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1. Band

Binäre Formen

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W. Franz Meyer

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FRITZ WITTKE

Bauingenieur

Sammlung Sclnmtoert XXXIII

Allgemeine

Formen- und Invariantentheorie

Erster Band

Binäre Formen

Von

W. Fr. Meyer in Königsberg i. Pr.

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung 1909

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Aile Redite von der Verlagshandlung Vorbehalten

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Druck der Spamerschen Buchdruckerei in Leipzig

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Einleitung.

Man kann wohl behaupten, daß die Kenntnis der Invariantentheorie keine sehr verbreitete ist, obwohl diese Disziplin in viele Gebiete der Mathematik wesentlich eingreift, und auf ihre Bedeutung stets von neuem hingewiesen wird.

Der Hauptgrund für diese auffällige Erscheinung dürfte meines Erachtens darin liegen, daß bei der historischen Entwicklung der Invariantentheorie die verschiedenartigsten Methoden mitgewirkt haben: algebraische und zahlen theoretische, wie geometrische ; funktionentheoretische und gruppentheoretische, reale und symbolische, so daß es in der Tat schwierig ist, den inneren Zusammenhang der auf so verschiedenen Wegen gewonnenen Ergebnisse zu erkennen.

Das Werk, dessen erster Band hiermit vorliegt, ist wesentlich elementar gehalten. Der erste, vorbereitende, Abschnitt entwickelt an der Hand der binären quadratischen und bilinearen Formen bei möglichst wenigen Voraussetzungen die ersten Grundbegriffe der Theorie, mit besonderer Berücksichtigung von Anwendungen auf Geometrie. Der zweite Abschnitt stellt in den Mittelpunkt des Ganzen, wie er auch im zweiten Bande festgehalten werden soll, die Differentialgleichungen für invariante Bildungen binärer Formen, unter Zugrundelegung der Lehre von den Fundamentalsubstitutionen. Im besonderen seien die Ausdehnungen auf unabhängige Substitutionen mehrerer Variabein betont.

Als Anwendungen gewisser transzendenter Kovarianten dienen die Reihenentwicklungen elliptischer und verwandter Integrale, sowie des Logarithmus einer ganzen Funktion,

aus der die Waringschen Potenzsummenformeln hergeleitet werden.

Auch die Symbolik — die im übrigen dem Plane des Werkes gemäß nur anhangsweise behandelt wird — wird dem Gesichtspunkte der Differentialgleichungen untergeordnet.

Der zweite Band wird die Weiterführung auf ternäre und höhere Formen, nebst den wichtigsten Anwendungen, bringen.

Auf eine Auswahl geeigneter Aufgaben, die vielfach Anwendungen bringen, für die im Texte kein Baum war, und die, wie ich hoffe, das Interesse am Gegenstände wesentlich beleben werden, habe ich eine nicht geringe Mühe verwendet.

Das Verzeichnis von Lehrbüchern und Monographien wird manchem weiterstrebenden Leser willkommen sein. Bezüglich der Anwendungen auf die verschiedensten Gebiete der Algebra und Analysis sei besonders auf das Werk von Scheibner hingewiesen, bezüglich der Symbolik auf das Werk von Gordan-Kerschensteiner, sowie hinsichtlich der Anwendungen der Symbolik auf Geometrie auf das Werk von Clebsch-Lindemann.

Königsberg i. Pr., Anfang Mai 1909.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

III

Einleitung..............

Lehrbücher und Monographien . .

k Erster Abschnitt.

Quadratische und bilineare Formen und deren Invarianten.

Kapitel I.

Quadratische Gleichungen und Formen.

§ 1. Die elementare Auflösung der quadratischen Gleichung

als Eigenschaft der quadratischen Form.......

§ 2. For! Setzung. Verallgemeinerung der Auflösung einer quadratischen Gleichung. Darstellung einer quadratischen Form als Aggregat zweier Quadrate von Linearformen. Involution.................

§ 3. Das Doppelverhältnis, insbesondere das harmonische zweier Wertepaare. Die bilineare Invariante und die

Resultante von zwei quadratischen Formen.....

§ 4. Fortsetzung. Das zu zwei Paaren harmonische Paar. Funktionaldeterminante von zwei quadratischen Formen, als Kombinante und als Kovariante. Homogene Variable; Eulerscher Satz. Extreme Werte einer rationalen Funktion zweiter Ordnung.........

Kapitel II.

Invarianten quadratischer Formen. Lineare Substitutionen in nichthomogener und homogener Gestalt, und Zusammensetzung von solchen. Gruppen von Substitutionen. Das Doppelverhältnis.

§ 5. Einfachste Invarianten quadratischer Formen. Lineare Fundamentalsubstitutionen und Zusammensetzung von

solchen.......................

§ 6. Erzeugung homogener Substitutionen aus Fundamentalsubstitutionen ...................

§ 7. Die Doppelelemente nichthomogener Substitutionen.

Weitere kanonische Gestalten solcher Substitutionen .

§ 8. Das Doppelverhältnis................

VII

16

24

37

60

80

Kapitel III.

Seite

Bilineare Formen. Differentialgleichungen der Invarianten bilinearer und quadratischer Formen.

§ 9. Einfachste invariante Bildungen bilinearer Formen .    118

134

§ 10. Fortsetzung. Differentialgleichungen und Gewichtsregeln für invariante Bildungen bilinearer und quadratischer Formen

Symbolische Darstellung

Anhang.

160

Zweiter Abschnitt.

Differentialgleichungen für invariante Bildungen binärer Formen.

Kapitel I.

Charakteristische Differentialgleichungen der Invarianz gegenüber Schiebungen und Streckungen.

11.    Differentialgleichungen für Schiebungsinvarianten . .    183

12.    Die Gewichtsregeln und Gewichtsdifferentialgleichun

gen für Streckungsinvarianten binärer Formen. Die Differentialgleichungen für vollständige Invarianten .    197

214

§ 13. Die Differentialgleichungen für Schiebungskovarianten

binärer Formen..................

229

§ 14. Gewichtsgleichungen für Streckungskovarianten. Die Differentialgleichungen für vollständige Kovarianten.

Leitglieder. Reduzierte Leitglieder.........

Kapitel III.

Erweiterungen des Invariantenbegriffes. Transzendente Kovarianten. Die Waringschen Formeln.

295

§ 18. Erweiterungen des Invariantenbegriffs § 19. Über eine gewisse Klasse transzendenter Kovarianten 307 § 20. Fortsetzung. Die Reihenentwicklung des Logarithmus einer ganzen Funktion. Die Waringschen Potenzsummenformeln und ihre Umkehrung

Kapitel IY.

Seite

CO CO CO CO

361

Die Invarianten als symmetrische Funktionen der Wurzeln.

§ 21. Symmetrische Funktionen .............

§ 22. Binäre Invarianten als Funktionen der Wurzeln der Urformen.....................

Anhang.

Der Hauptsatz der binären Symbolik

Lehrbücher und Monographien.

Gr. Salmon, Lessons introductory to the modern higher algebra, Dublin 1. ed. 1859; 4. ed. 1885. — Deutsch bearbeitet von W. Fiedler: Vorlesungen über die Algebra der linearen Transformationen, Leipzig, 1. Aufl. 1863; 2. Aufl. 1877.

F. Brioschi, Teorica dei Covarianti, Roma 1861 (Binäre Formen).

W. Fiedler, Die Elemente der neueren Geometrie und der Algebra der binären Formen, Leipzig 1862.

A. Ciebsch, Theorie der binären algebraischen Formen, Leipzig 1872. '

Faà di Bruno, Théorie des formes binaires, Turin 1876. — Deutsch bearbeitet von Th. Walter, mit Unterstützung von M. Noether, Einleitung in die Theorie der binären Formen, Leipzig.,1881.

P. Gordan, Über das Formensystem der binären Formen, Univ.-Programm Erlangen, Leipzig 1875.

P. Gordan, Vorlesungen über Invariantentheorie, herausgegeben von G. Kerschenstein er, 1. Determinanten; 2. Binäre Formen, Leipzig 1885, 1887.

A. Capelli, Fondamenti di una teoria generale delle forme alge-briche, Rom. Line. Mem. 12 (1882).

A. Capelli, Algebra complementare, 2. ed., Napoli 1898.

A. Capelli, Lezioni sulla teoria delle forme algebriche, Napoli 1902.

E. Study, Methoden zur Theorie der ternären Formen, Leipzig 1889.

J. Deruyts, Essai d’une théorie générale des formes algébriques, Bruxelles 1891 (Seminvarianten).

W. Fr. Meyer, Bericht über die Fortschritte der projektiven Invariantentheorie, Deutsche Math.-Vereinigung, 1, Berlin 1892; französische (verkürzte) Ausgabe von H. F ehr, Paris 1897; italienische Ausgabe von G. Vivanti, Napoli 1899.

W. Fr. Meyer, Artikel „Invariantentheorie“ in der Enzyklopädie der math. Wissenschaften, I B 2, Leipzig 1899.

E. B. Elliott, An Introduction to the algebra of Quantics, Oxford 1895.

P. Muth, Grundlagen für die geometrische Anwendung der Invariantentheorie, Leipzig 1895.

P. Muth, Theorie der Elementarteiler, Leipzig 1899 (Äquivalenz der bilinearen und quadratischen Formen).

Lehrbücher und Monographien.

VIII

H. Andoyer, Theorie des Formes. T. I, Paris 1900.

J. A. Grace and A. Young, Algebra of Invariants, Cambridge 1903.

W. Scheibner, Beiträge zur Teorie der linearen Transformationen, als Einleitung in die algebraische Invariantentheorie, Leipzig 1907.

Vgl. ferner noch die einschlägigen Kapitel in A. Clebsch und F. Lindemann, Vorlesungen über Geometrie, Bd. I, Leipzig 1875/76, französisch von A. Benoist, Paris 1879/83; Bd. II¹, Leipzig 1891; 2. Auflage von Bd. I¹, Leipzig 1908; S. Lie und G. Scheffers, Vorlesungen über Continuierliche Gruppen, Leipzig 1903; H. Weber, Höhere Algebra, Braunschweig 1895/96, Bd. I, II; 2. Auflage 1898; französisch von J. Gries, Paris 1898.

Verzeichnis von Druckfehlern.

S. 29. In Formel (XII) ist dem ersten Gliede rechterhand das negative Vorzeichen vorzusetzen.

S. 30. In Formel (XII') ist rechterhand der erste Faktor Df zu ersetzen durch Df, und der Teilnenner Df ist beidemal mit dem Faktor 2 zu versehen.

S. 56. In Zeile 3 ist hinter „dritte“ ein Komma einzuschieben.

S. 57. In der vorletzten Zeile vor Formel (6) ist das Wort „Aufgaben“ besser durch „Gruppen“ zu ersetzen.

8. 109. In der viertletzten Zeile von Satz I ist statt „Variabein“ zu lesen „Variable“. — In der letzten Zeile vor Formel (3) ist der Punkt durch einen Doppelpunkt (:) zu ersetzen.

S. 112. In der dritten Zeile von Satz IIP ist das Wort „Büken“ durch „Rücken“ zu ersetzen. — In Zeile 4 v. u. ist zwischen den Worten „und“ und „dann“ der Buchstabe l einzuschieben.

S. 114. In der Anmerkung ist vor dem Punkte einzuschalten: , wo jj¹ = a + i b gesetzt ist.

S. 161. In der zweiten Zeile der Formel (7) ist statt al2 zu lesen a₂₂.

S. 165. In der Anmerkung, erste Zeile hinter Formel (18//), ist hinter dem Worte „durch“ einzuschalten: „die kogre-dienten“.

S. 166, Mitte der Seite: In der zweiten Zeile der Formel für Hfg — 4 Df Dg fehlt das Zeichen der geschweiften Klammer. — In der ersten Zeile hinter Formel (21a) ist das Wort „ersten“ zu ersetzen durch „zweiten“.

S. 173. In der ersten Zeile des zweiten Absatzes hat es statt „§§ 13, 15“ zu heißen: „§ 15“.

S. 176, Zeile 2. Auf der rechten Seite der Formel für Q ist der erste Faktor x\ zu ersetzen durch x'f .

S. 177, Mitte der Seite. In der zweiten Zeile der Formel für Q ist hinter der geschweiften Klammer hinzuzufügen : + .. .

S. 179. In der zweiten Zeile von Aufgabe 4 ist vor dem Summenzeichen einzuschalten: ... ~ .

Erster Abschnitt.

Quadratische und bilineare Formen und deren Invarianten.

Kapitel I.

Quadratische Gleichungen und Formen.

§ 1. Die elementare Auflösung der quadratischen Gleichung als Eigenschaft der quadratischen Form.

Die „elementare Auflösung“ einer quadratischen Gleichung ax²-\-2bx-\-c = 0 in einer „Unbekannten“ x wird durchsichtiger und führt weiter, wenn man sie als eine besondere Eigenschaft von der linken Seite der Gleichung

(1)

f(x) = ax2Jr2bx-\-c

auffaßt; die „Koeffizienten“ a, b, c seien zunächst als reelle Größen gegeben.

Hier spielt x allgemeiner die Kolie einer „Variabein“: f heißt in diesem Sinne eine quadratische „Form“ von Für alle Werte der Größen x, a, b, c gilt die Identität:

(I)

af{x) = (a x -f b)² + (a c — b²) .

die „Diskriminante“ der Form f einen negativen oder positiven Wert besitzt.

Im ersten Hauptfalle, D < 0, setze man :

Indem vorderhand a =f= 0 angenommen wird, unterscheidet man zwei Hauptfälle, je nachdem der Ausdruck Df=D — ac — b²

(2 a)

— [) — b² — ac = A²

A = +]V-

Dann zerlegt sich die rechte Seite von (I), als Differenz zweier Quadrate (ax + b)² — A² in das Produkt:

(Ha)

Fragt man jetzt nach den „Wurzeln“ der Form oder, wie man gewöhnlich sagt, der Gleichung f =0, also nach denjenigen Werten der Variabein x, für die im besonderen die Form f den Wert Null annimmt, so tritt dieser Fall dann und nur dann ein, wenn irgend einer der beiden Faktoren auf der rechten Seite von (II a) verschwindet. Man gelangt so zu den „Auflösungsformeln“ für die Wurzeln xt, x₂ :

®i =

a f(x) = (ax + b — A) (ax + b A) .

(3 a)

{x₂

—b ±Yb² -

—b ± A

Im zweiten Hauptfalle D > 0 setze man :

D = ac — b² — A² , A — -f-)a c — b²,

dann nimmt die rechte Seite von (I) die Gestalt der Summe zweier Quadrate an:

(Hb)

(2b)

a f(x)

(ax b)² + A² .

Um hier eine analoge Zerlegung der rechten Seite zu erzielen, wie im ersten Falle, hat man seit Gauß*) das Rechenzeichen i =~j — 1, die „imaginäre Einheit“, eingeführt und nachgewiesen, daß „komplexe“ Größen von der Gestalt A + iB, wo A, B dem bisherigen Gebiet der „reellen“ Größen angehören, denselben arithmetischen Grundgesetzen unterliegen wie die reellen Größen. Demgemäß geht (Hb) über in:

a f(x) = (ax A- b — i A) (ax A~ b + i A) ,

(UV)

und für die beiden Wurzeln x₁, x.₂ von *f ergeben sich die „konjugiert komplexen“ Werte (die sich nur durch das Vorzeichen von i unterscheiden):

(3 b)

fx₁ _ — b ±_ti_a_c — b²

\x₂

1+

*) Ygl. hierüber die Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. .1, Art. IA 4 von E. Study: Zur Theorie der komplexen Größen, insbesondere Nr. 2 und 5.

Beide Hauptfälle, D§0, werden durch den „Übergangs-“ oder „Grenz“fall verbunden, wo die Diskriminante D verschwindet:

(2 c)

D = ac-b² = 0.

Dann reduziert sich (I) auf

a f{x) es (a x + b)²

(II c)

und f erhält zwei „zusammenfallende“ Wurzeln oder, wie man auch sagt, die „Doppelwurzel“:

(3 c)

x₁ = x₂ =

Sämtliche Fälle werden zusammengefaßt durch die

Formeln :

(44) a /‘(a?) = (a :» 4- b)² + Z> ,    (3)

i’ ■ \ i>

Man nennt eine derartige ausgezeichnete „Darstellung“ einer Form, wie sie sich für f in (I) darbietet, eine „kanonische“: f erscheint als Aggregat der Quadrate zweier Ausdrücke, von denen der eine linear in x ist, während der andere hier im besonderen x gar nicht enthält oder, wie man sagt, eine „Konstante“ ist.

Das Wesentliche des Ergebnisses wird ausgesprochen

durch :

Satz I. „Der elementaren Auflösung der quadratischen Gleichung f\x) — 0 liegt die kanonische Darstellung (I) der zugehörigen Form f(x) zugrunde, und die ,Auflösung* erscheint nur als eine einzelne Folgerung aus der ,Darstellung*.“

Aus den Auflösungsformeln (3) zieht man zwei Folgerungen, die für die Anwendungen (z. B. in der analytischen Geometrie), wie für die weitere Entwicklung der Theorie wichtiger sind als die Auflösung selbst. Einmal erhält man für die Diskriminante D :

(4)

D = ac — b²

Andererseits prägt sich der Zusammenhang der Wurzeln der Form f mit deren Koeffizienten in den Formeln aus:

(5)

xx + x₂ =

»1^-2 =

Diese Formeln (5) lassen sich in die eine, mit (I) äquivalente Identität zusammenziehen:

(I')

f(x) = a(x — xx) (x — x₂) ,

die die Bedeutung der xlt x₂ als der Wurzeln von f in Evidenz setzt.

Einige Spezialfälle von Bedeutung bedürfen einer besonderen Erörterung. Für c = 0 , b ^ 0, a=|=0 wird

f(x) = a x'² + 2 b x = x(a x 2 b)~ ax{x

Es ist also die eine der beiden Wurzeln Null, die

andere —    . Ist überdies noch, für a =j= 0, b = 0 , so

0/

«n-r ! l-k

wird f(x)~ax², und f besitzt die Doppelwurzel Null. Endlich kann der singuläre Fall eintreten (wie häufig in der Geometrie), daß alle drei Koeffizienten verschwinden, so daß die Gleichung f — 0 für jeden Wert von x erfüllt wird; dies findet sicher statt, wenn man drei verschiedene Wurzeln von f kennt.

Führt man vermöge x = die neue Unbekannte £ ein, so geht f(x) = 0 über in die Gleichung c£²-}-2&£-j-<i = 0

, mit den zu xx, x₂ reziproken Wurzeln —, —. Sind jetzt

xx x₂

Wert

b und c^O, während lima = 0 sei, d. h. a gegen Null konvergiere, so wird die eine Wurzel von f unendlich groß (=oo), und umgekehrt, während die andere den £

-— erhält. Ist auch noch lim& = 0, für c =f= 0 ,

u 0

so wird oo zur Doppelwurzel von /'. Für a = 0 , c = 0 , b =f= 0 wird die eine Wurzel Null, die andere oo.

Diese speziellen Ergebnisse lassen sich auch direkt aus den Auflösungsformeln (3) entnehmen.

In dem zweiten Hauptfalle (3 b), wo f zwei komplexe Wurzeln hat, läßt die Auflösung auch eine rein reelle

Auffassung zu, sobald man eben das Gebiet einer reellen Variabein zu dem zweier solcher erweitert.

Um sowohl reelle wie komplexe Werte von x zu umfassen, setze man von vornherein x in komplexer Gestalt an: x = £-\-irj (£, i] reell). Dann geht die Form f(x) über in: (!') f(x) = f(£ + iV)=EE[a(P-if)+2b£ + c] +i[2 V(a £ + &)].

Dieser Ausdruck verschwindet für reelle £, r\, a, b, c dann und nur dann, wenn zugleich

(30

t](a£ + 6) = 0 .

a(P-ti*) + 2b£ + e = 0,.

Jetzt ist entweder ?y = 0, dann unterliegt die reelle Größe x — £ der Bedingung f(£ = a £² + 2 b £ + c — 0 , die nur für D ^ 0 erfüllt sein kann : das ist der obige erste Hauptfall (3 a), eventuell der Grenzfall (3 c). Oder aber

— annehmen, und

es ist r) ^ 0 ; dann muß £ den Wert

setzt man diesen Wert in die erste Gleichung (3') ein, so

±fac — b² '

ergibt sich für die reelle Größe r\ der Wert

das ist der obige zweite Hauptfall (3 b) mit D > 0, wo die beiden reellen Lösungspaare £, + ?/ von (3') wieder in

die komplexe Gestalt \Xl = £ + ir/ zusammengezogen sind.

\.X2

Aufgabe 1. Mittels der Auflösungsformeln (3) sind die Fälle, wo eine der Wurzeln xx, x₂, resp. jede von beiden, verschwindet oder unendlich groß wird, direkt zu diskutieren.

Aufgabe 2. Stellt man mit Gauß die komplexe Größe £ + irj durch einen Punkt der Ebene mit den rechtwinkligen kartesischen Koordinaten £, ry dar, so sind die Gleichungen (3') geometrisch zu deuten.

Aufgabe 3. Die Auflösung der quadratischen Gleichung f{x) = 0 ist auch für den Fall komplexer Koeffizienten a, b, c algebraisch durchzuführen, nebst geometrischer Deutung der bezüglichen, an die Stelle von (3') tretenden Gleichungen.

Damit nimmt die Identität (III) die Gestalt an:

(nr) /•(*) =

(aoc₂ Ą- b) (x — ctj)² — («<%! + b) (x — a₂)2 <x₂ — oc₁

mit der Bedingung (IV) für oc₁, <x₂ •

In der Tat leitet die Ausführung der rechten Seite von (III') vermöge (IV) zur Form f(x) zurück:

a x² -f b x — {a txx oc₂ + b + <x₂)} = ax²-\-bx-src.

Zerlegt man, wie bei (II), die rechte Seite von (III/) in ein Produkt, so wird:

f(x)= (x- ot j)

a <x₂ + b

(x — a₂)

(V)

«i)l/

atx₂ -\-b

ft <x^ —(- b

Um die frühere Darstellung (I) als Spezialfall von (III') zu erkennen, schreibe man (I) in der Gestalt:

b² — ac

(I)

f(x) = aix +

F(x) = A x² + 2 B x + C = A(x — a₁) (x — a₂), so korrespondiert der kanonischen Darstellung (III) die andere:

F{x) = /,(a; — x})² + ).₂(x — x₂)- ,

wo gemäß (8) :

A x₂ + B

x₂ — xt ’

Ax₁ + B

X1 — X2

Im besonderen kann man fragen, wann in (III) Jcl mit k₂ übereinstimmt. Die notwendige und hinreichende Bedingung hierfür [außer (IV)] ist, wie (7) lehrt:

x₁ + x₂ — <x₁ + a₂ .

Dann aber gelten gleichzeitig die Darstellungen:

2(x — a?,) (x — x₂) = (x — aj)² + {x — a₂)² ,

2(x — at) {x — a₂) — (x — æ,)² + (cc — æ₂)² .

Denkt man sich etwa das Paar (x₁, x₂) gegeben, so sind a₁, a₂

die Wurzeln der Form x2 sich :

. Ferner ergibt

œ, + x\

— x (x₁ + x₂) + —--

(*1 — Xl)² = —(«! — OC₂)² ,

so daß stets, wenn das eine der beiden Paare reell gewählt ist, das andere konjugiert-komplex ausfällt, und umgekehrt.

Soll hier die rechte Seite mit der von (III') übereinstimmen, — zu nehmen:

so hat man a, =--

a

(9)

Einem beliebigen Werte oc₁ entspricht nach (IV) für tx₂ der Wert:

(10)

<x₂ =

b oct + c

a <xx + b

Mithin wird im Falle (I) ot₂ — oo. Behufs Bestätigung

setze man die beiden Werte oct =---, <x₂

a    b

ein. Das erste Glied rechts in (III/) wird für a, =--

(L

₂ a+i

= oo in (III')

(11a)

a (x₂ -f- b

x -f-

oc₂

«1

1--—

Für lim tx₂ = <x> geht in der Tat (11 a) über in das

/ &\²

erste Glied a la? + — I der rechten Seite von (I). Das zweite

Glied der rechten Seite von (III') wird:

(11b)

—a Äj ■j' b

<X₂ —

{x — <x₂)² = [—a₂(a «j + b)]

<x₂

a₂

Die zweite eckige Klammer rechts nimmt für lima₂ = oo den Grenzwert 1 an, während die erste eckige Klammer wegen (9) zuvörderst in der unbestimmten Form 0 • oo erscheint. Benutzt man aber vor Ausführung des Grenz-Prozesses die Relation (10), so wird:

(12)

— (\₂ (a «! + &) = & oct + c ,

direkt in

b² — ac

wo die rechte Seite für oct = — d. i. das zweite Glied der rechten Seite von (I), übergeht.

Die kanonische Darstellung (V) von f(x) liefert die „verallgemeinerte Auflösung“ der Gleichung f(x) = 0 :

(VI)

’ txt y a <x₂ + b + <x₂} a <xx + b

die zwei „Parameter“ a1} <x₂ mit sich führt, in denen der eine willkürlich wählbar ist, während der andere durch (IV) oder auch durch (10) bestimmt ist.

Bei wirklicher Ausführung der rechten Seite von (VI) fallen die beiden Parameter ot₁, ot₂ wieder heraus, und man gelangt zu (3) zurück, aber der Form nach sind diese oc¹ Auflösungen (VI) von (3) und untereinander als verschieden anzusehen.

Drückt man in (VI) a₂ gemäß (IV) durch tx₁ aus, so nimmt (VI) die Gestalt mit nur einem Parameter 'otx an:

«i +

b <xt + c

(VI')

a<x₁-\-b

Y=d

Dieser Darstellung der Wurzeln von f entspricht eine spezifische, für Anwendungen besonders geeignete Fassung der Darstellung (III') von f. Indem man lieber x' statt <xx schreibt, werden gemäß (10) die beiden Quadrate in (III):

(x — 0tx)² = (x — x'Y ,

(13 a)

(® — <*₂)² =

[x(a x'' + &) + (b x' + c)]²    {a x x' + b (x + *') + c}²

(ax' + b)²    ’

ferner berechnen sich die Größen Tcx, lc₂ in (III) zu:

(13 b)

¹ \f¥) ’

(ax' -f b)²

tV) ‘

, y|| Bedient man sich der Abkürzung:

(VII)

f(x ; x') = axx' + b(x + oc') + c = a(ax' +&) + (& x' + c) = x'(ax + &) + (&* + c) ,

so nimmt nunmehr die Identität (III') die durchsichtigere, von Gauß herrührende Gestalt an:

(III")

f(x) f(x') = f²(x ; x') + D(x — x')²

wo x und x' die Rolle zweier gleichberechtigter Variabler spielen.

bilinear“.

Der Ausdruck f(x ; x') (VII) heißt die nach x' (resp. x) genommene Polare der Form f(x) [resp. f(x')]i sie ist in x und x' „symmetrisch“, d. h. bleibt bei Vertauschung von x mit x' ungeändert und ist in beiden Größen linear oder, wie man sagt

Die durch die Gleichung f(x ; x') = 0 repräsentierte Beziehung zwischen x und x' heißt eine „Involution“, im besonderen die zur Form f(x) „gehörige“ Involution.

Die obige Relation (IV) zwischen den beiden Parametern <%i, a₂

(IV)

t (<%i, <x₂)    0

ist somit die zu f gehörige Involution.

In der Tat sind ja die Wurzeln der beiden auf der rechten Seite von (III") auftretenden Linearformen nichts anderes als irgend ein Paar der, (IV) genügenden, Werte <*1 ? ^2 •

An die Formeln (IIP) und (IV) schließen sich noch zwei weitere Betrachtungen. Einmal gestattet die Gesamtheit der, (IV) genügenden, Wertepaare (<xx, <x₂) auch eine explizite Darstellung. Es seien (tx , <%'), (ß, ß') irgend zwei solche Paare, die man sich als Wurzeln der quadratischen Gleichungen fx(x) = 0, f₂(x) = 0 gegeben denke, ferner sei unter l ein willkürlicher Parameter verstanden, so befriedigen, auf Grund von (5), auch die Wurzeln einer jeden Gleichung:

(14)

fAx) — lf₂(x) = 0

die Involution (IV). Man nennt (14) ein „Büschel“ von (quadratischen) Gleichungen, deren linke Seite ein Büschel von (quadratischen) Formen. Aber umgekehrt werden durch die Wurzelschar (a^, oc₂) von (14) auch sämtliche Lösungen von (IV) geliefert. Man greife nämlich zwei spezielle

Cr* CS

Lösungen von (IV) heraus, etwa a = 0, <x'—    ; ß = <x>,

a ; er-

ß'=~

fAx) = a x -\- b .

d. h. die Wurzeln der Formen f\(x) = x(bx + c),

Dann nimmt (14) die Gestalt an:

(15)

fßx) —- lf₂(x) = x² b + x(c — al) — Ib = 0 .

Bedeuten also <x₁, oc₂ die Wurzeln irgendeiner der Gleichungen (15), so ist gemäß (5):

al — c

»1 + <*2 = j —

(16)

*1 <X₂ — Z

Hieraus geht aber durch Elimination von Z wieder die Relation (IV) hervor.

Es ist indessen nützlich, die entsprechende Darstellung von (14) allgemein zu bilden. Man wähle von den beiden Paaren von Werten (a, ex'), (ß, ß')

etwa a, ß beliebig, dann ist nach (10) oc'= —bß + c aß -\-b

ßß', so wird (14):

— b<x + c a<x -\-b '

ß'

. Bildet man hieraus a-f ä', <x <x', ß ß',

fßx) — Z f₂ (x) = x² {(a cx + b) — l(a ß + &)}

(17)

— x {a a.² — c) — l(a ß² — c)}

- {ot(b (x + c) - l ß(b ß + c)> = 0 .

Damit ergibt sich für <xx a₂, «i + oc₂ gemäß (5) : tx(b (x + c) — l ß(b ß + c)

(18)

(a (x -f-6) — l(a ß -j- b) ’

(a a² — c) — l (a ß² — c)

(«« + !)) — Z (a ß -f- b)

Die Elimination von Z aus (18) liefert die verschwindende Determinante :

—<xt<x₂, ix (b <x -j- c), ß(b ß c) (19) oc₁ -f- <x₂,

G, aß² — c =(ß — «,)f(oc,ß)f(<xltot₂) = 0. a <x + b,    + &

Hier sind aber die beiden Faktoren ß — « und f{<x, ß) von Null verschieden. Denn die Darstellung (14) der Lösungen von (IV) setzt selbstverständlich voraus, daß nicht etwa die beiden Gleichungen f₁(x) = 0, f₂(x) — 0 übereinstimmen : dies würde aber eintreten, wenn entweder ß = cx , oder aber f(cx , ß) = 0 wäre. Somit ist in der Tat die Relation (19) mit (IV) identisch.

Die einfachste Darstellung des Büschels (14) ergibt sich, wenn man fx und /₂ als Quadrate von Linearformen wählt. Die Größen ocx, oc₂ in (IV) fallen dann und nur dann zusammen : ocx = oc₂ ==* oc, wenn f(oc) = 0, so daß für oc gerade die beiden Werte oc = xx, oc = x₂ verbleiben, wobei der Grenzfall xx = x₂ (D — 0) auszuschließen ist. Dann geht (14) über in:

(20)

(x — xxY — l(x — x₂)² = a?²(l — T) — 2 x(xx — l x₂)

+ (®î — lx₂) = 0 .

Für die Wurzeln ocx, a₂ irgendeiner dieser Gleichungen gilt : x\ — lx\

(21)

ocxoc₂ =

ocx -f oc₂ xt — l x₂

l-l ’

woraus durch Elimination von l, bis auf den nicht verschwindenden Faktor x₂ — xx, abermals die Relation (IY) erscheint :

(22)

(x₂ - xx) f{ocx, oc₂) = 0 .

Diese Ergebnisse faßt zusammen:

Satz II. „Die allgemeine kanonische Darstellung einer quadratischen Form f(x) als Aggregat zweier Quadrate von Linearformen x — ocx, x — oc₂ wird durch (III') oder auch (III") geliefert; solcher Darstellungen gibt es noch eine oo¹ Schar, insofern die beiden Parameter ocx, oc₂ lediglich der Involutionsbedingung (IV) f(ocx-, oc₂) = 0 zu genügen haben. DieserSchar vonDarstellungen der Form f(x) korrespondiert die Schar (VI) von der Form nach verschiedenen Auflösungen der Gleichung f(x) = 0 ; insbesondere entspringt hieraus die elementare Auflösung (3), indem man einen der beiden Parameter unendlich groß werden läßt.

Die Wertepaare ocx, oc₂ der Involution (IV) sind die Wurzeln eines Büschels (14) quadratischer Gleichungen, dessen allgemeine Darstellung durch

(17) geliefert wird, während spezielle Darstellungen in (15) und (20) vorliegen.“

Die zweite in Aussicht gestellte Betrachtung bezieht sich auf eine andere Schreibweise der Identität (III), nämlich :

f(x) EEE (oc x -f ßY + (y X + (5)³ .

(lila)

Die Vergleichung mit (III) lehrt, daß sich die oc, ß, y, ô durch die , k₂, ocx, oc₂ folgendermaßen ausdrücken :

ô = —a₂

(23) oc —    , ß = — ocx ~fkx, y = /fc

wo den Radikalen ]/fc1? /fc₂ ein beliebig wählbares, aber dann festzuhaltendes Vorzeichen beizulegen ist. Von Interesse ist hier die „Determinante“ oc ô — ß y der beiden „darstellenden“ Linearformen ocx -+■ ß, yx-\-d. Man hat zunächst oc Ô — ß y — (oc₂ — ocx) /fcj k₂. Setzt man die Werte von fcj, fc₂ aus (8) ein, so wird :

<x ô — ß y — /—(««[ + b)(aoc₂ + b) — ’]/—a{aocxoc₂-\-p(ocx + oc₂)}—b²

oder wegen (IV):

ocd-ßy = )rï>.

(VIII)

*1“ —

— , (X, =---

oc    y

(IV) die Gestalt annimmt: (IV')

Die früheren Parameter ocx, a₂ erhalten jetzt die Werte - , so daß die Involutionsbedingung

a ß ô — b(ocö-\-ßy)-\-cocy = 0 .

Die früheren Koeffizienten kx, k₂ werden: kx = oc², k₂ = 7². Drückt man daher in (8)    , <x₂ durch die oc, ß, y, ô aus,

so entsteht :

(8') fkx = oc =

aö — b y

]/fc₂ = y =

b oc — aß

Da eine der vier Größen a, ß, 7, <5 willkürlich bleibt, muß zwischen den vier Relationen (VIII), (IV'), (8') eine Abhängigkeit bestehen ; in der Tat geht durch Multiplikation der beiden Relationen (8') gerade (IV') hervor¹).

Schließlich ist der Grenzfall zu beachten, daß in (III') oc₂ gegen oc₁ konvergiert, daß also oc₁ — oc₂ gemäß (IV) selbst eine Wurzel, etwa xl, von f(x) ist. Dann versagt die Darstellung (III'), da Zähler und Kenner der rechten

Seite zugleich gegen Null konvergieren. Man setze vorderhand <xx = xxx <x₂ = xx + s, so geht (HI') über in:

f(x) =

(a xx + & + e a) (x — xx)² — (a xx + b) (x — xx — e)²

= (x — xx) {a(x — xx) + 2 {axx-\- &)} — e(a xi b) .

Hieraus entsteht für lim e = 0 :

f(x) ==

a(x — xx) (x +

-2 b

oder, da nach (5) formel (!') des § 1: a

= xx + x₂, die alte Zerlegungs-

(II')

f\x) = a(x — xx) (x — x₂) .

Somit geht im Grenzfalle <xx = <x₂ der Charakter der kanonischen Darstellung (III') verloren; man gelangt vielmehr zu der andersgearteten Identität (II') zurück.

Aufgabe 1. Das Verfahren des Textes (S. 6) ist auszudehnen auf die kanonische Darstellung einer „kubischen“ Form f(x):

(a) fix) = ax³ + 3 bx² -j- 3 ex -f- d = kx(x — ax)³ -f k₂(x— <x₂)³.

Es ergeben sich vier, in Tcx, k₂ lineare Relationen, und die Elimination der kx, Ł, liefert die vier Bedingungen :

A₃ = a txxa₂ + b(ocx -f- oc₂) -f c = 0 A₀ = b <xx a₂ + c{(xx + oc₂) + d — 0 ;

A₂ ~ a cxx <x₂ (ocx + <x₂) + b (<x\ + txx <x₂    + <xx)    —    d =    0    ,

Ax = a(ax oc₂)² — c(a\ + ax oc₂ + a?) —    d((xx    + a₂) =    0    .

Zwischen diesen vier Ausdrücken A bestehen aber die beiden Identitäten:

(bx)

(b₂)

A₂ — A₃ (<xx + <%₂)    ^

Ax = A3 ocx (\₂

so daß mit den beiden Bedingungen Az = 0, A₍₎ = 0 die beiden übrigen von selbst erfüllt sind. Somit existiert

(c)

4>(*i + <x₂)

ein einziges Paar von Werten <x₂, und diese sind die Wurzeln der quadratischen Form:

x²(a c — b²) + x(a d — b c) + (b d — c²) .

Die kx, k₂ bestimmen sich, wie in (8).

Schreibt man die kanonische Darstellung (a) von f(x) in der Gestalt:

(a')

f(x) =(ocx + ß)³ + {yx -\- <5)³ ,

so findet man:

sr (x = \k

3_

<xx f/fe

3,-

und

(xd — ßy=j(ac — b²) (aq — <%₂) .

Aus der kanonischen Darstellung (a) von f(x) ist die Auflösung der kubischen Gleichung f(x) = 0 zu entnehmen, insbesondere ist für den ^reduzierten“ Fall b = 0 die Car da ni sehe Formel abzuleiten.

Andererseits verlangt die erweiterte Darstellung:

(a") f\x) = kßx — a^³ + k₂(x — a₂)³ + k₃(x — (x₃)3 für die öc₁, <x₂, a₃ nur die einzige Bedingung :

(d)

d <XX (X₂ <x₃ -f- b 0C₂ -|- (X₂ <%g -f- (X₃ (X\)

-(- c(ocx -j- oi₂ -)- <x₃) -j- d — 0 .

Wie läßt sich hieraus wieder der Fall (a) durch Spezialisierung herleiten¹? Für welche besonderen kubischen Formen ist in (a") kx = k₂ = k₃ ? Alsdann wird gleichzeitig:

3 (x — xx) (x — x₂) (x — x₃) = (x — ocx)³ + (x — a₂)³ + (x — a₃)³ ,

3 (x — ax) (x — <x₂) (x — a₃) = (x — Xi)³ -f- (x — x₂)³ -f- [x — &₃)³ .

Aufgabe 2. Die Identität (III") ist direkt zu veri

fizieren.

Aufgabe 3. Es ist der Satz des Desargues zu beweisen, daß die Kegelschnitte eines Büschels eine beliebige, in der Ebene desselben gelegene Gerade in den Punktepaaren einer Involution schneiden. Die Doppelelemente der Involution (s. § 3) sind diejenigen beiden Punkte der Geraden, in denen sie je von einem Kegelschnitte des Büschels berührt wird. Als Parameter eines Punktes der Geraden nehme man etwa das Verhältnis der Abstände des Punktes von zwei festen Punkten der Geraden.

§ 3. Das Doppelverhältnis, insbesondere das harmonische, zweier Wertepaare. Die bilineare Invariante und die Resultante von zwei quadratischen Formen.

In § 2 (III') wurde die quadratische Form f(x) = ax2 + 2 6 x + c = a(x — xx) {x — x₂) als Aggregat der Quadrate zweier Linearformen x — <xx, x — oc₂ dargestellt ; hierbei waren die Größen <xx, tx₂ irgendeine Lösung der Involution (IV):

(I)

a <xx oc₂ + &(«i + oi₂) -f c — 0 .

Diese Involution werde jetzt als selbständiges algebraisches Gebilde weiter behandelt; man denke sich die Größen ocx, a2 als Wurzeln einer zweiten quadratischen Form F.

(1) F(x) = A x² -f 2 B x + G = A(x — ax) (x — <x₂) .

Die Relationen (5) des § 1 sind nunmehr für beide Formen f, F heranzuziehen:

—— = xx + x₂ ,

a

-2JB

^— — <XX + (X₂ ,

= xx x₂ ;

(2)

= <XX Ä₂ •

Man führe in (I) entweder beide Wurzelpaare (xx, x₂), (<xx, tx₂) ein, oder aber beide Koeffiziententripel (a, b, c), (A, B, G), so gewinnt man für die Involution (I) zwei neue Fassungen von Bedeutung, die als „Wurzelgestalt“ resp. als „Koeffizientengestalt“ der Involution bezeichnet seien. Die erstere lautet:

(a?i — <xx) (<x₂ — x₂) + (xx — «a) (<xx — x₂) = 0

oder auch:

(xx — <xx) (<x₂ — cç₂)

(xx — (X₂) (<XX — x₂) ~~ (<XX — x₂) (xx — <x₂)

Die linke Seite von (II), gebildet gedacht für zwei beliebige Wertepaare (xx, x₂). (ocx, a₂) heißt das „Doppelverhältnis“ (abgekürzt „Dv.“) beider Paare; besitzt es im besonderen, wie im Falle der Involution (I), den Wert — 1, so wird es „harmonisch“ genannt; man sagt auch, mit Rücksicht auf die Gleichheit der beiden Brüche in (II),

(H)

(*i - Xi) («2 - «a)

= -1 .

(a?i + x₂) (ot, + ect)

(IV')

§ 2. Fortsetzung. Verallgemeinerung der Auflösung einer quadratischen Gleichung. Darstellung einer quadratischen Form als Aggregat zweier Quadrate von Linearformen. Involution.

Man erweitere den Gedankengang des § 1, daß für f\x) die allgemeine kanonische Darstellung als Aggregat zweier Quadrate von Linearformen gesucht wird:

(III)

f(x) = kx(x — <xx)² + Tc₂(x — <x₂)².

Vergleicht man beiderseits die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x, so gelangt man zu drei Relationen zwischen den vier unbekannten Größen Tcx, k₂, a,x, <x₂ ; es wird demgemäß noch eine oo¹ - Schar von Darstellungen (III) existieren, in der (I) als partikuläre Lösung enthalten sein muß. Diese drei Relationen:

c = Tc₂ <x\ + k₂

— b = Tcxocx fc₂ (X₂

(6) a = kx + &

fasse man als drei in kv, k₂ lineare Gleichungen auf. Sollen dieselben zusammen bestehen, so ist dazu notwendig und hinreichend, daß die Determinante der Koeffizienten der \, fc₂, 1 verschwindet :

(7)

= (<x₂ — <xx) {a <xx (x₂ + b (<xx + oc₂) + c} — 0 .

Schließt man den Grenzfall <xx = <x₂ zunächst aus, so sind gemäß (7) die ocx, tx₂ an die Bedingung gebunden:

a txx/x₂ -f- b {otx (x₂) + c = 0 .

(IV)

Denkt man sich (IV) erfüllt, so bestimmen sich kx, fc2 aus irgend zweien der Relationen (6), etwa durch die beiden ersten²):

(8)

a a₂ -f- b

<x₂ — <xx

Tc₂ —

a ax + &

die beiden Paare (x1, x2), ((xx, a2) seien „zueina

(XIV) f(x ,y,x', y') = {f(x, y ; x', y')}2—Df(xy'—

fn{x) = a0xn + ax xn-x + «2 xn~2 + .. . + an , gp(x) = b0 x* + -f &2 x'p-2 + ... +b

.*( =s{“tn ; )

Bedeuten k{, kk irgend zwei Werte von k, und jut,

T = Vc ,

~ & - 4) (4 ~ *4)

-^2(^2) a22~^22> a21==a21 5 ^12 = ®12 "4” Aï®22

(h + *2 — \ ^2 ~ h "i" h — mi 4" w*2 — 3

(£)...,&, *,), (Vx, %)]

(3a) Bilineare Invarianten JX1 von fXjX und gr1(1.

y) = lxUy{au) (a'V) — l'xuy(al) (a' u')

+ w2 <%n _ 2 :2 + nx <xM _ ! Il 15 -1 + an 15 ,

d. i. aber die Gewichtsregel (5) für o>x = co2 = c

*[(«), (0, (y), • • •; ft, fs] = *[(«), (&), («), • • •; *t, = *.

(<=0,1,...,*)

(20) < = m1’ Co

jftw i (»-«)<.„ +y£L.(nl

, , s?ev ec‘

Die G sind die Leitglieder von ebensoviel unabhä

(I) unter w eine feste ganze Zahl verstanden.

Um den Beweis der Formel (IX) von i auf i -(-1 zu 

<p{y) = «o + «iy + • • • + »*yw •

(4)

n x0 + p 20 + q fj,0 + . . . = 2 w .

J' s= mWi mw* J = mWi+Wî J = mnd J .

¹

Drückt man vermöge (8') ß und «5 durch oc und y aus, und setzt diese Werte in (VIII) ein, so ergibt sich oc² -f y² = a, oder auch Zc, + — a, d. i. aber die erste Eelation (8).

²

Drückt man vermöge (5) die a, b, c durch die Wurzeln x1} x₂ von f(x) aus, so nimmt die Bedingung (IV) die Gestalt an:

xtx₂ + a₁a₂ —

(s. § 3), aus der hervorgeht, daß die Beziehung der beiden Paare (x, , x.,), , (<x., <x,₂) eine gegenseitige ist. Setzt man demgemäß

die beiden Paare (x₁, x₂), ((xx, a₂) seien „zueinander“ harmonisch. Die Beziehung (II) findet dann ihren Ausdruck in :

Satz I. „Die Gesamtheit der der Involution (I) genügenden Wertepaare , a₂) deckt sich mit der Gesamtheit der zu dem festen Paare (xx, x₂) harmonischen Paare (<xx, <x₂), wo xx, x₂ die Wurzeln der Form f(x) = a x² + 2 b x + c sind.“

Man nennt xx, x₂ die „Doppelelemente“ der Involution, da es diejenigen sind, für die beide Elemente eines Paares ((xx, oc₂) zusammenfallen.

Vertauscht man in der ersten Gestalt (II) des Dv. zugleich x₁ und a₁, x₂ und oc₂, so entsteht gerade die zweite Gestalt (II) des Dv. Vertauscht man dagegen nur x₁ und x₂, oder aber nur <xt und (x₂, so nimmt das Dv. ersichtlich seinen reziproken Wert an. Aber gilt:

Satz II. „DasDv.

zweier Werte-

—    («2 — #a)

(xx — ix₂) («! — x₂) paare (xx, x₂), (txlf <x₂) nimmt bei Vertauschung der Elemente irgendeines Paares, resp. bei Vertauschung beider Paare im ganzen nur zwei verschiedene Werte an, die zueinander reziprok sind; ist im besonderen das Dv. ein harmonisches, so fallen beide Werte (in den Wert —1) zusammen.“ Bedient man sich für Zähler und Nenner der linken Seite von (II) der Abkürzungen:

N = (xx — <x₂) («! — x₂) ,

• und bezeichnet die beiden Werte des Dv. mit ôlr ô sagt Satz I aus, daß:

(3) Z = (xx — <xx) (x₂ — x₂)

so

(4)

.    1 N

s*~ ö;~ z ■

Die „Wurzelgestalt“ (II) der Involution (I) schreibt sich jetzt einfacher:

(II a)

Drückt man andererseits vermöge (2) die Verbindungen cxx oc₂ , <xx -f a₂ durch die A , B, G aus, so gelangt man zur „Koeffizientengestalt“ der Involution (I):

H = aC — 2bB-\-cA = 0

(Hb)

Meyer, Allgemeine Formen- und Invariantentheorie I.

die wiederum erkennen läßt, daß die Beziehung zweier harmonischer Paare eine gegenseitige ist. Der Zusammenhang zwischen den linken Seiten der beiden Gestalten (IIa) und (IIb) tritt ins Licht durch die Identität:

(II')

-—(Z + X).

Der Ausdruck H (IIb) heißt die „harmonische“ (oder auch „bilineare“) „Invariante“ der beiden Formen f, F (s. § 5); er ist in den Koeffizienten beider Formen bilinear und überdies je „homogen“¹), d. h. wenn man die a,b, c oder auch die A, B, G mit je einem und demselben Faktor multipliziert, so tritt dieser vor den ganzen Ausdruck.

Die Gleichung (IIb) führt somit zu:

Satz III. „Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß zwei Wertepaare (x₁, x₂), (%, tx₂), die Wurzelpaare der Formen /‘, F, zueinander harmonisch sind, wird durch das Verschwinden der bilinearen Invariante E (Ilb) beider Formen angegeben.“

Da bei der Bildung der Bedingung H = 0 mit dem Produkt a A herauf multipliziert ist, so ist noch zu zeigen, daß Satz III gültig bleibt, auch wenn a, oder A, oder beide verschwinden.

Es konvergiere etwa a gegen Null, während b =j= 0 , A =(= 0 sei, so wird nach § 1 eine der beiden Wurzeln

von f, z. B. xx, unendlich. Setzt man zuvörderst xx =    ,

so geht (II) über in:    e

(1 — e) (<x₂ — xs)

(1 — a₂ e) («! — x₂)

mithin für lim<• = 0 in ot₂ ~~    = 0, d. i. cA — 2bB=0,

also in die Bedingung (Ilb) für a = 0. Das Entsprechende gilt für lim A = 0(B    0 , b 0). Ist aber gleichzeitig

lima = 0, limA = 0, so setze man vor Ausführung der

= -1.

(v —e) m “ ^2)

(1 — <X₂ «) (1 — X2 *7)

Soll diese Relation für lim £ = 0, lim 77 = 0 richtig sein, so muß <x₂ — a?₂ unendlich werden, also tx₂ oder x₂, d. h. es muß b oder B verschwinden. In der Tat reduziert sich die Bedingung (II) jetzt auf bB = 0. Konvergieren endlich a und b zugleich gegen Null (c =j= 0), werden also

xl und x₂ unendlich, so setze man x₁ = — , x₂ = — wird (II):    £    r>

= -1 .

T—« Sr*

Grenzprozesse ajustait an:

so nimmt (II) die Ge-

— , dann

(1 — <x,xe) (&₂ rj — 1)

(1 — a₂ «) K V — 1)

was nur so möglich ist, daß auch <x₁ oder oc₂ unendlich wird, d. h. daß auch lim A = 0. In der Tat reduziert sich jetzt (IIb) auf cl = 0.

Sodann werde der Begriff der Resultante der beiden Formen f, <p eingeführt. Man stelle die notwendige und hinreichende Bedingung dafür auf, daß f und F eine gemeinsame Wurzel besitzen. Da das dann und nur dann eintritt, wenn eines der xl, x₂ mit einem der (Xt, <x₂ zusammenfällt, so lautet die fragliche Bedingung in „Wurzelgestalt“ :

(lila) (xt — aj) (x₁ — «₂) (x2 ~ <*i) (x2 — a₂) = ZN — 0 .

Andererseits stelle man vermöge (2) die Bedingung (lila) in „Koeffizientengestalt“ auf. Die linke Seite von (lila) formt sich um, wie folgt:

{x\ — X^ -f (X₂) + «j (X₂) {x\ — X2 (»1 + **) + «1 «2>

= (a?i X₂)² + («j 0C₂)² — Xl X₂ («j + «₂) (X1 + Xi)

— a₁<xt(x₁ -f »₂) («i + «2) + xiX₂(oc₁ 4- *₂)2 4- <X\ oc₂ (xx 4- #₂)² — 2 <x₁ <x₂ xi X2 >

so daß (lila), wegen (2), nach Heraufmultiplikation des Nenners a²A², übergeht in:

(IIIb) R eee 4(a B - b A) (b C - cB) - (a C - c A)² = 0 .

Zwischen den linken Seiten von (lila) und (IIIb) besteht die Identität:

= (#! — oq) (xx — <x₂) {x₂ — <xx) (x₂ — <x₂) = ZN.

a²A²

(ui) - R

Der Ausdruck R (IIIb) heißt die „Resultante“ von f und F. Es ist wiederum zu zeigen, daß die Äquivalenz der beiden Aussagen (lila) und (IIIb) bestehen bleibt, auch wenn der Nenner a²A² verschwindet. Es konvergiere etwa a gegen Null, während b =|= 0 sei. Dann

hat f die Wurzeln oo und sich (IIIb) auf:

Q

— ; andererseits reduziert

(5)

A {4 & (& C - c B) + c² A) = 0 .

Entweder verschwindet hier der erste Faktor, A , d. h. auch F besitzt eine Wurzel oo, oder aber der zweite Faktor,

was aussagt, daß — -

u 0

— zugleich eine Wurzel von F ist.

Wäre aber überdies limfe = 0 (c ä 0), also xx = x₂ = oo, so reduzierte sich (IIIb) auf c² A² = 0, so daß auch F eine Wurzel oo erhielte.

Die Resultante R (IIIb) von f und F ist in den Koeffizienten beider Formen je quadratisch und homogen.

Die Struktur von R wird durchsichtiger, wenn man die Bedingung R = 0 auf eine andere Art entstehen läßt. Setzt man für den Augenblick:

(6)

00 = 1] ,

womit ausgedrückt werden soll, daß x und x² als selbständige Größen auf gef aßt werden, so läßt sich die Forderung einer gemeinsamen Wurzel x der Gleichungen f = 0, F = 0 ersetzen durch die andere, daß für die gemeinsame Lösung (£, rj) der beiden linearen Gleichungen a£+2 & ?7-|-c = 0, J+ + 2B >7 + 0 = 0

x² = |

(7)

die Bedingung

(8)

y² = £

erfüllt sein muß, und umgekehrt. Die gemeinsame Lösung (|, >7) von (7) schreibt man bequem in Gestalt der Proportion

fo) £:>?:1 = 2 (bC -cB):(cA - a C) :2(a B - b A) ;

die Einsetzung von (9) in (8) führt aber unmittelbar zur Bedingung (IIIb). Es gilt somit:

Satz IV. „Die notwendige und hinreichende Bedingung für eine gemeinsame Wurzel von zwei quadratischen Formen f, F wird geliefert durch das Verschwinden ihrer Resultante R [(lila) oder auch (Mb)].“

Der Prozeß, der aus dem Zusammenbestehen der beiden Gleichungen f(x) = 0, F(x) = 0 für irgend einen Wert von x zu der von x freien Bedingung R = 0 führte, wird als „Elimination“ von x aus f{x) = 0, F(x) = 0 bezeichnet.

i •>

Diese Hilfsmittel reichen aus, um die quadratische Gleichung, deren Wurzeln die beiden Werte <5 des Dv. (II) sind, mittels der Koeffizienten von f und F zu bilden. Man hat gemäß (4):

Z² + N² __ (Z + N)² — 2 Z N

ZN

ZN

oder, da auf Grund von (II') und (lila):

²-h

(H)

ZN = -

a² A²

für ó, + ô₂ den Ausdruck

(\ + <5₂ =

(12)

— 2(2 H² + R²)

Daher sind , ö₂ die Wurzeln der Gleichung:

(IV)

0²R + 2 0(2 H² + JB) + R - 0 :

Satz V. „Die beiden zueinander reziproken Werte <5₁, Ö₂, deren nach Satz II das Dv. zweier Wertepaare (xt, x₂), (txl, <%₂) fähig ist, sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung (IV).“

Um diese beiden Werte ôl, Ô₂ vermöge Auflösung von (IV) explizite durch H und R, sowie die Diskriminanten Df und Dp von f und F auszudrücken, ist die Diskriminante Ds der linken Seite von (IV) näher zu betrachten. Man erhält zunächst:

(13)

Ds = (2 H² + R)² - R² = 4 H²(H² + R) .

Die Ausführung des zweiten Faktors rechts, H² -f R liefert die wichtige Identität²):

(V)

+ R == 4(ac - &²) (A C — B²) = 4 D/Z>f ,

so daß (13) übergeht in

(VI)

Ds = (4 Jff)² Df Dp .

Diese Identität (VI) hat einen einfachen Sinn. Wenn die linke Seite Ds verschwindet, fallen die beiden Werte , d₂ (4) zusammen und umgekehrt. Das ist nur so möglich, daß

^\²

= 1, wenn also

z

— entweder den Wert —1 oder aber N

den Wert +1 annimmt. Im ersteren Falle ist das Dv. ein harmonisches, also H (II') = 0 ; im letzteren Falle muß die Bedingung erfüllt sein:

(14)

Z — N = (®! — «j) («₂ — x₂) — {xx — <X₂) («! — X₂)

= (^x — ®a) (² i — oc₂) = 0 ,

es muß also f oder F eine Doppelwurzel besitzen, d. h. Df oder Dp verschwinden.

als

Auf Grund von (VI) gewinnt man für <3₁, <5 Wurzeln von (IV), die Ausdrücke:

(ivo

- (2 H² + B) ± 4 E \Df Df

Damit läßt Satz V die genauere Formulierung zu:

Satz VI. ,,Die beiden Werte , <5₂ des Dv. zweier Wertepaare (x1} x₂), (ocx, <x₂), der Wurzelpaare der Formen f, F, sind mittels einer Quadratwurzel durch die bilineare Invariante E, die Resultante R , sowie durch die Diskriminanten Df, Dp ausdrück-bar.“

Über den „invarianten“ Charakter dieser Darstellung (IV') siehe § 5.

Aufgabe 1.

Mittels der auf der Einführung der Größen £, y (6) beruhenden Eliminationsmethode sollen die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür angegeben werden, daß die drei quadratischen Gleichungen:

(a)

at X.² -j- bt X + cx — 0

a₃ X² -f- &3 ^ “H c3 — 0

eine gemeinsame Wurzel besitzen.

Deutet man £, y als rechtwinklige Koordinaten des Punktes einer Ebene, so ist der Eliminationsprozeß hier, wie auch im Falle der Textaufgabe, geometrisch zu interpretieren.

Aufgabe 2. Die nämliche Methode ist anzuwenden auf die Elimination der beiden Unbekannten g, X aus den drei Gleichungen:

fl>)

g xx = ax X² -f bt X + ą

g x₂ = a₂ X² + b₂ X + c₂

g x₃ = a₃ X² + b.A X + c₃ .

Aus den drei hieraus hervorgehenden, in g, £, y linearen Gleichungen berechne man £, y und setze alsdann wiederum y² = £. Bedeutet z. B. (xab) die dreireihige Determinante der x, a, b , so ist das Eliminationsresultat :

(xab) (xb c) — (xac)² = 0 .

Deutet man die x als homogene Koordinaten eines Punktes der Ebene, so liefern die Gleichungen (b), (c) die explizite resp. implizite Darstellung eines Ordnungskegelschnittes, und (c) zugleich dessen projektive Erzeugung durch zwei Strahlbüschel.

Aufgabe 3. Dieselbe Eliminationsaufgabe ist auf Grund der Besultantengleichung (III b) zu behandeln. Man fasse die Verhältnisse der x auf als die gemeinsame Lösung zweier linearer Gleichungen von der Gestalt:

(u x) = ulxlJr u₂x₂ + % x₃ = 0 ,

(v x) ~vlxi + v₂x₂+vzxz = 0',

die x werden darin proportional den aus der Matrix u₂ uA «1 V2 %

(c)

<d)

zu entnehmenden zweireihigen Determinanten

(uv)ik (i, k = 1, 2, 3). .In (d) setze man für die x ihre Werte ans (b) ein und bilde die Resultante B (III b) dieser beiden, in A quadratischen Gleichungen, und führe alsdann statt der {uv)ilc wieder die x ein, so gelangt man wiederum zu (e). Welches ist der geometrische Sinn dieses Verfahrens¹?

Aufgabe 4. Endlich ist die auf (6) beruhende Methode auszudehnen auf die Elimination von q , 1 aus den vier Gleichungen:

(e)

QXi = di P + b{ P + Ci P -f di

(i= 1, 2, 3, 4).

Man erhält drei, in den x quadratische Gleichungen. Geometrisch stellen diese das Netz der Flächen zweiter Ordnung dar, die durch die Raumkurve dritter Ordnung (e) hindurchgehen.

§4. Fortsetzung. Das zu zwei Paaren harmonische Paar. Funktionaldeterminante von zwei quadratischen Formen, als Kombinante und als Kovariante. Homogene Variable; Eulerscher Satz. Extreme Werte einer rationalen Funktion zweiter Ordnung.

Wir gehen jetzt den umgekehrten Weg, wie in § 2, und lösen die für Algebra und Geometrie grundlegende Aufgabe, das zu zwei gegebenen Wertepaaren (xx, x₂), (aq, <x₂) zugleich harmonische Paar êl, $₂ zu ermitteln. Die (xx, x₂), (aq, ac₂) seien wiederum als die Wurzeln der Formen /“, F (mit den Koeffizienten a, b, c resp. A , B, C) gedacht, und entsprechend das gesuchte Paar (#}, ê₂) als die Wurzeln der Gleichung:

(15)

(xx² — ßx -\- y = 0.

Gemäß (IIb) sind für die tx , ß, y die beiden Bedingungen zu erfüllen:

(16)

ca + fc/S-|-ay = 0

Ccx-\-Bß-\-Ay = §.

Die Verhältnisse der <x, ß, y bestimmen sich daher durch:

(17)

ex: ß :y = b A — a B : a C — c A :cB

die gesuchte Gleichung (15) wird:

so daß

0(x) = x²(a B — b A) + x(a C — c A) + (b C — cB)

(VII)

Dieses Ergebnis gewinnt eine durchsichtigere Gestalt, wenn man das methodische Hilfsmittel der „Homogenisierung“ einführt. Man schreibt die Formen f(x), F(x) „homogen“, indem man setzt*):

| />, y)

1 F{x, y) = x¹ + 2Bxy + Cy²,

wo y die „homogenisierende Variable“ heißt. Der formale Rückgang zur „nichthomogenen“ Schreibweise f(x), F(x) erfolgt dadurch, daß man y gleich Eins nimmt.

In den Gleichungen f(x,y) = 0, F(x,y) = 0 er-

als Unbekannte; solange dieselbe

(B')

ax² + 2 b xy + cy² ,

scheint jetzt ^ ^resp. ^ j

endliche Werte besitzt, gelangt man auch hier für y = 1 zur früheren Bezeichnung x zurück; für eine unendlich

CO

große Wurzel dagegen ist y = 0 (genauer limy = 0) zu

setzen, während man x etwa den Wert Eins beilegen darf.

Die homogenen Größen bieten somit den Vorteil, unendlich große Werte nichthomogener Größen durch endliche Werte homogener zu ersetzen.

Ein weiterer Vorteil der neuen Bezeichnung erwächst bei Verwendung partieller Ableitungen homogener Formen. Es seien fx, fy, Fx, Fy die halben ersten partiellen Ableitungen von f(x, y), F(x, y) nach x, y:

(18)

== F x = Ax + By

Bx-\- Cy .

Dann besteht ersichtlich der „Eulersche Satz“ für homogene Formen*): (VIII) f = xf, + yf

Ferner nimmt die Polarenbildung f(x, x') [§ 2, (VII)] für zwei homogene Variabeinpaare x, y ; x', y' die Gestalt an :

(IX)

j A®, y ;    y') =    &(®y'+ y®') + c*//

=    + y'fy = xf* + yfy ,

und analog F(a?, y; a?', yf).

Endlich erscheint jetzt die Form 0, die linke Seite von (VII), in der Gestalt:

(VIF) 0(x,y)

a x + b y , bx -f c y A x + By , Bx+ Cy \    Fx Fï

und heißt die „Funktionaldeterminante“ der Formen f(x, y), F(x, y). Auf Grund von (VII) und (VII') gilt somit :

Satz VII. „Das zu zwei Wertepaaren (xt, x₂), (ai > aa) > ^en Wurzelpaaren der Formen f(x,y), F(x,y), zugleich harmonische Paar ($i, #₂) wird durch die Wurzeln der Funktionaldeterminante 0(x, y) von f und F geliefert.“

Die Homogenisierung einer quadratischen Form f läßt auch eine weitere Eigenschaft von deren Diskriminante Df = a c — &² erkennen.

Das Verschwinden von D sagt aus, daß die beiden Ableitungen fz = ax-\-by, fy~bx-[-cy eine gemeinsame

X

Wurzel — besitzen. Entsprechend der in § 3 eingeführten

y

Benennung heißt daher Df die Resultante der beiden Linearformen fx, fy. Man kann das auch dadurch zum Ausdrucke bringen, daß man sich der halben zweiten partiellen Ableitungen von f bedient:

1    eY

2    "^2

(180

1    C-Y    1 c²/-

2    dx dy    2 ßy dx

1 a²/’

"2

dann schreibt sich Zb :

(19)

Df~ac — b~

t xy

fyx fyy

Davon werde Gebrauch gemacht für die Funktionaldeterminante 9(x, y) (VIF) von f und F. Unter fc einen variierenden Parameter verstanden, bilde man, wie in § 2, das Formenbüschel f — Tc F und suche diejenigen Formen desselben, deren Diskriminante verschwindet, die also eine Doppelwurzel besitzen, oder was dasselbe ist, die Quadrate von Linearformen sind. Man hat die beiden Bedingungen :

(20)

fx — fc Fx = 0 ,

fy-TcFy = 0.

Da die Elimination von 1c aus (20) wieder auf das Verschwinden von 6 (VII0 führt, besteht³) der

Satz VIII. ,,In einem Büschel f — lcF quadratischer Formen existieren gerade zwei Quadrate von Linearformen; die Wurzeln der letzteren sind zugleich die der Funktionaldeterminante 6 von f und F.u

Hieraus geht hervor, daß die Existenz der Funktionaldeterminante 6 von der Auswahl der beiden Formen /³, F des Büschels f — k F unabhängig sein muß. Dies bestätigt sich leicht direkt.

Indem man auch den Parameter des Büschels homogen macht, ersetze man die Formen /’, F durch zwei (sc. verschiedene) lineare „Kombinationen“ m, n derselben:

n = ly f +LF.

(21)

Tïl EEE fc. f -f- fc, F

Dann überzeugt man sien sofort⁴), daß:

x Wy [    |    ^2

ly l₂

(IX)

x ny \

! fc, fco !

! ⁸ -0.

^1 ^2 !

Satz IX. „Die Funktionaldeterminante zweier Formen /’, F ändert sich nur um einen, von den Variabein und Koeffizienten beider Formen unabhängigen Faktor, nämlich um die Determinante der homogenen Parameter, wenn man f, F durch zwei lineare Kombinationen von F ersetzt.“

In diesem Sinne heißt die Funktionaldeterminante von /', F eine „Kombinante“ von f und F.

Allgemeiner bezeichnet man eine derartige Erscheinung als „Invarianz“. Neben die durch (IX) ausgedrückte Art der Invarianz von 6 tritt eine zweite.

Unterwirft man die Variabein x, y einer „linearen Substitution“, d. h. führt man „neue“ Variable £, y ein durch :

(X)

x = a £ + ß y ,

mit der „Substitutionsdeterminante“ (xö — ßy, die von Null verschieden vorausgesetzt werde, so gehen die Formen f(x, y), F(x, y) über in zwei neue Formen (p(£, y), &(£, y). Dann bestehen die Identitäten⁵):

cx

cy

(22)

(pS=E<pxjç+ (py-jç = « <Px + y <Py , Bx    By

V'l =    = ß q>x + d (p

und entsprechend für , 0V . Somit ist die Funktionaldeterminante der 9?(£, 17), <?(£, rj) mit der von f(x, y), F(x, i/) durch die Relation verknüpft:

(XI)

tx f

Fx F.

Satz X.

„Unterwirft man die homogenen Variahein æ, y zweier Formen f(x, y), F(a?, 2/) einer linearen Substitution (X), wodurch /’, F in zwei neue Formen <p(Ç, ij), <P(Ç, rj) übergehen, so unterscheidet sich die Funktionaldeterminante der transformierten Formen 99, von der ursprünglichen, von f, F, nur um einen lediglich von den Substitutionskoeffizienten abhängigen Faktor, die Substitutions déterminante.“

Diese Eigenschaft von 6 wird schlechthin als (simultane) „Invarianz“ bez. f, F bezeichnet; sie wird in der Folge einer ausgedehnten Klasse von Bildungen zukommen, die im besonderen auch die Variabein nicht zu enthalten brauchen. Hängt die invariante Bildung, wie hier 6, auch von den Variabein ab, so heißt sie eine „Kovariante“ von f und F.

Die Abhängigkeit der Funktionaldeterminante 0 (VIF) von f und F tritt noch auf eine andere Art hervor. Benutzt man die Darstellung (VII) von 6 als Determinante, so läßt sich 0 in die beiden Gestalten setzen:

23)    0 =

s I I

to

^ tu 8

20 =

A 2 B

1    —2x

«Os

Die Multiplikation beider Determinanten liefert, mit Hilfe der beiden Diskriminanten Df, Drp und der bilinearen Invariante H (II b)

(24)

2 0² =

->f fl

H 2 DF

f F

te O

also

(XII)

0² = f* Dp + f F E - F- Df .

Die Struktur der Formeln (XII), (XII') wird durchsichtiger, wenn man zu der mittels (20) formulierten Aufgabe zurückkehrt. Eliminiert man jetzt x an Stelle von k, setzt also die bezüglich x gebildete Resultante der beiden — hinterher wieder nichthomogen geschriebenen — Formen fx—kF fy — kFy gleich Null, so gelangt man zu derjenigen quadratischen Gleichung in k, deren Wurzeln eben die beiden Werte kx, k₂ von k sind, denen Quadrate (x — ßx)², (x — #₂)² von Linearformen entsprechen:

b-kB \ c-kC

Df-kp—

(Xlla)

Satz XI.

Das Quadrat der Funktionaldeterminante 6 (VII') zweier quadratischer Formen f, F läßt sich vermöge (XII) als homogene quadratische Form in den beiden Variabein f, F darstellen, wobei als Koeffizienten die beiden Diskriminanten Df, DF nebst der bilinearen Invariante H auftreten.“

Mit Rücksicht auf § 1 (II') und § 3 (V) läßt sich die rechte Seite von (XII) zerlegen, wie folgt:

H + f^R

11

(xir)

P-DAf-F-

Dp

f~F•

H-j-R

Dp

a — k A , b-kB,

= Df-kH + k²Dp = 0,

deren linke Seite auf Grund von (19) mit der Diskrimi-nante D der Form f — k F übereinstimmt.

Ersetzt man rechter Hand den Parameter k wieder f

durch —, so geht die Gleichung (XIIa) direkt über in

die aus (XII) durch Nullsetzen von 0 hervorgehende. In der Tat sind ïïx, ß₂ die Wurzeln von 0, so daß die Gleichung (x — #,)² (x — &₂)² = 0 mit 6² = 0 übereinstimmt; andererseits sind (x — ßx)² = 0 , (x — ß₂)² = 0 dieselben Gleichungen wie f — 7q F = 0, /’ — k₂F = 0, so daß die Gleichung 0² — 0 zusammenfällt mit (f—ktF) (f—k₂ F) — 0 .

Die beiden Werte kx, k₂ fallen offenbar dann und nur dann zusammen, wenn dies für ßx, ß₂ zutrifft; da überdies die Diskriminanten der linken Seiten der beiden Gleichungen 0 = 0 (VII) und (XII a) je vom zweiten Grade

in den Koeffizienten von f und F sind, werden sie bis auf einen Zahlenfaktor identisch sein.

In der Tat ist B (III b) zugleich die Diskriminante von 0 ; andererseits, wie schon bei der Ableitung von (XIF) benutzt, wegen § 3 (V) — R dieDiskriminante der Form (XII a) :

Satz XII.

„Die beiden Diskriminanten der linken Seiten der Gleichungen (VII) und (Xlla), die aus den Kelationen (20) fx — kFx =0, fy — kFy = 0 durch Elimination einmal des Parameters k, andererseits der Variabein x, y hervorgehen, stimmen (bis auf das Vorzeichen) überein, und zwar mit der Resultante R von F

Hierher gehört noch eine weitere, für Anwendungen (z. B. in der Flächentheorie) wichtige Eigenschaft der Funktionaldeterminante 0 resp. der Gleichung (XII a). Man frage nach den extremen*) Werten der soeben schon in Betracht gezogenen rationalen Funktion zweiter Ordnung :

(25)

/'(«)

k F(x) '

Es muß dann die Ableitung k'(x) von 1c nach x verschwinden :

Ffx — fFx = 0 ,

wo fx, Fx für f'{x), F'(x) steht; für die fraglichen Werte des Parameters k bestehen aber die beiden Gleichungen:

f -kF = 0, fx-kFx = 0.

(26)

(27)

Macht man hier wieder homogen, und wendet auf die erstere Relation den Eulerschen Satz (VIII) an reduzieren sich die Bedingungen (27) gerade auf die unter (20) erhaltenen:

so

fy-TcFy= 0 .

Es fragt sich jetzt, ob und wann bei Erfülltsein von (20) reelle extreme Werte von k (25) eintreten. Zu dem Behuf ermittle man das Vorzeichen von k"(x) für die beiden Werte von x, die (20) und damit (VII) genügen. Das

(20)

fx — kFx = Q

*) Über die bezügliche Regel der Differentialrechnung siehe diese Sammlung, Bd. X, „Differentialrechnung“, § 18.

Vorzeichen von 1c" (x) ist, wegen 1c'(x) = 0, zugleich das von F f" — f F", d. i. von a F — A f :

(28) aF - A f = 2x(a B - A b) + (a C - c A) .

Hier ist rechts jede der beiden Wurzeln dx, d₂ von 6 (VII) einzusetzen :

—(aC — eA)± )-R

Damit reduziert sich aber (28) auf:

cl F — A f —    —R •

(29)

(28')

2 (aB -b A)

Somit gilt zunächst:

Satz XIII. „Ist die Resultante R (Illb) der beiden Formen f, F negativ, so daß ein reelles, zu beiden Paaren (xx, x₂), («„ a₂) harmonisches Paar

existiert, so besitzt die rationale Funktion 1c =

f‘(x)

F(x)

ein Maximum und ein Minimum; diese beiden extremen Werte fc

L? von Tc sind die Wurzeln

von (Xlla), und die zugehörigen Werte    von x

die Wurzeln der Funktionaldeterminante 0 (VII) von f, F

Dieser Fall tritt sicher ein, wenn wenigstens eine der beiden Diskriminanten Df, D daß F keine reellen Wurzeln besitzt. Entweder ist dann Df negativ, so ergibt sich aus (V): R = 4 DfDf/ — H², daß R negativ ausfällt.

Ist dagegen Df positiv, besitzt also auch /’ keine reellen Wurzeln, so beachte man, daß auf Grund des Satzes IX bei der Bildung von 6 die Form /’, ohne 0 zu ändern, durch eine beliebige Form des Büschels f — IF ersetzt werden darf. Wählt man den Wert von l so, daß f — IF die Wurzel 0 (resp. oo) erhält, so wird die Dis-kriminante von f — IF negativ, womit der in Rede stehende Fall auf den vorhergehenden zurückgeführt ist. Satz XIII erfährt damit die Ergänzung:

Satz XIIF. „Besitzt auch nur eine der beiden Formen f, F keine reellen Wurzeln, so gilt Satz XIII

f

über die extremen Werte von = — “

z. B. D

F,

positiv ist, so

Besitzen endlich beide Formen F reelle Wurzeln, so läßt sich aus der Wurzelgestalt (III) von R sofort entnehmen, bei welchen Lagerungen der Intervalle (xx, x₂), (ax, oc₂) R negativ ausfällt. R nimmt einen negativen Wert an, wenn entweder beide Intervalle sich ausschließen, oder aber das eine das andere enthält, einen positiven Wert dagegen, wenn sich beide Intervalle teilweise überdecken:

Satz XIII". „Haben beide Formen F reelle Wurzelpaare (xt, x₂), (<x₁, a₂), so gilt Satz XIII auch dann noch, wenn entweder beide Intervalle (x₁, x₂), (<x₁, oc₂) sich ausschließen, oder aber das eine das andere umschließt.“

Die Sätze XIII, XIII', XIII" erschöpfen alle Fälle, in denen das zu zwei Paaren F zugleich harmonische Paar reell ist, ein Ergebnis von grundlegender Bedeutung für die Theorie des Harmonischen.

Die vorstehend behandelten Fragen werden zu einem gewissen Abschluß gebracht durch die folgende:

Welches ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß drei vorgelegte Wertepaare ein und derselben Involution angehören, so daß ein zu allen drei Paaren harmonisches existiert?

Die drei Paare (xt, x₂), (y₁, y₂), (zl, z₂) seien die Wurzeln der Formen:

g = b₀ X'² + 2 x + &

(30)

/' ee a₀ x² + 2 ax x + a₂

Ji ~ c₀ x'² + 2 Cj x + c₂ .

Aus der Involutionsrelation (IIb) geht hervor, daß die gesuchte Bedingung lautet, entweder in Wurzelgestalt:

xxx₂

Vi y 2 zxz₂

oder aber in Koeffizientengestalt*):

+ x₂,    1

(31)

Vi + V-2 Zi + z₂

a₀    (x 2

(32)

II =

K &i b2 c₀ cx c₂

*) Wie leicht zu sehen, geht die linke Seite von (32) durch

Multiplikation mit

—in die linke Seite von (31) über. a₀ b₀ c₀

Meyer, Allgemeine Formen- und Invariantentheorie I.

Die Bildung E heißt die trilineare Invariante von g, h (s. § 5). Das Quadrat von H läßt sich durch die Dis-kriminanten D linearen Invarianten E ausdrücken.

Denn überträgt man das in (23), (24) auf 0 ausgeübte Multiplikationsverfahren auf die Determinante E, so kommt :

2 Df E

/, D

Dh von f, g, h und durch die bije zweier derselben

f, 9

Hf,h

(33)

2 E² =

Hf,g

Hf,h Syjh

Die rechte Seite läßt sich noch durchsichtiger schreiben, da die Bildung der Diskriminante D als besonderer Fall der bilinearen Invariante E erscheint. Läßt man die zu Beginn von § 3 eingeführten Formen f\ F zusammenfallen, so daß A — a, B = b, G = c, so geht E (II b) über in Eff — 2 (a c — b²) = 2 Df:

2 Dh E

f,h

2 Dh

(XIII)

Eff = 2 Df .

Damit werden die Elemente der Determinante (33) die sechs Bildungen Eik (i, ~k — f, g, h); man schreibt abgekürzt:

(33')

2 E- = Eik .

Zum Schlüsse werde noch die Methode der Homogenisierung zu einem zweiten Beweise für die Gaußsche Identität (III'0 des § 2 verwendet.

Bedeuten x, y ; x', y' zwei homogene Variabeinpaare, so hat man, bei Benutzung der Bezeichnung (18):

a x -±-by , b x -|- c y ax'-\- by', b x'-\~ cy'

= Df(xy'- x'y) .

Multipliziert man die linke Seite von (34) nochmals mit xy'—x’y, so wird:

t x 1 y    % V | xt x A y t y i    x î x' ~\~ y f y’

f x' f y’ x y j \ x J x y f y ) x t x' y t y’

Hier ist rechts nach dem Eulerschen Satze (VIII):

xfx +y fy = f{x, y) , Xf fx- + y’fy' = fix', y') ,

(34)

(35)

f x’ t y'

x y x' y'

andererseits xfX’ -f y fy, : x/fx + y'fy die homogen gemachte Polare (13) von f:

(13') f(x , y ; x', y') = axx'+ b(xy'+ x'y) + cyy'.

Die Vereinigung von (34) und (35) führt daher zur Gaußschen Identität (HI") des § 2, nur jetzt homogen geschrieben :

¹

Allgemein heißt ein Ausdruck f(a, b, c, ...) in einer Reihe von Größen a, b, c, ... homogen von einer Ordnung (Dimension) n, wenn identisch f(ta, tb, tc ...) = £"/¹(«, b, c ...).

²

Im besonderen ist in (V) der für die projektive Geometrie grundlegende Satz enthalten: „Fallen von den vier Elementen zweier harmonischer Paare (æ,, x₂), (ax, a₂) irgend zwei zusammen, so fallt mit jenen stets noch ein drittes Element zusammen.“ Denn nach Voraussetzung ist einmal H — 0; andererseits ist entweder xt = x₂ oder aber = a₂, oder endlich fällt eines der x mit einem der « zusammen; somit ist außer H= 0 noch entweder Df Dp — 0 oder aber R — 0 . Setzt man aber in (V) H = 0, so folgt aus Df Df — 0 auch R — 0, und umgekehrt.

³

Dieses Ergebnis hätte sich auch direkt aus § 2, (III) und (IY) herleiten lassen. Denn die Wurzeln , ff₂ von 0 liefern das zu den Wurzelpaaren (cc,, x₂), (a,, a₂) von f, F zugleich harmonische Paar. Dann ist aber f(x) und F(x) als lineares Aggregat der nämlichen beiden Quadrate (x—ff,)² und (x — ff„)² darstellbar, damit aber auch das Büschel f— k F, und die beiden Quadrate müssen dem Büschel an gehören.

⁴

In der Formel (IX) drückt sich der „Multiplikationssatz“ für zweireihige Determinanten aus. Man erkennt übrigens ohne weiteres, daß die Formeln (X), (XI) für zwei beliebige (sc. differenzierbare) Funktionen f(x, y), qp(x, y) gültig bleibt.

⁵

Über die Regel der Differentiation von Funktionen siehe diese Sammlung, Bd. X, „Differentialrechnung“ von W. Fr. Meyer,

(XIV) f(x ,y,x', y') = {f(x, y ; x', y')}²—Df(xy'— x' y)².

Nunmehr ordnet sich auch leicht die Ausgangsidentität (I) des § 1 als spezieller Fall von (XIV) ein.

Nimmt man nämlich x'=l, y'= 0, y= 1, so wird:

(xy'— x' y)² — 1

, f(x, y ; x\ y') = ax + b ,

f(x', y') = « ,

und (XIV) reduziert sich dadurch auf die fragliche spezielle Identität :

af(x)

(XV)

(a x b)² -(- Df ,

die sich auch in die Gestalt setzen läßt:

(XV')

Df=ffxx-n.

Aufgabe 1. Die Ergebnisse der §§1—3 sind in homogene Gestalt umzusetzen.

Aufgabe 2. Man stelle von je zweien der drei Formen f \ = A² + bt l + (i — 1,2, 3) die Funktionaldeterminanten 0₁₂, 0₂₃, 0₃₁ auf. Dann sind die Koordinaten Ui einer Tangente des in § 3, Aufgabe 2 behandelten Kegelschnittes oXi = proportional den 0 : o «₁ = ß2 ou₂ = 0₃₁, ou₃ = 0₁₂. Wie hängt diese Tatsache mit der im Texte behandelten (harmonischen) Eigenschaft der Funktionaldeterminante zweier quadratischer Formen zusammen?

Entsprechendes gilt, wenn die f\ drei Formen wter Ordnung sind ; die Gleichungen QXi = repräsentieren dann eine „rationale“ Kurve wter Ordnung.

Aufgabe 3. Durch Ausdehnung der Formeln (22) auf die zweiten partiellen Ableitungen ist die Invarianz der bilinearen resp. trilinearen Invariante von zwei resp. drei quadratischen Formen nachzuweisen; desgleichen, daß für

f xx fxy

eine Form wter Ordnung f(x, y) die Bildung eine Kovariante ist (,,Hesse“sche Form von f).

Aufgabe 4. Die Gaußsche Identität (XIV) läßt sich auch auf irrationalem Wege einfach beweisen. Sei f(x, y) — ax² + 2b x y + cy², so ist (s. § 1) af(x,y) = (ax -\-by)² — Dy², wo D = &² — ac, und entsprechend für ein zweites Paar von Variabein x', y'.

Man setze zur Abkürzung t — ax + b y , t'= ax'-\-b y' und zerlege t² — Dy² in das Produkt (t + y|/d) (t — y^D) , und entsprechend t'² — Dy'². Nun ist ersichtlich:

(t + yfD) (t'~ y']D) = (tt'— Dy y') + fï){yt'- ty') . Wechselt man in dieser Identität auf beiden Seiten das Vorzeichen von JD , multipliziert sodann beide Identitäten, so geht nach Einsetzung der Werte von t, t' die Gaußsche Identität hervor.

Aufgabe 5. Die auf (18) beruhende Methode der Polarenbildung läßt sich bei geeigneter Weitert'ührung auf die kanonische Darstellung von Formen als Potenzsummen verwenden. Soll z. B. für eine binäre kubische Form f(x, y) (s. § 2, Aufgabe 2) die Darstellung f(x, y) == a₀ y³ + 3 a₁y²x -(- 3 a₂ y x² + % x³ = \ (x — txt y)d + (x — a₂ y)³ ermittelt werden, so unterwerfe man beide Seiten der Identität

hintereinander

r)    P

— y" = 1 und setzt:

d

dy

den Polarenprozessen x'

cx

Nimmt man hinterher wieder y = y '

= x + x' 4- x",

s₂ = xx' x' x" -\- x" x = xx' -\- x"(x + x')

s₃ = xx' x"

so ergibt sich die neue Identität : a₀ + at a₂ s₂ + a₃ s3 ~kx{x — (X^) (x'—tXi) (x"— <xx) + Tc₂(x—a₂) (x'—oc₂) (x"—a₂) (aus der rückwärts wieder die ursprüngliche für x = x'= x" hervorgeht). Nun verschwindet die rechte Seite für x — <xx, x' — <x₂ identisch in x", also auch die linke. Damit gelangt man zu den beiden Relationen: a₀ + ax (otx + <x₂) + a₂ ocx oc₂ = 0 , ax + a₂ ((xx + <x₂) + a₃ otx <x₂ == 0 . Hieraus ergeben sich die <xx, <x₂, während die kx, lc₂ (wie in § 2) durch Koeffizienten Vergleichung bestimmt werden.

Auf analoge Art ist zu beweisen, daß eine binäre Form wter Ordnung für ein ungerades n = 2v — 1 auf eine einzige Art als Summe von v wten Potenzen dar-

stellbar ist, und eine Form gerader Ordnung n = 2 v noch auf oo¹ Arten als Summe von r + 1 wten Potenzen.

Soll dagegen eine Form gerader Ordnung n = 2 v als Summe von v wten Potenzen darstellbar sein, so ist notwendig und hinreichend, daß eine gewisse Invariante (Sylvesters Kanonizante) verschwindet. Für n = 2 ist

! % 0*2

dieselbe gleich D =    0 1 , für n = 4 gleich j = ax a₉ a.A usf.

I ai a2 |

Aufgabe 6. Ein einfaches Beispiel zu Satz XIII bietet die elementare analytische Geometrie des Raumes. Es seien g, a zwei windschiefe Gerade, co der nicht stumpfe Winkel beider, co;. der nicht stumpfe Winkel, den irgend eine Ebene durch g mit a bildet.

Dann besitzt coi ein Minimum und ein Maximum. Der Minimalwinkel ist Null, d. h. die bezügliche Ebene durch g ist parallel zu a. Der Maximalwinkel ist to selbst; die diesen Winkel mit a bildende Ebene durch g ist die den kürzesten Abstand zwischen g und a enthaltende. Die beiden besonderen Fälle, daß g senkrecht resp. parallel zu a ist, ordnen sich als Grenzfälle ein.

Kapitel II.

Invarianten quadratischer Formen. Lineare Substitutionen in nicht homogener und homogener Gestalt und Zusammensetzung von solchen. Gruppen von Substitutionen. Das Doppelverhältnis.

§ 5. Einfachste Invarianten quadratischer Formen. Lineare Funda-lnentalsuhstitutionen und Zusammensetzung von solchen.

In § 4 trat die ,,Funktionaldeterminante“ als erstes Beispiel einer invarianten Bildung auf. Der Keim der Invariantentheorie ist indessen ein noch einfacherer. In § 1 (4) war die Diskriminante Df einer quadratischen Form f durch die Differenz xx — x₂ ihrer Wurzeln ausgedrückt ; in § 3 (II) war das Dv. zweier Paare (xx, x₂), (ai ? (<*2) von Wurzeln von Formen /', F, und insbesondere in (II') deren bilineare Invariante H durch „Wurzeldifferenzen xt — usw. dargestellt, und dasselbe war in § 3 (III) mit der Resultante R von f, F der Fall.

Als Ausgangspunkt dient der evidente Satz I. „Die Differenz zweier Werte xx, x2 bleibt ungeändert, wenn man jeden derselben um ein und dieselbe, beliebig gewählte Größe Tc vermehrt.“

Indem man xx, x₂ als spezielle Werte einer Variabein x auffaßt, die Größe Tc als einen von x unabhängigen Parameter, bedient man sich der Ausdrucksweise:

Satz V. „Die Differenz xx — x₂ zweier Werte einer Variabein x ist eine absolute Invariante gegenüber der speziellen linearen Substitution:

(I)

x = £ + Tc ,

insofern vermöge (I) die Identität gilt:

(II)

xx x₂ = £x £₂ ‘U

Die Substitution (I) heißt eine „Translation“ oder „Schiebung“. Indem man sich den Parameter Tc als variierend denkt, stellt (I) eine „oo¹- (,einfach-unendliche^ Schar“ von Translationen dar.

Dieser Schar kommt eine spezifische Eigenschaft zu. Führt man zwei Translationen mit den Parametern Tc, l hintereinander aus („setzt sie zusammen“):

(1)

x = £ + Tc, £ = X + l

so ist die durch Elimination von £ hervorgehende Substitution :

(2)

x — X + (Tc + l)

wiederum eine Translation. In diesem Sinne sagt man, daß die Transformationen (1) eine „Gruppe“ bilden, und zwar eine „eingliedrige“, da sie einen Parameter mit sich führt. Der Satz I' erhält damit die Fassung:

Satz I". Die Differenz xx — x₂ ist eine absolute Invariante der Translationsgruppe (I).“

Umgekehrt ist diese Eigenschaft von xx — x₂ charakteristisch für die Gruppe (I). Denn ist die Relation (II) erfüllt für ein beliebig ausgewähltes Paar xx, £x, sowie für ein variables Paar x, £ :

(3)

x — xx = £ — £t,

oder auch

(3')

x = | + (o?i — |L) ,

so unterscheidet sich (3') nur in der Schreibweise von (I). Man hat damit, zusammenfassend, den

Satz Ia. „Die Translationen (Schiebungen) (I)» bilden eine eingliedrige Gruppe und die Differenz xi — x₂ irgend zweier Werte der Variabein x ist die charakteristische absulute Invariante der Gruppe.“

Man „übe“ insbesondere (I) auf die Form

f(x) = ax²-\-2bx-{-c

aus“. Vermöge (I) „transformiert“ sich f(x) in eine neue“ Form 99(1) :

>(£) = a(£ + fc)² + 2&(£+fc) + c

(III)    = aP + 2(a k + b) £ + (a k² + 2 b k + c)

wo, mit Hilfe der in § 3 eingeführten Bezeichnungen: & — a = t kk

(III')

ß — ak -\- b — /& , y = ak² -\- 2b k -\~ c = f(k) .

Zwischen der Diskriminante Df = ac — b² von f und deren Wurzeln x₁, x₂ bestand nach § 1 (4) der Zusammenhang:

(4)

Df ^ x1    Œ2)² 5

also auch, für £x, |₂ als Wurzeln von cp(£) kriminante von q> :

Dy als Dis-

(5)

Dy = -

/Y ²

Auf Grund von (II), und da gemäß (III') <x = a, entsteht die Identität:

(6)

Dy = Df :

Satz II. „Unterwirft man eine quadratische Form f(x) einer Translation (I) der Variabein x, wodurch sie in ç?(|) (III) übergehe, so stimmen die Diskriminanten Df, Dy beider Formen überein.“

Oder auch in anderer Ausdrucksweise:

Satz II'. Die Diskriminante Df der Form f(x) ist gegenüber einer beliebigen, auf f(x) ausgeübten Translation (I) von x eine absolute Invariante.“

, Die Beziehung (6) bestätigt sich sofort an der Koeffizientengestalt ac — b² von Df, denn die Identität:

a(a Tc² -f- 2 b k + c) — (a 1c + b)² ~ a c — b²

<x y — ß²

ist gerade die zu Eingang von § 1 unter (I) auf gestellte ; vgl. auch § 4 (XV) und (XV').

Man wird so zu der Frage geführt, ob nicht die Diskriminante Df von f noch gegenüber anderen linearen Substitutionen von x ein invariantes Verhalten zeigt. Den Schiebungen (I) treten zur Seite die „Streckungen“

(IV)

x — m £

Auch diese bilden eine ein-

mit dem Parameter m. gliedrige Gruppe, wie aus den Zusammensetzungsformeln:

x = m £

(V

H = nX,

(8)

x = (mn) X

hervorgeht. Da :

(9)

xt

fw*

¹ zweier Werte x₁, x₂ von x

so ist jetzt das Verhältnis

x₂

eine absolute Invariante der „Streckungsgruppe“ (IV) und umgekehrt charakterisiert diese Invariante wieder die Gruppe, da die Substitution:

(10)

d. i.

inhaltlich mit (IV) überein stimmt. Somit gilt

Satz III. „Die Streckungen (IV) bilden eine eingliedrige Gruppe mit der charakteristischen

Invariante

J*

Die Form f(x) = a x² + 2bx + c geht vermöge (IY) über in cp (£) :

(V)    <p(£) = (a m²) £² + 2(6 m) £ + c = <x £² + 2 ß £ -f y ,

(V')

oc = am², ß = bm, y = c .

Für die Diskriminante Dw von <»(£) ergibt sich gemäß (4), (IY) und (Y'):

(11)

oc²

—H£i-£₂)² = -

(xt — x₂)² • m²,

somit :

(12)

-Dœ = m² Df ,

wie man auch an der Koeffizientengestalt oc y — ß² von Dtp auf Grund von (V') unmittelbar erkennt.

Beim Übergange zur transformierten Form cp(£) ändert sich also Df um einen Faktor m², der aber nur von dem „Substitutionskoeffizienten“ m abhängt. Eine derartige Bildung heißt eine „relative“ Invariante.

Satz IV. „Die Diskriminante Df einer quadratischen Form f ist gegenüber einer auf f ausgeübten Streckung (IV) gemäß (12) eine relative Invariante.“

Man setze nunmehr eine Schiebung (I) mit einer Streckung (IV) zusammen, so entsteht eine „ganze lineare“¹) Substitution :

(VI)

x = m £ -j- 1c

mit zwei Parametern m, Je. Diese bilden eine „zweigliedrige“ Gruppe, wie die Zusammensetzungsgleichungen lehren :

(13)

x = m £ + Je

(14)

•£ = nX l x = (mn) X (m l Je) .

Hier ist der Quotient

der Differenzen je zweier

a?i — xs —

Wertepaare (x₁, x₂), (x₃,x₄) von x gegenüber (IY) absolut

invariant, und diese Invariante charakterisiert wiederum die Gruppe (VI), da sich (VI) in die Gestalt setzen läßt:

p I X% ll    I2

^    - l₂ '

l-ll

a?! — x2 1 I2

Satz V. ,jDie ganzen linearen Substitutionen (VI) bilden eine zweigliedrige Gruppe mit der cha-

ftl ~ X2 u x₃ — X4'

Die Verbindung der Sätze II und IV über das Verhalten von Df gegenüber einer Schiebung und einer Strek-kung zeigt, daß sich Df auch nach Ausübung von (VI) auf f nur um den Faktor m- ändert. Dies wird durch die Rechnung leicht bestätigt. Die vermöge (VI) transformierte Form ç?(|) wird:

99(1) = a(m £ + fc)² + 2 b(m £ + 1c) + c

= (a m²) £² -{- 2 m (a ~k + &) £ + (a fc² + 2 b 1c + c)

x — xx Xx x₂ £x I2

oder

rakteristischen absoluten Invariante

(VII)

woraus sofort

(12)

Dy = m- Df

folgt, mit Rücksicht auf die Sätze II und IV.

Die entsprechende Wurzelrechnung verläuft genau wie bei (11).

Den Übergang von einer ganzen linearen Substituai £ + ß

tion (VI) zu einer „gebrochenen“ x = mittelt die „reziproke“ Substitution:

ver-

(VIII)

Denkt man sich (VIII) in f(x) vollzogen, und mit £2 herauf multipliziert, so entsteht die „transformierte“ Form 99(1) :

(IX)

<p(l) -cP + 2&£ + a = a£* + 2ß£+y ; da diese Form die reziproken Werte —

—- zu Wurzeln

xx ’ x₂

besitzt, heißt sie die zu f „reziproke“. Gemäß § 1, (4) und (5) kommt:

(15)

D<p =

Lineare Substitutionen.

c*_ f l 4 Va?!

\Lk)i(xi~X2)2='~a2

oft

r-(l

- 4)² = -

-- (a?i - x₂y-

(16)

Dv = Df,

wie auch sofort auf Grund von (IX) aus ocy — ß² = ac — T)2 hervorgeht :

Satz VI. „Gegenüber der reziproken Substitution (VIII) ist die Diskriminante Df von f eine absolute Invariante.“

Durch Zusammensetzung der reziproken Substitution (VIII) mit der „ganzen“, (VI), erwachsen spezielle gebrochene Substitutionen vom Typus:

(16)

m £ + Tc ’

die keine Gruppe bilden. Die Relation (12) bleibt erhalten.

Setzt man endlich (16) nochmals mit einer Schiebung zusammen, so entsteht die gebrochene Substitution:

(X) oder ausgeführt:

(X')

_ (l m) £ -j- (1 -j- Tc l)_ txx £ ßl

m£ +Tc    Yx£ +    ’

wo die neuen Substitutionskoeffizienten mit <xx, ßx, ylf Óx bezeichnet seien:

(17)

ßx=l + Tel

(Xx — ml

Da (X) nur von den drei Verhältnissen der oct1 ßx, yx, (5X als Parametern abhängt, darf man sich auf endliche Werte der ocx, ßx, y1} ô, beschränken. Schreibt man (17) in der Gestalt:

yx — m

(18)

A-i =

so lehrt die Elimination von l, daß die <xx, ßx, yt, <3j an die Relation gebunden sind:

Sei umgekehrt diese Bedingung für vier, im übrigen [bei nicjit verschwindender linker Seite von (19)] beliebig gegebene Größen otx, ß₁, yx, àt erfüllt, so bestimmen sich die früheren Kdeffizienten m, k, l in (X) vermöge

(18) durch:

(20)

ft-1 \ ‘

Da es sich empfiehlt, auch in der ersten Darstellung (17) unendliche Werte der m, k, l zu vermeiden, unterscheide man zwei Hauptfälle. Ist erstens im besonderen yx = 0, wo dann ^ Ą- 0 sein muß, so versagt die Darstellung (X), aber es wird auch die Relation (19) überflüssig²); die Division mit <5, führt direkt zur ganzen Substitution (VI):

(VI)

= p _J_ El ' ài \

Verschwindet hier noch spezieller k, d. i. ßx, so ge-

Als anderer

langt man zur Streckung (IV) zurück.

die

Spezialfall entsteht für m = 1, bei beliebigem k Schiebung (I), und diese enthält als speziellsten Fall die „identische“ Substitution („Identität“) x = $.

Zweitens sei yx =}= 0, so nennt man die Substitution (X') eine „echt“ gebrochene. Solange dann auch <4 4= 0 — dieser Fall sei als der „allgemeine“ bezeichnet —, so ergeben sich aus (20) eindeutig bestimmte, endliche Werte der m . k . I.

Verschwindet dagegen im besonderen <5X, also auch k, so folgt aus (19) /?! = !; (17) reduziert sich auf:

(21)

<x₁ = Im , so daß umgekehrt:

<$! = 0

*) In der Tat ist die Relation (19) für yx = 0 unerfüllbar, da deren linke Seite von Null verschieden sein sollte.

(22)

(23)

<² l£ +'l

X — ---:--=

Y\ i

■Uji

übereinstimmend mit der rechten Seite von (X) für k = 0. Demnach ordnet sich der Unterfall ^ = 0 {yv =(= 0) — für k = 0 — in den allgemeinen der echt gebrochenen Substitution ein.

Sei jetzt umgekehrt eine lineare Substitution 8 :

(XI)

a £ + ß X~~ y S + à

mit beliebigen, endlichen Substitutionskoeffizienten <x, ß, y, Ô vorgelegt; es wird lediglich vorausgesetzt, daß die „Substitutionsdeterminante“ A :

(24)

A = ocô — ßy

Eine solche 8 heiße eine

von Null verschieden sei*).

„eigentliche“.

Man wird dann (XI), entsprechend den beiden obigen Typen, auf eine „kanonische“ (oder „Normal“-) Gestalt bringen.

Entweder ist im besonderen 7 = 0, also =j= 0 , dann ist (XI) eine ganze Substitution, und die Division mit Ô in den Zähler a £ + ß liefert direkt die „Normalform“ (VI).

Oder aber es ist y =j=0, dann ist (XI) eine echt gebrochene Substitution. Um zu vier, der Relation (19) genügenden Substitutionskoeffizienten txlf ß₁, y₁, zu ge-

in (XI) mit

langen, erweitere man den Bruch einem konstanten**) Faktor ju :

œ Qm <x) £ + (^ ß)

X (/* 7) £ + (p ô) ’

& £ 4~ ß

(25)

*) Denn im Falle A — 0 würde stets ein Wert von £ existieren, dem jeder Wert von x entspricht, wie man noch deutlicher erkennt, wenn man die 8 in die Gestalt x(y £ + <5) = «£ + /? setzt (cf. § 7). Sind alle vier Koeffizienten von Null verschieden,

—. Verschwindet

so ist der fragliche Wert von £ : £ = —

aber ein Koeffizient (und damit stets noch ein zweiter), oder verschwinden drei der Koeffizienten, so kann der in Rede stehende Wert von £ im besonderen auch 0 resp. oc sein. Verschwinden endlich alle vier Koeffizienten, so läßt sich die S als eine ganz singuläre auffassen, bei der jedem Wert der einen Variabein jeder Wert der anderen entspricht.

**) Unter einer „konstanten“ Größe ist allgemein eine von den Variabein (hier x, £) unabhängige zu verstehen.

Quadratische und bilineare Formen, und verfüge über u so, daß (19) erfüllt wird, dann kommt:

46

(26)

fX =

—y

-y

Da nach Voraussetzung Zähler und Nenner der rechten Seite von (26) endlich und von Null verschieden sind, so erhält u einen eindeutig bestimmten, endlichen und von Null verschiedenen Wert, und (XI) nimmt die Gestalt an:

a y t _ h

<*i £ ~ł~ ßi

y i £ + \

(27)

A * A

x ==

ïlt ïô

A * A

Die neuen Substitutionskoeffizienten <xt, ßt, yx, Öx erfüllen jetzt die Bedingung (19), und die alten Koeffizienten Tc, l, • m in (X) berechnen sich sofort aus (20).

zu

Ist speziell <5 = 0, wo dann ß 4= 0 sein muß, so wird A=—ßy, /Ö₁ = 1 ; man hat also den Unterfall (23) dem man aber bequemer direkt von (XI) aus gelangt, indem man (für <5 = 0) Zähler und Nenner mit ß dividiert:

IC

oc

*Cb: 8

'Orr

'Cci'n: m

Damit ist eine echt gebrochene Substitution (XI) (y =|= 0) stets auf die Xormalgestalt:

(X)

zurückführbar.

Die Zusammenfassung beider Hauptfälle liefert den Satz VII{ „Eine beliebig vorgegebene Sub-

stitution (XI) x =

mit von Null ver-

& £ ~j~ ß

y£ + <5

dann führt Durchdivision mit y zur Normalform (VI) a? = ra £ -f fc . Oder aber, bei y =\= 0, ist (XI) eine echt gebrochene Substitution, dann

schiedener Determinante d = a ô — ßy, ist entweder im besonderen, bei 7 = 0, eine ganze Substitution

liefert Erweiterung des Zählers und Nenners von

(XI) mit dem Faktor /x = N orm alform (X) x =

vermöge (20) die 4-l. Der Unterfall <5 = 0

_y_

m £ -}- k

entspricht dabei k == 0, und umgekehrt; dann genügt, um zu (X) zu gelangen, Durchdivision des Zählers von (XI) mit y.“

die ,, Fundamentalsubstitutionen“

Die zwei Normalsubstitutionen (VI) und (X) lassen sich leicht aus den drei einfachsten Substitutionen, (I), (IV), (VIII)

heißen — zusammensetzen.

Um derartige Zusammensetzungen resp. Zerlegungen von Substitutionen einfach darzustellen, bedient man sich naheliegender Abkürzungen. Der durch eine einzelne Substitution geforderte Übergang von einer ersten Variabein zu einer zweiten werde mit einem großen lateinischen Buchstaben S, resp. 1\ U, ... bezeichnet; insbesondere sei A das Zeichen für eine Schiebung (I), M für eine Strek-kung (IV), F für die reizproke Verwandtschaft (VIII), endlich G für eine ganze Substitution (VI) und E für eine echt gebrochene Substitution (X). Substitutionen derselben Art, aber mit verschiedenen Parametern, seien durch Akzente unterschieden, z. B. A : x = £ + k , A': x — £ + k'.

Übt man 8, T hintereinander aus, so daß man zunächst vermöge 8 von einer ersten Variabein x zu einer zweiten übergeht, sodann von zu einer dritten, £, so versteht man unter dem (symbolischen) Produkte 8T diejenige Substitution, die direkt — nach Elimination von £l — den Übergang von x zu £ angibt. Im allgemeinen ist ST von TS verschieden: die Multiplikation ist nicht ..kommutativ“; liefern aber im besonderen beide Produkte die nämliche Substitution, so heißen S und T vertauschbar.

Aus drei Substitutionen S, T, U entsteht das Produkt STU = (ST)U = S(TU) usf. Das Produkt von beliebig vielen Substitutionen befolgt das „assoziative“ Gesetz, d. h. es ist gestattet, eine beliebige Reihe aufeinanderfolgender Faktoren zu einem einzigen zusammenzufassen und diesen wieder mit den übrigen zu verbinden.

Die identische Substitution x = £, die nur die Bezeichnung der Yariabeln ändert, läßt sich bei Zusammensetzungen durch den Faktor 1 repräsentieren, sö daß 1 • 8 — 8-1 ist.

Es wird A (I) zu 1

wenn der Parameter Je den Wert 0, und M (IY) zu 1, wenn der Parameter m den Wert 1 annimmt.

Demgemäß gestalten sich die Zusammensetzungen der zwei Normalsubstitutionen (VI), (X) aus den Fundamentalsubstitutionen A (I), M (IY), R (VIII), wenn Zwischenvariable mit , |₂, ... bezeichnet seien, wie folgt.

Für die ganze Substitution G (VI) gilt, wie schon angegeben : x —    + Je, £₁ = m£;;r='m£-|-fc (m =}= 0), also :

(VF)

G = AM ³),

wo sich im besonderen A (für Je = 0) oder M (für m = 1) oder auch zugleich beide auf die Einheit reduzieren können. Für die allgemeine, echt gebrochene Substitution E (X) kommt:

$₂ =    Je ;

(«» 4= 0) ,

E = ARG = AEJL'Jf .

Für J/=l (fc = 0) spezialisiert sich (X) in (23). Überhaupt können sich A , A', M unabhängig voneinander auf die identische Substitution reduzieren. Es gilt demnach:

„Die beiden Normalsubstitutionen (r (VI): x-=m^-\-Je und E (X): x =

und damit auch jede lineare Substitution 8 (XI)

_ oe £ + ß

x~ 7T+t

Substitutionen vom Typus A (I): x = £ + Je ; M (IV):

= R (VIII): x = . nach den Regeln G = AM,

ç

E = ARG = ARA'M zusammensetzen.“

m £ + Je

(³)

Satz VIII.

m £ + Je

(zl 0), lassen sich aus Fundamental-

Übrigens sind die angeführten Erzeugungen von (YI) und (X) nicht die einzig möglichen, wohl aber die einfachsten; aus weniger als zwei resp. vier Fundamentalsubstitutionen läßt sich (VI) resp. (X) nicht erzeugen.

Bezüglich eines anderen Typus von Normalsubstitutionen siehe § 6.

Die Sätze VII und VIII mögen dazu dienen, das durch die Sätze II, IV, VI ausgedrückte invariante Verhalten der Diskriminante Df von f(x) = a x² -f- 2 b x 4- c gegenüber den auf f ausgeübten Fundamentalsubstitutionen A , M, E unter einem allgemeineren Gesichtspunkt zusammenznfassen und sodann auf verwandte Bildungen zu übertragen.

Bedeute <p(tß stets die transformierte Form, so war bei A und E nach Satz II resp. VI Dv = Df, bei M nach Satz IV Dy = m² Df.

Auf Grund von Satz VIII gilt sonach auch bei G (VI) und E (X) die Identität Dy = m² Df.

Nun geht aber aus (17) hervor, daß die Determinante Ae = <xx — ßl y₁ der in der Gestalt (X") geschriebenen Substitution E (X) mit — m übereinstimmt:

(29)

AE — oc^    Yi ⁼⁼ tïï .

Andererseits sind die Determinanten AÄ, AM, AR, A₀ der drei Fundamentalsubstitutionen (I), (IV), (VIII), sowie von G (VI):

Ag = m .

(80) Aa = 1 , Am — m , AR = — 1

Somit befolgt Df gegenüber G (VI) resp. 'E (X) das gemeinsame Verhalten:

Dv = AlDf,

(31)

Dv = A%Df.

Erweitert man endlich die rechte Seite von G resp. E mit einem beliebigen konstanten Faktor q , und benutzt das gemeinsame Zeichen A für die Determinante der je so erweiterten Substitution, so nimmt A beidemal noch den Faktor q² an:

A = g² Ag resp. A = AE .

Aber auch die Koeffizienten der neuen transformierten Form cp erhalten, gegenüber der bisherigen, den Faktor q² , also die neue Diskriminante gegenüber der bisherigen den

(32)

Faktor p⁴. beiden Fällen zur Relation :

Faßt man zusammen, so gelangt man in

D(p = A⁴Df

(XII)

„Übt man auf eine quadratische Form f eine beliebige Substitution 8 (XI): x —

und damit zu: Satz IX.

oc £ -\r ß

y £ + à

(A = ocô — ßy=\= 0) aus, wodurch, nach Heraufmulti -plikation des Nenners Q'l + ä)², f(x) in <p(£) übergehe, so unterscheidet sich die neue Diskriminante Dy von der alten Df gemäß (XII) stets nur um das Quadrat der Substitutionsdeterminante A

Die Schlüsse, die zu dem Satze IX führten, lassen sich wesentlich verallgemeinern. An die Stelle der quadratischen Form f{x) trete eine „Form wter Ordnung“:

(XIII) f(x)

a₀xn -f-    + a₂ a?n_2 + • • • + «k-j« -j- an ;

an Stelle der Diskriminante Df eine ganzrationale Funktion J(aß der Koeffizienten «q, die in diesen „homogen“ von einer „Dimension“ d vorausgesetzt werde, so daß, unter t eine beliebige Variable verstanden, identisch die Bedingung:

J (t aß ~tdJ (aß

(XIV) erfüllt sei.

Seien wiederum oc, ß, y, ô vier beliebige Größen mit A = ocö — ßy=\= 0, so werde die Substitution 8 (XI):

auf f(x) in dem Sinne „ausgeübt“, daß

oc £ -\- ß X~ y£ + ö

man sich nach Einsetzung der rechten Seite von x mit (y £ + ö)n herauf multipliziert ⁴) denkt; die so aus f (x) hervor-gehende Form cp (£), die nach Potenzen von £ geordnet, laute :

(XV)    cp(£) := OCq £n -j- 0C₁i;n~¹ 4- oc₂ £n~i -+-•••+ &n- 1 £ 4"

heiße die vermöge 8 „transformierte“ Form. Die neuen Koeffizienten sind offenbar in den ,, Substitutions-koeffizienten“ oc, ß, y, ô homogen von der Dimension n.

Für 8 nehme man der Reihe nach eine A (I), eine M (IV), eine R (VIII), eine G (VI) und eine E (X).

Die ursprüngliche Funktion J (aß sei mit Jf, die neue

J (tXi) jeweils mit Jv bezeichnet, invariante Verhalten von J gegenüber A , M , R durch die drei Forderungen festgelegt:

Dann werde das

A/Jy = Jf ;

(XVI)

M)JV = mrJf ;

wo co eine feste natürliche Zahl sei.

Auf Grund des Satzes VIII und der Festsetzungen (XVI) gilt alsdann auch bei G (VI) und Æ (X) das gemeinsame Verhalten:

(310

Jv = A%Jf,

Ae wieder die Determinanten von G, E be-

wenn A

deuten. Erweitert man endlich, wie damals, Zähler und Nenner von G resp. E mit einem beliebigen konstanten Faktor g, wodurch man zu einer alle Fälle umfassenden Substitution 8 (XI) mit den Koeffizienten oc, ß, .y, <5 und der Determinante A gelangt, so ist genau, wie damals:

A — g² Aq resp. A == o² AE .

Multipliziert man also jede der beiden Relationen (310 mit g2co, und bezeichnet die vermöge Ausübung von 8 transformierte Bildung J wiederum mit J(p, so verallgemeinern sich die Relationen (310 zu:

A“Jf.

(32)

(XII')

J <p -

ver-

Andererseits erhalten die Koeffizienten der neuen möge 8 transformierten Form cp im Vergleich mit den beiden bisherigen (vermöge G resp. E transformierten) den Faktor gn, mithin die neue Bildung J(p im Vergleich mit den beiden bisherigen den Faktor gnd.

Somit herrscht zwischen den drei Zahlen n, d, œ die Beziehung :

n d = 2 œ .

Eine Bildung Jf, die für jede lineare Substitution 8 (XI) das Gesetz (XIF) befolgt, und damit im besonderen auch die drei Gesetze (XVI), heißt eine „Invariante“ der Form /' (XIII) und der feste Exponent to ihr „Gewicht“.

(XVII)

Damit ist als Verallgemeinerung des Satzes IX gewonnen:

Satz IX'.

„Ist Jf eine ganzrationale Funktion der Koeffizienten einer Form f(x) (XIII) wter Ordnung, homogen in den von einer Dimension d, so ist, damit Jf gemäß der Definition (XIF) eine Invariante von f mit dem Gewichte m wird, notwendig und hinreichend, daß sich Jf gegenüber einer Schiebung A, einer Streckung M und einer reziproken Substitution R gemäß den drei Regeln (XVI) invariant verhält.“

Je nachdem w eine ungerade oder aber eine gerade Zahl ist, je nachdem also Jf nach Ausübung einer R das Vorzeichen ändert oder nicht, nennt man Jf eine „schiefe“ oder eine „gerade“ Invariante von f.

wo:

Dies gestattet die Ausdehnung auf ein „System“ mehrerer Urformen fn{x), gp(x), hq(x),

¹

In der Geometrie bedient man sich des Ausdrucks „Ähnlichkeitstransformation“.

²

= 0, (/! 4= 0).

Damit geht (X') über in:

³

Man kann hier auch die Reihenfolge rechts umkehren, insofern aus x — m    = £ + l folgt : x — m £ -f k , wo k — ml.

⁴

Diese Heraufmultiplikation wird bei Einführung der homogenen Variabein überflüssig, siehe § 6.

(XIII a)

fn{x) = a₀xn + ax xn-x + «₂ xn~² + .. . + an , gp(x) = b₀ x* +    -f &₂ x'p-² + ... +b

7iq(x) = c₀ xq + cxxq-x + c₂ xq~² + ... + cg ,

Vermöge einer 8 (XI) mögen diese Formen, nach Herauf-multiplikation mit den bezüglichen Nennern (y £ -f ó)", (y £ + <3)p, . •übergehen in neue tpn(£), y>p(^), xq(i), mit Koeffizienten , ßk. yt, ...

Der in den (a), (b), (c), ... ganzrationale Ausdruck heißt eine Invariante der /', g, h, ..., wenn in Verallgemeinerung von (XII) die Identität besteht:

(XII a)

g, h,...

.EEEZUJ/,

Diese ist jedenfalls dann erfüllt, wenn die drei Einzelidentitäten (XVI) gelten, wo wiederum je Jf, Jv resp. durch Jft

zu ersetzen sind.

g,h,...i    x,...

Nimmt man überdies an, daß Jf>g,n,... je in den (a), (6), (c), ... einzeln homogen ist, von der resp. Dimension df, dg, dh, .. ., so erkennt man unmittelbar, daß die linke Seite der Identität (XII a) in den Substitutions-koeffizienten a , ß, y, ô homogen ist von der Dimension

n df p dg -)r q dh • • mension 2 w , so daß sieh die Relation (XVII) erweitert zu :

die rechte dagegen von der Di-

(XVII a)

in df -\- 'p dg “h g d/i -j- . . . — 2 co .

Wir kommen hierauf ausführlicher im zweiten Abschnitt (§ 12ff.) zurück.

Wir kehren nochmals zu der speziellen Formel (XII) zurück. Führt man die linke Seite aus, so gelangt man zu einer bereits in § 4 abgeleiteten Formel zurück. Die aus f(x) = a x² A 2b x c vermöge (XI) hervorgehende Form <p{£) wird:

'95(f) = «(«f + ß)² + 2 6 (a f + ß) (y £ + <5) + c(y £ + ö)2 = P(a tx² + 2 b oc y + c y²)

(33)

+ 2 £{[a (X ß + b(oc ô + ß y) + c y <5]}

4- (aß² + 2b ßö + cd²)

= A£² + 2B£+C ,

‘wo die neuen Koeffizienten A , B, G gemäß den in § 4 (XIV) eingeführten Bezeichnungen mit den Bildungen übereinstimmen :

(34)    A=f(x,y), B = f(oc,y,ß,ö), C = f(ß,ö).

Dann ist aber (XII) nichts anderes als die Fundamentalidentität (XIV) des § 4:

(XII a)    <5 )-fH«,y,ß, <>) = (« s~ßrf(ac-»»),

wo nur die damals verwendeten Buchstaben x, y ; x', y' hier durch a , y ; ß, ô ersetzt sind.

Der Satz IX' möge eine erste Anwendung finden auf die in § 3 aufgestellten Bildungen, die bilineaxe Invariante H und die Resultante von zwei quadratischen Formen /', F, sowie auf die trilineare Invariante H (§ 4) von drei quadratischen Formen f, g, h .

Die Formen f(x) — a x² + 2 b x + c = a(x — xt) (x — x₂), F(x) = A x² -f 2 B x + C = A (x — ax) (x — oc₂) mögen durch irgend eine lineare Substitution übergehen in cp (£) = oc £2 + 2ß£ + y; <£(£) = Af* + 2Bf+r.

Wird H jetzt genauer mit Hf, p bezeichnet, die transformierte Bildung mit    so war nach § 3, (Ilb), (II')

und (3):

(35)

Hf.F

= aC-\-cA — 2bB = — —— (Z A N) ,

Li

Zj = {xx — cc₁) (<x₂ — x₂)

N = {xx — <x₂) (<xx — x₂) .

Bei einer Schiebung x = £ + k bleiben nach (II) und (III') sowohl a, A , wie Z, N ungeändert, also auch Hfp. Bei einer Streckung x = ist nach (V') tx = am²,

A = A m², somit 0 =

(Z + N) = m*Hf,r. Bei der reziproken Substitution x = — gehen nach (IX) a , A über in resp. c, G, so daß sich ergibt:

a A m4 2 m²

— (Z + N) = Hf)P.

Auf Grund des Satzes IX' gilt also allgemein:

0 = A² Hf p ,

d. h. H ist eine Invariante der beiden Formen /’, F (mit dem Gewicht 2), womit der in § 3 eingeführte Name „bilineare Invariante“ hinterher seine Rechtfertigung findet.

Die Resultante B [(IIIb) und (IV')] definiert durch:

BfjP=4(aB — bA)(bG — cB) — (aC — c A)2 = -a²A²ZN.

(XV)

(36)

2 txx cx₂ • xx x₂

f,F

von f und F war nach § 3

Gegenüber einer Schiebung, resp. reziproken Substitution, bleibt B

den Faktor m⁴ an, so daß allgemein:

N<p, 0 —

f.F

ungeändert, bei einer Streckung nimmt Rf P

(XIX)

f,F J

d. h. Bft 0 ist eine Invariante von f und F mit dem Gewichte 4.

Während bei Hft P und Bf F bequemer mit den Wurzelausdrücken operiert wurde, wird man bei der trilinearen Invariante h [§ 4, (32)] der drei Formen

= a₀ x² + 2 dy x + a₂

g = b₀x² + 2btx + b₂,

Ji = c₀ x² -f- 2 Cy x + c₂

Hfgh = | a₀ a,i d₂ |

lieber den Koeffizientenausdruck (37) benützen.

Bei einer Schiebung: x — £ + fc wird nach (III) das für die transformierten Formen cp, ip, % gebildete H :

= ! d₀ , a₀ 1c -f- d₁ , d₀ 1c²    ^ d₁Tc d₂ ~ \ d₀ dy d₂

(37)

f,g,h •

Eine Streckung x = mh, liefert nach (V ):

m³|a₀ % «g | = mäHft,J>h ,

\a₀ m², dy m , a₂

und die reziproke Substitution x =

zufolge (IX):

i d₂ dy clq — Hf g t k .

Somit gilt allgemein:

(XX)

= A³H

f,g,h >

ist also eine schiefe Invariant^ der /', g, Ji mit dem Gewichte B. Zu dem Ergebnis (XX) hätte man auch direkt von § 4, (33') her gelangen können, wonach H² = \ Hik j war. Da jedes Hilc gemäß (XII) und (XVIII) bei einer Substitution 8 (XI) den Faktor A² annimmt, so erhält H² den Faktor A⁶, H selbst den Faktor +A³. Ein beliebiger Spezialfall läßt erkennen, daß nur das positive Zeichen gilt.

Aufgabe 1. Es ist zu zeigen, daß die folgenden Transformationen in zwei Variabein x, y die Gruppeneigenschaft besitzen, sowie daß sich die Parameter bei Zusammensetzung der Transformationen einer Gruppe ebenfalls zu einer Gruppe („Parametergruppe“) zusammensetzen; ferner, daß die jeweils mit J, und J₂ bezeichneten Ausdrücke zwei absolute charakteristische Invarianten der Gruppe sind, so daß die letztere durch die Gleichungen J[ = Jy, J'i — J2 darstellbar wird. Schließlich sind die geometrischen Angaben auf ihre Richtigkeit hin zu prüfen; dabei mögen x, y resp. x', y' rechtwinklige Punktkoordinaten der Ebene sein : gbedeutet die unendlich ferne Gerade,

TJX resp. TJy den nnendlicli fernen Punkt der x- resp. y-Achse, 0 den Anfangspunkt (x = 0, y = 0). Mit z resp. z' wird die dritte homogen machende Variable bezeichnet¹).

a)

A. Eingliedrige Gruppen.

y' =.a¹ y

x' — ax

j,--?

(<x ist eine willkürliche Konstante, =j=0, 1).

J₂ = -

y    x«

sowie jede Kurve der Schar — = const. ; für (x = 2, —1, ^ sind das Kegelschnitte. ^

xa

. Die x- und y-Achse nebst g^ bleiben invariant,

(2)

y' = eky .

= x — xx, J₂=    • Es bleiben invariant 0oo nnd auf

ihr Ux TJy, sowie die «-Achse und jede Kurve der Schar = const.

(3)

x' — x + k ,

y' = V + Tex +

tö]

Jx — x — «!, J₂ — 2 y — x². Es sind invariant goo und TJy, sowie jede Kurve der Schar x² = 2 y + const., d. s. oo¹ Parabeln mit demselben festen Parameter (Eins) und der y -Achse als Achse, die also g^ in Uy berühren.

(4)

B. Zweigliedrige Gruppen.

y' = a² y -f- a fc x + fc² •

x' = ax + lc

x — x₁

2 y — x²

«i — «₂ ’

Der Ausdruck 2 y — x² ist

(x — xx)² ’

eine relative Invariante, da 2y'— x'² = a²(2y — x²). Es bleibt die Parabel 2 y = x² invariant, und auf ihr der Punkt Uy(x=0,2=0). (Der zweite, auf der Parabel bei einer

Tc

einzelnen 8 (4) invariant bleibende Punkt x₀ = —-,

i a

bängt von den Parametern ab.) Für

fc²

Vo =

lima = 1 entsteht als Grenzfall die Gruppe (3).

2(1- a)²

(5)

x' = x -f k ,

y' = y -\-Tcx + 1 .

J± = x — xx, J₂ — (y — Vi) —    — ®i) • An Stelle von J₂

/7 y

läßt sich auch verwenden J\ = x--- •

ein derartiger

Ausdruck heißt eine Differentialinvariante der Gruppe. civ

als drei unabhängige Verändern che

auf, so bilden deren Transformationen wiederum eine Gruppe, die „erweiterte“ der ursprünglichen Gruppe [siehe auch die Aufgaben (6), (7), (9 a)]. Es bleiben und üv invariant.

Faßt man x, y

dx

dx

(6)

x' = x -f Tc ,

y' = eky + 1.

tf j — X X^ , . tf 2 —

Differentialinvariante Jl =

ex

Statt J₂ kann auch die dy

dx

: ex benützt werden. Es

bleiben ü

(?)

Uy und damit auch ginvariant.

x' = ax ,

y _ /)/

--— . An die Stelle von J₉ darf auch

® dy

¹ treten. Jeder Punkt

y' = ay + 1 .

die Differentialinvariante Jt —

dx

von goo bleibt invariant, sowie die y -Achse.

y' == aa y + cx

(a ist wiederum eine willkürliche Konstante, =|=0, 1).

(8)

x' — a x ,

Ji-

Xa

-1

Es bleiben invariant Ux, Uy und damit g^ sowie die y-Achse.

(9 a)

C. Dreigliedrige Gruppen.

x' = ax-\-~k, y' = ay-\-l.

J,=

T* _ dy "2 —

x — x1 xx — x₂

-xx

Statt J₂ kann man auch

dx

(9b)

nehmen. Jeder Punkt auf ist invariant.

x' = x ,

y' = cx + dy + 1 .

a,~?-

j -i

³ - ,1

x y 1 w0 ^012= xi y\ i 2/2 ¹

Jeder Strahl durch Uv bleibt invariant.

012

123

und ent-

sprechend d

Die beiden Gruppen (9 a), (9 b) sind zueinander dualistisch.

(10)

x' = a x ,

y' — dy + l .

J2-

y -y 1

(H)

2/i -2/2

+ fc ,

. Im übrigen wie bei (8).

%

y' = a²y-\-a~kx + l.

x — a?!

a?i —o?2 ’

j₂ =

(a? — a^)²

1    a? -f a?x

2    x — xx

(2 y — a?²) — (2 yx — x\)

2 (a? — a7t):

Diese Gruppe enthält die für l = gehende (4) als Untertypus.

x' — x + Tc

J₁ = x — x₁, J₂ = d₀₁₂ [siehe unter (9 b)]. Im übrigen wie bei (9 b).

(13 a)

daraus hervor-

(12)

x' = x + Tc

Jx = X — xx

Es bleibt invariant U ihn laufende Gerade .

y •>

y' = y + cx + 1 .

y' = elcy-\-cx-\-l.

^012 e?

sowie doppelzählend die durch

J2 =

(13b)

x' = d x + Tc

x — xx

xx — x₂

y' = ety eHx + l. x

-Xi

— l(x — xx) .

Es bleibt invariant , sowie doppelzählend, auf ihr der Punkt üy. Die Gruppen (13 a) und (13 b) sind zueinander dualistisch.

(14)

x' :y' :l = a²x-\-2aby -\-b²:acx    (ad + bc)y Ą-bd:

c² x + 2 c dy + d².

n*

KXKZ »

K₁₂ =2y₁y₂—(x₁ + xa).

Jx =

KxK₂ ’

= y\ — x2

J2-

wo Kx = y\ — xx Der Ausdruck K = y² — x ist eine relative Invariante (in

d²

allgemeinerem Sinne), insofern K' = K • wo A — a d — b c.

Es bleibt die Parabel y² = x invariant.

Statt Jx läßt sich auch der irrationale Ausdruck verwenden :

(c² x + 2 c dy + ä²)²¹

KX₂+jKj₂-KxK₂

KX₂-iK\₂- KxK₂

und entsprechend für J₂.

Daher bedeutet J* das Doppelverhältnis des Punktepaares (1, 2) zu dem Paare, das die Gerade 1 2 aus der Parabel y² = x ausschneidet (s. § 8). Stellt man diese Parabel mit Hilfe zweier homogener Parameter l, /u dar :

x : y : 1 = l² : l /u : ju² ,

so entsteht die Gruppe (14) dadurch, daß man X, /u der binären Substitution unterwirft:

/jl' — c X -(- dju. .

Verlangt man überdies, daß irgend ein Punkt der Parabel, z. B. ju = 0, bei der Transformation invariant bleibt (so daß c = 0 wird), so reduziert sich die Gruppe (14) auf die unter (4) aufgeführte. Über eine andere homogene Behandlung der Gruppe (14) siehe Aufgabe (4) zu § 6.

X' — a Â + & ju

Analog ist die Gruppe in drei Variabein x, y, z zu behandeln, bei der die kubische Baumkurve x : y : z : 1 = Â³ : A²// : 2ju² : ₍a³ invariant bleibt. Setzt man K = y² — xz, L ~ y z — x, M = z² — y, K₁₂ = 2 yxy₂ —    + a?₂ %),

£12 =    + y₂ *i - 0*1 + «2) »    -3*12 = 2 % z₂ - (& + y₂) ,

so besitzt die Gruppe die drei absoluten charakteristischen Invarianten :

K²n

KiK₂ ’

J₂ =

%

LxL.₂ ’

Js =

§ 6. Erzeugung homogener Substitutionen aus Fundamental-Substitutionen.

Die Verwendung der nicht homogenen Substitutionen 8 vom allgemeinen Charakter (XI) des § 5:

(I) leidet an einigen Übelständen, indem Prozesse, die der Deutlichkeit halber auseinanderzuhalten wären, zusammengezogen erscheinen. So wird bei Ausübung von (I) auf eine Form wter Ordnung f(x) [§ 5, (XIII)] die transformierte Form 99(1) [1. c. (XV)] auf dem Umwege gewonnen, daß erst mit dem Gesamtnenner (y £ + 0)n herauf-multipliziert und alsdann der letztere unterdrückt wird.

Andererseits, da man den Bruch auf der rechten Seite einer beliebig vorgelegten Substitution 8 (I) noch mit einem beliebig konstanten Faktor o erweitern kann, gehören zu ein und derselben Substitution 8 noch 001 einander proportionale Substitutionskoeffizienten, so daß deren Determinante A völlig unbestimmt bleibt, solange nicht 8, wie in § 5, in bestimmter Weise normiert wird.

Man setzt daher die Substitution 8 (I) Heber in homogener Gestalt an:

ei)

y -= y f + à i?,

wo x, y resp. £, i] jeweils als zwei unabhängige Variable aufzufassen sind. Die Determinante A von 8 hat jetzt den bestimmten Wert:

(III)

x — (x £ -f- ßrj

A — <x ô — ß y ,

der nur von Null verschieden vorausgesetzt wird²). Eine solche S heißt eine „eigentliche“.

Wird (II) z. B. auf eine quadratische homogene Form:

(i)

ax² 2 1) xy -Ą- cy²

ausgeübt, so geht direkt auf Grund von § 5, (33), (34) als transformierte Form cp(£, rj) hervor³):

(2) <p{S, rj) = ? f{a , y) + 2 SfJ /²(« , y ; ß, <5) + ^ f(ß, <3) .

Es entsteht wieder die Aufgabe, eine beliebige Substitution (II) aus homogenen Fundamentalsubstitutionen zusammenzusetzen. Man wird zunächst das in § 5 eingeschlagene Verfahren in homogene Gestalt kleiden. Dabei sind jetzt x, y als „erste“ resp. zweite Variable zu trennen.

Die Schiebung A [§ 5, (I)], die Streckung M [1. c. (IV)] und die reziproke Substitution R [1. c. (VIII)] setzen sich um, wie folgt:

Schiebung (Translation) Ax der ersten Variabein x:

(IV)

(V)

Ax) x = | + 1er) , y r\ ; 'Streckung Mx der ersten Variabein x: Mx) x = m f

(zl=l)

y = v ;

Reziproke Substitution, bei der beide Variabein ihre Rolle vertauschen:

(VI)

R) x = t] , y = £ .

(^=-1)

Endlich stellt sich die damalige Erweiterung der rechten Seite einer 8 mit einem Faktor q nunmehr als eine selbständige Substitution E dar, die die „erweiternde“ heiße:

(VII)

x — gv .

(A = g*)

Mittels dieser vier homogenen „Fundamentalsubstitutionen“ läßt sich nach dem Vorgänge des § 5 jede Substitution 8 (II) leicht erzeugen. Den Zeichen Al, Mx, E soll genauer noch der Wert des jeweiligen Parameters hinzugefügt werden, also: AßTc), Mßm), 2?(o) usf.; eine

beliebige $ (II) schreibt man : 8 jj'j .

Sei zuvörderst eine 8j

mit 7 = 0, also ô =j= 0 betrachtet; für Ô = 1 reduziert sie sich auf die „ganze“

der ersten Variabein x. Gemäß § 5, (VI) hat man die Zusammensetzung:

Substitution , ß) = 8

(3)

oder abgekürzt: (VIII)

öi(«, /?) = «(

Fügt man zu (3) noch eine „Erweiterung“ E(g) hinzu: £2 Q £3

(Q =1= 0)

so entsteht:

(4)

x = (m e) Is + (fc e) % = * £3 + ß %

QV3 =

so daß umgekehrt:

g = ö ,

(5)

oc

und damit:

Ist hier im besonderen ß — 0

so reduziert sich Ax (~j und

auf die „identische“ Substitution x = Ç, y — rj (IX) spezialisiert sich zu

(IX')

Ist überdies noch oc = 1, so hat man die zu (V) analoge „Streckung M₂ der zweiten Variabein“:

(V')

M₂(ö) = 8

O H*.

o= O

= Jf,

(IH-

Ist dagegen y in ô (II) von Xull verschieden, so setze man nach dem Muster der Herleitung von (X) in § 5 zunächst At(l), B , Gßm , Tc) zusammen:

x = £ + l

y =

x = (Im) £₃ + (1 + fc2)% = Äi£3 + ßiVs % = yi 4 + <*i %

(6)

(7)

+

(«l    - ßi Yi = — Yi = ~m) »

und die weitere Zusammensetzung mit Æ¹ j liefert:

— *? = «£ + ß î? ,

[A,

£ + v = /£ + ^ »

fl

(8)

/'

(J = cc <3 — ß y)

l *    /*

wo // gemäß § 5, (20) von den a , ß, y, Ö abhängt mittels:

(9)

li =-

(X ô — ß y

Ist demnach umgekehrt ‘eine beliebige 8 (II) mit y 4= 6

vorgelegt, so bestimmen sich die Parameter l, k, m, —

der erzeugenden Fundamentalsubstitutionen Ax, A[, Mx, E gemäß (9) und § 5, (20) durch:

(10)

Te = —

zl

tH

und die Erzeugung von S (II) findet bei y =f= 0 ihren Ausdruck in: (X)

■    (7 + 0).

In dem Spezialfalle <5 = 0 reduziert sich A\ auf die identische Substitution, so daß, da jetzt A = —ßy, also

ß* 0:

(XI)

(7)

Andererseits spezialisiere man (X) zn der mit (VIII) analogen „ganzen“ Substitution G₂ der zweiten Variabein:

(VIII')

Indem man oc = 0 , ß = 1, also

K '•i O

tH

= —y nimmt, kommt:

(XII)

Damit ist der Satz bewiesen:

Satz I. „Jede homogene eigentliche Substi-

läßt sich bei nicht verschwindendem

y vermöge (X) durch die Fundamentalsubstitutionen A (IV), Mx (V), J (VI), E (VII) erzeugen, und bei verschwindendem y vermöge (IX) durch Ax, Mx, E.u

Vervollständigt man die Liste: (IV), (V), (V'), (VI), (VII) durch Aufnahme der zu (IV) analogen „Schiebung“ A2 der zweiten Variabein:

(ivo

(zl=l)

A₂) x = |, y =    + v

so kann man die in Satz I gelöste Aufgabe dahin er

weitern, eine beliebig vorgegebene

auf alle möglichen Arten durch eine hinreichende Anzahl jener sechs Fundamentalsubstitutionen zu erzeugen. Man wird zu dem Behuf diese Anzahl so weit wie möglich reduzieren und sodann die übrigen mittels der kleinsten Anzahl von Substitutionen ausdrücken.

Man gehe lieber synthetisch vor und stelle zunächst durch wiederholte Zusammensetzung der beiden Schiebungen Ax und A₂ — von der Determinante 1 — die allgemeinste mögliche Substitution her.    ,

Setzt man eine beliebige 'A von der Determi

nante A mit einer oder A₂ zusammen, so kommt:

ai)

, oc m + ß y , y m ô

¹

Ausführlicheres findet man in des Verfassers „Tabellen kontinuierlicher Gruppen“, Chicago Math. Congress Papers, New York 1896 (1898), die dort auf Grund der von S. Lie angegebenen infinitesimalen Transformationen der Gruppen berechnet sind; vgl. „Theorie der Transformationsgruppen“, Bd III, von S. Lie und F. Engel, Leipzig 1898.

²

Dies ist offenbar die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Gleichungen (II) stets nach £, rj auflösbar sind.

³

Diese Formel, in Verbindung mit der Gaußschen Identität (§2, S. 9), wird auf die Auflösung der diophantischen Gleichung fix , y) a x² + 2b x y Ą- c y² = m angewendet, wo m, a , b , c gegebene, x, y gesuchte ganze Zahlen sind („Darstellung“ einer Zahl m durch eine binäre quadratische Form f von der Dis-kriminante D — b² — a c). Beschränkt man sich auf „eigentliche“ Darstellungen x = a, y — y, wo a, y teilerfremd sind, bedeutet ß, ô eine Lösung der Gleichung ad — ß y — 1, und setzt man überdies l = f{a , y ; ß, <5), n — f(ß , d), so ist l² — mn — D . Daraus entnimmt man, daß die Kongruenz x² ~ D modm lösbar sein muß, damit m durch eine Form f von der gegebenen Dis-kriminante D darstellbar ist. Vgl. diese Sammlung, Bd. LIII, „Neuere Zahlentheorie“ von P. Bachmann, S. 106, 110.

.*(    =s{“tn ; )

Die neue Substitutionsdeterminante ist beidemal wieder gleich A . Da nun für Ax und A₂ selbst A = 1 ist, so gilt, wenn eine Substitution von der Determinante 1 eine ,,uni-modulare“ genannt und mit ü bezeichnet wird:

Satz II.

,, Durch beliebig wiederholte Zusammensetzung der beiden Schiebungen A1} A₂ — mit sich selbst oder miteinander — gehen immer nur unimodulare Substitutionen U hervor.“

Da ferner bei Zusammensetzung einer beliebigen 8 mit einer J, M₁ (ji), M₂ (u), R(a) die Determinante A resp. den Faktor —1, /ti, /u, /u² annimmt, so läßt Satz II erwarten, daß sämtliche U durch geeignete wiederholte Zusammensetzung von Ax und A₂ erschöpft werden. Zuvörderst entstellt:

(12)

Ax{m) -A₂(n) = Z7| A₂{n) Ax(m) = u(}

n , 1 -j- m n I

Umgekehrt sind auf diese Weise alle U darstellbar, für die der vierte resp. erste Koeffizient den Wert 1 hat:

(13)

H 8-

am-Mv),

— -4M ■ At(ß) ,

(oc — ßy = 1)

(Ô- ßy=l)

da sich <x resp. <5 von selbst durch den Wert 1 + ß y bestimmt. Im besonderen kann bei der ersten ü (13) <x = 0 sein, so daß ß y = — 1, oder aber es kann, für ix =(= 0 ,

Meyer Allgemeine Formen- und Invariantentheorie 1.

ß — 0 oder 7 = 0 oder auch beides zugleich eintreten, so daß Ay(ß) = 1 oder Ax(y) = 1 oder beides zugleich eintritt. Entsprechendes gilt für die zweite U (13).

Die Substitutionen (12) werden jetzt von neuem mit einer Ax(/i) resp. A₂ (v) zusammengesetzt:

Ay(m) A₂(n) Ay(/z)

= U\

1 + ro», m + //(l -f- m n) — /u + m(l -f- n ₍u)

(14)

1 -j- n [i

A₂(n) Ay{m) A₂(v)

= TJ\

1 -f- m v ,

v -f- w(l 4* w v) — w + v(l + m n)

Hier treten beidemal drei willkürliche Parameter m, n. u resp. n, m, v auf; man wird also erwarten dürfen, daß

eine „allgemeine“ u(^ (jj

, d. h. etwa von gewissen Ausnahmefällen abgesehen, auf jede der beiden Arten (14) erzeugbar ist.

Es ergibt sich umgekehrt :

ö -1

(15)

oc — 1

ô-i

woraus dann von selbst, wegen A = 1, für ß resp. 7 die in (14) stehenden Werte folgen. Solange also ß =\= 0 und y 4= 0, erhalten gemäß (15) die Parameter n, m , a resp. m , v , n stets endliche und bestimmte Werte. Ist y = 0, aber ß =|= 0 und vice versa, so versagt zwar die erste Darstellung (15), aber es gilt noch die zweite und vice versa.

Nur für ß — 0 und zugleich y = 0 versagen beide Darstellungen (15) und damit (14). Damit ist bewiesen:

Satz III.

„Eine beliebig vorgegebene uni-

jjj ist, solange ß 4= 0 und y =}= 0, in

modulare U

jeder der beiden Arten aus*den beiden Schiebungen Ay und A « erzeugbar:

(XIII)

Für ß = 0, 7^=0 versagt die zweite Darstellung, während die erste bestehen bleibt und vice versa. Nur in dem einen Ausnahmefalle, wo ß = 0, y — 0, versagen beide Darstellungen.“

Behufs Erledigung dieses Falles ß = 0, 7 = 0 setze man die Substitutionen (14) nochmals mit einer A₂ resp. Ax zusammen. Es genüge die Ausführung der ersteren Operation ;

AM) A₂(n) AM A₂(v)

(16)

ux

'(l + ww)(l + ₍aj') + mj', ' m -f-//(l + mn) = n + r(l À n /u) = v + w(l + fx v)

Liegt jetzt umgekehrt eine Z7 j

Cr o

vor, so daß ô = ausdrücken :

mit beliebigem a so lassen sich ju und v durch m und n

(17) p =

—n

= —n{ 1 -\- mri) .

1 -f- W /U

a «    -, i - , .    <5—1    (1 — d) (1+.m»)

Aus Ô = 1 -j- n /i folgt n =-= --——-

hieraus :    w

■ft

, und

(18)

mn =

Cr

Die Einsetzung in (17) liefert:

—m

[i =-

(X

womit die Parameter ju, v, n durch den letzten, willkürlich (nur 4=0) bleibenden m und den gegebenen Koeffizienten a ausgedrückt sind. Nimmt man etwa m = 1, so geht (19) über in:

m = 1,

(19)

v — —na

1 + m n = (x

(20)

—a (a — 1) ,

womit bewiesen ist:

(XIV) u(*

Neben diese Erzeugung tritt eine analoge, wo die Al und Ä₂ in geeigneter Weise vertauscht sind.

A₂

Auf Grund der Sätze III, IY und von (12) ist jede unimodulare U durch Schiebungen Ax zusammensetzbar.“

Dem Satze IV läßt sich eine andere Fassung geben, in der der in § 5 für besondere Fälle erläuterte Begriff der Gruppe hervortritt, wenn man sich eines grundlegenden Satzes über die Zusammensetzung beliebiger 8 bedient.    ,

und

mit den Determinanten A und Ax hintereinander aus :

y = y h + ô Vi ;

Vi = Yi è + ôiV t

Man führe zwei beliebige Substitutionen 8 f'% ‘A

(21)

Satz IY. ,,Die den Ausnahmefall des Satzes III

ist aus At, Aa er-

bildende unimodulare ü(q \ zeugbar vermöge:    '    '

■i

| x = oc^ + ßrji , \    =    -I- ßxrj ,

so erhält man für die zusammengesetzte Substitution 81 j

ßi

(22)

_ a(**i + ßyi ,

\y*x + dyXi

a ßi + ßi (S>-,

y ßi +

so daß sich die neuen Koeffizienten A , B, C, D durch die beiden Beihen der alten:

* , ß, Y , à ; ocx, ß1} ylf Sx bilinear ausdrücken.

Nach dem Multiplikationssatz für zweireihige Determinanten ergibt sich für die Determinante V von (22):

(XV) V = AD-BG = AA₁ = {<xö- ßy){<xlöl — ßxyx) :

Satz Y.

,,Die Determinante des Produktes zweier Substitutionen ist das Produkt aus den

Determinanten der zusammengesetzten Substitutionen.“

Als Spezialfall ordnet sich Satz II ein, für V = A = Ą = 1 .

Gemäß (22) und (XV) setzen sich zwei „eigentliche“ iS, d. h. solche mit A 4= 0, stets wieder zu einer solchen zusammen, mithin bildet die Gesamtheit eigentlicher S eine Gruppe r, andererseits die Gesamtheit der U, d. i. aller unimodularen *) S eine in F enthaltene Gruppe rx, eine „Untergruppe“ von r. Weiter sagen die Sätze I, III, V des § 5 jetzt aus, daß die Schiebungen Ax, und ebenso die A₂ für sich eine Untergruppe von rx bilden, andererseits jeweils die Streckungen Mx, M₂, die ganzen Sub-

*) Die S mit der Determinante A = —1 bilden für sich keine Gruppe, Avohl aber die Gesamtheit der S mit den Determinanten A = +1 und A = —1 ; die letztere Gruppe zerfällt in zwei getrennte (je unter sich stetige) Mannigfaltigkeiten, und heißt daher eine „gemischte“ Gruppe.

Sind in einer 8 :

x — <x £ + ß t]

die Substitutionskoeffizienten ganzzahlig, so entspricht jedem Paar ganzzahliger £, y auch ein solches Paar x, y, und, falls A — +1 oder — —1, auch umgekehrt.

Ist diese Bedingung (A — ±1) auch notwendig?

Sei vorderhand zf(=j=0) noch unbestimmt, so hat man zunächst

A £ = ôx — ß y ,

Ai) = —a x Ą- y y .

Jedem ganzzahligen Paar x, y soll auch ein ebensolches Paar £, y entsprechen, insbesondere also den Paaren x = 0, y — \ und x — 1, y = 0 . Somit müssen jedenfalls a , ß , y , 8 durch A teilbar sein. Sei r der größte gemeinsame Teiler der oc, ß, y, <5, so geht demnach A in r auf:

r — a A .

Andererseits folgt aus A = a ô — ß y, daß A durch t¹ teilbar sein muß:

(1)

(2)

stitutionen G₁, G₂, und endlich die erweiternden Substitutionen E eine Untergruppe von r:

Satz VI. „Die U bilden eine Untergruppe T\ der Gruppe F aller eigentlichen S; die Ax, A₂ je eine Untergruppe von rif die Mt, M₂, Gx, G₂ und jE je eine Untergruppe von F.u

Lassen sich alle 8 irgend einer Gruppe aus einer Anzahl von einfachsten durch Zusammensetzung erhalten, so heißen die letzteren die „erzeugenden“ 8 der Gruppe.

Auf Grund des Satzes VI gestatten die Sätze II, III, IV die Zusammenfassung:

Satz VII. „Die Schiebungen Ax, A₂ sind erzeugende Substitutionen der Gruppe rt aller uni-modularen*) Z7.“

Andererseits erhält Satz I die Formulierung:

Satz I'. „Die Schiebungen Ax und Streckungen Mx, die reziproke Substitution B und die er-

*) Dieser grundlegende Satz ist auf die Gruppe der U mit ganzzahligen Koeffizienten (s. die vorige Anm.) übertragbar.

^ j eine derartige U; wo keiner der Koeffizienten ver

Sei U

schwinde.

Das Produkt TJA^h) liefert bei ganzzahligem h eine ganzzahlige Z7t, wo = <x , ßt = a h + ß, und entsprechend UA₂(k) eine U₂ mit a₂ = a + ß k, ß₂ = ß ■ Da « und ß (wegen A — 1) teilerfremd sind, läßt sich in TJAr (h) der Parameter h so wählen, daß \ß₁ j < |aj , und entsprechend k in UA₂(k) so, daß |aa| < 'ß\. Wendet man diese Regel alternierend an, so entsteht ein Produkt UA₁(h₁) A₂(k₁) A₁(h₂) A₂(k₂) . . ., wo für die sukzessive entstehenden F, U₂, U₃ . . . die Ungleichungen gelten:

<*! < \ßl \ < <*₂| < \ß»\ < l<*J < • • •

U₀ = UAAK) A₂(k₁) . . . Ax(hß A₂(ki) , so ergibt sich hieraus umgekehrt:

U = U₀A₂(—kß Al (—h{) . . . A₂(—kl) Al (—hß) .

Nach einer endlichen Anzahl von Schritten gelangt man so zu einem verschwindenden ßi resp. , und je nachdem schließt obiges Produkt mit einer At resp. A₂ ab. Durch einen analogen Prozeß läßt sich auch ein y resp. <5 zum Verschwinden bringen. Bezeichnet U₀ eine U mit einem verschwindenden Koeffizienten, und ist z. B.

Da A₁(h) durch \h\- malige Ausführung von At (+1) resp. A₁ (—1) hervorgeht, und entsprechend A₂(k), so ist damit zunächst eine beliebige U mittels der Elementarsubstitutionen ^,(±1), A.,(±l) auf eine U₀ zurückgeführt.

weiternde E sind erzeugende Substitutionen der Gruppe /' aller eigentlichen

- (î “J)

B = A(-1) A U) A (-1) - A (i) A (-1) A (i),

, so hat man:

Von diesen vier letzteren ist aber noch eine entbehrlich, z. B. A₂ (— 1). Denn versteht man unter B, B' die Substitutionen B

B'= A (1) A₂ (-1) At(l) = A₂(—1) A₁ (1) A₂ (-1) ,

andererseits B² =

j , B³ = B', J5⁴ = 1, und diese vier

Substitutionen B, B², J>³, JB⁴ sind zugleich die einzigen U, die zwei Nullen aufweisen. Somit ist B nur aus A} (—1) und A₂ (1) erzeugbar, und A₂(—1) gemäß:

A (— 1) = A₁ (— 1) B'At (— 1)

aus Aj (—1) und B. Somit lassen sich statt Aj(±l) und A₂(l) auch A(A 1) und B als Fundamentalsubstitutionen verwenden.

Nunmehr sind noch alle U₀ durch Zusammensetzung von Fundamentalsubstitutionen herzuleiten. Zuvörderst sind A₁(ß) und A₂ (y) selbst solche Z7₀ :

Atf) — (o l) ’

= (J î) >

und diese liefern durch Zusammensetzung mit B² —

i-¹ o

*)■

A,(ß)B²=[ J

d. s. aber alle Typen mit verschwindendem y resp. ß. Endlich kommt

BAW = (J _J) ,

w,W = (

0 1 —1    —<5

BA„(a) = (    *

T-l O

C-:

cc

T—I ©'

q| erzeugbar.“

womit alle U₀ erschöpft sind. Daher gilt der für die Zahlen-theorie und ihre Anwendungen (auf 0-Funktionen, elliptische Modulfunktionen u. a.) fundamentale Satz: „Jede ganzzahlige ü in zwei homogenen Variabein ist aus den Fundamentalsubstitutionen ^(±1), A₂(Y) oder auch A₁(±l), B =

(Vgl. hierzu H. Weber, Algebraische Zahlen und elliptische Funktionen, Braunschweig 1892, S. 63.)

Bei den algebraischen U des Textes lassen sich entsprechend statt Ax (h), A₂ (k) auch Ar (h) und B, oder auch A₂ (k) und B als Fundamentalsubstitutionen wählen. Denn man hat:.

B³A.,{— h)B = AAh) .

BAl (—k) B³ = AJk) ,

Vermöge des Satzes VII läßt sich zeigen, daß die Anzahl erzeugender S von /' auf drei (und [nicht weniger)

beschränkbar ist. Sei S

y ô

Determinante A 4= 0, so ist :

beliebig vorgelegt, mit der

(23)

S(y    ;    )•

if* =j= 0)

Soll sich hier die rechte Seite auf eine U reduzieren, sein. Analog kann man mit M₂(v), E(g)

T= (bei

beliebigem Vorzeichen der Wurzel) annehmen. Man kann kurz schreiben:

so muß /A, =

verfahren, wo dann v, o resp. die Werte

fA

Cc

U , SM

SE

- V,

um auszudrücken, daß jedesmal eine unimodulare Substitution hervorgeht.

Nun war vermöge (12), (XIII), (XIV) jede U aus Ax und A₂ erzeugt; man hat also, wenn man etwa den ersten der drei Fälle (XVI) ins Auge faßt, die damaligen

OC    V

Zeichen <x , ß, y , ô zu ersetzen durch --, ß, ~, à und

Zl    ZJ

eigentliche S A ^ j

hinterher U mit MX(Ä) zu multiplizieren, um eine beliebige der Determinante A aus Ax, A₂ und

M₁ zu erzeugen: Satz VIII.

sind drei erzeugende Substitutionen der

,,Die beiden Schiebungen A im Verein mit MX(A), oder auch ill₂(zl), oder auch E(A²)

Gruppe F aller eigentlichen S, auf Grund von (XII) und (12), resp. (XIII), resp. (XIV).“

Mx, M₂, B, E sinken, und unter ihnen müssen sich Ax, A₂ befinden. Setzt man nämlich eine oder mehrere der Mx, M

Die Anzahl erzeugender Substitutionen von F — bei Beschränkung auf die Fundamentalsubstitutionen Ax, A kann aber auch nicht unter drei

R, E mit Ax oder aber mit A₂ zusammen, so resultiert

stets eine 8, von deren Koeffizienten mindestens einer verschwindet.

Behufs Herstellung einer beliebigen 8 bedarf man demnach beider Schiebungen Ax, A₂, die aber für sich erst die allgemeine U hervorbringen. Dann aber bedarf man, nach Satz VIII, überdies einer, aber auch nur einer Mx (oder M₂, oder È), um jede 8 zu erhalten, während die bloße Zusammensetzung von Ax, A₂ mit B nur die Gruppe aller 8 der Determinanten 1 und — 1 liefern würde.

Zur Vervollständigung des Satzes VIII werde noch die explizite Erzeugung von M₂, E und B aus Ax, A₂, Mx ausgeführt.

Mit Hilfe von (20), (XIV), (XVI) entsteht:

1 0'

(XVII a)

M₂(ö) =

“ A(i) \ (¹ 7-d) M-S) (4^1) mm

(XVII b)

Q²

Was B betrifft, so stelle man mittels (14), (15)

s(-î )

rH O

her:

(14)

und setze nochmals mit Mx(— 1) zusammen, so entspringt B :

(XVII c) B = 8

t-H o

= ^(1)A₂(-1) A^l) M^-l) .

Endlich sei noch die Erzeugung angegeben:

(25)    8

o _?) = ^,(l)A(-2)A(l)^(-2).

Von Bedeutung ist der einfache Zusammenhang zwischen A₁, A₂ und B :

(XVIII) A₂(n) = BA₁(n) B , Ax(m) = BA₂{m)B . Damit erhält Satz VIII die Ergänzung:

Satz VIII'. „Im Satze VIII ist das erzeugende Paar At, A₂ durch das Paar Alf R oder auch durch das Paar A₂, R ersetzbar.“

Legt man dagegen weniger Gewicht auf eine geringste Anzahl erzeugender Substitutionen von r, als auf eine einfache und beide Variable möglichst gleichmäßig berücksichtigende Darstellung, so wird man die beiden Schiebungen Ax, A₂ nebst den beiden Streckungen Mx, M.2 verwenden. Xach § 5, (VI) ist:

tc

ft-

fei

OB

A₂(l)M₂(n) = sl[¹l

folghch durch Zusammensetzung:

f    MM = S(m + U ’ *B“)

| = «(

Tc

(27)

ln , 1c l + n)

Sollen umgekehrt die vier Koeffizienten rechts jeweils vorgegebene Werte oc, ß, y , <5 mit A — <x (5 — ß y haben, so berechnet sich sofort:

(XIX)

ft ^ ft

fei

Mß) mm).

Vom Geltungsbereiche dieser beiden Darstellungen gilt Analoges, wie bei (XIII) ; für a 4= 0 , ô =}= 0 kann man beide Erzeugungen (XIX) benutzen, für tx — 0 , ô =(= 0 gilt nur noch die erstere, und vice versa. Verschwinden dagegen tx und ô, so greife man wiederum auf eine der beiden Erzeugungen (XIII) einer U zurück, und setze letztere noch mit einer geeigneten Mx resp. M₂ zusammen. Man erhält ähnlich, wie bei der Ableitung von (24):

(XX)

-59-

amaĄ-j)ammS7)

(-y)^ (y)M₂(pr).

= A₂(y)Ax

Die obigen Sätze, insbesondere V und VIII, über die Erzeugung von 8 durch Fundamentalsubstitutionen, gestatten wichtige Anwendungen auf die Invarianten. Zunächst vereinfacht sich jetzt der Prozeß der Transformation, der in § 5 zum Begriffe der Invariante führte. Es sei eine Reihe von, in den Variabein x, y homogenen Formen fn, gp, hq der Ordnungen n, p , q . .. vorgelegt :

' fnix , y) = a₀ x¹¹ + a^-¹ y + a₂ xn~² y* + ...

+ anyn

ft -1

+ ®«-i xy

gp(x, y) = b₀xp + b₁xp~¹y + b₂xp~²y* + ...

(28)

+ bp-ixÿ*-¹ + bpyp ,

hq(x, y) =    + cx afl-xy + c₂ xft~²y² + . ..

+ Cq-ixy*-¹ + cqyq ,

8    ^ j mit A =j= 0 aus

Übt man auf x, y eine eigentliche Substitution (II) so gehen die Formen fn(x, y),

(x, y), ... über in neue Formen <pn(g, rj). (£, rj), ... mit Koeffizienten a*, ßk, yk, . . .

9p(®, y)

i V)

Gilt dann für eine in den (a), (b), (c) . . . ganze und homogene Funktion J[(a), (b), (c), . . .] für alle Werte der (a), (b), (c)ot, ß , y , ô die Identität :

(XXI) J[(«), (ß), (y) ,...] =    , (6), (0), • • •] , unter co eine feste natürliche Zahl verstanden, so heißt

an-

J[(a), (b), (c),...] eine Invariante der Formen f, g, h,... vom „Gewichte“ co, für co = 0 eine „absolute dernfalls eine „relative“.

Aus den Sätzen V und VIII geht dann unmittelbar hervor :

Satz IX. „Damit J zu einer Invariante der Formen f, g, h, ... vom Gewichte co wird, ist notwendig und hinreichend, daß J bei beliebigen Schiebungen A₁, A₂ beider Variabein ungeändert bleibt, und sich bei einer Streckung    der ersten

Variabein (oder auch bei einer Streckung M₂(v) der zweiten Variabein) nur um den Faktor fxm (resp. vw) ändert.“

Aufgabe 1. Satz Y ist auf Grund des Multiplikationstheorems der Determinanten auf n Variable auszudehnen.

Aufgabe 2. Der in der Anmerkung *) zu S. 69 bewiesene Satz über die Umkehrbarkeit ganzzahliger homogener Substitutionen in zwei Variabein läßt sich auf n Variable ausdehnen, auf Grund des elementaren Satzes, daß die Determinante der ersten Minoren einer w-reihigen Determinante D gleich Dn_1 ist.

Aufgabe 3. Die in der Anmerkung *) zu S. 70, 71 bewiesene Erzeugung der Gruppe aller ganzzahligen unimo-dularen Substitutionen in zwei homogenen Variabein ist auf den Fall auszudehnen, wo die Koeffizienten komplexe ganze Zahlen sind (von der Form a -f- i b ; a, b ganz rational). Sind oc und fi zwei solche Zahlen, so lassen sich bekanntlich stets, und nur auf eine einzige Art, zwei andere solche Zahlen ß und q derart finden, daß oc = ß ju + q , wo die Norm von q kleiner ist als die von /z. Damit bleibt das in dem Produkte ÜAx(h) A₂(k) Ax(hx) A₂(kx) . . . ausgedrückte alternierende Verfahren für gewisse komplexe ganze Werte der Parameter h, k, hx, kx . . . gültig. Die Gruppe ist jetzt aus sechs Fundamentalsubstitutionen

erzeugbar: Zu den damaligen drei: Ax(+1). B = ^ treten noch die drei weiteren Ax(-± i) und B = ^ ^j

hinzu.

Aufgabe 4. Die in den Aufgaben zu § 5 unter (14) aufgeführte Gruppe:

(a)

x'\ y': 1= a²x + 2 a b y + b² : a ex -f- (a d + b c)y + bd : c² x + 2 c d y + d³

läßt folgende homogene Behandlung zu. Man suche die lineare Substitution :

x' — ay x -f- by y + cx z

y' = a₂x + b₂y + c₂z ,

2;' = a₃ x -f b₃ y + c₃ z

so zu bestimmen, daß die Form y- — xz eine relative Invariante wird, d. h. daß y'² — x'z' ~ o{y² — xz) wird, wo q nur von den neun Substitutionskoeffizienten ab-

hängt. Man findet gerade die Gruppe (a), nur jetzt in homogener Gestalt:

x' = a²x + 2aby + b²z, y'= aex -f- (ad-\-bc)y -\-bdz, z'=c²x-\-2cdy-\-d²z,

(a)

und für q den Wert (ad — bc)², während die Substitutionsdeterminante den Wert (ad — bc)³ besitzt.

Geometrisch läßt sich die Gruppe (a') als die Gesamtheit der Kollineationen (in homogenen Punktkoordinaten x, y, z) auffassen, die den festen Kegelschnitt y² — zx = 0 in sich, oder wie man sagt, „automorph“ transformieren.

Analog ist die lineare homogene Gruppe in vier Yariabeln x, y, z, w zu behandeln, für die die drei Formen x² — xz, y z — xw , z² — y w relative Invarianten sind. Geometrisch ist das die Grilppe, die die kubische Raumkurve x : y : z : w = A³ : A² /u : A ju² : ju³ automorph transformiert [s. die Aufgabe (14) zu § 5].

Aufgabe 5. Für die lineare homogene viergliedrige Gruppe x' = ax b y , y' = ex + dy sind zwei charakteristische absolute Invarianten Jx, J₂ zu ermitteln.

Setzt man zur Abkürzung d₀₁ — x

xi

x₂ y ₂ j

x y

bleiben der Nullpunkt 0 und die unendlich ferne Gerade 0OO •

* Aufgabe 6. Nach der Methode des Textes (mittels der Fundamentalsubstitutionen) ist zu zeigen, daß eine kubische binäre Form /₃ = a₀ x³ + 3 ax x² y + 3 a₂ x y² + a₃ y3 die Invariante B = (a₀ a₃ — a₁ a₂)² — 4 (a₀ a₂ — a\) (a₁ a₃ — al) besitzt, und eine biquadratische binäre Form fé = a₀ x4 + 4 axx³y -f- 6 a₂ x²y² + 4 a₃ xy³ -f- a₄y⁴ die beiden In-

I a₀ ax a₂ \

Varianten : i — a₀ a₄ — 4 ax a₃ + 8 a\, j = j ax a₂ a₃ .

i a2    \

Bezeichnet A die Substitutionsdeterminante, so ist

B'^=A*B, i' = A⁴i, j' = AH, und ^

Invariante der f. .

^20 —

so ergibt sich Jx =

d₀₁

d₁₂

xi Vi

x2 y 2 r

, J₂ = ~ . Invariant

dJ2 —

d\2

i²

ist eine absolute

Ferner ist zu beweisen, wenn zwei Formen f gleicher Ordnung n vorliegen:

9n

fn

^ a₂ xn~² y² -f

(hi = K xn +

SS y-<

bxxn~¹y + ,. . +

( ) K-ixyn~ljr Kyn ,

SS ri

«laß J — a₍₎ bn

eine Invariante von fn, gn ist, so daß J' -AnJ, und falls n gerade, =21, daß die Form f2t die Invariante

al a2l-l 4“

CO I-¹

co

r-o

besitzt, so daß J'—A2lJ wird.

Die Erzeugung der S

aus Fun-

Aufgabe 7.

damentalsubstitutionen (Schiebungen und Streckungen) ist auf 8 in n — 3 , 4 , ... homogenen Variabein ausdehnbar. Im Falle n = 3 seien xx, x₂, x₃ die drei Variabein. Unter A-ikQia) sei die „Schiebung“ xt = & + hik£*, a?* = £*, a?z = £ verstanden, unter MĄm^ die „Streckung“ a?* —    £*, xk = £k,

Xi = £i, und unter J57(m) die „Erweiterung“ xi = mÇi, xk = m£k, xt = mit.

Zunächst ist nachzuweisen, daß eine unimodulare U durch geeignete Kombinierung der sechs Schiebungen Aik erzeugbar ist, und hieraus eine beliebige 8, falls man noch irgend eine der drei Streckungen oder auch eine Erweiterung hinzunimmt. Die Erzeugung der U läßt sich aber noch weiter reduzieren.

Aus der Identität Aik(hik) Aki(hkl) Aik(—hik) Akl(—hkl) = Au(hik-hki) läßt sich folgern, daß sich die sechs Aik auf drei zyklisch verbundene unter ihnen, Aik, Aki, Ati, zurückführen lassen. Somit ist eine U durch drei, und eine beliebige S durch vier Fundamentalsubstitutionen erzeugbar.

Das Analoge gilt für n Variable: Eme U ist auf w, und eine beliebige 8 auf n A1 Fundamentalsubstitutionen reduzierbar.

Mittels des in Anmerkung *) zu S. 70, 71 dargelegten alternierenden Verfahrens (und seiner geeigneten Wiederholung) ist die in Rede stehende Erzeugung der ü mit einigen Modifikationen auch übertragbar auf ü mit ganzzahligen Koeffizienten.    ,    ,

Aufgabe 8. In einer 8 f j seien <x und d, ß und

— y konjugiert komplex, so daß man, bei reellen A , B, C, D setzen kann:

a = D + iC ,

Ö = D -iC ;

(1)

7 =

Damit ist, mit Hilfe der Formeln (22) des Textes, zu zeigen, daß die Gesamtheit der (eigentlichen) 8 (1) eine Gruppe für sich bildet.

Entsprechen den Substitutionen 8, 8₁, S₂, wo 82 die aus 8 und S₁ zusammengesetzte Substitution 8 8X bedeutet , einerseits die Koeffizientensysteme (cc, ß, y , ö), (tx-,, ßA, y₁, öi), (oc₉, ß₉, y₉, öo), andererseits vermöge (1) die Größensysteme (A , B , C, D), (Ax, Bx, Gx, Dx), (M₂, R₂, C₂, D₂), so findet die Zusammensetzung von $ und Ą zu >S'₂ in den letzteren drei Größensystemen ihren Ausdruck in den Relationen:

A - (AD' A- DA') + (BC'- CB') ,

(2)

B" = (BD'+ DB') + (CA' -AC'),

C" = (CD' A DC') + (AB' — BA')

D"= ~AA' - BB' - CC'ADD'.

Sind ferner A, Ax, A₂ die Determinanten von 8, 8X, S2 so hat man z. B.:

(3)

A = a, ô — ß y = A² A B² A C'² + D² ,

und es besteht die Identität:

(4) AlABlAClADl=(A*AB*AC*AD²)(A\AB\AClAI)\)'

Sind die 8 (1) im besonderen unimodular, so bilden sie eine Untergruppe der obigen Gruppe; dann wird der gemeinsame Wert beider Seiten von (4) die Einheit.

Die Formeln (2), in Verbindung mit (4), stellen das sogenannte Multiplikationstheorem der Qua-ternionen dar, im Falle unimodularer 8 das der E i n -heitsquaternionen.

[Vgl. F. Klein und A. Sommerfeld, Theorie des Kreisels, Heft 1 (Leipzig 1893), § 7.]

§ 7. Die Doppelelemente nicht homogener Substitutionen; weitere kanonische Gestalten solcher Substitutionen.

Wir kehren zurück zu den eigentlichen nicht homogenen Substitutionen des § 5 in etwas abgeänderter Bezeichnung :

(I)

8) JLl —

a 1 -j- ß

yX + ô

wo die Koeffizienten oc, ß, y, ô gegebene Größen seien mit der Determinante

(1)

D = (X Ö — ß y =(= 0 ,

und leiten für solche 8 eine Eeihe von Eigenschaften ab, die auch bei funktionentheoretischen und geometrischen Anwendungen vielfache Verwendung finden.

Die Auflösung von (I) nach X liefert die „Umkehrung 8

-1 u

der 8 (I):

‘(U)

s-¹)

— Ô jJL + ß

y /u — tx

die sich nur dadurch vod (I) unterscheidet, daß sich <x und ô vertauscht und zugleich ihr Vorzeichen geändert haben; (I) ist wieder die Umkehrung von (U).

Multipliziert man in (I), oder auch (U), mit dem Nenner herauf, so nimmt S die Gestalt einer in den X, /u „bilinearen Belation“ an:

X [x y — X & Ą- [X d — ß — 0 ,

und umgekehrt stellt jede solche Relation:

X n a 4- X b 4- fxb' + c = 0

mit einer von Null verschiedenen „Determinante^ ac — bb' eine eigentliche Substitution 8 (I) dar.

(u)

(no

¹

bz* .

Substituiert man den Wert von t aus (1) in (2), und setzt a¹b = m, so ergibt sich A = m A¹ i. e. 1 — m A , was in der Tat nur so möglich ist, daß A — ±1 .

Dieser Satz ist für die Zahlentheorie von großer Bedeutung, vgl. diese Sammlung Band LIII, „Neuere Zahlentheorie“ von P. Bachmann, S. 71.

Die unimodularen S mit ganzzahligen a, ß, y, 5 bilden wiederum eine Gruppe, und ebenso die S mit ganzzahligen <x , ß, y, 8 und A = ± 1 .

Bedeuten k{, kk irgend zwei Werte von k, und jut, fxk die ihnen vermöge (I) „entsprechenden“ („zugeordneten“) Werte von p, so folgt aus (I) die Fundamentalformel *) :

(III)

,ui — flk == {h — kjß ’

(/' h + fy (y kk 4- ö)

Vermöge (III) lassen sich aus solchen Differenzen kt — kk relative und absolute Invarianten konstruieren.

Setzt man in (I) oder (II) k = , so gelangt man zu den beiden sich selbst entsprechenden Werten von k (oder /u), die mit o>j, a>₂ bezeichnet und die „Doppelelemente“**) von 8 genannt werden sollen; colt co₂ sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

(IV)

k² y — k(oc — ö) — ß — 0 .

Als „Diskriminante“ A dieser Gleichung sei, mit leichter Abänderung des Zahlenfaktors gegenüber der Festsetzung (4) des § 1, der Ausdruck:

(2)

A = {a — Ô)² + 4 ß y = (a + (5)2 — 4 D

eingeführt.

Umgekehrt denke man sich jetzt die Doppelelemente oj₁ , co₂ gegeben als Wurzeln einer beliebigen quadratischen Gleichung :

(V)

aA² + 2& A-j-c = 0.

Die bilineare Gestalt (II) von 8 zeigt, daß zu (V) noch eine oo¹-Schar von 8 gehört:

(VI)

a k /x -\- k{b q) -\- /x{b — £) + c = 0 ,

*) Der Ausdruck h — Xk erscheint so als „relative“ Invariante in weiterem Sinne, insofern der Faktor von Xi — Xk in (III) noch von den Werten Xi} Xk der Variabein X abhängt. Bei homogener Schreibweise kommt man auf den gewöhnlichen Begriff der relativen Invariante (s. § 6. S. 75) zurück. Denn setzt man an Stelle von (I) lw(,) — a 2⁽¹) _|_ ß;v(2) f — y £<i)    ^    , so wird (III) zu:

Das ist nichts anderes als die Identität (XV) des § 6.

**) Auch der Ausdruck „Einheitselemente“ ist üblich.

Meyer, Allgemeine Formen- und Invariantentheorie I.

unter q einen willkürlichen Parameter verstanden, oder auch in der Gestalt (I):

(vr)

iä —

— (b + q) X — c a X -j- (b — p)

Es werde zunächst der „allgemeine“ Fall betrachtet, wo (o₁₁ co₂, die Wurzeln von (V), endlich und verschieden sind, so daß a =j= 0 , A =|= 0 . Bedeutet k ebenfalls einen willkürlichen Parameter (^=0, oo)¹), so werde als „kanonische“ Gestalt der Substitution (VI) festgesetzt :

(VII)

/x — 0)₁

COj

/X — 0)₂

C0₂

co₂ die Doppelelemente der Sub-

In der Tat sind co stitution (VII). Daß aber (VII) auch sämtliche 8 mit den Doppelelementen cox, co₂ liefert, lehrt die Vergleichung mit (VI). Bringt man (VII) auf die bilineare Gestalt, so ergibt sich, nach Division mit 1 — Tc:

(Oo fc CO,    „

\-—Ç-¹ + «h (o₂=0.

(VII') Xju-X^

— k o)₂

1- Tc

Hier ist der Divisor 1 — k von Null verschieden anzu-nehmen. Denn für k = 1 würde (VII) übergehen in (A — /x) (co₁ — co₂) = 0 , also, wegen cot =j= co₂ , X = /x , d. i. die identische Substitution, für die jedes Element als Doppelelement anzusehen ist. Schließt man diesen Fall, als trivial, aus, so verbleiben die durch (VII') dargestellten 8.

Da (VIF) für X = /x in die Gleichung mit den Wurzeln cox, co₂ übergehen muß, so muß die Summe der Koeffizienten von —X und —ju in (VIF) den Wert o)l -f oj2 haben; man darf also (VII') auch in der Gestalt schreiben:

o (0₁0)₂ — 0

co, + co₂

03 2 ~\--

(5)

y

O) i + —

y

als Parameter k von

wo sich o durch Subtraktion der Koeffizienten von —A und —ju (VII') bestimmt:

(3 a)

(»y — eo₂ 1 + k

1 -k

und hieraus umgekehrt k:

0)l — ft) ₂

(3 b)

Zu jedem Werte von k in (VII) resp. (VII') gehört so ein bestimmter endlicher Wert von o, und umgekehrt (einem unendlich großen Wert von o würde gerade der ausgeschlossene Fall k = 1 entsprechen). Der Parameter o in (VII") ist von dem Parameter q in (VI) nur unwesent-

OJl + (l)2

lieh verschieden, denn da nach (V) ergibt sich o = — — .

so

Kürzer und direkter hätte (III) zu (VII) geführt. Aus (III) folgt sofort:

y co₂ + d A — ft»j A — ft>₂

wo sich der erste Faktor rechterhand:

(4)

fi — coj

fl — O) g

wegen der Willkürlichkeit von —

(VII) auffassen läßt [gemäß (IV) ist y =[= 0].

Nunmehr sind die besonderen Fälle ins Auge zu fassen, wo entweder ein Doppelelement unendlich groß wird, oder aber beide Doppelelemente zusammenfallen, oder endlich beides zugleich eintritt. Bleibe etwa co1 endlich, während ft>₂ unendlich groß werde, so daß y in (IV) resp. a in (V) verschwindet, während &=}rd, b 0

bleibt. Dann darf man in (I) mit ö, das 0 sein muß, durchdividieren, oder, was auf dasselbe hinauskommt, <3=1 setzen, so daß sich (I) reduziert auf:

(VIII)

fi — a X ß ,    (ü)₁ endlich, co₂ = oo)

wo (X sowohl von 1 als von 0 verschieden sein muß.

Für X = fi ergibt sich cd₁ = —---— .

Die Substitution (VIII) fällt mit der „ganzen“ Substitution G (VI) des § 5 zusammen, während (I) für y 4= 0 eine „echt gebrochene“ Substitution hieß.

Durch Einführung von cd₁ nimmt (VIII) die Gestalt an :

(VIII')

°h) ,

fl — cd₁ = (X{X

wo cx als willkürlicher Parameter fungiert, wenn man sich nur o»! (mit cd₂ = oo) als gegeben denkt.

Die Vergleichung von (VIII') mit (VII) legt es nahe, die erstere Gestalt aus der letzteren durch einen Grenz-

prozeß abzuleiten. In der Tat wird für œ₂ =

fl — COt _ ^ l — a>l

⁼ eX-l ’

und (6) geht für lim£ = 0 direkt in (VIIT) über, wenn man oc statt fc schreibt.

In dem kanonischen Falle = 0 nimmt (VIII) resp. (VIIF) die Gestalt an:

- (VII) zu:

(6)

E fl — 1

(<wx — 0

(IX)

fi — (x X

d. i. aber die „Streckung“ (IV) des § 5.

Andererseits möge mit ai₂ zusammenfallen:

0)

0)l = OJ₂ = O)

wo cd vorerst als endlich vorausgesetzt werde. Dann wird (V) zu:

(8)

(X — cd)² ~ X² — 2 X cd cd² = 0 .

Gemäß (VI) ist jede zugehörige S mit dem endlichen Doppelelement odx = co₂ = cd und einem Parameter q dar-gestellt durch:

A fi — A(co -f- g) — ju (io — g) -j- co2 = (Afl — A CO — fl ft) + CD²) — A Q + fl Q = (A — ft)) (ft — ft)) — A Q + fl Q = (A — cd) (fl — ft)) — (A — tt>) Q + (fC — cd) g — 0 .

(9)

Hier ist der Wert g = 0 auszuschließen, da sich sonst (9) auf (A — co) (fi — co) = 0 reduzieren würde, d. h. A resp. fi auf eine Konstante, was bei einer eigentlichen 8 nicht eintreten kann.

Man darf also (9) mit dem Produkte g (A — co) (fi — co)

dividieren und erhält, wenn man für —

Q

bequemer c schreibt:

(X)

A — co

fi — co

(endliches Doppelelement o> = co₁ = co₂) .

Auch (X) läßt sich aus (VII) durch einen Grenz-prozeß ableiten. Man setze co₂ = co , oq == co — e , so kann man (VII) so schreiben:

oder:

fi — co

A — co

Tc £

fi — co

fi — co

+ le - 1

oder endlich:

(10)

Tc

A — ft)

fl — co

Hier lasse man £ gegen 0 und zugleich k gegen 1 konvergieren. derart, daß:

(11)

k — 1 = c £

erfüllt bleibt, wo c einen neuen endlichen Parameter bedeutet. Dann geht für lini£ = 0, limfc=l in der Tat (10) in (X) über. Der singuläre Fall lime = 0 entspricht der identischen Substitution A = fi.

In dem kanonischen Falle w = 0 wird (X) zu:

Schließlich ist der Fall fth = a)₂ — cd — oo zu er

ledigen.

Man gehe auf (V) und (VI) zurück.

Es ist jetzt

a = b = 0, während c(=j=0) gleich 1 gesetzt werden darf. Damit wird (VI):

(12)

Xq — [X Q -\-l — 0 .

fe + 0)

als Parameter, so entstellt aus (12):

[x = / -|- k ,

d. i. die „Schiebung“ (I) des § 5.

Um auch (XI) aus (X) durch Grenzübergang zu ge-

winnen, schreibe man zuvörderst

für co in (X):

E jU — 1

oder:

(e X — 1 ) — U [X — 1) + — (e X — 1) (e IX — 1) E

oder endlich:

(13)

X — /x -f- (e X — 1 ) (e fx — 1) .

E²

Man setze nun die Eelation fest:

(14)

c — —k E² ,

wo k einen neuen endlichen Parameter bedeutet, und lasse c zugleich mit e gegen Xull konvergieren, so geht aus (13) in der Tat (XI) hervor. Der singuläre Fall k = 0 gehört wiederum zur identischen S.

Xunmehr ist ein anderer wichtiger Unterfall der 8 (I) zu besprechen, der schon in § 2 auftrat.

wenn man von

Im allgemeinen entsprechen sich jedem der Doppelelemente a>₁, a>₂ absieht, irgend zwei Elemente X, fx in (I) nicht wechselseitig ; vielmehr, wenn irgend einem Werte X₁ von X der Wert /<x von /x zu-geordnet ist, so entspricht dem Werte fx₁ von X ein von Xy verschiedener Wert von fx .

Sollen aber in (I) resp. (T) X und u stets *) wechselseitig korrespondieren, so ist dazu notwendig und hinreichend, daß :

oc + ô = 0 .

(15)

In der Tat wird dann (und nur dann), wie es sein muß, die bilineare Gestalt (II) von 8 symmetrisch in X und /x :

y X fx — oc(X -ß- /x) ~\~ ß = 0.

(XII)

Xach § 2 heißt dann 8(<x = — <5) eine „Involution“'; eine solche ist durch ihre Doppelelemente m₁ , co₂ bereits völlig bestimmt. Sind co₁, a>₂ wieder gegeben als Wurzeln von

00

so lautet gemäß (VI) die zugehörige Involution: (XII')

oder, in der Gestalt (I):

(XII")

a X ju -f- b (1 + /i) + c = 0 ,

[X =

bX-c

a X -f- b

Aus (2) : A = (oc + ö)²

4 D folgt jetzt für oc -f <5 = 0, da D 4= 0, daß auch A -j= 0 ist, so daß bei einer eigentlichen Involution die Doppelelemente stets getrennt sind.

Für den kanonischen Fall a>₁ = 0, co₂ = oc, also a = c = 0 in (Y), entsteht aus (XII):

(XIII)

X -f- /LI — 0 .

als Parameter ft ein, so

Ein anderer kanonischer Fall tritt ein, wenn (0, oo) ein Elementenpaar der Involution ist. Dann verschwindet b in (V), während a und c endlich und von Null verschieden sind. Führt man —

X jU — ft

nimmt (XII) die Gestalt an: (XIV)

*) Hierzu genügt bereits die Existenz eines einzigen, sich gegenseitig entsprechenden Paares    4= tl\) ■ Denn vermöge (II)

ist dann zugleich [it y — a + fit 8 — ß — 0, \ fxt y — oc +    <5 — ß

= 0, woraus durch Subtraktion entsteht (w, — At) (a + 5) = 0 , d. i. aber die Bedingung (15).

Quadratische und bilineare Formen, mit den Doppelelementen:

88

\(0₂ -

Ist überdies im besondern das eine der Doppelelemente gleich 1, also das andere gleich —1, so resultiert die „reziproke“ Substitution R (VIII) des § 5:

(XIV')

(16)

A /u = 1 .

Die wesentlichsten dieser Ergebnisse fassen wir zusammen in:

Satz I.

Substitution 8 (I) /u =

„Führt man in die nichthomogene

oc A -J- ß

deren Doppelele-

yA + <5

so ergeben sich eine Reihe

(o₂ ein

kanonischer Darstellungen von 8.

Solange colf oo₂ endlich und ungleich sind, er-

fi — co₁ A — o)₁

mente co

hält 8 die Gestalt (VII)

(>h

wo k

[X — CO ₂

endlich und von Null und Eins verschieden ist.

Rückt (o₂ ins Unendliche, während co₁ endlich bleibt, so wird 8 zur ganzen Substitution G (VIII): /o, = a, A ß, oder auch fx — cot — tx(A — coß), wo tx endlich, von Null und Eins verschieden ist. Für 0^ = 0 geht G (VIII) in die-Streckung M (IX): /x = ocA über. Rückt auch noch ao± ins Unendliche, so geht aus G (VIII) die Schiebung A (XI): ju = A -f c hervor. In dem singulären Falle k resp. oc =1, resp. c = 0 wird (VII), (VIII), (IX), (XI) zur identischen Substitution, für die jedes Element Doppelelement ist. Fallen andererseits beide Doppelelemente von 8 in einen endlichen Wert co zusammen, so

+ *

geht (VII) über in (X): für oo =

also

0 in (X') —

1 fX — 0) — -j—(- k .

Eine Substitution 8 wird zur Involution (XI) aAfx-\-b(A-{-/u) A c = wenn je zwei Elemente A, fx sich wechselseitig entsprechen; eine Involution ist durch ihre Doppelelemente, die Wurzeln von (V) a A² + 2 & A-j-c = 0 eindeutig festgelegt. Sind diese

Doppelelemente 0, <x>, so nimmt (XII) die kanonische Gestalt (XIII) X + fi — 0 an; andererseits, für 0, oo als ein Paar der Involution, die Gestalt (XIV) X fi = k, die für k = 1 mit der reziproken Substitution B übereinstimmt.“

Die Darstellung (VII) von 8 (I) läßt sich erweitern. Sind (Ai, /jlx) (X₂, fi₂) irgend zwei gegebene Elementenpaare von 8, so leitet man aus (III), wie oben (VII), die Darstellung ab:

M - fl!

(XV)

fi - fi₂

x-i, ’

wo k wieder einen Parameter bedeutet. Dieser bestimmt sich, sobald noch ein drittes Paar (X₃, fi₃) bekannt oder gegeben ist, durch:

₌ % 4 — 4 4 - 4 ’

und die Elimination von k aus (XV) und (17) liefert für 8: (fi — fa) (fi₂ — //₃) ₌ (X - 4) (4 — 4)

(fi — fi₂) (fi! — fi₃) (X — 4) (4 — 4)

(17)

(XVI)

Ms - Mi

Ms — M2

Der hnks stehende Ausdruck, der schon in § 3 betrachtet wurde und in § 8 näher untersucht werden soll, heißt das „Doppelverhältnis“ („Dv.“) der vier Elemente fl , flx , fl₂

x, 4, x

fi₃, und entsprechend rechts das von 4 . In (XV), (XVI) ist enthalten:

Mn M2 1 Ms •

Werten der Variabein X ist gegenüber einer beliebigen eigentlichen 8 (I) eine absolute Invariante, und als solche charakteristisch für die 8, oder endlich: Dieses Dv. ist die charakteristische (absolute) Invariante der Gruppe F aller eigentlichen 8.“

Satz II. „Eine Substitution 8 mit zwei gegebenen Elementenpaaren (4, f^i), (A₂, fi₂) wird durch (XV) dargestellt. Ist noch ein drittes Paar (A₃, ^3) gegeben, so sagt die 8 aus, daß das von irgend einem Werte X mit 4, 4 5 4 gebildete Dv. den nämlichen Wert besitzt, wie dasjenige aus den vier vermöge 8 entsprechenden Elementen fi, Oder auch: Das Dv. von irgend vier

Es werde nunmehr zur gleichzeitigen Normierung von zwei Substitutionen 8 und 8X geschritten, in Erweiterung der in § 2 angestellten Betrachtungen über quadratische Formen. Man gehe von der bilinearen Darstellung aus:

8)    f(X , fi) = a X fx + b X + b'/i + c — 0 ,

8X) fx(Xi, fi) = axX/J, + bxX -f b[fi + cx — 0 .

Man suche die in beiden Substitutionen sich zugleich entsprechenden Paare (X, /i). Die Elimination von fi resp. X aus (18) führt zu den beiden quadratischen Gleich A + &', b X -j- c \ ai X + b[, bx X + Cj d fi -j- b j b fi —j- c dx fi -j- bx, b[fi-\- cx

deren Wurzeln mit Xx, A₂ resp. fix, /i.₂ bezeichnet seien.

Dann sind (Xx, fix), (A₂, /i₂) die beiden Paare der gesuchten Art, wo sich die Zuordnung von X₁ zu jux (und damit von X₂ zu fi₂) durch (18) regelt*). Gemäß (XV) existieren dann für beide Substitutionen 8, 8X die kanonischen Gestalten:

(18)

chungen :

(19 a)

(19 b)

Aeee

= 0,

= 0,

₌ k

¹ X - X₂ '

fl — flx fl — fl₂

Die Werte von fc, Zq bestimmen sich durch Vergleichung mit (18); man erhält:

1 /V : A fi₂ fix * Xx X₂ : X₂ fix k Xx f,t₂ — d * b : b : c ,

(XVII)

fi— fi₂

: Zq fi₂    fi^ : Zq q X₂ : X₂ fix Zq Xx fi₂ — ax : bx : bx : cx

*) Eine direkte Ausrechnung ist beschwerlich. Man berücksichtige indessen, daß für ein beiden Relationen (18) genügendes Paar l, p auch die Relation

k(ab₁ — b a,) + p{b'at — b[a) + (c at — c,a) = 0

erfüllt sein muß. Zieht man ferner die Gleichung (25) heran, so ordnen sich die Paare (Ax, /<,), (À₂, p₂) nach der Regel zusammen :

(Vu — Pm) ±Ÿïh

ft-

(Pu + P₂₃) T jDi

M =

\f*2

2^13

wo entweder die beiden oberen oder aber die beiden unteren Vorzeichen der Quadratwurzel gelten. (Wegen der Bedeutung der Zeichen p, T>i s. u. S. 91, 92.)

2 Pu

wo sich h resp. kx je irgend einer, in diesen beiden fortlaufenden Proportionen enthaltenen Proportion entnehmen lassen.

In dem besonderen Falle h = 1 resp. — 1 reduziert sich die eine der Substitutionen (XVII) auf die identische, die andere, da jetzt sowohl , X₂ wie /q, fi₂ mit deren Doppelelementen eo stalt (VII).

Mit Rücksicht auf (III) zieht die Gleichheit von Xx und X₂ die von /q und /u₂ nach sich, und umgekehrt.

Die beiden Diskriminanten Di, Dfl der quadratischen Formen A , M (19) stehen also in der Beziehung, daß das Verschwinden der einen das der anderen bewirkt, und da beide je vom zweiten Grade in den Koeffizienten von (18) sind, werden sie bis auf einen Zahlenfaktor übereinstimmen. Um dies durch Rechnung zu erhärten, bezeichne man

a b

I

dann lauten die beiden Formen A, M (19) explizite:

(19 aO A = X² (a b) + X {(a c) - (6 b')} + (b'c) = X² Aq + XAx + A (19 b') M == q²(<ab') + fi{(ac) + (bb')} + (6 c) == ju²B₀ + fiB₁ + B

o>₂

zusammenfallen. auf die Ge-

solche zweireihige Determinanten, wie

mit (a b),

die, wie aus ihrer Entstehung hervorgeht, durch gleichzeitige Vertauschung von b , b₁ und b', b[ und von X mit fi auseinander hervorgehen.

Führt man die Differenzen:

ö^b'-b , öx = bi - bx

als selbständige Größen ein und setzt b' = b + ô, b[ = b₁ + 4, so werden die Koeffizienten in (19'):

A₀ = (ab),    A₁^= (a c) — (b ô), A₂ — (b c) — (e ö) ,

B₀ = (ab) + (a ô), Bx = (a c) + (b <5), B₂ — (b c) .

(21)

(22)

Damit erhalten die beiden Diskriminanten Di, Dfl von (19) die Werte:

(23)

Di

Dfl = 4 B₀ B₂

deren Subtraktion liefert:

(24) .

Dft — Di

= (a b) (c â) + (a c) (d b) + (a Ô) (b c) .

Wie man sich durch Ausrechnung*) überzeugt, verschwindet die rechte Seite von (24) identisch, und es wird in der Tat:

(25)

D, = D„ .

Um Di durch einfachere (nämlich invariante) Bildungen auszudrücken, beachte man, daß für b' = b , b[ = bx , i. e. <5 = 0, ^ = 0 die Substitutionen (18) zu Involutionen werden, und daß dann die Funktionaldeterminante [§ 3, (VII)] der beiden zugehörigen quadratischen Formen

/’ = a A² + 2 b A + c , f\ eee ax A² + 2 A + ci

mit den beiden jetzt übereinstimmenden Formen A = M

(19) zusammenfällt, deren Diskriminante gemäß § 3, (V) durch die beiden Diskriminanten von /’, f\ und deren bilineare Invariante E ausdrückbar war.

Man versuche daher, die drei letzteren Invarianten auf die bilinearen Formen f(l, /z), /^(A, /z) (18) zu übertragen, und führe demgemäß folgende Ausdrücke ein:

(26)

D = a c — b b', Dx = ax cx — bx b[ ,

(27)

E = (a cx -f- c ax) — (b b[ + bx V) .

Die beiden ersteren mögen, wie schon oben bei (II ), die „Determinante“ von f resp. fx heißen, und E wiederum die „bilineare Invariante“ von f und fx. Daß diese Bildungen Invarianten (sogar in erweitertem Sinne) von f und f\ sind, wie es von vornherein wahrscheinlich**) ist, wird § 9 lehren.

Führt man auch in (26), (27) die Größen <5, Öx (21) ein, so nehmen D, Dx, H die Gestalt an:

(26') D = (ac - &²) - b Ô , Dx~ (axcx - 6?) -bxö (27') E == (a cx + c ax - 2 b bx) - (6 <5, + bx Ô) ,

*) Sind li, A*, Xx, Xm vier beliebige Größen, so ist offenbar (A* — h) (h — Ato) + (X{ — Xt) (Xm — Xi) + (Xi — Xm) (Xk — Xi) =E 0 .

Ersetzt man hier homogenisierend jedes Produkt Xi X* durch XiXiefit(j,m und setzt zur Abkürzung pu = Xt jiz*— 1* m, so resul-tiert PikPim + PuPmk + PimPki = 0, d. i. die Identität des Textes. In der Geometrie spielt dieselbe als „Linienkoordinatenidentität“ eine wesentliche Rolle.

**) Man berücksichtige die Relation (XVIII).

während sich für D,. = Dw durch Addition von (23) und mit Berücksichtigung von (25) der Ausdruck ergibt:

r.

Da = {4 (a b) (b c) - {a c)²} - (b ö)² — 2 {ab) (c Ô)

-f- 2 (bc) (a ô) .

Auf Grund von § 3, (V) ist aber:

(29)

4 (a b) (b c) -(ac)² = 4(ac-&²) (ax cx — bx)

— (a cx -f- c ax — 2 b bx)² .

Bildet man in Analogie zur rechten Seite von (29) den verallgemeinerten Ausdruck 4 DDX— H² und vergleicht diesen mit Da (28), indem man die Differenz beider herstellt, so kommt wegen (29):

(4DDX — H²) — D;.= —4&<5(axcx- 6?) - 4bxöx(ac-b²) -\-2{acx-\- cax — 2bbx) (b + bx ô)

(30) •

+ 2 (abx — ax b) (c ôx — cx ô)

-    2(6    - bxc) (a ôx - ax Ô) + (6 ôx - bx Ô)²

-    (6 dx + bx Ô)² + 4 b bx ô öx .

Bei der Entwicklung der rechten Seiten zerstören sich aber je zwei Terme, und es resultiert als Verallgemeinerung von § 3, (V) die Identität:

D/i = Dp

4 DD, - H² .

(XVIII)

Damit gilt:

Satz III. „Zwei verschiedene Substitutionen 8, 8X lassen sich mit Hilfe der beiden ihnen gemeinsamen Elementenpaare (Xx, /q), (A₂, /u₂) gleichzeitig in die kanonische Gestalt (XVII) setzen. Die Diskriminanten Da, Dfl der beiden quadratischen Formen A, M, deren Wurzeln die Paare (A1} A₂), (/q, /q) sind, stimmen überein, und es ist, in Verallgemeinerung der Relation (V) des § 3:

Da = D^ = 4 DDX — H² ,

wo D, Dx die beiden Determinanten und H die bilineare Invariante der beiden bilinearen Formen f(X, [a) , fx(X,/u) sind, die durch ihr Verschwinden die beiden Substitutionen 8, Sx darstellen.“

Die Darstellung (II) resp. (II') einer S (I) durch Nullsetzen einer bilinearen Form /‘(A, ju) führt zur Übertragung der oben abgeleiteten kanonischen Gestalten der 8 auf die entsprechenden Formen f selbst. Der Unterschied ist im wesentlichen bloß der, daß in die Darstellungen der 8 nur die Verhältnisse der Koeffizienten oc, ß, y, ô (I) resp. a,b, b', c (IU) eingingen, während die entsprechenden Darstellungen der Formen f (IU) von jenen Koeffizienten selbst abhängen.

Bei der Durchsichtigkeit des Übertragungsprinzips möge die Durchführung einiger Fälle genügen.

Die Determinante D = ac — bb' der bilinearen Form

(18)

f (A , fx) = a A /a -|- b A -j- b /.x -f- c

war ursprünglich die Determinante der durch /' = 0 dargestellten Substitution 8. Um die Bedeutung des Verschwindens von D — wobei 8 zu einer uneigentlichen Substitution wurde — für die Form f zu erkennen, führe man, falls D = 0, was dann stets möglich ist, drei Hilfsgrößen p, qx ein, so daß D = 0 identisch erfüllt wird:

(31) a — o q' , c — T² ,    & = pr, b'—g'r,

also umgekehrt²):

¹

In den Grenzfallen k = 0 resp. oo würde sich die Formel (VII) reduzieren aiif (w. — coj (2 — eo₂) = 0 resp. (u — <w₂) (2 — co,) = 0 . Diese Substitutionen sind aber uneigentliche (s. Anm. ¹) zu S. 45), insofern einem festen Wert von 2 resp. « jeder Wert von /x resp. 2 entspricht.

²

Diese Darstellung (31') versagt für c —    . Aber dann

verschwindet wegen D = 0 auch b oder b', mittelbar: f= + b') resp. f= Ha /u + b).

(3U)

Q    i—i

ie

v«

T = Vc ,

wo der Quadratwurzel ein bestimmtes Vorzeichen beigelegt werde. Dann zerfällt f in das Produkt:

(32)

/‘(A ,a) = (oA + t) (o'u + t) .

Umgekehrt erkennt man, daß für eine in zwei Linearformen in A resp. /.« zerfallende Form f die Determinante D verschwindet ; f heißt dann „ausgeartet“. Somit ergibt sich:

„Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Ausartung einer bilinearen Form f in zwei in A resp. fx lineare Faktoren ist das Verschwinden der Determinante D von f.u

Satz IY.

man hat un-

Für b = b', X = i< hat man den Spezialfall (II c)

des § 1.

Entsprechend werde die kanonische Darstellung einer quadratischen Form (§ 2) dahin ausgedehnt, daß man eine beliebige Form f(X, u) (D 4= 0) als Aggregat zweier zerfallender Formen darzustellen versucht:

(XIX)

f(X, /i)

d X fA —j— b X —j— b ii —(- c

4(/ — L) (a — Mo) + 4 W — 4) Lu — ßi) •

Soll dies möglieh sein, so genügen jedenfalls die beiden Paare (4, ux), (X₂ , u,₂) der Bedingung f(l, (a) — 0 , sind also Paare der Substitution f = 0. Um die Umkebrung zu beweisen, beachte man, daß, in Verallgemeinerung von

(20), die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Darstellbarkeit (XIX) durch Vergleichung der Koeffizienten geliefert werden:

— & = yU₂ fcj +    ,

c = X1 ju₂ kx 4- 4 /q k₂ .

cu

a — kx + k — V — Xxkx -f- L k₂

Die Elimination der kx, k₂ lehrt, daß die Xx, jux ; X₂, /<2 den vier Gleichungen zu genügen haben, die durch Xull-setzen aller Determinanten der Koeffizientenmatrix von (33) entstehen, was man kürzer so schreibt:

-e-

rH H

^1    ^1 /^2

4    4 / ⁽1

Umgekehrt, sind diese vier Bedingungen (34) erfüllt, so existiert auch ein Paar von Werten kx, k₂, das (33) genügt.

Aber die vier Bedingungen (34) sind tatsächlich mit nur zweien gleichwertig, nämlich

(35)

a Xx jux -j- b Xx -j⁻ b jux -j- c — 0 ,

/(4 , /q)

/(4, fx₂) ~ a X₂ [ä₂ -)- b X₂ -(- b'fx₂ -f- c = 0 .

Denn die vier Gleichungen (34) gehen aus (35) durch sukzessive Elimination der Koeffizienten a, b , b', c hervor. Denkt man sich (35) erfüllt, so bestimmen sich die kx, k₂ aus irgend zweien der Gleichungen (33). Setzt man

Li = a li + b', Mi = a jUi + b (i= 1, 2), so gestatten \, fc2 die Doppeldarstellung :

l₂

(33') kt = ~2    ~

Mx

th lh

Die aus (XIX) als besonderer Fall folgende Darstellbar -keit der Gleichung / = 0 durch die Xt, ju^ ; A₂, stimmt, wie es sein muß, mit der kanonischen Darstellung (XV) der Substitution f = 0 überein : der dortige Faktor k wird jetzt:

(36)

Damit ist auch die simultane kanonische Darstellung (XIX) zweier Bilinearformen (18) f(X, fi),    ft) er

ledigt, sobald man, wie damals bei den Gleichungen f — 0, fi = 0, die Paare (X₁, X₂), (jix, a*₂) als Wurzeln der Gleichungen (19) wählt.

Kehrt man zu der einen Form f(X, fi) (18) zurück, so kann man auch, statt kx, k₂ aus (33) zu entnehmen, irgend ein drittes, der Gleichung f(X, fi) = 0 genügendes Paar (A₃, fi₃) heranziehen. Aus f(Xx, fix) — 0, f(X₂, fi₂) = 0, f(X₃ i l¹3) — 0 ergeben sich die a, b, b', c als proportional den Determinanten der aus den A* yu*,    , /**, 1 (i = 1, 2, 3)

gebildeten Matrix; setzt man dieselben in f(X, /u) ein, so ergibt sich für f zuvörderst:

(37)

f(X , /u) = a X fi 4- b X -j- b'fi + c X /u, X

fi, 1

Xi fli 1 [

<p(X, fi)

wo die vierreihige Determinante mit <p{X, fi) bezeichnet sei.

Hier ist der erste Koeffizient a als von Null verschieden anzunehmen ; dann ist aber auch | A* fit 11 =|= 0 , da andernfalls die drei Paare (Xx, fix), (X₂, fi₂), (X₃, fi₃) voneinander abhängig wären, was ausgeschlossen sein soll.

Verschwindet dagegen a, so genügen zur Darstellung von f bereits zwei, die Bedingung f(X, fi) = 0 erfüllende

Paare ß₁, fix), (A₂, fi₂), und man erhält die Doppeldarstellung

(38)

/ (A , fl)    & A -(- & /t ~t~ C

Aul

A ylt

Al /ij 1 A₂ fi₂ 1

Ai Ah 1 I A₂ Ah 1

die stets möglich ist; denn b und V können wegen D =j= 0 nicht verschwinden, und mit Aj = A₂ würde auch Ah = /u2 sein, und umgekehrt, d. h. beide Paare (Aj, Ah), (A₂, ju₂) würden zusammenfallen.

Die vierreihige Determinante <p (A, ju) in (37) läßt sich so umformen, daß nur Differenzen der A resp. ju auftreten. Zieht man die Elemente der ersten Reihe sukzessive von denen der drei übrigen Reihen ab, so reduziert sich 9?(A, ju) auf eine dreireihige Determinante; zieht man in dieser die mit fi multiplizierten Elemente der zweiten Kolonne von denen der ersten ab, so resultiert die Darstellung :

Ah Ah

A₂ — 4

— <P(A , m) = (A — Ai) (A₂ — Ag) (ji - Ah) (// — /i₃)

+ (A — A₂) (A₃ — Al) (/i - yMi) (/t - yu₃)

+ (A — 4) (4 — 4) (h — Ah) (h — /h) ,

oder auch, unter Benutzung der Identität*):

(A - 4) (4 - a₃) + (A - a₂) (4 - 4)

+ — 4) (4 — a₂) = o

(39)

(40)

die folgende:

(41)

-<p(A , fi) = (A - 4) (4 — 4) {fi - fi₂) {fix - fi₃) — {fl — fix) {fi₂ — fi₃) (A — 4) (Ai — 4) .

In der Tat sagt das Nullsetzen der rechten Seite gemäß (XVI) aus, daß das Dv. der vier Werte A, Ax, A₂, A3 gleich dem der vermöge /'(A, ju) = 0 entsprechenden Werte fi, Ah > Ah i Ah ist, wie es sein muß.

Bisher war die Bilinearform f (A, ju) als gegeben betrachtet; sieht man indessen dieselbe, d. h. die Koeffizienten a, b, b', c, umgekehrt als unbekannt an, und die zwei,

*) Siehe die oben auf die Formel (24) bezügliche Anmerkung. Meyer, Allgemeine Formen- und Invariantentheorie I.

resp. drei Wertepaare Àx, /ix ; A₂, /x₂ ; [A₃, /x₃] als beliebig gegeben, so ergibt sieb im ersteren Falle für die zugehörige Form /‘(A, ju) die rechte Seite von (XIX), wenn darin kx und fc₂ als willkürliche Parameter angesehen werden, und entsprechend im letzteren Falle die mit einem willkürlichen Parameter fe multiplizierte Form cp (A, //) in (37), resp. (41).

Dabei ist nur vorauszusetzen, daß im ersteren Falle ij 4 l₂, fix 4= f<2 ist und im letzteren, daß nicht alle vier Determinanten der Matrix /H pp, )H, fp, 1 ! (i = 1,2, 3) zugleich verschwinden¹), d. h. daß zwischen den drei Paaren (At, fix) (A₂, ju₂) (A₃, /x₃) keine Abhängigkeit besteht.

Die Ergebnisse (XIX) und (41) lassen sich auch direkt

aus dem Ausdrucke (18) für /(A, /x) herleiten. Sei wieder (Aj, ip) ein Paar der Substitution /'(A, //) = 0. Zieht man von dem mit aXx-\-b' multiplizierten Ausdrucke /‘(A, ₍u) den mit aX b' multiplizierten (verschwindenden) Ausdruck f (Ai , pix) ab und verfährt ebenso mit einem zweiten Paare (A₂ , /x₂), so ergibt sich :

(42)

/(A, fi)(aXx-(-b') ee (aX-\-b )(&^x ~lrb')(u—/ix)-\-D(Xx —A), /(A,/i)(<xA₂ + &/) = (aX-\-b )(aX₂-\-b )(fi—/x₂)~rD(A₂—A).

Die Elimination von I) führt zu der mit (XIX) äquivalenten Darstellung :

m, p) (4

(43)

A4 == (a A₂ +6') (A — Aj) (/x — /x₂)

— (a At + &') (A — A₂) (,u - /Xi) .

Die völlige Übereinstimmung mit (XIX) tritt hervor, sobald man beachtet, daß die erste und dritte der Relationen (33) für kx, 1c₂ die Werte liefert [vgl. (33 ')] :

(44)

a A₂ + b' A₂ Xx

k₂ :=-~

a Xx -f- b' Ai 4

Fügt man zu (43) diejenige Identität hinzu, die aus (43) durch Einsetzen eines dritten, der Bedingung /'(/., /i) = 0 genügenden Paares (2₃, /q) hervorgeht, und eliminiert a 2₂ -f & ', so gelangt man zu der mit (41) äquivalenten Darstellung:

/ (yl, q) (2₂ 2j (2₃    2X) (/^3    !h)

(45)

= (a Ai +    &')    [(2    — Äy) (fi -    IJ.₂)    (2₃    -    2₂)    (//₃    — /q)

— (2 - 2₂) (q - /q) (2₃ — ly) (q₃ - //₂)1 .

Indem wir die Überführung der weiteren, im ersten Teile dieses Paragraphen für Substitutionen mittels ihrer Doppelelemente hergestellten kanonischen Gestalten in die entsprechenden der Form f(k,fi) dem Leser überlassen, heben wir das Übertragungsprinzip hervor:

Satz Y. „Jeder kanonischen Darstellung einer Substitution S korrespondiert eine solche für die zugehörige Bilinearform /“(2,q): hierbei kann man sich entweder die Form f als vorgelegt denken, und die darstellenden Elementenpaare der Bedingung /‘(2, q) = 0 gemäß gewählt, oder aber umgekehrt diese Paare beliebig angenommen und die Form f dadurch bedingt.“

Schließlich ziehe man noch die zu zwei Bilinearformen /'(2, ju), fy(l, fi) (18) gehörigen quadratischen „Doppel -elementsformen“ /‘(2, 2), fy(l, 2) heran:

o 2 -|- 2 2 —-—-— -j- c ,

(46)

Li

W, I)

0,2- +22

und frage nach dem Zusammenhänge zwischen deren Diskriminanten A, Ax und ihrer bilinearen Invariante H mit den zu den Bilinearformen f(l, ju), /)(/t, u) gehörigen Determinanten D, Dy (27), deren bilinearen Invariante H (27) und den beiden Linearausdrücken ô — V — b , öy =    — by (21).

Man erhält sofort:

(47)

Ay _ Dy

(5²

A = D-

ôôy

(48)

Die Bildung <5 resp. (21) heißt „die lineare Invariante“ der Bilinearform f resp. f\ ; über ihre Invarianten -natur vgl. § 9.

Aufgabe 1. Die Formel (III) des Textes läßt folgende Ausdehnung zu. Die allgemeine lineare achtgliedrige Gruppe in zwei nicht homogenen Variabein x, y wird dargestellt durch:

ax -f- b y + 1c

cx + dy + 1 ex + fy + g

Es bezeichne Z(x,y) = Z den gemeinsamen Nenner, so

\ Xi y i 1 |

daß Z(xi, yi) = Zi usf., und Aikt die Determinante xk yk 1

xi yi i ;

(s. die Aufgabe 9 b zu § 5), D die Determinante der neun Substitutionskoeffizienten, so gilt für die transformierte Bildung A'ikl die Identität:

(i)

x' —

ex + fy + g

y' =

(1')

^ikl    ^ikl r/ ry ry ?

so daß wiederum Aikt als relative Invariante in erweitertem Sinne erscheint. Eine entsprechende Formel besteht für n Variable.

Setzt man dagegen die Gruppe in homogene Gestalt um, so wird Aikl. . . zu einer relativen Invariante in gewöhnlichem Sinne, insofern A'ikl. ..= DA letztere Formel ist nur ein anderer Ausdruck für das Multiplikationstheorem der w-reihigen Determinanten.

Aufgabe 2. Die Formel (1') ist anzuwenden, um zwei charakteristische absolute Invarianten Jx, J₂ der allgemeinen projektiven Gruppe (1) in x, y zu ermitteln. Entspricht der Index 0 dem Wertepaare (x, y), so wird:

0ik ^0Im ^0il Aokm

und J₂ geht daraus hervor, wenn man den Index 0 mit irgend einem der vier übrigen vertauscht. Da \ Aoik den Inhalt des durch die drei Punkte (x, y), (xt, yt), (xk, yk) gebildeten Dreiecks angibt, so führt der Ausdruck (a) den Namen „Dreiecksdoppelverhältnis“. Dieser Ausdruck läßt sich auch deuten als das Doppelverhältnis der vier Strahlen,

ikl- •

. Die

(a)

*-4

die den Punkt (x, y) mit den vier übrigen verbinden ; die absolute Invarianz von Jx wird damit geometrisch unmittelbar ersichtlich.

Aufgabe 3. Man spezialisiere die Gruppe (1) einmal dahin, daß die unendlich ferne Gerade g(und damit auch zwei gewisse Punkte auf ihr) invariant bleibt, das andere Mal (dualistisch) dahin, daß der Nullpunkt 0 invariant bleibt. Dann entstehen die beiden sechsgliedrigen Gruppen:

y' = c x + dy + l ; cx + dy ex + fy + 1 *

(2a)

(2b)

x' = ax-\-by-\-Tt, ax + by ex + fy + 1 ’

x' =

y' =

Nimmt man in ersterem Falle für (x₀, y₀), (xm, ym) die beiden sich selbst entsprechenden Punkte auf g

duziert sich der Quotient

ZÎ

man in letzterem Falle (x₀, y₀) als Nullpunkt, so reduziert sich A

Olm

0 km

OO }

so re-

auf die Einheit; wählt

auf dik = ! -ll | (s. Aufgabe 5 zu § 6). Damit

| ^k i Vk \

ergeben sich für beide Fälle die Invarianten:

Oik

(2 a)

J'—A

Oik

J₂ =

Oil

0 kl

dik &ln du dfcn

da di du dkm

was sich auch direkt aus den Gruppen (2 a), (2 b) ableiten läßt.

Legt man überdies den Gruppen (2 a), (2 b) die Beschränkung ad ^-bc = 1 auf, so gehen die beiden Gruppen in zwei fünfgliedrige über, für die noch jeder Dreiecksinhalt (und damit überhaupt jeder Flächeninhalt der Ebene) invariant bleibt. Nunmehr treten noch die weiteren Reduktionen ein :

(2 b)

J₂ =

(3 a)

Jo = A

(3b)

j 2 — du .

Die Formel (a) ist ebenfalls auf n Variable übertragbar. Man hat z. B. im Falle n = 3 das ,,Tetraederdoppel-

Verhältnis“ Jx — —

01 ik A Olim Zoiil -~h)lkm

aus dem sich zwei weitere ab-

soluté Invarianten der bezüglichen Gruppe ergeben, wenn man z. B. 1 mit i resp. fc vertauscht. Und entsprechend allgemein. Jl stellt auch das Dv. der vier Ebenen dar, die die Gerade Öl mit den vier übrigen Punkten verbinden, usf.

Desgleichen treten die den Fällen (2 a), (2 b), (3 a), (3 b) analogen Verallgemeinerungen ein.

Von der Formel (a) läßt sich eine Anwendung machen auf den in Aufgabe 2 zu § 4 dargestellten Kegelschnitt C₂, x : y : 1 — f₂ (À) : g₂ (X) : h₂ (X). Es ergibt sich, daß das Dv. der vier Strahlen, die einen beliebigen Punkt (X) der C2 mit vier festen Punkten (A₄, X₂ ? h > h) der @₂ verbinden, konstant ist, nämlich gleich dem Dv. (A₄ X₂ /₃ A₄) ; analog gilt das Dualistische (Projektive Erzeugung der C₂).

Entsprechend ist bei einer kubischen Baumkurve <p₃, x : y : z : 1 = /₃ (X) : g₃ (/) : h$ (/l) : % (X) das Dv. der vier Ebenen, die irgend eine Sehne der ç?₃ mit vier festen Punkten (Aj, l₂, '/₃, A₄) der (p₃ verbinden, wiederum konstant, gleich dem Dv. (Ax A₂ A₃ A₄), und analog dualistisch.

Entsprechendes gilt für eine Kurve w-ter Ordnung im Baume von n Dimensionen.

Aufgabe 4. Die im Texte entwickelten kanonischen Gestalten der bilinearen Belation (II') nebst den bezüglichen Bedingungen sind auf die bilineare Form (18) zu übertragen.

Aufgabe 5. In der linearen Substitution (I) z'=

yz-\- ô

seien Variable und Koeffizienten komplexe Größen. Deutet man, wie in § 1, Aufgabe 2, z' und z als Punkte der Ebene, so stellt (I) eine (quadratische) Punktverwandtschaft dar, bei der jedem Kreise wieder ein Kreis entspricht (Möbius-sehe Kreisverwandtschaft). Gibt ein horizontaler Strich je die konjugiert-komplexe Größe an, so läßt sich die Gleichung

eines Kreises in die Gestalt setzen : azzĄ-bz-\-b zĄ-c^ 0, wo a, c reell sind. Gemäß Formel (III) des Textes ist

lim

wo der Grenzprozeß so zu voll-

— Ą

ziehen ist, daß die Punkte %, zk dem Punkte z in irgend einer Weise beliebig nahe rücken (und damit von selbst die Punkte z-, z[ dem Punkte z'). Daraus folgt, daß sowohl das Verhältnis zweier von s ausgehenden Linienelemente vermöge der Substitution (I) ungeändert bleibt, wie auch der Winkel, den beide einschließen. In diesem Sinne stellt (I) eine „konforme“ Abbildung der Ebene dar.

Den besonderen, im Texte (s. auch § 5) behandelten Fällen von (I) entsprechen vielgebrauchte Verwandtschaften der Ebene resp. Gruppen von solchen.

So stellt die reziproke Substitution (XIV) zz' = k, wo k reell, die „Inversion“ der Ebene, oder die „Transformation durch reziproke Radien“ r, r' in bezug auf den Nullpunkt 0 dar (rr' — k), verbunden mit einer Spiegelung an der «-Achse, womit zugleich eine Umlegung der Winkel verknüpft ist; die Inversion für sich allein wird durch zz' — k repräsentiert.

Sodann führen die Fälle (VIII), (IX), (XI) zu folgenden reellen projektiven Gruppen der Ebene. Die jeweils charakteristischen beiden absoluten Invarianten sind wiederum (wie in den Aufgaben zu § 5) mit Jx und J₂ bezeichnet.

(VIII)

(k = a + i &)

Zweigliedrige Gruppe der Schiebungen (Translationen)

x' — x + a ,

mit Jx = x — xx, J₂ = y — yx . J eder Punkt auf bleibt invariant.

y' = y + h »

z' — (XZ .

Hier sei zunächst <x reell, = m, also z' ~ mz, so entsteht die eingliedrige Gruppe der Streckungen²) vom Nullpunkt aus :

y' = my ,

(IX)

(IX a)

x' — m x

V

J₂ =— . Der Nullpunkt sowie jeder Punkt auf

CO

bleibt invariant.

Andererseits sei der absolute Betrag von tx gleich 1 : a = ei(f = cos cp + i sin cp ; also z' = ei(p z, so entsteht die eingliedrige Gruppe der Drehungen um 0 :

y' = x sin 99 -f- y cos cp

(IX b) x' = x cosç? — y sin cp

Jx = x yx — xx y , J₂ = x xx + y yx ; irgend eine von beiden Invarianten ist auch ersetzbar durch J* = x² + y². Invariant bleiben goo, 0, sowie auf die beiden sogenannten

„Kreispunkte“ — = und jeder Kreis mit dem Mittel-

00

punkte 0 . Die Gruppe (IX b) ist projektiv gleichwertig mit der in (1) S. 56 unter den Aufgaben zu § 5 aufgeführten: x' = ax, y' = a* y , wenn man der willkürlichen Konstanten <x den Wert —1 gibt*). An die Stelle der beiden Kreispunkte treten dann die Punkte TJX, TJy auf g<*>.

Xunmehr sei oe eine beliebige komplexe Größe, a = mei(P :

x' = mcos(px — m sin<p y , y' — m sin cp x -j- m cos y y .

Dies ist die zweigliedrige Gruppe der „Drehstreckungen“ bez. 0, d. h. der aus den Drehungen um 0 und den Strek-kungen von 0 aus zusammengesetzten Operationen; mit

wo irgend eine der-

(IX) z' = mei(Pz oder

Ji =

xyx-x^y

X y 2 — x₂ y

xxx + yyx

xx₂ + yy₂

selben ersetzbar ist durch J* =

Invariant sind g

oo 5

auf goo .

x² -)- y²

x\ + y\ '

0 und die beiden Kreispunkte

Führt man vermöge einer (imaginären) Kollineation die beiden Kreispunkte über in die unendlich fernen Punkte TJX, üy der beiden Achsen, so wird die Gruppe (IX) pro

jektiv gleichwertig mit: x'=mx, y' = ny mit Jx —

= ^

Vi

(VIII)

z' = <x z + Je .

Man hat hier dieselben drei Fälle zu unterscheiden, wie bei (IX).

(Villa)

a reell = m : z' = mz Je

(Je = a + ib)

*) Umgekehrt entspricht jener Gruppe (1) bei beliebiger Konstanten a die Gruppe der erweiterten Drehungen („Drehstrek-kungen“) :

x/ = x • m cos<p — y • m sin 9? , wo m = eß<p , und ß = a + 1.

y' = x • m sin99 + y • tn cos<p ,

d. i. die dreigliedrige Gruppe:

y' = my + b

x' — m x + a ,

[siehe die Gruppe (9 a) in den Aufgaben zu § 5] mit

y-y i

X — xx

. Jeder Punkt auf ^ bleibt

J i = -

x

invariant. Die Schiebungen der Ebene sind kombiniert mit der Änderung des Maßstabes.

J₂=-

x

-xx

(VIII b)

d. i. die dreigliedrige Gruppe: x' = x cosç? — y sin cp + a ,

a, — ei(P : z' = ei<r> z + fc

012 1

y' = x sin<7; + y COS99 + & Jx=(x- xx) (y - y₂) — (x — x₂) (y - yx) = A J₂ = (x — xx) (x - x₂) + (y — yx) (y - y₂) .

Invariant bleiben auf die beiden Kreispunkte. Außer einer Schiebung wird jede Strecke um den Winkel cp gegen die positive Richtung der x-Achse gedreht.

(VIH)

oc = mei<f>: z' = mei(f>z,

d. i. die viergliedrige Gruppe der projektiven Ähnlichkeitstransformationen :

x' = m cos cp x — m sin cp y + a , y' = m sin cp x + m cos cp y -j- b ,

mit Jx =

(x - xx) (y - y₂) -{x- x₂) (y - yx)

, woraus sich

(x - xx) (x - x₂) - {y - yx) {y - y₂)

J₂ durch Vertauschung von (x₂, y₂) mit (x₃, y.A) ergibt.

(x - xxy + (y - yx)²

Statt J2 dient auch J* —■

Invariant

• {x - x₂)² + {y - y₂)² '

bleiben die beiden Kreispunkte auf .

Verlegt man dieselben wiederum in die Punkte Ux, U so entsteht die mit (VIII) projektiv gleichwertige Gruppe:

mit

x' = m x -f- a ,

y' = ny -\-b ,

y -y 1

x — xx

-y 2

x — x₂

Die Gruppe (VIII) entsteht durch Zusammensetzung der Schiebungen, Streckungen, Drehungen und der Spiegelungen in bezug auf 0.

einen Punkt X der C

Aufgabe 6. Deutet man einen (reellen) Wert- X als x : y : 1 = À² : X : 1 , so stellt eine

(bei reellen ot, ß, y, ö) eine

Substitution (I) X' =

oc X 4- ß

y X -f- <9

(reelle) projektive Beziehung auf der C₂ dar. Die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte (X, X') umhüllen eine zweite C₂, die die erste an zwei Stellen (Xx , X₂) be rührt; Xx , X₂ sind die Doppelelemente von (I).

Ist die projektive Beziehung (I) insbesondere eine in-■ volutorische, so artet der zweite Kegelschnitt in einen (doppeltzählenden) Punkt aus.

Repräsentiert man analog eine Involution auf der kubischen Baumkurve x : y : 0 :1 = X³ : X² : X : 1, so bilden die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte (X, X') die eine Regelschar einer, der Kurve umbeschriebenen Fläche 2. Klasse; die Gesamtheit dieser Flächen ist damit der Gesamtheit der Involutionen eineindeutig zugeordnet.

Entsprechend gilt in Ebene und Raum das Dualistische.

§ 8. Das Doppelverhältnis.

In § 3 trat bereits das zweier Werte ô

rH <>0

fähige

Hoppelverhältnis („Dv.“) zweier Werte (xx, x₂), (ocx, oc₂) auf. Im Anschluß an den Satz II des § 7 betrachte man jetzt allgemeiner, bei Zugrundelegung von vier gleichberechtigten Elementen Xx, X₂, X₃, x₄, als deren Doppel -Verhältnis*) („Dv.“) <5 = (1 2 3 4) den der natürlichen Anordnung (Permutation) der vier Indizes entsprechenden Ausdruck :

(i)

d = (1 2 3 4) =

(^i__-4) fe    ^4)

(^1    ^3) (^2    ^4)

Hier geht der Nenner ans dem Zähler durch Vertauschung der beiden „mittleren“ Elemente X₂, /₃ hervor. In § 3 wurde bewiesen, daß <5 = (1 2 3 4) übereinstimmt mit

(2 1 4 3) = (3 4 1 2) = (4 3 21), andererseits (2 4 1 3) = (3 1 4 2) = (4 2 3 1). Nach der Ausdrucksweise

= (1324) mit

) Vielfach ist auch der Ausdruck ..anharmonisches Verhältnis“ im Gebrauch.

des § 3 war Ô = (12 3 4) das Dv. der beiden Paare , A₄), (/₂, /₃). Da sieb aber vier Elemente auf drei verschiedene Arten in zwei Paare trennen lassen, so fallen die 2 4, den 2 4 Permutationen der Indizes 1, 2, 3, 4 korrespondierenden Werte des Dv. zu je vieren zusammen, und von den sechs verbleibenden im allgemeinen verschiedenen Werten, sind dreimal zwei zueinander reziprok.

Gemäß der obigen Eegel für je vier gleiche Werte der Dv. darf man irgend ein Element, z. B. das erste / an seiner Stelle festhalten und sich auf die sechs Permutationen der drei übrigen beschränken, wobei stets (likl) • (1 Je i l) = 1 .

Faßt man einmal die drei „positiven“ Permutationen 234, 34 2, 423 zusammen, andererseits die drei „negativen“ 3 2 4, 432, 243, so liefern die letzteren der Reihe nach drei Dv„ die reziprok sind zu den drei Dv., die zu den drei ersteren gehören.

Man führe ferner den Begriff der zyklischen Folge von vier Elementen ein. Man sagt, die drei Permutationen 1 2 34, 1342, 1423 seien in „zyklischer“ Folge genommen, wenn diese vier Elemente, auch bei Über-springung vo/i einem oder zweien, stets in demselben „Sinne“ 12 341234 durchlaufen werden. Dann entspricht den positiven Permutationen 2 34, 342, 423 der Indizes 2,3,4 gerade die soeben angegebene zyklische Folge und den drei negativen 2 4 3, 432, 324 die zweite durch 12 4 3 bestimmte zyklische Folge.

In § 3 waren bereits Zähler und Nenner von (5 als selbständige Größen eingeführt; entsprechend bilde man jetzt die drei der zyklischen Folge 1234, 1342, 1423 zugeordneten gleichberechtigten Differenzenprodukte :

(II)

P12, M— (^1 ^2) (^3 h) ? P 13,42 — (^1    ^3) (^4 ^2) 5

14,23

Addiert man, so zerstören sich, wie schon unter (24) in § 7 angegeben, je zwei der sechs Produkte    und

es resultiert die grundlegende Identität:

== (/.i — Ź4) (/₂ — ^3) •

(HI)

P 12,34 + P 13,42 + Pu,23 — 0 •

liefert die Relation:

Die Division mit P

(1 4 3 2) = 1 - (1 2 3 4) = 1 - Ô .

13,42

(1423) = -

Wendet man die Regel abermals auf (1 3 4 2)= ---j

j    ^    1 — o

an, so ergibt sich (1 2 4 3) = 1 — -------j = --j. also

1-Ô    1—dl—d

Damit sind die sechs verschiedenen Werte des Dv. (I) erschöpft und — bei festgehaltenem ersten Element repräsentiert durch die Tabelle:

= (1 324),

<3 = (1 2 3 4),

(IV)

” = (1 34 2),

1 _ ô = (1 4 3 2),

¹ ^— = (1423),

!^=<¹²⁴³>-

Hier stehen links die positiven Permutationen der drei Elemente 2, 3, 4, rechts die negativen; die Anordnung der Tabelle entspricht zugleich der Trennung der vier Elemente 1, 2, 3, 4 in die drei Paare (1 2) (3 4), (13) (42), (14) (23).

Da unter den sechs in (IV) vorkommenden Permutationen der Elemente 2 , 3 , 4 die Ausgangspermutation beliebig auswählbar ist, so muß man auch, wenn das zugehörige Dv. wieder mit <5 bezeichnet wird, durch die übrigen fünf Permutationen wieder zu den fünf übrigen Werten (IV) des Dv. gelangen. Konstruiert man also die sechs Substitutionen :

X = Ö,

(2)

(5

1 - (3

so führt die Zusammensetzung irgend zweier derselben stets wieder zu einer der Substitutionen (2), d. h. diese bilden eine Gruppe.

Somit gilt :

den 24 Permutationen der In-

Satz I. „Unterwirft man das Dv. ö = (1 2 3 4) _ (^1 ~~ K) (^3    ^4)

¹

Dann müßten die Dv. (À, Xli X₂, A₃), (p, pt, p₂, p₃) für alle Werte von X, /i übereinstimmen, was nur so möglich wäre, daß zwei der Paare (X₁, px), (X₂, p₂), (X₃, p₃) zusamenfallen; das letztere ist aber von vornherein ausgeschlossen. In der Tat kann die in Rede stehende Übereinstimmung beider Dv. dann und nur dann eintreten, wenn (/., — X₃) (p₂ — p₃) = 0 . und (X₂ — X₃) (px — /,<₃) = 0 . Betrachtet man liier die Paare (Xx, px) (X₂, //,_,) beliebig, aber fest gewählt, so bleiben nur die beiden Möglichkeiten Xx — X₃, px = ;i3 oder aber X₂ — X₃, p₂ — p₃.

²

Bei negativem m ist die bezügliche Streckung noch zu kombinieren mit einer Spiegelung in bezug auf den Anfangspunkt 0. Der Kürze halber umfasse das Wort Streckung“ in diesem Falle beide Operationen.

~ & - 4) (4 ~ *4)

dizes 1, 2, 3, 4, -so fallen von den 24 zugeord-

neten Werten des Dv. je vier zusammen, indem stets für irgend eine Permutation iltlm

(iTclm) = (lei ml) = (ImiTc) = (ml lei)

wird. Die verbleibenden sechs verschiedenen Werte des Dv. werden durch die Tabelle (IV) angegeben und stellen die Dv. der drei Paare

(Aj a₂) (4 a₄) , (4 4) (4 4), (4 4) (4 4)

dar. Faßt man 6 als eine Variabein auf und setzt

der Eeihe nach die sechs Werte des Dv. gleich einer zweiten Variabein/

so ergibt sich eine Gruppe (2) von sechs linearen Substitutionen von A .“

In § 3 traten bereits partikuläre WTerte des Dv. auf, z. B. — 1, +1, 0 , oo, für die von den sechs Werten (IV) einige zusammenfielen.

Um alle derartigen Fälle zu erschöpfen, genügt es, da die sechs Werte (IV) des Dv. gleichberechtigt sind, den ersten, 6, je einem der übrigen gleichzusetzen. Man erkennt leicht, daß nur drei Hauptfälle möglich sind.

Entweder nimmt <5 im besonderen einen der drei

Werte 0, 1, oo an, dann fallen die sechs Werte (IV) zu je zweien zusammen, und zwar eben in jene drei Werte. Das Entsprechende gilt für die drei Werte — 1, 2 , \ von Ö. Die Einzelheiten lese man aus den beiden Tabellen ab:

00

HS

TH ;»©

1-6

1-Ô    1-6

1-6

rH O 8

OÜ H

OH 8

g rH °

-Ô

1-6

1-6 1-Ô

(4)

toll-¹ I—Ł

tH

tH

t-TN i (N

CO mV-

co

Der dritte Hauptfall tritt ein, wenn etwa 6 = -— ^ gesetzt wird, d. i.

so wird die Verteilung von rjx , (IV) durch die Tabelle erläutert:

r]₂ auf die sechs Werte

1- <5

1 - <5

dann ist zugleich <5 =

die drei reziproken Werte zusammen.

Bezeichnet man die beiden (komplexen) Wurzeln von (5) mit rj₁ , «₂, so daß :

cs®

; andererseits fallen auch

(6)

tH (M ^ §2-

-1 ±</3

<5

1 - ô ,| l-ô

V-2

Vi

tH <N

Sr- $2-

<N ’-H

Sr*

CS CS

Im Falle (4) heißt das Dv. ein „harmonisches“, in Übereinstimmung mit § 3, im Falle (7) ein „äqui-anharmonisches“, Man hat demnach den

Ent-

Satz II. „Von den sechs Werten (IV) eines Dv. können im besonderen nur auf drei wesentlich verschiedene Arten zwei zusammenfallen, weder ist irgend ein Ausgangswert gleich 1,0, oo, oder aber gleich —1, 2, dann fallen beidemal je zwei der sechs Werte (IV) des Dv. zusammen und zwar in eben jene drei Werte. Oder endlich ist irgendein Ausgangswert eine Wurzel rj₁ oder rj2 der Gleichung (5² — <5 + 1 = 0 , dann fallen je drei Werte (IV) des Dv. zusammen, und zwar in eben jene beiden Werte.“

Man mag die drei Tabellen (3), (4), (7) durch eine weitere vervollständigen, die jeweils die Wurzeln der quadratischen Gleichung erkennen läßt, die durch Gleich-setzen irgend zweier der sechs Werte (IV) entsteht. Um dabei den Wert oo deutlicher hervortreten zu lassen, mache man jeden der sechs Brüche (IV) homogen, indem man

Dann ergeben sich für die Differenzen je zweier der sechs Werte (IV) die Relationen:

statt Ô schreibt.

o² — ô £ -j- e²

d(E ~ Ô)

Die drei Hauptfälle des Satzes TI bedürfen einer näheren Diskussion. Im ersten Falle nimmt das Dy. ô

den Wert 1 für A, = L oder

(I) den Wert 0 an für lx = A₂ oder A₃ = A₄ , den Wert oc für Aj = A₃ oder A₂ = A X₂ = A₃ :

Satz III. „Das Dv. nimmt dann und nur dann einen der drei Werte 0, 1, oo an, wenn irgend zwei der vier Elemente des Dv. zusammenfallen.“

Dieser Satz erleidet aber eine Ausnahme, wenn nicht nur zwei, sondern drei der vier Elemente zusammenrücken. Man setze etwa Xx — Â₃ + e , A₂ = A₃ + v\, so nimmt ô die Gestalt an-:

(9)

()

£ - <5

(8)

Oo

⁺ ~~ö

\£ — o) (e + ö)

<)

Oo ;

I CO

0(0 — 2e)

£(S - e)

-à

co :®o

e(2ö

d(ö — e)

cm

50

I |°®

2 £ - Ô

£ -j- ()

£ — Ö ‘ £ — Ö £ — Ô ()    £- Ô 2 Ö - £

Ó² — Ö £ -j- £2 fc(e — Ö) ó² - Ö e + £²

<5=1

1 + A

“3

Läßt man nunmehr e und rj zugleich gegen Null konvergieren, jedoch so, daß rj = qe , wo g ein beliebig ge-

wählter Wert ist, so konvergiert ô , für A₃ =j= A₄, gegen den Wert 1 — 0 . Dies ändert sich nicht wesentlich, wenn auch noch A₃ und A₄ zusammenrücken. Für A₃ — A₄ = £ geht der Ausdruck (9) für ô über in:

(10)

tH

tH

Konvergieren e, r], Ç zugleich gegen Kuli derart, daß rj — qe , r\ — o Ç, wo auch o beliebig sei, so konvergiert

Damit erfährt Satz III die Ergänzung:

*    1 — e

à gegen —.

1 + o

Satz III'. „Satz III gilt im allgemeinen nur in dem Sinne, daß nicht mehr als zwei Elemente zusammenfallen. Rüken drei oder auch alle vier Elemente zusammen, so kann hinsichtlich der Art des Zusammenrückens stets so verfügt werden, daß das Dv. jeden beliebig vorgegebenen Wert erhält.“

und wenn über-

Dagegen bleibt Satz III offenbar dann erhalten, wenn sich die vier Elemente in zwei Paare von gleichen Elementen zerlegen, z. B. Ax = A dies A₄ 4= K bleibt.

Der zweite Hauptfall des Satzes II, das harmonische Dv., ist schon in § 3 nach verschiedenen Richtungen untersucht worden, insbesondere auch hinsichtlich der dabei auftretenden Realitätsverhältnisse. Von den drei Werten — 1, 2, -§- eines harmonischen Dv. (I) ist der erste, für die Anwendungen bequemste dadurch charakterisiert, daß dann, in der Sprechweise des § 3, das Paar der „äußeren“ Elemente (A₄, A₄) harmonisch ist zu dem der „inneren“ Elemente (A₂, A₃).

Sind drei ungleiche Elemente A₄, A₂, A₃ beliebig vorgegeben, so läßt sich auf dreierlei Weisen ein zu ihnen harmonisches viertes Element A bestimmen. Denn man kann von den A₄, A₂, A₃ irgend ein Paar, z. B. (Ax, A₂), herausgreifen und dann so wählen, daß die beiden Paare (Ai > A₂), (A₃, A) harmonische werden. Demnach hängt A von einer kubischen Gleichung ab, die in unentwickelter Form lautet :

[(4 - 4) (4 -4 + (ii - 4) (4 - 4]

(V)

•    [(4 - 4) (4 - 4 + (4 - 4) (4 - 4]

•    [(4 - 4) (4 - 4 + (4 - 4) (4 - 4] = o.

Um mit harmonischen Paaren bequem operieren zu können, werde ein Satz über eine kanonische Gestaltung des Dv. eingeschaltet. Legt man den Elementen eines Paares, etwa des inneren oder auch des äußeren, die Werte 0, °o bei, z. B. A₂ = 0, A₃ = oo, so nimmt das Dv.

an :

den Wert

dl)

(Aj, 0 , 00 , A₄) = (A

= (°°, A

⁰⁰, 0, 4) = (0, 4, a

K, °) = T->

00)

und dieser Wert reduziert sich für /₄ = 1 auf das Element At selbst:

(12)

4 = (4 ? 0,00, l) = (i, 00, 0, Aj)

= (0, 4,1, 00) = (00,1, ax, 0).

Damit erhält man den u. a. für die projektive Geometrie grundlegenden Satz:

Satz IV. „Das Verhältnis zweier Werte läßt sich auffassen als das aus diesem Paare und dem Paare (0, 00) gebildete Dv.; insbesondere erscheint ein beliebiger Wert A als Dv. des Paares (A, 1) und des Paares (0 , 00).“

Soll daher das Dv. der Paare (2, ju) und (0, 00) ein harmonisches sein, so ergibt sich dafür die in der Geometrie viel gebrauchte Bedingung:

(13)

A -f- fx — 0 .

Wir kommen zum dritten Falle des Satzes II, dem äquianharmonischen Dv. Denkt man sich wiederum drei (ungleiche) Elemente A₁, A₂, 1₃ beliebig gegeben, so erhält man für ein viertes, mit jenen ein äquianharmonisches Dv. bildendes Element, gemäß (5) zwei Werte, A, A', die Wurzeln der Gleichung:

(14)

[(4 - 4) (4 - 41² - [(4 - 4) (4 - 4 • (4 - 4) (4 - 4] + [(4 - 4) (4 - 41² = o .

Sind andererseits zwei Paare (Aj, X₂) > (4 ? 4) a^⁸ Wurzeln zweier quadratischer Formen f(X), g{X) gegeben, so läßt sich die Bedingung dafür, daß das Dy. beider Paare ein äquianharmonisches sei, durch Invarianten von f und g ausdrücken. Sind Df, Dg die Diskriminanten von f und g, E deren bilineare Invariante, R ihre Resultante, so galt nach § 3 (12) für die Summe der beiden zueinander reziproken Werte des Dv. beider Paare (4 4) ? (4 4):

-2 (2Hz + R)

(15)

und zwischen H, R, Df-Dg bestand die Relation (§ 3, V): H² + R == 4 DfDg .

Da das Dv. nach (5) ein äquianharmonisches nur für <4 + ô₂ = 1 wird, ergibt sich die gesuchte Bedingung in irgend einer der drei Gestalten:

(17)    4tf²+3R = 0, R = W DfDg, H² = —12DfDg .

Indem wir zu (14) zurück kehren, fragen wir nach dem Realitätszusammenhange zwischen dem Tripel (444) und den beiden Wurzeln A, X' von (14).

Sind alle drei Elemente Xl, X₂, 4 reell, so verlege man dieselben auf Grund des Satzes II des § 7, vermöge

(A - 4) (4 - 4)

(X 4) (4    4)

0, oo, 1. Dann werden nach Satz IV die beiden äqui-anharmonischen Dv. (4, 4 5 4 » 4 and (4, 4 ? 4 > &') mit X resp. X' selbst identisch, und sind die Wurzeln von (5), also konjugiert komplex.

Sind andererseits von den drei Elementen X₁, X₂, 4 eines, etwa 4, reell, die beiden anderen konjugiert komplex, so verlege man, vermöge der reellen*) Substitution // — i l¹ + i

i, —i, 0, so reduziert sich das Dv. (4, 4 ? 4» 4» wenn

(16)

der Teelien Substitution fi =

, in die Stellen .

(A - 4) (4 - 4)

(A - a₂) (4 - 4)

, die Xl, 4 , 4 ia die Stellen

*) In reeller Darstellung nimmt die Substitution die Gestalt

an:

fi =

b (l - 4)

(a — A) (a — 4) + b²

man wieder / statt // schreibt, auf

A-i

Soll dieses

ein äquianharmonisches sein, so liefert (5) für /, /' die Gleichung :

3 )} - 1 = 0 ,

(18) (k - iy +(*-<)(* + ») + (* + iy

deren Wurzeln die reellen Werte + besitzen. Damit ist bewiesen :    V 3

Satz Y. ,,Die beiden Werte k, k', deren jeder mit drei gegebenen Elementen ein äquianharmonisches Dv. bestimmt, sind konjugiert komplex oder aber reell, je nachdem alle drei Elemente reell sind, oder aber nur eines reell, die beiden andern konjugiert komplex.“

Der Begriff des (zweiwertigen) Dv. (I) zweier Paare (Aj, A₄), (k₂, A₃) führt noch zu einer andern bemerkenswerten Eigenschaft. Es werde das eine, etwa das äußere, jetzt mit (x₁, x₂) bezeichnete Paar festgehalten, während das andere variiere; man setze für das letztere einmal zwei Werte (£, rj), das andere Mal die Werte (rj, £) . Dieser Festsetzung mögen die Bezeichnungen DSv, D//C entsprechen :

(19)

(d/₄, rj, Q , x₂) .

(*®i i £ ? V i *^2) 1 *

Dann entsteht durch Multiplikation:

(20)

D^n = Dtç .

Nach Satz III ist %= 1, also ist in (20) als besonderer Fall die bereits in § 3 (10) auf gestellte Relation enthalten:

&Sv Dv ś = Dçê = 1 •

Um die in (20), (20') auftretenden Multiplikationen auf Additionen zurückzuführen, führe man den auf eine feste Basis, etwa die Basis e der natürlichen Logarithmen, bezogenen Logarithmus l eines Dv. B^n als selbständige Funktion F7(£, rj) zweier Variabein f, r\ ein:

lDSv = J0(|, rj) .

(20')

(21)

ms, s) = o.

Dann vereinfachen sich (20), (20') zn:

msf v) + miy Q = m*y o,

mS y V) = -E(ri, I)

(VI)

Genau dieselben Regeln gelten aber für die „Differenzfunktion“ [£, rj]:

(22) nämlich :

(VP)

[f, *] + fo, C] = [f, S]y

[S, v\ = —bl , S] , [Sy S] = o ,

auf denen das Rechnen mit Differenzen in der elementaren Arithmetik beruht. Somit gilt:

Satz VI. ,,Faßt man im Dv. (xi, £, y, x.₂) zweier Paare (£cx, x₂), (£, y) das eine, etwa (xx, x₂), als fest auf, das andere, (£, y), als variabel, und bezeichnet in diesem Sinne das Dv. mit D§,;, so besitzt der’auf eine beliebig, aber fest gewählte Basis bezogene Logarithmus lDçr/ = E{£, y) die charakteristischen Eigenschaften der Differenz y—£=[£, y].“ Dieser Satz kann als Grundlage der ,,nichteuklidischen Geometrie“ dienen, wo die Funktion E(£, y) verwendet wird, um den euklidischen Begriff der Entfernung resp. des Winkels zu verallgemeinern.

Zum Schlüsse sei auf eine bemerkenswerte Beziehung der sechs Werte (IV) eines Dv. zu den sechs Grundfunktionen der elementaren Trigonometrie hingewiesen. Setzt man <5 (I) etwa gleich sin² <% , so folgt :

ô = sin²cc ,

1 — <5 = cos²cc,

-Ô

(23)

1 - <5

= — tg²*

1 — Ô

—-— = — co tg² a . o

= sec² cc,

-r- = cosec² cc o

Die Verbindung mit Satz (IV) liefert daher den:

Satz VII. ,,Die sechs Werte (IV) eines Dv. stimmen, abgesehen vom Vorzeichen, überein mit den Quadraten der sechs trigonometrischen Grundfunktionen. Umgekehrt erscheinen diese Quadrate, abgesehen vom Vorzeichen, als die sechs Werte

1 - <5

des Dv., das sin^x (oder — tg²x) mit den Elementen 0 , oo, 1 bildet.“-

Die innere Bedeutung dieses Satzes tritt ebenfalls erst in der nichteuklidischen Geometrie zutage.

Die Entwickelungen der §§ 5—8 gestatten die Ausdehnung auf komplexe Variable und Koeffizienten.

Aufgabe 1. Sind Xly X₂, X₃, Ä₄, X₅ fünf beliebige Elemente, so besteht zwischen den drei Dv. : D₂₃ = (4 X₂ X₃ Xb), ₄ = (X, X₃ X₄ X-), Di2 = (/, /, /t₂ 4) die Identität:

D₂₃ -^34 -^42 ⁼⁼ ^ •

(a)

Legt man die Elemente Xx, Xb in die Stellen 0, oo

X X X

nimmt (a) die einfache Gestalt an : y- • --- •    = 1 .

Âg    Ä₂

Aufgabe 2. Es ist die Gleichung 6. Grades explizite zu entwickeln, deren Wurzeln die sechs Werte eines Dv. sind.

Aufgabe 3. Die Gleichungen (V), (14) des Textes für das harmonische resp. äquianharmonische Dv. sind zu entwickeln.' Ferner ist zu zeigen, daß, wenn die gegebenen Elemente /,, X₂, X₃ als Wurzeln der kubischen binären Form f = a₀ x³ -f 3 axx²y + 3 a₂ xy² -f u₃ y³ gedacht werden, die beiden in Bede stehenden Gleichungen durch Nullsetzen der Kovarianten A und Q von f er-

fx f

Ax A

(Vgl. die Aufgabe 3 zu § 4, S. 35, sowie § 4, S. 29.)

Aufgabe 4. Sind zx, z₂ , z₃ , z₄ vier komplexe Größen, die als vier Punkte einer Ebene gedeutet werden (s. die Aufgabe 4 zu § 7), so ist das Dv. (z₄z₂z₃z₄) dann und nur dann reell, wenn die vier Punkte auf einem Kreise liegen. Ist diese Bedingung erfüllt, so ist das Dv. dasselbe, wie das der vier Strahlen, die irgend einen Punkt des Kreises mit jenen vier festen Punkten des Kreises verbinden. Die Dv.-Belation (III) des Textes:

(«1 “ «2) («3 - Za) + («1 - *₃) («4 - «2) + («1 - «4) («2 — 3») = 0

deckt sich in diesem Falle geometrisch mit dem Ptole-mäischen Satze und seiner Umkehrung (s. auch Aufgabe 5 zu § 7).    .

Aufgabe 5. Denkt man sich zwei Baumpunkte A , B in Tetraederkoordinaten , b₄ (i = 1, 2, 3, 4) gegeben, so

halten werden, wo A —

fxx f

f yx f

>xy und Q =

so

y '■ ist.

hat ein beliebiger Punkt der Geraden AB die Koordinaten cii X -f- bi /u. Man nennt die sechs Größen pik = a,ibk — ak bt die (homogenen) Strahlenkoordinaten der Geraden; in der Tat ändern sich die pik bei einer linearen Substitution der Parameter X, p (d. i. bei der Wahl neuer Grundpunkte) gemäß Satz V des § 6 nur um einen und denselben Faktor. Zwischen den pik besteht die Relation (S. 92) p₁₂p₃₄ + P13P42 -f- P14P23 = 0 und keine weitere. Das Dy. der vier Punkte, in denen die Gerade die Ebenen des Koordinatentetraeders V12 P34 Pl3 VU

trifft, wird durch

angegeben, ebenso wie das Dv.

der vier Ebenen, durch die die Gerade von den Ecken des Tetraeders aus projiziert wird.

Kapitel III.

Bilineare Formen. Differentialgleichungen der Invarianten bilinearer und quadratischer Formen.

§ 9. Einfachste invariante Bildungen bilinearer Formen.

Die bisher gelegentlich eingeiührten, als invariante Bildungen bilinearer Formen bezeichneten Ausdrücke sollen jetzt, nebst einigen anschließenden, auf ihre Invarianz hin genauer untersucht werden. Eine Bilinearform fn = f zweier unabhängiger Variabein x, y werde in homogener Gestalt angesetzt, mit zwei Variabeinpaaren (ą, x₂), •

(2/1, y*) =

(1)

fu = f = f(xi, X2 5 2/i, 2/2) = «11 «1 Vi + «12 X1 2/2

H“ «21 X2 2/l “4“ «22 X2 2/2 •

Beide Variabeinpaare mögen gemäß § 6 homogenen Substitutionen S unterworfen werden, und zwar vorderhand verschiedenen und voneinander unabhängigen („inkongruenten“, „inkogredienten“) eigentlichen Substitutionen 8t, S₂:

X1 ~ £l “f“ ßl $2 J X2 ~ Yl £l H“ 4 4 J 2/i —    t]₁ + ß₂ V2 1

2/2 = 72 vi + 4 V2 >

Si)

8,)

(2 a)

(2b)

mit den von Null verschiedenen Determinanten:

(3)

Ai — /%i    ßi yx

A% — OC2 Ö₂    72 •

Stimmen im besonderen die Koeffizienten von 8i, S2 je überein, so heißen die Sx, S₂ „kongruent“ oder „ko-gredient“.

Vermöge (2) transformiert sich die Bilinearform /' (1) in eine neue cp = gr»n = g?(£i,    ; rjx, rj₂) :

v(^l 5 ^"2 5 Vl ? %) “ <*ll(<*l £1 4" Â ^2) (a2 <?1 4" /^2 %)

(4)

₍ +ffl12(al^l + Ä^2) (72 ^1 + 4 %) + <*21 (7l Ą + ^1 £2) (<*2 ^1 + ^2%) 4'<*22 (/l^l 4~ ^1^2) (72^1 “1“ ^2ł?2) = all^lł?lH_ a12^1^2_t_<X21^2 ■    + <*22 £2 % *

Die neuen Koeffizienten oc sind homogen und linear in den alten, a, von /', sowie bilinear in den Koeffizienten der Sx, S₂ (2):

(5)

Demnach erfahren die Koeffizienten d von f vermöge (2) ebenfalls eine „lineare Substitution“, die man die durch (2) „induzierte“ nennt. Man ordne die rechten Seiten von (5) nach den Koeffizienten von 8X resp. S₂ :

(Xu — &i(<*ll tX₂ 4" <*12 72) 4- 7l (<*21 <*2 4- <*22 72)

—    oc₂(<*ii <xx    +    d₂₁    yß)    4"    72 (<*12    <*i    4“ <*22 7i) ?

<*12 —    {du ß₂    4"    <*12    <3₂)    4"    7l (<*21    ßi    3“ <*22 ^2)

⁼    ßi{all <*1    4-    <*21    7l)    4"    <*2 (<*12    <*1    4- <*22 7l) 1

<*21 ⁼    Ä(<*11 <*2    4-    <*12    72)    4-    <^i (<*21    <*2    4" <*22 72)

=    <*2 (<*11 ßl    4-    <*21    <^l)    “H    72 (<*12    ßl    3“ <*22 <^l) 1

<*22 “    ßl (<*11 ßi    4"    <*12    ^2)    4-    <4 (<*21    ß2    4“ <*22 ^2)

=    ßi (<*11 ßl    4*    <*21    <^l)    4"    <^2 (<*12    ßl    + <*22 <^l) •

Die Formeln (5') sollen zuerst auf die „Determinante“ Df [§ 7, (26)] von f :

(6)

Df =

«11 «21 I «12 «22

angewendet werden. Man erhält für die Determinante D,v von q> :

Dv =

(?)

<*11 <*21 <*12 <*22

(Xt ßx

7i <*i ocx ßx i

7i <$i ¹

«11<*2    72 5 «21^2 _l_«22 72

«11/^2 4” «12 ^2 1 «21 Aï 4“ «22 <^2

(X₂ ß-2

72 ^2

«11 «21 «12 «21 !

also gemäß (3):

(I)

Dtp — Ax A₂ Df .

Die Determinante Df einer Bilinearform f erscheint so als eine „Invariante“ von f in „erweitertem Sinne“, insofern sie sich nach Ausübung zweier inkongruenter Sx, S2 um das Produkt Ax A₂ von deren Determinanten ändert. Für kogrediente Sx = S₂ = S (Ax — A₂ = A) reduziert sich der Faktor Ax A₂ in (I) auf A², und damit der Begriff der Invariante auf den früher [§ 6 (S. 75)] eingeführten.

Für aX2 = a2l spezialisiert sich f (1) zu der Polare [§ 4 (13')] f(xx, x₂ ; yx, y₂) einer quadrätischen Form aix x\ + 2 aX2 xx x₂ -f- a₂₂ x\ , und zugleich die Identität (I) zu der 1. c. in (XIV) auf gestellten. Umgekehrt läßt sich der Prozeß der Polarenbildung auf bilineare Formen f (1) ausdehnen. Man bilde die partiellen Ableitungen von f nach den einzelnen Variabein:

df

dxx

- / a.

al 1 V\ 4" aV2 Vz

df

df

dx₂

- / a₂ — <*21 V\ “I- a22 V2 ?

df

dy₂

t ys--«12 *®1 + «22    2 "

Hieraus folgt zunächst wieder der „Eulersche Satz“ für Formen f als Erweiterung von (IX) in § 4:

(II) xx fXl -f x₂ fX2 = yy fyt + y, fy, = f(Xy, x₂-, ylt y₂) .

Sodann erscheinen jetzt die Formeln (5') in der Gestalt:

==z ßlf x₁((X-2 1 72) “HA/**a(a2 » ^2) •

Die rechte Seite von <x₁₂ heißt die „Polare“ der Form

; <%₂, y₂) bez. des Paares (a₂, y₂) nach dem Paare . die identisch ist mit der Polare der Form

A«i »

o*¹

(Am

fiß

; ß₂, 0₂) bez. des Paares (/>,, ó,) nach dem Paare (<Xy, yy) ; und entsprechend bei a₂₁.

Die Identität (I) werde, gestützt auf § 6, nach einer zweiten Methode hergeleitet, deren Verwendung um so mehr am Platze ist, je verwickelter die auf ihre Invarianz zu prüfenden Bildungen sind.

Man setze die Sy, S₂ (2) aus „Fundamentalsubstitutionen“ zusammen; ändert sich bei jeder solchen der vorgelegte Ausdruck stets um ein und dieselbe Potenz der • Determinante Ax resp. A₂, so findet dasselbe, mit Rücksicht auf den Satz (V) des § 6, auch bei jeder beliebigen Substitution Sy resp. S₂ statt.

Da Sy und S₂ in ihrer Wirkung auf f (1) unabhängig voneinander sind, also auch ihre Reihenfolge gleichgültig ist — wie auch die doppelte Struktur der <x in (5') erkennen läßt —, so genügt es, die St, S₂ einzeln auszuüben.

Als Fundamentalsubstitutionen von Sy (resp. S₂) nehme man die beiden Schiebungen Ay(hy) resp. A₂(h₂) : xx= Sy + h₁ S₂ ? #2 ⁼ £2 resp. Xy = Si, x₂ = S₂ + h₂ Sy und die beiden Streckungen My(mx) resp. M₂{m₂) : xx = m, Sy, x₂ = S₂ resp. Xy — Sy, x₂ = m₂ S₂ •

Vermöge Ausübung von Ay(hx), A₂{h₂) auf xx, x2 in f (1) werden die a :

^22— u₂₂-|-Ä₁<i₁₂ ; all =ailJr^l2a2l 1

-^l(Al) ^11 ~    ? ^12—i &21—®21 A"

-^2(^2) a22~^22> a21==a21 5 ^12 ⁼ ®12 "4” Aï®22

(10)

und analog bei Ausübung von Ax{Jtx), A₂(l₂) auf die y₁, y₂:

aii — a\\ 5 ai2 ⁼®i2

&22⁼⁼®22 5 ^21 ~a2l ~\~^2a22

(11)

Ai(Zi) | (X₂₁—«gl

^■2(^2) ! ^12 ⁼⁼⁼^'12

Andererseits liefern die Streckungen ALx(mx), M₂(m₂), ausgeübt auf xx, x₂\

Mx(mx) I öcn=m₁a₁₁

-^2(^2) I ^11 ~ai\ 5

&12—mxai2 i ^21—a21 ł <xl2~al2 5

(12)

(x₂₂ — a₂₂ ;

&21 ⁼ ^'2 ^21 > ^22 ⁼ ^2 ®22

und entsprechend die Streckungen Mx{nx), M₂(n₂) hinsichtlich der yx, y₂\

Mx(nx) J f\li=nlan ,

M₂(n₂) J <xn =an ,

Die Wirkung der Substitutionen A und M auf die Determinante Df (6) äußert sich dann in den Relationen:

A\D„==Df,

Ä₁₂—®12 J ^21—%«21 »    ^22 — a22 5

(Xi₂ = ‘Yl₂di2 :    &2\~a2\ ?    (X22⁼⁼^2<*22 •

I Dy = m₁Df,

-^1(^1) I    f^xDf ,

Damit ist aber die relative Invarianz (I) von- Df bei 'beliebigen 8X, S₂ von neuem bewiesen. Hach dem Satze (VII) des § 6 bleibt Df gegenüber jeder unimodularen 8l, S₂ absolut invariant.

In § 8 (21) war die in den a lineare Bildung eingeführt: df — a₁₂ a2l .

Vermöge (5) ergibt sich für die transformierte Bildung :

<5<p = <X2X OC₁₂ = <hl.(&2 ßl ^1 ß2) -f" ^22 (^2 ^1 y^L ^2) + <*2l(<*2 ^1 ß2 7l) al2 (al ^2 ßl 72) •

(13)

(14)

(15)

M₂ (m₂) I D,P ~ m₂ Df ] M₂ (n₂) I Dy = n₂ Df .

Soll sich Ô

einen, von den Koeffizienten der 8X, S₂ abhängigen Faktor von öf unterscheiden, so müssen in (15) die Koeffizienten von an und a₂₂ verschwinden und die von a2l und — a12 übereinstimmen. Eine leichte Rechnung lehrt, daß dann die oc₂, ß₂, y₂, Ö₂ resp. den <3c₁, ßx, yx, <3X proportional sein müssen. Derartige Substitutionen 8X, S₂ heißen selbst

<p i

bei unbestimmt gedachten a, nur bis auf

„proportionale“.

Somit ist Ôf bei kogredienten

8X = S₂ = S relativ invariant :

(III)

bei inkogredienten 8₁, 8.₂ aber nur in dem, von S₁ = S2 unwesentlich verschiedenen Falle proportionaler '8X, 8₂. In der Tat, geht man von dem ersten Falle zum zweiten über, indem man alle Koeffizienten, etwa von Sx, einen und denselben konstanten Faktor g annehmen läßt, so nehmen diesen Faktor auch alle oc an, und es wird Ö(p ~ g A ôf. Auf Grund von (III) rechtfertigt sich der in § 8 für ôf eingeführte Ausdruck: „lineare Invariante“ von f. (Vgl. § 10.)

Nunmehr seien zwei Bilinearformen vorgelegt, in abgekürzter Schreibweise :

(16)

f —;    Vk i 9 y* ^ik Vk •

(17)

In § 7 (27) trat die „bilineare Invariante“ H = Hfg auf: Hfg = au b₂₂ -j- a₂₂ blx a₁₂ b₂₁    a₂₁ b₁₂ .

Vermöge 8X, S₂ (2) gehen /', g über in Formen cp, xp mit Koeffizienten aik, ßik . Eine direkte Berechnung von H ist bereits umständlich und unübersichtlich.

Greift man indessen auf die Schiebungen A₁, A und die Streckungen Mx, M₂ zurück, so ergibt sich bei den ersteren gemäß (9):

<PW —-

<PV

(18)

-^2(^2) I H

<PV> —

®ll(p22 “H ^1^12) H~ ^11 (^22 “i“ ^1^12) ai2(^2i 4" \bn) b₁₂(a₂₁    ,

^22(all +^2 a'2l) + tt22(^ll+^2^21)

^2l(®12    ^2^22)    ^2l(^12 “I“ ^2^22) ~Hfg }

und analog bei den Schiebungen A₁(Z₁), A₂(Z₂) wegen (10).

Andererseits nimmt Hfg nach Ausführung der Streckungen Mx(mx), M₂(m₂), Mx{nx), M₂(n₂) vermöge

(11), (12) resp. die Faktoren mx, m₂, nx, n₂ an. Mithin gilt für beliebige 8X, S₂ :

- dl d₂ Hfg ,

und damit die Rechtfertigung der Bezeichnung „bilineare Invariante“ für H (vgl. § 10).

(IV)

H <p yj

so lehrt die Vergleichung mit (20), daß:

Hfg — bik

(23)

Das Ergebnis (IV) gewinnt man auch aus der Invarianz (I) von Df nach einer bereits in § 4 auf die bilineare Invariante Hfg zweier quadratischer Formen angewandten Methode. Man bilde aus g (16) das ,,Büschel“ (mit dem Parameter 2):

(19)

/ ~f~ X ff = 'y, (une + 2 bik) %i yk

und wende (I) auf die Form (19) an. Mit Eücksicht auf die Identität:

(20)

Df+ kg = Dy + 2 Hfg H- 2² D und die entsprechende für D(p + jiy, gilt dann die weitere: (21) Dtp -f~ /.Htpyj -f- 2- Dy, AxAc,{Df    2 Hff) -j- 2² Dg) .

Die Vergleichung der beiden Koeffizienten von 2 liefert (IV) direkt. Der Entstehung von Dfg aus I)f vermöge (20) läßt sich eine übersichtlichere und verallgemeinerungsfähige Gestalt geben.

Der Ausdruck Df+ ig sei als Funktion der vier Koeffizienten ailc + Xbik von (19) mit D[aik -f- X bik\ bezeichnet. Die Maclaurinsche Entwickelung liefert:

d D |a,; k -f- X bik\ L dX (2=0) ⁺ ' “

(22)

+ kg

Df + X •

Da

d(üik -f- Xbik)

c Df

dX

(j D\aik -j- X bik\ __

c {aik Ar X bik) (2 = 0)    < aik

cD

¹' &ik

Da der Beweis übertragbar ist auf Invarianten von Formen beliebiger Ordnung mit einem Paare oder mehreren Paaren homogener Variabein, so gilt:

Satz I. „Aus einer Invariante J einer oder mehrerer Urformen geht eine neue Invariante hervor, wenn man die partiellen Ableitungen von J nach den Koeffizienten der einzelnen Formen jeweils multipliziert mit den entsprechenden Koeffizienten neuer Formen gleicher Ordnungen und die

CH

(24)

®21 a22 !

b₂i b₂₂ j

und prüfe die in ihr enthaltenen zweireihigen Determinanten auf ihr Verhalten gegenüber den Fundamentalsubstitutionen (9) bis (12). Es sei p;? die aus der i-ten und fc-ten Kolonne (i, fc = 1, 2, 3¹, 4) von (24) gebildete Determinante, jiilc die jeweils transformierte. Man findet leicht:

Ai(Äi) i 7Ti2 = P12 ? nVA~P\3 7 nX4 — Pli "H ^lPl2 7 n23 ⁼ 2¹23    ^ tPl2 7

Jr24 ⁼ P24 7 n34 “ P34 "l⁻ \ (Pl4 P23) "i⁻ ^1 Pl2 7 -^■2(^2) ! -^12 ~P\2~\~ ^2(Pl4    P2‘d)'^^l2P‘d4c7 nX3⁼⁼Pv37 n\4 ~Pl4 ^2 P34 7

(25)

Summe dieser Produkte bildet. Die so aus J hergeleitete Bildung ist eine Invariante des Systems, das aus den ursprünglichen und den hinzugenommenen Formen besteht.“

Die angegebene Operation, die Verallgemeinerung von (23), wird als „Polarenbildung“ in bezug auf die Koeffizienten bezeichnet, in ihrer spezifischen Anwendung auf die Invarianten als ,,Aronholdscher Prozeß“¹).

So ergibt sich z. B. für Df — aiXa₂₂ — al₂a2l :

= an 7

ÔD

dD

dD

dD

a22 7

<9 «u Durch Multi-

— «21

— «12 • b₂₁ und Addition ent-

da₂₂

plikation mit resp. &lt, b steht E (17).

Man bilde jetzt die Matrix der Koeffizienten von f, 9 (16):

Ü«12

22 7

c'«₂₁

^12 7

n23 ~ P23 ~~ ^2 P34 7 7l24⁼P24 7 "^34 ~ P34 7

(lt) J Jli2 = P12 , 7^13 — P13 , 7Ti₄ = P14 + ?i P13 , 7l₂3 = p₂₃ + lj p 1

7^24 ⁼ P2i H⁻ h (Pu 4¹ P23) ~l~ llPl3 7 Jl34 — P34 5

A₂ (l₂) I TTjg = P12 , ^13 —Pi3~\~ h(.Pl4 P23)    ^2^24    7 nX4 ~ Pl4 + h P24 7

n23 ~ P23 + h P24 7 7l24 — P24 7 n34 ⁼ Pd4 ¹

Dies finde zunächst Anwendung auf die beiden, unter (19) in § 7 eingeführten „Funktionaldeterminanten“

$(2/), #(¹) von f, g bez. (xx, x₂) resp. (yx, y₂). Mittels (8) erhält man:

die auseinander hervorgehen, wenn man gleichzeitig die Variabelnpaare und die Indizes 2, 3 vertauscht. Hach § 7 (25) stimmen die Diskriminanten von (26) überein:

^PxsPu (P14 + P23)² — 4p₁₂p₃₄ (p₁₄    p₂₃)“ •

(27) Df*

Bei Ausübung der Schiebungen A.,^), A₂(ft₂) (25) geht ^13 ^24 über in p₁₃ p2i , ?r₁₄    n₂₃ in p₁₄ -|-p₂₃ H“^iPi2 \Piz

resp. p₁₄ + P23 + h Pu -7 h Pu = Pi4 + P23 » und analog bei Aj^), A₂(l₂) h₁₂ n₃₄ in p₁₂ p₃₄ , jr₁₄ n₂₃ in p₁₄    p₂₃ .

Mithin bleibt bei allen vier Schiebungen A der Ausdruck (27) ungeändert :

Df⁹⁾ .

(28)

A I Df,v>’

Andererseits ändert sich D{) gegenüber den Streckungen (11), (12) jeweils um m\, m\, rif, n\. Mithin ist gegenüber beliebigen Sx, S₂ :    *

(V)

(9(2/) =

fXl    fx,

2/iPis + 2/i2/₂(?>i4 + p₈s)-+ 2/2 P2

(26)

ß<x) =

fn fi

2/2

9yi (hji

I ee x(p₁₂ + x₄x₂(p₁₄ - p₂₃) + æ|p₃

Df’^ = A\A\Df⁹⁾.

Hunmehr ziehe man die Formen êi9)(J,    (26) selbst in

Betracht. Es genügt die Untersuchung etwa der ersteren. Beim Übergange von

Mv)

zu sind einmal die pik durch die 7iik zu ersetzen, ferner aber mittels Umkehrung der S₂ (2) die yx, y₂ durch die t]x, rj₂. Insbesondere liefert die Umkehrung der Schiebungen A₄(^), A₂(Z₂):

f,a

Ai(h)\% =2/1- ly*,

A2 (Ü) i Vl ⁼ V\ l

Auf Grund von (25), (26) wird:

AA\) &*]w-

A₂ (h₂)

(29)

(30)

^2=2/2; V2 ~ 2/2 h 2/i •

2/l ^13 + 2/12/2(^14 + ^23) + 2/1^24 »

2/1 Pn + 2/i 2/2 (Pi4 + P23) + 2/lz>24 = &fl„ •

Sodann liefert die Ausübung von A₁(l₁) vermöge (25)

und (29):

(31)

(32)

[AS

y\ ^13 4- V\ y₂ K4 4- ^23 — 2 ix nlz)

+ y\{n 24 — li M + ^23) + ïl^is)}

?/lPl3 + 2/1 2/2 (î>14 + P 23) + ïÀPu = tif]g

und analog bei Ä₂(l₂).

Andererseits ergeben die Streckungen Mx(mx), M₂ (m₂) (11) von xx, x₂ :

Ml(M I 7I13=Wl2>13 » ^14 + ^23 =W₁(Pi4 + p₂₃) , ^₂4=Wl2>24 t M₂(m₂) I ^13—W2P13 ’ JI14“r-7r23==W2(Pl44"7>23) ? Jl2à==mî'V24t 5

folglich, da die ?/,, y₂ hierbei ungeändert bleiben : (33) M₁(m₁)\êWJ

.«Bi

(34)

Dagegen haben die Streckungen Jfj^), Jf₂(n₂) von _v₁, y2 die doppelte Wirkung, daß:

M₁(n₁)\jz₁₃^n(pl M₂(n₂)\jt₁₃=pls , und zugleich:

^14+^23—nl(Pl4~\~P2s) 1 •7r14 4"^23 ~W2(??14 4'P23) 1

n2i— P24 5

7T2i=riip₂

lh

% —'^2 5

M₂ (n₂) ; rp — yx ,

ł?2 =

und demnach:

f KM

1 412(n₂)

Zieht man die Formeln (30), (31), (33), (36) zusammen und nimmt das analoge Resultat für df]g hinzu, so hat man für beliebige Sx, S₂ :

4«B;

(36)

i fliv)

! uvv>

«B •

4«B-

Den beiden Urformen /', g (16) werde eine dritte, h, mit Koeffizienten cu. zugefügt. Der Matrix \axla₁₂a₂la₂₂ \ lassen sich vier dreireihige Determinanten entnehmen; die durch Weglassung der i-ten Kolonne (i = 1,2, 3,4) entstehende sei Ti. Um zu einer einfachen Invariante von f, g, h zu gelangen, stelle man die Bedingung dafür auf,

(VI)

?> V

Vi

daß die drei, in nichthomogenen Variabein l = geschriebenen Substitutionen f= 0, .9 = 0, łi = 0 (vgl. § 7)

ein Elementenpaar (/, ju) gemein haben. I^ies findet dann und nur dann statt, wenn für die den drei Gleichungen

+ <*12 V + <*21 Z + <*22 W — 0 , bnx + bl2y + b₂₁z + b₂₂ w = 0 , cnx + <i2 y + c₂₁z + c₂₂w = 0

genügenden Verhältnisse der Unbekannten x, y, z, w die Relation erfüllt ist:

(37)

(38)

x w — y z = 0 .

Da die Auflösung von (37) lautet:

x : y : z : w = Tt : — T₂ : T₃ : — T₄ , so nimmt (38) die Gestalt an:

TxT,-T₂Tz = 0.

Denkt man sich diese Bedingung erfüllt, so wird die Tatsache, daß die drei Gleichungen f = 0, <7 = 0, h = 0 eine gemeinsame Lösung besitzen, nicht geändert, wenn man (xl, x₂), (y±, y₂) je einer beliebigen Substitution 8 resp. S₂ unterwirft. Der Gleichung (40) kommt daher ein Sy, S₂ gegenüber invarianter Charakter zu ; sie heißt daher eine „invariante Gleichung“.

Man wird mithin erwarten, daß* die linke Seite von (40) selbst eine Invariante ist. Man übe zuerst wieder die Schiebungen A (9), (10) aus, etwa Ay(hy). Die in den neuen Koeffizienten <xilc, ßilc, yik der <p, xp, % geschriebenen Tt seien mit T* bezeichnet. Gemäß (9) kommt:

Ti = s <*i2 i

T₂ — axl ,

T₃ = | <*n ?

T₄ — | <*t i,

Verfährt man entsprechend mit A₂(h₂), Aßiß), A₂(l₂), so ergibt sich in allen vier Fällen:

Al i T₄ — T₂ T₃ eee T₁ Ti — T₂ Tz .

Für eine Streckung, etwa Mßmß), erhält man:

(43) Jf₁(m₁)!T₁EEw₁T₁, T₂ = miT₂, T₃=m\T₃, T₄ = m?T₄,

(39)

(40)

(41)

(42)

<*21    “1“    ^1 <*11 *    <*22    H"~ by <*12

<*21    “t~    7*] <*H J    <*22    "L b\ <*i2 j = 12 b>i T± ,

<*22 “ł“    b/y <*12    I = Tz 5

<*21 “ł~    dyy    j = T y .

<*12 1

<*12

und damit, unter a irgend eine der vier Größen ml, m₂, %, n₂ verstanden:

m | t,t₄ — ts t₃ = ^»(r, i4 - r₂ T,).

Die Kombinierung von (4B) und (44) lehrt, daß allgemein:

(VII)

(44)

- T₂ T₃ =-A\ A\{Tx T₄ - T₂ T₃).

Für vier Bilinearformen /', g, h, fc ist T = j ana₁₂a₂₁a₂₂ \ eine Invariante, denn die Schiebungen A (9), (10) ändern T gar nicht und bei irgend einer Streckung M nimmt T das Quadrat des Streckungsparameters als Faktor an; mithin ist allgemein:

(VIII)

Die Determinante T heißt die „quadrilineare“ Invariante von f, g, h, Tc.

Im obigen sind Invarianten und Kovarianten von g , h untersucht worden. Es gibt aber-auch Kovarianten, die die Koeffizienten der Urformen gar nicht enthalten, also nur Variable; solche heißen, da sie sich für irgendwelche Urformen invariant verhalten, „identische“ Kovarianten*). Eine solche ist z. B. x, y₂ — x₂ y,, deren

und Vl

&11 &12 ^21 ^22 I - A\ A\ j (l„ ü,₂ <*21 ^22 i *

X,

Verschwinden aussagt, daß die Verhältnisse

Xo

übereinstimmen. In der Tat ist für kongruente 8, — S₂ — 8 :

li I2 Vi V2

(IX)

= A-¹

X1    0ß₂

Vi 2/2

V2

d. i. nichts anderes als das Gesetz für die Multiplikation zweireihiger Determinanten. Für inkongruente 8,, S₂ ist x, y₂ — x₂ y, nicht invariant.

Die bisherigen Ergebnisse werden zusammen gefaßt

durch :

Satz II. „Die Determinante Df (6), (I) einer Bi-linearform /', die bilineare Invariante Hfg (17), (IV) zweier Formen f, g, die Diskriminante D# (27), (V) der beiden Funktionaldeterminanten &fg1 (26) von f, g; der in den Koeffizienten dreier Formen g, li quadratische Ausdruck TXT₄ — T₂TZ (40), (VII),

*) Derartige identische Kovarianten sind bereits in den Aufgaben zu § 5 ff. vielfach betrachtet worden.

Meyer, Allgemeine Formen- und Invariantentheorie I.

und die quadrilineare Invariante T (VIII) von vier Formen f, g, h, Tc sind Invarianten gegenüber beliebigen inkogredienten — im besonderen auch ko-gredienten — Substitutionen St, S₂-, die Formen ■d{fg, tify (26) sind in diesem Sinne Kovarianten.

Dagegen beschränkt sich die Invarianz der linearen Invariante öf (14), (III), sowie der identischen Kovariante xly₂ — x₂y₁ (IX) auf kogrediente 8. Auch die bilineare Invariante von d⁽fy, -dfg ist nur gegenüber kogredienten St, S₂ invariant.“

Die letztere

Aufgabe 1. Es ist zu zeigen, daß die Koeffizientendeterminante V der induzierten 8 (5) den Wert A\ A\ besitzt, entweder mit Hilfe der Laplaceschen Zerlegung der Determinante, oder einfacher mittels der Methode der Fundamentalsubstitutionen At, A Methode reicht auch hin, um den Satz auf eine n-lineare Form (in n homogenen Variabeinpaaren) auszudehnen; die Determinante V der induzierten 8 hat dann den Wert (A₁A₂ .. % An)2n l. Denn da bei einer Fundamentalsubstitution entweder ß oder y verschwindet (oder beide zugleich), so verschwinden auch alle Elemente von V auf einer der beiden Seiten der Hauptdiagonale (resp. auf beiden), so daß sich V auf das Hauptdiagonalglied reduziert. Im besonderen führt die nämliche Methode zu dem Ergebnis, daß die Determinante der induzierten 8 (der Koeffizienten) einer binären Form nter Ordnung fn den

w(»+l)

Wert A

hat.

Aufgabe 2. Die Invarianz von (14), (III) öf=a₁₂—a21 gegenüber kogredienten 8 ist vermöge Anwendung der Fundamentalsubstitutionen abzuleiten.

Aufgabe 3. Die Invarianz der bilinearen Invariante von (26) dflg, df[g gegenüber kogredienten 8 ist nachzuweisen.

Aufgabe 4. Die in § 3 festgestellte Kombinanten-eigenschaft der Funktionaldeterminante 6 und der Resultante R zweier quadratischer binärer Formen f₂ (xl, x₂), g₂ (xt, x₂) ordnet sich im Sinne des § 9 der Invarianz gegenüber inkogredienten 8 in bezug auf die lineo-quadratische Urform flt2 =yxf + y₂ g des in § 3 betrachteten /‘-Büschels unter. Für x₁ = yx, x₂ — y₂ geht

f f

eine kubische binäre Form fs hervor, die sich, nebst allen ihren In- und Kovarianten, gegenüber kogredienten 8 invariant verhält.

Aufgabe 5. Eine trilineare Form f 1,1,1 =

(i, fc, 1=1, 2) besitzt gegenüber inkogredienten 8 die drei Kovarianten zweiter Ordnung dx,    , wo z. B.

i viVi i yi*2    Diese drei quadratischen binären Formen

2/2*1 /* 1*2

haben eine und dieselbe Diskriminante D#, eine Invariante von f gegenüber inkogredienten 8. Schreibt man f in nichthomogener Gestalt f(x, y , z) {xx — x, yx = y , zx = z, x2 = V2 = ^2 = 1) ? und bezeichnet, bei geeigneter Anordnung, mit a?', x"\ y', y"; z” die Wurzeln von #*,    #₂,

so ist /", und zwar nur auf eine einzige Art, in der kanonischen Gestalt darstellbar: f=a'(x— x') {y — y') (z — z') + (x"(x — x") (y — y") {z — z"), aus der die entsprechende homogene Gestalt ohne weiteres hervorgeht.

In dem besonderen Falle, wo sich f\,i₁1 auf eine kubische binäre Form /₃ reduziert, fallen die drei Kovarianten $ zusammen mit der Hesseschen Kovariante A

und D& mit der Invariante R (s. die Aufgabe 3 zu § 4, S. 35, und die Aufgabe 6 zu § 6, S. 77).

Aufgabe 6. Liegen zwei trilineare Urformen vor:

= 21ai*læiy*Zl, £l

x,i,i

= 2bi*ixiy*zii ⁸⁰ existiert

, i, i

gegenüber inkogredienten 8 die bilineare Invariante

Hf, g —

allla222

^111 ^222

I a211tt122 l &211 ^122

al21 a212 &121 ^212

Keduzieren sich fx> Formen f

tt112 tt221 &U2 &

g x x x auf zwei binäre kubische

35 9n :

fz = a₀xx-\- 3 ax x\x₂ -f 3 a₂ xx x\ + % x\ , g₃=b₀x^ +3 bx x\ x₂ -f 3 &₂ xx x\ + b₃ x\ ,

so geht Hf g über in die bilineare Invariante a₀ &₃ — 3 axb2 — 3 cl₂ bx -(- ®₃ &q .

Konstruiert man aus fx 1>x und £1,1,1 eine quadrilineare Urform f WA=uxf+u₂g='£ailclmxiylzium (i,Tc,l,m = 1,2), so gibt der Ausdruck Hfi9 Veranlassung zu vier quadra-

9*

tischen Invarianten, die aber alle in eine und dieselbe, J₂, zusammenfallen, wo :

J% — %U1 <*2222 + <*1122 <*2211 + <*1212 <*2121 + <*1221 <*2112 <*₁₁₁₂ <*2221 <*2112 <*1222 <*1211 <*2122 <*1121 <*2212 —    (    1 )° <*i, I', lt m₁ <*4 fc₂1₂ m2

¹

S. Aronhold, Journ. für Math., Bd. 62 (1863), S. 281.

(h + *2 — \ ^2 ~ h "i" h — mi 4" w*2 — 3

sich die fx, 1,1,1 auf eine quadrato uadra-tisch Form f₂,₂ = %i(aoo u‘i + 2 <% ux u₂ + a₀₂ u₂)    2 xx x₂

(<*10    + 2 an ux u₂ + aX2 u'l) -f x\{a2ö ul + 2 a₂₁ ux u₂ + a₂₂ ul),

so geht die Invariante J₂ über in:

'J2 — ^00 ^22 “ł“ 2 #11 4“ ^02,^20    2    (1% 1    2    •

Tritt endlich die Reduktion auf eine biquadratische binäre Form f\ ein:

/ 4 = «o + 4    £C₂ -J- 6 a₂ x\ x\ + 4 a₃ ^ a?! + <*₄ a4 ,

so spezialisiert sich J₂ zur Invariante i = a₀ax — 4 axa₃ + B (s. Aufgabe 6 zu § 6, S. 77).

Die f2> 2 besitzt je eine Diskriminante Dx, Du bzw. der u resp. x. Diese beiden Formen 4. Ordnung sind Kovarianten gegenüber inkogredienten 8 und fallen für die fL zusammen mit der Hesseschen Form H (Aufgabe 3 zu § 4, S. 35).

Aufgabe 7. Es seien in nichthomogener Schreibweise f{x, y) j g(x-, y) zwei binäre bilineare Formen und 8, T die beiden, durch das Verschwinden von f resp. g dargestellten linearen Substitutionen (§ 7). Was bedeutet das Verschwinden der bilinearen Invariante Hfg für die beiden Substitutionen 8, T°t

Man bezeichne x als Element eines ersten, y als Element eines zweiten „Systems“. Einem beliebigen Elemente y des zweiten Systems entspricht vermöge 8 resp. T ein Element xa resp. xb des ersten Systems. Dann sind bei variierendem y die Elementenpaare (xa, xb) selbst an eine gewisse lineare Substitution ü gebunden. Diese Substitution U wird dann und nur dann zu einer Involution J, wenn Hfg = 0. Das Entsprechende gilt, wenn man von einem beliebigen Elemente x ausgeht.

Sei jetzt die Bedingung Hfg = 0 erfüllt, so sind noch die Doppelelemente x₁, x₂ der Involution J zu charakteri-Zu dem Behuf konstruiere man das Formen-büschel f lg \ diesem gehören (§ 7) zwei zerfallende Formen f + lt g , f + 1₂ g an:    \

sieren.

f + h9 = «0» - ®i) (V ~ Vi), f-\-l₂g = b(x- %) (y - y₂).

Dann sind die Doppelelemente xx, x₂ der Involution J eben die Wurzeln der beiden Linearfaktoren

x —    , x — x₂.

Läßt man daher vermöge der durch f-\- 1 g — 0 bestimmten Substitution Sx wiederum einem beliebigen Elemente y ein Element x\ entsprechen, so sind, falls Hfg = 0, und nur dann, die beiden Elemente xu, xb, die den Substitutionen S — S₀, T = Soo zugehören, stets harmonisch zu den beiden festen, d. h. von der Auswahl des y unabhängigen Elementen xx = Xxx , x₂ = xx₂, die den beiden uneigentlichen Substitutionen Sx₁, Sx₃ zugehören.

Die geometrische Deutung dieser algebraischen Sätze liegt auf der Hand. Deutet man x, y als Elemente zweier einförmiger Grundgebilde u, v, etwa zweier Geraden, so werden die Substitutionen $ , T zu projektiven Beziehungen zwischen u, v ; U zu einer projektiven Beziehung auf u, und J zu einer ausgezeichneten Involution auf u.

Aufgabe 8. Es seien in einer Ebene E xt, x₂, x₃ ; x[, x₂, x₃ zwei Reihen von (homogenen) Punktkoordinaten, %, u₂, % ; u[, u₂, u₃ zwei Reihen von Linienkoordinaten, ferner f(x\ x') =^aik x{ xk, g(x ; x') ßa % uk zwei ternäre bilineare Formen, und J₂ =]?aikßik ihre bilineare Invariante.

Die Gleichungen / = 0, yj — 0 stellen in E zwei reziproke (lineare) Verwandtschaften dar, die erstere aufgefaßt als Ordnungsgebilde, die letztere als Klassengebilde. Im folgenden sei (#) der Pol der Geraden (w), und (x') der Pol der Geraden (u') in der Verwandtschaft .

Sind (u), (u') zwei beliebige Gerade der Ebene E., so sind die beiden auf (u), («'■) gelegenen, bezüglich der Verwandtschaften f resp. y> konjugierten Punktreihen durch eine projektive Beziehung S resp. ^ verknüpft. Die bilineare Invariante der, 8 resp. T darstellenden (mit geeigneten numerischen Faktoren normierten) binären bi-linearen Formen sei Jx .

Dann gilt die grundlegende Identität:

(I)

Jx = Jty(u; u') — f(x\ x') .

Man nennt die beiden Verwandtschaften f, xp apolar, wenn J₂ = 0, desgleichen die beiden Projektivitäten 8, T apolar, wenn Jx — 0 (vgl. die vorige Aufgabe).

Dann ist in (I) der Hauptsatz über apolare Verwandtschaften f, xp resp. 8, T als spezielle Folgerung enthalten.

Nimmt man nämlich im besonderen f(x] x') = 0 an, d. h. die Punkte (x), (x') als konjugiert in der Verwandtschaft f, so zieht gemäß (I) die Apolarität von f, xp diejenige von 8, T nach sich, und, solange xp(u ; w')={=0, auch umgekehrt.

Sind speziell f, xp quadratische Formen f(x; x), xp(u;u), so erliält man den Hesseschen Satz über apolare Kegelschnitte f, [vgl. Journ. für Math. Band 45 (1853), S. 82]: „Sind zwei Kegelschnitte f, xp einer Ebene apolar — und nur dann — so existieren oo¹ eigentliche, dem Kegelschnitte f einbeschriebene Poldreiecke des Kegelschnittes xp, und jeder Punkt von f ist Ecke eines solchen Dreiecks.“

Das Entsprechende gilt dualistisch, und ganz analoge Beziehungen bestehen im Raume.

§ 10. Fortsetzung. Differentialgleichungen und Gewichtsregeln für invariante Bildungen bilinearer und quadratischer Formen.

Auf ähnlichem Wege, wie oben § 9 (23) zum Aronhold-schen Prozesse, gelangt man auch zu linearen partiellen Differentialgleichungen für invariante Bildungen bilinearer oder quadratischer — und weiterhin beliebiger — Urformen.

Es werde wieder an die vier Schiebungen A [§ 9, (9), (10)] von (xx, xt) resp. (yx, y₂) angeknüpft, zunächst für den Fall einer einzelnen Bilinearform f =^?aikxiyk.

Sei J{axx, ax2 , a2X, a₂₂) = J(a) irgend ein in den a ganzrationaler Ausdruck, der gegenüber den A absolut invariant sei, dann gelten die in den Koeffizienten und Parametern identisch erfüllten Relationen:

| J(«ii, «12 » «21 + \ «11 » «22 + \ «12) = J(a) » -^2(^2) i ^ («11 ~b ^2 «21 j «12 ~b ^2 «22 5 «21 f «22) ⁼⁼ J («) 1 ^l(^l) I J («11 ł «12 ~b ^l«ll > «21 ) «22 ~b ^l«2l) — ^(«) 1 . -^2 (^2) I ^ («11 ~b ^2 «12 > «12 5 «21 ~b ^2 «22 J «22)    ^ («) »

und umgekehrt charakterisieren diese das invariante Verhalten von J gegenüber den A . Versteht man unter ah eine zweite Reihe von Koeffizienten, nämlich einer weiteren Form f'ia'ik), und unter q einen Parameter, so besitzen die linken Seiten von (45) die gemeinsame Struktur:

j (aik ~t~ Q aik) — Jf+ef ’

also formal ganz wie bei der Determinante Z> , § 9, (20). Entwickelt man daher wie dort nach dem Maclaurinschen Gesetze:

(46/)    J (dit; -f- q alk) = J («) ~b Q ’y Aik

(45)

(46)

ej(a)

~b • •

d«i*

so müssen, falls der Ausdruck (46"), wie in den vier Fällen (45), für jeden Wert von q mit J (a) identisch sein soll, rechts von (46') die. Koeffizienten von q, q² , ... verschwinden, insonderheit der erste:

SJ (a)

Dies liefert, entsprechend den vier Fällen (45) für J, die vier, für alle Werte der aik gültigen linearen partiellen Differentialgleichungen:

(47)

2«b

Ai (Ai) j Ht — an

ÔJ

da₂

+ «12

ÔJ

= 0,

dj

-^2 (^2) ! 7^2 = «21    b «22

ÔJ

dar

= 0,

Äi(h) I Li = «11

dj

+ «21

dj

= 0,

dj

A₂(ü₂) I L₂ — ai2    ~b «22

ÔJ

d«21

-0.

Diese vier Gleichungen (X) sind also dann und nur dann gleichzeitig erfüllt, falls J (a) gegenüber beliebigen Schiebungen A der (xx, x₂), (yx, y₂) — und damit nach dem Satze (VII) des § 6 zugleich gegenüber beliebigen unimodularen Substitutionen TJX, U₂ der (x₁, x₂), (yx, y₂) — absolut invariant sein soll.

Wird .dagegen die Invarianz von J nur gegenüber kogredienten ÜX = U₂ = TJ verlangt, so reduzieren sich die vier bisher unabhängigen Parameter hx, h₂, lx, l₂ auf zwei: h₁ = ll, h₂ = l₂, und damit auch die Anzahl der bezüglichen Differentialgleichungen auf nur zwei.

Man brauchte zu dem Behuf nur die Werte der <xik § 9 (5) für kogrediente Schiebungen Ax(hx — lx), A₂(h₂ = l₂) zu spezialisieren.

Um aber den Zusammenhang der beiden abzuleiten ^ den Gleichungen für J mit den vier Gleichungen (IX) des allgemeinen Falles zu übersehen, wird man, zunächst für inkongruente Substitutionen, die Ax(hx), A^) und A₂(h₂) f A₂(Z₂) je in eine einzige Operation (ihr „Produkt“, vgl. § 5) zusammenziehen und erst hinterher h₁ — l₁, h₂ — l2 nehmen. Man hat :

(48 a)

(XX2 — üx2 -f- lx (Lxx ,

<*22 = a22 "ł" ^ial2 H“ ^l®21 A" Wa\l r¹

<*21 ” **21 ^1 **1 1

(48 b)

A₂ (Ä₂) • A₂ (l₂) | (Xxx = üxx -j- h₂ ü2x -j” ^2 **12 H⁻ ^2 ^2 **22 1 <*12 —    “ł~ ^2 **22 )

<*22 ⁼⁼ **22 >•

• ,

~j~ ^2

wo beide Formelreihen durch Vertauschung der Indizes 1, ? auseinander hervorgehen. Für hx — lx = Q resp. h₂ = l₂ = 6 gehen die <xik in die aik über.

Bildet man von den aik (48) die partiellen Ableitungen nach den Parametern und setzt alsdann hx — lx = 0 resp. h₂ = l₂ = 0 , so wird:

(49 a) (fc₁₌=Z1 = 0)

~w,

<*> Cb »

» S* j?

^    to

0,

Ô(X2i

«xi

ô<*n

(49 b) (ft₂ = Z₂ = 0)

<37t

<*21 ł

5a₁₂

ôn₂

<*22

— al2 1

ô<*i:

dl₂

U &22 6\

_    ^<*22 _

— 'J 5    ~3~t    <*21

— <*11 ?

üa₂₁

dl

^<*21 _ Q

dh₂

• doc2l

ei₂

<*22

Ô*21    n

^ -0>

<^22 _ q

£>k

Die Taylorsche Entwicklung für J(tx) liefert aber:

(50 a) J (oc) == J (a) -f h,

ôj (oc)

dh, (h^l^O)

4~ h

ej (a)

ei, (fe₁=?₁=o)

.4- •• •

(50 b) J (oc) = J (a) -f h₂

e j (a)

B J (oc)

en₂ (h₂=?₂=o)

ei₂ (h₂=i₂=o)

Soll sich J (a) für alle Werte der h,, l, resp. h₂, l₂ auf J (a) reduzieren, so müssen insbesondere wiederum in (50) die Koeffizienten von h,, l, resp. h₂, l₂ verschwinden : Diese Koeffizienten sind aber, auf Grund von (48), (49), gerade die Bildungen H,, L, ; H₂, L₂ in (X), wie es sein muß.

Für h, = l,, h₂ = l₂ addieren sich jeweils die Koeffizienten von h,, l, resp. h₂, l₂ in (50) ; mithin tritt für kogrediente unimodulare U, — ü₂ an die Stelle von (X):

3, 4~ L, = djj

ej

ej

ej

(X')

^<*1:

e <*₂

e 0j₂₂

(<*12 4“ <*21 ) — 0 ,

3₂ 4- L₂ = a₂₂

ej

ÔJ

ej

d<*n

(<*₁₂ + <*₂₁)==o.

e <*i2

Man beachte, daß beim Beweis von (X), (X') von der Annahme, daß J in den aik ganzrational sein sollte, kein Gebrauch gemacht wurde; der Beweis bleibt bestehen für beliebige eindeutige Funktionen J (a), falls sie nur die Maclaurinsche resp. Taylorsche Entwicklung (46') ‘ resp. (50) gestatten.

Liegt statt einer einzelnen Bilinearform f ein System solcher vor, f, g, h, ... mit Koeffizienten (<*), (&), (c),..,,

so lassen die Entwicklungen (46') resp. (50) unmittelbar erkennen, daß nur die auf die Form f bezüglichen Prozesse H₁, H₂, Lx, L₂ in (X), (X') jeweils zu ersetzen sind durch die Summen der auf die Formen bezüglichen analogen Prozesse; man schreibe einfach

usw.

z*.

f Damit erweitern sich die Differentialgleichungen (X), (X') im Falle mehrerer bilinearer Urformen f,g,h, .. . zu:

ZL1 = 0 , ZL* - ⁰ »

<Xa) ZE, = 0 , *ZHa = 0 ,

fff

(Xa')    +    Zn2 + ZL* = 0

ff    ff

und es gilt:

Satz III. „Eine Funktion J der Koeffizienten bilinearer Urformen f,g,h,..., die gegenüber beliebigen unimodularen Substitutionen U₁, JJ₂ der (xx, x₂), (yx, y₂) ungeändert bleibt, genügt den vier linearen partiellen Differentialgleichungen (Xa), wo die Prozesse H₁, H₂, Lt, L₂ durch (X) erklärt sind. Ist aber J nur invariant gegenüber kogre-dienten TJl, U₂, so genügt J auch nur den beiden Gleichungen (Xa'), die durch Addition der ersten und dritten, resp. zweiten und vierten Gleichung (Xa) hervorgehen. Für eine einzelne Urform f reduziert sich (Xa), (Xa') resp. auf (X), (X').“

Daß die Existenz dieser Differentialgleichungen für die in Rede stehende Invarianz von J auch hinreichend ist, wird § 11 lehren.

Nunmehr berücksichtige man die Streckungen M [§ 9, (11), (12)] der (xt, x₂) ; (yt, y₂) ; hinsichtlich der J trete die vorläufige Beschränkung auf ganzrationale Funktionen der (a), (b), (c) ... ein.

Im Falle einer einzelnen Urform f(aik) ist J ein Aggregat einer endlichen Anzahl von Gliedern (Termen) der Art:

(51)

J(a) = Z°an avla2i aT2 = Zct ’

wo die eik natürliche Zahlen (inkl. 0, nur nicht sämtlich verschwindend), und die c Zahlenfaktoren bedeuten.

Man übe auf die xx, x₂ in f gleichzeitig eine M (m) aus, oder, was dasselbe ist (vgl. § 6), eine „Erweiterung“ Ex(m) : xx = m$xi x₂ = m f₂, mit der Determinante m². • Dann wird cxik = maik, und (51) geht über in:

(52)

Ex(m) | J(a) = ^ineu+eii+en+enct.

Es soll J eine Invariante von f, also gegenüber beliebigen Sx, S₂ (2) relativ invariant sein:

(XI) *

J(a) = A?A?J(a),

ü)₂ feste natürliche Zahlen

wo die „Gewichte“ co (inkl. 0) sind.

Für 8X = Ex(m), 8t = 1 wird A?'A? = m2<ül. Soll sieh dieser Faktor m²"» aus allen Gliedern der rechten Seite von (52) herausheben, so muß er stets mit D^n+îiif£«+£*, identisch sein, d. h. es ist:

«11 + «12    £21 H~ £22 =2(0!.

Wiederholt man diesen Schluß für die „Erweiterung“ Es(n): yx = nr]x, y^==nrj₂, so kommt analog:

(XII b)

(XII a)

also auch, durch Vergleichung mit (XII a):

(53)

Oil = tt>₂ •

Soll also der Ausdruck J(a) auch nur gegenüber einer Ex(n) resp. E₂(n) relativ invariant sein, so fallen beide Gewichte von J zusammen, und J ist eine homogene Funktion der aik von einer Dimension d, wo

(54)

d — 2 o)x — 2 ft>₂ .

Nunmehr übe man die Streckungen M₁(m₁), M₂(ma)t Mx(nx), M₂ (n₂) einzeln aus. Für Mx(nx) z. B. ist nach (11) (xxx — m dxx, <%j2 — m dX2, <x2x — u2x *    22 ⁼ ®22 > somit

muß gemäß (XI) stets m£u+£is mit m"¹ übereinstimmen, und analog in den drei anderen Fällen.

Danach bestehen, soll J gegenüber irgend einer der vier Streckungen relativ invariant sein, die Relationen:

Mx(nx) I sxx + «21 = ^2 »

(XIII)

Mx{mx) I «11 4- «12 = a>

Ma{m₂) I e2X 4- «22 = <*>i, M₂(n₂) \ e₁₂ + «22 = <»2 •

Besteht die Invarianz von J gegenüber Mx(mx) und M₂(m₂) resp. Mx(nx) und M₂(n₂) gleichzeitig, so gelangt man durch Addition der bezüglichen Relationen (XIII) zu (XIIa) resp. (Xllb) zurück, und, falls J gegenüber allen vier Streckungen invariant ist, auch zu (53).

Bei Beschränkung auf kogrediente 8X = S₂ = 8 mit der Determinante Â ist die Definition (XI) für eine Invariante von f zu ersetzen durch:

(XI')

J (a) = A<° J (a)

wo co jetzt schlechtweg das „Gewicht“ der Invariante J heißt.

Übt man die Streckungen Mx(m) resp. M₂(n) gleichzeitig auf xx, yx resp. x₂, y₂ aus, so wird:

(55)

3Ix(m) | ocxx — m²cixxx ocX2 — tu aX2 x oc2x = 7nci2X, oi₂₂—<i₂₂ f

oc₂x—na2XX <x₂%— wci₂₂ .

M₂(n) | <%n— axx,

Dann liefert das obige Verfahren die Relationen:

(XIII')

| Mx{m) | 2 £n + e₁₂ -f e₂₁ = co ;

\ M₂ (n) j 2 £₂₂ + % -j- €₁₂ — co ,

und bei gleichzeitiger Invarianz gegenüber Mx(m), M₂(n) durch Addition:

(xir)

Qi + Qg €si H" e22 ~ w •    )

Die letztere Relation hätte man wiederum direkt durch Anwendung von E(m) auf beide Paare (xXi x₂), (yx, y₂) erhalten können.

Die Ausdehnung auf mehrere Urformen f, <j, h, . bedarf nur geringer Modifikationen. Die Darstellung (51) von J (a) erweitert sich zu :

(5«')

J[(a), (&), (c),...]

— Yca% a|*bfäb%?b$ . . . =

Woraus folgt, daß in (XII), (XIIa), (Xllb), (XIII), (XIII'), (XII') jedes eik durch eik -f- tjik + .. . eee Yeik zu ersetzen

ist. Mithin gilt:

Satz IV. „Für eine Invariante J[(a), (b), (c), .. .] der Bilinearformen f g, h, ... — gegenüber ber liebigen Substitution n Sx, 8₂ -—fallen die beiden

.Gewichte cot, co₂ bez. 8t, S₂ zusammen, und J ist homogen hinsichtlich aller (a), (b), ... von einer Dimension d = 2col — 2ü)₂. Sind in irgend einem Terme von J eik, rjik, ... die Exponenten von aik, bik ? • •

so ist

= CO

Z(hl+ £2l) =^(«12 + £2l) ⁼⁼⁼2'(£21+ £22) = ^(£12 + £22) = ⁰⁾1

Bei kogredienten S₁=S₂ = S wird die Dimension von J gleich dem Gewichte co, und die s, rj,.. . unterliegen nur den Bedingungen:

2 ^£ll + ^(£12 + £2l) = 2^2 +^(£12 + £2l) ⁼ ^ •“

Der Inhalt der Formeln £(en + e₂₁) — ⁰⁰ usw. läßt

/

sich einfacher beschreiben, wenn man auch den Koeffizienten von f, g, ... hinsichtlich der einzelnen „Strek-kungen „Gewichte“ beilegt. Man nenne „Gewicht“ Gik von aik, bik, ... hinsichtlich einer M den jeweils infolge derselben erscheinenden Exponenten der als Faktor hinzutretenden Potenz des betreffenden Streckungsparameters.

Das „Gewicht“ G irgend eines „Potenzproduktes“ 1 (51a) wird erhalten als die Summe

£11 ~i~ @12 £12 ~ł~ ^21 £21 4“ @22 £22) * / ⁽

Damit werden die Formeln (XIII), (XIII') sämtlich von derselben Struktur:

(XIV)    + G₁₂ e₁₂ + G₂₁e₂₁ + G₂₂ e₂₂) = co , wo jeweils für die Gik die den einzelnen Streckungen resp. Streckungspaaren entsprechenden Werte einzusetzen sind.

Die Tatsache (XIV), daß jedes Glied t (51a) von J jeweils dasselbe Gewicht besitzt, drückt man kurz dahin aus, daß J „isobar“ ist bez. jeder M ; das konstante Gewicht deckt sich mit dem Gewichte o\ = co₂ resp. a> der Invariante.

Über die Homogenität von J in Satz IV läßt sich noch Näheres aussagen. Die bisherigen Beispiele für Invarianten J von f, g, h, ... zeigen, daß J auch hinsichtlich jeder Koeffizientenreihe (a), (b), (c), ... einzeln

homogen ist. So war Df homogen quadratisch in den a, desgleichen Dg in den b, ferner Hfg homogen bilinear in den a und b. Umgekehrt liefert aber z. B., unter g, 0, r drei Zahlen verstanden, das Aggregat gDf + oDg -f THfg eine Invariante von /*, g, die wohl noch in den a und b zusammen homogen ist (mit d = 2), nicht aber mehr einzeln homogen.

Es läßt sich indessen allgemein eine beliebige ganzrationale Invariante J[(a), (b), .. .] beliebiger Urformen als ein Aggregat Jx -f- J₂ + </₃ + • • • von solchen darstellen, die in jeder Reihe der (a), (b), ... einzeln homogen sind, so daß man sich auf derartige Bildungen J beschränken darf.

Man greife zu dem Behufe aus J irgend ein Glied heraus mit einer Dimension da bez. der a, und vereinige mit diesem Gliede alle weiteren von J mit derselben Eigenschaft. Dadurch entsteht ein Teilaggregat Jda von J, das in den a homogen von der Dimension da ist.

Irgend ein Glied in Jda habe in den b die Dimension db, so vereinige man wieder alle Glieder von Jda derselben Art zu einem Aggregate Jd(l,db > homogen einzeln in den a und b, von der Dimension da resp. db.

So fortfahrend konstruiere man ein in J enthaltenes

Aggregat J₁ = Jda,db,de,...i das sämtliche Glieder von J umfaßt, die einzeln in den (a), (&), (c), . .. homogen sind, von den resp. Dimensionen da, db, de,

Sind damit die Glieder von J nicht erschöpft, so wähle man ein weiteres, in J₁ nicht enthaltenes Glied von J zum Ausgangspunkt und verfahre analog. Damit ist die gewünschte Zerlegung J = Jx + J₂ + Js -j- ... erreicht. Es gilt demnach der

Hilfssatz. „Ein beliebiger, in den Koeffizientenreihen (a), (&), (c),. .. von Urformen f, g, h,.. . ganzrationaler Ausdruck J läßt sich als ein Aggregat J =    + J₂ 4- Jg + ... von solchen Aus

. darstellen, die in jeder Reihe der (a), (b), (c), ... einzeln homogen sind.‘‘ Für den vorliegenden Fall von bilinearen Urformen ist noch zu zeigen, daß jedes der Teilaggregate Jlt J₂, J₃,... für sich die Invarianteneigenschaft (XI) resp. (XU) besitzt.

3)    * *

drücken Jj, J₂, J

Nun bleibt J bei jeder der Schiebungen A (45) un-geändert. Aus der Gestalt von (46): <xik — aik + gaik, wo stets einige der alk mit gewissen der aik identisch sind, während die übrigen verschwinden, geht hervor, daß vermöge einer A irgend ein Glied z. B. von Jt stets wieder nur in ein solches von Jx [d. h. mit denselben Einzeldimensionen in den (a), (&), (c),...] übergeht. Das gleiche gilt von J₂ , J₃, ...

Die Gewichtsregeln sind aber für alle Jx, J₂, J₃, . . . dieselben wie für J selbst. Der Satz IV läßt sich daher einfacher und vollständiger so formulieren:

Satz IV'. ,,Eine Invariante J[{a) ,(&),...] von Bilinearformen f, g,... ist darstellbar als Aggregat + J₂ + J₃ + ..., wo jedes Teilaggregat in jeder der Koeffizientenreihen (a), (&),... einzeln homogen ist.

und die Gesamtdimension d von J

Diese Teilaggregate sind selbst Invarianten von f, g, ..

ist gleich 2a>₁==2 co₂ resp. gleich co, je nachdem die Invarianz von J für beliebige oder nur für kogrediente 8lt S₂ in Frage kommt.

Ferper ist J im ersteren Falle hinsichtlich der einzelnen Streckungen M, im letzterèn Falle hinsichtlich der gleichzeitigen Streckungen Mx{m) von x\i Vi resp. M₂(n) von x₂, y₂ isobar; in beiden Fällen ist das konstante Streckungsgewicht zugleich das Gewicht cox == <o₂ resp. co der Invariante selbst.

Die zuerst ausgesprochene Zerlegungseigenschaft von J gilt auch für Urformen beliebiger Ordnung.“

Die angestellten Überlegungen lassen sich ausdehnen auf den Fall, wo die invariante Bildung

J = J[(a) ,(&),..., (ą, x₂), (yt, y₂)]

auch noch die Variabelnpaare (oder wenigstens eines derselben) enthält: J heißt dann eine „Kovariante“ der /', g, h, ... (s. § 4, S. 29).

Man beachte, daß bei einer Kovariante J, gemäß der Definition :

(XI a)

(£)...,&, *,), (Vx, %)]

=    ^2 ⁸ J [(«)    (X1 , X₂) » (Vl , Vz)]

die Bezeichnung der Variabein irrelevant ist, daß also die Paare (xl, x₂), (yx, y₂) ersetzbar sind durch andere (x[, x'₂), (y'h yź) i falls letztere nur jeweils denselben Substitutionen , S₂ unterliegen wie die ersteren. Man füge jetzt den Urformen f, g, ... zwei Linearformen lx, ly hinzu:

lx = xx -j- x₂ r₂, ly = 2/j Sj H⁻ 2/2    ?

so gehen diese vermöge 8X, $₂ (2) über in neue Linear -formen    :

«i + r₂ yx) + 4 (U ßx + r₂ 4) = 4 & + 4 £2 »

(56)

⁽⁵⁷⁾ i

= %(*1 «1 + S₂ 72) + % (S1 ßi + S2 4) = Vl °X + Vi °2 •

Hier hängen die neuen Koeffizienten (qx, £>₂) > (°i > <*2) mit den alten (rx, r₂), ($x, s₂) zusammen mittels der Substitutionen :

(58)

Ql »1 *1 + r2 7i ,

£2 = nßi + r₂ 4 ,

°2 — ßz "4" ^2 4

Oi = Si a₂ + s₂y₂,

wiederum mit den Determinanten Alf A

Für das Folgende genügt es, die Substitutionen (2), also auch (58) unimodular anzunehmen (A₁ = A₂ = 1). Dann lautet die Umkehrung von (58):

(58')

rx = Qi 4 — Q2 7i

s₂ — ox ß₂ -j- o₂ <x₂ .

§i — oxö₂ o₂ y₂

Demnach transformieren sich vermöge 8X, S₂ die Koeffizienten (rL, r₂), (sx, $₂) von lx, ly (56) linear mit denselben Koeffizienten und Determinanten wie in 8t, 8 nur daß die ersteren jeweils in gewisser Weise untereinander versetzt sind.

Soll völlige Übereinstimmung von (58') mit (2) ein-treten, so ändere man nur die Schreibweise der Koeffizienten in (57); indem man sie gleichfalls als gewisse —-von den (xx, x₂,) (yl, y₂) unabhängige — Variabein an-sieht, bezeichne man sie mit (x₂, — x[), (y₂, —yi), die transformierten Größen mit (££, — £(), (rji, —gl), so lauten die Formeln (56), (57), (58') nunmehr: lx = xx x'₂ — x₂ x[

(59)

ly =2/12/2 — yiV'i

= *i€i+ ßi&t yi = «₂ Vl + ßi V2

K = v\Vi — V2 vl ; %;i “ 7i 4' + 4 4', y 2' = 72    +4^)

wo jetzt die Substitutionen (60) mit resp. 8 kogredient sind.

£2 (2)

Bei kongruenten Substitutionen 8t — 8₂ = 8 genügt es, zu den f, g eine einzige Linearform lx (56) hinzuzunehmen, und einmal mit Koeffizienten xi, —x{, das andere Mal mit Koeffizienten y2, —y[ zu versehen. Damit ist bewiesen :

9, -

stitutionen U

Satz Y: „Eine Kovariante J = J[(a), (&),.. (xi,xś), (y[, y 2)] bilinearer Formen f(xt, x₂ , yx, y₂), — gegenüber beliebigen unimodularen Sub-ü₂ der {xlt x₂), (ylf y₂) — läßt sich auffassen als simultane Invariante eines Systems, das außer g, . .. noch zwei Linearformen

lz

h = Vi y 2 -2/22/1'

xx x₂ — x₂ x[

enthält: Bei Beschränkung auf kongruente Ut—U2 genügt eine einzige Linearform lx = ly in dem Sinne, daß sowohl (xx,x₂), {yt, y₂) wie {x[, x£), (y{, yi) zugleich der Substitution U unterliegen.“

Nunmehr ziehe man wieder als erzeugende Substitutionen der U Die Substitutionen (60) nebst ihren Umkehrungen reduzieren sich z. B. für A^h^ auf:

£1 = x[ — Tix x₂ ,

(61)

U₂ die Schiebungen A (9), (10) heran.

xi = & H = xi

und entsprechend für die drei andern A .

mit

Dehnt man daher das in (45) bis (IX), (IX') resp. (X), (X') niedergelegte Schluß verfahren auf die hinzu -tretenden neuen Koeffizienten (£(, |₂) > iv 1 > V2) aus und läßt hinterher die Akzente wieder beiseite, so ergibt sich, daß bei beliebigen unimodularen ■U₁, U₂ eine Kovariante j = J[(a), (&),..., K , x₂), (yx, y₂)] von f, g, . .

Hilfe der Bezeichnungen (IX), (IX'), den vier Bedingungen genügt :

I Mh) I ZLi

0,    A₂(ä₂) I ^S₂ x}

-2/2

cV

c^i

Meyer, Allgemeine Formen- und Invariantentheorie I.

0,

10

die sich bei kongruenten U₁ = ?7₂ zusammenziehen auf die beiden:

(Xoc')

?*>+?*-(«£+*%;)-0

2H₂+-Z4-(

f    f    \

ej

+ 2/1

ej

^2/2/ •

Enthält J im besondern nur eines der beiden Variabeln-paare (x₁, x₂), (y₁, y₂), so kommen von selbst die jeweils auf das andere Paar in (Xa), (Xoc') bezüglichen Terme in Wegfall; hängt J gar nicht von den Variabein ab, wird also zur ,.Invariante“ in engerem Sinne, so reduzieren sich (X«), (Xoc') auf (X), (X'):

Satz VI: „Die linearen partiellen Differentialgleichungen, denen eine Kovariante

J= J[(a), (&),..., (xlyx₂), (y^y₂)]

der Bilinearformen    genügt, unterscheiden

sich von den in (X) resp. (X') für Invarianten J der f, g, ... aufgestellten nur dadurch, daß die linken Seiten von (X) resp. (X') jeweils um die Term e

—x₂

ej

ej

ex₂

-y 2

ej

-2/1

ej

dy*

resp.

ej

da?.

+ 2/2

ej

da?₂

+ 2/1

ej

^2/2

zu vermehren sind.“

Ähnlich bedürfen auch die Gewichtsregeln für Invarianten nur geringer Abänderungen, um für Kovarianten zu gelten; letztere seien vorderhand in den Koeffizienten wie in den Variabein ganzrational, und überdies in jedem der Paare (xx, x₂), (;y₂, y₂) homogen, von einer Dimension dx resp. dy .

Die Kovariante J ist in Verallgemeinerung von (5 a) ein Aggregat von der Struktur:

(hiß)

J—^c C'l-J <*21 a-n ^12 ^21 ^22 • • • ^i1 x2 2/i¹ y2ä = 2c t >

Bei einer Streckung z. B. Mx(mx) : xx = mx , x₂ = f2 wird nach (11):

<%n = mxaxx

0iX2 — Wlx (lX2

(X2X — <¹21

&22 — ®22 '

Bildet man daher irgend ein Glied et von (51/1) in den

&ik ) iJik j • •

sowie in den neuen Variabein = —- ,

mx

£2 — x2 ; Vi = ?/i ? V2 = V2> so wird es gleich dem ursprüng-

^^(£u + £l₂)-Ai

; zufolge (XI a) muß

liehen, multipliziert mit m{ dieser Faktor stets mit m™¹ übereinstimmen, d. h. es ist + «12) ~ K — °h 1 un<l umgekehrt, ist diese Bedingung

erfüllt, so verhält sich J auch invariant gegenüber der Streckung Mx(mx). Verfährt man gemäß (11), (12) analog mit den drei anderen Streckungen, so ergeben sich als Erweiterung von (XIII) die Relationen:

M₂ (m₂) I <2(e₂i+f22)—■h ⁼

f

M2 M \ 2(«12+£22) —^2=0>

(Mx(mx) I 2fcn+£i2)—^¹ i="i »

(XIIIcc)

i ZA£ii+£2i)—/h=ft>2

die also einzeln jeweils aussagen, daß J gegenüber je einer Mx{mx), Mx(m₂), Mx(nx), M₂(n₂) relativ invariant ist.

Denkt man sich die Relationen (XIIIoc) sämtlich¹) erfüllt, so folgen noch einige weitere daraus. Durch Addition der beiden ersteren resp. letzteren kommt als Ausdehnung von (XIIa), (Xllb):

(XII a)

^(£11 + £12 + £21 "f" £2₂) ~ dx — 2 CO /

Y(£11 + £12 + £21 “t“ £₂₂) dy — 2 0)₂ .

Hier ist die links auftretende konstante Summe Y die

i

Dimension von J hinsichtlich aller Reihen (a), (&), die mit dk bezeichnet sei. Die beiden Gleichungen (XIIa)

sind ersetzbar durch die beiden, vermöge Addition und Subtraktion daraus hervorgehenden:

(XII/*)

2 d]. — (dx + dy) = 2(u>₁ -f- o)₂) ,

= 2(co₁ — (o₂) .

dy    dx

Subtrahiert man andererseits in (XIII tx) die dritte Gleichung von der ersten, die vierte von der zweiten, so ergibt sich das Paar:

2(£i2 — £-21) + hi — 4 = °h — °h 1

(XII y)

4,(£■> 1    ' ^12) 4 h2 4 — (>fl (>)2

deren Addition wieder zur zweiten Gleichung (XIIß) führt, Subtraktion dagegen zu:

(XIId) 2Z(h2 ~ hi) 4 (hi ~ fh) ~ (4 - 4) = 0 .

Aus (XII <x), (XIIß) erkennt man noch, daß die Differenzen dk — dx, dk — dy (und damit auch dy — dx) gerade Zahlen sein müssen.

Für kongruente Substitutionen 8₁== S₂ = S mit der Determinante A zieht sich die Definition (XIoc) einer Kovariante J zusammen zu:

(XI a 0

» 4), Oh » V2)]

= A<°J[(a) ,(&),... (x₁, x₂), (yx, y₂)}

- s»

und die zugehörigen Gewichtsregeln resultieren wie bei (XIII') durch Addition der linken Seiten der ersten und dritten resp. zweiten und vierten der Gleichungen (XIIIa), während rechts gemäß (XIa') (ot + o>₂ durch oj zu ersetzen ist:

(xm «o

]£(% «11 + «12 + «2l) — Ol + hl) = a) > f

^(2 «22 4" £12 4 «21) — (4 4 ^2) = M •

Addition und Subtraktion liefert für dlc='^(ell 4-^ ₂ -j-«₂₁ 4 «22):

,    k

(XII a 0

2 dk — (dx -f- dy) — 2 (o ,

2 ^(£u -- £22) — (4 4 hi) 4 (4 4 ^2) = 0 ,

/

so daß dx -f- dv gerade sein muß.

Verbindet man diese Regeln mit dem Satze VIII des § 6, wonach eine beliebige Substitution Sx erzeugbar ist durch Ax(hx), A₂(h₂), nebst Mx(mx) — oder auch M₂(m₂) oder auch É(m) — und entsprechend S₂, so ergeben sieh weitere Zusammenhänge.

Wählt man z. B. Ax{hx), A₂(h₂), R(m) für 8X; Ax(lx), A₂(l₂), E(n) für S₂ als erzeugende Substitutionen, so erkennt man, daß jede in den (a), (&), ... ; (xx, x₂), (yx, y₂) ganzrationale und in letzteren je homogene Funktion, die einmal gegenüber allen unimodularen üx, U₂ ungeändert bleibt und sodann die beiden Gewichtsrelationen befriedigt:

dk — dx = 2(0

dx — dy = 2 co

(XII a)

bereitś eine vollständige Kovariante der /', g, ... ist, so daß die weiteren Gewichtsregeln von selbst erfüllt sind. Entsprechend genügt bei kongruenten Substitutionen 8X — S2 schon die einzige Gewichtsrelation (XIIa'), und Analoges findet bei Auswahl anderer Fundamentalsubstitutionen statt :

Satz VII. „Eine Kovariante der bilinearen Formen /*, g, ... genügt auch den Gewichtsregeln (XIIIoc) resp. (Xllla'), nebst den daraus abgeleiteten. Weiß man, daß ein ganzrationaler, in den (xx, x₂), (yx, y₂) je homogener Ausdruck gegenüber uni-modularen 8X, S₂ ungeändert bleibt, so genügt, damit der Ausdruck zu einer Kovariante wird, bereits ein Teil der Gewichtsregeln, je nach der Auswahl der Fundamentalsubstitutionen, aus denen man sich 8X, S₂ resp. 8 erzeugt denkt.“

Auch der Satz IV' über den Isolarismus einer In

variante läßt sich sofort auf eine Kovariante übertragen, wenn man den Potenzen x]¹, as**, y^¹, y%* resp. die Gewichte —fxx, —fi₂ beilegt — und damit den Potenz -Produkten otĄ¹ as**, y^¹ y<£ die Gewichte

— (^1 + k₂),

—(jux -f ill₂) — je nach der Streckung Mx(mx), M₂(m₂), Mx(nx), M₂(n₂).

Zu einer insbesondere auch für praktische Berechnungen wichtigen Eigenschaft einer Kovariante (Invariante) J gelangt man auf Grund der in § 6 untersuchten reziproken Substitution Rx : xx = £₂ ?    — £i resp. R₂: yx — rj₂, y₂ — rjx.

Wird Rx auf f, g, ... ausgeübt, so vertauschen sich axx und a2l, aX2 und a₂₂ usw., und analog bei R₂ an und ax

«₂₁ und a₂₂ usw., andererseits, wenn man die Bezeichnung der Variabein beibehält, xx mit x₂ resp. yx mit y₂. Wird dagegen Bx zugleich mit B₂ ausgeübt, so vertauschen sich die axx und a₂₂, al2 und «2l, usw., oder, wie man sagt, je zwei „symmetrisch gelegene“ Koeffizienten. Da die Determinante einer B gleich —1 ist, gilt:

Satz VIII. „VertauschtmanineinerKovarianteZr der Bilinearformen f, g, ... jeweils die an und «₂₁, «₁₂ und «₂₂, usw., und zugleich xx mit x₂, so bleibt K ungeändert oder wechselt das Vorzeichen, je nachdem das Gewicht oix bez. (xx, x₂) gerade oder ungerade ist. Das Entsprechende findet statt bei gleichzeitiger Vertauschung der au und «₁₂, «21 und «22» usw., yx und^gj hinsichtlich desGewichtes co2 bez. (yx, y₂). Setzt man beide Operationen zusammen, vertauscht also jeweils symmetrisch gelegene Koeffizienten, sowie xx und x₂, yx und y₂, so bleibt K ungeändert oder wechselt sein Vorzeichen, je nachdem das Gesamtgewicht a> = cox -f- œ2 gerade oder ungerade ist. Kur der letztere Fall tritt bei kongruenten Substitutionen S₁ = S₂ — S ein: oo bedeutet dann schlechtweg das Gewicht von K. Bei Invarianten hat man sich auf die Vertauschungen der Koeffizienten zu beschränken.“

Wie in § 5 heißt eine Kovariante (Invariante) gerade oder schief, je nachdem das bezügliche Gewicht gerade oder ungerade ist.

Aus den für bilineare Formen gewonnenen Ergebnissen lassen sich im besonderen die für quadratische Formen f{xx, x₂) = axx x\ + 2 «₁₂ xx x₂ + «₂₂ x\, usw. ableiten, wenn man festsetzt, daß einmal jeweils aX₂=a2x,    =&

andererseits xx = yx, x₂ = y₂ und damit von selbst 8X = S2 sein soll.

Als Vorbereitung für die allgemeinen Untersuchungen des nächsten Abschnittes seien indessen die für quadratische Formen spezifisch Platz greifenden Überlegungen kurz angegeben. Man schreibe lieber wie früher:

f = f(xx, x₂) = «o x\ -f 2 «j xx x₂ + a₂ xl , g = g(xx, x₂) = &o x\ + 2 bxxxx₂ + b₂ x\ , . . .

Vermöge einer Schiebung A^h^ : x₁ =    -f- hx1₂, x₂ = |₂

geht z. B. /■(»!, a?₂) über in ç>(^, £a) :

(63)

9?(£i 5 4) = «o ii + ² «i ii ia + fl »

(64) a₀ = a₀ ,    *= a₀ Äj + ax , a₂ = aQ h\ + 2 ax hx + a₂ .

(65)    a₀'(0) - 0 , otl(0) = 1 • «o

Für \ = 0 werden die a wieder zu den a. Ist so hat man:

a₂(0) .= 2 • % .

Der Ausdruck J(a₀, ax, a₂) = J(a) soll gegenüber A^h^ ungeändert bleiben:

(66)

Ax(hJ | J(a) = J» .

Die Entwicklung der linken Seite nach Potenzen von h, liefert :

(67)

'/(*)

J(a) -f h

dJ(<x)

¹ dht (^=0)

+ ...

Wegen (66) ist insbesondere:

dJ(<x)

dhy (7it = 0)

(68)

Da aber

dJ da2 d«₂ dhx ’

so ergibt sich für /i₁ == 0 gemäß (64), (65), wenn J(a) mit J bezeichnet wird:

(XV!)

dJ((X)

dh

<3 J doc0 da₀ dhx

cj d(xx d<xx dhx

dj

ÔJ

= 0.

Die der zweiten Schiebung A₂ (ft₂) : xt = £lt x₂ — £₂ + h₂ i1 korrespondierende Differentialgleichung geht aus (XVj) durch Vertauschung von a₀ mit a₂ hervor:

(XV₂)

ej

dj

1 • a2 ”5---1- 2 • % — — 0 .

oax    oa₀

Bei einer simultanen Invariante J von g, ... (62) treten vermöge (67), (68) an die Stelle der linken Seiten von (XVi), (XVa) die entsprechenden, über die Reihen der (a), (b), ... zu summierenden:

(XVI)

ÔJ

2{Ua*jŹ + ²-a'JaJ

Für eine Kovariante J [(«) ,(&),...; xx, #₃] gelten genau die Überlegungen, die bei bilinearen Formen von kogredienten Yariabelnpaaren zu (X<%) führten. Differentialgleichungen (XYI) erweitern sich daher für eine Kovariante J zu:

ÔJ

= 0.

Die

(XVII)

M 1/

dj

ÔJ

dj

1- a₂

dj

daj

+ 2*0-1

ÔJ

da₀

\ dj

und es gilt:

Satz IX. „Eine Kovariante J[(o), (b), . .. ; xx, x₂] der quadratischen Formen /’, <7, ... genügt den beiden linearen partiellen Differentialgleichungen (XVII); reduziert sich J auf eine Invariante, so

in Wegfall.“

kommen die Terme — x₂

dj

dj

-xt

dx₂

cx₁

Man gehe zu den Streckungen Mx{mx), M₂(m₂) über: x\ = m₁ , x₂ = i₂ resp. xx —    , x₂ = m₂|₂. Für die neuen

Koeffizienten ot kommt:

(69)

Mx(mx) \ oc₀ = ml a0 M₂(m₂) I a₀ = a₀ ,

«i = «!«!,

tx₂ — a₂ , a₂ = m\ a₂ .

Danach werden den a₀, o1? a₂ bez. JH^mj), if₂(m₂) die Gewichte 2,1,0 resp. 0, 1, 2 beigelegt, und analog den

(70)

usw.

Eine Invariante J von /', g, ... habe die Gestalt : J =    ⁰ a*¹ a*a    ... ;

irgend ein solches Glied von J erhält bez. Mx(mx) das Gewicht 6^ —^(2 e₀ + «j) und bez. M₂(m₂) das Gewicht

Die Invariante J soll gegenüber irgendeiner Substitution S von der Determinante A vom „Gewichte“ co sein: (XVIII) J[(«), (ß), . . •] == A“ J[(a)

Setzt man in einem Gliede von (70) die neuen Koeffizienten ein, so unterscheidet sich das neue Glied vom

^^(2e₀+£i)

der für

resp. m{

alten um den Faktor m{

S =    resp. = M₂(m₂) mit m“ resp. m₂ übereinstimmen

muß. Also ist J isobar, d. h. in allen Gliedern bezüglich Mx und Ma vom konstanten Gewichte co. dem Gewichte von J :

2(2 e₂ + £x) = co .

(XIX) 2,(2£o + ^i)-ü>

Diese beiden Gewichtsrelationen sind gleichwertig mit den durch Addition und Subtraktion entstehenden:

(XX a) 2(£o + £i + ^2) — dt — co

(XX b) =

wo dk wieder die Dimension irgendeines Gliedes von (70) bedeutet. Die Relation (XX a) sagt für sich aus, daß J gegenüber einer Erweiterung E(m) invariant ist; J ist dann hinsichtlich der Gesamtheit der (a) ,(&),... homogen von der Dimension dk = co. Man beweist, wie oben bei bilinearen Urformen, daß J in ein Aggregat einfacherer Invarianten Jl + J₂ + </₃ + ... zerlegbar ist, deren jede in den (a), (&),... einzeln homogen ist.

Ferner gilt wiederum gemäß dem Satze VIII des § 6, daß, wenn ein Ausdruck J gegenüber beliebigen unimodu-laren S ungeändert bleibt, von den drei Eigenschaften (XIX), (XXa) bereits irgend eine hinreicht, um J zu einer „vollständigen“ Invariante im Sinne von (XVIII) zu machen. Übt man endlich auf die Urformen (62) eine R aus, so daß sich je zwei symmetrisch gelegene Koeffizienten a0 und a₂, b₀ und b₂ usw. vertauschen, so bleibt eine Invariante J ungeändert oder wechselt das Vorzeichen, je nachdem das Gewicht co gerade oder ungerade ist; J heißt wiederum dann „gerade“ oder aber „schief“.

Das alles überträgt sich mit geringen Änderungen auf in den xx, x₂ homogene Kovarianten J[(a), (&),...; xt, a?₂], die also der Definition genügen:

oder auch, wenn man addiert und subtrahiert:

(XXa') 2dk-dx = 2co

Ein solcher Ausdruck ist von der Struktur:

J = £c ae₀° aÿ b%° br(' b%* .. . oĄ x^ , {Xx + 4 = dk)

wo dk die Dimension in den Yariabeln ist, c4=2l(£o+£i+£2) die Gesamtdimension in den Koeffizienten. /

Da bei Mx(mx), M₂ (m₂) £x = Xl so tritt an Stelle von (XIX):

(XIX') 2X2«o + «i)-*i = ü>,

(70')

mx

resp. i₂ — ~ wird,

m₂

^(2e₂ + Q) — 4 = o) ,

(XXb') 2    =

so daß dx (und damit auch Xx — A₂) eine gerade Zahl sein muß. Gibt man den Termen scfc, xfy resp. bezüglich Mx(mx), M₂(m₂) die Gewichte — kx, — A₂, also irgendeinem Gliede von J (70') das Gewicht J£(2 £₀ + £i) > resp. ^(2£₂ + «₁)—X

f    f

so ist dieses gemäß (XIX') für alle Glieder konstant, = co; J ist wiederum isobar. Bei einer B vertauschen sich in J außerdem a₀ und a₂, b₀ und b₂, ..., auch æx und x₂, was zu (XXb') führt, und J bleibt ungeändert oder wechselt das Vorzeichen (ist gerade oder schief), je nachdem co gerade oder ungerade ist. Zusammenfassend hat man:

Satz X. „Eine Invariante J quadratischer Urformen/“,^, h,... erfüllt die linearen partiellen Differentialgleichungen (XVI), ist homogen, sowie hinsichtlich beider Variabein isobar, von der Dimension und dem Gewichte co ; von den letzteren drei Eigenschaften genügt bereits irgend eine, um einen ganzrationalen Ausdruck J als Invariante zu charakterisieren, sobald J bei unimodularen Substitutionen ungeändert bleibt. Bei gleichzeitiger Vertauschung symmetrisch gelegener Koeffizienten bleibt J ungeändert oder wechselt das Vorzeichen, je nachdem das Gewicht co gerade oder ungerade ist. Eine Kovariante J von /“, g ,h, . .. genügt den Differentialgleichungen (XVII), ist in den Koeffizientenreihen (a), (b), ... homogen von der Dimension dk = co — \dx, wenn die gerade Zahl dx die

Dimension von J in den Variabein bedeutet, und ist isobar bezüglich xx und x₂ vom Gewichte <x>. Für einen bei unimodularen Substitutionen ungeändert bleibenden, in den xx, x₂ homogenen Ausdruck J genügt wiederum irgend eine jener drei Eigenschaften, um J zur Kovariante zu machen. Das Verhalten gegenüber einer reziproken Substitution B, wobei jetzt auch xx und x₂ zu vertauschen sind, ist dasselbe wie bei einer Invariante.“

Eine Kovariante darf auch mehrere kogrediente Eeihen von homogenen Variabeinpaaren (xx, x₂), (yx, y₂), ... enthalten (die also sämtlich jeweils derselben Substitution S unterliegen); sind dann Xx, jux, . . . , resp. X₂, /jl₂ , ... die Grade in xx, yx, ..., resp. x₂, y₂, ... ; ferner dx, d die Dimensionen Xx -f- b,, jux + /i₂, ... bezüglich der Paare (xx, x₂), {yx,y₂), ..., so hat man nur in (XIX'), (XX') Xx, l₂, dx resp. zu ersetzen durch Xx -f /nx + .. ., h + /t2 + . • •, dx 4- dy + ...

Aus den Differentialgleichungen (XVIII) für eine Kovariante J läßt sich für deren Koeffizienten eine Reihe wesentlicher Folgerungen ziehen, auf die allgemein in § 13 näher eingegangen werde.

Die Formeln dieses Paragraphen mögen an einer Reihe von Beispielen illustriert werden. Nachdem man auf Grund der Gewichtsregeln festgestellt hat, was für Potenz-Produkte in einer Invariante (Kovariante) auftreten — man nennt dies den littéral en Teil der Aufgabe — dienen die Differentialgleichungen zur Ermittelung der unbekannten numerischen Koeffizienten der Potenzprodukte.

Ist J eine Invariante, /jl irgendeine Zahl, so ist auch fxj eine Invariante; man wird daher umgekehrt eine Invariante J noch mit einer geeigneten Zahl fi multiplizieren dürfen, um sie in der einfachsten Gestalt zu repräsentieren.

Es sollen die linearen und quadratischen Invarianten einer quadratischen resp. bilinearen Urform, und die bi-linearen Invarianten von zwei solchen ermittelt werden, und zwar bei bilinearen Formen für inkongruente wie für kongruente Substitutionen. Der Grad der jeweiligen Invariante werde als Index angehängt.

Lineare Invarianten Jx einer f₂ .

(1)

Nach (XX) ist e₀ = e₂ = 1 ; da Jx bei Vertauschung von a₀ und a₂ das Zeichen wechseln müßte, könnte J nur gleich «o — a₂ sein. Nach (XIX) wäre aber 2 f₀ + Q = 2 e.2 + «i = co — 1, also kann e₀ = e₂ nicht gleich 1 sein. Es gibt also keine lineare Invariante einer f.₂ .

(2)

Quadratische Invarianten J₂ von f₂ .

Gemäß (XX) ist d = 2 , e₀ = e₂ , 2 £₀ + % = 2 , so daß für die Potenzprodukte der a in J₂ nur die beiden Möglichkeiten Eq = e₂ = 0, ex — 1 und Eq = e₂ = 1, % = 0 bleiben. J₂ ist somit eine lineare Kombination Qa₀a₂ oaf von a₀ a₂ und a\. Nach (XVI) wird aber q + o = 0 , mithin wird J₂ zur Diskriminante Df=a₀a₂ — ax [§ 5, (XII), S. 50].

(3)

Bilineare Invarianten Jk>1 von /₂ und g₂.

Es liefert (XX) : d = a> = 2 , e₀ + r/Q = e₂ -f rj₂ , und (XIX): 2(«₀ + rjo) + (e₁ + %) = 2 . Zu s₀ = 1 gehört rj₂ = 1 , r]₀ =    = 0, entsprechend zu «₂ = 1 :    = 1, ^ — i?₂ = 0 ,

endlich zu ex = 1 :    = 1, vj₀ — rj₂ = 0 . Da ferner x

bei gleichzeitiger Vertauschung von a₀ und a₂, &₀ und b2 ungeändert zu bleiben hat, so muß JljX die Struktur besitzen : q (a₀ b₂ + a₂ b₀) -j- oa₁b₁.

also etwa nur in der be-

für q = 1

reits bekannten Bildung H = a₀b₂ + a., &₀ — 2 arbt [§ 5, (XV), S. 54].

Dieselben drei Aufgaben werden jetzt für bilineare Urformen fx>1 resp. gltl behandelt, zunächst für inkongruente Sx, S₂.

i, i

Gemäß (XVI) kommt aber o + 2 g = 0 2 . Mithin existiert J

(la)

i,i*

was nicht ein-

Lineare Invarianten Jx von f

Nach (54) wäre dk=l = 2o)l = 2a) treten kann.

(2 a)

i,i*

Quadratische Invarianten J₂ von f Nach (54) hat man dk —2 = 2œ₁ = 2a)

E12 — £21 — 1 £12 = £21 — 0

Gemäß (XIII) wird £u + e₁₂ = e₂₁ + £₂₂ = £n + e₂₁ = £12 + £₂₂ = 1. Da £u == 2 unmöglich ist, existieren nur die beiden Lösungen:

«ii = 0 ;

£₂₂ — 0

und

£22 ~~■ 1 •

Es kann also J₂ nur die Glieder axx • a₂₂ und aX2 • a2x enthalten, und da J₂ bei Vertauschung von axx mit a₁₂, a22 mit a₂₁ das Zeichen wechselt, fällt J₂ zusammen mit der Determinante von f\ x: Df— an a₂₂ — aX2 a2X [§ 9, (I), S. 120].

¹

Ein Teil der folgenden Schlüsse bleibt gültig, wenn die Relationen (XIII a) nur zum Teil erfüllt sind.

(3a) Bilineare Invarianten JX1 von fXjX und gr₁₍₁.

Man hat wiederum wegen (54) <? = 2 = 2co₁ = 2ö>₂ ; My — co₂ = 1 . Aus (XIII) : £u + rjlx + £12 + V12 — £2i + % 1

+ £22 + V22 = £11 + *7ll + % + *721 = f12 + *7l2 + £22 + %2 = 1

das Zeichen bei Vertauschung a₂₂ mit a2X, bxx mit &₁₂, b₂₂ mit b2X. So-die in § 9, (IV), S. 123 untersuchte Bildung Sf g — Clyyb₂₂ -f- flt₂₂ byy %₂ &₂₁    ®21^12 •

Wir gehen zu kongruenten Substitutionen 8X —8₂=8 über. Die soeben festgestellten Determinanten Df, D wie E

i, i

1,1

entnimmt man, daß in J1;1 nur die vier Glieder axx • b a₂₂ • bxx , aX2 • b2l , «₂₁ • b₁₂ auf treten können. Bei Vertauschung von axx mit <x₂₂, bxx mit b₂₂, a₁₂ mit a2X, bX2 mit b2l darf sich J1X nicht ändern, d. h. in Jxx kommen nur die Verbindungen anb₂₂ + a₂₂ bn , a₁₂b₂₁ + a₂₁b₁₂ vor. Andererseits wechselt J von axl mit ax mit ist J

so

f,g

sind eo ipso auch jetzt Invarianten in dem engeren Sinne. Es fragt sich daher nur, ob es außer diesen invarianten Bildungen in den Fällen (la), (2a), (3a) bei kongruenten 8 noch andere gibt.

Lineare Invarianten Jx von f

i,i*

Nach (XII') ist dk — 1 = œ , nach (XIII') 2exx + £12 + £₂i = 1, £n = £₂₂, also ist £n = £₂₂ = 0 , und hierzu gehören die beiden Lösungen £₁₂ = 1, £₂₁ = 0 und £₁₂ = 0, £₂₁ = 1. Damit wird Jx eine lineare Kombination von a₁₂ und a2X, und da Jx bei Vertauschung von aX2 mit a2l das Zeichen wechselt, stimmt Jx überein mit der bereits bekannten Bildung öf = aX2 — a.2x [§ 9, (III), S. 123].

«21 = 0 •

Quadratische Invarianten J₂ von fltl .

Nach (XII') ist dk = 2 = co , nach (XIII') 2 £n + e12 + «21 = 2 , £u = £₂₂ • Für £u = 1 folgt £₁₂ = £₂₁ = 0, £₂₂ = 1 ; £n = 2 ist unmöglich; für £n = 0 (also £₂₂ = 0) bleiben noch die drei Lösungen:

«12 == 1

«2i — 2 ;

«12 — 2

Danach enthält J₂ nur die Glieder «n • «₂₂, «₁₂ • «₂₁, aj₂, «2i, nnd zwar, da bei Vertauschung von a₁₁ und «₂₂, a₁₂ und «₂₁ keine Änderung von J₂ statthaben darf, die Quadrate «f₂ und a\t in der Verbindung aj₂ + «li • Es besitzt also J₂ die Struktur:

J₂ = e«n«₂₂ + oa₁₂ a₂₁ + r(«?₂ + ah)

— Q «jj «₂₂ “f- (o H⁻ 2 t) «₁₂ «₂₁ -j- t(«i₂ ft2l)" *

Hier ist («₁₂ — «₂₁)² gemäß (lß) selbst eine J

also

fragt sich nur noch, welche lineare Kombination £>«na22 + ö'«₁₂«₂₁ von «n«₂₂ und «₁₂ «₂₁ eine zweite J₂ liefert. Gemäß (IX') erhält man g + o' = 0, kommt also auf die „Determinante“ von A,i; D/ = «n«₂₂ — «₁₂ «₂₁ zurück. Bei kongruenten Substitutionen repräsentieren demnach Df und («₁₂ — «₂₁)², und damit jede lineare Kombination derselben die sämtlichen quadratischen Invarianten von A.i-(2/) Bilineare Invarianten Jltl von fltl und gltl.

Es existieren nur zwei Invarianten, einmal das Produkt («₁₂ — «₂₁) (bt2 — &₂₁) der beiden linearen Invarianten von f und g, andererseits die in (3 <x) festgestellte Bildung Bfg = au b₂₂ + «₂₂ bn — «₁₂ b2X — «₂₁ b₁₂, und damit wiederum jede lineare Kombination derselben.

Die Ausführung sei dem Leser überlassen.

Aufgabe 1. Der Fall (2y) des Textes ist auszu

führen.

Aufgabe 2. Die Differentialgleichungen und Gewichtsregeln des Textes sind auszudehnen auf eine tri-lineare Urform A,i,ij sowie auf ein System von Urformen, das sich aus linearen, bilinearen und trilinearen Formen zusammensetzt; andererseits auf eine kubische binäre Ur-

form /₃, sowie auf ein System von Urformen, bestehend aus linearen, quadratischen und kubischen Formen.

Aufgabe 3. Mittels der Differentialgleichungen und Gewichtsregeln für trilineare Urformen ist zu zeigen, daß eine 1;1 keine lineare Invariante besitzt, weder gegenüber inkogredienten noch gegenüber kogredienten 8 ¹) ; ferner, daß zwei trilineare Formen nur eine einzige bi-lineare Invariante gegenüber inkogredienten wie kogredienten 8 haben (s. Aufgabe 3 zu § 10).

Das Entsprechende gilt¹ für eine resp. zwei kubische binäre Formen.

Aufgabe 4. Es ist nachzuweisen, daß auch für die weiteren, in § 9 und den Aufgaben zu § 9 behandelten invarianten Bildungen die bezüglichen Differentialgleichungen und Gewichtsregeln erfüllt sind.

Anhang.

Symbolische Darstellung.

Es werde an § 7 und § 9 angeknüpft. Kach § 7, Satz IV war die notwendige und hinreichende Bedingung für das Zerfallen einer Bilinearform :

f(xi, x2 i Vu V2)

= A® ; y) = «u Vi + ai2 xi y2 + «2i x2 yi + «22 y2 in zwei Linearfaktoren, deren jeder nur eine Reihe der Variabein enthält:

(1)

f = («1 ®i + a₂ x2) K yi 4- «2 y2)

das Verschwinden der Determinante Df von /’:

Df EĘ «11^22    «12 «21 •

Trotzdem läßt sich die Darstellung (2) als die einer allgemeinen Form f (mit Ü^O) ansehen, falls man den Koeffizienten ax, a₂ ; a[, a₂ der beiden Linearfaktoren :

«; == a[ yl + <Ą y₂

eine veränderte Bedeutung unterlegt. Es seien die ax, a₂ ; a[, a₂ nur Symbole derart, daß, während im übrigen mit ihnen nach den Grundgesetzen*) der vier Spezies gerechnet werde, erst das Produkt eines a mit einem a' eine reale Größe liefert, nämlich einen der Koeffizienten von f, nach den Gesetzen:

(I) ax a[ = an , ax a’₂ = a₁₂

(2)

(3)

(4)

ax = axxx + a₂ x₂

«2 «i — «21

«2 «2 — «22 •

*) Dabei kommen nur die Gleichheitsgesetze der Arithmetik in Betracht: Ungleichungen zwischen Symbolen oder symbolischen Produkten sind im folgenden ausgeschlossen. Zumeist wird auch von der Division von Symbolen kein Gebrauch gemacht; zuweilen [s. unten bei (32) und (32')] ist es indessen nützlich, sich derselben zu bedienen.

Damit nimmt in der Tat die Form f die Gestalt an: f ®X Q/y •

Der Nutzen dieser „symbolischen Schreibweise“ von f äußert sich zuvörderst bei der Ausübung zweier inkongruenter Substitutionen 8l, S₂, mit den Determinanten Ą, 4, auf f [vgl. § 9 (2)] :

xi — 4 £x + B\ $2 ? x₂ = Gx + Z>j £₂ ?

Gehen hierdurch die symbolischen Linearfaktoren ax, a' über in oc§,    :

' | *f = fl(«l 4 + «2 ^l) + ^2 («1 -Bl + «2 Dl) = *1 £l + «2 ^2 7 \<x^ = fjt(ai A₂ + a^G₂) + rj₂ (a[B₂ + a.jD₂) = cx[ rjx + 4rj₂ ,

so transformiert sich die Form f (2') in die neue Form cp :

; v) = *$*i» = *i*i4*/i + *i*2&% + *2*1 £2 »?i + *2 *2£2Vs

— *11^1^1 H⁻*12^1% “H *21 £2^1 H~ *12 % > da es gleichgültig ist, ob die , S₂ in der entwickelten (ausmultiplizierten) oder aber in der unentwickelten Form f (2') ausgeführt werden.

Demnach sind die oclf <x₂‘, <x[, <x₂ die symbolischen Koeffizienten der transformierten Linearformen tx*, « ' (6), so daß, analog zu (I):

(I )    *1 *1⁼⁼ *n • *1 *2⁼⁼ *12 ? *2 *1⁼⁼ *21 ? *2 *2 ⁼⁼ *22 ?

während auf Grund von (6) die alten Symbole mit den neuen verknüpft sind durch die linearen „induzierten“ Transformationsrelationen, wiederum mit den Determinanten At, 4 :

(2')

(5) 4)

(7)

Ä₂)

V\ — 4 Vi 4 -B2 rh > y2 — ^2 ^1 ~f~ ri2 •

*1 = «1 -4.2 + ^ G₂ , *2 = «1 -B₂ + «2 A .

*1 — ®i -4-1 “b ®2    ,

^2 — -Bj —f~    -Bi }

Setzt man in (7) für die ax, a₂ ; 4, 4 ihre Werte aus (II) ein und wendet nach erfolgter Ausmultiplikation die Formeln (I) an, so ergeben sieb, wie es sein muß, die in § 9 unter (5) resp. (5') aufgeführten „induzierten“ Transformationsrelationen zwischen den realen Koeffizienten aik und ailc. Somit gilt:

(ii)

Satz I. „Auf Grund der symbolischen Darstellung (2'), (I) einer bilinearen Form f wird die Ausübung zweier inkongruenter Substitutionen 8t, S₂ auf f zurückgeführt auf die gesonderte Ausführung der Substitutionen (II) in den symbolischen Linearfaktoren ax, a'y von f.“

Der Spezial fall kongruenter Substitutionen S₁ = S2 erledigt sich damit von selbst.

Aus Satz I folgt sofort, daß die durch Zusammen -fallen der y mit den x aus f(x ; y) hervorgehende binäre quadratische Form [§ 7, (46)]:

(8) f{x ; x) = axa’x = anx\ + (a₁₂ + a₂₁) xtx₂ + a₂₂ x\

eine (absolute) Kovariante von f gegenüber kogredienten 8t = S₂ ist.

Für die „lineare Invariante“ öf = a₁₂ — a2l [§ 9 (14)] erhält man vermöge (I):

(9)

öf = a₁₂ — a₂₁ = ax a₂ — a₂ a[ — (a a') .

Derartige, aus Symbolen gebildete zweireihige Determinanten, wie («a'), {ah) usw., heißen nach Gordan²) „Klammerfaktoren“.

Bildet man bei kogredienten 8t = S₂ = 8 (mit der Determinante A) den transformierten Ausdruck

Ö(p - &i2    <^21 - ^ ) )

so ergibt sich aus (II) mit Hilfe des Satzes Y des § 6, daß (oc a') = A{aa'), d. i. die Invarianz von öf gegenüber 8 [vgl. § 9 (III)].

Um die Determinante Df (3) von f symbolisch darzustellen, genügt die eine Symbolreihe der a1} a₂ ; a[, a2 in (I) nicht mehr, da man verlangen muß, daß der Kück-weg von der symbolischen Darstellung zur realen ein eindeutiger sein soll. Es würde aber z. B. das Produkt axa[a₂a2 ebensowohl zu an a₂₂ wie zu a₁₂ «₂₁ führen.

Führt man dagegen eine zweite, mit den ax, a₂\ a(, a2 gleichwertige Symbolreihe bx, b₂ ; b[, b₂ ein, die den zu

(I)    analogen Verknüpfungsgesetzen unterliegen, so daß f in der doppelten Gestalt erscheint:

(2')

f = axa'y = bx b'y ,

so wird die Mehrdeutigkeit der symbolischen Darstellung vermieden, und entsprechend wird man, wenn eine Form vom dritten, vierten, . . . Grade in den aik vorliegt, weitere Symbolreihen (c), (d), ... heranziehen, Hier erhält man für D (3) zunächst D = axa[b₂b₂ — axa₂b₂b( = bxb[a₂a2 — bx b₂ a₂ a[ — axb₂(a' b') = a₂ bx(b'a'), also durch Addition :

(10)

Df~ axxa₂₂ — a₁₂ a₂₁ = (ab) (a'b') .

Nunmehr tritt [vgl. § 9 (I)] der invariante Charakter von D gegenüber inkongruenten Sx, S₂ unmittelbar hervor, denn es ergibt sich sofort:

(II)    s= \(<xß) (oc'ß') eee | Ą(ab) • Ą(a'b') = ĄĄDf . Ebenso ist für eine zweite Bilinearform g :

(2")

g{x -, y) = lx l'y = mxm'y — bnx₁y₁ + b₁₂ xxy2 "f" ^21 Vl “t⁻ ^22 X2 V2 ?

(9')

(10')

ôg = (lV),

Dg = Ulm) (IV).

Für die bilineare Invariante von f und g [§ 9 (17)]:

Jjfg — dxx b₂₂ -j- a₂₂bxx aX2 b2x ^21^12

kommt

ax a[ l₂l₂ -j- a₂ a₂ lx l[ — ax a₂1₂ l[ — a₂ a[ lx l₂ = (al) (a'V)

Hfg

so daß sich Hfg in irgend eine der symbolischen Gestalten setzen läßt:

(12)

j Hfg = (al) (a'l') = (fern) (b'm') = (am) (a'm')

\ =(bl)(b'l')EEE ..

woraus die Invarianz gegenüber inkogredienten Sx, S₉ erhellt [§ 9 (IV)].

Um die beiden Funktionaldeterminanten #(*),

[§ 9 (26)] symbolisch zu schreiben, hat man dies zuvor

für die zweireihigen Determinanten pik [1. c. (24)] der Matrix :

(13)

rH    rH

W    -i—l

5Ś fO

<n    oi

;H    tH

Ö Ä

tH    tH

(M    (M

Cr¹ $

LO    t4>

ro    tc

zu tun. Man erhält:

Pis =

2*34 -

2*13 =

(14)

P24 =

2*14 =

2*23 —

at a[, a{ a2 Zj , Z₄ 1%

Z₄ ^2 ) ' Z₂ ^1

= aMa'V)

zzz U₂ Z₂ (öt Z ) ^

== a( Z( (u Z) ,

= <^2 ^2 (® Z) 5

— Uj U] Z₂ Z₂ o₂ o₂ Zj Zt ,

= at «2 h K — a2 a'i h Z2

und aus den beiden letzten Formeln noch die Verbindungen :

(15)

(16)

P14 + P23 = M K?2 + «alö »

Pu P23 = (a l ) iaih 4" ®2 ^1) • Nun waren die beiden Formen #(*),    :

#(*) = a??p₁₂ + a?lp₃₄ 4- a?i®2(p₁₄ - P23) » #(y) = PiP« 4- 2/1P24 4- Vi y2 (Pu + P23) •

Somit entsteht auf Grund von (14), (15):

$(*)

= æf % Z₄ + x\ a₂ Z₂ + ®₁a^(o₁ Z₂ + a₂ Z₄) = a* Z*

{p)

(al)

= 2ZÎ «i' z( 4- yl <\ I2 4- Vi y2 W ll + «2 K) = K K,

(17)

,%x) = (a'l')axlx

êy gegenüber 8lf S₂

und damit die Invarianz von ê

[§ 9 (VI)].

Den Darstellungen (17) lassen sieb, wie bei (12), solche analoger Struktur anreiben. Die beiden Kovarianten #<*), von f besaßen, auf Grund der Identität [S. 92, Anm. *)] des § 7:

(18)

Pl2 P₃4 + Pis P42 + Pl4 P23 = 0 *)

die nämbche Diskriminante D# [§ 9 (27)]:

(19) Dft = 4 p₁₂ p₃₄ - (p₁₄ - p₂₃)² == 4 p₁₃ p₂₄ - (p₁₄ + P23)² •

Behufs symbolischer Darstellung von D# sind je zweierlei Symbolreihen (a), (b) resp. (Z), (m) zu benutzen. Vermöge (14), (15) liefert der erste Ausdruck von D# in (19):

i),?,

(a'V) (b'm')

= ax l₄ b₂ m₂ -f ax l₄ b₂ m₂ + % lt b₂ m₂ + ax lx b₂ m2 &x Z₂ bx wig dj Z₂ b₂ 7Yt₄ (z₂ Zj bx m₂ (t₂tx b2 = «i w₂(Zfe) -f- %b₂(lm) + Zjm₂(a&) + lxb₂(am), oder auch, bei Vertauschung gleichwertiger Symbole:

= — a₂ mx(l b) — a₂ bx(l m) — l₂ m^a b) — Z₂ b₄(a m) ,

*) Diese Identität spielt gerade in der Symbolik eine wesentliche Rolle, wenn es sich darum handelt, inhaltlich übereinstimmende, aber äußerlich verschiedene symbolische Aggregate ineinander überzuführen. Sind ax, a₂ ; bx , b„ ; c, , c₂ ; dr, d₂ vier gleichwertige Symbolreihen, also Koeffizienten von Linearformen nx, cx, dx, die kogredienten Substitutionen unterliegen, so ist

GBO

(a b) (c d) + (n c) (d b) -f- (a d) (b c) = 0 .

Man erhält diese Identität auch, wenn man aus den drei‘Gleichungen ax = ax xx + o₂ æ₂, bx = 6, xx + b₂ x₂, cx = cx oc, + c₂ £r2 die cc,, ct₂ eliminiert, in der Gestalt

(18")

ax(6 c) + bx(c a) + cx(a b) = 0 ,

woraus sich wieder (18') ergibt, wenn man xx, x₂ durch d₂, —dx ersetzt. Endlich läßt sich die in Rede stehende Identität auch als Ausdruck des Multiplikationsgesetzes zweireihiger Determinanten [§ 6 (Satz Y)J :

ax by — ay bx — (a b) (x y)

ansehen wenn man æ,, æ₂ ; yx, y% resp. ersetzt durch c₂, d₂ , d j.

(18'")

—ci ;

somit durch Addition, nach Hebung des Faktors 2 :

(20a) eee {a' V) {b'm') {(a m) {l b) + (a b) {l m)} = A' + B.

Verfährt man ebenso mit dem zweiten Ausdruck für D# in (19), wobei sich nur die akzentuierten Symbole mit den nichtakzentuierten vertauschen, so kommt für D& auch :

(20b) D# = {al){bm){{a'm'){l'b') + {a'b') (l'm')} ~ A + B'.

Bildet man andererseits vermöge (10) und (12) den Ausdruck Hjg — 4 DfDg :

(21) Hjg - 4 DfDg = (am) (bl) (a'm') (b'l') - (ab) (Im) (a'b') (l'm') ,

so lehrt die Vergleichung von (20) mit (21), daß beidemal dieselben Teilprodukte Vorkommen, nur jeweils in verschiedener Weise verbunden.

Behufs Überführung von (21) in (20 a) resp. (20b) setze man einmal im ersten Gliede rechts von (21) gemäß (18):

(a m) (b l) = (a l) (b m) — (a b) (l m) ,

so geht (21) über in:

H% - 4 DfDg = {a'm') (b' V) {a Ï) (b m)

— {ab) (Im) {{a'b') {l'm') + {a'm') {b'l')

und bei nochmaliger Anwendung von (18) auf den Ausdruck in der geschweiften Klammer in:

(21a)

H/g — 4 DfDg = —{A + B) .

Operiert man analog mit dem ersten Gliede rechts von (21), so kommt:

H%-ADfDg = -{A'+B'),

(21b)

und durch Addition von (21a), (21b), mit Rücksicht auf (20 a), (20b):

2(H}g - 4 DfDg) = -{A + B + A'+ B') = - 2 D» , d. i. die Syzygie (XVIII) des § 7 :

(22)

Hfg + Dft = 4 DfDg .

Man kann weiter nach der realen Bedeutung der invarianten Einzelausdrücke A, B, A', B', sowie nach deren gegenseitigen Beziehungen fragen. Aus (20 a) und (20b) folgt: A — A' = B — B', aus (21a) und (21b): A — A' — B' — B , mithin ist:

(23)

A eee A', B = B', D# = A + B.

Bildet man ferner die Differenz

B - A eee (a'V) (b'm') {(ab) (Im) - (am) (lb)}

und berücksichtigt, daß der Ausdruck in der geschweiften Klammer gemäß (18) den Wert (al)(bm) besitzt, so hat man auf Grund von (12):

(24)

B-A= Hl

/ff >

und aus der Vergleichung von (23) mit (24), sowie mit Rücksicht auf (22), ergibt sich einzeln:

(25) B eee HD» + H%) EEE 2 Df Dg , A eee *(D* “ E}g) .

Die Gleichheiten A = A', B = B' ee 2 DfDg lassen sich aber auch leicht direkt ableiten. Vertauscht man in A = (al) (mb) (a'm') (b'V) die Symbole a mit den b , die a' mit den b', wodurch der Wert von A ungeändert bleibt, so entsteht A ~ (bl) (ma) (b'm') (a'V), d. i. aber A'.

Nimmt man die nämliche Vertauschung in B vor und addiert, so hat man

2 B = (a b) (l m) {(a' V) (b'm') + (a'm') (l'b')} und hier wiederum vermöge (18)

2 D ee (ab) (Im) (a'b') (l'm') = 4DfDg ,

und damit folgt zugleich B = B', da sich das Produkt DfDg nicht ändert, wenn man die akzentuierten Symbole mit den nichtakzentuierten vertauscht.

Wir gehen über zu drei bilinearen Urformen f, g, h :

(2) f ^Eaxaÿ = bxby , g = lxVyeeemxm'y , h = uxuy==vxvÿ

mit den realen Koeffizienten aik, bik, cik. Aus der Matrix dieser Koeffizienten waren in § 9 (39) die vier Determinanten Ti entnommen:

T% -. | «ii «2i «22

T₄ = i «11 «12 «21

(26)

Tx = | a₁₂ «21 a22

T.J = I «11 «12 a22

und 1. c. (VII) die Invarianz (gegenüber 8t1 S₂) des Ausdrucks bewiesen:

27)

Dfyh — 7'i 1\ T₂ T₃ .

Ferner soll nachgewiesen werden die Invarianz (gegenüber kogredienten 8X = S₂) von:

(28)

(S>fhg = T₂ — T₃ .

Im Hinblick auf die Bildungen <5/ (9) und Df (10) wird man eine bilineare Hilfsform n(x\ y) mit den Koeffizienten Ti (26) konstruieren; von dieser werden die Bildungen (27), (28) die Invarianten und sein, und n selbst eine Kovariante von f, g, h.

Man suche zu dem Behuf eine Form n, deren bilineare Invarianten Hfjl, Hgjl, Hh7l mit f, g, h zugleich verschwinden oder, wie man kürzer sagt, die „apolar“ („konjugiert“) ist zu f, g, h. Setzt man:

(29)    71 (x ; y) = nxxxx yx + n₁₂ xx y₂ + n2x x₂ yx ■+ jt₂₂ x₂ y₂ , so lautet etwa die erste der drei fraglichen Bedingungen:

(30)    -H/jr = 7lxx ü₂₂ JlX2 Ü2X Jl2X Cli2 -j- Jl₂₂ ®lt ~ 0 • Hieraus folgt für die Verhältnisse der nilt in der Tat:

(31)

7xn:7iX2 : n2x : n₂₂ = Tx: T₃ : T₂ : Tx ,

so daß bis auf einen konstanten Proportionalitätsfaktor, den man gleich Eins setzen mag, n die zu f, g, 7i apolare Form wird:

(290 ji(x ;\ y) = T₄ xxyx - T₃ xxy₂ - T₂ x₂ yx + Txx₂ y₂ .

Um zunächst die T* einzeln symbolisch darzustellen, bedient man sich mit Vorteil nichthomogener Symbole. Es ist z. B. :

— | ^12 ^21 a22 \ — |    5 a2 ®1 ) ®2 ®2 | •

Hebt man hier den Faktor a₂ a₂l₂ l^.u₂ u₂ heraus und setzt:

«L.

(32)

ft₂

1 ^2 —

1 A3 —

m₂

a[

ai’

f*2    7/ J //3    >

(33)

! A»^! |(t=l, 2,3) — ! A//1 !

so wird zunächst:

(34)

— ĆI2 ^2 ^2 ^2 ^2 J ^    1 ! •

Schreibt man ferner zur Abkürzung: Aü — Aj — At,

(35)

so läßt sich die Determinante (33) in irgend eine der drei Gestalten setzen:

(36) |^/Wl 1 — ^12^13    ^]3iU12⁼⁼^12 A*23    ^23 f*12 “ 3 ^23    ^23^13 "

Verfolgt man hier etwa die erste Darstellung, so erhält man gemäß (32):

(37)

®2 ^2 ^12 — : tt₂ A₁₃ — (ft w)

«2w2/^i3 = («'*') ;

®2 ^2 /h2 — iß O ?

(aï) («'«')    (a«) (a'T)

<*2 ^2 ^*2 ^2

und somit:

(38)

a₂ î^₂ a₂ ï₂

Setzt man diesen Wert in (34) ein, so ergibt sich:

(39)

Tl = u₂ l₂(a l) (ia' u') — u₂l₂ (a u) (a' V) .

wobei neben den Größen (32) auch deren

Verfährt man analog mit den drei anderen Determinanten T,, T₃, T₄

reziproke Werte eintreten und berücksichtigt ebenso auch die zweite und dritte Darstellung (36), so gelangt man zu folgenden drei gleichwertigen, symbolischen Darstellungen für die Kovariante n von f,g,h:

¹

Wohl aber gibt es lineare „partielle“ Invarianten einer flfl)1 ; so z. B. sind a₁₁₂ — a₁₂₁, a₂₁₂ — a₂₂₁ invariant gegenüber kogredienten S der (y), (z), während die (x) in Ruhe bleiben.

²

Gordan hat den Prozeß, der aus einem Produkte von der Gestalt ax aÿ resp. ax bx den Klammerfaktor (a a') resp. (ab) liefert, als selbständigen Prozeß unter dem Namen „Faltung“ in die Symbolik eingeführt. Ygl. Gordan-Kerschensteiner, Invariante ntheorie, Band II. Leipzig 1887, § 1.

(40)

y) = lxUy{au) (a'V) — l'xuy(al) (a' u')

= Qgh Qhg Qhf Qfh = Qfg Qgf >

aus denen man rückwärts die entsprechenden Einzeldarstellungen der Ti sofort ablesen kann. Die Gleichheit der drei Ausdrücke ggh — ghg, ghf — gfh, Qfg — ggf geht auch daraus hervor, daß n bei Vertauschung irgend zweier der Urformen f, g, h sein Vorzeichen ändert.

Man frage wiederum nach der Einzelbedeutung der g . Die Addition z. B. von ghf und ghg liefert

ux(al)[a'(u'r) + l'(a'u')]

(41)

oder gemäß (18") (a l) (a'V) ux u'y, also wegen (12): Qhf + Qhg = Ä Efg f ggh -f ggf = g Hfh , Qfg + Qfh = fHgh •

Hieraus folgt:

—fHgh 4- gSfh + hHfg = (Qgh + Qhg) + (Qhf—Qfh) — (Qfg —Qgf)

oder mit Rücksicht auf (40):

(42)

Qgh + Qhg = —f Hgh + g 3fh + Jl Hfg .

Durch Kombination von (42) mit der ersten Darstellung (40) folgt endlich :

2 Qgh = —⁷¹ + {—f 3gh -f- g Hfh + h Hfg} ,

und entsprechend für die fünf übrigen q .

Sodann entnimmt man aus (40) für die Bildung öfgh (28) :

T₃ = {lu') {au) {a'l') — {u V) {al) {a'u')

— Tgh xhg — xhf xfh — xfg ~~ xgf i

(43)

(44)

Öfgh =

und hieraus auf Grund von (43):

àfgh + { — ÔfHg h + ÔgHfh + ÔhHfg}

(45)

2 Xgh

nebst den entsprechenden Formeln für die fünf übrigen x.

Aus (44) leuchtet die Invarianz von öfgh gegenüber kogredienten St = S₂ ein.

Es kommt nunmehr die quadratische Invariante (27) Dfgh = Ty T₄ — T₂ T₃ an die Reihe. Man ziehe die zweite Symbolreihe der b , m, v ; b', m', v' in (2) mit heran und setze zur Abkürzung:

Qt = {a u) {a' V) , q[ = {a l) {a' u') ,

(46)

so daß mit ox gemäß (40):

ox EEi (&v) {V m') , o{ = {b m) {b' v') , q[ mit o[ gleichwertig ist, so hat man

m₂ v₂ Oy — m₂ v₂ o'y ,

(47)

Damit wird:

2 {TyTy-T₂T₃)

QyOy{lm}{u' v') + Qyo[{uv) {V m')

— QyQi{lv) {u'm') — q₂ Q[{um) {l'v'),

oder da die beiden Glieder mit negativem Vorzeichen gleichwertig sind, und unter Einsetzung der q, q' aus (46):

2Dfgh = 2(T₁ Ti — T₂ T₃) = (««) (&v) (Im) (a'V) (u'v') (b'm') + (al) (uv) (b m) (a'u') {b' v') (V m')

(48)

— 2 (al) (um) (b v) (a' u') {b' v') (b' m') .

Endlich werde noch [§ 9 (VIII)] die quadrilineare Invariante Efghk = E von vier bilinearen Urformen f, g, h, Tc in Betracht gezogen. Man schreibe jetzt bequemer: *

(2) f = axa'y,

Dann wird H die vierreihige Determinante:

(49) H = | an %₂ a₂₁ a₂₂ j = | at a[, ax a₂, a₂ a[ , a₂ a₂ | .

Man verfahre wie oben bei Tx und führe die nichthomogenen Symbole ^ ein:

2 al    2

— _ >    *2    T.

g = bx b'y ,

h = cxc'

// ’

Tc = dxd'y .

(32') -

Ö-2

b₂ ’

Th =

a(

c[

di

«2 ’

so nimmt H die Gestalt an:

di

(50) E = b₂ c₂ d₂ a₂^2d% | Aj, /^ï>jl I* (^—1? 2, 3, 4)

Die rechts auftretende Determinante war in § 7 (41) mittels der kik = h, fhk = f*i~ juk (i , Tc = 1, 2, 3, 4) ausgedrückt worden:

Um hier noch die symbolischen Ausdrücke r\ einzeln durch E und die sechs bilinearen Invarianten Efg, ... je zweier der vier Urformen auszudrücken, bediene man sich der Abkürzungen :

(52)

H₂ — dd/g E/ik ,

^3 — ddfh ddgk i

H4 = dlfkEgh *

Bildet man z. B. die Summen rji + r\^, »?₄ +    , so kommt

gemäß (18):

(53)

Vr + Vs = —H t

(r, s , t — 2,3,4)

und hieraus, unter Berücksichtigung der Gleichheit der drei Differenzen r]r — rj':

(54).

oder auch:

Vr — Vs = Vs — VŚ = Hr — H, ,

(54)

== Hr -J- oo ,

Vs = H, + ft)'

a>' zwei neue Unbekannte vorstellen; zwischen

wo oo

diesen besteht vermöge (50) die Relation:

H = co — oo',

so daß man, unter Û eine weitere Unbekannte verstanden, setzen kann:

(55)

+    oo'= -    + Q .

Damit gehen die Formeln (54') über in:

(54") Vr = Hr + tH + Q, »,; = H a-iH + Q,

und deren Addition liefert, mit Rücksicht auf (53), für ü den Wert:

(56)

oo —

-2 Ü = Hr +H, -J- H, = H₂ + H₃ + H₄ .

Setzt man dies in (54") ein, so ergibt sich schließlich: j 2Vr =    £--(-Hr + HÄ + Ht),

\ 2^-ff-(-H,+ H, + H,),

nebst den beiden entsprechenden Darstellungspaaren, aus denen rückwärts wieder (51) folgt. Da die Gleichung H = 0 gemäß (50) nichts anderes besagt, als die Gleichheit der beiden Dv. (2₄1₂A₄) und u₂ ju₃ /i₄), so liefern die vorstehenden Entwicklungen eine wesentliche Ergänzung zur Theorie des Dv. (§ 8).

Es ist wünschenswert, sich auch begrifflich davon zu überzeugen, daß die Invarianten Dfgh (27) und öfgh (28) der Kovariante n (29') von f, g, h zugleich Invarianten der Urformen selbst sind.

Man übe zunächst etwa eine Schiebung A₁(ä₁), kombiniert mit einer Schiebung A^fcj), aus: xx —    -j- ht |₂,

(57)

(58)

x₂ = |₂ ; yx = rjx -f Tcxrj₂, y₂ = rj₂ ; sind dann wie in § 9 (4) aik, ßik, yik die Koeffizienten der transformierten Urformen cp, ip

so wird nach der Definition einer

X,

Schiebungskovariante bez. AAhßi, A₁(fc₁) identisch:

(59)

<£i + Ma > & ï »h + Ms . % ; (*) j (ß) 5 (y)}

<®i » «2 ; Vi » 2/2 ; («) ? (&) ? (c)> •

Vergleicht man diese Identität mit den drei entsprechenden für die Urformen selbst und versteht unter T* die Koeffizienten der transformierten Form n, so leuchtet ein, daß diese Größen T< eine doppelte Auffassung zulassen: einmal gehen sie aus den ursprünglichen Koeffizienten Ti[(a), (b), (c)] hervor, wenn man deren Argumente (a), (b), (c) resp. durch die (oc), (ß), (7) ersetzt, andererseits aber auch direkt als die Koeffizienten der vermöge Ax(hx) transformierten Form n. Daraus folgt aber, daß überhaupt jede Kovariante (Invariante) von n gegenüber inkongruenten resp. kongruenten Schiebungen der {x), (y) und damit auch gegenüber beliebigen unimodularen inkongruenten resp. kongruenten Substitutionen Sx, S₂ zugleich eine Kovariante (Invariante) der Urformen g , h ist.

Koch einfacher verhält es sich bei den Streckungen. Übt man etwa die beiden Streckungen Mx(mx), Mx(nx) gleichzeitig aus: xx = mxÇx, x₂ = £₂ ; y₁ = n₁tj₁, y₂ = rj₂, so war sofort ersichtlich [vgl. § 9 (43)], daß Tj = m₁ nx T₁, T₂ = ml nx T₂, T₃ — m\ n\ T₃, T₄ = m\ n\ Ti , und man erhält ohne weiteres, daß bei inkongruenten M^mß), Mx(nß) D<pyX■ = m\n\Dfgh und bei kongruenten Mx(mß), Mx(mx) à<pWX = m\ dfgh, und entsprechend für die beiden anderen Streckungen M₂.

Später (§§ 13, 15) werden diese Schlüsse eine erhebliche Verallgemeinerung erfahren.

Die symbolische Behandlung binärer quadratischer Urformen    läßt sich den obigen bilinearen

Formen als Spezialfall unterordnen; man hat nur sowohl die beiden Variabeinreihen (x), (y), wie je zwei Symbolreihen (à), (a') usw. zusammenfallen zu lassen:

g = H = K²

(2a)

f = al = a'x² =

h = c* == c’j¹ —

Es genüge, die einschlägigen Ergebnisse anzuführen. Die Invariante df verschwindet jetzt identisch. Die Determinante Df wird zur Diskriminante:

(60)

Df = \ (a a'Y ; die bilineare Invariante Hfg :

(61)

Hfg = (ab)² ; die Funktionaldeterminante ■dfg :

(62)

ïïfg = (a b) ax bx ,

fl7 ?

und deren Diskriminante R

die Resultante von g :

(63) Rfg = (a b) (a' b') {(a b') (b a') + (a a') (b b')} , wobei die Syzygie (22) ungeändert bleibt:

Hfg + R= 4 Df Dg .

Endlich ergibt sich für die trilineare Invariante Hfgh von f, 9, ft:

(22)

(64)

Hfgh —

(a b) (a c) (b c) .

f = ax by cz = a'x by c'z = . . eine quadrilineare fix ; y ; z; u) :

Die Verallgemeinerung der Symbolik auf höhere Urformen liegt auf der Hand. Eine binäre trilineare Form f(x\ y\ z) schreibt sich:

f — (ix by cz du — dx by cz du — • • •

Spezialfälle dieser Formen sind z. B. die binäre kubische al = a'xz =    die doppelt quadratische alb²y = a'^b'² = .

die biquadratische ax = a'⁴ = ... Ist ax = ayxx -f a₂ x2 + a₃ x₃ ein ternärer symbolischer Linearfaktor, so stellt ax~bx= ... eine ternäre Form n ter Ordnung dar, usw. Stets gilt der Satz I mit geeigneten Modifikationen. Im übrigen sei auf die Aufgaben verwiesen.

Einer der Hauptvorzüge der Symbolik äußert sich darin, daß man bei vorgelegten Urformen eine unbegrenzte Anzahl von Kovarianten und Invarianten sofort hinschreiben kann. Liegt z. B. eine bilineare Urform f = axay ~bxbÿ = cxcÿ = ... vor, so bilde man aus den Klammerfaktoren (ab), (ac), (b c), ..., («a' b'), (a' c'), (b' c'), . . . sowie den Linearfaktoren symbolische Produkte derart, daß in jedem derselben je eines der Symbolpaare a, a'; b, b'-, ... nur einmal vorkommt, so ist jedes solche Produkt und jedes Aggregat von solchen eine Kovariante wten Grades in den realen Koeffizienten aik von /', wenn n Symbolpaare a, a'; b, b' ; ... auftreten, während deren Ordnung in (x) resp. (y) durch die Anzahl der bezüglichen Linearfaktoren angegeben wird; eine Kovariante ohne Linearfaktoren reduziert sich auf eine Invariante. Bei einer binären Urform rater Ordnung d"‘ = b"¹ = c™ = ... muß entsprechend jedes der Symbole a; &; c; ... wmal Vorkommen usf.

Weit schwieriger ist dagegen die Umkehrung, daß auch jede Kovariante und Invariante gegebener Urformen in der angegebenen Art darstellbar ist, worauf im Anhänge zum zweiten Abschnitte eingegangen werden soll.

Unter den Nachteilen der Symbolik ist einmal der schon erwähnte zu bezeichnen, daß es oft sehr schwierig ist, formal verschiedene, aber inhaltlich übereinstimmende Aggregate ineinander überzuführen; andererseits sind, wenn man von den leichtesten Fällen absieht, symbolische Ausdrücke einfacher Struktur, wie sich bereits in den obigen Beispielen zeigte, durchaus nicht immer diejenigen, die sich bei den Anwendungen der Invariantentheorie darbieten, und umgekehrt lassen oft invariante Bildungen von begrifflich einfacher Definition, wie z. B. die Resultanten und Diskriminanten, nur eine sehr verwickelte symbolische Darstellung zu.

Aufgaben. Die folgenden Angaben sind mittels symbolischer Rechnungen zu beweisen. Wenn f =anx eine binäre Form nier Ordnung ist, so werde gesetzt:

1 df

n dxi

= anx~x ^ ,

e*f

(i, *= 1, 2)

= a” ² ai ak .

^lk    n(n — lj dxi dxk

Aufgabe 1. Die binäre kubische Form f= al = bl = cl = . . . = a₀ x\-\- 3 ax x] x₂ + 3 a₂ x₁ x\-\- a₂ x\ .

eee x\(aQ a₂ — a() + . . . = -\{a b)² ax bx ;

Kovarianten sind 1. die Hessesche Form fl1 fl2 fi1 f22

= x\ (d² a₃ — 3 a₀ ax a₂ + 2 af) + ...

2. die kubische Kovariante

2 ^

Ax A₂

= axbx{b c)² (ac) .

Invariante ist die Diskriminante B von A (zugleich die Diskriminante von /' selbst):

B = 4(a₀ a₂ — ax) (ax a₃ — a%) — (a₍₎ a₃ —    a₂)²

= 4 (a b)² (c d)² (a c) (& d) .

Zwischen den drei Formen von der Ordnung 6 und dem Grade 6:

zl³ = 4 (a b)² (c dy² (e f)² ax bx cx dx ex fx , Bf² = Uab)²(cd)²(ac) (bd)elfl,

Q² = (a b)² (c d)² (b e) (df)e²ßaxcx

besteht die von Cayley herrührende lineare Identität („Syzygie“):

4J³+ Q² + Bf² = 0 .

Die Kovariante Af kann man (bis auf einen konstanten Faktor) auch auffassen als das Resultat der Elimination der yx, y₂ aus den beiden Gleichungen al ay = 0 , a² ax = 0 .

Die lineare Kovariante ax(b c)² (ab) (ac) verschwindet identisch. Zwei kubische Formen f = al, g ~b'l besitzen die bilineare Invariante Efg = (ab)³, und die Funktionaldeterminante dfg = (a b) al bl. Fallen f und g zusammen, so verschwinden Hfg und dfg identisch. Zu drei kubischen Formen f=al, g = bl, h = Ą existiert eine „apolare“ („konjugierte“) kubische Form n, so daß

Efn = 0 , Mgn = 0 , Ehjt = 0 .

Bedeuten (i = 0, 1, 2 , 3) die vier Determinanten der Matrix I a₀ ax a₂ a₃ \, so wird

71 = n₃ x\ -j- 3 ti₂ x\ x₂ -j- 3 nx xx x\ -j- jt.₀ x\

= ax bx cx(a b) (b c) (c a) .

Aufgabe 2. Die trilineare Form

/ «x «y «j — bx by bz •

«111 «12/1*1 + «SU®* 2/l*l

+ «121 «1 2/₂ «1 + «112 «1 2/l «2 + «122 «1 y-2 Z2 + «212 «2 ?/l «2 + «221 ®2 2/2 «1 + «222 *2 V* *2 =*2^*1 XiVkzl {* , le , l = 1, 2) . Kovarianten (gegenüber inkogredienten , $₂, Sf) sind einmal die drei Funktionaldeterminanten #(*),    , #(*),

6)2/'

6)2/"

wo z. B. #(*) =

e*f

dy₂dzt dy₂ dz₂

so bilde man aus dem Schema der Koeffizienten von «111 «112 «121 «122 «211 «212 «221 «222

die Determinanten pik [vgl. (13)],

fl 1 ft •

so ist 00» = P₁₂ y\ + Vzi y\ + (Pu - P23) 2/12/2 •

Es ergibt sich:

2 m==.{a'b') (a"b")axbx

2 m == (a&) {a"b")a'b; ,

2 m=={ab) (a'b')afbf .

Die gemeinsame Diskriminante F dieser drei Formen ist eine Invariante:

2Ä = (ac)(6 d) (a' V) (c' d') (a"b") (c"<T ) . Mau beachte noch die trilineare Kovariante

Q = axa'b:'(bc)(b'c') (a" c")

= XlVl*1 \«111«222 + 2 «211 «121 «112    «111 («211 «122 + «121 «212 4" «112 «22l)/ *

Zwischen den drei Formen #(*)#0)6K²), Q², Bf² besteht die Syzygie:

4 0(*) 0<W #(z) + #² + F P = 0 .

Spezialisiert sich /* zu einer kubischen Form azx (s. Aufgabe 1), so fallen $(*), d®), #(z) zusammen mit A, und F, # gehen in die dortigen Bildungen B, Q über.

Zwei trilineare Formen /“= axa'a'', g = bxb'yb'/, mit den Koeffizienten aiki, biU, besitzen die bilineare Invariante

Bf,=

«211 «122 ^211 ^122

«in «222 ^111 ^222

«121 «212 ^121 ^212

«112 «211 | ^112 ^211 !

= (ab), (ab') (a"b")

sowie die drei Funktionaldeterminanten d(xy\ ß(yz), ß(xz> als Kovarianten, wo z. B.

df öf

})(yz) =

= (a b) a'y b(, af b'z' .

6xx dx₂

dg dg

dxt dx₂

Aufgabe 3. Die binäre biquadratische Form f = ai = bi = . . . = a₀ x\ 4- 4 x\ x₂ + 6 a₂ x\ x\ + 4 % xx x\ + «4 x\ .

Kovarianten: 1. die Hessesche Form

= Hi = K a-2 — aD x\ + . . . = \(a by di bl ;

II =

f\ 1 /12 f21 / 22

2. die Funktionaldeterminante 6 von H und f :

fl fi

Hl H₂

= x\(al a₃ — 3 a₀ ax a₂ + 2 a?) + . . . = alblcx(b c)² (ac) .

Invarianten*):

1. i = a₀ aA — 4 ax a₃ + 3 a\ = -|-(a b)⁴ ;

a₀ CL^ CL 2

2.

% a₂ a₃ =l{fH)* = l(ab)²(bc)*(ac)².

ôf'2 CL ■>

Zwischen den vier Formen von der Ordnung 12 und dem Grade 6:

eifidi, ei ftal bl

0² = • (a b)² (c d)² (e b) (/• d) ei fl a?x Ą bx dx , s³ = i(a by (c dy (e fy el fl a\ Ą bl dl , j /‘³ = f(a b)² (b c)² (c a)2 iHf²~{{ab)²(cdy

besteht die Cayleysche Syzygie (vgl. §16):

0² + 4 H³ - i Hf² + jf³ = 0 .

*) Manche Autoren bezeichnen 2 i und 6 j mit i resp. j.

Die Kovariante Of kann man (bis auf einen konstanten Faktor) auch auffassen als das Resultat der Elimination der yx, y₂ aus den beiden Gleichungen

al ay — 0 , al ax = 0 .

Zwei Formen f =ax, y = b* besitzen die bilineare (ab)* und die Funktionaldeterminante

Invariante H

&fg

(i

— (« V) al K •

Aufgabe 4. Die quadrilineare Form

t Q'x b y Cz du —_ &x by Cz du, —-    0/Helm    y lc Um

(i , Tc, l, m — 1, 2) .

Eine quadratische Invariante ist:

* — ®1U1®2222 "f" **1122 <*2211 "f" <*1212 « 2121 H“ <*1221 <*2112

<*1112 <*2221    <*1121 <*2212    <*1211 <*2122    <*1222 <*2111=z:: i* (<*<* )    ) (ddf) .

Ferner existieren gegenüber kogredienten St — S₂ drei lineare Invarianten mit der Summe Kuli:

Dagegen sind gegenüber inkogredienten St, S₂ kovariant die sechs doppeltquadratischen Formen H(xy~> usw., wo z. B.

2 =

d*/‘

dz, duk

a* by by (c c') (dd') .

(i,k = 1,2)

Für eine doppeltquadratische Urform f—alb^ — a'² &'2 reduziert sich die Invariante i auf -§-(« a')² (b b')², die erste der drei linearen Invarianten verschwindet identisch, während die beiden anderen in (ab)² zusammenfallen. Die Formen H reduzieren sich auf die drei:

2 2T(**) =

d*f

ÖVidyic j (i, i = 1,2)

entsprechend 2 H(yy), und noch

= ala?(bVY-,

2 #(*») ~

d²f

= ax a'y by &' (a a') (b b') .

Für f = ai reduziert sich i auf die Invariante i (Aufgabe 3), die Formen H fallen mit der Hesseschen Form zusammen, während eine lineare Invariante nicht mehr existiert.

Aufgabe 5. Die allgemeine binäre Form ntev Ordnung

f=al = b”=...

.. + an x\ .

Für gerades n existiert die quadratische Invariante

«o

to $

to

rH

rH î (M

S I«

fcsl

die sich für zwei Formen / = anx, g = ])nx, bei geradem wie ungeradem n, erweitert zu der „wten Überschiebung (/', g)n von f über g¹¹ („bilinearen“ Invariante):

fg

I—

IO £

ro

(a b)n .

+ (—1 )n anb₀

Bei ungeradem n und zusammenfallenden f, g verschwindet H identisch. Zwei Formen f = anx, g = besitzen als Kovariante die Jacobische Funktionaldeterminante oder „erste Überschiebung“ (f, g)¹ :

öf df

S=(a Ł)a;-‘H?'¹.

öxx dx₂

dg dg dxx ßx₂

Sind f, g im besondern die ersten Ableitungen einer Form anx = bnx, so geht ß über in die Hessesche Form

(i, Je = 1, 2)

= i(a&)²ar²^"².

n²(n — 1)

d*f |

dxi dxk

Die Funktionaldeterminante 0 der Urform und ihrer Hesseschen ist die Kovariante (ab)² (cb) c”_1a”⁻²&”-3 = ocfin~²⁾(al a₃ — 3 a₀ ax a₂ -j- 2 af) -f- • • • ? die Verallgemeinerung der Form Q bei der f₃ und der Form 6 bei der f\. Allgemein besitzen zwei Formen f = anx, g = bx (m n) als Kovariante die „Tete Überschiebung“

(Je ê m)

(f, gf = (ab)k anx~kb™~k .

Verschwindet für n Urformen wter Ordnung a"x, oĄ ..., annx und eine weitere Form nnx die nte Überschiebung von n mit jeder der n Urformen, so heißt ji die zu den Urformen „apolare“ („konjugierte“) Form und ist, bis auf einen konstanten Faktor, den man gleich Eins setzen kann, völlig bestimmt. Man hat:

K ~alxa2x... anx(a₁a₂) (a₁a₃) . . . (al an) (a₂ a₃) . . .

(a₂ an) . . . (aw_iO .

Aufgabe 6. Ist /' = ax = bx = a₀ x\ + 4 cqx‘f x₂ -f ... eine binäre bi quadratische Form, H = Hx = (a b)² dl b'l = 2 [(a₀ a₂ — a²)xf + • • •] ihre Hessesche Form, ferner ax a% — a₀ x\ y\ + . .. die zweite Polare von /', E‘XH² die zweite Polare von H , (x y) — xx y₂ — x₂ yt, so soll die Richtigkeit der Identität nachgewiesen werden:

ai K - al a] • bl b²y = 2 (x y)²HlHl,

die u. a. beim Additionstheorem der elliptischen Funktionen eine wichtige Rolle spielt. Es empfiehlt sich, die genannte Identität auch durch explizite reale Rechnung zu bestätigen.

Aufgabe 7. Sind al, b'l zwei binäre quadratische Formen, (ab)² ihre bilineare Invariante, so ist (abu)², wo ! a, a.y a₃

(abu)= bj b₂ b₃ , und die Linienkoordinaten¹)

| % ^2 U‘i i

sind, eine invariante Bildung der beiden ternären quadratischen Formen dl, bl. Geometrisch stellt die Gleichung (a b u)² = 0 einen Kegelschnitt dar als Enveloppe der Geraden (u), die die beiden Kegelschnitte a'l = 0, b'l — 0 in zwei harmonischen Punktepaaren [(a b)² = 0] treffen. Ist dagegen a'l = bl = 0 ein und derselbe Kegelschnitt, so liefert die Gleichung (a b u)² = 0 seine Tangenten, d. h. die Geraden (u), die ihn in Punktepaaren mit verschwindender Diskriminante [(a &)² = 0] treffen.

Das nämliche Prinzip ist anzuwenden auf die Invarianten i und j einer f₄, B einer fsi indem man jeden binären Klammerfaktor (ab) durch einen entsprechenden ternären (abu) ersetzt; man wird so zu Kurven geführt, deren Tangenten eine gegebene Kurve 4. Ordnung a\. — 0 in vier äquianharmonischen resp. in vier harmonischen Punkten schneiden, andererseits zur Tangentengleichung einer ebenen Kurve 3. Ordnung a\ == 0.

Es sind das spezielle Fälle eines allgemeinen, von Clebs ch aufgestellten „Übertragungsprinzips“ [vgl. A. Clebsch, Journal für Math. 59 (1860), S. 1, und A. Clebsch-F. Linde-mann, Vorlesungen über Geometrie, I¹, Leipzig 1875, S. 274j.

Zweiter Abschnitt.

Differentialgleichungen für invariante Bildungen binärer Formen.

Kapitel I.

Charakteristische Differentialgleichungen der Invarianz gegenüber Schiebungen und Streckungen.

§ 11. Differentialgleichungen für Schiebungsinvarianten.

Unter einer „binären Form“ fn=f w-ter „Ordnung“*) in zwei „homogenen“ Variabein xl , x₂ versteht man einen Ausdruck von der Gestalt:

(1)

j fnĘ^f=f(x₁,x₂) = a₀xT+n₁a₁xnl-'lx₂ + n₂a₂x,l-²x|+. . . + %    ₂x\x\~'¹ -f n₁ an_₁x₁ x₂~l + anx₂ .

Unter %, n₂, ... seien ein für allemal die auf n bezüg-

liehen Binomialkoeffizienten n₁ =

n₂ =

n(n — 1)

1 - 2

verstanden; es erweist sich oft als zweckmäßig, dieselben von vornherein in f einzuführen, weil dadurch eine Reihe von Formeln, insbesondere solcher, die durch Differentiationsprozesse aus (1) hervorgehen, durchsichtiger wird. Es sei J(cii) = J(a) — J eine — in dem zunächst ganz rational vorausgesetzte — Funktion der Koeffizienten a* der Urform von der besonderen Beschaffenheit, daß sie

*) Das Nullsetzen einer Form f (1) liefert eine Gleichung n-ter

„Ordnung“ in der Unbekannten

— resp. — . Gewöhnlich be-

dient man sich des Terminus: Gleichung w-ten „Grades“, indessen soll sich im Texte durchweg der Ausdruck „Ordnung“ auf „Variable“ oder „Unbekannte“ beziehen, dagegen der Ausdruck „Grad“ oder „Dimension“ auf Koeffizienten.

sich gegenüber einer auf f ausgeübten „Schiebung“ Ax (hx) resp. A₂ (h₂) von oo₁ resp. x₂ :

(2 a)

f xx = fx + ht f₂

j K = ! \®2 =

(2 b)

A₂ (h)

h-2 fi ~r f₂ ’

absolut invariant verhält. Geht also /(a^, x₂) (1) vermöge irgend einer der beiden Substitutionen (2) über in die „neue“ Form cp (^, £>) = cp :

(3)

CPn — Cp == Cp (£x , |₂) EEE «₀|Ï + % «j fl'⁻¹ f₂ + n2

¹

Die Ui heißen auch zu den x¹ „kontragredient“, da sie sich, wenn die Xi einer ternären 8 unterworfen werden, derart linear transformieren, daß die Linearform ux u, x, + u₂ x₂ -f u₃ x₃ in sich übergeht.

+ w₂ <%n _ 2    :2 + nx <xM _ ! Il 15 -¹ + an 15 ,

so soll der mittels der a* gebildete Ausdruck J(<x) mit J(a) für alle Werte der at und von hx resp. h, identisch sein:

(I)

J(cx) = J(a) .

J(a) = J heißt dann eine „Schiebungsinvariante“ von f bez. xx resp. x₂ ; ist jedoch die Eigenschaft (I) zugleich hinsichtlich beider Schiebungen (2) erfüllt, und damit auch, zufolge des Satzes VII des § 6 hinsichtlich jeder unimodu-laren Substitution TJ :

A — cxö — ßy—1 ,

(4) 171«,=.«^ + ^

so heiße J eine „unimodulare Invariante“ von / .

Das Entsprechende soll gelten, wenn an Stelle einer einzigen Urform /„ ein „System“ von Urformen/⁻hq, . . . der resp. Ordnungen n, p, q, .. . zugrunde liegt; J[(a), (&), (c), ...] hängt dann von den Koeffizienten-reihen ai, bk, ct, ... der f,g,h,... ab, und die Schiebung (2a) resp. (2 b) erstreckt sich gleichmäßig auf sämtliche Urformen. Die Identität (I) dehnt sich dann, wenn die Koeffizientenreihen der transformierten Urformen mit öc* , ßk,yi, ••• bezeichnet werden, aus zu der folgenden:

(i-0

Der Deutlichkeit halber beschränken wir uns zunächst auf eine einzelne Urform f und die Schiebung (2a); die Ergebnisse lassen sich fast unmittelbar auf den Fall mehrerer Urformen und auf die Schiebung (2b) übertrage».

Statt Jix schreibe man vorab bequemer Ji ; an Stelle der homogenen Gestalt von (1), (2a), (3) wird, wo es zweckmäßig erscheint, auch die nichthomogene verwendet, die jeweils für xx — x, x₂ — 1 ;    — £, £> ⁼ 1 entsteht.

Faßt man die linke Seite J(/x) von (I) als (ganzrationale) Funktion von h auf, so läßt sie sich nach dem Maclau-rinschen Gesetze entwickeln:

ÄJ(a)

(Ä=0)

h² d²J(oc)

• 2 äh² (Ä = 0)

Soll gemäß (I) die rechte Seite von (5) für alle Werte von h mit J(a) übereinstimmen, so müssen der Eeihe nach die Koeffizienten von Ji, h², .. . verschwinden, insonderheit also der erste:

(6)

dh (h = 0)

,r == J'((X)(h=o) — 0

wo der Akzent die Differentiation nach Ji angibt.

Die Funktion J(oc) hängt zunächst von den [in (3)] ab, diese hängen wiederum von Ti ab; somit erhält man für ein beliebiges h :

dj(<x)

cd

<*<) +

(7)

°J{*)

d ax

d J (a)

è<xn

é)J(a)

doit

«/ •

alle & auf die be-

Für lim h = 0 reduzieren sich in

c¹ J(a)

____ dj(a)    ÔJ

dcKi (h = 0) da{    o'a.£

wird,

doii(h)

züglichen a, so daß

andererseits gehen die totalen Ableitungen tx- (Ä) =

CI fl

über in ihre „Nullwerte“ a/(0), und aus (7) entsteht:

dj

dj

öj

d^a®(0) + äii"'Ä1,(0)+,*,+äi ’S ćj

««'(O)

y c/t/

Sa,

i = 0    ‘

Um die a- (0) zu erhalten, hat man erst die «¹(h) zu bilden, sodann nach h zu differenzieren und hinterher h = 0 zu setzen.

-i

Übt man die Schiebung A^h) (2 a) auf f(x₁,x₂) (1) aus, so entsteht die transformierte Form <p{^, £₂) (3) dadurch, daß in f der Eeihe nach die Potenzen œ”, œ” ersetzt werden durch (fx + Ti Ç₂)n, (£t + h £₂)n_1, ... ; entwickelt man die letzteren nach dem binomischen Satze und ordnet sodann cp nach fallenden Potenzen von — oder entwickelt man kürzer, was auf dasselbe hinauskommt, f(£t +    , £₂) = f(£ + h) nach dem Maclaurinschen

Gesetze —, so ergibt sich, wenn (x) die Ute Ableitung von f{x±, 1) = f(x) nach x bedeutet, für irgend ein <Xi{h) die Darstellung:

(9)

n(n — 1) ...(< + 1)

(< = o,i,...»), (/‘(°W)

»t(h) =

oder exphzite:

(6 ) (Xi(h) = üq h¹ -f- hl 1 -(- io &₂lil    -f- i^-{- <x^

(< = 0, 1,...») .

Hieraus entnimmt man ohne weiteres die Null werte a/(0) der 0Ci(h) :

(10)

«i(0) = 1 • a₀ ,

a'-(0) = iüi

<-i(0) = {n — 1 )a„

«o(0) = 0

«»(0) = n ■ an

-1 >

und desgleichen die Null werte der höheren Ableitungen der &i(Ä) :

«'•'(0) = i(i — l)di

(10')

a'/'(0) = i(i-l)(i-2)ai «<r)(0) = i(i — 1) . .. (i — r + 1) at-_r (r ^ i

-2 ?

i = 0, 1 ... n) .

Damit nimmt die Gleichung (6) die Gestalt der linearen, partiellen Differentialgleichung bezüglich dera¹an¹):

n    f) T

Dabei ist es oft zweckmäßiger, die Bezeichnung der Koeffizienten in der Reihenfolge umzukehren und die Variabein nichthomogen zu schreiben: f a₀ + a, x + a₂ x² +... + an xn ; dann lautet (IIa):

r7 T_v    ej

F‘J= .g*“ äsn

Öfters bietet sich auch die Urform in der Gestalt dar, wie sie

durch das Maclaurinsche Gesetz entsteht: f d₀ + x 4" ^², a"'

4-... 4- xn . Dann kommt: n\

u T-^r ej

V₁ J = > di

ej

ej

ej

(lia)

^₀ + 1'aol^‘⁺

+ i (ii-i

ej

ej

ej

ć a.i

can

= 0.

¹ Cdi

Falls ein derartiger Differentiationsprozeß, wie hier V auf eine noch näher zu bestimmende Funktion der a angewendet wird, empfiehlt es sich, die letztere gar nicht zu bezeichnen, also zu schreiben:

(II a)

e e a',Jâ₁JrLa'Jâi

4" n an

i üi

i=n

a t

¹ eot

¹ dcii

Setzt man z. B. f ohne Binomialkoeffizienten an: fEE a₀æ” + öj x\_1 x₂ 4 «2 xi ~2 x2 + • • • + an-i xi æ2 _1 4 a2 xv > so hat man a>' zu ersetzen, so daß (Ha), da

in (II a) überall durch n — i + 1

W/

, übergeht in

ni-1

1!

dai-1

Diese Struktur von (II a) ist u. a. dann am Platze, wenn der Begriff der Invarianten auf transzendente Urformen f erweitert werden soll (s. § 18).

Bei der zweiten, oben angegebenen Schreibart: f = a₀xf + ax x?⁻¹ xt + ... + anx2 geht die Gleichung (IIb) über in:

n-1

e ai

Setzt man dann eine bestimmte Funktion, z. B. J ein, so läßt man auch die Klammer weg, schreibt also Vx J, usw.

Ganz analog verfährt die Bechnung bei der Schiebung A₂ (h₂) (2 b); man erkennt sofort, daß sich hierbei nur überali je zwei „symmetrisch gelegene“ Koeffizienten «i und an_i vertauschen. Versteht man also unter V₂ den Differentiationsprozeß :

: Cb

¹ dan_ ₂

V₂~l- an

c

+ 2 an _ !

(110

+ ian-i +1

dan_i

da₀

-i+l

dan

-i

so lautet die mit (IIa) parallel laufende Gleichung:

V₂ J = 0 ,

(II b)

und es gilt:

Satz I. „Besitzt eine mit Binomialkoeffizienten geschriebene binäre Urform w-ter Ordnung f(xr, x₂) (1) die Koeffizienten a₀, ax, ..., an, und sind die beiden linearen partiellen, auf dieaźbeziiglichenDiffe-rentiationsprozesse Vx und V₂ durch (IIä), (Ilß) erklärt, so genügt eine Schiebungsinvariante von f bez. xt resp. x₂ der Bedingung Vx = 0, resp. V₂ = 0 , während beide Bedingungen zugleich durch eine unimodulare Invariante von f erfüllt werden.“

Diese „Schiebungsdifferentialgleichungen“ (Ha), (IIb) bilden eine erste Verallgemeinerung der in § 10 für Invarianten einer quadratischen Form f unter (XVI) auf-geste lten.

Die Übertragung des Satzes I auf ein System binärer Urformen fn, gp, hq, . .. der Ordnungen n, p , q, ... mit den Koeffizientenreihen (aß, (bk), (cß, . .. vollzieht sich ohne Schwierigkeit.

der vermöge einer Schiebung

Sei J[(a), (&), (c), ...] ein in den aif bk, ct, ... ganz-rationaler Ausdruck, der sich gemäß (U) nicht ändern soll, wenn man die , bk, ct, .. . ersetzt durch die bezüglichen Koeffizienten , ßk, yt,

Aßh) (2a) aus fn, gp, bq, . .. hervorgehenden Formen cpn

y>p, Xqi • • • Dann bleibt die Maclaurinsche Entwicklung (5), sowie infolgedessen die Gleichung (6) erhalten, sobald man überall dieZeichen J (a), J (a) ersetzt durch J [(a), (5), (c),...], resp. J [(<%), (ß), (y), ...]. Dagegen nimmt (7) jetzt die erweiterte Gestalt an:

dJ[(x), (ß), (y), . . .]

dh

0')

d(Xi

(x'i

vf^[(«), (ß)> (y), ■ ••]*, , v^j[(a), (ß), (y)j ■ •

²    55 ßt+6i W,

woraus sich die korrespondierende Erweiterung (8') von (8) von selbst ergibt. Sodann stelle man die Formeln (9), (10) der Keihe nach für die <xi} ßk, yt, ... auf und setze die Werte der «*(0) , ßjß0), ..., sowie der «1(0), ß[(0), ... in (6) ein. Damit erweitern sich die Differentialprozesse Vx (II*), V₂ (llß) zu:

(lia') Vx

{iiß')

Vi =2^ian

Sa„

-i

r bk

-p+‘ 6b,.t

I =Jj> ~i ⁺S(P

und folglich die Schiebungsdifferentialgleichungen (II a), (IIb) zu:

(Ha')

(Hb')

V,J [(«),(&),...]=    ,

F₂J[(»), ((-),...]=    •

Die obigen Termini „Schiebungsinvariante bez. x, resp. x₂u und „unimodulare Invariante“ sind nur mit den Zusätzen „simultane“ und „von f, g, h, . ..“ zu versehen, von denen der erstere auch unterbleibt.

Der Satz I erhält so die erweiterte Fassung:

Satz II. „Sind die, auf die Koeffizientenreihen (a), (b), (c), ... eines Systems binärer Urformen fn, gp,.hq, ... auszuübenden linearen partiellen Differentiationsprozesse F,, V₂ durch (II«'),

(II/?') erklärt, so genügt jede simultane S chiebungs-invariante von /*,    bez. »j resp. a?₂ der Glei

chung Pj = 0 , resp. P₂ = 0, und jede simultane uni-modulare Invariante von /', g, h, ... beiden Gleichungen gleichzeitig.“

Es erhebt sich jetzt die Frage nach den höheren partiellen Differentialgleichungen, die durch Nullsetzen der Koeffizienten von h², hs, ... in (5) entstehen. Sei zunächst wieder eine einzelne Urform f vorgelegt. Bei den in § 10 behandelten Beispielen waren mit der linearen Gleichung (6) stets von selbst jene höheren Gleichungen miterfüllt. Es soll nachgewiesen werden, daß in der Tat allgemein die Gleichungen:

***(«) = 0 dh³ (h 0)    ’

_ dJ(<x)    ₌

dh (h=0)

sind; es wird sich nämlich zeigen, daß die linken Seiten von (11) lediglich durch Ausübung des Prozesses V\ resp. P2 auf die linke Seite von (6) hervorgehen.

Zunächst liefert einmalige Wiederholung der Differentiation von (7) nach h :

(11)

dh² (h--= 0)

eine Folge der einzigen Gleichung (6) Px

(12)

dh² ~

22 e2

i = 0 fc = 0

dtXid ock

" Q

ocl + s, 3

a»

woraus für lim h = 0 folgt :

(13)

d²

dh² (Ä = 0)~

» -

*S(0)«i(0)+ Y-g—«f(°) •

(8)

dh (h = 0)

Andererseits werde auch der Prozeß Px

einmal wiederholt und diese Wiederholung mit P₁(P₁) = Pf bezeichnet. Dann erhält man:

Hier führe man zuvörderst das erste Aggregat rechterhand auf Grund von (8) aus, so kommt:

n .    > \    n n

2' ■&^>-22

Mithin stimmt die rechte Seite von (15) mit dem ersten Aggregate auf der rechten Seite von (13) überein, und zwar ganz unabhängig davon, was für Funktionen von h die sind. Im zweiten Aggregate der rechten Seite von (14) werde, bei festgehaltenem Index i, der ô

Faktor von — untersucht. Die Ausführung gemäß (8) ergibt:    C(ii

o)

dak

(15)

(16)

ddidak

• <*i(0) <xk(0) .

W(0)> EEE y^(0)

k=0

Hier greifen die spezifischen Abhängigkeiten (9), (10) ein. Danach war <x'i(0) = idi do4( 0) dak

.    = i entsteht. Andererseits besaß nach (10) &i_i(0)

u di-1

den Wert (i — 1) di

also verschwinden sämt-

liehe

<3(%i(0)

mit Ausnahme des Falles k — i — 1 , wo

so daß (16) übergeht in:

Fi{«5(0)> = i(i — 1 )di oder auch, zufolge der ersten Gleichung (10'), in: ^{«{(0)) = *7(0).

ô

Aber <%"(0) war gerade der Faktor von

(17)

(18)

im zweiten Aggregate der rechten Seite von (13). Vermöge (15) und (18) stimmen daher die rechten, also auch die linken Seiten von (13), (14) völlig überein, und es ergibt sich die Identität der beiden Prozesse:

ddi

(19)

EE PJPJ EE Pf ,

dh² (Ä=0)

unabhängig von der Natur der einzusetzenden Funktion (falls sie nur die erforderlichen Ableitungs-prozesse zuläßt).

Setzt man an Stelle dieser Funktion im besondern eine Schiebungsinvariante J von f bez. xx ein, so daß VXJ = 0 ist, so muß auch die rechte Seite von (19) identisch verschwinden, d. h. die erste Gleichung (11) stellt sich als Folge von (6) dar.

Offenbar bleibt der geführte Beweis Wort für Wort auch für den Prozeß V₂ bestehen.

Wir gehen zum nächsten Falle über. Durch abermalige Differentiation von (12) nach Ji ergibt sich:

d³

(20)

dh³

n    ß    n n    r)2

^¹    --L 2    'V'*Ql'J (xL-

So ô(Xi    d<Xid(xk

<x'i (Xk <x'l

ê (Xi d /Xk c (Xi ’

also für h = 0 :

(21)

n    :)    JL n    A3

«• <»-<» -à“r(0) ^ + 2^⁽⁰⁾ “‘⁽⁰⁾ W

d³

es

dcLiddkèai *

Andererseits liefert die nochmalige Ausübung des Prozesses Vx auf V\ (14):

Fl =

(22)

|w»ś⁺²ll^S(0»'.(£)

⁺É«mviè)-

Um die rechten Seiten von (21) und (22) ineinander überzuführen, gehe man lieber von (22) aus. Schreibt man

so gilt zunächst,

kürzer 2, > 2’ • • • statt 2’ 2’ • •

i k    i = 0 k = 0

wie schon bei (15) benützt wurde:

wiederum unabhängig von der Art der Funktionen a^h). Andererseits war vermöge (16), (17), (18):

(25)    P^atfO)} = Vx{i «*-1) =-*(* — !)«*_, = *7(0) , und hieraus folgt, wiederum vermöge (9):

(26)    P?{«{(0)> = V\(ia^) - «(«' -1) (i- 2) «£_₃ = «{"(0) .

Vermöge (26) geht das erste Aggregat rechterhand von (22) in das erste von (21) über, entsprechend das zweite in das zweite auf Grund von (23) und (25), endlich das dritte in das dritte vermöge (24).

Somit resultiert die Identität:

V\[VX]~V\,

(27)

und hieraus folgt:

(24)

(93

d*

dh 3 (ä=0)

unabhängig von der Natur der einzusetzenden Funktion.

Im besonderen ist daher wiederum für eine Schiebungs-invariante J (a) von f bez. xx die zweite Gleichung (11) eine Folge von (IIa). Das Analoge gilt für den Prozeß K.

Um jetzt die entsprechende Untersuchung allgemein zu führen, bediene man sich der Abkürzungen:

(28)

=s D

i⁷i («HO)}

und für die Wiederholungen dieser Operationen der Zeichen Df, Df, ..., Äf, A\, ...

Es bedeute q den r-ten Summationsindex in der Reihe i, k, l, . .., dann ergibt sich einmal, zufolge der Definition (8) von Vx, ohne weiteres vermöge vollständiger Induktion :

d'r+1

(III) Df

(r = 1,2, 3 , ...),

andererseits ebenso, auf Grund von (9):

-r-1

(IV) zlf = «f⁺¹⁾(0) = i(i - 1) (i - 2) ... {i - r) Oi (r = 1,2,3,...).

13

Meyer, Allgemeine Formen- und Inyariantentheorie I.

(V)

Man bemerke noch, daß in (III) jedes D* für r > n und in (IV) jedes A\ für r > i identisch verschwindet.

Zieht man ferner die Regel*) für mehrmalige Differentiation eines Produktes zweier Funktionen einer Yariabeln heran, und bedeuten rx, r₂, ... die zu r gehörigen Binomialkoeffizienten, so führt die Weiterführung von (12), (21) zu der Darstellung:

dr+1

dhr+l ;(Ä=0)

r2 2 2 c di fak dai i k l

⁺r>222-2

ć)    fi²

2    •ar+1,(0)+r> 22    •<,(0) *i(0)

i    i k

.<-¹⁾( 0)«i(0)«î(0)+ ...

• ocU 0)«i(0)a|(0),..«'(0)

er

ddidajcdai. . . cae

ßr+l

d di fak . . . dae+1

Auf Grund der nämlichen Differentiationsregel erscheint andererseits als Verallgemeinerung der Formeln (14), (22):

+22-2

i k    Q -j- 1

«4(0) «*(0)... <%'₊₁(0).

(VI)

Fpf =

2i-A‘+r'2D^

-1

+ r, Yd? j?-’

... + rl ypr¹ A + zw; am ■

i    i

Dann geht in der Tat infolge der Relationen (III), (IV) je ein Aggregat von (VI) über in das korrespondierende von (V). Demnach besteht, wenn man wieder r statt r +1 schreibt, die grundlegende Identität der beiden Differential-prozesse* *) :

(VII)

dr

eeeFï-^JsüFï. (r-1,2,3,...)

dhr (Ä=0)

Versteht man jetzt unter h den Parameter der Schiebung A₂ (2 b), so gilt dieselbe Identität (VII) für den

*) S. z. B. diese Sammlung Band VI „Integralrechnung“ von W. Fr. Meyer, § BO, S. 327.

**) Ein kürzerer Beweis für die Identität (VII) wird in § 22. unter Benutzung der Wurzeln der Urform f, resp. der Urformen f, g,h, ... gegeben werden.

Prozeß V₂, da sich hierbei nur je zwei symmetrisch gelegene Koeffizienten at und an_i vertauschen. Mithin verschwinden im besonderen in (5), resp. in der, der Schiebung A₂ entsprechenden Entwicklung, sobald der Koeffizient von Ji verschwindet, auch alle folgenden Koeffizienten von h²,h³, ...

Bedeutet aber allgemeiner J(a) einen ganz beliebig vorgelegten Ausdruck in den a, und benützt man kürzer V als gemeinsame Bezeichnung für die beiden Prozesse Vx, V so geht aus (5) und (VII) hervor, daß infolge einer auf die Urform f ausgeübten Schiebung At{h), resp. A.> (h) die grundlegende Doppelentwicklung besteht:

h²

h³

(VII') J(*) = J(a)+hV{J(a)) + — V*{J(a))+ — P»{J(a)}+.

35 • • • 5

so sind in

Bisher lag nur eine einzelne Urform fn mit Koeffizienten a₀, ax, ..., an zugrunde. Tritt jetzt an deren Stelle wiederum ein System von Urformen fn, gp, h mit den Koeffizientenreihen (a), (b), (c), den Entwicklungen (III) bis (VII) nur jeweils die einzelnen Aggregatsummen auf die sämtlichen Koeffizientenreihen der (a), (b), (c)«, .. . auszudehnen ; man fügt dann genauer diesen Summen der Reihe nach den Index hinzu.

Damit ist der Fundamentalsatz bewiesen, der zugleich die Umkehrung der Sätze I, II enthält:

. . vor, von den Ordnungen

und versteht man unter

Satz III. „Liegen eine oder mehrere binäre Urformen fn, gP, h n, p , g, .. . in den Variabein œ₁, x₂, und mit den, mit Binomialkoeffizienten behafteten Koeffizienten %a£, pkbk, gtcu ..

Vx, V₂ die beiden linearen partiellen Differentiationsprozesse:

rk =

* Ô ? e

"n-i    k = 0    V Dp-k

P₂ = an

-<+i

so ist die Bedingung Vx J = 0 resp. P₂ J = 0 notwendig und hinreichend dafür, daß der Ausdruck J[(a), (6), (c), . ..] eine Schiebungsinvariante von

13*

/’, g, h, ... bez. xx resp. x₂ ist, sowie das gleichzeitige Bestehen beider Bedingungen dafür, daß J eine unimodulare Invariante von f, g, h, ... ist. Versteht man aber allgemeiner unter J eine beliebige Funktion der (d), (&), (c), ... , und bedeuten (<%), (ß), (y), ... die Koeffizientenreihen der vermöge der Schiebung Ax(h), resp. A₂(h) transformierten Urformen, so gilt für V = Vx resp. V₂ die Doppelentwicklung:

h²    ä³

3!

2!

(VIF) JT[(«), (ß), (y) ,...]== J+ h VJ + - V*J+ - V*J + ...“

x\ufgabe 1. Für die in Anmerkung *) auf S. 186 f. angegebene erste und dritte Schreibweise der Urform f ist der Prozeß V₂ umzugestalten.

Aufgabe 2. Die im Beweise des Hauptsatzes auf S. 193f. verwendete allgemeine Induktion ist im einzelnen auszuführen.

sowie für die bi-

Aufgabe 3. Es ist zu zeigen, daß die Bedingungen Vx = 0, V₂ = 0 für die (vgl. Aufg. zu § 6, S. 76) Invarianten R von f₃, i und j von

Kovariante Q

lineare Invariante von fn, gn und die quadratische Invariante von f₂n erfüllt sind. Dagegen genügt der erste Koeffizient a₀ a₂ — d{ der Kovariante A von f₃ nur der Bedingung Vx = 0 und der letzte Koeffizient ax a₃ — a\ nur der Bedingung V₂ — 0. Entsprechendes gilt von der I f i

= ! a R i von / 3 > sowie von den Ko-

I    |

von f\ (s. die Aufgaben 1

Varianten H und 0

_ f x i / Za

~ sXlHX3

und 3 zum Anhänge von Abschnitt I.

Aufgabe 4. Auf Grund der in Aufg. 7 zu § 6 gemachten Angaben sind die Schiebungsdifferentialgleichungen auf Invarianten J einer ternären Urform f(xx, x₂, x₃) resp. auf ein System solcher auszudehnen.

Ordnet inan f z. B. nach x₃ :

t — fo X3 + /l x3 ¹ + f 2 X3~² 4" * * • + f n j

wo fi eine binäre Form iter Ordnung in xx, x₂ ist, so sagen die den Schiebungen Ax(hx) — A₁₂(hx), A₂(h₂) — A2x(h₂) bez. xx resp. x₂ entsprechenden Differentialgleichungen

F₁₂ J — 0, J2lJ = 0 aus, daß J eine Schiebungsin variante des binären Systems der f₀, f\, .. ., fn bez. xx resp. x2 ist, und entsprechend für die beiden weiteren Paare von Gleichungen P₂₃ - 0, P₃₂ = 0; V₃₁ = 0, P₁₃ = 0 .

Aus dem 1. c. betonten Zusammenhänge zwischen den sechs Schiebungen geht hervor, daß von jenen sechs Gleichungen gewisse drei eine Folge der drei übrigen sind (z. B. von VX2 = 0, P₂₃ = 0, P₃₁ = 0). Vgl. § 12.

Analoges gilt für quaternäre, . .., n-Hre Urformen (in 4, . .., n homogenen Variabein) resp. Systeme solcher.

§ 12. Die Gewichtsregeln und Gewichtsdiüferentialgleichungen für Streckungsinvarianten binärer Formen. Die Differentialgleichungen für vollständige Invarianten.

i » •

einzige Urform fn [§ 11, (1)] vor, so ist J ein Aggregat von der Struktur:

Sei wieder J [(a), (b), (c), ... ] = J irgend eine in den Koeffizientenreihen (a), (b), (c), . . . der Urformen fn, gv , . . ganzrationale Funktion. Liegt zuvörderst nur eine

(i)

J (a) = y^c «y⁰ al¹ . . . afn“ = y^ct

wo rechts eine endliche Summe von Gliedern T steht, die t'i nichtnegative ganze Zahlen sind, die nicht sämtlich verschwinden, und die c numerische Faktoren.

Auf die Urform fn(xx, x₂) werde eine „Streckung“ M^niy) resp. M₂(m₂) von xx resp. x₂ ausgeübt:

(2 a)

X₂ — £₂ ?

x₂ — m₂ V, .

| x₁ = m₁ £x ,

(2b)

M₂ (m₂) xx = Ç

Dadurch transformiert sich fn(xx, jeweils in eine (wiederum mit Binomialkoeffizienten geschriebene) Form 9?n(^, f₂) mit Koeffizienten <xif wo:

(2<x) Mx (m₁ ) ! a₀ = a₀ mx , <xx=axmx~¹, . .    = ax mx ~ *, . . ., ocn=an

(2/0 M₂ {m₂) | <x₀=a₀ ,

Der Ausdruck J(a) heißt eine „Streckungsinvariante“ von f bez. xx resp. x₂, wenn sich J(oc) von J(a) nur um eine natürliche Potenz der Substitutionsdeterminante m1 resp. m₂ von Mx resp. M₂ unterscheidet, so daß:

( a)    Mx(mx) \ J(<x) ~ m™'J(a)-,

Der Exponent cox resp. co₂ heißt das „Gewicht“ von J bez. xx resp. x₂. Einfachste Invarianten der Art (I) sind bereits die selbst; denn gemäß (2) ist = m”''«; resp. <Xi = üi, so daß in diesem Falle wx = n — i, a>₂ — i ist. Ähnlich gilt für ein Produkt ak irgend zweier Koeffizienten von f (wo i auch gleich k sein darf):

M\{mx) | <xitxlc =    at ak ; M₂ (m₂) | <xk = m|⁺*

wo jetzt a)i = 2 n — (i + &), w₂ = i + k. Entsprechendes gilt für ein beliebiges Potenzprodukt der <x.

Allgemein erhält man für die Transformation irgend eines Gliedes T von J (1) auf Grund von (2), (3), unter T jeweils das transformierte Glied verstanden:

Mx(mx) | T = c cx*° ocl¹ .. . (X^n

— ^n£₀+(n-l)s₁+ ... +1-    + O    ,c a^o ... a*n ?

M₂{m₂) | T e = •••

Bedient man sich der Abkürzungen:

(3(x) ns₀-\-(n — 1)^+ ... +1* fn-i+O • en =    —i)ei=G

i

(3ß) n £w+(m — 1) «M-i+ • • • H~ 1 • fr 4~Q • ?n = ’y.izj

i

so lauten die Relationen (3):

(3 a) Mx(mx) | T = mf¹ T ;

Soll die Bedingung (Ia) resp. (Ib) für sämtliche Werte der a*, sowie von mx resp. m₂ erfüllt sein, so muß für jedes Glied T von J(oc) die Potenz mf¹ resp. m₂a mit der in (I) auftretenden m"¹ resp. m"² übereinstimmen und umgekehrt:

Mx{mx) | Gx = £(n - i) £i = cox ,

i

M₂(m₂) | G₂ =    '

ft, xk

(3 a)

(3b)

(4 a)

(4 b)

. c aff a\l .. .    .

(3 b) M₂ (m₂) | T = m%- T .

= Ü)₂ .

Mit Rücksicht auf die obige Feststellung über die Streckungsinvarianz eines einzelnen Koeffizienten (2) oder auch eines Potenzproduktes desselben lege man, nach dem Vorgänge von § 10, dem Koeffizienten % hinsichtlich einer Streckung Mx resp. M<> oder kürzer ausgedrückt,

„hinsichtlich (oder auch bezüglich) xx resp. x₂ “ das „Gewicht“ n — i resp. i bei, und allgemeiner einem einzelnen Gliede T (1) von J das „Gewicht“ Gx (3a) resp. G₂ (3b) bez. xx resp. x₂.

Ist dieses Einzelgewicht Gx resp. G₂ ein und dasselbe für sämtliche Glieder T von J, so nennt man J „isobar“ bez. xx resp. x₂ vom „Gewicht“ Gx resp. G₂ bez. xx resp. x₂.

Dieser Fall tritt nun auf Grund von (4) eben für eine Streckungsinvariante J von f bez. xx resp. x₂ ein und das Gewicht Gx resp. G₂ deckt sich dann mit dem oben als „Gewicht“ der Streckungsinvariante bezeichneten Exponenten wx resp. (jo₂ in (I). Es gilt also zunächst:

Satz I. „Eine Streckungsinvariante J von f bez. xx resp. x₂ ist isobar, und umgekehrt; ihr Gewicht Gx resp. G₂ fällt mit dem Exponenten wx resp. a>₂ in der Definition (I) zusammen.“

Durch Addition der beiden Formeln (4) entsteht:

(5)

n(eO 4~ el + • • • 4" ^n) — <^1 + C°2 •

Dies sagt aus, daß für eine Streckungsinvariante J(a) bezüglich beider Variabein die Summe der Exponenten in jedem Gliede T von J (1) konstant ist, d. h. J ist homogen von der Dimension <ï/=e₀' + .s₁+ ••• + fn) und (5) nimmt damit die Gestalt an:

(5')

fi df — ojx -j- oj₂ ,

so daß cox + co₂ durch n teilbar sein muß. Das liefert den Satz II. „Eine Streckungsinvariante J von f bezüglich beider Variabein ist homogen von der

a>i + (o₂ m

hierbei muß cox + co₂ eine

Dimension df=.

durch n teilbare ganze Zahl sein.“

Umgekehrt folgt sofort, daß, wenn irgend eine der beiden Bedingungen (4) nebst (5) erfüllt ist, dies auch von der zweiten Bedingung (4) gilt:

Satz II'. „Eine Streckungsinvariante J von f bezüglich irgend einer der beiden Variabein, die zugleich in den Koeffizienten von f homogen ist, ist auch Streckungsinvariante bezüglich der zweiten Variabein.“

Das Gewicht von J in bezug auf die letztere bestimmt sich aus (5') durch ro₂ == n df — co₁ resp. a)x = n df — co

Im folgenden beschränken wir uns im wesentlichen auf Ausdrücke J, die den beiden Definitionen (Ia), (Ib) gleichzeitig und zwar unter der Voraussetzung cox = co₂ = o> genügen: J heiße dann schlechtweg eine „Streckungs-invariante“ von /'.

Für diese wird der Inhalt der Formel (5) noch deutlicher, wenn man zwei Streckungen Mx{m), M₂(m) mit demselben Parameter m zu der „Erweiterungssubstitution“ E(m): xx — m^x, x₂ = m £₂ zusammensetzt (vgl.

6, S. 62). Dann wird a* = mn at, und jedes Glied in J{/x) unterscheidet sich von dem entsprechenden in J(a) um den Faktor w“(£o+«i+•••+«»). Die Substitutionsdeterminante von E(m) hat den Wert m².

(10

Nach Voraussetzung soll J der Forderung genügen: J(oc) = (m²)⁰JJ(a) =■ m2m J(a) ;

mithin gilt die Eelation:

(5 ) n(e₀ -j— ex -)- . . . -j- sw) = 2 co oder fi df = 2 co ,

¹

Bei Änderung der Schreibweise der Koeffizienten resp. der Variabein in der Urform f{xl, x₂) (1) nimmt die Gleichung (II a) entsprechend andere Gestalten an.

d. i. aber die Gewichtsregel (5) für o>x = co₂ = co.

. . mit den Koeffizienten-

Die Sätze I und II übertragen sich sofort auf ein System von Urformen fn, gp, h reihen (a), (b), (c), ...

Sei J wieder ein in diesen Größenreihen ganzrationaler Ausdruck:

(10

/ J = J [(»), (&), (c), ...} eee Yc aj⁰ e? • . . a‘« bf b?... by ...

1    .    =y ct^yT.

Soll J eine Streckungsinvariante bez. xx resp. x₂ sein mit den Gewichten wx, co₂ :

(Ia')

Ml(ml)\J[(K), (ß), (;■), ...1 (ß),

e m“¹ J ; e m™² J ,

‘ so dehnen sich die Gewichtsformeln (4), (5) aus zu den folgenden :

(IbO

(4b)

(4b0

2><>

/g

r= 1

Man nennt J „hinsichtlich sämtlicher Koeffizientenreihen (a), (b), (c), ..isobar bez. xx resp. x₂ vom „Gesamtgewichte“ o)₁ resp. co₂.

Für eine Streckungsinvariante J bez. xx und x₂ gilt die Kelation (5').

Der Satz II für eine einzelne Urform f findet aber 'zunächst nicht etwa dahin seine Erweiterung, daß die Gesamtdimension    + ... = dfĄ- dg + ... kon

stant wäre.

Man ziehe dagegen den allgemeinen Hilfssatz S. 142 des § 10 heran. Danach war eine ganzrationale Funktion J der (a), (b), (c), ... darstellbar als ein Aggregat J = Jx + J2 -f J₃ + ..., wo jedes Jk hinsichtlich jeder einzelnen Reihe der (a), (b), (c), ... homogen ist.

Auf solche Ausdrücke Jk darf man sich daher beschränken, wie es im folgenden in der Regel geschehen soll.

Für derartige Ausdrücke Jk, wenn sie zugleich Streckungsinvarianten bez. xx und x₂ sind, sagt die Relation (5") aus, daß die Summe der Produkte aus den Ordnungen n, p , q, ... der Urformen in die bezügliche Dimension df, d(J, dq, ... von Jk gleich der Summe der beiden Gewichte wird.

Im folgenden kommt wiederum hauptsächlich nur der Fall cox = co₂ in Betracht.

Nunmehr werden die Ergebnisse (4'), (50 mit denen des § 11 kombiniert. Die Variabein xx, x₂ in den Urformen fn, gp, hq, ... werden irgend einer eigentlichen Substitution S mit der Determinante Ä unterworfen:

(A = <xö-ßy=j=0).

(6)

*i = a & 4- ß St

x-2 = y £i + à ś₂

Dadurch mögen die Formen fn, gp, Jiq, ... übergehen in die neuen : <PmV’p, %qi • • • mit den Koeffizientenreihen (a), (ß), (y), ... Ein in den Koeffizientenreihen (a), (b), (c), ... einzeln homogen vorausgesetzter Ausdruck

J = J [(a), (&), (c), ...]

heißt eine vollständige simultane „Invariante“ der

oder auch schlechthin eine „Invariante“ wenn stets:

A 9, h, ..

der f, g, h ,

formen fn, gp, h

wo co ein fester ganzzahliger Exponent ist, das „Gewicht“ von J. Dann sind sowohl die Gewichtsregeln (4'), (5') (für cox = co.-, = co), wie die Schiebungsdifferentialgleichungen (IIa'), (IIb') des § 11 erfüllt. Damit gilt:

Satz III. „Eine Invariante J (II) der Binär-. . genügt einmal den linearen

F₂ = 0

partiellen Differentialgleichungen Vx = 0 — (Ha'), (HbO <ies §    —i andererseits den Gewichts

regeln (4') und damit auch der Dimensionsregel (5').“ Indessen sind infolge der Sätze des § 6 über die Erzeugung einer beliebigen Substitution 8 (6) aus Schiebungen und Streckungen als Fundamentalsubstitutionen die Bedingungen des Satzes III nicht unabhängig voneinander. Eine beliebige 8 (6) war erzeugbar durch die Schiebungen Ax(hx), A₂(h₂) [§ 11 (2)] unter Hinzunahme entweder einer Streckung Mx(mx) von xx, oder aber einer Streckung M₂(m₂) von x₂, oder auch einer Erweiterung E{m) von xx und x₂. Andererseits war das Paar Ax(hx), A₂(h₂) für sich noch ersetzbar durch das Paar Ax(hx), R resp. A₂(h₂), R, wo R die reziproke Substitution (Vertauschung beider Variabein) bedeutete. Kombiniert man diese Sätze mit dem weiteren

Satze V des § 6 über die Multiplikation der Substitutionsdeterminanten bei Zusammensetzung von Substitutionen, so folgt:

Satz IV. „Damit ein in den Koeffizientenreihen (a), (b), (c), ... von Urformen fn, gp, h ganzrationaler und je homogener Ausdruck

eine Invariante (II) der Urformen ist, ist notwendig und hinreichend, daß J einmal den Schiebungsgleichungen Vx = 0 , V₂ = 0 genügt, und überdies isobar ist hinsichtlich irgend einer der beidën Variabein xx, x₂, oder aber die Dimensionsregel (5') befriedigt. Von den beiden Bedingungen 1^ = 0, f⁷2 = 0 läßt sich auch irgend eine ersetzen durch die Forderung, daß J bei gleichzeitiger Vertauschung jeweils symmetrisch gelegener Koeffizienten ^ und an^i, bk und bp_k, ... ungeändert bleibt oder aber das Vorzeichen wechselt, je nachdem das Gewicht der Invariante gerade oder ungerade ist.“

Es erhebt sich nunmehr die Frage, ob sich nicht die Gewichtsregeln (4') für Streckungsinvarianten, ebenso wie in § 11 das invariante Verhalten von Schiebungsinvarianten, durch das Bestehen gewisser linearer partieller Differentialgleichungen charakterisieren lassen. Es genüge die Untersuchung einer Streckung Mx(m) von xx : xx=m£x, x₂ = $₂ . Wird zunächst wieder eine einzelne Urform fn mit Koeffizienten di zugrunde gelegt, so treten für die neuen Koeffizienten (\i die Relationen (2oc) in Kraft:

Mx(m) I (Xi — m

(2 a)

n-i

(* = 0 , 1, n) .

Gemäß (Ia) soll sein:

(Ia)

J (a) =    J (a)

wo o jetzt an Stelle von cox steht. Für m = 1 reduziert sich die Streckung Mx{m) auf die identische Substitution; man setze daher bei beliebigem m:

m — 1 h ,

so daß jetzt der identischen Streckung der Wert h = 0 entspricht. Entwickelt man in (la) (1 + h)⁽⁰ nach dem binomischen Satze, und bezeichnet J(a) mit J(m)=J(l-\-h), so wird:

(")

| J(a) = J(m) = J( 1 + h) ee (1 + Ä)" J

— J -f■ coxhJ + co₂ h² J² + (o₃ h³ J³ -f- . .

wo cox, o)₂, co₃, ... wiederum die sukzessiven Binomialkoeffizienten von co bedeuten. Links werde, wie in § 11, J(oc) nach dem Maclaurinschen Gesetze entwickelt:

(9) J(1+Ä) = J + Ä

dJ{(x)

dh (h = 0)

+ h²

d²J(oc)

dh² (h = 0)

Die rechten Seiten von (8) und (9) sollen gemäß (Ia) identisch in h übereinstimmen, insbesondere also die Koeffizienten von h selbst:

= O) J .

Behufs Auswertung der linken Seite von (10) führe man

j dJ(oc) dJ(a)

wieder m ein, so wird wegen, und demnach:

dh

dm

dm

dJ(<x)

dh (h — 0)    dm (m = 1) ’

Werden die Differentiationen nach m mit Akzenten bezeichnet, so ergibt sich:

d J (a) d J (<%) f ÔJ (<x)    ,

— --+

äix₀

(11)

dm

dJ(cX)

oj

« <xn doin

(12)

Ô (Xj i=0    ¹

Oi'i .

Hier ist der Wert m — 1 zu substituieren. Dabei redu-dj (<%)

ziert sich jedes

d<Xi

auf

Cb

ÔJ

liefern die Formeln (2 a):

ô di <5 di

. Andererseits

(13)

<Xi— (n — i) di m

n-i-l

, (t = 0,1, . . .,n)

also für m = 1 :

(14)

<*<(«=i) = (n — i) di.

(t = 0,l, . . . ,rc)

Dann nimmt in der Tat die Bedingung (10) die Gestalt einer linearen partiellen Differentialgleichung bez. der

etil •

Da der Beweisgang für eine Streckung Jf₂ ganz analog ist, so genügt, wenn wieder die alten Bezeichnungen mx, m₂, (ot, o)₂ eingeführt werden, eine Streckungsinvariante J von f bez. xx resp. x₂ mit dem Gewichte co, resp. co₂ der Streckungs-bedingung*):

ej

vj

(lila) <

na°J^ + (n-¹)a'e-ai

I

dn

o)₁ J

resp.

6J

ej

ej

(III b)

Ms = * a’‘Ta„ + {n~ Èan⁺ ' ' ' + Sa, — o)₂J = 0 .

— * O).) '/

<9J

Wie es sein muß, gehen die beiden Gleichungen (lila), (III b) durch Vertauschung symmetrisch gelegener Koeffizienten di und an_i auseinander hervor.

Umgekehrt soll wieder nachgewiesen werden, daß die Bedingung (lila) resp. (IIIb) auch hinreichend ist, damit J zu einer Streckungsinvariante bez. xl resp. x₂ wird. Anstatt jedoch, wie in § 11, zu dem Behufe die Koeffizienten von h², hs, ... in (9) zu untersuchen, gehe man direkt vor.

Sei T wieder irgend ein Glied in J (1):

T — ct — caffal¹ . .. aeö .. . «*»» .

Man übe auf T etwa den Prozeß M₂ (III b) aus. Bildet man der Reihe nach

(1)

ÔT

, multipliziert

dT dT

dax ’ c a₂ ’ ‘ ‘ ’ öan sodann resp. mit 1 • % , 2 a₂, ..., n an und addiert, so erscheint der Ausdruck M₂ (T), abgesehen von dem Gliede — <o₂ J, als ein Aggregat von Gliedern, deren jedes den Faktor ct enthält, und außerdem sukzessive die Faktoren 1 • f x, 2 % , ..., n sn, so daß entsteht :

(15)

(IG)

Ms(2’) = T.Zrer-oj₃T.

r = 1

Somit gilt auch für das ganze Aggregat J : ^₂(J)=ZTrer- (OaJ •

r— 1

Nun soll hier die rechte Seite gemäß der Voraussetzung (III b) identisch verschwinden: dies ist nur so möglich, daß:

n

(IT)

y^reT = oo

r= 1

d. i. aber gerade die zweite der beiden Gewichtsregeln (4). Ebenso ergibt sich für eine Streckungsinvariante J von f bez. xt die erste Relation (4).

Die Übertragung auf ein System von Urformen f gp, hq, ... bietet keinerlei Schwierigkeit, man hat nur die in Mj, M₂ enthaltenen Differentiationsprozesse der Reihe nach auf die Koeffizientenreihen (a), (&), (c), ... der f, g, h, ... zu erstrecken und jeweils die Summe zu bilden. Damit nehmen die Gleichungen (III) die erweiterte Gestalt an:

ft-1

ô T    ô T

IlII«') Mj =^(» - 0<¹+ ■ ■ ■

(Iiib') Ma = yia(^-

°ai

o)₁J = 0

dj

ej

dbk

und es gilt¹):

Satz Y. „Sind die linearen partiellen Differentiationsprozesse Mj , M₂ für ein System von Urformen fn, gP, ... durch (lila') resp. (Iiib') erklärt, so ist die Bedingung (lila') resp. (Iiib') notwendig und hinreichend dafür, daß J eine Streckungsinvariante der /“, g,h, ... bez. xx resp. x.2 mit dem Gewichte cox resp. co₂ ist, und die Bedingung (lila') resp. (Mb') erweist sich als gleichwertig mit der Gewichtsregel (4a') resp. 4b'). Für die Existenz einer Streckungsinvariante der g, h, ... bezüglich beider Variabein, mit dem Gewicht (o₁ = co₂ = co , ist das gleichzeitige Bestehen von (lila') und (Iiib') — mit (o₁ = œ₂ = co — oder auch von (4a') und (4b'), notwendig und hinreichend.“

Desgleichen ist die durch Addition von (lila') und (Iiib') hervorgehende Gleichung:

(III) (M) -f- Mä) J — n^aj-jr—1~ V ^ A

i=0 °ai    k=o

dbk

-f- • • • — (<üj -(- (x>₂) J = 0

gleichwertig mit dem Bestehen der durch Addition der beiden Gewichtsrelationen (4') entstehenden Gleichung (5/) für eine Streckungsinvariante J bez. x₁ und x₂.

Sei J nach Voraussetzung in jeder Koeffizientenreihe (a), (6),’(c), ... einzeln²) homogen, von der resp. Dimension df, dg, dh, . .., so nahm die Gleichung (5') die Gestalt an³):

(5')

ndf+pdg + qdh-j-... = co₁ -j- co₂ .

Andererseits ist aber nach dem Eulerschen Satze über

homogene Funktionen

.. . ; setzt man dies in (III) ein, so kommen die beiden Formeln (III) und (5') direkt zur Deckung.

Für eine Streckungsinvariante bez. beider Variabein, mit dem Gewicht o>, ist in (III) und (5') (ox = a>₂ = cd zu setzen.

Mit Hilfe der beiden Streckungsdifferentialgleichungen M₁₌₌0, M₂ = 0 (lila'), (Illb') ist man in der Lage, den in Satz IV betonten Zusammenhang zwischen den beiden Schiebungsbedingungen V₁ — 0, P₂ = 0 und den beiden Streckungsbedingungen = 0, M₂ = 0 für eine Invariante der Urformen f,g,h,... in eine durchsichtige analytische Form zu kleiden.

Zu dem Behuf empfiehlt es sich, die beiden Prozesse Fj, V₂, zunächst wieder für den Fall einer einzelnen Urform fn, zu ersetzen durch zwei allgemeine lineare partielle Differentiationsprozesse :

dj

ej

~A,J’

= dgJ

(18)

wo die i%i, ßk beliebige Funktionen der n-f 1 unabhängigen Yariabein x₀, xt, . . ., xn seien. Nach dem Vorgänge Poissons⁴) bilde man aus A uud B den „Klammerausdruck“ {AB):

(19)

{AB) = AB — BA ,

wo z. B. AB bedeutet, daß nach dem Prozesse B der Pro- . zeß A auszuüben ist.

Sei i ein fest herausgegriffener Index, Tc ein beliebiger,

Gliede

von i verschiedener, so entstehen aus dem in B bei der Bildung von AB vermöge der beiden Teil-

prozesse a⁴ , xk

die vier Glieder:

(20 a) !%i ßi

oikßt

dxi 3 xk

cßi 3

Tx,

ößj J_

3xk cxi '

und entsprechend aus dem Gliede ßk

(20b) xkßk

ßk

3 Xi 3xk ’

(Xi

dxk

3jh _3_

cxi dxk

die folgenden:

dßic 3 C<k dxk 3xk

Andererseits liefert das Glied

— in A , bei Bil-

a

düng von BA, vermöge der beiden Teilprozesse ßi ^

3    ća

Xi

ßk

3xk

die folgenden:

o 3²    3 cxi 3    3 (Xi 3

ailik3xi3xk’ bjĘJ^i’ ßk'3xhTwi'

3

in A die folgenden:

(21b) ⁴‘Ää4’

(21a) Xi ßi ^ ^ ,

und analog das Glied xk

3²

Stellt man mit Hilfe der Formeln (20a), (20b), (21a), (21b), indem man i der Reihe nach die Werte 0, 1, legt, den Klammerausdruck (AB) (20) explizite her, so zerstören sich die mit partiellen Ableitungen 2. Ordnung nach den x behafteten Glieder, und (A B) nimmt die einfache Gestalt an:

n bei-

ßk

n n ~

₌ y yJL

jĆ-J Sx.-

i=0 k=0    ¹

wo nunmehr k, wie i, sä durchläuft.

Damit ist der wichtige Hilfsatz bewiesen:

Satz YI. ,,Sind A, B (18) zwei beliebige, auf dieselben ft-fl Yariabeln xt bezogene lineare partielle Differentiationsprozesse, so ist auch der Klammerausdruck (AB) (19) ein solcher, und aus A und B explizite gemäß (IV) zusammengesetzt.“

Der Satz überträgt sich seiner Herleitung nach ohne weiteres auf den allgemeinen Fall, wo sich A und B in eine gleichgroße Anzahl analoger Prozesse zerlegen:

(IV)

(AB)

er

daj dßj , dxk dxk

e Werte 0, 1, ..

(19')

i yvij—

+4    <3

n 's    v

+..

+ ••

dxk]

indem die (x), (a?d)) ... voneinander unabhängige Systeme von (ft +1), (p +1), ... Variabein bedeuten. Die rechte Seite von (IV) ist dann nur der Reihe nach über die verschiedenen Systeme von Größenreihen {(<*), (ß), (#)}, {(ad)), (ßi¹)), (a?0))}, ... zu erstrecken und sodann zu summieren.

Der Satz VI werde nunmehr im besonderen auf die beiden Prozesse Vt, P₂ angewendet, so daß, für eine einzelne Urform f, wird:

A = Fi

(22)

(23)

±(n-h)aM ßk = (n — k) ak+1.

Meyer, Allgemeine Formen- und Invariantentheorie I.

B == V

oti = i

14

210

von

Differentialgleichungen für invariante Bildungen. Demnach ergibt sich, gemäß (IV), für den Faktor in (i⁷, F.) :

fiai

(n — fc) ak

-1 ?

kak+l

(24)

le=0

(w — i)

c’a»

-i

Cüi

dak

dak

Hier verschwinden aber sämtliche

nahme des Falles A: = i -f- 1

da* ’

- = 1.

dat êak

dflj+i __ ₁

mit Ausnahme des Falles

wo

+i

mit Aus-

und des-

gleichen sämtliche

fc = i —- 1, • wo

Es bleiben daher in (24) nur die beiden Fälle Tc — i + 1 und fc = i — 1 zu berücksichtigen, wo sich die beiden bezüglichen zweireihigen Determinanten auf -f- (i +1) (n — i) resp. — i(n — i + 1) reduzieren.

Da aber (i + 1) (n — i) — i(n — i -f- 1) = n — 2i, so gewinnt man die Identität:

(V)    (F, F,) = F, F₂ - F₂ F, = V(* - 2 i) «,A- ,

i = 0

und entsprechend für ein System von Urformen fn,gP,hq,...:

dai

-l

CH (^i ^2) — ^1 ^2 —= y,(n—2 Ï) ai^- +^(p — 2 fc)+ • • •

Bildet man andererseits, für co₁ = co₂ = cu, die Differenz der linken Seiten der beiden Streckungsgleichungen (lila'), (Illb'), so fällt das Glied —coJ heraus, und es ergibt sich*):

+ y,(p—2 &)

dat

(VI) M,-    =

Die Vergleichung von (V') und (VI) liefert die Fundamentalidentität :

(VII)

(^2)

*) Vgl. W. E. Story, American Math. Soc. Trans. Bd. 8 (1907), S. 33.

Satz VII. „Die nach Satz (IV) bestehende Abhängigkeit zwischen den beiden Schiebungsprozessen Vx, F₂ und den beiden Streckungsprozessen Mj, M₂ für eine Invariante der Urformen fn, gp, hq, ... findet ihren analytischen Ausdruck in der Identität (VII).“

P₂ J nebst irgend so ver-

Verschwinden demnach insbesondere für einen Ausdruck J = J[(a), (b), (c), .. .] F₁J einer der beiden Bildungen M₁J resp. M₂ J schwindet damit auch die andere M₂ J resp. Mj J d. h. eine unimodulare Invariante J der f, g, h, . die überdies isobar ist bez. einer der beiden Variabein vom Gewichte cd, ist auch isobar bez. der anderen Variabein mit dem gleichen Gewichte w , und J ist eine (vollständige) Invariante der f, g, h, ...

Entsprechend folgt gemäß (VII) aus Vx J = 0, V₂ J = 0 und (M, + M₂) J — 0 auch einzeln — 0 , M₂ J = 0 ; um aber diesem Ergebnis eine geeignete Auslegung zu geben, bedarf es noch einer weiteren Vervollständigung des Satzes IV.

Sei J = J[(a), (b), (c), . . .] vorderhand eine be liebige ganzrationale Funktion der (a), (b), (c), ... Die entwickelte Gestalt von J laute, analog zu (1):

(1') J =^ca^...ae/... aen» &[{«...    ... b^p <$»... of*... c^q... =2LGt •

Man übe den Prozeß Vx auf irgend ein Potenz -produkt t von der Dimension d    + ...

aus, so entsteht:

n

Vi t    i £i af°... ü^_-¹⁺¹ a**⁻¹... a** &g°... b¹^ ... b^p ... cf*... c^q...

(25)

+2 fc Vk &K° • • •    ¹ • • •    «o°... a?...    cj«... cf¹ .

+ • • •

•

Man erkepnt, daß jedes Glied von wiederum die Dimension <2 besitzt, und das Entsprechende gilt für P₂ 2. Dagegen ist, was später (§ 14) zur Verwendung kommt,

wenn

p-1

n -1

o>i    — i) £i +£{p

i = 0

14*

Differentialgleichungen für invariante Bildungen, das Gewicht von t bez. x₁ und

212

co₂

das Gewicht von t bez. x₂ ist, das Gewicht o>[ resp. o>2 jedes Gliedes von Vlt gleich cox -f-1 resp. co₂ — 1 ; und umgekehrt ist für jedes Glied von V₂t = cu₁ — 1 , CÜ2 r— C0₂ -f- 1 .

Nach dem mehrfach benützten Hilfssatze, S. 142 des § 10, läßt sich jede ganzrationale Funktion J = J[(a), (b), (c), ...] als ein Aggregat Jx + J₂ + . .. + Jk + . . . einer endlichen Anzahl analoger Funktionen Jk darstellen, deren jede hinsichtlich der einzelnen Größenreihen (a), (&), (c), ... homogen iśt, von den resp. Dimensionen df, df, df, . . . — so daß keine zwei Systeme dieser Einzeldimensionen völlig übereinstimmen —, während die Gesamtdimension mit dk bezeichnet sei.

(26)

Damit erhalten die Bildungen P\J, V₂J die Gestalt: P\ J — P\ Ji + Pi J* + • • • ~P Pi Jk + • • • ?

\ ₂J — V₂Jx-\- V₂J₂    ... + f⁷2'P*_P ••

>₂Jk die-sowie dieselbe

wo gemäß (25) die ganzen Funktionen VxJk selben Einzeldimensionen df, df, df, ..

Gesamtdimension dk besitzen, wie Jk selbst.

Nunmehr greife die Annahme ein, daß J eine uni-modulare Invariante der /’, g, h, ... sei, so daß die Identitäten V₁J = 0, V₂ J = 0 erfüllt sind. Da aber die einzelnen Glieder VxJk resp. F₂ Jk jeder der beiden rechten Seiten von (26) lauter verschiedene Systeme von Einzel -dimensionen besitzen, so ist die Annahme VlJ = 0J V₂J = 0 nur so möglich, daß einzeln :

(27)

0, rtJ, = 0,    Vt

F.J, = 0, F.Ja = 0

und es gilt somit:

Satz VIII. „Man denke sich eine ganzrationale Funktion J der Koeffizienten (a), (&), (c), ... der Urformen f, g, h, ... zerlegt in eine endliche Summe ganzer Funktionen Jk, die hinsichtlich der einzelnen Größenreihen (a), (6), (c), ... homogen

sind, mit jeweils verschiedenen Systemen von Einzeldimensionen; ist dann J eine unimodulare Invariante der f, g, h,    so kommt die näm

liche Eigenschaft jedem einzelnen Jk zu.“

«cs ccj

t,

Nun ist aber nach Satz IV, in Übereinstimmung mit der Identität (VII), jedes Jk als eine unimodulare und in den (a), (b), (c), ... einzeln homogene Invariante der , Ji, ... zugleich eine vollständige Invariante der h, ... mit dem Gewichte a>k, wo :

2 (ok = n df + p df -f q df -f ...

Damit ist der wichtige Satz bewiesen :

Satz IX. „Jede Teilfunktion Jk des Satzes VIII ist selbst eine vollständige Invariante der Urformen g , Ji, ... von der Dimension dk und vom Gewichte cok. Mithin ist jede unimodulare ganzrationale Invariante der /', g, h, ... als ein endliches Aggregat von vollständigen Invarianten der g, h, ... darstellbar.“

Die beiden Differentialgleichungen (II a'), (II b') des §11 für eine Schiebungsinvariante bez. x₁ resp. x₂, und die beiden obigen Differentialgleichungen (Ilia"), (IIIb') für eine Streckungsinvariante bez. xx resp. x₂ — die also für eine vollständige Invariante (mit ojy = co₂) gleichzeitig erfüllt sind, und umgekehrt eine solche charakterisieren, lassen noch eine andere bemerkenswerte Auffassung zu.

Geht man auf § 11 zurück, so ist ersichtlich, daß das Bestehen von F₁ = 0, V ₂ = 0 für sich auch dadurch zustande kommt, daß man den jeweiligen Schiebungsparameter hy resp. li₂ unendlich klein annimmt, so daß die höheren Potenzen von \ resp. h₂ gegen die erste Potenz vernachlässigt wrerden können, und das Entsprechende findet bei den obigen Gleichungen 1^ = 0, M₂ = 0 (lila'), (Illb') statt für einen unendlich kleinen Streckungsparameter hy resp. h₂.

Man nennt derartige Substitutionen mit unendlich kleinen Parametern, die sich von der identischen Substitution nur unendlich wenig unterscheiden, nach Lie⁵! ,,infinitesimale“. Unser Doppelsatz, daß die Bedingungen Vx — 0 , V₂ = 0 , Mt = 0, M₂ = 0 jeweils das Verschwinden der weiteren Koeffizienten in den bezüglichen Maclaurinschen Entwicklungen nach sich ziehen, sagt demnach, in Verbindung mit dem Satze VII des § 6, daß jede 8 durch die Fundamentalsubstitutionen Ax, A Mx, M₂ erzeugbar ist, aus, daß man sich bei dieser Erzeugung auf infinitesimale Ay, A₂, Mx, l/₂ beschränken darf, so daß endliche Substitutionen Ax, A₂, Mx, M und damit 8 durch unendlich oftmalige Iteration der jeweils infinitesimalen entstanden gedacht werden können:

Satz X. „Eine beliebige Substitution 8 ist durch infinitesimale Fundamentalsubstitutionen At, A₂, Mlf M₂ erzeugbar.“

Lie schlägt gerade den umgekehrten Weg ein, indem er den Satz X als besonderen Fall eines allgemeinen Satzes über kontinuierliche Gruppen von Transformationen mit einer endlichen Anzahl von Parametern direkt nach weist, und daraus das Bestehen der Differentialgleichungen F₁ = 0 , V₂ = 0 ,    = 0, Mo = 0 als notwendig und hinreichend

für eine vollständige Invariante ableitet.

Aufgabe 1. Das Erfülltsein der Gewichtsregeln und Gewichtsdifferentialgleichungen ist an den in der Aufgabe 3 des § 11 erwähnten Beispielen nachzuweisen.

Aufgabe 2. Es sind, die linearen partiellen Differentialgleichungen aufzustellen, die — der Voraussetzung auf S. 201 entsprechend — aussagen, daß eine Bildung Jk hinsichtlich der Koeffizientenreihen (a), (6), (c), ... der Urformen einzeln homogen ist.

Aufgabe 3. Es ist zu zeigen, daß die Differentialgleichungen (lila'), (HIV) auf S. 206 ihre Struktur nicht ändern, wenn man die Koeffizienten der Urformen /', g, h, ... ohne Binomialkoeffizienten ansetzt. Wie ändern sich aber jene Gleichungen bei Benutzung der weiteren, auf S. 187 angegebenen Schreibweisen der Urformen?

§ 13. Die Differentialgleichungen für Schiebungskovarianten binärer Formen.

mit den

Die Urformen seien wieder fn, gp, h Koeffizientenreihen (a), (&), (c), ... und den Variabein xy,x₂. Durch eine Schiebung A^hy) resp. A₂(h₂) [§ 11 (S. 184)] mögen die fn, gpy hq, ... übergehen in cpn, yjp ,#«,••

mit den Koeffizientenreihen (a), (ß) , (}/), ... und den Variabein £,, £₂.

xx , x,]

(a), (&), (c), . . . ;

Eine Schiebungskovariante K = K[(a), (b) ,(»),-■ bez. xx resp. x₂, wo K vorerst in xx, x₂ ganzrational und überdies in den xx, x₂ homogen von einer Dimension dx = l angenommen werde, ist definiert durch die Forderung, daß K gegenüber Al resp. A., ungeändert bleibt:

¹

Die beiden Schiebungsdifferentialgleichungen (lia'), (II b') des § 11, nebst den beiden Streckungsdifferentialgleichungen (IllaO, (IllbO sind zuerst von A. Cayley, Journ. für Math., Bd. 47 (1854), S. 109, Collected math. Papers II, S. 164, aufgestellt worden. Die allgemeine Theorie der Differentialgleichungen für invariante Bildungen im Falle von n Yariabeln hat S. Aronhold. Journ. für Math., Bd. 62 (1863), S. 281 entwickelt.

²

Tritt die genannte Voraussetzung für J nicht ein, läßt sich aber J, wie es für eine ganzrationale Funktion der (a), (b), (c), ... gemäß Satz (IV') des § 10 stets der Fall ist, in ein Aggregat J = Jx + J₂ + ... zerlegen, wo nunmehr jedes Glied J² der rechten Seite wieder in den (a), (b), (c), ... einzeln homogen ist, so hat man nur den soeben angegebenen Prozeß für jedes «7² auszuführen, und hinterher wieder die Summe zu bilden, um die Gleichwertigkeit von (5') und (III) einzusehen.

³

Sind im besonderen alle Urformen von gleicher Ordnung n, so reduziert sich (5') auf n£df — co₁ + <w₂, wo 2Jd/ die Gesamtdimension in den Koeffizienten bedeutet.

⁴

Näheres über den Klammerausdruck s. z.B. Lie-Sclief fers, Kontinuierliche Transformationsgruppen, Leipzig 1898, S. 37 ff. Das Verfahren des Textes würde sich mit Hilfe der Lieschen Symbolik kürzer darstellen lassen.

⁵

Siehe das obige Zitat auf S. 208, Lie-Scheffers, S. 22.

(la)    AMI

(lb)    AM I

*[(«), (0, (y), • • •; ft, fs] = *[(«), (&), («), • • •; *t,    = *.

Sind beide Bedingungen zugleich erfüllt, so bleibt K nach dem Satze (VII) des § 6 bei jeder unimodularen Substitution U absolut invariant und heißt ,, uni modulare“ Kovariante der /', g, h, ...

Da von den Variabein in K lediglich verlangt wird, daß sie sich ebenso substituieren wie die xx, x₂ in die £t, £₂, so kann man sie auch anders bezeichnen, etwa mit x[, #2 und die neuen Variabein mit £(, £₂ • Die x[, a?₂ heißen dann kogredient zu den xx, x₂, und ebenso die £1, £₂ kogredient zu den £x, £₂.

K (x[, xÇ) aufgefaßt werden

Kach Satz V des § 10 darf eine Schiebungskovariante K[(a), (&), (c), ... ; atf, x!,\ als entsprechende Schiebungsinvariante des Systems von Urformen, das aus den /', g, h, ... unter Hinzunahme der Linearform l :

(1)

l — xx x₂ — x₂ x[

Denn bei Ausübung einer Ax resp. A₂

gebildet wird.

gehen die Koeffizienten x[, x₂ von l über in neue Koeffizienten £1, £2 der transformierten Linearform X, und der Übergang von den x[, x₂ zu den £(, £₂ ist jeweils genau derselbe, wie der von den xx, x₂ zu den £x, £₂.

Dies überträgt sich ohne weiteres auf den Fall, wo K(xx, x₂ ; y[, y₂ ; ...) mehrere kogrediente Variabeinreihen a?2 ;    , y2 ; . • . enthält; an die Stelle der einen Linear

form Z (1) treten dann mehrere, jeweils mit den Koeffizienten x[, x₂ 5 Vi, yk ) • • • > die nunmehr zusammen mit den f,g,h,... das System von Urformen für die Schiebungs-invariante K ausmachen.

Damit liefern die Sätze II, III des § 11 die jeweils notwendige und hinreichende lineare partielle Differentialgleichung für eine Schiebungskovariante K bez. xx resp. x.₂ . Man schreibe nämlich hinterher wiederum xx, x₂ ; yx, y₂ ;... für x[, x.[ ; y[, y'₂ ; . . ., so gilt:

Satz I. „Eine Schiebungskovariante

[(a) i (ty i (c) j • • • 5 x\ ? ^2 ? 2/i ? V2 5 • • • | = K (a?j, a?₂ > Vu V2i • • •)

der Urformen gp, hq, ... bezüglich der Eeihen der ersten resp. zweiten Variabein, die in den ko-gredienten Variabeinreihen a?1} æ₂ ; yx, y₂", ••• jeweils homogen angenommen werde, genügt der Bedingung:

Vf

ć)

(lia)

ddi

dxl

-o,

resp.

Vf = 2ian

(Hb)

<9    ,

-, —

⁽Un-i k

-i+l

P'k + ¹ db„

+ ..

wo das Zeichen £ bedeutet, daß über alle Varia-

X

Für eine unimodulare

beinpaare xx, x₂ ; ^, y₂ ; ... zu summieren ist. Umgekehrt charakterisiert (Ha) resp. (Hb) eine Schiebungskovariante bezüglich der ersten resp. der zweiten Variabeinreihe.

Kovariante ist das gleichzeitige Bestehen von (Ha) und (Ilb) notwendig und hinreichend.“

Aus den Gleichungen (IIa), (Ilb) lassen sich wichtige Folgerungen*) über den gegenseitigen Zusammenhang der Koeffizienten einer Kovariante ziehen.

Dabei beschränken wir uns aber auf Kovarianten K(xx, x₂) mit nur einem Variabeinpaare xx, x₂ ; die Di-

mension in den x sei Â . Entwickelt nach fallenden Potenzen von x₁ habe K die Gestalt:

K = C} x\ + C} _ j x\¹¹ x₂ + • • • + Ci x[ «4+ ...

x

+ Cx X₁XÎ~¹ -f ; <7₀ x\ = ^ GiXi .

(2)

In dem Differentiationsprozesse Ff’ resp. Fif (II a),

nur auf

(II b), bezieht sich der erste Teil, Vx resp. F die Koeffizientenreihen (a), (&), (c), . . ., der zweite Teil,

$

— , nur auf die Variabein xx, x₂.

resp. xx

*² a«,

ergibt sich daher:

cx₂

Einzeln

Fj Iv =    Fx Ci ;

i=0

f₂k = 2X^4“* ^2 Ci ;

i = 0

cl    *

cK

Xl *x₂

Nun soll gemäß (II a) resp. (II b) für eine Schiebungskovariante K bez. xx die rechte Seite von (3 a) mit der von (3 a') identisch übereinstimmen, und entsprechend für eine Schiebungskovariante bez. x₂ die rechte Seite von (3b) mit der von (3 b'). Man kann diese beiden Identitäten, wenn man noch die beiden Symbole (7;.₊₁ = 0, <7_i = 0 einführt, auch in der Gestalt schreiben:

(3a)

(3b)

(3 a')

(3b')

(4 a)

(4b)

x₂

;.-i

EEE

-i-1

(A - i) Ci.

FfJff =    ~ (< + 1) ^₊i> = 0

(0*+! - 0) ,

V?K = £x\ xîi~i{V₂Ci - (A - i + 1) (?<_,> - 0 (0-1-0). •

*=o

Demnach müssen in der Entwicklung (4 a) resp. (4 b) die Klammergrößen einzeln verschwinden, d. i.:

(t=0,1,... A), (C4+ł=0) (i = 0,l,...A), (<?_! = 0)

(Ilia) F, C, = (# + 1) Ci

-1 ?

(III b) FaCi = (l-i + l)C,

oder auch explizite:

(lila)

(III b)

F,O₀ = 1.0 F.O^ + IJC«

F, C,. = 1 ■ C'i-, , F,0< = (l-» + l)0i

F₁C, = 2C

.^Cj-rSEJlCj, F,C» = 0;

F₂ C) _ j = 2 Ci _ 2 }

F,C,=1C₀₁ F.Co = 0.

-i? •

Umgekehrt ist das System von Bedingungen (lila) resp. (IIIb) gleichwertig mit der Identität (4a) resp. (4b) und charakterisiert daher eine Schiebungskovariante K bez. xx resp. x₂ von der Dimension 1 in den x.

Man nennt Gx resp. C₀ das „Leitglied“ von K bez. xx resp. x₂. Dann sagen die beiden letzten Formeln in (Ilia), (IIIb), mit Hilfe der Sätze II, III des § 11, aus, daß das Leitglied Cx resp. C₀ einer Schiebungskovariante K bez. xx resp. x₂ selbst eine Schiebungsinvariante bez. xx resp. x₂ ist. Andererseits lehren die Formeln (lila), (IHb), wie aus dem Leitgliede C₀ bez. x₂ resp. aus dem Leit-gliede Gx bez. xx einer Schiebungskovariante K bez. xx resp. x₂ der Reihe nach durch Anwendung des Prozesses Vx resp. V2 > bis auf Zahlenfaktoren, die weiteren Koeffizienten hervorgehen.

Für eine unimodulare Kovariante gelten beide Gesetze zugleich.

Die Relationen (IHa), (IHb) lassen sich noch vereinfachen.

Geht man etwa von (IHa) aus und setzt den Wert von Gx aus der ersten Relation in die zweite ein, so kommt Pf G — 2 ! G₂, das nächstemal V\ G₀ — 3 ! C₃.. Allgemein wird also sein:

V[ G₀ = i \ Ct.

In der Tat sei dies Gesetz bis zu einem Index i er-

füllt

n*' c₀ = u +1)! Ci’i.

so geht die Relation VxCi = (i -j- 1) Ci+X über in

Die letzte Relation Y x Gx = 0 wird nunmehr zu

vp'c₀ = 0.

Entsprechend setzt sich die Kette (III b) um in die

andere :

Vi₂C, = il Cx-i,

die mit Y*⁺¹CX = 0 abschließt. An die Stelle des Systems (Ilia) resp. (IIIb) tritt somit:

r;c„ = 2! o,

F}C₀ = A!Cz, nct = 2! Ci

(IV a)

YXG₀= Il G

Ff‘Co = 0:

n..

-1 ?

-2

(IV b)

Ci = 1 ! <h.

viOi-nci.i, rjcj-uo,, r»+*Ci-o.

Umgekehrt gelangt man von hier aus sofort wieder zu (lila) resp. (IIIb) zurück. Denn greift man etwa aus (IVa) zwei benachbarte Gleichungen heraus:

Pio₀ = üC(, r;⁺¹c₀ = (* + i)!C,₊₁,

wo die zweite auch geschrieben werden kann:

so folgt durch Einsetzung von Y\C₀ = i\Ci, und nach Hebung von il in der Tat Yx Gt = (i + 1) Gi+X. Damit ist bewiesen:

Satz II. „Für eine Schiebungskovariante K bez. xx ist das Leitglied Gx bez. xx eine Schiebungsinvariante bez. xx. Geht man andererseits, von dem Leitgliede G₀ bez. x₂ aus und durchläuft die Koeffizienten von K in der umgekehrten Folge Gq , Gx, . .., Cx, so geht durch Ausübung des Prozesses Vx auf irgend ein Gt. bis auf den Faktor i + 1, das nächstfolgende Ci+1 hervor. Hiermit ist gleichwertig, daß die i te Wiederholung Y\ des Prozesses Vx aus G₀ , bis auf den Faktor il, die Größe Gi erzeugt. Der Prozeß erreicht dadurch sein Ende, daß die (A-f-l)te Wiederholung von Yx, und um so mehr jede weitere, auf G₀ angewandt, das Resultat Kuli liefert.

Die entsprechenden Gesetze gelten für eine Schiebungskovariante K bez. a?₂; an die Stelle von

V₁ tritt P₂, und die Reihenfolge der Koeffizienten ist die umgekehrte.

Umgekehrt charakterisiert jedes der beiden Gesetze eine Schiebungskovariante K(xl, x₂) bez. x₁ resp. x₂ von der Dimension X in den x. Eine unimodulare Kovariante ist hierbei als eine Schiebungskovariante bez. x₁ und x₂ anzusehen.“

Aus diesem Grunde nennt man auch das Leitglied die Quelle (source, leading term) der Kovariante.

Ob indessen für eine unimodulare Kovariante K nicht bereits ein Teil der angegebenen Bedingungen hinreicht, etwa das System (lila) [oder (IVa)] in Verbindung mit V₂ G₀ = 0, steht noch dahin und wird erst in § 14 entschieden werden.

Die Relationen (IVa) resp. (IVb) substituiere man nunmehr in die Entwicklung (2) einer Schiebungskovariante K bez. xt resp. x₂, dann nimmt K jeweils die Gestalt an:

(Va

-J

K(xl, a?₂) =s

(7₀    +

yxc o

1!

aĄ~¹x₁ -f

V\G

ric₀

il

Q-x\-*x\+...

ricQ

*®î ?

XI

K{x1} x₂)

C'A x\ ~T

P₂Ca

(Vb)

1!

x\~¹x₂ +

PIOa

2!

/!

Die Analogie dieser Entwicklungen mit dem Mac-laurinsclien Gesetze liegt auf der Hand. Um dieselbe noch deutlicher hervortreten zu lassen, schreibe man etwa im Falle (Va), nichthomogen, xx = x, x₂=l. Ist dann K^(x) die i te Ableitung von K(x) — K(x, 1), so lautet die Maclaurinsche Entwicklung für K (x) :

K'(0)

K(x)~K( 0)+    v

x -f-

K"( 0)

2!

x² +

A«(0)

üfW(0)

il

XI

Die Vergleichung mit (Va) lehrt somit, daß: P[C₀ = V\K{0) = ff«(0) ,

<Va')

und Entsprechendes gilt für (Vb).

Das Spezifische einer Schiebungskovariante K(x) bez. x liegt also darin, daß der lediglich auf die Variable x bezogene Differentiationsprozeß K®(0) ersetzbar ist durch den lediglich auf die Koeffizienten a der Urform /’ bezogenen Differentiationsprozeß V\ K (0), und entsprechend bei einer Schiebungskovariante K( 1, x) bez. x.

. bestehen bleibt; man hat P₂ in der erweiterten Bedeutung (IIa'), (II b') des § 11 zugrunde zu legen.

Man vergleiche daraufhin die Entwicklungen (Va), (Vb) mit den in § 11 (VII') aufgestellten für eine ganz beliebige, einer Schiebung At resp. A₂ unterworfene ganze Funktion J = J [(a), (5), (c), . . . ] :

Von größerer Bedeutung ist jedoch folgende Untersuchung. Zunächst geht aus dem Beweise des Satzes II hervor, daß der letztere auch ohne weiteres für ein System von Urformen /„, gh, h nur die Prozesse V

(5 a)

(5 b)

A\{h\) ; J[(<x) , (ß), (y), ...]

= J + £«V ₊ £lrSJ+...+£pv+..

(ß), (r), ■••]

= j+b-v,j + ^vy+... + — VU+ ...

1!

2!

il

Dann ist ersichtlich, wie das Bildungsgesetz der rechten Seiten in (V) und (5) jeweils im wesentlichen das gleiche ist. Dies tritt wiederum deutlicher hervor, wenn man sowohl die Urformen    wie die betreffende Schiebungs

kovariante nichthomogen schreibt, indem man x₁ = x, x₂ = 1 resp. x₂ — x, xx = l setzt. Denn gehen die Ent -Wicklungen (V) für eine Schiebungskovariante K(x, 1) resp. K( 1, x) bez. x über in:

(Via)

- C₀ +

1!

Ax{\)\K{x, 1)

nc₀

v\a o

2!

XI

xl ;

Die Vergleichung mit (5a) resp. (5b) lehrt, daß jeweils die Identität besteht¹):

(VII a)    AM \ K(x, 1) = c.[(«) ,(ß)Ar), ■■■]■,

(vnb)    AM ! X(1, x) = Cj[(«), (ß), w,.. .]•

Damit ist, wenn man bequemer, wie üblich, C₀ resp. C\ das „freie Glied“ in K(x, 1) resp. K( 1, x) nennt, der wichtige Satz bewiesen:

llq ,    .

Satz III. „Schreibt man die Urformen f .., sowie eine Schiebungskovariante K(xx, x₂) derselben bez. xx resp. x₂ nichthomogen, indem man x₁ = x, x₂ — 1 resp. xx = 1, x₂ — x nimmt, und ersetzt in dem freien Gliede G₀ resp. Cx von K(x, 1) resp. K{1, x) die ursprünglichen Koeffizientenreihen (a), (&), (c), ... durch die Koeffizienten -reihen (a), (ß), (7), ... der vermöge einer Schiebung Ax(hx) resp. A₂(h₂) transformierten Formen, so geht daraus die Schiebungskovariante K(x, 1) resp. K{ 1, x) selbst hervor.“

Auf Grund der Formeln (9) des § 11 läßt sich dieser Satz noch in eine andere bemerkenswerte Gestalt kleiden. Es genüge die Betrachtung einer Schiebungskovariante K{x, 1) = K(x) bez. xx = x. Der besseren Übersicht halber ändere man die in § 11 (1) getroffene Bezeichnung der Koeffizienten at, bk, ct, ... der Urformen dahin ab, daß je zwei symmetrisch gelegene Koeffizienten «i und an_i, bk und bp_k, . . . vertauscht werden:

f n = fipc , 1)

(VIb)

r¹cL

1!

A₂(h₂)\K(l, x)

-¹²+ ... +

7“.....X +

v\c

ri<h

2!

Â!

f(x) — a₀ + nx ax x + n₂ a₂ x² + ...

+ nx an_ 1 xn~¹ -f- an xn,

(⁶) 9p = 9(® , !) = g{x) = &o + Px\x + p₂ b₂ x² + ...

+ VxK-i^_1+ bpxp,

Bedeutet wieder f^(x) die i te Ableitung von f(x) nach a?, oder, wie man jetzt genauer sagt, die i te „einseitige“ Ableitung von /*, und bedient man sich der Abkürzungen :

(⁷)

t‘M = f{x), f\{x)=^f'{x), f₂(x)=    ••

fi(x) =

w(n— 1)... (n — i + 1)

(i = 0, 1, fi)

und entsprechend für die Formen g, h, .. ., so gewinnen die Formeln (9) des §11 das einfache Aussehen:

ßk = 9k(h),

fc-0, 1, ..., p;

(8)    <\i = fi(h)

7i = Äi(Ä) ,

1-0, 1,...,«; ...)

Indem auch 4f(a?) nichthomogen zu schreiben ist:

A (a?) = (7₀ + Ci a: + ^2    “i⁻ • • •    ^ »

(i = 0, 1, ...,

(2')

lautet nunmehr die erste Formel (VII):

(vir)

K{x) = C₀[fi(x), gk(x), ht(x), . . .] .

Damit erhält Satz III die Fassung:

Satz HI'. „Schreibt man die Urformen /', g, h, ... nichthomogen in der Gestalt (6), so geht eine Schiebungskovariante K(x) der f, g, h, ... bez. x aus ihrem freien Gliede C₀ dadurch hervor, daß man die Koeffizienten , bk, ct, ... von /', g, h, ... jeweils durch die mit den resp. Zahlenfaktoren

n\

... dividierten

?! ’

einseitigen Ableitungen f®(x), gW(x), h®(x), ... ersetzt. Das Analoge gilt für eine Schiebungskovariante K(l, x) bez. x.“

Mittels der in § 14 aufzustellenden Gewichtsregeln wird dieser Satz noch eine wesentliche Ergänzung erfahren.

Das oben eingeschlagene, zu den Relationen (III) führende Verfahren läßt noch eine weitere Ausdehnung zu. Es genüge wieder die Untersuchung des Falles (lila). Um die Entwicklungen nicht zu überladen, werde eine einzige Urform fn in der alten Schreibweise (1) des § 11 zugrunde gelegt.

y\

Das Leitglied Gx der Schiebungskovariante K(x) von

f bez. x:

(2') K(x) = Cxxx + Ci-₁x>-¹+ ... + Ci xx +...+(?! ® + C₀

war nach Satz II eine Schiebungsinvariante von f bez. x, ' genügte also der Bedingung:

(9)

dax + 2ai da₂

4" •

d

. . + (n — 1) an_2 -p—

°an- 1

Hier sei die linke Seite, wegen des Folgenden, mit Vn bezeichnet, womit ausgedrückt werde, daß der Differentiationsprozeß (9) bis zur Ableitung nach dem letzten Koeffizienten an inkl. fortzusetzen ist. Entsprechend werde unter

P₄ = «0 e

(10)

dax

¹ da*

(i = 1,

der aus (9) durch die angegebene Verkürzung entstehende Prozeß verstanden. Dann zerlegt sich der Prozeß Vn (9) wie folgt:

(H)

n)

-1

dan ’

wo in dem ersten Teile V n_x rechterhand der Koeffizient an gar nicht vorkommt; und allgemeiner analog der Prozeß J⁷,:

(HO

c

K =    -1 + i (f'i - 1 “ö--»

d a*

wo sich Vi_₁ nur auf die i ersten Koeffizienten a₀, ax, .. a,i_x bezieht.

Zunächst nehme man an, daß das Leitglied Gx von K (2'), eine ganze Funktion der d₀ , dx, . . ., dn, den letzten Koeffizienten dn wirklich enthalte, zu einem Grade Man denke sich Gx seinerseits nach fallenden Potenzen von dn geordnet:

(12) Gx = Ae d„ 4- d~n ¹    Axdn A₀ . (q > 0)

Q(> 0) •

Nun genügt Gi der Bedingung Vn Gi = 0. Bei der Ausführung der Operation Fn (11) beachte man, daß der erste Teilprozeß Fn_x nur auf die Koeffizienten A (12) auszuüben

ô

ist, dagegen die Differentiation ₃— nur auf die Potenzen

dan

von an in (12); dann wird die Gleichung FnGi — 0 explizite:

(13)

Ao

J » G). = aQn F n _ x Ae -f- a°, ¹ F n^xAe- i +. . . anV n_₁A₁-\- V + n an _ x ae„ ¹Aq-\-{q— 1)<*", ² Aÿ_2 + •. . + 2anA₂ + 1 • AJ = 0 .

Da diese Gleichung als in an identisch erfüllt anzusehen ist, so ist sie gleichwertig mit der Kette von Relationen:

»-1

A o ⁼ " 1 • fi dyi _ x A x, ^ n — i A i    2 n (in _ j A 2, • ■

(VIII)

71-1

Ai — —(i + 1 )n an_i Af₊₁, ..

Vn^Ae = 0.

, Fn_^Ag^ 1    Q M/ dn-lA

Die Analogie dieses Rekursionsgesetzes mit (lila) tritt deutlich hervor: durch bloße Ausübung des Prozesses V bestimmt sich der Reihe nach Ax aus A₀, A₂ aus Ax, ..

Ae aus Ae-i, während schließlich Ae der Bedingung Fn_xAe = 0 genügt.

Vermöge des Prozesses Fn_₁ ist somit der Ausdruck Gi (12) bereits durch sein freies Glied (14) A₀ = Gi(an = 0) vollständig und eindeutig bestimmt.

Andererseits unterscheiden sich aber die Ketten (lila) und (VIII) dadurch, daß die auf den rechten Seiten von (lila) auftretenden Faktoren von Gx, C₂, . .. rein numerisch sind, in (VIII) aber noch den Faktor dn_x selbst enthalten.

Daher ist eine analoge Zusammenziehung von (VIII), wie bei (lila) auf (IVa), nicht angängig: durch bloße Iteration des Prozesses Fn_x lassen sich die Koeffizienten Ax, A₂, ... in (12) aus A₀ nicht ableiten, da eben in Vn_x der Koeffizient an_x selbst noch vorkommt. Man bezeichne Fn_x als den „ersten (aus Fn) reduzierten“ Differentialprozeß, Aq als eine „erste reduzierte Schiebungs-invariante“ von f bez. x, A₀ (14) = Gi(dn = 0) als „erstes Residuum“ (oder kürzer „Residuum“ schlechtweg) von Gi bez. an . Dann spricht sich die Existenz der Relationen (VIII) aus in:

Satz IV. „Ist die Schiebungsinvariante Gx bez. x das Leitglied einer SchiebungskovarianteK(aj) bez. x

15

Meyer, Allgemeine Formen- und Invariantentheorie I.

. . , An und damit Gx eindeutig festgelegt. Das Leitglied A„ von -Ge ist eine erste reduzierte Schiebungsinvariante bez. x.“

— bezogen auf eine Urform fn(x) mit den Koeffizienten a₀, at, . . ., an —, und ent hält Gx den höchsten Koeffizienten an, so denke man sich Gx seinerseits nach Potenzen von an entwickelt. Dann sind durch das freie Glied A₀ = Gx(an — 0), das (erste) Residuum von G> bez. an, alle übrigen Koeffizienten

A, A

Die Modifikation, die dieser Satz erleidet, wenn Gx den Koeffizienten an von f nicht enthält, ist leicht an-gebbar. Sei alsdann ah der höchste, in Gx auftretende Koeffizient von f, so entwickle man analog Gx, als ganze Funktion eines Grades ?/(>0), nach fallenden Potenzen von ah. Die Relationen (VIII) sind dann nur dahin abzuändern, daß der Index n durch den Index h zu ersetzen ist, so daß entsteht:

(VIII')

Ai = — (i +1) h &h-\Ai+l

h- 1

A„ = 0 .

Damit erfährt Satz IV die Ergänzung:

Satz IV'. „Ist ah der höchste, in Gx vorkommende Koeffizient von f, und jy(> 0) der Grad von Gx in aA, so ist im Satze IV nur überall der Index n durch h und der Grad q durch rj zu ersetzen.“

Man beachte noch,, daß in den Sätzen (IV), (IV') die Größe Gx, der lediglich die Forderung VnGx = 0 auferlegt ist, jede beliebige Schiebungsinvariante bez. x von f sein darf (s. § 14).

Die Kombinierung der Formelsysteme (III) und (VIII) führt zu weiteren bemerkenswerten Folgerungen. Es genüge wiederum, die Wirkung einer Schiebung A₁ zu untersuchen, wobei der Zusatz „bez. xu der Kürze halber unterbleibe. Aus der Definition (Ia) einer Schiebungskovariante K(x) folgt, daß das Produkt zweier Schiebungskovarianten wiederum eine solche ist, wobei sich auch einer der Faktoren (oder auch jeder von beiden) auf eine Schiebungsinvariante reduzieren darf. Besteht daher zwischen einer Anzahl von Produkten aus Schiebungskovarianten eine identische Beziehung — eine „Syzygie“ —, deren Koeffizienten Schiebungsinvarianten (oder im besondern auch numerische

Faktoren) sind, so läßt sich eine solche Syzygie stets auffassen als eine lineare Identität zwischen einer gewissen Anzahl von Schiebungskovarianten K(x), Kd) (x), ... der nämlichen Ordnung X in x :

(15)

wo die v , >'d), . . . numerisch sind. Bedeuten Gt, G^ . . . die Koeffizienten von xi in K (x), Kd) (a?), . . . , so ann die Identität (15) nur so erfüllt sein, daß die Gesamtheit der Relationen besteht:

¹

Vgl. Faà di Bruno, Journ. für Math., Bd. 90 (1880), S. 186; Math. Annalen, Bd. 18 (1881), S. 280.

(16)

(<=0,1,...,*)

Insbesondere befriedigen also, für i = 1, die Leitgleder <7;, (7;¹¹,    und, für i — 0, die freien Glieder G

Co¹¹, ••• von K, Kd), ... dieselbe lineare Relation mit den numerischen Faktoren r, rd), . .

Varianten selbst. Aber für die freien Glieder G

wie die Ko-

c, ■

gilt, auf Grund der Relationen (lila) resp. (IYa), auch das Umgekehrte. Denn unterwirft man die linke Seite von (16), für i = 0, der Reihe nach den Prozessen V . . , so resultiert rechterhand stets wieder Kuli, d. h. die Relation (16) ist dann eo ipso auch für die G₁, C'⁽₁¹⁾, . . C₂, G.j\ . . ., Gk, Gf\ . ■ ■, und damit für die Kovarianten K, Kd), . . . selbst erfüllt. Dies gilt alles ebenso für ein System von Urformen f, g, h , . . .

Im Falle einer Schiebung A₂ sind die erforderlichen Modifikationen ohne weiteres angebbar, und für eine uni-modulare Kovariante sind die beiderlei Ergebnisse zu vereinigen :

Satz Y. ,,Jede Syzygie (lineare Identität) mit numerischen Koeffizienten, zwischen Schiebungskovarianten bez. xx resp. x₂, der nämlichen Ordnung, bezogen auf die Urformen /', g, Ji, ..., gilt auch für deren freie Glieder bez. xx resp. x₂, und umgekehrt. Für unimodulare Kovarianten treten beide Eigenschaften gleichzeitig in Kraft.“

Beschränkt man sich wieder auf eine einzelne Ur

form f, so läßt sich der Satz Y vermöge der Relationen (YIII), (VIIF) auf die (ersten) Residuen der freien Glieder ausdehnen. Faßt man eine Schiebung A₁ (bez. xt — x) ins Auge, und geht von der Relation (16) für = 0 aus, entwickelt

15*

-i »

sodann, wie oben, die O₀’, ... nach dem höchsten in ihnen vorkommenden Koeffizienten ah von deren Grad Tj (> 0) ersichtlich für alle Kovarianten der nämliche sein muß, so gilt jene lineare Identität ebenso für deren (durch Kulisetzen von ah entstehende) freie Glieder A„, d. h. deren (erste) Residuen bez. ah.

Umgekehrt, denkt man sich nur die letztere Identität erfüllt, und unterwirft dieselbe dem Prozeß Vh_₁, so geht daraus, nach Unterdrückung des gemeinsamen Faktors Jiah die nämliche Identität zwischen den At, A. . . hervor; eine abermalige Ausübung von Fh_l führt zu derselben Identität zwischen den A₂, A⁽₂V, . . . usf., bis man zu der-

und damit für die C₀, C[,¹⁾, . . .

jenigen für die A,n A⁽,j’, ... , selbst gelangt:

Satz VI. ,,Jede lineare Syzygie zwischen Schiebungskovarianten gleicher Ordnung einer Urform f bez. xx resp. x₂ findet auch für deren Residuen bez. x₁ resp. x₂ statt, und ist umgekehrt durch die letztere bereits eindeutig bestimmt. Im besondern gilt dies auch von Schiebungsinvarianten bez. xt resp. x₂.“

Man kann den obigen Prozeß, der zu dem Systeme (VIIU) leitete, von neuem vornehmen, indem man wiederum Aq nach dem höchsten darin vorkommenden Koeffizienten von f entwickelt und die Gleichung Vh_\ Av = 0 zugrunde legt. So kann man fortfahren, bis man zu Koeffizienten gelangt, die nur noch von a₀ und a, (oder einem derselben) abhängen.

Die erfüllt gedachte Relation (16) überträgt sich dann auf die sämtlichen Koeffizienten dieser weiteren Entwicklungen.

. ., A₀ zu gewinnen er-

Atj

-2 , •

Aber die in den Sätzen V und VI ausgesprochene Umkehrung läßt sich jetzt nicht mehr erschließen, da bereits bei den A kein direkter Differentiationsprozeß existiert, der aus An wieder Av laubte. Besteht zwischen den A,n A[)\ . . . eine lineare Identität a>Atl + eon) A^] + . . . = 0, so folgt aus der vorletzten Gleichung (VIIU) nur, daß Fh_₁(œAl/ -f ma)A^} + . . .) = 0 ist, was selbstverständlich ist.

Aufgabe 1. Das Erfülltsein der Schiebungsdifferentialgleichungen (II) ist, wenn /‘, g, ... binäre Urformen sind, für folgende Kovarianten zu bestätigen:

101 02

1. Eine Urform selber; 2. die Funktionaldeterminante

² I ; 3. die Hessesche Form H = \ Cn (>12 2 ! / 21 / 22

; 4. die Funk-

tionaldeterminante 0 von / und #; 5. wenn f — fn = anx

-i

für die bilineare Invariante der Polare

g = 0«-1 = K

ay und von b” ¹, als lineare Kovariante von /'(y) und g(y) ; 6. für die verschiedenen Polaren einer Form: a”⁻¹ ay, a”~²ayaz, ay, usw., falls die verschiedenen Variabeln-reihen kogredienten Substitutionen unterliegen.

Insbesondere sind die Gesetze (III), (IV), (VII) für die Kovarianten A und Q einer /‘₃, E und 6 einer (vgl. Aufgabe 1 und 3 zum Anhänge von Abschnitt I, S. 176,178) durchzuführen.

Aufgabe 2. Der Kesiduensatz über Syzygien ist anzuwenden auf die 1. c. betrachteten Cayleyschen Syzygien der f₃ und /₄.

Die Diffe-

§14. Gewiehtsgleichungen für Streckungskovarianten.

rentialgleichungen für vollständige Kovarianten.

mit den Ko-

Die Erwägungen, die in § 10 S.154 zu den Gewichtsgleichungen für Kovarianten quadratischer Urformen f g.₂, h₂, ... führten, lassen sich auf Streckungskovarianten K(xx, x₂) beliebiger Urformen fn, gp, h effizientenreihen (a), (b), (c), ..., übertragen.

Sei K(x₁,x₂) zunächst eine beliebige, ganzrationale Funktion der (a), (b), (c), . . . , sowie von x₁, x₂ , und in letzteren Größen homogen von der Ordnung dx = k. Wie in § 12, werde xl resp. x₂ einer Streckung M₁(m₁):x₁ = m₁^₁, x₂ = £₂ 5 resp. M₂ (m₂) :x₁ =    , x₂ = m₂£₂ unterworfen, wo

durch die Urformen fn, gp,hq, ... jeweils in neue Formen <pn, 'ipp, Xqi • ■ • mit Koeffizientenreihen (a), (ß), (y), transformiert werden. Gemäß der Definition (2) des § 12 wirdK zu einer ,,Streckungsko variante“ bez. x} resp. x₂, wenn sich der in den neuen Koeffizienten und Variabeln

gebildete Ausdruck K[(oc), (ß), (y), . . . ;    £₂] von dem ur

sprünglichen K nur um eine natürliche co-te Potenz der Substitutionsdeterminante m₁ resp. m₂ unterscheidet. Der Exponent co soll von vornherein beidemal als derselbe angenommen werden.

Ein beliebiges Glied T von K hat die Gestalt:

(1) T = ct = caffaf¹. . . af/> . . . b^p . . . x[otĄ~r.    (r^k)

Werden hier die vermöge Mx(mß) resp. M₂ (m₂) hervor -gehenden neuen Koeffizientenreihen (oc), (ß), (y), sowie die neuen Variabein £1? >₂ eingesetzt, wodurch T in T = er übergehe, so muß, soll K zu einer Streckungskovariante bez. xx resp. x₂ werden, aus allen Gliedern T stets ein und dieselbe, cu-te Potenz von mx resp. m₂ heraus-treten. Man erhält so, als Erweiterung der Gewichtsregeln (4') des § 12:

(2 a) il/., (mx) I Z(n — i) ą + Z(V — fc) ?/*+...= r + 00 ,

= (X — r) + o) ,

und für eine ,,Streckungskovariante bez. xx und a?₂“, wenn also beide Relationen (2) zugleich erfüllt sind, überdies durch Addition:

(3)

Faßt man daher in K jeweils alle Glieder T (1) zusammen, die zu demselben Potenzprodukte x[x^~r (bei festgehaltenem r) gehören, deren Gesamtheit also gerade den Koeffizienten Gr in der Darstellung *(2) des § 13 für K bildet, so sind die linken Seiten von (2) zugleich mit dem Exponenten r konstant.

Kennt man wieder die linken Seiten von (2) das „Gewicht“ von Gr bez. xx resp. x₂, so ist Gr „isobar“ bez. xx resp. x₂ , d. h. von dem konstanten Gewichte co + r resp. co + X — r. Die Gewichte der Koeffizienten G₀, Gx, . . . , Ci von K bilden also beidemal eine arithmetische Reihe mit der Differenz 1 (s. das Zitat auf Cayley, S. 206):

O) .

co , co -f- 1 , • . . , co -j- X resp. co -j- X , co -f- X. — J

Wird K überdies wiederum als einzeln homogen in den (a), (&), (c), ... angenommen, von den resp. Dimensionen df = Z*i> dg = ZVk > •••> so ist für jeden Koeffizienten Gr einer Streckungskovariante K bez. xx und x2 gemäß (3) die Summe der Produkte aus Dimension und Ordnung der betreffenden Urform gleich X -f 2 co . Somit gilt:

Satz I. „Ist K(xj, x₂) = Gxx\ + G,_Xx\~¹x₂ + . . . + eine Streckungskovariante der Urformen f gp, hq, ... bez. xx resp. x₂, so ist irgendein Koeffizient Gr von K in den (a), (h), (c), ... isobar bez.

xx resp. x₂ vom Gewichte r -f- co resp. a — r + co; diese Gewichte bilden also beidemal eine arithmetische Reihe von der Differenz Eins mit dem Anfangs-gliede a> + 2 und dem Endgliede w, resp. umgekehrt. Für eine Streckungskovariante bez.xx unda?₂ gelten beide Gesetze gleichzeitig, sowie als Folge davon die Dimensionsregel (3).“

Nunmehr kombiniere man diese Ergebnisse mit denen des § 13, indem K jetzt als ,,vollständige“ Kovariante der f, g, h, . .. vorausgesetzt werde, die sich also gegenüber beliebigen Substitutionen 8 der xx, x₂ gemäß der Definition (I) des § 13 nur um eine feste, natürliche Potenz der Sub-stitutionsdeterminaulezl ändere. Dann hat man zunächst den Satz II. ,,Eine vollständige Kovariante K(xx, x₂) von f, g, h, ... genügt einmal den beiden linearen partiellen Differentialgleichungen (Ha), (Ilb) des § 13, andererseits den Gewichtsregeln des Satzes I.“ Die Gewichtsrelationen (2) lassen sich nach dem Muster des § 12 wiederum durch zwei lineare partielle Differentialgleichungen ersetzen. Faßt man etwa eine Streckung Mx(m) ins Auge, so treten zu der rechten Seite der damaligen Entwicklung (12), nunmehr für K gebildet, nur noch die

ag/tfM öK/d£a'

dx₁\dm/m=i ' dx₂\dm, aber ix =x₁m~¹, £₂ =x₂, somit

beiden Terme

hinzu. Es ist

'di1

'dia

>dm/m=i

= 0.

dm)in=i

Verfährt man analog mit M₂, so ergibt sich als Ausdehnung der Gleichungen (III) des § 12 auf Streckungskovarianten bez. xx resp. x₂ das mit den Gewichtsregeln (2 a) resp. (2 b) gleichwertige Paar von Differentialgleichungen:

n-l

(2 a')

Cb Cb

V-1

Cö

(2 b')

+ (p — fc) h

dK _ 0

dxx ¹

UJ1 _ f)jr

Mif¹ = i «i --(-    • • • (oK x₂

ńt oni

dK _o

-^i— — u .

dx₂

-o)K —

dK

Cb

xx

Mj — xx

dK

Cb Qj

= M₂ — x₂

Man bestätigt diese Gleichungen leicht an dem einfachsten Beispiele K = f, da f, zufolge der Definition einer Kovariante, offenbar eine Kovariante von sich selbst (mit dem Gewicht œ — 0) ist.

Sodann kombiniere man die Gewichtsregeln (2) mit den Sätzen II und III des § 13. Zu dem Behufe werde die dort aufgeworfene Frage nach dem gegenseitigen Zusammenhänge der für eine unimodulare Kovariante in (II) resp. (III) resp. (IV) daselbst aufgestellten Bedingungen wieder aufgenommen. Nach (II) 1. c. war eine solche Kovariante K(x₁,x₂) = Gxx\ + ... -j- G₀x* charakterisiert durch die beiden Differentialgleichungen:

— x₂

ô v, e

-i

dxx

(la)

= VX- x₂

(Ib)

'    Ô    Ô

Z(n-i)ai+₁-^+Z(p-WM~

cx₂

Nach § 13 (IILa) war (Ia) gleichwertig mit der Kette von Relationen:

r.Co-c PxCi

oder auch nach § 13 (IVa) mit:

da')

-1

(Ia") Gr =

r!

f/{⁺¹G₀ = 0 .

Entsprechend war (Ib) nach § 13 (IIIb) gleichwertig mit der Kette:

V ₂ G). — Gk

P₂C,₊₁ = (I-r)C,, ..

Cäc„ = 0.

-1 )    • • • 5

V₂ G₁ = l G

Man nehme jetzt für eine Form K{xx , x₂) lediglich die Bedingungen (Ia') nebst der letzten Relation (Ib') V9 C₀ = 0 als erfüllt an.

ab')

Wie hat man G₀ zu wählen, damit die weiteren Bedingungen (Ib') von selbst erfüllt werden? Die erste dieser weiteren Bedingungen lautet:

(4)

P₂ ą = X C oder auch, da nach (Ia') Gt — Vx C₀ :

(4')

• V₂VXG₀ — X G₀ .

Nun gilt nach § 12 *(V) für eine beliebige Funktion Cr der (a), (6), (c), ... die Identität:

(r, rt -    r.) c,=2> - 2 <) «,

(II)

+ 2>-2fc)it§^ +

Nimmt man hier r = 0 und berücksichtigt für die obige Funktion CQ die Annahme V₂ G₀ = 0, so reduziert sich (II) auf:

(XI') - r₂1⁷, C₀ =q> - 2i) <»< g+Z(p - 2 ») 6, g + • • •

Die in Bede stehende Frage erhält demnach, gemäß (4') und (II'), die Wendung: für welche Bildungen G0 nimmt die rechte Seite von (II') den Wert — X G₀ an?

Man lege nunmehr C₀ die weiteren Bedingungen auf, eine bez. x₁ und x₂ isobare ganze Funktion der (a), (&), (c), ... zu sein, mit den Teilgewichten cof* = co , co!₂⁰⁾ = co + X (Â ^ 0) : jedenfalls trifft das gemäß (2) zu für den Koeffizienten G₀ von aĄ in einer Streckungskovariante K bez. xx und x₂ , vom Gewichte co und der Dimension X in den x.

Mit Bücksicht auf § 12 (III) finden die beiden vorausgesetzten Eigenschaften des Isobarismus von G₀ ihren Ausdruck in den Identitäten:

öG₀

dh

j?

(°){

4~ ^ fc bk

Je

deren Subtraktion die weitere liefert:

(6) 2> - 2+ Z(P - 2*)&*g + ■ • •

Damit gellt aber in der Tat die Identität (II') über in die verlangte Forderung (4) resp. (4'):

V ₂ Vx G₀ = V₂CX = XG₀ .

Es soll nun durch vollständige Induktion bewiesen werden, daß zugleich mit (Ia), V₂C₀ — 0, sowie (5) auch alle weiteren Bedingungen (Ib):

(Ib') F₂Gr+1 = (X-r)Cr

von selbst befriedigt werden.

Es seien diese Relationen bereits bis zu einem Index r — 1 erfüllt gedacht, so daß :

V₂Cr= (X -r + 1) (),_!.

Die Gr genügen den Bedingungen (Ia'), und G₀ sollte bez. xx und x₂ isobar sein vom Gewichte co resp. co + X . Mit Rücksicht auf den an § 12 (25) angeknüpften Schluß ist dann auch Gr isobar in xx und x₂ , und zwar von den Gewichten a/p = w + r , a>p = cd + X — r. Somit bestehen die zu (5) analogen Identitäten:

CO

(8)

(r = 1,2, • •

X-l)

(r = 1

£(n — i) a,t + y^(p — fc) ik

und damit wiederum die durch Subtraktion hervorgehende: (6) JL(n ~~ % 0 ai ^7 + (P ~ 2 fe) bk

(ö') *

+ ... = (cd + t) Gr,

+ . . • = (ca + X — r) G

+ ...=(2 r-X)Or,

was auf der rechten Seite von (II) einzusetzen ist.

Linkerhand von (II) spalte man in Vx V₂ Gr — V₂ Fx Gr. Gemäß (Ia') ist (r + 1) Gr+1 = Vx Gr. also auch, nach weiterer Ausübung von V₂ :

(r + 1) I ₂ Gr

WC,.

Übt man andererseits auf die als richtig angenommene Identität (8) den Prozeß Vx aus, so kommt:

Wr=(il-r + l) VxGr und da wegen (Ia') Vx Cr_x = r Cr, auch:

PM = f(il-r+l)Cr.

(9)

(8')

(8")

+i

Mit Rücksicht auf (6') und (8") nebst (9) verwandelt sich die Identität (II) in:

(III)

l ₂1 \ Gr = (r + 1) I ₂ Gr+1

Cr {r (A — r + 1) — (2 r — /)} = Gr (A — r) (r + 1) , oder auch, nach* Hebung des Faktors r + 1 in:

(IV)

I ₂ Cr+1 — r) Cr .

Das ist aber gerade die Identität (8) für den nächstfolgenden Wert des Index r. Und da oben, in (7), die Richtigkeit von (8) für r = 1 direkt nachgewiesen wurde, so gilt (IV) allgemein, d. h. mit (Ia'), P₂C₀ = 0 und (5) sind auch sämtliche Bedingungen (Ib'j erfüllt, mit (5) aber auch die Bedingungen für eine Streckungskovariante K. Damit ist zunächst bewiesen:

Satz II. „Ist die Form

K(xl, x₂) = Cx x{ + (7a_i x[~xx₂ + ... + G₀ x\

eine Schiebungskovariante derUrformen /', g ,h, . .. bez. xl , und ist überdies das Leitglied G₀ von K bez. x₂ eine Schiebungsinvariante der /', g, Ti, ... bez. x₂, sowie isobar bez. xl und x₂ von den Gewichten cofi = co , o){2] = co -f 1 (A Sg 0), so ist K auch eine vollständige Kovariante der /”, g, h, ... vom Gewichte co und von der Dimension A in den x. Zugleich ist jeder Koeffizient Cr von K isobar bez.

Xi

und x₂ , von den Gewichten cof’ — co + r , (o{.p = co + A — r , und homogen in den (a) ,(&),(<?), von der Gesamtdimension d = 2 co + A

Dieser Satz läßt sich noch nach zwei Richtungen hin vereinfachen. In der Tat läßt sich zeigen, daß von den Bedingungen des Satzes II die eine, F, CA = 0, überflüssig ist, insofern sie sich als eine Folge der übrigen herausstellt, und daß überdies stets <op cof' sein muß.

Zuvörderst beachte man, daß bei dem Beweise der Identität (IV) (wo der Index r jetzt lieber mit s bezeichnet sei):

(IV)

(s^O)

(A - s) Gs

von der damaligen Voraussetzung VxGi = 0 [in (Ia')] kein Gebrauch gemacht worden ist. Man bilde daher nach

Anleitung von (Ia') die beliebig weit fortgesetzte Reihe von Größen Gr :

(10)

F.O„ = G

V₁0, = 2 0 f,Cr = (r+l)Cr+u ..

wo von der ganzrationalen Funktion C₀ der (a), (&). (c), . . . lediglich vorausgesetzt wird, daß F₂ G₀ = 0, und daß C0 bez. xx und x₂ isobar ist von den Gewichten caf' = co, co.f = co + 2, und selbstredend nicht identisch verschwindet.

Damit ist dann auch Gr für jedes r > 0 isobar bez. xt und x₂ von den Gewichten co<₁r) = co + r , co^’ = co + 2 — r r und homogen in den (a), (&), (c), ... von der Dimension d = 2 ce + 2 .

Zuerst erkennt man leicht, daß ce^⁰⁾ cof’ sein muß, d. h. die Differenz c+⁰⁾ — cef* = 2 nicht negativ sein kann. Wäre nämlich X negativ, = — X', so folgte ce£°_;-0 = 0 r also auch <7w_r = 0. Dann liefert aber (IY) sukzessive für s — cd — X' — 1, ce — X' —- 2 , . . . das identische Ver-

wo das letzte

schwinden von Gw-r-i, GM-i’-2, • ausgeschlossen ist.

Yon jetzt ab darf daher ce!]¹* Sä

Co,

ce'i vorausgesetzt werden. Sodann beweist man ähnlich, daß in der Reihe (10) von den 2+1 Größen C verschwinden kann.

15    • • • 5

Ci keine identisch

Wäre nämlich Cr = 0 (r X), so folgte aus (IV) wiederum der Reihe nach Gr_x = 0 , (7r_₂ = 0 , . . . , G₀ = 0 , so daß derselbe Widerspruch entstände wie soeben.

Andererseits ist nachzuweisen, daß in der Reihe (10) alle Gr für r > X identisch verschwinden müssen.

Da für jedes r ^ 0 c+'⁻⁾ = co + X — r, so ergibt sich für r = co + X , daß co!“⁺0 = 0 , mithin auch (++;. = 0 .

Die Reihe (10) der Gr bricht also sicher hinter (7;. ab, spätestens mit    1, insofern (70J+;. und a fortiori

alle weiteren G identisch verschwinden.

Nun ergibt sich aus (IV), da G s = co + X — 1 :

CO + /.--

0, für

0=V₂Go>+,

= — (co — 1) Ow+*_i .

Mit Ausnahme des Falles co = 1 folgt also hieraus, daß auch Gm+x-1 = 0 . Im Falle co = 1 wäre co(₂A+b = 0 , also auch Gx+i = Ga+x — 0. Dann ließe sich aus (11) nicht mehr erschließen, daß Gx = Ca)+x-i — 0 ; nach obigem weiß man aber, daß letzteres gar nicht eintreten kann.

Indem der hiermit erledigte Fall co = 1 ausgeschlossen werden kann, zieht die Tatsache, daß Gm+x-x = 0, wiederum nach sich, daß auch Gco+x~₂    0. Denn erteilt

man in (IV) dem Index s den Wert co -f- A — 2 , so kommt:

(12)

0 = F₂ Gco+x-1 = {A — (co + A — 2)} G₀,₊x-2 = —(co — 2) Go, ₊ X- 2 •

Für co 2 folgt hieraus in der Tat, daß Cco+x-2 = 0 . Im Falle co = 2 aber würde co⁽₂A+2) = 0 , also Gx+2 — 0, dann ergibt sich aber direkt aus (IV), indem man s = A -f-1 nimmt:

(13)    0 = V₂ Cx+2 = (A - (A + 1)> Gx+i = -Oi₊i, also die Folgerung C;.+ i = 0, während G*. nach obigem =j= 0 ist.

Sieht man daher von den erledigten Fällen co = 1,2 ab, so ist mit Gœ+x = 0 auch Gm+x~i = Q, C'ö)+a-₂ = 0.

Man gehe abermals einen Schritt - weiter. Mit Rücksicht auf Gn+x-2 = 0 liefert wiederum (IV) :

(H)

0 = F₂ Gm+x-2 — —(co — 3) Fc+a-3 >

also, solange co =f= 3 , auch Cw+x-3 = 0 • Für co = 3 ist Cx+3 = 0 ; setzt man aber in (IV) zuerst s = A + 2 , so folgt (7a+2 = 0 , und sodann für s — A + 1, auch Gx+i = 0 .

Um die entsprechende Schlußweise allgemein zu formulieren, nehme man an, daß in (10) bereits Gw+x = 0, Gm+x-1 == 0, • • • , Cm+x-t+i = 0 dann auch Gm+x-t^ 0 Dabei unterliegt der positive Index t der Ungleichung: co + A — + 1 > A + 1, d. i. t < co , so daß co — t eine natürliche, von Null verschiedene Zahl ist.

Gibt man in (IV) dem Index s den Wert co + A — t, so entsteht, da Gw+x-t+i = 0 ist:

0 — U> Cco+x—t+i —    (co t\ Co+X

(15)

so

G co+x—t -1 —

■So

zu zeigen, daß Cx₊1 s= 0 .

mithin, da (o — t =j= 0, G₀}+x~t = 0 . Fährt man so fort, so resultiert der Reihe nach das identische Verschwinden

von Cw+i-t~i, ■ • • , C\+\.

Faßt man zusammen und bedient sich der Darstellung der Cg in (Ib'), so erfährt der Satz II die wesentliche Vereinfachung :

Satz II'. „Versteht man unter C₀ eine in den (a), (&), ... ganzrationale Schiebungsinvariante bez. x₂ der Urformen /', g, ... , die bez. xx und x2 isobar sei von den Gewichten coÿ auch homogen von der Dimension d = a)x}co^, so ist stets eo<₂⁰⁾ ^ rnf. Dann ist G₀ das Leitglied bez. x₂ einer eindeutig bestimmten vollständigen Kovariante IT, x₂) vom Gewichtete = coi⁰¹ = d — coij", und von der Dimension X = eo⁽₂⁰⁾ — oĄ⁰⁾ = 2 o)⁽₂⁰⁾ — d = d — 2 co⁽₁⁰⁾ in den ^ , a?₂ :

(0)

tt>₂

(0)

mithin

K(xt x₂)

Hc„

I!

2!

~² a?? + ... +

HC«

X\

xx

so daß die Bedingung F^⁺¹G₀ = 0 von selbst erfüllt ist.

Der entsprechende Satz gilt mutatis mutandis für das Leitglied G\ bez. xx mit den Gewichten ojW, coW und der. Dimension d: es wird dann

X = 2    — d = d — 2 ft>W == o/b —    .

co = aAp — d — ct>^,

Für cüf’ = ft)ij⁰⁾, resp. 0)^ = 0)^ reduziert sich K auf eine Invariante.“

Auf Grund dieses Satzes erfährt nun auch der Satz III ' des § 18 eine wesentliche Ergänzung.

Beschränkt man sich der Einfachheit halber auf G0 und schreibt die Variabein wieder nichthomogen, indem man xx = x, x₂ = l setzt, so daß K(x₁, x₂) = K(x,l) = K(x) die Gestalt (2') des § 13 annimmt:

VxG₀x , V*C₀x²

(16) K(x) = G₀ +

1!

~r

2!

V\G₀xl _

X\

versteht man ferner, wie damals, unter fi = fi{x) die mit (n — i) !

n\

dividierte Ute „einseitige“ Ableitung von f nach x,

entsprechend für gk u.s.f., so gestattete zufolge § 13 (VII') die Form K(x) die Darstellung:

(V)

K(x) ■= C₀[fi, gk, hi, • • • ],

indem die Argumente a*, hk, ct, . .. resp. durch fi,    ,

ht, . . . ersetzt sind. Die Bedingung F₂C₀ = 0 [§ 13 (Illb), S. 218] überträgt sich jetzt auf die Form K selbst:

Qj O.)

S? N

U;

entsprechend die Bedingung des doppelten Isobarismus von G₀ dahin, daß K hinsichtlich der f\ > 9k i h > • • • isobar ist bez. x von einem Gewichte co und homogen von einer Dimension d = 2co + / , wo dann / nicht negativ sein kann. Die fragliche Ergänzung des Satzes IIU des § 13 lautet

somit :

Satz III. „Eine in den Argumenten fi(x), gk(x), hi(x), ... (bez. x) isobare und homogene ganzrationale Funktion K(x) vom Gewichte co und von der Dimension d, die der linearen partiellen Differentialgleichung (VI) genügt, ist eine vollständige Kovariante der Urformen f(x), g(x), h(x), . . . , vom Gewichte co und von der Ordnung l — d — 2 co . Für d = 2 co reduziert sich K auf eine Invariante.“

Aus den obigen Eigenschaften einer Kovariante läßt sich in Verallgemeinerung der im Anhänge zum Abschnitt I, S. 173 gezogenen Schlüsse folgern, daß jede Kovariante einer Kovariante, oder eines Systems von solchen, wiederum eine Kovariante der Urformen ist.

Übt man zunächst eine Schiebung A^h) aus:

= f ! + h £₂ ,

und [bezeichnet die Koeffizienten eines Systems von Kovarianten K , K', K", . . . der Urformen fn, gv, hq, ... mit cr, CŚ, ci, . . . , die vermöge Transformation der f, g , h , . . . daraus hervorgehenden Koeffizienten mit yr, y g, yi, . . . , so bestehen die Identitäten :

j -K-iïr5 su S2) = K(cr; X-y, x₂) ;

i K(ys ; £1, S2) :rr=r (c« 5    1 ^2) 5    • • •

Demgemäß lassen die Größen y, y', ... eine doppelte Auffassung zu: einmal entstehen sie aus den c, c', .. indem man deren Argumente (a) ,(&),... ersetzt durch die transformierten (a) , (ß), ... :

(18)    yr = cr[{oc), (ß), .. .] ; yi = ct[(a), (ß), . ..]

andererseits erhält man die y, y', ... direkt als Transformierte der c, c', . . . , wenn man die K, K', . . . als Urformen unmittelbar der Schiebung Ax(7i) unterwirft. Ist daher in letzterem Sinne K eine Kovariante der K, K', . . so ist sie auch eine solche der f, g, h, . . .

Das Entsprechende gilt für eine Schiebung A₂ (h), und daher überhaupt im Gebiete der unimodularen Kovarianten.

Nunmehr gehe man zu einer Streckung Mx(m) : x₁ = m£₁, x₂ = |₂ über. Die Bezeichnungen (a), (&),...; («), (ß), ... ; cr, CŚ, ... ; yr, yś, • • • seien beibehalten; ferner verstehe man unter i, A', ... die Ordnungen von K, K', ..., unter cd, cd', ... ihre Gewichte, Dann bestehen einmal die Relationen:

;.-i

yl==mco. C) j

y'x, = mo/-c['-,

Cl

y₁ - mw • m y[ = mm’'mr~xc[ ,    ..

y₀ = m'° • m'- c₍₎,

(19)    - y^ = wf0'*mA'có,

Sieht man dagegen die K, K', .. . als selbständige Urformen an und denkt sich auf sie die Mx{m) ausgeübt, so mögen die transformierten Koeffizienten durch er, eś, ... angegeben sein. Dann hat man die ursprünglichen Transformationsformeln [§ 12 (2a), S. 197] auf die c, c', ... zu. übertragen und erhält:

x-i

C1 5

£;. = ca ;

ei = ci> ;

el = m s[ = c[,

e₀ = mA Cq

(20) <    = m¹’ Co

Die Vergleichung von (19) und (20) lehrt, daß die y, y', ... mit den e, e', ... nach dem einfachen Gesetze verknüpft sind:

(21)

y» = mm' ei ,

Sei nun wiederum K eine Kovariante der als Urformen betrachteten K, K', . . ., mit den Koeffizienten Cu, deren

Transformierte die seien, mit dem Gewichte ü und der Ordnung A , so gilt nach Voraussetzung die Identität:

(22)

^ (£« ) £1 > £2) — w " K (Cu5 ^15 x₂) •

Andererseits mögen die Cu dadurch, daß man ihre ursprünglichen Argumente (a), (b), ... durch die (oc), (ß), ... ersetzt, übergehen in die Fu. Dann sind die Fu dieselben (ganzrationalen) Funktionen der yr, yś, . . . , wie die €M von den er, e's, ...

Die Form K als Kovariante der Urformen K, K', ... sei in den Koeffizienten cr, cś, ... einzeln homogen, von den (konstanten) Dimensionen D, D', ...

Dann aber folgt aus den Relationen (21), daß auch die Größen FM und Eu proportional sind, d. h. sich nur um ein und dieselbe Potenz von m als Faktor unterscheiden :

(23)

Fu = mD(0 + D’C0’ ⁺ --£u .

Verbindet man diese Relationen mit der Identität (22), so ergibt sich in der Tat:

(VII)

K (Fu ;    , f₂) = mDco + D'm' + - + ß K(Cu ; xt, x₂)

= mü’K{Cu ; a?!, a?₂) ,

d. h. K erscheint auch als Streckungskovariante bez. xt der Urformen f, g, ..., nur daß das Gewicht ü' sich gegenüber dem ursprünglichen ü um die Summe der Produkte Deo, Deo', ... geändert hat.

Analog verfährt man mit einer Streckung Jf₂ (m), wo der Kürze halber der Parameter wieder mit m (statt m₂) bezeichnet sei. In den Formeln (19) und (20) hat man alsdann nur jeweils die Reihenfolge der Indizes 0,1, . .., l ; 0,1, . .., Ü; ... umzukehren. Dadurch erleiden aber die Relationen (21) keine Änderung, und ebensowenig die Relationen (22) und (23), da für eine vollständige Kovariante die Dimensionszahlen D, D', ... bez. x₁ und x2 je dieselben sind.

Verbindet man dies Streckungsergebnis mit (fern oben erhaltenen Schiebungsergebnis, so ist der Satz bewiesen:

K'

Satz IV. „Ist ein System vollständiger Kovarianten K, K', ... der Urformen f, g, h, .. mit den Gewichten co, co', . . . vorgelegt, so ist jede Kovariante K (speziell auch Invariante) der K, vom Gewichte Q — diese Kovarianten als

16

Meyer, Allgemeine Formen- und Invariantentheorie I.

Urformen aufgefaßt — auch eine Kovariante der /', g, h, . .., mit einem Gewichte Q'.

: das Gewicht ü

Hierbei ist vorausgesetzt, daß K in den Koeffizienten der K, K', ... einzeln homogen ist, von den Dimensionen D, D', . ist dann um die Summe ^Dco der Produkte Deo, Deo', ... größer als das Gewicht Q

Aufgabe 1. Die Gewichtsregeln und Streckungsdifferentialgleichungen, sowie die Darstellung (16) resp. (V) sind auf die in Aufgabe 1 zu § 13 aufgezählten Kovarianten anzuwenden.

Aufgabe 2. Sind B, zl, Q die Grundformen einer f H, 9, i, j die einer f\ [vgl. Aufgabe 1 und 3 zum Anhänge von Abschnitt I], so sind die Grundformen von Q resp. H du ich die von /₃ resp. f\ darzustellen, und das Entsprechende ist für die Büschel -f /. Q , f\ + fiH zu leisten.

§ 15. Erweiterungen auf inkongruente Substitutionen.

Die in den §§ 11 — 14 für In- und Kovarianten abgeleiteten Ergebnisse lassen sich im wesentlichen auch auf den Fall von Urformen mit mehreren homogenen Variabeinpaaren {œ₁, x₂), (yx, y₂). . . . , die unabhängigen (inkongruenten, inkogredienten) Substitutionen 8t, 8₂, ... unterworfen werden, ausdehnen. Es soll dies wenigstens in den Grundzügen dargelegt werden, indem der Fall zweier Paare als Muster diene. Schon in g 10 waren lineare partielle Differentialgleichungen aufgestellt, denen In- und Kovarianten bilinearer Urformen bei zwei inkongruenten uni-modularen 8X, 8₂ genügten.

Urform f

in den (x), (y) werde zunächst nach Potenzen von x± geordnet, oder, wie es jetzt bequemer ist, nach Potenzen der nichthomogenen Variabein x = x±(x₂ — 1), so daß die Koeffizienten ihrerseits ganze Funktionen p-ter Ordnung von y = yJy₂ = 1) sind:

n, p

Es werde jetzt direkt an § 11 angeknüpft. Die binäre f(x₁,x₂-, y\,y%) von den Ordnungen n, p

' fn<p(x', y) = a₀ Xn -f n, a, xn ~¹ + n₂ a₂ xn

+ n₂ an_₂x² + nxan_xx + an , a-i = aioyp + plailyp^¹ + p₂ ai₂yp~² -f-^. . .

+ p₂ «i,p-2^/² + Vi^i,p-\y + ai,

(i = 0,1, •••,»),

Wegen (I) verschwinden rechts die Koeffizienten von h, li\ ..

also insbesondere der von h :

(6)

oder zusammengezogen:

f n, p (*® 5 V ) —

n p

V £aiknipkxn-iyv-k ,

i = 0 k = 0

wo wiederum , pk den i - teil Binomialkoeffizienten von n, resp. den fc-ten von p bedeute. Auf f werde zuvörderst eine Schiebung Ax(h) von x ausgeübt:

Ax{h) J x = £ + h .

Hierdurch geht /n;P(a?; y) über in eine neue Form (pn p(£-,y): <Pn,p(£i V) =    £M +    + • • . + n₁<xn_₁ £ + «

«•i = <Xioyp + Vi^nV¹' ¹ + • • • + Pi aï,p-i y +

(!')

(2)

(3)

oder kurz:

<Pn,p(Ç-,y) 2<XikniVkŚn-iyP~k ■

i=0*=0

Bin Ausdruck J(aik) = J(a) = J soll gegenüber    un

verändert bleiben und dadurch zu einer ,,Schiebungsinvariante von f bez. a? — a?x“ werden:

'/(«<*) = «7(«) = J(a).

Man entwickle, wie in § 11, J(a) nach Potenzen von h :

(3r)

(I)

(5)

J(ä) ee J(a) + ä

dJ(oc)

(Ä = 0)

— '//(ä)(7j = 0) = 0 .

Nun ist:

(7)

w =2,2Lt⁽“⁾

Oii/c ,

also für li = 0 :

(8)

Ci-ife(O) ,

wo die oc/*(0) zu ermitteln sind. Zunächst gilt, wie in

§ 11 (< = 0,1,

ao ⁼

(9)

— a₀ h -f- at ,

ćXj =    ]l^ -J⁻ fl'} ]ll ' —j- . • • -f- ffij ,

16*

(9')

«0 = 0, tx[ = aQ , aż — 2(a₀ ^ + at) , oti = i{a₀ Ä*'“¹ -f (t —    + . . . + «*■ 1} ,    • •

<Xo(0) = 0 ,    <%i(0) = 1 • a₀ ,    (0) = 2 • %

«i(0) = idi

(10)

-1 ?

Nunmehr setze man hier für die und a* ihre Poly nome p-ter Ordnung in y aus (1) und (3) ein und berücksichtige, daß dann die Relationen (10) identisch in y erfüllt sein müssen. Dann ergibt die Koeffizientenver-gleiehung für alle Werte des Index Tc von 0 bis p :

aó*(0) = 0

(10')

a/*(0) = 1 • aok ,    a**(0) = 2 • alt ,

• • • , ^Xii(O) i di — 1,jfc

(» = 0, 1, ..., n) .

Hält man in dem Summenausdruck (8) jeweils den Index i fest und läßt den zweiten Index fc von 0 bis p laufen, so kommt gemäß (10'):

ej

daip

«iP(0)J

(8')

S<{

ej

ai-l, 1 ^

ai\

+ O'i- 1,2

dj

ÔJ

dai2

ÔJ

ddi

•v -t (7

cJ

a2k

+■ • •

• + *Z

k

-l, k

danj

ej

-\,k

1 = 1 lc = 1

ddik

so ergibt sich, daß eine ,,Schiebungs-

Die rechte Seite von (8') verschwindet, auf Grund von (6), identisch, d. h. für alle Wertsysteme der aik. Hinterher schreibe man wieder \ statt h. Verfährt man analog mit der Schiebung A₂ (h₂), indem man dann xt — 1, x₂ = x\ 2/i=l, y₂ = y setzt, und wiederholt beide Entwicklungen für die Schiebungen A^)) A₂ (l₂) bez. yx resp. y₂

invariante“ J von f bez. xlf x₂ resp. y1} y₂, d. i. eine Invariante J gegenüber resp. einer A^hJ, A₂(h₂), A^IJ, A₂ (l₂) je einer der vier linearen partiellen Differentialgleichungen genügt:

i,W : F.J^ZZia,

äj

(II a)

(II b)

(II a')

(II bO

= 0,

CO '

= o,

ÔJ

-i,*

ddik

i k

A₂(h₂)\F₂J

ZZ (» - i)ai+1

i k

ej

,k~l

ddik

ZZ^di

i k

-ö— = 0 • ddik

Nach Satz VII des § 6 genügt eine uni modulare Invariante bez. (x₁, x₂), d. h. eine Invariante gegenüber allen unimodularen Sl der a?,, x₂, den beiden Bedingungen V₂ = 0 zugleich, und entsprechend eine uni-modulare Invariante bez. y₁, y₂ den beiden Bedingungen ^ = 0 , 6₂ = 0 zugleich ; endlich erfüllt eine unimodulare Invariante bez. beider Variabeinpaare, oder eine „uni-modulare“ Invariante schlechthin, alle vier Bedingungen.

Faßt man etwa die erste der Gleichungen (II) näher ins Auge, so unterscheidet sie sich von der für ein einziges Variabeinpaar (xlf x₂) = (x, 1) und eine Schiebung Ai(\) : x = | -|- hl gültigen [§ 11, (TIa)] nur dadurch, daß

irgendeiner der damaligen Terme dc

, k+1

ZZ(p —

i k

h, = o

nunmehr ersetzt

-i

ddi

ist durch eine Summe von Termen analoger Struktur, indem den beiden Indizes i — 1 , i ein zweiter Index fc an-gehängt wird, der seinerseits die Werte 0, 1, . ..,p durchläuft. Entsprechendes gilt für die drei anderen Gleichungen (II).

Nimmt man demgemäß jeweils dieselbe Abänderung vor in dem Beweise des § 11 für den Satz, daß umgekehrt die Bedingung Vx — 0 resp. P₂ = 0 auch hinreichend ist für eine Schiebungsinvariante bez. xi resp. x₂, und berücksichtigt, daß die Substitutionen S₁, S₂ unabhängig voneinander sind, so erkennt man, wie sich der dort geführte Beweis im übrigen Wort für Wort auf die jetzigen allgemeineren Fälle (II a), (Hb), (Ha'), (Hb') übertragen läßt.

Damit findet auch die Entwicklung (VII') des § 11 ihre unmittelbare Erweiterung. Sind h , l, F, 6 gemeinsame Zeichen resp. für \, h₂ ; lt, l₂ ; V₁, V₂ ; €j, 6₂ in (II), und denkt man sich auf die Variabein x,, x₂ resp. yx, y₂

der Urform f je eine Schiebung A(h), A(l) ausgeübt, ist endlich J ein beliebig gewählter Ausdruck in den Koeffizienten von f, so besteht die identische Entwicklung:

j[(ct)] = j + (h vj +1 ej)

(II a)

2!

+ Ł (ft2 F2J + ft l VEJ + Z² €² J) + ...

Liegen mehrere Urformen fn>p gni,Pi, ftn2, > ••• in xt, x₂ ; y₁, y₂ vor, so ist jeder er Prozess Vx, 6,, P₂, €₂ auf die bezüglichen Koeffizientenreihen der aik, , • • • zu erstrecken (i = 0, 1, . . ., n ;    = 0, 1, ..., p ;

= 0, 1,    = 0, 1, . . ., pj us w.) und wiederum

jeweils die Summe zu bilden.

Endlich tritt, wenn es sich um eine Schiebungskovariante K (xx , x₂ ; yy, y₂) resp. bez. handelt, nach dem Muster des § 13, gegenüber einer Invariante nur die Abweichung ein, daß den rechten Seiten

von (lia), . . ., (IIb') resp. die Terme — x₂

A

yx hinzuzufügen sind.

~Xi

dxx ’

~'h Wi ’

Demnach sind die — auch den Fall der Kovariante

mit nur einem Variabeinpaar und der Invariante mit umfassenden — charakteristischen Differentialgleichungen für eine Schiebungskovariante K {xx, x₂ ; yx, y₂) bez. resp. xx, x₂, yx, y₂ von Urformen /’

n,p i Qni, pi i • ■

(lila)

AAK) \ZVik~x₂

cK

(III b)

dx₁

ÖK

= 0,

(III a')

AM \Z^^-xx ^

Ai (h) \ vet7i -y₂

ÔK

(III b')

A₂(l₂) 2j£'2 K yx dy — 0 ,

während für eine unimodulare Kovariante bez. xx, x₂ zugleich die Gleichungen (lila) und (IIIb), für eine solche bez. yx, y₂ zugleich die Gleichungen (lila') und (Illb'), endlich für eine „unimodulare Kovariante schlechthin“ alle vier Gleichungen (III) gleichzeitig charakteristisch sihd.

„Damit ein Ausdruck K(xi, x₂ ; yt, y₂) gegenüber irgendeiner der unabhängigen Schiebungen A₁(Ä₁), A₂(h₂), Aj(/X), A₂(l₂) von resp. x₁,x₂, y1} y₂ ungeändert bleibt, ist notwendig und hinreichend, daß K der entsprechenden Differentialgleichung (III) genügt, wo die Prozesse Yx, V , €₂ durch die linken Seiten von (II) erklärt sind, . und die Summation sich auf die Urformen g, li, . . . erstreckt.

Tritt der besondere Fall ein, daß für eine uni modulare Kovariante schlechthin die beiden Substitutionen 8t, S2 und damit beide Yariabelnpaare kogredient werden, so beweist man, wie in § 10, daß sich die vier Gleichungen (III) auf nur zwei zusammenziehen, die durch Addition von (lila) und (Ilia') resp. (IIIb) und (III b') entstehen. Somit gilt:

Satz I.

Die Gesamtheit der Bedingungen (III) charakterisiert eine unimodulare Kovariante K

Für die Koeffizienten einer unimodularen Kovariante K (xl, x₂ ; y₁, y₂) sollen jetzt analoge Eekursionsgesetze entwickelt werden, wie für die K(xl, x₂) in § 13.

Es genüge, die Wirkung der Schiebungen A₁(/t₁), A₁(Z₁), also der Bedingungen (lila), (lila') zu untersuchen.

Indem man wieder nichthomogen xl = x, x₂ = 1 ; V\ ⁼ V i 2/2 = 1 setzt, die Ordnungen von K in x, y resp. mit Â, ju bezeichnet und K einmal nach Potenzen von x, das andere Mal von y ordnet, kommt:

(H)

K = Ci x?' -j- C}_ _ i x'- ~¹    Ci xl -f-.. . C± x -f- C₀

=^t2//t + J^,»-i2/'t'_1+ • • • -\-DkyK-\-. . • -\-Bly-\-D₀ .

Hier ordne man ihrerseits die Ct, Dk nach Potenzen von /u resp. X :

Ci = Ciu yfl + Ci^-xyf¹

(t = l, X - 1, . .., 0)

-i

(12)

Dx/cX*- -f- Dj.-i'kX?- ¹ + • • • -f- Dikx + An-

(fc = (x , fi. — 1 , . . ., 0) .

Unterwirft man K den Differentiationsprozessen (lila), (lila'), wo der Kürze halber wieder V₁₇ €t statt VI⁷

V 6, geschrieben werde, so ergeben sich zunächst für /

die C genau die Eelationen (lila) des § 13, und entsprechend für die D :

■ V! C₀= 1 c

e,i>₀=i.D

„ ^iDh=(k-]rl)Dk+1, ..., EXD^

oder auch durch Iteration von Yx, E auf G₀ , D₀ :

(13)

EiDi

FjC₀=2l C

VxCk~ 0,

2D fi D

angewandt nur

!< •>

ąD„=o,

(14)

Vx C₀ = 1 ! 0 PiO₀ = ^!    ,    ..., Pi<7₀ = ^! Oa ,

e^o = 1!D efZ>₀ = fc!D,,

E'iD₀~2\B I)₀ = ju \ D

e?⁺¹D₀=o.

Diese Relationssysteme (13) oder auch (14) sind jetzt aber als in den Variabein y resp. x identisch erfüllt anzusehen und sind in diesem Sinne gleichwertig mit den Differentialgleichungen (lila), (lila').

Die Koeffizientenvergleichung liefert die ebenfalls mit (lila) resp. (lila') gleichwertige Kette von Rekursionsformeln (s = 0 k = 0 , .

i“ ’

fi-, r = 0 , . . ., Ä ; i = 0,1,...,/;

(15 a)

V[G =i\C,

= 0;

«c    «c

©    O

(15b)

I e;c,„ = nc,t,

\ 6»+>Cro = 0.

Im besonderen folgt für s = 0 resp. r — 0 :

i'.Ci0,

(<- 0, ..., /)

(Äs = 0, .. ., fi)

Nun sind für eine Schiebungskovariante K bez. xx und yx die Schiebungen Ax(hx), Ax(lx) voneinander unabhängig, also auch vertauschbar, mithin auch die Prozesse V\ , 6Î.

Übt man daher auf das „freie“ Glied C₀₀ = X(0, 0) von K den kombinierten Prozeß V\ 6f aus, so kann man erst Y\, d. h. die Formel (16a) anwenden, und dann auf

(16 a) (16b)

V\C

E[G

oo

00

= k\Cok.

deren rechte Seite gemäß (15 b) den Prozeß 6J. Dann ergibt sich:

V\ 6{ C₀₀ = e*(i ! Ct0) = i ! 6} CU = i ! h ! Cik ,

oder umgekehrt:

(IV)

*

i'.k !    '

Damit nimmt die Kovariante K selbst die Gestalt an:

Cik =

(IV')

i — 0 Jc = 0

i\k\

xi yk,

»=o & =o

und wenn K eine vollständige unimodulare Kovariante ist, so existiert eine mit (I\T/) parallel laufende Darstellung, die den Differentialgleichungen (IHb), (Illb') korrespondiert.

Die Entwicklung (IV') von K hat, in Ausdehnung von (Va) des § 13, eine analoge Struktur, wie die Taylorsche Entwicklung einer beliebigen ganzen Funktion Kx,fl(x, y), von den Ordnungen X, ju in x, y :

"F Je

d^wK{0’⁰⁾

(17) K(x,y)

i\lc\

wo hier aber die Argumente 0,0 in K bedeuten, daß erst nach erfolgten Differentiationen x = 0, y = 0 zu setzen ist.

Die Vergleichung von (IV ) mit (17) lehrt, daß für eine Kovariante K(x,y) die spezifischen Zusammenhänge bestehen:

v\exK(o, o) =

(18)

Cji + k

W*⁽⁰’⁰⁾-

Somit ist zunächst bewiesen:

Satz II. „Soll eine ganze Funktion K(x, y) von den Ordnungen X, /u in x, y, deren Koeffizienten Cik ganzrational in den Koeffizientenreihen (a), (b), (c), ... der Urformen f, g, h, ... sind, gegenüber inkongruenten Schiebungen    ,

Aj^j) von x, y eine Kovariante sein, so ist dazu notwendig und hinreichend, daß in der Taylor-schen Entwicklung (17) von K die — nur auf die

250 ' Differentialgleichungen für invariante Bildungen. Variabein x, y bezüglichen — Differentiations-

kK(0, 0) ersetzbar sind durch die —

. be-

prozesse

dxl dy

nur auf die Koeffizientenreihen (a), (b), (ç) züglichen — Differentiationsprozesse V\ £jK(0, 0), wo V₁, zur Abkürzung steht für    und

/ /

die auf eine einzelne der Urformen auszuübenden Prozesse Yx, durch die linken Seiten von (IIa), (lia') erklärt sind.

Ein entsprechender Satz gilt für eine Schie bungskovariante K gegenüber A₂(h₂), A₂(l₂), nur daß jetzt x₁ — 1, x₂ — x ; yx~ 1, y₂ = y zu setzen ist, so daß an die Stelle des freien Gliedes C₀₀ das Leitglied Gku tritt.“

Nunmehr gehen wir an die Aufstellung der Gewichtsregeln bei inkongruenten Streckungen Mßmß, M₂(m₂); ^i(ni),    (n₂) bez. der xl, x,₂ resp. yi, y₂ . Es werde

der Ur-

gleich der allgemeine Fall einer Streckungskovariante K[{a) ,(&),... ; x₁, x₂ ; yx, y₂\ bez. xt, x₂ , yx, y2 formen fn>p, gr„ltPl, ••• von den Ordnungen X, /i in den x resp. y ins Auge gefaßt, mit dem allgemeinen Gliede:

(19) T == ct~

n p    nt Pi

«nn^n    • • • ^<ry\ y%-*-

%i — 0    = 0

ßhh = bilkl m'{¹ S ... ;    = xx mx ¹ ,

(20)

Vermöge der bezüglichen Streckungen werden die neuen Koeffizienten und Variabein:

Mx{mx) | <xik = aikm'{-i,

M₂(m₂) | <xik = aikm{ ,

MiM !    = ««nf"*,

M₂(n₂) j <xik = aiknl₂ ,

-i

ßi}kt — bilkl m‘i, ßhh = bilklni{,~l‘' ßnK — n‘i >

während jeweils die drei übrigen Variabein ungeändert bleiben. Wird etwa Mßmß ausgeübt, so reproduziert sich jedes Glied T (19) von K um eine Potenz von ml, deren Exponent durch das Aggregat

gebildet wird. Dieser Exponent von mx muß dann, gemäß der Definition einer Streckungskovariante K bez. xx :

mf'K , ■

(21)

MiK) *[(«), (ß), fx]

(V)

und analog der Exponent von m₂, nx, n₂, mit dem jeweiligen Gewichte <ol resp. cu₂ übereinstimmen. Somit gelangt man, wenn eine Doppelsumme von dem Typus

n p

2, y kürzer mit V bezeichnet wird, zu den gewünschten

i = 0 Je = 0

Gewichtsregeln:

' M\ (mi) y(n — i) eik +2K — h)    + • • •

Û.*i

+yhVh*x

H, h

i, k

i, k

= (Ox .

M₂(m₂) |

i, k

Ms(n{) | y(p~Tc)eik +2(p₁~1c₁)t]ilkl+ . . .

i, k

M₂(n₂) | Y k eik

V y Vhkx

+ • • • ~(J-—r) = coj .

—s

------- CO.

■> f

+ . . . —(//. — «) = CO

■> ■

i, k

Sind die beiden ersten resp. die beiden letzten Relationen gleichzeitig erfüllt, so liefert Addition:

^iK) j ^2(^2) jfiK) 1 M₂ (n₂) I

Setzt man wiederum voraus, daß K in den (a) ,(&),... einzeln homogen ist, so bedeuten ^eik,

i, k

die Dimensionen (Grade) df, dg, ... von K resp. in den (a), (&), ..., und (VI) lautet kürzer:

fl df + dg H⁻ • • • ⁼⁼ 1 ~l⁻ 2 CO

P df "b P\d(J -j- ... = /c + 2 co₂ .

Denkt man sich andererseits die erste und dritte resp. die zweite und vierte der Relationen (VI) zugleich erfüllt, so kommt durch Addition:

(VI)

(vr)

n y^sik + n₁ ZVil,kl + ... = 1 + 2 co

i, k

! P y eik + Pi y Vi,. k, + • • • — H + 2 (X>₂ .

i, k

ix, k,

(VII)

i¥i(mi)

MM)

V(n+p - i—1c) eik +    + Pi — h — \) >K*, + ...

»i, kt

= (r + s) + (cüj -(- o)₂) ,

i, k

M₂(m₂) j _ _ M₂ (n₂) i,k

+ ^(*1 + K) %,*! + • • •

ii, kt

— (^ + a* — r — S)H~ (wi H- 0J2 )• Die Gewichtsregeln (V) lassen sich wiederum, wie in § 12 im Falle eines einzelnen Variabeinpaares (pcx, x₂), ersetzen durch korrespondierende lineare partielle Differentialgleichungen.

Es genüge die Betrachtung der Streckung Mßmß) , also der Formeln (21) und der ersten Zeile von (V). Schreibt man für den Augenblick m statt m, und setzt, wie in § 12 :

m = 1 + h ,

4~ fc) £ik

(22)

so geht (21) über in:

(23)

*[(«), m, fl]

Ji'(l + h) = (1 + *)"' K K -f- h ü)x K -f-

Andererseits liefert die Maclaurinsche Entwicklung der linken Seite:

(24)    K{1 + h) = K -f h

dK[(x), (ß), • . • ; I,]

dh (Ä = 0)

Da die Koeffizienten von h auf den rechten Seiten von (23), (24) übereinstimmen müssen, so folgt:

**[{*), (ß), • • • ; fil äh [h = 0)

(25)

= tOj K .

Wegen

dh

dm

= 1 wird :

äK[(x), (ß), ...;

dK[(oc), (ß), . • • ; à]

(26)

dh (h = 0)

dm (m = 1)

l    =Z'[(«), QS), £,]<„„),

wo der Akzent die Differentiation nach m angibt. Nun ist:

(27)

*'[(«)fj

«it

i, i

~ ¹ ß'ik + « • • +

Für m = 1 wird

**[(*), (ß), • fil

<9ir

'

«I I »

ferner folgt aus (20):

! (x'ik = (n — i) ailc m\

—t—i

(28)

? ßhkt : (Wj H) &i,Mj’ '* ¹ ,

fl = WH ² ,

?    ßhh(m = 1) ⁼ («i H)&hH j

• • • ? fl(m = l)    •

Verfährt man entsprechend* mit ilf₂(ra₂), Mx(nx), M₂ (n₂), so erfüllt eine Streckungskovariante X bez. resp. xx, x₂, yx, y₂ je eine der vier Bedingungen:

jftw i    (»-«)<.„ +y£L.(nl

TT    Ć?,

- (OxK EEE 0 ,

Jf₂(m₂) M₂ir    +î2'^

dX

a?₂

(VIII)

Mx(nx)\ NXK

i,k llc    ii,k!

ex

tbi₁kl

+ • • • — Vx

ex

dVi

.o)₂X = 0

Tt\ biy k-L

M₂(n₂) N₂ X — ^liaik + ^

fr daik 6b dbi^k

dX

— ü)₂X = 0 .

( ⁺ ~ ^

Umgekehrt ist das Bestehen je einer dieser Gleichungen auch hinreichend dafür, daß X eine .Streckungs-kovariante bez. resp. xx, yx, x₂, y₂ ist. Denn gilt z. B. die erste Gleichung (VIII), und übt man den linkerhand stehenden Differentiationsprozeß (mit Weglassung von coxK) auf irgend ein Glied T (19) von K aus, so resultiert T, multipliziert mit der linken Seite der ersten Gewichtsrelation (V). Dieser Faktor muß also, wenn das Verfahren auf das ganze Aggregat K ausgedehnt wird, wegen des Schlußterms —(joxK von (VIII), mit wx übereinstimmen; das ist aber der Inhalt der ersten Gewichtsregel (V).

Ist K von den x resp. von den y resp. von beiden frei — im letzteren Falle wird K zur Invariante —, so

Oj>

usw. in (VIII) fort.

fallen die bezüglichen Endterme x₁

Endlich lassen sich mehrere der Gleichungen (VIII), falls sie zugleich bestehen, nach dem Muster von (VI), (VII) durch geeignete Addition vereinigen. Insbesondere sagt das Bestehen einer der beiden Gleichungen, wo überdies (o₁ = co₂ = o) vorausgesetzt ist:

(M, + N,) K

V(w + V

i,k

i — 7v) aik

(IX)

( cK    6K\

— 2 o) K - 0 ,

(M₂ + N ₂)K=Z(i + Jc)aik

i, k

f)K

daik

2 (» K = 0

( dK    6K\

r ~c% ■'    ei,; >

aus, daß sich K gegenüber den kongruenten Streckungen Mx{mx) M₂(mx) resp. Mx(nx) M₂(n₁) invariant verhält, genau so, wie die bezüglichen Relationen (VII), falls man auch dort o)l = a>₂ = o) setzt.

Damit ist bewiesen:

Satz III. ,,Je eine der Gewichtsregeln (V) ist notwendig und hinreichend dafür, daß ein Aus-dr uck K[(a) ,(&),...; xx, x₂ ; yl, y₂) für die Urformen tn,P, ffnllPl, eine Streckungskovariante resp. bezüglich der inkongruenten Streckungen    ,

M₂(m₂), Mx(nx), M₂(n₂) ist. Diese Gewichtsrelationen (V) sind der Reihe nach gleichwertig mit den linearen partiellen Differentialgleichungen (VIII).

Im besonderen treten bei kongruenten Strek-kungen    , M₁(n₁ = mi) resp. M₂(m₂), M₂(n₂=m₂)

diejenigen Gleichungen an die Stelle von (V), (VIII), die durch Addition der ersten und dritten resp. zweiten und vierten jener Gleichungen hervorgehen, wenn überdies die beiden Gewichte cot und to₂ zusammenfallen.“

Für eine vollständige Kovariante sind die sämtlichen Bedingungen sowohl des Satzes III wie des Satzes I gleichzeitig erfüllt und charakterisieren umgekehrt die Kovariante.

Vergleicht man die Formeln (II), (V), (VIII) mit den entsprechenden (II) des § 13, (2) und (2') des § 14 für ein System von Urformen in einer Variabeinreihe, so erkennt man, daß eine Kovariante K von fn<v(x, y) noch eine andere Auffassung zuläßt. Denkt man sich die Urform fn> gerade wie die Bildung K in (11), einmal nach Potenzen von x, das andere Mal nach solchen von y entwickelt und bezeichnet wiederum mit Ci(y) den Koeffizienten von x¹, mit Dk(x) den von yk, so erscheint eine Kovariante K von fn>p als simultane Kovariante desjenigen Systems von Formen, das aus den CĄy) und Dk(x) zusammengesetzt ist.

Ferner übertragen sich die Schlüsse, die in § 12 zu den Gesetzen (VII), (VII') führten, auf den jetzt vorliegenden Fall von zwei nichthomogenen Variabein x, y.

Durch das freie Glied Km der Kovariante K, das lediglich den Bedingungen

N₂ =0

P₂ = 0 , Mt = 0

M₂ = 0 , Nj = 0 ,

zu genügen hat, ist die Kovariante K eindeutig bestimmt, und es gilt die Darstellung:

Kqo    y)) ,

(IV (x)

K (x ; y )

wo die rechts an Stelle der ursprünglichen Argumente aik, der Koeffizienten von einzusetzenden Argumente fik(x; y) erklärt sind durch :

/î*(® ; ?/) =

(n

i)\ (p—k)\ di+k

'Ci

A® ; y) •

Besteht zwischen einer Anzahl von freien Gliedern

(resp. Leitgliedern) von Kovarianten eine identische Relation (Syzygie), so besteht dieselbe Relation auch zwischen den Kovarianten selbst; überhaupt ist die Theorie der in § 12 entwickelten Residuen ohne weiteres auf den vorliegenden Fall von zwei Variabeinreihen ausdehnbar.

Die Ausdehnung auf den Fall von mehr als zwei Variabeinpaaren bietet keinerlei prinzipielle Schwierigkeit; es genüge, die Ergebnisse anzuführen.

Sei fn<

in den /u (nichthomogenen) Variabein x, y, z, . .

V,i,

... die Urform von den Ordnungen n, p, q, ...

(29)

fn,

V, ?>

n p q

-2 2 2-

.niphq,... am ...    ...

i = 0k = 0 1 = 0

Eine Invariante J von /' gegenüber inkongruenten Substitutionen der x, y, z, ... genügt in bezug auf jede der Variabein, z. B. x, vier linearen partiellen Differentialgleichungen :

VXJ =

(X)

VX,J =

Ni eNl

. . . iat

-i,    .

dj

daikl...

. . . (n — t) di+Xt ki... -ß

= 0,

dj

aikl...

= 0;

n-1

ej

(XI)

n k q

M ^=222--

• î aikl...

^ Qj>l

— o)KJ = 0 ,

i=1p =01=0

ddiki...

— cox J = 0 .

Umgekehrt sagt je eine der Gleichungen (X) aus, daß sich J gegenüber einer Schiebung von xx resp. x₂, und je eine der Gleichungen (XI), daß sich J gegenüber einer Streckung von xx resp. x₂ invariant verhält; dagegen charakterisiert die Gesamtheit der 4 /u Bedingungen eine vollständige Invariante J von f, so daß, wenn Ax, Ay, Az, ... die Determinanten der auf x, y, z, ... ausgeübten Substitutionen Sx, 8y, 8g, ... sind, Jx der in den Koeffizienten der — vermöge der S transformierten — Urform gebildete Ausdruck J, die Identität besteht :

Die Invariante J ist in den a homogen von einem Grade (Dimension) d, und isobar hinsichtlich der einzelnen Variabein (oder auch Indizes) von den Teilgewichten

wo:

OJx , (Oy ,

(30)

d =-

2 (ox

2 ojz

Der in Rede stehende Isobarismus bedeutet bei Benutzung der Abkürzungen:

®0100 ... — ^

al000 ... — al J

(31)    &ooo... —

daß, wenn J als ein Aggregat von der Struktur gedacht ist:

(32)

J = Uq⁰ a]¹ &/¹ c^¹ . . .    •

mit numerischen Faktoren g , zwischen den (nicht negativen ganzzahligen) Exponenten die Relationen bestehen:

(33)    -f- EfKt... ~ u)x , ï]x H⁻ ® £T8t... ~ m

Entsprechendes gilt für Kovarianten K von f. Schreibt man hier homogen, so ist K abhängig von den Argumenten a₀, ax, bx, ct, . .. , arst... ; xx, x₂ ; yx, y₂ ; . . . K genügt in bezug auf jedes Variabeinpaar, z. B. x1} x₂, vier linearen partiellen Differentialgleichungen, die bei Benutzung der Abkürzungen (XI) lauten:

M M

HH

HH

J* J*

®j| Oj Oj| Oj

J* IN

i*

Oj| Oj

J⁵ N

ÔK

X* dx₂

= 0.

Umgekehrt charakterisiert jede einzelne dieser Glei-• chungen wiederum die bezügliche Sonderinvarianz von K, und die Gesamtheit der 4 [i Bedingungen eine vollständige Kovariante K, so daß, wenn wiederum Kx der trans- ' formierte Ausdruck ist, die Identität besteht:

(XV)

Kx = A%*A?*A?»... K .

Denkt man sich K nichthomogen nach steigenden Potenzen der x; y; z; ... entwickelt, ist C₀ das freie

17

Meyer, Allgemeine Formen- und Invariantentheorie I.

Glied und    der Koeffizient irgendeines Potenzpro

duktes xiykzl .. . , so besteht zwischen G**/... und G₀ die Relation [als Erweiterung von (IV)]:

(XVI)

C%kl... =

Wir¹,... c₀

i\Tc\l\ . ..    '

und entsprechend, wenn Gdas Leitglied, d. i. der Koeffizient des Produktes xl y" zv . . . der höchsten Potenzen ist:

(XVI')

Cn-i, p-k, q-l,... -

[AV ...

...

Durch G₀ , das den Bedingungen Vx, = 0, Vy> = 0. .

= 0,    = 0, My = 0, My, = 0 , . . . genügt, ist die

Kovariante K eindeutig bestimmt, und man hat die (nichthomogene) Darstellung:

(XVII *) K(xy z . . . )

Co iki... (*& 5 2/5 Ä 5 •••)}?

wo die rechts an Stelle der ursprünglichen Argumente ai1ci... einzusetzenden Argumente fiki..Ax> V , z , • • •) er-klärt sind durch:

/ikl... (x 5 2/5 ^ > • • • )

(34)

(n — i) ! (p — k) ! (q — l) ! ' nl p\ q\

...

/>;y5 s;; •••) •

dxl dyk dz¹ . . .

Besteht zwischen einer Anzahl von Kovarianten eine identische Relation — Syzygie —, so besteht dieselbe Syzygie auch zwischen ihren Leitgliedern, resp. freien Gliedern und umgekehrt.

Dies ist alles in der früher angegebenen Weise auf ein System von Urformen ausdehnbar. Auch die Theorie der Residuen (§ 13, Satz IVff.) ist auf Formen mit inkongruenten Variabein übertragbar.

Im Anhänge zu diesem Abschnitte sollen für diese Übertragungen kürzere Beweise auf dem Wege symbolischer Rechnung gegeben werden.

Aufgabe 1. Die Gewichte und Streckungsdifferentialgleichungen, sowie die Gewichtsregeln für Invarianten und Kovarianten sind für die besonderen Fälle einer lineo-quadratischen Urform f\ ₂ und einer quadrato-quadrati-

sehen f₂ > 2 explizite zu entwickeln, sowohl für inkongruente als für kongruente Substitutionen.

Aufgabe 2. Der Beweis der Entwicklung (IIx) sowie der Formeln (XVI), (XVTI) für den Fall von zwei inkongruenten Variabeinreihen xx, x₂ ; yx, y₂ ist im einzelnen auszuführen.

Aufgabe 3. Zwischen vier bilinearen Formen fxx , gxx , hxx, 1cn besteht eine (lineare) Syzygie. Diese ist aufzustellen und durch die entsprechende der Leitglieder zu charakterisieren.

Aufgabe 4. Ein einfaches Beispiel für die Erscheinung, daß bei kogredienten Variabeinreihen die Rückkehr von der Syzygie der Leitglieder zu der ursprünglichen Syzygie zwischen Kovarianten nicht ohne weiteres statthaft ist, wird durch eine fxx geliefert. Es gilt die Syzygie ^wegen der Bezeichnungen vgl. § 9):

fyjy, I

= f àf+D{xx y₂ - x₂yx) .

Hier wird die identische Kovariante xx y₂ — x₂ yx in der entsprechenden Syzygie der Leitglieder durch das Leitglied ,,Null“ repräsentiert.

Kapitel II. Semin Varianz.

§ 16. I)ie Seminvarianten einer binären Form. Assoziierte Formen. Unter einer Seminvariante deiner binären Urform :

(1) fn{xx, x₂) = a₀ x'l -\-n₁axxï~¹x₂ + ... + nx an_x xx x\~x + anx\

ist eine ganze, homogene und bez. xx — und damit auch bez. x₂ — isobare Funktion der a zu verstehen, die der linearen partiellen Differentialgleichung genügt:

(I)

_1 dar.

+ nan_

also gegenüber einer Schiebung Ax (h) von xx :

(2)

Xx — £x Jl t;₂ i ~ £

ungeändert bleibt. Das Leitglied einer Kovariante von f war nach § 14 eine beliebige Seminvariante.

Die einfachsten Fälle n = 2, 3, ... zeigen, daß man den Schiebungsparameter h in (2) so wählen kann, daß die Koeffizienten <Xi der transformierten Form y (£y, £₂) :

(Xy — Oq fl -j~ Oy ,    . .

iXj = O/q h¹ -j⁻ iy Oy hl * -f- • • • i\di-1 fi ~n , • •

(3)

oc₀ — Oq

von einer Potenz von a₀ im Kenner abgesehen, sämtlich Seminvarianten von f werden. Um diese Frage für eine beliebige Ordnungn zu untersuchen, beachte.man zunächst, daß gemäß (1) die Relationen bestehen:

I O/j, == i 0>i

(4)

-X ;

V a₀ = 0 .

Hierbei ist <%₀ = a₀ stets eine Seminvariante von f. Soll auch a₁ zu einer solchen werden, so muß jedenfalls F (xt = ü sein, also :

(Ö)

V a x = aQV h    V = Oq (Vfi -f 1) = 0 .

Somit läßt sich die erste Bedingung, die erfüllt sein muß, damit % zu einer Seminvariante von f wird, unter jeder der beiden Gestalten aussprechen:

(II)

Vfi = -1 .

Geht man zu <x₂ = fnax + (ax h -f a₂) über, so erhält

man, da

V (ai fi 4* a₂) = h Foy + V o₂ + ax Fh = h a₀ + 2 Oy -\- at F h :

(6)

\' ix₂

fi !' <Xy -(- Äj i fi -j⁻ fi Oq H⁻ 2    -J⁻ Oy l fi •

Wird jetzt die Bedingung (II) als erfüllt gedacht, so geht (6) über in:

CO

F (x₂ ~ — oi₁ + <xx = 0 .

So fortfahrend überzeugt man sich der Reihe nach, daß auch die Gleichungen Foc₃ = 0, ... eine Folge von

(II) sind. Behufs allgemeiner Entscheidung berücksichtige man zuvörderst, daß wegen (II) auch:

(8)

(* = 1,2, • • • n)

F fi⁸ — sh*⁻¹ F h = — sh⁸~i gilt.    Übt man den Prozeß F    (I) auf    (3)    aus,    so kommt:

F (Xi    O/q F h^ iy Oy I fF ¹ -j⁻ • • •    d⁻ f'r    1    1F r    -j⁻    • •    •    d~ f    _ i F fi

~f“    h^ F Oq -f- ly W * F Oy ...    d⁻ ir ftf    * 1 Or    -j~    . .    .    -j~ 1    0{ ,

«o

Einmal geht das direkt aus Vh = —— Val = hervor, andererseits auch daraus, daß für den Wert

der Koeffizient <%, verschwindet, also sicher

»--s

«o

V <xx — 0 ist.

, in

In der Tat ist die Substitution (2), mit h = —

a    a"

der nichthomogenen Gestalt x = £-----¹ in der Algebra

der Gleichungen bekannt als diejenige, die bewirkt, daß in der transformierten Gleichung q> (£) = 0 der Koeffizient ax der zweithöchsten Potenz von £ verschwindet.

(3) erhält man

Mithin ist in der Tat das Bestehen der Identitäten:

V (xs = 0, .

eine Folge von (II) V<xx = 0 , und es ist bewiesen :

Satz I. „Übt man auf eine binäre Urform (1) /„(a?,, x₂) eine Schiebung (2) Ax(h) bez. xx aus, und wählt den Schiebungsparameter h als eine Lösung der

Vh = -1

der vermöge (2) transformierten Urform ą> (£Ł, £₂) der linearen partiellen Differentialgleichung V — 0 .“ Eine partikuläre Lösung von Vh — — 1 ist:

V--Î1.

(10)

V a₂ = 0

V ocn = 0

linearen partiellen Differentialgleichung so genügen sämtliche Koeffizienten tXi

(III)

a₀

i (i — 1) . . . (i — r + 1) (i — r)

(9)

oder, gemäß (4) und (8) :

Fia₀hl~l—ix(i—l)axhi~‘i-\-. . . —ir(i—r)ar'hi -{-i₁a₀hi~¹-f-2i₂a₁hi~²-\-. . . ■j-ir+1(r-Ą-l)arhi

Hier zerstören sich aber je zwei untereinander stehende Glieder, da allgemein die bekannte Relation zwischen Binomialkoeffizienten besteht:

-r- 1

-r-l

(r + 1 )ir+1 =

1-2 ... -r

= ir(i — r).

Nach Einsetzung des Wertes h = für die neuen Koeffizienten a* :

= 0

x₀ — a₀,

x₃ a‘o = «o % — 3 «₀ a₂ 4- 2 a³ ,

(IV)

Xi al~¹ = ai-¹ % — 4 ai~²ai_₁al + L> ai~³ a{_₂ af

«t-3 «1 + — • • • + (— l)¹'"² Û a₀ a, a[

i -2

%

+ (-l)<-¹(<-l)o₁ł.

(i = 2, 3 , ... n)

Man wird demnach die n — 1 Produkte oc<ai -¹ als selbständige Größen einführen, die mit (7» bezeichnet seien:

' Ci = Xi a^¹ = «ù¹ «.,■ — 4 rto⁻² «i_i %

+ 4 «O⁻⁸ «i-2 «l--h • • • + ( —1)<-2 4 «o a2 al~²

(V)

1-2

+ (-i)¹-¹!» -1)«i =Z(-¹)r4«rr

-i

«i -r«l

r=0

+ (—l)<_1(i — l)a{ ¹) .

(« = 2,3, ... n)

Diese Größen Ci sind in den a₀, a₁, . . . , an ganzratio -nal, homogen von der Dimension i und isobar (bez. x) vom Gewichte i . Mit VXi = 0 (10) ist auch V(xiai~¹) = VCi = 0 erfüllt, also sind die (n — 1) Größen Ci (V), zusammen mit C₀ = a₀, Seminvarianten der Urform f. Somit ergibt sich, in Verbindung mit Satz I:

^Transformiert man eine binäre Urform fn{xl, x₂) mittels der Schiebung von xl:

Satz II.

«0

X2 — £

so verschwindet in der transformierten Form <p($i, £₂) der Koeffizient xlf während die übrigen Xi (i = 2 , 3 , . . ., n), noch je mit »o⁻¹ multi pliziert, zusammen mit dem ersten Koeffizienten x₀ = a₀=C₀

n Seminvarianten (V) Ct (i — 0, 2, 3, n) von f liefern.“

Die Größen Ct heißen die n „fundamentalen“ Seminvarianten von f. Die ursprünglichen Koeffizienten a₀, ax, . . ., an von (1) f sind als n -f-1 unabhängige veränderliche Größen (Parameter) anzusehen ; über den Schiebungsparameter h wurde gemäß (III) so verfügt, daß von den transformierten Koeffizienten oct der zweite, (xx, den besonderen Wert Null annimmt. Demnach stellen die n Seminvarianten C{ (V) (i = 0 , 2 , ..., n) höchstens n unabhängige Größen dar; daß es aber auch nicht weniger sind, ergibt sich daraus, daß in der Reihenfolge C₀C₂ . . . Cn irgendein stets einen Koeffizienten enthält, der in den vorangehenden C noch nicht auftrat:

Satz III. Die n fundamentalen Seminvarianten Ci (V) (i =    ,2,3, . ..,-n) sind voneinander un

abhängig.“

Für ax = 0 reduzieren sich, wie die Ausdrücke (V) zeigen, bis auf eine Potenz von C₀ = a₀ im Kenner, die Ci (i = 0 , 2 , 3 , . .., n) auf die korrespondierenden ursprünglichen Koeffizienten , wie es sein muß, da sich für ax = 0, d. i. Ti = 0 , die Schiebung (2) auf die Identität reduziert.

Sei jetzt ⁽P(a₀,ax, . ..,.«*) eine beliebig vorgelegte Seminvariante von f (die im besonderen auch eine Invariante sein kann), so bleibt <P nach der Definition einer Seminvariante ungeändert, wenn man an Stelle der a die vermöge (2) hervorgehenden neuen Koeffizienten <% (3) einführt :

(VI) 0(ao , ax, a₂ , . .

®»)--#(«0 > ^1 5 ^'2 1 • • • ?    •

Setzt man also in dein speziellen Falle h =

«I

a₀

gemäß (IV), (V) statt der a,₀, a,, a₂, ..., an resp. die

so gelangt man zu

Cn

Größen C₀, 0 , ^    ^ , .. .,    ,

o₀    v₍₎

der grundlegenden Identität:

(p(a₀ , ax, a₂ , . . ., an)

(VII)

cs

und damit zu:

Satz IV. „Eine beliebig (als homogene und isobare Form der a₀, ax, ..., an) vorgelegte S'em-invariante 0 läßt sich durch die n unabhängigen fundamentalen Seminvarianten C\ (V) (i — 0, 2, 3, . ..,n) rational ausdrücken; man hat nur ax — 0, a₀ = C₀ zu nehmen, und die at (i = 2, 3, ..., n) durch

Ci

zu ersetzen.

c%-i

Dadurch wird $>, bis auf eine natürliche Potenz von C₀ im Nenner, eine ganzrationale Funktion der Ci. Eine beliebige binäre Urform f wter Ordnung besitzt genau n unabhängige Sem-invarianten; als solche können z. B. die Ci gewählt werden.“

die

So ist z. B.

<P = C₂ = a₀ a₂ — a\ — <P | (7

o,

a₀

= ao

C₂

ao

= c₂.

Nach § 14, Satz II", ist jede Seminvariante P von f das Leitglied einer völlig bestimmten Kovariante K von /, und nach § 13, Satz V, ist jede Syzygie (Identität) zwischen Kovarianten K von f durch die entsprechende Syzygie zwischen deren Leitgliedern ⁽P ersetzbar und umgekehrt.

Die n fundamentalen Seminvarianten sind daher die Leitglieder von ebenso vielen bestimmten, voneinander unabhängigen Kovarianten den von Hermite*) eingeführten „assoziierten“ Formen, die man auch nach Gordan „Schwesterformen“ nennt.

Und da C₀ = a₀ das Leitglied der Urform /' selbst ist, so zieht Satz IV den Fundamentalsatz nach sich;

Eine beliebige Kovariante (speziell nte) K von f läßt sich durch n

Satz V.

auch

ausgezeichnete unabhängige Kovarianten, die Schwesterformen — mit den Leitgliedern C₀ —, rational darstellen, so, daß als Nenner lediglich eine natürliche Potenz von f auftritt; man hat zu dem Behuf nur das Leitglied <P von K gemäß (VII) durch die n Seminvarianten Ci auszudrücken,

) Journ. für Math. 52 (1856), S. 1; vgl. Gordan-Kerschen-steiner, Invariantentheorie; Band II, §84.

und in dieser Identität hinterher alle Leitglieder Ci wieder durch die zugehörigen Kovarianten !Pt zu ersetzen.“

Zu den n unabhängigen Seminvarianten Ci von f hätte man auch von der Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen aus gelangen können. Die Gleichung V— 0 (I) ist eine solche, und zwar im besonderen, da kein freies Glied auftritt, eine „homogene“ Gleichung in den n unabhängigen Variabein a₁, a₂, . . ., an und der abhängigen Variabein <ß. Eine derartige Differentialgleichung besitzt aber*) n unabhängige partikuläre Lösungen, und jede weitere Lösung ist eine Funktion jener und umgekehrt.

Die Integration einer solchen homogenen Gleichung V0 — 0 läßt sich zurückführen auf die eines Systèmes von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen, das in die Gestalt gesetzt werden kann:

d<P

(VH!)    ₀

dax

da₂

da₃

dan n an-i

3 a₂

Aus d<I> = 0 folgt zunächst t£=const.; als die von den „Variabein“ ax, a₂ , . . ., an unabhängige willkürliche Konstante ist hier a₀ = C₀ anzusehen. Sodann liefert

a₀

2 ai

dax

d et 2

0 die weitere

oder auch a₀ da₂

2 a , dax

2

partikuläre Lösung C₂ = a₀ a₂ — a[ ; geht man so weiter, so gelangt man gerade zu den n — 1 Größen Ci (V) (<-2, 3, ..., n).

Kunmehr empfiehlt es sich**), die Seminvarianten Ci (V) in die zweite Schiebungsdifferentialgleichung, der eine Invariante ⁽P von f nach § 11, (Ilb) genügt:

ao

(IX) F₂0 =

d(p

ü(p

n    Ta₀ + (n ~¹⁾ Ta, + {n - ²⁾ Ta,

+ ... = 0,

statt der a als unabhängige Variable einzuführen.

Bezeichnet man die rechte Seite der Identität (VII), als Funktion der C

C₂, C

vorübergehend mit

*) Vgl. /. B. Li e-Scheffers, Berühx-ungstransformationen. Leipzig 1896, Abschnitt III.

**) Diesen Weg hat zuerst F. Junker eingeschlagen: Math. Annalen 64 (1907), S. 328.

^{Cq , G₂, . .., Gn), so ergibt sich, da ak {k = 2, B, n) in der Reihe der G auf tritt :

Gn zum ersten Male in Gk

G»,

(11)

d<P _ d'y ÔGk dW ÔG dak ôGk êak ^ ci G

(k — 2 , 3 , .. ., n) .

ife+1

6ak

Hierbei sind nach Ausführung der

ec„

'fc + l

dak

ak

gemäß (IV), die a₀, a₂,%,..., an zu ersetzen durch

Ç* (h

rt ’ fil i • ’ * i (in-i i L/₀ Oo    O₀

setzen ist. Aus den G{ (V) ergibt sich für ax = 0 :

• dC,

dG

Gn

während a, gleich Hüll zu

(12)

dax

= 0,

Cb! Ob

- -3 G

= -nC

eCi

dax

= —4 G

ax

(13)

dC₂

- (7

dG,

dGn

(14)

io

t+i

dak

da?,

da„

= crl,

fc + 2

dak

Auf Grund von (11) geht (IX), da wegen ax = 0 der erste Term rechts in Fortfall kommt, zunächst über in:

( i\ dW cGk

¹

Hier läßt sich das Endglied auch dem allgemeinen Gesetze der vorangehenden Summe unterordnen, indem man schreibt: i

q =    —l)rir«o~r~lai-r®i 1 dann vereinigen sich die beiden

f¹ = 0

letzten Glieder dieser Summe gerade zu dem früheren Endgliede (_!)<-! (i — 1)a<.

(15)

, , s?ev ec‘

+ (»-2)a,2^

= 3    *

Setzt man hier die Ergebnisse (11), (12), (13), (14) ein, unterdrückt den gemeinsamen Henner G₀ und schreibt hinterher wieder $ statt W, so kommt:

c<P

Jc₃

F₂0 =

e&

Ô0

+ iC*Tä, +-+*c-iäö'

+ (n — 2) 0₃

e$

ec₂

+ in - 3) 0₄

ec.

Ô0

Semin Varianten. c0 6&

oder, nach den

. . geordnet:

M, ’ Te, ’ '

(X)

V2 0= (n — 2) 0₃

c<]>

Ô0

+ {(» - 4) C₅ - 4 (»    1) C₂ CJ

+ <(»-3)C₄-3(»-l) 01}^-Ô0

+ {1-0

n-1

(w-1)2(7₂Om_₂>

<90

ec

n-l

— W(W— tyCsCn-tjg

-0.

Diese Gleichung versagt nur in dem Falle n = 2 , der aber leicht direkt zu behandeln ist; denn C₂ = a₀a₂ — d[ ist selbst eine Invariante der Urform /₂ a₀x\ + 2a₁x₁x2 a₂x2, und zwar nach § 10 die einzige, indem jede andere nur eine Funktion von C₂ sein kann.

Eine Invariante 0 von f genügte außer den Bedingungen V₁0=Q, V₂0 = O nach § 12 (III) noch den beiden Gewichtsdifferentialgleichungen = 0 , M₂ = 0 und war umgekehrt durch diese vier Bedingungen (von denen irgendeine der beiden letzteren nach § 14, Satz VII, eine Folge der drei übrigen ist) charakterisiert. Man kann nun auch in = 0, M₂ = 0 die Größen als unabhängige Variable einführen.

Beschränkt man sich aber auf solche Invarianten 0, die in den a ganzrational sind:

(16)

wo die A numerische Faktoren sind, so empfiehlt es sich, die mit = 0, M₂ = 0 gleichwertigen Gewichtsrelationen (4) des § 12 heranzuziehen, wonach 0 in den a homogen von einer Dimension g und damit auch isobar von einem

2~ ist:

£0 + «1 + ... + en — Q >

£'i + 2 r₂ -f- 3 £₃ + ... -j- n en = co ,

2 co = n g .

Führt man jetzt in (16) die C (V) direkt ein, so hat man nur die Terme zu berücksichtigen, die al nicht enthalten:

Gewichte o> =

(17 a) (17b) (18)

• ■ En

o₉\«/c₉y

Cn

-1

(19)

=ZA

• • • C'n*

wo A zur Abkürzung steht und auch in den Bedingungen (17) ex = 0 zu setzen ist, so daß diese übergehen in:

(17a/)

(17b')

Damit wird der Exponent von G₀ in den Nennern der rechten Seite von 0 (19):

£2 + 2 £₃ + 3 ei -f- ... (n — 1) en — e0 — (2 £2 -f" 9 ß₃ + . • • + n en) — (e₀ -f- e₂ + . . . + en) — co — g ,

so daß sich die Darstellung (19) von 0 vereinfacht zu: = £ A C?*Cl».. . Genn .

f0 + e2 + c3 4~ • • • +    — Q >

2 e₂ + 9 £3 + ... + n en = cd .

(XI)

Hier sind rechterhand, da £₀ explizite nicht mehr auf tritt, die e₂, e₃, ..., en nur noch an die Gewichts -relation (17b') gebunden, und zwischen g und co besteht die Belation (18). Umgekehrt führt irgendeine solche Darstellung (XI), wenn man die G₀, G in den a ausdrückt, zu einer bestimmten Darstellung (19) zurück. Soll dann ein Ausdruck 0 von der Struktur (XI) eine Invariante von f werden, so ist dazu, da vermöge Einführung der C statt der a die Bedingung Vx0 = 0 identisch erfüllt, also überflüssig wird, lediglich notwendig und hinreichend das Bestehen der Differentialgleichung (X) für 0, oder auch, was auf dasselbe hinauskommt, für die rechte Seite von (XI). Aus diesem Grunde nennt Junker die Gleichung (X) schlechthin die „Differentialgleichung der Invarianten“ (sc. einer binären Urform fn). Setzt

2 co

man in co — g für g seinen Wert - aus (18) ein, so

"ü>(»-2) n

., Cn wieder

. Man hat also das grundlegende

wird cd — g =

Ergebnis :

Satz VI. „Jede in den fundamentalen Sem-invarianten (7₂,63, . . ., Cn einer Urform fn ganzrationale Funktion (XI) ^A-Gf/Gÿ ... 0** , die in den^O

isobar vom Gewiohte a> = 2e₂ + Be₃ -f- ... -j- nen ist und der Differentialgleichung (X) der Invarianten

m (n - 2)

genügt, liefert, mit dem Xenner C₀ n versehen, eine Invariante 0 von /', in den a vom Gewichte w

und von der Dimension o =    , und umgekehrt.

XI

Dabei muß 2co eine durch n teilbare natürliche Zahl sein.“

Nach der Theorie der partiellen Differentialgleichungen besitzt die in den Variabein C

. ., Gn homogene lineare Gleichung (X), von 6er willkürlichen Konstanten abgesehen, n — 2 unabhängige Lösungen J₂, J₃, . . ., Jn. Das bedeutet jetzt den

Satz VII. „Eine beliebige binäre Urform fn besitzt n — 2 unabhängige Invarianten J₂, J₃, ..., Jn.“

Auch hier bildet der Fall n = 2 eine Ausnahme, da eine f₂ die eine Invariante J₂ =a₀a₂— a\ besitzt.

Über eine spezifische Schwierigkeit, die sich der richtigen Auffassung der Größe G₀ entgegenstellt, vergleiche die allgemeinere Erscheinung in § 17.

Die obigen Sätze mögen an den Beispielen der /₃ und /4 illustriert werden. Für n = 3 wird die Gleichung V₂ 0 = 0:

CO

O

o>

<£>

cP $

Man bestimme also das Integral der gewöhnlichen Differentialgleichung

d. i. !2CldC₂ + 2 0₃dC₃ = 0 ,

dC^_ das C, “ -6Cf

und erhält als die einzige unabhängige Invariante 0₄ von /₃ :

(21)

= 4 ci + ei

vom Grade p = 3 und Gewichte co = 6 . Das ist die Dis-kriminante B von /₃ (S. 176).

Für n = 4 lautet die Gleichung l₂ 0 — 0 :

CO

O

<3_>

CO

toto

12 0₂ 0₃

<90

= 0.

Die beiden unabhängigen Invarianten &x, 0₂ von /₄ sind die Integrale der beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen :

dC±

0₄ - 9 Gl

Hier liefert die Gleichung

dC₂

de;

— 12 0₂ Cs '

dO<

2 C₃ '    —12 0₂ 0₃

das Integral:

d. i. d0₄ + 6 0₂d0₂ = 0

(22)

= 0₄ + 3 01

vom Grade g = 2 und Gewichte co = 4 . Das ist die Invariante i von /’, (S. 178). Man integriere sodann die dC₃

dC₂

2 C, ~ Gl-9 CI ' von 0₄ aus (22), wobei ⁽ł>x als Konstante anzusehen ist, ergibt die Gleichung:

Gleichung

Nach Einsetzung des Wertes

(<Ź>₄ - 12 ChdC₂ - 2 0₃ dC₃ = 0

das weitere Integral:

0„ = <PXC₂ -4 G\- Gl = C₂ C₄ - 0| - 01 vom Grade g = 6 und Gewichte m = 6 . Das ist die Invariante j von /₄ (S. 178).

Das obige Verfahren, um eine Invariante und deren Differentialgleichungen in den Seminvarianten 0 darzustellen, überträgt sich mit einigen Modifikationen auf eine Kovariante K(a₀, ax, ..., an ; cc₁, x₂) von /'.

Die Schiebung (2) lautet, nach Einsetzung des Wertes

(23)

aus (III):

(2r)

«0

Vermöge (2') geht die Kovariante IT von f in eine Kovariante der transformierten Form 9p(£i, |₂) über. Man hat also wiederum a₀ — O₀, a₄ = 0 , a* (i = 2 , ..., n) = OiO₀-<l~¹⁾ zu setzen und zugleich (wegen «j = 0) xx — Ç x₂ — |₂ . Damit wird:

-ZT (<Xq ,    , . . • ,    5    > *^2 )

(XII)

= *(o₀, 0,

0,

or¹ ’

Hier spielt C₀ wieder nur die Rolle einer die C₂, C .. ., Cn homogen machenden Variabein, die man bequemer gleich 1 nimmt.

So z. B. hat (S. 175) eine /₃ die quadratische Ko-

variante :

(24) A = (a₀ a₂ — a\) x\ + (a₀ a₃ — ax a₂) xx x₂ + (ax a₃ — a‘() xl . Gemäß (XII) entsteht:

(240

während die Urform f selbst übergeht in

*! + 3C₂f₁g + c₃n.

Nun hatte nach § 13 (14) eine Kovariante K(a₀, ax, . . ., an ; xx, x₂) von /', mit einem Gewichte co , den vier charakteristischen Differentialgleichungen zu genügen:

~ x' tx:

Xi

- mK = 0 ,

(XIII a) <

M₂ — x₂

3— = «i "3--(- 2 a₂ -r

ex o    cax    o

ü₂

dx₂

+ • • • — X2

- coK = 0 ;

(XIII b)

V î    x₂

dxx

—--h 2 ai

dxx

4- • • • X2

Qj

V₂-xx

da?₂

•ô*, ~0,

o.

I ₂ mit den unter (I), (IX) aufgeführten Prozessen

wo !

übereinstimmen. Die beiden Gleichungen (XHIa) werden nach Einführung der (7*, £, rj zu den folgenden von analoger Struktur:

nC₀

dK

ec₀

+ (n - 2) G

dK

ec₂

dK

—--co K — 0

(XIII a')

n- 1

2 C₂

Oil

dG₂

+ n Gn

Qj; Qj

³ëcs ⁺ -"

dK

wo, im Vergleich mit (XIIIa), nur je das mit dem Faktor ax behaftete Glied herausgefallen ist, während im übrigen einfach die Buchstaben a₀, a₂, resp. mit C₀, G₂, . . ., Ow ; £,, £₂ vertauscht sind.

Von den beiden Gleichungen (XIII b) wird die erstere wieder identisch erfüllt und damit überflüssig.

Bei der zweiten Gleichung (XIII b) ist die Trans-

ô

nebst dem von x₁ ^—, o

zu der Abhängigkeit (2') zwischen x₁,    £₂, a₀. ax in

Beziehung zu setzen.    -

Zunächst wird (für ax == 0) direkt x₁ —

c x₂

formation (X) des Ausdruckes V

an'i

Bei A₂ ist zu beachten, daß bei der Bildung von im

zweiten Gliede zu den früher, in (X), erhaltenen Gliedern wegen (2') noch das folgende (für ax = 0, a₀ = C₀ = 1) hinzuzutreten hat:

c dgt

d £. da.

das dann noch mit (n — 1) a₂■== (n — 1)G₂ zu multiplizieren ist. Damit geht als transformierte Gleichung (XIII b) hervor :

(Xlllb') (n-l)C₂(sdK

ex

= 0,

+ Paz-fllî=

wo für P₂ K der Ausdruck (X) (mit <& — K) zu substituieren ist.

§ 13 (14) ausgedrückten Gewichtseigenschaften für K bereits als erfüllt an, so ist (XHIb') als einzige wesentliche

Sieht man die durch (XIII a) gemäß

Bedingung für eine Kovariante K von f zu betrachten; Junker 1. c. bezeichnet sie daher als die „Differentialgleichung der Kovarianten“ von f.

Gn, besitzt also nach dem schon oben be-

Diese ist eine homogene lineare partielle Differentialgleichung in den n -f1 unabhängigen Variabein £, rj, C₂, C₃, ..

nützten Hilfssatze n unabhängige Partikularlösungen, die durch Integration des Systems linearer totaler Differential gleichungen :

d£x

dC₂

(XIV)

(n - 2) G₃

-(»-1)C₂*₂

₌    —dC₃    _    _

{n - 3)C₄-(3»-l)Gl    n{n-l)G₂C

dGn

n-1

zu ermitteln sind. Somit gilt:

Satz VIII. „Eine beliebige binäre Urform fn besitzt n unabhängige Kovarianten, die durch n unabhängige Partikularlösungen des mit der Differentialgleichung (XHIb') der Kovarianten gleichwertigen Systems (XIV) repräsentiert werden.“

Die Invarianten ordnen sich als spezielle, von xx, x2 resp. £j, £₂ freie Kovarianten ein.

Andererseits besaß zufolge der Sätze II und III eine /„ auch, mit Einschluß von G₀ = a₀, n unabhängige Sem-invarianten. Zwischen irgend n +1 beliebig ausgewählten Kovarianten K besteht daher eine Syzygie und ebenso zwischen irgend n +1 Seminvarianten <£>.

Dies steht durchaus im Einklang mit .§ 14, Satz II', wonach eine Kovariante K von f durch ihr Leitglied, eine Seminvariante <5, eindeutig charakterisiert ist, wo umgekehrt 0 im übrigen ganz beliebig sein kann, so daß eine Syzygie zwischen n +1 Kovarianten K dieselbe ist, wie zwischen ihren Leitgliedern und umgekehrt.

Nach Einführung der neuen Argumente G läßt sich eine solche Syzygie durch Eliminationsprozesse gewinnen.

., Kn+1, durch die G₀ , G₂, ..., Gn ausgedrückt, wobei G₀' jeweils nur in einer gewissen Potenz im Kenner auf tritt, so liefert die

2) ••

Hat man nach Vorschrift von (VII) n +1 vorgelegte Seminvarianten , <Z>₂, ..., (Z>n+1-, die Leitglieder von ebenso vielen Kovarianten Kx, K

n+l •

Elimination der G₀, 0₂, . .., Cn die gesuchte Syzygie zwischen den &₂, ..$n+1 und damit zwischen den *1,

Als Beispiele mögen die beiden klassischen Syzygien Cayleys*) dienen, die zwischen den einfachsten In- und Kovarianten einer f₃ resp. /₄ bestehen.

Bei einer f₃ (S. 175, 176) sind die Seminvarianten Gq , C₂, C₃ die Leitglieder von /' selbst, der quadratischen Kovariante A und der kubischen Q .

Die einzige Invariante R, die Diskriminante von f (und zugleich von A), war gemäß (21) in Funktion der G dargestellt vermöge:

(25)

O₀²E=Ci + 4C₂³.

Ersetzt man hier die Seminvarianten G₀, G₂, C₃ durch ihre bezüglichen Kovarianten f, A, Q, so entsteht die Syzygie (S. 176):

(250

4 zl³ = f²R - QK

Die vier Formen f, Q, A, R heißen vier „irreduzible Grundformen“ der f₃, da sie nicht weiter durch Kovarianten (Invarianten) von niedrigerer Ordnung und niedrigerem Grade ausdrückbar sind, wie hier nicht bewiesen werden soll.

Bei einer /₄ sind (S. 178) die Seminvarianten G₀, G₂, G3 die Leitglieder von f selbst, der biquadratischen („Hesse-scheu“) Kovariante H, sowie der Kovariante 6. Ordnung 6, der Funktionaldeterminante von f und E. Außerdem existiert noch eine weitere, von G₀, G₂, C₃ unabhängige Seminvariante 0₄. Zwischen den beiden Invarianten i , j und den G bestanden nach (22), (23) die Relationen:

au =Q,<h-<%-<%.

Hieraus ergibt sich für C₂ Ci die doppelte Darstellung :

0,0i~iC,(%-3<Ą-jCł + <Ą+ Ci, so daß zwischen C₀, 0₂, Gs, i, j die Syzygie herrscht: -iG₂Gl+jGl + AGl+Cl = 0.

(26)

Gli = G₄ + 3 G\

(27)

*) Vgl. A.Cayley in seinem V. Memoir upon Quantics, London Phil. Trans. 148 (1858), p. 429, abgedruckt in den Collected Math. Papers, Band II, S. 527.

Substituiert man hier statt der C₀, C₂, C₃ die zugehörigen Kovarianten f, E, 6, so resultiert die Cayleysche Syzygie:

(27')

— ß² = j f³ A H³ — i H f².

Die Formen f, H, 9, i, j repräsentieren wiederum fünf irreduzible Grundformen der .

Die Syzygien (25'), (27') lassen sich zu einer „invariantentheoretischen“ Auflösung der kubischen resp. bi-quadratischen Gleichung f₃ = 0 resp. /₄ = 0 verwenden¹).

Aufgabe 1. Es ist zu zeigen, daß man ein vollständiges System unabhängiger Lösungen der linearen partiellen Differentialgleichung (II) Ah — ~ 1 erhält, indem man die Partikularlösung (III) vermöge willkürlicher Konstanten mit den Größen Ci (V) additiv zusammensetzt.

Aufgabe 2. Die Entwicklungen des Textes sind für eine f₃, /’₄ und /₅ im einzelnen durchzuführen. Im Falle der ist (7₄ durch die Größen C₂, C₃, i, j, a₀ rational darzustellen.

Aufgabe 3. Es ist folgender Satz von Herrnito (s. das Zitat auf S. 264) zu beweisen. Führt man in eine Form /„(#!, x₂) neue Variable    ein vermöge der

fi =

(i = 1, 2) und die yx, y₂ mit den xx, x₂ ko-

Kovarianten = yxfx{x) + y₂ f₂ (x), ^=xxy₂ — x₂ yx, wo 1 öf n dxi

gredient sind, so geht die mit fn ~¹ (x) multiplizierte Form f(y) über in

<p(ii, £₂) = ^ + tfr₂w₂^-²fl + F₈w₃^-³ll+ ... +^»8,

wo die Wi die Schwesterformen sind.

Aufgabe 4. Zwischen je drei binären Formen der Ordnungen 1, 1, 1; 1, 1, 2; 1, 2, 2; 2, 2, 2 besteht eine Syzygie (vgl. die Aufgabe 2 zu § 3). Diese Syzygien sind aufzustellen und mit den jeweiligen der LeitgMeder zu vergleichen.

Auf gäbe 5. Es ist zu beweisen, daß jede Seminvariante einer Form f eine simultane Invariante der einseitigen Ableitungen fi von / ist (vgl. § 13, Satz III'). Das Entsprechende gilt für ein System von Urformen.

§ 17. Fortsetzung.

Seminvarianten bei unabhängigen Substitutionen.

Wie in § 15 liege eine Urform f in mehreren, nicht-homogenen Yariabeln x, y, z, ... vor, die unabhängigen (inkongruenten) Substitutionen unterworfen werden:

n,p,q,

...(«; y\ »; •••)

(i)

. nipkqi . . . ailei'"Xn~iyp~kzq~l . .

i = 0 Jc = 0 Z = 0

wo wieder nz, pk, qt, ... resp. den ^ ten, fc ten, ? ten, ... Binomialkoeffizienten von n, p, q, ... bezeichnen. Dann genügte eine Invariante J von f gegenüber unabhängigen Substitutionen der a? ; y ; z; ... in bezug auf jede dieser [x Variabein vier linearen partiellen Differentialgleichungen, z. B. für x den folgenden:

(la)

r.^ŹŹŻ-*«

-1 ,kl..

• dj

- (Ib)

CV>

ßaikl...

= 0;

(Ha)

i= 1 Je = 0 1 = 0

i = 0 k = 0 1 — 0    caikl...

n- 1

Cj

— o)x J = 0

n p q

(iib)

i = 1 k=0 1 =0

dj

" -j-    cox J — 0 .

caikl...

Umgekehrt charakterisieren diese /i Gleichungssysteme (I), (II) eine Invariante J von /', so daß, wenn Jx der in den transformierten Koeffizienten gebildete Ausdruck von J ist und Ax, Ay,Az, ... die zu den verschiedenen Substitutionen der x; y ; z ; ... gehörigen Determinanten, die Identität besteht:

(III)

Jx = zl"* Ayy A™z... J.

Dabei ist J in den a homogen von einer Dimension (Grad) d, wo d mit den Gewichten cox, co die Relationen verbunden ist:

2 oiy = dp

*) Vgl. A. Cayley, 1. c. ; E. Study, American Journ. f. Math. 17 (1895), p. 185; Vorlesungen über Geometrie von A. Clebsch und F. Lindemann. I, 1; Leipzig 1875, S. 223, 232; zweite Auflage 1908, S. 432, 452.

.. durch

(2)

2 o)x = dn

2 ojz — dq

und zugleich in den a isobar von den bezüglichen „Teilgewichten“ OJx , CO

Wir beschränken uns im folgenden auf Invarianten J, die in den a ganzrational sind. Unter einer „Seminvariante“ von f verstehe man eine ganzrationale Funktion der a, homogen von einer Dimension d und isobar von den bezüglichen Teilgewichten co rentialgleichungen (I a) Yx = 0, Vy = 0, Vz = 0, ... genügt.

Es sollen die einfachsten Seminvarianten C von f aufgestellt werden, durch die sich alle übrigen rational darstellen lassen. Aus der linken Seite der Gleichung (Ia) entnehme man die Wirkung der Prozesse Vx, V irgendeinen Koeffizienten aiki_ von f :

(IV) Vxailci'" = idi

coz, ..

(i)y , COZ ,

die den Diffe-

.. auf ‘

F y aikl... ~ (Ii

Die Urform (1) f werde jetzt lauter unabhängigen Schiebungen der x\ y ; z ; ... unterworfen:

(B) x = £ -j- h , y — y + k , z — Ç 1 , ■ .

so lehrt die Taylorsche Entwicklung von /‘(f + h, rj + k C + l, . .. ), daß :

t (£ + ^ ; v + & ; C + l ; • • • ) = <p(£ ; v ; C ; • • • )

,k-l,l... ?

usw.

(V)

« V 9

= 222’-

„    r = 0 « = 0£ = 0

wo die neuen Koeffizienten <x bezüglich der h, k, l, ... von analoger Struktur sind, wie f selbst hinsichtlich der x , y , «, ... :

(VI)

ar*t... = 2 2-2 rc s° Y • • • aeax...łir-sks-°lt-x...

g =0 (7 = 0 7 = 0

£)(n + p + ï + ...)-(r+s + < + ...)

r! s! t!

w! p ! g ! * " ’ ôhn~r ôkp~⁸ ôlq ~¹ . . .

*ï lï

Kach dem Muster des in § 16 für eine Urform f(x) eingeschlagenen Verfahrens frage man wiederum, ob sich nicht die Schiebungsparameter h, k, l, ... in (3) so wählen lassen, daß sämtliche neuen Koeffizienten ocrst... den Bedingungen genügen:

(VII)

USW.

(4)

Man bediene sich für das Folgende der Abkürzungen:

aoiooo...⁼ ^1 > aooioo... = ci > aoiooo...⁼ ßx i aooioo... ⁼ 7i > •• so hat man    für die- 04, ßx, yx, ... die Ausdrücke:

(5)    cxx = a₀    h + ax    ,    ßx = a₀ 1c -f bx , yx = a₀l + cx ,    ...

Gemäß (IV) gilt im besondern:

V y a₀ = 0

(6)    ■ Vx ax — Vy &i = Vy cx = . . . = a₀ ;

Vy ax = Vz % = ...= V x bx — Vz bx =... — V x cx — P y cx —... = ¹.

Danach genügt <x₀ = a₀ allen Gleichungen = 0 ,

= 0, ... und ist eine Seminvariante von f.

,    , ... erhält man zunächst, wegen (6) :

Fx «! =    F*K Ä    +    %) = «₀ F, ä + V* <h = %{FX Ä + 1)    ,

FyÄ =    F„(a₀ A:    +    &x) = a₀ V 1c + V bx = o^F, fe +1)    ,

a0000... — ao 5 Äoooo... == Äo ⁼ ®o 5 ^iooo... ~ ai

F„ = 0

(V

(VIII)

%000... — %

F₂ a₀ = 0 ,

Vyoci = Fy(a₀Â4-a₁) = a₀F|,Â , FjBjff₁ = FiB(a₀fc+6₁)=a₀Fj,fe , Fz ä! = Fg(a₀Ä+o₁) = a₀F,Ä, Fz/3₁ = F₂(a₀fc+&₁)=a₀F*fc ,

Hieraus folgt unmittelbar:

Satz I. „Das System der Bedingungen VX<xx = 0

(%i    = 0 ,    ..

Fyyx = 0, ... ; ... ist gleichwertig mit dem andern: Vxh=VyTc=Vzl Fyh=YZh

Man sehe nunmehr alle diese Bedingungen (VIII) als erfüllt an und frage, ob damit nicht von selbst auch alle übrigen Koeffizienten cxrst... den Bedingungen (VII) genügen. Man bilde gemäß (VI), etwa für den ersten Prozeß Vx (Ia), indem man kürzer die vielfachen Summenzeichen durch einfache ersetzt:

(8) F„a„t... = V, Tras„t,...    ...

; y,ß

0, F,A = 0

= -l,

.~Yxh =    Vzh=...= Vxl = Vyl =    ...=    02’

Übt man rechts den Prozeß Vx auf irgendein einzelnes Glied aus und beachtet (IV) sowie die mit Rücksicht auf (VIII) geltenden Hilfsformeln:

Vx hr~e = -(r — g)hr~(e⁺V

ryv-' = o,

(9)

Vx lcs-a = 0

so erhält man:

Vx(resatT . .. aQ(Sr...~hr~vk*-<’lt-' . ..)

= — rß(r — g)s₀tT ... aQax... hr~te⁺V lcs-°V-z + grQs₀tx . . . as-₁,',x...Tir-e'ks-alt-x . .

wo die beiden Glieder rechter Hand kurz unter (a), (b) angeführt seien. Man kann zeigen, daß sich jedes dieser beiden Glieder gegen ein anderes, in (8) auftretendes, entgegengesetzt gleiches, zerstört.

Was das Glied (a) in (10) angeht, so findet sich in (8) ein weiteres Glied (b') mit dem Faktor aßar..., von der Struktur (b), das vermöge Vx aus dem Gliede in <xrst...:

r₉+isatr . .. ap+i,„...Är-fe⁺¹⁾fc,-ffP'”T...

hervorgeht, nämlich:

(11) b') +r--M(e + l)«ff£ ..    &•-*?-*...

(10)

(a)

(b)

Die Vereinigung der beiden Terme (10a) und (11 b') liefert, abgesehen von dem gemeinsamen Faktor sntT . . . ae„T ...hr-^⁺^lcs-alł-T. . ., das Aggregat der beiden numerischen Faktoren:

(g + l)re+1 -(r-g)rß =

r(r — 1) ... (r — g)

1-2-

• -Î?

(r — g) = 0 .

r(r — 1) ... (r — g + 1)

T~2 • ... •

Andererseits existiert ein weiteres Glied (a') in (8) mit dem Faktor    von derselben Struktur wie (a)

in (10), das vermöge Vx aus dem Gliede in arg«...:

re-xSatT .. . ae-x,ar ...łir~^+i')1cs-alt-T . . .

entspringt, nämlich:

(11') a') — re_i(r — p + l)s„tr .. . ae_i|fft...Är-eTcs-aV~r. . .

Die Vereinigung der beiden Terme (10) b) und (11') a') liefert wiederum, abgesehen von dem gemeinsamen Faktor 8„tz ... aQ-itax ...hr~QT<'S~alt~T • • •, das verschwindende Aggregat:

reQ — re-t(r — q + 1) =

r(r — 1) ... (r — q + 1)

f . 2 • 777 - (o - l)

r(r — 1) ... (r — q + 2)

(r — p + 1) = 0 .

Somit erfüllt in der Tat, auf Grund der Bedingungen (VIII), jeder der in (V)<p(£, rj, Ç, ...) auf die a₀, a1? ßt, y1} ... folgenden Koeffizienten ocrst... die Bedingung Px = 0, und ebenso die weiteren Bedingungen Vy = 0 , Vz = 0, . . . Es gilt daher:

Satz II. „Hat man die Schiebungsparameter Ti, Tc, l, .. . in (2) gemäß (VIII) so gewählt, daß die Bedingungen Pxa₁ = 0, Pyß₁ = 0, ..., Pxßl = 0, Vzß₁ = 0, ... erfüllt sind, so genügen damit sämtliche Koeffizienten <xrst... der vermöge (2) transformierten Urform <p(£; rj; £; . . .) (V) den Gleichungen

^ x &rst... 0 , Py &r8t... ⁼ 0 , ...

nämlich :

Für das Folgende bedarf man nur einer partikulären Lösung der partiellen Differentialgleichungen (VIII) für die h , Tc, l, . .

(IX)

a‘

d₀

Man erkennt das einmal direkt daran, daß die rechten Seiten der h, Tc, l, . . . wegen (6) die Bedingungen (VIII) erfüllen, oder auch daraus, daß die Werte (IX) der Schiebungsparameter h, k, l, . . . in (2) gerade die sind, die das Verschwinden der neuen Koeffizienten <xx, ß\, Y\, • • ■ bewirken, und damit eo ipso das Bestehen der Bedingungen Pzoc₁ = 0 , F„ «! = 0, Pz <xx = 0 usw.

Vermöge der besonderen Werte der h,lc,l, . . . in (IX) gehen die Ausdrücke argf... in (VI), wenn man deren Dimension r -j- s + t + . . . in den h , Je, Z, ... mit d bezeichnet, und die (sc. mit den q , o, t , ... variierende) Summe p + o + % -f- ... mit ô :

(12) t -j- s -f-1 -j- .. . = d

Hier ist Crst... homogen in den a von der Dimension d , bezüglich der einzelnen Yariabeln (Indizes) isobar von den Teilgewichten r, s, t, . .., also in bezug auf alle Indizes isobar vom Gesamtgewicht d.

Da überdies zugleich mit arst... auch Grst... den Bedingungen Vx = 0, Fy = 0, Vt = 0 , ... genügt, so sind die Crst...(d ^ 2), zusammen mit C₀ = a₀ selbst, sämtlich Seminvarianten von /'.

Diese Größen C sind aber auch unabhängig voneinander: denn ordnet man sie nach steigender Dimension d = 0, 2, 3,..., so treten stets neue Koeffizienten arst... auf, die für die G gleicher Dimension jeweils verschieden sind. Andererseits beträgt die Anzahl der C, da die (x₁, ßx, y₁, ... in 99(1 ; rj ; £;...) herausgefallen sind, ebensoviel als die Anzahl (n -j- 1) (p + 1) (<? + 1) • • • der Koeffizienten a von f, vermindert um die Anzahl der durch (VIII) festgelegten Schiebungsparameter, d. i. die Anzahl fi der Variabein von f. Demnach beträgt die Anzahl der G (inki. G₀):

(14)

(» + 1) (P + 1) (S + 1) • • ■ —•

Daß die Anzahl unabhängiger Seminvarianten von f auch nicht größer sein kann, als in (14) angegeben, folgt daraus, daß man eine beliebige Seminvariante <Z> von f durch die G ausdrücken kann.

In der Tat ergibt sich auf Grund der Entstehung der G, die der speziellen Wahl der h, Tc, l, ... in (IX) entsprang, und wegen des Zusammenhanges (X) zwischen den G und die gewünschte Darstellung. Sei

(d ^ 2)

1 , cl ) • • • 5 arst... >

über in:

(13)    =2(—V)d~ôresatT ... aear„'

a\-el\~ac\-x . . .

atä

glied

Für p = 0, ö = 0, r = 0, ... resultiert das Anfangs-

a\ b[ c\ . .

. Multipliziert man daher die rechte Seite

-1

so erhält man eine ganzrationale Form

von (13) mit a$ der a₀ , ax, bx, c₁, . . ., aQOT..., die mit Grst... bezeichnet sei:

( rst... - «0

d-1

(X)

&rst...

2(—l)d~*re8atT . . . ae„rm.,a* • a\~e b\~a c\~x . . .

«i, b

Sodann war nach § 10 (XVII) jede Seminvariante 0, also insbesondere jedes der C, das Leitglied einer völlig bestimmten Kovariante K von f, und jede Syzygie zwischen Kovarianten K bestand zugleich zwischen deren Leitgliedern 0 und umgekehrt. Es sind daher die Grgtm._ (inkl. G₀ = a₀) die Leitglieder von ebensoviel unabhängigen Kovarianten 0rgt..., die wiederum, wie bei Formen/¹ einer Variabein x, die „assoziierten“ oder „Schwesterformen“ von/'heißen mögen, und die Anzahl unabhängiger Kovarianten K von f wird ebenfalls durch (14) angegeben.

Irgendeine Kovariante K von f mit dem Leitgliede 0 stellt sich somit, bis auf eine natürliche Potenz von f selbst im Nenner, ganzrational in den W dar: man hat nur auf der rechten Seite von (XI) G₀ durch f, und jedes <7rgt... durch 0\st... zu ersetzen. Die G heißen wiederum die „fundamentalen“ Sem invarianten von f. Damit * ist der grundlegende Satz bewiesen:

n, p, g

die vorgelegte Seminvariante, so hat man nur die al,bl,c₁,...

Crst...

er¹

nehmen, wo C₀ = a₀, da gemäß der obigen Definition einer Seminvariante für beliebige Schiebungen der x ; y ; z ; ... :

> • • • ? ..

Ä1 J ßll Yl) • • • 5 ars«..

Somit wird im vorliegenden Falle:

0(<*o ?    ) • • • 5 ^rgt... i • • • )

fi-sü...

CJ-¹ ’ '

gleich Null zu setzen, und jedes ars<... gleich

(15)

(XI)

*(0O, 0, 0, 0, ...;

zu

Satz III. „Eine allgemeine binäre Urform y ; z ; ...) von den Ordnungen n, p , q, ... in jjL nichthomogenen Variabein x, y, z, ... besitzt genau (n + 1) (p + 1) (q + 1) . . . —fi unabhängige Seminvarianten. Als solche kann man die fundamentalen Seminvarianten    (X), inkl. G₀ = a₀,

wählen, durch die sich, vermöge (XI), eine beliebige Seminvariante (oder im besonderen auch Invariante) 0, bis auf eine natürliche Potenz von C₀ = a0 im Nenner, ganzrational darstellen lassen.

Die Größen G stimmen, jeweils bis auf eine gewisse Potenz von G₀ = a₀, überein mit den Koeffizienten <xrgt... der vermöge der Schiebungen (2), (IX) transformierten Urform 99(1 ; rj ; £ ; . . .), in der die Koeffizienten otx, ß₁, y₁, ... der Glieder zweithöchster Dimension verschwinden.

¹

S. das Zitat auf S. 274.

Die G sind die Leitglieder von ebensoviel unabhängigen Kovarianten von /’, den assoziierten Formen oder Schwesterformen W, durch die sich, wiederum auf Grund von (XI), bis auf eine Potenz von f selbst als Nenner, jede weitere Kovariante oder Invariante ganzrational ausdrücken läßt.

Die Anzahl unabhängiger Kovarianten von /', dieselbe wie die unabhängiger Seminvarianten oder auch der G, wird durch (n + 1) (p + 1) (q -f- 1) ... — /j, geliefert.“

Aus dem Auftreten der negativen Vorzeichen der Schiebungsparameter h, Tc, l, . . . in (XI) einerseits, sowie aus dem der Binomialkoeffizienten in der Urform f (1) resp. ihrer vermöge (2) transformierten Gestalt 99 (V) läßt sich noch eine bemerkenswerte Folgerung ziehen. Greift man aus (V) irgendein festes, den Parameter h nicht enthaltendes Potenzprodukt Tcs~nlt~T ... heraus, so ist dasselbe multipliziert mit einer binären Form r-ter Ordnung in h, deren numerische Faktoren die zu r gehörigen Binomialkoeffizienten r₀ — 1, rl, r₂, . . ., rr = 1 sind.

Wird hier gemäß (IX) h durch — ⁰¹ ersetzt und mit

a₀

«o heraufmultipliziert, so entsteht eine binäre Form r-ter Ordnung in den homogenen Größen a₀, at, mit den nämlichen numerischen Faktoren 1, rx, r₂, . . ., rx, 1, aber alternierenden Vorzeichen. Nun ist aber:

(16)    1 - rt + r₂ - r₃ + . . . + (-1/ =s (1 - 1)' = 0 .

^rst... J

Das gleiche wiederholt sich für alle weiteren Potenz-Produkte von der Struktur Jcs~°lt-T . . . : stets verschwindet die algebraische Summe der numerischen Faktoren in dem als Koeffizient des Potenzproduktes fungierenden Polynome. Daraus folgt, daß, wenn man in irgendeinem der Ausdrücke Grst,,_ (X) alle Argumente a₀ , ax, bx, cx, ...; . . . gleich der Einheit nimmt, die algebraische

Summe der so hervorgehenden Glieder gemäß (16) verschwinden muß, und das nämliche gilt für jede natürliche Potenz von

Nun war gemäß (XI), wo eine Potenz von C₀ nicht isoliert auftreten kann, eine beliebige Seminvariante oder Invariante von /', bis auf eine Potenz von C₀ als Kenner, ganzrational in den G₀, (7rg<.... Es folgt demnach:

Satz IY. ,,Die algebraische Summe der numerischen Koeffizienten einer Seminvariante (Invariante) der Urform f verschwindet.“

Kunmehr sollen die fundamentalen Seminvarianten G (X) inki. G₀ statt der ursprünglichen Koeffizienten a₀, ax, Cj, ..., arst..., ••• von f (1) in die Differentialgleichungen (I), (II) für eine Invariante J von f als unabhängige Variable eingeführt werden. Die Gleichungen Vx = 0 , Vy = 0 , Vz == 0 , ... werden dabei identisch erfüllt, da ihnen die G genügen und somit überflüssig. Gemäß (X) und (13) war (für <Z = r + s + ^ + --

d — £ + o + r + • • -):

(X)

Crst... = G*₀ ¹

,2( —1 )d~ô rss₀tT . . . aeor ".a⁵-¹ a\-eb\-° d~T ...

Die G werden in J an Stelle der a dadurch eingeführt, daß man ax — bx = c, = . . . = 0, a₀ = G₀ nimmt und alle übrigen ar8t... durch die Grst_w_Gl~d ersetzt.

Dann bestehen zuvörderst die Hilfsformeln (für % = &x = cx = ...    0):

CU

da₀ dC₀

dj

Cb ©

V'I

ZjdCr

dJ dCr,t„.

8t..

■St...

(18)

db

d0

darst...

dJ dCrst... y dCrtt„m dar8t...    ^

ôj dC

QOT ...

Q,0,T,...

QOT ..

(ß+ <* + *+ •.->*• + * + <+ •••)•

Die Entwicklungen der letzten Zeile in (18) gelten insbesondere deshalb, weil in Cr<<... der einzige Koeffizient a vom Gewichte r + s + t + • • • eben arst.. ist, während alle weiteren a in Crst . ein höheres Gewicht besitzen.

Sodann sind die in (18) auftretenden partiellen Ableitungen der G nach den a zu ermitteln.

Nun ist in der Entwicklung (X) von Crst... das einzige Glied, das, abgesehen von einer Potenz von a₀, von den Größen ax, bx, cx, . .. lediglich ax in der ersten Potenz auf weist, — r a^~² a₁ar_₁    , während alle übrigen ent

weder ax in einer höheren Potenz mit sich führen oder aber ax noch mit mindestens einer der Größen bx, cx, ... multipliziert. Da aber nach erfolgter Differentiation nach ax alle ax, bx, cx, ... gleich Null zu setzen sind, so ergibt

dax

-i ,*«...

sich

= —rCr dCrgt...

= —r a o ² ar

dbx

dcx

oder aber wegen (X) . Da sich der entsprechende Schluß für die . . wiederholt, kommt zuvörderst:

-1,8t..

(XII)

à Crst...

ÖCrst...

dax

(a₁ = b₁ = cx = ... = 0 , d = r + s -f t + ... > 2) . Eine Ausnahme von diesem Gesetze tritt nur ein*

= -rCr

-1,8t... )

Sb. - sGr

, s-1, t 1

usf.

wenn das Gewicht d = r s + t -f ... den Wert Zwei hat. Alsdann tritt z. B. ax in der ersten Potenz unter den «j, bx, cx, ... isoliert nicht auf, sondern entweder das Quadrat von ax oder aber ein Produkt von der Form ai &i i ax Gi usf. un(I entsprechend für bx, clf ...

Somit ergibt sich die Ergänzungsregel zu (XII):

dC„t... _n db, ’    * ' ‘

(XIII)

dCrst...

d ax

Für die Ableitung nach einem beliebigen arst__ folgt direkt aus (18) (ax = bx --= cx = ... = 0) :

(XIV a)

~d

-f s -f- t -t-..

-¹ = er¹

^rst...

so,,,...

k (Iqar ...

sobald qot .. . eine von r st... verschiedene Kombination der Indizes bedeutet, und endlich:

dCr,t... _Q

^ ar ...

(XIV b)

(XIV c)

Die Formeln (XIV a), (XlVb), (XIVc) fließen auch unmittelbar aus (X); insbesondere sagen (XIVb) und (XIVc) nichts anderes aus, als daß die Grst... voneinander unabhängig sind.

Wendet man die Formeln (XII), (XIII), (XIV) zunächst auf die Differentialgleichungen (II) Mx=0, Mx,₌₀ usf.

an, so erkennt man, daß die mit resp.

dj dj ej

dcq ’ db₁ ’ Są ' behafteten Glieder herausfallen, da sie resp. mit den gleich Null zu setzenden Faktoren ax, &x, c₁, ... multipliziert sind.

Um indessen das Endergebnis bequem zusammenfassen zu können, führe man noch die symbolischen Koeffizienten

^01000... > ^00100...

Null haben sollen; dann lauten die transformierten Differentialgleichungen (II) :

Ci

ooo... 1

ein, die sämtlich den Wert

M,

n-1 p q

. (n — i) Cmi...

ej

i-0 k = 0 Z=0

SC»,...

— (ox J = 0

di') {

dj

i=lk =01 = 0

dCiJcl...

— CDX J — 0

Nunmehr gehe man zu den Gleichungen (Ib) V x> = 0, Vy. = 0 , Vz, = 0 , ... über. Man beachte hier, daß z. B.

S tJ

000...

in der ersten Gleichung V x, = 0 3— den Faktor (n—1) a₂

ej ej dai

besitzt, dagegen -3=—, -3—, .. . der Reihe nach die Fak-

u    O Oj

.. Dann geht die

toren nalx000..., naioioo...i naiooioo...

Gleichung Vx> — 0 , mit Berücksichtigung von (XII), (XIII), (XIV) über in die folgende, wobei die Glieder vom Gewichte Zwei vor den anderen ausgezeichnet sind:

(10

fV = (n — 0 Ci+l,kl

(i + + Z + ... = 2)

dj

dj

dCiki...

Ô Cikl...

(i -f- Tc -f-1 -f- ... > 2)

X {i{n — 1) G₂₀₀₀... Oi_ 1,*/...-f- len Cl

-f-171 Gi

1000

0100

... Oi,k,l-1,... + • • •} — 0 ,

und entsprechend Vy. = 0, Vz> = 0 , ... Denkt man sich für eine Funktion J der G die Bedingungen (II') bereits

x, y, z

erfüllt, d. h. J einzeln isobar bezüglich der Variabein .. von den Teilgewichten wx, wy, w

., so

wird J als Invariante von f dadurch charakterisiert, daß es lediglich den Bedingungen (I') Vx> = 0, Vy> = 0, genügt; letztere verdienen daher, entsprechend dem Falle einer Variabein x (§ 16), wiederum den Namen „Differentialgleichungen der Invarianten“.

Somit gilt der Fundamentalsatz:

Satz V. „Eine in den Grst... bezüglich der einzelnen Indizes isobare ganze Funktion ist dann und nur dann eine Invariante der Urform

/«

(æ; y ; z ; . ..) gegenüber inkongruenten Sub-

>p>$

stitutionen der ju nichthomogenen Variabein x, y, z, ..., wenn sie den /jl linearen partiellen Differentialgleichungen (U) genügt, wo die als unabhängige Argumente auftretenden Größen G die (n + 1) (p + 1) (q + 1) . . . — /u unabhängigen fundamentalen Sem invarianten von f, mit Ausschluß von Gq , sind.“

Die Bedingungen (II') für eine Invariante J, als Funktion der G, sollen, wie in § 12 die Bedingungen (II) für J, als Funktion der a, durch arithmetische Gewichts-resp. Dimensionseigenschaften ersetzt werden. Sei J vorgelegt als ein Aggregat von der Gestalt:

J (a₀ , ax, bx, cx, ..

4¹ • • • <7/::: • •

BE.    ‘    '    —

wo

die c numerisch sind und zwischen den nichtnegativen ganzzahligen Exponenten gemäß (II) die Relationen bestehen :

f0 + £l + Vl ~t~ Ci + • • • +2'£r*«... —

Vl “I⁻£rst...

(20 a)

(20b) Ex    £rst...

gewichten wx, w durch die Beziehungen:

Es ist also J homogen in den a von einer Dimension d und isobar hinsichtlich der einzelnen Indizes von den Teil-.., wo diese mit d verknüpft sind

(21)

2 wx = nä ,    2 wy — p d , 2 wz = qd ,    ...

Nennt man W = wx + wy + ivz + ... das „Gesamt gewicht“ von J, N = n-{-p-\-q-\-... die „Gesamt-

Ordnung“ von f chungen (21):

so folgt durch Addition der Glei-

(22)

2 W = Nd,

als die ersichtliche Verallgemeinerung der Relation 2w = nd für den Fall einer einzigen Variabein x.

Führt man jetzt in J die G ein vermöge a₀ = G₀, at — öi = cx = ... =0 in (19) die mit irgendeinem der al, b{, c₁, ... als Faktor behafteten Glieder heraus, und man erhält J in Funktion der G:

arst... — Grst... <7₀

so fallen

(Jerst... (JFrx sxt₁... (Jsr% *ä t₂... r st... rx ^ tx ... r₂ 4 ■ ■ ■ çi2{d-ï)erit '"-e₀    *

Die Bedingungen (20 a), (20 b) gehen jetzt, da «i =    = Ci = ... =0 zu nehmen ist, über in :

£0 + ^£rst... — d ,

(20b )    £rst... ⁼ wx,    ^

Mit Rücksicht hierauf ergibt sich für den Exponenten von G₀ in den Nennern von (23):

l)^rsi... «o ⁼ d £rst...    (^j^rtt... “f" ^o)

= W-d .

Somit ist der Exponent von G₀ in den Nennern von (23) konstant, so daß (23) sich vereinfacht zu:

j(c„,    ...)cr-ä

= Xo C'y/- C'Y!'¹-- C'Y’/’- ■ ■

mit den Bedingungen (20) und (21).

Hier ist offenbar der Zähler von J, und damit auch J selbst, wiederum i so bar hinsichtlich der einzelnen Indizes von den Einzelgewichten wx, w seits aber nicht mehr homogen in den    dagegen

in diesen von der Gesamtordnung d. Rückwärts geht ein derartiges, im übrigen beliebiges Aggregat J (XIV) nach Einführung der a wieder in einen Ausdruck J von dem ursprünglichen Charakter (19) über. Dabei sondert sich aus dem Zähler von J, d. h. aus der rechten Seite von (XIV) der Faktor a^~d von selbst ab, der sich alsdann gegen den gleichen Nenner weghebt. Demnach ist bewiesen:

(23) J(G₀,Grst..

(20a')

(24)

(XIV)

. . ; 2JdErgt'" = W.

anderer-

Satz YI.

„Die Differentialgleichungen (II') sagen für einen Ausdruck J (19), nach Einführung der C an Stelle der a, aus, daß J, abgesehen von einem Nenner Gf~d, eine nichthomogene ganz-rationale Funktion der Grgt^_ (exkl. G₀) ist, von einer Gesamtordnung d und isobar hinsichtlich der einzelnen Indizes von den Teilgewichten wx, w wo für diese Zahlen die Bedingungen (21) erfüllt sein müssen.“

Addiert man indessen je zwei zusammengehörige der Gleichungen (II'), so erhält man z. B. bezüglich x :

usf.

(25)

n G₀

dj

ec₀

+Zcr

ej

8t . .

V Crst...

Danach wäre J homogen in den C₀, Grgt__ von einer

2 Wy

2 wx

2 wz

Dimension d =

sprach zu Satz VI. Um diesen Widerspruch zu lösen, beachte man, daß bei Aufstellung der jeweils ersten Gleichungen (II') stillschweigend vorausgesetzt ist, daß die G₀,    als unabhängige Argumente der Differential

gleichungen in dem Sinne „unabhängig“ voneinander sind, daß zwischen ihnen keine Identität besteht, deren Koeffizienten konstant sind oder auch selbst von den C resp. von den a abhängen. Nun tritt aber C₀ in allen Crst... auf, so daß in Wahrheit bei Bildung des ersten Gliedes der Gleichungen M^. = 0 , N\y = 0 , ... jene Voraussetzung der Unabhängigkeit nicht zutrifft; wollte man sie berücksichtigen, so würde die Struktur der Gleichungen nicht nur wesentlich verwickelter werden, sondern überhaupt einen ganz anderen Charakter annehmen.

Im Hinblick auf Satz VI und die Relationen (25) erklärt sich der Sachverhalt einfach dahin, daß die in den Gleichungen Mx = 0 , N\y = 0 , ... auftretende Größe C₀ gar nicht die Größe a₀ selbst bedeutet, sondern lediglich eine die Grst__ homogenisierende — und damit natürlich von diesen unabhängige — Variable, die genauer mit einem anderen Buchstaben, etwa Cq, zu bezeichnen wäre; am besten setzt man sie hinterher wieder gleich Eins.

Dann deckt sich der Inhalt der Gleichungen (25) vollständig mit der Aussage des Satzes VI, daß J für G₀ = 1,

<1

im Wider-

d. i. als nichthomogene Funktion der Crst..., von der Gesamtordnung d ist, die mit den Teil gewichten wx, iv durch (21) verbunden ist.

y, ...

ZI

Der Satz V gewinnt damit die genauere Fassung: Satz V'. „Sei J eine in den (7rgt... (für (7₀ = 1) nichthomogene ganzrationale Funktion von einer Gesamtordnung d und isobar hinsichtlich der einzelnen Indizes von den Teilgewichten wx, wy, w unter den Bedingungen (21), so ist, damit J zu einer Invariante von fn> p> q> _ (x ; y ; z ; . . . ) wird, not-

wendig und hinreichend das Bestehen der ,,Differentialgleichungen der Invarianten“ (I') Vx. = 0, IV = 0, ...»

Diese ju Differentialgleichungen (I") Vx. = 0, Vy, = 0, sind ihrer Bedeutung nach voneinander unabhängig; es sind homogene lineare x^rtielle Differentialgleichungen in den (n + 1) (p + 1) (? + 1) • • • —    — 1 unabhängigen Argu

menten Crst... (exkl. C₀). Nach einem Satze¹) aus der Theorie solcher Gleichungen besitzen sie eine Anzahl von unabhängigen gemeinsamen Partikularlösungen, die um fi — 1 geringer ist als die Anzahl der unabhängigen Argumente. Damit ist man in Verallgemeinerung des Satzes VII von § 16 zu dem Ergebnis gelangt:

,,Eine beliebige binäre Urform ,...(#; y\ z; •••) in /u nichthomogenen Variabein x, y, z, ..., die inkongruenten Substitutionen unterworfen werden, besitzt (n + 1) (p -f- 1) (q -f- 1)... — 2^—1 unabhängige Invarianten, unabhängige Partikularlösungen der Gleichungen (I') Vx, = 0 , Vy> = 0, . . ., durch die jede Invariante von f algebraisch ausdrückbar ist.“

Satz VII.

Wie in dem Falle einer einzigen Variabein x (§16) überträgt sich die oben entwickelte Methode, eine Invariante J von f und deren Differentialgleichungen in den fundamentalen Sem invarianten Crst... darzustellen, mit einigen Abänderungen auf Kovarianten K(a₀, ax, b₁, ą, ... ; arst...i . • • ; xx, a?₂ ; yx, y₂ ; . . .), wo die Variabein jetzt zweckmäßig homogen angesetzt werden.

Die Schiebungen (2) lauten dann, mit Einsetzung der

.. . aus (IX) :

Werte h = —

ao

(2')    f! —

^2 ) X2 ~ %2 5 2/l ~~ Vl

a₀

V2J V2=V2\ •••

Vermöge (2') geht die Kovariante K von f über in eine Kovariante der transformierten Form (p{C₀,

|x, |₂ ;    , % 5 • • • ) • Man hat also behufs Überführung

von K in die neuen Argumente zu setzen:

«0 ⁼ ü) 5 ®l “ ^1 ⁼    ” • • • ⁼⁼ 0 , drst.... ⁼ ^rst... Gq

{d = r + s + # + •••)

und gleichzeitig [wegen al = b₁ — e₁= . .. = 0 in (2')]

xi — £1> x2 ⁼ $2 ;    2/1⁼ Vi

identisch :

2/2 — V2 5 •

Damit wird

(XV)

&i <?i,    . . . ]    j

i=iT(CO)0, ,

• • > Gfst... G,

-W-l)

; •••)

% ; • • •)

wo C₀ wiederum lediglich eine die Crgt... homogenierende Größe repräsentiert. Schreibt man lieber , M VXl,    , ... für die in (II) resp. (I) als N\x, M

V x., ... auf geführten Prozesse, so hat nach § 15 (XIII), (XIV) eine Kovariante K von f den beiden, für E charakteristischen Systemen von Differentialgleichungen zu genügen:

(XVI) MXl(E) — xx

*2 ) • • • 1 x' ? • • • 5

= 0,

^(JT) - ®i I

= 0 , usw. ;

q x

(XVII)

Hinsichtlich des ersten Systems wird für ax = bx

6    ô ô    d

• • • “ 0 direkt Bxt = er, ’ x² ŚĘ =?2

.. erleiden genau die

usw.

usf.

= CX =

und die Ausdrücke M unter (II') angegebene Umformung. Die transformierten Gleichungen (XVI) lassen sich daher kurz so schreiben:

er

(XVU) Mh(K)-£

= 0, Mf,(K)-|₂

USW. ;

• diese unterscheiden sich von den ursprünglichen (XYI)

. . die Glieder mit den

.. nebst

y-> > •

. . dahin abzuändern,

der weiteren von

nur dadurch, daß in    , .

Faktoren %, b₁,    , ... in Wegfall gekommen sind und

im übrigen die Buchstaben a₀, arst__, ... ; xx, x₂ ; yx, y₂ ; resp. mit 0O(=1),    f₂ » Vn Vai ••• ver

tauscht sind.

Von den Gleichungen (XVII) wird wiederum jeweils die erstere nach Einführung der neuen Argumente identisch erfüllt, also überflüssig. Bei den an zweiter Stelle von (XVII) stehenden Gleichungen ist die früher, in (I') aus-geführte Transformation der Ausdrücke V

y'Tfs’ ■

daß die Funktionalabhängigkeiten (2') noch zu berücksichtigen sind.

Zunächst kommt wiederum (für al = bl = cx ==... = 0) :

Vi

= Vi

usf.

dVa ’

. . ist zu beachten, daß außer den in (I') erhaltenen Gliedern bei Ausführung

Bei den Ausdrücken ! \, V

Vi * •

der Ableitungen

(Jat ’ db₁ ’ dcx ? ÔÇA

d ft,

die Terme

hinzutreten,

(n 1) - 20000■ • sind.

(XVII) für eine Kovariante K :

., auf Grund von (2 ), *

usf.

ôVi ’

die ihrerseits noch mit den Faktoren

... zu versehen

. J n ^10100 ..

Damit werden die transformierten Gleichungen

11000 ..

(»-1)0*

000 ...

<3K

-)- n G₁₁₀₀₀ rj₂

(XVII o

dK dV i

+ nC

10100

<K

... C-2 . ■-

-1

cK

-— = 0,

ĆV2

wo für VXt . . . die Prozesse (I') einzusetzen sind.

Ximmt man die durch die Gleichungen (XVI) resp. (XVI') indizierten Gewichts- und Dimensionseigenschaften eines Ausdruckes K als erfüllt an, so sind die Bedingungen (XVII') als die einzig wesentlichen für eine Kovariante K

usw.,

von f anzusehen: sie heißen daher, wie in § 15, die „Differentialgleichungen der Kovarianten“ von f. Die Anzahl dieser homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen ist, wie bei den Gleichungen für die Invarianten, gleich tu ; als Argumente treten auf einmal die Größen Crst_sodann die 2 u Variabein £x, £₂; î;₁₇    ; ..

insgesamt (n + 1) (p + 1) (q + 1) . . . — fx — 1 Größen.

Da aber nur solche Kovarianten K in Betracht gezogen werden, die in jedem der Variabeinpaare £x, £₂ ;

. , so ist der Eulersche Satz über homogene

'11''

, i]₂ ; ... homogen sind, etwa von den Ordnungen dĘ , d

Formen heranzuziehen :

CO

CC

rrr

ol o>

<r,

+ £₂

dlf

Sff

Oj! 0.1

= dv K,

Multipliziert man diese Identitäten resp. mit , j/j , . . so kommt:

S] £₂

dir

(26')

Crt

= d^xK-^\

dir

Vi I2

drl2

Hiermit sind die in (XVII ) auftretenden Produkte

dir dir

d£i ’ äVl ’

selbst zurückführbar, und die Differentialgleichungen (XVII') gehen über in ein System von /u, in den

2    — 1 unabhängigen Argumenten Grst..., ..., £1, 771,    ... nichthomogenen linearen

partiellen Differentialgleichungen. Ein solches System besitzt aber im ganzen (n -}- 1) (p -+- 1) (q + 1) . . . — ju unabhängige Partikularlösungen und folglich eine Urform f gerade ebenso viele unabhängige Kovarianten. Somit gilt:

Satz VIII. „Die Differentialgleichungen (XVI), (XVII) für eine Kovariante von f nehmen nach • Einführung der neuen Argumente , £., ; ?]j, >]₂ ; ...; ... die Gestalten (XVI'), (XVII') an.

Eine beliebige Urform    besitzt (n +1)

11 unabhängige Kovarianten, d. i. um ju Einheiten weniger, als die Anzahl der

dK

dV2

dir

» Vi

. . auf die

. . nebst K

(n + 1) (p + 1) (q + 1) . . .

(V + 1) (« + !)•••

Nach Satz III existieren aber gerade (n -f1) (p -f 1) (q -f 1) . .. — /u unabhängige Seminvarianten von /', die durch -die Crst... nebst C₀. repräsentiert werden: mithin existieren auch gerade ebenso viele unabhängige Kovarianten von f.

Koeffizienten in f beträgt, und diese Kovarianten sind gemeinsame unabhängige Partikularlösungen des Systems (XVIU).“

Die Anzahl der unabhängigen Kovarianten ist aber auch direkt einzusehen. Nach § 15 (XVII) ist jede Seminvariante 0 von f Leitglied einer eindeutig bestimmten Kovariante K. und zwischen Leitgliedern bestehen dieselben Syzygien, wie zwischen den zugehörigen Kovarianten selbst, und umgekehrt.

Zwischen (n -f 1) (p -f 1) (q -f 1) .. . — fx -f 1 beliebig ausgewählten Kovarianten K wird daher eine Syzygie bestehen. Um diese zu ermitteln, drücke man, gemäß (XI), die Leitglieder 0 der K rational in den Crst... (nebst C₀) aus, wobei jeweils nur eine gewisse Potenz von G0 als Nenner auftritt, und eliminiere aus diesen (n -f1) (p -f 1) (q -f1) . .. — fi -f 1 Gleichungen die (n -f 1) (p -f 1) (q + 1) • • • — ju Größen    nebst C₀. Ersetzt man dann

im Eliminationsresultat die Leitglieder 0 wieder durch die bezüglichen Kovarianten K, so ist man im Besitze der gesuchten Syzygie zwischen den vorgelegten Kovarianten:

Satz IX. „Tritt zu irgend (w-j-1) (p -fl) (q +1)... — u unabhängigen Kovarianten von f eine weitere hinzu, so besteht zwischen, solchen (n + 1) (p + 1) (q -fl)... — fi + 1 Kovarianten K eine Syzygie; um diese aufzustellen, drücke man die Leitglieder 0 der K durch die Crs*... nebst C₀ aus und eliminiere die letzteren Größen und ersetze schließlich wieder die 0 durch die K.“

Aufgabe 1. Es ist zu zeigen, daß man ein vollständiges System unabhängiger Lösungen der linearen partiellen Differentialgleichungen (VIII) gewinnt, indem man die Partikularlösungen (IX) vermöge willkürlicher-Konstanten mit den Größen Crst... (X) additiv zusammensetzt.

die Fälle einer f

im ?

Aufgabe 2. Die Entwicklungen des Textes sind für fl2, /‘₂₂ im einzelnen auszuführen.

Aufgabe 3. Der in Aufgabe 3 zu § 16 erwähnte Hermitesche Satz läßt sich auf Formen f(xx, x₂-, x[, x₂-, ...) mit mehreren Beihen inkongruenter Variabein ausdehnen. Führt man neue Variable £, £', ... ein vermöge:

ef

of

4 = Vi    — y 2 xi ;

« = vi

11 = y[ - yl ;

usf.,

dx[

dx₂ ’

wo die y mit den x, die y' mit den x' usf. kogredient sind, so geht die mit fd~¹(x₁, x₂\ x[, x₂ ; ...) multiplizierte Form f(yx, y₂ \ y[, yl ; ...) über in eine Form cp in den £, £', ..., wo der Koeffizient des Potenzproduktes höchster Dimension gleich 1 ist, die Koeffizienten der Potenzprodukte zweithöchster Dimension sämtlich verschwinden, während die weiteren Koeffizienten mit den bezüglichen Sehwesterformen lFrst übereinstimmen.

Aufgabe 4. Der in Aufgabe 5 zu § 16 angeführte Satz ist auf Urformen f in mehreren unabhängigen Variabein x, y , ... auszudehnen.

Kapitel III.

Erweiterungen des Invariantenhegriffes. Transzendente Kovarianten. Die Waringsclien Formeln.

§ 18. Erweiterungen des Invariantenbegriffes.

Unter einer (vollständigen) „Invariante“ J einer oder mehrerer Urformen fn(xi, x₂), gp(xx, x₂), . . . , in zwei homogenen Variabein mit den Koeffizientenreihen (a), (&), ... wurde bisher eine, in den letzteren Größen ganzrationale — in der Regel auch in den einzelnen Reihen homogene — Funktion verstanden, die gegenüber irgendeiner (eigentlichen) Substitution S von der Determinante A die Bedingung erfüllte:

¹

S. das Zitat auf S. 265.

(I) unter w eine feste ganze Zahl verstanden.

Man wird die Definition (I) zunächst dahin ausdehnen, daß lediglich verlangt wird, das transformierte J solle sich

von dem ursprünglichen um einen, im übrigen unbekannten, aber nur von den Substitutionskoeffizienten abhängigen Faktor G unterscheiden: (II)

M₂{m₂) und weise, auf Grund von (II), die

Um die neue, allgemeinere Definition (II) einer In-. variante auf die alte, (I), zurückzuführen, zerlege man S wieder in Fundamentalsubstitutionen Aßhß), A₂(h₂), ^iK)

Richtigkeit von (I) in jedem dieser vier Einzelfälle nach: dann gilt (I) auch für jede 8.

Ein beliebiger Term T von J sei wie früher:

(1)

T = ct = c a\x . . . a\*” &((° b'ß

Vermöge einer Streckung Mßmß) : xx = m₁£₁,    — |₂ ,

wird der in den neuen Koeffizientenreihen (<x), (ß), gebildete Term T gleich dem Produkt aus dem alten, T,

<H +2(p - k) Vk+ ...

in den Faktor m\

2(n-vH+2(P~k)vk+ ■■■

(2)

T = ct = etm\

Soll sich nun das Aggregat J [(a) ,(/>), . .. ] dieser neuen Terme T für alle Werte der (a), (b), ... nur um einen, allein von mx abhängigen Faktor G{mx) unterscheiden, so ist das nur so möglich, daß die mit den einzelnen Termen ct in (2) multiplizierte Potenz von m₁ mit dem besagten Faktor G übereinstimmt.

Demnach ergibt sich, wenn man denselben Schluß für eine Streckung M₂(m₂) wiederholt:

2*>i+2*Vifc+ •••

2(n~i)H+2(V-k)F.k+ ...

(3)

G = m\

und hieraus, daß der Exponent der variierenden Parameter mx und m₂ ein und dieselbe natürliche Zahl sein muß, die mit w bezeichnet sei (wo w im besonderen auch Null sein darf):

£(n — i)e.i + 2(P —    *7* + • • •

i    k

+ ... — W .

+ 2krlk k

Diese Relationen (4) sagen aus, daß ein Ausdruck J mit der Eigenschaft (II) jedenfalls bez. x₁ und x₂ isobar vom Gewichte w ist.

Nunmehr übe man eine Schiebung A₁(/i₁) aus. Dann wird der Faktor C in (II) eine ganze Funktion C(hx) von \ :

(5)Ä₁(k₁)\J[(x), iß), ■■■l = C(\)J[(a), (b),    =

cj    ô •

-—f- "y.k &*_* 7TT- + ... verstanden wird, dai k    obk

-i

Andererseits gilt nach § 11 (VII'), wenn unter Vx der Prozeß V i a{

l

für einen ganz beliebigen Ausdruck J die Entwicklung:

(6) AM J[(*), 08), ...]

J    }l]\ \J -\-

h'i

2!

Denkt man sich in (5) G(hx) nach steigenden Potenzen von hx geordnet:

(?)

< ' (hx ) = C₀ -f- Cx hx -f- C₂ — + . .

wo die Ci numerische Faktoren sind, so lehrt die Vergleichung der Koeffizienten von Ti\, h\, Ti\, ... der beiden, für alle Werte von übereinstimmenden rechten Seiten von (5) und (6), daß :

(8) C₀J=J, Cx J = VXJ , C₂J = V\J , ...

Aus der ersten dieser Relationen folgt:

(9)

C₀ =1 ,

und es bleibt nachzuweisen, daß die übrigen Relationen (8) nur so erfüllt sein können, daß Cx — C₂ = C₃ = ... = 0 ward.

Jetzt wird von der in (4) festgestellten Eigenschaft von J Gebrauch gemacht, bez. xx isobar zu sein. Dann war in § 12 S. 212 gezeigt, daß der Ausdruck VXJ wiederum isobar bez. xx ist, nur von einem um eine Einheit größeren Gewichte, und daß das Analoge für den Prozeß

+ . . . gilt, nur

daß das Gewicht von V₂J gegenüber dem von J um eine Einheit gesunken ist.

Diese Schlüsse sind ersichtlich von der ganzzahligen Natur der Exponenten e , r/, ... unabhängig.

d    d

6h

V₂=^{n - i)ai+l „    + 21 (P - Tc)h+i

i    vai k

Demnach vermehren der Reihe nach in (8) die Pro-. . das Gewicht von J bez. xx um 1 , 2, 3 , ... Damit stoßen aber die zweite, dritte, . .. der Relationen (8) auf einen Widerspruch, insofern jeweils links und' rechts isobare Ausdrücke von ungleichem Gewichte auftreten würden.

P?

P?

zesse P

Diese Widersprüche sind nur dadurch lösbar, daß die numerischen Faktoren Cx, C₂, • . . sämtlich verschwinden.

Der Faktor C(hx) in (5) reduziert sich also, wenn man noch (9) berücksichtigt, auf die Einheit, d. h. J bleibt gegenüber einer Schiebung Ax(hx) ungeändert. Da das gleiche wiederum für A₂(h₂) gilt, so ist bewiesen:

Satz I. „Verlangt man von einem, in den Koeffizientenreihen (a), (b), ... der Urformen g , ganzrationalen Ausdrucke J[(a), (b), .. .] nur, daß er nach Transformation der /', g, ... durch eine beliebige Substitution S einen lediglich von den Substitutionskoeffizienten abhängenden Faktor C annimmt, so ist dieser Faktor C eine feste natürliche Potenz der Substitutionsdeterminante.“

Weiterhin steigt man hinsichtlich der Urformen f, g, . . . zu Invarianten auf, die in den (a), (&), ... gebrochen rational sind.

J₂ zwei ganzrationale Invarianten der f so daß : *

Sind J

g, . .. mit den Gewichten w

(10)    • • •] — ^WlJ

und bedeuten rx, r₂ beliebige ganze Zahlen, so folgt aus (10), daß der rationale Ausdruck Ji¹ / J₂a wiederum eine Invariante ist, vom Gewichte rx wx — r₂w₂:

(11)

JV

Soll J±l I J'i² im besonderen zu einer absoluten Invariante werden, so muß rx wx = r₂ w₂ sein. Haben also *) wx, w₂ den größten gemeinsamen Teiler (5, so daß wx = öw[, w₂ = öw₂, so ist die Gleichheit rlw₁ = r₂ w₂ nur dadurch erfüllbar, daß rx = kw₂, r₂ = k w[, wo k eine beliebige ganze Zahl bedeutet.

Somit tritt der fragliche Fall nur ein für eine beliebige natürliche Potenz von J f- / J₂l oder deren reziproken Wert.

Andererseits lassen sich noch auf oo¹ Arten zwei ganze Zahlen rx, r₂ so bestimmen, daß r₁w₁ — r₂w₂ ein Vielfaches s ô von <5 wird. Dann wird Jp/JQ eine rationale Invariante vom Gewichte s b .

Etwas schwieriger ist die Beantwortung der umgekehrten Frage.

Sind F₁, F₂ zwei in den (a), (b), ... ganzrationale Ausdrücke und ist F₁ / F₂ eine Invariante der /', g, ...

(12)

F₂\M, (ß), ...]

= Aw

Sh. sh

wo w eine feste ganze Zahl ist, sind dann auch der Zähler F₁ und der Nenner F₂ für sich Invarianten?

Offenbar darf w als positive ganze Zahl (inkl. 0) angenommen werden, da man andernfalls nur Ft mit F2 zu vertauschen hätte. Irgendein Glied von F₁ resp. F2 sei gemäß (1) von der Gestalt:

(1)

T = ct = ca[°aß ... a*» b₍'|°b'ß ... b^p ... ,

T’ — c' V' = c' aß° aß ... aß» b‘{(° bß¹ . . . b‘h> .. .

Man übe auf die Variabein , x₂ in f, g, ... eine Streckung Mßmß) von xl aus, so daß A = wird. Nach Heraufmultiplikation der Nenner in (12) erhält man die für alle Wertsysteme der (a), (b), ... ; m₁ gültige Relation :

2(n-i)ei + 2(P~ty Vk+ •••

(13)

c' tt' m[    k

ZZCc't <⁺f¹[p~kWk+ -.

Hier muß jeder der Exponenten links mit jedem der Exponenten rechts übereinstimmen und damit eine konstante natürliche Zahl Gx sein. Wiederholt man den nämlichen Schluß hinsichtlich einer Streckung M₂ (m₂), so hat man die Relationen:

Demnach sind die Ausdrücke F sich isobar bez. xx und x₂ und damit Streckungsinvarianten bez. xx und x₂ :

F₂ in (12) je für

(15)

300

Differentialgleichungen für invariante Bildungen.

fr) ^ + • ■ • = w ł Ą ;

(H)

2Xn - *)«< +2(p -

i    k

2(n — i)e'i + Z(P —

i    k

~H fr ^

k

~}\Ekrlk

k

fr) + • • • — @1 ;

Ziei

i

Ą- ... — w -\- G₂ \

MM,) Ft [(«), iß), ...] = 4-*a‘F F,[(oc),(ß), ...]=àe‘Fli J MMi) i Jî’iK*), (ß)y ...] = ^”+e--F FM), iß), ...] = A°>F,.

Nunmehr werde eine Schiebung Ax{hx) (mit zl = 1) vorgenommen. Wendet man die Identität (VIF) des S 11 auf Fx und F₂ an, so hat man die Entwicklungen:

(16)

Ft [(<*), OS) ,...] = Fi + Ä, r. F, + ₂‘ V\F, + ... F,

P\F, + ... F.

F₂[(*)Aß), ...)

F₂ + hx I ! F₂ -j-

hi

2!

mit F Potenzen von h

Multipliziert man die erste Gleichung mitF₂, diezweite subtrahiert sodann, und ordnet nach steigenden so verschwindet mit Rücksicht auf (12) (für zl = 1) das von hx freie Glied, und nach Division mit F verbleibt eine Identität von der Gestalt:

(16a)

F₂ . VxFx-Fx.VxF₂ + \[ ] = 0 ,

wo der Faktor von 7^ durch die eckige Klammer angedeutet ist.

muß

Glied; d. h. es ist:

Da auch diese Gleichung in hx identisch erfüllt sein so verschwindet im besonderen das von 7^ freie

dl)

VF

¹ 1J 2

tH I Ol

fei 'fe

Nun darf von vornherein bei Bildung der Gleichung (12) angenommen werden*), daß Zähler und Nenner von Fx]F2 teilerfremde ganze Funktionen der (a), (b), ... sind, so daß F₁ und F₂ selbst, etwa bis auf einen numerischen Faktor, völlig durch ihren Quotienten bestimmt sind. Dann folgt aus (17), daß die beiden Zähler und ebenso die beiden Nenner bis auf eiu und dieselbe ganze Funktion der (a), (b), . . ., die mit F bezeichnet sei, übereinstimmen müssen:

(18)

V1 Fx = FF

VXF₂ = FF₂ .

Nun vermehrt wiederum der Prozeß V₁, auf die nach (14) bez. xx isobaren Ausdrücke T\, F₂ angewandt, deren Gewichte Gx, in + Gx, je um eine Einheit.

Danach müßte die ganze Funktion F der (a) ,(&),... vom Gewichte Eins sein. Andererseits sind Fx, F₂, weil gemäß (14) isobar bez. xx und x₂, auch homogen in der Gesamtheit der (u) ,(&),... von einer Gesamtdimension d ; diese wird aber nach dem Satze (S. 211) des § 12 nach Ausübung des Prozesses Vx nicht geändert. Mithin wäre F homogen von der Dimension Null und zugleich vom Gewichte Eins (bez. xx), was nur so möglich ist, daß F identisch verschwindet. Damit verschwinden aber auch VXFX und VxF₂ , also bleiben nach dem Satze (II) des § 11 Fx und F₂ gegenüber einer Schiebung Ax(hx) ungeändert.

Noch einfacher gestaltet sich der Schluß bei einer Schiebung A₂(h₂). Dann treten an die Stelle von (18) zwei analoge Gleichungen, indem nur Vx mit V₂ zu vertauschen ist, während der Buchstabe F bei behalten werde.

Der Prozeß P₂, angewandt auf Fx und F₂, vermindert nach Satz (S. 212) des § 12 das Gewicht G₂ resp. w + G₂ der bez. x₂ isobaren Ausdrücke Fx, F₂ um je eine Einheit; es wäre also die ganze Funktion F der (a), (b), ... vom Gewichte — 1, was wiederum nur so möglich ist, daß F identisch verschwindet. Da demnach Fx ebenso wie F₂ eine (vollständige) Invariante der Urformen ist, müssen auch die beiden Exponenten Gx und G₂ in (15) übereinstimmen: Gx = G₂ = G, und man hat, gegenüber einer beliebigen Substitution 8:

(15) *,[(*), (ß), ...] = A*+°FX, F₂[(öc), (ß), ...} = A°F₂.

Vgl. O. Pund, 1. c., § 62.

Damit ist das wichtige Ergebnis gewonnen:

Satz II. „Ist eine rationale Funktion FX[F2 der Koeffizientenreihen (a), (b), ... von Urformen f, g, . . ., wo Fx und F₂ als teilerfremd angenommen werden dürfen, relativ invariant gegenüber einer beliebigen Substitution 8 der Variabein xx, x₂, so gilt dasselbe nach Maßgabe von (15) einzeln von Zähler F₁ und Kenner F₂ der rationalen Funktion.“ Der Begriff der rationalen Invariante (und damit auch Kovariante) wird erweitert zu dem der „irrationalen“ oder „algebraischen“ Invariante (Kovariante); J ist eine solche, wenn sie einer algebraischen Gleichung genügt, deren Koeffizienten ganzrationale Invarianten (Kovarianten) sind. Weiter gelangt man zum Begriff der „analytischen“ oder „transzendenten“ Invariante (Kovariante) J , d. i. einer (in einem gewissen Bereiche) eindeutigen analytischen Funktion der Koeffizienten gegebener Urformen (und ev. der Variabein), die der Invarianten- (Kovarianten)Definition (I) genügt.

Nimmt man von einer solchen transzendenten Invariante J an, daß sie sich, wenn die Koeffizienten der Urformen ganzrationale Funktionen eines Parameters p sind, in eine Taylorsche Reihe nach steigenden natürlichen Potenzen von p entwickeln läßt, die innerhalb eines gewissen Bereiches konvergiert, und existieren auch die ersten partiellen Abteilungen von J nach den Koeffizienten der Urformen als eindeutige analytische Funktionen derselben, so gelten die Schlüsse des § 11, und J genügt den beiden linearen partiellen Differentialgleichungen:

VXJ = 0

r, J = o.

di b)

(II a)

Gilt die eben bemerkte Eigenschaft auch für die höheren partiellen Abteilungen von J bis zu einer beliebigen Ordnung, so sind die Gleichungen (IIa), (IIb) auch hinreichend dafür, daß J eine Schiebungsinvariante bez. xx resp. x₂ ist.

Das Entsprechende gilt für eine transzendente Kovariante K(xx, x₂). Man setze überdies voraus, daß K hinsichtlich der xx, x₂ homogen von einer endlichen (im übrigen beliebigen) Dimension dx sei, so daß für m, als einen variierenden Parameter, die Identität erfüllt sei:

(19)

K(mxx, m x₂) = md* K (xx, x₂) .

Erweiterungen des Invariantenbegriffes. Die Differentiation nach m liefert:

ÔE

dK

x₂ = dxmdx~¹K

d(m x₂)

und damit für m = 1 die „Eulersche Identität“:

d(mxx)

(20)

dK

dK

XlTæ,+Xaëxs

= dx K .

Die Differentialgleichungen (Ila), (IIb) erweitern sich, wie in § 13, (Ha), (Ilb), für die in Rede stehenden transzendenten Kovarianten K zu:

(Ilia)

y»₂) — ^2

dK(xx, x₂)

dxx

= 0,

(III b)

r₂ K(x₁, x₂) — x₁

dK(xx, x₂)

ôx₂

Für Anwendungen ist es oft wesentlich, die Gleichungen (Ula), (IIIb) in nichthomogener Gestalt zu besitzen [vgl. § 19, (18)]. Bezeichnet K'(x) die Ableitung von K(x) = K(x, 1) nach x, so nimmt (lila) unmittelbar die Gestalt an:

VxK(x) -K'(x) = 0 .

Behufs Umformung von (IIIb) ziehe man die Euler -sche Identität (20) heran. Multipliziert man dieselbe mit xx — x, und setzt überall xx = x, x₂ = 1, so ergibt sich :

(IYa)

(20')

dK

x\ex₂

x² K'(x) - dxxK (x) .

Dadurch ergibt sich für die nichthomogene Gestalt von (III b):

(IYb)

V2 K(x) = dxx K(x) — x² K'(x) .

»

Nach Voraussetzung sei K(x) in eine in einem gewissen Bereiche konvergente Potenzreihe entwickelbar:

/y>    /y*2    nr&

(21)    K(x)=B₀ + Dlll +D₂- + ...+Dt-+ ...

Übt man auf die rechte Seite von (21) die beiden in (IYa) auftretenden Differentiationsprozesse VxK(x) und K'(x) aus und vergleicht die Koeffizienten gleich hoher

Man beachte wiederum, wie in § 13, (Va'), die formale Ähnlichkeit mit der Maclaurinschen Entwicklung:

rp    /y»2

1!

K(x) = K{0) + — K'(0) + — K"(0) + . . .

(VI')

xl

Hier ist aber erst nach jeweils erfolgter Differentiation von K x -= 0 zu setzen; gerade dieser Umstand erheischt aber zumeist eine umständliche und dabei überflüssige Rechnung, die die praktische Brauchbarkeit von (VI') leicht illusorisch machen kann. Demgegenüber ist für Kovarianten K(x) die invariantentheoretische Entwicklung (VI) als eine wesentlich einfachere anzusehen [vgl. § 19, (18)].

Nunmehr ziehe man auch die Differentialgleichung (IVb) heran. Man erhält:

\ ₂ K (ix) = P₂ D₀ + — F₂ D₁ +    V₂ D₂ 4- ...

Xi

Potenzen von x, so gelangt man, wie in § 13, (lila), zu der Rekursionsformel für die A :

A A = A+i »

die sich auch ersetzen läßt durch:

A ~ V\ D₀ .

Auf Grund von (Va') geht die Reihe (21) für K(x), da D₀ = Sl(0), über in die folgende:

T    /r*2

K(x) = K(0) + -Tr Vx K(0) + — V\ K(0) + .. .

(Va)

(Va')

(VI)

xi

»!

F\K( 0) +

⁺ TT Di + " • ’

xdxK{x) —- x²K'(x) = xdxD₀ -f

1!

A(4-1)+ ...

xi

⁺ « -1)!

und hieraus durch Koeffizientenvergleichung einmal F₂ D₀ = 0 , sodann eine zweite Rekursionsformel für die D*:

(Vb)

V₂Di+1 = {i+\)(äx-i)Di,

die bei praktischer Berechnung der D* als Kontrolle für (Va) dient. Die Vergleichung von (Va) und (Vb) lehrt noch das Bestehen der Relation zwischen den beiden Prozessen V₁ und V₂, in ihrer Anwendung auf die D:

(V)

V₂ Di+l = (i +1) (dx - i) V₁ Dt.x .

Wir fassen die letzten Ergebnisse zusammen:

Satz III. „Eine transzendente Kovariante K(xt, x₂) genügt den beiden linearen partiellen Differentialgleichungen (lila), (IHb), die, falls K(xt, x₂) in den xx, x₂ von einer endlichen Dimension ist, auch die nichthomogene Gestalt (IVa), ' (IVb) zulassen; läßt sich ferner K{x, 1 ) = K(x) in eine Potenzreihe nach x entwickeln, so unterliegen deren Koeffizienten den beiden Rekursionsformeln (Va), (Vb).“

Zum Schlüsse sei kurz auf die grundlegende Rolle hingewiesen, die der Begriff der Invariante in der höheren Arithmetik spielt. Hier sind die Koeffizienten <x, ß, y, <5 der anzuwendenden linearen Substitution S :

(22)

x₁ = ocg₁ + ß$₉

x2 = y£i + ⁽^2

(A = ad —ßy),

zumeist nach arithmetischen Gesichtspunkten definiert, z. B. so, daß die oc, ß, y, ô beliebige ganze Zahlen von der Determinante 1 sind oder auch der Einheit kongruent nach einer festen ganzen Zahl als Modul: die 8 wird dann als ganzzahlige unimodulare resp. als ganzzahlige Kongruenzsubstitution bezeichnet; in beiden Fällen bildet die Gesamtheit der 8 eine Gruppe, die je entsprechend bezeichnet wird.

Das hat zur Folge, daß die Mannigfaltigkeit der als variierend gedachten Parameter <x, ß, y, ô zumeist eine „diskret-unendliche“ („diskontinuierliche“) ist, während in den bisherigen Entwicklungen des Textes gerade die Stetigkeit der Parameter als ein Hauptbeweismoment diente.

Die Theorie der „arithmetischen“ Invarianten erhält damit einen ganz spezifischen Charakter.

Als Beleg diene etwa die lineare Grundform f = fx = axxx-\- d₂ x₂. Bei beliebig gedachten Koeffizienten dx, a₂ besitzt f nach § 10 keine „algebraische“ Invariante. Sind aber die dx, a₂ ganze Zahlen, und werden die xx, x2 in f einer ganzzahligen unimodularen Substitution 8 (22) unterworfen, so existiert eine unbegrenzte Mannigfaltigkeit arithmetischer Invarianten <P(ax, a₂), so daß:

<P(ax oc + a₂y , axß + a₂ d) = &(ax, a₂)

(VII)

wird. Man erhält u. a. eine unbegrenzte Reihe solcher Invarianten durch die Doppelreihe:

(VIII)

<h

“ {ai nx + a₂ n₂)

wo nx, n₂ alle ganzen Zahlen (exkl. die Kombination 0, 0) durchlaufen und 7c ein willkürlicher Parameter ist; es läßt sich beweisen, daß für 7c > 2 die Reihe (VIII) konvergiert und eine eindeutige Funktion der ax, a₂ darstellt. Diese arithmetischen Invarianten <Pk beherrschen die moderne Theorie der elliptischen Funktionen*).

Aufgabe 1. Das Dv. der vier Wurzeln einer bi-quadratischen Form f\ = a₀ +    . + a₄ x⁴ ist eine

irrationale Invariante der f\ ; es ist die in den Koeffizienten ai der f\ rationale Gleichung 6. Grades aufzustellen, der das Dv. genügt.

Aufgabe 2. Teilt man die vier Wurzeln der /₄ in zwei Paare, so ist das zu diesen zugleich harmonische Paar nach § 3 durch die Funktioualdeterminante 0 der bezüglichen quadratischen Formen dargestellt. 0 ist eine irrationale Kovariante der fé und genügt einer in den Koeffizienten di der fx rationalen kubischen Gleichung, die zu bilden ist.

dx

ist nach F. Klein, Math.

Aufgabe 3. Das elliptische Integral 1. Gattung x₂dxx — xxdx₂

J 1 f i (x) J ] f i(x\ i x‘i)

Ann. 14 (1879), S. 112, eine transzendente Kovariante der in den di von der Dimension — \ und vom Gewichte 1, in xx, x₂ von der Dimension Kuli (vgl. § 19).

*) Vgi. z. B. H. Poincaré, Journ. für Math. 129 (1905), S. 89.

Eine gewisse Klasse transzendenter Kovarianten.

307

§ 19. Über eine gewisse Klasse transzendenter Kovarianten.

Als fruchtbare Anwendung des vorigen (§ 18) behandeln wir zunächst die in der Darstellung des endlichen Produktes von der Gestalt:

(Ï)

F (a?j, x₂) = /> (xl, x₂) g'p (x₁, x₂) h* (x₁, x₂) . . .

enthaltenen Kovarianten der Urformen /*„, gp, hq, . . . , von den Ordnungen n , p , q, . . . , wo ju , v, n , ... irgendwelche gegebene (reelle oder komplexe) Exponenten seien.

Daß F eine Kovariante der f, g, łi, ... ist, geht aus der Definition einer solchen (§§ 13, 18) hervor. Denn führt man vermöge einer beliebigen »Substitution 8 der x₁, x₂ in neue Variable £1? |₂ die Formen f, g, h, ... über in cp , ip , %, . . ., und bezeichnet wiederum mit (a), (b), (c), ... die Koeffizientenreihen von g , h , . . ., mit (a)., (ß), (7), ... die der transformierten Formen cp,

und ist die in den neuen Variabein und

» z >

Koeffizienten gebildete Form F, so ist identisch :

(II) «>[#,, 4 ; («), (0, M , ...] = F(æ,, x, ; (a), (b), (e),...],

d. h. F ist eine Kovariante der f, g, h, ... vom Gewichte Kuli (absolute Kovariante). Andererseits ist F, wie aus (I) hervorgeht, in den xt, x₂ homogen von der Dimension (Ordnung) dx wo:

(1)

dx = n fi + pv + qji -f

und in den Koeffizientenreihen der (a), (b), (c), ... einzeln homogen von 'den resp. Dimensionen /z, v, zr, ...

Es soll die Funktion F (I) auf Grund ihrer Ko-varianteneigenschaft (II) in eine Potenzreihe entwickelt werden.

Zu dem Behuf bediene man sich der nichthomogenen Schreibweise xx = x, x₂ = 1 und setze zugleich die Koeffizienten in den /’, g, h, . . . , entgegen der bisherigen Bezeichnung, ohne Binomialkoeffizienten und in umgekehrter Reihenfolge der Indizes an:

(2)

/ n (®) =    (tj a?    ,

0?» 0») = &o + &ix + • • • + bp xv, usw.

Es wird sich zeigen, daß gerade diese Bezeichnungs-weise für das Folgende die zweckmäßigste ist.

Man denke sich F(x) in die Maclaurinscke Reihe*) ent

wickelt :

(III) F{x) = D₀ + Dl~ + D.₂

1!

«i.

Um das Gesetz der Koeffizienten D auf Grund von (II) zu ermitteln, wird es genügen, die Betrachtung von zwei Urformen als Muster zu nehmen; der Beweis ist so durchsichtig, daß er sich ohne weiteres auf die Fälle von mehr als zwei Urformen ausdehnen läßt. Man hat zuvörderst :

(3)

A> %,£t i — z₀.

Allgemein setze man:

Diai₀-rbi₀-v = Zt,

und überzeuge sich davon, daß Z.t in den (a), (b) ganz-rational ist, je in den (a) und (b) homogen von der Dimension i und in beiden Koeffizientenreihen zusammen isobar vom Gewichte i.

Mit andern Worten, es soll gezeigt werden, daß für irgendein in auftretendes Potenzprodukt P:

(IV)

(4)

P = a\i> . . . asn” b‘(l . . . b'jp

die Exponenten e, rj natürliche Zahlen (inkl. 0, nur daß nicht alle zugleich verschwinden) sind, die den drei Relationen genügen:

(5 a)

(5b)

Vo + Vi + • • • H~ Vp    — i i

k

1 * h + 2 • e₂ + . . . + n £n + 1 • Vi + 2 • rj₂ + . . . + p rjp

= 21r£r + 2S Vs = i •

*) Bei beliebigen, komplexen Koeffizienten ai, , . .., Exponenten fi, v , ... und der Variabein x konvergiert die Reihe (III) jedenfalls innerhalb eines Kreises um den Nullpunkt, der durch die nächstgelegene Wurzel von f(x) • g(x) «... hindurchgeht. Die Funktion F(x) wird im allgemeinen unendlich vieldeutig sein; mau greife indessen unter den unendlich vielen Zweigen von F{x) einen solchen heraus, der zu einem beliebig, aber fest gewählten Werte von D„ (3) gehört.

Da F(x) eine simultane Kovariante von f(x) und g{x) ist, also im besonderen gegenüber irgendeiner Schiebung von x :

(6)

x — z 4- ~k

ungeändert bleibt, so genügt nach § 18 (IVa) F{x) der linearen partiellen Differentialgleichung:

(V)

VF(x) = F'(x) , wo F (früher mit Vx bezeichnet) der Prozeß ist:

(VI)

v = y'idi

i= 1

ćA-i    •

Die Identität (V) erweist sich als gleichwertig mit der Rekursionsformel [§ 18 (Va)]:

\ Di = Di+1 .

(VII)

(i = 0, 1, 2, ...)

Die Funktion Z; in der Relation (IV) genüge den oben angegebenen Eigenschaften bis zu einem Index i ; für i = 0 sind sie offenbar erfüllt.

Man unterwerfe beide Seiten von (IV) dem Prozesse F, so kommt zunächst, auf Grund von (VII):

(7)

A+i

<-■" K~v + A J⁷«⁻* Kv) = ¹⁷ A •

Hier ist:

+ &i

(<-" 6j-r)

= <““_1 &o~r_1 [(* - *) «0 h + (*-— A*) &o %] •

Multipliziert man demnach (7) mit a₀ &₀, und führt gemäß der Festsetzung (IV) an Stelle der D{, Di+1 die Zi, Zi+1 ein, so entsteht für letztere die Rekursionsformel:

(VIII) Zi+1 = [(u — i) &₀ % + (v — t) a₀ \] ^ + a₀ &₀ FZ; .

Jeder der beiden Prozesse (ju — i) b₀ ax + (v — i) a₀ bl, a₀ö₀F (letzterer nach § 12, S. 211, 212) erhöht sowohl die Dimension irgendeines in Z; auftretenden Potenzproduktes je in den (a) und (6), wie auch dessen Gesamtgewicht in den (a) und (&), um eine Einheit. Damit sind die Dimensions- und Gewichtseigenschaften (5 a), (5 b) der Form Zi in (IV) allgemein bewiesen.

. . mit den

Für mehr als zwei Urformen f

Koeffizientenreihen (a), (b), (c), ... erleidet die Formel (VIII) nur die ersichtliche Modifikation:

(VIII') <

Zi₊x — \(/x i) «j &₀ c₀ ... -f- (v i) a₀ c₀ . . . i) a₀ &o d₀    .]Zi

+    b₍₎ c₀ .. . I Zi .

Indessen lassen sich die Eigenschaften des Ausdruckes Zi in (IV) auch direkt, ohne Zuhilfenahme des Prozesses V, erkennen.

Die Maclaurinsche Entwicklung (III) von F(x) lehrt, daß die rechte Seite Zt von (IV) jedenfalls in den (a) und (&) ganzrational und je homogen ist. Die Dimension irgendeines Koeffizienten Di in (III) in den (a) und (b) muß stets dieselbe sein, wie in F selber, also /t resp. v ; mithin wird die Dimension von Zt wegen des Faktors a\~fl b\~r von Di in (IV) je in den (a) und (&) gleich i.

Daß das Gewicht von , und damit auch von D zusammen in den (a) und (&) gleich i wird, folgt wiederum aus der Invarianz (II) von F{x). Denn unterwirft man die Variable x einer Streckung:

(8)

x — mz ,

wodurch f(x), g(x) in die neuen Formen cp (z), xp{z) mit den Koeffizientenreihen (x), (ß) übergehen mögen, F(x) in <&(%), so bleibt F(x) gemäß (II) absolut ungeändert:

(9)

(p(z) F{x) .

Es ist aber:

(10)

(\i = ml üi

(i = 0,1,...

ßk = m h •

0, 1, ...®)

Bildet inan demnach die in die Reihe (III) entwickelt gedachte Funktion F(x) für die neue Variable z und die neuen Koeffizienten (x), (ß), und drückt diese mittels (8), (10) wieder durch die ursprünglichen Größen x resp. (a), (b) aus, so erscheint irgendein — gemäß (IV) noch mit dem Faktor a^~ib^~i behaftetes — Potenzprodukt P (4) in D%

(III) multipliziert mit einer Potenz von m, deren Exponent den Wert hat: I et + 2 s₂ + .. . + n sn -j- 1    + 2

+    p rjv — i . Dieser Exponent muß aber infolge der

Identität (9) stets verschwinden, und das sagt eben die Gewichtsrelation (5 b) aus.

Rechnet man für die niedrigsten Werte des Index i in Zi die numerischen Faktoren der daselbst auftretenden Potenzprodukte P (4) aus und achtet andererseits auf die Struktur der Rekursionsformel (VIII), so gewinnt man für den Koeffizienten

aE^a\' . .. aen» b^b'j¹ . . . b'jp

von

A(i)

in Tu den Ansatz:

A(!>

^0*1

= il

fl (/,

(IX) <

1) ... {,u — (i — e0 % ! ^2 • • ' • •

1)}

V (v

1) • • • iv

rh ! %! • • • V-

wo die Exponenten e, i] alle natürlichen Zahlen (inkl. 0) durchlaufen, die den drei linearen dioph antischen Gleichungen (5) genügen.

So erhält man z. B. für Z₂ :

Z₂ = 2 f i v a₀ at b₀ bl -f- 2 fi a₀ a₂ bl + 2 v b₀ b₂ a‘l + /< (p — 1) bl + v (v — 1) a'l b\ .

• afj a\' . . . aEn bf . . . b⁷h>, wo also jetzt in den Relationen (5) für die s, rj der Index i durch i -f- 1 zu ersetzen ist.

Um den Beweis der Formel (IX) von i auf i -(-1 zu führen, greife man irgendein Glied aus Zi+1 heraus: A,1+1^

rn'H₀EJ...entl₀7j₁...1)p

Jeder der auf der rechten Seite von (VIII) auftretenden Teilprozesse führt irgendein Potenzprodukt von Zt jeweils in ein gewisses Potenzprodukt von Zi+1 über. Umgekehrt verdankt das vorgelegte Glied in Zi+1 seine Entstehung den folgenden Potenzprodukten in Z{, deren jedes mittels seines numerischen Koeffizienten zu dem gesuchten Koeffizienten A(i+1) einen gewissen Einzelbeitrag liefert :

Diesem Gliede (a) gebt parallel das andere: aff aff ~¹ .. . aff> b%° ~¹ b‘1¹ . . . by ,

(a')

ô

das vermöge (ju — i) b₀ a₁ + ax — • a₀ b₀ den Beitrag beisteuert:    ( a°

(ß — * + c₀) All-i

Sodann ergeben die beiden folgenden Potenzprodukte

,...enVo-lVi>-- Vp •

vermöge des Teilprozesses (v dem Teilbeitrage:

(11a)

db₀

•a₀&₀, mit

(v — i + Vo) Alt¹

(lia')

in Zi :

(b)

«o⁰⁻¹    . . . ay fyf⁰⁻¹ ^i¹⁺¹ &^²⁻¹ • • • by ,

a^⁰"¹ aff+x . . . a*" &^o_1 b’l¹ . . . &''p

vermöge 2 &₂

5

- • a₀b₀ resp. 2 a₂ - • a₀ &₍₎ die Beiträge :

• • • «W Vo - 1 » Vi +1 • >h - ¹ » • • • Vp

(Hb)

äfe + XtAW.!,..

+ 2 (g) H-1) aL-1,.1+1,..

Gebt man so weiter, so erscheinen an (k + l)ter Stelle die beiden Potenzprodukte:

(*+1)

»r¹ «f • • • <" nK ■ ■ ■ b’p⁺¹ bUtf-'vfe' ■ • ■    ,

a<r'< ■ ■ ■ <‘⁺¹ <,;*+• -¹    ... <»68"-¹ if... vy ,

/ ô    e \

denen vermöge (k + 1) • &*₊₁    + a*+i ^—

träge entstammen:    ¹ °k    ( ak'

a₀ b₀ die Bei-

(1 !(*+!))

(k + 1) (Vk +1) A*₀’

-f (fc + 1) (fijfc + 1) Ag*”-!

-1, «i •••    Vo-¹» Vi ■■■ V/t + ¹< Vk+1“¹ > ¹>k+2 ••• *?P

£i • • •    + ł » sicJr \ ~ ¹ >    •• • En Vo~ Vi • •• Vp

Jede dieser beiden Serien von Beiträgen ist fort-zusetzen, bis sie mit k = p resp. k = n von selbst abbricht.

Addiert man diese sämtlichen Einzelbeträge, indem man auf Grund der für den Index i als richtig angenommenen Formel (IX) für die einzelnen AW ihre Werte

einsetzt, so gelangt man zum numerischen Koeffizienten des Potenzproduktes affal¹... af/'b^b'i¹... bjp Bringt man sämtliche Ausdrücke (11) auf den gemeinsamen Kenner ^ ! e₂ ! ... £nlrj₁lr]₂l ... rjvl, so läßt sich bei der Zusammenfassung als gemeinsamer Faktor einmal das Produkt abspalten:

(i+l)

o £l ... En I/o »; 1 • • • Vp

in Z

<+i*

(12) il

Mf* — 1) • • • {/* — (* — £o)> v(v — !) • • • {v — {i — %))

£l' £2

£n •

während als weiterer Faktor das Aggregat auftritt:

1 •    + 2 r₂ + • • • £n 1 * th + 2 rj₂ + • • • + p gv ,

das gemäß (5b) (für den Index i -f 1) den Wert i + 1 besitzt.

Damit geht der erste Faktor il in (12) über in (i + 1)!, und hierdurch der Ausdruck (12) gerade in die für den Index i~\-1 gebildete rechte Seite von (IX). Damit ist aber die allgemeine Gültigkeit der Formel (IX) erwiesen. Ersichtlich ist die Formel (IX) durch Erweiterung des Beweises auf den Fall einer beliebigen (endlichen) Anzahl von Urformen g, h, ... ausdehnbar.

Nach zwei Richtungen hin gestattet (IX) eine übersichtlichere Gestaltung. Erweitert man den Bruch

mit (i — e₀) !, so zerfällt er in das Produkt des (i — e₀) ten

in den Bruch

Binomialkoeffizienten von

(i - r₀) !

fi

fi

i — s₀

: der letztere aber ist, da sich gemäß (5a)

£1 * £2 •    * * * £fi •

i — e₀ aus den Summanden e₂ , . . . , en zusammensetzt, der dieser Zerlegung entsprechende „Polynomialkoeffizient“

i — e₀

d. i. der numerische Koeffizient des Potenzproduktes a*° a^¹ ... ae;n in der Entwicklung von

£11 £2 ) • • • 5 £n,

(a₀ -j- % -f- ... + an)l £° .

Verfährt man analog mit den weiteren auf die Urformen

v(r —¹ ) • • • {v — (i — t]o 1)> Vi-Va- • • • V

g, h, . . . bezüglichen Brüchen usf., so nimmt (IX) die Gestalt an*):

a®

(IX a)

o si ••• en Vo Vt • • • Vp so Ci sq •••

i — e₀

i VoJ CoJ \el )•••) En) \Vi 7 • • • 7 VpJ VCi » • • • > Cql

Übrigens hebt sich der Faktor il bei Einsetzung von (IX a) in die Reihe (III) wieder heraus.

Andererseits empfiehlt es sich, die Urformen f,g,h, ...

(2) auch in den Koeffizientenreihen (a), (b), (c), . . . nichthomogen zu schreiben, indem man die nach Voraussetzung von Null verschiedenen ersten Koeffizienten a₀ , &₀ , cQ , ... gleich 1 setzt.

Da die Dimensionen /u, v, 7t, ... von D» in den (a), (&), (c), ... bekannt sind, kann man jederzeit von dieser nichthomogenen Schreibweise in (III) zur homogenen zurückkehren.

Für a₀ = b₀ = c₀ =• ... =1 fällt nach (IV) Dt mit zusammen, die Exponenten e₀, rj₀, Co» ••• werden entbehrlich, die Differenzen i — e₀ , i —    , i — C₀ » • • • lassen

sich nach (5 a) ersetzen durch die Summen

(13) ffe = £]-(-•..+ f, ,    — Vi “H • • • + Vp 7    • • •

Damit werden die Dimensionsrelationen (5 a) überflüssig, und es bleibt nur noch die Gewichtsrelation (5 b) zu berücksichtigen; (IXa) nimmt die Gestalt an:

= il

f.i

71

i-Co

(IX b)

A".

O,

Ov

fl 7 • •

• 7 ^n,

rll 7 • • • 7 Vp,

Durch Einsetzen von (IX a) resp. (IX b) in (III) gewinnt man für F(œ) die Darstellungen:

*) Im Falle einer einzigen Urform f(x) führt die Darstellung (IX a) zu der (verallgemeinerten) polynomischen Reihe für ft* ; umgekehrt liefert die Ausführung der Multiplikation der einzelnen polynomischen Reihen für ft¹, gv, ... formal die allgemeine Darstellung (IXa), nur daß auf diesem Wege die Aufstellung der Konvergenzbedingung Schwierigkeiten bereitet.

OO

F(x) ~ />(a?) gvp{x) h*{x) . . .

(lila)

-c₀)

a\i . . . a‘n"    °) b'l¹ . . . bv . . .

J - %

resp. für «₀ = &₀ = c₀ == ... = 1 :

OG

F(x) = y_ xl a\l . . . a*» b'(i . . . b'jp . . .

(III b)

t = o f,/?,C,...

VI 7 • • 7 £n) VIl 1 • • • ?

wo im ersteren Falle die Exponenten t₀, ex, . . ., £n ;

. . den Dimensions- und Gewichtsbedin-

%7 Vl 7    * • • 7 Vp 7    •

gungen (5 a), (5 b) unterliegen, im letzteren Falle die Exponenten £x, . . . ,    ; r]l, . . . ,    ; ... nur der Gewichtsbedin

gung (5 b).

Eine Hauptanwendung gestatten die Darstellung« -formein (Ilia), (IIIb) auf Integrale von der Form jF(x)dx ,

CX

wo <x eine willkürliche untere Grenze bedeutet; also insbesondere auf alle rationalen, elliptischen und hyperelliptischen Integrale. Denn die Integration der Beihe (III) liefert :

x²

xi+1

(III') / m dx = 0 + D₀ ^ + J>, ₂,

a

0

C — jF(x)dx die Integrationskonstante bedeutet. Die

a

Funktionentheorie zeigt, wie sich in jedem Falle, bei gegebenen Exponenten ju , v, n, ... der Konvergenzbereich der Beihe (III') bestimmen läßt. Somit gilt:

Satz I. ,,Versteht man unter f‘n(x), gp{x), hq(x), ... eine endliche Anzahl von binären Urformen der Ordnungen n , p , g, . . ., unter ju, v , n , . .. beliebig gegebene Exponenten, so läßt sich das Potenzprodukt F(x) = f%(x) g*(x)h“(x) ... gemäß (lila) resp. (Illb) in eine Potenzreihe nach x entwickeln;

(< + l)!

+ ...

wo

dx = n ft + p v + q n -|- ...

(14)

durch Integration geht hieraus die entsprechende Reihe (III') für jF(x)dx hervor.“

Nach dem Vorgänge von §18 (IV b) werde nun auch noch der Prozeß P₂ berücksichtigt:

n

P 2 =V i n — i) a,

(X)

¹ den

Die Ordnung (Dimension) dx von F(x) in x besitzt den Wert:

Jc = 1

¹ dbk

Somit genügt F(x) gemäß § 18 (IVb) der weiteren linearen partiellen Differentialgleichung:

(XI) P₂ F (x) = (n lÂ + V v + 3 ⁷¹ + . • . ) x F — x² F'(x) .

Wendet man dies auf die Reihenentwicklung (III) von F(x) an, und vergleicht wieder die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x links und rechts, so gelangt man zu der weiteren Rekursionsformel:

i) a₀ b₀ c₀ ... Di, auch durch Zt, Zi+1 ersetzen lassen.

(XII) P₂ Di+i = (i +1) {n/i -f- pv + qji + ... wo sich D

A+i

Das Integral jF(x)dx ist im allgemeinen keine Kovariante der Urformen    Denn unterwirft man

x einer beliebigen Substitution:

(15)

X z + ß y z + ô

wodurch die Form F(x), von der Ordnung dx in x, nach Heraufmultiplikation mit Nd* in die neue Form <P(z) übergehe, so ergibt sich aus:

(16)

dx — AN~² dz

daß vermöge (15), (16) die Identität besteht:

X    Z

(17)

I F(x) dx ~ A I <P(z) dz V~ (dx+²> .

Das Integral rechterhand bleibt also dann und nur dann von derselben Form wie das ursprüngliche, wenn der Exponent van V verschwindet, wenn also:

(18)

dx = n/i+pv-\-qn+ ••• — 2

Eine gewisse Klasse transzendenter Kovarianten, wird. Ist aber diese Bedingung erfüllt, so geht (17) über in:

(XIII)

I &(z)dz = A~x jF(x) dx

d. h. das Integral )F{x)dx ist eine Kovariante der f, g

und in den (a), (b), (c),    . .

, v, jx, ... Setzt man as

h , ... vom Gewichte — 1 , resp. von der Dimension ju Integral in homogene Gestalt j F(x₁, x₂) (x₂ dx₁ — xkdx₂), so erkennt man, daß es in den x1? x₂ die Dimension Kuli besitzt. In diesem Falle genügt daher das Integral I F(x)dx = J(x) selbst den beiden Differentialgleichungen (IVa) und (IV b) (S. 303), die jetzt die spezifische Gestalt annehmen :

(XIV) Vj(x) = F{x) , V₂ J(x) - -x² F{x) .

Somit gilt:

Satz II. ,,Das Integral J[x) der Funktion F(x) = f%{x) gvp{x) hy(x) .. . ist dann und nur dann eine Kovariante der Urformen f, g, h, ..., wenn n fx -\- p v Ą- g Ti ... = — 2

ist. J(x) ist dann in der Variabein von der Dimension Kuli, in den Koeffizientenreihen (a), (b), (c), ... je von der Dimension /u, v, n, ... und vom Gesamtgewicht —1. J(x) genügt den beiden linearen partiellen Differentialgleichungen (XIV).“ Aufgabe 1. Es ist zu zeigen, daß das elliptische In-

durch

tegral 1. Gattung J(x) =

dx ] a₀ + ax x + • • • + «₄ #⁴

die Reihenentwicklung charakterisiert ist:

rp2    1

J{X) = X-— + -XJ v

r ■ i %

Die Di, Zi erfüllen die Rekursionsformeln: *.

2t+1

Di = a ² Z i ,

vi 1

Zi+1 = —«1

<^±L-Z₍ + a₀PZi.

Es wird Zt =2A2«»...«4ao>®!¹ • • • wo =£lcek = t, und AW =

(-1R° 1.3.5. ... • {2(i — £₀) — 1>

V s₂ ! e₃ ! £₄!

i ! ist.

J (x) genügt den beiden partiellen Differentialgleichungen :

VJ =

ifM

P₂ J= -x²

ifM

und die , Z, erfüllen die beiden weiteren Bekursions-gesetze:

P,Z₍₊₁ ■=-(< + 1) (i + 2)a₀Z₍,

f 2 -®<+i = — (^ + 1)    + 2) ß₀ Di .

Aufgabe 2. Fortsetzung. Im besonderen ergibt sich für das Legendre-Jacobisehe Normalintegral

J(X, k) = [

dx

V( 1 - X²) (1 - fc²æ²)

für k² = q , je nachdem

der (stets gerade) Index i von der Form 4 w oder 4 w + 2

ist:

a t(t=4w) jŁ 2n+t> (2 >;) ! (n - rj) !

(b) Z^(t-_4W + 2)

n — rj) !

^r(—1)M-Vß«-^(1 + p)2j?+x

2n+,'⁺¹(2r} + !)!(

1-3-5* ... • \2(n -j- rj) -j- 1}

•(4» + 2)!

Eine übersichtlichere Entwicklung für J(x, k) gewinnt man nach Potenzen von o = k²:

(c)

(2 (l — s)\ (2 s

die sich für q = 0 (d. i. k = 0) auf die elementarbekannte des Arkussinusintegrals reduziert.

Aufgabe 3. Fortsetzung. Analog ist das Weier-straßsche Normalintegral zu behandeln:

j (* ; 92 > 9s)

~h

dx

4 xz — g₂ x — g₃

Logarithmus einer ganzen Funktion. Die Waringschen Formeln. 319 Man erhält schließlich:

(d)

₁    00 £=£(l)

,r=J(xi g₂, sr₃) = V S f-gs    ^ ^

\i ~ 0

xi+1 (—l)i_c 7+1 ' '2a<ł-s*>

2(7 - 2e) e . 7 — 2 e . 7 — 3«

•gî+2egi~3s

CO »ä».

wo E /j die größte in

Sind x, g₂, g₃ reell, so unterscheide man zwei Fälle. Bei negativem g₂ sind alle in (d) auftretenden Größen reell; bei positivem g₃ wird sowohl ]/— gs , wie J (x ; g₂ , g₃) rein imaginär, also das Produkt reell, während auf der rechten Seite von (d) wieder alles reell bleibt.

Bezüglich weiterer Ausführungen vergleiche man des Verfassers Abhandlung: Math. Ann. Bd. 66 (1908), S. 113.

enthaltene ganze Zahl bedeutet.

§ 20. Fortsetzung. Die Reihenentwicklung des Logarithmus einer ganzen Funktion. Die Waringschen Potenzsummenformeln und ihre Umkehrung.

Die in § 19 für ein Potenzprodukt binärer Urformen entwickelte invariantive Methode werde jetzt auf den natürlichen Logarithmus einer einzelnen Urform fn(x) übertragen. Sei wieder:

(1) fn(x) eee a₀ + a₁® + a₂a?⁸ + • • • + a»®w K+0, fl.n + 0), so liefert die Maclaurinsche Reihe den Ansatz:

I*o + Ą 77 + Ą 27 + • ■ • + Di {J

(I) lf(x)

xl

1!

Die Koeffizienten Dt sollen wiederum aus der Tatsache abgeleitet werden, daß lf(x) eine absolute Kovariante von f(x) ist. Bedeutet V wieder den Prozeß:

-f • • • + n an

(ii)

V = ax

San-!

so ergibt sich auf Grund der allgemeinen Formel (Va) des § 18 als eine Eekursionsformel für die D :

f Di = Di+X .

(III)

Man setze:

Unterwirft man beide Seiten von (IV) dem Prozesse I , so erhält man, als gleichwertig mit (III), die Rekursions-formel für die Z :

(V)

Zi+x = —ia₁Zi + a₀ VZt . (i = 1,2,. ..)

Hieraus schließt man, wie in § 19, daß Zt in den a ganzrational ist, von der Dimension i und vom Gewichte %. Demnach ist Zi ein Aggregat von der Struktur:

(VI)

Zt=2AÏU...«*    • •

wo die AG numerisch sind und die e natürliche Zahlen (inkl. 0), die den beiden Bedingungen unterliegen:

(2 a)

£0 £t “t“ • • • + En = i >

(2b)

1 * £i H~ 2 e₂ +    + n en = i .

Rechnet man die Aggregate Zi für die niedrigsten Werte von i aus und achtet andererseits auf die Struktur der Rekursionsformel (V), so wird man behufs Bestimmung der AG in (VI) zu dem Ansätze geleitet:

{i — (f„ + 1)} !

(VII)

At,..% = (-1)M£0+1)*!

Der Beweis wird wieder mittels vollständiger Induktion erbracht. Die Formel (VII) gelte bis zu einem Index i. Man greife aus Zi+1 irgendein Glied

<?-a“

heraus; dieses ist von der Dimension i +1 und vom Gewichte i +1 in den a, so daß hinsichtlich der £ in G in (2 a), (2b) der Index i durch i +1 zu ersetzen ist.

Dann lassen sich auf Grund von (V) diejenigen Glieder von Zi angeben, aus denen durch Ausübung wenigstens eines der auf der rechten Seite von (V) auftretenden Teil-

ô

prozesse —

ix Q/q et fi

„ ? a₀

jedesmal das zu G gehörige Potenzprodukt a\i ... a** hervorgeht.

Die Summe aller numerischen Koeffizienten AG jener Glieder von Zt muß den gesuchten Koeffizienten A(i+1) von G ergeben. Die in Rede stehenden Potenzprodukte

ut et a a₂ ~«

d. i. aber, da i — *₀ = (i + 1) — (e₀ +1), der Ausdruck (VII) für den Index i +1 •

Die hiermit bewiesene Darstellungsformel (VII) läßt noch zwei Umgestaltungen zu. Da gemäß (2 a)

e± ! *₂ ! • • • £n !

(3)

sind nebst-den zugehörigen Teilprozessen und numerischen Beiträgen in folgender Tabelle zusammengestellt:

'Potenzprodukte in Z* Teilprozesse a\x ~¹ . .. aenn

a*o_1 a\i+x «2a_1

ô

af; - la\¹ a^⁺¹a^ _1... a*« I 3fl₃«oT

«0° ¹ »?• • • aen-t +1 an 1 n an «0

-i

<9

Numerische Beiträge

Wendet man auf die einzelnen AW jeweils die Formel (VII) an und bringt jede derselben auf den gemeinsamen Nenner ! e₂ ! ... *w!, so hebt sich aus der Summe der numerischen Beiträge einmal der gemeinsame Faktor

(< — eo)Hl

&1 •    • • • • £w •

Bestfaktor das Aggregat 1 • *! + 2 *₂    ... + n en, das nach

Voraussetzung den Wert i +1 hat. Somit ergibt sich für den gesuchten Koeffizienten A(i+1) :

heraus, andererseits verbleibt als

(4)

A"¹!..,* =    + 1)!

(i - %>!

! £₂ ! ... £n !

wo der Faktor von

-—- der der Zerlegung (2 a) von

_ £o

i -

t — e₀ entsprechende Polynomialkoeffizient von i — e₀ ist.

Damit geht (VII) über in:

(vir)

A«

il

f«/ * — «o

Andererseits empfiehlt es sich, wie in § 19,'die Urform f(x) auch in den a nichthomogen, mit a₀=l, zu schreiben, wobei gemäß (IV) mit Z{ zusammenfällt. Setzt man zur Abkürzung:

*0*1-••

(5)

O —    + e2 + • • • + £n »

und bezeichnet den Koeffizienten (VII) jetzt mit so kommt:

(VII") A« _(-l)

<7—1

«i! ••• «»!

il =

(-1 Y-'l ⁰ Y-l,

\®1, • • •) Sn/ O

wo nunmehr die ex, e₂,    nur noch an die Gewichts

relation (2b) gebunden sind. Vermöge (IV), (VI), (VII), (VII'), (VII") wird die explizite Reihenentwicklung (I) von l f{x) :

» — «o \__

• • • » £nl ^    £0

wo die €₀, elf . ., en den Relationen (2 a), (2 b) unterliegen, resp. für a₀ = :

oo _ /

(VIII) lf{x)~la₍₎ -f    ^(—1)"~g°~¹ xlaen°ay(

i = l e₀el...e„    V

tH

oo    /

(VIII') JA*) =2 2’(-!)CT-¹^^ • • • e

i = 1    '

£ll£2l • •

£n/ O

(o — £i + f j + • • • + £n) f

wo die ex, ..., en lediglich der Gewichtsrelation (2 b) zu genügen haben.

Demnach gilt:

Satz I. „Ist fn(x) (1) eine vorgelegte binäre Urform (ao={=0, an 4= 0), so gestattet lf(x) die Reihenentwicklung (VIII), resp. für a₀ = 1 die Entwicklung (VIIU). Hieraus geht durch Differentiation

die entsprechende Reihe für

man in (VIII) resp. (VIII') überall xi durch ixi~l ersetzt.“

n*)

A®)

hervor, indem

Die Darstellung (VIII) werde zu den Wurzeln von f(x) und deren Potenzsummen in Beziehung gesetzt. Nach dem Fundamentalsatze der Algebra*) hat eine Form f(x) n Wurzeln ^, <x₂, ..., cxn, so daß f(txr) = 0 (r = 1, 2, ..., n), und es besteht die Identität:

(IX) f(x) =

Hieraus ergibt sich durch Logarithmierung:

im = la₀+Ęl( 1--^), und sodann durch Differentiation nach x :

(X)

/» ₌ V 1 /» ^

r=1

<xr

1-

wo auf die linke Seite der Satz I anzuwenden ist.

Man entwickle die rechte Seite ebenfalls in eine Reihe nach steigenden Potenzen von x. Die geometrische Reihe liefert zunächst, unter der Voraussetzung |ar > |a?|, für

X

ein einzelnes Glied 1 —— :

txr    ar txr

also nach Multiplikation mit--— :

X¹'¹

+ • • • + + • *

ocr

<xr

x²

a?-¹

<Xr (Xr

«r ₁__»

Summiert man über alle n Wurzeln ocr von f(x), wobei der absolute Betrag von x kleiner anzunehmen ist als der von irgendeinem <xr, und bezeichnet die Summe der iten Potenzen der ac mit st-, die der (~i) ten Potenzen mit 8_i*.

otr

(6)    8i=^OCtr ,

r £o 1) • _

(XII)

! ^2 • • ■ • £n •

Hieraus geht die korrespondierende Formel für die Summe der iten Potenzen der oc unmittelbar hervor, indem man je zwei symmetrisch gelegene Koeffizienten as und an_g (s = 0, 1, . .., n) vertauscht; denn hierdurch gehen die Wurzeln <x in ihre reziproken Werte über und die rechte Seite von (XII) ist in den a homogen von der Dimension Kuli.

Da man indessen gewöhnt ist, die Darstellung von s, als die primäre anzusehen, so empfiehlt es sich, die Bezeichnung von f(x) in (1) dahin abzuändern, daß gesetzt wird :

(1')

so entsteht aus (X) eine zweite Reihenentwicklung für

/>).

f(x) '

(XI)

/»

/»

nach steigenden

d. h. in der Entwicklung von

Potenzen von x ist der Koeffizient von xi gleich der Summe der (—i)ten Potenzen der Wurzeln von f\x).

Andererseits hat man auf Grund von Satz I für den

f(x)

Koeffizienten von xi in —

f\x)

/‘(®)

einen Ausdruck in den

Koeffizienten a von f. Da beide Ausdrücke überein -stimmen müssen, so folgt die Darstellung von s_i durch die a :

fix) = aa xn + a₁xtl-¹ + ...+<*«• {a₀ 4= 0 , an 0)

Dann wird die rechte Seite von (XII) gerade der Ausdruck für Si :

(XIII) =

\ a0/ £

•• K

e, ! e₂ ! • • . f n !

so geht linkerhand s* in über.

wo die Exponenten e₀, e₁, . . ., en alle nichtnegativen ganzzahligen Lösungen der Relationen (2a), (2b) durchlaufen; wie oben vereinfacht sich (XIII) für a₀ = 1. Umgekehrt, vertauscht man auf der rechten Seite von (XIII) wiederum jedes as mit an

Die Fundamentalformel (XIII) heißt die Waringsche Formel²). Es gilt demnach:

Satz II. „Die explizite Darstellung der «ten Potenzsumme Si (i = 1,2,...) der Wurzeln <x einer Form f(x) = a₀ xn -j- axxn~¹ + ...+ an vermöge der Koeffizienten a wird durch die Waringsche Formel (XIII) geleistet: durch Vertauschung je zweier symmetrisch gelegener Koeffizienten as und an_s entsteht die korrespondierende Formel für die Summe s_t der (—i) ten Potenzen der Wurzeln von f. Die Waringsche Formel ist als eine direkte Folge der Grundtatsache anzusehen, daß lf(x) eine (absolute) Kovariante der Urform f\x) ist.“

Der Vollständigkeit halber sei auch der Weg angegeben , der mittels (VIII) direkt zur Waringschen Formel (XIII) für die st führt, ohne erst die Formel für s_i zu bilden. Man gehe von der neuen Bezeichnung (1') von f und der dementsprechenden Zerlegung von /' in Linearfaktoren x — <xr aus :

(10 f{x) = a₀xn + axxn-x + ... -f an~aQ(x— ^...{x—«„),

und benütze daneben die alte Bezeichnung (1), wobei man der Deutlichkeit halber eine andere Variable y und ein anderes Funktionszeichen cp(y) wähle:

¹

— *₀ == £l + £2 + • • • + En i

so wird

* £o _

, • • • , En) ^    £0

²

Ed. Waring, Miscellanea analytica de aequationibus al-gebraicis et curvarum proprietatibus, Cambridge 1762, p. 1, und Meditationes algebraicae, Cambridge 1782, p. 1.

(1)

<p{y) = «o + «iy + • • • + »¹yw •

Unter Annahme der Relation:

(?)

xy = 1

wird ersichtlich:

(8)

dx

f{x) = a₀(x - <xx) ... (x — <xn) = xn cp (y) . Logarithmiert man wieder und differenziert sodann nach x, so kommt, da y'— ^

(9)

/»

/»

r=l

x — (Xr

y <pjy)

x <p(y) ’

so daß die Identität gilt:

(XIV)

n -,

2¹—

txr

yîM y <p(y)

Entwickelt man links wieder jedes Glied der Summe nach der geometrischen Reihe, wo jetzt behufs Konvergenz umgekehrt der absolute Betrag von x größer als der irgendeines ar anzunehmen ist:

i\r

¹    = 1 + <xry + o$y² + ... + <xiryi + ..

so lehrt (XIV), daß

und summiert über alle Wurzeln <x der Koeffizient s* von yi übereinstimmt mit dem Koef-

fizienten von — yi~¹ in

<p\y)

<p(y)

; das führt aber auf Grund

von (VIII) zur Waringschen Formel (XIII).

Es werde nunmehr die Umkehrung der Formel (XIII) in Angriff genommen, d. i. die Aufgabe, die Koeffizienten a von f(x) durch die Potenzsummen s der Wurzeln <x auszudrücken. Zu dem Behuf multipliziere man in (XIII) mit dem Kenner (— a₀f herauf, so kommt:

ay aÿ ... a*»-

! ^2 • • • • £fi •

(XIII a)

( —«o)<si =    - £₀ — 1)!

(<=1, 2, ..•),

wo die natürlichen Exponenten e(^ 0) an die beiden Relationen (2a), (2b) der Homogenität und des Isobarismus gebunden waren:

( a)    £0 + £i + • • . +    = i >

( b)    1 • % + 2 e₂    -Ą- n en = i .

Die rechte Seite von (XIII a), wo £₀ der Reihe nach der Werte 0, 1, . . ., i—1 fähig ist, ordne man nach steigenden Potenzen von — a₀:

(u)

I ( - a„ )' s,; - Pf — a„ P'"_, +    — . ..

+ (-l)'a5P?L,.+ ... +

wobei der untere Index irgendeines der Koeffizienten P die Dimension in den a,, a₂, ..., an angibt, der obere

Mit Einführung der R statt der P nimmt die Wa-ringsche Formel (XIII) resp. (XIIIa), wenn man hinterher wieder a₀ = 1 nimmt, die Gestalt an :

Rti

"'S

i-1

Index das konstante Gewicht i. Gemäß (XIII a)* ist das Aggregat Pf-r{r = 0, 1, .. ., i — 1) bestimmt durch:

al¹ . . . aE»

£j! s₂ !    £n • '

(12)

wo nunmehr die , e₂, ..., en den beiden Eelationen zu genügen haben:

(13 a)

(13b)

heran :

£i + £2 + • • • +    = i — r i

1 ' £1 + 2 £₂ + • • • + n en — i •

Andererseits ziehe man die polynomische Entwicklung *)

(14) («! + a₂ + • • • + ^nf ~r = (t — r)\ ^

a\i a% .. . aEnn

hier erstreckt sich die Summe auf alle nichtnegativen, ganzzahligen , e₂ , ..., en, die lediglich der Bedingung (13 a) der Homogenität unterliegen. Greift man aus der Entwicklung (14) das Teilaggregat Bf_r aller der Glieder heraus, die das feste Gewicht i besitzen, so tritt für dieses Teilaggregat noch die Bedingung (13 b) des Isobarismus hinzu; es ist somit:

ai a2 -- ■ gj! e₂ ! .. . Bn!    ¹

mit den beiden Bedingungen (13 a), (13 b) für die e. Aus der Vergleichung von (15) mit (12) folgt die Beziehung:

(15)

Bf-r

= (i-r)\£

(16)

Pf-r =

- • Bt,(r = 0 , 1, . .. i - 1)

j?«)

+ (-iy-=*=£-

i — r

oder auch, nach Division mit (—1) gekehrter Anordnung der rechten Seite: —8t

i- 1

und vermöge um-

Rf Rf

“~2~ ⁺

(XIII b)

+ (-l)

r-1

Rf

+    +(-l)

l-l

Rf

Damit ist zunächst bewiesen:

Satz III. „Bezeichnet man die Summe «i + a₂ +    +«n mit A , und bildet die beliebig

weit fortgesetzte Entwicklung:

A A² ,A³

(17)

+ (-l)

r- 1

Ar

+ ..• + (—1)

Ai

entwickelt hier wiederum jede Potenz von A gemäß (14) und ordnet (17) alsdann nach Aggregaten steigenden Gewichtes (1,2,...,«,...), so entsteht die Entwicklung nach Potenzsummen:

oo

Man beachte hierbei, daß in der Entwicklung (14) das kleinste Gewicht vom Gliede a\~r herrührt; in der Entwicklung (17) kommen daher Glieder vom Gewichte i höchstens noch in vor.

Der Satz III ist mit der Waringschen Formel (XIII) gleichwertig, da letztere rückwärts aus ersterem folgt. Nun ist die unbegrenzt gedachte Entwicklung (17) formal die logarithmische Eeihe für 1(1 -f A), oder auch, da 1+A = f(l), für l{f(l)}. Nimmt man A \ <1, so konvergiert (17) absolut. Der Satz III gestattet daher auch folgende Fassung:

Satz III'. „Entwickelt man für |/’(1)|<2 Z{/(1)} nach steigenden Dimensionen in aA, a₂, ..., an} und ordnet sodann nach Aggregaten steigenden Gewichts (1,2,...«,...), so entsteht die Eeihe:

+ ..."

(xv) -uni)} -

i-i L?»

S2

⁺ ~2 ⁺ •••⁺

Si

Auch in dieser Form ist der Satz mit der Waringschen Formel (XIII) äquivalent; denn gilt letztere für alle Wert-Systeme der cq, a₂, ..., an, für die |ax-f- H⁻ • • • +«w| <1, so gilt sie auch für beliebige Werte der a.

Behufs Umkehrung von (XIII) hat man somit nur (XV) umzukehren. Damit die Reihe (XV) absolut konvergiere, wähle man die Wurzeln <x von f (x) so, daß das Cauchysche Kriterium*) erfüllt ist, daß also von einem genügend hohen m ab der Quotient:

to + 1

£Xg

\ m + 1

(19)

^»» + 1

= oc₁

OC₁

(X₁

(Xx

(X₁

unter einen vorgegebenen positiven echten Bruch e sinkt. Man unterwerfe daher die oc auch noch den Unglei

chungen :

a₂ < 0.1 ,

(Xg ! OC-^ | , • •

Es bezeichne S die Summe der Reihe (XV):

21)

I—i i,®⁰

toltS⁰

— -1 (eQo

so liefert die Umkehrung von (XV):

(XVI)

A = e~s — 1 .

Hier gestattet die rechte Seite die absolut konvergente Entwicklung :

(XVII) A = e~s -1 = -

CO OC

i- 1

Si

Ti i • •

i\

und es gilt demnach:

Satz IV. „Entwickelt man die rechte Seite von (XVI) gemäß (XVII) nach steigenden Dimensionen der a, indem man jede Potenz der hinreichend weit fortgesetzten Eeihe (21) für 8 nach dem polynomischen Satze entwickelt, und ordnet wiederum nach Aggregaten steigenden Gewichtes (1,2, ... i , . . .), so ergibt sich A — cq + a₂ + ..'. -f an, wo n beliebig hoch genommen werden darf.“

Hieraus geht die gesuchte Umkehrung der Waring-schen Formel (XIII) hervor:

Satz V. ,,Der Koeffizient a² von xi in f{x) drückt sich durch die Potenzsummen s der Wurzeln oc von f(x) explizite aus nach dem Gesetze:

, {i = 1, 2 , ... n)

(XVIII) di =

^1 • • • • • •

wo die natürlichen Zahlen (inkl. 0) £ den Bedingungen (13a), (13b) unterliegen.“

. Es gilt dabei die analoge Bemerkung wie oben, daß man, um a² zu erhalten, in der Reihe (XVII) nicht über das Glied mit Si hinauszugehen braucht.

Der eingeschlagene Weg läßt sich rückwärts durchlaufen und liefert zu (XVIII) wieder die Umkehrung (XIII).

Sieht man von dem Umstande ab, daß bei der obigen Ableitung der Waringsclien Formel (XIII) der erkenntnis-theoretische Grund darin lag, daß lf(x) eine (absolute) Kovariante von f(x) ist, so kann man zu (XIII) und der Umkehrung (XVIII) kürzer²) so gelangen.

Man gehe direkt von der Gaußschen Zerlegung (8) der Form f(pc) (für a₀ = 1) aus :

(8)

f{x) = xn (l +

\ x

X²

= Xn 1 —

oc±

Durch Logarithmierung folgt:

(9)

&n

a?²

xn,

iM

nr — 1 \

Auf der rechten Seite entwickle man jedes Glied, anstatt wie oben erst zu differenzieren, unmittelbar nach der logarithmischen Reihe³), wobei behufs absoluter Kon-

Summiert man über alle ur und schreibt gemäß (7) , so geht (9) über in:

y für

(9')

l (1 + ax y + a₂ y² + . . . + an yn)

= -s— s₂y² — . . . — 8iy* — ...

Setzt man links zur Abkürzung:

(22)

vergenz wieder | x \ > <xr (r = 1 , 2 , . . ., n) angenommen werde :

<xr

(Xr

<xj

oCr

X²

Xi ■

<*>iy + (^2 y² + • •. + «« yn •

und entwickelt auch l (1 -j- A) nach der logarithmischen Reihe:

1(1 +A)

III

(23)

co; >

+ (-l)

r- 1

Ar

+ (-l)

i- 1

IV

wo behufs absoluter Konvergenz y | so klein angenommen werde, daß J A j < 1 ausfällt, so liefert die Gleichsetzung der rechten Seiten von (9') und (23) eine Verallgemeinerung des Satzes III, der formal für x = 1 daraus entspringt.

Die Einführung des veränderlichen Elementes x bietet jetzt einmal den Vorteil, daß die Konvergenzbedingungen bez. (9') und (23) bequemer lauten, sodann den weiteren, daß das in Satz III angegebene Verfahren der Anordnung von (23) (für x = 1) nach Aggregaten steigenden Gewichtes (1, 2, . . . i, .. .) in den a dadurch ersetzbar wird, daß man (23) nach steigenden Potenzen von y entwickelt und alsdann auf den rechten Seiten von (9") und (23) die Koeffizienten derselben Potenz y{ vergleicht.

Dies beruht auf dem, aus dem Begriffe des Gewichts unmittelbar folgenden Hilfssatze:

Satz VI. „Entwickelt man {a^y -f a₂ y% + ... + anyn)r (r = 1, 2, ...) nach dem polynomischen Satze (14), und ordnet nach steigenden Potenzen von y, so wird der Koeffizient von y¹ gebildet durch das

a\' aX . . . a*»

wo über alle nichtnega-

Aggregat

tiven ganzzahligen £ zu summieren ist, derenSumme gleich r , und deren Gewicht 1 • e₁ + 2 • e₂ + . .. -f- n en gleich i ist.“

Vermöge (VI) geht aus (9') und (23) sofort die Waring-sche Formel (XIII) hervor, und wenn man wieder beide rechte Seiten zu Exponenten von e macht:

(24)

1 _|_ A = e~Siy~Siyi~ ••• -*»»*-•••

und rechts nach der Exponentialreihe entwickelt, wiederum auf Grund des Satzes VI, die Umkehrung (XVIII).

Zum Schlüsse sei darauf hingewiesen, daß man die Formeln (XIII) und (XVIII) in einer anderen Fassung aussprechen kann, die die Kenntnis des Fundamentalsatzes der Algebra nicht voraussetzt.

Man betrachte , <x₂ , . . ., <xn als n unabhängige Variable und bilde deren „elementarsymmetrische“ Funktionen :

<Xr —    -f- (X₂ + • • • H⁻ ćX

T— 1

6% —^1 ^2 “t⁻    ^3 H"~ ^2 ^3 ~t~ • • • 5    “t“

r=l*=l

(25)

63    &r &S &t ^1 ^2 ^3    ^1 ^2 ^4 “t⁻ ^1 ^3 ^4

r=ls=l(=l

(r =f= s =f= t)

Bedeutet dann x eine weitere Variable und f(x) die Form (x — aL) (x — a₂) . • . (x — <xn), so erscheint jetzt die Gaußsche Zerlegungsidentität (8), wie die Ausmultiplikation lehrt, als unmittelbare Folge der Definitionen (25):

f(x) = (x — %) (x — cx₂) . . . (x — ocn)

(26)

= xn — e₁xn~¹ + e₂ xn~² — .. .

+ (-lfekxn-k+... + (-lYen.

Demnach gelten nach obigem zwischen den Potenz-summen s* (i = 1, 2, ...) der a und den Größen (— l)keh dieselben Relationen, die in (XIII) und (XVIII) für die 8i und ak aufgestellt waren, wenn man nichthomogen a₀ = 1 setzt. Hierbei tritt in (XIII) noch eine Schwierigkeit auf. Vereinigt man rechterhand in jedem Gliede die von den Größen {—\)kek herrührenden negativen Vorzeichen, so tritt der Faktor (—1)£i+£s+<?5+-” hinzu.

Um zu entscheiden, wann dieser Faktor die positive resp. negative Einheit darstellt, ziehe man die Relationen (2a), (2b) heran:

(2 a)

£o + £i + • • • +    — * }

(2 b)

1 • £i "f" 2 e₂ "f" • • • + n £n — i •

Durch Subtraktion folgt:

1 • £2 + 2 £₃ + 3 e₄ -f- • • • + (w — 1) £« = —>

und hieraus, daß die Summe der e mit geradem Index (inkl. 0) eine gerade Zahl ist. Setzt man dies Ergebnis in (2a) ein, so erkennt man, daß die Summe der e mit ungeradem Index stets zugleich mit i gerade oder ungerade ist, d. h. man hat:

(27)

(5)

(-l)el + eS + c5+ ••• — (- t)^ .

Setzt man a₀ = 1, und wie in (5) :

° — h + £2 ~ł" %    • • • 4* en

so geht (XIII) über in:

(XIX)

■■■ K

et ! e₂ ! . . . en !

während (XVIII) ohne weiteres die Umkehrung liefert:

si V¹

SnYn

(XX)

% ! s₂ ! . .. sn !

wo beidemal die Exponenten e₁, e₂, . .., en nur noch an die Gewichtsrelation (2 b) gebunden sind. Damit ist bewiesen :

Satz VII. „Die elementarsymmetrischen Funktionen ek(k= 1, 2, . . . n) von n Größen <x drücken sich durch die Potenzsummen st (i = 1,2, . . . n) der <x vermöge (XX) aus, und umgekehrt* die

(i= 1, 2, ..

n, .. .) durch die ek (k — 1, 2, .. . , n)

vermöge (XIX).“

6 des Index i

Aufgabe 1. Die Formeln (XII), (XIII), (XVIII) sind der Reihe nach für die Werte 1,2,. explizite zu entwickeln.

Aufgabe 2. Der polynomische Satz ist der Reihe nach für eine Summe von drei, vier, fünf Gliedern und für die Werte 2,3, 4, 5 des Exponenten aufzustellen.

Aufgabe 3. Es werde die zu (XIX) analoge Formel für die s_{ auf Grund von (XII) aufgestellt.

Kapitel IV.

Die Invarianten als symmetrische Funktionen der Wurzeln.

§ 21. Symmetrische Funktionen.*)

In § 20 wurden die Potenzsummen ■— oc[ -j- oc\ + • • • + <*» (i = 1, 2 , . . . ) von n Größen ocr ganzrational ausgedrückt in den elementarsymmetrischen Verbindungen es der oc : ex =^oc₁, e₂ =^oc ₁ oc₂, . . ., en = ocx oc₂ • • • <xn. Die Größen S; sind „symmetrische“ Funktionen der oc, da sie sich nicht ändern, wenn man die oc irgendwie permutiert; zugleich heißt Si „einförmig“, da sie aus einer einzelnen Potenz oc\. dadurch hervorgeht, daß man den Index r die Werte 1, 2 , . .., n durchlaufen läßt und die Summe dieser n Potenzen bildet.

Analog gelangt man zu einer „zweiförmigen symmetrischen“ Funktion sik der oc, wenn man von einem Potenz-produkt oci ock₈ ausgeht, wo r, s zwei verschiedene der Zahlen 1, 2, ..., n bedeuten, und auch die natürlichen Exponenten i, k vorderhand verschieden seien ; läßt man in oci-ocg das Paar (r, s) alle n(n — 1) Variationen der n Elemente 1, 2, ..., n zur zweiten Klasse durchlaufen und summiert, so wird sik:

Sik — <*1 (‘ + &2 + a3 + • • • + <%n)

-f- oc\ (oc\ + • + oc\ + ... + ock) + . . . + och 0*1 + Oc\ + • • • + Mn -!+')•

*) Vgl. diese Sammlung, Bd. VI „Algebra“ von O. Pund, § 100.

Füllt man innerhalb der Klammern die durch Punkte angedeuteten Lücken der Eeihe nach durch <x\, <x₂, .. ., ock aus, wodurch jede Klammer in sk übergeht, und zieht hinterher die Summe der so in sik eingeführten Glieder <x[+k + cxl₂+k + ...-}- tx⁴+k = si+k wieder ab, so entsteht das Gesetz :

(2)

Sik    Sk    ⁴) ,

womit eine zweiförmige Funktion sik auf einförmige zurückgeführt ist. Ist im besonderen i = k, so stimmen in Sa je zwei Glieder oćroćs und    überein; bezeichnet man

mit oa die Summe dieser

untereinander verschie-

n (n — 1)

denen Potenzprodukte, so erleidet die Formel (2) nur die geringe Modifikation:

(2')

sii — 2 Oiit— S₂i .

Damit ist auch jede zweiförmige symmetrische Funktion sik resp. Sa = 2 durch die es ganzrational darstellbar.

Dies Ergebnis soll allgemein für fc-förmige symmetrische Funktionen der oc nachgewiesen werden.

Man bilde das Potenzprodukt a{r\ <x\ ...    ⁵, wo die

fc n) Indizes rx, r₂, ... , rk irgend Tc verschiedene der Zahlen 1, 2,..., n bedeuten und die Exponenten ix, i₂,..., ik natürliche Zahlen, die vorderhand voneinander verschieden seien.

Läßt man die Komplexion (rx, r₂, ..

rk) alle

n zur k ten Klasse durchlaufen und addiert samt-

n(n — 1). .. (n — k -\-l) Variationen der n Elemente 1,

2, ..

liehe so entstehenden Potenzprodukte, so erwächst eine „fc-förmige symmetrische“ Funktion    der <x.

Fallen von den k Exponenten ilf i₂, ..., ikt zusammen, so daß etwa it== i₂ = ... it, so stimmen in    .<it<+1...ik je-

weils t\ Glieder überein, in denen die nämlichen Indizes rt, r₂, ..., rt nur untereinander permutiert werden. Bezeichnet

man das Aggregat der so verbleibenden

n(n — l)...(n — k-\-1)

tl

336

Differentialgleichungen für invariante Bildungen, verschiedenen Glieder mit

so geht diese

t

fc-förmige Funktion durch Multiplikation mit t ! in die entsprechende ursprüngliche über.

so stimmen nunmehr

Dieser Prozeß kann sich wiederholen. Es mögen von den k — t Indizes it+l . . . ik wiederum u zusammenfallen, etwa it+1 = it+2 = ... = it in    H+i-H+itH+u+i-h Jeweils t[u] Glieder überein,

und bezeichnet man das Aggregat der so verbleibenden

n (n — 1) ... {n — (k + 1)} t\u\

verschiedenen Glieder, indem man wiederum den Buchstaben s durch o ersetzt, so geht der Wert der letzteren Größe durch Multiplikation mit t\u\ in den der ersteren über usf.

Man nehme jetzt an, daß jede (k — l)-förmige symmetrische Funktion, wo die k — 1 Exponenten auch beliebig teilweise übereinstimmen dürfen, ganzrational durch die e ausdrückbar sei und zeige das Entsprechende für eine fc-förmige symmetrische Funktion    . Man greife

aus dieser irgendein Glied xjf ... <x^~¹ • &rkk heraus, halte die ersten k — 1 Faktoren fest, während im letzten Faktor <xlrkk der Index rk die noch übrigen n — (k — 1) Werte rk, rk+ !, .. ., rn durchlaufe und addiere diese Potenzprodukte; sodann halte man den Klammerfaktor <x%j! + <xk + ... + «r* fest und permutiere in dem voranstehenden Potenzprodukte <Xr₂ • • • <***“* die k — 1 unteren Indizes auf alle (k — 1)! Weisen und bilde wiederum die Summe. Nunmehr ergänze man den Klammerfaktor alĄ + a**    + ... + «r*

wo*

durch Aufnahme der Summe a** +    -f- ... +    ,

durch er zur Potenzsumme st wird. Wiederholt man dies Verfahren für alle Aggregate analoger Struktur und zieht hinterher die Gesamtheit der so in s eingeschalteten Glieder wieder ab, so nimmt die vorgelegte Funktion die Gestalt an:

(I)

si₁i₂...ik_lik sili₂...ik_₁sik \Sii + ik,ii,...ik^1 + Si2+ik,H,i₃,...ik_l + si₃+ik,i₁,i*,Ü,...ile

-1

wodurch sie, abgesehen Von der einförmigen Funktion s* auf lauter (Je — l)-förmige zurückgeführt ist. Sooft in den letzteren, sowie in der linken Seite von (I) gewisse Indizesreihen der i zusammenfallen, führe man gemäß der obigen Regel durch Multiplikation bezüglicher Fakultäten jede der „s-Funktionen“ in die korrespondierende „a-Funktion“ über.

Damit ist bewiesen:

Satz I. „Jede &-förmige {Je = 1,2, ... ^ n) symmetrische Funktion von n Variabein «₁₍ oc₂, ..., ocn läßt sich ganzrational durch die elementarsymmetrischen Verbindungen elf e₂, .. • , en darstellen.“

Dieser Satz ist weiter auf eine beliebige ganzrationale symmetrische Funktion 8 der oc ausdehnbar. In S mögen Produkte von höchstens Je (<: n) Potenzen verschiedener oc Vorkommen.

Man greife irgendein Glied aus 8 heraus, das ein Produkt von X (<J Je) Potenzen der oc sei, so erzeugt dieses Glied nach obigem eine bestimmte /l-förmige symmetrische Funktion, die als Teilaggregat in 8 enthalten sein muß. Ist damit 8 noch nicht erschöpft, so fahre man in derselben Weise fort, so zerlegt sich ersichtlich 8 in eine endliche Anzahl resp. X-, Xk-, X₂-, ... förmiger symmetrischer Funktionen (X, Xt, X₂, ... <; Je), auf die der Reihe nach Satz I anwendbar ist. Somit gilt allgemein:

Satz II. „Jede ganzrationale symmetrische Funktion der ock, oc₂, ..., ocn ist als ganzrationale Funktion der elementarsymmetrischen Verbindungen ex, e₂, ..., en darstellbar.“

Aufgabe 1. Die Formeln (2), (2') sind der Reihe nach auf drei, vier, fünf ungleiche resp. teilweise gleiche Indizes auszudehnen.

Aufgabe 2. Unter den symmetrischen. Funktionen einer Reihe (resp. mehrerer Reihen) von Variabein ist für die • Algebra und Geometrie von besonderer Wichtigkeit die spezielle Klasse der identisch verschwindenden, die also ihren Wert Null bei beliebiger Vertauschung der Variabein (resp. der Variabeinreihen) nicht ändern, da sie eben für willkürliche Werte der Variabein verschwinden.

Hierher gehört u. a. die in § 8 (III), S. 107 aufgeführte Funktion von vier Variabein 4, 4, 4, 4 :

(1)

(4 — 4) (4 — 4) + (4 — 4) (4 - 4)

+ (4 - 4) (4

oder auch, homogen geschrieben, als Funktion der beiden Variabeinreihen x1? x₂, x₃, xA ; yx, y₂, ?/₃, y₄ , für

Pik ~ ffliVk ^k Vi •

(!')

Pl2 7⁶34 "4 Pl3 7⁶42 "4 Pl4 P23 = 0 .

Von W. Clifford⁶) rührt eine Verallgemeinerung her, die abgeleitet werden soll.

Es liegen drei Variabeinreihen xr, yr, zr (r = i, k, Z,m,w,p = 1,2, 3 , 4 , 5 , 6) vor; unter (i k l) z. B. sei die Determinante xryrzr\ (r — i, k, l) verstanden. Dann lautet die in Bede stehende indentisch verschwindende symmetrische Funktion :

(I)

(i kl) (mnp) — (ik m) (Inp) + {ik n) (l m p)

— (ikp) (Imn) = 0 .

Man führt den Beweis entweder so, daß man (I) zunächst in nichthomogener Form schreibt, indem man etwa sämtliche z gleich Eins setzt, und alsdann nach den Pik — ®iVk — MkVi usf. entwickelt, so daß z. B.

(i kl) (mnp) = (pik -f pki -f- pti) (pmn + pnp + ppm)

wird.

In dem Aggregate dieser 4 • 9 — 36 Glieder verschwindet einmal der Koeffizient von pik für sich, andererseits läßt sich das Aggregat der verbleibenden 24 Glieder in 8 Tripel anordnen, deren jedes von der Struktur (1') ist.

Kürzer und leichter verallgemeinerungsfähig verfährt man indessen so, daß man irgendeines der sechs Größentripel, z. B. (XiyiZi) = (x), als variabel, die übrigen als kon-

A = (x kl) (mnp) — (x km) (l n p) ,

stant auffaßt und alsdann die Identität der beiden Linearformen

(2)

B = (xkp) (Imn) — (xkn) (Im p)

nachweist. Es läßt sich aber auch direkt die linke Seite von (I) als identisch verschwindende vierreihige Determinante schreiben.

Man kann die Verallgemeinerung noch weiter führen.

Hat man, um noch den nächsten Fall zu betrachten, die vier Variabeinreihen xr, yr, zr, ur (r = i , k, l, m, n , p, q, r = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), und ist entsprechend z. B. (i k l m) die vierreihige Determinante \xryrzrur\ (r — i , k, l, m), so lautet die fragliche Verallgemeinerung:

(U) {

(iklm) (np qr) — (ikln) (mp qr) + (iklp) (mnqr)

— (iklq) (mnp r) + (iklr) (mnpq) = 0 .

Welches ist die geometrische Bedeutung der Identitäten (I), (II)?

§22. Binäreinvarianten als Funktionen der Wurzeln der Urformen.

Es sei zunächst wieder eine einzelne Urform fn{x) mit den (verschiedenen) Wurzeln <x₁, oc₂, . . ., <xn vorgelegt

[s. § 20 (1)]:

(1)

fn(x) = a₀ xn + nx a₁xn~¹ + . . . + an

= a₀(x — oct) (x — oc₂) . . . (x — <xn) 1 \ /I 1

1 1

X <xn

In § 5 wurde der evidente Satz zugrunde gelegt, daß, unter , ock irgend zwei Werte einer Variabein x verstanden, die Differenz ai — ock gegenüber allen Schiebungen x = | + h absolut invariant bleibt, oder in der Sprechweise des § 11, wenn (Xi, ak jetzt irgend zwei Wurzeln von f bedeuten, daß — <xk eine (sc. in den a irrationale) Schiebungsinvariante von f bez. x darstellt.

Allgemeiner wird nach §11 und §21 jede ganzrationale Funktion der „Wurzeldifferenzen“ — ak (i, fc = 1,2,..., n), die zugleich in den oc symmetrisch ist, und deren Glieder je mit einer geeigneten natürlichen Potenz von a₀ multipliziert sind, eine in den a ganzrationale Schiebungsinvariante von /' bez. x sein.

= xn an

rH S

«l

x <x,

Um auch die Umkehrung dieses Satzes zu beweisen, bemerke man zuvörderst die andere evidente Eigenschaft der Funktion — <xk von , xk, daß sie der linearen partiellen Differentialgleichung genügt:

(2)

d d _

d&i dtxk

und das gleiche gilt von jeder (differenzierbaren) Funktion von (Xi — <xk. Umgekehrt liege eine, der Bedingung (2)    *

identisch genügende Funktion f(ocif <xk) von ock vor.

Um zu zeigen, daß f allein von der Differenz — <xk = cxik abhängt, führe man in f statt der <xi} <xk zwei neue Variable ein, von denen die eine, ß, eine willkürliche Funktion von (Xi, (xk sei, während die andere mit ocik übereinstimme. Dann gelten die identischen Relationen:

(3)

= —1; die Addition der bei-

Nun ist

dagę = 1 B<xik d(Xi ’ 8 txk

den Relationen (3) liefert daher, mit Rücksicht auf die Voraussetzung (2):

¹

Ed. Waring, Miscellanea analytica de aequationibus al-gebraicis et curvarum proprietatibus, Cambridge 1762, p. 1, und Meditationes algebraicae, Cambridge 1782, p. 1.

²

Auf diese Vereinfachung hat mich, nach Kenntnisnahme obiger Entwicklung, Herr L. Saalschütz aufmerksam gemacht.

³

Vgl. diese Sammlung, Bd. X, §20, S. 270.

⁴

Das allgemeine Gesetz rührt von Ed. Waring her, Mise,

⁵

anal. p. 6, und Med. alg. p. 8 (s. das Zitat auf S. 825).

⁶

W. Clifford, London Math. Soc. Proc. 2 (1869), S. 3.

(4)

Wählt man demnach ß so, daß es die Bedingung (2) = 0 , d. h. f hängt von ß gar nicht

nicht erfüllt, so folgt

df

dß

ab, sondern ist lediglich eine Funktion von txik =    — <xk.

Dieser Satz ist auf n Variable cxl, tx₂, . .

<xn ausdehnbar. Es sei f eine Funktion der tx , die nur von deren Differenzen <Xi — <xk abhänge.

Da <xik = (tx-i — otk) — (<xx — aß = <xlk — ocu, so lassen n (n — 1)

Differenzen (xik durch nur w — 1 derselben, etwa die <x₁₂, «1S, ..., <xln ausdrücken; es genügt daher, f als eine Funktion der n — 1 Argumente oc₁₂,

sich alle

öci3, . .., ccln anzunehmen. Man hat dann einmal die Relationen:

(5)

d*u _ 1 docx

d<xu

= -1

öotu _ ₀

(i, fc = 2,

■■fh ^

Andererseits gilt in Erweiterung von (3) das System der Identitäten:

df df d<xt

d<%r    dtx₁₂ docr

(6)

df d(xx

doc₁₃ docr ir = 1, 2 , n)

df d(xln docln docr

Summiert man, so verschwinden infolge von (5) die

; es genügt also

Koeffizienten von

Bf df

df

da₁₂ ’ doci3 ’ * ” ’ doim

f der linearen partiellen Differentialgleichung:

(I)

df , df

df

d(\n

da₁

Umgekehrt sei f eine Funktion der alf <x₂, ..., <x die der Bedingung (I) identisch genüge. Man führe statt der ocx, <%₂, . . ., ocn n Funktionen der oc als neue Variable ein, von denen n — 1 mit «₁₂, «₁₃, .. ., <xln übereinstimmen mögen, während die letzte, ß, willkürlich belassen werde. Dann erleiden die Relationen (6) nur die Abänderung,

df_ dß dß docr

miert man wiederum, so gelangt man, mit Rücksicht auf die Voraussetzung (I), zu der Identität:

(X₂

daß rechterhand jeweils der Term

hinzutritt. Sum-

(7)

cß

dß

H-

d(xn

Da ß stets so wählbar ist, daß der Klammerausdruck

in (7) nicht identisch verschwindet, so muß dies mit

der Fall sein, d. h. f ist lediglich eine Funktion der ocx (x₁₃, ... , <xln, oder, was auf dasselbe hinauskommt, eine Funktion der Differenzen ocik der <x. Damit ist der Hilfssatz bewiesen:

df

dß

Satz I. „Bedeuten oc₁, oc₂, . . ., <xn n unabhängige Variable, so genügt jede Funktion der Differenzen <xik == oii — (xk identisch der linearen partiellen Differentialgleichung^) + ~~~ + .. . 4-    = 0 . Um

gekehrt ist jede Funktion der a , die der Bedingung (I) identisch genügt, eine Funktion der Differenzen <xik allein.“

Im Abschnitt I haben wir bereits eine Eeihe spezieller Invarianten einzelner Urformen f kennen gelernt, die sich, bis auf eine natürliche Potenz von a₀ als Faktor, als ganze Funktionen der Wurzeldifferenzen a* — <xk darstellten, und damit unmittelbar erkennen ließen, daß sie Schiebungsinvarianten von f bez. x sind; und Entsprechendes trat für einzelne Systeme von Urformen ein.

Ein erstes allgemeineres, für jedes n {> 2) bestehendes Beispiel wird geliefert durch die SeminvarianteH₀=a₀ a₂ —af, das Leitglied der Ilesseschen Kovariante H von f (vgl. Anhang zu Abschnitt I, Aufgabe 5, S. 180).

H0 __ «2 _ /<M²

«0 “ «0 Wo/

Man hat

oder da

2 e₂

a₍₎

a₀    n (n — 1)

So

(n — 1) e\

{(«i — <x₂)² + («i — «₃)² + (a2 — %)² + •••}: n² (n — 1) = ]£(oti — <xk)²

i, Je

wo (i, fc) alle Kombinationen der Elemente 1, 2 , . . . , n zur zweiten Klasse durchläuft.

Analog ist für n

«o

(8)

n ² (n — 1)

2 e₂ n

a₀ a₂ — a\

al

i, Je

3 die Seminvariante

Q₀ = «o a?> — 3 a₀ a₁ a₂ -j- 2 af

(1. c.) zu behandeln, das Leitglied der Kovariante Q von der Funktionaldeterminante von f und H. Indem man

heranzieht, erhält man zu-

noch a’’

6e₃

a₀

nächst:

n (n — 1) (n — 2)

= n {(n — 2) ex e₂ — 3 n e₃}

Qo n³ (n — 1) (n — 2)

— (n — 2) ex {(n — 1)    — 2 n e₂} .

Hier wird (n — 2) ex e₂ — 3 n e₃ = ocx (oc₂ — a₃)² -f oc₂ (<xx — <x₃)2 -f- txs (<xx — (\₂)² -f .. . ; setzt man für (n — 1) e[ — 2 n e₂ gemäß (8) seinen Wert ein und berücksichtigt, daß

n (a3 ~b a4 H⁻ • • • -j- <Xn) — {n — 2) ex

= («₃ — ocx) + («4 — aL) + . .. + (fXn — <xx)

+ (^3 — H~ (a4 — <*2) + • • • + (®n — aä) >

so ergibt sich:

a² a₃ — 3 a₀ at a₂ -f 2 a'f n³ (n — 1 ) {n — 2)

(9)

wo das Indextripel (i , k ,1) alle Kombinationen zur dritten Klasse von 1, 2 , ,,. , n passiert.

Um jetzt allgemein zu entscheiden, ob eine beliebige Schiebungsinvariante von /' bez. x als alleinige Funktion der Wurzeldifferenzen <xik darstellbar ist, frage man nach dem Zusammenhänge zwischen den beiden Differentialprozessen :

= ÿ-

“ — eXi

und Va = a₀

dax

~dan ’

(s. § 11, S. 187).

Nach §20 [(25), (26)] bestehen zwischen den elementarsymmetrischen Verbindungen ex=^ax, e₂ =^axoc₂ .. er ==^ocx <x₂ ... ar, ..., en — ocx oc₂ . .. <xn und den Koeffizienten üi von f (1) die Relationen:

nx ax — a₀ ex ,

(—1 )rnr ar = a₀ er

(10)

“l“ ^2 a2 = a0 )    ^3 % “ ^0 ^3 >

(—1 )nan = a₀en ,

die als identisch erfüllt anzusehen sind, wenn man a₀ , ocx, a₂, ..., ocn als unabhängige Variable annimmt. Man gelangt daher wiederum zu identischen Relationen, wenn man (10) nach irgendeinem der oc, z. B. ocx partiell differenziert :

(-ir%

(U)

da₃

«o2

dfflą _

doc₁

(—l)”-¹ Wj

da«

(-1)

dat « dan

• an-l >

- O/q (X₂ (%₃ . . . (Xn ,

wo die rechts auftretenden Summen nichts anderes sind als die elementarsymmetrischen Verbindungen der <x ÖCg , • • • , <Xn .

. , <%«

Entsprechend erhält man n —1 zu (11) parallel laufende Systeme, wenn man (10) sukzessive nach oc₂, a₃, differenziert.

Summiert man alsdann in all diesen Systemen die jeweils an derselben, rten, Stelle befindlichen Gleichungen, so tritt rechts die Summe von nr-x(n — r + 1) Produkten aus je r — 1 der Größen oct, <x₂ >    auf; da die letz

teren aber symmetrisch Vorkommen, so resultiert die Verbindung er_i genau (n — y+l)mal, und man hat:

= n a₀

e= {u — 2) e₂

(12)

-i >

= (n — r + l)er

-i

d(Xi

^2ew

-2 ?

(-¹ ry

da«

C>«i

= l*e»

-1 >

wo der Index i jedesmal von 1 bis n läuft.

Hier drücke man die e gemäß (10) wieder durch die « aus, so geht das System (12) über in:

(13)

dax__

don ca3 doci

~—    yi j

«*2

«<

Nun ist (w — r -f 1) = mr ; somit hebt sich in (13) jeweils links und rechts der Faktor nr weg, und die Serie

(13) zieht sich zusammen auf die folgende:

dax

da₂

(14)

Qj Oj

êoci

doii

== —r ar_₁ ,

= -M»-! •

Sieht man jetzt statt der a₀

<xn die

a₀, alf a₂, . . ., an als unabhängige Variable an, so gilt:

(15)

d ô o ax ô ô a2 d ai    d ax ô at    ô a₂ ô

ô dan dan dtXi

und nach Summation über i = 1 , 2 ,

<¹⁶'>

JL y £«i ₊ _iy

dtXi

, _d_

o an ' d a< ’

Setzt man hier die Werte (14) ein, so ergibt sich der gesuchte Zusammenhang zwischen den beiden Prozessen

und Va =

Ô    Ô

<’⁰ä^ + 2“¹^ ⁺ -

. . + n an_x

'ô

öan

in der einfachen Gestalt:

(II)

— V — V

Mit Rücksicht auf Satz I und § 11 gilt daher:

Satz II. „Führt man in einer beliebigen Funktion J der Koeffizienten a₀ , at, ..., an einer Urform f(x) die neuen Variabein a₀ , ax, a₂, ..., <xn ein, wo die a die Wurzeln von f sind, so gellt der linear-partielle Schiebungsprozeß bez. x:

¹ dan

. + nan_

_ Pj T

Identität ^^— = 0

cai

über in — Va =

Die

yJL.

dtXi

ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß J(a₀; ax, a₂, ..., an) eine Schiebungsinvariante von f bez. x ist, und zugleich dafür, daß J von (a₀ und) den Wurzeldifferenzen <xilc = ai — ale allein abhängt.“

Die Identität (II) läßt sich auf Grund des Begriffes einer Schiebungsinvariante J bez. x einfacher ableiten. Eine solche ändert sich nicht, wenn auf die Urform f\x) eine Schiebung Ax (h) : x = x' + h ausgeübt wird. Damit erleidet zugleich jede Wurzel a von f die kogrediente Schiebung a = ex' + h , während a₀ ungeändert bleibt. Faßt man also J als Funktion der a₀, a₁, a₂, . .., an auf, so ist J als Schiebungsinvariante von f bez. x charakterisiert durch die Identität:

(16) J[a₀ ; a(, a'₂, ..

<] = J[a₀ , «u a₂ , . .

Da aber a'i = ai — h, so liefert das Maclaurinsche Gesetz für die linke Seite von (16) die in h identische Entwicklung :

JK; «<]

(17)

6)2 J

d ai ôak ô*J

d ai dakdat wo das Zeichen J die ursprüngliche Funktion

J [u₀ \ a±, a₂, . . ., Xn]

bedeutet.

Infolge der Voraussetzung (16) muß in (17) zunächst der Koeffizient von h rechterhand identisch verschwinden,

d. h. die Bedingung    = 0 ist notwendig, damit

J eine Schiebungsinvariante von f bez. x wird. Aber es

ej

erhellt ohne weiteres, daß das Verschwinden von ^ zugleich das der Koeffizienten von h², h³, ... in (17) nach

d(Xi

sich zieht. Denn übt man den Prozeß I⁷« = y -x—

GtX-i

bei

willkürlich gedachter Funktion abermals auf Va aus usf. so kommt:

(18)

K(v.) = Pi =2k

p.(Fi)=n = y

<52

d (Xi ô txk ô txj,

so daß sich für eine beliebige Funktion J[a₀ ;    = J

nach Ausübung der Schiebung Ax{h) auf f{x) die Entwicklung ergibt:

h²

(III) JK; */]== J-äFäJ + 2!

V\J-

h³

3!

Führt man schließlich die alten Variabein a₀, %,..., an wieder ein, so geht vermöge (II) die Reihe (III) über in:

h²

J[a₀ , a[, «2 ? • • • » a'>] = J” -f- F * «7 + vv F * <7

(HI')

2!

h³

3!

d. i. aber die grundlegende Entwicklung (VII') des § 11 S. 195:

Satz III. ,,Auf Grund der Entwicklung (III) ergibt sich einmal von neuem die Richtigkeit der Identität (II), zugleich aber auch die der Entwicklung (VII') des § 11.“

Die vorstehenden Darlegungen lassen sich unmittelbar auf ein System von Urformen fn(x), gp(x), \(x), ... mit den Koeffizientenreihen (a), (&), (c), ... und den Wurzel-reihen («), (ß), (y), ... ausdehnen.

Differentialgleichungen für invariante Bildungen. Bezeichnet man jetzt genauer nach der Maßgabe:

348

(19)

y~

Cifi

dßi Ô

I a =. a₀ „ ^ + 2 ax ^—|-    n an

+ 2 b

-i

Qj

db₂

+ ---+Pbr-igr, ■

so tritt an die Stelle von (II) das System der Identitäten:

(IF)

— V — V

r oc---⁹

deren Addition liefert:

(ii") oder kürzer: (II")

./

jetzt Pa J = 0 die notwendige und

Demnach ist

hinreichende Bedingung dafür, daß

J [<i₀ , (Xi] &o , ßk ; c₀ , j • • • ]

eine simultane Schiebungsinvariante des Systems <jr, ä, ... bez. x ist, und zugleich dafür, daß J außer von den a₀, b₀, c₀, ... nur von den Differenzen äbhängt, die die Reihen der («•), (ß), (7), ... sowohl unter sich, wie miteinander bilden.

Die Erweiterung der Identitäten (III), (IIP) ergibt sich von selbst, man hat rechterhand nur den Prozeß P* zu ersetzen durch y] P* .

Legt man andererseits die zweite Produktzerlegung von f in (1) zugrunde und schreibt wieder homogen f(x₁, x₂), so erfordert die Untersuchung der Schiebungsinvarianten von f bez. x₂ nur die Abänderung, daß a0 mit an, und jede Wurzel a mit ihrem reziproken Werte vertauscht wird.

gleichzeitig

Soll eine Funktion J[a₀ ; äJ = J an] ■—

OCf_

eine Schiebungsinvariante von f bez. xx und x₂ und damit nach §11, S. 184 eine unimodulare Invariante von f

sein, so ist dazu notwendig und hinreichend, daß sich J sowohl in Funktion von a₀ und den — <xk wie in

— ausdrücken läßt.

Funktion von an und den

(%i CKk

Wir wollen uns im folgenden auf solche Semin Varianten und vollständige Invarianten beschränken, die in den Koeffizienten der Urformen ganzrational sind.

Im Falle einer Urform f{ 1) war nach § 14, S. 238 eine solche Seminvariante J, von den Gewichten w±, w₂ bez. xx, x₂, eine Schiebungsinvariante bez. von der Struktur: J = ]? c atf a\' . . .    ,

für die die beiden Gewichtsrelationen erfüllt waren:

-i =2Kn ~ i) £i = w

+ •••-+~ n en

(20)

(21a) n £q (n — 1) £j -j- . . .•    1 • sn

(21 b) 1 •    + 2 • e₂

und damit auch die Dimensionsrelation:

n^£i =    + w₂ .

Führt man in (20) vermöge (10) die elementarsymmetrischen Funktionen e* der Wurzeln von f ein — wo letztere jetzt lieber mit <%,/?, .. ., v bezeichnet seien — so nimmt die Entwicklung (20) die Gestalt an:

j =

wo die b wiederum numerische Faktoren sind.

Setzt man hier für die ihre Ausdrücke in den Wurzeln ein, und denkt sich J nach den letzteren entwickelt, so wird (23) zu einem Aggregat von dem Charakter :

J =^Da^° <xe* ßFß . . . vev .

Die Vergleichung mit (23) lehrt einmal, unter Berücksichtigung von (22), die Konstanz des Exponenten x₀ :

x₀ =]?Si , n x₀ = wx + w₂ ;

andererseits, daß der Gesamtgrad in den Wurzeln für jedes Glied von J den gemäß (21b) ebenfalls konstanten Wert besitzt :

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

£i = W

d. h. daß J in den Wurzeln von f homogen ist von der Dimension w₂.

Nun sollte J zugleich eine Schiebungsinvariante von f bez. xx sein, also nach Satz I, und auf Grund der Relationen (10), von der in den Wurzeln symmetrischen Gestalt :

(27)

J =2C <° (a — ß)£*ß (a — y)£ccy (ß — y)eßv . . .

Hier ist der Exponent von aQ, da er mit dem in (24) auftretenden übereinstimmen muß, mit x₀ bezeichnet ; denkt man sich die Glieder in (27) nach den Wurzeln entwickelt, so muß die Bildung (24) hervorgehen, so daß die Summe der Exponenten exß identisch ist mit der Summe der Exponenten £a :

(28)

Z*«ß    ®

Für wx = w₂, und nur dann (vgl. § 12, S. 202) wird J zur vollständigen Invariante.

so erweitern sich nach

Die Ausdehnung auf ein System von Urformen fn > gp, hq, ... mit den Koeffizienten a,, bk, ct, ... erfordert einige Modifikationen. Versteht man in der zu (20) analogen Entwicklung von J unter e₍, rjk, Ci, • • • jeweils die Exponenten von at, bk, ct,

§ 12, S. 200 die Gewichtsrelationen (21) zu:

— Ei    — h)rjk+. . .

(21a')

(21b')

und die Dimensionsrelation (22) zu:

(22')

+ P^EVk + ...=% + w₂ .

Andererseits wird wiederum der Gesamtgrad von J in den Wurzeln von f, g, Ji, ... die linke Seite von (21b'), mithin gleich w₂, und dieser Gesamtgrad ist derselbe wie der in den Differenzen, welche die Wurzeln der Urformen je unter sich und miteinander bilden.

Damit ist bewiesen:

Satz IV. ,,Soll eine als ganze Funktion der «0,&0,C₀, • • • und der Wurzeldifferenzen vorgelegte Schiebungsinvariante J eines Systems von Urformen fn, gp, hq, ... bez. xx eine in deren Koeffizienten ganzrationale Seminvariante sein, mit den Gewichten wx, w₂, so ist dazu notwendig und hinreichend. daß J in den einzelnen Wurzelreihen

symmetrisch ist, ferner in den sämtlichen auftretenden Wurzeldifferenzen homogen von der Dimension w

endlich, daß die Exponenten x₀, X

/u₀ , ... der a₀, &₀ , c₀ , ... in irgendeinem Gliede von J an die Relation gebunden sind:

n x₀ -f- p X₀ + q ju₀ + . . . = wx + w₂ .

Für w₁ = w₂, und nur dann, wird die Seminvariante zu einer vollständigen Invariante.“

Die Kovarianten K ordnen sich, wie in § 13, S. 215, als Spezialfall ein ; führt K eine oder mehrere Reihen von kogre-dienten Variabein x[, x₂; x", x'{\ ... mit sich, so hat man nur dem Systeme der Urformen eine ebenso große Anzahl von Linearformen mit den Koeffizienten x[, x₂ ; x”, x₂‘, ... zu adjungieren, um K als Invariante des so erweiterten Systems zu erhalten.

Daß für eine vollständige Invariante J neben der in (27) vorliegenden Wurzeldarstellung eine zweite, gleichberechtigte in den reziproken Werten existiert, läßt sich leicht bestätigen, wobei zugleich Satz IV eine Ergänzung erfährt.

Qv •

Sei wiederum im Falle einer Urform fn( 1) die Darstellung (27) von J zugrunde gelegt. Man bezeichne die reziproken Werte der Wurzeln von f mit ga, Qß,

Dann besteht für irgendein Potenzprodukt in J die Identität :

aK° (oc — ß)F»ß (oc — y)e*Y (ß — y)£ßy . . .

(29)

= (—l)Waao° • (X£«ß ß£*ß • (X£«y y£ay • ß£ßy yEßy . . .

■ * (Qa, —Qß)E*ß (Qoc — Qy)£,xr (Qß ~ Qy)£ß? • •

wo gemäß (25) und (28) n x₀ — w₁ + w₂, ^£»ß = w₂ ist.

Kun darf sich J (vgl. § 12, Satz IV, S. 202) als vollständige Invariante bei Vertauschung symmetrisch gelegener Koeffizienten, oder, was auf dasselbe hinauskommt, bei Vertauschung von a₀ mit an, a mit ga, ß mit Qß usf. nur um den Faktor (—l)w* ändern. Somit muß in dem Wurzelprodukt auf der rechten Seite von (29) jede Wurzel gleich oft, nämlich x₀mal, auftreten, es ist also, iiire^ß = Eßa usw. :

£aß + £txy + • • • + £av — £ßot + £ßy + • • • £ßv — • • •

In der Tat sagt die Gleichheit n x₀ = wx + w₂ = 2 w2 nichts anderes aus, als wt = w₂ — w, wie es für eine vollständige Invariante sein muß. Damit erfährt die linke Seite von (29) die verlangte Umformung:

(31)

<Xo° (oc — ß)**ß (ac — y)exy (ß — y)Eßr . . .

= (—iran{Q¹ — QßY¹ß(Q¹ — 6r)e¹y(Qß ~ QyYßv • •

und entsprechend die linke Seite von (27).

Die Übertragung auf ein System von Urformen vollzieht sich ohne weiteres. Sind wiederum x₀, A₀, /a₀ , ... die Exponenten von a₀ , b₀, c₀, ... in der zu (29) analogen Relation, so muß jede Wurzel von f xQmal, jede Wurzel von g 2₀mal usw. auftreten, wo zwischen den x₀, /f₀, ju₀, ... und den Ordnungen n, p, q, ... nur. die Relation besteht:

¹

S. F. Brioschi, Ann. fis. mat. 5 (1854), p. 409.

(32)

n x₀ + p 2₀ + q fj,₀ + . . . = 2 w .

Der Satz IV vervollständigt sich demnach dahin: Satz IVa. „Eine vollständige, in den Koeffizienten von Urformen fn, gp, hq, ... ganzrationale Invariante J läßt sich als ganze Funktion der a₀, &₀, c₀, ..., sowie der Wurzeldifferenzen auf eine solche Normalgestalt bringen, daß in irgendeinem Gliede jede Wurzel irgendeiner Urform gleich oft auftritt, nämlich ebensooft, wie durch den Exponenten des bezüglichen ersten Koeffizienten angegeben wird.“

Daß eine derartige Normalgestalt von J nicht immer von vornherein auftritt, ist leicht zu erkennen. Denn liegt umgekehrt J in Normalgestalt vor, so hat man nur z. B. eine Differenz tx — ß durch (y — ß) — (y — a) zu er-ersetzen und von neuem nach Differenzen zu ordnen, um die Normaleigenschaft der ersten Darstellung zu zerstören.

Zum Schlüsse mögen noch die in § 11, S. 195 und § 12, S. 204 für eine vollständige Invariante J aufgestellten charakteristischen, linearen partiellen Differentialgleichungen in „Wurzelgestalt“ dargestellt werden¹). Um diese Aufgabe einfach und übersichtlich zu lösen, mache man, wie früher

die Variable x, jetzt auch die Wurzeln oc, ß, homogen, indem man setze:

v von fn

(33)

ß ß‘2 — ßl

v v₂ — vx .

oc oc₂ — ocx

Für J liege wiederum die Darstellung (27) in Wurzeldifferenzen zugrunde, wo jede Wurzel von f gleich oft auftritt. Dann schreibt sich J homogen nach der einfachen Vorschrift, daß jede Wurzeldifferenz oc — ß durch den bezüglichen ,,Klammerfaktor“ {oc ß) — ocxß₂ — oc₂ ßx ersetzt wird:

(34)

J — a0(a ß)e*ß {(X y)e»y (ß y)sßy . . .

Als Schiebungsinvariante von f bez. xl genügte J der Bedingung :

(I)

cö

ÔJ

+ .'..+7TL-0.

dv

Um auch diese Bedingung homogen zu schreiben, fasse man die oclf ßlt ..., vx statt der oc, ß, ..., v als neue unabhängige Variable auf, während die oc₂, ß₂ , ..., v2 nur die Rolle von willkürlichen Konstanten spielen. Dann

. ,    dj dj docx    dj

wird z. B. -s— = -r _ —~ ~ = oc₂ -z— doc docx doc docx

, und (I) lautet in ho-

mogener Gestalt:

(Ia)

dj

+ ßz

dj

Soll zum Ausdruck gebracht werden, daß J auch Schiebungsinvariante bez. x₂ ist, so hat man nur je zwei symmetrisch gelegene Koeffizienten und aM_f zu vertauschen, oder, was hier für die homogenen Wurzeln auf dasselbe hinausläuft, die Indizes 1 und 2. Demnach existiert die zu (Ia) parallele Bedingung:

äßi

(Ib)

*i

dj

doc

+ ßi

dj

+ ...

dj

Sodann war J in den oc, ß,

v homogen von der Dimension w, mithin jetzt auch in den ocx, ßt, ..., vx ; dann aber liefert der Eulersche Satz die Bedingung:

(Ic)

«1

dj

dj

dj

docx

Meyer, Allgemeine Formen- und Invariantentheorie 1.

docx

dßi

23

und, wiederum parallel laufend, bei Vertauschung der Indizes 1 und 2:

da»

öj

+ ß<2,

ÔJ

dj

= wJ .

² d«2

Bei einem Systeme von Urformen fn, gp, hq, ... tritt nur die Modifikation ein, daß die linken Seiten von (Ia) bis (Id) jeweils der Beihe nach hinsichtlich der Wurzeln der einzelnen Urformen zu bilden und dann zu summieren

dßa

doc₂

sind. Es gilt daher:

Satz V. ,,Den vier charakteristischen, linearen partiellen Differentialgleichungen des Satzes III in § 12 für eine vollständige Invariante J eines Systems von Urformen korrespondieren in Wurzelgestalt die Bedingungen (Ia) bis (Id), wobei die Summen jeweils über die Wurzeln aller Urformen zu erstrecken sind.“

Die Kovarianten ordnen sich wiederum genau wie bei Satz IV als Spezialfall ein.

Beim Satze V ist stillschweigend vorausgesetzt, daß J als ganze Funktion der Wurzelreihen der Urformen je symmetrisch ist; alsdann sind die Bedingungen (Ia) bis (Id) auch charakteristisch für eine in den Koeffizienten der Urformen ganzrationale Invariante.

Hebt man jene Voraussetzung auf, so bleiben zwar die Eigenschaften der Invarianz von J erhalten, nur daß J dann zu einer in den Koeffizienten irrationalen Invariante wird.

Sei etwa J im Falle einer Urform fn eine ganzrationale Funktion der Wurzeln oc, ß, mehr symmetrisch in ihnen ist. Vielmehr nehme J bei allen Vertauschungen der Wurzeln A verschiedene Werte Ji, J21 •

v. die aber nicht

.., Jx an, so sind die elementarsymmetrischen Funktionen der J₁, J₂, . . ., Ji nach § 21 wieder in den Wurzeln symmetrisch (und ganzrational) und erfüllen im übrigen alle Eigenschaften der Invarianz, sind also nach obigem Invarianten von f, die in deren Koeffizienten ganz-rational sind.

Demnach ist J gemäß § 18, S. 302 eine irrationale Invariante, denn sie genügt einer Gleichung Aten Grades: (35)

deren Koeffizienten rationale Invarianten sind.

{J ~ Ji)    Jx) = 0

Ein entsprechender Satz läßt sich ableiten, wenn J durch eine rationale oder sogar eine irrationale Funktion der Wurzeln bestimmt ist.

Aufgabe 1. Unter der Resultante R = Rfg zweier

Formen

t n — a₀xn    a ₁xn 1 + .. . + dn

= «0 — ai) (a> — a₂) ... (a> — a») ? gm = b₀ xm + b₁xm~¹ -f ... + bm = b₀{x- ßj) (x - ß₂) ... (x - ßm)

, wo

versteht man den Ausdruck (1) R = a™ (a* — ßk)

sich das Produkt TI auf alle Differenzen je eines /x und je eines ß erstreckt. R = 0 ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Formen f und g eine gemeinsame Wurzel besitzen (vgl. den besonderen Fall m = n = 2 in § 3, S. 19, 20).

R ist eine ganzrationale Funktion der a* und bk, in beiden Größenreihen homogen von der Dimension mresp. n. Um R in den at, bk darzustellen, eliminiere man mit J. J. Sylvester*) die Potenzen a?°, x¹, ..., xm+n~¹ aus den m -f n Gleichungen f = 0, xf = 0, ..., xm-¹f = 0 ; g = 0, xg = 0 , .. ., xn~x g = 0 , so ergibt sich R, abgesehen vom Vorzeichen, als eine (m + w)reihige Determinante von einfachem Aufbau. Die erste Reihe besteht aus a₀,

an, 0, 0 , ... ; die zweite aus 0, a₀ , %, ..., an,

«i,    ..

0,0, ... usf. bis zur mten Reihe, die mit m—1 Nullen beginnt, auf die a₀, ax, . .., an folgen. Sodann hat man den entsprechenden Prozeß mit den bk vorzunehmen.

Für m=n gestattet R nach Et. Bézout**) eine einfachere Darstellung als eine w-reihige Determinante. Versteht man unter fr den Ausdruck fr = a₀ xr + a₁£cr_1 + ... + ar (r < n) und entsprechend gr, so bilde man die n Gleichungen n ter Ordnung in x :

&o/-«o0 = O, 0i/-/i0 = O,

9if-f29 = 0,    9n-lf-tn-l9 = 0,

und eliminiere die Potenzen x°, x¹, . .., xn~x.

*) Philos. Magazine 1840, Nr. 101; vgl. F. J. Richelot, Journ. für Math. 21 (1840), S. 226.

**) Paris Mém. 1764, S. 286.

Setzt man pik = <iibk — akbi, und versteht unter dem Gewichte von pik die Zahl i + fc, so erhält man R, wiederum bis auf das Vorzeichen, als eine w-reihige symmetrische Determinante von folgendem Aufbau.

Man rahme die Determinante der Reihe nach durch Quadrate ein. Das erste (äußerste) Quadrat wird gebildet durch die erste und letzte (nte) Reihe und Kolonne, das zweite Quadrat durch die zweite und vorletzte [(% —l)te] Reihe und Kolonne, usf. Die Elemente, die im Rahmen des iten Quadrates stehen, sind Aggregate von i der Größen p, und zwar befindet sich an der Stelle der i ten Reihe und fcten Kolonne (Tc i) das Element

dik = Po,i + k-i + Pl,i + k-2 + P2,i + k-3 + • • • + Pi-l,k >

hervorgeht, indem man in

-i,n-k

wo alle Glieder das Gewicht i + fc — 1 besitzen, während hieraus das Element dn jedem der auftretenden p die beiden Indizes durch ihre Ergänzungen zu n ersetzt. Es ist stets dik = dki. Hieraus erhellt sofort der Charakter der Resultante von fn und gn als Kombinante von f und g (vgl. § 4, S. 28). Danach ist Rbf+ing.M+M = (*i fh — h fhT Rfg > da jede der Größen pik den Faktor lx/j,₂ — l₂ annimmt.

Auf diesen Fall m — n läßt sich der von zwei ungleichen Ordnungen n, m (n> m) zurückführen, indem man in der Form gn die ersten n — m Koeffizienten gleich Kuli setzt. Alsdann läßt sich aus der Bézoutschen De-terminante der Faktor a^~m abspalten, und die verbleibende w-reihige Determinante ist wiederum die Resultante Rfg .

Aufgabe 2. Unter der Diskriminante D einer

Form

f = a₀ xn -j- x

= a₀ (x — ctj) (x — (x₂) . . . (x — ocn)

versteht man den Ausdruck (2) D = (Ą{n~x)    — a*)²,

n (n — 1)

71-1

i, k

Kombinationen

1 df

n dx₂

1 df_ n dxl

und bilde f\ =

Dann stimmt D,

bis auf das Vorzeichen, mit der Resultante von f\ und f2 überein, und es lassen sich die in Aufgabe 1 angegebenen Regeln an wenden. Im besonderen ist dies Verfahren im Falle n = 3 auszuführen, wo D, bis auf einen Zahlenfaktor, mit der in Aufgabe 1 zum Anhänge von Abschnitt I erwähnten Invariante R von fs übereinstimmt. D = 0 ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß zwei Wurzeln von f zusammenfallen.

Aufgabe 3. Die bilineare Invariante Efg (vgl. Aufgabe 5 zum Anhänge des Abschnittes I) zweier Formen gleicher Ordnung

f = a₀ xn + n₁ ax xn ~¹ -}- . . . Ą- an = «0 (X — Äl) (x — 0C₂) . . . (x — (Xn) ,

g = &„Xn + nxbyxn ¹ + . . . -f bn

= K (x ~ ßl) {x ~ ßi) • • • (x - ßn)

läßt sich nach folgendem Gesetz durch die Wurzeln ßk darstellen.

Man bilde das Produkt

(3)

Po (al ßl) 0*2 '    ß%) • ' • i^n ßn) i

halte hierin die Indizes der oc fest und permutiere die Indizes der ß auf alle n\ Arten. Die mit a₀b₀ multiplizierte Summe aller dieser Produkte stimmt, bis auf das Vorzeichen, mit Efg überein:

± Pf g ~    0*1 ßii) 0*2 ßiß • • • 0*n ßin) •

Dividiert man mit irgendeinem der Produkte P, etwa dem Ausgangsprodukte P₀ durch, so läßt sich die Gleichung Efg = 0 durch lauter Dv. darstellen, die immer aus zweien der oc und aus zweien der ß gebildet sind.

Wie reduziert sich im Falle einer geraden Ordnung n der Ausdruck (3) für f = g, d. h. für die quadratische Invariante einer Form f ?

Aufgabe 4. Es sind folgende In- und Kovarianten in Wurzelgestalt zu bilden und an ihnen, sowie an den Leitgliedern der Kovarianten, die Differentialgleichungen des Textes zu bestätigen (vgl. die Aufgaben 1 und 3 zum Anhänge des Abschnittes I).

a) Die Invariante i = 2 (a₀ a₄ — 4 ax a₃ -f 3 «1) der bi-quadratischen Form

f\ = a₀ a?⁴ + 4 % x³ + .. . + u₄ = a₀ (x — ax) . . . (x — <x₄) .

Man setze zur Abkürzung aik = oci — txk und führe, wie in § 8, S. 107, die Größen ein:

~ Ä13 a42

P, — Ä14 Ä23

(4)    -£*2 = al2 Ä34

so wird

(5)

12 i

al

= P| + Pf + Pi = 2(Pi + P₂P₃ + PS) •

b) Die Invariante j = 6

J⁵ J? J⁵

<h

der f\ .

a3

Man erhält:

(6) ²'⁶^

«e

- P, - P») P₃ - P₄ P₄ - P*) •

Für n > 4 werden die Bildungen i und j zu Sem-invarianten von /„ ; wie lautet dann die Darstellung in Wurzelgestalt?

c) Die Diskriminante B der f₄ stellt sich durch i und j vermöge der Beziehung dar:

(?)

D = 2² - 6³ (z³ - 6j²) .

d) Die Kovariante zweiter Ordnung A = x² (a₀ a₂ — «i) -f ...

der kubischen Form

fs = a₀ x³.+ 3 % x² + 3 a₂ x + a3 = a₀ (a? — a₄) (& — a₂) (a? — a₃) .

Man erhält:

[(«i - aa) («₈ - x)]2 — (aA — ot₂) (cx₂ — a?) (ax — a₈) (Ä3 —

+ [(«! ~ a₃) («2 “ XW •

Hier stimmt die rechte Seite überein mit der linken Seite der auf Seite 113 unter (14) angegebenen Gleichung.

(8)

al

In der Tat geht die fragliche Gleichung gemäß der Bedeutung von A = 0 aus der Gleichung (5) i = 0 hervor, indem man eine der vier Wurzeln a., etwa a₄, als variabel ansieht.

e) Die Kovariante dritter Ordnung

Q — x³ («o % — 3 a₀ ax a₂ -j- 2 af) + ...

der .

Man erhält:

— (al2 4" Ä13) (a21 4" a2s) 0*31 4 ^32)

= &12 0*31 4~ ^32) 4“ &23 0*12 4“ ^13)

4~ &Ji (<x₁₂ + oc₁₃) .

Die rechte Seite stimmt überein mit der linken Seite der auf Seite 113 unter (Y) angegebenen Gleichung. In der Tat geht die fragliche Gleichung gemäß der Bedeutung von Q — 0 aus der Gleichung (6) j — 0 hervor, indem man wiederum eines der vier a, etwa a₄ , als variabel ansieht, f) Die Funktionaldeterminante 0 (§ 4, S. 25, 26)

do X “b «

% x + a₂ ,

zweier quadratischer Formen f, g mit den Koeffizienten Ui, bi (i = 0,1,2) und den Wurzeln <xk, ßk (k = 1, 2).

Es ist 6 durch die Differenzen x — <xr, x — ßs, txr — ßs (r, s = 1, 2) auszudrücken. Zunächst ergibt sich:

— 3³

(9)

60    a? 4-

61    a? + b₂

46»

'0

—    <*»■) (a?    /?s) 0*n    /^«i)

» S = 1, 2; r + rx = s + sx = 3) .

Hieraus folgt unmittelbar eine Darstellung von ß durch vier Doppelverhältnisse :

40

= (®&«2Ä) 4-- (®Ä<*iA) - (*Â**Â) •

Die rechts stehenden vier Dv. lassen sich aber auf Grund der in § 8, S. 106—108 angegebenen Belationen auf nur zwei reduzieren, und es ergibt sich die Darstellung:

_ 2 _____

a0 9 0*1 Â) (a2 ßz)

a₀ \{x - <xx) (x - a₂) (ß* - &)

= (Xßlß2*l) ~ {Vßsßl*2)

die gleichwertig ist mit der folgenden, auch direkt mittels der Regel des § 2, S. 6 ableitbaren:

2 0(Ä-A)

= (® — ßxYißi - *l) (A - «2)

— (® — A)² (ßx - *1) (A - «2) •

Bedeuten , ft₂ die Wurzeln von 6, so sagt jetzt das Verschwinden von 6 für x = 6₁, 0₂ einfach aus, daß in der Involution, bei der sich ßt und ß₂ , <xt und <x₂ ent' sprechen, 0₁ und ß₂ die Doppelelemente sind, wie es sein muß.

g) Die trilineare Invariante E (§ 4, S. 33) dreier quadratischer Formen f, g, h mit den Koeffizienten a{,    , c»

(i = 0 , 1, 2) und den Wurzeln <xk, ßk, yk (Te = 1, 2) :

E = I a₀ ax a₂ | .

Es war

-2 E

ao A co

— I 1, <x1 -f- <x₂, tx₂ I

⁼ I 1 ,    5    ^2 I “l~ I 1 j ^2 5 ^1 ^2 I *

Hier lassen sich die beiden Teildeterminanten rechterhand nach einfacher Umgestaltung durch Wurzeldifferenzen aus-drücken; man erhält:

— 2 E ao A co

Für H = 0 folgt hieraus ein in der Geometrie vielfach verwendetes Kriterium dafür, daß drei Elementenpaare ein und derselben Involution angehören. Dies Kriterium läßt sich auch direkt aus der in § 7, S. 97, im Anschlüsse an (41) mitgeteilten Dv.-Gleichheit ableiten, wenn man festsetzt, daß sich etwa die Elemente l₂ und fi₂ gegenseitig entsprechen sollen.

Aufgabe 6. Sind , X₂, • • - , A₆ sechs beliebige Elemente, so bilde man der Reihe nach die drei Funktionaldeterminanten 6₁, 0₂, ö₃ der quadratischen Formen mit den Wurzeln (Ax, l₂), (4 , Â₅) ; (X₂, X₃), (X₅, Ae) ; U₃, I₄),

(4, 4) •

Dann findet zwischen den drei Formen 0 die

lineare Identität statt:

(4 — 4) 0i + (4 — 4) 02 + (4 ~ 4) 03 = 0 >

die aussagt, daß die drei Wurzelpaare der Formen 6 ein und derselben Involution angehören.

Deutet man geometrisch die sechs Elemente 4 als Punkte eines Kegelschnittes, so ist die in Kede stehende Identität der Ausdruck des Pascalschen Satzes. Wie lautet die entsprechende Übertragung auf kubische Raum-kurven?

Anhang.

Der Hauptsatz der binären Symbolik.*)

Die Entwicklungen des § 22 lassen eine fruchtbare Anwendung auf die Symbolik zu (siehe Anhang zu Abschnitt I).

Eine Urform fn (xx, x₂) mit den realen Koeffizienten cii wurde als wte Potenz einer symbolischen Linearform ax, resp. bx, cx, ... angesetzt:

(1)    fn (xx, x₂) = anx = K = < = • •

Cx — Cx Xx Cg x₂, ..

(2)    dx = dx xx d₂ x₂ , bx = bx xx -f- b₂ ^2

(3)    Oi = d\-<4 == r^bi =    =...

Vermöge einer linearen Substitution der xx, x₂ von der Determinante A :

(4)

xx = A + B i₂

erleiden die Symbolpaare (a) ,(&),' ... die induzierten Substitutionen :

(5)

oc₂ = B ax-\- D d₂; usw.

«j = 4    + C d₂

Dann transformiert sich irgendein Klammerfaktor (a b) = d₁b₂ — d₂b₁ gemäß der Regel:

(6)

(<x ß) = A (d b) .

Somit war irgendein Produkt von w Klammerfaktoren J = (db) (b c) (c d) . . ., in dem jedes von d Symbolpaaren

(a), (b), (c), ... genau nmal auftritt, gemäß (3) und (6) eine vollständige Invariante von f, in den realen Koeffizienten Oi ganzrational und homogen vom Gesamtgrade d und vom Gewichte w :

(oc ß) (ß y) (y ck) ... = Aw (a b) (b c) (ca) .. J' = AWJ .

0)

oder kürzer:

Da jeder Klammerfaktor zwei Symbolpaare enthält und jedes der letzteren im ganzen wmal vorkommt, folgt die Gewichtsrelation (5") des §12 (S. 200):

(8)

2w = nd .

Bildet man andererseits aus Klammerfaktoren und Linearformen ein Produkt von der Struktur

K = (ab) (bc)(ca) ...aï'b?c% ..

wo wiederum jedes der d Symbolpaare (a), (b), (c), ... genau wmal vorkomme und w die Anzahl der Klammerfaktoren bedeutet, während die Summe der Exponenten 7] mit X bezeichnet sei, so ist nach der Definition von § 14 (S. 241):

(7 a)

K' ee AWK

K eine Kovariante von f, vom Gewichte w , der Ordnung / und in den a; homogen von der Dimension d, und es besteht die Relation:

2w — nd — X .

Es empfiehlt sich im folgenden, neben den homogenen Variabein und Symbolen auch mit nichthomogenen³) zu operieren, indem man einmal setzt xt = x, x₂ = 1, andererseits

ai — b± = cx = ... — 1 ,

Dann nehmen die Formeln (2), (3) die vereinfachte Gestalt an:

(2') ax = x-\-a, bx~x + b, cx = x + c,..

at = aï = b³ = & = ..

(8 a)

a₂ — a

b₂ = b

C₂ = G

(3')

während jeder Klammerfaktor einfach zn einer Symboldifferenz wird:

(9)

(10)

(ab) = b — a , usw.

Man übe jetzt auf f zunächst eine Schiebung Aßhx) aus: x = £ + Ti

so erfahren nach (5) die transformierten nichthomogenen Symbole <x, ß, y, ... die mit (10) kogredienten Schiebungen :

(11) ix = a + h

ß = b + \,

y — c -f- h

Sei J(a, b, c, .. . ) eine beliebige ganzrationale Funktion der a, b , c

. , nur daß die Einzelgrade von J in den a, b, c, ... nicht größer als n ausfallen dürfen. Soll J eine Schiebungsinvariante von f bez. x = xl sein, d. h. gegenüber Ax{hx) ungeändert bleiben, so ist dazu nach Satz (II) (S. 345) des § 22 notwendig und hinreichend, daß J allein von den Symboldifferenzen abhängt, oder, was auf dasselbe hinauskommt, daß J der linearen partiellen Differentialgleichung identisch genügt:

(i)

ej ej ej

da

6b

de

+ ... = o.

Damit ist zuvörderst bewiesen:

Satz I. „Jede in den realen Koeffizienten a» ganzrationale Schiebungsinvariante J von f bez. x = xx von einem Gesamtgrade d genügt der Bedingung (I), und ist darstellbar als ganzrationale Funktion der Differenzen von d nichthomogenen Symbolen a, b, c, ..., wobei die Einzelgrade in letzteren den Wert n nicht überschreiten dürfen, und umgekehrt.“

Beispiele hierzu werden durch die Bildungen (a — b)², (■a-b)⁴, (a-b)⁶, ..., (a-b)²(a-c), (a-b)²(b - e)²(a- c)², (a — b)² (c — d)² (a — c) (b — d) u. a., sowie durch beliebige Funktionen derselben geliefert.

Will man zur homogenen Schreibweise zurückkehren, so ersetze man jede Differenz b — a durch den korrespondierenden Klammerfaktor (a b), und wenn irgendein Glied der Funktion J in den a, b, c, ... von den Einzelgraden

(<._ n) ea, eb, ec, ... war, so füge mau stets als Faktor das Potenzprodukt ax-eabx~st>cx~ec . . • hinzu; dabei enthält das Glied dx (<S d) Symbolpaare, wenn es in den a{ vom Gesamtgrade d₁ war.

Nunmehr übe man auf f eine Streckung M₂(m₂) bez.

x₂ aus:

(12)

x₂ = m₂ i₂ .

Vermöge (5) bleiben die ax, bx, cx, ... dabei ungeän-dert, während die nichthomogenen Symbole a, b, c, ... die Substitutionen erfahren:

(13)

und damit entsprechend die Symboldifferenzen:

ß — <x = m₂ (b — a)

Die Schiebungsinvariante J von f bez. x sei ein Aggregat von der Gestalt:

(15) J =£C (ib - a)‘ab (o - aßac (& _ cybc...    ,

wo die C numerische Faktoren sind, dann wird auf Grund von (14) die vermöge (12) transformierte Bildung J' :

Jr    T* • 'yyif₎ab+eac+ebc+ .

Der Schiebungsinvariante J bez. x werde jetzt die weitere Forderung auf erlegt, eine Streckungsinvariante bez. x₂ von einem Gewichte w₂ zu sein:

J' = m₂² J .

Die Vergleichung mit (16) lehrt, daß dazu notwendig und hinreichend das Bestehen der Relation ist:

<x = m₂ a

xx = £

ß = m., b

y — m₂c

(14)

(16)

(17)

y — <x = m₂(c — a)

usf.

(II)

£ab + £ac + Fbc + • • • — w2 1

d. h. daß J in den Symboldifferenzen homogen ist von der konstanten Dimension w₂, oder, was dasselbe besagt, daß jedes Glied in J w₂ Klammerfaktoren aufweist, oder endlich, daß J in den nichthomogenen Symbolen a, b, c,... oder auch in den a₂, b₂, c₂, ... homogen ist von der Dimension w₂.

Drittens werde f einer Streckung Mx(mx) bez. xx unter

worfen :

(18)

xx = mx £x ,

so bleiben jetzt nach (5) die Symbole a₂, b₂, c ungeändert, während die ax, bx, cx, ..., sowie die Klammerfaktoren den zu (18) kogredienten Substitutionen unterliegen :

21

Yi = mici > • • • ;

(19)

ßl = h ,

(x ß) = mx (a b) , {(x y) = mx (a c) , (ß y) — mx (b c), . . .

Die Bildung J (15) schreibt sich in homogenen Symbolen gemäß der oben angegebenen Kegel:

(20) J =^C (a b)£ab (a c)£ac (b c)£i>c. . . b^ c\* . . . = £T

wo die Anzahl der Symbolpaare in irgendeinem Gliede die beliebige, aber fest vorgegebene Zahl d nicht überschreitet. Dann nimmt die vermöge (18) transformierte Bildung J' mit Rücksicht auf (19) die Gestalt an:

(21)

J' === ^']^l'fyi^ab + Eac + ebc + --^ + ^,h + V2 + Vs + '--) #

Man unterwerfe J der dritten Forderung, auch gegenüber Mx(mx) eine Streckungsinvariante vom Gewichte wx zu sein:

(22)

J' = raf¹ J .

Als notwendige und hinreichende Bedingung hierfür folgt aus der Vergleichung (22) mit (21) die Bedingung:

(III) (Eab + «ac + £bc + • • • ) +    + % + % + • • • ) — w

oder auch, unter Benützung von (II):

(iir)

Vl + % + % + • • • = Wl — W2 •

Demgemäß wird J (20) auch in den Zusatzfaktoren ax, \ > Cj, ... homogen von einer Dimension l = wx — w wobei wx ^ w₂ sein muß, und in den Symbolen ax,bx, cx, im ganzen homogen von der Dimension wx .

In irgendeinem Gliede von J (20) enthält jeder Klammerfaktor zwei von dx Symbolpaaren (a), (b), (c), .. ., von denen jedes im Gliede wmal Vorkommen muß, somit wird:

2 («aö + £ac +£6c + • • • ) + (Vl + % + Vz + • • • ) = n ^1 >

oder mit Rücksicht auf (II) und (III) wx + w₂ = n dx . Da aber wx und w₂ konstant sind, muß es auch dx und folglich gleich der Maximalzahl d sein:

die Gewichtssumme wx + w₂ muß demgemäß durch n teilbar sein, und der Quotient liefert dann die Anzahl der in jedem Gliede von J auftretenden Symbolpaare. Aber dieser Zahl d kommt eine noch einfachere Bedeutung zu. Übt man nämlich auf eine Schiebungsinvariante J bez. x gleichzeitig die beiden Streckungen Mx(m) und M₂(m) mit demselben Parameter m aus, d. i. die erweiternde Substitution E(m) :

(23)

xx = m £x

x₂ = mÇ₂ ,

¹

S. F. Brioschi, Ann. fis. mat. 5 (1854), p. 409.

²

o sich das Produkt II auf alle

1    , fc der Indizes 1,2, . .., n zur zweiten Klasse erstreckt. D ist ganz und homogen in den % von der Dimension

2    (n — 1). Um D in der letzteren Gestalt darzustellen, mache man f homogen: f = a₀ x\ + a<x⁷[~x x₂ + . . . + an x\

³

Vgl. E. Stroh, Math. Annalen 33 (1889), S. 61.

so gilt für die transformierte Bildung J' wegen (17), (22) und (III"):

(24)

J' s= mWi mw* J = mWi+Wî J = mnd J .

Andererseits bewirkt (23) für jedes Symbolpaar die kogredienten Substitutionen :

(25)

usw.

ocx — m ax,

Somit sagt (24) aus, daß J in den Symbolpaaren homogen ist von einer Dimension n d, oder was nach der Definition (3) der Symbole auf dasselbe hinauskommt, daß J in den realen Koeffizienten at homogen ist vom Grade d [in Übereinstimmung mit Satz III und IY des § 12 (S. 202)].

Nun war nach § 16 (S. 259) eine Seminvariante von/’ definiert als eine Schiebungsinvariante bez. xx, die zugleich Streckungsinvariante bez. xx und x₂ ist, mit Gewichten wx und w₂ (wx ^ w₂).

Damit ist bewiesen:

Satz II. „Eine in den realen Koeffizienten a* ganzrationale Seminvariante J einer Urform /„(a?!, x₂), mit den Gewichten wx, w₂ bez. xx, x₂, ist symbolisch darstellbar als ein Aggregat von der Struktur J =^C (a b)Eab (a c)£«c (& c)£*c . .. a\a b^b    wo

die Summe der natürlichen Exponenten £ gleich w₂, die Summe der natürlichen Exponenten rj gleich wx — w₂ ist. J ist in den ersten Symbolen a1? bx, Cj, ... homogen von der Dimension wx, und entsprechend in den zweiten Symbolen a₂, &₂, c₂, ... homogen von der Dimension w₂. Die Gewichtssumme wx + w₂ ist durch n teilbar, und der Quotient d gibt die Dimension der in den realen Koeffizienten ai homogenen Bildung J an.“

Bei der Ableitung des Satzes II hätte man auch die Reihenfolge der beiden Streckungen Mx(mx), M₂(m₂) umkehren können.

Eine Schiebungsin variante von f bez. x = x₁, die außerdem nur noch Streckungsinvariante bez. x₂ von einem Gewichte w₂ sein soll, stellt sich infolge von (II) und Satz II dar als ein Aggregat einer endlichen Anzahl von Seminvarianten mit konstantem zweiten Gewicht w während das erste Gewicht wx zugleich mit dem Grade d gemäß der Relation wx -f w₂ — n d variiert. Ein entsprechender Satz gilt bei Vertauschung von Mx mit M₂.

Ersetzt man nunmehr in der Seminvariante J (20) jeden der Zusatzfaktoren ax, bx, cx, ... jeweils durch die entsprechende Linearform ax, bx, cx,    , so ist die

so hervorgehende Bildung K :

(26) K    (a    (a c)£ac (p c)£óc . . .    b']J> c%«...

auf Grund der Definition (S. 362) ein Aggregat von Kovarianten von f, die alle von der Ordnung (in den Variabein) X — wx — w₂ sind, in den realen Koeffizienten ax homogen

- und vom Gewichte w

von der Dimension d =

wx + w

mithin selbst eine Kovariante mit diesen Eigenschaften, deren Leitglied (Koeffizient von x^) eben durch J geliefert wird. Damit ist der Satz II' des § 14 (S. 238) aufs neue bewiesen :

Satz III. ,,Jede in den ax ganzrationale Sem-invariante J von f, von den Gewichten wx, w₉ und wx + w₂

der Dimension d —

ist das Leitglied einer

völlig bestimmtenKovarianteK von der Ordnung X, von der Dimension d in den und vom Gewichte w₂.“ Endlich unterwerfe man die Seminvariante J (20) der vierten Forderung, auch gegenüber einer Schiebung A₂ (h₂) :

(27)

xi — £x

” £2 “1“ ^2 *=1

ungeändert zu bleiben. Dann ist das Produkt der Zusatzfaktoren in irgendeinem Gliede von J einmal von der Gestalt a^b^c’ic..., andererseits von der Gestalt    ..,

so daß die Exponenten rj, rj' sämtlich verschwinden müssen; da aber die Summe der rj gemäß (III') den Wert wx — w₂ hatte, muß wx = w₂ = w werden, wo dann wegen (III"): (8) 2w = nd ist. Damit wird also die Seminvariante J zu einer vollständigen Invariante von mit dem Gewichte w, und man gelangt zu dem Clebschschen Fundamentalsatze :

Satz IY. ,,Jede vollständige Invariante J einer Urform fn, von einem Gewichte w, ist symbolisch darstellbar als ein Aggregat von Klammerfaktoren, die aus einer konstanten Anzahl d von Symbolpaaren gebildet sind; d ist dann die Dimension von J in den Koeffizienten von fn, und es besteht die Delation 2w = nd.“

Will man sich mit diesem Satze begnügen, unter Verzicht auf die Sätze II und III über Seminvarianten, so kann man sich zu seiner Ableitung einer wesentlich kürzeren Schlußweise bedienen.

Man gehe von Satz I aus und lege demgemäß die Darstellung einer Schiebungsinvariante J von f bez. x = xx in der Gestalt (20) zugrunde. Sodann unterwerfe man die Bildung J der zweiten Bedingung, auch gegenüber einer Schiebung A₂(h₂) (27) ungeändert zu bleiben, und folgert, wie soeben, daß in (20) in jedem Gliede die Zusatzfaktoren in Wegfall kommen, so daß J nunmehr lediglich als ein Aggregat von Klammerfaktoren erscheint:

(28)

J =^G (a ~b)£a>> (a c)£ac (p c)£>>c... ,

wo wiederum an jedem Gliede eine Anzahl von dx ^ d Symbolpaaren beteiligt ist, unter d die größte dieser Anzahlen verstanden. Da gemäß § 6, Satz IV (S. 68), jeder gegenüber Ax(hx) und A₂ (h₂) invariante Ausdruck J es auch gegenüber einer beliebigen unimodularen Substitution U bleibt, d. h. eine unimodulare Invariante von f ist, so gilt zunächst:

Satz V. „Jede unimodulare, in den a* ganzrationale Invariante von f ist als ein symbolisches Aggregat (28) von Klammerfaktoren darstellbar.“

Zieht man nunmehr eine Streckung Mx(mx) (18) heran, und verlangt, daß ihr gegenüber J mit einem Gewichte w invariant bleibe, so daß J' = mxJ wird, so erschließt man, wie oben, auf Grund von (19), die Belation:

(29)

£ab + £ac + £bc 4" • • • “ w •

Hieraus folgt, wegen (13), daß dann J, in Übereinstimmung mit § 12, S. 211, von selbst auch gegenüber einer Streckung M₂(m₂) invariant bleibt mit demselben Gewichten : J' = m₂J, und wenn man wiederum beide Streckungen für m₁ = m₂ zu der erweiternden Substitution E(m) (23) zusammensetzt, daß J in den at homogen ist von einer Dimension d, wo (8) 2 w = nd. Damit ist J zu einer vollständigen Invariante von f geworden, für die der Satz IV gilt.

Ordnet man andererseits die unimodulare Invariante J (28) nach Aggregaten von jeweils konstanter Exponentensumme dx, so ergibt sich, daß, in Übereinstimmung mit Satz IX des § 12 (S. 213), jede unimodulare Invariante von f als ein Aggregat vollständiger Invarianten mit verschiedenen

7i d

Dimensionen dx und Gewichten wx = ——- darstellbar ist.

LJ

. , und damit auch auf Ko-

Die vorstehenden Überlegungen lassen sich ohne prinzipielle Schwierigkeiten ausdehnen einmal auf ein System von Urformen fn, gp, h Varianten, andererseits auch auf Urformen mit mehreren Eeihen von Variabein, die inkongruenten und im besonderen auch teilweise oder ganz kongruenten Substitutionen unterworfen werden (§ 15).

Es liege ein System von Urformen fn, gp, h

(la)

fn (x₁, x₂) = dl =V'X = . . gv (xx, x₂) = a'x? ~ Vf = . .

M®i, ®i) = a”q = h*⁹ = ■ •

so gelten die Transformationsformeln (6) nunmehr für alle Klammerfaktoren, mögen sie aus Symbolen derselben Urform oder zweier verschiedener Urformen gebildet sein:

(6a) (<xß)=A(ab), {<x'ß') =A (a'b'), ,{<x <*') =A (aa'),

Führt man nach Anleitung von (2'), (3) die nicht-homogenen Symbole a , b , . . ., a', b', . . . , a", b", ein, so folgt wiederum aus (II) § 22 als Kriterium einer Schiebungsinvariante J von g, b, ... bez. xx das identische Erfülltsein der Bedingung: ndJ

(la)

-i 6J

== 0 ,

wo sich jede Summe auf die Symbole einer und derselben Urform erstreckt. Daraus folgt, daß jede in den realen Koeffizienten %, bk, ct, ... der Urformen ganzrationale Schiebungsinvariante bez. xx von den Maximalgraden d, d', d", .. . in den homogenen Symbolen darstellbar ist als ein Aggregat von der Struktur:

(20 a) j J

= (abyai>(acyac(b cyt>c . . . («'&')%'// . . . (aa')ea< ' . . . ava bf> cy . . . aß* . . .    . .

wo in jedem Gliede die Anzahl der eintretenden Symbol-paare von f, g, h, ... resp. ^d, d', ^ d", ... ist.

Verlangt man weiter, daß J zugleich eine Streckungs-invariante bez. xx und x₂ von den Gewichten ii\, w₂, und damit eine Seminvariante von /', g, h, ... (bez. xt) sein soll, so findet dies statt unter den beiden Bedingungen:

(lila) £v = wi

]£ £ = W

Dagegen erweitern sich die Relationen (III"), (24) jetzt zu den folgenden:

(lila")

— iv

(lia)

Wy -f- w₂ — w* d -}~ p d "j⁻ g d -f- . .

Jł    d'+ qd" +... J

^24 a)

Diese sagten in § 12 (S. 201) aus, daß, wenn man in irgendeinem Gliede einer Seminvariante J die Grade in den di,bk, Ci,... resp. multipliziert mit den Ordnungen der zugehörigen Urformen, die Summe dieser Produkte stets konstant, gleich der Gewichtssumme wx + w₂ wird ; J ließ sich daher als ein Aggregat von Seminvarianten mit verschiedenen Reihen von Einzeldimensionen anordnen, deren jede in den di, bk, C[, ... einzeln homogen ist, so, daß die Dimensionen stets jener Relation (lila") unterliegen.

In der Symbolik lassen die Relationen (lila"), (24a) auf Grund von (6 a) die einfachere Deutung zu, daß J in allen Symbolen homogen, von der Dimension wx + w₂ ist. Der Satz II erweitert sich somit zu:

. . ganz-

Satz lia. „Eine in den realen Koeffizienten dix bk, Ci, ... der Urformen fn, gp, h rationale Seminvariante J von den Gewichten w w₃ bez. xx, x₂ ist symbolisch darstellbar als ein Aggregat von Gliedern, deren jedes gebildet wird einmal aus Potenzen von Klammerfaktoren, die

durch Verbindung der Symbolreihen der Urformen unter sieb und miteinander entstehen, andererseits aus Potenzen von Zusatzfaktoren ax, bx, .. a[, b[, .. ., a'(, b[',    die Summe der Exponenten

der Klammerfaktoren ist gleich w₂, der Zusatzfaktoren gleich wx — w₂, so daß J in den ersten resp. zweiten resp. allen Symbolen homogen ist resp. von der Dimension wx, w₂, w₁ + w₂. Und um -gekehrt.“

Ersetzt man wiederum in einer Seminvariante J des Satzes IIa jeden der Zusatzfaktoren ax,bx, ..., ax, b{, .. a[', bx, ... durch die zugehörige symbolische Linearform ax, bx, . . ., a', b'x, . . ., a", b", . .so geht aus J eine Kovariante K hervor, und Satz III erweitert sich zu:

Satz lila. ,,Jede Seminvariante J des Satzes Ha ist Leitglied einer völlig bestimmten Kovariante K der Urformen, vom Gewichte w₂ und der Ordnung X = wx— w₂, während für die Grade in den Symbolen resp. Koeffizienten das gleiche gilt wie für J selbst.“

Fordert man schließlich, daß die Seminvariante J auch gegenüber einer Schiebung A₂(h₂) (27) ungeändert bleibt, so ergibt sich genau, wie im Falle der einen Urform    daß nunmehr alle Zusatzfaktoren in Wegfall

kommen und demgemäß wx = w₂==w wird, so daß die Relation (24a) übergeht in:

(8 a)

d -f- p d -j- c[ d -j- ...

Demnach lautet der Clebschsche Fundamentalsatz IV für ein System von Urformen:

von

Satz IVa. „Jede vollständige Invariante J eines Systems von Urformen /„, gp, h einem Gewichte w, ist symbolisch darstellbar als ein Aggregat von Gliedern, die aus Klammerfaktoren zusammengesetzt sind. J ist homogen in den ersten wie in den zweiten Symbolen von der Dimension w, in den beiderlei Symbolen von der Dimension 2 w, und wenn an der Bildung irgendeines Gliedes resp. d, d', d", ... Symbolpaare der Urform beteiligt sind, so gilt stets die Relation (8a). Und umgekehrt.“

Hier ordnen sich, wie in § 13 (S. 215), die Kovarianten K als Spezialfall ein, wenn man dem System der Urformen eine Linearform ux = ux xx + u₂ x2 adjungiert, und hinterher in den Invarianten des so erweiterten Systems die Größen «₂, — ux wieder durch die kogredienten Variabein x₁, x.2 ersetzt. Da für eine Linearform ux die Symbole ux, % mit den realen Koeffizienten übereinstimmen, so kommt man mit einer Reihe von Zeichen xx, x₂ aus, und diejenigen Klammerfaktoren, an denen die u beteiligt waren, nehmen resp. die Gestalt von Linearformen ax, bx, . . a'x, b'x, •••> axi bx, ... an. Damit gelangt man aber gerade zu Kovarianten von der Struktur des Satzes lila, d. h. zu der Umkehrung des letzteren:

Satz IHb. „Das Leitglied einer Kovariante K ist eine Seminvariante.“

Der Beweis des Satzes V überträgt sich ohne weiteres auf Systeme von Urformen, womit auch die entsprechende kürzere Herleitung des Fundamentalsatzes IVa gewonnen ist.

Weiter steige man auf, wie in § 15 (S. 256), zu Urformen mit mehreren Reihen von Variabeinpaaren xx, x₂ ; yx, y₂ ; zx, z₂, . . ., die inkongruenten Substitutionen mit den Determinanten Ax, Ay, Az, ... unterliegen :

n,p,q

(lb)

y, z; • • •) = <rvyu\... = Kspyvï...

= <%%w\ • •

die sich äußerlich

nebst weiteren ffń von f nur durch Hinzufügung von Akzenten an den Zeichen für die Ordnungen und Symbole unterscheiden mögen. Ein Symbol der Art a, b, ein (x)-Symbol usf.

Für eine Schiebungsinvariante J der Urformen bez. xx tritt wieder die symbolische Darstellung (20a) ein, und das Entsprechende gilt hinsichtlich der weiteren ersten Variabein yx, zx, ... Demnach erweitert sich für eine Schiebungsinvariante J bez. xx, yx, zx, ... die Darstellung (20 a) dahin

Klammerfaktoren zulässig sind, in die jeweils zu derselben Variabein gehörige Symbole eingehen, wie z. B. (a b), (ac), (b c), ..., (a' &'),(&' c'), ..., (««'), . . ., während als Zusatzfaktoren irgendwelche ersten Symbole ax, bx,

a',    ... heiße kurz

daß lauter solche, aber auch nur solche

®i? • • • >

u[, v[, ..

auf treten dürfen.

Die Differentialgleichung (Ia) ist jetzt in genau so viel Exemplaren aufzustellen, als Variabeinpaare vorhanden sind, also bei der jetzt gewählten Schreibweise von (lb):

e j ej

ej

ej

da

db

da' ' db

7-+... + ...—o,

(Ib) dj

dr

os ; 5*j

Oj cv,

und umgekehrt charakterisieren diese Bedingungen eine Schiebungsinvariante J bez. xx, yx, zx, ...

Sodann übe man unabhängig voneinander einmal die Streckungen Mx(mx), Mx{nx), Mx(px), . . . bez. xx, yx, zx, andererseits die Streckungen M₂ (m₂), M₂ (n₂), M₂ (p₂), . . . bez. x₂,y₂,z₂, ... aus, und verlange, daß die Schiebungsinvariante J zugleich gegenüber jeder der Streckungen invariant sei, mit Gewichten w(x),    . . . resp. w{₂\ wf,... :

(22 b) J' = mf'j, J' = nf'j ,    =    ..

(17 b) J' =    , J' ==    , J' ==    , . . .

Bezeichnet man den Exponenten irgendeines aus zwei (a?)-Symbolen gebildeten Klammerfaktors in J mit e(*) usf., den Exponenten irgendeines zu (xx, x₂) gehörigen Zusatz-faktors ax, bx, . . ., ax, b'x, ... mit rfx) usf., die Anzahlen der in irgendeinem Gliede von J auftretenden (æ)-Symbole von /', f', f", . . . resp. mit <#*), d'(x\ d"(x) usf., so erweitern sich die Relationen (Ha), (Ilia), (III a"), (24 a) unmittelbar zu den folgenden:

tu b>

gu b> 2<)w-»r

£(z) = w{₂ ,    ^    —■ wf , . .

Zv® = WT ~ wTi • •

wx] + w{.x) = n dW + n' d'W -f n" d"W + . . .

(IIIh") < wf] + w{₂ = p d^> + p' d'W + p" d"M + • • •

(24 b)

J, ^ mu>[x)Wx)J

J' = nwi)+wfj, . .

wo die Eelationen (24b) aussagen, daß J resp. gegenüber einer Erweiterung È(m), E(n), ... invariant ist.

Für eine vollständige Invariante J wird wiederum wf] = w₂] =    = w'f = #), ..., wo nunmehr ,

ivW, ... die Gewichte von J hinsichtlich der einzelnen Variabein sind.

Unter Berücksichtigung dieser Ausdehnungen lassen sich die Sätze I bis V auch für den vorliegenden Fall formulieren, was dem Leser überlassen bleibe.

Zieht man noch die besonderen Fälle in Betracht, daß die Variabein (x), (y), ... teilweise oder ganz kongruenten Substitutionen unterworfen werden, z. B. die (x) und (y), so treten zu den oben aufgestellten Bildungen J noch solche hinzu, wo auch Klammerfaktoren zulässig sind, die gleichzeitig ein (æ)-Symbol und ein (y)-Symbol enthalten; für eine vollständige Invariante fällt dann wW und zusammen usf.

Wie in den §§ 11—15 lassen sich die Eigenschaften der symbolischen Darstellung, die eine Folge der Invarianz resp. gegenüber den beiderlei Schiebungen und Streckungen sind, und umgekehrt jene Invarianz charakterisieren, der Eeihe nach durch lineare partielle Differentialgleichungen wiedergeben, wie es für eine Schiebungsinvariante bez. x = xx in nichthomogenen Symbolen a, &, ... bereits vermöge (I) resp. (Ia), (Ib) geschehen ist.

Zu dem Behuf bediene man sich homogener Symbole. Es genüge die Betrachtung einer Urform /’ (1).

Um die Gleichung (I) homogen zu schreiben, berücksichtige man die Eelationen:

(80)

ba = bb

wo man für eine Schiebungsinvariante J von f bez. x = xx die %,    , cx, .. . als nur der Homogenität halber ein-

da₂

da

geführte, von den a₂, b₂, c₂, ... unabhängige Symbole aufzufassen hat. Aus (30) folgt durch partielle Differentiation, da

(31)

e _ ô    _

da ôa₂ 0/1 ’ êb db₂^

Damit geht die Bedingung (I) über in die homogene

Gestalt :

CI J

(I«)

Für eine Schiebungsinvariante J bez. x₂ vertauschen sich einfach je zwei der Symbole a,, a₂ ; bL, b₂ ; . . ., und es ergibt sich:

ej

ÔJ

a² aa,

Vereint charakterisieren die Bedingungen (Ia), (Iß) eine unimodulare Invariante.

Die Streckungsinvarianz bez. x₂ fand ihren Ausdruck in der Tatsache, daß in der Darstellung (15) die a, b, c, .. ., und damit in (20) die a₂, b₂, c₂, ... homogen in der Dimension = w₂ auftraten.

Somit liefert der Eulersche Satz:

(i r)

dj

ej

und wieder entsprechend für die Streckungsinvarianz bez. xl :

(iö)

ej

ej

Sind (ly) und (I<5) zugleich erfüllt, so führt die Addition beider Gleichungen wieder zu der Homogenität in allen Symbolen von der Dimension w₁ + w₂.

Eine Seminvariante ist durch das Bestehen von (I<%), (I y), (I (5) charakterisiert ; eine vollständige Invariante durch alle vier Bedingungen; in letzterem Falle fällt wx mit w₂ zusammen:

Satz VI. ,,Die respektive Invarianz gegenüber den beiderlei Schiebungen und Streckungen findet ihren Ausdruck im identischen Bestehen der symbolischen Differentialgleichungen (Ia), (Iß), (ly),

Liegt ein System von Urformen vor, so hat man die linken Seiten jener Gleichungen der Reihe nach für die einzelnen Urformen zu bilden, und alsdann wiederum zu

summieren. Im' Falle inkongruenter Variabelnreiken entspricht einer jeden .solchen je eine bezügliche Differentialgleichung usf.

Aufgabe 1. Die Differentialgleichungen und Gewichtsregeln des Textes sind an den im Anhänge zum ersten Abschnitte, sowie in den dazugehörigen Aufgaben entwickelten Beispielen zu bestätigen.

Aufgabe 2. Die Sätze I bis V sind für Systeme von Urformen mit mehreren Reihen inkongruenter Variabeinpaare zu formulieren.

Aufgabe 3. Mittels der Symbolik ist das „Hermitesche¹) Reziprozitätsgesetz“ zu beweisen. Sind fn, gp zwei binäre Formen, mit den Koeffizienten (a), (b), so läßt sich jeder Kovariante von fn, von der Dimension p in den a, eine Kovariante gleicher Ordnung von gp, von der Dimension n in den &, eineindeutig zuordnen.

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¹

Ch. Her mite, Cambridge and Dublin Math. Journal 9 (1854), S. 172; vgl. Gfordan-Iverschensteiner, Invariantentheorie, Bd. 2, Nr. 93.