprechen wollen.

Einseitige Fehler der Bepetitionsmemmg.

Man hat gefunden, daß die Bepetitionsmessung mit kleinen einseitig wirkenden Fehlern behaftet ist, -welche durch die Reihung hei den Achsendrehungen und ähnliche Umstände wohl erklärlich sind.

Im Jahre 1824 hat Struve in den „Astr. Nachrichten“ 2. Band S. 434 hierauf aufmerksam gemacht, und als Beispiel mitgeteilt, daß er hei der Repetition mit der Teilung und gegen die Teilung eine konstante Differenz von etwa 2" fand.

Wir haben diese Sache durch zahlreiche Zusammenstellungen von Repetitionsmessungen der badischen Triangulierung weiter verfolgt, wie in unseren früheren Auflagen „Handb. d. Verm., 2. Aufl., 1. Band 1877“ S. 269—271 und teilweise auch noch

3. Aufl., 2. Band 1888 S. 183 mitgeteilt wurde. Ausführlicheres hierüber ist enthalten in des Verfassers Werk: „Triangulierung des Großherzogtums Baden, in der Zeit von 1823—1852 ausgeführt von Oberst Klose und Obergeometer Rheiner; auf Grund der Akten beschrieben und durch Revisionsberechnungen erläutert. Karlsruhe 1873.“

1" und -+- 1" schwankt.

Die badischen Repetitionsmessungen zeigten sich mit einem einseitig wirkenden Fehler behaftet, welcher bei verschiedenen Instrumenten und bei verschiedenen Beobachtern ungefähr zwischen

Zur Theorie der Repetition ist auch noch zu verweisen auf Helmert: „Über das Vertikalachsensystem des Repetitionstheodolits.“ Zeitschr. f. Verm. 1876 S. 296 und 1877 S. 32.

Das Repetitionsverfahren, welches im 18. Jahrhundert von Tobias Mayer in Göttingen erfunden wurde, hat nahezu ein Jahrhundert lang die geodätischen Messungen beherrscht; so sind z. B. die süddeutschen Triangulierungen in der ersten Hälfte des vorigen Jahrhunderts und auch die klassische Gradmessung von Gauß in Hannover mit Repetition gemacht (vgl. hierzu „Zeitschr. f. Verm. 1885“ S. 121 und 205 und 1882 S. 431, 1900 S. 177—180 mit Abbildung des von Gauß 1822/23 benützten Theodolits, 1901 S. 22—28). Seit der 'Vervollkommnung der Kreisteilungen und der Mikroskope hat das Repetitionsverfahren seine frühere Bedeutung zum großen Teil verloren, aber bei kleinen Nonieninstrumenten, deren Fernrohrschärfe der Ablesung oft weit überlegen ist, bleibt die Repetition immer noch ein sehr schätzbares (oft ' nicht genügend gewürdigtes) Mittel, um rasch einzelne genaue Messungen zu machen.

Und ein Vorteil der Repetition ist nochmals hervorzuheben: Man kann damit auf beschränktem Raume, z. B. auf einer unbequemen Brüstung eines Turmfensters oder einer Altanbrüstung messen, ohne um das Instrument herumgehen oder sich gefährlich hinausbeugen zu müssen.

In neuester Zeit sind unter Voglers Leitung zwei gründliche Reiben von Untersuchungen der einseitigen Repetitionsfehler ausgeführt worden :

I. „Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 333—348: „Über das Mitschleppen des Limbus und verwandte Fehler bei den Repititionstheodoliten Reichenbachscher Bauart“ von Friebe. Es werden zuerst alle älteren Quellenschriften angegeben: 1. Benzenberg, „Astronom. Jahrbuch für 1813“ von Bode, Berlin 1810; 2. Struve, „Astron. Nachr. 1824“ Band 2 S. 433; 3. Bohnenberger, „Zeitschr. f. Astr.“ von Lindenau und Bohnenberger, 4. Band, Tübingen 1817; 4. Méchain, „Base du système métrique décimal II, 1807“ S. 268; 5. Gauß, „Briefwechsel zwischen Gauß und Schumacher“, herausgegeben von Peters 14. August 1825; 6. Gauß, „Briefwechsel zwischen Gauß und Bessel“, herausgegeben v. d. preuß. Ak. d. Wiss.; 7. Bessel, „Astr. Nachr., 11. Band Nr. 256, 1834“; 8. Jordan, „Handb. d. Verm.,

I. Band 2. Aufl. 1877“ S. 269—273. Nach diesen Zitaten gibt Friebe seine eigenen Versuchsmessungen, vier Reihen von je vierzig Beobachtungen mit einem Schraubenmikroskoptheodolit (welcher früher von Helmert in „Zeitschr. f. Verm. 1S75“ S. 327—341 mit Messungen beschrieben ist). Wenn man

Behandlung des Theodolits im Feldgehrauch.

260

Fig. 1.

ss-

bei feststehendem Kreis die Alhidade wiederholt um 360° dreht und dabei jedesmal denselben Zielpunkt einstellt, so zeigt sich ein deutliches Mitschleppen des Kreises, aber nicht etwa proportional der Zahl der Umdrehungen, sondern bei den ersten Umdrehungen stark und dann rasch abnehmend ; es ist also der erste Anstoß, welcher die Verdrehung bewirkt (Kurven hierzu „Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 345). Weiter führte eine Anzahl eigentlicher Repetitionsversuche zu folgenden Schlüssen : Das Mitschleppen des Kreises erfolgt unabhängig von der Repetilionszahl innerhalb einiger Sekunden und wird durch Messen von links nach rechts und dann von rechts nach links hinreichend eliminiert.

tP

II. Eine zweite derartige Beobachtungsreihe haben wir von Nippa in .Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 675—684, angestellt mit einem Instrument französischer Bauart (Fig. 1), dessen Kreisachse und Alhidadenachse nach beistehender Fig. 1 nicht ineinander laufen, sondern so, daß die Alhidade in der Büchse des Dreifußes, der Kreis außerhalb um die Büchse herum geführt wird (vgl. Fig. 6 S. 219 § 56). 200 Repetitionen gaben rechtsläufig im Mittel — 1,66" und linksläufig + 0,12" für eine Repetition ; also beide sehr verschieden. (Näheres hierzu „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 679—684.)

§ 67. Behandlung des Theodolits im Fel dg ehr auch.

Die trigonometrische Abteilung unserer Landesaufnahme, welche in Hinsicht auf trigonometrische Messungen die besten Erfahrungen besitzt, gibt ihren Trigono-metem Regeln zur Instrumentenbehandlung, welche Verfasser im Jahre 1891 hei der Triangulierung der Stadt Hannover kennen lernte, und ihrer Vortrefflichkeit wegen hier zur weiteren Kenntnis bringt :

1.    Vor Beginn der Somnierarbeiten werden alljährlich sämtliche Instrumente vom Mechaniker gereinigt und instand gesetzt, so daß sie in völlig gutem Zustande den Trigonometern übergehen werden.

2.    Besondere Aufmerksamkeit erfordert der Transport der Instrumente ; namentlich ist jeder heftige Stoß, sowie jedes starke Umkippen des Theodolits zu vermeiden. Das Hinaufschaffen desselben auf einen Turm oder Hochbau, sowie das Herunterschaffen erfolgt deshalb stets unter persönlicher Leitung des Trigonometers.

3.    Die sicherste Art und Weise hierzu ist das freie Hinaufziehen mittels der Leine, welche durch die Handhaben des Kastens unter diesem hergezogen und über dem Kasten mit Bindestricken zusammengebunden wird. Durch eine Leitleine wird scharfes Anstoßen des Kastens an Mauern, Streben usw. verhütet. Auf Signale wird der Kasten auch zweckmäßig längs eines Leiterbaumes gleitend hinaufgezogen, wobei ein Mann von unten aus das Instrument durch eine seiner Schultern unterstützt und in richtiger Lage erhält.

4.    Während eines jeden Transportes sind die Mikroskoptrommeln festzubinden.

5.    Das Ein- und Auspacken des Theodolits geschieht mit gelöster Klemmschraube; erst wenn der Theodolit verpackt ist, wird die Schraube angezogen.

6.    Vor und nach den Beobachtungen wird der Theodolit mit Pinsel bzw. Lederlappen vom Staube gereinigt. Bevor die Leinwandplanen ausgespannt werden, sind sie auszuschwenken und zu klopfen, da sie den meisten Staub verursachen.

7.    Dickes, schmieriges öl, welches sich am ersten unter der Messingbüchse an der Vertikalachse zeigt, wird mittels Petroleum und Leder lappen beseitigt.

8.    Lager und Zylinder der Horizontalachse sind häufig zu reinigen und an den Führungsstellen mit einem leichten Ölhauch zu überziehen.

9.    Solange man gut ablesen kann, lasse man die Teilung unberührt. Störende Schmutzflecke beseitige man, nachdem der Staub abgeblasen und abgepinselt ist, durch leichtes Herumfahren auf denselben mit angefeuchtetem Finger.

10.    Fuß- und Einstellschrauben des Theodolits werden hin und wieder mit einer weichen Zahnbürste gereinigt.

11.    Die Fußschrauben darf man nicht, um das Horizontieren zu erleichtern, zu locker werden lassen; jedenfalls müssen die betreffenden Klemmschrauben vor Beginn der Beobachtungen angezogen sein.

12.    Der Achsgang darf eher etwas zu schwer, als zu leicht sein.

13.    Man hüte sich vor Verbiegung des Zentrierstifts durch Bücken des Theodolits, während der Zentrierstift auf die Tischplatte heruntergezogen ist.

14.    Vor Begen, sowie vor Einwirkung der Sonnenstrahlen ist der Theodolit sorgfältig zu bewahren; Gummidecke und Leinwandplanen müssen deshalb stets zur Hand sein. Vor Auflegen der Gummidecke, welche von oben her auf das Instrument gesenkt, nicht von der Seite her herübergezogen werden muß, stelle man das Fernrohr mittels der Vertikalklemme fest.

15. Bleibt der Theodolit von einem Arbeitstage zum andern auf dem Signal stehen, so wird der Kasten auf unterlegte Ziegelsteine, Bohlen, Latten od. dgl. gestellt, mit Leinwandplanen und der Gummidecke bedeckt und an Pfeiler oder Strebe angebunden.

270

Behandlung des Theodolits im Feldgebrauch.

§ 67.

16.    Ist während der Beobachtungen auf niedrigen Stationen viel Staub oder feiner Sand aufgewirbelt worden, oder liegt sonst Grund zu der Annahme ATor, daß Staub oder Feuchtigkeit in die inneren Teile des Theodolits eingedrungen sind, so ist das Instrument auseinanderzunehmen, zu reinigen, zu ölen und einer sorgsamen Prüfung zu unterziehen.

17.    Jeder Fehler an einem der Instrumente, der eine spätere Untersuchung oder Beparatur erfordert, sowie etwaige beachtenswerte Eigentümlichkeiten, die die Instrumente zeigen, sind sofort im Tagebuch zu vermerken, damit nach Beendigung der Feldarbeiten der Beparaturzettel in der nötigen Vollständigkeit aufgestellt werden kann.

Kapitel TII.

Koordinatenrechnung.

§ 68. Erklärungen und Vorbereitungen.

Die Lage eines Punktes in einer Ebene ist bestimmt durch seine rechtwinkligen Koordinaten y und x. Die X-aehse wird als Hauptachse angesehen, zu der die X-aehse rechtwinklig ist. Man gibt den Koordinaten algebraische Vorzeichen -f- und — zur Unterscheidung der Richtungen, nach welchen sie auf den Kordinatenachsen abzumessen sind. Z. B. in Fig. 1 hat der Punkt P die Koordinaten -4- y und x, P' hat -f-y und —x, P'f hat —y und — x usw.

Fig. 1. (Preußen.)

+x

n'"

oP

In der Landmessung legt man ein Koordinatensystem fast immer so, daß -f- x nach Norden und -4- y nach Osten gerichtet ist ; dieses zeigt Fig. 1 für Preußen und die meisten deutschen Staaten gültig.

Eine Ausnahme hiervon machen in Deutschland heute nur die drei Großherzogtümer Baden, Mecklenburg und Oldenburg, welche nach Fig. 2 + x nach Süden und -(- y nach Westen zählen.

Auch die alten klassischen konformen Gaußschen Koordinaten in Hannover zählten ursprünglich nach Fig. 2, wie in Gauß’

Werken IV. Band S. 415—445 zu sehen ist. Erst 1868 wurden die Vorzeichen der hannoverschen Koordinaten von Wittstein umgesetzt von der Form Fig. 2 in die Form Fig. 1.

Die Richtung eines vom Koordinatenursprung 0 (Fig. 1) ausgehenden Strahls OP ist bestimmt durch den Winkel a, um welchen man die — A'-aehse in dem Sinn von -4- X über -4- Y drehen muß, um sie auf jenen Strahl OP zu bringen.

Man nennt diesen Winkel a Bichtungsmnkel.

Diesen 'Winkel nannte Gauß „Azimut in plano“ oder ebenes Azimut, zur Unterscheidung von dem Azimut auf der Kugel oder auf dem Sphäroid. In der ebenen Trigonometrie und

Koordinatenrechnung ist die Benennung Azimut für jenen Winkel a in Fig. 1 noch Ziemlich lieh, ohne die besondere Unterscheidung ebenes Azimut, indem man der Kürze wegen als selbstverständlich annimmt, daß man es in der Ebene mit ebenem Azimut, auf der Kugel mit sphärischem Azimut usw. zu tun hat — solange nicht beide Zusammenkommen.

Bei der preußischen Katastervermessung ist für den Winkel a in Fig. 1 die Benennung „Neigungswinkel* oder kurz „Neigung“ eingeführt, eine Benennung, die sich schon in den ältesten Vermessungsanweisungen von Rheinland (Zeitschr. f. Verm. 1903 S. 79) und auch in Oldenburg findet, die aber sprachlich nicht wohl zu rechtfertigen ist, da unter „Neigung“ im allgemeinen ein Winkel in einer Vertikalebene verstanden wird; man sagt z. B. : ein Wind weht in der Richtung N.O. mit einer Neigung von 5° aufwärts oder abwärts, oder die bei schiefen Längenmessungen vorkommenden, mit den Instrumenten von § 19 S. 58—63 zu messenden Winkel sind „Neigungs“winkel.

In Württemberg nannte man die in der Koordinatenrechnung vorkommenden Winkel von der Art wie « in Fig. 1 von alters her „Richtungs“Winkel („Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 283), und da auch

-y--pP

-Y

+Y

°P"

« P¹

-X

Fig. 2.

-X

-y

4-X

gebrauch-

die trigonometrische Abteilung der preußischen Landesaufnahme dieselbe Benennung fest eingeführt hat, werden auch wir im folgenden den Winkel «, den in Kg. 1 S. 271 ein Strahl OP mit O X bildet, konsequent „Richtungswinkel“ (auch wohl kurzweg Richtung) nennen. Will man bei trigonometrischen Rechnungen noch eine besondere Bezeichnung gebrauchen, so kann man auch den Ausdruck „Netzrichtung“ nehmen, der bequem und bezeichnend ist.

Außer den nach den Himmelsrichtungen orientierten Koordinatensystemen werden für besondere Zwecke auch rein örtliche Systeme gebraucht, welche nach irgend welchen anderen Rücksichten gelegt sind, z. B. ~h x nach einer Seite eines Vielecks, der Tangente einer Eisenbahnkurve, oder nach der Haupterstreckung einer Eisenbahn usw. ln solchen Fällen soll man aber doch immer die Achsen so legen, daß von -h X nach + Y die Drehung im Sinne des Uhrzeigers geht (wie in Fig. 1 u. 2 S. 271), denn dann sind alle unsere Formeln gültig.

Ausgeschlossen ist in der Landmessung die in der analytischen Geometrie gebräuchliche Lage eines Kordinatensystems mit -4- X nach rechts und -f- Y nach oben, oder bestimmter gesagt: Ausgeschlossen ist jede Lage, bei welcher die Drehung von + X nach -)- Y nicht gleich ist mit der sonst allgemein als positiv geltenden Drehung im Sinne des Uhrzeigers, nach welcher auch alle Winkelmeßinstrumente geteilt sind.

Big. 3. Übersicht der deutschen Koordinatensysteme. (Maßstab 1: 9 400 000.)

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Die Koordinatensysteme des Deutschen Keiclies.

Rechtwinklige Koordinatensysteme, nicht bloß auf Feldmarken und Städte, sondern auf ganze Länder mit Hunderten von Quadratmeilen ausgedehnt, wurden zuerst in Süddeutschland angelegt, in München, Tübingen, Mannheim, Darmstadt, im Rheinland in Düsseldorf, ferner in Kassel, Göttingen, später auch in Preußen mit 40 Systemen. Näheres über diese Koordinatensysteme Deutschlands gibt unser III. Band „Handb. d. Venu. 1907“, 5. Aufl., S. 875—385, wo auf S. 376 auch eine vollständigere Übersichtskarte der Koordinatensysteme sich findet. Die 40 preußischen Koordinatensysteme sind amtlich mitgeteilt in der Anweisung IX vom 25. Oktober 1881, zweite Ausgabe 1894,

S. 337—348 (vgl. auch „Zeitsehr. f. Verm. 1884“ S. 21—22).

Die im vorstehenden beschriebenen und in Fig. 3 S. 272 dargestellten, auf ganze Länder bzw. Provinzen ausgedehnten Koordinatensysteme sind keine ebenen Systeme, weil auf so weite Ausdehnung die Erdkrünnnung nicht vernachlässigt werden darf, sondern es ist dabei die Erdkrümmung berücksichtigt; indessen in kleinen Bezirken, insbesondere bei den Rechnungen der Kleintriangulierung, dürfen diese Koordinaten doch völlig wie ebene Koordinaten behandelt werden. Dieses wird in der höheren Geodäsie (Handb. d. Yerm. HL Band 1907, 5. Aufl., Kap. Y) gezeigt, und bei den nachfolgenden Beispielen, welche großenteils der Vermessung der Stadt Hannover entlehnt sind, werden wir, obgleich unser Koordinatensystem in seiner Gesamtausdehnung die Erdkrümmung berücksichtigt, doch bei der Triangulierung in der kleinen Ausdehnung der Stadt Hannover und deren Umgebung die Koordinaten schlechthin als ebene rechtwinklige Koordinaten behandeln.

In unseren nachfolgenden Zahlenbeispielen, welche sich auf Hannover beziehen, sind zwei verschiedene Koordinatensysteme benützt, nämlich erstens das alte klassische (konforme) von Gauß eingeführte System mit dem Nullpunkt Göttingen und zweitens ein von der preußischen Katasterverwaltung für Hannover vorgeschriebenes System mit dem Nullpunkt Celle.

§ 69. Grundformeln der Koordinatenrechnimg.

Einige einfache Formeln kommen bei den Berechnungen des Landmessers täglich vor; es kommt darauf an, sich über dieselben von Anfang völlig klar zu werden.

In Fig. 1 sind zwei Punkte P und P' durch Koordinaten gegeben :

P habe die Koordinaten y x

P' »

Fig- 1.

(1)

y'x'.

Die Gerade von P nach P ' habe den Rich-

+x

9 j—y'-y

p'

x-x

<PP’>

-X

tungswinkel a. und umgekehrt die Gerade von P' nach P habe den Richtungswinkel was wir so schreiben:

Richtungswinkel (P P') = a )

-V--

„    (P' P) = f

Dabei gilt folgende Definition:

Wenn von einem Punkte P ein Strahl PP' ausgeht, so erhält man den Richtungswinkel dieses Strahles dadurch, daß man durch P einen Strahl

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

PQ parallel und gleichlaufend mit der + X-achse zieht, und denselben im positiven Sinn so lange dreht, bis er mit dem Strahl PP' zusammenfällt. Der Betrag dieser Drehung ist der Richtungswinkel des Strahles PP'.

Da durch zwei Punkte zwei Strahlen bestimmt sind, gibt es auch zwei entsprechende Richtungswinkel. Die zwei Richtungswinkel (PP') und (P' P) eines Strahls und seines Gegenstrahls unterscheiden sich immer um 180°, d. h. :

(P' P) = (PP') ±180°.

Die Willkür -+- 180° oder — 180° stimmt damit, daß eine Drehung um 360° die Lage eines Strahles nicht ändert. In den Richtungsrechnungen sind die folgenden, algebraisch sonderbar aussehenden Gleichungen gültig:

+ 180° = —180° ,    + 360° = 0 , — 360° = 0.

Dadurch kann man auch immer negative Richtungswinkel vermeiden, indem z. B. 40° -+- 360° = + 320° gesetzt wird. Man darf nicht bloß -+- 360°, sondern ein beliebiges Vielfaches von + 360° nach Willkür bzw. nach Bedürfnis zusetzen.

Zur Bezeichnung der Richtungswinkel haben wir teils einen einzelnen Buchstaben, z. B. a, teils auch zwei Buchstaben in einer Klammer genommen, es. ist (PP') der Richtungswinkel des von P nach P' gehenden Strahles, und (P' P) der Richtungswinkel des von P' nach P gehenden Strahles. In Fig. 1 beziehen sich die Pfeilzeichen auf die Richtung, in welcher die Richtungswinkel gelten.

— 40° =

(3)

(4)

Die Entfernung beider Punkte P und P', welche man mit PP' bezeichnen kann, ist in Fig. 1 nochmals besonders mit s benannt.

Nach diesen Erklärungen entnehmen wir aus Fig. 1 folgende zwei Glei

chungen :

y’ — y = s sin a oder mit Anwendung der anderen Bezeichnungsart:

x' — x — s cos a

(5)

x' — X = PP'cos (PP').

Diese einfachen Gleichungen (5) bzw. (6) und deren verschiedene Anwendungen sind die Grundgleichungen der ganzen Feld- und Landmessung; auf sie werden alle Punktbestimmungen im rechtwinkligen Koordinatensystem zurückgeführt.

Diese Gleichungen haben allgemeine Gültigkeit für alle Fälle der Vorzeichen von y’ — y und x' — x und des Quadranten von a bzw. (PP'), wobei die Entfernung P P' — s immer positiv genommen wird, und sin und cos in den vier Quadranten mit ihren Vorzeichen gezählt werden, nämlich:

Quadrant

I II III IV

sin

cos

y' — y = PP'sin(PP')

Quadrant

I II III IV

(6)

tang und cotg

III. Quadrant 180° bis 270° J IV. Quadrant 270° bis 360°

sin 307° = — cos BI0 cos 307° = -f- sin 37°

II. Quadrant 90° bis 180 sin 108° = -+- cos 18° cos 108° = — sin 18°

Durch Umkehrung der Strahlenrichtung kann man aus Fig. 1 S. 273 auch noch folgende weitere Gleichungen entnehmen:

y — y' = s sin a’ y — y’ = P' Psin (P' P)

sin 220° = — sin 40° cos 220° = — cos 40°

oder:

x — x! — s cos a'

X — x' = P' P cos (P' P) .

23

Zu einem Zahlenbeispiel nehmen wir nach Fig. 2 Punkte von Hannover in dem alten Gaußschen System.

Fig. 2. Altes Koordinatensystem von Hannover, Nullpunkt Göttingen (Maßstab 1 :40 000).

*=+96000

y=-t7 0oo

°!

o

v—' : Ol

Si

lO

u ;

>.1

>-

Limmer.

Techn. Hochschule.

y=-i4 000

co

II

x=+95 000

Christus.

!/

j\

:    Neustadter.'

x= + 94000 _

■K

50 Aegidius.

Lindej

Waterloo.

x= + 93 000

Wasserthurm.

1:40000 500 m

----i-

jx=+9200_q

Gegeben ist:

Hochschule, Eisenplatte E,

Die Entfernung von Hochschule nach Waterloosäule :

x = 4- 95 002,25 -m-. s = 1851,02 -m .

Der Richtungswinkel von Hochschule nach Waterloosäule : a = 160° 46' 46".

yj= — 15 266,91

-m

/•-- X-N /•--N

Oj O H

Gesucht sind die Koordinaten y' und x' der Waterloosäule. loy s log sin a

3.267 411 9.517 467

log s log cos a

3.267 411 9.975 091«

Hierzu (9) : Waterloosäule :

2.784 878 609,37 y = — 15 266,91

log s sin a s sin a = -4-

ij’ = — 14 657,54 m

log s cos a j 3.242 502« scos a — — 1 747,84 x = -+- 95 002,25

x' —    93 254,41 m.

CM

vCO

Umkehrung der vorigen Aufgabe.

Die Grundgleichungen (5) und (6) geben auch eine Umkehrung: Es sind die Koordinaten zweier Punkte gegeben :

Punkt P mit Koordinaten y und x j P'

V

Es soll der Kichtungswinkel von P nach P', d. h. (P P’) fernung P P' = s berechnet werden.

Hierzu geben die Gleichungen (5):

r>

(14)

a, und die Ent-

tang a =

y' — y

x' — x

(15)

■if—y

sin a

oder s =

cos a

(16)

Diese einfachen Gleichungen veranlassen zu verschiedenen Überlegungen :

Die Gleichung (15) an und für sich ist für « zweideutig, denn wenn irgend ein Wert a der Gleichung genügt, so genügt auch der Wert «4^180° derselben Gleichung (15). (Von der Vieldeutigkeit + Vielfaches von 360° ist hier abgesehen.)

Es besteht aber in den zwei Gleichungen (16) eine Nebenbedingung, nämlich, daß die Entfernung s stets positiv aus den beiden Gleichungen (16) hervorgehen soll, daß also sina das Vorzeichen von ÿ— y, und cos a das Vorzeichen von x' — x haben muß.

Man leitet hieraus die mechanische Regel ab :

a liegt im Quadranten:

die Vorzeichen hat :

II III IV

wenn der Bruch ——    ^

x' — x

(17)

Da, wie wir schon bemerkt haben, die Anwendung dieser einfachen Formeln und Kegeln die Grundaufgabe aller Bestimmungen im rechtwinkligen Koordinatensystem bildet, haben wir zu (15) und (17) folgende Hilfsregeln für das Gedächtnis gebildet:

V — V    ¹ I

1. Hat man in dem Bruch —-— die Vorzeichen —,

x — x

Quadranten und alles ist einfach und positiv.

+’

so liegt der Kichtungswinkel a im ersten

2. Hat man die Vorzeichen-, so liegt a im dritten Quadranten, man verfährt dann zuerst

wie bei 1 und fügt zu dem so erhaltenen Wert 1. noch 180° zu. (Gedächtnisregel: Quotient -    ■ = -(-).

3. Hat man

oder " |    , so schlägt man jedenfalls den fraglichen Logarithmus in der lo-

garithmisch-trigonometrischen Tafel als log cotang auf, statt als log tang, wie seine Benennung zunächst verlangen würde. Zu dem so erhaltenen Winkelwert addiert man noch Neunzig oder Zweihundert-

v' — V

—,-- stand.

x — x

undsiebzig Grade, je nachdem das Zeichen — im Nenner oder im Zähler des Bruches

Man hat also zur Übersicht :

Gerade Fälle :

Ungerade Fälle : —!—

lang bleibt,

Zuschlag von 0°    180°

tang geht über in cotang,

Zuschlag von

—    im Nenner gibt Neunzig Grad,

—    im Zähler gibt Zweihundertundsiebzig Grad.

90°    270³

(Bei der Rechnung mit neuer Teilung muß man diese Gedächtnisregel nach 90° = 100 g und 270° =300 g Umsetzen.)

Wir berechnen die Umkehrung des Beispiels (9) bis (13) nach den Formeln (15) und (16):

Die Koordinaten von Hochschule und Waterloosäule sind gegeben; es soll der Richtungswinkel und die Entfernung von Hochschule nach Waterloosäule berechnet werden :

Punkt jenseits: P' Waterloosäule y' — —14 657,54 „ diesseits : P Hochschule

y = —15 266,91

x’ = + 98 254,41 x = + 95 002,25

Differenzen : y’ — y =    + 609,37 x’— x— —1747,84    (18)

log (V' — y)    2.784 881

log (xf — x) 3.242 502 n

(19)

log tang «

9.542 379 n.

diesesmal :

Ehe man hierzu « aufsucht, überlegt man den Quadranten nach (17). Wir haben

y' — y

im Nenner; man geht mit

also den II. Quadranten oder einen ungeraden Fall mit 9.542 379 in die (7otow/-Spalte der Tafel ein und findet daselbst: 70° 46'46", also: a = 70° 46' 46" + 90° = 160° 46' 46".

Die Weiterrechnung nach den beiden Formeln (16) gibt:

log (x' — x) | 3.242 502 n log cos a

(20)

log (y' — y) j 2.784 881 log sin «

\ 9.517 467

\ 9.975 091 n

3.267 411

log s s = 1851,02 -m.

(21)

log s I 3.267 414 s = 1851,04 w

Diese beiden Werte von s stimmen nicht genau überein; das zweite s= 1851,02-m ist das schärfere. Dieses gibt zu einer weiteren Betrachtung Veranlassung:

Von den beiden Funktionen sina und cos« ist hier immer eine genauer und zugleich bequemer als die andere, nämlich diejenige, welche in der Logarithmentafel rechts steht, und diese gehört immer zum größeren der beiden Werte y’ — y und x' — x.

D. h. also : man rechnet die Hypotenuse s genauer und bequemer aus der größeren Kathete y' — y oder x' — x. Dieses ist an und für sich sehr begreiflich, und wird so bewiesen:

(22)

Unsere trigonometrischen Tafeln haben folgende Einrichtung:

rechts

log sin log tang log cotg log cos

links

log sin

log cos

Die Spalte rechts ist cos oder sin, je nachdem die Überschrift oder die Unter-

log cotg

log tang

schrift gilt, oder je nachdem der Winkel « kleiner als 45° oder größer als 45° ist, d. h. wenn y' — y x' — x oder y' — y ]> x' — x. Man soll also mit cos rechnen, wenn x' — x das größere, und mit sin, wenn y' — y das größere ist.

Um die Wahl sin oder cos von vornherein unbestimmt zu halten, lassen wir zwischen log (>/ — y) und log (x' — x) zunächst eine Linie frei, und füllen dieselbe nachher mit der Spalte rechts aus, unbekümmert, ob das sin oder cos ist, und nehmen

das dann zu dem größeren der beiden darüber oder darunter stehenden Logarithmen. (Jedoch ist die kaum Mühe verursachende Proberechnung des weniger genauen Wertes immerhin zu empfehlen.)

x' = + 93 254,41 x = + 95 002,25

Die Ausrechnung des vorigen Beispiels nach dieser Anordnung gestaltet sich so : Punkt jenseits P' Waterloo-Säule y' = — 14 657,54

diesseits P Hochschule

y = — 15 266,91

+ 609,87 x' — x= —1 747,84    (23)

Differenzen y' — y = log (y' — y) j 2.784 881

zunächst eine Linie frei

log (x' — x)    3.242 502 n

9.542 379 n

log tang a

Ungerader Fall mit + und — gibt .    .

= 70° 46'46"

(24)

+ 90

a = 160° 46'46".

Während noch die logarithmisch-trigonometrische Tafel mit 70°46'46'' auf-geschlagen ist, nimmt man in der Spalte rechts (welche unten sin und oben cos heißt) bei 70° 46'46" den Wert 9.975 091, setzt ihn an die vorher leer gelassene Stelle und subtrahiert ihn von dem größeren der beiden darüber und darunter stehenden Werte, d. h. die im vorstehenden bei (24) zunächst unvollständig gelassene Rechnung wird vollständig so :

2.784 881 9.975 091 n 3.242 502 n

zum größeren, gibt log s

% <y—y)

log (sin a oder cos a)

log (x' — x)

log tang a

« = 160° 46' 46"

(24*)

9.542 379 n logs 3.267 411

Dieses stimmt mit (20) , (21) und (22), wie es sein soll.

Statt logsin oder log cos abzuziehen, kann man bekanntlich auch compl. logsin oder compl. log cos addieren, was namentlich dann bequemer ist, wenn logsin oder log cos mit 9.999 . . . beginnt.

Wenn es sich um Entfernungen allein, ohne Richtungswinkel handelt, so braucht man diesen nicht anzuschreiben und geht unmittelbar von log tang a auf log sin bzw. log cos über; man kann auch nach dem pythagoräischen Satze rechnen:

s = V(y — y)² + (x’ — x)².

Dabei ist aber vorausgesetzt, daß man eine Quadrattafel zur Verfügung habe, denn andernfalls ist die logarithmische Rechnung mit dem Richtungswinkel a als Hilfswinkel vorzuziehen.

s = 1851,02 -m .

(25)

(26)

Versicherungsrechnung für den Richtungswinkel.

Bei der preußischen Katastervermessung ist folgende zweite Berechnung der Richtungswinkel im Gebrauch :

tang a

tang (45° + a) =

_ A y wobei A y = y — y A x und A x = x' — x

A y

_ A x _ A x+ A y tang a ^ A y A x — A y'

1 + tang a

Für das vorstehende Beispiel (28) gibt dieses: x' — x — A x — — 1747,84 y' — y = A y = -t- 609,87

log (A x + A y) bg (J x — A y)

3.056 322 n 3.372 398 n

Ax + Ay = — 1138,47 A x — A y = — 2357,21 45°-+« = 205° 46' 46"

log tang (45° + a)

a = 160° 46' 46".

9.683 924

(27)

Dieses stimmt mit (24), wie es sein soll.

Diese Probe ist in manchen Fällen erwünscht, indessen werden dadurch die Subtraktionen y' — y = A y und x' — x = A x nicht kontrolliert. Vollständige Unabhängigkeit beider Berechnungen erreicht man erst, wenn man die obige Gleichung in der Form

tang (45° -4- a) =

{x -4- y) — (x + y) (x' — y) — (x — y) schreibt, in der die Differenzen A y und A x nicht auftreten.

Figurenbezeichnungen.

Wenn man veranlaßt ist, eine Figur mit eingeschriebenen Bezeichnungen zu benützen, so nimmt man für die Winkelhervorhebung bekanntlich Bogenstücke; die Richtungswinkel kann man zwar auch so bezeichnen, z. B. in Fig. 1 S. 273 sind auf diese Weise die Richtungswinkel (P P') = a und (P' P) = a' angedeutet. Sobald man aber einigermaßen mit solchen Rechnungen vertraut ist, braucht man das nicht mehr, und man nimmt etwa die einfachere und übersichtlichere Bezeichnung durch îfeile. Z. B. in Fig. 3 sind die Richtungswinkel von A nach P mit cp und von B meh P mit xp durch Pfeile hervorgehoben. Die Koordinaten selbst braucht man jelenfalls nicht in die Figur einzuzeichnen.

Fig. 4.

Fig. 3.

o-

•6

'7-

—CO"

T‘

tti

As diesen Figuren kann man sofort folgende Gleichungen beispielshalber

herauslese. :

tang (C B) = V-—Vc

Xb

ya = yc + b sin (C A) = yb 4- c sin (B A) xa = xc + b cos (C A) = xb + c cos (B A) (CA) = (CB) —y , (BA) = (BC) + ß (BC) = (C B) + 180°.

Vp — y<* sin cp , yp — yb = a s in xp

— Xc

Xp — Xa — COS q> , Xp — Xb — a cos ip

cp = (AP)= (AB) —a y = (BP)-.{BA).+ ß 7 = (PA)-(PB)

= (<SP ± 18°) - (xp ± 180°) = cp — xp

Es ist nrigens von Wichtigkeit, die Rechnungen mit Koordinaten und Richtungswinkeln \n einer Figur möglichst unabhängig zu machen, obgleich natürlich

der Anfänger wohl daran tut, eine Figur aufzuzeichnen, sei es mit dem Maßstah und Strahlenzieher, oder wenigstens nach nahezu richtigen Verhältnissen, so daß die Vorzeichen der Koordinatendifferenzen, die Quadranten der Richtungswinkel und ähnliches, kontrolliert werden können.

Die Formeln gelten aber allgemein für alle in einer Figur darstellbaren Verhältnisse. Ein Übersichtsnetz (Netzkarte) ist für jede größere polygonometrische und trigonometrische Messung nötig, woraus der Zusammenhang der Züge und der Dreiecke ersehen wird, und welches zeigt, was überhaupt zu rechnen ist (z. B. Fig. 2 S. 275/.

Bemerkung. In der preußischen Katasteranweisung IX und in den dazugehörigen Formularen ist für die „Neigungswinkel“ das stehende Zeichen v eingefülrt mit Zeigern unten und oben, z. B. vba = Neigung des Strahles von dem Punkte Pa rach Po, oder mit Bezugnahme auf Fig. 3 S. 279 würde man ^folgende Vergleichung hajen :

Richtungswinkel (A B) — Neigungswinkel v'a

,P

a

„    {AP) =

<■

„    (BP) =

Hiernach können stets die •Ą, vca usw. der Anweisung IX verstanden werden.

Auch die Koordinatenbezeichnungen der preußischen Katasteranweisung IX sind hier besonders zu erwähnen. Während es sonst allgemein üblich ist, die Koordinaten x, y mit algebraischen Vorzeichen + und — zu unterscheiden, hat das preußische Kataster statt — die dekadischen Ergänzungen mit dem Kreuz X eingeführt, also z. B. für den Punkt Hochschule nach (9) S. 275:

gewöhnliche Bezeichnung y — — 15266,91 m x = -(- 95002,25 m preußische Anweisung IX. y = X 84733,09 x =    95002,25 .

Sobald man diese Bestimmung kennt, kann man jederzeit die eine Bezeiehnuijg in die andere umschreiben. Bei den Abszissen x könnte man auch ein für aliénai alle — vermeiden, indem man nur den Nullpunkt so weit südlich anzunehmen häde, daß alle x positiv werden (vgl. unseren III. Band, 5. Aufl. 1907 S. 332 u. 346). Bei den y ist -f- und — erwünscht wegen der Beziehung zu den ebenso gezählten geographischen Längen, und in der höheren Geodäsie sind die X y unerwünscht,/weil man, um log y zu nehmen, doch zuvor X y in — y umwandeln muß.

Die Verwendung der dekadischen Ergänzungen hat für die schematische Durchführung einiger Rechnungsarten wohl einen Vorteil, den man gelegentlich auhützen kann. Hierbei ist hinzuweisen auf die Anwendung der dekadischen Ergänzur/en bei der Nivellierung nach dem Vorgang der trigonometrischen Abteilung der preßischen Landesaufnahme, (vgl. Kap. X).    /

§ 70. Tafelwerke, ßeckenformulare und verschiedene Bemetfungen.

I. Logarithmentafeln. Zu den Berechnungen der Feld- und Landmesshg braucht man eine fünfstellige und eine sechsstellige logaritlimisch-trigonometrisch/Tafel; eine siebenstellige Tafel (Bremiker, Schrön) ist seltener erforderlich. Eine vieweilige Tafel ist für kleine Nebenrechnungen nützlich (zehnstellige Tafel s. III. Band/5. Aufl. 1907

Während an fünfstelligen Tafeln kein Mangel ist, haben wir ny eme bequeme

S. 203).

sechsstellige Tafel für alte Teilung, nämlich Bremikers „Logarithmisch-trigonometrische Tafeln mit sechs Dezimalstellen, Berlin", welche sehr zu empfehlen ist.

Etwa bis zum Jahre 1880 war siebenstellige logarithmisehe Rechnung in Schule und Praxis zu finden, auch in Pallen, wo sechs und fünf Stellen ausreichten. Die Reaktion gegen solche Ziffernverschwendung ist aber jetzt teilweise ins Gegenteil umgeschlagen, und es wird die fünfstellige Rechnung teilweise übertrieben. Man soll in der Rechnung in der Regel eine Stelle mehr führen, als der sachlichen Genauigkeit der einzelnen Zahl entspricht. Jedenfalls soll die Schärfe der Rechnung so bemessen sein, daß die Rechnungsungenauigkeiten gegenüber den Messungsfehlern außer Betracht bleiben können, d. h. jedenfalls l/₃ bis l/₅ der letzteren nicht erreichen. Im Zweifelfalle nimmt man lieber eine Stelle zu viel als zu wenig.

Für neue Kreisteilung haben wir logarithmisch-trigonometrische Tafeln fünfstellig von F. G. Gauß und von Gravelius, siebenstellige nur noch antiquarisch. Im Jahre 1891 erschien eine achtstellige französische Tafel: Tables des logarithmes à huites décimales des nombres et des sinus etc, dans le système de la division centésimale. Paris, imprimerie nationale, 1891 („Zeitschr. f. Yerm. 1892“ S. 580). Auszug hieraus, mit eigenen Berechnungen fünfzehnstellig von la zu 19 ist : Logarithmisch-trigonometrische Tafeln für neue (zentesimale) Teilung mit sechs Dezimalstellen von ' W. Jordan, Stuttgart, Wittwer, 1894. Eine Hilfstafel zur Verwandlung alter und neuer Teilung gibt unser Anhang Seite [4] und [5].

II. Koordinatentafeln. Die Produkte s sin a und s cos a werden in der Landmessung so oft gebraucht, daß man dieselben schon lange in besonderen Tafeln, namentlich zum Zweck der Berechnung von Polygonzügen, behandelt hat. Folgendes sind Literaturangaben hierzu:

Reißig, Tenner und Reutzel, Tafel zur Berechnung der Koordinaten ohne Logarithmen (für neue Teilung). Heidelberg 1830, bei G. Reichard.

Ulffers, Berechnung von Dreiecks-, Vierecks- und Polygonnetzen ohne Logarithmen (für neue Teilung). Koblenz, beim Verfasser. 3. Aufl. 1862 (1. Aufl. 1833).

Robert, Der geschwind und richtig rechnende Markscheider. Leipzig 1842.

Dittmann, Koordinaten- und Tangententafeln. Würzburg 1866.

Clouth, Tafeln zur Berechnung goniometrischer Koordinaten (neue Teilung). 3. Aufl. Halle, 1906. (1. Aufl. 1870.)

Liebenam, Die Vielfachen Sinus und Cosinus. Eisleben 1873.

Domke, Nautische, astron. u. log. Tafeln usw. 10. Aufl., Berlin 1901 (1. Aufl. 1874). Enthält Koppeltafel nach Graden, d. h. s sin a und s cos a mit a von 1° zu 1° bis s = 300.

Defert, Tafeln zur Berechnung rechtwinkliger Koordinaten (alte Teilung). Berlin 1874.

Schütze, Tabellen zur Berechnung der Seigerteufen und Sohlen von 5' zu 5', 1875.

Erede, La celerimensura cogli strumenti communi, k sin a, k cos n, tang a, cotang a von 1' zu 1' (alte Teilung) usw. Pistoia 1875. („Zeitschr. f. Verm. 1876“ S. 423.)

Lüling, Mathematische Tafeln für Markscheider. Bonn 1881. (4. Aufl. Berlin 1898.)

Gurden, Traverse Tables, for every minute of angle up to 100 of distance. New édition London, Griffln 1888. VII und 270 S. fol. („Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 484.)

Orlandi, Manuale e tavole di celerimensura. Milano 1889. 1000 Seiten Tafeln, neue Teilung, („Zeitschr. f. Venn. 1889“ S. 507.)

Löwe, Koordinatentafel zur Berechnung der Koordinatenunterschiede in Polygonzügen. Liebenwerda 1890.    56 Seiten 8°. („Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 488.)

Debenedetti, Tavole ausiliari pel calculo delle coordinate. Roma 1891.

Gauß, F. G., Polygonometrische Tafeln, zum Gebrauche in der Landmessung bei Teilung des Quadranten in 90° zu 60'. Halle 1893. („Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 401.)

Licka, Tabelle zur Prüfung der Berechnung der Polygonzüge. („Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 277.)

Seyfert, Tafeln zur Berechnung der Sinus- und Cosinusprodukte. Breslau 1895. („Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 55.)

III. Trigonometrische Zahlentafeln. Seit Einführung der Rechenmaschine in die landmesserischen Berechnungen hat auch die unmittelbare Ausrechnung der Produkte s sin a und s cos a an Stelle der logarithmischen Rechnung erneute Bedeutung erlangt, weshalb zunächst auch die Tafeln der sinus und cosinus statt logsin und log cos von erhöhter Wichtigkeit geworden sind, weiterhin aber auch Tafeln für die übrigen Funktionen tang, cotg, sec und cosec.

Eine Tafel der sin und cos von 10" zu 10" ist vom Verfasser dieses Buches bearbeitet worden, eine Weiterführung der Tafel nach tang, cotg, sec, cosec war beabsichtigt.

W. Jordan, Opus Palatinum. Sinus- und Cosiuustafeln von 10" zu 10" (siebenstellig). Hannover und Leipzig 1897. („Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 617, vgl. auch „Zeitschr. f. Verm. 1901“ S. 325—331, Sossna, Tafelberichtigungen.)

Eine ähnliche 1884 erschienene Tafel ist :

M. Jurisch, Tables containing tbe natural sines and cosines to seven décimal figures of all angles between 0° and 90° to every 10 seconds with proportional parts for single seconds. Cape Town, Michaelis & Braun. (Vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 411—413.)

Neuere Tafeln sind:

F. G. Gauß, Fünfstellige vollständige trigonometrische und polygonometrische Tafeln für Maschinenrechnen. Teilung des Quadranten in 90° zu 60'. Halle 1901.

Ludwig Zimmermann, Die numerischen Werte der goniometrisehen Funktionen auf vier Stellen von Minute zu Minute. Liebenwerda 1897.

O. Seiffert, Vierstellige polygonometrische Tafeln zur Berechnung und Sicherung der Koordinatenunterschiede. Braunschweig 1907.

IV. Bechenformulare. Für alle größeren Berechnungen ist die Benützung vorgedruckter Formulare sehr nützlich. Alle Behörden haben solche Schemate im Gebrauch, und bei großen Vermessungen sind dieselben der Ordnung wegen für Berechnungen, welche in gleicher Weise fortgesetzt Vorkommen, unerläßlich.

Für eigene Zwecke kann man sich leicht solche Schemate durch Autographie hersteilen. Liniierung und Druck sind zweckmäßig rot auf weißem Papier, damit sich die schwarze Schrift gut abhebt. So sind z. B. bei der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme die Formulare gedruckt. Jedenfalls zu Feldbüchern, in welche mit Blei geschrieben wird, ist rote (oder auch etwa blaue) Liniierung und" Vordruck zu empfehlen, weil sich darauf die Bleischrift viel besser abhebt als von schwarzen Linien. Gute Rechenschemate entstehen nur aus langjähriger Rechenpraxis.

Die preußische Katasterverwaltung hat zahlreiche Formulare im Format 22x36 cm, welche auch öffentlich zu haben sind. Ähnliche Formulare sind bei den Vermessungsbehörden der anderen Staaten in Gebrauch.

Die Notwendigkeit von vorgedruckten Schematen für landmesserische Rechnungen ist zweifellos vorhanden, und das Rechnen in Formularen muß auch schon teilweise im geodätischen Unterricht gepflegt werden; aber man darf die Vorteile, welche dadurch erlangt werden, nicht bestimmten, etwa der einen oder anderen Behörde eigentümlichen Formularen zuschreiben. Beamte verschiedener Behörden pflegen die Vorteile ihrer (verschiedenen) Schemate mit denselben Worten zu begründen, woraus zu schließen ist, daß das Rechnen nach Formularen überhaupt, nicht aber das Rechnen nach bestimmten Formularen der einen oder anderen Behörde das Wesentliche ist.

Dem einzelnen Landmesser wird, auch in Fällen wo er nicht amtlich gezwungen ist, ein amtlich anerkanntes Formular schon an und für sich Vorteile bieten, indem die darin niedergelegten Rechnungen sofort überall Gültigkeit haben und verstanden

werden, aber er ist damit gezwungen, auch manche ihm nicht zusagende Anordnung anzunehmen. (Vgl. Haupt, „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 417—425, Anordnung trigonometrischer Rechenformulare und Hoeckner, „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 513—518 Sind die für trigonometrische Punkteinschaltung üblichen Rechenvorschriften verbesserungsbedürftig ?)

Wir werden in den nachfolgenden trigonometrischen und polygonometrischen Abschnitten auf die kleinen Vorteile und Nachteile, welche hier eine Rolle spielen, durch Vergleichung verschiedener Formulare Rücksicht nehmen.

Abwerfen von Dezimalen. Wenn beim Abrunden bzw. Aufrunden von überflüssigen Dezimalstellen eine Fünf in Frage kommt, wobei keine feste Entscheidung besteht, halten wir uns an die bei der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme eingeführte Regel, stets auf eine gerade Zahl abzurunden, also z. B. zu nehmen :

18,925 . . = 18,92 oder 18,895 .. = 18,90.

V. Die Zahlen q. Ein Kreisbogen b zum Zentriwinkel a mit dem Halbmesser r wird berechnet aus der Proportion:

b :2rji = a: 360°

also :

2 r an

180

oder =

—, wobei o =-.

Q    fl

Da bei allen Kreisbogenberechnungen und sehr vielen damit zusammenhängenden Berechnungen immer das Verhältnis 180 : n gebraucht wird, hat man dafür ein festes Zeichen eingeführt, nämlich g, wie oben angegeben ist. Dieses gilt zunächst nur für einen Winkel a, der in Graden gezählt ist; hat man a in Minuten oder in Sekunden, so entsteht auch ein anderes o, und demnach haben wir drei Werte, welche bzw. mit o°, g' g" unterschieden werden. Dieselben sind für alte Teilung:

360

cj°=—

Tt

= 57,29577 9513

log Q° = 1 . 758 1226 -.324

log

¹ = 8.241 8773 • 676

, 180.60

9 =-----

x n

= 3437,746 7708

log Q' — 3 . 536 2738 • 828

log

Q" =

180.60.60

= 6.463 7261 • 172 = 4.685 5748 • 668 .

= 206 264,80625

log Q” = 5.314 4251 • 332

Die noch genaueren Werte 7f, Q usw. sind in unserem III. Bande, 5. Aufl. 1907 S. 189 gegeben. Die entsprechenden Zahlen für neue Teilung sind :

Qg = —

^    7t

200

7t

Xog g"

= 63,66 197 7 237

log Qg ~ 1 . 803 8801 • 230

Qc —

200 00

71

= 6366,19772 37

log Qc — 3 . 803 8801 • 230

log — — 8.196 1198 • 770 Qg

log — = 6.196 1198 • 770

Qc

200 00 00

log Qcc = 5 . 803 8801 • 230

Die Zahlen g dienen auch zu Genauigkeitsberechnungen in bezug auf Winkelfehler und Querversehiebungsfehler ; wenn z. B. ein Sichtstrahl um ;+ 1' in seiner Richtung schwankt, so macht das auf q' = 3438 Meter Entfernung einen Querfehler von 1 Meter usw. Obgleich sich solche Berechnungen jederzeit leicht machen lassen, und obgleich jeder Landmesser die Näherungswerte von q' , q" usw. im Kopfe haben muß, haben wir doch für solche kleine Genauigkeitsberechnungen eine Übersichts-tabelle auf Seite [8] des Anhangs gegeben, weil man oft in die Lage kommt, so rasch als möglich solche Genauigkeitsverhältnisse zu überblicken, und weil die Rechnung im Kopfe (oder mit dem Rechenschieber) nicht frei von der Gefahr eines Fehlers in der Kommastellung ist. So nehmen wir z. B. aus Seite [8] des Anhangs, daß 20" auf 1000 m rund 0,1m oder 20 cc auf 300 m rund 0,01m geben usw.

Qcc —

Tt

— 636619,77237

log

= 4.196 1198-770.

Ein Abusus, welcher in anderem Sinne neuerdings aufgekommen ist, mag auch noch hier erwähnt werden, nämlich die Zahl n als identisch mit 180° oder 2000 zu gebrauchen. Z. B. war auf einer deutschen Geometerversammlung eine Tabelle, zu sehen mit der Inschrift 2 7? = 400. Das sollte heißen, cs handle sich um neue Teilung. Nun ist aber seit mehr als einem Jahrhundert (Euler) in der Goniometrie n das abgekürzte Zeichen für die irrationale Zahl 8,14159. .. und für nichts anderes.

Demnach ist 2 7r = 6,28318 ... und niemals = 400.

Eine längere Erörterung über die Bedeutung von 7f, Q usw. hat sich entsponnen in „Zeitschi', f. Verm. 1895“ S. 548, 1896 S. 175 und 189, aber mit dem unzweifelhaften Ergebnis, daß man mit TT die irrationale Zahl 3,14159... zu bezeichnen hat und nichts anderes.

§ 71. Umformung der Koordinaten.

I. Umformung für cc und y.

In Fig. 1 ist ein Koordinatensystem X, Y gegeben und in demselben ein Punkt A mit den Koordinaten x = a, y = b. Dieser Punkt A wird als Ursprung eines neuen Systems X', Y' genommen, wobei die -f- X'-achse den Richtungswinkel e im alten System hat.

Wenn nun irgend ein Punkt die Koordinaten x, y im alten System und die Koordinaten x', y im neuen System hat, so bestehen (wie die analytische Geometrie zeigt) folgende Gleichungen :

Fig. 1.

*X

+X¹

AY

x' gibt:

y — b -(- x' sin e -+- y’ cos e 1 x — a-j-x' cose — y' sin e j '

Die Auflösung dieser Gleichungen nach y' und nach

(1)

y’ = (y — b) cos e — (x — a) sin e ) x' = (y — b) sin e 4- (x — a)cos e f '

(2)

Wenn zwei Koordinatensysteme nicht geradezu durch a, b und « gegeneinander festgelegt sind, wie in Fig. 1. so kann man auch die Formeln (1) und (2) nicht unmittelbar anwenden, und je nach der Art und Weise, wie die beiden Systeme untereinander verbunden sind, wird man die drei Werte a, b und s zu bestimmen haben, wie wir an zwei Fällen zeigen werden:

Es seien zwei Punkte i\ und P₂ in beiden Koordinatensystemen durch Koordinaten gegeben; es sollen daraus die Konstanten a, b und s der Umwandlungs-formeln (1) berechnet werden.

Den beiden Punkten entsprechen nach (1) folgende Gleichungen :

Punkt T₁

y₁ = b -f-    sin e H- y{ cos 6

x₁ = a-+- x{ cos s — y{ sin e Durch Subtraktion findet man:

y\ — y% = (xi — x2r)«»»« + Oh' — y*)cose I

xx — ,r₂ = (xx — x₂r) cos 8; — (y{ — y{) sin s ) '

Punkt P₂

I-’

(3)

y₂ = b + x₂ sin s ~{- y % cos 8, x₂ = a A- x₂' cos s — 1/2 sin s

sin e

COS £

Diese zwei Gleichungen (4) kann man nach sin t und cos e auflösen : _ (yi—yą) (xi—x*) — fri-Xj) (ih’—l/z)

S2

_ fa—x2)(xi—'«7 ) + (2/i —2/2) {yî—y%)

wo s2 — (!h _ y₂)2 4. («Bj _ aj₂)2

(5)

oder s2 ₌ (m’ _ ya')2 +    — x{ f- (6)

Durch Division findet man auch tang e, und durch weitere goniometrische Umformung überzeugt man sich, daß £ eine Differenz zweier Richtungswinkel ist, nämlich :

£ = (P₁P₂)-(P₁'P₂'),

wobei

(7)

stimmen.

Vl — V\ — x{

to»i7(P₁P₂)=|2__|i

_ femff (1\ P₂) — tang jl\' P₂')

1 -+■ tang (P₁P₂) tang (7\' P₂') ‘

Wenn man hier (8) einsetzt, so wird (9) mit dem Quotienten aus (5) und (6)

tang (Pi'P₂') =

(8)

tang e

(9)

Nachdem so £ aus (7) gefunden ist, kann man die beiden anderen Konstanten a und b aus den vier Gleichungen (3) je zweifach bestimmen, was nun näher zu betrachten ist.

Von vornherein ist die Aufgabe, aus den Koordinaten zweier Punkte in beiden Systemen die Yerwandlungskonstanten zu berechnen, im allgemeinen eine überbestimmte, und nur dann lösbar, wenn der Abstand beider Punkte in beiden Systemen derselbe ist, d. h. wenn

V (®2

*i)² + (2/2 — 2/1)² = V —    + (y₂' — y{f , oder s = s'

Wenn die Koordinaten ursprünglich nach den Formeln (1) oder (2) gegenseitig auseinander berechnet worden sind, so ist die Rückberechnung von a, b, e aus diesen Koordinaten jedenfalls möglich, und die Übereinstimmung von a, b aus den vier Gleichungen (8) ist dann eine reine Rechenprobe, und auch die Bedingung s = s' in (10) kann nur dann durch Rechen- oder Abrundungsfehler entstellt sein.

Fig. 2.

+ '/¹

(10)

+X

Es kann nun aber auch Vorkommen, daß das eine System gegen das andere eine Maßstabverzerrung erfahren hat, so daß statt (10) die Gleichung besteht:

= v oder s = v s'.

Celle

(H)

-yl

Aegidius

Dann wird die vorher überbestimmte Aufgabe zu einer bestimmten. Dabei sind wieder zwei Fälle zu unterscheiden : erstens ist v eine aus projektivischen Gründen absichtlich hereingebrachte Verzerrung (dieser Fall war in der früheren dritten Auflage dieses Bandes, 1888,

S. 196—197 Göttingen-Osterwald behandelt), oder es ist durch geodätische Fehler die Gleichung (10) gestört, und es muß zur Fehlerausgleichung ein Reduktionsfaktor v nach (11) hereingenommen werden; auch kann

Wasserturm

-y

-X

1 Güttingen

x_

eine projektivische Verzerrung mit Messungsfehlern zusammen eine lineare Verzerrung v bedingen. Diesen Fall behandeln wir hier an dem Beispiel unserer zwei hannoverschen Systeme Göttingen und Celle (wobei jedoch von der Erdkrümmung abgesehen wird und die Konstanten a, b, £ lediglich die Bedeutung von Bechengrößen für den Bereich der Stadt Hannover haben).

Die gegenseitige Lage der beiden Koordinatensysteme Göttingen und Celle ist durch Fig. 2 S. 285 angedeutet.

Die rechtwinkligen ebenen Koordinaten der beiden Punkte Ägidius und Wasserturm sind in beiden Systemen gegeben:

System Göttingen:

Ägidius

Wasserturm y₂ = — 16 145,760

(12)

Ul = — 13 879,790 m

Xi = -+- 93 575,890 m ( x% = H-92808,280 J

System Celle:

Ägidius

Wasserturm y₂ = — 25 538,488

(13)

23 271,813 m Xy = — 28 308,395 m | x₂ = —29071,474 f

Aus (12) einerseits, dann aus (13) andrerseits, berechnen wir die Entfernung WA und das Azimut (WA) von Wasserturm nach Ägidius in beiden Systemen: System Göttingen log W' A! = 3.378 7020-05    (W' Ä) = 71 ° 23' 38,864"

log W A = 3.3788439-38 (W Ä) = 71 17 9,248

Celle

(14)

logv = 0.0001419-33

6'29,616"

Die Entfernung der beiden Punkte in beiden Systemen ist nicht gleich; der •Quotient AW:A'W' ist nicht =1, sondern = v, wie aus logv = 0.000 1419-33 in (14) zu ersehen ist.

Wegen dieser Maßstabänderung gehen die früheren Formeln (1) und (3) in

folgende über:

(15)

y = b -f- y’ v cos e -+- x’ v sin e | x — a — y’ v sin £ -i- x' v cos £ f

Punkt P₂ (Wasserturm)

Punkt P₁ (Ägidius)

yl — b = y{ vcos £ -h Xy' v sin e y₂ — b = y₂ v cos e -f- x₂ v sin e | x₁ — a — — y^vsins -+- x{ vcos e x₂ — a = — y₂ v sin t -+- x₂' v cos s f’

Diese vier Gleichungen (16) sind genügend, um die vier Konstanten a, b, v, £ der Umformungsformeln (15) zu bestimmen. Um die Gleichungen (16) nach diesen Unbekannten aufzulösen, werden wir zuerst subtrahieren, und dadurch finden :

V\—y<L =

xl — X2 ⁼ — {y{ — y2) v sin £ + (x{ — x₂) V COS £ I ‘

(16)

(y{ — y₂) vcos £ -h (x{ — x₂) v sin £

(17)

Diese zwei Gleichungen (17) kann man geradezu nach v sin £ und vcoss auf-lösen; sie geben:

v sin £ =

V COS £

(l/i — yd (xi — xi) — (xl — x2) (yi - y<l) [y{ — y{)“ •+■ (xi — x2>)²

_ (yi — y%) (yi — y{) -+- (xi—xz) (xi - x2 )

Û/l'-</2')² + (*l'-*2')²

(18)

(19)

oder

Statt dieses geradezu auszurechnen, wird man dividieren:

Ü/l — V%) (xi — x{) — ix\ — ^2) [V\ — Vz) I (?/i — 2/2) \y{—2/2') -+■ (æi—xz) (xi — *2') 1 2/2 — 2/1 V2 — 2/l'

a?₂' —

2/2 —2/1 2/2r - 2/1 a?2 —    %% — •*!

Hier gibt sich e als Differenz zweier Richtungswinkel zu erkennen, wir wollen

faw/ t —

(20)

tang e =

daher setzen:

und damit wird :

2/2 -2/1

^2 -

S² = (2/1 — 2/2)² + («1 — ^2)².

tang (I\ P₂) =

_ 2/2r — V\

X% — X

s'² = (//i'-^0² + (*i'-^')²,

, tang (1\' P₂')

(21)

(22)

« = (P₁P₂)-(Pi'P₂')-

Die Quadrierung und Addierung von (18) und (19) gibt mit (22):

S2 g'2 _ S2

-jT-Jz

(23)

t-2 =

7-

(24)

Hat man e und v aus (23) und (24) gefunden, so braucht man diese nur noch in (16) einzusetzen, um auch a und b zu bekommen, und zwar doppelt, was Rechenprobe ist. Damit hat man alle vier Konstanten a, b, e, v der beiden Gleichungen (15) und man kann diese Gleichungen dann entweder geradezu anwenden, um y und x aus gegebenen y und x zu berechnen, oder umgekehrt, um y' und x' aus gegebenen y und x zu bestimmen.

Eine Umformung empfiehlt sich noch aus dem Grunde, weil s ein kleiner Winkel und v nahezu =1 ist ; wir setzen daher :

, — sin « = — n'. (25) v

y' — (y — b) ^ cos s — (x — a) sine, x' — (y — h) -j- sin e + (x — a) cos e

x = a — y' v sin e -\-x' v cos e

v sin e — — n

v cos e = 1 -I- m ,    — cos e = 1 — m

v

Damit werden die Koordinatenumformungsformeln :

y = b -f- y' v cos e -f- x' v sin e

• (86)

Die Zahlenwerte unseres Falls sind zum Teil schon in (14) mitgeteilt, alle zu

sammen sind:

e = — 6' 29,616"

log v = 0.000 1419-3 , v = 1,000 326 806

v sin e — — n, log n — 7.276 353, v cos e = 1 + w, log m — 6.511 994 — sin e =

(27)

— n', log n 7.276070, — cos e = 1 — m', logm — 6,516 593 b = -)- 9346,099

Diesen Formeln (26) mit den Zahlenwerten (27) entsprechen folgende Koordinaten unserer Triangulierung von 1887 :

System Göttingen

a = + 121 937,460 w

(1SS7)

y’

System Celle

x'

Ägidius, Helmstange . .    .

Wasserturm, Flaggenstange „ Pfeiler . . Hochschule, Hauptturm .

„ Eisenplatte E

Kunst.......

Badenstedter Weg . .

Tönjesberg.....

Bahnhof (Linden) . .

—    13 879,790 m -{- 93 575,890 m

—    16 145,760 -- 16 145,080

—    15 320,943

—    15 266,847

—    17 010,553

—    17 431,505

—    16 457,328

—    15 356,150

+ 92 808,280 -j- 92 80S,697 -f- 95 013,695 -)- 95 002,299 -f- 94 967,919 4- 92 575,620 -(- 91 384,373 4- 92 012,085

—    23 271,813 m — 28 308,395 m

—    25 538,488

—    25 537,807

—    24 709,778

—    24 655,721

—    26 398,919

—    26 824,250

—    25 852,643

—    24 750,641

—    29 071,474

—    29 071,055

—    26 868,341

—    26 879,835

—    26 910,911

—    29 301,629

—    30 494,325

—    29 868,898.

In dieser Weise hatten wir die ganze Triangulierung von Linden 1887 umzurechnen. Es wurde dazu ein autographiertes Schema mit den Formeln (26) und vorgedruckten konstanten Logarithmen (27) angelegt, in dem die Umrechnung verhältnismäßig rasch vor sich ging. Der große Koeffizient v = 1,000 3268 oder 0,327 m auf 1 4m rührt durchaus nicht bloß von der geodätischen Projektionsverschiedenheit beider Systeme her, sondern im Gegenteil von den sehr wenig genauen Anschlußkoordinaten im alten System (vgl. hierzu auch unsere Einzelangaben in Band I, 5. Aufl. 1904 S. 472 und Band III., 5. Aufl. 1907 S. 378—379. Wenn ferner die Punkte Hochschule und Kunst in anderen unserer Mitteilungen mit anderen Endstellen (bis zu etwa 1 cm Änderung) auftreten, so hat das in Neumessungen seit 1887 seinen Grund. Die vorstehenden yx und y' x' sind jedenfalls in sich richtig.

Ein zweites der höheren Geodäsie angehörendes Beispiel (Anschluß des thüringischen Dreiecksnetzes an die sächsische Dreieckskette) war in der 5. Aufl. 1897 dieses Bandes S. 251—253 gegeben ivorden.

II. Umformung für A x und A y.

Wenn der Winkel e klein ist, was bei der praktischen Anwendung der Koordinatenumformung sehr oft zutrifft, so weichen die Koordinatenunterschiede zweier Punkte in beiden Systemen nur wenig voneinander ab. Es ist dann bequemer, lediglich diese Abweichungen zu berechnen und auf die Ermittlung der Größen a, b, e, v zu verzichten. Wir bezeichnen mit A x, A y die Koordinatenunterschiede zweier beliebigen    Punkte    in    dem    einen System,    mit A x' und A y' die    im    andern System.

Wenden    wir    die    Gleichung    (1) auf diese    beiden Punkte an, so    erhalten    wir

(28)

A y = A x'    si n e 4- A y cos s

A x = A x'    cos e — A y' sin e

oder

A y — A y' = -h A x’ sin s 4- A y' (cos e — 1) |

A x — A x = — A ÿ s i n e -h A x' (cos e — 1) ( ’

Wir nehmen nun wieder an, daß die Koordinaten zweier Punkte P^ und P2 in beiden Systemen gegeben sind und benützen diese zur Bestimmung der beiden Konstanten sin e und cos e — 1. Für die Punkte Pl und Po nehmen die vorstehenden Gleichungen die Form an:

O/i — di — (di — di) = + Ou — xi)sin 8 + (di ~ di) (cos « — 1) I («1 — «2) — (xi — xi) = — (di Setzen war zur Vereinfachung :

(29)

y₂') sin e -+- O'i' — 0C2) (cos e — 1) f '

(30)

(di — di — (di —di) = n

(x₁ — x₂) — (x₁' — x₂') = £ so ergeben sich die folgenden Werte für sin e und cos e — 1 :

Ol — X2) V—(di— di) I (xi — #₂')² -+- (y{ — //2O2 _ -, _ (xi — xi) I + (di — dj) ri 0-V — xü + (di — di) *

Mit den Gleichungen (31), (32) und (29) ist die Aufgabe gelöst.

sin e =

COS E

(31)

boli umgekehrt A y' und A x aus A y und A x berechnet werden, gehen sich dem Vorstehenden analog aus der Gleichung (2) S. 284 die folgenden Gleichungen :

so er-

v = (y{ - yi) — ù/i — 2/2)

§ = (xi— *2')—(*1—^2)

}    (33)

'US ;•

und

• (x₁ — x₂) rj + (yx — yt) | (xl — x‘z)² + (Vi —

_ l ₌ -H (xi — aą) g + (yi — Vè V (xi — xz)² + {Vi — Vcif-

sin e =

(34)

z/ «/' — A y = — A x sin e -t- A y (cos e — 1)

A x' — A x = + A y sin e 4- A x (cos e — 1)

Es bleibt noch die Frage offen, wie hei dieser Methode der Transformation eine Maßstabverzerrung zu berücksichtigen ist. In diesem Falle sind in den Gleichungen (28) die Größen A x und A y' mit dem Vergrößerungsfaktor v zu multiplizieren. Verfolgt man dies weiter, so ergibt sich, daß die ganze Berechnung nach denselben Formeln wie vorher ausgeführt werden kann. Die nach den Gleichungen (32) bzw. (34) berechneten Größen sin e und cos e — 1 sind dann aber in Wirklichkeit v sin s und vcos s — 1.

Wir wollen als Zahlenbeispiel die Koordinatenunterschiede der Punkte Ägidius und Hochschule Hauptturm aus dem System Göttingen in das System Celle umrechnen. Hierbei nehmen wir wieder die Punkte Ägidius (I\) und Wasserturm (P₂) in beiden Systemen als bekannt an. Es ist dann:

}•

(35)

yx —y₂ =+ 22 65,970 y{ — y₂' = + 22 66,675

xl —Xii — ■+■ 767,610 Xi —æ₂' = 4- 763,079

0,705

JYr

4,531.

Tj — 4-

Aus den S. 287 zusammengestellten Koordinaten der Punkte Ägidius und Hochschule im System Göttingen entnehmen wir:

Ay — — 1441,153

Ax = A- 1437,805.

Aus den Gleichungen (34) erhalten wir: sine = — 0,00 18882

und aus (35) :

also :

A y' — A y — 4- 3,189

cos s — 1 = 0,000 3285 A x' — A x = 4- 2,248,

A y' — — 1437,964

A x' = 4- 1440,053 ,

und hiermit werden die Koordinaten des Punktes Hochschule im System Celle:

x' = — 26 868,342 ,

y' = — 24 709,777

genügend mit den S. 287 angegebenen Werten übereinstimmt.

Die Gleichungen (31), (32) und (29) hegen auch dem trigonometrischen Formular 24 der preußischen Vermessungsanweisung IX zugrunde.

was

§ 72. K0or<1 inatenberecliiraiig im Liniennetz.

I. Kleinpunkte.

Die einfachste Koordinatenberechnung ist die bei den preußischen Katastervermessungen als .Kleinpunktberechnung“ bezeichnete Punkteinschaltung im Liniennetz ; § 25 S. 96—98.

Jor dan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Nach Fig. 1 sind A und E zwei durch Koordinaten gegebene Punkte, zwischen denen auf der Geraden die Punkte B , C usw. durch Sj s₂ ... eingemessen wurden.

Fig. l.

Es wird sich dabei zuerst fragen, ob £ die Summe -f- s₂ + % • • • = [s] mit der aus den Koordinaten von A und E berechneten

s,

S,

(s)

Man rechnet zuerst die Quotienten aus :

Ve — ya

Entfernung AE — S stimmt, und wenn dieses genügend der Pall ist (Fehlergrenzen § 21 S. 79), so bekommt man die Koordinateneinschaltung in Verbindung mit Fehlerausgleichung durch folgende einfache Formeln :

xe — xa

(1)

und dann ist:

Pimkt A

Ayx = ßsl

(2)

A y₂ = ß s2 A y3 = ß %

_n

Probe

[Ay] = ß [s] = ye—ya

[A X\ = CC [s] = Xe — Xa

Die A y und A x werden dann schrittweise zu ya und xa aufaddiert, bis zum Schluß ye und xe als Probe sich richtig ergeben muß.

Diese „Kleinpunkt‘‘-Rechnung kommt im laufenden Geschäft des Landmessers sehr oft vor, daher ist die Anordnung der Rechnung von praktischer Bedeutung. Die Rechnung kann ausgeführt werden mit Hilfe der Logarithmentafel, einer Multiplikationstafel (S. 105), einer Rechenmaschine, oder auch einem anderen der in § 41 behandelten Rechenhilfsmittel, einem größeren Rechenschieber oder einer Rechenscheibe. Namentlich die Rechenmaschine ist zu dieser Rechnung sehr bequem.

Wir behandeln die Durchführung der Rechnung an einem Beispiel, und zwar zunächst mit Verwendung der Dr. A. L. Crelleschen Rechentafeln und einer Quadrattafel, sodann mit Verwendung der Rechenmaschine.

Die Linie ist von A über B , C nach E (Fig. 1) durchgemessen mit folgendem

Ergebnis :

A B

(3)

⁰!L-J-⁵’⁷L^®Z’⁶1_Ü⁹’¹⁴

S1 H“ s2 “P s3 ⁼ M

45,72 -i- 41,92 + 51,50 = 139,14

und den darunter stehenden Streckenunterschieden, deren Summe = [s] ist. Die gegebenen Koordinaten sind unter (4) eingetragen, woraus sich mit (5) in (6) nach (26) § 69 S. 278 A E = S — 139,06 nv und der Fehler = — 0,08 w ergibt.

Xa = — 25 878,83

xe = — 25 827,59    (4) (xe — xa)2= 26 25,5

ya = — 25 420,70 ye = — 25 291,42

(>Je — yu)²= 167 13,0

ye — y a — -ł-

129,28

51,24    (5)

= 193 38,5

(6)

=    139,06

ß = + 0,929 ... .

a = + 0,368....    (8)

[s]    =    139,14    (7)

d=S—\s]= —0,08.

Die Quotienten ß und a sind liier nur dreistellig mit Abkürzung auf den kleineren Wert (ß₀ — 1/ ß , «₀ da) angesetzt, so daß nach Bildung der Produkte nach (2) der noch verbleibende Restbetrag proportional s zuzulegen ist.

Die Rechnung ist in (9) und (10) ausgeführt.

ày

A 0,00

/Ix

B 45,72

45,72

C 87,64 E 139,14

41,92

51,50

4- 42,47    4-16,82(5)

1    1

4- 38,94 +15,43 1    2

4- 47,84 +18,95

(9)

—    25 420,70 —25 878,83 A

—    25 378,22

— 25 862,00 B . (₁₀) — 25 339,27    — 25 846,56 C

25 291,42    —25 827,59 E

139,14 4- 129,25    4- 51 20

Bei Anwendung der Rechenmaschine kann der erste Teil der Rechnung ebenso wie in (4) bis (7) mit der Quadrattafel ausgeführt werden; es wird die Rechnung für mehrere Linien gleichzeitig nach (4) bis (7) vorbereitet. Die Quotienten ß und a werden sechs- oder (fünfstellig eingeführt, wonach die Maschine Ausmultiplikation und Addition der Koordinatenunterschiede gibt.

Der zweite Teil der Rechnung wird:

ß = 0,929 136.2 a = 0,368 262.2 A    — 25 420,70o    —    25    878,83o '

B    — 25 378,220    —    25    861,993

C    — 25 339,271    —    25    846,556

E    —25 291,42o    —    25    827,59o

In der „Zeitschr. f. Yerm. 1900“ S. 488—491 beschreibt P. Schuster in Wien ein Verfahren, wobei die Ableitung des Abschlußfehlers S — [s] = d in bequemer Weise in den Verlauf der Maschinenrechnung aufgenommen ist. Es ist:

S = [s] 4- d

S* — [s]2 = 2 d [s] 4- (E

S* r 1    07    d \

M M ( ⁺2[s])-

Da — höchstens etwa 1/1000 bis V500 betragen darf, so ist genügend genau :

(H)

(12)

(13)

2d = M-W.

Die Maschinenrechnung gibt in unserem Beispiel:

19 338,8560 139,14

d = — 0,076 entsprechend (7).

Wird die Rechnung logarithmisch ausgeführt, so ergibt sich S aus (15) u. (16) § 69 S. 276, wobei log sin (AE) bzw. cos (AE) ohne Anschreiben des Winkels unmittelbar aus loq—--— bzw. log

xe — xa

Hier ist auch zu zitieren: Schnöckel, „Zeitschr. f. Yerm. 1902“ S. 245—265. Die Berechnung der durch rechtwinklige Abstände (Koordinatenaufnahme § 24) gegen die Messungslinien festgelegten Punkte kann unmittelbar im Anschluß an diese

$2

-[*] =

139,14₀ = 138,988 — 139,14₀ = — 0,152

Xe — Xa

Ve — ya

entnommen vrird. (Vgl. S. 278.)

Berechnung der Linienpunkte erfolgen. Nach § 71 S. 284 haben wir aus (1), worin ÿ x' die auf die IVlessungslinie bezogenen Koordinaten sind, unter der (allerdings nicht streng richtigen) Annahme, daß ß — sin s = sin (A E) und a = cos e — cos (A E) ist yp = ya+ ß X' + y'    =    yu +    a y'

Xp = Xa+ « x' — ß y'    —    Xq —    ß y'.

Hierin ist ÿ positiv oder negativ zu nehmen, je nachdem es in bezug auf die Eichtung    der    Linie    x    im I. und II. oder III. und IV.    Quadranten, also rechts oder

links    der    Linie    von    A    nach E liegt.

Wird in (14) y' = 0, d. h. liegt der Punkt auf der Linie wie B oder C in Fig. 1 S. 290, so geht (14) wieder über in

yq = ya ~h ß x'

Xq — Xa -h VC x'

in Übereinstimmung mit (1) und (2) S. 284, worin sn dem x' entspricht.

In unserem Beispiel ergibt sich für eine in B (Fig. 1 S. 290) links von A E abgesteekte Ordinate y' — — 10,00

yb = yq= — 25 378,22 3,68

(14)

h- « y' = —

Xb = Xq = —

-ßy' = +

25 861,99

9,29

(15)

yp = — 25 381,90

xP = — 25 852,70

II. Linienschnitt.

In Fig. 2 sind vier Punkte A, B, C, D dargestellt, deren Koordinaten gegeben sind; es sollen von dem Schnittpunkte P die Koordinaten x, y berechnet werden.

Im Sinne der analytischen Geometrie kann man die Gleichungen der beiden Geraden A C und B P) anschreiben lind diese Gleichungen auflösen, d. h. man kann kurzweg die Schnittkoordinaten x y des Punktes P in Determinanten darstellen.

Fig. 2.

y®

P\

HX

Wir behandeln diese Aufgabe im Anschluß an das

i j) vorige :

Sind q und xp die Eichtungswinkel (A C) und (B D), so hat man :

tang q =

yc — ya

tany xp =

Xc — Xa

Die Gleichungen der Geraden A C und B J) sind : y — y a — {x — xa) tang q

yd — yb

Xd — Xb

(16)

y — y b = (x — Xb) tang xp .

Löst man diese zwei Gleichungen nach x und y auf, so hat man damit die gesuchten Koordinaten des Schnittpunktes P. Wenn man zu diesem Zweck die beiden Gleichungen (17) subtrahiert, so fällt y fort und die Auflösung nach x gibt:

_ (yb — ya) + xa tang q — Xb tang xp tang q — tang xp

Diese Form ist jedoch zur Ausrechnung nicht zu empfehlen, weil die Koordinaten xa und xi, welche meist sehr große Zahlen sind, selbst in die Rechnung eingehen; es ist besser, nur mit Koordinaten-Differenzen zu rechnen, und deshalb die Gleichung (18) umzuformen, so daß man erhält:

(yb — ya) — (xb — Xq) tang xp tang q — tang xp (yb — ya) — (xb — Xq) tang q tang q — tang xp

X— Xa =

x — Xb =

und y — y a = (x — xa) tang q

und y — yb — (x — Xb) tang xp.

(17)

(18)

(19)

(20)

Die Richtungswinkel cp und xp selbst braucht man hierzu nicht, sondern nur die Quotienten tang cp und tang xp. Die Formeln (16), (19), (20), welche die ganze Rechnungsvorschrift enthalten, gelten natürlich nicht bloß für direkte Schnitte von Linien oder Diagonalen wie in Fig. 2 S. 292, sondern auch für den Schnitt der Verlängerungen zweier Linien, wie z. B. in dem Viereck Fig. 8 S. 119 für den Schnittpunkt 5, oder wie im Liniennetz Fig. 2 S. 98 zur Berechnung der durch Verlängerungen gewonnenen Liniennetzproben. Wie die Richtungen cp und xp bestimmt sind, ist überhaupt gleichgültig ; z. B. kann auch tang xp dadurch gegeben sein, daß B D parallel oder rechtwinklig zu irgend einer anderen gegebenen Geraden MN sein soll,

Vn — y»i

Xn — Xm

Xn- Xftb

yn — ym'

Diese Aufgaben finden zuweilen Anwendung, wie überhaupt diese Aufgabe der Koordinierung des Schnittpunkts zweier Geraden schon mehrfach behandelt worden ist. Z. B. „Zeitschr. f. Venn. 1876“ S. 475, Widmann, Schnitt einer Eigentumsgrenze mit einer Böschungslinie, und 1891 S. 114—119, Rex, Auflösung mit Determinanten.

Wir wollen den schon erwähnten Fall S. 119 nach unseren vorstehenden Formeln (16), (19), (20) behandeln und bringen die Bezeichnungen von S. 119 mit den neuen Bezeichnungen Fig. 2 S. 292 so in Beziehung:

(2 ) = A ya = + 97,860

(1 ) = B yb =

(3)    = C yc = + 52,460

(4)    = D ya=+ 5,710

Nach (16) berechnet man: tang cp = — 0,657 210

tang cp — tang xp = — 0,741 057 und die Weiterrechnung nach (19) und (20) gibt mit Proben:

Punkt (5) = P

Dieses stimmt mit dem früheren Ergebnis auf S. 120 insofern genügend, als auf S. 120 überall nur mit Abrundung auf 0,01 m gerechnet wurde.

Zu dieser Rechnung nach den Formeln (16), (19), (20) ist besonders die Rechenmaschine geeignet.

Wir wollen noch eine weitere Auflösung geben: Man rechnet (Fig. 2 S. 292) die Richtungswinkel (46) und (DB) aus den Koordinaten der vier Eckpunkte, und da zugleich (AG) = (AP) — cp und (BD) = (PD) = xp ist, so hat man die Aufgabe, aus dem Dreieck ADP mit gegebenen Koordinaten von A und D und mit gegebenen Richtungswinkeln (A P) = cp und (D P) — xp ±180° die Koordinaten von P zu berechnen, eine Aufgabe, welche in dem späteren Kapitel über Triangulierung (§ 74) behandelt werden wird, indessen auch sofort näher ausgeführt werden kann. Man rechnet Richtungswinkel (AD) und Entfernung AD aus den Koordinaten von A und I) :

Xd — xa

dann ist entsprechend tang xp =

oder

0,000

xa — -+- 35,620

Xb =

xc = 4- 104,700 xa = 4- 68,100 .

0,000

(21)

tang xp = + 0,083 847

y = +13,721

x = H- 163,644 .

(22)

yd—y a__

sin (A D) cos (A D)

dann Winkel A = (AD) — (AP) , P = (PA) — (PD) , D = (DP) — (DA)

tang (AL D) —

Vd — y a

Xd — Xa

AD =

AP =

AD

sin P

yp = ya + AP sin (AP) xp — XaA- AP cos (A P)

sin D

DP =

AD

sin A

oder

sin P

y p = yd + DP sin (D P) xp = xd + D P cos (D P).

(23)

Statt auf der Grundlinie AB kann man dieses auch auf AB, BC oder CB als Grundlinie, also wenn man will, 4 fach machen, so daß an Proben kein Mangel ist.

III. Bogenschnitt.

Fig. 3.

In Fig. 3 sind zwei Punkte A und B fest gegeben, und ein dritter Punkt P wird festgelegt durch Messung der zwei Entfernungen AP = b und BP = a. In der Zeichnung beschreibt man Kreisbögen um A und B mit den Halbmessern b und a und erhält P als Schnitt dieser Kreisbögen.

In der Rechnung gestaltet sich die Aufgabe so :

Zwei Punkte A und B sind durch ihre Koordinaten gegeben, ein dritter Punkt P wird bestimmt durch die beiden Enfernungen AP — b und BP — a-, es sollen die Koordinaten xy von P berechnet werden.

------c----

Da die Seite AB = c aus den Koordinaten von A und B berechnet werden kann, hat man alle drei Seiten c, a, b des Dreiecks und kann daraus die Winkel berechnen:

fang “ - j/

(s — b)(s — c)

s (s — a)

wo s —

ct —j— b -4- c

und entsprechend für ß und y.

Dann kann man weiter wie bei Triangulierung (§ 74) verfahren.

Eine zweite Lösung ist folgende (nach F. G. Gauß „Zeitsehr. f. Yerm. 1880“ S. 339 und Anweisung IX vom 25. Okt. 1881, 2. Ausgabe, Formular 15 S. 304):

Nach Fig. 3 ist:

yfi = Iß — h2 , q- — ct² —h² , h — Y(b A~P) (b —p) =}/(<* + q) (a — q), (24) also p% — #² = b² — «²

oder (p — q) (p -\-q) — (b — a) (b -j- a) und p + q = c,

also ^=1 -    «0

Mit p oder q und h aus (24) ist nun der Punkt P durch rechtwinklige Koordinaten gegen A B festgelegt, und es gelten daher für die Koordinaten x und y des Punktes P die Formeln von § 71 (1) S. 284, welche in unserem Falle geben :

y {yb — y«) +~{xb—Xa)

j(yb — ya).

y = ya +

2c

und

pA-q_c ^2~~~2’

(25)

X — Xa —j—- (pCb — Xa)

(26)

IV. Diagonalenviereck.

Diese Koordinatenbestimmung kann besonders Anwendung finden bei kleinen für sich bestehenden Linienaufnahmen, wenn das Liniennetz aus einem oder mehreren Dreiecken oder einem Diagonalenviereck besteht, § 25 S. 97.

Sind z. B. in Fig. 2 S. 292 sämtliche Linien mit Einmessung des Schnittpunktes P gemessen, so kann durch irgend eine Linie, z. B. die Diagonale B B, ein Koordinatensystem eingeführt werden, indem B B als Abszissen- oder Ordinat-enachse (oder Parallele dazu) angenommen wird. Nach (21) und (25) können nun C und A in bezug auf BB

und für die Linie A C mit dem Kleinpunkt P nach (1) (2) S. 290 die Abweichung S — [s] = 100.31 — 100,40 = —0,09 und die Koordinaten von P

X — 100,02 ,

(30)

aus den Dreiecken BAD und BCD in Koordinaten bestimmt werden, wobei durch den Linienschnitt ABC sich eine Probe ergibt. Je nach Lage des Falles kann das Koordinatensystem auch in anderer Anordnung eingeführt werden, z. B. AD die Or-dinaten-oder Abszissenrichtung bestimmen, so daß B und C in den Dreiecken ABD und A C D gegen A D zu koordinieren sind, wobei die gemessene Länge der Linie B C und der Schnittpunkt P auf den Linien AC und BD eine Probe ergeben.

Ist eine der Linien wie B D oder A D in einem allgemeinen Koordinatensystem gegeben, so wird T nach (26) gerechnet.    i

Ein Zahlenbeispiel gebe die i Übungsaufgabe in Fig. 4.

Nach Fig. 4 sind die durch die \

Messung eingeführten Koordinaten : B*-

Fig. i.

vÄ.

VU»

i'o

.*c

tn

rc

03

IN

Vj

03

JJ

+y

B    0,00    100,00

P    52,46    100,00

D    100,76    100,00

Nach (24) und (25) ergibt sich mit der Grundlinie BD

im Dreieck BDC p = 81.48 „    „ BD A 73,55

Damit hat man die Koordinaten :

(27)

i#

o.

J£i

cP

cP

= 19,28 = 27,21

= 45,04 I = 39,32 ) ‘

(28)

C 81,48 A 27,21

145,04

60,68

(29)

y = 52,52

was mit P in (27) genügend übereinstimmt.

Eine Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate wird für derartige Messungen in der Kegel nicht angebracht sein. Eine Ausgleichung für einen Fall von mehr als einem Bogenschnitt gab die frühere dritte Auflage dieses Bandes 1888, S. 198—199. Hier ist auch zu zitieren: „Zeitsehr. f. Yerm. 1882“ S. 329.

Handelt es sieh um die Bestimmung eines Punktes aus mehr als zwei Bogensehnitten, so ist in den meisten Pallen zunächst wohl eine graphische Ausgleichung am Platze.

Es werden aus einem Bogenschnitt nach (26) die Koordinaten y x von P (Pig. 3) gerechnet oder sonstwie Näherungswerte für diese Koordinaten, beschafft. Sodann werden mit den Koordinaten der gegebenen Punkte nach (26) § 69 S. 278 wie in (6) und (7) S. 290 die Entfernungen S und die Abweichungen d — S — $ der gemessenen von den aus den Koordinaten gefundenen Strecken berechnet und in die Liniennetzkarte von P aus in großem Maßstabe, z. B. 1 : 10, eingetragen, und zwar auf den Linien, wenn d in d — S — s positiv, auf den Verlängerungen der Linien, wenn d negativ ist. In den so gefundenen Pehlerpunkten rechtwinklig zu den Messungslinien gezogene Geraden entsprechen den -Bogenschnitten“ in Eig. 3, aus denen die den genäherten Koordinaten von P beizulegende Verbesserung schätzungsweise entnommen werden kann. Die Behandlung derartiger graphischer Ausgleichungen wird später bei der Trangulierung noch besonders gezeigt werden.

Kapitel VIII.

Triangulierung.

§ 73. Allgemeines.

Wenn von einem Dreieck AB P (Fig. 1) eine Seite AB = c und die Winkel ce, ß, y (oder wenigstens zwei Winkel) gemessen sind, so kann man die beiden anderen Seiten a und b berechnen:

Wenn man an die Seite a oder b als Basis weitere Dreiecke ansetzt, so kann man auf diese dasselbe Verfahren anwenden.

Kg. 1.

Tf

Wenn also mehrere Punkte einer Ebene so unter sich durch Grade verbunden sind, daß ein System von Dreiecken entsteht, von denen jedes mit einem Nachbardreieck mindestens eine Seite gemein hat, so läßt sich die Gestalt des dadurch entstandenen a    Dreiecksnetzes lediglich durch Messung von Winkeln bestimmen,

\    und die Messung einer Seite als Basis genügt zur Bestimmung

Ci

aller Dimensionen des Netzes. Dieses ist der Grundgedanke der ^tî „Triangulierung“.

Man pflegt die Triangulierungen in Ordnungen, d. h. einander über- bzw. untergeordnete Systeme, einzuteilfin, etwa so :

I.    Ordnung    mit    Dreiecksseiten    von    20 km    bis, 50 km    und darüber,

n    v    n    »    10    »    » ^0 n

Q    IA

n    r>    v    v    ^    v    v -LV rt

IV.

1 ^ x n n    n •

I. und II. Ordnung heißen auch Haupttriangulierung, III. und IV. Ordnung heißen Kleintriangulierung, die Triangulierung II. Ordnung wird auch im Vergleich zu der I. und III. Ordnung als Zwischentriangulierung bezeichnet; doch sind solche Einteilungen und Benennungen ziemlich schwankend.

Obgleich die Haupttriangulierungen mit Basismessungen in unserem III. Bande behandelt werden, geben wir doch zur Gewinnung eines ersten Überblicks in der nebenstehenden Fig. 2 und Fig. 3 S. 298 eine Andeutung der neuesten Triangulierungen unserer Landesaufnahme in der Provinz Hannover.

Fig. 2 zeigt die Basis von Göttingen, welche 5193 m lang im Jahre 1880 von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme gemessen wurde.

Man kann mit den Mitteln der heutigen Wissenschaft und Technik solche Linien sehr genau messen, jedenfalls auf 1 : 200 000 der Länge genau, und auch noch erheblich genauer, und hiernach ist also z. B. die Göttinger Basis (welche wir nur in runder Zahl = 5193 m angegeben haben) auf etwa 1 cm genau bestimmt.

Obgleich die genaue Messung einer solchen Grundlinie eine schwierige und mühsame Arbeit ist, indem z. B. die zweimalige Messung der Basis bei Göttingen (hin und her) im Jahr 1880 mit den Nebenarbeiten etwa drei Wochen Zeit in Anspruch nahm, so sieht man doch durch Vergleichung von Fig. 2 und Fig. 3 S. 298, welch bedeutende Vorteile die Triangulierung im Vergleich mit der unmittelbaren Messung aller Linien bietet. Aus einer einzigen, unmittelbar gemessenen, nur wenige Kilometer langen Linie und mit Zuziehung von Winkeln, deren Messung mit dem Theodolit viel rascher und bequemer vor sich geht als die Längenmessung, kann man große Entfernungen von mehreren Hundert von Kilometern durch trigonometrische Bechnung ableiten.

So wird durch wenige Dreiecke aus der 5193 m langen Göttinger Basis die etwa elfmal größere, 57 507 m lange Seite Ahlsburg-Meißner abgeleitet, welche dann mit Ohmberg ein Dreieck erster Ordnung bildet, wie in Fig. 3 S. 298 zu sehen ist.

Wir haben auf dem hier dargestellten Gebiete drei Grundlinien:

1.    Grundlinie bei Braak in Holstein im Jahre 1871 gemessen, 5875 m lang,

2.    Grundlinie bei Göttingen im Jahre 1880 gemessen, 5193 -m lang,

3.    Grundlinie bei Meppen im Jahre 1883 gemessen, 7039 w, lang.

Die geradlinigen Entfernungen dieser Grundlinien voneinander sind rund im Mittel 230 hm und zu der trigonometrischen Verbindung sind drei zusammenschließende Ketten angeordnet, nämlich die „Hannoversche Kette“ im Westen, soude Teile der „Elbkette“ und der „Hannoverisch-Sächsischen Kette“ im Osten. Die Umfangsketten der Triangulierung (Fig. 3 S. 298) wurden zuerst in sich ausgeglichen, und liefern dann den festen umschließenden Rahmen für das dazwischenliegende (feingezeichnete) „Netz“, welches den Namen „Wesernetz“ führt.

Durch weitere Einschaltungen von Dreiecken wird dieses Netz immer mehr verdichtet, wie für die Gegend von Hannover angedeutet ist in Fig. 3 durch die zwei Punkte Ägidius und Wasserturm, welche wir dann in Fig. 4 S. 299 in vergrößertem Maßstabe wiederfinden.

Die Linie Ägidius-Wasserturm dient nun in Fig. 4 ihrerseits wieder als Basis, auf welcher das Fünfeck der Hannoverschen Stadttriangulierung von 1891 aufgebaut wurde.

Fig. 2.

Göttinger Basis. Maßstab 1: 670 000.

Hohehagen

Ahlsburg

BasisTiörcfm

Basis südlich.

Meissner

»Gleichen

Die Hannoverschen Koordinatensysteme, von welchen in § 71 die Rede war, haben ihre Nullpunkte auch auf dem Gebiete von Fig. 3 S. 298. Dieselben sind nicht

eingetragen, können aber leicht eingelegt werden, denn der Nullpunkt Göttingen ist nicht weit entfernt von dem Punkte N der Göttinger Basis, und Celle liegt rund 23 4m östlich und 28 &m nördlich von Hannover, westlich an der Sicht Wettmar-Lüß.

Fig. 3.

Triangulierung der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme in der Provinz Hannover.

(Maßstab 1 : 3130 000.)

63"

it•

Wangeroog

Esenz

Jever

AuricJn

Lejek !

Winił ergi

Basis b gemessen W}¹⁰''* j Beiepe <X.

Mtnastturgj^~yS/ \ etMcppïv

Jiejiibeim

Frieàoricbsl

Keuwerk,

ingwattde.

irel

Veslerslede

-Oldeiïbunt

Alten outhe"

*■Cloppenburg

(Wecken

Rauheberg

JVendor/jMe/dôrĄ

iVindorf

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SUbei-berg

Nievern

Stade

L itlera.

BaiLTsberg'

riitterdnrF

Va

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Väpze

Falk

_____ßhrdfeufdenbrrg

J\nickberg

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Ml

)Sch weinhayen —

Rathkrïigen

) Bnrnbeck

Basis bei Brera A yertfssè n /en

OtCÉ

£S~5m

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Beste bti'ßitli.sge/L s >9.> gemesst? tssj y'

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-1-I--->-*-1-1-1-!-1 ,

* ' ja    2o    aa so    so    eo    7o    so    so    ##"

US ISO coo

8i

Jnselslerg

Damit können wir nun zur Behandlung von Kleintriangulierungçn übergehen, hei welchen immer vorausgesetzt wird, daß mindestens zwei Punkte von vorhergehenden

Triangulierungsarbeiten nach Koordinaten gegeben sind, und daß es genügt, mit ebenen Dreiecken und mit ebenen rechtwinkligen Koordinaten zu rechnen.

Fig. i-

Trigonometrisches Netz (III. Ordnung) der Stadt Hannover.

ö.Schcmze

AKI.Pyr.

6.ßmicj

4. feuernd ieb

^-'1

HocHschule

DreiPoIHgKeil'

TAegidius

2. Linden, WcisserlriPin

3. Will men

1:80000

5 Kilom.

Unter Umständen vorkommende selbständige Kleintriangulierungen werden ebenso behandelt ; es kommt nur hinzu, daß eine Grundlinie mit Meßlatten oder Meßband § 18—21 sorgfältig gemessen wird, und wenn erforderlich, einige Dreiecke zum Übergang zwischen der Grundlinie und der nächsten Dreiecksseite, etwa wie in Fig. 2 S. 297 eingeschaltet werden.

§ 74. Grandaufgabe der Triangulierimgsberechirang.

Ehe wir zu den Einzelheiten der Triangulierungen in Hinsicht auf 'Winkelmessung, Signalstellung, Berechnung und Ausgleichung usw. übergehen, behandeln wir eine mathematische Grundaufgabe, durch deren fortgesetzte Anwendung man ganze Dreiecksnetze berechnen kann.

In Fig. 1 sind die beiden Punkte A und B durch ihre Koordinaten gegeben, und in einem an A B sich anschließenden Dreieck ABP wurden die Winkel a, ß, oder wenigstens zwei dieser Winkel, gemessen; es sollen die Koordinaten x, y des Punktes P berechnet werden.

Wenn alle drei Winkel a, ß, y gemessen sind, so wird ihre Summe a + ß -+- y nicht genau auf 180° stimmen, man verteilt dann den Widerspruch gleich auf die drei Winkel (§ 9).

Die trigonometrische Berechnung beginnt mit der Berechnung des Richtungswinkels und der Länge der Basis AB, nämlich nach den Grundformeln (15) und (16) § 69 S. 276.

tang (A. B) —

yb — ya

Xb — Xa

yb — ya sin (A B)

Der Sinussatz gibt die beiden anderen Seiten, nämlich:

AB =

oder

Xb —Xa

cos (A B) '

DO    H-1

c

—— sin a . siny

Aus dem Richtungswinkel {AB) der Basis AB und den beiden Winkeln u und ß findet man auch die Richtungswinkel der beiden andern Seiten, nämlich :

{AP) = {AB) — a

AP =

(3)

oder

(links Subtraktion)

{BP) = {BA) + ß

= {AB)± 180° + ß

(rechts Addition).

(4)

Dann folgen die Koordinaten von P nach den Grundgleichungen (5) oder (6) von § 69 S. 274 zweifach:

von A aus : y = ya -+- AP sin {A P) von B aus : y = yb -f- B P sin {B P)

Fig. 1.

b,

XL

X — xa-\- AP cos {AP) x = Xb-\-B P cos (B P).

Wir nehmen hierzu ein Zahlenbeispiel, welches ungefähr der beigegebenen Fig. 1 entspricht (wobei der Koordinatennullpunkt südöstlich liegend angenommen ist).

Gemessene Winkel («) = 40° 27' 23"

{ß) = 68 56 25 QO = 70 36 24

Punkt A

Ausgeglichene Winkel a = 40° 27' 19" ß = 68 56 21 y = 70 36 20

(5)

(6)

M.

Punkt B

180° 0' 12"

Gegebene Koordinaten = —4519,74 m = — 6581,55

180° 0' 0"

Xb = -f- 36156,78 m xa = + 35475,06

Koordinatendifferenzen yb — t/a = + 2061,81-m Xb — xa = +    681.72 m

% (yb — ya) 3.314 249 (    sin ( A B) )

| oder cos {A B) f hg [xb — Xa)

hg

9.977 471

(.4 B) = 71 ° 42' 14" — a = 40 27 19

2.833 606

(.4 P) = 31 ° 14' 55"

log tang {A B) / log AB log sin y

0.480 643 3.336 778 9.974 629

Spalte rechts | zur größeren Kathete

{BÄ) —

+ ß = + 68 56 21

251° 42' 14"

{BP) =

320° 38' 35"

log {A B : sin y)

3.362 149

log (A II : sin y) 3.362 149 log sin ß 9.969 975

log (A B : sin y) log sin a

3.362 149 9.812 147

log A P

3.332 124

log AP log sin (A P)

3.332124 log AP 9.714 960 log cos (A P)

3.332124

9.931928

AP sin (AP)

3.041084 AP cos (AP) 3.264052

-+-1114,51

-+- 1836,76 A ya = — 6581,55 xa = -h 35475,06

log B P 3.174 296

log BP 3.174296 log B P 3.174296 log sin (B P) 9.802192» log cos (B P) 9.888298

BP sin [BP) 2.9 76 4 88/jPP cos (BP) 3.062594

+ 1155,03

Byo — — 4519,74 xb = + 36156,78

947,30

Py = — 5467,04 x = -+- 37311,82

Py =

5467,04 x = + 37311,81 .

Man bat also in hinreichender Übereinstimmung von beiden Seiten das Ergebnis r

Punkt P:

x = + 37311,81

y = —- 5467,04 m

-m-.

Die Formeln, welche wir im vorstehenden entwickelt und durch ein Zahlenbeispiel erläutert haben, gelten allgemein, wenn nur die Bezeichnungen der Ecken 1, B, P und der Winkel u, ß, y des Dreiecks ein- für allemal den Formeln entsprechen, nämlich so :

Fig. 2.

Man denke sich auf die Basis so gestellt , daß man den neu zu bestimmenden Punkt P vor sich hat ; dann nenne man den linken Basisendpunkt A und den rechten Basisendpunkt B. und entsprechend die Winkel links a und rechts ß. Der dritte Punkt heißt dann P und hat den Winkel y. Dieser Kegel entspricht z. B. auch Fig. 2.

Auch die schon in § 69 S. 279 vorgeführten Fig. 3 und Fig. 4 können hier wieder benützt werden als Beispiele für das Anschreiben unserer Grundaufgabe der Triangulierung. Die dortige Fig. 3 ist mit der neuen Fig. 1 S. 300 identisch, mit dem kleinen Unterschiede, daß (AB) = qp0 besonders eingeschrieben ist.

Wenn von den Messungsfehlern abgesehen oder besser noch angenommen wird, daß sie schon ausgeglichen seien, wie in Band I gezeigt wird, und keine Widersprüche mehr bestehen, so könnte schon nach den einfachen Formeln (1) bis (6) ein Dreiecksnetz berechnet werden. Z. B. in Fig. 4 S. 299 seien gegeben die Koordinaten von

1. Ägidius und 2. Linden Wasserturm und gemessen alle Dreieckswinkel, welche keine Widersprüche mehr zeigen. Aus (1) und (2) ergibt sich der Richtungswinkel und die Entfernung, d. h. die Länge der Basis dieses Netzes. Die Anwendung des Sinussatzes (3) auf die Dreiecke der Figur liefert alle Dreiecksseiten; aus dem Richtungswinkel der Basis und den Dreieckswinkeln ergeben sich nach (4) die Richtungswinkel aller Dreiecksseiten, und daraus nach (5) und (6) und den Koordinaten der beiden Basispunkte die Koordinaten aller übrigen Punkte. Die Figur zeigt, daß dabei mehrfach Rechenproben sich ergeben.

Nach diesem ersten Überblick, der den Zusammenhang und die Berechnung einer Kleintriangulierung wird erkennen lassen, betrachten wir nun zunächst die Ausführung der Messungsarbeit.

§ 75. Aufstellung des Theodolits und der Signale. Punktvermarkung.

Die Aufstellung des Theodolits im Felde geschieht hei der Kleintriangulierung auf einem hölzernen Stativ. Wenn man es machen kann, ist natürlich die Aufstellung auf einem Pfeiler, wie hei Triangulierung I. Ordnung, vorzuziehen.

Die Stativplatte soll man mit einer Dosenlibelle nahezu horizontal stellen; dadurch wird jedes Bestreben des Theodolits, während der Dauer der Messung auf seiner Unterlage zu rutschen oder sich zu drehen, vermieden.

Bei Sonnenschein ist ein Sonnenschirm anzuwenden.

Die Bezeichnung der Zielpunkte kann hei Kleintriangulierung einfach durch starke Stäbe oder Stangen von 5—10 selben mit Ölfarbe weiß und rot anstreicht, und mit Zielbrettern oder einer Fahne versieht, so genügen dieselben auf Entfernungen von 5—10 4m. Die Zielbretter oder Signalfahnen dienen hierbei nicht zum Anzielen selbst, sondern nur zum Auffinden des Signals.

Fig. 1 zeigt ein kleines Pyramidensignal, welches bei der württembergischen Triangulierung auf Punkten II. bis III. Ordnung angewendet wurde. Dabei ist zugleich unter der Pyramide der zur dauernden Punktbezeichnung dienende Signalstein angedeutet, und zwar bezeichnet der Stein von Fig. 1 nach württembergischer Methode den trigonometrischen Punkt

Fig. 1.

Württemberg.

cm

Durchmesser geschehen. Wenn man die-

in der Art, daß eine Stange von gewöhnlicher Dicke (etwa 7 cm) auf der Seite des Steins, welche das Zeichen hat, den Stein berührend, einzustecken ist, worauf die Stangenmitte als trigonometrischer Punkt gilt.

In neuerer Zeit ist diese Punktbezeichnung verlassen worden; in den neueren Vorschriften („Zeitsehr. f. Verm. 1895“ S. 280) wird auf S. 132 mit Zeichnung Tafel V bestimmt: Fallen trigonometrische Punkte nicht auf

Grenzpunkte, welche ordnungsmäßig vermarkt sind, so„ sind dieselben durch einen mindestens 50 cm langen und 15 cm dicken vierkantigen Stein zentrisch zu ver-marken, mit dem oben eingehauenen Zeichen

Fig. 2. Baden. (Maßstab 1 : 50.)

Ansicht von,

Nord.

Süd.

Eine ähnliche Anordnung der Signalsteine wie die ältere württembergische mit exzentrischer Bake zeigt auch Fig. 2 nach badischem System.

I    Der eigentliche Triangulierungspunkt, in welchen

die Signalstange eingesteckt wird, und über welchem der Theodolit zentrisch aufgestellt wird, befindet sich 30cm (=1 bad. Fuß) nördlich vom Stein, woselbst das Zeichen /\ eingehauen ist.

Dieses Verfahren hat den Vorzug, daß der eigentliche Triangulierungspunkt gleich gut für den Theodolit wie für eine Bake zugänglich ist, was namentlich der später kommende Polygonometer willkommen heißt, und auch dem Trigonometer, welcher nur Baken benützt,

JK

Nord.

Süd.

erwünscht ist, während der Trigonometer, welcher die kostspieligeren Pyramiden anwendet, immer zentrische Punktbezeichnung auf dem Steine vorzieht.

Fig. 3. Hessen.

fi»

Derselbe Gedanke wie hei Fig. 2, nämlich Bakensteckung, liegt auch der Einrichtung von Fig. 3 zugrunde, welche auf ehemals kurhes-sischem Gebiete bei Nenndorf, westlich von Hannover, zu sehen ist.

Der Stein hat eine im Grundriß halbkreisförmige Aushöhlung, in welche die runde Bake B so eingestellt wird, daß die Bakenmitte in die Mitte der ausgehöhlten Steinfläche zu liegen kommt.

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''■Am. !»

Yor der altwürttembergischen Bezeichnung, welche bei Fig. 1 erwähnt wurde (Bake hart am Stein) und vor der badischen Bezeichnung Fig. 2 (Bake 30 cm vom Stein) hat diese hessische Bezeichnung Fig. 3 jedenfalls den Vorzug größerer Genauigkeit, da man es sehr gut beurteilen kann, ob die Bakenmitte in die Kantenmitte fällt.

-15 cm-----►

Wenn eine Bake zentrisch über einem Steine errichtet werden soll, nachdem der Stein fest ist, so hat man Schwierigkeiten, die durch besondere Einrichtungen überwunden werden können, wie die Fig. 4 S. 304 mit einem Signal der rheinischen Katastervermessung zeigt. Hierbei ist B eine 1 m lange Basaltsäule, welche nur wenig über den Boden hervorragt, und in der Mitte das Zeichen -f- hat. Darunter befindet sich zur Versicherung eine Tonröhre T. Vier Pfosten A und A' sind seitwärts geschlagen, durch Bretter C C verbunden, die Stange S zentrisch gesetzt, und seitwärts mit Dl)' 4fach verstrebt.

Es wird auch die unten konisch zugespitzte Stange unmittelbar auf die Steinmarke gesetzt und die Stange durch Streben befestigt.

In Württemberg, Baden und Hessen hat man der Einfachheit wegen die schon in den Figuren 1 — 3 beschriebenen Anordnungen gemacht, bei -welchen man jederzeit später einen Theodolit oder eine Bake zentrisch aufstellen kann.

Man wird wohl annehmen können, daß Fürsorge für die spätere Bakenstellung namentlich dann getroffen wird, wenn die Triangulierung und die Polygonisierung in einer amtlichen Hand sind.

Übrigens auf kurze Entfernungen, etwa bis zu 1 hm, kann man ganz gut ausreichen, wenn man eine einfache Bake mit einem Bakenhalter, z. B. wie Fig. 3, verwendet, eventuell genügt es auch, die Bake gut zentrisch hinter (oder vor) die Steinmitte zu setzen, wie in Fig. 5 S. 304 angenommen ist, wo der eigentliche trigonometrische Punkt in der Steinmitte durch einen Eisenbolzen mit Loch bezeichnet ist, und zum Anzielen von A her eine Bake B in der Bichtung A M hinter den Stein gestellt wurde. Das kann man für eine bestimmte Zielrichtung leicht auf Millimeter genau machen (Anlegen eines Lineals längs A B).

Die Orientierung der Steine und der Versicherungspunkte nach den Himmels-

Fig. 4. (Maßstab 1 : 40.) Zentrisches Bakensignal über einem Stein.

D/J

richtungen ist sehr nützlich. Unsere hannoverschen und Lin-dener Steine (Fig. 5) sind alle so gesetzt, daß die oberen Kanten bzw. nach Südnord und Westost gerichtet sind, was durch einen Kompaß heim Steinsetzen leicht zu erreichen war (Mißweisung der Kompaßnadel = 12° westlich in Hannover 1892). Auch in Württemberg werden in neuerer Zeit die Steine nach

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C'

den Himmelsgegenden orientiert gesetzt („Zeitsehr. f. Yerm. 1895“ S. 281).

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1,0 m

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Diewürttemb. Vorschriften betreffend die Erhaltung und Fortführung der Flurkarten (vgl. „Zeitschr. f. Yerm. 1895“ S. 280) bestimmen auf S. 182: Die

Fig. 5. (Maßstab 1 : 10.)

Stein der Stadttriangulierung von Hannover.

...

0,8"

trigonometrischen und polygono-metrischen Punkte sind auf gut vermarkte Grenzpunkte (Grenzsteine) zu legen und wo dieses nicht möglich ist, solche Punkte zu wählen, auf welchen die Steine zur Versicherung gegen Beschädigung möglichst gesichert sind, tvie z. B. auf Grenzen.

Auch in Baden werden schon vorhandene dauerhafte Gegenstände, Gemar--kungsgrenzsteine usw., als Träger trigonometrischer Punkte genommen. Solches ist möglich in Ländern, welche überhaupt gute Grenzvermarkung und Vermarkungs-

gesetze haben.

Von anderweiten Einrichtungen zur

Festlegung trigonometrischer Punkte geben wir noch in Fig. 6 eine Zeichnung aus Mecklenburg, nach Mitteilung von Herrn Kammeringenieur Vogeler in Schwerin, die auf dem Kopf des Steines geschriebenen Buchstaben F. F. sind staatlich mecklenburgisches Hoheitszeichen (nämlich : F. F. = Friedrich Franz). Weiteres über die Festlegung trigonometrischer Punkte in Mecklenburg und in anderen Staaten gibt eine Mitteilung von Vogeler in der „Zeitschr. f. Verra. 1892“ S. 554—557 und 1898 S. 179—185.

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Fig. 6. Mecklenburg.

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Unterirdischer Festlegungsstein

Punktbezeichnung in Bayern.

In „Zeitschr. f. Yerm. 1897“ S. 42—47 sind von Steuerrat Franke Mitteilungen gemacht worden, aus denen wir mit Fig. 7—10 folgendes entlehnen:

Fig. 7.

Fig. 8.

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Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

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Die Dreieckspunkte IL, III. und IV. Ordnung werden, besondere Fälle ausgenommen, seitlich festgelegt mit Steinen (Fig. 7 S. 305), bei denen das Punktzentrum

_ rechtwinklig zur Vorderfläche 10 cm von der Spitze des

einoehauenen A liegt. Diese seitliche Versicherung tfpjlfl.//;/{    beeinträchtigt die genaue Zentrierung nicht: bei Be-

I    nützung eines einfachen Winkelhakens läßt sich auf 1

4g':/,fei!    !    bis 2 mm genau zentrieren. Dafür hat aber diese Fest-

i ||§|p^₍    legung den Vorzug, den Punkt von den dünnsten Flucht-

¹    staben an bis zu 10 cm starken Stangen mit gleicher

,A.\jj |    !    Leichtigkeit signalisieren zu können.

jjL.j____]    Unterirdische Festlegung ist durch Fig. 8 S. 805 u.

cm

13

Fig. 9.

Hölzerne Beobachtungssäule.

Fig. 10.

Beipunkt und Polygonpunkt.

Fig. 9 angegeben. Die 15 cm lange Tonröhre hat bei 6 Durchmesser 2 cm lichte Weite, also 2 cm Wandstärke.

Die Fig. 9 zeigt eine hölzerne Beobachtungssäule. Bei vielen Punkten II. und

III. Ordnung ist eine bloße Stangensignalisierung unzureichend, Pyramidensignale sind kostspielig. Es werden häufig hölzerne Beobachtungssäulen errichtet (Fig. 9), die, weiß angestrichen und mit einer kürzeren oben eingesetzten Signalstange versehen, das Auffinden bzw. Einstellen bei weiten Entfernungen sehr erleichtern. Diese Beobachtungssäulen bieten auch den Vorteil, die Punktzahl in den Satzreihen vermehren zu können, da die Instrumentaufstellung sicherer als die auf dem Stativ ist. Der Punkt ist außer der Säule ganz wie gewöhnlich durch Stein und Bohre versichert.

Den Festlegungsstein für trigonometrische Beipunkte, dann füj Polygonpunkte zeigt Fig. 10. Das zentrische Loch der Steinoberfläche hat 1— 2 cm Durchmesser und 5—6 cm Tiefe. Die Stabaufstellung benützt gewöhnlich einen leichten Dreifuß (Spinne), doch genügt vielfach auch die Klemmung des Fluchtstabes durch Holzstückchen oder feuchte Erde. Das Material der Steina ist in der Kegel Granit. Jeder Feldpolygonpunkt wird, mit Ausnahme von Einzelfällen, durch Steine festgelegt.

Die Liniennetzpunktversicherungen im Felde sind unterirdisch, etwa 20—30 cm unter der Bodenfläche. Sie werden bewirkt mit scharf gebrannten Tonröhren, 30 cm lang; 2 cm lichte Weite und 2 cm Wandstärke.

Die Anordnungen der preußischen Landesaufnahme.

Bei der trigonometrischen Abteilung der preußischen Landesaufnahme werden die trigonometrischen Punkte durch Pfeiler und unterlegte Platten bezeichnet und

versichert, wie in Fig. 11 angedeutet ist. Als trigonometrischer Punkt gilt die Mitte des Pfeilers, senkrecht über der Mitte der untergelegten Platte, woselbst das Zeichen -+-eingehauen ist.

Die Zeichnung Fig. 11 gilt für einen Punkt I. Ordnung ; für die II. und III. Ordnung hat man ähnliche Bezeichnung, jedoch mit anderen Dimensionen, nämlich:

Fig. 11. Preußische Landesaufnahme. (Maßstab 1 : 40.)

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Ord- Dicke Höbe nung. des Pfeilers

Breite Dicke der Platte

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0,9°

I.

II.

III.

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Außerdem sind noch kleine Festlegungssteine im Gebrauch von 0,15 -m-Dicke und 0,5 -m Höhe, ohne Unterlagsplatte, jedoch mit oben eingegossenen Bolzen.

Die hier mit 0,90 m eingeschriebene Höhe der oberen Fläche des Pfeilers über der Platte wird im einzelnen Fall besonders gemessen.

Die Signalsteine hei der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme führen die Bezeichnung „Pfeiler“, und die vorschriftsmäßige Festlegung besteht in „Pfeiler und Platte“. Der Pfeiler ist so zu orientieren, daß die Inschrift T P nach der Südseite steht. Am Fuße von Baulichkeiten, Bäumen, auf oder dicht neben Chausseen kann hiervon abgesehen werden.

Die von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme angewendeten Pyramidensignale für III. Ordnung sind in Fig. 12 und Fig. 13 S. 308 gezeichnet.

Bei diesen Pyramiden ist die Höhe gleich der 2 fachen Basisseite (h = 2a), in neuerer Zeit werden die Pyramiden steiler gebaut (h = 3 a) zum Zweck der Ersparung an Grundfläche und Ersparung an Entschädigung der Grundeigentümer wegen Flurbeschädigung und vorübergehender Wirtschaftsbehinderung. (Erwerbung einer Sicherungsfläche?s. S. 309.)

Das hei diesen Pyramiden nötige Äbloten zeigt Fig. 14 S. 308.

Fig. 12.    (1 : 10.)

(Ganze Höhe 6 m über dem Erdboden. Diagonalkreuz 2,0—2,5 m über dem Erdboden.)

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Die Pyramide , wird Jbegreiflich in den meisten Fällen vor dem Steine gesetzt, welcher unten nachher so einzurichten ist, daß seine Mitte lotrecht unter P zu liegen

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kommt. Zu diesem Zweck sucht man zwei Lotrichtungen auf, welche in Fig. 14 etwa mit den Bichtungen S N und W 0 zusammenfallen sollen, und die Bichtung S N werde zuerst abgelotet. Dazu befestigt man quer zu S N zwei Latten A A! und B B ’

Fig. 13. (1 : 10.)

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Fig. 14.

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2 88m

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(durch Stifte, Zwingschrauben us w.), stellt den Theodolit in bequemer Entfernung (= 2—8 fache Höhe P C₀) über S auf, lotet P auf die Latten A Ä und BP' ab, indem man die Punkte a und b durch Handwmken oder Zuruf einweist (in zwei Fernrohrlagen). Dann legt längs ab eine dritte gut gerade Latte CG' an, stellt das Ablotinstrument nach 0 und weist ebenso c ein, von wo man vollends nach Cq hinunter mit fechnuilot

Veränderung'^

^Verankerung in festem Boden

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man

zum

Steinsetzen gelangt.

Diese Art der Ablotung (wobei übrigens die Latten A, B, C wohl etwas tiefer anzubringen sind, als in Fig. 14 gezeichnet) ist gut; immerhin verlangt das Verfahren das Mitführen der drei Latten, von denen die dritte, C, ganz gerade sein muß. Statt dessen kann man auch unten zwei Pflöcke schlagen, und darüber eine Schnur spannen (Mecklenburg), oder wohl auch noch in anderer Weise sich helfen.

In Fig. 15 geben wir eine Zeichnung des Signals Steuerndieb der trigonometrischen Abteilung bei Hannover (zu dem Netze Fig. 4 § 78 S. 299).

Die Landesaufnahme hat außer den beschriebenen Pfeilern mit Platte (Fig. 11 S. 307) noch manche andere Versicherungsmittel für trigonometrische Zwecke, z. B. die Turmbolzen (Fig. 16 S. 310), welche unten im Sockel von Bauwerken horizontal eingemauert werden, ähnlich wie Nivellementsbolzen. Als trigonometrischer Punkt gilt dabei die Mitte eines Stifts S, welcher in den Bücken der Hervorragung eingesteckt werden kann.

Fig. 15. Pyramidensignal I. Ordnung Steuerndieb, erbaut im Mai 1891 von Trigonometer Otto. Höhe der Pyramidenspitze = 31,0 m über der Erdfläche, des Theodolitstandes = 25,7 m ü. d. Erdfläche.

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(Solche Bolzen befinden sich in Hannover an den Sockelmauern von Burg und Willmer und an der Mauer des Lindener Wasserturmes in Plattformhöhe.)

Der Turmbolzen (Fig. 16 S. 310) ist eine exzentrische Festlegung, er wird relativ gegen den oben auf dem Turm befindlichen eigentlichen trigonometrischen Punkt (Zentrum der Station) durch Hinaufloten oder sonstige Hilfsmessungen eingemessen.

Manches Weitere über Festlegungen für trigonometrische Punkte ist von uns mitgeteilt in der „Zeitschr. f. Yerm. 1892“ S. 8—10; und das heutige System der „vorschriftsmäßigen Festlegung“ im ganzen ist kurz beschrieben in dem amtlichen Werke : „Die Königlich Preußische Landestriangulation, Abrisse, Koordinaten und Höhen usw., X. Teil, Berlin 1882“ (Mittler und Sohn), Vorwort S. VII—VIEL

Erwerbung von Schutz flächen. In Preußen wird zu jedem trigonometrischen Stein für den Staat eine Sicherungsfläche erworben, mindestens zwei Quadratmeter in

Form eines Kreises von 0,79 -m Halbmesser. Weiteres hierüber gibt: „Die Anweisung vom 20. Juli 1878 betreffend die Errichtung und Erhaltung der trigonometrischen Marksteine, Berlin 1878.“

Fig. 16. Turmbolzen. (Maßstab 1 : 4.)

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Unterirdische Versicherungen. Die Platten unter den Steinen der Landesaufnahme (Fig. 11S. 307), die mecklenburgische Bleimarke (Fig. 6 S. 305), auch die Tonröhre T unter der Basaltsäule von Fig. 4 S. 304 dienen als unterirdische Versicherungen für den JVotfall des Verlustes des Tageszeichens. Jedoch unterirdische Vermarkung, z. B. durch Tonröhren, ohne einen oben jedermann sichtbaren und zugänglichen Stein ist ungenügend.

Zur Aufmauerung von Signalpfeilern aus Geröllsteinen mit Zementmörtel und Einfügung einer zentralen Eisenstange sei zitiert: „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 75 mit Fig. S. 77.

Heliotrop. Auf Entfernungen von 5—10 4m reichen die angegebenen Signal-Hilfsmittel aus. Auf weitere Entfernungen, und vielleicht ausnahmsweise auch schon über 5 4m, wird das Heliotrop angewendet, über welches in unserem III. Bande „Handb. der Verm. 1907“ S. 30—39 berichtet ist.

Die Ausrüstung eines Trigonometers der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme besteht in III. Ordnung aus Folgendem:

1.    Theodolit (Fig. 20 S. 231) mit gewöhnlichem Kasten und einem großen innen gepolsterten Kasten für großen Transport, dazu ein Stativ mit Lederkappe, Setzlibelle, Lot und Messingplatte.

2.    Ablot-Instrument mit Kasten (kleines theodolitartig gebautes Instrumentchen).

3.    Schutzmittel: Eine Gummidecke zum Schutze des Instruments gegen plötzlichen Kegen, ein bis zwei Schirme, zwei Leinwandpläne von je etwa drei Quadratmeter, zum Schutze gegen Sonne oder Wind.

4.    Maßstäbe: Zwei Meterstäbe, ein Meßband und mehrere Latten.

5.    Schreibmaterial : Ledertasche mit Feldbüchern, Schreibbrett, Tinte, Federn usw.

6.    Werkzeuge, in einer ledernen Werkzeugtasche : Leuchtschraubenschlüssel, Säge, Beil, Stemmeisen, Schraubenzwingen, Feile, Steigeisen, Schränkeisen, Bohrer, Nägel in einem ledernen Beutel. Die unter 3. erwähnten zwei Leinwandpläne werden an den Pyramiden (Fig 12 S. 307) befestigt als Schutz gegen Sonne und Wind.

Das Vorstehende ist die Ausrüstung für Triangulierung im freien Felde; zur Stadttriangulierung 1891 wurde hierzu von uns noch manches von der geodätischen Sammlung der Hochschule genommen, Stative, Lotstäbe, Meßlatten, Komparator usw.

§ 76. Winkelmessung.

Die gebräuchlichste Art der Winkelmessung für Triangulierung II. bis IY. Ordnung besteht in folgendem : Man stellt die Zielpunkte der Reihe nach von links nach rechts ein, und liest bei jedem beide Nonien oder Mikroskope ab ; hierauf schlägt man das Fernrohr durch, und wiederholt die Einstellungen und Ablesungen in umgekehrter Reihenfolge. Dadurch bekommt man für jeden Zielpunkt vier Ablesungen, welche in ein Mittel vereinigt werden. Die Zusammenstellung der Ablesungsmittel für alle Zielpunkte heißt ein „Satz“ von Messungen. Man mißt im allgemeinen mehr als einen Satz, drei, vier, sechs Sätze, und verstellt dann vor Beginn eines neuen Satzes den Kreis des Theodolits, so daß jeder Satz in einer anderen „Kreislage“ gemessen wird.

Wenn zwei Sätze beabsichtigt sind, verstellt man um 180°:2 = 90°, wenn vier Sätze gemessen werden sollen, verstellt man zwischen je zweien Sätzen um 180° :4 = 45°, hat also die Kreislagen: 0°, 45°, 90°, 135°. Indem der eine Nonius dabei von 0° bis 135° herumkommt, geht der andere von 180° bis 315°; man kommt also mit den Ablesungen symmetrisch im ganzen Kreise herum, wenn der eine Nonius bzw. Mikroskop nur auf 0° bis 180° symmetrisch verteilt wird. Man kann auch zwischen beiden Hälften eines Satzes den Kreis verstellen, d. h. zwischen Hingang und Rückgang, um noch mehr zur Elimination der Teilungsfehler beizutragen.

Man nennt solche Messungen „Richtungsbeobachtungen“ im Gegensatz zu reinen „Winkelbeobachtungen“ (im engeren Sinn verstanden), bei welchen nur zwei Zielpunkte in je einem Satze Vorkommen. Der „Winkel“ ist der einfachste „Richtungssatz“.

Auf S. 314—315 geben wir ein vollständiges Zahlenbeispiel von Richtungsmessungen in zwei Sätzen. Hierzu sind noch einige Bemerkungen zu machen:

Spalte (1). Der nahe Zielpunkt Zentrum (Flaggenstange) ist in den Satz mit aufgenommen, wegen der späteren Zentrierungsberechnung, welche in § 77 behandelt werden wird. Bei so nahen Zielpunkten (Entfernung = 0,799 -m) kann man nicht durch das Fernrohr sehen, sondern nur über die Mittellinie des Fernrohrs hinweg, oder über ein besonders hierfür angebrachtes Visier und Korn, wie bei einem Geschütz (vgl. S. 225). Die Winkelablesungen können dann wohl Abweichungen von 5' zeigen, was auf so kurze Entfernung unschädlich ist. Wird ein so nahe liegender Punkt (Zentrum) mit dem Fernrohr bei stark herausgeschraubtem Okularkopf eingestellt, so soll man die Einstellung wie im Beispiel auf S. 314 am Schlüsse des Halbsatzes vor dem Durchschlagen machen, damit die glatte Beobachtung des Satzes nicht durch das Herausschrauben des Okularkopfes gestört wird.

Spalte (2). Die erste Ablesung 62° 40'40" im ersten Satze ist willkürlich, bzwr. zufällig; dann ist aber die erste Ablesung im zweiten Satze der Verdrehung entsprechend zu richten; in unserem Beispiele S. 314—315 bei nur zwei Sätzen muß um nahezu 90° verdreht werden, also 62° 40' —f- 90° = 152° 40' hergestellt werden.

Spalte (3). Bei den Ablesungen am Nonius II läßt man oft die ganzen Grade beim Ablesen und beim Schreiben fort, da man dieselben jedenfalls aus Spalte (2) und Spalte (4) bekommt. In unserem Beispiel wurden die ganzen Grade beim ersten Satz überall geschrieben, dagegen beim zweiten Satz zum Teil weggelassen.

Eine abermalige Einstellung des Anfangspunktes am Schlüsse jeder Reihe zur Prüfung der unveränderten Instrumentaufstellung ist empfehlenswert, besonders bei längeren Reihen. Im Beispiel S. 314 ist davon abgesehen.

Spalte (4) und (5). Die Zahlen dieser Spalten werden in der Aufeinanderfolge von unten nach oben erhalten, was durch die Bemerkungen „Hingang“ und „Rückgang“ hei den Überschriften angedeutet ist.

Spalte (6) und (7). Die Mittelbildung kann in verschiedener Weise geschehen; entweder -wird in jedem Halhsatz für sich das Mittel genommen, und dann aus diesen Einzelmitteln das Gesamtmittel des Satzes gebildet, oder es werden alle Ablesungen zu einer Summe zusammengefaßt, wie in Spalte (6) und (7) S. 315. Zur Mittelbildung werden hierbei die ganzen Grade und Zehnerminuten nicht addiert, man rechnet nur die Summe der überschießenden Minuten, z. B. 3' 10". Die nun folgende Division durch vier

= 0' 47,5",

3' 10"

ist zwar eine leichte Sache, welche man im Kopfe machen kann:    —

allein für so häufiges Vorkommen dieser Division haben wir eine kleine Hilfstafel nützlich gefunden, welche auf Seite [6] und [7] des Anhangs mitgeteilt ist. Einen Abdruck einer solchen Hilfstafel pflegen wir allen unseren Winkelmeßbüchern bzw. Berechnungsheften beizulegen.

Man kann die Mittelbildungen auch durch Probesummen versichern, wie wir auf S. 314—315 zwar nicht an den Spalten (2)—(7), aber an einem unten auf S. 315 beigefügten Beispiele der Mittelbildung aus vier Sätzen gezeigt haben.

Spalte (8). Der erste Wert der reduzierten Mittel ist wieder mehr oder weniger willkürlich. Gewöhnlich setzt man diesen Wert = 0° 0' 00" und hat dann den ersten Wert der Spalte (7) von allen folgenden abzuziehen, um die übrigen Werte der Spalte (8) zu erhalten. So sind die beiden Satzmittel auf S. 315 mit Burg = 0°0'0" ausgerechnet und auch nochmals unten auf S. 315 vier Sätze mit Burg = 0° 0' 0" zusammengefaßt. Um jedoch zu zeigen, daß auch ein anderer Punkt = 0° 0' 0" genommen werden kann, haben wir auf S. 315 unten nochmals die Mittel der vier Sätze so geschrieben, daß Ägidius = 0°0'0" wird.

Bei nur zwei Sätzen kann man das Mittel der reduzierten Sätze sofort im Feldbuch ausrechnen, vrie auf S. 315 zu sehen ist, dagegen bei mehr als zwei Sätzen bietet doch das Feldbuch zu wenig Raum hierzu, weshalb man dann die einzelnen Sätze besonders herausschreiben und mittein muß (vgl. S. 315 unten).

Spalte (9). Unter die Bemerkungen gehört natürlich neben der Angabe der örtlichen Vermarkung alles, was sich auf die Zentrierung bezieht, ein Handriß nach dem Taschenkompaß beiläufig orientiert, und für späteres genaues Aufzeichnen mit eingeschriebenen Maßen. Wenn die Zentrierungen umständlich werden, genügt die Spalte „Bemerkungen“ des Winkelfeldbuchs natürlich hierzu nicht. Doch kann hier wenigstens die Verweisung auf eine größere Handrißzeichnung (Fig. 1 § 77 S. 317) beigefügt werden.

Bemerkungen über Witterung, Beleuchtung der Zielpunkte usw. sollen nur ausnahmsweise gemacht werden. Solche Bemerkungen werden meist bei der Berechnung nicht benützt, und erst nachher etwa zur Begründung von Ausscheidungen usw. hervorgeholt.

Anordnung des Feldbuchs für Mikroskoptheodolite. Mit dem einfachen Schema von S. 314—315 reicht man auch bei Mikroskopablesungen aus. Bei der Ablesung von Doppelsekunden pflegen die Feldbücher besonders hierauf eingerichtet zu sein. Hat man Mikroskopablesung nicht mit Doppelsekunden, was wir vorziehen, und stellt immer nur einen Strich (den linksseitigen) ein, so ändert sich an dem Schema von S. 314

nichts, als daß die Ablesungen nicht mehr auf rund 10", sondern auf einzelne Sekunden ausgehen. Bei Triangulierung III.—IV. Ordnung ist das zu empfehlen.

Nun ist es aber bei genaueren Messungen nützlich, mit dem Schraubenmikroskop nicht bloß auf den linksseitigen Strich, sondern auch auf den rechtsseitigen Strich einzustellen. Auch dieses ändert an der Gesamtanordnung nichts, und das Schema S. 314—315 bleibt dasselbe, nur braucht man für jede Einstellung zwei Linien statt einer, oder man trägt die Sekunden über und unter der Zeile ein, wenn man nicht etwa das Mittel aus beiden Einstellungen sofort im Kopfe bildet und als eine Ablesung aufschreibt.

Will man noch die Vergrößerungskorrektion der Mikroskope berücksichtigen, so wird die Sache komplizierter, wir haben das Nötigste hierzu schon in § 58 S. 240 angegeben.

Anordnung der Sätze. Man soll nicht zu viele Zielpunkte in einen Satz zusammen nehmen, nicht mehr als sechs und auf hohen Türmen oder Gerüsten nicht mehr als vier, weil das Instrument unmöglich sehr lange unverrückt bleiben kann. Um dann verschiedene Sätze zusammenzufügen, Avähle man einen oder zwei Hauptpunkte aus, welche in allen Sätzen Vorkommen. Die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme wendet noch ein anderes Verfahren mit zweifacher Anbindung an, welches wdr in der „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 23 beschrieben haben.

Da nun der einzelne Satz nicht mehr als vier bis sechs Sichten haben soll, auf Punkten III. Ordnung und IV. Ordnung aber manchmal zehn bis zwanzig und mehr Sichten zu messen sind, müssen die verschiedenen Sätze zusammengehalten werden, am einfachsten dadurch, daß man einen Zielpunkt als Leitpunkt in allen Sätzen gemeinsam macht, und in der Regel nur einen, so daß keinerlei Übergreifungen der Sätze stattfinden.

Würde man Übergreifungen und Stationsproben zulassen, so müßte man entsprechende Stationsausgleichungen machen, was zwar nach dem Näherungsverfahren in unserem I. Bande, 5. Aufl. 1904, S. 177 gemacht werden kann, aber bei Messungen niederer Ordnung die Arbeit unnötig erschwert. Am zweckmäßigsten ist es, die Beobachtung nach dem Berechnungsplan anzuordnen, § 90.

Die Tageszeit für die Beobachtungen ist in unserem Klima insofern vorgeschrieben, als nur nachmittags- und abends ruhige Bilder der Zielpunkte im Fernrohr zu erscheinen pflegen, während vormittags und mittags die Bilder in der Regel zittern und schwirren. Deswegen muß man bei Triangulierung II.—III. Ordnung den ganzen Arbeitsplan hierauf einrichten, z. B. vormittags Zentrierungen und dergleichen besorgen, und die Nachmittags- und Abendstunden zu den eigentlichen Netzrichtungen ausnützen, während man IV. Ordnung, namentlich bei bedecktem Himmel, oft den ganzen Tag messen kann, wenn sonst gutes Wetter, ohne Wind und Regen, ist.

(Fortsetzung auf Seite 316.)

Für II. Ordnung (10—20 Km Zielweite, sechs bis zwölf Sätze) sagt die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme: die Hauptbeobachtungszeit fällt auf die Nachmittage; die frühen Morgenstunden muß man jedoch zuweilen zur Einstellung von solchen Objekten ausnützen, welche westlich und in der Tiefe liegen. Richtungen über Heide, Wasserflächen, Wald usw., oder durch einen Durchhau hindurch, kann man oft nur in einer Periode sogenannten schlechten Wetters bekommen. An den heißen sonnigen Tagen des Hochsommers bieten hochgelegene Signale und Turmstationen noch die meisten Aussichten auf Erfolg.

Horizontalwinkel-

Station Wasserturm, 25. August 1891.

Zielpunkt

Fernrohrlage I

(Hingang)

Fernrohrlage II

(Rückgang)

Nonius I

Nonius II

Nonius I

Nonius II

(l)

(2)

(3)

(4)

(5)

Satz I (Zeiger = 0°)

Burg........

Hochschule......

Ägidius.......

Willmer.......

Fahnenstange links .    .    .

„    rechts .    .

62°40'40" 87 32 20 138 20 10 183 26 10 299 55 20 310 49 20

242° 40' 30" 267 32 40 318 20 10 3 26 00 119 55 40 130 49 30

242° 41'00" 267 33 00 318 20 50 3 26 30 119 58 40 130 46 10

62° 41' 00" 87 32 40 138 20 30 183 26 20 299 58 00 310 45 40

Satz II (Zeiger = 90°)

Burg.......

Hochschule.....

Ägidius......

Willmer......

Fahnenstange links .    .

„    rechts

N r IO DO M H ^ to H to ■<] OT O O 02 CO <1 DO

Üi    DO    to    CO    ^

►4^    O    OC    o    LO    O

¹—¹    DO    CO    Cr

o    o    o    o    o    o

40 40 32 30 20 10 26 10 56 20 43 50

332 41 10 , 357 33 0 I 48 20 50 93 26 30 209 54 10 220 47 20

41 00 32 50 20 40 26 30 53 40 47 30

Diese Zahlen stellen die Richtungsmessung mit einem Nonientheodolit (etwa Fig. 16 S. 227) vor, insofern alle Ablesungen auf 10" rund ausgehen. Bei der Messung mit einem Mikroskoptheodolit, dessen Mikroskope einfache Sekunden geben (nicht Doppelsekunden, S. 240), bleibt alles ebenso, nur mit der kleinen Änderung, daß die Ablesungen nicht auf rund 10", sondern auf einzelne Sekunden ausgehen, und daß man, wenn die Fadenmitte jeweils auf den Teilstrich links und rechts eingestellt wird, für jeden Zielpunkt zwei Eintragungen erhält.

Eine größere Anzahl von Messungen, welche auf dem Pfeiler des Wasserturms mit dem Mikroskoptheodoliten Fig. 19 S. 230 gemacht wurden, stellen wir hier zusammen, um sie später auch sonst als Beispiele benützen zu können.

Kunst . Burg

Hochschule Christus Kreuz . Harkt . Hoftheater Ägidius . Waterloo Zion .    .

Wilhner

05 03 CO W CO tO DO DOOHMcntOO#.0)

Ägidius Bolzen SO 92 W 188 N 258 Zentrum C 167

0°

Entfernung

hf*. t-j.

o to OS

c o 0 ^

’-H rH r-H OJ

cq M D-

r-H CvT r-H* CT

CO io Ol ^

0,00

messung.

Beobachtungspunkt Steinpfeiler.

Summe

Mittel

Reduziertes

Mittel

Bemerkungen

(6)

(8)

(9)

3' 10" 10 40 1 40 25 00 27 40 30 40

62° 40' 47,5" 87 32 40,0 138 20 25,0 183 26 15,0 299 56 55,0 310 47 40,0

0°00' 00,0" 24 51 52,5 75 39 37,5 120 45 27,5 237 16 07,5 248    6    52,5

Lageplan des Wässerturms Fig. 1 § 77 S. 317.

e = 0,799 m-, vgl. Fig. 1 S. 317.

3 40 10 50 2 00 25 20 14 10 22 00

152 40 55,0 177 32 42,5 228 20 30,0 273 26 20,0 29 53 32,5 40 45 30,0

-j co

<OT rf*. O

i—¹¹    45-    CO    <OT

DO    <0<    CO    H-‘    O

O)    03    W    03    O

vx    or    O'T    jo    o

O    CT'    ©    "o    ~cn    O

Mittel aus beiden Sätzen 0° 0' 0,00"

248

242° 40' 3".

Mittelbildung aus vier Sätzen mit Probesunnnen.

Satz 1

Satz 2

Satz 3

Satz 4

Summe

Mittel

0° 0' 0,0" 24 51 47,5 75 39 35,0 120 45 25,0

£ g § .

'oi Cü CH o

DO CO Üi DO DO 'O

M 02 ^

ZD IO ^ ^ O O Cn O

itp

cT <N 00 ^

05 CO O

t—I r-H

0,00"

48,12

34.68

23.68

Probesummen

107,5    110,5    112,4

95,5    425,9    106,48

425,9    106,48

werden.

Solche Probesummen können auch oben in den Spalten (2)—(7) angewendet

Burg .    .

Hochschule Ägidius . Willmer . Zentrum .

Vollständig geschrieben ist also das Ergebnis dieser vier Sätze:

mit Ägidius = 0°

284° 20' 25,32"

mit Burg = 0° 0° 0' 0,00" 24 51 48,12 75 39 34,68 120 45 23,68 242 40 3

Die Richtung 242° 40' 3" für Fahnenstangenmitte = Zentrum, welche oben als Mittel aus zwei Sätzen erhalten ist, kann auch zu diesen Mitteln aus vier Sätzen zugesetzt werden, weil bei der kurzen Entfernung zwei Sätze jedenfalls genügen.

Verwerfungen und Wiederholungen sind manchmal nicht zu vermeiden, z. B. wenn wegen schlechter Beleuchtung od. dgl. der Beobachter sofort auf der Station einen Satz zu verwerfen sich entschließt. Mehrfaches Messen und späteres Auswahlen nach dem Erfolg ist nicht zulässig.

Vertikalstellung des Fadem.

Das Fadenkreuz muß so stehen, daß die vertikale Fadenmitte beim Auf- und Niederkippen auf einem Zielpunkte bleibt, was durch Drehen der Okularröhre gestimmt und durch die „Anlehnung“ an die Leitschiene oder Triebstange des Okularauszuges versichert wird. Man braucht dann nicht auf den Kreuzungs\>m\kt beider Fäden bzw. Fadenmitten zu stellen, im Gegenteil, es ist besser,

Fig. 1.

Gesichtsfeld mit Fadenkreuz.

Lage II.

Lage I.

etwas über oder unter der Mitte einzustellen. Die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme hat hierbei die Kegel (vgl. Fig. 1) : man soll in Lage I des Fernrohrs nach Schätzung eine gewisse Einstellungshöhe über der Mitte, und in Lage II ebensoviel unter der Mitte einhalten. Man kann zuerst denken, dieses sei überflüssig, denn wenn die Fäden nicht genau vertikal stehen, und man stellt immer über die Mitte, so hat man allerdings in Lage I und II eine Verschiedenheit der Einstellungen in azimutalem Sinn, welche aber als Ursache einer konstanten Verdrehung zwischen I und II gleichgültig ist.

Trotzdem besteht eine theoretische Rechtfertigung für die Einstellungsregel von Fig. 1, indem bei Steilzielungen der Einfluß des Zielachsenfehlers nach § 61 S. 249—250 in beiden Lagen nicht derselbe wäre, wenn nicht bei schiefen Fäden die Anordnung von Fig. 1 getroffen würde; auch soll diese Regel etwas gegen konstante Zielfehler schützen.

Orientierung der Satzmessungen.

In dem Beispiele von S. 314 u. 315 haben wir die reduzierten Mittel so berechnet, daß ein Punkt auf 0 ° 0' 0” kam, doch ist dieses natürlich nicht notwendig. Es ist wohl zunächst am einfachsten, auf jeder Station einen Leitpunkt auszuwählen, dessen Richtung = 0°0'0" gesetzt wird, aber man erzielt manche Vorteile, wenn man von vornherein den Leitpunkt nicht auf 0°0'0", sondern auf einen Näherungswert seines trigonometrischen Richtungswinkels rechnet. Dieses kann man einrichten, wenn man die auf gegebenen Punkten bekannten trigonometrischen Richtungswinkel sich żur Messung notiert; auf einem neuen Punkte kann man eine etwa dorthin gehende Vorwärtsrichtung nehmen u. dgl.

Um solche Orientierung wenigstens näherungsweise zu erlangen, kann man sich auch eines Kompasses bedienen, welcher die Azimute bzw. Richtungswinkel auf etwa 1° genau gibt. Wir lassen auch unsere trigonometrischen Steine schon nach dem Kompaß mit den Kanten auf die Himmelsgegenden richten (vgl. § 75 S. 304), so daß wir nach den Kanten des Steines schon beiläufig wissen, wo Null des Kreises hinzuliegen kommen muß ; auch hat man die topographische Karte usw.

Die kleine Mühe, welche zur genäherten trigonometrischen Orientierung' der Richtungsmessungen erforderlich ist, lohnt sich nachher durch die Übersichtlichkeit aller Tabellen reichlich.

Repetitionsmessung.

Es kann auch Repetitionsmessung Verwendung finden, welche mitunter bei Kleintriangulierungen sogar Vorteile bietet, § 66 S. 264—266. Es können dann entweder die Winkel für alle Punkte in bezug auf einen Leitpunkt gemessen werden, oder die nebeneinander liegenden Winkel, deren Summe (Horizontsumme) = 360° sein muß, wobei dann Verteilung des Abschlußfehlers (§ 9) stattfindet. Auf gegebenen Punkten kann man auch die Einzelwinkel so nehmen, daß ihre Summe dem zwischen zwei feststehenden Anschlußrichtungen gegebenen Winkel gleich sein muß.

Über die Berechnung des mittleren Richtungsfehlers aus Satzmessungen s. Band I, 5. Aufl. 1904 § 58, über die Winkelmessung in allen Kombinationen für Haupttriangulierung s. ebenda § 79.

§77. Exzentrische Winkelmessung.

Es kommt oft vor, daß das Aufstellen des Theodolits auf einem Punkte, den man als Triangulierungspunkt haben möchte, aus irgend welchen Gründen nicht tunlich ist; die Messungen auf dem Lindener Wasserturm, dessen Lageplan in nachfolgender Fig. 1 dargestellt ist, gehen ein Beispiel hierfür : In der Mitte des Turmes befindet sich eine Flaggenstange C, welche als Zielpunkt dient, wenn von anderen

Fig. 1. Wasserturm in Linden. Lageplan der trigonometrischen Station. (Maßstab 1 : 50.)

Jn

X--29069

'S

»JL/-

x=-29070m j

•\

X=-29Q71

»!

4m y

Wy

j Pfeilen

mm

X=-Z9073m

Ie

i?

m

CO

ID

CO

OO

?!    m

ilX=^29074_

I CM

Ln

CO

CM

£s!

Lni

00 I

I*. I >li

CO

Ln

CO

CM

ii

>>

E

CO

St

0.1

ii !

1:50

3m

2m

Punkten nach dem Turm gemessen wird. Mißt man auf dem Turm seihst, so muß der Theodolit exzentrisch gegen die Flaggenstange aufgestellt werden.

Als Theodolitstand wurde im Jahre 1887 ein runder Pfeiler aus Backsteinen von 0,4 -m Durchmesser erbaut, auf dessen Mitte P der Theodolit aufgestellt und zur Messung der eingeschriebenen Sichten benützt wurde.

Als „Zentrum der Station“ gilt die Mitte der Flaggenstange C, welche von außerhalb angezielt wurde, und es handelt sich nun darum, diejenigen Winkel hzw. Richtungen zu berechnen, welche man erhalten haben würde, wenn der Theodolit statt auf P in der Stangenmitte C zentrisch aufgestellt gewesen wäre.

Zur Lösung dieser Aufgabe wurde bei Gelegenheit der Winkelmessungen auf P auch die Richtung nach der Stangenmitte mit eingemessen. Da die Stange 138 mm dick ist, wurde der linke und rechte Rand eingestellt, und nachher das Mittel genommen; auch ist zu bemerken, daß auf die kurze Entfernung von weniger als lm natürlich nicht durch das Fernrohr gesehen werden kann, sondern die Richtungen über das Fernrohr weg mit Korn und Visier genommen werden. Die Entfernung von der Pfeilermitte bzw. Theodolitmitte P nach der Stangenmitte konnte unmittelbar = 0,799 m mit Meterstäben ermittelt werden.

Nach dieser Darlegung der sachlichen Verhältnisse an einem Beispiel, wie es in sehr vielen Fällen wiederkehrt, wollen wir die Theorie der Zentrierungsrechnung entwickeln, wozu nur •wenige Gleichungen erforderlich sind, zuerst mit Unterscheidung von zwei Fällen (e <M80° und £^>180°), welche jedoch nachher wieder auf eine gemeinsame Formel zusammenführen werden.

Hierbei ist S der Standpunkt des Theodolits (entprechend dem Pfeiler P in Fig. 1 S. 317), ferner C das Zentrum, auf welches reduziert werden soll, P ist in Fig. 2 und 3 ein Zielpunkt, ferner S C = e die Exzentrizität, P C — s die Entfernung des Zielpunkts vom Zentrum, und £ der Richtungswinkel des Zielpunkts P, vom Zentrum an gezählt.

cAs'

Fig. 2.

£ < 180p.

S'

Kichtungszentrierung.

Fig. 3.

S > 180°.

s\

Fig. 3 gibt: (360° — e') = (360° — e) + Ô’ — sin (360° — «).

Es wird angenommen, daß e sehr klein sei im Vergleich mit s, folglich:

e ’ .

— o sin £ .

Fig. 2 gibt :    £' = £-)- ö

sin ö = — sin e

sind' =

ö' = —

Hieraus folgt in beiden Fällen gemeinsam :

£' — £ =

-j- Q sin £ .

(1)

Die Werte e , e und s nennt man zusammen „Zentrierungselemente“; e und £ kann man oft unmittelbar messen, wie an dem Beispiel Wasserturm (Fig. 1 S. 317) gezeigt wurde. In diesem Fall hat man direkte Zentrierung, sonst indirekte, § 78. Die Entfernungen s kann man aus vorläufigen Berechnungen entnehmen, da dieselben nicht sehr genau zu sein brauchen.

P₄ — Hochschule (s₄ = 2354 m) a₄ = 309° 12' 11,96" + 192° 59' 36"

142° IV48" 9.78742 3.37178

6.41564

5.21698

1.63262

+ 42,92" 309° 12' 11,96" + 42,92

309 12 54,88 4-15,49

l>- TT OO

o oT

rH 00

CO CO rH CM

rH

O t>

co

P₃ zrr Burg (s₃ = 4105 m)

«3 = 284° 20' 25,08" + 192° 59' 36"

117°20'1" 9.94858 3.61335

6.33523

5.21698

1.55221

+ 35,66" 284° 20' 25,08" + 35,66

21 0,74 +15,49

CO

GM I>

o' oT

rH CO

H CO CM CM

CO

CM

rf rH

CO £>•

CM

355 44 55,97 |    20 36 50,11

Winkelzentrierung. Station Wasserturm, Linden.

P₂ = Willmer (§2 = 4202 -m) or₂ = 45° 5' 44,21" + 192° 59' 36"

1\ = Ägidius (s₄ = 2392 w) = 0°0' 0,00" + 192° 59' 36"

P₀ = Zentrum e — 0,799 -m «₀ = 167° 0' 24" + 192° 59' 36 '

Zielpunkt Entfernung Beobachtungsrichtung - «₀ oder + (360 ° — a₀)

238° 5' 20"

9.92884«

3.62344

192° 59' 36"

9.35186»

3.37870

e —■ a — «o log sin e log s

6.30540»

5.21698

1.52238»

—    33,30" 45° 5' 44,21"

—    33,30

45 5 10,91 + 15,49

O

co cT CM CO

KO

co

CM

KO rH I>

5.97316»

5.21698

9.90255

5.31443

, sin e loci J s

log e

log q

1.19014»

—15,49" 0=0' 0,00" —15,49

359 59 44,51 +15,49

o

o oT

cc

co

CM

rH

71 28 89,74    ! 116 29    6,14

167° 0' 24"

HT KO O O CM rH CO ^

O CO CM

I>*    ,    t>-    rH

co    +    CO    l>

rH    ¹    rr

238 24 19

log 8 = log ^ e q

8 in Sekunden + Beob.-Bichtung a (von oben) Zentrierung 8 +.

Zentrierte Richtung a + 8 Konstante Verschiebung y

Ergebnis a + 8 + y Orientierung

Richtungswinkel

Diese beiden letzten Linien, Orientierung und Richtungswinkel (im System Celle) sind nicht mehr zu der eigentlichen Zentrierungsreohnung gehörig.

Damit sind wir genügend vorbereitet, um eine Zentrierungsbereehnung wirklich durchzuführen, wie in der vorstehenden Tabelle S. 319 zu sehen ist. Als „beobachtete Richtungen“ sind ein Teil der schon auf S. 314—315 mitgeteilten Satzmittel, auf Ägidius = 0° 0' 0" reduziert, in S. 319 eingesetzt.

Die beiden letzten Linien „Orientierung“ und „Richtungswinkel“ gehören nicht zur Zentrierungsrechnung seihst, welche mit dem Ergebnis a 4- 8 + y abschließt, oder auch schon mit a + 8, indem y nur zugesetzt ist, damit wieder Ägidius auf 0° 0' 0" kommt.

Unsere Berechnung S. 319 ist im wesentlichen dieselbe, wie die Rechnung nach

den amtlichen Formularen der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme oder der Katasteranweisung IX, Formular 4. Nur in der ersten mit P₀ = Zentrum über-schriebenen Spalte haben wir noch eine Besonderheit in der Zentrierung a -+- Ö für den Zentrumsstrahl seihst, welche erforderlich wird, wenn man die Koordinaten des exzentrischen Punktes berechnen will. In unserem Falle ist 238° 24'19" der trigonometrische Richtungswinkel des Strahles vom Theodolit nach dem Zentrum, also umgekehrt mit +180°, ist der Richtungswinkel vom Zentrum zum Theodolit = 58° 24'19", welcher mit der Exzentrizität e die Koordinatenreduktionen esinccQ und e cos <t₀ für den exzentrischen Punkt gibt :

Wasserturm C

e = 0,799 mit a₀ = 58° 24' 19" gibt

ye = — 25538,488 + 0,681

xe = — 29071,474 + 0,419

x — — 29071,055.

y = — 25537,807

In gleicher Weise kann man auch die Koordinaten der drei Yersicherungsholzen S O, W, N in Fig. 1 S. 317 berechnen, indem man nur deren von P aus gemessene Richtungen und Entfernungen, welche schon auf S. 314 mitgeteilt sind, ebenso behandelt wie soeben C mit e. Man wird auf diese Weise finden :

Wasserturm Pfeiler P

—    29072,614 -m

—    29071,484

—    29069,845.

Wasserturm Bolzen SO—-25537,346*1-1.

„    „    TU—25540,135

„    „    N— 25538,506

Damit hat man dasselbe in Katasterkoordinaten, was in dem Werke : „Königlich Preußische Landestriangulation, Hauptdreiecke, VIII. Teil 1896“ S. 474 und 499 im System der Landesaufnahme gegeben ist.

Die Vergleichungen werden nicht auf Millimeter stimmen, weil die Landesaufnahme die schon 1887 in I. Ordnung auf Wasserturm erhaltene Zentrierung aus begreiflichen formellen Gründen auch für 1891 beibehalten hat und unsere Zentrierung 1891, welche auf S. 319 vorgeführt ist, nicht identisch mit der Zentrierung von 1887 ist.

Mit den berechneten Koordinaten aller Punkte C, P, S O, TU, N kann man nun die Zeichnung Fig. 1 S. 317 des Lageplans der trigonometrischen Station Wasserturm endgültig auftragen mit Benützung des schon bei Gelegenheit der Erkundung oder der Messung gemachten Handrisses mit eingeschriebenen örtlichen Maßen.

In dem Zahlenbeispiel von S. 319 haben wir nur vier trigonometrische Sichten zentriert, nämlich diejenigen, welche auch in dem Netze (Fig. 4 § 73 S. 299) vom Wasserturm ausgehen, während wir in § 76 S. 314 noch sieben andere Sichten angegeben haben (und in Wirklichkeit sind deren über dreißig gemessen). Es kann nun nötig werden, alle diese Richtungen ebenso zu zentrieren, wie die vier ersten auf S. 319, doch ist dieses nicht unter allen Umständen erforderlich, und wir wollen hier die Gelegenheit ergreifen, mitzuteilen, daß wir hei der Stadttriangulierung in Hannover

und Linden die vielen weiteren Zentrierungen vermieden haben dadurch, daß wir für alle jene Sichten, welche nur zum Vorwärtseinschneiden von Türmen usw. dienen, den Standpunkt Wasserturm Pfeiler mit seinen Koordinaten als selbständigen Punkt weiter geführt und für diesen Punkt einen besonderen Abriß gemacht haben usw., wie wenn er ein unabhängiger trigonometrischer Punkt wäre. Bei einer Stadtvermessung wie in unserem Falle kann man sich auf diese Weise viel Arbeit ersparen, denn allein das Beschaffen von brauchbaren Näherungsentfernungen zur Zentrierung (die man nicht etwa nur immer aus alten Karten nehmen kann) macht mindestens ebensoviel Mühe als die Ausrechnung von Näherungskoordinaten der angeschnittenen Türme usw. mit den nicht zentrierten Richtungen.

Besonderer Fall zweier Richtungen. Man stellt häufig die Winkehentrierung in einer besonderen Formel dar, wofür wir in Fig. 4 besondere Bezeichnungen angenommen haben. (I und L entsprechend links, r und B entsprechend rechts.)

Da ein Winkel immer die Differenz zweier Richtungen ist, kann man durch zweifache Anwendung der Richtungszentrierung (1) auch die Formel für Winkelzentrierung aufstellen. In Fig. 4 kann man sich den gemessenen Winkel zerlegt denken : a' — B — L, und wenn man dann auf L und B die Richtungszentrierung (1) anwendet, so findet man die Winkelzentrierung:

Fig. i.

i!

- - sin L 4—- sin B . I    r

*1

s;.

(2)

Zentrieren eines Zielpunktes.

Auch bei den Zielpunkten kommt oft Zentrieren vor. In Fig. 5 sei P' ein Zielpunkt, der bei der Winkelmessung benützt wurde, und P ein benachbarter Punkt, auf welchen die Winkelmessung nachher bezogen werden soll.

Ist hierbei P P ' = e die Exzentrizität, s die Entfernung und e der Winkel bei P, dann ist der kleine Winkel bei S:

Fig. 5.

(3)

P’

Dieser kleine Winkel Ö ist von der gemessenen Dichtung 8 P' abzuziehen, damit dieselbe auf S P bezogen werde, wenn P' rechts von SP liegt, im anderen Fall zu addieren.

co

V.

Ist nicht die Entfernung S P ', sondern SP bekannt, und nicht genügend genau S P — 8 P' zu nehmen, so hat man:

e sin e

tgö =

PS — e cos e

bzw. ô =

e s in e

PS — e cos e

(4)

Man kann die Zielpunktszentrierungen in demselben Formular berechnen wie die Standpunktszentrierungen (S. 319), es tritt nur ein Vorzeichen Wechsel ein.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

lieche,npy oben.

Die Zentrierungsrechnung muß durch eine Probereclmung gesichert werden, was am besten durch eine zweite unabhängige Rechnung, durch einen besonderen Rechner geschieht. Für die Ausführung der Proberechnung durch denselben Rechner verweisen wir auf eine von Sossna „Zeitschr. f. Yerm. 1905“ S. 569—578 angegebene Methode.

Bequem und oft hinreichend ist eine graphische Probe. Es werden die auf die Zentrallinie e bezogenen Richtungen s aufgetragen, wozu sich besonders das in Fig. 3 § 88 zu behandelnde vorgedruckte Schema mit Kreisteilung eignet. Auf dem Nullstrahl wird in passendem großem Maßstabe die Exzentrizität e aufgetragen, vom Endpunkte derselben rechte Winkel auf die einzelnen Richtungen bzw. deren Verlängerungen gefällt, womit e sin s konstruiert ist und abgegriffen werden kann, so daß nach Formel (1) ' mit dem Rechenschieber 8 zu rechnen ist. In Fig. 1 S. 317 wäre demnach P der Mittelpunkt der Kreisteilung, P C die Null-Linie, auf der e abgetragen wird. Für unser Beispiel ist das im Maßstab 1 : 10 geschehen, womit sich aus den Werten S. 319 ergibt:

Ägidius

—    0,176

—    15,2"

Willmer    Burg Hochschule

graphisch e sin e = mit Rechenschieber 8 = in genügender Übereinstimmung mit S. 319.

Aus Fig. 1 S. 317 kann man zur Nachrechnung ungefähre Werte für e sin « im Maßstabe 1 : 50 entnehmen.

Wenn um die Exzentrizität e = P C in Fig. 1 S. 317 als Durchmesser ein Kreis beschrieben wird, so kann man e sin e unmittelbar von C aus bis zu den Schnittpunkten der Richtungen mit diesem Kreise ablesen.

—    0,675    + 0,707    -t- 0,487

—    33,1"    + 35,5"    -h 42,7"

§ 78. Besondere Zentrierungsverhältnisse.

Die Zentrierungen spielen bei Triangulierungen eine wichtige Rolle, und auf, manchen Stationen machen die Zentrierungen mehr Arbeit als die Hauptwinkelmessung selbst. Neben der vorher behandelten einfachen Zentrierung mit direkter Messung der Zentrierungselemente e, s kommen verschiedene Fälle in Betracht, hei denen e und e auf irgend eine Weise indirekt beschafft werden müssen. Entweder ist wohl 6 direkt meßbar, aber e nur indirekt, wenn z. B. in Fig. 7 S. 326 Punkt (1) Beobachtungsstand ist und C das Zentrum, oder aber es muß sowohl ' e wie s indirekt beschafft werden, d. h. also die Richtung e ist nicht direkt herstellbar, wenn z. B. in Fig. 7 Punkt B Beobachtungsstand und G Zentrum ist. Wir wollen von den verschiedenen hierbei auftretenden Umständen einige besondere Fälle behandeln.

Am sichersten geht man immer, wenn man alle Punkte, nur wenigstens vorläufig, auf ein gemeinsames rechtwinkliges Koordinatensystem bezieht, in welchem die gegenseitig zu zentrierenden Punkte wenigstens relativ richtig bestimmt sind (d. h. richtige Koordinatendifferenzen haben). Zu diesem Zweck wird die ganze Triangulierung mit angenäherten (vielleicht nur auf V genauen) Winkeln vorläufig durchgerechnet.

Eine hierbei oft auftretende Aufgabe ist bereits in der ersten Spalte der Zentrierungstabelle und der zugehörigen Berechnung auf S. 319 mitenthalten; in selbständiger Fassung lautet die Aufgabe so:

In Fig. 1 sei das Zentrum C durch seine Koordinaten xy gegeben, und ein entfernter Punkt P sei ebenfalls durch Koordinaten Xy yx gegeben. S sei ein Theodolitstandpunkt, in welchem der Winkel CS P = und die kleine Entfernung C S = e gemessen sind ; es sollen die Koordinaten x’ y' von S bestimmt werden.

Aus C und P hat man:

tang (CP) =

Fig. 1.

x,y. p

« r„-

T, XV Crß

e\«

X'y' s

xx — x ~ cos (C P) '

Dann sin ö =

ß = 180° — (a + ö) , (CS) = (CP) + ß

y' = y -+- e sin (C S)

(1)

x' = x ■+-ecos (C S).

Eine durchgreifende Probe erhält man, wenn man aus den Koordinaten von S und P den Richtungswinkel (S P) unmittelbar berechnet :

tang (S P)

₌ vi — y'

xx —x'

und dann (C P) — (S P) = 8..

Zentrierung durch Koordinatendifferenzen.

Hat man alle Punkte in Koordinaten bestimmt, und zwar die Koordinaten-differenzen benachbarter Punkte so genau als möglich, so kann man statt nach den in §77 behandelten Formeln auch alles in Koordinaten berechnen, wobei man entweder alle kleinen Winkel als Differenzen von Richtungswinkeln darstellen, oder die Differentialformeln anwenden kann, welche zur Ausgleichung von trigonometrischen Punkt- ■ einschneidungen ohnehin nötig sind.

Es seien z. B. in Fig. 5 § 77 S. 321 : xy die Koord. von P

dann kann man rechnen:

x' y die Koord. von P' , x₁ yt die Koord. von S

_ y'—y\ _

x'-Xy

tang (,S P) = |

y — y i

-Xy

PSP' = Ö= (SP')—(SP).

tang (S P')

(2)

Es ist also der kleine Winkel:

Andrerseits kann man Differentiale anwenden, und hat dann in bekannter Weise (nach Band I, 5. Aufl. 1904 S. 329 Gleichung (7)):

P S P' — Ö —

— (x' — x) -y sin (S P) -h (y' — y) -y cos (S P).

(2 a) .

Dabei sind die Koeffizienten von (cd — x) und (y — y) nichts anderes als die bekannten Koeffizienten a und h der Fehlergleichungen zur Punkteinschneide-Aus-gleichung, weshalb man sie auch nach der Tabelle von Band I, 5. Aufl., Anhang S. [8]—[15] bestimmen kann.

In dieser Weise hat der Verfasser viele Zentrierungen behandelt.

Zentrierungen auf Türmen.

Auf Kirchtürmen und ähnlichen Bauwerken spielen die Zentrierungen eine besonders wichtige Rolle, weil es fast nie möglich ist, unmittelbar in der Projektion

der Helmstange zu beobachten oder die Zentrierungselemente unmittelbar oben auf dem Turme zu messen. Von jedem trigonometrischen Punkte wird ein Lageplan etwa in 1 : 50 gezeichnet, mit Angabe aller Theodolitstände, Leuchtschrauben usw., und von allen Türmen und ähnlichen Bauwerken, welche angezielt wurden, werden Zeichnungen oder Photographien beschafft und zu den trigonometrischen Akten genommen, wie beispielshalber unsere Zeichnungen für Ägidius und 'Hochschule (Fig. 2 hierneben und Fig. 5 und 6, S. 326) zeigen.

Fig. 2.

Ägidienturm in Hannover.

Abloten.

Das Abloten (oder auch Aufloten) kommt in mannigfacher Form häufig vor; und indem wir hier absehen von dem unmittelbaren mechanischen Loten durch das Schnurlot, wollen wir einige Fälle behandeln, in welchen durch den Theodolit oder ein besonderes kleines theodolitartig gebautes Instrumentchen ein Punkt von zwei Seiten her (tunlichst rechtwinklig gegeneinander) ab- oder aufprojiziert wird.

Am besten ist hier das Abloten von zwei Außen-

ständen her im wesentlichen ebenso, wie wir bei dem früher erwähnten Abloten der Pyramidenspitze in Fig. 14 § 75 S. 308 gezeigt haben.

Das unmittelbare Abloten durch Zuruf, Handwinken oder sonstige Zeichen kann wohl bis Entfernungen von etwa 100 m und Höhen bis 50 m ausgeführt werden, und Ägidius (vgl. Fig. 2) wurde 1887 so abgelotet. Die Helmstange C wurde zuerst vorläufig projiziert, und dadurch ein Punkt A auf dem Holztisch in der Turmlaterne erhalten. Da es aber nicht gut möglich ist, durch Projektion in einer Fernrohrlage den Punkt A genau in die Vertikale C zu bringen, wurde durch genaue Horizontalwinkelmessung zwischen dem vorläufigen Punkt A und der Helmstange C noch eine Korrektion ACi bestimmt (Fig. 3). Zunächst hat man für A C\ eine Winkelkorrektion, und man könnte daraus eine lineare Korrektion A C\ ableiten, wenn man die Entfernung des Theodolits wüßte. Diese Entfernung kann man vielleicht auf irgend welche Weise sich wohl genähert verschaffen, man kann sie sich aber auch durch einen kleinen Kunstgriff ersparen : man stellt nämlich in A, und links und rechts davon, drei Lotstäbe L, A, B in bekannten Abständen auf {L A — AB — 10cm) und wenn man nun die Horizontalwinkelmessung nicht bloß auf C und A, sondern auch auf L und B ausdehnt, so kann man das Stück A C\ durch eine einfache Proportion berechnen. Es dient hierbei LAB sozusagen als Distanzlatte.

Bei sehr hohen Ablotungen muß man so verfahren, bei weniger hohen Standpunkten kann man auch geradezu mit gut horizontiertem Theodolite niederkippen und einweisen, oder an einer quergelegten Teilung ablesen.

Ml

Fig. 3.

Abloten CC,.

<c-

ÛC —

•C

S. 326.

Ein gutes Beispiel der Ablotung geben wir noch für Hochschule zu Fig. 5—7

In der Mitte des oberen Turmstockwerks (Fig. 6 S. 326) wurde eine eiserne Platte von 40 cm Durchmesser als Theodolitstand aufgerichtet, welche in Fig. 4 mit ihrer Mitte T angegeben ist ; und es handelt sich darum, die Mitte der Helmstange C auf die Tischplatte herunter zu loten. Zu diesem Zwecke wurde in T ein Lotstab aufgestellt, welcher durch die oberen schmalen Turmfenster (Fig. 6 F S. 326) auf dem Erdboden unten gesehen werden konnte, in zwei Punkten (1) und (2) von Fig. 7 S. 326, welche beiläufig 105 m und 130 m von T entfernt sind.

Nun wurde der Theodolit in den Punkten (1) und in (2) aufgestellt, und je der kleine Horizontalwinkel zwischen der Helmstange C und dem Tischmittenstab T gemessen, und zwar:

Fig. 4.

Ablotung Hochschule. (Zu Fig. 6 S. 326 gehörig.)

-yL

l!

ii

rtr

_X I

130m| I

mW

TV y

=^rrr___

mm

Ił"

C (1) T = 1' 7"

C (2) T = 0 14 .

Man rechnet daraus mit den bereits erwähnten Entfernungen (1) T = 105 m und (2) T = 130 m die Querverschiebungen:

(2)

67"

14"

-130 m = 0,009 m .

----105 m = 0,034 m

Q

Damit begibt man sich auf den Turm (Fig. 4 und 6), zieht mit einem Lineal die Richtungen von der Tischmitte T nach den Abloteständen (1) und (2), setzt quer dazu die soeben berechneten 34 -m-m- und 9 mm ab (links oder rechts nach Lage der kleinen Winkel) ; in den Abständen 34 und T (2) und erhält als Schnitt dieser Parallelen den gewünschten Ablotepunkt G. (Zur Sicherung haben wir dasselbe auch noch von einem dritten Ablotepunkt aus gemacht.) Der Punkt C wurde in der Eisenplatte durch ein eingebohrtes Loch dauernd bezeichnet.

mm

und 9 mm zieht man Parallelen zu den 7’ (1)

Die Entfernungen (1) T und (2) T, welche man nur genähert braucht, kann man oft aus älteren Karten und Plänen, in welche man die ganze Lage einzeichnet, genähert abnehmen, oder man kann durch ein Dreieck (1) (2) T mit gemessener Grundlinie (1) (2) wie in Fig. 7 S. 326 die (1) T und (2) T trigonometrisch berechnen u. dgl.

Es ist eine Frage, ob man von außen in einen dunkeln Turm hinein genügend deutlich sehen kann. Bei unserem Turm (Fig. 6 S. 326) war dieses bei hellem Wetter möglich, dagegen bei trüber Witterung nicht unmittelbar, sondern nur nach Aufsteeken

Trigonometrischer Punkt Hochschule in Hannover.

Fig. 6. Hauptturm. (Photographie.)

Fig. 5. Handzeichnung des . Oberteils von Fig. 6.

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H—

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Fig. 7. Lagoplan. Maßstab 1: 2000 (bei B, C, T verzerrt).

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'1

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0)

H'

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einer brennenden Stearinkerze, welche dann selbst als Ziel diente. Man kann wohl auch den Innenraum durch einen Hilfsheliotropenspiegel von der Fensterbrüstung aus beleuchten, oder transparente Signalscheiben mit dahintergestellten Lampen verwenden.

Fig. 8.

smpiüay

Einen anderen ebenfalls häufig vorkommenden Fall zeigt Fig. 8, betreffend die Ablotung der oberen Tafel auf Schanze Eig. 13 § 75 S. 308). Diese Tafel, 11,5m über dem Boden, mußte besonders abgelotet und zentriert werden, was von zwei Seiten her geschah und den Punkt T gab, nordöstlich von der Steinmitte C, oder genauer bestimmt 0,055 m in einer Richtung C T, welche mit der Richtung nach Ägidius den Winkel 113° bildet, woraus auch der Winkel 113° -+- 22° 9' = 135° 9' sich ableitet, welchen die Exzentrizität C T = 0,055 m mit der Richtung nach Hochschule bildet (vgl. Fig. 4 § 73 S. 299), und da Hochschule die Entfernung 3953m hat, bestimmt sich auch die Parallaxe für Hochschule :

6 = Q sin 135° 9' = 2,02"

d. h. die von Hochschule auf die Tafel T gemessene Richtung ist um 2,02" zu verkleinern zur Reduktion auf das Zentrum C der Station Schanze.

Wir geben noch einige Einzelheiten der Zentrierungen auf Hochschule und Dreifaltigkeit aus der Stadttriangulierung von Hannover 1891. Die Punktbezeichnung in Straßen geschah durch unsere gewöhnlichen Polygonbolzen (Pig. 9), welche mit einem senkrechten Loche zum Einstecken einer Nadel N (mit Papierfahne) als Zentrierungshilfspunkte sich vorzüglich eignen. Überhaupt kommt dabei die ganze Ausrüstung in Betracht mit genauen Meßlatten, Stativen zum genauen Zentrieren und Abloten usw., welche wir später bei den Polygonzügen besonders zu betrachten haben werden (§ 102).

Fig. 9. (1 : 10).

Straßenbolzen der Stadtvermessung.

--*r~

__y_

fi*nn

K:f

Zentrierungen auf Hochschule. (Pig. 5—7 S. 326).

Der Hauptturm der Technischen Hochschule (Weifenschloß) enthält das „Zentrum der Station“, nämlich „Helmstange über dem Knopf“. Als Beobachtungstände auf diesem Turm dienen erstens eine eiserne Tischplatte T im oberen Stockwerke des Turms, von welcher aus durch die oberen kleinen nur 30 cm breiten Fenster F beobachtet werden kann, und zweitens eine eiserne Turmbrüstungsplatte B am Südbalkon in halber Höhe des Turmes. Es waren also jedenfalls diese zwei Punkte T und B gegen C zu zentrieren; es kam aber noch eine weitere Aufgabe hinzu, weil der Turm C von Ägidius aus (vgl. das trigonometrische Netz Fig. 4 § 73 S. 299) nicht sichtbar ist, wohl aber war ein anderer der fünf Weifentürme, nämlich SO von Ägidius aus zu sehen ; es mußte also auf Hochschule auch S O gegen C zentriert werden. Diese drei Zentrierungsaufgaben sind mit Hilfe von zwei Grundlinien nach Fig. 7 S. 326 gelöst worden.

Die Basis (1) (2) ist so gelegt, daß von (1) und (2) aus durch die oberen kleinen Turmfenster nach der Turmmitte oben gesehen werden, also die Helmstange C von oben geradezu in den Turm hinabgelotet werden kann, wie bereits bei Fig. 4 S. 325 gezeigt ist, was wir aber nun nochmals anders behandeln. Auch die vordere Brüstungsplatte 5 ist von den Punkten (1) und (2) aus sichtbar, aber der Turm SO ist von (1) nicht sichtbar, weshalb noch eine zweite Grundlinie (3) (4) angelegt wurde, welche S 0 mit G verbindet, und außerdem auch noch einmal B und C bestimmt.

Folgendes sind Abrisse aller Winkelmessungen (Mittel aus je zwei Sätzen):

Standpunkt 5 0° 0' 0,0"

Ägldius . .

Basispunkt    (4)    343    3    24,8    ^

„    (3)    42    8    53,1    /

59°    5' 28,3"

(2)    39 16 35,5

(1) 130 58 23,6

91° 41' 48,1"

■ (3)

Standpunkt (1)

Standpunkt (4)

Man rechnet zuerst die beiden Dreiecke 1,2, B und 3, 4, B, welche in den Winkeln auf bzw. 8" und 16" schließen, und mit den eingeschriebenen Grundlinien 166,693m und 90,870m die übrigen Seiten geben:

1,5= 104,780m, 2,5 = 126,579m, 3,5 = 89,955 m, 4, B = 94,168 m. (4) Zum weiteren braucht man Näherungswerte von B und von Ägidius in irgend welchem System. Wir nehmen hierzu das Katastersystem und Näherungswerte von 1887: Ägidius y — — 23 271,813 x = — 28 308,395 Brüstungsplatte B —24 709,910    — 26 871,891

Aus (5) und (6) hat man durch trigonometrische Bechnung den Richtungswinkel: (B, Ägidius) = 134° 58' 5,7" .

0°

0,0"

6,8

1 55 28,5 (2) 51    18    5,0

Standpunkt (2) O 0°

T 0 (1) 320 51 39,5 5 359    47    6,8

0,0"

13,8

Standpunkt (3) (4)    0°    0' 0,0"

Näherungen.

(5)

(6)

(7)

Wenn man hierzu den auf B gemessenen Satz nach (3) hinzunimmt, auch die

zwei Dreiecksschlüsse 1,2,5 und 3,4,5 mit berücksichtigt, so erhält man für 5 den Abriß :

Ägidius 134° 58'    5,7"

(4)    118 1 27,9    log B,4 = 1.973904

„ B,3 = 1.954025 „ 5,2 = 2.102360 „ 5,1 = 2.020278 .

Damit berechnet man die Koordinaten der 4 Basispunkte:

(3)    — 24705,386 , — 26961,732

(4)    — 24626,783 , — 26916,136

Diese Koordinaten geben, in Übereinstimmung mit Fig. 7 die Richtungswinkel und Entfer-

log 1,2 = 2.221918 log 3,4 = 1.958422 .

Für die vier Dreiecke, deren Spitzen in C , T und SO liegen, erhält man durch die an den Grundlinien anliegenden Winkel die Dreiecksseitenlogarithmen:

1 ,T 2.021136 2,7’ 2.114160

(1)    — 24814,427 , — 26879,306

(2)    — 24697,216 , — 26997,831

nungen

(1 ,    = 135° 19'    9,5"

(3 ,    = 59 52    28,2

1,0 2.022101 2,0 2.114273    |    4,0 1.981215

3,0 1.970736

3, SO 2.065195 4,SO 1.879182 .

Damit berechnet man auch die Koordinaten der drei Punkte C , T und SO, und zwar C ans zwei Dreiecken:

O aus 1 , 2 «„3.4

—    24709,780 , — 26868,340

—    24709,776 , — 26868,352

T — 24709,768 , — 26868,373 SO — 24667,075 , — 26853,032 .

C Mittel

— 24709,778 , — 26868,346

Hieraus hat man auch die Koordinatendifferenzen:

(8)

y c — y T = — 0,010 m , xC — xT = +0,027™,.

Mit diesen Differenzen kann man den Punkt C gegen T nach der früheren Fig. 4 S. 325 auftragen, es wird jedoch (8) mit Fig. 4 nicht genau stimmen, weil hier auch die Bestimmung aus (3) (4) zugezogen ist, welche in der früheren Fig. 4 nicht mitwirkt. Praktisch ist die Übereinstimmung jedoch genügend.

Aus den Koordinaten von B und C berechnet man auch die Entfernung und den Richtungswinkel von B nach C :

BC = 3,547 m

Hierzu von (7) (B , Ägid.) = 134 58 Also Winkel CB Ägid.

Damit lassen sich alle auf B gemessenen Richtungen auf C zentrieren nach dem Schema § 77 S. 319.

(BC) =    2° 8'

e = 132° 50' mit e = 3,547

-m.

(9)

Um auch die Bedeutung des Hilfspunktes SO zu erklären, wollen wir auf Fig. 4 § 73 S. 299 zurückschauen und in Yerbindung mit Fig. 7 S. 326 beachten, daß man auf Ägidius zwar S O sehen, aber das Zentrum C nicht sehen konnte ; und um die Richtung Ägid. SO auf Ägid. C zu zentrieren, rechnen wir nun aus den im vorstehenden angegebenen Koordinaten von Ägidius und von S O und O die beiden Richtungswinkel :

(10)

(Ägid. SO) = 316° 13' 38,90" (Ägid. C) = 315    2 29,36

Differenz = 1° 11' 9,54" .

Diesen Betrag hat man abzuziehen von der auf Ägidius gemessenen Richtung nach S O, um sie auf C zu reduzieren.

Die hier beschriebenen Zentrierungen haben mitgewirkt zur Gewinnung des Richtungssatzes Ägidius, welcher in unserem I. Bande, 5. Aufl. 1904, S. 201 angegeben ist; auch sind in demselben Bande S. 399 die endgültigen aus Doppelpunkteinschaltung erlangten Koordinaten von Hochschule zu finden, welche in nachstehendem Yer-zeichnis wieder auftreten. Wir haben nämlich im Anschluß an jene endgültig ausgeglichenen Koordinaten von Hochschule die Koordinaten aller exzentrischen Punkte von Fig. 7 S. 326 berechnet :

— 23271,813 — 28308,395

Ägidius

Hochschule    C — 24709,769    —    26868,278

„    SO — 24667,066    — 26851,965

„    B — 24709,901    —    26871,823

„    S' — 24709,920    — 26871,922

Hochschule E — 24655,712    — 26879,772

„    (1) — 24814,419 — 26879,236

„    (2) — 24697,210 — 26977,764

(3) — 24705,379 — 26961,664 „    (4) — 24626,775    — 26916,070

Zentrierung Dreifaltigkeit. (Fig. 10.)

Der Turm hat in der Höhe seines Hauptstockes vier Baikone, auf deren Brüstungen die vier Theodolitstände N, O, S, W angebracht sind, auf welchen mit dem Instrumente von § 56 S. 231 zahlreiche Netzrichtungen gemessen sind, von denen aber in Fig. 10 nur einzelne zur Andeutung der Richtungsanschlüsse eingezeichnet sind.

Um diese auf den Theodolitständen N, O, S, W gemessenen Richtungen auf die Turmspitze C als Zentrum zu reduzieren (wobei natürlich C von N, O, S, W aus nicht zu sehen war), haben wir ein geschlossenes Viereck N O, S O, S W, N W um den Turm gelegt, und von da aus C mit _ZV, O, S, W durch Winkelmessungen in Verbindung gebracht.

Fig. 10. Zentrierung auf dem Kirchturm Dreifaltigkeit.

NO

80,8^1

NW

OB

Hochschule

Vi

IBP

co

cr>

'-4

\so

4'-

1:1250

0 10 20

30    40    50

60    70    80    90    100

Die vier Basisseiten NW—NO = 80,843 m usw., welche in Fig. 10 eingeschrieben sind, wurden mit gewöhnlichen Meßlatten je 2fach gemessen, wras längs der Bordsteine der Bürgersteige mit Genauigkeit von 1—2-mm leicht möglich war; die Lattenkorrektion ist dabei nach Vergleichung auf dem Komparator angebracht. Die vier Punkte NO, SO, S W, N W sind durch Bolzen nach Fig. 9 S. 327 bestimmt, und wurden für die Winkelmessung durch eingesteckte Nadeln mit Papierfahnen bezeichnet.

89°    8' 20"

119° 46' 39"

81° 48' 20"

85°    0' 21".

Die Ergebnisse der Winkelmessungen, in je zwei Sätzen, sind:

Standpunkt N W NO 0°    0'    0"

N 38 21 44 C 40 19 16 W 42    0    10

S W 89 49 22

N 32 44 20 Jfff85 14

ial

Standpunkt SO SW 0°    0'    0"

S 60 46 20 C 62    27    44

O 65 38 12 NO 96 42 55

(12)

Standpunkt 0

Standpunkt N Hochschule 0°    0'    0" Schlachthaus 0°    0'    0"

N O 240 10 13 SO 0 56    52

N W 24    47 54

NO 113    56 14

Standpunkt S Ägidius 0°

5 W 3 S O 281    18 59

0"

19

Standpunkt W Ägidius 0°    0'    0"

S W 359 38 15 N W 84 38 36

Wenn man aus diesen beobachteten Bichtungen durch Subtraktion alle Winkel bildet und für die geschlossenen Figuren zusammenstellt, so findet man, daß das Umfangsviereck einen Schlußfehler von — 20" und die vier Dreiecke bzw. -+- 3", — 37" , — 21" , + 24" Schlußfehler haben.

Wenn man zur trigonometrischen Kechnung übergeht, so kann man dieselbe auf mancherlei Art behandeln; wir halten es aber in solchen Fällen für das beste, sobald irgend möglich, mit Koordinaten in dem System zu rechnen, in welchem schließlich alles dargestellt werden muß, also nicht etwa ein Hilfskoordinatensystem anzunehmen mit irgend einem Punkte x — 0, y = 0 und beliebig gerichteter x-Achse.

In diesem Sinne begannen wir damit, für den Punkt N durch Bückwärtsein-schneiden mit Bichtungen (von denen in Fig. 10 nur eine angedeutet ist) Näherungskoordinaten zu bestimmen.

Nach diesem wurde das Dreieck N, NW, NO aus seiner Basis 80,843m und seinen Winkeln berechnet, also die Seiten N, N W und N, N 0 erhalten, und mit Hilfe der Näherungswerte von N und der Orientierung auf Hochschule ließ sich auch die Orientierung dieses ersten Dreiecks gewinnen und die Koordinaten von N W und N O berechnen. Es folgte die Koordinatenberechnung des Umfangsvierecks, welche auf 3 mm in y und 3 mm in x stimmt.

Nun lag die 4 fache Aufgabe vor, von jeder der vier Basisseiten aus die Turmspitze C und den jeweils gegenüberliegenden Brüstungsplattenpunkt triangulatorisch zu bestimmen, wobei die Turmspitze C durch reine Yorwärtsschnitte, dagegen die vier Brüstungspunkte N, O, S, W durch geschlossene Dreiecke zu berechnen waren.

Die Turmspitze wurde auf diesem Wege 4 fach erhalten mit Koordinaten widersprächen von nur wenigen Millimetern. Nachdem so die (vorläufigen) Koordinaten aller Punkte erlangt waren, konnten leicht die Entfernungen und Bichtungen zwischen N, O, S, W und C, d. h. die Zentrierungselemente, berechnet werden. All dieses ist mitgeteilt in der „Zeitschr. f. Venn. 1892“ S. 18—21, als nur vorläufige Koordinaten vorhanden waren. Wir wollen statt dessen nun hier alle endgültigen Koordinaten mitteilen im Anschluß an die in unserem I. Bande, 5. Aufi. 1904 S. 399 aus Doppelpunkteinschaltung erlangten endgültigen Koordinaten von Dreifaltigkeit.

Hochschule

Ägidius

Schlachthaus

Dreifaltigkeit

—    24709,769 — 26868,278

—    23271,813 — 28308,395

—    20977,054    —    28513,465

C — 22298,580 — 26921,716 N — 22299,228 — 26918,891 O — 22295,734 — 26921,042

Dreifaltigkeit

S — 22297,864    —    26924,514

W — 22301,362    —    26922,362

Umfangsviereck    WO— 22277,908    —    26873,466    (13)

SO— 22266,730    —    26957,270

SW — 22338,048 — 26975,470 N W — 22356,880 — 26890,770

Durch Rückwärtsrechnen von Entfernungen und Richtungswinkeln aus diesen endgültigen Koordinaten kann man sich überzeugen, daß die Koordinaten auf wenige Millimeter genau in Übereinstimmung sind mit den zu Anfang angegebenen gemessenen Richtungen und mit den in Fig. 10 S. 330 eingeschriebenen Entfernungen.

Bemerkt sei, daß sich zur Bearbeitung derartiger kleiner Zentrierungsnetze besonders auch die in § 88 zu behandelnde graphische Ausgleichung eignet, wobei die fehlerzeigenden Figuren in natürlicher Größe aufgetragen werden können.

Genauigkeit der Zentrierungen.

Man soll die Zentrierungen so genau machen, daß die dabei übrig bleibenden Fehler im Vergleich mit den Winkelmessungsfehlern als verschwindend zu betrachten sind; demnach mißt man die Exzentrizitäten e meist auf 1 tnw genau, und nimmt auch die Richtungswinkel e entsprechend genau.

Bei Triangulierungen III.—IV. Ordnung mit Seiten von rund 24m entspricht 1 mm einem Winkel von 0,1", d. h. der letzten Recheneinheit, die man hier überhaupt noch mitführt, und hei Triangulierungen I. Ranges entspricht 1mm nur etwa 0,01". Es würden daher die Triangulierungen häufig sachlich nicht anders ausfallen, wenn man bei großen Entfernungen die Exzentrizitäten nur auf 1 cm genau rechnete. Allein erstens kommen größere Fehler als 1 mm wohl auch von selbst, wenn man beabsichtigt, auf 1mm genau zu messen, und zweitens soll man kleine Fehler, wenn man sie vermeiden kann, nicht unnötigerweise in eine Arbeit hineintragen. (Es gilt hier derselbe Grundsatz, wie im sittlichen Leben, und man kann hier mit kleiner Abänderung eines Sprichworts sagen: „Wer die Zehntel nicht ehrt, ist der Sekunde nicht wert“).

Der Distanzstab.

Bei Zentrierungen kommen oft Entfernungen vor, welche wegen Schwierigkeit

des Ablotens od. dgl. nicht unmittelbar gemessen werden können, und in solchen

Fällen wendet man häufig mit Vorteil den Distanzstab an, wie in Fig. 11 angedeutet

ist. Wenn PC — s die gewünschte Entfernung ist, so legt man in C einen genauen

Maßstab ACB — a-\-b quer zu CP und mißt in P die Winkel a und ß genau;

daraus kann man nach dem Verfahren des Rückwärtseinschneidens die Entfernung s

berechnen, nämlich in bekannter Weise (vgl. unseren späteren

§ 82) mit einem Hilfswinkel u :

a .    .

-sin A —

sin a

Fig. 11.

^ ; sin B sin p

\ ⁵f

sin B _ sin A \sin a) ' \sinßl A + B

= tang g

otv

TB

A —B tang —^—

oder weil A + B = 180° — (a 4- ß) ist,

= cotg — cotg (g -f- 45 °) ,

= tang

, A —B tang —-—

cotg (u -f- 45 °)

damit hat man A -f- B und A — B, also auch nun A und B und damit s mit Probe. Wenn aber die beiden Teile A C und C B einander gleich sind (a = b) und

. cc + ß s = a cotg —.

wenn der Stab A B im ganzen sehr nabe rechtwinklig zu C P liegt, so kann man auch genähert rechnen:

Eine genauere Untersuchung und Reihenentwicklung, welche wir hierzu in „Zeitsehr. f. Verm. 1892“ S. 525—528 angestellt haben, hat ergeben:

OC -h ßP s = a cotg ——— 11

(a — ß)² cos 2 a\

8 Q² swA a) '

a = 18° 10' s = 3,0777 m —0,0012 m = 3,0765 m.

Z. B. mit a = b = 1 m

dieses :

ß = 17° 50', also a — ß = 20' gibt

V sin² 24 + sin² 2 B, wobei A — 90° — (a - g) und B = 90° — (ß + S)

Die Fehlertheorie einer solchen Entfernungsbestimmung ist näher untersucht worden von Krüger in „Zeitsehr. f. Verm. 1895“ S. 393—406. Wenn die zwei Winkel a und ß jeder einzeln mit dem mittleren Winkelfehler m gemessen sind, so ist nach Gleichung (12) S. 396 daselbst der mittlere Fehler m (s) von s bestimmt durch : m (s) m

: sin²

von s

und eine ähnliche Gleichung (17) S. 397 daselbst gilt für den Fall, daß die drei Strahlen fl, PC PB in einem Kichtungssatze gemessen seien. Krüger hat durch eine zu letzterem Falle gehörige Tabelle S. 399 gefunden, daß die Unsymmetrie, welche durch den kleinen Winkel § in Fig. 1 oder durch cc — ß ausgedrückt wird, für größere Werte von s ein schnelles Wachsen des mittleren Fehlers hervorbringt. Ungünstiger als die Entfernungsbestimmung aus kurzer Basis wird die Richtungs-

bestimmung, denn es ist nach „Zeitsehr. f. Yerm. 1892“ S. 527 :

: sin²

was von den Messungsfehlern sehr beeinflußt ist. Gewöhnlich will man aber in solchen Fällen nur die Entfernung s seihst.

§79. Bildung der Abrisse.

Über die Benennung „Abriß“ wird in dem Vorwort des amtlichen Werkes: Die Königlich Preußische Landestriangulation, Polarkoordinaten, Geographische Koordinaten und Höhen, V. Teil, Berlin 1882“ Seite IV gesagt: Diese Benennung rührt von Gauß her, der im Jahre 1847, nach Vollendung der hannoverschen Landesvermessung, die Hefte, welche die auf jeder Station beobachteten Richtungswinkel (von Gauß „Azimute in plano“ genannt, vgl. S. 271) enthalten, mit der Aufschrift „Abrisse“ versehen, der hannoverschen Regierung übergab, von wo sie später nebst den übrigen Vermessungsakten in den Besitz der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme übergegangen sind.

Der Abriß enthält das Schlußergebnis der Winkelmessungen auf einer Station. Der Abriß entsteht aus den Einzelmessungen durch Mittelhildung oder sonstige etwa nötige Ausgleichung, und durch Zufügung aller Zentrierungsreduktionen.

Setzen wir voraus, die Mittelbildungen aus den verschiedenen Satzmessungen einer Station seien ausgeführt, auch etwaige sonstige Ausgleichungen erledigt (vgl. § 76 S. 315), so kommt noch die Frage der Orientierung, d. h. der Anpassung der gemessenen Richtungen an die Achsenrichtungen des Koordinatensystems, oder Anschluß an trigonometrische Richtungswinkel. Diese Orientierung wird bei der Kleintriangulierung stufenweise erreicht und hängt mit der trigonometrischen Berechnung und mit der Ausgleichung zusammen.

Wir haben schon bei den Messungen bemerkt, daß es nützlich ist, von vornherein den ersten Satz vorläufig zu orientieren, so daß die Ablesung 0° ungefähr nach Korden kommt. (S. 316.)

Das spätere genaue Orientieren geschieht im Anschluß an mindestens einen trigonometrischen Richtungswinkel. Wenn z. B. für die Richtungsmessungen, welche auf S. 315 für die Station Wasserturm, Pfeiler, mit Orientierung auf Ägidius = 0⁰ 0' 0" angegeben wurden, nun für den Strahl Ägidius ein trigonometrischer Richtungswinkel bekannt wird, etwa = 71° 17' 24,50" im System Göttingen, so hat man nur diesen Wert 71° 17'24,50" zu allen anderen Richtungen zu addieren, um einen orientierten Abriß zu erhalten. Wir wollen dieses nur für einen Teil der Messungen von S. 314 hierhersetzen :

Abriß der Messungen auf Wasserturm, Pfeiler (vgl. S. 314),

orientiert in dem alten Gaußschen System, Nullpunkt Göttingen.

Zielpunkt

Beobachtete Richtung

orientiert

unmittelbar gemessen

309° 12' 12,0" 351 23 44,5 0 0 0,0 23 32 31,8

20° 29' 36,5" 62 41    9,0

71 17 24,5

94 49 56,3

usw.

Wollten wir die Orientierung in dem neuen System, Nullpunkt Celle, haben, so müßten wir Ägidius = 71° 23'54,78" setzen, um den orientierten Abriß der Messungen auf Wasserturm, Pfeiler, zu erhalten. Die Zentrierungen sind hierbei noch nicht berücksichtigt; wir können die Zentrierungen von § 77 S. 319 auch in den Abriß dei* Station Wasserturm einführen, und zwar ist dieses in den beiden untersten Linien von S. 319 bereits geschehen (in der Form der „Beobachtungsregister“ der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme).

Wenn ein gemessener Richtungssatz an mehr als einen festen Strahl angeschlossen ist, was schon der Probe wegen erforderlich ist, so ist zur Orientierung eine kleine Ausgleichung erforderlich, bestehend aus einer Mittelbildung der Verschiebungen, wie folgendes kleine Beispiel (zu Fig. 2 S. 339 gehörig) mit zweifachem Anschluß zeigt:

Bahnhof Linden (altes Koordinatensystem Göttingen).

Zielpunkt

beobachtet

trig. Anschluß

Verschiebung a — A

Orientiert A + z

Zion.... Ägidius.    .    .

Wasserturm . Martin . .    .

0° 00' 00,0" 30 20 45,8 302 13 55,1 342 34 03,7

48° 21' 8,8"

315 14 16,5

13° 00' 23,0"

21,4

13° 0' 22,2" (43 21 08,0)

| (315 14 17,3)

¹ 335 34 25,9

+ 0,8" — 0,8

Mittel

13° 00' 22,2" = z

[®] = 0

Ägidius und Wasserturm sind die festen Anschlüsse, welche die Verschiebung z — a — A im Mittel 13° 00'22,2" bestimmen. Die in der letzten Spalte eingesetzten v sind die Verbesserungen, welche den orientierten A -t- z zukommen unter der hier gemachten Annahme, daß die Anschlußrichtungswinkel a fehlerfrei seien. Die Summe [»] muß stets = 0 sein, und die Abweichungen v sollen eine gewisse Grenze nicht überschreiten.

Abrisse wie die A'orstehenden Beispiele werden für jeden in der Triangulierung vorkommenden Punkt aufgestellt, wobei dann bei den noch nicht bekannten, d. h. noch

neu zu berechnenden Punkten vorläufig nur die Spalte der Beobachtungen A ausgefüllt wird, und die übrigen Spalten für a,a — A , A + £, v erst im Laufe der Berechnung ihre Eintragungen erhalten.

Auf gegebenen Punkten in der Spalte A + z bereits orientierte, nach neu zu bestimmenden Punkten gehende Bichtungen bezeichnet man als „äußere“ Bichtungen, zum Unterschied von solchen zur Neubestimmung dienenden Bichtungen, welche auf ■den Neupunkten selbst gemessen sind, „innere Bichtungen“.

Die bei diesen Anschlußrechnungen auftretenden Ausgleichungen sind in Band I, •5. Aufl. 1904, Kap. II und III besonders behandelt.

§ 80. Beispiel einer Triangulierung.

Um ein übersichtliches Triangulierungsbeispiel zu haben, an welches sich nachher einzelne Aufgaben ansehließen können, teilen wir hier die Ergebnisse einer Triangulierung mit, welche im Sommer 1887 in Linden bei Hannover, mit Erstreckung auf •den südwestlichen Teil von Hannover selbst, von uns ausgeführt wurde.

Fig. ]. Triangulierung von Linden 1887. (1 : 80 000.) Hauptnetz.

Die Haupttriangulierung.

Das Hauptnetz derselben, welches der Kleintriangulierung zugrunde gelegt wurde, besteht aus einem Sechseck mit dem Zentral-

4.Kunst

3.Techll.

11

punkt Wasserturm und der Basis Wasserturm—Ägidius, wie in Eig. 1 •dargestellt ist.

15

17 J 16

SU

12

VI

9LV10

Es soll nun aber durchaus

■6 A\

nicht die ganze Messungsausgleichung und Koordinatenberechnung dieser Triangulierung hier vorgeführt werden; für diesen Zweck verweisen wir auf unseren I. Band,

5. Aufl. 1904, § 63—66; dagegen mag es nützlich sein, an dem kleinen Beispiel von Fig. 1 den Gang der Berechnungen summarisch darzustellen auch für solche Leser, welche auf die Netzausgleichung nach der M. d. kl. Q. nicht näher eingehen wollen. (Die ausführliche Ausgleichung dieses Lindener Netzchens war enthalten in unserem II. Band, 3. Aufl. 1888, S. 229—237.)

i,₈ iWoss^T n /

E / m >|⁵/26

/    24^07.ßahnh.

20'

21

22

23

6.Tönjb.

Die beiden Punkte Ägidius und Wasserturm, deren Verbindung als Basis der Triangulierung dient, sind schon mehrfach früher erwähnt worden, und wir legen die Koordinaten im alten Gaußschen System mit dem Nullpunkt Göttingen zugrunde, nämlich wie schon früher in § 71 S. 287 angegeben :

+ 92 808,280 .    (2)

Ägidius, Turm, Helmstange unter dem Knopf — 13 879,790 m +93 575,890 m (1) Wasserturm, Flaggenstange in der Zinnenhöhe — 16 145,760

Daraus wird abgeleitet: Entfernung Richtungswinkel

Ägidius—Wasserturm =

2392,456 m (log = 3.378 8439) (8) = 251° 17' 9,25" )

Wasserturm—Ägidius = 71 17 9,25 )’

An die Basis Ägidius—Wasserturm wurde das in Fig. 1 S. 335 gezeichnete-Sechseck angeschlossen. Die Winkelmessung geschah mit dem Mikroskoptheodolit (Fig. 19 S. 230) in je acht vollen Sätzen und teilweise mit einem Nonienrepetitionstheodolit (Bd. II, 5. Aufl. 1897, Fig. 11 S. 190). Nach Anbringung aller Zentrierungen wurden die Messungen in Form von vollen Richtungssätzen zusammengestellt, in welchen jedesmal ein beliebiger Strahl = 0° 0' 0" gesetzt ist, wie nachfolgende Zusammenstellung zeigt.

oder

(4>

1. Wasserturm.

4. Kunst.

0° 0' 0,0"

1.    Hochschule. .

2.    Ägidius .... ‘ 50 46 49,1

0° 0' 0,0"

14.    Hochschule. .

15.    Ägidius ....    25 31    22,7

3.    Bahnhof .... 114 39 55,4

4.    Tönjesberg .    .    .    171    50 12,6

5.    BadenstedterWeg 239 14 13,7

317    40 15,8

16.    Wasserturm . .    69 43    46,7

17.    BadenstedterWeg 101 31    53,8

6. Kunst

5. Badenstedter Weg.

2. Ägidius.

0° 0' 0,0"

69 45    48,8

7. Bahnhof . .

0° 0' 0,0"

18.    Kunst.....

19.    Wasserturm . .

20.    Tönjesberg . . .    130 44    39,8

8.    Wasserturm . .    27    55 59,5

9.    Kunst ....

10. Hochschule .    .

70 37    5,4

91    34 51,4

6. Tönjesberg.

21.    BadenstedterWeg

22.    Wasserturm . .

23.    Bahnhof ....

0° 0' 0,0" 51 37    3,0

99 35    25,4

3. Hochschule.

7. Bahnhof.

11.    Ägidius .    .

12.    Wasserturm . .    65    34 17,5

133 30 53,7

0° 0’ 0,0"

0° 0' 0,0"

74 55    21,4

24.    Tönjesberg . . .

25.    Wasserturm . .

26.    Ägidius .... 163    2    12,7

Durch Subtraktion bildet man hieraus die Dreieckswinkel und damit folgende-

13. Kunst

acht Dreiecksschlüsse.

Dreiecksschlüsse VOI* der Ausgleichung.

i.

IV.

VII.

= 179°    59’    58,5"

= 179°    59'    55,1"

II.

V.

6,9

2,1"

= 180°    0'    3,2"

bl

= 179°    59'    57,1"

= 179°    59'    58,0"

III.

VI.

(6,1)    = 42° 19'    44,2"

(12,13)

(14,16) = 69    43    46,7

67    56    36,2

VIII.

= 180°    0'    7,1" j

Außer diesen acht Dreiecksschlußproben, von denen aber nur sieben unabhängig sind, bestehen auch noch zwei sogenannte Seitengleichungen, indem das Herumrechnen den Zentralpunkt Wasserturm in den Dreiecken II, III. IV. V, VI, I auf die Ausgangsseite herauskommen muß, und auch das Viereck I, VI. VII. VIII eine Diagonalen-

um

= 180° o' l,o" I

probe bringt. Aber auf all dieses wollen wir hier mit Hinweis auf Band I, 5. Aufl. 1904, Kap. II nicht eingehen, sondern sofort überspringen zu dem endgültigen Abriß der Triangulierung nach der Ausgleichung, welcher nachstehend gegeben wird.

Endgültiger Abriß der Triangulierung. (Eig. 1 S. 335.)

Beobachtet und orientiert

Ver

besserung

Ausgeglichen

Richtungswinkel

log der Entfernung log s

Oł ÇX OS Ç* J-*

W tri H tri >■ W

um

a

CD

»CD

20° 30' 20,87" 71 17    9,97

135 10 16,27 192 20 33,47 259 44 34,57 338 10 36,67

1. Wasserturm.

—    0,67"

—    0,72 + 0,26

—    0,61 + 0,73 + 1,01

20° 30' 20,20" 71 17    9,25

135 14 16,53 192 20 32,86 259 44 35,30 338 10 37,68

3.371 9186 3.378 8439 3.049 7386 3.163 6373 3.1161512 3.366 6752

0,00

2. Ägidius.

7.    Bahnhof .    .    .

8.    Wasserturm .    .

9.    Kunst . . . . 10. Hochschule . .

223° 21' 9,66" 251 17    9,16

293 58 15,06 314 56    1,06

—    0,89" + 0,09 + 1,68

—    0,89

>o ^ tr-03

oo cTccTcT

T—I

rH t> CO CO (M H tO IO O

CO H CO ^ CM i-O OD i-i 03 (M 03 CO

3.332 5617 3.378 8439 3.534 8234 3.308 7206

- 0,01

11.    Ägidius .    .    .    .

12.    Wasserturm . .

13.    Kunst . . . .

3. Hochschule. 134° 56' 0,72" — 0,54" 200 30 18,22    +1,97

268 26 54,42    — 1,43

134° 56' 0,18" 200 30 20,19 268 26 52,99

3.308 7206 3.371 9186 3.227 9460

0,00

4. Kunst.

14.    Hochschule . .    .

15.    Ägidius.....

16.    Wasserturm .    .

17.    Badenstedter Weg .

88° 26' 52,75" 113 58 15,45 158 10 39,45 189 58 46,55

+ 0,26" + 1,32 — 1.77

+ 0,20

88° 26' 53,01" 113 58 16,77 158 10 37,68 189 58 46,75

3.227 9460 3.534 8234 3.366 6752 3.385 4369

+ 0,01

18.    Kunst .    .    .    .

19.    Wasserturm .    .

20.    Tönjesberg. . .

5. Bademtedter Weg. 9° 58' 47,15" —0,37" 79 44 35,95    — 0,65

140 43 26,95    +1,02

9° 58' 46,78" 79 44 35,30 140 43 27,97

3.385 4369 3.116 1512 3.187 1994

0,00

21.    Badenstedter Weg .

22.    Wasserturm .    .    .

23.    Bahnhof .    . .    .

6. Tönjesberg. 320° 43' 29,10"    — 1,14"

12 20 32,10    -t- 0,76

60 18 54,50    -4- 0,38

0,00

320° 43' 27,96" 12 20 32,86 60 18 54,88

3.187 1994 3.163 6373 3.102 9559

7. Bahnhof.

24.    Tönjesberg. . .

25.    Wasserturm . .

26.    Ägidius .    .    .    .

240° 18' 55,36" 315 14 16,76 43 21    8,06

—    0,48"

—    0,23 + 0,72

240° 18' 54,88" 315 14 16,53 43 21    8,78

3.102 9559 3.049 7386 3.332 5617

+ 0,01

Durch Subtraktionen der ausgeglichenen Richtungen bildet man auch die ausgeglichenen Dreieckswinkel und damit folgende Tabelle der Dreiecksschlüsse nach der Ausgleichung, ganz entsprechend den Dreiecksschlüssen vor der Ausgleichung, welche auf S. 336 bereits angegeben sind.

Dreiecksschlüsse HELCÏ1 der Ausgleichung.

i.

IV.

(1,2) = 50°    46’    49,05"

(8,10)

(11.12)

63 38 50,92 65 34 20,01

VII.

179°    59'    59,98"

180° 0' 0,01"

II.

V.

(6,2) = 93°    6'    31,57"

(8,9) = 42 (15,16) = 44

7,49

20,91

179°    59'    59,97"

VIII.

180° 0' 0,01"

III.

(3,4) = 57°    6'

(22,23) =

(24,25) =

58

55

179°    59"    59,97" j (9,10) = 20°    57'    43,43"

(11,13) =133    30

(14,15) = 25    31

VI.

52,81

23,76

180° 0' 0,00"

180° 0' 0,00"

Mit diesen Dreieckswinkeln und der schon anfangs bei (3) S. 336 angegebenen Basis, 2392,456 m, berechnet man alle Dreiecksseiten, wie sie bereits in dem Abriß auf S. 337 angegeben sind, überall ohne Widerspruch.

Dann kann man auch die Koordinaten aller Punkte berechnen im Anschluß an

die schon oben bei (1)—(4) gegebenen Grundwerte für Ägidius und Wasserturm. Diese Koordinaten (welche auch schon in § 71 S. 287 mitgeteilt wurden) sind folgende, im System Göttingen:

1.    Wasserturm

2.    Ägidius

3.    Hochschule

4.    Kunst

5.    Badenstedter Weg

6.    Tönjesberg

7.    Bahnhof

y — — 16145,760 m

—    13879,790

—    15320,943

—    17010,553

—    17431,505

—    16457,328

—    15356,150

x = + 92808,280 m -f 93575,890 -f 95013,695 -f- 94967,919 + 92575,620 + 91384,373 -f 92012,085 .

Die Klemtńangulierung.

An die ausgeglichenen und orientierten Abrisse und Koordinaten der sieben Punkte des Hauptnetzes kann inan nun auch alle Messungen anfügen, welche auf diesen Punkten zum Einschneiden der weiteren Punkte gemacht worden sind. Dies zeigt Fig. 2 S. 339, worin neben den Hauptpunkten noch die weiteren neu zu bestimmenden Punkte enthalten sind. Hier hat z. B. Ägidius außer den vier alten (festen) Strahlen nun noch neun neue Einschneidestrahlen (äußere Richtungen § 79 S. 335), von denen wir drei, nämlich Zion, Waterloo und Rathaus, im Anschluß an den einen festen Strahl Wasserturm vorführen wollen :

Zion

Waterloo

Wasserturm

Rathaus

beobachtet

345° 49' 16,6" 356 15 15,6 0 0 0,0 2 35 31,8

Ägidius, Zentrum.

Anschluß

Eichtungs winket

237° 6' 25,8" 247 32 24

251° 17' 9,2"

251    17

253 52

Der Abriß für Bahnhof war (mit Beschränkung auf die Neupunkte Zion, Martin) bereits S. 334 mitgeteilt.

In dieser Weise sind nun auf den Hauptpunkten alle Messungen angefügt, welche in Fig. 2 als äußere Richtungen für Yorwärtsschnitte gezeichnet sind; außerdem sind zehn rückwärts eingeschnittene Punkte zugefügt, für welche die Richtungen (innere) jedoch nicht eingezeichnet sind. Wie die zugehörigen Berechnungen zu machen sind, wollen wir nun summarisch an den Beispielen Zion, Yiktoriastraße und Hochschule zeigen.

Fig. 2.

Triangulierung von Linden (Maßstab 1 : 40000).

Hauptnetz: sieben Hauptpunkte; Kleinnetz: zehn vorwärts eingescbnittene Punkte, zehn rückwärts ein geschnittene Punkte (Altes Koordinatensystem mit Nullpunkt Göttingen.)

e y=-!7Q0O

~co

—¥==16000____,

TO¹

(Cf

j2tn o c

_____

c

TO

,y=L-14ooo

ir

Ihristus

LirüettBr,

Köterholz

îl<re

, . A U , _    llZl.--X=t9JL000__

fficbengarten i \ /ÿ-AA/NtarW

%$”*// 71 î

' / / .

Davenst.Weg

/'

îergfeji

ra:

\P;7 //

thUPnn^V'"^Zion/ //

Aegidius

.... J._.X_=±S30fiO.__

Badefet.Weg

Attenłhor/

Aue

2L=+92000

/ /HamelnSlr.

7. 7/- \

PV !

Bàhnhof-

'<L

Zuckerfabrik

j Tönjesberg ;

; Maasstab 1140000

1—1

500m

l m 1000

_^=±aiQQQ.__

Vorwärtseinschneiden mit Ausgleichung.

Fig. 3.

Hochschule

Aetjidius \

Zion

Wasserturm

°\    2~    9

Bahnhof

fls'oooo

1000m    500m    0

Der Punkt Zion (vgl. Fig. 2 u. 3) ist von vier festen Punkten, Bahnhof, Wasserturm, Hochschule, Ägidius, aus angeschnitten, und es sind dabei in den Abrissen die vier Richtungswinkel (äußere Richtungen) erhalten worden:

1.    von Bahnhof

2.    „ Wasserturm = 94 49 56,3

3.    „ Hochschule = 178    5 0,8

4.    „ Ägidius

Den Nachweis für die 1., 2. und

4.    dieser Richtungen haben wir bereits in § 79 S. 334 und im vorstehenden

5.    338 gegeben, und die 3. wird auf ähnlichem Wege erhalten.

Die in Fig. 3 eingezeichneten vier Strahlen, halb punktiert mit Pfeil nach Zion, sind die Zeichen für Bestimmung durch äußere Richtungen, wonach aus einer trigonom. Netzkarte der Zusammenhang der Bestimmungen ersehen werden kann.

= 13° 0' 22,2"

= 237    6 25,8 .

Fig. 4.

q Kunst

\

\,

Hochschule

Victoria=Sir.

|V

4 i \.

: o Martin O Wasserhirm

>2"

Wie man aus zweien dieser Richtungen die Koordinaten von Zion berechnen kann, wird in § 81 gelehrt werden, und wie man aus allen vier Strahlenrichtungen eine Ausgleichung bildet, gehört in die Methode der kleinsten Quadrate und w'ird in unserem I. Bande, Kreuz 5. Aufl. 1904, § 90 gelehrt. (Der vor-liegende Ausgleichungsfüll mit vier äußeren Richtungen war in aller Ausführlichkeit als Zahlenbeispiel gegeben in unserem II. Band, 4. Aufl. 1893, § 95.)

Wie eine graphische Ausgleichung vorgenommen werden kann, wird in § 88 gezeigt werden.

Rückwärtseinschneiden mit Ausgleichung.

Der Punkt Viktoriastraße (Fig. 2 u. 4) ist gegen fünf hochgelegene Punkte rückwärts eingeschnitten worden durch folgende fünf gemessene innere Richtungen:

III!

1000m 500

1-50000

Km

nach Hochschule „ Kreuzturm „ Martinturm 181    8 23,5

0° 0' 49 42

nach Wasserturm 156° 40' 42.8" „ Kunstturm 295    5 52,0.

Die Strahlen in Fig. 4 sind in umgekehrter Richtung wie in Fig. 3 mit Pfeilen und Punktierung bezeichnet.

Wie man aus drei solcher Richtungen oder aus zwei Winkeln zwischen drei Sichtstrahlen nach gegebenen Punkten die Koordinaten des Standpunktes berechnet, wird in § 83 gelehrt werden, und wie man bei mehr als drei gemessenen Richtungen die Ausgleichung macht, gehört in die Methode der kleinsten Quadrate und wird in unserem

I.    Bande, 5. Aufl. 1904, § 91 gelehrt. (Das vorliegende Beispiel wrar in unserem

II.    Bande, 4. Aufl. 1893, § 96 mit allen Einzelheiten gegeben.) Eine graphische Verwertung überzähliger Strahlen wird in § 88 gezeigt werden.

Durch fortgesetzte Anwendung dieses Vorwärts- und Rückwärtseinschneidens kann man nach und nach alle Punkte einer Kleintriangulierung, wie Fig. 2 S. 339, bestimmen. Ist ein Punkt durch Rückwärtseinschneiden bestimmt worden, so werden für ihn im Abriß die Spalten für or, a — A, A -+- z, v, vgl. § 79 S. 334 ausgefüllt und damit die äußeren Richtungen für weitere Vorwärtseinschnitte gewonnen. Den Abschluß jeder Triangulierung bildet der endgültige Abriß, wie das Beispiel S. 337 für das Hauptnetz Fig. 1 S. 335 zeigt.

Vereintes Einschneiden.

Es soll auch noch gezeigt wrerden, wie ein Punkt durch Vorwärtseinschneiden und Rückwärtseinschneiden, also durch äußere und innere Richtungen bestimmt werden kann. Als Beispiel nehmen wir den Punkt Hochschule in dem trigonom. Netze Fig. 4 S. 340. Die bestimmenden Richtungen sind in Fig. 5 wieder durch Pfeile gekennzeichnet und nach dem Abriß die folgenden: äußere Richtungen:

259° 14' 15,1" 315 02 32,6 20 36 50,0 149 04 12,3

von Steuerndieb Ägidius „ Wasserturm « Burg

Die hierzu gehörige Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate ist im I. Bande, 5. Aufl. 1904,

§ 96 S. 375—377 behandelt.

Daß auch hierfür eine graphische Ausgleichung stattfinden kann, wird in § 88 gezeigt werden.

Auf weitere Berechnungseinzelheiten wollen wir hier durchaus nicht eingehen ; es handelt sich um Verhältnisse, welche entweder in die Methode der kleinsten Quadrate gehören und daher in unserem I. Bande, 5. Aufl.

1904 behandelt werden, oder WaSSBPhllPITI

Burg 6

Hochschule

innere Richtungen: nach Schanze „ Steuerndieb „ Ägidius '

„ Wasserturm 200 36 48,8 « Burg Fig. 5.

24° 15' 19,4" 79 14 15,1 135 02 30,0

329 04 05,2

p Schanze

Aegidius

Steuerndieb

um trigonometrische Rechnungen, welche in unseren nachfolgenden Abschnitten dieses Bandes ihre Erledigung linden werden.

Der Hauptzweck, den ivir in diesem § 80 uns vorgesetzt haben, nämlich einen Überblick über die Anlage und den Berechnungsgang einer Stadttriangulierung (allgemein einer Kleintriangulierung) zu geben, scheint uns mit dem Vorstehenden erreicht zu sein.

Als Ergänzung dazu wollen wir aber noch ein Koordinatenverzeichnis für die Triangulierung von Hannover und Linden geben, welches zu den trigonometrischen Netzen von S. 299, 335 u. 339 gehört.

Die Koordinaten sind im Katastersystem Celle angegeben mit Beifügung von mittleren Fehlern -±_ mm, Avelche aus den Einschneideausgleichungen sich ergeben haben und hier den Zweck haben, zu zeigen, daß solche trigonometrische Punktbestimmungen auf einige Zentimeter genau gemacht Averden können, ohne besondere instrumenteile oder mathematische Umstände, denn die Messungen hierzu sind zum größten Teil mit den kleinen mikroskopischen 13 cm-Theodoliten von § 56 S. 231—232 gemacht und die Ausgleichungsrechnungen nach einfachem Verfahren, größtenteils mit dem Rechenschieber, ausgeführt.

Koordinaten von Hannover und Linden, im Katastersystem Celle.

Punkt

Ordinate y

Abszisse x

Höhe über JV. N.

Ägidlenkirche, Turm . . Linden, Wasserturm . Willmer, Waldh. Turm

Steuerndieb.....

Schanze (Vahrenwald). .

Burg, Turm.....

Hoftheater ......

Marktturm......

Kreuzturm......

Neustädterturm .... Waterloo-Säule ....

Solms, Turm.....

Kunst, Turm .    .    .    .    .

Christusturm.....

Schlachthausturm    .    .    .

Gartenturm.....

Paulusturm.....

Apostelturm.....

Marienturm.....

Henriettenstift .... Leibniz-Real-Gymnasium Palmenhaus.....

—    23271.813

—    25538,488

—    21777,609

—    19 888,668

—    23086,933

—    25 842,799

—    24 709,769

—    22 298,580

—    24 597,348

—    25 273,930

—    24897,076

—    24 583,972

—    23134,949

—    23 545,584

—    23 722,917

—    24 008,643

—    24 049,869

—    24 695,660

—    26398,956

—    24158,271

—    20 977,054

—    22 707,547

—    22 762,445

—    22 866,064

—    24 039,657

—    24 589,071

—    23 781,984

—    24 004,126

—    24 216,527

—    23181,001

—    21675,177

—    22 144,809

—    22 893,210

—    25 977,983

+li

ł—¹    ł—ł ł—»

co    co to

CO 05 00 CO •**!

mm

—    28308,395

—    29071,474

—    30 945,359

—    25 951,884

—    23 266,607

—    24 977,399

—    27 583,334 I 14

—    28010,212 I 10

—    27 847,997 j 16

—    26 485,294 ! 12

—    27 373,559    20

—    28 270,368|    6

—    27 102,553

—    25 706,108 1 16

125,12 Knopfmitte 111,89 Ob. Zinnenrand 85,99 Ob. Geländerrand 55,664 Pfeiler 55,80 Pfeiler

71,74 Ob. Brüstungsrand 104,85 Knopfmitte 107,84 Große Kreuzblume

119,48 Knopfmitte 97,77 Knopfmitte 100,26 Kreuzblumenmitte

93,69 Ob. Pfeilerfläche 149,20 Knopfmitte 131,10 Knopfmitte 116,96 Knopfmitte 93,36 Kugelmitte

94,00 Turmrand

125,10 Kreuzblumenmitte 83,11 Ob.Schornsteinrand 132,13 Knopfmitte 117,25 Knopfmitte 102,34 Kreuzblumenmitte

142,12 Knopfmitte

101,14 Fahnenstangeknopf 96,01 Unt. Kronenrand

90,56 Knopfmitte, Fahnenstange

86,22 Ob. Geländerrand

§ 81. Yorwärtseinsclmeiden durch zwei Strahlen.

Wir behandeln nun die einzelnen am Schlüsse des vorigen § 80 gestellten

Aufgaben.

Nachdem wir schon in § 74 eine Grundaufgabe der Triangulierung behandelt haben, wollen wir nun diejenige Anwendung jener Aufgabe vornehmen, wie sie für viele Zwecke der Kleintriangulierung erforderlich ist.

Fig. 1.

Es seien nach Fig. 1 die Koordinaten von A und von B gegeben, und die Koordinaten von P zu bestimmen. Wenn von den drei Winkeln

»/. ß 7 wenigstens zwei unmittelbar gemessen wären, so hätte man die frühere Aufgabe § 74.

a-

Nun kommt es aber oft vor, daß die Winkel a und ß nicht geradezu gemessen werden können, weil zwischen A und B nicht zusammengesehen werden kann ; aber auch wenn die Sicht A B und B A möglich ist, rechnet man doch unter Umständen nicht gerade nach den früheren Formeln von § 74, weil, wie im vorigen § 80 gezeigt, vielleicht noch andere Sichten AG, AD, BE usw. mit benützt wurden. Wir wollen annehmen, die Punkte C, D, E usw. seien durch Koordinaten fest gegeben, dann kann man daraus die Richtungswinkel (AC), (AD), (BE) usw. endgültig berechnen, und durch die Richtungsmessungen auf A und auf B auch die orientierten Richtungswinkel (AP) und (BP) nach dem neuen Punkte P bestimmen. Oder mit anderen Worten: Man habe in A und in B die orientierten Abrisse gebildet (§ 79), in welchen die Richtungswinkel (AP) und (BP) als äußere Richtungen Vorkommen, und die Aufgabe lautet nun so :

Gegeben sind die Koordinaten xa y a des Punktes A

•n    n n    v    ^b yb „

ferner gegeben die Richtungswinkel (AP) und (BP). Gesucht sind die Koordinaten xy des Punktes P.

Zur Auflösung dieser Aufgabe werden im wesentlichen dieselben Gleichungen gebraucht wie bei der Grundaufgabe § 74; nur hat man jetzt teilweise eine andere Aufeinanderfolge, nämlich so Avie die Gleichungen oben auf S. 845 als Gebrauchsformeln zusammengestellt sind.

Liegt nur auf einem der gegebenen Punkte, z. B. A Fig. 1, ein orientierter Richtungswinkel vor, oder ist nur hier der Anschlußwinkel a gemessen, dagegen der zweite im Dreieck erforderliche Winkel nicht auf dem zweiten gegebenen Punkte, sondern auf dem zu bestimmenden Punkte P, also der Winkel y, so ist dadurch auch ß ' bekannt und danach die Lösung der Aufgabe die gleiche. (Diese Methode der Punkteinschaltung bezeichnet man als Seitwärtseinschneiden.)

Ein Zahlenbeispiel bilden wir aus der Triangulierung von Fig. 2 § 80 S. 339 oder Fig. 3 S. 340, indem der Punkt Zion von Wasserturm und Bahnhof eingeschnitten ist. Die Richtungswinkel von Wasserturm und Bahnhof nach Zion haben wir schon in § 79 S. 334 und auch in § 80 S. 340 angegeben, nämlich:

= 13    0 22,2 .

Wasserturm—Zion = 94° 49' 56,3" Bahnhof—Zion

Für den nächsten Zweck runden wir diese Werte auf 1" ab, runden auch die Koordinaten auf 0,01 w ab, und erhalten damit die Rechnung, wie sie in aller Ausführlichkeit auf S. 345 angegeben ist.

Das Formular S. 345 haben wir so ausführlich als irgend nötig sein kann angelegt; der geübte Rechner kann einiges sparen. Z. B. nehmen wir die Entfernung AB = c gewöhnlich nicht zweifach, sondern nur mit Spalte rechts, welche zum größeren der zwei Werte yb— y a und Xb— xa gehört (vgl. § 69 S. 277) nämlich so:

log{yb — yà) ! 2.897 038

log sin oder cos (A B) 9.851 581    )    ,.ß

■J    v ’    ' zum größeren

log (xb — xa) 2.901 251 n f

log tang (A B) log AB = log c

9.995 787n (AB) — 135° 16' 40,5" 3.049 670.

Zur Vergleichung haben wir auf S. 346 auch die Rechnung nach dem trig. Form. 10 der preußischen Katasteranweisung IX gegenübergestellt. Dieses Formular ist kürzer aber weniger bequem und anschaulich als das unsrige S. 345. Die Dreiecksseiten nach dem Sinussatze treten in dem trig. Form. 10 nicht unmittelbar auf, sondern nur mittelbar in der Größe m, welche der Durchmesser des um das Dreieck beschriebenen Kreises ist. Wir halten es für gut, die Logarithmen der Dreiecksseiten selbst in dem Formulare zu haben, da man sie manchmal braucht.

Überhaupt soll man nach unserer Ansicht in solchen Formularen alles Künstliche vermeiden, lieber einen Logarithmus mehr schreiben und dadurch die Übersicht und das etwaige Nachrechnen erleichtern, als Zusammengehöriges weit zusammen zu suchen.

Was fast in jedem trigonometrischen Formular vorkommt, ist die Ausrechnung von s sin a und s cos a, welche wir in zwei Anordnungen zeigen wollen :

Anordnung I

Anordnung II

log

log

s J 2.981 232 sin a i 9.998 454

cos a

2.981 232 8.925 509

s sin a\ 2.979 686

s cos a

1.906 741 «

s cos a = — 80,68

s sin a , 2.979 686    -(- 954,30

sin a 9.998 454 s 2.981 232 cos a 8.925 509 n scosa 1.906 711« — 80,68.

s sin a = -f- 954,30

Die Anordnung I hat eine Zahl mehr als Anordnung II. indem log s bei I zweimal geschrieben ist, und diese kleine Ersparung hat zu der Anordnung II geführt; aber der kleine Gewinn der Ersparung einer Schreibung von log s wird weit aufgewogen durch die Übersichtlichkeit und die Symmetrie von I im Gegensatz von II. Namentlich die Symmetrie ist wichtig, wenn die s sin a und die s cos a wieder zu y und x addiert werden müssen.

Wenn es sich nur um ein- bis zweimaliges Ausrechnen eines Falles handelt, so wird niemand nur ein Wort verlieren über solche Kleinigkeiten, welche aber allerdings zu beachten sind bei Anordnung von Formularen, die zum hundert- und tausendfachen Ausfüllen bestimmt sind.

In diesen Fällen kommt auch die Verwendung der Rechenmaschine in Betracht, welche dann Zeitersparnis gewähren kann. Es könnte geradezu nach denselben Formeln gerechnet werden wrie auf S. 345 und 346, jedoch eignen sieh für die Maschinenrechnung die in § 72 S. 292 in (19) und (20) für den Richtungsschnitt aufgestellten

(Fortsetzung auf S. 348.)

Vorwärtseinschneiden mit zwei Strahlen.

Gegeben xa ya, Xbijb und {AP), (BP)

Vb — ya

tang (A B) =

Xb — xa

AB =

c _ yb — ya sin [A B)

oder

{AB) — {AP) — a , {AP) — {BP) = y , {BP)-{BA) = ß Probe : a -f- ß y = 180°.

—— sin 8 = b sm y

Koordinatenberechnung : y — ya Ab sin {AP)

X — XaA-b cos (A P)

Xb — Xa

1TS,

Fig. 2.

cos

Sinussatz :

b,

y — y}> -f- a sin {BP) x = xb A- a cos (B P).

P — Zion.

A = Wasserturm, Pfeiler. B Bahnhof

yb — — 15856,15 A Wasserturm ya — — 16145,08

B = Bahnhof. xb = A- 92012,08 xa = -t- 92808,70

Differenzen yb — y a — A-

788,93 Xb — xa = —

796,62

log {yb — ya) log {xb — Xa)

2.897 038 2.901251w

yb — ya sin (A B)

2.897 038 9.847 368

Xb — Xa COS (A B)

2.901 251 9.851 581

logtang{AB) 9.995787re {AB) = 135° 16' 40,5"

AB

3.049 670

AB

3.049 670

log AB = log c = 3 049 670

{AB) = 185° 16' 40" {AP) = 94 49 56

{AP) = 94° 49' 56" {BP) = 13    0 22

{BP)= 13° 0' 22" {BA) = 315 16 40

40° 26' 44"

y = 81° 49' 34"

ß= 57° 43'42"

log c log sin y

3.049 670 9.995 565

log {c : sin y) log sin ß

3.054 105 9.927 127

log (c : sin y) j 3.054 105 log sin a 9.812 061

Winkelprobe a = 40° 26'44" y = 81 49 34 ß = 57 43 42

locjb

2.981 232

log a 2.866 166

180° 0' 0"

logb

log sin {AP)

2.981232 9.998454 cos [AP]

log b

2.981 232 8.925 509n

log A ya 2.979686

A ya = — 16145,08 /J ya — A 954,30 A xa = —

A Xa

1.906 741«

xa — A 92808,70 80,68

log a 2.866 166    ’ log a 2.866 166

sin {BP) 9.352288 cos {BP) 9.988 713

/Jyb 2.218 454 â xb 2.854 879

B yb = — 15356.15 xb = A- 92012,08 /J yb — A~ 165,37 z/ Xb = -4-    715,94

P y = — 15190,78

x = A 92728,02

Zion y = — 15190,78 m

y = — 15190,78 x = A 92728,02 oc = A 92728,02 m.

P.

Berechnung der Koordinaten aus dem Schnitte zweier Visierstrahlen,

nach dem trig. Form. 10 der Anweisung IX vom 25. Oktober 1881.

Fig. 3.

Pb">b

A y a = ni sin 8 b sin (fa A xa = ni sin 8b cos (fa A y b = ni sin 8a sin (f b A Xb — ni sin 8a cos q>b

Bechenprobe : A ya — A yb = yb — ya

A Xa — A Xb = Xb — Xa

yb—ya sin 8 sin yb

Xb — Xa

sin 8 cos yb

t) = ya-h A ya = y b A- A y b

1 = Xa-h A Xa — Xb —|— A Xb

P a : Bahnhof

P : Zion

Pb : Wasserturm

(fa 13° 0' 22" (fb 94 49 56

log sin cpa logm

9.352 288

8 054 105

yb

-16145,08

s? il

+ 92 012,08 + 92 808,70

Va

315 16 40

log sin 8b

9.812 061

8a — (fa —

8b = vha — (pb+,7T 40 26 44 8 = 1fb — (fa 81 49 34

57 43 42

log COS (fa

9.988 713

Ub-ya

-h 788,93

-f- 165,37

log A y a

2.218 454

-f- 954,30

Xb — Xa

A Xa

A xb

— 796,62

+ 715,94

— 80,68

8a + 8b + 8 180    0 0 \ log A xa

2 854 879

15190,78

+ 92 728,02

log (yb — ya)    2.897 038

cpl log sin yha 0 152 631

log sin (fb

9.998454

log m

3.054105

epilog sin ö I 0.004 435 log sin 8 a epilog cos yha 0.148 420 log cos (fb

9.927127

8.925 509«!

log (xb — xa) [ 2.901 251

3.054 104

log A yb ' 2.979 685

log m 3.054106 log A xb 1.906 741,,

Berechnung der Koordinaten aus dem Schnitte zweier Richtungen mit Benutzung der Rechenmaschine.

Gegeben: xaya ; Xb])h und qp = (AP) , xp = (BP). P — Zion,

Fig. i.

CLc/

A = Wasserturm, Pfeiler. B Bahnhof yb — —15356,15 A Wasserturm yn — — 16145,08

B = Bahnhof.

Xb — -4- 92012,08 Xa — -4- 92808,70

<p = 94° 49' 56” xp = 13 00 22

Differenzen yb — ya — -4-    788,93 xb — xa = —

796,62 <p — xp = 81° 49' 34”.

X — Xa

X — Xb =

1. Nach § 72. (19) (20):

_ (yb — ya) — (jCb — xa) tg xp

tg <p — tgxp

(yb — ya) — (Xb — Xa) tg Cf

tg y— tg >P yb — yn — +

— (xb — Xa) tgxp =

y — ya — (x — xa) tg <p

tgę = — 11,82880 tgxp = -f- 0,23098

y — yb — (x — xb) tg xp

tgcp — tgxp = — 12,05978

788,93

184,00₃

788,93

— (xb — Xa) tg q> — — 9 423,05₉

yb ya — +

Summe

972,93₃

Summe

8 634,12₉

xa = + 92 808,70 80,67g

X — Xa = —

xb = -h 92 012,08 x — Xb = -f-    715,94₄

x — + 92 728,02₄

x = 4- 92 728,02₄

ya = — 16 145,08 (x — Xa) tgxp — y — y a = +    954,30o

(x — Xb) tg xp — y —yb —

y b — — 15 356,15 165,36₉

y = — 15 190,78₀

y = — 15 190,78!

2. Nach den umgeformten Gleichungen (vgl. S. 348) :

(yb — ya) cos xp — (xb — xa) sin xp sin (qp — xp)

(yb — y a) cos xp — (xb — Xa) Sin Xp

X — Xa =

cos qp = A cos qp ;

y— ya —

sin qp = .4 sin qp.

X — Xb

y— yb =

sin (qp — ip) sin (qp — xp)

(yb — ya) cos qp — (xb — xa) sin qp

sin (qp — xp)

sin xp = B sin xp .

4- (yb — ya) cosxp = -h — (xb — Xa) sin xp = -+

66,45₈

— (xb — Xg) sin qp =    793,78₈

768,69₄ ' -4- (yb — ya) cos qp = — 179,28g

Summe

A cos qp = x — xa = —

= -4-    947,97₄

= +    957,70g

Xa = -+- 92 808,70 80,67₅

Summe

= + 727,330 = + 734,79g

B cos xp — x — Xb — -4-

Xb — + 92 012,08 715,94₄

sin qp = + 0,9964456 cos qp — — 0,0842383

x = + 92 728,02₅

ya = — 16 145,08 A sin qp = y — ya = -+-    954,29₉

_X = -4- 92 728,02₄

yb — — 15 356,15 Bsinxp — y — yb = +    165,36g

sin xp = + 0,2250550 cos xp = -h 0,9743460

sin (qp — xp) = -+- 0,9898412

y = — 15 190,78₄

y = — 15 190,78x

_ sin (cp — xp) cos cp cos xp ’

Formeln hierzu besser. Nach diesen ist die Rechnung für unser Beispiel im oberen Teile der Seite 347 durchgeführt, wobei die Tangenten der Richtungswinkel aus den in § 70 S. 282 erwähnten „fünfstelligen vollständigen trigonometrischen und poly-gonometrischen Tafeln für Maschinenrechnen von F. G. Gauß“ entnommen sind.

Wird in diese Formeln eingesetzt:

tgcp — tgxp

so erhält man die auf dem unteren Teil von S. 347 angegebenen Rechenformeln, in welchen nur sin und cos erscheint, so daß man nur die sin-, cos-Tafel gebraucht. Das Beispiel ist hiernach auf dem unteren Teile der Seite mit dem § 70 S. 282 erwähnten „Opus Palatinum“ von Jordan durchgerechnet.

In beiden Fällen sind im Beispiel alle Einzelwerte niedergeschrieben, während man nach vorhergehender Feststellung des Vorzeichens und Beachtung der Dezimalstelle, ohne Zwischennotierung, die Produktsummen und Differenzen, sowie die Quotienten unmittelbar von der Maschine ablesen kann.

§ 82. Die Aufgabe des Rückwärtseinschneidens.

In Fig. 1 sind drei Punkte A , M, B gegeneinander festgelegt durch die zwei Entfernungen AM — a und B M = b, und durch den Winkel B M A = y.

Ein neuer Punkt P wird gegen A, M, B bestimmt durch Messung der zwei Winkel AP M — a und MP B — ß-, es sollen daraus auch die Entfernungen A P = sa, M P = s und B P — Sb und die Winkel cp, und xp bestimmt werden.

Kein geometrisch ist die Lösung sehr einfach : Man beschreibt über A M einen Kreis, welcher den Winkel a faßt, und über MB einen Kreis, welcher den Winkel ß faßt; dann' bestimmen diese zwei Kreise durch ihren Schnitt den Punkt P.

Fig. l.

B,

O-

Sa

7T sb

& ß,

Diese Konstruktion macht auch sofort begreiflich, daß es einen Ausnahmsfall gibt, in welchem die Lösung versagt; nämlich wenn zufällig alle vier Punkte A AI BP auf einem Kreise liegen, der in diesem Falle der „gefährliche Kreis“ heißt.

Gehen wir aber nun von der Konstruktion zur Rechnung über, so haben wir zunächst in keinem der beiden Dreiecke A MP und BMP zwei bekannte Winkel, können also den Sinussatz nicht geradezu anwenden, um sa, s und si, zu bestimmen.

Wir betrachten die zwei Winkel (p und xp als Unbekannte, nach deren Bestimmung alles andere sich leicht gibt; und wir finden, daß zwei Gleichungen bestehen, in welchen cp und xp Vorkommen:

a-hß-hy-h(f-hxp = 360° <f>-hxp _ 360° — (a -+- ß -h y)

1. Yiereckssumme

(1)

•2

woraus :

2. Zweifache Anwendung des Sinussatzes gibt:

(2)

a .    b

—,— sm <p = —;—» sin xp sin a    sin ß

sin cp _

also das Sinusverhältnis:

(3)

sin xp sin ß ' sin a '

Nun handelt es sich darum, aus den zwei Gleichungen (1) und (3) die zwei Winkel <jp und xp zu bestimmen. Zu diesem Zweck setzt man den Quotienten in (3) gleich der Kotangente eines Hilfswinkels g :

sin ß

_ s in cp tang g sin xp

(4)

sin cp — sinxp    1 — tang g

sin cp -f- sinxp    1 + tang g '

Nun ist einerseits : sin cp — sinxp = 2 sin - ----- cos ——

U    -

sin cp 4- sin xp — 2 cos ^    sin —c.

u    U

— cotg (g + 45°)

Dieses gibt weiter:

andererseits :

1 — tang g

1 + tang g

(5)

qp + ip

Cp 4- Xp

und damit geht (5) über in:

<f> cot9 (d + 45 c).

qp — xp

tang -——— — tang

Hat man hieraus ^    ^ bestimmt, so nimmt man aus (1) noch ^

Ł    Ł

(6)

hinzu,

und hat dann auch cp und xp seihst, nämlich:

qp -1— qp — xp

qp 4- xp cp — xp _

xp.

(7)

Dann hat man s aus (2) mit Probe, und auch die beiden anderen Entfernungen .sa und Sb kann man nach dem Sinussatz berechnen:

(8)

su — —sin (op 4- a)

Slfl (X

174° 13' 37" 24 58 47 ß 41    2 58

Zahlenbeispiel: Gegeben a= 841,561 b = 1553,664

360°

y + a 4- ß = 240° 15' 22" (7 + a 4- ß) = cp 4- xp = 119 44 38

59 52 19

360°

qp 4- xp _

log a log sin a

2.925 086 9.625 618

logb 3.191357 log sin ß 9.817 374

log (a : sin a) log (b : sin ß)

log tang g

3.299 468 3.373 983 9.925 485

log cotg (g 4- 45°) log lang 2 + 3?

8.932 366

0.236 322

log (b : sin ß) 3.373 983 g = 40° 6' 31" g 4-45° = 85    6 31

qp 4-^ _

2 ~

59 52 19

log tang

qp — y

9.168 688

= 8 23 19

cp = 68° 15' 38"

xp = 51° 29' 0".

Damit ist die Rechnung im wesentlichen fertig, und die Weiterrechnung nach (8) und (2) kann keine Schwierigkeiten haben.

(Wir werden die vorstehende Rechnung als Bestandteil der Rechnung im nachfolgenden § 88 S. 353 wieder finden.)

Die bequeme analytische Lösung mit dem Hilfswinkel welche im vorstehenden gegeben ist, finden wir zuerst mitgeteilt von J. C. Burckhardt in der „Monatlichen Korrespondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde von v. Zach“, 4. Band, Gotha 1801, S. 360. Hilfswinkel y. Auch Gerling gibt diese Lösung mit einem Hilfswinkel >/-’ im 3. Bande der „Astronomischen Nachrichten, 1825“, S. 231. Einige Zitate hierzu gibt auch Hammer, „Zeitsohr. f. Yerm. 1895“ S. 598—599.

Die preußische Technische Anleitung vom 16. Februar 1870 zur Ausführung der trigon. und polygon. Rechnungen usw. hatte auf S. 177 eine Berechnung der Winkel zum Rückwärtseinschneiden, welche in den Bezeichnungen unserer Fig. 1 S. 348 so ist:

b

sin <p : sin </J = ——- : —-— B : A

stn ß sin a

<P + 'I> = 360° — (a -f ß + y) , <P = (<P -f »/') - >/'

sin <P = sin (<p -)- >!>) cos >/' — cos CP -J- '!') sin <!’ sin 'V sin

= sin (<P -f- ip) cotg t}> — cos (tp xfi)

cotg ip

_ B -f- A cos (<P -f- >/0 A sin (ip

cota ip =--;——

a sin ß sin (<P -j- ¹t>)

Die Anweisung IX vom 25. Oktober 1881 ist von dieser Rechnungsart zu dem am meisten

sin cc

+ cotg {<P -f tp) .

gebräuchlichen Burckhardtschen Verfahren mit dem Hilfswinkel ß übergegangen, und dann Anweisung IX 1894 hat die Rechnung mit dem Collinsschen Hilfspunkt, die im nachfolgenden beschrieben und mit Koordinaten in § 83 S. 354 ausgeführt werden wird.

Das Rückwärtseinschneiden mit Koordinaten werden wir erst im nächsten § 83 ausführlich behandeln (mit Formularen), aber auch jetzt schon kann man sofort einsehen, daß nach Lösung der Aufgabe selbst mit den vorstehenden Gleichungen (l)-(8) S. 348-349 auch die Koordinatenbehandlung im Prinzip keine Schwierigkeiten mehr bieten kann.

Wenn die Koordinaten von A, M, B gegeben sind, so rechnet man daraus die Richtungswinkel {A M) und (B M), deren Differenz der Winkel y ist, und dabei auch die Entfernungen AM—a und B M = b, womit alles auf den Fall von (1) —(8) S. 348—349 zurückgeführt ist; und nachdem diese (1)—(8) erledigt sind, kann aucbf die Koordinatenrechnung für P keine Schwierigkeiten mehr bieten.

Die Einzelheiten hierzu, wie schon bemerkt, auf den nächsten § 83 verschiebend, wollen wir hier noch drei Lösungen der Aufgabe vorführen, welche aber beim ersten Studium übergangen werden können.

Fig. 2.

L.

Cf

Der Cöttinssche Hilfspunkt.

Nach einem zuerst von Collins (1671) angegebenen Verfahren kann man den Kreis benützen, welcher durch zwei gegebene Punkte A , B und den gesuchten Punkt P geht, indem man nach Fig. 2 P M bis zum Schnitte Q mit diesem Kreis verlängert. Dann treten in dem Dreieck A B Q wieder die Winkel ß und a auf mit ihrer Ergänzung Ö auf 180°. Das Dreieck ABQ ist also bestimmt, und damit auch die Richtung Q M P, womit sich vollends alles Weitere rechnen läßt.

Diese Lösung der Aufgabe wurde früher auch auf dem Meßtisch benützt, indem man die Winkel ß

an A B und a an B A durch Kippregelvisuren antrug, so den Punkt Q einschnitt {sofern er nicht etwa über das Blatt hinaus fiel) und dann in P den Tisch auf P MQ orientierte.

Alles das kann man auch in der trigonometrischen Rechnung verfolgen, wie wir in den Hauptzügen für das Beispiel von Fig. 1 S. 348 zeigen wollen, wobei der Hilfspunkt Q etwa 700 -m südöstlich von M auf der Richtung P M eingetragen werden möge. Nachdem man A B und (A B) aus den Koordinaten von A und B berechnet hat, erhält man das Dreieck ABQ so :

A hat Winkel ß = 41 2' 58 ' 24 58 47

-B »

Ö = 113 58 15

180° 0' 0"

Q erhält

•daraus wird mit den Koordinaten von M erhalten: (QM) — (Q P) = 340° 46' 51".

Nun hat man zwei Dreiecke BQ P und AQ P, welche bei Q die Winkel haben: (Q P) — (QB) — 64° 30' 55" und (Q A) — (Q P) = 49° 27' 20" dazu ß = 41    2 58

B = 74 26 7

yq - — 14436,58

Xą = -f- 92620,62 ,

= 24 58 47

= 105 33 53

180° 0' 0",

180° 0' 0"

und da wir auch log B Q und log A Q nebst (B Q) und (A Q) schon angegeben haben, kann die Berechnung der drei Entfernungen B P, QP, AP keine Schwierigkeiten mehr haben.

Eine für Ausrechnung mit der Rechenmaschine bestimmte Auflösung des Rückwärtseinschneidens mit Koordinaten hat Runge in „Zeitschr. f. Yerm. 1894“ S. 204 bis 207 gegeben. Für das Dreieck PAM Fig. 1 S. 348 wird erstens die doppelte Dreiecksfläche =sassinu und dann «2 — Sa2 s2 — 2 sascosa gesetzt, alle a, s, sa in den Koordinaten ausgedrückt und dadurch cotg a = f (x, xa ... y . . .) erhalten, ■ebenso auch für das andere Dreieck, wodurch zwei Gleichungen entstehen, die. man geradezu nach x und y algebraisch auf lösen kann. Das Nähere hierzu und Anwendung auf unser Zahlenbeispiel von S. 353 s. „Zeitsehr. f. Yerm. 1894“ S. 204—206. Hier sei auch zitiert „Zeitschr. f. Yerm. 1899“ S. 313—315; Runge, Über die Verwandtschaft des Rückwärts- und Vorwärtseinschneidens.

Eine andere für die Anwendung der Rechenmaschine geeignete Lösung ist die an der nebenstehenden Fig. 3 erläuterte. In den rechtwinkligen Drei-    ji

ecken MAC und MBB (Fig. 3) sind / die Punkte C und B durch AM, BM, a, ß bestimmt, CP B ist eine Gerade, auf welcher MP rechtwinklig steht, wodurch die Lage von P ebenfalls bestimmt ist und die im nächsten § 83 S. 355 angewendeten Rechenformeln ^

(90° \

!&'

Fig. ü.

Vi V-

. /qo°\

sich ergeben.

Ygl. auch „Zeitschr. f. Venn. 1877“ S. 688—694. Lindemann, Geometrische Konstruktion der Pothenotschen Aufgabe ; Höckner, Einschaltung von Punkten in ein

durch Koordinaten gegebenes trigonometrisches Netz mit ausgiebiger Verwendung der Rechenmaschine. Leipzig 1891 (..Zeitsehr. f. Venn. 1892“ S. 377); „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 269—272. Soßna, „Auflösung des einfachen Rückwärtseinschnittes mittels Rechenmaschine und numerisch-trigonometrischer Tafel“ mit Nachtrag S. 471. 472. Erwähnt sei hier auch die Berechnung unseres Beispiels von Hammer in „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 600.

§ 83. Riickwärtseinsclineiden mit Koordinaten.

Die beiden Entfernungen AM — a und B M = b, und der Winkel B MA = yt welche im vorigen § 82 als gegeben vorausgesetzt wurden, sind selten unmittelbar gegeben, gewöhnlich hat man es nur mit Koordinaten zu tun, und dann lautet die Aufgabe des Rückwärtseinschneidens so :

Es sind drei Punkte A, M und /> durch ihre Koordinaten gegeben, nämlich (nach der Fig. 1 oder nach der Fig. 2 oben in der Berechnung von S. 358):

Punkt A    ,    ya    und xa

n M    ,    ym    „    Xm

V -B    ,    yb    „    Xb

Auf einem vierten Punkt P wurden die zwei Winkel gemessen:

Winkel AB M — a „ MPB = ß.

Es sollen hieraus die Koordinaten des Punktes P berechnet werden :

Punkt P    ,    y und    x.

Nach der Vorbereitung des vorigen § 82 braucht man nur noch die allgemeinen Formeln für Koordinaten und für Richtungswinkel von § 69 S. 273—280 hinzuzunehmen, um diese Aufgabe lösen zu können.

Fig. 1.

(Zu dem Zahlenbeispiele S. 353.)

P Hochschule

ym

C/O

sa

'p bp a

Waierloo=Saüle

Wasserfurm

1:50000

Wir gehen daher sofort über zu

1000ni    500

einem Zahlenbeispiele, welches in Fig. 1

iKni

dargestellt und auf S. 353 vollständig durchgerechnet ist.

von

Die Fig. 1 zeigt die gegenseitige Lage der Punkte unseres Beispiels in richtigen Verhältnissen (nach Fig. 2 § 69 S. 275), während die Fig. 2 links oben auf S. 353 nur als schematische Übersicht der eingeführten Bezeichnungen dient. Wer noch keine Rechengewandtheit hat, tut wohl daran, für ein Zahlenbeispiel eine Figur nach Art vorstehender Fig. 1 aufzuzeichnen, um nötigenfalls die Entfernungen und Richtungswinkel danach summarisch prüfen zu können, während nach erlangter Übung dieses nicht mehr nötig ist, und die schematische Fig. 2 oben auf S. 353 ein für allemal genügt.

Zu dem Gang der Rechnung S. 353 sind einige Bemerkungen zu machen :

1. Man setzt die gemessenen Richtungen ein. und bildet daraus durch Subtraktion die Vinkel a , ß und cc -+- ß. (Die gemessenen, aus dem Feldschreibhuch oder aus einer Mittelbildungstabelle zu entnehmenden Richtungen sind häufig bereits näherungsweise orientiert, doch ist dieses für die Winkel a und ß gleichgültig.)

(Fortsetzung 8. 356.)

Rückwärtseinschneiden.

Fig. 2.

R Ägidius

1. P Hocliscliule M Waterloo

Gemessene Richtungen

136° 53’ 5" 161 51 52 B Wasserturm 202 54 50

Winkel

'S?

« = 24° 58' 47" 2 58

ß = 41

s\ S Ab

a + ß = 66° V 45"

A/

2. M Waterloo A Ägidius

—    14657,52 + 93254,39

—    13879,79 + 93575,89

M Waterloo B Wasserturm

—14657,52 + 93254,39 -16145,76 + 92808,28

Differenzen (AI— A) —    777,73 —    321,50

Differenzen (fff—B) + 1488,24 +    446,11

Hm — y a Xm — Xa

ym — /Jb Xm — Xb

Probe : (ym — ya) — (ym — yb) — yb — ya

und

(xm — xa) — (xm — Xl) = Xb — Xa.

3.

[ym — ya) 12.890829» sin oder cos (AM) \ 9.965 743« (Xm — Xa) ! 2,507181« tang (R M) 0.383 648 a ! 2.925 086 sin a 9.625 618 (a : sin a) 3.299 468 (b: sinß) 3.373 983

5.

tang g 9.925 485

cotang (u + 45°) 8.932 366 tang \ (qp + xp) | 0.236 322 6. tang (qp — xp) 9.168 688

4. (AM) = 247° 32'26" (BAI) = 78 18 49 7 = 174° 13' 37" « + ß = 66    1 45

7 + a+ß = 240° 15' 22"( qp + îp = 119 44 38 j

« = 40° 6' 31" j» + 45° = 85    6 31

i (qp _j_ y) = 59 52 19 (qp — ip) = 8 23 19 = 68° 15' 38" = 24 58 47

R'S

qp + d = 93° 14' 25"

(/An — Hb) sin oder cos (B fff)

(Xm — Xb)

3.172 673 9.981 316 2.649 442

360°0'00"

tang (B M) 0.523 231 b 3.191357 sinß 9.817 374 (b7sinß) 3.373 983

Winkelprobe

(qp + a) -1- (xp + ß) + /

= 360°

xp = 51° 29' 0" 8 = 41    2 58

\)jWß = 92° 31' 58"

(a : sin d) 3.299 468 sin (ff + a). 9.999 305 777¹ 3.298 773

(a : sin a) I 3.299 468 sin qp 9.967 958

8 3.267 426

(b : sin ß) j 3.373 983 sin xp j 9.893 444 3.267127

(Proben)

8. (AAI) = 247° 32' 26" + qp = + 68 15 38

fiP)= 315° 48' 4" oder (P Ä) = 135 48 4

(.4 P) = 315° 48' 4" (B P) = 21° 49' 49" + «=+24 58 47 (fffP) = 340° 46'51"    •(») = 340° 46' 51"

(Pfff) = 160° 46' 51"

— ß = 41

2 58

b : sin ß \ 3.373 983 sin (xp + ß) i 9.999 575

itei 3.373 558

(BM) =    73° 18'49"

— xp =:—51 29    0

(BP) =    21° 49' 49"

(PB) = 201 49 49

s„. I 3.298 773 .w(4P) 9.843327« A ya ! 3.142100»

10. A ya = — 13879,79 A y a — — 1387,08 P y = — 15266,87

'9.

3.298 773 c-os (J. P) 9.855 473 3R54 246

xa = + 93575,89 A xa = + 1426,42

x = + 95002,31

sb I 3.373 558

s» (B P) J 9.570 378 cas (B P) I 9.967 684 A xb I 3.341 242

A yb | 2.943 936

B yb — — 16145,76 A y b — A- 878,90 P y = — 15266,86

Sb 3.373 558

xb = + 92808.28 A xb — -A 2194,03

x = + 95002,31

Schlußergehnis Hochschule : y — — 15266,86 m x = + 95002,31 m .

Fig. 3.

Rückwärtseinschneiden

nach trig. Form. 11 der preußischen Katasteranweisung IX.

Collinsscher Hilfspunkt Q.

ty< =

yb — y a

Xb — Xu

Gesuchter Punkt P. tg, 9 = yy-yp

" TU    /y*    _ rp

iVq    *i>m

in

A ÿJa — m sin a sin vq A xq = m sin a cos vq

A yf= m sin (2 n — ß) sin vï .    m sin (2n — ß) cos Ą

Xb — Xa sin ö sin vba sin Ö cos vb

yt=ya+Ayl Aya — ni sinÖbsin va

Xq =Xa+A X⁽¹a A Xa — m sin Öb COS Va

Eechenprohen :

yq=yb-{ Ay\ A yb = m sinÖasin Vb Xq^xb+Ax'l AXb=msin Öacos Vb

yb — y a

V -ya~\- A y a

£ — Xa~\~ A Xa

— y b-P A yb l=Xb-\-Axb

Pa: Wasserturm Pb : Ägidius

Pm: Waterloo

ya —16145,76 xjb — 13879,79

yb — ya + 2265,97 Ayqa + 1709,18

yq —14436,58 ym — 14657,52

yq — ym -\~    220,94

556,79

xa + 92808,28 xi + 93575,89

767,61 Axqa —    187,66

Ax\ —    955,27

Xq -+- 92620,62 xm + 93254.39

XI) — Xa "4-

Xq — Xm —

u 41° 2' 58" (i 335    1    13

2 ri — ß 24 58 47 vb 71    17    9

*2 = *« —0.

■>i = < — « ±⁷¹

96° 15' 56" 210 14 11

Va — vq -h u

633,77 | n — vt _j_ ß

160 46 201 49 135 48    4

P: Hochschule

A ya 4-    878,90

Ayb — 1387.07

y — 15266,86

Axa + 2194,03; Axb + 1426,42)

= fa - V*

= n — Vb + 7T x + 95002,31 ' Ö = ß — « 4- 71

Oc O? ô* &

= öa -4- Öb

229 27 20 244 30 55 113 58 15 113 58 15

log {yh — y a) log (xb — xa) Ml tg vba

8.355 254 2.885 141 0.470113

log {yb —ya) cpl log sin rb cpl log sin Ö cpl log cos vb log (Xb — xa)

log m

3.355 254 0.023 590 0.039 171 0.493 702 2.885 141

3.418 015

2.344 274

% (y<i — y»)

Jog (xq — Xm) 2.801 932« log tg v'/n ¹

9.542 342»

log sin v,Ja log m log sin a log cos vLa log A ifa log A xqa

log sin rjt

9.997 398 3.418 015 9.817 374 9.037 971»

3.232 787

2.273 360»

log sin va log m log sin Öb log COS Va

log A y a log A xa

9.570 3781, 3.418 015 9.955 543 „ 9.967 684

2.943 936 3.341 242

9.702 059» log m j 3.418 015 9.625 618 log cos vl 9.936 491»

log sin (2 n—ßj

log Ay\ 2.745 692» logAx\ j 2.980124»

log sin tt> log rn log sin Öa log cos vb

log A yb log A xb

9.843 327» 3.418 015 9.880 758» 9.855 473»

3.142100» 3.154 246

Rückwärtseinschneiden mit Anwendung der Rechenmaschine. Gemessene Winkel a = 24° 58' 47" ß = 41 02 58 cotang a = -t- 2,146 490 cotang ß = -+-1,148 365 Gegebene Koordinaten

ya = — 13879,79 ym = —14657,52 yb = —16145,76

.1 Ägidius 31 Waterloo

P Wasserturm

A Ägidius 31 Waterloo P Wasserturm

Probe : (ym — ya) — (ym — yb) = yb — y a

777,73

— (xm — Xa) cotang a = -(- 690,09₇

Xa = + 93575,89 c = -+- 93254,39 xi = -+- 92808,28

Or

Fig. 4.

T\

190°\

//i

-----

/ ⁹⁰°'

"m

ctli*

ft

P {ym — ya)

(Xm — Xa) — (xm — xb) = xb — Xa.

-+■ (Xm — Xa)

4- {ym — ya) cotang a = — 1669,39₀

und

= — 321,50

1.

ym — yc

87,633 3.

Xm — Xc

= — 1990,89₀

= -+- 1488,24

-+• {ym — yb)

—y- (Xm — Xb) cotang ß =■ -1— 512,29₇ “H {Xm — Xb — {ym — yb) cotang ß = — 1709,04₃

2.

y» — yd

= -f- 2000,53₇ 4.

Xm — Xd

= —1262,93s

1—2. ya — yc

= — 2088,17₀ 3.—4. xa — xc

— 727,95₇

{yd - y cf = (436 04 53,9) (xa — xcf= (52 99 25,8)

"+- {ym — yc) {Xd — Xc)

— (xm — Xc) (ya — yc) = — 4157316,771

63793,056

5.

Summe = 489 03 79,7

Summe = — 4093523,715 A = — 0,837 056₄

-I-    = + 93 254,39

-+■ A (jjd — ye) — X — Xm — H- 1 < 47,91g

+ y ni = — 14 657,52 — A{xd — xc) = y — ym =—    609.34!

8.

x = + 95 002,30₆

9.

y = — 15 266,86₄

y — yc= {ym — ye) Jr{y — ym) = — 696,974 ;

X — XC = (xm — Xc) + {x — æ,n) = — 242,97₄

q = yjAZVS- - ₊ 2,86 8535 ; g (,n — av) = - 696,97₉ ; q {y — ym) = - 1747,91₆

Xd —

Probe nach (12) S. 359

Richtungen.

yB —y = .+ 1887,07 a?«— a? = — 1426,42

y à — y

Xb — x

—    878,90

—    2194,08

tang (P A) = — 0.972413 (PA) = 135°48' 05" Probe, a = 24 58 46

tang (P B) = + 0,400587 (PP) = 201° 49' 49"

= 41 02 58

tang {P 31) = — 0,348 609 (P JW) = 160° 46' 51".

2. 5Tan setzt die Koordinaten der drei gegebenen Punkte A, 31, B an ihre Stellen, und bildet die Koordinatendifferenzen. Zu diesen Koordinatendifferenzen kann man auch die Probe bilden :

(tjm — ya) — 0/m — yo) = y b —y a (xm — Xa) — (•«»! — Xb) = Xb — Xa.

Diese Probe ist wohl rätlich, weil ein Fehler in diesen ersten Subtraktionen erst am Schlüsse gefunden würde ; die Probe kann je nach Rechenvertrauen unterlassen werden.

(1)

3. Es werden die Richtungswinkel (A 31) und (B 31) und daher die Entfernungen A 31 = a und B 31 =b in bekannter Weise (nach § 69 S. 276) berechnet, d. h. man hat zu 3. die Formeln:

tang ( A 31) —

Xm — Xa

tang (B 31) = V-1    !-

Xm — Xb oder - -

_ ym—ya sin (A 31)

l■ _ y>n — y b sin (B 31)

Xm —Xn cos (A 31)

Die Entfernungen a und b brauchen nur aus dem Sinus oder dem Cosinus berechnet zu werden, weil immer eine dieser Funktionen (Spalte rechts), welche größeren Kathete gehört, bequemer und genauer ist als die andere (vgl. § 69 S. 277 oder auch § 81 S. 344).

4. Die Richtungswinkel (A 31 ) und (B 31) geben die Differenz y, und indem man a -f- ß von 1. herunterholt, hat man y -+- a,+ ß und damit 360° — (a -+- ß + y)

— <jp -f- xp, also auch -a-

werden kann.

A 31 =

oder =

B 31 =

Xm — Xb

ms

(B31) '

zur

, welches sofort an seine Stelle bei 6. heruntergesetzt

5.    und 6. Es folgt die Bestimmung der zwei Winkel cp und xp mittels des Hilfswinkels u nach § 82, wie bereits auf S. 349 ausgeführt wurde. Die Quotienten (« : sin a) und (b : sin ß) werden in dieser Form getrennt gehalten, weil man dieselben bei 7. wieder so braucht.

6.    Nachdem cp und xp aus

<P + 'P

und

erhalten sind, holt man auch a

und ß von 1. herunter und bestimmt cp -+- oc und xp -+- ß. Wenn man auch noch von 4. herunterholt, hat man die kleine aber angenehme Winkelprobe:

(ff + «) -h (xp + (?) + / = 360°.

7. Seitenberechnung. Wan geht zuerst in die Mitte: a

s = —— sin cp = sin a

Diese Probe mit s kontrolliert alles Nach diesem setzt man links log sin (cp -f- «) und rechts log sin (ff -f- ß) ein und

sin ß

von

(a : sin a) und (b : sin ß) an.

hat damit:

Sa =

von 4. herunter nebst cp und xp von 6., rechnet damit links (A 31) 4- cp = (A B) und rechts (B 31) — xp = (ß B). Diese (.4 B) und (B B) setzt man in die Mitte von 8., darunter wieder die a und ß von 1. und hat dann mit Probe (31B) = (AB) a = (BB) — ß. Die drei Richtungswinkel (AB), (31B), (BB) kann man auch durch Zufügung von 180° in (BÄ), (B31), (BB) umkehren, wasaber zunächst nicht nötig ist, da man

8. Wan holt links (A 31) und rechts (B 31)

nur

zuerst die (AP), (31B), (Ę B) selbst braucht.

9. und 10. Koordinatenberechnung für den Punkt P symmetrisch von A und von B her, nach den gewöhnlichen Formeln :

y = ga -+- sa sin (AP) , x = xa -+- sa cos (AP) | y = yi 4- -s b sin (B P) , x = xi, -I- Sb cos (B P).

Wenn diese Koordinatenprobe stimmt, so ist die ganze Bechnung vom Einsetzen der gegebenen Koordinaten und der gemessenen Bichtungen an versichert.

Wenn die Koordinatenprobe nicht stimmt, so kann man auch noch mit dem Mittelstrahl s rechnen, nämlich:

y = y ni -+- s sin (AIP) , x = xm -t- s cos (M. P).

Für dieses letztere ist unser Schema S. 353 nicht mehr eingerichtet. Sollte die Koordinatenprobe unter 10. nicht stimmen, so kann man ja wohl auch mit dem Mittelstrahl AIP den Versuch machen, doch ist in solchem Falle der Fehler noch zu suchen, und man beachte dann, nachdem man 9. und 10. selbst nochmals nachgesehen hat, daß alles Zwischenliegende von 5. an schon versichert ist, daß man also dann den Fehler ganz oben in 2.-4. suchen müßte.

Bildung eines Abrisses.

Indem man bei 8. die Umkehrungen (A P) + 180° = (PA) usw. bildet, was man früher bei 8. nicht nötig hatte, und auch ohne Schreiben im Kopf bilden kann, und indem man auch die drei Entfernungslogarithmen von 7. zuzieht, kann man aus S. 353 1., 8., 7. folgenden Abriß ausziehen:

(2)

Standpunkt Hochschule (Eisenplatte E).

Zielpunkte

Gemessene

Bichtungen

Bichtungswinkel Differenz

log s

Ägidius .... Waterloosäule Wasserturm .    .

Ein solche

135° 48'    4"

160 46 51 201 49 49

h-¹ h-¹

3.298 773 3.267 426

3.373 558

ist namentlich dann von Wichtigkeit, wenn an ihn auch noch andere gemessene Eichtungen angefügt werden sollen. (Vgl. § 79 und § 88.)

Formulare der preußischen Katasteranweisung IX.

Fig. 5.

i'a

Sm

Sb

Die preußische technische Anleitung vom 16. Februar 1870 hatte auf 8. 170 eine Berechnungsart für Bückwärtseinschneiden, über die wir bereits im vorigen § 82 8. 350 (im klein Gedruckten) berichtet haben; die Koordinatenrechnung war damals von der eigentlichen Bückwärtseinschneide-Bechnung getrennt. Die Anweisung IX vom 25. Okt. 1881 brachte dann mit nebenstehender Fig. 5 und zugehörigem Formular 11 eine Berechnungsart, welche im wesentlichen mit unserer Bechnung von S. 353 übereinstimmt. Auch p die Bezeichnungen mit a, b, a. ß, (jf , ip sind dieselben wie hei unserer Bechnung S. 353 und es ist nur noch = (-1 AI), ■ra = (AP) usw. zu übersetzen, um im wesentlichen Übereinstimmung der Bezeichnungen herzustellen. Allerdings weicht die trigonometrische Anordnung jenes Form. 11 1881 von unserem (schon aus früherer Zeit stammenden) Formular S. 353 ah, indem z. B. die Seitenlogarithmen log sa. log s, log Sb im Form. 11 der Anweisung IX 1881 nicht auftret en usw.

Nach diesem haben wir aber in der zweiten Ausgabe 1894 der Anweisung IX ein neues Formular 11, das zur Vergleichung auf S. 854 unserer Rechnung von S. 353 mit demselben Beispiele ausgefüllt gegenüber gestellt ist. Dieses neue Formular 11 1894 gründet sich auf die Theorie des Collinsschen Hilfspunktes, welche wir bereits in § 82 S. 350 mit Fig. 2 soweit behandelt haben, daß danach das Formular 11 1894 S. 354 verstanden werden kann.

Wenn wir die Gelegenheit der Gegenüberstellung von S. 353 und S. 354 benützen, um über die Anordnung solcher Formulare im allgemeinen einige Gedanken und Erfahrungen auszusprechen, so ist zuerst die Vermeidung aller Künstlichkeiten zu betonen. Wir ziehen es vor, das was man mehr als einmal braucht, auch mehr als einmal zu schreiben, um überall das beisammen zu haben, was zur eigentlichen Rechnung, und namentlich auch zur Nachrechnung nötig ist. Dann halten wir es für gut, alles das hervorzuheben und zusammen zu stellen, was man aus dem Schema zur Weiterrechnung auszuziehen veranlaßt wird; und deswegen findet man die drei Richtungswinkel und die drei Entfernungslogarithmen der Strahlen von P nach A, M, B auf S. 353 deutlich herausgehoben, Aveil man diese Größen zu dem später folgenden Abriß auf S. 357 jedenfalls haben muß.

Die praktische Bedeutung des Rückwärtseinschneidens mit Koordinaten, Avie Avir es im vorstehenden gelehrt haben, ist eine sehr große. Die Unabhängigkeit der einzelnen Punktbestimmung von Messungen auf anderen Punkten, die Leichtigkeit des Anschlusses an Türme und andere Hochpunkte, ohne NotAvendigkeit von Bodensignalen, und vieles andere, sichern diesem Verfahren dauernden Wert im Feld- und Landmessen. Ein gutes und übersichtliches Rechenschema ist dabei sehr Avichtig; ohne ein solches würde die Rechenmühe die anderen Vorteile Avieder beeinträchtigen. Das Schema S. 353 ist aus praktischer Beschäftigung des Verfassers hei trigonometrischen Messungen 1864 entstanden, im .Monatsblatt des badischen Geometervereins 1872“ 8. 22 — 23 mitgeteilt und mit einigen Verbesserungen seither in vielen hundert Anwendungsfällen beibehalten.

Bei der immer Aveiter sich entAvickelnden zahlenmäßigen Kleinmessung mit" zahlreichen Koordinatenberechnungen ist es zur schnellen Bewältigung der Reehen-arbeit vorteilhaft, die Rechenmaschine zu verwenden. Während der einzelne Rechner, besonders auch bei ausAvärtigen Arbeiten, die logarithmische Rechnung beibehalten Avird, Avird auf den Rechenbureaus der Vermessungsbehörden die Maschinenrechnung Avesentliche Vorteile bieten können.

Wie schon § 81 S. 347 beim Vorwärtseinschneiden, soll daher auch unser Beispiel S. 353 und S. 354 mit der Rechenmaschine behandelt werden.

Die unmittelbare AnAvendung der auf S. 352 und 356 erläuterten und im Beispiel S. 353 benutzten Formeln wäre nicht zweckmäßig, da dieser Rechnungsgang ein ständiges Eingehen in die trigonometrische Tafel verlangt; er ist speziell für Pro-duktenbildung mit bequemer Ausnutzung der logarithmisćhen Rechnung gebildet. Aväh-rend für die Maschinenrechnung möglichst wenig Tafeleingänge erwünschst sind, und Verbindung von Produktsummen nicht hinderlich ist. Bequemer Aväre schon die Ver-Avendung der S. 350 erläuterten Methode mit Collins Hilfspunkt, Avelche ein zweimaliges Vorwärtseinschneiden, je für den Punkt Q und P A'on A und B aus und Ableitung der Richtungswinkel (A B) (Q M) s. Fig. 2 S. 350 erforderlich macht. Es kann daher diese Rechnung mit Collins Hilfspunkt durch Anwendung des auf S. 847 dargestellten

Rechnungsganges ausgeführt werden, und wird neben der logarithmischen Berechnung des Beispiels auf S. 354 keiner weiteren Erläuterung bedürfen.

Für die Maschinenrechnung besonders geeignet ist aber die auf S. 351 an Fig. 3 erläuterte Lösung, die zur Ableitung der Koordinaten nur zu Beginn der Rechnung das Aufschlagen der cotantj der gemessenen Winkel in der trigonometrischen Tafel erfordert. In Fig. 3 S. 351 und Fig. 4 8. 355 ist

ije — y a = AC sin (A C) = .46' cos (A M) — A AI cotang a cos (A AI) = (xm — xa) cotang cc oder

y a) — (xm — Xa) cotang a

y,n — yc — (ym

in gleicher Weise ergibt sich

(3)

oder

xc — Xa — — iym — ya) cotang a ;

und ebenso

oder

und

oder

Xm — Xc — (Xm — xa) 4- (ym — >ja) cotang a ya — yb — (xm — Xb) cotang ß ym — yd — (ym — yb) + (xm — Xb) cotang ß xa = xb -h (ym — yb) cotang ß

(4)

(5)

Xm — Xd = (x,n — Xb) — (ijm — yb) cotang ß .

(6)

Aus den Koordinaten der drei Punkte M, C, B ist die Projektion P von M auf CB bestimmt. Verwenden wir hierzu die Formeln (19) (20) § 72 8. 292 oder § 81 S. 347, so haben wir

(ym — yc) — (Xm — Xc) tang (C B)

tang (C B) — tang (M P)

; y — 2/m = (x — Xm) tang (M P)

(7)

tang (CD) — — cotang (MP) =

Vä — yc

Somit ist X — Xm = 4

Xd —

— ; tang (M P) = Xc

Xd — Xc

!/d — IJc

(8)

(ym — yc) (xd—xç) — (xm — xe) (ya — yc)

(yd — 2/c)" 4~ (Xd — Xc)^

(yd — yc) = + A (ijd — yc)

(9)

y — ym =

(ym — yc) (xd — Xc) — (xm — Xc) (Ijd — j/c)

(yd — 2/c)² 4- (Xd

Xcf

(Xd — Xc) = — A (Xd — Xc) . (10)

Hierin ist aus (3) und (5), (4) und (6)

(ym — yc) — (ym — yd)

yd — yc

Xd — Xc = (xm — Xc) — (x,n — Xd) .

dl)

Die Formeln (3) bis (6) und (9) bis (11) geben den im Beispiel S. 355 angewendeten Rechnungsgang. Im Beispiel sind zur leichteren Verfolgung der Rechnung wieder alle einzelnen Zahlen angeschrieben, während nach vorhergehender Feststellung des Vorzeichens und Beachtung der Dezimalstelle ohne Anschreibung der Zwischenwerte nur die Endwerte 1) bis 9) von der Maschine abgelesen zu werden brauchen.

Eine Probe für den letzten Teil der Rechnung folgt aus :

yd — yc _ y— yc

Xd — Xc

x — xc

X — Xm

(12)

V — ym

Die durchgreifende Schlußprobe liefert danach die Ableitung der für die Weiterberechnung ohnehin erforderlichen Richtungen (PA), (PAI), (PB).

§ 84. Yerschiedene Nebenbetraclituiigen zur Aufgabe des Rückwärtseinscliueidens.

I. Der gefährliche Kreis.

Schon in § 82 S. 348 ist die Bemerkung gemacht, daß die Bestimmung versagt, wenn alle vier Punkte auf einem Kreise liegen. Das müssen auch die Formeln zeigen. Wenn dieser Fall eintritt, so ist:

cfi ilj — 180° , sin cp = sin ip,

also nach (4) § 82 S. 349 :

p = 45°.

s in cp

sin ip

tang tt

Damit wird weiter 45° -f- g = 90°, also gibt die Formel (Gj §82 S. 349 nun:

tang

C^~o' l;~ c°tang (p 4-45°) = oo . 0 ,

d. h. unbestimmt, und die Rechnung steht still.

Außer dem praktisch wohl selten vorkommenden Falle, daß cp + xp genau — 180° 0'00" ist, haben wir noch den Fall zu betrachten, daß cp -+- ip zwar nicht streng = 180°, aber nahe = 180° wird; dann wird die Auflösung zwar nicht unmöglich, aber ungenau, und praktisch vielleicht ganz unbrauchbar.

Fig. 2.

Fig. x.

Um sich hiervor zu hüten, suche man solche Verhältnisse zu gewännen, daß ein Kreis um die vier Punkte A AL BP ganz undenkbar wird, wie in Fig. 1 und Fig. 2 angedeutet ist.

ar

-ob

1. Ausspringende Ecke Fig. 1. Wenn das Dreieck A MB mit M gegen /' ausspringt oder konvex ist, dann hat der Kreis. A MB seinen Mittelpunkt jenseits von 71/ und seine jenseits verlaufende Peripherie kann dann unmöglich durch B gehen.

2. Wenn der Punkt P im Innern des gegebenen Dreiecks A ALB liegt, dann geht der Kreis A ALB gänzlich außerhalb des Dreiecks, kann also den innerhalb liegenden Punkt P unmöglich treffen.

Wenn es gelingt, den Fall Fig. 1 oder Fig. 2 zu erlangen, dann ist die Rückwärtseinschneidung immer gut.

Genauigkeit des Biickwärtseinsehneidens.

Alle hier sich anschließenden weiteren Genauigkeitsfragen haben wir früher in Schlömilchs „Zeitschr. f. Math, und Phys.“, XVI. Bd. 1871, und in Bd. I, 3. Aufl., „Handb. der Venn. 1888“, § 106, § 107 und § 115—118 erschöpfend behandelt (in die weiteren Auflagen sind jene Genauigkeitstheorien nicht mehr aufgenommen worden).

Eine andere Theorie zur Beurteilung der Genauigkeit des Rückwärtseinschneidens hat der Bearbeiter in „Zeitschr. f. Math, und Phys.“, 49. Band 1903, 8. 154—163 und in .Einführung in die Geodäsie“, Leipzig 1907 S. 135—139 aufgestellt. Wir teilen hiervon die wichtigsten Ergebnisse mit. In Fig. 3 sei der Punkt P nach den Punkten

A. B und C rückwärts eingeschnitten und seine Abstände von diesen drei Punkten seien ü. «2 und .s'₃. Tragen wir auf den drei Strahlen FA, PB und PC die reziproken

Werte

Vo = -

s₂

den Seiten o^, ij₂, und dem Flächeninhalt Æ Zunächst nehmen wir an, es seien die beiden Winkel A P B = a und B PC = ß gemessen. Wird dann mit m der mittlere Fehler einer Winkelmessung bezeichnet, so ist der mittlere Punktfehler des rück-Avärts eingeschnittenen Punktes P

ab, so entsteht das neue Dreieck A' TV C mit

Fig. 3.

⁽¹⁾

B'

fi

Man muß also bei der Ausführung der Messung unter den drei "1 möglichen Winkeln die beiden wählen, für welche der Wurzelausdruck in (1) möglichst klein wird.

Aus (1) geht noch hervor, daß einer der drei Punkte A, B, C unendlich fern liegen darf, ohne daß M unendlich groß wird. In diesem Falle fällt lediglich der Punkt P mit A! oder B’ oder C zusammen, was auf (1) keinen Einfluß hat.

Sind in P nicht zwei Winkel, sondern die drei Richtungen (oder auch die drei Winkel) gemessen, und ist m Ł der mittlere Fehler einer Richtungsmessung, so wird

AI = -F - A    V o'd² 4- o~₂- + a₃² .

Der „gefährliche Kreis“ spricht sich auch in den Formeln (1) und (2) aus. Liegen die vier Punkte A. B, C und P auf einem Kreise, so bilden die drei Punkte A'. B’ und C eine Gerade ; es wird dann zJ = 0 und M in den beiden Gleichungen (1) und (2) unendlich groß.

(2)

II. Auswahl der Winkel a und ß.

Zur Berechnung des Rückwärtseinschnitts kann man zwischen den drei Strahlen zwei Winkel a und ß aus wählen ohne Rücksicht auf die wirklich gemessenen Winkel. Man kann aber immer die Auswahl so treffen, daß a und ß beide kleiner als 180° sind, und daß eine Figur entsteht, welche im wesentlichen die Verhältnisse von Fig. 1 § 82 S. 348 hat. Wir unterscheiden zwei Fälle :

Erster Full, a und ß ikleiner als 180°.

Indem wir die Hauptformeln von § 82 nochmals hersetzen, haben wir: cp -+- tp ■= 360° — (a -i- ß + y)

cote) u =

tang    Cotg (u -f- 45°).

Der Hilfswinkel u ist durch die Gleichung (3) zweideutig bestimmt, denn außer einem Werte u, welcher der Gleichung (3) genügt, genügt auch der Wert u + 180°

tanç, i ;; •• .

sin ß ’ sin u

(3)

0)

dieser Gleichung (abgesehen von dem beliebigen Zufügen eines Vielfachen von + 360°). Trotzdem bleibt die rechte Seite der Gleichung (4) eindeutig, weil cotg (g +. 180° -4- 45°) = cotg (g A- 45°) bleibt. Da wir angenommen haben, es sollen a und ß beide kleiner als 180° sein, so sind sin a und sin ß beide positiv, und da die Entfernungen AM und il1B überhaupt positiv sind, so kann die Gleichung (3) nur einen positiven Wert cotg g geben, dem g als positiver spitzer Winkel jedenfalls genügt. Der Bequemlichkeit wegen nützen wir die gefundene Willkürlichkeit in betreff von g so aus, daß wir stets g als positiven spitzen Winkel nehmen.

Aber wenn nun auch die rechte Seite der Gleichung (4) als eindeutig erkannt

— V’

ist, so wird doch

Gleichung (4) genügt, so genügt auch der Wert ^ ₉ *'

(f! —

wieder zweideutig, denn wenn irgend ein Wert ——

der

42 180° dieser Gleichung; da aber cp und ip Dreieckswinkel, d. h. kleiner als 180° sein müssen, so läßt sich hiernach die Entscheidung treffen; und — sind demnach beide kleiner als 90°. oder

-i    u

positive spitze Winkel, folglich muß — —'^

sein (oder was dasselbe ist, —g,- - ’ muß im ersten oder im vierten Quadranten liegen).

In Zusammenfassung hat man also zu den Gleichungen (3) und (4) die einfache Kegel : Man nimmt aus Gleichung (3) den Hilfswinkel u stets als positiven spitzen

Winkel, und aus Gleichung (4) nimmt man    als positiven oder negativen spitzen

Winkel, je nachdem tang^

ein positiver oder negativer spitzer Winkel

positiv oder negativ ist.

Zweiter Fall, a oder ß größer als ISO⁰.

In nebenstehender Fig. 4 ist a <j 180°, aber ß j> 180°. und wir wollen an diesem Beispiele zeigen, warum es nützlich sein kann, die Wahl so zu treffen. Würde man BF A — a und APM—ß setzen, so wären a und ß beide kleiner als 180°, aber BFA

Damit würde (a : sin a) sehr groß. Wenn (a : sin a) oder (b-.sinß) sehr groß wird, so fällt der Hilfswinkel g sehr nahe an 0° oder nahe an 90°, und «-4-45° fällt nahe an 45° oder nahe an 135°, was beides keinen Schaden bringt. Aber wenn BFA — a sehr klein ist. so wird auch FBA = cp W sehr klein und deswegen log sin cp sehr schwankend,

man nicht cp sehr scharf ausrechnet. Man müßte daher entweder die Probe mit log sin cp unscharf lassen oder

^ ₀ und dann cp vielleicht auf 0,01" genau ausrechnen,

um die übrige Rechnung nur auf 1" genau zu sichern.

Dieser und anderen formellen Widerwärtigkeiten weicht man aus, wenn man eine Wahl von a und ß trifft, wie in Fig. 4 angedeutet ist; dann wird aber die Entscheidung über die Quadranten nicht mehr so einfach wie im vorigen Fall.    >»

Fig. 4.

a < 180° , fi > 180°.

a Avürde sehr klein.

wenn

Ct

Allerdings die Zweideutigkeit von u bleibt ebenso unschädlich, wie beim ersten Fall, denn diese Zweideutigkeit hebt sich in der Ausrechnung von cotfj (u -t- 45°) selbst wieder auf. Dagegen ist nun eine besondere Überlegung nötig für die Gleichung:

((>    - cotg (u + 45°).

tang

tang

Hier ist ^    ^ zweideutig, und q oder xp kann auch größer als 180° werden.

Die Entscheidung ist darin zu suchen. daß die Entfernungen A P, 31 P, B P wieder positiv werden müssen.

Statt einer algebraischen Aufzählung aller hierbei möglichen Fälle (welche wir auf S. 318—320 der 2. Auflage 1877 dieses Bandes hatten) stellen wir nun die ein-

y — y

fache Begel auf: Man rechnet mit der Zweideutigkeit

so lange weiter (führt

also zunächst zwei Werte qi und zwei Werte ip mit), bis man an die Berechnung der Entfernungen kommt, und läßt dann dasjenige Paar von Werten qp und xp fallen, welches auf negative Entfernungen führt. (Ein Zahlenbeispiel hierfür gab unsere

3. Auflage 1888, S. 248.)

III. Möglichkeit oder Unmöglichkeit einer Bestimmung durch Rückwärtseinschneiden.

Eine letzte Nebenfrage, ohne praktische Bedeutung, aber doch dann und wann hervortretend, soll noch erledigt werden. Es handelt sich darum, ob eine Berechnung für Rückwärtseinschnitt mit willkürlich angeschriebenen (also nicht gemessenen) Winkeln, welche zu drei gegebenen Punkten gehören sollen, möglich oder unmöglich ist.

Daß man die Zahlen nicht schlechthin willkürlich anschreiben darf (etwa zu einer Übungsrechnung), kann an dem Beispiel dreier Punkte in einer Geraden gezeigt werden: Nimmt man hierzu drei Strahlen mit Winkeln von je 120°, so existiert kein Punkt, von dem aus diese Strahlen nach den gegebenen drei Punkten in einer Geraden möglich wären.

Die allgemeinere Frage dieser Art wurde zuerst behandelt in dem Briefwechsel zwischen Gauß und Schumacher, herausgegeben von Peters, Altona 1861, III. Band S. 46—50, und später in der „Zeitschr. f. Venu. 1886“ S. 140—145.

Wenn ein Strahlensystem B ÄC Fig. 5 in das Punktsystem A B C Fig. 6 eingepaßt werden soll, so muß zunächst jedem Punkt A B C ein Strahl zugeteilt werden, was durch die Bezeichnungen ABC ausgedrückt sein soll.

Die drei Winkel, welche die

Fig. 6.

Fig. 5.

Strahlen unter sich bilden, nenne man a ß y, und die drei Winkel des Dreiecks Fig. 6 entsprechend : ABC. Dann ist jedenfalls :

180° und a -f- ß + y = 360°.

A + B-{-C

Um das Dreieck A B C beschreibe man einen Kreis, den wir zur Unterscheidung von anderen, durch P gehenden Kreisen, den Grundkreis nennen wollen. Nun ist zuerst zu entscheiden, ob der geometrische Ort des Punktes P vermöge eines der gegebenen drei Winkel ccßy, etwa vermöge ß, innerhalb oder außerhalb dieses Kreises ABC fällt. Solange ß zwischen den Grenzen B und 180° bleibt, liegt P im Innern des Dreiecks ABC, und folglich auch im Innern des Grundkreises. Wenn also P nicht über B hin aus dem Kreise hinausrücken soll, so muß ß größer als B sein, und in ähnlicher Weise lassen sich auch alle anderen Bedingungen aufstellen. Da die Sache praktisch und auch theoretisch wenig Bedeutung hat, schließen wir die (in der „Zeitsehr. f. Venn. 1886“ S. 140 bis 145 und unserer 3. Aufl. 1888 S. 250 enthaltene) Betrachtung hier mit der Schlußbemerkung:

Wenn man trotz der Unmöglichkeit der Aufgabe die Rechnung nach den gewöhnlichen Formeln beginnt, so wird man auf eine negative Strahlenlänge PA, PB oder P C geführt, und rechnet man mit einer negativen Entfernung weiter, so stimmen die Schlußkoordinaten in den getrennten Rechnungen wieder überein. Diese Koordinaten gehören aber zu einem Punkt, von dessen Bestimmungsstrahlen P A, P B. P ( einer die entgegengesetzte Richtung hat im Vergleich mit dem entsprechenden Strahl der unmöglichen Kombination. Umgekehrt werden die unter sich verträglichen Elemente unverträglich, wenn man einen der Bestimmungsstrahlen in betreff der Richtung umkehrt.

IV. Geschichtliches zur Aufgabe des Rückwärtseinschneidens.

Das Wesen der geometrischen Konstruktion für Rückwärtseinschnitt, nämlich der Satz von den gleichen Peripheriewinkeln auf gleichen Bögen im Kreis, ist schon über 2000 Jahre bekannt, denn dieser Satz findet sich als 21. Satz im dritten Buch von Euclids Elementen (etwa 300 v. Chr.). Eine astronomische Anwendung dieses Satzes haben wir von Hipparch (160—125 v. Chr.) und zweitens von Ptolemäus (etwa 125 n. Chr.). Das Nähere über Hipparch gibt das nachfolgende Zitat van der Plaats, und über Ptolemäus berichtet Oudemans: Lösung des sog. Pothenotschen, besser Snelliusschen Problems, Vierteljahrsschrift der Astronomischen Gesellschaft 1887, S. 345—349. Dagegen ist die erste Nachricht über eine geodätische Anwendung jenes Satzes viel später, aus dem Anfang des 17. Jahrhunderts. Der Niederländer Willebrord Snellius hat 1617 die erste geodätische Rückwärtseinschneide-Aufgabe mit Konstruktion und mit trigonometrischer Berechnung gelöst, in seinem Werke „Eratosthenes Batavus“, und bald darauf, 1624, tritt auch der Schwabe Schickhardt mit

der Aufgabe hervor. (Diese beiden, Snellius und Schickhardt, sind auch dieselben, welche als Begründer der Triangirlierung gelten.)

Fig. 7.

Ji

/JL

\i

l\

l\l

s32°57 jr± 64-HO 'VJ

Standpunkt Snellius

Im Jahre 1671 wurde die Aufgabe behandelt von John Collins (1624—1683),Buchhändlerin Oxford, welchem sie aufgegeben war, als „a^ chorographical problem“ von Richard Town-ley, der sie zweifellos selbst auf anderem Wege gelöst hat. Dieses ist mitgeteilt in „Philosophical Transactions 25 March 1671“,

|-j vol. 6, p. 2093; vgl. auch 1685, vol. 15, p. 1231. Auf der letzten Seite wird dort von einem Unbekannten auch die Aufgabe der zwei unzugänglichen Punkte (Problem von Hansen) aufgelöst. Collins unterscheidet 5 Fälle, wenn z. B. die drei gegebenen Punkte auf einer Geraden liegen usw. Den unbestimmten Fall behandelt er aber nicht. Die Lösung mit dem Collinsschen Hilfspunkt haben wir bereits in § 82 S. 350 mitgeteilt. Dann folgt Laurent Pothenot, dessen Name lange in Deutschland mit der Aufgabe des Rückwärtseinschneidens verbunden wurde, aber gänzlich ungerecht , denn dieser Mann hat keinen neuen Gedanken zu der Sache gebracht und hat auch sonst wissenschaftlich nichts geleistet, ^

Aus der reichen Literatur der in Deutsch-

land lange mißbräuchlich nach falschem Namen benannten Aufgabe erwähnen wir: „Beiträge Geschichte der geometrischen Auflösungen der sogenannten Pothenotschen Aufgabe“ von Weyer in den Annalen der Hydrographie und maritimen Meteorologie 1882, S. 534 bis 549. Die ausführlichste Geschichte der Aufgabe des Rückwärtseinschneidens findet man jedoch in der niederländischen „Tijdschrift voor Kadaster en Landmeetkunde“, jaargang V 1889, S. 1-38, Overzicht van de graad-metingen in Nederland door Dr. J. D. van der Plaats, Hoofdstuk I. De Triangulatie van Snellius.

zur

Einen Auszug hieraus gibt die „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 298—302 mit den Figuren und Berechnungen von Snellius und Schickhardt. Snellius hatte (Fig. 7 S. 3G4) in seinem eigenen Hause O die Polhöhe und das Azimut nach dem Haag und nach dem Punkte 5 bestimmt und mußte den Abstand OS suchen, wozu die Winkel POS und POH gemessen wurden. Nun gibt Snellius zuerst die Konstruktion mit zwei Kreisen um POS und POH (Mittelpunkte m und »). Die Berechnung von Snellius schließt sieh der Konstruktion mit zwei Kreisen an; es sind mr und nt die Mittelsenkrechten auf PS und PH, dann ist Winkel Pmr — Winkel POS, also

PS

und ebenso Pn

PH

2 sin POS

2 sin POH Winkel m Pn = POH — POS — S P H,

wobei der letzte Winkel S P H aus dem gegebenen Dreieck P S H berechnet wird. In dem Dreieck mPn sind nun gegeben zwei Seiten Pm und Pn und der eingeschlossene Winkel bei P, woraus also der Winkel Pnm berechnet werden kann und P 0 = 2 Pn sin P n m. Dann folgt OH aus PH und den Winkeln OPH und POH; OS folgt aus PS und den Winkeln SPO und POS.

Wie eigentlich für jeden Geodäten die Aufgabe fast selbstverständlich ist, zeigt Schickhardts Brief an Kepler vom 6. Juni 1624 („Zeitschr. f. Yerm. 1892“ S. 297): „Plurimum negotii facessunt loca in convallibus sita, inobservabilia ex alto. Pro iis utor tali modo : Attendo, quos angulos faeiant contiguos cum tribus jam notis locis A , B , C, eosque ad lineam mediam B G utcumque sumptam utrimque adjungo, velut F et E. Mox per tria semper puncta A F B vel BEC circulos duco, et ubi se ambo sécant, ut in H, locum quaesitum repono, quia angulos per totam circumferentiam omnes ad eandem chordam aequales esse docet Euclides.“

Im 18. Jahrhundert haben sich verschiedene Gelehrte mit der Aufgabe beschäftigt:

1. Lambert, „Beiträge zur Mathematik 1765“, I, p. 72; 2. Delambre, „Méthodes analytiques 1799“, p. 135; in Cagnoli, „Trigonometrie 1786“, p. 467; 3. Kästner, „Geometrische Abhandlungen 1790“, I (Mathematische Anfangsgründe I., 3. Abt.), S. 4, 406; 4. Yan Swinden, „Meetkunde, Amsterdam 1790“, blz. 354, 2. druk 1616, blz. 424, mit einer Auflösung von ihm selbst von 1772 und einer älteren von Ypey, übereinstimmend mit der von Collins. Zitate Burckhardt usw. haben wir schon in § 82 S. 350 gegeben, was hier zuzuziehen ist.

§ 85. Rückwärtseinschneiden mit zwei Punkten.

Außer dem einfachen Rückwärtseinschneiden eines Punktes, das wir in § 82 bis § 84 behandelt haben, gibt es auch noch andere Formen, in welchen zwei Punkte, zwischen welchen unter sich zusammengesehen werden kann, gemeinsam rückwärts eingeschnitten werden können. Wir werden zwei solche Fälle im folgenden behandeln.

I. Rückwärtseinschneidm mit zwei Nachbarpunkten.

Eine praktisch brauchbare und auch theoretisch ansprechende Erweiterung des gewöhnlichen Rückwärtseinschneidens erhält man nach Andeutung von Fig. 1 S. 366 folgendermaßen :

Es sind drei Punkte A, M, B fest gegeben, wir nehmen an, durch ihre rechtwinkligen Koordinaten, aus denen dann auch alle Entfernungen und Richtungswinkel zwischen diesen drei Punkten berechnet werden können.

Es ist nicht gelungen, einen Punkt (in der Gegend von P und Q) zu finden, von welchem aus man alle drei gegebenen Punkte A, M, B (etwa Kirchtürme) zusammen sehen könnte, so daß gewöhnliches Rückwärtseinschneiden über A MB möglich würde; aber man hat zivei Punkte P und Q erkundet, zwischen welchen zusammengesehen werden kann, und von denen die Sichten PA und PM einerseits, sowie

Setzen wir die beiden unbekannten Winkel bei A und B bzw. = Cf und xp, so haben wir sofort deren Summe :

g) -f-1p = 540° — (y a 4- Ó' 4- e + ß) ■ Dann die Sinusbeziehungen in den drei Dreiecken: a

—— sin er sin a

sin Ö

Fig. 1.

Bf

1/

•o

Q 31 und Q B anderseits möglich sind, so daß die vier Winkel a, e, Ö, ß gemessen werden können.

Es ist klar, daß die Punkte B und Q dadurch relativ gegen A, B, 31 geometrisch bestimmt sind, und auch die trigonometrische Bestimmung läßt sich ganz ähnlich wie bei dem einfachen Rückwärtseinschneiden machen.

Aus den Koordinaten von A, 31, B hat man als Vorbereitungsrechnung :

ym—ya

tang ( A. 31) — tang (B M) = ym~yb

Xm — Xa

Xm — Xb

y — {A M) — (B M)

a ym — y a ___

sin (.A M) — cos (A M)

-, ym — y b X>n — Xb

’ J    sin (B M)    cos (B M)

Xm — Xa

U)

t sin s '

sin cp __b sin a sin Ö

sin xp a sin ß sine

Daraus wie beim gewöhnlichen Rückwärtseinschneiden (§ 82 S. 349):

qp — xp tang —

Man setzt:

= tang

cot g u .

(5)

ct±J± cotg (H -j- 45°),

(6)

also qp und xp aus (2) und (6), und dann ist alles durch die drei einzelnen Dreiecke vollends bestimmt. Man wird jedenfalls s und t aus (3) berechnen und dann zur Probe :

(7)

s    t

u = —.—- sin (Ö -t-(■) = -.    - sin (ö 4 f ).

sin o    sw    e

Man hat auch alle Winkel bei 31:

xp’ = 180° — (ß 4 xp).

cf! = 180° — (a 4 Cf)

Dann die Richtungswinkel:

{MB) =    (MA)    — cf'    .    (MQ)    =    (M B)    4-    tp’

(B Q) =    (B M)    4    ,    (Q B)    =    (Q M)    -    Ö

und die Koordinaten:

yq = yp 4- U sin (B Q) xq = Xp 4 w cos (B Q)

yP —ym-h s sin (M B) Xp = Xm 4- s cos (M B)

yq = y m-ht sin (M Q) Xq = Xm + t COS (31Q)

§ 85.

Rückwärtsemschneiden mit zwei Punkten.

367

Außerdem kann man die Koordinaten auf dem Wege A P und B Q berechnen, so daß man mehr Proben hat, als man für gewöhnlich braucht.

Man kann die ganze im vorstehenden beschriebene trigonometrische Rechnung auch in ein Formular bringen, das dem gewöhnlichen Rückwärtseinschneide-Formular so nahe verwandt ist, daß wir die neue Rechnung ins alte Formular (§ 83 S. 353) durch einige Übergreifungen der Schrift über die vorgedruckten Spalten hineinbringen konnten.

Ein Zahlenbeispiel, welches ungefähr der vorhergehenden Fig. 1 S. 366 in ihren Verhältnissen entspricht, ist folgendes („Zeitschr. f. Venu. 1894“ S. 450) :

M — 43432,68    74370,26

A — 46703,92 H- 75273,97

M- 43432,68 + 74370,26 B - 41062,82 + 75002,83

— 2369,86 +    632,57

-+• 3271,24 —    903,71

logb = 3.389668

log a = 3.530683 (AM) = 105° 26' 36" (BM) = 255    3 18

y = 210° 23' 18".

Gemessen seien:

= 58° 17' 40" =81    2 34

Oft «•%

e + fl = 143° 14' 47"

05 WC

O

t>- CM CO o

ł—*■ h-LO OJ

0"

y+a+Ö+ß+ e = 449° 12' 32" <jp -4- ip — 90 47 28

+ f. = 139° 20' 14"

nacli den Formeln (o) und (6):

ß + Ö = 99° 29'

u = 47° 43' 34"

9>—V ₌

2° 45' 50"

Cf = 42 37 54

ip —    48    9 34.

Alles übrige nach den angegebenen einfachen Formeln (3), (7) und folgende: hg s = 3.431646 logu = 3.261866 logt = 2.479564 bis zu den Schlußkoordinaten: yp = — 44632,69 xp = + 71949,63 | yq = — 42888,89 xq = + 71402,75 .

Man könnte die vorliegende Aufgabe auch noch mehr erweitern durch die Annahme von mehr als zwei Punkten P, Q, also etwa P, Q, B, welche alle die Sicht nach M gestatten und unter sich verbunden sind. Zu erinnern ist hier auch an die Mareksche Aufgabe, bei welcher sicei Punkte P und Q unter sich sichtbar, die Sichten P A und P M einerseits und Q N und Q B anderseits nach vier festen Punkten A, M, N, B gehen, so daß unser Rückwärtseinschneiden aus Mareks Aufgabe hervorgeht, wenn M und N zusammenfallen. (Vgl. Fig. 2 S. 368.)

Bleiben wir aber bei unserer Bückwärtseinschneide-Aufgabe, mit zwei Punkten P , Q und drei Festpunkten A , M, B, so mag die Frage nach dem praktischen Auftreten der Aufgabe erwogen werden.

Uns kam der Fall mehrfach vor beim Erkunden von Standpunkten zur Stadttriangulierung. Man hat in einer gewissen Gegend drei Kirchtürme A,M,B sichtbar, ohne sie doch auf einem Punkt zusammenbringen zu können, wegen örtlicher Hindernisse; dann kann diese Aufgabe aus der Not helfen. Allerdings ist hier zunächst keine Probe, ohne welche doch ein guter Anschlußpunkt für Züge nicht gern genommen wird; allein es kann sich ereignen, daß z. B. in der Nähe von A noch ein zweiter Turm oder sonstiger Hochpunkt A' sichtbar ist, aber so ungünstig, daß man P aus A' A und M nicht rechnen will, dann mag nach Bestimmung des Punktpaares P, Q auch der Kontrollpunkt A! (oder entsprechend AT, B') gut auszunützen sein.

Ein anderer Umstand kommt oft hinzu; es ist die Entfernung PQ so klein, daß sie gut wie

eine Polygonseite mit Latten gemessen werden kann. In diesem Falle werden die Gegenseitigkeitswinkel ö und £ durch die Exzentrizitätstehler beeinträchtigt; wenn man aber besonders scharf (auf I Millimeter) zentriert, so mag die Messung doch gut werden, und wenn dann zuerst die zwei Punkte P und Q nach obigem Verfahren rein trigonometrisch bestimmt sind, und dazu die Entfernungsprobe PQ genügend stimmt, so ist das Ganze als eine gute Bestimmung zu betrachten, welche ohne die neuen Betrachtungen unbenutzt geblieben wäre. Dann kommt aber noch etwas hinzu: Nachdem P und Q ohne Benützung der Entfernung PQ trigonometrisch zusammen über A,3f,B rückwärts eingeschnitten sind, so daß die Entfernungen Q M und QB bekannt geworden sind, kann man auch den Winkel ß von Q auf P in üblicher Weise zentrieren, also dann nochmals P aus A , M und B in gewöhnlicher Weise rückwärts einschneidend berechnen.

So lassen sich viele Kombinationen machen, aus denen hervorgeht, daß die Aufgabe des Rückwärtseinschneidens mit zwei Punkten eine nützliche geodätische Aufgabe ist.

II. Zweifach gegenseitiges Bückwärtseinschneiden. (Fig. 2.)

Es sind vier Punkte A, B, A', B' gegeben. Zwei andere Punkte P und Q liegen so, daß man zwischen denselben zusammensehen kann, und daß von dem einen Punkte P zwei der gegebenen Punkte A und B, und von dem anderen Punkte Q die zwei anderen Punkte A' und B' sichtbar sind.

Man mißt in P die zwei Winkel APQ — ß und Q PB = a.

Ebenso mißt man in Q die zwei Winkel B'Q P — y und PQ A' = Ö.

Man soll daraus die beiden Punkte P und Q bestimmen.

Fig. 2.

(Maßstab 1 : 100 000.)

A'/ \

Pp-fe-.. / Vu

\ ?•    r---:pA

\    / yu

'A

/t’\

\fti

\/A-

B'

Um die Aufgabe zunächst durch geometrische Konstruktion zu lösen, beschreibt man um A B P und uni A' B'Q je einen Kreis; \ die beiden Kreise schneiden J die Gerade P Q in den Ol Punkten P' und Q'. P' wird auf dem Kreis um A P B bestimmt durch die Bezie--

a' = 180° — «

Ähnlich verhält es sich bei Q', nämlich :

/ = 180° — y

, ß' = 180° — ß.

hungen :

(9)

Ö' = 180° — ö.

(10)

Dadurch ist auch die Koordinatenrechnung vorgeschrieben:

Man berechnet die Koordinaten von P' aus den Koordinaten von A und B und mit den Winkeln «! und ß' nach der Grundaufgabe der Triangulierung (§ 74); in gleicher Weise berechnet man die Koordinaten von Q'. Aus den Koordinaten von P' und Q' erhält man den Richtungswinkel (P ' Qr), und damit ist auch das Dreieck AP' P oder BP' P bestimmt, und man kann die Koordinaten von P berechnen.

Entsprechend wird auf der andern Seite auch Q bestimmt.

Folgendes Zahlenbeispiel entspricht ungefähr den Verhältnissen von Fig. 2.

Gegebene Koordinaten :

Punkt    A    ya    =    — 1902,42

*    B    ijb    =    — 2917.44

n    A    ya    —    2814,33

„    B’    yb'    =    + 1627,49

xa — -1- 6782,72 Xb = -h 4362,81 xa' = -h 6428,78 xb' = -f 4702,81

Gemessene Winkel:

ß = 132°

«.= 188

Nach (9)    und    (10)    hat    man    hieraus:

I - Ci

8"

42

ö = 138° 9' 12 y = 184 7 32

(12)

4^

tO Üi H o

^ Ot 04

o bo q

OO

(13)

180° 0'

0"

180° 0'

0"

Aus den Koordinaten (11) berechnet man: hg B A = 3.418 990 (B Ä) = 22° 45' 19"

lof/A'B’ = 3.321 112 (A‘ B') = 214° 30' 50"

Nun kann man mit (13) und (14) die beiden Dreiecke A BP' und A' B' Q' vollständig berechnen, man findet die Koordinaten von P' und Q' :

!•

(14)

yp = — 3656,08 xp' = + 5949,78

yq = 4- 3089,82 xq' = + 5057,65 . Hieraus Richtungswinkel und Entfernung von P' nach Q' :

(P'Q')=(PQ)

hg P' q = 3.382 805

Winkel p = 32° 56 25"-„ p' = 57 30 26 .

Die übrige Rechnung geht nach dem angegebenen Weg und ohne Schwierigkeit, und gibt schließlich die Koordinaten :

Punkt P yp — — 1089,03 , Q Vq — A-1176,12

Diese Aufgabe findet sich mit geometrischer Auflösung durch zwei Kreise in der „technischen Anleitung zur Ausführung der trigonometrischen Operationen des Katasters, im Aufträge des königl. ungarischen Finanzministeriums, verfaßt von J. Marek. Budapest 1815“, S. 269. Eine zweite Auflösung wurde von Hammer gegeben in „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 610—611.

Es ist hier auch zu zitieren „Zeitschr. f. Verm. 1900“ S. 565, 566.

xp= + 5610,29 xq =    5310,73 .

§ 86. Unzugängliche Entfernung.

In Fig. 1 sei die Entfernung AB — a gegeben und die Entfernung PQ = b gesucht; in A und B sind die vier Winkel n, ß, ß' gemessen. Dadurch ist das ganze Viereck AB Q P geometrisch bestimmt, also auch die Entfernung P Q = b gefunden, welche wir als Hauptunbekannte bezeichnet haben.

•Fig. 1.

.....b., a

Man kann die Aufgabe auch umkehren, indem man die Entfernung P Q = b als gegeben und A B = a als unbekannt nimmt ; es ändert sich dadurch die Sache nicht wesentlich und einzelne der nachfolgenden Auflösungen gestatten auch geradezu die analytische Umkehrung in diesem Sinne.

Das Viereck, um welches es sich bei unserer Aufgabe stets handelt, muß nicht notwendig die ą Form von Fig. 1 haben; häufig hat man statt dessen die Form der nachfolgenden Fig. 3 S. 371, Fig. 5 oder Fig. 6 S. 374, wobei die

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

iS \p

r'\

pW

a und b von Fig. 1 in die Bedeutungen von Diagonalen übergehen. Wir werden sehen, daß das am Wesen der Aufgabe nichts ändert. So einfach auch diese Aufgabe im Prinzip ist, so hat sie doch wegen der mannigfaltigen Formen, in welchen man sie auflösen kann, im Laufe der Zeit in der geodätischen Literatur sich bemerklich gemacht.

I. Auf lösung mit Koordinaten.

Dem Trigonometer, welcher mit Koordinaten zu rechnen gewöhnt ist, wird als allererste Auflösung sich die Koordinatenrechnung von P und Q darbieten, insbesondere dann, wenn ohnehin schon A und B in Koordinaten gegeben sind. Da man aber unter allen Umständen für A und B ein beliebiges Koordinatensystem annehmen kann (z. B. xa = 0 , ya = 0 , yb = a , Xb = 0), so kann man mittels der Winkel </., ß mit y = 180° — (a -h ß) nach der Grundaufgabe der Triangulierung § 74 oder nach § 81 die Koordinaten von P berechnen, und ebenso macht man es mit den Koordinaten von Q aus dem Dreieck A B Q. Hat man aber die Koordinaten von P und von Q, so hat man daraus auch die Entfernung P Q — b, sowie den Richtungswinkel (P Q), kurz alles, was in dem ganzen Viereck AB Q' P irgend wünschenswert ist.

Diese Koordinatenlösung halten wir praktisch für die beste und haben dieselbe bei Zentrierungen mehrfach angewendet. Z. B. bei der Zentrierung Hochschule in § 78 Fig. 7 S. 326 war B T = e die unzugängliche Entfernung, welche auf der Basis (1) (2) = 166,693 auch die Dreifaltigkeitszentrierung (§ 78 Fig. 10 S. 330) ist im wesentlichen auch nichts anderes als eine vierfache Anwendung dieses Gedankens.

nv

in der vorhin beschriebenen Weise bestimmt wurde; und

II. Lösung, unmittelbar goniometrisch.

Wenn in Fig. 2 die vier Winkel 1, 2, 3, 4 gemessen sind, so sind auch die zwei Winkel 8 und 5 als Ergänzungen auf 180° bekannt, indem l-ł-2-t-3 + 8 = 180°

und 2 + 3-t- 4 + 5 = 180°, und wenn man dann einen der Winkel 7 und 6 erlangen kann, so sind alle Dreiecke geschlossen und: man kann nach dem Sinussatze weiter rechnen.

Fig. 2.

J)

sin (6 + 1) __ sin 8 sin (3 + 4) sin 6 ' sin 3 sin 5

Die in Sinusprodukten sich ausdrückende Seitengleichung für den Zentralpunkt A ist: sin (7 -+- 8) sin 5 sin 3 = sin 6 sin 8 sin (3 -+- 4), dabei ist sin (7 + 8) = sin ( 1 + 6), also: sin 6 cos 1 + cos 6 sin 1

oder

sin 6

_ sin 8 sin (3 + 4) A cot g 6 = -cotg 1 + ^ j

man

Diese Gleichung gehört zu dem Zentralpunkte A und ganz ebenso bekommt für die anderen Ecken als Zentralpunkte:

B cotg 7 = — cotg 4

sin 5 sin (1 + 2)

sin 2 sin 4 sin 8

C cotg 6 = — cotg 5 +

sin 4 sin (1 + 2)

sin 1 sin 3 sin 5

I) cotg 7 = — cotg 8 -4

sin 1 sin (3 + 4) sin 2 sin 4 sin 8

Aus diesen vier Gleichungen A, B, C, I) kann man also die \\ mkel 6 und 7 mit Proben bestimmen (vgl. hierzu auch § 82 S. 350).

Diese einfachen Auflösungen wurden mitgeteilt von Lindemann und Firmenieh in „Zeitsehr. f. Verm. 1879“ S. 196, 254 und 1880 S. 58.

III. Auflösung mit Hilfsdreieck.

Wenn man in Fig. 1 S. 369 die zwei Dreiecke AB P und A BQ mit ihren Winkeln auf der Basis AB = a nach dem Sinussatze auflöst, so hat man die beiden Seiten B P — p und BQ = g und bei B den Winkel I* I! Q = ß' — ß; man kann also das Dreieck P B Q aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel nach den Mollweideschen oder Neperschen Gleichungen auflösen:

qp + tp = 180° — (ß' — ß)

b sin —= [g — p) sin — ~ ~

— —

<jp —ty ,    ,

T ₂    =(q + p) cos

h cos

cp + w

“2

tang ? ₂ ^    tang ^ .

(1)

Diese Gleichungen gelten für Fig. 1 S. 369 :

Wir wollen die Anwendung davon auf die nachfolgende Fig. 3 machen, welche •einem praktischen Beispiel mit Koordinaten angehört.

Folgendes sind die Koordinaten aller vier Punkte :

K + 37 855,30 + 6620.10 73 + 39 082,60 + 1551,00 gegebene Punkte

P + 39 041,04 + 3411,86 Ma- 40 158,68 -h- 5049,34 gesuchte Punkte

(2)

Gemessen sind vier Winkel a, y, u , y’, aus denen sofort auch ß und ß' als Ergänzungen auf 180° gefunden Ä werden, so daß wir als gemessen bzw. für die Aufgabe als

VK

gegeben zu betrachten haben :

Fig. 3.

54° 35' 57” |

cp + ip = 180° — (cf + y) = 72° 48' 23” qf + if/ = a + / — 180° = 19° 0' 15”

Es kann nun entweder P AI als gegeben und K B als gesucht betrachtet werden, oder umgekehrt KB als gegeben und P AI als gesucht. Da wir in (2) die Koordinaten von allen vier Punkten bereits angeschrieben haben, ist diese Wahl noch offen gelassen, und wir wollen uns nun dahin entscheiden, daß K und B gegeben und P und AI

gesucht sein sollen. Dann sind wir genötigt, für die Entfernung P AI eine Näherung einzuführen, welche schlechthin P AI = 1 sein könnte; wir ziehen es aber vor, eine aus dem Plane abgenommene Näherung einzuführen mit :

Näherung log P AI = 3.296 665    , P AI = 1980,00 .

Il II II

\\^

(3)

Ui

\ Y/

\rV/

rA i

Nun kann man mit dieser Näherung und mit den unter (3) angegebenen Winkeln die beiden Dreiecke PMK und PMB nach dem Sinussatze berechnen, wodurch man erhält:

Näherungen :

(5)

log PK = 3.533 512 PK = 3415,95 log PB — 3.269 264 PB = 1858,94

log MK = 3.444 733 MK = 2784,41 log MB = 3.562 935 MB = 3655,40

Damit rechnet man nach dem Tangentensatze der Trigonometrie: MB — M K

tang^ =

Diese in Verbindung mit

----    ~ tanaq) + ^

M B -+- M K2

v±l ₌

5° 41'42,4".

~2

36° 24' 11,5" von (3) gibt:

ip = 30° 42' 29" .

cp = 42° 5' 54"

In gleicher Weise berechnet man aus dem anderen Dreiecke PBK:

cp' = 6° 40' 25"

xp’ = 12° 19'50" ,

wobei die Proben cp — cp' — ß und ip — xp' — ß' bestehen. Nun kann man die Entfernung BK aus den beiden Dreiecken BMK und BPK nach dem Sinussatze berechnen, wodurch man findet :

(6)

Näherung log B K = 3.716 743 .

Anderseits endgültig aus den schon oben bei (2) mitgeteilten Koordinaten der Punkte B und K :

(6a)

endgültig log B K = 3.717 301 mit (.B K) = 346 ° 23' 23" .

Die Vergleichung von (6) und (6a) gibt:

(6b)

Verbesserung A log B K — + 0.000558 .

Diese Verbesserung ist an allen bisherigen Entfernungslogarithmen anzubringen, und da man durch Zusammensetzung aller Winkel g , ip , ß usw. mit dem Orientierungs-Richtungswinkel (BK) von (6a) nun auch alle Richtungswinkel angeben kann, haben wir in Zusammenfassung:

Tabelle aller Entfernungen und Richtungswinkel. log KB = 3.717301 (KB) = 166°23' 23"    log BP =    3.269822 (BP) =    358°43'    13"

logKM= 3.445291 (KM)= 124    17 29    logBM=    3.563493 (BM) =    17    5    52 (7)

log KP = 3. 34 070 (KP) = 159    42 58    log P 31=    3.297223 (PM) =    34 18    55.

Damit wird man auch die    schon bei (2) angegebenen Koordinaten    von P    und M

in Übereinstimmung finden, oder umgekehrt, wenn man die Punkte P und 31 als gegeben ansehen will, kann man nun die Koordinaten von K und B berechnen.

Es sei erwähnt, daß man die hier beschriebene Bechnung mit Einführung eines genäherten Wertes für eine Dreiecksseite auch anwenden kann, wenn zwei gegebene Punkte, wie z. B. KB in Fig. 3 S. 371, durch mehr als zwei Dreiecke miteinander verbunden sind.

TV. Lösung mit Hilfswinkel.

Eine ganz ähnliche Auflösung wie bei der Aufgabe des Rückwärtseinschneidens (§ 82), nämlich mit einem Hilfswinkel, kann man auch in unserem Falle machen.

\\ enn in Fig. 1 S. 369 die Winkel a , a , ß , ß' gemessen sind, so daß auch y und y' aus a -h ß -h y = 180° und a' + ß' -)- / = 180° bekannt sind, und wenn AB = a gegeben ist, so hat man aus den zwei geschlossenen Dreiecken auch die Seiten BP = p und BQ = q nach dem Sinussatze:

sin a' .

wurde :

Dazu hat man für die unbekannten Winkel Cf und ff»:

sin q>    ą    sin u sin y

s i n ff ; — p    sin a s in y '

Nun führt man wieder einen Hilfswinkel ein:

q ' sin a sin y p sin a sin y

Dann wird ganz ebenso, wie beim Rückwärtseinschneiden § 82 S. 349 gezeigt

•2

90°

ß'~ß

und

== cotg u .

(8)

tang ^ ₉    = tang

cotg (u + 45).

(8a)

Aus    und — - ^ hat man q und ff» selbst, und dann kann das ganze

u    Ł

Viereck vollends nach dem Sinussatze berechnet werden.

V. Allgemein gültige Formeln.

Alle unsere bisherigen Lösungen der vorliegenden Aufgabe sind bei der Berechnung an eine bestimmte Figur gebunden. Bei sehr häufigem Vor kommen einer solchen Aufgabe liebt man allgemein gültige Formeln, welche für jede denkbare Figur gelten, -ähnlich wie bei der Aufgabe des Rückwärtseinschneidens (§ 82).

So dringlich wie in jenem Falle ist das Bedürfnis allgemeiner Formeln (nach •denen man ein Formular drucken kann) für die vorliegende Aufgabe nicht, indessen ist es doch eine nicht undankbare Arbeit, die Auflösung von möglichst allgemeinem Gesichtspunkte zu betrachten.

Wir fanden, daß eine allgemeine Auflösung möglich ist, wenn man zuerst über die Numerierung der Punkte selbst und dann über die Zählung der gemessenen Winkel allgemeine Bestimmung trifft:

Wir bezeichnen die zwei zu bestimmenden Punkte, auf welchen die Winkelmessung stattfindet, mit P₁ und P₂, und die zwei gegebenen (unzugänglichen) Punkte mit P₃ und P₄, und zwar soll P₃ derjenige Punkt sein, welcher beim Drehen des .Strahls l\ P₂ um 1\ von links nach rechts zuerst getroffen wird. Diese Bezeichnungen sind in Fig. 4 und Fig. 5 (S. 374) eingeschrieben, während in Fig. 6 nur die Nummern 1. 2, 3, 4 stehen, welche den genannten 1\ , P₂ , P₃ , P₄ entsprechen; wir werden ■auch im    folgenden    teilweise    nur    1    ,    2    statt    P₄, P₂ und    (1, 2) statt    (P₄ , P₂) usw.

schreiben.    Die    gemessenen    Winkel,    konsequent von links    nach    rechts    gezählt, seien:

1\ P₂ P₃    oder    1,2,    = ß

1\ A P₄    »

P₂ 1\ P₃ oder

1\ I\ »

auch bezeichnen wir die zwei Hauptentfernungen: P₄ P₂ = 1 , 2 = I)

DO DO

CO

1,2,

= ß\

P₃ P₄ = 3,4 = J.

Diese Bezeichnungen sind in Fig. 4, 5, 6 eingeschrieben. Eine wesentlich andere Gestalt des Vierecks ist nicht denkbar; Fig. 6 ist symmetrische Umstellung von Fig. 5, und es ist in Fig. 6 zu beachten, daß — a' die Bedeutung von 360° — d hat, ebenso — ß = 360° — ß , — q = 360° — <p und — tp = 360° — xp.

Fig. 5.

Fig. 4.

Fig. 6.

Pt

P,

n .4—X.

W •- ” ■■

-cp

oC

p.

- cx D

KAI

Pz

P,

c<’

'cx

-ß

T,

Wenn man nun alle Vorzeichen und Quadranten usw. richtig behandelt, so wird man sich überzeugen, daß den drei Figuren 4, 5, 6 nach der im wesentlichen schon bei (8) und (8a) gegebenen Theorie folgende Gleichungen gemeinsam entsprechen: cp -+- ip = 180° — («' — «).

(9>

Man setze:

sin (ß a) = m

TjQ

s in (ß¹ — a)

und

dann ist:

tang

cp — ip

sm cp    m

- = - = cote) Li

s m ip    n

= tang

sin ß'

(10>

COÜJ (pi -f- 45°) .

(11>

Damit sind die Winkel <p und ip bestimmt, worauf sich alle Entfernungen nach, dem Sinussatz berechnen lassen.

Wenn die Entfernung 3,4 = M nicht unmittelbar, sondern durch die Koordinaten der Punkte 3 und 4 gegeben ist, und wenn auch nicht bloß die Entfernung 1, 2, sondern auch die Koordinaten der Punkte 1 und 2 zu bestimmen sind, so hat man außer den vorstehenden Formeln (9)—(11), welche im wesentlichen zur Bestimmung von <p und ip dienen, noch folgende Formeln anzuwenden:

oi _ a _ ż/4 — 2/3 ₌ x4 ~ ‘r3

sin (3, 4) cas (3,4)

A sin <p sin (a — a)

Entfernungen

tang (8, 4) = !>A —— x₄ — xs

A si n ip

sin (tc — u)

3,1 =

4,1 =

1, 2 = -D = m X 3,1 = n X 4, 1 s in a

sin (ß ± 180°) sin a

3, 2 = 3,1

A sin v

(12)

(13)

(14)

4, 2 = 4.1

sin (ß'± 180°) Richtungswinkel (3,1) = (3, 4) -t- cp „    (4,1) = (4, 3) ip

sin (ß' — «' — ip)__ sin (ß¹ — ß) ~ sin (ß — a + q + 180°) _ sin A sin u sin iß' — ß)    ~ sin (ß'— ß)

(3,2) = (3, l) + (0-«)± 180° I (4, 2) = (4,1) + (ß' — «’) ± 180° |

sin {ff—ß)

(15)

(16)

Nachdem somit die vier Entfernungen 3,1 , 4,1 , 3, 2 , 4, 2 und die zugehörigen Richtungswinkel (3,1), (4,1) usw. berechnet sind, kann man die Koordinaten der Punkte 1 und 2 je zweifach bestimmen, wofür wir die Formeln (nach § 69 S. 274) wohl nicht besonders anzuschreiben brauchen. Nachdem die Koordinaten Xy y y und y% der Punkte 1 und 2 berechnet sind, hat man noch die Entfernungsprobe:

1, 2 = D = Vü/i — Z/2)² ~b (xy — Æ2)² •

Der Hilfswinkel u, welcher in Gleichung (10) durch cotg 11 zweideutig bestimmt

(jp—xp

muß

ist, ist willkürlich (als positiver oder negativer spitzer Winkel) zu wählen.

in (11) so gewählt werden, daß nachher I) in Gleichung (14) positiv wird, womit von selbst auch die übrigen Entfernungen positiv werden.

Besondere Fälle.

Wenn einer der zu bestimmenden Punkte 1 oder 2 in die Gerade der beiden gegebenen Punkte 3 und 4 fällt, so nenne man ihn 2, dann wird der zweite Ausdruck (15), die Entfernung 3,2, welcher sonst eine Rechenprobe liefert, unbestimmt, im übrigen ändert sich nichts. Wenn einer der gegebenen Punkte 3 oder 4 in die Gerade der zu bestimmenden Punkte 1 und 2 fällt, so versagt die oben bei Fig. 4—6 S. 374 angegebene Regel über die Wahl der Benennung 3 oder 4; man nenne dann diesen Punkt 4, damit nicht die erste Formel 115) für 3,2 unbestimmt werde.

Nach den vorstehenden Bezeichnungen und Formeln kann man ganz mechanisch rechnen; man kann auch ein Schema drucken, welches für alle denkbaren Zahlenwerte paßt, und wir haben ein solches ausgefülltes Formular in unserer früheren 2. Aufl., 1. Band 1877, S. 325—326 gegeben. Indessen das Bedürfnis eines solchen allgemeinen Formulars ist kaum vorhanden; zumal die Auflösung mit Koordinaten in dem Sinne, wie wir oben bei I S. 370 angegeben haben, in den meisten praktischen Fällen den Vorzug verdienen wird.

Wenn wir also nun ein ganz ausgefülltes Formular nicht mehr geben, wollen wir doch die Hauptelemente eines Zahlenbeispiels, welches Hansen im 18. Bande 1841 der „Astron. Nachrichten“ S. 165—171 gegeben hat, hierher setzen, wozu eine Figur in zweifacher Weise bereits gegeben ist in Fig. 5 und Fig. 6. Es ist nämlich Fig. 6 mit -+- x nach Norden und -4- y nach Osten, und Fig. 5 dieselbe Aufzeichnung mit -+- x nach Süden und -+- ij nach Westen, d. h. Fig. 5 hat das Koordinatensystem Fig. 2 S. 271, und Fig. 6 hat das gewöhnliche Koordinatensystem Fig. 1 S. 271.

Die nachfolgenden Zahlenwerte sind nicht in der Reihenfolge ihrer Entstehung, sondern symmetrisch gruppiert.

CO

Gegebene Punkte : y₄ = — 1341,53 yS = - 1198,31

*♦= + 310,57 x-i— — 313,34

i-H

Zu bestimmende Punkte: t/o = — 1206,41 yi = — 1662,93

&2 — -j— 39,05 x\ —— 0,80

Differenzen — 143,22

+ 623,91

+ 456,52

-f 39,85

(3,4)

log 3,4

3,4

347° 4' 18" log A = 2.806 273 A — 640,137

(1,2)

log 1,2

1,2

■ Gemessene Winkel: ct'= 320° 53’ 48"

38 55    0

ß’= 68° 31' 54" ß = 273    40 18

85° 0' 41"

log D = 2.661106

D = 458,254

Differenzen : ß' — a’= 107° 38' 6" ß — a = 234 45 18

Differenzen a'— a log m

281° 57' 48" ß' — ß— 154° 51' 36"

9.912 951    , log n = 0.010 324    , log cotg ß —9.902 627

<p -j- xp

129° 0' 36" ,

cp — xp

187° 50' 48" , <p = 316° 51' 24" , xp

301° 9' iS"

ii

11° 36' 42"

v — 166° 28' 18"

303° 55' 42" 358    41    0

(4.1)    = 225    54    30

(4.2)    = 153 32 56

(3,1)

log 3,1

*    3,2

*    4,1

Ti 4,2

3.1    = 559,958

3.2    = 458,254

4.1    = 447,487

4.2    = 303,283 .

Für die Anwendung der Rechenmaschine sei hier zitiert: „Zeitschr. f. Verm 1896“ S. 361—365, 1897 S. 649—661.

(3,2)

2.748155 2.547137 2.650 781 2.481848

§ 87. Pimktbestimnmng durch Gegensclmitt.

In Fig. 1 sind die drei Punkte A , B . C gegeben, und ein vierter Punkt P wird gegen dieselben festgelegt durch Messung des Winkels APB = a und eines Winkels BCP oder PCA, d. h. eines Winkels für die Richtung CP. Dieses ist eine Verbindung von Rückwärts- und Vorwärtseinschneiden, denn der Winkel a bestimmt den Kreis BP A, auf welchem P liegen muß, und der Strahl CP schneidet diesen Kreis in dem gesuchten Punkte P.

Ob und wie die Bedingungen dieser Aufgabe geodätisch verwirklicht sein mögen (z. B. warum die Sicht PC nicht auch vorhanden sein soll usw.), wollen wir vorerst nicht untersuchen, sondern zunächst die Auf-

Fig. 1.

vA°

Br É

du

gäbe in rein mathematischem Sinne behandeln, indem wir die drei Punkte A , C, B als durch ihre Koordinaten gegeben betrachten, wobei übrigens die Sichten CB oder (JA nicht notwendig vorhanden sein müssen, sondern allgemeiner betrachtet, ein Satz orientierter Eichtungsmessungen auf C, welcher den Richte sollen die

tungswinkel (CP) mit enthält. Mit Zuziehung des Winkels APB Koordinaten von P berechnet werden.

Man kann der geometrischen Anschauung des Kreises BP A mit dem Schnitte CP auch unmittelbar durch Rechnung folgen in folgender Weise:

Man berechnet aus den Koordinaten der drei Punkte A , B , C die Richtungswinkel und die Längen der drei Seiten AB , CB , CA, und dann hat man auch den Halbmesser r des um A B = 2 s mit dem Peripheriewinkel a beschriebenen Kreises, nämlich :

AB __ 2s sin a sin <x

oder r = S— sin a

= s c°tg -£— r

ß

e = 90°— ix oder auch tanga = — oder sina =

Die Koordinaten von I) hat man als arithmetisches Mittel zwischen den Koordinaten B und A. und da die Richtungswinkel (DO) = (AB) + 90° . (BO) = (BA) —a, (AO) = (AB) -+- a und alle Entfernungen DO = e , BO = AO = r bekannt sind, so kann man auch die Koordinaten des Kreismittelpunktes O auf drei Wegen berechnen.

2r =

(1)

D O = e = s cot g u oder auch

(2)

und

(3)

Nun bildet man das Dreieck OGP, indem die Entfernung CO und der Richtungswinkel (CO aus den Koordinaten von C und 0 berechnet werden, und da der Richtungswinkel (CP) aus den Messungen bekannt ist. hat man auch den Winkel ß bei C als Differenz und dann Ö aus dem Sinusverhältnis:

OC

ß = (CO) — (C P) und sinÖ = —- sin ß ,

(4)

ferner

OC

y = 180° — (ß + Ö) , C P =    ^ sin y

Richtungswinkel (OP) = (OC) -+- y .

(5) und (6)

(?)

Dann kann man die Koordinaten von P auf zwei Wegen berechnen, nämlich von C aus mit CP und dem von Anfang an gegebenen (CP), oder von O aus mit OP = r von (1) und mit (OP) von (7). Als Schlußprobe kann man auch noch die beiden Richtungswinkel (PA) und (PB) aus den Koordinaten berechnen und zuselien, ob deren Differenz (P B) — (P A) den gemessenen Winkel a wiedergibt.

Wir nehmen hierzu ein Zahlenbeispiel, nach den Verhältnissen von Fig. 1 :

A    — 12 933,28    -f- 34    028,32

Gegebene Koordinaten

(8)

(9)

(10)

B    — 17 464,12    +33    001,92

C    — 16 500,84    Hh 31    547,88

Gemessen ist der Winkel in P :

APB = a = 69° 33'42"

und durch einen orientierten Abriß in C wurde bestimmt:

Richtungswinkel (CP) — 3° 17' 36" .

Aus den Koordinaten von A und I! berechnet man:

(BA) = 77° 14' 9" , log BA = log 2 s = 3.667 046 , log 8 = 3.366016

dazu nach (1):

V —7---

sin a

log r = 3.394254 , r = 2478,87

e = 865,62 , « = 20° 26'18".

nach (2) und (3):

Weiter die Koordinaten von D und dann von O : ya = — 15198,70 xd =+ 33515,12 \ y₀ = — 15389,95 x₀ = + 34359,35.

Im übrigen nach den angegebenen Formeln:

(BO) = 56°47' 51" , (DO) = 347° 14'9" , (AO) = 277°40'27", (CO) = 21°83' 37" . Dazu mit (10): (CO) - (CP) = ß = 18° 16' 1" log CO = 3.480436 .

Die weitere Berechnung des Dreiecks COP gibt:

ß = 18° 16' 1" , ö = 22° 28' 22" , y = 139° 15' 37" , log CP = 3.712 757 .

Dann vollends die Koordinatenberechnung für P doppelt,

(11)

yp = — 16 204,33

= + 36 700,63 .

Hiermit zur Probe:

(PA) = 129° 14' 50" , (PB) = 198° 48' 32" , (PB) — (PA) = 69° 33' 42" = « . (12) Dieses stimmt mit dem gemessenen a nach (9) und damit ist die ganze Rechnung nach allen Beziehungen versichert.

Nach dieser geometrisch geleiteten Auflösung wollen wir auch noch eine analytisch-goniometrische Lösung vornehmen, und überzeugen uns zuerst, daß man das

Damit hat man cp aus (16), und da xp — a — cp ist, hat man alle Dreieckswinkel in Fig. 2, man kann also d nach (14) mit Probe ausrechnen, oder kurz, es ist alles auf gewöhnliche Rechnung zurückgeführt. Das Doppelzeichen in (16) hat seinen natürlichen Grund darin, daß nicht bloß der Punkt P in Fig. 1 S. 376, sondern auch der andere Schnitt zwischen der Geraden C P und dem Kreise A B P den analytischen Bedingungen genügt; welche von den beiden Lösungen (16) im praktischen Falle die richtige ist, wird sich durch den Augenschein erledigen ; z. B. in dem Falle der Fig. \ ist der Wert cp, welcher zu P gehört, kleiner als 90°, also cotg cp positiv.

Um das frühere Zahlenbeispiel (8), (9) und (10) nun auch mit den Formeln (13)—(17) zu behandeln, rechnen wir zuerst aus den Koordinaten (8):

(CB) = 326° 28' 34" , (BÄ) = 77° 14' 9" , (CA) = 55° 11' 24"

log CB — 3.241 590

log CA = 3.638 002.

Hierzu beobachtet, nach (10): (CP) — 3° 17' 36", also BC P = (CP) — (CB) = 36° 49' 2" ,    PC A = (CA) — (CP) = 51° 53' 48"

nach (13):

nach (17) : log A = 0.497 429 , log B — 9.541 803« , log C = 0.146 517«

Dreieck BAC von Fig. 1 S. 376 durch eine vorbereitende Rechnung so beseitigen

kann, daß nur noch das Dreieck AB F mit der Transversalen EP vorhanden ist, denn

BC n = —— sm Tj

man hat:

BE =

Fig. 2.

AC sin rj

der hierzu nötige Winkel rj, ebenso wie auch die Winkel B GE und EC A werden als Differenzen der betreffenden Richtungswinkel erhalten.

Nun haben wir aus Fig. 2 :

sin BCE und AE = m —

sin EGA,

(13)

, n . .

— (sin ?i cotg cp + cos rj) = sin rj cotg xp — cosr] (15) xp = a — cp gibt : cotg xp —

sin cp

sin (rj + cf) (14)

cotg a cotg cp -t-cotg cp — cotg a

Dieses in (15) gesetzt gibt eine quadrati-A gehe Gleichung für cotg cp, nämlich :

— B ± ym -440 ~~2A

worin die Koeffizienten A, B und C folgende Bedeutungen haben:

■'I

A cotg² cp -+- B cotg cp ■+ C = 0

cotg <pi =

(16)

sm ij , j-fg + l)

\n ) sin a

^ -+-1 j cos t) cotg a -f sin rj. (17)

7] = (BÄ) — (CP) = 73° 56' 33" log n = 3.036 492 , log m = 3.551 204

cotg cp =

+ 0,348179 + 4,212036

6,28723

<p = 54° 2' 46".

(18)

das obere Zeichen gibt

Dieses ist der in unserem Falle praktisch gültige Wert, er stimmt mit dem früheren (PC) — (PH) ~ 54°2'46" aus (10) und (12), weshalb auch die Weiterrechnung bis zu den Koordinaten von P mit den früheren stimmen muß.

Man bekommt aus den beiden Dreiecken BCP und AGP: hg BP = 3.591 885 (BP) = 18° 48' 32" damit kann man auf drei Wegen die Koordinaten von P berechnen: y = — 16204,33 , x == + 36700,63, in Übereinstimmung mit dem früheren (11).

lo(jCP= 3.712 757 (CP) = 3° 17'36"

log AP = 3.625 710 (AP) = 309° 14' 50",

Obgleich eine häufige Anwendung einer solchen Punktbestimmung durch „Gegenschnitt“, wie man diese Aufgabe nennen kann, nicht zu denken ist, so ist doch deren praktische Nützlichkeit nachweisbar. Der erste Einwand gegen die Aufgabe wird in der Frage bestehen: wenn die Sicht CP möglich ist, warum dann nicht auch die umgekehrte Sicht PCI Allein solche Gegenseitigkeit ist ja bekanntlich oft nicht vorhanden.

Ein solcher Fall kam uns bei der Leine-Aller-Triangulierung 1890 vor: Der Punkt P war auf der Allerbrücke bei Ahlden, und es waren von P aus mehr als zwei Türme A und B sichtbar, aber bei der späteren Berechnung zeigte sich, daß dieselben alle zufällig so unglücklich nahe dem gefährlichen Kreis lagen, daß keine Auswahl auch nur hinreichend zu einer Näherungsbestimmung für nachfolgende Ausgleichung war. Hier kam nun ein Strahl CP, zufällig später von einem Punkte C aus nach einem Brückenpunkt P' genommen und auf P selbst zentrierbar, zu Hilfe; die erste Näherung für P wurde aus P A , PB und CP als Gegenschnitt berechnet, und dann wurden diese drei Strahlen PA , PB , CP zusammen mit noch anderen Strahlen PQ , PR usw. ausgeglichen, welche alle zusammen ohne CP eine schlechte Bestimmung von P gegeben haben würden.

Über einen anderen Fall der Anwendung dieser Aufgabe berichtet Heil „Zeitschr. f. Verm. 1901“ S. 647—650 und Soßna „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 365—369, 429—435 mit Anwendung der Rechenmaschine.

§ 88. Einschneiden mit fehlerzeigender Figur.

In den vorstehenden §§ 85—87 haben wir verschiedene außergewöhnliche trigonometrische Punktbestinnnnngen behandelt, welche in der laufenden trigonometrischen Praxis selten oder gar nicht Vorkommen; lim allgemeinen reicht man mit Vorwärts-einschneiden (§ 74 und § 81) und Rückwärtseinschneiden (§ 82—84) aus, um einen Punkt ohne überschüssige Messungen nach Koordinaten festzulegen.

Nach dieser Berechnung der Koordinaten eines Punktes aus den zu seiner Bestimmung mindest notwendigen Richtungen entsteht nun, wie schon aus § 80 S. 330 folgt (vgl. Fig. 2, 3, 4, 5 S. 339—341), in der Praxis die Aufgabe, die überzähligen trigonometrischen Messungen auszugleichen, eine Aufgabe, welche so umfassend ist, daß sie als eigenes Gebiet behandelt werden muß, und wir haben hierzu auf unseren ersten Band, „Handb. d. Verm. 5. Aull. 1904, zu verweisen, wo in Kapitel III § 87-100 die Punktbestimmung mit Koordinatenausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate behandelt worden ist.

Die Methode der kleinsten Quadrate hat sich für diesen Zweck allen anderen Methoden überlegen gezeigt, und der berufsmäßige Trigonometer hat sich darauf einzuarbeiten mit gedruckten Formularen, Hilfstafeln usw.

Allein es gibt doch noch ein anderes hierher gehörendes Verfahren, welches in einfacher Weise gestattet, alle vorliegenden Messungen einheitlich zu verwerten, wegen seiner Anschaulichkeit Vorteile bietet und noch viele Anhänger hat; das ist das Verfahren der fehlerzeigenden Figuren, mit welchem wir uns nun hier zu beschäftigen haben. Das Verfahren ist für manche trigonometrischen Bestimmungen brauchbar und empfehlenswert, besonders dann, wenn es sich weniger um eine strenge Ausgleichung aller Messungen handelt, als um eine anschauliche Anpassung der beobachteten Richtungen an die Koordinaten des Neupunktes, d. h. also, es nicht darauf ankommt, aus den Beobachtungen den wahrscheinlichsten Punktort abzuleiten, sondern ein solcher

Wert als genügend erachtet werden kann, welcher innerhalb der festgesetzten Fehlergrenze allen vorliegenden Beobachtungen entspricht. Das kann als zutreffend bezeichnet werden für die unterste Stufe der trigonometrischen Bestimmungen, vornehmlich für solche, welche nicht in erster Linie einer exakten Kleinmessung, wie besonders einer .Stadtvermessung, sondern tachymetrisch-topographischen Aufnahmen (Kap. XIY, XY, XVI, XVII) als Grundlage dienen sollen.

Fehlerzeigende Figuren zur Einschneideausgleichung sind zuerst in Baden durch Oberst Tulla eingeführt worden, wobei die fehlerzeigenden Figuren aus Seitendifferenzen aufgetragen wurden, wie in unserer zweiten Auflage, I. Bd. 1877, § 121 gezeigt worden ist. Wir werden hier zwei andere Methoden behandeln, nämlich Aufzeichnung der fehlerzeigenden Figuren nach Koordinatendifferenzen und nach Querverschiebungen. .(Quellenangaben werden am Schlüsse von § 89 nachfolgen.)

Fehlerzeigende Figur für Vorwärtseinschneiden.

I. Koordinatendifferenzen.

In Fig. 1 seien A, B. C, I) vier fest gegebene Punkte, mit folgenden Koordinaten :

A —44904,30 B — 39554,90

+ 15967,50 Hb 14032,80

C — 36479,40    + 16760,50

I) —39392,10    -f- 20170,80.

(1)

Zur Bestimmung von P sind Näherungskoordinaten erforderlich, als welche wir

.annehmen :

Näherung P bzw. O: y₀ — —41316,00

x₀ = + 17493,00

da)

Fig. 1. Maßstab 1 : 100 000 (1 cm = 1 km).

-90/

2\ö

92,

3\ii

Von den vier Punkten A. B, C, 1) aus ist der Neupunkt P vorwärts eingeschnitten dadurch, daß in diesen vier Punkten die in der Figur eingeschriebenen Winkel beobachtet und damit im Anschluß an die feststehenden Pichtungen (AB) (BC) (CI)) {1)A) die „äußeren Richtungen“ (§79) <p« Cpc Gpd durch eine Ausgleichung gewonnen und

aus dem „Abriß“ (§ 79) zu entnehmen waren. (Diese Ableitung für das Beispiel war in der 2. Anti., Bd. I 1877, S. 373 gegeben.)

Die vorliegenden äußeren Bichtungen sind:

(fn = 66° 58' 3"

Standpunkt A

AP = 3899 m

FL

Standpunkt B

<jpb = 333° 1' 50" BP — 3883 m

oo

Standpunkt C

cpc = 278 '⁰ 36' 59" C P = 4892 m Standpunkt I)

<pa = 215° 41' 44" DP = 3320m.

(4>

(5>

Fig. 2.

Nun betrachten wir in Fig. 2 die Gegend um den Neupunkt P von Fig. 1 S. 380, indem 0 der Näherungspunkt mit den schon unter (la) angegebenen Näherungskoordinaten xQ, i/q sein soll, wobei x₍₎, y₍₎ auf dm abgerundet angenommen werden. Wenn dabei AP (Fig. 2) dem Strahle A P von Fig. 1 entspricht, so betrachten wir die Schnittpunkte R und S dieses Strahles mit den durch 0 gezogenen Koordinatenrichtungen OXq und 0 Yq , wobei die Punkte R und S folgende Koordinaten haben:

Punkt R hat Koordinaten y und x₍₎ |

U0 n

Wenn nun xa,ya die Koordinaten von A sind, so hat man, wie aus Fig. 2 zu ersehen ist, für y und x die Gleichungen: y — y a + (xq — Xa) tany ęa und x = xa + (y₀ — y a) cotg ęa .

Xo_R

(6) A

Yo

lYo

Xa

(7>

Wir wollen dieses für den Strahl AP ausführlich ausrechnen. Die Anfangskoordinaten xa, yn und der Richtungswinkel qp« sind hierfür bereits unter (1) und (2) mitgeteilt, man hat daher folgende Berechnung :

Näherung 0 ;/q = — 41316,00 Punkt A

y a — — 44904,30

Xq = -t- 17493,00 Xa = + 15967,50

Differenzen //₀ — ya — -+- 3588,30

log {ijqi— yn) \ 3.554 889 (A P) = q>g = 66° 58' 3" log cotg ya [ 9.628 535

Xq — Xa — G⁻ 1525,50

log (xq — Xa) 3.183 412 log tang ęa 0.371 465

log (y₍₎ — ya) cotg ga \ 3.183 424 log (x₀ — xa) tang qa 3.554 877

3588,20 y a = — 44904,30 y = —41316,10.    (8)

In gleicher Weise wird die Rechnung auch für die drei anderen Strahlen geführt, so daß man in Zusammenfassung für alle vier Strahlen erhält:

y = —41316,10 y = — 41315,62 y = — 41313,51 y = — 41315,98 .

û/o — y«) mt,J ⁽ïa

H- 1525,54 xa = + 15967,50

(xq — x,,) tang ga =

Strahl AP x = ■+- 17493,04

Strahl A P Strahl B P Strahl CP Strahl D P

x = + 17493,04 x = + 17493,74 x = + 17493,38 x = -+ 17492,97

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

Hiernach sind die Strahlenschnitte in Fig. 3 S. 382 aufgetragen. Der Strahl A A' ist bestimmt durch die Achsenschnitte R und S, entsprechend den vorstehenden

Koordinaten (8a), indem der Punkte mit x = 4-17493,04 und R mit y — —41316.10 ■eingetragen ist, worauf die Verbindung RS den fraglichen Strahl gibt.

Wenn hierbei die beiden Achsenschnitte R und S sehr nahe zusammenfallen, was z. B. bei dem Strahl AP stattfindet, so wird die Richtung unsicher, man kann über dann den bekannten Richtungswinkel (66° 58') mitbenützen, wozu die Teilung am Rande von Fig. 3 angegeben ist, welche durch Verbindung von 67° und 247° zunächst •eine durch 0 gehende Gerade gibt, welche ihrer Richtung nach vollkommen genügend bestimmt ist und nur noch parallel nach R oder S verschoben zu werden braucht, um in die Gerade A R S A ' überzugehen.

Fig. 3. Fehlerzeigende Figur im Maßstab 1 : 10 zu dem vierfachen Schnitt P von Fig. 1 S. 3S0.

135

140

\ww

150    160    170    180    190    200    ___

I w i ij i m ! 1111 !n / / // / / / // / / / // / / / f

210

220

\N

<3oJ.-V+W93'5°

a\\'

nil min in

y»

\B*

/230

5?

120

Sl!

240

278°37

110

w/v.

Ai

^250

pi

100- _§

7:'AR.

260

r>n g X=+17493,00

R"¹

Rj

f—

Xo

S’"

Xa (F

270

:=

80

«»O

66°

C0-

280

15

70

as

60'"?'S'

j2

-\300

S;

•

fS

50

4 X= + 17492,50

/S//y//////^/y//lljnilji/nji iiijmij

45 4q    30    20    10    0

yc

310

350    340    330

320

Ähnlich verhält es sich mit DB’"S"’D', deren zwei Punkte i?'" und S'" auch zu nahe liegen, als daß sie die Richtung T) I)' genügend bestimmten. Oder der Strahl BKB' hat nur einen Achsenschnitt K, welcher nach (8b) durch y =— 41315.62 bestimmt ist. während der andere ,c = -f- 17498,74 über die Zeichnung hinausfällt.

Indessen kann man auch noch Schnitte mit anderen Koordinatenachsen als den erstmals angenommenen berechnen. Wir haben in unserem Falle nach der Formel (7) noch folgende Randschnitte berechnet:

Strahl AP,    westlich    A    ,    x = -4- 17492,8?»    ,    östlich    A'    ,    æ = + 17493,25

(9)

Strahl BP,    östlich    B    ,    x = + 17492,76    ,    nördlich    B'    ,    y = — 41315,88

Strahl CP,    östlich    C    ,    x = + 17493 30    ,    westlich    C    ,    x = -h 17493,45

Strahl BP,    nördlich    B    ,    y = — 4131 62    ,    südlich    B'    ,    y = — 41316,88

welche in der Figur unten

Wenn also, wie schon angegeben, die Gradteilung

mit 0° beginnt, damit die äußeren Richtungen ohne P 180° zuzufügen eingeführt werden können

mitbenützt wird, so ist nur die Berechnung eines Achsenschnittes y oder x nötig, durch den dann die Richtungslinie parallel abgeschoben wird ; immerhin ist aber zur Probe die Rechnung eines weiteren Schnittes zweckmäßig, was gleich mit der ersten Rechnung unter (8) S. 381 vereinigt werden kann.

Hat man auf diese Weise alle vier Strahlen AH', BB', CG', DB' aufgetragen, so hat man damit auch die felilerzeigende Figur, welche in Fig. 3 S. 382 zum Teil schraffiert ist. In der fehlerzeigenden Figur wählt man einen endgültigen Punkt M nach Gutdünken aus. Wir nehmen:

M y = —41315,75 w Damit ist die Aufgabe gelöst und man kann aus den endgültigen Koordinaten (9a) mit den schon anfangs unter (1) gegebenen Koordinaten von A. B, C, T) auch die endgültigen Richtungswinkel ausrechnen, und wieder mit den anfangs unter (2)—(5) gegebenen Beobachtungsrichtungen q vergleichen, was innerhalb der festgesetzten Fehlergrenze stimmen muß.

Ausgeglichen

(AP) = 66° 57' 58"

(BP) = 333    1    51

(C P) = 278 36 55 {BP) = 215 41 42

x = + 17493,25 m .

s Ó" =

-Q"

s

(9a)

beobachtet

cpa = 66° 58' 3" qpfi = 333 <f>e = 278 36 59 g>d = 215 41 44

Werden die rechtwinkligen Abstände e der Strahlen von M in der Figur abgegriffen, so können daraus, wie in § 77 S. 322, die Richtungsänderungen Ö der Strahlen aus den in (2) bis (5) angegebenen Entfernungen s mit dem Rechenschieber berechnet werden. Die Übereinstimmung der v und Ö gibt eine Probe. Im Beispiel ist diese Rechnung in (10) rechts vom Strich enthalten.

1 50

(10)

Wir haben die Wahl der Koordinaten nach (9a) als nach Gutdünken getroffen bezeichnet, und sehr viel wird man wohl nicht von M abweichen können, wenn man bedenkt, daß in Fig. 3 die fehlerzeigende Figur nicht bloß aus den zwei schraffierten Dreiecken besteht, sondern auch nach rechts sich noch fortsetzt. In Wirklichkeit haben wir jedoch auch den Punkt M nach der „M. d. kl. Q.“ ausgeglichen und gefunden :

x = -f 17493,253 ± 0,062

y = — 41315,752 ± 0,067

± 4,5".

und den mittleren Fehler einer Richtung

Bei dieser Gelegenheit wurde auch die in Fig. 3 eingezeichnete Fehlerellipse berechnet, und zwar die wahrscheinliche Ellipse, nach Band I, 3. Aufl. 1888, S. 347, mit s = 0,83254, W= 0,50000 Y A² -j- B- = 1,1774 .Vf. Es ist gleich wahrscheinlich, daß der wahre Schnittpunkt innerhalb oder außerhalb dieser Ellipse liegt.

II. Querverschiebunyen der Strahlen.

Ein zweites Verfahren, die fehlerzeigende Figur aufzutragen, erhält man dadurch, daß man nach Fig. 2 S. 381 die Strahlenrichtung AO bestimmt und sie mit der

beobachteten Richtung (A P) = cpa vergleicht; man bekommt dadurch den kleinen Winkel P AO = Ö, welcher mit der Strahlenlänge A0 — s multipliziert den Querabstand e von 0 rechtwinklig zu AP gemessen gibt, wie bei der vorher erwähnten Proberechnung.

Wir wollen dieses an unserem vorhergehenden Beispiel zeigen.

Mit den Näherungskoordinaten x₀, y₀ und den Koordinaten der vier Punkte A, B, C. B, welche zusammen unter (1) und (la) S. 380 gegeben sind, rechnet man die vier Richtungswinkel von A. B, C. B nach dem Näherungspunkte O z. B. :

tang (cp,,) = VAlTJA ? (<pa) - 66° 58' 5".

Xq — Xa

Alle vier Strahlen zusammen geben folgende Tabelle mit qp — (<p) = 8, und mit

s Ö

dem Rechenschieber oder einem Diagramm berechnet e = — :

a

Beobachtung rp

sÖ

Näherung (cp)

66° 58' 5"

383    1    33

278 36 43 215 41 45

Die Entfernungen s entnimmt man aus den Netzkarten.

Damit kann man die fehlerzeigende Figur auftragen, wie wir mit Benützung von Fig. 3 S. 382 beschreiben wollen, ohne eine neue Figur, welche eigentlich nötig wäre, herzustellen. (Der Leser möge etwa das Nachfolgende auf Fig. 3 S. 382 mit Blei eintragen.)

Man beginnt damit, die vier Strahlen AO, BO, CO, BO mit Benützung der Randteilungen in Fig. 3 S. 382 einzutragen, also z. B. für AO wird 66° 58'= rund 67° links aufgesucht und mit 247° rechts verbunden, oder für BO wird 333° unten und 153° oben aufgesucht und verbunden usw. Hat man so die vier Strahlen für A. B, C, B zentral durch 0 gezogen, so hat man sie noch um die in vorstehender Tabelle berechneten Beträge e mit sich selbst parallel zu verschieben. Z. B. e — 0,04 m von 0 quer zum Strahle AO abgetragen, wird den in Fig. 3 S. 382 mit ABSA' bezeichnten Strahl geben, oder 0,33 m quer zur zentralen Ilichtung B B’ gelegt und nach rechts verschoben, wird den in Fig. 3 S. 382 mit BB’ bezeichneten Strahl geben. In welchem Sinne man verschieben muß, wird durch das Vorzeichen der 8 und der e bestimmt, unter geometrischer Anschauung der Figur, indem z. B. das beobachtete <jp& größer ist, als das genäherte (cpi), muß von B aus gesehen der verschobene Strahl rechts vom Zentrum 0 liegen usw. Wir wiederholen, daß es leicht ist, in Fig. 3 S. 382 mit den in der Tabelle (11) berechneten e nebst den zugehörigen cp die Eintragungen in Fig. 3 S. 382 so zu machen, daß man dieselbe fehlerzeigende Figur von dort nochmals erhalten wird, worauf auch die Auswahl eines Punktes AI nach Gutdünken und alles übrige genau wie bei dem ersten Verfahren zu machen ist.

botek

66° 58' 8"

333    1    50

278 36 59 215 41 44

-h 17

+ 16

2"    3899 -m — 0,038 nv

(11)

Fehlerzeigende Figur für Rückwärtseinschneiden.

Beim Rückwärtseinschneiden wird der Neupunkt durch den Schnitt von Kreisen bestimmt (vgl. S. 348) ; es sind also in der fehlerzeigenden Figur nicht die gemessenen Strahlen, sondern die Bestimmungskreise zur Darstellung zu bringen. Die Konstruktion wird nicht so bequem wie beim Vorwärtseinschneiden, weshalb hier von einem

Vorzug vor der rechnerischen Ausgleichung nicht mehr die Rede sein kann. Jedoch ist auch hier der Vorteil vorhanden, daß man ein anschauliches Bild zur Beurteilung der Genauigkeit der Punktbestimmung erhält. Wir müssen hierbei Winkelmessungen von Richtungsmessungen unterscheiden und beginnen mit dem ersteren einfacheren Fall.

I. Rückwärtseinsdvneiden mit Winkelmessung.

Wenn der Punkt P in Fig. 4 über AB rückwärts eingeschnitten werden soll, durch Messung des Winkels qp = B P A, so wird dadurch als geometrischer Ort ein Kreis AB P bestimmt, welcher den Winkel qp faßt. Geht qp in qp' über, so rückt der Kreis hinaus nach Q, und wenn PT die Kreistangente im ersten Falle war, so rückt auch diese nun nach Q T', wobei für sehr kleine Änderung qp — qp' = <1 qp die beiden Kreistangenten PT und Q T' als parallel betrachtet werden dürfen; und es ist unsere Aufgabe, die Parallelverschiebung PP' = e dieser Tangenten zu bestimmen.

Mit den Differentialdreiecken A P Q und PQP' hat man hierzu:

b sin dtp ¹ sin cp'

Da hier sin qp' = sin cp und sin <1 cp = d cp gesetzt werden darf, gibt dieses

b sin a s in qp

oder wegen der verschiedenen Sinusbeziehungen in dem Dreieck AB P folgt hieraus :

oder

und e — PP' = PQ sin a. (12)

d cp ,

Fig. 4.

*"-T‘

e ¹

!A

ßX li

(13)

ab

(14)

e = — d qp.

(Diese Formel wurde erstmals vom Verfasser entwickelt in Schlömilchs „Zeit-schr. f. Math. u. Phys. 1871“ S. 406.)

e = — sm cp

Denkt man sich nun z. B. in Fig. 1 S. 367 den Punkt P als Rückwärtseinschneidung durch die vier einzelnen Winkel 2, 5, 8, 11 bestimmt, so kann inan nach der Theorie von Fig. 4 und nach der Formel (14) die Verschiebungstangenten und damit eine fehlerzeigende Figur bestimmen und aufzeichnen.

II. Rückwärtseinschneiden mit Richtungsmessung.

zur

Ist auf dem Neupunkt ein Richtungssatz gemessen, so liegt es nahe, diesen Konstruktion einer fehlerzeigenden Figur in einzelne Winkel aufzulösen und dann die vorstehende Theorie anzuwenden. Indessen wird die Figur nur dann korrekt, wenn man die Richtungen in allen möglichen Kombinationen zu Winkeln zusammen-faßt; bei fünf Richtungen enthält die fehlerzeigende Figur also bereits zehn Bestimmungslinien.

messenen

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Es gibt jedoch noch eine andere Methode, nach der man für jede gemessene Richtung nur eine Bestimmungslinie zu konstruieren hat. Nachdem für den Neupunkt die Näherungskoordinaten x(> und y{) ermittelt sind, kann man für alle Strahlen genäherte Richtungswinkel qp₀ berechnen, woraus sich für die Nullrichtung des ge-Satzes der Richtungswinkel £₀ ergebe. Einer kleinen Verschiebung des

Neupunktes um die Werte Ó' x und ô y entsprechen dann Änderungen Ô cp der Eichtungs-winkel, so daß nach Band I, 5. Aufl. 1904, § 91 S. 850 für einen beliebigen Strahl die Gleichung

(15)

.. sin cp „ cos cp „ o cp = —g o x — —— g Oy

gilt. Ô cp setzt sich zusammen aus der Änderung 8I der gemessenen Dichtung und der Änderung 8 z von z{) ; wir haben also

Öl = — 8z-

sin cp

..    cos cp

—L g 8 x —    gdy.

(16)

Wir denken uns nun auf den Strahlen P₀ Pj , P₀ P₂... (Fig. 5) die reziproken

Strahlenlängen —

S1

erhalten. Die Größen

= rl

= »2 ... abgetragen, wodurch wir die Punkte , p₂ .. .

-, cos cp

r sin cp und    —

r cos cp

Fig. 5.

Pz

P,'

Pi

cT^j /

'S³

sind dann die Koordinaten der Punkte p in bezug auf P₀ als Nullpunkt. Bezeichnen wir diese Koordinaten mit n und b, so ist

(17)

8 li = — ö z -f- OT] q 8 x — \ Q 8 y | 8 h = — ô s + a₂ u 8 x — b₂ g 8 y

Ziehen wir das arithmetische Mittel aller n Gleichungen von jeder einzelnen ab, so erhalten wir neue Gleichungen von der Form

öl— IliJ

■oder mit einfacheren Bezeichnungen

= (a-~)Qöx-[b —

(18)

Öl' = a' qö x — b’ qÖ y .

Die Größen a' und b' sind dann die Koordinaten der Punkte p in bezug auf ihren Schwerpunkt S als Nullpunkt.

Bezeichnen wir nun die Strecken Spi , Sp₂. .. mit r{, r₂' ..., ihre Richtungswinkel mit (fi , (f>2 ■ ■ -, so ist:

a! = r' sin cp' , b' = r’ cos cp',

und wenn wir wieder die Reziproken — = s' setzen :

_ sin cp' Uf _ cos cp'

⁼ ’ b

Ebenso wie durch s und cp die Punkte P, , P₂ . .. in bezug auf P₀ festgelegt sind, wird durch die Größen s' und cp' die Lage der Punkte P{ , P₂'... in bezug auf S bestimmt.

a'

Hiermit erhalten die Gleichungen (18) die Form: cos op'

s'

yöy.

(19)

Fig. e.

Auf diese vorstehenden Gleichungen wären wir nach Bd. I, 5. Aull. 1904, § 88 auch gekommen, wenn der Punkt S von den Punkten J\' , P₂\ .. vorwärts eingeschnitten worden wäre. Man kann also sagen, daß das Rückwärtseinschneiden nach den Punkten

.-Cr

'■b

I\ , P₂ ... zu demselben Resultat führt, wie das Yorwärtseinschneiden von den Punkten , P₂\ .. aus.

P,

Demnach kann man auch die fehlerzeigende Figur wie beim Yorwärtseinschneiden konstruieren, nachdem man die Punkte S und I\', P₂\ .. ermittelt hat.

Po

s,

Pi

oA

Wir wollen dieses Verfahren an einem Beispiel erläutern.

In Fig. 6 sei der Punkt P nach den Punkten Pt... P₄ durch Messung vollständiger Richtungssätze rückwärts eingeschnitten. Die gemessenen Richtungen l und die Näherungsrichtungswinkel qn₀ haben die folgenden Werte:

Oß

oPj

<Po — ¹

Öl

88° 37' 02"

157 41 48 206 42 46 343    18    07

= 83° 37' 06".

Als Orientierungswinkel nehmen wir das arithmetische Mittel der vier Werte von qp₀ — l an, und wir erhalten dann die obigen Größen 81. In Fig. 6 bestimmen

0° 00’ 00" 74 04 30 3 06 07 9 40 42

CO

cn co

83° 37' 02" 83 37 18 83 36 83 37

4"

+ 12

CO CO

cp co

— 27

+ 19

wir zunächst die reziproken Werte der Entfernungen s und tragen sie in beliebigem Maßstabe auf den vier Strahlen ab, wodurch wir die Punkte p erhalten. Eine einfache-

graphische Konstruktion gibt dann den Schwerpunkt S.

Punkte S und px... p₄ sind in Fig. 7 noch einmal aufgetragen. Nachdem hieraus die Strecken S p₁, Sp₂ ■ ■ ■ entnommen sind, werden ihre reziproken Werte Sj'... s₄' gebildet und auf den Strahlen abgetragen, wodurch die /*> Punkte I\'... P₄' erhalten werden.. Damit ist die Transformation beendet.

Die Differenzen Öl', die wir zur Konstruktion der fehlerzeigenden Figur brauchen, sind im vorliegenden Falle mit den ö l identisch, so daß wir nach S. 384 sofort die Querverschiebungen berechnen können, nachdem aus Fig. 7 die Entfernungen s' entnommen sind. Wir erhalten somit:

Fig. 7.

Die gefundenen

r.

n'

öl'

s'

1,18 fim

bp₂

—    0,023 m + 0,044

—    0,165 + 0,059

Mit Hilfe der Querverschiebungen e, die in Fig. 7 im Maßstabe 1 : 10 eingetragen wurden, ergaben sich die vier Bestimmungslinien, und es wurden für den in der-Schnittfigur gewählten Punkt die Koordinatenverbesserungen Ö x = — 0,06 m und Ö y = -h- 0,04 m ermittelt.

Die vorstehende Methode, die einen wichtigen Einblick in die Verwandtschaft des Rückwärts- und Vorwärtseinschneidens bietet, wurde von Runge in „Zeitsehr. f. Venn. 1900“ S. 581—588 zuerst behandelt.

nonoo

ihm

— 4" -+■ 12"

— 27

-+• 19

0,75

1,28

0,64

§ 89. Schärfere Punktauswahl in der fehlerzeigenden Figur.

Im vorigen § 88 war für die Ableitung des endgültigen Punktortes, im Sinne einer plausibeln Verbessemng des genäherten Punktortes, unmittelbare Schätzung in der Schnittfigur vorgesehen. ’ Diese Schätzung kann im allgemeinen mit genügender Genauigkeit geschehen und ist sehr einfach auszuführen, wenn man nahe gleichlaufende Strahlen zu einem mittleren Strahl zusaninienfäßt und dadurch die Schnittfigur auf ein Viereck oder Dreieck zurückführt, in dem dann der günstigste Punktort sich unmittelbar ergibt. Durch derartige Kombination der Strahlen kann in wenigen Augenblicken die Lage des gesuchten Punktes auf eine kleine Fläche eingeschränkt werden, in der man auf Zentimeter abgerundet den Punktort auswählt. Die Verschiedenheit der Strahlenlänge berücksichtigt man ganz beiläufig, oder auch durch summarischen Ge-

wichtsansatz, wie es z. B. in den beiden im vorigen § 88 mit Fig. 3 S. 382 und Fig. 7 S. 388 dargestellten Ausgleichungen geschehen ist. Der mittlere Fehler des

Richtungsschnittes ist proportional der Entfernung s, das Gewicht p demnach p =

wie folgende Reihe mit p = 10 für 14m veranschaulicht :

= 40    30    20    15    10 8    6    4

s = 0,5    0,6    0,7    0,8    1,0 1,1    1,3    1,5

Bequemer als die Berücksichtigung der Gewichte ist die Eintragung von Hilfslinien in die fehlerzeigende Figur, die einer Drehung der einzelnen Strahlen um runde Werte, z. B. 10", entsprechen. Bei der Berechnung der fehlerzeigenden Figur nach dem Verfahren II S. 383 berechnet man mit dem Rechenschieber außer den Quer-

—‘ ^ und zieht zu den eingetragenen Strahlen Parallelen    im    Abstande e.    Man    kann    dann    für    jeden    Punktort.

den man auswählt, sofort die    Richtungsverbesserungen    der    einzelnen    Strahlen    ablesen

und deren Quadratsumme bilden. Dies gibt einen Anhalt zur Verbesserung der ersten Punktwahl. Ein Zahlenbeispicl für diese von Hammer vorgeschlagene Methode ist gegeben in „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 618—623.

Wenn nur drei Strahlen für Vorwärtseinschneiden vorliegen, so kann die Konstruktion des richtigen, dem Quadratminimum der Richtungsverbesserungen entsprechenden Punktes in aller Strenge auch sehr einfach geschehen, wie im Anschluß an Fig. 1 gezeigt werden soll:

Von den Punkten A, B, C aus gehen drei Bestimmungsstrahlen mit gemessenen Richtungen, welche ein fehlerzeigendes Dreieck A! B' C bilden, und deswegen Richtungsänderungen , v₂ , Vg erhalten müssen, um auf einem Punkt zusammenzutreffen, rvobei die Bedingung besteht:

?q2 -}- v₂² 4- «g²=Minimum. (1 )

Sind e₁ , e₂ , e₃ die Abstände    _

des günstigsten Punktes von A den Seiten S! , s₂ , % des fehler-

zeigenden Dreiecks, und A, B, C die drei Strahlenlängen, so ist:

vs = %

Verschiebungen e noch für jeden Strahl den Wert ë —

Fig. 1.

1    0,5

3,0    4,54m.

hi

S₂

S3

,L3-ke2

e+X

v₂ = —

(2)

und zwischen den e₁ , e₂ j es besteht die streng zu erfüllende Gleichung:

el sl +«2*2 + e3 % = 2 (doppelte Dreiecksfläche)

(3)

•oder wegen (2):

■entspricht d. h.

A V-4- jB §2 ^2    ^ $3 ^3 — 2 /\ — 0

ax vx + «2 v2 + a3 v3 + w = 0 Cl-t — A Si Cf2, —- ^ «So #3 — C .

Nun hat man nach der Theorie der bedingten Beobachtungen (I. Band, 5. Aufl. 1904 § 43) eine Korrelatengleichung und deren Auflösung zu bilden :

[a a\ k -b w = 0, d. h. (A² B² s₂² C² s₃²) k — 2 /\> = 0 dann ist in der allgemeinen Theorie, wenn nur eine Korrelate da ist : vx = axk

(5),

also nach (4): und nach (2) :

r₂ = «₂ k Vj : i’₂ : v₃ = ax : a₂ : «₃ , i\ : c₂ : vs = A Sj : B s₂ : G s3 : e₂ : e₃ = A² sx : B² s₂ : C² % .

v₃ — ci₃ k

(6).

Die Strahlenrichtungen sind hierbei als gleich gewichtig gemessen angenommen; wenn die Messungen selbst ungleiche Gewichte^ etwa px , p₂ , p₃ haben, so geht (6) über in :

_ A²^ _ P²^ _ C²^

Pl ' P2 ' Pz

Diese Verhältnisse ex : e₂ : e₃ sind hinreichend, um den Punkt im Innern des fehlerzeigenden Dreiecks durch Konstruktion zu bestimmen, was wir an dem Beispiel von Fig. 2 zeigen wollen. Es mag etwa Fig. 2 ein fehlerzeigendes Dreieck im Maßstab 1 :10 vorstellen, dann ist Sj = 0,21 m , s₂ = 0,14-m , und s₃ = 0,26 m ; da es aber auf das absolute Maß gar nicht ankommt, sondern nur auf die Konstruktion im verjüngten Maßstab des fehlerzeigenden Dreiecks selbst, wollen wir geradezu setzen:

s₂ = 1,4 cm

ei : e₂ : e₃

Sj = 2,1 cm

= 2,6 cm;

(7)'

(8>

die Strahlenlängen geben wir in natürlichem Maße:

B    = 3,3 Km

B²    = 10,9

A = 3,5 Km

also : A² = 12,2 A² sx = 25,6

B² s₂ = 15,3

el '• e2 > e3 — 25,6 : 15,3 : 30,2.

= 3,4 Km C² = 11,6 C² s₃ = 30,2

Fig. 2.

Die so erhaltenen Verhältniszahlen

kann man auch beliebig ändern, z. B.: el • e2 • eS ⁼ 13:8:15.

Um damit den Punkt P zu konstruieren, was in Fig. 2 nicht zu sehen ist, ziehe man Parallelen zu C den Seiten sx s₂ s₃, nach innen oder außen, und zwar zu % eine Parallele im Abstande 13 mm, zu s₂ eine Parallele im Abstande 8 mm und zu s3 eine Parallele im Abstande 15 mm. Die drei Parallelen werden wieder ein Dreieck bilden, welches mit 1' 2' 3' bezeichnet sei, dann verbinde man P mit Ph ebenso 2' mit P₂ und 3' mit P₃, worauf sich diese drei Verbindungslinien in einem Punkt schneiden werden, welcher als P von Fig. 2 zu nehmen ist. (Da die Parallelenkonstruktion in Fig. 2 nicht zu sehen ist, möge der Leser die Konstruktion in Blei zufügen.)

Die Koordinaten des Punktes P sind gleichzeitig das mit Berücksichtigung der Strahlengewichte abgeleitete arithmetische Mittel der Koordinaten der Fußpunkte der auf die einzelnen Strahlen gefällten Perpendikel e. Die Berechnung dieses arithmetischen Mittels aus den Koordinaten der Perpendikelfußpunkte liefert demnach durch ihre Übereinstimmung mit den graphisch entnommenen Koordinaten eine Probe tür

Pt

Sp

Pj

die richtige Bestimmung des Punktes P; diese Probe gibt auch bei Schätzung des Punktortes ein Urteil für die Zuverlässigkeit derselben.

Zur Ausgleichung mit fehlerzeigenden Figuren ist zuerst zu berichten das von Oberst Tulla in Baden schon etwa um 1820 eingeführte Verfahren, die fehlerzeigende Figur aus Seitendifferenzen aufzutragen und dann einen Punkt nach Gutdünken anzunehmen. Dieses Verfahren haben wir in unserer 2. Auflage, II. Band 1877, § 121 und III. Band, 8. Aufl. 1888, § 84 behandelt. Das nächste war die Aufzeichnung der fehlerzeigenden Figur nach Koordinatendifferenzen, angegeben von F. G. Gauß in dessen .Trigonometrische und polvgonometrisehe Rechnungen in der Feldmeßkunst, Berlin 1876“, § 22 S. 67—71.

„Die trigonometrische

Ein drittes Verfahren, die fehlerzeigende Figur aus Querverschiebungen e =

herzustellen, ist erstmals angegeben von Franke in der Schrift:

Punktbestimmung im Netzanschluß, München 1875“, und auch in „Zeitsehr. f. Venn. 1876“ S. 97, von Franke behandelt mit der Bemerkung, „soweit es mir neu erscheint.“

Eine ausgedehnte Anwendung dieses Verfahrens gibt: „Triangulierung III. Ordnung im Freiberger Revier von Prof. M. Schmidt, Separatabdruck aus dem Jahrbuch für das Berg- und Hüttenwesen im Königreich Sachsen auf das Jahr 1883“ und ein vollständig durchgerechnetes Beispiel mit Figuren gibt Hammer: „Zur graphischen Ausgleichung beim trigonometrischen Einschneiden von Punkten“ in „Zeitschr. f. Verra. 1896“ S. 611—624.

All dieses bezieht sich auf fehlerzeigende Figuren mit Auswahl des endgültigen Punktes nach Gutdünken ; was dann die scharfe Konstruktion für das Quadratminimum der Richtungsverbesserungen betrifft, so haben wir als erstes eine Theorie von Helmert in der Abhandlung: „Studien über rationelle Vermessungen in Schlömilchs Zeitschr. f. Math. u. Phys., 13. Bd. 1868“ § 18, S. 91, wo als besonderer Fall einer allgemeineren Theorie sich unsere im vorstehenden unter (6) S. 390 gegebenen Verhältniszahlen finden, mit der Bemerkung, daß die wahrscheinlichste Punktlage sich hiernach leicht konstruieren lasse. Da es übrigens schwierig ist, die einfachen Verhältnisse : e₂ : e₃ aus der viel weiter gehenden Helmertschen Theorie herauszuschälen, haben wir schon im „Monatsblatt des badischen Geometervereins 1871“ S. 23—24 jene Verhältnisse unmittelbar abgeleitet, ebenso wie im vorstehenden bei (2)—(6) dargelegt ist, und diese einfache Entwicklungsart (in unseren früheren Auflagen dieses Buches aufgenommen) ist auch anderwärts weiter benützt worden.

Wenn man über den einfachen Fall dreier Strahlen als Vorwärtsschnitte hinaus-geht, so wird das strenge graphische Ausgleichen schwierig. Ein erstes solches Verfahren zur Bestimmung des Ausgleichungspunktes nach dem Prinzip der M. d. kl. Q. ist gegeben von Bertot in „Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des sciences, 82. Band, Januar—Juli 1876“, S. 682—685, wo Bertot zunächst die Bestimmung eines Schiffsortes aus mehreren gemessenen Sonnen- oder Sternhöhen behandelt, eine Aufgabe, welche mit unserer trigonometrischen Einschneideaufgabe sehr nahe verwandt ist, indem sie ebenfalls auf lineare Fehlergleichungen führt (vgl Jordan, „Grundzüge der astr. Zeit- und Ortsbestimmung, Berlin 1885“, § 21).

In Deutschland ist Bertots Verfahren bekannt geworden durch einen Bericht von Helmert in „Zeitschr. f. Verni. 1877“ S. 53—58, den wir auch in unserem II. Band,

3. Aufl. 1888, S. 280—283 mitgeteilt haben.

Inzwischen sind weitere graphische Behandlungen der Einschneideausgleichungen gemacht worden von Genge, „Beiträge zur graphischen Ausgleichung. Vierteljahrsschrift der naturforschend. Gesellschaft, Zürich 1886, S. 268 -312“; Klingatsch, „Die graphische Ausgleichung bei der trigonometr. Punktbestimmung, Wien 1894“; Puller, „Zeitschr. f. Venn. 1895“ S. 553—561 und einige weitere Zitate hierzu werden von Hammer in „Zeitschr. f. Venu. 1896“ S. 617—618 gegeben.

Eine neue Methode mit „Transformation nach reziproken Radien“ behandelt Runge in der „Zeitschr. f. Verm. 1900“ S. 581—588, „Graphische Ausgleichung beim Rückwärtseinschneiden“, (vgl. S. 385—888).

Neben den Methoden rein graphischer Ausgleichung liegen auch Versuche graphisch-mechanischer Ausgleichungsmethoden vor, bei denen die Visierstrahlen durch elastische Stäbe clargestellt werden. Bei richtiger Länge der Stäbe kann diese Ausgleichung der Methode der kleinsten Quadrate angepaßt werden. Solche Methoden sind behandelt worden von Fischer, „Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 553—557 und 655—660, ferner von Hohenner, Graphisch-mechanische Ausgleichung trigonometrisch eingeschalteter Punkte, Stuttgart 1904.

So wie der Stand der strengen graphischen Ausgleichungen heute ist, kann von umfassender praktischer Anwendung nicht die Rede sein, und auch die Aufnahme des Bertotschen Verfahrens in die preußische Katasteranweisung IX ist nicht entscheidend. Seitdem umgekehrt die rechnende Methode der kleinsten Quadrate mit Rechenschieber, Hilfstafeln usw. immer mehr vereinfacht und handlich gemacht worden ist, kann z. B. von Konkurrenz des Bertotschen Verfahrens mit der rechnenden M. d. kl. Q. keine Rede sein. Aber die fraglichen Theorien sind theoretisch interessant und zu verfolgen, insofern sie vielleicht noch in praktische Anwendbarkeit übergehen.

Jedenfalls hat aber das in § 88 behandelte einfache Verfahren praktische Bedeutung für die zahlreichen Punkte der untersten Stufe der trigonometrischen Bestimmungen von der Klasse der sog. „Beipunkte“, welche nicht mehr dem zusammenhängenden trigonometrischen Netze angehören, sondern lediglich zur Vereinfachung des Anschlusses der Kleinmessungen in ein mit Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate berechnetes Netz eingeschaltet werden sollen. (Vgl. § 88 S. 379—380.)

§ 90. Anordnung einer Kleintriangnlierung.

Unter „Kleintriangulierung“ versteht man, wie schon in § 73 und 80 ausgeführt wurde, eine solche trigonometrische Vermessung, welche sich als Einschaltungstriangulierung an eine „Haupttriangulierung“ anschließt, wodurch mindestens zwei Punkte gegeben sind. Diese durch die Haupttriangulierung gelieferten Punkte sollen durch rechtwinklige Koordinaten gegeben sein, auch wollen wir annehmen, daß hierbei die Erde als Ebene betrachtet werden darf, und daß man es bei der Kleintriangulierung mit rechtwinkligen ebenen Koordinaten zu tun hat. Auch rechnet man zur Kleintriangulierung solche sich auf engbegrenzte Gebiete erstreckende trigonometrische Netze, welche, ohne Anschluß an eine Haupttriangulierung nehmen zu können, auf einer mit Meßlatte oder Meßband gemessenen Grundlinie selbständig aufgebaut werden, -wie auch schon § 73 S. 299 erwähnt wurde.

Es soll in diesem § 90 nur von den mit Anschluß an eine vorhandene Triangulierung ausgeführten Kleintriangulierungen die Rede sein, wie sie als Grundlage für die Spezialvermessungen, insbesondere für den Anschluß der Polygonzüge (Kap. IX) angeordnet werden. Hierdurch ist schon die Auswahl der Punkte im Gelände bedingt.

Betrachtet man (vgl. die Einteilung in § 73 S. 296) die Triangulierung I. und II. Ordnung als Haupttriangulierung, und diejenige IV., V. Ordnung als Kleintriangulierung, so dient die Triangulierung III. Ordnung als Vermittlung zwischen Haupt- und Kleintriangulierung, und hei dieser letzteren ist dann besondere Rücksicht auf den Anschluß der Spezialvermessungen zu nehmen. Es muß daher jeder Triangulierung eine diesen Umstand sorgfältig berücksichtigende Erkundung des Geländes vorausgehen.

Bei der fortgesetzten Einschaltung einzelner Punkte in das Netz der schon bestehenden, die in § 80 erläutert wurde, wird ein einzelner Punkt immer gut bestimmt sein, wenn er etwa im Schwerpunkt des Rahmens der ihm nächst übergeordneten Punkte durch Vorwärts-, Rückwärts- oder vereintes Einschneiden festgelegt wird, wie die Eig. 3, 4, 5 § 80 S. 340 und S. 341 zeigen. Ist der als feststehend betrachtete Rahmen ein Drei-, Vier-, Fünf- oder auch Sechseck, so wird eine dementsprechende Anzahl von bestimmenden Richtungen vorliegen ; das Mindesterforderliche wären also drei äußere oder vier innere Richtungen für einfaches Vorwärts- oder Rückwärtseinschneiden; eine weitgehende Festlegung würden sechs gegenseitige Richtungen, also je sechs innere und äußere, geben. Zwischen den hier angedeuteten Grenzen wird im allgemeinen die Zahl der bestimmenden Richtungen liegen. Die Heranziehung einer größeren Zahl beliebiger, gerade sichtbarer, nicht dem Rahmen der nächstgelegenen feststehenden Punkte angehöriger Richtungen bringt keinen Nutzen, wie allgemein aus der Betrachtung der graphischen Darstellung in § 7 S. 15 (n = Anzahl der Richtungen) gefolgert werden mag, da hier auf die Theorie der Genauigkeit der trigonometrischen Bestimmungen, welche in Bd. I, 5. Aufl.,

Kap. III und IV behandelt ist. nicht eingegangen werden kann. Auch zeigt die § 89 S. 389 angegebene Formel für das    §

Gewicht eines Richtungs-    g

Schnittes p — —- , wie    °°

Au.

-74000

-76000

L intzc

Fig. 1.

Sancl.

\^\

S2

-78000

-24000

-22000

wenig Einfluß Richtungen entfernter Punkte im Ver-

Schuft-.

gleich zu denen naher Punkte haben. Von wesentlicher Bedeutung bei der Einzelpunkteinschaltung ist die

Punktfolge, auf welche gleich beim Entwurf des Netzes Bedacht zu nehmen ist.

Von Vermarkung, Winkelmessung und Zentrierung ist in § 75—79 ausführlich die Rede gewesen; für die Zentrierung sei wiederholt, daß eine Unsicherheit von nur

lcm in der Signalstellung für 1000 m einen Riehtungsfeliler von 2" erzeugt. Es muß daher die Aufstellung der Signale sorgfältig überwacht werden.

Die Anordnung einer Kleintriangulierung mit Punkteinschaltung soll an der Fig. 1 S. 393, welche das trigonometrische Netz einer kleinen Gemarkung darstellt, behandelt werden.

Gegeben sind die vier Punkte III. Ordnung Au., Lintz., Schütt., Sand. Von dem Netz III. Ordnung sind nur die in der Figur stark gezeichneten Linien, welche zwei Dreiecke bilden, benützt, sie gehen den feststehenden Rahmen ah. Die Richtung Au.—Schütt, war nicht möglich, sonst wäre sie in dem Kleinnetz mitbenützt worden. Die Punktfolge der Einschaltung, ist durch die Numerierung der Punkte in der Figur ausgedrückt und gleich heim Entwurf festgestellt worden.

Der Punkt © 1 liegt im Dreieck Lintz., Au., Sand. ; durch die Richtung nach Schütt, steht er mit allen vier Hauptpunkten in Verbindung. Als zweiter folgt Punkt © 2, im Dreieck Lintz., Sand., Schütt gelegen ; der feststehende Rahmen ist für ihn demnach das Viereck: Lintz., 1, Sand., Schütt. Für ©3 (am Abhang eines bewaldeten Bergrückens gelegen) ist nach Norden kein Anschluß vorhanden; er gründet sich auf die Punktreihe Schütt., 2, 1, Au. und den nahen Punkt Sand. Nun folgt ©4 als Vorwärtsschnitt im Rahmen Lintz., 1, 3, 4, und endlich ©5, dessen Bestimmung der Mangel anhaftet, daß die Richtung nach © 1 nicht möglich war.

Die nachfolgenden Zusammenstellungen zeigen den für dieses kleine Netz entworfenen „Berechnungsplan“ und den daraus sich ergehenden „Beobachtungsplan“.

I. Bereelmimgsplan zum trigouom.

Netz. Fig. 1 S. 393.

| Bestimmende Xr. ! Richtungen

| äußere innere

Bemerkungen

II. Beobachtungsplan und Abrißentwurf zum trigouom. Netz.

Fig. 1 S. 393.

®1

Au.

Au.

Sand.

Lintz.

Sand.

Schütt.

Lintz.

über Art der Ausgleichung, ob Methode der kleinsten Quadrate oder graphisch.

A. Gegebene Punkte. Standpunkt ® Au.

Zielpunkte : Lintz.

B. Neupunkte. Standpunkt ® 1.

Zielpunkte:

Au.

Sand.

Sand.

® 2 Lintz.

Lintz.

! Sand. Schütt.

Sand.

Schütt.

Standpunkt ® Sand.

Zielpunkte : Schütt.

Schütt.

Lintz.

Standpunkt ® 2.

Zielpunkte :

Lintz.

® 3 Au. Sand.

! Schütt.

I 2

Au.

Au.

Sand.

Schütt.

Sand.

Schütt.

Lintz.

Standpunkt ® Schütt.

Zielpunkte : Lintz.

Standpunkt ® 3.

Zielpunkte :

Au.

®4

Sand.

Schütt.

Sand.

Lintz.

Standpunkt ® Lintz.

Zielpunkte :

Au.

Au.

Au.

Zielpunkt 0 4. Standpunkt ® 5.

Zielpunkte :

Au.

Sand.

Lintz. I Lintz.

Naeh diesem für das Netz zu entwerfenden Bereclmungsplan, wodurch sich der innezuhaltende Beohachtungsplan und der Entwurf der Ahrißaufstellung ergibt, regelt sich die ganze nachfolgende Beobachtungs- und Berechnungsarbeit. Je sorgfältiger der Entwurf durchdacht ist, je glatter wickelt sich die Arbeit ab.

Ein größeres Beispiel zu dieser „Punkteinschaltung“ zeigt Fig. 2. Es sind die durch starke Linien verbundenen Punkte A , B , C usw. ursprünglich gegeben, und es wird immer nur ein Punkt nach dem andern eingeschaltet. Die Numerierung zeigt nahezu die Aufeinanderfolge der Einschaltungen. Der Punkt (1) ist bestimmt durch die Verbindung mit CD K J E, dann wird der Punkt (4) eingefügt durch die Verbindung mit J KD C (1), es tritt also (1) bereits als gegebener Punkt von demselben Range wie J K D C. . . auf. Der Punkt (13) stützt sich auf K (1) (4), vielleicht auch D usf.

Fig. 2. Kleintriangulierungsnetz mit Punkteinschaltung.

10

u,

19,

'26

12

>25

'2

20)

3,

i.

22,

16.

18>

Ml

\21y

j,

15

17

23

Die Einschaltungen und Ausgleichungen der Punkte können hierbei nach der M. d. kl. Q. oder durch fehlerzeigende Figuren oder sonstwie gemacht sein.

Eine wesentlich andere Anordnung zeigt Fig. 3 S. 396 mit „Netzeinschaltung*. Es sollen wieder die stark verbundenen Punkte A , B , C usw. gegeben sein. Es sind dann die Partialnetze angelegt und zwischen die gegebenen Punkte eingefügt; und wenn eine gute Ausgleichung dieser Partialnetze oder Partialketten ausgeführt wird, so kann man dadurch mit geringerem Aufwand von Winkelmeßarbeit die gleiche Genauigkeit erzielen, wie bei der Punkteinschaltungsmethode.

Dieses führt zur allgemeinen Vergleichung der beiden Anordnungen Fig. 2 und Fig. 3 S. 396.

Die fortgesetzte Punkteinschaltung (Fig. 1 und 2) erfreut sich allgemeiner Beliebtheit ; der Trigonometer hat viel zu messen und auch viel zu rechnen, aber er braucht nie einen neuen Schritt zu tun, ehe nicht alles Vorhergehende fest und zuverlässig ist, und die einzelnen Punkteinschaltungen lassen sich ohne viele theoretische Hilfsmittel erledigen. Der Trigonometer gleicht hier dem vorsichtigen Kaufmann, der nur Geschäfte mit kleinem Gewinn, aber guter Sicherheit unternimmt.

Betrachten wir dagegen die Netzeinschaltung von Fig. 3 S. 396, so ist wohl nicht zu zweifeln, daß man hier mit weniger Messungsarbeit auskommen kann, als bei den Punkteinschaltuugen, aber zu der Berechnung ist bei den Netzeinschaltungen viel mehr Ausgleichungsarbeit und Theorie erforderlich, wenn die Vorzüge des gegenseitigen Stützens und Verstrebens ausgenützt werden sollen.

Einen Übeigang von der Einzelpunkteinschaltung zur Netzeinschaltung bildet die Doppelpunkteinschaltung, für welche wir in dem hannoverschen Netze Fig. 4 § 73 S. 299 ein gutes Beispiel haben. Nachdem das Hauptfünfeck jenes Netzes ausgeglichen war, wurden die beiden Punkte Hochschule und Dreifaltigkeit mit allen in der Fig. 4 S. 299 punktiert gezeichneten Sichten zusammen

Fig. 3. Kleintriangulierung mit Netzeinschaltung.

J)

nach der Methode der kleinsten Quadrate ausgeglichen. Dieses für zwei Punkte schon früher mehrfach benützte Prinzip hat die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme auf ganze Netze ausgedehnt, welche dadurch in den festen Kähmen der Umfangsketten eingeschaltet werden. Ein schönes Beispiel hierfür ist das Wesernetz Fig. 3 § 73 S. 298, wobei das fein gezeichnete innere Netz mit 16 Neupunkten in einer Koordinatenausgleichung gegen 18 feste Anschlußpunkte der Umfangsketten eingeschaltet wurde.

In allem übrigen können wir auf unseren I. Band, 5. Auf!. 1904, Kap. III verweisen^ wo die Theorie und zahlreiche Beispiele der Anlage und Ausgleichung von Kleintriangulierungsnetzen gegeben sind.

§ 91. Stadttriangulierung.

Obgleich der Grundgedanke der Triangulierung derselbe ist, im freien Felde und in einer Stadt, sind doch im einzelnen so viele Besonderheiten bei der Triangulierung von Städten vorhanden, daß hierüber einiges gesagt werden soll, im Anschluß an die vom Verfasser ausgeführten Triangulierungen 1887 von Linden und 1891—1898 von Hannover.

Zuerst kommt die Anlage des Hauptnetzes einer Stadt in Betracht.

Unser Triangulierungsbeispiel § 80 S. 385 (Linden) enthält ein selbständiges Netz III. Ordnung auf einer Basis Ägidius-Wasserturm, mit zahlreichen Punkteinschaltungen, und auch unser hannoverisches Netz Fig. 4 § 73 S. 299 ist auf einer Basis Ägidius-Wasserturm aufgebaut, ohne alle Anschlüsse nach außen.

Indem wir zuerst den berechtigten Einwurf, warum diese beiden Netze nicht verschmolzen wurden, erledigen durch Hinweis auf die Verschiedenheit der Zeiten und andere Umstände nicht geodätischer Art, können wir anderseits das schöne hannoverische Netz S. 299 als Beispiel eines sehr guten allgemeinen Prinzips für Stadttriangulierungen vorführen, welches auf unseren Vorschlag 1891 von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme gebilligt wurde. Durch die isolierte Ausgleichung löst sich das Netz S. 299 von der übrigen Umgebungstriangulierung

III. Ordnung ab, indem unser Fünfeck mit nur zwei festgegebenen Punkten (Ägidius und Wasserturm) lediglich in sich selbst ausgeglichen, keinem fremden Zwange unterworfen ist. Umgekehrt wird der Anschlußzwang, welcher in III. Ordnung unvermeidlich ist, durch unser isoliertes Fünfeck von dem Stadtgebiete nach außen geschoben.

Ein Ideal ist unser Fünfeck S. 299 nur insofern nicht, als die beiden Basispunkte Ägidius und Wasserturm einander zu nahe liegen; besser wäre es, wenn etwa Wasserturm und Steuerndieb, oder Willmer und Burg od. dgl. als Basispunkte genommen worden wären. Die Gründe, warum dieses nicht geschehen, liegen lediglich in der Zeitfolge der Messungen, indem die beiden Punkte Ägidius und Wasserturm schon 1887 angenommen und dann auch 1891 noch beibehalten wurden.

Für eine Stadttriangulierungsanlage unter gänzlich frei verfügbaren Verhältnissen würden wir empfehlen, zwei möglichst unter sich entfernte Punkte des Stadtnetzes als Doppelpunktausgleichung an die grundlegende umgebende Landestriangulierung anzuschließen und das Stadtnetz selbst auf diese zwei Punkte selbständig durch eine Korrelatenausgleiehung aufzubauen.

Derartige Anlagen von Stadtnetzen sind auch schon anderwärts gemacht worden,, aber mehr aus Not, weil nichts anderes zum Anschluß da war; in unserem hannoverischen Falle wären 1891 zahlreiche Nachbarpunkte zum Anschluß vorhanden gewesen, und das Nächstliegende wäre gewesen, unter Benützung aller dieser Anschlüsse, die Stadtpunkte einzeln, Punkt für Punkt als Vorwärts- und Bückwärtseinschnitte in üblicher Weise nach Koordinaten auszugleichen; — daß dieses nicht geschah, sondern das Fünfeck als Korrelatenausgleiehung für sich behandelt wurde, war Ergebnis besonderer Entschließung.

Im Innern des Stadtfünfecks können keine anderen Widersprüche auftreten, als die aus der Fünfecksausgleichung selbst hervorgegangenen, während nach außen allerdings die Sache nicht ebenso günstig liegt. Übrigens auch wenn die Anschlüsse nach außen ungünstiger werden, ist zu bedenken, daß die benachbarten Gebiete viel leichter einige hingeschobene Fehler, die immer weit innerhalb der erheblich weiteren amtlichen Fehlergrenzen bleiben, ertragen können als das Stadtgebiet, in welchem der Grund und Boden so wertvoll ist, daß 1 q-m bis zu 100 Mark und noch mehr berechnet wird.

Das hier angeführte Prinzip der Lokalnetzanlage für eine Stadt kann auch aufgefaßt werden als weitere Ausbildung des sehr schönen von General Schreiber vertretenen Prinzips von „Folgepunkten“ und „Leitpunkten“ (das wir schon früher in der „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 1—11 mitgeteilt haben). Nach dieser Auffassung wären also auf S. 299 Ägidius und Wasserturm die zwei Leitpunkte, und Willmer, Steuerndieb, Schanze, Burg wären Folgepunkte hierzu.

Alle Messungen zu dem Netze von S. 299 sind mit dem kleinen Mikroskoptheodolite (§ 56 S. 231) gemacht mit zwölf Sätzen. (Beispiel hiervon s. „Zeitschr. L

Term. 1892“ S. 25, 26 und I. Band. 4. Aufl. 1895 S. 185.) Die Korrelatenausgleicliung des Hauptfünfecks gab den mittleren Fehler einer Dichtung = _+ 1,04" und die Zweipunkteinschaltung (wohei die äußeren Richtungen mit halbem Gewicht im Vergleich mit den inneren Richtungen eingeführt wurden) ergab den mittleren Fehler einer Richtung = + 1,9". (Band I, 5. Aufl. 1904, § 64 und § 101.)

Nachdem so das Hauptnetz abgeschlossen ist, welches im System unserer Landesaufnahme als III. Ordnung zählt, kommt die Einschaltung weiterer Punkte

IV. Ordnung, d. h. hauptsächlich aller Kirchtürme und ähnlicher Hochpunkte durch Vorwärtseinschneiden, und der durch Rückwärtseinschneiden und vereintes Einschneiden zu bestimmenden Bodenpunkte.

Während nun die Erkundung einer Triangulierung und die Auswahl aller Punkte im freien Felde vor Beginn der Messungen zu geschehen hat, wie im vorigen § 90 ausgeführt, ist solches Aufstellen eines völlig festen Planes in Städten vor den Messungen in IY. Ordnung nicht möglich und auch wohl nicht mehr nützlich. Allerdings in einer kleinen Stadt kann die Punktauswahl wohl übersichtlich und im wesentlichen vor Beginn der Winkelmessungen vorgenommen werden, aber bei einer großen Stadt, welche von keinem Punkte ganz beherrscht wird, wird die Erkundung und Punktauswahl nur allmählich mit dem Fortschritt der Arbeit geschehen können. So war Linden (mit 25000 Einwohnern, teilweise noch nicht dicht bebaut) in Kürze durch Begehungen soweit erkundet, daß die zehn Hochpunkte und die zehn Bodenpunkte IV. Ordnung vor der Messung nahezu endgültig ausgewählt und entschieden waren, daß also der Plan im ganzen festlag; dagegen in der Südstadt von Hannover, 1892, wurden 60 Punkte auf etwa 15 qkm zwar im großen und ganzen zum voraus durch Erkundungsgänge von einigen Tagen bestimmt, die weitere Auswahl aber dem Laufe ■der Arbeit überlassen, zumal da ja das tägliche Gehen nach und von den Arbeitsstellen mit der inzwischen geschärften Ortskenntnis die geeignetsten Punkte bald herausfinden läßt.

Das Ausarbeiten eines sicher einzuhaltenden Planes mit allen Sichten, welche genommen und welche nicht genommen werden sollen, würde in einer großen Stadt einen erheblichen Teil der Zeit in Anspruch nehmen, welche man zum Messen selbst braucht. Dieses gilt namentlich bei zweifelhaften Punkten (mit Handrißskizzen nach dem Anblick im Fernrohr), deren Örtlichkeit und Namen man oft erst nach der Vollendung aller Messungen aus den Kichtungswinkeln feststellen kann.

Ehe man bei solchen Punkten eine begründete Entscheidung macht, ob sie nützlich sein werden, und ehe man auch bei bekannten Punkten genau überlegt, ob bereits eine genügende Zahl von Sichten da ist usw., wird man vielleicht rascher die Sätze messen, auch auf die Gefahr hin, schließlich einige überflüssige Messungen gemacht zu haben. (Eine Richtung in einem Satze, d. h. zwei Einstellungen und vier Ablesungen, erfordert im Mittel eine Zeit von H/₂ Minuten.)

Unsere Bodenpunkte sind mit Bolzensteinen nach Fig. 5 S. 304 bezeichnet. Was die Hochpunkte betrifft, so ist hierbei ein Wort über Schornsteine zu sagen:

Schornsteine sind, trotz ihrer im Laufe der Zeit zu befürchtenden Veränderungen, als trigonometrische Hochpunkte in Fabrikstadtteilen so vorzügliche, weit sichtbare Signale, daß man sie nicht umgehen wird, obgleich sie manche Übelstände, namentlich das Schwanken im Winde haben. Wir haben 1893 die ganz unzweifelhafte Erfahrung gemacht, daß Schornsteine im Winde Schwankungen wohl bis zu 1 3-m machten, und wir mußten eine Reihe von Messungen, die im Winde gemacht waren, verwerfen und später wiederholen, worauf die Mißstimmigkeiten verschwanden; und wir ziehen aus jener Erfahrung den Schluß, daß man hohe Schornsteine wohl als trigonometrische Punkte nehmen, aber bei Wind zur Messung nicht benützen darf. (Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 442.)

Auch über die Wahl des Zielpunktes ist bei Schornsteinen ein Wort zu sagen. Die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme pflegt, wenn Schornsteine als trigonometrische Punkte dienen, stets die Mitte zu nehmen. Zur Stadttriangulierung ist die Schornsteinmitte unbequem, weil sie auf nahe Entfernungen nur durch Einstellen links und rechts erhalten werden kann und auch sonst nicht gut ist. Wir nahmen deshalb stets den Blitzableiter, auch wenn er wie gewöhnlich exzentrisch ist. Erkundigungen führten zu dem Ergebnis, daß solche Blitzableiter wohl zehn bis zwanzig Jahre beständig sein werden. Viele andere Hauptpunkte, wie Fahnenstangen, Kuppeln usw., dürften auch nicht dauerhafter sein; wenn sie bis zur Polygonisierung und Kleinvermessung stehen bleiben, haben sie ihren Dienst getan, häufig sogar schon, wenn sie nur für die Triangulierungszeit als Vermittlungspunkt gedient haben und zu weiteren Anschlüssen gar nicht mehr in Betracht gezogen werden.

Die Messungen IV. Ordnung wurden in Hannover 1892 mit dem kleinen Mikroskoptheodolite von § 56 Fig. 21 S. 332 gemacht, meist mit vier Sätzen, bei weniger wichtigen Punkten auch nur mit drei und zwei Sätzen.

Nach Vollendung der Messungen im Felde und nach Ausrechnung aller Satz-mittel aus den Feldbüchern wurde eine vollständige vorläufige Durchrechnung mit Koordinaten und Richtungswinkeln vorgenommen, nach den Koordinaten ein Netzbild in 1:10 000 mit allen Sichten aufgetragen und alle Abrisse nach Richtungswinkeln orientiert.

Nun erst konnten einzelne zweifelhaft gebliebene Punkte endgültig erkannt und benannt werden, d. h. Punkte, welche im Feldbuch noch unbestimmt, z. B. als „spitzer Turm“, „Schornstein“ usw. aufgeführt geblieben waren, ließen sich nun durch Strahlenziehen und Versuchsberechnungen mit Näherungskoordinaten in das ganze System einordnen bzw. auch nun ausscheiden. Solche Punkte sind natürlich die sehr geringe Minderheit, aber sie sind hier nochmals erwähnt zum Beweis, daß ein völlig fester Plan der Stadttriangulierung vor allen Messungen nicht möglich war.

Erst nachdem das Netzbild in 1 : 10 000 aufgetragen und alle Winkelabrisse genähert orientiert Vorlagen, wurde an das Aufstellen eines Berechnungsplanes gegangen. Man beginnt mit den vorwärts eingeschnittenen Türmen und anderen Hochpunkten, worauf die Rüokwärtsschnitte folgen, von denen vielleicht wieder andere Hochpunkte vorwärts eingeschnitten wurden. Dieses greift mehrfach ineinander; ein Bodenpunkt mit vielen Strahlen wird oft mit Vorteil vor den Hochpunkten berechnet werden, um einen Teil seiner Strahlen wieder zu Schornsteinen usw. abzugeben usw. Nur in wenigen Fällen sind benachbarte Bodenpunkte unter sich verbunden, in den meisten Fällen sind Punkte von oft nur l/₂ km Abstand gegenseitig nicht sichtbar. Dadurch unterscheidet sich das Stadtnetz von dem Netze des freien Feldes.

Die Ausgleichungen wurden in Hannover nach unseren Beispielen von Band'I, 5. Aufl. 1904 S. 347 und 355 gemacht in vorgedruckten Schematen, alle Quotienten, Eliminationen usw. mit dem Rechenschieber. (Näheres hierzu gibt Band I, 5. Aufl. 1904 S. 105.)

Als Rechenschärfe empfiehlt sich bei Stadttriangulierungen aus formellen Gründen 0,1” und 0,001 w, obgleich die mittleren Fehler 1” und 0,01 m übersteigen. Die Hauptergebnisse jeder Arbeitsperiode, jedenfalls die grundlegenden trigonometrischen Ergebnisse, wurden jeweils autographisch vervielfältigt, damit alle beteiligten Beamten die gesicherten Zahlenwerte in autorisierter Form in die Hand bekommen und jederzeit Rechenschaft und Berichterstattung über den Stand der Arbeiten, die erlangte Genauigkeit usw. gegeben wird. Zugleich soll dadurch Sicherung des wertvollen Materials gegen Verluste erlangt werden, auch sollen Mißverständnisse und Irrungen beim Wechsel der Beamten im Laufe der Jahre verhütet -werden.

§ 92. Abrisse und Koordinaten der preußischen Triangulierungen.

Die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme veröffentlicht ihre Hauptergebnisse in Form von Abrissen in einem amtlichen Werke: „Die Königlich Preußische Landestriangulation. Abrisse, Koordinaten und Höhen sämtlicher von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme bestimmten Punkte. Herausgegeben von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme.“ Berlin. Im Selbstverläge. Zu beziehen durch die Königliche Hotbuchhandlung von E. S. Mittler & Sohn, Ivoch-straße 69/70. Die Einteilung des Landes und die entsprechende Einteilung der Teile (Bände) zeigt die nachfolgende Übersichtskarte S. 402, welche als verkleinerte Kopie aus Band VI und VII des amtlichen Werkes, früher in der „Zeitschr. f. Venn. 1886“ S. 252—256 von uns gegeben wurde, nebst Zitaten und Erläuterungen, auf welche hiermit verwiesen wird, in Verbindung mit dem, was wir auch in unserem I. Bande, 5. Aufl. 1904 S. 478—481 hierzu gegeben haben.

Die in diesen Bänden von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme veröffentlichten rechtwinkligen Koordinaten y und x beziehen sich auf ein konformes System, das über ganz Preußen ausgedehnt ist, und seinen Nullpunkt im Meridian für 31° 0' 0" geographische Länge (Ferro), auf der geographischen Breite 52° 42' 2,53251" hat (entsprechend der Kugelbreite von rund 52° 40'). Das Wesentliche der Theorie gibt unser III. Band, 5. Aufl. 1907, Kap. VII.

Die in diesem einheitlichen, über ganz Preußen sich erstreckenden System ausgedrückten rechtwinkligen Koordinaten sind daher verschieden von denen der in § 68 S. 273 behandelten und in Fig. 3 S. 272 dargestellten vierzig amtlichen preußischen Spezialvermessungssysteme.

Außer den rechtwinkligen Koordinaten gibt das amtliche Werk hauptsächlich auch die geographischen Koordinaten, Breiten und Längen, auf 0,0001" genau, d. h. die Schlußergebnisse der Triangulierungen in allgemeinster Form, so daß jede technische oder geodätisch wissenschaftliche Benützung des wertvollen Materials ohne andere Voraussetzung als die zugrunde gelegten Besselschen Erddimensionen jedem Sachverständigen anheimgegeben wird.

Als Beispiel für die Veröffentlichung der Abrisse und Koordinaten der Landesaufnahme sei der folgende Auszug aus dem Abriß für den Punkt I. Ordnung Celle, Stadtkirche, mitgeteilt aus der Veröffentlichung : XVIII. Teil, Regierungsbezirke Lüneburg und Stade. Berlin 1901.

a) Abrisse. (Seite 67.)

363. Celle. Stadtkirche, Turmspitze. (I. O.)

log S

Ausgeglichen

Beobachtet Nr.

Richtung nach

3,788 346

+ 2° 35' 5,63" 11    10 24,6

23,6

449

Norden Scheuen II

4,015 6849

158 01 47,43

50,22

237

Wathlingen I

3,336 076

318 27 51,4

48,0

382

Kl. Hehlen

4,456 7073

332    18 07.50

geschl.

743

Falkenberg,

Steinpfeiler.

b) Koordinaten und Höhen (S. 656):

Nr.

363

Ordnung

Geographische Koordinaten Breite

Länge

Namen

Nr.

52° 37' 32,6709" ! 27° 44' 54,8477"

Celle, Stadtkirche Turmspitze

und daneben (S. 657):

Ebene Koordinaten

JL

— 220 116,995

— 3 375.130

363

Höhe über N. N. Bemerkungen bezüglich Pfeiler I Platte__der Höhenpunkte

76,24

Knopfmitte

Bei der Aufstellung der Abrisse kommen viele Formfragen vor, über welche Bestimmungen der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme vom Jahre 1890 getroffen wurden. Manche dieser Bestimmungen beziehen sich auch auf die Anordnung der Messungen selbst, Festlegungen, Zentrierungen usw. und bilden insoferne eine Ergänzung unserer früheren §§ 75—79. Folgendes ist ein Auszug aus diesen amtlichen Bestimmungen :

Das Druckwerk: „Abrisse, Koordinaten und Höhen sämtlicher von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme bestimmten Punkte“ soll eine vollständige und bequem zu handhabende Grundlage für alle von den Messungsergebnissen zu machenden Anwendungen bilden.

1. 2. Die Bezeichnung „Station“ bezieht sich nicht auf einen bestimmten Punkt, sondern nur auf die Örtlichkeit, mag daselbst beobachtet sein oder nicht. Es gibt daher verschiedene Punkte derselben Station (Zentrum, Beobachtungspunkt usw.), auch „bloß angeschnittene Stationen“ und .Stationen IV. Ordnung“.

3. Auf jeder Station muß ein Punkt vorhanden sein, auf welchen sämtliche Messungsergebnisse bezogen werden. Dieser Punkt heißt das „Zentrum der Station“. Er ist der eigentliche Dreieckspunkt, gleichviel, ob er zentrisch oder exzentrisch festgelegt, d. h. im Gelände unmittelbar bezeichnet ist oder nicht. Die Bezeichnung Dreieckspunkt ist demnach gleichbedeutend mit Zentrum, darf aber nur da gebraucht werden, wo von dem Vorhandensein anderer Stationspunkte stillschweigend abgesehen wird. Alle in die Ausgleichung einzuführenden Messungsergebnisse sind die auf die Zentren bezogenen.

4.    Befindet sich auf einer Station ein Gebäude mit einem für die niederen Ordnungen bzw. Spezial Vermessungen geeigneten Zielpunkt (Turmspitze, Turmmitte usw.), so ist dieser letztere als Zentrum zu nehmen. Wenn der einzustellende Gebäudeteil keinen hinreichend scharf bestimmten oder dauernd gesicherten Mittelpunkt hat, um als Punkt I. Ordnung genommen zu werden, so soll er dem Namen nach als Zentrum gewählt werden; tatsächlich aber tritt an seine Stelle ein Punkt ohne unmittelbare Bezeichnung, der so nahe, wie dies der Mangel an Regelmäßigkeit und Festigkeit des Gebäudeteils überhaupt zuläßt, mit dessen Mittelpunkt zusammenfällt, und der durch seine Lage gegen besonders herzustellende oder ohnehin vorhandene dauerhafte Stationspunkte scharf festzulegen ist. Der betreffende Gebäudeteil darf in solchen Fällen als Zielpunkt für die niederen Ordnungen benützt werden, für welche eine Unsicherheit von einigen Zentimetern allenfalls außer acht gelassen werden kann. (-?-)

5.    Die Benennung einer Station hat, wenn die Örtlichkeit nicht einen geographischen, in der Gegend bekannten Namen führt, nach dem Namen derjenigen Gemeindeeinheit zu geschehen, zu welcher das Gelände, auf dem das Zentrum liegt, gehört. Das vom Königlichen Statistischen Bureau herausgegebene Gemeindelexikon enthält das Verzeichnis der Gemeindeeinheiten und ist für die Schreibweise maßgebend.

6.    Mehrere Stationen gleichen Namens, die sich nicht durch eine hinzugefügte nähere Be

zeichnung als verschiedene Stationen kenntlich machen, werden durch römische Ziffern unterschieden. Zur Unterscheidung von derselben Ortschaft angehörenden Türmen, deren Namen man nicht kennt, sowie von verschiedenartigen Türmen derselben Baulichkeit sind die Bezeichnungen Laternen-, Kuppel-, Giebel-, Dachreiter-, höchster, stumpfer, spitzer Turm usw., jenen nach den Himmelsgegenden vorzuziehen. Hohe, zu industriellen Zwecken dienende Schornsteine sind, in Ermangelung besonderer Namen, als „Fabrikschornstein“ usw. zu bezeichnen. Der Zusatz „Mitte“ fällt hier selbstverständlich fort. Zeichen wie    usw. für Kirchturm, Schornstein, Schloßturm usw. dürfen nicht im Ab

risse angewendet werden.

7.    Zur Benennung eines bestimmten Platzes einer Station ist eine nähere Bezeichnung dem Stationsnamen beizufügen. Hiervon allein ausgenommen ist das Zentrum, wenn es vorschriftsmäßig, d. i. zentrisch mit Pfeiler und Platte (bei den Punkten III. und IV. Ordnung vor 1875 mit Pfeiler allein) festgelegt ist (vgl. S. 307), in welchem Falle es den Stationsnamen allein erhält. Die nähere Bezeichnung besteht in der Regel in der Angabe derjenigen Vorrichtung oder desjenigen Gebäudeteils, worauf der Punkt bezeichnet ist. Z. B. Petersberg Südpfeiler, Petersberg Nordwestpfeiler, Rugard, Granitpfeiler usw. Die einmal eingeführte Benennung eines Punktes muß einschließlich der näheren Bezeichnung in gleichem Wortlaut und gleicher Schreibweise überall wieder angewendet werden, wo der Punkt vorkommt.

8.    Der Abriß eines Punktes enthält die auf den letzteren als Pol bezogenen sphäroidischen Polarkoordinaten, nämlich Richtungswinkel und Logarithmus der Entfernung gewisser anderer Punkte

26

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aull.

(Richtungspunkte). Die Nullrichtung der Richtungswinkel ist eine Parallele zum Hauptmeridian (31° östlich von Ferro), von deren nördlichem Arm die Richtungswinkel nach rechts gezählt werden.

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Übersichtskarte der preußischen Landesaufnahme.

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(Einteilung nach Bänden mit Koordinaten und Höhen.)

9.    Jeder Punkt einer Station, von welchem als Pol ein Abriß aufgestellt oder aufzustellen ist, heißt ein Abrißpunkt ; jede Station, der ein solcher Punkt angehört, heißt eine Abrißstation.

10.    Nicht nur vom Zentrum, sondern auch von besonders wichtigen exzentrischen Punkten sind Abrisse aufzustellen. Die Abrisse müssen nicht nur die Polarkoordinaten von Punkten anderer Stationen, sondern auch von bemerkenswerten Punkten derselben Station, d. h. die Zentrierelemente

der Stationspunkte enthalten. Die Abrisse müssen mit den zum vollen Verständnis erforderlichen Bemerkungen über Festlegungen, Beobachtungsvorriohtungen usw. ausgestattet werden.

11, 12. 13. Die Richtungspunkte zerfallen in drei Klassen, nämlich: 1. Netzpunkte, 2. Nebenpunkte, 3. Stationspunkte. Netzpunkte sind Punkte anderer Stationen I. bis IV. Ordnung. Die Richtungswinkel 1. Ordnung werden auf 0,001" oder 0,01", die Richtungswinkel II. Ordnung auf 0,01", die Richtungswinkel III. und IV. Ordnung auf 0,1" angegeben. Die Logarithmen der Seiten I. Ordnung werden auf acht oder sieben Stellen (je nachdem sie gerechnet sind), die der Seiten II. Ordnung auf sieben Stellen, die der Seiten III. und IV. Ordnung auf sechs Stellen gegeben. Nebenpunkte sind Türme und andere zur Einstellung geeignete Objekte, die nicht zum Dreiecksnetze gehören, deren Koordinaten daher auch gar nicht oder wenigstens nicht scharf berechnet werden.

14.    Stationspunkte sind Punkte der Abrißstation. Von diesen sind nicht nur das Zentrum, alle Beobachtungs- und Zielpunkte, alle Festlegungen und Marken, sondern überhaupt alle diejenigen in die Abrisse aufzunehmen, deren Lage zu kennen wichtig, oder nützlich, oder auch nur von geschichtlichem Werte ist (falls sie älteren Triangulationen angehören), mögen diese Punkte im Felde bezeichnet sein oder nicht, mögen sie neuerdings eingemessen oder nach früheren Angaben berechnet sein. Jede Ordnung hat der nachfolgenden die Zentrierelemente sowohl der von letzterer zu benützenden , als auch der in das Druckwerk aufzunehmenden Punkte in den Abrissen zu überliefern.

15.    Jeder Abriß beginnt mit dem Richtungswinkel des Meridians (der Richtung nach Norden) Dann folgen die Netzpunkte, demnächst die Nebenpunkte, schließlich die Stationspunkte. Die beiden ersten Klassen werden in sich nach der Größe des Richtungswinkels geordnet. Bei der letzten Klasse sind für die Reihenfolge die Wichtigkeit und Art der Punkte maßgebend.

Nach diesen Bestimmungen der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme geben wir auch noch verschiedene Zeichen, welche beim preußischen Kataster eingeführt und in der Anweisung VIII vom 25. Oktober 1881 Anlage V zu § 38 enthalten sind:

Zeichen für trigonometrische und andere Vermessungspunkte, sowie sonstige Messungszeichen.

Dreieckspunkt erster Ordnung.

© Dreieckspunkt zweiter Ordnung.

, wo die Winkel nicht beobachtet sind.

Dreieckspunkt dritter Ordnung, Wo die Winkel beobachtet sind. % Dreieckspunkt dritter Ordnung

Dreieckspunkt vierter Ordnung, Wo die Winkel beobachtet sind.

Dreieckspunkt vierter Ordnung, wo die Winkel nicht beobachtet sind.

Wird der Dreieckspunkt durch einen Kirchturm gebildet, so ist dem betreffenden Zeichen zugleich ein Kreuz hinzuzufügen,

z. B

Ähnlich kann den Zeichen für die durch andere Gegenstände gebildeten Dreieckspunkte noch eine hierauf bezügliche Signatur beigefügt werden, z. B.

3 Baum,

Säule, Denkmal,

Fahnenstange,

0t>* ÇH'-f

Gebäudekuppel, Belvedere,

Dampfschornstein,

Blitzableiter.

^ Trigonometrischer Beipunkt.

© Polygonpunkt, wenn daselbst der Winkel gemessen ist.

® Polygonpunkt, welcher bloß von anderen Punkten geschnitten ist.

worden sind.

© Polygonpunkt, für welchen die Koordinaten als Knotenpunkt berechnet

- für welchen die Richtungen mittels der Bussole bestimmt sind.

0 Polygonpunkt j

0 Knotenpunkt J

Der Pfeil dieser Zeichen ist in der Richtung des magnetischen Meridians zu zeichnen.

Jeder sonstige Messungspunkt (Kleinpunkt).

N B.

O 23 25 Nivellementsholzen (Festpunkt des Präzisionsnivellements der Landesaufnahme).

Über die Nützlichkeit solcher Zeichen sind die Ansichten verschieden, wie z. B. aus der Vergleichung mit der unter 6. (S. 401) abgedruckten Bestimmung der Landesaufnahme hervorgeht, welche solche Zeichen nicht hat.

Einen Übelstand, den solche Zeichen mit sich bringen, müssen wir hier berühren, nämlich die Unmöglichkeit, dieselben in einer beliebigen Drucksache anzuwenden, da eine gewöhnliche Druckerei die Typen dafür nicht hat. (In unserem Fall haben wir die Typen durch besondere Gefälligkeit der Reichsdruckerei erhalten.)

Zu diesen Form-Angelegenheiten gehört auch noch die Bezeichnung der trigonometrischen Punkte durch Namen oder Nummern oder durch beides. Die Landesaufnahme hat nur Namen, das preußische Kataster hat in niederer Ordnung Nummern. Wir möchten Namen den Nummern vorziehen; Flurnamen wie Strangriede, Haspelfeld usw. erwecken stets eine der Lokalisierung günstige Vorstellung bei jedem Ortskundigen, während Trig. P. 114, Trig. P. 115 usw., wenn sie auch dem vollständig Eingeweihten sich mit der Örtlichkeit in Gedanken verknüpfen, immer ein kaltes Zeichen bleiben, welches in der Erinnerung nicht haftet. Auch der Umstand, daß in Tabellen und Formularen die Namen etwas mehr Raum beanspruchen als Nummern, kann die Vorteile der Namensbezeichnung bei trigonometrischen Punkten nicht aufheben.

In Baden hatte man früher, vor 1850, Nummern für die trigonometrischen Punkte im ganzen Lande; man zählte z. B. Trig. P. 926, Trig. P. 927 usw. Bei der Neuberechnung nach 1850 wurden alle diese Nummern abgeschafft und durch Namen ersetzt.

§ 93. Schlußbemerkungen zu den preußischen Triangulierungen.

Von der Genauigkeit der Triangulierung ist in Band I, 5. Aufi, Kap. TV ausführlich die Bede, worauf hier zu verweisen ist. Es soll nur erwähnt werden, daß bei den neueren Arbeiten der preußischen Landesaufnahme die Messungsfehler für eine Richtung I. Ordnung etwa + V/', II. Ordnung etwa + 1", III. Ordnung etwa + 2¹/₂" betragen, und daß die daraus folgenden linearen Punktortfehler ohne Rücksicht auf die Ordnung und die Entfernungen etwa zu Hb 4—5 cm anzunehmen sind, jedenfalls im allgemeinen innerhalb + 1 3m bleiben, und nur für ältere oder untergeordnete Nebenpunkte diesen Betrag überschreiten.

Es werden seitens der preußischen Landesaufnahme trigonometrische Punkte in solcher Zahl und Verteilung bestimmt, daß auf 100 Quadratkilometer etwa 20 Punkte entfallen, für welche in den im vorigen § 92 angeführten Veröffentlichungen „Abrisse, Koordinaten und Höhen“ die Messungsergebnisse veröffentlicht werden. Diese Punkte sind entweder in der in § 75 S. 307 in Fig. 11 erläuterten Weise als „Geländepunkte“ durch „Stein und Platte“ vermarkt, oder als „Gebäudepunkte“ (Turmspitze) festgelegt.

Die in dem Werk „Abrisse, Koordinaten und Höhen“ nachgewiesenen geographischen Koordinaten (Länge, Breite) finden unmittelbar für die topographische Aufnahme (Kap. XVIII) und anderweite Zwecke Verwendung, während für die Zwecke der Spezial-Vermessungen, wie in § 92 schon erwähnt und in diesem Handbuch Band III, 5. Aufl. 1907 Kap. IV ausführlich behandelt wird, daraus rechtwinklige Koordinaten in einem der 40 amtlichen, in Fig. 3 § 68 S. 272 erläuterten Koordinatensysteme abzuleiten sind. Die preußische Landesaufnahme bemerkt hierzu in ihren Veröffentlichungen: „Die durch Beschluß des Zentraldirektoriums der Vermessungen vom 29. Dezember 1879 für den Anschluß der Spezialvermessungen vorgeschriebenen rechtwinkligen sphäroidi-schen Koordinaten werden in der trigonometrischen Abteilung nicht berechnet. Ihre Ableitung aus den geographischen Koordinaten für die durch den genannten Beschluß festgesetzten Koordinaten-Nullpunkte bleibt den Technikern der Spezialvermessungen überlassen.“

Es sollen auch die hier hauptsächlich in Betracht kommenden §§ 1, 4 und 5 aus den „Bestimmungen vom 29. Dezember 1879 über den Anschluß der Spezial-vermessungen an die trigonometrische Landesvermessung“ angeführt werden :

§ 1. Jede Im Aufträge oder unter der Leitung von Staatsbehörden ausgeführte Spezialvermessung (Neumessung), welche in geschlossener Lage einen Flächenraum von hundert Hektaren oder mehr umfaßt, muß an die Detailtriangulation der Landesaufnahme angeschlossen werden.

Wenn bei der Vermessung von Waldungen die Herstellung des Anschlusses an die trigonometrischen Punkte der Landesaufnahme einen unverhältnismäßigen Kostenaufwand bedingen würde und es sich dabei nicht um die Aufnahme von Eigentumsgrenzen handelt, so wird der Anschluß erst bei einem Flächenraume von fünfhundert Hektaren und mehr erfordert.

In denjenigen Landesteilen, in welchen seitens der Landesaufnahme eine Detailtriangulation noch nicht zur Ausführung gebracht worden, aher eine anderweit ausgeführte Detail triangulation vorhanden ist, ist — bis ersteres geschehen — der Anschluß möglichst an die letztere zu bewirken.

§ 4. Die Lage der trigonometrisch und polygonometrisch bestimmten Punkte gegeneinander ist durch rechtwinklige Koordinaten auszudrücken, welche auf die wirkliche Mittagslinie des Koordinaten - Nullpunktes als Abszissenlinie dergestalt bezogen werden, daß die Abszissen nach Norden positiv, nach Süden negativ, die Ordinaten nach Osten positiv, nach Westen negativ gezählt werden.

Als Koordinatennullpunkte sind ausschließlich die in dem unter A anliegenden (s. weiter unten) Verzeichnis der allgemeinen Koordinatensysteme aufgeführten Punkte für die dabei namhaft gemachten Landesteile zu verwenden,

Abweichungen hiervon sind nur solange zulässig, als seitens der Landesaufnahme in dem betreffenden Landesteile eine Detailtriangulation noch nicht zur Ausführung gebracht worden ist, auch die Grundlagen der Spezialvermessungen nicht aus den Punkten höherer Ordnungen der Landesaufnahme abgeleitet werden.

§ 5. Die Koordinaten (§ 4) sind sphäroidische, welche aber innerhalb der aufgestellten allgemeinen Koordinatensysteme für die unmittelbaren. Zwecke der Spezialvermessungen als ebene Kordinaten angesehen und behandelt werden können.

Als Beispiel sei aus dem „Verzeichnis der allgemeinen Koordinatensysteme für ■die Bestimmung der trigonometrischen und polygonometrischen Punkte für Spezialvermessungen“ (Anlage A zu § 4) das unter Nr. 27 aufgeführte System angegeben. Es ist dies das System Celle, für welches die Lage des dasselbe bestimmenden trigonometrischen Punktes der Landesaufnahme im § 92 S. 400 mit Abriß und Koordinaten angegeben wurde, und auf welches sich die meisten der in diesem VIII. Kapitel behandelten Beispiele beziehen (vgl. Koordinaten von Hannover und Linden § 80 S. 342).

Celle (Stadtkirche), trigonometrischer Punkt I. Ordnung der preußischen Landesaufnahme

Breite: 52° 37' 32,6709"

Länge: 27° 44' 54,8477". Festlegung : Kirchturmspitze.

27

Nr.

Koordinatennullpunkt

Geltungsbereich des Koordinatensystems

Sämtliche Kreise des Regierungsbezirks Lüneburg mit Ausnahme der Kreise Dannenberg und Lüchow.

Landkreise und Stadtkreise Hannover und Linden, Kreis Hameln mit Ausnahme der Enklave Polle und Kreise Springe und Neustadt a. R. (Regierungsbezirk Hannover).

Die zum Kreise Gardelegen des Regierungsbezirks Magdeburg gehörigen Enklaven Wolfsburg, Heßlingen und Hehlingen.

Die für die preußischen Spezialtriangulierungen erforderliche Genauigkeit ist durch die folgenden in der Anweisung IX vom 25. Oktober 1881, zweite Ausgabe 1894 § 22 und § 26 gegebenen Bestimmungen festgesetzt: Welche Methode der trigonometrischen Punktbestimmung und Ausgleichung auch angewendet sein mag, so dürfen' die aus den endgültigen Koordinaten abgeleiteten Richtungswinkel von den durch die Beobachtung gefundenen endgültig orientierten Richtungen nur abweichen (vgl. v im Abriß § 79 S. 334) um höchstens 15" bei den Punkten III. Ordnung, 25" bei

IV. Ordnung, und 35" bei den untergeordneten, für die Sicherung des Polygonnetzes eingeschalteten „Beipunkten“ (V. Ordnung).

Verschiedene Angaben über die Genauigkeit von Kleintriangulierungen enthält Band I, 5. Aufl. 1904, Kap. III; nach dem dortigen § 105 ist für 1745 Punkte von Stadttriangulierungen der mittlere Punktfehler +17 mm, und der mittlere Richtungsfehler + 3". Es sei hierzu auch noch zitiert „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 452—455..

Kapitel IX.

Polygonale Züge.

§ 94. Grundformeln.

Wenn mehrere Punkte in einer Ebene, etwa (0), (1), (2)... («), in der Aufeinanderfolge ihrer Numerierung durch Gerade verbunden werden, so entsteht ein offener polygonaler Zug, wie in Fig. 1 angedeutet ist (in welcher vorerst P und Q außer Betracht bleiben sollen).

Fig. 1.

ß*

Wir wollen zuerst den freien (offenen) Zug für sich betrachten, und den Anschluß ^ an ein gegebenes Koordinatensystem nachher in Betracht nehmen.

Aß*

So    S:

(3)

Ü)

OL

I. Völlig freier Zug.

Die Gestalt des Zuges an und für sich, ohne Beziehung zu einem Koordinatensystem ist bestimmt durch Messen seiner Strecken und seiner Brechungswinkel.

.......n — l,n = s„ — i (1)

1,2,3 = ß₂... n — 2,n — 1 ,n = ßn — i. (2)

0,1 = s₀

1,2 = Sj

0,1,2 = ßi

Bei M + l Punkten (von (0) , (1)... bis (n)) hat man n Seiten und n—1 Brechungswinkel, wofür wir die in Fig. 1 eingeschriebenen Bezeichnungen annehmen: Strecken :

Brechungswinkel :

Zwischen zweien von einem Punkt ausgehenden Strahlen können immer zwei verschiedene Brechungswinkel ß genommen werden, welche sich zu 860° ergänzen; wir setzen daher, um jeder Zweideutigkeit vorzubeugen, fest, daß als Brechungswinkel ß in einem Punkte stets der vom vorhergehenden Punkt zum nachfolgenden Punkt im positiven Sinn (von links nach rechts) gemessene Winkel gilt. Die Wahl der Brechungswinkel ist also abhängig von dem Sinn, in welchem man den Zug durchlaufen denkt; kehrt man diesen Sinn um, so geht jeder Brechungswinkel ß in seine Horizontergänzung 360° — ß über.

An der Fig. 1 erläutert heißt dieses so: Wenn man den Zug in dem Sinn von (0) über (1) , (2) , (3).... bis (n) durchlaufen denkt, so erscheinen die dabei links stehenden Winkel ßi , ß₂ , ßg ■ ■ ■ als Brechungswinkel ; wenn man dagegen den

Durchlaufungssinn umkehrt, d. h. den Zug von (n) über (4), (8), (2), (1) nach (0) durchlaufen annehmen wollte, so müßte man statt ß₄ den Winkel 360°—ß₄, statt ßs den Winkel 360° — ß₃ usw. als Brechungswinkel nehmen.

II. Anschluß des Zuges an ein gegebenes Koordinatensystem im Anfangspunkt.

Der Zug soll in seinem Anfangspunkt (0) an ein gegebenes Koordinatensystem angeschlossen werden, wozu erforderlich sind die Koordinaten xq dieses Anfangspunktes seihst und die Koordinaten xp yp irgend eines Punktes P, welcher von (0) aus sichtbar ist, so daß man in (0) den Anschlußwinkel P, 0,1 = ß₀ messen kann, welcher dann zu den bereits unter (2) genannten Brechungswinkeln noch hinzukommt.

Unter diesen Voraussetzungen wird sich die Berechnung des Zuges so gestalten:

Man berechnet aus den Koordinaten der Punkte (0) und P den Richtungswinkel von (0) nach P, nämlich:

tang (0, P) =

yp — yo

(3)

OCp C0q

Aus dem Richtungswinkel (0, P) und dem Brechungswinkel ßo hat man durch Addition sofort auch den Richtungswinkel (0, 1), nämlich:

(0,1) = (0, P) + ßo .

(4)

Wenn man statt (0, P) in (3) den umgekehrten Richtungswinkel (P, 0) berechnet

hat, nämlich:

tang (P, 0) = ^--^ t

CCp

(5)

dann besteht zwischen (0, P) und (P, 0) die Beziehung [nach (3) § 69 S. 274] : (0, P) = (P, 0) ± 180° oder (P, 0) = (0, P) ± 180°,

es wird also dann statt (4):

(6)

(0,1) = (P, 0) -t- 0O + 180°.

In ähnlicher Weise kann man auch schrittweise alle anderen Richtungswinkel (1,2), dann (2,3) usw. ableiten, denn es ist z. B. :

ßl-= (1,2) - (1,0) und (1,0) = (0,1) ± 180°,

(1.2)    = (0,1) + fr ±180°

(2.3)    = (1,2)+ & ±180°

also

und ebenso

usw.

!•

(7)

So kann man fortfahren bis zum letzten Punkt. Wir wollen aber nun für die Richtungswinkel, welche bisher mit (0,1) , (1,2) usw. bezeichnet waren, noch andere kürzere Zeichen einführen, nämlich:

Richtungswinkel

(0,1) = «o (1,2) = «!

(8)

Richtungswinkel (n — 1, n) = i. ,

Da man hiermit alle Richtungswinkel a und nach (1) auch alle Streckenlängen s hat, braucht man nur die Grundgleiehungen der Koordinatenrechnung (Gleichungen

III. Anschluß des Zuges an ein gegebenes Koordinatensystem im Anfangspunkt und

im Endpunkt.

Wenn auch die Endpunktskoordinaten yn , xn eines Zuges fest gegeben sind, so liefern die Summengleichungen (9) des vorigen Falles nicht mehr bloß Eechenproben, sondern nun Messungsproben, indem dann [s sin a] = yn — y$ und [s cos a] = xn — Xq sein muß.

Außer diesen Koordinatenanschlußproben kann man sich auch noch eine Richtungsanschlußprobe verschaffen, wenn man in Fig. 1 S. 407 vom Endpunkte (n) aus noch einen weiteren gegebenen Punkt Q zuziehen kann, wodurch der Abschlußbrechungs-winkel ß„ zu den früheren ß noch hinzukommt.

Die Rechnung gestaltet sich dann so;

Es sind folgende vier Punkte durch ihre Koordinaten gegeben;

P mit den Koordinaten yp , xp

(0)    » n

(10)

VO ! ^0

Man berechnet daraus die beiden Richtungswinkel (P, 0) und (n, Q), welche hier kürzer mit <xa und ae bezeichnet sein sollen, nämlich:

Summen ; yn — y₀

-t- [s sin a]

Damit ist für den nur im Anfangspunkte (0) an das Koordinatensystem angeschlossenen Zug die Rechnung abgeschlossen ; die Summengleichungen zu (9) sind reine Rechenproben und betreffen gar nichts, als ob bei dem stufenweisen Aufrechnen nach (9) kein Additionsfehler gemacht wurde.

Xn — Xq

[s cos a\

(5) oder (6) § 69 S. 274) wiederholt anzuschreiben, um auch alle Koordinaten zu erlangen :

2/l = 2/2 = 2/3 =

-t- Sq

+ S1

-t- S₂

sin «o sin ax sin «₂

xl — x0 x₂ = xx

XZ — x2

SO

cos «0 cos ax cos «2

(9)

i/n — yn — 1 —|— Sn — 1 SîU (Xn — 1

Xn — Xn— 1 -H Sn — 1 COS (Xn — 1

(n) mit den Koordinaten yn , xn Vi i xi

tang (P, 0) = tang aa -

Vq — Vp

am Anfangspunkt des Zuges

(U)

+ ßi

+■ ßz

1+1+ +

O O OO 00

180

tt,j — 1 — Un — 2 -h ßn — 1 + 180 ae — an—1 -+- ßn +. 180

(12)

-+- [ß\    ±7180°

Summe : ae

Dabei ist +7180° ein gewisses unbestimmt gelassenes Vielfaches von 180°, dessen Betrag nicht weiter untersucht zu werden braucht, weil wir 4^360° an jedem Richtungswinkel willkürlich haben (vgl. (3) und (4) § 69 S. 274).

= aa

Abgesehen von diesem +*180° gibt die Summengleichung von (12):

[0] = a« — «a .

d. h. die algebraische Summe [ß\ aller gemessenen Brechungswinkel ß muß gleich der Differenz des Abschlußrichtungswinkels ae und des Anfangsrichtungswinkels aa sein.

Wegen der Messungsfehler wird dieses nicht genau der Fall sein, sondern es wird ein Widerspruch auftreten, welcher mit fp bezeichnet sei, nämlich:

(ae - a«) — [ß] = fp .

Wenn dieser Widerspruch fp gewisse Grenzen nicht überschreitet, so verteilt man ihn zu gleichen Teilen auf die einzelnen Brechungswinkel ß, und rechnet dann nach (12) die sämtlichen Richtungswinkel a widerspruchsfrei durch.

Hat man dadurch alle Richtungswinkel « erhalten, und nimmt die Strecken s dazu, so hat man die Koordinatenberechnung:

= s₀    sin «o

= Sj    sin

= ,S'₂    sin «₂

y l — vo yz — y\ yz — y*

X1 — x0 Æ₂ — X\

x$ a?2

COS «Q COS «J COS «2

(13)

(14)

yn — yn — i — Sn—l sin an — i

Xn — Xn — 1 = Sn — 1 COS an — 1

Summen : yn — y$

— [s sin a]

= [s cos a\.

Xn Xq

Damit hat man wieder zwei Proben, ähnlich wie bei (12). Im allgemeinen werden kleine Widersprüche auftreten :

(15)

(yn — y₀) — [8 sin «] = fy und (xn — x₀) — [s cos a\ — fx ■

Bleiben diese Widersprüche fy und fx in gewissen Grenzen, so verteilt man dieselben auf die einzelnen ssina und scosa gewöhnlich nach dem Verhältnis der Strecken s, und addiert dann die Koordinaten selbst nach den Formeln (14) auf.

Alles dieses wollen wir an einem Zahlenbeispiel in folgendem § 95 zeigen.

Werden alle Brechungswinkel = 180°, also gestreckte Winkel, etwa dadurch, daß zwischen Anfangs- und Endpunkt eine gerade Linie ausgerichtet wird, so haben wir den in § 72 (1) (2) S. 290 behandelten Fall der Punkteinschaltung durch Linienmessung (Kleinpunkte).

Die Winkelsumme eines geschlossenen Polygons von n Ecken ist, wenn sieh die Seiten nicht

schneiden,

entweder [p] = (n — 2) 180° oder [ß] = (n -f- 2) 180°

Diese zwei Fälle gelten, je nachdem die Numerierung von rechts nach links (Fig. 2) oder von links nach rechts (Fig. 3) geht. Hat man z. B. bei einem Viereck, dessen Seiten sich nicht schneiden, die Numerierung nach Fig. 2, so erhält man die Innenwinkel, deren Summe ist :

[ft = (k — 2) 180° = (4 — 2) 180° = 360° .

Hat man die Numerierung nach Fig. 3, so erhält man die Außenwinkel, deren Summe für ein Viereck ist :

[0] =(»-(- 2) 180° = (4 -f 2) 180° = 1080°. Eig. 3.

Wenn dagegen zwei Seiten des Vierecks sich schneiden, so daß das Viereck ein „verschränktes“ ist, so wird, wie man sich an einer Figur überzeugt, die Summe der Winkel unter allen Umständen = 720°. Zu dem unbestimmt gelassenen Vielfachen ±«'180° in der Gleichung (12) ist eine Untersuchung von Lorber in „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 593—599 zu zitieren.

Geschlossene Vielecke haben in der praktischen Polygonometrie wenig Bedeutung. Nur für die Aufmessung kleiner in sich geschlossener Gebiete werden sie an Stelle des einfachen Liniennetzes, wie Fig. 4 § 72 S. 295, verwendet, wobei ein Anschluß an die Koordinaten der Landestriangulierung häufig nicht angängig ist und ein besonderes System eingeführt wird, z. B. dadurch, daß Linie 1—2 in Fig. 2 als a:-Achse angenommen wird, ähnlich wie in § 72 S. 295 Fig. 4.

Fig. 2.

.7

§ 95. Beispiel einer Zugberechnung.

Der in Fig. 1 gezeichnete Zug, den wir berechnen wollen, hat neun Punktet Hard, (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), Neubruch.

Hard und Neubruch, sowie die zwei Aveiteren Punkte Kapelle und Brauerei sind trigonometrisch bestimmt und haben folgende fest gegebene Koordinaten:

Cap. = Kapelle ... — 7773,87 -m Hard .    .

.    — 7853,19

Neubruch . . — 7077,54 Br. = Brauerei ... — 7708,68

+ 46101,76 m + 45313,21 + 46002,10 + 46101,27. .

(1)

Schon ehe die Messung eines Zuges zwischen Hard und Neubruch begonnen wird, kann man, zur Vorbereitung, die zwei Bich-tungswinkel berechnen, welche zum Anschluß und zum Abschluß gehören (falls sie nicht schon im Abriß der trigonometrischen

Berechnung yorliegen) :

9, i*

; Cap

X--+%ooo

wo

Flg. 1.

Neubruch

z-

J/*~7SOO

7000 0

200

300

+V0,n

V)

S/-+7000

U)

0/

Hard

4/

Hard . . —7858,19 + 45318,21 Kapelle . — 7773,87 -4- 46101,76

log— 79,32 | 1.899 383« log — 788,55 ! 2.896 829«

788,55

log tang aa

—    79,32

Bichtungswinkel (Kap., Hard) = aa = 185° 44' 39"

9.002[554

(2)

- 7708,68    + 46101,27

+ 46002,10

log — 631,14 log + 99,17

Brauerei .

Neubruch .    — 7077,54

- 631,14

Bichtungswinkel (Neubr., Brauerei) = ae = 278° 55' 47".

2.800 126« 1.996 380

99,17

log tang ae

0.803 746«

(3)

Folgendes sind die gemessenen Brechungswinkel und Strecken :

chungswinkel    Strecken

Hard

Neubruch

=    16° 8' 14"

O O CM r-f

s₀    159.60

s₁    135,72

s₂    66,45

117,33 253,83 131,13 365,22 224,85

s3

s4

(4)

s5

s6

s7

[s] = 1454,13

[0] = 1353° 8' 34"

=    93° 8' 34" 4-1260° (1260° = 7 x 180°).

Die weitere Rechnung wird tabellarisch gemacht, wie auf S. 414-415 ausführlich gezeigt ist (im wesentlichen wie im trigonometrischen Formular 19 der Anweisung IX vom 25. Oktober 1881).

Wir verfolgen diese tabellarische Rechnung S. 414 und 415 im einzelnen :

Spalte 1. 2. Die Spalten 1 und 2 dienen nur zu Verweisungen usw.

Spalte 3. 4. Die Spalten 3 und 4 werden mit den Punktbezeichnungen und den gemessenen Brechungswinkeln ausgefüllt ; zugleich kann man auch die Summe [ß] = 1353° 8' 34" unten bilden.

Spalte 5. In die Spalte 5 setzt man oben und unten die oben (2) und (3) zur Vorbereitung berechneten Richtungswinkel aa = 185° 44' 39", und ae == 278° 55' 47". Unten in der Spalte 5 berechnet man die Differenzen ae — aa = 93 11' 8". Dieselbe Differenz schreibt man auch herüber in die Spalte 4 mit: Soll 93° 11' 8", dabei überzeugt man sich, daß 1353° — 93° = 1260° ein ganzes Vielfaches von 180° ist, nämlich = 7 X 180°.

Spalte 4. Die Vergleichung von ae — «a = 93°ll'8" mit [$] = 93° 8' 34" gibt ue —ixa — [(3] — -f- 2' 34" = fß oder in Sekunden verwandelt fß = -f- 154". Die so erhaltene Differenz 154" wird auf die neun Winkel der Spalte 4 gleichförmig verteilt, was auf einen Winkel rund 17" ausmacht, weshalb überall die Korrektion + ¹?" beigeschrieben ist (und am Schluß + 18", um die Summe 154" genau voll zu haben). Statt dessen kann man auch die Anfangsrichtung 185° 44' 39" oben in Spalte 4 eintragen und dann die Summe bilden, so daß die Summe 1538° 53'13" erscheint, welche wieder den Abschlußfehler + 2' 34" gibt.

Spalte 4. 5. Nun kommt die stufenweise geführte Berechnung der Richtungswinkel nach den Formeln (12) § 94 S. 409. Wir schreiben den Anfang ausführlich : 185° 44' 39"

VC,!

«o -

■ 17

+ 16° 8' 14"

21° 53' 10"

+ 17

+ 261° 52' 20"

201° 53' 10" — 180°

«1 =

283° 45' 47" -^180°

103° 45' 47"

........usw.,

wobei zum Schluß die Abschlußrichtung 278° 55'47" zur Probe sich richtig ergeben muß.

Spalte 7. 8. Mit den Richtungswinkeln a aus Spalte 5 und den Strecken s aus Spalte 6 kann die logarithxnische Rechnung log s sin a und log s cos a gemacht werden (mit fünfstelligen oder sechsstelligen Logarithmen), dabei haben wir die Spalten nach der Anordnung I § 81 S. 344 genommen, während die preußische Anweisung IX die Anordnung II vom § 81 S. 344 hat.

Spalte 9. 10. Einsetzung der ssina und scosa selbst in je zwei Spalten für 4- und —. Dann Addition der Kolumnen, so daß man unten hat:

[s cos a] = -+- 688,49 .

[s sin «] = -i- 775,39

Spalte 11. 12. Oben und unten werden die gegebenen Koordinaten eingesetzt,, und unten die Differenz gebildet:

xQ = + 45313,21 Hard

y₀ = — 7853,19

yn = — 7077,54

xn = -\- 46002,10 Neubruch

yn— Vo — + 775,65 , xn — æ₀ = -+-    688,89.

Spalte 9. 10. Diese soeben in den Spalten 11 und 12 berechneten Koordinatendifferenzen werden als „Soll“ links herüber gesetzt und zeigen die Widersprüche:

fy — ■+ 0,26 m

/*=-+- 0,40 ■m

Rechenschieber auf

Diese Widersprüche verteilt man gewöhnlich im Verhältnis der Streckenlängen s,. wozu man in der Spalte 6 die Summe [s] = 1454,13 bildet. Die Verteilung selbst macht man am einfachsten mit dem Rechenschieber, z. B. für y, indem man den 26

1454

die man in Spalte 9 zufügt. Ebenso werden 4, 4, 2 usw. in Spalte 10 erhalten. Die Vorzeichen der Verbesserungen sind den Vorzeichen der fy und fx unten in den Spalten 9 und 10 gleich.

stellt und am Läufer der Reihe nach 3, 2, 1, 2 usw. abliest,

Spalte 11. 12. Die so verbesserten ssina und scosa setzt man von 9 und 101 nach 11 und 12 hinüber, z. B. :

+ 0,03

/J y — 59,49 = -+- 59,52 usw.

s sin a = -f~ 59,49

Dann addiert man Schritt für Schritt die Spalten 11 und 12 herunter, und muß auf die vorher unten schon eingesetzten Koordinaten des Endpunktes Neubruch herauskommen.

Das hier eingehaltene Verfahren, wonach zuerst der Richtungswiderspruch auf alle Brechungswinkel gleich verteilt wird, und dann die Koordinatenwidersprüche auf die einzelnen s sin a und s cos a nach Verhältnis des s umgelegt werden, dieses sehr einfache Verfahren, welches gar keine besondere Ausgleichungsmühe verursacht, ist für die praktischen Zwecke der gewöhnlichen Zugmessung zu empfehlen. Einige theoretische Bemerkungen hierzu werden sich später ergeben.

414

Beispiel einer Zugberechnung.

§ 95.

§ 95.

Beispiel einer Zugberechnung.

415

Koordin atenberech nung

eines Polygonzuges mit Logarithmen.

Nr. des Zuges

Punkt

Brechungs

winkel

Richtungs

winkel

Strecke s

logs

log s

log sin a log cos a log s sin a log s cos a

Ordinaten-

unterschied

Abszissen

unterschied

s sin a

s cos a

Y erbesserter Y erbesserter Ordinaten- Abszissenunterschied unterschied

A x und

Ordinate y Abszisse x

A y und

Punkt

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

(Cap.)

Hard

+ 17

16° 08' 14"

185 ⁰ 44' 39"

-m

21° 53'10"

(Fig. 1 S. 411.)

(1)

(2)

+ 17

261° 52' 20"

103° 45' 47"

+ 17

196r 47' 10"

120° 33' 14"

Zug Nr. 1 der Gemarkung Grünwinkel bei Karlsruhe.

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Neubruch

Summe 7 x 180°

Soll

Verbesserung

fß

+ ¹⁷

189° 14' 0"

129° 47' 31"

+ 17

98° 05' 0"

47° 52' 48"

+ 17

251° 01'40"

118° 54'45"

+ 17

74° 36'35"

13°31'37"

+ 17

178° 50' 55"

12° 22'49"

+ 18 86° 32'40"

1353° 08' 34" 1260°

278° 55' 47"

93° 08'34" 93° 11'

93°11' 8"

aa

2.203 033 2.203033 159,60 19.571 433 9.967514

1.774 466    2.170547

2.132 644    2.132644

135,72    9.987 348    9.376 407*

2.119 992    1.509051»

1.822 495    1.822495

66,45    9.935 079    ! 9.706161*1

1.757 574    1.528 656J

2.069 409    2.069409

117,33    9.885 572    9.806181J

1.954 981    1.875 590J

2.404 543    2.404 543

253,83    9.870 253    9.826519

12(274 796^ 2.231062 |

2.117 702 2.117702 131,13 | 9.942 186 9.684373*

2.059 888 1.802 075J

2.562 555 2 562555 9.369 035 9.987 783

1.931 590 2i55Q338~

2.351 893 2.351893 9.331 223 9.989 782 |

17683 116 2.341675

•m

ł-n-

-m

365,22

224,85

1454,13

7853.19

+ 45313,21

Hard

59,49

149,10

59,52

7793.67

148,14

45461.35

(1)

131,82

57,22

90,15

Hb 188,2

+ 114,79

85,43

48,21

+ 775,39

0,00

32,29

4- 2

33,78

75.09

+ 131,84

— 7661,83

—    32,25

+ 45429,10

(2)

57,23

7604.60

90,17

7514,43

—    33,76

+ 45395,34

75,06

+ 45320,28

(3)

(4)

+ 170,24

7326.10

170,31

+ 45490,59

(5)

4- 4

63.40

114,81

7211.29

—    63,36

+ 45427,23

(6)

+ io 355,09

219,62

+ 893,05

204,56

85,50

7125,79

48,25

7077,54

775,65

355,19

+ 45782,42

219,68

46002,10

688,89

(7)

Neubruch

+ 2' 34"

: + 154"

775,39 Soll + 775,65

Verbesserung fy = + 0,26

Soll

688,49

688,89

y»

Xn — Xo

Vf y² 4- fx* = /

0,48 m

§ 96. Weiteres über Zugberechnung.

Zulässige Widersprüche.

Ohne jetzt schon auf die Fehlergesetze einzugehen, nach welchen sich der Winkelsumm en widersprach fß und die Koordinatenwidersprüche fy und fx zusammensetzen, wollen wir nur die hierfür gültigen amtlichen Bestimmungen der preußischen Anweisung IX vom 25. Oktober 1881 hier zusammenstellen.

Nach S. 23 und 40 dieser Anweisung darf der Gesamtwinkelfehler eines Zuges den Betrag von 1,5 ]/n Minuten in der Kegel nicht übersteigen, wobei n die Anzahl der Brechungswinkel, den Anschluß- und Abschlußwinkel mitgerechnet, bezeichnet. Diesem entspricht folgende Tabelle :

n = 2

= 2,1' 3,0'    3,7'    4,2'    4,7'    5,8'    6,7'    7,5'. \

(1)

4    6    8    10    15    20    25 |

fß max

Unser Beispiel von § 95 S. 414—415 hat, mit n ~ 9, den Widerspruch fß — -f- 2' 34", was nach vorstehender Tabelle (1) noch zulässig ist.

Übrigens ist zu bemerken, daß unser Beispiel § 95 S. 414—415 (von der Gemarkung Grünwinkel bei Karlsruhe) durchaus kein Muster von Genauigkeit sein soll.

Über die zulässigen Koordinatenwidersprüche fy und fx (welche theoretisch sehr schwer zu behandeln sind) hat die Anweisung IX vom 25. Oktober 1881 S. 24 dasselbe Grenzfehlergesetz angenommen, welches wir bereits in § 21 (17) und (18) S. 79 und S. 80 für die reine Längenmessung zitiert haben, nämlich für drei Klassen von Verhältnissen :

I. günstig II. mittel III. ungünstig Diesem entspricht folgende Tabelle :

Vfy* +7Ź = f = 0,01 V4[s]-U 0,0050 [s]2

(2)

„    0,01 ]/6 [s] -f- 0,0075 [s]2 •

„    0,01 1/8 [s]    0,0100 [s]2

Summe der Seiten

Zulässig    im Falle

| III. ungünstig

I. günstig

II. mittel

200 m

0,32 m

0,39 in

400

0,49

0,45 ni

0,60

0,69

600

0,65

0,79

800

0,80

0,92

0,98

1,13

1000

0,95

1,16

1,34

1500

1,31

1,61

1,86

2000

1,67

2,05

2,36

2500

2,03

2,48

2,88

3000

2,39

2,92

3,38

Unser Beispiel von § 95 S. 414—415 hat fy — 0,26 , fx—~t- 0,40, also die Hypotenuse hierzu ]/0,26² -f- 0,40² = 0,48 = f. Die Seitensumme ist [s] = 1454 m, und hierfür ist nach vorstehender Tafel der Fehler 0,48 -m in allen drei Klassen zulässig, wie überhaupt solche amtliche Fehlergrenzen gewöhnlich so weit gehalten sind, daß der sorgfältig arbeitende Landmesser sie leicht einhalten kann.

Da das Polygonnetz der Stückvermessung als gegebene Grundlage dienen soll, wäre wohl eine engere Fehlergrenze für die lineare Abweichung f, etwa i/₂ oder gar i/3 der Längenmessungs-Fehlergrenze (2), welche auch für das Liniennetz § 72 S. 289 gilt, angezeigt.

Auffindung eines groben Fehlers in einem Zuge.

Wenn in einem Zuge ein grober Winkelfehler ist, so zeigt sich das sofort in dem Riehtungsabsehlusse ; ein grober Streckenfehler kommt erst in den Koordinatenabschlüssen zutage. Es gibt für beide Arten von Fehlern Hilfsmittel, um den Ort des Fehlers zu finden.

1. Ein grober Winkelfehler kann dadurch aufgefunden werden, daß man den Zug vorwärts und rückwärts berechnet oder aufträgt, dann werden die beiden so erhaltenen Züge sich in einem Punkte schneiden, welcher sich dadurch als Fehlerpunkt zu erkennen gibt.

Wenn man einen im Richtungsabschluß nicht stimmenden Zug trotzdem vorläufig nach Koordinaten durchrechnet, wobei statt der richtigen Endkoordinaten xH yn die falschen xn' yń erhalten werden, so kann man daraus und aus dem Richtungsabschlußfehler Ö die Koordinaten x y des Fehlerpunktes berechnen nach den Formeln :

_ yn + yn y 2

Xn + Xn

Xn — Xn

(3)

—*'Jï

yn — y» cota _

2 ⁹ 2 •

Diese Formeln sind mitgeteilt und entwickelt von Brönnimann in der „Zeitschr. f. Venu. 1888“ S. 526. Wenn es nicht gelingen sollte, einen groben Winkelfehler unmittelbar (Nachsehen im Feldbuche usw.) aufzufinden, und wenn auch das Aufträgen des Zuges vor- und rückwärts mit Strahlenzieher und Maßstab nicht zum Ziele führen sollte, so sind die Formeln von Brönnimann zu empfehlen.

der Verteilung nach Gutdünken in Zentimetern mehr unmittelbare (und mittelbare) Arbeit, als wenn man ein für allemal auf Millimeter rechnet, obgleich die Millimeter keinen reellen Wert haben. (Verteilung stets mit dem Rechenschieber.)

Im Beispiel S. 414 war mit sechsstelligen Logarithmen gerechnet; für die Messungsgenauigkeit dieses Zuges würden fünfstellige Logarithmen ausgereicht haben. Für umfangreiche Rechnungen ist die Überlegung, ob fünf- oder sechsstellige Logarithmen angewendet werden sollen, von Bedeutung. In der Regel genügen fünfstellige Logarithmen, für untergeordnete Züge mit kurzen Seiten auch wohl vierstellige. Im letzten Fall können die Richtungswinkel auf Minuten, halbe oder Drittel-Minuten abgerundet werden, während man bei fünfstelliger Rechnung und Abrundung der linearen Werte auf Zentimeter, nachdem in den Spalten 4 und 5 des Formulars S. 414 die Einzelsekunden mitgeführt sind, beim Eingehen in die Logarithmentafel unter Umständen (kurze Strecken) auf Zehner-Sekunden äbrunden kann.

Koordinatentafeln.

Schon in § 70 S. 281 haben wir die Tafelwerke für ssina und scosa erwähnt, welche zur Erleichterung der Koordinatenberechnung von Zügen dienen sollen. In früheren Zeiten, mit Beschränkung der Winkelgenauigkeit auf 1' (alte Teilung) oder 1 c (neue Teilung), haben diese Tafeln die besten Dienste geleistet; z. B. in der badischen Katastervermessung sind seit 1852 wohl alle Züge jahrzehntelang ausschließlich mit der Ulffers-Tafel (S. 281) berechnet worden. Wenn man jedoch genauer als Y oder Y' rechnen will, wie z. B. bei Stadtzügen, welche auf 1" und 1 -mm berechnet werden, ist fünf- bis sechsstellige logarithmische Rechnung besser als die Rechnung mit jenen Tafeln, welche jedoch zu nebenhergehenden Versicherungsrechnungen immer noch gute Dienste leisten mögen.

Rechenmaschine.

Die Berechnung von Polygonzügen wie auch von Liniennetzpunkten § 72 S. 290, welche in der Praxis in großem Umfange vorkommt, ist ein besonders günstiges Gebiet für vorteilhafte Verwendung der Rechenmaschine.

Tafeln für sina und cos a wurden bereits S. 282 genannt; die dort angeführten „Vierstelligen polygonometrischen Tafeln“ von Seiffert enthalten außer den Werten von sin a und cos a zur Sicherungsberechnung auch noch die Werte von j/2 sina und Y 2 cos a. Man kann nämlich eine solche Berechnung nach den Formeln

VS

tC ca

•I

's 's

4^

ÜT

IO

to| co ic| co

's

v_Q

IcM

ausführen, wodurch die vollständige Unabhängigkeit beider Berechnungen erreicht wird.

Wir geben unser Beispiel § 95 S. 414 und 415 nunmehr auf S. 419 mit Verwendung einer Rechenmaschine.

(Fortsetzung des Textes auf S. 420.)

Punkt

l.

Hard

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(?)

Summe 7 X 180°

Soll

rung fß

Rolygonzugberechnung mit der Rechenmaschine.

Brechungs- Richtungs-

Strecke

Genäherte

und

Genäherte

und

endgültige Abszisse oc

8.

-b 45313,21

Hb 45461.31

+ 45461,35

+ 45429,02 ~b 8

-b 45429.10

H- 45395,24 ~b io

H- 45395,34

-b 45320,15

H- 45320,29

H- 45490,39 + 20

H- 45490,59

-b 45426,99

~b 24

H- 45427,23

H- 45782,08

+ 34

-b 45782,42

+ 46001,70

+ 40

H- 46002,10

- Xn

fx — H- 0,40 = 0,47 0,276

1000

Spalte 1—4 entsprechen der Rechnung auf S. 414. In Spalte 5 und 6 sind fünfstellig die sin und cos aus einer der in § 70 S. 282 genannten trigonometrischen Tafeln übernommen, und dabei nach den Quadranten der Richtungswinkel die Vorzeichen der Koordinatenunterschiede angeschrieben. Nun werden Multiplikations- und Additions-(Subtraktions-) Fähigkeit der Maschine zum Bilden der Reihen y₀ + s₀ sin a₀ + Sj sin ... ; ,r₀ + -S'₀ cos «g 4^ s₁ cos ... ausgenützt und unmittelbar die unverbesserten Koordinaten y , x (die feingedruckten Zahlen in Spalte 7 und 8 S. 419) von der Maschine abgelesen. Die so erhaltenen Koordinaten des Endpunktes geben im Vergleich zum gegebenen Wert die Abschlußfehler fy = - 7077,54 + 7077,79 = + 0,25 ; fx = +46 002,10 —46 001,70 = -f- 0,40. Die an den genäherten Koordinaten anzubringenden Verbesserungen können mit dem Rechenschieber, einem Diagramm, oder auch bei gleichzeitiger Aufsummierung mit der Maschine abgeleitet werden; in unserem Beispiel 172 X (16-f-14 + 7 ...) usw. (Zum Anschreiben der Koordinaten in Spalte 7 und 8 nimmt man in passender Weise bunte und schwarze Tinte.) Bei Verwendung einer Burkhardtschen oder Steiger-Eglischen Maschine stelle man nach Ablesen und Anschreiben einer Koordinate zuerst nach dent Vorzeichen in Spalte 5 oder 6 den Stellhebel für den Sinn der Zulegung des Koordinatenunterschiedes ein und dann als Multiplikandus sin a bzw. cos a.

Recliemchieber. Erwähnt sei noch, daß bei der französischen Katastervermessung zur Berechnung der Koordinatenunterschiede der in § 41 S. 160 Fig. 9 beschriebene Rechenschieber von Lallemand verwendet wird, vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1900“ S. 233—236-

Geschichtliche Bemerkungen.

Die Theodolit-Polygonzüge sind heute nach der Triangulierung das wichtigste Element der Katastervermessungen und der genauen Landesaufnahmen überhaupt; indessen haben die Züge nur langsam diese Bedeutung gewonnen.

In einzelnen Fällen sind solche .Züge wohl auch früher gemessen worden ; z. B. wird von-der württembergischen Landesvermessung 1820—1840 berichtet, daß man im Schwarzwald, wo die Triangulierung in Täler nicht hineinkommen konnte, Polygonzüge mit dem Theodolit und mit löschühigen Meßlatten (4,3 m) nebst Setzwage und Sinus-versus-Tabelle (1 — cos a) maß, im ganzen 383 Kilometer, wie wir schon in § 18 S. 54 berichtet haben, doch betrachtete man das damals als Notwerk in besonderen Fällen der Unzugänglichkeit, und als reguläres Glied der Landesvermessung treten die Züge in Württemberg (nachdem sie schon seit 1850 in den Geometerschulen gelehrt und auch praktisch angewendet waren) erst mit der Anweisung von 1871 auf. Der Ursprung der Züge im heutigen Sinne scheint im Rheinland, Westfalen und Hessen zu liegen (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1886“ S. 535 — 537). Hammer in Altkirch berichtet in der „Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 25—27, daß in Westfalen und Hessen schon 1803 — 1816 Messungen dieser Art gemacht worden seien (vgl. auch „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 441).

Helferich bemerkt in der „Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 58, daß Tenner und Beißig mit der Bearbeitung ihrer Koordinatentafel (vgl. S. 281) schon um 1825 beschäftigt waren, was auf noch frühere Anwendung der Züge schließen läßt.

In dem Werke von F. G. Gauß, „Die trigonometrischen und polygonometrischen Rechnungen in der Feldmeßkunst“, 2. Auflage 1892, S. 370—371 wird als erste amtliche Quelle für Polygonzüge angegeben : „Instruktion für das Verfahren bei der Vermessung usw. in den rheinisch-westphälischen Provinzen der preußischen Monarchie“ vom 12. März 1822. Es ist aber bei Preußen zu beachten, daß die Rheinlande in geodätischer Beziehung eine wesentlich andere Entwicklung durchgemacht haben als die östlichen Provinzen, in welchen die Polygonzüge erst durch die Anweisung IX vom 25. Oktober 1881 endgültige amtliche Einführung gefunden haben. Wenn man die amtlichen Vermessungsanweisungen als Einführungstermin in den verschiedenen Ländern betrachtet, so haben die Theodolit-Polygonzüge in Deutschland folgenden Entwicklungsgang genommen : Preußisch-Westfalen und Rheinprovinz 1822, Hessen 1824, Oldenburg 1836, Waldeck 1851, Baden 1852, Schwarzburg-Sondershausen 1853, Nassau 1862, preußische Provinzen Schleswig-Holstein, Hannover, Hessen-Nassau 1868, Württemberg 1871, Bayern 1875, Gesamt-Preußen 1881.

§ 97. Anlage eines Polygonnetzes.

Polygonnetze werden selten selbständig angeordnet, sondern zur gegenseitigen Verbindung zwischen trigonometrische Punkte gelegt. Die Polygonzüge sind das wichtigste Verbindungsglied zwischen der Triangulierung und der Kleinvermessung.

Fig. 1. Polygoiiometrisch.es Netz der Stadt Linden bei Hannover. Koordinatensystem Göttingen. (Mahstab 1: 20 000.)    123 Punkte auf 3 qkm.

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40

39

Köterholz

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111

110

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y=-15000

Als Beispiel eines polygonometrischen Netzes geben wir zuerst in Fig. 1 und Fig. 2 S. 422 die in den Jahren 1887—1888 von uns aufgenommene Stadt und Feldmark Linden vor Hannover, und zwar zuerst Fig. 1 nur das Stadtnetz im alten Göt-

tinger Koordinatensystem (Koordinaten Göttingen S. 287) und dann in Fig. 2 die Stadt und Feldmark im ganzen, nachdem die Umrechnung auf das Celler System (Koordinaten Celle S. 287) stattgefunden hatte.

Fig. 2. Stadt und Feldmark Linden bei Hannover. Koordinatensystem Celle. (Maßstab 1 : 37 000.) 203 Punkte auf 6 qkm.

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X=-310Mm

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100ßm

Diese Lindener Polygonisierung schließt sich unmittelbar an die Triangulierung welche wir früher in § 80 Fig. 2 S. 339 dargestellt haben. Die zehn trigonometrischen Bodenpunkte bilden die Knotenpunkte des Polygonnetzes. Die Entfernung der trigonometrischen Punkte, also die Länge eines Hauptzuges, ist in diesem Falle nur etwa 700—800 -m, weil es sich um eine Stadtvermessung handelt, bei welcher große Genauigkeit erfordert wird, und bei welcher nachher noch weitere Polygonzüge zweiter und dritter Ordnung gelegt werden. („Zeitschr. f. Venu. 1888“ S. 12.)

Als zweites Beispiel geben wir in Fig. 3 S. 423 eine Dorfgemarkung, nämlich Grün winkel bei Karlsruhe, aus deren Polygonnetz auch schon unser Beispiel eines einzelnen Zuges in § 95 mit Fig. 1 S. 411 und der Berechnung S. 414—415 entlehnt war.

an,

TT

500

Es sind hier sechs trigonometrische Punkte vorhanden, und zwar vier zugängliche Bodenpunkte A , T) , N, ff und zwei unzugängliche Hochpunkte C = Kapelle und B = Brauerei. Außer den Punkten der eigentlichen Züge sind auch sogenannte „Schnittpunkte“ angenommen, d. h. Punkte, welche von einem bereits festen Punkte ans nur durch einen Richtungswinkel und eine Entfernung, also ohne Probe, bestimmt werden.

Fig. 3. Polygonometrisches Netz der Gemarkung Grünwinkel bei Karlsruhe.

(Maßstab 1:15 000.) 115 Punkte auf 1,64 qkm.

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Umfang 33 Polygonpunkte, Innern 72

«11000«, - =4'

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10 Schnittpunkte, ganzen 115 Punkte auf l,64cpfUn „    1 <p4 m.

ft

oder 70

ft

Was die Zalil der Polygonpunkte im allgemeinen betrifft, so gibt die Anweisung IX vom 25. Oktober 1881 S. 17 hierüber ungefähr folgendes:

Anzahl n der Polygonpunkte auf 1 cykm (100 ha.) :

Durchschnittliche Parzellengröße Kartenmaßstab

über 50 Are

50—5 Are

1 : 2000

1 : 1000

unter 5 Are Städte 1 : 500

Ebene, ohne Hindernisse . .

Mittelverhältnisse.....

Berge und Hindernisse .    . .

n= 13 u — 20 n = i 0

n = 33

n — 50

n = 100

« = 100 «=133

n = 200

Numerierung der Polygonpunkte. In unserem Lindener Netz (Fig. 1 S. 421) ist die Numerierung ohne besonderes System gemacht, sie zeigt einfach die infolge der Züge, und das ist das bequemste. Wird im Laufe der Vermessung ein Punkt eingeschaltet, so wendet man Zwischennummern an, z. B. (62a) und dergleichen.

Nach der preußischen Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881 S. 20 werden die Polygonpunkte gemarkungsweise, mit Eins beginnend, fortlaufend numeriert, jedoch einschließlich der trigonometrischen Beipunkte (trigonometrische Punkte niederster Ordnung). Im übrigen ist die Numerierung willkürlich, etwa der Zeitfolge der Auswahl oder der Messung entsprechend.

Bei der badischen Katastervermessung bestehen besondere Vorschriften über die Numerierung (Anweisung von 1863, § 41). Es wird in jeder Gemarkung in der Ortschaft mit (1) begonnen, dann geht die Numerierung nach Norden, und kommt in der ganzen Gemarkung in dem Sinn von Norden über Westen, Süden und Osten herum. In nicht bewohnten Gemarkungen beginnt die Numerierung auf einem nördlichen Punkte in der Nähe der Gemarkungsgrenze, und wird von da über West, Süd und Ost fortgeführt. Die Nummern der Gemarkungsgrenzstmw?. welche von der übrigen Numerierung-unabhängig sind, werden endgültig eingehauen.

Anordnung der Polygonzüge. Was man über die Anordnung der Züge im allgemeinen sagen kann, ist in Kürze folgendes: Bei der Vermessung einer Gemarkung oder einer Stadt folgen die Potygonzüge im allgemeinen den vorhandenen Wegen, Eisenbahnen, Wasserläufen, wichtigen Grenzzügen usw., so daß bestimmte Vermessungskomplexe — bei den Katastervermessungen die „Fluren“ — von Zügen umschlossen sind, ähnlich wie die Figuren 1, 2 und 3 S. 421—423 erkennen lassen. Dieses Netz der Züge wird — je nach den vorliegenden Umständen — so angelegt, daß die Linienabsteckungen der Kleinmessung auf enge Gebiete beschränkt bleiben. Vgl. Fig. 2 § 25 S. 98. Man unterscheidet Hauptzüge und Nebenzüge. Die Hauptzüge sollen auf dem kürzesten Weg und mit Vermeidung stark aus- und einspringender Ecken einen Dreieckspunkt mit dem andern verbinden. Die Zugseiten sollen möglichst gleich lang und nicht zu kurz, d. h. mindestens 100-m, höchstens 300 m und im Mittel etwa 150 m

lang sein.

Die Nebenzüge legen sich in gleicher Weise zwischen je zwei Punkte der Hauptzüge. Weitergehende Zugeinschaltungen sucht man möglichst zu vermeiden.

Die Polygonlinien müssen so gelegt werden, daß sie für die Kleinmessung bequem verwendbar sind und ihre Längen gut mit Meßwerkzeugen § 18, 19 gemessen werden können. Jeder Punkt soll nach möglichst vielen Richtungen hin Verbindung haben. Lange parallel laufende Züge ohne Querverbindungen sind ungünstig.

Über Knotenverbindungen der Züge s. den folgenden § 98 S. 428—430.

Anschluß an clie Kleinvermessung. Je nachdem man mit der polygonometrischen Messung mehr ins kleine geht, oder früher Winkelspiegel- (Kreuzscheihen-) Messungen anschließt, gestaltet sich die Anordnung verschieden. Ein Beispiel für den ersten Fall, sehr weit ins kleine getriebene Polygonmessung, allerdings mit vielen, tot auslaufenden Strahlen, zeigt Fig. 4 von der Karlsruher Stadtvermessung (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 316).

Fig. 4. Teil des Polygonnetzes der Karlsruher Stadtvermessung.

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100m

Die Polygonpunkte und die auf den Polygonseiten bestimmten Linienpunkte (Kleinpunkte), für welche die Koordinatenberechnung bereits in § 72 S. 289 behandelt wurde, sind die Ausgangspunkte der Messungslinien und untergeordneten Aufnahmezüge.

Wie sich dann die Kleinvermessung in Städten an das Polygonnetz anschließt, das haben wir bereits in § 24 behandelt.

Zum Schlüsse dieses § 97 geben wir in Fig. 5 S. 426 auch noch ein Polygonnetz der Stadt Leipzig von Händel, aus „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 132, welches die Anschlüsse der Stückvermessung an die Polygonpunkte zeigt.

Fig. 5.

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§ 98. Weiteres über Polygonnetze.

So einfach und bequem, wie im vorigen § 97 die Anlage eines Netzes von Zügen angegeben wurde — Hauptzüge zwischen trigonometrischen Punkten, dann Zwischenzüge II. Ordnung —, läßt sich selten alles durchführen ; es werden manche Abweichungen von diesem glatten Verfahren nötig, mit welchen wir uns hier beschäftigen:

I. Anschluß eines Zuges an einen unzugänglichen Hochpunkt.

Wenn ein Zug in der Nähe eines trigonometrisch bestimmten Kirchturms oder eines ähnlichen unzugänglichen hochgelegenen Punktes vorbei geht bzw. ausmündet, so kann man nicht unmittelbar, sondern nur durch eine Hilfsmessung anschließen,, welche durch Fig. 1 veranschaulicht wird.

Ein Zug m' m n n' wird in der Nähe eines Hochpunktes C, dessen Koordinaten gegeben sind, vorbeigeführt.

Es sind hier zwei Fälle zu unterscheiden :

Fig. 1.

sc

71/

Erster Fall: Wenn in der Nähe von C ein weiterer durch Koordinaten gegebener Punkt A sichtbar ist, was in dem Punkt m der Fall sein soll/, so kann man die Koordinaten von in berechnen, und kann daher auf m Jden Zug jin Beziehung auf Richtungswinkel und Koordinaten abschließen, wie wenn der Punkt m unmittelbar ein trigonometrischer Punkt wäre.

Zweiter Fall: Wenn ein weiterer trigonometrischer Punkt A in der Nähe von m nicht sichtbar ist, so kann man bestimmen, folglich den Zug in C in Beziehung auf Koordinaten abschließen, nicht aber in Beziehung auf den Richtungswinkel.

Unter Voraussetzung des ersten Falles nehmen wir als gegeben die Koordinaten von C und von A zu einem Zahlenbeispiel, nämlich:

zwar

777'

die Entfernung rn C durch eine Hilfsmessung

Differenzen

Punkt C — 7773,87 Punkt A — 8240,62 Es wird die Zugseite mn mit C zu einem Dreieck verbunden, gleichzeitig wird/ auch in m der entfernte Punkt A angezielt ; man mißt also folgende drei Winkel und eine Seite : s = 122° 51' 30"

Aus a und y erhält man auch läßt sich berechnen :

+ 46101,76 Hh 46014,26

a = 29° 28' 20"

SCL

— 466,75 — 87,50 .

= 50° 49' 40"    , Seite m n = 125,16 m .

= '180° — (a + y) = 99° 42' 0" und damit

Cm

sin y = 98,438 , log C m = 1.993 162 .

m n sin ß

Aus den oben gegebenen Koordinaten von G und A berechnet man den Richtungswinkel und die Entfernung von C nach A. nämlich :

(CA) = 259° 22' 56" log CA = 2.676585 , CA = 474,881 .

Sobald CA berechnet ist, hat man dieselbe Aufgabe, wie früher in Fig. 1 § 78 S. 323, d. h. man hat in dem Dreieck ACm zwei Seiten CA und Cm und den

nicht eingeschlossenen Winkel A m C = fi. Daraus berechnet man den spitzen Winkel hei A, nämlich :

sin A —

sin e ,

A = 10° T 40" .

Damit hat man auch ö = 180° — (4 + «) = 47° 6' 50".

Um die Koordinaten von C auf m überzutragen, hat man bereits die Entfernung Cm — 98,488 oben bestimmt, der Richtungswinkel (Cm) findet sich ebenfalls, nämlich: (Cm) = (CA) -6= 212° 16' 6".

Damit wird:

xm — xc-+- C m cos (C m) Xw — -+- 46018,525 m,

ym — yc    C m sin (C m)

ym= — 7826,425 m

womit die Aufgabe gelöst ist. Zur Probe rechnet man aus den Koordinaten von m und von A den Richtungswinkel (mA) = 269° 24' 36", was = (CA) + A = 269'⁰ 24' 36"

Punkt m:

sein muß, also vollständig stimmt.

Von der Stadtvermessung Berlin wird dieses Verfahren berichtet von Mühlenhardt in „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 245 mit Fig. 2 in der Weise, daß um den Punkt A

herunterzubringen, man sich mit eitler Basis nicht begnügt, sondern man mißt zwei Basis-

Fig. 2.

Tfv

Iv-

linien y a und a ß, und in den Punkten y, a, ß werden alle vorhandenen Richtungen Auch wenn von

gemessen.

dem Punkte y aus kein ferner Dreieckspunkt sichtbar ist, so kann doch durch das Dreieck a y A die Messung und Berechnung des Dreiecks aß A kontrolliert werden.

(Ein gutes Zahlenbeispiel für einen ähnlichen Fall mit Kontrolle gibt Vogler in „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 620—623.)

Es kann auch in Fig. 1 S. 427 der Zug m'm C direkt an C angeschlossen werden, indem die unzugängliche Anschlußstrecke tnC wie vorstehend aus dem Dreieck mnC und der im Zug fehlende Abschluß winkel m C A = ö aus dem Dreieck m A C wie oben abgeleitet werden.

Ist in Fig. 1 die Richtung nach einem gegebenen Punkt A nicht sichtbar, so gibt der Punkt C nur den Koordinatenabschluß, aber keinen Winkelabschluß. Geht in diesem Fall, wie in Fig. 1, der Zug m'mnn' etwa von dem gegebenen Punkt M anfangend am unzugänglichen Punkt C vorbei auf einem ebenfalls gegebenen Punkt A endigend, so rechnet man für den Winkelabschluß den ganzen Zug zwischen 31 und A durchlaufend und für den Koordinatenanschluß an C in den zwei Teilen 3TC und C Ar.

Schließen an einen Punkt mehrere Züge an, so erhält man statt eines oder zwei Anschlußdreiecken wie in Fig. 1 und 2 mehrere, ein Anschlußpolygon bildende Dreiecke, wie aus § 97 Fig. 1 S. 421 bei Wasserturm und Martin zu sehen ist. Kann man dabei ein geschlossenes Polygon erlangen, so hat man eine gute Probe (s. § 78 S. 330).

II. Zugverkmtung.

In vielen Fällen ist es nützlich, nicht geradezu die Züge als Verbindungen zwischen den trigonometrischen Punkten anzuordnen, sondern von mehreren trigonometrischen Punkten nach einem Zentralpunkt zusammenzurechnen, ergeben sich z. B. bei Straßenkreuzungen, wenn trigonometrische Punkte nicht anzu-

Solche Fälle

bringen sind. Ein solcher Fall ist in Fig. 3 gezeichnet. Man rechnet hier von vier Seiten her nach dem Punkte (3), gleicht die vier Richtungswinkel in (3), z. B. für die Richtung (3 — 2), aus, und berechnet dann die Koordinaten des Punktes (3) von vier Seiten her. Man hat dann also einmal für den Richtungswinkel (3 —2) und je einmal für die Koordinaten y₃ , x₃ nach § 7 S. 12 zu rechnen. Wenn die Wege hier nahezu gleich sind, wie in dem Beispiel Fig. 3 (welche einer Mitteilung von Katastergeometer Fuhrmann in Donaueschingen in der „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 294—297 entnommen ist), so wird man die Koordinatenausgleichung in dem Punkte (3) durch einfache Mittelbildung (§ 7) bewerkstelligen; sind die Wege sehr ungleich, so kann man zuerst auch das einfache Mittel bilden, dann aber nach Gutdünken noch nötigenfalls nach der einen oder anderen Seite rücken. Will man für die Ergebnisse der Einzelzüge Gewichte einführen, so hat man nach § 8 zu rechnen.

Fig. 3. Zugverknotung.

Au

Wo

Hoch.

io

-o-

Berg

Es sei noch erwähnt, daß man für die Richtungsableitung auch irgend eine passende Hilfszielung (Blitzableiter usw.) vom Knotenpunkt (3) aus einführen kann.

Ein einfaches, etwa der Fig. 3 entsprechendes Zahlenbeispiel ist folgendes. In den vier Zügen von 390 m, 450 m, 530 m, 340 m Länge mit 4, 3, 4, 5 Punkten ergab sich :

Mittel : 267° 18' 39" [- 1 "]

für die gemeinschaftliche, zu einem Hilfspunkt gemessene Schlußriehtung :

für die danach gerechneten Koordinaten des Knotenpunktes :

vct

267° 18' 32" -j- 7" 19 06    - 27

18 39 18 20 -f 19

Vu

— 1321,87 — 0,05 ,74 -)- 0,08 ,72 -f-0,10 ,94 — 0,12

— 19 417,31 + 0,04 ,26 + 0,09 ,48 — 0,13 ,34 + 0,01

— 1321,82 [-(- 0.01]

— 19 417,35 [+ 0,01]

Gewichte wurden nicht angesetzt; es war hier der kürzeste Zug von 340m Länge mit fünf Punkten der ungünstigste.

Es kann auch nützlich sein, die in den einzelnen Zügen erhaltenen Koordinaten auf Millimeter papier in passendem Maßstab (1 : 10) aufzutragen und unter summarischer Berücksichtigung der Unsicherheit der Züge in der Längs- und Querrichtung (§ 103, 105) nach Schätzung den endgültigen Punkt anzunehmen.

Auch kann ein Polygonnetz Fälle bieten, in denen es zweckmäßig erscheint, ein kleines Netz von Zügen, welches mehrere Knotenpunkte hat, einheitlich auszugleichen. Dann kann man zur Ausgleichung die Methode der kleinsten Quadrate anwenden, worauf mit Hinweis auf § 126 und 127 hier nicht weiter eingegangen werden soll.

III. überspringen von Zugpunkten.

Fig. 4.

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Warum kurze Seiten in Polygonzügen zu vermeiden sind, werden wir später ausführlicher behandeln ; indessen schon das praktische Gefühl warnt uns vor sehr kurzen Seiten, und z. B. die kleine Strecke 23-24 in dem Lindener Polygonnetze § 97 S. 421 wird wohl jedem Be-" trachtenden den Gedanken nahelegen, daß dort eine schwache Stelle sei, welche nur aus Not so gemacht wurde.

Wenn hei der Anlage eines Zuges einzelne solche kurze oder sonstwie mißliche Seiten sich nicht immer vermeiden lassen, so gibt es doch Mittel, um deren Schädlichkeit (wegen Zentrierungsfehler usw.) zu vermindern oder auch ganz aufzuheben. Das bekannteste Mittel besteht darin, daß man Punkte mit kurzen Seiten in dem Hauptzuge überspringt und nachher besonders einbindet. Man soll aber möglichst alle Stücke messen.

Dieses Verfahren wird in einer Mitteilung von Mühlenhardt über die Anlage von Polygonliniennetzen in Städten („Zeitschr. f. Verni. 1888“ S. 244) auf Steuerrat Wilski als Urheber zurückgeführt und mit Fig. 4 so erläutert, daß die Strecken B C und EG nicht unmittelbar als Polygonseiten gemessen, sondern aus den Dreiecken

B AC und JE F Cr abgeleitet zur Gewinnung gestreckter Zugformen benützt werden. Oder der Zug C A B 0 wird durch C B 0 ersetzt.

IV. Entfernter Hilfspunkt.

Als bestes Hilfsmittel, die Schädlichkeit einer kurzen Polygonseite zu beseitigen, haben wir die Zuhilfenahme eines sehr entfernten trigonometrischen Hilfspunktes gefunden. Es kann Vorkommen, daß in Fig. 5 weder b d noch c e gesichtet werden können; dagegen wollen wir annehmen, man könne in c und d einen entfernten trigonometrischen Punkt M anzielen. Um dieses in der Rechnung verwerten zu können, muß man die Koordinaten von c und d \ vorher haben, und zu 'v diesem Zwecke ist es nötig, den ganzen Zug vorläufig (ohne die Sichten c M und d M) durchzurechnen. Damit bekommt man vorläufige Koordinaten von c und d, mit denen man aber die Richtungswinkel (c M) und (d M) doch hinreichend genau findet, wenn der Punkt M einigermaßen weit entfernt ist.

Der Vorteil des Verfahrens liegt darin, daß man mit den Winkehnessungen auf c und mit dem Richtungswinkel (c M) die Richtungswinkel (e b) und (c d) unabhängig von der durchlaufenden Zugrechnung erhält, und ebenso ist es in dem Punkt d.

Man kann auf diese Weise jede noch so kurze Seite c d (soweit der Okularauszug reicht) in einem Zuge dulden, und in Hinsicht auf Zentrierungsfehler unschädlich machen. Daß man zu dem angegebenen Zwecke den Zug vorläufig durchrechnen muß, fällt nicht sehr ins Gewicht, weil solche vorläufige Rechnung etwa zur Bestimmung der konstanten Längenverbesserungen oder Doppelrechnung zum Schutze gegen Rechenfehler od. dgl. ohnehin vorkommt. (Vgl. „Zeitsehr. f. Verm. 1889“ S. 44.)

Fig. 5. Entfernter Hilfspunkt M.

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§ 99. Festlegung und Versicherung der Polygonpunkte.

Die Anordnungen, welche man zur Festlegung und Versicherung der Polygonpunkte zu treffen hat, sind verschieden, je nachdem es sich um freies Feld oder Städte handelt.

I. Polygonpunkte im freien Feld.

Es fragt sich zuerst, welche Vermarkung der Gemarkungs-, Gewannen- und Eigentumsgrenzen vorhanden ist, und ob man diese als dauernd betrachten darf. Z. B. im Großherzogtum Baden wurde bei Beginn der Katastervermessung (1854) ein Vermarkungsgesetz erlassen (abgedruckt in der „Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 400—404), und dann die Polygonpunkte wenn möglich auf Gemarkungs- und Gewannengrenzsteine und sogar auf gewöhnliche Eigentumsgrenzsteine gelegt.

Es wird dabei die Steinmitte als Polygonpunkt genommen und durch ein Loch mit dem Steinmeißel bezeichnet (vgl. hierzu auch die bayerische Bezeichnung Fig. 10 S. 306). Über einem solchen Punkt kann man zwar den Theodolit zentrisch aufstellen, allein man kann auf der Steinmitte keinen Stab einstecken für das Anzielen von anderen Punkten her. Am besten ist es, den Punkt auf dem Stein selbst (ohne Bake) anzuzielen, und nach dieser Bichtung die Punkte auszuwählen; ist aber dieses nicht möglich,, so kann man jeweils einen Stab in der gerade in Betracht kommenden Bichtung hinter oder vor den Stein stecken (vgl. Pig. 5 S. 304), was allerdings, um die nach § 100

Fig. 2.

Fig. l.

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passendem Bakenhalter, welche zu Polygon-

sehr schädlichen Zentrierfehler zu vermeiden, sehr sorgfältig geschehen muß. Besser ist stets die Verwendung besonderer Bakenhalter, wie schon in Fig. 3 § 13 S. 34 angegeben wurde, oder auch in beistehender Fig. 1 und 2 von Gögler in Straßburg („Zeitschr. f. Venn. 1893“ S. 218) gezeichnet ist. Auch gehören zu diesen Einrichtungen noch die nachher in Fig. 9 S. 436 gegebene kleine Hilfsvorrichtung, sowie die schon § 13 S. 34 Fig. 2 erwähnten dünnen Stäbe aus Möbelrohr mit

messungen besonders geeignet sind. Zur Lotrechtstellung wird bequem der § 13 S. 34 Fig. 4 gezeichnete „Lattenrichter“ benützt.

In den Landesgrenzen, in Staatsforsten usw., hat man oft Steine, die über 0,5 m aus dem Boden hervorragen ; dann ist es das allerbeste, man stellt den Theodolit auf die Steine selbst, und bringt auch auf den Steinen selbst einfache Punktbezeichnungen zum Anzielen an.

Im Gegensatz zu der in Baden und Württemberg (vgl. § 75 S. 304) als gut geltenden Benützung vorhandener Steine als Polygonpunkte hat die preußische Anweisung IX vom 25. Oktober 1881 S. 19--20 bestimmt: „die gleichzeitige Benützung von Grenzsteinen oder ähnlichen Marken als Polygonpunkte ist im allgemeinen grundsätzlich zu vermeiden, damit das Polygonnetz möglichst unabhängig von den mehr oder minder wandelbaren Grenzbezeichnungen erhalten wird und: „die Polygonpunkte sind im Felde in dauerhafter Weise, und zwar möglichst unterirdisch zu vermarken“ (durch Drainröhren von 4,5 cm lichter Weite).

Fig. 3.

iF

Die Polygonvermarkung für Katasterzwecke scheint in enger Beziehung zp stehen mit den Vermarkungsbestimmungen überhaupt. Ein allgemeines Vermarkungsgesetz wie das oben zitierte badische Gesetz von 1854 fehlt vielen Staaten (z. B. Preußen) heute noch gänzlich. Jedenfalls ist eine dauerhafte Festlegung durch einen behauenen Stein (vgl. § 75) das beste, und eine zweite unterirdische Versicherung sehr nützlich.

t-

Unterirdische Vermarkung von trigonometrischen und poly-gonometrischen Punkten, ohne einen oben jedermann jederzeit sichtbaren und zugänglichen Stein, ist mit schweren Obeiständen verbunden.

cm

Ein preußischer Oberlandmesser hat hierzu in „Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 554 geschrieben : „Bei der jetzt vorgeschriebenen Anwendung von Drainröhren kann man oft stundenlang ganz in der Nähe der Böhren graben und findet sie doch nicht.“ —

In Fig. 3 haben wir eine Punktbezeichnung angedeutet, welche bei der Leineaufnahme 1890 angewendet wurde für die Dauer einiger Jahre: Ein Holzpfahl von 8cm Durchmesser wurde in den Boden

geschlagen und mit einer Tonröhre R umgeben; es wird darauf gerechnet, daß zwar der Holzpfahl verfault, aber doch die Tonröhre an ihrer Stelle bleiben wird. Eine billig zu beschaffende Bezeichnung geben auch einfache in den Boden getriebene eiserne Kohrstücke (Gas-, Siederohr); zu erwähnen sind hier auch die bei Vorarbeiten für Eisenbahnen üblichen starken Pfähle mit in den Kopf eingetriebenem Nagel.

II. Pölygonpunkte in Städten.

Wir beginnen mit einer Mitteilung von Berlin („Zeitschr. f. Verm. 1881“ S. 18). Wegen der fortgesetzten Aufwühlungen des Bodens für Kanalisation, Gas- und Wasserleitung usw. wurden die Vermessungszeichen hauptsächlich auf die Bürgersteige gelegt, wie in folgenden Figuren angedeutet ist:

Fig. 4. (Berlin.)

Erklärung der Zeichen von Fig. 4.

+    + Kreuze in Bordschwellen. Polygonpunkte.

-t- J- Anker in Bordschwellen, Bindepunkte für die Linienmessung.

O O Eisenbolzen 0,55 m lang, im Pflaster.

Fig. 5.

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Bei der Polygonisierung von Linden bei Hannover haben wir 1887—1888 dreierlei Punktvermarkungen angewendet, welche in den nachfolgenden Figuren 5—8 dargestellt sind.

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w-

Das bequemste Verfahren besteht darin, die Polygonpunktzeichen auf den Bordquadern der Bürgersteige anzu-bringen. Die Bezeichnung geschah auf solchen Quadern nach Fig. 5 (oder auch Fig. 9 S. 486) durch eingesetzte eiserne Bolzen. Diese Bolzen haben ein oben eingebohrtes Loch von 8—5 wm Durchmesser, welches nicht nur an und für sich eine scharfe Punktbestimmung giebt, sondern auch ip zum Anzielen auf 50 -m bis 300 m Entfernung leicht und -M genau hergeriehtet werden kann durch Einstecken eines ^

Stiftes (mit einem kleinen Blatt Papier).

Solche Bolzen wie Fig. 5 sind auch angebracht worden auf Steinen, welche ursprünglich anderen Zwecken dienten, z. B. Straßenkilometersteinen, Nivellementssteinen usw., und auf einer größeren Zahl von Steinen, welche besonders zu diesem Zwecke gesetzt wurden.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, II. Bd. 7. Aufl.

Fig. 6.

An vorhandenen Merkmalen wurden auch die Hydranten der Wasserleitung ins Auge gefaßt. Die Hydrantenkästen sind aber nicht dauernd.

Diese Hydranten führten aber dazu, selbst solche eiserne Kappen zu setzen und dadurch tiefer liegende Röhren zu decken. Damit gelangten wir zu der in Fig. 6 angedeuteten Anordnung. Der geometrische Punkt ist bestimmt durch die Achse A einer versenkten schmiedeisernen Röhre B von 30 cm Länge und 5 cm Durchmesser. (Aus-

Röhre mit Kappe. Maßstab 1 : 10.

-I»

!    gediente Siederöhren, aus-

fffll 25cm geglüht und mit Teer Wjm |    angestrichen.) Die Röhre

lllt !    B ist mit einem Zement-

y/"'

mantel C umgeben, und damit sie von oben zugänglich bleibt, durch einen gußeisernen Hydrantenkasten K von 20 cm Tiefe und 9 cm lichter Weite überdeckt, mit Zwischenlage eines Holzstückes H; die lichte obere Weite, 9 cm, des etwas konisch gestalteten Kastens, beschränkt sich jedoch auf 7 cm, wegen des links oben angebrachten Zapfens Z zur Führung des Deckels D. Dadurch kommt auch die Achse A der Röhre gegen die Kastenmitte gewöhnlich etwas exzentrisch zu liegen. Das in der Mitte durchbohrte Holzbrett H (Fig. 6), auf welches der Kasten zur Vermehrung der Standfestigkeit aufgenagelt ist, liegt auf dem Zement C nur lose auf, und die Röhre B ragt nicht in das Holz oder in den Kasten hinein, damit bei Wegnahme der oberen Teile im Falle von Umpflasterung usw. doch die Röhre selbst unverrückt bleibt.

Mamrbölzen. Zur Versicherung für die Zukunft haben wir eine große Zahl von Mauerbolzen nach Andeutung von Fig. 7 anbringen lassen, welche mit in das polygonometrische Netz aufgenommen wurden. Der Eolzen B ist in die Mauer M wie ein Nivellementsbolzen eingegossen und unterscheidet sich von letzterem nur durch ein Loch zum Einstecken eines Stiftes S. Die nur 2—3-mm dicken Stifte S lassen sich mit dem Theodolit unmittelbar anzielen.

Es ist geometrisch klar, daß aus zwei solchen nach Koordinaten berechneten Mauerholzen sich der alte in der Nähe befindlich gewesene Polygonpunkt oder ein benachbarter Ersatzpunkt wieder herstellen läßt. Hat man einen fernen trigonometrischen Punkt, z. B. Kirchturm usw., sichtbar, so genügt sogar ein Versicherungs-Mauerbolzen , um entweder den ursprünglichen Polygonpunkt oder einen anderen

Koordinatenpunkt wieder herzustellen, nach, der Aufgabe von Fig. 1 § 78 S. 323, wo dann C den Mauerbolzen bedeutet.

Fig. 7.

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Die Mauerbolzen (Fig. 7) entsprechen auch ganz den Turmbolzen (Fig. 16 § 75 S. 310) der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme.

Eine Straßenkreuzung (in Linden) mit zwei Mauerbolzen nach Fig. 7 ist in Fig. 8 gezeichnet.

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Yon dem Polygonpunkte (3) aus sind zwei Mauerbolzen in Abständen 18,789 m und 10.137 m eingemessen, und außerdem ist ein zufällig in der Nähe (südöstlich) befindlicher Nivellementsbolzen (21) ebenfalls miteingemessen. Yon diesen drei Bolzenpunkten wurden die Koordinaten von dem Polygonpunkte (3) aus bestimmt, und außerdem -wurde der Fußpunkt F der Senkrechten von (3) auf II, I eingemessen. Da von der ganzen Straßenkreuzung aus der trigonometrische Punkt Rathaus sichtbar ist, wird man nach etwaigem Yerlust des Punktes (3) imstande sein, diesen Punkt selbst oder einen benachbarten Punkt wieder nach Koordinaten zu bestimmen, wenn von den drei Mauerbolzen II, I, (21) auch nur eitler noch vorhanden sein wird (nach der Aufgabe Fig. 1 § 78 S. 323, wo dann C den Mauerbolzen bedeutet).

Die Bezeichnung der Punkte zum Anzielen ist natürlich möglichst unten zu wählen, damit die etwaige schiefe Stellung einer Bake

Fig. 8. Polygonversicherungs-Mauerbolzen. (Maßstab 1: 500.)

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oder dergleichen nicht schädlich wirken kann. Wenn die Bolzen (Fig. 5 S. 433) selbst gesehen werden können, so stecken wir in das vertikale Bolzenloch eine Nadel mit

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Papierfahne, welche auf 100—200 m Entfernung vorzüglich als Zielpunkt ist. Sa wurde z. B. auch das Viereck um Dreifaltigkeit (§ 78 S. 330) gemessen.

Fig. 9.

Ähnlichem Zweck dient auch das in Fig. 9 gezeichnete ganz einfache, 25—30 cm hohe Gestell zum Bezeichnen eines: Bodenpunktes D auf hartem Boden.

Auch die Bakenhalter (Fig. 3 § 13 S. 34 und Fig. 1 und 2 S. 432) sowie die dünnen Baken aus Möbelrohr sind hier nochmals zu erwähnen.

Das Lindener Stadt-Polygonnetz (Fig. 1 § 97 S. 421) enthält einschließlich mehrerer trigonometrischer Bodenpunkte folgende Punktfestlegungen im Jahre 1887 bis 1888:

28.

Eiserne Bolzen (Fig. 5 S. 433 oder Fig. 9 § 78 S. 327) in Bordquadern und in solchen Steinen, welche vorher schon da waren

Eiserne Bolzen in Steinen, welche für die Vermessung besonders ge-

setzt wurden

3.3

Eiserne Böhren mit Kappen (Fig. 6 S. 434) Hydranten der Wasserleitung.....

54

Summe

123

Dazu Mauerbolzen (Fig. 7 S. 435) als Versicherung

103

229

Summe aller Punktbezeichnungen Nachdem diese Punktfestlegungen von 1887 an bestanden, hatten wir Ende 1892 Nachforschungen angestellt über die dabei gemachten Erfahrungen, und es hat Herr Stadtgeometer Bremer von Linden hierüber folgendes mitgeteilt:

Nach den gesammelten Erfahrungen während 4 Jahren, welchen Zeitraum die Neumessung der Straßenzüge usw. in Anspruch nahm, hat sich die Befestigung durch Bolzen nach Fig. 9 S. 327 wenigsten bewährt. Bei fast jeder Pflasterreparatur, bei jeder Straßenregulierung werden die Saumquader versetzt oder erhöht oder niedriger gelegt, kurz sie werden gerührt und dadurch der Polygonpunkt zerstört. Während dies in der Straße vorkommt, sind die Polygonpunkte an der Straßenecke noch mehr gefährdet durch die Gasleitung, die dort für eine Straßenlaterne liegt. Bei jeder Reparatur, die an solcher Gasleitung vorkommt, wird der betreffende Saumquader mit dem Bolzen gerührt und der Polygonpunkt dadurch zerstört. Vor Beginn der Messungen ist ein Verzeichnis der Polygonpunkte mit Angabe ihrer Lage dem Gas- und Wasserwerk übermittelt worden, hat jedoch seinen Zweck nicht erfüllt. Ein weiterer Übelstand hat sich bei dieser Art der Befestigung der Polygonpunkte herausgestellt, daß nämlich, falls die Saumquader von der einen Straße in die andere versetzt werden, schon Irrtümer entstanden sind, wenn ein solcher Bolzen in dem Quader sitzen geblieben und in der anderen Straße mit dem Quader wieder zum Vorschein gekommen ist.

Die zweite Art der Punktfestlegung, durch Röhren mit Kappe, Fig. 6 S. 434, und zwar auf dem Trottoir (asphaltiert oder nicht), zeigte sich als sicherste ; es muß nur hauptsächlich darauf geachtet werden, daß der Punkt nicht zu nahe den Saumquadern zu liegen kommt, damit derselbe bei einer Verschmälerung des Trottoirs nicht fortfällt. Durch ein Höher- oder Tieferlegen des Trottoirs wird der Polygonpunkt selbst (die Röhre) nicht berührt, sondern nur die ihn schützende Kappe höher resp. tiefer gelegt. Die besonders gesetzten Bolzensteine (nach Fig. 5 S. 433), welche ausschließlich im Felde angewendet wurden, haben sich vorzüglich bew'ährt mit einer Ausnahme. Der Stein eine etwas abschüssige sandige Stelle gesetzt worden und bei einem Gewitterregen unter-

am

war an

waschen und dadurch in Bewegung geraten.

Was endlich die Mauerbolzen betrifft (Fig. 7 und 8 S. 435), welche trigonometrisch bestimmt und außerdem mit Latten und Winkelspiegel eingemessen wurden, so haben sich diese vorzüglich bewährt. Von den 106 Bolzen dieser Art sind seit 5 Jahren nur 4 verloren gegangen und zwar durch

Hausabbruch bei Straßenerbreiterungen usw. Benützt zur Wiederherstellung eines Polygonpunktes sind diese Bolzen verschiedentlich; die Resultate, kontrolliert durch Längenmessungen, waren überraschend.

Hierzu als Ergänzung vom 5. März 189", also nach 10jähriger Erfahrung: Die Befestigung der Polygonpunkte durch Röhren mit Kappe hat sich hier, wo die Straßenfläche wohl ausnahmsweise durch fortwährende Verschiebungen und Verbesserungen stark in Bewegung gehalten wird, auch heute noch als die beste herausgestellt. Von den Mauerbolzen sind inzwischen außer den schon 1892 verlorenen 4 solcher Bolzen noch weitere 4 Stück durch Hausabbrüche und Straßenerbreiterungen fortgefallen. (Vgl. hierzu auch Mühlheim a. Rh. „Zeitscbr. f. Verm. 1895“ S. 259.)

§ 100. Wiukelmessung.

Als Theodolit zu Polygonzügen nimmt man gewöhnlich ein einfaches Nonieninstrument, etwa nach § 56 S. 226 oder 227. Zu Stadtvermessungen ist auch ein kleiner Mikroskoptheodolit zu empfehlen, etwa wie in § 56 S. 232, welcher auch die Zentrier- und Umsetzvorrichtung auf dem Stative zeigt, welche wir nachher in § 102 besonders betrachten werden.

Ein kleiner Höhenkreis an dem Theodolit ist angenehm, weil man die Neigungen für schiefe aufliegende Längenmessungen gelegentlich damit ablesen kann.

Das Feldbuch kann nach § 76 S. 314—315 eingerichtet sein; ein Satz von Winkeln ist oft genügend, es empfiehlt sich aber aus manchen Gründen sehr, stets zwei unabhängige Sätze zu messen. Auch kann man Repetitionsmessung für die beiden sich zu 360° ergänzenden Winkel anwenden.

Alles Weitere was sich auf Winkelmessung bezieht, ist von der Frage der Zentrierung und Signalisierung beeinflußt, denn bei den kurzen Zielweiten (in Städten manchmal weniger als 50 -m) wirken Zentrierungsfehler sehr schädlich.

Wir betrachten in Fig. 1 zuerst den Fall eines nahezu geradlinig gestreckten Zuges. Es seien A, C, B drei Punkte eines gestreckten Zuges,

G der Theodolitstandpunkt, A u. B die Signale ; dann hat man außer dem reinen Theodolitwinkelmessungsfehler noch drei Exzentrizitäts-Einflüsse in Rechnung zu nehmen:

1.    Exzentrizität    e    des    Theodolits,    quer    zur    Zugrichtung    gemessen,

2.    Exzentrizität    e'    des    Signals A,    quer    zur    Zugrichtung    gemessen,

3.    Exzentrizität    d    des    Signals B,    quer    zur    Zugrichtung    gemessen.

Diese drei Exzentrizitäten    geben nach Andeutung von Fig.    1 folgende Winkel

ig. l.

Ci I

tö tö

?>~c'

fehler :

a -E b

1. ß' — ß = CAC +C'BC = ~    Q =

A CA' =

Diese drei Teile sind unabhängig und verbinden sich mit dem reinen Winkelmessungsfehler [i zu dem mittleren Fehlerquadrat eines Winkels für den gestreckten Zug:

(1)

2.

q und BCB’ =

(2)

(3)

Wenn der Zug nicht nahezu gerade gestreckt ist, d. h. wenn ß in Fig. 1 S. 437 nicht sehr klein, oder in Fig. 2 nicht y nahezu 180° ist, so betrachten wir, um zu einer Fehlerformel für die Exzentrizität zu gelangen, in Fig. 2 einen Kreis ACB, welcher

2.

*\

durch die drei aufeinanderfolgenden Polygonpunkte ACB geht und wir sehen daraus, daß eine Exzentrizität von C unschädlich ist, wenn sie auf diesem Kreise seihst liegt.

MET c

c'

Oder wenn C der richtige Punkt und C der exzentrische, falsche Punkt ist. so kommt es darauf an, ob C C in der Tangente des Kreises oder radial liegt, gerade wie auch bei dem einfacheren Falle von Fig. 1 S. 437 nur eine solche Exzentrizität CC = e als schädlich

angenommen wurde, welche rechtwinklig zur Haupterstreckung des gestreckten Zuges war.

In diesem Sinne wollen wir in Fig. 2 den Radialabstand C I) = e als Exzentrizität einführen (gewissermaßen als radiale Komponente der Exzentrizität, während die tangentiale Komponente C D unschädlich ist).

Um eine Beziehung zwischen C D = e und y — y' = s zu finden, haben wir in dem schmalen langgestreckten Dreiecke ACC :

CD _ sin a sin a '

sin s

CC siny'

Da s klein ist und damit auch y' und y vertauscht werden dürfen, haben wir daraus in Übereinstimmung mit § 88 S. 385 Gleichung (14) :

(4>

eg.

_ e q sin y _ c a sin a ab

Dieses e tritt an die Stelle von (1), wie auch sofort daran ersichtlich ist, daß der Abstand c des gebrochenen Zuges in a + 5 des geradgestreekten Zuges übergeht, wenn der gebrochene Zug gerade gemacht wird. Der Wert e² nach (4) tritt also auch an Stelle des zweiten Gliedes von (3), und man hat daher das mittlere Fehlerquadrat eines Winkels in einem beliebig gebrochenen Zug:

(5>

”*² = "²⁺(«Vt')²⁺(ł‘>)+(ł<>)²

Setzt man hier e' = e, so wird :

(6>

hj2 — fx2 _|_ (e p)2

Wenn man in (5) wieder c — a-j-b setzt, d. h. wenn man wieder einen geradlinig gestreckten Zug annimmt, so geht (5) wieder in (3) über, wie es sein soll.

Wir wollen von der allgemeinen Formel (5) oder (6) hier keinen weiteren Gebrauch machen, sondern zu der Formal (3) für den gestreckten Zug zurückkehren und dafür eine kleine Tabelle berechnen mit den Annahmen: mittlerer reiner Winkelmessungsfehler g — + 10", mittlere Theodolitexzentrizität e = + 5 -mm, mittlere Signalexzentrizität e = + 10 mm. Diese Annahmen 5 mm und 10 mm Exzentrizität

sind sehr grob, und etwa in Feld und Wald, jedenfalls nicht bei Stadtmessungen, denkbar. Damit wurde folgendes Täfelchen zur Übersicht berechnet:

oder

50 m j 100 m

200 m 300 m

oo

H = ± 10" e = + 5 mm e' =    10 mm

50 m

100

(Vgl. hierzu „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 199.)

! 200

300

oo

51"    49"

47"

29

20

18

15

28

18

16

13

25

15

13

Mittlerer Polygonwinkel-fehler nach der Formel (3).

10

Man könnte etwa daran denken, nach diesem Gesetze Winkelgewichte zu berechnen und die Verteilung des Richtungswiderspruchs auf die einzelnen Winkel eines Zuges entsprechend ungleich zu machen. Das könnte man aber nur für ganz besondere, gut bekannte Verhältnisse einrichten. Die Hauptsache war für uns, durch die vorstehenden Betrachtungen vor Nachlässigkeit im Zentrieren zu warnen.

Dazu kommt noch die sehr ungünstige Fehlerfortpflanzung in Theodolitzügen, welche erst später in § 105 behandelt werden wird, von der aber auch jetzt schon gesagt werden kann, daß sie auf äußerste Verkleinerung der Zentrierungsfehler hinweist, und damit haben wir Veranlassung, im späteren § 102 die technischen Hilfsmittel kennen zu lernen, welche man für Zentrierung durch Abloten und Umsetzen hat.

Zur rein technischen Seite des Winkelmessens für Polygonzüge sei noch ein Wort gesagt über die Feldbücher, welche am besten im Format Gr.-8° (22 cm X 14 cm) gehalten werden, mit rot oder blau gedruckter Liniierung und Überschriften. (Jedem Feldbuch wäre ein Abdruck der Tabelle Seite [6] oder [7] unseres Anhangs beizulegen.) Die Messungen werden im Felde mit hartem Bleistift geschrieben. Zu dem Feldbuch gehört eine entsprechende Ledertasche.

Wenn großes Format (35 cm x 22 cm, preußisches Kataster) vorgeschrieben ist, und Schreiben mit Tinte, so wird das Führen des Feldbuehs unbequemer-, ein besonderer Feldschreibtisch hierzu ist von Behren hergestellt und beschrieben in „ Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 569—571.

Für manche Zwecke, besonders die im Kap. XIV zu behandelnden tachy. metrisehen Aufnahmen, kann es auch wohl angebracht sein, bei Benützung eines Repetitionstheodolits unmittelbar die Richtungswinkel herzustellen und diese statt der Winkel abzulesen.

§ 101. Längenmessung.

Nachdem das Wichtigste über Längenmessung bereits in § 18 bis 22 behandelt ist. haben wir hier nur einige Besonderheiten, namentlich in bezug auf Stadtvermessungen, vorzuführen.

Die Polygonseiten werden am besten mit den gewöhnlichen, früher in § 18 S. 51 beschriebenen Fünfmeterlatten gemessen. Die Vergleichungen der Latten auf dem Komparator sind, wie in § 20 S. 65 beschrieben wurde, genügend oft, jedenfalls bei jedem erkennbaren FeuclitigkeitsWechsel zu machen (bei starkem Betrieb haben wir die Lattenvergleichung fast täglich gemacht).

Wenn man die Latten horizontal legt und die Höhenunterschiede durch Staffeln überwindet, mit Sclmurlot oder Lotstock mit Anlegelibelle § 13 und 18, so ist hier hierzu nichts Weiteres zu bemerken.

Auch für schief aufliegende Latten oder Bänder haben wir in § 18 S. 54—56 und § 19 S. 58—63 schon das Nötigste gesagt.

Bei unseren Messungen in Linden wurde wie folgt verfahren : Die Linien sind meist nahezu horizontal, doch teilweise auch geneigt bis zu 4°; die Latten wurden überall der Neigung des Bodens entsprechend gelegt, und die Höhenwinkel dazu mit dem Theodolit bei der Horizontalwinkelmessung gelegentlich mit abgelesen. Das genügt in den meisten Fällen; wo aber eine merkliche Änderung der Neigung auf die Erstreckung einer Seite zu erkennen war, wurden besondere Neigungswinkel mit einem der in § 19 S. 58—61 beschriebenen Neigungsmesser genommen, oder sonst kleine Korrektionen angebracht (vgl. die nachfolgende Fig. 2 und Gleichung (7) S. 441).

Die Lattenvergleichung auf dem Komparator § 20 S. 65 wurde meist für jeden Feldmeßtag besonders gemacht. Die Maßvergleichungen und die Neigungswinkel zusammen geben für jede Strecke eine ßeduktionsberechnung, welche durch folgendes Beispiel veranschaulicht wird, wobei gleich der in der Weiterrechnung gebrauchte log ! erhalten wird.

Gemessen die Strecke V

Meßlatte Nr. 5. 5m + 4,20mm »    » 8. 5    +2,17

142,579 m auf liegend mit Neigungswinkel a— 1°8':

log V = 2.154 056 log cos a — 9.999 915 log (1 + e) = 0.000 276

(1)

log Z = 2.154 247 (Il =    142,642m).

10 m + 6,37 mm (1 + e) = 1,000 637

Jede Linie ist hin und hergemessen, meist mit denselben Latten, und nach kurzer Zwischenzeit von denselben Arbeitern. Wie aus den dadurch erhaltenen Differenzen Genauigkeitsberechnungen erhalten werden, haben wir bereits in § 21 S. 76—78 gezeigt; auch sei neben den Genauigkeitsangaben von § 21 noch besonders auf die ausführlichen und wertvollen Genauigkeitsmitteilungen für Polygonseiten von Bodenbusch in Straßburg „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 134 und zugleich auf Mitteilungen von Händel in Leipzig „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 112 hingewiesen.

Die für Doppelmessung von Polygonseiten maßgebenden Fehlergrenzen sollten erheblich strenger sein, als die für gewöhnliche Längenmessung geltenden, da das Polygonnetz der Stückvermessung als gegebene Grundlage dienen soll. Die Fehlergrenzen könnten z. B. etwa ein Viertel der in § 21 bei (17) und (18) S. 79 u. 80 gegebenen sein. Eine einfache Skala wie die nachfolgende könnte schon genügen :

Länge :    0

Fehlergrenze :

50    100    150    200    250    300 m

cm.

Fig. 1.

Messungshindemisse.

Wenn eine Linie AB nicht unmittel-

bar gemessen werden kann (Wegekrümmung usw.), so besteht das einfachste Hilfsmittel in der Anlage eines Dreiecks AC B (Fig. 1). B dessen Seiten n und b nebst dem eingeschlossenen Winkel y gemessen werden können. Mag man nun alle Vinkel des Dreiecks

A"

AC B, oder nur zwei oder nur einen gemessen hahen, so ist die Rechnung immer einfach. Im Falle von Fig. 1 S. 440 ist:

c2 = «2 _)_ 1)2    2 a b cos y .

(2)

Danach kann man unmittelbar rechnen. Wenn aber y klein ist, so ist es besser, so umzuformen:

Nun setzt man :

^1 — 2 sin² = (a ■+■ b)2 2 y a b sin    = x.

A ab sin² \r .

u

(3)

c = y \a -+-b -h x) (ia +. b — x).

(4)

weiteres

Folglich ist:

Sind die Winkel A und B des Dreiecks ABC gemessen, so hat man ohne C = b cos A -h a cos B .

Ein zweiter wohl vorkommender Fall ist in Fig. 2 angedeutet. Wenn neben einer schlecht zu messenden Geraden A B ein bequem zu messender Weg AD B in geringem Abstand y hinführt, so mißt man lieber AD B und reduziert es durch eine Näherungsformel auf A B.

Wir betrachten zwei Fälle, erstens zwei Gerade .4 D und D B mit einem Brechungspunkte D ^

(A D =■ B D) und zweitens einen Bogen A A’ D B' B.

Für den ersten Fall, Brechung AD B, hat man mit AB s:

Fig. 2.

A'

B'

4 y2 l + -=-

II +

= (■ a/K+Ç.

CCI

to

V\

(5)

AD-\-D B — s —2 AD — s = 2

Für den zweiten Fall, Bogen A DB, hat man unter Annahme eines (in Fig. 2 nicht eingeschriebenen) Zentriwinkels a und Halbmessers r :

Bogen A D B = r a und Gerade A B

- folglich :

= s — 2 r sin — = 2 r

Differenz :

Es ist aber :

fang —

folglich :

alS

Bogen A D B — s — r

= ^ + -

8 _ **

und et

sowie r =

"ja

Bogen AB B — s

= 2,667

(6)

Vergleicht man die beiden Formeln (5) und (6), so findet man nur verhältnismäßig geringe Abweichung, und wenn man ferner bedenkt, daß es viele Fälle gibt, in welchen man gar nicht genau kann, ob die Seitwärtsabweichung eine Brechung oder ein Bogen war, so kann man für kleine

sagen

Querabweichungen y wohl einen Mittelwert zwischen den Formeln (5) und (6) nehmen, d. h. füi

Fig. 2 allgemein annehmen :

(1.5 y)⁸

(•)

Geradstreckungsreduktion

Diese Formel ist auch anzuwenden, wenn eine Linie in vertikalem Sinne einen Buckel oder eine Einbuchtung macht, und man nur die Neigung im ganzen gemessen hat. Es sei z. B. eine 200 m lange Linie über einen lm hohen Buckel gemessen, so wird nach (7) die Reduktion:

1 5²

’ - = 0,011 m.

••UM

Reduktion durch Nivellieren.

Es ist schon mehrfach der Versuch gemacht worden, schief gemessene Strecken V durch ihre zugehörigen Höhenunterschiede h aut die Horizontale l zu reduzieren, nämlich l = 1fl'* — h\ und wenn h klein ist, kann man es durch irgend welche ein-

fache Zielvorrichtung mit Libelle genügend bestimmen oder die Korrektion rechnen nach

fi 2

21

wie in § 18 (2) S. 52. Oder aber man kann geradezu jede schief aufliegend gemessene

Linie mit allen Brechpunkten durch ein einfaches Nivellierinstrument mit Latte nivellieren. Dieses Verfahren wurde nach „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 73—74 in Altenburg erstmals versucht, dagegen nach „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 133—134 in Straßburg der hohen Kosten wegen nicht angewendet (vgl. auch Steift’, „Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 46). Auch in Leipzig wurden die Polygonseiten schief gemessen und nivelliert („Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 110), und nach besonderer Mitteilung von dort soll dieses Nivellieren nicht zu große Kosten verursacht haben. Eigene Erfahrungen hierüber stehen uns nicht zu Gebote. Das Verfahren ist aber bei Messungen auf nivellierten und gleichmäßig geneigten Straßenzügen und Eisenbahnstrecken jedenfalls zweckmäßig.

Endlich sei hier noch auf das am Schluß von § 19 an Fig. 14 S. 62 erläuterte Verfahren der Reduktion durch Horizontalsicht von dem oberen Ende des einen Bandstabes nach dem anderen Stabe, welcher sofort so geteilt ist, daß man die Reduktion davon ablesen kann, hingewiesen.

Distanzmesser.

Es ist schon mehrfach der Vorschlag gemacht worden, Polygonseiten im Gebirge nicht mit Latten, sondern nur mit dem Distanzmesser zu machen. (Steppes, „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 513—520.) Wir werden später in dem Abschnitt über Distanzmesser (Kap. XIV) erfahren, daß der gewöhnliche Okularfaden-Distanzmesser eine hinreichende Genauigkeit dafür gibt. Die Berechnungen c-\-kl, und c cos a -+- k l cos% a usw., welche man in der Tachymetrie stets mehr oder weniger genähert macht, müßte man natürlich für Katastermessung schärfer (logarithmisch) machen. Man könnte auch die Genauigkeit noch steigern durch Aufstellen der Latte in Zwischenpunkten der Züge usw.

Die Ausführbarkeit und genügende Genauigkeit der Streckenmessung für Züge, wie überhaupt der ganzen Aufnahme im Gebirge mit dem Distanzmesser scheint danach zweifellos, und man könnte auch leicht Höhenmessung damit verbinden. Der Grund warum dieses nicht geschieht, scheint zum Teil darin zu liegen, daß die Katastermessung und die Topographie in den meisten Staaten in ganz getrennten amtlichen Händen sind (vgl. Kap. XVIII).

§ 102. Abloten und Umsetzen.

Wegen der ungünstigen Einflüsse der Exzentrizitäten ist das Abloten und Umsetzen bei Polygonzügen ungemein wichtig.

Das Abloten geschieht gewöhnlich mit dem einfachen Schnurlot, was bei ruhiger Luft auch völlig ausreicht. (Das Lot muß aber recht schwer genommen werden; empfehlenswert sind Lote aus Messing mit Stahlspitze, etwa l/₂ schwer, sowie das Ringlot von Häusermann, vgl. „Zeitschr. des elsaß-lothringischen Geometervereins 1892“ S. 96.) Bei bewegter Luft ist dieses Abloten mißlich wegen des Schwankens; dann sind die besonderen Abloter zu empfehlen, welche wir nachher beschreiben wollen.

Zunächst jedoch wollen wir uns mit dem Umsetzen des Theodolits und der Signale beschäftigen, welches in mancher Beziehung noch wichtiger ist als das Abloten, weil ein Fehler von einigen Millimetern, im Abloten allein, sich nicht fortpflanzt, dagegen ein Fehler im Umsetzen geradeso wie ein Winkelmessungsfehler wirkt, der sich in ungünstiger Weise fortpflanzt bzw. vergrößert.

Zur Verminderung der Umsetzfehler hat man als bestes Mittel die Anwendung von drei Stativen mit den in den Figuren 4 und 5 S. 444 gezeichneten Signalen und Fußlagern. („Zeitschr. f. Verni. 1884“ S. 520 — 523.)

Fig. x.

I)

Die Messung eines Zuges ABC JD E (Fig. 1) geschieht so : Man nimmt drei Stative von möglichst gleicher Konstruktion der Oberplatten, auf welche sowohl der Theodolit als auch zwei Signale (Fig. 4 S. 444) abwechselnd gestellt werden können. In Fig. 1 seien die drei Stative auf den Punkten ABC zentrisch aufgestellt.

Auf dem Stativ über B steht der Theodolit T, auf den Stativen über A und C stehen die Signale S (Fig. 4 S. 444). Mit dem Theodolit T mißt man nach den gut vertikal gestellten Signalstähchen SS'. Nach der Messung in B bleiben die zwei Stative über B und C stehen, und das Stativ über A wird von dort nach I) gebracht. Der Theodolit wandert von dem Stativ B auf das Stativ C,. und die Stative über B und T) werden wieder mit den zwei Signalen besetzt.

Nach dieser Beschreibung des Verfahrens im ganzen betrachten wir die Stativsignale usw. mit den Zeichnungen Fig. 2—7 auf S. 444—445, wozu auch die frühere Theodolitzeichnung S. 232 gehört.

Das Stativsignal (Fig. 2 und 4 S. 444), welches mit einem Theodolit abwechselnd auf demselben Stativ gebraucht wird, besteht aus einem Dreifuß A mit drei Stellschrauben B, welche entweder auf Unterlagsplättchen J) oder auf einem besonderen Fußlager (Fig. 5 S. 444) aufstehen.

In dem Dreifuß (Fig. 2 und 4) steckt zentrisch und vertikal eine Eisenstange CEE’, welche mit C auf einen beliebigen Punkt zentriert werden kann, und mit ihrem oberen, in der Dicke abnehmenden Ende E' zum Anzielen auf verschiedene Entfernungen dient. Zum Vertikalstellen dient eine Dosenlibelle L.

Hat man einen Theodolit und zwei Signale (Fig. 4) mit gleich weiten Fußspitzen, so kann man den Theodolit und die Signale unmittelbar auf dem Stativ selbst oder auf den Unterlagsplättchen T) (Fig. 4) umsetzen. Wenn dagegen der Theodolit und die Signale verschiedene Fußschrauben weite haben, so dient statt der Scheibchen I) in Fig. 1 das Fußlager Fig. 5 (auch Fig. 1), welches drei unter Winkeln von 120° auslaufende scharfe Rinnen zum Einsetzen der Spitzen darbietet.

Man denke sich nun das aus Messing gegossene dreizackige Stück ABC (Fig. 5) auf eine hölzerne Stativplatte mit rundem Loch von etwa 10 cm Durchmesser gelegt. Dann hat man bei der Aufstellung des Stativs selbst einen guten Spielraum von 5 cm. Steht das Stativ, so wird mit gewöhnlichem Lot oder durch ein an Stelle der Stange C E gestecktes Visierrohr abgelotet. Ist dieses geschehen, so werden bei S S S drei Schraubenspitzen, welche bisher hochgestellt waren, hinabgeschraubt, daß sie sich in das Holz der Stativplatte eindrücken lassen, und damit die ganze Platte während des Messens und Umsetzens genau in ihrer Lage erhalten.

Das Aufstellen der Stative mit den Fußlagern (Fig. 5) besorgt ein Gehilfe des-Polygonometers : derselbe kann dem Winkelmessenden stets 1—2 Stationen voraus sein, weshalb dann häufig sogar vier Stative gleichzeitig gebraucht werden können.

Als ganz einfaches Mittel zur Verschärfung der Umsetzung sei auch nochmals auf Fig. 9 S. 436 hingewiesen; es werden ebenso wie in Fig. 1 die Punkte AB C D... mit solchen einfachen Signalen bezeichnet, die dann bei der Winkelmessung unter dem Theodolit stehen bleiben, so daß dieser auf das Stäbchen oder dessen Steckloch scharf zu zentrieren ist.

Fig. 2.

Polygonsignal mit Schnurablotung.

(Vgl. hierzu auch Fig. 21 S. 231.)

E'

Fig. 3.

Polygonsignal mit optischer Ablotung.

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B||—

m.

IiliiiiiniiiiiiiNiiiüii

niiiiiiiiiii

§//]

Fig. 4.

Stativsignal. Höhe = 40 cm.

Fig. 5.J

Fufilager des Stativsignals und des Theodolits. Doppelter Maßstab von Fig. 4.

is

Jjp

Ld

B,

mß

...

r>

Optisches Abloten.

Die Schwankungen des Schnurlotes im Winde usw. legen den Gedanken des optischen Ab-lotens sehr nahe.

In diesem Sinne hat der Verfasser zum Zweck der Festlegungsmessungen für die badische „Gradmessungs-Triangulierung“ das in nebenstehender Fig. 6 dargestellte Instrumentehen konstruiert (erstmals beschrieben in dem „Monatsblatt des badischen Geometervereins 1871“ Nr. 9). Es ist ein Spiegel mit 45 ⁰ Neigung unter dem Theodolit angebracht, nebst einem horizontalen Fernröhrchen, welches den unten befindlichen Lotpunkt P reflektiert zeigt. Aus verschiedenen Gründen haben wir jedoch dieses Instrumentchen später nicht weiter benützt, sondern mehr die Umsetzung betrieben („Zeitsclir. f. Verm. 1884“ S. 520-523).

Fig. 6.

Fig. 7.

jl|i

Theodolit-

Achse.

A..J.

r.

!:

Inzwischen ist ein anderer Abloter, mit vertikalem Fernröhrchen, von Nagel und Hilde-brand hergestellt worden (beschrieben in der Zeitsehr. „Civil-ingenieur“ Jahrg. 1886 Heft 3, Tafel XIV, und in der „Zeitschr. j f. Verm. 1888“ S. 39—50).

Die Fig. 7 gibt eine Ansicht des auf dem Stativ aufgestellten Instrumentes. Das hölzerne Stativ hat in der Mitte ein vertikales Loch von 5 cm Durchmesser. Darüber läßt sich eine dreiseitige Messingplatte P mit einer Messingröhre nach allen Seiten verschieben und dann befestigen.

7W///,

Das obere Ende dieser Röhre ist zylindrisch und ent-

“Niw.**

/A

hält das vertikale Fernröhrchen, dessen Achse vertikal auf den unteren Punkt C einzustellen ist. Ist dieses geschehen, so wird der Abloter weggenommen und der Theodolit an dessen Stelle zentrisch gesetzt. Ebenso werden die Signalstative zentriert und dann eine auf einem Dreifuß angebrachte Signalscheibe aufgestellt.

Nach diesem wollen wir auch noch unseren schon auf S. 444 Fig. 3 dargestellten einfacheren optischen Abloter beschreiben, nämlich eine Signalisierungs- und Ablotvorrichtung, welche mit Beibehaltung des Fußlagers von Fig. 2 nun mit einem Fernröhrchen 0 0' zum optischen Abloten versehen ist. In dem Körper A von Fig. 3 befindet sich das kleine Fernröhrchen 0 0', welches sowohl mit dem Objektiv 0' als auch mit dem Okular 0 bzw. Fadenkreuz gut optisch und mechanisch zentriert ist, sowie auch die Libelle L umdrehbar und dadurch auf die lotrechte Achse gestimmt ist.

Nun kann man also nach der Achse GH lotrecht abzielen und, mit dem Fußlager F rückend, dessen Mitte C über H einloten, worauf wieder drei Schraubenspitzen f niedergedrückt werden und damit das weitere Vorrücken auf der Holzplatte hemmen.

Um nun den Abloter gleichzeitig als Signal zum Anzielen herzurichten, hat man den Aufsatzstift EE', welcher in Fig. 3 zunächst rechts unten abgesetzt dargestellt ist, welcher aber auf das Okular 0 mit wenigen Windungen aufgeschraubt werden kann, wie im oberen Teil von Fig. 3 mit EE' punktiert angedeutet ist. Mit diesem Aufsatze E E’ hat dann Fig. 3 äußerlich völlig das Aussehen von Fig. 2.

Von optischen Ablot-Instrumenten seien hier noch zitiert ein kleiner Theodolit mit zentrischer vertikaler Abloteinrichtung, der dann allerdings das Fernrohr selbst exzentrisch haben muß („Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 36) und eine ähnliche patentierte Vorrichtung von Fennel mit zentrischer und schief reflektierter Ablotung, „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 34, endlich eine solche Abloteinrichtung von Dennert und Pape („Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 271), bei welcher das Hauptfernrohr selbst durch ein Loch im Unterteil vertikal auf den Bodenpunkt gerichtet werden kann.

Das feste Lot.

Mechaniker Meißner in Berlin hat das in Fig. 8 und 9 (S. 447) dargestellte feste Lot eingeführt. (Früher mehrfach beschrieben in der „Zeitschr. f. Venu. 1888“ S. 115 und 251, 1889 S. 43 und 1890 S. 37.) In Fig. 8 ist S der Stativkopf, bei C mit Kugelgelenk, das nach unten mit dem festen Lot K V und nach oben mit dem dreirilligen Fußlager F und der Dosenlibelle L verbunden ist. (Dieser Dosenlibelle gibt Meißner einen Krümmungsradius, der ungefähr der mittleren Stativhöhe entspricht:) Zur Veranschaulichung der Handhabung dient auch noch Fig. 9. Der Bodenpunkt, über welchem zentriert werden soll, ist hier über C angenommen, und da die Stativmitte oben bei S lotrecht über C sein soll, so ist die richtige Stellung noch nicht erreicht, vielmehr muß noch bei S eine Bewegung nach links erfolgen. Man beginnt damit, daß die untere Spitze s des festen Lotes auf den Bodenpunkt G aufgesetzt und festgehalten wird. Dazu kann man einen Arbeiter anstellen, welcher den Zapfen V zu halten hat; einfacher aber ist das in unserer Fig. 9 S. 447 dargestellte Verfahren, wobei an V eine flache Platte P gelenkartig aufgelegt wird, auf welche der Potygono-meter selbst, der das Stativ aufstellt, seinen Fuß aufsetzt, so daß die Platte P und die Spitze s fest sind.

Der Hauptteil X des Lotstabes ist röhrenartig geformt, so daß das untere Ende s y sich im Innern von X bewegt und nach Belieben lang oder kurz ausgezogen werden kann. Das übrige ist nun sehr einfach : Der Aufsteller des Stativs schaut nach der am Stativkopfe angebrachten Dosenlibelle L und fährt oben so lange hin und her. bis dieselbe einspielt.

Über all die in vorstehendem beschriebenen Einrichtungen im ganzen läßt sich soviel sagen, daß hei >S'tar/£messungen die dadurch erstrebte Verfeinerung nicht übertrieben ist. Die Einrichtungen Fig. 2, 4 und 5 S. 444 (sowie auch im früheren § 56 S. 232) haben wir nun seit mehreren Jahren erprobt. Der Nagelsohe Abloter (Fig. 7 S. 445) ist von verschiedenen Seiten angewendet worden.

Optisches Abloten mag zu empfehlen sein bei dauerndem, wochen- und monatelangem, einheitlichem Betrieb; im übrigen bleiben wir bei den Einrichtungen von Fig. 2, 4 und 5.

Besonders empfehlenswert erscheint aber auch das oben beschriebene feste Lot, wobei natürlich auch mehrere Stative unter Anwendung eines mit einem Dreifuß absetzbaren Signales, wie Fig. 2 S. 444, oder direkte Anzielung der Lotstange anzuwenden wäre.

Erwähnt sei hier auch eine von der Firma Breithaupt in Cassel besonders bei Orubentheodoliten geführte sogen. Steckhülsenvorrichtung, und hierzu ferner zitiert „Zeitsehr. f. Verm. 1900“ S. 100—107.

Fig. 8.

Fig. 9.

Handhabung des festen Lotes.

S\ </)

R.

jÜB

l/l

§ 103. Liingenfeliler und Quer fehler.

Wenn ein nahezu geradlinig gestreckter Zug zwischen den zwei Punkten A und B (Fig. 1 S. 443) gelegt ist, und, infolge der Messungsfehler, von A ausgehend statt in den richtigen Punkt B in den falschen Punkt B' ausmündet, so stellt der

Abstand B B' — s nach Größe und Richtung den Anschlußfehler vor, welchen man in zweifacher Weise in Komponenten zerlegen kann:

1.    Projizierung auf die Koordinatenachsen-Richtungen x und y gibt :

B C = ivx , B C = iVy,

2.    Projizierung auf die Gerade A B gibt :

BB = w' , B’D = w".

Wir führen weiter die Richtungswinkel cp , cp' und die Längen S , S' der Linien AB und AB' ein, bezeichnen mit xa y« und mit Xby\, die festgegebenen Koordinaten der Punkte A und B, mit [s sin a\ und [s cos a] die in der Koordinatenberechnung des Zuges AB' auftretenden Projektionssummen, so bestehen die Gleichungen:

yb — y a %b — Xa

sin cp COS Cp \s sin a] _ [s cos a] sin cp' ~~ cos cp' ^ 1

(1)

(2)

cp — (AB) , S —AB , tang cp —

cp' = (AB') , S' — AB' , tany cp' =

w' = S' — S , io" =

[.s sin a\ — (yi — y«) = w„

yb — y a

Xb — Xa [s sin «] [s cos a] A cp

, S’ =

S oder

A cp

S'

(5)

[S COS a] — (Xb — Xa) — Wx ■

Diese wy und ivx entsprechen unserer beistehenden Fig. 1 ; um jedoch auch auf die Bezeichnungen der preußischen Anweisung IX Bezug zu nehmen, wollen wir, wie schon in der Polygonzugberechnungstabelle § 95 S. 414 bis 415 geschehen und auch bei Fig. 1 zugesetzt ist, auch die preußischen fy und fx einführen, welche die negativen Werte von Wy und wx sind, nämlich:

fy = — Wy , fX = — Wx,

so daß man statt (6) erhält : (yb—yu)-[ssina\=fy (xb—xa)-[scosa]=fx. (8) Weitere Beziehungen erhalten wir durch die Koordinatentransformationsgleichungen (1) § 71 S. 284, nämlich, indem hier a — 0 und b = 0 ist, die Gleichungen : y = x' sin t + ÿ cos e , x = x' cos e — ÿ sin e .

Um diese zwei Gleichungen auf Fig. 1 anzuwenden, hat man zu nehmen c = cp, y — wy , x = Wx , y' = w" , x' = w'; es wird also :

Wy = w' sin cp -f- w" cos cp , wx — w' cos cp — w" sin cp .

Diese zwei Gleichungen kann man auch nach w' und w" autlösen, und darin auch sin cp und cos cp nach (8) oder (4) Ausdrücken :

Aą

Fig. 1.

wy = — fy

Wx — — fx .

+x

wo

ÄB¹

;w₇^

■/^z/ !

Wy

//

(6)

cp-

'A

<p

+Y

(9)

(10)

S' — S =    = Wy sin cp, wx cos cp ,

É»

S = w" = Wy cos cp — Wx sin cpi

(H)

= ~ä(w.v[Ay] +Wx[Ax\)

= s (wAAx] Wx[Ay]).

Oder wenn wir die fy und fx nach (7) einführen, haben wir:

- zf qp = fy cos qp — fx sin cp (12) ■à cp _ (f IX _ fy cos V — fx sin cp

_ fy [zf x] — fx [A y]

*    [Jy]* + [Jx]* ’

S — S' = fy sin qp -t- fx cos cp

^ _ fy sin cp + fx cos cp

s

fy[zly] + fx[/lx\

¹    [Äyf + [Z/ .n]2

g ' gj

also q — 1 = —ó—; dieses q — 1 ist der Wert, welcher in der

preußischen Anweisung IX, Formular 19 rechts oben — q—1 angegeben ist; und der ebendaselbst mit cp bezeichnete Wert ist in unseren vorstehenden Gleichungen (18) und (14) durch cp IX ausgedrückt, d. h. es ist cp IX das cp der Anweisung IX.

Zu einer Anwendung nehmen wir das Zahlenbeispiel von § 95 S. 414—415 :

[s cos a] = + 688,49 m soll (,Xb — xa) = 4- 688,89

S — S’

dabei ist q —

S'

~S

[s sin a] = -+- 775,39 m soll (ÿb — y a) = 4- 775,65

fy—    0,26

f x —    + 0,40

(13)

(14)

(15)

log

log

+ 775,39    2.889 520

9.873 766 + 688,49    2.837 898

+ 775,65

+ 688,89

2.889 666 9.873 719 2.838 150

0.051 622 cp' = 48° 23' 50" 3.015 754 S'= 1036,940

log ~ = 0.000 193, $ — $' = + 0,462 m

fy 9.4150 sin cp 9.8737

tang cp'

tang cp

f.

cos cp

9.6021

9.8222

fy

cos cp pj-.S

9.4150

9.8222

2.2985

0.051 516 q> = 48° 23' 25" 3.015 947 S = 1037,402

cp cp’ — — 25"

fx 9.6021 — sin cp 9.8737»

2.2985

9.2887 + 0,194

9.4243 + 0,266

1.5357 + 34,3"

i 1.7743»

I —59,5"

w' = S — S' = + 0,460 m

log (S — S') 9.6628 „    S 3.0158

— z/ <p = <jp — cp' = — 25,2" iv" = + 0,173 — 0,299 = — 0,126 log (cp' — qp) 1.4014 5.3144

log cp IX 6.0870 cp IX = -0,000 122.

log (q — 1)    6.6470

S — S'

—— = q — 1 = + 0,000 444

Die Rechnung kann auch nach den Formeln (11) oder (12) bis (14) mit dem Rechenschieber ausgeführt werden, oder auch, wie aus Fig. 1 S. 448 ohne weiteres erklärlich, w’ und w" graphisch hergestellt werden. Man trägt in die Netzkarte in passendem Maßstab (1 : 10) die Koordinatenfehler wy wx ein, erhält damit den Endpunkt B’, den man nach I) auf die Zugrichtung projiziert und liest mit dem Maß-stab unmittelbar iv und w" ab. — Trägt man in Fig. 1 § 95 S. 411 im Maßstab 1 : 10 die Abweichungen unseres Beispiels ein, so fällt der fehlerhafte Punkt etwas oberhalb Polygonpunkt (5), und man greift ab w’ =    0,47 m ; w" — —0,13 m.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Das Hauptinteresse bietet hier die Berechnung der Differenzen w' = S — S' und — q — 1 ; wir rechneten dazu gewöhnlich die S und S' selbst

mit sechsstelligen Logarithmen nach den Formeln (3) und (4) und dazu als Probe die Differenz S — S' nach der ersten Diflferentialformel (12). Diese S—S' bzw. die Quotienten q — 1 braucht man zur Beurteilung, ob in den Anschlußkoordinaten allgemeine systematische Vergrößerungsfehler enthalten sind. Die Querfehler w" und

Vrerdrehungswinkel cp' — <jp = A qp, bzw. die preußischen = — cp IX haben im all-

Q

gemeinen weniger Interesse. Die preußische Anweisung IX verlangt deren Ausrechnung zur Entscheidung, ob cp IX größer oder kleiner als 0,0003 ist, d. h. ob A <p größer oder kleiner als 0,0003 (j — 62" oder rund = 1' ist. Wenn die Verdrehung A cp kleiner als 1' ist, so begnügt sich die Anweisung IX mit dem gewöhnlichen Ausgleichungsverfahren, das auch in unserem Beispiele von § 95 S. 414—415 (Spalten 9 und 10) gelehrt +Y ist; wenn aber A cp größer als V wird, so schreibt die Anweisung IX eine Verdrehungsberechnung mit e und e vor, welche umständlich und wenig förderlich ist.

Die Längenfehler w’ und der Querfehler w” nach (11) geben zusammen das anschaulichste Maß der vorgekommenen Abweichungen.

Als ein Beispiel von Berechnungen nach den entwickelten Formeln (3)—(14) geben wir in der folgenden Tabelle diejenigen Züge der Lindener Stadtvermessung (Fig. 1 § 97 S. 421), welche unmittelbar zwischen trigonometrischen Punkten liegen (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 17). Die Bezeichnungen S ,S', cp , cp' sind dazu nochmals in Fig. 2 hergesetzt.

der Quotienten ——=

iS

-[-X

Fig. 2.

B,

B‘

V'S*

Zug

S'

S' — S

Nr.

aus den trig. aus dem Koordinaten Polyg.-Zug

S' — S

= 3—1    !

I qp' — cp

V'-V \

cp IX

DO t—¹    ‘ ►—-i

05 CO 05 ÜT

lisigiHisi ei

___________________

K) 03 M » ^ p Ot to 00    H—¹ C«

« ® » S § S 2 § S'îS 8 3 g

13    8698,09    8696,25

Durchschnitt 669,08 m 668,94 m

Gesamtmittelwert

—    0,21mj

—    0,14m " — S

0,00025 - 0,00010 0,00017 0,00018 0,00032 0,00021 0,00024 0.00037 0,00025 0,00029 0,00026 0,00022 0,00003

18

+ 10

+ 15

+ 31

12

33

0,00289 : ±163 0,00022 | ± 12"| — 1,84

8696

0,10m — 0,00012

+ 0,01

—    0,07 0,03

-    0,01

+ 0,04

-+- 0,09 + 0,01 — 0,00 — 0,02 + 0,00

—    0,04

—    0,17

- 0,00001

-+- 0,00009

—    0,00005

-+- 0,00002

—    0,00007

—    0,00015

—    0,00002 Hh 0,00001

+ 0,00003 — 0,00000 + 0,00006 H- 0,00016

± 0,59    ± 0,00079

-t- 0,04m ± 0,00006

0,00021.

(16)

Am meisten Interesse bieten die Längenfehler S' — S, welche hier alle in demselben Sinne auftreten und auf die Gesamtlänge von 8696 m verteilt, einen Betrag von 0,00021 oder 0,21 mm auf 1 m ausmachen, nahe übereinstimmend mit dem Durchschnitt 0,00022 aus den 13 Einzelquotienten.

Der Quotient 0,00021 ist sehr groß, wir wollen denselben dazu benützen, den Maßstab der zugrunde gelegten Triangulierung zu prüfen, denn diese Triangulierung war die alte an mangelhafte Punkte der früheren Gaußschen Gradmessung und Landesvermessung angeschlossene, welche wir bereits in § 71 S. 286 kennen gelernt haben. Wir haben von dort:

System Celle, Ägidius—Wasserturm    log B = 3.878 8439

„ Göttingen „

log B' = 3.378 7020

B = 2392,456 m B' = 2391,674

log B — log B' = 0.000 1419

B — B’ = + 0,782 m.

Die Vergleichung mit dem vorhergehenden (16) gibt: (S’ — S):S = — 0,00021

(B' — B) : B = — 0,00033

S' —

II'

BS

S' — S B' — B_S'    B’

B ~ S    B

Damit ist die alte Basis B’ eliminiert, und die S' — S sind auf die neue Basis B bezogen. Wir werden am Schlüsse nochmals darauf zurückkommen.

Außer diesen aus der Polygonisierung von Linden 1887 stammenden Zahlen haben Avir noch eine ähnliche Tabelle der Polygonisierung bei Hannover 1894, deren Lattenmessungen schon früher in § 21 S. 77 berichtet worden sind. Folgendes ist die zugehörige Tabelle:

= + 0,00012.

(17)

Hum.

Zug

S' — S !

von

bis

aus den trig. : aus dem Koordinaten J Polygonzug

S' — S

tp' — V

Kunststein—Grandkuhle . . Grandkuhle—Leinestein . . Leinestein—Spargelpflanzung Sp argelpflanzung—Leinhausen Grandkuhle —Kirchhof .    .

973,195 m 597,821 831,355 566,870

(24)

(1)

973,410 m 597,945 831,541 566,892 380,611 621,077 1018,621 416,287 559,237 531,880 994,567 1257,737 732,590 588,310 843,660 538,770 434,462 1188,409 1186,700

6”

+ 0,00022 -+- 0,00021 + 0,00022 + 0,00004 + 0,00031 4- 0,00024 + 0,00009 + 0,00013 -+- 0,00008 + 0,00001 + 0,00002

—    0,00004 + 0,00026 + 0,00014 + 0,00062 + 0,00032 + 0,00015 + 0,00001 + 0,00001

+ 0,00302

—    0,00016

p p p p p p p p p p p p p p p p -2 -2 S

iiiälilliissssssBgssi

+ 10 +    3

+ 21

||    380,493

I 620,929

—Wasserbehälter . jj 1018,528 416,234 559,190 ||    531,875

994,547 1257,788 732,400 588,227 843,608 538,600 434,399 1188,403 1186,713

(17)

+ 39

(8)    .    .

(10)    .    .

—Herrenhausen Herrenhausen—Kunstweg . Flügeldamm—Lange Koppel Lange Koppel—Fuchsgarten Fuchsgarten—Schanze    .    .

Lister Gr.-Bothfelder Weide Bothf. W.—Bothf. Pyramide Bothf. Pyramide—List 22    .    .    jj

List 22—Langer Damm    .    .    .    Jj

Langer Damm—Steuerndieb . |j

Grandkuhle—

(18)

(10)

Summen 14261,175 Durchschnitt 750,588 S'—S

+ 1,531 -f 0,081

13

+ 36 +    5

11

Gesamtmittelwert

| 14262,706 |    750,669

± 206 ± 16

(18)

Dieser Mittelwert q — 1 = -f- 0,00011 von (18) stimmt ganz merkwürdig überein mit dem früheren q — 1 = 4- 0,00012 in (17); beide beziehen sich auf Lattenmessungen im Vergleich mit der neuen Triangulierung der Landesaufnahme in Hannover von 1887—1891, und wir haben nun also aus der Vergleichung von 8,70 4m -+- 14,264m = 22,964m, welche als Meßlattenmessungen gelten, mit entsprechenden Triangulierungsseiten eine Vergleichung gefunden, welche unter Annahme von zwei Fällen betrachtet werden kann.

1.    Fall. Unsere Meßlatten sind trotz der metronomischen Vergleichungen, im Mittel um 0,12mm für Im zu klein, und gaben daher die Polygonseiten im Felde um 0,12 m auf 1000 m zu groß, oder was hier dasselbe ist, unsere Lattenmessung im Felde war mit einseitig wirkenden konstanten Fehlern von 4-0,12 m auf 1000 m behaftet, d. h. die Lattenmessungen gaben die Feldlängen um so viel zu groß.

2.    Fall. Die Triangulierungsseiten in der Gegend von Hannover 1887—1891 sind um 0,12 m auf 1000 m zu klein, und da die ganze Triangulierung an der einen Seite Ägidius—Wasserturm = 2892,456 m hängt, welche von der Landesaufnahme 1887 so angegeben wurde, so könnten wir annehmen, daß diese Seite um 0,287 zu klein angegeben ist, und daher in Wirklichkeit = 2392,456 4-0,287 = 2392,743 m ist.

In Wirklichkeit wird keiner dieser zwei angenommenen Fälle allein stattfinden, sondern sie werden sich kombinieren. Um zu überlegen, welchen Fehler wir etwa der Angabe der Landesaufnahme für die Seite Ägidius—Wasserturm zuschreiben dürfen, können wir von „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 10 entnehmen, daß in der Triangulierung der Landesaufnahme der Punkt Wasserturm als Folgepunkt von Ägidius mittlere Koordinatenfehler öy =+ 0,037m und Ö x = Hh 0,012m hat, wozu noch alle die Fehler kommen, welche auf dem Wege von der Göttinger Basismessung bis Hannover entstanden sind (vgl. hierzu unseren III. Band, 5. Aufl. 1907 § 23).

Wenn nach allen diesen Überlegungen auch nicht anzunehmen ist, daß die von der Landesaufnahme angegebene Länge Ägidius—Wasserturm = 2392,456 m um 0,287m falsch sein könne, so ist es doch wohl möglich, daß etwa 0,1m, oder 0,04m auf 1000m Unsicherheit an jener Angabe haftet; und wir schließen diese ganze Betrachtung mit dem Schlüsse, daß gewöhnliche Polygonlattenmessungen wohl imstande sind, eine Triangulierung III.—IV. Ordnung in Hinsicht auf ihre örtliche Maßeinheit zu kontrollieren; und zu unseren im vorstehenden mitgeteilten Lattenmessungen sei noch bemerkt, daß sie ohne alle feineren, teueren oder zeitraubenden Hilfsmittel, lediglich in gewöhnlicher Feldmeßart, aber sorgfältig, ausgeführt worden sind (vgl. hierzu die früheren §§ 17—21).

Hieran ist die praktisch wichtige Bemerkung zu knüpfen, daß für exakte Zugmessung im Inneren enggebauter Stadtteile, wo mit der Triangulierung nur schwer durchzukommen ist, und schwierige, zeitraubende und auch unsichere Hilfsmessungen zum Anschluß an die Hochpunkte notwendig werden, häufig eine zu weitgetriebene Kleintriangulierung nicht förderlich ist. (Es sei dabei auch wieder auf die § 98 am Schluß von II S. 430 erwähnte Ausgleichung des Polygonnetzes hingewiesen.)

§ 104. Mittlere Winkelfehler.

Wir werden uns hier mit zweierlei mittleren Fehlern zu beschäftigen haben, erstens mit dem mittleren Fehler der Brechungswinkel und zweitens mit dem mittleren Fehler der Kichtungswinke!.

Jeder Polygonzug mit Richtungsabschluß kann zur Berechnung des mittleren Fehlers eines Brechungswinkels dienen. Wenn z. B. der Zug von § 95 auf S. 414 mit einem Richtungswiderspruche —fß oder w = 2' 34" = 154" ahschließt, so muß nach (8) § 9 S. 28 hei neun Brechungswinkeln der mittlere Fehler eines gemessenen Winkels = 154" : j/9 = jh 51" angenommen werden; nach dem allgemeinen Fehlerfortpflanzungsgesetze von § 5 S. 9 ist der Widerspruch w = 154" als eine Zusammenwirkung von neun unregelmäßig +_ sich häufenden Einzelfehlern zu betrachten.

Aus einem einzelnen Zuge von n Punkten, also auch n Brechungswinkeln {Anfangspunkt und Endpunkt mit eingeschlossen), wird hei einem Richtungsfehler fß = — w der mittlere Winkelmessungsfehler also nach (8) § 9 S. 23 werden :

iv

(1)

m —

Wenn eine größere Zahl von gemessenen Zügen und die Abschlußfehler w derselben vorliegen, so erhält man aus jedem Zug einen besonderen Wert m², nämlich nach (1) :

o w2²

m₉ 2 = —4-

Wenn die Anzahl der verfügbaren Züge = z ist, so wird der Mittelwert von m :

Wi² w₂² w₃2 %    n₂    n₃

Diese Formel (welche erstmals 1877 von uns angegeben wurde, vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 468) wenden wir im folgenden auf dieselben zwei Polygonnetze an, welche auch schon im vorigen § 103 S. 450 und 451 benützt worden sind.

1. Linden 1887.

_ Wj²

nl

= V\{

„ IV ₃2 m₃² = ——

ns

(2)

II. Hannover 1891.

Num.

-fß

— w

w²

w°-

Num.

-fß

w²

O ÇD S W O 50 CD ,-4 05 Ol CO tO t-»

M CO Ül M ÜI 05

289

441

484

529

441

196

169

325

32

55

329

69

106

552

147

336

65

480

21

+ 13" — 16

—    32 + 2

—    62 + 41 — 12

—    29

—    17

— 10 + 7 + 26 — 18 + 7

— 19

— 17

169

256

1024

3844

1681

144

841

289

25

100

49

676

324

49

361

81

289

28

51

146

769

280

21

168

58

17

12

113

46

90

26

14.

88

3022

19

114

1849

I. m

Vu

3022

± 15".

II. m

r»

1849

± 10".

Die Messungen I sind gemacht mit einem großen Nonieninstrumente (5. AufL 1897, § 53 S. 190), mit drei Stativen und mit den Signaleinrichtungen von § 102 S. 444, teilweise auch mit optischem Abloten. Dagegen die Messungen II sind gemacht mit dem kleinen Mikroskoptheodolit § 56 S. 231, ebenfalls mit drei Stativen und mit denselben Apparaten § 102 S. 444 wie bei I, aber ohne optisches Abloten, lediglich mit dem Schnurlote, wie in § 102 S. 444, Fig. 2 bei G angedeutet ist. In dem Falle I war auf Zentrieren und Abloten genügende Sorgfalt verwendet worden, und wenn trotzdem der mittlere Winkelfehler m — 15'' herauskam, so mag das zum Teil an der Winkelmessung selbst liegen, welche mit dem alten, nicht mehr ganz guten Nonientheodolite gemacht ist. Seit die kleinen handlichen, leichten und ungemein leistungsfähigen Mikroskoptheodolite von § 56 S. 231 zu mäßigeren Kosten geliefert werden, sind dieselben zu Stadtpolygonzügen zu empfehlen. Den mittleren Wdnkelfehler noch unter 10" herunterzubringen erscheint bei Polygonzügen kaum erstrebenswert (vgl. hierzu „Zeitschr. f. Yerm. 1889“ S. 46).

Die preußische Anweisung IX vom 25. Oktober 1881 S. 23, § 39, 3, deren höchste zulässige Abschlußfehler wir bereits in § 96 S. 416 angegeben haben, setzt:

Grenzwert fß

was einem mittleren Winkelfehler von etwa 30" entspricht, der auch im freien Felde Avohl genügt, während in Städten ein mittlerer Winkelfehler von etAva 15" zu erstreben ist.

max

max

= i,5' yi;

II. Mittlerer Fehler eines Bichtungswinlcels.

Von dem mittleren Fehler der Brechungswinkel kann man auch Aveiter schließen auf den mittleren Fehler eines Richtungswinkels im Zuge; und es ist leicht einzusehen, daß die RichtungsAvinkel der verschiedenen Zugstrecken ungleich genau sein müssen (die BrechungsAvinkel selbst als gleich genau gemessen vorausgesetzt), denn am Anfang und am Ende wirkt die Anschließung an feste Richtungen günstiger als in der Mitte, und man kann schon nach dieser Betrachtung erwarten, daß der mittlere Richtungsfehler in einem Zuge vom Anfang bis zur Mitte stetig Avachsen und von da bis zum Ende Avieder ebenso abnehmen wird.

Wir denken uns, Avie auch vorher bei den Formeln (1)—(3), einen Zug mit n Punkten, also auch n BrechungSAvinkeln, einschließlich Anschluß und Abschluß (Aväh-rend früher in § 94 die Bezeichnung mit n Strecken und n ■4-1 Punkten eine andere Avar). Dabei nehmen Avir eine Strecke vom Punkte r bis zum Punkte r -f-1 in Betracht, deren RichtungsAvinkel (r, r -+-1) ist, und Avir fragen, was der mittlere zu fürchtende Fehler dieses RichtungsAvinkels nach der Richtungsausgleichung ist. Wenn wir bedenken, daß es sich dabei um einen ganz ähnlichen Fall handelt Avie bei der schon früher in § 22 S. 82 vorgenommenen Ausgleichung von Längenmessungen, die eine feste Summe füllen sollen (vgl. auch § 9), so Avird es nicht schwer sein, aus der Gleichung (9) S. 83 für unseren Fall analog zu bilden:

— und po = -

r    ù n — r

mit pi =

Mittlerer Fehler von (r, r -+-1), M —

(ß)

Also :

Wegen m = -V— nach Gleichung (1) kann man vorstehende Gleichung auch so

l/tt

schreiben :

M = — I/r(n — r). n

(4)

Diese Formeln (3) und (4) bestätigen, was schon vor der mathematischen Entwicklung vermutet wurde, daß der mittlere Fehler M eines Richtungswinkels (r , r -+- 1) am Anfang und am Ende des Zuges klein und in der Mitte des Zuges größer ist; dieses zeigt sich am deutlichsten aus dem Zähler j/V (n — r) in (3), welcher die Ordinate eines Halbkreises über dem Durchmesser n vorstellt, also in der Mitte am größten

ist = 2 und hierfür geben die Formeln (3) und (4) :

Mmar = ^ Vn ocler =    •

Die Formel (3) oder (4) ist sehr wichtig zur Beurteilung der Unsicherheit, welche ein Zug in Hinsicht auf Richtung auch nach der Richtungsausgleichung hat.

Weil hiernach die ausgeglichenen Richtungswinkel an verschiedenen Stellen des Zuges sehr verschieden genau sind, darf ein Theodolitzug zum Zweck weiterer Ausgleichung nicht als ein starres Ganzes gedreht werden, sondern er muß. gebogen werden. (Weiteres hierüber gibt die Theorie des folgenden § 105.)

Die Gleichung (3) wollen wir noch so schreiben :

M == m yq wo

— r)

r (n -

q = —-

n

— sei das Gewicht des Richtungswinkels (r , r -+-1) nach der

(5)

d. h. man kann sagen,

Ausgleichung, oder q sei die Gewichtsreziproke des aus der Richtungsausgleichung hervorgegangenen Richtungswinkels (r , r -+-1).

Um das Gesetz der Gleichung (3) oder (4) auch durch ein Beispiel zu veranschaulichen, wollen wir einen Zug von n = 8 Punkten annehmen, welcher mit einem Richtungswiderspruche fß = — w = Y oder 60" abgeschlossen hat, dann ist der mittlere

= + 21,21" und der mittlere Richtungsfehler der Strecke

Winkelfehler m =

60

V~8

(r , r + 1) wird M — 7,5" }/r (8 — r) — 21,2" ]/ q mit q =

r (8 — r)

. Folgendes ist die

zugehörige Ausrechnung : Punkte Strecken r (n — r)

1,2

2,3

CO

4,5

5,6

6,7

7,8

=\q=    0,88    1,50    1,87    2,00    1,87    1,50    0,88

Va

=    0,94    1,23    1,37    1,41    1,37    1,23    0,94

= +20"    +26"    +29"    +30"    +29"    +26"

Die erste und die letzte Strecke bekommen also mittlere zu fürchtende Richtungsfehler von 20" und die mittlere Strecke 30" usw.

Man darf das aber nun nicht so auffassen, als ob die einzelnen Streckenrichtungen weiterbehandelt werden dürften, wie z. B. unabhängige Kompaßazimute, die nur zufällig verschieden ausgefallen wären. In diesem Sinne ist die Formel (3) oder (4)

31

-+- 20".

(welche erstmals hei Gelegenheit einer Kontroverse in der „Zeitschr. f. Yerm. 1876“ S. 176—178 mitgeteilt wurde) seit jener Zeit von verschiedenen Seiten unrichtig behandelt worden. (Ygl. den Schluß dieses Kapitels.)

§ 105. Fehlertheorie des gestreckten gleichseitigen Zuges.

Die Betrachtungen des vorigen § 104 über mittlere Winkelfehler und Richtungs-fehler gelten allgemein für jede beliebige Form des Zuges, mit gleichen oder ungleichen Strecken, mit oder ohne scharfe Brechungen usw. Wenn wir nun aber dazu übergehen, auch die Querfehler (rechtwinklig zur jeweiligen Zugerstreckung) zu untersuchen, so müssen wir uns hier mit dem einfachsten Falle, nämlich mit dem nahezu geradlinig gestreckten und gleichseitigen Zuge begnügen.

In diesem Falle sind die Längenfehler und die Winkelfehler voneinander unabhängig, denn die Längenfehler erzeugen nur Verschiebungen in der Hauptrichtung des Zuges, und die Winkelfehler erzeugen nur Verschiebungen quer zur Zugrichtung.

Über die Verteilung der Längenfehler in einem geradlinigen Zuge haben wir bereits früher in § 22 S. 82—88 alles gesagt, was hierüber zu sagen ist; wir beschäftigen uns daher nun nur mit den Querverschiebungen und betrachten in Fig. 1 einen Zug, welcher von einem festen Punkte I\ mit gleichlangen Strecken s sich nahezu geradlinig nach P₂ , P₃... Pn erstreckt.

Fig. 1.

Po

ß,

ßnrl

(LjiA

rS

Pn

P,

s Pi

Pm

Außer den Koordinaten des Punktes J\ sei noch der Richtungswinkel a₀ der Anschlußrichtung P₀ P₁ gegeben, und es mögen die Strecken s, sowie die Winkel ßL, ß₂ .. ■ ßn—i gemessen sein. Hieraus berechnen wir zunächst die Richtungswinkel der einzelnen Strecken :

«1 = a₀ -+- ßi — 180°

«2 = ccq -t- ßi +    — 2.180°

Cln—1 — <Xq -+- ßi -f- ß% -)— . . . -f- ßn—1 — ('W — 1) 180°.

Es mögen nun bei der Winkelmessung auf den Polygonpunkten die Fehler e₁, Co ... sn— i begangen sein, aus denen für die Richtungswinkel die Fehler ó\, <S₂... d„ -1 hervorgehen. Dann sind die wahren Werte der Richtungswinkel :

eq H-    $1 -t- — 180°

(i2 -f- $2 ⁼    ßl    $2 "4~ *2 — 2.180°

Cln—l -j- Ön— 1 — «o -f- ßi ~h Si -h ßg ■+■ É₂ “H • • • — (n—1) 180°,

ö'i _

(2)

^2 =    4- f₂

àn—1 — fij 4- 6₂ 4- • • •    ®n—1*

Nun berechnen wir die Ordinate des Endpunktes Pn; wir bezeichnen sie mit y und ihren Fehler mit r]. Letzterer ist dann die wahre Querverschiebung des Endpunktes, die aus den Fehlern der Brechungswinkel hervorgeht. Zunächst haben wir:

(3)

y = yi 4- s sin «₁ 4- s sin a₂ 4- ... 4- s sin an— i,

ferner :

mithin ihre Fehler:

y -+- f] = V\ + s sin (a₁ + óL) + s sin (a₂ 4- d'₂) 4- ... 4- s sin (an-1 4- Ö„—i)

oder

y + T] = y₁+ s sin ai 4- s sin a₂ -+-... 4- s sin an—i 4- s cos a₁ Ö₁ s cos a₂ 0₂ 4- ..

„    4- S COS Un—1 Ön—1.

•1

(4)

Die Differenz von (4) und (3) gibt den Querfehler T] ; da der Zug in der Richtung der «-Achse verläuft, so werden die Koeffizienten der Fehler Ö nahe gleich Eins und die ’ Querverschiebung wird dann

(5)

T] — s -f- ó'₂ 4-.. + Ön -1) •

Hierin setzen wir die Werte der Ö aus (2) ein und erhalten

(6)

T] = s {{n — 1) 61 4- {n — 2) e₂ 4~ (w — 3)    4- .. -j- £n—l).

Man kann hieraus die Lehre ziehen, daß bei einseitig angeschlossenen Zügen die Winkel im Anfänge besonders sorgfältig zu messen sind.

Nehmen wir nun an, daß alle Winkel mit gleicher Genauigkeit gemessen sind, und daß ihr mittlerer Fehler gleich +ra ist, so können wir die mittlere Querverschiebung q angeben. Es ist nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz (10) § 5 S. 12.

₂2 = S2 ^ j(n —1)2 + (n — 2)2 + (n — 3)2 + .. + 22 + I2J.

Die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n — 1 ist nach der Theorie der n (n — 1) (2 n — 1)

arithmetischen Reihen gleich

, also wird

ly

n (n—1) (2 n — 1)

(?)

Setzen wir ferner die Zuglänge (n — 1) s = L, so erhalten wir

(8)

q = ±L

m -./ n (2n—1) Q l 6 (m — 1)

Für nicht zu kleine Werte von n können wir die Eins in Zähler und Nenner vernachlässigen und gelangen dann zu dem Näherungsausdruck

(9)

, t m l/ U

q-±LjV 3’

der das allgemeine Gesetz der ungünstigen Fehlerfortpflanzung in beliebig langen Zügen genügend zur Darstellung bringt. Aus diesem wichtigen Gesetz folgt, daß hei Theodolitzügen möglichst wenig und lange Seiten genommen werden sollen.

Im Gegensatz hierzu steht der Kompaßzug (und die Nivellierung), welche, wie wir später, Kap. XIV, sehen werden, das Fehlergesetz hat :

(9a)

q — tri y L s

d. h. bei einem Kompaßzug wächst die mittlere Querabweichung proportional der Quadratwurzel der Streckenlänge s, und deswegen sollen die Seiten s beim Kompaßzug möglichst klein gemacht werden. Dagegen ist der mittlere Bichtungsfehler m in (9 a) bei einem Kompaßzug viel größer als der mittlere Winkelfehler m in (9) bei einem Theodolitzug, nämlich etwa m' = ± 0,1° — ± 6', während für den Theodolit nur etwa m = ± 30", d. h. der zwölfte Teil von m anzunehmen ist. Man kann daher die Vergleichung beider Arten von Zügen so fassen: der Theodolitzug ist im einzelnen sehr genau, hat aber eine ungünstige Fehlerfortpflanzung und soll deswegen möglichst wenig und lange Seiten s (bis 300 m) haben. Der Kompaßzug ist im einzelnen ungenau, hat aber eine sehr günstige, auf weite Entfernungen brauchbare Fehlerfortpfianzung, und soll möglichst viele kleine Seiten s (20 m bis 50 m) haben.

Das Bisherige bezog sich auf einen freien Zug, d. h. auf einen solchen Zug, welcher von einem willkürlichen oder gegebenen Anfangspunkte ausgehend, von da völlig frei verläuft, also weder in einen gegebenen Endpunkt einmünden, noch mit einer gegebenen Richtung abschließen muß. (Absteckung eines Zuges Kap. XVII.)

Wir betrachten nun den Fall, in dem der Zug an beiden Enden Richtungsanschluß, jedoch nur im Anfangspunkt Koordinatenanschluß hat. Solche Züge werden in der Praxis selten in Frage kommen, z. B. dann, wenn zwischen Anfangs- und Endpunkt gegenseitige Richtungen meßbar sind. Vor allem ergibt sich aber auf diese Weise eine Gelegenheit, den WVrt des Richtungsanschlusses zu prüfen. Sind wieder ßi , ß.₂ . . ßn die gemessenen WVrte der Brechungswinkel, f₁ , e₂..en ihre wahren Fehler, so ist der Winkelabschlußfehler des Zuges gleich [e] und die Verbesserung der

M

Winkel bei der üblichen gleichmäßigen Verteilung des Fehlers gleich v = -h~.

(10)

Mit den verbesserten Brechungswinkeln ß₁-\-v, ß₂ + v usw. berechnen wir die Richtungswinkel der Polygonseiten ccj = (Xq -(- ßi -f- v — 180° ix₂ ⁼ ^o ■+■ ßi G- ß% + 2 v — 2.180°

ccn — 1 — Gq -|- ß^ -+- ß₂ -4- .. . -f- ßn—i + (w — 1) v — (n -1) 180°. .

Aus (1) und (10) ergeben sich dann die wahren Fehler der Richtungswinkel ól =    — v

(11)

Ö₂ —    ~4“ e2 — ^ ^

»    Ön— 1 — f J -f- £2 -t_ • • “b — 1 — (w • 1) V •

Die Querverschiebung des Zugendpunktés erhalten wir aus der Gleichung (5), wenn wir die vorstehenden Werte der Fehler ö einsetzen. Es wird

rj = s j(n — 1) £2 + (» — 2) e,₂ -+- ... + sn -1 — » (1 4- 2 + . .. + n — 1){    (12)

und wenn wir die Summe der Zahlen von 1 bis n — 1 bilden,

t] = s ! {n — 1) £2 ■+■ (w — 2) «₂ + • • • +    — 1

Wenn wir nun für v seinen Wert

oder vereinfacht

y — 7} j(w— 1) «1 -+- (w — 3) «2 + (w — 5) e₃ -+-... -+- (n — 3) en-i 4- [n — 1) e„|. (14)

Syi-{-1    . -,

~Y~ gleich

einsetzen, und die Faktoren von , e₂ • • • znsammenziehen, so finden wir

n — 1)

ty -t- in — 2

Sn

Wir sehen, daß im Gegensatz zum völlig freien Zuge die Koeffizienten von (14) in bezug auf die Zugmitte symmetrisch sind und von hier aus nach beiden Zugenden hin wachsen. Nehmen wir eine ungerade Anzahl von Punkten an, so hat der Mittel-'yt | 3.

punkt den Index —^—; folglich ist der Koeffizient von woraus folgt, daß ein Winkelfehler in der Mitte des Zuges keine Querverschiebung des Zugendes verursacht. Bei einem Zuge mit Richtungsanschluß und einseitigem Koordinatenanschluß ist es also, soweit der Querfehler des Endpunktes in Präge kommt, gleichgültig, ob der Brechungswinkel in der Mitte des Zuges gemessen wird oder nicht. Im letzteren Falle, in dem natürlich von einem Winkelabschlußfehler nicht mehr die Rede sein kann, berechnet man die Richtungswinkel für die erste Zughälfte von dem Anschluß im Punkte 1\ aus, und für die zweite Zughälfte von dem Anschluß im Punkte Pn aus; diese Richtungswinkel ergeben dann wieder die Gleichungen (10).

Wir bestimmen nun noch die mittlere Querverschiebung q für das Zugende, indem wir für die Winkelmessung den mittleren Fehler +. m annehmen. Es ist dann

= T ^ l(n “¹⁾² + {-n ~ ³⁾² + (» - 5)2 -+-... + (n — 8)2 + (n— l)aj

Die Ausrechnung dieser Summe, die sich aus der Theorie der arithmetischen Reihen leicht ergibt, führt zu dem Resultat

q% = s²

m² n (n²— 1)

p²

12

(15)

und wenn wir wieder die Länge des Zuges L = (n — 1) s einführen, so erhalten wir

n (n -b 1)

12 {n — 1) "

Auch hier wollen wir noch für Überschlagsrechnungen eine Näherungsformel aufstellen, indem wir für größere Werte von n die Eins im Zähler und Nenner vernachlässigen. Es wird dann

(18)

g Q/

]/ — • V 12

(17)

Durch den beiderseitigen Richtungsanschluß wird also gegenüber dem einseitigen Anschluß (9) der mittlere Querfehler des Endpunktes bereits auf die Hälfte reduziert.

Wir gehen nun über zu einem am Anfang und am Ende nach Koordinaten und Richtung fest angeschlossenen Zuge, der nahezu geradlinig und auch nahezu gleichseitig in der Richtung der .e-Achse verläuft. Der Winkelabsehlußfelrler soll gleichmäßig auf die einzelnen Brechungswinkel verteilt werden ; für die Koordinatenabschlußfehler möge die Verteilung proportional den Strecken, also im vorliegenden Falle auch gleichmäßig erfolgen. Wir wollen für diesen Zug die mittlere Querverschiebung der Zugmitte berechnen und nehmen deshalb an, daß n eine ungerade Zahl ist. Von den Koordinatenahschlußfehlern kommt nur der Ordinatenfehler in Frage ; die Hälfte dieses Fehlers wird der Ordinate des Zugmittelpunktes als Verbesserung zugefügt.

Wir können unmittelbar an die bisherige Entwicklung anknüpfen. Aus Gleichung (5) erhalten wir den Querfehler des Zugendes oder auch den Widerspruch w in der Kichtung der Ordinatenachse ; es ist

(18)

W -— S (d₁ -j- Óg —1— ... —|— ön — l) )

wobei die Werte von , ó₂ . .. aus (11) einzuführen sind. Die verbesserte Ordinate des Zugmittelpunktes ist dann

y = yx s sin Ui + s sin u₂ + ... s sin an—l+y.

(19)

Ihr wahrer Wert ist entsprechend (4)

y -+- rj = i/i -j- s sin cq -t- s sin a% d- • • • d- s sin an-i -h s cos ó'x -+- s cos a₂ ö₂ d- • • •

(20)

2

d~" S OOS CCn — 1 Ön — 1

Folglich wird der Fehler, wenn wir berücksichtigen, daß die Richtungswinkel a nahe gleich Null sind

Oder

r] = s

^1 +^2 + .

. . + ön —

z±j — % (^i +4 + -

. . ön — l) •

Dies geht über in

Î] —    ^d⁻ ^1 d- 0₂ . . . ,~h Ön — 1 — ön-j-1 — ... — Ön — l') •

(21)

Setzen wir hierin die Werte von Op, ö₂... aus (11) ein, so erhalten wir nach Ausführung der erforderlichen Summierung

n — 3

•-n-    —    1 -

Z    2

n — 1    n -+- 1

*7 =

2" |+ e2 d“ 2 «3 d- 3    .

.. d-

Sn-f-3 d- • • •

!))}• (22)

(n -1)2

Hierin ergibt sich zunächst für den Koeffizienten von v der einfache Ausdruck -. Führen wir ferner für v den Wert

Sn

fl

(n_ 1)2

ein, und setzen der Einfachheit wegen v—-—— = c , so geht (22) über in rl ⁼ "2 |c el d⁻ (c — 1) *2 + (c — 2) 6g d- ... d-

£«-j-3 d⁻ •

Sn — 1 d~ C

. . d⁻ (o — 1) Sn— 1 -+- C .

(23)

Nach dieser Gleichung kann der Einfluß der einzelnen Winkelfehler auf die Querverschiebung der Zugmitte berechnet werden. In der folgenden Zusammenstellung haben wir die Koeffizienten für einige Werte von n ermittelt und die mittlere Querverschiebung der Zugmitte angegeben.

Rechnet man s in Metern, £4 , £₂... in Minuten, so wird r] in Millimetern

erhalten :

n, = 3 ,r] — yqq (+ 4,8 £4 — 9,7 «₂ + 4,8 £₃)

n — 5 , r] = j-QQ (-+- 11,5 £4 — 2,9 £₂ — 17,3 £₃ — 2,9 £4 -f- 11,5 65)

7 , fj —    (-t- 18,6    -+- 4,2 £₂ — 10,3 £₃ — 24,6 64 — 10,3 £5 + 4,2 £g -l- 18,6 £7)

9,77 = yqq (+25,7£4+11,3fi₂—3,2£₃ 17,6£4—32,0£5 17,6£g 3,2£y-f-ll,3£§+25,7£₃)

n = 11 , ?/ =    32,7£4+ 18,3£₂-l-3,9£₃ —12,8£₄—25,0£₅—39,5£₆ — 25,Ö£₇— 12,8%.

1ÜU    + 3,9 £₉ +18,3 £40 + 32,7 £44)

n = 13 , rj = rjjr (+40,0 £4 + 25,5fi₂ +11,1 £₃ + 3,3£₄ —17,8 £5- 32,2£₆- 46,6 £₇ - 32,2 % ¹ ^    —17,8 £9 + 3,3 £₁₀ + 11,1 £44 + 25,5 £₁₂ + 40,0 £₁₃).

Hiernach haben die Winkelfehler in der Mitte des Zuges den größten Einfluß; ihnen stehen die Fehler an den Enden des Zuges wenig nach, während die Fehler der dazwischen liegenden Punkte weniger, teilweise sogar sehr geringe Bedeutung haben. Wenn also z. B. hei Stadtvermessungen für die Polygonwinkelmessung mehr als ein Doppelsatz in Aussicht genommen wird, so empfiehlt es sich, auf die am wenigsten wichtigen Winkel nur einen Doppelsatz zu verwenden, dafür aber die an den Enden und in der Mitte des Zuges liegenden Winkel in mehreren Sätzen zu messen; hierdurch kann ohne Vermehrung der Arbeit eine größere Genauigkeit der Punktbestimmung erreicht werden.

Soweit bezog sich alles auf wahre Fehler. Indem wir nun zu mittleren Fehlern übergehen, nehmen wir an, daß alle Winkel gleich genau mit einem mittleren Fehler +.m gemessen sind; wir bezeichnen dann wieder die mittlere Querverschiebung der Zugmitte mit j+ q. Nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz wird dann

n— 3\2    1

§2 m² (    (

^ r2 + (c —1)2+(c~²⁾²⁺• • •⁺ (c

n —1\²

und nach Ausrechnung der einzelnen Quadrate : _ s² m² { n

¹

c² — 2c 1+2 + 3+ ...-)--?

n — 1 (n — l)²

!•

^ _ 0

Hierin ist die Summe der Zahlen von 1 bis —^— gleich

(n — 1) (n — 2 )(n — 3)

(» — 1) (« — 3)

und

die Quadratsumme derselben Zahlen gleich

24

; wird endlich noch

der Wert von c eingesetzt, so ergibt sich nach einiger Reduktion:

m² n⁴ + 2 «² — 3    ,    ,    ₇/

5 =S+-Ï92» °äer î = ±s V

n⁴ + 2 rfi — 3

192 n

Führen wir endlich die Zuglänge L ein, indem wir setzen :

L = (n — l)s,

so ist:

möV

n* -h 2n¹ — 3

192 n (n — l)a ’

(25)

Als Näherungsformel können wir auch den Ausdruck

q = ±L

m -,/ n o V Î9Î

(26)

annehmen, der indessen nur bei größerem n den strengen Wert ersetzen kann.

Wenn wir nun die in (8), (16) und (25) gefundenen mittleren Querverschiebungen miteinander vergleichen wollen, so müssen wir beachten, daß die beiden ersten Formeln sich auf den Endpunkt eines Zuges von der Länge L beziehen, die dritte aber für die Mitte desselben Zuges gilt. Um vergleichbare Formeln zu erhalten,

und n durch

und haben dann:

ersetzen wir in (8) und (16) L durch

Punkten und der

1. für den Endpunkt eines völlig freien Zuges mit —-

~2~

Länge

(Zl

. _ m , / n (n -+• 1)

= ±L~ę} 24(V=T)’

(27)

8. für den Mittelpunkt eines nach Richtungen und Koordinaten angeschlossenen Zuges mit n Punkten und der Länge L

23

192 n (n — l)¹ '

(29)

Zur zahlenmäßigen Berechnung von q nach diesen drei Formeln führen wir L in Kilometern, m in Minuten ein und erhalten dann q in Zentimetern aus

(30)

qi = +_ L m W1 22 = ± L m TU₂

Qs = dt. Lin Wo

22 — di

in ₇/(n -f- 1) (n y 96 (n — 1)    ’

+ 3)

(28)

tH

CO IO t> Ci

T—I CO

rH t-H

^ CO    H    O)    0    H

CO    00    oT    rH    CO

r-i r-4    rH    Cd    (M

¹    (—I    H-Ł    H-1    H-*

to    l>£    ►—¹    p    p    p

oo co or oo ~bo co

wobei die Größen TFj, W% und W3 aus der nebenstehenden Tabelle entnommen werden können.

Durch den vollständigen Richtungs- und Koordinatenanschluß wird die mittlere Querverschiebung gegenüber dem vollständig freien Zug auf weniger als den dritten Teil reduziert. Die Forderung möglichst langer Polygonseiten bildet auch hier das wichtigste Ergebnis der fehlertheoretischen Untersuchung.

§ 106. Strenge Ausgleichung gestreckter Polygonzüge.

Die Pehlertheorie des vorigen Paragraphen setzte die in der Praxis übliche ■einfache Ausgleichung von S. 410 voraus. Pür gestreckte Polygonzüge wollen wir nun noch die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate behandeln; für solche Züge wird die strenge Ausgleichung relativ einfach, weil wir es hier nur mit zwei Bedingungsgleichungen zu tun haben, der Winkelsummenprobe und der Ordinaten-probe, während die Abszissenprobe von den Brechungswinkeln unabhängig wird. Die Winkelverbesserungen, die durch die Ausgleichung bestimmt werden sollen, seien vltv₂... vn. Die erste Bedingungsgleichung des Zuges ist dann :

V^ -+- V₂ -f- Vg -+-... -(- Vn—1 -+- Vn — W — 0 , wo w (entsprechend — fß im preuß. Kataster) der in der Winkelprobe zutage tretende Widerspruch ist, welcher durch Zufügung der Verbesserungen v zu den Winkeln ß getilgt werden soll. Durch dieselben Verbesserungen soll auch der Ordinatenabschlußfehler beseitigt werden, den wir mit w' bezeichnen wollen. Hierzu müssen wir in Gleichung (6) § 105 S. 457 rj durch w' und fy , e₂ - - - durch , n₂ ... ersetzen. Es ist dann die zweite Bedingungsgleichung :

s | (n — 1) vx -h (n — 2) v₂ . 4- vn—\ { — w = 0 .

Es wäre aber nicht nützlich, auf diese beiden Bedingungsgleichungen (1) und (2) sofort die Ausgleichung zu gründen, weil die Gleichung (2) nicht symmetrisch ist; man kann jedoch dieselbe dadurch symmetrisch machen, daß man zu (2) die mit

H    - s multiplizierte Gleichung (1) hinzufügt und subtrahiert, dieses gibt :

u

n — 3 ~2~*2 +

zur Abkürzung sei gesetzt:

'n — 1

w' —

Vn-1

Vn

w' —

= w'.

(1)

(2)

H3)

Das Absolutglied w" dieser Gleichung ist aber der Ordinatenwiderspruch, der sich ergibt, wenn vor der Berechnung der Richtungswinkel der Winkelabschlußfehler gleichmäßig verteilt wird. Es wird nämlich w" dargestellt durch den Ausdruck (13) des vorigen § 105 S. 458, w' durch den Ausdruck (6). S. 457, und da w nach S. 458 gleich n v ist, so ergibt sich unmittelbar die Richtigkeit obiger Behauptung.

Die beiden Gleichungen (1) und (3) sind nun nach der Korrelatenmethode § 12 ,S. 30 weiter zu behandeln, wozu wir die Koeffizienten a und ft noch einmal zusammenstellen.

Num. ;

n    n — 1    n-1-1

² • • • 2 ’ 2

ft

+ 1 , +1 • • •

n — 1 n — 3

s , —- — s...

1 , +1 ...

(4)

fr

Hieraus bilden wir unter Benützung der in Gleichung (15) des vorigen § 105 S. 459 gefundenen Quadratsumme die Summen \a d\, [a ft] und [ft ft] und finden

n (n2 — 1) _

[aa\ = n

[ab] = 0

12

Die Normalgleichungen sind dann nach § 12 S. 31 :

y>. n (n² — !)

(5}

12 w"

n (n² — 1) s² '

Es ist wichtig, daß die beiden Korrelaten unabhängig voneinander sind; wir können in diesem Falle die Verbesserungen v in zwei Teile u und u” zerlegen und haben :

12

iv

IV

(6>

Ui" —

6 (w — 1) iv"

«2" =

n (w² — 1) s

und die ganzen Verbesserungen der Brechungswinkel:

u₃" =

6(n—5)w"

n (rfi — 1) s ' ' '

(7>

Vi — Ui —b Ui

Es ist also hei der gewöhnlichen Fehlerverteilung die erste Stufe, die gleichmäßige Verteilung des Winkelabschlußfehlers, streng richtig und nur die weitere Behandlung weicht von der Methode der kleinsten Quadrate ab. Wir wollen nun die Verbesserungen yi , y₂ ... der berechneten Ordinatenunterschiede ermitteln. Hierzu, haben wir die Verbesserungen der Richtungswinkel :

V    (tfj) = Ui"

V    («₂) = Ul" 4- w₂"

v (a₃) = ui" 4- u₂" -j- u₃”

und nach Multiplikation mit s : yi = s v (ai) = s Ui” =

V₂ — U-2~\- U₂"

v₃ — u₃ 4- u₃".. .

(8).

6 w"

n (rfi — 1)

(n - 1)

2/2 = sv («₂) = s {u{' + u₂") =

6 w"

n (w² — 1)

(n — 1 4- n — 3)

y₃ = sv (a₃) = s (ui" 4- u₂" + u₃") =

6 tu"

n (n² — 1)

(n — 1    n — 3 4- n — 5)

allgemein

yr

6 w"

n (n² — 1)

(n — 1 -j- n — 3 + n — 5 4- .. . 4- n — 2 r 4 1).

(9>

Hierin ist:

n — 1 4»t

also :

34...+W —2r4l = r n — (l+34-5-f-...-(-2r — 1 ) — r (n — r) 6w"

>Jr =

n (w² — 1)

r (n — r).

(10)

Dieses kann man auch auf eine andere Form bringen, indem man gewisse Quotienten q einführt:

1 (n - 1)

2l =

<?2 =

2 (n — 2)

r (n — r)

.. q>i — 1 =

(m — 1) (1)

. (11)

Der letzte dieser Quotienten gilt für r = n — 1, weil eine Anzahl von n — 1 Strecken angenommen ist, deren jede einen solchen Quotienten q hat.

Dabei sei bemerkt, daß diese q nach (11) etwas ganz anderes sind, als die ebenfalls mit g bezeichnten mittleren Querverschiebungen des vorigen Paragraphen.

Aus (11) bilden wir die Summe aller q, welche sich so findet:

n[q] = n — l² -t- 2 n — 2² + 8 n — 3² 4-... (n — 1 )n — (n — l)2 = n (1    2 -4- 3 + ... n - 1) — (l² + 2² 4- 3² ... (n — l)²)

3 w² (n — 1) n (n — 1) (2 n — 1) _ n {n- — 1)

Dieses in Verbindung mit (10) und (11) gibt:

r (n — r)

(12)

i/r = w" mit

Dieses qr ist wieder derselbe Wert, welcher schon in (5) § 104 S. 455 aufgetreten ist, wo q als Gewichtsreziproke des ausgeglichenen Richtungswinkels (r , r -+- 1) erschienen ist; und wir können nun nach vorstehender Gleichung (12) den Satz aussprechen, daß der im zweiten Teile der Ausgleichung auftretende lineare Querwiderspruch w" auf die einzelnen Strecken verteilt wird, umgekehrt proportional den Gewichten

— oder proportional den Gewichtsreziproken q, welche nach (12) dieselben sind wie

in (5) § 104 S. 455.

Hiernach haben wir folgende Tabelle berechnet:

——    und Verhältniszahlen z = ~

Gewichtsreziproken q = für gleichseitige Züge mit n Punkten und n — 1 gleichen Seiten.

(13)

n— i

« = 10 n — 1 = 9

n = 3

n —1=2n—1=3

n = 6 n — 1 = 4!« — 1 = 5

n— 9

n — 1=7 n — 1 = 8

0,67 0,50 0,67 0,50

1,34 1,00

0,75 0,30 1,00 0,40 0,75 0,30

2,50 1,00

0,80 0,20 1,20 0,30 1,20    0,30

0,80 0,20

4,00 1,00

0,83 0,14 1,33 0,23 1,50 0,26 1,33 0,23 o.as o,i4

5,82    1,00

0,86 0,11 1,43 0,18 1,72 0,21 1,72 0,21 1,43 0,18 0,86 0,11

8,02 1,00

0,90 0,05 1,60 0,10 2,10 0,13 2,40 0,14 2,50 0,15 2,40 0,15 2,10 0,13

__ 1,60 0,10

13,34 l(bb 0,90 0,05 16(50 1,00

Die hier eingeführten Verhältniszahlen z sind den q proportional und so bemessen, daß die Summe aller z jeweils [z] = 1 ist, was nur Bequemlichkeitssache ist.

Als Vorbereitung für die Anwendung der Tabelle (13) wollen wir in Fig. 1 S. 466 eine graphische Darstellung der Ausgleichung eines Zuges von n — 7 Brechungspunkten und n — 1 = 6 dazwischen liegenden gleich langen Seiten s behandeln. Die Messung, welche in A beginnt und daselbst die feste Gerade A P zur Orientierung benützt, soll den schwach und gleichförmig gekrümmten Zug A B geliefert haben, wobei in B der Richtungswiderspruch Q B Q' = w sich einstellt (w = — fß der Anweisung IX). Um diesen Widerspruch zu tilgen, verteilt man ihn auf die sieben Brechungswinkel ß gleichförmig, und erhält dadurch die Linie AB', welche vermöge der gleichen Verteilung von w als eine Biegung von AB erscheint.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. IX. Bd. 7. Aufl.

In unserer Figur ist angenommen, daß zufällig AB' eine Gerade werde, damit die Krümmungsverhältnisse zwischen AB, AB' und AB" deutlich hervortreten; es ist durch Annahme dieses Zufalls der Allgemeinheit insofern nicht vorgegrilfen, als es sieh nur um die relative Formveränderung eines stets nahezu geradlinig gestreckten Zuges handelt, so daß z. B., wenn AB' die erste durch Messung erlangte Form wäre, AB die zweite Form darstellen könnte.

Fig. 1.

K-

-s-

—8

AS

à Vl

->)

Die durch die erste Ausgleichung erhaltene Form und Lage AB' ist aber noch nicht endgültig, weil der anderwärts unabänderlich gegebene Endpunkt des Zuges B" verfehlt worden ist ; oder der erstmals durch reine Winkelausgleichung verbesserte Zug liefert bei der Koordinatenberechnung den Ordinatenwiderspruch w” (von dem Abszissenwiderspruch, welcher durch reine Streckenverbesserungen zu tilgen wäre, ist hier nicht die Kede).

Der Zug AB' muß in die Endlage AB" durch abermalige Biegung gebracht werden und zwar so, daß die Krümmung von AB" relativ gegen AB' einen Wendepunkt erhält. Um hierbei die Anwendung der Tabelle (13) S. 465 zu zeigen, wollen nur nach Fig. 1 w" — 13,8 mm im natürlichen Maße der Eigur annehmen, und müssen dann für n = 7 Punkte aus der Tabelle nehmen:

M = 1,00

* = 0,11 0,18 0,21 0,21 0,18 0.11 dann mit dem Rechenschieber: w" z = 13,8 z = 1,5mm 2,5 mm 2,9 mm' 2,9 mm 2,5 mm 1,5 mm , Summe = 13,8mm Summen 0,0 mm 1,5 mm 4,0 mm 6,9 mm 9,8 mm 12,3 mm 13,8 mm.

Dieses sind die Ordinaten im unteren Teile von Fig. 1, wie man sich durch Nachmessen überzeugen kann.

Aus der Tabelle (13) geht noch hervor, daß die strenge Ausgleichung für den Mittelpunkt des Zuges dieselben Koordinaten gibt, wie die frühere Näherungsausgleichung von S. 410. Daraus folgt aber auch, daß die Gleichung (25) des vorigen § 105 S. 462 zugleich den mittleren Querfehler eines streng ausgeglichenen Zuges darstellt.

Um auch zu zeigen, wie man einen Zug der Praxis nach der vorstehenden Theorie behandeln müßte, wollen wir unseren früheren Zug Fig. 1 S. 411 mit der Koordinatenrechnung S. 414—415 betrachten, und die Annahme machen, der Zug S. 411 sei zwischen Hard und Neubruch geradlinig und gleichseitig, also eine Annahme, welche in Fig. 1 S. 411 gar nicht erfüllt ist, und erfüllt würde, wenn wir zwischen Hard und Neubruch eine Gerade ziehen und dieselbe in acht gleiche Teile von je rund 130 m Länge teilen (vom Leser etwa mit Blei auf S. 411 nachzutragen).

Nehmen wir weiter an, dieser fingierte gestreckte gleichseitige Zug gebe genau dieselben Widersprüche fß und dann fy und fx wie der Zug auf S. 414—415, dann werden wir die schon in § 103 S. 449 vorgeführte Rechnung ausführen, welche gibt log S — log S' — 4- 0.000193. Damit werden wir die Koordinatenrechnung von S. 414 bis 415 zum zweitenmal machen, indem wir in den Spalten 7 und 8 überall die konstante logarithmische Korrektion + 0.000 193 zufügen. Auf diesem Wege (dessen Ausrechnung im einzelnen hier nicht vorgeführt wird) werden zwei neue Werte fy cand fx entstehen und zwar:

[s cos a] = 4- 688,796 m soll xn — æ₀ ⁼ + 688,890

fx — 4-    0,094 m.

[s sin <x\ = -j- 775,733 m soll yn — y₀ = 4- 775,650

fy = —    0,083 m

Damit nach den Formeln von § 103 S. 448 :

S — S’

:— 0,062 m + 0,062 m = 0,000 .

S = 1037,402 m S' = 1037,402

Dieses ist eine Rechenprobe für die richtige Anwendung des oben = 4- 0.000 193 aus der ersten Koordinatenrechnung erlangten Reduktionslogarithmus. Nun wird die 'Tabelle (13) S. 465 zur Hand genommen und daraus für n — 9 Punkte entnommen :

. z = 0,06    0,12    0,15    0,17    0,17    0,15    0,12    0,06.

Diesen Zahlen proportional werden dann die bei der zweiten Rechnung übrig bleibenden fy und /c mit dem Rechenschieber verteilt, weil die fy und fx selbst proportional den w" von Fig. 1 S. 466 sind — immer unter der Voraussetzung, daß wir es mit «einem gerade gestreckten gleichseitigen Zuge zu tun haben.

Praktisch wendet man das für gewöhnliche Zugrechnung auch wohl so an, daß man nach .(11) § 103 S. 418 w und w" ableitet, zuerst w' proportional den Strecken verteilt und dann den noch werbleibenden Best nach Verhältnis der Zahlen » beseitigt. (Vgl. jedoch S. 468.)

¹

für den Endpunkt desselben Zuges mit Richtungsanschluß

§ 107. Gestreckte ungleichseitige Züge.

Alles Bisherige bezog sich auf Züge, welche nahezu gerade gestreckt sind und aus lauter gleichen Seiten bestehen; und wir haben gesehen, daß hierfür eine ganz brauchbare Theorie sich aufstellen läßt.

Auch in dem Falle eines gerade gestreckten und ungleichseitigen Zuges läßt sich immer noch eine nicht zu umständliche Theorie bilden, welche wir in „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 46—51 gegeben haben; da aber hierfür sich nur verhältnismäßig

Fig. 1. n — 1 Punkte.

Ax-St&-~~S2

— S₃-----x-------5₁₍--------X---------$5--------><------------

-O'O

b?:

w"

F‘

G’

wenig Leser finden werden, müssen wir das hier aus Raumrücksichten übergehen, und wollen nur mit vorstehender Fig. 1 ein Ergebnis vorführen:

100 -m 150 tn 200 w    250 -m    800 m [s] = 1050m

S = 50 nv so = 20 z = 0,02

75

0,08

220    250    195 [sa]= 910    [ (1)

0,24    0,28    0,21    [*] = 1,00    >

Bei dem sehr ungleichseitigen Zuge Fig. 1 S. 467, dessen Seiten zwischen 50 m und 300 m schwanken, sind die Verhältniszahlen zur Verteilung des Querwiderspruchs w" die heigesetzten so oder = z auf die Summe [z] = 1 reduziert, während für n = 7 die q nach der Tabelle (13) § 106 S. 465 sein würden :

z (13) = 0,11    0,18    0,21    0,21    0,18    0,11 mit Summe = 1,00. (1 a>

Die so bei (1) werden nach einer mechanischen Kegel nach „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 49—50 gebildet, auf welche hier verwiesen wird. Wir wollen hiernach auch noch die so und die z für das frühere Beispiel des Zuges § 95 S. 411—415 ausrechnen, bzw. nach den zitierten Regeln von „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 49—50 bilden, indem wir statt Fig. 1 S. 411 nun einen Zug fingieren wollen, welcher nicht wie dort mehrfach gebrochen, sondern durchaus gerade gestreckt, aber aus den 8 ungleichen Seiten s von (4) S. 412 oder von S. 414 bestehen soll.

so = 10 z = 0,05    0,08 0,05    0,10

*(13) = 0,06    0,12 0,15    0,17

o cT

[s] = 1454 [s o] = 194 8- 1,00 Summe = 1,00..

(2>

Dabei ist z (13) entsprechend der Tabelle (13) § 106 S. 465 für den gleich-

seitigen Zug von n = 9 Punkten oder n —1 = 8 Seiten. Man sieht auch hier wieder,, wie bei (1) und (1 a), wie sehr unrichtig es wäre, die ungleiche Länge der Zugseiten unberücksichtigt zu lassen.

Nach all diesem können wir unser Urteil über Zugausgleichung so zusammenfassen : für geradlinig gestreckte Züge ist strenge Ausgleichung mit Verhältniszahlen z' wohl möglich, und zwar bei gleich langen Seiten einfach nach der in (13) § 106 S. 465-r (n ■—• r)

gegebenen Tabelle der

oder der entsprechenden z, und auch bei ungleich

langen Seiten ist etwas ähnliches immer noch ohne zu viel Mühe möglich nach der Regel der so bzw. der zugehörigen * in „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 49—50; und bei mäßig gekrümmten oder mäßig gebrochenen Zügen kann man diese Regeln als Näherung immer noch anwenden; aber bei stark gebogenen oder stark gebrochenen Zügen,, wie z. B. Fig. 1 S. 411, hören solche Theorien auf; und z. B. die Tabelle (13) § 106 'S. 465 auf den Zug von Fig. 1 S. 411 anwenden zu wollen, wäre ein grober Mißbrauch.. Da nun aber hinreichend gerade Züge in der Praxis nicht die Regel sind, und man also auf die Tabelle (13) § 106 S. 465 oder auf die Regeln von „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 49—50 einen festen Arbeitsbetrieb nicht wohl gründen kann, haben wir bis auf weiteres von praktischer Anwendung jener an sich ansprechenden Regeln abgesehen,, und in der Praxis immer schlechthin nach dem einfachen Verfahren von S. 414—415

gerechnet.

Dieses möchten wir in der Tat auch allgemein empfehlen, und auch Zwischenhilfen, wie z. B. die Rechnung nach den mühsamen e und e des Formulars 19. der preußischen Anweisung IX. nicht an wenden, denn glücklicherweise ist derjenige Teil der gewöhnlichen Ausgleichung auf S. 414—415, welcher die Richtungsanschlüsse mit w =—fp zum Stimmen bringt, in sich streng richtig, und damit wird der schlimmste* Teil der Fehlerfortpflanzung ganz befriedigend erledigt, während die von den Längen-

messungen herrührenden Teile von fy und fx durch die übliche Rechenschieherver-teilung wenigstens so untergebraeht werden, daß sie keinen augenfälligen Schaden •erzeugen können.

Die theoretischen Fehlergesetze sind in den letzten Jahrzehnten allmählich in die Praxis der Polygonzugsberechnungen aufgenommen worden (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 467—469). Eine ganz durchgerechnete strenge Zahlenausgleichung des Zuges von § 95 S. 411—415 gab unser „Handb. d. Verm.“ I. Band, II. Auf. 1877, § 103 nicht (wie von einer Seite geglaubt wurde), um solche Ausgleichung für die Praxis zu empfehlen, sondern umgekehrt, um an einem Beispiele die Schwierigkeiten solcher Ausgleichung zu zeigen, um im übrigen eine Vergleichung zwischen den Ergebnissen strenger Ausgleichung und verschiedenen Näherungen zu ermöglichen. Die allgemeine Theorie strenger Ausgleichung gerader gleichseitiger Züge haben wir in „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 200—203 und 229 — 238 mit 1886 S. 332—335 und die Ausgleichung gerader ungleichseitiger Züge in „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 46—52 gegeben.

Zur Ausgleichung nicht gerader Züge ist zu zitieren Fenner „Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 249 bis 271 und 287—297.

Zur graphischen Ausgleichung von Polygonzügen sei auch zitiert: Klingatsch „Zeitschr. f. Verm. 1900“ S. 540—548, auch Koller „Zeitschr. f. Verm. 1901“ S. 335—338.

Verhältniszahlen

usw., ist erstmals von uns in „Zeitschr. f. Verm. 1876“ S. 175—179 an-

“Was jetzt im Vordergründe der strengeren Zugausgleichung zu stehen scheint, nämlich die r (n — r)

geregt und auch von anderen Seiten verfolgt worden, wozu wir in der „Vereinsschrift des Elsaß Lothringischen Geometer-Vereins XI, 1891“ S. 174 — 175 eine Bemerkung gemacht haben.

Das preußische halbamtliche Katasterwerk; „Die trig. und polyg. Rechnungen in der Feldmeßkunst, 2, Aufl. 1890“, hat einen Teil dieser Theorien aufgenommen durch eine Tabelle der Koeffi-r (n — r)

zienten g, welche den

proportional sind (S. 405 — 407, S. 419 und II. Teil S. 93), aber es ist

keine Entwicklung oder Verweisung auf anderwärts zu findende Begründung gegeben. Die nur für

r (n — r)

.gerade und gleichseitige Züge gültigen Verhältniszahlen Züge und sogar auf ungleichseitige zickzackförmige Züge angeweudet. —

werden auch auf ungleichseitige

Kapitel X.

Nivellierung.

§ 108. Einleitung.

Zwischenbemerkung.

Indem wir von den Lagemessungen zu den Höhenmessungen übergehen, entsprechend der-in unserer Einleitung S. 2—3 angegebenen Ordnung, schicken wir die allgemeine Bemerknng voraus,, daß man drei Klassen von Höhenmessungen unterscheidet :

I. Nivellitlsche Höhenmessung,

II. Trigonometrische Höhenmessung,

III. Barometrische Höhenmessung.

Nach der Genauigkeit ordnen sich diese Klassen in der vorstehenden Keihenfolge, indem im allgemeinen das Nivellieren die genauesten, das trigonometrische Höhenmessen die weniger genauen und das barometrische Messen die ungenauesten Höhenergebnisse liefert. Dagegen ist der Arbeitsaufwand beim Nivellieren am größten, beim trigonometrischen Höhenmessen geringer und beim barometrischen Höhenmessen am geringsten.

Wir werden die besprochenen drei Klassen von Höhenmeßverfahren in den drei nächsten Kapiteln X, XI, XII behandeln und wenden uns nun zur 1. Klasse besonders.

Unter Nivellierung verstellt man ein Verfahren der Höhenmessung, wobei der Höhenunterschied benachbarter Punkte durch horizontales Zielen nach lotrechten Maßstäben (Latten) bestimmt wird, wie in Fig. 1 und Fig. 2 S. 471 angedeutet ist.

Fig. 1.

IP*

ff

tygpf

wßw 4

ppp®

Nach den in der Einleitung § 1 S. 3 und 4 an Fig. 1 und 2 erläuterten Grundgedanken ist die Höhe H eines Punktes der in der Lotlinie gemessene Abstand desselben von der Vermessungsgrundfläche N. N. (allgemein der Meeresspiegel), und der Höhenunterschied h zweier Punkte A und B ist h = Hb — Ha , oder Hb = Ha + h. Aus Fig. 1 S. 3 wurde Fig. 2 S. 4, wenn von der Krümmung der Erde abgesehen wurde, und die Lotrichtungen in den beiden Punkten A und B als parallel betrachtet werden konnten.

In gleichem Sinne entspricht die vorstehende Fig. 1 der nachfolgenden Fig. 2_ Denken wir uns hierin wie in § 1 Fig. 1 die Erde als Kugel und die Bögen A A. b B,... e E als konzentrische Kreise, so ist sofort einzusehen, daß die Staffelmessung B, C, D, E die Höhen A bcde usw. liefert, wenn nur stets gleiche Zielweiten rückwärts und vorwärts genommen werden, d. h. b B — B b’ usw.

Fig. 2.

uf

fei.

Wenn man dagegen die Erde als Ellipsoid betrachtet, dann wird die Theorie des Nivellierern schwieriger; wir werden das Nötigste hierüber später behandeln, und vorher nur soviel bemerken, daß für alle technischen Nivellements, zum Eisenbahnbau u. dgl., die Nivellementskorrektionen für ellipsoidische Erdgestalt und ähnliches, weit außerhalb aller Meßbarkeit und außerhalb der Berücksichtigung liegen.

Das zu diesem in den Figuren 1 und 2 ausgedrückten Höhenmeßverfahren erforderliche Nivelliergerät besteht aus zwei getrennten Teilen, dem eigentlichen „Nivellierinstrument“ (mit Stativ) zum Herstellen der kurzen wagrechten Ziellinien und den „Nivellierlatten“ zur Herstellung der lotrechten Linien, aus denen sich die Höhen zusammensetzen.

Fig. 3.

h.

r2

ri

Aus der Fig. 3, welche zwei aufeinanderfolgende Instrumentaufstellungen und Û zeigt, folgt demnach ohne weiteres der mit gewonnene Höhenunterschied zwischen dem ersten und zweiten Lattenaufstellungspunkt hx = i\ — v₁, der mit ?’₂ gewonnene zwischen der zweiten und der folgenden Lattenaufstellung /i₂ = r₂ — f₂, und so fort zwischen der ersten und der letzten Lattenaufstellung allgemein :

(1)

[/t] = hi -j- h₂ -+- Ä3 . . . = »T —    + r2 — v2 + r3 — vs +

Diese einfache Aneinanderreihung von Höhenunterschieden wird gebraucht bei glatt fortlaufenden Höhenbestimmungen im sog. „Zug- oder Streckennivellement“. Die Lattenaufstellungspunkte, welche die Aneinanderreihung der Höhenunterschiede vermitteln, nennt man „Wechselpunkte“. Bezeichnet Ha die Höhe eines Anfangspunkts für die erste Lattenaufstellung, so folgt die Höhe der. einzelnen Wechselpunkte aus:

(la)

Hn — Ha -t~ h\ -+-    ^*3 “h • • •

Die Berechnung der Höhen kann auch in anderer Weise geschehen.

Ist für die Instrumentaufstellung i-y die Höhe des Aufstellungspunktes der Latte im ersten Punkt Hr, so ist die Höhe der durch das Instrument angegebenen wagrechten Ziellinie der „Horizont des Instruments“

(2)

H = Hr -b ,

(2a)

folglich die Höhe des zweiten Lattenaufstellungspunktes oder die irgend eines beliebigen anderen Lattenpunktes bei.

dieser Instrumentaufstellung Hn — i\ — n\

An diese Instrumentaufstellung schließt sich die zweite usf. Diese Berech-nuhgsart wird besonders gebraucht, wenn nicht nur zwei Wechselpunkte, sondern noch andere Punkte (Zwischenpunkte) anzuzielen sind.

Die horizontale Entfernung je zweier Punkte 0,1,2... (Fig. 1 S. 470), deren Höhen oder Höhenunterschiede unmittelbar bestimmt werden, ist immer mäßig, etwa rund = 100 Meter (oder Zielweite = 50 Meter); da man aber das ganze Verfahren beliebig oft wiederholen kann, so hat man in dem Nivellierverfahren ein Mittel, nicht bloß Linien von Kilometern, sondern Linien durch ganze Länder und Weltteile der Hohe nach zu bestimmen und hohe Berge zu messen.

Wenn man in solcher Weise Hunderte und Tausende von Stufenmessungen aneinander setzt, so könnte man fürchten, dadurch allmählich eine sehr schlimme Fehleranhäufung zu erhalten ; und in der Tat hat diese Furcht dem Nivellierverfahren lange eine untergeordnete Bedeutung angewiesen, dagegen seit nahezu vierzig Jahren haben die Anschauungen sich nach Verfeinerung des Verfahrens, teils auf Grund der zuerst beim Eisenbahnbau gemachten Erfahrungen, zugunsten des Nivellierens geändert, so daß die Höhenbestimmung durch Nivellieren einen bedeutenden Aufschwung genommen hat, und das Lattennivellieren mit kurzen Zielweiten jetzt allgemein als erste und genaueste aller Höhenmessungsmethoden gilt.

Über die Anordnung der nachfolgenden Paragraphen sei bemerkt, daß zur Vermeidung von Wiederholungen eine Beschreibung der allereinfachsten Nivellierarbeiten in § 109—111 vorausgeschickt wurde, wozu die einfachen Instrumente und deren Behandlung aus den Anfängen von § 112—114 und von § 116—118 zu ersehen sind. Auch § 122 „Fehlergesetze des Nivellierens“ ist schon für s. erstes Studium zu empfehlen, während die übrigen Teile dieses Kapitels erst in zweiter Linie kommen.

§ 109. Aufnahme von Längennivellements.

Die Neigungsverhältnisse einer Nivellierungslinie (z. B. Mittellinie einer vor-" handelten oder projektierten Eisenbahn, eines Weges, Wasserlaufes) werden in einem „Längenschnitte“ dargestellt, indem man die Linie im Grundriß geradlinig ausgestreckt denkt.

Die Aufnahme zerfällt in zwei Teile, nämlich:

1.    die horizontale Vermessung,

2.    die Ermittelung der Höhen.

Zum Zweck der horizontalen Vermessung wird die aufzunehmende Linie in gleiche Strecken (nach Umständen 20 -m. 50 -m, lOO-m-usw.) eingeteilt, verpflockt und numeriert. Diese 100 m-Einteilung nennt man „Stationierung“. Beim Nivellieren bestehender Straßen und Eisenbahnen kann man die zum Zweck der Verwaltung bereits vorhandenen Nummernsteine der Stationen benützen. Zu den Nivellementspflöcken für die Stationspunkte nimmt man kräftige Pfähle mit rundem Kopf (oder Bundkopfnagel oder -schraube). Bei ausgedehnten Aufnahmen werden in passenden Abständen' besondere Festpunkte gesetzt, wie solche später in den §§ 118, 128 und 129 noch besonders behandelt werden.

Alle Einzelheiten bezüglich des Nivellierinstrumentes und der Latte auf die späteren Paragraphen verschiebend, betrachten wir zuerst hier das Nivellieren selbst und dessen Ausrechnung.

Ein einfaches Längennivellement mit lauter Zielweiten von je 50 m ohne alle Zwischenpunkte ist in Fig. 1 gegeben; die dazugehörige Feldbuchausrechnung nach den beiden im vorigen § 108 zu (1) (la) S. 471 und (2) (2a) S. 472 angegebenen Berechnungsweisen enthalten die nachfolgenden Tabellen (1) und (2).

Fig. 1. Längennivellement ohne Zwischenpunkte.

r3m

1,978

1,254

1,826

1,429

1,513

1,627

1,362

1,619

rZm

0,622

2,473

2,601

Nivellierungstabelle (Feldbuch) (1) zu Fig. 1.

Latten

punkt

Zielweite

Meter

oder

Schritte

Ablesung

Höhenunterschied h — r — v

Höhe über N. N.

Bemerkungen

50 m 50 m

2,473

0,622

+ 1,851

56,297

58,148

Anbindepunkt

1    |    50 m

2    50 m

1,978

1,254

+ 0,724

58,872

50 m

1,826

50 m

1,429

+ 0,397

59,269

50 m 50 m

1,513

1,627

— 0,114

59,155

50 m

1,362

50 m

1,619

— 0,257

58,898

500 m +9,152

+ 2,972

— 6,551

+ 2,601

' - 56,297 — 0,371 + 58,898

4- 2,601 ;

+ 2,601

- Hiernach wird die Ausrechnung mit den Summenprohen ohne weiteres verständlich sein. Will man nur den Höhenunterschied zwischen zwei Festpunkten, z. B. 0 und 5, bestimmen und kommen die dazwischenliegenden Wechselpunkte gar nicht in Betracht, so kann man sich mit' den drei ersten Spalten begnügen. (Natürlich kann man auch zur Raumersparnis die in der dritten Spalte unter r und v geschriebenen Ablesungen untereinandersetzen.)

NiveUierungstabelle (Feldbuch) (2) zu Fig. 1 S. 473.

Latten

punkt

Zielweite

Meter

oder

Schritte

Ablesung

Höhe über N. N.

i — v

Horizont

Bemerkungen

i = H+r

50 ut

2,473

50 ut

0,622

56,297    58,770 Anbindepunkt

58,148

60,126

50 m 1,978 50 ut I .....

1,254    58,872

50 nt

1,826

60,698

50 -m

1,429    59,269

50 n-t

50 nt

1,513 ....

60,782

1,627 !    59,15.5

Cn 4^-

50 nt

50 m

1,362

60,517

1,619    58,898

\ + 9,152

500 nt

i — 56,297 — 6,551 : + 58,898 + 2,601 | + 2,601

Die Ausrechnung ist diese: Erste Ablesung 2,473 zu der gegebenen. Anbindehöhe 56,297 addiert gibt den ersten Horizont 2,473 + 56,297 = 58,770, die Ablesung 0,622 für den Punkt 1 von dem ersten Horizont abgezogen gibt 58,770—0,622 = 58,148. Dann weiter 1,978-f 58,148 = 60,126 und 60,126- 1,254 = 58,872, abermals 58,872 + 1,826 = 60,698 usw. und zum Schluß macht man die Summenprobe mit +2,601 und —2,601.

Diese Berechnungsart wendet man auch an, wenn mit dem Nivellierinstrument eine bestimmte Höhe (ein Projektpunkt) abgesteckt werden soll. Z. B. aus der vorletzten Aufstellung zwischen Lattenpunkt 3 und 4 in vorstehender Tabelle (2) mit dem Instrumenthorizont 60,782 m sei die Höhe 59,50 nt abzustecken. Die abzusetzende Lattenablesung ist 60,782— 59,50 = 1,282. Zur Probe muß man aus der nächsten Aufstellung zwischen 4 und 5 mit dem Horizont 60,517 nt als Ablesung am abgesteckten Punkte erhalten 1,017 -m.

Häufig hat man es mit Linien zu tun, welche nicht so einfach verlaufen wie im vorigen Falle, sondern bei denen eine Anzahl von Zwischenpunkten aufzunehmen ist.

Ein Beispiel einer Längennivellierung mit Zwischenpunkten und die zugehörige Berechnungstabelle ist im folgenden (3) gegeben:

I'ig. 2 Längennivellement mit Zwischenpunkten.

(/re.oäj)

3*'

(U'tO/O)

dg«

1.825

7,1*0

ste/.

Niveüierungstubelle (Feldbuch) (3) zu Fig. 2 S. 474.

Punkt

Ablesung

Höhe

über N. N.

Horizont

Bemerkungen

1,413

114.620m-' 116,038 m- Ausgangspunkt

I> O O CM 05

114,626 114,113 3,045    112,988

(Wechsel)

1,022

-+- 8,0 m -+ 12,2-m -4- 17,0 m

co co io -

IO o

GM ^

1,216

112.988    114,010

112,480

111,840

111,550

111,840

112,185

112,270

112,794

Böschungsrand

Bachrand

Bachsohle

Bachrand

(Wechsel)

0(6)

1,918

112,794    114,712

In der hier gezeigten Berechnungstabelle sind unterschieden Wechselpunkte,, z. B. 0 (3) und © (6) Fig. 2 S. 474 und Zwischenpunkte ; für diese letzteren sind die Ablesungen nur auf Zentimeter genommen.

Die Ausgangshöhe des Punktes (0) betrachten wir als gegeben = 114,620 über N. N., diese wird zuerst eingesetzt, dann folgt die erste Ablesung = 1,413, folglich der erste Horizont:

dann folgt: und ebenso

= 114,620 + 1,413 = 116,033 116,033 — 1,407 = 114,626 116,033 — 1,920 = 114,113 116,033 — 3,045 = 112,988

Neuer Horizont 112,988-4-1,022 = 114,010 114,010 — 1,530 = 112,480

..........usw.

Bei zusammenhängenden Aufnahmen mit vielen Zwischenpunkten (§ 111) ist es besser, zuerst die Wechselpunkte aufzunehmen und danach erst die Zwischenpunkte; zum Schluß macht man dann noch eine Probeablesung zum vorwärtsliegenden Wechselpunkt. Auch ist es zweckmäßig, zur Probe von zwei aufeinanderfolgenden Aufstellungen einen Kontrollpunkt doppelt zu bestimmen.

Diese Berechnungen, wenigstens für die Wechselpunkte und Kontrollpunkte,, macht man gewöhnlich sofort auf dem Felde in der vorstehenden Tabelle, und rechnet nachher zu Hause zuerst die Horizonte und die Höhen der Wechselpunkte nach, und dazu etwa die Probesummen wie bei der obigen Tabelle, worauf auch die Berechnung aller Zwischenpunktshöhen nachfolgt. Wenn nicht nach wahren Höhen über Normalnull gerechnet werden kann (§ 118), so kann man eine willkürlich angenommene-Ausgangshöhe (z. B. 100 -m, 200-m) einführen. Während man für die Wechselpunkte-meistens auf Millimeter rechnet, genügen für die Zwischenpunkte Zentimeter.

Weiteres über die Berechnung, die Verwendung von dekadischen Ergänzungen und Wendelatten wird in § 119 behandelt.

Die Aufzeichnung. Das Aufträgen eines Längenschnittes erfolgt auf Grund der berechneten Höhen der einzelnen Punkte, gewöhnlich mit zweckmäßig gewählter Überhöhung, sehr häufig auf Millimeter- oder besonderem Profilpapier. Wenn ein Längenschnitt im Zusammenhang mit Querschnitten (s. folg. Paragr.) gezeichnet wird, so empfiehlt es sich, den Höhenmaßstab des Längenschnittes gleich dem Maßstab der (nicht überhöhten) Querschnitte zu machen. Für die Auszeichnung sind von den maßgebenden Behörden besondere Vorschriften erlassen. Als Grundlage für die Vorschriften der preußischen amtlichen Arbeiten gelten die vom Zentraldirektorium der Vermessungen erlassenen „Bestimmungen über die Anwendung gleichmäßiger Signaturen für topographische und geometrische Karten, Pläne und Risse“.

§ 110. Aufnahme von Querschnitten.

Die im Grundriß rechtwinklig zu einem Längenschnitt gelegten Querschnitte, überhaupt kürzere Schnitte, wrelche zum Aufträgen in großem Maßstab bestimmt sind, spielen bei Projektierungsarbeiten des Ingenieurfaches eine wichtige Rolle.

Die Profile werden zuerst durch einige Stäbe abgesteckt, und dann mit Meßlatten oder Meßband und mit einem einfachen Nivellierinstrument aufgenommen.

Wenn die Profile sehr einförmig sind, so kann die Aufnahme gerade so wie bei Längenprofilen mit Aufschreiben der Entfernungen und Höhen in einer Tabelle erfolgen. Alle Ablesungen werden dabei in der Regel nur auf Zentimeter genommen. Wenn dagegen viele Besonderheiten Vorkommen, z. B. Wege, Bäche, Raine usw., so empfiehlt sich das Aufzeichnen aller Maße in einem Handriß, der zugleich Gelegenheit zum Einträgen von Bemerkungen über Bodenverhältnisse gibt.

Der Querschnitt ist stets so zu zeichnen, daß links und rechts im Sinne der Numerierung des Längenprofils gilt. Ein Beispiel zeigt nachstehende Fig. 1.

Fig. l. Handriß eines Querprofils.

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Achse

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v :

Man kann auch die Querprofilpunkte numerieren, und nur diese Nummern und die Horizontalmessung in den Handriß aufnehmen, die Höhenahlesungen aber in das-F eidbuch (3) S. 475 eintragen.

In Fig. 1 S. 476 sind die Maße nur auf Dezimeter abgerundet eingeschrieben,, jedoch ist es besser, die Höhen auf Zentimeter anzugeben, während die horizontalen Entfernungen auf Dezimeter genau meist genügen werden. Der Instrumenthorizont

Fig. 2. Setzlatte.

wird entweder für jedes Querprofil vom zugehörigen bereits festgelegten Achsen-punkt aus bestimmt und durch Ablesung an einem geeigneten Kontrollpunkt oder einem anderen Achsenpunkt versichert, oder auch in einem fortlaufenden Nivellementszug nach Feldbuch (3) S. 475 erhalten.

Setzlatte. An steilen Abhängen verursacht das fortgesetzte Wechseln des Instrumentstandpunkts viele Mühe,.

deshalb empfiehlt sich hier statt des Nivellierinstruments die in Fig. 2 gezeichnete-Setzlatte mit Libelle (Staffelzeug). Die Setzlatte ist eine etwa drei Meter lange einfache-hölzerne Latte, und wird mit einem etwa ebensolangen vertikalen Maßstab gebraucht.

Es lassen sich an Abhängen mit der Setzlatte Querschnitte in einem Drittel oder einem Viertel der Zeit aufnehmen, welche zu der Aufnahme mit dem Nivellierinstrument erforderlich wäre, und zwar mit aller wünschenswerten Genauigkeit. Das-Staffelzeug ist daher z. B. bei Gebirgsbahnen für Querprofilaufnahmen an steilen Hängen allgemein in Gebrauch.

Als Beispiel hierfür möge eine Erfahrung aus

An den steilen Muschelkalkabhängen der Hall—Crailsheimer Linie

der Praktikantenzeit des Ver-

fässcrs dienen.

wurden die Querschnitte etwa 50 -m hoch mit der Setzlatte Fig. 2 aufgenommen,, und unten und oben durch ein Längsnivellement versichert. Es galt als Regel, daß der Anschluß innerhalb 1 Fuß (= 0,286 m) stimmen mußte.

Querschnitte zu endgültigen Kostenberechnungen wird man wohl immer mit dem Nivellierinstrument oder mit der Setzlatte aufnehmen; anders verhält es sich mit Profilen, welche nur zu vorläufigen Entwurfsarbeiten dienen sollen. Hier kann man Vorteil den Distanzmesser mit Höhenkreis, oder das Meßband in Verbindung mit

in dem Kapitel NIV über Tachy-

mit

einem einfachen Höhengradbogen anwenden, metrie und Kap. XVII weiteres angegeben werden wird.

Eine Zwischenstufe all dieser mehr oder weniger genauen Verfahrungsarten für flaches oder mäßig geneigtes Land mag noch besonders erwähnt werden. Man versehe Nivellierinstrument mit zwei distanzmessenden Horizontalfaden, wie einen Tachymeter, dann kann man gleichzeitig nivellieren und fernungen ablesen. Allerdings muß dann das Instrument stets in der Profillinie selbst stehen, was sonst nicht nötig und auch wohl nur in sehr einfachen Verhältnissen

wovon

das

an

der Nivellierlatte auch die Ent-

möglich ist. Das

Aufträgen der Querschnitte geschieht in der Regel in großem Maßstab (1 :100 bis 1 : 200) in richtigen Verhältnissen, d. h. ohne Überhöhung. Die Zeichnung muß die dem Längenprofil entsprechende vertikale Achse und einen Horizont übei

N. N. enthalten.

Über die Behandlung der Querprofile im preußischen Eisenbahnbau haben wir (aus besonderer amtlicher Veranlassung) einige Mitteilungen erhalten (mit der Bemerkung, daß es ganz bestimmte Vorschriften in dieser Hinsicht nicht gibt). Die aufgemessenen Geländeordinatenzahlen, auf N. N. ausgerechnet, werden sämtlich in die Querprofllzeichnungen in 1 : 100 auf Millimeterpapier •eingetragen, da dieselben vom Unternehmer anerkannt werden müssen. Die zur Ausschreibung erforderliche Ermittlung der Massen kann mittels Planimeter oder Tabellen erfolgen, da sie nur einen ungefähren Anhalt geben soll. Die Abrechnung der Erdarbeiten erfolgt auf Grund der aufgemessenen - -und eingeschriebenen Ordinaten auf rechnerischem Wege, während es für Anschlag und Ausschreibung genügt, wenn für die neuen Querprofile die Planumsordinate ev. auch die Ordinate der Graben-hohlen eingeschrieben wird. Die eingeschriebenen Ordinaten sind unentbehrlich, -wenn die Profile •umgedruckt werden (in zehn Exemplaren) und die Abdrücke bei der Bauausführung benützt werden sollen ; bei allen vorkommenden Änderungen einer Grabensohle usw. muß dann auf die eingeschriebenen Ordinaten und Maße zurückgegriffen werden.

Die gewöhnlichen Querprofilaufnahmen sind Messungen der einfachsten Art und werden deswegen gewöhnlich Hilfskräften und Anfängern überlassen (obgleich auch bei diesen einfachen Verhältnissen eine gewisse Erfahrung wichtig ist). Schwieriger sind bei Flüssen und Strömen die Profilaufnahmen mit Drahtseil, Peilstangen usw.

Die erforderlichen Querprofile werden abgesteckt, verpflockt und in die vorhandene Karte oder gegen die besonders gelegten Polygonzüge (bei Flüssen und Strömen an beiden Ufern) eingemessen. Zur Längenmessung in den Profilen dient eine Meßschnur '(Meßdraht), hei großen Strömen ein Peilkabel. Die Höhen der Sohlenpunkte können bei Bächen und kleinen Flüssen mit flachem Bett vielfach durch unmittelbares Einsetzen •der Nivellierlatte bestimmt werden. Bei steilen Ufern und größerer Sohlentiefe kann bei engem Bett in manchen Fällen mit Vorteil eine zwischen den gegenüberliegenden Profilpfählen gespannte Leine als Nivellierhorizont dienen, während bei größeren Flüssen und Strömen stets der Wasserspiegel als Nivellierhorizont benützt wird, von dem aus •der Abstand der Sohlenpunkte gemessen („gepeilt“) wird. Dazu ist die Kenntnis der Höhenlage des Wasserspiegels im Augenblick der Profilaufnahme erforderlich; zu dieser Bestimmung .dienen in der Nähe des Ufers eingetriebene, im Längennivellement bestimmte Wasserstandspfähle (Pegel), von deren Kopf aus die Spiegelhöhe (Hilfsmittel :

•ein dünnes Brettchen als Schwimmer) gemessen wird. Wird bei der Profilaufnahme •das Nivellierinstrument benützt, so stellt man die Nivellierlatte in das Wasser, liest mit dem Instrument die Nivellierlatte ab und an dieser den Wasserstand.

Hierzu sei zitiert: Autenrieth, Querprofile auf dem Oberrhein, „Zeitsehr. f. Venn. 1895*

S. 217 — 218 und „Zeitschr. des Elsaß-Lothr. Geometer-Vereins 1895“, Heft 1. Hierher gehört auch .„Zentralblatt der Bauverwaltung 1897“ S. 16, 84, 96, Querprofile auf der Unterelbe.

§ 111. Flächennivellierimg.

Die Nivellierung einer Fläche verlangt die Aufnahme von soviel Punkten, daß •der Verlauf der Oberfläche im ganzen daraus erkannt werden kann.

Eine besondere Art der Flächenaufnahme ist bereits in dem soeben behandelten § 110 enthalten, denn durch ein Längenprofil mit den zugehörigen Querprofilen erhält man die Aufnahme eines Flächenstreifens. Dabei können aber Punkte zwischen zwei Profile fallen, welche zwar nicht wichtig genug sind zur Anlage eines besonderen Zwischenprofils, aber doch ungern vermißt werden.

Wenn eine Lageaufnahme (Flurkarte) fertig vorliegt, so hat man nur noch die Höhen dazu zu bestimmen, um eine vollständige Flächenaufnahme zu haben.

Da dieser Fall sehr häufig eintritt, so behandeln wir hier die Nivellierung einer

Flurkarte lediglich durch Horizontalsichten mit einem einfachen Nivellierinstrument {ohne der zweckmäßigeren, später, Kap. XIV, zu behandelnden tachymetrischen Methode, welche auch beim Vorhandensein einer Flurkarte die besten Dienste leistet, vorzugreifen).

Das Nivellieren einer Flurkarte (welches Verfasser mit lithographierten württem-hergischen Flurkarten im Maßstab 1 : 2500 längere Zeit ausführte) ist im Grundsatz sehr einfach.

Man macht zuerst ein versichertes Längennivellement (Vornivellement) durch das aufzunehmende Gebiet, längs Straßen, Flußläufen usw., jedoch auch so, daß die Anhöhen erfaßt werden. Als Fixpunkte werden längs der Straßen die Straßennummernsteine genommen, im übrigen Marksteine usw. ; die nivellierten Höhen werden in die Karte eingeschrieben. Hat man keine Straßen- oder Marksteine, so setzt man besondere Festpunktpfähle, oder bei ausgedehnten Aufnahmen in passenden Abständen Bolzen nach § 118.

Auf diese Weise erlangt man über das zu bearbeitende Gebiet passend verteilt ein Netz von Festpunkten, welches der Flächenaufnahme als Grundlage dient. Für die Anordnung und Ausgleichung solcher Höhennetze finden sich für größere Verhältnisse Beispiele in § 126 und 127.

Bei der Flächenaufnahme selbst, bei welcher Aufnahmezüge zwischen die Festpunkte eingeschaltet werden, müssen zwei Ingenieure zusammen arbeiten, der erste führt die Karte, und weist den Lattenträger (oder deren zwei) zum Aufstellen an, zeichnet Punkte, welche nicht unmittelbar in der Karte gegeben sind, durch Abschreiten oder nach Schätzungen, mit dem Taschenkonipaß usw. ein, und leitet das Ganze. Der zweite Ingenieur macht lediglich an* Instrument die Lattenablesungen, und schreibt sie in dem Feldbuch nach Anleitung der Tabelle (3) S. 475 auf. Die Nummern der Kartenpunkte und der Tabellenangaben müssen sich entsprechen. (Kontrolle durch verabredete Zeichen von fünf zu fünf oder zehn zu zehn Punkten.)

Nachdem zu Hause die Höhen in der Nivelliertabelle des Feldbuchs berechnet sind, werden sie in die Karte eingeschrieben, womit die Aufnahme beendigt ist. Die etwa darauffolgende Konstruktion der Horizontalkurven wird wie bei der später zu behandelnden tachymetrischen Aufnahme gemacht, wie überhaupt das ganze Verfahren nur eine vereinfachte Tachymetrie ist. Formelle Regeln sind: Hervorhebung der Nivellierungswechselpunkte in der Karte; ferner geordnetes Einschreiben aller Zahlen, Nummern mit Blei links, Höhenzahlen rechts, horizontal neben dem Punkt. In den untergeordneten Aufnahmezügen werden die Lattenablesungen auf Zentimeter abgerundet; für gewöhnliche Geländepunkte genügt vielfach Abrundung auf Dezimeter. Für die Zielungen zu den Wechselpunkten beachtet man möglichst die Regel der gleichen Zielweiten.

Auf mäßig hügeligem Boden können zwei Ingenieure zusammen in wenigen Tagen leicht ein Blatt von 1 qfiw mit 500—1000 Punkten aufnehmen; die Berechnungsarbeit ist gering.

Wenn ausnahmsweise größere Höhenunterschiede Vorkommen, kann man sich durch Lattenverlängerungen helfen. (In Württemberg hatte man „Aufsatteln“ bis zu 30 Fuß Höhe.) Auf gebirgigem Boden wird aber das Verfahren mühsam und ungenau, und muß dann mit Tachymetrie verbunden werden.

Bei den Vorarbeiten zum württembergischen Eisenbahnbau in den sechziger Jahren war das vorbeschriebene reine Flächennivellieren im Gebrauch, die Tachymetrie

und Höhenwinkel zu gegebenen Flurkartenentfernungen wurden dort erst später ein-geführt. Wie sich nun Flächennivellement und Tachymetrie in Württemberg vereinigt haben, wurde von Hammer in „Zeitsehr. f. Yerm. 1893“ S. 313—338 und von Schlebach in „Zeitschr. f. Yerm. 1896“ S. 353—361 mitgeteilt.

§112. Nivellierinstrumente.

Ein Nivellierinstrument besteht im wesentlichen aus einer Libelle und einem Fernrohr, deren Achsen unter sich parallel sind, so daß beim Gebrauch bei einspielender Libelle die Ziellinie des Fernrohrs wagrecht ist. Es gibt viele Arten von Nivellierinstrumenten , von denen wir im folgenden die wichtigsten herausheben und beschreiben werden.

Wir teilen die Nivellierinstrumente in zweifacher Weise ein :

A) Unterscheidung in Beziehung auf Horizontalstellung:

1.    Allgemeine Horizontalstellung (gewöhnlich mit drei Stellschrauben, wie beim Theodolit), wobei die Libellenachse und die Yisierachse rechtwinklig zur vertikalen Achse gestellt sein müssen, so daß die Libelle beim Umdrehen um letztere in allen Lagen einspielt. (Fig. 1 S. 481 u. Fig. 5 S. 485.)

2.    Besondere Horizontalstellung mit einer Kippschraube, wobei nur in jeder einzelnen Zielung die Libellenachse mit der Visierachse horizontal gestellt wird. (Fig. 2—4 und 6—7 S. 482—484 und 486—487.)

Die Anordnung 1. kommt sehr häufig vor; sie sollte jedoch selbst bei kleineren Instrumenten durch die weit bequemere Anordnung 2. ersetzt werden.

B) Unterscheidung in bezug auf die Verbindung der einzelnen Instrumententeile unter sich:

1.    Feste Verbindung des Fernrohrs mit der Libelle und feste Verbindung mit seinen Lagern. (Fig. 1—3 S. 481—483.)

2.    Fernrohr mit Ringen in den Lagern drehbar und Reiterlibelle oder feste Libelle. (Fig. 4 und 5 S. 484 und 485.)

3.    Fernrohr mit Ringen in den Lagern drehbar und Wendelibelle oder Schwebelibelle. (Fig. 6 und 7 S. 486 und 487.)

Die Anordnung 1. gibt in Verbindung mit der Kippschraube ein wegen seiner Einfachheit sehr empfehlenswertes Nivellierinstrument, das für die meisten Landmesserarbeiten ausreicht. Für feine Messungen sind die Anordnungen 2. und 3. vorteilhafter, da sie eine bequemere Prüfung der Instrumentalfehler zulassen; indessen hat auch hier die feste Verbindung des Fernrohrs mit der Libelle manche Vorzüge gegenüber der Reiterlibelle. (Einspielen von Staub unter der Reiterlibelle usw\) Bei der Anordnung 2. ist es am zweckmäßigsten, wenn die Instrumente außer einer festen Libelle auch noch eine Reiterlibelle besitzen, erstere zum Nivellieren, letztere zur Prüfung des Instruments.

Die von F. W. Breithaupt in Cassel im Jahre 1845 erfundene Schwebelibelle hat bisher keine große Verbreitung gefunden.

Von der zu wählenden Fernrohrvergrößerung und Empfindlichkeit der Libelle wird in § 125 die Rede sein.

(Fortsetzung des Textes auf S. 488.)

Fig. 1. Einfachstes Nivellierinstrument.

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Yorstelrencle Fig. 1 zeigt die einfachste Form eines Nivellierinstrumentes, welche darin besteht, daß die zwei Hauptteile, die Libelle und das Fernrohr, sowohl unter sich, als auch mit dem Untergestell fest verbunden sind.

Als Untergestell dient ein gewöhnlicher Dreifuß A mit Stellschrauben F, der mittels einer Zentralschraube B auf ein Scheibenstativ C befestigt ist. Um eine vertikale Achse E dreht sich der Rahmen G, mit welchem das Fernrohr H und die Libelle I vollkommen fest verbunden sind.

Die Vergrößerung des Fernrohrs ist 15 fach und die Empfindlichkeit der Libelle 20" auf 1 Strich.

Das Instrument hat zwei Berichtigungsmittel, nämlich vertikal wirkende Richteschrauben K am Fadenkreuz des Fernrohrs, und eine ebenfalls vertikal wirkende Richtesehraube L an der Libelle.

Diese einfache Konstruktion ist für die gewöhnlichen Ingenieurarbeiten, Querprofile und mäßig lange Längenprofile usw., zu empfehlen.

Die Einfachheit dieses Instrumentes ist die wesentlichste Eigenschaft desselben. Für die gewöhnlichen Zwecke des Eisenbahnhaus, Straßenbaus, Kulturanlagen, gehen die einfachsten Nivellierinstrumente genügende Genauigkeit, und man soll daher hei der Wahl von Instrumenten hierzu lediglich auf die Handlichkeit und Bequemlichkeit, nicht auf unnötige Feinheit ausgehen. Zur Bequemlichkeitsausrüstung kann noch eine Dosenlibelle, vielleicht auch noch eine Stativlibelle gezählt werden, welche obiges Instrument nicht hat. Ebenso ist auch eine Klemme mit Feinbewegung zweckmäßig.

Die Prüfung und Berichtigung dieser einfachen Instrumente geschieht nach Fig. 2 § 114 S. 492.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Fig. 2. Einfaches Nivellierinstrument mit Kippschraube.

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Dieses von Mechaniker Th. Rosenberg in Berlin für die geodätische Sammlung in Danzig gelieferte Instrument unterscheidet sich von dem vorhergehenden durch die Kippschraube S zur Horizontalstellung der Yisierlinie vor jeder Ablesung. Die Steliachse wird nur genähert lotrecht gestellt, wozu die Dosenlibelle 1J ausreicht.

Das Fernrohr hat 28 fache Vergrößerung, 32 cm Brennweite und 81mm Objektivöffnung. Die Röhrenlibelle gibt 21" an.

An Justiervorrichtungen ist nur eine einzige vorhanden, die Schraube L. mit der die Libellenachse parallel zur Visierachse gestellt werden kann. Das Fadenkreuz ist in der Okularröhre unbeweglich befestigt.

Gegenüber dem einfachen Instrument Fig. 1 besitzt dieses Instrument eine Klemme nebst Feinbewegung zur bequemeren Handhabung.

Es gehört hierzu noch ein Ablesespiegel, der mittels eines Kugelgelenks befestigt werden kann und das Einstellen der Libelle vom Okular aus gestattet. Die Befestigungsvorrichtung ist in der Abbildung weggelassen.

Als Eigentümlichkeit des Stativs ist zu erwähnen, daß zwischen die Zapfen der Kopfplatte und die Beinstreben metallene Kugelabschnitte gelegt sind, die eine gleichmäßige Reibung verursachen und das Lösen und Festziehen der Stativschrauben beim Standwechsel überflüssig machen. Es werden hierdurch die Vorzüge des Kugelgelenkstativs mit der im übrigen einfachen Stativkonstruktion verbunden.

Fig. 3. Nivellierinstrument mit Gefällschraube. (Maßstab 1: 4 d. n. Größe. Fernrohrlänge = 35 cm.)

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Dieses Instrument ist von Mechaniker Wolz in Bonn für die geodätische Sammlung zu Hannover geliefert worden.

Die Brennweite des Objektivs ist 32 cm, die Öffnung 34 mm. Die Vergrößerung (Bamsden) ist 33 fach. Die Empfindlichkeit der Libelle ist 16" auf 1 Strich. Fernrohr und Libelle sind fest miteinander verbunden; beide können um die Achse A mit der vertikalen Gefällschraube S gekippt werden. Das Verhältnis der Ganghöhe dieser Schraube zum Hebelarm S A ist so getroffen, daß vier Schraubenumdrehungen der Ziellinie die Neigung i/₁₀₀ geben. Es ist die Ganghöhe der Schraube = 0,5 mm, der Hebelarm SA =200mm; die Trommel und Skala sind nach Prozenten geteilt. Bei berichtigtem Instrument ist bei wagrechter Ziellinie die Ablesung Null. Für den Höhen-

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unterschied li und die Ziel weite s besteht also die Beziehung: Trommelablesung t=100 . —.

D ist eine grobe Libelle für die allgemeine Horizontierung, a a' ein Diopter für nahe Zielungen, die bei Profilaufnahmen usw. sehr häufig Vorkommen, L ein seitlich angebrachter Libellenablesespiegel.

Fig. 4.

Nivellierinstrument mit Bingfernrohr und Reiterlibelle.

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Das vorstehende, der Danziger Sammlung gehörige und von Otto Fennel Söhne in Cassel konstruierte Instrument hat eine 25 fache Fernrohrvergrößerung und eine Libellenempfindlichkeit von 22" auf 1 Strich. Die Brennweite des Objektivs ist 38 cm, seine Öffnung 83 mm.

Das Fernrohr kann in seinen Lagern gedreht und umgelegt werden, und die Libelle kann auf dem Fernrohr umgesetzt werden.

Zur Zentrierung des Fadenkreuzes dienen die vier Schrauben bei F, während mit den vier Schrauben bei L die Libelle justiert wird.

Außer der Böhrenlibelle ist eine Dosenlibelle unter dem Fernrohr vorhanden, die zum Lotrechtstellen der Stehachse ausreicht.

Der Oberteil des Instruments dreht sich um eine in der Mitte befindliche Kippachse. Statt der gewöhnlichen Kippschraube ist eine Stampfersche Schraube angebracht, die zugleich zur Entfernungsmessung und zum Nivellieren mit geneigter Yisur gebraucht werden kann. An den Teilstrichen der Schraubentrommel können Fünfzigstel einer Schraubenumdrehung abgelesen werden, während die ganzen Schraubenumdrehungen mittels der Skala T gemessen werden. Der Schraube wirkt der Federbolzen B entgegen.

Der Stativkopf ist aus Metall hergestellt; die Streben der Stativbeine sind mit ihm durch Schraubenbolzen verbunden.

Fig. 5.

Großes Nivellierinstrument.

(Maßstab 1 : 4,3 d. n. Größe. Fernrohrlänge = 44 cm.)

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Dieses von Mechaniker Bamberg in Berlin konstruierte Nivellierinstrument der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme dient zu Nivellements erster Ordnung (F einnivellem ents).

Die Brennweite des Objektivs ist 42 cm, die Öffnung des Objektivs 4,1 cm.

Die Vergrößerung (Ramsden) ist 30faeh, Empfindlichkeit der Libelle 4,1" auf

1 Strich.

Das Fernrohr F kann in den Lagerringen G gedreht und umgelegt werden. Dabei bleibt die Hauptlibelle L mit dem Fernrohr fest verbunden.

Zum vorläufigen Einstellen sind zwei Dosenlibellen 0 und P angebracht.

Der Träger D hat seinen Drehpunkt in der Mitte, und bei M und M' Richteschrauben mit Zug und Druck.

Weitere Berichtigungsmittel sind die Fadenrichteschrauben Ar , N' und an der Libelle links Schraube und Gegenmutter IL , I und rechts K für die Libellenkreuzung.

(Mit diesem Instrument haben wir, im Aufträge der preußischen Landesaufnahme, im Jahre 1881 mehrere Hauptlinien in Baden nivelliert.)

Fig. 6. Großes Nivellierinstrument. (Maßstab 1 : 4,4 d. n. Gr. Fernrohrlänge = 44 cm.

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Auch dieses Instrument ist wie das vorhergehende zu Feinnivellements bestimmt.

Die Brennweite des Objektivs ist 42 cm, die Öffnung des Objektivs 4,0 cm. Die Vergrößerung (Ramsden) 37fach, die Empfindlichkeit der Libelle 6,5" auf 1 Strich.

Das Fernrohr F kann in den Lagerringen G gedreht und umgelegt werden, dabei bleibt die Hauptlibelle Ly, welche doppelt geschliffen ist, fest mit dem Fernrohr verbunden und befindet sich daher entweder über oder unter dem Fernrohr. ist eine am Träger D angeschraubte Dosenlibelle zum vorläufigen Einstellen, und Z3 bedeutet eine in den hölzernen Stativkopf versenkte Dosenlibelle zu gleichem Zweck.

Der einzige wesentliche Unterschied dieses Instrumentes Fig. 6 gegen Fig. 5 besteht in der Neigungsschraube S mit der Gegenfeder T, wodurch der Arm D I) um seine Mitte (hei 77) gedreht werden kann.

Diese Schraube S macht in einer gewissen Stellung die Libellenachse Ly Ly rechtwinklig zur vertikalen Achse. Die Fadenrichteschrauben N und die Libellen-richteschraubeni 77 und K sind wie bei Fig. 5. Die Schraube S hat eine Ganghöhe

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h — 0,25 mmr und wirkt an einem Hebelarm = l = 103 mm, so daß eine Schraubenumdrehung einen Winkel von o = 501" = 8'21" gibt, oder 1 Strich an der Schraube = 0,01 Umdrehungen = 5".

Am Okular rechts bei b ist ein blaues Blendglas angebracht zur Beobachtung bei greller Sonnenbeleuchtung. Mit diesem Instrument wurden vom Verfasser die Stadtnivellements von Linden und Hannover ausgeführt. (Vgl. den späteren § 123.)

Fig. 7. Nivellierinstrument mit Sehwebelibelle.

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Das vorsteliende Instrument der Danziger Sammlung, konstruiert von F. W. Breithaupt u. Sohn in Cassel, ist ebenfalls mit einem Kingfernrohr versehen, an dem die Libelle um die Spitzenachse S.₂ drehbar befestigt ist. Durch Lösen der Schraube Ji und Zurückziehen des linken Achslagers mit Hilfe des Knopfes P läßt sich die Libelle Umsetzern Ein Gegengewicht Q bewirkt, daß bei Drehung des Fernrohrs um die Bingachse die Libellenskala stets oben bleibt. (Breithaupts Kompensationsniveau.) Beim Gebrauch des Instruments wird die Libelle rechts oder links vom Fernrohr benützt; in der obigen Figur ist sie nur der Deutlichkeit wegen über dem Fernrohr dargestellt.

Die Brennweite des Objektivs ist 27 cm, die Öffnung 2,7 cm.

Die Vergrößerung des Fernrohrs ist 26 fach, die Angabe der Libelle 22" auf 1 Strich.

Das Fadenkreuz des Fernrohrs kann mit den vier Schrauben K zentriert werden, während die Drehachse der Libelle mittels der vier Schrauben 1) parallel zur Bingachse gestellt werden kann. Endlich dienen die beiden Schrauben L zur Berichtigung der Libelle in bezug auf ihre Drehachse.

Die Kippschraube H ist als Gefällschraube eingerichtet und mit einer Skala zur Messung der vollen Umdrehungen versehen. Wie bei allen Instrumenten mit Kippschraube, ist auch hier eine Dosenlibelle vorhanden, mit der die Stehachse hinreichend genau lotrecht gestellt werden kann.

Zur Verwendung des Instruments für tachymetrische Aufnahmen ist auch ein kleiner Horizontalkreis von 8 cm Durchmesser angebracht, der mit zwei Nonien von 1' Angabe abgelesen wird.

(Fortsetzung von Seite 480.)

Auf S. 224 wurde schon bemerkt, daß auch kleinere Theodolite mitunter mit einer Fernrohrlibelle versehen werden, um gelegentlich auch zum Nivellieren Verwendung zu finden. Andrerseits werden auch Nivellierinstrumente mit Kippschraube in manchen Fällen mit einem Horizontalkreise ausgestattet, so daß sie für Winkelmessungen, z. B. in der Tachymetrie, brauchbar sind.

Ein Nivellierinstrument von sehr geringer Größe wird von der Werkstätte Otto Fennel Söhne in Cassel hergestellt (vgl. „Zeitschr. f. Venn. 1905“ S. 460—461). In das Fernrohr, dessen Objektiv 350 mm Brennweite hat, sind zwei Prismen eingeschaltet, so daß die Länge fast auf ein Drittel reduziert wird. Das Fernrohr nimmt hierdurch die Gestalt eines Kastens an, aus dessen Endflächen das Objektiv und das Okularrohr herausragen. Man hat bei diesem Instrument wegen seiner geringen Größe den Vorteil des bequemen Transportes, wozu auch das Stativ zum Zusammenklappen eingerichtet ist.

Zum Schluß unserer Instrumentenbeschreibungen wollen wir noch, zwar ohne Zeichnung, die französischen Nivellierinstrumente erwähnen, welche bei dem neuen nivellement général de la France unter Leitung von Lallemand angewendet werden. Es wird ein Prinzip benützt, welches bei uns mehr nur für Freihandinstrumente (vgl. § 117) bisher diente, nämlich Beobachten der Libellenblase durch Reflexion neben dem Okular des Fernrohrs.

Das Einzelne hierüber gibt „Lever des plans et nivellement etc. par Pelletan et Lallemand Paris 1889“ S. 432. Zugleich für das Nivellement im allgemeinen sei zitiert :

Goulier. Sur les nivellements de précision. Comptes rendus hebdomadaires etc. 1887, Bd. 105 S. 270, 306 und Lévy, M. Sur le nivellement général de la France. Comptes rendus 1890, 110. Bd S. 1233—1238. (Auch zu unserem späteren § 130 gehörend.)

Eine übersichtliche Zusammenstellung der bei den europäischen Staaten der internationalen Erdmessung verwendeten Instrumente gibt ein Bericht von v. Kalmar in den „Verhandlungen der Konferenz der permanenten Kommission der internationalen Erdmessung“ in Genf 1893. Berlin 1894, Beilage A II S. 115—134.

Geschichtliches.

Für die Geschichte des Nivellierinstruments verweisen wir auf Ch. A. Vogler, „Lehrbuch d. prakt. Geom. 2. Teil, Braunschweig 1894“ S. 13—22 und C. Müller, „Zeitschr. f. Verra. 1907“ S. 254 bis 258. Wir entnehmen hieraus, daß das Fernrohr zum Nivellieren zuerst von Picard 1674 verwendet wurde. Dieses, sowie die bald darauf von Huyghens und Körner konstruierten Instrumente hatten jedoch keine Libelle, sondern eine Pendelvorrichtung zum Wagrechtstellen der Visierachse. Nivellierinstrumente mit Libelle werden in der von Mailet 1702 herausgegebenen „Géométrie pratique“ beschrieben, ferner von Nicolas Bion etwa 1720. In Deutschland wird das Nivellierinstrument mit Libelle in „Aufrichtige Entdeckung des usw. Nivellierens oder Wasserwägens“ von Leonhard Christoph Sturm 1715 erwähnt, wobei jedoch gesagt wird, daß „vielerlei Umstände den Gebrauch dieses Instruments beschweren“. Aus der Mitte des 18. Jahrhunderts haben wir ein von Brander konstruiertes, in allen Teilen wohl durchdachtes und mit ausreichenden Justier Vorrichtungen versehenes Nivellierinstrument.

§ 113. Horizontalstellung und Stative.

Die Anordnung der Horizontalstellung und der Stative für Nivellierinstrumente verlangt eine besondere Überlegung, weil beim Nivellieren, im Gegensatz zum Winkelmessen, die Aufstellungen ungemein zahlreich sind, so daß 50—60 Aufstellungen und mehr an einem Tage Vorkommen können. Eine kleine Erleichterung oder Zeitersparung beim Aufstellen eines Nivellierstatives fällt daher bedeutend ins Gewicht und kann

das Schlußergebnis wesentlich beeinflussen, namentlich auch insofern, als ein glatter und rascher Yerlauf des Nivellierverfahrens im ganzen von Einfluß auf das Maß systematischer kleiner Fehler ist und auf die Wahrscheinlichkeit, daß solche beim Hin-und Rücknivellieren sich aufheben.

Die gewöhnlichste Vorrichtung zum Horizontalstellen ist der Dreifuß mit drei Eußstellschrauben, wie bei allen Instrumenten des vorigen § 112 auf S. 481—487 zu sehen ist.

Es kommen aber auch noch viele andere Formen vor, z. B. vier Schrauben, von denen je zwei einander entgegenwirken, oder zwei Schrauben mit je einer entgegenwirkenden Feder. — Kugelgelenk mit Stellzapfen oder Stellplatte, besonders bei kleineren Instrumenten. — Eine neuere Anordnung hat Patent L. Tesdorpf in Stuttgart, beschrieben von Schlebach in der „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 93—96.

Ein guter Gedanke für rasches Horizontalstellen ist verwirklicht in dem amerikanischen Nivellierkopf von Fig. 1, dessen Zeichnung wir entnehmen aus „Description

Fig. 1. Amerikanischer Nivellierkopf.

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and price-list of first-class Engeneerings & Astronomical Instruments by G. N. Saeg-muller, Washington 1892“ S. 27. Die Konstruktion ist benannt: „New Quick-Level-ling Tripod-Head with Shifting-Plate“. Das Wesentliche dabei ist, daß die zwei Scheiben A und B verschiedene Neigungen erzeugen, je nachdem die beiden dicken Teile derselben sich vereinigen oder gegenüberstehen, und daß man also durch Drehen von B gegen A die obere Ebene von B rasch horizontal machen kann.

Das Nivellierstativ soll bequem und schnell aufstellbar sein. Daher sind diejenigen vorzuziehen, welche eine gleichmäßige, gute Führung der Beine haben und nicht bei jeder Aufstellung ein Anziehen und Lösen der Schrauben erfordern. Hierher gehören die Reichenbachschen Stative mit zylindrischen Reibungsflächen (Fig. 1 S. 481), sowie die Kugelgelenkstative (Fig. 3 S. 483), endlich auch das einfache Stativ (Fig. 2 S. 482) mit eingelegten Kugelsegmenten, dessen Einrichtung S. 482 schon erläutert wurde.

Es ist auch für die Wahl des Nivellierstatives ein Unterschied, ob man auf ebener fester Landstraße oder auf losem Acker- und Wiesenboden, oder auf dem Schotterweg einer Eisenbahn oder sonst auf unregelmäßigem Boden nivelliert. Auf Landstraßen und Städten haben wir das Verfahren erprobt gefunden, auf der Platte eines gewöhnlichen Statives eine schwach empfindliche Dosenlibelle anzubringen (vgl. §112 S. 485 und 486), welche durch Rücken der Stativbeine nahezu zum Einspielen

gebracht wird’, was der Nivellierende und auch die Gehilfen rasch mit wenigen Handgriffen lernen. Es sind dann nur noch wenige Griffe an den Stellschrauben des Nivellierinstrumentes selbst zu machen, da ja durch das Rücken oder Eintreten der Stativbeine bereits alles nahezu horizontal gestellt ist.

Damit haben wir bei befriedigender Genauigkeit zugleich große Nivelliergeschwindigkeit erzielt. Auch auf Acker- und Wiesenboden kann man noch durch Eintreten der Stativbeine einigermaßen vorläufige Horizontalstellung erzielen. Dagegen auf Eisenbahnen läßt sich das nicht machen, weil jedes Stativbein in dem grobsteinigen Schotter einen festen Platz erlangen muß und nur in großen Sätzen, aber nicht stetig

Fig. 2.

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bewegt werden kann. Hierfür sind wir nach mancherlei Versuchen mit Herrn Mechaniker Randhagen in Hannover 1891 zu einer in Fig. 2 dargestellten Konstruktion nach dem System der Cardanischen Aufhängung gelangt. Es war zuerst beabsichtigt, die Unterlagsplatte B des Nivellierinstrumentes in loser Cardanischer Aufhängung gegen das eigentliche Stativ A pendeln und durch ein unten angehängtes starkes Gewicht einspielen zu lassen, worauf das Feststellen durch die Kurbel K erfolgen sollte. Der Erfolg war aber nicht günstig, und deshalb brachten wir statt des Zentralgewichtes eine Einstellung durch drei grobe Stellschrauben S, mit der Dosenlibelle L, in An-

Wendung. Diese Schrauben S haben doppelte Gänge mit einer wirksamen Ganghöhe von 5 -nun- ; es genügen daher nur wenige Umdrehungen, um auch eine ganz erhebliche Neigung der Platte Ji rasch auszugleichen. Die Handgriffe mit den drei groben Schrauben S (welche nach Einspielen von L alle drei scharf pressen müssen) waren bald so mechanisch eingeübt, daß wir bei einem mittleren Nivellierfehler von 2-mm auf 1 4m mit Zielweite von 50 m auf der Eisenbahn eine Geschwindigkeit von 1,54m für eine Stunde erreichten. Diese Konstruktion Fig. 2 S. 490 hat sich vor mehreren andern in der ^Zeitsehr. f. Instrumentenkunde 1892“ S. 21-22 und .Zeitsehr. f. Verm. 1892“ S. 262-265 beschriebenen bei unseren Versuchen am besten bewährt. Bei der preußischen Landesaufnahme wird neuerdings ein dem „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 264 beschriebenen französischen ähnliches Stativ benutzt. Dasselbe ist mit einem in einem Kugelgelenk nach einer Dosenlibelle stellbaren Teller versehen, auf welchen das Instrument gesetzt wird.

Man könnte sogar zwei solcher Stative zusammen benützen, so daß das eine Stativ zum Nivellieren dient, während gleichzeitig das andere durch den Gehilfen vorwärts aufgestellt wird. Diese Anordnung, entsprechend der Polygonzugmessung mit drei Stativen (§ 102 Fig. 1 S. 443), dürfte den Gang noch mehr beschleunigen.

§ 114« Prüfung und Berichtigung der Nivellierinstrumente.

Je nach der Anordnung der einzelnen Teile eines Instrumentes, namentlich nach Lage und Befestigung der Libelle, wird auch die Prüfung und Berichtigung sich verschieden gestalten müssen; jedoch einige Grundforderungen, an erster Stelle die Parallelität der Libellenachse und der Zielachse, müssen immer wiederkehren.

Wir wollen hierbei der Stufenreihe vom Einfachen zum Zusammengesetzten nach den Instrumentenzeichnungen von § 112 folgen.

Einfaches Nivellierinstrument.

Fig. 1 § 112 S. 481.

Libelle und Fernrohr untereinander und mit der Vertikalachse fest verbunden.

Fig. 1.

L 5.

Wir haben nach der schematischen Fig. 1 drei Achsen in Betracht zu nehmen :

1.    die Libellenachse L,

2.    die Zielachse Z des Fernrohrs,

3.    die vertikale Umdrehungsachse V.

Es sollen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein :

[1]    L J_ V (Libellenachse rechtwinklig zur Vertikalachse),

[2]    Z parallel L (Zielachse parallel der Libellenachse).

Um diese zwei Bedingungen zu erfüllen, hat man zwei Berichtigungshilfsmittel k und l, nämlich /,: als Bichteschrauben am Fadenkreuz des Fernrohrs und l als Richteschraube an der Libelle.

Um die Libellenachse L parallel der Zielachse Z zu machen, kann man die Richtevorrichtung l oder k benützen, um aber L J_ V zu machen, kann man nur l benützen, und daraus folgt, daß die Bedingung i_LU zuerst erfüllt rverden muß, mit der Libellenrichteschraube l, und daß nachher erst Z parallel L gemacht werden darf, mit der Fadenschraube k. Aus diesem Grunde ist auch die Aufeinanderfolge [1] und [2] oben so angegeben. Die Ausgangsachse für die Berichtigung ist also die Vertikalachse V.

Sachlich ist die erste Bedingung L J_ V nicht ebenso wichtig als die zweite, es ist aber wegen der Bequemlichkeit und Raschheit der Messung doch erwünscht, daß die Libellenachse möglichst genau rechtwinklig zur vertikalen Achse liegt.

Man hat also folgendes auszuführen:

[1]    Die Libellenachse soll rechtwinklig zur vertikalen Umdrehungsachse sein. -Dieses wird gerade so behandelt, wie schon beim Theodolit (§ 59 S. 242—244) beschrieben wurde. Nachdem ein Horizontalstellungsversuch im ganzen gemacht ist, stellt man die Libelle parallel der Verbindungslinie zweier Stellschrauben und bringt sie mit letzteren zum Einspielen. Dann wird die Libelle (samt dem Fernrohr) um 180° gedreht, und die Hälfte des sich zeigenden Ausschlags der Blase mittels der Richteschraube l der Libelle, und die andere Hälfte mittels der Fußstellschrauben weggeschafft. Hierauf dreht man die Libelle um 90° und bringt den jetzt sich zeigenden ganzen Ausschlag mit der dritten Fußstellschraube zum Verschwinden. (Wiederholen, bis das Verfahren zum Erfolg geführt hat).

Dadurch hat man nicht nur die Libellenachse rechtwinklig zur vertikalen Achse, sondern letztere zugleich vertikal gemacht, d. h. man hat das Instrument „horizontal gestellt“.

[2]    Die Zielachse des Fernrohrs soll parallel der Libellenachse sein.

Die Prüfung dieser wichtigsten Bedingung wird mit Zuhilfenahme der Latte durch Nivellieren gemacht, und wir haben dazu zuerst das wichtige Mittel der Zielung aus der Mitte (Fig. 2).

Es ist wichtig, auch für das Nivellieren selbst, einzusehen, daß ein Fehler der Zielachse gegen die Libellenachse dann unschädlich bleibt, wenn das Instrument Jx in der Mitte zwischen den Latten A und B steht, d. h. Jj (Fig. 2) braucht nicht in

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der Geraden AB selbst zu stehen, sondern nur wenigstens so, daß die Zielweiten J₁A und Jl B einander gleich sind. Dann werden, wenn die Libellenachse und die Zielachse nicht parallel sind, die beiden Lattenablesungen ax und iq um gleich viel zu groß oder zu klein, und die Differenz a₁ — /q bleibt richtig. Hiernach erhalten wir zur Untersuchung [2], ob die Zielachse parallel der Libellenachse ist, folgendes Verfahren:

Man wählt zwei sichere, etwa 100 m voneinander entfernte Lattenstandpunkte A und B (Fig. 2) aus, und stellt zuerst das Instrument in die Mitte Ą zwischen beide Punkte A und B, und nachher möglichst nahe zu einem derselben, etwa nahe zu A, nach J₂. An den Latten A und B werden die Maße ax, bx und a₂ , b₂ nach Andeutung Fig. 2 abgelesen, und es muß nun die Bedingung erfüllt sein :

ax — bx = «2 — ^2 •

Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, so muß man in der Instrumentenstellung J₂ das Fadenkreuz des Fernrohrs mit seinen vertikal wirkenden Richteschrauben (K S. 481) so verstellen, daß die vorstehende Bedingung erfüllt wird, so daß man hat:

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Berichtigung : bleibt <?2 = L590 verbessert b₂ = 1,298

b₂ -- «2 — («t — &i) •

Ablesungen in Jj ax = 1,675 m bx = 1,383

Beispiel :

Ablesungen in J2 n₂ = 1,590 m b₂ = 1,817

\ = 1,590 — 0,292 = 1,298.

Hier ist a-± — hl = 0,292 die richtige Differenz, Aveil J-y in der Mitte zAvischen A und B steht; «₂ gilt ebenfalls als richtig Avegen der Kürze der Zielweite; man rechnet nun

Man hat daher in J"₂ das Fadenkreuz so lange aufwärts zu schrauben, daß statt der Ablesung 1,317 an der entfernten Latte die Ablesung 1,298 erscheint.

Zur Probe Avird man das ganze Verfahren Aviederholen, und als Schlußprobe etAva J?> in die Nähe von der Latte B aufstellen.

Obgleich dieses Verfahren immer anwendbar ist, geben Avir doch noch ein ZAveites Verfahren an, entsprechend Fig. 3:

Fig. 3.

Man Avählt ZAvei Instrumentenstandpunkte ■Jl und J.) aus, welche symmetrisch gegen die Lattenpunkte A und B liegen. Man liest nun wieder die Ader Maße a-y , by , a₂ , b₂ an den Latten ab und sieht zu, ob — by = a₂ — lh ist. Wenn dieses nicht der Fall ist, so nimmt man das arithmetische Mittel:

7, _ (al ftl) + (a2 — ^2)

a — O-    g-•

Dieses ist die richtige Differenz; man stellt daher in J₂ das Fadenkreuz so, daß statt b₂ die Ablesung «₂ — (a — b) erhalten wird.

Beispiel ;

Ablesungen in Jy ay = 2,045 -m by = 1,243

Ablesungen in J2 ß₂ = 1,784-m &₂ = 0,952

Berichtigung ; bleibt a₂ = 1,784 verbessert &₂ = 0,967

Differenzen ; ax — \ — 0,802

a₂ — &₂ = 0,832 Mittel : a — b = 0,817 .

0,817

Man rechnet Avieder 1.784—-0,817 = 0,967; es muß also in ./₂ das Fadenkreuz so verstellt werden, daß statt 0,952 die Ablesung 0,967 an der entfernten Latte gemacht Avird.

Beim Verstellen des Fadenkreuzes kann man sich in betreff der Richtung (auf oder ab) nicht irren, Avenn man bedenkt, daß das Okular keine Bildumkehrung erzeugt ; man hat also den Faden gerade so, Avie es der unmittelbare Anblick verlangt, auf oder ab zu schieben. (Es ist auf vorsichtiges BeAvegen und sorgfältiges Anziehen der Schräubchen zu achten.)

Die hier beschriebenen Prüfungsverfahren, namentlich Zielung aus der Mitte, sind sehr Avichtig, auch für andere als die hier zunächst vorausgesetzten einfachen Instrumente; man kann damit unter allen Umständen die Parallelität der Äbsehlinie und der Libelle eines Nivellierinstrumentes sicher untersuchen.

Die dabei gemachte Annahme, daß «₂ bleibt, ist nur näherungsweise richtig, ist aber genügend, Avenn man das ganze Verfahren wiederholt. (Sind die Entfernungen J.₂ A und Jo B in Fig. 2 S. 492 bekannt, so kann aus dem Verhältnis derselben die Korrektion von A₂ ermittelt werden.)

Man kann sogar mit den im vorstehenden angegebenen Verfahren auch jedes andere Instrument in allem Wesentlichen prüfen und berichtigen; man braucht z. B., Avenn das Fernrohr zum Drehen und die Libelle zum Umsetzen eingerichtet ist, diese BeAvegliehkeit nur unberücksichtigt zu lassen, um das für das einfache Instrument

gültige Verfahren anwendbar zu haben und beim Vorhandensein einer Neigungsschraube Fig. 4 S. 484 braucht man diese nur auf ihre in der Regel durch eine Marke angegebene mittlere Stellung zu bringen und dann während der Berichtigung diese Schraube unverändert stehen zu lassen, so daß die oben vorausgesetzte feste Verbindung mit der Vertikalachse für die Dauer der Berichtigung zutrifft. Indessen wollen wir nun doch noch behandeln :

Einfaches Nivellierinstrument mit Kippschraube.

Diese Anordnung hat z. B. das Instrument Fig. 2 S. 482; auch Fig. 8 S. 483 gehört hierzu, da die Gefällschraube zugleich als Kippschraube benützt werden kann.

Von den beiden auf S. 491 aufgestellten Bedingungen bleibt hier nur die zweite: die Zielachse des Fernrohrs soll parallel zur Libellenachse sein. Daher ist auch nur eine der beiden Justierschrauben l oder Je der Fig. 1 S. 491 erforderlich; in der Regel ist nur die Libellenschraube l vorhanden (Fig. 2 S. 482).

Die Justierung ist nach S. 492 auszuführen. Nachdem der richtige Höhenunterschied a₁—b₁ zweier Punkte A und B von der Mitte aus gefunden ist, berechnet man die zu «₂ gehörige richtige Ablesung b%. Die Visierlinie wird mit der Ivipp-schraube auf b₂ eingestellt, und die Libelle wird hierauf mittels ihrer Justierschraube zum Einspielen gebracht. — Wenn nur die Fadenkreuzjustierung möglich ist, so wird das Fadenkreuz bei einspielender Libelle auf b.₂ eingestellt.

Nivellierinstrument mit Ringfernrohr und Reiterlibelle.

Die Bedingungen für die Achsen sind dieselben wie bei dem einfachen Instrument S. 491. Da jedoch die Achse der Fernrohrringe bei der Justierung eine Rolle spielt, so wollen wir die zweite Forderung von S. 491 nochmals teilen und gelangen dann zu den drei Bedingungen :

[1]    Zielachse des Fernrohrs parallel der Ringachse,

[2]    Libellenachse parallel der Ringachse,

[3]    Ringachse senkrecht zur Vertikalachse.

1. Die Erfüllung der ersten Forderung, das „Zentrieren des Fadenkreuzes“ geschieht in folgender Weise: Man wählt einen entfernten Punkt (damit eine kleine Exzentrizität des Objektivs ohne Einfluß bleibt) und zielt ihn scharf an. Wenn dann beim Drehen des Fernrohrs um seine Lagerachse das Fadenkreuz nicht auf dem angezielten Punkte bleibt, so ist das Fadenkreuz entsprechend (um die Hälfte) in dem Okularkopf mittels der Fadenrichteschrauben zu verschieben.

untersuchen, ob der Abstand dieser beiden Achsen

zu untersuchen, ob die

Damit hat man aber noch nicht das Fadenkreuz im strengen Sinn zentriert, sondern man hat nur die Zielachse (Verbindungslinie zwischem dem optischen Mittelpunkt des Objektivs und dem Fadenkreuzpunkt) parallel der geometrischen Fernrohrachse gemacht. Um vollends zu merklich ist, nimmt man im Gegensatz zu der soeben gemachten Untersuchung, wobei ein sehr ferner Zielpunkt benützt wurde, einen möglichst nahen Punkt und wiederholt das Verfahren. Wenn sich dann beim Drehen des Fernrohrs eine Verschiebung des Fadenkreuzes gegen den angezielten Punkt zeigt, so ist dadurch eine Exzentrizität des Objektivs bewiesen, welche in der Regel nicht ohne Hilfe des Mechanikers weggeschafft werden kann. Man trifft selten ein so schlecht zentriertes Objektiv, daß die Exzentrizität schädlich wäre.

man

2. Nach der Zentrierung des Fadenkreuzes hat

Libellenachse parallel der Bingachse ist. Durch Umsetzen der Libelle auf dem Fernrohr und Korrektion der Hälfte des sich zeigenden Ausschlages mittels der Libellenjustierschrauben erreicht man zunächst, daß bei einspielender Libelle auch die Bingachse wagrecht liegt. Den Einfluß einer Verschiedenheit der beiden Bingdurchmesser behandeln wir im nächsten Paragraphen.

Es ist dann noch durch schwaches seitliches Drehen der Libelle auf den Bingen des Fernrohrs festzustellen, ob eine Kreuzung zwischen Libellen- und Bingachse vorhanden ist. Letzteres ist der Fall, wenn die Luftblase beim Hin- und Herschwenken nach verschiedenen Enden ausschlägt; eine einfache Überlegung zeigt sofort, in welcher Bichtung die Libelle mit ihren seitlichen Justierschrauben zu verstellen ist. Im nächsten § 115 wollen wir hierzu noch die Frage erörtern, wieweit der Kreuzungsfehler beim Nivellieren schädlich sein kann.

3. Um die Bingachse und damit auch die Visierachse und die Libellenachse senkrecht zur Stehachse zu stellen, bringt man die Libelle zum Einspielen, dreht um die Stehachse um 180° und schafft die Hälfte des sich zeigenden Ausschlages mit den Fußschrauben, die andere Hälfte mit den unter dem Fernrohrträger befindlichen Justierschrauben (z. B. M M' in Fig. 5 S. 485) weg.

Kippschraube. Ist das soeben behandelte Nivellierinstrument mit einer Kippschraube versehen, wie Fig. 4 S. 484, so fällt die Bedingung [3] weg, im übrigen bleibt das Justierverfahren unverändert. (Die in Fig. 4 S. 484 dargestellte Kippschraube dient auch noch anderen Zwecken, auf die in § 121 S. 527 hingewiesen wird.)

Mingfernrohr und feste Libelle.

Für dieses Instrument, das in Fig. 5 S. 485 dargestellt ist, sind ebenfalls die S. 494 angegebenen Bedingungen [1] bis [3] gültig. Auch das Justierverfahren bleibt dasselbe, jedoch muß bei der Parallelstellung der Bingachse und der Libellenachse an die Stelle des Umsetzens der Beiterlibelle das Umlegen des ganzen Fernrohres in den Lagerringen treten. Es wird jedoch auch hierbei die Voraussetzung genau gleicher Bingdurchmesser gemacht; zur Prüfung der letzteren ist dem der Danziger Sammlung gehörigen, der Fig. 5 S. 485 entsprechenden Instrument eine besondere Beiterlibelle von 3,4" Angabe beigegeben. Andernfalls kann nach der Justierung durch die gewöhnliche S. 492 angegebene Nivellierprobe festgestellt werden, ob die Visierachse wirklich der Libellenachse parallel ist.

Wie schon S. 480 bemerkt wurde, bietet die feste Verbindung der Libelle mit dem Fernrohr mancherlei Vorteile, -weshalb diese Anordnung für Feinnivellements vielfach benützt wird.

Nivellierinstrument mit Ringfernrohr und Wendelibeile oder Schwebelibelle.

Für diese beiden in Fig. 6 und 7 S. 486 und 487 dargestellten Anordnungen können wir die Justierung gemeinsam behandeln, wenn für das Instrument Fig. 7 S. 487 die Voraussetzung zutrifft, daß die Libellenachse parallel zur Spitzenachse liegt. Die Prüfung und Justierung erfolgt wie bei der einfachen Setzlibelle (S. 179 u. S. 180), indem man die Libelle in den Lagern der Spitzenachse umsetzt; durch geringe Drehung der Libelle um die Spitzenachse ist auch die Kreuzung festzustellen.

Im übrigen haben wir dann für beide Instrumente die bereits auf S. 494 angegebenen Bedingungen zu wiederholen.

[1]    Zielachse des Fernrohrs parallel der Ringachse.

[2]    Libellenachse parallel der Ringachse.

vor-

[3]    Ringachse senkrecht zur Vertikalachse (wenn keine Kippschraube

handen ist).

1. Die für [1] erforderliche Zentrierung des Fadenkreuzes ist nach S. 494 aus-

zuführen.

2. Zur Parallelstellung der Ringachse und der Libellenachse läßt man die Libelle über oder unter dem Fernrohr bzw. seitlich von letzterem einspielen, dreht hierauf das Fernrohr um die Ringachse um 180° und beseitigt die Hälfte des Ausschlags mit den Justierschrauben der Libelle.

Die Libellenkreuzung verrät sich auch hier dadurch, daß die über oder unter dem Fernrohr einspielende Libelle bei geringem Hin- und Herdrehen um die Ringachse nach verschiedenen Seiten ausschlägt. Die Justierung erfolgt mittels der seitlichen Korrektionsschrauben.

Ein Vorzug dieser Instrumente besteht darin, daß die Gleichheit der beiden Ringdurchmesser nicht erforderlich ist; letztere können verschieden groß sein, es kommt hier lediglich die Drechachse des Fernrohrs in Frage.

Bei der Wendelibelle ist zu beachten, daß wir nach unsrer Definition von S. 178 zwei verschiedene Libellenachsen haben, nämlich die beiden Geraden, die die Libelle in ihrer Längsrichtung in den Mittelmarken der beiden Skalen berühren. Falls diese beiden Tangenten nicht einander parallel laufen, reicht das obige Justierungsverfahren nicht aus; wir werden dies im folgenden § 115 näher betrachten.

Die Schwebelibelle ist von einem solchen Fehler frei.

Justierung ohne Rücksicht auf die Ringachse. Die Justierschrauben am Fadenkreuz sind zur Justierung des Instruments nicht unumgänglich nötig, weshalb in manchen Fällen das Fadenkreuz unbeweglich festliegt. Man kann nämlich unmittelbar die Libellenachse parallel zur Visierachse stellen, indem man einmal bei oben (bzw. rechts) und dann bei unten (bzw. links) einspielender Libelle an einer Nivellierlatte abliest. Wird die Zielachse auf das Mittel beider Ablesungen eingestellt, so liegt sie wagrecht; die Libelle kann dann mittels ihrer Justierschrauben zum Einspielen gebracht werden. Für feinere Zwecke ist diese Anordnung jedoch nicht zu empfehlen wegen der Schwierigkeit der Feststellung der Kreuzung zwischen Zielachse und Libellenachse, die wrie beim einfachen Nivellierinstrument geprüft werden muß.

§ 115. Besondere Fehler der Nivellierinstrumente.

Einige Nebenfragen, welche zur Theorie des Nivellierinstruments in Beziehung stehen, behandeln wir noch besonders :

I. Ungleiche Durchmesser der Fernrohrringe.

Bei vorhandener Reiterlibelle kann die Prüfung der Fernrohrringe folgendermaßen ausgeführt werden: Nachdem die Libelle zum Einspielen gebracht ist, legt man das Fernrohr in seinen Lagern um und setzt die Libelle in unveränderter Stellung wieder auf die Ringe. Spielt die Libelle nicht mehr ein, so sind die Durchmesser der Femrohrringe nicht gleich groß.

Es handelt sich nun darum, festzustellen, welchen Ausschlag man der nach S. 494 his 495 justierten Libelle gehen muß, damit die Ringachse wagrecht liegt. In Fig. 1 denken wir uns die Lager der Fernrohrringe und die Libellenfüße U-förmig gestaltet und nebst den Ringen selbst der bequemeren Anschauung wegen um 90 ° gedreht, wodurch an der Lage der Achsen nichts geändert wird ; ist die Libelle justiert, so verläuft ihre Achse parallel der Geraden P₁ Po. In dieser Stellung wird die nahezu einspielende Libelle abgelesen. Durch Umlegen des Fernrohrs, bei dem der größere Ring nach links gelangt, wird die Libellenachse um den Winkel 2 («q -+- a₂) geneigt, der als Differenz der beiden Libellenablesungen in Teilen der Libellenskala erhalten wird.

Hieraus läßt sich der Winkel oq berechnen. Bezeichnen wir den Abstand der Ringe mit l und ihre Halbmesser mit r und B, so ist nach Fig. 1

r

Fig. 1.

Q,

s in cp    ’

0.,Po

sin cp

°1 Ql = 17-

sin xp :

folglich wird

sin xp

«l

Oo P₂ — (Ą P₁ _ P — r 1 s in cp

(1)

«2 =

und hieraus

si n xp ,

(2)

al + ⁽*2 —

Die Gleichungen (1) und (2) ergeben

«1 = («i -j- or₂)

Aus (3) kann der gesuchte Winkel «₁ berechnet werden, nachdem cp und ip durch direkte Messung mit einem Transporteur bestimmt sind. Sind die Fernrohrlager nicht U-förmig, sondern halbkreisförmig gestaltet, so ist xp = 90° zu setzen.

Beispiel. Für das Feinnivellierinstrument Nr. 9779 der Danziger Sammlung, das, von Carl Bamberg in Berlin konstruiert, der Fig. 5 S. 485 entspricht, jedoch mit einer Kippschraube und einer besonderen Reiterlibelle versehen ist, wurde durch mehrfache Wiederholung des oben beschriebenen Verfahrens -t-«r₂ = 1,344 Libellenteilen gefunden, wobei der Ring am Okularende sich als der größere herausstellte. Mit genügender Genauigkeit konnte cp = 45° und xjj = 42° durch direkte Messung ermittelt werden. Hiermit ergab sich nach Gleichung (3) «q — 0,653 Libellenteilen. Für die Justierung des Instruments ergibt sich somit die Forderung, daß die justierte Reiterlibelle um 0,65 Skalenteile nach dem Okularende ausschlagen muß, wenn die Ringachse wagrecht liegen soll. (Die Angabe der Reiterlibelle ist gleich 3,4"; es findet sich hiermit für die Differenz der beiden Ringhalbmesser nach (2) der Wert B — r — 1,78 u.)

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. 13d. 7. Aufl.

t sin cp

sin ip J

sin xp

sin cp -t- sin xp

(3)

Wenn nur eine mit dem Fernrohr fest verbundene Libelle vorhanden ist, so muß man nach dem Zentrieren des Fadenkreuzes und Justieren der Libelle die Yisierachse noch mittels des für das einfache Nivellierinstrument S. 492 erläuterten Verfahrens wagrecht stellen, wobei sich dann der obige Libelleuausschlag «₁ ohne weiteres ergibt.

II. Libellerikreusung. (Fig. 2.)

Wenn die Libellenachse mit der Ziellinie des Fernrohrs nicht in einer vertikalen Ebene liegt, sondern, im Grundriß gesehen, mit der Ziellinie des Fernrohrs einen kleinen Kreuzungswinkel cp macht, so kann auch daraus ein kleiner Nivellierfehler entstehen.

In Fig. 2a und Fig. 2 b sei FF die Achse des Fernrohrs und zugleich Drehachse. Die Libellenachse ALB habe im Grundriß eine Kreuzung cp, und zeigt sich daher im Aufriß nicht als ein Punkt L, sondern als eine kurze Gerade AB = 2y.

In Fig. 2 b ist eine kleine Querdrehung a angenommen, und dadurch erscheint auch die kurze Gerade A'B' = 2y im Aufriß um den Winkel a gegen die Horizontale geneigt, und es handelt sich um den Höhenunterschied h der Punkte A' und B' in Fig. 2 b. Dieser ist :

(4)

h — A' B' sin a = 2 y sin a.

Es ist aber für eine Libellenlänge l nach Fig. 2 a im Grundriß :

Fig. 2 a.

Fig. 2 b.

oder

2W

ALS

Â'

V = ~2 tanfJ I1 folglich nach Gleichung (4): h = lep sin a

oder :

h

— = cp sin a = n.

(5)

no

.. .p y—g----------------

B*

Dieses ist die Längsneigung n, welche die Libelle infolge des Kreuzungswinkels cp annimmt, oder auch umgekehrt die Neigung der Ziellinie, weifn man nachher die Libelle in der

7?

Zielrichtung wieder horizontal einstellt. Oder kurz, der Wert cp sin a nach (5) stellt den Fehler vor, mit welchem wir uns liier beschäftigen.

Es könnte auf den ersten

Blick scheinen, daß dieses Produkt cp sin a verschwindend klein sei, weil sowohl cp als « klein sind, und beim Theodolit ist in der Tat die Libellenkreuzung kaum zu beachten.

Indessen beim Nivellieren kann auch jenes Produkt qp sin a Einfluß werden. Bei sorgloser Behandlung kann die Kreuzung qp wohl 1° = 3600"

A V‘ F

von

.x.

A' F

betragen ; und wenn nun auch nur a = 1' ist, so erreicht cp sin a bereits den Wert von 8 600" sin 1' = 3600" : p' = 1", was wohl noch meßbar ist. Die Querneigung « kann aber auch leicht größer werden. Diese Betrachtungen führen zu folgenden Regeln:

1.    Bei jedem feineren Nivellierinstrument soll das Fernrohr mit der Libelle eine größere Querdrehung u gestatten, damit der Kreuzungsfehler cp bequem untersucht werden kann. Nach der Prüfung und Berichtigung der Kreuzung cp, mittels der seitlichen Libellenrichteschrauben, sorgt man dann durch eine Anlehnung, daß eine Querdrehung a nicht zufällig eintritt (z. B. Fig. 6 S. 486, Anschlagschräubchen oberhalb D).

2.    Bei Instrumenten, bei welchen das Fernrohr und die Libelle beide fest mit dem Untergestell verbunden sind, ist für gröbere Zwecke, z. B. für Querprofilaufnahmen usw., die Libellenkreuzungsfrage unwesentlich; wenn man aber mit solchen Instrumenten auch feinere Arbeiten, Längenprofile uswr. ausführen will, so ist so zu verfahren: Alan stellt das in allen anderen Beziehungen berichtigte Instrument so auf, daß die Ziellinie parallel der Yerbindungslinie zweier Fußschrauben wird, und zielt so nach einer Latte. Nun sieht man zu, ob das Umdrehen der dritten Stellschraube, welche der Quere nach wirkt, die Lattenablesung ändert, wenn gleichzeitig die Längslibelle mit den zwei erstgenannten Schrauben im Einspielen erhalten wird. (Allerdings eine kleine Ablesungsänderung muß die dritte Schraube wohl erzeugen, entsprechend der Höhenänderung am Instrumente selbst ; das ist aber wenig, und kann nötigenfalls in Rechnung gegeben werden.)

Die Libellenkreuzung ist beim Nivellieren selbst gar nicht unwichtig, denn häufig haben wir das Verfahren eingehalten, nach dem Ein stellen einer Dosenlibelle die Röhrenlibelle nur in der Richtung der jeweiligen Ziellinie einzustellen, und zwar kann man sich dieses bequeme Verfahren erlauben, wenn man ganz sicher ist, daß die Hauptlibelle keine merkliche Kreuzung gegen die Fernrohrachse hat.

III. Die Doppellibelle.

Nachdem Amsler (der Erfinder des Polarplanimeters) schon 1859 ein Nivellierinstrument mit Reversionslibelle konstruiert hat (Dinglers „Polytechnisches Journal, 1859“, Band 153, S. 401 — 406, sind Libellen mit Doppelschliff (oben und unten), welche durch Umdrehung auf beiden Seiten benützt werden können, auch in neuerer Zeit in Anwendung gebracht worden. Z. B. unser Instrument § 112 Fig. 6 S. 486 hat eine solche Doppellibelle.

Fig. 3. Doppellibelle.

LV

nor.

Dre&

—H

Bei einer Doppellibelle ist zuerst zu beachten, daß sie zwei Achsen hat. Die Achse ist nach unserer Erklärung von § 46 S. 178 die im Normalpunkte der Teilung

nach der Längsrichtung gezogene Tangente. Hat nun eine Libelle oben und unten eine Teilung mit je einem Normalpunkt A oder B (Fig. 3), so hat sie auch zwei Achsen AL und BL, und man kann von vornherein nicht wissen, ob diese beiden Achsen parallel sind.

In Fig. 3 ist angenommen, daß die beiden Libellenachsen den Winkel Ä unter sich bilden, und daß die Libelle mit ihren beiden Achsen um eine Drehachse I) C gedreht werde. Zu Anfang sei die erste Libellenachse A horizontal, die Blase spielt in A ein. Nach der Umdrehung kommt die zweite Achse B in der Lage B' zur Anwen

dung, und es fragt sich, welche Neigung die Achse L' T> hat, oder welcher Ausschlag hei B’ beobachtet wird ? Fig. 3 gibt folgendes zu erkennen:

LBE hat die Neigung. — À,

LAC hat die Neigung = 0 I) C hat die Neigung Ö und 77 E hat die Neigung ö -f- (Ö À) = 2 Ö •+- Z. Wenn man nun nach der Drehung die gewöhnliche Libellenberichtigung macht, d. h. die Hälfte des Ausschlages an den Fußstellschrauben und die andere Hälfte an

d. h. die

der Libellenrichteschraube wegschafft, so wird 2Ó' + Z = 0 , Ö =

Drehachse D C wird dann parallel der Halbierungslinie L F des Winkels À in der ersten Lage. Dieses ist in der nachfolgenden Fig. 4 veranschaulicht; die Drehachse

L) C macht hier eine Neigung gegen den Horizont, und bei der Umdrehung spielt

die Libelle oben in A und unten in B' ein.

Man sieht also, daß das zweifache Einspielen der Doppellibelle beim Umdrehen weder die Horizontalität der Drehachse, noch die Symmetrie der Libelle verbürgt.

Fig. 4. Doppellibelle, zweimal einspielend (A lind B').

Hör.

Bl

—=D:

3j

Ar

--------oE'

D*

Man erreicht aber die vollständige Prüfung, wenn man die Libelle selbst auch noch uinsetzt, d. h. wenn man die Libelle abschraubt und mit verkehrten Enden wieder anschraubt. Dieses Mittel wurde schon von Amsler angegeben und mit nachstehender Fig. 5 auch von Fennel behandelt („Zeitschr. f. Venu. 1892“ S. 528).

Fig. 5.

/?

(rntri i

»im

Zu diesem Zwecke ist die eigentliche Libellenfassung L in einem Lahmen B durch zwei Schrauben S S befestigt und die Richtevorrichtungen J für die Kreuzung wirken nur auf diesen Rahmen. Um die Libcllenfassung umzuwenden, hat man nur nötig, die Schrauben S S zu lösen, dann ist die Libellenfassung frei, kann umgewendet und durch Anziehen der Schrauben wieder befestigt werden.

Die Prüfung der Libelle wird nun wie folgt vorgenommen: Man stellt in etwa 50 m Entfernung die Nivellierlatte fest auf, und setzt das Instrument so auf das Stativ, daß eine der Dreifußstellschrauben in der Richtung der Ziellinie steht. Alsdann liest man bei unterhalb einspielender Libelle mit dem Fernrohr an der Latte ab, z. B. 0,243, und entsprechend mit oberhalb einspielender Libelle 0,248, und nimmt das Mittel = 0,2455 tu.

Nun löst man die beiden Schrauben S S (Fig. 5) und setzt die Libelle um, mit Yertauschung der beiden S, und damit wiederholt man den vorigen Versuch, etwa mit den Ablesungen 0,245 und 0,250, also Mittel II = 0,2475 m. Das Mittel aus I und II ist 0,2465 und die halbe Differenz ist 0,0010. Das ist nach Fig. 4 S. 500 so zu deuten, daß I um 1 mm abwärts und II um 1 mm aufwärts geneigt ist, und es ist l/₂A = 1 mm auf 50 m Zielweite, d. h. =4,0'', oder A = 8" in dem Sinne von Fig. 3 S. 499 für Libellenlage I.

Wenn bei einer solchen Untersuchung sich A = 0 oder hinreichend klein ergibt, so ist die Libelle ein für allemal richtig, d. h. die obere und die untere Libellenachse sind parallel, und wenn dann die Libelle beim Umdrehen oben und unten gleich zeigt, oder wenn man aus oben und unten das Mittel nimmt, so beweist das die Horizontalität der Drehachse.

Bei einer Prüfung dreier Wendelibellen von 20" , 20" und 5" Angabe findet Dorn in „Zeitschr, f. Verm. 1907“ S. 359—362 Konvergenzwinkel von 0,3" , 21" und 5,8".

IV. Gang der Okularröhre.

Ein großer Teil unserer bisherigen Betrachtungen über die Fehler von Nivellierinstrumenten ist nur dann gültig, wenn entweder von der Beweglichkeit der Okularröhre abgesehen wird (bei lauter gleichen Zielweiten), oder angenommen werden darf, daß bei dem Auszug der Okularröhre sich die Zielachse nicht ändert.

Diese Annahme ist ohne weiteres nicht zulässig, und wir haben daher in dem störenden Gang der Okularröhre einen Grund mehr, nur mit gleichen Zielweiten rückwärts und vorwärts zu nivellieren. Dann ist aber auch die schöne Nivellierprobe, mit gleichen und ungleichen Zielweiten, nach § 114 Fig. 2 S. 492 nicht mehr streng richtig.

mer

Um den fraglichen Fehler bei einem Nivellierinstrumente zu bestimmen, haben wir eine Gerade von 165 m in elf gleiche Teile von je 15 m geteilt, und die zwölf Teilpunkte fest versichert. Das Nivellierinstrument wurde der Reihe nach auf die elf Mittelstellungen zwischen je zwei Festpunkte gebracht, und dabei jedesmal alle zwölf Lattenstellungen auf den Festpunkten abgelesen. Die Vergleichung der verschiedenen Ablesungen führte zu einem Schlüsse über den Gang der Okularröhre. (Näheres s. „Zeitschr. f. Verm. 1878“ S. 305.) Ähnliche Untersuchungen geben Kum-in „Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 272—274 mit Kurvendarstellung Fig. 14 S. 274 und Bompf (für fünfzehn Instrumente) in „Zeitschr. f. 1 erm. 1905“ S. 673—682.

Um sich ohne besondere Vorrichtungen von hinreichend sicherem Gang des Okularauszugs zu überzeugen, stelle man, nachdem nach Fig. 2 S. 492 die Berichtigung

in "den Instrumentständen J₁ und Jo ausgeführt ist, das Instrument noch in mehrere Stellungen mit anderen Zielweiten nach A, und B und sehe zu, oh man den richtigen aus J₁ bestimmten Höhenunterschied erhält.

§ 116. Die Niyellierlatten.

Eine Nivellierlatte ist ein etwa 2—4m langer, geteilter Maßstab, gewöhnlich von Tannenholz.

Man kann mit einer Latte nivellieren; da man aber dabei jedesmal warten muß, bis die Latte vom rückwärtigen Punkt zum nächsten vorwärts zu nehmenden Punkte gebracht ist, so benützt man besser zwei Latten zusammen.

Querschnitte von Nivellierlatten (Maß stab 1:5).

Fig. 2.

Fig. 1.

Fig. 3.

Fig. 4.

fl»

Der Querschnitt einer Nivellierlatte kann einfach rechteckig sein (etwa 10 X 3 cm) (Fig. 1). Zur Verhinderung des Werfens macht man den Querschnitt zuweilen T-förmig (Fig. 2) oder doppel-T-förmig (Fig. 3). Die beste Form dürfte jedoch die Kastenform sein (Fig. 4).

An den Endflächen werden die Latten mit kräftigen Metallbeschlägen bedeckt.

Zum Schutz gegen Feuchtigkeit wird die Latte, nachdem sie gut getrocknet ist, mehrfach mit Ölfarbe angestrichen.

Die Teilungseinheit ist in der Regel 1cm, da sich Millimeter und deren Teile besser schätzen als unmittelbar ablesen lassen. Jedenfalls wird man für gewöhnliche Zwecke (Längen- und Querprofile) von der Zentimeterteilung nicht abgehen; dagegen . werden für Feinnivellements Einteilungen in halbe Zentimeter, in 4 mm oder auch in 2 mm angewendet. Die Ausführung der Teilung kann für viele Zwecke geradezu mittels angelegten Normalstrichmaßes, mittels Stangenzirkels u. dgl. geschehen. Wenn man aber die Länge auf 1 mm für 1 m sicher haben will, so ist eine Teilmaschine mit genauer Maßvergleichung, Berücksichtigung der Temperatur usw. erforderlich. (Unseren Karlsruher Lattenkomparator mit Teilmaschine, den auch die Hannoversche Sammlung besitzt, haben wir in der „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1881“ S. 41—47 und auch in unserem III. Bande, 5. Aufl. 1907 S. 75 beschrieben.)

Die Anordnung der Felder (rot-weiß, auch schwarz-weiß), Striche usw. wird bei Nivellierlatten je nach Gutdünken sehr verschieden gemacht. In Fig. 5 bis Fig. 9 S. 503 und 504 haben wir von unseren hierüber gemachten Erfahrungen einige Muster von Nivellierlattenteilungen zusammengestellt.

Der Nullpunkt der Teilung wird in der Regel nahezu mit dem unteren Ende der Latte zusammenfallen, wenngleich dies durchaus nicht erforderlich ist (vgl. „Zeitschr. f. Venu. 1890“ S. 49). Werden zwei Latten zusammen benutzt, so ist es gut, den Höhenunterschied der Nullpunktslagen zu keimen, wozu einfache Messungen mit dem Nivellierinstrument erforderlich sind.

Fig. 5. Einfache Felderteilung. Dieses ist eine Teilung, welche Avir seit vielen Jahren amvendeten. Die durchgehenden Striche hei den ganzen Dezimetern und die Dezimeterfelder sind wichtig zum Schutz gegen Dezimeterahlesefehler.

Verschieden Nivdlierlattenteilungen.

(Maßstab 1 : 5.)

Fig. 5. Einfache Felderteilung.

Fig. 6. Schachbrett-Felderteilung.

Fig. 7:

Fig. 8.

Feiderteilung und Strichteilung (Halbzentimeter).

-B-¹

*46-ąjL-54

00

X45

>5

X44-

5G

12

CSJ

X43

X42rSF58

iO

X40-

CD

Fig. 8 a.

Felderteilung und Strichteilung. (Maßstab ¹/₂ der natürl. Größe.)

CD

OO

■§

Diese Figuren 5—8 sind mit aufrechten Zahlen von unten nach oben beziffert, was der Wirklichkeit nicht entspricht, indem wegen der Umkehrung des Fernrohrbildes, die Zahlen, von unten nach oben wachsend, verkehrt stehen müssen, wie in Fig. 9. S. 504.

Fig. 9. Kastenlatte.

rig. io.

Vergleichmaß.

o?

Trig. Abteilung d. Landesaufnahme. (Maßstab 1 : 5.) Teilung in Halbzentimeter.

69

89 Sfr*

L9£T 8fr*

99 TU fr?rx

05-

---L,y_

A*

Ä

if

3™

k-

99 Sfrx

-11-

<7/72

cm.

3,5

90    96*

-f/0    96*

SO £"16*

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L = im+i,_

(,m) = Im^ü

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10

OTL

10 fC 66*

.4...

Bl }

D«

MMMA

Nimttier-Latte

Fig. 6. Schachbrett-Felderteilung. Diese Teilung ist im wesentlichen ebenso eingerichtet wie Fig. 5, nur sind zum Schutz gegen Irradiationsfehler zwei Zentimeterteilungen. schachbrettartig verschoben, nebeneinander gestellt. Die Irradiation äußert sich darin, daß z. B. bei heller Beleuchtung die weißen Felder größer erscheinen als die schwarzen oder roten (obgleich in Wirklichkeit die Felder gleich sind). Daraus entstehen Schätzungsfehler, welchen durch die schachbrettartige Zusammenstellung zweier Teilungen entgegengewirkt werden soll. Über die Bedeutung der Schachbrettteilung vgl. die in § 124 zu (1) zitierte Abhandlung.

Fig. 7. Strichteilung. Die Teilstriche sind dabei l/₂ oder l/₃ Millimeter dick, und erscheinen in einem mäßigen Fernrohr bei einer Zielweite von 50 m als deutliche schwarze Linien, von etwa gleicher Dicke wie der Horizontalfaden des Fadenkreuzes. Eine solche Teilung behält immer den theoretischen Nachteil, daß die Dicke der Teilstriche bei den Schätzungen einen gewissen Einfluß hat, allein dem steht der praktische Vorteil des sehr ruhigen Lattenbildes, mit dem Fortfall der Irradiation, entgegen. Vgl. auch die in § 124 zu (1) zitierte Abhandlung.

Fig. 11.

Fig. 12. Neue Strichlatte d. trig. Abteilung d. Landesaufnahme.

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Mafsstab 1 :Z.

Fig. 8. Felderteilung und Strichteilung. Diese Verbindung ist in unserem Falle dadurch entstanden, daß wir eine Felderteilungslatte (Fig. 9 S. 504) der Landesaufnahme nachher noch mit Strichen versahen, wegen der Schwierigkeit, zwischen die in hellem Sonnenschein ganz ungleich aussehenden Felderbreiten hinein zu schätzen. Diese Verbindung von Feldern und Strichen, welche wir inzwischen noch genauer ausführen ließen, hat viele Vorteile. Zur größeren Deutlichkeit und zur Vergleichung haben wir in Fig. 8 a S. 503 nochmals reine Felderteilung und Felderstrichteilung in größerem Maßstab nebeneinandergestellt.

Fig. 9 und 11. Latte mit Halbzentimeterteilung der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme. Es ist links eine Bezifferung von unten nach oben, und rechts mit Kreuzen X eine entsprechende Bezifferung in dekadischen Ergänzungen von oben nach unten. Je zwei zusammengehörige Zahlen haben die Summe 100, z. B. :

60 + x 40 = 100 , 59 -+- x 41 = 100 usw.

Die Anwendung dieser Bezifferung werden wir in § 119 kennen lernen. (Vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1882“ S. 288.)

Fig. 12 zeigt nach „Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 116 eine neue Strichlatte der Landesaufnahme, von der in § 121 die Rede sein wird.

Fig. 13.

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Fig. 13. Dreifache Strichteilung des französischen Landesnivellements : Zentimeterteilung für Zielweiten bis 170 m, Halbzentimeterteilung für Zielweiten unter 85 m und Doppelmillimeterteilung für Zielweiten unter 35 m. Bemerkenswert sind die liegend angeordneten Ziffern, die zur Vermeidung der Ablesefehler beitragen sollen. Die Dicke der Striche ist in den drei Teilungen derartig verschieden, daß sie überall gleich einem Sechstel des Teilungsintervalls ist.

Wenclelatte. Man wendet auch zwei Teilungen mit Bezifferungen auf beiden Seiten einer Latte (Wendelatte) an, wobei dann die beiden Bezifferungen irgendwelche konstante Summe oder konstante Differenz haben.

Besonders zu erwähnen ist die von Vogler eingeführte Wendelatte, deren beide Teilungen um l/₂ Teilungsinterväll (0,5cm) gegeneinander verschoben sind, um die einseitigen Schätzungsfehler zu eliminieren (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 257 u. 258 und unseren nachfolgenden § 124), und so beziffert sind, daß die Zahlenreihe der zweiten Seite die Fortsetzung derjenigen der ersten Seite bildet, z. B. Vorderseite 0 m bis 3 m, Rückseite 3 m bis 6 m.

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NiveUierlatten für bergmännische Arbeiten.

Wir führen in Fig. 14 noch eine Latte zum Nivellieren in Stollen (und Tunneln) vor, nach der Beschreibung und Zeichnung, welche Schmidt in der „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 475—477 gegeben hat. Nivellieren in Tunneln kommt dem Ingenieur nicht selten vor, und man kann hier in der Regel auch mit gewöhnlichen Latten (von 1,5 oder 2 m Länge), mit Lampen- und sogar mit Fackelbeleuchtung, durchkommen (wie wir z. B. von einer Nivellierung des 1,74m langen Sommerautunnels im Schwarzwald berichten können). Die neuerdings zur Anwendung kommenden Azetylenlampen geben eine sehr gute Beleuchtung; Fadenkreuzbeleuchtung im Fernrohr ist dabei nicht nötig.

Die Sehmidtsche Latte (Fig. 14 S. 507) hat nun zuerst eine Verlängerungs-

Verschiebung mit der Preßschraube p und dem Einrichtestift f, was in dem beengten bergmännischen Raum nötiger ist als im freien Pelde. Die Latte kann damit auf eine Länge zwischen 1,5 m und 2,7 m gestellt werden, was an dem Zeiger Z angegeben wird. Bei d ist eine gewöhnliche Dosenlibelle angebracht. Zur Beleuchtung dient die Reflektorlampe L, welche in jede Gebrauchshöhe an der Latte geschoben werden kann, während die Lichtflamme selbst dem Beobachter am Instrument verdeckt ist.

Fig. 14. Bergmännische Nivellierlatte. (Maßstab etwa = 1 : 12,2.) Vorderansicht.

Seitenansicht.

Bei Grubennivellierungen werden auch transparente, von hinten beleuchtete Latten verwendet, sowie auch kurze, an der Grubenzimmerung aufzuhängende Latten.

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Einige weitere Besonderheiten. Für den bequemen Transport auf Reisen werden auch zusammenschiebbare und zusammensetzbare, oder mit einem Gelenk in der Mitte gebrochene

Eine zusammenschiebbare Latte, welche von 1,80 m in drei Zügen auf 4,50 m ausgezogen werden kann, werden wir später bei der Tachymetrie Kap. XIY beschreiben. Hierzu gehört auch „Nivellierlatte für die Reise, von Gerhardt, Zentralblatt der Bauverwaltung 1888“ S. 412.    (4 Teile von je 1 m,

in Verpackung 1,25 m lang.) Auch sind hier zu erwähnen die als „Nivellierbänder“ käuflichen, auf Papier oder Leinen aufgedruckten Teilungen, welche im Felde mit Stiften auf gewöhnlichen Latten befestigt werden. Endlich bleibt noch zu bemerken, daß ebenso wie diese Hilfsmittel für untergeordnete Nivellierungen — flüchtige Nivellierungen mit großen Zielweiten — auch nur in ganze Dezimeter (mit Halbdezimetermarke) geteilte Latten gelegentlich Verwendung finden (vgl. auch die Dezimeterfelder Fig. 5 S. 508). Für Nivellierungen bei Bauarbeiten in tiefen Einschnitten, Kanalsohlen usw. werden zur Verlängerung einfache, meterweise mit treppenförmigen Absätzen versehene Lattenuntersätze (Nivellierstelze, -treppe) gebraucht.

Über die in neuerer Zeit konstruierten metallenen Nivellierlatten werden S. 511 einige Bemerkungen gebracht.

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und zusammenklappbare Nivellierlatten verwendet.

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Die Aufstellung der Nivellierlatten.

Zur festen Aufstellung der Latten und scharfen Erfassung des Wechselpunktes sind hei der Zugnivellierung, wenn nicht die Wechselpunkte durch besondere Nägel oder Pflöcke fest bezeichnet sind (vgl. § 109 S. 472), Lattenuntersätze (Wendeplatten) erforderlich. Das Gewicht derselben sollte mindestens 2,5fiq sein; die bei der Landesaufnahme verwendeten Untersätze, vgl. Fig. 9 S. 504, wiegen rund 5 fup. Die Untersätze haben (vgl. auch Fig. 11 S. 505 und Fig. 14 S. 507) einen Dorn (oder gewölbte Oberfläche), auf welchen der metallene Lattenschuh mit seiner glatten Unterfläche, oder besser noch mit einer darin angebrachten kugelförmigen Aushöhlung gesetzt wird. (Es werden auch Latten mit Dorn und Untersätze mit Aushöhlung gebraucht.) Die Lattenuntersätze müssen am Wechselpunkt sorgfältig auf den Boden gelegt und festgetreten oder eingeschlagen werden ; die genaue Beachtung dieser Eegel und Überwachung des Lattenträgers ist von großer Wichtigkeit.

Zur Lotrechtstellung der Latte dient eine an der Latte (z. B. bei Fig. 9 S. 504 auf der Rückseite, hei Fig. 14 S. 507 an der Seite bei d) angebrachte grobe Dosenlibelle. Ein Senkel ist für den Feldgebrauch weniger bequem. — (Wird eine Dosenlibelle oder auch ein Senkel verwendet, so kommt der Lattenneigungsfehler nicht in Betracht.)

Die Latte wird mit zwei seitwärts angebrachten Handgriffen gehalten. Zur Unterstützung der sicheren Haltung, besonders bei Wind, dienen zwei seitwärts auf den Boden gestützte Stäbe, welche der Lattenhalter in der Hand gleichzeitig mit den Griffen faßt (Fig. 11 S. 505 nach „Zeitschr. f. Venu. 1897“ S. 637).

Maßvergleichung der Nivellierlatten.

Für Kleinnivellierungen genügt es festzustellen, daß die Lattenlänge innerhalb einer gewissen Grenze, etwa l/₃ (bis l/₂) mm auf 1 m richtig ist. Bei der Feinnivellierung ist dagegen fortlaufende Lattenprüfung und Reduktion der gemessenen Höhenunterschiede erforderlich.

Die Ausdehnung hölzerner Latten durch die Wärme ist abhängig von der Feuchtigkeit; für Tannenholz liegt sie etwa zwischen den Grenzen 0,000004 und 0,000011 der-Länge für 1° Celsius, was bei einer 3w langen Latte und einer Temperaturverände-rung von 10° Celsius bis 0,3 mm ausmachen kann (vgl. den Schluß dieses Paragraphen S. 511 und § 20 S. 67).

Bedeutender als die Temperaturausdehnung hölzerner Latten ist deren Längenänderung durch Einwirkung von Feuchtigkeit, und überhaupt Änderungen, welche in der organischen Natur des Materials ihren Grund haben. Diese Änderungen betragen infolge der Witterungsschwankungen in einem Sommer wohl 0,3 mm auf 1 m. Hat man also große Höhenunterschiede nivelliert, ohne genügende Lattenuntersuchungen, so geht neben den Lattenfehlern die Nivelliergenauigkeit verloren.

Eine erste Untersuchung der Latten wird sich darauf erstrecken, die innere Teilungsgenauigkeit zu ermitteln, wozu geeignete Normalmeter und Komparatoren wie der S. 502 erwähnte erforderlich sind. Diese unregelmäßigen Teilungsfehler werden bei sorgfältiger Teilung innerhalb der Grenzen +0,1 mm bleiben. Mitunter, wie z. B. für die Strichteilungen der S. 506 abgebildeten französischen Nivellierlatte, werden die Teilungsfehler für jeden Strich ermittelt und bei den Ablesungen berücksichtigt.

Eine einfache Vorrichtung zur Untersuchung der Teilungsfehler von Kivellierlatten nebst

Mitteilung von Untersuchungsresultaten gibt Fenner in „Zeitschr. f. Verm. 1886“ S. 321—332 mit Zeichnungen, Untersuchungstabellen und Fehlerkurven.

Demnächst ist die absolute Länge des Lattenmeters festzustellen, deren Veränderlichkeit fortlaufende Prüfung heim Nivellieren selbst erforderlich macht.

Die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme hat bei den Nivellierungen I. Ordnung tägliche Lattenvergleichung eingeführt, welche wir früher ausführlich beschrieben haben in der .,Zeitsehr. f. Verm. 1882“ S. 288—294. Ähnlich ist auch die Einrichtung unseres hannoverschen Lattenvergleichapparates der technischen Hochschule (Fig. 10 S. 504). Wir haben einen Stahlstab von trapezförmigem Querschnitt, dessen Teilfläche schief gegen die Lattenebene steht (wie hei den gewöhnlichen hölzernen, auf dem Keißbrett zu benützenden Maßstäben). Dieser von Mechaniker Bamberg konstruierte, mit Teilungen von 0,1 mm auf Platin-Iridiumplättehen versehene Stab wurde auf der Königl. Normaleichungskommission verglichen, und hat, nach dem Beglaubigungsschein vom 18. September 1883, folgende Gleichung:

Nr. 1930 = 1 m -+ 0,04 mm +-0,011 mm (t— 18) oder — 1 m — 0,158mm-+ 0,0111, wo t die an einem eingelegten Thermometer abzulesende Temperatur in C⁰ ist. Wir bezeichnen mit (1 m) den Wert von 1 nominellem Stahlmeter, und mit u dessen Überschuß über ein wirkliches Meter; es ist also nach vorstehender Vergleichung:

u = — 0,158 mm 4- 0,0111.

(1 m) = 1 m +- u

Hiernach ist folgende Tabelle für unser hannoversches,Stahlmeter berechnet:

—    0,158 mm

—    0,147 -0,136

CO CO Ci Ol

10

—    0,103 mm -0,092

Oi—l CI CO 4 lO T—I t—I ł-H r-t i—I rH

—    0,048    15° +0,007 mm 20°

-0,037    16    +0,018

—    0,026    i+7    +0,029    22

-0,015    ! 18 '+0,040

—    0,004 j 19 j+0,051

+ 0,007    20    +0,062

21

23

24

25

+ 0,062 mm + 0,073 + 0,084 + 0,095 + 0,106 + 0,117

25° +0,117 mm

26    !+0,12S

27    ' +0,139

28    ¹ +0,150

29    i +0,161

30    +0,172

Um den Stalilstab mit semer schiefen Fläche so an die Teilstriche der Latte zu bringen, daß man genau ablesen kann, müssen erstens die Lattenstriehe sehr fein sein und zweitens müssen sie an geeigneter Stelle frei von Farbe sein. Wir haben an unseren Latten von Dezimeter zu Dezimeter an ausgesparten Stellen der Felder je ein feines Originalstrichchen der Teilung bewahrt (das man nötigenfalls für gewöhnlich bedeckt halten kann), welches eine Dicke von etwa 0,08 mm hat und unter der Lupe noch Schätzung von 0,01 mm zwischen der 0,1 mm betragenden Platin-Iridiumteilung des Stahlstahes gestattet. Wir pflegen gewöhnlich an fünf verschiedenen Stellen der Latte den Stab aufzulegen und dabei je zweimal abzulesen, nachdem der Stab ein wenig gerückt ist, so daß zehn Angaben entstehen, aus denen das Mittel genommen wird. Man muß sich hierbei eines vorgedruckten Schemas bedienen, damit keine Verwechslungen links und rechts oder Zeichenfehler Vorkommen können. Wir legen die Latte so, daß Ocm links und 35 cm rechts ist; wir zählen alles von links nach rechts, und haben dann nach Fig. 10 S. 504:

Lattenmeter L = 1 m + X

Stahlmeter (1 m) = 1 m +- u

Ablesung links = 7, rechts = r,

also 1 m + À = 1 m +- u + r — l und Gehrauchsformel À = r — l -+- u.

Folgendes ist ein vollständiges Beispiel hierfür, wobei u aus der obigen Tabelle S. 509 der Temperatur t entsprechend eingesetzt ist.

Vergleichung Hannover den 15. Juli 1890. Latte Bamherg Nr. 2.

Striche der Latte

Therm

Stahlstat)

1/2 und 21/22

11/12    „    31/32

f 0,50 mm

l 0,16

f 0,64 ' ‘ |l 0,36

22,4°

0,62 mm 0,30

0,70

0,44

21/22    „    41/42

0,24

0,36

0,50

0,60

31/32    „    51/52

j ( 0,40 ‘    ' l 0,64

0,55

0,80

39/40    „    59.60

22,8

0,70

0,90

0,50

0,75

+ 0,12 mm j + 0,09 mm + 0,14 + 0,06 : + 0,08 I + 0,12 I. + 0,10

j +0,15 + 0,16 j + 0,20

j + 0,25

(für 22,6° Tabelle S. 509.)

T- 0.21 mm + 0,23 + 0,15 + 0,17 + 0,21 + 0,19 + 0,24 + 0,25 + 0,29 + 0,34

Summe + 2,28 Mittel )_ = + 0,228 mm

An jenem Tage war also ein Lattenmeter L = 1 m -4- 0,228 mm.

Wenn man in dieser Weise ein gedrucktes Schema und auch sonst alles vorbereitet hat, so ist die Lattenvergleichung eine einfache Sache, während sonst die verschiedenen Nebensachen mehr Mühe machen als die Vergleichung selbst samt der Berechnung. Als Beispiel für die erheblichen Veränderungen, welche Nivellierlatten in einem Sommer erfahren können, wollen wir einen Teil der Lattenvergleichungen unserer Nivellierungen vom Sommer 1881 mitteilen (Zeitsehr. f. Verni. 1882 S. 294).

Latte Nr. 17. mm

9. Juni 1881 A = — 0,02 — 0,11

—    0,04

—    0,07

—    0,06 + 0,02 + 0,01 + 0,10 + 0,13 -|- 0,08 + 0,19 + 0,18 + 0,25 + 0,15

Ort.

Zeit.

Mittel.

Latte Nr. 18. mm

X— — o.oo — 0,06 — 0,01

—    0,05

—    0,05 + 0,04 + 0.05

• +0,10 + 0,15 + 0,08 + 0,19 + 0.19 + 0,23 + 0,12

Größte Änderung 0,32 mm auf 1 m

Die hierzu gehörigen Nivellements sind veröffentlicht in „Nivellements der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme, V. Band, 1883“ S. 102—106 und die „Großh. Badischen Hauptnivellements, Karlsruhe 1885“ S. 28. Die Höhen Straßburg 139 m, Alexanderschanze (Schwarzwald) 968 m, also Höhenunterschied = 829 m. Mit jenen Lattenvergleichungen haben die unabhängig mit verschiedenen Latten gemachten Nivellements der beiden Beobachter Jordan und Mühlhausen auf 57 Im Entfernung und trotz des großen Höhenunterschiedes von 829 m fast so genau gestimmt wie in der Ebene, nämlich mit einem mittleren Fehler von 2,4 mm auf 1 Im.

Graben.....

Germersheim . . Karlsruhe . . .

. 23.

9. Juli „

Appenweier (Straßburg) . 11. Aug. „ Oberkireh .    .

Oppenau .    .    .

. 15.

16.

20.

Griesbach .    . .

Alexanderschanze Karlsruhe .    . .

Heidelsheim.    .

Bretten .    .    .

Karlsruhe. . .

15.

29.

mm

X — — 0,01

—    0,08 Min.

—    0,02 — 0,06 — 0,06 + 0,03 + 0,03 + 0,10 + 0,14 + 0,08 + 0,19 + 0,18

+ 0,24 Mas. + 0,14_

Die Latten der Landesaufnahme haben am Ende des ersten und zweiten Meters je eine Silbermarke mit feinem Strichkreuz (Fig. 12 S. 505). Die tägliche Prüfung des Lattenmeters beschränkt sich auf die Messung des Markenabstandes, während die konstante Differenz zwischen Lattenmeter und Markenabstand nur zweimal im Jahr, nämlich vor und nach der Feldarbeit, bestimmt wird.

Eine andere Methode der Lattenvergleichung wird bei den von Goulier konstruierten Kompensationslatten des französischen Landesnivellements angewendet, deren Teilung wir bereits S. 506 erwähnt haben. Die Holzlatte wird im Innern von zwei nebeneinander liegenden Stäben aus Stahl und Messing durchzogen, die unten mit dem Endbeschlag der Latte verbunden sind und sich nach obenhin frei ausdehnen können. Am oberen Ende der Latte sind die Stäbe, die hier eine Skala bzw. einen Zeiger tragen, durch ein Fenster sichtbar, so daß ihre gegenseitige Verschiebung infolge von Temperaturänderungen gemessen werden kann. Eine weitere Skala ist an ■der Holzlatte befestigt , der ein Zeigerstrich an dem Stahlstabe gegenübersteht. Die letztere Ablesung gibt die Differenz zwischen der Holzlatte und dem Stahlstabe, während ■die erstere Ablesung die Temperatur und damit auch die Länge des Stahlstabes be-.stimmt. Hierzu erwähnen wir:

„Lever des plans et nivellement par Pelletan et Lallemand, Paris 1889“ S. 454—471 mire à

compensation.

Weiteres zu den Latten Vergleichungen finden wir in Hammer, Neues über Holz- und Metalllatten für Feinnivellements, „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 239—243. Kompensationsholzlatten nach -dem Modell von Goulier. Aluminiumstäbe. Holzlatten bis auf weiteres noch beizubehalten. — -Stadthagen, Geodät. Institut „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 578. — Ferner über Gouliers Untersuchungen .„Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 192—201.

Hierzu ist noch zu zitieren:

Über die Veränderungen der bei den Präzisionsnivellements in Europa verwendeten Nivellierlatten von v. Kalmar, Sep.-Abdr. aus den Mitteilungen des K. und K. Militär-geographischen Instituts, XI. Band 1892, und Brief des Professors Vogler an den Direktor des Zentralbureaus, betreffend Nivellierlatten, Berlin 6. Februar 1894, sowie Verhandl. der 11. allgem. Konferenz der internationalen Erdmessung in Berlin 1895, Bd. II, S. 311—312. Beil. C III.

jungen.

wurden nach Angaben von Vogler zwei Metalllatten konstruiert, über die in „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 5—13 berichtet wird. Jede Latte besteht aus zwei mit Dezimeter

Holzlatten behalten auch bei täglicher Prüfung den Übelstand ungleichförmiger Längenänderung, der für Feinnivellements namentlich bei großen Höhenunterschieden nicht ganz ohne Einfluß ist. Die Versuche, Metalllatten einzuführen, scheiterten zunächst an der Umständlichkeit und Schwierigkeit der fortlaufenden Temperatunnes-Für die Feinnivellements der Landwirtschaftlichen Hochschule in Berlin

marken versehenen Stahllamellen und einer zwischen ihnen liegenden Zinklamelle, die am oberen Ende mit einander verbunden sind. Die Ablesung dieses Metallthermometers erfolgt mit Hilfe eines Meßkeils am unteren Lattenende; die Keilablesungen werden möglichst bei jeder Lattenablesung, bei bewölktem Himmel seltener, ausgeführt. Das Ganze ist in einem Aluminiummantel untergebracht, der nur an den Dezimetermarken Ableseöffnungen hat.

Eine weitere von Schell angegebene Konstruktion wird in „Zeitschr. f. Verm. 1905“ S. 507—509 beschrieben. Diese Latte besteht aus einem Nickelstahlstabe, der ebenfalls mit Dezimetermerken versehen ist und von einem Holzmantel umgeben wird. Wegen der geringen Ausdehnung des Nickelstahls wird die Temperatur lediglich durch zwei an dem Metallstabe befestigte Quecksilberthermometer abgelesen.

§ 117. Freihandniyellierinstrumente.

Zu flüchtigen Messungen, genäherten Querprofilaufnahmen, zum Einwägen von Straßenhöhen gegen benachbarte Höhenpunkte usw. können kleine Freihandinstru-mentchen, die ohne Stativ gebraucht und in der Tasche mitgetragen werden, manchmal von Nutzen sein.

Fig. X. Geschlossene Kanalwage.

Fig. 2.

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CL

Das ei'ste und einfachste solcher Werkzeuge ist die in Fig. 1 und Fig. 2 dargestellte geschlossene Kanalwage von Kahle in Jena, nach „Zeitschr. f. Venn. 1889“ S. 183—188 und 1892 S. 49—53. (Bezugsquelle Haack in Jena und Heinz in Aachen.)

Ein zweites Instrument für Freihandnivellieren ist das in folgender Fig. 3 und Fig. 3 a dargestellte von Wagner (von Mechaniker Tesdorpf in Stuttgart).

Das Fernrohr besteht zunächst aus einem Objektiv und Huyghensscliem Okular.

Seitwärts in die Wandung des Fernrohrs ist eine Libelle L (Fig. 3 a) parallel zur Absehlinie befestigt, und ihr gegenüber ist ein Planspiegel S angebracht. Unmittelbar neben der eigentlichen Okularlinse befindet sich eine zweite plankonvexe Glaslinse l (Fig. 3 a), durch welche man die Libellenblase sieht.

Fig. 3. Anblick im Fernrohr.

Fig. 3 a. Horizontalschuitt.

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Bajgli

Bringt man das Auge an die Stelle von G (Kg. 3 a), so sieht man einesteils wie gewöhnlich das Femrohrgesichtsfeld mit dem Fadenkreuz, der Nivellierlatte usw., und andernteils gleichzeitig links daneben die Libelle, wie in Fig. 3 dargestellt ist. Man ist somit in der Lage, die Ablesung im Momente der Libelleneinspielung zu be-wirken. Weiteres hierüber, und über Bolmes Tascheninstrumente, haben wir in der „Zeitschr. f. Vérin. 1887“ S. 2—6 mitgeteilt.

In Fig. 4 und Fig. 4 a haben wir ein Taschennivellier-Instrument von Butenschön nach „Zeitschr. f. Yerm. 1887“ S. 335—336. Das 5faeh vergrößernde Fernröhrchen hat ein achromatisches Objektiv a und als Okular eine Konvexlinse h. Der

Fig. 4 a.

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Fig. 4. Instrument Butenschön.

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A,

Jä ;

Anblick im Fernrohr.

Okularauszug des Fernrohrs hat bei /’ eine Öffnung, unterhalb welcher eine Libelle ô befestigt ist, deren Blase d von unten bei fj beleuchtet wird. Im Fernrohr, der Durchbrechung gegenüber, befindet sich (zwischen Okularlinse und Fadenkreuz) ein Planspiegel cd, unter 45° geneigt, welcher in der Mitte eine kleine Öffnung rn hat. Das durch den Spiegel reflektierte Bild der Libelle erscheint in der Mitte des Gesichtsfeldes des Fernrohrs und zwar bei horizontaler Stellung des Instrumentes in der Weise, wie Fig. 4 a angibt, in welcher das Fadenkreuz und das Spiegelbild der Libellenblase zu sehen sind, und die Blasenenden gleichweit von den Rändern des Gesichtsfeldes abstehen müssen. Das Instrument ist sowohl in freier Hand als auch auf ein festes Stativ aufgeschraubt zu verwenden.

Wir geben noch mit Fig. 5 ein amerikanisches hand-level, nach Buff & Berger, „Handbook and illustrated Catalogue of the Engineers and Surveyors instruments, Boston, Mass. 1891⁴⁴ S. 99.

Fig. 5. Amerikanisches hand-level (15 cm lang).

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Dasselbe besteht aus einer Messingröhre mit einer kleinen Libelle links oben an dem Objektivende, einem horizontalen Faden darunter. Unterhalb der Libelle und des Fadens befindet sich ein Prisma, das wie ein Spiegel unter 45° gegen die Sichtlinie, die Libellenblase und den Faden nach dem Auge reflektiert. Die linke Hälfte des Gesichtsfeldes zeigt die Blase und den Faden, während die rechte Hälfte für natürliche Zielpunkte übrig bleibt. Man hat dabei, wie Fig. 5 zeigt, die Röhre so zu halten, daß die Blase von dem Faden gerade halbiert wird, dann ist (das Ganze als gestimmt vorausgesetzt) die Sicht rechts am Faden vorbei horizontal.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Das Anwendungsfeld aller dieser Freihand-Instrumentchen ist nach unserer Ansicht ein ziemlich beschränktes. (Näheres hierzu haben wir in der „Zeitschr. f. Verni. 1887“ S. 2—6 gegeben.) Wichtiger sind die Freihandinstrumentchen für Höhenwinkelmessung, wozu z. B. auch die kreisförmige geschlossene Kanalwage von Kahle (s. Fig. 2 S. 512) eingerichtet werden kann. Auch sonst sind die Handnivellierinstrumente oft mit Prozentteilungen u. dgl. versehen, welche sie den Neigungsmessern nahe bringen, die wir schon in § 19 S. 58—68 beschrieben haben und später bei der Tachymetrie, Kap. XIV, noch weiter zu betrachten haben werden.

Die Prüfung und Berichtigung dieser Instrumentchen erfolgt nach § 114 S. 494.

Die Schlauchkanalwage.

Ein Nivellierverfahren von einfachstem Grundgedanken, nämlich die Wasserfüllung eines langen Schlauches zu benützen, um an beiden Enden gleich hohe Punkte zu bekommen, ist schon in früherer Zeit seit 1840 versucht und in neuerer Zeit verfeinert worden.

Im Jahre 1879 wurden Versuche von Bouquet de la Grye angestellt. Die Schlauehrölire war 800 m lang und 3 cm weit, der Apparat war sehr empfindlich, aber auch erheblich abhängig von der Temperatur, er zeigte z. B. bereits eine Differenz, wenn auf der einen Seite Sonnenschein und auf der andern Seite Wolkenschatten war.

Später, 1890, stellte Lallemand, Sekretär der Kommission für die neuen französischen Präzisionsnivellements, Versuche an, mit einer biegsamen Kupferröhre von 50m Länge und Glaszylinder von 1,80m Höhe und 2cm Weite, in welchem der Wasserstand wie bei Barometern abgelesen wird. Die Versuche wurden auf 250 4m ausgedehnt und fielen im allgemeinen befriedigend aus, jedoch zeigten sich konstante Fehler infolge von unvermeidlichen Temperaturungleichheiten.

Einiges Weitere hierüber gibt „Zeitschr. f. Venn. 1891“ S. 45—46. In Deutschland wurde ein solcher Apparat patentiert. (D.R.P. 57 718, vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 281—282).

Das Geodätische Institut hat in Potsdam eine 900 m lange Böhrenleitung zur fortgesetzten Vornahme hydrostatischer Nivellements mit gleichzeitigen zur Vergleichung angestellten gewöhnlichen Nivellements.

§ 118. Festlegung und Versicherung der Nivellierungspunkte.

Normalnull.

Um Nivellierungspunkte auf kürzere oder längere Zeit zu bezeichnen und zu versichern, hat man verschiedene Mittel, z. B. Einschlagen von Holzpflöcken in den Boden, von Holzpflöcken mit im Kopf eingelassenen kugelförmigen Nägeln oder Schrauben, oder von Eisenbolzen (Nägel) mit rundem Kopf, Setzen von Steinen, Einhauen von Zeichen oder -+- usw.) in vorhandene Steine, Trittstufen, Sockelmauern..

In Fig. 1 ist die Anordnung der Nivellierungsfestpunkte gezeichnet, welche die trigonometrische Abteilung der Landesaufnahme hat. In einen etwa 0,75 m tief versetzten Granitstein von 1 m Länge ist seitlich ein eiserner Bolzen eingegossen, dessen Oberfläche als Nivellierungspunkt gilt, weshalb die Latte auf diesen Bolzen (und nicht etwa auf den Stein) gesetzt wird. („Zeitschr. f. Venu. 1882“ S. 282 und S. 420.)

Fig. 1. Nivellierungsbolzenstein der Landesaufnahme. (Maßstab 1:10).

Latte

(i645)

—-■>A-

'“PS

0,25 m----->

In Fig. 1 ist als Nummer auf dem Eisenbolzen 1645 geschrieben; der Bolzen bei der Tech-nischen Hochschule in Hannover trägt aber in Wirklichkeit die Bezeichnung 615, d. h. 645 mit zwei Punkten darüber, wobei die zwei Punkte bedeuten sollen, daß es sich um 645 im zweiten Tausend handelt. Diese Bezeichnungsart, welche man auf den meisten Bolzen der Landesaufnahme in Norddeutsehland findet, war früher auch in den Druckwerken und in der Schrift üblich, ist aber jetzt amtlich wieder verlassen.

Ähnliche Bolzen, wie die an den Steinen der Landesaufnahme angebrachten, werden auch in bestehende Sockelmauern u. dgl. eingelassen, wie Fig. 2 zeigt. Solche Mauerholzen einfacher Art (5 cm Dicke des Knopfes, 12 cm Länge) sind die besten Punktbezeichnungen, besonders für Stadtnivellierungen ; z. B. für die Stadtnivellements von Hannover und Linden wurden mehrere hundert Mauerbolzen (wie Fig. 2) gesetzt. Die Mauerbolzen (Fig. 2) sind den Bolzensteinen (Fig. 1) vorzuziehen, weil die nur etwa 0,75 m tief gesetzten Steine niemals so dauerhaft in ihrer Höhenlage sind, wie Sockelmauern von soliden Gebäuden, von Brücken usw.

Aus diesem Grunde hat auch die Landesaufnahme außer den Bolzensteinen von Fig. 1 für Hauptpunkte die Mauerbolzen (Fig. 3 S. 516) eingeführt, welche in bestehende Sockelmauern usw. eingegossen werden und auch zum Aufsetzen der Latte dienen.

Fig. 4 S. 516 zeigt eine Haupthöhemnarke der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme, und zwar ist Fig. 4 S,

Normalnull derjenige

Fig. 2. Mauerbolzen.

Lcitte

IO £

mit der Zahl 56,297 m über I

Marke entsprechend, welche sich

an der Technischen Hochschule in Hannover befindet. Als Nivellierungspunkt zum Aufsetzen der Latte gilt der höchste Punkt 0.

Fig. 3. (Maßstab 1:2).

Mauerbolzen der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme.

---------->

■3

k- 'S

NivP

ÉtÉ

Was das Einsetzen der Zahl, z. B. 56,297, betrifft, so muß dieses später, d. h. nach der Befestigung des Bolzens selbst, geschehen. Das innere Plättchen wird durch zwei Schrauben a und b (Fig. 4) gehalten und kann durch ein anderes ersetzt werden. Ehe die einzusetzende Höhenzahl bekannt ist, hat man ein vorläufiges Plättchen ohne Zahl; erst später nach Vollendung des Nivellements und der Berechnung wird das endgültige Plättchen mit der Höhenzahl eingeschraubt.

Wir wollen hier mit Fig. 5 S. 517 auch ältere Höhenmarken erwähnen, welche z. B. in Preußen, Sachsen, Württemberg, Baden etwa 1860—1880 gesetzt wurden; dieselben befinden sich in Manneshöhe, etwa 1,5 uv über dem Bahnsteig, an Bahnhöfen usw. Der Messingbolzen ilf mit gebohrtem Loch, in welchen ein Stift S gesteckt werden kann, ist in die Mauer eingegossen und durch eine Schildplatte E mit der Aufschrift „Höhenmarke“ überdeckt.

tc

Fig. 4. Haupthöhenmarke der Landesaufnahme.

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HT™*

-0,19®

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mim

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II

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0,144®-----Ą

Will man mit einer Nivellierung anschließen, so muß man mit dem Stifte S eine besondere kleine Hängematte anhängen, weshalb diese Anordnung (Fig. 5) nicht zu empfehlen ist. Zum Anschluß kann auch ein an der Nivellierlatte angelegtes Nivellierdiopter zum Anzielen der Marke S und Entnahme der Lattenhöhe verwendet werden.

Fig. 5. Ältere Höhenmarke. (Mafistab 1 : 5.)

Ul

Höhen -Marke

ysv

co

Ul

Hierbei mag auch in Fig. 6 die Zeichnung eines Höhenschildes der preußischen Eisenbahnen eine Stelle finden. Ein solches Schild

befindet sich jeweils etwa in Menschenhöhe über dem Fis‘Ksenbatoe^ (Mal^abTe‘'

Bolzen, und die eingeschriebene Zahl gilt nicht wie

bei den Höhenmarken Fig. 5 für das Schild, sondern JO"

Höhe überN.N. 238,759 m

für den Bolzen.

Welch mancherlei Formen für Höhenmarken gewählt werden können, zeigt z. B. auch noch nachstehende Fig. 7 aus dem „Nivellement général de la France“ (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 351).

Fig. 7. verschiedene französische Höhenmarken.

Höhenmarke des alten Nivellements Bourdalouë.

Nivellementsbolzen auf Mauern.

Höhenmarke des neuen Nivellements.

z¹

127,571

|»v|

fs,

ml

HMENT GFNÊRAL

<r>

rn

«5;

(fgglg]

rjt

Normalhöhenpunkt der preußischen Landesaufnahme.

Im Jahre 1879 wurde an der Sternwarte in Berlin ein Normalhöhenpunkt errichtet als Ausgangspunkt der damals vollzogenen Horizontregulierung.

Früher hatte jedes Land oder jede Provinz, ja fast jede Stadt ihren besonderen Höhenausgangspunkt. Z. B. in Nordwestdeutschland wurde nach Null des Amsterdamer Pegels gerechnet, in Baden und Württemberg nach dem Boden des Straßburger Münsters usw. Alle diese Landes- und Provinzial-„Höhen über dem Meer“ stimmten aber an den Grenzen oft um mehrere Meter nicht überein, und niemand wußte zu sagen, was eigentlich eine „Höhe über dem Meer“ genau genommen sein soll. Nach-dein auch erkannt war, daß die Mittelwasserhöhen verschiedener Meere nicht genau übereinstimmen, entschloß sich das preußische Zentraldirektorium der Vermessungen, eine Höhe ein für allemal als Ausgangshöhe anzunehmen (vgl. auch § 1). Die amtliche Festsetzung geschah am 22. März 1879 an der Berliner Sternwarte durch eine

Fig. 8. Der Normalhöhenpunkt an der Sternwarte zu Berlin. (Maßstab 1 : 4.)

+ 64B-6+

+ 8-1

-8*

+4-

■it

37 METER UBER

+ 9-îBf-9+ łtyt

+£^tE'¹

_₀Ä₀—

-Æ-

-z-

■z-

NOliMAIrNULL.

-CS8-

-sft-

-9

-9-

-Ł-

-i-

-8~ł^r8-

-e£i-

Marke, welcher die Höhe „37 Meter über Normalnull“ zugeteilt wurde. Als Träger des Normalhöhenpunktes dient der Nordpfeiler der Berliner Sternwarte (Fig. 8). In diesen Pfeiler ist ein 1,70m langer Syenitbalken eingemauert, welcher an seiner frei vorstehenden vertikalen Stirnfläche auf einem eingeschobenen Emailleglas eine Millimeterskala von 20cm Länge trägt, deren Mittelstrich den Normalhöhenpunkt bezeichnet. Näheres hierüber gibt „Nivellements der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme, IV. Band, Berlin 1880“ S. 161—170 und „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 1—16.

Bei der internationalen Erdmessung war lange das Bestreben, einen internationalen Nullpunkt aller europäischen Nivellements zu bestimmen; man hat jedoch diesen Gedanken vorläufig fallen lassen. Auf der zehnten allgemeinen Konferenz der internationalen Erdmessung in Brüssel wurde von dem Zentralbureau folgender Vorschlag gemacht: .Von der Wahl eines gemeinsamen Nullpunktes der Höhen in Europa wird abgesehen. Für die wissenschaftlichen Zwecke der Geodäsie werden die Meereshöhen mit Hilfe von Nivellements nach den benachbarten Küsten des Atlantischen Ozeans, des Mittelländischen und Adriatischen Meeres und der Ostsee abgeleitet, wobei solche Stellen auszuwählen sind, an denen das Mittelwasser voraussichtlich aus theoretischen Gründen oder erfahrungsmäßig keine Anomalien darbietet. Es ist aber andrerseits eine fortdauernde Aufgabe des Zentralbureaus, die Ergebnisse der einzelnen Länder zu sammeln, zu vergleichen und zu verknüpfen, sowie insbesondere die gegenseitige Lage der Spezialnullpunkte festzustellen.“ Für Preußen und alle anderen deutschen Staaten bleibt daher Berliner Normalnull maßgebend für alle Nivellierungen.

Eine Übersichtstabelle über die Vergleichung der Mittelwasser an den europäischen Küsten und über die Vergleichung der wichtigsten Höhennullpunkte ist mitgeteilt in der „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 648—650.

Anschluß an den Landeshorizont JST. N.

Durch das in § 128 noch weiter zu behandelnde Präzisionsnivellement der preußischen Landesaufnahme ist über das ganze Staatsgebiet durch Nivellierzüge, welche hauptsächlich den Landstraßen folgen, ein Netz von Festpunkten geschaffen worden. In den nivellierten Strecken stehen rund alle 24m Bolzensteine nach Fig. 1 (Zeichen N. B.), etwa alle 54m Mauerbolzen nach Fig. 3 (Zeichen M. B.), etwa alle 10 4m (in Ortschaften an festen Gebäuden, namentlich Kirchen) Höhenmarken nach Fig. 4 (Zeichen H. M.). Die Höhenmarken und Mauerbolzen gelten als Festpunkte I. Klasse, die Bolzensteine als solche II. Klasse; außerdem kommen noch gelegentlich untergeordnete Marken vor, z. B. Festlegungsknöpfe (kleine Messingbolzen, Zeichen F. K.).

Das Landesnivellement hat 1500 Höhenmarken, 3000 Mauerbolzen, 8300 Nummerbolzen, zusammen also 12 800 Festpunkte, so daß im Durchschnitt acht solcher Festpunkte auf 10 4m der Nivellementslinien kommen, und für das ganze bearbeitete Gebiet von 430 000 cp4m (Deutsches Leich ohne Bayern, Sachsen, Württemberg) auf je 34 cp hm. ein Festpunkt entfällt. Dazu kommen noch an das Nivellementsnetz angeschlossene Dreieckspunkte und Festpunkte anderer Nivellierungen. '

Das Zentraldirektorium der Vermessungen im preußischen Staate hat (12. Januar 1895) .Bestimmungen über den Anschluß von Nivellements an den preußischen Landeshorizont¹⁴ erlassen, deren wesentlichste hier interessierende Paragraphen auszugsweise angeführt werden sollen:

§ 1. Bei jedem im. Aufträge oder unter Leitung einer Staatsbehörde neu auszuführenden Nivellement, welches eine zusammenhängende Länge von 10 oder mehr Kilometern umfaßt, sind die Höhen auf N. N. zu beziehen.

§ 2. Zu diesem Behuf sind die in Rede stehenden Nivellements an einen oder mehrere der Festpunkte des Präzisionsnivellements, oder an solche Festpunkte, deren Höhenlage gegen N. N. bereits anderweitig mit Sicherheit festgestellt ist, anzuschließen. Wenn hierzu ein besonderes Anschlußnivellement von mehr als 5 km Länge ausgeführt werden muß, so wird der Anschluß erst bei einer Ausdehnung des Nivellements von 30 km oder mehr erfordert.

Bei wiederholten Annäherungen an sichere Festpunkte ist so oft anzuschließen, wie es mittels einer Mehrarbeit von durchschnittlich 1 km auf 10 km geschehen kann.

§ i. Durch die Bestimmungen im § 1 wird nicht ausgeschlossen, daß auch Nivellements von geringerer Längenausdehnung als 10 km bzw. 30 km auf N. N. bezogen werden; es hat dies vielmehr überall da zu geschehen, wo sich der Anschluß ohne besonderen Kostenaufwand erreichen läßt.

§ 5. Wo der Anschluß an N. N. fehlt oder nicht erforderlich wird, müssen die Höhenangaben der Nivellements zu möglichst unveränderlichen und leicht auffindbaren Punkten in Beziehung gebracht werden, wobei die Ausgangshöhen derart festzustellen sind, daß die Höhenangaben nur in positiven Zahlen erscheinen.

§ 6. Jedes Nivellement, welchem ein dauernder Wert beigemessen werden soll, ist mit zuverlässigen Festpunkten zu versehen, deren Abstand in der Regel 2 km nicht überschreiten darf. Als solche können u. a. dienen : die Fundamentvorsprünge fester Gebäude, massive Brückenpfeiler, Marken an natürlichen Felsen und ähnliche gegen Verrückung gesicherte Punkte.

Sofern dergleichen Festpunkte nicht vorgefunden werden, sind dieselben künstlich herzustellen, am besten durch eiserne Bolzen in massiven Gebäuden oder in besonders hierzu gesetzten Pfeilern aus Granit oder anderem festen Gestein, deren Fuß möglichst 1 m tief in den gewachsenen Boden reichen muß. Der höchste Punkt des Bolzenkopfes an dem zutage tretenden Teile des Pfeilers ist der zu bestimmende Höhenpunkt.

§ 7. Die Richtigkeit solcher Nivellements, welche in der im § 6 angegebenen Art festgelegt werden, ist in jedem Falle durch eine zweimalige Ausführung, wobei die zweite Nivellierung in entgegengesetzter Richtung wie die erste bewirkt wird, außerdem aber, sofern die Nivellements nicht in Gestalt einer Schleife oder in der Nähe der beiden Endpunkte Anschlüsse an bekannte zuverlässige Höhenpunkte geben, noch durch ein Kontrollnivellement sicherzustellen.

Ein Nivellement gilt als gut, wenn der mittlere Fehler nicht mehr als 3 mm auf 1 -km Länge und noch als brauchbar, wenn derselbe nicht mehr als 5 mm auf 1 km beträgt.

§ 119. Nivellement mit dekadischen Ergänzungen.

Die Rechnung mit dekadischen Ergänzungen (welche bekanntlich heim Logarithmenrechnen längst im Gebrauch sind) wurde von General Schreiber in die Nivellierungen eingeführt mit dem Zeichen X, wie folgendes Beispiel zeigt:

X 7,210 = 7,210 — 10 = — 2,790 .

Fig. 1.

Xattenablesungen mit dekadischen Ergänzungen.

(1)

Die hierbei gebrauchten Nivellierlatten haben wir schon in § 116 S. 503—506 beschrieben; dieselben sind mit zwei Beziffe

rungen versehen, welche gegenseitig dekadische Ergänzungen bilden.

Die Anwendung zeigt Fig. 1, welche der Lattenteilung von Fig. 9 S. 504 entspricht. Nach der gewöhnlichen Rechnung hat man : 2,790 — 2,358 = 0,432.    (2)

Wenn man nun festsetzt, daß rückwärts die direkte Zahl (ohne X) und vorwärts die Ergänzung (mit x) abgelesen werden soll, die Subtraktion also durch eine Addition ersetzt wird, was bei massenhafter Wiederkehr der Rechnung von Bedeutung ist, so hat man nach Fig. 1 folgendes:

2, 730 X 7,210

X7,6k 2 2,358

2,790 h- x 7,642 = 10,432 — 10 = 0,432 .

Um zugleich eine Doppelnivellierung zu haben, kann man ein zweitesmal rückwärts Ergänzung und vorwärts direkt ablesen 'und bekommt dann in der Summe die Ergänzung des ersten Falles, also nach Fig. 1 das zweitemal:

X 7,210 + 2,358 = x 9,568 = — 0,432 .

Die Vergleichung der Ergebnisse (3) und (4) dient teilweise als Messungsprobe, jedenfalls aber als Rechenprobe und als Versicherung gegen Zentimeter-Ablesefehler, wozu man die Dekadenprobe jeweils im Kopfe zu bilden hat.

Zur weiteren Erläuterung schreiben wrir auch die Anfänge der Nivellierungstabellen (1), (2) und (3) von § 109 S. 473—475 nunmehr mit Einführung der dekadischen Ergänzungen an Stelle der dort freigelassenen Linien.

(3)

(4)

Latten- Zielpunkt weite

Ablesung

Höhenunterschied

oder

Horizont

Höhe

über N.N.

50

50

nach Tabelle (1) S. 473 2,473 : X 7,527 X 9,378 !    0,622

usw.

1.851

X 8,149

56.297

58,148

l-L ©

Zn Zn O ©

© i—i (M CO

nach Tabelle (2) S. 474 2,473 j x 7,527 0,622 | x 9,378 usw.

nach Tabelle (3) S. 475 1.413 ! x 8,587 1,407 | X 8,593 1,920 | x 8,080 3,045 | x 6,955 usw.

58,770

56,297

58,148

116,033

114,620

114.626

114,113

112,988

Ein vollständiges Beispiel gibt auch die Tabelle im nächsten § 120 S. 523.

Die kreuzweise untereinander geschriebenen Zahlen ans Tabelle (1) und der Tabelle von S. 523 geben eine äußerst bequeme Rechnung und gewähren eine wertvolle — allerdings nicht durchaus zuverlässige — Probe für Ablesung und Rechnung.

Für die Rechnung in den Tabellen zu (2) und (3) sind die Ablesungen aller Punkte ohne Unterschied untereinander geschrieben und die dekadischen Ergänzungen daneben. Die Höhen werden gebildet, indem zu den Horizonten die dekadischen Ergänzungen addiert werden; die Addition der direkten Zahlen zu den Höhen liefert zur Probe den Horizont.

Diese Rechnungsweise ist für alle Nivellierungen statt der in § 109 S. 473—475 zuerst erläuterten zu empfehlen; erforderlich sind dazu nur Latten mit dekadischen Ergänzungen, etwa die natürlichen Zahlen schwarz, die dekadischen rot, wie Fig. 8 und 9 S. 503 und 504 zeigt, oder auch wie Fig. 5 S. 503, indem die natürlichen Zahlen etwa über, die dekadischen unter den Dezimeterstrieh gesetzt werden.

Eine noch weit durchgreifendere und zuverlässigere Sicherstellung der Ergebnise kann dadurch gewonnen werden, daß die in § 116 S. 506 schon erwähnten Wendelatten benutzt werden (vgl. § 124).

Ein Beispiel ist das nachfolgende, wobei für jede Zielung die Libelle nachge

sehen wurde :

Punkt

Höhenunterschied 0,861 (X 9,140)

0,860 (X 9,141)

Vorderseite

Ablesung (    1,478 (X 8,522)

i X 9,383    (    0,618)

Rückseite

\    4,512 (x 5,489)

( X 6,348    (    3,652)

Jede Lattenseite gibt für sich, unter Verwendung der dekadischen Ergänzungen, eine Bestimmung des Höhenunterschiedes, wozu als weitere Probe tritt, daß der Abstand der Skalennullpunkte der Vorder- und Rückseite in den Ablesungen erscheinen muß. Im vorliegenden Fall ist dieser Unterschied 3,035 bzw. x 6,965. Es ist nicht durchaus nötig, alle Zahlen niederzuschreiben, so können z. B. die in Klammern gesetzten wegfallen, und der Höhenunterschied nur je einmal an Vorder- und Rückseite gebildet werden. Das Instrument wird nicht eher aufgehoben, als alle Proben für den Höhenunterschied gemacht sind.

Der geringe Mehraufwand an Ablesungen und Niederschriften gegenüber der gewöhnlichen in § 109 zuerst erläuterten Rechnung kommt gar nicht in Betracht gegenüber den Vorteilen, welche die Bequemlichkeit der Rechnung, das beim Nivellierenden sich einstellende Gefühl der Sicherheit und die Ersparung zeitraubender Nacharbeiten bieten.

§ 120. Nivellement mit Libellenausschlägen.

Das genaue Einstellen einer Libellenblase auf zwei Symmetralstriche der Teilung ist mühsam und zeitraubend; man hat deshalb ein rascheres Verfahren eingeführt, bei welchem die Blase nur genähert eingestellt zu werden braucht, worauf aber noch das Ablesen der jeweiligen Blasenstellungen und Berücksichtigung der Blasenausschläge und der Zielweite bei der Nivellementsberechnung notwendig wird.

Yon den verschiedenen Formen, in welche dieses Verfahren gebracht worden ist, behandeln wir hier im wesentlichen dasjenige der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme, welches Verfasser 1881, vorübergehend als Nivelleur dieser Abteilung tätig, kennen lernte und seit jener Zeit beibehielt, nur mit dem Unterschied der Einführung des Rechenschiebers zur Berechnung der Libellen-Ausschlagswirkungen durch zugleich größere Freiheit in der Wahl der Zielweiten sieh ergibt.

wo-

Zur Reduktionsrechnung für die Blasenausschläge wissen wir, daß ein Instru-

mentenstand mit der Rückwärtsablesung r und der Vorwärtsablesung v zum Gesamtergebnis den Beitrag liefert:

(1)

Diese Gleichung gilt, wenn die Blasenmitte auf dem Mittelstrich der Teilung

= 25, oder die Summe Obj -f- Oc = 50 geben. Ist diese Summe größer als 50,

steht. Schlägt dagegen die Blase aus, so muß man zuerst festsetzen, wie die Ausschläge zu zählen sind, damit kein Vorzeichenfehler entstehen kann. Wir wollen nach §112 Fig. 6 S. 486 annehmen, die Libelle sei vom Objektivende des Fernrohrs anfangend mit 0 beziffert und gehe bis 50, so daß in der Mitte 25 steht. Die Blase wird also dann einspielen, wenn ihre Ablesung Obj., welche dem Objektiv zugewendet ist, und die dem Okular zugewendete Blasenablesung Oc., zusammen das arithmetische Mittel Obj -+- Oc

so ist die Fernrohrzielung in die Tiefe geneigt, und die Lattenahlesungen r oder v sind zu klein, bedürfen also positiver Korrektionen, und die Gesamtkorrektion A h ist proportional der Differenz (Obj -j- Oc)r — (Obj -+- Oc)v.

Eine Einheit von (Obj + Oc) entspricht einer halben Einheit von i/₂ (Obj -+- Oc), d. h. man braucht zur Reduktionsrechnung den Winkel wert i/₂ e für i/₂ Strich, indem e die Libellenempfindlichkeit für einen Strich sein soll. Auf 100 m Entfernung gibt e 100 000 206 265    2

meter, sondern in J3aZ6millimeter geteilt, man hat daher:

100 e 2067265

dieses

mm.

l/₂ Strich auf 100

Nun ist aber die Latte nicht in Millimeter bzw. Zenti-

Entfernung gibt

Halbmillimeter.

(2)

Hat man also «Meter Ziel weite und die Blasenablesungssumme (Obj -f- Oc), so ist die Höhenreduktion:

s ini .    _ .    „    206,265

ß (Obj -f— Oc) wo E = —-

(3)

Diese Formeln sind für den Rechenschieber die bequemsten. Man rechnet zuerst die Konstante E aus, z. B. für eine Libellenempfindlichkeit e = 4,15" auf einen Strich wird

(4)

E = 206,265 : 4,15" = 49,70 .

Hierfür macht man einen Strich an der Zunge des Rechenschiebers (§41 S. 155), und damit kann man jeden Wert Ali nach (3) mit einer Bewegung abschieben und ablesen.

Wenn die Zielweite nicht in Metern, sondern in Schritten gegeben ist, und wenn z. B. ein Schritt = 0,78m ist, so hat man für s' Schritte:

E _ 206,265 0,78 ~ 0,78eT '

Dieses gibt im vorigen Falle E’ — 1,28 E = 63,7. Die Konstante E ist hier

Ali =

8’

E'

(Obj + Oc) wo E' =

(5)

diejenige Zielweite in Metern (oder E' in Schritten), hei welcher der Ausschlag (Obj -+ Oc) gerade ein Halbmillimeter ausmacht.

Die Formeln (3) und (5) gelten für Schätzungsablesung nach Halhmillimetern bzw. Lattenteilung in Halb Zentimeter (vgl. die Lattenzeichnung § 116 Fig. 9 S. 504). Wenn man die gewöhnliche Zentimeterteilung und Schätzungsablesung von Millimetern hat, so wird:

103,132

(6)

E = —

2000 e

wo e wie vorher die Empfindlichkeitsangabe der Libelle für einen Strich Ausschlag ist. Im übrigen bleibt die Formel (3) bestehen.

Statt, wie hier vorausgesetzt ist, die Empfindlichkeit e in Sekunden auf dem Legebrett § 47 Fig. 1 S. 182 zu bestimmen, kann man die Konstante der Formeln (3) oder (4) auch an der Latte selbst bestimmen, denn bei 100 m Zielweite und Libellenausschlag von l/₂ Strich bekommt man an der Latte eine Zielpunktsverschiebung = (e : 2,06265) Halbmillimeter = 100 : E, woraus sich E geradezu ergibt, ohne den Umweg über e. Nun sind wir genügend vorbereitet, um ein vollständiges Zahlenbeispiel zu verstehen.

Nivellierungstabelle mit Berechnung der Libellenausschläge.

Linie Germersheim—Breiten.

Libellenkonstante E = 49,7 m oder E' = 63,7 Schritte.

Zielweite

Schritte [ Meter

Rich

tung

Ablesungen der Latte x rück vor

rück X vor

Libelle

Korr. Bemerkungen

Obj i Oc    \ Obj + Oc

48

49

38

rack

vor

2,790 X 7,642

X 7,210 2,357

10,8

43,0

53,8

9,1

41,2    |    50,3

+ 1.7

+ 1,8    +3,5

46

45

36

rück

vor

3,000 >4 7,259

X 7,001 2,741

9,2

7,6

41,3

39,7

50,5

47,3

+ 2,7 Stein (10,0) 10 h 30 m

49

48

38

rück

vor

3,358 X 7,351

X 6,642 2,649

© CI C^ rH C5 Cb"

+ L6 . j + 3,2

+ 2,3

41,2

50,4

41,2

50,4

0,0

0,0

0,0

0,0

46

44

35

rück

vor

2.980 X 7,171

X 7,020 2,829

8,7

40,6

49,3

6,9    39,6

45.9

+ 1,8    +1,6    : +3,4

+ 2,4

50

49

39

rück

vor

3,888 X 7,680

X 6,111 2,320

8,3

8,3

0,0

40,4

40,4

0,0

48,7

48,7

43

41

33

rück

vor

3,094 X 7,311

x 6,906 2,689

8,0

8,2

40,1

40,4

CD CD>    ©

05 M    ©

0,0

-0,2

— 0,3    [ —0,5

— 0,3

40

40

31

rück

vor

3,878 X 9,210

X 6.122 0,789

8.3

6,7

48,7 39,0 i 45,7

40,4

4- 1,6

+ 1,4    +3.0

10 h 46m + 1,9 Stein (10,5)

638

250

6.612

=+ 6,612

X 3,386 = — 6,614

+ 9,3 — 0,3

+ 6,6130 +    90

+ 6,6220 Halbmeter h = + 3,3110 m .

+ 9.0

Die Korrektionen für die Libellenausschläge werden mit dem Rechenschieber

so berechnet:

38

3,5 = 2,7    ,

36

3,2 = 2,3 usw. (für Meter)

49,7

t?8i5 = 2’⁷ ■

Die in der ersten Spalte obiger Tabelle geschriebenen Schrittzahlen sind unmittelbar gezählt, die Meterangaben sind hieraus durch Einteilen der Schrittsumme auf die bekannte Steindistanz 500 w, mittels des Rechenschiebers, erhalten.

Die Zielweiten werden auf Landstraßen und Eisenbahnen in der Regel durch Abschreiten im Anschluß an die Nummersteine bestimmt. (In besonderen Fällen, z. B. bei der preußischen Landesaufnahme, werden die Zielweiten auch wohl durch eine 50 m-Meßleine gewonnen. Auch Distanzmessung kann zur Bestimmung der Zielweiten angewendet werden, § 121 S. 525.)

Das Nivellierverfahren mit nicht scharf einspielender Libelle und Berechnung der Ausschlagswirkungen hat viele Vorteile, durchaus nicht bloß für „ Präzisions Nivellements, sondern auch für technische Nivellements der Eisenbahn- und Flußverwaltungen usw., und zwar besteht ein Hauptvorteil in der Vereinigung von Genauigkeit und Geschwindigkeit.

Das Einstellen der Libellenblase ist bekanntlich eine sehr mühsame Sache, wenn man die letzte Schärfe ausnützen will: man drückt hierbei links, rechts, wieder links usw. und muß oft einhalten, auch mit dem Bewußtsein, daß noch ein oder zwei Zehntel einer Strichlänge fehlen, nur um endlich vorwärts zu kommen, während das Ablesen der beiden Blasenenden auf ein Zehntel einer Strichlänge, sobald die Blase nur ruhig geworden ist, viel rascher geschieht. Zum Ablesen der Blase braucht man allerdings einen zuverlässigen Gehilfen, der aber durch Mithandanlegen beim Horizontalstellen, Aufschreiben u. dgl. sich außerdem nützlich macht. (Vgl. rZeitsehr. f. Verni. 1882“ S. 281—303.)

Es ist aber zu dem Nivellierverfahren mit Blasenablesung zu sagen, daß eine völlige glatte Einübung vorausgehen muß ; namentlich die Berechnungen der Libellenausschläge und deren Einflüsse mit dem Rechenschieber müssen völlig mechanisch, ohne alles Besinnen, zur Ausfüllung der rechtsseitigen Spalten des Schemas S. 523 führen. Viele Feldmesser scheuen das ein für allemal nötige Einüben dieses Verfahrens. Bei Nivellierungen von kürzerer Dauer, bei wechselndem Personal usw. lohnt sich das Einüben nicht, und in solchen Fällen bleibt man besser bei dem gewöhnlichen Verfahren des scharfen Einstellens der Blase, zumal man hierbei die Zielweite nicht zu kennen braucht und bei sonst exaktem Verfahren auch gute Ergebnisse erzielen kann.

oder

‘-al'OT Vl

3,2 = 2,3 usw. (für Schritte).

§ 121. Verschiedene Besonderheiten.

Man hat für die Nivellierungen zahlreiche Proben und Versicherungen angewendet, von denen wir noch einige behandeln wollen:

I. Nivellierung mit doppelten Anbindungen.

Es werden dabei stets zwei Nivellierungen nebeneinander her mit demselben Instrument ausgeführt, wie Fig. 1 zeigt, wobei z. B. u und o die Fußpunkte (Unter-

lagsplatten) zweier Latten bedeuten, welche von einem Instrumentenstandpunkte Jj abgelesen werden usw. (Fig. 1 nach Doll, „Zeit sehr. f. Verm. 1875“ S. 114.)

Fig. 1. Nivellierung mit doppelten Anbindungen.

4L

o"

Ji

Jz

—0------

~-o------

------o-----

------o-----

Die Landesaufnahme Avendet dieses Verfahren hei den sog. „Signalnivellierungen“ (Anschlußzüge an Dreieckspunkte) an, und zwar Avird hierzu die Unterlagsplatte Fig. 9 § 116 S. 504, vgl. Fig. 11 S. 505, mit zAvei ungleich hohen Bolzen B versehen, auf Avelche nacheinander die Latte gestellt Avird.

Die doppelte Anbindung ist früher sehr allgemein angewendet worden, in Bayern, Sachsen, Württemberg, Baden usw.; indessen die auf den ersten Blick bestechenden Vorzüge vermindern sich sehr hei genauer Untersuchung.

Die beiden dadurch geschaffenen Nivellierungszüge sind durchaus nicht unabhängig; mehrere Fehlerquellen beeinflussen beide Nivellierungen nahezu gleich, und die mittleren Fehler, Avelche man aus den Abweichungen zweier solcher verbundener Nivellierungen berechnet, geben meist einen illusorischen Maßstab für die Genauigkeit des Ganzen.

Auch gegen grobe Ablesefehler geben die Doppelbindungen keine völlige Sicherheit. Bei alledem bleibt das Nivellieren mit doppelten Anbindungen ein sehr schätzens-Avertes Verfahren für Arbeiten ZAveiten Bangs und namentlich dann, Avenn man irgend Avelche andere Proben, z. B. Polygonschlüsse, oder Anschluß an trigonometrische Höhen, dazu nehmen kann.

Dieser Gedanke der doppelten Anbindung liegt auch der in § 119 S. 521 schon behandelten Amvendung der Wendelatte zugrunde, worauf hier nochmals hinzuAveisen ist.

II. Ablesen an mehreren Fäden.

Manche deutsche Nivellierungen in der Zeit etAva 1860—1870 hatten nach dem Vorgänge der SchAveiz die Einrichtung von drei Horizontalfäden im Gesichtsfelde des Fernrohrs, um dadurch die Ablesungsgenauigkeit zu steigern, und um durch die Ablesungsdifferenzen ZAvischen den Fäden zugleich eine gute Entfernungsbestimmung zu haben.

Man hat gegen diese Methode den Einwand geltend gemacht, daß aus dioptrischen Gründen die Ablesung an den Seitenfäden weniger scharf als am Mittelfaden ist; indessen ist diese Annahme nach den umfangreichen Untersuchungen von G. Kummer („Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 232—238) nicht zutreffend. Es zeigt sich, daß bei mäßigem Abstande der Seitenfäden vom Mittelfaden, der bei den drei untersuchten Instrumenten i/₄₀₀ bis l/₁₇₅ der ObjektivbrennAveite betrug, die Ablesungen an den drei Fäden als vollkommen gleichwertig anzusehen sind, so daß auf diesem Wege eine beträchtliche Genauigkeitssteigerung des Nivellements erzielt werden kann.

III. Einstdien auf die Mitte eines Feldes.

Schärfer als die Schätzung an beliebiger Stelle des Lattenfeldes ist die Einstellung des Zielfadens auf die Mitte des Lattenfeldes zu machen; vgl. den nachfolgenden § 124. Während also beim gewöhnlichen Verfahren die Libelle eingestellt und in der Lattenteilung abgelesen wird, hat man hierbei umgekehrt den Faden auf die Lattenteilung in der Nähe der wagrechten Sicht einzustellen und an der Libelle abzulesen.

Dieses Verfahren wurde angewendet beim holländischen Präzisionsnivellement von Cohen Stuart (vgl. den Bericht von Vogler, „Zeitschr. f. Verm. 1878“ S. 7—18).

Ebenso wurde das Einstellen des Fadens auf die Feldmitte eingeführt in die Nivellements des Geodätischen Instituts bis 1886 und von da auch in die Nivellements des preußischen Bureaus für die Hauptniveilem en ts und Wasserstandbeobachtungen im Ministerium der öffentlichen Arbeiten (Seibt). und in neuerer Zeit auch in die Nivellements der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme.

IV. Einstellen eines Doppelfadens auf eine Strichskala.

Bei der in § 124 S. 535 zu erwähnenden Untersuchung 1 zeigte sich, daß eine . noch weitere Verfeinerung der Skaleneinstellung zu erzielen sei, wenn, statt den einfachen Zielfaden auf die Feldmitte einzustellen, ebenso vie bei Horizontal- und Vertikalwinkelmessung und bei dem Schraubenmikroskop, ein Doppelfaden auf die in entsprechender Stärke gezogenen Striche einer Strichskala eingestellt wurde.

Auf Grund Nachprüfung dieses Ergebnisses hat die Landesaufnahme diese Nivelliermethode neuerdings eingeführt und dazu die in § 116 S. 505 in Fig. 12 dargestellte Nivellierlatte angewendet (vgl. auch „Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 116).

Da bei dieser Einstellmethode die Skaleneinstellung und Libellenablesung nicht voneinander unabhängig sind, wurde (vgl. die § 124 S. 535 zu 1 zitierte Abhandlung) mit gutem Erfolg ein Versuch mit einem Fernrohr mit Okularmikrometer und beweglichem Doppelfaden gemacht, das Verfahren im Felde aber noch nicht erprobt. Beim schweizerischen Präzisionsnivellement (1867) war das gleiche Verfahren mit Einstellung eines einfachen Fadens auf die Feldränder schon versucht aber wieder aufgegeben worden.

V. Voglers Nivellierinstrummt mit Schiebefernrohr.

Die Methode der Skaleneinstellung ist in eigenartiger Weise bei diesem neuen Instrument angewendet worden. Das Nivellierinstrument besteht im wesentlichen aus einem Nivellierfernrohr mit Libelle, welches an einer sich auf dem Dreifuß erhebenden vertikalen Säule verschieblich ist. Als Latte dient die S. 511 erwähnte Metallskala, auf welcher in Abständen von 1 dm- Kreismarken angebracht sind, auf welche der Horizontalfaden des Fernrohrs eingestellt wird. Bei diesem Abstand der Marken ist die direkte Neigungsmessung mit der Libelle wie bei den zu III und IV angegebenen Methoden, welche eine enge Teilung (1/₂cm) verlangen, nicht mehr möglich. Daher muß die Einstellung durch Verschiebung des Fernrohrs im vertikalen Sinne an der Säule geschehen, wobei diese Verschiebungen an einer feinen Skala mit einem Mikroskop abgelesen werden. Der Apparat und das Nivellierverfahren sind ausführlich beschrieben in der „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 1—19, 32—64.

VI. Doppelbeobachtung.

Beim einfachen Nivellement wird nach jeder Latte rückwärts und vorwärts nur eine Zielung genommen, also r und v. Eine Verschärfung des Ergebnisses kann man erreichen, wenn man nicht nur eine Zielung mit Libellen- und Latteneinstellung oder Ablesung rückwärts und vorwärts nimmt, sondern zwei, oder schließlich auch mehrere, nach jeder Richtung in bestimmter Reihenfolge etwa entsprechend dem Beobachtungsverfahren der Horizontalrichtungsmessung. Die Reihenfolge gestaltet sich dann so :

Hingang

Hergang v r.

Es werden also der Zeit nach die Vorwärtszielungen zwischen die erste und letzte Rückwärtszielung eingeschaltet und dabei in geeigneter Weise zwischen Hebung und Senkung der Zielung abgewechselt. Bei der Einstellmethode ergibt sich dabei die schöne Probe, daß bei Einstellung benachbarter Striche der Libellenausschlag konstant sein muß.

Dieses Verfahren der Doppelbeobachtung ist für jede Feinnivellierung zu empfehlen. Es sei verwiesen auf den Bericht über das neue Verfahren der Landesaufnahme in „Zeitschr. f. Venu. 1897“ S. 635—642.

VII. Nivellieren mit geneigter Visur.

Die drei in Eig. 3, 4 u. 7 S. 483—484 u. 487 dargestellten Instrumente sind mit Vorrichtungen versehen, die das Nivellieren mit geneigter Visur ermöglichen; dieses Verfahren wird in hügeligem Gelände zur Vermeidung sehr kurzer Ziel weiten dann in Frage kommen, wenn die waagrechte Visur über oder unter der Latte hinweggeht.

Die GefäUschraube. Bei den Instrumenten Fig. 3 S. 483 und Eig. 7 S. 487 ist die mit einer Einteilung versehene Kippschraube derartig eingerichtet, daß beim Drehen die Ablesungen an der Schraube den Ablesungen an einer in beliebiger Entfernung aufgestellten Nivellierlatte proportional wachsen. Hat man demnach für zwei beliebige Lattenablesungen die dazugehörigen Schraubenablesungen gefunden, so kann man für jede andere Schraubenablesung, z. B. für die der horizontalen Visur entsprechende, die Lattenablesung berechnen. Gehören zu den beiden Lattenablesungen o und u die Schraubenablesungen t₀ und tu, und ist t die der wagrechten Visur entsprechende Schraubenablesung, so ist die Lattenablesung für die letztere

w — o -+

iO- ill

Die Berechnung wird sehr einfach, wenn man nur ganze Schraubenumdrehungen

benützt.

Nebenbei mag noch bemerkt werden, daß die wagrechte Entfernung zur Latte

, o — u

s = ht^r,

ist, wobei in der Regel die Konstante ~k — 100 ist.

Die GefäUschraube und das dazugehörige Nivellierverfahren werden eingehend behandelt in Vogler, „Lehrb. d. prakt. Geom., 2. Teil, Braunschweig 1894“, § 272—274.

Die Stampfersche Schraube. Das in Fig. 4 S. 484 abgebildete Instrument zeigt eine andere Form der Kippschraube, die ebenfalls zum Nivellieren mit geneigter Visur und zur Entfernungsmessung geeignet ist. Hierbei endigt die Schraubenspindel in einem Kugelgelenk, während die Schraubenmutter ebenfalls durch ein Kugelgelenk hindurchgeht. Die einfachen für die Gefällsehraube angegebenen Gleichungen gelten für die Stampfersche Schraube nur in erster Näherung und bedürfen für die letztere einiger Korrektionsglieder. Wir verweisen hierfür auf Stajnpfer-Lorber, „Das Nivellieren, Wien 1894“, § 148—151 und Vogler, „Lehrb. d. prakt. Geom., 2. Teil, Braunschweig 1894“, § 276—277.

§ 122. Felilergesetze des Nivellierens.

Wir betrachten die verschiedenen Fehler, welche in das Schlußergebnis einer Nivellierung eingehen, die Beobachtungsfehler und die mechanischen Fehler, zunächst im Zusammenhang, und haben dazu in nachstehender Fig. 1 die Annahme gemacht,

daß eine lange Linie L in n Zielweiten von der Länge s, also mit ~ Aufstellungen,

nivelliert werde.

Fig. 1.

----—■—s—>

T~

Vn

s------*— S.....->

f-------s—-----s—>

f2

Y2

r.

v,

fflm

0mm.

0mm.

L=ns

Der mittlere Fehler einer Höhenrichtung oder Lattenablesung mit dem Instrument sei + u. Dieser Fehler u setzt sich zusammen aus dem Fehler des Zielens mit dem Fernrohr und aus dem Fehler der Einstellung oder Ablesung der Libelle, je nach dem angewendeten Nivellierverfahren, ob mit Einstellen oder Ablesen der Libelle gearbeitet oder eine der im vorigen § 121 angegebenen Methoden angewendet wird. Doch ist es zunächst nicht nötig, diese Fehler einzeln zu kennen; wir wollen zuerst ihre Zusammenwirkung mit der Bezeichnung u behandeln.

Der Gesamthöhenunterschied zwischen dem Anfangspunkte und dem Endpunkte der Linie L setzt sich nach Fig. 1 so zusammen:

// = V|    —j— Vo — V% —f- Tg — . . . Vri .

Jede Ablesung r oder v ist mit dem mittleren Fehler + u behaftet, es ist daher der Fehler AH von H:

A H = ± u ± f.i ± n ± fi ± ^ +... ±

und der mittlere Felder von H, nach dem allgemeinen Fehlerfortpflanzungsgesetz :

(1)

M = |/(/2 -j- «2 -)- u² -j_ u2 fjfi + • • • |U² = Vn ,«² = fi \'n •

Hier ist nach Fig. 1 :

L = ns oder n — — , also nach (1): M s    w

«2.

(2)

Diese Gleichung enthält das wichtigste Fehlergesetz des Nivellierens, welches in Worten so lautet:

Für ein und dasselbe Instrument und sonstige gleiche Umstände wächst bei konstanter Zielweite s der mittlere Fehler der Nivellierung proportional mit der Quadratwurzel der nivellierten Strecke L.

Die Fehler eines Nivellements werden am ehesten diesem Gesetze folgen können, wenn die Fehler jp u der einzelnen Zielungen möglichst gleich und klein sind. Diese Überlegung hat dazu geführt, eine bestimmte Zielweite als gleichmäßig beizubehaltende Normalzielweite einzuführen.

Da für konstante Zielweite s der mittlere Fehler M proportional }/L ist, so müssen die Gewichte p verschiedener Nivellierungsresultate bei konstanter Zielweite s, und unter sonst gleichen Umständen, umgekehrt proportional den Längen L genommen werden, also :

1 1 L:L'-

(3)    ,

p:p =

Die Ziehveite.

Es fragt sich nun, in welcher Beziehung + u zur Zielweite s steht. Kann man u als reinen Höhenrichtungsfehler ansehen, wie er z. B. aus dem Libellenfehler folgt, so wäre er proportional der Ziel weite s anzunehmen, also :

~t~ u — 1c s .

Setzt man das in (2) ein, so folgt:

(4)

M = 1c }/L s,

das heißt: Für dasselbe Instrument wächst der mittlere Nivellierungsfehler M, abgesehen von der Länge der Nivellierungslinie, proportional mit der Quadratwurzel der Zielweite s.

(5)

Danach würde die Frage, ob es besser ist, eine Linie L entweder mit wenigen Aufstellungen aber unsicheren Einzelablesungen, oder mit vielen Aufstellungen und genaueren Einzelablesungen zu nivellieren, dahin zu beantworten sein, daß kurze Zielweiten vorzuziehen sind.

Da eine Nivellierungsarbeit mit kleinen Zielweiten mühsamer ist als eine solche mit großen Zielweiten, und da man die Arbeitsmenge nahezu umgekehrt proportional der Zielweite annehmen kann, so folgt aus der Gleichung (5) auch, daß die erreichte Genauigkeit proportional der Quadratwurzel aus der aufgewendeten Arbeit wächst.

Als normale Zielweite gilt heute ziemlich allgemein die Entfernung s = 50 m, doch ist diese Wahl keine unmittelbare mathematische Folge aus der fraglichen Beziehung. Ob unter gegebenen Verhältnissen eine kleinere oder auch eine größere Zielweite nützlich ist, läßt sich nicht allgemein sagen, hierzu kommen auch die mechanischen Fehler (§ 128) und die Anordnung des Nivellierapparates sowie des Beobachtungsverfahrens (§ 121, 124 und 125) in Betracht.

Daß gerade die Zielweite 50 m. so allgemein verwendet wird, hat zum Teil wohl seinen Grund darin, daß auf Landstraßen und Eisenbahnen, denen die wichtigsten Nivellierungen folgen, durch die 100-m-Steine eine so becpieme und sichere Grundlage für die Regulierung dieser Nonnalziel weite gegeben ist, was naturgemäß für einen geregelten Feldbetrieb von großer Bedeutung ist. Andrerseits ist aber auch für die Feldarbeit der Umstand von großer Wichtigkeit, daß bei kurzen Zielweiten der Nivellierende sein Personal besser in der Hand hat und besonders die Lattenaufstellung

84

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd.

7. Aufl.

besser beaufsichtigen kann als bei großen Zielweiten; sodann lassen sich kurze Zielweiten auch in wechselndem Gelände leichter diesem anschmiegen als größere.

(6)

Nehmen wir mit Hinweis auf den späteren § 124 statt (4) an + fi = k' Ÿ s

und setzen dieses in (2) ein, so würde folgen :

(7)

M = Je’ VT,

das heißt, für dasselbe Instrument ist der mittlere Nivellierungsfehler M unabhängig von der Ziel weite proportional Y L. Es gilt also auch hierfür wie für konstante Zielweiten die Beziehung (8).

Der Luftzustand, die Beleuchtung, ob bedeckter Himmel oder Sonnenschein mit Flimmern, sowie die Strahlenbrechung, deren Yeränderlichkeit die dicht an der Erdoberfläche hinstreichenden Ziellinien beeinflußt, lassen bald kürzere bald längere Zielweiten zu; jedenfalls aber ist es empfehlenswert, nicht zu stark mit den Zielweiten unter dem Einfluß äußerer Umstände zu wechseln, sondern unter Beibehaltung einer Normalzielweite (50—60 m) diese je nach Erfordernis etwas herauf oder herunter zu setzen. Bei untergeordneten Arbeiten hat man für die Zielweiten einen entsprechend weiteren Spielraum; hierfür wird wesentlich der schon erwähnte Umstand des geregelten Feldbetriebs entscheidend sein müssen.

Es sei hier mit Verweis auf die frühere 5. Aufl. 1897 S. 467 zitiert : „Zeitschr. f. Verm, 1877*

S. 105—112 und S. 439.

Hin- und Hernivellieren.

zu

Hat man eine Linie in verschiedene Strecken eingeteilt (welche nicht etwa gleich sein brauchen), und hat man jede Strecke s hin und her nivelliert, so gibt das eine Differenz d, und auf eine größere Zahl solcher Differenzen kann man eine Ge-

nauigkeitsrechnung gründen, welche bereits in § 10 S. 27—28 vorbereitet ist und sich so gestaltet :

Strecke gibt hx — h{ = d₁

« s2 » ^2 — V — ⁽h „ Sh „ hH — lln — dn .

Die mittlere Differenz für die Streckenlänge s = 14m wird :

(8)

der mittlere Fehler einer Nivellierung der Streckeneinheit von 14m :

m =

j/2

-/m

(9)

und der mittlere Fehler des Mittels aus zwei Nivellierungen (hin und her) von 14m:

(10)

(Das sind auch dieselben Formeln wie (10) § 21 S. 76 bei der Längenmessung.)

Beim Nivellieren zählt man die Strecken s gewöhnlich in Kilometern, und die Differenzen d in Millimetern, und dann geben die Formeln (8) , (9) und (10) einen Wert in Millimetern für 1 Kilometer.

Wir nehmen hierzu ein Beispiel von einem im Jahr 1891 ausgeführten Nivellement der Eisenbahnlinie Hildesheim—Großgleidingen. (Das Zeichen X bedeutet dabei wieder dekadische Ergänzung, z. B. : x 4,7065 = 4,7065 — 10 = —5,2935.)

Punkt

Hildesheim

Bettmar

n —11

Nivellierung Nivellierung

II

I-II

Höhen- Höhenunterschied i unterschied

X 9,8147 m 1,6258 1,4329 0,5106 X 9,9927 0,5894 X 9,9440 X 9,6131 0,5384 2,0364 1,3718

X 9,8141 m 1,6262 1,4323 0,5094 X 9,9951 0,5848 X 9,9398 x 9,6139 0,5384 2,0386 .    1,3740

-f0,6mm -0,4 + 0,6 + 1,2 -2,4 + 4,6 + 4,2 — 0,8

0,0

— 2,2

-2,2

Ent

fernung

0,72 km

0,42

0,47

0,48

0,51

0,57

0,74

0,30

0,64

0,85

0,57

Vs

©    ©    ©    ©    ©    ©    j©    ©    ©    ©    ©

'fö    CO    Ol    Cß    *1    05    05    05    Cß

Ot    to    O    Ol    05    Üi    H    o    ©    Ol    Cil

t-    CO    05    t-    f-H    05 IO ©    ■**    ©

©    ©-    o    r-f    CO © r-T o* cf    cf

d*

0,49

0,36

0,81

2,89

rH    -H

H CO N

2,25

0,00

5,76

8,41

Mittel

I + II

x 9,8144 1,6260 1,4326 0,5100 X 9,9939 0,5871 X 9,9419 X 9,6135 0,5384 2,0375 1,3729

7,4698 m

7,4666 m + 3,2 mm 6,27 km

93,75

7,4682

Hieraus berechnet man den mittleren Fehler für das Hin- und Hernivellement von 14m nach der Formel (10) :

= |F⁹³’⁷⁵

^ = j+ 1,46 mm .

(11)

Aus 59 solcher Streckenvergleichungen, auf der Linie Hildesheim-Großgleidingen von 34,31t»» Länge (in der frühei'en 4. Aufl. dieses Bandes 1893 S. 443 mitgeteilt), fand sich M = ± 1,94 mm. Jenes Nivellement wurde im Februar und März 1891 gemacht mit dem Instrumente § 112 Fig. 6 S. 486 und mit dem Stative § 113 Fig. 2 S. 490 mit Geschwindigkeit von etwa 1,5 km in 1 Stunde.

Für die bei Nivellements-Fehlerbereehnungen häufig vorkonnnenden Ausdrücke

d , d2 - oder -

Vs

haben wir im Anhang auf S. [9] eine Hilfstafel gegeben. Es ist angezeigt, nicht geradezu d :s², sondern zuvor d : ]/s auszurechnen, weil die Quotienten d : Ÿ s auch an sich Bedeutung haben als Differenzen für 14m. Wir pflegten bei solchen Rechnungen Y s aus einer Tafel aufzuschlagen, dann d : ]/ s mit dem Rechenschieber anzugeben und endlich die <7² : s selbst wieder aus der Quadrattafel aufzuschlagen.

Linienausgleiclmng.

Wenn eine Linie mit Zwischenpunkten hin und her nivelliert wird, so besteht die Ausgleichung lediglich darin, daß man die Höhen auf einen Ausgangspunkt bezieht und dann überall das einfache Mittel nimmt. (Etwaige grobe Fehler, welche auch Vorkommen können, sind besonders zu untersuchen.)

Wenn eine Linie in sich selbst zurückkehrt, und infolgedessen einen Widerspruch zeigt, so wird derselbe nach dem Yerhältnis der Entfernungen auf die Zwischenpunkte verteilt.

Ebenso wird verfahren, wenn eine Nivellierung am Anfang und am Ende an zwei bereits anderweitig unabänderlich fest bestimmte Punkte angeschlossen wird (z. B. an zwei Bolzen der Landesaufnahme).

Diese einfachen Ausgleichungen entsprechen vollständig den schon in § 9 und

bei den Längenmesstingen in § 22 S. 82 behandelten Ausgleichungen. Auch die Gleichungen (8) und (9) S. 83 können wir hier unmittelbar wieder hersetzen:

m —.......

VL

(12)

~L

IVÜ'.

(13)

VPl +P2

Diese Gleichungen sagen für das Nivellieren:

Wenn ein in sich selbst zurückkehrendes oder zwischen zwei Fixpunkten liegendes Nivellement von der Länge L mit einem Widerspruche w abschließt, so erhält man

VL

daraus den mittleren Fehler m für l&m nach (12): m = ■ W -, und zweitens: ein Punkt

eines solchen Nivellements, der nach der einen Seite die Entfernung l und nach der andern Seite die Entfernung V von einem Anbindepunkt hat, ist nach der Ausgleichung bestimmt mit einem mittleren Fehler M entsprechend der Gleichung (13). Dieser

ist, und in diesem Falle wird:

erreicht seinen größten Wert, wenn l = V — ^

(14)

ALmax—

§ 123. Einseitige Fehler des Nivellierens.

Wenn man die beim Hin- und Hernivellieren zahlreicher Strecken auftretenden Differenzen nach ihren Vorzeichen ordnet, so macht man sehr oft die Erfahrung, daß diese Vorzeichen nicht ganz unregelmäßig + und — sind, sondern deutlich nach der einen Seite hinneigen. Alan muß daraus schließen, daß die Fehler des Nivellierens selbst teilweise einseitiger Natur sind. Die Ursachen solcher einseitiger Fehler lassen sich schwer bestimmt nachweisen ; jedenfalls gehört hierzu das Einsinken der Nivellierinstrumente und der Latten, welches wir genauer betrachten wollen.

Das Einsinken auf dem Nivellierwege gibt immer Fehler in demselben Sinne, nämlich so, daß der nivellierte Höhenunterschied zu groß erscheint, sei es, daß das Stativ mit seinen Fußspitzen einsinkt, oder daß die Latten selbst mit ihren Fußplatten sich senken.

Fig. l.

Ja

— -X

Jr g

T₂

C*

Ar B

.i

Wir wollen dieses an Fig. 1 deutlicher zeigen: Es werde von A nach B und C mit den Instrumentenstellungen und J.₂ nivelliert und zwischen A und B finde eine Stativsenkung a statt in der Zwischenzeit zwischen der Eückwärtsablesung rj auf A und der Vorwärtsablesung Cj auf B-, dann wird die Vorwärtsablesung um den

Betrag a zu klein, und statt rj —1\ bekommt man rx — (^ — a) = r-y —    -+- er, d. h.

man bekommt um er zu viel.

Als zweiten Fall nehmen wir an, daß in der Zwischenzeit zwischen den In-strumentenaufstellungen .7) und J₂ sich die Latte B um den Betrag À gesenkt habe, dann wird die Rückwärtsablesung r₂ um À zu groß, und r₂ — v₂ wird in r₂ -t- A. — r2 = r₂ — r₂ + l übergehen, d. h. man bekommt abermals zu viel.

Im Falle von Fig. 1 haben wir also für beide Arten von Senkungen: richtiger Höhenunterschied h =    +- r₂ — v₂,

falscher Höhenunterschied Ti' = rt — Vy -+- o +- i'₂ — v₂ -+- /. ,

(1)

Wirkung der Senkungen li' — Ti = a + À = r, dabei soll *r die Gesamtwirkung aller Senkungen bedeuten.

Wenn der Nivellier weg nicht steigt, wie in Fig. 1 angenommen, sondern fällt, so bleibt die Gleichung (1) doch gültig, wenn man nur immer h und lï im algebraischen Sinne richtig rechnet, d. h. ein Gefälle als negative Höhe behandelt.

Wenn eine Linie hin und her oder als geschlossene Schleife nivelliert wird, gilt die Gleichung (1) in dieser Weise :

Es sei I der nivellierte Höhenunterschied des ersten Nivellements im Sinne des Nivellierweges, also bei Steigung seil positiv, bei Gefälle negativ, und II sei der entsprechende Wert des Gegennivellements. Dann ist die Differenz:

(2)

I — II = d = + 2 r

wenn r der Einfluß der Senkung für ein Nivellement ist.

Auf einem Nivellierwege von A nach B bezeichne I den Höhenunterschied von A nach B, d. h. es sei I positiv, wenn B höher als A liegt und negativ, wenn B tiefer als A liegt; z. B. sei I = -f- 25,737 m, wenn B um 25,737 m höher als A liegt. Nivelliert man von B nach A zurück, so wird man im Feldbuche einen negativen Wert ausrechnen, etwa — 25,714 -m, wofür wir aber schreiben wollen II = -+- 25,714 m und dann I — II = +- 23 -mm, d. h. die Gleichung I — II = d soll so verstanden werden, daß die Vorzeichen der Nivellements I und II beide in demselben Sinne gezählt werden wie bei I.

Beim Nivellieren eines geschlossenen Polygons wollen wir alle Höhen in demselben Sinne rechnen, in welchem der Nivellierweg durchlaufen wurde und dann werden die Senkungen einen positiven Schlußfehler erzeugen (abgesehen von den eigentlichen Nivellierfehlern selbst). Man kann auch jedes Hin- und Hernivellieren als ein geschlossenes Schleifennivellement ansehen; z. B. das vorige, von A nach B -4- 25,737 -m und von B nach A — 25,714 m gibt den Schleifenanschlußfehler w = -+■ 25,737m — 25,714 m = + 23 mm wie vorhin.

Ein erstes schlagendes Beispiel für die Wirkung des Einsinkens hat der Verfasser 1881 auf dem Nivellement Straßburg—Alexanderschanze gefunden (s. „Zeitsehr, f. Venu. 1882“ S. 300). Es wurde bei ganz schwachem Regen, der in optischer Beziehung gar nicht störend war, im Gegenteil ganz ruhige Bilder abzulesen gestattete (aber die Landstraße aufweichte), nivelliert, und beim Rücknivellieren wurden folgende ganz bedeutende Differenzen gefunden:

Entfernung Niv. X Regen Niv. II trocken 2,0 km

Bolzen

(6640)

(6641)

(6642)

(6643)

2,0

2,0

+ 25,737 m + 31,835 + 40,618

+ 25,714 m + 31,816 + 40,604

I — II = d -J- 23 mm + 19 + 14

6,0 km

+ 98,190 m

+ 98,134 m

+ 56 mm ,

Nivellement I geht von (6640) bis (6643) mit Steigung von 98,190 m und II geht zurück von (6643) bis (6640) mit Gefälle von 98,134 m; wir behalten jedoch das Vorzeichen von I bei und rechnen d =    98,190 m — (-f- 98,134 m) =    56 mm.

Betrachtet man diese Differenz -t- 56 mm als alleinige Wirkung der Einsenkungen auf der durchweichten Straße, so findet man:

H- 56

(4)

g— = -(- 9,3 mm auf 1 im .

Als praktisches Nivellementsergebnis mußte dieses verworfen werden, jedoch als Versuch bei außergewöhnlichen Verhältnissen scheint uns dieser Fall von Interesse. Die Ergebnisse des wirklichen Nivellements auf trockener Straße für jene Strecke sind veröffentlicht in „Nivellements der trig. Abt. d. Landesaufnahme, V. Band, 1883“ S. 105, und die „Großh. Badischen Hauptnivellements 1885“ S. 28; dieselben zeigen bei 57 im Entfernung und 829 m Höhenunterschied keinen auf Senkungen r hindeutenden Verlauf der Differenzen d.

Ein zweites Beispiel für Einsinken geben die schweizerischen „Nivellements de précision“ von Hirsch und Plantamour, welche sich mehrfach mit dem Einfluß der Senkung (tassement) der Nivellierapparate beschäftigt haben.

Die Linie Genf—Landquart zeigte auf 171 hin einseitige Differenzen im Betrage von 163mm, welche also, als Wirkung des Einsinkens aufgefaßt, den hohen Betrag von fast 1 mm auf 14m geben würden. (Näheres s. „Zeitsehr. f. Verm. 1892“ S. 259-262.)

Auch das Nivellement der Weichsel von 1891 scheint hierher zu gehören. Dieses Nivellement zeigt konstante Fehler, im Mittel etwa 0,3 mm auf 1 4m. Da das Nivellement an lehmigen Bergabhängen, an Wasserbecken usw. hinführte, möchten wohl die teilweise starken konstanten Fehler durch Einsinken (und nicht durch andere Hypothesen) zu erklären sein. (Vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 262.)

Indessen mögen in diesem und anderen Fällen die einseitigen Fehler von Senkungen oder auch von irgend welchen anderen Ursachen herrühren, jedenfalls ist daraus die Regel zu ziehen, daß die konstanten Fehler in erster Linie dadurch zu beseitigen sind, daß jedes Nivellement erstmals hin und dann auf demselben Wege in entgegengesetzter Richtung zurück zu machen ist.

Seit Verfeinerung der Nivellements haben die einseitigen Fehler eine erhöhte Bedeutung erlangt und Beachtung gefunden. Man ist bestrebt, abgesehen von der grundsätzlich angewendeten Hin- und Hernivellierung, die einseitige Einwirkung der Stativaufstellung dadurch zu beseitigen, daß man von Stand zu Stand die Stativstellung ändert, z. B. ein Bein abwechselnd rückwärts und vorwärts zeigend, oder abwechselnd links und rechts der Linie stehend. Das beste Mittel, um sich gegen Einfluß der Instrumentaufstellung zu sichern, besteht in den in § 121 S. 527 VI behandelten Doppelbeobachtungen, wodurch die Ableitung des Höhenunterschieds der Zeit nach zwischen die erste und letzte Ablesung rückwärts eingeschaltet wird. (Soll auch die Lattenaufstellung in der Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stationen untersucht oder beseitigt werden, so muß man dazu übergehen, auf zwei Ständen gleichzeitig mit zwei Instrumenten zu beobachten.)

ces

Hierzu ist noch zu zitieren: „Rapport sur les travaux du service du Nivellement général de la France en 1895“, suivi de deux notes sur le rôle des erreurs systématiques dans les nivellements de précision et sur le degré de stabilité des piquets employés comme repères provisoires dans opérations, par Ch. Lallemand. Extrait des Comptes-Rendus de la Onzième Conférence générale de l’Association géodésique internationale, tenue à Berlin en octobre 1895, S. 203—229.

Desgl. in Comptes-Rendus Vol. 123 (1896), p. 410—415 und p. 457 — 460.

Lallemand behandelt die Nivellements von Österreich, Spanien, Preußen, Frankreich, und findet z. B. den mittleren systematischen Fehler aus Hin- und Hernivellieren : Spanien 0,26 mm, Preußen 0,27 mm, Frankreich 0,18 mm für 1 km.

Verhandlungen der permanenten Kommission in Lausanne 1896, Lallemand, rapport sur le nivellement de la France, S. 227-276.

§ 124. Die Einzelfeliler des Nivellierapparates.

Für die richtige Anordnung und Anwendung des Niveluerapparates ist von Wichtigkeit die Kenntnis der Einzelfehler von Libelle und Fernrohr, und der Einfluß der Teilungseinheit der Latte.

Der Libellenfehler.

Die Genauigkeit der Libellen ist schon in § 47 S. 183 behandelt worden. Nach S. 184 ist es vorteilhaft, für die Einstellung der Ziellinie nach der Libelle, also beim gewöhnlichen Nivellierverfahren, die starke Richtkraft der gröberen Libelle auszunützen; für die Neigungsbestimmung mittels der Libelle aber muß eine empfindliche Libelle angewendet werden. Für das gewöhnliche Nivellierverfahren mit einspielender Libelle ist es also empfehlenswert, nicht zu empfindliche Libellen zu nehmen, da die gröbere, sich energisch einrichtende und daher bequem zu behandelnde Libelle praktisch dasselbe leistet; vgl. die Tabelle (4) S. 184. (Es sei noch bemerkt, daß zur Libellenbeobachtung vom Okular aus ein seitlicher Spiegel Fig. 3 S. 483 besser ist, als ein über der Libelle angebrachter.)

Nach der in § 47 S. 184 angegebenen Beziehung des auf dem Legebrett gefundenen Eigenfehlers der Libelle zu ihrer Empfindlichkeit wollen wir in runder Zahl ansetzen 0,2 y[Ä!', worin A" die Angabe (Empfindlichkeit) auf 1 Strich in P.L. bedeutet. Damit erhält man für den von der Libelle herrührenden Fehler À in Millimeter für die Zielweite s in Meter :

z. B. für

O O T—I CO

A = 0,2 VA"

X 1 000 X s = 0,001 s VA" ,

20

50

100

150 m 0,46 mm 0,80 mm.

(1)

Der Lattenablesefehler.

Mit Verweis auf § 125 der 5. Aufl. 1897 S. 487—494.

1.    Reinhertz. Mitteilungen einiger Beobachtungen über die Schätzungsgenauigkeit an Maßstäben, insbesondere an Nivellierlatten. Nova acta d. Kais. L. C. Deutschen Akademie d. Naturforscher. 62. Eand Nr. 2, Halle 1S94, S. 93—194 und Auszug hieraus in „Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 593—624, G41— 647, 665-677; 1895 S. 6—24.

2.    Kummer. Genauigkeit der Abschätzung mittels Nivellierfernrohrs, „Zeitschr. f. Verm. 1894“

S. 129-146.

3. Lorber. Das Nivellieren 1S94. Abschnitt V S. 268—284, 328 (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1894“

S 380 und 1897 S. 112).

4.    Wagner. Über Schätzungsgenauigkeit an Nivellier- und Distanzskalen, „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 449—471, 504—512.

5.    Reinhertz. Über die Schätzungsgenauigkeit an Nivellierskalen, „Zeitschr. f. Verm. 1897“

S. 111—119.

6.    Kummer. Genauigkeit der Abschätzung mittels Nivellierfernrohrs, „Zeitschr. f. Term. 1897“ S. 225—245 und 257-275.

7.    Keinhertz. Ablesungsgeuauigkeit an Nivellierskalen, „Zeitschr. f. Yerm. 1897“ S..399—403.

Die Schätzung am Fernrohrfaden erfolgt beim Sehen durch das Fernrohr in dem in der deutlichen Sehweite (normal = 0,25 m) erscheinenden Bilde der Lattenteilung, deren Einheit T sei. Dann ist die scheinbare Größe J dieses Intervalles, in welchem die Schätzung vor sich geht, wenn V die Vergrößerung des Fernrohrs und s die Zielweite ist, nach (12) § 53 S. 211 :

0,25

(2)

worin s in Metern, T und J in Millimetern anzusetzen ist.

Z. B. ist für die Vergrößerung V — 30, Zentimeterteilung T — 10 mm,

Zielweite s — 10m 25m 50m 75m 100m 125m 150m,

mm    mm    mm    mm    mm    mm    mm

scheinbare Größe    von 1 cm    J30 =    7,50    3,00    1,50    1,00    0,75    0,60    0,50.

Die scheinbaren Feldgrößen liegen hierbei also zwischen 7,5 mm und 0,5 mm.

Es ist ohne weiteres einzusehen, daß es leichter sein wird, ein großes Intervall, z. B. ein solches von 10 mm,    in 1/10    °der    V20 zu    zerlegen, als    ein kleines,    z. B. ein

solches von l/₂mm    (auch der    Faden    hat eine gewisse    Stärke),    daß    also der    Ablese

fehler in Zusammenhang mit der scheinbaren Intervallgröße J stehen wird. Hiervon ausgehend ist in der diese Frage behandelnden, zu 1 oben zitierten Untersuchung der im Maß des Intervalles ausgedrückte, das ist der „relative Schätzungsfehler“ m, als eine Funktion der scheinbaren Intervallgröße aufgefaßt mit der allgemeinen Form m = a : ( J-\-b)», worin a . b und n zu ermittelnde Konstanten sind. Die Diskussion des verschiedenen zugrunde gelegten Beobachtungsmaterials ließ den vereinfachten Ausdruck :

0,08

(3)

ft _ a

T⁼ÿj- yj

hinreichend zur allgemeinen Darstellung erscheinen. Es wurde also b = 0 gesetzt und n — 1/2 (welches zwischen den Grenzen 0,35 und 0,70 schwankte). Der Koeffizient a (für normale Sehweite 0,25 m angesetzt) ergab sich rund zu 0,08 (für einen Teil des' Materials zu 0,06 und 0,07). Die in (3) ausgedrückte Beziehung lautet also in Worten : Der relative Schätzungsfehler ist umgekehrt proportional der Quadratwurzel aus der scheinbaren Intervallgröße.

Daraus folgt in Verbindung mit (2) für den absoluten Schätzungsfehler innerhalb der in Betracht gezogenen Intervallgrößen:

— a t j/_-_— o a 7 /s— = k / — .

" 7 0,25 TV / V    V

(4)

fx = m T

Zu derselben Beziehung gelangt Lorber an der zu 3 oben zitierten Stelle S. 278; Kummer stellt an den zu 2 und 6 zitierten Stellen den Fehler durch eine mehrgliedrige, nach der Entfernung entwickelte Funktion dar; vgl. hierzu auch die oben zu 7 zitierte Stelle.

Die in (4) ausgedrückte Beziehung führt zu verschiedenen Folgerungen :

Erste Folgerung. Der Schätzungsfehler wächst mit der Quadratwurzel aus der Teilungseinheit T. Z. B. für 1/1 cm- und 1/2 cm-Lattenteilung ist das Verhältnis der Fehler nicht 2:1, sondern VT:!. Mit V — 30, s = 50m findet man aus (4):

ï/l cm-Skala, scheinbare Feldgröße 1,5-mm, n = 0,65 mm

0,8 „ ,    = 0,46 „ .

^'2 » v

Zweite Folgerung. Der Schätzungsfehler ist umgekehrt proportional der Quadratwurzel aus der Vergrößerungszahl V. Z. B. für V = 40 und 20 ist das Verhältnis der Fehler nicht 1 :2, sondern 1 : ]/2 . Für s = 50m und !/icm-Teilung hat man:

1 „ , = 0,80 „ .

V = 40 , scheinbare Feldgröße 2 mm, ju = 0,57 mm = 20 ,

Dritte Folgerung. Der Schätzungsfehler wächst proportional der Quadratwurzel aus der Zielweite s. Diese Beziehung kann für die mittleren Zielweiten als gültig betrachtet werden, solange die scheinbare Intervallgröße etwa innerhalb 5 mm und l/₂ mm bleibt, wodurch also je nach der Vergrößerung des Fernrohrs und nach der Lattenteilung (i/jcw oder Ob cm) sehr kleine und große Zielweiten ausgeschlossen sind.

Es ist zu bemerken, daß diese Beziehung nicht etwa ohne weiteres der in § 122 S. 530 zu (6) gemachten Annahme ,u — k' ]/ s entspricht, denn diese soll den Gesamt-fehler ausdrücken, während zu der vorstehenden Gleichung (4) noch der Libellenfehler und anderes hinzutritt.

Die Abhängigkeit des Schätzungsfehlers von der Intervallstelle.

Der. Schätzungsfehler ist abhängig von der Intervallstelle. Am günstigsten ist die Schätzung in der Mitte des Feldes, am ungünstigsten etwa bei ¹ji und ³/₄. Hierbei kommen in erheblichem Maße systematische und persönliche Fehler in Betracht. Nach den oben S. 535 und 536 zu 1 und 6 zitierten Untersuchungen kann man rund annehmen, daß wenn der Fehler in der Mitte des Feldes = 1 gesetzt wird, der Gesamtschätzungsfehler (ohne Trennung in den zufälligen und systematischen Teil und Rücksicht auf die Fadenstärke) an beliebiger Stelle etwa zu 1,3 zu nehmen ist, an den ungünstigsten Stellen den ll/₂ fachen Betrag und mehr erreichen kann, und an den Feldgrenzen etwa den mittleren Betrag erhält.

Die Schätzung kann daher durch Anwendung von Wendelatten mit um einen Bruchteil von T (l/₂ bzw. l/₄ T) gegeneinander verschobenen Skalen entsprechend verschärft werden (vgl. § 116 S. 506 und § 119 S. 521).

Einstellen des Zielfadens.

an

Wie schon die Schätzung in der Mitte des Feldes günstiger ist als Ablesen an beliebiger Stelle, so ist noch mehr die Einstellung des Fadens auf die Feldmitte Genauigkeit der Ablesung überlegen, denn hierbei wird vom Ausdruck des geschätzten Bruchteils abgesehen und nur die Feldgröße verglichen. In dem S. 536 zu (3) gegebenen Ausdruck für den relativen Fehler fand sich der Koeffizient a = 0,04 beim Einstellen auf die Feldmitte, statt 0,08 beim Ablesen an beliebiger Stelle, also nur halb so groß.

Für ein Fernrohr von 37 fâcher Vergrößerung war z. B. für die Zielweite 50 m bei l/₂cm-Teilung der Ablesefehler 0,41 mm-, der Einstellfehler auf die Feldmitte 0,21mm, der Einstellfehler auf einen schmalen, nur 1,3 wm breiten Aveißen Streifen 0,15 mm.

von

Avird der Faden auf die Mitte von Kreismarken eingestellt.

Diese Einstellmethode auf die Feldmitte wird, wie § 121 S. 526 angegeben, beim holländischen Präzisionsnivellement und bei dem des preußischen Geodätischen Instituts bzAV. dem Bureau für die Hauptnivellements und V asserstandsbeobachtungen Seibt angewendet. Bei dem § 121 S. 526 genannten neuen Instrument von Vogler

Zur Aveiteren Verfeinerung der Einstellmethode Avurde in der § 124 zu 1 S. 535 zitierten Schrift vorgeschlagen, ebenso Avie das bei der Horizontal- und Vertikal-Avinkelmessung und beim Schraubenmikroskop geschieht, einen Doppeleinstellfaden zu nehmen und diesen auf die Striche einer Strichlatte einzustellen mit möglichster Annäherung an den in § 48 S. 190 an Fig. 2 erläuterten Grundsatz. Ein Versuch mit einem Fernrohr von 37 fâcher Vergrößerung gab bei 50 m ZielAAreite den Fehler zu 0,11 mm-.

Nach diesem Vorgang hat die Landesaufnahme die in § 116 S. 505 in Fig. 12 dargestellte Strichlatte mit Doppelfadeneinstellung eingeführt, Avodurch der Nivellierfehler um die Hälfte seines Betrages vermindert Avorden ist (vgl. 1,33 mm und 0,58 mm § 128 S. 557).

Es ist ersichtlich, daß bei dieser Einstellmethode, Avobei an Stelle des Ablesefehlers der Zielfehler tritt, die Beziehung des Fehlers zur Ziehveite eine andere sein Avird, als hei Schätzung im Skalenfeld.

§ 125. Das Zusammenwirken der Einzelfehler und die Genauigkeit des Nivellierens im allgemeinen.

Das Zusammenwirken der besprochenen Einzelfehler wird abhängig sein von der Art der Ausnützung des Nivellierapparates nach den verschiedenen Nivellierverfahren, und zwar:

I. Verfahren: Einstellen der Libelle und Ablesen der Latte,

„ Ablesen „    „ ,

„ Einstellen „    „ .

Es ist aber zu berücksichtigen, daß die Einzelfehler nicht ganz voneinander unabhängig sind. Dies kann nur angenommen Averden für das Verfahren II, während bei I und III im Momente der Einstellung von Libelle hzAV. Latte die Ablesung an der Latte hzAV. Libelle zu nehmen ist. Immerhin ist aber der reine Libellenfehler

II.

III.

Ablesen

Ablesen

klein im Vergleich zu dem Ablesefehler an der Latte bei Verfahren I und II, Avie die folgende Zusammenstellung nach (1) S. 535 und (4) S. 536 veranschaulichen mag, für ZAvei Libellen von 30" und 5" Empfindlichkeit und zAvei Fernrohre von 40- und 20 fâcher Vergrößerung beim Ablesen in    bzAV. l/₂ cm-Teilung.

Ziehveite s =

Libellenfehler À für A" = 30" : 0,05 „ À „ A" = 5" : 0,02 Ablesefehler u für V = 40fach und l/₂cm-Teilung für V = 20fach und i/i o-m-Teilung

Das Zusammenwirken nach der Beziehung M² = À² -f- u² ist also verschieden, je nach der Zusammensetzung des Apparates und der Amvendung desselben. Dementsprechend kann auch für die Abhängigkeit des Gesamtnivellierfehlers von der Zielweite keine allgemein gültige Beziehung gegeben werden, sondern mit Rücksicht auf den Einfluß der äußeren Umstände nach § 122 S. 529 nur angenommen werden, daß bei Innehaltung einer NormalzielAveite, wie S. 530 angegeben, der Nivellierfehler (d. h. abgesehen von dem einseitigen Fehler § 123) mit der Quadratwurzel aus der nivellierten Streckenlänge YAvächst.

10

25

50

75

0,13

0,06

•P <=>

100    150 m

0,53    0,80 mm

0,22

0,33 mm

: 0,18    0,28    0,40    0,49

0,57

0,69 mm

; 0,36    0,57    0,80    0,98    1.14

1,38 mm.

Für die Zusammenstellung von Fernrohr und Libelle nach Vergrößerung und Empfindlichkeit bleibt ein gewisser Spielraum.

Empfehlenswerte Verhältnisse sind:

Libelle

Fernrohr Empfindlichkeit Vergrößerung

A"

Latte

Teilungseinheit

1.    Instrument kleinster Größe, Reiseinstrument ; Querprofile 40—50"

2.    Kleines Instrument für Profilaufnahmen usw.....

3.    Gewöhnliches Gebrauchsinstrument mittlerer Größe .    20"

4.    Besseres Instrument .    .    .    10—15"

5.    Feinnivellierinstrument .    .    5"

(mit Kammer)

10fach

Vl cm (ev. auch >/i dm.)

30"

15-20 „

25 „ 30 „

40 „

Vl ,

Vl V

Vl v oder 1/2 cm.

V2 d (bzw. Strichteilung u. Doppelfaden).

Die Genauigkeit des Nivellierern.

Zu den Fehlern des Nivellierapparates treten nun noch die mechanischen und äußeren Fehler, welche je nach der Anordnung der Feldarbeit wieder verschieden sind. Von den einseitigen Fehlern ist in § 123 die Rede gewesen; die Prüfung der Nivellierlatten ist in § 116 S. 508 behandelt worden.

Werden für die Aufstellung der Nivellierlatten in den Wechselpunkten nicht Lattenuntersätze (vgl. Fig. 9, 11, 14 S. 504, 505 und 507) oder ähnliche, eine scharfe Übertragung ermöglichende Hilfsmittel (§ 109 S. 472) angewendet, sondern die Latte auf unbehauene Feldsteine oder einfach auf den Boden gesetzt, so können erhebliche Wechselpunktfehler entstehen, und die früher genannten Verfeinerungshilfsmittel oder die Anwendung größerer Instrumente hat keinen Erfolg. Ein solches einfaches Verfahren, z. B. das Umsetzen auf Feldsteinen, ist für manche Zwecke durchaus zulässig. Für diese ist dann aber auch ein einfaches, leicht zu handhabendes Instrument zu gebrauchen, wobei die Anwendung von dekadischen Ergänzungen und der Wendelatte (§ 119) zur Vereinfachung der Rechnung und Probe gegen grobe Fehler ihren Wert behalten, denn die sorgfältige Sicherung gegen Versehen ist für solche technische Arbeiten wichtiger als das Streben nach Verfeinerung.

Bei Beschränkung auf unregelmäßige Fehler kann man nach dem in § 122 S. 528 zu (1) und (2) angegebenen Fehlerfortpflanzungsgesetz in Verbindung mit den in § 124 S. 535 und 536 zu (1) und (4) angegebenen Formeln für die Einzelfehler des Apparates einen ersten Überblick über die erreichbare Nivelliergenauigkeit erhalten, wobei als Vergleichwert der mittlere zu fürchtende Fehler für die einmalige Nivellierung einer wagrechten Strecke von L — 14m Länge mit der Normalzielweite s= 50m genommen werden soll. Dem Vergleich sollen die fünf oben angegebenen Instrumente bei einmaliger Ablesung oder Einstellung von Latte oder Libelle zugrunde gelegt werden:

Theoretischer mittlerer Nivellierungsfehler für 1 km Länge und die Normalzielweite s=50m Instrument :

Vergrößerung des Fernrohrs 40 fach 30faeh 25fach 17fach

Empfindlichkeit der Libelle

(5) I (4)

(3)    |    (2)

(1)

5"

12"

20"

30"

10 fach 45"

(Fadeneinstellung Ablesen der 1/2 cm-Latte Ablesen der */i cm-Latte

±0,7 nm) ± 1,9 mm i±2,6 mm

± 2,2 mm j ±3,0mm|±3,4wm

±4,0 mm ±5,0 mm ('/, Æm-Latte ±16 mm).

Diese Fehlerwerte gelten für einmalige Ablesungen; wird bei jedem Rück- und Yorblick Latte und Libelle zweimal abgelesen oder eingestellt, wie das schon der Probe wegen notwendig ist, Wendelatten verwendet (vgl. die Beispiele S. 521 und S. 523), an mehreren Fäden abgelesen, oder, wie bei Feinnivellierung notwendig, Doppelbeobachtung nach § 121 VI S. 527 ausgeführt und in die Rechnung das Mittel aus Hin- und Hernivellierung eingesetzt, so werden die Fehler entsprechend kleiner.

Zum Vergleich sei auf die später in § 126, 127, 128 und 129, sowie § 122 S. 531 mitgeteilten Fehlerangaben hingewiesen.

Die Zusammenstellung zeigt, daß auch kleine Instrumente ein gutes Ergebnis versprechen, sofern nur sorgfältig verfahren und besonders die Lattenaufstellung mit Sorgfalt beachtet wird, und daß ein Instrument wie (4) oder auch noch (3) der Reihe !

S. 539 die Möglichkeit bietet, für die an den Horizont des Landesnivellements nach § 118 S. 519 anzuschließenden Nivellements die vorgesehenen mittleren Kilometerfehler von + 3 mm bzw. _+ 5 mm nicht zu überschreiten.

in.

Kilo-

tru-

Wird, wie das für zahlreiche Nivellierarbeiten zur Vereinfachung angezeigt ist, gt ist von der Benutzung von Lattenuntersätzen und der Innelialtung einer Normalzielweite dann it( abgesehen, die Zielweite vielmehr dem Gelände angepaßt, und folgerichtig dann die Latten- rden ablesung mit Abrundung auf Zentimeter genommen und niedergeschrieben (wobei dann dairnn auch wieder von der letzten Feinheit der Libelleneinstellung etwas nachgelassen werden annlen kann), so wird doch der mittlere Kilometerfehler einige Zentimeter nicht überschreiten. an en. Wenn bei Zielweiten von 50 m der hohe Betrag von + 1 cm für eine Zielung ange- angenommen würde, so ergibt sich der Kilometerfehler noch zu +5 cm; bei einigermaßen seßen sorgfältigem Verfahren wird für Zielung einschließlich des Wechselpunktfehlers aber ange-Hb i/₂ cm innezuhalten, also ein Kilometerfehler von etwa + 2,5 cm zu erreichen sein. aper Zum Vergleich sei weiter angeführt, daß bei einem flüchtigen Nivellement, welches einer barometrischen Höhenmessung als Grundlage dienen sollte, bei Ablesung an groben, tru-nur auf Dezimeter geteilten Latten und Schätzen der Zentimeter, bei beliebig wechselnd, auch ungleich, genommenen Zielweiten, mit mehrfacher Überwindung von Höhenunterschieden bis 90 m, sich aus den Anschlüssen an gegebene Festpunkte ein mittlerer Kilometerfehler von + 3.7cm berechnete. In der Tabelle S. 539 unten ist zu dem kleinen Instrument (1) der theoretische Fehler für die l/jSm-Latte in Klammern zu 1,6 cm beigesetzt.

Geschwindigkeit des Nivellierern.

1 ui bei b

Unter verschiedenen Umständen ist natürlich die Arbeitsleistung nach Zeit und Entfernung sehr verschieden, und es ist schwer, Mittelzahlen anzugeben, zumal bei solchen Fragen oft noch andere als geodätische Elemente mit ins Spiel kommen.

kes

vor-

Eine gelegentlich in die Öffentlichkeit gelangte Mitteilung über Geschwindigkeit eines Stadtnivellements, nämlich 47 hm in 41 Stunden, also rund 1,1 hm in 1 Stunde, war aus der „Zeitschr. f. Venn. 1886“ S. 518 in die „Deutsche Bauzeitung 1886“

be-

S. 575 übergegangen, und veranlaßte Erörterungen in der „Deutschen Bauzeitung 1887“

vor-

be-

S. 7—8, ferner S. 24 und 151—152, woraus Avir den Schluß ziehen, daß schlankes und richtiges Nivellieren mit den verschiedenen Hilfen, wie Ablesen der Blase, vorläufig Avirkende Dosenlibelle usw., noch damals, 1887, in Aveiten Kreisen ganz unbekannt gewesen sein muß.

Verfasser hat schon früher in der „Zeitschr. f. Venn. 1882“ S. 302—303 aus seinen badischen Nivellements von 1881 Angaben über den Zeitaufwand beim Nivellieren mitgeteilt. Es fand sich im Mittel eine Zeit von 46 Minuten auf 1 hm oder 1,3 hm in

1 Stunde, wobei im Mittel zwölf Aufstellungen auf 1 4w kamen, was einer mittleren Zielweite von 41 m entspricht. Abzüglich der Gehzeit erforderte eine Aufstellung eine Zeit von etwa 1,5 Minuten, die mittlere Tagesleistung war 8,7 4m. Auf der Kniebis-straße, hei 500m Höhenunterschied und 6 4m Entfernung, wo der Steigung wegen mit nur 16 w Zielweite nivelliert werden mußte, erforderte 1 lim die Zeit von 1 Stunde 24 Minuten. Aus den Hin- und Hernivellierungen fand sich der mittlere Fehler j M = F 2,23 mm für 1 4m Doppelnivellement [nach der Formel (10) §122 S. 530], was, da das schwierige Kniebisnivellement mit 500 m Höhenunterschied mit eingeschlossen ist, nicht zu groß erscheint.

Ähnliche Ergebnisse über Zeitaufwand haben wir auch inzwischen stets gefunden. Es ist aber natürlich Nivellieren auf glatter Landstraße nur mit Kilometersteinen oder andrerseits Nivellieren in Stadtstraßen mit zahlreichen Bolzen usw., Nivellieren auf steilen Wegen mit häufigem Instrumentwechsel sehr verschieden.

Mit dem Stativ Fig. 2 § 113 S. 490 haben wir sogar auf dem grobschotterigen Eisenbahndannn Hildesheim-Großgleidingen Geschwindigkeit von 1,5 4m in 1 Stunde erzielt (vgl. § 122 S. 531 Gleichung (11) mit Bemerkungen).

Es scheint darin auch eine Bestätigung zu liegen für den großen Nutzen des in § 120 beschriebenen Nivellierens mit Libellenausschlägen, wodurch nahe die Hälfte der Zeit im Vergleich mit dem gewöhnlichen Nivellieren gespart werden kann.

Es sind nämlich alle die hier beschriebenen Nivellements mit Libellenausschlagsberechnung nach § 120 gemacht.

Verfasser hat aus den Fehlerdiskussionen, namentlich aus der Vorzeichenverteilung der Differenzen beim Hin- und Hernivellieren die Erfahrung gezogen, daß die Messungen immer dann am besten stimmten, wenn die Arbeit im Felde glatt vorwärts ging. Die Erklärung dieser Erscheinung ist nicht schwer zu geben : Bei einer so einförmigen Arbeit wie Nivellieren, wo einige wenige Handgriffe hundert- und tausendmal wiederholt werden, stellt sich bald eine Art Mechanismus der Geistes- und Muskeltätigkeit ein. Das Anfassen der Schrauben, das Ablesen und Aufschreiben der Teilungen, auch die Hantierungen der Gehilfen nehmen allmählich einen maschinenartigen Gang an, und funktionieren dann auch mit der Genauigkeit und ganz von selbst auch mit der Geschwindigkeit einer Maschine. Dieselben Erfahrungen sind auch bei Basismessungen gemacht worden. (Vgl. „Zeitsehr. f. Venu. 1883“ S. 583).

Vorstehende Geschwindigkeitsangaben sind nahezu die einzigen ausführlichen Mitteilungen dieser Art in der nivellitischen Literatur; es wird oft unterlassen, alle Einzelheiten über Zielweiten, Geschwindigkeit usw. zu veröffentlichen, während z. B. bei Basismessungen solche Angaben einen wesentlichen Teil der Veröffentlichungen ausmachen. Die oben zitierten Artikel, Deutsche Bauzeitung 1887, haben u. a. den Vorwurf erhoben, es sei mehr auf Geschwindigkeit als auf Genauigkeit gesehen worden, was in unserem Falle nicht zutrifft; es sind einfach die Zahlen mitgeteilt worden, welche sich bei einfachster Behandlung von selbst eingestellt haben.

In neuerer Zeit ist die Genauigkeit der Nivellements erster Ordnung gestiegen, der mittlere Fehler ist allmählich auf 1 mm und noch weiter heruntergegangen, und es wäre von Interesse, auch den Arbeits- bzw. Zeitaufwand bei diesen neuesten Nivellements zu vergleichen mit den entsprechenden Werten, z. B. der Nivellements von 1881, die wir im vorhergehenden beschrieben haben.

§ 126. Ausgleichung eines Nivelleinentsnetzes.

Nivellementsnetze werden gewöhnlich nach bedingten Beobachtungen ausgeglichen, wofür die allgemeinen Begeln in unserem I. Bande, 5, Aufl. 1904, § 43 angegeben sind. Das Wichtigste hiervon haben wir auch in § 12 S. 30—32 wiedergegeben.

Übergehend zu der Aufstellung der Bedingungsgleichungen schreiben wir nach dem Anblick von Fig. 1 :

I. Es soll sein:

b\ 4— h₂ — ^3 — 0 .

---s\

CO

Die Anwendung dieser Regeln auf ein Nivelliernetz gestaltet sieli sehr einfach. Wir nehmen hierfür sofort ein Zahlenbeispiel, und zwar nach Andeutung von Eig. 1 ein als Schulbeispiel herausgeschnittenes Stück des badischen Landesnivelliernetzes, mit Zufügung der Abrißtabelle der nivellierten Höhenunterschiede und der Entfernungen :

Eig. 1. (Maßstab etwa 1 :1 200 000.)

Mannheim

Abriß der Messungen.

(1)

Schmefzingen

2

11 Heidelberg

Nr.

Linie

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von

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PForzheim

(Die Pfeile bedeuten die Richtung des Steigens.)

Schwetzingen—Mannheim Mannheim—Heidelberg Schwetzingen—Heidelberg Heidelberg—Bruchsal . . Schwetzingen—Graben . . Graben—Bruchsal .    .    .

h ' ci co io’ © f’ co* ai

229

0,893

9,125

10,012

2,640

6,193

6,481

6,999

1,712

1,212

126,214

39,844

164,388

375,713 = [*]

Setzt man aber die gemessenen h aus vorstehendem Abriß ein, so hat man: + 0,893 H- 9,125 — 10,012 = 4- 0,006 = wx.

Um diesen Widerspruch zu tilgen, fügt man zu jeder Messung eine Verbesse

rung v hinzu, und dann wird sein:

(hx -+- Vj) -t-    ■+• ^2) — (^3 vz) — 0

(4)

oder in Zahlen:

(4 a)

4- (0,898 H- «i) + (9,125 + v₂) - (10,012 +■ v₃) = 0.

Die Verbindung der Gleichungen (3) und (4a) gibt:

(5)

I. vx 4- t’₂ — vä 4- 0,006 = 0 .

Dieses ist die erste Bedingungsgleichung ; und wenn man mit den drei anderen Polygonen ebenso verfährt, und wenn man zur Probe auch noch den Gesamtumfang hinzunimmt, so erhält man die Tabelle der Polygonschlüsse auf S. 543.

Hier bestehen mehrere Rechenproben:

u\ -j- w₂ -t- Wg 4-    — w’ d. li. -f 6 — 22 — 18 — 42 = — 76;

ferner für die s:

43 ₊ 79 ₊ 56 4- 89    191    458

“~2

Dabei ist 229 die Summe [s], welche schon früher in dem Abrisse der Messungen oben (1) angegeben war. Aus den Umfangssummenhöhen und /i₃ , /i₆ , hs hat man auch die Probe:

178,716 -+- 178,792 -+- 10,012 4- 6,481 +.1,712 = 375,713 .

Einen anderen Zweck als diese Rechenproben hatte die Ansetzung des Gesamtumfangs nicht; namentlich darf man nicht etwa den Umfang noch als fünfte Bedingungsgleichung außer I, II, III, IV in die Ausgleichung einführen, weil ja die Umfangsprobe in den vier Einzelschlüssen schon enthalten ist.

Tabelle der Polygonschlüsse.

Poly

gon

Linie

Länge

Nivellierte

Höhenunterschiede

Widerspruch

I.

1.    Schwetzingen—Mannheim .

2.    Mannheim-Heidelberg . .

3.    Heidelberg—Schwetzingen .

14 km

20

0,893 tu +    9,125

10,012 m

II.

3.    Schwetzingen—Heidelberg .

4.    Heidelberg—Bruchsal . . 6. Bruchsal—Graben . . . .

5.    Graben - Schwetzingen . .

+ 10,018 + 10,012 +    2,640

10,012

6,481

6,193

— 4" 6 m rn

III.

6.    Graben—Bruchsal . . . , 8. Bruchsal—Durlach . . .

9. Durlach—Karlsruhe . .

7.    Karlsruhe—Graben . .

+ 12,652    — 12,674

+    6,481

+    1412

m>₂ = — 22 mm

IY.

10.    Bruchsal—Mühlacker. . .

11.    Mühlacker—Pforzheim . .

12.    Pforzheim—Durlach . .    .

8. Durlach—Bruchsal. . . .

-j-    8,193

+ 126,214 + 39,844

1,212

6,999

8,211

—164,388 —    1,712

w₃ = —18 mm

Gesamtumfang

2. Mannheim—Heidelberg .

4.    Heidelberg—Bruchsal

10.    Bruchsal—Mühlacker. .

11.    Mühlacker—Pforzheim .

12.    Pforzheim—Durlach .    .

9. Durlach—Karlsruhe .    .

7. Karlsruhe—Graben . .

5.    Graben—Schwetzingen . 1. Schwetzingen - Mannheim

+166,058 — 166,100 +    9,125

+    2,640

+ 126,214 + 39,844

iv± = — 42 mm

—    164,388

+    0,893

+ 178,716 —178,792

w' — — 76 mm

Die vier unabhängigen Bedingungsgleichungen sind hiernach

I. 4- *i -4- *₂ — *3-1-6 mm = 0 .

II. -+- *3 H- *4 — Vq — *5 — 22 mm =    .

III.    ■+■ Vq 4- *g — *9 — *7 — 18 mm =    .

42 mm =

(6)

(7)

(8)

IY.

(9)

-+- %)4~*n—r12 v8 Wir kommen zur Frage der Gewichte. Wir nehmen hier schlechthin die Gewichte umgekehrt proportional den Entfernungen s [wie in (8) § 125 S. 529 gezeigt wurde], und damit entsteht folgende Tabelle für die Bedingungsgleichungen :

Nr.

vx v₂ v₃ v₄ v₅

v₆ v₇ v₈ Vg v₁₀ vn v₁₂

-w

+ 14-1-1.

. +1 +1 -1 —1 .

mm

+ 6

— 22 (10)

— 18

— 1    .    + 1 -i- 1 — 1    — 42

14    20    9    32    26    12    22    17    5    33 I 13    26

Hiernach bildet man leicht die Summenkoeffizienten:

fini

ra-

— 9 usw.

Daraus ergehen sich die Normalgleichungen in ausführlicher Schreibweise:

+ 43 \ — 9 k2 — 9ä:₁-4-79Z;2—12 A₃ . .

-r 6 mm

(11)

22 „

. . — 12 k₂ + 56 k₃ — 17    — 18 „

. .    — 17 k₃ + 89 k₄ -— 42 „

Man bemerkt leicht, daß alle diese Koeffizienten 43, 9 usw. nichts anderes sind als die schon in der Tabelle der Polygonschlüsse S. 543 aufgeführten Beträge von s oder deren Einzelsummen, z. B. 43 für I. (Näheres hierüber wird im folgenden §127 behandelt.)

Die Auflösung der Gleichungen-(11) gibt: k₄ = — 0,063    lfc₂ = + 0,358 k₃ = + 0,575 k₄ = + 0,581.    (12)

Nun hat man die Formeln für die v, nämlich allgemein:

k i ₇ Ao ko Jcj Vi = a₄ — +    —= + cx — + d\ — usw.

Diesem entspricht folgende Tabelle, welche sich' an die frühere Tabelle (10) der Bedingungsgleichungen anschließt :

Num.

CO C5

[o

9.

10. !

33

r-î    CO

t*H    rH

CS*    o

Ti    CS

fr, = — 0,063 ,7cyS= — 0,9

ko ⁼⁼ ~j~ 0,358 , ä?2 5 —-

ä*3 = -f* 0,575 , k.j s —    .

+ 0,581,7c₄s =

— 1,3 I + 0,6 •    -|- 3,3

+ 11,5

-9,3

— 4.3 + 6,9

- 12,6

+ 9,8 — 9,9

-2,9

v= —0,9

-1,3 +3,9+11,5

— 9,3

+ 2,6 — 12,6 —0,1

.    +19,2 +7,6 -15,1

— 2,9 +19,2 +7,6 1—15,1

Die so berechneten v setzt man zu den beobachteten h in dem Abriß der Messungen (1) S. 542 und erhält damit folgenden

Abriß der Ausgleichung :

Nr.

Linie

Gemessen

von

bis

Ausgeglichen h v

Vs

1.-2

ys

os ot je- w u> j-

Schwetzingen—Mannheim Mannheim—Heidelberg . Schwetzingen—Heidelberg Heidelberg—Bruchsal . Schwetzingen — Graben Graben—Bruchsal .    .

0,893

9,125

10,012

2,640

6,193

6,481

0,8921

9,1237

10,0159

2,6515

6,1837

6,4836

f' CO Cl O ri f) r-H r-i r-i

Graben—Karlsruhe .    .

Bruchsal—Durlach .    .

Karlsruhe—Durlach Bruchsal—Mühlacker . Mühlacker—Pforzheim Durlach—Pforzheim

6,999

1,712

1,212

126,214

39,844

164.388

6,9864

1,7119

1,2091

126,2332

39,8516

164,3729

CU CO W w ± ±    CO Ol Ol CO 05

0 H    to CO ObOOiO-'Jrf-

0,24

0,29

1,30

2,03

1,82

0,75

2,69

0,02

1,29

3,35

2,10

2,96

g    g g    S S    S    Ą 8 s a    a s

d    d h    nî oj    d    t* o" h h    ^ co

Summen

229

375,7130 -f 2,6    375,7156    50,93    18,84    43,11

Summe

[t] =

O i>2J = 43,11 .

(13)

Nachdem die h -j- v ausgerechnet sind, überzeugt man sich zuerst, ob die Bedingungsgleichungen stimmen, d. h. ob man nun die Höhen alle widerspruchsfrei zu-sammensetzen kann.

Dieses ist mit unseren h-\-v der Fall, und indem wir nun eine Höhe als gegeben annehmen, nämlich Karlsruhe = 116,745 über N. N., finden wir die übrigen wie folgt :

Mannheim .    104,4670    Karlsruhe.    .    116,7450    Bruchsal .    .    116,2421 \

Schwetzingen    103,5749    Durlach .    .    117,9541    Mühlacker    .    242,4754 j.    (14)

Graben . .    109,7586    Heidelberg    .    118.5907    Pforzheim    .    282,3270)

Nachdem die Höhen stimmen, gehen wir zu den Genauigkeitsfragen, wozu sich auch noch eine Probe für (13) findet in der Summe —\wli\, nämlich:

, — iv k = H- 7,876 , — iv k = -+- 10,350 , — wk —    24,402

II. iv = — 22 III. w = — 18 IY. iv = —-42

I. iv —6 mm , k = — 0,063 mm , —w k = -f- 0,378 , k = + 0,358 , k = -f- 9,575 , k = -+- 0,581

(15)

-l- 43,006 = — \w &].

Dieses stimmt hinreichend mit [p c²] = 43,11 in (13) und gibt den mittleren Fehler der Gewichtseinheit, da wir vier Bedingungsgleichungen hatten :

VI —

= ±3,3

mm

für 1 hm .

(16)

Ausgleichung von GebirgsnivéUierungen.

Während in der Ebene die Annahme der Gewichte p umgekehrt proportional den Entfernungen ganz am Platze ist, kann bei stärkeren Steigungen diese Annahme ungenügend werden, namentlich dann, wenn stark steigende Linien mit ebenen Linien in einer Ausgleichung Zusammenkommen, und wenn keine genügenden Lattenverglei-chungen gemacht werden.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Wenn wir setzen : m = p Y s

wo /u der mittlere Nivellierungsfehler für die Länge s — 1, m der mittlere Fehler für die Länge s, und p das Gewicht ist, so haben wir nur die eigentlichen Nivellierungsfehler berücksichtigt; hei starken Steigungen kommen aber auch die Unsicherheiten in den Maßen der benützten Latten und auch noch andere mit der Höhe wachsende kleine Fehler in Betracht, und deswegen ist es besser, hier für eine Länge s und eine Höhe h zu setzen :

und

= s oder auch

TS

= p²s,

(17)

= j/(uVs)Z + ßh)* , p

= f.1² s-h Z²7i² •

(18)

Nun entsteht die Frage, wie man die Konstanten a und ?. dieser Formel bestimmen soll? Wenn verschiedene Polygone mit ihren Sehlußfehlern vorliegen, so wird man verschiedene Schlußfehler erhalten, je nachdem ein Potygon mehr oder weniger ausgedehnt in der Lage oder in der Höhe ist.

Bei unseren badischen Nivellierungen, welche in der Zeit von 1873—1882 nach sehr verschiedenen Methoden und mit zum Teil ungenügenden Lattenvergleichungen gemacht worden waren, nahmen wir Gewichte nach dem Gesetz der Gleichung (18) und bestimmten die Fehlerteile u und X von Fall zu Fall auf verschiedene Weisen, d. h. es wurden die Fehlerteile a priori geschätzt. Unsere so gewonnene Netzausgleichung mit 22 Polygonen enthält die amtliche Veröffentlichung: „Die Großh. Bad. Hauptnivellements mit den Anschlüssen an die Nachbarstaaten“, bearbeitet von Prof. Dr. Jordan. Herausgegeben von der Großh. Oberdirektion des Wasser- und Straßenbaus. Karlsruhe. Druck und Kommissionsverlag der G. Braunschen Hofbuchhandlung. 1885.

Die Schlußfehler der Nivellementspolygone nach Längen und Höhen zu trennen, d. h. die Schlußfehler als Funktion der Längen s und der Höhen h der Polygone in empirischer Ausgleichung darzustellen ist Gegenstand einer Abhandlung von Vogler in „Zeitschr. f. Venu. 1877“ S. 95—97 und 1877 S. 396 — 403. Helmert hat hierzu eine Theorie in den „Astron. Nachrichten“, 89. Band, Nr. 2127 und Nr. 2128 (Februar 1877) entwickelt. Eine kurze Zusammenfassung hiervon, „Fehlertrennung in Nivellementspolygonen“, haben wir in der „Zeitschr. f. Venu. 1885“ S. 44—47 gegeben.

Ein Nivellementsnetz in sehr hohem Gebirge, wo also die vorstehenden Fragen der Gewichte sehr wichtig werden, ist enthalten in „Nivellement de précision de la Suisse, exécuté par la commission géodésique fédérale, Hirsch et Plantamour, IX livraison. 1891.“ Es wird dabei nicht bloß ein Ausdruck mit zwei Gliedern wie oben (18) zugrunde gelegt, sondern ein Ausdruck, der auch noch ein drittes Glied für Senkung (tassement) enthält. Einen Bericht hierüber gibt Messerschmitt in der „Schweizerischen Bauzeitung 1892“ S. 41, 47, 55 und 1893 Nr. 5. (Über das tassement vgl. auch unsere Bemerkungen in „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 260. Vgl. auch § 123.)

§ 127. Bildung der Normalgleicliungeii usw. nach der Figur.

Wenn man die langen Tabellen einer ausgedehnten Nivellierungsnetzausgleichung betrachtet, worin meist eine ganze Menge Glieder fehlen (d. li. gleich Null sind), so kommt man zu dem Gedanken, daß man diese langen und breiten Tabellen zum großen Teil ersparen und die .Resultate nach dem Anblick einer Figur bilden kann, welche man ohnehin braucht. Wir wollen dieses an dem Beispiel unseres Hannoverschen Stadtnivellements zeigen (ausführlicher behandelt in der „Zeitschr. des Hannoverschen Ingenieur- und Architektenveréins, 1887“ S. 682—699, mit Karte, Blatt 38).

Die * nachfolgenden Figuren 1 S. 548 und 2 S. 549 in Verbindung mit dem Abriß S. 547 werden genügen, um jenes ziemlich umfassende Nivellierungsmaterial in gedrängtester und zugleich übersichtlichster Form zur Anschauung zu bringen.

Der Gang der Ausgleichung ist dieser: Aus den Feldschreibbüchern oder aus vorläufigen Zusammenstellungen erhält man die nivellierten Höhenunterschiede h und die Entfernungen s des Abrisses (das übrige wird erst später erhalten).

Die im folgenden als nivelliert angegebenen Höhenunterschiede h sind selbst schon durch Mittelbildung aus Hin- und Hernivellieren in jeder einzelnen Strecke gebildet.

Abriß der Nivellierungsausgleichung der Stadt Hannover.

Nummer

Ent

fernung

Nivellierter

Höhen

unterschied

Ver

besserung

Verbesserter

Höhen- '    ,—

unterschied ' s h + v

Vs

t>²

Poly

gon

lO © <M O CO co

d h d o" in o"

<M    <M    t-    rH    Ci    CO

rH    CO    O    O    <M    <M

O    rH    ©    ©    O    O

0,8 km 1,9830 m 1,0762 0,6    0,6422

0,7    1,3338

2,0095 0,9    0,3600

0,3

5    1,0

—    0,3 mm

—    0,8 + 0,2 + 0,1 -2,3 — 0,5

0.84    |

1,00 j

C CO 03 *7

0,3    0,5377

2,0    1,6765

0,7 i 2,0542 6,5599

1.7

+ 0,3 — 0,6 -0,2 + 0,5

0,5380

1,6759

2,0540

6,5604

0,55    0,54    0,29

1,41    0,43    0,18

0,84

0,24

0,06

I.

1,30    0,38    0,14

11

1.2

12

0,8

13

0,7

14

0,3

1,3832

1,2733

0,2928

0,6659

» ©

<M <M t—i O

1,3858

1,2713

0,2942

0,6668

1,10

0,89

0,84

0,55

t- ^ CO CO W CO O (N (N H H

5,62

5,02

2,76

2,66

XI.

IO    CO    t«    CO    05    O    H

rH    rH    rH    rH    tH    d    d

0,8580

0,2280

0,9220

- 0,5 + 0,5 + 1.2

0,8575

0,2285

0,9232

III.

0,4413

2,6768

1,1213

1,5477

+ 0,3 — 2,7 + 2,7 + 2,1

0,4416

2,6741

1,1240

1,5501

0,77    0,39    0,15

1,05    2,57    6,60

1,18    2,28    5,20

1,10

2,17

1,71

IY.

V.

22    1,3

23    1,3

0,4896

0,7035

+ 0,0

+ 2,3

0,4896

0,7058

1,11

0,00

0,00

1,11

2,02

4,08

VI.

24    1,2

25

1,9

26 2,0

0,4848

0,9371

0,7116

-2,2 — 3,5 -1,2

0,4826

0,9336

0,7104

1,10

2,00

4,00

1,38    2,52

1,41    0,85

6,35

0,72

VII.

27

1,4

28    2,3

1,1621

1,5476

+ 3,4

+ 1,1

1,1658

1,5517

1,18 2,80

7,84

1,52

2,70

7,29

VIII.

5,4463

1,1623

7,9794

— 1,2 — 0,8 + 0,6

5,4451

1,1615

7,9800

1,34

1,10

0,89

0,72

0,95    0,63

0,79

0,52

0,40

IX.

34,9

50,2679

+ 1,7

50,2726

31,99 j 38,99

74,63

Nun macht man das Übersichtsnetz Fig. 1 S. 548, deutet durch einen Pfeil an jeder Linie die Richtung des Steigens an und schreibt alle nivellierten Höhen und die Entfernungen dazu. Dabei macht man sich auch über die Numerierung schlüssig.

Die Pfeile bedeuten in Fig. 1 und 2 die Richtung des Steigens und des positiven Vorzeichens. An der Hinterseite des Pfeiles steht die Nummer der Linie. An der Vorderseite (Spitze) des Pfeiles steht der nivellierte Höhenunterschied in Metern, und die Länge in Kilometern. Im Innern jedes Polygons steht zunächst der Schlußfehler in Millimetern, und darunter, in Klammern die Korrelate der Ausgleichung ebenfalls in Millimetern.

Die Fig. 1 enthält außer den Entfernungen und den nivellierten Höhendifferenzen auch die Widersprüche in den einzelnen Polygonen. Wir rechnen beispielshalber den Fall I hier ausführlich vor, indem das Polygon I von der nordwestlichen Ecke im positiven Sinne durchlaufen gedacht Avird :

Fig. 1. Nivellierungsnetz der Stadt Hannover. Übersicht der Nivellierungslinien und der Polygonschlußfehler.

(1544)

(61

-2142013.

^ "as    i tV

(1648

3,3 781m 1.3 km.

J5.

10,7 mm-(+0,29mm)

1,6765m

2,0km-

>77/3-^06422 ^

'Ojßkmu

1,5477m

1,4km

nö®

Çf* 3Km

1$0" .jgiwn

ft®“-

80

12km

0,4896m

0.537^0)-6r^-0,36002

yćS<m. °-9km-

1,3338 m O^Km.

0,0 mm , (-0,03mm)

1,^Krn

22.

1,0 Km TW

0,7035m^^3:

(41

31.

* m 7,9794m

HL

24,

0,9km.

26.

-ax

-Ogmm

(-Q64^m)

28.

+ 68mm (~1;83mm)

0/848®

km.

1,1623m

1,2km.

\    +11,1 mm

1,5476m (-244mm) 2,3km.

0,7116 m 20km.

25

3/0.

0,9371m

9 Km,

5,446.1/

1,8km.

29.

^63V--27r

t,4km.

(30:

Die zwei nördlich angefügten Punkte (1644) und (1648) sind Bolzen der Landesaufnahme, welche zu unserer hier besprochenen Ausgleichung in keiner Beziehung stehen.

(L W) bis (HM) 10. h = + 6.5599 m (HM) „    (5)    11. 7t =

1. h

7. h = -+- 0,5377 8 Mi =

9. h =

.    — 1,3882 m

.    —1,9830

.    — 1,6765

.    — 2,0542

-+- 7,0976 m—7,0969

, w, = -f- 0,7 mm.

I.

YL 0,0

Die sämtlichen so berechneten zehn Widersprüche w sind die folgenden : 0,7 mm

II. — 7,6 mm VII. +6,8

III. — 0,8mm IY. -+- 5,4mm Y. — 7,8mm.

X. —1,9.

IX. -0,9

VIII. +11,1

Diese Widersprüche schreibt man ebenfalls in Fig. 1 ein.

Fig. 2. Nivellierungsnetz der Stadt Hannover.

Übersicht der ausgeglichenen Höhenunterschiede und der Höhen über Normal-Null.

164.

53,1110

3 3781

49,7337®° ^^645^2^5

15.

jSXiI⁴¹⁶⁵⁴

0,2285

1,426-

flß48J 52,9675

56.2941

164;

2,0540

1,3858

[60951,7877

0,8575

₁₇X    0,4416

®f°²²⁸ x' 4

V    0,2942    0,9232 W VS

\    ][    064^55,3170

11.    0,6668^4.

in

19.

54,3939

53,9522

20

2,8741 v

1,1240

8.

1,6759

(77)55,9837

U75V³^0,6424

54,9083

J.5501

,21 55,0761

80

1,9827

56,6261 1,3339

0/896

22.

31

53,4636

0^3595

14)5':

2.ooizr^3IL5a

23r

(41j54,5864

24

28.

7,9800

26.

Ml

0,4826

(2000)61,4436

IX

1,5517

0,7104

1,1615

$35)55,0690

25.

30.

€0,2821

5,4451

•2.9 r

1,1658

0,9336

30)56,0027

54,8370

Die Gewichte der einzelnen Strecken sollen den Entfernungen s umgekehrt proportional sein, und damit können wir, ohne erst eine Tabelle der Bedingungsgleiehungen zu bilden, sofort die Normalgleichungen nach dem Anblick von Fig. 1 S. 548 anschreiben.

Nach (10) § 12 S. 32 heißt die erste Normalgleiclmng, wenn wir das Absolutglied der allgemeinen Theorie in Band I, 5. Aufl. 1904, § 43 entsprechend mit w bezeichnen :

[y ]h + [y ]h+[y ] *-'³⁺• - +wi-°-

Da nun in unserem Falle die p = 1 : s und alle a, b, c    1 oder = — 1

sind, hat man für das erste Polygon I nach dem Anblick von Fig. 1 S. 548 :

T a a~\ _

LP J

1,7 -)- 1,2 -+- 0,8 -h 0,3    2,0 -f- 0,7 — -t- 6,7

- 0,3 ...

Oder in Worten: der quadratische Koeffizient einer Normalgleichung ist die-Summe der Umfangsstrecken des betreffenden Polygons.

Jeder andere Koeffizient ist die negative Streckenlänge der Anschlußseiten ; z. B. die Polygone I und II schließen aneinander mit einer Strecke von 1,2 Um (Fig. 1 S. 548),.

folglich muß    = — 1,2 sein; das Polygon I und das Polygon III haben keine

Strecke gemeinsam und deswegen ist    = 0; und im übrigen hat das Polygon I

— 0,3 ist, und die Verbindung mit X gibt

El-

noch Verbindung mit IX, weshalb

noch — 0,8. Damit haben wir die erste Normalgleichung wie folgt :

-+- 6,70 Zq — 1,20 k₂ — 0,30 k₉ — 0,80 Zq₀ -f- 0,70 = 0 .

In dieser Weise erhält man alle 10 Normalgleichungen, zu welchen, ehe wir sie schreiben, nur die kleine Bemerkung gemacht werden soll, daß dabei k zweierlei Bedeutungen hat, erstens k = Korrelate wie immer und k = zehnter Buchstabe, gehörend zu X.

Normalgleichungen :

+ 6,7 fr — 1,2 fr...... ......

—    1,2 ki -j⁻ 3,3 kn — 0,7 k₃ — 0,3 k^    . .    .    ,    ,    ,    *    .

. . ' — 0,7 k₂ -(- 4,0 k₃ — 1,2 k±    . .    .    .    .    .    .    .

. .    — 0,3 k₂ — 1,2 -f 3,8 kj — 1,1 k₅......

. .    — 1,1 kx + 3,7 k₅ - 1,2 k₆ . .

. .    . .    . .    . . —1,2 k$ -f- 4,5 k$ —1,3 ki .

..    . .    ..    ..    — 1,3 lg q- 6,4 ki — 2,0 kg

.    .    — 2.0 ki    + 6,7 ke — 2,3 k₉ -1,0 fc₁₀ + 11,1 --Q    "

. ,    . .    —    2,3 fc₈ q- 7,4 k₉    — 0,9 £₁₀ — 0,9 = O

—    0,8 kj — 0,3 k₂ . .    — 0,6fr₊    .    .    —    0,7    *₆    . .    —    1,0 *R — 0,9 k₉    q- 4,3fci₀ — 1,9 = 0.

Die Auflösung dieser zehn Gleichungen gibt:

fr = + 0,29 mm frj — — 0,03

Diese Korrelaten werden nun auch in Fig. 1 S. 548 eingeschrieben. Die Korrelate bedeutet für ein Polygon den Korrektionswert für 14m, welcher auf dieses Polygon entfällt. Damit kann man alle Linienkorrektionen nach dem einfachen Anblick der Fig. 1 S. 548 leicht finden, z. B. :

iq = — 0,8 (q- 0,29mm) + 0,8 (— 0,11 mm) = — 0,28mm — 0,09mm = — 0,32mm.

Die sämtlichen so berechneten Linienverbesserungen v und ihre Zufügung zu den nivellierten Höhenunterschieden h kann man auch in Fig. 1 S. 548 einfügen (handschriftlich etwa rot); da aber unser Holzschnitt Fig. 1 doch hierzu nicht ausreicht, haben wir die v und die h -+- v in den Abriß S. 547 eingeschrieben, von wo jedoch jedenfalls die h ■+■ v wieder in ein Netz Fig. 2 S. 549 übergetragen werden. Nachdem also die verbesserten Höhenunterschiede h q- v in Fig. 2 S. 549 ein-

— 0,3 kc, — 0,8 kw -j- 0,7 = 0 mm ■ .    — 0,3 k^Q — 7,6 — 0

— 0,8 = 0

. .    — 0,6*₁₀4- 5,4 = 0

— 7,8 = 0 • .    — 0,7 ktfi q- 0,0 — 0

. . q- 6,8 = 0

— 0,3 kt

aus

⁼ + 2,46 mm ki = —1,83

k₃ — q~ 0,46 mm kg = — 2,44

= — 0,53 mm ks = — 0,64

kt, = -(— 1,94 mm i₁₀ = - 0,11.

getragen sind, kann man die Höhen aller Knotenpunkte widerspruchsfrei zusammensetzen, und zwar nehmen wir als Ausgangshöhe über N. N. die Höhe des Bolzens (1646) = 55,317 m. Wir erhalten damit die Höhenwerte, welche nicht nur in Fig. 2 S. 549 sich finden, sondern auch nochmals in folgender Tabelle vereinigt sind. (Zugleich wurden auch die in der Anmerkung zu Fig. 1 S. 548 erwähnten zwei fremden Punkte (1644) und (1648) mit ausgerechnet.)

Punkt

Höhe

| über N. N.

Punkt

Höhe

über N. N.

Punkt

Höhe über N. N.

Punkt

Höhe über N. N.

(1644) (L W) (H M)

(67)

53,1110

49,7337

56,2941

55,0228

55,3170

54,3939

(1648)

(61)

(54)

(47)

(5)

(163)

54,8370

56,0027 '

55,6690

54,5864

55,2922

53,2849

54,9083

52,9256

53,4636

51,7877

61,4436

60,2821

52,9675

54,1654

53,9522

55,0761

56,6261

55,9837

(10)

(30)

(Bi)

(35)

(60,)

(41)

(1646)

(1647)

Damit ist die Ausgleichung fertig. Weiteres hierüber findet man in der „Zeitsehr. des Hannov. Arch.- und Ing.-Vereins 1887“ S. 694, insbesondere auch die Höhen der etwa 250 Anschlußpunkte, welche, wie die Hauptnetzpunkte selbst, alle durch Mauerbolzen nach § 118 Fig. 2 S. 515 festgelegt sind.

Übergehend zur Genauigkeitsberechnung haben wir zuerst in dem Abriß S. 547

(80)

(77)

(2000)

(84)

(L)

(14)

alle einzelnen

ausgerechnet mit der Summe    =

74,63 .

Dazu machen wir auch noch die Proberechnung — [io ft] ebenso wie in dem früheren Beispiele von § 126 (15) S. 545. Die Ausrechnung wird in unserem Falle geben —[w ft] = 76,0, was mit dem vorstehenden 74,63 hinreichend stimmt. Wir nehmen einfach das Mittel 75,3 und haben daraus mit Rücksicht auf die zehn Bedingungsgleichungen :

Mittlerer Fehler

75,3

-y io

= jp 2,7-mm für 1 -hm.

Daß dieses Nivellement mit rund ±3mm für 1 km, die sich nach der Ausgleichung wohl auf 2mm für 1 km reduzieren werden, dem gestellten Zwecke, nämlich Kanalisationsentwurf, genügt, wird zweifellos sein. Eher könnte umgekehrt gefragt werden, ob diese Genauigkeit erforderlich war, und ob nicht ein einfacheres Verfahren auch genügt hätte. (Vgl. Schluß von § 129.)

Näherungsausgleichung von Nivellements.

Strenge Ausgleichung nach den vorstehenden §§ 126 und 127 ist verhältnismäßig wenig mühsam, zumal man außer den vielen Additionen u. dgl., welche doch wohl in allen Fällen auftreten, fast alles mit dem gewöhnlichen Bechenschieber machen kann. (Wir haben in diesem Falle die Auflösung der zehn Normalgleichungen S. 550 im wesentlichen nur mit dem Rechenschieber gemacht.) Es ist auch zu bedenken, daß wenn bei geringer Übung eine solche Ausgleichung nach der M. d. kl. Q. mühsam würde, sich dieselbe doch durch die Ordnung und Übersichtlichkeit des Ganzen lohnen kann. Wenn die Zahl der Knotenpunkte geringer ist als die Zahl der Polygonbedingungen, macht man die Ausgleichung auch nach der Methode der vermittelnden Beobachtungen. In der 3. Aufl. 1888 dieses II. Bandes war in § 114 S. 400 ein Beispiel hierzu gegeben; wegen der allgemeinen Anordnung dieses Ausgleichungsverfahrens sei auf das im nächsten Kapitel IX über trigonometrische Höhenmessung § 143 (vgl. auch § 142 Eingang) behandelte Beispiel verwiesen.

Indessen gibt es doch viele Fälle, in welchen rasch, ohne Anspruch auf besondere Schärfe, eine Gruppe von Nivellements zusammengestellt werden soll, zumal ja schon die gewöhnlichsten Nivellements eine Genauigkeit besitzen, welche für die meisten technischen Zwecke völlig genügt, auch ohne die Genauigkeitssteigerung durch rationelle Ausgleichung (z. B. die Festpunktnetze bei Geländeaufnahmen).

Bei der Wahl eines in solchen Fällen anzuwendenden Näherungsausgleichungsverfahrens Avird man zuerst zu unterscheiden haben, ob ein oder mehrere feste Anbindepunkte (etwa Bolzen der Landesaufnahme) vorhanden sind. Hat man deren mehrere, so Avird man zuerst die Verbindung der beiden entlegensten Anbindepunkte hersteilen, und Avenn diese Verbindung hinreichend stimmt, alsbald endgültig verteilen, und nach diesem Grundsätze fortfahren.

Hat man aber nur einen (oder auch keinen) Anbindepunkt, ist also das Nivellement nur in sich auszugleichen, so hat man als erstes gebräuchliches Mittel ein Polygon für sich auszugleichen und die anderen daran anzuhängen. Das ist aber nicht gut; man soll viel lieber zuerst eine ausgeAvählte, möglichst durchgreifende Diagonale auf möglichst vielen Wegen bestimmen, mittein und dann zu Aveiteren Anschlüssen fest lassen usav. Ein richtiger praktischer Blick ist natürlich bei allen diesen Ausgleichungen nach Gutdünken die Hauptsache, nebst dem BeAvußtsein, daß, wenn man einmal auf die schöne Symmetrie strenger Ausgleichung verzichtet hat, es für praktische Zwecke meist ziemlich gleichgültig ist, ob man die Avenigen Zentimeter, um die es sich wohl nur handeln kann, so oder so unterbringt.

Man kann auch auf Nivellementsausgleichung das Näherungsverfahren anwenden, welches in der 2. Auflage dieses Handbuchs im ersten Band 1877 S. 449 angegeben war.

§ 128. Nivellements der preußischen Landesaufnahme.

Seit etwa 1867 ist ein Nivellementswerk im Gange, Avelches 1894 abgeschlossen AA'urde und nun mit etAva 16 000 tun Länge voraussichtlich auf die nächsten Jahrzehnte für alle technischen ZAvecke die Anbindepunkte bieten Avird, nämlich das Nivellement der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme, dessen Festlegung mit Bolzen-steinen und Mauerbolzen, soAvie Normalhöhenpunkt in Berlin, wir bereits in § 118 behandelt haben.

Die bis jetzt erschienenen acht Bände heißen: „Nivellements und Höhenbestimmungen der Punkte erster und ZAveiter Ordnung, ausgeführt von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme“, im Selbstverläge (zu beziehen durch die Hofbuchhandlung von Mittler u. Sohn). Berlin 1870, 1873, 1875, 1880, 1883, 1886, 1889, 1894.

Berichte hierüber gibt die „Zeitschr. f. Verni. 1877“ S. 394—395; 1880 S. 370, 373; 1882 S. 281—303; 1883 S. 501—507; 1886 S. 358-360; 1889 S. 574-575; 1891 S. 137; 1892 S. 194; 1893 S. 6; 1895 S. 170-172; 1897 S. 102, 635-642, 672, 689; 1898 S. 17; 1899 S. 116. Eine Übersichtskarte enthält jeder der neueren Bände; Übersichtskarte gibt auch „Zeitschr. f. Venu. 1882“, lithogr. Beilage zu S. 281; 1883 S. 502-503; 1891 S. 137.

Seit 1886 werden außer den großen wissenschaftlichen Bänden des Nivellements auch Aus

zugshefte für den unmittelbaren Gebrauch der Technik ausgegeben: Auszug aus den Nivellements der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme. I. Heft Provinz Eheinland, Bayerische Pfalz, Elsaß-Lothringen und angrenzende Landesteile : mit einer Übersichtstafel. Berlin 1886. Mittler & Sohn,

Hofbuchhandlung, Kochstraße 68—71. Preis 2 M.

Ebenso Heft II : Prov. Schleswig-Holstein,

Hannover, Westfalen und von denselben umschlossene altpreuß. Gebiete. — Heft III: Provinz Sachsen, Hessen-Nassau und Thüring. Lande. — Heft IV : Prov. Pommern, Brandenburg, Herzogtümer Mecklenburg und angrenzende Landesteile. — Heft V : Prov. Posen und angrenzende Landesteile. — Heft VI : Prov. Ost- und Westpreußen und angrenzende Landesteile und Insel Bügen.

Neuere Hefte dieser Art sind die „Nivellementsergebnisse der trigonometrischen Abteilung der Königl. Preußischen Landesaufnahme.“ Heft I: Prov. Ostpreußen, mit drei Übersichtsblättern. Berlin 1896. Zu beziehen von Mittler & Sohn, Kochstraße 68—71. Desgl. Heft II: Westpreußen. Heft III: Pommern. Heft IV: Schleswig-Holstein und die Großherzogtümer Mecklenburg. Heft V: Schlesien. Heft VI : Posen. Heft VII : Brandenburg. Heft VIII : Provinz Sachsen und Thüringische Lande. Heft IX: Hannover und Großherzogtum Oldenburg. Heft X: Westfalen. Heft XI: Hessen-Nassau und Großherzogtum Hessen. Heft XII : Kheinprovinz. Heft XIII : Beichsland Elsaß-Lothringen, Großherzogtum Baden, Bayerische Pfalz.

Ein Beispiel für die Anordnung der Nivellierungen und die Verwertung in den einzelnen Landesteilen geben Fig. 1 und 2 für die Provinz Hannover und das Großherzogtum Oldenburg (Heft IX).

Eig. 1. Die Nivellementslinien in Hannover.

26

28

30

Schle

AYsiz/n a; \

sn‘a'»°/s/e. ^Hamburg

Ha'rĄr9'''~l0Tw!gJs\>

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Nivellementslinien

in

il

Werner ÖL

OldenSSns ^Bremen

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S'/

-.30

10.

10^

v ô Breitenhess

^ Hannover¹ u.s.w:

?Vl___

5v

ve

53

Magdeburg.

,h^tx)çxy

' Kassel CP VS i^^nstadt

Hessen-Nassau'

(Heft- Xl|

‘-i    15

-y

50

100

26

28

30

men

467 Mauerbolzen, 755 Nummerholzen, 56 Festlegungsknöpfe, 210 anderweitige Festpunkte (ausschließlich Pegel); vgl. hierzu die Figuren 1—4 § 118 S. 515—516. Es entfällt für dies Gebiet ein Festpunkt auf 1,114m der Hauptnivellementslinien und

Das Nétz Fig. 1 umfaßt 20 Schleifenlinien und 11 Anschlußlinien von zusam-18024m Länge. Es enthält 1628 Festpunkte und zwar: 140 Höhenmarken,

auf 80,3 cpfim des Flächeninhaltes.

Als Provinzialhauptpunkt gilt : Hannover, Ägidienkirche, Höhenmarke. Fig. 2 S. 554 zeigt die zur Versicherung dieses Provinzialhauptpunktes dienende Schleife von Hannover.

Von den wissenschaftlichen Veröffentlichungen der Nivellements der Landesaufnahme betrachten wir besonders den Schlußband, nämlich : „Nivellements der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme.“ VIII. Band, mit sieben Tafeln. Berlin

1894. Hofbuchhandlung Mittler & Sohn, Kochstraße 68—71. („Zeitschr. f. Venn. 1895“ S. 170—172.)

164434m, und zwar 15 295 4m Schleifen-

Mit diesem VIII. Bande ist das Werk, welches 1869 begonnen wurde, im wesentlichen abgeschlossen. Dasselbe umfaßt nun nivellements und 1148 hm Anschlußnivellements. Die Festlegung besteht, wie schon in § 118 angegeben, in 8300 Nummerbolzen, 1500 Höhenmarken auf 3 000 Mauerbolzen, so daß im Durchschnitt etwa 8 Festpunkte auf 10 4m entfallen. Außerdem sind 32 Meerespegel einnivelliert.

Die Ergebnisse des VIII. Bandes 1894 ersetzen die in dem I. Bande 1870 erschienenen Messungen, welche aus trigonometrischen Bestimmungen auf weite Entfernungen und dann aus ersten Versuchsnivellements bestanden hatten, fast alles in . den Provinzen Ostpreußen und Westpreußen liegend.

Fig. 2. Die Schleife von Hannover.

!6^7i

Alte Celler Heerstr.33

'Cellepslrasse 17

Oie Schleife von Hannover

(T.H.)

'1646

EiDhsrr//7

lange Laube 50

Scharnhorslstr.l

Marklhirche

Humboldfslr.17

JlumboldNr.25

Humbcldfslr.2

Osterstr.65

MisburgerDammä

H. M- Ägidierikirohe

‘Zeughaus 1

500

1000

Lmzensfr.22

Eine Gesamtübersicht der erreichten Genauigkeiten wird auf S. 31—35 des

VIII. Bandes gegeben, nämlich drei Arten von mittleren Fehlern aus allen sieben Bänden II—VIH. Die drei Arten von mittleren Fehlern sind für das Doppelnivellement von 14m Länge :

1. Aus den Differenzen I —11 = zl der Hin- und Hermessungen auf den Strecken a von Bolzen zu Bolzen (etwa 24m):

linien s:

»h

-wm-

a)

2. Aus den Differenzen I — II = d der Hin- und Hermessungen auf den Schleifen

-wm-

(2)

3. Aus den Schlußfehlern der Schleifen in einer Netzausgleichung mit r Be-dingungsgleichungen :

m₃

(3)

dahei findet jedoch Anschlußzwang statt, so daß dieses mPj ein wenig zu groß erhalten wird.

Diese drei Arten von mittleren Fehlern sind für die sieben Bände folgende :

Band, Jahr

aus Streckendifferenzen

m₂

m₃

aus Liniendifferenzen

aus Schlußfehlern der Schleifen

Band

II, 1873

1047

660

— 1,26 mm

/■

71,7

—— == 2,26 mm 14

#13,68

V 6

= 1,51 mm

III, 1875

1479

912

= 1,27

/178,0

y 25

= 2,67

V 10

22,03

= 1,48

IY, 1880

1785

1140 ”

1,25

yr

= 2,24

Y, 1883

3582

1366

= 1,62

y 44

409,5

= 3,05

52,37

14

= 1,93

VI, 1886

1995

1216

= 1,28

, /227,6    . , e

1/ -#=2,45

VII, 1889

1344

797

= 1,30

93,8

„ VU!, 1894

1842

1314

= 1,18

V 26

'127,6

= 1,90

y i5 y ii

71,34

36,86

= 2,18

= 1,83

45

= 1,68

Aus allen Bänden 1873-1894

13074

7405

= 1,33

0305,7

215

= 2,46

= ²’⁰⁴-<4)

Man sieht daraus auch, daß 7405 Strecken und 215 Linien zur Vergleichung kamen und daß alle Netzausgleichungen zusammen 82 Bedingungsgleichungen enthalten. Im ganzen kann man den mittleren Kilometerfehler der Landesaufnahmenivellements von 1873—1894 rund = + 2 mm annehmen.

Aus diesen Zahlen kann man auch die mittlere Streckenlänge a und die mitt

lere Schleifenlinienlänge s berechnen, nämlich mit der schon oben angegebenen Zahl 15 295 4m Gesamtlänge :

mittlere Strecke a =

15295 hm

7405

= 2,06 hm

15295 hm

= 71,14 hm.

mittlere Schleifenlänge s =

Der Einfluß der normalen Änderung der Schwerkraft auf die Schlußfehler der Nivellementsschleifen (welchen wir erst in unserem späteren § 131 behandeln werden)

215

ist bis zum IV. Bande 1880 nicht berücksichtigt worden. In dem VIII. Bande ist die praktisch zur Ausrechnung der Höhen über N. N. gemachte Ausgleichung S. 22 u. ff. auch zuerst ohne solche Berücksichtigung gemacht, aber nachträglich S. 159 sind die korrigierten Schlußfehler und die ihrer Ausgleichung entsprechende Fehlerberechnung beigegeben, nämlich :

S. 34 ohne Schwerkraftreduktion (iß iß) =■ 99,55,

(iß' iß') = 89,29

und der mittlere Fehler für 1 Kilometer entsprechend, bei 17 Schleifen:

89329

S. 160 mit

99,55

17

= 2,42 w-m- und m'

y i?

= 2,29 m-m.

Der Fehler m' ist also durch die theoretisch geforderte sphäroidische Beduktion etwas kleiner geworden. In Zusammenstellung hat man hierfür:

Band V S. 128 von m = 1,93 mm verkleinert auf m' — 1,73-mm m = 2,18    „    vergrößert    „    m' = 2,27    „

m = 1,83    „    verkleinert    „    m' = 1,74    „

m = 2,42 „    „    „ m’= 2,29 „

In Band VI hat    also    ein Zufall der Theorie entgegengewirkt, indem m' etwas

größer als m geworden ist.

Der VIII. Band enthält auch noch die Anschlüsse an die Nachbarstaaten Dänemark, Belgien, Frankreich, Bayern, Anschlüsse an die Flutmesser zu Arkona und Marienleuchte.

Über neuere Nivellements der Landesaufnahme geben einige Berichte in rZeitsehr. f. Venn.“ Auskunft: 1897 S. 101-104, S. 635—642 (672), 1899 S. 116—119.

In der Provinz Pommern und dem Großherzogtum Mecklenburg wurde die alte Küstenlinie zwischen Travemünde und Stralsund auf Grund eines Beschlusses des Zen-traldirektoriums der Vermessungen im preußischen Staate vom Dezember 1895 neu gemessen; die Länge dieser im Jahre 1896 doppelt nivellierten Strecke beträgt 205hm. Im Jahre 1897 wurde das Küstennivellement fortgesetzt und 1898 mit den Strecken Lensahn—Lübeck—Stralsund —Anklam — Köslin mit den Abzweigungen nach Hamburg, sowie nach den Flutmessern und Pegeln von Marienleuchte, Travemünde, Wismar, Warnemünde, Arkona, Wieck, Swinemünde und Kolbergermünde abgeschlossen.

Dieses Küstennivellement wird auch über die Veränderungen der Festpunkte Angaben liefern; etwaige Schlußfolgerungen können jedoch nur mit Vorsicht gemacht werden, da die Genauigkeit der älteren Nivellements von 1874 in Pommern und Mecklenburg, im besonderen wegen der damals ziemlich rohen Reduktion der Lattenwerte auf richtiges Längenmaß, nicht an die Genauigkeit der neueren Messungen heranreicht. Es wurden nämlich im Jahre 1896 die Latten mehrere Wochen hindurch dreimal zu jedem Tage untersucht, um einen etwaigen täglichen Gang für das Lattenmeter festzustellen; es ist jedoch hierbei (entgegen den Erfahrungen in anderen Ländern) kein Anzeichen einer Änderung des Lattenmeters im Laufe eines Tages gefunden worden.

Auch die Genauigkeit des Nivellierens wurde bei dem Küstennivellement seit 1896 gegen früher erheblich gesteigert durch Einführung des in § 121 S. 526 schon behandelten Nivellierverfahrens mit Einstellen eines Horizontalfadens auf die Feldmitte und danach eines Horizontaldoppelfadens auf die Striche der in Fig. 12

S. 505 dargestellten Strichlatte hei Anwendung der Doppelheohachtungen (§ 121), wobei je zwei benachbarte Striche zur Einstellung gelangen („Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 117 und 1897 S. 635).

In bezug auf die Genauigkeit dieses Küstennivellements hat sich nach den endgültigen Berechnungen folgendes ergehen („Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 118) : Der mittlere Fehler einer doppelt nivellierten Einkilometerstrecke auf Grund der Unterschiede der grundsätzlich hin und zurück gemessenen 2 iVm-Strecken war :

1897

1896 Beobachter H = 0,56 mm H = 0,56 „

S = 0,77 „

1898

H — 0,53 „

S = 0,53 „

für 1896/98 im Mittel = 0,583 mm.

Der große Wert 0,77 mm ist jedenfalls durch die Ungeübtheit des 1897 neu eingestellten Beobachters S hervorgerufen. Systematische Fehler zwischen Hin- und Rückmessung der Strecken sind nicht zur Erscheinung gekommen (178 positive, 195 negative Abweichungen, neunmal Null).

Dem Fehlerwert 0,583 mm entspricht der Fehler in der Zusammenstellung S. 555 von 1,33 mm aus allen Bänden 1873/94, wodurch die Genauigkeitssteigerung bei den neueren Arbeiten zum Ausdruck kommt.

Besonders wertvolle Schlußfolgerungen werden sich aus dem Küstennivellement erst später nach Ausführung von Verbindungslinien zwischen dem Küstennivellement und Berlin, sowie im Zusammenhänge mit den Wasserstandsbeobachtungen an der Küste ableiten lassen, namentlich hinsichtlich der Beziehungen zwischen dem deutschen Landeshorizont und den Mittelwasserhöhen der Ostsee, sowie hinsichtlich etwaiger regionaler oder lokaler Senkungen des Bodens.

Die zahlreichen Nacharbeiten und sog. Verfestigungsnivellements, durch welche Mauerholzen (Fig. 3 S. 516) in die Nivellementslinien eingefügt wurden, haben zweifellos ergehen, daß besonders die Nummerbolzen (Fig. 1 S. 515) Veränderungen (Einsinken) im Laufe der Zeit unterworfen sind, weshalb sie auch als Festpunkte 2. Klasse betrachtet werden. Diese Erfahrungen werden voraussichtlich zu der Notwendigkeit führen, daß sowohl mit Rücksicht auf die für praktische Zwecke erforderliche Genauigkeit und Vollzähligkeit der Festpunkte, als auch im Interesse wissenschaftlicher Untersuchungen ein Nivellement in gewissen Zeitabschnitten von etwa zwei Jahrzehnten möglichst vollständig wiederholt wird.

Über den Stand und Fortschritt der Präzisionsnivellierungen in den verschiedenen Staaten wird fortlaufend berichtet in den „Verhandlungen usw. der internationalen Erdmessung“.

Hauptnivellements mul Wasserstandsbeobachtungen im Ministerium der öffentlichen Arbeiten.

Nach den § 118 S. 519 angegebenen „Bestimmungen über den Anschluß der Nivellements an den preußischen Landeshorizont“ sind unter den Nivellements anderer Behörden, die den Anschluß an das Präzionsnivellement der Landesaufnahme vermitteln können, besonders zu erwähnen die im System der Landesaufnahme ausgeglichenen Präzisionsnivellements des obengenannten Bureaus. Die Nivellementslinien folgen den Wasserstraßen des preußischen Staates und der angrenzenden Landesteile. Die Festpunkte bestehen aus Bolzen mit kugelförmigem Kopf, die in Abstand von •etwa 14m in Steinpfeiler oder massive Baulichkeiten einzementiert sind. Außerdem werden in das Nivellement einbezogen die amtlichen Pegel mit ihren Kontrollfest-punkten, Hochwasserstandsmarken und andere vorhandene Höhenzeichen.

Das hierbei angewendete, von Seibt ausgebildete Nivellierverfahren besteht, wie schon § 121 S. 526 erwähnt, der Hauptsache nach im Einstellen des Zielfadens auf die Mitte der 4 mm breiten Felder von Wendelatten mit dem von Breithaupt in Cassel nach Seibts Angaben konstruierten Nivellierinstrument und Ausführung von Doppelbeobachtungen (S. 527). Das Fernrohr (mit zwei Okularen 80- und 40 fache Vergrößerung gebend) hat zur Bestimmung der Ziel weiten Distanzfäden und ruht mit der Libelle (von 5" Empfindlichkeit) in einem Träger, der um eine horizontale Achse mittels einer horizontalwirkenden Mikrometerschraube — entsprechend dem Vertikalmikrometer des Theodolits — feingestellt Averden kann. Während bei der Landesaufnahme streng die normale Zielweite \ron 50 m eingehalten wird, werden hier die Ziel-Aveiten (gleich für Rück- und Vorblick) je nach den Umständen verschieden genommen, in der Regel bis 100 m, aber auch darüber. Die Genauigkeit des Nivellements entspricht dem der Landesaufnahme, so daß diese den Wasserstraßen folgenden Nivellierzüge eine Avertvolle Ergänzung der hauptsächlich den Landstraßen folgenden Strecken der Landesaufnahme bilden. Im letzten Jahrzehnt sind bereits eine Anzahl der Avich-

tigsten preußischen Ströme, Flüsse und Wasserstraßen bearbeitet Avorden.

Von den Veröffentlichungen, Avelche über das Nivellierverfahren usAAr. Auskunft geben, seien envähnt:

Präzisionsnivellement der Elbe

auf Veranlassung der Elbstrombehörden von Preußen, Mecklenburg, Anhalt ausgeführt von W. Seibt. Berlin, Stankiewicz 1878 (\Tgl. „Zeitschr. f. Arerm. 1878“ S. 449—454).

Desgl. zweite Mitteilung 1881, desgl. dritte Mitteilung 1887.

Berlin, Stankiewicz 1891

Präzisionsnivellement der AVelchsel, bearbeitet von Prof. Seibt.

(„Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 262). Desgl. zweite Mitteilung 1896.

AVegen der weiteren zahlreichen Veröffentlichungen des Bureaus sei verwiesen auf einen Bericht von Galle im Zentralblatt der Bauverwaltung 1902 S. 85.

Eine Übersicht über die Veröffentlichungen geben auch die für den praktischen Gebrauch bestimmten Auszüge „Höhen über N. N. von Festpunkten und Pegeln an Wasserstraßen“, z. B. 1. Heft Oder usw.

Es sei auch zitiert die Besprechung in „Zeitschr. f. \rerm. 1898“ S. 648—652.

§ 129. Eisenbahnnivellements und sonstige Feinnivellements.

Seit Festlegung des deutschen Normalhorizontes werden alle Stromnivellements, Eisenbahnnivellements u. dgl. nach den in § 118 S. 519 auszugstveise mitgeteilten „Bestimmungen über den Anschluß der Nivellements usw.“ an diesen Horizont nivel-litisch angeschlossen. Besonders die A'ielen 100 4m langen Züge der Eisenbahnnivellements geben eine Avichtige Ergänzung der Hauptnivellements der Landesaufnahme. Bezeichnet man dieses als Nivellement I. Ordnung, so kann man die eingeschalteten Züge, welche den in § 7 der S. 519 envähnten „Bestimmungen usw.“ festgesetzten Genauigkeitsgrenzen entsprechen, als Nivellement II. Ordnung betrachten.

Die in § 122 bei (11) S. 531 mitgeteilte Linie Hildesheim—Großgleidingen ist ein Beispiel eines solchen Eisenbahnnivellements von 1891. Solche Eisenbahnnivellements Averden genauer gemacht, als die reinen Eisenbahninteressen verlangen Avürden, so daß sie also zwei ZAvecken dienen, erstens Vervollständigung des allgemeinen Landeshöhennetzes, und ZAveitens Herstellung genauer Längenprofile der Eisenbahnen für den Betrieb.

Die „Anweisung für die Ausführung von Längen- und Höhenmessungen der im Betriebe befindlichen Bahnstrecken“, Königl. Eisenbahndirektion Hannover 1889, bestimmt in § 14: Die zu nivellierenden Strecken werden vor der Messung mit Festpunkten in Form von Bolzen (ähnlich wie die Bolzen § 118 Fig. 1 und 2 S. 515 versehen und zwar in einer durchschnittlichen Entfernung von 500 m. Wo dergleichen Festpunkte nicht angebracht werden können, sind dieselben eigneten Stellen künstlich herzustellen und zwar am besten durch besonders hierzu gesetzte Steine von Granit oder gleich festem Material, welche möglichst 0,8 m tief in den gewachsenen Boden reichen. Höhenschilde an Bahnhöfen s. § 118 Fig. 6 S. 517.

an ge-

Ferner § 20: Ein Nivellement gilt als gut, wenn der beobachtete mittlere Fehler nicht mehr als 3 mm auf 1 km Länge und noch als brauchbar, wenn derselbe nicht mehr als 5 mm auf 1 km beträgt. Ist ein Nivellement von der Länge L am Anfänge und am Ende an Festpunkte der Landesaufnahme angeschlossen, und hat den Messungswiderspruch w ergeben, so berechnet sich hieraus w

der mittlere Fehler zu m =-

VT

Unter dem „beobachteten mittleren Fehler“ könnte man wohl den lediglich aus den Beobachtungen selbst nach (8), (9), (10) S. 530 zu bestimmenden Fehler verstehen; indessen bei jenem Eisenbahnnivellement wurde darunter der aus den Anschlüssen an die Landesaufnahme folgende Wert m — w : YL verstanden.

Neuerdings sind vom Ministerium der öffentlichen Arbeiten für den Bereich der preußisch-hessischen Eisenbahngemeinschaft Vorschriften für die Ausführung der Feinnivellements erlassen worden, welche in der „Zeitschr. f. Verm. 1901“ S. 685—689 abgedruckt sind.

Zu dem Eisenbalinnivellement Hildesheim—Großgleidingen in § 122 (11) S. 531 sei noch bemerkt, daß es mit Blasenablesung, also mit wicht einspielender Libelle, gemacht wurde, was in solchen Fällen, wo alle Zivischenhöhen über N. N. auszurechnen sind, einen Teil seiner Vorteile verliert. Die „Anweisung 1889“ § 16 e hatte bestimmt, daß jede Strecke von Bolzen zu Bolzen hin mit allen Zwischenpunkten und zurück ohne die Zwischenpunkte nivelliert werden sollte, was aber die Gefahr mit sich bringt, daß einseitige kleine systematische Fehler hin und her ungleich werden. — "Wir sind deshalb 1891 von dieser Anweisung abgewichen.

Wir haben hin und her gleichartig mit 50 -m Zielweite, Lattenaufstellung auf den Schienen bei den Hundertersteinen, dann Einbindung der Bolzen mit je zwei kürzeren Stationen, nivelliert, und erst nachher wurden alle Einzelheiten, Durchlässe, Gefällweehsel usw. durch ein drittes Nivellement nachgeholt, schlechthin unter Einbindung an die aus dem Mittel der beiden ersten Nivellements bekannten Schienenhöhen bei den Hundertersteinen. Aus 59 Streckenvergleichungen ergab sich nach (10) § 122 S. 530, wie schon S. 531 angegeben, der mittlere Fehler der Hin- und Hernivellierung der Einkilometerstrecke jkl>94mm bei einer Nivelliergeschwindigkeit von etwa 1,5 4m in der Stunde.

Die Figur S. 560 gibt eine verkleinerte Kopie der amtlichen Musterzeichnung für Längenprofile.

StadtnivéUement.

Auch die neuerdings unternommenen Stadtnivellements, wie das schon als Ausgleichungsbeispiel in § 127 und Fig. 1 und 2 S. 548 und 549 behandelte Hauptnivellierungsnetz der Stadt Hannover, sind der erreichten Genauigkeit nach zu der genannten Klasse der Nivellierungen II. Ordnung zu rechnen. Das hannoversche Nivellement von 1886—1887 ist mit dem Instrumente von § 112 Fig. 6 S. 486 und den Latten Fig. 8 § 116 S. 503 mit Libellenablesung in der in § 120 erläuterten Weise gemacht. Die Punkte wurden durch Mauerbolzen nach Fig. 2 § 118 S. 515 bezeichnet. Das Netz umfaßte 354m mit 500 Bolzen (vgl. den Abriß S. 547); die

Längenprofil der Königl. Eisenbahndirektion Hannover.

(Etwa ²/₃ Größe der amtlichen Längenprofile, welche 1 : 10 000 in den Entfernungen und 1 : 100 in den Höhen, also 1 cm — 100 m Entfernung und — Im Höhe haben.)

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Ged. Durchl. 0 5S m w., 10,3 m. h Brücke mit eisernem Uoherbau. 3,5 m w., 2,8 ra h.

Gerv. Durchl. J.17 ra w., 1,39 m h.

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Nivelliergeschwindigkeit betrug etwa 1 Stunde für 1 Um (vgl. § 125 S. 540), da eine Zeit von etwa 70 Stunden =12 Feldtagen in Anspruch genommen wurde. Die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate (§ 127) mag an Zeit etwa zwei bis drei Rechentage mehr in Anspruch genommen haben, als die Additionen usw. in den Feldbüchern und in den Berechnungstabellen ohnehin nötig machten. Aus der Ausgleichung § 127 S. 551 wurde der mittlere Fehler berechnet zu + 2,7 mm für 1 hm, aus dem Hin- und Hernivellement der einzelnen Strecken zu +2,3 auf viele Jahre festzuhaltenden Ergebnisse stehen mit ihrer Genauigkeit über der Nivelliergenauigkeit der anschließenden Stadtingenieure und Kanalisationsbeamten, was in amtlicher Beziehung erwünscht und nötig ist, damit niemals der nachfolgende An-schlußnivelleur Grund hat, seine Anschlußnivellements für genauer zu halten als die ihm gedruckt übergebenen Bolzenhöhen des Hauptnivellements. Reklamationen solcher Art sind nie vorgekommen. Oh hei allen diesen Umständen es zu empfehlen wäre, derartige Stadtnivellements mit wesentlich einfacheren Mitteln und geringeren Kosten auszuführen (vgl. z. B. „Zeitsehr. f. Yerm. 1896“ S. 477), kann nach dem Mitgeteilten beurteilt werden.

Die

mm.

§ 130. Die Schwerkraft an der Erdoberfläche.

Als Vorbereitung zum nachfolgenden § 131, sowie auch zur später folgenden Theorie der trigonometrischen und barometrischen Höhenmessung, müssen wir hier einige Zitate aus der Physik, betreffend Schwerkraft an der Erdoberfläche, einschalten.

Die Kraft, welche an der Erdoberfläche die Richtung eines Lotes oder die Einstellung der Blase in einer Libellenröhre bestimmt, ist die Schwerkraft; dieselbe setzt sich zusammen erstens aus der Gravitation oder Anziehung der Erdmassen, und zweitens aus der Zentrifugalkraft oder Fliehkraft.

Wir beschäftigen uns zuerst mit der Anziehung und wissen, daß diese Kraft (welche auch die Bewegungen der Himmelskörper im Weltraum bestimmt) zwischen zwei Massenpunkten proportional den Massen und umgekehrt proportional dem Quadrate der Entfernung wirkt.

Da die Erde nahezu die Form einer Kugel hat und in vielen Rechnungen näherungsweise als Kugel behandelt werden darf, betrachten wir zuerst die Massenanziehung einer Kugel auf einen außerhalb, auf oder innerhalb der Oberfläche gelegenen Punkt.

Alan kann durch elementare Betrachtungen (z. B. Alousson, Physik, Zürich 1858, I S. 81) zeigen, daß die Gesamtanziehung einer homogenen Kugelschale auf einen Punkt innerhalb derselben gleich Null ist, und auf einen außerhalb oder auf der Schale befindlichen Punkt gleich der Anziehung eines Massenpunktes, der im Kugelmittelpunkt die ganze Kugelmasse konzentriert enthält. Da eine homogene oder auch beliebig konzentrisch geschichtete Kugel als Summe von homogenen Kugelschalen aufgefaßt werden kann, so folgt aus dem Vorigen, daß auch die Gesamtanziehung einer solchen Kugel auf einen außerhalb oder auf der Kugeloberfläche befindlichen Punkt ersetzt werden kann durch die Anziehung eines Alassenpunktes, welcher die Gesamtmasse der Kugel in ihrem Mittelpunkte vereinigt..

Daraus folgt weiter, daß die Alassenanziehungen oder die entsprechenden Beschleunigungen für zwei außerhalb (bzw. auf) der Kugel befindliche Punkte sich

36

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd.

7. Aufl.

umgekehrt verhalten wie die Quadrate ihrer Abstände vom Mittelpunkte, oder' nach » Fig. 1 ist:

<y

/•-

G (r -j- 7?)2

(1)

Diese Reduktion für die Höhe h in freier Luft über der Erdoberfläche läßt sich nicht in gleicher Weise für Punkte unter der Erdoberfläche anbringen (so daß etwa nur h negativ zu setzen wäre).

Kg. 1.

Wichtiger für die Geodäsie ist noch die Reduktion für Erhebung über der Erdoberfläche nicht in freier Luft, wie bei (1), sondern auf einer Gebirgsehene, wie hei G" in Fig. 1 angedeutet ist. Es bedeute G" die Anziehung (bzw. Beschleunigung) auf einer Hochebene von unbegrenzter Ausdehnung in horizontalem Sinne und der Höhe h über der idealen Erdoberfläche (über N. K), das Gebirge habe die Dichte 0. während die Erde selbst die mittlere Dichte 0m habe. Dieses Gebirge übt auf einen Punkt seiner Oberfläche eine Anziehung A G aus (abgesehen von der Anziehung der übrigen Erde), welche man durch Integration finden kann ('Helmert. „Höhere Geodäsie", II, S. 142 und 164), nämlich hier hinreichend genähert:

G%h

îm

Gi

Qm

A G — 2 u ft² 0 h (1 -(- ...).

Die Anziehung der Erdkugel selbst ist (mit derselben Konstanten k²) :

4

= Z”² n r 0m.

y’2

4 n 0m r³ _

y r² ~ y

(2)

Das Verhältnis der Erddichte 0 an der Oberfläche zu der mittleren Dichte 0m der Erde als Ganzes ist etwa 0: 0m = 1:2, also:

- JL J⁹. Ji. -

Go ~~ 2 0m r ~~ 4 r Die Anziehung G₀ auf die Höhe h reduziert, ohne Rücksicht auf das Gebirge, würde nach (1) geben:

AG

(S)

G'₀ — Go l¹ — —)

(4)

Die wirkliche Anziehung G" oben setzt sich zusammen aus G₀-\~ AG-4-(G'₀ — G₀), es ist also nach (3) und (4) :

G" = Go( 1 +

3    h _2h

4    r r ;

Es ist weiter der Fall zu betrachten, daß über dem Gebirgsrücken h (rechts in Fig. 1) nochmals eine Erhebung in freier Luft stattfindet, um eine Höhe h', so daß eine Anziehung G"' entsteht (G'" und h ' sind in Fig. 1 nicht eingeschrieben), welche aus G" nieder nach dem früheren Gesetze (1) erhalten wird, nämlich:

G'» = G"( 1-**'

= Go 1 —

TT •

(5)

(6)

Weiter können Fragen entstehen, wie sich die Anziehung ändert, wenn ein geneigter Gebirgsrücken usw. vorhanden ist. Wir müssen hierfür verweisen auf Helmert, „Höhere Geodäsie“ II, S. 163 u. ff.

Alles Bisherige gilt für die Erde als Kugel; und indem wir analoge Gesetze für das Ellipsoid suchen, betrachten wir zuerst das homogene ruhende Ellipsoid (nach der Abhandlung von Gauß über Anziehung homogener Ellipsoide, Übersetzung von Wangerin, Leipzig 1890 S. 70—72). Die im vorstehenden behandelten sphärischen Gesetze sind auch für das Ellipsoid in erster Näherung wieder gültig, soweit es sich um Änderung der Schwere mit der Höhe handelt, aber die Anziehung ist nun nicht mehr nach dem Erdmittelpunkt gerichtet und, bei beliebigen Annahmen über die Massenverteilung, auch im allgemeinen nicht mehr normal zur Oberfläche des Ellipsoids.

Gehen wir weiter zu dem sich drehenden Ellipsoid über, welches als flüssige Gleiehgewichtsfigur unter dem Einfluß der Massenanziehung und der Zentrifugalkraft entstanden sein soll, so daß die Resultante aller auf einen Oberflächenpunkt wirkenden Kräfte stets rechtwinklig zur Oberfläche sein muß, so kommen weitere Theorien in Betracht, welche hier nur noch als Zitat angegeben werden können (vgl. hierzu „Zeit-schr. f. Yerm. 1898“ S. 119—123).

Fig. 2.

f cos? V

—>-f COS'/-1 ^fcospsmy*

kr

Die Massenanziehung des Ellipsoids auf einen Oberflächenpunkt p denken wir in zwei Komponenten zerlegt, nämlich eine größere Komponente R nach dem Erdmittelpunkte M nud eine kleinere Komponente Q rechtwinklig zu R. Beide zusammen. R und Q, geben die Resultante G, welche nicht mehr nach Mgerichtet ist, sondern einen kleinen Winkel Mp G gegen den Äquator hin bildet.

Nun kommt noch die Fliehkraft (Zentrifugalkraft) hinzu, welche am Äquator f = a oi² ist (mit Winkelgeschwindigkeit = oo), welche also in der Breite qp den Wert xco² mit x — u cos qp genähert, also den Wert f cos qp hat, mit der Komponente f cos² qp radial nach auswärts und mit der Komponente / cos qp sin qp tangential in der Richtung nahezu wie Q. Setzt man nun diese von f herrührenden Kräfte in p abermals zusammen mit den von der reinen Massenanziehung herrührenden Kräften, so bekommt man im ganzen die Resultante g, welche von G aus noch etwas mehr gegen den Äquator hin geneigt ist und mit dem Äquator den Winkel qp bildet, d. h. es ist g rechtwinklig zur Ellipsoidoberfläche in der Normalenrichtung unter der Breite qp.

Die resultierende Kraft g heißt die Schwerkraft (bzw. Beschleunigung der Schwere, der Ausdruckskürze wegen nicht immer streng unterschieden). Die Theorie zeigt, daß die Änderung der Schwerkraft von der Breite 0° bis qp proportional sin² cp

sein muß, und die Formel hierzu ist (nach Helmert, „Höhere Geodäsie¹* II, S. 241 und S. 609) :

g = 9,7800 (1 4- 0,005310 sin2 cp).

Für viele Zwecke ist es nützlich, die Mittelbreite cp — 45° einzuführen, denn da sin²45° = 0,5 ist, hat man:

(7)

g₀⁴⁵ ₌ 9,7800 (1 + 0,002655) = 9,80597.

Setzt man zugleich in (7) sin* cp = ^----—cos 2 cp, so erhält man aus (8) und (7)

zusammen :

(8)

g = 9.80597 ^1

0,002655

cos 2 <pj

1,002655

g = go⁴⁰ (1 — ß cos 2 cp), wobei g₀⁴⁵ = 9,80597 und ß = 0,00265.

Dabei ist gn⁴⁵ die Beschleunigung der Schwere in der Breite cpi — 45° und in der Höhe 0 über dem Meere. Hat man eine andere Höhe h, so kommt die frühere Deduktion (1) oder (5) noch hinzu, und man hat für Erhebung h in freier Luft nach. (9) und (1):

(9)

g = c/o⁴⁵ ['l — ß cos 2 q — —h'j

(10)

und für Erhebung h auf einer Hochebene nach (9) und (5) :

g = g₀4h (l — ß cos 2 cp:— ^    .

(11)

§131. Höhen und Niveauflächen am Ellipsoide.

Während bei der Erde als Ebene oder als Kugel die Definition der Höhen ein

fach und eindeutig ist (vgl. S. 3 und 4), sind bei der Erde als Ellipsoid besondere Überlegungen nötig.

Wir wollen hierbei von einer einfachen physikalischen Anschauung ausgehen (nach Fig. 1). Man denke sich an drei Punkten des Ellipsofds (in einem Meridiane), nämlich im Äquator mit der Breite 0°, in der Mittelbreite 45° und im Pol mit der Breite 90 °, je einen vertikalen Maßstab oder Turm von 100,000 m Höhe über dem Mittelwasser des Meeres errichtet, dann haben die drei Turmenden nach gewöhnlicher Anschauung gleiche Höhen.

Nun denke man weiter sich das Wasser an der Erdoberfläche sintflutartig vermehrt, bis es an dem mittleren der drei Türme, unter 45°, gerade den Oberrand erreicht; und es entsteht die Frage, ob dann auch (wenn die Massenverhältnisse durch das hypothetisch zugeschüttete Wasser als nicht beeinflußt angesehen werden) die beiden anderen Türme, unter 0° und 90°, mit ihren oberen 100m hoch gemessenen Rändern im Wasserspiegel sein werden? Um diese Frage zu beantworten, muß man die Veränderung der Schwere nach der Formel (9) § 130 berücksichtigen und außer der bisherigen gewöhnlichen Höhendefinition noch eine zweite Definition einführen.

Fig. 1.

99,73s"¹

100₍000m

/. ‘<-5°

.100/Z65m

Die mit Maßstäben bzw. mit Nivellierlatten gemessenen Höhen nennt man orthometrische Höhen, und jene zur Yeranschauung benützten drei Türme sind, ortho-metrisch gemessen, sämtlich = 100,000m hoch. Alle unsere in gewöhnlicher Weise in rascher Steigung nivellierten Höhen sind orthometrisch.

Eine zweite Art von Höhen sind die dynamischen Höhen oder Arbeitshöhen, d. h. Höhen, welche nicht mit dem Meterstah, sondern nach der Arbeit gemessen werden, welche zu ihrer Ersteigung erforderlich ist, und es sind zwei Arbeitshöhen dann gleich, wenn dieselbe Masse, in beide Höhen emporgehoben, gleiche Arbeiten verlangt.

Sind also an zwei Orten der Erde die Schweren gx und g₂ und Arbeitshöhen hy und h₂, so muß sein:

(1)

9l h = g₂ h, oder

h — Ol .

7*2 ⁽J\

Nehmen wir hierzu die Sehwereformel (9) § 130 S. 564. nämlich: g = g₀45 (1 — ß cos 2 <jp) mit ß — 0,00265,

so linden wir, daß gleiche Arbeitshöhen am Äquator, unter 45° und am Pol, sich werhalten müssen wie

(1 + 0,00265) : 1 : (1 — 0,00265) oder wie 100,265 :100.000 : 99,735.

Das sind die Höhen, welche in Fig. 1 S. 564 als Wasserhöhen eingeschrieben sind; denn das Wasser würde sich in dem angenommenen Fall so stellen. Die Wasseroberfläche ist nämlich immer rechtwinklig zur Besultante aller daselbst wirkenden Kräfte, in unserem Fall zur Schwerkraft, und Bewegung in der Oberfläche selbst erfolgt ohne Aufwendung von Arbeit.

Eine Fläche, welche überall rechtwinklig zur Schwerkraft ist, heißt Niveaufläche ; zwei benachbarte Niveauflächen haben überall Querabstände, welche als Arbeitshöhen alle gleich, dagegen als orthometrische Höhen im allgemeinen ungleich sind.

Damit können wir auch schon das Wesentliche der Fragen beantworten, welche beim Nivellieren auf der ellipsoidischen Erdoberfläche auftreten.

Wir denken in Fig. 1 S. 564, man habe einen Nivellementsweg vom Äquator zum Pol durchaus längs des Meeres in der Höhe Null. Auf diesem Wege nivellierend wird man den Höhenunterschied Null finden.

Nun steige man am Pol rasch auf bis zu einer Höhe von 99,735 m, mit Latten nivelliert, und man habe einen Weg auf einer Hochebene vom Pol bis zum Äquator, wo man wieder rasch um 100,265 herunter und am Meere entlang an den Ausgangspunkt zurück nivelliert. Dort wird man (abgesehen von Nivellierfehlern) mit 99,735 m — 100,265m = — 0,530

m abschließen.

Fig.,2.

Ü2

Hi

niKlJ

Das heißt, wenn man in üblicher Weise vom Äquator zum Pol und zurück in 100 m Höhenunterschied fehlerfrei in gewöhnlicher Weise nivelliert, so wird man mit einem Fehler von rund 0,5 m abschließen.

Eine ähnliche Überlegung läßt sich auch anwenden auf das in Fig. 2 angedeutete Nivellement zwischen den Breiten qpx und qp₂ über die Höhen Hx und iT₂.

Ein fehlerfreies Nivellement wird den Schlußfehler Hx — i/₂ zeigen, wobei //₁ und //2 orfchometrische (mit Latten gemessene) Höhen sind, indem die Gleichung bestellt :

(?)

Nach (10) § 130 S. 564 ist für die Mittelhöhe ^ :

II

.02 = 0"⁴⁵ ( 1 — ß cos 2 (jc-₂ —

Oi = i/o⁴⁵    — ß cos 2 (JBj — -

— = 1 — ß (cos 2 fjf₂ — cos 2 qpj) = 1 -ł- 2 ß sin (qpx gp₂) só* (qp₃ — <Pi) •

*•/

Oi

Genähert sm (<jp₂ — <fi) = cf-2 — Tl = (m = Meridianbogen)

(cp = Mittelbreite) gibt :

H₁ — H₂ = 2Hßsin2<p .

Das hier vorkommende Produkt Hm, d. h. aus der Höhe H und dem Meridianbogen m ist die in Fig. 2 S. 565 schraffierte Meridianfläche, welche nun mit F bezeichnet sei, und damit haben wir aus (3):

Schlußfehler JI\ — //₂ = F sin 2 cp .

Mit ß = 0,00265 und r = 6 370 000 m gibt dieses :

und sin (cjr₁ + <p.₂) = sin 2 cp

= 1 H- 2 ß sin 2cp~

oder

(3)

(4>

Schlußfehler (H± — Jl<>) mm = 0,832 (F q/km) sin 2 q .

Wenn also ein geschlossener Nivellementszug auf die Meridianebene projiziert eine Fläche gibt von 100 km Länge und 100 m = 0,1 km Höhe, so ist F = 100x0,1 = 10 qkm, und wenn cp ~ 45°, also sin 2 cp = 1 gesetzt wird, so gibt die Formel (5) damit :

(5)

(6)

oder bei 500

(7)

Schlußfehler Hx — H% = 8,32 mm Höhe gibt es bereits : Schlußfehler = 42 mm.

Man sieht aus solchen Überschlagsrechnungen, daß bei der heutigen Messungsschärfe der sphäroidische Schlußfehler bereits an die Messungsfehler selbst heranreicht, weshalb die Eeduktion in neuerer Zeit in Eechnung gebracht wird, wie wir schon bei den Nivellements der Landesaufnahme § 128 S. 556 bemerkt haben.

Was wir im vorstehenden über Nivellement auf dem Ellipsoid vorgetragen haben, enthält nur die nötigsten Grundbegriffe. Die weitergehende Theorie muß statt unserer kurzen Entwicklung (3)—(4) mit einer Mittelhöhe und Mittelbreite eine Integration nach cp und nach H vornehmen, entweder um alle Höhen auf orthometrisches Maß oder auf dynamisches Maß zu reduzieren.

Außer der Abplattung der Erde im ganzen, welche wir im bisherigen behandelt haben, sind auch noch die örtlichen Massenunregelmäßigkeiten der Erde, welche in Gebirgen und Tälern augenscheinlich zutage treten, von Einfluß auf die Ergebnisse der Nivellements und auf die Schlußfehler geschlossener Nivellementsschleifen. Die nivellierten Höhen selbst können dadurch erheblich beeinflußt werden, während die Schlußfehler doch klein bleiben; z. B. für ein Nivellement über die Alpen findet Helmert einen Schlußfehler von noch nicht 0,1m, während -allerdings die Höhe des überschrittenen Gebirgspasses um 0,3 m zu klein ausfallen dürfte.

Diese Theorien gibt Helmert in der „Zeitschr. f. Verm. 1882“ S. 233—243 und 249—255, Helmert ,Höhere Geodäsie“ II, 7. Kapitel, S. 539, und Veröffentlichung des Geodätischen Instituts

-Die Schwerkraft im Hochgebirge, Berlin 1890“, mit Bericht in der „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 188—190. Hierzu gehört auch: „Zentralbureau der internationalen Erdmessung. Vergleichung der Mittelwasser der Ostsee, Nordsee, des Atlantischen Ozeans und des Mittelmeeres, Ausgleichung von 18 Nivellementspolygonen , von Börsch, Kühnen, der internationalen Erdmessung vorgelegt von Helmert. Berlin 1891.“

Theorie des Nivellierens auf dem Ellipsoide und praktische Anwendungen gibt: „Lever des plans et nivellement, par Pelletan et Lallemand“, Paris 1889 S. 358—375.

Ferner: „Vogler, Lehrbuch der praktischen Geometrie, 2. Teil, Höhenmessungen 1894“

S. 276—286.

Eine andere physikalische Sache ist hier noch zu erwähnen : „Lallemand, sur l’erreur de réfraction dans le nivellement géométrique, Compt. rend. Vol. 123 (1896)“ p. 297—301 und „Verhandlungen der permanenten Kommission in Lausanne 1896“ S. 247—276, und „Zeitschr. f. Verm. 1898“ S. 97—103 und S. 201.

1904 S.    617,    1905    S.    614,    1906 S.    817,    1907 S. 834.

Kapitel XI.

Trigonometrische H öhen mess ung.

§ 132. Messung der Hölienwinkel.

Hach dem in § 1 mit Fig. 1 und 2 S. 3 und 4 ausgesprochenen Grundgedanken handelt es sich hei der trigonometrischen Höhenmessung zunächst um die Messung von Vertikal winkeln mit dem Theodolit.

Die Theodolite, welche wir früher in § 56 S. 227, 229, 231—233 und S. 253 beschrieben haben, dienen auch zum Messen von Höhenwinkeln, und wir haben nun das nachzutragen, was die Höhenwinkelmessung besonders verlangt.

Zuerst betrachten wir die Anordnung der Libellen. Will man Höhenwinkel messen, so muß man eine Libelle in der Richtung des Fernrohrs haben, also z. B. die Libelle L₂ S. 227. Hat man einen Höhenkreis ohne eine solche Längslibelle, was allerdings manchmal angetroffen wird, so kann das nur den Sinn haben, daß das Instrument zunächst wesentlich für Lagemessungen bestimmt war, und daß nur für untergeordnete Höhenmessungen noch ein Höhenkreisehen beigegeben wurde.

Es ist hier auch die Libelle auf dem Fernrohr selbst zu erwähnen. Eine solche Fernrohrlibelle kann zum Höhenwinkelmessen gebraucht werden in der Weise, daß man für jeden Höhenwinkel zweimal abliest, einmal bei der Einstellung auf den Höhenzielpunkt, und einmal bei einspielender Libelle, indem vorausgesetzt wird, daß die Libellenachse und die Zielachse parallel seien, was durch die Nivellierprobe von § 114 S. 492 untersucht und gestimmt wird.

Eine vielfach verwendete Anordnung der Libelle für Höhenwinkelmessung besteht in einer Alhidadenlibelle, im Sinne von § 56 II, S. 225 in der Fernrohrrichtung, mit genügender Empfindlichkeit von etwa 10"—20" auf 1 Strich, je nach Durchmesser und Ablesewert des Höhenkreises (Libellenempfindlichkeit besonders bei kleinen Instrumenten nicht zu groß). Diese Libelle muß bei jeder einzelnen Höhenzielung scharf einspielen, ebenso wie die Libelle eines Nivellierinstrumentes; und da es schwierig ist, die Libelle so fein richtig (d. h. rechtwinklig zur Vertikalachse) zu stellen, daß sie allgemein einspielend bleibt, so kann man sich in gleich einfacher Weise, wie beim Nivellieren, dadurch helfen, daß man bei jeder einzelnen Zielung mit einer passend gelegenen gewöhnlichen Fußstellschraube soweit nachdreht, daß die Blase gut einspielt.

Die beste Anordnung ist aber eine am Nonien- oder Mikroskoparm angebrachte, also um die Horizontalachse drehbare, mit einer in der Regel wagreeht wirkenden Feinbewegungsschraube einstellbare besondere Höhenkreislibelle. Diese zeigt z. B. der in Fig. 18 S. 229 abgebildete Theodolit ; wir werden auch in dem späteren Kapitel über Tachymeter diese bewegliche Höhenlibelle mit besonderer Schraube noch kennen lernen (Kap. XIV).

Mit Rücksicht auf die Libelle haben wir für die gewöhnliche Höhenwinkelmessung folgende Anweisung :

1.    Man bringt den Zielpunkt in das Gesichtsfeld.

2.    Man sieht zu, ob die Libelle gut einspielt und bringt sie erforderlichenfalls mit der besonderen Feinbewegungsschraube, oder falls diese nicht vorhanden, mit einer geeignet liegenden Stellschraube zum scharfen Einspielen.

3.    Man bringt den Fadenkreuzpunkt oder wenigstens den (richtig gestellten) Horizontalfaden auf den Zielpunkt. (Kontrollblick nach der Libelle.)

Fig. 1.

Höhenwinkelmessung.

Lage II.

Lage I.

4.    Man liest an dem Kreise ab, den man zu -diesem Zweck in beliebige bequeme und gut beleuchtete Lage bringen, also auch aus der Messungsebene herausdrehen kann.

Das Ganze wird mit durchgeschlagenem Fernrohr wiederholt und es wird aus den in beiden Lagen erhaltenen Ergebnissen das Mittel genommen.

Um nicht auf die Horizontalstellung des Fadens sich unbedingt verlassen zu müssen, soll man nach Fig. 1 in Lage I und Lage II den Zielpunkt symmetrisch links und rechts (oder rechts und links) von der Mitte einstellen.

§ 133. Berechnung der Höhenwinkel.

Hat man nach der soeben gegebenen Anweisung einen Höhenwinkel gemessen, so besteht die Berechnung im wesentlichen in einfacher Mittelbildung. Trotzdem ist hierüber noch Verschiedenes zu sagen, und zwar zunächst über den:

Indexfehler.

Wenn man bei einspielender Libelle eine Höhenzielung nimmt, so bekommt man einen Höhenwinkel nur dann unmittelbar richtig, wenn der horizontalen Zielung die Ablesung Null entspricht. Wenn dieses nicht der Fall ist, sondern bei horizontaler Zielung etwa die Ablesung -f- x gemacht wird, so wird statt eines richtigen Höhen-winkels a der falsche Wert a -+- x erhalten, und man sagt dann, der Höhenwinkel hat den Indexfehler -+- x, oder er verlangt eine Indexverbesserung — x. Der Indexfehler wird aber aufgehoben durch Durchschlagen des Fernrohrs und Messen in beiden Lagen.

Um diese Eliminierung des Indexfehlers einzusehen, betrachten wir im folgenden an den Figuren 1, 2 und 3 den gewöhnlich vorliegenden Fall, daß Kreis und Fernrohr

Fig. 3. Fernrohrlage II.

Fig. 2.

Fig. 1. Fernrohrlage I.

oCi

\N

.c

cJO'''XK

\cC

71'

fest verbunden sind und der Nonienarm durch die Libelle in eine feste Lage gebracht wird. In Fig. 1, 2 und 3 soll die stark gezogene, mit einer Pfeilspitze versehene

Linie die Zielachse des Fernrohrs vorstellen. Der mit 0—00 bezeichnete Kreisdurcli-inesser ist der durch den Nullpunkt der Teilung bestimmte. Da Kreis und Fernrohr fest verbunden sind, schließen Fernrohrachse und Durchmesser 0—00 den konstanten Winkel c ein. Da die Libelle einspielen soll, erhält die Ablesevorrichtung N eine feste Stellung, so daß die Verbindungslinie zwischen dem Kreismittelpunkte und dem Ablesezeiger N einen konstanten Winkel n mit der Horizontalen macht. (Ähnliche Beziehungen erhält man, wenn man statt Höhenwinkel Zenitdistanzen betrachtet.)

Fig. 1 zeigt die Stellung des Kreises und des Fernrohrs, welche nötig ist, um einen wahren Höhenwinkel a zu messen. Am Kreis wird abgelesen der Winkel a\ welchen der nach dem Index 2Vgezogene Kreishalbmesser mit dem Xullhalbmesser macht.

Fig. 2 zeigt die um 180° gedrehte, im übrigen aber unverändert gelassene Stellung des Kreises, des Fernrohrs und des Zeigers (weshalb die Zielachse des Fernrohrs, welche in Fig. 1 vor dem Kreise liegend angenommen ist, nun in Fig. 2 als hinter dem Kreise liegend punktiert gezeichnet ist).

Fig. 3 zeigt die in der zweiten Fernrohrlage nach Umdrehen um 180° und Durchschlagen des Fernrohrs bei Wiedereinstellung des Zielpunktes erhaltene Stellung. Die Ablesung erfolgt an dem wieder in der bestimmten Lage mit der Libelle festgehaltenen Indexstrich 2V, und indem man von der Rückverlängerung 00 des Kreishalbmessers 0 zählt, erhält man die Ablesung a".

Man entnimmt aus Fig. 1 und 3 S. 569 die Beziehungen:

a — a' -\~n — c a' + a"

(1)

folglich

a = a" + c — n, a' — a"

a — —

Man bekommt also, wie oben schon angegeben, den Höhenwinkel a als arithmetisches Mittel der Ablesungen «' und a". unabhängig vom Indexfehler c — n, welcher selbst als halbe Differenz zweier zusammengehöriger Ablesungen u' und a" erhalten wird. Dieses gilt für jeden Nonius.

Da der Indexfehler seiner Natur nach konstant sein muß, so hat man hierdurch für die Höhenwinkelmessung in zwei Fernrohrlagen eine Probe, wie aus den nachfolgenden Beispielen zu ersehen sein wird.

Obgleich der Indexfehler also durch Durchschlagen des Fernrohrs und Messen in beiden Lagen aufgehoben wird, ist es doch für manche Zwecke, besonders die in Kap. XIV zu behandelnde Tachymetrie, wünschenswert, ihn wegzuschaffen.

Die Berichtigung des Indexfehlers für einen Nonius (den als Zählzeiger zu benutzenden) hängt ab von der Anordnung des Instrumentes. Man mißt einen (besser mehrere) Höhenwinkel in beiden Fernrohrlagen und erhält damit den richtigen Wert.

Nun kann man — je nach der Anordnung des Instrumentes — 1. während das Fadenkreuz den angezielten Punkt deckt und die Libelle einspielt, den Nonius korrigieren, so daß er das arithmetische Mittel als Ablesung gibt ; oder 2. bei einspielender Libelle den Kreis mit der Feinbewegungsschraube so stellen, daß das arithmetische Mittel am Nonius erscheint, und dann das Fadenkreuz so verschieben, daß es den vorher eingestellten Punkt wieder deckt ; oder 3. während das Fadenkreuz den angezielten Punkt deckt, und am Nonius das arithmetische Mittel als Ablesung erscheint, die Nonienlibelle mit der Berichtigungsschraube zum Einspielen bringen.

Nach Ausführung der Berichtigung wird sie durch Nach messen mehrerer Höhenwinkel geprüft.

Mittel

+ 5° 28' 35"

links

rechts

3' 10" 3' 20"

Verschiedene Bezifferungen des Höhenkreises.

Die Bezifferung des Kreises wird sehr verschieden gemacht, und da hiervon auch die Ausrechnung der Schlußergehnisse ahhängt, müssen wir diese Verhältnisse noch ein wenig näher betrachten.

I. Höhemoirikel und Tiefenwinkel. Das einfachste ist, geradezu Höhenwinkel und Tiefenwinkel abzulesen. wie in Fig. 4 angedeutet ist. Hierbei gibt jeder Nonius hei jeder Fernrohrlage einen Wert des Höhenwinkels, und man hat das Mittel aus je zwei Ablesungen an demselben Nonius zu nehmen, also im ganzen das Mittel aus allen vier Ablesungen.

Beispiel zu Fig. 4.

Fig. 4.

Höhen- und Tiefenwinkel.

30

30

60

SO

60

30

y jo

Non.

Lage I

Lage II

Mittel

II—I

konstant

+ 5° 26' 30" + 5° 24' 10"

+ 5° 29' 40" + 5° 27' 30"

+ 5° 28' 5" -+- 5° 25' 50"

+ 5C25' 20"

+ 5° 26' 57,5" = n

. Wenn ein erheblicher Indexfehler vorhanden ist, so können hei kleinen Höhenoder Tiefenwinkeln die vier Ablesungen verschiedene Zeichen erhalten, doch kann man in der Ausrechnung des Höhenwinkels nicht irren, wenn man nur diese Vorzeichen rein algebraisch berücksichtigt.

Diese einfache Anordnung Fig. 4 zeigt beim ersten Blick manche Vorteile; sie hat aber auch manche Nachteile: Man braucht hierbei einen doppelten Nonius oder einen nach zwei Richtungen bezifferten Nonius.

Die Differenz II—I ist nach (1) S. 570 gleich dem doppelten Indexfehler, und muß daher an jedem Nonius konstant sein für alle Höhenwinkel.

II. Zenitwinkel (Zenitdistanzen). Am meisten gebräuchlich ist die Anordnung von Fig. 5, wobei die horizontale Ziellinie die Ablesung 90° bekommt und also die Beachtung des Vorzeichens für Höhen- und Tiefenwinkel wegfällt.

Alle Ablesungen, sei es für Höhenwinkel oder für Tiefenwinkel, werden hier im gleichen Sinn gemacht. Wenn Lage I

Zenitdistanzen gibt, so gibt Lage II deren Supplemente (gewissermaßen Nadirdistanzen). Bezeichnet man die Ablesungen in der ersten und zweiten Fernrohrlage bzw. mit I und II,

90

und die entsprechenden Höhenwinkel mit a' und a", so hat man:

«' = 90° — I —«" = 90° — II,

II—I

folglich :

(2)

Fig, 5.

Zenitdistanzen. 1SO

720,

60

7SO

3o

\6o

So

7720

30

760

Man erhält also den Höhenwinkel a nach Größe und Vorzeichen als halbe Differenz der Ablesungen I und II. Wenn die Formel (2) gelten soll, so muß diejenige Lage, welche unmittelbar Zenitwinkel gibt, mit I bezeichnet werden. Zwei Beispiele zeigt folgende Tabelle :

Non.

Lage I (Kreis links)

Lage II (Kreis rechts)

II-I

Bemerkungen

links

rechts

88° 2' 10" 88 0 20

91° 57'50 91 56 10 Mittel II — I

II—I

-t- 3° 55' 40” + 3 55 50 + 3 55 45

Konstante Summe 180° 0' 0” 179 56 30

Höhenwinkel

-f-1 57 52,5

links

rechts

90 10 30 90    9 10

89° 49' 20”

89 47 40 Mittel II—I

II —I

— 0 21 10 — 0 21 30 -0 21 20

179 59 50 179 56 50

Höhenwinkel

— 0 10 40

Fig. 6.

Zenit- und Nadirdistanzen.

ISO

180

ISO

120

120

90

-h

90

60

60

30

SO

Fig. 7.

Durchlaufende Teilung.

Statt dessen kann man die Ausrechnung auch nach (7) S. 575 machen.

Eine unwesentliche Abänderung des vorhergehenden Falles zeigt Fig. 6; man erhält hier in jeder Lage an dem einen Nonius eine Zenitdistanz, an dem andern eine Nadir-distanz, und statt des ersten der zwei vorstehenden Beispiele hätte man das folgende:

Non. links

rechts 91 56 10

Lage II

Lage I

88° 2'10”    91° 57'50”    II— I = + 3° 55' 40”

88 0 20    I— II 4- 3 55 50

90

120

ISO

Mittel

Höhenwinkel

+ 3° 55' 45”

1 57 52,5.

60

180

30

210

r240

33 a

300

:270

III. Durchlaufende Bezifferung. Fig. 7. Wenn der Höhenkreis wie der Horizontalkreis des Theodolits von 0° bis 360° durchlaufend beziffert ist, so hat man aus den Ablesungen I und II, welche an einem Nonius bei zwei Fernrohrlagen gemacht sind, bei jeder beliebigen Kreisstellung:

Zenit winkel z =

II-I

'"I⁻'

(3)

Als Lage I ist hierbei diejenige bezeichnet, welche beim Erheben des Fernrohrs wachsende Ablesungen gibt. Bei der Bildung der Differenz II—I wird nötigenfalls 360° zugesetzt. Ein Beispiel dient zur Erläuterung:

Non.

links

rechts

Lage I 30° 22' 30” 210 22 20

Lage II 213° 35' 0" 33 34 30

II—I 188° 12' 30” 183 12 10

Mittel Zenit winkel 91 Höhenwinkel — 1

183° 12'20”

CO CO CO CO

o o

r-H H

Auch bei dieser Anordnung muß die Summe der Ablesungen für einen Nonius

konstant sein.

Wir haben hei dem letzten Beispiel angenommen, daß der Nullpunkt des Kreises ganz willkürlich liegt, so daß von einem Indexfehler im gewöhnlichen Sinn keine Rede ist. Bei dieser Anordnung III, wenn der Kreis auf seiner Achse drehbar ist, mißt man einen Winkel mit irgend welcher Kreisstellung, macht jedoch die Wiederholung der Messungen mit anderen Kreisstellungen, damit nicht die wenigen Teilstriche, welche den fast allein vorkommenden Höhenwinkeln von wenigen Graden entsprechen, ausschließlich zur Anwendung kommen.

Eigentliche Repetitionsmessung (mit zwei Libellen) kommt bei Höhenwinkeln selten vor. (Die badische trigonometrische Höhenmessung hatte einen Höhenkreis von Ertel in München mit Repetitionseinrichtung.)

Die Genauigkeit der Höhenwinkelmessung ist hei gleichem Kreisdurchmesser meist etwas geringer als die Genauigkeit der Horizontalwinkelmessung.

Namentlich muß man sich hüten vor konstanten Fehlern, welche z. B. beim Einstellen der Libelle Vorkommen können, oder welche aus der „Biegung des Fernrohrs“ hervorgehen. (Vgl. Tinter, „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1888“ S. 242—243.)

§ 134. Höhenwinkelmessung mit Libellenahlesung.

Statt die libelle zu jeder Sicht wirklich scharf zum Einspielen zu bringen, kann auch die Blasenausschläge ablesen und in Rechnung bringen, wie wir dieses beim feinen Nivellieren kennengelernt haben.

Nachdem die Empfindlichkeit der Libelle auf dem Libellenprüfer § 47 S. 182 oder auch unmittelbar durch den Höhenkreis selbst bestimmt ist, kommt es nur noch darauf an, die Ablesungen in richtige Ordnung zu stellen, und namentlich beim Ausrechnen keinen Vorzeichenfehler zu begehen.

Wir bringen hier diejenige Behandlungsart zur Darstellung, welche Verfasser von der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme 1891 kennen lernte, und zwar mit dem Instrumente § 56 S. 231, auf welches sich auch die Fig. 1 und 2 und das spätere Zahlenbeispiel beziehen.

Der Kreis ist so beziffert, daß in der ersten Lage (Fernrohr rechts) bei horizontaler Sicht und einspielender Libelle ohne Indexfehler am Mikroskop I die Ablesung 270° gemacht wird. Die Erhebung des Rohres gibt wachsende Ablesung, es ist also der Höhenwinkel a nach Größe und Vorzeichen aus der Ablesung r bei Fernrohr rechts :

man

Fig. 1. Fernrohrlage r.

i AZ90

180

ly.

40    20

Fig. 2. Fernrohrlage l.

a = r — 270°.

Nachdem das Fernrohr durchgeschlagen und auf denselben Zielpunkt wie vorher eingestellt ist, erhält ^5-man an demselben Mikroskop I eine Ablesung /, welche wieder den Höhenwinkel a gibt:

a — 90° — l.

(1)

40    20

Dabei ist zunächst vorausgesetzt, daß kein Indexfehler vorhanden sei ; wäre ein Indexfehler i vorhanden, so hätte man statt (1) und (2) nun :

(3)

a-y = r — (270 -+- i) und «₂ = (90° -t- i) — I.

Das Mittel aus + und «₂ gibt den richtigen Wert a, nämlich :

90°.

(4)

_    + a₂ _r — l

U~ 2    "2

Hierbei wurde immer angenommen, daß die Libelle in der Mitte einspiele, z. B. auf dem Striche 20 bei der Bezifferung von Fig. 1 und 2 S. 573. oder die beiden Blasenablesungen links und rechts die Summe 40 geben. Spielt die Blase weiter links ein. so wird diese Summe größer als 40, rechts kleiner als 40. Wenn also s die Summe der abgelesenen Blasenenden bedeutet, und e die Empfindlichkeitsangabe der Libelle in

Sekunden auf einen Strich, so ist — 2oj e = (s — 40) ^ die Neigung der Libellenachse (d. h. der Tangente im Striche 20) für die Ablesungssumme s.

Diese Neigung ist zu der Kreisablesung hinzuzufügen, mit einem Vorzeichen, welches der Lage der Bezifferung der Libelle entspricht. Um dieses Vorzeichen richtig

s

zu

treffen, überlegen wir nach Fig. 1, daß hier für — größer als 20 oder s größer als

40 die Libellentangente in 20 sich nach links aufwärts neigt, daß also die von dieser Tangente nach links aufwärts gezählten Höhenwinkel zu klein erhalten würden, wenn nicht die Libellenkorrektion hinzukäme, oder es ist die Korrektion für die Ablesung r bei Fernrohr rechts A r und entsprechend links A l :

und

Ar = (8-40)1

Al = (s — 40) g •

In unserem Falle war e — 14,2"; d. h. einem Blasenausschlag von einem Strich entspricht eine Libellenneigung von 14,2" oder einer Änderung von s entspricht eine Neigung von 7,1". Hiernach wurde eine Tabelle berechnet für s von 0,1 zu 0,1, deren Hauptwerte, nur von 1 zu 1, diese sind:

Blasenablesungen l + r = s

Verbesserungen Al oder Ar

Ver-

Blasen-ablesungen besserungen l + r — s Ar oder A l

w O t> CO Oł o CO CO CO CO CO +

— 86" — 28 — 21 — 14

+ O"

-+- 14 + 21 + 28 + 86

Das« heißt also z. B., wenn in Fig. 1 oder Fig. 2 S. 573 die Enden der Libellenblase mit l = 81,0 und r = 10,0 abgelesen würden, so wäre s = 31,0 + 10,0 = 41,0 und damit die zugehörige Winkelverbesserung nach der Tabelle =- -+- 7".

Folgendes gibt ein vollständiges Zalilenbeispiel hierzu:

Station Linden, Wasserturm. Fernrohrhöhe 0,220 m über Pfeileroberfläche. (5)

Fern

rohr

lage

Zielpunkt

Grad

Min.

Mikroskop I II Doppelsek.

Libelle

Mittel

; - : Tab. \l-\-r Korr.

Grad

Min.

Sek.

Ägidius, Knopfm.

270 17 270 17 89 40 89 40

5"

10,5

11,4

25

36

61

10,1

25

32

57

10,1

r-H CM O O

MMMM

+ 10"

-+■ 14

o o

L— L-CM CM

07' 07 OO 00

17

17

41

41

15

Waterloo, Kugel

O O CD

■Tf ^ T-i T—I

o o

07 07

07 07 co CO CM CM

27

28

28

36

39

21

63

67

49

10,4

10,3

11,2

11,2

t—I r-H CM CM ^ ^

îD I> iO W o cT t—T h CO CO CO CO

Hh 19

19

O CO

o o

41

41

10

14

DO DO 07) 07 CO CO

17

17

11

Ägidius

Waterloo

Mittelwerte l -+- 360° . .

449° 41' 4,0" 270    17 11,0

450° 41' 12,0" 269    17    9,5

(6)

Doppelte Zenitdistanz . . Einfache    „    . .

179° 23' 53,0" 89 41 56,5

181° 24' 2,5" 90 42    1,2

Höhenwinkel

+ 0° 18' 3,5"

— 0° 17' 58,8".

In einem solchen Schema kann man ganz mechanisch rechnen, und da das Messen selbst im Felde viel genauer, rascher und bequemer vor sich geht, wenn man die jeweiligen Blasenstellungen abliest, statt die Libelle selbst immer zum Einspielen vzu drücken, so zeigt sich das ganze Verfahren der Blasenablesung bei der Höhenwinkelmessung auch niederer Ordnung als sehr empfehlenswert.

270° 17'15" , 270° 17' 7" , 89° 41' 6" , 89° 41' 2"

0 18 54 , 0 18 58

Statt nach (6) kann man die Ausrechnung, z. B. für Ägidius, auch so machen : Ablesungen :

Höhenwinkel: + 0 17 15 ,    0 17 7    ,

(7)

Mittel = + 0° 18' 3,5".

Einfluß der Achsenfehler des Theodolits auf die Höhenwinkelmessung.

Man kann in ähnlicher Weise wie bei der Horizontalwinkelmessung (§ 61) auch , für Höhen-•winkelmessung theoretisch bestimmen, um wieviel ein Höhenwinkel fehlerhaft wird, wenn der Theö--dolit einen gewissen Zielachsenfehler und eine Horizontalachsenneigung usw. hat. Indessen ist das Ergebnis einer solchen Theorie insofern negativ, als bei den kleinen Höhenwinkeln die Achsenfehler eines einigermaßen richtig gestimmten Theodolits nicht in Betracht kommen. Wir wollen deshalb die fraglichen Theorien (welche in der früheren dritten Auflage dieses Bandes, 1888, in § 119 enthalten waren) hier übergehen.

§ 135. Einfache Theorie der trigonometrischen Höhenmessung.

Bei kleinen Entfernungen kann man Höhenunterschiede nach Andeutung von Fig. 1 dadurch bestimmen, daß man einen lotrechten Abstand h mit einer wagrechten

Entfernung a zu einem rechtwinkligen Dreieck ABE verbindet, und den einen Winkel a mißt; dann hat man nach Fig. 1 : h = a tang a .

Dieses ist aber nur hei kurzen Ent-H fernungen genügend, aus zwei Gründen :

Erstens macht sich die Erdkrümmung sehr bald bemerklich, so daß die Linie AE in Fig. 1 nicht mehr als Gerade, sondern als Bogen behandelt werden muß. Während der Lage nach ein Dreieck von 5000 m Seitenlange noch ganz gut als eben behandelt werden kann, wird für die Höhenmessung schon hei einer Entfernung von einigen hundert Metern die Erdkrümmung merkbar.

Fig. 1.

>—T"

(1)

a-

ni

le

Zweitens kommt noch die Strahlenbrechung (Refraktion) hinzu, so daß auch die Linie A B in Fig. 1 nicht eine Gerade, sondern ein Bogen wird. Die Strahlenbrechung

entsteht aus dem Umstand, daß die unteren Schichten

nun die

Fig. 2.

cE

ß'g der Luft dichter sind als die oberen. Obgleich

physikalischen Gesetze der Lichtbrechung bekannt und / / der Rechnung zugänglich sind, treten doch infolge des h beständigen Wechsels in dem Zustand der Atmosphäre Unsicherheiten ein, welche bis jetzt die trigonometrischen Höhenmessungen nicht zu der Schärfe der Lagemessungen gelangen ließen.

I. Erdkrümmung.

Tz

In Fig. 2 sei AE die kugelförmig gekrümmte Erdoberfläche mit dem Halbmesser r, A H ist Tangente in A und a' der Höhenwinkel der Sicht von A nach B. Die Sichtlinie A B wird hier vorerst als gerade angenommen. Die Entfernung der beiden Punkte A und E sei = a, und es soll wegen der Kleinheit von a, im Verhältnis zum Erdhalhmesser r, gleichgültig sein, ob man a in der Sehne oder in dem Bogen AE gemessen denkt.

Indem die beiden in Fig. 2 eingeschriebenen Winkel y hei C, und HA E = -|-

sich selbst erklären, können wir auch den dritten Winkel ß' hei B bestimmen durch die Gleichung:

(2)

(«' + 90°) -(- y -ł- ß' = 180°. also ß'    90° — («' + y).

Nun gibt das geradlinige Dreieck ABE nach dem Sinussatz:

sin ß’

cos («' -+- y)

Da y klein sein soll, kann man entwickeln:

Fig. 3.

sin ja' + 0 = sin a' -+- ^ cos a' + ...

B'

Also :

cos («' H- y) — cos a' -+- . .. sin oi! -4- eos «'

h/ \

cos u'

h = a tang a' H- a

, dabei ist y =

CO'

also nun:

hmg «' + 2r •

T,

II. Strahlenbrechung.

An Stelle der geraden Lichtbahn A 73 in Fig. 2 wollen wir nun eine krumme Lichtlinie AB annebmen, wie in Fig. 3 angedeutet ist.

Man kann diesen Fall (Fig. 8) auf den vorhergehenden Fall (Fig. 2) mit Gleichung (4) zurückführen, wenn man den Winkel ö weiß, welchen in Fig. 3 die Sehne A B mit der Tangente AB' bildet.

Man nimmt näherungsweise an (vorbehaltlich der späteren Bestätigung durch Versuche), daß der Bogen AB ein flacher Kreisbogen sei mit dem Mittelpunkt C", dessen Zentriwinkel bei C das Doppelte des kleinen Winkels B AB = 8 ist, wie in Fig. 3 mit 2Ô bei C eingeschrieben ist.

Der Halbmesser r' des flachen Bogens A B wird konstant angenommen durch Annahme eines Koeffizienten Je in Beziehung zu dem Erdhalbmesser r gesetzt mittels der Gleichung:

°î.

V.

C*

und

r = Je r' oder

(5)

Der hier eingeführte Koeffizient Je enthält zunächst eine sehr willkürliche Annahme; es wird Vorbehalten, nachher zu zeigen, wie Je bestimmt werden kann, und daß es in runder Zahl etwa = 0,13 ist.

man n

Jedenfalls kann man vorerst mit dieser Annahme (5) weiter rechnen, auch kann äherungsweise die beiden Bögen AE und AB einander gleich =a setzen, was in der sehr übertrieben gezeichneten Fig. 3 kaum zulässig scheint; indessen in ein kleiner Winkel von höchstens 10,—20 ist, kann die An-

zwar

der Wirklichkeit, wo y nähme A B = A E = a vorläufig gemacht werden.

Ö= TV’ oder wegen Ô = Ï7

Damit wird:

(6)

Nach Fig. 3 S. 577 hat man : a' = a — d = n    ~    .

Dieses setzt man in die Gleichung (4), und zwar abermals genähert, weil auch a immer ein ziemlich kleiner Winkel ist:

tang a' = tang

— tang a —

Damit gibt die Gleichung (4) :

h = a tang a

a² k a ²

2r

oder mit Zusammenfassung der zwei letzten Glieder :

-«2.

(7)

h = a tang a +

Dieses ist die Grundformel der trigonometrischen Höhenmessung. Obgleich mancherlei Näherungen dabei angewendet wurden, ist diese Formel (7) doch für die meisten praktischen Zwecke ausreichend.

Bestimmung des Befraktionskoeffizienten k.

Das einfachste Mittel, theoretisch genommen, zur Bestimmung von k besteht darin, daß man eine Höhe h vorher genau durch Nivellieren bestimmt, und dann einen Höhenwinkel cc bei bekannter Entfernung a mißt; denn wenn h nebst a, a und r als gegeben zu betrachten sind, so kann man die Gleichung (7). welche sonst zur Bestimmung von h dient, nun umgekehrt nach k auflösen:

(8)

2 r

k = 1 — — (h — a tang a).

Fig. i. Gegenseitige Messungen.

8'

'V

Ein zweites Mittel zur Bestimmung-von k hat man in der gegenseitigen (gleichzeitigen) Messung von Höhenwinkeln (bzw. Tiefenwinkeln) zwischen zwei Punkten, wie in Fig. 4 angedeutet ist. Mißt man von A nach B den Höhen winkel a und von B nach A

den Tiefenwinkel ß, so hat man daraus die Gleichung :

y + (90° + a — Ö) -+- (90° - ß - Ö') = 180° also :

Mit der Annahme Ô’ = Ó'. und mit der Gleichung (6) gibt dieses:

Ö-hP = 2Ô = ^ y+a — ß.

Nach (3) ist y =

i- = i—il/ânï)

a \ o /

damit wird, für ß — a in Winkelmaß :

Nach diesem Grundsatz sind gegenseitige (und womöglich gleichzeitige) Höhenmessungen in großer Zahl zur Bestimmung des Refraktionskoeffizienten angestellt Avorden. Einige auf diesem Wege gefundene Mittelwerte (zu denen die Literaturnachweise in dem späteren § 148 gegeben werden) sind folgende:

k = 0,1053 0,1250 0,1678 0,1306 0,1237 0,1370 0,1300 0,1587 0,1180

k = 0,1329

1736 Maupertuis, Lappland ........ . .

1751 Tobias Mayer, aus französischen Messungen . .

1792 Delambre, Frankreich...........

1823 Gauß, Hannover.............

1831 Struve, Ostseeprovinzen Rußlands......

1834 Bessel, Ostpreußen............

1849 Baeyer, Küstenvermessung.........

1858 James Clarke, England..........

1870—1875 Preußische Landesaufnahme......

Einfacher Durchschnitt

In Deutschland Avird häufig der von Gauß bei der Hannoverschen Gradmessung ZAvischen Göttingen und Altona gefundene Mittelwert k = 0,1306 als mittlerer Refraktionskoeffizient angenommen. Dieses stimmt auch nahe mit dem soeben roh berechneten Durchschnitt, und wir nehmen in runder Zahl:

. k = 0,13.

(10)

Refraktionskoeffizient Mittelwert .    .

Der oben vom Jahre 1823 angegebene Wert k = 0,1306 von Gauß ist selbst ein Mittel aus 28 Einzelbestimmungen, welche im Durchschnitt um 0,035 oder nahezu ein Viertel von dem Mittelwerte abweichen. Noch viel größere Schwankungen zeigen sich, Avenn man die größten und die kleinsten Werte aufsucht; z. B. unter jenen 28 Bestimmungen von Gauß war der größte 0,208 und der kleinste — 0,114. Baeyer fand als größten Wert 0,267 und kleinsten Wert 0,083. Hier zeigen sich Schwankungen, Avelche größer sind als k selbst, k kann sogar negativ werden, Avas einer nach unten konvexen Form der Lichtbahn entspricht. Solche negative Refraktionen stehen im Zusammenhänge mit dem scheinbaren Anblick von Wasserflächen auf erhitzten Sandbodenflächen. (In der Libyschen Wüste täglich zu sehen [von den Arabern Schreib genannt], auch auf den Dünen von Norderney und Juist ausnahmsweise beobachtet.)

Zahlreiche Vergleichungen haben dazu geführt, anzunehmen, daß die mittlere Abweichung der jeweils stattfindenden Refraktion von einem Mittelwerte k = 0,13 etAva zu ein Viertel von k geschätzt Averden kann; und um für überschlägige Genauigkeitsschätzungen einen Anhalt zu haben, setzen Avir daher:

Fig. 5. Erdkrümmung und Refraktion,

Mittelwert k = 0,13 (1 +_ 0,25). (11)

B'

CL

H,

Nachdem somit alles zur Gleichung (7) Erforderliche klargestellt ist, Avollen wir diese Gleichung nochmals vornehmen und mit Fig. 5 eine Deutung dieser Teile geben.

Die Gleichung (7) gibt:

■?/-

Dieser Gleichung entspricht die Fig. 5. Hier ist A E die

krumme Erdoberfläche, A H die Horizontale, A B die Lichtbahn und AB' die Tangente der Lichtbahn, folglich ist :

Erdkrümmung E H = ~

dazu geometrisch: folglich :

„ 2 h

und Refraktion B B' = -— , 2 r

HB' = a tang a (genähert),

E B = h = LEB' Ą-E H— B B' entsprechend Gleichung (12).

Wir haben hierzu auf Seite [12] des Anhangs die beiden Teile

j_£

und deren Differenz    «² in einer Tafel ausgerechnet und auch den Refraktions

winkel 8

, «² k

und -r—

— yj. Q beigegeben. Die Zahlenwerte von Seite [12] sind abgerundet gegeben, weil es sich hier nur um Gewinnung einer Übersicht handelt. Diese Zahlenwerte, und namentlich die Refraktionswinkel ö, dienen zu Genauigkeitsschätzungen ; man sieht z. B., daß für eine Entfernung auf 30 Kilometern der Refraktionswinkel = V 3" ist; wenn man also nach (11) annimmt, daß die Refraktion um 25% unsicher ist, so hat man für 30 4m rund + 15" Unsicherheit des Höhen winkeis anzunehmen, usw.

Schärfere Zahlenwerte sind auf Seite [10] und [11] gegeben, wovon Anwendung im nächsten Paragraphen gezeigt werden soll.

Der Erdhalbmesser r ist bei den Hilfstafeln Seite [10]—[11] der Mittelbreite 50° von Deutschland entsprechend angenommen :

(13)

r — 6 381 000 , log r = 6.80489.

§ 136. Zahlenbeispiele zur flölienberechnung.

Wir nehmen unsere einfache Grundformel (7) § 135 S. 578 nochmals vor:

(1)

7    7    l—le

h — a tang a H--^r—— a- .

u Y

Damit bekommt man den Höhenunterschied zwischen der Fernrohrmitte diesseits und dem Zielpunkt jenseits; in vielen Fällen hat man jedoch eine Instrumentenhöhe i

Fig. 1.

Instrumentenhöhe = i, Zielhöhe = s.

und eine Zielpunkthöhe z zu berücksichtigen. Wenn nach Fig. 1 die Fernrohrmitte die Höhe i über dem eigentlichen Fixpunkte, z. B. über einem trigonometrischen Signalstein hat, und wenn der Zielpunkt die Höhe z über dem jenseitigen Fixpunkt hat (z. B. Höhe der Signaltafeln Fig. 13 S. 308 oder der Verschalungsunterkante Fig. 12 S. 307 über dem Festlegungsstein), so kommt zu der Formel (1) noch die Reduktion i — z

— a² 4- i — z.

(2)

hinzu, und man hat dann nach Fig. 1 :

li = a tang a +

Wenn hier a , i und z mit algebraischen Vorzeichen richtig behandelt werden (-1- a für Höhenwinkel, — a für Tiefenwinkel usw.), so bekommt man auch h immer selbst richtig, nämlich 7< positiv, wenn der jenseitige Punkt über dem diesseitigen

von

Punkte ist, usw. Wir nehmen ein Beispiel aus der Triangulierung von § 73 S. 299:

Auf dem Wasserturm stand der Theodolit (S. 231) auf dem Pfeiler, mit seinem Fernrohr 0,220 m über dem Rand des Turmes (vgl. § 134 (5) S. 575), und cs wurde der Höhenwinkel — 0° 22' 22" gemessen (also Tiefenwinkel) nach dem oberen Geländerrand auf Willmer.

Andrerseits stand auf Willmer der Theodolit mit seinem Fernrohr 3,085 unter dem oberen Geländerrand, und es wurde geradezu nach dem oberen Turmrande des Wasserturms gemessen « = + 0° 22' 44". Diesen örtlichen Maßen entsprechend ist bereits bei Fig. 2 beigeschrieben i = 0,220-m , s — 0,000m bei Wasserturm, und i — — 3,085 m , z — 0,000 m bei Willmer (oder i = 0,475 m über dem unteren Rande von Willmer, welcher selbst wieder 3,560-m unter dem oberen Geländerrande ist).

Fig. 2. Trigonometrische Höhenmessung.

Wasserturm, Rand des Turmes.

Willmer,

Oberer Geländerrand.

|e«

!

*.......s

%>

CO

■=

k-

Billig»!

4201,86-

a = — 0° 22' 22" i — 0,220 m , z = 0,000 m

« = -j- 0° 22' 44" * —

3,085 w , £ = 0,000 m. Wir wollen die Rechnung mit diesen Werten a, i und z durchführen und brauchen dazu zuerst die Koordinaten der verschieden en Punkte (vgl. S. 287 und 342):

Wasserturm

Zentrum — 25538,49 — 29071,47 Pfeiler — 25537,81 — 29071,06

Zur Messung von Wasserturm nach Willmer brauchen wir die Entfernung von Wasserturm Pfeiler nach Willmer Zentrum, und zwar letzteres, weil der Höhenwinkel nicht geradezu auf den diesseitigen Geländerrand, sondern nach Anblick des ganzen Geländers auf dessen Mitte gemessen ist. Also Entfernungsberechnung nach § 69 S. 276 :

29071,06 — 21777,61    —30945,36

Willmer

Zentrum — 21777,61 — 30945,36 Pfeiler —21779,14 — 30944,96.

Wasserturm Pfeiler — 25537,81 Willmer Zentrum

— 3760,20 + 1874,30

3.575 211 9.951 812 3.272 839

0.302 372 log = 3.623 399 = 4201.45 m.

h = — 25,92 m

h = -e 25,89 m

Der Höhenunterschied zwischen dem oberen Zinnenrand des Wasserturms und dem oberen Geländerrand von Willmer ist also hin = 25,92 m und her = 25,89 m, d. h. auf 3 cm übereinstimmend gefunden worden, das Mittel ist 25,90 m.

Wenn nun etwa die Höhe über N. N. des Linden er Wasserturmes, oberer Zinnenrand = 111,89m gegeben ist, so hat man hieraus die Höhe von Willmer Geländerrand = 111,89 m — 25,90 m = 85,99 m, wie in der Tat. auch die beiden Höhen in unserem früheren Koordinaten- und Höhenverzeichnis im § 80 S. 342 angegeben sind.

Wir bemerken hierzu, daß dieses Beispiel nicht etwa als Schulbeispiel hergerichtet, sondern wirklicher unveränderter Messung vom Sommer 1891 entstammt, mit dein Instrumente § 56 S. 231 nach dem Libellenableseverfahren von § 134 (5) S. 575.

Überlegen wir für den vorliegenden Fall, Avas ein Höhen winkelfehler von 1" an Höhe bringt, so finden Avir bei 4200 m Entfernung den Höhenfehler 4200 : g = 0,02 = 2 cm ; die Übereinstimmung von 3 cm deutet also auf Sekundengenauigkeit der Winkel hin.

Im allgemeinen haben bei jenen Messungen die Hin- und Hervergleichungen und die sonstigen Proben ungefähr auf etliche Zentimeter gestimmt.

Andere Fehler als diejenigen der Höhenwinkel selbst kommen bei Messungen dieser Art (vgl. die Netze S. 299 und 339) kaum in Betracht; die Entfernungsfehler bleiben bei den flachen Sichten unschädlich, und auch die Refraktion, welche nach der Tafel Seite [12] des Anhangs bei 5 4m Entfernung im ganzen nur ö = 11" ausmacht, kann bei einer Schwankung um ein Viertel ihres Wertes nur wenige Sekunden bringen, welche in den verschiedenen Proben verschwinden.

Zentrierung. Muß, Avie in § 77 S. 317 gezeigt wurde, auf exzentrischen Standpunkten beobachtet Averden, so ergibt sich (Avenn nicht Avie im obigen Beispiel Koordinaten für Stand- und Zielpunkte gegeben sind) die erforderliche Entfernung des Standpunktes S vom Zielpunkte P aus der Entfernung C P = s nach Fig. 2 und 3 S. 318 s' = S P = s + e cos « ; in gleicher Weise bei exzentrischen Zielpunkten nach (4) zu Fig. 5 S. 321.

Ist z. B. das Instrument in Fig. 2 S. 318 auf S aufgestellt, die Höhe des Punktes C. mit Hc gegeben und die Höhe des Punktes P, also Hp, gesucht, so ist die Höhe der Instrumentachse in S

i = 0,220

£ = 0,000

i — z = -f- 0,220

Hh 1,20 =

i = — 3,085

0,000

-«² nach Anhang S. [11] -+- 1,20

i — z — — 3,085

Die entsprechende Entfernungsberechnung von Willmer Pfeiler nach Wasserturm

Zentrum gibt log a — 3.623 282 , a — 4200.82, was wir ohne Reduktion für die halbe Turmdicke als der Höhenwinkelmessung entsprechend nehmen. Damit wird :

— 0° 22' 22"

. î.

log a i 3.623 399 log tang a \ 7.813 334«

a = + 0°22' 44" log a 3.623 282 log tang a 7.820 396

log a tang a 1.436 733» a tang a = — 27,336

log a tang a 1.443 678 a tang a = -+- 27,777

worin sf die etwa in Betracht kommende Zielhöhe (Fig. 1 S. 580). e die Exzentrizität und ac der Höhenwinkel nach C ist. Danach ist dann die Höhe Mp mit dem Höhenwinkel ap

z”

(4)

y_^

/1p = Hg -+- s. tung dp H— ^— sr2 —

worin s' = 8 + 6 cos e und z" die etwa in Betracht kommende Zielhöhe im Punkte P ist.

Bei der Höhenwinkelmessung nach Schornsteinen und Turmgalerien kann in den meisten Fällen die Zentrierung auf die Mitte genügend genau durch Anzielung in den Kantenpunkten links und rechts, je in einer Fernrohrlage, geschehen.

. Ausgleichung trigonometrischer Höhen.

Die verschiedenen Proben der Höhenmessungen führen zu einer leichten Ausgleichung, die wir an einem Beispiele zeigen werden, von unseren Ühungsmessungen hei Springe am Deister 1883. Die Höhenwinkel sind mit einem Nonieninstrumente (5. Aufl. S. 190) und teilweise sogar nur mit einem Tachymeter (Ablesung 1') gemessen, doch stimmen die Höhen auf die kurzen Entfernungen von 1—2 ftm genügend.

Dieses Netzchen diente als Grundlage einer tachymetrischen Aufnahme des Deisterabhanges ; als Höhenausgangspunkt war gegeben der Bolzen am Bahnhof Springe bzw. dessen Übertragung auf den trigonometrischen Punkt Bahnhof — 116,10 m über N. N.

Fig. 3. Ausgleichung trigonometrischer Höhen (die Pfeile bedeuten die Bichtung des Steigens).

Tappensoole A\ 159,01

215,82

1216,03)

Warte

37469

IZ15,5.41    <17,021

(258,87i

(232.46)

16,7S

( 16, 56 »

!    258,70

232,SO

(232,¹4) Siek J1240

(28,15

G2,90)

42,84

WZ.78)

.1255

1258,52 )

(26,23)

25,28

(26,24)

Bahnhof

11510

3027

4,13

1-20000

Springe

146,51

Die zusammen mit der Horizontaltriangulierung gemessenen Höhenwinkel gaben

in der Ausrechnung nach der Formel h = a hing « + -

S. [10] oder [11] des Anhangs die Höhenunterschiede, welche in Fig. 3 eingeschrieben sind, und zwar, da wo Hin- und Hermessung war, auch sofort in ein Mittel vereinigt,

500m

1000m

Â/

- a² nebst der Hilfstafel von

z. B. Bahnhof-Warte = -+- 258,52-m und Warte—Bahnhof = —258,87 m. daraus das Mittel = 258,70 m usw. In Fig. 3 sind als eingeklammerte Zahlen die Hin- und Hermessungen geschrieben, und dazwischen als nicht eingeklammert deren Mittel; hei den Sichten nach Springe Kirchturm, wo es keine Kückmessungen gibt, sind nur einseitige Höhen eingeschrieben.

Im übrigen ist die Ausgleichung nach Gutdünken zu machen, wobei wir uns jedoch an den schon bei Nivellementsausgleichungen § 127 S. 552 ausgesprochenen Grundsatz halten, wenn nur ein Ausgangspunkt gegeben ist, zuerst eine möglichst durchgreifende Diagonale auf möglichst vielen Wegen zu bestimmen, und dann das andere daranzuhängen. Der vom Ausgangspunkt Bahnhof entlegenste Punkt ist in unserem Fall Warte, und deswegen wurde zuerst die Höhe dieses Punktes Warte auf möglichst vielen Wegen bestimmt:

1. unmittelbar 2. über Siek 3. über Tappensoole 4. über Springe 116,10 Hh 258,70

374,80

116,10 + 26,28 4- 232,30

116,10 -+- 42,84 4- 215,82

116,10 -4- 30,27 4- 228,15

374,68

374,76

374,52

Einfaches Mittel 374,69 -m = Höhe von Warte.

Obgleich hier wohl dem vierten Werte über Springe w'egen des Mangels der Gegenmessungen kleineres Gewicht zukommt als den drei ersten, wollen nur doch, um die Ausgleichung so einfach als möglich zu halten, davon absehen.

Stimmung von Tappensoole aus möglichst vielen Kombinationen : aus Warte

Es folgt die Be

aus Bahnhof

1. unmittelbar 374,69 — 215,82

2. über Siek 374,69 — 232,30

3. unmittelbar 116,10 4- 42,84

4. über Siek 116,10 H- 26,28

5» über Springe 116,10

4- 30,27

158,87

4- 16,78

158,94

4- 16,78

4- 12,55

159,17

159,16

158,92

Einfaches Mittel 159,01 = Höhe von Tappensoole.

In ähnlicher Weise, wobei übrigens der Willkür ein weiter Spielraum gelassen ist, werden alle Punkte eingeschaltet, und damit erhält man folgende Zusammenstellung aller aus den Messungen erhaltenen Höhen über N. N. :

Tappensoole, Stein Siek.

Springe Kirchturm. Knopfmitte 146,51.

116,155 -m 116,10

Warte, Band des Turmes 374,69

Bahnhof Springe, Bolzen »    « Stein

Stein

159,01

142,40

§ 137. Messung von Turm höhen.

Wegen des Anschlusses trigonometrischer Höhen an nivellitische Bodenpunkte kommt die Messung von Turmhöhen oder Signalhöhen (S. 307—309) usw. sehr oft Manchmal kann man geradezu mit Meßbändern, Latten u. dgl. heruntermessen ; in den meisten Fällen aber wird eine trigonometrische Kleinmessung nötig werden, zu welcher die Horizontalentfernung vielleicht unmittelbar zu haben ist (wie z. B. in ersten Figur dieses Abschnittes, Fig. 1 § 135 S. 576 mit der Entfernung a

vor.

unserer angedeutet ist).

Aber viel häufiger wird man eine kleine Standlinie und zwei Horizontal winkel zu messen in der Lage sein, wie wir an dem Beispiel unseres hannoverschen Weifenturms zeigen wollen, den wir schon bei den Zentrierungen von § 78 S. 827 kennengelernt haben, und nun in nebenstehender Fig. 1 nochmals vorführen.

Es handelt sich um die Höhe des Turmknopfes C über A oder B, wobei A und B zwei Schrankensteine der Herrenhäuser Allee sind, welche mit Bolzen von der Form Fig. 9 S. 327 versehen als Polygonpunkte dienen, und außerdem nivelliert sind mit den Höhen über

Fig. 1 (vgl. Fig. 7 S. 326).

54,708'"

lcc₂

54£3£^>B

N. N., A — 54,708 m und B — 54,933 m, wie auch in Fig. 1 eingeschrieben ist.

Diese Punkte A und B sind dieselben, welche früher in Fig. 7 S. 326 mit (1) und (2) bezeichnet waren, mit der Entfernung (1) (2) = A B = 166,693 m. Auch die beiden Horizontalwinkel in A und B sind schon in den Abrissen (3) von § 78 S. 328 enthalten, nämlich :

S. 328 : 6 (1) (2) = 51° 18' 5" = A und (1) (2) C = 39° 8' 20" = B .

Da man den dritten Winkel C — 180° — (A -t- B) findet, haben wir in Zusam

menstellung :

Winkel A = 51° 18' 5"

(1)

„ C —    89 33 35    ■    180° O'O" Entfernung    AB    = 166,693m.

„ B =    39 8 20    I

Daraus wird    berechnet,    wie    auch schon in § 78 S.    328    mit log 1,6' und    log 2,6

angegeben ist :

AB sinC

Zu den Höhen übergehend bemerken wir, daß wir in A und B nur die Höhenwinkel nach C gemessen haben, weil die Punkte A und B bereits selbst durch Anbindung an einen benachbarten Nivellementsbolzen der Landesaufnahme (Bolzen 1645, Fig. 1 § 118 S. 515) in ihrer Höhe bestimmt sind; wäre dieses nicht der Fall, so müßte man auch den Höhenunterschied zwischen A und B selbst durch gegenseitige Höhenwinkelmessung bestimmen. Nach allem haben wir nun :

AC =

sin B = 105,220

und BC =

AB

sin C

sin A — 130,099 m.

Punkt B

Punkt A

Hx = 54,708 m über N. N. Instrumentenhöhe ix — 1,009 m Höhenwinkel

H₂ = 54,933 m über N. N.

Entfernung

ax = + 25° 1' 52" ax = 105,221 m

Instrumentenhöhe i₂ — 0,913 m Höhenwinkel

«₂ = + 20° 38' 29" c?2 ⁼ 130,099 m .

Entfernung

Man berechnet die Höhe H der Turmknopfmitte C auf zwei Wegen :

H — H₂    a 2 tang a₂ -h i₂

= 54,933 4- 49,008 -+- 0,913 H = 104,854 m.

H = Hx-\- ax tang ux -+- ix = 54,708 -+- 49,135 + 1,009 H = 104,852 m

(2)

Höhe von 6 : Mittel 104.853 m über N. N.

54,506 m über N. N. 56,297

In solcher Weise wurden auch noch andere Punkte der Hochschule bestimmt die dabei erhaltenen Proben stimmten meist auf wenige Millimeter , da die Höhenwinkel mit dem Mikroskoptheodolit Fig. 20 § 56 S. 281 gemessen und alle Punkte scharf bezeichnet sind (z. B. die Bodenpunkte durch Bolzen nach Fig. 5 S. 304 oder Fig. 9 S. 327 oder nach Fig. 5 S. 433). Wir wollen beispielshalber (und zum Gebrauch in Hannover) diese Höhen hier zusammenstellen :

Nivellementsbolzen der Landesaufnahme (1645) Fig. 1 S. 515 . .

Haupthöhenmarke am westl. Portal der Hochschule Fig. 4 S. 516

Meridianpfeiler an der Nienburger Straße, Bolzen auf der Oberfläche .... 55,770 Zweiter Pfeiler „    „

Basispunkt (1) S. 326, Schrankenstein d. Herrenhäuser Allee, od. Punkt A Fig. 1 S. 585 54,708

„ B Fig. 1 S. 585 54,933 .    .    54,633

.    .    55,092

.    .    67,320

. . 67,289 .    .    67,534

.    .    79,104

.    .    92,790

.    .    104,853

.    .    99,629

55,756

Turmbrüstungsplatte B S. 326 .............

Eisentischplatte im oberen Turmstockwerk, T S. 326 und 325

Hauptturm, Knopfmitte (H Fig. 5 S. 326).......

Süd-Ost-Turm, Knopfmitte, SO S. 326 .........

Dieses schließt sich an die früheren Angaben von S. 342 an.

Nachdem an dem Beispiele mit Fig. 1 S. 585 die Turmhöhenmessung mittels-eines Hilfsdreiecks ausführlich gezeigt ist, kann dazu gesagt werden, daß dieses Verfahren das weitaus am meisten gebräuchliche ist, was aus der Leichtigkeit der Ausführung und der durchschlagenden Probe der Bestimmung von zwei Seiten her sich erklärt. Kann man die Basispunkte nicht dauernd bezeichnen, wie in unserm Falle nach Fig. 5 S. 304, so nimmt man am besten zwei Stative zum Besetzen der beiden Basispunkte.

Indessen ist doch ein anderes Verfahren der Turmhöhenmessung auch noch kurz, zu erwähnen: Wenn nicht genügend Baum zur Anlage eines Basisdreiecks ist, z. B. in einer engen, gerade auf den Turm gerichteten Gasse, so kann man zwei Stände I\ und P₂ wählen, welche mit dem Turmpunkt T in einer Geraden liegen. Denken wir den horizontalen Abstand I\ P₂ — d, und I\ T = x, also P₂ T = x -+- d, dann die Standhöhen und P₂ gegeben (bzw. unter sich zusammengemessen), die Theodolithöhen ix und z₂, die Höhenwinkel a₁ und a₂, so wird man für die Zielpunktshöhe H zwei Gleichungen haben :

(3>

H — Hx-\-i -+- x tang ax und H = TT, -j- *₂ 4- (d -f- x) tang «₂.

Diese zwei Gleichungen kann man subtrahieren und dann nach x auf lösen:

_ d tang a₂ -h (H —    ) 4- (?₂ — i{]

tang «₁ — tang «₂

Nachdem so x bestimmt ist, erhält man TT aus den beiden Gleichungen (3) mit Bechenprobe. Eine Messungsprobe enthält dieses-Verfahren nicht; indessen wenn man diesen Weg überhaupt zu wählen veranlaßt ist, kann man wohl auch drei Stände nehmen und dadurch die nötige Messungsprobe erlangen.

Höhenschätzung.

Im Anschluß an die genaue Messung von Turmhöhen möge auch noch eine kleine Betrachtung über flüchtige Höhenbestimmung Platz finden.

Solche Höhenbestimmungen kommen namentlich bei den Forstleuten für Baumhöhen vor; auch bei Triangulierungserkundungen kommt man oft in die Lage, die Höhe eines Turmes, Gebäudes u. dgl. rasch genähert zu bestimmen.

Man hat nun dazu immer die Möglichkeit, einen der schon in § 19 S. 59—61 beschriebenen kleinen Freihand-Höhen Winkelmesser mit einer gemessenen, manchmal auch nur abgeschrittenen horizontalen Basis a zu benützen und a tang a irgendwie (z. B. mit dem Bechenschieber usw.> auszurechnen ; und die Forstleute haben dazu besondere Instrumentchen („Dendrometer“ usw.) für ihre Zwecke hergerichtet.

Fig. 2. ,

. JA

Bei Erkundungen für Triangulierungszwecke hat man es auch oft mit Türmen und anderen Bauwerken zu tun, deren Höhen man beim Besteigen durch Zählen der Trittstufen (1 Stufe gewöhnlich etwa = 0,20 m) für solche Zwecke genügend erhalten wird.

ZA)

! iitl

Ein geometrisches Verfahren , welches wir in solchen Fällen bequem fanden, ist in Fig. 2 angedeutet („Zeitschr. f.

Verm. 1S93“ S. 342).

Hierzubezelchneman mit A bzw. Ä ein von unten zugängliches Höhenmaß von etwa 2 — 3 m, dann messe man in O an einer vertikalen Millimeterteilung (z. B. an einem mit ausgestrecktem Arme gehaltenen Millimetermaßstab, wie in „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 210 näher angedeutet) die scheinbaren Höhen a,b,c, und rechne dann die Proportionen;

B — — A und C = — A .

Das Ganze denken wir mit dem Kechenschieber gemacht, nämlich a, b , c an der Millimeterkante des Kechenschiebers mit dem Daumen der rechten Hand abgenommen und sofort B und C nach vorstehenden Proportionen am Kechenschieber abgeschoben.

Auch für schärfere Messungen kann man diese Methode verwenden, indem A bzw. A' eine vertikale Basis (Nivellierlatte, Meßlatte) ist, nach deren unterer und oberer Marke man mit einem in O aufgestellten Instrument die Höhenwinkel mißt, woraus sich die Entfernung und danach mit den für B und C gemessenen Höhenwinkeln diese Höhen ergeben. Vgl. hierzu (3) S. 586.

§ 138. Weitere Entwicklungen.

(Für gewöhnliche Praxis nicht nötig.)

Obgleich die in dem früheren § 135 entwickelte Formel (7) S. 578 für die-meisten praktischen Zwecke ausreicht, und auch sofort zu den Anwendungen von § ISO-gebraucht werden konnte, haben wir doch noch einige weitere Entwicklungen zu machen. Zuerst mag eine Bemerkung zu der kurzen Entwicklung des früheren § 135 nachgetragen werden, nämlich wieweit es zulässig ist, den Bogen mit der Sehne zu vertauschen? Wenn in Fig. 2 § 135 S. 576 der Bogen AE mit b bezeichnet wird, und die Sehne mit a, so ist:

b = r y und

Die Beihenentwicklung gibt:

sini = {-

r v³

a = -Ar-

a = 2 r sin ~ .

⁰⁵1

(*)’

48’

folglich die Differenz:

24

/ b \s_ &b 24 [ r ) ~ 24 r² '

(1)

Setzt man z. B. b = 20 000 m und r — 6 870 000m, so wird b — a nur = 0,008m, was unmerklich ist. Mit ähnlicher Genauigkeit ist es auch nachher bei Fig. 1 erlaubt,

— 2 r tang , was wir nicht noch besonders behandeln.

zu setzen a

Bestimmung des Erdhalbmessers r.

Bisher haben wir die Erde als kugelförmig angenommen, und für Messungen von geringer Ausdehnung kann man eine solche Annahme gelten lassen. Für die Erde im ganzen nimmt man dann in runder Zahl r = 6 870 000 m (vgl. Einleitung S. 2).

(2)

6.80489

(/• = 6 381 000 m)

Wenn man dagegen einen bestimmten Teil der Erde im Sinne hat, so ist zu berücksichtigen, daß die Erde ein Umdrehungsellipsoid ist, das unter verschiedenen Breiten und nach verschiedenen Richtungen verschiedene Krümmungen hat. Für Deutschland, mit der Mittelbreite <p = 50°, hat man den mittleren Krümmungshalbmesser: log r

und mit diesem Mittelwert sind die Tafeln S. [10]—[11] in unserem Anhänge berechnet.

Indessen bei einigermaßen scharfen Berechnungen auf weitere Entfernungen ist die Annahme eines solchen konstanten Wertes (2) zu roh, denn die Krümmung der Erde hat in demselben Punkte nach verschiedenen Richtungen Werte, welche bis zu ' 0.3 °/₀ untereinander abweichen. Die Berechnung dieser Krümmungsverhältnisse gehört in die höhere Geodäsie und wird in unserem dritten Bande gelehrt, wo auch eine Hilfstafel für Krümmungshalbmesser R in verschiedenen Breiten q> und Azimuten a gegeben ist, nebst einem für trigonometrische Höhenmessung Karlsruhe—Hornisgrinde ausgerechneten Beispiele von R, worauf wir hiermit verweisen („Handb. der Venn.,

III. Band, 5. Aufl. 1907“ S. 219).

Weitere Höhenformeln.

Indem wir nach dem Vorstehenden den jeweils anzunehmenden Erdhalbmesser

.als ermittelt betrachten, im übrigen aber sphärisch weiterrechnen, behandeln wir in Fig. 1 gegenseitige Messungen:

Fig. 1. Gegenseitige Messungen.

Az

\A'

Tl//

c-—

B'

/V

Hier bezeichnet C den Mittelpunkt der als kugelförmig angenommenen Erde und B B ' die Meeresfläche ; A und A' sind zwei Punkte, deren Höhen über dem Meere bzw. H und H' sind. Die krumme Linie A A' stellt die Lichtkurve vor, über deren Krümmung (z. B. nahezu kreisförmig) zunächst noch keine Annahme gemacht werden soll. Die Zenitwinkel in A und A seien bzw. = z und = z'. Die kleinen Winkel, welche die Lichtkurve AA! mit der Sehne AA' macht, nämlich A z und A z heißen Refraktionswinkel, und ihre Summe A z -+- A z' ist die gesamte Refraktion des Strahles A A'.

Das geradlinige Dreieck C A A liefert folgende Gleichung:

, A — A' tang---

T,

CA' —CA

CA + CA

A -h A' '

tang —₉

also :

Dabei ist Winkel A = 180° — (z + A z) und Winkel A! — 180° — (z' -+- A z')r A + A' = 180° - 7 und C A = r + H Damit geht die Gleichuug (3) über in folgende :

CA! = r + H'.

H' — H 2 r + H+H' ”

Ha- H'

tang i/₂ (z' + A z' — s — Az)

cotg V2 7

H' — H = 2r 1-f

Hinreichend genau ist:

also :

h = H’ — H=a 1

j tang    tang 1—'+    _

(s. oben S. 588)

(z' + Az’) — (za- A z)

2 r tang —■ — a H+H'

tang

(4)

Das geradlinige Dreieck CAA gibt die Winkelsumme :

(z + A z) + (z' + A z') = y + 180°.

(5)

Wir wollen nun wieder wie früher setzen :

= und Az' = Je’ ~

u    u

z + / -f- ^ (k + k') = 7 H- 180° k + k!

und erhalten dann aus (5):

oder

Az

z + z' — 180°

(5 a)

Gegenseitige und gleichzeitige Zenitdistanzen gehen also den mittleren Refraktionskoeffizienten der beiden Beobachtungspunkte.

Mit (5) kann man die Gleichung (4) zweifach umformen, indem man entweder z’ A~ A z' oder z a- A z eliminiert. Dieses gibt :

h = H' — H=a[l +

H + H'

■ j cotg (2 +• A z —

(6)

oder

h = H—H' = a 1 +

H + H'

j cotg {^z' + A z'---Ç\ .

(7)

Macht man die Annahme A z' = A z, so wird (4) sehr einfach, nämlich :

z<_z

tang .

Diese Gleichung (8) zeigt, daß man bei gegenseitigen Messungen (z und z' gemessen) den Höhenunterschied findet, ohne die Refraktion zu kennen, wenn man die zweifelhafte Annahme macht, daß A z und A z gleich seien. Wir setzen nun wieder wie oben:

h = H' — H — all A

H + H'

(8)

Damit gibt (6): h = H' — H = a{\ A

Jz = k-L. H+H'

(9)

)ootgL-l+y).

(10)

Hier wollen wir nach dem Taylorschen Satze entwickeln, übrigens lieber z — 90° — a und r =

einführen :

cotg — i-g-î yj = tang fa 4- aj

= tang a 4- —

— a (1 -4- tang² a) 4-    ^ ~ a j .

Das letzte Glied wird vernachlässigt, und damit gibt dann (10) entsprechend:

. 1 a ta ng a 4-

H-h H’

k 1

«2 H---

k

— a² tang² a.

(H)

Hierin ist auch die frühere erste Näherungsformel (7) § 135 S. 578 wieder mit

für die Mittelhöhe Hm kann

'enthalten. Den Korrektionsfaktor 1 -4

i/ 4- //'

= 1-4

man logarithmisch aus der Hilfstafel von Seite [10] des Anhangs entnehmen.

Unter Einführung von Hm und Zusammenziehung der beiden letzten Glieder können wir (11) auch in der Form schreiben:

h — H' — H —

|l 4- ——j u tang a 4- —

— k a2 2 r cos² a '

(12)

§ 139. Anwendungen auf die Meeresfliiclie.

Höhenwinkelmessungen in Beziehung auf das Meer geben manche Anwendungen unserer bisher entwickelten Formeln. Obgleich diese Anwendungen zum Teil rein seemännischer Art sind, und den Feld- und Landmesser nicht berühren, wollen wir doch, -der Vollständigkeit wegen, das Wesentlichste hiervon hier vorführen:

Zur See braucht man für astronomische Höhenmessung außer der Refraktion und der Parallaxe noch die Kimmtiefe, um gemessene Höhen auf wahre Höhen zu reduzieren. Der Seemann mißt nämlich z. B. eine Sonnenhöhe mit dem Sextanten als kürzesten Abstand des Sonnen-Ober- oder Unterrandes von der Kimm, d. h. von der Begrenzungslinie zwischen Wasser und Luft. Außer der Kimmtiefe wird auch die Sehweite gebraucht.

Indem wir die Grundformel der trigonometrischen Höhenmessung nach (7) § 135 S. 578 vornehmen, nämlich:

— a²,

h = a tang a 4-

lïnden wir daraus die Sehweite und die Kimmtiefe in folgender Weise :

In Fig. 1 betrachten wir die Sicht AB von einem Punkte A, welcher die Höhe h über dem Meere hat, nach der Kimm B, d. h. eine das Meer in B berührende Sichtlinie, welche in A den Tiefenwinkel t hat und sich auf die Sehweite a erstreckt. Wendet man hierauf die Grundgleichung (1) zweifach an, nämlich zuerst für die Sicht von A nach B, und dann für eine umgekehrte fingierte Sieht von B nach A, so erhält man zwei Gleichungen:

A. t___

Fig. 1.

90;

(1)

von A nach B\

— h — a tang (— t) -f

von B nach A:

-f- h = a, tang 0 + Die letzte Gleichung (B) gibt die Sehweite :

l — Tc

«2 .

'-s    r?-S

CO    LO

-f h = 3826,7 y h.

(4)

l — f:

Dabei ist der Erdhalbmesser rund r = 6 370 000 m und der Refraktionskoeffizient

Je = 0,13 gesetzt und (4) gilt für a und h in Metern. Damit ist folgendes berechnet :

Höhe h

6 m

Höhe h

Sehweite a 0,0 ft m

3,8

Sehweite a 9,4 4tn 10,1

Höhe li 30 m

40

5.4

10,8

50

Sehweite a 21,0 4m 24,2 27,1

6,6

11,5

100

38,3

7,7

10

12,1

500

85,6

8,6

20

17,1

1000

121,0

Nach diesem findet man die Formel für die Kimmtiefe, wenn man (2) und (3) subtrahiert, also:

2 h = a tang t.

Dieses mit (4) zusammengenommen, zugleich mit tang t =

(5)

, gibt:

Kimmtiefe t

/l — lc

\/h = 107,8" 1fh

(6)

= ² Q}

wo wieder r = 6 370 000 m und 1: = 0,13 gesetzt ist. Wir könnten hiermit auch eine Tabelle für die Kimmtiefe aufstellen analog der Tabelle für die Sehweite; solche Tafeln enthalten auch die nautischen Werke (z. B., Domke, Nautische Tafeln, 10. Auf!., Berlin 1901). Wir wollen hiervon jedoch absehen, da die Einführung eines konstanten mittleren Refraktionskoeffizienten sich für lange Yisuren über die Meeresfläche hinweg als unzuverlässig erweist.

Eingehende Kimmtiefenbeobachtungen wurden von Karl Koß und Graf Thun-Hohenstein in der Zeit von November 1898 bis Oktober 1899 in Yerudella bei Pola ausgeführt („Denkschriften der Wiener Akademie d. W., Wien 1900“; vgl. auch „Zeitschr. f. Verm. 1900“ S. 311—313). Aus diesen Beobachtungen geht hervor, daß die Kimmtiefe sich mit dem Unterschied zwischen der Luft- und Wassertemperatur ändert, ohne daß Luftdruck, Feuchtigkeit und Bewölkung merklich darauf einwirken; es wird auf Grund der Beobachtungen die folgende Kimmtiefentabelle, in der A = ti— tw zu setzen ist, an Stelle der bisher gebräuchlichen vorgeschlagen:

+ 6° + 4° +2°

Temperaturdifferenz /J

0°    1—2° —4° — 6°

10

12

I! 14 ¹ 16

LO 1-0 O lO O    O

r* (H CC CO    ^ O

5.0

4.5'

5.0

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

o O LO O O O

iO CO O* GO GO OO

6.0'

6.5

7.5

8.0

8.5

9.0 II

9.5

Hierbei wird eine gute Durchmischung der Luft durchwind vorausgesetzt; bei schwachem Wind wurden Abweichungen der Kimmtiefe bis zu 9' von ihrem normalen Wert beobachtet. Auch anderwärts ist außergewöhnliche Strahlenbrechung besonders häufig bei schönem ruhigen klaren Wetter beobachtet werden. In Anbetracht solcher Unsicherheit genügt die Abrundung der Kimmtiefe in der vorstehenden Tabelle auf 0,5' vollständig.

Diese Beobachtungen sind nochmals diskutiert von E. Kohlschütter in „Ann. d. Hydr. u. marit. Met. 1908“ S. 533—544 (vgl. das Referat von Messerschmitt in „Zeit-schr. f. Yerm. 1904“ S. 384—386).

Das Vorstehende gilt nur für die freie Kimm. Die Kimm vor einem Strande erscheint tiefer, sofern nicht etwa der Strand hinter der Kimm auftaucht, d. h. selbst schon weiter als die Sehweite für freies Meer entfernt ist. Ist man genötigt, eine Kimm zu benützen, welche sich nicht gegen den

Himmel, sondern gegen Land abhebt, so wird man zuerst überlegen, ob man die Strandlinie wirklich sieht oder ob sie sich hinter der Kimm befindet, und hierzu dient die Formel (5) mit der zugehörigen Tabelle der Sehweite (s. oben).

Fig. 2.

fv

nämlich :

tang (— f) =

Den Tiefenwinkel Strande in der Entfernu: tung von Fig. 2 ebenfa 1 — jfc

— h = s tang (— t') -j--—— s²

t'

— gesetzt, gibt die Auflösung nach t':

(J

log

1 - Jfc

Beispielshalber berechnen wir hiernach fur h = 4 w :

1 km

Entfernungs-Tiefenwinkel t = 13' 59"

2 km T 21"

S?*»"

* 3i

eine Messung nach einem ekommt man nach Andeu-aus der Grundgleichung (1),

Q = 8.14878 .

4 km 4' 23"

6 km 3' 42"

7,7 km 3' 36" .

(7)

(8)

Man kann den Tiefenwinkel nach einem Meerespunkte auch umgekehrt dazu benützen , um bei bekannter Standpunktshöhe h die Entfernung s des Zielpunktes zu bestimmen. Dieses wird in

der Nautik und in der Küstenverteidigung angewendet. Wir haben dazu nochmals die besondere Fig. 3 gezeichnet, in welcher t wie bisher die Kimmtiefe bedeutet, d. h. den Tiefenwinkel nach dem entferntesten Meerespunkt (Entfernung =a} und T den Tiefenwinkel nach einem näheren Meerespunkte, z. B. nach der Wasserlinie eines Schiffes in der Entfernung = s. Es ist also hier T dasselbe, was t' in Fig. 2 und in Gleichung (8) war, also nun:

Fig. 3. Tiefenwinkel T — V in Fig. 2.

<----

*~a.

y=- e +

Qs.

i»>

= 6 370 000 und k — 0,13 :

2 h (! — k) _ g5 497 (T _ yTo _    62i *) .

Beispielshalber haben wir hiernach mit h— 100m berechnet:

Die Auflösung dieser Gleichung nach .9 gibt mit r

/—

(10>

t = 0° 17’ 58" 0 20 0 30 1 0

38266 m 23885 12726 5864

Weiteres hierüber mit Hilfstafeln gibt eine Abhandlung: „Küstenaufnahmen mittels Depressionswinkeln von Prof. Dr. C. Borgen“, in den „Annalen der Hydrographie und maritimen Meteorologie, 1882“, S. 464-473.

10    573

(H>

§ 140.

Die trigonometrische Höhenaufnahme in Württemberg 1860—1880.

593

Die Kimmtiefenbeobachtung bei bekannter Höhe des Standpunktes kann man endlich auch noch dazu benützen, um den Refraktionskoeffizienten k zu bestimmen, denn die Gleichung (6) läfit sich so auf lösen :

(12)

r f t\2

1_ ~Th\j) ¹

Man wird die Höhe h möglichst groß nehmen, also etwa von einem Berge in der Nähe des Meeres, dessen Höhe h man zuvor nivelliert hat, die Kimmtiefe t messen. Solche Bestimmungen, überhaupt Sichten über das Meer, geben im allgemeinen einen etwas größeren Wert k als Beobachtungen über Land. (Über See etwa k = 0,16, über Land 0,13.) Dieses würde zur See einer schwächeren Temperaturabnahme nach oben entsprechen, als zu Lande, was an sich wahrscheinlich ist. (Vgl. § 141 und die Literatur in § 148.)

§ 140. Die trigonometrische Höhenaufnahme in Württemberg

1860—1880.

Ein gutes Beispiel trigonometrischer Höhenmessung und methodischer Ausgleichung derselben bietet die ausgedehnte Aufnahme in Württemberg, an welcher Verfasser 1864-1867 teilgenommen hat. Unser damaliger Mittrigonometer, jetzt Vermessungs-Oberinspektor Regelmann, hat darüber 1881 in „Deutsches Vermessungswesen von Jordan-Steppes I“ S. 260—263 berichtet und bemerkt, „daß jene Mitarbeit Jordans von besonderer Bedeutung dadurch geworden ist, daß das von ihm aufgefundene Ausgleichungsverfahren bei allen späteren württembergischen Höhenaufnahmen zur Anwendung gekommen ist und sich als sehr zweckmäßig bewährt hat“. Dasselbe,ist zuerst veröffentlicht in der Schrift : „Die trigonometrische Höhenmessung und die Ausgleichung ihrer Resultate nach den Grundsätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung von W. Jordan.“ Stuttgart 1866.

Hach dieser geschichtlichen Vorbemerkung sei über das württembergische Messungsverfahren berichtet, daß es insofern sehr bequem wurde, als es nach Vollendung der übrigen Landesaufnahme sich auf die gedruckten Flurkarten, in 1 : 2500, stützen konnte. Diese Flurkarten wurden (in Blechkapsel gerollt) mit zur Aufnahme genommen, und danach wurden die Standpunkte aufgesucht.

Jeder Flurkartenpunkt, z. B. Markstein, konnte als Standpunkt genommen werden, dessen Koordinaten nach dem früher in § 27 Fig. 5 S. 108 beschriebenen Verfahren aus der Karte abgemessen wurden, und die so abgemessenen Koordinaten wurden mit anderen geradezu trigonometrisch bestimmten Koordinaten (z. B. von Kirchtürmen usw.), sowie auch unter sich, zu Entfernungsberechnungen verbunden.

Schätzt man den mittleren Fehler der aus den Meßtischaufnahmen in 1 :2500 abgemessenen Koordinaten zu 1—2 m, so findet man bei der Kleinheit der Höhenwinkel (fast immer unter 5°), daß keine erheblichen Höhenfehler hieraus entstehen, wie auch der Erfolg bestätigt hat.

Übrigens wurden begreiflich auch die trigonometrischen Signalsteine, deren Koordinaten in Zahlen gegeben sind, mit Vorliebe aufgesucht, schon wegen der Sicherheit, die gemessene Höhe auf dem Signalsteine zu erhalten. Viele Punkte wurden auch trigonometrisch rückwärts eingeschnitten, z. B. an den Abhängen der Schwäbischen Alb bei ausnahmsweise steilen Sichten, um dem Anwachsen der Entfernungsfehlereinflüsse vorzubeugen, und in l'allen, wo die Karte zweifelhaft war. Unser Formular für Rückwärtseinschneiden (§ 83 S. 353) ist im wesentlichen aus dieser Veranlassung 1864 entstanden (ebenso auch § 81 S. 345).

Die Instrumente waren anfänglich sehr gering; Verfasser hatte 1864 einen

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Münchener Theodolit mit nur einem Nonius am Höhenkreise und nur einer (h/e/iibelle als Beiterlibelle oben auf der horizontalen Achse, welche dann aber von mir seihst in eine Längslibelle umgewandelt wurde. Damit sind die Messungen zu dem Netze des nachfolgenden § 142 gemacht.

Später wurde ein großer Breithaupt-Theodolit mit 27 cm, Höhenkreis angeschafft, mit welchem Trigonometer Regelmann sehr genaue Messungen erzielte.

Die 32 Hauptnetze von Regelmann, etwa zwei Drittel des Landes umfassend, enthalten 1195 Höhendiagonalen in dem Sinne unseres nachfolgenden § 141. Die Ausgleichung der 32 Einzelnetze nach § 142 mit zusammen 485 Polygonen gab für eine durchschnittlich 6500 m lange Diagonale eine Netzverbesserung von durchschnittlich nur 4 cm.

Es sind 19 290 Bodenpunkte und 7 753 Hochpunkte, im ganzen 27 043 Punkte bestimmt worden, also da Württemberg 354,2 Quadratmeilen = 19 504 cpfim hat, rund 1,4 trigonometrischer Höhenpunkt auf 1 cph-m.

Ursprünglich wurden die Netze (je ein Atlasblatt von rund 530 cj-fim) der Höhe nach einfach aneinander gehängt, später nach 1880 an das Präzisionsnivellement des Landes angebunden, so daß nun Württemberg in der gut verbundenen nivellitisch-trigonometrischen Höhenaufnahme ein Werk besitzt, wie wenig andere Staaten.

Weiteres hierüber geben die „Württemb. Jahrbücher für Statistik und Landeskunde“, herausgegeben vom Statist.-topogr. Bureau bzw. vom Statistischen Landesamt, von 1859 an.

§ 141. Höhenmessung aus einem Zwischenpunkte.

Wenn von einem Standpunkte die Höhen h und Ji zweier Zielpunkte bestimmt werden, so ist der Höhenunterschied der letzteren = h — h'. Wenn nun beide Messungen nahezu gleichzeitig gemacht wurden, so kann man annehmen, daß der Refraktionskoeffizient bei beiden Messungen derselbe war, daß also in den Höhenunterschied li — Ji nur die Differenz der beiden Refraktionsfehler eingeht. Wir werden in der Theorie der Strahlenbrechung (§ 144) diese Annahme noch näher begründet finden, weil der Wert k von dem Höhenwinkel selbst (z. B. ob der Höhenwinkel positiv oder negativ ist) nahezu unabhängig ist.

Wir betrachten zuerst eine einfache Messung, und haben hierfür die früher in §135 (7) S. 578 entwickelte Grundformel:

₇    «i¹ cu¹k

h = ai tan0 «l + 2r — ~2r~ ‘

Daraus findet sich der mittlere Fehler A \ als Funktion des mittleren Fehlers A cq von und des mittleren Fehlers A Je von Je (indem der Fehler von a vernachlässigt, und ai als sehr klein behandelt wird) :

O)

A Jix = j/(«x A aj¹ 4- ^2~r~) •

Für eine zweite Messung Ji₂ gilt eine ähnliche Formel, und unter Voraussetzung gleicher Refraktionsfehler A Je erhält man für den Höhenunterschied — Ji₂ folgenden mittleren Fehler:

(2)

Man kann also unter dieser Voraussetzung sich von.dem Befraktionsfehler teilweise unabhängig machen, wenn man sich so aufstellt, daß die zwei Punkte, deren Höhenunterschied man bestimmen will, möglichst gleich weit entfernt sind, und es wird durch solche Höhenmessung aus einem Zwischenpunkte die Genauigkeit der Resultate wesentlich erhöht. Wir nehmen beispielsweise an, daß der mittlere Fehler beider Höhenwinkel A «4 = A ctg = + 5" sei, und wenn Ak = 1/4 k = 0,0325 genommen wird, so gibt die Gleichung (2) mit log r = 6.80489, folgendes :

(B)

m = y0,0005876    + «₂2) + 0,000000485 («^ _ ^2)2,

wobei m in Metern, dagegen «4 und a₂ in Kilometern genommen ist.

Es wurde hiermit folgende Tafel für m berechnet:

Mittlerer Fehler der trigonometrischen Höhenmessung aus einem Zivischenpunkte, für den mittleren Winkelfehler A a —    5".

Ol

oder 0 km \ 1 km 2 km

3 km \ 4 km j 5 km 6 km 7 km \ 8 km

9 km 10 km 12 km

0 km

0,00

0,02

0.02

0,03

0,05

0,05

0,08

0,08

0,11

0,11

0,14

0,14

0,17

0,17

0,21

0,21

0,25

0,25

0,30

10

0,35

0,30

0,35

12

0,47

0,47

⁵ ! ! i|I s- 5 o- ! I ! 11

0,11

0,11

0,11

0,14

0,14

0,14

0,12    0,15

0,14 i 0,16

"046 I 0^2.

0,18 I 0,19

0,21 j 0,22

0,25 i 0,25 0,29 ; 0,29 0,34    0,33

0,45 I 0,44

0,17

0,17

0,17

0,18

0,18

0,19

0,21

0,23

0,25

0,29

0,33

10,42

P    P    P    pjo    O O p O O O O

l+-    CO    tO    bv | to    WtvtOtOtOtOICj

I—¹    fcO    CD    olrf»    CO to H-¹ I—¹ H-‘ H—‘ h—‘

! 0,25

0,25

! 0,25 0,25

0,25

0,25

0,25

0,26

0,27

0,30

0,32

0,40

0,30 I 0,35

0,47

0,30

0,30

0,29

0,29

0,35

0,35

0,34

0,34

0,29    0,33

0,29

0,33

0,47

0,46

0,46

0,45

0,44

0,42

0,29

0,32

0,41

0,30

0,32

0,40

0,31

0,33

0,40

0,33

0,34

0,39

0,40

0,39

0,41

Man sieht hieraus z. B., daß zwei Punkte in der Entfernung von 124-m- durch eine Messung, d. h. mit — 124m und a₂ = 0 4m, in Hinsicht auf ihren Höhenunterschied mit einem mittleren Fehler von 0,47 m bestimmt werden; dagegen von einem Zivischenpunkte aus, mit zwei Messungen auf — 6 4m und «₂ — 6 4m, mit einem mittleren Fehler von nur 0,21 m. Man kann hierzu auch eine Schichtentafel konstruieren.

Eine solche Höhenmessung aus einem Zwischenpunkte bietet sich von seihst dar, wenn man als Hauptpunkte die trigonometrisch nach Koordinaten bestimmten Kirchtürme nimmt, welche von Bodenpunkten aus angezielt werden.

Solches war gewöhnlich der Fall bei der württemhergischen trigonometrischen Höhenaufnahme, die im vorigen § 140 beschrieben wurde.

Höllendiagonale. Bei jenen württemhergischen Aufnahmen begannen wir die Ausgleichung mit der Zusammenfassung von möglichst vielen Höhenmessungen, welche sich auf dieselben zwei Zielpunkte bezogen, und nannten den ausgeglichenen Höhenunterschied solcher zweier Hauptpunkte eine „Höhendiagonale“.

Wenn zwei Punkte von verschiedenen Standpunkten angezielt werden, so liefert jeder Standpunkt einen Wert — h₂ = h, und das Gewicht einer solchen Bestimmung ist p = 1 : nir, wobei m nach der Gleichung (3) zu bestimmen ist.

Hat man mehrere solcher Bestimmungen, so erfolgt die Ausgleichung durch Mittelbildung mit den Gewichten.

Wir wollen dieses durch ein einfaches fingiertes Beispiel veranschaulichen, wobei P₁ und P₂ die Endpunkte einer zu bestimmenden Höhendiagonale und entsprechend + und an, sowie \ und h₂ die von einem Zwischenpunkte genommenen Abstände und Höhen sind.

Zwischen

punkt

I «2

Ul

m²

P~mï

3,04m

10,0

12,0

9,0

5,0

3,0

+ 56,43 m

—    6,09 + 76,36 + 14,06 + 60,68

—    2,24

+ 62,52 m ± 0,34m

+ 62,30

+ 62,92

0,1256

±0,40

±0,15

0,1600

0,0225

44

Wir nehmen 62,00 m als Näherungswert und rechnen nach den Formeln für das arithmetische Mittel bei ungleichen Gewichten, d. h. nach § 8 Beispiel S. 20:

Cd O Cd IO ço

©“ © o

Oi CO a

4,68

1,80

40,48

46,96

+ 0,28 + 0,50 - 0,12

0,0784

0,2500

0,0144

0,3428

CC] r—ł O CO

t>- CO OO^

&, © t-T ö" cd

46,96

59

— 0,80 , JM

2,84

-±0,16;

2x 59

die fragliche Höhendiagonale mit ihrem mittleren Fehler ist also:

h = 62,80 m ± 0,16 m.

In dieser oder ähnlicher Weise sind die Höhendiagonalen berechnet, welche in die Netzausgleichung des folgenden § 142 wie unmittelbar beobachtete Werte eingehen.

§ 142. Ausgleichung eines Höhennetzes nach bedingten Beobachtungen (mit Korrelaten).

Wenn man die Höhendiagonalen Ji zwischen mehreren Punkten liehst ihren mittleren Fehlern in der soeben beschriebenen Weise berechnet hat, so liegt die Aufgabe vor, das durch diese Höhendiagonalen gebildete Netz auszugleichen, sofern die Anzahl der Höhenunterschiede das unmittelbare Bedürfnis übersteigt. Man kann die "Werte h als unmittelbare Beobachtungen mit den Gewichten, welche ihren mittleren Fehlern entsprechen, einführen.

Die Ausgleichungsmethoden für ein solches Netz sind im wesentlichen dieselben wie bei einem Nivellierungsnetz, das wir schon in § 126 und 127 behandelt haben; indessen ist für die Anzahl der Bedingungsgleichungen doch eine allgemeine Überlegung vorauszuschicken, weil sich dieses nicht so ganz einfach gibt wie bei den Nivellierpolygonen.

Wir betrachten ein Höhennetz von ^-Punkten. zwischen welchen 7i‘-Verbindungshöhen gemessen sind.

Um p-Punkte der Höhe nach gegeneinander festzulegen, braucht man p — 1 unabhängige Messungen von Höhendifferenzen, z. B. die Verbindungen von einem Punkt mit den p — 1 übrigen, oder die p — 1 Verbindungen, welche ein offener, über alle p-Punkte in beliebiger Aufeinanderfolge gelegter Zug enthält.

Wenn daher Ausgleichung möglich sein soll, so muß die Zahl Ji der wirklich vorhandenen Höhenverbindungen größer als p — 1 sein, d. h. h^>p — 1.

Der Unterschied zwischen li und p — 1 zählt die überschüssigen Messungen, und ebensogroß ist auch die Zahl der unabhängigen Bedingungsgleichungen, welche wir mit r bezeichnen, also:

Zahl der Bedingungsgleichungen r = h —p + 1 .

Z. B. in dem hannoverschen Stadtnivellementsnetz Fig. 1 § 127 S. 548 haben wir (mit Weglassung von (1644) und (1648), welche gar nicht zu dem Netze gehören) p =22 Punkte, h — 31 Verbindungshöhen, also:

r — 31 — 22 + 1 = 10 Bedingungsgleichungen.

Nach dieser Vorbemerkung können wir zu der Ausgleichung eines trigonometrischen Höhennetzes übergehen, welches in nachstehender Fig. 1 gezeichnet ist (vom Verfasser im Jahre 1864 aufgenommen, Atlasblatt Bopfingen, „Württemb. Jahrbücher für Statistik und Landeskunde 1870“, S. XXXII).

Fig. 1. Ausgleichung eines trigonometrischen Höhennetzes (Maßstab 1 : 125 000).

(Die Pfeile zeigen die Eichtung des Steigens.)

(1)

(7)^--

r/f).

(?)

-(8\

(%)

(1)

(3)

E = Elchingen F = Freilaß G — Großküchen A = Auernheim N= Eeresheim K = Kösingen

Zwischen den sechs Punkten dieses Netzes wurden elf Höhendiagonalen nach dem Verfahren von § 141 bestimmt, wie in folgender Abrißtabelle mit h angegeben ist. Hierbei sind auch die a priori ermittelten mittleren Fehler + m der Höhendiagonalen und die entsprechenden Gewichte p angegeben, und außerdem sind auch die erst nach der Ausgleichung zu erhaltenden Höhenverbesserungen v und die ausgeglichenen h + v sogleich beigefügt.

Abriß der Höhenausgleichung.

Vor der Ausgleichung

Nach der Ausgleichung

Num.

m-

— = (10 («)2

h -I- v

to v-¹

GA

AE

46,54 m

8,69

10,65

05 Ol ^

AN

9,64

GE

GlV

54,74

55,68

2,46

CO

KE

KF

i-¹

o

KX

31,47

33,75

32,43

NE

1,00

± 0,17 m ± 0,13 ± 0,13 ± 0,08 ± 0,42 ± 0,30 ± 0,08 ± 0,21 ± 0,34 ± 0,08 ± 0,13

0,0289

0,0169

0,0169

0,0064

0,1764

0,0900

0,0064

0,0441

0,1166

0,0064

0,0169

2,9

1,7

0,6

17,6

9,0

0,6

4,4

11,6

0,6

1,7

—    0,14 m

—    0,23 + 0,16 + 0,00 + 0,12 + 0,36

—    0,11 — 0,21 — 0,12 + 0,03 + 0,16

46,40 m

8,46

10,81

9,64

(2)

54,86

56,04

2,35

31,26

33,63

32,46

1,16

Um die Bedingungsgleichungen aufzustellen, überlegt man zuerst deren AnzaliL Nach dem was hierüber im vorstehenden, S. 597 bei (1), gesagt worden ist, hat man:

+ = 6 Punkte , h = 11 Höhendiagonalen, also r — h —p + 1 Bedingungsgleichungen, r = 6 .

Diese sechs Bedingungsgleichungen kann man verschiedenartig bilden, es kommt nur darauf an, daß keine in den übrigen mitenthalten ist. Wir beginnen mit dem Dreieck AGN und haben : Es soll sein lix +- /t₄ — h₆ = 0.

Wenn man aber die beobachteten Werte aus der Tabelle (2) für die h einsetzt, so erhält man : +- 46,54 m -+ 9,64 -m — 55,68 m = +- 0,50 m = wx.

Zur Tilgung des Widerspruches von 0,50 m werden an den beobachteten Höhen gewisse Verbesserungen v angebracht, so daß werden muß:

(46,54 +• v₄) -+ (9,64 + v%) — (55,68 +- Vg) = 0 .

Dieses mit dem Vorhergehenden verbunden gibt:

-f~ v₄    Vs£ — Vq -j- 0,50 ™ 0.

Dieses ist die erste Bedingungsgleichung. In ähnlicher Weise bildet man die-übrigen fünf Gleichungen, und alle sechs zusammen sind :

d)    Vq —H Tly — Vg —f— 5,0 8111 — 0

e)    vio + vn — v9 — 3,2

f ) ^8 + Vrj - Vÿ +- 1,8

Um die Normalgleichungen vorzubereiten, bilden wir die Tabelle der Koeffizienten und der Gewichtsreziproken :

a)    vx -t-t’₄ — + —f- o,0 3-m = 0

(3>

b)    vx -+- v₂ —1’₅ + 4,9

= 0.

c)    r₄ 4- vn — »₃ — 0,1

11

10

+ 2,91 +1,7 +1,7| + 0,61+ 17,6

+ 4,4

+ 11,61 +0,6 +1,7

dm

+ 5,0 + 4,9 -0,1 + 5,0 -3,2 + 1,8

—¹ j +1 1+1

. . +1

i-¹ Ï-J

I -i ; . .

Nun wird z. B. :

ra al

LP J ~~

2,9 + 0,6 + 9,0 = + 12,5 .

Li J-

-f 2,9 usw.

aufzulösen :

Man hat daher folgende sechs Normalgleichungen (in ausführlicher Schreibweise)

■+■ 12,5 A4    2,9 Je2 -+- 0,6 Ag    .

+ 2,9 Ä4 -+- 22,2 Tco . .    + 1,7 A₄

+ 0,6 A4 . .    —f- 4,0 Ag + 1,7 A₄ -+- 1,7 Jeg

-f- 4,0 A₄

• •    + 1,7 A₂ +

er cT

. . H- 5,0 = 0 . . +4,9 = 0 . . —0,1 = 0 . . + 0,6 A: g + 5,0 = 0 . .    + 13,9 A₅ + 11,6 A₆ — 3,2 = 0

. .    -f- 0,6 A₄ + 11,6 A₅ + 16,6 Jcq + 1,8 = 0 .

Die Auflösung gibt:

k₁ = — 0,40 , A₂ = — 0,07 , &₃ = + 0,38 , /c₄ =

1,30 , fc₅ = + 0,59 , Jc₆ = ~~ 0,47. Nunmehr finden sich die Verbesserungen v mit Benützung der Tabelle (4) z. B. :

64 = — (A4 + ^2) = 2,9 (— 0,40 — 0,07) = — 1,4 dm

und auf gleiche Weise erhält man auch die übrigen v, welche bereits in dem Abriß der Ausgleichung [s. oben (2)] angegeben sind, nebst den ausgeglichenen Höhenunterschieden h -j- v. Aus diesen Werten lassen sich die Höhen sämtlicher Punkte ohne Widersprüche auf den verschiedenen Wegen berechnen. Nur teilweise bestehen noch kleine Abweichungen der letzten Stelle, die aber lediglich von der Abrundung der Rechnung auf 0,01 m herrühren.

Von einem Punkte ist die Höhe über N. N. gegeben-, es ist nämlich Freilaß Signalstein .    .    651,16 m über N. N.

und damit werden die übrigen Höhen bestimmt, wie folgende Tabelle aller sechs Höhen zeigt:

F Freilaß.

K Kösingen

N Neresheim..... 649,99

651,16 m A Auernheim 617,53

640,35 m 593,95

E Elchingen..... 648,81.

G Großküchen

§ 143. Ausgleichung eines Hohennetzes nach vermittelnden Beobachtungen.

Die im vorigen § 142 gelehrte Korrelatenausgleichung ist für Höhennetze in den meisten Fällen zu empfehlen, namentlich wegen der- durchgreifenden Eechenprobe, daß am Schlüsse sich alle Höhen widerspruchsfrei rechnen lassen müssen.

Wenn aber die Zahl der gemessenen Höhen sehr groß ist im Vergleich mit der Zahl der Punkte, dann kann es auch nützlich werden, nach vermittelnden Beobachtungen auszugleichen, was wir nun allgemeiner betrachten wollen (vgl. die Bemerkung S. 551).

Wir denken uns wieder p Punkte und h gemessene Höhen, und wir betrachten einen Ausgangspunkt als fest gegeben, und die p — 1 Höhenunterschiede der übrigen Punkte gegen den Ausgangspunkt als unabhängige Unbekannte; dann kann man die sämtlichen gemessenen h Höhen in diesen p — 1 Unbekannten ausdrücken und man erhält daher h Fehlergleichungen zur Bestimmung von p — 1 Unbekannten, welche nach der M. d. kl. Q. sowohl die p — 1 Unbekannten selbst als auch deren Gewichte liefern.

Die Anzahl der aufzulösenden Normalgleichungen ist hier gleich der Anzahl der unabhängigen Unbekannten, d. h. = p — 1.

m •mittelnde Beobachtungen Ä > 2 {p — 1) •

Bei der Korrelateninethode des vorigen § 142 war die Anzahl der aufzulösenden Gleichungen ~h—p + 1 ; und da die Anzahl der aufzulösenden Normalgleichungen hauptsächlich bestimmend ist für die Größe der Arbeit, so erhält man die Vergleichung, ob 71 — p -f- 1 größer oder kleiner als p — 1 ist, oder : bedingte Beobachtungen (Korrelaten) h <2 (p — 1)

Also wenn die Anzahl h der gemessenen Höhen sehr groß ist. wird die Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen in bezug auf die Anzahl der aufzulösenden Gleichungen günstiger.

Das nachfolgende Beispiel ist der württembergisclien trigonometrischen Höhenaufnahme entnommen als Teil des Atlasblattes Blaubeuren, welches vom Verfasser 1867 aufgenommen wurde (vgl. „Württembergische Jahrbücher für Statistik und Landeskunde 1870“, S. LII und LIII).

Fig. 1. Die Pfeile bedeuten die Richtung des Steigens.

Fig. 2.

Übersicht der Gewichte.

Eeroldstatt

0,4

iJJ

Ludrmpshdhe c

Mehrstetten

(5)

ÎO

1/

'lugolsheim

(2J

JZ

/^Äustinc/en

14

Tiefenhülen

(*)

Ie,

e<

°A

A5 /Z,8

.2,8

V/

.10

-2,8

OG

4,0.

11,1

f*

Breme7au

Die Punktbezeichnungen a, b, c, d, e, f beziehen sich auf die Normalgleichungen (4) und (5).

1.-200000

w Kilom

Ähnlich wie bei der Korrelatenausgleichung der Nivellements in § 127 wollen wir auch hier bei der Höhenausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen zeigen, daß durch Einschreibung der Gewichte usw. in eine Figur die Zahlenrechnung teilweise erleichtert werden kann. Es sei auch noch besonders bemerkt, daß alles was wir hier vorführen sich nicht auf trigonometrische Höhen besonders bezieht, sondern auch für Nivellementsausgleichung gebraucht werden kann, wobei der einzige Unterschied darin besteht, daß Nivellementslinien sich nicht schneiden, wie in vorstehender Fig. 1, daß man aber durch Weglassen der Diagonalen 9 und 12 auch die Fig. 1 in eine Form überführen kann, welche auch als Nivellementsnetz Vorkommen kann.

Die Gewichte der einzelnen Linien würden allerdings bei Nivellements anders bestimmt werden als bei trigonometrischen Höhen, allein die Art und Weise, wie die in die Ausgleichung eingehenden Messungsgewichte erhalten worden sind, spielt überhaupt in der Ausgleichung selbst keine Bolle; und deswegen wollen wir auch in dem nachfolgenden Beispiel darüber kurz hinweggehen mit der Bemerkung, daß die Gewichte aus Höhendiagonalen in dem Sinne von § 141 S. 595 hervorgegangen sind.

Abriß de)' Höllenausgleichung.

Vor der Ausgleichung

Nach der Ausgleichung

Nr.

Diagonale

Höhe

Mittlerer

Fehler

Gewicht

0,01

P=J*

h -j- v

Justingen—Heroldstatt . Magolsheim—Heroldstatt Ludwigshöhe—Heroldstatt Justingen—Magolsheim . Magolsheim—Ludwigshöhe Bremelau—Ludwigshöhe Mehrstetten—Magolsheim

± 0,06 m ±0,06 ±0,15 ±0,06 ±0,08 ±0,08 ±0,10

I—»    » I—» I—* I—‘

03    H-* O O CO

Tiefenhülen—Magolsheim Mehrstetten—Justingen . Bremelau—Mehrstetten . Tiefenhülen—Mehrstetten Bremelau—Justingen . . Tiefenhülen—Bremelau . Tiefenhülen—Justingen .

62,68 m 50,05 29,74 12,76 19,93 42,97 ! 12,55

2,8

2,8

0,4

2,8

1,5

1,6

1,0

-f- 0,003 m 62,683 m

—    0,043 + 0,253

—    0,084 -f- 0,084

—    0,013 + 0,195

50,007

29,993

12,676

20,014

42,967

12,745

28,936

0,069

10,198

16,191

10,267

5,993

16,260

Da das Netz sieben Punkte hat, ist es durch sechs unabhängige Höhenunterschiede vollständig bestimmt; man kann solche sechs unabhängige Höhenunterschiede verschieden auswählen ; in unserem Falle wollen wir alles auf den Hauptpunkt Heroldstatt beziehen, indem wir dessen Höhe als unabänderlich gegeben betrachten. Man kann diese Ausgangshöhe = 0 setzen, oder irgend welchen anderen Wert dafür annehmen. Da wir nachher doch alle Höhen über N. N. anzugeben haben, rechnen wir sogleich in dieser Form und haben die Höhe von Heroldstatt = 848,62 -m über N. N. Die Höhen der anderen Punkte aus den oben bei (1) mitgeteilten Höhenunterschieden näherungsweise (also ziemlich willkürlich, ohne Ausgleichung) zusammengesetzt sind :

Heroldstatt .    848,62 m    fest    gegeben

(1)    Justingen. .    785,94    mit    Verbesserung x₁

(2)    Magolsheim.    798,57

(2)

x₃

(8) Ludwigshöhe    818,88

(4)    Tiefenhülen.    769,72

(5)    Mehrstetten.    786,02

(6)    Bremelau. .    776,06

Die hier eingeführten Verbesserungen , ±₂ ■ • • xa sollen durch die Ausgleichung

bestimmt werden. Von anderer Art als diese sechs Verbesserungen x₁ ,    ... xe sind

die vierzehn Verbesserungen , r₂ . . . t;₁₄, welche an den beobachteten Höhenunterschieden h der Tabelle (1) angebracht werden müssen.

Wir haben die vierzehn Werte v in den sechs Werten x auszudrücken, d. h. die vierzehn Fehlergleichungen für die vierzehn Beobachtungswerte h aufzustellen. A ir nehmen beispielshalber den letzten Wert b₁₄ = 16,25 m vor und vergleichen ihn (nach dem Anblick der Fig. 1 S. 600) mit den genäherten Höhen der beiden zugehörigen Punkte:

(1) Justingen . (4) Tiefenhiilen

Höhe = 785,94 m 4- Xy ,,    — 769,72    4- x₄

Genäherter Höhenunterschied 16,22 m 4- Xy—x4 Beobachtungswert b₁₄ = 16,25 m

(3)

Xy = VU .

Differenz — 0,03 m 4- Xy

Dieses ist die Fehlergleichung Nr. 14 und das Absolutglied dieser Fehlergleichung ist ly₄ = — 0,03 m oder = — 0,3 dm. In derselben Weise bildet man auch alle anderen l, und rechnet mit den aus (1) heruntergeholten p auch die Produkte p lf welche man nachher brauchen wird.

Fig. 3.

Übersieht der Werte pl.

Hi

pl

0,00

dm

dm

OO 00

0,0

0,00

0,0

0,00

+ ö,70

0,00

ÜCO

0,4

0,0

0,00

2,8

1,5

b,

1.6

-1,3 + 3,8 -1,5

— 3,64 4- 5,70

2,40

<3,64

1,0

0,0

0,00

- 2" 40    0/00 0\30

-6,40

0,0

0,00

-1,6

— 6,40

+ 1,50

-8,48

0,0

0,00

-3,33

. 1,0

+ 1,5

CO

r—I H r-H

1,6

4,0

11,1

—    5,3 + 3,1

—    0,3

+ 1,50

—    8,48 + 12,40

—    3,33

03 tf,    I—i    tO

+ i» + JO O © O O CO H* p p © ©

38

+12,40

85,6 |

1,6

— 4,65

126,86

Die Produkte p l sind im vorstehenden nicht nur tabellarisch berechnet, sondern auch noch in Fig. 3 eingetragen; und diese Fig. 3 wird nun in Verbindung mit der Fig. 2 S. 600 uns gestatten, die Normalgleichungen kurzerhand zu bilden.

Da wir sechs Unbekannte haben, werden wir für die Normalgleichungen folgende Form ahnehmen (in üblicher abgekürzter Schreibweise) :

[p a a] Xy [p a b] x₂ -+- [p a c] x₃ . . . + [p a /'] x₆ 4- [p a /] = 0 .... + [p b b] x₂ -p[pbc]x₃ . . . + [p b f] x& 4- [p b Z] -f- 0

(4)

+ [P f f] + + [p fU = 0 [pH]-    .

Wenn man hiernach sich richtet, und zugleich die Fig. 2 und Fig. 3 betrachtet, so wird man bald finden nach Fig. 2 S. 600 :

[p a a] = + 2,8 4- 2,8 -t- 4,0 4- 1,6 + 11,1 = + 22,3 [p b b] = + 2,8 + 2,8 4- 0,6 + 1,0+ 1,5 = 4- 8,7 usw.

Nebenbei wird auch erhalten [pll. 6] = 16,78.

Diese Höhenverbesserungen * fügt man zu den Näherungswerten (2) und hat damit die ausgeglichenen Höhen über N. N. Die entsprechenden v und h -+- r sind bereits am Anfang in den Abriß (1) mit aufgenommen, und es bleiben also nur noch die Proberechnungen und Genauigkeitsberechnungen, welche ebenso wie bei allen andern vermittelnden Ausgleichungen gemacht werden. Diese (in der 3. Aufl. 1888

S. 448 ausführlich angegebenen) Nebenrechnungen wollen wir hier übergehen und nur als Schlußergebnis hersetzen:

Ausgeglichene Hohen über N.N.

Ausgangspunkt Heroldstatt.

[1]    Justingen.

[2]    Magolsheim

848,62 m

785,94    + 0,07 m

798,61    ± 0,07

(6)

[3]    Ludwigshöhe .... 818,63    + 0,10

[4]    Tiefenhülen..... 769,68    ± 0,07

[5]    Mehrstetten

[6]    Bremelau.

Die Produktsummen werden noch einfacher, nämlich nach Fig. 2 :

[2) ad] = — 11,1 usw.

Die [p a Z] , [p b Z] usw. hat man entsprechend aus Fig. 3 S. 602 zusammenzusuchen, mit Rücksicht auf die Vorzeichen und auf die Pfeilrichtungen:

[p a Z] = + 3,64 — 6,40 — 8,48 — 3,33 = — 14,57 [p bl] = — 5,70 + 0,00 — 3,64 = — 9,34 usw.

In dieser Weise, und da das Schlußglied [p l /] schon in der Tabelle hei Fig. 3 S. 602 berechnet ist, kommt man schließlich auf die Normalgleichungen, welche wir abgekürzt fin dem Sinne von Band I, 5. Auf. 1904, S. 80) so schreiben:

[p ab] — — 2,8

[p a c] = 0

3m

+ 22,3 Xi — 2,8 æ₂ . .    — 11,1 ^4 — 4,0 x₅ — 1,6 x₆— 14,57 = 0

— 0,6*4—1,0*5 • • —

.    .    .    .    —1,6 *g

co 00

. .    -f- 16,7 *4 — 1,0 *5 —

+ 6,4 *5 —

05 CO (D l>

(5)

+ 23,28 = 0 + 126,87

Die Auflösung dieser Gleichungen gibt:

= — 0,03 3m,    = -\- 0,43 3m, x₃ = — 2,53 3m, *4 = — 0,43 3m

*5 = — 1,52 3m, *0 = — 3,90 3m.

785,87 ± 0,08 775,67 + 0,09.

Die mit +_ beigesetzten mittleren Fehler beziehen sich sämtlich auf den Ausgangspunkt Heroldstatt.

§ 144« Theorie der Strahlenbrechung.

Man kann den Weg eines Lichtstrahls in der Atmosphäre theoretisch verfolgen, wenn man den Druck und die Temperatur der Luft an jeder Stelle der Lichtbahn als bekannt voraussetzt. Man braucht zu der Theorie der Strahlenbrechung dann nur noch das gewöhnliche theoretische Brechungsgesetz [Gleichung (1) im folgenden] und das empirisch gefundene Gesetz von der sogenannten brechenden Kraft eines Gases

[im folgenden Gleichung (2)]. Es wird sich dann zeigen, daß die als bekannt anzu-nehmende Lufttemperatur weniger mit ihrem absoluten Werte selbst von Einfluß auf die Strahlenbrechung ist als durch die Änderung, welche die Lufttemperatur mit der

Höhe erfährt. Nach diesen Vorbemerkungen gehen wir zu der mathematischen Behandlung über:

In Fig. 1 stelle A! BB' C den Weg eines Lichtstrahles durch die Atmosphäre dar, und zwar als gebrochenes Polygon im Sinne der Differential-betrachtung. Es seien n' und n die absoluten Brechungskoeffizienten an der Grenze der Schichte B S, sowie cp' und cp die Winkel des Lichtstrahls mit der Normalen in B, dann hat man bekanntlich die Gleichung:

A'

O’l

Mb

Fig. 1.

k—da

JB’

S’

sin cp' _ n’ sin cp

(1)

Ferner besteht zwischen dem Brechungskoeffizienten n eines Gases und seiner Dichte 0 die physikalische Gleichung:

(2)

n% — 1 — c 0 ,

wobei w² — 1 die brechende Kraft des Gases heißt, und c eine Konstante ist. Indem man diese letzte Gleichung (2) zweifach anwendet, hat man :

n'²

genügend genähert:

= 1 + c (©' — 0) -+- ...

£ = i

«²    1 -h c 0

Dieses in Verbindung mit (1) gibt: s in cp ’ sin cp

oder

sin cp' — sin cp

sin cp

(3)

Nun geht man zur Differentialbetrachtung über und setzt:

sin cp' — sin cp — (cp' — cp) cos cp — d cp cos cp und 0' — 0 = d 0

c d0 — 0 — f ang cp.

damit wird (3) :

d cp cos cp sin cp 2

FT d G »

(4)

iV=2

Die Dichte 0 der Luft bestimmt sich bei einem Barometerstand B und einer Temperatur t nach dem Mariotte-Gay Lussacschen Gesetze (welches wir später in der Einleitung zur barometrischen Höhenmessung [§ 149 (8) S. 621] ausführlicher besprechen werden), nämlich (mit <x = 0,003665) :

c c B 1

2 0=r2⁰°76Ör+

Q

Die hier auftretende Konstante — 0O nennt man die Refraktion skons tante, welche wir hier mit c₀ bezeichnen wollen ; diese Konstante ist nach Bessel, für B— 760 und t = 0° : £ ©₀ = c₀ = 0,00029269 oder c₀q--=c₀ 206 265" = c₀" = 60,371".

0 = 0O

760 1 + at

also

at ‘

(5)

(6)

Man findet diesen Zahlenwert aus den Angaben von Bessel in den „Tabulae regiomontanae* S. LIX—LXII mit Zuziehung der Bemerkungen im „Berliner astronomischen Jahrbuch für 1826“ S. 16. Es sei auch bemerkt, daß die Konstante, welche wir hier c₀ nennen, bei Bessel mit a bezeichnet ist, während wdr hier, wie auch sonst üblich, mit cc den Ausdehnungskoeffizienten der Luft, <d. h. a = 0,003665 oder = 1 : 272,851 bezeichnen [s. o. bei (5)].

Nun haben wir aus (4) , (5) und (6) :

,    B 1 d0

Nach Fig. 1 kann man setzen dh tang cp = da , d cp _ B 1    1 d0

da C° 760 1 -j- a t 0 d h '

Hier ist genähert "jdL der reziproke Wert des Krümmungshalbmessers R der

Lichtbahn, und wenn man den Erdhalbmesser r dazunimmt und in üblicher Weise r : R — x setzt, so hat man :

(7)

(8)

also nun :

(9>

dcp

a l'G

(9a)

oder:

x = c₀

B 1 r d 0 760 1 -hat 0 dh

(10)

Für die unendlich kleine Strecke B B’ des Lichtstrahls ist dann x der Be-fraktionskoeffizient.

Um d 0 zu erhalten, haben wir die Funktion (5) zu differentiieren :

d 0 _d B 0 B 1 -+- a t

% 1 760 1 + a t Dieses in (10) gesetzt gibt:

B a dt

⁰⁰ 760 (1 + « t)2

oder

x = c₀

1 dB

(11)

1 a t d h) ’

Nun müssen wir die Grundformel (19) der barometrischen Höhenmessung aus unserem späteren Kapitel XII § 149 S. 622 vorgreifend zitieren, nämlich:

760 l-i- at\B dh

h = Klog (1 -bcct),

wobei Bq der Barometerstand an einem unterhalb gelegenen Punkte und K = 18464 die barometrische Konstante für Mitteleuropa ist. Daraus hat man :

+ ««.

Außerdem kommt in (11) der Wärmeänderungsquotient ät-.dh in Betracht, den wir mit — r bezeichnen wollen, d. h. es sei + r die Abnahme der Lufttemperatur für eine Höhenzunahme von lm oder:

dh

dB

(12)

(13)

Diese beiden (12) und (13) in (11) gesetzt geben, ohne Bücksicht auf das Gesamtvorzeichen :

x = c₀

oder:

x = c₀

760 1 -t- a t \jLt K (1 H- a t) 1 -+- a t (1 — g K a t).

(14)

760 (1 -4- ct t)2 g K

(15)

Setzt man alles Konstante ein, nämlich eo=0,00029269, « = 0.003665, r = 6370000, K = 18464, g = 0,43429, so wird:

x = 0,2325

Te» rao¹-²⁹-⁸⁹*)-

(16)

Dieses x ist der Refraktionskoeffizient im differentialen Sinn. d. h. der Refraktionskoeffizient in demjenigen Punkte der Lichtkurve, in welchem der Barometerstand B. die Lufttemperatur t und die Wärmeänderung x ist. Dieses z ist nach (18) die Abnahme der Lufttemperatur für die Höhenzunahme = 1; denkt man sich gleichförmig erwärmte Luft ohne Temperaturänderung nach oben oder unten, so ist x = 0, und den entsprechenden Refraktionskoeffizienten wollen wir = x₀ setzen, d. h. :

x₀ = 0,2325

760 (1 + « t)2

und dazu x — x₀ (1 — 29,89 r).

(17)

Hiernach hatten wir eine Hilfstafel berechnet, welche in der früheren 4. Auflage 1893 dieses Bandes im Anhänge Seite [18] gegeben war, aber weil doch nur selten gebraucht, zur Baumersparung weggelassen wurde. Dagegen wird am Schlüsse von § 147 eine kleine neue Tafel gebracht weiden, welche auch hierauf Bezug hat.

Bei zunehmender Höhe nimmt der Barometerstand B ab; hiernach muß also auch x abnehmen, jedoch bei zunehmender Höhe nimmt auch im allgemeinen die Lufttemperatur t ab, und das gibt für x eine Zunahme; wie sich x gestaltet in geringeren oder größeren Höhen, läßt sich nicht allgemein sagen. Im ganzen überwiegt in größeren Höhen die Abnahme von B, und an der oberen Grenze der Atmosphäre wird daher x = 0, was auch schon an und für sich klar ist.

Fig. 2.

In unserem Klima ist im Sommer etwa die mittlere Lufttemperatur t = 15°, was mit B — 750 etwa x₀ = 0,20 gibt und dann mit x ~ -+- 0,01 den Wert x = 0.14. Da wir aus den Beobachtungen wissen (§ 135 S. 579), daß die geodätischen Messungen im Mittel etwa x = 0,13 ergeben haben, so kann man also daraus rückwärts schließen, daß in unserem Klima hei B = 750mw und t = 15° eine Temperaturabnahme nach oben stattfindet von x = 0,01 ° auf 1 m Höhenzunahme, was mit unmittelbaren Wahrneh-mungen in roher Annäherung stimmt (vgl. § 147 S. 615). /    Wie schon bei (16) bemerkt wurde, ist der dort

6\H

/ ^2 bestimmte Wert x nur im differentialen Sinne gültig, d. h. "7^. für eine unendlich kleine Erstreckung des Lichtbogens, /    und nur insofern man irgend einen geodätischen Bogen als

<7

'C

klein behandelt, kann man dafür die Formeln (16)—(17) oder die entsprechenden Tafeln anwenden. Um einen Schritt weiter zu gehen, wollen wir annehmen, daß B , t und r sich als abgekürzte Potenzreihen dritten Grades als Funktion der Entfernung zweier Punkte P₁ und P₂ (vgl. Fig. 2) darstellen lassen; dann kann man Formeln für die Refraktionswinkel z/j und z/₂ finden.

Wir nehmen dazu ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit dem Ursprung I\, und -f- x in der Richtung 1\ Po und -+- y nach oben gezählt.

Die Lichtkurve zwischen 1\ und Po habe zunächst folgende unbestimmte Form;

y = A x B x% + Ca;3

(18)

wobei B der Krümmungshalbmesser der Lichtkurve und r der Erdhalbmesser ist.

Wenn man die Formeln (18) und (19) auf den Anfangspunkt P₁ und auf den

ijł = A + 2 Bx + 3 G'.r2    (19)

P~T’

(19a)

Endpunkt P₂ anwendet, so findet man, indem P₁ P₂ = a' oder auch genügend genau der Horizontalentfernung a beider Punkte J\ und P₂ gesetzt wird:

Anfangspunkt Px mit x — 0 j 0 = 0 Ax = A

Endpunkt P₂ mit x — a 0 = ia + 5fl² + 0a3 — zf₂ = M -t- 2 _B u -t- 3 G a² .

Diese drei Gleichungen bestimmen die ursprünglich unbestimmt gelassenen Koeffizienten A, B und C, nämlich:

2AX

di —

(20)

Setzt man die so erhaltenen Koeffizienten B und C auch in (19 a), so findet man mit x = 0 und dann x = a folgende zwei Gleichungen :

JA _ _ 2    — ^2

(21)

oder mit dem Erdzentriwinkel C = hat man, indem von dem Vorzeichen abgesehen, d. h. Ax und z/₂ obsolut im Sinne von Fig. 2 gezählt wird:

__ 2 ~ h — ^ -2

(22)

Da wir wieder unter Einführung zweier Refraktionskoeffizienten l:x und fc₂

C

und A2    -

(23)

setzen wollen, so wird nach (22) :

k-2

xx -H 2 k₂

(24)

oder

xx ~ 2 kx — k-2

y>2 — 2 Ä*₂ — kx.

(25)

Zur Übersicht sei der Gang der Rechnung für den einfachsten Fall dargestellt. Man habe auf zwei Stationen den Barometerstand und die Lufttemperatur bestimmt, und zwar unten Bx, tx und oben P₂ • G, dann kann man, mit der Annahme, es sei die

Wärmeabnahme nach oben nach dem ganzen Höhenunterschied h gleichförmig, t= ^

berechnen (nötigenfalls mit genähertem hj. Dann rechnet man mit diesem t nebst Bx und G einen Wert xx nach der Formel (16) und ebenso mit t, P₂ und t₂ einen Wert y., nach (16), hieraus kx und /c₂ nach (24) und endlich Ax und z/₂ nach (23).

Wenn man über die Temperaturabnahme nichts anderes weiß als die beiden Temperaturen tx unten und f₂ oben, so bleibt auch nichts anderes übrig, als wie soeben angegeben : r = (tx — tf₂) : h durchlaufend zu nehmen. Wenn man über den Tem-pieraturverlauf weitere Angaben hat, oder wenn man auch nur darüber Hypothesen machen will, so sind entsprechende tx und r₂ in (16) einzuführen; doch läßt sich hierüber hier nichts Allgemeines sagen.

Die vorstehende Theorie ist von uns früher, 1876, in den „Astr. Nachrichten, 88. Band, Nr. 2095“ S. 99—107 veröffentlicht worden, jedoch teilweise in anderer Form und mit einer kleinen unwesentlichen Vernachlässigung zweiter Ordnung. Unsere Formel von 1876, „Astr. Nachrichten, 88. Band“ S. 101—102 ist nämlich mit Umsetzung in die neuen Bezeichnungen (bzw. Druckfehlerverbesserung} :

— a t

v. —

_ b_ i n_

1 — c₀ 760 1 4- a t V ßk

— rar.

(26)

Wenn man hier 1 — c₀ im Nenner vernachlässigt und 1 — « t — 1 : (1 -)- a t) setzt, so stimmt dieses (26) mit (15) S. 605 überein, abgesehen von einem Faktor (1 -)- a l) im letzten Gliede, was als Abweichung zweiter Ordnung betrachtet werden kann, und ohne Bedeutung für das Wesen der Formel ist. Auch die Entwicklungen (19)—(25) sind dieselben wie die schon 1876 in den „Astr. Nachr., 88. Band“ S. 99—107 gegebenen. Einiges Weitere hierzu haben wir in der „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 232—235 behandelt.

Unsere Entwicklungen und Formeln sind auch im wesentlichen übereinstimmend mit dem Inhalte einer Abhandlung des schwedischen Erdmessungskommissärs Fearnley in den Verhandlungen der 1883er Konferenz in Rom der internationalen Erdmessung, Annex VII (vgl. auch „Vierteljahrsschrift der Astr. Gesellschaft 1890“ S. 251—252). Es scheint, daß wir auf gleichem Wege zu diesen nahe gleichen Ergebnissen gelangt sind, indessen sei bemerkt, daß die Priorität unserer Veröffentlichung 1876 zukommt gegen Fearnley 1883.

§ 145. Beispiel einer Vergleichung der Refraktionstheorie mit

der Erfahrung.

Wir benützen die Refraktionsbeobachtungen, welche von 1877—1885 unter Leitung von Bauernfeind in den bayrischen Alpen angestellt worden sind in der Weise, daß zwischen drei nivellitisch verbundenen Funkten gegenseitige und gleichzeitige Zenitdistanzmessungen in mehreren durchlaufenden Tagesreihen gemacht wurden.

Es sind hierüber veröffentlicht: „Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Refraktion von C. M. v. Bauernfeind“, 1. Mitteilung München 1880, 2. Mitteilung 1883, 3. Mitteilung 1888, Nachtrag zu den Mitteilungen II und III 1890. Hierzu auch „Neue Beobachtungen über die tägliche Periode barometrisch bestimmter Höhen, 1883“, und Bauernfeind, „Elemente der Vermessungskunde, 7. Aufl. 1890“, 2. Band S. 454.

Wir wollen von diesen Messungen hier nur die zu den zwei Punkten Höhensteig und Kampenwand gehörigen behandeln und nehmen zuerst den rein geodätischen Teil (dessen Einzelheiten in unserer 4. Aufl. dieses H. Bandes 1893, S. 510—511 nachgerechnet sind) :

Die rechtwinkligen (Soldnerschen) Koordinaten ,(/ x und die geographischen Koordinaten beider

Punkte sind:

Höhensteig Kampenwand y-₂ — -f- 58990,054

»/, = -f 42643,238 m xx = — 30097,111 m | Ai = 29° 48’ 27,1416" <Pi = 47° 52' 0,3450" j "

/t₂ = 30    1 27,7470    <P2 — 47 45 18,0510 }(l)

Xi — — 42378,069

Differenzen

— 16346,816 m

-|- 12280,958 m

6' 42,2940"

13' 0,6054"

Mittelbreite <P = 47° 48' 39,1980"

Entfernung

Krümmungshalbmesser Höhen: Höhensteig IIl — 484,000 m

II K = 20445,798 m

log H K= 4.3106040-7

(2)

log R = 6.8049549 Kampenwand H₂ — 1565,968 m

= 0° 11' 0,806"    — = 330,40"

Zenitdistanzen ohne Kefraktion (Fig. 2 § 144 S. 606) :

Höhensteig zl-j- A, = 87° 3' 47,027" Kampenwand z₂ + A₂ = 93° 7' 13,779" .

All dieses bezieht sich auf die rein geodätischen Verhältnisse, bei welchen von Refraktion noch nicht die Rede ist. Wenn man dann die gegenseitig beobachteten Zenitdistanzen 2, und z2 mit den vorstehenden 2, -(- A₁ und z₂ -|- A., in (5) verbindet, so erhält man die Refraktionswinkel A, und A₂, mit denen wir uns nun beschäftigen wollen.

Indessen haben wir hierzu nicht geradezu die in den verschiedenen Bauernfeind-schen Mitteilungen in verschiedener Weise angegebenen Refraktionswinkel genommen — wir haben durch graphische Interpolationen und durch Mittelbildungen mit Beziehung auf „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 179—180 und S. 232—233 usw. die nachstehende

H., — II, = 1081,968 m

Zentriwinkel C

(5)

Gruppierung gebildet, welche uns jedenfalls den Dienst eines formellen Rechenbeispiels tut, gültig für 19.—26. August 1881.

Zeit

Bi

A,

B,

A₂

Nacht 12 h

Höhensteig Hx = 484,000 m

Morgen 6

io

Mittag 12

Kampenwand H₂ = 1565,968 m

Abend 6

10

rl CO lO f Ö5 05 Û t; CD_ (N o co Ci O) OiCsGïGsGîCtotr^V- t- CD

rHrHr-4r-(rHrHrHi—IrHrHi—IrH

c— c-r— c— t— r-t-c—

mm

14,5°

ł-Jt-itOtOtOfcOtOI-JHJH-łt-i

^    i⁻⁴ -C° 5"

Ol ”o> 05 H 55 os b w ^ b V

53.2    633,4 633,6 633,2 633,0

49,3

47,8

53,5

8,8

8,4

8,5

10,9

12,7

15,0

15,6

17,5

15,5

13,8

13,5

48,5

47,7

43,5

40,4

41,0

(6)

40,5

41,5

41,4

43,9

45,5

46,5

718,7 mm 19,1°    61,5"    633,1 mm 12,4°    44,3"

Nehmen wir zunächst nur die Mittelwerte und rechnen auch nur gleichförmige Temperaturahnahme nach oben, so haben wir:

Mittel

(16;—(17) S. 605 u. 606: k = 0,2325

760 (1 +- « t)2 Dieses auf unten und oben angewendet gibt :

(1 — 29,39 x) = «o (1 — 29,39 r).

Kj = 0,1920 (1 — 29,39 r) kx = 0,1571 2 Kj +- Kg

--= 0,1530

O

= ^V=50,6" (j = 330,4")

k₂ = 0,1772 (1 - 29,39 r) Kg = 0,1450

h = ül+iüS = 0,1490

z/₂ —

\ = 49,2" beobachtet 44,3".

Es sind also Abweichungen von rund 10" und 5" zwischen Theorie und Beobachtung vorhanden. Die ganzen Reihen in gleicher Weise behandelt geben die Refraktionswinkel zf der nachfolgenden Tabelle, in welcher auch die berechneten r1 und r₂ aufgenommen sind, von welchen erst nachher die Rede sein wird.

Höhensteig 77, = 484 m

beobachtet 61,5"

Tageszeit

beob.

berechnet

~2

Kampenwand H₂ — 1566 rn

beob.

berechnet

A,

A,

Ao

Nacht 12 h 72"

67

62

Morgen 6

62

56

10

53

Mittag 12

49

48

54

Abend 6

58

75

10

79

I I I I + + I I II I I

lilii 1111!I!

oö'oooooo o o o o

+ 0,0172 0,0172 0,0154 0,0202 0,0198 0,0172 0,0154 0.0132 0,0163 0,0166 0,0253 0,0263

61”

44”

Mittel

•Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

51"

— 0,0081

50” I +0,0184

39

¹

hi A (Z^)¹ -f- («2 A aj- -f-1

Man sieht hieraus, daß trotz der rohen Annahme von x die Übereinstimmung zwischen Rechnung und Beobachtung bei z/j und z/.₂ nicht ungünstig ist, und wie die zugehörigen Kurven zeigen, kommen die Tagesperioden mit dem Minimum über Mittag ziemlich zum Ausdruck.

Würde man mit den beobachteten Zenitdistanzen die Höhe berechnen, so würde man aufwärts mit 10" Fehler auf die Entfernung 20 446 m rund 1,0 m zuwenig, und abwärts mit 5" Fehler rund 0,6 m zuviel bekommen, im Mittel also einen Fehler von nur 0,25 m, was darauf hindeutet, daß unsere einfachen Formeln von § 144 wohl geeignet sind zur Verfeinerung der gewöhnlichen rohen Höhenberechnung mit konstantem k — 0,13.

Wir wollen aber nun noch unsere Formeln umgekehrt anwenden, d. h. aus den beobachteten /J₁ und //₂ rückwärts die Temperaturabnahmekoeffizienten berechnen, welche nun unten und oben verschieden, nämlich unten x₁ und oben t₂ sein sollen. Dazu haben wir nach (23), (25) und (17) § 144 S. 607 und 606 :

so wird :

— 2 Tc^

x₁ = x^⁰ (1 — 29,39 TjJ 0,034025

— 2 k₂ — k\ x₂ = x₂° (1 — 29,39 r₂) 0,034025

(x₂° —k₂).

Nehmen wir zunächst nur die Mittelwerte der Beobachtungstabelle (6) S. 609,

«1°

r₂ =

*2°

Jf₂° = 0,177 t₂ = 0,0184.

Wir haben also an der unteren Station eine Temperatuxzunahme nach oben hin (weil t₁ negativ ist) und an der oberen Station eine ziemlich starke Temperaturabnahme. Die Anwendung derselben Formeln auf die zwölf Einzelwerte hat die tq und r₂ ergeben, welche bereits in der vorhergehenden Tabelle (7) S. 609 aufgenommen sind.

Hiernach wäre also an der unteren Station fast den ganzen Tag nach oben hin Temperaturzunahme (r negativ) und nur über Mittag, zur Zeit der größten Wärme, etwa von 11* bis 3;' Temperaturahnahme.

Eine der vorstehenden ganz analoge Untersuchung (nach unseren Formeln berechnet) ist angestellt worden von Eeina in Eom 1895 mit 24 km Entfernung und 900 m Höhenunterschied, worüber ein ausführlicher Bericht ln „Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 17—21 von uns gegeben worden ist.

Die neuesten deutschen Untersuchungen dieser Art sind vom Geodätischen Institut unternommen. (S. Literatur § 148 S. 619.)

Xi° = 0,192 r₁ = — 0,0081

§ 146. Reihenentwicklung für den Refraktionskoeffizienten.

Für manche Zwecke ist es von Vorteil, den Refraktionskoeffizienten Je in eine Reihe zu entwickeln, die nach der Größe x und deren Differentialquotienten mit der Höhe fortschreitet, wobei diese letzteren sowie auch x seihst vorläufig noch unbestimmt

gelassen werden.

Indem wir von Fig. 2 des § 144 S. 606 ausgehen, haben wir zunächst für die Höhe des Punktes P₂ nach Taylors Satz:

(72-)-

1 f(ß h \

TT

Jl f(H h

24 UfC±,

Cß-h...    (1)

worin die Differentialquotienten sich auf den Punkt I\ beziehen. Wird mit oq der Abstand der beiden Punkte in der Höhe Hx und mit rq der Erdradius in Px bezeichnet, so ist auch

Di

L fd2]iYa i²

2~ [Jc2)₁ï^ ⁺

1 f(P h \ af_ 1 (d*h\ [dC³)^³ +24 \dCi)

oq⁴

Zur Aufstellung der Differentialquotienten gehen wir von der Differentialgleichung (8) des § 144 S. 605

aus, aus der wir mit da — rdC unmittelbar erhalten :

-rj-ç — r cotg cp = r tang a .

(3)

Ferner wird

f/2 h

dcî = c0tcjv

und cia

dr r cl cp d C sin² cpdC'

so ist auch

dC

— r cotg <p ,

cl2 h dC²

= r cotg² cp

r d Cf)

(4)

sin² cp d C '

Das Differential d cp hat hier eine andere Bedeutung als im § 144, indem • es jetzt nach Fig. 1 gleich cp' — cp ist. Nach (9 a) § 144 S. 605 haben wir

<P' — <Pi = * ~

Fig. l.

und nach Fig. 1

folglich ist

<jPi

cp = — d C,

B'i

cp' — cp = x —--d C = d C (x — 1).

(5)

B\

<P

% I dk

S'

Aus (5) und (4) erhalten wir:

(Vli ,9    ,

— =rcotg*cp-P

sin² cp ^ '

In den höheren Differentialquotienten vernach-

(6)

lässigen wir alle Glieder, die in der Keihenentwicklung (2) Glieder von der Ordnung “ oder von höherer Ordnung

jq2

da

Y'

r\

dC

geben. Es ist dann

äh

r d xdh d C³    sin²cp dlidC’

mit x! bezeichnet wird

d³ h

und wenn —₍ aus (3) eingeführt und

so x

dßh

Ferner wird

dC³

r² cotg cp sin² cp

x'.

(?)

r³ cotg³ cp

dAh ____

d C⁴    sin² cp

K",

worin

d²x

dlfi

== x" gesetzt ist.

(8)

Alle diese Werte geben in (2) eingesetzt, wenn cp durch 1)0° — a ersetzt wird

H-2 — Hi =h=cq tang -f-oder auch h = a-i tang -|

Hierzu entnehmen wir aus § 138 S. 590 die Gleichung (12). in der wir

(q² tang² «₁    «i²(l — y-i) a^tang

2 »q cos² cq 6 r₁ cos² (q

«q⁴ tang2 24 r₁ cos² tq

V + -(9)

a₁ tang² a

Ml — *i)

2 COS²

ap² tang a q' 6 cos²

aq tang a x{'

24 cos² «x

« ( 1 + durch «m ersetzen,

a (1 — ki)

C,

h = tang «j -f

wobei sich auf die mittlere Höhe bezieht. Zur Umformung haben wir aber

(11)

Gm

womit wir aus (11) erhalten

h = a₁ tang a₁ -f

— aj ^1 + ——j — «i + tang a₁ 0,

«J tang² t_q

C-f

cg (1 — fr)

(7.

(12)

Im letzten Gliede ist eine Unterscheidung zwischen a, «j und am überhaupt nicht erforderlich.

Aus dem Vergleich der beiden Ausdrücke (10) und (12) erhalten wir sofort

(18)

Die Anwendung der Reihenentwicklung auf die Grandgleichung der trigonometrischen Höhenmessung erfolgte nach Helmert zuerst von Pucci 1879 in der Abhandlung „Sulla livellazione trigono-metrica“. Die drei ersten Glieder der vorstehenden Reihe (9) finden sich auch in „Pucci, Forida-menti di Geodesia“, Milano 1883, Yol. I S. 228. Die weitere Reihenentwicklung unter Einführung der Differentialquotienten von v. gab Helmert in „Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie“, 2. Teil, Leipzig 1884 S. 553 u. ff., was auch dera vorstehenden Behandlung der Aufgabe unter Benützung der vom Bearbeiter in „Zeitschr. f. Yerm. 1900“ S. 114—118 veröffentlichten Darstellung zugrunde gelegt wurde.

Die Bestimmung von x aus den meteorologischen Elementen haben wir bereits in §144 behandelt; auf dieselbe Weise könnten wir auch zu den Größen x', x"... gelangen, indessen wollen wir dies nicht weiter verfolgen. Größere Genauigkeit verspricht die indirekte Bestimmung dieser Größen aus Zenitdistanzmessungen, wozu verschiedene Wege olfenstehen.

Werden z. B. gleichzeitig Zenitdistanzen nach drei Zielpunkten gemessen, deren Höhen und Entfernungen gegen den Beobachtungspunkt bekannt sind, so können bei passender Lage der Punkte die-drei Unbekannten x, x! und x" berechnet werden. Wir wollen dies an einem formellen Bechenbeispiel zeigen, für das wir die erforderlichen Unterlagen aus J. J. Baeyer, „Die Verbindungen der preußischen und russischen Dreiecksketten bei Thorn und Tarnowitz, Berlin 1857“, entnehmen. Für den Punkt Lubschau (1) finden wir S. 382 die nach den Punkten Lysiec (2), Markowice (3) und Trockenberg (4) gleichzeitig gemessenen Zenitdistanzen angegeben, deren Mittelwerte nachstehend mit den auf Metermaß reduzierten Entfernungen und Höhenunterschieden zusammengestellt sind. Letztere sind lediglich aus gegenseitigen Zenitdistanzen mit Ausgleichung des ganzen Netzes hervorgegangen; für den vorliegenden Zweck mögen sie als fehlerfrei angesehen werden.

log a

Ziel

4.02235

4.14102

4.37566

—    26,52 + 27,95

—    6,46

2 (’ 90° 11' 09,37"

89    56 31,43

90    06 39,88

Für die geographische Breite 50° 30' entnehmen wir aus Band III, 5. Aufl. 1907, Anhang S. [20] log r — 6,80492. Da von dem Koeffizienten x" hei den geringen Höhenunterschieden kein großer Einfluß zu erwarten ist, so beschränken wrir uns auf die Berechnung von x und x'. Hierzu haben wir aus (12) § 138 ’S. 590 mit der vorstehenden Gl. (13)

(14)

₇    «2 (    h \

h = a tang a + ^ ( 1 — y- — yr * ! »

wobei in Gl. (12) § 138 S. 590 die Faktoren 1 + — und

r

vernachlässigt sind.

cos² a

In die Gl. (14) setzen wir die Werte für die Ziele 2 und 3 ein und erhalten dann zur Bestimmung wie x und x' die beiden Gleichungen:

— 26,52 = — 34,17 + 8,68— 8,7 x+ 76,7 x'

-+- 27,95 = + 13,99 + 15,00 — 15,0 x — 139,8 x'

oder auch

—    1,03 = — 8,7 x + 76,7 x'

—    1,04 = — 15,0 x — 139,8 x'

woraus sich ergibt

x' = — 0,00272 .

Nach der Gl. (13) können wir nun auch die drei Refraktionskoeffizienten für die Strahlen nach den Zielen 2, 3 und 4 angeben; es wird

&₃ = -f- 0,0689

An der Yisur nach dem Punkte 4, die bei der Berechnung nicht benutzt wurde, prüfen wir die Resultate, indem wir noch die Höhe dieses Punktes über dem Beobachtungspunkt ermitteln. Wir haben dann nach Gl. (14)

lh = — 46,04 + 44,19 (1 — 0,1001) = — 6,27, also eine Abweichung von 0,19m gegenüber dem als gegeben angenommenen Höhenunterschied.

x = + 0,0943

fc₂ = + 0,1183

= + 0,1001.

Bei gleichzeitigen Beobachtungen auf mehreren Punkten führt die Annahme einer stetigen Änderung von x mit der Höhe auch zu Beziehungen zwischen den einzelnen Refraktionskoeffizienten. Sind z. B. auf zwei Punkten I\ und P₂ gegenseitige und gleichzeitige Zenitdistanzen gemessen, so haben wir nach (13)

7    Ä ,    7*2    „    \

— Ki + -g *1 + J?} *i

(15)

Ferner ist aber nach der Taylorschen Reihe

(16)

,    T*²

*2 = *1 + h xi Y Xl

und demnach auch

(17)

Die zweite Gleichung (15) geht hiermit über in

(18)

2 1

&2 ⁼    + g" h Ki + Ki" -j- . ..

Da nach (5 a) § 188 S. 589 aus gegenseitigen und gleichzeitigen Zenitdistanzen

j, i j.

der mittlere Refraktionskoeffizient -4——- hervorgeht, so geben solche Messungen sofort

u

eine Gleichung zur Bestimmung der Koeffizienten ^ , v.{ und k{'. Weitere Gleichungen ergeben sich, wenn gegenseitige und gleichzeitige Messungen auf mehr als zwei Punkten vorliegen, so daß bei geeigneter Lage der Punkte sämtliche Koeffizienten berechnet werden können. Mit Benutzung der bereits in § 145 S. 608 genannten Bauernfeind-schen Messungen hat Helmert in „Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie“ Bd. II, Leipzig 1884, S. 601—607 eine solche Berechnung ausgeführt; im Anschluß hieran ist vom Bearbeiter in „Zeitschr. f. Venu. 1900“ S. 113 bis 139 eine weitere Behandlung desselben Materials gegeben.

Ein anderes Beispiel für die Ermittlung der Befraktionskoeffizienten aus Zenitdistanzmessungen findet sich in F. K. Helmert, Bestimmung der Höhenlage der Insel Wangerpog durch trigonometrische Messungen im Jahre 1888, „Sitzungsber. d. Kgl. Preuß. Akad. d. Wiss. 1907 XL“ S. 766—791 (Ref. in „Zeitschr. f. Verm. 1908“ S. 92—94).

§ 147. Täglich periodische Änderung der Refraktion.

Man hat schon frühe gefunden, daß die Refraktion einen ziemlich regelmäßigen Tagesverlauf hat, daß sie morgens und abends bedeutend größer ist als mittags.

Die ersten Angaben hierüber finden wir von Tralles in den „Abhandl. der Kgl. Akad. d. Wiss. in Berlin aus den Jahren 1804—11“ S. 139 als Ergebnis seiner in den Jahren 1792—1804 zum Studium der Refraktion ausgeführten Messungen.

General Baeyer hat im Jahre 1840 dieselbe Erfahrung bei seinem „Nivellement zwischen Swinemünde und Berlin“ gemacht, und er schloß daraus, daß der Refraktionskoeffizient dem halben Tagebogen proportional sei, nämlich (S. 117 des „Nivellements zwischen Swinemünde und Berlin“) k = 0,2132 t, wo t die in Teilen des halben Tagebogens ausgedrückte Zeit ist. Hiernach wäre bei Sonnenaufgang und -Untergang k = 0,2132 und im wahren Mittag k = 0, d. h. im wahren Mittag wäre eine Unstetigkeit in der Änderung von k, was unmöglich ist. Jedenfalls hat dieses Gesetz nur Geltung für diejenigen Tageszeiten, welche das Material dazu geliefert haben, nämlich für t zwischen 0,34 und 0,85.

Später, 1849, hat General Baeyer bei der Fortsetzung seiner trigonometrischen Höhenmessungen von Berlin bis zum Harz, insbesondere durch fortlaufende Tagesreihen zwischen Brocken, Kupferkuhle und Derneburg, nordöstlich vom Harz, den stetigen Tagesverlauf der Refraktion mit dem Minimum im Mittag bestimmt erkannt. Allerdings die wirklichen Refraktionen hat hierbei General Baeyer nicht bestimmt, weil er die Höhen nicht nivellierte, also auch die wahren Zenitdistanzen nicht berechnen konnte; aber auch ohne dieses konnten wenigstens die Änderungen der Refraktion verfolgt werden.

Die erste planmäßig angeordnete Verbindung zwischen nivellierten Höhen durch trigonometrische und barometrische Höhenmessung hat von 1877—1885 Bauernfeind angestellt, mit Tag und Nacht durchlaufend gemachten Beobachtungsreihen, namentlich auf den Punkten Höhensteig, Kampenwand, Irschenberg.

Es zeigte sich auch hier wieder der täglich periodische Verlauf der Refraktion mit dem Minimum über Mittag, wie aus den Tabellen unseres früheren § 145 S. 609 im einzelnen zu ersehen ist.

Da die Höhen nivelliert sind, können die wahren Refraktionswinkel berechnet werden. (Die Bauernfeindsche RefraktionsVcone kann jedoch den periodischen Tagesverlauf der Refraktionen nicht darstellen, weil in jener Theorie das wesentlichste Element, die Temperaturänderung .mit der Höhe, nicht zum richtigen Ausdruck kommt.)

Nach diesem kurzen Überblick über die geschichtliche Entwicklung kehren wir nochmals zu den Baeyerschen Beobachtungen des Nivellements Swinemünde—Berlin zurück. Wir haben den Versuch gemacht, jene Beobachtungen graphisch auszugleichen; es fanden sich so folgende Mittelwerte, wo t die Zeit in Teilen des halben Tagebogens bedeutet (vormittags t negativ, nachmittags t positiv gezählt) :

Nivellement Smnemünde—Berlin :

r-H o

Vormittag 0,8 — 6 0,16 l:

cT cT

cT cT

IL

Nachmittag + 0,4 + 6

0,10

DO

Aut diesem und ähnlichem zuerst von uns betretenen Wege hat auch Major Hartl im österreichischen Generalstabe die periodischen Änderungen der Refraktion weiter verfolgt in einer Abhandlung: „Beiträge zum Studium der terrestrischen Strahlenbrechung“, Separatabdruck aus den „Mitteilungen des k. k. Militär-geographischen Institutes“, III. Band 1883. Es wurden sechs Beobachtungsreihen behandelt, nämlich: 1. Gradmessung in Ostpreußen, 2. Nivellement Swinemünde—Berlin, 3. Küsten Vermessung, 4. Preußische Landestriangulation, 5. Mecklenburgische Landesvermessung,

6. Ostseeprovinzen Rußlands. Die Ausgleichung gab, ohne Unterscheidung von Vormittag und Nachmittag, folgende Mittelwerte von Hartl:

Morgen oder Abend 0,8    0,9    1,0

0,16    0,17    0,19.

Mittag

0,6

0,0    0,1    0,2    0,3    0,4

0,13

k =    0,10    0,10    0.11    0,11    0,12

Wenn man nach dem Grund dieser periodischen Änderungen der Refraktion im Laufe eines Tages fragt, so kann die Antwort keine andere sein, als daß die Wärme-änderung mit der Höhe die Ursache sein muß, d. h. die Größe r in der Refraktionsformel (16) § 144 S. 605, denn die Änderungen aller anderen Elemente, Luftdruck und Temperatur an sich reichen nicht aus, um jene starken Änderungen von Je zu erklären.

Die in Deutschland meteorologisch beobachtete Temperaturabnahme hat nach einer Abhandlung von Hann (LXI. Band der Sitzungsberichte der k. Akademie der Wissenschaften, II. Abtlg., Jan.-Heft, Jahrgang 1870, Wien) folgende Mittelwerte :

Abnahme der Lufttemperatur für eitlen Höhenunterschied von 100 tn:

Monat Westalpen

Nord-    Schwäbi- j Erz

schweiz sehe Alb j gebirge

Harz

Mittel

Januar. . . . Juli.....

Jahresmittel

o" o" O

<© 4— 00 +J OT o    O

o    o

CO    1-H

Ol © kO

H 1> Ol

o o

I>- 00 CO © © ©'

0,44°

0,59°

CO T—I j c.'-CO l> ¹ IO

© o" I ©

Eine Verarbeitung der badischen und württembergischen meteorologischen Wärme-beobachtungen von 40 Stationen in Hinsicht auf die Wärmeänderung haben wir in der österreichischen „Zeitschr. f. Meteorologie 1880“ S. 162—167 veröffentlicht. Die Höhen H der 40 Stationen sind zwischen 114 m und 1012 -m über dem Meer, im Mittel 400 -m, die geographischen Breiten qr sind zwischen 47° 41' und 49° 46'. Die 10jährigen Jahresmittel t von 1869—1878 wurden von uns durch folgende Interpolationsformel zusammengefaßt: („Zeitschr. f. Met. 1880“ S. 162 ist ein Druckfehler —f— 0,88 statt —0,88)

77

t = 11,81° — 0,943 — + 0,0307

— 0,88 (<*> - 49°).

H\ 2

100/

Der mittlere übrigbleibende Fehler wurde = j+ 0,61°. Hiernach ist:

0,00943 + 0,000614 ^ ) .

T dH

Z. B. mit H — 100 m wird r = 0,00943 — 0,00061 = 0,00882.

Einige hierher gehörige Zitate sind:

Hill, Vertical Décrément of Température and Pressure. Meteorologische Zeitschrift 1888 S. [6], Temperaturabnahme am Himalaya für 100?«, unten =0,56° und stetig abnehmend bis 0,45° in 3600 m Höhe.

Süring, Die vertikale Temperaturabnahme in Gebirgsgegenden in ihrer Abhängigkeit von der Bewölkung. Leipzig-Reudnitz 1890. Besprochen in der „Meteorologischen Zeitschr. 1890“ S. [65]—[66]. Tägliche und jährliche Periode des vertikalen Temperaturgradienten.

Nach Sprung, Lehrbuch der Meteorologie, 1885 S. 86 sind Glaishers Ballonbeobachtungen von Hann in folgende Formeln zusammen ge f a ß t worden :

t = t₀ — 0,007 6413 h + 0,000 000 4314 )j* (Sommer) t = 4 — 0,006 2218 h -{- 0,000 000 2737 h'¹ (Winter) ,

dabei ist t₀ die Temperatur am Grunde des Luftmeeres und t diejenige in einer Höhe von h Metern über der Erdoberfläche.

— + 0,003526 (—Y 100 n    \ioo)

— 0,6931 + 0,007052    .

, also 100

Im Mittel t = t₀ — 0,6931

Ein Bericht über Beobachtungen der Militärluftschifferabteilung vom 19. Juni 1889 („Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 648—650) gibt innerhalb der untersten 1000 m von der Erde an 100 ~ = —1,40 und stetig abnehmend bis — 0,60 bei 3000 m Höhe.

Die Ergebnisse der neueren Untersuchungen über die Verteilung der Temperatur in vertikaler Richtung und die Veränderlichkeit der vertikalen Temperaturgradienten sind zusammenfassend behandelt in Hann, Lehrbuch der Meteorologie, 2. Aufl., Leipzig 1906, 5. Kap. S. 121 u. f.; Hergesell,'' Meteorologische Zeitschrift 1900 S. 17; Petermanns Mitteilungen 1900 S. 97—112.

Daß die Wärmeänderung mit der Höhe das wesentlichste Element der Refraktionstheorie ist und allein die starken täglichen Refraktionsänderungen erklären kann, haben wir in der Abhandlung „Beitrag zur Theorie der terrestrischen Refraktion“, Astr. Nachrichten, 88. Band, 1876, S. 99—108 gefunden, und es möge hierzu auch eine Bemerkung von Hartl aus der „Zeitschr. der österreichischen Gesellschaft für Meteorologie, 16. Band, Aprilheft 1881“, hier zitiert werden :

„Es muß als ein besonderer Vorzug der Refraktionsformel von Prof. Jordan angesehen werden, daß in derselben für die Temperaturabnahme mit der Höhe keine bestimmte Annahme gemacht, sondern dafür ein Koeffizient T eingeführt wird, für welchen der Rechner einen Zahlenwert oder auch komplizierteren Ausdruck einführen kann, welcher für die obwaltenden Umstände am geeignetsten erscheint.“

Auch erlauben wir uns aus Helmert „Höhere Geodäsie II“ S. 592 zu zitieren: „Die Refraktionsformeln von Jordan haben den Vorzug, die wirkliche Temperaturabnahme mit der Höhe zu berücksichtigen. Umgekehrt gestatten sie auch aus Refraktionsbeobachtungen einen mehr oder weniger sicheren Rückschluß auf die Temperaturverhältnisse.“

Änderungen der Refrdktionsivirkung.

Nachdem wir nun theoretisch und praktisch gefunden haben, daß der Refraktionskoeffizient im Mittel etwa k = 0,13 ist, und etwa zwischen k = 0.10 und k = 0,20

in einem Tage schwanken kann, jedoch bei kurzen Entfernungen etwa bis zu 5 4m. wohl noch etwas mehr konstant ist als diese aus größeren Entfernungen erhaltenen Zahlen sagen, wollen wir durch Berechnung einer kleinen Tafel uns eine Übersicht verschaffen über die Einflüsse solcher Änderungen von Je auf die Höhenberechnungen bei mäßigen Entfernungen, entsprechend der Formel (7) in § 135 S. 578.

Werte von

Je

«² für verschiedene Werte von Je (mit log r = 6.80489 für qp = 50°);

1000 m 2000 m 3000 m 4000 m 5000 m 6000 m

8000 m

10000 m

0,08 m 0,31m    0,71m    1,25 m 1,96 m 2,82 m

rf».    f*.    rf».    rfv.    Ol

O    lo    03    ~b\    ©

t-*    I—¹    Oi    H-¹    I—¹

7,83 m

7,05

6,82

6,58

6,27

Bleibt man mit der Entfernung a innerhalb 5 4m, so erreichen die für gewöhnlich zu erwartenden Schwankungen von k keine Einflüsse, die über 0,1 -m gehen; und da man trigonometrische Höhenmessungen leicht mit einer großen Zahl von Proben umgeben kann, so folgt daraus die hohe praktische Brauchbarkeit der trigonometrischen Höllenmessung auf mäßige Entfernungen (vgl. hierzu auch die Tafel S. [12] des Anhangs).

§ 148. Literatur über trigonometrische Hölienmessung und über Refraktion.

1736—1737. Gradmessung in Lappland. „Astr. Nachr., 6. Band (1828)“, S. 22: Aus allen von Mau-pertuis angestellten gegenseitigen Höhenbeobachtungen wurde der Koeffizient der Strahlenbrechung hergeleitet 0,5 k — 0,05265 oder k — 0,1053 (vgl. § 135 S. 579).

1751. Tobias Mayer. De refractionibus objectorum terrestrium etc. Göttingen 1751. Aus dem französischen Werk „La méridienne vérifiée“ P. II p. X werden vier gegenseitige Zenitdistanzmessungen mitgeteilt und daraus als Mittelwert der Befraktionskoeffizient k = — berechnet (vgl. § 135 S. 579).

1807. Delambre. Base du système métrique décimale. Tome II 1807 , S. 771—776. Mittel aus 189 Beobachtungen k — 0,16776, Maximum Nr, 85 k — 0,5954, Minimum Nr. 12 k = — 0,0070. S. 775—776 gibt für Sommer 0,15862, Winter 0,19486 usw. (vgl. § 135 S. 579).

1805. Laplace. Traité de mécanique céleste, tome IV. Paris an XIII = 1805. Livre X. Chap. I.

Des refractions astronomiques. Équation différentielle du mouvement de la lumière (3) S. 246-

1805. v. Zach. Monatliche Korrespondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde, 11. Band, Gotha 1805 S. 389—415 und 485—504. Versuch einer auf Erfahrung gegründeten Bestimmung terrestrischer Befraktionen (von Bohnenberger benützt in „De computandis etc. § 27).

1826. Gauß. Berliner astronomisches Jahrbuch für 1826 S. 91. Befraktionsbestimmungen von der Hannoverschen Gradmessung. 28 Befraktionsbestimmungen. Die Entfernungen haben zwischen 46' 7" und 2' 42" Zentriwinkel (85 km und 5 km), das Mittel aus allen Bestimmungen mit Kücksicht auf die Längen der Linien ist k — 0,1306 (vgl. § 135 S. 579).

1831 Struve. Beschreibung der von der Universität zu Dorpat veranstalteten Breitengradmessung in den Ostseeprovinzen Bußlands, ausgeführt und bearbeitet in den Jahren 1821—1831 von E. G. W. Struve, Direktor der Dorpater Sternwarte. Dorpat 1831 S. 187, und „Astr. Nachr., 7. Band 1829“ S. 394. Mittelwert k — 0,1237 (vgl. S. 579).

1837. Fuß, Sawitsch und Sabler. Ermittlung des Höhenunterschiedes zwischen dem Schwarzen und Kaspischen Meer. S. 227—248 und 251. Empirische Formel:

Es bedeutet hierin: .4 die mittlere Höhe der Gesichtslinie über dem Boden; B den Barometerstand in Millimetern; T die Lufttemperatur in C°.

— 1c =- bis

1838. Bessel. Gradmessung ln Ostpreußen, S. 196 gibt neun Bestimmungen von k, bei Entfernungen über 14 000 Toisen (= 27 Kilometer):

0,1437    0,1379    0,1538    0,1406    0,1264    0,1298    0,1313    0,1456    0,1276.

Das einfache Mittel dieser neun Werte ist k = 0,1376 und das von Bessel mit Rücksicht auf die verschiedenen Entfernungen berechnete Mittel ist k — 0,1370 (vgl. S. 579).

1840. Baeyer. Nivellement zwischen Swinemünde und Berlin, ausgeführt von J. J. Baeyer, Major im Generalstabe. Berlin 1840. Auf ß. 115 werden 60 Kefraktionsbestimmungen vom 4. Aug. bis 20. Septbr. 1835 mitgeteilt ; deren einfaches arithmetisches Mittel ist k = 0,1412. Die durchschnittliche Abweichung einer Einzelbestimmung vom arithmetischen Mittel ist ± 0,0258. Die Beobachtungszeiten sind ungefähr auf 7—10* vormittags und 2—5* nachmittags beschränkt. Baeyer fand, daß die Refraktion morgens und abends größer als mittags ist, und schloß daraus auf Proportionalität zwischen der Refraktion und der Zeit in Teilen des halben Tagebogens (vgl. § 147 S. 614).

1849. Baeyer. Die Küstenvermessung usw. Berlin 1849 S. 560—564. Zusammenstellung aller Refraktionsbestimmungen, nach der Tageszeit geordnet (vgl. § 135 S. 579).

1858. Britische Landesaufnahme (Ordnance trigonometrical survey, S. XV):

, im Mittel —lc=~~ oder: k = 0,1587 (vgl. S. 579).

2 12,6 ⁶

2    15,4    9,4

1860.    Baeyer. Mémoires de l’académie impériale des sciences de St. Pétersbourg, VIIe série. Tome III.

Nr. 5. Über die Strahlenbrechung in der Atmosphäre, von J. J. Baeyer, Kgl. Preuß. Generalleutnant, korrespondierendem Mitgliede der Akademie. St. Petersburg 1860. Leipzig. S. 46 gibt eine korrespondierende Tagesreihe mit Zenitdistanzen, Barometer, Lufttemperatur und Psychrometer zwischen den Stationen Kupferkuhle und Brocken im Harz, Entfernung 47 843 m, Höhenunterschied = 971 m.

1861.    Bruhns. Die astronomische Strahlenbrechung in ihrer historischen Entwicklung; eine gekrönte

Preisschrift. Leipzig 1861.

1864. Bauernfeind. Die atmosphärische Strahlenbrechung auf Grund einer neuen Aufstellung über die physikalische Konstitution der Atmosphäre, von G. M. Bauernfeind. „Astron. Nachr., 62. Band, Nr. 1478—1480“ S. 209 — 252 und Fortsetzung, „Astron. Nachr., 67. Band, Nr. 1587—1590“ S. 33—88.

1866. Jordan. Die trigonometrische Höhenmessung und die Ausgleichung ihrer Resultate. Stuttgart 1866.

1870—1875. Preußische Landesaufnahme, Nivellements und Höhenbestimmungen:

Erster Band, 1870 S. 135, in der Nähe der See 0,1292, im Binnenland 0,1175, Mittel k — 0,1234.

0,1007.

0,1299.

Zweiter Band, 1873 S. 90...............

Dritter Band, 1875 S. 151...............

1876. Jordan. Ein Beitrag zur Theorie der terrestrischen Refraktion. „Astron. Nachr., 88. Band, Nr. 2095“ S. 99-108. Mai 1876.

1876. Koppe. Trigonometrische Höhenmessung zur Gotthardtunnel - Triangulierung. „Zeitschr. f.

Verm. 1876“ S. 129—145. Dazu Helmert, Diskussion der Beobachtungsfehler in Koppes „Vermessung der Tunnelaxe, Zeitschr. f. Verm. 1876“ S. 153—155.

1880.    Bauernfeind. Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Refraktion, von Karl Max

v. Bauernfeind. Erste Mitteilung. Abhandlungen der Kgl. Bayer. Akademie der Wissenschaften. II. Kl., XIII. Bd., III. Abt. München 1880. Zweite Mitteilung 1883. Dritte Mitteilung 1888. Nachtrag zu der zweiten und dritten Mitteilung 1890 (vgl. § 145).

1881.    Hartl. Über den Zusammenhang zwischen der terrestrischen Strahlenbrechung und den me

teorologischen Elementen. Von Heinrich Hartl, k. k. Hauptmann im Militär-geographischen Institute. 16. Bd., April 1881, der Meteorologischen Zeitschrift.

1882.    Paschen. Großherzoglich Mecklenburgische Landesvermessung. I. Teil. Die trigonometrische

Vermessung, ausgeführt durch die Großh. Mecklenb. Landesvermessungskommission, unter der wissenschaftlichen Leitung von F. Paschen usw. Schwerin 1882. S. 201—242 trigonometrische Höhenbestimmungen erster Ordnung.

1883.    Fearnley. Zur Theorie der terrestrischen Refraktion. Generalbericht der internationalen Erd

messung für 1883, Anhang VII.

1883. Hartl. Beiträge zum Studium der terrestrischen Strahlenbrechung, von Heinrich Hartl, k. k.

Major des Armeestandes. Leiter der geodätischen Gradmessungsarbeiten des k. k. Militärgeographischen Instituts. „Mitteilungen des k. k. Militär-geograph. Institutes“, III. Bd. 1883.

1884. Dietze. Trigonometer der Landesaufnahme, „Zeitsehr. f. Yerm. 1884“ S. 245—259. Refraktions-bestimmungen hei Triangulierungen niederer Ordnung.

1884. Hartl. Über mittlere Refraktionskoefflzienten. „Mitteilungen des k. k. Militär-geograph. Institutes“, IV. Band 1884.

1884. Helmert. Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie. II. Teil: Die physikalischen Theorien. 8. Kapitel. Die trigonometrische Höhenmessung. Theoretische Formel für den Refraktionskoefflzienten (12) S. 577.

1887. Ambronn. Beitrag zur Bestimmung der Refraktionskonstanten. Hamburg 1887.

1889. Groß, Leutnant. Meteorologische Beobachtungen im Luftballon. „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 648 - 650.

1889. Lingg. Über die bei Kimmbeobachtungen am Starnberger See wahrgenommenen Refraktionserscheinungen (Kaiserl. Leopold, usw. Akad. d. Naturforscher, 55. Band, Nr. 1. Halle 1889). 1889. Jordan. Die Grundformeln der terrestrischen Refraktion usw. „Zeitschr. f. Yerm. 1889“ S. 176—183 und 232—238.

1889.    P. Pizetti, Sopra il calcolo délia refrazione terrestre. Atti délia R. Accademia delle scienze

di Torino, vol. XXV.

1890.    Fearnley. Terrestrische Refraktion. Vierteljahrsschrift der Astronomischen Gesellschaft 1890,

S. 252 (ygl. oben 1883).

1891.    Bruns. Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung. Königl. Sachs. Gesellschaft der

Wissensch. 1891 S. 164—227.

1893. Kayser und Runge. Die Dispersion der Luft, Anhang zu den Verhandlungen der Kgl. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1893.

1895. Reina e Cicconetti. Ricerche sul coefficiente di rifrazione terrestre, eseguite in Roma nel 1895 („Zeitschr. f. Verm. -1897“ S. 17-21).

1895.    Veröffentlichung des Kgl. Preuß. Geodätischen Instituts, Zenitdistanzen zur Bestimmung der

Höhenlage der Nordseeinseln Helgoland, Neuwerk und Wangeroog usw. Berlin, Stankiewicz 1897.

1896.    Lallemand. Note sur l’erreur de refraction dans le nivellement géométrique. Verhandlungen

der am 15. —21. Okt. 1896 in Lausanne abgehaltenen Konferenz der perman. Kommission der intern. Erdmessung. Berlin 1897; Annexe B. Illd S. 247—276. — Vgl. auch Jordan, Refraktion im Nivellement. „Zeitschr. f. Verm. 1898“ S. 97—103; 201—202.

1898. Eggert. Vergleichung der Ergebnisse des geometrischen und des trigonometrischen Nivellements nach den durch v. Bauernfeind 1881 ausgeführten Beobachtungen. „Zeitschr. f. Verm. 1900“ S. 113—139.

1898. Walter. Theorie der atmosphärischen Strahlenbrechung. Leipzig 1898. (Bespr. „Zeitschr. f, Verm. 1899“ S. 221.)

1900. Koß. Kimmtiefenbeobachtungen. „Mitteilungen aus dem Gebiete des Seewesens. Pola 1900“ S. 429—438. (Vgl. auch „Zeitschr. f. Verm. 1900“ S. 311.)

1903. Christiansen, Einige Bemerkungen über die terrestrische Refraktion. „Zeitschr. f. Verm. 1903“ S. 305—315.

1907. F. R. Helmert, Bestimmung der Höhenlage der Insel Wangeroog durch trigonometrische Messungen im Jahre 1888. „Sitzungsber. der Kgl. Preuß. Akad. d. Wiss. 1907. XI“ S. 766—791. Die allgemeinen Literaturberichte der „Zeitschr. f. Verm.“ haben trigonometrische Höhenmessung, Refraktion: 1876 S. 41, 1877 S. 58, 1878 S. 15, 1879 S. 132, 1881 S. 26, 1882 S. 207, 1883 S. 388, 1884 S. 454, 1885 S. 333, 1886 S. 417, 1887 S. 487, 1888 S. 467, 1889 S. 522, 1890 S. 438, 1891 S. 583, 1892 S. 478, 1893 S. 456, 1894 S. 469, 1895 S. 437, 1896 S. 496, 1897 S. 556, 1898 S. 455, 1899 S. 572, 1900 S. 482, 1901 S. 435, 1902 S. 647, 1903 S. 516, 1904 S. 617, 1905 S. 614, 1906 S. 817, 1907 S. 834.

Kapitel XII.

Barometrische Höhenmessung.

§ 149. Grundzüge der Theorie.

Die barometrische Höhenmessung beruht auf der Bestimmung des Luftdrucks in verschiedenen Schichten der Atmosphäre.

Ehe wir die Instrumente kennen lernen, welche zur Messung des Luftdrucks dienen, und ehe wir die vollständige Theorie der Höhenberechnung vornehmen, schicken wir hier die Grundzüge dieser Theorie voraus, um dadurch einen ersten Überblick über die Gesamtaufgabe zu gewinnen, welche uns nachher beschäftigen wird.

Wir haben dazu zuerst das Mariotte-Gay Lussacsche Gesetz der Gase, welches bereits bei der Refraktionstheorie in § 144 (5) S. 604 gebraucht wurde, wobei die Luftdichte mit 0 bezeichnet war, wofür nun im nachfolgenden A geschrieben ist.

I. Das Mariottesche Gesetz.

Das Volumen eines Gases ändert sich bei konstanter * Temperatur umgekehrt proportional dem Druck, und die Dichte des Gases ändert sich hiernach proportional dem Druck; man hat also in Zeichen:

Druck Volumen Dichte

Anfangszustand

Endzustand

Po

vo

Mariottesches Gesetz:

P_₌    % _

Die Drücke p₀ und p sind dabei auf eine beliebige Flächeneinheit bezogen.

Po

(1)

II. Das Gay Dussacsche Gesetz.

Die Erwärmung eines Gases bei konstantem Druck hat eine Volumänderung zur Folge, welche der Temperaturänderung proportional ist.

Volumen

Temperatur

Anfangszustand Endzustand Gay Lussacsches Gesetz : v = Vq (1 + a t) . Der Koeffizient a dieser Gleichung hat den Wert:

vo

0°

0 °-M f

(4)

a = 0,003665 =

272,851 '

Derselbe Koeffizient gilt nahezu für alle permanenten Gase und kann näherungs

weise auch für Kohlensäure und Wasserdampf genommen werden. Man schreibt das Gay Lussacsche Gesetz, statt in der Form (3) häufig auch mit runder Zahl 273, in der anderen Form:

(5)

_ 273° 4-1 v₀ ⁻    273° '

Indem man 273° -+- t die absolute Temperatur nennt (— 273“absoluterNullpunkt), kann man das Gay Lussacsche Gesetz auch so aussprechen: die Volumina derselben Gasmenge verhalten sich, bei unverändertem Druck, wie ihre absoluten Temperaturen.

III. Bas Mariotte-Gay Lussacsche Gesetz.

Die Verbindung der beiden soeben erwähnten Gesetze gibt folgendes :

Ein Gas volumen v₀ stehe unter dem Druck pQ und habe die Temperatur 0⁰ ; nachdem der Druck den Wert p und die Temperatur den Wert t angenommen hat, wird das Volumen :

v — at) •

Wenn z/₀ die Dichte für den Anfangszustand, und A die Dichte für den Endzustand bedeutet, so hat man:

(6)

oder:

= — (1 -f- a t)

p

Fig. 1.

(?)

~a—p—dp

Po 1 + (X t

(8)

dH^-Up

Nach diesen Zitaten aus der Physik können wir zu der barometrischen Höhenmessung selbst übergehen.

Barometrische Höhenmessimg.

Nach Andeutung von Fig 1 betrachten wir einen vertikalen Luftzylinder von beliebigem Querschnitt, weshalb der Querschnitt — 1 gesetzt werden soll.

ÔC

An irgend einer Stelle in der Höhe H über der Meeresfläche B AB sei der Luftdruck — p, und in der Höhe H d H sei der Luftdruck = p — dp. Man kann die Druckahnahme dp angehen, welche der Höhenzunahme d II entspricht, wenn man die Dichte A der Luft an der betreffenden Stelle und die Schwerebeschleunigung g kennt. Die Druckänderung dp ist nämlich gleich dem Gewicht des kleinen Luftzylinders von der Höhe d H.

Da der Querschnitt = 1 angenommen wurde, ist das Volumen des fraglichen kleinen Luftzylinders = 1 x d H — d H, die Masse — A dH, und das Gewicht — A gd H; wir haben also nun :

(0)

dp — — A g dH.

Die hier vorkommende Luftdichte A ist durch das Mariotte-Gay Lussacsche Gesetz bestimmt ; und setzt man demnach A aus (8) in (9), so erhält man :

dp

Aq ^    1

Po ^ 1 -4- cc t

dH.

(10)

Indem man A₍₎ , p₍₎ , g und t als konstant behandelt, kann man sofort integrieren (indem Ip den natürlichen Logarithmus von p bezeichnet) :

Ao g '

Po 1+ « t,

Die Integrationskonstante soll dadurch bestimmt werden, daß man zwei Drücke p als Barometerstände mit entsprechenden Höhen H annimmt, in dieser Weise:

Obere Station p —_b , H = 77₂(

Untere Station p = B , 7/ = 7/₁1

Ip = —

H -+- Konst.

(11)

(12)

Mit diesen Bezeichnungen gibt (11) S. 621 zwei besondere Fälle:

Obere Station

Ib = —

Untere Station

IB = —

Die Verbindung dieser beiden Gleichungen gibt:

IB — lh =

(13)

JJ₂ — -Hj ist die Differenz der beiden absoluten Höhen, wir haben deshalb in (12) H₂ — jöj = 7» gesetzt, zugleich gehen wir von den natürlichen Logarithmen zu den briggischen Logarithmen (log) über, wobei logæ = g Ix, also :

-j^-fogb , wo u = 0,434295 . .

1    IS

— (log B — log b)    oder = — log

Damit wird (13) nach H.₂ —    = h aufgelöst in diese Form gebracht:

7* = —-fMl+«0 % r-

u /1₀ g y ’ J b Hier sind B und b durch (12) S. 621 als Druckmaße eingeführt, und da nur das Verhältnis B :b in (14) vorkommt, ist es offenbar gleichgültig, in welchem Maße diese B und b gemessen sind, z. B. als Quecksilberhöhen in Millimetern oder sonstwie, wenn nur B und b in gleichem Maße ausgedrückt sind.

Anders verhält es sich mit dem Drucke p₍₎ in (14), welcher in absolutem Maße ausgedrückt werden muß. Dieser Druck p₀ ist ein ursprünglich willkürlicher Wert, für welchen man 760 mm Quecksilberhöhe angenommen hat, d. h. :

p₀ = 0,76 mqg,

wobei q die Dichte des Quecksilbers sein soll, also nun aus (14):

IB =

Ib =

also

IB — lb =

T'

(14)

(15)

7    0,76 q,B

(16)

Die Dichte q des Quecksilbers und die Dichte zl₀ der Luft von 0° und 760 mm Druck kann man sich dadurch bestimmt denken, daß man eine Flasche mit Quecksilber gefüllt wiegt, und dann dieselbe Flasche mit Luft gefüllt; oder da man die Dichten gewöhnlich auf Wasser bezieht, wollen wir annehmen, man finde die Gewichte einer Flasche bei Quecksilberfüllung, bei Wasserfüllung und Luftfüllung bzw. = Q, W, L ; -dann sind die Dichten von Quecksilber und von Luft, beide bezogen auf Wasser bzw.:

Q — Tp = 13,596 ...

z/₀ =    = 0,001293 ...

(17)

Damit wird (16):

₇    0,76    13,596 . Bn

¹ ~ 0,434295 0,001293 l°⁹ b ^ ⁺    ^ ’

(18)

abgekürzt geschrieben :

h Klog -y (1 -i- at),

(19)

wobei

13,596

0,434295 0,001293

, rund K = 18400 .

(20)

Alles was hier über die Bestimmungen der Quecksilberdichte q und der Luftdichte z/₀ gesagt wurde, soll nur zur Veranschaulichung des Prinzipes dienen. In Wirklichkeit kommt noch manches andere in Betracht, und wir wollen deshalb unter Verweisung auf spätere ausführlichere Behandlung dieser Sache in § 160 hier abschließen mit der Bemerkung, daß die Gleichung (19) für die meisten Fälle der Praxis ausreicht, daß aber die barometrische Konstante K für Mitteleuropa, jedenfalls für Deutschland, statt (20) so anzunehmen ist:

K = 18464 für Deutschland.

(21)

Die barometrische Höhenformel ist also für Deutschland:

(22)

h = 18464 (log B — log b) (1 + 0,0036651).

Für log (1 -f- 0,003665 t) =: log (1 -)-«<) ist eine Hilfstafel auf S. [24] des Anhangs gegeben, und eine mehrstellige Tafel hierfür, für t zwischen —45° und +45°, aber nur von 1° zu 1°, d. h. die zugehörigen 1 -|- at und log (1 -)- « t) finden sich auf der letzten Seite unserer barometrischen Höhentafeln für Tiefland und für große Höhen. Hannover, Hellwingsche Verlagsbuchhandlung, 1896.

§ 150. Quecksilberbarometer.

Das wichtigste Instrument zur Bestimmung des Luftdrucks ist das von Galilei (1638), Toricelli (1643) erfundene Quecksilberbarometer. (Pascal, Höhenmessung Puy-de Dôme, 1648.)

Man kann die verschiedenen Arten solcher Barometer in zweifacher Weise

einteilen :

1.    Einteilung nach der Anordnung des Quecksilberbeliälters :

Gefäßbarometer Fig. 1. 4, 5, Heberbarometer Fig. 2, 6, 7, Gefäßheberbarometer Fig. 3 (s. Seite 627—628).

2.    Einteilung nach der Art des Gebrauchs :

Standbarometer und Beisebarometer.

Wir beschreiben hier einige als Standbarometer und als Beisebarometer geeignete

Instrumente.

Gefäßbarometer als Standbarometer. (Fig. 1 S. 627.)

Dieses Barometer hat die Form, wie sie vielfach auf meteorologischen Stationen im Gebrauche ist.

Die oben geschlossene Barometerröhre A A taucht unten in ein Gefäß B ein, so daß das in dem letzteren enthaltene Quecksilber mit dem Quecksilber der Kölire selbst in ununterbrochenem Zusammenhänge bleibt. Um die Wirkungsweise verständlich zu machen, geben wir zuerst in Kürze an, wie das Instrument verfertigt wird.

Die Bohre wird in umgekehrter Lage mit Quecksilber gefüllt (wobei Auskochen zur Austreibung der fest am Glase haftenden Luft nötig ist), und dann vollständig verschlossen umgekehrt, worauf Öffnung des Verschlusses erst stattfindet, nachdem die Böhrenöffnung unter den Flüssigkeitsspiegel im Gefäß B gebracht worden ist ; das Quecksilber sinkt sodann in der Bohre so weit, daß die verbleibende Säule dem äußeren Luftdruck das Gleichgewicht hält. Im oberen Teil der Bohre entsteht ein leerer Baum. (Torricellische Leere.)

Um den Höhenunterschied zwischen dem höchsten Punkt des Quecksilbers oben in der Bohre und dem Quecksilberspiegel im Gefäß zu messen, dient ein Maßstab MS, welcher mit einer Spitze S unten auf der Queeksilberoberfläehe aufsteht und oben eine Teilung trägt. Ob die Spitze S genau in der Quecksilberoberfläclie endigt, kann man danach beurteilen, daß das im Quecksilber unten zu sehende Spiegelbild der Spitze unmittelbar an die Spitze selbst sich anschließt. Man kann den ganzen Maßstab MS mit Hilfe einer Richtevorrichtung C wenig heben und senken, um die richtige Lage der Spitze zu erzielen.

Oben ist, längs des Maßstabs, mittels Zahnstange und Getriebe D verschiebbar, die Ablesevorrichtung N angebracht, bestehend aus einem Ring, der die Glasröhre umschließt, und einem Nonius, dessen Nullpunkt in der Höhe der Ringunterkante liegt. Man schaut längs der diesseitigen und jenseitigen Unterkante des Rings, und verschiebt dabei den Ring mittels des Getriebes D so, daß die Ziellinie die Quecksilberoberfläche berührt; dann liest man am Nonius den Barometerstand ab. Eine Lupe ist dazu nicht unbedingt nötig, weil man auch ohne eine Lupe 0,1 Millimeter richtig erhält.

Zur Ermittlung der Quecksilbertemperatur ist ein Thermometer T in möglichst inniger Verbindung mit der Quecksilberröhre angebracht. Unsere Zeichnung zeigt jedoch noch ein zweites Thermometer T', welches zunächst zur Kontrolle des ersten dient, welches aber auch noch einen besonderen Zweck erfüllt. Das Thermometer T1 hat links eine gewöhnliche Skala (C°), und außerdem rechts eine nach Millimetern bezifferte Skala, welche unmittelbar die Reduktion des Barometerstandes auf 0°, entsprechend einem gewissen mittleren Barometerstand, näherungsweise abzulesen gestattet.

Die Prüfung und eventuell Berichtigung des Instruments erstreckt sieh auf den leeren Raum oben in der Röhre und auf den Maßstab.

Ob der obere Röhrenraum luftleer ist, untersucht man durch Neigen des Instruments, bis das Quecksilber mit scharfem Klang an das Glas anschlägt und ohne Luftblase die Röhre füllt. (Bei einem Standbarometer kann man diese Untersuchung nicht jederzeit anstellen, am besten bei der Aufstellung selbst.)

Die Untersuchung des Maßstabes kann in selbständiger Weise nur dadurch geschehen, daß man denselben herausnimmt und auf einen Komparator bringt. Indessen genügt es meist, die Ablesungen an dem Barometer mit den Ablesungen an einem anderen guten Instrument (Normalbarometer) zu vergleichen, zumal da solche Barometervergleichung für andere Zwecke ohnehin nötig ist.

Die Reduktionen für Temperatur usw. für dieses Standbarometer werden im folgenden § 151 angegeben werden.

Offems Heberbarometer als Reisebarometer. Fig. 2 S. 627.

Eine heberartig umgebogene Glasröhre A B C, Fig. 2 S. 627, ist in umgekehrter Lage (A unten) mit Quecksilber gefüllt worden; wendet man nun die Röhre um, so sinkt das Quecksilber bei A herunter nach E, und steigt in dem kurzen Schenkel bis zu dem Punkte D. Das Quecksilber wird sich in beiden Schenkeln in solche Höhe stellen, daß die Säule JD E dem äußeren Luftdruck das Gleichgewicht hält.

Die Quecksilberröhre ist an einem hölzernen Schafte befestigt, der außerdem einen Maßstab M trägt. Dieser Maßstab ist nur in der Mitte mit dem Schafte befestigt, und kann sich an den Enden frei ausdehnen. Die Enden des Maßstabes sind mit Teilungen versehen, deren gemeinsamer Nullpunkt sich auf der unteren Teilung (etwa unterhalb G) befindet, so daß die Entfernung E D sich als Summe der beiden Ablesungen ergibt. Die Einstellung auf die Quecksilberkuppen erfolgt durch Ringe, welche die Röhre umfassen, und das Ablesen geschieht mittels Nonien, welche mit den Ringen fest verbunden, längs den Teilungen, von freier Hand verschoben werden. Ein Thermometer T liefert die Temperatur des. Quecksilbers und des Maßstabes. (Reduktion hierzu gibt folgender § 151.)

Der Verschluß der Röhre, Fig. 2 S. 627, bei C und bei B wird durch einfache Korkstöpsel erzielt, welche an einem Fischbeinstab gemeinsam befestigt sind. Dieser Korkverschluß hat die nötige Elastizität, so daß noch Ausdehnung des Quecksilbers möglich ist, wenn nach der Verschließung sich das Quecksilber erwärmt.

In Fig. 2 a S. 627 ist der Korkstöpselverschluß und weitere Einzelheiten besonders gezeichnet. Beim Niederdrücken des Verschlußstabes F drücken die Korkstöpsel K oben und I\₂ bei A unten sich fest.

Die eigentümliche Anordnung der zwei Spitzen bei C und bei D (Fig. 2 a) hat den Zweck, das Eindringen von Luft auf dem Wege vom kurzen, offenen Schenkel in den langen geschlossenen Schenkel zu verhindern, denn Luftblasen, welche etwa nach B gelangen, werden sich dort in der Ausbuchtung sammeln, und erst wenn B mit Luft gefüllt ist, nach C dringen. Ähnlich verhält es sich mit der Ausbuchtung bei E and der in E hineinragenden sogenannten Buntenschen Spitze D.

Vor dem Ablesen des Barometerstandes klopft man ein wenig an dem Instrument, um die Reibung des Quecksilbers am Glase überwinden zu helfen.

Dieses Heberbarometer (Fig. 2 S. 627) haben wir im Winter 1873—74 auf der Rohlfsschen Expedition in die Libysche Wüste mitgeführt und dabei ganz zweckentsprechend gefunden und unversehrt zurückgebracht. (Physische Geographie und Meteorologie der Libyschen Wüste, S. 82—85.)

Gefäßheberbarometer System Wüd-Fueß. Fig. 3 S. 627.

Neben dem älteren, an Fig. 1 S. 627 erläuterten Standbarometer soll als neueres Instrument der Art das in Fig. 3 dargestellte, aus der mechanischen Werkstätte von

R.    Fueß in Steglitz bei Berlin (zuerst veröffentlicht in Löwenherz, Bericht über die wissenschaftlichen Instrumente auf der Berliner Gewerbeausstellung, Berlin 1880

S.    222—225) beschrieben werden. Das Instrument eignet sich besonders zum Kon-trollinstrument für Standvergleichungen von Reisebarometern und Federbarometern. Das wesentlichste Merkmal dieses Instrumentes ist, daß die Quecksilbersäule durch die Gefäßschraube G, welche gegen den Ledersack C wirkt, angehoben werden kann. Diese Anordnung ermöglicht es, den Abstand der unteren und oberen Kuppe, welche in einem Rohr von gleichem Durchmesser vertikal untereinander liegen, in verschiedenen Stellungen zu bestimmen, und gibt ferner durch das Anheben der Säule den Kuppen gleiche Gestalt. Wir werden auf die Vorteile dieser von Wild angegebenen Anordnung im folgenden § 151 noch eingehen.

Eine äußere Ansicht des ganzen Barometers gibt auch Fig. 4 § 157, wo das Barometer an dem dort gezeigten Prüfungsapparat als Vergleichsbarometer für Quecksilber- und Federbarometer angebracht ist. Fig. 3 S. 627 zeigt links den oberen und rechts den unteren Teil des Instrumentes. Das Barometerrohr A (oben) ist bei 0 umgebogen und mündet unten bei A im Gefäß. Aus diesem wird die untere Säule in dem Rohr bei Ti (von gleichem Durchmesser wie A) durch die Schraube G mittels des Lederbodens C beim Anschrauben emporgehoben. Bei der Ablesung muß die Verschlußschraube S, durch welche die Luft Zutritt zum unteren Schenkel B hat, geöffnet sein. Das in der Figur links sichtbare Thermometer ist auf der Quecksilbersäule gelagert. Die Teilung ist auf dem umhüllenden vernickelten Messingstabe angebracht. (Eine besondere Anweisung für die Zusammensetzung und Verpackung wird jedem Instrument beigegeben.)

Die Ablesung an dem richtig aufgestellten Instrument geschieht demnach so : Es wird (nach Ablesung des Thermometers) mit der Schraube G die untere Kuppe bis nahe unter das Nullpunktvisier (in der Figur über B) gebracht, das obere Kuppenvisier (bei N oben links) nahe über die obere Kuppe gestellt, nun die untere Kuppe bis dicht unter das Visier angehoben, so daß eine feine Lichtlinie bleibt, genau ebenso Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

das obere Visier mit der Feinstellung eingestellt und am Nonius N (Angabe 0,05 mm) die Ablesung genommen. Danach wird die Schraube G sogleich wieder zurückgeschraubt, um im offenen Schenkel B ein Erblinden des Glases zu verhüten. (Ein solches Instrument von 14 mm Rohrweite ist bei der in § 158 zu erwähnenden Untersuchung als Vergleichsbarometer benützt worden.)

Einfaches Gefäßbarometer von B. Fueß als Standbarometer. Fig. 4 S. 628.

Ein einfaches, sehr zweckmäßiges Instrument, das sich nach neueren Erfahrungen als sehr konstant erwiesen hat, zeigt Fig. 4 S. 628. Das Gefäß ist, wie aus Fig. 4 a zu sehen ist, fest mit dem Quecksilberrohr und dem Skalenrohr verschraubt. Die Ablesung geschieht demnach einfach dadurch, daß mit dem seitlich sichtbaren Triebknopf der Visiernonius auf die obere Kuppe eingestellt wird. Die Skala wird bei diesem stabil konstruierten Instrument in der Eegel als sog. „reduzierte Skala“ aufgetragen, deren Bedeutung in § 151 S. 632 noch erläutert werden wird. Mit einem derartigen Gefäßbarometer von 10 mm Rohrweite ist der neuerdings für die hannoversche geodätische Sammlung gelieferte Barometerprüfungsapparat (Fig. 4 § 157) ausgerüstet. Nach einer seitens der Seewarte in Hamburg angestellten Untersuchung haben sich Instrumente mit festem Gefäß gut bewährt. (Vgl. Archiv der Deutschen Seewarte. XXTIT. Jahrgang, 1900; Hamburg 1901 Nr. 2.)

Fortinsches Beisebarometer. Fig. 5 S. 628.

Fig. 5 und 5 a S. 628 zeigen dieses altbewährte Instrument in der Anordnung von E. Fueß. Das Instrument ist ein Gefäßbarometer mit einstellbarem Gefäß. Das mit Schraubengewinde versehene Eohr a Fig. 5 trägt nach oben hin das Skalenrohr b, in welchem das Quecksilberrohr steckt, und nach unten hin das auf ihm durch Auf-und Abschrauben bewegliche Gefäß. Dieses besteht aus dem Oberteil e und dem Glasrohr f, das wieder in einem laternenförmig durchbrochenen Messingrohr steckt und mit der Bodenplatte g verbunden ist. Durch Auf- und Abschrauben des Oberteils e kann (ähnlich wie beim Instrument Fig. 1 S. 627) die Spitze h auf die Quecksilber-Oberfläche eingestellt werden. In der Figur ist bei i der untere Verschluß des Rohres durch einen Federbolzen beim Transport dargestellt. (Eine besondere Anweisung für die Verpackung und Zusammensetzung wird jedem Instrumente beigegeben.) Die Aufstellung zum Gebrauch im Felde ist aus Fig. 5 a ersichtlich.

Die Ablesung geschieht, nachdem zunächst durch Herabschrauben der freie Durchblick zwischen der Spitze li und der Quecksilberoberfläche möglich geworden ist, durch Einstellung der Spitze h auf die Quecksilberoberfläche im Gefäß und des Nonienvisiers auf die obere Kuppe.

Geschlossenes Heberbarometer als Beisebarometer von B. Fueß. Fig. 6 S. 628.

Ungefähr von derselben Konstruktion im Innern wie das Seite 627 an Fig. 2 und 2 a beschriebene ist auch das Fueßsche Heberreisebarometer Fig. 6 S. 628. Die Schieberinge zum Einstellen auf die Quecksilberkuppen oben und unten sind bequemer. Die Glasröhre selbst ist in Fig. 6 mehr verdeckt als in Fig. 2, was zum Schutze gegen Temperatureinflüsse gut, aber anderseits hinderlich ist bei der Untersuchung, ob an der Röhre und ihren Verschlüssen alles in Ordnung sich befindet. Dieses Heberbarometer (Fig. 6 S. 628) wird zur Reisevergleichung auf den preußischen meteorologischen Stationen gebraucht. Der Barometerstand ergibt sich wie bei dem Instrument Fig. 2 als Summe der Ablesungen an der oberen und unteren Skala.

Fig. 1.

Standbarometer mit Gefäß.

Fig. 2. Mollenkopf.

Keisebarometer in Heberform.

Fig. 3. Gefäßheberbarom. "Wild-Fließ.

Fig. 2 a.

Verschluß K IC, und Buntensche Spitze D.

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Fig. 4. Gefäßbarometer mit festem Gefäß.

Fig. 5. Reisebarometer Fortin-Fueß.

Fig. 6.

Fig. 5 a. Heberbar. (Fueß.)

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Banners Beisebarometer mit Gummirohr. Fig. 7. 8, 9 S. 629. Einen sehr einfachen Gedanken hat Axel Damier zur Herstellung eines leicht verschließbaren Keisebarometers benützt, nämlich Gummischlauchheber mit Quetschverschluß (Fig. 9 S. 629.)

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Auf dem Brette A Fig. 7 sind die beiden völlig glatten Barometerschenkel in der gewöhnlichen Form angeordnet.

Die Schenkelröhren sind unten durch einen aus Paragummi hergestellten Schlauch verbunden, welcher mit zwei aus Klemmbalken und Schraube bestehenden Verschlüssen (Fig. 9) versehen ist.

Fig. 8.

Der Schenkel a (Fig. 7 und 8) ragt in den Gummischlauch g-h-i mit einer ausgezogenen Spitze c luftdicht hinein Fi°- ">■ Gummirohrverbin-und bildet hier einen dem Buntenschen ähnlichen Yerschlufi/ Ç)) dT<üfe ^nTig* 7?

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Soll das Instrument zum Transport fertig gemacht werden, so jpyfl* (V₂ nat. Gr.) wird, nachdem man durch Neigen das Quecksilber aus dem kurzen B Schenkel herausgelassen, zunächst durch Anziehen der Klemmschraube d [1 (Fig. 8 und 9) der untere der beiden Quetschbalken auf den Gummi- fif schlauch g i niedergeschraubt und somit das Quecksilber bei Tc abgesperrt; dann wird durch Niederschrauben des oberen Quetschbalkens das f noch etwa über dem unteren Verschlüsse befindliche Quecksilber bei l jj abgesperrt und gleichzeitig durch beide Verschlüsse erst bei m und dann | bei n die Quecksilbersäule festgeklemmt. Der Gummischlauch gewährt j der Ausdehnung des Quecksilbers genügend Spielraum, so daß man ein Sprengen des Glasrohres, auch bei starker Erwärmung der Quecksilbersäule, nicht zu befürchten hat.

Das Barometer ist jetzt luftdicht abgeschlossen, wird in ein mits.

Tragriemen versehenes Aluminiumfutteral gesteckt und kann so ganz bequem in jeder beliebigen Lage getragen werden.

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Will man das Instrument vom verpackten Zustande aus wieder in Benützung nehmen, so wird jetzt in umgekehrter Reihenfolge erst die obere und dann die untere Klemmschraube d gelöst, so daß die beiden Klemmbalken n — l und m — k (Fig. 8) völlig lose auf dem Gummi-, schlauche aufliegen; die Quecksilbersäule wird hierdurch frei, und die Ablesung kann wie bei jedem anderen Heberbarometer erfolgen. Die in das Holz eingelassene versilberte Messingskala p (Fig. 8) ist in Millimeter geteilt, deren Zehntel sich schätzen lassen.

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Die beschriebene Klemmvorrichtung hat noch den Vorteil, daß man durch geringes Anziehen der unteren Klemmschraube d die Quecksilberkuppen verschieben, somit zur Kontrolle bei jedem Barometerstände verschiedene Ablesungen machen kann.

Fig. 9.

Querschnitt des unteren Teiles von Fig. 8. (>/₂ nat. Gr.)

Temperaturredulction. Die Messingskala, welche zum Ablesen des Barometerstandes dient, besteht aus zwei getrennten Teilen, unten p und oben q (Fig. 7), die jede für sich mit Ausdehnungsspielraum auf dem Holzschaft befestigt sind, so daß ihre Temperaturausdehnungen sichflj aufheben, wenn die Quecksilberkuppen in der Mitte der Teilung stehen; es kommt also nur der Abstand der Kuppe von der Mitte in Betracht, für welche die Ausdehnung nur einige hundertstel Millimeter ausmacht, so daß dieselbe vernachlässigt werden kann. Im übrigen wäre dann noch die Ausdehnung des aus Mahagoniholz bestehenden Schaftes selbst zu berücksichtigen, welche aber so unbedeutend ist, daß sie wohl auch zu vernachlässigen ist, und hiernach die ganze Temperaturreduktion nur für das Quecksilber selbst mit 0,00018 für 1° oder nach der Hilfstafel S. [14] des Anhangs in Berechnung zu bringen ist. Es bestand anfangs das Bedenken, daß der Gummischlauch in der Wärme zusammenkleben und in der Kälte brüchig werden würde; nach den bisher gemachten Erfahrungen ist dies jedoch bei reinem Baragummi so leicht nicht zu befürchten, und wenn wirklich nach längerer Benützung der Gummi- jj|p| schlauch defekt werden sollte, so ist derselbe unter Aufwendung geringer 'öiiL Mühe und Kosten verhältnismäßig leicht und schnell zu ersetzen.

Das Instrument ist in der Physikalisch-technischen Pieichsanstalt zu Charlottenburg geprüft; es geht daraus hervor, daß die Abweichungen vom Xormalbarometer innerhalb der Grenze +0,15 mm bleiben. Als größte Abweichung ergibt sich, nachdem das Barometer Tag und Xacht draußen in feuchter Luft gehangen hat, ein Wert von 0,3 mm.

Über die Dauerhaftigkeit des Gummiverschlusses haben wir zu bemerken, daß er bei dem Instrument der Danziger Sammlung bis jetzt (nach dreijährigem Gebrauch) noch nicht erneuert worden ist.

Näheres hierüber gibt des Erfinders Beschreibung in der „Zeitschr. f. d. Glasinstrumenten-Industrie“ von Petermann, Ilmenau, 15. September 1896 und Abdruck hiervon in „Zeitsehr. f. Verm. 1897“ S. 342-346.

§151. Korrektionen der Quecksilberbarometer.

I. TempemturkorreJction.

Zuerst handelt es sich um die Reduktion der Quecksilberbarometerstände auf die Normaltemperatur 0°. Wenn eine Quecksilbermenge samt der umhüllenden Glasröhre erwärmt wird, so dehnt sich die Glasröhre unter Beibehaltung ihrer geometrischen Form aus, das Quecksilber dehnt sich mehr aus und muß daher in der Röhre steigen. Wir bezeichnen den Koeffizienten für die kubische Ausdehnung des Quecksilbers in Glasröhren mit q, so daß eine Quecksilbersäule, welche in einer Glasröhre hei 0° die Höhe B hat, bei t° in derselben Glasröhre die Höhe B (1 -fi- q t) hat.

Dieser Wert q wird gewöhnlich nach Régnault für C° so angenommen:

(1)

q = —L = 0,00018010.

Die Regnaultschen versuche von 1847 haben eine Neubearbeitung erfahren in dem Werke : „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures“, II. Band, Paris 1883. (Zeit-schr. f. Yerm. 1884“ S. 488 — 495.) In dem Werke : „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures, Tome I, Paris 1881“ Seite D 21 wird eine Maßstabausdehnung 0,00001859 und die Quecksilberausdehnung 0,00018153 benützt. Hierzu gehört auch Kurz, Die Ausdehnung des Quecksilbers. Rep. d. Physik 1886 S. 244. Bespr. in d. Beiblatt z. d. Annalen d. Physik u. Chemie 1887 S. 424. Die internationalen meteorologischen Tafeln haben q — 0,0001818 und Messing 0,0000184 („Zeitschr. f. Yerm. 1895“ S. 247—248).

Ohne zunächst auf die genaueren Zahlenwerte und ausführlicheren Reduktions-formeln einzugehen, nehmen wir für die gewöhnlichen Zwecke des barometrischen Höhenmessens den auf 0° reduzierten Barometerstand B₀ entsprechend der Gleichung:

(2)

wo q = 0,000180.

Umgekehrt berechnet man hieraus : Bq =

1 -t- qt

= B (1 — q t + g* #2).

(8)

Die Hilfstafeln für den täglichen Gebrauch gründen sich meist auf die abgekürzte Formel nach (3) :

Bq = B (1 — qt) oder Bq — B = — B qt,

also die Quecksilherreduktion Bq — B = — 0,000180 B t oder für den Rechenschieber mehr geeignet:

Bq — B =

“ 556 10 ‘

(5 a)

Nach dieser Formel kann die Reduktion berechnet werden, wenn die Ausdehnung des Maßstabes selbst zu vernachlässigen ist; dieses geschieht z. B. oft bei hölzernen Maßstäben. Um die Ausdehnung des Maßstabes selbst zu berücksichtigen, hat man zu bedenken, daß das Maß B an einem Stabe mit dem Ausdehnungskoeffizienten m (z. B. für Messing) abgelesen, selbst eine Reduktion zu erfahren hat, welche entsprechend (4) und (5) den Betrag hat:

(6)

Messingmaßstab i — Bmt.

Die Gesamtreduktion ist die Differenz der Ausdehnungen des Quecksilbers und des Messings, d. h. man hat nun aus (4) und (6) zusammen :

Die Ausdehnungskoeffizienten für einige hier in Betracht kommende Stoffe sind: für Messing m — 0,000018 „ Glas

(Näheres über Wärmeausdehnung gibt Landolt und Börnstein, Phys.-chem. Tabellen, 3. Auf!., Berlin 1905 S. 198 ff. Ausdehnung des Holzes vgl. §116 S. 508, auch § 20 S. 66—67.)

Am häufigsten hat man die Messingskale, also mit m = 0,000018 nach (7) : Reduktion für Quecksilber und Messing: J3₀ — B — — 0,000 162 Bt.

0,000011

für Silber 0,000020 \

„ Holz (0,000004) ) '

(8)

(9)

Für die beiden Fälle (5) und (9) haben wir Hilfstafeln berechnet und im Anhänge auf S. [14] und [15] gegeben. Für den Handgebrauch geben auch unsere mathem.-geodätischen Hilfstafeln, Hannover, Hellwing 1895, auf S. 75—77 die nötigen Reduktions-tafeln. Wenn die Reduktion auf 0,01 ww genau berechnet werden soll, ist statt einer

solchen Hilfstafel noch besser die Anwendung des Rechenschiebers, dabei ist Quotienten-form bequemer, z. B. :

_B_ t 617 10 '

Man macht dann bei 617 des Lineals eine Strichmarke und schiebt damit die Reduktionen bequemer und genauer ab, als man sie aus einer Hilfstafel entnehmen kann.

— 0,000162 Bt =

(10)

Wir wollen noch den Fall berücksichtigen, daß der Maßstab eine etwas andere Temperatur t' habe als das Quecksilber, dessen Temperatur t sei, auch ist noch der Fall zu behandeln, daß der Maßstab eine andere Normal temperatur t habe als das Quecksilber. Die Normaltemperatur des Maßstabes ist nämlich beim Metermaß % — 0° Celsius, dagegen beim alten Pariser Maß. t = 13°

Réaumur und beim englischen Maß r = 62° Fahrenheit. Nehmen wir bei der Normaltemperatur t eine Maßstablänge M₀ und bei der Temperatur t' eine Länge M. und es sei der Ausdehnungskoeffizient des Maßstabes = m, dann bestehen die Gleichungen :

3/ = M₀ (l + m (t‘ — r)) und Q = Q₀ (1 + q t) .

Da der Maßstab M zur Messung der ^ Quecksilberhöhe Q dient (vgl. Fig. 1), so ist 3/ = Q ! zu setzen, und damit geben die beiden vorher- j gehenden Gleichungen :

Fig. 1.

ipPM,-Q.

1 + m (f - r)

-O

t’

T Mo

i + at

Der Zahlenwert von 3/₀ ist nichts anderes als der nominelle abgelesene Barometerstand B, weshalb wir nun als Gebrauchsformel schreiben :

nI'

<r-

B,, — B

1 -f- m (f — t)

1 qt

oder Differenz B₀ — B — —

qt — ru (t* — t) B 1 + 2<

(11)

Setzt man den Nenner wieder 1 qt — \, dann für Metermaß r — 0 und noch t'—t, so geht

dieses wieder in die einfache Formel (7) zurück.

Zur gegenseitigen Verwandlung von Barometerwerten, welche bereits auf ihre eigene Normaltemperatur reduziert sind, dienen folgende Zahlen :

log

9.6466938 8,5675126 0.3533062 1.4324874 .

Genaueres über die Beziehungen der metrischen, der altfranzösischen und der englischen Längeneinheit zueinander gibt Mitteilung der Kaiserl. Normaleichungskommission vom 10. Dez. 1889 „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 265—269). Eine Tafel zur Verwandlung von Pariser Zollen und Linien in Millimeter, welche den soeben angegebenen Zahlen entspricht, ist im Anhang auf Seite [13] gegeben. Ausführliche Reduktionstafeln für metrisches, Pariser und englisches Maß und sonstige Barometer-

= 0,443296 Pariser Linien = 0,036941 Pariser Zoll

1 Millimeter 1 Millimeter 1 Pariser Linie = 2,255829 Millimeter 1 Pariser Zoll =27,069948 Millimeter

reduktionen gibt Jelineks „Anleitung zur Anstellung meteorologischer Beobachtungen und Sammlung von Hilfstafeln“, zweite Auflage, von Hann, Wien 1881, und „Physikalisch-chemische Tabellen von Landolt und Börnstein, 3. Aufl., Berlin 1905“, und „International-meteorologische Tafeln“, vgl. „Zeit-schr. f. Yerm. 1895“ S. 211 und 217.

II. Gefäßkorrektion.

Wenn der Quecksilberstand in der Röhre steigt oder fällt, so fällt oder steigt auch der Quecksilberspiegel unten im Gefäß, allerdings nicht in gleichem Maß, weil das Gefäß viel größeren Querschnitt hat als die Röhre, indessen ist doch die Höhenänderung des Quecksilberstandes im Gefäß nicht unbedingt zu vernachlässigen. Da es nicht bequem wäre, bei jeder Beobachtung den Maßstab neu einzustellen, läßt man denselben wohl für einen Barometerstand Bq stehen und bringt für andere Stände B eine Gefäßkorrektion in Rechnung, entsprechend der Gleichung:

(12)

Gefäßkorrektion = -+ (II — B₀)

d der innere und dx der äußere Durchmesser der Röhre und I) der innere Durchmesser des Gefäßes ist. Häufig hat man -=•

wo

XT-ÏÏÏ

, also die Gefäßkorrektion dann

rund - 0,01 (B — Bq).

Unser hannoversches Standbarometer § 150 Fig. 1 S. 627 hat d = 7 mm. dx = 11 mm, D = 110 -mm, womit für Bq — 755 sich gibt: Gefäßkorrektion = +- 0,00409 (B — 755). Damit ist eine Korrektionstafel berechnet mit den Hauptwerten:

B =: 755 mm Gefäßkorr. = -f- 0,00 mm + 0,02 + 0,04 + 0,06 + 0.08.

B — 735 mm Gefäßkorr. = — 0,08 mm — 0,06

—    0,04

—    0,02 — 0,00

740

745

750

755

760

765

770

775

Man kann auch die Gefäßkorrektion mit der Temperaturkorrektion zusammennehmen, z. B. für d²: (Iß — äf*) — 1 : 100 und für Bq = 750 mm hat man dann:

Gesamtreduktion — 0,000162 B t -f- 0,01 (B — 750).

Eine hierfür berechnete Tafel ist auf S. [16] des Anhangs gegeben.

In neuerer Zeit hat man auch Instrumente mit festem Gefäß (Fig. 4 S. 628), bei denen die Gefäßkorrektion gleich an der Teilung angebracht ist, so daß man einem solchen Barometer mit „reduzierter Skala1, sofort die korrigierte Ablesung er-

reduziert. Der neuerdings

zu er-

hält. Die Teilung ist dann nach (12) auf fl

<*²

an

Iß — dx ²

R. Fueß für die hannoversche geodätische Sammlung gelieferte in § 157 wähnende Barometerprüfungsapparat ist mit einem solchen Barometer mit reduzierter

von

Skala ausgerüstet.

Zum Schluß sei noch bemerkt, daß bei dem Gefäßheberbarometer (Fig. 3 S. 627) die Gefäßkorrektion naturgemäß wegfällt.

III. Kapillardepression.

Infolge der gegenseitigen Anziehung des Glases und des Quecksilbers ist die Oberfläche des letzteren nicht eben, sondern gewölbt, und es steht der Scheitel der sich bildenden Kuppe stets tiefer als die Oberfläche, welche das Quecksilber zeigen würde, wenn jene Anziehung nicht wirksam wäre.

Die Kapillardepression ó' ist der Betrag, um welchen die Kuppe tiefer steht, als die Quecksilberoberlläche in einer Röhre ohne Depression stehen würde (vgl. Fig. 2). Die Kapillardepression Ó' ist abhängig von dem inneren Röhrendurchmesser 1) und von der Kuppenhöhe Ł

Fig. 2.

Kapillardepression.

Wir haben hierfür im Anhänge Seite [17] eine Tafel zusammengestellt nach Schleiermacher und Delcros,

!»

Poggendorfs Annalen der Physik, 60. Band, 1843 S. 377 (wo jedoch irrtümlich Durchmesser statt Halbmesser steht). Aus dieser Tafel entnimmt man z. B., daß für den inneren Durchmesser 10 mm und die Kuppenhöhe k = 1,3 mm, die Depression = 0,38 mm ist. Eine andere Tafel nach Mendeleeff gibt Kohlrausch, Leitfaden der Physik, 8. Aufl. 1896, Tab. 15. (Ygl. „Zeitschr. f.

Verm. 1896“ S. 712.)

:!§

Bei Gefäßbarometern ist die Depression zu dem an der Kuppe abgelesenen Stande zu addieren. Bei Heberbarometern kommt nur die Differenz der beiden Depressionen in Betracht, und zwar ist gewöhnlich die Depression im unteren Schenkel die größere, also die Differenz der Depressionen von der Messung abzuziehen.

Bei dem Gefäßheberbarometer Fig. 3 S. 627 mit gleicher Rohrweite oben und unten erhalten durch das Anheben der Quecksilbersäule beide Kuppen die gleiche Gestalt, es fällt daher die Unsicherheit der Kapillarkorrektion fort, worin ein wesentlicher Vorteil des Gefäßhebersystems liegt.

Die Kuppenhöhe ist nicht nur bei verschiedenen Instrumenten, sondern auch bei demselben Instrument veränderlich; z. B. bei dem Stuttgarter Heberbarometer (Fig. 2 S. 627) mit innerem Röhrendurchmesser von 6 mm fanden sich auf der libyschen Expedition an verschiedenen Tagen zwischen November 1873 und Mai 1874 nach und nach folgende Kuppenhöhen:

mm

oben 0,83    0,83    0,88 1,00 0,83    0,90    0,82    0,83 0,94 0,89 0,95 0,94

mm .

unten 1,11    1,26    1,17 1,22 1,37    1,64    1,58    1,40 1,53 1,65 1,55 1,63

Der    innere    Röhrendurchmesser    war    6 mm,    folglich entsprechen nach der    Tafel

im Anhänge Seite [17] den Kuppenhöhen 1,1mm und 1,6 mm die Depressionen 1,14 mm und 1,41mm, und den Kuppenhöhendifferenzen entspricht eine Depressionsdifferenz von 0,27 mm.

Wenn im Laufe der Zeit die Kuppe im unteren Schenkel größer Avird, so hat das eine leicht angebbare Ursache ; das Quecksilber erfährt nämlich im unteren Schenkel, wo es mit der Luft in Berührung kommt, eine geringe Oxydation; auch kommen hier Unreinigkeiten hinzu und deswegen haftet das Quecksilber ungleich an der Röhrenwand. Auch Avird das Glas hier getrübt, so daß nach mehrjährigem Gebrauch kein sicheres Einstellen auf den Rand mehr möglich und Reinigung notwendig ist.

Der innere Durchmesser der Glasröhre, den man zur Kapillaritätsbestimmung braucht, kann bei fertigen Instrumenten nicht unmittelbar gemessen werden, weil die Quecksilberfüllung, von außen gesehen, durch Strahlenbrechung der Glaswand zu groß erscheint, so daß bei dünnwandigen Köhren überhaupt kein innerer Durchmesser zu sehen ist, sondern die ganze Hülle von Quecksilber angefüllt zu sein scheint. Nach einer Mitteilung in der „Zeitschr. f. Instr. 1886“ S. 106 kann man die scheinbare Vergrößerung des inneren Durchmessers einer Barometerröhre durch Lichtbrechung theoretisch verfolgen.

Statt dessen haben wir ein einfacheres, durch Fig. 3 erläutertes Verfahren angewendet, welches darin besteht, daß man die Kuppe schief von oben her betrachtet und ein entsprechendes Maß h in der Vertikalen mißt. Ist der Winkel, den die Sehrichtung mit der Vertikalen macht, = a,

so hat man :

Fig. 3.

JV

d — h tang ct .

Um den Winkel ct konstant zu erhalten und zu bestimmen (am bequemsten a — 45°), kann man eine ganz einfache Zielvorrichtung anbringen und das Maß h an der Schiebevorrichtung mit Nonius ablesen, den man zum gewöhnlichen Einstellen und Ablesen ohnehin braucht. Unser hannoversches Standbarometer (§ 150 Fig. 1 S. 627) gab auf diesem Wege d = 6,7 mm. („Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 187-189.)

Als ein Beispiel für die Behandlung der Reduk-tionen für Temperatur und Kapillarität nehmen wir eine Beobachtung mit dem Heberbarometer (§ 150 Fig. 2 S. 627). Der Maßstab ist von Messing, der innere Röhrendurchmesser ist 6 mm.

Thermometer Kuppe

Rand

Oberer Schenkel Unterer Schenkel

17,5°

616.3    mm 615,3 ww

127.4    129,1

j Kuppen- Kapillar-I höhen depressionen 1,0 mm 1,07 mm 1,44

1,7

Summe = 743,7

0,37

Temperaturkorrektion Kapillarkorrektion—(1,44—1,07)=—0,37 nach Seite [17] Reduzierter Barometerstand B₀ = 741,22 mm.

— 2,11 nach Seite [15]

Vergleichung zweier Barometer.

Die Vergleichung von Barometern kommt sehr oft vor; dieselbe ist immer nötig, wenn zwei Instrumente als korrespondierend zu Höhenmessungen gebraucht werden sollen. Man hat hierbei alle diejenigen Korrektionen anzubringen, welche nicht beiden Instrumenten gemeinsam sind.

Folgendes ist ein Beispiel einer solchen Vergleichung von der libyschen Expedition in Kairo, Meteorologische Station Abbasieh 5. Dezember 1873.

Stationsbarometer Kairo

Zeit

Reisebarometer 762,90 mm

763,69 mm

762,44

763,39

762,59

763,39

12

762,55

17

762,99

/•

21

762,23

26

763,22

30

762,50

Mittel

763,34 Differenz = 0,80 mm .

762,54

Man hat also im Mittel das Ergebnis der Vergleichung:

Stationsbarometer — Reisebarometer = -+- 0,80 mm.

Luftblase im oberen Schenkel des Barometers.

Eine kleine Luftblase von 1—2 mm Durchmesser, welche sich im oberen Teil der Röhre beim Neigen des Instrumentes zeigt, hat einen hinreichend konstanten Einfluß,

so daß derselbe gemeinsam mit anderen Fehlern bei der Vergleichung in Rechnung gebracht wird. Die Luft einer größeren Blase hat hei verschiedenen Temperaturen schon merklich verschiedene Spannungen, und der Einfluß einer solchen Blase muß deswegen durch Vergleichung mit einem Normalbarometer bei verschiedenen Temperaturen bestimmt werden. Man kann den Einfluß einer Blase auf theoretischem Wege bestimmen („Poggendorffs Annalen“ 88. Bd. S. 273—278 ; Schreiber, „Handbuch der barometr. Höhenmessung“    S. 82—84), doch    ist    die unmittelbare Vergleichung    mit

einem anderen Barometer    bei verschiedenen    Temperaturen das sicherste Mittel    zur

Elimination des Fehlers, wenn man gezwungen ist, mit einem solchen Instrument zu messen. Bei den Instrumenten mit anhebbarer Quecksilbersäule, wie das in Fig. 3 S. 627 behandelte Gefäßheherbarometer von R. Fueß, kann durch Bestimmung des Luftdrucks in verschiedenen Lagen der Quecksilbersäule, indem das Nullpunktvisier auf einen tief- und einen hochliegenden Strich der unteren Teilung eingestellt wird, das Vakuum geprüft werden. Es ist dies ein wesentlicher Vorzug des Gefäßhebersystems.

Genauigkeit der Qmcksilberbarometerangaben.

Der mittlere Fehler    einer Einstellung    und    Ablesung des Quecksilberbarometers

ist kleiner als + 0,1 mm,    auch bei Einstellung    von freier Hand und Ablesung    mit

bloßem Auge; mit Lupe u. dgl. kann der Einstellungs- und Ablesungsfehler leicht auf 0,05 mm heruntergebracht werden. Anders verhält es sich aber mit dem mittleren Fehler der Gesamtbestimmung des Barometerstandes selbst. Fortgesetzte Vergleichungen von Quecksilberbarometern zeigen Widersprüche, welche sich durch die Ungenauigkeiten des Einstellens und Ablesens allein nicht erklären lassen.

Aus zahlreichen Genauigkeitsbestimmungen (3. Aufl. 1888, S. 488) geht hervor, daß der mittlere Fehler einer Bestimmung des Luftdrucks mit einem Reisebarometer, dessen Röhre 6—10 mm Durchmesser hat, zu 0,15 bis 0,2 mm zu veranschlagen ist, und daß dieser Fehler durch mechanische und optische Hilfsmittel nicht erheblich verringert werden kann. Größere Standbarometer, wie z. B. das Instrument Fig. 3 S. 627, zeigen kleinere Fehler.

§ 152. Schwerereduktion.

Der in der bisher beschriebenen Weise reduzierte Quecksilberbarometerstand ist noch nicht ein absolutes Maß des Luftdrucks, weil die Schwerkraft, und damit das

Gewicht der Quecksilbersäule, veränderlich ist.

Der Druck der Quecksilbersäule, welcher dem Luftdruck das Gleichgewicht hält,

ist das Produkt aus der Masse des Quecksilbers (Masse — Volumen x Dichte) in die Beschleunigung der Schwere. Diese Schwerebeschleunigung, gewöhnlich mit g bezeichnet, ist mit der Höhe über dem Meere und mit der geographischen Breite veränderlich, wie bereits in § 130 ausführlich dargelegt wurde, nämlich nach (10) § 130 S. 564 für die Höhe H:

g = ,%⁴⁵ (1 -

ß cos 2 qp) ^1

oder

⁴⁵ [l — ß cos 2 qp

(1)

ß = 0,00265.

g₀^ = 9,80597

Nun denken wir, es sei an einem Punkt mit der Schwere g ein Barometerstand B beobachtet; und wenn an einem Punkte in Meereshöhe (H = 0) unter der Breite 45° derselbe Luftdruck stattfindet, wie an dem ersten Punkte, so würde an dem

Dieses sind dieselben Werte wie in der ersten Spalte der Tafel S. [19] des

Anhangs.

Wie man sieht, ist diese Reduktion nicht unerheblich ; allerdings kommen bei den meisten Anwendungen auf barometrische Höhenmessungen nur die Differenzen der Reduktionen für verschiedene Breiten in Betracht, d. h. in Mitteleuropa etwa 0,07 mm für 1° Breitenunterschied.

Das zweite Glied der Gleichung (3) gibt die Reduktion für die Höhe und verlangt zur Ausrechnung die Kenntnis der Höhe II über dem Meere, wenigstens genähert. Bei irgend welcher Anwendung wird die genäherte Höhe H wohl leicht zu erlangen sein; um jedoch eine Tafel zur allgemeinen Übersicht zu berechnen, muß man die Höhe II aus dem Barometerstand B selbst ableiten. Es mag hierzu eine Näherungsfunktion genügen, etwa in ganz runden Zahlen:

0,087 H oder H= 11,5 (760 — B).

zweiten Punkte ein anderer Barometerstand J5₀⁴⁵ beobachtet werden, welcher zu dem ersten B in der Beziehung steht :

also :

(2)

oder es besteht die Reduktion :

2 BH

(3)

J?₀45 — B = — B ß cos 2 <p

Zur Übersicht berechnen wir nach dem ersten Gliede dieser Gleichung folgendes Hilfstäfelchen für A BL = — B ß cos 2 q, für B = 760 mm :

<P

A Bt

<P

A Pi

A Bi

A B,

0°

10

20

30

35

40

—    2,01 mm

40°

41

42

43

44

45

—    0,35 mm

45°

46

47

48

49

50

-j- 0,00 mm + 0,07 + 0,14 + 0,21 -f 0,28 + 0,35

50°

55

60

70

80

90

SS5SÎS

B = 760

Setzt man dieses in das zweite Glied von (3), so erhält man:

2 BH

— ^-B (760 — B). r

Hiernach ist folgendes zur Übersicht berechnet mit r — 6370000 m:

Bo — B — A üb — —

(5)

A R₂

A B.,

A R,

760 mm 0 m i —0,00 mm 115    j    — 0,03

230    !    — 0,05

730    345    — 0,08

460    ¹    — 0,10

575    —    0,13

690    —    0.15

750

740

720

710

700

S05 m 920

670    1035

660    1150

690 mm 680

650

640

630

—    0,17 mm

—    0,20 i -0,22

-0,24 1265    | — 0,26

1380    — 0,28

1495    ; —0,30

620 mm 610

1610 m

1725

600

590

580

570

560

1840

1955

2070

2185

2300

—    0,31 mm

Dieses sind dieselben Werte wie in der Linie für cp =45° in der Tafel Seite [19] des Anhangs, und die übrigen Werte jener Tafel [19] sind nach der Formel (8) berechnet.

Die Schwerekorrektion des Quecksilberbarometers ist anzubringen vor der Benützung der Queksilberbarometerangaben zur barometrischen Höhenbestimmung, ferner vor der Vergleichung derselben mit den Angaben von Federbarometern oder Siede-thermometern.

Die in der angegebenen Weise reduzierten Quecksilberbarometerstände, welche wir mit 5₀⁴"> bezeichnet haben, gelten allgemein als Normalwerte und sind als solche auch von dem internationalen Maß- und Gewichtsamte angenommen worden. In dem Werke: „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures, I. 1881“ Seite A 46, ist hierüber gesagt: „les hauteurs barométriques sont supposées réduites à la température zéro et à la densité 13,59593 du mercure, à 45° de latitude et au niveau de la mer“. Das internationale Maß- und Gewichtsamt rechnet mit ß = 0,00259, während wir nach Helmert (1 = 0,00265 nahmen. Die internationalen meteorologischen

5 h

Tafeln haben ebenfalls den Koeffizienten ß = 0,00259 und dazu eine Höhenreduktion =-----, welche

4 r

sich nicht auf Erhebung in freier Luft, sondern auf Gebirgsmasse bezieht, wie in unserem früheren § 130 (5) S. 562 gezeigt wurde (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 247).

$ 153. Quecksilberthermometer, Siedethermometer.

Temperaturbestiimnungen kommen bei der barometrischen Höhenmessung teils unmittelbar, teils mittelbar so zahlreich vor und sind dabei so -wichtig, daß es nötig ist, zuerst das hierzu gebrauchte Instrument, nämlich das Quecksilberthermometer, kennen zu lernen.

Es sind drei verschiedene Thermometerteilungen im Gebrauche, nach Celsius, Réaumur und Fahrenheit; ihre gegenseitigen Beziehungen zeigen die Tabellen von Seite [18] des Anhangs. (Internationale meteor. Tafeln, Kap. III, „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 247.)

Die gewöhnlichen, dem Handel entnommenen Thermometer pflegen etwa innerhalb 0,5°—1° richtig zu sein, und die Nullpunkte kann man jederzeit selbst untersuchen durch Eintauchen der Thermometer in schmelzendes Eis; die genauere Untersuchung dagegen, für die von 0° entfernten Striche der Teilung, ist eine schwierige Sache, welche der einzelne gewöhnlich nicht selbst ausführen kann.

Wir wollen daher vorausschicken, daß für die gewöhnlichen Zwecke barometrischer Höhenmessung, z. B. Aneroidaufnahmen für Eisenbahnvorarbeiten oder Topographie, die ganz gewöhnlichen, dem Handel entnommenen Thermometer, etwa für 0° im Eise geprüft, genügen.

Zu etwa nötiger genauerer Untersuchung der rohen Gebrauchsthermometer verschafft man sich ein oder zwei feine Normalthermometer (R. Fueß, vormals Greiner u. Geißler, Steglitz bei Berlin) mit Beglaubigung der K. Normaleichungskommission oder der II. Abteilung der Physikaliseh-technischen Reichsanstalt. Mit einem solchen Normalthermometer werden die Gebrauchsthermometer in Wasser verglichen und die Fehler der letzteren in Rechnung gebracht.

Über die Fixpunkte des Thermometers, Änderungen der Thermometerangaben entnehmen wir aus Kohlrausch, „Leitfaden der Physik, 8. Aufl. 1896“ S. 100 folgendes (nach „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 712—713):

Wissenschaftlich definiert man die Temperatur nach der Ausdehnung eines vollkommenen Gases (Wasserstoff), indem man gleichen Volum- (oder Druck-) Zuwachsen des Gases gleiche Temperaturzuwachse zur Seite stellt. Das Quecksilberthermometer hält nicht ganz gleichen Schritt mit dem

Luftthermometer, weil Quecksilber und Glas sich nicht gleichmäßig ausdehnen. Die Physikaliseh-teehnische Reichsanstalt eicht Thermometer nach dem Luftthermometer, mit Rücksicht auf die Depression des Nullpunktes. Es besteht nämlich nach der Fabrikation der Thermometer wegen der langsamen Zusammenziehung des geblasenen Glases zunächst ein allmähliches Aufrücken der Fixpunkte 0° und 100° um nahe gleichviel. Das Aufrücken dauert mit veränderter Geschwindigkeit unter Umständen jahrelang fort und kann mehr als 1° betragen. Durch langes Erwärmen, etwa auf Siedetemperatur, kann man den Prozeß beschleunigen. Dabei besteht eine Depression der Einstellungen nach Erwärmungen. Da die Ausdehnung des Glases nach jeder Erwärmung des Thermometers eine Nachwirkung hat, welche erst mit der Zeit verschwindet, so läßt jede Erwärmung eine Erweiterung des Gefäßes (Nachwirkungsdilatation) und dadurch einen tieferen Stand des Quecksilbers, eine nach der Glassorte und der Größe und Dauer der Erwärmung verschiedene „Depression des Nullpunktes“ zurück. Derselbe verliert sich anfangs rascher, später langsamer mit der Zeit, und kann nach längerer stärkerer Erwärmung nach Wochen noch merkbar sein.

Wird nach inständigem Verweilen in siedendem Wasser das Thermometer in Eis gebracht, so nimmt es bald vorübergehend seinen tiefsten Stand, den „für 100° maximal deprimierten Nullpunkt“ an, welcher das Thermometer ebenso bestimmt charakterisiert, wie der nach langem Verweilen im Eise entstehende Eispunkt; und da der letztere bei Thermometern, welche beträchtlich erwärmt worden waren, lange Zeit zur Beobachtung beansprucht, so kann die Beobachtung des maximal deprimierten Eispunktes vorzuziehen sein. (Näheres Thiesen, Scheel, Seil, „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1896“ S. 58.) Hierzu gehören: Weinstein, „Metronomische Beiträge Nr. 3, 1881“; Wiebe, Böttcher, „Zeitschr. f. Instr. 1888“ S. 373 und 409, 1889 S. 322, 476, 1890 S. 207, 1892 S. 27, 1894 S. 141, 1895 S. 2, 41, 81 und 117, „Mein, du bureau internat, des poids et mesures 1893“ S. 165, „Abhandl. d. Phys.-techn. Reichsanstalt“, Band 1, „Physikalisch-chemische Tabellen von Landolt und Börnstein, 3. Aufl., Berlin 1905“ S. 192 u. ff. Das Grundwerk hierzu ist: „Phys.-techn. Reichsanstalt, Wissensch. Abhandlungen, Band I, 1894“, Thermometrische Arbeiten von Pernet, Jäger, Gumlich. Siehe auch „Zeitschr. f. Instr. 1901“ S. 281—298. Schößer, Thermometrische Untersuchungen.

Siedetliermometer.

Aus der Siedetemperatur des Wassers kann auf den Luftdruck geschlossen werden.

Ein Zehntelgrad Differenz der Siedetemperatur entspricht bereits etwa 2,7 mm Barometerangabe, und man muß also die Temperatur auf ein Hundertstelgrad genau haben, um 0,8mm Barometerstand versichern zu können; das ist nur mit besonderen, zu diesem Zweck konstruierten Thermometern und Siedeapparaten möglich.

Zahlenwerte der Luftdrücke für verschiedene Siedetemperaturen haben wir auf S. [21] des Anhangs zusammengestellt, und zwar nach dem Werke: „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures, Tome I. Paris 1881“ Seite A 43—48. Vgl. auch Phys.-chem. Tabellen von Landolt u. Bömstein, 3. Aufl. 1905, S. 123 u. ff. Die neuesten und für den Gebrauch besten Tafeln sind: Wiebe, Tafeln über die Spannkraft des Wasserdampfes zwischen 76—101,5°. Braunschweig 1894.

Aus den Angaben über die genauen Bestimmungen der Thernionieternormal-punkte 0° und 100°, welche wir schon im vorhergehenden vorgeführt haben, sieht man, daß das Siedethermometer keine unabhängigen Bestimmungen des Luftdrucks gibt, denn seine Teilung ist selbst von dem Luftdruck abhängig.

Das Siedethermometer spielt also als Barometer dieselbe Bolle wie das Federbarometer; beides sind Instrumente, welche auf rein empirischem Wege nach einem Quecksilberbarometer geteilt sind. Diese beiden Instrumente sind auch insofern unter sich verwandt, als ihre Angaben der Schwerereduktion nach § 152 nicht bedürfen, welche dem Quecksilberbarometer zukommt. Es ist daher neuerdings auch die Vergleichung der Siedethermometerangaben mit denen von Quecksilberbarometern zur Bestimmung der Schwerkraft benutzt worden, wobei wegen der für diesen Zweck erforderlichen hohen Genauigkeit das Beobachtungsverfahren verfeinert worden ist. Vgl. die am Schluß dieses Paragraphen angegebene Literatur.

Das Siedethermometer hat insofern praktische Bedeutung für das barometrische Höhenmessen auf Beisen, als man annehmen kann, daß seine Angaben mehr konstant seien als die des Federbarometers, und wenn das Siedethermometer auch nicht ein ebenso sicheres Vergleichsnormal ist, wie das Quecksilberbarometer, so hat es doch vor letzterem den Vorteil viel leichterer Verpackung und Transports auf Reisen

voraus.

Fig. 1. Maßstab etwa 1 : 5 (Höhe A A = 28 cm).

i¹

!«

Wir haben im Jahre 1889 einen Siedeapparat von R. Fueß in Berlin mit zwei von der Physikalisch-technischen Reichsanstalt geprüften Thermometern von Jenaer Glas angeschafft, welche in nebenstehender Fig. 1 dargestellt sind.

MW J)

■îiPkiiÉ^

Thermo- A

fi 5

fi

[B

i"

il¹

Dieselbe zeigt den Apparat F FBI) zum Gebrauche hergerichtet, mit eingestecktem meter T, welches rechts nochmals besonders herausgezeichnet ist; ferner links den Zylinder A AI), welcher zur Reise alle Teile aufnimmt, und dann noch das Vorratsgefäß Gr für Wasser und Alkohol.

ai

“1

11

Beim Gebrauche steht das Gefäß E auf drei gespreizten Beinen F, und hat Ą unten eine Spirituslampe C angehängt. Der Deckel B, welcher auf E aufsitzt, läßt den Dampfmantel I) mit unten befestigtem Wassergefäße ins Innere des Gefäßes E hineinragen (das Wassergefäß im Innern von E ist in der Figur nicht sichtbar), und in der Mantelrohre D hängt das Thermometer T, dessen Quecksilberstand oben abgelesen Avird, Avenn das Wasser zum Kochen gebracht ist.

Die Tiefe des Thermometereinsinkens in die Mantelrohre I) ist für das Thermometer T durch einen Gummiring I! bestimmt, und zwar soll das Thermometer so tief eingesteckt Averden, daß über dem Gummiring R nur gerade so viel Raum bleibt (etAva 0,5 cm), als man zum Ablesen braucht ; andernfalls müßte eine Korrektion für Fadentemperatur angebracht Averden („Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1890“ S. 153 und 342, und Landolt und Börnstein „Phys.-chem. Tabellen, 3. Aufl. 1905“ S. 195).

Für die Reise kann alles zusammen in dem Zylinder A A untergebracht werden. (Näheres hierzu s. „Zeitschr. f. Venu. 1892“ S. 30—31.) EmpfehlenSAvert ist ein Schutzkasten beim Gebrauch im Freien.

Mit diesem Apparate haben wir an 16 Tagen zwischen 6. Januar und 19. Mai 1890 Vergleichungen mit zwei Quecksilberbarometern (Fig. 1 u. 6 S. 627/28) angestellt.

Die dabei erhaltenen Ergebnisse haben wir schon früher in der „Zeitsehr, für Instrumentenkunde 1890“ S. 841—347 veröffentlicht, und dabei das für uns überraschende Resultat gefunden, daß die Siedethermometer-Beobachtungen genauere Luftdrucksbestimmungen gaben als gewöhnliche Quecksilberbarometer mit Röhren von 6 mm Weite. Dabei ist zunächst nur von unregelmäßigen Ablesungsfehlern die Rede, welche beim Quecksilberbarometer rund + 0,2 mm und beim Siedethermometer rund + 0,1 mm betrugen. Auch in bezug auf Beständigkeit zeigten jene Versuche innerhalb fünf Monaten so gute Resultate, daß man hiernach solche Apparate zur Mitnahme auf Reisen an Stelle eines Quecksilberbarometers empfehlen kann.

In neuerer Zeit ist der Fueßsche Siedeapparat wesentlich verbessert worden. Für die Siedethermometer wird das in Jena hergestellte Borosilikatglas verwendet, bei dem die Depression des Nullpunktes (vgl. S. 638). belanglos ist, und bei dem auch das Aufrücken des Nullpunktes, zumal wenn das Verfahren der künstlichen Alterung an-gewendet wird, nicht zu befürchten ist. Die Skala der neueren Thermometer ist meistens nicht nach Zehntelgraden, sondern nach Doppelmillimetern des Luftdrucks eingeteilt, so daß der Luftdruck durch Schätzung bis auf 0,2 mm abgelesen werden kann. Beim Gebrauch des Thermometers macht man die Erfahrung, daß geringe Quecksilbermengen überdestillieren und sich im oberen Teil der Röhre niederschlagen ; man muß deshalb nach dem Gebrauch das Thermometer umwenden und die ganze Röhre mit Quecksilber füllen. Es zeigt sich auch mitunter, wahrscheinlich infolge der Reibung, ein Ivleben des Quecksilbers an der Glasröhre, das durch leichtes Erschüttern des Thermometers während des Siedens aufgehoben werden muß.

aus

Auch der Siedeapparat selbst hat mancherlei Verbesserungen erfahren. Die Röhre I) wird von einem zweiten Mantel umgeben, in den der Wasserdampf eindringt, nachdem er die innere Röhre durchströmt hat; hierdurch wird in der letzteren eine konstante Temperatur erzielt. Auch ist der Durchmesser der Dampfröhre so groß, daß eine Vergrößerung des Dampfdrucks durch Reibung nicht eintreten kann. Damit beim Sieden das Spritzwasser die Thermometerkugel nicht erreichen kann, wird das Wassergefäß durch ein Drahtgitter oben abgeschlossen. Das ganze Dampfrohr besteht zwei Teilen, die für die Verpackung bequem ineinandergeschoben werden können. Beim Gebrauch im Freien wird der Siedeapparat in einen mit Blech ausgeschlagenen Kasten gestellt, der die Flamme gegen Wind schützt. Es hat sich gezeigt, daß bei übermäßig großer Flamme das Thermometer zu hoch steigt, man darf deshalb, namentlich bei geschlossenem Kasten, die Hitze nicht zu groß werden lassen, und muß nötigenfalls den Spiritus ein wrenig verdünnen.

Zur Vergleichung zitieren wir: Versuche von Kunze in Tharand, in den „Verhandlungen der Gesellschaft für Erdkunde zu Berlin 1882“ Nr. 9; ferner über Siedethermometer von Wiebe, „Zeitschrift f. Instrumentenkunde 1888“ S. 362-364 und Vergleiche von Queeksilberbarometem und Siede-thermometern von Hartl, Oberstleutnant, „Mitteilungen des k. und k. Militär-geographischen Institutes, Band XII“, Wien 1892. Boßhard, Anwendung des Thermometers zu Höhenmessungen, „Zeitschr. f. Instr. 1894“ S. 372. Grützmacher, Untersuchungen und Verbesserungen Fueßscher Siedeapparate zum Höhenmessen, „Zeitschr. f. Instr. 1897“ S. 193—201. Mohn, Das Hypsometer als Luftdruckmesser und seine Anwendung zur Bestimmung der Schwerekorrektion. Christiania 1899. Hecker, Untersuchung der Konstanz von Siedethermometern, „Zeitschr. f. Instr. 1901“ S. 133—138. Ferner: Bericht über die Tätigkeit des Zentralbureaus der internationalen Erdmessung im Jahre 1901. Berlin 1902 S. 15—26, sowie Veröffentlichung des Kgl. Preuß. Geodät. Instituts, Berlin 1903, Bestim

mung der Schwerkraft auf dem Atlantischen Ozean zwischen Hamburg—Lissabon und Rio de Janeiro durch Dr. Hecker.

Über die Konstanz von Siedethermometern berichtet E. Kohlschütter in „Ergebnisse der Ostafrikanischen Pendelexpedition“ (Abh. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Kl. N. F. Bd. V Kr. 1 S. 37), wonach für drei Thermometer sich die von der Phys.-techn. Reichsanstalt bestimmten Korrektionen in 31/2 Jahren im Maximum um 0,2 mm änderten.

§ 154. Federbarometer.

Solange man kein anderes Mittel zur Luftdruckbestimmung hatte, als das für den Feldgebrauelr unbequeme Quecksilberbarometer, blieb die barometrische Höhen-messung auf einen mäßigen Kreis der Anwendung von seiten der Geographen beschränkt.

Im Jahre 1847 wurde ein erstes Instrument von Lucien Yidie (geb. 1805 in Nantes, gest. 1866 in Paris) konstruiert, welches den Luftdruck nicht durch die Schwere einer Quecksilbersäule, sondern durch die Federkraft einer metallenen luftleeren Büchse maß.

Das Instrument wurde von dem Erfinder „baromètre anéroïde“ genannt. (Comptes rendus XXIV (1847) S. 975 und Poggendorffs „Annalen der Physik“, 73. Band (1848) S. 620. Das Wort Aneroid ist abgeleitet aus a privativum und vyçûç = naß oder flüssig, es bedeutet ein Barometer, das keine Flüssigkeit [Quecksilber] enthält.) Bald darauf konstruierte Bourdon ein Federbarometer, dessen Gefäß die Gestalt einer Mondsichel hat, wobei die Veränderungen des Abstandes der Spitzen durch Hebelübersetzung gemessen werden. Die ursprüngliche Vidiesche Konstruktion ist von Naudet und Hulot in Paris verbessert worden, deren Instrumente weite Verbreitung gefunden haben. Auch englische Firmen, Casella u. a., versandten ähnliche Instrumente. In Deutschland werden von Bohne in Berlin, Deutschbein in Hamburg, Dennert und Pape in Altona, Lufft in Stuttgart Federbarometer hergestellt. Nach Hellmann, „Meteorologische Zeitschrift 1891 S. 158, 159, Leibniz und das Aneroidbarometer“ sei zitiert , daß schon Leibniz in einem Brief aus Hannover vom 3. Februar 1702 den Grundgedanken des Aneroidbarometers ausgesprochen hat.

Seit der Erfindung dieser Instrumente ist die barometrische Höhenmessung un-gemein erleichtert worden, und hat sich damit in weitesten Kreisen der Techniker und der Geographen eingebürgert.

Der Hauptteil jedes Federbarometers ist eine aus federnden kreisförmigen Metallplatten konstruierte flache, nahezu luftleer gepumpte und luftdicht verschlossene Büchse, welche bei zunehmendem äußerem Luftdruck zusammengedrückt und bei abnehmendem Luftdruck auseinandergezogen wird, welche also in ihren wenn auch kleinen elastischen Biegungen ein Maß des Luftdrucks abgibt.

Die Bewegung der Platten beträgt nur etwa 1/2—1mm für eine Luftdrucksänderung von 100 -mm; um also einen Luftdruck auf 0,1mm genau zu bestimmen, muß man die Büchsenänderung auf 0,0005 mm genau messen.

Nach der Anordnung der dazu erforderlichen Ablesevorrichtung unterscheidet man verschiedene Konstruktionen der Federbarometer mit Yidiesclier Büchse und zwar : I. mechanische Vergrößerung der Büchsenbewegung durch ein Hebel werk (Fig. 1 S. 642 und Fig. 2 S. 644); II. mikrometrische Messung der Büchsenbewegung durch eine Mikrcmeterschraube (Fig. 3 S. 645) ; III. Ablesung mittels optischer Vergrößerung (Fig. 4 S. 645).

Luftleer oder wenigstens nahezu luftleer muß die Büchse deswegen sein, weil sonst die innere Luft durch Temperaturänderung bedeutende Druckänderungen erzeugen würde, neben denen die eigentlichen Luftdrucksänderungen nicht mehr richtig dargestellt und unter Umständen ganz verdunkelt würden.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Da die Büchse luftleer ist, muß sie den ganzen bedeutenden äußeren Atmosphärendruck aushalten (bei den üblichen Dosengrößen von 5—8 cm Durchmesser auf jeder Bodenfläche also rund 20—50 4g.), welcher eine schwache dünnwandige Büchse nach dem Auspumpen sofort zusammendrücken würde. Deswegen haben die Feder-baronieter als wesentlichen Konstruktionsteil eine starke Feder, welche, dem äußeren Luftdruck das Gleichgewicht haltend, jede Gefahr des Zusammendrückens wieder aufhebt.

Nach dieser allgemeinen Einleitung können wir zur Beschreibung einzelner Konstruktionen übergehen.

Federbarometer nach Vielte, von Fandet oder Bolme.

Die am meisten gebräuchliche Konstruktion von Federbarometern ist noch immer im wesentlichen die ursprüngliche Vidiesche, welche in Fig. 1 dargestellt ist.

Fig. 1. (Va natürliche Größe.)

.......................................... ..............

Jlilllün a G

Zunächst entspricht diese Figur einem Pariser Instrument von Naudet, W kann aber ebenso auch, in der « Hauptsache, die neueren deutschen f    (kompensierten) Instrumente von

j'f’i

Bohne in Berlin u. a. veranschaulichen.

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Der Hauptteil ist die elastische, luftleer gemachte und luftdicht verschlossene Büchse A von wellenförmigem Querschnitt, deren Wirkung schon in der vorhergehenden Einleitung beschrieben ist, und L ist die starke, dem äußeren Luftdruck das Gleichgewicht haltende Spannfeder, deren Bedeutung auch schon im vorhergehenden beschrieben ist.

Mi

Die untere Wand der Büchse A ist mit dem Boden B der Gesamtumhüllung verbunden, es wird daher die obere Wand der Büchse A und die damit verbundene Säule C bei Veränderung des äußeren Luftdruckes eine schwache auf- und niedergehende Bewegung zeigen, deren Messung es sich handelt.

um

mit doppelten Platten angewendet,

von Instrumenten von Naudet und

Bei den neueren Instrumenten ist eine Dose rvie Fig. 2 u. 3 S. 644 u. 645 zeigen. Die beiden Wellblechplatten sind hierbei auf einen kräftigen Ring aufgelötet. Für eine Anzahl Bolme fand sich eine Büchsenbewegung von durchschnittlich 0,005 mm auf 1 mm Baro-

meterstandänderung.

Diese kleine, bei C Fig. 1 sich zeigende BüchsenbeAvegung ist nun durch Hebelübersetzung zu vergrößern, und dazu dienen die Hebel CD, DE, EF, F Cr.

Die Vergrößerung der Bewegung wird in der Hebelübersetzung mit dem Drehpunkt F zunächst bewirkt durch die Kleinheit des unteren horizontalen Armes E F im Vergleich mit dem etwa fünfmal größeren vertikalen Arme FG-, diese Vergrößerung genügt aber noch nicht, weshalb eine noch viel stärkere Übersetzung kommt mit der Kette GH, welche von G aus sich um die Achse H windet ; und da diese Achse H nur einen geringen Durchmesser hat, so wird eine kleine ziehende Bewegung von G bereits eine erhebliche Drehung der Achse H und des darauf steckenden Zeigers HJ zur Folge haben. Die Kette GII kann nur eine ziehende Kraft ausiiben, es scheint also nach dem Bisherigen, daß der Apparat nur wirken kann, wenn G in Fig. 1 sich nach rechts bewegt. Um aber auch die umgekehrte Bewegung wirksam zu machen, sorgt eine um die Achse H sich windende Spiralfeder N dafür, daß die Kette GH immer gespannt bleibt, so daß auch eine Bewegung des Hebels F G oben bei G nach links sieh in einer Drehung der Achse H und einem Ausschlag des darauf befestigten Zeigers J äußern muß.

Daß dann ein Zifferblatt vorhanden ist, auf dem der Zeiger J auf den Strichen 760, 750 ... . Ablesung gibt, ist eine äußerliche, in Fig. 1 S. 642 nicht mehr dargestellte Sache.

•mm Barometerstand, bei größeren Instrumenten (8 cm Durchmesser

mm Skalenwert für 1 mm Barometer-

Auf diese Weise wird die Eigenbewegung der Büchse, durchschnittlich etwa 0,005 m-m für 1

der Büchse) in einer Kreisteilung von etwa 2 stand, ablesbar, so daß die Gesamtvergrößerung durch den Mechanismus rund eine 400 fache ist.

Es sind nur noch einige Hilfsvorriclitungen zu beachten: Zur Verhinderung eines toten Ganges dient zuerst die schon erwähnte Spiralfeder N, dann die Hauptspannfeder L, durch welche die Säule C nebst dem Hebelarm CI) immer in die Höhe gedrückt wird, mag der Luftdruck zunehmen oder abnehmen. Gegen toten Gang wirkt auch das Kugelgewicht M (rechts unten), jedoch nur dann, wenn das Instrument horizontal (Zifferblatt oben) gehalten wird, weshalb diese Stellung bei der Beobachtung einzuhalten ist. Vor der Ablesung muß zur Überwindung etwaiger Widerstände das Instrument durch Klopfen mit der Fingerspitze leise erschüttert werden.

Zur Berichtigung und Stimmung des Instrumentes sind zwrei Vorrichtungen vorhanden : Bei E (rechts unten) kleine Richteschrauben, durch welche der Hebelarm E F verändert, also das Maß der Hebelübersetzungsvergrößerung ein wenig gestimmt werden kann. Bei P kann mittels einer Schraube die Pressung der Spannfeder L gegen die Säule C verändert werden, und es ergibt sich daraus eine Einstellung des Zeigers J auf der Skale K, unabhängig von dem äußeren Luftdruck.

Zur Bestimmung der inneren Temperatur des Instruments ist ein Thermometer mit dem Zifferblatt verbunden, welches jedoch, ebenso wie das Zifferblatt selbst, in unserer Zeichnung nicht dargestellt ist. Bei jeder Ablesung wird zuerst die innere Temperatur bestimmt. Zum Schutz gegen rasche Temperaturwechsel sind die Instrumente in Kästen mit Tuch- oder Filzeinlagen aufgehoben, in denen sie beim Gebrauch stets bleiben müssen.

Das Federbarometer von Bohne in Berlin (Prinzenstraße 90) hat, äußerlich betrachtet, die im vorstehenden beschriebene Anordnung (jedoch ist eine beiderseits federnde Dosenplatte vorhanden); es hat aber eine besondere Vorrichtung zur Kompen-sierung des Temperatureinflusses („Bericht über die wissenschaftlichen Instrumente

auf der Berliner Gewerbeausstellung im Jahr 1879, herausgegeben von Löwenherz, Berlin 1880“ S. 122), indem der mit der Plattenfeder L auf- und niedergehende horizontale Hebelarm HD sich aus zwei verschiedenen Metallteilen zusammensetzt, von denen der stärker sich ausdehnende der untere ist. Mit dem Steigen der Temperatur wird dieser Hebelarm sich nach oben krümmen, und so dem Steigen des Barometers entgegenwirken (vgl. den nachfolgenden § 155).

Aneroidbarometer von Dennert und Pape in Altona.

Dieses Instrument hat einen anderen Übertragungsmechanismus. Nach „Zeitschr. f. Yerm. 1892“ S. 288 ist die Konstruktion die folgende. Die Büchsenbewegung wirkt unmittelbar auf den Zapfen b (Fig. 2 und 2 a) und wird von da zunächst 4fach

Fig. 2 a.

Fig 2.

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1\

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-c

nach der Spitze h (Fig. 2 a) übertragen, indem c-n-h ein Hebel mit dem Stützpunkte n ist, wobei der kleinere Hebelarm cn= 1/4 des größeren Hebelarmes nli ist.

Um nun die lineare Spitzenbewegung von h (Fig. 2 a) in eine drehende Zeigerbewegung zu übertragen, greift die Spitze h mit Federdruck fg in eine spiralförmige Nut i der Zeigerspindel k ein, und bringt damit den Zeiger l zum Drehen.

Fühl federbarometer von Göldschmid.

Den Gedanken, die Bewegung der Büchse mit einer Mikrometerschraube zu messen, hat Mechaniker Göldschmid in Zürich zuerst angewendet und seit 1857 in verschiedenen Gestaltungen zur Ausführung gebracht (Nachfolger Hottinger in Zürich, danach jetzt Usteri-Reinacher in Zürich).

Fig. 8 zeigt die Anordnung nach einem Instrument (als Nivellierbarometer bezeichnet) der hannoverschen geodätischen Sammlung. A ist die federnde Büchse, welche im Gehäuse B angebracht ist; C die auf der Büchse stehende, sich mit ihr bewegende Säule, an der unter einem Querbolzen q die kräftige Spannfeder L angreift.

Am Ende derselben sitzt bei D auf einem Lager ein Achatplättclien ; auf diesem rubt die Schneide eines um die Spitzenachse E drehbaren einarmigen Hebels E F mit dem Köpfchen K. Durch diese Anordnung erscheint die Büchsenbewegung schon entsprechend vergrößert am    «

Köpfchen K, an dessen Indexstrich    j!

in dem Maßstab M die Bewegung 1 schon grob in Zehnermillimetern abgelesen werden kann. Für die feine Ausmessung mittels der Mikrometerschraube H ist auf dem Hebel E F B I bei P noch ein Federchen G, die ! =

Fühlfeder, mit dem Köpfchen K' befestigt. Auf diese Fühlfeder wirkt im Plättchen J die Spitze der Mikro-meterschraube H, und durch das Zusammentreffen der Indexstriche auf den Köpfchen K und K' wird genau angegeben, wie Aveit die Mikrometerschraube zu drehen ist. Das Thermometer liegt rechts vom Maßstab M.

Fig. 4.    ('l₂ natürliche Größe.)

Fig. 3.    ('/₂ natürliche Größe.)

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Der Gebrauch des Instrumentes ist demnach der folgende. Die Schraube Avird so weit herabgedreht, daß sie die beim Drehen leicht schwingende Fühlfeder faßt und diese sichtbar abwärts drückt. Dann klopft man IlSSlsÉI

Beseitigung etwaiger Widerstände im Mechanismus leise mit der Fingerspitze auf

zur

den Deckel und schraubt darauf vorsichtig weiter, bis genaues Zusammentreffen der Zeiger auf den Köpfchen erfolgt. Die Ablesung am Maßstab M gibt sodann die Zelmer-millimeter, die am Zeiger 0 an der Trommel T die Millimeter; ein Teilwert der Trommel ist l/₁₀mm, die an der Trommel sichtbaren Zahlen 2, 3 bedeuten ganze Millimeter. Nach der Ablesung wird die Schraube so weit zurückgeschraubt, daß die Feder frei schwingt. Zur scharfen Beobachtung des Zusammentreffens der Zeiger auf den Köpfchen dient eine Lupe.

Weiteres über die Goldschmidschen Instrumente geben zwei Schriften von Koppe : „Die Aneroidbarometer von Jakob Goldschmid, Zürich 1877“ und „Über die verbesserten Goldschmidschen Anęroide von Hottinger & Comp., Separatabdruck aus der Zeitschrift ,Eisenbahn¹ Nr. 16 und 17, Band XVI, 1883“ (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1878“ S. 38). Ein Mikroskopaneroid von Goldschmld-Weilemann war in unserer 2. Aufl. 1877 S. 466 abgebildet und beschrieben.

Mikroskopisches Federbarometer von Beitz-Deutschbein.

Dieses Instrument, mit stark vergrößernder mikroskopischer Ablesung und nur unwesentlicher Hebelübersetzung (Fig. 4 S. 645), ist erstmals in „Zeitschr. f. Term. 1873“ S. 363—373 vom Erfinder Reitz und von uns beschrieben und untersucht worden. Zweite Behandlung von Hammer in „Zeitschr. f. Yerm. 1887“ S. 20—25.

Die vertikale Büchsenbewegung hei C wird durch den Hebelarm J> N unter Mitwirkung einer unter G angebrachten Spiralfeder aufgenommen und nach NF übertragen, wo sich eine photographisch sehr fein auf Glas übertragene Teilung befindet, welche durch das stark vergrößernde Mikroskop // //' abgelesen wird, ähnlich wie die Teilung einer Nivellierlatte. Für die Einzelheiten muß auf die vorstehend zitierten Beschreibungen verwiesen werden.

§ 155. Reduktionsformeln für Federbarometer.

Nach der im vorigen § 154 besprochenen Konstruktion der Federbarometer kann man im allgemeinen nicht erwarten, daß ein Federbarometer, wenn es auch nach Millimetern 760, 750 usw. beziffert ist, genau den Luftdruck anzeige, welchen ein richtiges Quecksilberbarometer an gleicher Stelle zeigen würde.

Zunächst ist es die Temperatur, welche in erster Linie die Elastizität des Federsystems beeinflußt, und sodann die thermischen Ausdehnungen des Büchsenkörpers und der übrigen Teile des Mechanismus veranlaßt. Ferner ist die Beziehung, welche zwischen der dem Luftdruck folgenden Büchsenbewegung und der Millimeter des Quecksilberbarometerstandes ausdrückenden Ableseskala hergestellt ist, nach Ausgangspunkt und Teilungseinheit der gerade vorliegenden Instrumentanordnung vom Mechaniker angepaßt worden.    >

Die unmittelbare Ablesung F eines Federbarometers wird also im allgemeinen nur genähert gleich dem Werte Q(j sein, welchen ein Quecksilberbarometer nach Anbringung aller Reduktionen (§ 151 und § 152) liefert. Wir -wollen vorerst annehmen, die Beziehung zwischen Q₍₎ und F lasse sich durch eine Gleichung von folgender Form darstellen :

Hierbei nennen wir nun : x die Standkorrektion,

y t die Temperaturkorrektion, und y den Temperaturkoeffizienten, z (760 — F) die Teilungskorrektion, und z den Teilungskoeffizienten.

Die Gleichung (1) reicht in den meisten Fällen aus, ja man kann bei den neueren Instrumenten für rohere ZAvecke (touristische Höhenmessungen) die Temperaturkorrektion und die Teilungskorrektion vernachlässigen, denn bei den tunlichst kompensierten Instrumenten ist y nur etwa = 0,05, d. h. y t bringt nur etwa 0,05 mnv auf 1° oder 0,5 mm auf 10°, und die Teilungen neuerer guter Instrumente pflegen auf etwa 1 °/₀ sicher zu sein, d. h. sie haben z nur etwa = 0,01. Allein im allgemeinen kann man bei Instrumenten, die man nicht, kennt, durchaus nicht erwarten, daß die Korrektionen so klein sind. Die Temperaturkorrektion bringt oft 0,2-mm für 1°, und die Teilungen finden sich wohl bis 5% und mehr fehlerhaft. (Es sei z. B. erwähnt, daß für ein im übrigen tadelloses Instrument der Teilungskoeffizient zu 0,3 gefunden wurde.)

Man kann auch nicht von vornherein annehmen, daß bei weiten Intervallen eine lineare Gleichung (1) ausreiche; bei genaueren Untersuchungen wird man wohl noch weitere Glieder hinzunehmen müssen, etwa so :

Q₀= F -+ x + y t + z (760 — F) y' t (760 — F)-h z' (760 — F)* -h y" 12 + ... (2)

Hier bedeutet y' t (760 — F) den mit dem Barometerstand selbst veränderlichen Teil der Temperaturkorrektion, und das quadratische Glied z’ (760 — F’)² ist hier eine Teilungskorrektion zweiter Ordnung usw.

Solche weitere Glieder der Überlegung im einzelnen Fall überlassend, betrachten wir nochmals die einfache Gleichung (1), an welche noch einige Nebenbemerkungen zu knüpfen sind. Zunächst kann man die Gleichung (1) geradezu nach F auflösen:

t — 760 —— . 1 — z    1 — z

1-z

Dieses kann man aber besser in folgende Form bringen:

(3)

Y^VW-Qo)-

Wenn z klein ist, so kann man den Nenner 1—z — 1 setzen, und dann erscheint (3) als Näherungsauflösung von (1), indem nur im letzten Gliede 760 — Qq statt 760

F gesetzt ist.

Wenn man umgekehrt eine Gleichung dieser letzteren Form (3) zugrunde legt: F — Qo = x' ■+" V' t ■+■ z' (760 — Qq) so kann man dieselbe nach auflösen, und man erhält wieder eine Gleichung von der Form (1) :

(4)

Qo — F =

x'

y'

z’

(760 — F).

(5)

1 — z' 1—z'    1—z'

Bisher haben wir einen Normalstand von 760-mm angenommen, das ist aber natürlich nicht wesentlich; will man z. B. statt 760 den Stand 700 einführen, so kann man (1) so schreiben:

Q₀ — F = (x + 60 z) 4- y t + £ (700 — F) oder Qq - F = {x + 60 z) + y t — (F— 700) usw.

Durch die Änderung des Normalstandes von 760 auf 700 ist in der Gleichung (6) auch die Standkorrektion von x auf x -+- 60 z übergegangen.

Wir wollen auch in einer quadratischen Funktion den Normalstand ändern. Man habe zunächst:

(7)

$₀= Fy t + z (760 — F) + u (760 — Ff-.

Wenn man hier einen anderen Normalstand als 760, etwa 700, einführen will, so setzt man in den zwei letzten Gliedern 760 = 700 + 60, und erhält damit:

Q₀ = F + (x -+- 60 z 4- 602 u) + yt + (z+ 120 u) (700 — F) + u (700 - Ff ... (8)

Hier wird also nicht nur die Standkorrektion, sondern auch der Teilungskoeffizient durch Veränderung des Normalstandes geändert.

Dieses führt dazu, die oben bei (1) gegebenen Erklärungen, Standkorrektion, Temperaturkorrektion und Teilungskorrektion genauer so zu fassen, daß diese Größen, wenn man eine allgemeine Funktion (2) zugrunde legt, nur durch gleichzeitige Angabe eines Normalstandes scharf bestimmt sind.

Wir rechnen im allgemeinen mit dem Normalstand 760; indesseii ist es manchmal auch zu empfehlen, einen Mittelstand als Normalstand zu nehmen. Wenn man z. B. eine Formel mit einer Teilungskorrektion zweiter Ordnung bestimmen will, so ist es bei der Ausgleichung bequem, den Normalstand möglichst gleich dem Mittel aller in Betracht kommenden Stände zu machen.

Die Grundlagen zur Aufstellung einer Beduktionsformel zwischen Q₀ und F wird man immer durch mehrfache Vergleichung eines Federbarometers mit einem Quecksilberbarometer bekommen; und hat man eine Reihe solcher Vergleichungen bei möglichst verschiedenen Temperaturen und möglichst verschiedenen Luftdrücken, so kann man aus einer solchen Reihe alle Koeffizienten x, y, z usw. einer Reduktionsformel gemeinsam nach der M. d. kl. Q. bestimmen.

Indessen solche allgemein für Temperatur und für Luftdruck brauchbaren Vergleichsreihen erhält man selten (hauptsächlich bei besonders hierzu angeordneten Versuchen). Es ist vielmehr der Temperatureinfluß zuerst besonders zu untersuchen durch Abkühlungen bzw. Erwärmungen des Federbarometers bei möglichst unverändertem Barometerstand, und dann die Bestimmung der Teilungsfehler vorzunehmen (bei möglichst unveränderter Temperatur), wozu man im wesentlichen drei Arten von Vergleichungen benützt (§ 157):

1. Ruhevergleichungen, 2. Bergbesteigungen, 3. Luftpumpen versuche.

Statt der rechnerischen Reduktionsbestimmung kann man auch graphische Darstellung und Ausgleichung anwenden. Letztere ist vielfach allein ausreichend, jedenfalls sollte sie aber jeder rechnerischen Behandlung vorausgehen. Wir werden beides im folgenden Beispiele behandeln.

§ 156. Temperaturkorrektion der Federbarometer.

Wir legen die im vorigen § 155 (1) S. 646v angenommene Reduktionsformel

zugrunde :

(1)

Qo = F-\-x + yt + z (760 —- F).

Die Temperaturkorrektion läßt sich am besten im Winter bestimmen; man beobachtet das Instrument im gewöhnlich geheizten Zimmer und liest gleichzeitig ein

Quecksilberbarometer (oder ein anderes Federbarometer) ab, dann legt man das zu untersuchende Instrument in die freie, kalte Luft, und liest nach etwa einer Stunde abermals seinen Stand und gleichzeitig den des Quecksilberbarometers ab; beidemal wird auch der Stand t des innern Thermometers an dem zu untersuchenden Feder-barometer notiert.

Die Gleichung (1) entspreche der ersten Beobachtung, und eine ähnliche Gleichung der akzentuierten Buchstaben entspreche der zweiten Beobachtung, dann hat man :

Q₀ = F -\-x-\-yt -4- z (760 — F)

Q₀’ = F’-h x ■+■ y V + * (760 — F').

Nun wollen wir annehmen, daß die Teilung nahezu richtig, also der Koeffizient z entweder sehr klein oder bekannt sei; und da zugleich F und F' nicht sehr verschieden sind, können die beiden letzten Glieder in (1) und in (2) hinreichend genau einander gleich gesetzt werden; man erhält also durch Subtraktion aus (1) und (2):

Qo — Qo = F — F + V i¹' —f )

(2)

(3)

oder kürzer:

_ (Qo — Q<D ~    — F)

J -    t' — t

ACF —AF y =-At.-

oder y =

AF-AQ₀

At

iO

wobei durch A Q₀ , A F , At gleichartige Differenzen bezeichnet sind.

Eine Reihe solcher Beobachtungen und deren Berechnung zeigt das folgende tabellarisch geordnete kleine Beispiel, in welchem unter Q{) , Q₀' die bereits auf 0° reduzierten Quecksilberbarometerangaben verstanden sind.

Temperaturkorrektion für das Instrument Naudet 39303.

Nr.

Zeit

t'

Qo

F'

AQo . A F 4 F — AQ₀

1877

mm

1.

Jan. 26.    9 h

Jan. 26.    10

20,2°

6,0

mm

746,5    749,6

746,8    747,6

mm

mm

mm

+ 0,3 ; -2,0

— 2,3

— 14,2°

— 0,162

2.

Jan. 26. 3 Jan. 26. 4

19,0

6,0

3.

Jan. 27.    9

Jan. 27.    10

| 20,2

3,0

748,6 j 750,9 ₄ 749,0    749,5

756.2    ;    758,6

757.3    j 757,3

-j- 0,4 I — 1,4

-1,8

— 13,0

— 0,138

+ i-¹

-1,3

-2,4

— 17,2

— 0,140

Summen . . Mittel . . .

+ 1,8 | -4,7 + 0,60 i — 1,57

—    6,5    | — 44,4 j — 0,440

—    2,17    | - 14,80 j — 0,147

0,440

Mittelwert y = — ——

= — 0,147 .

drei hergesezt sind, weil dieses zur

Solche Vergleichungen, deren hier nur Veranschaulichung des Verfahrens genügt, machen wir gewöhnlich für ein Instrument

etwa 5—10, täglich etwa 1—2.

Statt durch Verbindung der Vergleichungen besser, fortlaufende Versuchsreihen bei steigender und sinkender Temperatur anzuordnen, indem man graphisch oder nach der Methode der kleinsten Quadrate ausgleicht. Folgendes ist ein Beispiel mit steigender Temperatur, welches mit einem K audetinstrument der Karlsruher Sammlung durch viertägige Vergleichung erhalten wurde. Die Queck-

zu

je ziveien (warm und kalt) ist es

silberbarometerstände sind sofort auf 0° reduziert, unter der Bezeichnung Q(j eingeführt. Die folgende Tabelle enthält die Beobachtungen Q₀, F und t und die Differenzen F — Q{).

Nr.

Qo

F-Qo\\ Nr.

Qo

F-Qo

mm

mm

mm

mm

mm

mm

H Cd CO ^ IO

758,76    758,25    9,6° —0,51

758.26    758,25    15,4    — 0,01

o* co oi d

T—I

758,08

759,51

758,26

759,28

758,61

+ 0,67

+ 0,49

+ 0,89 + 1,07 + 1,04

Zu einer graphischen Ausgleichung nimmt man die Temperaturen t als Abszissen und die Differenzen F -— Q₀ = 7, oder Q₀ — F — — l, als Ordinaten, und trägt damit die zehn Punkte von Fig. 1 auf.

Fig. 1. Temperaturkorrektion eines Federbarometers.

±1

mm

+ lmm

Js

Cf

-11"

Il

ll ; -2mm

8°

10°    12°    14°    16°    18°    20° 22°    24°    26°    28°

Eine verglichen durchzogene Gerade gibt den Temperaturkoeffizienten durch ihre Neigung gegen die Abszissenachse. Bei £ = 10° hat die Gerade AB eine Ordinate -+-0,5 mm, und bei t — 28° ist die Ordinate —1,4 mm; die Abnahme beträgt also _1,9mm auf 18° Temperatur, und hiernach ist der Temperaturkoeffizient:

1,9

y = -^ = -0,106.

Eine rechnerische Ausgleichung nach der M. d. kl. Q. (welche hier nicht im einzelnen angeführt wird) gab nahezu dasselbe, nämlich y = — 0,103,

mm

und den mittleren Fehler einer Vergleichung = + 0,12 mm.

also im ganzen:

Qo = F + 1,51

- 0,103 t

Die Größe des Temperaturkoeffizienten.

Der Reduktionsvvert für 1° ist bei den meisten Instrumenten (Naudet, Bolme usw.) zwischen — 0,1 mm und — 0,2 mm.

Jelinek gibt in Carls „Kepertorium der Experimentalphysik“ (13. Band, 1877 S. 68—73) die Mitteilung, daß bei 108 Federbarometern, welche an der österreichischen Zentralanstalt für Meteorologie untersucht wurden, folgende Temperaturkoeffizienten y gefunden wurden:

bei 9 Exemplaren y zwischen -J- 0,23 und

0,00

a>

0’190

Die positiven Werte y zeigten sich in der Regel bei kleinen Instrumenten von 7 cm Durchmesser.

Eine ähnliche Zusammenstellung haben wir von Major Hartl in den „Mitteilungen des k. k. Militär-geographischen Instituts“, 1. Jahrgang 1881 (abgedruckt in der „Zeitschr. f. Venn. 1882" S. 458—470). Bei 81 Instrumenten war der Temperaturkoeffizient y zwischen — 0,03 und — 0,24, und darunter bei 58 Instrumenten oder 72 % y zwischen — 0,11 und — 0,17. Den mittleren Fehler einer Jahresbestimmung von y aus 30—40 Vergleichungen gibt Hartl = ± 0,014 mm an. Wiebe fand in „Zeitschr. f. Instr. 1890“ S. 430, daß der Temperaturkoeffizient mit abnehmendem Druck im positiven Sinne wächst. Bestätigt wurde dies weiterhin durch umfangreiche Untersuchungen in der Physikalisch-technischen Reichsanstalt, vgl. Hebe, Über die Prüfung von Aneroiden. „Zeitsehr. f. Instr. 1900“ S. 253—266.

Temperaturkorrektionen zweiter Ordnung.

Die Annahme, daß die Temperaturkorrektion eine lineare Funktion yt sei, ist demnach nur als erste Näherung richtig. Man muß im allgemeinen annehmen, daß in der Eeduktionsformel (2) § 155 S. 647 außer dem Gliede y t noch Glieder von der Form ÿ t (760 — F) oder auch y" ß usw. Vorkommen. Man begnügt sich bei mäßigen Temperaturintervallen indes gewöhnlich mit einer linearen Funktion yt mit Weglassung von y" t-.

Als Beispiele für die Abhängigkeit des Temperaturkoeffizienten vom Barometerstand, d. h. das Glied y t (760 — F), seien die von Hartl im 1. Band des „Militär-geogr. Instituts“ und in der, „Zeitschr. f. Verm. 1882“ S. 467—469 angegebenen erwähnt. Ein Beispiel für Instrument 1222 gibt nachstehende Fig. 2 :

Fig. 2. Temperaturkorrektion als Funktion des Barometerstandes. (Hartl, Instr. Nr. 1222.)

760™L 740

720

700

680

6ß0

640

620

6Ö0

580

560

0'180

'<f

0* 170

2.

0160

0150

0'140

0'130

0120

0110

Die in Fig. 2 eingetragenen Beobachtungen sind die Temperaturkoeffizienten y bei verschiedenen Barometerständen, und der Verlauf der Punktreihe mit ihrer ausgleichenden Geraden zeigt ganz deutlich, daß y nicht konstant, sondern mit dem Barometerstände selbst sehr veränderlich ist, und zwar etwa :

760 mm

720 mm

680 mm

640 mm

— 0,14

Hartl kommt zu dem Schluß : daß es keineswegs genügt, die Federbarometer nur bei den geringen Luftdruckschwankungen an einem und demselben Orte zu beobachten, sondern daß Bestimmungen des Temperaturkoeffizienten bei sehr verschiedenem Luftdruck erforderlich sind, um eine Tabelle mit zwei Eingängen konstruieren zu können.

Bei den vorher erwähnten Untersuchungen von Hebe („Zeitschr. f. Instr. 1900“) hatte sich für 16 nicht kompensierte Instrumente als Faktor für die Veränderlichkeit des Temperaturkoeffizienten mit der Abnahme des Druckes pro Millimeter 0,0004 ergeben ; dem vorstehenden Hartlschen Beispiele würde entsprechen 0,0003. Weiter war in der Reichsanstalt festgestellt worden, daß der Temperatur -

y = - 0,18

— 0,17

— 0,16

koeffizient eine merkliche Abhängigkeit von der Höhe der Temperatur und dem Temperaturintervall erkennen läßt. Einige Erfahrungen über „das Verhalten von Aneroiden bei tiefen Temperaturen“ sind mitgeteilt von Wiebe in der „Zeitschr. f. Instr. 1901“ S. 331—333.

Änderung der Temperaturkorrektion mit der Zeit.

Es ist eine wiederholt gemachte Erfahrung, daß jedenfalls bei neuen Instrumenten sich die Temperaturwirkungen mit der Zeit ändern. Jelinek berichtet in „Carls Repert. 13. Bd. 1877“ S. 68, daß eine Abnahme der Temperaturkorrektion wiederholt beobachtet wurde; z. B. von 27 Instrumenten, welche von Hartl 1873 und 1876 untersucht wurden, zeigten 22 eine Abnahme, 5 eine Zunahme, im Mittel war die Abnahme =0,012 für 2 Jahre; 8 andere von Jelinek aufgeführte Instrumente zeigen von 1869—1875 im Mittel eine Abnahme von 0,05.

Hartl in „Mitteilungen des Militär-geogr. Inst. 1881“ S. 88 (und „Zeitschr. f. Verm. 1882“ S. 463): Eür die eine hinreichend lange Reihe von Jahren verglichenen Eederbarometer kann der Temperaturkoeffizient als eine mit der Zeit nicht veränderliche Größe angesehen werden. Neuere Instrumente werden vielleicht Jahre benötigen, bis ihre Temperaturkoeffizienten konstante Größen geworden sind.

Zur Erage der „kompensierten“ Eederbarometer, zu welcher bereits in § 154 S. 643 eine Bohnesche Konstruktion erwähnt ist, können wir über unser hannoversches Instrument, Bohne Nr. 780, berichten: Im Februar 1886 gab dasselbe den Temperaturkoeffizienten y — — 0,008, also sehr nahe gleich Null. Im Februar 1888 wurden ähnliche Werte (Mittel y = -f- 0,01) gefunden. Auch in neuerer Zeit gab dieses Bohnesche Instrument bei den gewöhnlichen Kälteversuchen einen Temperaturkoeffizienten fast gleich Null. Es ist aber die Aufschrift „kompensiert“ durchaus nicht allgemein eine Gewähr dafür, daß y = Null ist; so haben vielfach nicht kompensierte Instrumente kleinere Koeffizienten y gezeigt als kompensierte.

Wiebe berichtet in „Zeitschr. f. Instr. 1890“ S. 432, daß Böhnes und Shorts Instrumente erhebliche Änderungen des Temperaturkoeffizienten nicht erlitten haben, dagegen Naudet im Mittel in zwei Jahren von y = — 0,07 auf y — — 0,09 übergegangen sind.

Hebe hat ebenfalls („Zeitschr. f. Instr. 1900“ S. 260) nur kaum merkbare Veränderungen feststellen können.

§ 157. Teilungskorrektion der Federbarometer.

Zur Untersuchung der Teilung eines Federbarometers hat man:

I. Fortgesetzte Vergleichungen eines Federbarometers mit einem Quecksilberbarometer bei natürlichen Luftdrücken, wobei beide Instrumente in Euhe bleiben.

II. Vergleichungen bei Bergbesteigungen.

III. Vergleichungen unter der Luftpumpe, oder mit ähnlichen Vorrichtungen zur " Erzeugung künstlicher Luftdrucksverhältnisse.

I. Ruhende Vergleichungen.

Die einfachste Bestimmung der Teilungskorrektion erhält man durch fortgesetzte Vergleichung des Federbarometers mit einem guten Quecksilberbarometer an einem und demselben Ort. Allerdings sind die hierbei erreichbaren Luftdrucksintervalle nur mäßig, doch reicht eine solche Untersuchung für viele Zwecke aus.

Die Schwankungen des Luftdrucks sind in verschiedenen Jahreszeiten sehr verschieden , nämlich im Winter bedeutender als im Sommer. Nach den Stuttgarter Beobachtungen (Schoder, Württemb. naturw. Jahreshefte 1868“ S. 262) sind die mittleren monatlichen Schwankungen nach 12jährigen Beobachtungen folgende:

Febr.

±39i«m    25

April Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez.

26    29mm.

31 an wird also namentlich in den 3Ionaten Dezember, Januar und 3Iärz solche Barometervergleichungen machen.

Jan.

März

5S9

20

18

16

15

14

18

23

Folgendes ist ein Beispiel hierfür mit dem Instrument Naudet 39 305, Karlsruhe 20. Februar bis 14. März 1877, der Übersichtlichkeit wegen auf nur zehn Vergleichungen beschränkt. Die Werte Q₍₎ und Fq sind bereits auf die Temperatur 0° reduziert. Die Tabelle enthält außer den Beobachtungen seihst alles, was zu graphischer oder zu rechnerischer Ausgleichung nötig ist:

Nr.

<?o

+i — Qo

760 - F₀

760 — Fn

IIS

73

mm

mm

762,82    762,03

757,56    756,82

753.95    753,06

751.30    I 750,27

745,66 j 744,70 743,28    742,24

742,26    741,36

739.30    738,22

735,79    734,65

734.95    733,38

mm

mm

— 2,03    —0,020

+ 3,18    +0,032

+ 6,94    + 0,069

+ 9,73    + 0,097

+ 15,30    +0,153

+ 17,76    +0,178

+ 18,64    + 0,186

+ 21,78    +0,218

+ 25,35 ! +0,253 + 26,17 ! +0,262

0,0004    + 0,0158

0,0010

0,0048

0,0094

0,0234

0,0317

0,0346

0,0475

0,0640

0,0686

—    0,0237

—    0,0614

—    0,0999

—    0,1469

—    0,1851

—    0,1674

—    0,2354

—    0,2884

—    0,2934

0,6241

0,5476

0,7921

1,0609

0,9216

1,0816

0,8100

1,1664

1,2996

1,2544

10

466,87    457,18    — 9,69    142,82 j + 1,428    0,2854

— 1,4858

9,5583

Wir wollen zunächst nur eine graphische Ausgleichung vornehmen, welche in der nachfolgenden Fig. 1 gezeichnet ist; man hat hier zu den Werten F₀ als Abszissen die Ordinaten 7+ — Q₍₎ = l oder Q₀ — _F₀ = — l aufzutragen. (Die 760 — F₀, b , Iß , b l und Z² braucht man zu der graphischen Ausgleichung noch nicht.)

Fig. 1. Teilungskorrektion eines Federbarometers.

770

2,0r

760

750

740

730

1,5-

910

Ausgieichung---+1,29

«mm

0,66

Ausgl-

-«ö

0,5

-t-

4-

-f

'S

5 6 7 !    3    910

770

760

750

740

730

720

nn

Durch die so erhaltenen zehn Punkte kann man zunächst nach Gutdünken eine möglichst anschließende Linie als Ausgleichung legen, womit die graphische Ausgleichung vollendet ist. Die Ordinaten der Linie gehen dann geradezu die Stand- und Teilungskorrektionen; z. B. hei 770 414144 ist die Ordinate = -+ 0,66mm, und hei 720mm ist die Ordinate = 1,29 mm. Danach stellt man die Korrektionstahelle zusammen.

Wer irgendwie das Zahlenrechnen scheut, kann sich mit solcher graphischen Ausgleichung (auf Millimeterpapier) wohl begnügen.

Die rechnerische Ausgleichung gründet sich auf die bisher benützte Formel:

oder Q₀ = F₀ + x 4

Qo — Fq -f- x + z (760 — Fq) 760 — Fq

(1)

100

y, wobei y = 100 z.

(2)

Dabei haben wir 100 z = y gesetzt, damit die sonst eintretende Ungleichheit der

Kommastellung in den Koeffizienten verschwindet. Es wird auch nicht störend sein, daß der Buchstabe y, welcher in § 155 und 156 den Temperaturkoeffizienten bedeutet hat, nun in anderem Sinne benützt wird. Der Gleichung (2) entspricht nun die Fehlergleichung :

wobei b

- ⁷⁶⁰ — Fo

100

v = x -\-by + l,

und l' = Fq — Qq die schon in der Tabelle S. 653 enthaltenen

(3)

Bedeutungen haben ; und da in dieser Tabelle auch schon die b-, bl usw. enthalten sind, haben wir sofort die Normalgleichungen:

-h 10 æ +1,428y — 9,690 = 0 + 1,428 x + 0,285 y — 1,486 = 0 + 9,558

j y —    1,259

[ll. 2] = [i’²] = 0,040, also m = j/

Die Beduktionsformel ist also :

Auflösung :

x — + 0,789 mm +_ 0,042 mm ± 0,248

0,040

10 —

- = _+ 0,071 mm.

(4)

Qq = Fq + 0,789 mm -f-1,259

760 — F₀

100

(5)

Die nach (8) zu berechnenden übrig bleibenden Fehler v werden: v = + 0,03 — 0,09 + 0,01 + 0,12 — 0,02 + 0,03 — 0,12 + 0,02 + 0,03 + 0,00. (6) Die entsprechende Quadratsumme [f²] = 0,0405 stimmt mit der schon bei (4) angegebenen Summe 0,040.

Wir wollen auch die Hauptwerte einer Reduktionstabelle zu der Formel (5)

berechnen :

(7 y

Fq —    770 mm 760 mm 750 mm 740 mm 730 mm 720 mm)

Qq — 2T0 = +o,66    +0,79    + 0,92    + 1,04    + 1,17    + 1,29    ./

Die beiden Anfangs- und Endwerte 0,66 mm und 1,29 mm der Reduktionen (7) findet man in Fig. 1 S. 653 eingeschrieben; auch kann man dort die übrig bleibenden Fehler v der Reihe (6) als Abstände über oder unter der Ausgleichungsgeraden nachweisen.

II. Teüungsféhlerbestimmung durch Bergbesteigung.

Bei einer Brockenbesteigung am 25. September 1887 haben wir unser Quecksilberreisebarometer Mollenkopf (§ 150 Fig. 2 S. 627) und ein kleines Pariser Federbarometer von Taschenuhrgröße mitgenommen und an mehreren Punkten zusammen abgelesen.

nach § 152 zu berechnen, durch welche die beobachteten Q'₀

korrektionen

Zuerst geben wir in der Tabelle (8) S. 655 nur die Quecksilberbarometerangaben und deren Reduktion, die eingesetzten Q’q sind nach § 151 reduziert wegen Temperatur und Kapillarität. Mit diesen Q’₀ und dem Mittelwert t = 7° sind die Höhen H roh genähert aus einer barometrischen Höhentafel eingesetzt ; das genügt, um die Schwere-2 QH

auf Q₍₎ reduziert werden, d. h. auf solche Werte Q₀, welche als richtiges Vergleichsmaß für das Federbarometer dienen können.

Brockenbesteigung 25. September 1887.

Nr.

Ort und Tageszeit

5>

Luft

Höhe

genähert

Schwere- ! korrektion| 2 QH

Qo

*7    05 Ol Ib CO IO H

Harzburg . . Kanossa-Säule Molkenhaus . Scharfenstein Pflasterstoß .

8 h 50 m 11 16 1 16

3    18

4    3

Kleiner Brocken 4 46 Brocken-Haus . 5 30

mm

742,45

721,52

717,87

707,15

687,07

673,74

663,02

9,0°

210

9,0

9,0

8,5

5,5

3,0

2,0

450

490

610

850

1010

1140

mm

742,40

721,42

717,76

707,01

686,89

673,52

662,78

(8)

Summen . . Mittel . . .

4912,82    46,0

701,83    6,6

4760    —1,04 | 4911,78

680    — 0,15 | 701,68

In einer zweiten nachfolgenden Tabelle (9) geben wir die Vergleichung der so berechneten Q₀ mit den entsprechenden Federbarometern F₀, welch letztere, ebenfalls bereits mit ihren besonderen Temperaturkorrektionen versehen, eingesetzt werden. Die beigesetzten b usw. beziehen sich auf die Ausgleichung.

Tabelle der Ausgleichung.

Nr.

Qo

Fo

A) <?o

100

b*

mm

742,40

721,42

717,76

707,01

686,89

673,52

662,78

mm

749,03

727,00

723,92

713,07

690,18

676,40

664,89

tO    tO    CO    05    Oi    Oi

H    CO    »    b    H    CT    05

h-*    co    O    Ci    05    00    CO

0,176 0,386 0,422 0,530 0,731 0,865 |    0,972

0,031

0,149

0,178

0,281

0,534

0,748

0,945

Cß    d    ©    lO    CO    50    v

IO    CO    ^    O    O    r-^

o    o"    d    h    d    o    o

n    H    N    H    S    O    O

o    o    ©    i-T    o    ©    o

(9)

7    4911,78 | 4944,49 +32,71 |    4,082

2,866

16,079    173,33    +0,04

2,01

= — 8,27 mm 0,58 mm — + b,lb

±0,91

+ 4,082 y + 32,71 =0 -+ 4,082 x 4- 2,866 y + 16,079 = 0 + 173,33

[Il. 2] = [®2] = 2,01 ,

und gibt :

Die Ausgleichung nimmt ganz denselben Verlauf, wie im vorigen Falle (1) —(7),

+ 0,0616 (760 — F₀)

760 mm 740 mm 720 mm 700 mm 680 mm 6b0mm — 7,04    — 5,81    —4,57    —3,34    —2,11.

Qo = F₀ - 8,27

mm

F₀ =

Qo — Fo = —8,27

Hierzu haben wir in nachfolgender Fig. 2 auch wieder eine graphische Darstellung gemacht, welche alles Wesentliche veranschaulicht.

Fig. 2. JBrockenbesteigung 25. September 1887.

760    750    740    730    720    710    700    G90    G80    670    6G0

mm

SÄT

mm

5^’-

.2.

ginm

4~

-i

3------

Il    I    ; j |

! Î    >    I i !

rs

2-

.2

mm

700    690 I 680 j 670    ; 660

760    750    I740    730    720!    710

In der 4. Auflage 1893 S. 550—552 war diese Brockeübesteigung noch mit einem zweiten Aneroide Bohne gegeben, und dazu auch eine ausgleichende Funktion zweiten Grades, mit einem Gliede (760 — Q₀)² behandelt. Wrenn schon der Anblick von Fig. 2 zeigt, daß diese Brockenbesteigung kein Muster in sachlich-barometrischer Beziehung ist, so ist doch dieser Versuch genügend, als Schulbeispiel zur Darlegung des Beehnungsganges zu dienen.

Einen ähnlichen Versuch, Bergbesteigung im Schwarzwald mit Goldschmid-Instrument Nr. 600, gab unsere 2. Aufl. 1877 S. 483, mit Q zwischen 742 mm und 679 mm. Quadratische Ausgleichungsfunktion mit m — ± 0,9 mm .

III. Luftpumpenversuche.

zig. 3.

man

fachste Form in Fig. 3 angedeutet ist.

Viel rascher als hei ruhenden Vergleichungen und als hei Bergbesteigungen, und in beliebig weiten Intervallen, bekommt Aneroidvergleichungen durch Luftpumpenversuche, deren ein

Unter den Kezipienten R einer gewöhnlichen Kolbenluftpumpe wurde das zu untersuchende Federbarometer gebracht, und die durch Pumpen erzeugte Luftdrucksverminderung wurde durch eine Glasröhre mit der Quecksilberdifferenz h kathetometrisch gemessen. Wenn der außen an einem Quecksilberbarometer abgelesene Barometerstand Q’ um diese Quecksilberhöhe h vermindert wird, so hat man den inneren Druck Q' — h — Q.

Einen solchen Versuch von 1867, Stuttgart, hatten wir in 2. Aufl. 1877 S. 482 mitgeteilt, mit Q zwischen 672 mm und 740 mm ; die Ausgleichung gab einen mittleren Fehler einer Vergleichung = ± 0,3 mm.

Solche Luftpumpenversuche haben den Nachteil elastischer Nachwirkung, über welche Jelinek in „Carls Bepertorium“, 13. Band 1877, S. 54 Eesultate von Balfour Stewart, Vorstand des Observatoriums zu Kew, mitteilt, die in unserer 4. Aufl. 1893 S. 553 auszüglich angegeben waren. Die elastischen Nachwirkungen währten drei Wochen.

Über den neuesten Apparat zur Prüfung von Aneroiden haben wir in „Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 365—372 eine Mitteilung von Hebe, technischem Assistenten bei der Physikalisch-technischen Eeichsanstalt, welcher zuerst die bisherigen Arbeiten hierzu so zusammenfaßt.

Bei der Vergleichung von Aneroiden mit dem Quecksilberbarometer war man früher auf den Gebrauch der Kolbenluftpumpe angewiesen; die Aneroide wurden unter den mit dem Quecksilberbarometer verbundenen Rezipienten der Pumpe gebracht, mit deren Hilfe jeder niedere Druck schnell erreicht werden konnte, und dann kürzere oder längere Zeit hindurch beobachtet. Koppe führte seine Aneroidprüfungen auf diese Weise aus, indem er gleichzeitig ein größeres Luftreservoir einschaltete („Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1888“ S. 419—427). Auch bei späteren vom Kew-Observatory vorgenommenen Untersuchungen von Aneroidbarometern wurden, wie Edward Whymper in seiner Schrift: „How to use the aneroid barometer“ (London, John Murray, 1891) bemerkt, die Instrumente einfach unter dem Rezipienten der Kolbenluftpumpe in Verbindung mit dem Quecksilberbarometer beobachtet. Doch bereits in den achtziger Jahren machte sich ein Fortschritt bemerkbar, indem eine Verbesserung in bezug auf die Druckänderung angestrebt war. So beschrieb Fueß in der „Zeitschr. f. Instr. 1885“ S. 297—299 einen Apparat, welchen er für die topographische Abteilung der Landesaufnahme ausgeführt hatte. Die Druckänderungen bis zu 100 mm wurden durch Heben und Senken eines mit Wasser gefüllten Kastens bewirkt. Ferner hat P. Schreiber in „Zeitschr. f. Instr. 1886“ S. 121—125 einen Apparat zur Prüfung von Federbarometern beschrieben, welcher nach dem Prinzip der Geißlerschen Quecksilberluftpumpe hergerichtet war, und ebenfalls mit Wasser betrieben wurde (auch „Zeitschr. f. Instr. 1889“ S. 157—165). Neu bei dieser Einrichtung war die von Schreiber konstruierte Tropfvorrichtung, durch welche die Druckänderungen während der Vergleichung der Aneroide reguliert werden konnten. Sodann hatte Reinhertz einen Apparat benützt, in welchen ein Schwefelsäureballon als Reservoir zur Ausgleichung der Spannungen eingeschaltet war („Zeitsehr. f. Instr. 1887“ S. 153—170 und 189—207). Verdünnt wurde mittels der Bunsenschen Wasser-Strahlluftpumpe ; ein eigens konstruierter Regulator (konisches Schraubengewinde) gestattete die Regelung der Geschwindigkeit der Druckänderungen.

Einen ähnlichen Apparat wie Schreibers hat auch Kröber in „Zeitschr. f. Verm. 1881“ S. 313 beschrieben, der in unserer 4. Auflage, II. Band 1893 S. 553 aufgenommen war. Als Zitate haben wir noch Vogler, „Zeitschr. f. Verm. 1877“ S. 51 und 476, Koppe, „Zeitschr. d. Hann. Arch.- u. Ing.-Vereins 1884“ S. 135.

Aneroidprüfungsapparat von B. Fneli.

Der mit der Quecksilberluftpumpe betriebene Apparat, welchen Hebe in „Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 365—372 beschreibt, wurde 1888 von Mechaniker Fueß erstmals für das Geodätische Institut und später in gleicher Weise für die Physikalisch-technische Reichsanstalt, danach in weiteren Exemplaren neuerdings auch für die geodätische Sammlung in Hannover hergestellt. Fig. 4 S. 658 zeigt die Gesamtansicht.

Auf einem Tisch befindet sich ein gußeiserner Rezipient IQ, welcher mit einer luftdicht abgeschliffenen Glasplatte zugedeckt ist. Links ist die Quecksilberluftpumpe L mit der Tropfvorrichtung t angebracht, und rechts durch einen Messinghahn abschließbar ein zweiter Rezipient B.₂ zur Prüfung von Quecksilberbarometern ; derselbe hat Scheiben aus Spiegelglas zum Beobachten und ist oben mit einer aufgeschliffenen Glasplatte bedeckt. An diesem Rezipienten IQ ist das Normalbarometer B befestigt (bei dem hannoverschen Apparat das Instrument Fig. 4 S. 628 mit reduzierter Skala) und steht durch den Dreiweghahn h₂ mit den übrigen Teilen des Apparats in Verbindung. Durch Gummischläuche sind alle die genannten Teile unter Einschaltung eines metallenen Verbindungsstücks miteinander verbunden. Der wichtigste Teil, die Quecksilberluftpumpe L (eine Erfindung von Geißler 1857, vgl. Wüllner, Lehrbuch der Experimentalphysik, 5. Aufl. 1895 S. 588), besteht aus einer barometerartigen Vorrichtung, in welcher durch Heben und Senken von Quecksilber eine Torricellische Leere hergestellt wird.

Dieses Prinzip ist in unserem Falle so verwertet, daß die beiden durch Schlauch miteinander verbundenen Glaskugeln \ und k₂ als Quecksilberbehälter dienen, von denen die erstere \ feststeht und die letztere k₂ mittels Kurbel an einer Führung gehoben und gesenkt werden kann, wobei das Quecksilber aus einer Kugel in die andere Übertritt und die Verdünnung bezw. Verdichtung der Luft im Rezipienten IQ herbeiführt.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Dabei ist es wichtig, daß die Luftverdünnung oder umgekehrt auch die Verdichtung nicht zu rasch und nicht stoßweise vor sich gehe, d. h. daß die Geschwindigkeit, mit der die Verdünnung oder Verdichtung geschieht, reguliert werden kann, und dazu dient eine zwischen den Kugeln fcj und k₂ eingeschaltete Tropfvorrichtung, welche in Fig. 4 mit t bezeichnet und in Fig. 5 und 6 besonders dargestellt ist.

Fig. 4.

Hl

fi

«2

Pfff

bi — Glashahn.

©fl

B= Normalbarometer.

i, = feste Glaskugel.

L = Quecksilberluftpumpe.

= Rezipient für Aufnahme und Prüfung von Quecksilberbarometern.

t = Tropf-vorricbtung.

EH

• L_.

ł -____:

k₂ — bewegliche Glaskugel.

R₁ Rezipient für Aufnahme von 3—4 Aneroiden.

f:iip

‘:F.

; 7-7

a

Diese Tropfvorrichtung besteht aus einem umgekehrten U-förmigen Glasrohr, welches oben einen Hahn zur Regulierung der eingeschlossenen Luft trägt. Zwischen den Schenkeln dieses H-förmigen Rohres befindet sich ein anderes in der Mitte aufgebauchtes Glasrohr, in dem eine abwärts ausgezogene Spitze sitzt, durch welche das Quecksilber langsam in Tropfen hindurchfällt. Der untere horizontale Teil von

Fig. 5 und 6 ist ein ausgebohrtes Formstück aus Gußeisen, in welches zwei Dreiweghähne aus Stahl zur Regulierung des Quecksilberzuflusses eingepaßt sind.

Um ein Aneroid bei abnehmendem Drucke zu untersuchen, bringt man es in den Rezipienten R₁ und schließt denselben durch seine Glasplatte.

Tropfvorrichtung.

Fig. 5 bei abnehmendem Druck.

Fig. 6 bei zunehmendem Druck.

coo

k II

<■

von k

von k

<u

nr*

nach k

>1

vV

nach k₂

,Die mit Quecksilber gefüllte Kugel k₂ wird mit der Kurbel in die Höhe gewunden, so daß das Quecksilber durch den Gummischlauch von k₂ nach der anderen Kugel Äq übergeht.

Währenddem wird der Glashahn //,, geöffnet, damit die in hx eingeschlossene Luft nach oben entweichen kann, und die beiden Hähne unten in Fig. 5 werden

parallel gestellt, so daß das Quecksilber ohne den Umweg durch die fl-Röhre von k₂ nach kx {entgegen den Pfeilen von Fig. 5) fließen kann.

WTenn dadurch kx mit Quecksilber gefüllt ist, so wird der Glashahn hx so gestellt, daß die oben in kx befindliche Luft durch ein Rohr nach unten in Verbindung mit dem Rezipienten Rx gebracht und zugleich der Luftaustritt nach oben aufgehoben ward. Dieses ist Vorbereitung; und nun werden die beiden Hähne unten in Fig. 5 quer gestellt, so daß der Weg von kx und k₂ {mit den Pfeilen von Fig. 5) nur noch auf dem Umweg durch die Il-Röhre möglich ist.

Die nunmehr leere Kugel k₂ wird wieder herabgelassen, und die Prüfung bei abnehmendem Druck kann beginnen (vgl. Fig. 5).

Das Quecksilber fängt an, aus der oberen Glaskugel kt durch die Tropfvorrichtung t nach k₂ herabzufließen. Dadurch vergrößert sich der mit dem Rezipienten I\x zusammenhängende Raum und der darin herrschende Druck wird vermindert. Jede Entleerung der Kugel kx bewirkt bei 760 mm Luftdruck etwa 30 mm, bei 400-mm Luftdruck etwa 20 mm Druckverminderung. Dieser Vorgang wird bis zur gewünschten

Druckerniedrigung fortgesetzt und kann bis 390 mm digkeit der hierbei stattfindenden Druckänderung richtet sich nach der Menge des in einem bestimmten Zeitraum durch die Tropfvorrichtung t abfließenden Quecksilbers. Die Geschwindigkeit der Druckänderung beträgt für gewöhnlich 1 dem praktischen Gebrauch auf Reisen nahekommt.

wiederholt werden. Die Geschwin-

mm

in vier Minuten,

was

Zur Prüfung hei zunehmendem Drucke wird die Glaskugel k₂ herahgelassen,. die stählernen Dreiweghähne an der Tropfvorrichtung t zum direkten Durchlauf des Quecksilbers gestellt und nun der Glashahn hy geölfnet. Das darauf aus ky herabfließende Quecksilber füllt die Kugel k₂ an; diese wird, nachdem die Hähne an der Tropfvorrichtung t der Geschwindigkeit der Druckänderung bei zunehmendem Drucke entsprechend angeordnet sind, an der Führung ganz in die Höhe gedreht. Inzwischen hat sich ky mit atmosphärischer Luft gefüllt, und der Hahn hy wird in die Stellung gebracht, daß Luftpumpe und Rezipient verbunden werden, und die Prüfung bei zunehmendem Druck kann beginnen. Das Quecksilber fängt an, aus der oberen Kugel k.2 durch die Tropfvorrichtung t nach ky herabzufließen, wie Fig. 6 S. 659 zeigt. Die in ky befindliche Luft wird nach und nach in den Rezipienten hineingedrückt und der darin herrschende Druck vermehrt. Dieser Vorgang kann bis zu 795-mm Druck fortgesetzt werden.

Der jeweils in dem Rezipienten Tiy herrschende Druck kann an dem Quecksilberbarometer B abgelesen werden und damit bekommt man Versuchsreihen, ebenso wie die früheren auf S. 653 und S. 655 angegebenen, welche dann auch ebenso graphisch oder rechnerisch weiter behandelt werden können. (Weitere Einzelheiten des Apparates Fig. 4 S. 658 gibt Hebe in „Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 365—372.)

§ 158. Änderung der Standkorrektion. Elastische Nachwirkung.

Alle Federbarometer leiden an dem Übelstande, daß sie den Stand im allgemeinen nicht auf die Dauer bewahren. Namentlich die unvermeidlichen Erschütterungen beim Feldgebrauch und auf Reisen bringen Standänderungen hervor, welche dadurch gefunden werden, daß man die Instrumente mit einem Quecksilberbarometer oder einem Siedethermometer (§ 153) vergleicht.

Es kann Vorkommen, daß ein Instrument, wenn man es nur einen Tag lang zum barometrischen Gebrauch herumträgt, seinen Stand wohl um 0,5-mm ändert, und es bleibt dann meist nichts übrig, als die Änderung auf die Zwischenzeit zu verteilen; in längeren Zeiträumen werden die Änderungen sich jedoch nicht fortgesetzt häufen, sondern auch wieder sich aufheben.

Als Beispiel geben wir in der folgenden Tabelle die verschiedenen Standkorrektionen, welche die Federbarometer der libyschen Expedition nach und nach bei der Vergleichung mit dem Quecksilberbarometer zeigten, nachdem alle anderen Korrektionen in Rechnung gebracht worden sind.

Standkorrektionen von liier Federbarometern auf der libyschen Expedition 1873-1874.

Ort und Zeit der Vergleichung

Naudet

39305

Goldschmid

600

Casella

1640

Casella

1641

Chevallier

Kairo 1873, 5. Dezember Siut Marak

Farafrah 1874, 1. Januar Dachei „

Dachei „

Chargeh „    25.

Esneh Kairo

Größte Änderung

12.

20.

10.

16. März

1. April

-f- 14,0 mm + 13,3 + 13,1 • + 13,8 + 13,2

+ n,o

+ 9,4

+ 8,1

-f- 5,0 mm

1,3 mm

. min

15.

— 5,3 mm

5,9 mm

+ 5,0 + 7,2 + 9,2 + 9,6 + 9,4 + 8,7 + 4,6 mm

+ 0,7 + 1,6 + 0,9 + 1,0 + 0,4

+ 8,5 + 9,6 + 10,7 + 10,2

— 1,2 mm

+ 1,7 mm

Casella 1641, welches sich hiernach am besten bewährt hat, war ein kleines Instrument von ■der Größe einer Taschenuhr, es wurde beständig von Professor Zittel in der Beinkleidertasche getragen. Es scheint dieses darauf hinzudeuten, daß solcher Transport kleiner Instrumente sehr vor Veränderungen schützt. Große und schwere Instrumente mußten bei dem Transport zu Kamel (welcher hier stattfand) notwendig stark erschüttert werden. (Näheres hierüber gibt des Verfassers „Physische Geographie und Meteorologie der Libyschen Wüste, Kassel 1876“ S. 93—98.)

Weitere Erfahrungsergebnisse gibt z. B. auch Hartl in: „Praktische Anleitung zum Höhenmessen, Wien 1884“ S. 57—62, z. B. in drei Tagen : -j- 2,9 mm , -f- 3,5 mm , -j- 3,7 mm , -f- 3,4 mm .

Solange die Federbarometer noch so starke Standänderungen zeigen, wie im vorstehenden berichtet ist, und so lange keine Sicherheit besteht, daß ein Instrument nicht plötzlich viel stärkere Änderungen erleidet, als man im Mittel annimmt, muß man auf Reisen immer noch ein Quecksilberbarometer oder ein Siedethermometer (§ 153 S. 638) mitführen..

Anderseits ist aber auch das Federbarometer als ein Interpolationsinstrument -erkannt, welches eine große Genauigkeit gewähren kann. So findet z. B. Hammer „Zeitschr. f. Venu. 1890“ S. 83 für ein Bohnesches Aneroid von 11cm Teilungsdurchmesser den mittleren Fehler von + 0,06 mm für die Bestimmung von Luftdruckdifferenzen bis zu 6 mm. A. Schreiber findet für ein gleiches Aneroid bei einer -auf Eisenbahnfahrten angestellten Versuchsreihe denselben mittleren Fehler („Zeitschr. f. Verm. 1907“ S. 467).

Die elastische Nachwirkung.

Im vorstehenden war hauptsächlich an Standänderungen gedacht, welche durch äußere Einwirkungen, ständige Erschütterungen oder Stöße beim Transport entstehen können. Es ist aber jedes Federbarometer als elastisches System seiner Natur nach einer Änderung des Standes in zweifacher Weise unterworfen.

Zunächst kommt in Betracht eine langsam mit der Zeit vor sich gehende Änderung. Sie ist jedem Instrumente eigentümlich und hängt (ganz abgesehen von etwaigen Schäden des Instrumentes) zusammen mit dem Einfluß, den der ständig auf Büchse und Feder lastende Druck ausübt, sowie dem erst ganz allmählich verschwindenden Einfluß des Spannens von Feder und Büchse beim Zusammensetzen des Instrumentes. Die bei der jahrelangen Verwendung von Aneroiden gesammelten Erfahrungen haben ergeben, daß diese fortschreitende Änderung für einen Zeitraum von mehreren Jahren bei guten Instrumenten in der Regel nicht über 1 bis höchstens 2 min hinausgeht, so daß sie also bei der Zeit nach beschränkten Messungen, besonders also bei Höhenmessungen, eliminiert "werden oder auch außer Betracht bleiben kann.

Anders dagegen ist es mit einer Standänderung, welche als Folge der wechselnden Druckschwankungen sich einstellt, dem Federsystem als elastischem Körper anhaftet und bei ähnlich konstruierten Instrumenten gleichartig auftritt.

Wird ein elastischer Körper, z. B. eine an einem Ende eingespannte Blattfeder, einer Biegung unterworfen, so tritt die Ruhelage nicht momentan nach der Inanspruchnahme ein, sondern die Feder vollzieht noch nachher kleine Bewegungen, indem sie erst nachträglich allmählich ihrer Ruhelage zustrebt. Die Eigenschaft elastischer Körper wird als elastische Nachwirkung bezeichnet.

Wird also ein Federbarometer einer Druckänderung unterworfen, so wird dasselbe nicht nach Aufhören der Druckänderung einen unveränderten Stand beibehalten, sondern derselbe langsam um kleine Beträge im Sinne der vorausgegangenen Druckänderung sich weiter ändern. Diese schon länger bekannt gewordene Eigenschaft der Federbarometer ist in der „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1887“ S. 153—170, 189—207 „Über die elastische Nachwirkung beim Federbarometer“ von Reinhertz zum Gegenstände einer besonderen Untersuchung gemacht worden.

Mit Hilfe des in § 157 S. 657 erwähnten Barometer-Prüfungsapparates waren Nacbwirkungs-erscheinungen bei verschiedenen Instrumenten (Naudet, Bohne, Goldschmid, Reitz), in verschiedenen Druckintervallen (20 mm , 40 mm, 70 mm , 100 mm), mit verschiedenen Geschwindigkeiten (0,2 mm , 0,5mm, 1,0 mm , 2,0 mm in 1 Minute) erzeugt und beobachtet worden. Es fand sich, daß die Beträge der beobachteten Nachwirkungen in einer bestimmten Beziehung zu Druckintervall und Geschwindigkeit

§ 159. Temperatur und Feuchtigkeit der freien Luft.

Schleudert!’iermovieter.

Das gewöhnlichste Mittel zur Messung der Lufttemperatur besteht darin, daß man das Thermometer ruhig im Schatten aufhängt und dann abliest.

Im Felde hat man aber hierzu meist weder einen geeigneten Ort noch die verfügbare Zeit. Hier wird daher das Schleuderthermometer benützt, welches in einem an einer Schnur befestigten Thermometer besteht, das man rasch (etwa 100 mal) umschwingt. Das Thermometer kommt dadurch mit vielen Luftteilen in Berührung und nimmt deren Temperatur an. Man schwingt so lange, bis das Thermometer eine konstante Angabe zeigt. Eine zweckmäßige Form ist die von E. Fueß. Das Thermometer sitzt in einer durchbrochenen Messingfassung, welche am Gefäß Öffiiungen hatr ^ durch welche beim Schwingen die Luft streicht. Diese Fassung steckt als Auszugsrohr in einem Messingrohr, an welchem die Schnur befestigt ist, und die beim Transport das eingeschobene Thermometer schützt.

Eine Verbesserung dieser einfachen Einrichtung ist das Schleuderthermometer mit Stange, von Schubert („Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1896“ S. 329—332 und „Meteorolog. Zeitschr. 1897“ S. 63). Das Thermometer (bzw. zwei Thermometer, weil das Ganze zugleich als Psychrometer dient) ist nicht an einer Schnur, sondern an einer Stange befestigt, welche als Handgrilf dienend die Thermometer bequem umzuschwingen gestattet.

Eine noch weitergehende technische Einrichtung dieser Art ist das Aspirations-Thermometer und Psychrometer von Aßmann („Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1892“ S. 1—12), bei welchem ein Luftstrom durch eine mit Federkraft aufgezogene Luftturbine erzeugt wird. Nachdem die Spannfeder wie an einem Uhrwerk aufgezogen ist, raschelt das Luftflügelrad etwa 15 Minuten lang und erspart das Schwingen der Schleuderinstrumente. Das Ganze ist 21 cm lang und 5cm im Durchmesser, kann also in Lederfutteral bequem mit ins Feld genommen werden. Wir haben ein solches Instru-

der Druckänderung stehen; sie wachsen sowohl mit der Größe des Intervalls als mit der Geschwindigkeit. Z. B. war für zwei Instrumente wie Fig. 1 S. 642 zwei Stunden nach der Druckeinstellung bei der Geschwindigkeit von 2,0 mm in der Minute für den Druckunterschied:

die Nachwirkung;

und für dieselben Instrumente nach dem Durchlaufen des Druckunterschiedes 100 mm bei der Geschwindigkeit der Druckänderung von: 0,2 mm 0,5 mm 1,0 mm 2,0 mm in der Minute die Nachwirkung: 0,38

Es sollen daher bei Prüfung der Skala die Druckänderungen mit derselben Geschwindigkeit eintreten, wie beim Gebrauch des Instrumentes, also sehr langsam, etwa 1 mm in 4—5 Minuten, so daß die Prüfung der Skala für 100 mm einen ganzen Tag in Anspruch nimmt.

Ähnliche Untersuchungen wie die von Reinhertz sind veröffentlicht von Chree, Experiments on Aneroid Barometers (Phil. Trans. London 1898 S. 441). Es zeigt sich auch hier, daß die Erscheinung der elastischen Nachwirkung viel zu verwickelt ist, um etwa durch Verbesserung der Aneroid-ablesung unschädlich gemacht zu werden.

Daher bleibt der Wunsch bestehen, die Konstruktion dieses wertvollen Instrumentes soweit zu vervollkommnen, daß die Nachwirkungserscheinungen so klein werden, daß man sie gegenüber den sonstigen Fehlern des barometrischen Höhenmeßverfahrens außer acht lassen könnte. Da dio wesentlichste Quelle der Nachwirkungen wohl die Spannfeder ist, so würde zunächst dieses mechanische Element zu verbessern sein.

20 mm

40 mm

0,28

0,45

0,60

0,72

70 mm 100 mm

1,01

0,74

1,01

ment im Felde mit gewöhnlichem Schleuderthermometer verglichen und stets Übereinstimmung auf etwa 0,5° gefunden.

Das ist alles, was man zu den gewöhnlichen barometrischen Höhenmessungen braucht; es ist auch nicht nötig, zu jeder Barometerablesung im Felde eine Luft-temperaturbestimmung zu machen ; wenn man nur etwa alle Halbstunden (bei starken Temperaturwechseln auch öfter) das Thermometer schwingt, so kann man daraus den Gang der Lufttemperatur im ganzen verfolgen (am besten durch Aufträgen einer Kurve), und für jede Zwischenzeit die Temperatur einschalten.

Luftfeuchtigkeit.

Für feinere Messungen bei großen Höhen kommt aber noch die Bestimmung der Feuchtigkeit der freien Luft oder des Dunstdrucks in Frage ; und wenn der Praktiker auch selten sich damit befassen wird, so ist es doch nötig, den theoretischen Zusammenhang zwischen der Luftfeuchtigkeit und der barometrischen Höhenmessung zu verstehen.    ,

Zur Bestimmung der Luftfeuchtigkeit eignet sich für barometrische Höhenmessung am besten die von August zuerst angegebene Vergleichung des trockenen und des befeuchteten Thermometers. Die Befeuchtung eines Thermometers geschieht dadurch, daß man die Thermometerkugel mit lockerem Baumwollstoff umhüllt, und dann Wasser darüber gießt. Nach etwa fünf Minuten wird das Wasser teilweise verdunstet sein, und die Verdunstungskälte erzeugt ein Sinken des Thermometerstandes. Je trockener die Luft ist, desto rascher und heftiger erfolgt die Verdunstung. Es dient also die Differenz beider Thermometerstände als Feuchtigkeits- bzw. Trockenheitsmaß.

Zur Berechnung der Luftfeuchtigkeit braucht man zuerst die Spannung des gesättigten Wasserdampfes, wofür wir auf S. [20] des Anhangs eine Tafel als Auszug aus der nach Régnault neu berechneten Tafel des internationalen Maß- und Gewichtsamtes zusammengestellt haben.

Wenn E die Spannung des gesättigten Wasserdampfes bedeutet für die Temperatur t, welche das feuchte Thermometer zeigt, während das trockene Thermometer T und das Barometer B zeigt, so erhält man die Spannung e des in der Luft befindlichen. Wasserdampfes für positives t durch die Formel :

0,48 (T — t) B

610 — t

(1)

z. B. T=16,4°, t — 13,2°, B = 785 mm gibt E= 11,8 0,48 X 3,2 X 735

und

e = 11,8

596,8

= 11,3 — 1,9 = 9,4 -mm .

Für irgend welchen mittleren Barometerstand und mittleren Wert t kann man aus (1) eine Näherungsformel bilden; z. B. für B = 740, t = 10 erhält man:

(2)

e = E — 0,55 (T — t).

Dieses gibt für obiges Beispiel e = 9,5, nahezu wie die strenge Formel (vgl. hierzu Weinstein, „Handbuch der phys. Maßbestimmung, II" S. 457).

Für häufigen Gebrauch bestehen ausführliche Tafeln, insbesondere „Psychrometertafeln für das lOOteilige Thermometer, nach Wilds Tafeln bearbeitet von Jelinek. Dritte Auflage, Leipzig 1887“ von Hann, und Landold-Börnstein, „Physikalisch-chem. Tabellen, 3. Auf!., Berlin 1905“ S. 66 und „Internat, meteorologische Tafeln“, Kap. V. („Zeitschr. f. Venn. 1895“ S. 250.)

Aus der Jelinek -Harnischen Psychrometertafel haben wir einen kurzen Auszug auf S. [22] unseres Anhangs gegeben. Die Anwendung zeigt ein Beispiel:

Trockenes Thermometer T= 16,4°, feuchtes Thermometer #=18,2°.

Um nicht zweifach interpolieren zu müssen, schreiben wir statt dessen:

T= 16,2° und t = 13,0° oder T — 16,0

(T — t = 3,2°)

t = 12,8

(T—1 = 3,2 ).

Es kommt nämlich hauptsächlich auf die Differenz beider Stände an, und man darf deshalb beide Stände so verändern, daß mit Erhaltung dieser Differenz der eine Stand auf 0,0° ausgeht. Damit ist die Benützung der Tafel S. [22] auf eine einfache Interpolation zurückgeführt; man findet so e = 9,3 oder 9,1, was für barometrische Höhenmessung meist genügt.

Stangenpsychrometer und’ Aspirationspsychrometer.

Im bisherigen ist angenommen, man habe die Yergleichung des trockenen und feuchten Thermometers in Buhe gemacht, d. h. man habe beide Thermometer im Schatten ruhig aufgehängt und man habe auch Zeit, nach der Befeuchtung etwa 15 Minuten zu warten, bis sich ein Beharrungszustand eingestellt hat. Wenn man aber so günstige Umstände nicht hat, wie z. B. im freien Felde beobachtet werden soll, dann hat man die Verbindung zweier Augustschen Thermometer auch als Stangenschleuderthermometer von Schubert („Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1896“ S. 329) und Aspirationspsychrometer von Aßmann („Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1896“ S. 1), in ähnlicher Weise wie vorhin schon für Luftthermometer beschrieben.

Saarhygrometer.

Noch viel bequemer, aber allerdings auch weniger zuverlässig sind die Haarhygrometer, deren Angaben mit anderen Hygrometerangaben zuvor verglichen werden müssen, ehe sie brauchbar sind. Eine längere Untersuchung eines solchen gibt des Verfassers „Physische Geographie und Meteorologie der Libyschen Wüste, Kassel 1876“ S. 80-82; im übrigen vgl. Weinstein, „Handbuch der phys. Maßbestimmung, II“ S. 441.

Mittelwerte des Dunstdrucks.

Da man oft in die Lage kommt, barometrische Höhen ohne besondere Beobachtungen über Luftfeuchtigkeit berechnen zu müssen, ist es von Wichtigkeit, die Mittel-^ werte des Dunstdrucks für verschiedene Zeiten und Orte zu kennen. Folgende Tabelle zeigt solche Mittelwerte des Dunstdrucks e und der Lufttemperatur t.

Monat

West-Europa e

Preußen e

Württemberg e

Baden e

Mittel e

Baden t

Januar

Februar

März

April

Mai

Juni

4,6 mm

3,9 mm

4,2 mm

4,3 mm

4,7

5,2

6,4

8,3

10,2

3,S

4,6

4,0

4,2

5,2

5,0

5,6

7,8

9,6

6,3

7,8

10,1

6,3

7,7

10,2

Juli

August

September

Oktober

November

Dezember

11,1

11,1

9,8

7,7

6,1

5,1

10,9

10,9

9,2

7,7

5,0

4,6

11.3

11,1

9,0

7,2

5,3

4,5

12,2

13,0

9,6

7,2

5,1

3,9

ft 2 2 S ft ft I 5 2 ft ft ft

0,3°

1,2

4,4

7,8

11,0

15,7

18,7

17,2

14,3

8,3

3,6

— 1,2

Jahresmittel

7,5 mm

6,9 mm

7,2 mm

7,4 mm

7,2 mm

S,4³

Die Zahlen e für „West-Europa“ sind Mittel aus den Resultaten von 30 Stationen, die Zahlen e für „Preußen“ Mittel von 46 Stationen, nach Schmids „Lehrbuch der Meteorologie“ S. 622—625. Die Zahlen e für „Baden“ sind Monatsmittel für 1871—1875 von 12 Stationen, nach dem badischen meteorologischen Jahresbericht für 1875 S. 108; die Zahlen e für „Württemberg“ sind die Mittel für 16 württemb. Stationen von 1867, 1872 und 1873 nach den betreffenden meteorologischen Jahresberichten von Schoder.

Die Mittelwerte e in der vorletzten Spalte dieser Tabelle haben nur die Bedeutung einer rohen Durchschnittsberechnung für Deutschland; diesen Mittelwerten entspricht auch die kleine Hilfstafel unten auf S. [23] des Anhangs.

In der letzten Spalte der vorstehenden Tabelle haben wir auch noch für Baden die Luft

temperaturmittel für dieselbe Zeit, 1871—1875, und für dieselben 12 Stationen angegeben, zu welchen die Dunstdrücke „Baden e“ gehören. Bei Vergleichung der monatlichen Dunstdrucksmittel mit den entsprechenden Lufttemperaturmitteln findet man eine deutliche Beziehung zwischen beiden. Wir haben aus den Werten „Baden e“ und „Baden f“ der vorstehenden Tabelle die empirische Formel gebildet :

e — 3,6 mm 0,45 t .

Der mittlere Fehler eines Wertes e ergab sich hierbei Vgl. hierzu auch Hann, Lehrbuch der Meteorologie. 2. Aufl. Leipzig 1906.

± 0,8 mm .

(3)

§ 160. Vollständige barometrische Höhenformel.

Nachdem wir schon in § 149 die Grundzüge der Theorie der barometrischen Höhenmessung dargelegt haben, ist es nun unsere Aufgabe, diese Theorie weiter zu entwickeln. Zu diesem Zwecke knüpfen wir an der früheren Differentialformel (10) § 149 S. 621 wieder an, nämlich :

dp

--- Q

Po 1 ec t

Die Lufttemperatur t ist mit der Höhe H veränderlich; da aber das Gesetz der Wärmeabnahme mit der Höhe im allgemeinen nicht bekannt ist, und da es für die meisten Fälle ausreichend ist, die Lufttemperatur als arithmetisches Mittel der unten und oben gemachten Bestimmungen anzunehmen, als ob sie konstant wäre, so wollen wir alles, was sich etwa weiter theoretisch rechnen läßt, hier zuerst bei Seite lassen und bei der Integration der Differentialgleichung (1) die Größe t als konstant behandeln.

Dagegen ist es leicht, die Schwerebeschleunigung g, welche mit der Höhe H veränderlich ist, richtig einzuführen, und zwar nach (1) § 130 S. 562 :

2 H

dH.

(1)

(2)

Dabei ist g die Schwerebeschleunigung in der Höhe TT und g(J in der Höhe 0. Setzt man dieses (2) in (1), so bekommt man :

dp

dH.

(3)

Die allgemeine Integration gibt:

f

J P

wo l den natürlichen Logarithmus, bg den Briggschen Logarithmus und p = 0,434294 dessen Modul bedeutet. Es ist also das allgemeine Integral von (3) :

Ap 9 Po 1 4- a t

dp

— Ip =

log v

■fh™)

d TT = H —

(4)

logp

TL—

+ Konst.

(5)

Die Integrationskonstante soll dadurch bestimmt werden, daß man zwei Drücke mit entsprechenden Höhen H annimmt in dieser Weise:

b ZZ=ZZ₂ ( p B H=H₁ i

Setzt man dieses in (4) zweimal ein und subtrahiert die beiden entstehenden Gleichungen, so erhält man:

log B — log b

Obere Station p Untere

Il II

J/₂ - TIX =

H1 + H, ¹¹ ’ ~2

= H.

(6)

=    _lo_(₃ _H

p₀ 1 + a t[

hierbei ist:

H₂-Hx

HJ - /fi²

Ho + Hx

Man hat daher die Auflösung nach ZZ₂ — Hx:

(7)

Hier ist nach früherer Gleichung (9) § 130. S. 564 : ⁽Jo = <7o⁴⁵ (1—0 cos 2 qp) oder

=    + 0 cos 2 qp).

Dieses (8) setzt man in (7), zugleich setzen wir H% —    = h nach (6) und

führen nach (6) auch unter H nun die mittlere Höhe ein; damit wird (7):

h = log (Ę) — Po

\t>) 9 Jo9oib

(Jo

(8)

/    2 H\

(1 + ßcos 2 qp) (1 + a t) Jl + — j •

(9)

Es handelt sich nun um die beiden Größen p{) und z/₀ ; wir haben dieselben schon mit dem Mariotte-Gay-Lussacschen Gesetze in § 149 (8) S. 621 eingeführt, und zwar ist z/₀ die Dichte der Luft von der Temperatur 0° unter irgend einem willkürlich angenommenen Anfangsdrucke p₀, der = 760 mm Quecksilberhöhe sein soll. Wir verstehen hierunter den Druck, den eine Quecksilbersäule vom Querschnitt 1 und bei 0° Temperatur in der Höhe Null und der geographischen

der Höhe 760

Breite 45° ausüht, also das Gewicht einer solchen Quecksilbersäule. Das letztere ist

mm

aber, wenn q = 13,59593 die Dichte des Quecksilbers bezeichnet, gleich 0,76 gg^h.

Führen wir dies in (9) ein, so erhalten wir:

h = log    (1 + 0 cos 2'<p)(l + at)^l + ²y j .

(10)

Es handelt sich nun um die Bestimmung der Luftdichte z/₀. Die atmosphärische Luft ist ein Gemisch aus trockener Luft, dem in der Luft enthaltenen Wasserdampf und einer geringen Menge Kohlensäure, welch letztere wir vorläufig außer acht lassen wollen. Zunächst haben wir hierfür aus den Messungen des Physikers Begnault in Paris als konstante Größe die Dichte Bq trockener Luft bei 0° Temperatur und 760 -mm Druck. Es ist :

(11)

B₀ = 0,00 129 277.

Als weitere konstante Größe ist das Verhältnis der Dichte Bq’ des Wasserdampfes bei 0° Temperatur und 760 mm Druck zu Zl₀ aus physikalischen Messungen bekannt, es ist:

(12)

Z>₀' = d.D₀ = 0,623 B₀ .

Wir setzen voraus, daß der Druck e des Wasserdampfs durch Beobachtung eines trockenen und eines nassen Thermometers (oder auf irgend welche andere Art)

bestimmt worden sei (§ 159). Nach dem Daltonschen Gesetz ist der Druck des Ge-mischs gleich der Summe der Drucke der trockenen Luft und des Wasserdampfs, und dasselbe gilt auch von der Dichtigkeit des Gemisches und seiner beiden Bestandteile. Wir stellen nun die folgenden Bezeichnungen zusammen:

Druck = p — e Dichte — A

n — A)

Dichte = A' n ⁼ Do Dichte = A -+- A' v = d₀.

Es ist unsre nächste Aufgabe, A und A' durch _D₀ bzw. _D₀' auszudrücken. Nach dem Mariottesehen Gesetz ist

Trockene Luft:

Wasserdampf :

» =Po Druck = e

(13)

Gemisch :

v — Po Druck = p v = Po

(14)

(15)

A'

Do'

D₀ Po

also ist

A + A' =

Dp (P — e)

Po

Po

und unter Einführung von (12)

A-t- A'

= —(P — 0,377 e) = ^ 11 Po    Po V

— 0,377

(16)

Wenden wir auf (15) noch einmal das Mariottesche Gesetz an, so ist

Ap _ Pp A + A’ p

also nach. (16)

Aq —

D₀ (l_ 0,8771).

(17)

Eine ähnliche, aber ungemein kleine Reduktion ist auch für den geringen Kohlensäuregehalt der Luft anzubringen. Wenn wir in (13) an die Stelle der trockenen Luft das Gemisch aus trockener Luft und Wasserdampf, in (14) an die Stelle des Wasserdampfes die Kohlensäure setzen und in (15) das Gemisch aller drei Gase, so können wir die vorstehende Entwicklung noch einmal durchführen. In (17) ist dann

für D₀ bereits D₀ (l — 0,377

zu setzen, und wir erhalten dann einen neuen Ausdruck von der Form der Gl. (17). Bezeichnen wir den Druck der Kohlensäure in der Luft mit e', das Verhältnis der Dichte D₀" der Kohlensäure bei 0° Temperatur und 760 mm Druck zu D₀ mit d', so erhalten Avir für (17)

A₀ —

Do (i — 0,377 Ÿj [i — (1 — <0 j] ■

(18)

Der Wert von d’ ist ebenfalls physikalisch bekannt, es ist d' = 1,529. (Die Kohlensäure ist bekanntlich ein schweres Gas, d. h. d! größer als 1.) Der Druck e' der Kohlensäure kann in der Luft als konstant angenommen Averden, nämlich rund

= 0,0004. Setzt man dies in (18) ein, so erhält man

(19)

A₀ = Do(l — 0,377    1,00021.

Zusammenstellung der Schlußformel.

Wir haben zurückzugreifen auf die GL (10), (11) und (19). Setzt man alles ein und sondert die konstanten Teile mit der Bezeichnung K ab, so bekommt man:

(20)

h = Klog B (1 + a t) ^1 ■+■ 0,377 £| (1+0 cos 2 q>) (l-+■

mit

(21)

= 18400

0,76 13,59593    1

g 0,00129277 1,00021 Wir stellen nochmals alle Bezeichnungen und Zahlen werte zusammen: h die zu messende Höhe, und zwar in Metern, weil die Quecksilbersäule 0,76 in (21) und in (10) auch in Metermaß genommen ist;

K = 18400 heißt die barometrische Konstante; ihre Bestandteile nach (21) sind: 0,76 m die angenommene Normalhöhe einer Quecksilbersäule ; u = 0,4342945 der logarithmische Modul,

13,59593 die Dichte des Quecksilbers (im Vergleich mit Wasser), 0,00129277 die Dichte der Luft unter dem Normaldruck (760)₀⁴⁵,

1,00021 der Beduktionsfaktor für Kohlensäure;

B und b die an der unteren und oberen Station gleichzeitig beobachteten Luftdrücke in beliebigem aber einheitlichem Maße gemessen;

272,85

ix = 0,003665 der Ausdehnungskoeffizient der Luft für 1⁰ C, oder a —

t die mittlere Temperatur der freien Luft in C° ; e der mittlere Dunstdruck der freien Luft;

JB -f— b

p der mittlere Luftdruck — —-

0,377 = 1 — d, wobei d = 0,623 die Dichte des Wasserdampfes, bezogen auf Luft von gleichem Druck und gleicher Temperatur, ist; ß = 0,00265 der von der Abplattung der Erde abhängige Schwerekoeffizient ; cp die mittlere geographische Breite der beiden Stationen;

H die mittlere Höhe der Stationen über dem Meer in Metern; r — 6370000 m der Erdhalbmesser.

In unserer Schlußformel (20) ist alles fortgelassen, wras sich auf die Reduktion der Barometerstände auf gleiche Temperatur, auf gleiche Schwere usw. bezieht; diese Reduktionen müssen vor der Anwendung der Formel oder der darauf bezüglichen Tafeln gemacht werden. Die Trennung der Barometerreduktionen von der Höhenformel ist namentlich seit Anwendung der Federbarometer unbedingt nötig, denn die Reduktionen für diese Instrumente kann man keinenfalls in die Formel aufnehmen und die Reduktionen für Quecksilberbarometer, welche man früher allgemein in die Formel aufgenommen hat, z. B. die Schwerekorrektion, sind für Federbarometermessungen nicht giltig.

Neuere Barometerformeln.

Statt der von uns angenommenen konstanten mittleren Lufttemperatur hat man in neuerer Zeit mehrfach besondere Gesetze für die Änderung der Lufttemperatur mit der Höhe in die barometrische Höhenformel eingeführt, z. B. Liznar. Die barometrische Höhenmessung, Leipzig u. Wien, 1904. Ebenso ist für die Feuchtigkeitskorrektion, in der wir den Wasserdampfdruck als konstant angesehen haben, eine Verbesserung durch Einführung des von Hann angegebenen empirischen Gesetzes angestrebt worden (Hann, Lehrb. d. Al et., 2. Aufl., Leipzig 1906 S. 613, Liznar a. a. O., Großmann, Ann. d. Hydr. u. marit. Met,.. 1905, S. 261). Nach Hann besteht zwischen dem Wasserdampfdrucke e₁ und e₂ zweier Stationen, deren Höhenunterschied gleich h ist, die Beziehung

6700

e2 — el 10

und hiermit kann eine strengere Berücksichtigung der Luftfeuchtigkeit stattfinden. Praktisch ist dies indessen bei dem geringen Einfluß dieses Elements auf die Berechnung des Höhenunterschiedes nicht von großer Bedeutung.

Eine neue barometrische Höhenformel für große Höhenunterschiede stellt Siacci auf (Società Reale di Napoli. Atti délia R. Accademia della scienze fisiche e matematiche. Serie secunda, vol. VIII Nr. 11, Napoli 1897). Hierbei werden für die Änderung der Lufttemperatur und des Wasserdampfdruckes der Luft aus den von Glaisher 1862 unternommenen Ballonfahrten empirische Gesetze ermittelt, die sich den Beobachtungen sehr gut anschließen. Mit unsern bisherigen Bezeichnungen lautet die Höhenformel von Siacci

K [log — -j- Pm+1 ¹ ^ ²j (1 -f- « t) (1 -f- ß cos 2 <P) [l -f- -^r'j Wn •

Hierin ist der Koeffizient Pm ■ , von dem Quotienten — , der Koeffizient <pn von dem Quo-

o

tienten

— abhängig, wenn Tx — 273 -\- tx und T« = 273 -f- 4 die absoluten Temperaturen der beiden Ti

Stationen bezeichnen. Es ist

B \w-hl

pm + l — 8Q u

und

tyri —

Mt

71 — 1

■j

10

Für die beiden Konstanten m und n findet Siacci aus Glaishers Messungen die Werte m — — und tt = ll. Indessen ist aus den an einem Ort ausgeführten Glaisherschen Beobachtungen noch nicht auf eine allgemeine Gültigkeit der vorstehenden Formel zu schließen. Vielleicht geben die zahlreichen in neuester Zeit ausgeführten Ballonmessungen genügenden Aufschluß über die Konstitution der Atmosphäre.

§ 161. Barometrische Höhentafeln.

Die vollständige Barometerformel ist nach (20) S. 668 des vorigen § 160 :

h = 18400 log f (1 + « t) (|l + 0,377    (1 + ß cos 2cp)ll+2^

ß = 0,00265 , r = 6 370 000 .

(1)

« = 0,003665

Für die vier Klammergrößen dieser Formel haben wir Hilfstafeln berechnet, welche im Anhang zusammengestellt sind, nämlich:

Anhang Seite [24] Tafel für log ( 1 -+- a t)

„    [23]    „    , log fl + 0,377 )

/    2 H\

„ log (1 + ß cos 2 <jp) und log ! 1 H--— J .

« ! Sh

« [18] „

Eine weitere Tafel für log (1 -f a t) von t = — 45° bis f = + 45° gibt unsere (nachher zu erwähnende) barometrische Höhentafel für Tiefland und für große Höhen, Hannover 1896, auf letzter • Seite 48.

e = + 6,9 mm.

Mittel 713,96 mm * = + 7,7°

Wir wollen mit den Tafeln [24] , [23] , [18] des Anhangs ein Zahlenbeispiel behandeln; wir nehmen dazu die fünfjährigen meteorologischen Mittelwerte von 1871 bis 1875 der zwei badischen meteorologischen Stationen Karlsruhe und Höhenschwand:

Luftwärme

Barometer

Untere Station Karlsruhe Obere Station Höhenschwand 676,13

751,79 mm

+ 9,5°

4-5,9

Feuchtigkeit + 7,5 mm

+ 6,8

(2)

Die Angaben 751,79 und 676,13 sind Quecksilberbarometerstände, und zwar bereits auf 0° reduziert. Dagegen sind die Schwerekorrektionen noch nicht angebracht. Wir bedürfen hierzu der geographischen Breiten und der genäherten Meereshöhen beider Punkte; dieselben sind:'

(3)

Karlsruhe

Höhenschwand

Hl =    120 m

JJ₂ = 1000

<px = 49° V <p₂ = 47 44

Mittel H = 560 m cp = 48° 22'.

Die Schwerereduktion für B und H mit der Breite cp gibt nach § 152 Gleichung (3) S. 636 :

B — B ß cos 2 cp — 2 ~ = Bq±5.

Dieses geradezu ausgerechnet, oder mit Benützung der Hilfstafeln Seite [18] und [19] des Anhangs gibt:

für Karlsruhe

für Höhenschwand 676,13 -4 0,17 — 0,21 = 676,09 . [

751,79 + 0,28 — 0,03 = 752,04 (

(4)

Zur Anwendung der Barometerformel (1) haben wir also nun: B = 752,04 mm b = 676,09

Mittelp = 714mm , e — 6,9mm, t = 7,7°, cp — 48° 22', LT=560m (5) log 752,04 = 2.876 241 log 676,09 = 2.830 005 Differenz

0.046 236

die Tafel    Seite    [24]    mit    t —    7,7° gibt log (1    + a    t)

» V    n    [23]    „

„    „    „    [18]    „    cp =    48,37° gibt log    (1 +    ß    cos 2 cp)

. . . log 0,046 236    8.66498

K= 18400 logK j 4.26482„ 0.01209

e = 6,9 und p = 714 gibt log ^1 + 0,377 - -J . .

ÄH

0.00158

9.99987

»    [18] * H

= 560 gibt log ^1 + ~y~J

0.00008

2.94342

Summe log h

(6)

h = 877,85 m.

Ist die Höhe der unteren Station über N. N. gegeben, nämlich Karlsruhe = 123,0 m, so ergibt sich die Höhe über N. N. der oberen Station Höhenschwand = 123,0 + 877,8 = 1000,8 m.

Barometrische Formeln und Tafeln für besondere Verhältnisse.

Die im vorstehenden gezeigte ausführliche Berechnung nach der allgemeinen Formel (1), bzw. mit den allgemeinen Hilfstafeln Seite [24] , [23] , [18]. kommt nur selten vor. Glücklicherweise machen die drei letzten Faktoren der Hauptformel so

wenig aus, daß man sie für weite Gebiete und für zahlreiche Fälle als konstant behandeln und mit der Konstanten K zusammennehmen kann. Insbesondere für Deutschland nehmen wir in runden Zahlen (e = 7,2 mm § 159 S. 664):

<p = 50°

, H = 500 m.

x> 100 ’

Setzt man dieses in die Hauptformel (1) ein, so bekommt man :

(7)

für Deutschland h — 18464 (log B — log b) (1 -)- 0,008665 t).

(8)

Die einfache Formel (8) ist allen unseren barometrischen Tafelberechnungen, im Anhang Seite [25]—[29], und auch unseren als besonderes Werk im Buchhandel erschienenen Tafeln [s. unten bei (20)] zugrunde gelegt.

Statt, wie hier geschehen ist, e:p — 1 : 100 zu setzen, was sehr bequem, aber für extreme Werte von e auch etwas grob gerechnet ist, kann man auch eine andere Näherung, nach einem schon von Laplace und Biot benützten Grundsätze, anwenden:

In § 159 S. 665 haben wir gesehen, daß in Baden der Dunstdruck e als Funktion der Lufttemperatur t etwa durch folgende Gleichung dargestellt wird:

e — 3,6 mm -)- 0,45 t.

Damit wird, wenn man p rund = 700 mm setzt :

1 + 0,377 A — 1 -)- 0,001939 -j- 0,0002423 t.

In ähnlicher Weise hat Hann aus Beobachtungen in den Alpen (74. Band d. Sitzb. d. k. Akad. d. Wissensch. II. Abt. Juli 1876, Sep.-Abdr. S. 9) folgende Funktion bestimmt:

1 -f f(e) = 1 -f 0,377 A = 1 -f- 0,00154 -f- 0,000341t .

Die Formeln (10) und (11), welche für Baden (Schwarzwald) und für die Alpen gelten, weichen nicht sehr von einander ab. Wir wollen zunächst allgemein annehmen:

1 + f (e) = 1 + 0,377 — = l + a' + ß’t

(9)

(10)

(H)

(12)

und wenn man dieses in die barometrische Hauptformel (1) einsetzt, so erhält man

h — 18400 (1 + a t) [1 -f- f (e)] log (. . . .) (1 + fl cos 2 9>) (1 -f- . . (I -j- a t) [1 f (e)] = (1 -f- a t) (1 -|- a' fl' t)

(13)

(14)

genähert = (1 -f- a') [1 —(— (ce -|— ß') t] .

Nun zieht man den Faktor (1 -f- «') in die Hauptkonstante K = 18400 hinein und nimmt « -f- ß’ zusammen. Indem wir nach der Formel (11) von Hann für die Alpen a’ — 0,00154 und ß’ = 0,000341 einsetzen, bekommen wir aus (13) und (14):

(15)

h = 18428 (1 + 0,004006 t) {log B — log b) (1 + fl cos 2 9>) (1 -f . . .) .

Die Berücksichtigung der Luftfeuchtigkeit hat also die Konstante 18400 auf 18428, d. h. um 0,15°/₀ erhöht und auch den Luftausdehnungskoeffizienten 0,003665 auf rund 0,004 gebracht, was schon Laplace und Biot hatten. Wenn man nun auch die beiden letzten Faktoren von (15) als konstant mit dem ersten Faktor vereinigt, etwa mit <P — 50° und H = 500, so bekommt man :

(16)

h — 18423 (1 -f- 0,004 t) {log B — log b) .

Diese Formel (16) hat einen gewissen theoretischen Vorzug vor der früheren Formel (8), der indessen für praktische Messungen der gewöhnlichen Art, wo man ohnehin nicht scharf rechnen will, ohne Belang ist, und dann durch formelle Nachteile wieder aufgewogen wird. Namentlich wenn man nun zur Berechnung von Tafeln übergeht, welche für möglichst viele Fälle brauchbar sein sollen, so erscheint es mißlich, den Koeffizienten a = 0,003665 zu verändern. Die Vergrößerung von 0,003665 auf 0,0040 in (16) beruht auf einer Näherung, welche zwar der jährlichen Periode der Lufttemperatur und des Dunstdrucks angepafit ist, welche aber der täglichen Änderung der Lufttemperatur bei nahezu konstantem Dunstdruck nicht folgt. F.ine nach der Formel (8) berechnete barometrische Höhentafel kann man jederzeit durch Beigabe eines kleinen Korrektionstäfelchens leicht für jeden möglichen mehr oder weniger genau bekannten Fall der Feuchtigkeitsverhältnisse einrichten ; das ist aber bei der Formel (16) nicht in gleicher Weise der Fall.

Endlich kann man noch zeigen, daß man der Formel (8) oder einer danach berechneten Hilfstafel eine andere Feuchtigkeit in bequemster Weise dadurch unterlegen kann, daß man die Lufttemperatur t ändert, und daß damit noch eine andere Verfeinerung der Formel erzielt werden kann.

Wir haben auf diesem Wege gefunden (3. Aufl. 1888 S. 527—528), daß man die Formel (8) oder die zugehörigen Hilfstafeln dadurch den Hämischen Feuchtigkeitsgesetzen (11) anpassen kann, daß man z. B. zwischen 15° und 20° mit einer um rund 1° höheren Lufttemperatur eingeht, als die unmittelbare Beobachtung verlangt. Ohne dieses hier weiter zu verfolgen, behalten wir nun die genäherte Formel, (8) bei.

I. MeeresMhen.

Man kann die barometrische Höhenberechnung in zweckmäßiger Weise in Differenzenform ausführen, wenn man einen fingierten Barometerstand im Meere annimmt. In Mitteleuropa ist der mittlere Barometerstand in der Höhe des Meeres etwa 762 mm, wir schreiben daher die Formel (8) S. 671 in diese Form :

h = 18464 (1 + 0,003665 t) [{log 762 — log b) — {log 762 - log Bj\.

18464 (1 + 0,003665 t) {log 762 — log b) = Hx 18464 (1 + 0,003665 t) {log 762 — hgB) = H₂. h = H₂ — H₁.

Nun setzt man und

(17)

(18)

Folglich ist:

Die Anwendung soll ein Beispiel zeigen:

Unterer Beobachtungspunkt B = 752,7-mm Luft tx = 16°

„ t₂ = 14

Nun geht man in die Tafel Seite [25] des Anhangs ein, welche für t = 150, gilt, und entnimmt:

Oberer

b = 720,4

(19)

Mittel t = 15°

h = 371,0 m.

(20)

H₂ = 474,9

für 752,7 mm Hx = 103,9 „ 720,4

In dem Anhang dieses Buches haben wir die Werte Hx oder i/₂ nur für den einen Fall t = 15° und von B — 720 mm bis 764 mm ausgerechnet und auf Seite [25] zusammengestellt.

Dagegen haben wir besondere umfangreiche Tafeln dieser Art berechnet und herausgegeben, welche für alle Temperaturen von 0° bis 35° und für alle Barometerstände von 630mm bis 775mm die Höhen Hx bzw. if₂ ebenso bequem geben, wie Seite [25] für den einzelnen Fall der Temperatur 15°, nämlich:

1.    Barometrische Höhentafeln von Jordan, zweite bis 35° erweiterte Auflage, Stuttgart, J. B. Metzler 1886.

2.    Barometrische Höhentafeln für Tiefland und für große Höhen bis 8000 m, Hannover 1896.

3.    Eine kürzere Tafel, nämlich barometrische Höhentafel für t = 15° mit Korrektionstafel für t, ist auch enthalten in unseren mathematischen und geodätischen Hilfstafeln, Hannover, Helwing 1895, S. 78—79.

Hierzu nennen wir noch: Yogler, Graphische Barometertafeln zur Bestimmung von Höhenunterschieden durch bloße Subtraktion. Entworfen von Feld. Braunschweig 1880..

Reduzierte Temperatur. Die Rechnung nach Meereshöhen kann auch für die vollständige Barometerformel (20) S. 668 benutzt werden, wenn statt der mittleren Lufttemperatur eine reduzierte Temperatur eingeführt wird. Dieses Verfahren wandte zuerst Angot an (Annales du Bureau central météorologique de France, Mémoires 1896.

Paris 1898), der die drei Faktoren (1 -+- a t) /l -)- 0,377 ^ j (1 -+- ß cos 2 q>)

zu einem

Faktor von der Form 1 -f- « # vereinigte, und zur Ermittlung der reduzierten Temperatur & bequeme Hilfstafeln anlegte. (Diese Tafeln sind auch enthalten in A. de Quervain, Tafeln zur barometrischen Höhenberechnung nach Angot, Straßburg 1904.)

Noch weiter geht hierin Großmann (Annalen der Hydrographie und maritimen Meteoro-

logie, 1905, 33. Jahrg. S. 261—274) indem er auch den Faktor 1 -j

dnrch die re-r

duzierte Temperatur ersetzt und zugleich die Benutzung einer von 18 400 abweichenden Konstanten ermöglicht.

Für die Anwendung der im vorstehenden S. 672 unter 1. und 2. genannten Höhentafeln schreiben wir die Barometerformel in der Form

h = 18464 % y (1 + a t) ^1 + 0,377    (1 + ß cos 2 <p) ^1 + J1

64

18 400

oder unter Vernachlässigung der Glieder zweiter Ordnung

h = 18 464 % ^ ^1 a t + 0,377 ~ -+- ß cos 2 <p -+- ^ ^ Setzen wir

cos 2 qp +

h = 18 464 log ~ (1 + « T)

übereinstimmend mit der Formel (8) S. 671. eingesetzt, so findet sich

so wird

18 400/ '

0,377 e

ap

R l'ai

64

18 400 a

(21)

(22)

Werden in (21) noch die Zahlemverte

T = t + 102,9 - + 0,72 cos 2 q> +

Fig. 1. Hilfstafel für - —

ß p

2 II

0,003665 r

0,95°.

(23)

580mm

3mm,

6    7    8    9 tO

580mm

600

aL

•\

r-

a:

r-

l5>

3mm

8 ff 10

, qp und H abhängigen Glie-

Zur Berechnung der reduzierten Temperatur haben wir nach (23) die beiden Täfelchen Fig. 1 und 2 entworfen, aus denen die von

der entnommen werden können.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Auf!.

Wir berechnen hiernach noch einmal das Beispiel von S. 670 und entnehmen von dort aus (5)

B — 752,04 mm b = 676,09

Mittelp = 714 mm, e — 6,9 mm, t = 7,7°,    — 48° 22', H = 560 m.

Nach Mg. 1 und 2 ist

4-102,9

= 4- 1,01⁰ und 4- 0,72 cos 2 <p 4-

2 7/

0,003665 r

= — 0,04°

somit wird

T = 7,7° 4- 1,01° —0,04° —0,95° = 4- 7,72°.

Fig. 2.

Hilfstafel für

Mit T — 4- 7,72° ermitteln wir aus den S. 672 — ros 2q> + —. genannten barometrischen Höhentafeln (von 1886)

877,8 m.

f \.Om m 800    1200.

für 752,04 mm 77[ = 108,5 ml _ „ 676,09    77₂ = 986,3 f* “

Für die Benützung einer anderen Höhentafel, der statt der Zahl 18 464 eine andere Konstante zugrunde liegt, ist das letzte Glied in (23) neu zu berechnen.

II. Barometrische HÖhenstufen.

Eine zweite Berechnungsform für barometrische Höhen erhält man durch Darstellung eines Höhenunterschiedes als Produkt nach einem zuerst 1850 von Babinet angegebenen Verfahren.

Daß innerhalb mäßiger Grenzen die Höhendilferenzen ungefähr proportional den Barometerdifferenzen sind (1 mm Barometer gibt ungefähr 10 m Höhe), das zeigt jede barometrische Tafel nach Meereshöhen; und eine erste Näherungsformel hierfür läßt sich rasch bilden. Man hat die Grundformel:

h — 7v'(l 4- a t) (log B — log h)

Differentiierung gibt : d h = K (1 4- at)~d B , (wo f < — 0,43429 ...)

A'(l -4-at)^db.

Nun kann man die Differentiale als Differenzen gelten lassen :

d B = (B — b) oder db = — (B — b)

oder

■f

Pin JÔÔ W iW

(24)

und damit bekommt man :

dli

= u K (1 4- a t)    °der

= o A(1 4- «

(25)

Diese beiden Formen sind gleich berechtigt ; sie unterscheiden sieh nur dadurch, daß im Nenner das erstemal B. das zweitemal b steht. Man bildet daraus eine dritte,

— hat; und indem man zugleich statt des Diffe-

Mittelform, welche im Nenner rentials dh wieder das Zeichen h für einen endlichen Höhenunterschied setzt, erhält

man :

B + b

Dieses ist die gewünschte Form, denn der Höhenunterschied h erscheint als ein Produkt, dessen einer Faktor der Barometerunterschied B — b ist.

(26)

Die in den vorstehenden Gleichungen gewählte Entwicklung ist mathematisch genügend ; wir wollen aber doch noch eine zweite ausführlichere Entwicklung hier vornehmen, um auch den Fehler der Näherung zu bestimmen. Zu diesem Zweck bringt

tä

man den Quotienten

, um den es sich im wesentlichen handelt, in folgende Form :

B— b\

B + bj ■

Wendet man auf den Zähler und auf den Nenner die logarithmisclie Reihe an, so erhält man (mit u = 0,43429) :

B:b= (1 H-

B + b) '

(27)

b)    2 \B + b)    3 \B-gbJ    "J

ML lB + bj    2 \B + bJ    3 \B-\-b) J

logB— logb =    + y    +•••]•

log B —logb = g |~+ j

IB-

Dieses in (24) eingesetzt gibt :

B — b B + b

Läßt man hier das zweite Glied fort, so hat man wieder die frühere Näherungs-forniel (26). Anderseits stellt das zweite Glied von (28) den Fehler der Näherungsformel (26) vor. Dieser Fehler ist also :

h = 2f(I(l -t- «<)£

(28)

Ah

(29)

Für die Genauigkeitsschätzung ist es genügend, den Fall mit t — 0 weiter zu behandeln, und hierfür ist:

A h =

also :

Ah-i.

kj    CO

«    ^

bd: fcti

B—b

B-hb

= 1,296

( h \3 1000/ •

12 ,u2 W2

Die Weglassung des letzten Gliedes in (28) erzeugt also einen Höhenfehler A h, welcher mit der dritten Potenz der Höhe wrächst und folgende Beträge annimmt:

500 m 1000 m 1500 m 2000 m 3000 m

h —    100 m

Ah =    0,001    0,16    1,3    4,4    10,4    35,0.

Die Näherungsrechnung nach der Gl. (26) S. 674 ist hiernach etwa bis zu 1000 m Höhenunterschied, d. h. hei der größten Mehrzahl aller praktischen Fälle zulässig; über 1000 m wird die Näherung rasch unbrauchbar.

Zur Anwendung schreiben wrir die Gl. (26) so :

Mgq + Kt) =

8019

B (1 -f a f) A B.

(30)

wo nun unter B der mittlere Barometerstand und unter A B die barometrische Differenz verstanden wird. Die unmittelbare Ausrechnung nach der Formel (30) ist nicht bequem; der Vorteil dieser Formel tritt aber zutage, wTenn man den einen Faktor tabellarisch verfügbar hat. Wir schreiben:

8019

jf (1 + « t)

Höhenstufe (A lg) = ß (1 + a 0 = h = (A lg) A B .

Die Höhenstufenwerte (/I hf) haben wir als Funktion von B und von t in der Hilfstafel S. [26] und [27] des Anhangs zusammengestellt. Auch unsere kleinen math.-geodät. Hilfstafeln (Hannover, Helwing 1895) geben auf S. 80—81 dieselbe bequeme Höhenstufentafel.

Die ausführlichsten Höhenstufenwerte geben aber unsere auf S. 672 unter 1. und 2. genannten großen barometrischen Höhentafeln mit Meereshöhen insofern, als dieselben auf jeder Seite eine Differenzenspalte „Diff. für 1 mm'' enthalten, welche nichts anderes enthält als eben jene Höhenstufen unter anderem Namen.

Für das Beispiel von (19), (20) S. 672 haben wir demnach B — b = 752,7 mm — 720,4 mm = 82,3 mm; mittlerer Barometerstand = 736,5 mm. mittlere Lufttemperatur t = 15°. Die Tafel S. [26] des Anhangs gibt hierfür die Höhenstufe = 11,49 m, demnach

(81)

h = 11,49x32,3 = 371,0 m.

Die Rechnung ist besonders bequem bei Benützung des Rechenschiebers (vgl. § 162 S. 682).

§ 162. Messung und Berechnung barometrischer Höhen.

Nachdem die Instrumente und die Theorie der barometrischen Höhenmessung beschrieben sind, soll nun die Ausführung und die Gesamtanordnung der Messungen an einigen Beispielen erläutert werden.

Einfache Beispiele für eine einzelne Höhenbestimmung waren bereits bei Erläuterung der Barometertafeln in § 161 in (19), (20) S. 672 und (31) gegeben worden. Hierbei war aber stillschweigend vorausgesetzt, daß die Ablesungen in den beiden Punkten entweder in demselben Augenblick mit zwei genau verglichenen Instrumenten vorgenommen seien, und die Standverbesserung an den Ablesungen bereits angebracht sei, oder daß die Ablesungen nacheinander mit demselben Instrument gemacht seien und in der Zwischenzeit der Luftdruck sich nicht geändert habe.

Wie bei aufeinanderfolgenden Ablesungen und nicht sehr großen Zwischenzeiten verfahren werden kann, um durch zweimaliges Messen des Höhenunterschiedes mit Rückkehr auf den Ausgangspunkt die Luftdruckänderung zu berücksichtigen, möge zunächst die folgende vom Verfasser ausgeführte Höhenmessung der Cheopspyramide mit zwei Federbarometern zeigen :

Zeit

1873, 27. Nov.

3 h 42 m

Beobachtungspunkt Fuß

Gipfel „

Naudet

Goldsclimid

Lufttemperatur

der Pyramide 761,77mm 749,44 749,50

760,47 mm

20,5°

Fuß

747,98

748,14

759,78

19,8

19,9 .

761,06

Die Instrumentenkorrektionen sind bereits angebracht, jede Angabe ist das Mittel

aus

drei bis vier Ablesungen. Die acht Beobachtungen wurden so zusammengestellt:

oben

Naudet

Goldsclimid

Naudet

Goldsclimid

unten

761.77 760,47 761,06

759.78

mm

749,44 mm 747,98 749,50 748,14

Differenz

12,33 mm ( 12,49    \

11,56 11,64

Aufgang | Niedergang

Mittel

760,77 mm

748,76 mm 12,01

mm.

Wir nehmen hiernach für die Berechnung als korrespondierend 760,77 mm und 748,76 -mm, mit der mittleren Lufttemperatur 20°. Der mittlere Barometerstand ist abgerundet B = 755 mm.

Nach der Tafel Seite [26] des Anhangs hat man für B — 755 mm und t = 20° die Höhenstufe = 11,40 m-, es ist also die Höhe der Cheopspyramide :

h = 11,40 X 12,01 = 136,9 m.

(Ebenso kann man mit den gemessenen Barometerständen nach der Tafel 1. . S. 672 rechnen, wie im Beispiel (19), (20) S. 672.)

Statt wie hier aus Hin- und Bückgang geradezu das Mittel zu nehmen, kann man auch von der Voraussetzung ausgehen, daß die Luftdruckänderung proportional der Zeit eintritt, und für die Barometerablesungen eine mit der Zeit fortschreitende Verbesserung des Standes (Zeitverbesserung) ahleiten. Dies empfiehlt sich besonders, wenn die Zeit zwischen den aufeinanderfolgenden Ablesungen sehr verschieden ist, und hei einer solchen an den Ausgangspunkt wieder anschließenden „Schleife“ an mehreren Zwischenpunkten abgelesen worden ist.

Als Beispiel möge der folgende Auszug aus dem nachher S. 681 zu behandelnden größeren Beispiel einer barometrischen Messung hei Hameln a. W. dienen. Die Schleife geht von einem Nivellementsbolzen N B aus und dahin zurück. Die Barometerstandänderung vom Anfang 3!i 35 m bis zum Schluß 5 * 36 m beträgt 0,4 stand sei die erste Ablesung um 3 h 35 m genommen. Mit dem am Bechenschieber einergeben sich (bei Abrundung auf

zustellenden Beduktionsfaktor für eine Minute

0,4

»m.

(1)

Als Anfangs-

121

0,1mm) die im Beispiel eingetragenen reduzierten Barometerstände, die hierzu mit t —15° aus der Barometertafel entnommenen Höhen und danach mit der gegebenen Ausgangshöhe NB — 71,4m die Höhen über N. N. (Zu den beiden eingerechneten Punkten 10 und 63 sind die aus einer tachymetrischen Aufnahme bekannten Höhen zum Vergleich angegeben.)

Punkt Zeit

Barom. red. Barom.

Barom.- Höhe über N. N. Tafel (+71,4 —13,3 = —|—58,1)

1+LTTV

wm

NB    3    35    0    760,8    0,0 = 760,8

10    4    32    57    749,1    +0,2 = 749,3

63    5    06    91    753,9    -+    0,3= 754,2

NB    5    36    121    760,4    -+    0,4 = 760,8

13,3

71,4

142,2

87,0

13,3

200,3 (geg. 201,5) 145,1 ( „ 147,3)

71,4

mittl. Lufttemperatur = 15°.

Man kann die Beduktion auch statt an den Barometerständen an den zu den nicht reduzierten Ständen entnommenen Höhen anbringen und diese nach der Zeit auf die Ausgangshöhe verbessern, — oder auch hei Bechnung mit der Höhenstufe die Barometerdifferenzen (oder auch die Höhenunterschiede) nach den Zwischenzeiten reduzieren, wobei die Summe der Höhenunterschiede Null sein muß.

Barometrische Höheneinschaltung.

Ohne irgendwelche barometrische Theorie kann man zwischen zwei fest gegebenen Punkten weitere Zwischenhöhen einschalten, mit der Annahme, daß die Barometerstände sich nahezu proportional den Höhen ändern, wie folgendes Beispiel zeigt:

0,4

121 .

Punkt

Gegeben Beobachtet

0 b

11,81 ó' B \ Berechnet j Höhen-= 8H

II

stufe

ch a

728,9    704,1

707,0

716.4

718.4

mm

721,2

471,4    725,9

^ J>0 J>0 zo tO •<1 OO *0 ^ 'CD

84,2 mm

111,1

23,6

33,1

55,5

728.9    m 694,7 583,6 560,0

526.9 471,4

257,5

21,8

= 11,81

257,5    21,8

= A 11

21,8    257,5

—    = AH

Die aus den Beobachtungen hervorgehende Höhenstufe ist 257,5 : 21,8 = 11,81 m und damit hat man dH= 11,81 X 2,9 = 34,2m usw. Diese ÖH kann man meist mit dem Rechenschieber ausrechnen, und zwar in unserem Falle auch ohne Zwischenrechnung der Höhenstufe :

257,5

257,5

An Rechenarbeit wird bei dieser Interpolationsberechnung im Vergleich mit der Benützung der barometrischen Höhentafeln nur dann etwas gewonnen, wenn man, bei mäßigen Höhen, die Interpolation mit dem Rechenschieber macht.

Will man sich von der bei dieser einfachen Interpolation zu machenden Voraussetzung frei machen (vgl. das in § 164 S. 685 behandelte Fehlergesetz), so macht man die Einschaltung mit Benützung der barometrischen Höhentafeln, indem man (mit Einführung der Lufttemperatur) zuerst die Höhen nach der Tafel aufschlägt, oder auch mit der Höhenstufe rechnet und danach den Anschluß Widerspruch proportional verteilt. Dieser Fall wird in dem größeren Beispiel S. 681 enthalten sein.

In unseren ausführlichen Barometertafeln (s. S. 672) haben wir auch eine Anleitung gegeben, wie man zwischen beliebig weiten Grenzen mit Hilfe der Tafel dadurch interpolieren kann, daß man die etwa gemessene Lufttemperatur zunächst uiiv benützt läßt und eine solche Lufttemperatur annimmt, daß die Tafelwerte sich ohne Widerspruch in das Höhenintervall einfügen.

Nach diesen einfachen Beispielen betrachten wir nun noch die Anordnung bei der Ausführung größerer Aufnahmen. Für die Lage der Punkte ist hierbei in der Regel, wie bei der Flächennivellierung § 111, eine Karte als Grundlage gegeben (vgl. auch § 163). Die Luftdruckschwankungen werden festgestellt entweder durch fortlaufende Ablesungen an einem Standbarometer oder durch wiederholten Anschluß an gegebene Höhenfestpunkte.

21,8

2,9 = 34,2

9,4 = 111,1 usw.

Aufnahme mit Standbarometer.

Am 6. Juli 1887 wurde eine barometrische Aufnahme der bis zu 200 -m betragenden Höhen bei Nenndorf gemacht, und zwar solcher Höhen, welche früher trigonometrisch oder tachymetrisch gemessen waren, so daß die Fehler der barometrischen Messung sich nachher angeben lassen werden.

Da die Messung auf mehrere Stunden ausgedehnt werden sollte, wurde ein Standbarometer zu korrespondierenden Beobachtungen in Nenndorf, Hotel Cassel, zurück-

gelassen und ein Beobachter dazu gesetzt, welcher viertelstündlich dieses Standbarometer mit innerer Temperatur und ein im Schatten aufgehängtes Thermometer für Lufttemperatur abzulesen beauftragt wurde.

Zur Feldbeobachtung sind wohl zwei Instrumente zu empfehlen; unsere Mitteilung soll sieh jedoch, der Übersichtlichkeit wegen, nur auf ein Instrument (Bohne) erstrecken.

Zur Feldausrüstung gehört noch ein Schleuderthermometer, welches etwa von halber zu halber Stunde geschwungen wird und die nötigen Lufttemperaturbestimmungen liefert (vgl. § 159).

Vor dem Abgang ins Feld erfolgt die Vergleichung des Standbarometers 7<₀ mit dem Feldbarometer B₂ ; und dasselbe geschieht nach der Rückkehr zum Standbarometer. (Vor dem Abgang werden auch die Taschenuhren verglichen bzw. gleichgestellt.) In unserem Falle ergab sich vor der Messung _Z?₂ — 7>o = —1,37 mm und nach der Messung —1,51mm, also eine Änderung von nur 0,14 mm, was zulässig ist, weshalb man nun das Mittel —1,44 mm = c als konstante Reduktion des Standbarometers für die ganze Messungsreihe annimmt. Diese Berechnung von c= — 1,44 mm ist in der ersten Spalte der untenstehenden Tabelle ausführlich gegeben

In der Tabelle sind alle Barometerablesungen bereits mit ihren besonderen Instrumentenkorrektionen versehen, und im Falle mehrfacher Ablesung als Mittelzahlen eingesetzt.

Für diese besonderen Temperatur- und Teilungskorrektionen usw. werden in dem Stationsbeobachtungsbuch und in den Feldschreibbüchern besondere Spalten angelegt und die danach reduzierten und bei Wiederholungen in Mittel zusammengefaßten Beobachtungen aus jenen Büchern in die Berechnungstabelle eingetragen.

Barometrische Höllenmessung bei Nenndorf, 6. Juli 1887.

Stand-ver-glei-chung Barom. B%—

— c

Stand

beobachtungen

j reduz. Luft Barom.

— Bi

Feldbeobachtungen

Höhenberechnung

B₀

Ort und Zeit

Barom. Luft

Barom.

Tafeln

Ul’ I Hl I

H„-H7 = d

= II

üb. NN.

mm

— 1,37

mm

757,12

757,11

757,27

757,60

757,68

758,09

758,16

758,33

758,64

mm

mm

19,8°    755,67

19,3    755,83

19.2    756,16

18,5    756,24

17.2    756,65

17,2    756,72

16,8    756,89

Hotel Cassel 2/i50»! 755,75 3    15

Galenberg Kamm.Brunnen 3 49 4 30

Galenberg

Hotel Cassel

Schießhütte

Heisterburg

Sehießhütte

6 25

6 45

757,13

CO    tr^    co    CO    «O    CO

rH    r—I    i—I    i—I    i—I    1—4    rH

H co_ »n Or M H 5; H Oi »o T« o C5 t*' t- 0 5D CO to »o IO

110,3

131.8

234.2

306.9

231.2 123,8

95,6

+++++++

86,2

i-H    05_    IO    C3    i-^

io    o    o    H    co    5D    ©

H    H    N    N    (M    N    N

125.4

148.7 254,9

328.4

257.4

150.7

124.7

86,2

Mittel

17,4°

Mittel

Diesem Übertragen wird in betreff der Stationsbeobachtungen häufig eine graphische Ausgleichung vorhergehen müssen. In unserem Falle z. B. ist die Änderung des Luftdrucks im Laufe des Nachmittags von 757.12mm auf 758,64mm ziemlich bedeutend; man trägt daher die Barometerkurve und die Lufttemperaturkurve (auf einem vorgedruckten Liniennetze) auf und entnimmt aus diesem rückwärts die Stationswerte B() und U für jeden gebrauchten Zeitpunkt der Feldbeobachtung.

Nachdem so die Spalten B₀ , G , 7I₂ , der obigen Tabelle ausgefüllt sind, beginnt die Berechnung, zu welcher nur wenig zu bemerken ist:

Die Standbeobachtungen _B₀ werden auf 7>₀ -+- c = B₁ reduziert, die Lufttemperaturen #2 und t₂ in Mittel --    —²- = t zusammengefaßt und auch das Gesamtmittel

t — 17,4° gebildet.

Wenn dieses Gesamtmittel t von den Einzel werten t nicht mehr als 1—2° abweicht, so kann man das Gesamtlufttemperaturmittel für die ganze Beihe als konstant gelten lassen; andernfalls rechnet man in Gruppen mit verschiedenen Temperaturen. Man sei hier nicht zu ängstlich; diese durch Schleuderthermometer erhaltenen Lufttemperaturbestimmungen sind immer von örtlichen Umständen abhängig, welche man doch nicht in Rechnung nehmen kann; z. B. um 3fl 49’» hatten wir in der kühlen Schlucht des Kammerratsbrunnens 15,0° und um V> 20»* an der 100 -m höheren Schießhütte 18,0°.

In unserem Falle nehmen wir für den ganzen Nachmittag von 37i 15 m bis 6 h 25 m die Lufttemperatur konstant und abgerundet t= 17°. Nun braucht man unsere in § 161 S. 672 berichteten barometrischen Höhentafeln (2. Auflage, Stuttgart, J. B. Metzler 1886), von welchen auf Seite [25] des Anhangs eine Probeseite für t— 15° gegeben ist; man schlägt die Seite 39 jener Tafeln auf mit t= 17° und setzt von da die Meereshöhen und ein. Ist nun 77₀ die bekannte festgegebene Höhe des Stationspunktes (Hotel Cassel) über N. N. (es kann auch irgend ein anderer Punkt zum Anschluß an N.N. gegeben sein), so kann man für je zwei zusammengehörige Meereshöhen Hi und 77/ auch die Höhe 7/₂ des Feldpunktes über N. N. berechnen:

(1)

H₂=H, + {H^-H{)

oder bequemer:

Wenn der Luftdruck im allgemeinen, also das Standbarometer 7>(l oder 7q, während der Dauer der Messung nahe gleichgeblieben ist, so ist auch die hier eingeführte Differenz d nahezu konstant, und deswegen, sowie auch aus anderen Gründen, die vorstehende Bechnungsform (2) bequemer als die Form (1).

Sind so die sämtlichen Feldhöhen ausgerechnet, so hat man unter Umständen noch Reduktionen für die Instrumenthöhe anzubringen; in diesem Fall kommt das nicht vor. Es ist überhaupt ganz allgemein empfehlenswert, alle Ablesungen in einer konstanten Instrumenthöhe, etwa 1 nv, über allen Punkten, Festpunkten und Geländepunkten vorzunehmen.

Wir können unser Beispiel (welches der Übersicht wegen hier auf sieben Beobachtungen beschränkt vorgeführt wird) auch zu einer Genauigkeitsbetrachtung benützen, in zweifachem Sinne; indem erstens drei Punkte hin und her gemessen sind, und zweitens alle Punkte anderwärts trigonometrisch bestimmt sind. Folgendes ist die Vergleichung:

(2)

TL, = H,' + d, wo d=H₀ — 77t'.

Punkt

Barometrische Höhenmessung Trigonometr. Fehler-Mittel Messung Barom.

hin

her

Galenberg Kaimnerratsbrunnen .    .    .    148,7

Schießbütte Heisterburg

125,4 uv 124,7 uv 125,0 w 150,7    149,7

254,9 I 257,4    ! 256,2

328,4

328,4 uv

124.3    uv

148.7

252.8

326.3

t> © -T rH

o~ r-T cd cd

Mittel

+ 1,8

Dieses zufällig getroffene Beispiel kann wohl auch etwa die Genauigkeit im allgemeinen veranschaulichen, denn der mittlere Fehler solcher barometrischer Höhenmessungen beträgt in der Tat etwa 1—2 -m, wie in § 164 noch näher gezeigt werden wird. (Zum Vergleich mit dem nachfolgenden Einschaltebeispiel sei erwähnt, daß die vorstehenden Abweichungen alle gleiches Vorzeichen haben.)

Für die korrespondierenden Beobachtungen, welche in dem hier betrachteten Falle angestellt wurden, kann man statt eines Beobachtungsgehilfen auch ein registrierendes Federbarometer aufstellen, wie z. B. von G. Lufft, Metallbarometerfabrik, Stuttgart. Die Korrektionen eines solchen Instrumentes müssen ebenso wie bei jedem anderen Federbarometer bestimmt werden.

Aufnahme mit dem Festpunktanschluß.

In manchen Fällen (bei topographischen Aufnahmen, geometrischen Vorarbeiten) hat man im Aufnahmegebiet eine Anzahl von Höhenfestpunkten aus trigonometrischen oder tachymetrischen Höhenmessungen oder Nivellements gegeben, oder auch als Grundlage für die barometrische Höhenmessung besonders bestimmt. Dann lassen sich die vorher behandelten Methoden der Aufnahme in Schleifen und mit Höheninterpolation im Zusammenhang anwenden.

Das Folgende ist ein Beispiel aus einer größeren Aufnahme in den Weserbergen bei Hameln im Sommer 1900.

Auf dem Wege zu dem aufzunehmenden Geländeabsehnitt ist an allen passend gelegenen Festpunkten eine Ablesung genommen worden, ebenso auf dem Rückwege. Bei der Geländeaufnahme werden die Wege so genommen, daß man etwa alle halbe Stunde (bei unsicherem Wetter wenn möglich öfter) einen Festpunktanschluß erhält. Lufttemperaturbestimmungen erledigt man zweckmäßig an den Festpunkten. Wichtig ist, daß diese günstig liegen, an den höher und tiefer gelegenen Geländeteilen in passender Verteilung.

Barometrische Höhenmessung bei Hameln, 1. Juni 1900.

(Wetter ruhig; bedeckt; später Regen.)

Punkt

Zeit

in

Luft

tempe

ratur

j Eeder- j Baro-barometer (verbessert) j

meter-

Tafel

Gegebene

Höhen

II— h

Zeitver- j besserungj (graphisch)

Höhen über N. N. (h + z)

Anschluß-

Fehler

mm

NB 3    35

A Esche ® F P

46

16,2 jj 760,8

59,4

13,3

28,9

71,4

88,9

58,1

60,0

300

4    03

56 |    16,0

56,8

56,1

57,9    117,6

65,8

59,7

Ol U» Ol u*

CO © © © S CO ©

72,7    — 1,3

S8,0    + 0,9

116,9 i| +0,7 124,6

®    10    4    32 |    15,5

49,1

144,5

201,5

57,0

57,9

202,4

— 0,9

327

54

14,6

52,1

110,6

56,9

167,5

A Esche

25

5    36

15,0

CO Ol ®

CO CO © CO cT io io 1(5 io «D

’-t «o <»

© t- -n t-© 07) CO CO t—I

147,3

154,0

122,0

88,9

71,4

©    05    co^

(D    Cû    t*    -H    CO

K5    lO    K5    O    K5

56,2

56,0

55,6

55,0

54,5

146,6

153.1

120.2

89,5

72,3

+ 0,7 + 0,9 + 1,8 — 0,6 — 0,9

Mittel 15,4 ii ! — 15°

Für die barometrische Aufnahme des Geländeabschnittes waren die Punkte F P, 10 und 63 tachymetrisch bestimmt worden. Die zum Anschluß weiter benützten Höhen der Dreieckspunkte sind durch trigonometrische Höhenmessung bestimmt; NB ist Nivellementsbolzen. Das Federbarometer ist von Bohne, 11 cm Teilungsdurchmesser, in 0,2 mm geteilt. Die Instrumenttemperatur schwankte innerhalb 2°; Temperatur- und Teilungsverbesserung sind aus den Korrektionstäfelchen entnommen, addiert und auf l/₁₀ mm abgerundet zugefügt worden. Die Lufttemperaturen sind mit einem Schleuderthermometer gemessen; mittlere Temperatur für die Rechnung in ganzen Graden : 15°.

Die Vergleichung der aus der Barometertafel entnommenen Werte mit den gegebenen Höhen gibt die Unterschiede H—h, welche auf quadriertem Papier als Ordinaten zu den als Abszissen genommenen Beobachtungszeiten aufgetragen wurden. Eine ausgleichend durchgezogene Linie (flache Kurve mit möglichstem Anschluß an F P, 10, 63) gibt zu jedem Zeitpunkt die Verbesserung z, womit die Höhen über N. N. erhalten werden. Die letzte Spalte gibt den Anschlußfehler. Als Fehlergrenze wurde für dieses gute Instrument mit halbstündigem Festpunktanschluß 3 m festgesetzt. Die größte Abweichung betrug bei der Aufnahme 2,6 m (für ein Taschenbarometer 4,1 m).

IsobarenJcorrektion.

Die Anwendung der barometrischen Höhenformel auf Punkte, die nicht in derselben Lotlinie liegen, setzt voraus, daß die Flächen gleichen Luftdruckes parallel zur Meeresfläche liegen. Bei kleinen Entfernungen, wie sie im Aufnahmegebiet geometrischer Vorarbeiten u. dgl. Vorkommen, wird diese Voraussetzung unbedenklich sein, während hei größeren Entfernungen Punkte gleicher Meereshöhe beträchtliche Unterschiede des Luftdrucks zeigen können. Man bezeichnet die auf 111 lim (Bogenlänge von 1° auf der Erdkugel) reduzierte Luftdruckdifferenz als Luftclruckgradienten, so daß z. B. der nicht selten vorkommende Gradient von 5 mm für zwei Punkte im Abstand von 10 4m bereits rund 0,5 mm Luftdruckdifferenz gibt. Liegen längere Beobachtungsreihen vor, aus denen Monats- oder Jahresmittel gebildet werden können, so lassen sich aus den Isobarenkarten die erforderlichen Korrektionen entnehmen ; indessen wird dieses Verfahren in wenig erforschten Erdteilen nicht zuverlässig sein, " und man wird sich dort auf größere Fehler in den berechneten Höhen gefaßt machen müssen.

Graphische und mechanische Hilfsmittel.

Wenn man barometrische Zahlentafeln berechnet vorliegen hat, so kann man daraus auch andere Hilfsmittel ableiten. Die Höhenstufentafel S. [26]—[27] des Anhangs kann man in Verbindung mit dem gewöhnlichen Rechenschieber benützen, was uns das einfachste scheint, zumal die Höhenstufe, im Mittel etwa 11,5 m, für ganze Gruppen von Ausrechnungen nahe konstant bleibt.

Man kann aber auch für solche Zwecke einen Eechenschieber besonders herrlchten. Vgl. Koppe ln der „Zeitschr. f. Verm. 1871“ S. 17 und „Zeitschr. des Hann. Ing.- u. Arch.-Verelns 1888“ S. 551—574, sowie Vogler, „Anleitung zum Entwerfen graphischer Tafeln“, Berlin 1877 S. 110 ; Bischoff, Eechenschieber zur Berechnung barometrischer Höhenmessungen „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 279 bis 282 ; Hammer, Hilfsmittel zur Berechnung barometrischer Höhen mit Benützung von Höhenstufen „Zeitschr. f. Instr. 1896“ S. 161-167.

Als ein Beispiel rein graphischer Behandlung einer langen Messungsreihe von etwa 1000 Ablesungen erwähnen wir unsere libyschen Höhen („Physische Geographie und Meteorologie der Libyschen Wüste, von Jordan“, Cassel 1876 S. 178 — 193 und Tafel IV). Die Barometerwerte wurden auf einem

§ 163.

Reduktion schiefer Entfernungen durch Aneroiddifferenzen.

688

langen Liniennetz längenprofilartig anfgetragen, für die Keise selbst und für die korrespondierenden Stationen, so daß jede Ordinatendifl'erenz zwischen der Reisekurve und der Stationskurve als Maß für einen Höhenunterschied diente. Die Lufttemperatur wurde bei den geringen Höhen als konstant angenommen, so daß zum Verwandeln der Ordinaten in Höhenmaß ein Maßstab genügte. In anderem Falle würde man mehrere Höhenmaßstäbe machen, oder man kann auch eine Anordnung wie die früher in der „Zeitsehr. f. Verm. 1873“ S. 306—308 mit lithogr. Tafel von uns angegebene zur Berücksichtigung der Luftwärme benützen.

§ 163. Reduktion schiefer Entfernungen durch Aneroiddifferenzen.

Obgleich die Frage, wie man barometrisch bestimmte Höhen der Lage nach in eine Karte eintragen kann, im allgemeinen eine für sich bestehende ist, und mit der barometrischen Höhenbestimmung sonst nichts gemeinsam hat, gibt es doch einen Fall, in welchem die Lagezeichnung in inniger Beziehung zur barometrischen Höhenmessung seihst steht, nämlich die Reduktion schiefer Entfernungen mit Hilfe der Aneroid-ablesungen an den Endpunkten. Dies hat besondere Bedeutung für die Aufnahme von Längenprofilen mit Federbarometer, Meßband (Meßleine) oder Schrittmaß. Wir wollen dabei die Höhenstufe für 1mm Barometer rund konstant = 11,5 m annehmen, und haben dann für eine schiefe Entfernung S mit der Aneroiddifferenz b am Anfang und Ende, also Höhenunterschied h = 11,5 b, die auf die Horizontale reduzierte Entfernung:

s = ys^-k* = vs*—(n,5 6)2.

Nehmen wir z. B. S = 95 m und b — 3,5 mm, also h = 40,25m, so wirds = 86,1 m.

Eine Hilfstafel hierfür haben wir auf S. [28] des Anhangs gegeben. (Ausführliche Tafeln für solche Zwecke gab Hammer in „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 359—366, vgl. 1900 S. 347—353.) Die geometrische Konstruktion hierfür zeigt Fig. 1.

Fig. 1.

mm

mnv

mm

V-

-6-

G-

-4-

«4

-2-

-fr

nv

iOO

vi

4:2500

Hier sind die mit l, 2, 3 ... 7 mm bezeichneten Parallelen so gezogen, daß sie von der Geraden AX die Abstände ll,5m, 23,0m usw. haben; dann erhält man für das vorstehende Beispiel mit S = 95 m und b = 3,5 mm den Wert s = 86 m, indem man AB = 95m mit der linken Zirkelspitze in A und mit der rechten Spitze in B bei 3,5 mm einsetzt, dann B festhält und BC nach links berührend annimmt. Dieses B C = s = 86 m kann man ebenso wie A B auf dem Maßstab abmessen oder geradezu in die Karte übertragen.

684

Beduktion schiefer Entfernungen durch Aneroiddifferenzen.

§ 163.

Diese Beduktion für schiefe Bandmaße ist sehr leicht. Schwieriger war eine Aufgabe, welche wir im Anschluß hieran früher uns stellten, nämlich auch Schrittmaße an Abhängen, aufwärts oder abwärts, durch Aneroiddifferenzen auf horizontales Metermaß zu reduzieren.

Über das Schrittmaß an sich haben wir das Nötige schon früher in § 23 S. 84 bis 87 mitgeteilt, und S. 86 die Beduktion von Schrittwerten auf die Horizontale bei verschiedenen Steigungen oder Gefällen angegeben.

Bei barometrischen Messungen hat man den Steigungs- oder Neigungswinkel des auf- oder abgeschrittenen Weges nicht unmittelbar, wohl aber mittelbar durch die Differenz der am Anfang und am Ende abgelesenen Barometerstände, welche für den vorliegenden Zweck hinreichend genau in Metermaß verwandelt werden durch Multiplikation mit 11,5. Nach diesem Maße haben wir eine Hilfstafel für unseren Schritt

berechnet, welche auf S. [29] des Anhangs mitgeteilt ist, und durch ein einfaches Beispiel erläutert werden soll. Man habe 60 Schritte aufwärts gemacht, zu Anfang 752,4 mm- und am Ende der Strecke 751,8 mm abgelesen, also eine barometrische

Differenz — —0,6mm erhalten; , dann ist nach S. [29] die Horizontalprojektion des zurückgelegten Weges = 36 m.

Man kann hierfür ein ähn-

Fig. 2.

-2,0

-1,5

mm

liches Diagramm machen wie bei Bandmessungen, es werden dann aber die Linien für konstante b nicht mehr Gerade wie in Fig. 1 S. 683, sondern Kurven, wie Fig. 2 zeigt.

Die Anwendung dieses Diagramms mag ein Beispiel mit runden .y Zahlen zeigen. Man habe 100 Schritte aufwärts mit Aneroiddifferenz A B = — 1,0mm, man nimmt A B=100s v aus dem Schrittmaßstabe, dann B Q von rechts nach links berührend, mit dem Zirkel auf den Metennaßstab abgetragen, wird B G — 60 m geben in Übereinstimmung mit der Tafel.

Übrigens ist nebenstehendes Diagramm (Fig. 2) nicht genau gemacht, es soll hauptsächlich das Prinzip veranschaulichen; ein genaues Diagramm dieser Art wäre wohl in größerem Mäßstab herzustellen, mit engeren Kurvenscharen und dann photographisch zu verkleinern. Zudem ist jedem Praktiker, der diese Sache anwenden will, zu empfehlen, die Deduktionen für seinen eigenen Schritt selbst neu zu bestimmen. Dazu sei nochmals bemerkt, daß unsere Beduktionszahlen von S. 86, auf welchen auch die Tabelle S. [29] beruht, erhalten wurden aus 136 Vergleichsstrecken, welche scharf, mit dem Meßbande gemessen, mit dem Freihandhöhenmesser in Hinsicht der Neigungs-

------ßO-m-

aufwärts

abwärts

1 : 2500

50

-1,0

-0,5

-+ 0,5

-+1,0

-+1,5

-+2,0

-+ 2,5

100 Meter

50

100 Schritte

mm

winkel bestimmt und dazu abgeschritten wurden (nebenher wurden auch noch Aneroid-ablesungen gemacht).

Dieses Verfahren, welches zuerst in der „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 485—488 von uns mitgeteilt wurde, hat weitere Verwertung gefunden bei der topographischen Aufnahme im Großherzogtum Hessen, worüber Auskunft gibt eine Schrift: „Tabellen zur Verwandlung von Schrittwerten in Metermaß“, berechnet und herausgegeben von J. Heil, Großh. Hess. Geometer erster Klasse, Darmstadt, Herbertsche Hof buchdruckerei 1891 und „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 354—364, mit fünf Tabellen. Der Verfasser sagt, daß er nach dem Vorgänge von Prof. Jordan das Schrittmaß zuerst versuchsweise bei seinen topographischen Arbeiten verwendet und sich dabei von der Brauchbarkeit des Verfahrens überzeugt habe.

Auch eine andere zustimmende Erfahrung hierzu liegt vor von P. Kahle („Zeitschrift f. Verm. 1893“ S. 225), Reduktion von Schritten auf Meter, wobei „die wertvollen Anhaltspunkte für die Art und Weise der Schrittverkürzung nach Jordan zugrunde gelegt werden“.

§ 164. Fehlergesetze und Genauigkeit der barometrischen Höhenmessung.

Die theoretischen Fehlergesetze der barometrischen Höhenmessung lassen sich aus der barometrischen Höhenformel durch Differentiieren ableiten.

Jene Formel ist im wesentlichen (§ 149 S. 622 und § 161 S. 671) :

h = K (log B — log b) (1 -+- a t).

Wenn man hier nach B differentiiert, dann nach b und nach /;, so erhält man die entsprechenden drei Teilfehler:

dhB = ^0(1 + « t)

(1)

l:

d Jib =

l~db(\ + at)

dlit— h a dt.

Der Wert (2) ist derselbe, welchen wir schon bei den Betrachtungen über barometrische Höhenstufen (§ 161) kennen gelernt haben, und die Zahlenwerte dafür erhalten wir aus der entsprechenden Hilfstafel S. [26]—[27] des Anhangs.

Wir wollen hieraus zur Übersicht einen kleinen Auszug bilden, mit dB oder db — +. 0,1 mm.

Höhenfehler d'h für einen Barometerfehler dB oder db — + 0,1mm.

5 = 760 5 = 730 5

700 B = 650 B = 600 .5=550 5=500 5=450

11V

0°

1,06

1,10

1,15

'YYl

10

1,09

1,14

20

1,13

1,18

1,19

1,23

30

1,17

1,22

1,27

1,4

1,5

1,6

1,6

1,6

1,6

1,7

1,8

CO H—¹ i—^ H—¹

'o 00 -<1

Innerhalb so weiter Grenzen (bis zu Höhen von 4000—5000 m) ist allerdings dieser Fehlerwert ziemlich schwankend, zwischen lm und 2 m für 0,1mm; indessen wenn man im Mittelgebirge bleibt, so kann man diesen Fehler wohl als konstant an-nehmen. Hiernach wollen wir setzen :

(5)

dhß = dhb = + 1,1 m für d B oder für d b = + 0,1 mm.

Ein ganz anderes Gesetz zeigt der von der Lufttemperatur herrührende Fehler dht nach (8); dieser ist nicht konstant, sondern wächst proportional mit der Höhe selbst. Setzt man dt = +1° und a = 0,003665, so findet man aus (3):

d ln — +. 0,003665 h oder = 0,3665 °/₀ der Höhe.

Nun können wir aus den Bestandteilen (5) und (6) eine einfache theoretische Fehlerformel zusammensetzen ; da der Fehler (5) zweimal (oben und unten) vorkommt, haben wdr den Gesamtfehler:

(6)

Ah = V2 (1,1)2 _|_ (0,003665hf = V2,42 + 0,0000 1343 W. Hiernach ist zur Übersicht folgendes berechnet:

Mittlerer zu fürchtender Fehler Ah einer barometrisch gemessenen Höhe h.

h = 500-m Ali — + 2,4w h = 1000m Ah = + 4,0 m

2000 3000 4000 5000 6000

h = 0i n- Ali = -1~ 1.6

100

-m

1,6

2,7

7,3

(7)

600 700 800 900 1000

Diese Zahlen (oder besser eine danach aufgetragene Kurve) zeigen nun jedenfalls die Hauptfehlerverhältnisse, nämlich, daß bei kleinen Höhen der Fehler lange nahezu konstant bleibt, mit rund 1—2m, daß der Fehler aber bei größeren Höhen über 1000 m sehr rasch zunimmt.

200

300

400

500

1,7

1,9

2,1

2,4

3,0

3,3

3,6

4,0

11,1

14,7

18,9

22,0.

(8)

Bei sehr großen Höhen genügt das vorstehende Fehlergesetz nicht mehr. Zunächst müßte man hier den konstanten Fehlerteil stärker annehmen (vgl. Tabelle (4) S. 685), und zweitens bringen bei großen Höhen die Lufttemperaturen häufig noch stärkere Fehler als solche für dt=+_ 1°.

Um die § 162 S. 678 an einem Beispiel erläuterte einfache Interpolationsberechnung theoretisch zu untersuchen, und den dabei begangenen Fehler zu bestimmen, betrachten wir zuerst die strengen Formeln:

AH = Hi — Hx = Klog

J5₂

= Flog ^1 +

ÖH = IB — H = K log

-®2

— K log ( 1 +

B —Bo

Dabei soll K auch den Faktor (1-4- at) usw. mit enthalten, und die Lufttemperatur sei als konstant angenommen. Mit kürzeren Bezeichnungen AB — B± — Bo und Ö B — B — Bo gibt dieses entwickelt :

AH = Klog(l-t

AB

ÖH = Klog |l -+-

ÖB

Bo

ÖB _ 1 / ö B \2~J _

~B^~2 [b₂)

1 AB\

"ATd1_2 j

1    0 B

2    Bö

ÖH _ ÖB

AH~ JB I .    \ AB

V“2X

1ÄB—ÖB

_ 44 /'

~'ÄB\

1    ÖB 1 AB

2    Bo ⁺ 2 ~BÖ,

ÖH _ ÖB ! AH~ A~B\

2 B₂

ÖB

AB

ÖH

AH

AB

Ö B -h

1    AHÖBÖB'

2    Afö ~~2TïT ‘

/,    1 ÖB'\

(1 + 2ï)

(9)

Das zweite hier in (9) auftretende Glied stellt den Fehler vor, welcher Begangen wird, wenn nach der Proportionalinterpolation gerechnet wird. Dieser Fehler erreicht seinen größten Wert, wenn in dem Produkte 5 B 5 B ' beide Faktoren gleich werden,

dann ist d B ö B' —

dB AB _ (A L)__ un(j Garnit wjr(j c|er Fehler :

2    2    4

'A H\2

wj •

1 AH AB 1 (AHf ~~ "8 JiK

AB __ AH

B.j /i K

Fehler mit dem Quadrate des Höhenunterschiedes A H der Anbindepunkte, und beträgt :

200 m 300 m 400 m 500 m 1000 m

15,6 .

fmax —

-= 0,156

(10)

Hier ist wieder

gesetzt worden. Nach der Formel (10) wächst der

für Ji7= 100 m fmax — 0,16

Erfahrungsresultate über Genauigkeit barometrischer Höhenmessungen, namentlich für Federbarometer mit mäßigem Höhenunterschiede, liegen in großer Zahl vor, z. B. von Koppe in der „Zeitschr. f. Verm. 1874“ S. 1—28. Derselbe findet (S. 27) aus 248 Anschlüssen an nivellierte Punkte den mittleren Fehler = + 1,6«. Ähnliche Untersuchungen werden mitgeteilt von Schoder („Hilfstafeln usw.“ S. 40—43), Bauernfeind („Beobachtungen und Untersuchungen über die Naudetschen Aneroidbarometer“ S. 34—52), Schreiber („Flächennivellement mit Aneroidbarometern“ S. 29—32).

Man kann aus der Zusammenfassung aller solcher (auch des Verfassers) Erfahrungen den Schluß ziehen, daß bei Anwendung aller nötigen Sorgfalt der mittlere Fehler einer Federbarometermessung bei Höhen bis etwa 200 m nicht mehr als 1—2 m beträgt. Dieses gilt für Federbarometer, welche kleine relative Messungen genauer gehen als Quecksilberbarometer, während letztere dann vorzuziehen sind, wenn es sich um große Intervalle und um Erhaltung des Standes handelt.

Beine Einschaltungsmessungen geben bei mäßigen Höhen und mäßigen Zwischenzeiten mit Federbarometern noch geringere mittlere Fehler als 1— 2 m. Verfasser hat bei solchen Einschaltungen selbst wiederholt mittlere Fehler unter 1 m gefunden, anderseits fanden wir auch bei Einschaltungen einzelne starke Fehler, wenn schroffe Wechsel, auf und ab, und wenig gangbarer Weg vorhanden war.

Die eigentümlichen Fehlerverhältnisse für größere Höhen werden wir in § 166 besonders behandeln.

0,6

1.4

2,5

7,8

§ 165. Barometrische Höhen ohne korrespondierende Beobachtungen.

Das Bedürfnis korrespondierender Beobachtungen erhellt aus den beständigen Änderungen im Zustand der Atmosphäre. Wenn korrespondierende Beobachtungen und Festpunktanschlüsse nicht zu haben sind, muß man auch ohne solche auszukommen suchen. Das nächste Mittel ist hierzu, bei nicht sehr großen Zwischenzeiten (besonders für lokale Höhenunterschiedbestimmungen), das Zurückkehren auf den Ausgangspunkt, wofür die vom Verfasser ausgeführte (§ 162 S. 676) behandelte Höhenmessung der Cheopspyramide ein Beispiel ist.

Ähnlich wie das Zurückkehren auf den Ausgangspunkt wirkt in bezug auf Ersatz korrespondierender Beobachtungen das (vgl. § 162) Weitergehen zu einem zweiten Fixpunkt.

Wenn man barometrische Höhenmessungen ohne korrespondierende Standbeobachtungen und ohne Rückkehr auf den Ausgangspunkt oder Abschluß auf einem zweiten Fixpunkt hat, so bleibt nichts übrig, als den Luftdruck während der ganzen Dauer der Messung als konstant anzunehmen. Bei kurzer Zeitdauer und ruhigem Wetter geschieht das oft. Zur Überlegung, welche Fehler (im allgemeinen wohl für Deutschland zutrelfend) dabei etwa entstehen, haben wir einen Jahrgang (1869) der barometrischen Ablesungen der Station Karlsruhe durchgegangen. Die Ablesungen sind täglich morgens 7 Uhr, mittags 2 Uhr und abends 9 Uhr, also bei Tage in je sieben-stündigen Zwischenzeiten, gemacht. Die Mittel der entsprechenden Barometeränderungen für je sieben Stunden sind diese:

+ 1,4 m m

+ 0,9 mm

Juli August September Oktober November Dezember

Es zeigt sich, daß die Veränderungen in den Sommermonaten, während welcher am meisten gemessen wird, kleiner sind als in den Wintermonaten. Die größte Änderung betrug 7,9 mm am 9. Dezember zwischen 7 und 2 Uhr. Im ganzen Jahre kamen 15 Änderungen, die größer als 5 mm waren, vor, und hiervon fällt nur eine in die Monate April bis August.

Bedenkt man, daß die starken Änderungen an stürmischen und gewitterigen Tagen stattfinden, an welchen gewöhnlich nicht gemessen wird, so wird man die durchschnittliche siebenstündige Änderung für ruhige Beobachtungstage unter 1 mm annehmen dürfen, also die durchschnittliche emstündige Änderung nur etwa zu 0,1 mm (entsprechend einem Höhenfehler von 1 m).

Hierzu sei auch zitiert: Über die größten Barometersprünge in der Zeit einer Viertelstunde, von Schreiber, „Meteorologische Zeitschrift 1889“ S. 64—65. Es sind die 19 Jahre 1870—1888 durchgezählt mit 665 760 Viertelstunden. In diesen 19 Jahren zeigten sich 824 Tage mit auffallenden Druckschwankungen, oder auf ein Jahr 17 Tage.

Januar

Februar

März

April

Mai

Juni

1,6

2,0

1.5

1,4

1,2

1,0

1,4

1,5

1,9

1,9

Gesamtmittel

= + 1,5 mm für sieben Stunden oder

= + 0,2 mm für eine Stundę.

Unmittelbare Bestimmung von Hohen über dem Meer.

Wir betrachten noch in Kürze ein wesentlich anderes Verfahren der barometrischen Höhenmessung ohne korrespondierende Beobachtungen, nämlich die Bestimmung absoluter Meereshöhen unter der Voraussetzung, daß der Barometerstand im Meeresspiegel einen gewissen, aus irgendwelchen anderweitigen Beobachtungen geschlossenen Wert habe. Am Meere selbst läßt sich der Barometerstand unmittelbar beobachten, außerdem berechnet man den auf den Meeresspiegel reduzierten Barometerstand irgend eines Ortes, dessen Meereshöhe bekannt ist, durch umgekehrte Anwendung der Barometerformel. Allerdings fehlt hierbei die Kenntnis der Temperatur für die angenommene Luftsäule vom Beobachtungsort bis hinunter zum Meeresspiegel, so daß man zu einer Annahme hierzu gezwungen ist. Gewöhnlich nimmt man eine Temperaturzunahme nach unten von 0,5° auf 100 m an, und kann danach die Reduktion‘ausführen.

Für Süddeutschland haben wir den mittleren auf das Meer reduzierten Barometerstand bestimmt durch die Ausgleichung der Barometermittel und der Höhen von 26 badischen und württembergischen Stationen, wie schon gelegentlich eines ähnlichen kleinen Beispiels in unserem I. Bande, 5. Aufl. 1904, S. 77 erwähnt wurde, und in

der „Zeitsehr. d. Österreich. Gesellschaft f. Meteorologie 1880“ S. 162—167 mitgeteilt ist, nämlich:

JBq = 762,56 mm + 0,10 mm .

Dabei ist die Schwerekorrektion des Quecksilbers bereits in Rechnung gebracht.

Die erste wissenschaftliche Sammlung und Verarbeitung von Barometerbeobachtungen in diesem Sinne ist enthalten in der Abhandlung von Alexander Buchan : „The mean pressure of the atmosphère and the prevailing winds over the globe, for the months and for the year“, veröffentlicht in „Proceedings of the Royal Soc. of Edinburgh, Vol. XXV. April 1869“ S. 575—637, mit drei Tafeln Isobaren. Eine Übersicht über diese Verhältnisse gibt: „Atlas der Meteorologie (Berghaus, Physikalischer Atlas, Abteilung III), 12 kolorierte Karten in Kupferstich mit 61 Darstellungen, bearbeitet von Dr. Julius Hann, Direktor der k. k. Zentralanstalt für Meteorologie und Erdmagnetismus in Wien. Gotha, Justus Perthes 1887“, insbesondere: Bl. VI, VII und VIII, Isobaren und Winde im Jahre, im Januar und im Juli.

Diese Darstellungen beziehen sich auf die ganze Erde; für Europa ist die neueste Arbeit hierüber: „Die Verteilung des Luftdruckes über Mittel- und Südeuropa, dargestellt auf Grundlage der 30 jährigen Monats- und Jahresmittel 1851—80, nebst allgemeinen Untersuchungen über die Unveränderlichkeit der Luftdruckmittel und Differenzen, sowie der mehrjährigen Perioden, von Dr. J. Hann. Direktor der k. k. Zentralanstalt für Meteorologie und Erdmagnetismus in Wien, 1887“.

Aus diesem Werke S. 165—173 haben wir von 205 Stationstabellen die folgenden sechs ausgezogen (vgl. „Zeitschr. f. Venn. 1888“ S. 295—300):

Luftdruck im Meeresspiegel, 'nach Hann 1851—1880 (mit Schwerekorrektion).

Monat

Hamburg

Berlin ¹

Dresden

Karlsruhe

Wien

München

Mittel

August September Oktober . November Dezember

761.8

761.6

760.2

760.7

761.3 761,2

760.9 760,7

761.9 760,6 760,6 761,1

763,0

762.1

760.4 760,8

761.2

761.5

761.1

761.2 762,4 761,7 761,1 762,0

763.8

762.8

761.1

761.2

761.3

761.9 762,0 761,9 763,1

762.3

761.8

762.9

764,9

763,7

761.4

761.3

761.5

762.5

762.3

762.3

763.4

762.6 762,1 764,3

765.5 764,0

761.2 760,7 760,4

761.3

761.4

761.6

763.4 763,1 762,9

764.5

766,0

764.8 762,0

761.4 761,1

762.4 762,6

762.5

763.9

763.3

763.4

765.5

764.2

763.2 761,0 761,0 761,1 761,8 761,7 761,7 763,0

762.3 762,0

763.4

J ahresmittel

761,1

761,5

762,2

762,7

762,4

763,2

762,2

Außerdem geben wir in Fig. 1 S. 690 eine verkleinerte Darstellung von Hanns Isobarenkarte für Jahresmittel (mit Schwerereduktion).

Außer der jährlichen Periode hat das Barometer auch eine tägliche Periode, welche bei uns sehr unbedeutend, zwischen den Wendekreisen und auch in Nordafrika

44

erheblich ist, wie folgende zwei Beispiele für Stuttgart und die Libysche Wüste (letzere im Winter) zeigen.

Tageszeit

Stuttgart

Lib. Wüste

Tageszeit

Stuttgart J Lib.

Wüste

Mitternacht 0 h

2

4

Morgen

6

8

10

Mittag

12

-)- 0,13 mm + 0,03 — 0,10 + 0,01 + 0,28 + 0,36 — 0,05

+ 0,05 mm — 0,34 j — 0.41 ! — 0,02 | +0,82 ! + 1,22 I +0,47

Mittag

Abend

12*

2

4

6

8

10

Mitternacht 12

—    0,05 mm

—    0,31

—    0,38

—    0,27 + 0,02 + 0,21 + 0,13

+ 0,47 mm

—    0,48

—    0,76 | - 0,58

—    0,12

+ 0,19

I + 0,05

Fig. 1. Jahresmittelisobaren in der Meeresfläche, nach Hann. Maßstab 1 : 23 000 000.

0°v.Breenwich

10°

's

y

31)

y»    ^

s~-ä>\

60°

SS

Ą -

i y";

-

S-L

n i i

+3S.

'

a

r

7

'

lull

<

55°

uv^ß

i&KnKBrt

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m

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Lilie

2

/ vü

Hannover

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+9PM|S4i

V

0°

+•+

+.

3S1T+52

10°

d.

20°

Ygl. hierzu Hann, Bemerkungen zur täglichen Oszillation des Barometers. Mit einigen Änderungen mitgeteilt aus Wiener Akad. Bd. 93, S. 981 (1886). Repertorium der Physik 1887 S. 80. Hann, Meteorologische Zeitschrift 1S98 S. 361—387, 1899 S. 499—504.

Als Beispiel für feinere Berechnung barometrischer Höhen ohne korrespondierende Barometerablesungen können wir eine Beihe von Barometerablesungen erwähnen, welche der Beisende Cail-liaud vom 1. Januar bis 9. Februar 1820 in der Oase Beharieh täglich dreimal gemacht hat. Wir haben die Höhenberechnung dazu ausgeführt in „Physische Geographie und Meteorologie der Libyschen Wüste“ S. 194, wo auf S. 179—194 noch weiteres über solche Verhältnisse mitgeteilt ist.

§ 166. Periodische Fehler der barometrischen Höhen.

Man hat schon frühe erkannt, daß die Fehler der barometrischen Höhenmessung nach dem gewöhnlichen Verfahren nicht ganz unregelmäßig, sondern nach gewissen Gesetzen, insbesondere der Tageszeit entsprechend, eintreten. Kamond fand schon 1808 eine Höhe zu verschiedenen Tageszeiten so :

Tageszeit: 7h Vorm.

Höhe:

12'* Mittag 258™

3'* Nachm. 254 m

251m

9* Abend 252 m.

Plantamour benützte zehnjährige Beobachtungen (1841 — 1850) in Genf und auf dem St. Bernhard, in Monatsmittel vereinigt, berechnete die Lufttemperaturen rückwärts aus den Barometerbeobachtungen und aus den bekannten Höhen, und verglich die berechneten Temperaturen mit den beobachteten.

In Deutschland hat zuerst Bauernfeind sich mit dieser Sache beschäftigt und hierüber „Beobachtungen und Untersuchungen über die Genauigkeit barometrischer Höhenmessungen, München 1862“ veröffentlicht.

Die Untersuchung wurde hauptsächlich in der Form geführt, daß aus den anderwärts genau bekannten nivellierten Höhenunterschieden und den beobachteten Barometerständen die Lufttemperaturen mittels der Barometerformel rückwärts berechnet und mit dem arithmetischen Mittel der

unten und oben beobachteten Lufttemperaturen verglichen wurden. Wir wollen eine solche rückwärts barometrisch berechnete Temperatur mit & bezeichnen und das Mittel der beobachteten Temperaturen. mit t ; dann handelt es sich um die Differenz ß — t , welche einen ausgesprochen regelmäßigen Tagesverlauf zeigte, wie aus folgendem Beispiel zu ersehen ist, welches sich auf Bauernfeinds Messungen am Großen Miesing zwischen den Stationen I. und V. bezieht ; I. ist 815,86 m und V. ist 1883,53 m über dem Meere, also die Mittelhöhe H — 1349 m und der Höhenunterschied h = 1068,17 m (Bauernfeind S. 9 und 69).

Die Beobachtungen sind an den sieben Tagen 22.—28. August 1857 angestellt, bei einer mitt

leren Lufttemperatur von 13,5° B. = 16,8° C. Die Mittelzahlen ß — t sind nach Bauernfeinds Ausgleichung (Beob. u. Unters. S. 69 und 65 von B° in C° und von bayer. Fuß in Meter reduziert) die folgenden :

Bauernfeind, Grosser Miesing, August 1857, h = 1068 m.

Mittag

9 h 10 h 11 h 12 h 1 h 2 h 3 h + 1,8° +1,0° +0,3° —0,3° —0,9° —1,3° —1,4° -1,1° —0,2° +1,0° +2,2°

— 7,0 m — 3,6 m — 1,1 m -j-1,1 m -f- 3,2 m -+- 4,8 m -f- 5,3 m -\- 3,9 m -f 0,8 m — 3,7 m — 8,6 m.

Bauernfeind schloß hieraus (Beob. u. Unters. S. 62), daß die Thermometer bis gegen 10 Uhr morgens die Lufttemperatur zu niedrig (t < ß), zwischen 10 und 4 Uhr zu hoch (t > ß), nach 4 Uhr aber wieder zu niedrig (t ß) angeben ; er leitete daraus die Begel ab, daß die günstigsten Tageszeiten für barometrische Höhenmessungen vormittags 10 Uhr und nachmittags 4 Uhr seien.

Wenn h der wahre Höhenunterschied ist, welcher zu der rückwärts berechneten Lufttemperatur ß gehört, und h ' der falsche Höhenunterschied, zur beobachteten Lufttemperatur t gehörig,

Morgen

Abend

Tageszeit 8 h ß — t h' — h

4 7;

6 7;

(1)

so ist :

h ' = K {log B — log b) (1 + a t)

h — h' — a h (ß — t).

Da a z= 0,003665 = 1 : 273, wird im obigen Falle mit h = 1068 der Wert ct 7; = 3,9, womit man die oben bei (1) angegebenen Zahlen summarisch bestätigen kann.

h — K (log B — log 1>) (1 -\- cc ß) h : h' — (1 + a ß) : (1 + « t)

und

also

(2)

Solche Untersuchungen wurden fortgesetzt von Biihlmann („Die barometrischen Hühenmessungen usw.“, Leipzig 1870), welcher an einer von ihm angestellten sächsischen

Beobachtungsreihe und an den von Plantamour (s. o.) entlehnten sechsjährigen Jahresmitteln der Beobachtungen von Genf und St. Bernhard tägliche und jährliche Perioden der barometrischen Fehler fand. Auch hier zeigte sich im allgemeinen ein ähnliches Verhalten, wie am Großen Miesing; die Hauptergebnisse hiervon haben wir (nach Rühlmann S. 60 und 63) in folgender Tabelle zusammengestellt:

(3)

Genf—St. Bernhard, 1860—1865. h ~ 2070 in.

Mitternacht 12 h 2 h

Morgen

Abend

Mittag

4 h 6 h    8 h    10 h    12 h    2 h    4 h    6 h    8 h    10 h

9 — t + 0,8° + 1,5° + 1,5° + 0,4° — 1,9° — 3,4° — 4,1° - 4,0° — 3,3° —2,0° —0,6° + 0,2°.

In ähnlicher Weise zeigte sich auch ein periodischer Jahresverlauf :

Jan. Febr.    März April    Mai    Juni    Juli    Aug.    Sept.    Okt,    Nov.    Dez.

9 — t +1,8° +1,1°    +0,1° —0,1°    —0,3°    —1,1°    —1,3°    —0,7°    +0,3°    +1,2°    +1,3°    +1,7°.

Hiernach besteht in den Sommermonaten und    in der    warmen Tageszeit im allgemeinen eine

negative Korrektion 9 — t, d. h. man muß die auf gewöhnliche Weise mit dem Thermometer bestimmten Lufttemperaturen t vermindern, um diejenigen Temperaturen 9 zu erhalten, welche zu richtigen barometrischen Höhenunterschieden h führen.

Die so berechneten Werte 9 sind hierbei wahre „Lufttemperaturen“ genannt worden, was aber falsche Vorstellungen erzeugt hat und unvorsichtig ist; es gibt für jene Werte 9 überhaupt keine andere Definition, als durch ihre Entstehung mit Rückwärtsanwendung der Barometerformel, wobei 9 konstant und die Luftsäule ruhend gedacht ist.

Untersuchungen von Guido Grassi, Süll influenza delT Epoca nelle Livellazioni barometriche, nach „Fortschritte der Physik der Erde im Jahre 1883“ S. 314—315 gaben für Juli, August und September sehr nahe die vorstehende Regel, d. h. die berechneten Höhen wachsen vom Morgen bis zur Zeit der höchsten Tagestemperatur, werden jedoch gegen Abend immer kleiner. Bei Regen, Kälte und Wind ergeben sich zu kleine Höhen, und es kann der Gang der Höhenkurve sogar umgekehrt erscheinen, d. h. es können mittags kleinere Höhenunterschiede sein als am Morgen und Abend.

Eine neuere Beobachtungsreihe dieser Art von Reina („Zeitschr. f. Venn. 1897“ S. 20—21) zwischen Rom und Monte Cavo mit h = 898-m, Mai bis Juli 1895, gab folgendes :

Tagbogenzeit T h' — h 9 — t

— 0,8 + 2 m — 0,6°

Tagbogenzeit T    + 0,0

h' — h

9 — *

+ 0,1

+ 9 m    +9 in

— 2,7°    —2,7°

Vormittag

-0,2 + 8 m -2,4°

-0,1 + 9 m -2,7°

— 0,0 + 9 m„ - 2,7°

+ 0,6 + 6 m — 1,8°

+ 0,7 + 5 m -1,5°

(4a)

+ 0,8 + 3 m — 0,9°.

Die Zeiten T sind Bruchteile des halben Tagbogens, würden also mit T— — 1,0 den Sonnenaufgang und mit T = + 1,0 den Sonnenuntergang bezeichnen. Die barometrischen Höhenfehler h ' — h sind alle positiv, im Mittel sind die barometrischen Höhen um 7 m zu groß. Das Verhalten ist anders in Deutschland, wo nach Bauernfeind h ' — h zweimal im Tage gleich Null wird, nämlich vormittags 10 Uhr und nachmittags 4 Uhr. Daß aber die h ' — h etwa nach dem wahren Mittag ihr Maximum erreichen und daß sie morgens und abends kleiner werden, das stimmt in Deutschland und Italien

zusammen.

Als wichtigstes Ergebnis zitieren wir die von Rühlmann (a. a. 0. S. 76 u. 77) angegebenen und durch die vorstehenden Untersuchungen bestätigten Sätze : Die Luft erwärmt sich bei weitem nicht in dem Maße und nicht so rasch als dies die Thermometer anzeigen; die Luft nimmt nur wenig und zögernd Anteil an den täglichen Schwankungen und in sehr vermindertem Maße an den jährlichen Schwankungen der Temperatur. Die Extreme der Lufttemperatur sind immer, sowohl bei der täglichen als auch bei der jährlichen Periode gegen die Extreme der Thennometerangaben wesentlich verzögert.

Bei großen Entfernungen findet Kohlschütter einen weiteren periodischen Fehler, nämlich tägliche und jährliche periodische Schwankungen des Luftdruckgradienten und damit auch der Isobarenkorrektion. Der tägliche Verlauf des Gradienten stimmt nahezu überein mit der Differenz der Luftdruckwellen der beiden Punkte. Für Entfernungen von 600—800 km findet sich eine tägliche Amplitude von rund 1,5 mm. (Weiteres hierüber ist enthalten in „Abhandlungen der Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen“. N. F. Bd. V Nr. 1 Berlin 1907.)

Theorie der periodischen Barometer fehler.

Wir haben zuerst die von Bauernfeind gegebene Erklärung zu berichten, daß die an der Oberfläche der Erde ermittelten Angaben des Quecksilberthermometers im allgemeinen nicht die richtige Lufttemperatur zeigen. Dieses war lange die einzige Erklärung, welche uns aber nicht genügend scheint.

Ein nächster Schritt zur Untersuchung der Temperaturfehler besteht darin, daß man in der Entwicklung der Barometerformel von der gewöhnlichen rohen Annahme einer konstanten Lufttemperatur abgeht und eine weniger gezwungene Annahme zugrunde legt. Wir haben dieses getan mit der Form :

(5)

t = t₀ -j- A x -(- B x² C x3 wo t₀ die Lufttemperatur in der halben Höhe der Luftsäule und x die von da an nach oben und unten gezählte Höhe eines Punktes ist, in welchem die Lufttemperatur t stattfindet. Wir haben dieses in der 3. Auflage dieses Bandes 1888 S. 544—546 behandelt, und wollen davon hier nur die Endformel hersetzen :

(6)

«<*-*)* •

Dabei bedeutet, wie früher bei (1) und (2), ■& diejenige Lufttemperatur, welche man aus gegebenen h, B und b durch die Barometerformel rückwärts rechnet, dann und t,, die unten und oben in gewöhnlicher Weise etwa durch Schleuderthermometer erhaltenen Lufttemperaturen, Ti und T._, die Temperaturabnahme für 1 m unten und oben, d. h. :

*i = —

*3 =--T

, und ex. — 0,003665.

Das letzte Glied der Formel (6) wird wohl nie von Belang sein, da a : 12 nur — 0,0003 ist.

t\ ~l~ h_

Indem wir dieses letzte Glied in (6) fortlassen und

t schreiben, haben wir aus (6) :

& — t — — 0,0833 (t₂ — T i) h .

Hierbei ist t die in üblicher Weise erhaltene mittlere Lufttemperatur, {+ die barometrisch aus dem Höhenunterschiede h und den Barometerständen berechnete Lufttemperatur, ti und die Temperaturabnahme für die Höheneinheit, unten und oben.

Wir haben durch mancherlei Versuche mit dieser Formel zwar eine bessere Erklärung der Differenzen & — t erhalten als bei den früher üblichen Annahmen, allein eine genügende Erklärung scheint uns auch auf diesem Wege noch nicht möglich zu sein.

Wirkung der durch die Wärme beeinflußten Dichtigkeit der Luft kommt hier auch noch die dynamische Wirkung der zu verschiedenen Tageszeiten aufwärts und abwärts gerichteten vertikalen Luftströmungen in Betracht.

Ein mit gewisser Beschleunigung aufsteigender Luftstrom wird weniger Druck am Quecksilberbarometer zeigen, als eine ruhende oder sich gleichförmig bewegende Säule.

In dem Lehrbuche der Meteorologie von Sprung, Hamburg 1885 S. 160—162, wird der -Ein

Wenn es aber auch gelingen sollte, das Temperaturgesetz nach den Höhen, das ja die Hauptrolle spielt, durch Ballonfahrten oder auf anderem Wege zu bestimmen, so würde das für die Verfeinerung der Theorie der barometrischen Höhenmessung noch nicht genügen, denn außer der statischen

fluß der Luftbewegung auf die vertikale Druckverteilung“ mit der Annahme einer Beschleunigung d w

in der vertikalen Luftsäule untersucht, und es wird dabei gefunden, -daß in der freien Atmosphäre der Einfluß des Bewegungszustandes auf die vertikale Druckverteilnng als eine zu vernachlässigende Größe zu betrachten sei“.

Auch in einer Abhandlung von Exner in dem Repertorium der Physik, 24. Band, 1888 S. 162,

„über die barometrische Höhenformel“ wird zitiert : „Daß man zu der Vereinfachung (nämlich Voraussetzung eines vollkommenen Gleichgewichtszustandes der Atmosphäre) berechtigt ist, hat Sprung (Lehrbuch der Meteorologie S. 161—162) durch Berechnung extremer Beispiele gezeigt. Nur bei den seltenen Fallwinden (Föhn, Bora usw.) ist eine Vernachlässigung der vertikalen Komponente nicht gestattet. Im allgemeinen aber dürfte man berechtigt sein, in der freien Atmosphäre den Einfluß, des Bewegungszustandes auf die vertikale Luftdruckverteilung als eine zu vernachlässigende Größe zu betrachten.“

Indessen ist in der zitierten Entwicklung angenommen, daß die Beschleunigung der vertikalen Luftbewegung der ganzen Höhe nach konstant sei : wenn wir dagegen eine veränderliche Beschleunigung annehmen, etwa in dem Sinne, daß die Beschleunigung an dem einen Ende der Luftsäule (unten

oder oben) einen gewissen Wert habe, und am andern Ende (oben oder unten) Null sei, so kommen wir zu einem wesentlich anderen Ergebnis. Wir haben in diesem Sinne eine der Sprung sehen Entwicklung analoge Rechnung durchgeführt, mit der Annahme, daß die Gesamtbeschleunigung sich durch einen Ausdruck darstellen läßt : wo das erste Glied g₀ für ruhende Luft gilt, und die folgenden Glieder g₀, y, H usw. von der vertikalen Bewegung der Luft in der Höhe H herrühren. Es zeigt sich, daß auf diese Weise die Annahme erheblich geringerer Luftgeschwindigkeiten zur Erklärung barometrischer Höhenfehler genügt, als wenn man einen der ganzen Höhe nach konstanten Beschleunigungsbeitrag zu g₀ annimmt.

Von den Zustandsänderungen, insbesondere Wärmeänderungen, Kondensierung von Wasserdampf usw. ist hierbei nicht die Rede, indem zunächst nur gefragt wird, ob die rein dynamische

Wirkung auf- oder absteigender Luftsäulen Fehler der barometrischen Höhenmessung erklären kann, welche von gleicher Größenordnung sind, wie die bekannten täglich periodischen barometrischen Höhenfehler.

Fig. 1. Mittag

Diese Frage läßt sich bejahen, und jedenfalls kann das Vorzeichen der bekannten barometrischen periodischen Fehler mit der vorstehenden dynamischen Erklärung in Übereinstimmung gebracht werden, wie durch das nebenstehende Schema (Fig. 1) angedeutet ist:

Die Vorzeichen von h’ — li und von %}■ — t entsprechen den Erfahrungen am großen Miesing (1) und am großen Bernhard (3), und die Erklärung ist diese :

Wenn morgens die Luft von der warmen Erde einen Antrieb von unten zum Aufsteigen erhält und oben noch Ruhe ist, so wird die untere" Barometerablesung zu klein, also die berechnete barometrische Höhe h' im Vergleich zur wahren Höhe h zu klein. Wenn gegen Mittag der Auftrieb sich oben stärker merkbar macht, so wird h' zu groß, und wenn abends oben die Luft anfängt niederzusteigen, während unten Ruhe ist, so wird h' wieder zu klein. Bei Nacht kann ein Mittelzustand zwischen den für Abend und Morgen angedeuteten Zuständen bestehen, mit der Wirkung h' <C. h . Die Erfahrung hat ergeben, daß die barometrisch gemessenen Höhen diese Periode haben.

Morgen

h’ < h # > t

h ' > h &< t

Abend

h' < h

¹

An der Wettersäule in Berlin am königl. Schlosse sind für die Höhe 41,5»» Luftdrucksmonatswerte angegeben, welche um 3,8 mm vermehrt, sehr nahe mit den Angaben von Hann für Berlin in der Höhe Null übereinstimmen, nämlich im Winter um etwa 0,1 mm kleiner und im Sommer um 0,1»»»» größer sind als die Werte von Hann. Jahresmittel beide = 761.5 mm.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

§ 167. Literatur der barometrischen Hölienmessung.

Die Literatur der barometrischen Höhenmessung ist so umfangreich, daß hier nur das Wichtigste davon angegeben werden kann.

1805. Laplace. Traité de mécanique céleste. Tome IV. Paris 1805. S. 293—294. Erste theoretisch vollständige Barometerformel :

r = 18336 (1 -f- 0,002845 cos 2 rp) ^ 1 + t 0,00375 ) ^1 -f log ~ + -L 0.S68589J

Erdhalbmesser a = 6366198. Dabei sind Quecksilberbarometerstände (h) und h vorausgesetzt,

2 M r    r

deren Schwerekorrektion in dem Zusatz-!-----=0,868589 — enthalten ist. Die Laplacesche

a    et

1808.

1811.

1818.

1850.

1851.

1862.

Konstante 18336 wurde nicht theoretisch, sondern durch Vergleichung barometrischer und

trigonometrischer Höhen nach Ramond erhalten. In dem Faktor ( 1 4- — ), welcher unserem /    ₂ZA    V «/

^1 -j--) entspricht, setzt Laplace die untere Meereshöhe

Die obige Formel gilt zunächst für trockene Luft ; zur Berücksichtigung der Luftfeuchtig-

= Null.

2jt+ry

keit ändert dann Laplace den dritten Faktor und schreibt statt dessen 1 nachher von Biot ausführlicher angegeben wird.    v

Ramond. Mémoire sur la formule barométrique. Paris 1808.

Biot. Tables barométriques portatives etc. avec une instruction contenant l’histoire de la

1000

, wie

formule barométrique etc. Paris 1811. Die Einleitung gibt auf S. 10—11 die Berechnung für den Einfluß des Wasserdampfes auf die Dichte und den Druck der Luft (wie jetzt allgemein üblich und in unserem § 160 in den Gleichungen (13)—(18) S. 667 gegeben ist). Der Druck des Wasserdampfes wird von Biot S. 13 angenommen 2,561 mm -f- 0,43245 t . Dieses entspricht unserer Formel (9) § 161 S. 671 und die weitere Rechnung Biots ist eben im wesentlichen jene in unserem § 161 (9)—(12) nach Laplace und Biot mitgeteilte. Biot erhält so den erhöhten Temperaturkoeffizient 0,0039127, welchen er auf 0,004 aufrundet und nachher in dem 4 T+t _2(T+t)

“ 1000

Gliede

1000 2 X— 18334 (1 -f 0,002837 cos 2 ip)

benützt. Die Schlußformel von Biot S. 27 ist :

[(■+$(*+

2 (T + 0

1000

Die Höhentafeln von Biot geben auf neun Seiten rohe Meereshöhen mit T -\-t von 1 ⁰ zu 1° und H oder h von 1 mm zu 1 mm.

Gauß. Berliner astron. Jahrbuch für 1818 S. 169—172. Hilfstafel zum Höhenmessen mit dem Barometer. „Die Tafel gibt in aller Strenge den Laplace sehen Ausdruck wieder.“

Babinet. Comptes rendus etc. Tome 30. janvier-juin 1850. Paris 1850 S. 309 : Nivellements barométriques. Modification de la formule barométrique de Laplace pour éviter l’emploi

des Logarithmes et des Tables. La formule de Laplace est :

2= 18393 m (log H — log h) ^1 -f

2(ï’+0'

1000

Pour des hauteurs moindres que 1000 m (et même pour les hauteurs beaucoup plus grandes quand on n’a besoin que de résultats approximatifs) on la transforme dans la suivante :

H-h /    2(T-H)\

U -f- h \ ^    1000 J

Hierzu ein Beispiel, aber keine Begründung. Später hierzu Comptes rendus. 52. Band, jan.-juin 1861. Paris 1861. S. 221—223, Entwicklung ähnlich wie in unserem § 161 (27) —(28) S. 675 , aber ohne das Fehlerglied (29). Die Konstante hat Biot — iß 18 393 = 15 976, rund = 16 000.

Plantamour. Résumé des observations thermométriques et barométriques, faites à l’observatoire de Genève et au Grand St. Bernhard. Genève 1851.

Bauernfeind. Beobachtungen und Untersuchungen über die Genauigkeit barometrischer Höhenmessungen und die Veränderungen der Temperatur und Feuchtigkeit der Atmosphäre. München 1862. Formel S. 32 :

z = 16 000 m

h — 18404,9 (1 + 0,0026 cos 2 »p)    + ²—    \ 9“) (1 + 0,003665 T) X

X [log y -f- log ^1 —

5550

) +86859 Aj .

Die letzte Klammer setzt Quecksilberbarometerstände B und h voraus, deren Schwerekorrektion, wie bei Laplace, in dem Gliede 0,86859 ~ enthalten ist, und für welche außerdem eine Reduktion für die Quecksilbertemperaturen T' und t' beigegeben ist. Der Feuchtig-

,3    , 3 e

keitsfaktor 1-f- — go    1 —j—^

18404,9, sind durch Benützung der Régnault sehen Bestimmungen der Luftdichte und der Quecksilberdichte usw. erhalten.

Radau. „Moniteur scientifique rédigé par Quesneville, deuxième série tome I. 1864“ S. 337 u. ff., gibt rohe Meereshöhen für B„ = 760 mm ; eine entsprechende Tafel mit B„ = 762 mm wurde nach den Radau sehen Formeln von -Jelinek berechnet und in dessen „Anleitung zur An-

— ist wie von Biot behandelt. Die Konstanten, namentlich

Stellung meteorologischer Beobachtungen“ veröffentlicht. Radau zeigt, daß man das Glied der vollständigen Formel in die rohen Meereshöhen aufnehmen kann. Wir haben

dieses benützt in „Barometrische Höhentafeln für Tiefland und für große Höhen. Hannover, Helwing 1896, Einleitung S. VI“.

Die Radau sehen Tafeln sind auf die alten Laplaceschen Koeffizienten (Konstante 18336 statt 18400) gegründet und enthalten die Schwerekorrektion des Quecksilbers.

1870.

Rühlmann. Die barometrischen Höhenmessungen und ihre Bedeutung für die Physik der Atmosphäre. Leipzig 1870, Die Formel (39) oder (41) S. 43—44 ist an die Bauernfeindsche Formel anschließend. Die Konstante nimmt Bühlmann = 18400,2, der kleine Unterschied gegen 18404,9 bei Üauernfeind rührt her von der Berücksichtigung der Kohlensäure der

, um

Luft (vgl. § 160 (17) — (18) S. 667). Im letzten Glied hat Rühlmann — statt

4 r

die Anziehung der Gebirgsschichten zwischen beiden Stationen zu berücksichtigen. (Vgl. § 130 (5) und (6) S. 562 und Helmert, Math. u. phys. Theorien der höheren Geodäsie II. S. 609.)

1875.    Weilenmann. Vierteljahrsschrift d. naturf. Gesellschaft in Zürich, 20. Jahrg. 1875, S. 385—442.

Über ein abgeändertes Aneroidbarometer und Beziehung zwischen Luftdruck, Temperatur und Höhe der Atmosphäre.

1876.    Jordan. Physische Geographie und Meteorologie der Libyschen Wüste. Kassel 1876 S. 82,

137, 169.

1876. Grassi. Untersuchungen über sprungweise Änderungen von Federbarometern. Meteorologia Italiana 1874. Bericht hierüber von Vogler in der „Zeitschr. f. Verm. 1877" S. 475—477.

1876.    Grassi. Sulla misura delle altezze mediante il barometro. Mailand 1876. (Auf S. 96 und

S. 116—119 Zitat Belli, 1827.)

1877.    Koppe. Die Aneroidbarometer von Goldschmid u. d. barometrische Höhenmessen. Zürich 1877. 1877. Jelinek. Über die Konstanten der Aneroide und über Aneroide mit Höhenskalen. Repertorium

für Experimentalphysik und physikalische Technik. 13. Band, 1877 S. 43—93. S. 54 Elastische Nachwirkungen.

1877. Schreiber. Handbuch der barometrischen Höhenmessung. Wreimar 1877.

1877. Vogler. Beitrag zu den Erfahrungen über Naudet sehe Aneroide. „Zeitschr. f. Verm. 1877“ S. 475—506, sprungweise Änderungen (bis zu 1 mm).

1879. Jordan. Barometrische Höhentafeln, erste Auflage, Stuttgart 1879. Zweite bis 35° erweiterte Auflage, Stuttgart 1886.

1881. Hartl. Über die Temperaturkoeffizienten Naudet scher Aneroide. Mitteilungen d. k. k. Militär-geogr. Instituts, I. Jahrgang. WTien 1881 (abgedruckt in der „Zeitschr. f. Verm. 1882“ S. 458 bis 470).

1883.    Bauernfeind. Neue Beobachtungen über die tägliche Periode barometrisch bestimmter Höhen,

München 1883. (Höhensteig, Irschenberg, Kampenwand.)

1884.    Hartl, Major im militär-geogr. Institute. Praktische Anleitung zum Höhenmessen mit Queck

silberbarometern und mit Aneroiden. 2. Auflage. Wien 1884.

1884. Hann, Jelinek. Anleitung zu meteorologischen Beobachtungen. Neu bearbeitet, Wien 1884.

1884. Helmert. Die math. und phys. Theorien der höheren Geodäsie. II. Teil. 1884 S. 609.

1887.    Reinhertz. Elastische Nachwirkung beim Federbarometer. „Zeitschr. f. Instr. 1887“ S. 153, 189.

1888.    Koppe. Die Verfahren der Ausführung und der Berechnung barometrischer Höhenaufnahmen.

„Zeitschr. des Hann. Arch.- und Ing.-Yereins, 1888“ S. 551—574 und Taf. 27.

1888. Pernter, Über d. barom. Höhenmeßformel. Mit neuen Tafeln. „Repertorium der Physik 1888“

S. 161. Bespr. in d. Beiblättern zu d. „Annalen d. Physik u. Chemie 1888“ S. 556.

1890.    Wiebe. Untersuchungen über die Temperaturkorrektion der Aneroide Vidi-Naudet scher Kon

struktion. „Zeitschr. f. Instr. 1S90“, S. 429—433.

1891.    Whymper. How to use the aneroid barometer. London 1891.

1892.    Hammer. Zur Praxis der Höhenaufnahme. „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S.. 353—368.

1894. Schreiber. Die Zustandsgleichungen einer Luftsäule, barometrische Höhenformel, „Civilingenieur 1893“, 8. Heft und 1894 S. 311—326.

1896. Hammer. Hilfsmittel zur Berechnung bar. gemess. Höhenunterschiede mit Höhenstufen „Zeitschr. f. Instr. 1S96“ S. 161-167.

1896. Jordan. Barometrische Höhentafeln für Tiefland und für große Höhen. Hannover, Helwing 1896. 1898. Angot. Sur la formule barométrique, Ann. du Bureau Central Météorologique 1896. B. Mémoires pag. 159—196. Paris 1898.

1900.    Hebe. Über die Prüfung von Aneroiden. „Zeitschr. f. Instr. 1900“ S. 253—266.

1901.    Wiebe. Verhalten der Aneroide bei tiefen Temperaturen. „Zeitschr. f. Instr. 1901“ S. 331—333. 1904. J. Liznar. Die barometrische Höhenmessung. Leipzig und Wien. 1904.

1904.    A. de Quervain. Tafeln zur barometrischen Höhenberechnung nach Angot. Straßburg.

1905.    Großmann. Die barometrische Höhenformel und ihre Anwendung. Ann. d. Hydrogr. u. marit.

Met. 33. Jahrg. S. 261—274.

In der „Zeitschr. f. Verm. 1879“, Ergänzungsheft S. (1)—(116) hat Kunze in Tharand ein Literaturverzeichnis der physikalischen Höhenmessung gegeben, auf welches hier verwiesen wird.

Die laufenden Literaturberichte der „Zeitschr. f. Verm.“, betreffend barometrische Höhenmessung und Meteorologie sind: 1876    S. 41,    1877 S. 58, 1878 S.    15, 1879 S. 133,    1881    S. 27, 1882 S. 204

S. 615, 1906 S. 818, 1907 S. 835.

Kapitel XIII.

Distanzmesser.

§ 168. Erklärungen.

Unter Distanzmesser versteht man ein Instrument, mit Hilfe dessen man von einem Standpunkt aus eine Entfernung bestimmen kann, oder auch ohne eine im Vergleiche mit dieser Entfernung erhebliche Ortsveränderung vornehmen zu müssen. Jedenfalls ist die Anwendung des Distanzmessers von dem Begehen der zu bestimmenden Entfernung unabhängig.

Die Genauigkeit der Distanzmesserbestimmungen ist im allgemeinen eine geringere, als die durch unmittelbares Messen mit Meßlatten usw. erreichbare Genauigkeit; dagegen hat anderseits die „Distanzmessung“ den Vorzug der Bequemlichkeit und raschen Ausführung.

Der Distanzmesser wird an dem einen Endpunkte der zu messenden Entfernung aufgestellt, und je nachdem in dem andern Endpunkte ebenfalls ein Werkzeug, nämlich eine geteilte Latte, aufgestellt werden muß oder nicht, unterscheidet man: Distanzmesser mit Latte und Distanzmesser ohne Latte.

Fig. 1.

Die Latte ist ein etwa 3—5 m langer hölzerner Maßstab, wie eine Nivellierlatte, welcher beim Gebrauch gewöhn-lieh vertikal gestellt wird.

Das Prinzip, welches allen Distanzmessern mit Latte zugrunde liegt, haben wir durch nebenstehende Fig. 1 veranschaulicht, welche ein grobes Distanzmeßverfahren andeutet.

Es handelt sich um die scheinbare Größe h einer Lattenhöhe 77; wenn dabei c der Abstand des Maßes h vom Auge und E der Abstand des Maßes H vom Auge ist, so hat man:

(1)

xc-

Nehmen wir z. B. c = 0,578 m (was Verfasser aus einer eigenen Versuchsreihe fand) und H = 3,5 m als Länge einer gewöhnlichen Distanzlatte oder Nivellierlatte, so wird aus (1) erhalten E — 2023 : h, wonach die folgenden Zahlen berechnet sind :

30 m 40 m 50 m 60 m 80 m h = 202-mm 101mm 68mm 51 mm 40mm 34mm 25mm 20mm.

E = 10 m

20 m

100 m

Einiges weitere hierzu gibt „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 210—212.

Fig. 2.

Ber parallaktische Winkel.

Übergehend von der einfachen Anschauung der Fig. 1 zur Theorie der Distanzmessung haben Avir zwei Gruppen von Distanzmessern zu unterscheiden :

I. Distanzmesser mit Latte,

II. Distanzmesser ohne Latte.

Beim Distanzmesser mit Latte (Fig. 2) wird die Entfernung B bestimmt aus einem langgestreckten Dreieck mit dem kleinen Winkel e,

Avelchem gegenüber ein Stück l die Basis (Latte) ist. Nach Fig. 2 besteht die Beziehung:

B —

(2)

oder = —rr o" e    e" *

wenn e in analytischem Maße, oder s" entsprechend in Sekunden gerechnet ist.

Die Bezeichnung Distanzmesser ohne Latte im Falle II ist nicht ganz zutreffend, da auch hier stets eine Latte vorhanden sein muß, die aber mit dem Instrument verbunden ist; ohne ein solches Längenmaß ist eben die geometrische Distanzmessung nicht denkbar. Die Spitze des lang gestreckten Dreiecks liegt dann im Zielpunkte und der kleine Winkel e- Avird indirekt, durch Messung der beiden Basiswinkel, bestimmt.

In bezug auf die Größen e und l sind Aviederum zwei Hauptfälle zu unterscheiden:

I.    Fall. Es ist der Winkel e konstant und das Lattenstück l veränderlich, sehr oft macht man dann « so, daß l : B = 1:100 wird oder e" : q = 1:100, Avas e" = 2063", oder e" = 34' 23" gibt.

II.    Fall. Es ist l konstant und e veränderlich.

Auch ohne die Instrumentenkonstruktionen im einzelnen zu kennen, kann man die Fehlergesetze für diese zwei Fälle bilden, durch Differentiieren nach der als gemessen, also als veränderlich geltenden Größe :

I. Fall. B= 1 mit e konstant und l veränderlich gibt dB = —.

Wenn dabei dl proportional B zu nehmen ist, etAva dl = +_B8, so hat man

BÖ

dB = -t-

(3)

Der Entfernungsfehler d B Avächst proportional mit der Entfernung B selbst.

II. Fall. B — — mit l konstant und e veränderlich gibt dB —--^ ds .

Ist dabei d e als Winkelzielfehler konstant, als + d e einzuführen, so ist

L>2

(4)

*»-±9

Der Entfernungsfehler dB Avächst in diesem Falle proportional dem Quadrate der Entfernung B und umgekehrt proportional der Lattenlänge l.

Die Anwendung dieser Fehlergesetze (3) und (4) wird in den einzelnen Fällen noch besonders zu behandeln sein.

Bei den Distanzmessern ohne Latte Avird die Basis, ohne welche keine geometrische Distanzmessung denkbar ist, meist in das Instrument selbst verlegt, oder es Avird eine Basis durch Verstellen des Instrumentes gewonnen, Avodurch man die Genauigkeit steigern kann, wobei es aber zweifelhaft ist, ob das ganze Verfahren den Namen „Distanzmessung“ verdient und nicht vielmehr als Triangulierung zu bezeichnen wäre.

Die Distanzmesser ohne Latte dienen fast ausschließlich militärischen Zwecken, während bei den Distanzmessern zu geodätischem Gebrauch im Zielpunkt eine Distanzlatte (meist lotrecht) aufgestellt wird.

Ein neuer Grundsatz für Distanzmessung dürfte schwerlich noch aufzufinden sein, und die vielen „Erfindungen“ auf diesem Gebiet geben, wenn sie auch patentiert sind, doch in der Begel nur bekannte Dinge in neuen Formen. Die manchmal weitgehenden Erwartungen, welche an die Leistung derartiger Erfindungen gestellt werden, würden weniger hohe sein, und manche Enttäuschung könnte vermieden werden, wenn die einfachen Fehlerformeln (3) und (4) beachtet würden.

§ 169. Der Okularfadendistanzinesser mit Latte.

Yon allen Distanzmessern ist für die Feld- und Landmessung am wichtigsten das Fernrohr mit zwei parallelen Fäden im Gesichtsfelde, zwischen welchen das Bild eines Lattenstückes abgelesen wird.

Eig. 1.

!< “O >i

Die Einrichtung eines solchen distanzmessenden Fernrohrs unterscheidet sich von der Einrichtung eines gewöhnlichen Theodolitfernrohrs nur dadurch, daß an Stelle eines einfachen Faden-'P kreuzes ein Netz mit wenigstens zwei parallelen Horizontalfäden -JM angebracht ist. Die gewöhnlichste Form eines solchen Netzes 'y zeigt Fig. 1, wo ein gewöhnlicher Horizontalfaden M und noch zwei horizontale Parallelfäden 0 und U angebracht sind. Der Fadenabstand OU = p wird heim Distanzmessen benützt.

Nach dieser Vorbemerkung über das Fadennetz gehen wir zu der optischen Theorie über, und werden den (linear gemessenen) Parallelabstand p der Fäden von Fig. 1 in der nachfolgenden Fig. 2 wieder finden.

Fig. 2.

U-

-E

-V

il⁰

*......ti-------^---

—-.....D —

------->

Hier stellt 0 das Objektiv und A das Okular eines einfachen Fernrohrs vor, wobei die Okularröhre, enthaltend das Okular A und das Fadennetz p, sich in der Objektivröhre verschieben läßt, wie es die jeweilige Zielweite I) der Latte l verlangt, indem für kurze Zielweiten 1) der Okularauszug herausgezogen werden muß im Vergleich mit seiner Stellung für weitere Entfernungen D.

von

Die Latte 1 erzeugt ein umgekehrtes verkleinertes Bild in p, welches durch das Okular A vergrößert gesehen wird ; dabei muß das Okular A einen gewissen Abstand dem Fadennetze p haben (§ 51), der aber für unsere Theorie hier gleichgültig ist, denn das Okular A geht in die Distanzmessungstheorie überhaupt nicht ein.

Diese Theorie haben wir nun in wenigen Gleichungen zu entwickeln: Weil der optische Mittelpunkt 0 die Strahlen ungebrochen läßt, besteht das Verhältnis:

(1)

P _

~d~D

und weil p und l konjugierte Bilder sind, muß für die Brennweite f des Objektivs 0 die Gleichung bestehen:

1 1 _ 1

~d⁺D~J’

Diese zwei Gleichungen (1) und (2) enthalten alles, was an Beziehungen zwischen

(2)

den betrachteten Größen besteht; und um 1) als Funktion von l darzustellen, braucht man nur das veränderliche d zu eliminieren, nämlich aus (1) und (2) :

- i _ Jl - n~ f

d — f D ~ Bf '

d Dp

Diese beiden Gleichungen zusammen geben:

und —,

l.

(3)

1 D~f    n t »

Dp Df    p

Hiernach ist I) — f proportional l. D — f ist der Abstand der Latte von dem vorderen Brennpunkte des Objektivs, und dieser Abstand (und nicht D selbst) ist also proportional dem Lattenabschnitt l.

Wenn man den Abstand der Latte l nicht von dem Objektiv O, sondern von der Fernrohrmitte M zählt, d. h. wenn man in Fig. 1 S. 700 die Entfernung E haben will, so kommt zu D noch ein kleines Stück Ö hinzu und man hat :

(4)

= D + Ö = (f+Ö) + ^

oder E = c -+- Jel

(5)

wo c — f H- ô und Je = — .

P

Die Additionskonstante c beträgt häufig nur etwa 0,5 m und wird manchmal schlechthin vernachlässigt. Die Multiplikationskonstante Je macht man sehr gerne = 100, um bequeme Rechnung zu haben.

Die Gleichung (4) gilt nicht bloß für das einfache Fernrohr, für welches sie zunächst entwickelt worden ist, sondern auch für das Ramsdensche Fernrohr (§ 53 S. 207), weil die beiden Okularlinsen des Ramsdenschen Fernrohrs in die Distanzmessertheorie gar nicht eingehen, ebenso wie in Fig. 2 S. 700 beim einfachen Fernrohr die Okularlinse A ebenfalls zu der Gleichung (4) nichts beigetragen hat.

Dagegen auf das Huyghenssche Fernrohr kann die einfache Theorie, welche zu der Gleichung (4) geführt hat, nicht angewendet werden; wir werden hierauf und auch auf manches andere, was dazu gehört, hier nicht eingehen, unter Verweisung auf das spätere besondere Kapitel über Taclrymetrie § 176, wo an dem vorstehenden wieder angeknüpft werden soll.

Der OJcularsckravbendistanzmesser. Der Fadenabstand p im Gesichtsfeld des Fernrohrs in Fig. 1 und 2 kann nicht nur durch zwei festaufgespannte Fäden gegeben sein, sondern auch so, daß sich ein Faden mittels einer Schraube auf und nieder bewegen läßt. Es braucht dann der Fadenabstand p nicht konstant zu bleiben, sondern es kann umgekehrt l konstant genommen und der veränderliche Fadenabstand p mit der Schraube gemessen werden. Dazu ist ein Mikrometer am Fernrohrokular erforderlich, das in seiner Einrichtung dem in § 58 Fig. 3 oder Fig. 6 S. 237 und 238 erläuterten Schraubenmikroskop entspricht.

Solche Instrumente sind früher von Meyerstein in Göttingen hergestellt worden und von Hunäus in „Die geometrischen Instrumente“, Hannover 1864 S. 379 und 591 beschrieben worden. In der Hannoverschen Sammlung befinden sich solche Instrumente in mehreren Ausführungen; dieselben sind, soviel uns bekannt ist, niemals praktisch benützt worden.

Neuerdings ist dies Prinzip wieder verwendet worden an einem Tachymeter von Tichy-Starke, von dem noch in § 182 die Rede sein wird.

Über die Geschichte des Fadendistanzmessers wird berichtet in „Études théoriques et pratiques sur les levers topométriques et sur la tachéométrie par C.-M. Goulier, Paris 1892“ S. 5—6: Das Prinzip der stadiometrischen Messung wurde erfunden 1778 von William Green, Optiker in London, und wurde seit 1812 in Vlissingen von französischen Genie-Offizieren angewendet, und piemontesische Offiziere bedienten sich dieses Verfahrens 1816 bei der Aufnahme der Grenzkarte zwischen Savoyen und Frankreich. Die Italiener verlegen die Erfindung der Stadia (Fadendistanzmesser) noch weiter zurück, auf 1674; das in jener Zeit beschriebene distanzmessende Fernrohr von Geminiano Montanari hatte eine mikrometrische Teilung in Gestalt von äquidistanten Fäden, wobei die Anzahl der Fadenintervalle für gegebene Objekt-(Latten-) Größe als Entfernungsmaß diente. Als Quelle hierfür wird angegeben : „La livella diottrica del dottore G. Montanari, Venezia 1680, p. 28“. Man vergleiche auch „Instrumenti e metodi moderni di geometria applicata per Angelo Salmoiragbi, Milano 1884“ I. S. 278 bis 279. Eine geschichtliche Mitteilung hierüber gibt Hammer, „Zur Geschichte der Distanzmessung“, „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 295 — 299 und „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1892“ S. 155—161 ; ferner Schmidt, „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 270—274. Vgl. auch Vogler, „Lehrbuch der praktischen Geometrie, 2. Teil, Höhenmessungen, 1894“ S. 182—184.

Nach einer weiteren Mitteilung von Hammer in „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1897“ S. 278, 279 hat, wie eine Biographie des bekannten Dampfmaschinenbauers J. Watt („Life of James Watt“ von James Patrick Muirhead, neue Ausgabe 1859, 3 Bände) sagt, dieser noch einige Jahre vor Green, nämlich 1771, Distanzmessung mit festen Okularfäden und geteilter Latte technisch bei Kanalvorarbeiten 1771—1773 angewendet.

Es wären demnach bei Erfindung und Einführung des Fadendistanzmesserprinzips, welches durch die Erfindung der Fadennetze und Fadenmikrometer vorbereitet war, zu nennen Montanari 1674, Watt 1771, Green 1778, der eine stärkere Vergrößerung verwendete und größere Genauigkeit erzielte als Watt. In Deutschland hat das Verdienst der Einführung und der Vervollkommnung dieses Prinzips der Münchner Optiker und Mechaniker Keichenbach etwa um 1810 (vgl. „Zeitschr. des Arch.- und Ing.-Vereins zu Hannover 1884“ S. 456—458).

§ 170. Verschiedene Distanzmesser mit Latte.

I. Der Höhenkreis als Distanzmesser. Man kann den parallaktischen Winkel durch einen Höhenkreis messen, wobei er als Differenz zweier Höhehwinkel erscheint.

Zur Berechnung der Entfernungen aus unmittelbar gemessenen parallaktischen Winkeln ist eine ausführliche Tafel enthalten in dem „Handbuch der nautischen Instrumente“, Berlin 1882 S. 347—349.

Wenn man die Höhenwinkel mit dem Theodolit mißt, so kann man auch erhebliche Neigungen a und ß streng berücksichtigen; man hat nämlich nach Fig. 1:

Zur See hat man für solche Zwecke den Sextanten, den man nach Umständen auch zu Lande gebrauchen kann, i’ig. l.

h = J) tang ß

h -f-1 = D tang a

woraus man findet : D =

tang a — tang ß

oder

1 cos a cos ß ~ sin ( a — ß) '

(1)

Wenn es weniger um die Entfernungen als um die Höhen zu tun ist, ist dieses Verfahren ganz gut, man hat dann für die Höhen die zwei Gleichungen: j _ ltang ß tang a — tang ß

Zur Probe wird man nach diesen beiden Gleichungen rechnen. Man kann auf diese Weise rasch eine Nivellierung über Berge und Täler hinweg ausführen. Die Mühe der Rechnung kommt bei den übrigen Vorteilen nicht in Betracht.

Als Projekt eines Nivellements durch die Libysche Wüste haben wir dieses Verfahren in der „Zeitschr. f. Verm. 1874“ S. 93 mitgeteilt, es kam aber nicht zur Ausführung. Dagegen wird im „Zentralblatt der Bauverwaltung 1893“ S. 154 mitgeteilt, daß Güßfeld in Chile und Argentinien mit einer aus Hohlzylindern bestehenden Latte von 6 m Höhe nach obigem Prinzip gemessen hat, und zwar mit einer Schraube statt des Höhenkreises (s. unten bei III). Ebenso berichtet Puller in „Zeitschr. f. Verm. 1898“ S. 157, 1899 S. 152 und 525—529 über Distanzmessung mittels Höhenwinkeln.

II.    Der Horizontalkreis als Distanzmesser. Wie der Horizontalkreis in Verbindung mit dem wagrecht liegenden sog. Distanzstab als Distanzmesser verwendet werden kann, ist bereits § 78 S. 332 an Eig. 11 erläutert worden. Die Verwendung dieses Verfahrens zur Basismessung für Triangulierung mit einfachen Hilfsmitteln, speziell für Kolonialvermessungen behandelt ausführlich Böhler in „Mitteilungen aus den deutschen Schutzgebieten, Bd. XVIII 1905“, Heft 1.

III.    Schraubendistanzmesser. Nachdem wir die Kippschraube der Nivellierinstrumente in § 121 S. 527 bereits in ihrer Anwendung zum Nivellieren mit geneigter Visur kennen gelernt, und auch die Distanzmessung dabei erwähnt haben, wollen wir die letztere hier nochmals speziell behandeln. Außer der Kippschraube des Nivellierinstruments kommt auch die Eeinbewegungsschraube für das Kippen des Theodolitfernrohrs in Betracht.

Wir behandeln zunächst das Nivellierinstrument mit Gefällschraube, wie es in Eig. 3 S. 483 und Fig. 7 S. 487 dargestellt ist. Nach nebenstehender Fig. 2 hat man, wenn H' JH horizontal ist, und A! J A und B' JB zwei mit der lotrechten Schraube H' B' A! auf die Punkte A und B einer lotrechten Latte gerichtete Stellungen der um J drehbaren Absehlinie bedeuten, die Entfernung

l tang a

tang a — tang ß ’

Fig. 2.

(2)

B-

II

H'

Ai

ai

(3)

Hierin ist dann d der konstante Abstand des Drehpunktes J von der Schraubenachse und c die mit der Schraube hergestellte Verstellung der Absehlinie. Das Verhältnis von d und c für eine oder mehrere ganze Umdrehungen wird gleich einer runden Zahl (100 : 1) genommen und ist durch eine besondere Untersuchung zu ermitteln. Ist p konstant, so ist l mit der Entfernung I) veränderlich, und umgekehrt, wenn Z konstant genommen wird (z. B. durch zwei an einer Stange befestigte Zielscheiben), so ist c veränderlich und in Teilen der Schraubenumdrehung anzugeben.

Auf dem gleichen Prinzip beruht die Entfernungsbestimmung mit dem in § 174 an Fig. 6 noch zu erläuternden Tachymeter mit Tangentenschraube von Meißner in Berlin. (Über ein älteres derartiges Instrument von Hahn in Kassel vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1875“ S. 362—365.)

Wird als Distanzschraube die wagreclit wirkende Mikrometerschraube für die Vertikalfeinstellung des Theodolitfernrohrs verwendet (vgl. z. B. die Fig. 15—22 § 56, sowie Fig. 4 § 174), so erhält man nach Fig. 3 eine Entfernungsbestimmung durch die Beziehung

Fig. 3.

>n

(4)

>>

welche (3) entspricht. In Fig. 3 ist J die horizontale Instrumentachse, und die Absehlinie JH steht horizontal, wenn der Arm JC vertikal steht; C B' A' ist die wagrecht wirkende Schraube, c deren Verstellung zwischen den beiden Zielungen A und B nach der lotrecht aufgestellten Latte, d der Abstand der Achse J von der Schraube CB' A’. Das Verhältnis von d und c für eine oder mehrere ganze Schraubenumdrehungen wird wieder gleich einer runden Zahl (100:1) genommen und ist besonders zu bestimmen; ebenso kann l oder c konstant oder veränderlich sein.

Soll auch bei steilen Visuren der Klemmann der Theodolitkippachse senkrecht zur Zielachse bleiben, so muß die Feinbewegungsschraube sehr lang sein. Das Einstellen des Fernrohrs würde aber wegen der vielen Schraubenumdrehungen unbequem sein, weshalb es dann besser ist, den Klemmarm in nahezu lotrechter Lage zu behalten und den Höhenkreis zu Hilfe zu nehmen. Die Berechnung der wagrechten Entfernung wird für diesen Fall in § 182 gezeigt werden.

Untersuchungen über die mit den Distanzschrauben zu erreichende Genauigkeit der Entfernungsbestimmung geben Wolf, „Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 233—249 und Kunze, „Zeitschr. f. Verm. 1901“ S. 349—362.

Nivellierinstrumente mit Meßschrauben nach Angaben von Stampfer in Wien sind viel verwendet worden und beschrieben in dem Buche: „Anleitung zum Gebrauche der verbesserten Nivellierinstrumente usw. von S. Stampfer, Wien 1839“, dann „Theoretische und praktische Anleitung zum Nivellieren, Wien 1845 (und siebente Auflage, Wien 1872)“.

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!_q-_

> ca zu

C jBVA'

Während bei der vorher besprochenen Verwendung der Distanzschrauben die Schraubenmuttern in lotrechter bzw. wagrechter Lage unverändert feststehen, so daß die Schraubenwege c in Fig. 2 S. 703 und in Fig. 3 Tangenten zu der durch sie erzeugten Winkelbewegung bilden, wonach man diese Schrauben als Tangentenschrauben bezeichnet, hat die Stampfersche Meßschraube keine streng unveränderliche Lage (man kann sie als Sehnenschraube bezeichnen), so daß die Beziehung zwischen den Schrauben-umdrehungen und den Winkeln e, oder sogleich zwischen den Schraubenumdrehungen und den Entfernungen 1) nicht so einfach ist, wie oben für die Tangentenschraube an den Fig. 2 S. 703 und 3 angegeben, und durch Versuche besonders bestimmt werden muß.

Der Verfasser hat früher eine solche Untersuchung mit einem Schraubeninstrument der Stuttgarter technischen Hochschule durchgeführt (Konstruktion nach Koristka) und auch zur Württembergischen trigonometrischen Höhenaufnahme (vgl. § 140) 11/₂ Monate damit Höhenwinkel gemessen, aber die Erfahrung gemacht, daß Fortsetzung nicht zu raten ist, — Ähnlich verhält es sich auch mit der Schraube beim

Distanzmessen. Die Schraubendistanzinesser sind zwar einer großen Genauigkeit fähig, wie schon Stampfer durch Versuche gezeigt hat, aber das ganze Verfahren leidet an dem Übelstand, daß die Latte so ruhig gehalten werden muß, daß sie zwischen der Einstellung auf den unteren und den oberen Zielpunkt (Zielscheibe) ihre Lage nicht verändert; der Hauptübelstand ist aber, daß die Handhabung der Schraube zu viel Zeit in Anspruch nimmt. Dasselbe sagt auch eine Schrift „Die Präzisionstachymetrie, Vortrag von Anton Tichy, München 1893“, wo auf S. 7 die Übelstände besprochen werden: „je länger das Ableiern der vielen Schraubengänge dauert“.

Das Schraubenprinzip ist schon sehr alt und wird immer wieder von neuem behandelt. Die erste Anwendung der Tangentenschraube ist dem Ingenieur-Obersten J. L. Hogrewe zuzuschreiben, der sie behandelt in seinem Buch : „Praktische Anweisung zum Nivellieren oder Wasserwägen nach einer in vielen Stücken veränderten und erleichterten Methode usw., Hannover 1800“. Weitere Verbreitung hat die Schraubenmessung gefunden durch Stampfer s Nivellierinstrumente. Eine Mitteilung von Dörgens im „Zentralblatt der Bauverwaltung 1893“ S. 152—151 über „Tachymeter mit Tangentenschraube“ gibt einen Überblick über die früheren Versuche und Erfindungen usw. mit Schrauben : Hogrewe 1800, Breithaupt 1811, Stampfer 1815, Bohn 1866, Börsch 1871, Hahn 1876, Decher 1890, Vogler 1891.

Zusammenfassend läßt sich mit Verweis auf § 121 darüber sagen, daß, wie die Ge fäll -schraube am Nivellierinstrument eine oft brauchbare Vervollständigung des Instrumentes darstellt, dies noch mehr der Fall ist für die Distanzschraube am Tachymeter, da mit ihr gelegentlich größere Entfernungen bestimmt werden können, für welche der Fadendistanzmesser mit geteilter Latte nicht mehr anwendbar ist, und die Verwendung des Höhenkreises des Tachymeters nach Fig. 1 S. 702 eine geringere Genauigkeit geben würde. Es ist daher zweckmäßig, am Tachymeter die Vertikalmikrometerschraube zur Verwendung als Distanzschraube herrichten zu lassen. (Vgl. z. B. das Instrument Fig. 4 § 174.)

IV. Kontaktdistanzmesser. Sind, wie früher in Fig. 2, J A und JB zwei Ziellinien nach den Punkten A und B einer Latte, so kann der Winkel A JB = e dadurch konstant gemacht werden, daß man das Fernrohr für die Zielungen JA und JB an zwei feste Punkte anschlagen läßt.

Statt der Fernrohrlagen JA und JB seihst kann man auch einen mit dem Fernrohr fest verbundenen Hebel JA! und JB' gegen zwei feste Punkte A! und B' anschlagen lassen, wie in Fig. 3, denn das gibt für den Winkel e dieselbe Wirkung.

Ein nach diesem Prinzip konstruiertes Instrument (Starke in Wien) beschreibt Gentilli in der „Zeitschrift des Österreichischen Ingenieur- und Architektenvereins, Wien 1868“ S. 23—30 (vgl. auch 1869 S. 105—108) und „Zeitschr. f. Verm. 1876“ S. 454—455 ; weiteres über Kontaktstreckenmesser gibt „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 289—294 mit Fig. S. 291 und 1895 S. 563—565 (Coradi), sowie „Zeitschr. f. Instr. 1907“ S. 162.

Von dem französischen Ingenieur Sanguet ist in sinnreicher Weise die Anordnung so getroffen, daß bei geneigten Zielungen sofort die Distanzreduktion auf den Horizont erhalten wird ; es wird nämlich bei geneigter Zielung der Winkel £ dadurch verkleinert, daß der Anschlag des Hebels J A ' bzw. J B' Fig. 3 S. 704 stets ein Stück A ' B' — c zwischen sich faßt, welches in horizontalem Sinne, in der Geraden CB' A ', konstant ist.

Ein Instrument dieser Art von Sanguet werden wir in dem späteren § 174 besonders behandeln.

V. Von weiteren Distanzmessern mit Latte sollen hier nur noch einige zitiert werden. Gordian s Nivellierinstrument nach Fig. 2 S. 703, wobei c an einem lotrechten Schlitten mit Teilung und Nonius gemessen wird; das Instrument der Hannoverschen Sammlung ist beschrieben in „Hunäus, Die geometrischen Instrumente, Hannover 1864“ S. 458 und „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1894“ S. 250. — „von Ziegler-Hager s Tacheograph“ von C. Hager, Luxemburg 1894; das Prinzip ergibt sich aus Fig. 2 S. 703, indem statt des links von «/liegenden das rechts liegende c' tritt. Durch einen lotrechten Schlitten mit Stellschraube kann das Fernrohr (ohne eine Bewegung der Distanzschraube c') in die Ziellinie J A eingestellt, und dann durch Bewegung der Distanzschraube um das Stück c' die Ziellinie J B gewonnen werden. Eine Besprechung des Instrumentes gibt Hammer in „Zeitschr. f.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

Instr. 1894“ S. 242—247. Hier sei auch erwähnt der auf ähnlichem Grundgedanken beruhende _Vielmesser von E. Jähns, Deutsche Bauzeitung 1875“ S. 92—95. Das „Omnimeter von Eckhold“ von A. Ott in Kempten nach dem Prinzip von Fig. 3 S. 704. Die Absehlinie des Fernrohrs JA bzw. J B , J H ist rechtwinklig mit der eines Mikroskopes JA' bzw. J B’ , JC verbunden; diese ist mittels eines Prismas gebrochen, so daß beide Okulare nebeneinander liegen; C B' A' ist eine wagrechte Skala, an der der Wert c abgelesen wird, was auch noch durch eine mikrometrische Verschiebung der Skala verfeinert wird. Eine kurze Beschreibung findet sich in „Zeitschr. f. Verm. 1875“ S. 207 ; eine weitere Besprechung gibt Hammer in „Zeitschr. f. Instr. 1895“ S. 233—238.

§171. Basislineal mit zwei Fernrohren.

Das einfachste, seit Jahrhunderten immer wieder von Zeit zu Zeit versuchte

Prinzip eines Distanzmessers ohne Latte ist das Basislineal mit zwei Fernrohren. Dieses

ist in Fig. 1 angedeutet ; AB — b ist das Basislineal, P der entfernte

Punkt, dessen Entfernung E bestimmt werden soll, und zwar durch

den Winkel e, den die zwei Ziellinien A A' und B B' gegeneinander

bilden; oder es ist e der Winkel zwischen A A! und der Parallelen

A A" zu B B'. Aus b und e berechnet man :

b . b — bzw. —

Fig. 1.

Ä' Ä,

B'

(1)

£l~/

......b

iB

— Q ■

8

Das Fehlergesetz hierfür haben wir bereits in (4) § 168 S. 699 entwickelt, nämlich mit den Bezeichnungen von Fig. 1 :

FAde b o E de

TT'

äE =

d 8 bzw.

(2)

oder

dE

^ d 8 bzw.

Setzt man hier als Grenzfall d s = 1" und 6 = 1 m, so bekommt man :

Entfernung

Parallaxe

Mittlerer Fehler

dE

100

dE

W

50 in

100

500

1000

5000

1° 8'45" 34 23 6 52 3 26 0 41

+ 0,012 m] ±0,024 o/0 0,048

4125

0,048

2063

(3)

1.21

0,24

4,85

0,48

121.2

2,42

CO <X> r—I i—I ¹—• '’T¹

^ <M

Wenn man nun die hier gemachte Annahme, daß der mittlere Parallaxenfehler nur de=’=±mYr sei, erfüllen kann, so ist das ganze Verfahren für viele Zwecke ein gutes; z. B. eine Entfernung von 1000m ohne Entsendung einer Latte oder irgend welche Vorbereitungen, durch einfaches Zielen, mit einem mittleren Fehler von rund 5 m oder 0,5% zu bestimmen, das wäre für viele Zwecke höchst willkommen, und solche theoretische Fehlerüberlegungen scheinen seit Jahrhunderten bis heute die Erfinder von Parallaxendistanzmessern mit zwei Fernrohren geleitet zu haben.

Die Messung der Parallaxe e kann in verschiedener Weise geschehen, mit Hilfe eines geteilten Kreisbogens, oder mikrometrisch, mit Tangentenmikrometer hzw. Okularmikrometer.

Fig. 2.

Jeder Theodolit mit exzentrischem Fernrohr, z. B.

------A

S. 231 und 233 oder S. 253, kann als Distanzmesser in dem betrachteten Sinne gelten, denn mit einem solchen Theodolit kann man, in zwei Lagen messend, die Parallaxe bestimmen, welche zu der zweifachen Exzentrizitätsbasis gehört. Z. B. in Fig. 2 S. 254 hätte man 2 q> und 2 ip als Parallaxen für die beiden Zielpunkte A und B. L.

KÈ9

11

Diesen Grundgedanken verfolgt C. Pulfrich in „Zeitschr. f. Instr. 1907“

S. 329—340 durch Ausstattung des Theodolits mit zwei exzentrischen parallelen Fernrohren, die nacheinander auf das Ziel eingestellt werden.

Die dabei notwendige Drehung des Instruments um den parallaktischen Winkel wird durch eineTangentenschraube gemessen. Eine der verschiedenen vorgeschlagenen Konstruktionen zeigt Fig. 2, in der das zentrische Fernrohr F mit dem Objektivende nur bis zur Kippachse reicht ; für die Distanzmessung wird eine mit vier Spiegeln versehene Bohre in die Kippachse eingeschoben, wodurch gewissermaßen zwei parallele Fernrohre mit dem Abstand LB entstehen.

Die älteste Nachricht über das Basislineal mit zwei Fernrohren betrifft das „Pantometrum Pacecciannm seu instrumentum novum pro elicienda ex una staiione distantia loci inaccessa, erfunden vom Grafen Pacecco ob Ucedos“, beschrieben von P. Mayer, Mannheim 1767. (Johann Tobias Maeyer, „Gründlicher und ausführlicher Unterricht zur praktischen Geometrie“, Göttingen 1816, II. S. 331 und Netto, „Handbuch der gesamten Vermessungskunde“, Berlin 1820, I. S. 213.) Dieses Pantometrum besteht aus zwei im Abstand von 1 bis 2 m verbundenen Fernrohren.

Ein Distanzmesser von Breithaupt vom Jahre 1770 besteht aus einer Schiene von 1 m Länge, deren jedes Ende ein Fernrohr trägt. Dieses Instrument befand sich im königlichen Museum in Kassel, es ist abgebildet und beschrieben in dem Werke: Beschreibung der Sammlung astronomischer, geodätischer und physikalischer Apparate im königl. Museum zu Kassel, von Goester und Gerland, Kassel 1878 S. 36 und Tafel III. Eine verkleinerte Zeichnung hierzu zeigte die 5. Aufl. dieses Bandes.

Einiges weitere hierzu mit Ansicht des Instrumentes gibt auch „Zeitschr. f. Verm. 1889“ S. 474 nebst Angaben über noch einige andere alte Distanzmesser.

Eine zusammenfassende Mitteilung über solche und andere Instrumente gab Schell, „Distanzmesser mit der Basis an dem Instrumente“, Wiener Sitzungsberichte, 75. Band, S. 145—161 ; Abdruck

Verfasser hat über diese Erfindung teils privatim, teils amtlich Äußerungen abzugeben gehabt, aus welchen hier mitgeteilt sei: Wenn bei den Berliner Versuchen von 1886 eine Zielschärfe von 2" erlangt wurde, so läßt das erkennen, daß das Instrument, rein technisch betrachtet, vorzüglich war. Trotzdem wurde kein geodätischer Erfolg erzielt, weil für derartige Distanzmessung mit unzugänglichen Zielpunkten entweder ein geodätisches Bedürfnis nicht vorhanden ist, oder, wo es auftritt, durch andere Instrumente und andere Operationen, bzw. durch Kombination anderer Verfahren längst besser befriedigt wird als durch jene Erfindung (vgl. § 173).

Ein Bedürfnis der Distanzmessung auf unzugängliche Zielpunkte besteht hei der Artillerie (über welche wir kein Urteil haben). Während die Feldartillerie von Instrumenten der in Bede stehenden Art, so viel bekannt geworden, keinen Gebrauch macht, ist auf einem anderen militärischen Gebiete, nämlich der Küstenverteidigung, das Basislineal mit zwei Fernrohren in Gebrauch genommen worden. Verfasser hat 1892 auf einer preußischen Seefestung ein solches Instrument mit Basisschiene von 3 m auf-gestellt gesehen. (Entfernungsmesser von Hahn, „Zeitschr. f. Instr. 1895“ S. 190.)

Fig. 3.

Ein anderes derartiges Instrument zeigt Fig. 3, welche wir aus einem „Preisverzeichnis von Ed. Sprenger in Berlin über Instrumente und Fernrohre für Militärzwecke“ entlehnt haben. Diese Fig. 3 stellt vor einen „Entfernungsmesser für Küstenverteidigung und Festungen nach Major Kämper“. Die Basisschiene ist 3 in- und die beiden Fernrohre 1,05 m lang. Die Zielschärfe solcher Fernrohre an sich kann jedenfalls unter 1" sein, nehmen wir aber für ungünstige Verhältnisse den Zielfehler für beide Fernrohre zusammen = 3", so gibt das hei 3 nt Basis nach unserer

Fehlertabelle (3) S. 706 auf 5000

in Carls Kepertorium 1878 S. 455—470. Starke hat ein Instrument mit 1,518 m langem Basislineal und zwei an dessen Enden angebrachten Fernrohren mit Mikrometerschrauben konstruiert, welches Fehler gab :

1000 m , ± 8 m ,

2000 m , ± 31 TO ,

3000 m , ±69 m ,

4000 m , ± 123 m ,

E — 500 m ,

§ E = ± 2 m ,

In den letzten Jahren ist auch ein solches Instrument von Cerebotani mehrfach genannt worden, bei welchem die Parallaxe e durch eine an sich nicht unzweckmäßige Hebelübersetzung gemessen wird. Wir haben hierüber in der „Zeitschr. f. Yerm. 1884“ S. 389—396 berichtet, aus Veranlassung von Versuchsmessungen auf der Versammlung des deutschen Geometervereins in Schwerin 1884. Diesem Instrumente wurde eine weitere wissenschaftliche Untersuchung zu teil, über welche in der „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1886“ S. 77 und 125 berichtet wurde (vgl. auch „Zeitschr. f. Verra. 1886“ S. 129 und 214). Die zwei Fernrohre mit 20 fâcher Vergrößerung im Abstand von 1 m bilden mit einem Stahlgestell einen Apparat von 17,5 Kilogramm Gewicht. Der mittlere Parallaxenfehler wurde = ± 2,5 " gefunden.

5000 m , ± 192 m .

Diese Versuche und Berechnungen sind insofern von Wert, als sie die Anschauung bestätigt haben, daß auf diesem Weg für Feld- und Landmessung nichts zu gewinnen ist.

einen Entfernungsfehler 121 = 121 m oder 2,4%.

Solche und entsprechende Genauigkeit muß wohl erreichbar sein hei ruhenden Zielen. Dagegen bei sich bewegenden Zielen läßt sich mit zwei Fernrohren und zwei Beobachtern nur dadurch messen, daß beide Beobachter die Momente der scharfen Fadendeckung aussprechen, etwa a, a...b,b, b, und daß ein Dritter wartet, bis ein a mit einem b zusammenfällt, und dann rasch abliest. Bei diesem Verfahren muß die Genauigkeit jedenfalls eine geringere sein.

Beim Messen auf sich bewegende Ziele dürfte in erster Linie das in § 173 IV behandelte Distanzmesserprinzip gute Dienste leisten.

Es sei hier angeführt ein Aufsatz : Die Ermittlung von Entfernungen als Grundlage des Schießens und Treffens ; neueste Methoden und Apparate. Archiv für die Artillerie- und Ingenieur-Offiziere des Deutschen Beichsheeres, Berlin 1895 S. 433—473 und 508—580.

Eine zusammenfassende Darstellung der für militärische Zwecke in Betracht kommenden Distanzmesser gibt auch das französische Werk : Extraits du Mémorial de l’artillerie de la marine. — Des instruments pour la mesure des distances, par M. Jacob de Marre, lieutenant d’artillerie de la marine. Paris. Ch. Tanera 1880. 320 S. und Atlas mit 17 Tafeln. Vgl. auch „Zeitschr. f. Verni-1898“ S. 232—236. Dort ist auch zitiert : Preisverzeichnis von A. und K. Hahn, Institut für militärische Instrumente. Kassel, 1897.

Eine neuere Übersicht mit zahlreichen Literaturangaben findet sich in „Mitteilungen über Gegenstände des Artillerie- und Geniewesens, herausgegeben vom k. k. technischen Militärkomite in Wien“, 1898 S. 827—880. Das Messen von Entfernungen für Kriegszwecke von Victor Bitter Niesio-lowski-Gawin von Niesiolówice, k. k. Hauptmann, Lehrer an der k. k. technischen Militärakademie und Kriegsschule.

§ 172. Reflexionsdistanzmesser.

Ein Hauptiibelstand des Basislineals mit zwei Fernrohren, nämlich die feste Aufstellung, wird vermieden, wenn man die zwei Lichtstrahlen, welche von dem fernen Punkte nach beiden Basisendpunkten gehen, durch Reflexion vereinigt, ebenso wie es heim Spiegelsextanten oder dem Winkelspiegel geschieht.

Dieser Gedanke wurde im Jahre 1802 von dem k. k. Oberleutnant Fallon in der „Monatlichen Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde“, Gotha 1802, 6. Band, S. 246—252 dargelegt, und seit jener Zeit haben Verschiedene hiernach Versuche angestellt (s. „Zeitschr. f. Venn. 1887“ S. 217, mit Zeichnung S. 118, dazu verschiedene Quellenangaben S. 222).

Wir geben das mathematische Prinzip und die Beschreibung eines hierzu von uns hergestellten Versuchsmodells in den nachstehenden Fig. 1 und 2.

p!

Fig. 1. Beflexionsdistanzmesser mit Basisschiene b — 1 m.

- ' "’fi

CÄ

i______

fi

L_

>>

-4—Sr.

______Y.______J

In.Fig. 1 ist L die Basisschiene, auf welcher eine Alhidade A mit großem Spiegel S angebracht ist, mit dem Drehpunkt in der Mitte von S. Rechts ist ein

Fig. 3. ßeflexionsdistanzmesser. Fernrohr F auf der Schiene L rechtwinklig befestigt, und vor demselben ist der kleine Spiegel s ebenfalls fest auf L, schief gegen die Fernrohrrichtung, angebracht.

Kopfprisma.

-t;

»ir

Ein entfernter Punkt F sendet Licht sowohl auf den großen Spiegel S und von da durch doppelte Reflexion auf dem Wege PSs F in das Fernrohr F, als auch direkt über den kleinen Spiegel s hinweg in das Fernrohr F. Oder kurz: die ganze Einrichtung ist diejenige des gewöhnlichen Spiegelsextanten.

Die Alhidade A hat eine Armlänge r, gemessen von dem Drehpunkt in S bis zu der Teilung, auf welcher die Drehung abgelesen wird (am rechten Ende von Fig. 2 wo eine gewöhnliche Klemm- und Feinbewegungsvor-richtung nebst Lupe angedeutet ist). Das Ganze ist im Schwerpunkt bei Q unterstützt.

Fig. 2. Theorie des Reflexionsdistanzmessers.

a*

CB

IF

\4\T.rT -Q.

sx\ d

•»c

—-* B

\ll- /

/F

*A

W---b

nr

Betrachten wir nun Fig. 2, welche zum Teil dieselben Bezeichnungen wie Fig. 1 S. 709 wieder enthält,

a!

so wird es sieli darum handeln, eine Beziehung zwischen der zu messenden Entfernung E und der Ablesung n — i an der Alhidade herzustellen.

Ist die unmittelbare Alhidadenablesung —n, so führen wir mit der Differenz n — i sofort auch die Ablesung i ein, welche der Alhidadenstellung für unendliche Entfernung E entspricht, oder kurz: i ist der Wert, den man beim Sextanten den Indexfehler nennt.

Eür unendlich großes E nimmt der linksseitige Lichtstrahl die Lage B' S an, und der Alhidadenarm, welcher sich mit dem Spiegel S dreht, habe hierfür die Lage SB, während SA. zu SP gehört. Die beiden Alhidadenlagen SB und S'A schließen 6 .

also den Winkel — ein, welchen auch die beiden Spiegel S und s miteinander bilden,

denn für unendliche Punktentfernung, d. h. für den linksseitigen Strahl B' sind beide Spiegel S und s parallel.

£

Daß aber der Spiegelwinkel, welcher mit ₉ bezeichnet ist, wirklich die Hälfte

der Parallaxe e ist (wie vom Sextanten bekannt ist), kann unmittelbar aus der Fig. 2 S. 710 eingesehen werden, nämlich:

Dreieck PSs gibt e-f-2 y-h (180°— 2ß) = 180°, oder e—2ß— 2y

und Dreieck Ss gibt ~ -h (90° 4- y) -+- (90° — ß) = 180°, oder e = 2 ß — 2 y .

Ist nun b die Länge des Basislineals, r die Länge des Alhidadenarms, n — i die vom Indexfehler befreite Alhidadenablesung und E die zu bestimmende Entfernung, so hat man :

LOl 0*

also E =

br

(1)

2 (n — i) ’

Damit ist das Prinzip mechanisch und mathematisch genügend dargelegt. Einige Versuche über Genauigkeit haben wir in der „Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 225 und 561 mitgeteilt, vgl. auch „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1888“ S. 143.

Keflexionsdistanzmesser mit lotrechter Basisschiene.

Die Basisschiene kann statt horizontal auch vertikal gestellt werden, wie schon mehrfach versucht und aus Eig. 3 S. 710 zu ersehen ist, welche einer englischen Erfindung und D.R.P. Nr. 50670 entspricht.

Das senkrechte Rohr A dient als Gestell des Instruments und ist an seinem oberen Ende mit einer Öffnung versehen, durch welche die einfallenden Strahlen, mittels des Kopfprismas rechtwinklig gebrochen, vertikal nach unten geleitet werden.

In der Röhre A befindet sich etwa in der Höhe von a* ein Objektivglas und unterhalb desselben ein zweites Prisma, durch welches die vom Kopfprisma herabkommenden Strahlen rechtwinklig umgebrochen und in das eine Fernrohr B geleitet werden (vgl. die kleine Figur S. 710 oben). Seitlich und parallel zu dem Fernrohr B befindet sich ein zweites Fernrohr (7, so daß für jedes Auge des Beobachters ein Glas vorhanden ist. Das Fernrohr C dient zum unmittelbaren Beobachten des Distanzpunktes und kann in der senkrechten Ebene ein wenig gedreht werden.

Aus der Größe der Winkelbewegung, welche man mit dem Fernrohr C beim Einstellen ausführen muß, läßt sich auf die Entfernung schließen. Die kleine Drehbewegung wird durch einen Hebel CiD auf einer Schraube g gemessen. (Einzelheiten hierzu gibt „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 391-396.)

Die bereits von Montanari 1674 benutzte mikrometrische Teilung in der Bildebene (vgl. S. 702) wird in dem Entfernungsmesser von Butenschön von neuen! angewendet. In der Bildebene eines Fernrohrs befindet sich eine Glasplatte mit einer

Skala, deren Einheit gleich dem zehntausendsten Teil der Objektivbrennweite ist ; mit dem Fernrohr ist eine Röhrenlibelle verbunden, die durch eine Spiegelvorrichtung im Gesichtsfelde sichtbar ist. Beim Gebrauch läßt sich das Fernrohr an einem lotrechten in Zentimeter geteilten Stabe parallel verschieben, wobei das wirkliche Parallelverschieben durch das Einstellen der Libelle stets gesichert ist. Wird das Fernrohr um die Strecke h der Höhe nach verschoben, und verschiebt sich dabei das Bild des zu beobachtenden Objekts um nIntervalle der Mikrometerskala, so ist die Entfernung s (vom vorderen Objektivbrennpunkt aus), in derselben Maßeinheit wie h ausgedrückt,

- 10000.

Näheres gibt das Referat in „Zeitschr. f. Instr. 1905“ S. 14.

Entfernungsmesser Adie und Christie, sowie Barr und Stroud.

Das erstere in Fig. 4 gezeichnete Instrument besteht aus einem Rohr A, dessen als Basis dienende Länge 4,5 Fuß (= 1,872 m) und in kleinerer Ausführung 2 Fuß (= 0,610 m) beträgt. Links B und rechts i>² sind Spiegel unter 45° geneigt, welche die von dem Zielpunkt kommenden Lichtstrahlen durch die Objektive C und C- nach dem in Fig. 4. Englischer Entfernungsmesser von Adie und Christie.

HT

AjüJË.

JV

0-

mi

\A_

'A

der Mitte befindlichen Spiegelkreuz 1) Iß, und von da nach dem Okular E zur Deckung bringen, was durch die auf das linke Objektiv C wirkende Schraube K erzielt wird, worauf die Entfernung an der Skale i links abgelesen wird. Näheres hierzu gibt „Zeitschr. f. Venn. 1889“ S. 149—152 und „Zeitschr. f. Instr. 1896“ S. 250—251.

Nach ähnlichem Prinzipe mit bedeutender Verfeinerung und Ausbildung des Einzelnen ist auch der Entfernungsmesser von Barr und Stroud konstruiert, welcher ausführlich mit Zeichnungen beschrieben ist in „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 542—544, 570—573, 588-—591 und 1894 S. 55—58 mit Bericht von Hammer, „Zeitschr. f. Instr. 1896“ S. 249 und 250. (Engineering 1896, Bd. 61 S. 179, 233, 264, Bd. 62 S. 691, 701.) Auch ein Instrument mit zwei Spiegeln von Romanei. „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 309 bis 311 gehört hierher. Vgl. hierzu die S. 709 genannte militärische Literatur.

Das Koinzidenztelemeter von Zeiß (beschrieben in „Deutsche Mechanikerzeitung 1907“ S. 61) hat in bezug auf die Linsen und die reflektierenden Teile dieselbe Anordnung wie Fig. 4, jedoch sind diese optischen Bestandteile unbeweglich befestigt. Als Meßvorrichtung ist ein Prisma etwa zwischen N und 0- angebracht, dessen brechender Winkel wagrecht und symmetrisch zur Querrichtung des Instruments liegt. Das Prisma kann auf einem Schlitten parallel zur Längsachse der Instrumen tröhre verschoben werden. Hierdurch werden die durch aß B- (ß eintretenden Strahlen mehr oder weniger abgelenkt, und es kann durch passende Stellung des Prismas erreicht werden, daß die durch die beiden Objektive entworfenen Bilder sich

im Gesichtsfelde decken. Aus der Stellung des Prismas kann man an einer Skala die Entfernung des Objekts ablesen.

§ 173. Verschiedene Distanzmesser ohne Latte.

I. Distanzmessung auf Meiner Basis.

Man hat häufig für militärische Zwecke kleine Grundlinien von etwa 50—100 m mit Bändern u. dgl. gemessen oder auch nur abgeschritten, und darauf eine Art von Triangulierung gegründet (vgl. Fig. 1).

Von Meßeinrichtungen dieser Art erwähnen wir hier das Bauernfeind sehe Distanzmessungsprisma, welches in Bauernfeinds „Elemente der Vermessungskunde“, 6. Aufl., I. Band S. 192 und 395 beschrieben ist. Dieses Prisma ist nahezu rechtwinklig gleichschenklig, hat aber nicht einen Winkel von 90° zwischen den gleichen Schenkeln, sondern einen Winkel <P, welcher etwas kleiner als 90° ist, nämlich 89 ° 25 ' 40 ". (Das Prisma hat also nahezu die Form unserer Fig. 3 S. 42.) Die Anwendung zur Distanzmessung besteht darin, daß ein langgestrecktes gleichschenkliges Dreieck gebildet wird, dessen beide Basiswinkel gleich dem genannten Winkel (p sind. Zwischen der Basis und den Langseiten des Dreiecks besteht ein konstantes Verhältnis (etwa 1 : 100), folglich bekommt man die Langseiten sofort als das entsprechende Vielfache der Basis. Von ähnlicher Art ist auch der Entfernungsmesser von E. Grimsehl (bespr. in der „Zentralzeitung f. Optik u. Mech. 1888“ S. 215 ; der „Zeitschr. f. Instrumentenk. 1888“ S. 258) ; ferner Entfernungsmesser von W. Th. Unge in Stockholm (bespr. in der .Zeitschr. f. Instrumentenk. 1888“ S. 152). Sodann auch das Prisma von Hensoldt (entsprechend dem Prisma Fig. 11 S. 46), „Zentralzeitung f. Optik u. Mechanik 1899“ S. 191, 192. Vgl. auch die S. 709 angegebene militärische Literatur.

Als ausführliches Beispiel dieser Klasse von Entfernungsmessern, hei welchen eine kleine Basis abgemessen oder abgeschritten wird, geben wir die Beschreibung eines militärischen Entfernungsmessers, Souchier, nach „Zeitsehr. f. Venn. 1895“ S. 177—182, dessen Grundgedanke nach Fig. 1 darin    A

besteht, daß ein Dreieck ABC hergestellt wird, an dessen kleiner Basis B A die Winkel B = 90° und A = 88° 50' anliegen , so daß der gegenüberliegende Winkel G = 1°10'

wird. Dabei soll tang (7 = 1: 50 = 0,20 sein, was allerdings nur genähert der Fall ist, nämlich tang 1° 10' = 0,20865, während der Winkel, dessen Tangente = 0,20000 ist, C = 1°8'45" ist. Wenn bei einem Instrument der Winkel C wirklich =1°10' ist, so hat dieses Instrument nicht die Konstante 1 : 50, sondern die besondere Konstante 1 :49,204, wofür eine besondere Tabelle anzulegen ist, die jedem Instrumente beigegeben wird.

Fig. 1.

91°10‘

Basis

x 90°

y *or

Im übrigen ist das Instrument und dessen Theorie durch Fig. 2 u. 3 S. <14 dargestellt. Man hat im wesentlichen das sog. Wollastonsche Prisma, dessen Querschnitt der Quadrant eines gleichseitigen Achtecks ist.

Fig. 2 zeigt das Prisma in natürlicher Größe und dazu O einen entfernten Punkt, dessen Entfernung O M oder O K bestimmt werden soll. Das Prisma, welches nach Fig. 3 in der Hand gehalten wird (oder besser unten mit einem Handgriffe versehen wird), hat zwei Okularöffnungen P und IE (Fig. 2). von denen in Fig. 3 die

linke P geöffnet und die rechte W geschlossen ist; es kann aber auch links P geschlossen und dafür rechts W geöffnet werden.

Fig. 2.

’M

=—0

P\C

Die Knickung hei C ist übertrieben gezeichnet.

DieV erlängerungen E B und B C sollen einen Punkt B' geben.

A= 67° 80' E = 135    0

1)' = 67 30 B = 90    0

360° 0' B = 69 45 C = 177 45.

Das Messen im Zurückgehen geschieht so : Man merkt sich eine Richtung H F rechtwinklig quer zu der zu messenden Entfernungen O M, so daß man nach H F schauend (Fig. 2) den entfernten Punkt O mit F in Deckung sieht. Dann schließt man links, öffnet rechts und geht so lange rückwärts in der Richtung F H, bis man nach K G schauend das Bild von O mit G (das nun die Stelle von F eingenommen hat) in Deckung findet. Die Strecke, welche man hierbei rückwärts gehen mußte, ist der 50. Teil der zu messenden Entfernung, muß also mit 50 multipliziert werden,

Fig. 3.

um die Entfernung O N oder O M zu geben. Ganz ähnlich kann man natürlich auch im Vorwärtsgehen messen, indem dann zuerst rechts und dann links ins Prisma gesehen wird.

LP

X/

Zur Theorie des Instrumentchens ist in „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 177—182 einiges bemerkt, und als Quellenschrift das „Archiv für die Artillerie- und Ingenieuroffiziere des Deutschen Reichsheeres, April 1893“, sowie als Bezugsquelle E. Sprenger in Berlin angegeben. Das Wesentliche der Sache wird sich kurz so darstellen lassen:

Ein regelmäßiges vierseitiges Prisma mit den Winkeln A, E, B', B, wie rechts bei Fig. 2 angegeben, d. h. der Quadrant eines regelmäßigen Achtecks, kann bekanntlich dazu dienen, einen rechten Winkel abzustecken (Wollastonsches Prisma), d. h. in Fig. 2 sind die Strahlen ON und HF rechtwinklig zu einander, was man in wenigen Gleichungen, ähnlich wie früher in § 17 Fig. 3 S. 42 leicht zeigen kann.

Wenn nun die eine Ecke eines solchen regelmäßigen Prismas so abgestumpft wird, wie bei B links in Fig. 2 zu sehen ist, wo B = 69° 45' statt 67° 30' gemacht, und dazu bei C eine Knickung um ebenfalls 2° 15' hergestellt ist, so werden zwei Strahlen O M und G K. welche den früheren OX und FH entsprechen, nicht

mehr einen Winkel =90° hilden, sondern einen Winkel, den wir mit 90°-\-dcp bezeichnen wollen, indem in Fig. 1 S. 713 der Winkel S A C — 91° 10' dieses 90° -t- d cp ist. Um d cp zu bestimmen, wollen wir in Fig. 2 S. 714 setzen bzw. einschreiben die

Winkel :

AVA — 90° + a , M VA = 90° — ß , DPB — 90° + ß' , DPH = 90° — «' dann ist

sin a' — n sin ß\

sin a = n s in ß

Im Innern des Prismas wird ß — ß' = 1) — 67° .30' = x = 2° 15'. Dazu ist hinreichend genähert «' — a = n(ß' — ß) = — nx.

Der stumpfe Winkel zwischen TO und FH sei

90° -\-d cp, wobei — d cp —

a — a —x — (n — l)x, und wenn der Brechungskoeffizient des Glases n = 1,5 gesetzt wird, wird dcp— 0,5x oder x=2dcp. Also wenn nach Fig. 1 S. 713 dcp — 1°10' werden soll, oder genauer dcp — 1° 8'45", so muß x = 2° 17' 30" sein, was mit den Angaben von Fig. 2 S. 714 D — ü'= 2° 15' soweit stimmt, als man bei der Unsicherheit von n erwarten kann.

Auch die in § 16 u. 17 behandelten Absteckwerkzeuge für rechte Winkel: Winkelspiegel und Winkelprisma, können unmittelbar zur Distanzmessung benutzt werden.

Wird, Fig. 4, zur Bestimmung der Distanz A C in A der rechte Winkel CAB abgesteckt, sodann in B der rechte Winkel C B D, so ist

Fig. 4.

Sc

52

AC = —

in,

Ist hierbei m ein für die konstante Basis 5 (z. B. = 20 m)

nach dieser Beziehung eingeteilter Maßstab, so kann von B aus sofort hieran die Distanz abgelesen werden. Auf diesem Prinzip beruht das Telemeter von E. von Paschwitz, dessen neuere Einrichtung in der „Zeitschr. f. Yerm. 1902“ S. 110—113 beschrieben ist.

II. Kimmtiefe zur Distanzmessung.

Fig. 5.

Wir bringen mit Fig. 5, welche dem „Preisverzeichnis über Instrumente für Militärzwecke von Ed. Sprenger in Berlin“ entlehnt ist, noch eine andere Distanzmessung zur Anschauung, welche zur Küstenverteidigung geeignet ist und schon in unserem früheren § 139 S. 592 bei der Kimmtiefe beschrieben wurde.

Wenn nämlich von einem Punkte in der Höhe h über dem Meeresspiegel der Tiefenwinkel I nach einem Punkte des Meeres, z. B. nach der Wasserlinie eines Schiffes gemessen wird, so kann man daraus die Entfernung s des Zielpunktes bestimmen nach der schon auf S. 592 entwickelten Gleichung (10).

Zur Messung jenes Kimmtiefenwinkels I dient das Instrument, welches in Fig. 5 dargestellt ist und zwar mittels einer Schraube, deren Scheibe für gegebene konstante

Hügjjjgggj

Li

Höhe h so eingeteilt werden kann, daß man unmittelbar die Entfernungen s ablesen kann. Z. B. für h — 100 müßte die Teilung der Scheibe entsprechend der Tabelle für T und s (mit h — 100) auf S. 592 eingerichtet werden.

Man kann die Messung und die Rechnung auch so einrichten, daß nicht T selbst, sondern T — t als Messungsgröße erscheint. Im übrigen ist zu verweisen auf die schon auf S. 592 erwähnte Abhandlung von Borgen in den „Annalen der Hydrographie und maritimen Meteorologie 1882“ S. 464 u. ff.

III. Okularauszug des Fernrohrs.

Es ist schon mehrfach der Versuch gemacht worden, die Okularverschiebung eines Fernrohrs zum Distanzmessen zu verwenden. (Distanzmesser von Emsmann. Poggendorfs „Annalen“, 124. Band (1865) S. 337—343 und Carls „Repertorium der physikalischen Technik“, I. Band S. 242—247. Distanzmesser von Merz. Carls „Repertorium“, I. Band (1865) S. 248—251).

Veranlaßt durch Begutachtung eines hierauf bezüglichen Patentgesuches in Karlsruhe 1873 haben wir eine Untersuchung angestellt, wie genau die Einstellung eines gewöhnlichen Fernrohrs der Zielweite gemäß gemacht wird? Mit einem guten Münchener Distanzmesserfernrohr der Karlsruher Sammlung (Nr. 15, Brennweite 49 cm, Objektivöffnung 38 mm, Huyghenssches Okular mit 25 fâcher Vergrößerung) haben wir den Versuch in der Weise angestellt, daß die Okularröhre mit einer Millimeterteilung versehen wurde, deren Stellung an einem Zeiger z jedesmal abgelesen wurde, wenn eine Lattenein Stellung gemacht war. Die Latte wurde hierzu auf einer abgemessenen Geraden fünfmal hin und her geschickt, und die Mittel der je fünf Zeigerablesungen sind in folgender Tabelle als beobachtet z aufgeführt, während die nach der nachfolgenden Gleichung (1) ausgeglichenen z dazu gehören. Außer den Lattenstellungen mit abgemessenen Zielweiten 1) ist auch noch ein sehr ferner Punkt, mit I) = oo benützt.

Ent

fernung

Okular-Auszug z

Beob. ! Ausgl.

„2

j Entfernung

Okular-Auszug z

Beob. Ausgl.

10 m

15

20

25

3,0 mm 11,3 15,8 18,2

30,5

19,7

30,5

20,1

60,5

24,4

90,5

25,5

COCOOlüfiiMcOîO of ^    40    00    o"    ©    40

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mm    —0,2 mm

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mm

26,3 mm    —0,2 mm J

+ 0,4 -0,4 + 0,2 * +0,2 -0,1 — 0,3 | +0,9

0,04

26,7

0,16

26,9

0,16

27,2

0.04

27.3

27.4

27.5 28,3

0,04

0,01

0,09

0,81

1,35

Die Werte z des Okularauszugs wurden ausgeglichen :

oder z = 520,7

492,4 I)

(1)

D 520,7 — ^    492,4

Die übrigbleibenden Fehler v geben die Quadratsumme 0,46 -4- 1,35 = 1,81. Da jeder als beobachtet eingeführte Wert z selbst das Mittel aus fünf gleichartigen unabhängigen Einzeleinstellungen ist, haben wir den mittleren Fehler einer solchen Einstellung z oder d:

7) — 492,4 '

= vi y

i,8i ₀

—— = 0,80 m m .

14

(2)

1 _ 1 ~d~T-

Zwischen I) und d besteht die Gleichung: ~

Wenn man nach I) und nach d differentiiert und die Änderungen mit + ö D und +_öd bezeichnet, so bekommt man aus (2 a):

^±^ = 0    , ÖD = ±^öd oder genähert ö D = + — Ö l.    (3)

Der mittlere Fehler öd wurde hei (2) oben = + 0,8mm gefunden; aber bei Zielpunkten von verschiedener Beleuchtung wird man wohl eine noch größere Unsicherheit der Einstellung bekommen, wir nehmen deswegen in runder Zahl Öd = +1 mm =; 0,001m. Hat man hierzu ein möglichst langes Fernrohr, d. h. f = lm, so wird nach (3) :

(2 a)

Entfernungsfehler ÖD — 0,001 D² = 10    •

(4)

Also Entfernung D = 5 m Mittlerer Fehler Ö D = 0,025

Hiernach ist die Okular ein Stellung als Distanzmessung nur für ganz kleine Entfernungen, nicht einmal bis 100 m, brauchbar. Je länger das Fernrohr, um so besser wird die Anwendung in diesem Sinne.

Um das Prinzip der Okularverschiebung für Distanzmessung einigermaßen brauchbar zu machen, könnte man vielleicht ein Fernrohr mit sehr großer Brennweite konstruieren, wobei die Brennweitenlänge durch zahlreiche Reflexionen in kleinem Raum verteilt werden könnte. Dieses haben wir schon bei dem Zeißschen Fernrohr mit gebrochener Brennweite in § 54 S. 211 angegeben.

IV. Stereoskopischer Distanzmesser von Karl Zeiß in Jena.

Aus der optischen Werkstätte von Karl Zeiß in Jena ist in Verbindung mit dem Kelieffernrohr, das wir schon früher in § 54 S. 213 kurz erwähnt haben, auch ein Distanzmesser hervorgegangen, dessen Prinzip im Anschluß an folgende Fig. 6 wenigstens im wesentlichen erklärt Averden kann.

Fig. 6.

10 m 50 m 0,1    0,25

100 m 200 m

300 m

10

40

90

400 m

160.

i-----

__ 2 m___

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À..J

(index)

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Das körperliche, stereoskopische Sehen Avird bekanntlich dadurch erzielt, daß der Mensch mit zwei Augen beobachtet, und damit einen natürlichen Distanzmesser, allerdings mit nur kleiner Basis von etAAra 6,5 cm Abstand beider Augen, in sich selbst hat.

Das hierdurch gegebene Vermögen, Entfernungsunterschiede zu empfinden, ist ein sehr feines, wie man dadurch erkennt, daß man versucht, Stäbchen in gleiche Entfernung (rechtwinklig zur Sehlinie) nebeneinander zu stellen. Helmholtz drückte auf Grund solcher Versuche das Tiefen Wahrnehmungsvermögen entsprechend der in § 48 S. 189 angegebenen Sehwinkelgrenze in Winkelmaß zu 1' aus, während nach neueren Versuchen dafür mindestens l/₂' anzunehmen ist.

Dieses Tiefenwahrnehmungsvermögen wird nun gesteigert durch Verwendung des in § 54 S. 213 schon erwähnten Zeißschen Belieffernrohrs, hei welchem nach Fig. 6 S. 717 der Augenabstand a = O O' durch das Prismenfernrohr auf A = A A' erweitert wird und außerdem die Vergrößerung V durch das Fernrohr hinzutritt. Diese Steigerung wird ausgedrückt durch die Beziehung — X V. Das am Distanzmesser verwendete Zeißsche Fernrohr hat ein Porrosches Prismensystem und zeigt aufrechte Bilder; Fig. 6 S. 717 gibt nur das Schema des Instruments für die Vergrößerung des Augenabstandes an. (Die beiden punktiert gezeichneten Prismen I) und 7/ kommen dabei zunächst nicht in Betracht; diese haben nur einen Hilfszweck, von dem nachher die Bede sein wird.)

Die Konstruktion des stereoskopischen Entfernungsmessers können wir uns nun auf folgende Weise erklären. Wir denken uns im Gelände eine gerade Linie durch Baken etwa in Abschnitte von 100 m geteilt und die Baken mit Tafeln versehen, die die Entfernung einer jeden vom Anfangspunkte angeben. In letzterem werde die ganze Bakenreihe mit einer stereoskopischen Kamera photographiert. Die Aufnahme wird dann in einem Stereoskop genau dasselbe Bild gewähren, wie der unmittelbare Anblick der Baken mit beiden Augen; insbesondere -werden die Entfernungsunterschiede der einzelnen Baken ebenso deutlich wie in der Natur wahrnehmbar sein. Die beiden Stereoskopbilder mögen nun derartig verkleinert und auf Glas übertragen werden, daß sie in die Bildebene eines terrestrischen Doppelfernrohrs eingesetzt werden können; auch dann wird man beim Durchblick durch das Fernrohr die Bakenreihe wieder räumlich vor sich sehen. Eichtet man das Doppelfernrohr auf irgend ein Geländeobjekt z. B. einen Baum, so sieht man diesen in der Bakenreihe und kann sofort angeben, zwischen welchen beiden Baken er steht ; aus den Entfernungstafeln der letzteren kann " man dann auch die Entfernung des Baumes ablesen. Mit einer solchen Vorrichtung ist es auch möglich, die Entfernung eines sich bewegenden Objekts, eines Luftballons, eines fliegenden Vogels usw. anzugeben.

Im Zeißschen stereoskopischen Entfernungsmesser ist dieses einfache Prinzip nach zwei Eichtungen hin verfeinert. Zunächst verwendet man statt des gewöhnlichen Doppelfernrohrs das Belieffernrohr mit erweitertem Objektivabstand, "wodurch, wie schon oben erwähnt Avurde, die räumliche Wahrnehmung erheblich gesteigert Avird. Zweitens ordnet man die Marken nicht in einer Geraden, sondern in einer mehrfach gebrochenen Zickzacklinie an, Avodurch die Übersichtlichkeit wesentlich gewinnt. Die beiden stereoskopischen Bilder Averden vergrößert konstruiert und auf photographischem Wege in richtiger Größe auf Glas übertragen.

Eine andere Methode der stereoskopischen Entfernungsmessung bietet das Prinzip der „wandernden Marke“. Sind in den Bildebenen der beiden Okulare C und C Fig. 6 S. 717 zAvei Marken angebracht, die den beiden Strahlen PA und PA' entsprechen, so erhalten Avir den Anblick einer in unendlich großer Entfernung im Baum schAvebenden Marke. Wird nun eine der beiden Marken, z. B. die im rechten Okular

C befindliche ein wenig nach rechts -verschoben, so rückt die im Baume schwebende Marke näher heran, und bei einer Verschiebung um den Betrag Ö ist die Entfernung der Baummarke worin A den Abstand A A' der beiden Visierstrahlen und f die Brennweite bezeichnet. Die Verschiebung Ó' wird mit einer Mikrometerschraube gemessen.

Die eben angegebene Gleichung ö = —f drückt auch die Beziehung aus, nach

welcher die Marken der Distanzskala in der Bildebene aufgetragen werden müssen.

Eine Frage betrifft noch das, was man den Indexfehler nennen kann, nämlich die Stimmung des Distanzmessers auf die Entfernung Unendlich (entsprechend z. B. in § 172 Fig. 2 S. 710 der Ablesung i für E = oo). Hierzu ist von Abbe eine besondere Einrichtung erfunden worden, welche in unserer Fig. 6 durch die zwei Prismen I) und 1)' (deren jedes einzelne die Form von § 17 Fig. 11 S. 46 hat) angegeben ist. Werden nämlich diese zwei Prismen 1) und T)' dem Apparate vorgesetzt, so kann ein im linken Okular C befindlicher beleuchteter Faden auf dem Wege CBAab....b'a'A' E'C in dem rechten Okular C gesehen und wie ein Objekt in unendlicher Entfernung benützt werden.

Dementsprechend sind in den Bildebenen (neben den Distanzskalen) zwei Justiermarken angebracht, ein in der Mitte durchschnittenes Scheibchen und ein Strich, so daß zur Berichtigung nur der Strich des einen Fernrohrs auf die reflektierte Scheibchenmitte des anderen mittels der Justierschraube einzustellen ist.

Genaueres hierzu geben die beiden Patentschriften Klasse 42, Nr. 82571, ausgegeben den 27. Juni 1895 und Nr. 73568, ausgegeben den 28. Februar 1894.

Pulfrich, Physikalische Zeitschrift 1899 (1. Jahrg.) S. 98—104. Hecker, Zeitschr.

f. Verm. 1901 S. 65—78. Vgl. auch Pulfrich, Zeitschr. f. Instr. 1901 S. 221-224 und S. 250-—260, „Über einige stereoskopische Versuche“ und „Über eine Prüfungstafel für stereoskopisches Sehen“, sowie auch die von der Firma Zeiß den Instrumenten beigegebenen Gebrauchsanweisungen von Pulfrich. Der stereoskopische Distanzmesser wird in drei Größen ausgeführt mit Objektivabstand 50 cm, 87 cm und 144 cm bei 8 bzw. 14- und 23 fâcher Fernrohrvergrößerung. In der eben zitierten Abhandlung von Hecker. „Zeitschr. f. Venn. 1901“ S. 76 ist für das mittlere Instrument bei Einführung von 30" als Grenze der stereoskopischen Tiefenwahrnehmung das Ergebnis der von Hecker vorgenommenen Genauigkeitsuntersuchung so ausdrückt:

Entfernung : in Metern

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1000 m 2000 m 3000 m 4000 m 8000 m

Fehler

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50

in Prozenten

0,6

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2,5

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10,0.

Die Literatur über Distanzmesser ist ungemein ausgedehnt, aber wegen der vielen Wiederholungen von Bekanntem in „Erfindungen" nicht entsprechend wertvoll. Die „Zeitschr. f. Instrumentenkunde“ gibt fortlaufende Berichte über Patente instrumenteller Art, worunter auch die Entfernungsmesser, ferner auch alljährlich das „Repertorium der technischen Journalliteratur“, herausgegeben vom Kaiserlichen Patentamt. Berlin, Carl Heymanns Verlag. Die regelmäßigen Literaturberichte der „Zeitschr. f. Verm “ haben Entfernungsmesser teilweise unter Optik- und Instrumentenbeschreibung im allgemeinen, teilweise unter Tachymetrie aufgenommen. Wir nehmen daraus : 1876 S. 26, 1877 S. 33, 1878 S. 23, 1879 S. 137, 1881 S. 30, 1882 S. 195, 1883 S. 380, 1884 8. 447, 1885 S. 327, 1887 S. 479, 1888 8. 476, 1889 S. 544, 1890 S. 446, 1891 S. 577 u. 587, 1892 8. 474, 1893 S. 462, 1894 S. 473, 1895 S. 432, 1896 S. 492, 1897 S. 550, 559, 1898 S. 461, 1899 S. 567, 1900 S. 476, 501, 1901 S. 428, 440, 1902 S. 632, 1903 S. 511, 520, 1904 S. 613, 1905 S. 599, 619, 1906 S. 769, 820, 1907 S. 808.

Kapitel XIV.

T achy me trie.

§ 174. Tachymetertheodolite.

Nachdem wir die Lagemessungen und die Höllenmessungen in den vorhergehenden Kapiteln getrennt behandelt haben, wenden wir uns nun denjenigen Messungsmethoden zu, die die gleichzeitige Aufnahme der horizontalen Lage und der Höhenlage des Geländes ermöglichen. Solche Messungen werden vornehmlich als Vorarbeiten für den Bau von Straßen, Eisenbahnen, Kanälen usw ausgeführt und die daraus hervorgehenden Pläne dienen zum Entwurf dieser Bauwerke.

Unter einem Tachymetertheodolit versteht man einen Theodolit, welcher außer den zur Messung von Horizontal winkeln erforderlichen Bestandteilen nach Vorrichtungen zur Ermittlung von horizontalen Entfernungen und Höhenunterschieden enthält. Durch die Konstruktion dieser Vorrichtungen unterscheiden sich die verschiedenen Tachymetertheodolite von einander. In der Regel sind Tachymeter auch noch mit einem Kompaß versehen. Da es hei der üblichen „Tachymetrie“ für Vorarbeiten und topographische Aufnahmen weniger auf große Genauigkeit als auf „schnelle Messung“ ankommt, so sollen die einzelnen Teile des Instrumentes weniger fein, als vielmehr kräftig und handlich gearbeitet sein. Z. B. genügt es, wenn die Kreisteilungen und die Libellen einzelne Minuten noch angeben; dafür soll aber jede Ablesung mit einem Blick erlangt werden.

Als Kreistaeliymeter kann jeder Theodolit mit Höhenkreis benützt werden, dessen Fernrohr mit Distanzfäden versehen ist. Da solche Instrumente auch für alle anderem Zwecke brauchbar sind, so werden sie unter den Tachymetern stets den ersten Platz behaupten. Aus den Ablesungen an der Latte und am Höhenkreise werden bei der häuslichen Bearbeitung der Aufnahme die wagrechten Entfernungen und die Höhenunterschiede berechnet.

Um diese Ergebnisse bereits im Felde ohne Benützung von Höhenwinkeln aus den Lattenablesungen finden zu können, hat man besondere Reduktionsvorrichtungen ' konstruiert, aus denen eine Reihe verschiedener Tachymetertheodolite hervorgegangen ist.

Wir wollen im folgenden zunächst mehrere Instrumente vorführen, und dann auf die dabei vorkommenden Theorien näher eingehen. Soweit die Horizontal- und Höhenwinkelmessung in Frage kommt, können wir auf Kap. VI und § 132—133 verweisen.

Die Fig. 1—4 S. 721—724 zeigen zunächst einige Kreistachymeter verschiedener Form. Fig. 5 S. 726 stellt ebenfalls einen Kreistachymeter mit besonderer Anordnung der Kreise und der Ablesevorrichtungen dar; in den Fig. 6—9 S. 727—731 endlich werden die wichtigsten Tachymeter mit besonderen Reduktionsvorrichtungen wiedergegeben.

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Kreistachymeter von Hildebrand in Freiberg. Maßstab etwa 1 : 3 der natürl. Größe.

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Dieses Instrument der Danziger Sammlung ist in seinem Unterbau ein Repetitionstheodolit mit einem Horizontalkreise von 14,5 cm Durchmesserund 20" Nonienangabe. Der Höhenkreis hat 11cm Durchmesser und 80" Nonienangabe und ist mit einer besonderen Libelle versehen.

Die Länge des Fernrohrs ist 28 cm, seine Vergrößerung ist 22 fach. Das Fernrohr enthält einen Reichenbachschen Distanzmesser mit der Konstanten 7c = 100.

Außer zwei Kreuzlibellen ist noch eine Reiterlibelle zur Justierung des Instruments vorhanden.

An Stelle der Reiterlibelle kann ein Orientierkompaß auf die Kippachse gesetzt werden, über dessen Verwendung in § 188 Näheres gesagt wird.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aull.

Fig. 2.

Kleiner Kreistachymeter von Hildebrand in Freiberg. Maßstab etwa 1 : i der natürl. Größe.

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Das vorstehende, für die Danziger Sammlung hergestellte Instrument eignet sich durch seine geringe Größe und durch seine Handlichkeit gleich gut zur Verwendung als Tachymeter und als Theodolit für Polygonzugmessungen. Horizontalkreis und Höhenkreis haben 12 bzw. 91/2 »i Durchmesser und 30" bzw. V Nonienangabe. Da für tachymetrische Messungen die Ablesung an einem Nonius genügt, so ist hinter dem letzten Nonienstrich beider Kreise ein besonderer Ablesestrich als Hilfszeiger angebracht, an dem jede Ablesung geprüft werden kann. Die Nonien des Höhenkreises werden durch Spitzenachsen getragen (Klappnonien), die mit dem Fernrohrträger fest verbunden sind. Eine besondere Höhenkreislibelle ist nicht vorhanden.

Das Fernrohr hat eine Länge von 24 cm und 12 fache Vergrößerung. Die schwache Vergrößerung wird durch den nach Porro eingerichteten Distanzmesser bedingt.

Die mit dem Fernrohr verbundene Nivellierlibelle wäre entbehrlich, wenn sie nicht zugleich zum Ausbalancieren des mit dem Okularende durchschlagbaren Fernrohrs gebraucht würde ; das Objektivende wird hier durch die Porrosche Kollektivlinse noch besonders belastet.

Auf die Zapfen der Kippachse kann ein Vollkreiskompaß aufgesetzt werden.

Fig. 3. Kreistachymeter mit Zeliuloidhöhenbogen von Kandhagen in Hannover. Maßstab etwa 1 : i der nat. Größe. (Höhenbogenhalbmesser = 12,5 cm.)

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Dieses Instrument ist in der Hauptkonstruktion ebenfalls ein Repetitionstheodolit mit Horizontalkreis von 18 cm Durchmesser, es hat aber statt des Höhenkreises einen Höhendoppelbogen von 12,5 cm Halbmesser in der auf Zelluloid aufgetragenen Teilung. Die Teilung geht bis auf i/₆° = 10', und bei 12,5cm Radius ist 10' = 0,36mm. Es sind keine Nonien angebracht, sondern nur einfache Indexstriche, an denen mit großen Lupen (sogenannte Lesegläser) die Zehntel der Teilwerte, also einzelne Minuten, geschätzt werden, was an den scharfen Strichen auf weißem Grunde (wie bei den neueren Rechenschiebern) sehr bequem ist. Diese Anordnung hat den Zweck, die Ablesung der Höhenwinkel beim Tachymetrieren so rasch und bequem als möglich zu machen.

Das Instrument ist nach Angabe des Verfassers von Randhagen für die Hannoversche Sammlung angefertigt worden und zuerst beschrieben in der „Zeitschr. f. Venn. 1899“ S. 50—52. Ein älteres Instrument mit einem Zelluloidhöhenbogen neben dem Höhenkreis war beschrieben in der früheren fünften Auflage dieses Bandes S. 637 mit Fig. 4 daselbst, sowie in „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 14—19.

Fig. i.

Kleiner Kreis-Tachymeter mit Strich-Mikroskopęn und Kingkompaß von Fennel in Cassel.

Maßstab etwa 1 : 3.

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Dieses von Fennel in Cassel nach Angabe von C. Reinhertz für die Hannoversche Sammlung hergestellte Instrument ist seiner Bauart nach ein kleiner Repetitionstheodolit von 131/2 bw Horizontalkreisdurchmesser in der bewährten Fennelschen Theodolitkonstruktion. Das distanzmessende Fernrohr (k = 100 nach § 169) hat 23 cm Länge, 19fache Vergrößerung und ein orthoskopisches Okular (Ramsden, vgl. § 176). Das Fernrohr ist mit dem Objektiv durchschlagbar; zu bemerken ist, daß dasselbe eine stärkere Vergrößerung, etwa 25—27fach haben sollte, wovon bei diesem ersten Instrument aus konstruktiven Gründen abgesehen werden mußte.

Das Instrument hat einen Höhendoppelbogen H vom gleichen Durchmesser wie der Horizontalkreis, 1B¹^ cm. Die Teilung geht bei beiden Kreisen direkt auf l/₆° = 10' und wird mit den in § 58 S. 236 an Fig. 1 erläuterten einfachen Strichmikroskopen abgelesen. Auf diese Anwendung des Strichmikroskops führte die Verfolgung des vom Verfasser dem großen Zelluloidhöhenbogen des vorigen Instrumentes Fig. 3 S. 723 zugrunde gelegten Gedankens der raschen und sicheren Ablesung der Höhenwinkel. Die Mikroskopablesung steht an Bequemlichkeit der Ablesung am Höhenbogen Fig. 3 S. 723 nicht nach, ist ihr an Schärfe und Stabilität des Zeigers aber erheblich überlegen. Wie Fig. 1 § 58 S. 236 zeigt, kann, wenn erforderlich, leicht l/₂₀ von 10', also l/₂', gelesen werden (z. B. etwa 124° 35,5' statt 124° 36'). Fennel hat für diesen Zweck den kleinen Mikroskopen, die schon an Fig. 17 § 56 S. 228 und in § 58 S. 236 erläuterte zweckmäßige Einrichtung mit einem vertikalen Beleuchtungsröhrchen gegeben. Als Hauptzeiger dient am Höhenbogen das mit I bezeichnete (außerdem durch hellere Farbe ausgezeichnete) rechts liegende Mikroskop, welches in Fernrohrlage I direkt Zenitwinkel gibt; am Horizontalkreis dient in gleicher Weise als Hauptzeiger das ebenso bezeichnete unmittelbar darunter liegende Mikroskop I. Die Höhenkreislibelle II (54" Empfindlichkeit) ist auf dem Mikroskopträger angebracht und mit der Feinstellschraube S einstellbar.

Dem auf die Horizontalachse absetzbaren Büchsenkompaß J5 (§ 183) wurde, um ebenfalls möglichst bequeme und scharfe Ablesung zu erzielen, die in der Fig. 4 gezeigte Anordnung gegeben. Die Teilung ist in einem geschliffenen zylindrischen Glas-gebäuse auf einem Ring B angebracht, über welchem die nach unten umgebogenen Nadelspitzen spielen. Zur Ablesung dient die bequem stellbare Lupe C. Die Arretierung der Nadel ist bei E sichtbar.

Eine Zugabe ist die unter dem Fernrohr angebrachte Nivellierdoppellibelle II', vgl. § 115 S. 499.

Eine weitere Zugabe ist die Distanzschraube I) am Fernrohrmikrometer nach §170 S. 705, wovon noch in § 182 die Rede sein wird. Endlich sei noch erwähnt das auf dem Fernrohr angebrachte Suchdiopter, dessen Okular bei O zu sehen ist.

Das umstehende italienische Instrument, Fig. 5, von seinem Erfinder Cleps genannt, d. h. ein Instrument, dessen Teile verborgen sind, hat die Eigentümlichkeit, daß der Horizontalkreis und der Höhenkreis beide sehr Mein sind ; sie haben nur Durchmesser von 5cm und sind in den viereckigen Kasten eingeschlossen, welcher bei ⁽I> und 0 Okularöffnungen für die etwa 25 fach vergrößernden Mikroskope hat, mit denen jene zwei Kreischen abgelesen werden. Das Mikroskop <I> wirkt hierbei auf den Horizontalkreis durch Prismenreflexion. Die Kreise sind unmittelbar in Zehntel-Zentesimalgrade geteilt und werden, wie bei dem vorher erwähnten Strichmikroskop, mit einem Faden nach Zehnteln hiervon, also 0,01 q (=0,54'), schätzungsweise abgelesen. Diese kleinen Kreise geben so eine gute Genauigkeit, aber nur bei guter

Beleuchtung. Das Fernrohr hat die Porrosche Konstruktion und ist in bezug auf die Instrumentenmitte anallaktisclr. Wir werden dieses später in § 176 (ausführlich theoretisch zu behandeln haben. Das Wesentliche dabei ist, daß die Entfernung der

Fig. 5.

Tachymeter Cleps nach Porro. (Fernrohrlänge = 35 cm.)

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Latte von der Mitte des Instrumentes, d. h. die Entfernung E in § 169 Fig. 2 S. 700 scharf der Lattenahlesung proportional ist, was hei anderen Fernrohren (d. h. nur genähert) der Fall ist.

Fig. 5 a.

Das Gesichtsfeld hat fünf Fäden, wie Fig. 5a zeigt; bei 100-m Zielweite sieht man ab = (iiX = 100 cm , a = b b₁ = 60 cm ,    \ = 40 cm;

es ist also Je — 100 für ab und für «j 6j, und Je = 250 für a^b.

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In dem unteren zylindrischen Teile des Instrumentes befindet sich eine durchgehende zylindrische Röhre, welche einen Röhrenkompaß enthält. (Einiges Weitere hierüber s. „Zeitschr. f. Yerm. 1888“ S. 152—155. Das Originalwerk hierzu ist Istru-menti e Metodi Moderni di Geometria Applicata, von Salmoi-raghi 1884.)

Fig. 6.

Tangenten-Tachymeter von Meißner in Berlin. Maßstab etwa 1 : 3.

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Dies in Fig. 6 dargestellte Instrument hat den Unterbau eines Repetitionstheodolits, wozu zunächst zu bemerken ist, daß, um bequem ablesen zu können, der Horizontalkreis (1 lew Durchmesser, 1'Nonienangabe) zylindrisch angeordnet ist; darüber befindet sich in einem Glasgehäuse die Bussole gleichfalls mit zylindrischem Kreisring, über welchem die Nadelspitzen spielen. Der Höhenkreis hat ebenfalls 11cm Durchmesser und V Nonienangabe. (Das Instrument der Hannoverschen Sammlung hat statt des in der Fig. 6 S. 727 dargestellten Höhendoppelbogens einen Höhenvollkreis, welcher ebenso wie der Horizontalkreis durch einen Schutzmantel verdeckt ist.) Die Höhenkreislibelle ist am Fernrohrträger angebracht. Das distanzmessende Porrosche Fernrohr (§ 176) mit k = 100 ist in einem Binglager angebracht und somit um seine Längsachse drehbar, ähnlich wie das Fernrohr des Nivellierinstrumentes Fig. 4 § 112 S. 484 ; auf demselben sitzt die Beiterlibelle mit Ablesespiegel. (Diese Anordnung ist übrigens für starken Feldgebrauch wenig günstig.) Es ist also das Instrument gleichzeitig auch ein Nivellierinstrument mit umlegbarem Fernrohr und kann nach der bisher betrachteten Anordnung auch ohne Benützung des Höhenkreises als Nivelliertachymeter verwendet werden.

Das Instrument ist aufgestellt auf dem schon in § 102 S. 447 erwähnten Zentrierstativ.

Besonders zu bemerken ist aber die lotrecht stehende Tangentenschraube mit geteilter Trommel, welche, wie aus der Figur ersichtlich, an einem kräftigen, am Fernrohrträger befestigten Bahmen angebracht ist und mittels des oben liegenden wagrechten Hebelarms auf das Fernrohr wirkt. Beim Anziehen der lotrecht feststehenden Schraube gleitet das links an dem Hebelarm zu sehende Gleitstück, mit welchem die Schraube in einem Gelenk verbunden ist, auf dem Hebelarm, wie es die Kippbewegung verlangt. Der Arm kann mit dem Fernrohrlager durch einen Yorstecker verbunden werden ; es zeigt dann bei wagrechter Ziellinie die Trommel und der Index an der an der Spindel oben sichtbaren Teilung auf Null. Danach kann durch Einstellung des Mittelfadens auf bestimmte Punkte A und B einer vertikal aufgestellten Distanzlatte nach dem Prinzip von Fig. 2 § 170 S. 703 die Distanz- und Höhenmessung erfolgen, Avie auch schon in § 121 S. 527 erläutert war. Bei unserem Instrument ist die Ganghöhe der Schraube 0,5 mm, ihr Abstand von der Kippachse 100 mm, also geben zwei Umdrehungen l/₁₀₀ Neigung, und da die Trommel 50 Teile hat, jeder Teil Vloooo? wovon noch l/io zu schätzen sind. Die Schraube hat über und unter der Mittelstellung 45 Gänge, die Teilung reicht demnach beiderseits bis 22 i/₂ %• Das Instrument gestattet also die Messung von Entfernungen und Höhenunterschieden in doppelter Weise, einmal als Tachymetertheodolit mit Porroschem Fadendistanzmesser und Höhenkreis und dann als Tangententachymeter ; diese letztere Einrichtung soll besonders auch dazu dienen, in bequemer Weise bei gemessener Entfernung Höhenunterschiede in das Gelände zu übertragen, was in der Ingenieurpraxis vorkommt. Das Instrument ist bei den preußischen Eisenbahntruppen eingeführt.

Weiteres~über die Anordnung der Schraube ist mitgeteilt in „Zeitsehr. f. Verm. 1889“ S. 893—896; besonders ist hier zu zitieren die Mitteilung von Doergens im „Zentralblatt der Bauverwaltung 1893“ S. 152—154. Eine neue Anordnung behandelt Doergens sodann im „Zentralblatt der Bauverwaltung 1900“ S. 458.

Tig. 7. Sehiebe-Tachymeter von Wagner-Fennel. Mafistab etwa 1 : 4 der nat. Größe.

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Ti B' Distanz-Skala der wagrechten Entfernung.

C CB Projektions Winkel mit Höhenmaßstab C C b Ein Nonius zum Einstellen der Distanzteilung auf A A '.

a Ein mit & beweglicher, zugleich drehbarer Nonius zum Anschlägen an den Höhenmaßstab CG', c Nonius zum Ablesen der horizontalen Entfernung an dem Lineal B B'. d Nonius für den Höhenmaßstab.

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Dies Instrument ist ein Theodolit, an welchem statt des Höhenkreises, wie in der Fig. 7 zu sehen, eine Skala A A' am Fernrohr, eine wagrechte Skala B B' am Fernrohrträger und ein auf BB' und längs A A' gleitendes Schiebedreieck CC'D angebracht sind. Das Fernrohr ist mit Distanzfäden versehen und gibt, wie Fig. 7 a zeigt, durch Ablesung von l an einer rechtwinklig zur Ziellinie JA gerichteten Latte LA die Entfernung J A. Wird diese Entfernung als J A' am Maßstab in Fig. 7 a eingestellt, so zeigt unmittelbar J B' die wagrechte Entfernung und B ' Al die Höhe an ; es ist also diesen Linien der Fig. 7 a entsprechend am Instrument Fig. 7 die an einer rechtwinklig zur Ziellinie stehenden Latte abgelesene Entfernung am Nonius b der Distanzskala A A' einzustellen, der Projektionswinkel CCD an den drehbaren Anschlagnonius a anzuschieben, wonach am Nonius d des Höhenmaßstabes C C die Höhe, und am Nonius c der wagrechten Distanzskala B B' die wagrechte Entfernung abgelesen werden kann.

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5:

Dieses schon in § 170 S. 705 erwähnte Instrument hat die Eigentümlichkeit, daß es sofort die auf den Horizont reduzierten Entfernungen gibt, daß also eine Reduktion entsprechend l cos² a des gewöhnlichen Tachymeters, vgl. § 180, nicht nötig ist.

Die untere Fig. 8a gibt eine schematische Darstellung der Sache. G' O' P ist ein Hebel mit Drehpunkt 0’, welcher in Fig. 8 a horizontal steht, nämlich an einem Knopfe A anliegend; der Hebel kann aber auch rechts bei Pgehoben und an drei andere Knöpfe angeschlagen werden, welche in Fig. 8a mit 10,18,22 bezeichnet sind. Jeder Hebung des He-

Fig. 8. Selbstreduzierender Kontakt- bels rechts entspricht eine tachymeter von Sanguet.    Senkung links und Bewe

gung der Stange G'CG in Fig. 8a oder Verschiebung des Nonius bei P ' in Fig. 8.

Die Dimensionen sind so verteilt, daß eine Hebelbewegung von A nach 10 eine solche Senkung bei C zur Folge hat, daß das in Fig. 8 a zunächst horizontal angenommene Fernrohr sich um einen Winkel e nach oben neigt, für welchen tang e = 0,01 ist, oder wie schon in § 168 S. 699 angegeben ist, e selbst = 0 ° 34' 23". Wenn aber die Anfangslage des Fernrohrs nicht horizontal ist,sondern eineN eigung a gegen denHorizont macht, so wird die Hebelbewe-

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also (l a — 0,01 cos² a ist, BÜHlliV was gerade die Funktion ist. die man zur Distanzreduktion auf den-Horizont haben muß.

Zur Genauigkeitssteigerung kann man außer an dem Knopfe 10 auch noch an zwei anderen Knöpfen 18 und 22 ablesen, denen tang e' = 0,018 und und nimmt man Ab-

Ç_g/,’ tang e"= 0,022 entspricht;

(    lesungen mit allen drei Knöpfen, so ist das Mittel

10 + 18 + 22

zu nehmen:

= 10.

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Die Höhen gibt das Sanguetsehe Instrument XP unmittelbar an der Höhenskala F Fig. 8.

Weiteres hierzu und Genauigkeitsuntersuchungen gab Petzold in „Zeitsehr. f. Venu. 1896“ S. 144—147 und S. 700—703.

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Fig. 9.

Selbstreduzierender Tachymeter Hammer-Fennel. Maßstab etwa 1 : 3 der natürl. Größe.

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Dieses nach Hammers Angaben von Fennel in Cassel konstruierte Instrument ist der neueste der sog. selbstreduzierenden Tachymeter, welche, wie schon die beiden vorbesprochenen Tachymeter, ohne Rechnung unmittelbar die wagrechte Entfernung und den Höhenunterschied angeben sollen. Der wesentliche Vorzug dieses Instruments besteht darin, daß für die Reduktion keinerlei Einstellungen am Instrument vorzunehmen sind, daß vielmehr die Reduktion sich mit der Kippbewegung des Fernrohrs selbsttätig vollzieht. Wir beschränken uns zunächst auf die Beschreibung des Instruments und seiner Handhabung, während wir die Re dukt ions Vorrichtung nach der allgemeinen Behandlung der Distanzreduktion und Höhenbestimmung für Fadendistanzmesser betrachten wollen.

Der Unterbau ist der eines gewöhnlichen Repetitionstheodolits mit 15 cm Kreis-

durehmesser; zur Ablesung sind Strichmikroskope mit F Angabe vorhanden.

Die

Kippachse liegt unterhalb das Fernrohrs, so daß letzteres nicht ausbalanciert ist; es kann für Messungen auch nur in einer Fernrohrlage gebraucht '»erden. Auf dem Fernrohr ist eine für die Justierung wichtige Doppellibelle angebracht, während zwei Kreuzlibellen zum Lotrechtstellen der Stehachse dienen. Das Fernrohr trägt neben der Doppellibelle auch noch eine Dioptervorrichtung zum bequemeren Einstellen der Distanzlatte. Statt des Okulars ist das Objektiv mittels eines Triebes verschiebbar; mit dem Objektiv ist eine Kollektivlinse verbunden, wobei die äquivalente Brennweite gleich 3B,5 cm, die Vergrößerung des Fernrohrs 21 fach ist. Das Fernrohr kann ungefähr bis zu +30° geneigt werden.

Das Instrument hat keinen Höhenkreis, vielmehr wird in jeder Neigung des Fernrohrs unmittelbar i/ioo ^er wagrechten Entfernung und 1/20 des Höhenunterschieds an der lotrecht aufgestellten, in Zentimeter geteilten Distanzlatte mit einem in der linken Gesichtsfeldhälfte erscheinenden Diagramm abgelesen. Blickt man nämlich in das Fernrohr, so sieht man das Gesichtsfeld durch eine vertikale Kante A A (Fig. 9 a) in

Fig. 9 a.

m

11 np

Lui.......

zwei Teile zerlegt; links sieht man im Gesichtsfelde mittels eines Prismensystems ein Kurvendiagramm, rechts das freie Gelände mit der lotrecht stehenden Distanzlatte, auf deren Teilung die Kante A A ein-V gestellt werden muß, wie es die Fig. 9a zeigt. Im N\ oberen Teile des Gesichtsfeldes geht quer über das 1 ganze Gesichtsfeld ein in der Bildebene des Okulars I aufgespannter Horizontalfaden N N; dieses ist der I „Nullfaden“, d. h. der untere Ausgangsfaden, welcher / auf eine bestimmte Lattenstelle eingestellt werden soll, / und von dem aus die Lattenabschnitte zählen. An der zu diesem Tachymeter gehörigen Latte liegt dieser Lattennullpunkt in mittlerer Instrumenthöhe i— 1,40 m über dem Latten fußpunkt (§ 175).

Das in der linken Hälfte des Gesichtsfeldes sichtbare Diagramm besteht aus drei Kurven, von denen die oberste einen Kreisbogen G bildet, der den Horizontalfaden in der Mitte berührt. Die beiden anderen Kurven H H und E E ändern ihre Lage im Gesichtsfelde mit der Neigung des Fernrohrs gegen die Horizontale, so daß sie die Prismenkante in der Mitte des Gesichtsfeldes jedesmal an einer andern Stelle schneiden. Die Kurve EE dient zum Ablesen der wagrechten Entfernung, die Kurve HH zum Ablesen des Höhenunterschiedes; letztere läßt zugleich das richtige Vorzeichen -+- oder _ erkennen. In Fig. 9 a sind die beiden Ablesungen 0,330 und

-h 0.067, mithin ist die wagreclite Entfernung = 33,0 m, der Höhenunterschied

— —j— 1,34 /vw.

Das Instrument ist von Hammer eingehend (besonders auch die Berichtigung) beschrieben in der Schrift: „Der Hammer-Fennelsche Tachymetertheodolit und die unmittelbaren Lattenablesung von Horizontaldistanz und Höhen-

Tachvmeterkippregel zur unterschied (D.R.P. Nr. 122 901), Stuttgart 1901.“ Vgl. auch „Zeitschr. f. Venn. 1901“ S. 153-158, 1902 S. 144—147, 1903 S. 691-696; ferner „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1902“ S. 21-26, sowie ebenda 1898 S. 241-252 und 1900 S. 328-332.

Eine kurze Darstellung der Theorie und der Justierung des Hammer-Fennel-schen Tachymeters hat der Bearbeiter gegeben in „Einführung in die Geodäsie, Leip

zig 1907“ S. 281—288.

§ 175. Distanzlatten.

gebildet.

Die zu den Tachymetertheodoliten gehörigen Distanzlatten sind auf S. 784 ab-

Zunächst kann jede Nivellierlatte (vgl. die früheren Zeichnungen § 116 S. 508) geradezu als Distanzlatte verwendet werden. Wenn die Distanzmesserkonstante k = 100 ist, so zählt 1

cm

der Latte = 1 m Entfernung usw.

So haben wir seit Jahren mit gewöhnlichen Nivellierlatten, wie Fig. 1 S. 734 zeigt, tachymetrisch gemessen. Allerdings sind die Anforderungen an die Felderteilung und an die Bezifferung bei Nivellierlatten und Distanzlatten im allgemeinen nicht dieselben, denn Nivellierlatten braucht man in der Regel nur auf kurze Zielweiten von 50 m, während Distanzlatten im Gegenteil in der Regel über 50—100-m und oft bis 300 m gebraucht werden. Dazu kommt, daß bei stark zitternder Luft das Nivellieren wohl ausgesetzt wird, die Tachymetrie aber, wenn das Wetter sonst gut ist, sich durch Luftzittern nicht abhalten läßt, so daß die kleinen Zahlen einer Nivellierlatte auf 250—300 m Zielweite schon des Flimmerns wegen verschwinden.

Nun kann man aber bei Tachymetrie auf große Zielweiten sehr wohl ohne Bezifferung auskommen, wie die seit Jahrzehnten erprobte Distanzlatte (Fig. 2 S. 734) der topographischen Abteilung der Landesaufnahme zeigt, welche nur Felder und Marken, aber keine Zahlen hat.

In diesem Sinne verwenden wir auch die Nivellierlatte (Fig. 1 S. 734) auf weitere Entfernungen. Die ganzen Meter sind bei A, 1>. C durch angeschraubte runde Scheibchen von 5 cm Durchmesser bezeichnet, mit deren Hilfe man die Hunderte Meter immer sicher hat, worauf die Dezimeter seitwärts abgezählt und die Zentimeter (in den auch bei größeren Entfernungen deutlichen Dezimeterfeldern) noch geschätzt werden. Die eckige Scheibe S in Fig. 1 S. 734 hat einen anderen Zweck; sie wird bei der Geländeaufnahme stets auf die Instrumenthöhe (also meist 1,3—1,4 m über dem Boden) gestellt, damit bei der Höhenberechnung keine Reduktion für die Instrumenthöhe und Zielhöhe nötig wird, d. h. die eckige Scheibe S in Fig. 1 S. 734 bedeutet dasselbe, wie die runde Scheibe in Fig. 6 S. 735.

In Fig. 3 S. 734 haben wir noch eine dritte Latte abgebildet, welche sich aus früherer Zeit in unserer Sammlung befindet, mit einem Diopter D rechtwinklig zur Latte.

(Diese Latten Fig. 1—3 S. 734 sind früher beschrieben in „Zeitschr. f. Yerm. 1890“ S. 401—404.)

Endlich zeigt Fig. .4 S. 734 noch eine Kastenauszuglatte (von Fennel in Cassel), welche auch als Nivellierlatte dienen kann. Der untere Teil, mit Querschnitt von

. ist kastenförmig, und aus ihm läßffjsich ein zweiter

11 X 7 cm und Länge von 1,75 m Teil, und aus diesem wieder ein dritter Teil ausziehen bis zur Gesamtlänge von 4,7 m.

auf Dezimeter geteilten

Dieser obere Auszug kann als Beispiel einer einfachen,

Distanzlatte dienen. (Hierzu gehören Zählscheiben wie zu Fig. 1 S. 734.)

nur

Auch Strichlatten wie Fig. 7 S. 503 § 116, aber mit kräftigen Strichen und mit Meter- und Halbmetermarken, geben gut ablesbare Lattenbilder. Um die W irkung der auf S. 734 dargestellten Latten auf größere Entfernungen zu

daß die Figuren im Maßstabe 1 : 25 gezeichnet sind; und setzt man die Vergrößerung 1 : 30 voraus, so würde die Zeichnung in Lattenentfernung vom Auge ein

beurteilen, beachte

man,

ri?. 4.

Fig. 1.

Gewöhnliche Nivellierlatte mit Scheiben A, B, C zum Distanzmessen.

Fig. 2.

Latte der topographischen Abteilung der Landesaufnahme (ohne Bezifferung).

Fig. 3.

Latte zu dem Schiebetachymeter, nach Kreuter (S. 729).

zum

K, C dienen zum Zeigen der ganzen Meter bei großen Zielweiten, die viereckige Scheibe S dient Einstellen der jeweiligen Instrumentenhöhe.

cn

oo

Die runden Scheiben A,

Feldern, ohne Bezifferung, abgezählt. Ein schwarzes oder weißes Feld ist 5cm —10m Entfernung für k — 200. Die vier roten Marken

Die Entfernungen werden an den

cc

m.

li dienen zum Abzählen von je 200

er

oc

oc

Die Latte liât bei A ein Gelenk, so daß der obere libelle L vertikal gehalten wird.

_______________ y---o

teil geneigt werden kann, während der untere Teil B mit der Dosen-Bei n ist ein Diopter zum rechtwinklig Zielen nach dem Instrument.

4_m_

00

CO

Kastenauszuglatte, auf 1,75 m zusammenschiebbar, in zwei Auszügen bis 4,7 m verlängerbar.

ro    cjj

_ ,3    _ 3    ₃

■liii” ‘ 1    11 ; [j| 11 |j i > ! «ji»; y, |,    * I, UJ¹■ 8 'g'v# nb|l*îÿp^wygni^fTt|j...ll^|l-t^[î',tu‘,t«,,r

750fach kleineres Bild geben als das Fernrohr; oder eine Zielweite von 300 m wird

= 0,4 m Abstand vom Ange.

im Fernrohr dasselbe Bild geben, wie die Zeichnung in

300

750

Hält man also die Zeichnung von S. 734 in den Abstand 0,4 m vom Auge, so erhält man das Bild, welches ein Fernrohr von 30 fâcher Vergrößerung im günstigsten Falle geben kann, namentlich bei ganz ruhiger Luft ohne Flimmern.

Fig. 5.

Distanzlatte mit Diopter c d und mit Strebe o 6.

In Fig. 5 geben wir noch eine Latte mit Diopter c d, durch welches der Lattenträger nach dem Instrumente zielt, um die Latte rechtwinklig zur Ziellinie zu stellen, dabei kann er die Strebe ab benützen, um die Latte rechtwinklig zur Ziellinie, also schief zur Vertikalen halten zu können (vgl. Fig. 1 des spätere § 180).

Übrigens kann die Strebe a b in Fig. 5 auch dazu dienen, daß nicht bloß eine schiefe Latte, sondern auch eine lotrechte Latte, wie Fig. 5, in ihrer Stellung erhalten wird.

Zum festen Halten von Distanzlatten, was hei allen schärferen Messungen nötig ist, sind die schon bei den Nivellierlatten § 116 S. 505 an Fig. 11 erläuterten, mit den Handgriffen zusammen zufassenden Haltestäbe anzuwenden.

Eine kleine französische Latte haben wir schon in § 174 Fig. 9 S. 731 bei dem Sanguetschen Tachymeter abgebildet. Diese Latte ist ungemein leicht, in zwei Teile zerlegbar und zusammensetzbar, im Querschnitt nur 4x2 cm, und erfüllt doch ihren Zweck, was rückwärts zu demSchlusse führt, daß viele deutsche Distanzlatten unnötige Beschwerung des Lattenträgers enthalten.

lL

r>

Fig. 6.

Zur Ausrüstung der Latte gehört bei der Geländeaufnahme (mit Höhenmessung) noch eine Zielscheibe von etwa 3—6 cm Durch- ^ messer, welche jeweils in der ! Instrumentenhöhe i an der L Latte angeschraubt wird, wie

zrl

m />/\s

Ht

a-

71-

■H

in Fig. 6 S. 735 mit z — i angedeutet ist. Auf diese Scheibe wird jedesmal der Mittelfaden des Fernrohrs eingestellt, ehe der Höhenwinkel a abgelesen wird, welchen man zur Höhenberechnung braucht.

Bei reiner Zugmessung, wenn auf jedem Punkte nur eine Sicht rückwärts und eine Sicht vorwärts genommen wird, lohnt es sich allerdings nicht, jedesmal die Scheibe auf i — z zu stellen; in solchem Falle mißt man jeweils am Instrumente die Fernrohrhöhe über dem Boden = i mit einem Stabe ab, und stellt den Mittelfaden an der Latte auf den Teilungswert i ein, ehe der Höhenwinkel abgelesen wird; oder man nimmt konstant irgend eine runde Einstellung, z. B. 1,50, oder eine Meterscheibe, z. B. die Scheibe B bei 2,0 in Fig. 1 S. 784. Aber in der laufenden Tachymetrie, wo oft 20—30 Lattenpunkte und mehr von einem Standpunkt aus genommen werden, ist es bequem, die Zielscheibe für jeden Standpunkt besonders auf z — i einzustellen. Es wird auch wohl den Latten eine feste Einstellmarke in mittlerer Instrumentenhöhe, z. B. i = 1,4 m, gegeben, und von hier aus als Nullpunkt die Teilung begonnen. Weiterhin sei hier auch zitiert: Hilscher, „Zeitsehr. f. Venu. 1901“ S. 210—216, Die tachymetrische Reduktionslatte.

§ 176. Optische Theorie der verschiedenen Distanzmesserfernrohre.

Nachdem wir in § 169 S. 701 bereits die optische Theorie des einfachen Distanzmesserfernrohrs behandelt haben, bleiben jetzt noch die entsprechenden Theorien auch für zusammengesetzte Fernrohre (Huyghenssches und Porrosches Fernrohr) zu entwickeln.

I. Einfaches Fernrohr und Bamsdensches Fernrohr.

Des Zusammenhangs wegen wollen wir hier nochmals mit dem einfachen Fernrohr beginnen:

Fig. X.

I Pb

ft

Ocular

Objecti v

Einfaches Fernrohr mit einer Okularlinse A,

oder Bamsdensches Fernrohr mit A und C.

/-

*<-

Die Okularlinse A oder auch zwei Ramsdensche Okularlinsen A und C gehen in die Distanzmessertheorie nicht ein ; man hat also ohne Rücksicht auf dieselben nur das Lattenbild zu betrachten, welches zwischen den Fäden im Fadenahstande p erscheint. Nach der obigen Fig. 1 ist dann unmittelbar

D — f — —l,

P

(1)

oder auch, wenn

^ j~H..

= Je gesetzt wird,

Die Konstante k kann auch durch den Winkel e ausgedrückt werden, dessen Scheitel im vorderen Brennpunkte des Objektivs liegt. Es ist

(3)

Je —    ~ cotcmg .

II. Huyghenssches Fernrohr.

Zwischen dem Objektiv 0 und dem durch p angedeuteten Fadennetz befindet sich eine weitere Linse C, Kollektivlinse, welche bei den Einstellungen auf verschiedene Zielweiten einen unveränderlichen Abstand y von dem Fadennetz behält.

Fig. 2.

p}<-----y

constant

Huyghenssches Fernrohr (y konstant).

Dollar

Collectiv

ObjecMv

,C

E,

■D-

Die Kollektivlmse entwirft von den beiden Distanzfäden virtuelle Bilder im Abstande p' (Fig. 2). Diese virtuellen Bilder ersetzen vollständig die wirklichen Fäden, und es kann nun dieselbe Betrachtung wie in Fig. 1 folgen. Zur Bestimmung von p' haben wir die beiden Gleichungen

1_ _ _1 x- f

und

woraus wir finden

Nach Fig. 2 ist dann wieder

F (L —f) '

(4)

B-f =

rr

und

während die obige Gl. (3) ihre Gültigkeit auch in diesem Falle behält.

III. Porrosclies Fernrohr.

Das Porrosche Fernrohr, dessen Anordnung in Fig. 3 angedeutet ist, hat, ebenso wie das Huyghenssche Fernrohr, zwischen dem Objektiv O und dem Fadennetze L" eine Kollektivlinse C eingeschaltet, welche aber nun einen konstanten Abstand a von dem Objektiv behält, so daß beim Einstellen auf verschiedenen Ziel weiten der Abstand y sich ändert.

Die von den Distanzfäden aus parallel der Achse laufenden Strahlen gehen nach

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aull.

der Brechung durch das Kollektiv durch dessen vorderen Brennpunkt F' und den beim Durchgang durch das Objektiv nochmals gebrochen, so daß sie schließlich den Winkel e bilden. Da der Abstand a des Objektivs vom Kollektiv konstant ist, so hat auch der Scheitel S des Winkels e eine konstante Lage.

wer-

Fig. 3.

----ć)-----

coiislćllll

Porros Fernrohr (a konstant, y veränderlichr

Ocular

Collecl'iv

Objecliv

,0

F-

'S

—f-.....

— -.....-a

a — r

—ri—P

(7)

Es ergibt sieb aus Fig. B

p' =

und, da S das virtuelle Bild von F' ist,

oder

Da aber

a-f

f+f'-ci

fip-n '

D + x = x

(8)

ist, so wird auch nach (7) und (8)

I) =

/■(« — /)

ff'

f + r — a f + f'-a' p

(9f

Die Konstante k erhält demnach den Wert

ff

k f+f’ — a'p'

(10)

Man kann die Theorie des Porroschen Fernrohrs, welche wir in den vorstehenden Gleichungen (7)—(10) mit Fig. 3 unmittelbar entwickelt haben, auch mittelbar begründen, wenn man die Sätze über die Haupt- und Knotenpunkte für zwei Linsen nach § 52 als bekannt voraussetzt. Wenn in Fig. 4 S. 739 zwei Linsen mit den Brennweiten f und f Zusammenwirken, so daß die Latte l ein Bild p liefert, so bestehen die Haupt- und Knotenpunkte H und H\ welche mit den eingeschriebenen Maßen folgende zwei Gleichungen liefern:

(II)

und

P _ l d -)- v D -)- u

Wenn man hieraus d -f- v eliminiert, so erhält man :

(12)

_—__=---L_ = D +u -tL also D + « — f" = —

d -\- v (D-\-v)p f" ü-fti f (D + m)    p

Dabei haben nach § 52 S. 203 f" und u folgende Bedeutungen:

f" =

ff'

M f+f’-a '

(13)

Setzt man dieses (13) in (12), so erhält man dieselbe Gleichung wie vorher (9). Die Größe f" nach (13) wurde früher (S. 204) die „äquivalente Brennweite“ des Systems der Linsen f und f’

Fig. 4.

<■

^><

h;_h

l-

i*

u+D

d+v

genannt ; und in Hinsicht auf die Konstante k wirkt in der Tat das Porrosche Distanzmesserfernrohr wie ein einfaches .Fernrohr mit der einzelnen Brennweite f".

Zusammenfassung aller drei Fälle.

Um nun die Gleichungen (1), (5) und (9), welche wir für unsere drei Fälle gefunden haben, unter einen Gesichtspunkt zu bringen, wollen wir noch statt der Entfernung D, welche von der Latte zu der Objektivmitte gezählt ist, eine Entfernung E von der Latte bis zu der Fernrohrmitte einführen, d. h. nach Fig. 5:

3>

E = D -h Ö.

(14)

Fig. 5.

D+& . ö-f

c.

i.

D-f — E-c

~c*

Die kleine Größe ö, welche ungefähr gleich der halben Femrohrlänge ist, läßt sich jedenfalls immer ermitteln, und damit haben wir:

I. Einfaches und Bamsdensches Fernrohr,    „    . f ₇

E = o + t -\--f,

P

II. Huvghenssches Fernrohr, (5) S. 737 jfi = ö + f ^1 — yrj

» fifl-n

f -Ff' — a

Diese drei Gleichungen haben eine gemeinsame Form:

E = c + k l.

Hierzu muß man den Konstanten c und k für die drei betrachteten Fernrohrkonstruktionen folgende Bedeutung geben :

I. Einfaches u. Bamsdensches Fernrohr c = Ö -j- f

(1) S. 736

(15)

III. Porrosches Fernrohr, (9) S. 738

-■s

(16)

f-\-f — a p

D. (17)

(18)

(19)

II. Huyghenssches Fernrohr

(20)

III. Porrosches Fernrohr

» n*-n

f+f’-a

ff' 1

, * = -rf-h--• (21)

f+f’ — ap

Betrachten wir zuerst die Werte c, so sind diese :

I. für das einfache und Bamsdensche und II. für das Huyghenssche Fernrohr

ist c = ö-hf, d. h. etwa — 1,5/', in runder Zahl etwa c = 0,5 Meter;

III. bei dem Porroschen Fernrohr ist c = Ö

f (a — f) i    „ J,

-z-—----, und das kann = Nul(

f+f' — a

gemacht werden; z. B. hei den Fernrohren von Starke in Wien (nach Mitteilung von Tinter, in der „Zeitschr. d. Österr. Ing.- u. Arch.-Yereins 1873“, Heft III) ist f= 345mm, f = 126 mm, a = 237 mm, Ö = 163,7 mm, womit nach (21) c — 0 wird.

Hierin, d. h. in c = 0, besteht die Haupteigenschaft des Porroschen Fernrohrs. Man hat denjenigen Punkt, von welchem aus die Entfernungen E den Lattenahschnitten l proportional sind, also den Scheitel des Winkels e in Fig. 1—3, den anallak-tischen Punkt genannt; und das Porrosche Fernrohr hat demnach den Vorzug, daß der anallaktische Punkt in der Fernrohrmitte liegt (anallaktisch oder anallatisch? „Zeitschr. f. Yerm. 1893“ S. 400). Im übrigen jedoch, d. h. in Hinsicht auf Schärfe des Fernrohrhildes und Genauigkeit der Distanzmessung, hat das Porrosche Fernrohr keinen Vorzug vor dem Huyghensschen oder Ramsdenschen Fernrohr.

Anmerkung zu den verschiedenen Fernrohren und Okularen.

Die optisch günstigste Anordnung für Distanzmesserfernrohre ist die dem einfachen astronomischen Fernrohr unmittelbar entsprechende mit Ramsdenschem Okular (möglichst mit orthoskopi-schem, vgl. § 53 S. 210) ; wesentlich ist hierbei, daß die Fadenebene unabhängig vom Okularsystem ist. Über das Porrosche Fernrohr ist das hauptsächlichste schon eben erwähnt, wozu nur noch zu bemerken, daß die nach (5) § 52 S. 203 zu berechnende äquivalente Brennweite des Porroschen Systems O C Fig. 3 S. 738 stets geringer Ist, als die des.Objektivs O allein; z. B. bei dem eben erwähnten Zahlenbeispiel sogar fast nur Vs f- (Es soll daher a entsprechend groß genommen werden.)

Auch beim Huyghensschen Fernrohr findet die in (9) § 53 S. 209 ausgedrückte Reduktion der Objektivbrennweite statt. Wegen der Abhängigkeit der Fadenebene vom Okularsystem ist noch das Folgende zu bemerken.

Fig. 6.

JSl §lpSt

W/M

BE

Nach Fig. 2 S. 737 muß beim Huyghensschen Okular der Abstand y zwischen dem Kollektivglas C .und dem Fadenkreuz p konstant sein, weshalb die für die Individualität des einzelnen Auges nötige Stimmung des Abstandes vom Okular zum Faden nicht durch Verschieben des letzteren geschehen darf, wie beim Huyghensschen Okular ohne Distanzmesservorrichtung in der früheren Fig. 2 § 51 S. 197 durch den kleinen Spielraum an den Schrauben angedeutet ist. Vielmehr muß, wenn das Huyghenssche Okular zum Distanzmessen gebraucht werden soll, der für das einzelne Auge nötige kleine Spielraum [Gleichung (4) § 50 S. 195] dann durch die Okularlinse selbst geliefert werden, indem deren Fassung, wie Fig. 6 zeigt, heraus- und hineingeschraubt wird.

Trotzdem hat man früher häufig Huyghenssche Distanzokulare getroffen, welche in dieser Beziehung falsch eingerichtet waren (wir haben solche 1868 und 18S2 in großer Zahl vorgefunden, „Zeitsehr. f. Verm. 1883“ S. 431). Eine nähere Erörterung hierzu wurde von Vogler gegeben in „Zeitschr. f. Verm. 1883“ S. 477—479, von wo auch die vorstehende Fig. 6, Ertels Distanzokular, entlehnt ist. Hier sei auch zitiert: Hensoldt, „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1885“ S. 413-420.

§ 111. Bestimmung der Konstanten des Fadendistanzmessers.

Nach der im vorigen § 176 entwickelten Theorie handelte es sich immer um eine Gleichung von der Form :

I. Bestimmung der Additionskonstanten c.

Wenn man die optischen Verhältnisse eines Distanzmesserfernrohrs kennt, so ist die Bestimmung von c leicht zu machen. Für ein einfaches Fernrohr, sowie auch für ein Fernrohr mit Bamsdenschem oder mit Huygensschem Okular ist c = f -f- Ö [nach (19) und (20) § 176 S. 739], wo f die Brennweite des Objektivs und Ö etwa die halbe Fernrohrlänge ist, d. h. sehr nahe ö = 0,5 f, also c = 1,5 f.

Die Objektivbrennweite f kann man jedenfalls für diesen Zweck hinreichend genau dadurch bestimmen, daß man mit der Objektivlinse ein scharfes Sonnenbild erzeugt, mit einem Papierschirm auffängt und dessen Abstand f von der Linse mißt. Oder beim Ramsdenschen Fernrohr hat man nur das Fernrohr auf unendliche Entfernung einzustellen, dann ist der Abstand des Fadennetzes vom Objektiv gleich der gesuchten Brennweite f.

Bei unseren hannoverschen Tachymetern mit Huyghensschen Okularen ist f =38 cm, Ó' = 19 cm, also c = 57 cm.

Kann man sich darauf verlassen, daß man ein richtiges Porrosches Fernrohr hat, so ist c — 0, und das ist der einfachste Fall.

Wenn man aber über die optische Natur des Fernrohrs etwa nicht im klaren ist, wenn man z. B. nicht sicher ist, ob ein angeblich Porrosches Fernrohr wirklich seinen anallaktischen Punkt in der Fernrohrmitte hat, dann hat man c und k gemeinsam zu bestimmen, wie wir nachher beim Fall III zeigen werden (S. 743—744).

II. Bestimmung der MiüUplikationskonstanten k.

Wenn man die Linsenbrennweiten und alle Dimensionen des Distanzfernrohrs genau wüßte, so könnte man nach den optischen Formeln (19), (20), (21) § 176 S. 739 die Konstante k in jedem Falle berechnen; das wäre aber nicht genau. Die mikrometrische Bestimmung des durch die Distanzfäden gebildeten distanzmessenden Winkels ist nur mit besonderen Hilfsmitteln ausführbar.

Fig. 2.

]r

-E-c

Datei ist nach Fig. 1 E die Entfernung der Latte von der Fernrohrmitte, c ist eine kleine konstante Länge von etwa 0,5 m, und Hst das zwischen den Distanzmesser-fäden erscheinende Stück der nämlich k ist eine

Latte

Multiplikationskonstante, welcher man am besten einen runden Zahlenwert, z. B. k = 100, geben wird.

----------

!<■<? ijCr-f—)’f-

Fig. i.

-E

E-c

Die praktische Bestimmung von k geschieht deshalb immer durch Vergleichung unmittelbar gemessener Entfernungen E mit den entsprechenden Distanzmesserangaben, wie in Fig. 2 angedeutet ist („Zeitschr. f. Verm. 1883“ S. 431).

In der nachfolgenden Tabelle wird ein Zahlenbeispiel hierzu gegeben für das hannoversche Instrument I, mit c = 0,57 m. Die Messung wurde nach Fig. 1 gemacht, d. h. zuerst c — 0,57 m von der Instrumentenmitte nach vorn abgesetzt und E — c in

runden Zahlen, =50-m, 100 m, 150m, 200m mit Meßlatten abgemessen. Diese Messung muß sorgfältig mehrfach hin und her ausgeführt werden, damit das Ergebnis als fehlerfrei gegenüber der Distanzmessung angesehen werden kann. (Auf unserer für diesen Zweck ständig eingerichteten hannoverschen Vergleichsstation sind von 0 bis 300 m in 50 m-Abständen feste Marken angebracht.) Erforderlich ist Maßvergleichung für die Latten nach § 20 S. 65.

Auf der so eingeteilten Geraden wurde die Distanzlatte fünfmal hin und her geschickt, und dabei abgelesen, wie folgendes zeigt:

E—c

Lattenablesungen (1) 1 (2) 1 (3) 1 (4) | (5)

Mittel 1001 l E — c

V2

bO M M O Ö bi "o bi H O O O O ^ CA H O h-¹

t-h o co d^-ooo io

O rH rH CM

t—I O rH CM v O O O O £ ^ O^ O O rH rH CM~

Lj M M O O br O 'br 4 O O O O ^ DO

H O IO

Ot h

O (M (M io o o o o o

O H H OÎ

0,5010 1,0020 1,0006 1,0006 1,50141,0009 2,0048 1,0024

(Summe 4,0059

—    5 25 4-9; 81 + 6 36

—    9 81

1223

(2)

...,,. 100    4,0059

Mittel —— = —;— = 1,0015 also k Je 4

100

1,0015

(3)

Die hier durchgeführte Berechnung erklärt sich nahezu von seihst; besonderer Erwähnung bedarf nur vielleicht noch die Bildung des einfachen Mittels aus den vier

-. Die l seihst haben allerdings nach verschiedenen Entfernungen verschiedene mittlere Fehler, allein die Quotienten

Werten

E—c

oder

E—c

können in den

meisten Fällen als genügend genau gleich wichtig betrachtet werden, zumal dann, wenn nicht besondere Beobachtungen für die Gewichtsbeurteilung vorliegen (vgl. §124 S. 535).

Gelegentlich haben wir auch noch eine Genauigkeitsberechnung in obiger Tabelle

100 l

beigefügt, und finden daraus den mittleren Fehler einer Bestimmung von

8,6 letzte Einheiten, d. h. — jF 0,00086

(4)

"'1

(5)

und den mittleren Fehler des Mittels M = —Ar = 0,0004

V 4

also ^ = 1,0015 ± 0,0004 oder k = 99,85 + 0,04 .

ru

Die Konstante k ist also merklich kleiner als 100, denn die Abweichung von 100 beträgt 0,15 oder etwa das Vierfache des mittleren Fehlers 0,04. Es war seitens des Mechanikers beabsichtigt gewesen, k = 100 zu machen, und diese Absicht ist also nicht völlig erreicht worden.

Welche Hilfsmittel man hat, um die Konstante k = 99,85 auf den runden Wert k = 100 zu stimmen, werden wir im nächsten § 178 kennen lernen.

(6)

III. Gemeinsame Bestimmung von Je und c.

Wenn man, aus Unkenntnis der optischen Einrichtungen des Fernrohrs, die kleine Konstante c nicht selbständig bestimmen kann, so muß man sie mit Je zusammen durch eine Ausgleichung mit zwei Unbekannten nach der M. d. kl. Q. ermitteln, wobei wieder eine Keihe von Lattenablesungen l für gegebene, sicher gemessene Entfernungen E als verfügbar angenommen werden soll. Dabei besteht nach (1) die Gleichung E = c-\-Jel.

Da die Multiplikationskonstante Je nahe =100 sein soll, wollen wir setzen:

Je = 100 -fi- y und zugleich c — x , also E = x -j- (100 P-y) l oder 0 = x -+- ly -f- 100 l— E.

Dieses kann sofort zu einer Fehlergleichung benützt werden :

v — x -f-1 y + (100 l — E), v — a x p-b y -\-X a = 1    , b — l , À = 100 l — E.

(Das Absolutglied ist hier Â genannt, weil das sonst von uns für das Absolutglied einer Fehlergleichung gebrauchte Zeichen l hier bereits für die Beobachtung an der Distanzlatte gebraucht ist.)

Die Gleichung (9) kann insofern als Fehlergleichung gelten, weil À= 1001 — E alle Eigenschaften einer Beobachtungsgröße hat; allerdings ist zunächst l selbst die Beobachtung an der Distanzlatte; jedoch kann 100 l auch als Beobachtungsgröße gelten, indem sofort die Latten werte als Distanzen (1 cm = 1 m) gezählt werden, und die Werte E als anderweitig fehlerfrei gemessen zu betrachten sind. Die übrig bleibenden Fehler v werden hierdurch auch als Entfernungsfehler gezählt.

Was die Gewichte der Fehlergleichungen (9) betrifft, so soll eingeführt werden:

1

P~V

indem der mittlere Fehler einer Lattenablesung als proportional der Entfernung E, also hinreichend genau auch proportional dem Lattenwert l betrachtet wird.

Aus (10) und (11) kann man die allgemeine Form der Normalgleichungskoeffizienten nach § 12 S. 30 bilden:

also Fehlergleichung : mit Koeffizienten:

[p«a] = [-]

[p a b]

-[r]

[p a À]

-Kl

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(u = Anzahl der Beobachtungen) [p b b] = n

^ = [t]

Nach Ausrechnung dieser Koeffizienten hat man die zwei Gleichungen aufzulösen : [p a a] x -f- [p a 5] y + {p a À] = 0 [p a b] x p- [p b b] y -p [2) b X\ = 0 .

Alles Weitere soll an einem Beispiele gezeigt werden :

Ein Tachymeter, sogenanntes Instrument „Cleps“ (das wir in § 174 Fig. 5 S. 726 beschrieben haben), wurde auf sieben gut mit Meßlatten abgemessenen Entfernungen E zwischen 25 m und 300-m geprüft, indem eine Distanzlatte in jeder Stellung abgelesen wurde. Die Vergrößerung des Fernrohrs ist 25 fach. Die Ent-

fernungen E sind von der Instrumentenmitte an gezählt. Folgendes sind die bereits in Mittel zusammengefaßten (von zwei Beobachtern je vierfach abgelesenen) Werte, nebst / und p :

Entfernung E — 25 m Ablesung l = 0,2501 m 100 l — E = l = + 0,01 1 :fi=p = 16,00

50

100

150

200

250

300 m

0,5000    1,0006    1,5016    2,0021    2,5058    3,0060 m

+ 0,00    +0,06    +0,16    +0,21    +0,58    +0,60

4,00

1,00

0,44

0,25

0,16

0,11

Num.

p ai I pal pbi pi l \ P Àl

^ Ci Cl ^ co N) M

16,00

4,00

1,00

0,44

0,25

0,16

0,11

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

‘O    ©    ©    ©    ©    ©    ©

»O    ©    in    O    lß    O

O    d    rt    H    (N    w    35

+ 0,01 + 0,00 + 0,06 + 0,16 + 0,21 + 0,58 + 0,60

-°    -°    p    p    r*    **

co    ^    m    o    o    ©    ®

03    O    ©    —1    ©    ©    ©

0,16

0,00

0,06

0,07

0,05

0,09

0,07

1.00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,04

0,00

0,06

0,11

0,10

0,23

0,20 !

-°    P    P    P    p    p    p

o    o    ©    ©    ©    ©    o

Ü<    ►—*    1-1    o    ©    ©

©    +.    y-A    (-1    hł*    ©    to

Summen :

21,96    7,00 j 10,75    +1,62    8,90 j 0,50    7,00

Normalgleichungen :    + 21,96 x + 8,90 y + 0,50 = 0

+ 8,90 a; + 7,00 y + 0,74 = 0 0,122 .

0,74    | 0,122

Die Auflösung gibt:

(12)

y = — 0,158 + 0,038

x = ■+■ 0,041

± 0,021

c = + 0,04 m + 0,02144 , k = 100 + y = 99,842 + 0,038

[À À. 2] =

₇/o,oï

m = V~T

0,025 = [p v r]

= ± 0,070.

Die Distanzformel beißt also jetzt:

(13)

E — 0,04 m+ 99,842/.

Der kleine Wert von c = x = 0,04 m mit dem mittleren Fehler + 0,02 m beweist, daß das Instrument genügend anallaktiseh ist, und daß man für alle praktischen Zwecke genügend c = 0 setzen kann.

Als weiteres praktisches Ergebnis von allgemeinem Interesse nehmen wir den mittleren Fehler m = 42 0,070 m. Das ist der mittlere Distanzfehler auf 100 m- Entfernung (für das Gewicht p — 1). Indessen gilt dieser mittlere Fehler für eine Vergleichung, welche selbst das Mittel aus acht Einzelablesungen war; es wird also der mittlere Fehler einer Distanzmessung:

= 0,070 Y~8 = + 0,20 oder wir können sagen, der mittlere Fehler einer Distanzmessung mit diesem Instrument beträgt +0,2% der Distanz.

Als Rechenprobe und zum formellen Abschluß der vorstehenden Ausgleichung kann man auch noch die übrigbleibenden Fehler v berechnen nach der Formel: v = 0,041 + 99,842 / — E,

wo / die beobachteten Lattenabschnitte und E = 25 m , 50 m-... 300 m die gegebenen Entfernungen sind. Die hiernach berechneten sieben V erte v sind :

0,06 — 0,04 — 0,06 —(- 0,22 + 0,17 und weiter gibt dieses \p v v\ = 0,024, was mit [/. Â. 2] = 0,025 nach (12) aus der Elimination genügend stimmt.

mx

auf 100 m

(14)

v = + 0,01    — 0,04

§ 178. Stimmung des Distanzmessers auf 7.* = 100

Tn § 177 haben wir gesehen, wie die beiden Konstanten c und k bestimmt Averden können für die Gleichung:

E = c + kl.

(1)

In unseren Beispielen § 177 S. 742—744 A\rar k sehr nahe = 100. Man geht

50 oder = 200, oder sonst

gewöhnlich darauf aus, k = 100 oder Adelleicht auch zu einer runden Zahl zu machen. Vgl. hierzu § 179 S. 749.

Ehe Avir die verschiedenen Hilfsmittel betrachten, Avelche man hat, um k = 100 zu machen, oder allgemeiner, um die jeAveilige Multiplikation mit k zu ersparen, müssen Avir zuvor noch einiges über die kleine Konstante c sagen.

I. Die Additionskonstante c.

1.    Die Konstante c beträgt im Mittel etAva 0,5 m (wohl höchstens 1,0 m), und desAvegen ist es in vielen Fällen angezeigt, diese kleine Konstante schlechthin zu vernachlässigen. Das geschieht z. B. unbedingt bei topographischen Aufnahmen im Maßstab 1 : 25 000 bis zu 1 : 5000, Aveil in so kleinen Maßstäben sich eine Länge von 0,5 m (bis 1, m) überhaupt nicht mehr darstellen läßt. Je größer aber der Maßstab der Aufnahme und dementsprechend die Genauigkeit der Messung Avird, um so Aveniger darf man c vernachlässigen.

2.    Man kann c zum Teil berücksichtigen, zum Teil vernachlässigen, indem man e aus der Formel (1) zAvar fortläßt, aber dafür k etwas verändert, d. h. man setzt:

l = k'l, AVO F = it + y.

E = c + kï =

(*-t)

(2)

Um nun k’ — 100 zu machen, nimmt man für einen MittelAvert, etAAra / = 1,0 m, für c = 0,5 m :

k' --- k -4- 0,5 = 100, also k = 100 — 0,5 = 99,5 .

(3)

Man stimmt den Distanzmesser auf k = 99,5, und läßt dann die kleine Konstante c fort. Hierbei ist die Vernachlässigung c (1,0—l) in der Nähe der mittleren Entfernung 100 m am geringsten.

3.    Man läßt den ursprünglichen Wert k bestehen, schlägt aber.jeder Ablesung in Gedanken die Konstante c zu und führt dieses auch bei geneigten Ziellinien (s. § 180) ein.

4.    Wenn man die Distanz-

Fig. 1. Maßstab 1 : 1000 mit der Konstanten c.

messungen auf einem Maßstab abgreifen und in eine Karte eintragen will, was meist der Fall ist, so schaltet man in dem Maßstabe das kleine Stück c ein, AArie in Fig. 1 angedeutet ist. Man hat dann z. B.

AB = 36,0 m -f- c.

5. Wenn man eine Distanzlatte mit einem bestimmten Nullpunkte hat, auf Avelchen immer ein Faden eingestellt Avird, so kann man die Konstante c in der Lattenteilung dadurch berücksichtigen, daß man den Lattennullpunkt um eines kleines Stück

10 ! 00

10

20

36,0+c

30    40    50

— verschiebt, so daß der erste Lattenteil um y- kleiner Avird als alle übrigen. Z. B.

für k = 100 und c = 0,5 m müßte man den ersten Lattenteil um 0,5 cm kleiner machen als die folgenden. Dieses Hilfsmittel Avar früher viel im Gebrauch, z. B. bei den Münchener Distanzlatten; Avenn man jedoch überhaupt keine besonderen Distanzlatten

hat, sondern gewöhnliche Nivellierlatten mit metrischer Teilung an wendet, so ist die Nullpunktsverschiebung störend, weil man dadurch gezwungen wird, überhaupt den einen Faden immer auf einen bestimmten Punkt zu stellen.

II Die Multiplikationskonstante k.

Um die Konstante k = 100 zu machen, gibt es mancherlei Hilfsmittel.

1. Stimmung des .Fmfenabstandes, Fig. 2. Nach den optischen Gesetzen von § 176 ist k abhängig von dem Parallelabstand p der Fäden, nämlich im einfachsten

Fig. 2.

Falle k =

. Wenn man daher diesen Fadenabstand p veränder-

Hi

Bill

lieh und durch Richteschrauben stimmbar macht, wie in Fig. 2 angedeutet ist, so hat man damit ein Mittel in der Hand, um k innerhalb gewisser Grenzen auf einen gewissen Wert, also auch k = 100 zu bringen. Man kann das ganz versuchsweise tun; Jjj man stellt nämlich eine Latte in die Entfernung E — c — 100 m, W und stimmt dann mit den Richteschrauben der Parallelfäden den Abstand p so, daß gerade ein Lattenstück 1 m = 100 cm zwischen den Fäden erscheint.

Beim einfachen Fernrohr und bei dem Bamsdenschen Fern-

rohr hat man kein anderes Hilfsmittel, um k — 100 zu machen, dagegen beim Huyghensschen und Porroschen Fernrohr hat man ein feineres Mittel, zu dem wir nun übergehen.

2. Stimmung der Xmsewabstände, so daß k = 100 wird. Wir betrachten zuerst ein Huyghenssches Fernrohr, für welches nach (20) § 176 S. 739 die Gleichung gilt:

k = -L(i-£

Dabei ist y der Abstand zwischen dem Fadennetze und der Kollektivlinse (vgl. §176 Fig. 2 S. 737 und die frühere Fig. 2 § 53 S. 208).

Diesen Abstand y, welcher im Laufe der Distanzmessung selbst konstant bleiben

muß, kann man nun zur Stimmung von k sehr fein benützen. Die hierzu nötige Einrichtung des Okulars zeigt folgende Fig. 3. Hier bedeutet f f das Kollektiv und NN die Ebene des Fadennetzes; es ist also y der erwähnte Abstand des Fadennetzes

vom Kollektiv. Das Okular O

Fig. 3. Huyghenssches Distanzmesserokular.

f-----y-----

[©

o I 10

I?

hat bei s den nötigen Spielraum zur Einstellung auf deutliches Sehen des Fadennetzes N N. Auch y hat einen Spielraum von 2 — 3mm, wobei der mit dem Fadennetz verbundene Zeiger J auf einem kleinen, in Halbmillimeter geteilten Maßstab 3131 verschoben bzw. eingestellt Avird; oder es wird die Veränderung von y auf 3131 unmittelbar gemessen, macht man bei verschiedenen Stellungen des Zeigers J die Bestimmung der Konstanten k

Nun

in der Weise, wie früher in § 177 S. 742 angegeben wurde („Zeitschr. f. Venn. 1883“ S. 432).

Als Beispiel geben wir für K — c = 100 m die Lattenablesungen 1 (als Mittel aus je mehreren Einzelablesungen) :

Zeiger 7 Lattenwert l

3,0 = 1,5 mm 4,0 = 2,0 mm- 5,0 = 2,5 mm 6,0 = 3,0 mm 1,025 m

1,010m

0,992 m

0,976 m

100

= 97,5

= 99,0

= 100,8

(5)

= 102,4.

Man sieht, daß k = 100, oder l— 1,00 m zwischen die Zeigerstellungen 7 = 4,0 und 5,0 fallen würde, und die Einschaltung gibt hierfür:

,7 = 4,0 4

0,010

0,018

1,0 = 4,56.

(6)

Nun stellt man den Zeiger auf 7 = 4,56 und macht das Fadennetz NN mit einer hierzu vorhandenen Schraube fest. Nachher, d. h. im Laufe der Messungen, darf natürlich nun y nicht mehr verändert werden; und das etwa für verschiedene Augen weiter nötige Einstellen des Okulars 0 auf deutliches Sehen des Fadennetzes N JSf geschieht nur mit dem Spielräume bei s (vgl. den Schluß von § 176 S. 740).

Beim Porroschen Fernrohr wird die Stimmung auf Je = 100 nach demselben Grundsatz wie beim Huyghensschen Fernrohr gemacht, nur handelt es sich bei Porro nicht um die Änderung des Abstandes y zwischen Fadennetz und Kollektiv, sondern um Änderung des Abstandes a zwischen Objektiv und Kollektiv, vgl. Fig. 3 § 176 S. 738 und Gl. (21) § 176 S. 739.

Die Porroschen Fernrohre haben daher für die Änderung von a eine ähnliche Einrichtung, wie für y in Fig. 3 S. 746. Alles wird durch Versuche, nötigenfalls wiederholte Versuche, erreicht.

3. Ein weiteres Hilfsmittel, zwar nicht k selbst =100 zu machen, aber doch die Multiplikation zu ersparen, besteht in der Anlage eines verzerrten Maßstabes zum Abstechen der Entfernungen.

Fig. 4. Distanzmessermaßstab 1 : 1000 für die Konstante k — 73,16.

70Om so    80 JO SO SO 40 JO 20    10

O-

genv

In Fig. 4 haben wir einen solchen Maßstab für den ganz zufälligen unrunden Wert k = 73,16 eines Karlsruher Kippregelfernrohrs. Statt einen Wert l mit 73,16 zu multiplizieren und das Produkt auf einem gewöhnlichen Maßstab abzumessen, mißt

man Z selbst auf dem Maßstab mit der Einheit 73,16 ab, was zu demselben Ziele führt. In Fig. 4 S. 747 ist außerdem auch die kleine Konstante c ebenso wie in Fig. 1 8. 745 berücksichtigt.

4.    Man kann auch die Distanzlatte selbst, statt nach gewöhnlichem Maße, nach der Maßeinheit ~ teilen, und kann dann mit einem Distanzmesser, der die Konstante Je

hat, geradezu Entfernungen ablesen. Hat z. B. ein Distanzmesser Æ = 66,67, so muß an der Latte 1,5 m = 100 m Entfernung genommen werden.

Dieses im Grundgedanken einfache Mittel wurde früher sehr allgemein ange-wendet. Es hat den Vorzug, je nach der optischen Leistung des Instrumentes eine kleinere, zwischen 50 und 100 liegende Konstante ausnützen zu können (s. § 179 S. 749), aber eine besondere, nicht allgemein verwendbare Lattenteilung zu erfordern.

5.    Die Multiplikation mit Je kann auch mit dem B echen Schieber gemacht werden, worüber später in § 181 in Verbindung mit der Beduktion auf den Horizont das Nötige gesagt werden soll.

6.    Auch Hilfstafeln, welche man zur Distanz- und Höhenberechnung bei geneigten Zielungen benützt, können zugleich auch die Werte Je und c eines besonderen Instrumentes berücksichtigen. Unsere „Hilfstafeln für Tachymetrie, Stuttgart, J. B. Metzler 1880, 4. Aufl. 1908“, geben in der Einleitung die nötige Anleitung hierzu.

Zu den beiden Konstanten c und Je ist im allgemeinen zu sagen, daß die Beziehung zur Entfernung durch Je bzw. Je' so genau = 100, 200 usw. sein soll, daß für gewöhnlich bei der Bestimmung von Geländepunkten die Abweichung von der runden Zahl außer Betracht bleiben kann, daß aber bei genauen Messungen, wie besonders im Tachymeterpolygonzug, die Abweichungen bequem als kleine Verbesserungen den mit den runden Zahlen berechneten Werten beigefügt werden können.

§ 179. Genauigkeit der Fadendistanzmessimg.

Die Genauigkeit der Distanzmessung ist (abgesehen von äußeren Umständen) hauptsächlich abhängig von der Leistung des Fernrohrs und der Teilung der Latten. Eine allgemeine Beziehung für die Abhängigkeit des Fehlers von der Entfernung ist daher nicht angebbar, sondern nur für einen bestimmten Apparat. In der Kegel wird aber in Übereinstimmung mit (3) § 168 S. 699 für den Fadendistanzmesser mit festen Fäden angenommen, daß der Entfernungsfehler proportional der Entfernung selbst wächst, und demnach in Prozenten der Entfernung, z. B. 0,2%, ausgedrückt werden kann.

Indem wir zur Bezeichnung eines mittleren Fehlers das Zeichen m wie ein Funktionszeichen benützen, so daß z. B. m (1)) den mittleren Fehler von I), und m (/) den mittleren Fehler von Z bedeutet, haben wir, ohne Bücksicht auf die kleine Additionskonstante c usw. :

(1)

l) = Jel also m {!)) = Je m (Z).

Wird nun der Lattenablesungsfehler m (Z) proportional der Entfernung D genommen, so ist für einen Zielfehler 8 in analytischem Maße

m (Z) = 1)8,

(2)

also aus (1) und (2) : m (D) = Je I) 8 oder

m {!)) _

Je 8.

(3)

Es ist hier k wie bisher die Mültiplikationskonstante des Distanzmessers, ent-

1 £

sprechend einem parallaktischen Winkel e mit k — --- cotg —, wo für k = 100 der Winkel e = 0° '34' 23" ist.

Einfluß der Konstanten k.

Aus den Formeln (1) und (3) sieht man auch, daß es für die Genauigkeit günstig ist, die Konstante k klein oder den Gesichtswinkel s groß zu machen.

Die am meisten gebrauchten Werte k = 100 und e =0° 34' 23" sind hauptsächlich wegen der bequemen Multiplikation mit der runden Zahl 100 beliebt. Für-kürzere Entfernungen kann man wohl noch k = 50 (mit e = 1⁰ 8' 45") anwenden, wonach im Vergleich mit k = 100 auf doppelte Genauigkeit geschlossen werden könnte.

Aber die zu dem "Rande des Gesichtsfeldes hin zunehmende Bildverzerrung setzt der Verkleinerung der Konstanten k eine Grenze, so daß auch aus diesem optischen Grunde bei den gewöhnlichen Distanzmesserfernrohren k nicht viel unter 100 sein kann, weshalb diese bequeme Zahl die allgemein gebräuchliche ist. Eine Vergrößerung der nutzbaren Fadenebene würde ein auf die einzelnen Fäden zentrierbares Okular verlangen, wovon bei Tachymetern in der Regel abgesehen werden wird, zumal dadurch der Vorteil der Distanzmessung „mit einem Blick“ beeinträchtigt wird (vgl. die Bemerkung über die Schraubendistanzmesser § 170 S. 705). Mitunter ist auch das Okular auf jeden Faden einstellbar, wie in Fig. 3 § 182 S. 770 mit dem Hebel kd.

Je kleiner k genommen wird, eine um so längere Latte muß man haben; z. B. für das übliche k = 100 braucht man auf 300m eine Lattenlänge von 3m, während mit k = 200 dieselbe Lattenlänge 3 m bis auf Entfernungen von 600 m ausreicht, und mit k = 50 würden 3 m Lattenlänge nur bis auf 150 m Entfernung reichen.

Z. B. die Distanzlatte der Landesaufnahme (Fig. 2 § 175 S. 734) ist auf k = 200 berechnet und reicht daher bis auf 600 m Entfernung, obgleich sie nicht länger ist als die Latte Fig. 1 § 175 S. 734, welche auf k = 100 berechnet ist, nämlich 3 m.

Übrigens kann man mit den gewöhnlichen Distanzmesserokularen, welche drei Horizontalfäden haben (vgl. Fig. 1 § 169 S. 700), jederzeit k oder 2 k anwenden, denn wenn für den Ober- und Unterfaden irgend ein k gilt, so gilt für den Ober- und Mittelfaden und ebenso auch für den Mittel- und Unterfaden (die Fadenabstände als gleich vorausgesetzt) die Konstante 2 k. Ohne solche theoretische Zergliederung nützt jeder Praktiker dieses so aus, daß er auf weite Entfernungen, oder überhaupt, wenn die Latte nicht für Oberfaden und Unterfaden sichtbar ist, nur das halbe Fadenintervall abliest und verdoppelt, oder besser noch eine erste Ablesung macht zwischen Ober- und Mittelfaden, eine zweite Ablesung zwischen Mittel- und Unterfaden und beides addiert.

Nach der Fehlerformel (3) kann man die Distanzgenauigkeit sofort theoretisch angeben, wenn man nur gewisse Annahmen für k und Ö macht. Z. B. für das übliche 7c = 100 und ö in Sekunden =1", also 0 = 1: 206265 in der Formel (3), hat man: m ( JD ) _

= 0,0005 oder 0,05 °/₀ .

(4)

100

206265

Wenn es also gelingt, den Zielfehler an beiden Fäden zusammen auf 1" herunter zu bringen (also an einem Faden nur 1 : j/2 = 0,7"), und wenn man die Konstante k = 100 nimmt, so kann man Distanzmessungen auf etwa 0,05 % genau machen.

Diese Genauigkeit ist in der Tat erreicht worden in einer schon in § 48 S. 188 von uns erwähnten Versuchsreihe, welche R. Wagner in der „Zeitschr. f. Verin. 1886“

S. 49-60, S. 81-90 und S. 97-104 veröffentlicht hat (nebst 1896 S. 449-471, 504-512). Das Fernrohr hatte 27 wm Öffnung, 34 cm Brennweite, Bamsdensches Okular mit 25 fâcher Vergrößerung, Konstante Je = 100. Die Latte war in Zentimeter geteilt, und hatte für den einen Faden eine scharfe Nullmarke. Die Latte wurde rechtwinklig zur Ziellinie gestellt, und in jeder Stellung durch zwei Streben gestützt, überhaupt wurden die „günstigsten äußeren Umstände“ aufgesucht. Eine Versuchsreihe gibt 24 Ablesungen auf wechselnde Entfernungen zwischen 97 m und 103 m, woraus der mittlere Zielfehler ö'= + l,29" berechnet wird. Solcher Versuchsreihen sind 18 vorhanden mit Entfernungen zwischen 50 m und 500 m, und aus allen zusammen ergab sich ein mittlerer Zielfehler: Ö = + 1,18" oder = 1,18 : ]/2 = 0,8" für einen Faden. Der mittlere Entfernungsfehler ist hiernach, wegen 1c = 100: m (D) _ 100x1,18 T> ~ ~206 265~

= 0,00057 oder 0,057 % .

(4 a)

Diese Versuche beweisen, welcher Genauigkeit die Distanzmessung fähig ist, wenn man die äußerste Schärfe ausnützen will.

Ein noch zu nennendes Hilfsmittel zur weiteren Distanzmesserverschärfung besteht in der scharfen Okulareinstellung, welche wir aus anderer Veranlassung in § 173 S. 716 behandelt haben.

Infolge der bedeutenden Akkomodation des Auges kann man nämlich wohl eine Lattenablesung machen, wenn auch das Eadennetz nicht genau denjenigen Abstand vom Objektiv hat, den es nach der Theorie haben sollte, und es kann daraus ein Fehler entstehen, welcher neben der sonstigen Messungsungenauigkeit merkbar ist, den man aber beseitigen kann, wenn man eine Okularauszugsteilung nach § 173 (1) S. 716 herstellt, und das Okular jedesmal dieser Teilung entsprechend einstellt.

Besonders wichtig ist aber für alle Feinmessungen, daß die Latte fest gestützt und nach einer Dosenlibelle eingerichtet wird, wie in § 175 S. 735 und § 116 S. 508 angegeben ist.

Da die am Schluß dieses Paragraphen zu behandelnden Störungen (Refraktion, Luftzitteru) für die Verschärfung der Lattenablesung, ebenso wie bei der Feinnivellierung, die kürzeren Zielweiten günstiger erscheinen lassen, so kann man auch mit Verkürzung der Entfernungen bei stark vergrößernden Fernrohren die ¹/₂ cm-Lattenteilung, vgl. § 116 Fig. 8 S. 503, Fig. 9 S. 504, Fig. 11 S. 505, anwenden, oder auch die in § 121 angegebenen weiteren Verfeinerungen auf die Ablesung an der Distanzlatte übertragen. Das einfachste ist mehrfache Bestimmung des Lattenabschnittes an verschiedenen etwas voneinander abstehenden Stellen der Skala. Diese Bestrebungen werden neuere dings von verschiedenen Seiten verfolgt, z. B. bei dem in § 182 S. 769 zu erwähnenden Instrument von Tichy-Starke (vgl. die dazu genannte Literatur). Es seien hierbei auch erwähnt die Versuche, den Einfluß der Refraktion zu beseitigen durch Verwendung wagrecht aufgestellter Skalen, was schon von Goulier in Études théoriques et pratiques sur la Tachéométrie, Paris 1892 (S. 422) behandelt ist und neuerdings wieder unter Anwendung des Tichyschen logarithmischen Tachymeters in der „Zeitschrift des Österr. Ingenieur- und Architektenvereins 1901 Nr. 47, 49 und 50“.

Das Wesentlichste für Verschärfung der Messung ist ein gutes Fernrohr von etwa 35 fâcher Vergrößerung, eine scharf geteilte und fest aufgestellte Latte; wenn dann zu große Ziel weiten vermieden werden, so daß scharfe Ablesung möglich bleibt, der Lattenabschnitt je zweimal bestimmt wird und auf die in § 178 und 181 behandelten, für Schnellmessung in Betracht kommenden Vereinfachungen verzichtet wird, so ist ein mittlerer Entfernungsfehler von 5 cm innerhalb 100 m wohl erreichbar, was allen an eine exakte Spezialaufnahme zu stellenden Anforderungen entspricht.

Das Bisherige bezog sich auf die äußerste Genauigkeitssteigerung der Distanz-messung zwischen zwei Okularfäden; eine andere Frage ist es aber, ob bei der gewöhnlichen Tachymetrie die äußerste Messungsschärfe nötig ist, oder mit Rücksicht auf Zeitaufwand oder sonstige Nebenumstände überhaupt erstrebt wird.

Wir gehen deshalb nun zu solchen Genauigkeitsversuchen über, welche den Verhältnissen der Taclmneterpraxis angepaßt sind, und dazu können wir eine schon früher bei der Bestimmung von k in § 177 (2) bis (6) S. 742 Angestellte Berechnung

mittlerer Fehler hier nochmals benützen. Wir haben dort in (4) S. 742 gefunden, daß der mittlere Fehler einer Bestimmung von 100 / : (E — c) den Wert ±0,00086 hatte. Dabei ist aber zu beachten, daß eine solche Bestimmung das arithmetische Mittel von fünf Einzelablesungen war; wir müssen daher, wenn wir allgemein durch Vorsetzen des Zeichens m einen mittleren Fehler bezeichnen, hiernach setzen : m (1007)

= 0,00086 ]/5 = ± 0,00192 = ± 0,192 o/₀ .

(5)

Dieses ist sofort der mittlere Fehler einer Distanzmessung in Teilen der Entfernung, denn wegen Je = 100 ist 100l = I). und E — c kann hier auch = 1) gesetzt werden, und es gilt der Nenner E — c oder D hierbei als fehlerfrei ; die Gleichung (5) kann also geschrieben werden :

= + 0,00192 oder 0,192<V

(6)

m {!))

~B~

Ein ähnliches Nebenergebnis hat uns auch die Ausgleichung in (14) § 177 S. 744 für das Porro-Fernrohr geliefert, nämlich ebenfalls einen mittleren Fehler von 0,20 m auf 100 m, und nach diesen zwei Versuchen können wir schon mit einiger Zuverlässigkeit sagen, daß ein Fadendistanzmesser, mit 1c = 100 und einer Zentimeterlatte, die Entfernungen mit einem mittleren Fehler von 0,2 °/₀ oder 1 : 500 gibt, d. h. : m ( I) ) _

I)

+ 0,002 oder 0,2 % .

(7)

Halten wir dieses Ergebnis zunächst fest, so können wir durch Vergleichung mit dem früheren (6) und Rückwärtsberechnung des Zielfehlers Ö sagen, daß der aus unseren zwei Versuchsreihen (6) und (7) hervorgegangene mittlere Distanzfehler 0,2 °/0 bei Je = 100 sich erklären läßt durch einen Zielfehler von ö = 4" für beide Fäden, also Ö = 4 : )/2 = 2,8" für einen Faden.

Zahlreiche weitere Genauigkeitsversuche, in ganz der Praxis angepaßter Form, hat der Verfasser schon seit Jahren angestellt, und die Nachweise dafür in den früheren Auflagen dieses Buches ausführlich gegeben (z. B. 3. Aufl. 1888 S. 581). Es mag deshalb nun genügen, hier nur noch eine Schluß Vergleichung vorzuführen und zwar zwischen eigenen Versuchen und den Versuchsreihen von Helmert („Zeitschr. f. Venn. 1874“ S. 325—334) und Stambach („Zeitschr. f. Venn. 1875“ S. 183—188).

Beobachter

Entfernung I)

Mittlerer Fehler m (JJ)

Konstante

Je

m (JJ)

reduziert auf Je = 100

(8)

100 m

+ 0,0025 oder 0,25 % ± 0,0025 „    0,25

± 0,0023 „    0,23

200

+ 0,50 m

±0,25

±0,23

Helmert . . . .

Stambach. . .

Jordan ....

Man findet also in Übereinstimmung, daß für kleinere Entfernungen von etwa 100 m und mit Anwendung der Distanzmesserkonstanten Je = 100 und einer Zentimeterlatte der mittlere Distanzmesserfehler ± 0,25 m oder Vr °/o der Entfernung beträgt. Hierbei ist eine nur geringe Neigung der Ziellinie gegen den Horizont vorausgesetzt.

Für größere Entfernungen und für größere Zielneigungen werden die Genauigkeitsverhältnisse bereits ungünstiger. Z. B. im Sonnenschein in den Mittagsstunden gibt eine'Latte kein ruhiges Bild, und sogar bei bedecktem Himmel ohne eigentliches

100

100

100

100

Luftzittern werden die Lattenablesungen bei wachsender Entfernung doch verhältnismäßig schlechter als bei kurzen Entfernungen, wie z. B. die Versuchsreihe zeigt, welche in unserer dritten Auflage 1888 S. 582 ausführlich mitgeteilt war:

Entfernung _D Fehler in °/₀

Las Vorstehende bezog sich auf die gewöhnliche Tachymeterpraxis mit Instrumenten mittlerer Größe und in Zentimeter geteilten Latten, d. h. also das bei technischen Vorarbeiten und topographischen Aufnahmen mit Darstellung in großen Maßstäben, in der Begel 1 : 2000 oder 1 : 2500 (allgemeiner 1 : 1000 bis 1 :5000), übliche Verfahren.

Für topographische Aufnahmen mit Darstellung in kleineren Maßstäben als 1 : 5000, in der Regel 1:10 000 und 1 : 25 000 reicht auch eine geringere Entfernungsgenauigkeit aus; es wird dann, wie z. B. bei der preußischen Landesaufnahme, die Konstante 7»; = 200 und die auf S. 784 in Fig. 2 gezeigte leichte ^DeBnieterlatte verwendet und die Entfernung nur auf ganze Meter abgelesen. (Vgl. auch das nachfolgende Kapitel XV, sowie § 189).

10 m

0,15    0,19

50 m

100 m 200 m

0,23

0,31

300 m 0,40.

Luftzittem.

Jeder Praktiker weiß, daß bei Sonnenschein die nahe über den Erdboden hinstreichenden Lichtstrahlen so stark zittern und so sehr flimmernde Bilder geben, daß die Ablesungsgenauigkeit dadurch sehr beeinflußt wird, daß über Mittag auf große Zielweiten manchmal alles Lattenablesen aufhört. Der Amerikaner Se-wal Smith hat hierzu die in Fig. 1 und 2 dargestellten Bilder gegeben.

Die in Zentimeter geteilte Latte, deren Hinterseite von 2 m Höhe an noch mit 2,5 bis 10 cm breiten schwarzen und weißen Streifen, wie in Fig. 1, versehen war,

. wurde in Abständen von 100 bis 150 Schritt bis zu einer Entfernung von 800 m mit einem Tachymeterfernrohr beobachtet. Nachdem die Entfernung auf der Vorderseite der Latte abgelesen worden war, wurde derjenige Streifen der hinteren Lattenseite, dessen Breite nahezu gleich dem Betrage war, um welchen das Fernrohrbild in vertikaler Richtung hüpfte, als Maß der Vibration genommen. Die seitlichen Bildbewegungen, die am Bande der Latte einer Wellenbewegung (Fig. 2) ähneln, wurden (da sie mehr bei der Horizontalwinkelmessung als in der Tachy-metrie nachteilig wirken), weniger eingehend studiert. Die vertikalen Bewegungen des Fernrohrbildes zerfallen in zwei Bewegungen, die hier primäre und sekundäre Vibrationen genannt und durch Fig. 3 S. 753 erklärt werden.

Die ersten Bewegungen haben eine größere Ausschlagweite und Sehwingungsdauer als die zweiten. Die primären Schwingungen scheinen weniger regelmäßig zu sein und einen größeren Einfluß auf die Genauigkeit der optischen Distanzmessung auszuüben als die sekundären Schwingungen. Das Zittern ist nicht zur Zeit der höchsten Lufttemperatur am stärksten, sondern dann, wenn der Unterschied zwischen Luft- und Bodentemperatur ein Maximum wird. Dieser Zeitpunkt fällt im Sommer in der Regel zwischen 10 und 11* vormittags. Nachmittags nimmt das Zittern langsamer ab, als es vormittags zunimmt, bis gegen 6'* abends keine

Anblick der Latte im Fernrohr bei ruhiger Luft, bei starkem Luftzittern Fig. 2.

Fig. 1.

5 cm

2.5 „

2-5 ,

10

10

Bewegung des Fernrohrbildes mehr wahrzunehmen ist. Im Sommer zeigt sich noch ein Nebenmaximum zur Zeit des Sonnenaufganges.

Fig. 3

Während die durch das Zittern des Bildes hervorgebrachte Störung der Visur nur einen zufälligen Fehler in der Distanzmessung zur Folge hat, tritt bei Visuren nahe dem Erdboden noch eine andere, einen systematischen Fehler erzeugende Störungsursache auf, die von Smith Differentialrefraktion genannt wird. Dieses ist der Unterschied der Brechung der durch den oberen und unteren Fernrohrfaden gehenden Ziellinien. Vor Sonnenaufgang ist am Boden die Dichte der Luft am größten, später wird an dieser Stelle die Luft durch die den Boden bestrahlende Sonne am meisten erwärmt, was wiederum eine Verdünnung der Luft zur Folge hat, so daß bis zu einer geringen Höhe die Luftdichte vom Boden an nach oben hin zunimmt.

Latte

Mittlerer

Innerhalb dieser Höhe müssen die Lichtstrahlen aufwärts gebrochen werden, wohingegen bei höheren

Visuren eine Ablenkung nach unten __

eintritt. Der Zusammenhang zwi- Horiz:Fade/l sehen der Differentialrefraktion und dem Zittern des Fernrohrbildes wurde in 0,5 bis 4 m Höhe über dem Boden untersucht. Es zeigt sich dabei, daß für Ziellinien zwischen 4 bis herab zu 1 m Höhe über dem Boden das Zittern des Bildes langsam zunimmt, nachher aber innerhalb 1 m und 0,5 m Höhe sehr schnell mit der Annäherung der Ziellinie an den Boden wächst.

Weiteres über diese auch für Nivellieren sehr wichtigen Verhältnisse gibt der nach der Originalschrift gemachte Bericht von Petzold in „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 659—665.

Es ist daher die Feindistanzmessung mit vertikaler Latte und die damit verbundene Höhenmessung ebenso wie die Feinnivellierung an Beschränkung auf die günstigsten Arbeitsstunden und kurze Zielweiten gebunden, während die gewöhnliche Tachymetrie zu jeder Tageszeit ausgeführt wird und die Zielweiten nach den Verhältnissen bemessen werden.

§ 180. Geneigte Ziellinien.

Die im bisherigen beschriebene Distanzmessung beruht auf der Annahme, daß die Ziellinien nach der Latte nahezu horizontal sind, und dabei die Latte selbst vertikal gestellt wird.

Wenn man es mit geneigten Zielungen zu tun hat, wird zuerst die Frage entstehen, wie man dann die Latte stellen soll? Es sind zwei Arten der Lattenstellung im Gebrauch: 1. Lattenstellung rechtwinklig zur Ziellinie, und deswegen bei geneigten Zielungen schief, und 2. Lattenstellung lotrecht.

1. Schiefe Lattenstellung, rechtwinklig zur Ziellinie (Fig. 1 S. 754).

Für den Porroschen Distanzmesser ergibt sich, wenn die Ziellinie mit der Horizontalen den Winkel a macht, aus der Lattenablesung l die schiefe Entfernung E' nach der Gleichung

(1)

E' = kl,

und die wagrechte Entfernung E findet sich aus

E = E' cos a — klcos a .

(2)

Beim Reichenbachschen Distanzmesser ist noch die kleine Konstante c zu berücksichtigen, und es wird dann die wagrechte Entfernung

E — (c -+- k V) cos a .

48

7. Aufl.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd.

2. Lotrechte Lattenstellung (Fig. 2).

Das Stück l der lotrecht gehaltenen Latte entspricht einem Lattenwert V rechtwinklig zur Ziellinie, wobei ist:

(4)

V = l cos a.

Zu diesem Lattenwert V gehört für den Porroschen Distanzmesser eine schiefe Entfernung E' :

(5)

Ef = Id' = kl cos a .

(6)

Die schließlich verlangte wagrechte Entfernung E ergibt sich hieraus : E = E' cos a — kl cos² a .

Die Berücksichtigung der kleinen Konstante bei Beichenbach führt zu der

Gleichung :

(7)

E = c cos a + kl cos² a.

Wir fügen zugleich noch den Ausdruck für den Höhenunterschied h der Ivipp-achse und der dem Höhenwinkel a entsprechenden Lattenablesung hinzu. Es ist h = c sin a -+- kl sin a cos a.

Diese beiden Gleichungen (7) und (8) sind für den praktischen Gebrauch nicht bequem, weshalb wir das erste Glied rechts mit Zulassung einer geringen Vernachlässigung durch c cos² a bzw. c sin a cos a ersetzen. Hiermit erhalten wir :

E = (c -+- k l) cos² a h = (c -f- k T) sin a cos a .

Über diese letzten Vernachlässigungen wollen wir im Zusammenhänge mit den sonstigen Näherungen im folgenden Abschnitt Kechenschaft geben.

(8)

(9)

(10)

Man hat also die zwei Verfahren, daß die Größe c -{-kl bei schiefer Lattenstellung nach (3) mit cos a und bei lotrechter Lattenstellung nach (9) mit cos² a zu multiplizieren ist, um die Reduktion auf die Wagrechte zu erlangen.

Fig. 2.

Lotrechte LattenstelluBg.

Fig. 1.

Schiefe Lattenstellung.

EL'

T"

ĄJ

CL\

.-'-V

~a

K-

■27

E-

Als Hilfsmittel zur Erlangung einer gewissen Lattenstellung hat man für lotrechte Stellung (Fig. 2) eine Dosenlibelle, angehängtes Lot, oder auch nur Augenmaß ; für die schiefe Stellung, rechtwinklig zur Ziellinie (Fig. 1) dagegen hat man ein kleines Diopter oder auch nur ein Zielbrettchen, welches, in mittlerer Instrumenthöhe an der Latte rechtwinklig angebracht ist; der Lattenträger muß an Abhängen stets die Latte so neigen, daß er, durch das Diopter zielend, das Distanzmesserfernrohr sehen . kann (§ 175 Fig. 5 S. 735, wo aber die Latte vertikal steht).

Wenn wir die beiden hier beschriebenen Lattenstellungen (Fig. 1 und Fig. 2) vergleichen wollen, so haben wir zuerst zu sagen, daß die schiefe Stellung (Fig. 1) mit so vielen praktischen Übelständen verbunden ist, daß sie fast nur noch da angewendet wird, z. B. bei dem Wagner-Fennelschen Schiebetachymeter (§ 174 Fig. 7 S. 729), avo sie als notwendiges Übel mit in den Kauf genommen Avird, während sie hei Pullers neuer Anordnung (vgl. Fig. 1 S. 767) durch die gewöhnliche lotrechte Stellung ersetzt ist.

Allerdings, wenn die Latte ebenso scharf in ihrer schiefen Stellung (Fig. 1) erhalten werden kann, als man eine Latte lotrecht halten kann, dann sind die unvermeidlichen SchAvankungen bei der schiefen Stellung weniger schädlich als bei der lotrechten Stellung [wie aus den nachfolgenden EntAvicklungen (15) und (16) S. 756 hervorgehen wird]. Allein diese Annahme ist meist nicht zutreffend, die schiefe Lattenstellung wird im allgemeinen fehlerhafter sein als die lotrechte, und jedenfalls ist die lotrechte Stellung für den Lattenhalter viel bequemer und schon desAvegen besser verbürgt. In vielen Fällen, Topographie usav., stellt man die Latte ohne besondere Richte-mittel schlechthin auf den Boden, Avie sie gerade steht, d. h. ungefähr lotrecht, und dann ist die Rechnung jedenfalls mit cos² a zu führen.

Aus diesen Gründen ist die lotrechte Lattenstellung (Fig. 2) mit mehr oder Aveniger scharfen Versicherungsmitteln der Lotrichtung zurzeit die in der Praxis Aveitaus am meisten gebräuchliche. (Schiefe Lattenstellung wurde empfohlen von Wagner, „Zeitschr. f. Venn. 1886“ S. 54, 337—356 und 369—378.)

Genauere Réductions for mein.

Nachdem wir im vorstehenden alles für die praktische Anwendung Erforderliche angegeben haben, gehen wir nun mit Fig. 3 zu der Entwicklung schärferer Formeln über. Hier ist angenommen, daß die Mittelzielung den Höhenwinkel (x habe, daß der distanzmessende Winkel = e sei, und daß der annallaktische Punkt in der Kippachse

£

des Fernrohrs liege. Wir wollen dabei ^ = rj setzen ;

dann ist der Höhenwinkel für die obere Ziellinie = a-\-rj und der Höhenwinkel für die untere Ziellinie = a — t], und das gibt :

l = E tang (a + rj) — E tang (a — rj)

tang a -t- tang /; tang a — tang 1]

1    — tang a tang rj    1 -f - tang a tang rj

2    tang rj -f- 2 tang² a tang rj __    ^ tang ij

1 — tang² a tang²1]

2 E = l eotg rj cos² a (1 — tang² a tang² ?;)

2 E = 1 cotg rj cos² a — l sin² a tang tj.

Nach Gl. (3) § 176 S. 737 ist aber

Fig. 3.

|OC

cos² « (1 — Zctoć/² a tang² rj)

(U)

7    ¹    7    6    1    7

fc = 2- cotg ”2 = Y c(% r],

(12)

folglich haben wir

= k 1 cos² «--7-T- si»² a .

4k

(13)

Das zweite Glied gibt mit Je = 100 und l = 1 m bei a — 45° nur etwa 0,001 m, es kann demnach immer vernachlässigt werden.

Ist noch die kleine Konstante c zu berücksichtigen, so werden bei der Anwendung der Näherungsformeln (9) und (10) gegenüber den strengeren Formeln (7) und (8) die Größen

c cos a

— c cos² a = 2 c cos a sin² ~

und

c sin a — c sin a cos a = 2 c sin a sin²

tOl R

vernachlässigt. Für c = 0,50 m und a = 45° erreichen diese Größen den Wert 0,10 m, der in der gewöhnlichen Tachymetrie bedeutungslos ist. Für genauere Arbeiten muß auf die Gleichungen (7) und (8) zurückgegriffen werden.

Hierzu haben wir noch zu erwähnen : Hammer, Über die Näherungen bei Anwendung des Fadendistanzmessers in der Tachymetrie, -Zeitsehr. f. Verm. 1905“ S. 721—735, und Werkmeister, Über die Benützung von Näherungsformeln bei Berechnung tachymetrischer Messungen, „Zeitschr. f. Verm. 1906“ S. 513-521.

Fig. 4.

T~

Aufstdlungsfehler der Latte.

Ci

Al

In Fig. 4 betrachten wir wieder ^2 eine Distanzmessung mit einer Neigung a der Mittelzielung. Wenn hierbei s = 2 t] der distanzmessende Winkel ist, so sind die Neigungen der beiden äußeren Ziellinien bzw. a -+-1] und a - vr Die Latte sei gegen die Vertikale um den Winkel Ô in Fig. 4 geneigt.

Bei richtig vertikal stehender Latte sei die Ablesung am unteren Faden = z₁ und am oberen Faden = z₂. und bei schief stehender Latte habe man unten z^' und oben z₂ .

Die zugehörige Entwicklung, welche in unseren früheren Auflagen (z. B. 4. Aufl., II. Band, 1898, S. 635—637) enthalten war, wollen wir aus notgedrungenen Raumrücksichten übergehen und nur die Schlußformel mitteilen :

D' = D — D 8 tang a -f- I) ^ + D 8"    a — z ô ■

Dieses ist die Fehlerformel, welche nach Fig. 4 zunächst nur für aufwärts geneigte Ziellinien gilt, d. h. a positiv, und für rückwärts geneigte Latte, 8 positiv.

Um auch andere Fälle zu berücksichtigen, kann man (14) so schreiben :

(ID

D’ —

D = ± D 8 lang ec -j- (D ^ -f- D ô² tang2 a) ± * 8 •

(15)

Die beiden mittleren Glieder bleiben stets positiv; der Fehler D'—D wird also im allgemeinen nicht gleich wahrscheinlich positiv oder negativ, sondern vorwiegend positiv sein, d. h. die falsche Distanz D' wird leichter zu groß sein als zu klein.

Das letzte Glied ± z 8 in (15) ist die Vor- oder Rückwärtsverschiebung desjenigen Lattenpunktes, der in der Mittelhöhe ts von der Mittelfadenzielung getroffen wird. Wemi 8 klein ist, wird auch dieses letzte Glied z 8 wenig ausmachen. Auch die zwei anderen Glieder zweiter Ordnung in (15), welche den Faktor 8‘¹ haben, sind sehr klein, und es bleibt nur das erste Glied D 8 tang cc von Belang übrig. Wenn man cc = 0 setzt, so wird :

(16)

(D'

Dieses ist auch der Fehler, welcher bei schiefer Lattenstellung an der Entfernung E' in § ISO Fig. 1 S. 754 begangen wird, wenn nun mit <5 derjenige kleine Fehlerwinkel bezeichnet wird, welchen die Latte in Fig. 1 8. 754 gegen ihre zur Mittelzielung rechtwinklige Sollstellung macht.

Das Hauptglied D § tang a. von (15), welches die anderen Glieder weit überwiegt, gibt in °/₀ von D :

Distanzfehler wegen Lattenschiefe Ô.

Lattenschiefe

0°

Neigung der Ziellinie «

5°

10° I 20°

30°

45°

1 : 100 1 : 50 1 : 25

«O o

1    9

2    IS

-O «

0~ O O

°/o

°/o

°/o

°/o

(17)

0,1

0,2

0,4

0,6

1,0

0,2

0,4

0,7

1,2

2,0

(0,0)

0,3

0,7

1,5

2,3

4,0

Der hier angenommene letzte Wert 5 = 1 : 25 oder rund 2° kann etwa die Unsicherheit der Lattenaufstellung von freier Hand, ohne Richtehilfsmittel, bedeuten. Bei Anwendung einer Dosenlibelle kann g wohl innerhalb '/ioo gehalten werden und bei Hinzunahme von Haltestäben wird der Einfluß von ö verschwindend klein.

Je stärker die Neigung der Ziellinie, je sorgfältiger muß die Aufstellung der Latte beachtet

werden.

§181. Verschiedene Hilfsmittel für cos* a und V₂ sin 2a.

Für lotrechte Lattenstellung hat man nach (6) § 180 S. 754 für die wagrechte Entfernung a die Gleichung

(1)

a = Ici cos² a

und für den Höhenunterschied h zwischen der Fernrohrkippaclise und dem Zielpunkt des Mittelfadens an der Latte

(2)

h — kl sin a cos a = i/₂ k l sin 2 a , wobei a der Neigungswinkel, l das an der lotrechten Latte ahgelesene Stück, und k die Distanzmesserkonstante ist.

Bei Berücksichtigung der kleinen Konstante c sind hierfür die Gleichungen a = (c    Je l) cos² a

h = (c -f- Tel) i/₂ sin 2 a

(3)

(4)

zu benutzen.

Was zunächst die Ausrechnung der Größen kl bzw. c -+- kl anbetrifft, so haben wir hierüber bereits in § 178 einiges gesagt. Bei unrundem Wert von k legt man sich für das Instrument eine graphische oder numerische Hilfstafel an, aus der man für jeden Wert von l das dazugehörige kl bzw. c -f- k l entnehmen kann.

Eingehender haben wir uns mit den beiden Funktionen cos² a und t/₂ sin 2 a zu beschäftigen und mit den verschiedenen Hilfsmitteln, welche man zum raschen Ausrechnen der obigen Formeln hat.

Graphische Hilfsmittel.

Zur Bestimmung von l cos² a haben wir in Fig. 1 ein von uns konstruiertes Strahlendiagramm.

Von einem Punkte A aus sind verschiedene Strahlen A — 0°, A — 5°. A —10° usw. gezogen, jedoch nicht unter den Winkeln 5°, 10° usw., welche den Strahlen beigeschrieben sind, sondern unter gewissen anderen Winkeln cp, welche so bestimmt werden, daß wenn an einem Strahle AB ein Winkel a beigeschrieben ist, der wirkliche Winkel B A X — cp bestimmt ist durch die Gleichung :

(5)

cos cp = cos² a .

Fig. 1.

AM cos ² 7Z°

\»⁵°

10°

\5°

0°

Erklärung.

Strahl A B entspricht a, dann ist Winkel

X A B = cp

Dann ist B G — AB cos² a , man nimmt daher AB = 1 in den Zirkel, sticht B auf dem Strahle mit der Bezifferung « fest, dann beschreibt man mit dem linken Zirkelfuß einen flachen Bogen, welcher bei C berührend an A Y anliegt. Ohne den eigentlichen Berührungspunkt C zu kennen, hat man das gesuchte B C = l cos² a .

Da tx und qp kleine Winkel sind, ist die Gleichung (5) zur Ausrechnung nicht unmittelbar geeignet ; eine schärfere Rechnung bekommt man, indem man setzt :

s in a

1 — cos qp = 1 — cos² « ,

dann ist 2 sin² = sin² a , also sin ~ =

V2 •

(6)

Zum scharfen Aufträgen der Strahlen rechnet man wohl besser noch tang cp aus, wie folgende zwei Täfelchen zeigen :

cos cp = cos² a für alte Teilung :

ct

•P

tang <P

<P

tang <P

<P

tang <P

0°

0° 0'

0,0000

0,0247

0,0494

0,0742

0,0990

14°    6'

15    30

16    55 18 18 19 42

0,2513

0,2775

0,3040

0,330S

0,3581

20°

21

22

23

24

27° 59'

29    21

30    43

32

33    26

0,5315

0,5625

0,5942

0,6267

0,6601

5°

10

0,1240

0,1491

0,1743

0,1997

0,2254

0,2513

0,3857

0,4138

0,4424

0,4715

0,5012

0,5315

25°

26

27

28

29

30

34° 47'

36

0,6944

0,7296

0,7659

0,8033

0,8420

0,8819

09

tang <p

0,0000

0,0222

0,0445

0,0667

0,0891

COS (p

109

11

12

13

14

cos² « für neue Teilung :

149 11c

tang tp

0,2254

0,2487

0,2722

0,2960

0,3200

209

21

22

23

24

<r

tang <P

289 05c

0,4715

0,4982

0,5254

0,5531

0,5814

7» 07»

159

349 89»

0,1115 0,1340 0,1566 0,1794 0,2023 0,2254

(Diesen Werten « und <p für neue Teilung entspricht die Fig. 4 S. 761.)

Auch die Höhen kann man graphisch bestimmen, denn der Gleichung h — a tätig « entspricht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und h und dem Winkel </.. Da jedoch die Höhenwinkel « meist klein sind, und die Höhen h verhältnismäßig genauer gewünscht werden als die Entfernungen a, so wird man die Zeichnung für /i = a tang a mit überhöhten Werten h anlegen.

So ist die Zeichnung Fig. 2 mit zehnfacher Überhöhung gemacht.

10

16

17

18

19

20

219 11c

0,3444 0,3690 0,3941 0,4194 , 0,4452 0,4715

259

26

27

28

29

30

0,6104

0,6400

0,6703

0,7013

0,7332

0,7659

Fig. 2.

Diagramm für h — a tang ct. Wagrechter Maßstab 1 : 2500, Höhenmaßstab 1 : 250. Überhöhung lofach.

20°    15°

10°    9° 8a 7°

6°

Ol

IS> rQ

-j—H-0H—H-i

AL

LO

1--f

cn

wwwxw

CO

OJ

Lux

iT<

Wenn hiernach OA = a eine Horizontalentfernung ist, zu welcher ein Höhen

winkel a gehört, so erhält man den Wert 10 O A tang a , wenn man in der Ordinate von A hinaufgeht his zu dem Strahl, welcher die Bezifferung a trägt, d. h. von A nach B, und damit ist :

(7)

A B — 10 O A tang 4 ⁰ 55 '.

Diesen Längen wert kann man auf der linksseitigen Teilung von Fig. 2 S. 759 in einen Zahlenwert umsetzen, und dabei kann man auch sogleich die Höhen über N. N. ausrechnen, indem man z. B. die Standpunktshöhe 505,7 in P bezeichnet, und dann P Q = AB aufträgt, um sofort die Höhe von Q = 521,4 abzulesen.

Bei diesem Verfahren mit Fig. 2 ist vorausgesetzt, daß man die horizontalen Entfernungen a zur Verfügung habe, gleichgültig, ob dieselben auf tachymetrischem Wege (durch Multiplikation mit cos² a) oder etwa durch Abstechen aus einer Flurkarte gewonnen worden sind. Besonders für diesen letzteren Fall, welcher bei der häufig vorkommenden Höhenmessung auf Grund vorhandener Lagepläne vorliegt, ist das vorstehende Diagramm Fig. 2 sehr bequem.

Dagegen für tachymetrische Lattenahlesungen 1 ohne Zwischenberechnung von l cos² (x können die Höhen aus der nächsten Zeichnung (Fig. 3) erhalten werden.

DT

Fig. 3. Strahl en diagramm für h = ‘/₂ k l sin 2 a.

Wagrechter Maßstab 1 :100, Höhenmaßstab = 1 : 20, Überhöhung 5 fach.

\JO°

iS—

<9°

70

10--

6°

u?°

2°

t°

50

100

Dieses Diagramm (Fig. 8) gibt die Funktion 1/2    2 « in der Weise, daß z. B.

A B = 1/2 O A sin 2x6 °~30',

wird :

jedoch mit 5 fâcher Überhöhung. Man sticht also die unmittelbar abgelesene Distanz

() A = l mit dem Zirkel von 0 naeli A auf dem Strahl 6° BO' ah, läßt die rechte Zirkelspitze in A stehen und hefälirt mit der linken Spitze den flachen Bogen hei B, worauf A B = h links als Höhe 9,0 abgemessen wird.

Wenn man dieses Diagramm (Fig. 3 S. 760) auf stärkere Neigungen, bis zu 20°, anwenden will, so muß man auf starke Überhöhung des Ordinatenmaßstabes verzichten, Avährend das erste Diagramm (Fig. 2 S. 759) jede beliebige Überhöhung haben kann.

Fig. 4. Va natürliche Größe ; neue Teilung.

<P a

Tj

Eine mechanische Ein

richtung, welche unserem cos²-Diagramm (Fig. 1 S. 7 58) nachgebildet ist, zeigt Fig. 4, Erfindung von Piat (nach „Zeit-schr. f. Venn. 1891“ S. 25-26).

Die äußere Teilung A ist wirkliche Kreisteilung qp und die innere Teilung B ist Teilung a nach der Gleichung cos² a = cos cp.

Fig. 5. Voglers Schichtentafel für 0,51 sin 2 a-

(L—0 ⁰

₀m

!$■

5°    10⁰ 15° 20° 25° 30⁰

10m

Um also z. B. für « = 18? die Reduktion zu machen, stellt man den drehbaren Zeiger 0 E auf u = 18 .<? der inneren Teilung, und projiziert mit der verschiebbaren Kathete IZ die schiefe Teilung OE auf die Nullrichtung OQ. Um auch den Höhenunterschied/« zu finden, stellt mair den Dreharm O E auf qp = 18v der äußeren Teilung und liest h an der Kathete XZ ab [letzteres entspricht unserem Diagramm (Fig. 2 S. 759) ohne Überhöhung, wird also nicht sehr genau werden].

50m

ioom

15 0m

200m

,m

300

A3

\\

i.

iy

'i

cs

!_

„u

50m

iS

\ p/4

#4%.

100m

V/

Eine Schichtentafel für die Funktionen ! cos- a und 0,5 Z sin 2 a gibt Vogler „Anleitung zum Entwerfen graphischer Tafeln, Berlin 1877“ S. 156 und 158.

Wir haben Voglers zweite Schichtentafel VI in Fig. 5 S. 761 verkleinert dar-

gestellt. Um z. B. 0,5 Z sin 2 a für l links l

200 m und a = 15° zu bestimmen, sucht man 200m und oben « = 15°, und fährt von den . so erhaltenen zwei Punkten parallel x und y zusammen auf den Punkt P. Dieser Punkt P liegt auf der Schichtenlinie h = 50 m, folglich ist 0,5 l sin 2 a = 0,5 X 200 sin 80° = 50,0 m.

Schichtentafeln mit polygonalen Linien für l cos² a und 0,5 l sin 2 a sind herausgegeben von Wenner „Graphische Tafeln für Tachymetrie, Darmstadt 1905“ (vgl. „Zeitschr. f. Venu. 1905“ S. 257—262J.

Eine neue, nach der von D’Ocagne angegebenen „Methode der fluchtrechten Punkte“ konstruierte Tafel ist P. Werkmeisters „Graphische Tachymetertafel für alte Kreisteilung“ ; die Tafel ist beschrieben in „Zeitschr. f. Venn. 1908“ S. 889—391, wonach wir die Fig. 6 wiedergeben. Hierzu gehört ein durchsichtiges Zelluloidlineal mit einer geraden Linie zum Einstellen der beiden Argumente E =c -\-lil und a. Der Schnitt mit der Mittellinie gibt den Wert von h ; z. B. für E — 20 m und a = 10° ist h = 3,6 m.

Fig. 7. Teischingers Schiebebrett (1:10 nat. Gr.).

Fig. 6. Tachymetertafel von Werkmeister.

cc

=6° 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9°

- 10™

Oy™--Op

0⁰W —

250m

10°

200¹¹¹

•r

A*-*

'I

is

TT

150m 145.5 D

100rn

50m\

A:

Uh. LL/JMä.

y'h{ kbsmkó⁰/A

15°

TJ

/ /

;*7

i*

20°

Höhen

10m    20m ; 30m    40m

26,5

In dieselbe Klasse von Vorrichtungen wie die Diagramme gehört auch das m Fig. 7 verkleinert dargestellte Schiebebrett von Ingenieur Teischinger („Zeitschr. des Österr. Ing.- und Arch.-Vereins 1885“ Heft 4, „Zeitschr. f. Instrumkde. 1884“ S. 92-95

und „Zeitsehr, des Hannov. Ing.- und Arch.-Vereins 1884“ S. 462, und 1885 S. 215). Für irgend einen Punkt B in Fig. 6 ist :

y = v Ti = 0,5 v l sin 2 a .

Dabei ist v ein willkürlich angenommenes Überhöhrmgsverhältnis für y (in Fig. 7 ist v = 4). Damit wird :

x = BC = lcos*a , BD

(8)

tany X A B = v tang a und A B = lcos% a ]/l + v^tamfi a .

Hiernach kann man die Strahlen und Kurven von Fig. 7 auftragen, und auch die Anwendung ist dadurch bestimmt. Um z. B. für a = 10° und l = 150m die Horizontalentfernung x und die Höhe y zu bestimmen, sucht man den Punkt B auf dem Schnitt des Strahles für 10° und der Kurve für 150 m, projiziert B parallel x und y (mit einer Reißschiene) und hat damit Al) = x , T)B — y.

Fig. 8.

Tachymeterquadrant von Puller. Halbmesser M A = 50 cm.

,70

,80 IM 200r"

£ =0,Om

■g&k

1°

--------

-2°

3°

*//Æ

(W/

(=ą₅rn

s”

Xsl

7°

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⁸“

9°

s-

S-

II

^0°

'io?

2.

l.

Maasstab der¹ Höhen

K------h=13,7m.....-H

Î0

om

10

20

SO¹"

Hieran schließt sich noch der Tachymeterquadrant von Puller an (Fig. 8). Der Quadrantenbogen ABC trägt eine gleichförmige Teilung von 0m bis 200 m für die Tachymeterablesung l, und radial hierzu sind die Höhen li = 0,5 l sin 2 a aufgetragen, z. B. BP für l = 80 und a = 10 °. Dadurch entsteht die mit 5 ⁰, 10 ° , 12°, 15 °. 20 ° usw. bezeichnete Kurvenschar und eine zweite Kurvenschar mit A — 0,0 m, A = 0,1 m bis A = 5,0 m (im Original grün angelegt) gibt die Distanzreduktionen z/ = 7 — 7 cos² a = 7 s/w² a. Um also z. B. für 7 = 80 m und a Entfernung a zu erhalten, stellt man einen um M drehbaren Alhidadenmaßstab auf B = 80 m ein, liest an der Alhidadenteilung B F = h = 13,7 Kurvenschar der A den Wert A — 2,4, was a = 7 — A — 80 — 2,4 = 77,6 m gibt. Auf dem Alhidadenlineal kann man statt h durch eine konstante Einstellung auch unmittelbar die Höhen über N. N. bestimmen.

10° die Höhe h und die horizontale

ab, und sucht auf der

Eine zweite Erfindung dieser Art von Puller ist der in Fig. 9 dargestellte Tachymeterschieber nach „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 20—22 (vgl. auch „Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 363-365, 1901 S. 225—228).

Fig. 9. Tachymeterschieber von Puller.

= Z cos² a = l sin a cos a

* Çr ir“ . % . 8cJ yo" f - JS.«

— =10

--W-

9\

7* =

²'

■g (1 -+- cos 2 a)

s/w 2 «

-r'C-

jo.

jo

-

ft • iM7~

A\

= «7, 7 — D — A

cos 2 «

. _ ôHÉvr Ml±ZZ-c,

—4ß

»fr

_->L J=-

— d.

sl

Der Bogen JL hat

—te

Teilung für 2a, so daß 2 a. Der

J Winkel KMN

Df

j* . — _ .2 • <bi,s

y+J*

Dreharm MK und das untere Lineal G H haben Teilung für

</

15

2f 25 /h

, dagegen die Katheten

CI) und E F haben Teilung für 7.

-s

■'S

■A

s,

G E = d = 2 cos 2 a, E F ist Teilung für A.

In Fig. 9 ist angenommen 7 = 95 -m und a — 9° 30'. Man stellt daher den Dreharm bei K auf a = 9° 30' (oder Zenitdistanz 80° 30'). dann schiebt man die vertikale Kathete auf A = 95-m. worauf B A = h = 15,46 m geradezu abgelesen, oder auch mit verschiebbarer Höhenskale, für Standpunktshöhe B = 77,0 m bei A die Summe 77,00 -m -+- 15,46 m = 92,46 m gibt. Die Horizontalreduktion A erhält man an der unteren horizontalen Kathete E F mit A = 2,6 m.

Von weiteren hierhin gehörigen Hilfsmitteln sei nur noch zitiert Gillmanns Tachymeter-Diagramm, beschrieben von Hammer in der „Zeitschr. f. Verm. 1901“ S. 267—269 und Kivista di Topografia 1901 S. 81, Un rapportatore celerimetrico Ing. G. Abate-Daga, und hingewiesen auf Gouliers Diagramme in Études théoriques et pratiques sur la tachéométrie, Paris 1892, Kap. III.

Logarithmisch-tcichymetrische Rechenschieber.

Nachdem wir schon in § 41 S. 154—158 den gewöhnlichen Rechenschieber beschrieben haben, mit welchem man Produkte a b, Quotienten a : b usw. ausrechnen kann, ist es klar, daß man einen solchen Schieber auch für l cos² a, 0,5 l sin 2 « usw. einrichten kann.

Der erste solche Schieber wurde von Prof. Wild in Zürich 1843 konstruiert (Mechaniker Kern in Aarau). 22 cm lang. Porro und Moinot, später Werner, machten 50 cm lange Schieber, welche auf Metall, Holz und Papier ausgeführt wurden. Nach einem Wernersclien Schieber (von Ostheimer in Wien, Papier auf Holz), hei welchem beide Werte mit einer Einstellung erlangt werden (Längenreduktion unten, Höhenrechnung oben), haben wir eine ausführliche Zeichnung und Beschreibung in der „Zeitschrift d. Arch.- u. Ing.-Vereins zu Hannover 1884“ S. 467—469 gegeben, welche auch in die früheren Auflagen dieses II. Bandes „Haridb. d. Venn.“ (z. B. 4. Aufl. 1893 S. 644—645) aufgenommen war, aber nun teils zur Raumersparung, aber auch deswegen weggelassen wird, weil der mathematische Grundgedanke (z. B. ? cos² cc mit log l cos² a = logi ■+- log cos² a — logl — log sec² a usw.) schon an sich klar ist, und die praktische Einübung doch nur am Schiebeinstrument selbst möglich ist, wozu die Fabrikanten und Verkäufer besondere gedruckte Anweisungen geben. Indessen das beste Mittel zur Einübung besteht darin, daß man unsere Tachymetertafeln nimmt (vgl. im nachfolgenden Jordan, .Hilfstafeln für Tachymetrie“), eine beliebige Seite aufschlägt und sich dann bemüht, das, was die Tafeln gedruckt geben, auch an den Schieberskalen wieder zu finden. Dabei kann man auch sofort sich ein Urteil bilden, was besser und bequemer, die Tafeln oder der Schieber. Auch die in §41 S. 158 erwähnten Rechenscheiben sind mehrfach zu tachymetrischen Rechnungen eingerichtet worden. Die Anwendung der logarithmisehen Rechenschieber auf die tachymetrischen Rechnungen hat viel zur Verbreitung der Tachymetrie beigetragen.

Zahlentafeln.

Es ist schon mehrfach unternommen worden, die Funktionen lcos²a und i/₂1 sin 2 a für verschiedene Werte von l und von a in Zahlentafeln darzustellen ; die meisten Tafeln dieser Art verlangten aber Einschaltung oder Zusammensetzung.

Die ausführlichsten, bis jetzt vorhandenen Tafeln sind die von uns herausgegebenen „Hilfstafeln für Tachymetrie von Jordan, Stuttgart, J. B. Metzler 1880“, 243 Seiten, „4. Auflage 1908“ für die Entfernungen von 10m bis 250m in dreierlei Abstufungen, wie aus den Probeseiten zu ersehen ist, welche wir zur Veranschaulichung des Ganzen, auf S. [32]—[35] des Anhangs abgedruckt haben. Bei kleinen Entfernungen braucht man die Höhenwinkel weniger genau als bei großen Entfernungen, bei kleineren Entfernungen kommen aber viel größere Höhenwinkel vor als bei großen Entfernungen. Die Tafeln haben deswegen folgende Einrichtung: von 10m bis 100m bis 30⁰

Höhenwinkel a von 00 Intervall A a

von 100 m bis 175 m 0° bis 20°

von

von 175m bis 250m 1° bis 10°

von

3'

2'

1'.

Der Gebrauch der Tafeln ist höchst einfach ; wenn z. B. I = 175 m und a = 11⁰ 20 ' vorliegt, so gibt die Tafel (Probeseite S. [34] des Anhangs) 175 cos² a = 168.2 m und 175 (l/₂ sin 2 a) = 33,72m. In der 2. Aufl. 1899 und 3. Aufl. 1904 sind S. 244, 245

noch aufgenommen 100 (i/₂ sin 2 a) und 100 cos- a zwischen 0° und 10° von 1' zu 1', sowie die Längenreduktion 100 sirfi a von 0 ⁰—12 ⁰ von 1 ' zu 1 ' ; alles dies auf drei Dezimalstellen.

Es fragt sich, welche Genauigkeit die Tafeln gehen, wenn ohne Interpolation immer nur nach dem nächstliegenden l oder a gerechnet wird. Hierzu haben wir in der früheren dritten Auflage dieses Bandes, 1888 S. 609—610, eine Berechnung angestellt, deren Schlußergebnis ist:

mittlerer Entfernungsfehler = + 0,26-m mittlerer Höhenfehler

= + 0,04 m .

Dieses gilt ohne Interpolation; mit Interpolation könnte man die Genauigkeit auf 0,1 m in den Entfernungen und 0,01m in den Höhen bringen.

(Die in der 1. und 2. Auflage vorhandenen Druckfehler in diesen Tachymeter-tafeln sind mitgeteilt in „Zeitschr. f. Verni. 1901“ S. 847.)

Folgendes ist eine möglichst vollständige Literaturzusammenstellung tachy-metrischer und ähnlicher Tabellen werke :

1822. Mémorial du dépôt général de la guerre 1826, Paris. Eapport sur la stadia 1882 S. 74. Ein Täfelehen der Werte 100 cos² ec von 5° bis 34° und ein zweites Täfelchen 100 tang a von 1°, 2° bis 30°.

1838. Proß, Lehrbuch der praktischen Geometrie, S. 70, Eeduktionstafel für l cos a, welche doppelt anzubringen empfohlen wird, um l cos² « zu geben.

1850. Dinglers polytechnisches Journal, 116. Band S. 29—51. Abhandlung von Decher über Distanzmesser, mit Eeduktionstafeln.

1858. Bauernfeind, Elemente der Vermessungskunde, 1. Aufl., Band II, Anhang S. 13—23. Tafeln zur Distanzreduktion auf den Horizont, für schiefe Lattenstellung.

1868. Tafeln zur Berechnung relativer Höhen, von der Direktion der Domänen und Forsten des Kantons Bern : l tang a für neue Teilung.

1873. Zeitschr. d. Österr. Ing.- u. Arch.-Vereins. Tinter, Tafeln für 200 l sin- z und 2C0 l sin- z cotg z. 1873. Stück, Distanz und Höhenmessung, Verlag Otto Meisner, Tabellen für l cos- a und 0,5 l sin 2 a für ec von 5' zu 5' bis 30° , l bis 150 m. Hamburg.

1877. Erede, la celerimensura cogli strumenti communi, k cos² a und k tang a-

1875.    Schütze, Berggeschworener. Tabellen zur Berechnung der Seigerteufen (sinus) und Sohlen

(cosinus) für Winkel 5' zu 5' usw. Quedlinburg.

1876.    Mareks & Balke. Das Terrainrelief, seine Aufnahme usw., unter Beifügung einer Tabelle kurz

dargestellt. Selbstverlag der Verfasser. Berlin.

1876. Kotentafeln für die entfernungsmessende Kippregel, Instruktion für die topogr. Abt. d. Kgl.

Preuß. Landesaufnahme, zu beziehen durch die Plankammer d. Landesaufnahme.

1880. Einaldo. Tavola numerica della riduzione all’ orizonte delle distanze lette sulla stadia, da 0° 15' a 40° sessagesimali, compilata per cura dell’Ingegnere Agronomo Bassi Einaldo ; 1880. 1880. Jordan. Hilfstafeln für Tachymetrie. Stuttgart 1880 ; l cos² a und 0,5 l sin 2 a bis l — 250 m.

1884.    Tablas taquimétricas, conteniendo las distancias reducidas al horizonte y las tangentes, <5 dif

férencia de nivel de todos los angulos desde 70° ä 130° calculades de 1' en 1 ' para generadores de 1 ä 400 métros etc. por D. J. J. Cuartero. Madrid imprenta de José Perales y Martinez, Cuesta de Bamon, nüm 3. 1884 (neue Teilung).

1885.    Logarithmisch-tachymetrische Tafeln, für den Gebrauch der logarithmischen Tachymeter nach

Patent Tichy u. Starke. Wien, Seidel u. Sohn, 1885. Tafelwerte A = log (cos- h [1 -)- 0,01 tang />]) und B — log (sin h cos A [1 + 0,01 tang h]). („Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 156-158.)

1890. Tablas grâficas logarithmicos y de h'neas trigonométricas naturales, para reducir al horizonte distancias médias con estadia y calcular las coordinadas rectangulares de puntos determinados con instrumentos de graduaciôn centésimal ó sexagésimal, por Kicardo Codornio y Stärico, ingeniero del cuerpo de montes. Cartagena 1890, imprenta de José Eequena Hernandez, calle del Aire, numéro 15. („Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 319.)

1891. Pons, Tables tacheométriques, chez Baudry librairie polytechnique à Paris. (Xeue Teilung.) Bericht „Schweizerische Batizeitung, 18. Band 1891“ S. 105.

1893. Hilfstafeln zur trigonometrischen und tachymetrischen Höhenmessung für Centesimalteilung des Kreises von J. Heil in Darmstadt. „Zeitschr. f. Yerm. 1893“ S. 613—638.

1893. Rivista di topografia e catasto. Feb. 1893 u. März 1894. Tavole per la riduzione all’ orizonte delle letture sulla stadia verticale, k cos- ce, Divisione sessagesimale S. 139—144 und Divisione centésimale S. 160—186. („Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 487.)

1893. Tavole tacheometriche centesimali, Prof. X. Jadanza, Torino, g cos- ct und g sin oc cos et, neue Teilung. („Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 487.)

1895. Hammer, Tafeln zur Berechnung der Höhenunterschiede aus horizontaler Entfernung und Höhenwinkel, a tang a, alte Teilung.

1S98. Borletti. Tavole centesimali per la Celerimensura. Milano 1898.

1900. Tavole tacheometriche sessagesimali, X. Jadanza. Torino 1900.

1904. Orlandi, Xuove Tavole tacheometriche centesimali e sessagesimali, Roma 1904.

§ 182. Selbstreclmende und reduzierende Tachymeter.

Mit der Zunahme der Bedeutung der Tachymetrie für die Geländeaufnahme haben sich die Bestrebungen vermehrt, tachymetrische Instrumente zu konstruieren, welche unmittelbar die wagreclite Entfernung und die Höhe möglichst ohne Rechnung und sonstige Hilfsapparate liefern.

Einige dieser Instrumente sind schon in § 174 in Fig. 7, 8 und 9 S. 729—731 beschrieben worden, wozu jetzt noch einiges nachzutragen ist.

Die Schiebetachymeter. Der Gedanke, die Entfernung und die Höhe an zwei Maßstäben geradezu zum Ausdruck zu bringen, ist schon 1865 von Geometer Kiefer in Köln gefaßt und von Breithaupt ausgeführt worden, wie eine Mitteilung von Puller in „Zeitschr. f. Yerm. 1896“ S. 375—876 zeigt, wonach auch in der 5. Aufl. des H. Bd. 1897 S. 642 in Fig. 9 das Instrument abgebildet war.

Zwei spätere Erfindungen dieser Art sind nahezu gleichzeitig entstanden. Die ersten Veröffentlichungen hierüber sind :

1.    Patentiertes Quotierinstrument für generelle Aufnahmen, in koupiertem Terrain, Franz Kreuter, Ingenieur, Wien 1874.

2.    C. Wagners Tachygraphometer, beschrieben von Österr. Ing.-u. Arch.-Vereins 1876“, Heft V—4 III; desgleichen mitgeteilt von O. Fennel in der „Zeitschr. f. Verm. 1878“ S. 5< — <7.

Fig. 1.

von

Tinter in der „Zeitschr. d.

Das letztere Instrument Fennel-NA ag-istinFig. 7 S. 729 dargestellt. V ir erwähnen hierzu noch, daß durch passende Einstellung der Höhenskala auch unmittelbar die Höhe über X. N. abgelesen werden kann.

Zu den bisher genannten Schiebetachymetern ist zu

ner

4-----

cc

------D= lcos²o( ■/

B'

OL

h=Lsin a cos ot

LC ;

■>i

bemerken, daß sie die schiefe Lattenstellung verlangen (vgl. die

Fig. 1 u. 2 im vorhergehenden § 180), welche die unbequemere ist. Ingenieur Puller hat in „Zeitschr. f. Yerm. 1893“ S. 72 eine Anordnung angegeben, welche nach Fig. 1 das Schiebetachymeterprinzip auch für lotrechte Lattenstellung anwendbar macht, indem der Schieber M N nicht vertikal, sondern rechtwinklig zur Fernrohrrichtung O B', dagegen die Distanzskala O C horizontal gemacht wird. Es wird also OG = l eingestellt, womit O B = Icosa, O F = l cos² a und B F = l sin a cos a = h wird. Nach diesem sinnreichen Gedanken ist von Breithaupt in Cassel neuerdings das Instrument konstruiert und von Puller in der „Zeitschr. f. Venu. 1901“ S. 531 — 544 beschrieben worden.

Über die Bedeutung dieser Schiebetachymeter im Vergleich zu den einfachen Theodolittachymetern mit Höhenkreis (sog. Kreistachymeter) sind verschiedene Ansichten geäußert worden ; im allgemeinen wird den einfachen Tachymetern, welche im Felde nur Ablesungen, aber nicht Einstellungen und Ablesungen an Schiebeskalen verlangen, dafür aber die nachträgliche Berechnung von Entfernung und Höhenunterschied, der Vorzug gegeben.

Vergleichungen zwischen Kreistachymeter und Schiebetachymeter s. „Zeitschr. f. Venn. 1891“ S. 195, 1893 S. 65-73, 540-548, 1895 S. 389, „Zentralblatt der Bauverwaltung 1893“ S. 231 — 282, „Zeitschr. f. Venn. 1901“ S. 531.

(An dieser Stelle sei auch zitiert : Geländemesser, ein neues Tachymeterverfahren von F. W. Koch, „Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 33—42.)

Fig. 2.

Die GefäUschraubmtachyineter. In Verbindung mit dem Nivellierinstrument haben wir die Gefäll-schraube bereits behandelt ; in § 121 S. 527 wurde die Messung von Höhenunterschieden, in § 170 S. 703 die Messung von wagrechten Entfernungen angegeben.

-ff*

B'\ U'

Alles dies gilt auch für den Theodolit mit Gefallschraube an Stelle der Fernrohrkippschraube, wenn der Klemmarm starr und rechtwinklig zur Visierachse mit dem Fernrohr verbunden ist. Um bei steilen Visuren die vielen Schraubenumdrehungen zu vermeiden, kann man auch die Schraubenmutter in der Richtung ihrer Achse verschiebbar einrichten. Wenn dann das Fernrohr auf den Lattenpunkt B in Fig. 3 § 170 S. 704 gerichtet ist, so wird die Schraube mit ihrer Mutter vorgeschoben, bis ihre Spitze den Klemmarm JB' berührt; hierauf wird durch Drehen der Schraube die Strecke B’ A! = c gemessen, während die Lattenablesungen den Abschnitt l geben. Für die wagrechte Entfernung gilt dann wieder

die Gl. (4) § 170 S. 704, und der Höhenunterschied wird aus der Entfernung und dem Höhenwinkel berechnet. Dieses Prinzip verfolgt u. a. der Universaltachymeter von Läska-Rost, der bei der Besprechung der Okularschraubentachymeter noch zu erwähnen sein wird.

Es sind nun noch einige Bemerkungen über die Verwendung der Gefällschraube am Theodolit in Verbindung mit dem Höhenkreise, die schon in § 170 S. 704 angedeutet wurde, nachzuholen.

Die Visierlinie wird auf einen Punkt B (Fig. 2) der Latte gerichtet, während der Klemmarm des Fernrohrs die lotrechte Stellung J B ' hat. Wird hierauf der Arm bei festgeklennntem Fernrohr durch Drehen der Gefällschraube in die Lage JA! gebracht, so dreht sich die Visierachse um denselben Winkel e, und man erhält an der Latte den Abschnitt l. Es ist dann, wenn am Höhenkreise für den Strahl JA der Winkel a abgelesen wird

l — E tang a — E tang (a — e) und nach einfachen goniometrischen Umformungen

oder

cos² a cotg t -j- sin a cos cc E = l (cos² a cotg £ -f- sin a cos a).

Wird mit d wieder der konstante Abstand des Drehpunktes J von der Schraubenachse, gemessen in Schraubenumdrehungen, bezeichnet, so haben wir :

also

cotg £ = — cos² a + l sin a cos a

dl

und

sin a cos a +1 sin² a .

Macht man c gleich einer Schraubenumdrehung und d = 100, so ist E — 100 l (cos² a -+- 0,01 sin a cos a) h = 100 l (sin a cos a + 0,01 sin² a).

Die Logarithmen der beiden Klammergrößen sind für das Argument a enthalten in „Logarithmisch-tachymetrische Tafeln von G. Starke, Wien 1885“ (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 156—158).

Okularschraièmtachgmeter. Das Prinzip des Okularschraubendistanzmessers haben wir bereits in § 169 S. 701 behandelt. Nach dem Vorschläge von Tichy wurde von Starke und Kannnerer in Wien ein Tachymetertheodolit mit Okularschraube konstruiert, der ebenfalls ohne Rechnung die wagrechte Entfernung und den Höhenunterschied gibt. Das Instrument ist ein einfacher Theodolit mit Höhenkreis und mit Porroschem Fernrohr. Das Okular enthält einen festen und einen beweglichen Faden; die vollen Umdrehungen der Okularschraube werden an einem im Innern befindlichen Rechen, ähnlich wie im Schraubenmikroskop § 58 S. 288 gemessen, während die Bruchteile einer Umdrehung an der Schraubentrommel abgelesen werden. Wird der bewegliche Faden auf fünf volle Umdrehungen eingestellt, so hat man einen Porroschen Distanzmesser mit der Konstanten 100. Die Höhenkreisablesungen beziehen sich auf die Einstellung des festen Okularfadens. Es werden jedoch nicht die Höhen- oder Tiefenwinkel abgelesen; vielmehr ist die Einteilung derartig, daß an einem Index bei beliebiger Fernrohrneigung diejenige Zahl abgelesen wird, auf die man die Okularschraube einstellen

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

muß, damit der Lattenahschnitt gleich dem hundertsten Teil der wagrechten Entfernung ist. Ein zweiter Index gibt an einer andern Einteilung des Höhenkreises die Einstellung der Okularschraube für die Höhenbestimmung an, wodurch der Lattenabschnitt ein bestimmter Bruchteil der Höhenunterschiedes wird. Die äußere Einrichtung der Okularschraube gibt Fig. 3 an; das Okular kann durch den Arm /.'d auf den oberen und unteren Faden eingestellt werden.

Näheres hierüber enthält die Schrift: Anton Schell, Die Tachymetrie mit besonderer Berücksichtigung des Tachymeters von Tichy und Starke, Wien 1880 (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1881“ S. 146—148).

Dasselbe Prinzip wird in bezug auf die Höhen-messungauch bei dem schon S. 769 erwähnten Universaltachymeter von Laska-Rost angewendet, während die wagrechte Entfernung durch eine Gefällschraube ermittelt wird (vgl. „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1905“ S. 225—232).

Fig. 3.

’K

Ï BTT*

Die Okularschraube findet auch Verwendung bei der sog. „logarithmischen Methode“ von Tichy, für die eine Distanzlatte mit logarithmischer Teilung benutzt wird. Diese in Fig. 4 abgebildete Latte enthält auf der rechten Seite eine gewöhnliche Dezimeterteilung, bei der der zweite Meterabschnitt durch Punkte kenntlich gemacht wird. Die linke Seite gibt den Logarithmus des hundertfachen Lattenabschnitts an, beginnend mit dem Logarithmus von 10 nt, entsprechend dem Lattenabschnitt von 1 3m. Die Kennziffer wird durch Punkte angedeutet, während die Mantisse bis auf zwei Stellen an der Einteilung abgelesen werden kann; für den Lattenabschnitt 1,7 gibt die logarith-mische Teilung den Wert 2,23. Zur Ablesung dieser Latte wird der feste Faden auf die am oberen Lattenende befindliche Nullmarke gerichtet, und es wird dann am beweglichen Faden, der auf fünf volle Schraubenumdrehungen eingestellt ist, abgelesen. Die loga-rithmische Latte bietet hierbei den Vorteil, daß die Ablesung bei allen Ziel weiten in Lattenintervallen von gleicher scheinbarer Größe erfolgt.

Bezeichnen wir nämlich den Index eines beliebigen Teilstriches mit », den Abstand des Striches von der Nullmarke mit l(, so ist log 100 Z / = * oder 10 * — 100 ?Der Index des vorhergehenden Striches ist i — 0,01, also gilt auch die Gleichung 10* — 0,oi — 100 U — o,oi . Mithin ist die Länge des Intervalls

A l — •-(10*' — 10* - o,oi) = —

100 v

10*'

pH'

100,01

= 0,02276 U,

d. h. die Intervalle der Teilstriche wachsen proportional ihrem Abstande vom Anfangspunkt. Der Abstand des Intervalls, in dem die Ablesung des beweglichen Fadens erfolgt, wächst proportional der Zielweite s, mithin ist das Verhältnis dieses Intervalls zur Zielweite, oder die scheinbare Größe des Intervalls ebenfalls konstant. Da nun h 1

]00

ist, so ist auch — =

A l 0,02276

und die scheinbare Größe des Intervalls ist gleich

0,02276

Q " = 46,95 " .

Dieser konstante Winkel, unter dem das Lattenintervall bei jeder Entfernung erscheint, wird benutzt, um zwei weitere Dezimalstellen für den Logarithmus des hundertfachen Lattenabschnittes abzulesen. In Fig. 3 S. 770 schließt sich an den Zeiger, mit dem die Trommel abgelesen wird, eine Skala mit zehn Intervallen; wird der Nullpunkt der Trommel um diese zehn Intervalle weitergedreht, so beschreibt die zum beweglichen Faden gehörige Yisur genau den Winkel von 46,95", also die scheinbare Größe des Lattenintervalls.

Fig. 4.

Logarithmisehe Latte zum Tachymeter Ticliy-Starke. Links logarithmisehe Teilung, rechts tön-Teilung.

Die Lattenablesung gestaltet sich nun folgendermaßen: Der feste Faden Avird auf die Nullmarke der Latte gerichtet, und nachdem die Schraube auf fünf volle Umdrehungen eingestellt ist, wird der Logarithmus des Lattenabschnittes auf zAvei Dezimalstellen am beweglichen Faden abgelesen. Hierauf wird die Schraube zurückgedreht, bis der beAvegliche Faden auf den vorhergehenden Teilstrich der Latte eingestellt ist, worauf mit dem Nullstrich der Trommel ZAvei Aveitere Stellen des Logarithmus an der eben genannten Skala abgelesen Averden. Zu dem so gefundenen log (100 l) benutzt man die schon S. 769 envähnten Tafeln von Starke, um die Avagrechten Entfernungen und die Höhenunterschiede zu berechnen.

Diese logarithmisehe Methode wird ausführlich behandelt in:

Anton Schell, Die Methoden der Tachymetrie bei Anwendung eines Okular-Fi'.arschraubenmikrometers, AVien 1883. Ferner erwähnen wir noch :

Das optische Distanzmessen und dessen Beziehung zur direkten Längen-niessung von Josef Friedrich, AArien 1881 („Zeitschr. f. A'erm. 1882“ S. 398—400).

Die Präzisionstachymetrie und ihre neuesten instrumentalen Mittel von A. Tichy. „Zeitschr. des Österreichischen Ingenieur- und Architektenvereins 1892“ S. 513 u. ff.

dh

53

Selbsttätig reduzierende Tachymeter. Neben dem Himveis auf Gouliers Tachymeter in Études sur la tachéométrie, Paris 1892, Kap. VI verdienen besondere Erwähnung die italienischen Konstruktionen selbstreduzierender Instrumente, über Avelche im VIII.—XII. Bande (1895 bis 1900) der Eivista di topografia e catasto berichtet ist. Es sei hiernach das Folgende zitiert:

Tavoletta Viotti, Bd. VIII S. 164. Das Instrument entspricht in seinem Grundgedanken den Schiebetachymetern und braucht auch geneigte Latte.

Porro, taclieometro riduttore. Bd. VIII S. 139. Das Prinzip (Porros Tachéo-métrie 1858) dieses Instrumentes ist selbsttätige Änderung des Abstandes des Porroschen anallaktischen Linsensystems (vgl. a in Fig. 3 § 176 S. 738) beim Kippen durch ein Gelenkparallelogramm nach dem Gesetz cos² «.

Ej

Baggi, Taclieometro autoriduttore Bd. VIII (1S95—1896) S. 151. Durch ein Gelenk ähnlich dem Porro sehen wird beim Kippen der Fadenabstand nach dem Gesetz cos² et reduziert.

Baggi, nuovo taclieometro autoriduttore. Bd. IX S. 17. Durch ein Gelenkparallelogramm wird der Fadenabstand durch zentrisches Schieben des federnden Diaphragmas in einer konvergierenden Bohre nach cos² ct verändert ; ein zweites Fadenpaar soll zur Bestimmung der Höhe dienen.

Roncagli- Urbani, taclieometro riduttore. Bd. VIII S. 28, 146. Das Okular hat eine Art Mikrometer, in welchem ein Glasplättchen, auf das zwei nach dem Gesetz cos² ct zum Argument ct konvergierende Kurven mikro photographisch rrbertragén sind, so verschoben werden kann, daß die wagrecht im Gesichtsfeld erscheinende a - Skala auf den Vertikal-faden hach dem am Höhenkreis (dem Okular zugeAvendete Zylinderteilung) abgelesenen ct eingestellt

Heina, una nuova forma di tacheometro riduttore. Bd. IX (1896—1897) S. 65. Der Fadenabstand zweier schwach konvergierender Fäden soll am Vertikalfaden durch eine Kurbelbewegung und Übertragung durch konische Kader auf lineare Schiebung nach cos² et selbsttätig beim Kippen reduziert werden. Eine ähnliche Reduktion ist für ein zweites Fadenpaar für die Höhen vorgesehen.

werden kann. Es ist dies also eine andere Ausnützung des schon beim Tichy-Starkeschen Instrument behandelten Gedankens für Reduktion des Fadenabstandes, aber keine selbsttätig wirkende Einrichtung.

Roncagli, un nuovo autoriduttore. Bd. IX S. 177, X S. 5. Das Instrument hat im Okular ein nach cos² ex konvergierendes Fadennetz, welches selbsttätig durch einen beim Kippen des Fernrohrs wirkenden Hebelarm mit einem am Okular befindlichen Exzenter entsprechend verschoben wird (vgl. oben Roncagli-Urbani).

Nctsso, un nuovo tacheometro riduttore. Bd. XI S. 145, XII S. 9 (am Schluß historische Übersicht). Entwurf eines reduzierenden Instrumentes mit demselben Grundgedanken wie das (ältere) nachfolgend erwähnte Instrument von Hammer (1898).

Hiernach kommen wir zu einem Entwurf von Hammer, „Zeitschrift für Instrumentenkunde 1898“ S. 241—252. Der Entwurf schließt an die vorbesprochenen italienischen Instrumente an. Auf dem Okularplättchen sind Kurven für die Entfernung nach cos² ex und die Höhe nach sin et cos et aufgetragen. Die selbsttätige Schiebung der Diaphragmenplatte ist erzielt durch Führung zwischen schiefen Ebenen, indem durch Führungsstift mit Federdruck die Platte an die Führungsleiste gedrückt wird. (Die seitliche Schiebung ist abhängig von der Neigung der Führungsleiste und in der Kurvenberechnung zu berücksichtigen.)

Nach diesen Vorgängen hat nun Hammer neuerdings das in einfachster Weise selbsttätig reduzierende, in Fig. 9 S. 731 behandelte Hamrner-Fennelsehe Instrument konstruiert, welches bis jetzt die beste Lösung ist. Dazu ist noch kurz einiges nachzutragen.

Die nachfolgende Fig. 5 gibt einen wagrechten Längsschnitt durch das Fernrohr wieder, in dem Ob, C und Oc das Objektiv, das Kollektiv und das Okular bezeichnen. Über der Kippachse h h befindet sich die das Diagramm tragende Glasscheibe DI),

Fig. 5.

Hi

Ob

■T-

P'JA---------

_ïM°‘

—(|L---------P^Tt

hi

die durch einen bei S angedeuteten Reflektor beleuchtet wird. Mit Hilfe der Prismen V und P" und der Linse L wird in der Bildebene des Fernrohrs bei A ein Bild des Diagramms entworfen, das im Gesichtsfelde wahrzunehmen ist (vgl. § 174 S. 732).

Fig. 6 stellt das auf dem Glasplättchen I) mikrophotographisch übertragene Diagramm annähernd in wirklicher Größe dar. Die strichpunktierten Radien (80 mm) sind auf dem Diagramm nicht verzeichnet, sondern dienen nur zur Konstruktion und Erklärung, h ist der Mittelpunkt des Grundkreises G G, welcher genau zentrisch in der Horizontalkippachse des Fernrohrs liegen muß; dieser Grundkreis erscheint auch als G G im Gesichtsfeldbild Fig. 9a § 174 S. 732 (wegen Bildumkehrung umgekehrt). Beim

Kippen des Fernrohrs um die unterhalb des Diagramms liegende Horizontalachse berührt nun, wie in Fig. 9a § 174 S. 732 dargestellt ist, die Absehlinie über den „Null-faden“ N stets den Grundkreis in einem Punkt. Wird das Fernrohr mittels der Libelle wagrecht gestellt, so findet die Berührung im Punkt 0 statt, und die in der Vertikalen kippende Ablesekante A (Fig. 9 a S. 732) schneidet nach dem vertikalen Mittelradius h 0 E₀ Fig. 6 durch das Diagramm.

Fig. 6.

Hat das Fernrohr irgend eine Neigung -f- oder —, so schneidet die Ablesekante in einem anderen Badius, z. B. A' B oder A" B ", durch das Diagramm. Somit müssen die Entfernungskurve E E und die + Höhenkurve -f- H und — H die in den Badialschnitten den Neigungen nach den Beziehungen a = Je 1 cos² a und h = a tg a

= ~kl sin 2 a und den Konstanten des

Instrumentes entsprechenden Abstände von der Grundkurve G G haben, wonach sich die Berechnung der Kurven ergibt (wobei auch wieder zu berücksichtigen ist, daß der Nullfaden nicht Mittelfaden ist). Weiteres hierzu, sowie über die Ausführung der erforderlichen Berichtigungen s. die § 174 S. 732 genannte Schrift von Hammer.

Die dort sowie ..Zeitsehr. f. Instr.

1900“ S. 328-332, „Zeitschr. f. Venu. 1901“

S. 157 von Hammer, und „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 146 von Koppe mitgeteilten Versuchsmessungen, sowie einige eigene Messungen zeigen eine befriedigende Genauigkeit, wenn auch die Ableseschärfe nicht der eines guten, einfachen Fadendistanzmessers gleichkommt. Das Instrument ist von vornherein für die Genauigkeit der gewöhnlichen Geländetachymetrie (Fehler etwa 1/3₀₀ von a und wenige 2m in li) angeordnet. Jedenfalls ist der Messungsvorgang der denkbar einfachste, noch einfacher als die Ablesungen am gewöhnlichen Tachymeter.

c¹

B'\

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•{WP

-    eV'-'ä'

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7g

Schlußbemerkung. Zu allen diesen mechanisch-optischen Einrichtungen ist zu bemerken, daß sie im Vergleich zum einfachen Theodolittachymeter mit mehr oder weniger stark auftretenden systematischen Fehlern behaftet sind; jedenfalls ist der Theodolit mit gutem Distanzfernrohr in dieser Hinsicht die günstigste Konstruktion.

Die Instrumente mit nicht ganz selbsttätiger Reduktion, wie besonders die Schiebetaehymeter und die Instrumente, welche besondere Okulareinstellungen verlangen, vermehren die Feldarbeit.

Für die Ableitung der wagrechten Entfernung und Höhe aus den Ablesungen l und a ist die Zahlenrechnung am zuverlässigsten und mit jeder beliebigen Schärfe ausführbar. Von den S. 757 bis 767 behandelten verschiedenen Hilfsmitteln wird je

nach Einübung und Gewöhnung das eine oder andere bevorzugt werden; die Ableitung geht nach einiger Übung mit Zahlentabelle, Rechenschieber oder Diagramm sicher und schnell.

Für rein zahlenmäßige Tachymetrie, wobei also im Felde nur gemessen und nicht gerechnet und gezeichnet wird, und die Ausarbeitung als Hausarbeit ganz von der Feldarbeit getrennt ist, sind daher die selbsttätig reduzierenden Instrumente nieht von grundsätzlicher Bedeutung; jedenfalls sind sie dabei nicht ausschlaggebend für den Messungsfortgang im Felde, ja die noch besondere Einstellungen verlangenden Instrumente (Schiebetachymeter) hindern denselben. Das gleiche gilt naturgemäß für tachymetrische Feinmessungen, deren Ergebnisse ohnehin in den meisten Fällen rechnerisch weiter zu behandeln sein werden und bei denen mehr die Verschärfung der Messung, als die Vereinfachung der Rechnung in Betracht kommt.

Anders liegt dagegen die Sache bei unmittelbarer Ausarbeitung im Felde und besonders bei der Meßtischtachymetrie ; hierbei sind auch die Schiebetachymeter ein gutes Hilfsmittel, da sie die wagrechte Entfernung unmittelbar auf das Papier zu übertragen gestatten und sofort die Höhe daneben beschrieben werden kann. Vg]. hierzu § 191—193.

§ 183. Der Kompaß.

Der Kompaß ist ein Instrument, mit welchem man absolute Richtungen bestimmen kann. Der Hauptbestandteil desselben ist die Magnetnadel, d. h. ein magnetisch gemachter Stahlstab, welcher, in der Mitte frei schwebend aufgehängt, in horizontalem Sinne sich infolge der magnetischen Richtkraft der Erde in eine gewisse Richtung stellt.

Wir beschreiben hier verschiedene Formen des Kompasses, welche in der Feld-und Landmessung gebraucht werden.

I. Der Biichsenhympaß.

In den Tachymeterzeichnungen von § 174 Fig. 2-4 S. 722-724 sind oben aufgesetzte Büchsenkompasse angedeutet. Das zylindrische Gehäuse eines solchen hat einen Durchmesser von 10—15 cm; in der Mitte befindet sich eine vertikale Spitze, auf welcher die Magnetnadel (aus einem Stahlstab bestehend) mittels eines Achathütchens schwebend aufgehängt ist. Am Rande des Gehäuses befindet sich eine Teilung in ganze Grade, deren Bezifferung (im Gegensatz zur Bezifferung eines Theodolits) nicht von links nach rechts, sondern von rechts nach links geht; dieses gibt für die Drehung des Instrumentes von links nach rechts wachsende Ablesungen an der Magnetnadel. In Fig. 4 und 6 S. 724 und 727 hat der Kompaß zur bequemeren Ablesung

Stirnteilung.

Die Nadel hat in der Regel die Form, wie aus Fig. 2 und 3 S. 777 zu ersehen ist ; besser ist es, wenn die Stahllamelle hochkant gestellt wird, z. B. am Instrument Fig. 4 S. 724. Gut wirken auch einige kurze, parallel gelagerte Lamellen, welche einen leichten Zeiger (Aluminium) tragen.

Zur Schonung der vertikalen Nadelspitze besteht eine Ausrückung der Magnetnadel, durch welche das Hütchen von der Spitze immer aufgehoben werden soll, wenn das Instrument nicht zur Messung gebraucht wird.

Diese Ausrückung kann verschieden angeordnet sein ; beispielshalber zeigt Fig. 1 eine Ausrückung, welche Mechaniker Hahn in der „Zeitschr. f. Venn. 1875“ S. 188 mitgeteilt hat. Durch Drehung der Mutter dd wird das Nadelhütchen mittels des Bügels ee gut senkrecht gehoben.

An einem Kompaßinstrument dürfen keine Eisenteile angebracht werden; die Federn müssen, statt wie sonst aus Stahl, aus gehämmertem Messing oder Neusilber bestehen. Auch das Stativ ist in dieser Beziehung besonders zu behandeln, doch haben z. B. eiserne Fußspitzen desselben, da sie etwa 1,5 m unter dem Instrument symmetrisch gegen dessen Mitte sich befinden, wenig Einfluß.

Die Prüfung eines Büehsenkompasses bezieht sich zuerst auf die Empfindlichkeit der Nadel; man bringt bei feststehendem Instrument die Nadel durch Annähern von Eisen zum Schwingen und sieht zu, ob sie immer wieder dieselbe Buhelage (auf etwa 0,1° genau) ein-nimmt. Ist dieses nicht der Fall, so kann der Fehler an ungenügender magnetischer Kraft oder an Beibung in der Aufhängung liegen, und muß entsprechend verbessert werden.

Wenn der Kompaß mit einem Theodolit unmittelbar verbunden ist, wie bei unseren Tachymetern (§ 174 Fig. 2-4 S. 722-724), so gestaltet sich diese Untersuchung sehr einfach, indem man mit Hilfe der Limbusteilung des Theodolits den Kompaß etwa von 10° zu 10° durch den ganzen Kreis dreht und zusieht, ob die Nadel hierbei immer denselben Winkel durchläuft.

W ir geben im folgenden ein Beispiel einer solchen Untersuchung, wodurch zugleich noch auf einen andern Umstand aufmerksam gemacht wird. Wenn man nämlich bei gut horizontal gestelltem Instrument den Kompaß vorsichtig dreht, so bleibt die Nadel fast ganz ruhig, und gestattet sofort Ablesung, sobald die Drehung beendigt ist; die Beibung der Nadel in der Aufhängung hat aber einen konstanten Fehler in der Einstellung der Nadel zur Folge, welchen man alsbald bemerkt, wenn man die Drehung im umgekehrten Sinne vornimmt.

Die Zahlen der folgenden Tabelle wurden dadurch gewonnen, daß die Theodolit-alhidade auf 0°, 20°, 40° ... der Theodolitteilung eingestellt wurde; die entsprechenden Ablesungen an' der Nadel sind mit I bezeichnet. Nachher wurde die Aufeinanderfolge umgekehrt, indem der Theodolit auf 360°, 340°, 320°... eingestellt und rückwärtsgedreht wurde, wobei die Nadelablesungen II sich ergaben. Die Nadelablesungen sind je an beiden Nadelenden gemacht; es sind jedoch der Übersichtlichkeit wegen sofort die Alittel eingesetzt.

Fig. 1.

Ausrückung der Magnetnadel.

r_

tu

fc

JL

il

Limbus Nadel! Nadel II II — I

Limbus

Nadel I Nadel II

II — I

0°

14,3°    15;2

20

34,0

35,0

40

53,8

54,8

60

74,4

75,2

80

94,1

94,3

100

120

140

160

174.4    . 174,7

+.+ + + + + + + +

■S S » -S S S S -® 'S

180°

200

220

240

260

280

300

320

340

193,7°

213.8

233.9

253.9

273.8

294.1 314,3

333.2

353.8

194,1°

214.2

234.5 254,9

274.5

294.2

314.5 333,7 354,1

+ + + + + ++ + +

!    o    p p p    p h    o    o ©

|    co w h b    a V

Mittel 3.91°

4,45°

+ 0,54

usw.,

Die Differenz der Ablesungen bei der Vor- und Eüekdrehung hat hier also den großen Betrag von im Mittel 0,54°, oder der konstante Trägheitsfehler der Nadel beträgt 0,27°, während der mittlere unregelmäßige Ablesungsfehler höchstens +0,1° sein wird. Man soll daher die Vorsicht anwenden, bei wichtigen Zielungen stets zweifach abzulesen, mit verschieden drehenden Einstellungen.

Es gibt noch ein Mittel, sich von regelmäßigen Trägheitsfehlern der Nadel möglichst unabhängig zu machen, nämlich die Beobachtung der Nadelschwingungen. Wenn die Nadel beim Schwingen die aufeinander folgenden äußersten Stellungen zeigt: (t-l , b₁ «₂ , b₂ , a₃ , &₃ .., so berechnet man die Buhestellung x nach den Formeln :

oder

«l -4- 2    -f- o₂

4

-f- 2 n₂ + b₂

4

d. h. man nimmt das Mittel dreier aufeinander folgender Ausschläge, zählt jedoch den mittleren doppelt.

Bei Kompassen für tachymetrische Aufnahmen, deren Nadeln ziemlich bald still stehen, ist das Verfahren der Schwingungsbeobachtung unverhältnismäßig zeitraubend und mühsam, und es Avird hier das Ablesen der ruhenden Nadel bei gehöriger Vorsicht wegen des konstanten Einstellfehlers meist genügend sein.

Für den Gebrauch des Kompasses (auch für die nachstehend behandelten Freihandinstrumente) sei hier folgende praktische Gebrauchsregel angemerkt: der Unterbau des Instrumentes wird bei ausgerückter Nadel so gedreht, daß die Nadel nahe in der magnetischen Bichtung steht, und dann erst die Ausrückung gelöst. Die Nadel wird nach wenigen kleinen Schwingungen sich in die Buhelage einstellen. Bei jedem Transport des Instrumentes von Punkt zu Punkt muß die Nadel abgehoben sein.

Die Exzentrizität der Nadel wird durch Ablesen an beiden Enden eliminiert, wie beim Theodolit (vgl. § 63 S. 256).

II. Der Orientierkornpaß.

Die Magnetnadel braucht nicht notwendig ein kreisrundes, büchsenartiges Gehäuse mit einer ganzen Teilung A'on 0° bis 360° zu haben; es genügt eine Teilung, von wenigen Graden, wenn nur deren Mittellinie ungefähr in der Bichtung des magnetischen Meridians liegt. Ein solcher Orientierkompaß gehört zu dem Instrument Fig. 1 § 174 S. 721, avo er ähnlich A\'ie die Beiterlibelle auf die Kippaehse gesetzt Avird. In Fig. 5 S. 726 und Fig. 8 S. 730 ist im untern Teil der Orientierkompaß in der Form einer Bölire sichtbar, in deren Längsachse die Magnetnadel schwingend aufgehängt ist, Avobei die Stellung der Nadel gegen die Teilung durch eine an dem einen Böhrenende befindliche Okularöffnung beobachtet AA’ird.

Für die Anwendung des Orientierkompaß dreht man die Alhidade des Theodolits samt dem Kompaß, bis die Nadel auf dem Mittelstrich der Kompaßteilung einspielt, und liest am Horizontalkreise ah. Hierdurch hat man den Horizontalkreis für alle weiteren Ablesungen nach einem bestimmten Azimut orientiert.

Wir ziehen im allgemeinen den gewöhnlichen Büchsenkompaß vor.

III. Der Stockkompaß.

Für viele Zwecke kann man mit Vorteil den in Fig. 2 gezeichneten Stockkompaß anwenden, der zAvar nicht so genau Avie die im bisherigen beschriebenen Theodolitkompasse, aber dafür sehr bequem ist.

Das Zielen nach einer Geraden ab geschieht mittels des Diopters AB. Bei C befindet sich eine Ausrückung. Die Ablesungen werden auf einzelne Grade Die Anwendung dieses Werkzeuges zur Aufnahme von Kompaßzügen mit dem Meßband und mit Höhenwinkeln werden wir in § 186 besonders behandeln.

Auch zu flüchtigen Aufnahmen der verschiedensten Art ist der Stockkompaß in der Anordnung von Fig. 2 ein vortreffliches Hilfsmittel.

genommen.

Fig. 2. Der Stockkompaß.

_ (Kreisdurchmesser = 12 cm.)

IV. Der Taschenkompaß.

/'

Noch weniger genau als der Stockkompaß, dafür aber überall anwendbar, ist der in Fig. 3 gezeichnete Taschenkompaß.

Man findet solche Kompasse allenthalben im Handel, sie haben aber fast immer eine unbequeme Teilung von 2° oder 1°. Die beste Teilung für einen Taschenkompaß ist von 10° -zu 10°, denn einzelne Grade kann man von freier Hand doch nicht bestimmen, und wenn man nur auf 10° oder etwa auf 5° abliest, so sind viele Striche nur störend.

Die Taschenkompasse haben häufig einen besonderen Strich bei etwa 15° Nord-

ül 0iüË

iBsra

Fig. 3.

West, welcher zum Einstellen auf die Mißweisung dienen soll. Da aber die Mißweisung an verschiedenen Orten verschieden ist, z. B. in Deutschland zwischen 14° und 6°, so liegt in jenem Mißweisungsstrich die Gefahr, daß er auch an Orten benützt wird, wo er nicht paßt ; und deswegen läßt man lieber den genannten Strich ganz fort, und bringt die Mißweisung nachher in Rechnung.

! 350

N'v: 1

fl

to I

Die Teilung ist so angeordnet, daß von Nord nach Ost-Süd-West-Nord mit

Mi

0°, 90°, 180°, 270°, 360° durchlaufend gezählt wird.

oecj

Die gewöhnliche Anwendung des Taschenkompasses ist diese : Man hält den Kompaß in freier Hand, läßt die Nadel auf 0° und 180° einspielen, und zielt mit freiem Auge über die Teilung hinweg nach dem Zielpunkt, dessen Richtung man haben will ; z. B. in Fig. 3 ist angenommen, daß man eine Ziellinie B A habe mit der Peilung 140°. Dieses Yerfahren erscheint auf den ersten Blick sehr roh, man wird sich aber nach einigen Versuchen überzeugen, daß man damit auf einige Grad und selbst bei flüchtigem oder erschwertem Gebrauch auf etwa 5 — 10° genau peilen kann. Es gibt auch Taschenkompasse, bei welchen nach Art der Schiffskompasse die Nadel mit der Teilung fest verbunden ist, so daß Nadel und Teilung zusammen

\B

schwingen. Es hat das manche Vorteile, ist aber im Handel meist nur mit der seemännischen Windrosenteilung zu haben, welche dem Landmesser nicht zusagt (wir haben ein solches Instrumentchen besonders hersteilen lassen mit Teilung 0°—90°— 180°—270°—360° von 10° zu 10°).

Man hat auch Prismenkompasse zum Freihandgebrauch in verschiedener Anordnung. Vielfach angewendet'wird die vorerwähnte Form, wobei die Nadel den Kreis trägt, so daß dieser schwingt und die Teilung durch das Prisma in der Absehlinie erscheint (Schmalkalders Bussole). Diese Anordnung der. Ablesung ist wohl bequem, aber das Schwingen des Kreises sehr störend. Der Taschenkompaß ist dem erfahrenen Landmesser für viele Fälle ein sehr nützliches Begleitwerkzeug.

Mißweisung der Magnetnadel.

Die Richtung, nach welcher die Magnetnadel zeigt, z. B. in Berlin jetzt etwa 9° westlich von Nord (Azimut 351°), ist nach Zeit und Ort veränderlich. Der Winkel, welchen die Magnetnadelrichtung, der sogenannte magnetische Meridian, mit dem astronomischen Meridian eines Ortes macht, heißt die „Mißweisung“, dieselbe wird von Nord nach Westen oder nach Osten gezählt. Sie kann durch einen Theodolit mit Kompaß, z. B. Fig. 2 bis 4 S. 722—724 bestimmt werden.

Zu scharfen Bestimmungen und fortlaufenden Beobachtungen dienen besondere-Apparate, sog. Deklinatorien, in der Regel mit Registriervorrichtung ; derartige Instrumente sind (neben anderen dem Studium des Magnetismus dienenden) auf besonderen Beobachtungsstationen aufgestellt, z. B. dem erdmagnetischen Observatorium des Königl. Meteorologischen Instituts in Potsdam, für nautische Zwecke in Wilhelmshaven, speziell für bergmännische Zwecke in Bochum, Clausthal, Beuthen O. S., Freiberg i. S. und an anderen Orten. (Die fortlaufenden, von diesen Stellen ausgehenden Veröffentlichungen über die magnetischen Elemente finden sich angegeben in den jährlichen Literaturnachweisen der „Zeit.sehr. f. Verm.“; vgl. auch S. 781.)

Für eine größere Anzahl von Stationen hat J. B. Messerschmitt die Jahresmittel aus den Ablesungen der stündlichen Werte aller Tage in „Zeitsehr. f. Verm. 1907“

S. 639 zusammengestellt, woraus wir in Verbindung mit den Angaben auf S. 746 der vorigen 6. Auflage 1904 für Potsdam in der Periode 1891, 5 bis 1906, 5 erhalten:

Jahr j Mißw. | Ahn.

Jahr

Mißw.

Abn.

Jahr Mißw.

Abn.

1891.5    i 10° 42,2'

1592.5    10 36,2

1593.5    10 31,3

1894.5    10 25,4

1895.5    10 19,9

1896.5    ; 10 14,3

6,0'

4,9

5,9

5,5

5,6

1896.5

1597.5

1898.5

1899.5

1900.5

1901.5

WIM',

1901.5    9° 52,1'

1902.5    j 9 48,0

1903.5    [ 9 43,8

1904.5    9 39,4

1905.5    9 34,5

1906.5    9 29,6

4,1'

4,2

4,4

4,9

4,9

Die magnetische Mißweisung nimmt in Deutschland zurzeit jährlich etwa 4—5' ab.

Die Beobachtungen auf den wenigen magnetischen Observatorien genügen nicht, um den Verlauf der magnetischen Mißweisung im mittleren Europa mit einiger Sicherheit verfolgen zu können. Hierzu sind noch „magnetische Landesvermessungen“ nötig, bei welchen an einer größeren Anzahl von Orten die magnetischen Elemente bestimmt und durch Vergleichung mit den Angaben der Observatorien auf eine gemeinsame Epoche bezogen werden. Im letzten Jahrzehnt ist in den meisten deutschen Staaten

Über die Größe der Mißweisung auf der Erdoberfläche zwischen den Breiten-

kreisen _60° und +80° gibt eine vom Beichsmarineamt in Berlin herausgegebene

Karte der ,Linien gleicher magnetischer Deklination für 1905, 0“ Auskunft, nach der wir das in Eig. 4 dargestellte Übersichtskärtchen entwoilon haben.

von 1898.

Ergebnisse der magnetischen Beobachtungen in Potsdam 1890    1891. Berlin 1894. Diese Beobachtungen,

sowie für nautische Zwecke die magnetischen Aufnahmen an den Küstengebieten werden ständig fortgeführt; die Veröffentlichungen s. die jährlichen Literaturübersichten der „Zeitschr. f. Verm.“.

diese magnetische Landesaufnahme soweit gefördert worden, daß ihre Veröffentlichung bald zu erwarten steht.

J. B. Messerschmitt, aus dessen Bericht in „Zeitschr. f. Verm. 1903“ S. 681—686 wir das Vorstehende entnommen haben, hat auf Grund der Neuaufnahmen die im Anhänge S. [31] mitgeteilte Tabelle für die Mitte des Jahres 1905 berechnet.

Fig. 4. Linien gleicher magnetischer Mißweisung für 1905,0.

von 0 Greenwich 15

10

20

30

40

7QC

70°

’l

\l

I:

I II I

F4

l]

CU

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50ci

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h Lissabon '

Ut

\*0°

WA

3_

|7

A.

10

von

0 Greenwich 10

20

30

Hierzu sei genannt: „Archiv der deutschen Seewarte“, XII. Jahrgang 1889 Nr. 2, magnetische Aufnahme des Küstengebietes zwischen Elbe und Oder 1885—1887, von Schaper, Hamburg 1889. Ferner : „Magnetische Elemente an 40 Stationen im nordwestlichen Deutschland 1887 und 1888“, von Eschenhagen, hydr. Amt des Keichsmarineamts. Berlin 1890. Magnetische Untersuchungen im Harz Eschenhagen. Stuttgart (Forschungen zur deutschen Landes- und Volkskunde, 11. Bd. 1. Heft) („Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 342.) Veröffentlichung des K. Preuß. Meteorologischen Instituts,

Eine Inaugural-Dissertation von Felgenträger, Assistent am Erdmagn. Observ. zu Göttingen, „Die längste nachweisbare Sekularperiode der erdmagnetischen Elemente, Göttingen 1892“, berichtet, daß die älteste Deklinationsbestimmung in Koni im Jahr 1508 ö — — 6,8° ist, aber mit Fortsetzung erst 1600 5 = —11,2°. Paris beginnt mit 1541, London 1580, Clausthal 1677. Die magnetische Mißweisung (Deklination) hat in Europa eine Periode von etwa 470—480 Jahren; 1580 war in Paris etwa das Minimum und das Maximum zwischen 1810 und 1820, und jetzt ist Abnahme der westlichen Mißweisung, voraussichtlich bis. zum nächsten Minimum im Jahre 2060. Folgende Hauptwerte nach Felgenträger charakterisieren Sien Verlauf:

Magnetische Mißweisung t). — g östlich, + 5 westlich.

Jahr

1550    1580    1600

1650

1700

1750    1810    1850    1900

London . . Paris . . . Clausthal . . Tübingen .    . .

. —8,8

—    11,0°    — 9,8°

—    9,7    —8,9

+ 17,8° +24,3° + 17,5    +22,6

+ 14,C + 19,4

M    to    IC

.    O    to

©    00    *>.

+ 15,0° + 13,0 + 10,5 + 11,3

Die hier zugesetzten Werte von Tübingen sind unsicher, sie stammen her von 3 Bestimmungen von 1635, 1684, 1705, welche wir in unserem I. Bande, 4. Aufl. 1895, S. 482 von Schickhardt, Kieser und Majer zitiert haben. Tübingen 1900 ist aus Hammer, „Verlauf der Isogonen im mittleren Württemberg, Stuttgart 1886 “, zugezogen.

Für den Landmesser ist noch von Wichtigkeit die tägliche Änderung der Mißweisung, weil man bei einer Aufnahme die Mißweisung konstant anzunehmen pflegt. Sie erreicht ihren größten Wert etwa mittags 1 Uhr, ihren kleinsten Wert etwa um 8 Uhr vormittags. Die Größe der Schwankungen ist in den verschiedenen Jahreszeiten ungleich groß. Die nachstehende Tabelle gibt für die vier Jahreszeiten die durchschnittlichen Schwankungen nach den Beobachtungen in München ; im nördlichen Deutschland sind die Ausschläge zeitlich gleich, werden aber im Maximum 1' bis 2' größer.

Tageszeit Winter

Frühling u. Herbst

Sommer Tageszeit

Winter

Frühling u. Herbst

Sommer

0h nachts

— 1,0'

— 0,5

6 morgens

10

12 mittags

— 0,5 + 0,5 + 2,0

2 2- °- 2 °- “?•

t-* T-l rH t—< d ,-i CO

12 h mittags

6 nachm.

10

12 nachts

+ 2,0'    +3,5'

+ 4,0 + 0,5    + 2,0

-4- 2,0

— 1,0

—    1,5

—    1,0

—    0,5

—    1,0 — 1,0

— 0,5

-1,0

Hierin bedeutet +- eine Vergrößerung, — eine Verkleinerung der westlichen

Mißweisung.

Die größte täglicdie Änderung beträgt hiernach im Sommer 8,5', im Winter 3,5'. Außer diesen regelmäßigen Schwankungen kommen noch unregelmäßige Störungen vor, die in einzelnen Fällen 1° übersteigen; im allgemeinen wird man aber bei tachy-metrischen Messungen die Änderungen der Deklination neben den Messungsfehlern vernachlässigen können.

Näheres über manche besondere Verhältnisse der Kompaßmessungen Im Felde gibt : „Études théoriques et pratiques sur les levers topométriques etc., par Goulier“, Paris 1892, S. 180 u. ff.

Abweichung von der Koordinatenachse.

Während die im bisherigen besprochene magnetische Mißweisung oder Abweichung von dem magnetischen Meridian für allgemein geographische (nautische) Zwecke

Hierzu ist nichts weiter nötig, als daß man mit dem Kompaßinstrument mehrere Strahlen peilt, deren trigonometrische Richtungswinkel man aus der Triangulierung oder aus der Zugmessung kennt. Wir nehmen hierzu ein Beispiel für einen Tachymeter von der Aufnahme bei Springe 1883, Standpunkt Siek (vgl. das Netzbildchen § 136 Fig. 3 S. 583).

gebraucht wird, ist es für den Feld- und Landmesser meist wichtiger, die Abweichung von der jeweiligen X-achse seines Koordinatensystems zu kennen, welche gewöhnlich nahezu nach Norden, aber nicht genau nach Norden gerichtet ist (Meridiankonvergenz der X-achse).

Zielpunkt

Nadel

Nadel

Mittel

in

Trig. Richtungswinkel

Abweichung d — cc — m

Springe

Warte

II

Tappensoole

(NN OiO (» H ® W tH t—

cd icfzo cTcT

COCO CO CO CO CO hh HH <M Ol (N (N COCO

313,9°

314.1

104.3 104,6 J

107.9

134,10°

284,48

288,00

316,10

9,50

121,21°

271,43

275,10

303,12

356,78

— 12,89°

— 13,05

— 12,90

— 12,98

— 12,72

Mittel —12,91°

Nach dieser Bestimmung kann man für das benützte Instrument und für jene Zeit die an der magnetischen Nadel gemachten Ablesungen m auf trigonometrische Richtungswinkel a zurückführen durch Subtraktion der Abweichung 12,9°.

Die so bestimmte Abweichung besteht ihrem Hauptteile nach aus der eigentlichen magnetischen Mißweisung; es wirken aber auch noch verschiedene andere Umstände ein, nämlich 1. eine etwaige zufällige Abweichung des Durchmessers 0°—180° der Kompaßteilung von der Zielachse des Fernrohrs, und 2. eine Abweichung der geometrischen Achse der Nadel, an welcher die Ablesung stattfindet, von der magnetischen Achse der Nadel.

Wenn jedoch eine Kompaßaufnahme sich völlig an eine trigonometrische Messung anschlteßt, sö braucht man die oben genannten Bestandteile der magnetischen Abweichung nicht zu trennen ; dieses ist auch nicht nötig, wenn mehrere Kompafiinstrumente zusammen bei einer Aufnahme gebraucht werden.

Beispiel einer Trennung der genannten Elemente gibt des Verfassers „Physische Geographie und Meteorologie der Libyschen Wüste 1876a S. 20—22. Vgl. auch III. Band, 3. Aufl. 1890, S. 342.

Die    Literaturberichte    der „Zeitschr. f. Verm.“ geben „Magnetische Instrumente,    Mißweisung

u. A.“ 1878    S. 24,    1879 S. 139,    1881 S.    32, 1882 S. 201, 1883    S. 383, 1884    S. 449, 1885 S. 328,    1886    S. 409,

1887 S.    482,    1888    S. 477, 1889    S. 545,    1890 S. 447, 1891 S.    588, 1892 S.    481, 1893 S. 463,    1894    S. 475,

1895 S.    442,    1896    S. 517, 1897    S. 569,    1898 S. 463, 1899 S.    578, 1900 S.    503, 1901 S. 441,    1902    S. 654,

1903 S. 521, 1904 S. 622, 1905 S. 621, 1906 S. 822, 1907 S. 838.

§ 184. Konipaßzüge.

Wenn man ein theodolitartig aufgestelltes Instrument mit einem Kompaß hat, so kann man damit Polygonzüge messen, ebenso wie mit einem Theodolit; der Unterschied besteht zunächst nur darin, daß man am Kompaß die Stellung der Magnetnadel und am Theodolit die Stellung der Alhidade gegen den Limbus abliest.

Der Tachymeterkompaß gibt eine einzelne Ablesung nur etwa auf ein Zehntel Grad = 6' genau, während der einfachste Theodolit mit Leichtigkeit noch P abzulesen gestattet ; die Theodolitgenauigkeit ist in der einzelnen Ablesung mindestens

zehnmal so groß als die Kompaßgenauigkeit, und wenn dennoch der Kompaß in der Feld- und Landmessung angewendet wird, und noch nicht zu den veralteten Werkzeugen gerechnet werden darf, so müssen demselben andere Yorteile zukommen; und das ist in der Tat der Fall, es ist die im Vergleich mit dem Theodolit viel günstigere Fehlerfortpflanzung.

Diese Verschiedenheit ist begründet in dem Umstand, daß der Kompaß absolute Azimute liefert, während mit dem Theodolit Azimute bzw. Richtungswinkel nur durch Vermittlung von Winkeln übertragen werden können.

Die Richtkraft des Erdmagnetismus wirkt ebenso allgemein auf die Magnetnadel, wie die Richtkraft der Erdanziehung (Schwere) auf das Senkel und die Flüssigkeit einer Wasserwage ; und deswegen ist auch das Fehlergesetz des Kompaßzuges dasselbe wie bei einem Nivellierungszug.

Um zunächst die einfachsten Fehlerverhältnisse zu untersuchen, betrachten wir einen nahezu geradlinigen Kompaßzug von der Länge L mit n Punkten und n — 1 lauter gleichen Strecken s.

Setzen wir bei jedem mit dem Kompaß gemessenen Richtungswinkel einen Fehler , e₂ • • • voraus, so ergeben sich für die Endpunkte der Strecken die Querverschiebungen s , st g.... Die Querverschiebung rj des Zugendpunktes setzt sich dann so zusammen :

(1)

1] — S -j— S tg -f- . . . —S Sn — 1

und wenn wir den mittleren Fehler eines gemessenen Richtungswinkels, in Gradmaß ausgedrückt, mit + m bezeichnen, so ist die mittlere Querverschiebung des Endpunktes nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz (10) § 5 S. 12 :

Da

ist, so wird auch

oder auch

q = ±1/ s²

Î?²

TO²

e²-

— ±s n Q

(n — 1) s = L

m , /-—

-4--Vis — Q

(2)

(3)

(4)

(5)

0 \/n

Gleichung (4) ist dasselbe Fehlergesetz wie beim Nivellieren § 122 Gl. (5) S. 529.

Zur Vergleichung wollen wir die Fehlerformel für einen Theodolitzug hersetzen; dieselbe ist nach (9) § 105 S. 457, wenn wir mit m den mittleren Winkelfehler bezeichnen

s'=±iW

(6)

Es wird dann das Verhältnis

Ve⁻

m ' yn _ i yn> wofür wir aber auch näherungsweise setzen können:

3'

(7)

V3-

da es sich nur darum handelt, einen Überblick über die Genauigkeitsverhältnisse gewinnen und da die Gl. (9) § 105 S. 457 ohnedies nur genähert richtig ist. Setzen wir nun z. B. für den Kompaßzug s = 20 m und m = + 6' und für den Theodolitzug Ś = 200 m und m' = 0,5', so wird n— 1 = 10 (n'— 1) und

zu

q _m y 0,3 _ m ]/0,3 s m' ri — 1 m' L

oder

q_ _ 1314,5 “ X '

2'

(1»)

Hiermit berechnen wir:

X = 400 uv 800 m    1200 m

2 : 2 ⁼ 3,3

1,6

1,1

2000 m 5000 m 10 000 m 0,13.

0,66

0,26

Während also bei kurzen Zügen der Theodolit im Vorteil ist, wird dies bei langen Zügen umgekehrt: von.X = 1300m an tritt der Kompaßzug in Vorteil.

Dies bezieht sich auf einen einseitig angeschlossenen Zug. Wir betrachten nun noch den Kompaßzug mit Koordinatenanschluß in beiden Endpunkten. wobei wir wieder einen gestreckten Zug mit nahezu gleichen Seiten voraussetzen. Die mittlere Querschiebung der Zugmitte wird dann nach der Ausgleichung dieselbe sein wrie bei zweimaliger Messung des halben Zuges vom Anfangspunkte aus. Hat der ganze Zug n — 1 Seiten und die Länge X, so ist für die Zugmitte nach (5) :

, m

Q V 2 (n — 1)

2 = ±—■

und für das Mittel aus zwei Messungen:

(10)

m

2 = + —    .— --

— q 2y«—i

Für die Mitte eines beiderseitig angeschlossenen Theodolitzuges haben wir nach (26) § 105 S. 462 die Näherungsformel:

mithin wird das Verhältnis :

* = ±jL]

n'

192 ’

1/48

q _ m

Y ~ m> Ÿn—~î Vn'

Vergleicht man diesen Ausdruck mit (7), so sieht man, daß das Verhältnis q : q’ für die Mitte des beiderseitig angeschlossenen Zuges viermal so groß ist, wie für den Endpunkt des freien Zuges. Aus (11) ergibt sich entsprechend (9):

800 m

(H)

X = 400 m

1200 m 2000 m 5000 m 10 000 m

6,6

4,4

2,6

1,0

0,52.

q:q’ — 13,1

Hieraus geht die wesentliche Überlegenheit des Theodolitzuges für die praktisch vorkommenden Zuglängen hervor. Indessen sind auch hier Kompaßzüge von mehr

als 5000 m Länge im Vorteil.

Im allgemeinen kann man folgende Schlüsse ziehen:

Beim Kompaßzug sollen die Zielweiten s möglichst Mein gemacht werden, während sie beim Theodolitzug möglichst groß zu machen sind (vgl. § 105 S. 45, und 462). Wir gehen deswegen bei Kompaßzügen nach Umständen mit den Streckenlängen s bis zu 20 m herunter.

Der Theodolitzug ist im einzelnen sehr genau, er hat aber ungünstige Fehlerfortpflanzung und muß deswegen lange Seiten haben; dagegen ist der Kompaßzug im einzelnen ungenau, er hat aber günstige Fehlerfortpflanzung, und muß mit kurzen Seiten angelegt werden.

Außer der günstigen Fehlerfortpflanzung in den Richtungsfehlern hat der Kompaßzug noch einen zweiten Vorteil gegenüber dem Theodolitzug, nämlich den, daß auch die bei Theodolitmessungen so sehr schädlichen Zentrierungsfehler (vgl. § 100 S. 437—439) beim Kompaßzug fast unschädlich sind, denn sie bleiben unvergrößert an der Stelle, wo sie begangen wurden, und das ist für den Betrieb der Feldarbeit von Wichtigkeit.

Die innere Verschiedenheit beider Arten von Zügen zeigt sich auch darin, daß man beim Kompaßzug jede Streckenrichtung nur einmal zu messen braucht, während man beim Theodolitzug jede Strecke zweifach, vorwärts und rückwärts, nehmen muß. Wenn man nicht, der Probe wegen, jede Strecke vorwärts und rückwärts beobachtet, so kann man dieses in zweifacher Weise ausnützen, nämlich :

1.    Man macht sogenannte „Sprungstände“, d. h. man überspringt jeden zweiten Brechungspunkt und beobachtet auf jedem Standpunkte je eine Strecke rückwärts und eine vorwärts. Hierbei gibt es keine Zentrierungsfehler.

2.    Man beobachtet jede Strecke einmal nur vorwärts, und das hat die große Annehmlichkeit, daß man es immer nur mit einer Strecke zugleich zu tun hat; man braucht hierbei die Zugpunkte überhaupt nicht abzustecken.

Polygonzüge mit Kompaß und Kette waren früher in Norddeutschland sehr gebräuchlich; sie bildeten die Grundlage ausgedehnter Feldmarkaufnahmen, und haben sich oft später bei der Nachmessung mit dem Theodolit überraschend genau erwiesen, was eben durch die günstige Fehlerfortpflanzung, verbunden mit Sorgfalt in der Behandlung seitens der Feldmesser, erklärlich ist.

Nach diesem ist aber die Zugmessung mit dem Tachymeter in dem Sinne zu betrachten, daß die Richtungen an dem Kompaß und die Entfernungen an dem Distanzmesser abgelesen werden. Hier drängt sowohl der Kompaß als der Distanzmesser zu kurzen Zielweiten. Geht man in der Zielweite nicht über 50 m, so kann man damit im Verhältnis zu der geringen Arbeit, namentlich im Gebirge, vorzügliche Ergebnisse erzielen. Die Höhen bekommt man hierbei mit. Im einzelnen ist die Ausführung diese : Man läßt die Distanzlatte vorausgehen, nimmt bei jeder Aufstellung derselben das Azimut am Kompaß, die Distanz zwischen den Distanzfäden, dann mißt man seine eigene Instrumenthöhe i mit einem zu diesem Zwecke mitzuführenden Maßstab, stellt den Mittelfaden auf den Teilstrich in der Höhe i an der Latte (i ist gewöhnlich etwa = 1,4 m) und liest dann den Höhenwinkel am Höhenkreis ab.

Zur Versicherung wird man alle Messungen auch rückwärts machen und dabei dann zur Beschleunigung des Ganzen eine zweite Latte nachfolgen lassen ; man geht nie weiter, als bis die Ablesungen für Entfernungen, Höhenwinkel und Azimut hin und her stimmen.

11,40° = —11° 24'. —

Das Folgende gibt ein Beispiel für einen solchen Tachymeterzug zwischen zwei Dreieckspunkten mit Koordinatenberechnung aus den geodätischen Übungsaufnahmen bei Hameln a. W. im Sommer 1901, mit dem Instrument Fig. 6 S. 727. Die Mißweisung ist nach § 183 S. 781 bestimmt worden zu d =

Die Koordinatenberechnung ist mit vierstelligen Logarithmen gemacht (vgl. § 95).

Die Höhen der Dreieckspunkte sind durch trigonometrische Höhenmessung bestimmt;

Hameln II ist trigonometrischer Punkt III. Ordnung der Landesaufnahme und der Höhe nach durch Signalnivellement gegeben. Die beiden letzten Spalten enthalten die Höhenberechnung des Zuges.

Darunter sind noch für die letzte Strecke (4) — Hameln II alle Ablesungen hin und her angegeben, wobei die Zielhöhen nicht gleich sind, so daß die sonst für den Höhenwinkel vorhandene Probe hier wegfällt.

Tachymeterzug : Ą Kiesgrube — Hameln II.

Punkt

Richtung

Strecke

s sin et

s cos a

Höhen

unter

schied

Höhe

A Kiesgrube .    .

148

54

151,0

+ 78,0

— 129,3

— 48 493,0

— 56 504,1

+ 0,55

99,42

222 . .

123

15

162,8

+ 136,1

— 89,3

— 48 414,7

— 56 633,4

+ 5,71

99,99

248    .    .

155

18

194,2

+ 81,2

— 176,4

- 48 278,3

— 56 722,7

+ 11,35

105,72

98

45

74,6

+ 73,7

11,3

— 48 196,7

— 56 899,2

+ 4,18

117,10

A Hameln II .    .

— 48 122,9

— 56 910,5

121,29

582,6 I +369,0 Soll ! +370,1 Fehler | +    1,1

—    406,3

—    406,4

+    370,1

406,4

Soll

0,1

Fehler

+ 21,79 + 21,87 + 0,08

Strecke (4) — /\ Hameln II.

Punkt

(1)

Hameln II .    .

Latten- !

ab-

schnitt

Azimut

Höhen

winkel

l cos- a

0,748

0,747

110,3°

290,0°

+ 3° 11' — 2° 22'

74,6

74,6

+ 4,16 (- 3,09) (-1,11)

1,26

2,37

- 1,H

— 4,20

Mittel (4) — Hameln II

d — Richtung

110.15° — 11,40°

98,75°

74,6

+ 4,18

Ausgleichung eines geraclgestreckten Kompaßzuges zwischen zwei Festpunkten.

Wenn ein geradliniger und gleichseitiger Zug von einem Festpunkt ausgeht und in einem zweiten Festpunkt einmünden soll, so hat man beim Eintreten eines Abschlußwiderspruches eine Rielitungsausgleichung zu machen, welche bei gleich langen Seiten lediglich in einer Drehung des ganzen Zuges ohne Formveränderung besteht (während ein Theodolitzug nach § 106 S. 465-466 eine Biegung verlangt). Die Längenausgleichung in der Richtung des Zuges selbst geschieht durch Proportionalverteilung des Fehlers, wie schon früher in § 22 S. 83 gesagt wurde.

Man wird auf die Ausgleichung solcher Kompaßzüge nicht viel Mühe verwenden, bei rein graphischer Behandlung kurzerhand graphisch zusammenstimmen ; indessen sei noch bemerkt, daß ein gestreckter Zug mit ««gleichen Seiten bei der Querabweichung so zu behandeln wäre, daß der Drehungswinkel jeder Seite der Seitenlänge selbst proportional ist. Dieses findet man durch eine leichte theoretische Betrachtung (frühere 3. Auflage 1888, S. 622) welche hier übergangen wird.

50

Eine besondere Art von Kompaßzügen mit Bandlängen von 20 m werden wir in § 186 besonders behandeln.

7. Aufl.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd.

§ 185. Strahlenzieher.

Um die mit dem Kompaß (oder auch mit dem Theodolit) genommenen Richtungspeilungen unmittelbar zu Papier zu bringen, bedarf man eines Strahlenziehers, welcher zum raschen und genauen Zeichnen eingerichtet ist.

Man hat solche Strahlenzieher in verschiedenen Formen; die einfachste Form zeigt nachstehende Fig. 1 (mit Benützung von Weitbrecht, „Zeitschr. f. Verni. 1890“ S. 78.).

Fig. 1.

Der Mittelpunkt C des Halbkreises wird mit einer Nadel auf dem Punkte der Zeichnung befestigt, von welchem die Strahlen ausgehen sollen, nachdem man durch diesen Punkt C auch die Nullrichtung C X gezogen hat, von welcher aus die Strahlenrichtungen gezählt werden. In Fig. 1 ist angenommen, daß diese Nullrichtung mit der -|- X-Richtung des Koordinatensystems Zusammenfalle. Will man nun z. B. die Richtung 68,0° auftragen, so dreht man den Halbkreis so, daß der Teilstrich 68° auf die Nullrichtung X zu liegen kommt; dann liegt CB in dem Richtungswinkel 68°; und an der Teilung, welche längs CB aufgetragen ist, kann man auch sofort die Strahlenlänge abstechen. Man hat solche Halbkreise (wie Fig. 1) auf Papier, Pauspapier, Hornplatte, Glas, Metall.

HI

I—SS

o 260

260    2⁷5°o:    2%

io

W-⁵

Strahlenzieher ohne Zentrierung.

Das Umständlichste und zugleich am meisten Fehlerbringende bei solchen Strahlenaufträgen ist die Zentrierung, für welche mehrfach besondere Vorrichtungen, wie z. B. von Teischinger in „Zeitschr. f. Venu. 1888“ S. 624 (auch aufgenommen in unserer

3. Auf!., II. Band 1888 S. 624) hergestellt worden sind.

Im Gegensatz hierzu ist bei unserem in Fig. 2 gezeichneten, seit Jahren benützten Strahlenzieher auf Zentrierung überhaupt verzichtet (ebenso wie auch bei den gewöhnlichen hölzernen Schiebedreiecken, mit denen man rechte Winkel abschiebt, der Scheitel des Werkzeugs nicht auf den Scheitel des zu zeichnenden Winkels gelegt wird, sondern die Kanten parallel verschoben werden). So brauchen auch die äußeren und inneren Ziehkanten E F und E' F’ des Lineals von Fig. 2 nicht durch den Mittelpunkt C des Halbkreises zu gehen.

Eine Besonderheit ist der Hilfsbogen BI) mit dem Mittelpunkt A ; dieser Bogen B T) und der um A drehbare Ansatzarm L L' dienen nämlich dazu, um die magnetische Mißweisung zu berücksichtigen. Hat man z. B. 12° westliche Mißweisung, so stellt man den Zeiger Z auf 12° der kleinen Teilung Bl), und dann steht der Halb-

messer 12° der Halbkreisteilung rechtwinklig auf LIJ. (Dieser Wert 0=12° entspricht etwa dem Beispiele mit 12,9°, welches in § 188 S. 781 vorgeführt wurde.)

Im übrigen ist die Anwendung des Strahlenziehers (Fig. 2) diese: Legt man nun die Kante L L' an eine Beißschiene an, und stellt den Arm C E auf 50° und 280°, wie in Fig. 2 angenommen ist, so hat jede an den äußeren oder inneren Ziehkanten E F oder E' F' gezogene Gerade das magnetische Azimut 50° oder 230°, je nachdem man die Bichtung von C nach dem Arme E F oder rückwärts gelten lassen will.

Fig. 2. Strahlenzieher ohne Zentrierung (etwa 1/2 natürl. Größe).

F,

-sl

łss

19

SK

iB

\D

Um die Kanten E F oder E’ F’ an einen gegebenen Punkt der Zeichnung zu bringen, schiebt man das Werkzeug längs der Beißschienen kante LL', oder man verschiebt die Beißschiene selbst mit sich parallel.

Die Fig. 2 zeigt eine neue Form eines solchen Strahlenziehers mit Ausführung der Teilung auf Zelluloid (wie die neuen Bechenschieber), statt auf Metall. Gegenüber der älteren Form (5. Aufl. 1897 S. 688) ist neben der Teilung auf Zelluloid hinzugekommen Ausdehnung der Hauptteilung von 180° aut 220 und Zufügung der zwei inneren Ziehkanten. („Zeitsehr. f. Venn. 1899“ S. 135    138.)

Für flüchtiges Aufträgen, z. B. von Aufnahmen mit dem Taschenkompaß, kann auch solches Abschieben nach Fig. 2 noch zu umständlich sein; in diesem Fall nehmen wir einen kleinen Halbkreis von der Form Fig. 1 S. 786 und zeichnen auf quadratisch liniiertes Papier, welches allenthalben die Kante A B orientiert anzulegen und Peilstrahlen zu ziehen gestattet, wobei der Mittelpunkt C nicht durchgestochen, sondern an der durchgehenden Kante A B

Es ist auch an das bei den Markscheidern gebräuchliche Verfahren zu erinnern, Avobei der mit Ziehkante versehene Kompaß auch auf dem Zeichentische nochmals

nur

angelegt wird.

benützt wird, indem man auf ihm die Magnetnadel stets nieder auf den Strich ein-spielen läßt, auf dem sie nach Angabe des Feldbuches bei der Aufnahme selbst stand. Dabei hat man aber auch die störenden Nadelschwingungen nieder, und der Zeichentisch muß von allem Eisen, Messer, Schere usw. auf genügende Entfernung befreit sein. — Wenn man die Strahlen auf Pauspapier zeichnet, so kann man eine feste Strahlen-darunterlegen und hiernach die Strahlen auf das Pauspapier bringen.

rose

Der Strahlenzieher (Fig. 2) hat uns bis jetzt die besten Dienste geleistet.

Eine weitere Zugabe ist den Strahlenziehern (Fig. 2) der hannoverschen Sammlung neuerdings gegeben worden, nämlich ein auf dem Arme E F und E' F' gleitender Schieber, welcher an seinen beiden abgeschrägten Ziehkanten je eine Teilung (1 : 2000) zum Absetzen der Entfernungen trägt. Nach Ziehen des Strahles wird der Schieber so geschoben, daß der Nullpunkt der Teilung auf den Ausgangspunkt fällt, und danach am Maßstab die Entfernung zum Endpunkt der Strecke abgesetzt. Damit entfällt der Gebrauch eines besonderen Maßstabs oder des Zirkels. Für den Gebrauch des. Zirkels ist es bequem, auf dem Arm (der dann voll zu lassen und nicht zu durchbrechen ist, wie die ältere Form Fig. 2 S. 688, 5. Aufl. 1897) einen kleinen Transversalmaßstab anzubringen.

Noch andere Formen von Strahlenziehern sind:

Mittelpunktsvorrichtung von Teischinger, „Zeitsohr. f. Verm. 1883“ S. 48. Strahlenzieher von Lorber, „Zeitschr. f. Verm. 1881“ S. 371. Alhidadentransporteur von Nagel im „Civilingenieur“, 24. Band, 1878, 4. und 5. Heft, mit Tafel XIII. Distanzentransporteur von Decher, ausgeführt von Ertel & Sohn in München. Der geodätische Tachygraph von Schlesinger, „Zeitschr. f. Verm. 1878“-S. 281. Miller, Auftragsapparate für tachymetrische Aufnahmen. „Zentralzeitung f. Optik und Mechanik 1895“ S. 163. Tichys Auftragapparat, „Zeitschr. d. Österreich. Ing.- und Arch.-Vereins 1892 S. 551 bis 556. Starke und Kämmerers Auftragapparat, ebenda 1894 S. 287—289; ferner „Zeitschr. f. Verm.. 1899“ S. 647 — 654. Jatho, „Über drei neuere Auftragapparate für Polarkoordinaten“. Vgl. auch Puller, „Zeitschr. f. Verm. 19U1“ S. 339, 1902 S. 314. P. Wilski, Wötzels Schiebetransporteur, „Zeitschr.. . f. Verm. 1907“ S. 333 — 335. H. Böhler, Schleichers Universaltransporteur, „Zeitschr. f. Verm. 1907“-S. 947—950.

§ 186. Meßbaudzüge mit dem Stockkompaß und mit Freihand-Höhenwinkelmessung.

In Wäldern mit dichtem Unterholz, im Gebüsch, überhaupt überall, wo die Durchsicht gehemmt ist, kann man mit gutem Erfolge, namentlich zur Höhenaufnahme für Horizontalkurven, Kompaßzüge anwenden, deren Seiten sämtlich gleich lang, nämlich 1 Stahlbandlänge = 20 m (schief gemessen) sind, deren Azimute mit dem Stockkompaß auf etwa 1 Grad genau bestimmt werden, während die Neigungen gegen den Horizont mit dem Höhengradbogen gemessen werden. („Zeitschr. f. Term. 1876*

S. 395-399.)

Das Stahlmeßband (auch die Meßkette) ist bereits in § 19 S. 56—58 beschrieben. auch sei für etwaige längere Seiten an das Drahtseil als Ersatz für Band und Kette (Lehrke, „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 451) erinnert, wie auch für gröbere Messungen (§ 189) die Meßleine (50 m) brauchbar ist.

Der Stockkompaß ist in § 183 S. 776 beschrieben, und es könnte scheinen, als ob der Stock dieses Kompasses zugleich als hinterer Band- bzw. Kettenstab genommen werden könnte ; allein das geht nicht gut, weil sonst der Konipaßstock nicht

die nötige Ruhe zum Ablesen der nur langsam sich einstellenden Nadel hat. Der Kompaßstock bezeichnet den eigentlichen Zugpunkt, und der Band- oder Kettenstab wird daneben gestellt, was ja in der Entfernung nichts ausmacht.

Fig. 1. Maßstab etwa 1 : 2, Kohrlänge = 16 cm.

bfa

Mehrere Freihandhöhenmesser haben wir bereits in § 19 S. 59—61 beschrieben, und denjenigen derselben, welcher sich nach unseren Erfahrungen am besten für den neuen Zweck eignet, wo man nicht bloß wie früher in § 19 die Icosa, sondern die genaueren l sin a haben will, haben wir in Fig. 1 nochmals in neuerer Zeichnung vorgeführt. Die Al-hidade zum Ablesen hat / in Fig. 1 nur einen Strich, Ł an welchem ganze Grade H geradezu abgelesen und ™

Fig. 2.

ih e—i

Zehntelsgrade geschätzt werden (Fig. 1 zeigt etwa -+-12,0°). Die Theorie bzw. innere Einrichtung ist dieselbe wie früher in § 19 Fig. 11 S. 61.

hlOilk:

d'

[MM

Fig. 2 zeigt denselben Höhenmesser wie die vor- \ hergehende, aber mitEJEj Fernrohr, welches wir an-^^HI brin gen ließen, um größere Helligkeit zu bekommen.

Etwa 5 fache Fernrohr-

i......1

Vergrößerung dürfte hier genügen. Der Nonius und die innere Teilung, welche o/₀ gibt, ist an Fig. 2 für unsere Zwecke entbehrlich. (Weiteres hierzu s. „Zeitschr. f. Verra. 1893“ S. 203—204.)

Um die Zielhöhen für die von freier Hand zu nehmenden Höhenwinkel richtig zu bestimmen, führt man eine Zielscheibe von etwa 20 cm Durchmesser, in Augenhöhe des Höhenwinkelbeobachters an einem Stabe befestigt, mit, welche stets dem Höhenmesser gegenüber sich befindet. (Die Zielscheibe darf nicht von Eisenblech sein wegen der Nähe des Kompasses.)

Statt der Höhenzielscheibe kann man bei gröberen Messungen (§ 189) auch die Kopfhöhe des jenseitigen Stabhalters, Augenhöhe usw.. je nach den Körpergrößen der beiden Gegenüberstehenden, nehmen, doch ist die Scheibe auch hierfür sicherer und im Gebüsch wegen ihrer abstechenden Farbe (weißrot) sehr erwünscht.

Den Indexfehler eines Höhenmessers kann man zwischen zwei Punkten (s. S. 62), oder sonswie, bestimmen, und mit geeigneten Richteschrauben an dem Instrument auch wegschaffen. Indessen kann man (im Felde o ine besondere Vorrichtungen) den Indexfehler nie so genau wegschaffen, als man im Mittel

durch Hin- und Hermessen

messen kann; auch kommen leicht konstante Zielfehler vor; es ist deswegen das allerbeste, jede Strecke vor und zurück zu beobachten, und für die Berechnung das Mittel zu nehmen. Während zwei Bandzieher das Band strecken und zugleich das Azimut mit dem Kompaß genommen wird, hat der mit dem Höhenbogen versehene Beobachter genügend Zeit, den Neigungswinkel von oben nach unten zu nehmen, und noch die Bandlänge entlang zu gehen, und den Neigungswinkel auch noch in umgekehrtem Sinne (von unten nach oben) zu messen.

Dabei wird zugesehen, ob die Differenz hin und her genügend, etwa innerhalb 0,5°, äußerstenfalls innerhalb 1°, stimmt, und nötigenfalls nachgemessen.

Zur Berechnung der Züge braucht man für jede Bandlänge l die Horizontalprojektion Icosa und den Höhenunterschied Isina. Diese Werte für l = 20 sind in der Hilfstafel Seite [30] des Anhanges gegeben.

Zur weiteren Yeranschaulichung geben wir ein völlig durchgerechnetes Beispiel,, wobei die Höhenwinkel a bereits als Mittel aus Hin- und Hermessung eingesetzt sind r

Beobachtung

Berechnung nach der Hllfstafel S. [30] des Anhangs

Punkt Kompaß-!

Azimut j

Länge ;

cp

Höhen

winkel

cc

l cos ce

î sin cc I mit Verbesserung j

l sin a verbessert

Höhe über N. N.

Punkt

309°

20 m

+ 7,2°

19,9 m

312

20

314

20

312

20

318

20

323

20

311

20

318

20

302

20

286

20

290

20

282

20

301

20

300

20

304

18,0

5 3 3 3 3 3 o- 5 3 3 3 3 3 3

r-4rHC4rHr—ItMOJCOOJr-1

20,0

20,0

20,0

19,7

19,6

19,5

18,8

18,9

18,9

18,5

17,5

16,8 j

17,5

17,4

2,51-₂

0,63-

0,35 _ 2 1,19-2

2,49

0,61

0,37

1,21

3,40_o

3.75_₂

4.63    _ 2 7,00 _ 2 6,41_2 6,58-7,36-2 9,57 - s

10,86 - ₃

9.64    _ 3 4,78-2

3,38

3,73

4,61

6,98

6,39

6,56

7,34

9,54

10,83

9,61

4,76

170,20

181.69 182,30 181,93 180,72 184,10 187,83 192,44 199,42 205,81 212,37 219,71 229,25 240,08

249.69 254,45

298,0

283,0 m J + 77,12    — 1,54    | -j- 76,83 — 1,58

75.25

-f- 75,25

+ 75,58 soll 75,25 Fehler 0,33

Bei häufigem Gebrauch kann man hierzu ein autographiertes Formular anlegen..

m des Anfangspunktes und des-m wird auf die 15 Bänder

Die Höhen über KN., 179,20m und 254,45

Endpunktes, sind fest gegeben. Der Höhenwiderspruch 0,33

verteilt, und gibt auf ein Band 2 cm, ausnahmsweise 3 cm.

In betreff der Höhengenauigkeit läßt sich eine Schätzung machen : Für l — 20 m

schiefe Entfernung hat man h — 20 sin a mit einem Fehler dh — mit da = 0,2° einen Höhenfehler ungefähr dh — 0,07m gibt. Bei einem Zug von.

²⁰ ^

— cos ad vc, was-50 Bändern (= 1 Kilometer) beträgt hiernach der mittlere zu fürchtende Fehler des Höhenunterschiedes zwischen dem Anfangspunkt und dem Endpunkt:

0,07 m Y50 = 0,5nt.

Höhe zu ersehen

Diese Genauigkeit haben wir in Wirklichkeit auch ungefähr erreicht, wie aus einem in der „Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 12—13 von uns gegebenen Nachweise über 25 solcher Züge mit zusammen 13 Kilometer Länge und rund 2000 ist. wobei in dem Anschlußwiderspruch auch die Fehler der anderwärts trigonometrisch oder teilweise auch nur tachymetrisch bestimmten Anschlußpunkte mit enthalten sind.

Bedenkt man, daß die so erhaltenen Einzelhöhen nur auf 0,1 m abgerundet in der Karte eingeschrieben werden, daß es gar nicht möglich wäre, die Punkte in Wäldern, Gebüsch usw. auch nur auf 0,1-m Höhe genau später wieder zu finden, so erscheint das Ergebnis mit Rücksicht auf die große Geschwindigkeit (für 500 m Länge nur etwa eine Stunde Zeit) ein sehr günstiges.

Auch die Lagezeichnung ist genügend genau. Man trägt den Zug nach den Kompaßazimuten mit dem Strahlenzieher § 185 Fig. 2 S. 787 und mit den nebenbei berechneten Horizontalstrecken l cos a auf (die l cos a unterscheiden sich wenig von den 1 selbst), und wenn der Zug dabei in den bereits anderweitig festgelegten

Endpunkt nicht einmündet (1—2 mm selben Zug rückwärts, drückt dabei bereits ein wenig der Vorwärtszeichnung entgegen und wird damit rasch zur Ausgleichung gelangen. Man kann den Zug auch

Kartenmaß wird wohl fehlen), so trägt man den-

zuvor auf Pauspapier auftragen.

Im ganzen können wir zu diesen über 20 Jahre („Zeitschr. 1. Verm. lb/6 S. 395—399) von uns kultivierten Zügen nach dem Urteil solcher, die sie zum erstenmal kennen lernten, berichten, daß die. Handlichkeit und Genauigkeit eine übei-raschend gute ist.

Voll

Unsere Hilfstafel des Anhangs Seite [30] gilt für die Bandlänge 1 = 20 m, was das gewöhnlichste ist. (Diese kleine Tafel für 20 cos a und 20 sina findet sich auch in des Verfassers „Mathem.-geodätischen Hilfstafeln, Hannover, Helwingsehe Buchhandlung 1895“ S. 62.) Entsprechende Tafeln für 1 = 25 m und für l = 30 m sind Hammer in „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 163 und 164 mitgeteilt; und daselbst S. 166 ist auch eine in nachfolgender Fig. 3 reproduzierte Skala für Icosa gegeben.

Fig. 3. I cos a für l = 20 m in 1 : 2000 oder l = 25 m in 1 : 2500.

an

10

35

Sehr bequem ist eine solche Skala Stelle des dort erwähnten Maßstabes.

20

25

30

35

auf dem Arm E F E' F' des Strahlenziehers Fig. 2 S. 787

h-0

Neuerdings haben wir auch den Arm E F E'F' mit einem kleinen Schieber versehen lassen schräg mit Neigung 1 : 10 durchlaufenden Schlitten trägt,

dem auf einem Glas-

(vgl. S. 788), welcher einen zweiten

Art eines Meßkeils eine Teilung nach ix gebracht ist, so daß von Plättchen angebrachten Nullstrich aus sofort l cos ct eingestellt werden kann.

welchem nach

an

wie in 3. Aufl. 1888 S. 631-632 ange-

Auch Setzlattenkompaßzüge lassen sich so messen,

Setzlibelle und dazu eine Nivellierlatte als Yertikalkathete.

geben ist, 5 m lange Latte mit

Die Kompaßazimute bei solchen Zügen bleiben ohne Kontrolle, und wenn dabei ein grober Fehler passiert, so ist der ganze Zug verloren. Der Feldbuchführer (der zugleich einen kleinen Lagehandriß fertigt) kann aber gegen grobe Azimutfehler sich schützen, wenn er dem Zug von hinten folgt, und aufmerkt, daß beim Rechtsschwenken die Azimute wachsen, beim Linkssclrwenken abnehmen müssen. Für den praktischen Gebrauch sei an die S. 776 gegebene Regel erinnert : Lösung der Nadel erst nachdem sie vorher nahe in den magnetischen Meridian gebracht ist.

Einiges Weitere über Freihandhöhenmesser gibt .Zeitsehr. f. Verm. 1891“ S. 167, 1889 S. 647, 1890 S. 87, 1892 S. 603.

§ 187. Tachymetrische Aufnahmen.

Nachdem alle Einzelgeschäfte, welche unter der Bezeichnung „Tachymetrie“ zusammengefaßt werden, behandelt sind, bleibt nur noch die Aufgabe, den Zusammenhang und die Aufeinanderfolge dieser Geschäfte anzugeben.

Der Tachymetertheodolit gibt mit Ablesung des Lattenabschnittes zwischen den Distanzfäden, des Höhenkreises und des Horizontalkreises oder des Kompasses die Bestimmung des angezielten Punktes gegen den Instrumentstandpunkt in Polarkoordinaten, und zwar ausgedrückt durch Entfernung, Höhenunterschied und Horizontalrichtung bzw. Kompaßazimut. Ist demnach der Standpunkt gegeben, so kann die Lage des neubestimmten Punktes in Koordinaten berechnet, oder auch der Punkt gleich mit Strahlenzieher und Maßstab im Plan aufgetragen werden. Es handelt sich demnach zunächst um die Bestimmung der Tachymeterstandpunkte, von denen aus die einzelnen Geländepunkte aufzunehmen sind.

•Tachymeterstandpunkte.

Um die Tachymeterstandpunkte zu gewinnen, kann man Triangulierung und trigonometrische Höhenmessung, regelrechte Polygonalmessung und Nivellierung anwenden: oder aber die einzelnen Standpunkte unter sich selbst nur tachymetrisch verbinden. Dieses sind die beiden äußersten Fälle, welche aber, je nach der Art und der Ausdehnung der vorliegenden Aufnahme, in der mannigfaltigsten Weise gegenseitig verknüpft werden können, so daß nach Umständen die Tachymeterstandpunkte mehr oder weniger dicht angeordnet werden, mehr oder weniger Mühe auf ihre Festlegung verwendet und entsprechend mehr oder weniger Genauigkeit erzielt wird.

Ein Kleintriangulierungsnetz mit gleichzeitiger trigonometrischer Theodolithöhenmessung kann genügen zur Bestimmung der Hauptstandpunkte, worauf Nebenstandpunkte (in Form von Polygonzügen) selbst wieder tachymetrisch an diese Hauptpunkte angebunden werden.

Ein Polygonzug als Grundlage kann sich empfehlen, wenn es sich um Aufnahme eines Flächenstreifens von 200—500 m Breite für einen Eisenbahn- oder Straßenbauentwurf handelt. Ob man dabei die Höhen nivellieren oder durch Höhenwinkel bestimmen will, hängt hauptsächlich von dem Betrag der Höhenunterschiede ab ; im Flach- und Hügelland ist das Nivellieren am Platz, im Gebirge aber zu mühsam ; man mißt dann die Höhenwinkel aller Strecken (am besten hin und her) gleichzeitig mit der Horizontalwinkelmessung mit dem Theodolit.

Die Längenmessungen für solche minder genaue Züge wird man nicht mit Meßlatten, sondern nur mit dem Stahlband machen. Sind die so gemessenen schiefen Längen = l, und die mit dem Theodolit gemessenen Höhenwinkel = a, so hat man, falls die Bandlagen gleiche Neigung haben , Icos a für die horizontalen Entfernungen und Isina für die Höhen; bei wechselndem Gelände wird man die § 19 S. 59—61 erwähnten Hilfsmittel benützen und hat dann mit der wagrechten Entfernung s für die Höhen s tang a.

In steilem und unwegsamem Gelände ist aber oft auch das Stahlband noch zu beschwerlich, so daß man für die Streckenmessung zum Distanzmesser greifen wird ; und dann mißt man den Zug mit dem Tachymetertheodolit. Wenn man hierbei alle Distanzen vor- und rückwärts nimmt, und die Übereinstimmung sofort im Felde kontrolliert und nötigenfalls verbessert, so bekommt man immer noch ein gutes Resultat, namentlich wTenn die Züge nochmals durch die Ausgleichung zwischen trigonometrischen Endpunkten versichert sind. Hierzu wird Rückwärtseinschneiden geeigneter Punkte in erster Linie in Betracht kommen. Wenn man kleine Seiten (50 -m bis 100 -m) nimmt, so ist es rätlich, nicht Theodolitwinkel zu messen, sondern die Kompaßazimute zu nehmen, denn ein langer Zug mit vielen Strecken macht wegen der nötigen genauen Zentrierungen bei Theodolitmessungen viele Mühe, und bei kurzen Seiten ist gerade der Kompaß am Platz [vgl. die Fehlertheorie von § 184 Gleichungen (1)—(5) S. 782]. Wenn man dabei alle Strecken vor- und zurückpeilt, und die Kompaßazimute dabei im Felde kontrolliert, so schließt ein solcher Kompaßzug meist sehr befriedigend ab. (Einiges über solche Züge sowie die Koordinatenberechnung ist schon in § 184 beim Kompaß S. 785 behandelt worden.)

Man kann zwar solche grundlegende Tachymeterzüge gleichzeitig mit der Kleinmessung machen ; es ist aber doch besser, sie zuerst für sich zu behandeln, die Standpunkte mit Nummern zu verpflocken, und erst wenn man sich von genügendem Anschluß überzeugt hat, die Einzelaufnahme zu beginnen. Auch soll man hierbei eine genügende Anzahl von vorhandenen Festpunkten, wie Grenzsteine, Kilometersteine usw., mit bestimmen. Diese können bei der Aufnahme als Kontrollpunkte gut verwendet werden.

Auswahl der Einzelpunkte.

Insofern man für die Lattenpunkte im Felde freie Wahl hat, soll man sich an folgende zwei Regeln halten :

1.    Es sind alle Punkte aufzunehmen, welche die Formen der Erdoberfläche charakterisieren.

Dazu müssen die die Formen des Geländes ausdrückenden sog. „Geripplinien“, das sind hauptsächlich die örtlichen Wasserscheiden und die Talwege, richtig aufgefaßt werden, damit die Aus- und Einbiegungen der Oberfläche (Rücken, Kuppen, Sättel, Täler, Mulden usw.) deutlich hervortreten.

2.    Die Punkte sollen tunlichst in Zügen nach den Geripplinien und nach der Richtung des größten Gefälls angeordnet werden.

von

TISW.,

Namentlich jede Brechungslinie der Erdfläche ist durch eine genügende Anzahl Punkten aufzunehmen, ferner charakteristische Punkte auf Kuppen und in Tälern und dabei sind alle einzelnen Formen für sich aufzufassen und zu behandeln.

Die zweite der beiden oben angegebenen Regeln, nämlich die Punktanordnung nach den Geripplinien und nach dem größten Gefall zu treffen, wird sich bei der nachfolgenden Konstruktion der Horizontalkurven (vgl. den folgenden § 188) als nützlich erweisen.

Um eine Aufnahme nach diesen Regeln durchzuführen, muß zunächst eine Begehung des Geländes stattfinden, wobei die Geripp- und Falllinien aufgesucht und skizziert werden; auch hier gilt die Regel: vom „Großen ins Kleine“ arbeiten.

Handriß. Der Zusammenhang der Punkte muß durch einen Handriß ersichtlich gemacht werden. Derselbe enthält einen nach Augenmaß gemachten Lageplan des aufzunehmenden Geländes mit eingeschriebenen Nummerpunkten, welche den Nummern des Feldschreibbuchs entsprechen.

Die Führung des Handrisses, die Auswahl der Punkte und entsprechende Anweisung des Lattenträgers ist die Hauptsache des Ganzen, welche deshalb der leitende Ingenieur übernimmt, während die Ablesungen und Aufschreibungen am Instrument einem oder zwei Gehilfen überlassen werden. Die Übereinstimmung der Numerierung im Handriß und im Feldschreibbuch ist von Zeit zu Zeit, etwa bei jedem fünften oder zehnten Punkt, durch Zuruf oder Zeichen zu sichern. Nach einiger Übung kann ein Ingenieur auch leicht zwei Lattenträger beschäftigen.

Yerwickeltere Formen, namentlich solche, welche schwer von einem Standpunkt überschaut werden können, z. B. Gebäudegruppen oder Formen, bei denen es sich nicht lohnt, alle einzelnen Punkte tachymetrisch aufzunehmen, kann man durch Einzelmaße im Handriß selbst aufnehmen (Wegbreiten, Bachbreiten, Böschungen nach Breite, Höhe usw.), wozu ein Taschenbandmaß, auch Abschreiten, und für die Richtungen ein Taschenkompaß genügt.

Der Handriß soll nötigenfalls einzelne nach Augenmaß gezeichnete Horizontal-kurven enthalten, welche als Leitkurven bei der endgültigen Kurvenkonstruktion dienen besonders aber auch die Geripp- und Falllinien, Böschungen, Raine usw. können durch Schraffierung hervorgehoben werden, auch Zeichnung von Längs- und Querschnitten ist nützlich.

Der Handriß wird nach Augenmaß, tunlichst nach richtigen Verhältnissen und orientiert, Nord oben (nicht nach der Bequemlichkeit des jeweiligen Standpunktes gerichtet), gezeichnet.

Die Numerierung der Punkte, im Handriß und im Feldschreibbuch übereinstimmend, wird durchlaufend gemacht, also (1), (2)... (213), (214). Es wäre gänzlich zu verwerfen, auf jeder neuen Station wieder neue Numerierung (1). (2)... anzufangen,, oder auf einzelnen Stationen Literierung (a) (b) (e)... an zu wenden u. dgl., weil sonst dieselbe Nummer auf dem Plan wiederholt vorkäme, was zu Irrtümern führen würde.

Auch die Standpunkte werden nicht extra mit I. II... od. dgl. numeriert, sondern mit den Feldpunkten fortlaufend und durch ® hervorgehoben. Nötigenfalls kann man Klammern zum Hervorheben an wenden, z. B. Feldpunkte 218, 219, 220, Zugpunkt (221) und wenn er zugleich Standpunkt wird [221]. Die Geländepunkte erhalten ein X-

Nach diesen allgemeinen Bemerkungen geben wir in Fig. 1 S. 796 einen kleinen Handriß einer tachymetrischen Aufnahme und den zugehörigen Auszug aus dem Feldbuch.

Die Horizontaldistanzen l cos² a und die Höhen l/₂ l sin 2 a werden aus unseren tachyrnetrischen Tafeln aufgeschlagen. (Hilfstafeln für Tachymetrie von Jordan, Stuttgart, J. B. Metzler 1880, 4. Aufl. 1908. Im Anhang S. [82]—[85] sind fünf Probeseiten dieser Tafeln gegeben.) Die Richtungen sind durch den Kompaß bestimmt ^ wird statt dessen der Horizontalkreis abgelesen, so muß mindestens eine Anschlußrichtung eingestellt werden.

Anzahl und Verteilung der tachyrnetrischen Punkte.

Obgleich es natürlich schwer ist, über die Zahl der nötigen Punkte eine Angabe zu machen, wollen wir doch versuchen, einiges darüber zu berichten.

war

allen unseren sonstigen Erfahrungen, und wir rechnen daher für verschiedenes Gelände zum Zweck von Eisenbahnvorarbeiten :

In einer Mitteilung „Verschiedene Erfahrungen über Tachymetrie“ in der „Zeitschrift f. Venu. 1890“ S. 401—416, haben wir unsere Aufnahmen von 1883—1890 zusammengestellt mit dem Ergebnis 7811 Punkte auf 11,77 cpü-m, also im Mittel 664 Punkte auf 1 cphm (hei vollständiger Neuaufnahme nach Lage und Höhe). Dabei der Maßstab der Zeichnung teils 1: 2000, teils 1 :2500. Dieses stimmt auch mit.

500—lOOO Punkte auf 1 cp&m.

Andere scheinen für Eisenhahnvorarbeiten mehr Punkte zu nehmen. —

Über die Zahl der Punkte, welche in einem Tag aufgenommen werden können,

sind mehrfach Angaben veröffentlicht worden, eine sehr verschiedenartige Behandlung des Ganzen stattfinden muß.

aus welchen hervorzugehen scheint, daß

Wenn z. B. im „Civilingenieur“ 1888 S. 529—559 die größte Zahl der aufgenommenen Punkte gegen 700 für einen Tag angegeben wird, so schließen wir daraus, daß die Punkte sehr eng gesetzt sein mußten, so daß fort und fort nur abgelesen wurde. —

Ebenso scheint es sich zu verhalten mit der Angabe von 60 Punkten in einer Stunde, welche in einem Zeugnis der Königlichen Eisenbahndirektion Erfurt vom Mai 1892 für einen Fennel-Wagnerschen Schiebetachymeter sich findet. —

Wesentlich ist nicht die Anzahl der aufgenonnnenen Punkte, sondern ihre richtige Auswahl im Felde.

Bei unserer Art der Behandlung, mit etwa 500—1000 Punkten auf 1 qkm für den Maßstah 1:2000 oder 1:2500, wo allein das Aufsuchen der neuen Standpunkte und die Gesamtleitung usw. eine gewisse Zeit in Anspruch nimmt, werden weniger Punkte aufgenommen. Eine Durchschnittsberechnung (nach „Zeitschr. f. Venn. 1890“ S 408) gab für unser Verfahren 1861 Punkte in 17 halben lagen von je 3 Stunden 40 Minuten reiner Feldmeßzeit, also 1861 Punkte in 8740 Minuten oder rund 30 Punkte in einer Stunde, einschließlich aller Nebenarbeiten, Standpunktsänderungen. Zeitverluste usw. Dabei sind die Höhenwinkel am Nonius abgelesen, was immerhin einigen

Zeitaufwand verursacht; wenn man oder mit Strichmikroskop abliest (§ 174 Fig. 4 S. 724), so

die Höhenwinkel an dem Zelluloidhöhenbogen wird auch hier noch

4— 5 Studierenden z. B. bringt der erste lag

Zeit gespart.

von

(Bei Übungen in Gruppen kaum 100 Punkte, und erst wenn alles gut eingeübt ist, werden mehr Punkte gemacht, worauf erst die allmähliche Übung größere Leistung erzeugt.)

Pig. 1. Handriß einer tachymetrischen Aufnahme zu dem unten gegebenen Feldbuch gehörend.

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Feldbuch der tachymetrischen Aufnahme (s. oben).

Punkt Latte

Nr.

Azimut

(Nord)

Höhen

kreis

Höhen- Horizontal- j Höhenwinkel distanz dilferenz l cos² a 4/₂ l sin 2 a

Höhe über N. N.

113

114

28 1TV

115

66

83

116

117

128

118

132

119

160

120

178

121

160

122

150

147

37,6 i 87 21

49.4    : 88 54 63.1 I 90 27

71.4    I 91 32

I> CO CO CM CO CO

++T+++++II

9° 38'

ro co a <1 co

48

45 ;

18

40

42

39

0 27 1 32

Tachymetertafel 27m    -j- 4,6m

' »4

81

126

130

160

178

H-* t—i t-u

4- OT Cj

4- 11,1

4- 13,8 4- 16,1 4- 15,2 +10,3

+ 8,2

+ 3,1 - 1,2 - 3,0 !

210.7    m

215,3

221.8

224.5 226,8

225.9

221,0

218.9

213.8

209.5

206.8

Endlich ist zu beachten, daß, da die weitere Verwertung tachymetrischer Aufnahmen hauptsächlich eine rein graphische ist, für Auswahl und Verteilung der Punkte besonders noch in Betracht kommt der Maßstab, in welchem die Aufnahme dargestellt werden soll.

Bei großen Maßstäben, z. B. 1 : 1000 oder gar 1 : 500, welche bei tachymetrischen Spezialaufnahmen zur Anwendung kommen können, lassen sich auch ganz unbedeutende Aus- und Einbiegungen der Geländeoberfläche darstellen, und die Regel könnte hier sein, daß ähnlich wie bei Nivellementsprofilen die Verbindungslinien benachbarter Punkte möglichst mit der Genauigkeit der Punktbestimmung nach Lage und Höhe in der Geländeoberfläche liegen sollen, so daß diese also unmittelbar durch ein ihr eingeschriebenes Vieleck zum Ausdruck gebracht würde, und mit direkter Verwertung der Höhenzahlen Zwischenpunkte interpoliert werden können.

Je kleiner aber der Maßstab wird, um so mehr muß davon abgewichen werden, und um so mehr kommt richtige Auffassung des Geländes in Betracht, wozu nur praktische Übung führen kann. Bezeichnet man bei quadratischer Flächeneinteilung mit s den Abstand, mit z die Anzahl der Punkte und mit Q die Fläche, so ist

= y — , für Q = 1 cph Punkte aut 1 q-hnv der mittlere Punktabstand ist: z = 45 bis 32 m. (Für den Punktab stand a in der Karte hat man mit Einführung des Maßstabes M a =

, wonach z. B. für die vorstehende Angabe 500-1000

V *

Die

1000

MV z\

Vergleichung dieser Beziehung mit der Formel (6) S. 13 § 7 und deren graphische Darstellung auf S. 15 können veranschaulichen, welcher Gewinn durch Steigerung der Punktanzahl erzielt wird. (Vgl. auch den folgenden § 188.)

Als Instruktion für die Übungsmessungen der Technischen Hochschule Hannover, und auch zu anderweitiger Orientierung, wollen wir den Gang einer trigonometrisch-tachymetrischen Aufnahme darsteUen unter Voraussetzung eines bereits in II.—III. Ordnung festliegenden trigonometrischen Koordinatensystems mit trigonometrischen Höhen (III. Band, 5. Aufl. 1907. S. 346).

S. 343) oder derlich, z. B. beim

(§ 83 S. 357 oder § 79 S. 333) mit aufgenommen wird. Ausgleichung graphisch, § 88.

der Horizontalwinkelmessung wird sofort auch Höhenwinkelmessung verbunden (Libelle bei jeder Sicht scharf einspielend, Instrumenthöhe i und Zielpunktshöhe z. Fig. 1 S. 580) nach der Formel (2) S. 580 mit der Tabelle S. [10] oder [11] des Anhangs, mit Be-der Horizontaltriangulierung bekannten Entfernungen a berechnet. Proben auf etwa Ausgleichung nach arithm. Mittel oder Einrechnung zwischen Festpunkten. § 136 S. 580.

berechneten Koordinaten in das quadratisch koordinierte Zeichenblatt der

1. Bestimmung eines trigonometrischen Punktes durch Vorwärtseinschneiden (Beispiel § 81 Rückwärtseinschneiden (Formular § 83 S. 353). Dabei ist mindestens eine Probe erfor-Rückwärtseinschneiden eine überzählige Richtung, welche in einen Stationsabriß

2. Mit

und die Höhen nützung der aus

0,1 m genau.

3.    Einträgen der zu machenden Aufnahme in 1 : 2000 oder 1 : 2500.

4.    Beginn der Taehymetrie durch Aufstellen des Tachymeters auf dem neu bestimmten trigonometrischen Punkte, dessen Stationsabriß mit ins Feld genommen wird, um die konstante Mißweisung der Magnetnadel zu bestimmen, etwa ÿ = 12° bis 13° westlich (Beispiel § 183 S. < 81: 6 = 12,9°).

nach Entfernung,

§ 187 S. 793). bares Aufträgen mit § 184 S. 785 ; letzteres für Hauptzüge stets.

6.    Freie Taehymetrie von den einzelnen Zugpunkten aus, mit Handriß nach S. 796.

7.    Kompaßzüge mit Freihandhöhenmesser (§ 186) im Anschluß an Tachymeterpolygonpunkte. Waldaufnahmen (Hilfstafel, Anhang S. [30] oder Mathem.-geodät. Hilfstafeln S. 62). Wegen Barometer

5.    Verbindung zweier trigonometrischer Punkte durch einen Tachymeterzug, alle Zugseiten Azimut und Höhenwinkel im Felde hin und her zu kontrollieren (§ 184 S. 781 und

Berechnung des Zuges mit den Tachymetertafeln (1 cos a und 0,5 l sin 2 a) und unmittel-dem Strahlenzieher (§ 185 Fig. 2 S. 787) oder Koordinatenberechnung. Beispiel

messung s. § 162 und § 163.

8.    Beim Aufträgen des Planes (in 1 : 2000 oder 1 : 2500) werden alle aufgenommenen Punkte mit dem Nullenzirkel durch kleine schwarze Kreise von 1 mm Durchmesser bezeichnet. Die Nummern der Punkte entsprechend dem Feldbuch und dem Handriß werden (links vom Punkt) mit Blei beigeschrieben, Polygonpunkte und Standpunkte, welche im Laufe der Ausarbeitung noch gebraucht werden, erhalten die Nummer mit schwarzer Tusche (links) beigeschrieben. Die Höhenzahlen werden nach Ausrechnung im Feldbuehe rot beigesetzt (auf 0,1 m abgerundet, rechts neben dem Punkt auf wagrecht liniierter kurzer Bleilinie).

9.    Instrumentenreparaturzettel. Zusammenstellung aller im Laufe der Messung bemerkten kleinen Übelstände an Tachymetern, Bussolen, Latten usw., Vorschläge zu Verbesserungen.

Höhenmessung bei vorhandenem Lageplan.

Noch zu erwähnen ist die Höhenmessung mit Benützung des Tachymetertheodolits hei vorhandenem Lageplan (Flurkarte). Das Instrument wird auf einem in der Karte gegebenen Punkte (Grenzstein) aufgestellt. Die aufzunehmenden Punkte werden in die Karte eingetragen, wie in § 111 hei der Flächennivellierung angegeben ist. Die in der Karte fehlenden Punkte werden tachymetrisch bestimmt, wozu Aufnahmezüge zwischen gegebenen Kartenpunkten notwendig werden können. Die Höhen der Standpunkte werden durch Anschluß an vorhandene Festpunkte gewonnen. Für die aus der Karte entnommenen Entfernungen s ist der Höhenunterschied h = s tang a-, zur Berechnung kann eine Tafel oder das an Fig. 2 S. 759 gezeigte Diagramm dienen. Über Ausführung derartiger Aufnahmen von Meliorationsplänen in Hessen handelt eine Mitteilung in der „Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 61 — 63 (Kosten 0,71 Mk. für 1 ha), über die Anwendung hei der neuen topographischen Aufnahme auf Grund der lithographierten Flurpläne in Württemberg im Maßstab 1: 2500 s. „Zeitschr. f. Yerm. 1890“

S. 641—655, 1893 S. 315—338, 1896 S. 353, 1898 S. 65—84.

§ 188. Horizontalkurven.

Die Horizontalkurven oder Schichtenlinien sind zur Erdflächendarstellung zuerst angewendet worden von dem niederländischen Wasserbauer Cruquius 1729, und von dem französischen Geographen Buache 1737, in beiden Fällen mit Linien gleicher Wassertiefen. Die Schichtenlinien in ihrer Bedeutung zur Gebirgs- und Erdflächendarstellung überhaupt erfaßt zu haben ist das Verdienst des französischen Ingenieurs Ducarla in Genf 1765. Weiteres „zur Geschichte der Horizontallinien oder Isohypsen“ gibt Licka in der „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 37—50.

Die Aufgabe der Höhenaufnahme im allgemeinen ist so definiert: Es sollen so viele die Erdoberfläche charakterisierende Punkte aufgenommen werden, daß dadurch der allgemeine Verlauf der Erdoberfläche bestimmt wird, und andere Höhenpunkte durch Einschaltung gefunden werden können.

Wenn eine vollständige Aufnahme nach dieser Erklärung vorliegt, so handelt es sich noch um die bildliche Darstellung der krummen Erdoberfläche durch Zeichnung der Linien, nach welchen die Fläche von einer Beilie horizontaler Ebenen geschnitten wird, d. h. von Horizontalkurven oder Schichtenlinien.

Eine Horizontalkurve hat die Eigenschaft, daß ihre Tangentenrichtung überall horizontal ist und rechtwinklig zur Richtung des stärksten Falles steht. Die Kurve selbst kann jedoch nur dann als in einer horizontalen Ebene liegend bezeichnet werden, wenn von der Erdkrümmung abgesehen wird.

Wenn man eine genügende Zahl gut ausgewählter Punkte hat, so kann man danach die Horizontalkurven konstruieren. (Die unmittelbare Aufsuchung der Kurven auf dem Felde mittels des Nivellierinstrumentes, und nachherige Aufnahme, wäre eine so mühevolle Arbeit, daß es unzweckmäßig ist, dieses Verfahren im großen anzuwenden.)

Für die Konstruktion der Kurven setzen wir voraus, daß die Höhenzahlen aller aufgenommenen Punkte in den Plan eingeschrieben sind, und daß nötigenfalls für ungleichförmig verlaufende Teile, z. B. Schluchten usvv., Leitkurven oder Schraffierung nach Augenmaß in dem die Aufnahme begleitenden Handriß eingezeichnet sind.

Die Kurvenkonstruktion ist eine Aufgabe der darstellenden Geometrie, sie besteht in der Einschaltung von Höhen zwischen die unmittelbar gemessenen Höhenpunkte.

Das beste Hilfsmittel hierzu besteht in der Konstruktion von Profilen, welche durch die aufgenommenen Punktreihen gehen. Hierzu sind Netze horizontaler und vertikaler Linien (vgl. Fig. 1 S. 800) als Vorbereitung nötig; man kann hierzu Milli-meterpapier oder auch das gewöhnliche schwachblau quadrierte Schreibpapier nehmen. Das Netz hat auf Überhöhung der Profile Bedacht zu nehmen; da man aber in der Überhöhung ziemlichen Spielraum hat, so kann ein und dasselbe Netz auch für verschiedene Maßstäbe des Plans verwendet werden. (Überhöhung 5—lOfach.)

Benützt man zu einem Profil nur zwei Punkte, so ist man genötigt, die Punkte geradlinig zu verbinden; wenn dagegen drei oder mehr Punkte im Grundriß in einer geraden oder in einer nicht stark gekrümmten stetigen Linie liegen (was bei der Auswahl der Punkte auf dem Felde anzustreben ist), so benützt man diese Punkte zu-Konstruktion eines Profils, das man aus freier Hand durchlegt, wobei der

sammen zur

Verlauf des Profils gleichzeitig ein Mittel bietet, etwaige grobe Fehler und Versehen Zieht man dann in dem Profil die den runden Höhen, z. B. 305-m, 310 m,

■zu erkennen.

315 m usf., entsprechenden Horizontalen, so liefern deren Schnitte mit der Profillinie Punkte, welche als Punkte der Kurven sofort mit dem Zirkel in die Karte übergetragen werden. Hat man so eine Anzahl von Kurvenpunkten in der Karte, so verbindet man sie von freier Hand mit Benützung etwaiger auf dem Felde gezeichneter Leitlinien und Schraffierungen, nach Anschauung der Profilbilder und nach der Erinnerung die Anschauung der Bergformen bei der Aufnahme, wobei kleine Abweichungen bei den konstruierten Punkten geboten sein können, um flüssige Linien zu erhalten. Hierbei beachtet man, daß z. B. bei einer Geländeneigung von 1 : 20 eine Unsicherheit in der Höhe von ¹/₄ m

Ein Beispiel einer solchen Kurvenkonstruktion zeigt die Fig. 1 S. 800. Der Maßstab der Horizontalaufnahme ist 1:2500, die Überhöhung der Profile ist lOfach. Die durch kleine Kreuze und beigeschriebene Zahlen bezeichneten Punkte sind

eine Verschiebung der Kurve um 5 m bringen kann.

an

un

mittelbar aufgenommen.

Man beo-innt etwa mit der Konstruktion des Längenprofiles des nördlichen Weges, indem man die Höhenpunkte 307,0, 312,3 und 316,7 in das Netz einträgt, ^ danach die Profillinie durchzieht. Die horizontalen Abstände der Punkte A der vertikalen Netzlinie trägt man vom Höhenpunkt 312,3 in der Karte

und

und B von

nach links und rechts, und erhält damit die Punkte A und B, in welchen die Kurven (315) und (310) den Weg schneiden. Ebenso verfährt man mit dem nördlichen Böschungsrand, dann mit dem Profile von 317,5 nach 306,1 usw. Vor allen Dingen werden Profile der Geripp- und Falllinien aufgetragen.

Ein Beispiel zu einer zusammenhängenden Horizontalkurvenbearbeitung gibt Fig 2 S. 801; die Kurven werden im Plane in brauner Tusche (Sepia) ausgezogen.

jeder Stelle die Höhe an, die Richtung

Ein solcher Horizontalkurvenplan gibt also des stärksten Falles (Wasserablauf) und den Betrag der Neigung.

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Fig. 1.

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(7:2500)    ------

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Besondere Hilfsmittel zur Konstruktion von Horizontatkurven.

Eine große Zahl besonderer Hilfsmittel, teils zeichnerischer, teils mechanischer Art, ist von verschiedenen Seiten zur Anwendung gebracht worden, wie die folgenden Zitate zeigen :

Haas, „Über Höhen aufnahmen 1 : 2500 und 1 : 25 000 usw. Stuttgart, Wittwer 1878“ S. 117. Der „Metrostroph“, ein Hilfsmittel für die Konstruktion von Horizontalkurven, von Reitz, „Zeitschr. f. Verm. 1877“ S. 31.

„Interpolationsmaßstab für Horizontalkurven von Wehn“, „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 227. „Horizontalkurvenzeiger von Schmeling“, „Zeitschr. f. Verm. 1881“ S. 106.

Instrument zum Aufträgen von Punkten für die Zwischenkurven von Horizontalschichtenplänen. „Deutsche Bauzeitung 1882“ S. 442, als Zitat aus „Annales des ponts et chaussées, janvier 1882“. C. Wagners Interpolationstafeln für Horizontalkurven, „Zeitschr. f. Verm. 1886“ S. 145. Proportionalmaßstab zur Konstruktion von Höhenkurven, von Hammer“, „Zeitschr. f. Verm.

1888“ S. 214.

„ Verhältnismaß stab zur Herstellung von Höhenkurven, von Vosyka und Gerke“, „Zeitschr. f. Verm 1888“ S. 375.

Hilfsinstrument zur Konstruktion von Höhenkurven, von Rödder, „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 334. Interpolationsscheere von Jordan, „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 479—481, und 1893 S. 284—285.

Fig. 2. Horizontalkurven. Haßstab I : 5000. Höhenabstand der Kurven = 5 m.

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Z wielcy, Diagramm zur graphischen Interpolation der Horizontalkurven in Plänen mit quo-tiertem Quadratnetz. „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 342—346.

Herl, „Zur Konstruktion von Horizontalkurven“, „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 316—319, 1902

S. 113—115.

Sikorski, „Der Schichtensucher“, „Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 421—423 ; ferner ebenda Lauge, 1898 S. 230—231 ; Haller, 1901 S. 373—379; Puller, 1902 S. 115—116; Löschner, 1904 S. 224—228; Truck, 1905 S. 377—382.

Wir haben von allen diesen zahlreichen Hilfsmitteln keines dauernd angewendet, sondern sind immer wieder zur Profilkonstruktion nach Fig. 1 S. 800 zurückgekehrt.

Übrigens kommt es bei der Art der Kurvenkonstruktion auch wesentlich auf die Zahl und Verteilung der Punkte an. Vgl. S. 795.

Aus der Anleitung für die Anfertigung von ausführlichen Eisenbahnvorarbeiten der Königlichen Eisenbahndirektion (linksrheinisch) Köln 1892, zitieren wir S. 20: „die Einzeichnung der Schichtenlinien zwischen den Höhenzahlen des Planes geschieht gewöhnlich am besten nach Augenmaß, und zwar in einem Höhenabstand von 1 -m“. (Dazu wird das Hilfsmittel einer Teilung auf einem Blättchen Pauspapier empfohlen, welches in unseren vorstehenden Zitaten S. 800 nach Wagner „Zeitschr. f. Verm. 1886“ S. 145 angegeben ist.)

Wir glauben schließen zu können, wenn Meterkurven nach Augenmaß gezeichnet werden können, dann müssen die Punkte sehr dicht stehen —; bei unserer auf S. 795 angegebenen Zahl von 500—1000 Punkten auf 1 cj Am reicht man mit dem Augenmaß im allgemeinen nicht aus, sondern man muß zahlreiche Profilkonstruktionen nach S. 800 machen.

Diese eine Vergleichung mag genügen zur Erkenntnis, daß die Kurvenkonstruktion je nach der Zahl der Punkte, der Genauigkeit der Aufnahme, nach dem Maßstab des Plans, dem Zwecke der ganzen Arbeit usw. sehr verschieden aufgefaßt und entsprechend verschiedenartig behandelt wird.

Das beste Mittel zur richtigen Auszeichnung der Kurven ist nach Aufzeichnen derselben in Bleilinien in der vorbesprochenen Weise mit dem Plan ins Feld zu gehen und den Kurven in Anschauung der Geländeformen ihre endgültige Gestalt zu geben.

Verschiedene Kurvenformen.

Wenn man nur die allgemeinsten geometrischen Begriffe richtig erkannt hat und sich stets erinnert, daß eine und dieselbe Horizontalkurve sich nicht selbst berühren kann, so wird es nicht schwer sein, auch bei verwickelten Flächenformen das nichtige zu treffen. Man findet aber häufig Kurvenkarten mit geradezu unmöglichen Formen, wie z. B. die in nachstehender Fig. 3 gezeichneten, welche einer kritischen Besprechung in der „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 61 entlehnt sind.

Fig. 3. Unmögliche Kurvenformen.

Ein Beispiel richtiger Horizontalkurvenzeichnung zeigt Fig. 2 S. 801.

Von den daselbst eingeschriebenen Punkten wollen wir die drei Sattelpunkte bei 505,0, 503,5 und 552,2 besonders betrachten. Man kann sich über den Kurvenverlauf auf Sattelflächen am besten dadurch Bechenschaft geben, daß man die einfachste mathematische krumme Fläche betrachtet, welche einen Sattel hat, und das ist das hyperbolische Para-boloid. Denkt man diese Fläche zweiter Ordnung einem natürlichen Gebirgssattel entsprechend, so kann sie von einer Schar horizontaler Ebenen nur nach Hyperbeln geschnitten werden. Von diesen Hyperbeln geht allerdings in einem besonderen Falle eine in zwei sich schneidende Gerade (Asymptoten) übei', und diesem Grenzfall entspricht eine sich selbst schneidende ooförmige Kurve, wie z. B auf S. 801 bei dem Sattelpunkte 505,0 auf Sommerbühl.

Genauigkeit der Höhenkurven.

Der Fehler der aufgenommenen Punkte geht nach Lage und Höhe in die Kurvendarstellung

ein. Bei einer Neigung n des Geländes, von z. B. « = —,

verursacht ein Fehler in der Lage des

Punktes von 1 m einen Höhenfehler von ¹/₂₀ m, und umgekehrt ein Höhenfehler von z. B. i/₄ ?» einen Lagefehler des dadurch bestimmten Kurvenpunktes von 20 X J/₄ m = 5 m. Dazu kommt noch die Verallgemeinerung der Geländeform durch die Kurven, welche abhängig ist von der Zahl und Verteilung der Punkte und dem Maßstab der Darstellung. Koppe gibt für die neue topographische Aufnahme in Braunschweig („Zeitsehr. f. Verm. 1002" S. 412) einen Fehlerausdruck von der Form a + b . n, wodurch die Abhängigkeit des Höhenfehlers der Kurvenkarte von der Geländeneigung zum Ausdruck kommt. Für die braunschweigische topographische Aufnahme im Maßstab 1 : 10 000 ist der mittlere Höhenfehler gefunden zu ± (0,3 -f- 3 n) Meter und danach als Fehlergrenze festgesetzt ± (1,0 -)- 10 n) Meter. Für die topographische Aufnahme der preußischen Landesaufnahme in 1 : 25 000 wurde der 1 Va- bis zweifache Betrag gefunden. Für tachymetrische Aufnahmen in den gebräuchlichsten Maßstäben 1 : 2000 oder 1 : 2500 könnte danach schätzungsweise als Grenzfehler angesehen werden etwa ± (0,5 -j- 5 n) Meter. An Untersuchungen für derartige Spezialaufnahmen fehlt es bisher. Dieser Grenzfehler gibt auch einen Anhalt für den kleinsten Höhenabstand der Kurven, welcher mindestens das Doppelte dieses Grenzfehlers sein muß.

§ 189. Flüchtige Aufnahmen.

Im Anschluß an die Tachymetrie können wir noch einige Bemerkungen machen über flüchtige Aufnahmen, namentlich durch Abschreiten und Kompaßpeilen, indem solche kleinere Aufnahmen in der Tachymetrie oft als Nebenarbeiten Vorkommen.

An Werkzeugen setzen wir zunächst nichts voraus als einen Taschenkonipaß oder Stockkompaß nach § 183 Fig. 3 und Fig. 2 S. 777.

Das Schrittmaß haben wir schon in § 23 auf S. 84—87 (nebst § 163 S. 683 bis 685) genügend behandelt, auch auf S. 87 einen mechanischen Schrittzähler mit Abbildung beschrieben.

Es ist nun sofort klar, daß man durch Schreiten und Kompaßpeilen kleine Aufnahmen machen kann. Als Beispiel hierfür nehmen wir die Oase Farafrah in der Libyschen Wüste, welche vom Verfasser am 1. Januar und 12. Mai 1874 im wesentlichen so aufgenommen wurde (s. Fig. 1 S. 804).

men

. vollständig! und in der Zeichnung durch weitere örtliche Peilungen und Schrittmaße

Sowohl das Dorf (Gassr) als auch der Palmenwald wurden je in einem Polygon umschritten, dabei die Schrittzahlen und Kompaßpeilungen der Polygonseiten aufgeschrieben, und die Einzelheiten durch Handrißzeichnung nach Augenmaß aufgenom-Diese Einzelheiten können auch nach dem ersten Umschreiten nochmals ver-

versichert werden.

Die Kompaßpeilungen sind in diesem Falle nur mit dem Taschenkompaß § 183 auf etwa 5—10° genau gemacht. Jetzt würde ich (nach in-

Fig. 3 S. 777, also nur zwischen gemachten Erfahrungen) für solchen Zweck den Stockkompaß § 183 Fig. 2 S. 777 anwenden, welcher Peilung auf 1° gibt, und auch insofern angenehm ist, als

er, einmal in den Boden gestoßen, beide Hände

In Fig. 1 S. 804 sind die Schrittmaße auf jeder Geraden durchlaufend, wie Katasterhandrissen eingeschrieben. Die Kompaßpeilungen sind durch Pfeilspitzen mit

Einzelne örtliche Schrittmaße sind durch bei-

zum Zeichnen usw. freiläßt.

bei

beigeschriebenem Azimut angedeutet.

gesetzte Striche (z. B. — 60 — und — 33 — als Gebäudeabmessungen der Sauyali) von den Maßen des grundlegenden Polygons unterschieden. (Übrigens enthält die I ig. 1 nicht alle wirklich aufgeschriebenen Maße, von denen ein Teil der Übersichtlichkeit

wegen weggelassen ist.)

Fig. 1. Aufnahme der Oase Farafrah. Durch Abschreiten und Kornpaßpeilen. (Maßstab 1: 5000.)

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Das Dorf (Gassr) hat folgendes Uinfangspolygon, mit Anfang an der südöst

179 Schritte mit Richtungspeilung 270° 221 170

100

107

170

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190

39

200.

Ein ähnliches Polygon umschließt auch den Palmenwald.

Diese beiden Polygone hängen unter sich zusammen durch die Linie 188 Schritte mit 195°, und die schiefe Bindung 330 Schritte mit 260°.

Hach diesen Maßen kann man auf dem Zeichenbrett mit dem Strahlenzieher und mit verjüngtem Maßstab den Polygonrahmen aufzeichnen; die dabei auftretenden Schlußfehler muß man nach Gutdünken verteilen. An den festen Polygonrahmen kann nun alle weiteren Handrißnotizen, Seitenpeilungen usw. anschließen. Die Höhenmessung macht man barometrisch oder auch mit einem Freihandhöhenmesser (§ 186).

Die ganze Aufnahme kann auch nach § 192 auf einem leichten Meßtisch (Ivrokier-tisch) mit Diopterlineal und Richtkompaß gemacht werden.

Ein Instrument zur mechanischen Aufzeichnung von Routenaufnahmen ist der Ferguson erfundene Pedograph. Das Instrument muß mit seiner Längsachse in der Wegrichtung getragen werden, während das Zeichenblatt mit Hilfe einer Magnetnadel fortwährend auf dieselbe Himmelsrichtung eingestellt wird. Die Zeichenvorrich-tung, die durch einen Schrittzähler in Bewegung gesetzt wird, geht in der Wegrich-tung gleichmäßig weiter und beschreibt auf dem stets richtig orientierten Zeichenblatt den von dem Aufnehmenden zurückgelegten Weg.

man

von

Ein weiteres Instrument desselben Erfinders, der Zyklograph, wird an ein Fahr-

Entfernungsmessung benutzt werden. Die

rad angesehraubt, dessen Umdrehungen zurückgelegten Strecken übertragen sich auf ein Zeichenblatt, das wie bei dem vorgenannten Instrument mittels einer Magnetnadel in jedem Augenblick orientiert

zur

wer

den muß.

Nähere Angaben finden sieh in den Berichten von E. Koll, Automatische Meßinstrumente in „Zeitschr. f. Verm. 1905“ S. 215-251 und E. Hammer „Zeitschr. f. Instrumentent:. 1903“ S. 277.

wovon

Bei ausgedehnten sog. Routenaufnahmen, wie sie in kartographisch unbekannten Gebieten oder auch zur Ergänzung dürftigen Kartenmaterials Vorkommen (also zurzeit noch in großen Teilen der Erdoberfläche), dient zur Richtungsbestimmung der Kompaß (Taschen- oder Stockkompaß) zur Entfernungsbestimmung die Marschzeit, schon in § 23 S. 90 die Rede gewesen ist. Es handelt sich dann um Einschaltung von Kompaßzügen nach der Marschzeit zwischen gegebenen Punkten (astronomisch bestimmten, oder in der Karte sonst gegebenen oder auch Dreieckspunkten), wozu zu verweisen ist auf § 183—184, und für die Ermittlung der Längenreduktion eines Zuges auf § 103 S. 447. Derartige Züge werden oft auf weite Entfernungen gelegt (mehrere Tagereisen). Die Höhenmessung erfolgt bei solchen Routenaufnahmen stets barometrisch; zur gelegentlichen Bestimmung von Seitenpunkten kann ein Freihandhöhenmesser (§ 186) dienen.

Für Aufnahmen, welche eine etwas größere Genauigkeit haben, aber immerhin schnell und mit einfachen Hilfsmitteln (Reiseinstrumenten) ausgeführt werden sollen,

dient eine generelle Taehymetrie, ev. auf Grund einer ebenfalls generellen Triangulierung (Basismessung mit Meßlatten oder Meßband).

Eine ausführlichere Darstellung der Methoden flüchtiger Aufnahmen hat der Verfasser gegeben in dem Werke : „Anleitung zu. wissenschaftlichen Beobachtungen auf Reisen“, herausgegeben von G. Neumayer, zweite Auflage, Berlin 1888 S. 41—113 (in dritter Auflage, Hannover 1906 Bd. 1 S. 74—164 bearbeitet von Peter Vogel).

§ 190. Literatur über Taehymetrie.

Zur Ergänzung der schon in den einzelnen Paragraphen dieses Kapitels angeführten Zitate (teilweise auch mit Wiederholung) geben wir das Wesentliche zur Geschichte und Literatur, wobei jedoch zu bemerken ist, daß die tachymetrischen Tabellenwerke schon für sich § 181 S. 766 angegeben sind. 1680. La livella diottrica del dottore G. Montanari, Venezia. Erste Erfindung des optischen Fadendistanzmessers mit konstanter Lattengröße und Fadenskale.

1778. Description and Use of an Improved Reflecting und Reffacting Telescope and Scales for Sur-veying, by WTlliam Green, London 1778. Optischer Fadendistanzmesser mit konstantem Fadenabstand und veränderlicher Lattengröfie (vgl. hierzu besonders das Zitat James Watt betreffend, § 169 S. 702).

1813.

1S22.

Einführung des Fadendistanzmessers in Bayern, nach Mitteilung von Steppes, „Zeitsehr, des Hannov. Ingen.- u. Arch.-Vereins 1884“ S. 456. Im Mai 1813 liefert Uhrmacher und Mechaniker Benedict Liebherr in Landshut sechs Distanzmesser, auch werden sechs Distanzmesser geliefert von Joseph Liebherr, Mechaniker in München, welcher mit Reichenbach und Utz-schneider 1804 die „mathematische Werkstätte“ gegründet hatte.

.Mémorial du dépôt général de la guerre, imprimé par ordre du ministre; tome IV, année 1826. Paris 1828“, pag. 70—77 und planche 2. Rapport sur la stadia: L’idée de mesurer les distances au moyen d’un micromètre n’est pas nouvelle. Ce moyen aurait sans doute depuis longtemps, remplacé la chaîne, si jusqu’à ce jour un mode simple et économique d’application du principe n’eut manqué. Un ingénieur italien (Negretti) en a trouvé un, il y a quelques années. Son procédé consiste à viser sous un angle constant, une mire graduée.

Auf Seite 457 daselbst wird die Reduktion l cos² n für die lotrecht stehende

Fig. 1.

30"

20°

O'O

10⁰

A 30°

Fig. 2.

d*

—JŚ-//

>7

/Jj

Latte erläutert, und ein Täfelchen der Werte 100 co.s² ci mitgeteilt. Auch wird nebenstehendes Diagramm (Fig. 1) beigegeben :

B C= A B cos a. , B C= A B' , B' C — AB’ cos ce , B' C = A B cos² a .

Die Reduktion cos² a = cos a x cos a soll also durch zweimalige graphische Projektion gewonnen werden.

1832. Der Distanzmesser nach seiner Theorie und Einrichtung, sowie die Anwendung desselben in der Topographie. Karlsruhe, Druck und Verlag von Chr. Th. Groß.

1850. Decher. Über den Reichenbachschen Distanzmesser. Dinglers polyt. Journ. 1850, Bd. 116 S. 29—51.

Die Latte hat ungleichförmige Teilung nach der Gleichung (vgl. Fig. 2) :

tana a

= (</₂ — 0,2)-— .

¹    ’ CO«² <P

Die horizontale Entfernung ist:

« re

■B

d = —^7, cos (<5-[9> + W.

COS W

X.

1853. Steinheil. Dinglers polytechnisches Journal 1853, Bd. 129 S. 408-413 (l cos «).

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Die Lattenteilung ist gleichförmig, die Reduktion entspricht Fig. 3 mit folgenden Gleichungen :

e — d k h , e₀ = e cos² e 21 — h

ÇJdjL.

Fig. 3.

sin 2 S —

e' — e cos² ß cos (a> ± f) .

1865. Moinot. Lever de plans à la stadia. Notes pratiques pour études de tracés, par Moinot, Ingénieur civil chargé des études du réseau central de la compagnie d’Orléans. Perigueux, 1865.

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~~Ä

11,

■K

fl

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1895—1902. Über die neueren selbstreduzierenden Tachymeter, mehrere italienische Erfindungen, das neueste Instrument von Hammer-Fennel. Pullers Schiebetachymeter mit lotrechter Latte, ist mit Literaturangaben berichtet in § 182 S. 771—772.

Der Literaturparagraph der vierten Auflage, § 198, hatte einige Angaben, worauf hier ver

wiesen wird.

Von den allgemeinen Literaturberichten der „Zeitschr. f. Yerm.“ ist hier anzuführen:

Kapitel XY.

Meßtischaufnahme.

§ 191. Meßtisch und Kippregel.

Der Meßtisch dient zur unmittelbaren Übertragung von Winkeln von der Natur auf eine Zeichnungsebene.

Zu der Aufnahme mit dem Meßtisch sind zwei getrennte Instrumente erforderlich, der eigentliche Meßtisch, und der Meßtischaufsatz oder die Kippregel. Zur Horizontalstellung des Tischblattes dient eine Libelle, gewöhnlich eine Dosenlibelle von geringer Empfindlichkeit (1' — 2').

In Fig. 1 und 2 S. 810 haben wir einen Meßtisch und eine Kippregel dargestellt.

Der Meßtisch (Fig. 1) ist von einer Mitteilung von Fennel in der „Zeitschr. f. Venu. 1878“ S. 59. Das hier gezeichnete Instrument zeigt das hölzerne Stativ, dann das theodolitartig gebaute messingene Zwischengestell und die hölzerne Tischplatte, welche horizontal gestellt, und grob und fein gedreht werden kann.

Eine Besonderheit ist noch vorhanden in den beiden unter dem Tisch angebrachten Köllen, welche zur Aufnahme von Zeichenpapier dienen.

Fig. 1. (Maßstab etwa 1 : 7, d. h, -V₇ der Kippregel Fig. 2.)    ____

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Wk

ha»

■Üw,

egg;

Üü

Die in Fig. 2 dargestellte Kippregel wurde mit Benützung der Bestandteile eines Ertelschen Instrumentes nach Angabe des Verfassers von Mechaniker Siekier in Karlsruhe konstruiert. Die auf dem Lineal A A stehende Säule trägt die horizontale Achse des mit Fadendistanzmesser versehenen Fernrohrs FF. Mit dem Fernrohr ist

Fig. 2. (Mafsstab etwa 1 : 5, Fernrohrlänge = 50 cm.)

Bmi

jf ns§§.

d? m

L'

ein Höhengradbogen verbunden, welcher der auf- und niedergehenden Bewegung des Fernrohrs folgt, und dessen Teilung an dem Nonius N abgelesen werden kann. Zum feinen Einstellen des Fernrohrs im Sinne der Höhe dient die Schraube S.

Die zur Höhenwinkelmessung dienende Libelle L (mit Berichtigungsschraube links) ist fest verbunden mit dem Nonius N, und zwar vermittels des Rahmens R und mittels der Schraube S' ein wenig drehbar. Wenn das Fernrohr auf einen Zielpunkt eingestellt ist, so wird vor dem Ablesen des Höhenwinkels durch die Schraube S' die Libelle L zum Einspielen gebracht, und man wird nun durch eine Ablesung den richtigen Höhenwinkel erhalten, vorausgesetzt, daß kein Indexfehler vorhanden ist; jedenfalls aber bekommt man auf diese Weise die Höhenwinkel unabhängig von der Horizontalstellung des Tisches, auf welche man sich für Höhenmessungen niemals verlassen darf.

Eine zweite Libelle L' ist unten quer zur Fernrohrrichtung angebracht; sie dient dazu, daß auch die Horizontalachse des Fernrohrs unabhängig von der jeweiligen Tischneigung stets horizontal erhalten werden kann, was mit der Schraube S" erreicht wird.

An Richtevorrichtungen hat die Kippregel Schrauben an der Höhenlibelle L, an der unteren Querlibelle L', wodurch diese Libelle parallel der horizontalen Fernrohrachse gestellt werden kann; auch die Schraube S" kann als eine Art von Korrektionsschraube betrachtet werden, denn es soll damit die Achse der Libelle JA parallel der Linealebene und Tischebene gestellt werden, doch wird diese Schraube S" auch selbständig gehandhabt, um unabhängig von der Tischebene die Libellenachse U und die ihr parallele Drehachse des Fernrohrs genau horizontal zu machen.

(Streng genommen ist ferner nötig eine Korrektionsvorrichtung am Okular des Fernrohrs zur Richtigstellung des Fadenkreuzes; da aber dieser Umstand bei einer Meßtischaufnahme von wenig Belang ist, so wurde im vorliegenden Falle auf Faden-kreuzriehteschrauben verzichtet.)

Für den Meßtischuntersatz Fig. 1 S. 809 hat man verschiedene Konstruktionen; es

sei hier nur erwähnt die ältere von Reichenbach und die neuere von Ertel in München, sowie der Normalmeßtisch der preußischen Landesaufnahme von Breithaupt in Cassel. (Vgl. Vorschrift für die topographische Abteilung der Landesaufnahme, Berlin 1898.)

Ebenso hat man für die Kippregel verschiedene Anordnung der einzelnen Teile, z. B. statt des Höhenbogens in Fig. 2 S. 810 einen Höhenvollkreis oder einen Höhendoppelbogen, und neben der Höhenkreislibelie noch eine Nivellierlibelle auf dem Fernrohr (beides wie am Instrument Fig. 4 S. 724 § 174), außerdem auf dem Lineal noch einen Richtkompaß und zum Einträgen der Entfernungen einen Transversalmaßstab. Alle diese Zugaben hat die Normalkippregel der preußischen Landesaufnahme von Breithaupt (vgl. obengenannte Vorschrift). Zur Erleichterung des Anlegens an die Tischpunkte wird die Kippregel auch wohl noch mit einem Parallellineal versehen.

Der einfachste Ersatz der Kippregel ist das Diopterlineal, ein einfaches, mit rechtwinklig zur Linealfläche stehenden Absehen ausgerüstetes Lineal. Dies wird auf leichten Meßtischen bei flüchtigen Aufnahmen § 189 gelegentlich verwendet,

Prüfung und Berichtigung der Kippregel.

Die Prüfung und Berichtigung der Kippregel für Horizontalmessungen erstreckt sich nur auf folgende zwei Fragen :

1.    ob die Zielachse rechtwinklig zur horizontalen Achse ist;

2.    oh die horizontale Achse parallel der Tischebene ist, oder ob die horizontale Achse horizontal ist, vorausgesetzt, daß die Tischebene genau horizontal ist.

Die Untersuchung 1 geschieht ebenso wie beim Theodolit (§ 59 S. 242) und verlangt Durchschlagen oder Umlegen des Fernrohrs. Bei manchen Ivippregeln läßt sich das Fernrohr zwar nicht unmittelbar, jedoch wenigstens mittels Lösung der Achsenverbindung oder sonstwie ausnahmsweise durchschlagen.

Zur Untersuchung der Frage 2, ob die horizontale Achse parallel ebene ist, verfährt man wie bei dem Theodolit § 59 S. 245—246, a), b) oder c), den Tisch selbst mit der Dosenlibelle horizontal gestellt hat.

der Tisch-

nachdem man zuvor

Die Libelle L' von Fig. 2 S. 810 ist dabei nicht erforderlich, sondern die Schraube S ;

die Berichtigung ausgeführt hat, so stellt man nachträglich die Li-entbehrt werden kann) mit ihren eigenen

und wenn man

belle L’ (welche selbst streng genommen Korrektionsschrauben horizontal.

Damit ist die Prüfung und Berichtigung der Kippregel für Horizontalmessungen

müsse die Zielachse des Fernrohrs sich

erledigt; es ist aber oft behauptet worden, es in die Linealkante, oder wenigstens in eine hiermit parallele Gerade genau projizieren.

ein kleiner Winkel zwischen der Fernrohrprojektion und

um diesen

Dieses ist überflüssig, denn

der Linealkante hat nur zur Folge, daß die Zeichnung bei orientiertem Tisch

verdreht ist; das ist aber für die später von dem etwa eine Meßtischaufnahme

kleinen Winkel gegen die Natur Tisch abgenommene Zeichnung gleichgültig, und mit zwei Kippregeln nacheinander durchgeführt werden sollte, so müßte natürlich der Tisch mit einer neuen Kippregel auch neu orientiert werden. Es genügt, das Fernrohi dem Lineal parallel zu stellen, als man es von freiem Auge beurteilen kann. Berichtigung der Kippregel in bezug auf die Höhenwinkelmessung betrifft, so gilt hier alles, was für den Theodolit mit Höhenkreis in § «3 S 569 gesagt worden ist. Wenn man an einer Kippregel die besondere beweg .ehe Libelle L mit der zugehörigen Schraube 6". so wie in Fig. 2 S. 810, nicht hat, so ist de.

so genau

Was die

wenn

jeweiligen Libelle entsprechend zu verfahren, wie § 133 S. 570 angegeben ist. Jedenfalls darf man sich auf die Horizontalstellung des Tisches unter keinen Umständen für die Höhenwinkelmessung verlassen, sondern man muß eine besondere Libelle in irgend welcher Anordnung hierfür haben. Wenn eine Libelle mit dem Fernrohr fest verbunden ist, so wird die Libellenachse der Zielachse des Fernrohrs parallel gestellt durch die Nivellierprobe § 114 S. 492—493; dann muß jeder Höhenwinkel bestimmt werden durch zwei Ablesungen am Kreisbogen, von denen die eine nach Einstellen des Fernrohrs auf den Zielpunkt, und die andere bei einspielender Libelle gemacht wird. Die Differenz beider Ablesungen gibt den Höhenwinkel.

§ 192. Anwendung des Meßtisches.

Der Meßtisch heißt orientiert, wenn er so aufgestellt ist, daß ein Punkt der Zeichenebene, welcher das Abbild eines Feldpunktes sein soll, vertikal über letzterem liegt, und daß eine (durch jenen Punkt gehende) Gerade der Zeichenebene parallel einer entsprechenden Geraden des Feldes ist (abgesehen von einem kleinen Winkel zwischen der Linealkante und der Horizontalprojektion der Fernrohrachse). Die Orientierung des Tisches wird auf Grund einer ersten Schätzung (mit Benützung des Kompasses) durch Versuche erreicht; es ist hierbei sehr bequem, wenn das Tischblatt auf dem Stativkopf ein wenig verschoben werden kann, damit die letzte feine Zentrierung genau und rasch geschehen kann.

Nachdem der Tisch orientiert ist, betrachten wir das Einschneiden. Man versteht darunter die Aufgabe, die Kippregel so zu stellen, daß die Linealkante durch einen bestimmten Punkt des Tisches geht, und daß der einzuschneidende Punkt (Zielpunkt oder Standpunkt) am Fadenkreuz des Fernrohrs erscheint; ferner Ziehen einer Linie längs der so gestellten Linealkante. Das Einschneiden wird erreicht durch ab-. Avechselndes Drehen (beim Schauen ins Fernrohr) und Parallelverschieben des Lineals (beim Schauen auf den Tisch).

Verschiedene Aufnahmeverfahren.

1.    Aufnahme durch Strahlen. Es werden von einem Standpunkt aus Punkte eingeschnitten, und deren gemessene Entfernungen auf den Schnittlinien eingetragen. Dieses Verfahren wird namentlich dann angewendet, wenn das Kippregelfernrohr zum Distanzmessen eingerichtet ist, und man nennt es dann Meßtischtachymetrie.

2.    Die Aufnahme eines Polygonzuges wird ebenso wie mit dem Theodolit ausgeführt, sie ist aber wegen der verhältnismäßig bedeutenden Arbeit der Orientierung des Tisches sehr unbequem und zeitraubend.

Wird dabei aber zur Orientierung der Kompaß benützt, indem das Lineal mit dem Richtkompaß an eine auf dem Tische aufgetragene Richtlinie (Nordlinie) angelegt und durch Drehen des Tisches die Nadel zum Einspielen gebracht wird, so hat man mit Benützung des Distanzmessers, ähnlich wie in § 184 S. 784 angegeben, einen Kompaßzug, bei dem man dann auch nach Sprungständen (vgl. § 184 S. 784) aufstellen kann. Dies Verfahren wird in der „Vorschrift für die topographische Abteilung der Landesaufnahme“, Berlin 1898, als Lattenüberschlag bezeichnet.

3. Vorwärtseinschneiden (Fig. 1) auf Grund der unmittelbar gemessenen oder auf anderem Wege erhaltenen Basis A B.

Fig. 1.

Vorwärtseinschneiden.

Fig. 2.

Seitwärtseinschneiden.

Fig. 3.

Rückwärtseinschneiden.

Ah

bd

6—

öd

4. Seitwärtseinsehneiden (Fig. 2) mit vorläufiger Orientierung m P.

Seitwärtseinschneiden ist im allgemeinen günstiger als 'Vorwärtseinschneiden; es ist nämlich innerhalb des um A mit dem Halbmesser A B gezogenen Kreises Vorwärtseinschneiden günstiger, außerhalb des Kreises ist Seitwärtseinschneiden günstiger. (Die dazugehörige Entwicklung, welche für den praktischen Meßtischtopographen ohne Wert ist, aber eine ansprechende theoretische Untersuchung bietet, ist enthalten in unserem I. Bande, 3. Aufl. 1888 S. 308.)

Rückwärtseinschneiden (Fig. 3). Die drei Punkte A B C sind auf dem Tisch vierter Punkt P, über welchem der Tisch aufgestellt wird,

5.

gezeichnet ; es soll ein ebenfalls auf den Tisch gebracht werden. Es gibt verschiedene Arten der Auflösung

dieser Aufgabe, von denen wir die wichtigsten hier vorführen.

Es wird auf dem Tisch ein Stück Pauspapier ausgebreitet und befestigt, einem Punkt des Tisches, welcher in der Vertikalen des zu bestim-

5 a.

dann werden von

inenden Feldpunktes liegt, nach läufiger Zentrierung die drei gegebenen Punkte eingeschnitten. Nachdem das Pauspapier gelöst ist, verschiebt

auf dem Tisch, daß die drei auf

vor-

man

es so

ihm gezogenen Strahlen durch die Abbilder der gegebenen Punkte gehen, worauf der gesuchte Punkt aut den Tisch durchgestochen wird.

Weise können auch mehr als drei ge-

In dieser

gebene Punkte benützt werden.

5 b. Standpeiler (Fig. 4 und 5). Um einen Punkt auf die Karte zu

Fig. 4.

bringen, welcher durch Winkelmessung

gegen drei gegebene Punkte festgelegt ist,    .

Falle die Winkel mit dem Sextanten messen, eines einfachen Werkzeuges, welches drei Arme unter beliebigen Winkeln gegenseitig zu stellen gestattet. Zu Land bei Meßein solches Werkzeug auch anwenden. Man kann auch

dieselben, wenn sie nicht

bedienen sich die Seeleute, welche in solchem

tischaufn ahmen kann man

mehr als drei Strahlen gleichzeitig verwerten, indem

passen wollen, wenigstens möglichst anliegend macht und dann den Scheitelpunkt

durchsticht („Zeitschr. f. Venn. 1887“ S. 470).

man

alle

In Fig. 5 (von Mechaniker Sprenger in Berlin) ist diejenige Form des Standpeilinstrumentes dargestellt, welche hei der deutschen Marine im Gebrauch ist.

Fig. 5.

Itj Ifgjrgjj

5 c. Fehlerzeigende Dreiecke beim Bückwärtseinschneiden. Nachdem der Tisch vorläufig durch Schätzung oder mit Hilfe eines Kompasses orientiert worden ist, schneidet man die drei gegebenen Punkte so ein, daß die Linealkante durch die Bilder der Punkte geht. War die Orientierung nicht richtig, so erhält man ein fehlerzeigendes Dreieck abc (Fig. 6). Nachdem der Tisch ein wenig gedreht worden ist, wird man ein zweites fehlerzeigendes Dreieck a' V ć (Fig. 6) erhalten, und die drei Verbindungslinien der einander entsprechenden Punkte aa' ,bb', cc' beider fehlerzeigender Dreiecke werden sich in einem Punkte p schneiden, welcher als gesuchter Punkt genommen wird.

Am besten ist es, wenn die fehlerzeigenden Dreiecke ineinander liegen wie in Fig. 7 ; doch hängt das von der Lage der Punkte in der Natur ab (vgl. den nachfolgenden Leh-mannschen Satz). Hat man diesen Fall Fig. 7 nicht, so kann man es wenigstens immer dahin bringen, daß die fehlerzeigenden Dreiecke den gesuchten Punkt p zwischen sich fassen, wie in Fig. 6. Dagegen ist Fig. 8 zu vermeiden, nötigenfalls durch Anstellen eines weiteren Versuchs.

Hierzu gehört der Lehmannsche Satz : Der gesuchte Punkt p liegt innerhalb oder außerhalb des fehlerzeigenden Dreiecks, je nachdem der zu bestimmende Punkt P innerhalb oder außerhalb des Dreiecks ABC der gegebenen Punkte liegt.

Bei Aufsuchung der entsprechenden Punkte der fehlerzeigenden Dreiecke hat man zu beachten, daß je zwei entsprechende Punkte der fehlerzeigenden Dreiecke und zwei gegebene Punkte auf einem Kreise liegen.

Fig. 6.

OL'

<<•*

" if.

Fig. 7.

Besonderer Fall des fehlerzeigenden Dreiecks (Fig. 9 und 10). Wenn der zu bestimmende Punkt mit zweien der gegebenen Punkte in einer Geraden liegt (Fig. 9), so erhält man kein eigentliches fehlerzeigendes Dreieck, sondern zwei (nahezu) parallele Gerade, welche von einer dritten Geraden geschnitten Averden. Das Ergebnis zAveier Versuche und die Art der Verbindung der erhaltenen Schnittpunkte zeigt Fig. 10.

Fig. 8.

y:

a‘

Statt dreier Schnittlinien erhält man in Fig. 10 nur deren zAArei a a’ und cc', weil die Schnittpunkte b und b' (Avelche in A und C liegen) nicht verwendbar sind.

Fig. 10.

Fig. 9.

'C'

-o

Auch Avenu P nur nahezu auf der Geraden A C liegt, hat man es in der Praxis mit dem beschriebenen Falle (Fig. 9) zu tun.

6.    Die Aufgabe der ZAvei unzugänglichen Punkte (vgl. die früheren Figuren § 86 S. 369—374). Wenn in Fig. 1 S. 369 P und Q zwei unzugängliche Punkte, z. B. Kirchtürme, sind, die auf dem Tisch in p und q dargestellt sind, Avährend man sich auf den Punkten A und B aufstellen kann, so nimmt man nach Schätzung, oder auch ganz beliebig, ZAvei Tischpunkte o! und b' für A und B an, und bestimmt darüber als Basis ein Viereck a'b'p' q' durch Vorwärtseinschneiden, Avelches dem Naturviereck AB PQ ähnlich ist und daher auch dem noch unbekannten Tischviereck abpq ähnlich sein muß. Man kann daher das Tischviereck abpq durch Anträgen der Winkel von p’ und q' an p und q bestimmen. Die Winkelübertragung geschieht mit Pauspapier, dem geAvöhnlichen Zirkel, oder sonstigen graphischen Hilfsmitteln.

Fig. 11.

7.    Rückwärtseinschneiden mit Messung einer Entfernung (Fig. 11). Die zwei Punkte A und B sind auf dem Tisch gezeichnet, der Punkt P soll bestimmt werden durch Messen der A Entfernung B P und RückAvärtseinschneiden über A und B.

dungslinie beider Schnittpunkte und nimmt den richtigen Punkt da Kreisbogen trifft. Den Kreisbogen selbst zu ziehen ist nicht durchaus nötig.

Bei kleiner Entfernung P B, welche unmittelbares Messen mit Meßlatten gestattet, kommt diese Aufgabe vor. Man löst sie mittelbar durch vorläufige Orientierung, Beschreiben eines Kreisbogens um B und Rückwärtseinschneiden. Fällt der Schnitt der Strahlen AP und BP nicht auf den Kreisbogen, so wird die Orientierung entsprechend verbessert. Fällt ein zweiter Schnitt wieder nicht auf den Kreisbogen, so zieht pan die Verbinan. aa’o sie den

§ 193. Allgemeine Betrachtung der Meßtischaufnahmen.

Der Meßtisch wird häufig als Erfindung des Professors Prätorius zu Altdorf (1537—1616) bezeichnet (vgl. „Mensula Praetoriana“ von Schmidt, „Zeitschr. f. Venn. 1893" S. 265); auch in einer Beschreibung der altwürttembergischen Forstvermessung von 1680 von Regelmann, „Zeitschr. f. Venn. 1893“ S. 13, wird das „Nürnberger geometrische Tischlein“ oder „Meßtischlein Praetorii“ erwähnt. Indessen wird von einer „Erfindung“ des Meßtisches im gewöhnlichen Sinne, sei es durch Prätorius oder einen anderen, nicht die Rede sein können.

Ein anderer süddeutscher Geodät, der Württemberger Schickhardt (1529—1635), erwähnt das

Prinzip des Meßtisches als etwas sozusagen Selbstverständliches mit diesen Worten („Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 534):

„Wer im raisen die Scheibe (geteilte Gradscheibe) nit bey sich hätt, oder sonsten übereilt, den Compaß nit brauchen möchte, der köndte dannoeh im Notfall, ohn all Instrumente, zu diesem Vorhaben, solchergestalt gelangen : er heffte nur ein Papir a uff ein Brettlin oder Teller, und stell es unbeweglich nider, stecke darnach ein paar Nadeln auff ein Lineal, zihle damit auff die Thürne, und reiße dero Linien alle auß eim Puncten.“ — Das hier mit den naivsten Worten beschriebene Meßtisehprinzip ist vielleicht über zwei Jahrtausende alt ; sollten nicht die Euklidischen Sätze von der Ähnlichkeit der Dreiecke auf dem Wege meßtischartiger Planzeichnung entstanden sein ? —

Nach diesem Rückblick auf alte Zeiten haben wir über den Meßtisch zu berichten, daß dieses Werkzeug im letzten Jahrhundert die Blütezeit seiner Anwendung durchge-maeht hat. Pür die Kartographie brachte die Ausbreitung der Meßtischaufnahme einen wesentlichen Fortschritt, indem sie den Übergang zu den zusammenhängenden, systematischen Landesaufnahmen, welche mit Beginn des 19. Jahrhunderts in Angriff genommen wurden, erleichterte. So war der Meßtisch in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts besonders in Deutschland und Österreich das Hauptinstrument sowohl für die Katastervermessungen wie für die topographischen Aufnahmen, und ist es für die letzteren noch heute.

Die bedeutendste ältere Meßtischleistung .wird wohl die sächsische topographische Landesaufnahme sein, zu welcher die zwei Werke von Lehmann gehören: „Darstellung einer Theorie der Bergzeichnung der schiefen Flächen im Grundriß oder der Situationszeichnung der Berge. Leipzig 1799“, und „Die Lehre der Situationszeichnung oder Anweisung zum richtigen Erkennen und Abbilden der Erdoberfläche usw. von Jdh. G. Lehmann, k. sächs. Major, Adjoint des Generalstabes“, herausgegeben von Fischer, Dresden 1820.

Ein bedeutendes Meßtischwerk ist ferner die bayerische Katastervermessung im Maßstab 1 : 5000, etwa von 1808—1837, wobei der Meßtisch in Verbindung mit dem Distanzmesser angewendet wurde.

Daran schloß sich auch die Wlirttembergische Landesvermessung 1818—1840, mit Meßtischblättern (Flurkarten) in 1:2500 ausgeführt, wobei aber nur das Gerippe einzelner Strahlenschnitte wirkliche Meßtischarbeit, alles übrige aber Linien und Kreuzscheibenmessung war (Württembergische Parallelenmethode § 25 S. 97).

Von da an ist die Bedeutung des Meßtisches als Katastermessungsinstrument stetig zurückgegangen ; am längsten hat sich der Meßtisch in Sachsen so erhalten. Für die Zukunft ist seine Anwendung bei Neuaufnahmen ausgeschlossen.

Dagegen findet der Meßtisch bis in die neueste Zeit noch umfangreiche Anwendung bei den topographischen Landesaufnahmen im Maßstab 1:25 000 in Baden, Sachsen und Preußen. Namentlich bei der topographischen Aufnahme in Preußen ist die topographische Meßtischaufnahme sehr ausgebildet worden, wobei aber für den

Grundriß in ausgedehnter Weise Reduktionen der Kataster-, Zusammenlegungs-, Forst-und Stadtaufnalnnen Verwendung finden, welche im Anschluß an die festen Punkte der Meßtischaufnahme in diese eingepaßt werden.

Auch hei der neuerdings in Angriff genommenen topographischen Aufnahme in Braunschweig im Maßstab 1 : 10 000 hat man sich für die Anwendung des Meßtisches entschieden, vgl. Koppe, Die neue topographische Landeskarte des Herzogtums Braunschweig, „Zeitschr. f. Venn. 1902“ S. 397—424. Ebenso ist die topographische Meßtischaufnahme an anderen Orten, z. B. bei neueren derartigen Arbeiten in Hessen, zur Anwendung gekommen, und auch hei Ausführung von technischen Vorarbeiten für Eisenhahnhau usw. (§ 201) in größeren Maßstäben, 1: 5000, 1:2500 usw., wird oftmals, besonders im Hochgebirge, Meßtischtachymetrie statt Theodolittachymetrie (§ 174)

angewendet.

neuere

Für diese Meßtischtachymetrie mit größeren Maßstäben sind besonders eingerichtete Instrumente der Tachygraphometer von Wagner-Fennel, „Zeitschr. f. Verm. 1878“ S. 57—77. Der Projektionsapparat entspricht dem des in § 174 Fig. 7 S. 729 angegebenen Tachymeters und ist an der Kippregel angebracht (dabei können auch die Entfernungen direkt auf den Plan übertragen werden). Diesen Zweck erfüllt auch die Anordnung dieses Schiehetachymeters von Puller-Breithaupt mit lotrechter Latte § 182 S. 768. Auch das § 174 S. 731 behandelte Instrument von Hammer-Fennel. das von Ziegler-Hager § 170 S. 705 und andere Anordnungen lassen sich mit der Kippregel verbinden.

an

Das Verfahren dieser topographischen oder tachymetrischen Meßtischaufnahmen (Meßtischtopographie, Meßtischtachymetrie) entspricht nach Anordnung und Zusammenhang den in § 187 S. 792 behandelten tachymetrischen Aufnahmen. Die Grundlage bildet wie dort eine Triangulierung, und zwar nach Lage und Höhe. Im Anschluß die auf dem Meßtischblatt gegebenen Koordinaten der Dreieckspunkte werden neue Standpunkte durch graphisches Rückwärtseinschneiden uud die anderen § 192 angegebenen Methoden gewonnen, und die Höhen der Standpunkte durch trigonometrische (§ 136) oder tachymetrische Höhenmessung oder auch durch Nivellierung erhalten. Die weitere Aufnahme entspricht ebenfalls dem in § 187 S. 792 erläuterten tachymetrischen Verfahren mit unmittelbarer Auftragung des Gemessenen im Gelände.

Diese unmittelbare Aufzeichnung in Anschauung der Natur ist ein Vorteil der Meßtischaufnahme, welcher besonders hervortritt hei topographischen Aufnahmen in kleinen Maßstäben, hei denen, gestützt auf wenige gut ausgewählte Messungspunkte, die Geländeformen zur Darstellung gebracht werden, vgl. §187 und 188.    (S. auch

Koppe, „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S 404—424, Wilski, 1897 S. 360—362.)^

Der Meßtisch hat bei den Katasteraufnahmen dem Theodolit das Feld räumen müssen. Wenn man das langsame, aber stetige Verdrängen des Meßtisches in der Vergangenheit betrachtet, kann man auch für die Zukunft auf noch erheblich weitere Beschränkung der Meßtischaufnahmen — auch für Topographie — schließen. Die beste Unterlage für den Grundriß topographischer Aufnahmen jeden Maßstabs gibt eine exakte Spezialvermessung, wie sie die modernen Katastervermessungen darbieten. So lange diese aber nicht allenthalben zur Verfügung stehen (wie z. B. m V urttem-berg vgl Kap. XVIII § 216), wird die topographische Meßtischaufnahme ihre Be-deutung&hehalten. Besonders im Hochgebirge wird für Topographie noch lange der Meßtisch beibehalten werden, und nur etwa durch Photogrammetrie zu ersetzen sein (vgl. unser nächstes Kap. XVI).

Kapitel XVI.

Photogrammetrie.

§ 194. Grundbegriffe.

Die genauen perspektivischen Bilder, welche durch die Photographie geliefert werden, haben bald nach der Erfindung der Photographie selbst den Gedanken geometrischer Konstruktion aus je zwei Photographien hervorgerufen.

Im Sinne der Triangulierung (§ 74, 79, 81) ist ein Punkt bestimmt, wenn sich in ihm zwei geodätisch orientierte ßichtungen schneiden. Wir denken uns dementsprechend auf zwei Standpunkten je ein ebenes, winkeltreues, perspektivisches Bild in orientierter Lage, d. h. so, daß alle Sehsfcrahlen von den beiden Augpunkten nach den Objektpunkten im Raum die Bildebenen in den richtigen Bildpunkten treffen. Dann sind also die die beiden Bilder erzeugenden Strahlenbündel geodätisch orientiert und der Schnitt der beiden Bildstrahlen, welche zu einem und demselben Objektpunkt gehören, gibt eine Bestimmung desselben; hierbei entsteht eine Probe insofern, daß die beiden Sehstrahlen sich im Raume schneiden müssen, oder im Vergleich zum Vorwärtseinschneiden bei der Triangulierung, daß neben der einfachen Lagebestimmung eine zweifache Höhenbestimmung, je eine aus jedem Strahl, sich ergibt.

Fig. l.

V'

■X

Pi

Wir betrachten zuerst ein einzelnes perspektivisches Bild mit vertikaler Bildebene. In Fig. 1 sei H'HV' V diese Bildebene, 0 sei der Augpunkt im Raum und A dessen Projektion auf die Bildebene. Der Punkt A, welcher in dem Horizonte HR' der Bildebene liegt, heißt Hauptpunkt.

Ferner ist 04 = r der Aug-abstand, oder die Bildweite, rechtwinklig zur Bildebene gemessen.

N¹

Wenn nun P irgend ein Bildpunkt ist mit dem Sehstrahl 0 P, und P₁ die Projektion von P auf den Horizont, so haben wir mit APx—x und 1\ P = y die rechtwinkligen Koordinaten von P in der Bildebene, bezogen auf den Hauptpunkt A, und außerdem betrachten wir den Richtungswinkel AO P₁ — a> zwischen 0 P₁ und der Normalen 0 A. nebst dem Höhenwinkel PlOP = rj.

Damit erhält man die folgenden Gleichungen:

x — r tang oo, und für den Richtungswinkel tang co =

« V.

T    .    y

tana T, und für den Höhen winkel tang 7] = — cos co v 1    r

cos oo.

--S    .-s

cf er

Diese zwei Gleichungen enthalten das ganze Gesetz der perspektivischen ebenen Abbildung bei vertikaler Bildplatte; sie zeigen, wie aus den rechtwinkligen Bildkoordinaten xy die Richtungswinkel co und Höhenwinkel t] bei gegebener Bildweite gefunden werden können. Durch die bei der photographischen Abbildung sich ergebende Bildumkehrung werden die in (1) und (2) ausgedrückten Bildkoordinaten, die Winkel und ihre Ableitung nicht geändert.

Auch das Maßstabverhältnis der Abbildung kann an jeder Stelle und nach jeder Richtung bestimmt werden. Wir verstehen unter Maßstabverhältnis v das Verhältnis einer kleinen linearen Punktverschiebung d s auf dem Bilde zu der entsprechenden Winkelveränderung d tu für den Halbmesser 1, d. h. es ist allgemein v = d s : d tv, und insbesondere im Horizont :

(3)

Vl d ö    cos² ©

Wenn also ein Bild 45° des Horizontes faßt, so wird an den Rändern © = 22° 30', und für r — 1 gibt dieses : in der Mitte mit co = 0 , v₀ = 1,000 ; an den Rändern mit © = 22° 30' , vi = 1,172, d. h. im Horizont ist seitlich am Rande der Maßstab um 17 »/„ größer als in der Mitte.

Ebenso kann man auch den Höhenmaßstab bilden :

d y

t2 ~~

COS © COS² 1\

(4)

Rechnet man nach (1) und (2) für bestimmte runde Werte von oo und rj die Bildkoordinaten x, y, so kann man danach auf dem Bild ein Netz der Azimutal- und Höhenlinien auftragen. Dieses Netz entspricht dann dem der zentralen (sog. gno-monischen) Abbildung der Kugel mit dem Hauptpunkt im Äquator, wofür dieselben Beziehungen wie (1) und (2) gelten; es können daher mit Hilfe eines solchen Netzes der Azimutal- und Höhenlinien für jeden Bildpunkt unmittelbar die Azimute co und Höhenwinkel J] entnommen werden, ähnlich wie geographische Länge und Breite einer geographischen Karte.

Ist die Bildplatte nicht vertikal, sondern hat sie eine bestimmte Neigung, so ergeben sich die Beziehungen zwischen den auf den Hauptpunkt bezogenen Bildkoordinaten x y und den Azimuten und Höhenwinkeln © bzw. r] ebenso wie bei der zentralen Projektion der Kugel auf eine Tangentialebene bei beliebiger Lage des Hauptpunktes, wie Jordan „Zeitschr. f. Architektur und Ingenieurwesen, Hannover 1898“ (Bd III Nr 5) S 346—349 gezeigt hat. Mit Verweis auf die dort gegebene Ab-nach (10), (11) und (12), (13) a. a. O. die Endformeln ge-

sin oo

~r ~~ cos oo cos cp -t- tang rfsin cp cos oo,

leitung sollen hier

geben werden:

nur

y tg î] cos (p — sin <p cos co T ~ cos o) cos cp -h tg rj sin cp

tang oo =

tang rj =

r sin qp -+- y cos cp r cos cp — y sin cp

aus

(5)

(6)

worin cp die Neigung (O A Fig. 1) bedeutet.

Hiernach können aus

r cos cp — y sin cp der Bildebene bzw. den Höhen-(Tiefen-)Winkel des Hauptstrahles

den Bildkoordinaten x y die Azimute und Höhenwinkel

a. O. S. 347

Besonders für geneigte Bildebene hat nun Jordan a. vorerwähnten Netzes der Azimutal- und Höhenlinien in Vorschlag

0°, 10°, 20° usw.

gewonnen werden, die Ausnutzung des gebracht, wobei für die Neigungen der Bildebene runde Zahlen cp =

einzuführen wären.    .

In der Regel wird jedoch vertikale Bildebene nach Fig. 1 S. 818 zur Anwendung

kommen, wovon in folgendem allein die Rede sein soll.

§ 195. Konstruktion des Lageplans und der Höhen.

Wenn zwei Photographien als vertikale Bildebenen mit Horizont, Hauptpunkt und Bildweite orientiert sind, wie an Fig. 1 § 194 S. 818 erläutert ist, so ist die Konstruktion des zugehörigen Lageplanes eine einfache geometrische Aufgabe, sofern man nur imstande ist, korrespondierende Bildpunkte auf beiden Blättern zu bezeichnen.

Wir wollen das Prinzip dieser Konstruktion an der einfachen schematischen Fig. 1 zeigen, welche einen prismatoidischen Gebirgskörper darstellt.

Es sind 0₁ und 0₂ die beiden Augpunkte, von welchen aus der Gegenstand abcdefgh auf zwei Bildebenen Hx A₁ Hx und H₂A₂H₂ perspektivisch projiziert wird, so daß die in die Grundebene umgeklappten beiden Bilder ab cd... und cda ... entstehen, in welchen die Geraden Hx Hx und //₂ H₂ zugleich die Horizonte sind.

In welcher Weise die beiden Bildebenen mit ihren Hauptpunkten Ax , A₂ und Augpunkten (Ą , 0₂ gegenseitig im Grundrisse orientiert wurden, wollen wir hier vorläufig nicht näher erörtern, es können z. B. die beiden Winkel in Ox und 0₂ zwischen der photogrammetrischen Basis und den Normalen Ox Ax bzw. 0₂ A₂ gemessen sein u. dgl. ;

Fig. 1.

ab

Hz

<6

UL '

* Ir///.

L~ T3" —

ÎS

y/i

TS

CS3

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03

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Ww

Ijl II Il !

Il I,

! '!

VA

h₂

Ol

es kommt hier zunächst nur darauf an, zu zeigen, daß nach Aufzeichnung der Bildebenen und der Augpunkte im Grundrisse das Weitere sehr einfach ist.

Um z. B. die Gebirgsecke a im Grundriß zu bestimmen, braucht man nur a in jedem der Bilder aufzusuclien, die Senkrechten a ax und a ä₂ auf die Horizonte zu fällen, dann Ox ax und 0₂ «₂ zu ziehen, deren Schnitt den Punkt a im Grundriß gibt. Ebenso findet man auch die Ecke e im Grundriß, indem man Ot e₁ und 0₂ e₂ zieht und deren Schnitt aufsucht.

Auf solche Art findet man die schiefen Kanten ae, dh und c g, welche von Ox und von 0₂ völlig gesehen werden können, dagegen die vierte Kante b f ist nur von Ol, nicht aber von 0₂ aus sichtbar ; der Grundriß der vierten Kante b f kann also nicht als konstruiert angesehen werden.

Oben auf der Hochebene haben wir noch einen Punkt K angenommen, welcher etwa einen hohen Turm oder Signal od. dgl. vorstellen kann. Dieser Punkt K ist von Ol und von 0₂ aus sichtbar, und wird in den Grundriß gebracht durch K Kx rechtwinklig zu Ilx H\, ebenso K K₂ rechtwinklig zu 1J₂ H₂, worauf nur noch Ox Kx und 0₂ K₂ zu ziehen sind, um K im Grundrisse zu bestimmen.

Sind nach (1) § 194 S. 818 die Richtungswinkel oo aus den Bildkoordinaten x berechnet und der Hauptstrahl geodätisch orientiert, so können auch die Richtungswinkel nach allen Bildpunkten abgeleitet und dann auch Koordinatenberechnung wie bei der Triangulierung ausgeführt werden.

Höhenbestimmung. An dem Beispiele des Punktes K möge auch noch die Höhenbestimmung gezeigt werden, und zwar mit der einfachsten Annahme, die man hier machen kann, daß nämlich die Augpunkte Oi und 0₂ beide in gleicher Höhe, also in der gemeinsamen Horizontebene der beiden Photographien liegen.

Man mißt aus Fig. 1 S. 820 in natürlichen Millimetermaßen ab :

mm,

Ol Ki - 80,1-mm , Ki K = 7,0-mm und 0₂ it₂ = 80,3 mm , K₂ K = 7,7 dazu die Entfernungen Oi K und 0₂ K in geodätischem Maße, d. h. wenn z. B. Eig. 1 S. 820 im Grundriß den Maßstab 1 : 10 000 hat, so ist

OxK — 53,0 mm = 530 m und 0₂ K = 48,3 mm = 483 m, dann bekommt man die Höhen durch einfache Proportionen (mit dem Rechenschieber) :

(1)

530 m = 46,3 m

hx =

ho =    483 m = 46,3 m.

o0,o

Wenn die Höhenwinkel von 0₁ und 0₂ aus

(2)

nach K unmittelbar geodätisch gemessen sind, etwa riX und ?/₂, so erhält man die Höhen unmittelbar geometrisch: hx = Oy K tang t]i und h₂ — 0₂K tang rj₂ ■

zu

Bei verschiedenen Standpunkthöhen sind diese in entsprechender Weise

zusetzen.

Wenn dabei große Entfernungen Vorkommen, so müssen natürlich die Korrektionen für Erdkrümmung und Refraktion in gewöhnlicher Weise (nach § 135 Gleichung

(7) S. 578) mit berücksichtigt werden.

Hat man nach (2) § 194 S. 818 die Höhenwinkel r] aus den Bildkoordinaten y abgeleitet, so kann in gleicher Weise gerechnet werden.

Sei es, daß man nach den Proportionen (1) oder trigonometrisch nach (2) rechnet, so kann man den Rechenschieber oder andere mechanische oder graphische Hilfsmittel anwenden, wie z. B. bei den photogrammetrischen Hochgebirgsaufnahmen des italienischen Generalstabes geschehen und in der „Zeitsehr. f. Verm. 18921, S. 76 beschrieben ist, doch gehören solche Hilfen nicht zum Wesen der Sache.

§ 196. Bestimmung der Bildweite r und des Hauptpunktes.

Nun handelt es sich darum, die bisher als bekannt vorausgesetzte Bildweite ry-die Lage des Hauptpunktes und der Bildhorizontalen zu bestimmen.

Unter Voraussetzung einer vertikalen Bildebene wird man zuerst den Horizont zu bestimmen suchen, dann im Horizont die Lage des Hauptpunktes A und dann die Bildweite A 0 = r rechtwinklig zur Bildebene (Fig. 1).

Den Horizont HH' wird man leicht finden können, wenn man von mindestens zwei Bildpunkten den Höhenwinkel rj und die Bildrichtungswinkel co, letztere nur wenigstens genähert und auch die Bildweite r genähert, kennt.

Wir setzen also zur Horizontbestimmung bereits die Unbekannten co und r, welche wir nachher bestimmen wollen, genähert voraus, doch ist das wohl zulässig, indem man lediglich die Abszissen x von der Mitte des Blattes aus zählt und im übrigen indirekt arbeitet, wie in so vielen anderen Fällen (außerdem ist die Bildweite vom Objektiv genähert zu messen). Wir denken uns also r und oo genähert bekannt, dazu aber den Höhenwinkel r] eines Punktes in der Natur mit dem Theodolit genau gemessen, dann hat man nach (2) § 194 S. 818 y = r sec co tang rj. Dieses für mindestens zwei Bildpunkte ausgerechnet und mit dem Zirkel ab- oder aufgetragen, gibt Punkte des Horizontes, wonach der Horizont selbst gezogen werden kann.

Damit haben wir von selbst auch die Projektionen der betrachteten Bildpunkte auf den Horizont, und wenn wir die Horizontalwinkel zwischen den Punkten im Raum gemessen haben, so sind das zugleich die Winkel zwischen den fraglichen Horizont-bildpunkten.

-----a—

;p₂

|Ps

V'

s₂

ioz

U)j

Ci,

a und ß, dann ist in bekannter Weise: a

—— mi Vi =

si n a

Es seien nun (nach Fig._ 1) im Horizont der Bildebene drei Punkte J\, P₂, Ą bestimmt durch ihre Abstände 1\ P₂ = a und P₂ P₃ = b, und man habe die beiden Horizontalwinkel 1\ 0 P₂ = a und P₂ O P₃ = ß gemessen; wir wollen daraus die Lage des Hauptpunktes A und die Bildweite AO = r bestimmen.

Man hat hier die bekannte, jedem Landmesser geläufige Aufgabe des Rückwärtseinschneidens, mit der Vereinfachung, daß die drei gegebenen Punkte Px, P₂, P₃ in einer Geraden liegen, d. h. man hat denselben Fall, welchen wir bereits beim Distanzstab (§ 78 S. 332) behandelt haben.

In Fig. 1 haben wir hierzu zwei Längen a und b mit den gegenüberliegenden Winkeln

b    , sin -/o a

sin ß Sm ' ³ ’ a S° sin yx ~~ sin a ‘ sin ß sin ’/i — sin _ 1 — tang À _ sin yx -f- sin y₃ 1 + tang À

tang ^    ''³ = tang ^    — cotg (45° — À).

6

—— = tang k

cotg (45° -t- A)

a)

(2)

(3)

Da. 7i -+- 73 = 180° — (tic -+- ß) bekannt ist, kann man nun y₁ und y₃ finden. Indessen kann man auch alles unmittelbar in a und ß ausdrücken :

<^±lcotg{ 45°+ X).

cotg

(4)

Jedenfalls kann man also diese drei Winkel Ji, y₃ und /₂ finden und damit auch die drei Entfernungen: a

-r— sm 72    ,

sin a

banden :

sin a SiU ^ sin ß

Die Richtungswinkel oo^, co₂, 003 der drei Strahlen gegen O A sind auch vor-

s₂ -

sm 7₃ , s₃

sin 7₂.

cc₂ = 90° — 72

co₃ = 90° — 7₃ .

ooj = 90° — y₁

Die Bildweite r haben wir nun dreifach:

r = Sjl sin yx = s₂ &n 72 — s3 s^n 73 oder = Sj cos = s₂ cos oo₂ = s₃ cos oo₃

oder r unmittelbar in a, b und co ausgedrückt:

a cos co 2 cos co₂_b cos <o₂ cos ft:,3

sin (a)₂ — ooj) sin (co₃ — <o₂)

(5)

Auch die Abszissen der drei Punkte 1\ P₂ P₃ vom Hauptpunkte A aus gezählt hat man:

A 1\ = xY = sl sin co₁    iP₂ = x₂ = s₂ sin (o₂    A P₃ = x₃ = s₃ sin m₃ |    .

= r tang «2    = r tang <o₂    = r tang /

Dieses sind die absoluten Werte, welche man natürlich auch mit Vorzeichen versehen kann (— x links von A, x rechts von AL).

Zu einem Zahlenbeispiele wollen wir nehmen das Blatt A,7 S. 824—825:

_Pj Gebirgsecke J P₂ Minaret II

P»

(20)

= 79,4 mm = 71,2

= 23° 5' = 19 33

(6 a)

a + ß= 42° 38'

7,4-73 = 137 22    .

(Die Namen Gebirgsecke J usw. beziehen sich auf die große Tafel S. 824—825.)

Die Rechnung nach den vorstehenden Formeln, welche im einzelnen nicht hergesetzt zu werden braucht, gibt:

2 4-45°=    88° 35' 6”

=    84 36 40

— — 5 23 20 =    192,93 mm

= 4- 18,12

Probe i»₂ — «'i = 79,40 mm — a

Man findet also den Hauptpunkt A des Bildes, wenn man von P₁ um 61,28 mm nach rechts, oder wenn man von P₂ um 18,12 mm nach links mißt.

Das vorstehende Beispiel gehört liehe Zeichnung auf S. 824—825 geliefert hat, und

Standpunkt Oh auf welchem die beiden Punkte Gebirgsecke J und Minaret n

(Fortsetzung des Textes auf S. 826.)

a 4~ b = 150,6 mm . also

43° 35' 6" 72 18 20 = — 17 41 40

x=

7a

C0₂

=    201,62 mm

= — 61,28

A,1 zum

73 =

©₃ =

65° 3'40" 24 56 20

«3 =

x$ =z 4“ 89,32

211,83 mm r — 192,06 mm

x₃ — X2 = 71,20 mm = b .

zu

der größeren Aufnahme, welche die ausführ-handelt es sich um das Blatt

zwar

use

Horizont

824

Photogrammetrische Darstellung der Oase Dachei in der Libyschen Wüste, aufgenommen im Januar 1874 trigonometrisch und photographisch von Jordan und Remelé.

Holzschnitt in Verkleinerung 1 : 1,5 der Urzeiehnung. Photographische Bildweite =192 mm, verkleinert 128mm. Ursprünglicher Lageplan 1 : 5000, verkleinert 1 : 7500.

■ 825

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Nord

durch P₁ und P₂ von Fig 1 S. 822 vertreten sind, während der dritte Punkt P₃ auf S. 824—825 nicht mehr vorhanden ist, weil die Photographien ursprünglich größer und einander übergreifend, nun auf S. 824—825 an den Grenzen scharf abgeschnitten dargestellt sind. Auch ist zu beachten, daß die oben bei (6a) angegebenen Maße « = 79,4tow und b — 71,2-m-m sich auf die Photographien selbst bezogen, während in dem Holzschnitte auf S. 824—825 die Photographien etwa im Verhältnis 2: 3 verkleinert dargestellt sind.

Mit Blicksicht hierauf können wir auf demselben Blatte A,7 zu 0± von S. 824 bis 825 auch noch eine zweite, allerdings etwas ungünstigere, Bestimmung der vorstehenden Art machen, nämlich :

mit P, = Gebirgsecke J P₂ — Minaret III P₃ = Minaret II

a = 25,7 mm b = 53,7

7° 11' ß= 15 54

a -f- b = 79,4 mm

a-fj3 = 23° 5' 71 +73 = 156 55

180° 0'.

(6b)

Dieses gibt :

7, =    71° 50' 30"

18    9 30

201,77 mm

46° 21'25"

®i =

s,=

X\ = — 62,88

y₂ = 100 58 30 a>₂ —

X + 45° =    91° 21' 25"

85    4 30

7a =

10 58 30 195,29 mm

®3 =

s₂ =

x₂ = — 37,18

s₃ =

-j— 16,52

4 55 30

192,43 mm r = 191,72

x₂ — Xi — 25,70 mm

Xg — x₂ = 53,70 mm .

Da hier a + b und a -f- ß den a und a des vorhergehenden Beispiels entsprechen, hat man zahlreiche Vergleichungen, z. B. x₃ = + 16,52 mm gegen x₂ = + 18,12 mm, also Verschiebung des Hauptpunktes um 1,6 mm , dann hauptsächlich r — 191,72 mm gegen r — 192,08 mm , also Abweichung 0,36 mm.

Durch diese Berechnungen und Konstruktionen fand sich der Hauptpunkt nahezu auf der Mitte des Blattes, wie zu vermuten war.

Wenn man weiß, daß der Hauptpunkt nahe der Blattmitte ist, wie das bei den in § 198 S. 830 zu behandelnden photogrammetrischen Theodoliten stets der Fall ist, so genügen auch zwei Punkte zur Orientierung, d. h. zur Bestimmung der Bild weite oder zur Verbesserung der ersten Annahme der Hauptpunktslage. Man habe nach Fig. 1 S. 822 zwei Punkte 1\ und P₂, welche womöglich den Hauptpunkt zwischen sich fassen sollen ; der Horizontalabstand a dieser zwei Punkte sei dargestellt als Differenz ,z₂ — '''i zweier Abszissen, welche von dem genähert angenommenen Hauptpunkte A aus gemessen sind, und dazu sei der Horizontalwinkel a gemessen, dann hat man zu einer indirekten Bestimmung:

tang oij = —

tang <n₂ = —

(7)

<»2 — a,l = a

,    — Xi = a .

(8)

Wenn dieses nicht stimmt, kann in der Lage von + eine Verbesserung gemacht werden; dann ist weiter:

(,r₂ — Xi) cos coi cos 002 sin (oi₂ — oij)

und damit von neuem wieder oij und oo₂ nach (7) ; diese Rechnung ist zu wiederholen, bis Übereinstimmung entsteht.

a COS 0)2 cos 0) ₂

sin a

oder - -

(9)

genommen.

>• = 153,75 mm. Als Kontrollpunkte für die Vertikale dienten Marktturm und Garnisonkirche S, W.

Als Beispiel sei die Prüfung von Hauptpunkt und Bildweite dev Kamera Fig. 3 § 198 S. 833 Eingeführt wurde zunächst die vom Mechaniker angegebene konstante Bildweite

Gemessene Richtungen

Bildabszissen

(o aus Form. (7) . mit >- = 153,75

x aus Form. (7) mit >• = 153,759’

ilarktturm .    .

Gamisonkirche Bildrichtung .

87° 07' 03" 112 24 31 99 14 10

— 12° 07' 07" + 13 10 21 0 00 00

— 33,03 mm + 35,97

— 12° 07' 28" +13 10 03

— 33,015 mm + 35,986

a =.

25° 17' 28"

a = 69,00 mm

25° 17' 31"

69,001 »im

• Die Rechnung nach (7) gibt für to gute Übereinstimmung mit den gemessenen, und mit Einsetzen in (9) findet sich aus a und a die Bildweite zu r = 153,759 mm , und daraus wieder nach (7) mit den gemessenen Richtungswinkeln die Abszissen x in guter Übereinstimmung. (Für acht Leitpunkte,, deren Abszissen mit einer in Millimeter geteilten Glastafel hei 3facher Vergrößerung aus den Negativplatten abgelesen wurden, ergab sich die mittlere Abweichung gegen die gemessenen Werte zu ± s/₄'.> Zur Prüfung der Horizontalen dienten die Punkte Ebhardt, Flaggenknopf und Neustädtische-

Kirche, Knopf.

Gemessene Höhenwinkel tj

y = r tang t]

Bildordinaten

Abweichung

Ebhardt .....

Neustädtische Kirche

+ 2° 48' 30" + 1 59 00

-f- 7,54 mm + 5,33

-)- 7,60 mm + 5,40

—    0,06 mm

—    0,07

Der Horizont bedarf demnach noch einer Verbesserung von — 0,065 mm.

Man überzeugt sich dabei, daß ein kleiner Fehler in der Annahme des Augpunktes verhältnismäßig wenig Einfluß auf die Richtungsbestimmung der einzelnen Punkte hat, und es ist von Interesse, die Beziehung zwischen einem Fehler in der Annahme des Augpunktes und dem entsprechenden Fehler in der Bestimmung der Strahlenrichtung eines Bildpunktes zu bestimmen. Der Verfasser hat dieses in „Zeitschr. f. Verm. 1876“. S. 7—9 durchgeführt und auch in der 4. Auflage dieses Bandes, 1893, S. 733 noch vorgeführt, worauf auch jetzt verwiesen werden möge.

Konstante Bildweite.

Wenn die Entfernung des Gegenstandes einigermaßen groß, nur wenigstens einigeist, so bleibt bekanntlich die Bildweite hinter dem Objektiv nahezu konstant., wie für unendlich entfernte Gegenstände, und nur für kleine Zielweiten etwa unter 100 m ist die Bildweite merklich veränderlich.

Bezeichnet man mit f die Brennweite, mit R den Abstand des Objekts von der Linse und mit r wie bisher den Abstand des Bildes von derselben (genauer gesagt hinteren Hauptpunkt H, Fig. 2 § 52 S. 205), so besteht bekanntlich die Gleichung l

„ n

oder genähert r = f .

100

nv

vom

Bf

B-f

In dem Beispiel von S. 823 war ungefähr f = 200 mm, womit berechnet ist : 400 m 100 m 0,4 mm

R = oo

T —- 200 mm = 0,0 mm 0,1 mm

20 m

50 m

0,8 mm 2,0 mm 8,8 mm.

sein, also

Für geodätische Aufnahmen wird wohl B immer größer als 100 mit Rücksicht auf die sonstigen Unsicherheiten des Einstellens r konstant gehalten werden können. Dagegen für Architekturaufnahmen oder sonstige innerhalb kleiner Zielweiten sich bewegende Photographierungen kann man leicht die Veränderung der Bildweite r berücksichtigen, indem man einfach am Auszuge der Camera eine kleine Millimeterskale anbringt, welche das jeweilige r anzeigt oder einzustellen gestattet (§ 198).

vorstehendem angegebene Verfahren der Bildweiten- und Hauptpunktbestimmung ist wohl das natürlichste und genaueste. Finsterwalder sagte dazu in „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 227: Nach diesem Verfahren hat zuerst Jordan in „Zeitschr. f. Verm. 1876“ S. 1    17 die Konstanten be

stimmt und die Fehler ermittelt.

Das in

§ 197. Photogrammetrische Aufnahme der Oase Dachei in der

Libyschen Wüste.

Als Beispiel eines photogrammetrischen Planes bringen wir auf S. 824 u. 825 unsere auf der Rolilfsschen Expedition in die Libysche Wüste im Januar 1874 mit dem Photographen Remelé gemachten Aufnahmen zur Darstellung. Die Photographien wurden mit gewöhnlichem Apparate, hei vertikaler Platte von zwei Standpunkten 0₁ und 0₂ aus, panoramenartig mit Übergreifungen aneinander gereiht, von 0₁ aus neun Platten und von 0₂ aus acht Platten (also eine Platte ungefähr 45° fassend).

Von diesen 17 Platten sind auf unserer Tafel S. 824 und S. 825 nur fünf dargestellt, nämlich :

A,6 A,7 A,8 zu 0₁ gehörend und A,8 A,9 zu 0₂ gehörend.

bestimmt, nach

mm

mm

Die Bildweite wurde im Mittel für alle Platten r — 191,6 dem trigonometrischen Verfahren von § 196 S. 823. (Nähere Nachweise s. „Zeitschr. f. Verm. 1876“ S. 11—12.) Diese Bildweite wurde in der Originalkonstruktion als Halbmesser der um 0^ und um 0₂ gezogenen Kreise in natürlichem Maße = 191,6 aufgetragen, während unsere Tafel S. 824 und S. 825 hiervon nur eine Verkleinerung im Verhältnis 2 : 3 gibt, also r — 128 mm.

Als trigonometrische Grundlage haben wir eine kleine Triangulierung (mit astronomischer Azimutbestimmung) angelegt, deren erste Dreiecke und Hauptpunkte auf der Zeichnung S. 824 und 825 zu sehen sind.

Die beiden trigonometrischen Hauptstandpunkte, zugleich photographische Standpunkte, sind Oi und 0₂ > welche mittelbar verbunden sind durch das eigentliche Basisdreieck O] B O mit Ol B = 294,8 m, und BC — 117,5m, woran sich B,C,0₂ usw. anschlossen.

Außerdem sind als Triangulierungspunkte ausgewählt die drei Minarettürme I, II, III, das Wohnhaus W der Expedition, ein großes Schechgrab (10) und eine einzelnstehende Palme P. Da von den Hilfspunkten B und C nicht weiter die Rede ist, geben wir von den übrigen acht Punkten sofort die Messungsabrisse auf und 0₂ und die rechtwinkligen Koordinaten, bezogen auf das Expeditionswohnhaus als Nullpunkt und mit -|- x nach Nord, -f- y nach Ost :

Abriß Oi , H = 133 m über dem Meer.

Abriß 0₂ , H— 132 m über dem Meer.

Zielpunkt

Azimut

Höhen

winkel

Ent

fernung

Zielpunkt

Azimut

Höhen

winkel

Ent

fernung

Basispunkt 0S Schech (10) . Palme P . . Minaret III. Minaret II . Wohnhaus IV Minaret 1

170 30

792.6    w 467,4 620,9

454.6

—    2 24    385,8

189,3

—    3 12 j 357,4

—    4° 40'

—- 1    48

—    2 11

Wohnhaus W. Basispunkt O,

194° 12' 208 49

—    1° 17'

—    1 12

—1‘    3

215    25

216    19    -5    19

222 12 i — 1 6

230 32 242 56

— 1    44

-j-0 50

701.4    ni

758.9

853.4

403.9 963,7

875.5

792.6

Rechtwinklige Koordinaten mit -+- x nach Nord, -+- y nach Ost.

Punkt

Höhe über dem Meer

Wohnhaus W Basispunkt O, Basispunkt 02 Minaret I .

0,0 m — 37,2 + 668,0

0,0 m

II

III

Schech (10) Palme P

+ 173,8 + 301,9 + 428,8 + 496,0

+ 186,1 + 548h

108 m Oberfläche 133 Erdfläche

132

115 Spitze

118

118

106

116

„ Boden=97m

Wenn man aus diesen Koordinaten die trigonometrischen Richtungswinkel (in unserem l'ali zugleich die Azimute) rückwärts berechnet, so wird man Abweichungen bis zu mehreren Minuten finden im Vergleich mit den Azimutangaben in den oben mitgeteilten Abrissen der Punkte 0₁ und O.,, was davon herrührt, daß die Triangulierung tatsächlich noch mehrere andere Messungen benützt hat, als die hier vorgeführten, worauf die Koordinaten gemittelt wurden. Soweit die Messungen hier gebraucht werden, ist alles in genügender Übereinstimmung.

Man kann nun jedenfalls die acht Punkte nach ihren Koordinaten in einem Lageplan auftragen, wie auf S. 824 und 825 zu sehen ist, und dann beginnt die photo-

Ol und um 0₂ Kreise beschreibt mit

grammetrische Konstruktion damit, daß man um der Bildweite r der Photographien (in unserem Fall r — 191,6 mm- im Original, jedoch

auf S. 824 und 825 verjüngt r — 128 mi«-).

Nach diesem kommt es darauf an, die Berührungspunkte A,6, A,7, A,8 für Ov

die früher in § 196 hei Fig. 1 S. 822

soude +,8, A,9 für 0₂ zu bestimmen, wozu man behandelten Bildrichtungswinkel oo in Verbindung mit den trigonometrischen Richtungswinkeln oder Azimuten in unseren Abrissen für 0₁ und 0₂ (siehe oben) zu benützen hat. Z. B. für A,7 hat man Azimut (Ox , III) = 131° 43', und nach (6 b) S. 826 öo₂ = ₁₀° 58', also Azimut (Ox M,7) = 131 ° 43' + 10° 58' = 142° 41', wonach der Strahl A,7 gezogen, also der Punkt A,7 aufgetragen werden kann. Dabei hat man noch viele’ andere Hilfsmittel und Proben, die wir bei Beschränkung auf die allernötigsten

Zahlenangaben nicht alle erwähnen können.

die Horizonte und die Haupt

in den Photographien seihst denken wir punkte A ebenfalls eingetragen, dann kann die Konstruktion nach dem Muster des schematischen Beispiels'der Figur von S. 820 vor sich gehen, wie aus den zahlreichen Strahlenschnitten auf S. 824 und 825 zu ersehen ist.

uns

Einiges Weitere über die Oase Dachei gibt „Zeitschr. f. Venn. 1876“ S. 1-17 und des Ver-und Meteorologie der Libyschen Wüste, Cassel 1876“ S. 72    75.

fassers „Physische Geographie

Es wird kaum die Bemerkung nötig sein, daß das hier vorgelegte Beispiel von Dachei S. 824

kein Muster sein soll ; und wenn es damals lediglich würde das Abschreiten und Kompaßpeilen,

und S. 825 in sachlicher Beziehung durchaus darauf ankam, rasch einen kleinen Plan zu gewinnen, so

ebenso wie bei der Aufnahme der Oase Farafrah in § 189 S. 803, besser zum Ziel geführt haben.

Aber andrerseits ist das Beispiel S. 824 u. 825 sehr wohl geeignet, als Schulbeispiel für die Rechnung und Konstruktion zu dienen, und als eines der ersten Beispiele für die Methode überhaupt (wir sind damals 1874 ohne irgend ein anderes vorhergehendes Beispiel auf die Methode gekommen) mag jene Aufnahme in der Libyschen Wüste auch heute noch vorgeführt werden. Auch mag es gestattet sein, zu der Entwicklungsgeschichte der Photogrammetrie aus der „Rivista di Topografia e Catasto, anno II febbrario 1889 S. 142“ zu zitieren : Nè la Germania rimase addietro in questa nuova ehe anzi, chi trattö più profondamente la quistione, si a dal lato teorico che pratico, fu il pro-

„Über die Verwertung der Photographie zu geometrischen Auf

via,

fessore W. Jordan colla sua memoria

nahmen“. L’illustre professore diede alla fotografia o fotogrammetria¹) (come viene chiamata in •Germania) il suo vero in dirizzo, collo parole che chiudoro la di lui memoria. „Zeitschr. f. Verm. 1876“ S. 17.

§ 198. Pliotograinmetrischer Theodolit.

Unsere im vorigen § 197 beschriebene Oasenaufnahme wurde mit einem gewöhnlichen photographischen Apparate in Verbindung mit einem Theodolit gemacht, indem einfach der Theodolit nach Vollendung der Photographien an dieselbe Stelle

gebracht wurde, welche vorher die photographische Kamera inne gehabt hatte. Es ist aber ein naheliegender Gedanke, die Kamera mit dem Theodolit zu verbinden, so daß Photographieren. Horizontalwinkelmessen und Höhenwinkelmessen mit demselben Apparate ausgeführt werden können, der dann auch die Horizontalstellung des Theodolitkreises, Vertikalstellung der photographischen Platte usw. mit Hilfe von Libellen vereinigt.

Wir haben schon früher bei der Oasenaufnahme bemerkt, daß nur wenige besondere Einrichtungen nötig sind zur Herstellung eines photogrammetrischen Theo--dolits, nämlich selbstwirkende Aufzeichnung des Horizontes und des Hauptpunktes durch Einspannen eines sich mit abbildenden rechtwinkligen Fadennetzes in die Kamera oder Marken auf dem Plattenrahmen, dann Zufügung eines Maßstabes, an welchem die Objekteinstellung der Kamera auf Unendlich oder auf nahe Entfernung (selten viel verschieden), jeweils bequem abgelesen werden kann, dann bedarf man zur Orientierung einer Platte (außer der Libelle) nur noch eines Azimutes. Es genügt dann also, das berichtigte Instrument auf dem gegebenen Standpunkt aufzustellen, die Instrumenthöhe zu messen, sowie die Richtung nach mindestens einem gegebenen Punkt und der Reihe nach die Kamera in alle in Betracht kommenden Richtungen einzustellen und Bilder

aufzunehmen. Empfehlenswert bleibt jedoch immer, für jede Platte zwei Leitpunkte nach Horizontal- und Vertikal winkeln zu bestimmen, vgl. § 196 S. 826 („Zeitschr. f.

Verm. 1876“ S. 15 und 17).

Es sind nun in den letzten Jahrzehnten eine ganze Reihe von photogrammetrischen Theodoliten (Phototheodoliten) konstruiert worden, von denen hier vier verschiedene in den Figuren 1—4 S. 831—834 kurz vorgeführt werden sollen.

Fig. 1 S. 831 zeigt den photogrannnetrischen Theodolit des italienischen Generalstabs, nach der Mitteilung von Paganini in der Rivista di Topografia e Catasto von 1889, bzw, der Übersetzung von Schepp in der „Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 66. Unter Zitierung der auf die Oasenaufnalnne bezüglichen Angaben (vgl. den Schluß von § 197 im Kleingedruckten S. 829) hat der italienische Generalstab (bzw. Militärgeographisches Institut) auf Anregung seines Direktors Annibale Ferrero die Photogrammetrie mit dem Instrumente von S. 831 seit 1878 lebhaft betrieben, und es hat namentlich der Ingenieurgeograph Paganini Hochgebirgsaufnahmen in großer Ausdehnung auf photo-grammetrisehem Wege ausgeführt, von denen wir aus „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 68 folgendes zitieren:

Jahr 1878. Aufnahme der Marmorbrüche von Carrara bei Florenz durch 17 Panoramen mit 110

Photographien, und Konstruktion von Höhenkurven von 5 zu 5 Metern in 1 : 25000.

(Fortsetzung des Textes auf Seite 835.)

Fig. 1. Photogrammetrischer Theodolit des italienischen Generalstabs.

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Das Instrument ist ein Theodolit mit Höhenkreis und exzentrischem Fernrohr, welches eine ISuvellierlibelle trägt. Auf der Alhidade ist die versteifte Kamera mit vertikaler Bildplatte (19 X 24,5 cm) angebracht. (Gesichtsfeld 420 zu 52°, also+26°.) Das Objektiv von Steinheil (Antiplanet) mit 244,5 mm Brenn-Aveite hat am Auszug eine Teilung zur Ablesung der Objektivstellung in l/₁₀ mm. Der Hauptpunkt auf der Platte wird durch den Kreuzungspunkt zweier Metallfäden bezeichnet, von denen der vertikale in der Figur zu sehen ist. Weiteres auch über die Prüfung und Berichtigung gibt „Zeitsehr. f. Verni. 1891u S. 70—74.

Statt mit der photographischen Kamera ein Theodolitfernrohr zu verbinden, kann man das photographische Objektiv selbst auch zum Winkelmeßvisieren benützen, wie Fig. 2.

schon Paganini 1889 getan hat („Zeit-

Photogrammetrischer Theodolit von Finsterwalder u. Ott. gchr f yenn 1896« S. 237). Nach diesem

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Prinzip ist auch der in nebenstehender Fig. 2 dargestellte Apparat von Ott nach Finsterwalder konstruiert, indem auf der Rückseite (rechts) ein verschließbares Okular angebracht ist, welches mit dem photographischen Objektiv (links) ein Fernrohr von 8fâcher Vergrößerung bildet. Da das Objektiv vertikal innerhalb weiter Grenzen (100 mm) verschiebbar ist, so kann man nicht nur Objekte in der Horizontalen an-visieren, sondern auch solche, die bis zu 17° unter oder über dem Horizont gelegen sind. Freilich würde bei feststehendem Okular die Deutlichkeit der Bilder in größeren Vertikal winkeln rasch abnehmen, so daß das Pointieren immer unsicherer würde ; man kann diesen Übelstand aber fast ganz vermeiden, wenn man das Okular um eine horizontale Achse drehbar macht und stets gegen das Zentrum des Objektivs richtet. An dem Apparate geschieht dies mechanisch mit Hilfe eines Hebels, und die erzielten Bilder sind bei den möglichen Stellungen des Objektivs gleich gut.

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Die Brennweite des Objektivs ist so klein als möglich genommen, nämlich 150 mm, das Bildformat ist 120 X 160 mm, das Gesichtsfeld in der Horizontalen 53°, gleich 1/7 des Umfangs.

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Bei mittlerer Stellung des Objektivs beträgt das vertikale Gesichtsfeld dann zwar nur jp 20°, was für Hoch-gebirgsaufnahmen zu wenig wäre, hingegen ist durch weitgehende Verschiebung des Objektivs in vertikaler Richtung dafür gesorgt, daß beispielsweise bei 5° Höhenwinkel noch 33° Tiefenwinkel (und umgekehrt) zur photographischen Abbildung gelangen können. Das Gewicht des ganzen Apparates samt Stativ, Kasten und zwölf gefüllten Kassetten beträgt 10 f)<j. (Weiteres s. „Zeitsclir. f. Verm. 1890“ S. 225—240.)

Fig. 3.

Phototheodolit nach Koppe von Günther.

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Das Instrument ist ein Theodolit mit exzentrischem Fernrohr und einer zentrisch

um diese kippbaren Kamera. Die Kamera sitzt in

in einer Horizontalachse gelagerten, einer konischen Ausdrehung der Horizontalachse ; sie kann bequem eingesetzt und

herausgenommen und in ihre normale, durch Anschläge festgelegte Lage gebracht Das Instrument der hannoverschen Sammlung hat mit einem Kollinear von

werden.

Yoigtläncler & Sohn eine konstante Bildweite von 153,75 mm (vgl. S. 826); die photographischen Platten werden gegen ein festes Plattenauflager gelegt; das Format ist 10x10 cm. An Libellen sind vorhanden eine Reiterlibelle auf der Kameraachse, eine Libelle auf der Alhidade und eine Höhenkreislibelle. Horizontal- und Vertikalkreis,

15 bzw. 13 cm Durchmesser, geben mit Nonien 20". Weiteres über das Instrument, die Prüfung und Berichtigung geben die S. 835 genannten Schriften

I'ig. i. Phototheodolit nach Pulfrich von Carl Zeiß.

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Speziell für stereophotogrammetrische Aufnahmen ist das vorstehende Instrument konstruiert worden, hei dem die zentrische Yisierebene des Fernrohrs senkrecht zur Achse der photographischen Kamera steht. Das Fernrohr ist hierzu mit einem gebrochenen Okular OJc und mit einem vor das Objektiv gesetzten Prisma versehen. Die starre, aus Metall hergestellte Kamera ist mit wagrechter Achse auf dem Zapfen der Alhidade befestigt. Der kleine Spiegel S dient zur Beleuchtung der am oberen Rande des Plattenrahmens befindlichen Marke für die Bildvertikale. Die Alhidadenfeinbewegung ist für Distanzmessung als Gefällschraube eingerichtet. Nach Lösen der Schraube B kann das ganze Instrument aus dem Dreifuß herausgehoben werden, dessen Fußschrauben auf dem Stativ durch besondere Schrauben festgehalten werden.

Jahr 1879. Aufnahme der Serra dell’ Argentera, des höchsten und wildesten Teiles der Seealpen; es wurden dazu in 2»/₂ Monaten auf 15 hochgelegenen Stationen 113 Perspektiven aufgenommen, und eine Karte von 73 Quadratkilometern in 1 : 25 000 mit 490 Höhenangaben und Kurven von 10 zu 10 m hergestellt.

Ton 1880—1885 wurden 1000 Quadratkilometer in 1 : 50 000 im italienischen Gebirgsstock der Alpen aufgenommen.

Yon 1886—1887 wurde Meßtischaufnahme und Photogrammetrie in der Art zusammen betrieben, daß erstere die Talgründe umfaßte, und letztere von 2000 m Höhe an zur Höhenkurvendarstellung diente.

Die Originalabhandlung von Paganini, aus welcher vorstehende Zitate als Übersetzung hergenommen sind, findet sich in Rivista di Topografia e Catasto anno II, S. 141—155, mit Originalphotographien S. 161—173, 181—190. Die Übersetzung in „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 65—83, 328—339’ 1892 S. 65-85.

Ein photogrammetrischer Apparat von Ott, konstruiert von Finsterwalder auf ■Grund seiner Erfahrungen hei der Aufnahme des Vernagtfemers im Ötztal in Tyrol (s. Finsterwalder, Der Yernagtferner, seine Geschichte und seine Vermessung in den Jahren 1888 und 1889. Graz 1897), ist in Fig. 2 S. 832 dargestellt, entlehnt aus einer Abhandlung von Finsterwalder in „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 225—240, wo zahlreiche Angaben „zur photogrammetrischen Praxis“ zu finden sind. Bei diesem Instrument ist in erster Linie auf die Transportfähigkeit Gewicht gelegt worden.

Fig. 3 S. 833 zeigt den Phototheodolit nach Koppe von Günther in Braunschweig. Hierzu ist zu zitieren :

„Die Photogrammetrie oder Bildmeßkunst von Koppe, Weimar 1889“, mit Aufnahme des Roßtrappefelsens im Harz (S. 69 —83); ferner „Photogrammetrie und internationale Wolkenmessung von Koppe, Braunschweig 1896“; Koppe in „Schweizerische Bauzeitung 1896“ 27. Bd. S. 161 u. f. : „Photogrammetrische Studien und deren Verwertung bei den Vorarbeiten für eine Jungfraubahn*) und ebenda 28. Bd. S. 83 u. f. „Die photogrammetrischen Aufnahmen bei der Jungfraubahn“.

Während die Instrumente Fig. 1 und 2 S. 831 und 832 vertikale Bildebene haben, gestattet das Koppesche Instrument Fig. 3 S. 833 die Verwendung vertikaler und geneigter Bildebene. Dies letztere kann z. B. notwendig werden bei der Spezialaufnahme von unzugänglichen steilen Felswänden, welche mit vertikalen Platten nicht aufgenommen werden können, wie bei den vorerwähnten Vorarbeiten für die Jungfraubahn.

Die bei Verwendung geneigter Plattenstellung sich ergebenden Beziehungen zwischen x, y und oo, sowie die Plattenneigung cp und die Einführung von Azimutal-

und Höhenlinien zur bequemeren Behandlung sind nach der Jordanschen Ableitung „Zeitsehr. f. Architektur- u. Ingenieurwesen 1898“ S. 346—349 schon § 194 S. 819 mitgeteilt worden.

von Aufnahmen mit schiefer Bildebene,

Hierzu

setzung,

Die eigentümliche Anordnung des Fernrohrs bei dem in Fig. 4 S. 834 dargestellten Phototheodolit von Pulfrieh ergibt sich aus der für stereophotogrammetrische Aufnahmen notwendigen Forderung, daß die Achse des photographischen Objektivs senkrecht zur Verbindungslinie zweier Aufnahmestationen gestellt werden muß. wird außer einem zweiten Stativ noch ein zweiter Theodolitdreifuß gebraucht, in den entweder der Theodolit selbst oder ein Zielstift oder ein Lattenhalter zur Aufnahme einer wagrechten Distanzlatte eingesetzt werden kann (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1907“ g. 470—474). Bei der Aufnahme werden die Stative mit den Dreifüßen auf den beiden Stationen aufgestellt, so daß die lotrechten Achsen der Dreifüße durch die Stationspunkte gehen. In den einen Dreifuß wird der Theodolit, in den andern der Zielstift eingesetzt, auf den das Fernrohr des Theodolits einzustellen ist. Unter der Voraus-daß die Stehachse des Theodolits genau lotrecht gestellt ist, liegt dann die

lotrechte Plattenebene parallel zur Basis und die optische Achse der Kamera senkrecht hierzu ; mit der Einstellung des Fernrohrs ist somit die Kamera zur Aufnahme bereit. Nach der Aufnahme wird der Visierstift durch den Lattenhalter mit der Latte ersetzt letztere läßt sich horizontal und mit Hilfe eines Diopters senkrecht zur Basis stellen,, worauf mit der Gefällschraube unmittelbar die Horizontalprojektion der Basis gemessen wird.

Die Prüfung der photogrammetrischen Theodolite richtet sich im einzelnen nach der Konstruktion. Abgesehen von den für die Theodolite an sich auszuführenden Prüfungen wird in jedem Falle eine Berichtigung von Libellen in bezug auf die wagrechte Lage der Objektivachse stattfinden müssen. Der wichtigste Teil der Prüfung ist die Bestimmung der Bildweite und der Lage des Hauptpunktes nach dem bereits-in § 196 S. 822 behandelten Verfahren. Beim Koppeschen Theodolit, dessen Objektivachse beliebig geneigt werden kann, kommt auch noch der Kollimationsfehler der letzteren in Frage; jedoch kann dieser Fehler durch Wiederholung der Aufnahme bei durchgeschlagener Kamera unschädlich gemacht werden.

Ausmessung der Bilder.

Die Koordinaten der Bildpunkte werden am genauesten durch unmittelbare Messung auf den Negativen erhalten, da diese sich beim Entwickeln und Fixieren nur wenig verziehen. Mit einer feinen Nadel zieht man zwischen den Ranclmarken die Bildhorizontale und Bildvertikale; gelingt dies nicht mit der wünschenswerten Genauigkeit, so werden die Fehler bestimmt und zu jeder gemessenen Abszisse und Ordinate hinzugefügt. Für die Ausmessung ist eine möglichst günstige Beleuchtung-der Platten erforderlich.

aus

Nächst den Negativen sind Diapositive besonders geeignet, da sie die Objekte in der natürlichen Helligkeit zeigen ; zugleich können dann die Negative als Messungsurkunden unversehrt aufbewahrt werden. Wegen der mit dem Messen auf Glasplatten verbundenen Unbequemlichkeiten werden vielfach Papierkopien vorgezogen, die indessen der Verzerrungen wegen besonders geprüft werden müssen. Nach den Erfahrungen des k. k. Militär-geographischen Instituts in Wien genügt die Feststellung der Verkürzung der Bilder nach Länge und Breite; weitere unregelmäßige Verzerrungen sind nicht nachweisbar gewesen. Anstatt alle Messungen zu korrigieren wird man dem Abstand der Randmarken eine Bildweite für die Abszissen und eine solche-für die Ordinaten bestimmen. Papierbilder haben noch den Vorteil, daß die Punkte leichter bezeichnet und beziffert werden können. Zur Ausmessung dient am besten ein fein geteilter Anlegemaßstab.

Das Aufsuchen entsprechender Punkte auf verschiedenen Bildern erfordert wohl einige Übung, geht dann aber sehr rasch vorwärts und macht wenig Mühe. Die beste Probe für die Richtigkeit der gefundenen Punkte gibt die Identifizierung jedes Punktes--auf mindestens drei Bildern, da die zugehörigen Strahlen sich im Lageplan in einem Punkte schneiden müssen; daneben wird auch die Höhenprobe gute Dienste leisten.

Wir erwähnen noch die sogenannten „Kernpunkte“, die bei lotrechten Bildebenen wohl die

Man versteht hierunter die

Identifizierung erleichtern, praktisch jedoch wenig anwendbar sind, beiden Punkte, in denen die Verlängerung der Basis die beiden Bilder schneidet. Jedem Strahl, der auf einem Bilde durch den Kernpunkt geht, entspricht im zweiten Bilde ebenfalls ein durch dessen Kernpunkt gehender Strahl. Sind auf den beiden Bildern drei Punkte identifiziert und die ent-

sprechenden Kernstrahlen gezogen, so kann man sofort zu jedem vierten Strahl des einen Bildes den entsprechenden Strahl des andern nach den Lehren der projektiven Geometrie konstruieren, da die beiden Strahlenbüschel dasselbe Doppelverhältnis bilden müssen. Man legt hierzu durch die vier gegebenen Strahlen eine Gerade und trägt die Schnittpunkte auf einen Papierstreifen auf ; verschiebt man letzteren auf dem andern Bilde so, daß die drei gegebenen Strahlen durch die entsprechenden Punkte hindurchgehen, so wird durch den vierten Punkt die Lage des gesuchten vierten Strahls bestimmt. Die Konstruktion entsprechender Kernstrahlen wird einfacher, wenn die Schnittlinie der beiden Bildebenen gefunden werden kann, da alle solche Strahlen sich in dieser Linie schneiden. Die Lage der Schnittlinie erhält man, indem man die Horizontalprojektion der beiden Bildebenen in -den Lageplan einträgt und zum Schnitt bringt.

Hat man durch einen Punkt des einen Bildes den Kernstrahl gezogen, so gibt der entsprechende Kernstrahl des andern Bildes einen geometrischen Ort für den dazugehörigen zweiten Bildpunkt. Diese Methode ist namentlich bei Geländelinien (Wegen, Kulturgrenzen usw.), die auf beiden Bildern sichtbar sind, bequem, da entsprechende Kernstrahlen diese Linien in entsprechenden Punkten schneiden.

zur

Eine andere Art der Ausmessung mit gleichzeitiger Verschärfung der Messungen hat Koppe angegeben, wobei das zeichnerische oder mikrometrische Abmessen von den photographischen Bildern oder Platten ersetzt wird durch das genauere Winkelmessen durch das photographische -Objektiv. Diese Ausmessung beruht auf dem Prinzip des Gaußschen Kollimators, daß hei zwei mit den Achsen gegenseitig aufeinander-.geriehteten Fernrohren, wenn sie auf Unendlich eingestellt sind, die Fadenkreuze gegenseitig sichtbar sind. Es wird eine besondere Ausmeßvorrichtung an dem Unterbau des Phototheodolits Fig. 8 S. 833 befestigt (in der Figur nicht dargestellt), so daß das Kamerameßfernrohr sich vor dem Objektiv der genau in die gleiche Neigung wie bei der Feldaufnahme eingestellten Kamera befindet und die Winkelmessung mit dem Horizontalkreis und dem Vertikalkreis des Instrumentes vorgenommen werden kann. Es dient also hei dieser Koppeschen Anordnung die Photographie gewissermaßen Verlegung der Winkelmessung vom Felde in das Zimmer. Weiteres über das "Verfahren geben die oben genannten Schriften von Koppe, sowie ein Bericht über die neuen Koppeschen Phototheodolite von Kahle in der „Zeitsehr. 1. Instr. 189U S. 33    4 7,

Die in den Lageplan eingetragenen Punkte bilden den Rahmen für die Wiedergabe des Geländes selbst. Zunächst werden die zur Situation gehörigen Linien ermittelt, deren allgemeiner Verlauf durch die aufgenommenen Punkte bestimmt ist. während ihre Einzelheiten sich aus den Bildern selbst ergehen. Hierauf werden die Geripplinien des Geländes, die Linien größten Gefälles, die Kamm- und 1 allinien usw. bestimmt, die dann die Unterlage zum Einzeichnen der Horizontalkurven geben.

Kür

Konturen gut zu verwenden, kurven dieser Fläche kann man

Konturpunkten ermittelt und

•der Station und der Horizontalkurve bezeichnet. Diese Strecken trägt man

Die Horizontalkurven des Konturkegels müssen die Horizontalkurven des Punkte berühren, geben also einen Anhalt für das Zeichnen der letzteren.

die Konstruktion der Horizontalkurven sind die in den Bildern zahlreich vorkommenden Jede Kontur bestimmt mit der Station eine Kegelfläche ; die Horizontalkonstruieren, indem man die Höhenwinkel ß nach den einzelnen die Strecken h cotg ß berechnet, in denen h den Höhenunterschied

auf den Strahlen ab und

verbindet ihre Endpunkte. -Geländes in je einem

messung

Die photogrammetrische Terrainaufnahme. Mitt. d. k. u. k. Mil.-geogr. Inst. XIX. Bd. 1899 S. 108—144.

Wichtige Einzelheiten für die Bearbeitung photogrammetrischer Aufnahmen finden sich in S. Finsterwalder, Der Vernagtferner, seine Geschichte und seine Vérin den Jahren 1888 und 1889. Graz 1897, und in Arthur Freiherr von Hübl,

§ 199. Stereophotogrammetrie*

' Werden im Gelände zwei photographische Aufnahmen gemacht, hei denen die lichtempfindlichen Platten in derselben Yertikalebene und in gleicher Höhe, jedoch in beliebigem Abstand voneinander liegen, so haben diese beiden Aufnahmen die Eigenschaft stereoskopischer Bilder, und ihre beiden Positive geben, in gewöhnlichem Augenabstand in ein Stereoskop gelegt, den Anblick eines plastischen Geländemodells.

Bei gewöhnlichen Stereoskopbildern erfolgt die Aufnahme vermittels zweier Objektive, deren parali eile Achsen um wenig mehr als den Augenahstand voneinander entfernt sind. Die mit größerer Basis aufgenommenen Bilder gehen im Stereoskop nicht mehr den natürlichen Anblick des Geländes wieder, sondern erzeugen eine erhöhte plastische Wirkung. Man erhält denselben Effekt, den der natürliche Anblick eines verkleinerten plastischen Geländemodells bieten würde ; der Grad der Verkleinerung ist gleich dem Verhältnis des Augenahstandes zum Abstand der beiden Aufnahmepunkte, oder zur Basis der Aufnahme.

Den für stereophotogrammetrische Aufnahmen besonders konstruierten Phototheodolit von Pulfrich haben wir bereits in § 198 S. 885 mit Abbildung auf S. 834 behandelt.

Pig. 1.

Selbst wenn wir von der Zuhilfenahme des Stereoskops vollständig absehen,. haben wir in solchen Aufnahmen die Möglichkeit, rechtwinklige, räumliche Koordinaten zur Festlegung der Horizontalprojektion und der Höhen der Geländepunkte im einfachster Weise zu ermitteln. Dabei muß allerdings die Identifizierung der Punkte auf den beiden Aufnahmen wie bei der gewöhnlichen Photogrammetrie vorausgesetzt werden. Dies mag folgende Fig. 1 veranschaulichen. Es seien 0 und 0' die Objektivmittelpunkte der beiden Bilder, o und o' ihre Projektionen auf die Bildebene oder die Hauptpunkte der Bilder, die bei der Aufnahme auf den Platten festgelegt werden. Auf beiden Bildern mögen die Abszissen x und x', ferner auf dem linken Bildp die Ordinate y eines in p bzw. p’ abgebildeten Punktes P gemessen werden. Diese Messungen geben dann sofort die rechtwinkligen, räumlichen Koordinaten des Geländepunktes P in bezug auf 0 als Nullpunkt. Zunächst ist nach der Fig. 1

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Ferner ist aber

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und Y = y

x — x'

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oder, wenn wir x — x' = zl setzen,

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Folglich haben wir X — x

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Auf einem von A in der Längsrichtung

Dies wäre die rein geometrisch-graphische Behandlung der stereophotogrammetrischen Aufnahme, die indessen die Vorteile solcher Bilder bei weitem nicht ausnützt. Der wesentlichste dieser Vorteile besteht darin, daß die Abhängigkeit von dem Auffinden sich besonders markierender Punkte, das ja die Grundbedingung der gewöhnlichen Photogrammetrie bildet, fast ganz eliminiert werden kann, wenn man die lineare Ausmessung mit Hilfe des Millimetermaßstabes auf die Ermittlung der beiden Koordinaten x und y beschränkt, die Messung der Größe z/ dagegen, der „parallaktischen Verschiebung“, in das Stereoskop verlegt.

Die Ausmessung der stereoskopischen Bilder erfolgt im Prinzip mit Hilfe des in § 173 S. 718 beschriebenen stereoskopischen Entfernungsmessers mit wandernder Marke. An die Stelle des Doppelfernrohrs tritt hier jedoch ein Doppelmikroskop mit erweitertem Objektivabstand, dessen Objektive auf die beiden Bilder gerichtet werden. In den Bildebenen der Mikroskope sind zwrei Marken angebracht, die den Anblick einer im Raume schwebenden Marke bieten. Das Wandern dieser Marke in größere oder kleinere Entfernungen, das im stereoskopischen Entfernungsmesser durch seitliche Verschiebung der einen Marke zustande kommt, wird hier durch seitliche Verschiebung des einen Bildes verursacht, während beide Marken unbeweglich feststehen; der stereoskopische Effekt ist indessen in beiden Fällen derselbe.

Wir gehen nun über zur Erläuterung des in Fig. 2 dargestellten Stereokomparators , der die zur Ausmessung stereoskopischer Bilder nach dem vorstehenden Prinzip erforderlichen Vorrichtungen enthält.

Fig. 2. Stereokomparator von Zeiß.

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vier Füßen getragenen wagrechten Tisch läßt sich ein Schlitten vermittels der Kurbel H verschieben; die Größe der Ver-

Schiebung kann an der Skala X gemessen werden. Auf diesem Hauptschlitten sind zwei weitere in derselben Richtung laufende Schlitten angebracht, die die zur Aufnahme der photographischen Platten bestimmten Rahmen tragen. Von diesen beiden Schlitten kann der linke durch einen Riegel E geklemmt werden, während der rechte durch die Mikrometerschraube Z bewegt wird; für den letzteren ist auch noch eine Querverschiebung durch die Schraube G vorgesehen. Endlich sind noch die beiden Feinbewegungsschrauben D± und J)₂ zu erwähnen, die eine gelinge Drehung der Platten ermöglichen. Die Platten I\ und _P₂ werden auf ihren Rahmen durch Anschläge und Riegel festgehalten. Sämtliche Schlitten sind durchbrochen, so daß die Platten von der Rückseite her durch zwei Spiegel Sx und S-₂ beleuchtet werden können.

Auf diesem Unterbau erhebt sich der Träger des Stereomikroskops. Letzteres ruht auf einem Querschlitten B, dessen Bewegung mit der Kurbel V ausgeführt und mit der Skala Y gemessen werden kann. Zum Transport wird das Mikroskop nach Lösen der Schraube J von seinem Schlitten abgehoben. In Kx und 7l₂ liegen die durch Kappen verschließbaren Objektive, in 0₁ und 0₂ die Okulare der 6 fach vergrößernden Mikroskope, in deren Bildebenen sich die beiden Einstellmarken befinden. Mit dem Spiegel Ei und der davor befindlichen auswechselbaren Linse kann die Skala Y bequem abgelesen werden. Zur Ausmessung zweier Bilder ist erforderlich, daß erstens die Bildvertikalen und Horizontalen den beiden Hauptrichtungen des Instruments parallel liegen, und daß zweitens bei Einstellung der beiden Bildhauptpunkte auf die Mikrometermarken vermittels der Kurbeln H und V bzw. C und Z die Ablesungen der Skalen X, Y und Z Null ergeben. Die erstere Bedingung läßt sich mit Hilfe der beiden Peinbewegungen Dy und D₂ erfüllen; für die zweite Bedingung kann die Platte I\ auf ihrem Schlitten verschoben und mit dem Riegel E geklemmt werden, ferner können die Nonien bei X und Y, sowie die Meßtrommel bei Z verstellt werden. Sind diese Justierungen ausgeführt, so kann mit der Ausmessung des Geländes begonnen werden. Mit den beiden Kurbeln H und V und der Mikrometerschraube Z wird die wandernde Marke auf einen beliebigen Geländepunkt eingestellt, worauf die Ablesung der beiden Nonien X und Y und der Mikrometerschraube Z die Koordinaten x und y, sowie die parallaktische Verschiebung A ergeben; nach S. 838 können dann die räumlichen Koordinaten des Punktes berechnet werden.

Die Herstellung der topographischen Karte mit Hilfe des Stereokomparators wird in ähnlicher Weise wie bei einer topographischen Meßtischaufnahme vor sich gehen; während dort die Geländeobjekte und die Horizontalkurven nach der Natur gezeichnet werden, wird hier das im Stereoskop sichtbare verkleinerte Geländemodell der Zeichnung zugrunde gelegt. Ebenso wie dort die sog. Lattenpunkte zur Erleichterung des Krokierens und zur Erhöhung der Genauigkeit nach Richtung, Entfernung und Höhe festgelegt werden, können hier beliebig viele Geländepunkte durch die Komparatormessung bestimmt werden (vgl. hierzu den Bericht in „Zeitschr. f. Verm.

1908“ S. 425—436).

Der Stereokomparator wurde von C. Pulfrich, wissenschaftlichem Mitarbeiter der optischen Anstalt Carl Zeih ln Jena, konstruiert und 1900/01 in einem ersten Modell ausgeführt. Nach erfolgreichen Versuchen auf verschiedenen Anwendungsgebieten wurden mehrere neuere Modelle konstruiert, deren letztes, lediglich für topographische Zwecke bestimmtes, oben erläutert ist. Von der hierauf bezüglichen Literatur nennen wir noch: C. Pulfrich, Über neuere Anwendungen der Stereoskopie und über einen hierfür bestimmten Stereokomparator, ,Zeitschr. f. Instrumentenk. 1902“ S. 65—81, 133—141, 178-192, 229—246: vgl. auch 1903 S. 43-46, 133-148, 317-334; 1904 S. 53—57. von Hübl, Die Stereophotogrammetrie, „Mitt. d. k. k. Mil.-geogr. Inst. 1902“ S. 139—154; Die stereophoto-

grammetrische Terrainaufnahme, ebenda 1903 S. 182—212; Beiträge zur Stereophotogrammetrie, ebenda 1904 S. 143—180. Seliger, Topographische Triangulation durch Stereophotogrammetrie, „Zeitsehr. f. Verm. 1905“ S. 382—405. Truck, Die stereophotogrammetrische Meßmethode und ihre Anwendung auf Eisenbahnbauvorarbeiten, „Zeitschr. f. Yerm. 1906“ S. 313—326, 345—352; Das Pulfrichsche Stahlmeßrohr als Distanzmeßlatte in seiner Anwendung bei stereophotogrammetrischen Aufnahmen, „Zeitschr. f. Verm. 1907“ S. 470—474.

§ 200. Besondere Aufgaben der Photogrammetrie.

Bisher wurde vorausgesetzt, daß die Lage und Höhe des Aufnahmepunktes und die Bichtung des Hauptstrahls entweder von vornherein aus einer Triangulation bekannt sind, oder gelegentlich der Aufnahme durch Winkelmessung ermittelt sind. Gleichzeitig wurde die Lage des Hauptpunktes und die Bildweite für jede Aufnahme als bekannt vorausgesetzt; nach Finsterwalder mögen jene Elemente die äußere, diese die innere Orientierung der Aufnahme bilden. Wir wollen nun noch die allgemeineren Fälle behandeln, in denen die beiden Orientierungen entweder nur teilweise oder auch gar nicht bekannt sind, und aus der Aufnahme allein ermittelt werden müssen. Die hierzu gehörigen mathematischen Theorien sind in erster Linie von Hauek und Finsterwalder bearbeitet worden.

Aus der Literatur nennen wir : S. Finsterwalder, Die geometrischen Grundlagen der Photogrammetrie, Jahresber. d. Deutschen Mathem.-Vereinigung, 6. Bd. 2. Heft, Leipzig 1899, S. 3-41; Eine neue Art, die Photogrammetrie bei flüchtigen Aufnahmen zu verwenden, Sitzungsber. d. Akad. d. Wiss. zu München, Bd. 34, 1904 S. 103—114.

In dieses Gebiet fällt zunächst die Orientierung eines einzelnen Bildes, wenn

in dem aufgenommenen Gelände eine Beihe gegebener Punkte vorliegt. Ist weder die innere noch die äußere Orientierung bekannt, so müssen wenigstens sechs Punkte des Objekts gegeben sein; bei bekannter innerer Orientierung reduziert sich die Anzahl der Punkte auf drei. Setzt man endlich voraus, daß die Bildebene lotrecht stellt und daß die Bichtung der Bildvertikalen bekannt ist, so genügen fünf Punkte zur Orientierung. Auf diese von B. Sturm zum ersten Male gelöste und nach Steiner unter dem Hamen „Problem der fünf Punkte“ bekannte einfachere Aufgabe läßt sich die vorstehende allgemeine Form zurückführen. (Vgl. Fr. Steiner, Die Photographie im Dienste les Ingenieurs, Wien 1891.) Die graphische Lösung mit Hilfe der projektiven Geometrie führt auf die Konstruktion zweier Kegelschnitte, deren Schnitt den Stationspunkt gibt. Die Aufgabe wird unbestimmt, wenn die fünf gegebenen und der Stationspunkt auf einem Kegelschnitt liegen (entsprechend dem gefährlichen Kreise beim Rückwärtseinschneiden). Nach der Ermittlung des Stationspunktes können die weiteren Orientierungselemente leicht gefunden werden. Auch in der analytischen Lösung kann denselben Weg einschlagen, indem man die Gleichungen der beiden Kegelschnitte aufstellt und die Koordinaten des Schnittpunktes bestimmt. Eine neue Lösung gibt E. Doleżal („Zeitschr. f. Math. u. Phys., 47. Bd. 1902“ S. 29-85) in Verbindung mit Genauigkeitsuntersuchungen und Ausgleichung bei mehr als fünf gegebenen Punkten.

Ferner betrachten wir noch diejenigen Methoden der Photogrammetrie, bei denen weder die Lage der Stationspunkte noch die einzelner Objektpunkte als bekannt vorausist; diese Methoden werden also in erster Linie für flüchtige Aufnahmen in Frage kommen. Hiervon bietet der allgemeinste Fall vorwiegend mathematisches Inter-Vier beliebige Photographien eines Objekts, deren innere und äußere Orientierung nicht bekannt ist, genügen abgesehen vom Maßstab zur Rekonstruktion des Objekts;

durch Annäherung gelöst werden.

man

zusetzen

esse :

indessen kann diese Aufgabe bis jetzt

nur

Ist die innere Orientierung gegeben, so genügen zwei im übrigen beliebige Bilder des Objekts; die Bestimmung der äußeren Orientierung ist dann jedoch ebenfalls keine einfache Sache, da hierzu die beiden Kernpunkte (vgl. S. 836) aus einer Reihe identifizierter Punkte der beiden Bilder gefunden werden müssen.

Diese allgemeinen Aufgaben, die wohl bei Ballonaufnahmen auftreten können, werden für topographische Aufnahmen keine Rolle spielen. Bei letzteren wird es immer möglich sein, die Bildebene lotrecht zu stellen bzw. ihre Neigung gegen die Lotrichtung zu messen; wenn hierzu noch die innere Orientierung bekannt ist, so gestaltet sich die Ermittlung der äußeren Orientierung aus zwei Bildern sehr einfach. Wir teilen im folgenden eine von Finsterwalder (Sitzungsber. d. Ak. d. Wiss. zu München Bd. 34, 1904 S. 104—107) angegebene Konstruktion mit.

In Fig. 1 seien in den Punkten Oy und 0₂ zwei Bilder aufgenommen, in denen die Geländepunkte P, Q und R identifiziert werden können. Aus dem ersten Bilde

Fig. l.

Qu

Ru

Ot

O2

läßt sich die gegenseitige Lage der Strahlen Oy P, OyQ und Oy R mit Hilfe der inneren Orientierung und der Neigung der Bildebene entnehmen; aus dem zweiten Bilde ergibt sich das Strahlenbündel 0₂ P > 0₂ Q und 0₂ R. Fig. 1 stelle die Horizontalprojektion der Punkte dar. Denken wir uns in beliebiger Höhe eine Horizontalebene gelegt, so wird diese die Strahlen in den Punkten P₁Q₁R₁ bzw. P₂ Q₂ R₂ und die Verlängerung der Basis in einem Punkte Oi,2 schneiden. Es ist nun leicht einzusehen, daß die Verbindungslinien PyP₂ , Qy Q₂ und Ry R.₂ durch den Punkt Oi,2 gehen müssen ; dasselbe gilt auch für die Strahlen nach beliebigen weiteren Geländepunkten. Verschieben wir das durch 0₂ gehende räumliche Strahlenbündel derartig parallel, daß 0₂ auf der Geraden 0₂ 0₁ sich dem Punkt 0₁ nähert, so hleiben die Schnittpunkte P₂ Q₂ Rz stets auf den Geraden Px Oi,2 , Oi,2 und R₁ Oi,2 ; dies gilt auch noch, wenn 0₂ mit (Ą zusammenfällt. Diese letztere Punktlage ist nun geeignet zur Ermittlung der Orientierung der beiden Strahlenbündel gegeneinander und gegen die Basis 0₁ 0₂.

Wir nehmen die Horizontalebene in beliebigem Abstande h über oder unter O-y an und berechnen die Schnittpunkte Py Qy Ry der Strahlen OyP , OyQ und Oy R mit

dieser Ebene. Die Sichtungen 0i P₁ , (>i Qx und    sind hierbei unmittelbar

den Bildern zu entnehmen, ebenso die Neigungswinkel ßp ßq und ßr; aus letzteren ergeben sich dann die Entfernungen h cotg ßp , h cotg ßq und h cotg ßr. Auf dieselbe Weise erhalten wir die Lage der Punkte P₂ > Q2 U11(l ^2 ™ bezug auf 0₂-Die beiden ebenen Strahlenbüschel werden auf Pauspapier gezeichnet, mit den Punkten Ol und 0₂ aufeinander gelegt und so gedreht, daß die drei Verbindungslinien 1\ P2r Ql Q2 lin<i Ą. P2 sich in einem Punkte schneiden. Sind mehr als drei Punkte auf den Bildern identifiziert, so ergibt sich eine wertvolle Probe für die richtige Bestimmung des Schnittpunktes, der den Punkt Oi,2 darstellt. Die Strahlenbüschel sind nun gegen die Basis orientiert, und es ergibt sich zugleich die Neigung q der letzteren

gegen die Horizontalebene aus der Gleichung tang <jp = -q~q— •

Die analytische Lösung dieser Aufgabe, auf die wir nicht näher eingehen wollen,, führt auf eine Gleichung sechsten Grades (vgl. S. Pinsterwalder a. a. O. S. 107—108r K. Fuchs, Photogrammetrie ohne Theodolit „Zeitschr. f. Verin. 1905“ S. 449—457).

Sind die Aufnahmen von vornherein mit der Bussole orientiert, so können die-

aus=

beiden ebenen, durch Oi und 0₂ gehenden Strahlenbüschel ohne weiteres in richtiger Orientierung aufeinander gedeckt werden ; nötigenfalls korrigiert man die Bussolenorientierung durch eine geringe Drehung des einen Büschels. Der Punkt Oi,2 dient in diesem Falle nur zur Ermittlung der Richtung und Neigung der Basis.

Wenn mehr als zwei Stationen benutzt werden, so ergeben sich aus der vorstehenden Methode wichtige Hilfsmittel für die Verbindung der einzelnen Aufnahmen, verweisen hierfür auf S. Fin sterwalder, Flüchtige Aufnahmen mittels Photogrammetrier Verhandl. des dritten intern. Mathematiker-Kongresses, Leipzig 1905, S. 476—483, auch ein Beispiel hierzu behandelt ist.

Wie die Konstruktion zeigt, ist die Methode dann nicht anwendbar, wenn geringe Höhenunterschiede vorliegen, da gerade die Mitwirkung der Höhenwinkel die Orientierung ermöglicht. Es bleibt deshalb die Anwendung dieser Methode auf einzelne-Gebiete, z. B. Aufnahmen im Gebirge, beschränkt.

Für photogrammetrischeAufnahmen

im Flachlande genügen zwei Bilder ohne vollständige äußere Orientierung nicht Rekonstruktion des Geländes. Ist nur der Neigungswinkel der Bildebene gegen die Lotrichtung gegeben, so sind mindestens vier Bilder erforderlich ; ist außerdem noch / die Orientierung mit dem Kompaß möglich, so reichen drei Bilder aus. Diese beiden (

Aufgaben sind unter dem Namen des Lam- \ bertschen Problems der acht bzw. sechs Punkte bekannt. Analytische Lösungen N linden sich in Lambert, Beiträge zum Gebrauch der Mathematik, Berlin 1765, § 270

Fig. 2.

Wir

wo

nur

zur

S2

*1ß

er

und § 107.

Wir wollen hier nur eine Lösung der Aufgabe der sechs Punkte erwähnen, die auf der Benutzung Collinsscher Hilfspunkte beruht. In Fig. 2 seien in den drei Punkten Si , So und $3 photogrammetrische Auf-

nahmen erfolgt, von denen jede die drei Zielpunkte , Z₂ und Z% enthält. Dabei seien ■die Neigungen der Bildebenen gegen die Lotrichtung und die Richtungswinkel der Hauptstrahlen, letztere mit der Magnetnadel, gemessen. Nach Entnahme der erforderlichen Horizontalwinkel aus den Bildern können die Richtungswinkel der neun Strahlen berechnet werden. In Fig. 2 betrachten wir nur die drei nach dem Zielpunkte Z₂ gerichteten Strahlen, aus deren Richtungswinkeln die beiden Winkel a und ß bekannt sind. Wir denken uns durch die drei Punkte Z₂ /Sj /Sj einen Kreis gelegt, auf dessen Peripherie der Hilfspunkt $2,2 in der Verlängerung von Z₂ S₂ liegt; mit Hilfe von a und ß läßt sich dann das Dreieck <Sj Sj $2,2 konstruieren. Ebenso erhalten wir aus den drei Strahlen nach Z₁ und dem Kreise durch /Sj S?J Z₁ den Hilfspunkt $2,1, und endlich für den Punkt Zs den Hilfspunkt Q-2,3, womit die gegenseitige Lage der Punkte /Sj Ss Q-2,i ^2,2 und Q-2,3 bekannt ist. Da aus den Differenzen der gemessenen Richtungswinkel .auch die beiden Winkel <p und i|> gegeben sind, so kann die Lage des Punktes S2 nach der Methode des Rückwärtseinschneidens nach den drei Punkten Q-2,i $2,2 und ■$2,3 bestimmt werden. Hierauf lassen sich nach derselben Methode auch die drei -Zielpunkte Z^ Z₂ Zà finden.

Neben den im bisherigen gegebenen Zitaten zu den Arbeiten von Paganini, Finsterwalder und Koppe seien zur Kritik der Leistungsfähigkeit der photogrammetrischen Aufnahmen noch genannt :

Bosenmund, Untersuchungen über die Anwendung des photogrammetrischen Verfahrens für ■topographische Aufnahmen. Bern 1896.

von Hübl, Die photogrammetrische Terrainaufnahme. Mitteilungen des k. k. Militär-geographischen Instituts. XIX. Band. 1900 S. 78—144.

Die Literatur über Photogrammetrie ist in unserer 4. Auflage 1893 S. 740—742 von 1860—1893 in 39 Nummern möglichst vollständig angegeben. Aus Raumrücksichten geben wir hier nur den Anfang und die Verweisungen auf „Zeitschr. f. Vermessungswesen“.

1860. Laussedat. Mémoire sur l'emploi de la photographie dans le levé des plans et spécialement dans les reconnaissances militaires. Comptes rendus. 50. Band. 1860 S. 1127—1134.

1862. d’Abbadie gibt im Bulletin de la Société de géographie de Paris (Dez. 1862) „rapport sur la planchette photographique de M. Chevallier“.

1862. Bâté. Application de la photographie à la topographie militaire, Paris (beschreibt eine von Chevallier konstruierte „planchette photographique“).

1866. Meydenbauer. Über die Anwendung der Photographie zur Architektur- und Terrainaufnahme (Photometrographie), „Zeitschr. f. Bauwesen von Erbkam XVII, 1867“ S. 62—70.

1866. Jouart. Application de la photographie aux levés militaires.

1868. Archiv für die Offiziere des k. preufi. Artillerie- und Ingenieurkorps, Jahrg. 32, Band 63 (Aufnahme der Umgegend von Freiburg, nach Meydenbauers System).

1873. Meydenbauer und Tschudi. Zur Photogrammetrie. „Deutsche Bauzeitung 1873“ S. 265.

1876. Jordan. Über die Verwertung der Photographie zu geometrischen Aufnahmen, Photogrammetrie. Zeitschr. f. Verm. 1876“ S. 1—17.

Umfangreiche Literaturangaben über Photogrammetrie sind auch enthalten in P. Paganini. Fotogrammetria, Mailand 1901 ;

S. Finsterwalder, Photogrammetrie. Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. VI. 1. S. 98—116. Leipzig 1906.

Nach diesem sei außer den bereits in den Text von § 194—200 aufgenommenen Einzelzitaten noch verwiesen auf die allgemeinen Literaturberichte der „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S 587, 1892 S. 480, 1893 S. 462, 1894 S. 473, 1895 S. 440, 1896 S. 501, 1897 S. 559, 1898 S. 461, 1899 S. 577, 1900 S. 501, 1901 S. 439, 1902 S. 652, 1903 S. 520, 1904 S. 620, 1905 S. 619, 1906 S. 820, 1907 S. 837, sowie auch auf <lie Berichte über die Fortschritte der Photogrammetrie in dem in Halle erscheinenden „Jahrbuch für Photographie und Keproduktionstechnik und auf das 1908 neu begründete „Internationale Archiv Tür Photogrammetrie“ (Wien und Leipzig bei Carl Fromme).

Kapitel XVII.

Vorarbeiten für Eisenbahnban nsw.

§ 201. Allgemeine Vorarbeiten.

Wenn in einem geodätischen Werke über Vorarbeiten für Eisenbahnbau, Straßenbau, Wasserbau usw. gehandelt wird, so kann es sich nur um den vermessungstech

nischen Teil solcher Vorarbeiten handeln, welcher in manchen Fällen neben der geologischen Bodenuntersuchung oder der wirtschaftlichen Abwägung von Verkehrsinteressen von geringer Bedeutung ist, aber auch in anderen Fällen zur Kostenersparung bei der Erdmassenverteilung und zur Gewinnung günstigster Steigungs- und Krümmungsverhältnisse sehr wichtig ist.

Man unterscheidet allgemeine (generelle) Vorarbeiten, und besondere (spezielle) Vorarbeiten, von welchen wir hier in diesem Paragraphen und in § 202, die ersteren allgemeinen Vorarbeiten in Hinsicht auf geodätische Verhältnisse behandeln wollen, während in dem nachfolgenden § 203 u. ff. noch einiges über Linienabsteckungen zu den besonderen Vorarbeiten zu sagen sein wird; auch gehören hierzu die schon früher in § 109-—110 u. ff. erledigten Abschnitte über Nivellierung von Längenprofilen und Querprofilen, sowie Absteckung von Höhenpunkten.

Allgemeine Vorarbeiten werden begonnen, sobald auf Grund vorhergegangener Ermittlungen die Zweckmäßigkeit des Baues einer Bahn, sowie ihr ungefährer Lauf festgestellt worden ist. Sie bezwecken die Ermittlung der vorteilhaftesten Bahnlinie innerhalb eines breiten Geländestreifens, nötigenfalls auch die Entscheidung zwischen mehreren Konkurrenzlinien. Auf Grund der besonderen Vorarbeiten, bei denen die Aufnahme eines schmalen Flächenstreifens erfolgt, wird dann die endgültige

genauere Bahnlinie ennittelt.

Solche Vorarbeiten werden in Kulturstaaten im allgemeinen nicht unabhängig

Teil auf bereits vorhandene Auf-

und selbständig gemacht, sondern sie werden nahmen, die in Karten und Zahlentabellen niedergelegt sind, gegründet, und namentlich die allgemeinen (generellen) Vorarbeiten sind so sehr gebunden an die bereits vorhandenen Karten, daß die richtige Behandlung der Vorarbeiten wesentlich in dem vollen Verständnis und in der richtigen Benützung jener Grundlagen besteht.

Aus diesen Gründen muß der geodätische Teil der Trassierungsarbeiten in schiedenen Ländern verschieden sein. Das ist besonders auch der Fall in Deutschland, die Landesvermessungen und die Karten so sehr voneinander abweichen; z. B. in Württemberg und Bayern, wo gedruckte Flurkarten in einheitlichem Koordinatensystem in 1 :2500 bzw. 1 : 5000 zu den niedersten Preisen jedermann zugänglich sind, ist eine Vorarbeit eine viel leichtere Sache als in den noch nicht einheitlich geodätisch vermessenen norddeutschen Gegenden, z. B. in der Provinz Hannover, wo zum größten Teil nur unzusammenhängende Flurkarten ohne Koordinatensysteme, auf Rathäusern

zum

ver-

wo

umständlich zu kopieren, und an topographischen Karten teilweise nur die Meßtischblätter der Landesaufnahme in 1 : 25 000, teilweise nur alte Landeskarten in 1:100 000 vorhanden sind.

Von der Unterscheidung, ob mehr oder weniger gute und mehr oder weniger leicht zugängliche Karten vorhanden sind, hängt es namentlich ab, wie lange man an •die vorhandenen Karten sich hält, ohne eine feste Linie ins Feld zu bringen, oder ob man sich frühzeitig eine feste Linie absteckt, mißt und nivelliert, um daran alles Weitere anzubinden.

Z. B. in Württemberg kann man das Abstecken einer Trasse oder eines Polygon-Truges viel länger unterlassen als in der Provinz Hannover. Man kann diese Unterscheidung auch so fassen : In kartenarmen Ländern sind viele Dinge als Trassierungsvorarbeiten zu machen, welche anderwärts kostenfrei zur Verfügung stehen, und es gibt für das kartenarme Land zwei Arten des Vorgehens, entweder betreibt man zunächst reine Kartenaufnahmen, um mit deren Hilfe auf der Karte zu trassieren, oder man verlegt den Schwerpunkt der Aufnahmen sofort in Absteckungen vorläufiger Art.

Es wird aber wohl keine ungehörige Abschweifung sein, hierbei auf die Notwendigkeit hinzuweisen, daß in einem Kulturstaate schon in der geodätischen und kartographischen Venvaltung die Ingenieurbedürfnisse bei Vorarbeiten berücksichtigt werden, daß nicht andere Bedürfnisse, namentlich Kataster- und Steuerzwecke, zu einseitig bei der Auswahl dessen mitreden, was aufgenommen, kartiert und gedruckt werden soll.

Mustergültig ist in dieser Hinsicht die neue technisch-topographische Aufnahme in Württemberg auf Grund der gedruckten Flurkarten im Maßstab 1 : 2500, vgl. § 216. Dem gleichen Zweck dient auch die neue topographische Aufnahme in Braunschweig im Maßstab 1 : 10 000, vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 897—424. In Preußen und •den meisten anderen deutschen Staaten liegen nur die zu den ersten Vorerhebungen verwendbaren topographischen Karten im Maßstab 1 :25 000 (Meßtischblätter vgl. 4} 216) vor.

Eine Hauptfrage bei der Gesamtanordnung von Vorarbeiten betrifft die Wahl ■eines Koordinatensystems.

Jeder Geodät weiß, welche große unmittelbare und mittelbare Vorteile bei allen geodätischen Arbeiten in der Annahme eines einheitlichen Koordinatensystems liegen, .aber bei Ingenieurvorarbeiten werden diese Vorteile oft außer acht gelassen. Grundlegende Polygone werden oft lediglich nach Entfernungen und Brechungswinkeln aufs Papier aufgetragen. — Die „Anleitung für die Anfertigung von ausführlichen Eisenbahnvorarbeiten“ der Kgl. Eisenbahndirektion (linksrhein.) Cöln 1892 bestimmt auf S. 9, daß für sämtliche Winkelpunkte des Vielecks die Koordinaten für ein bestimmtes Koordinatennetz zu berechnen sind, als dessen Ursprung am besten der Anfangspunkt und als dessen Abszissenachse die Meridianlinie des Anfangspunktes zu wählen ist.

Statt solcher jeweils örtlichen Annahme eines Koordinatensystems kann man besser durch Anschluß an die Landesaufnahme ein Koordinatensystem erlangen, welches sehr bedeutende Vorteile mit sich bringt (vgl. § 93 S. 405).

Noch ein Wort ist über die Genauigkeit der für allgemeine Vorarbeiten erforderlichen Pläne zu sagen. Während für die Aufnahme der Katasterkarten und der Verkoppelungskarten einheitliche und mustergültige Vermessungsanweisungen bestehen.

die auch über die Genauigkeit der Vermessungen genügende Angaben enthalten, sind für Eisenbahnvorarbeiten keine Genauigkeitsvorschriften vorhanden. Ebensowenig wird in den vielen Veröffentlichungen über Vorarbeiten die Genauigkeit berührt; die Messungen werden häufig nur nach der Anzahl der in einem Tage aufgenommenen Punkte beurteilt.

Eine eingehende Untersuchung hat Koppe auf Grund der Unterlagen früherer Bahnbauten der Rheinischen Eisenbahn angestellt; die Vergleichung der aus den Horizontalkurven und aus Nivellements ermittelten Höhen einer großen Anzahl von Punkten ergab für die erstere Höhenbestimmung den mittleren Fehler m = + (0,5 5 tang a) in Meter, wobei a den Neigungswinkel des Geländes bezeichnet. (Näheres hierüber siehe „Zeitschr. f. Verm. 1905“ S. 2—13, 33—38.)

Nach diesen allgemeinen Bemerkungen betrachten wir noch die verschiedenen Wege, die bei der Ausführung der Vorarbeiten je nach den vorhandenen Unterlagen eingeschlagen werden können. Zunächst wird es sich um die Herstellung des Lageplans durch Produktion (auf den Maßstab 1 :2500 , 1:5000 oder auch 1 : 10 000) und Zusammensetzung von Katasterkarten oder Verkoppelungskarten handeln. Schon hierbei zeigt sich der große Wert eines einheitlichen Koordinatensystems, da bei Vorhandensein eines solchen das Zusammensetzen der einzelnen Kartenblätter keine Schwierigkeiten bereitet. Indessen sind die Katasterkarten und die Verkoppelungskarten auch erst in den letzten Jahrzehnten an die trigonometrische Landesaufnahme angeschlossen worden ; meistens sind die Karten älter als die Landestriangulation. Aber auch in diesem Falle erfolgt das Zusammenfügen der Kartenblätter nur dann einwandfrei, wenn nachträglich die Karten durch Einmessen von vorhandenen Dreieckspunkten und neu eingeschalteten trigonometrischen Beipunkten an das Dreiecksnetz angeschlossen werden. Diese Beipunkte, die durch Bückwärtseinschneiden ihrer Lagt und Höhe nach bestimmt werden, geben dann zugleich die Grundlage der Höhenaufnahme.

Nur in den Fällen, in denen eine Landestriangulation überhaupt nicht vorliegt, sollte man zu einem Polygonzug mit Stahlband- oder Lattenmessung greifen, der in der Richtung der Trasse durch die verschiedenen Kartenblätter hindurch gelegt wird und zur Aufnahme von Grenzpunkten, Wegecken und andern in den Karten und im

Der Zusammenschluß der Kartenblätter mit

Gelände vorhandenen Objekten dient.

Hilfe eines solchen Zuges wird nur in der Nähe des letzteren zuverlässig sein.

Stellung in den neuen

stabe 1:25 000 den für allgemeine Vorarbeiten    ^ .

und daß die Genauigkeit bei der Vergrößerung auf den Maßstab 1:10 000 keine nennenswerte Einbuße erleidet. Indessen wird von diesem bequemen Verfahren nur

zu

Die Höhenaufnahme zur Eintragung der Niveaukurven in den nach den vorstehenden Grundsätzen erhaltenen Lageplan wird sich ebenfalls den vorhandenen Unterlagen anpassen müssen. In denjenigen Gebieten, in denen neue Meßtischblätter der topographischen Landesaufnahme vorliegen, kann die Höhenaufnahme ganz entbehrt werden, indem man von den auf photographischem Wege vergrößerten Meßtischblättern die Horizontalkurven unmittelbar in den Lageplan überträgt. Eine Genauigkeitsuntersuchung von Koppe in .Zeitsehr. f. Verm. 1906“ S. 6—7 zeigt, daß die Hölie^la^ Meßtischblättern der Preußischen Landesaufnahme im Maßstellenden Anforderungen genügt.

wenig Gebrauch gemacht werden können.

In der Mehrzahl der vorkommenden Fälle wird der Anschluß des Lageplans

an die Landestriangulation möglich sein, wodurch dann die Methode der Höhenaui-nahme ohne weiteres gegeben ist. Tachymeterzüge zwischen den Dreieckspunkten, die ohne Flurschaden und seihst in schwierigem Gelände leicht meßbar sind, bilden die Grundlage für die tachymetrische Höhenaufnahme; zur Ergänzung werden auch Kompaßmeßbandzüge hinzugenommen werden müssen. Für den Höhenanschluß der Züge sind die trigonometrisch bestimmten Höhen der Dreieckspunkte unmittelbar verwendbar; es bedarf also hierzu keines besonderen Nivellementszuges. Mit dem Anschluß an die Landestriangulation ist zugleich der Vorteil einer unbeschränkten Seitenausdehnung der Aufnahme verbunden.

Liegt der Anschluß an ein Dreiecksnetz nicht vor, so muß ein Polygonzug mit möglichst langen Seiten der Aufnahme zugrunde gelegt werden. Außer den Polygonpunkten sind in den Strecken noch einzelne Punkte dauerhaft zu vermarken und einzumessen; ein Nivellementszug gibt die Höhen der Punkte, die dann als Tachymeterstationen für die Geländeaufnahme dienen. Das Verfahren ist meistens schwerfällig, da die genaue Längenmessung und das Nivellieren auf unwegsamem Gelände umständlich und kostspielig wird und die Aufnahme im Gegensatz zu der vorher genannten auf einen schmalen Flächenstreifen beschränkt bleiben muß.

Zu erwähnen ist hier noch die barometrische Höhenmessung, die infolge ihrer Bequemlichkeit für Eisenbahnvorarbeiten viel angewendet wird und auch eine meistens ausreichende Genauigkeit liefert. Diese Methode kann entweder als Ergänzung der Tachymetermessungen oder auch selbständig zur Höheneinschaltung in ein Netz bekannter Höhenpunkte Verwendung finden. Das Einmessen der Punkte geschieht durch Abschreiten auf Grenzen usw. oder auch auf besonders abgesteckten Hilfslinien.

Eisenbahnvorarbeiten bei Salzdetfurth 1892.

Als Beispiel zu den vorstehenden Angaben wollen wir die Aufnahme des Lammetales bei Salzdetfurth vorführen, zu welcher die Karte auf S. 851 gehört. Es handelte sich hierbei um eine Sekundärbahn von Düngen (östlich von Hildesheim) nach Salzdetfurth, Lammspringe, Ahlfeld usw. In der Gegend von Salzdetfurth wurde die rechte (östliche) Talseite schon 1891—1892 durch die Kgl. Eisenhahndirektion Hannover, Abteilung für Vorarbeiten, aufgenommen, während die linke (westliche) Talseite als geodätische Pfingstübung der Technischen Hochschule 1892 behandelt wurde.

verzeichnet ist. Folgendes sind die Streckenlängen und die Brechungswinkel dieses Zuges, nördlich noch etwas weiter, als unsere Karte darstellt:

Auf dem östlichen Talabhange war von der Bauabteilung für Vorarbeiten ein durchlaufender Polygonzug ahgesteckt worden, welcher auf unserer Karte S. 851 mit sieben Winkelpunkten (TFT) und den dazwischen liegenden geraden Strecken Fig. 1.

Nagel

im

Jffi

Winkelpunkt WP (27) + 39,46 m WP (31) + 67,96 WP (35) + 27,71 WP (41) + 93,93 WP (46) + 56,50 WP (55) -f 98,72 WP (58) -f 23,45

Entfernung

von Düngen Strecken 2739,46 m 3167,96

3527.71 4193,93 4656,50

5598.72 5823,45

Brechungs

winkel

428,50 m

359,75

666,22

462,67

942,22

224,73

!„

o,8m

3083,99 m 3083,99 m

Die beigesetzte Fig. 1 zeigt zugleich die ans Eichenholz mit unteren Querhölzern bestehende Festlegung der Winkelpunkte, welche auf mindestens fünf Jahre Erhaltung berechnet ist (Mitteilung von Schepp, „Zeitschr. f. Yerm. 1895“ S. 418—421).

Dieser Zug ist so gesteckt, daß er im großen und ganzen den Lauf einer zu bauenden Eisenbahn darstellt, doch ist dabei auf glatt auszurichtende lange Strecken mehr Gewicht gelegt, als auf Anschluß an die künftige Bahnlinie. Die einzelnen Strecken sind einmal mit Meßlatten, nach dem Staffelverfahren, und dann zur Versicherung nochmals summarisch mit dem Meßbande zurück gemessen. Außer den bereits angegebenen Winkelpunkten (W P) sind auch noch Richtungspunkte (EP) in Abständen von 150—200-m angegeben. Beide Arten von Punkten sind durch eichene Pfähle von 10 cvn. quadratischer Seite bezeichnet, wie in Fig. 1 angedeutet, wozu nur die kleine Bemerkung zu machen ist, daß die Pfähle oben ein in der Mitte eingebohrtes Loch zum Einstecken einer Bake hatten und einen Nagel als Nivellementspunkt seitwärts eingeschlagen, während der in Fig. 1 schematisch gezeichnete Nagel erstens zu dick und zweitens an unrichtiger Stelle angegeben ist.

Dieser Polygonzug, ohne weitere geodätische Berechnung, gab die Grundlage für die ganze Aufnahme der Eisenbahnbehörde. Der Zug wurde nach Strecken und Brechungswinkeln in 1 : 2500 aufgetragen, schlechthin Strecke um Strecke, indem die Verlängerung von einer Strecke zur folgenden nach der Tangente des Brechungswinkels abgesetzt wurde.

Bei der daran anzuschließenden Tachymetrie waren dann so viele Punkte W P und E P nach Lage und Höhe zur Verfügung, daß der Tachymeter unmittelbar darauf aufgestellt oder auch seitlich angeschlossen werden konnte, so daß die Aufnahme eines Streifens von durchschnittlich 200 m Breite links und rechts von dem Basiszuge keinerlei Schwierigkeiten mehr begegnete.

Hierbei wurden auch solche Lagepunkte der Nachbarschaft erfaßt, welche den Anschluß vorhandener Flurkarten zu vermitteln hatten. Es waren nämlich teils ältere, teils neuere Flurkarten der Gegend vorhanden in verschiedenen Maßstäben 1 . 2138,3 ..., 1 :1066,6 . . ., 1 : 1000, 1 : 500 ohne Koordinatennetze; alle diese Karten innerhalb des wünschenswerten Bereiches (z. B. die Dorflagen Salzdetfuith und Detfurth) wurden zunächst mit dem Storchschnabel auf den Maßstab der Eisenbahnvorarbeiten 1 : 2500 reduziert, und dann auf Pauspapier, sowohl unter sich selbst, namentlich aber mit dem grundlegenden Vorarbeitenpolygon zusammengepaßt.

Auf diesem Wege entstand also nach der Länge der mutmaßlichen Eisenbahn eine Karte in 1 : 2500, deren Rückgrat sozusagen das scharf gemessene und nivellierte

Polygon ist.

Auf der westlichen Talseite wurde von uns anders, nämlich trigonometrisch, im Anschluß an die Landesaufnahme gearbeitet. Insoweit dabei höhere Geodäsie in Frage kommt, haben wir alles Nötige in „Handb. der Vermessungskunde“, III. Band, 5. Aull.

1907, S. 341_347 mitgeteilt, auch daselbst S. 346 die rechtwinkligen Koordinaten

und

54

einiger Anschlußpunkte gegeben, in einem konformen System, dessen .r-Achse im 28 teil Längengrad liegt mit —y westlich und +y östlich. Auch die rechtwinkligen Koordinaten unserer eigenen trigonometrischen Punkte, z. B. Burg, Tannenberg, Ohrtberg in Fig. 2 S. 851 und die miteingebundenen Koordinaten aller V inkelpunkte W P Richtungspunkte E P des staatlichen Eisenbahnpolygons (s. oben Fig. 2 S. 851)

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. XI. Bd.

7. Aufl.

haben wir in der 4. Atifl. dieses II. Bandes, 1893 S. 674—677 mitgeteilt, worauf, sowie auch auf 5. Aufl. 1897 S. 718, hier verwiesen sei.

Es soll nur noch kurz der Verlauf der Taehymetrie im Anschluß an die trigonometrischen Punkte auf dem Westabhange (Fig. 2 S. 851) beschrieben werden.

Das aufzunehmende Gelände der linken Talseite ist großenteils bewaldet (und zwar erheblich mehr als unsere Karte S. 851 zeigt, weil auf dieser Karte nordwestlich die Waldbezeichnung aus Versehen weggelassen ist), und dadurch tritt unsere trigonometrische Behandlung, im Gegensatz zu der östlichen graphischen Messungsart, in noch günstigere Vergleichung : Wenn z. B. zwischen Tannenberg und Ohrtberg über oder unter dem Kursaale ein regelrechter Polygonzug hätte durchgebracht werden sollen, mit scharf gemessenen, nicht zu kurzen Strecken wie am Ostabhange, so wäre das am Westabhange eine sehr umständliche und auch teuere Sache geworden, wegen der unvermeidlichen Durchhaue u. dgl. Dagegen auf der trigonometrischen Grundlage unserer nach Lage und Höhe bestimmten Punkte, Burg, Tannenberg, Ohrtberg, welche am Waldrande liegen, mit den Anschlüssen nördlich und südlich, war nun bloß noch nötig, eine Anzahl von Tachymeterzügen anzulegen, deren wichtigste in unserer Karte S. 851 angedeutet sind, nämlich der ganzen linken Talseite entlang:

¹

Das Wort „Photogrammetrie“ wurde von uns erstmals gedruckt in „Zeitschr. f. Verm. 1876" S. 17 als sprachliche Verbesserung des damals anderwärts angewendeten Wortes „Photometrographie“. Die bessere Benennung „Photogrammetrie“ scheint in jener Zeit von zwei verschiedenen Seiten unabhängig aufgebracht worden zu sein.

1. Tachymeterzug Franke-Burg

Burg-Tannenberg Tannenberg-Ohrtberg

mit 20 Strecken,

2.

3.

4.

„ 22

Ohrtberg WP (58) + 23,45    „    6

Summe 53 Strecken.

Die ganze Länge dieser Züge, nur nach der Haupterstreckung gemessen, ist etwa 3500 -m ; es erscheint also im Mittel eine Strecke = 66-m, indessen ist natürlich im dichten Walde die Streckenlänge viel kleiner; z. B. zwischen Tannenberg und der Waldecke nordöstlich von Ohrtberg sind 19 Strecken mit 750-m, also eine Strecke im Mittel nur etwa =40m, dagegen im freien Felde von Ohrtberg bis hinüber nach W P (58) -f- 23,45 sind 1200-uv mit nur sechs Strecken, also eine Strecke = 200 w. Alle Zugpunkte sind durch Holzpflöcke mit Nummern festgelegt.

Alle diese Züge sind lediglich tachymetrisch mit Instrumenten ähnlich denen von § 174 S. 721—723 aufgenommen, d. h. die Entfernungen sind zwischen den Distanzfäden abgelesen, die Azimute am Kompaß und die Höhenwinkel am Höhenkreis, wobei stets i = z gemacht ist (vgl. Fig. 6 S. 735). Jede Strecke ist hin und her gemessen nach Entfernung, Azimut und Höhenwinkel, die Probe im Feldbuche sofort im Felde nachgesehen und nötigenfalls nachgemessen. Die Berechnung geschah lediglich durch Aufschlagen aus den tachymetrischen Tafeln (S. 765).

Wie von da an weiter mit Einzelmessung von den gesicherten Zugpunkten aus mit Legen von Zwischenzügen usw. vorgegangen werden muß, ist schon früher in dem Abschnitte über Taehymetrie im allgemeinen (§ 187) genügend gesagt. In den Wäldern sind zahlreiche Kompaßbandzüge nach § 186 gelegt.

Wenn wir zum Schluß noch eine zusammenfassende Vergleichung anstellen zwischen unserer trigonometrischen Behandlung des linken Abhangs von Salzdetfurth und der graphisch-polygonometrischen Behandlung des rechten Abhanges, so spricht zugunsten der trigonometrischen Messung zunächst alles das, was diese Messungsart in der Geodäsie überhaupt zur Königin der Aufnahmsarten gemacht hat: Leichtigkeit

Fig. 2.

Höhenschichtenkarte des Lammetales bei Salzdetfurth.

99Ä

IBIS35/A,

zu Eisenbahnvorarbeiten aufgenommen 1892, als geodätische Übung der Technischen Hochschule Hannover in Verbindung mit der Kgl. Eisenbahndirektion Hannover, Abteilung für Vorarbeiten.

Originalkarte 1 : 2500, reduziert 1 : 16 000. Schichtenlinien im Höhenabstand von 5 Meter.

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der Winkelmessung im Vergleich mit direkter Längenmessung, Unabhängigkeit von örtlichen Hindernissen, Ersparung von Walddurchhauen usw. Allerdings bei sehr schmalem Aufnahmsbezirk werden diese Vorteile zurücktreten, aber dann sollte man einen als Ersatz zu nehmenden Polygonzug wenigstens auch wie die Triangulierung an das Landesvermessungssystem anschließen.

All dieses betrifft zunächst nur die Lagemessung; indessen auch für die Höhen bietet die Triangulierung unendlich viele Vorteile, wenn man z. B. auf jedem Feldpunkte, wo ein Signal oder ein Kirchturm sichtbar ist, durch Höhenwinkel sich rasch eine Höhe auf etwa 0,1-m genau verschaffen kann usw. (vgl. das kleine trigonometrische Höhennetz § 136 S. 583). Die Gewohnheit unserer heutigen Eisenbahningenieure läßt sich solche Vorteile noch entgehen.

Weitere Ausführungen des Vorstehenden haben wir gegeben in einer Abhandlung im „Zentralblatt der Bauverwaltung 1896“ S. 477—478, welche Veranlassung wurde zu einem auf Einladung gehaltenen Vortrag im Verein für Eisenbahnkunde in Berlin am 11. Mai 1897, abgedruckt in Glasers „Annalen für Gewerbe und Bauwesen, 41. Band 1897“, Nr. 482.

Nach Aufstellung des allgemeinen Entwurfs folgen die besonderen Vorarbeiten mit beschränkter Ausdehnung und größerer Genauigkeit. Sofern noch weitere Aufnahmen erforderlich sind, betreffen sie Vervollständigung der vorausgegangenen allgemeinen Vorarbeiten in engerem Anschluß an die ausgewählte Linie, etwa im Maßstab»

1 :1000 (allgemein 1 : 2500 bis 1 : 500). Vgl. §§ 187, 109—111.

Es sei hier auch erinnert an § 129. Eisenbahnnivellements.

Literatur über allgmeine Eisenbahnvorarbeiten.

1883. Kichard und Mackensen. Vorarbeiten für Eisenbahnen, Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Herausg. von Heusinger von Waldegg, 2. Auf!., Leipzig 1883. I. Band, 1. Kap. (4. Aufl. 1904). Mit Angabe der amtlichen Vorschriften.

1883. Königl. Eisenhahndirektion (linksrh.) Cöln. Anleitung zur Ausführung von Terrainaufnahmen für spezielle Eisenbahnvorarbeiten mit vorzugsweiser Benützung des Tachymeters. Cöln 1883.

1887. Sarre. Über Eisenbahnvorarbeiten. Zentralblatt der Bauverwaltung 1887 S. 52, 199.

1887. Cauer. Die Anwendung von Neigungsmessern bei Eisenbahnvorarbeiten. Zentralblatt -der Bauverwaltung 1887 S. 111.

1887.    Cauer. Über Vorarbeiten zu Wegebauten in Norwegen. Zentralblatt der Bauverwaltung 1887

S. 396.

1888.    Launhard. Theorie des Trassierens, Heft II. Technische Trassierung der Eisenbahnen. Han

nover 1888.

1889.    Manega. Anleitung zum Trassieren von Eisenbahnlinien für angehende Ingenieure. Weimar

1889. Bespr. in der Österr. Eisenbahnzeitung 1889 S. 164.

1890.    Gelbcke und Koll, Ing. Anleitung zur Ausführung von Landmessungen für allgemeine Eisen

bahnvorarbeiten mit Benützung des Aneroidbarometers. Cöln 1890. Bespr. von Gelbcke in d. Zentralbl. der Bauverwaltung 1891 S. 334—336.

1891.    Keller. Ausführung von Eisenbahnvorarbeiten. Zentralbl. d. Bauverwaltung 1891 S. 390.

1891.    Janensch. Ausführung von Eisenbahnvorarbeiten. Zentralbl. d. Bauverwaltung 1891 S. 359.

1892.    Königl. Eisenbahndirektion (linksrh.) Cöln. Anleitung für die Anfertigung von ausführlichen

Eisenbahnvorarbeiten. Cöln 1892.

1893.    Schepp. Der Theodolit bei Eisenbahnvorarbeiten, „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 365—368.

1894.    Puiler. Die Polygonmessungen für tachym et rische Aufnahmen bei ausführlichen Eisenbahn

vorarbeiten, „Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 579—685.

1895.    Gelbcke. Wie macht man Eisenbahnvorarbeiten? Zentralbl. d. Bauverwaltung 1895 S. 96.

1895. Schepp. Die Vermessungen bei allgemeinen Eisenbahnvorarbeiten in ihrer Abhängigkeit von

der Landesaufnahme. Zentralbl. d. Bauverwaltung 1895 S. 402—404.

§ 202.

Flußaufnahmen.

853

1896.    Jordan. Eisenbahnvorarbeiten im Anschluß an die Landesaufnahme. Zentralbl. d. Bauver

waltung 1896 S. 477—478, auch „Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 1—9.

1897.    Paul. Aufsuchen und Entwerfen einer Bahnlinie, Eisenbahntechnik der Gegenwart von Blum,

von Borries und Barkhausen, Wiesbaden 1897, II. Band, 1. Abschnitt S. 16—63 (2. Aufl. 1907).

1897.    Über Eisenbahnvorarbeiten. Vortrag von Prof. Jordan im Verein für Eisenbahnkunde, Berlin

11. Mai 1897, abgedruckt in Glasers „Annalen für Gewerbe und Bauwesen. 41. Band 1897“, Nr. 482.

1898.    Jordan. Eisenbahnvorarbeiten. Zeitschr. f. Arch.- und Ingenieurwesen. Heftausgabe 1898

S. 330—344.

1898.    Puller. Über Eisenbahnvorarbeiten, „Zeitschr. f. Verm. 1898“ S. 153—163.

1899.    Jordan, Henkes, Puller. Zentralbl. d. Bauverwaltung 1899 S. 155, 238, 313. „Zeitschr. f. Verm.

1899“ S. 145-162.

1901. Koppe. Eortschritte und Bedeutung der Geodäsie beim Eisenbahnbau. Organ f. d. Fortschritte des Eisenbahnwesens. N. E. 38. Bd, 1901 S. 49, 69.

§ 202. Flußaufnahmen.

Die Aufnahmen der Umgebung von Flüssen werden in geodätischer Hinsicht kaum anders zu machen sein, als andere langgestreckte Aufnahmen. Polygonzüge (ev. auf beiden Ufern) auf Grund von Triangulierungen werden die Hauptsache sein.

Zufällig stehen uns einige Angaben über die Aufnahmen der Aller und der Leine zu Gebot von 1890—1892, als es sich um Untersuchung der Schiffbarmachung dieser Flüsse handelte, und hieran können noch einige Nebenbemerkungen angeschlossen werden.

Kommen wir hierbei nochmals auf die in § 201 S. 845 berührte Frage nach vorhandenen Karten zurück, so möge bemerkt werden, daß z. B. in Württemberg oder Bayern, wo gedruckte Flurkarten in 1 :2500 oder 1 : 5000 vorhanden sind, zunächst aus diesen quadratischen Blättern eine Flußkarte herausgeschnitten und zusammengesetzt worden wäre, welche in Verbindung mit örtlichen Ergänzungen und mit den nötigen Nivellierungen genügt hätte zur Beantwortung der Fragen, ob Schiffbarmachung möglich oder rätlich, und eventuell nach welchem System weiter vorzugehen sei.

Beim Mangel solcher Unterlagen wurde an der Aller und Leine mit Neuaufnahmen in 1 : 2500 vorgegangen ; die Wasserbaubehörden gingen dabei von dem Gedanken aus, daß für ihre Zwecke es lediglich darauf ankam, den Fluß nach allen Krümmungen ■durch einen Polygonzug aufzunehmen und, daß ein auch erhebliches Verschwenken und Verdrehen der ganzen Aufnahme etwa der Leine zwischen Hannover und Eilte gleichgültig sei, wenn nur alle Teile relativ genügend richtig bleiben.

Wir wollen hierzu eine theoretische Fehlerbetrachtung anstellen nach dem früheren f 105 Gleichung (9) S. 457 :

(i)

Es sei ein gestreckter Zug von L = 100 4m = 100 000 -m Länge in 1000 Strecken von je s = 100 -m mit einem mittleren Winkelfehler m" = + 15" aufgenommen; dann gibt das nach der vorstehenden Formel eine mittlere zu fürchtende Querverschwenkung des Endpunktes:

100 000 q~ 206 265

d. h. der Endpunkt des 100 4m langen Zuges wird

Dieser zu fürchtende Querfehler ist wohl größer, als ihn der sorgfältig arbeitende Praktiker erwartet haben mag; und doch hat der Wasserbautechniker von seinem Stand-

15 //383 = ± 133

um

+ 133 Meter verschwenkt werden.

punkte bis zu einem gewissen Grade recht, wenn er einen Polygonzug dem Flusse entlang, nötigenfalls Hunderte von Kilometern fortgesetzt, für richtig hält, zumal da man ja an den Krümmungen eine Menge Übergreifungen und sonstige Versicherungen anlegen kann.

So wurde in der Tat die Aller von Celle bis zur Leinemündung, etwa 80 Kilometer, aufgenommen, wovon Fig. 1 von der „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 408 ein Beispiel gibt.

Allein vom geodätischen Standpunkte wird man eine solche Aufnahme niemals für gut halten, sondern eine Triangulierung verlangen, deren große Vorteile auch dem Wasserbauingenieur reichlich zugute kommen.

In der Tat wurde der zweite Teil jener Aufnahme von 1890—1891, nämlich der Leinefluß, trigonometrisch behandelt vom Verfasser, welchem damals Veranlassung gegeben wurde, eine Ansicht zu äußern und seihst mitzuwirken.

Fig. 1.

27,

854

Flußaufnahmen.

§ 202.

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J8

19

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26

Insel

P20

25

23

Die Neutriangulierung der Landesaufnahme in der Provinz Hannover war damals erst in I. Ordnung vollendet und in II.—III. Ordnung gerade im Gange, und das mag wohl der Grund gewesen sein, warum an der Aller zwischen Celle und Leinemündung nur polygonometrisch gemessen wurde. Immerhin waren aber die rechtwinkligen konformen Koordinaten der alten hannoverschen Triangulierung in bequemster Weise gedruckt verfügbar in dem „Allgemeinen Koordinatenverzeichnis als Ergebnis der hannoverschen Landesvermessung 1821—1844, Hannover 1868“, von Wittstein.

Unsere Leinetriangulierung hatte folgenden Verlauf:

Auf der Erstreckung von Hannover bis zur Allermündung und darüber hinaus bis Eilte, etwa 100 4m Flußlänge, konnten etwa 20 Punkte aus diesem Gauß - Wittstein -sehen Koordinatenverzeichnisse zugezogen werden, lauter Kirchtürme und andere Türme, weshalb fortgesetztes Rückwärtseinschneiden den Grundton der Messungen abgab. Da aber in der Nähe des durch Nummersteine in Abständen von 0,5 4m eingeteilten Flusses durchaus nicht immer die nötigen Türme sichtbar waren, mußten viele Hilfspunkte genommen werden. Wenn irgendwo ein Punkt zum Rückwärtseinschneiden mit mindestens vier guten Strahlen gefunden war, so nahm ich alles, was sichtbar

wurde, Fabrikschornsteine, Giebelspitzen usw., mit in die Winkelmessung auf (stets zwei unabhängige Sätze), und suchte solche Hilfszielpunkte auch auf andern Standpunkten wieder zu finden.

Erst nach Aufträgen des Netzhildes konnte dann endgültig entschieden werden, welche Strahlen zum Yorwärtseinschneiden der Hilfspunkte auszuwählen und wie die Hilfspunkte wieder für Punkte rückwärts zu verwenden waren.

So wurden 23 Türme, Schornsteine usw., 40 Kilometersteine an der Leine und 8 Punkte im freien Felde, im ganzen 71 Punkte, rasch in 3 Wochen gemessen, sofort auch berechnet und zur Kartierung abgeliefert. Die Rechnung nach dem Schema für Rückwärtseinschneiden § 83 S. 353 kam dabei mehr als 100 mal zur Anwendung.

(Einiges Weitere hierzu s. „Zeitschr. f. Venn. 1891“ S. 426—427.)

Trotz der mangelhaften wenigen Anschlußpunkte, die damals, 1891, nur handen waren, und trotz der raschen Durchführung gelangten hierbei die Vorteile der Triangulierung mit ihren Anschlußproben für die Zugteile usw. auch bei der vorher nur auf Polygonmessungen bedachten Wasserbaubehörde zur Erkenntnis.

Wenn, wie z. B. an der Aller zwischen Celle und der Leinemündung, die trigonometrischen Anschlüsse sehr spärlich sind, so könnte man zuerst Partialzüge legen, solche in vorläufigen Koordinaten berechnen un d mit überspringenden, möglichst langen

trigonometrischen Landeskoordinatenanschluß bringen.

vor-

Diagonalstrecken doch noch zum

Eine Flußaufnahme, welche ohne geodätisch-graphischen Anschluß an die übrige Geodäsie des Landes hergestellt wird, entbehrt auch aller mathematischen Anbindefähigkeit in bezug auf staatliche Topographie, Kataster usw.

Jetzt, nachdem seit 1892 die neue Triangulierung der Landesaufnahme in jener

solcher Ausdehnung, wie die

Gegend verfügbar ist, werden wohl Flußaufnahmen erwähnten, triangulatorisch an die Landesaufnahme angeschlossen, und nach den Katastervorschriften trigonometrisch und polygonometrisch berechnet.

Die weiteren Arbeiten einer Flußaufnahme, wie Geländetachymetrie, das genaue Längennivellement und die Querprofilaufnahme sind schon in § 187, sowie §§ 109    111

und § 118 behandelt worden.

von

§ 203. Afostecken von langen geraden Linien.

Kurze gerade Linien werden durch Einrichten und Einweisen mit freiem Auge

eine Gerade durch

abgesteckt, wie bereits in § 14 S. 34 gezeigt worden ist. Da man fortgesetztes Einrichten neuer Stäbe beliebig weiter verlängern kann, so kann man auch hiernach das Abstecken sehr langer gerader Linien lediglich von freiem Auge machen. Statt dessen wollen wir nun Geradrichtungen mit dem Theodolit betrachten,

auf Ent-

wie sie beim Straßen- und Eisenbahnbau, bei Grundlinienmessungen usw.

femungen von vielen Kilometern Vorkommen.

°Im Anschluß an Fig. 1, wobei die beiden Endpunkte A und B fest gegeben

seien, unterscheiden wir drei Fälle :

Fig. 1.

-o-

OO

oo

I. Einweisen von A oder B nach C,

II. Einrichten von C aus nach A und B,

III Allmähliches Einweisen von A nach a, b, c, C usw.

I. Einweisung von den Endpunkten A oder B aus.

Dieses Verfahren scheint auf den ersten Blick das einfachste, man hätte dabei im Anfangspunkt A einen Theodolit aufzustellen und nach dem Endpunkt B einzustellen. Wenn nun das Verfahren überhaupt möglich sein soll, so müssen A und B beide auf natürlichen oder künstlichen Anhöhen sich befinden, und man wird den Zwischenpunkt C von A aus in der Tiefe sehen. Also kippt man den Theodolit in A von B nach C nieder und weist C, woselbst ein Gehilfe stehen muß, mit Fahnenwinken, mit Heliotropen, oder bei Nacht mit Lampenzeichen u. dgl. allmählich ein, gerade so, wie man es auf kurze Entfernungen mit Handwinken tut.

Indessen das Einweisen mit Signalen auf weite Entfernungen ist schwieriger, als es zu sein scheint; schon das Fahnenwinken auf 1—2 L-m muß gut eingeübt sein, wenn es nicht zu Mißverständnissen aller Art führen soll, denn z. B. das Winken von der Vertikalen nach rechts und wieder zurück macht auf die Entfernung bloß den Eindruck eines unverständlichen Hin- und Herpendelns. Man muß beim Fahnen winken nur eine Richtung offen winken, z. B. von der Vertikalen nach rechts bis zum Boden, dann auf dem Boden zurück (für jenseits unsichtbar), Erheben in der Vertikalen und abermals von oben nach rechts usw.

Ein Beispiel von Einweisen bei Nacht mit Teertonnen und Raketensignalen auf 15—18 Kilometer Entfernung beim Bau der rheinischen Eisenbahn ist mitgeteilt von Andriessen in dem „Notizblatt des Hannoverschen Architekten- und Ingenieurvereins, 1. Jahrg. 1851“ S. 212 u. ff., und von da als Zitat in „Bauernfeind, Elemente der Vermessungskunde, 7. Aufl. 1890“ II S. 44—45.

Das ist aber eine sehr umständliche Sache, weshalb wir uns damit nicht weiter befassen. Jedenfalls soll man nicht einen Punkt endgültig ein weisen, sondern wenn ein vorläufiger Punkt in der Nähe gefunden wird, die noch nötige Querverschiebung aus einem genau zu messenden kleinen Winkel nebst der Entfernung ableiten, d. h. man hat nach Fig. 2 :

(1)

Können zwei Hilfspunkte C und C", etwa rechts und links der Linie AB Fig: 2, eingeführt werden mit den kleinen zu messenden Abweichungswinkeln a! und so daß a! -+- a" — a ist, und q’ und q" die zugehörigen Querabstände mit dem zu messenden Abstand der Hilfspunkte Q — q’ -\- q" sind, so ist man, ähnlich wie in § 78 S. 324 an Fig. 3 gezeigt, unabhängig von der Entfernung.

(2)

Man hat

ct!

q' = —Q;

«

eine Probe liefert der Querabstand q". Liegen beide Punkte auf der gleichen Seite der Linie, so ist etwa a = a" — a' und Q = q" — q'.

II. Einrichten von einem Zwischenpunkte C aus.

Man denke in Fig. 2 einen Punkt C in der Nähe von C vorläufig bestimmt,

wie es mit den einfachsten Hilfsmitteln, Kreuzscheibe, Prismen-J kreuz usw., erreichbar ist, wenn A und B von C aus sichtbar sind.

Fig. 2.

q.

en.!'

C' T

Nun stellt man in C einen Theodolit auf, mißt den Winkel AC B genau und sieht zu, ob er = 180° oder größer als 180° oder kleiner als 180° wird. In Fig. 2 haben wir angenommen, der Winkel AC B sei =180° — y, und daraus ergibt sich, ■daß C in dem angezeichneten Sinne aus der Geraden AGB herausgerückt ist; und es handelt sich darum, die Einrückung C' C = q zu berechnen. Man braucht dazu genähert die beiden Entfernungen C' A = a und G' B — b, deren Summe a + b auch — AB zu setzen ist ; damit berechnet man die Querabweichungen q :

sin y oder =

<1 =

a -ł- b q"

(3)

a-\-b

Die hierzu nötigen Entfernungen a und b wird man sich leicht genähert verschaffen können, z. B. aus einer topographischen Karte, durch Abschreiten, Gelizeit usw. Je kleiner der Knickungswinkel y ist, desto weniger genau braucht mail die Entfernungen a und b ; jedenfalls kann man im Falle ungenügender Entfernungen das ganze Verfahren wiederholen und ein zweites kleineres q bestimmen, was auch ohnehin zur Kontrolle nützlich ist. Oder man kann auch, wie vorstehend bei Fall I zu (2), wieder zwei Hilfspunkte C' und G" mit den Winkeln y' und y" nehmen und hat dann entsprechend

2' = Q

Y+f *

(4)

III. Allmähliches Hinweisen.

einzelne kurze Zielungen nehmen kann,

Es gibt viele Fälle, in welchen man nur ■z. B. in der Ebene bei Sonnenschein, wegen Undeutlichkeit der Bilder, heim Durchhauen von Wäldern, hei Absteckungen in Tunneln usw. Es bleibt hier nichts übrig, als ein geradliniges Polygon mit Brechungswinkeln von Man habe in Fig. 3 eine erste kurze Strecke Aa, ^ welche nach b, c usw. ver- o längert werden soll. Zu die- (*—$—V sein Zwecke stellt man einen

180° zu bilden (Fig. 3).

Fig. 3.

ci

o-

0(0

-o-

-o-

K-

.L_

Theodolit in a auf, und hat ■dann die Aufgabe, a A rückwärts nach a b zu verlängern.

jedenfalls nicht nur

durch Durchschlagen

Solches Rückverlängern darf man nun

des Fernrohrs machen, was zwar sehr bequem wäre, aber den doppelten Zielachsenfehler des Theodolitfernrohrs in die Rückverlängerung hineinbringen würde, nie aus der früheren Fig. 5 in § 59 S. 243 zu ersehen ist. Man bekommt aber eine vom Zielachsenfehler unabhängige Rückverlängerung a b, wenn man Durchschlagen und Umlegen des Fernrohrs ausführt (§ 59). Auch durch zweifaches Durchschlagen nach Fig. 6 S. 243 bekommt man Unabhängigkeit vom Zielachsenfehler, wenn man aus den beiden dadurch erhaltenen Rückverlängerungen das Mittel nimmt. Außerdem kann man die Kreisteilung zum Drehen um 180° anwenden: man weist in Fig. 3 den Punkt b von « aus vorläufig ein, mißt dann mit zwei Fernrohrlagen und mit Ablesung an zwei Nomen in üblicher genauer Weise den Horizontalwinkel zwischen den Zielpunkten A und b. und wenn dieser Winkel nicht = 180° 0'0” sich ergibt, so verbessert man die Lage von b entsprechend, wie bei (1) S. 856; wenn z. B. der Winkel A ab = 180 0 15 erhalten würde, und die Entfernung ab = 200 m wäre, so hatte man den \oi au g

¹⁵_200 = 0,015 m nach links zu verschieben usw.

206265

eingewiesenen Punkt b

um

Genauigkeit des fortgesetzten Rückverlängerns.

Die theoretische Genauigkeit ist dem fortgesetzten Einweisen mit kurzen Strecken nicht günstig. Es kommen hier die Fehlergesetze der Zugmessung in Betracht, welche wir schon in der Fehlertheorie des gestreckten gleichseitigen Zuges § 105 S. 457 gefunden haben. Eine Absteckung von der Gesamtlänge L mit Einzelzielweiten s, mit einem mittleren Winkelfehler m hat einen mittleren Querfehler q zur Folge nach der Gleichung (9) S. 457 :

(5)

7*/t

Diese Gleichung sagt zuerst, daß der Verschwenkungsfehler q proportional der Quadratwurzel aus der Anzahl der Strecken wächst, daß man also möglichst lange Zielweiten s wählen soll.

Wir wollen beispielshalber den Gotthardtunnel mit rund 15 000 w Länge in Absätzen von je 500 m von beiden Seiten her abgesteckt denken. Für die eine Hälfte ist also L = 7500 m, s = 500 m, und m" wollen wir zunächst rund — 1" annehmen: setzt man dieses in die Formel (5), so bekommt man:

L = 7500

(6)

, s = 500 m , n = 15 , m" = ±1" , q = ± 0,081 Die Absteckung von der anderen Seite her gibt einen gleich großen Fehler zu fürchten; der mittlere zu fürchtende Widerspruch beim Durchschlag ist also ±0,081 Y 2 = ±0,115

Dieses soll nur ein mathematisches Beispiel sein; ob die Winkelgenauigkeit ± 1" in solchem Falle erreichbar ist, und ob die Zielweite s = 500 m nützlich oder eine andere Zielweite zu nehmen wäre (Undurchsichtigkeit der Luft) usw., das sind besondere Fragen, welche nur im einzelnen Falle beantwortet werden können (vgl. § 213).

Ausgleichung eines Abschlußwiderspruchs.

Wenn eine streckenweise abgesteckte Gerade einen fest gegebenen Abschlußpunkt nicht genau erreicht, sondern tun einen Betrag w links oder rechts von dem festen Punkte ankommt, so ist das ein Fehler von gleicher Art, wie die Koordinatenabschlußfehler der gewöhnlichen Polygonzüge ; und über die Ausgleichung und Verteilung eines solchen Fehlers gilt daher dasselbe, wie bei jenen Zügen. Die richtige Fehlerverteilung soll in einer Biegung bestehen, wie in Fig. 1 § 106 S. 466 angedeütet ist. Häufig wird man statt dieser Biegung zur Vereinfachung eine einfache Drehung, d. h. Verteilung im Verhältnis der Entfernungen anwenden, und bei Tunnelabsteckungen wird man wohl oft noch gröber verfahren müssen, wenn zum Ausgleichen eines Durchschlagwiderspruchs nur kurze Teile nach beiden Seiten verfügbar sind.

§ 204. Kreisbogen aus zwei Tangenten und dein Halbmesser.

Vorbemerkung.

Ein Kreisbogen gilt als abgesteckt, wenn so viele Punkte desselben im Felde bezeichnet sind, daß der Verlauf des Bogens dadurch bestimmt ist, und weitere Bogenpunkte bequem eingeschaltet werden können.

Bei Eisenbahn-, Straßen- und Kanalbau bringt es die Natur der Entwurfsarbeiten mit sich, daß die Bestimmungsstücke eines Bogens auf dem Felde sehr häufig zwei Tangenten und der Halbmesser sind. Wenn nämlich ein Entwurf in einer Karte gezeichnet ist, dessen Achsenlinie aus einzelnen Kreisbögen mit berührenden Geraden besteht, so lassen sich alle Geraden desselben unmittelbar ins Feld übertragen, und die bei der Zeichnung angewendeten Bogenhalbmesser sind in Zahlen bekannt.

Demnach handelt es sich in der Kegel zuerst um Absteckung der Tangenten nach dem Plan und danach um Absteckung der Kreisbögen, wobei wieder zu trennen ist in Absteckung der Hauptpunkte und nachfolgende Absteckung der Einzelpunkte. Für den gewöhnlichen Fall der Absteckung eines Kreisbogens aus zwei Tangenten und dem Halbmesser soll in diesem § 204 und 205 zunächst die Absteckung der Hauptpunkte und Hauptlinien behandelt werden, und in den nachfolgenden §§ 206—208 die Absteckung der Einzelpunkte.

Nach Fig. 1 sind zwei Gerade SN und SN' im Felde abgesteckt; dieselben sollen durch einen berührenden Kreisbogen TMT verbunden werden, und zu diesem Zwecke sollen zunächst die beiden Berührungspunkte T und T' sowie die Bogenmitte M im Felde abgesteckt werden.

Alan stellt auf dem Schnittpunkt S der beiden Geraden einen Theodolit auf und mißt den Winkel N S N' = a, welchen die Geraden bilden. Die Winkelmessung muß um so schärfer sein, je kleiner der Winkel und je größer der Radius ist. Wird gleich

(X

nach der Alessung der Winkel halbiert, indem —

wohl von T aus als von T' aus abgesetzt wird, so ^ ergibt sich dadurch sogleich eine Probe für die Alessung wie auch für die nachfolgende Absteckung.

Alit diesem gemessenen Winkel a und mit dem aus den Entwurfsarbeiten bekannten Halbmesser r wird die Berechnung gemacht.

Zuerst betrachtet man den halben Zentriwinkel bei C, welcher TOS = T GS = y in Fig. 1 eingeschrieben ist:

Fig. l.

so-

NI

oe.

Damit wird

7 = 90°    "2 •

Yon der Bogenmitte M fällt man Abszisse TA = rsiny

Tangente S T oder ST' = r tang y .

die Senkrechte M A, folglich ist : Ordinate AM = r — r cos y

und

(3>

Scheitelabstand

SM=SC-MC= —

Endlich auch die Bogenlänge: TM —

MT' =    .

(5)

folglich : log r

Zahlenbeispiel.

Es sei gegeben r = 420 -m und gemessen: « = 128° 53' 26",

25° 83' 17"

2.623 25 log sin y 9.634 85

^ = 64° 26' 43"    , 90° —-| = 7 =

2.623 25 9.955 29

log r log cos y

2.623 25 log tang y 9.679 5ß

log r

log r sin y 2.25810

log r cos y

7 r

log-

cos y

r cos y = 378,92 r = 420,00

2.578 54

2.667 96

— --- 465,54 cos y

r = 420,00

log r tang y 2.302 81

r sin y = 181,18 , r — r cos y = = AM

41,08 ; -

cos y

= TA

= MS

45,54 , r tang y = 200,82 = S T = S T'

} («)

Damit wird abgesteckt ST , ST’ , SM, wozu die Projektion von M auf ST und ST' mit den Werten SA und AM eine Probe gibt. Die abzusteckenden Maße werden in einem Handriß, wie z. B. Fig. 2 § 205 S. 863 zeigt, zusammengestellt.

Zur Bogenlänge hat man : y =25° 33’17" y = 1533'17" y" = 91997"

oder

log r

Compl. log q" log f

2.623 25 4.685 57 4.963 78

7 n"

h!llr

Die Bogenlänge TM wird zunächst nicht gebraucht; wir haben dieselbe aber sogleich hier mitberechnet, weil sie später beim Durchmessen und Numerieren (Stationieren) der ganzen Linie benützt werden wird.

2.272 60

Q”

187,33 .    (7)

Umformung der Grundformeln.

Wenn y ein kleiner Winkel ist, so kann man die vorstehenden Fonnein zum Teil dadurch in eine bessere Form bringen, daß man 1—cos7 = 2 sin² ^ einführt.

Damit wird zunächst (3): Ordinate AM — r — r cos y = 2r sin² ~ .

2 sin² 2 sin ^ cos ~ sin —■ cos y

Ferner gibt (4) :--1 =

w cos y

1 — cos y

cos y

cos y cos

(8)

also : Scheitelabstand : S M — r

(~ — 1 j = r tang y tang

(9)

Aus (2) und (8) : S A = S T — 1T = r tang y — r siny — r tang y (1 — cos y) ,

SA — 2r tang y sin² ~ .

also Gegenabszisse :

(10)

Mit diesen schärferen Formeln gibt das vorige Beispiel:

SA = 19,646 «v

AM = 41,087 m

SM= 45,542

(11)

Zvmchentangmteyi.

Wenn der Tangentenwinkel a klein, also der Scheitelabstand SM groß wird, so empfiehlt sich das Legen einer Zwischentangente S' S" Fig. 2.

Zieht man CS', so wird der Winkel

/ TCS' = S’CM = t

Fig. 2.

jt

'S"

wenn, wie bisher, TCM = y

genannt wird, und es ist TS' = S'M = MS" = S" T.

Für den Bogen TM' Mmit der Mitte M' gelten dann dieselben Formeln, wie im vorhergehenden für den Bogen T MT (Fig. 1 S. 859), wenn man nur

überall ^ an Stelle des früheren y setzt, nämlich für Fig. 2 :

Man hat

Tangente S' T = S' M = r tang

Abszisse T A =

Ordinate A M' = r — r cos

JL

Scheitelabstand S" M' = ——

cos

Bogenlänge T M' = ^

Dafür gelten auch dieselben Umformungen wie bei (8) bis (10) S. 860.

Ungleiche Zwischentangenten.

Fig. 3.

Die Zwischentangenten brauchen nicht notwendig symmetrisch zu liegen, wie in der Fig. 2 angenommen ist; man kann, der Örtlichkeit entsprechend, nach Fig. 8 auch eine Tangente D C JE legen, welche zwischen den Haupttangenten S A und S B zwei ungleiche Stücke hat :

(12)

t₁ = DA = DC = r tang

t₂ = E C = E B = r tang

Dabei ist qp + xp — 180° — a, im übrigen aber qp und xp willkürlich.

Nachdem aus der zeichnerischen Trassierung <x, cp, xp näherungsweise erhalten und r scharf angenommen ist, wird man a im Felde scharf messen, dann cp als Näherung festhalten und tp = 180° — a — qp dazu scharf berechnen.

Dann hat man :

t = SA = SB = r tang 1/2    -+- qp) • (13)

Hierzu tx und t₂ nach (12), also auch SD Probe kommt:

1ÀE

\,

t*

A/X

L_

'<!>

und S E, worauf beim Abstecken die

SD

sin xp

sin a —

SE

sin cp

sin a.

Sehnen und Zwischensehnen.

(zur Probe

Hauptpunkte bestimmten Sehnen oder Zwischensehnen

2 oder A B bzw. A C und CB in Fig. 8 in Betracht zu ziehen.

In manchen Fällen, insbesondere bei flachen Kurven, kann es angebracht sein oder für die nachfolgende Absteckung der Einzelpunkte), die durch die

T T' und T M, T' AI in Fig. 1

S. 859 und Fig.

Es ist in Fig. 1 und 2 die halbe Sehne

1j%T T' = T A = r sin y

(14)

und die halbe Zwischensehne t/₂ T M —

Die Pfeilhöhe des Bogens von

F M = A AI = r — r cos y —

inJL — (T A in Fig. 2). der Mitte F der Sehne T T' in Fig. 1 ist : 2 r s i n²

(15)

und entsprechend für die Zwischensehnen in Fig. 2 S. 860 ist:

F' M' — A M' =r — r cos

~ = 2 r sin² ~~.

2    4

Dasselbe gilt für die ungleichen Zwischensehnen A C und C B in Fig. 3 S. 861.

Im Zahlenbeispiel von S. 859 ist somit die halbe Sehne:

i/₂ TT' = TA = 181,18m , Pfeilhöhe = FM = A M= 41,09m.

überstumpfer Zentriwinkel.

Fig. 4.

2T

Wenn der abzusteckende Bogen größer als ein Halbkreis wird, wie in Fig. 4 angenommen ist, wobei der Zentriwinkel 2 y größer als 180°, also y größer als 90° ist, so bleibt doch das im vorstehenden beschriebene Absteckungsverfahren mit den dazugehörigen -j-i Formeln im wesentlichen bestehen; für die Berechnung der Berührungspunkte kommt es nicht in Betracht, ob | z. B. in Fig. 1 S. 859 das dort gezeichnete Bogenstück T31T' oder die dort nicht gezeichnete Ergänzung des Bogens mit dem Zentriwinkel TGT' abgesteckt werden soll.

In der Begel wird jedoch dann für die Bestimmung des Tangentenwinkels die im nächsten § 205 behandelte indirekte Messung zur Anwendung kommen müssen und für die Bogenabsteckung eins der in § 208 zu 1. beschriebenen Verfahren.

§ 205. Unzugänglicher Tangentenschnitt.

Fig. l.

Irjil

■B

Es kommt oft vor, daß der Schnittpunkt S der beiden zuerst abgesteckten Tangenten nicht zugänglich ist, sei es, daß er in Wasser, in einen Wald, an einen steilen Bergabhang usw. fällt, oder auch nur, daß dieser Schnittpunkt zu weit entfernt, oder unbequem fällt ; in allen diesen Fällen kann man durch eine Verbindung A B (Fig. 1) zwischen den beiden Tangenten den Schnitt S ersetzen. Diese Verbindung legt man möglichst nahe an die Kurve, so daß A und B nicht zu weit von den Berührungspunkten abstehen.

Man braucht nur die Entfernung A B und die Winkel cp bei A und xp bei B zu messen, und kann dann berechnen :

a = <j) ■+■ xp — 180°

cp -+- xp

^ = 90°--^ oder y = 180°

AB .

.— sin w . sin a

S A = 4-— sin xp sin cc

Eine zweite Linie A' B ' gibt hierzu eine Probe.

Damit ist die Aufgabe auf die vorhergehende zurückgeführt.

Wir nehmen hierzu ein Zahlenbeispiel mit der zugehörigen Fig. 2.

Fig. 2. (Maßstab 1 : 10 000, 1 cm — 100 m.)

\nH

— r--^0

» 8/

a/x-

/ CO

/ °=

-X

c:

Ai

v<b

<§>

oj

Sr-

03

<S>

CT'

Es sind in Fig. 2 die beiden Geraden NA und N’ B abgesteckt, und es soll ein berührender Bogen von 300 m Halbmesser angelegt werden. Es ist nicht möglich, den Schnitt S der Geraden zu benützen, dagegen kann eine Gerade A B durchgesehen und mit Latten gemessen werden. Man soll erhalten:

Entfernung AB — 278,14m

Winkel in A

Winkel in B

ABN' = xp = 116° 23' 25". Die Berechnung nach den Formeln (1)—(3) und nach § 204 gibt: ß = 65°₅0'0" AS — 273,09 m , B S = 235,43 m

N AB = ty = 129° 26’ 35"

y = 57° 5' 0"

-4- = 28° 32' 30"

S T = r tang y = 463,43 m

PT

— B M — r tang = 163,17 m .

Nun kann man alle zur Absteckung erforderlichen Maße zusammensetzen: links :

ST = 463,43 m SA = 273,09

rechts : S U — 463,43 m SB = 235,43

A T = 190,34 m TP = 163,17

B U= 228,00 m UQ = 163,17

BQ = 64,83 m.

4P= 27,17 m

Die so erhaltenen vier Hauptmaße 27,17m, 190,34m, 64,83m, 228,00m schreibt in den Handriß Fig. 2 übersichtlich ein, und nun beginnt die Absteckung, indem von A und B diese Maße in der richtigen Weise mit Meßlatten hinausmißt. Wenn P und Q eingemessen sind, so wird die Verbindung PQ abgesteckt und ebenfalls gemessen, wodurch die Probe entsteht, daß P Q = 2 mal 163,17 m = 326,34 sein muß. Hierdurch wird auch die Bogenmitte M im Felde bestimmt,.

wie schon im vorhergehenden § 204 gezeigt wurde.

man

man

Alles übrige ist ebenso,

Einschaltung eines Hilfspunktes D (Fig. 3).

Es kann Vorkommen, daß nicht nur der Tangentenschnitt S selbst unzugänglich ist, sondern auch, daß man nicht zwei passende Punkte A und B auf den Tangenten findet, zwischen welchen zusammen gesehen und gemessen werden kann; dann ist es

Fig. 3. (Maßstab 1 : 20 000, 1 cm = 200 m).

vielleicht möglich, einen dritten Punkt D (Fig. 3) so einzuschalten, daß das Dreieck A D B durch zwei Seiten A I) und B D und ' den eingeschlossenen Winkel Ö hei J) bestimmt werden kann.

TT

Man kann dann mit Hilfe dieses Dreiecks ADB die Aufgabe auf die vorhergehende Aufgabe von Fig. 2 S. 863 zurückführen.

Dieses soll an einem Zahlenbeispiel gezeigt werden, welches der Fig. 3 entspricht.

Es sind die Geraden A T und B T ' im Felde abgesteckt; dieselben sollen durch einen berührenden Bogen TMT' vom Halbmesser r = 450-m verbunden werden, und dazu sollen zunächst die drei Punkte T, M, T’ abgesteckt werden.

Da AB nicht gemessen werden kann, ist ein Punkt D gewählt, und es wird

gemessen :

die zwei Seiten

A D — b = 276,28-m , B D — a = 304,52 die drei Winkel TAD = cp = 134° 18' 20" , D B T = xp = 137° 55' 18" A D B = 8 — 132° 7' 12".

Man beginnt damit, das Dreieck AD B aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel aufzulösen:

tann ü _ (« — &) cos Vg 6 ⁰    2 {a + b) s in l/₂ 8

_ (a — b) cos i/₂ 8 . a — ß

SIU-

u

die Ausrechnung gibt: a = 25° 10' 36" , ß = 22°42' 12" , AB — 530,96 w. Es folgt die Berechnung des Dreiecks ABS :

Winkel B A S = A = 180° — (<p — a)

„ SB A = B = 180° — (xp — ß)

„ ASB = S = <p-h xp + 8 — 360° = 44 20'50 Damit ist die Aufgabe auf den Fall von Fig. 2 S. 863 zurückgeführt, indem der jetzt mit S bezeichnete Winkel dem früheren Winkel « von Fig. 2 S. 863 entspricht. Wir geben noch die Hauptergebnisse, wobei r = 450 m ist :

AS = 687,20 m , BS = 717,65m

y = 90° — y = 67° 49' 35" ,    ^ = 33° 54' 47,5"

ST= ST' = r tang y = 1104,11m , NT = NM= r tang ^ = 302,54 A N = 114,40 m , A T = 416,94 m ; B N = 83,95m , B T = 386,49 nt.

AB

oder =

(a + b) sin 1/2 8

cos

= 70°52'16" = 64 46 54

180° 0' 0".

Die Verbindung der Tangentenpunkte A und B in Fig. 3 S. 864 könnte auch durch mehr als einen Zwischenpunkt B gemacht werden ; man könnte einen Zug mit beliebig vielen Zwischenpunkten zwischen A und B anlegen, und daraus die Entfernung A B und alle nötigen Winkel berechnen, doch wäre das nur als Ausnahmefall zu empfehlen. In solchen Fällen rechnet man das Ganze wie einen Polygonzug in rechtwinkligen Koordinaten (Abszissenrichtung eine Tangente oder auch im Anschluß an ein allgemeines Koordinatensystem § 201 S. 846). Wegen der Fehler in der Richtungsübertragung (§ 104) soll die Verbindung der Tangenten zur Ableitung des Schnittwinkels mit möglichst wenig Zwischenpunkten erfolgen. Zwingt das Gelände (z. B. im Gebirge), um eine günstige Längenmessung zu ermöglichen, zur Anordnung eines Polygonzuges, so sollte doch, wenn nicht zwei Tangentenpunkte, wie A, B Fig. 2 S. 863, gegenseitig sichtbar sind, die Vermittlung der Tangentenrichtungen noch besonders durch nur einen Hilfspunkt, wie B Fig 3 S. 864, erstrebt werden.

§ 206. Einzelpunkte mit rechtwinkligen Koordinaten.

an,

Man wendet die Methode der rechtwinkligen Koordinaten in zweifacher Weise nämlich erstens mit gleichen Abszissenunterschieden, und zweitens mit gleichen Bogenlängen, und zwar von den Tangenten und den Sehnen aus.

J. Rechtwinklige Koordinaten für Kreispunkte mit gleichen Abszissenunterschieden.

_Fig. 1.

Fig. 2.

A B' = B' C = C D' = E' E'.

D.

|y

A x B¹

B‘ C D‘ E‘

Aus Fig. 1 entnimmt man

y =

die Gleichung:

B B' — AB — G A — C B

(1)

oder y = r — ]/r² — x² . hiernach für einen gegebenen Halbmesser r und beliebig gewählte

Hat man

Abszissen x die Ordinateny berechnet, so kann die Absteckung nach Andeutung von

willkürlich sind, nimmt man doch

Fig. 2 stattfinden. Obgleich dabei die Abszissen x meistens dieselben in arithmetischer Reihe, so daß dann die Bogenabstände AB, BL, G B und B E in Fig. 2 ungleich werden.

Was die Berechnung der y für gewisse a betrifft, so kann man geradezu die kann dieselbe auch so schreiben:

Formel (1) anwenden, oder

man

Jordan,

y = r — V(*■•+•«)''(r — x).

7. Aufl.

(2)

Handbuch der Vermessungskunde. XI. Bd.

55

Endlich kann man für solche Werte x, welche im Verhältnis zu r verhältnismäßig klein sind, die Formel (1) auch in eine Keihe entwickeln :

yV² — x² = r ~j/

X²

9*2

Z¹

x²

1    x²    1 x⁴    1 xß    5 x⁸

2    r²    8 r⁴    16 r⁶    128 r⁸

Durch Zusammenfassung mit (1) erhält man hieraus:

x² t x⁴

27- ⁺ 8^3^ 1675 ^ Ï28T7    25679

Für viele Zwecke (Ableitung mit Eechenschieber für kleine Ordinaten) genügt es, nur das erste Glied von (3) anzuwenden, d. h. zu setzen :

)-2

5 æ⁸

Ix™

(3)

X²

y~2~r

(4)

oder für zwei Glieder:

(4 a)

x² x² x² 1    x² y²

y 2?,_^2r 2r 2r    2r~^ 2r’

was auch unmittelbar aus (1) folgt.

Die Näherungsformel (4) kann man auch so auffassen, daß sie an Stelle des flachen Kreisbogens einen flachen Parabelbogen setzt. Die Beihe (3) ist, sobald man mehr als zwei oder drei Glieder braucht, nicht mehr bequem.

Eine für die meisten Zwecke ausreichende Tafel der Ordinatenwerte y für gleichförmig wachsende Abszissen x haben wir im Anhang auf S. [36]—[38] gegeben.

Dieselben Tafeln für den Feldgebrauch findet man auch in des Verfassers „Mathem.-geodät. Hilfstafeln, Hannover 1S95“ S. 63—66, und ein weitergehendes Werkchen dieser Art ist : „Kreiskoordinaten für 200 Radien von Jordan, Leipzig 1881“.

II. Rechtwinklige Koordinaten für Kreispunkte mit gleichen Bogenabständen.

In Fig. 3 sei h eine Bogenlänge und q> der zugehörige Zentriwinkel, dann ist für den Halbmesser r :

<P =

e-

(5)

(6)

Die hierzu gehörige Ahzisse x und die Ordinate y findet man nach Fig. 3 : x = r sin qn und y = r — rcosq) oder y — 2 r sin² ~ .

Fig. 4.

Fig. 3.

A B — B C= CD — DE.

D /'

A A‘ B' C D'

Die Winkel q läßt man hier in arithmetischer Progression wachsen, und dann erhalten die Punkte auf dem Kreis gleiche Bogenahstände, wie in Fig. 4 angedeutet ist.

Auch für diese Verhältnisse sind wiederholt Tafeln berechnet worden, namentlich das älteste Werk dieser Art : „Handbuch zum Abstecken von Kurven auf Eisenbahn- und Wegelinien, von H. Kröhnke, Zivilingenieur und bestalltem Landmesser“. Leipzig 1851, und spätere Auflagen. Vgl. § 212.

Vergleichung gleicher Äbszissenunterschiede und gleicher Bogenstücke..

Die gleichen Abszissenunterschiede sind für die Absteckung bequemer, weil hierbei nur die Ordinatenwerte im Auge behalten werden müssen, indem die gleichförmig fortlaufenden Abszissen (z. B. von 20 -m zu 20 m) sich von seihst ergeben. Die gleichen Bogenabstände der Punkte gestatten eine bequeme Probe der Absteckung durch Vergleichung der Pfeilhöhen oder Sehnenabstände nach Fig. 8 § 208 und haben außerdem dann Wert, wenn man die einzelnen abgesteckten Punkte zur endgültigen Verpflockung und Numerierung des Bogens brauchen kann. Wenn schon die Nummern •der Berührungspunkte bekannt sind, dann kann man zwei ungleiche Bogenstücke b mit (jp aus (5) und x , y aus (6) S. 866 am Anfang und am Ende absetzen und im übrigen nach gleichen Bogenstücken und gleichen Zentriwinkeln abstecken.

Ein zufällig aus Mannheim mitgeteiltes Beispiel dieser Art war : Bogenanfang = 739,14 nt, Bogenende = 1569,77 m, also Bogenlänge = 830,63 tu mit r = 450 m und 2 V = 117» 51» 00»». Die Normalstrecke war s = 25 m, welcher ein Zentriwinkel <P = 3 » 53» 67,7 »» entspricht, der 32 mal = 113» 17» 66»» mit 800 m Bogenlänge in der Gesamtlänge aufging, so daß so einzuteilen war:

Bogen anfang Nummer

739,14 m

750,00

775,00

32

10,86 m

25,00 i

800 m

1» 53» 64»» 3    53    67,7

113» 17» 67»»

Bogenende

1525,00

1550,00

1569,77

25,00

19,77

3    53 67,7

2    79    68

117» 51» 00»».

830,63 m

Es war also der Winkel <P in Fig. 3 S. 866 für den ersten Punkt (p₁ = 1» 53» 64»», für den zweiten Punkt <P₂ — 5 » 47 » 32 »» usw. Es ist dazu bemerkt worden: „Diese Methode ist sehr zweckmäßig, weil man nach Absteckung der Hauptkurvenpunkte die Linie nur einmal durchzumessen braucht und die endgültigen Stationspunkte unmittelbar bekommt.“

Hierbei kommt man auch auf die Frage der Durchrechnung der Länge für einen ganzen Linienzug im Anschluß an ein allgemeines Koordinatensystem, wozu zitiert sei: „Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 367 -375: Puller, Längenberechnung eines Linienzuges.

III. Koordinatenabsteckung von der Sehne aus.

Ebenso wie die Absteckung mit rechtwinkligen Koordinaten von den Tangenten (Zwischentangenten) aus erfolgen kann, kann sie auch von den Sehnen (Zwischensehnen) aus vorgenommen werden. Wie aus Fig. 1 und Fig. 2 S. 865 folgt, sind die - auf den Berührungspunkt A und die, Sehnenmitte D bezogenen Abszissen x in beiden Fällen dieselben, und die Sehnenordinaten die Ergänzungen der Tangentenordinaten zur Pfeilhöhe A I).

Bei scharfen Absteckungen geschieht die Einrichtung der Ordinatenfußpunkte mit dem Theodolit, wobei entweder alle Fußpunkte vom Instrument aus eingewiesen werden oder nur einige Zwischenpunkte, und die weiteren durch Abschnüren. Die Ordinaten sollen nicht über 20—25 -m betragen (Meßbandlänge, zwei Lagen eines Paares 5 •m-Latten) ; danach bestimmt sich für ein gegebenes r die Einfügung der Zwischentangenten oder Zwischensehnen.

§ 207. Einzelpunkte mit Peripheriewinkeln.

Der Satz von der Gleichheit der Peripheriewinkel, welche auf gleichen Bögen stehen, läßt sich in zweifacher Weise zur Bogenabsteckung verwenden.

I. Abstecken mit feststehendem Instrumente (Theodolit);

II. Abstecken mit wanderndem Freihandinstrument (Sextant, Prismenkreis usw.). I. Abstecken durch Peripheriewinkel von einem festen Punkte A aus (Fig. 1).

Wenn in Fig. 1 die Punkte-ABC DE unter sich gleichen Abstand haben, so sind auch die Peripheriewinkel , welche die Sehnen-AB , AC , AD , AE unter sich bilden, einander gleich; und wenn AT eine Tangente in A ist, so ist auch noch der Winkel BAT den Peripheriewinkeln gleich. Wenn a der gemeinsame Wrert dieser Winkel, und s der zugehörige konstante-Sehnenwert ist, so hat man nach Fig. 1:

Fig. 1.

cć

-y

/,-y ^

y/D

sin a —

(1)

2 r ’

Hiernach ist folgende Tafel berechnet, wobei s = 20 angenommen ist, entsprechend der gewöhnlichen Meßband- oder Kettenlänge von 20 m.

400    1= 25' 57"

700    0° 49' 7"

Um hiernach einen Bogen, z. B. vom Halbmesser 380 -in, abzustecken, stellt man einen Theodolit in einem bestimmten Bogenpunkt A auf, orientiert nach der Tangente IT, dreht um den Winkel 1 ° 30' 29" nach links, und mißt mit dem 20-m-Band von A an den Punkt B ein, dann wird die Richtung A C mittels des doppelten Winkels 2tAL(7=2« = 3°0' 58" eingewiesen, und B C — 20 m. abgemessen usf. ; umgekehrt, wenn nach einer Sehne z. B. AE orientiert und gegen A hin abgesteckt wird. Aus einem Instrumentstandpunkt können beiderseits die Kurvenzweige abgesteckt werden.

Eine Tafel der Sehnenwinkel und der Vielfachen derselben ist im Anhänge Seite [39]—[41] gegeben.

Wir haben hierbei für. die Sehne s eine runde Zahl, 20 m, angenommen. Wollte man konstante Bogenlängen haben, so hätte man a aus (5) § 206 S. 866 zu rechnen, ebenso für die Restbögen bei etwaigem Anschluß an die Stationierung. Man kann aber auch umgekehrt für den Peripheriewinkel a eine runde Zahl, z. B. « = 1⁰ oder a = 30' usw., nehmen, und den zugehörigen Sehnenwert nach (1) berechnen, nämlich:

s = 2 r sin a.

100

120

140

150

160

180

200

220

240

250

260

280

300

320

340

350

360

380

(2)

Eine hierzu gehörige Hilfstafel ist im Anhang Seite [42] gegeben.

Dieselben vier Hilfstafeln von Seite [39]—[42] des Anhangs sind auch zum Feldgebrauch •enthalten in des Verfassers „Mathem.-geodätischen Hilfstafeln, Hannover 1895“ S. 67—70.

Man nimmt z. B. aus Seite [42] des Anhangs, daß man einen Bogen vom Halbmesser r = 500 m mit drei verschiedenen Peripheriewinkeln ahstecken kann, nämlich :

1. mit a — 2° und s = 34,900 m

3. mit a = 30' und s = 8,727 m.

2. mit a = 1° und s — 17,452 m

Um hiernach bequem abzustecken, muß man sich ein Bandmaß (eine Kette •oder dergleichen) von veränderlicher Länge hersteilen, oder wenigstens eine verschiebbare Marke anbringen; auch sei nochmals an das Drahtseil von Lehrke, „Zeitschr. f. Term. 1880“ S. 451 erinnert, das wir schon bei den Bandzügen von § 186 S. 788 ■erwähnt haben.

Bei dieser Absteckung mit konstantem Peripheriewinkel kann die Aufeinanderfolge der Punkte in zweifacher Weise genommen werden, nämlich erstens vom Instrument weg, also in Big. 2 in dem Sinne A, 1, 2, 3, 4 . . . 10, oder zweitens zum Instrumente hin, d. h. in dem Sinne 10, 9, 8 . . .

'S, 2, 1, A, wobei in beiden Fällen der Theodolit in A stehend gedacht ist, und A B die .gegebene abgesteckte Tangente ist.

Das erste Verfahren A, 1, 2, 3 ... 10 ist das sich zunächst darbietende, weil man •den Punkt A jedenfalls hat, während ein Endpunkt 10, von dem rückwärts gegen A hin zu arbeiten wäre, nicht immer da ist. Indessen für die Genauigkeit ist das zweite Verfahren zum Instrument hin abzustecken, das günstigere, was schon daraus folgt, daß man dabei die Einmündungsrichtung B A keinen-falls verfehlen kann, daß man also jedenfalls eine Kurve bekommt, welche in der gewünschten Richtung durch A geht, während beim Abstecken vom Instrument weg gegen 10 hin der Punkt 10 seitlich verfehlt werden kann.

Eine nähere Erörterung dieser Fehlerverhältnisse gibt Vogler, „Lehrbuch der praktischen Geometrie 1885“ § 218—219.

Als Merkwürdigkeit sei zu dem Peripheriewinkelverfahren noch von „Zeitschr. f. Verm. 1889“ ■S. 114 ein amerikanisches Instrument berichtet, welches als Theodolit so eingerichtet ist, daß man die Winkel nicht am Nonius abzulesen und optisch einzurichten, sondern nur durch eine Art Zählwerk mechanisch einzustellen braucht, also ungefähr so wie man den Heydeschen Zahnradtheodolit von § 56 Fig. 22 S. 233 ohne Nonius- oder Mikroskopeinstellung nur mechanisch von 1° zu 1° ein-schnappen lassen kann.

Fig. 2.

An

<r

\B

7\\

io\

Über eine ähnliche gelegentlich anwendbare Absteckungsmethode vom Tangentenschnittpunkt aus berichtet Szarvas in der „Zeitschr. f. Verm. 1901“ S. 129—133.

Steht das Instrument in 8 in Fig. 1 § 204 S. 859, so sei für einen Bogenpunkt F der von •der Zentralen SC aus abzusteckende Scheitelpunktwinkel ca und der zugehörige Zentriwinkel <P, ■dann ist in dem Dreieck SCP

SC : r = sin (180° — [ca -(- <p]) : sin ca

: r = (sin ca cos <P cos <a sin <P) : sin ca ,

cos 7

woraus folgt :

cotg ca = ——

sin cp cos y

— cotg <P .

(2 a)

Danach können die zu verschiedenen Bogenpunkten und Zentriwinkeln <p gehörigen Absteckungswinkel ca berechnet werden.

II. Abstecken durch Feripheriewinkd mit wanderndem Instrument.

Wenn A und B in Fig. 3 zwei feste-Punkte sind, so bekommt man irgend weicheweitere Punkte P , Q . . ., welche mit A und B auf einer Kreisperipherie liegen, wenn man-diese Punkte so bestimmt, daß die Strahlen nach A und B einen konstanten Winkel einschließen. Für den Kreishalbmesser r berechnet man diesen konstanten Winkel cc durch die Formel:

Big. 3.

/\

AB

sin a = ——

(8>

Yp

et,

wo AB die Sehnenlänge zwischen A und B ist.

Hat man in A eine Tangente T'ATr so kommt dort der Winkel a = TAB unmittelbar zum Vorschein.

Big. 4.

Prismentrommel (Durchmesser = 7 cm).

Um dieses zur Absteckung verwerten

zu können, braucht man ein leicht versetzbares Winkelmeßinstrument, am besten ein Freihandinstrument.

:!ll

Ein solches Instrument (Arkograph) wurde z. B. von Pockels in der „Deutschen Bauzeitung 1875“ S. 22 beschrieben. Dasselbe ist wie ein Winkelspiegel gebaut (§ 16 S. 37), nur mit dem Unterschiede, daß die beiden Spiegel gegeneinander beweglich sind.

Da Keflexions-Winkelmeßinstrumente für andere Zwecke, namentlich für seemännische Beobachtungen, allgemein im Gebrauche sind,, nämlich Spiegelsextanten, Prismenkreise usw., so braucht man für die oben beschriebenen

200

[Ni si

ff

à Kreisabsteckungen keine besonderen Instru-Efjmente zu bauen, denn der gewöhnliche Sex-^ tant oder Prismenkreis eignet sich vorzüglich zu dem angegebenen Zweck. (Ausführliche Beschreibung dieser Instrumente findet man in des Verfassers „Grundzüge der astronomischen Zeit- und Ortsbestimmung, Berlin 1885“ S. 154 u. ff.)

Für Landmesser, welche eines jener seemännischen bzw. astronomischen Instrumente nicht haben, ist ein Winkelspiegel mit verstellbarem Winkel oder mehr noch ein kleineres Prismeninstrument zu empfehlen, welches unter dem Namen Prismentronnnel von Beinfelder & Hertel in München und von Sprenger in Berlin geliefert wird, wie Fig. 4 zeigt.

Da hiernach <p = 2 tp ist, muß die Teilung T an der Prismentrommel Fig. 4 S. 870 im ganzen Kreise herum nicht von 0° bis 360°, sondern von 0° bis 720° gehen, oder sie muß (wie beim Sextanten) für doppelte Winkel bezeichnet sein.

Nachdem so bewiesen ist, daß der Prismenkreis oder die Prismentrommel zur Winkelmessung bzw. Winkelabsteckung in freier Hand, ähnlich wie das Prismenkreuz oder wie der Winkelspiegel, gebraucht werden kann, ist auch einzusehen, wie nun ein Kreisbogen nach Fig. 3 S. 870 abgesteckt werden kann.

Ein besonderer Fall dieser Prismenverbindung ist uns bereits bekannt, nämlich das Bauern-feindsche Prismenkreuz von § 17 Fig. 8 S. 44. Ebenso wie jenes Prismenkreuz mit gegenseitig rechtwinklig gestellten Hypotenusen zum Abstecken von 180°-Winkeln diente, kann die Prismentrommel mit beliebig drehbaren Prismen zum Abstecken beliebiger Winkel benützt werden.

Um dieses näher zu verfolgen, hat man nur sich zu erinnern, daß nach § 17 Fig. 1 und Fig. 2 S. 42 die Hypotenusenebene eines gleichseitig rechtwinkligen Prismas für den Ein- und Austritt eines Lichtstrahls an den Kathetenebenen wie ein ebener Spiegel wirkt ; und wenn man dann tnoch den zweiten in der Optik bekannten (auch vom Sextanten her geläufigen), beim Winkelspiegel § 16 Fig. 3 S. 39 mit <P = 2 a bewiesenen Satz hinzunimmt, daß Reflexion von zwei Spiegeln eine Richtungsablenkung gibt, welche gleich dem doppelten Spiegelwinkel ist, so wird es nicht mehr schwer sein, auch ohne weitere Figuren und Gleichungen die Wirkungsweise der Prismenverbindung von Fig. 4 S. 870 einzusehen.

Indessen läßt sich mit Fig. 5 die Sache auch mehr geometrisch-algebraisch behandeln:

Fig. 5.

Pi

■O

/aC

£P\\

p₂ \

Nq

<p -j- 2 a 2 ß = 360°

<p = 360° — (2 a + 2 (i) a' = 90° — a ß' = 90° — ß

»p = et' -f 0'

180° — (a + ß)

8“ I ci

Die „Prismen trommel“ unterscheidet sich als neuere Erfindung von dem Steinheilschen Prismenkreuz von 1830 nur durch Weglassen des Fernrohrs und Aufsetzen der (sehr überflüssigen) Dosenlibelle. Steinheil selbst hat eine Beschreibung seines Instrumentes gegeben in den „Astronomischen Nachrichten“, 11. Band 1834 S. 43 — 48 und S. 105—119. Der Steinheilsche Prismenkreis ist abgebildet und beschrieben in Hunäus, „Die geometrischen Instrumente usw. 1864“ S. 518 — 521 und mit optischer Fehlertheorie in Jordan, „Grundzüge der astronomischen Zeit- und Ortsbestimmung 1885“ S. 258—269. Weiteres zur Prismentrommel gibt „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 47—54.

Mißlich bei der Prismentrommel und ähnlichen Instrumenten ist, daß sie nur in ebenem Lande anwendbar sind. Auf Gebirgsboden, wo es sich um die Horizontal-

Winkel zwischen verschieden geneigten Zielstrahlen handelt, kann man solche Reflexionsinstrumente nicht anwenden.

Für solche Fälle empfiehlt sich eine Kegelkreuzscheibe (vgl. die frühere Fig. 1 § 15 S. 36, welche mit Teilung von etwa 1' Genauigkeit (sog. „Gradscheibe“) und mit zwei fest einstellbaren Zielspalten zu versehen wäre.

Im Gebirge könnte man eine solche Einrichtung oft brauchen, weniger zur endgültigen Absteckung als zur vorläufigen Aufsuchung eines zu bahnenden Weges, auf den dann die endgültige Kurve zu liegen kommt.

§ 208. Einrückungen und Näherungen.

Unter Einrückungen versteht man solche bei beschränktem Raum anzuwendende Absteckungsverfahren, bei welchen man sich möglichst wenig weit von dem Bogen entfernt, und nach jeder Abweichung von dem Bogen wieder möglichst nahe an denselben heranrückt.

1. Bas genaueste Einrückungsverfahren besteht darin, daß man mit einem Theodolit ein regelmäßiges Polygon absteckt, dessen Seiten Sehnen oder Tangenten des Kreises sind ; diese Methode wird namentlich bei Kurventunneln ang;ewendet.

Sehnenpolygon. In Fig. 1 sind A , B , C, D . . . Bogenpunkte mit den Sehnen A B = B G = s , C D = s . . . und den zugehörigen Zentriwinkeln cp , cp , cp'... . Somit ist (wie in (1) § 207 S. 868):

sin y % cp = sin i/₂ cp’ =

Fig. 1.

.-"A

<A

s'

(1)

2r ’

Die abzusetzenden Winkel des Polygons sind somit zunächst von der Tangente TA aus:

TAB = 180° — ty₂ cp, sodann ABC = 180° — <p (2) und so fort bei gleichen Sehnen s, bei ungleichen Sehnen $, s' und Zentriwinkeln cp, cpï..., z. B. Winkel : B CD — 180° — 1/2 (cp -h cp') mit Sehne s' usw.

Tangentenpolygon. Wie aus Fig. 2 § 204 S. 860 folgt, kann auch mit Hilfe der Scheitelvinkel der gleichen oder ungleichen Zwischentangenten T S' M, MS" T' (oder in Fig. 3 S. 861 CDA , BBC) und den zugehörigen Tangentenlängen ein

die Kurve umhüllendes Polygon, welches unmittelbar die Berührungspunkte und die Tangentenschnittpunkte liefert, abgesteckt werden.

2. Durch rechtwinklige Koordinaten werden in Fig. 2 zunächst von der Tangente A T aus zwei Punkte B und C abgesteckt, so daß die Abstände A B und B C gleich sind. Wenn AB = BC = h die Bogenlänge ist, so hat man nach § 206 (5) (6) S. 866 :

-uf.

vT /9°’i

/(f

-r

(3)

Fig. 2.

ST'/

B' B

A B’ = r sin q = x A C = r sin 2 q

= 2 rsin% Ę- = ?/ 2

C’ C = 2 )■ sin2 ą .

Um die neue Tangente B" C in C zu bestimmen, braucht man nur den kleinen Abstand B' B", welcher aus dem rechtwinkligen kleinen Dreieck B B’ B” mit A B'f = x und B' B = y genügend genau erhalten wird :

(5)

B'B" = X-1.

Hat man auf diese Weise den Punkt B" gefunden, so benützt man die Tangente B" C T' ebenso weiter, wie vorher die Tangente A T.

3. Ein anderes sehr bequemes Verfahren ist die in Eig. 3 angedeutete Einrückung mit kurzen Strecken b und kleinen Abweichungen y.

Fig. 3.

A, B, C, I).. . sind Punkte in gleichen Abständen, etwa b = 20m; dann ist der zugehörige Zentriwinkel cp nach (5) § 206 oder (1) § 207 bekannt und damit die Koordinaten von B in bezug auf die Tangente an A:

b sin , x₀ = b cos ~

L    u

und für die Punkte C, J).. . in bezug auf die Verlängerungen AB, BC... y — b sin cp

Genügend genau kann man auch nach der Näherungsformel § 206 (4) oder (4a) S. 866 für die Ordinate von B ansetzen:

x = b cos cp .

(6)

(7)

y₀

VL

iß

2/0 = 27-

(8)

Auch die Ordinate von C, in bezug auf die Tangente in A als Abszisse, wird noch so berechnet, nämlich:

Ordinate von C =

Nun ist der in der Fig. 3 mit y bezeichnete Abstand des Punktes C von der verlängerten Sehne A B, die Hälfte der soeben berechneten Ordinate von C, d. h. :

(9)

y = ²2/o = —

z. B. mit b = 20 tu und r = 480 m hat man ?/₀ = 0,417 m und y = 0,833 m womit sich die ganze Absteckung durch aufeinanderfolgendes Einrücken ausführen läßt.

Man macht dieses am besten mit dem Meßband; dabei stellt man den einen Bandstab in A auf, spannt das Band in -der Tangentenrichtung aus und rückt um y₀ = 0,417 m gegen B herein. Nachdem das Band um seine Länge weiter gezogen ist, steht der hintere Stab in B und der vordere zuerst in der Verlängerung von A B, worauf er um y = 0,833 m hereingerückt wird. Das konstante Stück y = 0,833 m kann man auf einem Stocke bezeichnen, um die Meßlatte nicht jedesmal anlegen zu müssen.

Dieses Verfahren geht ungemein rasch von statten, nahezu mit derselben Geschwindigkeit, wie das gewöhnliche Messen einer Geraden, denn das Einrücken macht fast keine Mühe, und da man keinen anderen Weg als den abzusteckenden Bogen selbst zu begehen hat, so ist das Verfahren in Wäldern, Kornfeldern, in Tunneln vor Ort usw. von hohem Wert.

Natürlich ist aber die Fehlerfortpflanzung eine ungünstige, es gelten hierfür die schon früher in § 105 S. 457 für Polygonzüge entwickelten Gesetze, und zwar ist nach S. 457 der mittlere Querfehler nach n Einrückungen :

q = s y -|/ia + 22 +... n* = e y

n{n-\- 1) (2 n -f- 1)

(10)

in

wenn nun s — = e den mittleren Fehler einer Einrückung bedeutet. Setzt man dieses

e = + 1 cm, so findet man :

Zahl der Einrückungen n =    5

Mittlerer Fehler

10

20

q = jp 7 cm yb 20 cm + 54 cm .

Hiernach ist zu beurteilen, ob das bequeme aber ungenaue Einrückungsverfahren im einzelnen Falle anzuwenden ist; sollte z. B. bei 10 Einrückungen der mittlere Querfehler + 5 cm nicht übersteigen, so müßte e = + l/₄ cm sein.

Verschiedene Näherungen.

Qß2

Die in § 206 (4) S. 866 entwickelte Näherung y = — gibt noch mancherlei

Fig. 4.

xk

7i

2f\

Anwendungen ; sie gibt z. B. zu Fig. 4, wenn AB — l als Sehne gegeben und der Halbmesser r bekannt ist:

Pfeilhöhe h =    .

8 r

(H)

Darauf gründet sich auch die sogenannte „Viertelsmethode“, welche nach Fig. 4 darin

nimmt, nämlich

besteht, daß man die zu A C oder B G gehörige Pfeilhöhe =

—— =    Dies Verfahren ist bei Einschaltung von Zwischenpunkten

O u V    4

anwendbar, sowie auch mit größeren Pfeilhöhen bei weniger streng zu erfüllenden Bedingungen (Straßenkurven).

h' =

I \2

Fig. 5.

-t=

ZL'z 9

16,28

£<§>

Wenn also z. B. in Fig. 5 die drei Punkte A, S, E gegeben sind, so kann man FS= 16,28 messen und, ohne den Halbmesser zu kennen, ein Viertel von FS, d. h. 4,07 — KL absetzen, um so L zu bestimmen. Im Sinne solcher Näherung erlaubt man sich auch, wenn A, E und der Tangentenschnitt T gegeben sind, den Scheitel S auf der Halbierung von FT anzunehmen.

In Fig. 5, welche -wir von Hegemann aus „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 417 zu entlehnen uns erlaubten, sind die genannten Näherungen nicht angewendet, weshalb

man sieht, daß KL = 4,07 nach der Viertelsmethode um 0,07 -m zu klein ist gegen das richtige KL = 4,14 und daß die Halbierung von FT den Wert FS= 17,525tu. gehen würde, statt des richtigen 16,28.

Der Punkt S in Fig. 5 ist dadurch richtig erhalten worden, daß durch Probieren SH=z8F gemacht wurde, weil die zwei Winkel TAS und SAF streng gleich sein müssen. Ebenso ist auch L durch L J = i K bestimmt. Näheres hierzu gibt Hegemann in „Zeitschr. f. Venn. 1895“ S. 417—418 und Vogler, „Zeitschr. f. Verm. 1894“

8. 561—568, sowie früher 1888 S. 609—622.

Zitiert sei auch : Deubel, Kurven bei ländlichen Wegenetzen, „Zeitschr. f. Verm. 1898“ S. 249—257.

§ 209. Verschiedene Bestimmungsarten für Kreisbögen.

Fig. 1.

Nachdem in den bisherigen §§ 204 bis 208 im wesentlichen solche Absteckungen behandelt worden sind, bei welchen zuerst die Tangenten und dann die Bögen ins Feld gebracht werden, gehen wir nun zu dem entgegengesetzten Verfahren über, wonach, zuerst die Bögen abgesteckt und dann die Geraden berührend angelegt werden.

I. Es sind zwei Punkte A und B im Felde

abgesteckt, es soll ein Bogen von gegebenem Halbmesser durch diese Punkte geführt werden. (Fig. 1.)

1. Das zuerst sich darbietende Verfahren gründet sich auf die konstanten Peripheriewinkel. Man stellt in A einen Theodolit auf, richtet denselben zuerst auf B ein, und weist mit fortgesetztem Drehen um einen konstanten Winkel 8 weitere Punkte C, L) usw. ein. Wenn hierbei der Sehnenabstand B G — C L) = s ist und der Halbmesser = r, so hat man nach (1) § 207 S. 868

Fig. 2.

l£

""-/C

'D

\Cr

g

den Winkel 8 aus sin 8 — —— zu bestimmen und

kann dann nach Fig. 1 die Absteckung machen, welche aber ungenau werden wird, wenn AB ein Kreisdurchmesser oder nahe einem Kreisdurch-niesser ist.

aC's

TT

AZ

2. Wenn in Fig. 2 die zwei Punkte AB gegeben sind, so kann man auch mit einem wandernden Winkelmeßinstrument (§ 207 Fig. 4 S. 870) auf dem Kreise herumgehen, und so die Punkte C , JD usw. mit dem konstanten Winkel « abstecken. Um den Wert dieses Winkels a zu bestimmen, muß man die Sehne A B messen, und hat dann für einem Halbmesser r:

AB 2 /•

Damit kann man auch die Tangenten abstecken, wie in Fig. 2 durch AT mit dem Winkel BAT—a angedeutet ist.

sin a = sin a' --

Wenn das Messen der Sehne A B nicht unmittelbar angeht, so kann man vielleicht einen Hilfspunkt Q (Fig. 2) annehmen und durch Messung der Entfernungen •Q A und Q B, sowie des Winkels A Q B = cp, die Entfernung A B indirekt bestimmen nach der Formel:

AB — YQ A2-\-Q B% — 2 Q A x Q B cos q .

3. Näherungsverfahren. Wenn man, nach Andeutung von Fig. 2 S. 875 oder Fig. 3 unten, einen Punkt Q gefunden hat, welcher nahezu auf dem Kreise liegt, so kann man von hier aus einen Kreispunkt P bestimmen in folgender Weise:

Man mißt den Winkel cp genau, und sieht zu, ob er dem Winkel y gleich ist,

wobei y in Fig. 3 dieselbe Bedeutung hat wie a in Fig. 2, nämlich sin y —

AB

2T '

Der genau gemessene Winkel cp gebe gegen diesen berechneten Winkel y die

S'l')!/ &

Differenz y — <p — e, man berechnet Q P = AQ . Dieses Q P setzt man in Fig. 3 auf Q B ab und in gleicher Weise könnte man auch einen Punkt P' auf QA bestimmen.

Fig. 4.

Fig. 3.

IB

A\ \Jct

g!

fXF

Auch die Tangentenrichtung in P kann man auf diesem Wege finden, denn «s ist nach Fig. 4 :

. a AP .

sin y , sin p = -j-g sin y.

Hat man so den Winkel a oder ß bestimmt, so kann man damit die Tangente TP T' in Fig. 4 anlegen.

II. Es ist (nach Andeutung von Fig. 5) eine Gerade A B und ein außerhalb derselben liegender Punkt C im Feld abgesteckt; es soll ein Bogen von gegebenem Halbmesser r so gelegt werden, daß er die Gerade berührt, und durch den gegebenen Punkt geht. Um den Berührungspunkt T zu bestimmen, fällt man von C eine Senkrechte CI) auf die Tangente AB; und wenn man TD = x setzt, so besteht die Gleichung:

r2 — (V — y)2 _f_ x²,

sin a =

W¹ Sh

Fig. 5. T D — x , ü C = y.

’c

TH DB

wonach man berechnet:

x = y y (2 r — y) = I) T.

Damit kann der Punkt T von D aus abgesteckt werden.

Wenn das unmittelbare Fällen der Senkrechten C P> oder das Messen von 1) T nicht tunlich ist, so kann man einen Hilfspunkt H nehmen, und nach Andeutung von

Fig. 5 das rechtwinklige Hilfsdreieck HC D durch Messung der Hypotenuse H C und des Winkels G HD

a bestimmen, wonach ist:

HD = HC cos a

CD = HC sin a = y.

Darauf läßt sich die Formel für x anwenden, und das Einmessen der Strecke-HT — x — HD, von H aus, bestimmt den Berührungspunkt T.

Hierzu sei auch zitiert: Weitbrecht, „Zeitsehr. f. Verm. 1902“ S. 217—221.

III. Anlegen der Tangenten. Wenn die Kreisbögen ganz oder teilweise vor den Geraden abgesteckt sind, so entsteht noch die Aufgabe, die Geraden nachher berührend anzulegen. Diese Aufgabe kann lediglich empirisch gelöst werden, wie in Fig. 6-angedeutet ist.

Fig. 6.

P'

Wenn nach Fig. 6 zwei Bögen im Felde bereits ahgesteckt sind und eine gemeinsame Tangente T T gesucht wird, so überzeugt man sich zuerst, an welchen Stellen T und T ungefähr die Berührungen stattfinden werden; daselbst steckt man die Bögen sehr dicht und weist die Gerade A B durch Probieren von A oder B ausr vielleicht auch mittels eines Theodolits von einem Zwischenpunkte C aus, ein.

Wenn man nicht nur die Tangentenlagen seihst, sondern auch die Berührungs-punkte genau haben will, so kann man die Ordinaten benachbarter Punkte benützen,, d. h. man berechnet:

Q'T=Yq Q’ (2 r-QQ'),

V T- l/PP'(2r — PP⁷) womit der Punkt T doppelt bestimmt ist.

Verschiedene Wahl der Bestimmungspunkte und Bestimmungstangenten.

Über die Frage, in welcher Weise die Bestimmungspunkte oder Bestimmungstangenten für die Absteckung eines Kreisbogens zu wählen sind, damit die unvermeidlichen Fehler dieser Bestimmungen möglichst wenig Einfluß auf die Bogenabsteckung erlangen, sind verschiedene Untersuchungen in unserer 3. Auflage dieses Bandes 1888,. § 186 angestellt, welche wir aber nun übergehen müssen, indem wir nur die Zusammenfassung der Ergebnisse vorführen :

Wenn ein Kreisbogen durch zwei Endtangenten bestimmt wird, so sollen diese sich nicht unter einem spitzen Winkel schneiden; ist der Schnittwinkel erheblich kleiner als 90°, so muß eine andere Bestimmungsart, etwa durch mehr einhüllende Tangenten, gewählt werden. (Vgl. § 204 S. 860.)

Bei den bestimmenden Tangenten kommt es hauptsächlich auf die Lage in der Nähe der Berührungsstelle an; Verdrehungen der Tangenten haben wenig Einfluß auf die Lage des Bogens.

Die Bestimmung eines Bogens durch zwei Tangenten ist im allgemeinen der Bestimmung durch zwei Punkte vorzuziehen; werden zwei Punkte gewählt, so soll ihr Bogenabstand möglichst nahe ein Quadrant sein.

Vgl. Helmert : Über die günstigste Wahl der Kardinalpunkte bei dem Abstecken einer Trasse. „Zeitschr. d. Hannov. Arch.- u. Ing.-Vereins, Band 21, 1875“ Heft 3.

§ 210. Korbbogen.

Wenn zwei Tangenten SA und SB (Fig. 1) so durch einen Bogen AGB verbunden werden sollen, daß die Tangenten S A = a und S B = b ungleich sind, so kann das nicht durch einen Kreisbogen zwischen A und B erreicht werden, wohl aber durch zwei Bogenstücke AG und CB, welche sich seihst in C berühren, wobei der linke

Teil A C den Halbmesser B und der rechtsseitige Teil C B den Halbmesser r haben soll.

Einen solchen zusammengesetzten Bogenzug ACB nennt man einen „Korbbogen“ und um dessen Verlauf nur zunächst geometrisch klar zu machen, wollen wir annehmen, es seien die beiden Berührungspunkte A und B auf beiden Tangenten, und der eine der beiden Halbmesser, etwa r, gegeben; dann wird sich der andere Halbmesser B und alles übrige konstruieren lassen. Man errichtet zu diesem Zwecke B 0% = r rechtwinklig in B und zugleich auch AB = r rechtwinklig in A, worauf B 0₂ gezogen, in E halbiert und E 0^ als Mittelsenkrechte über B 0₂ errichtet wird. Dann bestimmt E Ol mit A B den zweiten Mittelpunkt Ol und 0₁ 0% C gibt die Zentrallinie beider Kreisbögen mit dem Zusammenschluß in C.

Wenn hierbei r als runde Zahl angenommen wird, so wird B eine nicht runde Zahl werden, und aus diesem Grunde wird die beschriebene Konstruktion, oder auch entsprechende Bechnung nicht nützlich erscheinen.

Fig. 1.

JP 2 >

Fu

A-ÿ

B- +

AÂ PCA

°z

R-r

0,

Fig. 2.

cc

jr

r,

Man hat in der Wahl von B und r einen Spielraum, den in an nach den verschiedensten Bück-sichten ausnützen kann. Die Be-

Ziehungen zwischen den beiden Radien B und r lassen sich durch zwei einfache von D’Ocagne gefundene Sätze ausdrücken, die wir an der nebenstehenden Fig. 2 erläutern wollen.

Im Punkte S (Fig. 2) schneiden sich unter dem Winkel a zwei Geraden, die in den Punkten T\ und F% ein Kreis mit dem Radius o: berührt. Im Punkte T werde eine beliebige Tangente MN an den Kreis gelegt. Hiervon ausgehend konstruieren wir einen Korbbogen, der dieselben drei Geraden berührt. Verlegen wir hierzu den Berührungspunkt F₁ nach A, so rückt T um dieselbe Strecke nach C und ebenso F% nach B. Die Mittelpunkte der beiden Kreisbögen liegen dann in Oy und 0₂. Be-Schreiben wir um 0 einen Kreis mit dem Radius A Fy = T C = B T% = q%, so ist die Gerade Oy 0₂ Tangente dieses Kreises.

Jede andere Tangente M' N' würde unter Beibehaltung der beiden Punkte A und B zu einem andern Korbbogen führen; jedoch würde wieder der Berührungspunkt C der beiden Kreisbögen auf der Tangente M' N' liegen und die Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte den um 0 beschriebenen kleinen Kreis berühren.

Sind umgekehrt die beiden Punkte A und B gegeben und durch einen zweiteiligen Korbbogen zu verbinden, so wird man zunächst die beiden Kreise um 0 mit

AS -h B S

AS — BS

tang — und p₂ =

eine beliebige Tangente an den kleinen Kreis gelegt, so schneidet sie die beiden durch A und B gehenden Normalen in den Mittelpunkten Oy und 0₂ der beiden zu einem Korbbogen gehörigen Kreisbögen. Wird ferner an den großen Kreis eine Tangente senkrecht zu Oy 0₂ gelegt, so ist der Schnittpunkt C der Berührungspunkt der beiden Kreisbögen.

konstruieren. Wird dann

den Radien pi =

Wenn weitere Bedingungen nicht vorliegen, so wird man danach streben, B und r möglichst gleich groß zu machen. Mathematisch kann man diese Forderung so

stellen, daß entweder B — r oder —--1 möglichst klein wird. Es läßt sich leicht-

zeigen, daß im ersten Falle die Zentrale Oy 0₂ parallel der Halbierenden des Winkels </., im zweiten Falle senkrecht zu AB liegen muß.

R

Daß im letzteren Falle das Verhältnis —

11

der Einheit am nächsten gebracht wird, ist bereits

in „Theorie des Trassierens von Launhardt, Heft II, technische Trassierung der Eisenbahnen, Hannover 1888“ S. 96 mitgeteilt worden. — Die obigen Sätze von D’Ocagne wurden veröffentlicht in D’Ocagne. Sur les raccordements par arcs de cercle, „Nouvelles Annales de Mathématiques, Bd. XVII, 1898„ S. 314—317. Weiteres hierzu gab Hammer in „Zeitschr. f. Verm. 1900“ S. 236—241.

Diese Sätze wird man im Auge behalten bei der zeichnerischen Trassierung; wenn es sich nun darum handelt, eine in der Zeichnung brauchbar gefundene Trasse ins Feld zu übertragen, und dabei geodätisch schärfer zu fassen als das in der Zeichnung möglich war, so kommen andere Rücksichten in Betracht, zu deren Behandlung zunächst die geometrischen Beziehungen aufgesucht werden müssen.

Zunächst haben wir die schon gefundenen Gleichungen:

a 4- b a

tanfJ y und worin a = AS und b = B S gesetzt ist.

a — b ^2 = —2—

Für die beiden Zentriwinkel qp und xp gilt die Beziehung a -j- cp + xp = 180°,

ferner ist für B und r

(2>

<1

01 + 02 c°ty ~2

(3)

:>p

(4)

Ol — 02 cotg ₂ .

Sind z. B. außer dem Winkel a die Tangentenlängen a und b sowie B gegeben, so werden zunächst die Radien und p₂ nach (1) berechnet. Hierauf ergibt (3) den Winkel qp, womit nach (2) auch xp bekannt ist. Nach (4) kann dann r berechnet werden.

Andere Gleichungen brauchen wir, wenn für die Radien und eine der Tangentenlängen die aus der Zeichnung entnommenen Werte festgehalten werden sollen, so daß die zweite Tangentenlänge zu berechnen ist. Diese Beziehungen ergeben sich dadurch,

daß man die Figur nach zwei Richtungen projiziert, etwa auf SA in Fig. 3 und dann rechtwinklig hierzu. Dieses gibt :

(B — r) sin cp r sin (qp -j- xp) -+- b cos a = a und (11 — r) cos <p -j-r cos (cp + xp) -+- b sin a = B oder wegen a -+- cp + xp = 180° kann man das auch so schreiben:

a — (B — r) sin cp — r sin a — b cos a — 0 B — (B — r) cos cp -i- r cos a — b sin a = 0.    (6)

Als Anwendung wollen wir annehmen, es sei durch die zeichnerische Trassierung in runden Zahlen ermittelt worden :

B = 500 m , }’ = 300 m , a = 587 m , b = 486 m , <x = 72°.

Nun sollen jedenfalls B und r festgehalten werden und die Messung des Winkels a im Felde soll ergeben a = 72° 10' 20", was nun ebenfalls genau festgehalten werden muß; dagegen von den beiden Tangentenlängen a und b kann nur eine genau bleiben, während die andere dadurch bestimmt ist. Wir wollen b = 486 m festhalten und messen dieses Maß im Felde von S nach 1! genau mit Latten ab, wodurch 1! unabänderlich bestimmt ist, während der andere Punkt A erst nach der Berechnung genau ermittelt werden wird. Wir betrachten also nun als scharf gegeben : B — 500 m r — 300 m b = 486m    « = 72°10'20".

A/Ó90°

Fig. 3.

a.

/ cJKk-.

MA'

(5)

,0«

(7)

nach cp auf:

Da wir hieraus qp und a berechnen müssen, lösen wir zuerst die Gleichung (6)

B -f- r cos a — b sin a

cos cp =

und dann haben wir a aus (5) : a = (B — r) sin cp -f- r sin a-\-b cos a .

Die Ausrechnung gab : qp = 49° 45' 54" und «— 587,066 m.

Wegen a -+- qp + xp = 180° hat man damit auch xp = 58° 3'46", und damit berechnet man auch die Tangentenlänge nach Fig. 3 :

FA — FC — B tang = 231,906 m

und G B — GG — r tang

166,508 m.

Damit kann man die ganze Absteckung iłach Fig. 3 ausführen.

Wenn man ursprünglich nicht b sondern a fest annehmen will, so muß man statt (5) und (6) zwei andere Gleichungen nehmen, welche in Fig. 3 durch Projektion auf S B und. rechtwinklig dazu erhalten werden, nämlich :

(8)

(9)

b = a cos a -f- B sin a — (B — r) sin ip 0 = a sin a — Beos a —■ (B — r) cos ip — r.

Fig. 4.

Damit haben wir im wesentlichen die Theorie des zweifachen Korbbogens, zu welcher wir noch zitieren: Puller, „Abstecken mehrfacher Korbbögen“, „Zeitschr. f. Yerm. 1892“ S. 519—525, „Abstecken von Kreisbögen“, „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 193—199 und 1894 S. 367—375. Bückle, Verbindung zweier konzentrischer Kreise durch einen aus zwei Kreisbögen bestehenden Korbbogen, „Zeitschr. f. Yerm. 1902“ S. 509-517, 541-549.

Absteckung von S-Kurven.

Im Anschluß an den zweiteiligen Korbbogen behandeln wir noch eine ebenfalls aus zwei Kreisbögen jedoch mit entgegengesetzter Krümmung bestehende Kurve, Avie sie im Eisenbahnbau vorkommt.

Zwei gerade Linien A S und B S in Fig. 4 sollen durch zwei Kreisbögen verbunden Averden, die die Geraden in A und B und außerdem sich selbst in einem Punkte C berühren.

____0

Pb

//

Auch auf diese Aufgabe lassen sich die S. 879 angegebenen Sätze von D’Ocagne amvenden. Der Mittelpunkt 0 der beiden Hilfskreise liegt hier auf der Halbierenden des Ne-benAvinkels von a, und ihre Radien sind, wie sich aus Fig. 4 leicht ergibt :

'M,

r\

\a/c

a A~ b •2 “ ’

(10)

Oi =

wobei Avieder A S = a und B S = b gesetzt ist.

Die Mittelpunkte und 0₂ zweier zusammengehöriger Kreisbögen liegen auf einer Tangente des Kreises mit dem Radius p₂.

Die gemeinsame Tangente der beiden Kreisbögen ist stets eine Tangente des Kreises mit dem Radius

Die Gleichungen (2) bis (4) S. 880 gehen für den vorliegenden Fall, wie sich leicht nachAveisen läßt, in die folgenden über:

cp —rp-+-cc= 0

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

0i-

882 Dreifacher Korbbogen der Gotthardbahn m. allgem. Koordinatenberechnung. § 211.

(12)

o₂ cotg Pi

>P

(13)

V ==

Qi — Qz cot(J y ■

Diese Gleichungen gehen zusammen mit den Gleichungen (10) die Lösung der Aufgabe, wenn a, a, b und B, als gegeben betrachtet werden.

Bei sehr kleinem Wert von a ist die vorstehende Lösung nicht brauchbar. In diesem Falle wird man außer der Verbindungslinie A B der beiden Berührungspunkte noch die Winkel messen, die A B mit den beiden gegebenen Geraden bildet. Es lassen sich dann ähnlich wie in (8) und (9) S. 881 zwei Gleichungen aufstellen, wenn die Strecken A 0₁,0₁0% und 0₂ B auf die Gerade A B und auf die Senkrechte hierzu projiziert werden.

Die Absteckung der S-Kurve oder „Gegenkurve“ wird behandelt von Fr. Schulze und Puller in „Zeitsehr. f. Yerm. 1904“ S. 185—194 und S. 587—588. In der Praxis des Eisenbahnbaus ist in der Regel zwischen den beiden Kreisbögen eine berührende Gerade einzuschalten. Für diese allgemeinere Aufgabe verweisen wir auf L. Krüger „Zeitschr. f. Verm. 1904“ S. 588—591, Bückle 1904 S. 591 — 595 und Soßna 1905 S. 313—322.

§ 211. Dreifacher Korbbogen der Gotthardbahn mit allgemeiner Koordinatenberechnung.

Wir geben in der nachstehenden Fig. 1. S. 883 die Absteckung des Pfaffensprung-Kehrtunnels der Gotthardbahn bei Wasen, nach einer Mitteilung: „Über die Bestimmung der Absteckungselemente für die sieben Kehrtunnels der Gotthardbahn, von Dr. C. Koppe, Separatabdruck aus der „Eisenbahn“, Band XIII, Nr. 6 u. 7 vom

7. und 14. August 1880. Das dabei benützte Koordinatensystem ist das schweizerische, mit dem Koordinatenursprung Bern, mit -+- x nach Süden, -+- y nach Westen, und entsprechende Zählung der Richtungswinkel von Süd über West (vgl. § 68 Fig. 2 S. 271).

Die nachstehende Fig. 1 zeigt zunächst den Verlauf der Traße im allgemeinen: die offene Bahn kommt nördlich von Flüelen her zu der Tunnelmündung Q. Die Linie Q NMP ist Tunnel, und von P wendet sich die Bahn wieder offen nach Süden, dem Gotthard zu. Die Tunneltraße, mit der wir uns hier beschäftigen wollen, besteht aus drei verschiedenen Bögen :

Q JSr mit dem Halbmesser r = 280 m NM „

MP „

Zur weiteren Bestimmung dienen die Tangenten in Q und P, welche sich in IE schneiden, und auf diesen Tangenten sind zwei Punkte E (in der Nähe des Tunneleingangs) und A (in der Nähe des Tunnelausgangs) fest bezeichnet.

Die drei Punkte W, E und A sind durch eine Triangulierung an das allgemeine Koordinatensystem angeschlossen, und haben folgende Koordinaten :

r = 500

(1)

r = 300.

W - 90259,848 m E — 89838,163 A — 90041,229

+ 25095,146 m 1 H- 25139,362 j + 24740,765.    '

Man berechnet aus den Koordinaten von IV, E und A zuerst die zwei Richtungswinkel und den Tangentenwinkel :

Winkel E WA — 64° 18' 55,2" } .

(4)

Richtungswinkel (W E) = 84° 0'50,7"

Richtungswinkel (ITd) = 148 19 45,9 Mit diesen Richtungswinkeln und den zwei gemessenen Längen E Q und AP nach (3) berechnet man auch die Koordinaten von Q und P :

Q — 89754,323 -f 25148, 153    (5)

Da Q C als Halbmesser rechtwinklig auf der Tangente Q W steht und gleiches bei P statt

P — 89921,138    + 24546,097.    (6)

(7)

§211. Dreifacher Korbhogen der Gotthardbahn m. allgem. Koordinatenberechnung.

883

Die Punkte Q und P sind durch Einmessen auf den Tangenten W E Q und WAP bestimmt, mit den Maßen :

E Q = 84,30 m

Dadurch ist alles bestimmt und die Rechnung kann beginnen.

AP = 228,73 m.

(3)

Fig. 1. Rfaffensprung-Kehrtunnel. Mafistab 1 : 10 000 (1 cm = 100 m).

^-^=300)

a=+24500

:oP

■s>

C300

jCsoo

//

\A

y\

y i

N-o

X=+25000

N%

Ar-------

y=-89500

y=-90000

findet, erhält man aus (4) auch die Richtungswinkel von Q und P nach den Mittelpunkten, nämlich : Richtungswinkel (Q C₂₈o) = 174° 0' 50,7" mit Q C₂8o = 280 m.

Richtungswinkel (P C₃₀₀) — 58 19 45,9 mit PC₃oo —300 m.

244° 18' 55,2"

Bogen Q N ■ NM MP

45° 43' 57,8"

Winkel C₃₀₀ =    149° 12' 42,2".

Winkel +80 ⁼

Nun haben wir in (13) und (14) die Zentriwinkel der drei Tunnelbögen, mit denen man dann auch die Bogenlängen berechnen kann, wie folgende Zusammenstellung zeigt :

(14)

nach (8) (P +₀₀) =

Dieses führt auch auf die Koordinaten der beiden Mittelpunkte:

+₈₀ — 89725,123    -j- 24869,680    (9)

Hieraus wieder Richtungswinkel und Entfernung von C₂₈„ nach C₃₀₀ :

Richtungswinkel (+50 +oo) — 160° 20' 49,3"    (11)

Nun hat man in dem Dreieck C₂go +00 +00 alle drei Seiten gegeben, man kann daher auch die Winkel dieses Dreiecks berechnen :

+00 — 89665,814    +24703,607.    (10)

Entfernung C2S0 +00 = 176,316.    (12)

+00 6-280 — 176,346 — a 500 — 300 = +₀₀ +00 = 200,000 = 5 , s — b = 98,173 500    280    +80 +00 — 200,000 — c

s — a— 121,827

s — c — 78,173

2s — 596,346 s = 298,173

298,173.

Nach bekannten Formeln gibt dieses weiter berechnet :

Winkel +₀₀ = a = 49° 22' 15,2" ft — 59 23 59,2 7 = 71 13 45,6

Mit diesen Winkeln und den Richtungswinkeln (7), (8) und (11) berechnet man weiter: 160° 20' 49,3"

-j-ft = + 59 23 59,2

(6-280 +00) —

180° O'O" .

(+00 +so) —

340° 20' 49,3" — y — — 71 13 45,6

(13)

(+80 +00) = (NC₂ao) =    219° 44' 48,5"

nach (7) (Q +₈₀) =    174    0 50,7

(+00 +00) — (U +00) —    269° 7' 3,7"

58 19 45,9

Mittelpunkt

6-280

+00

+00

Zentriwinkel 45° 43' 57,8" 49 22 15,2 149 12 42,2

Halbmesser 280 m

500

300

Bogenlänge 223,492 m 430,842 781,271

1435,605

Die Summe der drei Zentriwinkel gibt die Rechenprobe, daß sie mit dem Tangentenwinkel nach (4), nämlich 64° 18' 55,2" auf 180°, stimmen muß, was hier der Fall ist.

Nun hat man am Tunneleingang bei Q die Tangentenrichtung Q E und ebenso beim Ausgang PA. Im Innern des Tunnels hat man die Halbmesser, Zentriwinkel und Bogenlängen, und damit kann die Absteckung gemacht werden [§ 208 (1) S. 872r § 213].

§ 212. Übergangskurven.

Ein aus Geraden und Kreisbögen zusammengesetzter Linienzug ist weder eine stetige Kurve, noch überhaupt eine flüssige, den Ansprüchen des Eisenbahnbetriebs genügende Linie. Ein Hauptübelstand dabei ist die Unmöglichkeit, am Übergang des Bogens in die Gerade die richtige, der Krümmung entsprechende Überhöhung des äußeren Schienenstrangs herzustellen. Diesem Übelstand wird dadurch abgeholfen, daß zwischen die Gerade und den Kreisbogen eine beiderseits berührende Kurve eingeschaltet wird, welche sich mit der Krümmung Null an die Gerade anlegt, und mit stetig wachsender Krümmung den Übergang zu der Krümmung des Kreisbogens vermittelt.

Um eine Beziehung zwischen der Überhöhung z des äußeren Schienenstrangs und dem Krümmungshalbmesser B der Bahn zu finden, betrachten wir in Fig. 1 den

Querschnitt der Bahn, nebst einem darauf laufenden Bäderpaar. Die Schiene B ist über A erhöht um den Betrag z, so daß die Neigung a gegen den Horizont entsteht.

Wenn ilL die Masse des Fahrzeugs ist, so ist das nach unten wirkende Gewicht = M y, wobei g die Beschleunigung der Schwere ist.

Wenn ferner v die Fahrgeschwindigkeit ist, so ist die nach außen horizontal wirkende Zentri-iW>²

Kg. 1.

... Mv?_

fugalkraft =    ^

Durch Projektion dieser zwei

a\\ * -l

Mv*

Kräfte M y und auf die Richtung A B Le-

JX

kommt man die Bedingung des Gleichgewichts:

Mv²    ^    .

--n cos « = Mg sin a.

Wenn w die Spurweite der Bahn ist. so hat man sin a = —, und cos u kann

w

hinreichend genau = 1 gesetzt werden; damit gibt die Gleichung (1):

v² _ g z B ~ w '

Nun wird die Bahnkurve im Grundriß betrachtet und auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem x, y bezogen, dessen x-Achse die Tangente ist, an welche sieh die Kurve berührend anlegen soll, und dessen Ursprung der Berührungspunkt zwischen der Tangente und der Kurve ist.

In der nachher zu benützenden Big. 2 S. 886 ist A KB die fragliche Kurve; wir denken uns A als Koordinatenursprung, die Tangente A Q als «-Achse und die Ordinaten y rechtwinklig hierzu. Zur weiteren Bestimmung der Kurve wird die Annahme gemacht, daß die Überhöhung z des äußeren Schienenstranges, vom Berührungspunkt A der Kurve mit der Geraden an gezählt, gleichförmig wachse, d. h. :

z: s = 1 : n,

s die Kurvenlänge vom Berührungspunkt an gezählt, und 1 : n das Steigungsverhältnis ist. Zugleich machen wir aber die weitere Annahme, die Kurve soll so flach sein, daß die Bogenlänge s hinreichend genau gleich der Abszisse x angenommen werden kann, d. h. wir schreiben statt (3) die neue Gleichung:

z : x = 1 : n.

(2)

(3)

wo

(4)

Für eine so flache Kurve hat auch der Krümmungshalbmesser B bekanntlich eine sehr einfache genäherte Formel, nämlich:

i ₌ f² y

B d «² '

ä x²    n w «²

n w v²

Aus (2), (4) und (5) erhält

man :

(5)

Man setzt zur Abkürzung:

= ff-

cßy _ äx'²    '

Dieses ist die Differentialgleichung der Übergangskurve. ■-

Damit wird (6) :

« I C-H

(8)

Wenn man diese Gleichung zweimal integriert, und bedenkt, daß für x = 0 sowohl y = 0 als auch = 0 sein soll, so erhält man :

Cv OG

d y x²    -,    x³

Tx= 2, uni y = 6T Die Konstante q, welche nach (7) namentlich von der Fahrgeschwindigkeit v abhängt, bestimmt die Übergangskurve vollständig; je größer q, desto flacher und länger wird die Übergangskurve.

Ein häufig benützter Wert ist q = 12 000 für Hauptbahnen.

Ohne auf die besonderen Verhältnisse des Eisenbahnbetriebes näher eingehen zu können, nach welchen die Wahl der Konstanten q im einzelnen Falle zu treffen ist, behandeln wir die rein geometrischen Verhältnisse mit Beziehung zu der Pig. 2.

Fig. 2.

(9)

Übergangskurve A K B : l = 2a = q

vz= T ~ 24 A ■

MT=r

MT=r+v

U-

Î7”

G'

v£

tA

lv4V

<-------a

-x-

Cl

1=2 a

->

->

Hier ist AK B die Übergangskurve, welche in A die Gerade G A berührt und andrerseits in B einen Kreis vom Halbmesser r berührt. Es soll jedoch nicht bloß gewöhnliche Berührung stattfinden, sondern die Kurve A B soll in A und in B Berührung zweiter Ordnung (Oskulation) haben, d. h. der Krümmungshalbmesser der Kurve soll in A der Geraden entsprechend = oo sein, und in B soll der Krümmungshalbmesser = r sein.

Der allgemeine Ausdruck für den Krümmungshalbmesser ist mit der bei (5) eingeführten Näherung nach (8):

1 d²y _ R ~ dx²

(10)

, also R =

(11)

Im Punkte A, mit x = 0, gibt dieses R = oo, wie es sein muß, und im Punkte B, dessen Abszisse = l gesetzt werden soll, gibt die Bedingung R — r nach (10) folgende Gleichung:

Die Ordinate b des Punktes B wird vermöge der Kurvengleichung und wegen (11):

(12)

B

6 q 6 r³ "

Es handelt sich ferner um die Lage des in B berührenden Kreises T'BC mit dem Mittelpunkte M. Da die Kreistangente in JB zugleich Tangente der Übergangskurve ist, haben wir tang cp =

für x — l, d. h. nach (9) und (12):

ß 8 b tang<f = vi = -T

Die Subtangente H F des Punktes B ist hiernach ein Drittel der Abszisse A F —l. (Dieser Satz gilt für jeden Kurvenpunkt.)

Nachdem somit cp bestimmt ist, können wir auch die in Fig. 2 S. 886 eingeschriebenen Kreiskoordinaten x’ ÿ angehen, nämlich :

x’ = r sin cp und ÿ = r — r cos cp .

Da jedoch cp klein sein soll, darf man setzen:

= b:

¥'

(1B)

(14)

sin cp — tang cp = —    ,

cos cp

KŁY

2 \2 q)

(15)

Mit Rücksicht auf (11) und (12) werden daher x' und y’ von (14):

x'

und y’ =

(16)

also

l = 2 x’ = 2 a und T T' — b — y' =

<ê

24 r³ ’

(17)

Das kleine Ordinatenstück T T' — v wird durch die Kurve seihst in dem

Punkte K halbiert, denn es ist TK als Ordinate zu der Abszisse a = — nach der

Kurvengleichung : T K =

J\³ _1_    J³^    1 .

2/6<j'48g2;’

Einige Zahlenwerte für die Hauptformeln der vorstehenden Entwicklung haben wir in der Hilfstafel auf Seite [48] des Anhangs zusammengestellt.

Hauptaufgabe für die Anlage einer Übergangskurve.

Nach Andeutung von Fig. 3 &. 888 sind zwei Gerade S Gr und S G abgesteckt, welche durch einen Kreisbogen vom Halbmesser r mit Übergangskurven verbunden werden sollen.

Man bekommt folgenden Gang der Berechnung und der Absteckung, den wir zugleich durch ein Zahlenbeispiel erläutern :

1.    Man entscheidet sich für einen bestimmten Wert q nach (7) S. 885 als Konstante, und dann ist mit dem Halbmesser r des anzuschließenden Kreises sofort auch die Länge l der Übergangskurve und die kleine Verschiebung v bestimmt, wie rechts von Fig. 3 S. 888 angegeben ist.

2.    Man macht die Absteckung der Tangentenpunkte T (Fig. 3) mit einem Halbmesser r -f- v statt r, indem man sich zuerst einen Bogen T D T (Fig. 3) vom Halbmesser r -j- v angelegt denkt.

Hierzu mißt man, wie sonst, den Winkel a, derselbe werde a = 82° 50’ 0”, also ^ =41° 25'0” und y = 90° — ü= 48° 35' 0" .

Hierzu wird berechnet : ST — (r -j- v) tang y — 300,222 tang 48° 35' O" = 340,330 m, womit die beiden Punkte T abgesteckt werden können.

3. Han nimmt a =

mit bekommt man die beiden Punkte .4 und F (Fig. 3).

— = 20iw und mißt diesen Wert von T aus nach beiden Seiten ab, da-2

Fig. 3.

rA

\Ty

T\S,

J7T

Kreisbogen mit Übergangskurven.

(MT' = r , MT=r + v) r = 300 m , q = 12000

l = i±=

/•

40 in , — 2

= « = 20 m

I)

v =-= 0,222 m

24 i-»

M T' = r = 300 m MT = r + v = 300,222 m a = 82° 50' 0" y — 48° 35' 0".

g» ₌

6 r*

4 v — 0,889 m

womit der Punkt B, d. h. der

Ferner berechnet man nach (12): 6 =

Übergangsberührungspunkt zwischen der Übergangskurve und dem Kreisbogen abgesteckt werden kann.

4. Man steckt die Übergangskurve selbst ab, wozu man die Koordinaten x und y entweder

nach der Kurvengleichung y —

•T³

6?

berechnet, oder aus einer Hilfstafel entnimmt (vgl. S. [43] des

Anhangs). Im Falle unseres Beispiels hat man : 5 m

10 TO

15 TO

20 m

25 m

30 m

35 m

0,014

0,047

0,111

0,217

0,375

0,595

40 m 0,889 .

y — 0 0,002

Die Abszissen x sind hierbei von A an in der (Richtung A S gezählt.

5. Man steckt den Kreisbogen ab mit den rechtwinkligen Koordinaten für r = 300 m, wobei

man jedoch die Ordinaten sämtlich um v — 0,222 m vergrößert. Die Abszissen x sind von T an in

der (Richtung TS gezählt, also:

x— Om (Übergangskurve) (Übergangskurve)

* = 10 x = 20 x =30 * = 40

Damit kann die ganze Absteckung vollendet werden.

y = 0,67 + 0,22 = 0,89 m wie bei der Übergangskurve mit x = 40 m

y = 1,50 + 0,22 = 1,72 y = 2,68 -f 0,22 = 2,90 usw.

1851.

1872.

1873. 1873.

1874.

Literatur zur Kurvenabsteckung u. a.

Kröhnke. „Handbuch zum Abstecken von Kurven auf Eisenbahnen und Wegelinien. 1. Auflage, Leipzig 1851“, und spätere Auflagen (14. Aufl. 1902).

Helmert. „Die Übergangskurven für Eisenbahngeleise, mit Tafeln. Aachen 1872.“

Winckel. „Handbuch zum Abstecken von Kurven. Berlin 1873.“

Knoll. „Taschenbuch zum Abstecken der Kurven an Eisenbahnen und Straßen. Stuttgart 1873“, zweite Aufl., bearbeitet von Weitbrecht. Stuttgart 1902.

Sarrazin & Oberbeck. „Taschenbuch zum Abstecken von Kreisbögen und Übergangskurven.

Berlin 1874“, und weitere Auflagen (15. Aufl. 1905).

Hanhard & Waldner. „Tracierungshandbuch für die Ingenieurarbeiten im Felde. Berlin 1874.“

1876.    Becker. „Die Absteckung von Straßen- und Eisenbahnkurven. Wien 1876.“

1877.    Döriiinger. Absteckung der Kehrtunnel bei Wasen. „Zeitschr. f. Yerm. 1877“ S. 526—533.

1879. Elb. „Taschenbuch zum Abstecken von Kreisbögen und Übergangskurven. Wilhelmshaven 1879.“

1830. Koppe. „Über die Bestimmung der Absteckungselemente für die sieben Kehrtunnels der

Gotthardbahn.“. Separatabdruck aus der „Eisenbahn“, Band XIII, Kr. 6 und 7. August 1880.

1881. Jordan. „Kreiskoordinaten für 200 Radien. Leipzig 1881.“

1885. Gysin. „Peripheriewinkeltafeln in alter Teilung zum Abstecken von Eisenbahn- und Straßenkurven. Liestal 1885“, und „Tafeln zum Abstecken in neuer Teilung. Liestal 1885.“

1893. Hecht. „Hilfsbuch zum Abstecken von Kreisbögen mit Rücksicht auf parabolische Übergangskurven. Dresden 1893 ; Hand- und Hilfsbuch zum Abstecken von Eisenbahn- und Straßenkurven mit Rücksicht auf die Verwertung der Kegelschnitte (I. u. II. Teil). Dresden 1893“.

1903. Pernt. „Tafeln zum Abstecken von Kreis- und Übergangsbögen durch Polarkoordinaten. Wrien 1903.“

Rektifizierrädchen, oder Instrumente, welche die rektifizierte Länge einer Kurve auf dem Papier zu bestimmen geben, sind mehrfach in der „Zeitschr. f. Verm.“ beschrieben: 1876 S. 123, 1880 S. 50, 1889 S. 25 und 210, 1890 S. 299, 1891 S. 537 und 538.

Verfahren bei Wiederherstellung der Gleisachse in Krümmungen. „Zeitschr. d. Rhein.-Westf. Landm.-Vereins 1898“ S. 17—34 Kalenz, S. 225—236 Hieck. Bestimmung der Abstände bei Achsver-legungen. Puller, „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 234—238.

Angaben über Kurvenabsteckungen enthalten auch die jährlichen Literaturberichte der „Zeitschr. f. Verm.“

§ 213. Tuimelabsteckungen.

Ohne

Was in geodätischer Beziehung zu den Tunnelabsteckungen zu sagen ist, haben wir bereits früher erledigt. Abstecken einer Geraden im Tunnel durch fortgesetztes Verlängern um 180° in § 203 III S. 857, Nivellement in Stollen § 116 S. 506, bei sehr großen Verhältnissen Triangulierung, welche in unserem I. und III. Bande behandelt ist. Die Triangulierung wird, falls möglich, im Anschluß an eine Landestriangulierung gemacht. Zu bemerken ist jedoch, daß für die Bestimmung der Länge großer geradliniger Tunnel die zu erreichende Genauigkeit von geringerer Bedeutung ist, daß dagegen möglichst scharfe Bichtungsübertragung zwischen den an den Tunnelenden errichteten Punkten, d. h. also die Anordnung des Übergangs mit möglichst wenig Zwischenpunkten bei scharfer Messung erstrebt werden muß. Im übrigen kommen bei Absteckungen im Tunnel bergmännische und markscheiderische Verhältnisse, bebesondere Art von Punktfestlegungen, Hilfsmittel, Geräte usw. in Betracht. Anspruch auf Vollständigkeit bringen wir einige Angaben über Tunnelabsteckungen.

Der Mont Cenis-Tunnel (vgl. S. 891).

Die Absteckung der Dichtung der Achse des Mont Cenis-Tunnels wurde in den Jahren 1857—1858 ohne Triangulierung mit Hilfe eines hochgelegenen Observatoriums unmittelbar ausgeführt, nie in der Zeichnung S. 891 angedeutet ist. Die lunnel-länge wurde durch Triangulierung bestimmt, und die Höhen über den Berg hinweg nivelliert.

Zur Kichtungsabsteckung wurden am

Mont Cenis auf den Observatorien, oben auf dem Grand Wallon (S. 891) und an den Tunnelmündungen Passageinstrumente benützt, nach Fig. 1 S. 890, welche von Gelpke in „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 105 gegeben wurde, mit näheren Beschreibungen, Fadenkreuzbeleuchtung usw. Im Mont Cenis-Tunnel selbst dienten gewöhnliche Theodolite von Ivern in Aarau mit Fadenkreuzbeleuchtung durch das Objektiv mit Spiegel unter 45°.

Weiteres über den Mont Cenis-Tunnel gibt ein „Rapport sur le percement du grand tunnel des alpes par M. Conte, ingénieur en chef des. ponts et chaussées“ in den „Annales des ponts et chaussées, 4e série 1863“, 1er semestre S. 1—51 mit Tafeln 37—41. Auszug hieraus s. „Civilingenieur“ 1863, neue Folge, 9. Band S. 341—370 und Tafeln 24—26.

Fig. 1.

Der Durchschlag des Mont Cenis-Tunnels erfolgte am 26. Dezember 1870; über die dabei gefundene Abweichung ist nichts bekannt geworden.

Der Gotthard-Tunnel (vgl. S. 891).

Die

Durchbohrung dauerte bei einer Länge von nahezu 15 000-m vom September 1872 bis Februar 1880. Die Bestimmung der Richtung geschah durch Triangulierung. Auf den Endpunkten (Göschenen, Airolo, s. d. Fig. S. 891) wurden aus der Triangulierung über den Tunneleingängen je ein Richtungspunkt (verschiebbare Mire) durch zahlreiche Winkelmessungen scharf bestimmt, wodurch die in den Tunnel zu übertragende Richtung gewonnen war.

Die Richtungsabsteckung im Innern des Gotthard-Tunnels ist durch die gemauerten Pfeiler (Fig. 2) für die Achspunkte und die mikrometrisch verschiebbaren

Fig. 2. Pfeiler.

Fig. 3. Stativplatte.

d\

-h

dj.

Stativplatten (Fig. 3) für die Signallampen und das Absteckinstrument (kleines Passageinstrument wie Fig. 1) charakterisiert, nach Angabe von Gelpke in „Zeitschr. f. Verm.

non. 0

ns‘i.0

Goschen en.

°ZZ? £

St. Gotthard

V02.3

Tr

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Mo dan.e>

oo/Z'ZZ

Mont - Cenis.

TnnneL = 10 900

/V

Tunnel = 12 220

Grand Wallon ' fl Observatorium;

Längen =1*100000, Höhen=1- 50000.

tn.tr

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1335.k

mtr

0.5 %o

Rardonèc/ie¹

fl 1,5. 0

-Airolo

Der Durchschlag des Gotthard-Tunnels geschah am 28. Februar 1880 mit einer um 7,6 m kleineren Länge als erwartet wurde, d. h. die beiderseitigen Stollen trafen bereits zusammen, als man noch 7,6m dazwischen zu haben glaubte; vgl. hierzu: Messerschmitt, Neuberechnung der Länge des Gotthard-Tunnels. ,, Zeit sehr. f. Verm. 1902“ S. 189—191. In der Höhe stimmte der Durchschlag auf 0,05 Richtung bei erster Messung auf 0,49 m, bei zweiter Messung auf 0,33m. („Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 157, 159, 161, und „Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Vereins zu Hannover 1880“ S. 318.)

1880“ S. 107—111, wo auch alle Einzelheiten über Lampen u. dgl. mitgeteilt sind. Das Einwinken der Signallampen geschah zuerst durch Lichtsignale, später durch telegraphische Verständigung, unter Benutzung der mikrometrischen Verschiebung des Schlittens M (Fig. 8 S. 890) mit der Schraube m, wobei bei jeder Einweisung auf dem Rahmen r an den Zeigern d Marken gezogen wurden, deren Mittelwert den Achs-punkt ergab.

und in der

Weitere Angaben zum Gotthard-Tunnel sind:

1870. Gelpke. Bestimmung der St. Gotthard-Tunnelachse, „Civilingenieur“ 16. Band (1870) S. 143 bis 168. Dreiecksnetz mit 20 Dreiecken und einer 1450,44 m langen Grundlinie bei Andermatt. 1875—1876. Koppe. Bestimmung der Achse des Gotthard-Tunnels. Ausgeführt in den Jahren 1874 bis 1875, mit einer Dreiecksnetzkarte. „Zeitschr. f. Verm. 1875“ S. 369—444 und 1876 S. 86 bis 90, 129—145, 353-382.

1876.    Helmert. Diskussion der Beobachtungsfehler in Koppes Vermessung für die Gotthard-Tunnel

achse. „Zeitschr. f. Verm. 1876“ S. 146—155.

1877.    Pestalozzi. Die Absteckung der Achse des Gotthard-Tunnels. Vortrag, gehalten in der X. Sitzung

des Züricherischen Ing.-u. Arch.-Vereins vom 23. Februar 1877 (mit einer Beilage, enthaltend die Triangulierungsnetze von Gelpke und von Koppe). „Die Eisenbahn“, Schweizerische Zeitschr. f. Bau- u. Verkehrswesen, VI. Band 1877, Nr. 12 u. 13 S. 89—91 und S. 97—99.

1878.    Dolezalek. Hilfsmittel für die Richtungsangabe im Gotthard-Tunnel. Zeitschr. des Arch.- und

Ing.-Vereins zu Hannover, Band 24, 1878, Heft 2 S. 185—194.

1880. Koppe. Die Absteckung der Achse im Gotthardtunnel. Separatabdruck aus der „Eisenbahn“ Band XXII, Nr. 8, vom 20. Februar 1880.

1880. Gelpke. Die letzten Richtungsverifikationen und der Durchschlag am großen St. Gotthard-Tunnel. „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 101—116, 137—148, 149—163.

1880. Dolezalek. Der Durchschlag und die Richtungsbestimmung des Gotthard-Tunnels. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Vereins zu Hannover 1880 S. 317—320.

Kehrtunnel. Einige Durchschlagsergebnisse für Kehrtunnel der Gotthardbahn (meistens Korbbögen von 300 bzw. 500 m Radius sind :

Tunnel:

Legginstein

Länge :

Durchschlagsergebnis in Richtung : Höhe : Länge :

1095 m

2,8 cm

5,0

Wattinger 1084 m

Travi

1547 m

Freggio 1564 m

Prato

1557 m

Pfaffensp rung (S. 883) 1476?»

1,2 cm

5 cm

10,6 cm

1,4 cm

12,6 cm.

0,6

7,0

2,6

2,3

0,5

1,5

1,6

14,0 .

Einige weitere Tunnelabsteckungen.

Simplon- Tunnel.

Die Absteckungsarbeiten für diesen 19 803 m langen Tunnel wurden in ähnlicher Weise ausgeführt wie für den Gotthard-Tunnel, jedoch sind die Anordnungen und Hilfsmittel (Absteckinstrumente, Signallampen, Stativmikrometer, Festlegungen, Telephon statt Telegraph usw.) nach den beim Gotthard gemachten Erfahrungen vervollkommnet worden.

Über die Ausführung der Arbeiten ist von Bosenmund berichtet in:

1.    Spezialberichte der Direktion der Jura-Simplonbahn an das Schweiz. Eisenbahndepartement über

den Bau des Simplontunnels. I. Teil, Die Bestimmung der Richtung, der Länge und der

Höhenverhältnisse. Bern 1901. Vgl. auch „Schweiz. Bauzeitung“, Bd. 37, 1901 S. 221—224,

243—245 und „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 74—82.

2.    Über einige Wahrnehmungen bei den Richtungskontrollen am Simplon-Tunnel. „Schweiz. Bau

zeitung“, Bd. 40, 1902 S. 43 -46.

Das Dreiecksnetz, welches die Richtung und im Anschluß an die schweizerische Landestriangulation die Entfernung lieferte, umfaßte 11 Punkte. Die Höhenlage der Endfestpunkte wurde durch ein Präzisionsnivellement neubestimmt. Bei den Absteckungen im Innern des Tunnels zeigten sich am Nordende starke Refraktionsstörungen, so daß die zuerst geplante, möglichst weitgehende Absteckung vom Observatorium aus aufgegeben und mit kleineren Zielweiten gearbeitet werden mußte. Im Tunnel sollten die Umstellstationen 1000 —2000»! Entfernung haben; die Abweichung der Mittel von je 4 Einzelabsteckungen sollte auf 1 hm nicht 10 mm übersteigen ; als mittlerer Fehler wurde gerechnet für 1 km etwa 5 mm, so daß für jede Tunnelhälfte mit etwa 10 km und 10 Umstellungen nach (5) § 203 S. 858 oder (10) § 208 S. 874 ein Querfehler zu erwarten war von etwa 10 cm, wozu der Richtungsfehler aus der Triangulierung kam. (Mittlerer Fehler der Tunnelrichtung 0,70".)

Bei den von Zeit zu Zeit (jährlich einmal auf jeder Seite) vorgenommenen Hauptabsteckungen wurde ausgeführt : die Richtungsabsteckung von den letzten endgültig festgelegten Punkten aus ; ferner Präzisionsnivellement und scharfe Längenmessung (5 m-Latten mit Wasserwagen) in der fertigen Tunnelstrecke, gewöhnliches Nivellement und gewöhnliche Längenmessung über die neu angelegten Fixpunkte bis vor Ort.

Die Tunnellänge ist

m.

Der Durchschlag des Tunnels erfolgte am 24. Februar 1905. Die am 15. August 1905 ausgeführte Schlußkontrolle ergab eine seitliche Abweichung der Achs-richtung von 0,202 m und eine Höhenabweichung von 0,087 um 0,79 m kürzer als die vorher berechnete Länge. Ygl. M. Eosenmund, die Schlußergebnisse der Absteckungen des Simplon-Tunnels, „Zeitschr. f. Venn. 1905“ S. 578—579.

Tunnel der Albulabahn.

Die Richtmigsabsteckung für den nur 5,9 km langen Albula-Tunnel geschah direkt, wie S. 889 für den Mont Cenis-Tunnel angegeben. Da jedoch von der Spitze des Albulahöhenzugs, dem Piz-Giumels, aus nicht beide Endpunktpfeiler gesehen werden konnten, mußten auf der Spitze zwei etwa 20 m voneinander entfernte Punkte genommen werden, von denen je der Nord- und Südendpunkt gesehen werden konnte, und ein (zufällig sich recht scharf darbietender) Hilfspunkt auf einer etwa 3 km vom Nordpunkt entfernten Felswand, der vom Nordpfeiler und den beiden Gipfelpunkten sichtbar war. (Vgl. § 203 II S. 856.) Die Entfernung wurde durch Anschluß der Endpfeiler an die schweizerische Landestriangulierung aus Koordinaten gewonnen und ebenso die vorläufige Richtung auf den Endpunkten.

Die Absteckung im Innern des Tunnels geschah wie beim Simplon-Tunnel, nur mit etwas einfacheren Hilfsmitteln. Die Entfernung der Umstellstationen betrug wegen der Länge der verwendeten Feldtelephonkabel 600 m. Der am 29. Mai 1902 erfolgte Durchschlag ergab die Widersprüche (vgl. Graf, Schweizer. Bauzeitung, Bd. 40, 1902 S. 284—290. Einiges über die Tunnelabsteckungen auf der Albulabahn) :

in der Länge 1,160 m (Verkürzung) ; in der Richtung 5,0 cm ; in der Höhe 4,8 cm.

Der Richtungswiderspruch entspricht hierbei etwa 5 mm Abweichung für die einzelne Umstellstation.

Kehrtunnel der Albulabahn. Für die auf der Nordseite des Albulastocks gelegenen fünf Kehrtunnel gibt Graf folgende Absteckungsergebnisse :

Länge

Richtung

Greifenstein ; zwei Bögen (r = 120 m) . . . mit Zwischengrade, von 244 m

God ; Kehrtunnel (>• = 120 m)......

Rugnux ; Korbbogen (»• = 120 und 155 m) . .

693 m

8 cm

10

Widerspruch in Länge 7 cm

Höhe

zwischen

30

Unterer Toua ; Korbbogen (r = 120, 300, 120 m) Oberer

(zu kurz) 2 cm

0 und

„    : Kehrtunnel (»• = 120)

Die Anschlußtangenten mußten indirekt in Verbindung gebracht werden (§ 205, auch Fig. 4, § 204 S. 862). Die Absteckung geschah nach der Sehnenmethode (§ 208 Fig. 1 S. 872) mit je nach den Umständen (Stolienweite) möglichst langen Seiten, indem ein an einem kleinen Bock aufgehängter Lotfaden (gegen eine Papierfläche sich abhebend) eingewinkt wurde. Bei diesen kleinen Tunneln mit den oben angegebenen Radien wird man je nach der ausgebrochenen Stollenweite im Durchschnitt etwa .40 m für die Seiten rechnen können, so daß bei den oben angegebenen Widersprüchen für die Durchschlagsorte die Einzelabweichung e in (10) § 208 S. 874 zu etwa 3 mm angesetzt werden könnte ; hierin geht dann bei den vorliegenden Krümmungsverhältnissen (vgl. die Sehnenwinkel B, C, D Fig. 1 § 208 S. 872) vom Fehler ds der Längen s etwa 1/4—ein ; die Längenmessung wurde mehrfach (4 mal) sorgfältig ausgeführt.

Bei derartigen kleinen Tunneln könnte also, um eine den vorstehenden Durchschlagsergebnissen gleiche Genauigkeit zu erzielen, als Grenze für die Abweichungen der Einzelabsteckungen der Winkel etwa gelten 5 mm , und für die Messung der Einzelstrecken etwa 5 — 10 mm [§ 208 (10) S 874]. Wegen der Richtungsangabe vor Ort s. § 208, 3 S. 873.

Bei den Absteckungsarbeiten für längere Kehrtunnel (§ 211 S. 882) empfiehlt es sich, einen Polygonzug mit möglichst langen Seiten (Umsetzhilfsmittel § 102 S. 442) in den Tunnel zu legen und aus den Koordinaten der Polygonpunkte und des Zentrums die Achsenpunkte zu bestimmen.

Einige weitere Zitate sind :

Mitteilungen von Obergeometer Winckel über drei Tunnelabsteckungen der Rheinischen Eisenbahn : „Zeitsehr. f. Verm. 1883“ S. 249—254 :

1.    Mettericher Tunnel 410 m lang, in einer Kurve von 377 m Halbmesser. Absteckung eines in den Kreis einbeschriebenen Polygons von 53 m Sehnenlänge und 1,04 m Pfeilhöhe, Durchschlagwiderspruch — 6 cm.

2.    Friedrich-Wilhelms-Tunnel 328 m lang, in einer Kurve von 339 m Halbmesser. Durchschlagwiderspruch = 1,5 cm.

3.    Philippsheimer Tunnel 260 m lang, in einer Kurve von 339 m Halbmesser. Durchschlagwiderspruch = 0,4 m.

Der Ernst-August-Stollen im Harz hat nach einer Mitteilung von Koppe in der „Zeitschrift f. Verm. 1876“ S. 377 bei neun Durchschlagen Fehler ergeben, welche im Mittel nur 2,3 cm waren. Die Ausdehnung der erforderlichen Theodolitmessungen für einen Durchschlag war im Mittel etwa 4000 m.

§ 214.

Geschichtlicher Rückblick.

895

Kapitel XVIII.

Die deutschen Landesvermessungen.

§ 214. Geschichtlicher Rückblick.

Zum richtigen Verständnis unserer Landesvermessungen, zur unparteiischen Würdigung ihrer Vorzüge und auch ihrer Mängel ist die geschichtliche Forschung von großer Wichtigkeit. Der rein technisch-mathematische Maßstab versagt oft hei geodätischen Fragen ; man muß studieren, auf welchem Wege ist die Sache so geworden, wie sie heute ist, welche amtlichen Verhältnisse würden berührt, wenn man eine geodätische Änderung vornehmen wollte usw.

In diesem Sinne hat schon vor Jahren der Deutsche Geometerverein seine Aufgabe behandelt durch Herausgabe eines Werkes: „Das deutsche Vermessungswesen, historisch-kritische Darstellung, auf Veranlassung des Deutschen Geometervereins unter Mitwirkung von Fachgenossen herausgegeben von Jordan und Steppes. Stuttgart 1882. I. Band: Höhere Geodäsie und Topographie; II. Band: Das Vermessungswesen im Dienste der Staatsverwaltung.“ Hierzu gehört auch ein Vortrag: „Über die Entwickelung des deutschen Vermessungswesens im 19. Jahrhundert.“ Festrede zur Feier des 25jährigen Jubiläums des Deutschen Geomëtervereins am 3. August 1896 in Dresden („Zeitsehr. f. Verni. 1896“ S. 587—600). Auch gehören hierher die verschiedenen geschichtlichen Notizen an verschiedenen Stellen des III. Bandes 1907 und die geschichtlichen Abrisse der Triangulierungen im 1. Band, 5. Aufl. 1904, S. 445—526.

Auf diesem geschichtlichen Wege wird die hohe Bedeutung unseres Faches sowohl als Teil der mathematisch-technischen Gesamtwissenschaft, als auch in seiner staatlichen Bedeutung am besten erkannt.

Das Messen und Darstellen der Erdoberfläche geschieht nach einfachen mathematischen Gesetzen, und man könnte daher meinen, daß die Landesvermessungen alle im wesentlichen gleich gemacht würden ; allein das ist ganz und gar nicht der Fall ; unsere deutschen Landesvermessungen zeigen ein ebenso mannigfaltiges Bild wie die politische Entwicklung der einzelnen Staaten.

WTas an Karten und Plänen vom 18. Jahrhundert herrührt, ist heute ohne praktischen Wert. Erst nach Sicherung der Grenzen und nach Herstellung geordneter staatsrechtlicher Zustände fühlten die Staaten das Bedürfnis und die Kraft, genaue Karten ihrer Gebiete aufzunehmen. Daß hierbei anfänglich teilweise Fremde als erste Lehrmeister genommen wurden, ist aus den Umständen erklärlich.

So begann Bayern schon am Anfang des 19. Jahrhunderts mit seiner topographischen Aufnahme und Katasteraufnahme, und schuf dann im ersten Viertel des 19. Jahrhunderts unter Leitung von Soldner und mit seinen wissenschaftlichen Werkstätten eine Landesvermessung, welche in Verbindung mit der verwandten Vermessung

von Württemberg unter Bohnenberger („Zeitsehr. f. Venn. 1897“ S. 417—431) als erstes deutsches geodätisches Zentrum zu betrachten ist.

Auch die linksrheinischen preußischen Provinzen hatten schon früher schöne Vermessungsanfänge gemacht, welche später von Preußen weiter entwickelt wurden, vgl. J. F. Benzenberg als Geodät, Vortrag auf der 23. Hauptversammlung des Deutschen Geometervereins, „Zeitschr. f. Verm. 1903“ S. 17—25, 52—57, 65—92. Das wuchtigste Element aller unserer neueren Katastervermessungen, die Theodolitpolygonzüge, haben in den Rheinlanden ihren Ursprung genommen.

Im übrigen bestand das Vermessungswesen in Preußen in Hinsicht auf Katastervermessungen in Gemarkungsaufnahmen und entwickelte sich als militärische Meßtischtopographie, während in höherer G-eodäsie die Arbeiten von Bessel und Baeyer bahnbrechend wirkten.

In Preußen sind hauptsächlich fünf Ministerien an den Vermessungen beteiligt,

nämlich :

1.    das Kriegsministerium mit der Landesaufnahme (Generalstab),

2.    das Kultusministerium mit dem Geodätischen Institut,

3.    das Finanzministerium mit der Katastervermessung,

4.    das Ministerium für Landwirtschaft und Forsten mit den „Generalkommissionen für Konsolidation“ und den Forstvermessungen,

5.    das Ministerium der öffentlichen Arbeiten mit dem Eisenbahnvermessungswesen, dem Bureau für Hauptnivellements und Wasserstandsbeobachtungen usw.

Daneben ist noch zu erwähnen das Ministerium für Handel und Gewerbe, welchem der Bergbau und damit das Markscheidewesen unterstellt ist, und endlich auch für das Reich das Reichsmarineamt mit den Küstenvermessungen u. dgl.

Durch Statut vom 11. Juli 1870 wurde eine unmittelbar unter dem Staatsministerium stehende Behörde geschaffen: „das Zentraldirektorium der Vermessungen im preußischen Staat“. (Das Organisationsstatut des Zentraldirektoriums ist abgedruckt in der „Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 90—94.)

Das Königl. Preuß. Geodätische Institut ist von General Baeyer gegründet 1869 (Protokolle der Verhandlungen der permanenten Kommission der Europäischen Gradmessung im September 1869 in Florenz S. 5). Das neueste Statut des Geodätischen Instituts ist vom 17. Januar 1887 („Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 92—-95).

§ 215. Katastervermessimgen und Stadt Vermessungen.

Die wichtigsten Messungen, nach Ausdehnung, Maßstab und Kostenaufwand beurteilt, sind in Kulturstaaten heute die Katastervermessungen.

Die Aufnahmen der genauen Karten, in welchen jedes Quadratmeter vom Grund und Boden dargestellt ist, sind durch das Bedürfnis gleichartiger und gerechter Besteuerung hervorgerufen worden. Nach jahrhundertelangen mißglückten Versuchen, Grundsteuerkataster nach Schätzungen, oder nach Angaben der Eigentümer selbst, oder sonstwie zusammenzustellen, hat man sich endlich entschließen müssen, jedes Grundstück genau aufzumessen und in einer Karte aufzuzeichnen.

’ Im Laufe der Zeit sind allenthalben die Katasteraufnahmen weit über ihren ersten Zweck, gerechte Steuerverteilung, hinausgewachsen. Man hat gefunden, daß solche Karten auch für viele andere Zwecke ein vortreffliches Hilfsmittel sind, z. B.

§ -215.

Katastervermessungen und Stadtvermessungen.

897

für Vorarbeiten zu Eisenbahnen, Straßen, Kanälen usw., namentlich aber sind solche große Aufnahmen, in welchen jeder Markstein und jede Grenzfurche sichtbar ist, ein vorzügliches Mittel zur Rechtssicherheit bei Käufen und Hypotheken geworden, und allein dadurch würden die Millionen betragenden hohen Kosten der Katasteraufnahme belohnt sein. (Erklärung des Wortes Kataster „Zeitsehr. f. Venn. 1897“ S. 161—166.)

Preußen.

Die älteren preußischen Katasterkarten wurden für jede Gemarkung besonders, mit der Kette und Bussole, aufgenommen. In den Rheinlanden wurden allgemeine Koordinaten in bezug auf den Cölner Dom als Nullpunkt, unter Einführung von Lokalsystemen angewendet (vgl. § 69 S. 273, auch Vorländer, „Zeitschr. f. Venn. 1874“ S. 68, auch J. F. Benzenberg als Geodät, „Zeitschr. f. Venn. 1903“ S. 17 u. f.). Aus neuerer Zeit sind folgende preußische Katastervermessungsanweisungen:

Anweisung vom 7. Mai 1868 für das Verfahren bei den Vermessungsarbeiten zur Vorbereitung der Ausführung des Gesetzes vom 21. Mai 1861, betreffend die anderweite Regelung der Grundsteuer in den Provinzen Schleswig-Holstein, Hannover und Hessen-Nassau. Zweite Ausgabe. Berlin 1870. Verlag der K. Geh. Oberhofbuchdruckerei (R. v. Decker). Hierzu technische Anleitung vom 16. Februar 1870 zu trigonometrischen und polygonometrischen Rechnungen.

Anweisung VIII vom 25. Oktober 1881 für das Verfahren bei Erneuerung der Karten und Bücher des Grundsteuerkatasters. Berlin 1882. Gedruckt in der Reichsdruckerei.

Anweisung IX vom 25. Oktober 1881 für die trigonometrischen und polygonometrischen Arbeiten bei Erneuerung der Karten und Bücher des Grundsteuerkatasters. Berlin 1881. Gedruckt in der Reichsdruckerei. Desgl. zweite Ausgabe 1894.

Anweisung II vom 21. Februar 1896.

Hierzu ist auch zu zitieren : F. G. Gauß, Die trigonometrischen und polygonometrischen Rechnungen in der Feldmeßkunst. 3. Aufl. Halle 1906.

Einige Zitate sind : Koll, „Zeitschr. f. Verm. 1877“ S. 305—327, Formulare für trigonom. und polygonom. Rechnungen; S. 554—572, Genauigkeit und Kosten der neuesten preußischen Katastervermessungen (113 000 Hektare) ; 1896 S. 564, 840 000 Mark genügen zur Neuvermessung von 24 Quadratmeilen.

Generalkommission ist in Preußen eine selbständige, direkt unter dem Minister der landwirtschaftlichen Angelegenheiten stehende Behörde, bestehend aus einem Präsidenten, etwa sechs bis acht juristischen und einem bis drei technischen (d. h. (landwirtschaftlichen) Räten (in Königsberg, Frankfurt a. 0., Bromberg, Hannover, Merseburg, Cassel, Münster, Breslau und Düsseldorf).

Diese Behörden leiten die Ablösungen von dinglichen Lasten, welche auf dem Grundbesitz ruhen, z. B. auch Zehnten usw., Hute- u. dgl. Gerechtigkeiten, welche die Ausnützung des landwirtschaftlichen Besitzes erschweren, die Teilungen gemeinschaftlichen Grundbesitzes und insbesondere die Zusammenlegungen der Grundstücke (was in Siiddeutschland „Feldbereinigung“ genannt wird). Weiteres hierüber ist zu finden in „Glatzel und Sterneberg, Die preußische Agrargesetzgebung“, auch in Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungswesen“, II S. 53 ff.

Das Vermessungsverfahren entspricht dem der Katastervermessungen; die neu aufgenommenen Karten treten an Stelle der Katasterkarten.

„Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 588-590 gibt die Tätigkeit der preuß. Generalkommissionen im Jahre 1894 35 479 ha Zusammenlegungen. „Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 365—372 und 383—399, Verkoppelungskarten. Cassel, Düsseldorf, Münster, von Hüser, sowie auch Hüser in „Zeitschr. f. Verm. 1902“ S. 706—710.

Bayern.

Die seit Anfang des 19. Jahrhunderts durch die Katasterkommission ausgeführte Vermessung beruht auf einem trigonometrisch bestimmten Netz I. (171 Punkte) und

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Aufl.

II. Ordnung; das Netz III. Ordnung sowie die eigentliche Aufnahme (75 865 cj&m) in 1 : 5000 wurde mit dem Meßtisch ausgeführt. Nach Beendigung der Vermessung trat 1872 das Katasterbureau an die Stelle der Katasterkommission. In den siebziger Jahren wurde die numerische Aufnahme versuchsweise angewendet und dann hei allen Neumessungen, vorzugsweise in Städten wie München, Bamberg, Straubing u. a. mit Kartierung 1: 2500 und 1 :1000, durchgeführt. Bis 1906 waren 40 Städte und größere Ortschaften sowie 15 Landgemeinden aufgenommen.

Das bayerische Grundgesetz vom 15. August 1828 enthält bereits ein Kapitel „Von der Messung“ ; hierzu wurden durch die Instruktion von 1830 nähere Bestimmungen gegeben. Der Übergang zur trigonometrischen und polygonometrischen Messung ist ausgedrückt 1885 durch die Instruktion für neue Eatastermessungen in Bayern, veröffentlicht durch höchste Bekanntmachung des K. Staatsministeriums der Finanzen vom 25. Juni 1885, Nr. 7583, München. Druck der Kgl. Hofbuchdruckerei E. Huber. (Neue Auflage 1898.)

Wir nennen hierzu : Die bayerische Landesvermessung in ihrer geschichtlichen Entwicklung. München 1908. Ferner: Steppes, Über bayerische Katastervermessungen, insbesondere Städtemessungen. „Zeitschr. f. Verm. 1906“ S. 828—847. Ibel, Die Triangulierung für die Neuaufnahme von Nürnberg. „Zeitschr. f. Verm. 1904“ S. 65—82. Ibel, Die Ausstellung des Kgl. Bayer. Katasterbureaus. „Zeitschr. f. Verm. 1906“ S. 539—546.

Württemberg.

Die Katasteraufnahme 1820-1840 beruht auf Triangulierung im sog. Soldnerschen System mit 29 244 trigonometrischen Punkten auf 19 504 cpW in quadratischer Meßtischeinteilung von 4000 Fuß = 1145,69-m, also ein Blatt = 16 000 000 Q.-Fuß = 1,8126 cpfvm, im ganzen 15 572 solcher Flurkarten. Die Aufnahme geschah durch Meßtischeinschneiden einzelner Punkte, im übrigen durch Meßstangen- und Kreuzscheibenmessung (vgl. § 25 S. 96—97). Die neueren amtlichen Anweisungen sind:

Anweisung für die Erhaltung und Fortführung der Primärkataster und Flurkarten vom 30. September 1871.

Vorschriften, betreffend die Erhaltung und Fortführung der Flurkarten und Primärkataster im Königreich Württemberg. Amtsblatt des Steuerkollegiums von 1895, Nr. 1 und 2 („Zeitschr. f. Verm. 1S95“ S. 280—286).

Über die neuen Triangulierungen für Katastervermessung berichtet Steiff in „Zeitschr. f. Verm. 1886“ S. 177—197 und 1897 S. 629. Erhaltung und Fortführung der Flurkarten und Primärkataster, „Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 48—62.

Baden.

Die Katastervermessung begann 1852 auf Grund einer sehr guten Triangulierung mit Koordinaten im sog. Soldnerschen System.

Anweisung zur stückweisen Vermessung sämtlicher Liegenschaften des Großherzogtums Baden. Karlsruhe 1852. Müllersche Hofbuchhandlung.

Desgl. Zweite mehrfach abgeänderte Ausgabe. Karlsruhe 1863.

Verfasser dieser Anweisung und Leiter des Ganzen bis 1884 war Vermessungsinspektor Hofmann („Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 436). Über die Organisation und die Kosten der badischen Katastervermessung sind zahlreiche und gründliche Mitteilungen vorhanden von Obergeometer Dr. Doll in „Zeitschr. f. Verm.“ :

Vermessungswesen in Baden, 1873 S. 35 und 65. Grundzüge einer rationellen Katastervermessung, 1878 S. 329. Bezahlung der trigonometrischen und polygonometrischeD Arbeiten, 1883 S. 323. Landeskultur und Vermessungsarbeiten, 1883 S. 326 und 1886 S. 91. Kosten der badischen Katastervermessung, 1886 S. 93. Badische Bezirksgeometer, 1886 S. 366—400. Landmesser in Baden, ihre dienstliche Stellung und Gehaltsordnung, 1888 S. 584. Kosten der badischen Katastervermessung, 1894 S. 82 und 1895 S. 294. Badische Katastervermessung, 1897 S. 376—378.

In den 45 Jahren von 1852—1897 sind nahe 90 °/₀ des ganzen Großherzogtums, welches 15 081 cfAnv umfaßt, als Katastervermessung vollendet. Diese badische Vermessung im Mittel in 1 : 1500 ist nach Umfang und systematischer Durchführung eine der bedeutendsten, und ist hei den anderen deutschen Unternehmungen dieser Art in vielen Beziehungen vorbildlich gewesen.

Hessen.

Das Katastergesetz stammt vom April 1824. Bereits im Jahre 1818 wurden bei den Katastervermessungen Polygonzüge mit Theodolitmessung unter Anschluß an die Landestriangulation angewendet (Hammer, Die Großherz. Hessische Katastervermessung vom ' Jahre 1824, ihre Vorgeschichte und ihre Erfolge. „Zeitschr. f. Venn. 1905“ S. 281-299, 323—330, 345—352). Die Parzellenstückvermessung wurde nicht obligatorisch durchgeführt, sondern nur auf Antrag der Besitzer. Im übrigen wurden nur die Unterabteilungen der Gemarkungen trigonometrisch aufgenommen, um deren Flächeninhalt aus den Koordinaten bestimmen zu können. Durch Gesetz vom Juli 1884 wurde die Aufnahme aller Parzellen vorgeschrieben.

Weiteres über die hessischen Katastervermessungen findet sich in Förster, „Zeitschr. f. Venn. 1880“ S. 441—444. Lauer, „Zeitschr. f. Verm. 1898“ S. 537—545. Jordan, „Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 1—18. — Die neueste Anweisung ist:

Die Katastervermessungsarbeiten im Großherzogtum Hessen.

1.    Band, I. Darstellung der Gesetzgebung; II. Die Grundlagen der Landesvermessung, III. Anweisung für die Ausführung der Katastervermessungsarbeiten. Darmstadt 1897.

2.    Band, Karten, bildliche Darstellungen und Muster für die Ausführung der Arbeiten, sowie für die Anfertigung der Aktenstücke. Darmstadt 1897.

Elsaß -Lothringen.

Nach Vollendung der Triangulierung der preußischen Landesaufnahme in Elsaß-Lothringen wurden 2723 Dreieckspunkte aus geographischen Koordinaten in sogenannte Soldnersche rechtwinklige Koordinaten für die zwei Nullpunkte Sausheim und Delme umgerechnet. („Zeitschr. f. Verm. 1888“ S. 545—553.) An diese 2723 Punkte auf 14 507 q.4m, oder nahezu zwei Punkte auf 10 cpE-m-, wurde weiter trigonometrisch und polygonometrisch angeschlossen. Die an das preußische Kataster sich anschließende, jedoch schon als eine Fortbildung derselben zu betrachtende neue Anweisung ist:

Anweisung vom 30. Januar 1889 für das Verfahren bei der Stückvermessung von Gewannen zum Zwecke der Errichtung von Katasterurkunden. Strafiburg, Druckerei und Verlagsanstalt, vorm.

R.    Schultz & Co., 1889. („Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 554—566.)

Weiteres hierzu gibt Metzger, „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 37—46 und 1886 S. 357. Joppen, „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 1—18. Rodenbusch, Durchführung der Katastervermessungen in Elsaß-Lothringen. Strafiburg 1891. Ferner „Zeitschr. f. Verm. 1898“ S. 263—267, wo sich wertvolle Angaben über Neumessungskosten und Kostenvergleiche finden, wovon wir entnehmen

mittl. Größe von 1 Parzelle 0,19 ha 0,16 0,21

In dem Ansatz für die preußischen Messungen sind die Kosten für die Triangulation, die Leitung und die Bucharbeiten mit enthalten; für Baden betragen nach „Zeitschr. f. Verm. 1897“

S.    377 die Kosten der Triangulierung 0,86 Jt für 1 ha.    . •

Elsaß-Lothringen ...    .

Baden....... ,

Preußen, Rheinprovinz . .

Kosten

für 1 ha 12,1 Ji

13,7

14,6

für 1 Parzelle 2,3 Ji

2,2

3,0    .

Stadtvennessungen.

Die erhöhten Anforderungen an die Genauigkeit und die Anordnung der Vermessungen in großen Städten hat in einigen Staaten besondere Stadtvermessungen mit

besonderen Yerniessungsämtern hervorgebracht. Während z. B. in Baden von solchen nicht die Rede ist. indem das ganze Land, gleichgültig ob Feld, Dorf oder Stadt, nach einem festen System vermessen wird, und nur die Städte für besondere Ansprüche Zuschüsse geben (z. B. Karlsruhe, „Zeitschr. f. Yerm. 1887“ S. 313—318, 10 ąkm, 62 000 Einwohner, staatliche Vermessungskosten 35 000 JC., mit einem mäßigen Zuschuß der Stadt), ist z. B. die Stadtvermessung in Berlin ein von der staatlichen Katastervermessung unabhängiges Unternehmen.

Verschiedene Mitteilungen zur Berliner Stadtvermessung gibt die „Zeitschr. f. Verm. 1881“ S. 11—21 mit Figur des trigonometrischen Hauptnetzes S. 12, dessen Koordinatennullpunkt der Bat-hausturm ist. „Zeitschr. f. Verm. 1886“ S. 209—214, Klinkert; ferner 1891 S. 385—406 Vortrag v. Hoegh auf der 17. Hauptversammlung des Deutschen Geometervereins zu Berlin, 1891. Die Kosten der Berliner Stadtvermessung, deren Fertigstellung einen Zeitraum von 22l/₂ Jahren erforderte, wobei 6350 ha, 24188 Besitzungen, 54 911 Parzellen und 48 024 Gebäude aufgenommen wurden, betrugen (Zeitschr. f. Verm. 1903“ S. 549) die Summe von 1595 000 JL oder 251 Ji für 1 ha. Vgl. auch § 24 S. 92—95.

Ähnlich war es in Linden und Hannover, wo Verfasser die Triangulierung und teilweise die Polygonisierung ausführte (§ 80 S. 335, 339 und § 97 S. 421, 422). In Linden (Hannover links der Leine) waren 1886 zwar Katasterkarten vorhanden, die sich aber für Stadtbaupläne als nicht genügend genau erwiesen, weshalb der Magistrat auf eigene Kosten eine Neuaufnahme der 6 qkm großen Stadtgemarkung (mit 28 000 Einwohner 1890, 36 000 Einwohner 1895) unternahm, welche in 1 : 500 auto-graphisch vervielfältigt im ganzen 33 000 Ji gekostet hat, aber nur mit Neuaufnahme der Straßenzüge und der Häuserfronten, während die Hinterfronten der Häuser, Gärten usw. in 1 : 500 gar nicht dargestellt und nur in 1 : 2500 den alten Katasterkarten entnommen wurden.

Dieses Verfahren, nur die Straßenzüge und die Vorderfronten der Häuser neu aufzunehmen, die Hinterfronten, Zwischengärten usw. aber aus den alten Katasterkarten einzutragen bzw. der Neumessung von Fall zu Fall zu überlassen, dürfte bei der Unmöglichkeit, sofort neue Katastermessungen zu machen oder alle Interessen des Stadtbauamts und des Katasters rasch zu vereinigen, auch für andere preußische Städte zu empfehlen sein.

Anderweite Stadtvermessungen sind z. B. : Frankfurt a. M., Hamburg, Altenburg, Leipzig, Dresden, Bremen usw. Verschiedene Kostenangaben von Stadtvermessungen sind mitgeteilt in „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 425. Eine Übersicht über verschiedene Stadtvermessungen gibt ein Bericht über den Geometerkongreß zu Dresden 1903 ; Hüser, „Zeitschr. f. Verm. 1903“ S. 545.

Kartierung.

Zur genauen Kartenzeiehnung, Aufträgen von Koordinatennetzen usw. für Kataster- und Stadtverinessungen sind manche Einrichtungen vorhanden. Diese Quadratnetzapparate bestehen aus einem starren Rahmen oder einer Platte, welche am Rande die entsprechende Einteilung zum Auf- oder Anlegen (an Anschläge) des Ziehlineals tragen, z. B. Schieferplatte von Fuhrmann. „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 169; Kartennetzapparat von Reitz, „Zeitschr. f. Verm. 1881“ S. 238. Zum Durchstechen der Netzpunkte ist eingerichtet der Quadratnetzstecher von Roedder, „Zeitschr. f. Verm. 1898“ S. 526, 1902 S. 186.

wozu

Zur Eintragung der Koordinaten der Messungspunkte kann benützt werden das Liniennetzkartierungsinstrument von De l'homme de Courbière, „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 553, der Auftrageapparat nach Seyfert, „Zeitsejir. f. Verm. 1896“ S. 147—150; auch noch zitiert sei: Maucks Kartenmesser, „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 274. Zum Aufträgen der nach Koordinaten aufgenommenen Einzelpunkte (§ 24) kann das Kartierungsinstrument (Koordinatograph. Ordinatograpli) dienen; dies besteht aus einem mit Teilung versehenen Lineal (Abszissenlineal) und einem daran gleitenden Schieber (Ordinatenschieber), welcher rechtwinklig zur Schiebekante eine oder mehrere Skalen zum Absetzen der Ordinaten trägt. Zum Ablesen der Abszissen dient ein an der Schiebekante angebrachter Nonius; an größeren Apparaten ist auch für die Ab-

Setzung der Ordinaten ein Nonius mit einer von einem Schlitten getragenen Nadel angebracht; z. B. „Zeitschr. f. Verm. 1874“ S. 45.

Die hei der Kartierung erstrebte Genauigkeit für die Punkteintragung ist 0,1 mm, so daß bei Prüfung des Quadratnetzes und der eingetragenen Punkte größere Abweichungen als 0,2 mm nicht Vorkommen dürfen. Yon der Bestimmung und Berücksichtigung des Papiereingangs ist schon in § 27 S. 108—109 die Rede gewesen.

Über die bei der Kartenzeichnung anzuwendenden besonderen Kartenzeichen (Signaturen) und die Kartenschrift sind in den amtlichen Anweisungen bestimmte Vorschriften erlassen ; für Preußen ist allgemein maßgebend : Bestimmungen über die Anwendung gleichmäßiger Signaturen für topographische und geometrische Karten, Pläne und Risse. Berlin 1880.

Gedruckte Flurkarten.

Die beiden alten süddeutschen Katastervermessungen von Bayern und Württemberg haben vor den norddeutschen einen ganz unschätzbaren Vorteil durch die Lithographierung der Plurkarten, Bayern in 1: 5000, Württemberg in 1 :2500.

Für Bayern haben wir zwei Berichte von Ibel in der ..Zeitschr. f. Verm.“ : „Über die Vervielfältigung der bayerischen Katasterpläne und Handrisse“, 1904 S. 560 bis 578 und „Anwendung der Photographie zur Vervielfältigung bayerischer Katasterpläne“, 1907 S. 194—208. Hiernach enthalten 20 360 Steine das Ergebnis der bayerischen Katastervermessung, wozu noch etwa 3500 Steine und 300 gravierte Metallplatten für die nachträglich ausgeführten Neumessungen kommen. Zinkplatten werden jetzt auch nach den Steinen zu deren Schonung hergestellt, so daß die Steine zum Druck nicht mehr verwendet werden.

Das württembergische Katasterbureau besitzt 15 289 lithographische Steine und gibt deren Abdrücke zu dem geringen Preis von 90 Pfennigen an jedermann ab. (Schlebach, „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 359.)

In Elsaß-Lothringen ist die Veröffentlichung von Flurkarten durch Umdruck für das ganze Land beschlossen. Eine erste Mitteilung hierüber hat Katasterkontrolleur Rodenbusch gebracht in der „Vereinsschrift des Elsaß-Lothringischen Geometervereins 1890“ S. 89—96, und später in der „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 496—499, mit einem Probeblatte. Das Wesentliche dieser Einrichtung besteht in Autographie mit Druck auf Zinkplatten von 55 x 75 cm und nur 0,25 mm Dicke. Es werden zunächst nur 3—5 Abdrücke genommen, jedoch die Zinkplatten, welche selbst nur Papierdicke (0,25 mm) haben, aufbewahrt und davon später nach Bedarf weitere Abdrücke genommen. Bis 1893 sind etwa 5000 Zinkdruckplatten hergestellt worden, deren Aufbewahrung nicht mehr Raum in Anspruch nimmt, als die gleiche Anzahl Papierbogen.

In Städten ist die Kartenveröffentlichung durchaus nötig ; z. B. in Berlin werden die Stadtaufnahmen in 1:1000 in Kupfer gestochen und in 1:4000 buchhändlerisch verkauft („Zeitschr. f. Verm. 1895“ S. 150, 1900 S. 318).

Die Vervielfältigung aller Karten, auch der entlegensten Gebiete, scheint vielen zu weit zu gehen, und doch liegt gerade in dieser Konsequenz ein gewaltiger Vorteil. Diese Karten haben bei Vorarbeiten für den Eisenbahnbau, bei der Fortführung des topographischen Atlas usw. unschätzbare Dienste geleistet und werden in Zukunft für jeden Kulturstaat ebenso unentbehrlich sein wie die topographischen Karten.

Eine an öffentlicher Stelle gedruckt zu kaufende Karte hat für die Allgemeinheit einen unvergleichlich höheren Wert als eine auf irgend einem Rathaus als Handzeichnung gehütete Karte; oder die gedruckten Karten verhalten sich zu den Originalzeichnungen wie eine öffentliche Bibliothek zu einem geheimen Archiv.

Seit der Lithographie der bayerischen und württembergischen Flurkarten haben sich die Vervielfältigungsmethoden sehr entwickelt, als Autographie, Zinkdruck, Photolithographie usw., so daß die Schwerfälligkeit des Aufhewahrens der Steine jetzt fortfällt, wie aus dem mitgeteilten Beispiele, Zinkautographie von Elsaß-Lothringen, zu ersehen ist (vgl. hierzu auch Steppes, Ersatz der Lithographiesteine, „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 64—66, und Rodenbusch, „Elsaß-Lotlir. Zeitschr. 1890“ S. 92).

Die Stadt Linden (vgl. § 97 S. 422) hat ihr Gebiet von 5,62 qkm im Maßstab 1 : 500 in 57 Blättern im Format 100 X 60 cm (also 0,15 qkm) autographisch in je 100 Abdrücken vervielfältigt. Die Zeichnung wurde mit autographischer Tinte gemacht ; der Druck (von Lithograph Schäfer in Hannover) wurde nach besonderem Trockenverfahren so gut ausgeführt, daß von Eingang des Papiers nicht die Bede ist. Die Kosten für den autographischen Druck eines Blattes bei einer Auflage von 100 Exemplaren mit Papierlieferung sind 27 Mark.

Grenzvermarkung.

Vermarkung der Eigentumsgrenzen ist eine der wichtigsten Vorbedingungen für rationelle Katastervermessungen. Der Deutsche Geometerverein hat hierzu folgende zwei Schriften hervorgebracht:

Die Sicherung des Grundeigentums durch allgemeine Vermarkung und beweiskräftige Grundkarten. Eine Denkschrift des Bheinisch-Westfälischen Geometervereins. Beraten und angenommen in der 7. Hauptversammlung (1878) des Deutschen Geometervereins und erweitert durch dessen Vorstandschaft.

Das Grundbuch im Entwürfe eines bürgerlichen Gesetzbuches für das Deutsche Beich, von Karl Steppes, Steuerrat und Katasterinspektor in München. (Sonderabdruck aus der „Zeitschr. f. Verm., 21. Band, 1892“ S. 225, 266, 302, 338, 368.) Stuttgart, Wittwer 1892.

Richtige Vermarkungsgesetze haben nicht alle Staaten; in Preußen macht die Katastervermessung die Bedingung, daß vor A/mvermessung einer Gemarkung die Gemeinde für Vermarkung aller Eigentumsgrenzen sorgt.

Hierzu : „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 156—158, Grenzfeststellung und Vermarkung. „Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 545—557, Hüser,'Vermarkung als Grundbedingung. „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 494, Seyfert, Grenzsteine, Bechtsgültigkeit.

Einige Zitate bezüglich der Vermarkung der Grundstücke für zwei der preußischen Kechts-gebiete, nämlich für das Gebiet des allgemeinen Landrechts und des Code civil nach Mitteilung von Professor Koll, haben wir in der 4. Aufl. dieses Bandes 1893 S. 745—746 abgedruckt. „Zeitschr. f. Verm. 1872“ S. 72—75 berichtet Fecht: Zementmarkstein 1—1,5 Ji „Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 445, Erdhügel als Grenzzeichen.

Kichtige Vermarkungsgesetze bestehen in folgenden Staaten:

Baden. Das Badische Begierungsblatt Nr. XXI vom 5. Mai 1864, Gesetz, „die Sicherung der Ge-markungs-, Gewannen- und Eigentumsgrenzen, sowie der Dreieckspunkte des der Vermessung des Großherzogtums zugrunde liegenden Dreiecksnetzes betreffend“. (Zeitschr. f. Verm. 1887“ S. 400—404.)

Württemberg. „Zeitschr. f. Verm. 1875“ S. 193—198, 243—247, Bückle, Württemb. Vermarkungswesen. Die neuen Vermarkungsbestimmungen sind enthalten auf S. 107—113 der Vorschriften usw. von 1895, welche bereits auf S. 851 zitiert sind.

Sachsen-Meiningen. Gesetz vom 14. April 1882, betreffend die Versteinung der Liegenschaften. („Zeitschrift f. Verm. 1883“ S. 58.)

Coburg. Vermarkungsgesetz vom 15. Juli 1882. („Zeitschr. f. Verm. 1882“ S. 534.)

Lippe. Neues Vermarkungsgesetz vom 17. Juli 1890. („Zeitschr. f. Verm. 1892“ S. 405—411.)

Waldeck. „Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 551. Mitteilung von Hüser.

Schwarzlnirg-Sondershauseti. Gesetz, die Versteinung der Grenzen betreffend vom 21. Sept. 1889 und Erhaltung der trigonometrischen Steine, 20. Dez. 1891. („Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 318—319 u. 382—384.)

Eine sehr gründliche Untersuchung, welche in jedem Staate bei Beratung und Abfassung von Vermarkungsgesetzen zur Benützung zu empfehlen ist, hat die französische Katasterbehörde über den Stand der Vermarkungen angestellt : „Enquête sur le bornage des propriétés, Bapport présenté au nom du comité d’enquête par M. Ch. Lallemand. Paris 1893.“ („Zeitschr. f. Verm. 1894“ S. 652 bis 656); sowie : „Ministère des finances. Commission extraparlamentaire du Catastre. Sous-Commission technique. Kéfection du Catastre de la Commune de Neuilly-Plaisance, par M. Ch. Lallemand. Paris 1898“. („Zeitschr. f. Verm. 1899“ S. 38—44, 138—139, 212—213.)

§ 216. Topographische Karten.

Unter Topographie im engeren Sinne versteht man die Darstellung der Erdoberfläche in Karten von etwa 1 ; 10 000 his 1 :100 000, hauptsächlich hei uns 1 ; 25 000 und 1 : 50 000, wobei nicht nur die Lage, sondern auch die Höhe zum Ausdruck gebracht wird.

Für solche Karten hat man heutzutage zwei wesentlich verschiedene Entstehungsarten :

1.    unmittelbares Aufnehmen mit dem Meßtisch,

2.    Reduktion aus Flurkarten und Katasterkarten großen Maßstabes mit nachfolgender Ergänzung durch Höhendarstellung.

Außerdem haben wir noch die Verbindung beider Arten zu betrachten, indem auch in Ländern, rvelche die unmittelbare Meßtischaufnahme amvenden, doch die Flurkarten mitbenützt werden (z. B. preußische Landesaufnahme).

Da man in einem Kulturstaate Katasterkarten und Flurkarten ohnehin braucht, ist es, mathematisch betrachtet, das richtige, die Flurkarten in etwa 1: 2500 zuerst zu machen und sie zu topographischen Karten zu verkleinern, denn wenn man umgekehrt die topographische Karte zuerst macht, so kann man sie nicht vergrößern und die Katasteraufnahmen bedingen dann zweifellos Doppelarbeit. Das letztere Verfahren, Flurkarte und dann Topographie, welches das Vorhandensein einer einheitlichen Spezialkarte zur Voraussetzung hat, ist hauptsächlich eingehalten in Bayern und Württemberg, das andere mit Meßtischtopographie finden wir namentlich in Sachsen, Baden und in Preußen.

Wenn auch unbedingt, mathematisch-geodätisch betrachtet, das zweite Verfahren (Flurkartenreduktion) das richtigere ist, so darf doch über die selbständige Meßtischtopographie nicht schlechthin theoretisch geurteilt werden, denn sie hat in der allmählichen Entwicklung der Kartenmeßkunst eine wichtige Rolle gespielt und ist vielfach durch zwingende äußere Bedingungen, stufen weises Erkennen der kartographischen Hilfsmittel und eine Menge besonderer Bedürfnisse hervorgerufen worden, welche nach Jahrzehnten nicht mehr beurteilt werden können. Nehmen wir als Beispiel der jüngsten Jahre die Karte von Elsaß-Lothringen, so ist es zweifellos, daß die neue Katasterkarte in 1 : 2000 ein viel besseres Lageplannetz geben wird, als unmittelbare Meßtischaufnahmen in 1 ; 25 000 ; allein aus anderen Gründen war in diesem Falle gar nicht daran zu denken, die Jahrzehnte dauernde Vollendung der Katastervermessung abzuwarten, vielmehr wurde sofort nach der Triangulierung mit dem Meßtisch topographiert.

Bei alledem müssen wir bei dem heutigen Stande der deutschen Vermessungen im Prinzip die Flurkartenreduktion als das beste Mittel der Lagenetzgewinnung für

Topographie erklären, und einige Einwände dagegen sogleich behandeln. Man sagt, rein geometrische Verkleinerung aus 1: 2500 in *1 : 25 000 gibt keine topographische Karte, sondern ein Gewirre von teilweise überflüssigen Einzelheiten. Das ist richtig, wenn an rein mathematische Verkleinerung gedacht wird, aber zur kartographischen Verkleinerung gehört auch noch das mit Verständnis geübte Aussondern des Unwichtigen und Hervorheben des Wichtigen. Wer das richtig machen will, muß nicht bloß Zeichner, sondern selbst Aufnehmer sein, er muß aus dem großen Kartenbilde die Landlagen mit geistigem Auge auffässen, und dann wieder sozusagen auf das kleine Bild projizieren; es ist das ein ähnlicher Vorgang wie bei der Herstellung der topographischen Karten kleineren Maßstabs aus denen größeren Maßstabs, z. B. 1 : 100 000 aus 1 : 25 000 usw.

Ein großer Übelstand war in vielen deutschen Gebieten, z. B. heute noch in der Provinz Hannover, der Mangel einheitlicher Koordinatensysteme in den vorhandenen Elurkarten, so daß die topographische Landesaufnahme bei Flurkartenbenützung auf empirisches Zusammenbinden und Einpassen in den Meßtischrahmen angewiesen war, und wegen der Unerquicklichkeit solcher Arbeiten die Flurkarten selbst vielleicht zu sehr mißachtete. Dieser Zustand wird aber überwunden sein, sobald einheitlich koordinierte Flurkarten vor liegen, und dann werden die Flurkarten auch in Preußen mehr und mehr in ihr volles Becht bei der Topographie eintreten.

Denken wir uns nun eine gute Flurkarte, etwa 1 : 2500, mit klarem Koordinatennetz vorliegen, so entsteht die weitere Frage : wie sollen die Höhenverhältnisse zur Topographie gewonnen werden? denn dazu hat man wieder zwei Wege: Höhenaufnahme in der Flurkarte selbst oder erst in der Verkleinerung. Das erstere ist das bessere, nämlich Ergänzung der Flurkarten durch Nivellieren, Taehymetrie, Barometermessungen usw., in gleicher Weise wie für Vorarbeiten zu Eisenbahnen und Straßen usw. geschieht (vgl. § 187, 188, 201). Auch wenn für abgelegene Wälder, hohe Berge usw. nur mäßige Genauigkeit bzw. geringe Punktzahl genommen werden soll, ist doch die Höhenbehandlung in großem Maßstabe nützlich, weil im Falle eintretenden Bedürfnisses hier stets Ergänzung möglich ist, auch das Zeichnen in großem Maßstabe von jedem Techniker ausgeführt werden kann, und keine künstlerische Zeichenfertigkeit verlangt, wie der kleine Maßstab 1 : 25 000.

Die unmittelbare Meßtischtopographie in kleinem Maßstabe, wie sie sich seit Beginn dieses Jahrhunderts bei uns bis jetzt entwickelt hat, verlangt wenige geodätische Kenntnisse, andrerseits aber landschaftliche Auffassungsgabe, scharfes Auge und feine Hand, viel Übung und ein gewisses künstlerisches Gefühl, weshalb auch nur wenige die volle Meisterschaft in dieser Art der Topographie erreichen.

Eine Betrachtung mag sich noch beziehen auf die Vergleichung der Bergdarstellung durch Horizontalkurven (§ 188), oder durch Lehmannsche Schraffierung, bei welcher die Geländeoberfläche durch enggezogene Falllinien in kleine Flächenelemente zerlegt wird, die je nach der Geländeneigung (in neun Stufen) bei Voraussetzung vertikaler Beleuchtung durch Anordnung der Strichdicke mehr oder weniger hell oder dunkel erscheinen. Diese Schraffierung nach Maßgabe der Neigungswinkel hat sich als graphische Kunst wundervoll entwickelt und gibt plastische Bilder, denen die Kurvendarstellung an Anschaulichkeit nicht gewachsen ist, während die Kurven den Vorzug der mathematisch bestimmten Höhen haben.

Im flachen oder mäßig bergigen Lande geben Höhenkurven im Maßstab 1 : 25 000 geringe Anschaulichkeit, und auch in mathematischem Sinne möchten oft Schraffierungen (d. h. also Falllinien) mit genügend zahlreichen eingeschriebenen Höhenzahlen mehr Nutzen schaffen, als das manchmal zutage tretende Kurvengewirre, zumal wenn unrichtige Formen, welche nicht selten Vorkommen, nicht nur das Bild stören, sondern auch Zweifel an der Richtigkeit erzeugen.

Eine zeichnerisch hübsche und anschauliche Darstellung der Geländeform vermag bei guter Ausführung die braune Schummerung oder auch eine lichte, braune Bergzeichnung zu gehen, welche in neuerer Zeit mehrfach hei topographischen Horizontalkurvenkarten (1 : 25 000) zur Anwendung kommt.

Über Kartenprojektion im mathematischen Sinne ist hier nur zu bemerken, daß die preußische Polyederprojektion über andere Behandlungsarten den Sieg errungen hat, insofern, als die Sektionseinteilungen für topographische Karten nun allgemein nicht mehr rechtwinklig, sondern trapezförmig nach Meridianen und Parallelkreisen angeordnet werden. Hierbei versteht man unter einer Gradabteilung den von je zwei aufeinanderfolgenden Breiten- und Längengraden umschlossenen Flächenteil des El-lipsoids. Jede solche Gradabteilung wird für die Karte im Maßstab 1: 25 000 nach der Breite in zehn, nach der Länge in sechs Teile zerlegt, so daß 60 Blätter entstehen, und für die Karte in 1 : 100 000 nach der Breite in vier, nach der Länge in zwei, so daß acht Blätter entstehen.

Indessen ist dabei nicht nötig, daß die einzelnen Blätter selbst ursprünglich so aufgetragen und jedes für sich etwa nach Kegel Projektion berechnet würde, wie allerdings bei der topographischen und kartographischen Abteilung der preußischen Landesaufnahme geschieht. Hat man dagegen eine Aufnahme bereits in einem anderen Systeme, z. B. im sog. Soldner sehen Systeme fertig, so braucht man, um trapezförmige Sektionen in gleicher Form wie bei der eigentlichen preußischen Polyederprojektion zu erhalten, nur die geographischen Netzlinien für runde Längen und Breiten in die andere Projektion einzurechnen, und die Zerschneidung der Blätter danach vorzunehmen. So wurde z. B. in Württemberg verfahren.

Als Beispiel hierfür dient auch unsere Lindener Karte § 97 S. 422 mit Meridianen für 2 = 27° 21' 27° 22', 27° 23' und 27° 24', und Parallelkreisen für 9> — 52° 21', 52° 22', 52° 23', deren Berechnung in unserem III. Bande, „Handb. d. Yerm., 5. Aufl. 1907“ ausführlich mitgeteilt ist.

In Deutschland haben wir auf Grund der nachfolgend genannten Arbeiten der Einzelstaaten jetzt als einheitliches deutsches Kartenwerk die Reichskarte im Maßstab 1:100 000, und neuerdings auch eine (in Angriff genommene) Reichsübersichtskarte in 1: 200 000, wovon zwei Blatt auf eine Gradabteilung entfallen (je in Länge 1 °, in Breite l/₂°). Beide beruhen auf den topographischen Spezialkarten (Meßtischblättern) im Maßstab 1 : 25 000.

Nach all diesen allgemeinen Bemerkungen wollen wir nun noch einige Angaben und Zitate über die topographischen Karten einzelner Staaten zusammenstellen.

I. Preußen.

Über die preußische Topographie von 1816—1879 besteht eine ausführliche, auf amtliche Kenntnis gegründete Mitteilung von General v. Morozowicz, damals Chef der Landesaufnahme, in dem Beiheft I des Militärwochenblattes 1879 : „Die Königlich Preußische Landesaufnahme“, als Separatabdruck hei Mittler & Sohn, Berlin, und im Auszug in Jordan-Steppes „Deutsches Yennessungswesen 1882“, I. S. 188—192.

Hiernach war von 1816-1846 Meßtischaufnahme mit Lehmannscher Schraffierung im Gebrauch, 1846 wurde mit Horizontalkurven begonnen und 1852 die Kippregel mit Distanzlatte zur definitiven Einführung gebracht.

So ist der Grundton der preußischen Topographie heute noch : Meßtischaufnahme in 1 : 25 000 mit Kippregel und Distanzlatte (§ 188, 193) unter Zugrundelegung der Landestriangulation und Benützung vorhandener Flurkarten; Wiedergabe der Ge-ländeformen im Anschluß an einige gut ausgewählte „Lattenpunkte“ durch Zeichnung von Horizontalkurven nach der Natur (Hauptkurven 20 und 10 m, Zwischenkurven 5 m, Hilfskurven 1,25-m).

Die Trapezeinteilung der Blätter hat 6' im Meridian und 10' im Parallelkreis, also bzw. etwa 11 4m im Meridian und 12 4m im Parallelkreis hei rund 130 Quadratkilometer oder rund 2,5 Quadratmeilen Fläche. Die genauen Dimensionen der preußischen Meßtischtrapeze gibt unser III. Band, „Handb. d. Verni., 5. Aufl. 1907“, Anhang S. [41]. Ein solches Blatt ist Leistung eines erfahrenen Topographen der Landesaufnahme als Aufnahme in einem Sommer und Ausarbeitung bzw. Vorbereitung in einem Winter; in einem Jahr können 90—100 Meßtischblätter aufgenommen werden. Die Aufnahmen der Landesaufnahme zeigen die topographischen Meßtischaufnahmen 1: 25 000 in der höchsten Entwicklung dieses Aufnahmeverfahrens. Für die Genauigkeit der Höhendarstellung (bei 20—100 Punkten auf 1 cp4m) ist vorgeschrieben, daß die Abweichungen das durch die Schichthöhe gegebene Maß nicht übersteigen dürfen. Koppe gibt „Zeitschr. f. Verni. 1902“ S. 412 das Ergebnis einer Genauigkeitsuntersuchung der preuß. topographischen Aufnahme im Harz; danach ist der mittlere Höhenfehler bei den schwachen Neigungen +0,5m, bei mittleren Neigungen rund tim, bei der starken Neigung von V₂ ^ er + 2,6 m (vgl. § 188 S. 803 und 911).

Außer den Meßtischblättern wird von der kartographischen Abteilung der preuß. Landesaufnahme die schon erwähnte, in Kupferstich hergestellte Karte des Deutschen Deiches mit 675 Blättern in 1 : 100 000 herausgegeben, von denen 545 auf Preußen fallen. Jedes Blatt hat eine Breitenausdehnung von 15' und eine Längenausdehnung von 30'. Die Geländeformen werden durch Bergstriche wiedergegeben; in einer seit 1898 bearbeiteten Buntdruckausgabe werden die Bergstriche braun gedruckt und durch Horizontalkurven mit 50 m Abstand ergänzt.

Ein neues noch in den Anfängen stehendes Kartenwerk ist die Topographische Übersichtskarte des Deutschen Deiches in 1 : 200 000, die aus je vier Blättern der Karte in 1 :100 000 zusammengesetzt wird. Diese Karte wird in Kupferstich und Buntdruck hergestellt mit Horizontalkurven in 20 m, zum Teil auch in 10 m Abstand.

Zur preußischen Topographie haben wir eine zusammenhängende und eingehende Darstellung in Bruno Schulze, „Das militärische Aufnehmen“, Leipzig und Berlin 1903.

Ferner sind veröffentlicht:

„Instruktion für die Topographen der topographischen Abteilung der Kgl. Preuß. Landesaufnahme, Berlin 1876“, Heft I; theoretischer Teil, Heft II; praktischer Teil und Figurentafel für Heft I und II ; zu beziehen durch die Plankammer der Kgl. Preuß. Landesaufnahme, Berlin, Generalstabsgebäude.

„Neue Instruktion für die Topographen, Berlin 1884“, Kgl. Hofbuchhandlung Mittler u. Sohn, Kochstraße 69/70.

„Koten-Tafeln für die entfernungsmessende Kippregel“. Beilage zu der „Instruktion für die Topographen der topographischen Abteilung der Kgl. Preuß. Landesaufnahme“, Berlin 1876.

Vorschrift für die topographische Abteilung der Landesaufnahme. Berlin 1898. Heft I ; das topographische Aufnehmen. Heft II ; Figurentafeln (Mittler u. Sohn).

Koten-Tafeln zum Gebrauch bei Meßtischaufnahmen. Berlin 1899. Bei E. S. Mittler u. Sohn.

Musterblätter für die topographischen und kartographischen Arbeiten der Kgl. Preuß. Landesaufnahme. 4. Aufl. Berlin 1898. Bei E. S. Mittler u. Sohn. Preis 3,25 Jt

Die preußischen topographischen Karten (auch die übrigen deutschen Karten) werden erhalten von der Verlagshandlung von R. Eisenschmidt in Berlin NW 7. Der „Verlagskatalog“ dieser Buchhandlung enthält die Übersichtsnetze und Preisangaben der Blätter. (Übersichtsnetze kostenfrei.)

Hierzu gehört noch eine längere Abhandlung von Geh. Kriegsrat Kaupert : „Der gegenwärtige Stand der Kartenwerke in den Kulturstaaten in „v. Löbells Jahresberichten über Veränderungen und Fortschritte im Militärwesen“, XXII. Jahrgang 1905, und zwar Deutschland S. 502—515, Fortsetzung im nächsten Jahrgang; sowie Stavenhagen, Die geschichtliche Entwicklung des preuß. Militärkartenwesens. „Geographische Zeitschrift“, VI. Jahrgang, Leipzig 1900 S. 435, 504, 549-565.

II. Sachsen,

Die älteste Karte ist durch den Freiberger Markscheider Mathias Oeder auf-genommen („Zeitsehr. f. Yerm. 1890“ S. 58). Es ist hierzu ein großes Werk erschienen: „Die erste Landesvermessung des Kurstaates Sachsen, auf. Befehl des Kurfürsten Christian I. ausgeführt von Mathias Oeder, 1585—1607, zum 800jährigen Regierungsjubiläum des Hauses Wettin, herausgegeben von der Direktion des Kgl. Hauptstaatsarchivs, bearbeitet von Prof. Dr. Sophus Rüge, 17 kolorierte Tafeln in Lichtdruck. Verlag von Stengel u. Merkert in Dresden 1889“, 17 Blätter im Maßstab etwa 1 : 230 000 ohne geographische Netzlinien.

Eine Neuaufnahme erfolgte in den Jahren 1780—1828 auf Grund eines mit dem Astrolabium gemessenen und mit dem Meßtisch ergänzten Dreiecksnetzes. Die Meßtischaufnahme in 1 :12 000 mit Geländedarstellung durch Bergschraffierung nach Major Lehmann ist eine bedeutende topographische Leistung, die bis Ende des 19. Jahrhunderts die Grundlage aller Kartenwerke bildete. Hierzu ist anzuführen der topographische Atlas von Generalmajor Oberreit aus der Zeit von 1821—1860, im Maßstab 1 : 57 600, von dem ein zinkographischer Ausschnitt mitgeteilt ist von Schmidt in der „Zeitschr. f. Venu. 1884“ S. 267, nebst anderen topographischen Mitteilungen S. 260—268. Im übrigen ist zu verweisen auf die Denkschrift von Prof. Nagel: „Die Vermessungen des Königreichs Sachsen. Dresden 1875“ S. 3—14.

Seit 1900 ist eine Neuaufnahme im Anschluß an das neue sächsische Dreiecksnetz im Gange, die sich eng an das Verfahren der preußischen Landesaufnahme anschließt.

III. Bayern.

Die älteste topographische Karte in Bayern ist aufgenommen von Philipp Apianus (1531 — 1589, „Zeitschr. f. Venu. 1880“ S. 365—366 und 414—416).

Über die neuere bayerische Topographie haben wir eine gründliche Darstellung von kompetentester Seite, nämlich von Oberst von Orff, in Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungswesen 1882“, I S. 212—241. Es wurde mit militärischen Augenmaßaufnahmen begonnen, dann im Anschluß an die Katastervermessung Lehmannsche Schraffierung betrieben; trigonometrische Höhen wurden gemessen in der Pfalz 1838 bis 1851, im eigentlichen Bayern erst von 1854 an, von 1867 an folgten Nivellements mit späterer Einbindung der trigonometrischen Höhen.

Die neuere bayerische Topographie beruht als Lagenaufnahme gänzlich auf den lithographierten Flurkarten in 1 :5000 ; mit nivellitischen oder trigonometrischen Höhen Stützpunkten (vier Festpunkte auf ein Blatt von 2.3 <pili H ) werden durch tachy-metrische Höhemnessungen und barometrische Aneroidmessungen so viele Höhen bestimmt, daß die Kurven in den Flurkarten konstruiert werden können. Damit ergibt sich also eine topographische Spezialkarte in 1 : 5000, aus der die Karte in 1 : 25 000 reduziert werden kann.

Zur bayerischen Topographie ist neuerdings veröffentlicht :

Das erste Jahrhundert des Topographischen Bureaus des Kgl. Bayer. Generalstabs. Als Festschrift zur Jubiläumsfeier verfaßt von K. Neureuther, Generalmajor. München 1900. Riedels Buchhandlung.

Theoretische und praktische Anleitung für den Dienst in der topographischen und Zeichensektion. Bearbeitet von A. Heller, Oberst und Direktor des Topographischen Bureaus des Kgl. bayerischen Generalstabs. München 1902.

IV. Württemberg.

Die ältere Geschichte der württembergischen Topographie seit 1500 bietet viel Interessantes, die Reihe der schwäbischen Geodäten und Topographen ist etwa: Stöffler, Sebastian Münster, Jörg Gadner, Wilhelm Schickhardt, Andreas Ivieser, Johann Majer, Bohnenberger.

aus

Ausführliches hierüber gibt : „Abriß einer Geschichte der Württembergischen Topographie und nähere Angaben über die Schickhardtsche Landesaufnahme (1619-1685) für den X. Deutschen Geographentag in Stuttgart“ von Inspektor C. Regelmann, mit interessanten zinkographischen Nachbildungen alter Kartenwerke. Sonderabdruck „Wilrtt. Jahrbücher f. Statistik u. Landeskunde 1898“. Einen Auszug hieraus enthält auch „Zeitschr. f. Verm. 1898“ S. 289—296; und hierzu gehört auch „Das altwürttem-bergische Forstkartenwerk von Kieser 1680—1687“, „Zeitschr. f. Yerm. 1893“ S. 7—19, und über Schickhardt, „Zeitschr. f. Verm. 1891“ S. 532—536, sowie unser I. Band, 5. Aufl. 1904 S. 500-505.

Bohnenbergers topographische Arbeiten haben wir schon früher beschrieben in Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungswesen I“ S. 265—268 und daselbst ein zinko-graphiertes Beispiel von Bohnenbergers Privatunternehmen 1798—1810, „Charte von Wirtemberg“ in 1:86 400, mitgeteilt, auch nochmals „Zeitschr. f. Verm. 1897“ S. 426.

vor-

Die amtliche topographische Karte von Württemberg wurde 1821—1844 auf Grund der reduzierten Flurkarten 1 : 2500 nach Augenmaß und Böschungswinkeln züglich aufgenommen und in Lehmannscher Schraffierung gezeichnet, auf 1 : 50 000 als topographischer Atlas lithographiert und veröffentlicht. Dieser Atlas hatte sehr spärliche Höhenangaben, wurde aber später für geognostische Zwecke durch trigonometrische Höhen mit 27 000 Punkten ergänzt (wie wir in dem früheren § 140 ausführlicher berichtet haben).

Eine hervorragende Stellung nimmt die neue württembergische Topographie ein durch ein Kartenwerk von zehnfach größerem Maßstabe als bei den gewöhnlichen topographischen Karten, nämlich die Württembergische Höhenkurvenkarte in 1 : 2500, welche in diesem großen Maßstab mit je einigen hundert Höhenpunkten auf ein Quadratkilometer versehen und nachher erst auf 1 : 25 000 reduziert wird.

Näheres hierzu gibt Hammer, „Zeitschr. f. Verm. 1893“ S. 315—338, Schlebach, „Zeitschr. f. Verm. 1896“ S. 353-361, Jordan, „Zeitschr. f. Verm. 1898“ S. 65-84.

Außer Nivellieren wird Tachymetrie (mit Jordans „Hilfstafeln für Tachymetrie“), Kompaßbandzüge mit Freihandhöhenmessern (§ 186) oder mit Aneroiden angewendet.

Die Fehlergrenzen für die Höhenbestimmungen sind bei durchschnittlich fünf dauernden Festpunkten auf 1 Flurkartenblatt (131 ha) für eine Strecke von n lim : Nivellement II. Ordnung + 18 ]/?? mm, III. Ordnung 30 j/n mm bzw. 45 ]/n mm und bei trigonometrischen Höhenzügen (Schrägnivellement) das Doppelte. Die Fehlergrenzen für die Geländeaufnahme (120—300 Punkte auf lcj fim) sind 0,3—3,0 m in fünf Stufen je nach der Geländeneigung und den Schwierigkeiten. Für die Genauigkeit der Kurvenbestimmung ist festgesetzt, daß ihre Lageabweichung nicht übersteigen darf 10 m in steilem, 50 m in flachem Gelände (vgl. § 188 S. 802 und 803).

Wenn dieses Unternehmen vollendet sein wird, so wird Württemberg die beste topographische Karte nicht bloß in Deutschland, sondern überhaupt besitzen.

V. Baden.

Yon 1825—1846 wurde für das heutige Staatsgebiet eine Meßtischaufnahme in 1:10 000 und 1:25 000 mit Horizontalkurven ausgeführt, welche damals nicht nur die erste und beste topographische Karte in Deutschland, sondern wohl die beste Karte solcher Art überhaupt war. (Einen Abriß hiervon haben wir gegeben in Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungswesen 1882“, I S. 281—285.)

was

badische Höhenschichtenkarte ursprünglich nicht veröffentlicht worden (nur die Umgebungskarten der Garnisonstädte sind mit Kurven in 1 : 25 000 aus jener Zeit gedruckt vorhanden); der eigentliche topographische Atlas in 1: 50 000 hatte nur schwarze Schraffierung, und dazu allerdings als Vorzug gegen den östlichen Nachbar eine sehr große Zahl eingeschriebener trigonometrischer vorzüglicher Höhenzahlen.

Auf Grund einer topographisch genügenden Triangulierung wurde unter Leitung von Oberst Tulla, Oberst Klose und namentlich des tüchtigen Obergeometer Rheiner schon damals, 1825—1846, mit distanzmessender Kippregel nahezu dasselbe geleistet, in anderen Staaten viel später in Angriff genommen wurde. Allerdings ist jene

Erst nachdem dieser schwarze Atlas nach 1870 an den preußischen Generalstab übergegangen war, entschloß man sich, die alte Aufnahme in 1 :25 000 in einer sehr schön durchgeführten Kupferdruckkarte mit geringen Verbesserungen herauszugeben.

zum

1873—1885 dabei nicht benützt.

Da nun aber jene alte Aufnahme Meßtischarbeit ist und inzwischen die ausgezeichnete badische Katastervermessung seit 1852 (mit einer neuen Triangulierung) • ins Leben getreten war, stellt die neue, schöne topographische Karte von 1870—1890 Teil nicht den neuesten Stand als Lageplan dar ; auch sind die Nivellements von

Über die Genauigkeit der badischen topographischen Karte haben wir Mitteilungen gemacht auf Grund unserer von 1868—1881 jährlich mit etwa 1—2 Quadratkilometer betriebenen Übungsaufnahmen der Technischen Hochschule in Karlsruhe, indem diese Spezialaufnahmen in 1 :2500 auf den kleinen Maßstab 1 : 25 000 der amtlichen topographischen Karte auf photographischem Wege reduziert wurden und dadurch interessante Vergleichungen gaben, in: Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungswesen 1881“ I S. 285 und „Zeitschr. f. Verni. 1888“ S. 314.

Die Herausgabe der badischen Karte in 1 :25 000 geschah etwa 1870—1890. Das badische Landesnivellementsnetz von 1873—1882 (über welches in § 126 S. 545 kurz berichtet wurde) ist 1885 veröffentlicht worden (Die Großh. Badischen Hauptnivellements mit den Anschlüssen an die Nachbarstaaten, bearbeitet von Jordan, herausgegeben von der Oberdirektion des Masser- und Straßenbaus 1885). Als nächste daian anzuschließende Aufgabe haben wir die Neubearbeitung und teilweise Anschlußausgleichung der alten, dem topographischen Atlas zugrunde liegenden, vorzüglichen trigonometrischen Höhen bezeichnet. — Jene trigonometrischen Höhen waren auf einen französischen Fundamentalpunkt am Straßburger Münster bezogen, der eine um etwa 2 m größere Höhenzahl hat als seine Neubestimmung über N. N. (Ein kleines aber

gutes Beispiel dieser alten badischen trigonometrischen Höhen haben wir früher veröffentlicht in Jordan-Steppes, „Deutsches Vermessungs wesen 1881“, I S. 281.)

In neuester Zeit wird die badische Topographie fortgeführt mit Benützung der gedruckten Gemarkungskarten in 1:10 000, welche nivellitisch und tachymetrisch ergänzt werden.

VI. Hessen.

Über die neuere Topographie des Großherzogtums Hessen haben wir eine Mitteilung von Nell in „Zeitschr. f. Yerm. 1893“ S. 199—202. Die Flurkartenbenützung ist das Wesentliche hierbei, und es scheint, daß der Übergang der Topographie vom Kriegsministerium an das Katasteramt diese Behandlung hervorgerufen hat. Die Flurkarten werden tachymetrisch und barometrisch mit Höhenangaben versehen.

Außerdem haben wir noch folgende Mitteilung erhalten :

„Die Kataster- und Flurkarten werden in den Maßstab der topographischen Aufnahme 1 : 25 000 reduziert und diese Reduktion wird durch Lichtdruck zum Feldgebrauch einigemal vervielfältigt. Diese Zeichnungen werden nach der Natur vervollständigt, ergänzt und nötigenfalls berichtigt. Für die Höhenaufnahme dient als Grundlage das Präzisionsnivellement der europ. Gradmessung und hieran anschließende trig. Höhenmessungen (etwa 50 Signale auf ein Blatt). Die weiteren Höhenmessungen zum Zwecke der Bergdarstellung werden im freien Felde mit Tachymetertheodoliten, im bewaldeten Gebirge, insofern genaue Lagepläne benützt werden können, mit dem Barometer gemacht. Auch sind Aufnahmen mit dem topographischen Meßtisch gemacht.

Die Fortführung der älteren hessischen Generalstabskarten sowie der neuen topographischen Karte besorgt das Großh. Katasteramt, und zwar auf Grund von periodischen Mitteilungen seitens der Bau-, Forst- und Steuerbehörden.

Die Gemarkungs- und Flurpunkte sind in ganz Hessen mit äußerlich erkenntlichen, behauenen Sandsteinen bezeichnet und ihre Lage ist durch Koordinaten genau bestimmt, selbst in denjenigen Gemarkungen, welche noch keine Parzellenvermessung, sondern nur sogenannte Flurvermessung gehabt haben. Die Reduktion der Parzellenkarten soll so genau sein, daß Wegkreuze usw., Schnitte von Grenzen mit Wegen, Waldecken, Ecken von Gemarkungs- und Flurgrenzen usw., sowie trigonometrisch bestimmte Punkte zu einer äußerst genauen graphischen Festlegung der Theodolit-. oder Meßtisch station benützt werden können.

Außerdem hat Geometer I. Klasse Heil eine Mitteilung über die Verwendung des Schrittmaßes bei topographischen Aufnahmen gebracht in der „Zeitschr. f. Yerm. 1893“ S. 354—364.

Neben der allgemeinen topographischen Landesaufnahme ist eine Aufnahme der Umgebung von Bad Nauheim zum Zwecke geologischer Untersuchung in 1 :10 000 mit Tachymetermeßtisch mit Kompaß ausgeführt (Heil, Beitrag zur trigonometrischen Höhenmessung, „Zeitschr. f. Yerm. 1897“ S. 193—202).

VII. Braunschweig.

Die Entwicklung des Vermessungswesens und der offiziellen Kartographie in Braunschweig wird von Pattenhausen berichtet in „Zeitschr. f. Yerm. 1887“ S. 318—330 und S. 356—364. Nach 1881 wurde eine Vermessung der herzoglichen Forsten in 1 :10 000 tachymetrisch mit Horizontalkurven unternommen, von welcher eine braunschweigisch-preußische Horizontalkurven-Vergleichung von Pattenhausen und Koppe

in „Zeitschr. f. Yerm. 1888“ S. 571 mit litliogr. Tafel S. 603 gegeben wird. Eine allgemeine neue topographische Aufnahme in 1:10 000 mit Horizontalkurven ist für das 3672 q4m umfassende Land in Ausführung, worüber Koppe eingehend berichtet hat in „Zeitschr. f. Yerm. 1902“ S. 397—424.

Die quadratische Blatteinteilung mit 5 4m Seitenlange beruht auf Soldnerschen Koordinaten im preußischen Spezialkoordinatensystem Kaltenborn (s. Fig. 3 S. 272), wobei an den Blatträndern die geogr. Netzlinien angegeben sind. Als Grundlage für die Triangulierung und Höhenmessungen dient die preußische Landestriangulierung und das preußische Präzisionsnivellement. Für den Grundriß werden benutzt die Originalaufnahmen der Forstvermessung und die Feldbereinigungspläne im Maßstab 1: 3000, welche auf 1:10 000 reduziert werden. Als Fehlergrenze für die topographische Höhendarstellung (40—200 Punkte für 1 q.Am) ist neuerdings („Zeitschr. f. Yerm.

1902“ S. 413) eingeführt + f 1,0 -f-10,0 —)

V    sio )

m-

worin s₁₀ den Abstand der 10

Kurven bedeutet (vgl. auch § 188 S. 803). Die ersten Blätter dieser in Kupfer gestochenen Karte erschienen 1905 (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1906“ S. 45—46). Die Dauer dieser neuen Aufnahme ist auf 20 Jahre veranschlagt hei einem Jahresetat von 25 000 Mark.

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Anhang.

Hilfs tafeln.

Seite

Reduktion für Wärme-Ausdehnung oder für kleine Maßstabsfehler . .

Reduktion schiefgemessener Längen auf den Horizont, L — Lcosa. .

Verwandlung der Sexagesimalteilung in Centesimalteilung.....

Verwandlung der Centesimalteilung in Sexagesimalteilung.....

Mittelbildung aus 4 Winkelwerten.............

Die Zahlen q und Näherungswerte dazu...........

Hilfstafel für mittlere Nivellierungsfehler ...........

Trigonometrische Höhenmessung. Erdkrümmung und mittlere Refraktion [10]—[12] Barometrische Höhenmessungen. Barometer- und Thermometer-Teilungen .

[2]

[3]

[4]

[5]

[6] und [7]

[8]

[9]

[13]

Reduktion des Quecksilber-Barometers .    [14]—[16]

Capillardepression Schwere-Reduktion

[17]

[18]—[19]

Barometrische Meereshöhen für 15°    .......

Barometrische Höhenstufen..........

Reduktion schiefer Längen durch Barometer-Differenzen Reduktion von Schrittmaßen durch Barometer-Differenzen Meßband-Züge mit Höhenwinkeln, 20 cos a und 20 sin a Magnetische Mißweisung, für die Mitte des Jahres 1905

Tachymetrische Tafel............

Rechtwinklige Koordinaten für Kreisbögen.....

Peripheriewinkel für die Sehnenlänge 20m.....

Sehnenlängen für gegebene Peripheriewinkel .... Übergangskurven..............

Spannung des Wasserdampfes u. s. w. .    [20]—[23]

Ausdehnung der Luft durch die Wärme .

[24]

[25]

. . [26]—[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32] — [35] [36]—[38] [39]—[41]

[42]

[43]

Maß- Vergleichung

[44]    [47]

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd. 7. Auf!

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Reduktion für Wärme-Ausdehnung oder für kleine Maßstabsfehler.

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Schiefe Länge L

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0,017 0,026

0,051 0,060

0,000

0,001

0,003

0,005

0,008

0,011

0,015

0,019

0,025

0,030

0,037

0,044

0,051

0,060

0,068

0,000 0,000 0,001 0,001 0,002 0,003 0,003 0,003 0,007 0,006 0,006 0,012 0,009 0,010 0,019

0,041 0,046 0,092 0,049 0,055 0,110 0,058 0,064 i 0,129 0,067 0,075 ¹ 0,149 0,077 0,086 0,171

ca 00 ^

o    rHcacOTf»o    cooooœo    r-toaco-^LO    tot>oooso

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COT)

Ul

Verwandlung der alten Teilung in neue Teilung.

(Sexagesimalteilung in Centesimalteilung.)

Grade (°)

1° 2°

3°

4°    5°

6°

7°

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2,2..

3,3..

4,4..

5,5..

13.3..

24.4..

35.5..

46.6..

14,4..

25.5..

36.6..

47.7..

57.7..

68.8.. 80,0.. 91,1..

102,2..

113.3..

124.4..

135.5..

146.6..

157.7..

168.8.. 180,0.. 191,1..

58.8.. 70,0..

81.1.. 92,2..

103.3..

114.4..

125.5..

136.6..

147.7..

158.8..

170,0..

181.1.. 192,2.

15.5..

26.6..

37.7..

48.8..

60,0..

71.1..

82.2.. 93,3..

104.4..

115.5..

126.6..

137.7..

148.8.. 160,0..

171.1..

182.2.. 193,3..

16,6..

27.7..

38.8.. 50,0..

61.1..

72.2..

83.3..

94.4..

105.5..

116.6..

127.7..

138.8.. 150,0..

161.1..

172.2..

183.3..

194.4..

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Minuten (')

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2'

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4'

5'

6'

7'

9'

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0,38 88 89    0,40    74 07    0,42    69 26    0,44    44 44 0,46 29 63

0,57 40 74    0,59    25 93    0,61    11 11    0,62    96 30 0,64 81 48

0,75 92 59    0,77    77 78    0,79    62 96    0,81    48 15 0,83 33 33

0,94 44 44    0,96    29 63    0,98    14 81    1,00    00 00 1,01 85 19

g c cc 0,11 1111 0,29 62 96 0,48 14 81 0,66 66 67 0,85 18 52 1,03 70 37

g c cc

0,12 96 30 0,14 81 48 0,16 66 67 0,31 4815! 0,33 33 33 0,53 18 52 0,50 00 00 0,51 85 19 0,53 70 37 0,68 5185! 0,70 37 04 0,72 22 22 0,87 03 70,0,88 88 89 0,90 74 07 1,05 55 56 1,07 40 74 1,09 25 93

g c cc

g C cc

Sekunden (")

0"

1"

2"

3"

4" |

5"

6”

7"

8"

9"

00"

g c cc

10

20

30

40

50

g C cc 0,00 0000 0,00 30 86 0,00 61 73 0,00 92 59 0,01 23 46 0,01 54 32 0,01 574110,01 60 49

g C ce

g c cc

g c cc

g c cc

0,01 63 58 0,01 66 67 0,01 69 75

g c cc

g c cc 0,00 18 52 0,00 21 66 0,00 49 38 0,00 52 47 0,00 80 25 0,00 83 33 0,01 1111 0,01 14 20 0,01 4198 0,01 45 06 0,01 72 84 0,01 75 93

g c cc g c cc 0,00 24 69 0,00 27 78 0,00 55 56 0,00 58 64 0,00 86 42 0,00 89 51 0,01 17 28 0,01 20 37 0,01 48 15 0,01 51 23 0,01 79 01 0,01 82 10

,00"

,01"

,02"    ,03" | ,04" I ,05"

,06"    ,07"    ,08"    ,09"

g c cc g c cc g c cc g c cc g c cc 0,00 00 00 0,00 00 03 0,00 00 06 0,00 00 09 0,00 00 12

31

34

37

40

43

62

93

65

123

96

68

127

99

71

130

102

133

74

105

136

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52

56

59

80

111

142

83

114

145

86

117

148

0,00 01 73 0,00 0176 0,00 Ol 79

2 04

2 07

2 35

2 65

2 96

2 38

2 69

2 99

210

2 41

2 72

3 02

90

120

151

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V = 1,85 185 185...'

(vgl. § 70. S. 281.)

1" = 3,086 41975 3086...“

00?

10

20

30

40

50?

60

70

80

90

100?

110

120

130

140

150?

160

170

180

190

200?

Verwandlung der neuen Teilung in alte Teilung.

(Centesimalteilung in Sexagesimalteilung.)

Grade (a)

0° 0'

18 0 27 0 36 0

45° 0' 54 0 63 0 72 0 81 0

90° 0' 99 0 108 0 117 0 126 0

135° 0' 144 0 153 0 162 0 171 0

180° 0'

0'

2*

4<7

5»

0° 54' 9 54 18 54 27 54 36 54

45° 54' 54 54 63 54 72 54 81 54

90° 54' 99 54 108 54 117 54 126 54

135° 54' 144 54 153 54 162 54 171 54

1'

00c    0' 0,0"    0' 32,4"

5 24,0    5 56,4

10

Occ

Ie0

1° 48' 10 48 19 48 28 48 37 48

46° 48' 55 48 64 48 73 48 82 48

91° 48' 100 48 109 48 118 48 127 48

136° 48' 145 48 154 48 163 48 172 48

2'

2° 42' 11 42 20 42 29 42 38 42

3° 36' 12 36 21 36 30 36 39 36

4° 30' 13 30 22 30 31 30 40 30

5° 24' 14 24 23 24 32 24 41 24

6° 18' 15 18 24 18 33 18 42 18

7° 12' 16 12 25 12 34 12 43 12

8° 6'

17 6 26 6 35 6 44 6

47° 42' 56 42 65 42 74 42 83 42

48° 36' 57 36 66 36 75 36 84 36

49° 30' 58 30 67 30 76 30 85 30

50° 24' 59 24 68 24 77 24 86 24

51° 18' 60 18 69 18 78 18 87 18

52° 12' 61 12 70 12 79 12 88 12

53° 6' 62 6 71 6 80 6 89 6

92° 42’ 101 42 110 42 119 42 128 42

137° 42' 146 42 155 42 164 42 173 42

93° 36' 102 36 111 36 120 36 129 36

138° 36' 147 36 156 36 165 36 174 36

94° 30' 103 30 112 30 121 30 130 30

95° 24' 104 24 113 24 122 24 131 24

96° 18' 105 18 114 18 123 18 132 18

97° 12' 106 12 115 12 124 12 133 12

98° 6' 107 6 116 6 125 6 134 6

139° 30' 148 30 157 30 166 30 175 30

140° 24' 149 24 158 24 167 24 176 24

141° 18' 150 18 159 18 168 18 177 18

142° 12’ 151 12 160 12 169 12 178 12

143° 6' 152 6 161 6 170 6 179 6

Minuten (c)

4C 5°

6C

7‘

8C 9C

1' 4,8"    1' 37,2"    2' 9,6"    2'42,0"

Sekunden (cc)

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3,240

6,480

9,720

12,960

16,200"

19,440

22,680

25,920

29,160

0,324''

3,564

6,804

10,044

13,284

16,524"

19,764

23,004

26,244

29,484

0,648"

3,888

7,128

10,368

13,608

16,848"

20,088

23,328

26,568

29,808

0,972"

4,212

7,452

10,692

13,932

17,172"

20,412

23,652

26,892

30,132

1,296"

4,536

7,776

11,016

14,256

17,496"

20,736

23,976

27,216

30,456

1,620"

4,860

8,100

11,340

14,580

17,820"

21,060

24,300

27,540

30,780

1,944"

5,184

8,424

11,664

14,904

18,144"

21,384

24,624

27,864

31,104

2,268"

5,608

8,748

11,988

15,228

18,468"

21,708

24,948

28,188

31,428

2,692"

5,832

9,072

12,312

15,552

18,792"

22,032

25,272

28,512

31,752

2,916"

6,156

9,396

12,636

15,876

19,116"

22,356

25,596

28,836

32,076

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0,0324"

0,0648"

0,0972"

0,1296"

0,1620"

0,1944"

0,2268"

0,2592"

0,2916"

10"

20"

30"

40"

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6' 20"

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6 50

7 20

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7 50

8 20

8 35

8' 50"

9 20

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9 50

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10' 5" 10 20 10 35

10    50

11    5

10' 7,5"    10' 10"

10 22,5 10 37,5

10    52,5

11    7,5

10 25 10 40

10    55

11    10

1' 27,5" 1 42,5

3' 57,5"

4    12,5 4 27,5 4 42,5

8' 57,5"

9    12,5 9 27,5 9 42,5 9 57,5

10' 12,5" 10 27,5 10 42,5

10    57,5

11    12,5

C0 DO M o

00 Oa Or

Anhang.

Mittelbildung aus 4 Winkelwerten.

2'

3'

4'

5'

6'

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xo CO C- 00 Oi

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SowoS owoSo cjotito® oeiooio woo’oo' © ex © ex © ot©ot©ot o ex o ex o

O' 15,00 15,25 15,50 15,75 16,00

0' 30,00" 30,25 30,50 30,75 31,00

0' 45,00" r 45,25 45,50 45,75 46,00

16,26

16,50

16,75

17,00

17,25

31.25 31,50 31,75 32,00

32.25

46.25 46,50 46,75 47,00

47.25

0' 17,50"    0' 32,50"

32,75 33,00 33,25 33,50

17,75

18,00

18,25

18,50

18.75 19,00 19,25 19,50

19.75

33.75 34,00

34.25

34.50

34.75

0’ 20,00"    0’ 35,00"

35.25

35.50

35.75 36,00

20,25

20,50

20,75

21,00

21.25 21,50 21,75 22,00

22.25

36.25 36,50 36,75 37,00

37.25

0' 22,50"    0' 37,50"

22,75 23,00 23,25 23,50

37,75

38,00

38,25

38,50

0' 47,50"    1

47,75 48,00 48,25 48,50

48.75 49,00 49,25 49,50

49.75

0' 50,00" V 50,25 50,50 50,75 51,00

51.25 51,50 51,75 52,00

52.25

0' 52,50"    1'

52,75 53,00 53,25 53,50

05 CO CO L-O ro co CO I— —* 1—    •— o o o o

S&gsTS '8'g'SoiS §3SSfg

1' 15,00" V 30,00" 15,25 15,50 15,75 16,00

30,25

30,50

30,75

31,00

Y 45,00" 45,25 45,50 45,75 46,00

^ CO CO o

16.25 16,50 16,75 17,00

17.25

31.25 31,50 31,75 32,00

32.25

46.25 46,50 46,75 47,00

47.25

CO 00 -J O) en

r 17,50"    1' 32,50"

17,75 18,00 18,25 18,50

32,75

33,00

33,25

33,50

1' 47,50" 47,75 48,00 48,25 48,50

23.75 24,00 24,25 24,50

24.75

38.75 39,00 39,25 39,50

39.75

60"

51

52

53

54

55

56

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58

59

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27.25

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42.25

0' 27,50*’ O⁷ 42,50" 27,75 28,00 28,25 28,50

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28.75 29,00 29,25 29,50

29.75 0' 30,00"

43.75 44,00 44,25 44,50

44.75 O' 45,00"

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57.75 58,00

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18.75 19,00 19,25 19,50

19.75

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48.75 49,00 49,25 49,50

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20,50

20,75

21,00

1' 35,00" 35,25 35,50 35,75 36,00

1' 50,00" 50,25 50,50 50,75 51,00

21.25 21,50 21,75 22,00

22.25

36.25 36,50 36,75 37,00

37.25

51.25 51,50 51,75 52,00

52.25

1' 22,50" 22,75 23,00 23,25 23,50

1' 37,50" 37,75 38,00 38,25 38,50

1' 52,50 52,75 53,00 53,25 53,50

23.75 24,00 24,25 24,50

24.75

38.75 39,00 39,25 39,50

39.75

53.75 54,00 54,25 54,50

54.75

I' 25,00" 25,25 25,50 25,75 26,00

1' 40,00" 40,25 40,50 40,75 41,00

1' 55,00" 55,25 55,50 55,75 56,00

26.25 26,50 26,75 27,00

27.25

41.25 41,50 41,75 42,00

42.25

66.25 56,50 56,75 57,00

57.25

1' 27,50" 27,75 28,00 28,25 28,50

T 42,50" 42,75 43,00 43,25 43,50

1' 57,50" 57,75 58,00 58,25 58,60

43.75 44,00 44,25 44,50

44.75

1' 30,00" i 1' 45,00"

28.75 29,00 29,25 29,50

29.75

58.75 59,00 59,25 59,50

59.75 2' 0,00"

55"

56

57

58

59

60"

180

g° = — = 57,295 7795 —— = 3437,74677

71

180,60.60

gr =

71

Die Zahlen g

I. Alte Kreis-Teilung.

~ = 0,01745 32925

—■ = 0,00029 08882 087 = 206264,8063 ~ = 0,00000 48481 36811 log g" = 5.314 4251-332

V (X

Näherungswerte für —

logg° = 1.758 1226-324 log g' = 3.536 2738-828

a = l" a = 10" a = 20" a = 30" a = V a— 10' a =20'ja =30' a = 1⁰

ni

10

57,296

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Ml

0,000

0,000

0,000

0,000

0,001

0,001

0,002

0,002

0,003

0,003

0,004

0,004

0,005

0,017

0,048

0,097

0,242

0,484

1,000

0,000

0,000

0,003

0,005

0,010

0,015

0,019

0,024

0,029

0,034

0,039

0,044

0,048

0,167

0,484

0,970

2,424

4,848

10,000

0,000

0,001

0,006

0,010

0,019

0,029

0,039

0,048

0,000

0,003

0,017

0,029

0,058

0,087

0,116

0,145

0,058

0,068

0,078

0,087

0,097

0,175

0,204

0,233

0,262

0,291

0,333

0,970

1,939

4,848

9,696

20,000

3,000

2,909

5,818

14,544

29,089

60,000

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0,006

0,058

0,333

0,582

1,164

1,745

2,327

2,909

3,491

4,072

4,654

5,236

5,818

0,009

0,087

0,500

0,873

1,745

2,618

3,491

4,363

5,236

6,109

6,981

7,854

17,453

0,017

0,175

1,000

1,745

3,491

5,236

6,981

8,727

10,472

12,217

13,963

15,708

17,453

20

58

116

291

582

i 1200

30

87

175

436

873

1800

60

175

349

873

1745

3600

IL

Teilung.

200

e' = —

77

Q° =

20000

63,6619 77234    = 0,01570 796327

2000000

log ga = 1.803 8801-230

71

100 gg , g™

71

100 gc = 10000 g*

Näherungswerte für —

ja = lMja= 10cc|a = 20cc a = 50cc a = 1<= | cc = 10e \a = 20° a = 50e <x = l°

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0,157

0,01

0,1

0,016

0,031

0,047

0,063

0,079

0,094

0,110

0,126

0,141

0,157

0,157

0,314

0,471

0,628

0,785

0,942

1,100

1,257

1,414

1,571

10

1,571

3,142

4,712

6,283

7,854

9,425

10,996

12,566

14,137

15,708

1,571

15,7

3,142

7,854

15,708

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31,4

78,5

157,1

1000

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79

167

392

785

5000

100

157

314

785

1571

10000

Hilfstafeln zur Berechnung mittlerer Nivellierungsfehler.

I. ys (s in Kilometern).

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,0

0,00

0,10

0,14

0,17

0,20

0,22

0,24

0,26

0,28

0,30

0,1

0,32

0,33

0,35

0,36

0,37

0,39

0,40

0,41

0,42

0,44

0,2

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,3

0,55

0,56

0,57

0,57

0,58

0,59

0,60

0,61

0,62

0,62

0,4

0,63

0,64

0,65

0,66

0,66

0,67

0,68

0,69

0,69

0,70

0,5

0,71

0,71

0,72

0,73

0,73

0,74

0,75

0,75

0,76

0,77

0,6

0,77

0,78

0,79

0,79

0,80

0,81

0,81

0,82

0,82

0,83

0,7

0,84

0,84

0,85

0,85

0,86

0,87

0,87

0,88

0,88

0,89

0,8

0,89

0,90

0,91

0,91

0,92

0,92

0,93

0,93

0,94

0,94

0,9

0,95

0,95

0,96

0,96

0,97

0,97

0,98

0,98

0,99

0,99

1,0

1,00

1,00

1,01

1,01

1,02

1,02

1,03

1,03

1,04

1,04

1,1

1,05

1,05

1,06

1,06

1,07

1,07

1,08

1,08

1,09

1,09

1,2

1,10

1,10

1,10

1,11

1,11

1,12

1,12

1,13

1,13

1,14

1,3

1,14

1,14

1,15

1,15

1,16

1,16

1,17

1,17

1,17

1,18

1,4

1,18

1,19

1,19

1,20

1,20

1,20

1,21

1,21

1,22

1,22

1,5

1,22

1,23

1,23

1,24

1,24

1,24

1,25

1,25

1,26

1,26

1,6

1,26

1,27

1,27

1,28

1,28

1,28

1,29

1,29

1,30

1,30

1,7

1,30

1,31

1,31

1,32

1,32

1,32

1,33

1,33

1,33

1,34

1,8

1,34

1,35

1,35

1,35

1,36

1,36

1,36

1,37

1,37

1,37

1,9

1,38

1,38

1,39

1,39

1,39

1,40

1,40

1,40

1,41

1,41

2,0

1,41

1,42

1,42

1,42

1,43

1,43

1,44

1,44

1,44

1,45

n.

Ys

in Millimetern, s in Kilometern).

2mm gmm Ąmm ! gmm Qmm    gmm Qmm JQmm ~\^2mm ^47nrn 1Qmm 48mm 20TO7n

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(N H h h

Trigonometrische Höhenmessung.

1 — Je

Horizontkorrektion

aa , log r = 6.80489 , k = 0.13 als Funktion der Entfernung a.

100

200

300

400

500 | 600

700    800    900 Dif.

0 0,000

1 000 0,068

2    000 0,273

3    000 0,61

4    000 1,09

5    000 1,70

in

0,001

0,082

0,30

0,66

1,15

1,77

0,025

0,175

0,46

0,88

-h

0,033 0,044 0,197 0,221

0,055

0,246

13

27

0,50

0,93

1,44    1,51

2,14

2,21

0,53

0,98

1,57

2,29

0,57

1,04

1,64

2,37

n<

6 000

7    000

8    000 9 000

10 000

2,45

3,34

4,36

5,52

6,82

2,54

3,44

4,47

5,65

6,95

2,62

3,53

2,71

3,63

4,58    4,70

5,77 j 5,90 7,09 j 7,23

2,79

3,73

4,81

6,02

7,37

2,88    2,97

3,83

4,93

6,15

7,52

3,94

5,04

6,28

7,66

3,06

3,15    3,25

4,04    4,15

5,16

5,28

10

4,25

11

6,41

7,80

6,55

7,95

5,40

6,68

8,10

12

13

15

11000 12 000

8,25

9,82

11,52

13,36

15,34

8,40

9,98

11,70

13,55

15,54

8,55    8,70

10,15

10,31

11,88

13,75

15,75

12,06

13,94

15,96

8,86

9,02

9,17

10,48

12,24

14,14

16,17

10,65 10,82 12,42 12,61 14,33 ! 14,53 16,38 116,59

16 000

17,45

19,70

22,09

24,61

27,27

17,67

19,93

22,33

24,87

27,54

17,89

20,17

22,58

25,13

27,82

21 000 22 000

30,06

32,99

36,06

39,27

42,61

26 000

46,08

49,70

53,45

57,38

61,35

30,64 33,60 36,38 36,69 39,59 I 39,92 42,95 43,29

46^44 4649 50,06 50,44 53,83 54,21 57,73 58,12 61,76 62,17

30,35

33,30

18,11    18,34

20,40 20,64 22,83 23,08 25,39 25,66 28,09 j 28,37

m > m

30,93 i 31,22 33,90 I 34,20 37,01 37,33 40,25 40,59 43,64 43,98

47,15

50,81

54,60

58,52

62,59

47,51

51,18

54,98

58,92

63,00

18,56

20,88

23,33

25,92

28,65

18,78

21,12

23,58

26,19

28,93

31.51    31,81

34.51    34,82 37,65 37,97 40,92 41,25 44,33 44,68

47,87 48,23 51,55 51,93 55,37 55,76 59,33 59,73 63,42 I 63,83

9,33    9,49    9,65

10,99 11,17 11,34

12.79    12,98 13,17 14,73 14,93 15,13

16.80    17,02 17,23

19,01 19,24 '19,47 21,36 21,60 21,84 24,84 24,09 24,35 26,46 26,73 27,00 29,21 29,49 29,78

32,10 32,40 32,69 35,13 35,44 35,75 38,29 38,61 88,94 41,59 41,93 142,27 45,03 45,38 ,'45,73

48,60

52,31

56,15

60,13

64,25

48,96 '49,33 52,68 153,06

56.54    156,94

60.54    160,94 64,67 165,09

17

18

19

21

22

23

25

26

27

28

30

31

33

34

37

39

39

41

42

H+H’

Lo gar ithmische Korrektion für die mittlere Meereshöhe-^-

1-ï

H+H'

2r

H+H'

100

200

300    400    500

600

700    800    900

1000

2000

3000

4000

5000

0.00000 0.00001 0.00007 0.00007 0.00014 0.00014 0.00020 0.00021 0.00027 0.00028 0.00034 0.00035

0.000010.00002 0.00003 0.000080.00009 0.00010 0.00015 0.00016 0.00016 0.000220.00022 0.00023 0.000290.00029 0.00030 0.00035|0.00036 0.00037

0.000030.00004

0.000100.00011

0.000170.00018

0.000240.00025

0.000310.00031

0.000370.00038

0.000050.000050.00006 0.00012 0.000120.00013 0.000180.000190.00020 0.00025 0.000260.00027 0.000320.000330.00033 0.00039'0.00039 0.00040

log a 0

Trigonometrische Höhenmessung.

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Borizontkorrektion — a² , logr = 6.80489 , k = 0,13 ù r

als Funktion von log a.

9 Diff.

2.0 0,00 0,00 0,00

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

771

0,04

0,07    0

0,10 1 0,16 1 0,26 1 0,41    2

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TM

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9,37

9,81

10,27

10,75

10,85    10,90

11,37 11,42 11,90 11,96 12,46 12,52 13,05    13,11

13*66 13773 14,31    14,37

14,98 15,05 15,69    15,76

16,43 16,50

11,26

11,79

12,35

12,93

13,54

771

Trigonometrische Höhenmessung.

Erdkrümmung und mittlere Refraktion.

Ent

fernung

Erdkrümmung

Refraktion

Reduktion

Diff.

a²k

Diff.

a²

Diff.

Refrakt.-

Winkel

Ent

fernung

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0,3

0,7

1,3

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2,8

3,8

5,0

6,3

7,8

9,5

11,3

13,2

15,4

17,6

20,1

22,7

25,4

28,3

31,3

34,6

37,9

41,5

45,1

49,0

53,0

57,1

61,4

65,9

70,5

71

125

196

282

384

501

635

784

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Yerwandlung von Barometer- und Thermometer-Teilungen.

I. Barometer-Teilungen.

Verwandlung von Pariser Linien und Pariser Zollen in Millimeter.

1 Pariser Linie = 2,255829 Millimeter, 1 Pariser Zoll = 27,069948 Millimeter.

Par. L. 0

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340

63,96 566,21 568,47    570,72    572,98    575,24    577,49    579,75    582,00    584,26

86,52 588,77 591,03    593,28    595,54    597,79    600,05    602,31    602,56    606,82

09,07 611,33 613,59    615,84    618,10    620,35    622,61    624,86    627,12    629,38

31,63 633,89 636,14    638,40    640,66    642,91    645,17    647,42    649,68    651,93

54,19 656,45 658,70    660,96    663,21    665,47    667,73    669,98    672,24    674,49

676,75 679,00 681,26    683,52    685,77    688,03    690,28    692,54    694,80    697,05

699,31 701,56 703,82    706,07    708,33    710,59    712,84    715,10    717,35    719,61

721,87 724,12 726,38    728,63    730,89    733,14    735,40    737,66    739,91    742,17

744,42 746,68 748,94    751,19    753,45    755,70    757,96    760,21    762,47    764,73

766,98 769,24 771,49    773,75    776,01    778,26    780,52    782,77    785,03    787,28

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Par. L.

,00 I ,01    1 ,02    ,03    ,04    ,05    ,06 | ,07    ,08    ,09

mm

mm

mm

mm

mm

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

mm

mm

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

21"= 52

22    = 64

23    =276

<N

24" = 288'" = 649,68

25    = 300 = 676,75

26    = 312 = 703,82

1,29

1,33

1,51

1,74

1,96

2,19

1,56

1,78

2,01

2,23

= 568,47 = 595,54 622,61

Ml

27" = 324"' = 730,89”™

28    = 336    -    757,96

29    = 348 = 785,03

II. Thermometer-Teilungen.

Vergleichung zwischen Celsius, Réaumur und Fahrenheit.

Temperaturunterschiede.

Temperaturen.

AF AG AR AF AG AR

+ 100°

+ 50

+ 40

+ 30

+ 20

+ 10

+ 80° 4-40 + 32 + 24 + 16

+ 212°

+ 122

+ 104

+ 86 + 68

10

oo o oo

H- 32

17,78

20

30

—14,22 — 16 — 24

+ 14

22

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0,44

0,89

1,33

1,78

2,22

2,67

3,11

3,56

4,00

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4,89

5,33

5,78

6,22

6,67

7,11

7,56

8,00

10

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= ^(F-32°)

8 (F-32°)

AG =

10

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A R = 1,25 /IR

10

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Redaktion des Quecksilber-Barometers auf 0°

ohne Rücksicht auf die Ausdehnung des Massstabes — 0,000180 B t.

Barometerstand B in Millimetern.

600 620 640 660 680 700 710 720 730 740 750 760 770

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Für den Rechenschieber : — 0,000 180 B t —

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Reduktion des Quecksilber-Barometers auf 0°

für Messingskale mit der Normaltemperatur 0°, —0,000162 B t.

Barometerstand B in Millimetern.

600 620 640 660 680 700 710 720 730 740 750 760

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12

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15

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21°'

22

23

24

25

26°

27

28

29

30

31°

32

33

34

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co

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er

0> ,

CD

0,000 162 Bt =

61710

. S. 631.)

Redaktion des Quecksilber-Barometers auf 0°

für Messingskale mit der Normaltemperatur 0°, zugleich mit einer Gefäss-Korrektion für den Normalstand 750mm und das Durchmesserverhältnis 1:10. — (0,000162 B t — 0,01 (B — 750)).

Barometerstand B in Millimetern

730

735    740    745

750

755

760    765    770

“-SIIII    -“If-“““    PO.SS.S5    5SSSS5    .EKS555    EKSS»®

O-O On O On O    Cn O Ol O Cn O    Or O On o an O    O, o On 0 0-0    on O On O On O    OlOWOWO

°    °    O    O

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CO

CO

Capillardepression in Barometerröhren

als Punktion des inneren Köhrendurchmessers und der Kuppenhöhe.

Kuppen

Innerer Durchmesser der Glasröhre

in Millimetern

Kuppen

höhe

CO

4^

9    10

11

12

13

14

höhe

0,00

0,05

0,10

0,15

O CO CC^O^

0000

0,20

0,25

0,30

0,35

H HH

ÖO OT

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

CO CO 03 CO to 50 ropo DO»-¹ O co <1 Üi CO^

j OHWi¹ CO 00 C^O

E ooo'o O O O 1—I    ,-T r-T‘fl

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,1 0,06 0,04 0,03 0,02 0,02 0,2 0,12 0,08 0,06 0,04 0,03 0,3 0,18 0,13 0,09 0,07 0,05

0,00 0,00

0,01

0,02

0,04

0,01

0,02

0,03

0,00

0,00

0,01

0,02

0,00

0,00

0,01

0,02

0,80

0,85

0,90

0,95

CD 00 CI O

r-7 —T ,-4 ca"    ca ca ca ca"

0,4 0,24 0,17 0,5 0,30 0,21 0,6 0,36 0,25 0,6 0,42 0,29

0,7 0,48 0,33 0,8 0,53 0,37 0,9 0,59 0,41 0,9 0,64 0,45

1,0 0,70 0,49

1.1    0,75 0,52

1.2    0,80 0,56

1.3    0,85 0,60

1.3    0,90 0,63

1.4    0,94 0,66

1.4    0,98 0,70

1.5    1,03 0,73

0,12 0,09 0,06 0,15 0,11 0,08 0,18 0,13 0,10 0,21 0,15 0,11

0,24 0,17 0,13 0,27 0,20 0,15 0,29 0,22 0,16 0,32 0,24 0,18

0,05

0,04

0,03

0,02

0,06

0,07

0,08

0,10

0,11

0,12

0,05

0,06

0,07

0,07

0,08

0,09

0,13 0,10

0,04

0,04

0,05

0,06

0,07

0,07

0,03

0,03

0,04

0,04

0,05

0,05

0,08 0,06

0,35

0,26

0,19

0,37 0,28

0,21

0,14 0,11 0,16 0,12

0,40

0,43

0,45

0,48

0,50

0,53

0,30

0,32

0,34

0,35

0,37

0,39

0,22

0,17

0,13

0,24

0,25

0,26

0,28

0,29

0,18 0,14

0,19 0,14 0,20 0,15

0,21

0,16

0,22 0,17

0,08 0,06 0,09 0,07 0,10 0,07 0,10 0,08

0,11

0,08

0,12 0,09 0,12 0,09 0,13 0,10

1,00

1,05

1,10

1,15

<1 »d Oi OS

1,07 0,76 1,10 0,79 1,14 0,82 1,18 0,84

0,55

0,57

0,41

0,42

0,30

0,32

0,59 0,44 0,33 0,61 0,46 0,34

0,23 0,18

0,13 0,10 0,24 0,18 0,14 0,11 0,25 0,19 0,15 0,11 0,26 0,20 0,15 0,12

1,20

1,25

1,30

1,35

1.7    1,21 0,87

1.8    1,24 0,89 1,8 1,27 0,92 1,8 1,30 0,94

0,63

0,65

0,67

0,69

0,47

0,49

0,35

0,37

0,50 0,38

0,52

0,39

0,27 0,20 0,16 0,12 0,28 0,21 0,16 0,13 0,29 0,22 0,17 0,13 0,29 0,22 0,17 0,13

1,40

1,45

1,50

1,55

0^0^ CDO

rH H Co'Cvf

1,32 0,96 1,34 0,98 1,37 1,00 1,39 1,01

0,71

0,72

0,74

0,75

0,53 0,40 0,54 0,41

0,55

0,56

0,42

0,43

0,30 0,23 0,18 0,31 0,24 0,18 0,32 0,24 0,19 0,32 0,25 0,19

0,14

0,14

0,14

0,15

1,60

1,65

1,70

1,75

1,80

0,77

0,78

0,79

0,80

0,81

0,58 0,44

0,33 0,25

0,20

0,15

0,59

0,60

0,60

0,61

0,44

0,45

0,46

0,47

(vgl. § 151. s. 633.)

0,34

0,34

0,35

0,36

0,26 0,20 0,15 0,26 0,20 0,16 0,27 0,21 0,16 0,2710,21 0,16

e    gggs    ssss    ąąąą ąsąs    sggsg

^    o' O O    O* cT oT oT    oT o' CT O O O O    O O O O T—t t—H r-H t—«    r—■ r—l t-H t-H i-H i-H r-H i—l    T—I i—l r—l r—1 ł—1

<p

log

Schwere-Reduktion.

log (1 + ß cos 2 <p) mit ß — 0,00265 nach Helmert

log

log

!0 OO 05 w

0.001 149 0.001 149 0.001 147 0.001 143 0.001 138

0.001 132 0.001 124 0.001 115 0.001 105 0.001 093

0.001 080 0.001 066 0.001 050 0.001 033 0.001 015

0.000 996 0.000 975 0.000 953 0.000 930 0.000 906

0.000 881 0.000 855 0.000 827 0.000 799 0.000 770

0.000 739 0.000 708 0.000 676 0.000 643 0.000 609 0.000 575

30°    0.000 575

0.000 540

9.999 524

31

41

42

57

59

60

l°0

-35

60° | 9.999 424

61    9.999 390

62    9.999 356

63    9.999 323

71

73

76

77

79

81

89

^Sh00 00 eo h

mit r = 6 370 000™

Kj Ô <^> O O O O

KJ o o o o o H (M Otl ^ »O

log

log

log

0.000 000 0.000 014 0.000 027 0.000 041 0.000 055 0.000 068

14

13

14

14

13

1400 j 0.000 191 1500 I 0.000 205

14

14

13

14

r 2 f-f\

go4b = g ( i + P cos 2 9>) in--—] ,

g₀ 45 = 9,80596    , ß — 0,00265.

Auf 5—6 Logarithmenstellen genau kann man annehmen :

,    2 H

und 1--=-

jB₀45 ₌    1 —

g cos 2 <p) fl —

1 — ß COS 2 g> =

Für Höhen über 1500™ kann man annehmen log ^1 -+- 10    = 10 log I 1 H—

^ Breite

Schwere-Reduktion des Quecksilber-Barometers.

2?₀45 — B = — ß B cos2<p — 2 -^-1 mit ß = 0,00265 nach Helmert

r = 3700000"*.

Barometerstand Bmm (und Höhe Hm über dem Meer)

740”*”» 730”*”* 720”*”* 710”*"* 700””” 690”*”* 680”*”* 670”*”* 660”*"*

760”*"* 750’

(0”*) (115’”) (230m) (345”*) (460”*) (575”*) (690”*) (805”*) (920”*) (1035”*) (1150”*)

mm

mm

mm

mm

mm

0° —2,01 —2,01 —2,01 — 2,01 — 2,01 — 2,01 — 2,01

— 2,00— 00 — 1,99 —

1,97

1,89

1,76

1,58

1,35

h-*-    i JO

1,96

1,89

1,76

1,58

—    0,17— 0,20 — 0,22 — 0,24

—    0,11—0,13 — 0,16 — 0,18

—    0,05— 0,07 — 0,09 — 0,12

+ 0,02— 0,01 — 0,03 — 0,06

-+- 0,08 -+- 0,05 -I- 0,03 -h 0,00

Spannung des gesättigten Wasserdampfes

ausgedrückt in Normal-Barometer-Höhen, d. h. bei 0° Temperatur des Quecksilbers, 13,59593 Dichte des Quecksilbers, 45° geogr. Breite, im Meeresspiegel. (Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures. I. Seite A. 33—38.)

,0    ,1    ,2    ,3    ,4    ,5    ,6    ,7    ,8    ,9

mm

mm

mm

O H (M CC ^

CO 00 -<i os öt

6,51

6,97

7,47

7,99

8,55

6,55    6,60    6,64

7,02

7,52

8,05

8,61

7,07

7,57

8,10

8,66

6,69

7,12

7,62

8,15

8,72

7,17

7,67

8,21

8,78

pooggg    oono

Sggg-8 ggyg-g gfegfs! Vsä-gg ffSSS SSSI-g*

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mm

4,84    4,87

5,20    5,23

5,58

5,62

5,98

6,03

6,42

6,88

7,36

7,88

8,43

9,02

6,46

6,92

7,42

7,94

8,49

9,08

13,34

14,21

15.14 16,12

17.15

13,42

14,30

15,23

16,22

17,26

18.24 19,39 20,61 21,89

23.24

24,66

26,16

27,74

29,40

31,15

32,99

34,92

36,95

39,08

41,32

43,67

18,35

19,51

20,73

22,02

23,38

24,81

26.32 27,90 29,57

81.33

33,18

35,12

37,16

39,30

41,55

43,92

Wenn T die Angabe des trockenen Thermometers, t die Angabe des feuchten Thermometers, B der Barometerstand und E der Dunstdruck für das feuchte Thermometer t, nach obiger Tafel ist, so erhält man den Dunstdruck e in der Luft durch die Formel :

0,A8 (T^—fyB    genähert e = E — 0,6 (T — t)

610 —

Spannung des gesättigten Wasserdampfes

ausgediückt in Normal-Barometer-Höhen, d. h. bei 0° Temperatur des Quecksilbers, 13,59593 Dichte des Quecksilbers. 45° geogr. Breite, im Meeresspiegel. (Traveaux et mémoires du bureau international des poids et mesures. I. Seite A. 38—39

und A. 46—48.)

,0    ,1    ,2    ,3    ,4    ,5    ,6    ,7

,8    ,9

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

433,19 434,90    436,60    438,32    440,04    441,76    443,49    445,23    446,97    448,72

450.47    452,23    454,00    455,77    457,54    459,33    461,11    462,91    464,71    466,51

468.32    470,14    471,96    473,79    475,63    477,47    79,32    481,17    483,03    484,89

486.76    488,64    490,52    492,41    494,31    496,21    98,12    500,03    501,95    503,87

505,81 507,74    509,69    511,64    513,60    515,56    517,53    519,50    521,48    523,47

525.47    527,47    529,48    531,49    533,51    535,54    537,57    539,61    541,65    543,71

545.76    547,83    549,90    551,98    554,07    556,16    558,26    560,36    562,47    564,59

566,71 568,85    570,98    573,13    575,28    577,44    579,61    581,78    583,96    586,14

588.33    590,53    592,74    594,95    597,17    599,40    601,64    603,88    606,13    608,38

610,64 612,91    615,19    617,47    619,76    622,06    624,37    626,68    629,00    631,32

633,66 636,00    638,35    640,70    643,06    645,43    647,81    650,20    652,59    654,99

657,40 659,81    662,23    664,66    667,10    669,54    72,00    674,45    676,92    679,40

681,88 684,37    686,87    689,37    691,89    694,41    96,93    699,47    j 702,02    704,57

,00 ,01

,02    ,03

,04    ,05    ,06

,07

,08    ,09

mm

mm

mm

98,0    707,13    707,38    707,64    707,90    708,15    708,41    708,67    708,92    709,18    709,44

98.1    709,69    709,95    710,21    710,47    710,72    710,98    711,24    711,50    711,76    712,01

98.2    712,27    712,53    712,79    713.05    713,30    713,56    713,82    714,08    714,34    714,60

98.3    714,85    715,11    715,37    715,63    715,89    716,15    716,41    716,67    716,93    717,19

98.4    717,44    717,70    717,96    718,22    718,48    718,74    719,00    719,26    719,52    719,78

98.5    720,04    720,30    720,57    720,83    721,09    721,35    721,61    721,87    722,13    722,39

98.6    722,65    722,91    723,17    723,44    723,70    723,96    724,22    724,48    724,74    725,00

98.7    725,27    725,53    725,79!    726,05    726,32    726,58    726,84    727,10    727,37    727,63

98.8    727,89    728,15    728,42!    728,68    728,94    729,21    729,47    729,73    729,99    730r26

98.9    730,52    730,78    731,05    731,31    731,58    731,84    732,10    732,37    732,63    732,90

99,0    733,16    733,42    733,69    733,95    734,22    734,48    734,75    735,01    735,28    735,54

99.1    735,81    736,07    736,34!    736,60    736,87    737,14    737,40    737,67    737,93    738,20

99.2    738,46    738,73    739,00    739,26    739,53    739,79    740,06    740,33    740,59    740,86

741,39 741,66 741,93 742,20 742,46 742,73 743,00 743,26 743,53 744,07 744,33 744,60 744,87 745,14 745,41 745,67 745,94 746,21

95.5    746,48    746,75    747,02    747,28    747,55    747,82    748,09    748,36    748,63    748,90

99.6    749,17    749,44    749,71    749,97    750,24    750,51    750,78    751,05    751,32    751,59

99.7    751,86    752,13    752,41    752,67    752,94    753,21    753,48    753,76    754,03    754,30

99.8    754,57    554,84    755,11    755,38    755,65    755,92    756,19    756,47    756,74    757,01

99.9    757,28    757,55    757,82    758,10    758,37    758,64    758,91    759,18    759,46    259,73

100,0 760,00

100.1    762,73

100.2    765,47

100.3    768,21

100.4    770,97

100.5    773,73

99,3

99,4

rS CO

O CO io 00 H CD CD CD CD l>

760,55 760,82    761,09    761,36    761,64    761,91    762,18    762,46

763.28    763,55    763,82    764,10    764,37    764,65    764,92    765,19

766,02 766,29    766,56    766,84    767,11    767,39    767,66    767,94

768,76 769,04 771,52 771,80

774.28    774,56

CD I> l> O £> !>•

,31 769,59 769,86 770,14 770,42 770,69 ,07 772,35 772,62 772,90 773,18 773,45 ,84 775,11 775,39 775,67 775,95 776,22

Prop. 0,000° 0,001° 0,002° 0,003° 0,004° 0,005° 0,006° 0,007° 0,008° 0,009° Teile n;00— 0,03”»» 0,05”>”- 0,08”»» 0,11”»» 0,13”"" 0,16”»" 0,19”»» 0,22”*”* 0,27—

Genäherte Bestimmung des Dunstdrucks

aus den Angaben des trockenen und des feuchten Thermometers (streng gültig für 755““ Barometerstand.)

Feuchtes

Thermometer

Trockenes Thermometer

0°

1°    2° j 3° ! 4°    5°

6° 1 7° I 8°

9° 1 10°

Feuchtes

Thermometer

mm

4,6

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2,0

2,9

3,9

4,9

5,9

7,0

1,4

2,3

3,3

4,3

5,3

6,4

7,5

1,7

2,7

3,7

4,7

5,8

6,9

8,0

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G°

Trockenes Thermometer

10° [ 11° 1 12° | 13° | 14° | 15° | 16° | 17° 118° | 19° [ 20°

0°

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Trockenes Thermometer | 22° i 23° I 24° | 25° | 26° | 27° 28° 29°|30°

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6,0 5,4 4,8 7,4 6,8 6,2 8,9 8,3 7,7 10,5 9,8 9,2

12.1    11,4 10,8

13,7 113,1 12,5 15,4 14,8 14,2

17.2    16,6 j 16,0 19,0 18,4 17,8

11,9

13,6

15,3

17,2

19,7

19,1

3,6

5,0

6,5

8,0

! 9,6

11,2

13,0

14,7

16,6

18,5

20,5

10°

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

COD

Ot

CD

S. 664.)

Barom.

3m.»

mm

580

590

600

610

620

630

640

650

660

670

680

690

700

710

720

730

740

750

760

770

Luftfeuchtigkeit.

log (l •+- 0,377

Logarithmische Korrektion zur barometrischen Höhenmessung.

Dunstdruck e

Diff.

Ąmm

5mm

6mm

^mm

Smm

9mm

10'

llmm

12'

für

z/ e

0.00085

00083

00082

00080

00079

0.00113 0.00141 00111 00139 00109 00136 00107 00134 00105 00132

0.00169

00166

00163

00161

00158

0.00197

00194

00190

00188

00184

0.00225

00222

00218

00214

00210

0.00253

00249

00245

00241

00238

0.00281

00277

00272

00268

00268

0.00309

00304

00299

00294

00290

0.00337

00332

00326

00321

00316

28

28

27

27

26

0.00078

00076

00075

00074

00073

0.00104

00102

00100

00099

00098

0.00130

00127

00125

00123

00122

0.00155

00153

00151

00148

00146

0.00181

00179

00176

00173

00171

0.00207

00204

00201

00198

00195

0.00233

00230

00226

00222

00220

0.00259

00255

00251

00247

00244

0.00285

00281

00276

00272

00268

0.00311

00306

00301

00296

00292

26

25

25

24

24

0.00240

00237

00233

00230

00227

0.00264

00260

00257

00253

00249

0.00224

00221

00218

00215

00212

Mittelwerte, gültig für Deutschland.

log (l+0;377^)

0.00288

00284

00280

00276

00272

0.00246

00243

00240

00236

00233

0.00268

00265

00261

00258

00255

24

24

23

23

23

22

22

22

22

22

Monat

Dunst-

Druck

Barometerstand B

600mm 650mn* 700ram 750

Januar Februar März . April . Mai . . Juni . .

Juli . . . August . September Oktober . November Dezember

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0.0011 0.0010 0.0010 0.0009 0.0011 0.0010 0.0010 0.0009 0.0013 0.0012 0.0010 0.0011 0.0016 0.0015 0.0014 0.0013 0.0021 0.0020 0.0018 0.0017 0.0027 0.0025 0.0023 0.0022

0.0031 0.0029 0.0027 0.0025 0.0032 0.0029 0.0027 0.0025 0.0025 0.0023 0.0021 0.0020 0.0020 0.0019 0.0017 0.0016 0.0014 0.0013 0.0012 0.0011 0.0012 0.0011 0.0010 | 0.0009

Jahresmittel

7,2    0.0020 | 0.0018 0.0017 j 0.0016

(vgl. § 161. S. 669.)

Ausdehnung der Luft durch die Wärme.

log (1 -+- 0,003665 t).

Logarithmische Korrektion zur barometrischen Höhenmessung.

,0

,1

,2

,3

,4

,5

,6

,7

,8

,9

für

— 9°

o I—I 0* 03

9.98548 9.98527 9.98510 9.98494 9.98477 9.98461 9.98444 9.98428 9.98411 9.98395 17 9.987089.98691 98675 98658 98642 98626 98609 98593 98576 98560 17 98871    98855    98839    98822    98806    98790    98773    98757    98740    98724    16

^ t> ooa

11

12

13

14

CD t> 00

t-H 7—1 t-H

19

,0

Barometrische Meereshöhen für t —

,1 ,2

,3

,4    ,5    ,6

,7

15°

,8

,9

Diff.

für

],mm

720

721

722

723

724

479,6

467,9

456,2

444,4

432,8

478,4

466,7

455,0

443,3

431,6

725

421,1

726

727

409,4

397,8

728

386,1

729

374,5

730

362,9

731

351,3

732

339,8

733

328,2

734

316,7

419,9

408.3

396.6 385,0

373.4

361,8

350,2

338.6 327,1

315.6

735

305,2

736

293,7

737

282,2

738

739

270,7

259,3

759

760    22,2

761    11,1

762

0,0

304,0

292.5 281,0

269.6

258,1

246,7

235,3

223,9

212,5

201,1

189,7

178,4

167,1

155,7

144,5

133,2

121,9

110,6

99,4

88,2

77,0

65,8

54,6

43,4

32,3

21,1

10,0

477.3

465.5

453.8

442.1

430.4

418.8

407.1

395.4

383.8

372.2

360.6 349,0

337.5

325.9

314.4

302.9

291.4

279.9

268.4 257,0

476,1

05 05 CD 05 OS <X> <05

474,9

463,2

451,5

473,8

462,0

450,3

438,6

426,9

00

471,4

IO TP CO ^ Th Th

O 00 CO

Th co

415,3

403,6

391,9

380,3

245,6

234,1

222,7

211,3

200,0

188,6

177.2 165,9 154,6

143.3

132,0

120,8

109,5

98,2

87,0

75,8

64,6

53,5

42,3

31,1

20,0

8,9

371.1    36 ,9

359.5    358,3 347,9 346,7

36,3 335,2 24,8 323,6

368,7

357,1

345,6

CO CO

97,1

96,0

85,9

74,7

63,5

52,3

41,3

30,0

18,9

7,8

334,0

322,5

311,0

299,4

287,9

276.5 265,0

253.6

242,1

230,7

219,3

207,9

196,5

94,9

84,8

83,7

73,6

72,5

62,4

61,3

51,2

50,1

40,1

28,9

17,8

6,7

38,9

27,8

16,7

5,6

414.1

402.4

390.8

379.2

367.6

356,0

344.4

332.9

321.3

309.8

298.3

286.8

275.3 263,9

252.4

241,0

229.6 218,2 206,8

195.4

184,1

172,7

161,4

150,1

138,8

127,5

116,3

105,0

424.6

412,9

401.3

389.6 378,0

366.4

354,8

343,3

331.7 320,2

308.7

297.1

285.7

274.2

262.7

251.3

239.8

228.4 217,0

205.6

194.3

182.9

171.6

160.3 149,0

137.7

126.4 115,1

103.9

470.2 458,5

446.8

435.1

423.4

411.8

400.1

388.5

376.9

365.3

353,7

342.1

330.6 319,0

307.5

296,0

284.5 273,0

261.6

250.1

238.7

227,3

215,9

204,5

193,1

469.1

457.3

445.6

433.9

422.3

410.6

398.9

387.3

375.7

364.1

352.5 341,0

329.4

317.9

306.3

294.8

283.4

271.9

260.4 249,0

237.6

226.1

214.7

203.4 192,0

93,8

82,6

71,4

60,2

49,0.

37,8

26,7

15,6

4,4

92,7

81,4

59,1

47,9

36,7

25,6

14,5

3,3

181,8

170.5

159.1

147.8

136.5

125,3

114.1

102.8

91,5

180,6

169,3

158,0

146,7

135,4

124,1

112,9

101,6

90,4

80,3

79,2

69,1

57,9

46,8

35,6

24,5

13,3

2,2

68,0

56,8

45,6

34,5

23,3

12,2

763

764

-11,1

—22,2

- 1,1 —12,2 —23,3

— 2,2 — 3,3 — 4,4 — 5,5 — 6,7 — 7,8 —13,3 —14,4 —15,5 —16,6 —17,7 —18,9 _24,4 —25,5 —26,6 —27,7 —28,8 —29,9

Probeseite der ausführlicheren Höhentafeln (vgl. § 161. S. 672.)

—    8,9

—    20,0

—31,0

—10,0

—21,1

—32,1

11,75

11,73

11,72

11,70

11,68

11,67

11,65

11,64

11,62

11,60

11,59

11,57

11,56

11,54

11,53

11,51

11,49

11,48

11,46

11,45

11,43

11,42

11,40

11,39

11,37

11,36

14,34

11,33

11,31

11,30

11,28

11,26

11,25

li;23

11,22

11,20

11,19

11,17

11,16

11,15

11,13

11,12

11,10

11,09

11,07

5°

tO00<IO5Oi 4s. OS to i—1

OHSJCOi¹

rH r—I r-4 r-H r-H

760

10,51

10,59

10,63

10,67

10,71

10,74

10,78

10,82

10,86

10,90

10,94

10,98

11,01

11,05

11,09

11,13

11,17

11,21

11,25

11,29

11,32

11,36

11,40

11,44

11,48

11,52

11,56

11,60

11,63

11,67

Barometrische Höhenstufen.

Höhendifferenz A für die Barometerdifferenz lmm.

Â hx =    (1 -h 0,0036651)

Mittlerer Barometerstand B in Millimetern

755

750

745    740

735

730 I 725

720    715

710

771

10,43

10,47

10,50

10,54

10,58

10,62

10,66

10,70

10,74

10,78

10,82

10,85

10,89

10,93

10,97

10,50

10,54

10,57

10,61

10,65

10,69

10,73

10,77

10,81

10,85

10,89

10,93

10,97

11,01

11,04

11,01| H,08 11,05 ( 11,12 11,09 11,13 11,17

11,16

11,20

11,24

11.28

11,32

11,36

11,40

11,44

10,57

10,61

10,64

10,68

10,72

10,76

10,80

10,84

10,88

10,92

10,96

11,08

11,12

11,16

11,20

11,24

11,28

11,31

10,84 10,91 10,! 10,88 10,95 11,1 10,92 10,99 11,1 10,96 11,03 11,: 10,99 11,07 u,:

11,04 11,11 11, IS 11,07 11,15 11,23 11,11 11,19 11,27 11,15 11,23111,31 11,19 11,27( 11,35

11,23

11,27

11,31

11,35

11,39

11,31

11,35

11,39

11,43

11,47

11,39

11,43

11,47

11,51

5°

11,36 11,43 11,40 11,47 11,43 11,51 11,47 11,55 11,51 11,59

11,51 11,59 11,55 11,03 11,59 11,67 11,63 11,71 11,67 11,75

11,20 11,24 11,28 11,32 11,36

11,40 11,48 11,55 11,63 11,71 11,79 11,44 11,52 11.59 11,67 11,75 11,83 11,48 11,55 11,68 11,71 11,79 11,87 11,52 11,59 11,67 11,75 11,83 11,91 11,56 11,63 11,71 11,79 11,87 11,95

11,59 11,67 11,75 11,83 11,91 11,99 11,63 11,71 11,79 11,87 11,95 12,03 11,67 11,75 11,83 11,91 11,99 12,07 11,71 11,79 11,87 11,95 12,03 12,11 11,75 11,83 11,91 11,99 12,07 12,15

11,06 11,14 11,10 11,18 11,14 11,22 11,18 11,26 11,22 11,30

11,26 11,34 11,30 11,38 11,34 11,42 11,38 11,46 11,43 11,51

11,42

11,46

11,50

11,54

11,59

11,47

11,51

11,55

11,59

11,63

11,55

11,59

11,63

11,67

11,71

11,63

11,67

11,71

11,75

11,79

11,67 11,75 11,83 11,71 11,79 11,87 11,75 11,83 11,91 11,79 11,87 11.96 11,83 11,91 12,00

11,87 11,95 12,04 11,91 11,99 12,08 11,95 12,04 12,12 11,99 12,08 12,16 12,03 12,12 12,20

12,07 12,16 12,24 12,11 12,20 12.28 12.16 12,24 12,32 12,20 12,28 12,37 12,24 12,32 12,41

12,28

12,32

12,36

12,40

12,44

12,48

12,36

12,40

12,44

12,48

12,53

12,57

12,45

12,49

12,53

12,57

12,61

12,65

sssîïïï: ŚS5S2 Issss âssssss Issssà

SgSgS »g5§ 5555h sglll g§||| lllil Hills

i-H Cvl CO ^

5°

Barometrische Höhenstufen.

Höhendifferenz A hx für die Barometerdifferenz lmm. A hx =    (1 + 0,003665 f)

Mittlerer Barometerstand B in Millimetern

700    690

680    670    660    650    640    630    620    610    600

gggggs    ggsąss ssąąs    ąsąąąs

pThhhh    hhhhOî    (NOfcQOfoî    C<f <N~ <N C<f CM    (N Cl (M (N    CNCMC<1<M<M    <M<M<MCOCOCO

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ŚŚSSSSHSSSSSS S8SS8S S2SSÏ8 SSSSJS SiSSSS SßßßßW

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11,97    1 2,14    12,33    12,52    12,71    12,92    1 3,12

r—I i—I i-H H i—i i—I

13,15 13,36 13,19 13,41 13,24 13,46 13,29 13,51 13,34 13,56

o m w co oi

13,39 13,61 13,44 13,66 13,49 13,71 13,54 13,76 13,58 13,81

un co c— oo os

Reduktion schiefer Längen durch Barometer-Differenzen.

s =ys² — (11,5^5)2

Schiefe

Länge

Barometer-Differenz A B

0,2

mm

0,4

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

0,6 0,8 1,0 ) 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

2332 2223 ë22£ §KSc³

S    Ca TO co 5 ^SioS CO 5 C? §    00 05 05 0

14

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25

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35

40

45

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55

60

65

70

75

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Schiefe

Länge

mm

mm

mm

Barometer-Differenz AB

mm

mm

mm

mm

mm

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3.8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4

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£222 555g

2225 5225 ££25*

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I Aufwärts.

Schritt-

zahl.

Barometer-Differenz A B

mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm 0,0 -0,1 —0,2 —0,3 —0,4 —0,5 —0,6 —0,7 —0,8 —0,9 —1,0 -1,1 —1,2 —1,3 —1,4 —1,5 —1,6

O CO CO 00    CO ^3    05    ® w Ol ^    4». CO CO t>0    io m m

OürOCn    OC^OCn    OCJiOCn    O Ot O Ot    O Ot O    Ot

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10 6

IL A b w ä r t s.

Schritt,-zahl.

mm

0,0

mm

mm

Barometer-Differenz A B

mm

mm

mm mm

mm

mm

+ 0,2 +0,4 +0,6 +0,8 +1,0 +1,2 +1,4 +1,6 +1,8 +2,0 +2,2 +2,4

mrn mm

mm mm

-O -3 05 05    05 <OI CH 4*.    4^ 4*.    CO CO    CO CO CO ¹—*    t— t-*    .

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tn h¹ -a >£- o ci co oo iKoaco owm-j

16

20

43

45

40

42

50

46

54

52

59

62

66

70

57

61

54

66

69

20

COS a

,0

1,74

2,09

2,44

2,78

Messband-Züge mit Höhenwinkeln.

20 sin a

,1

,2

,3

,4    ,5

,6

,8

0,03

0,38

0,73

1,08

1,43

1,78

0,07

0,42

0,77

0,10

0,45

0,80

1,12    1,15

1,46

1,50

0,21

0,56

0,91

1,26

1,60

1,81

1,85

2,13    2,16

2,47

2,82

3,13    3,16

2,51

2,85

3,20

2,19

2,54

2,89

3,23

1,95

2,30

2,65

0,24

0,28

0,59

0,94

1,29

1,64

1,99

2,33

2,68

2,99    3,03

3,34

3,37

0,63

0,98

1,33

1,67

2,02

2,37

2,71

3,06

3,40

19,7 10 19,6 11 19,6 12 19,5 13 19,4 14

3,47

3,82

4,16

4,50

4,84

3,51

3,54

3,58

3,85

4,19

4,53

4,87

3,88

4,23

4,57

4,91

3,92

4,26

4,60

4,94

3,68

4,02

4,36

4,70

5,04

3,71

4,06

4,40

4,74

5,08

3,75

4,09

4,43

4,77

5,11

19,3 15 19,2 16 19,1 17 19,0 18 18,9 19

5,18

5,21

5,24

5,28

5,51    5,55

5,85

6,18

6,51

5,58

5,61

5,88    5,91

6,21

6,25

6,54

5,95

6,28

6,58    6,61

5,41

5,75

6,08

6,31

6,64

6,35

6,68

6,38

6,71

6,41

8,74

5,45

5,78

6,11

6,45

6,77

18,8 20 18,7 21 18,5 22 18,4 23 18,3 24

6,84

7,17

7,49

7,81

8,13

6,87

6,91

6,94

6,97

7,00

7,04

7,07

7,10

7,20    7,23

7,27

7,52

7,56

7,59

7,30    7,33

7,62    7,65

7,36

7,69

7,39    7,43

7,72

7,75

7,85

8,17

7,88

8,20

7,91

7,94

7,97

8,23

8,26

8,29

8,01    8,04

8,33 | 8,36

8,07

8,39

18,1 25 18,0 26 17,8 27 17,7 28 17,5 29

8,45

8,77

9,08

8,48

8,80

9,11

9,39    9,42

9,70

9,73

8,52

8,83

9,14

9,45

9,76

8,55

8,58

8,61

8,86

9,17

9,48

8,89

9,20

9,51

9,79    9,82

8,92

9,23

9,54

9,85

8,64 I 8,67 8,70 8,96 8,99 9,02

9,27

9,57

9,30

9,60

9,33

9,64

9,88

9,91

9,94

sssis mm mm mm mm i*

17,3 30 17,1 31 17,0 32 16,8 33 16,6 34

10,00

10,30

10,60

10,89

11,18

10,03

10,33

10,63

10,92

11,21

10,06

10,36

10,66

10,95

11,24

10,15

10,45

10,75

11,04

11,33

10,18

10,48

10,78

11,07

11,36

10,21

10,51

10,80

11,10

11,39

10,24

10,54

10,83

11,13

11,41

16.4    35 16,2 36 16,0 37 15,8 38

15.5    39

11,47

11,76

12,04

12,31

12,59

11,50

11,78

12,06

12,34

11,53

11,81

12,09

12,61

12,37

12,64

11,56

11,84

12,12

12,40

12,67

11,59

11,87

12,15

12,42

12,69

11,61

11,90

12,18

12,45

12,72

11,64

11,92

12,20

12,48

12,75

11,67

11,95

12,23

12,50

12,78

11,70

11,98

12,26

12,53

12,80

15.3    40 15,1 41 14,9 42 14,6 43

14.4    44

12,86

13,12

13,38

13,64

13,89

12,88

13,15

13,41

13,67

13,92

13,02

13,28

13,54

13,79

14,04

CO

i—<

uIh

Missweisung der Magnetnadel, westlich, für die Mitte des Jahres 1905.

Geogr.

23° 24° I 25° I 26° I 27° I 28° I 29° I 30° I 31° I 32° I 33° | 34° I 35° I 36° I 37° I 38° | 39° I 40° I Breite

Geographische Länge, von Ferro gezählt. (Preuss. Landes-Aufnahme.)

Geogr.

Breite

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10,8° 10,3°

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6 °20f [ 7 °2Q'|8 °20' |9 ⁰ 20' 110 °2Q' 111 °20' [ 12 °20' j 13 °20' 114 °20' 115 °20' 116 °20' 117 o20il8o20'[l9°20'i20o20'i21⁰ 20' j 2 2 °20' | G eogr.

Breite

Geographische Länge, von Greenwich gezählt.

13,5°

13,5

13,4

13,1

13,2

13,1

13,1

13,0

12,8

12,7

5°20'

O    O    O    O    O

LO    C0    03    t-H

lO    LO    LO    lO    lO

50°

49°

48°

47°

46°

Geogr.

Breite

Die magnetische Missweisung (Deklination) hat eine jährliche,Abnahme, welche auf dem hier betrachteten Gebiete zur Zeit etwa 0,085° beträgt.    f

Beispiel: Hannover liegt unter 52° 23' Breite und 27° 23' Länge von Ferro, und hat daher, wie eine Interpolation aus der oben stehenden Tafel ergibt, eine westliche Missweisung von 11,4° in der Mitte des Jahres 1905. Daraus berechnet man für die späteren Jahre :

1906    1907    1908    1909    1910

11,3°    11,2° 11,1° 11,1e    11,0°

Jahr

Hannover, westl. magnet. Missweis.

(Vergl. hierzu zwei Mitteilungen von Messerschmitt in der „Zeitsehr. f. Verm. 1903“.)

S*jz

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Tachymetrische TafeL

99 (V2 sin 2 a)

0°    1°    2°    8°    4°    5°    6°    7°    8°

9°

99 Cos² a

nui mu mm mm

1,73

1,81

1,90

1,99

2,07

2,16

2,25

2,33

2,42

2,50

2,59

2,68

2,76

2,85

2,94

8,02

3,11

3,19

3,28

I 3,37

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11®

11® 30'

12»

12® 30'

13®

13® 30'

99,0

98,9

98,8

98,6

98,2

97,9

97,5

97,1

96,6

96,0

95,7

95,4

95,1

94,7

94,4

94,0

10°

11°

12°

13°    14°

15°

16°

16,93

17,01

17,09

17,17

17,25

17,34

17,42

17,50

17,58

17,66

17,74

17,82

17,90

17,98

18,06

18,14

18,22

18,30

18,38

18,46

18,54

18,62

18,70

18,78

18,86

18,94

19,02

19,10

19,18

19,26

19,34

19,42

19,50

19,58

19,66

19,74

19.82

19,90

19,98

20,05

20,13

20,21

20,29

20,37

20,45

20.53 20,61 20,68 20,76 20,84

20,92

21,00

21,08

21,15

21,23

21,31

21,39

21,47

21.54 21,62

21,70 î 23,24 21.78 | 23,32 21,85 I 23,39 I 23,47 ! 23,54

21,93

22,01

22,09

22,16

22,24

22,32

22,40

22,47

22,56

22,63

22,70

22,78

22,86

22,93

23,01

23,09

23,16

23,62

23,70

23,77

23,85

23,92

24,00

24,07

24,15

24,22

24,30

24,37

24,45

24,58

24,60

24,68

24,75

24,82

24,90

24,97

25,05

25,12

25,20

25,27

25,35

25,42

25,49

25,57

25,64

25,72

25,79

25,86

25,94

26,01

26,08

26,16

26,23

26,30

26.38

26.45 26,52

26,60

26,67

26,74

26,81

26,89

26,96

27,03

27,10

27,18

27,25

27,32

27.39

27.46 27,54 27,61

17° ) 18° j 19°

27,68 | 29,10 27,75 j 29,17

27.82    ! 29,23

14®

93,6

14® 30'

93,2

92 8

20°

21°

22°

23°

24°

L 25°    26° | 27°

30.48

30.54

30.61

30.68

30.75

30,81 30,88 30,95 31,02 31,08

31.15 31,22 31,29 31,35 81,42

31.49

31.55

31.62

31.69

31.75

28° I 29°

15®

92,4

15® 30'

16®

91,9

16® 30'

I70

17» 30'

18®

18® 30'

19®

19® 30'

20®

20® 20' 20® 40'

210

21® 20-

91,5

91,0

90,5

90,0

89,5

89,0

88,5

88,0

87,4

87,0

86,7

86,3

85,9

21® 40'    85,5

22®

22® 20' 22® 40'

23®

85,1

84,7

84,3

83,9

23® 20' 23® 40'

83,5

83,0

Probeseite der ausführlicheren Tafel für 10m bis 100m. (vgl. § 181. S. 765.)

36,20

36,26

36,32

36,38

37,36

37,41

37,47

87,53

37,58

24®

24® 20' 24® 40'

25®

25® 20' 25® 40'

26®

26® 20'

26® 40'

27®

27® 20' 27® 40'

28®

28® 20' 28® 40'

29®

29® 20' 29® 40'

30®

82,6

82,2

81,8

81,3

80,9

80,4

80,0

79,5

79,1

78,6

78,1

77,7

77,2

76,7

76,2

75,7

75,2

74,7

74,3

0°

Tachymetrische Tafel.

100 (1/2 sin 2 a)

1°    2°    3°    4°    5°    6°    7°    8°    9°

100 cos² a

O 04 CO 00

0,00

0,06

0,12

0,17

0,23

0,29

0,35

0,41

0,47

0,52

0,58

0,64

0,70

0,76

0,81

0,87

0,93

0,99

1,05

1,11

1,16

1,22

1,28

1,34

1,40

1,45

1,51

1,57

1,63

1,69

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5,23

5,28

5,34

5,40

5,46

5,52

5,57

5,63

5,69

5,75

5,80

5,86

5,92

5,98

6,04

6,09

6,15

6,21

6,27

6,32

6,38

6,44

6,50

6,56

6,61

6,67

6,73

6,79

6,84

6,90

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15,89 15,95

2°

99,9

2° 30'    99,8

99,7

3» 30'    99,6

16,00

16,06    ₅o

16,11

16,17

16,22

99,5

4° 30'    99,4

99,2

5» 30    99,1

6»

98,9

16,44 16,50

98,5

8°

98,1

16,55 16,61 16,66 16,72

16,77    10»

8» 30'    97,8

9°

97,6

9o 30'    97,3

97,0

16.83

16,88

16.94    ,,

16,99    ¹¹⁰

17,05

10» 20' 96.8 10» 40' 96,6

96,4

11® 20' 96,1 11® 40' 95.9

10° 11°

12°

18°

14°    15°    16°    17°

18°

19°

12®

95,7

18,68 20,28

21.66

21.71

21.76

21.81

21.87

23,22

23,27

23,32

23,37

23,42

—-- 12® 20'

31,78 31,83 31,87

95,4

95,2

130

94,9

130 20' 94,7 130 40' 94,4

94,1

93,3

150 20' 93,0 15» 40' 92,7

92,4

16» 20' 92,1 16« 40' 91,8

91,5

Probeseite der ausführlicheren Tafel für (vgl. § 181. S. 765.)

7. Aufl.

Jordan, Handbuch der Vermessungskunde. II. Bd.

30,32 30,37 30,41 30,46 30,51

I- bis 175"*.

17® 20'    91,1

170 40' 90,8

90,5

18® 20' 90,1 I80 40' 89,8

19» 20' 19® 40'

89,4

89,0

88,7

88,3

60

0° I 1°    2°

Tachymetrische Tafel.

175 (1/2 sm 2«)

30    40

5°    6°    7°    8°    9°

175 cos² a

00 02 ^ to o

Sgggg    8gëssst3    SoSKîoS

Hiss sin? s???? 2-2-5-ss am mm

27,04 27,14 27,23 27,33 27,43

27,52 27,62 27,72 27,81 27,91

4«

28,01

28,10 ₅o 28,20 28,29 28,39

175,0

175,0

174,9

174,9

2»

2o 30'

3»

3o 30'

4o 30'

5» 30'

6o

28,49    6o 30'

28,58    7®

28,68    70    30'

28,78 28,87

8o

8« 30'

174,8

174,7

174,5

174,3

174,1

173,9

173,7

173,4

173,1

172,8

172,4

172,0

10°

171.6

171.2

170.7

170.2

28,97 29,06 29,16 29 96

9°

9o 30'

29,45 29,54 29,64    „

29,74    ¹¹⁰

29,83

168,6 11» 20'    168,2

11» 40'    167.8

51,02 ! 53,47 51,10 j 53,55 51,18 j 53,63 51,27 j 53,71

51,35 ! 53,79 | 56,17    20»

Probeseite der ausführlicheren Tafel für 100m bis 175m.

32,68 I 35,50

42,87 42,95 43,04 43,13 43,22

45,94    48,51

46,02    48,59

46,11 I 48,68 46,20 j 48,76 46,28 I 48,84

13»

13» 20' 130 40'

15» 20” 15® 40'

I60 20' I60 40'

I70 20' 170 40'

55,46

55,54 igo 55,62 55,70 55,77

18» 20' 18° 40'

167,4

167,0

166,6

166,1

165,7

165,2

164.8 164,3

163.8

163,3

162,8

162,2

161,7

161,2 i 160,6

160,0

159,5

158,9

158,3

157,7

157,1

56,09

154,5

1°

2°

Tachymetrische Tafel,

176 (l/₂ sin 2 a)

8°

40    50

6°

7°

8°

9°

176 cos² a

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16,94

16,99

17,04

17,09

17,14

17,19

17,24

Probeseite der ausführlicheren Tafel für 175” bis 250“.

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4,40

4,45

4,50

4,55

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4,66

4,71

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4,81

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4,91

4,96

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5,07

5,12

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5,27

5,32

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2 52 5 44 8 36 11 28    10    25

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Halbmesser

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320 ! 340    350

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151° 21' 153 44 156    7

158 30 160 54 163 17

165 40 168    4

170 27 172 50 175 13 177 37

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18 20 20 38 22 55 25 13 27 31

153° 33' 155° 26'

155 45 157 29 157 57 159 32 160 10 161 35 162 22 163 38 164 34 165 40 166 38 167 28 168 12 168 32

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Halbmesser

360 | 380 | 400 I 450    | 500

550

600 I 650

148° 10' 149 45

151    21

152    56 154 82

149° 50'

160    54 162 29

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151° 21' 154° 32' 152 47 155 48

154    13 157    5

155    39 158 21

157    5    159    38

158    31 160 54

159    57 162 10

161    23 163 27

162    49 164 43 164 15 166

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157° 5' 159° 10' 160° 54'

162° 22'

163    15

164    8

165    1 165 54

162    49 164 22

163    57 165 25

165    6    166    27

166    15 167 30

167    24 168 32

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27

28 39

30    15

31    50

24    8    22    55

25    38 24 21

27    9    25    47

28    39 27 13 30 10 28 39

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18    20 16 40

19    29 17 43

20    38 18 45

21    46    19    48

22    55 20 50

11

12

13

14

15

Bogen

Peripheriewinkel « für die Sehnenlänge s — 20.

s

sm « = ^—

2r

Halbmesser

700 I 750

800    900 ! 1000    1500    2000    2500

Bogen

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15

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177 25 177 56

177    42 178 10

178    0    178    24

178 17 178 37

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12

13

14

15

16

17

18

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0 34 0 52

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0 14 0 28 0 41 0 55

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6 18

6    53

7    27

8 36

12 13

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3 9 3 26 3 43

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2 18

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Sehnenlänge s für den Peripherie Winkel «.

s = 2 r sina.

r I « = 5® I a = 2° I « = 1° ! « = 30* I * = 20' I « = 15' a = 10'| r

100

120

140

150

160

180

200

220

240

250

260

280

800

320

340

17,431

20,917

24,404

26,147

27,890

31,376

34,862

38,349

41,835

43,578

45,321

48,807

52,293

55,780

59,266

350

360

380

400

420

440

450

460

480

500

520

540

550

560

580

6,980

8,376

9,772

10,470

11,168

12,564

13,960

15,356

16,752

17,450

18,148

19,544

20,940

22,336

23,732

24,430

25,128

26,524

27,920

29,316

30,712

31,410

32,108

33,504

34,900

36,295

37,691

38,389

39,087

40,483

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9,773

10,471

11,170

11,868

12,217

12,566

13,264

13,962

14,660

15,358

15,707

16,056

16,754

17,452

18,150

18,849

19,198

19,547

20,245

20,943

22,688

24,433

26,179

27,924

29,669

31,414

33,160

34,905

41,886

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Ordinate y = —

Anhang.

Übergangskurven.

Krümmungshalbmesser B =

Abs-

x 4000 112000 18000 I 25000 | 40000 x 4000 | 12000 18000 25000 40000

O OT O ot O ot O OT O S o OT O OT O 3

0,000 0,000 0,000 0,005 0,002 0,001 0,042 0,014 0,009 0,141 0,047 0,031 0,333 0,111 0,074

0,651 0,217 0,145 1,125 0,375 0,250 0,595 0,397 0,889 0,593 1,266 0,844

1,736 1,157 2,311 1,541 3,000 2,000

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Länge der Übergangskurve oder Abscisse ihres Endpunktes

l = 2 a = —

4000

12000

18000

25000

40000

Abs

cisse

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OO

Verschiebung der Tangente oder Verkürzung des Kreishalbmessers

v =

2²

24 r³

Kreis-lialbm. r

12000

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LO

OT

40000

300

320

340

360

380

400

420

26,67

20,00

16,00

13,33

12,50

11,76

11,11

10,53

10,00

440

460

480

500

550

600

650

700

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80,00

60,00

48,00

40,00 i 60,00 37,50 56,25 35,29 52,94

33.33    40,00 31,58 47,38

30,00 45,00 28,57 42,86 27,27 40,91 26,09 39,13 25,00 37,50

24,00 36,00 21,82 32,73 20,00 30,00 18,46 27,69 17,14 25,71

16,00 24,00 15,00 22,50 14,12 21,18

13.33    20,00 12,00 18,00

150

200

250

800

320

340

360

380

62.50

59,52

56,32

54,35

52,08

50,00

45.45 41,67

38.46 35,71

33,83

31,25

29,41

27,78

25,00

(vgl.

100,00

95,24

90,91

86,96

83,33

80,00

72,73

66,67

61,54

57,14

53,33

50,00

47,06

44,44

40,00

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440

460

480

500

550

600

650

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750

800

850

900

1000

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§ 212. S. 887.)

Mafe-Vergleichung.

Metermaß und Pariser Maß.

log

1 Meter . . 1 Meter .    .

1 Meter . . 1 Millimeter 1 Millimeter

Par. Linien =    0,513    074    074    Toisen

=    3,078    444    4    Pariser Fuss

=    0,036    941    3

=    0,443    296

. = 443,296

Pariser Zoll Paris. Linien

2.646    6988-125 9.710 1800-700 0.488 3313 8.567 5126

9.646    6938

1 Toise=6 Par. Fuss=864 P. Linien =    1,949 036 310 7 Meter

1 Par. Fuss=12P. Zoll = 144P.Lin. =    0,324 839 4

1 Pariser Zoll = 12 Pariser Linien =    0,027 069 95

=    2,255 829 063 Millimeter

1 Pariser Linie

Meter

Meter

0.289 8199-300 9.511 6687 8.432 4874 0.353 3061-875

Endgiltige Annahme des internationalen Meters „Zeitsehr. f. Verm. 1889“,

S. 671—672.

üü

Normal-Aichungs-Kommission. Die Beziehungen der metrischen, der altfranzösischen und der englischen Längeneinheit zu einander, „Zeitschr. f. Verm. W £1890“, S. 265-269.

Die internationale Organisation des Mass- und Gewichtswesens und die neuen Prototype. „Mitt. d. K. Norm.-Aich.-Komm. 1890“, Nr. 11. S. 139. „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1890“, S. 296—298; „Zeitschr. f. Verm. 1890“, S. 506—508. sa    Die internationalen Meter - Prototype bestehen aus einer Legierung von

0,9 Platin und 0,1 Iridium, mit einem Querschnitt, der in natürlicher Grösse in nebenstehender Figur dargestellt ist (vgl. unsern IIL Band, 5. Aufl. 1907, S. 68—70.

Geodätische Meilen- Maße.

1 geographische Meile = Aequatorgrad des Erdellipsoids. 1 Seemeile = 1 Aequatorminute = — geograph. Meilen.

1 geogr. Meile.....

1 Seemeile......

1 geogr. Quadr.-Meile . .

1 Kilometer......

1 Kilometer......

1 Quadr.-Kilometer....

.    = 7,420 438 54 km

. = 1,855 109 635 km .    = 55,062 908 1 qkm

.    = 0,134 762 92 Geogr. Meilen

.    = 0,539 05170 Seemeilen

.    = 0,018 161 046 Quadr.-Meilen

log

0.870 4295-7 0.268 3695-8 1.740 8591-4

9.129 5704-3 9.731 6304-2 8.259 7408-6

Deutsches Reich.

Die ursprünglich nur für den norddeutschen Bund bestimmte Mass- und Gewichtsordnung vom 17. August 1868 (Bundesgesetzblatt von 1868 Nr. 28. S. 473) wurde durch Artikel 80, I., 11 der Verfassung des Deutschen Beichs vom November 1870 zur Mass- und Gewichts-Ordnung des Deutschen Beiches erhoben (hierzu : Beichsgesetz vom 26. April 1893).

Als Urmass galt bis 1890 derjenige Platinstab, welcher im Besitze der Königlich Preussischen Regierung sich befindet, im Jahre 1863 durch eine von dieser und der Kaiserlich Französischen Regierung bestellte Kommission mit dem in dem Kaiserlichen Archive zu Paris aufbewahrten Mètre des Archives verglichen und bei der Temperatur des schmelzenden Eises gleich 1,000 003 01 Meter befunden worden ist.

Seit 1890 gilt als deutsches Grundmass der Stab Nr. 18, welcher von dem internationalen Mass- und Gewichts-Bureau hergestellt ist. (Vgl. „Zeitschr. f. Yerm. 1890*, S. 507, und die Citate auf S. [44].)

Ältere deutsche Maße

Preussen.

139,12

0,313 853 497 0,026 154 5 2,179 538 2 3,766 242 0 0,376 624 2 14,184 578 6 0,255 322 4

Par. Linien

Meter

Meter

Millimeter

Meter

Meter

Q.-Meter

Hektar

Preuss. Fuss Preuss. Zoll Pr. Linien Pr. Ruthen

=    0,070    499    1    Pr.    Q.-Ruthen

=    3,916    616    5    Pr.    Morgen

= 3 Morgen 164,99 Ruthen

log

2.143 4207-851 9.496 7269-726 8.417 5457 0.338 3645 0.575 9082 9.575 9082 1.151 8164 9.407 0890

0.503 2730-274 1.582 4543 9.661 6355 9.424 0918 8.848 1836 0.592 9110

Zu ausgedehnten Verwandlungen dient:

Tafeln zur Berechnung der Grundsteuer-Reinerträge für metrisches Flächenmass. Nebst Tafeln zur Verwandlung des preussischen Längen- und Flächenmasses in Metermass und umgekehrt, sowie des metrischen Flächenmasses In geographische Quadratmeilen etc. von F. G. Gauss, Halle 1889.

Bayern.

= 129,38

1 Bayr. Fuss (= 1/₁₀ Ruthe) . . = 0,291 859 164 1 Meter 1 Tagwerk (=40 Q.-Ruthen) . . = 34,072 709

log

1 Bayrischer Fuss

Par. Linien

Ar

2.1118671-468 9.465 1733-343 1.532 4067

Hannover.

1 Hannov.Fuss( = 12Zoll=144Linien) = 0,292 094 7 1 Hannov. Ruthe (=16 Fuss) . = 4,673 514 8

21,841 74

1 Hannov. Q.-Ruthe

Meter

Meter

Q.-Meter

9.465 5236 0.669 6436 1.339 2872

Sachsen.

1 Sächsischer Fuss.....

1 Sächsischer Fuss.....

1 Feldmesserruthe......

1 Acker = 300 Q.-Feldmesserruthen

125,537 0,283 19 4,295 O 55,342

Par. Linien

Meter

Meter

Ar

2.098 7717 9.452 0779 0.632 9632 1.743 05

Hessen-Darmstadt.

1 Puss = 0,25”*.    1 Klafter = 2,5”*. 1 Morgen = 400 Q.-Klafter = 25 Ar.

Kurhessen.

1 Kurhessischer Normalfuss = 0,287 70”. 1 Kurhessische Katasterruthe = 3,988 756 95m. 1 Kurhessischer Acker = 150 Q.-Ruthen = 23,87 Ar.

Mecklenburg.

1 Mecklenburger Puss = 129 Pariser Linien = 0,291 001 95m.    1 Euthe = 16 Fuss

= 4,656 031 2™. 1 Morgen = 300 Q.-Euthen = 65,036 Ar.

Oldenburg.

1 Oldenburger Puss = 0,295 879 0m. 1 Euthe = 18 Fuss = 5,3258"*. 1 Jöck = 160 Q.-Ruthen = 45,383 Ar.

Braunschweig.

1 Fuss = 126,5 Pariser Linien = 0,285 362 4”*.    1 Ruthe = 16 Puss = 4,565 798 0”.

log

0.277 9491-829 0.555 8984 9.760 0183

Württemberg.

1 Württemberg. Puss (= i/io Ruthe) =    0,286 490 3

=    8,207 67

1 Morgen (= 384 Q.-Ruthen) . .    = 31,517 45

1 Q.-Ruthe

Meter

Q.-Meter

log

Ar

9.457 1099 0.914 22 1.498 55

Diese Zahlen stützen sich auf die Massordnung vom 30. November 1806, wonach 1 Fuss = 127 Pariser Linien sein soll (= 0,286 490 3 Meter). Der Württembergischen Landes-Triangulierung liegt aber ein anderer Puss zu Grunde, nämlich:

Par. Linien

1 Württemb. Landesvermessungsfuss = 126,97

= 0,286 422 616 1 Meter

log

9.457 0073-071

Der Horizont der Württembergischen Triangulierungist 844 Pariser Puss = 274,16” über dem Meer. Man hat daher zur Verwandlung von Landesvermessungsfussen im Vermessungshorizont in Meter im Meereshorizont den Reduktions-Logarithmus 9.456 9886-5.

Baden.

CO II

co v'

S

g

. bo 's b

rH t-H

M «

J5 0-

o

r-f P

Il II

co

05

CO

Meter

log

Ar

9.477 1213 1.556 3025

Österreich.

1 Wiener Klafter = 6 Puss . . . =    1,896 484 Meter

1 Q.-Klafter (= 36 Q.-Puss) . . . =    3,596 652 Q.-Meter

1 Joch (= 1600 Q.-Klafter) . . . =    0,575 464 2 Hektare

1 Meter

1 Q.-Meter

1 Ar

1 Hektar

0,527 291 6 Wiener Klafter 9.722 0508-171 0,278 036    Q.-Klafter

27,803 639    Q.-Klafter

1,737 727    Österr. Joch

9.444    1016

1.444    1016 0.239 9817

Die vorstehenden Reduktions-Zahlen sind in § 4. des österr. Mass-Gesetzes vom 16. Juli 1871 als für den Verkehr giltig bestimmt. Das amtliche Vermessungswerk „Die astronomisch-geodätischen Arbeiten des K. K. militär-geographischen Instituts in Wien, I. Band, Wien 1871“ sagt auf S. 188 folgendes:

Zur Verwandlung der Wiener Klafter in Meter diente der von W. Struve aus den im Jahre 1850 zu Pułkowa ausgeführten Massvergleichungen hervorgegangene Logarithmus 0.277 9491-463. Nach diesem Vorgang hat man hei trigonometrischen Arbeiten anzunehmen:

log

1 Wiener Klafter

=    1,896 483 840 Meter

0.277 0491-463

England und Nordamerika.

1 Englische Yard (= 3 engl. Fuss

-    0,914 391 80

= 405,346 22 2,131 51116 1,098 623 11 . =    0,304 797 27

. =    2,539 977

1 Furlong = 220 Yards = 10 chains = 201,166 20 1 Meile = 8 Furlongs .    .    .

1 Acre (=10 Q.-Ketten) .    .

1 Square Mile = 640 Acres . . .    =    2,589 94

1 Toise 1 Meter

P:

1 Englischer Fuss . . 1 Englischer Zoll . .

. =    1,609 33

. = 40,467 84

Meter

Par. Linien

Yard

Yard

Meter

Centimeter

Meter

Kilometer

Ar

9.961 1323-228 2.607 8261-274 0.328 6876-108 0.038 8676-790 9.484 0110-7 0.404 8298 2.303 5550 0.206 6450 1.6071100 0.413 2900

Q.-Kilometer

Der englische Fuss ist auch in Russland und Nordamerika im Gebrauch.

*) Diese Reduktionszahlen sind die Resultate der Untersuchungen von Clarke in dem Werk:

Comparisons of the standards of length of England, France etc. London 1866 S. 250. (Vierteljahrsschrift der Astr. Gesellschaft. 1868 S. 260, vgl. hierzu „Zeitschr. f. Verm. 1890“ S. 265-—269.)

Die neuesten Bestimmungen sind enthalten in : Travaux et mémoires du Bureau international des Poids et Mesures, Tome XII. Paris 1902 S. 24. Hiernach ist 1 Yard = 0,914 399 2 Meter, 1 Meter = 1,093 614 3 Yard.

Russland.

1 Russischer Fuss = 1 Englischer Fuss = 0,304 797 27 1 Russische Saschen = 7 Fuss . . .    = 2,13358079

Meter

Meter

Dänemark.

1 Dänischer Fuss = 1 Preussisch. Fuss = 0,313 853 50 Meter

Schweden.

1 Schwedischer Fuss = i/₆ Faden .    .    = 0,296 901 04 Meter

1 Geographische Meile (V15⁰ 4. Aq.) 1 Französische Linie (I/25⁰ 4. Äq.) .

1 Englische Meile......

1 Österreichische Meile.....

1 Preussische Meile (— 2000 Ruten) 1 Russische Werst (= 3 500 Fuss) .

Meilen-Maße (vgl. S. [44]).

log

9.484 0110-7 0.329 1091-1

| 9.406 7270

| 9.472 6117

0.870 4295-7 0.648 5808 0.206 6450 0.880 0092 0.876 9382 0.028 0791

Vj

Geodätische Werke

aus dem Verlag der

J. B. Metzlerschen Buchhandlung in Stuttgart:

Prof. Dr. Wiih. Jordan

Handbuch der Vermessungskunde.

Erster Band. Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Mit zahlreichen Figuren. 5. Auflage. Herausgegeben von Dr. C. Reinhertz, Prof, an der Technischen Hochschule in Hannöver. 1904. Preis brosch. Jl 13.60, geb. in Lwd. Jl, 14.80, in Hlbfrz. Jl 15.60.

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Dritter Band. Landesvermessung und Grundaufgaben der Erdmessung. Mit zahlreichen Figuren im Text. 5. Auflage. Bearbeitet von Prof. Dr. C. Reinhertz. 1907. Preis brosch. Jl. 15.—. geb. in Lwd. ,M 16.40, in Hlbfrz. Jl 17.—.

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Dr. E. Hammer

Prof, an der Technischen Hochschule in Stuttgart.

Lehr» und Handbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie besonders als Vorbereitung auf Geodäsie und sphärische Astronomie. 3. erweiterte Auflage mit 227 Figuren im Text und 1 Tafel. 1907. Preis brosch. ^ 10.60, geb. in Lwd. J! 11.50.

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S. 61

KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297148

11-349539

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