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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Die

Qammlung Qchubert

umfasst alle Gebiete der Mathematik in einheitlich angelegten, systematisch sich entwickelnden Einzeldarstellungen, welche streng wissenschaftliche Grundlage mit leichtfasslicher Ausdrucksweise verbinden. Die einzelnen Lehrbücher sind somit nicht nur für den Mathematiker von Interesse, der in Fächern, die nicht zu seiner Spezialität gehören, sich unterrichten oder auch nur nachschlagen will, sondern eignen sich auch ganz besonders für das Studium, behufs Einführung in das betreffende Gebiet. Dabei wird den Anforderungen der Praktiker, der Techniker wie Naturwissenschaftler, in weitestem Masse Rechnung getragen.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000296185

Ausführliche Prospekte durch jede Buchhandlung oder direkt von der G. J. Göschen’schen Verlagshandlung in Leipzig.

Verzeichnis

der erschienenen und projektierten Bände der

„Sammlung Schubert⁴*.

Erschienen sind bis Herbst 1900;

Band I : Elementare Arithmetik und Algebra von

Prof. Dr. Hermann Schubert in Hamburg. Mk. 2.80.

,, II: Elementare Planimetrie von Prof. W. Pilieger in Münster i. E. Mk. 4.80.

„ III: Ebene und sphärische Trigonometrie von

Dr. F. Bohnert in Hamburg. Mk. 2.—.

„ VI: Algebra mit Einschluss der elementaren Zahlentheorie von Dr. Otto Pund in Altona. Mk. 4.40.

„ VII: Ebene Geometrie der Lage von Prof. Dr.

Rud. Böger in Hamburg. Mk. 5.—.

„ VIII: Analytische Geometrie der Ebene von Prof. Dr. Max Simon in Strassburg. Mk. 6.—. „ IX: Analytische Geometrie des Raumes von Prof. Dr. Max Simon in Strassburg. Mk. 4.—. „ XII: Elemente der darstellenden Geometrie von Dr. John Schröder in Hamburg. Mk. 5.—. ,, XIII: Differentialgleichungen von Prof. Dr. L.

Schlesinger in Klausenburg. Mk. 8.—.

„ XIV: Praxis der Gleichungen von Prof. C. Runge in Hannover. Mk. 5.20.

„ XIX: Wahrscheinlichkeits-und Ausgleichungsrechnung von Dr. Norbert Herz in Wien. Mk. 8.—.

„ XXV. Analytische Geometrie der Flächen zweiten Grades von Prof. Dr. Max Simon in Strassburg. Mk. 4.40.

In Vorbereitung bezw. projektiert sind:

Band IV: Elementare Stereometrie von Dr. F.

Bohnert in Hamburg.

„ V: Niedere Analysis von Prof. Dr. Herm. Schubert in Hamburg.

,, X: Differentialrechnung von Prof. Di. Franz Meyer in Königsberg.

,, XI: Integralrechnung von Prof. Dr. Franz Meyer in Königsberg.

XV : Elemente der Astronomie von Dr.

Band

Ernst Hartwig in Bamberg.

XVI: Mathematische Geographie von Dr.

Ernst Hartwig in Bamberg.

XVII: Anwendungen der darstellenden Geometrie von Dr. John Schröder in Hamburg. XVIII: Geschichte der Mathematik.

XX: Versicherungsmathematik von Feld. Paul in Budapest.

XXI: Dyanik von Dr. Karl Heun in Berlin.

XXII: Technische Mechanik von Dr. Karl Heun in Berlin.

XXIII: Geodäsie.

XXIV. Allgemeine Funktionentheorie von Dr.

Paul Epstein in Strassburg.

XXVI: Räumliche projektive Geometrie. XXVII: Geometrische Transformationen von Dr. Karl Doehlemann in München.

XXVIII: Theorie der höheren algebraischen Kurven.

XXIX: Allgemeine Theorie der Flächen und Raumkurven I von Prof. Dr. Victor Kommereil in Calw und Dr. Karl Kommerell in Gmünd.

XXX: Elliptische Funktionen von Dr. Paul Epstein in Strassburg.

XXXI: Hyperelliptische und Abelsche Funktionen von E. Landfried in Strassburg.

„ XXXII : Theorie und Praxis der Reihen.

„ XXXIII. Invariantentheorie von Dr. Jos. Wellstein in Strassburg.

„ XXXIV: Liniengeometrie von Dr. Konrad Zindler in Wien.

„ XXXV: Mehrdimensionale Geometrie.

„ XXXVI: Allgemeine Theorie der Flächen und Raumkurven II von Prof. Dr. Victor Kommerell in Calw und Dr. Karl Kommerell in Gmünd.

„XXXVII: Kinematik von Dr. Karl Heun in Berlin. „XXXVIII: Potentialtheorie.

„ XXXIX: Mechanische Wärmetheorie.

„ XL: Theoretische Optik von Dr. J. Gassen in in Hamburg.

Sammlung

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von

Dr. C. Runge

Professor an der technischen Hochschule zu Hannover

Mit 8 Figuren

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Leipzig 'v

G J. Göschensche VerlagshanS 1900

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Alle Rechte

vor» der Verlagshandlung Vorbehalten.

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

I. Abschnitt: Lineare Gleichungen.

§    4.    Anwendungen linearer Gleichungen.......

JO (O -1 ^

II.    Abschnitt: Nichtlineare Gleichungen mit einer Unbekannten

§ 5. Lösung durch tabellarische Berechnung.....

§ 6. Lösung nach der Newtonsche Methode.....

g 7. Das Iterationsverfahren............

§ 8. Anwendung auf die Umkehrung einer Reihe . . .

III.    Abschnitt: Nichtlineare Gleichungen mit mehreren Un

bekannten.

§ 9. Die Newtonsche Methode in dem Falle mehrerer

Unbekannten . . . ...............

§ 10. Auffindung der ersten Näherungswerte......

§11. Einführung neuer Veränderlicher.........

§ 12. Das Iterationsverfahren.............

§ 13. Anwendung auf lineare Gleichungen.......

IV.    Abschnitt: Ganze rationale Funktionen.

§ 14. Berechnung einer ganzen rationalen Funktion aus

den Koeffizienten.......... ......

§ 15. Berechnung aus einer Anzahl gegebener Werte . . 97 § 16. Die Auffindung der Anzahl der reellen Wurzeln . ., 102 § 17. Die Berechnung der reellen Wurzeln

§ 18. Graphisches Rechnen.......

§ 19. Anwendung der Additionslogarithmen

§ 20. Trinomische Gleichungen.....

§ 21. Graeffes Verfahren zur Berechnung der Wurzeln . . 157 § 22.. Der Sturmsche Satz

48

52

56

60

68

73

79

81

83

94

111

116

127

136

)

I. Abschnitt.

Lineare Gleichungen.

§ 1. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten.

Die Lösung einer Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten verlangt nichts anderes als eine Division. Denn sind a und l zwei gegebene Zahlen und soll eine Zahl x gefunden werden, so dafs

ax -j- l = 0

ist, so heifst das, es soll x mit a multipliziert gleich —l sein oder es soll x gleich — l dividiert durch a sein. Wenn die Werte a und l nicht absolut genau, sondern nur bis zu einem gewissen Grade der Genauigkeit bekannt sind, wie es bei beobachteten Werten meistens der Fall ist, so kann natürlich auch x nur mit einem gewissen Grade der Genauigkeit gefunden werden. Wenn z. B. der Wert von l

um

seines Betrages gröfser oder kleiner sein könnte,

während a absolut genau bekannt ist, so würde auch x — — um —^ seines Betrages gröfser oder kleiner sein können. Wenn andererseits l absolut genau bekannt wäre, während a um ^ seines Betrages gröfser sein könnte, so

seines Betrages kleiner sein

1 l 100 a

würde x = —

können, denn

um

a -f- -¹

99 l l

TÖO ’ a

99 a

seines Betrages kleiner sein würde,

und wenn a um —^

so würde x — —

um

gröfser sein können, denn

¹⁰¹ l 100 a

--1--¹

a '    10'

. Indem wir den

-a

101

Unterschied zwischen —

99

und

und ebenso den zwischen

100

Und

100

vernachlässigen, können wir demnach rund

sagen, dafs x sich um 1 Prozent vergröfsert oder verkleinert, wenn a sich um 1 Prozent verkleinert oder vergröfsert.

Wenn l und a beide nicht genau bekannt sind, so können die Fehler in der Annahme von l und a sich auf-lieben, sie können sich aber auch verstärken. Denkt man

kleiner

sich l um — gröfser und gleichzeitig a um -T*-so tritt an Stelle von — der Ausdruck

99

¹    101    l_. _2_    l_

a ' 99    a

99

101

oder wenn l um nommen wird

101

kleiner und a um gröfser ange-

101

l 99 a 101

i a a + m

2

Vernachlässigen wir wieder den Unterschied zwischen

2 2 ~

1ÖQ-, sowie zwischen —

und

99

und -

so können wir

100’

rund sagen, x wird um 2 Prozent fehlerhaft sein können, wenn bei l und a Fehler von 1 Prozent möglich sind.

Etwas allgemeiner stellt sich dieselbe Betrachtung durch die folgende Gleichung dar:

a (i ß)

Ï 4- ß a

sehr

cc

Wenn a und ß sehr klein sind, so ist ——:—,--

1 -j- ß a

sehr nahe gleich ß —

nahe gleich a — und

a

und man kann daher sagen, dafs bei Änderung von l um den positiven oder negativen Bruchteil a seines Betrages und gleichzeitiger Änderung von a um den positiven oder negativen Bruchteil ß seines Betrages die Änderung von - - den Bruchteil a — ß seines Betrages ausmacht.

die Division mit einer erheblich

Wenn es sich um beobachtete Gröfsen handelt, so ist in sehr vielen Fällen die relative Genauigkeit, mit der l und a bekannt sind, gering und es würde ein unnötiger Arbeitsaufwand sein

gröfseren relativen Genauigkeit auszuführen.

Beispiel: Ein Zimmer soll 50 qm Inhalt haben, wobei es auf 1 Prozent d. h. | qm nicht ankommt. Die Breite soll 6.3 m sein, wobei es auch auf 1 Prozent, d. h. 6.3 cm nicht ankommt. Wie grofs mufs die Länge des Zimmers sein?

Die Division braucht höchstens bis zur dritten Stelle ausgeführt zu werden.

Çj

cc

.H OMO Ot)< lOlO

»o ^

co

4-

7)

CO

(Es ist 7.94 geschrieben, weil die Differenz zwischen

6.3 X 4 und 23 geringer ist als die Differenz zwischen

6.3 X 3 und 23). Eine genauere Ausführung der Division hat gar keinen Zweck, weil, wenn Zähler und Nenner um 1 Prozent andere Werte haben können, so kann der Quotient sich um 2 Prozent, d. i. um 0.16 m ändern. Es würde im allgemeinen auch wohl das Resultat 7.9 völlig ausreichen.

Der Rechenschieber*) in der handlichen Gröfse, wie er gewöhnlich ausgeführt wird, erlaubt die Ausführung der Division etwa auf ^ Prozent, was in sehr vielen Fällen völlig ausreicht. Eine vierstellige Logarithmentafel läfst sich bequem auf eine Quartseite drucken, so dafs kein Blättern zur Auffindung der Logarithmen oder der Numeri nötig ist. Der Fehler des Logarithmus von Zähler und Nenner beträgt höchstens eine halbe Einheit der vierten Dezimale, der des Quotienten daher höchstens eine Einheit der vierten Stelle. Dem entspricht ein Fehler im Numerus von etwas weniger als £ Promille. Selbst wenn die Gröfsen a und l also bis auf etwa

ihres Betrages bekannt wären, würde es allenfalls noch ausreichen, den Quotienten mit vierstelligen Logarithmen auszurechnen.

Nur ist zu bemerken, dafs man gern so genau rechnet, dafs die bei der Rechnung vernachlässigte Abweichung erheblich kleiner ist als die durch die Unsicherheit der

ÏT5ÏÏÏÏ

Daten verursachte Unsicherheit des Resultats.

Unter den gemachten Annahmen würde die bei der Rechnung vernachlässigte Abweichung gleich dieser Unsicherheit sein.

§ 2. Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten lassen sich auf Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten zurückfuhren. Es seien bt lx ; a₂ b₂ l₂ gegebene Gröfsen und es sollen die Unbekannten x und y so bestimmt werden, dafs gleichzeitig

at x -f- bx y -f 4 = 0

x + \ y + 4 =

so kann das in der Weise geschehen, dafs man die erste Gleichung mit — multipliziert und von der zweiten Glied für Glied abzieht:

*) Der Gebrauch des Rechenschiebers mufs am Instrument selbst gelernt werden. Daher ist hier auf eine Beschreibung verzichtet.

Es entsteht so eine neue Gleichung ersten Grades, die die Unbekannte x nicht mehr enthält, aus der man also y durch Division findet. Setzt man diesen Wert von y in eine der beiden zuerst gegebenen Gleichungen ein, so er-giebt sich eine Gleichung ersten Grades für x allein. Setzt man den Wert von y in die andere Gleichung ein, so mufs sich derselbe Wert von x ergeben, was eine Kontrolle der Rechnung ermöglicht.

Ist die Genauigkeit des Rechenschiebers ausreichend, so läfst sich die Berechnung der Unbekannten sehr bequem bewerkstelligen. Stellt man nämlich auf dem Rechenschieber die beiden Gröfsen ax und a₂, die eine auf der festen, die andere auf der beweglichen Skala einander gegenüber, so sind alle einander gegenüberstehenden Zahlen in dem Verhältnis at : a₂. Den Gröfsen by und ly werden also die

Gröfsen — b₁ und — ly gegenüberstehen, die man auf

diese Weise durch eine einzige Stellung des Schiebers ermittelt. Hat man alsdann durch Gegenüberstellung von

ay

al

l₂--— ly und b₂ — — by den Wert von y gegenüber

der 1 der einen Skala abgelesen, so kann man sofort mit der gleichen Stellung des Schiebers die Werte von \y und b₂y ablesen, die in die gegebenen Gleichungen eingesetzt, die beiden Gleichungen für x liefern, die auf denselben Wert von x fuhren müssen.

3.1    x -f- 4.2 y — 3.5 = 0

1.2    x — 3.5 y -f 2.2 = 0.

Um alles überflüssige Schreiben zu vermeiden, setzt man nur die Koeffizienten selbst hin und läfst bei der durch

a2x ~b ^2 y h — o ^y + -“H = o

a2xJr

at

(»■

a2

&i) y + ('

a2

= 0.

Beispiel:

erhaltenen Gleichung das Glied mit x

Multiplikation mit ganz weg, das ja doch bei der Subtraktion wegfällt:

ai

3.1    + 4.2 — 3.5

1.2    — 3.5 + 2.2 + 1.63 — 1.36

— 5.13 +3.56 y —    0.692

— 3.5 + 2.91

3.1 — 0.59 x = —j—1.90    (aus der ersten

+ 2.2 — 2.43

Gleichung)

1.2    — 0.23 x = + 1.92 (aus der zweiten

Gleichung)

Mit vierstelligen Logarithmen würde man etwa so rechnen. Zunächst würde man die Logarithmen der Koeffizienten der ersten Gleichung hinschreiben

0.4914    0.6232    0.5441M

dazu den Logarithmus des Koeffizienten von x in der zweiten Gleichung 0.0792. Nun ist, um mit — zu multiplizieren, die Differenz 0.4914 — 0.0792 = 0.4122 von den Logarithmen von b₁ und l± abzuziehn:

0.2110 0.1319«.

Dazu die Numeri

1.626 — 1.355.

Diese sind von b₂ und l₂ abzuziehen — 5.126 + 3.555.

Die Rechnung kann nach dem folgenden Schema ausgeführt werden :

0.4914    0.6232    0.5441«

0.0792    0.4122    0.4122

0.4122    0.2110    0.1319«

1.626    —    1.355

— 3.5    +    2.2

— 5.126    +3.555

Aus den letzten beiden Zahlen ergiebt sich y

log 3.555 = 0.5508 log 5.126 = 0.7098

log y = 9.8410 y — 0.6934

Mit dem gefundenen Werte wird dann auf doppelte Weise x gefunden :

log bt : 0.6232 log y : 9.8410

log b₂ : 0.5441n log y : 9.8410

0.4642

0.3851n

bi y =

4 = — 3.5 — 0.588

9.7694 log ax — 0.4914 9.2780 x = 0.1897

2.912

Ky — — 2.427 4 = 4-2.2 — 0.227

9.3560 log a₂ — 0.0792 9.2768 x = 0.1891

Man beachte, dafs die Ungenauigkeiten, die durch die bei der Rechnung vernachlässigten Stellen entstehen, erheblich gröfser werden können als die Genauigkeit einer einzelnen Multiplikation oder Division. So ist z. B. bei der mit dem Rechenschieber ausgeführten Rechnung das Produkt b₂y =— 2.43 auf ^ Prozent genau, aber bei der Summe

— 0.23 wird der Fehler relativ viel gröfser,

4 H- b2 y

woraus sich die Abweichung zwischen den beiden Werten von x erklärt. Es kann in solchen Fällen notwendig werden, die Rechnung mit mehr Stellen durchzuführen, als für das Resultat erforderlich sind. Man erkennt das erst im Verlaufe der Rechnung und mufs daher unter Umständen dieselbe Rechnung wiederholen.    ■ „t

Von der durch die Abkürzung der Rechnung eingeführten Unsicherheit ist wohl zu trennen die Unsicherheit; die durch die Ungenauigkeit der Koeffizienten entsteht. Wenn" z. B-. 4 = 2.2 nur auf eine halbe Einheit der 'aprsten Dermale

sicher ist, so ist 4 — — 4= 3.56 auch nur auf;'dne hali^

■ ai

Einheit der ersten Dezimale sicher, also auf etwa 3 Prozent. Und der Wert von y wird auch nur auf 3 Prozent sicher, d. h. auf etwa 0.02. Und wenn nun x wieder mit Hülfe dieses für y gefundenen Wertes berechnet wird, so wird b₁ y um 3 Prozent unsicher, d. i. um etwa 0.09, mithin ix — bxy um etwa 15 Prozent und daher x auch um 15 Prozent. Man könnte die Unsicherheit von x auch unmittelbar finden, indem man aus den beiden gegebenen Gleichungen nicht erst y berechnet, sondern unmittelbar eine Gleichung für x ableitet, indem man z. B. die erste Gleichung mit

multipliziert von der zweiten abzieht. Man erhält auf diese Weise die Gleichung für x

(,‘2

r0=°

h-l — — 0.72 b.

1.2 +2.2

2.58 —2.92

a₂--a± = 3.78, 4--

x — 0.191

Ein Fehler von l₂ um 0.1 ergiebt auch einen Fehler

3.78 —0.72

~~ L um 0.1, d. i. um 14 Prozent, also auch b₁

von 4 —

einen Fehler von x um 14 Prozent, also um 0.027.

Von den verschiedenen Möglichkeiten, wie man die Werte von x und y finden kann, wird man unter Umständen gewisse bevorzugen.

So kann man z. B. um y zu berechnen, sowohl die erste Gleichung mit — multipliziert, von der zweiten ab-

ax

ziehen, wie auch die zweite mit

ax

multipliziert von der

ersten abziehen. Im ersten Falle erhalten wir für y die Gleichung:

«2

(h

im zweiten Fall:

h^)y~f (4

«1

) = °>

ax

a2

= 0.

Wollte man dagegen die zweite Art der Rechnung anwenden, so müfsten die Produkte — 6₂ und — Z₂ auf

öt₂    C?₂

4 Stellen ausgeführt werden nauigkeit zu erhalten

Ist

klein, so wird man in der Regel die erste Art

vorziehen. Denn es werden dann, aufser wenn bl und lx

— b und °^-L ax ¹    a₁ ¹

nur kleine Bruchteile von b₂ und l₂ sein. Man braucht also die Produkte — 6₁ und — lx nur auf sehr wenig Stellen auszurechnen, während dennoch die relative Genauigkeit

(*»-£*>) und (4

Z. B.

ax

grofs gegen b₂ und Z₂ sind, die Produkte

von

ai

ai

7,^ grofs ist.

55 x —}— 3.3 ?/ — 5 =0 x —4.3 y —f- 3.7 = 0

«2

ax

55

CO

3    +3.7

0.060 — 0.091

— 4.360 + 3.791 y =

3.791

4.360

= 0.8695.

um für y die gleiche Ge-

CJT H-*

— 4.3    + 3.7

+ 3.3    — 5

— 236.5 + 203.5

239.8 — 208.5

2085

y 2398

0.8695.

Für die erste Art der Rechnung würde die Genauigkeit des Rechenschiebers vollkommen ausreichen, um Zähler und Nenner von y zu finden, für die zweite dagegen nicht.

Will man ferner mit dem gefundenen Werte von y den Wert von x berechnen, so ist es vorteilhafter, sich der ersten Gleichung zu bedienen, in der ax grofs ist gegen a₂, vorausgesetzt, dafs nicht etwa zugleich br grofs ist gegen + Denn wenn bei Benutzung der ersten Gleichung bx y mit einem Fehler behaftet ist, so wird er bei der Berechnung

Bei Benutzung der zweiten Gleichung dagegen giebt der Rechenschieber 4.3 y = 3.74, x = 0.04. Im ersten Falle kann man also mit dem Rechenschieber den Wert von x auf etwa Prozent genau finden, im zweiten Falle dagegen weitaus nicht so genau.

Im zweiten Falle genügt es nicht, den Wert von y nur auf etwa 1 Prozent zu kennen, um den Wert von x etwa mit derselben relativen Genauigkeit zu berechnen.

Die Gröfsenunterschiede der Koeffizienten a₂ und a,

können so grofs sein, dafs

ax

a<1 bx und — lx gegen 6₂ und Z₂

ai

überhaupt nicht in Betracht kommen. Dann hätte man für y einfach die Gleichung b₂ y -j-    = 0 zu setzen, mit anderen

Worten, man könnte das Glied a₂ x in der zweiten Gleichung

vernachlässigen. Ist zugleich ■— so klein, dafs 1₂ gegen lx

nicht in Betracht kommt, so ergiebt sich ax x -{- lx — 0, d. h. es kann in der ersten Gleichung das Glied mit y vernachlässigt werden.

y +53 = 0

123 x —

0.5 x + 201 y — 47 = 0.

von x durch ax dividiert, während bei Benutzung der zweiten Gleichung der Fehler von b₂ y durch das kleinere a₂ dividiert wird. In dem obigen Beispiel ergiebt sich mit dem Rechenschieber aus der ersten Gleichung

y = 0.87, 3.3 ^ = 2.87, x

2.13

55

0.0388.

Z. B.

Die Werte x

53

123

0.43 und y

47

201

= 0.23

sind Näherungen der Lösungen. Man kann diese Näherungen benutzen, um genauere Werte zu finden. Indem man den Näherungswert von y in die erste Gleichung einsetzt, ergiebt

sich x

52.77

123

und indem man den Näherungswert von x

47.215

in die zweite Gleichung einsetzt, ergiebt sich y —

(vergl. Abschnitt III § 5).

Es kann Vorkommen, dafs in den gegebenen Gleichungen <2₂ und ax keine wesentlichen Gröfsenunterschiede zeigen,

201

dafs aber auf leichte Weise aus den beiden gegebenen Gleichungen eine dritte abgeleitet werden kann, in der der Koeffizient von x sehr klein gegen ax oder a₂ ist und die dann mit einer der beiden gegebenen Gleichungen bequem zur Berechnung verwendet werden kann. Ist z. B. ax nahezu gleich a₂, so kann man die Differenz der beiden Gleichungen bilden.

Z. B.

123 x —51 y +37 = 0 122 x +43 y —22 = 0

x — 94 y + 59 = 0

123

Ot CO

O CO -vl

03

93.6    58.7 y = 0.627

Zugleich giebt die Summe der beiden Gleichungen

8y =

245.« — 8y +15 = 0 5.016

9.984

245

= — 0.0407

Ebenso wenn ax nahezu gleich 2 a₂ wäre, so könnte man die zweite Gleichung mit 2 multipliziert von der ersten ab-ziehen und so eine Gleichung erzielen, in der der Koeffizient von x klein ist.

Unter Umständen kann es auch zweckmäfsig sein, statt einer der beiden Unbekannten eine Kombination der beiden einzuführen. Ist z. B. b₂ nahezu gleich a₂, so kann man x + y = y' setzen und hat dann

K — bx)x + \ y + lx = 0 (a₂ — b₂) x + b.₂ y -j- l₂ = 0.

Jetzt ist a₂ — 5₂ klein, und man kann die erste Gleichung

+ multipliziert von der zweiten abziehen und

öj — bi

kann dabei die Kechnung auf wenige Stellen beschränken.

522 x — 177 y — 66 = 0 433.« 4- 431 y +103 = 0

mit

$2

Z. B.

— 66

— 177/ = + 42.3

— 23.7

= + 0.0340

23.7

699 y = — 0.273.

Man kann durch Einführung- einer neuen Veränderlichen auch die Lösung der Gleichung finden.

Es sei nämlich x + k y = x\ dann ist

öj x' + + — k a₁ ) y + lx = 0

a2 x' 4~    ^ ai) y + 4 ⁼ o*

ai

Wird nun k = — gesetzt, so fällt y aus der ersten

. Dieser Wert

ai

Daraus für x -j- y = y' 699 x — 177 y¹

2 x +481/ +103 = 0 — 0.51

66 = 0

0.19

431.51    103.19

y'

103.19

431.51

— 0.239

Gleichung heraus und man hat x — —

wird in die zweite Gleichung eingesetzt, die alsdann in eine Gleichung für y Übergeht.

al

al

= 0.

ai

Nachdem auch y gefunden ist, hat man x — x--— .y.

Es kommt die Aufgabe vor, dafs zwei Unbekannte x und y die Lösungen zweier Gleichungen

«1 x + bx y + lx = 0

a2 x \ y + 4 = ⁰

sein sollen, für welche der Wert U einer linearen Funktion as x + b₃ y + ls berechnet werden soll. Dies kann auf folgende Weise bequem ausgeführt werden. Man zieht die

multipliziert von

linke Seite der ersten Gleichung mit °²

der linken Seite der zweiten ab und mit — multipliziert

von der linearen Funktion a₃ x -j- bs y -|- 4 ab. Dadurch wird der Wert der letzteren nicht geändert; aber das Glied mit x fällt dadurch fort und wir erhalten

(*•

a₂

(».

ax

ay

«3

al

= u.

Der Abkürzung wegen möge geschrieben werden

^2 y 4“ 4 — 0 4 j y “T 4 — u.

Nun wird die linke Seite der Gleichung b%' y -J- l₂' mit y4 ,    ^2

multipliziert von bä y -j- L abgezogen, wodurch wiederum der Wert dieser Gröfse nicht geändert wird. Dadurch wird auch das Glied mit y fortgeschafft und man erhält den Wert von U:

= £7.

Zugleich ist y =

und durch Einsetzen dieses

h

Wertes findet man, wie oben angegeben ist, den Wert von x. Die Rechnung geschieht zweckmäfsig nach folgendem

Schema

«2

«1

«1

ö3

a3 /

~ G

^2 _ 4

ŁT

as geschrieben ist. Da

ai

Beispiel:

11.3 x — 2.7 y Ą-15.4 = 0

17.1    ^ -j- 13.5 y —11.2 = 0

19.2    x — 10.8 y -f- 12.6 = U

11.3 — 2.7 -f 15.4

17.1    +13.5    —11.2

— 4.1 + 23.3

19.2    —10.8 -f 12.6

— 4.6 -f- 26.2

17.6 —34.5

6.2

13.6

+ 12.2

— 25.8.

Eine andere Art, dieselbe Aufgabe zu lösen, ist die folgende. Statt x werde die neue Veränderliche x' = x 4-eingeführt. Wir erhalten dann

(X^ x

-j- 4 — 0

a-2x 4- (X — 4² y H⁻ 4 ⁼⁼ ® asx + (h — ~ s) y + 4

= 17.

Wird dann statt x wieder eine neue Veränderliche x" = x -|—— eingeführt, so ergiebt sich

ax x

a₂ x" 4" 4/ y 4 4/ = 0

a3x" 4- 4 ' y 4- 4'— u

wo gerade wie oben bj für b₂ ——- a₂, bs' für bä —

bi

ai

ttl

andern Gleichungen die Glieder, die x enthalten, fort und wir erhalten

b' y 4- l„' = 0

Vy+V=a    ^

Wird nun für y die neue Veränderliche y — y -f-

^2

eingeführt, so ergiebt sich

K y

Kv + (v—

Da wiederum (b₂' ^ 0 vorausgesetzt) y Null sein mufs, so folgt wie oben

=-0

= u.

L'

4'

r-v

ui

= U.

Zugleich ergiebt sich y — —

— y + «'•

- und x —--— und

a,

daraus x = folgendem Schema ausgeführt werden:

ai

Die Rechnung kann nach

a2

bJ

4'

ai

-«2

a3

^3    4

4'

& ' 3 ^2

Beispiel: 11.3 æ — 2.7 y -[-15.4 — 0

17.1    x -J- 13.5 y —11.2 = 0

19.2    x —10.8 y -f 12.6 = Ż7

ai

a.Ą

11.3

2.7

15.4

17.1

+ 13.5

4.09

19.2

— 10.8

4.59

— 11.2

+ 23.3 4- 12.6 + 26.1

17.59 —34.5

— 6.21 —13.5

+ 12.2

— 25.7

Man erkennt, dafs das Schema dieser zweiten Rechnungsart in das Schema der ersten übergeht, wenn die Kolonnen mit den Reihen vertauscht werden, d. h. wenn man die 9 Koeffizienten so schreibt:

ai

«9

aa

4-

ih 17« 41.81

§ 7. Berechnung der Wurzeln durch Iteration.

(2) :«

IV. Abschnitt.

0 : -\ b H 

§ 20. Trinomische Gleichungen.

§ 21. Das Graeflesche Verfahren zur Berechnung der Wurzeln.

a-oa-o-a-o

V, V, r!, r2? »*«

¹

onge, Praxis der Gleichungen.

²

' für 4--—    4' für 4 —

ai

nun æ infolge der ersten Gleichung Null sein mufs (a₁ wird von Null verschieden vorausgesetzt), so fallen in den beiden

4-

Daraus ergiebt sich der Satz, dafs der Wert von U derselbe bleibt, wenn man statt der drei gegebenen Gleichungen schreibt:

axx -f- a₂ y -}- as — 0 bt x -|— b₂ y -[- b₃ — 0

4 x “h 4 y 4~ 4 — u,

die Werte von x und y dagegen bleiben im allgemeinen nicht dieselben.

Zur Kontrolle der Rechnung kann man sich des folgenden Verfahrens bedienen. Bezeichne die Summe ax -j- bL -)- lv s₂ die Summe a₂ -{- b₂ -)- l₂, s₃ die Summe as -j- bs -j- L, so

wird offenbar s₂--—    = b₂ -\-l₂ und s₃ ——    = bs'-j-1₃’.

Wenn man also zu den drei Kolonnen noch als vierte s₁s₂s3 hinzufügt

si

ai

*2

und hier dieselben Rechnungen wie oben vornimmt, d. h. das Glied äj der ersten Reihe mit multipliziert von s₂ abzieht

und mit — von s₃ abzieht, so erhält man

ai

ss •

man also weiter, indem man die Reihe 5₂' + + mit

multipliziert von der nächsten Reihe abzieht, so mufs sich zweimal derselbe Wert U ergehen.

Beispiel:    11.3^— 2.7 -|— 15.4 = 0

17.1    x -J- 13.5 ?/ — 11.2 = 0

19.2    x — 10.8 3/ -j- 12.6 — U

11.3 — 2.7 +15.4 +24.0

17.1    +13.5 —11.2 +19.4

—    4.1 +23.3 +36.3

19.2    —10.8 +12.6    +21.0

—    4.6 + 26.2    + 40.8

16.9

+ 17.6 — 34.5

—    6.2 —13.6 —19.8

+ 12.2 + 6.0

— 2578    — 25+

Dieselbe Kontrolle läfst sich natürlich auch bei der zweiten Art der Rechnung anwenden. Es treten dann nur die Summen der Glieder einer Kolonne an die Stelle der Summen der Glieder einer Reihe.

Bei allen diesen Rechnungen ist vorausgesetzt, dafs weder ax noch b₂' verschwindet. Denn sonst könnte man

a    l '

— und -—-T nicht ausführen. Gesetzt nun, «i    K

die Divisionen

ai

es wäre ^ 0 aber &₂' = 0, so würde die Gleichung, welche entsteht wenn man die erste Gleichung mit

multipliziert, von der zweiten abzieht, in + = 0 übergehen. Nur wenn diese Bedingung l₂r = 0 erfüllt ist, würden also Werte von x und y existieren, die gleichzeitig die beiden Gleichungen befriedigen. Wäre b₂' = 0 und + ^ 0, so würde das heifsen, dafs die Annahme der Existenz von Werten für x und y, die den beiden Gleichungen genügen, auf einen Widerspruch führt. Man erkennt das am besten, wenn man

wie oben die Veränderliche x"

ai

ai

= x + — y + — einfuhrt.

Dann nehmen die beiden Gleichungen, wie oben gezeigt, die Form an:

ax x" = 0

a₂ x" + b₂ y -f 4' = 0

und wenn b₂ = 0 ist:

a₁ x" — 0 «₂ x" -J- l₂ = 0

Ist l₂ ^ 0, so enthalten die beiden Gleichungen zwei einander widersprechende Forderungen. Die erste enthält die Forderung x" — 0, die zweite die Forderung x" = —

«2

Ist dagegen l₂ — 0, so enthalten beide Gleichungen dieselbe Forderung x" — 0 und man kann daher die zweite Gleichung ganz aufser Betracht lassen. In diesem Falle hat man es also nur mit der Gleichung x" = 0 oder

\ k

a.

H*--

zu thun. Die Werte von x und y sind nicht bestimmt. Man kann y ganz beliebig annehmen und x demgemäfs berechnen. Ist die Voraussetzung ax ^ 0 nicht erfüllt, so könnte man die zweite Gleichung a₂x-\-b₂y -\-l₂ =0 mit der ersten vertauschen; dann würde in dem Rechnungsschema a₂ an die Stelle von treten und zugleich b₂, l₂ an die Stelle von bv 4, und die Rechnung liefse sich ausführen, wenn nicht a2 auch gleich Null wäre. Das aber kann als ausgeschlossen gelten. Denn wenn a₁ und a₂ beide Null wären, so würde das bedeuten, dafs die Gröfse x in den beiden Gleichungen überhaupt nicht vorkommt.

1.7 x — 1.3 y + 4.5 = 0 — 8.4 x -j- 2.6 y — 2.3 = 0.

Beispiel :

2 multipliziert und von der

Diese Gleichungen enthalten einen Widerspruch. Wird die erste Gleichung mit zweiten abgezogen, so ergiebt sich

6.7 = 0.

Wenn wir dagegen schreiben

1.7 x — 1.3 y -J- 4.5 = 0 — 3.4 x -j- 2.6 y — 9.0 = 0

§ 2. Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten, so erhalten die beiden Gleichungen dieselbe Forderung

1.3

4.5

1.7 y 1.7 '

Statt die beiden Gleichungen zu vertauschen, wenn ax = 0 sein sollte, kann man auch x und y ihre Rollen vertauschen lassen, d. h. man kann die beiden Kolonnen vertauschen. Dann tritt bx an die Stelle von ax und man kann den Fall, dafs mit ax = 0 auch bx = 0 wäre, als ausgeschlossen betrachten. Denn es hiefse, dafs in der ersten Gleichung die Unbekannten überhaupt nicht enthalten sind. Die Gleichung müfste sich dann auf lx = 0 reduzieren und würde, wenn wie hier lx als feste Zahl vorausgesetzt wird, entweder einen Widerspruch oder eine Identität (0 = 0) enthalten.

Man kann den drei Gleichungen

ü'X x —|— bx y —j— Zj — 0

s x H~ ^2 y —Y 4 — o

as,x -}- bs y lä = U

geometrische Bedeutungen beilegen, wenn man x und y als Koordinaten in einer Ebene deutet. Die beiden ersten Gleichungen sind die Gleichungen zweier geraden Linien. Die gemeinsame Lösung liefert die Koordinaten des Durchschnittspunktes der beiden Geraden. Setzt man diese Koordinaten in die linke Seite der dritten Gleichung ein, so hat auch U eine geometrische Bedeutung. Man denke sich auf der Geraden, deren Gleichung a₃ x -j- bs y -j- Z₃ = 0 ist, eine Strecke A B abgetragen, deren Projektionen auf die Koordinatenachsen gleich bs und —a₈ sind; dann ist, wenn S den Schnittpunkt der beiden ersten Geraden bezeichnet, der Wert von U gleich dem doppelten Inhalt des Dreiecks ABS. Dabei haben wir den Inhalt des Dreiecks positiv oder negativ zu rechnen, nach folgender Mafsgabe.

Wir unterscheiden die beiden Seiten der dritten Geraden als positive und negative Seite. Die positive Seite ist diejenige, welche zu der Strecke A B so liegt, wie die Seite der positiven y zu der positiven Richtung der x. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann positiv oder negativ, je nachdem £ auf der positiven oder negativen Seite der dritten

Geraden liegt. Oder mit anderen Worten U ist das Drehungsmoment einer Kraft AB in Bezug auf den Durchschnittspunkt der beiden ersten Geraden je nach dem Drehungssinn positiv oder negativ gerechnet.

Seien nämlich xx und yx die Koordinaten eines Punktes A einer Geraden, deren Gleichung

ax by c — 0

ist, so hat man

à xx -j- b yx -f- c = 0.

Sind nun x, y die Koordinaten eines beliebigen Punktes P, der nicht auf der Geraden zu liegen braucht, so kann man in dem Ausdruck ax-\-by-\-c den Wert von c durch — axx—byx ersetzen und hat daher

ax-\-by-\~c = a (x — xx ) -j- b (y — yx).

Trägt man von A aus eine Strecke AB ab, deren Projektionen b, — a sind, so ist a (x — xx) -j- b (y — yx) das Drehungsmoment einer Kraft A B in Bezug auf den Punkt P. Man erkennt dies bei rechtwinkligen Koordinaten sofort durch Einführung des Winkels (A P), den die Richtung A B mit der x- Achse macht, und des Winkels (A P), den die Richtung AP mit der A’-Achse macht. Die Winkel werden von der Richtung der positiven ^’-Achse nach der Seite der positiven y beginnend von 0 bis 360° gezählt. Es ist dann

b = AB cos (A P), — a = A B sin (A P)

x — xx = A P cos (.A P), y — yx = AP sin (A P) und daher

a (x — xx) -{- b (y — yx) — A B . A P. sin ((A P) — (A P)).

Die Bedingung bx — 0, welche, wie wir oben fanden, bedeutet, dafs die ersten beiden Gleichungen entweder sich widersprechen oder dasselbe besagen, hat die geometrische Bedeutung, dafs die beiden Geraden einander parallel sind oder zusammenfallen.

U— 0 bedeutet, dafs die dritte Gerade durch den Schnittpunkt der ersten beiden geht.

§ 3. Lineare Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten.

Sind mehr als zwei Unbekannte vorhanden, so läfst sich die Rechnung in analoger Weise durchführen. Es soll hier nur noch für drei Unbekannte geschehen, da man unmittelbar sieht, wie sich der Fall von beliebig vielen Unbekannten gestaltet. Dabei werde gleich der Wert einer vierten linearen Funktion der drei Unbekannten mit berechnet.

Von den Gröfsen a₁, a₂, as kann mindestens eine als von Null verschieden vorausgesetzt werden, weil sonst x in den drei Gleichungen gar nicht Vorkommen würde, also auch nicht berechnet werden kann. Wir denken uns eine Gleichung an den Anfang gestellt, in der der Koeffizient von x von Null verschieden ist. Dann werde die erste

«i

Gleichung mit ~~ multipliziert, von der zweiten Glied für

Glied abgezogen, mit

a₃

von der

von der dritten, mit

vierten. Auf diese Weise entstehen drei neue Gleichungen, die so bezeichnet werden mögen:

^2 y + ciz + 4 ⁼ ^

W y 4* cs z + 4—0 ^4 y + c4z + 4 — U-

Ist von den Gröfsen &₂', b₃ mindestens eine von Null verschieden, so denke man sich die betreffende Gleichung vorangestellt, so dafs also b₂' ^ 0 ist. Sind dagegen b₃ und b₃' beide Null, so lasse man y und 0 ihre Rollen vertauschen, so dafs die dritte Kolonne an Stelle der zweiten tritt. Wenn nicht zugleich c₂' und cs' verschwinden, so läfst sich demnach immer erreichen, dafs der Koeffizient des ersten Gliedes in der ersten dieser drei Gleichungen nicht verschwindet, und es ist daher keine Beschränkung der Allgemeinheit

ai

ai

gleich b₂ als von Null verschieden vorauszusetzen. Sind aber die vier Gröfsen b₂, c₂', b₃', c₃ Null, so enthalten die beiden Gleichungen l₂ = 0 und l₃ = 0 entweder einen Widerspruch oder eine Identität, je nachdem die Zahlen l2 und L' Null sind oder nicht. Im letzteren Falle giebt es keine Lösung der drei gegebenen Gleichungen, im ersteren Falle sind die zweite und dritte der gegebenen Gleichungen eine Folge der ersten, und es haben daher y und £ ganz beliebige Werte, zu denen das x immer passend bestimmt werden kann.

Ist b₂ ^ 0, so werde die Gleichung b₂ y -j- c₂'z -f-l₂ — 0

J •

einmal mit multipliziert, von der zweiten Gleichung b* h ,

abgezogen und einmal mit multipliziert von der dritten.

Auf diese Weise entstehen zwei neue Gleichungen, die so bezeichnet werden mögen:

c₃" z -j- 4" = 0

c₄" *'+//'= U.

Ist c₃ — 0, so enthält die erste Gleichung einen Widerspruch oder eine Identität, je nachdem die Zahl l₃" von Null verschieden oder gleich Null ist.

Im ersten Fall ist es nicht möglich, die drei gegebenen Gleichungen durch dasselbe Wertepaar zu befriedigen. Im zweiten Fall ist die Gleichung b₃ y -j- z -(-1₃ = 0 eine Folge der Gleichung b₂ y -(- c₂ z -f- l₂ = 0. Der Wert von 0 bleibt alsdann ganz beliebig und man kann die Werte von x und y immer passend so bestimmen, um den drei gegebenen Gleichungen zu genügen.

Ist c₃" ^ 0, so werde die Gleichung c&" z -f- ls" — 0 mit

C4

ci

jt multipliziert und von der zweiten Gleichung abgezogen.

Dann ergiebt sich

4" -    ■ 4" = u

CS

zugleich ist

4"

4'

ai

a±

- V

Beispiel: 256 x + 146y — 105 « + 354 = 0 146^ 4- 346y — 124^ 4" 223 = 0 — 105 æ — 124 y + 339 z — 13 = 0 + 354 x + 223 y — 13^+ 569 =^7

256 + ¹⁴⁶ — ¹⁰⁵ + 354 146 -f-346 —124 +223

+    202    —    145    4- 490

CO

co p

i-H 05 lO Cvl >0

1.47

13

4- 376.3

CO -ctl CO CO

Cl

CM

T™I

tP CO CD (M lO CO O H CO

CO LO LO CO C7T to H-¹

-a

H-+

t-H t-H

CO Od

CO

52.3

0.199

0.489

+ 280 + 137 + 137 4- 77 + 67

+ 10

Die Koeffizienten bilden in diesem Falle ein sogenanntes symmetrisches System, d. h. ein solches, das bei der Vertauschung von Reihen und Kolonnen ungeändert bleibt. Man sieht sogleich, dafs auch die abgeleiteten Koeffizienten

.Cl CO ^

o o

^2    4

4?    4

K ' K ebenso wie

n 7 ft

C3 ö

4"

Anstatt mit den Reihen kann man auch mit den Kolonnen operieren. Man führt zuerst statt x die neue Ver-

— y ein. Dadurch verändert sich die

änderliche x' = x -j zweite Kolonne und man erhält:

at x

«2 x + V V + cs ? + 4 = o asx' + K y 4“ csz + 4 — o a4+ V y + c4 * + 4 = u-

ein. Dann ergeben

ai

4'

symmetrische Systeme bilden müssen. Denn es ist z. B.

Da bs = c₂,    =. clt

(*■ 2

V = Ô3

= a₂, so mufs &₃' = c₂' werden. Man kann daher, um Wiederholungen zu vermeiden, die zweimal vorkommenden Koeffizienten nur einmal schreiben

ai

C2

ÛL

ci-

und ebenso

^2 ^2 4

C3 4

Für x führt man dann die neue Veränderliche x” — x' -f- —— z und endlich x" = x" 4-sich die Gleichungen

ftr

ax x

Da aL von Null verschieden vorausgesetzt wird, so ist infolge der ersten Gleichung x" = 0 und die übrigen enthalten dann nur die beiden Veränderlichen y und z, mit denen man gerade so verfährt, wie oben für den Fall zweier Veränderlicher auseinandergesetzt wurde. Die Rechnung mit den Kolonnen führt also durchaus auf dieselben Koeffizienten wie die Rechnung mit den Reihen, und es

zeigt sich auch im Falle mehrerer Veränderlichen, dafs der Wert von U derselbe sein mufs, wenn man die Kolonnen und Reihen vertauschend schreibt:

ai x -j- a₂ y -(- a₃ z -f- a₄ = 0

hi x + b2 V + \ z + K = o cix + c2 y H- c3²¹ ~b ci = o i\x 4 y hz H⁻ 4 — u

obschon die Werte x₁ y, z im allgemeinen nicht dieselben sein würden. Bei der Rechnung mit den Kolonnen ergeben sich die Unbekannten aus den Relationen

///

i Cj    . lx

ai

ax

-r-y + ~z~z + -¹-

y=y+-f»

u2

= 0.

C3

Bei beiden Verfahren, mit den Reihen und mit den Kolonnen, kann man wieder, wie oben für den Fall zweier Veränderlichen auseinandergesetzt ist, eine Kontrollrechnung durchführen, indem man die Summen der Glieder der Reihen oder der Kolonnen bildet und mit diesen die analogen Rechnungen durchführt. Aus s₄ s₂ s₃ si entstehen dann die

Gröfsen s₂ s₃' s₄', wo s₂ = s₂ — — «! etc., wenn mit den

ai

Reihen gerechnet wird und s₂'=s₂--Ls₁ etc., wenn mit

ai

den Kolonnen gerechnet wird. Aus V s₃' V entstehen in analoger Weise s₃" s₄" und aus diesen mufs sich der Wert von U ergehen. Weicht er von dem aus den Koeffizienten unmittelbar gefundenen Werte mehr ab, als der Unsicherheit der Rechnung zugeschrieben werden kann, so deutet das auf einen Fehler in der Rechnung. Die Reihe oder die Kolonne, in welcher der Fehler begangen ist, findet man, indem man zurückgeht und probiert, wo zum erstenmal die Summe der Glieder nicht mit dem betreffenden s übereinstimmt.

Z. B.

+ 256    + 146    — 105    + 854    -f 651

Die Abweichung zwischen 17 und 30 weifst auf einen Fehler. Die Prüfung- zeigt, dafs in der Keihe +312 + 137 +418 das letzte Glied nicht gleich der Summe der ersten ist. In dieser Reihe steckt also ein Fehler. Bei den beiden Reihen + 263 — 64 + 21 + 220 und — 64 + 296 + 132 + 364, aus denen jene Reihe berechnet ist, ist dagegen das letzte Glied gleich der Summe der ersten Glieder. Es ist daher zu vermuten, dafs der Fehler bei der Berechnung jener Reihe begangen ist. In der That zeigt sich, dafs das Glied +312 falsch ist und 280 heifsen müfste. Mit 280 stimmt dann die Probe:

+ 280 + 137 +417 4-137 -j-⁷⁷    4-214

+ 67    -f- 204

10

10

§ 4. Anwendungen linearer Gleichungen.

lJx

Die

Die Auflösung linearer Gleichungen spielt eine Rolle bei der Ausgleichung von Beobachtungen durch die Methode der kleinsten Quadrate. Es sei eine Gröfse z. B. y eine lineare Funktion von x, deren Werte yxy^ - ■ • yn für eine Reihe von Werten x₁ x.₂ ... xn beobachtet worden sind. Wenn die Beobachtungen absolut genau wären, so müfste es zwei Werte u und v geben, derart, dafs u-\-vx₁—yx = 0, u —j— v x,₂ — y% = 0, ...u-\-vxn — yn = 0 wäre, und zwei dieser Beobachtungen würden genügen, um die Werte von u und v zu bestimmen. Statt dessen sind nun aber die Beobachtungen mit Fehlern behaftet, so dafs u-\-vx1 = «j, u —(- vx₂ — y₂ = £₂ ... . u —|— v xn — yn — en ist. Die Gröfsen e₂ ... e„ können die Fehler der Beobachtungen genannt werden, da sie die Beträge darstellen, die zu y₁ y.₂ ... yn hinzugefügt werden müfsten, um die wahren Werte zu erhalten. Nach der Methode der kleinsten Quadrate nimmt man nun für u und v diejenigen Werte als die plausibelsten an, für welche die Summe der Fehler-Quadrate U — 4    4 -f- . . . -f- 4 möglichst klein wird.

Werte von u und v, die dieser Bedingung genügen, sind die Lösungen zweier linearen Gleichungen. Denkt man sich nämlich an Stelle von u und v die Werte u h und u -f-Je eingesetzt, so wird er übergehen in er-\-h-\-k xr, 4 wird daher übergehen in (er -f- h -f- k xr) (er -)- h    k xr),    d.    h.    in

4 -j- 2 hsr -f- 2 k xrsr -)- (A -j- k x,) 2 U wird daher übergehen in

U 2 h (e₁ -f- £₂ -f-... -j- «»)

-[- 2 k (xr -j- X₂ e₂ -j⁻ • • • H- xn en)

-j- (li -j- kxry -(- (A    kx₂Y —}— ... -f- (A —j— kxn)²

Wenn    man    nun die Werte von u und v so    bestimmt,    dafs

£1    £2    “h * * * £n ⁼ 0

X± €₁ -j— X₂ €₂ -j- . . . —Xn Bn = 0,

so wird der neue Wert von U gleich

u+ (h -f kXly +... + (ä + kxny,

d. h. es treten zu U Glieder hinzu, deren Summe nur

positiv sein kann, wenn die Beobachtungen für mehr als einen Wert von x gemacht sind. Mit andern Worten, es kann sich alsdann der Wert von U durch Änderung von u und v nur vergröfsern und ist deshalb für die angenommenen Werte von u und v ein Minimum. Die beiden Gleichungen

£1 “f" £2    • • ' ~b en — 0

x₁e₁ -j- x₂ «₂ -{- ... -j- xn en — 0 können auch so geschrieben werden:

+ ix\v — [y] = ⁰

[x\ u -(- \x x] V

nu

[xy] = 0.

Dabei bedeuten die eckigen Klammern die Summen der eingeschlossenen Gröfsen für die Indices 1, 2, ... n. Das Minimum U—[eb\ kann, da er er = er u -f- xr er v — eryr ist, so geschrieben werden

[t] u —j— jx e] v — \ey]= U

und, da [c] = 0 und [.re] = 0, so reduziert sich der Wert auf —[ey] oder mit Einsetzung der Ausdrücke für e

— [y]u — [xy\v -f \yy\ = U.

Das Koeffizientensystem der linken Seiten der drei Gleichungen ist also symmetrisch

[4 — [y]

[4    [*4—M

— hl — \xy \    [ y y î

und es genügt zur Durchführung der Rechnung nur die Glieder hinzuschreiben :

n H — [y]

[xx] — [xy]

[yy\

Den Wert von U auszurechnen, hat den praktischen Zweck, dafs man, nachdem u und v ausgerechnet sind, die Werte von e₂ . ..en und damit [««] = U ausrechnen kann. Die Übereinstimmung mit dem zuerst gefundenen Wert von U kontrolliert dann die ganze Rechnung.

Für die praktische Ausführung einer solchen Rechnung ist die folgende vorbereitende Mafsregel von grofser

Wichtigkeit. Man rechnet nicht sogleich die Werte von u und v aus, sondern bestimmt zunächst Näherungswerte für n und v z. B. dadurch, dafs man irgend zwei Beobachtungen y als richtig ansieht. Seien u₀ v₀ die Näherungswerte, so bestimmt man nunmehr nach der Methode der kleinsten Quadrate Verbesserungen der Näherungswerte. Setzt man u = u₀ -|- a, v = v₀ ß, so ist

er = u -f- xrv —yr = ct-\- xrß-\- (m₀ -f- xr v₀ —yr) oder, wenn wir schreiben lr = u₀-\-xrv₀— yr

€y ------ CC -j- Xy ß -j- ly

und die drei Gleichungen zur Bestimmung von a, ß, U werden

na

+ M ß 4~ [fl — o

[x\ a    \_x x\ ß Ą- \xl\ — 0

[fl a    ix O ß fl — u.

Die Korrektionen a und ß werden, wenn die Näherungswerte gut gewählt sind, klein. Es genügt für die Berechnung von a und ß eine geringe relative Genauigkeit. Daher brauchen auch die Koeffizienten nur auf wenige Stellen berechnet zu werden und die ganze Rechnung kann im allgemeinen ausreichend genau mit dem Rechenschieber durchgeführt werden.

Beispiel. In einem Linienspektrum seien die Wellenlängen einer Anzahl Linien bekannt, es sollen die Wellenlängen der übrigen Linien ermittelt werden. Es sei ein solches Stück des Linienspektrums gegeben, innerhalb dessen es als „normal“ betrachtet werden kann, d. h. dafs für das ganze Stück die Entfernung irgend zweier Linien der Differenz ihrer Wellenlängen proportional sei. Sind xtx₂...xn die Abstände der bekannten Linien von irgend einem willkürlich gewählten Punkte und sind ll ü₂ ... Xn die Wellenlängen dieser Linien, so müfste bei absolut richtigen Messungen sein:

u -f- v xr — lr — 0.

Dabei bedeutet u die Wellenlänge einer Linie, die auf den Nullpunkt der x fiele, gleichgültig, ob eine Linie wirklich da liegt oder nicht, v bedeutet den Wellenlängenunterschied, der der Entfernung 1 entspricht. Die Gröfsen u und v werden nun nach der Methode der kleinsten Quadrate be-

stimmt und dann kann man auch für jeden andern Abstand x die zugehörige Wellenlänge u-\-vx ausrechnen. Praktisch geschieht das nun so, dafs man gleich bei der Messung die Abstände x für die bekannten und unbekannten Linien, wie sie im Spektrum aufeinanderfolgen, mifst und zunächst sämtlich mit genäherten Werten von u und v ausrechnet. Alsdann werden aus den bekannten Linien die Korrektionen a und ß durch die Methode der kleinsten Quadrate bestimmt und damit dann die Korrektionen a -j- x ß der genäherten Wellenlängen berechnet.

Das folgende Beispiel enthält die Messung einer photographischen Spektralaufnahme. Das Spektrum war durch eine Geifslersche Röhre erzeugt, die ein Gemisch von Argon und Krypton enthielt. Die Messung geschah mit einem Abbeschen Komparator. Die Platte liegt dabei auf der einen Seite eines Schlittens, auf dessen anderer Seite ein fein geteilter Mafsstab angebracht ist. Der Schlitten läfst sich gegen zwei feste Mikroskope verschieben, von denen das eine auf die Spektrallinien eingestellt wird, während man mit dem anderen die Verschiebung des Schlittens am Mafsstab abliest.

Ablesungen am Mafsstab in Tausendsteln eines Millimeters

bekannte Wellenlängen in Zehnmillionsteln eines Millimeters

30935.7

31127.2 31853.0 32244.0 33031.0 33377.0

35773.1 35919.0

37295.3 38008.9

40713.2 43249.6 43443.0

44303.5

44533.6 44873.0

4847.96

4806.17

4765.03

4727.03

4637.32

4609.74

Man berechnet zunächst, welche Wellenlängendifferenz der Entfernung von einem Tausendstel eines Millimeters genähert entspricht. Betrachtet man die erste und die letzte der bekannten Wellenlängen, so ergiebt sich:

Messung

30935.7

44873.0

Differenz: 13937.3

Wellenlänge 4847.96 4609.74 — 238.22

Einem Tausendstel Millimeter entspricht daher eine Abnahme der Wellenlänge um

0.0170923.

238.22

13937.3

Mit dieser Zahl werden nun zunächst die sämtlichen Messungen in Wellenlängen umgerechnet. Zu dem Ende läfst man also der Messung 30935.7 die Wellenlänge 4847.96 entsprechen. Die nächste gemessene Zahl ist um 191.5 Tausendstel gröfser, die entsprechende Wellenlänge also um 191.5 X 0.0170923 Zehnmillionstel Millimeter kleiner. Die folgende gemessene Zahl ist abermals um 725.8 Tausendstel gröfser als die zweite, die Wellenlänge also um 725.8 X 0.0170923 Zehnmillionstel kleiner als die zweite. Diese Rechnung ist besonders bequem mit der Rechenmaschine auszuführen. Man stellt zu dem Ende 0.0170923 als Faktor unten ein und auf dem beweglichen Lineal die Wellenlänge 4847.96 und zieht nun zuerst das 191.5 fache ab, dann von dem Resultat das 725.8 fache u. s. w. durch Umdrehen der Kurbel und durch Verschieben des Lineals ab. Dabei genügt es in diesem Falle entsprechend der Genauigkeit der Messung, die Wellenlängen auf nicht mehr als zwei Dezimalen hinzuschreiben. Die letzte Messung 44873.0 mufs dann wieder die Wellenlänge 4609.74 ergeben. Kommt diese Zahl richtig heraus, so ist damit die ganze Rechnung kontrolliert; denn ein Fehler bei einer Zahl bleibt ja bei dieser Anordnung auch in den folgenden Zahlen stecken, es sei denn, dafs er sich mit einem neuen Fehler gerade kompensierte. Stimmt die letzte Zahl nicht, so sucht man den Fehler in der Weise, dafs man eine Zahl in der Mitte der Kolonne noch mal direkt aus der ersten Zahl be-

rechnet. Stimmt sie überein, so liegt der Fehler in der zweiten Hälfte, im andern Falle in der ersten. Jetzt kontrolliert man wieder eine Zahl in der Mitte der Hälfte, in der der Fehler steckt u. s. f. So findet man alsbald die Zahl, bei der der Fehler begangen ist und rechnet von da an die Kolonne noch einmal oder man fügt zu allen Zahlen die Abweichung von den richtigen Werten hinzu, die ja für alle dieselbe sein mufs, wenn nur ein Fehler begangen ist. Steht eine Rechenmaschine nicht zur Verfügung, so wrürde dieselbe Anordnung der Rechnung immer noch ihre Vorzüge haben. Man müfste dann die Differenzen der aufeinanderfolgenden Messungen hinschreiben, ihre Logarithmen bilden, den Logarithmus von 0.0170923 zu allen hinzufügen, die Numeri aufschlagen, und diese dann successive von 4847.96 abziehen. Die Wellenlängen müfsten dann aber mindestens auf 3 Dezimalen hingeschrieben werden, wenn man die Rechnung auf 2 Dezimalen richtig haben wollte.

Xr — Xr — 1

log (Xr — Xr - l)

log (Xr —Xr — l)

+ log (0.0170923)

Numerus

Wellenlänge

191.5

725.8 391.0 787.0 346.0

2396.1

145.9

1376.3

713.6

2704.3

2536.4

193.4

860.5

230.1 339.4

3.273    4847.96

12.406    4844.687

6.683    4832.281

13.452    4825.598

5.914    4812.146

40.956    4806.232

2.494    4765.276

23.524    4762.782

12.197    4739.258

46.223    4727.061

43.352    46S0.838

3.306    4637.486

14.708    4634.180

3.933    4619.472

5.801    4615.539

4609.738

2.28217

2.86082

2.59218

2.89597

2.53908

3.37951

2.16406

3.13871

2.85345

3.43206

3.40422

2.28646

2.93475

2.36192

2.53071

0.51497

1.09362

0.82498

1.12877

0.77188

1.61231

0.39686

1.37151

1.08625

1.66486

1.63702

0.51926

1.16755

0.59472

0.76351

2.37698

238.22

Summa = 13937.3

log (xn — — 4.14418

— xn x^

Der Zeitgewinn bei Anwendung- einer Rechenmaschine ist indessen so grofs, dafs bei einem gewerbsmäfsigen Betriebe Zinsen und Amortisation der Maschine gegen den ersparten Arbeitslohn gar keine Rolle spielen würden. Auch ist die geistige Anstrengung bei der Anwendung der Rechenmaschine erheblich geringer.

Es sei die Rechnung ausgeführt, so bleibt nunmehr die Korrektion dieser Näherungswerte nach der Methode der kleinsten Quadrate zu machen. Wir bilden dazu die Differenzen der bekannten Wellenlängen gegen die genähert berechneten. Die genähert berechneten wurden oben mit u₀ + v₀ xr bezeichnet, die Differenzen sind also die oben mit lr bezeichneten Gröfsen u₀ -j- r₀ xr — yr. Da die zu berechnenden Verbesserungen klein sind, so genügt es die Werte xr, auf volle Millimeter abzurunden und um noch kleinere Zahlen zu haben, denken wir uns den Nullpunkt der Abscissen um 40 mm verschoben, so dafs xr— 40000 an Stelle von xr tritt.

Differenz

Xr — 40000

in vollen Millimetern

genäherte

Wellenlänge

bekannte

Wellenlänge

4847.96

4844.69

4832.28 4825.60 4812.15 4806.23

4765.28 4762.78 4739.26 4727.06 4608.84 4637.49 4634.18 4619.47 4615.54 4609.74

4847.96

4806.17

4765.03

4727.03

4637.32

4609.74

0.00

+ 0.06 + 0.25

+ 0.03

+ 0.17

0.00

Die Fehlergleichungen hat man nicht nötig, noch einmal hinzuschreiben. Es geschieht hier nur, um die Darstellung verständlicher zu machen:

= si

= ««•

a — 9 ß a — 7 ß -j- 0.06 = ć2 a — 4 ß -f- 0.25 = e3 u — 2 ß -J- 0.03 = «4 a -|- 3 ß -f- 0.17 — «5 cc —[— 5 ß

a und ß sind nicht unmittelbar gleich den Änderungen von u₀ und t’₀; sondern es ist wegen der Abrundung der xr auf volle Millimeter und wegen der Verschiebung des Nullpunktes die Gröfse a -j- 40000 . v₍₎ gleich der Änderung von

gleich der Änderung von v₀. Da es indessen

utj und

1000

schliefslich nicht auf die Werte von u und v ankommt, sondern auf die Korrektionen, die wir an den genäherten Wellenlängen anzubringen haben, so hat man nicht nötig, auf den Zusammenhang von a und ß mit den ersten Näherungen u₀ und v₀ zurückzukommen. Die drei Gleichungen [«] = 0 [(x — 40) e] = 0 [« e] = U ergeben das symmetrische Koeffizientensystem :

6,    — 14, -J- 0.51

4-134, —0.97

4- 0.0959.

Mit dem liechenschieber finden wir nun die Keduktionen

14 —0.51

4-184 —0.97 -f- 33 —1.19 4- 0.0959 _ 4- 0.0434

— 0.02 — 0.51

a = — 0.088

— 0.53

4-151    +0.22

ß — — 0.00146

+ 0.0525 + 0.0003

Mit diesen Werten von a und ß berechnet man die Korrektionen a — 9 /?, a — 8ß etc., die an den genäherten Wellenlängen anzubringen sind:

verbesserte bekannte Wellenlänge Wellenlänge

genäherte

Wellenlänge

Korrektion

Differenz = £

4847.96

4844.69

4832.28 4825.60 4812.15 4806.23

4765.28 4762.78 4739.26 4727.06 4608.84 4637.49 4634.18 4619.47 4615.54 4609.74

—    0.07

—    0.07

—    0.08 — 0.08 — 0.08 — 0.08

0.08

— 0.08

0.08

— 0.08

—    0.10 — 0.10

4847.89

4844.62

4832.20 4825.52 4812.07 4806.15

4765.20 4762.70 4739.18 4726.98 4608.75 4637.40 4634.09 4619.38 4615.44 4609.64

4847.96

4806.17

4765.03

4727.03

4637.32

4609.74

— 0.07

0.02

+ 0.17

— 0.05

+ 0.08

— 0.10

Zur Kontrolle bildet man nun [e«| — 0.0531. Dies stimmt genügend mit dem oben berechneten Werte von U = 0.0522. Die Abweichung ist durch die Vernachlässigung der dritten Dezimale bei der Berechnung des e genügend erklärt. Wollte man bei der Berechnung von a und ß die oben erwähnte Kontrolle durch die Summen der Reihen anwenden, so würde es hier zweckmäfsig sein, die Fehlergleichungen mit 100 zu multiplizieren und 100 «, 100 ß als die Unbekannten einzuführen. Dann erhielte man das Koeffizientensystem

14    51

+184    97

959

und die Summen der Reihen könnten mit weniger Ziffern geschrieben und ihre Reduktionen mit dem Rechenschieber berechnet werden.

Der Wert von U = [e e] dient dazu, um ein Urteil über

die Genauigkeit der Messung zu bilden. Handelt es sich um die Bestimmung von r Unbekannten und ist n die Anzahl der Fehlergleichungen, so nennt man nach Gauls

den mittleren Fehler. Hier ist z. B. n = 6, r — 2 und der mittlere Fehler demnach gleich 0.11. Auf welche Weise dann ferner der mittlere Fehler einer jeden der berechneten Wellenlängen gefunden wird, möge in den Spezialwerken Uber Methode der kleinsten Quadrate nachgesehen werden.¹)

2. Beispiel. Die Angaben eines Chronometers seien zu gegebenen Zeiten mit der mittleren Greenwicher Zeit verglichen worden. Die Differenz Angabe des Chronometers minus Greenwicher Zeit wird „der Stand“ des Chronometers genannt. Wenn das Chronometer vollkommen reguliert wäre, so würde der Stand immer derselbe bleiben. Das ist aber im allgemeinen nicht der Fall; sondern der Stand ändert sich mit der Zeit. Nimmt man an, dafs sich der Stand in gleichen Zeiten um den gleichen Betrag ändert, so ist das nichts anderes als die Annahme, der Stand sei eine lineare Funktion der Zeit.

⁸ = so + 9 • ¹•

Dabei bedeutet s den Stand zur Zeit t, s₀ den Stand zur Zeit t — 0, g die Änderung des Standes in der Zeiteinheit. Als Zeiteinheit pflegt man hier 24 Stunden zu nehmen und man nennt dann g den „Gang“ des Chronometers. Aus zwei Beobachtungen des Standes sx, s₂ zu zwei gegebenen Zeiten tx, t₂ lassen sich s₀ und g und damit der Stand zu jeder andern Zeit berechnen, immer vorausgesetzt, dafs in dem betrachteten Zeiträume der Gang unverändert bleibt. Hat man mehr als zwei Beobachtungen gemacht, so thut man gut, sie nach der Methode der kleinsten Quadrate auszugleichen :

beobachteter Stand + P 18™ 19.82s + P 17« 58.20s

¹

C. F. Gaufs, Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis obnoxiae. Pars prior. Art. 18, IV. W Jordan, Handbuch der Vermessungskunde Bd. 1. Eap. 1, § 24. Eajrser und Runge, Über die Spektren der Elemente, Abhandl. der Berliner Akad. 1888. Note II.

Beispiel.

11. Mai Mittags 15. „

18- »    n

19. „

23. „    „

ih ₁₇« 41.81

-f- P 17« 35.93 -f P 17™ 13.74

Berücksichtigte man nur den ersten und letzten Stand, so würde man in 12 Tagen eine Abnahme von 66.08s, also einen Gang g₍₎ = — 5.51, und wenn man die Zeit t in Tagen von der ersten Beobachtung an rechnet, so hätte man in Sekunden:

(P 18™ 19.82sec) — 5.511.

Dabei wären aber die zwischenliegenden Beobachtungen ganz ungenutzt, während man sich ihrer doch bedienen kann, um sich von den Beobachtungsfehlern etwas mehr zu befreien und zugleich um eine Vorstellung zu gewinnen, ob sich der Gang des Chronometers in der Zeit der Beobachtungen merklich geändert hat oder nicht.

Um dies zu thun, betrachte man die aus der ersten und letzten Beobachtung gefundene Formel als erste Näherung und berechne aus ihr die Werte von s für ^ = 0, 4, 7, 8, 12.

rH

Stand berechnet 1. Näherung

Stand beobachtet

Differenz ber. — beob.

-f P 18™ 19.82 17™ 57.78 17™ 41.25 17m 35.74 17m 13.70

0.00

-f P    18™    19.82sec

17    13.74sec    — 0.04

Nun berechne man die Korrektionen a und ß von s₀ und g0 nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Die Fehlergleichungen, die man nicht hinzuschreiben braucht, die hier nur des besseren Verständnisses wegen hingesetzt werden mögen, sind:

= «i

a “b ß

a -j- iß — 0.42 = «2 a 7 ß — 0.56 = «3 a -j- 8 ß — 0.19 = a 4- 12 ß— 0.04 = «B

Die Reduktion des symmetrischen Koeffizienten-Systems

ergiebt

+ 5+31 —1.21    +0.03    « = +0.24

— 1.21

1.18

+ 274 — 7.60 + 192 — 7.50 0.5277 + 0.2925

82 —0.10 + 0.2352

ß = + 0.0012

0.2351 = U Die neue Formel ist demnach

s=lh 18m 20.06* — 5.509 1

Es ist bei dem Genauigkeitsgrade der Beobachtungen unnötig, die vierte Dezimale in g noch zu berücksichtigen. Nun wiederhole man die Rechnung mit der neuen Formel

Stand berechnet.

Verbesserte Formel

Stand beobachtet

Differenz

+ 0.24 — 0.18 — 0.31 + 0.06 + 0.21

Die Summe [e e] findet sich gleich 0.2338 und mithin in hinreichender Übereinstimmung mit dem oben berechneten Werte U = 0.2351. Die Abweichung ist durch die Abkürzung auf 2 Dezimalen erklärt.

Wenn man sich in den Fehlergleichungen

w + v xr — yr = sr

den Nullpunkt der x so angenommen denkt, dafs [x\ = 0 ist, so nehmen die beiden Gleichungen [e] = 0 und [x «J = 0 die Form an

to OO o

P 18m 20.06 17“ 58.02 41.50 35.99 13.95

P 18 19.82 17 58.20 17 41.81 17 35.93 17 13.74

— b) = ⁰

[x x] v — \x y\ — 0

und mithin

2 [as y] = Summe (xn — xx) (yn — yx)

2 \x x\ — Summe (xn — xx) (xn — xx)

wo die Summen auf den rechten Seiten dieser Gleichungen über alle diese Paare von Wertsystemen zu erstrecken sind. Diese Form hat nun den Vorteil, dafs der Nullpunkt der x beliebig sein kann; denn die Differenzen xn — xx u. s. f. sind vom Nullpunkt unabhängig. Ferner ist die Anzahl der Glieder nur halb so grofs wie die der Summe [xx] oder [xy\. Besonders wenn es, wie bei der Bestimmung des Chronometerganges hauptsächlich auf den Wert von v ankommt, ist diese Form bequem,

Beobachteter Chronometerstand.

18. Sept. Mittags —l⁷* 2m 35.05®

20. „

23. „

25.    „

(t₄ — tx) (s₄ — sx) = 7 X 32.36 = 226.52 (t:i — tt) («₈ — sx) = 3 X 14.17 = 42.51

269.03

(«4 - hY + (*, -    = 49 + 9 = 58

,,    ,    269.03

Gan* = +    58

{xn — xx)

und man erhält die Werte von u und v unmittelbar, ohne dafs eine Elimination nötig wäre. u wird gleich dem

arithmetischen Mittel der y und v ist gleich

[■xv\

[xx]

Nimmt

man insbesondre an, es seien je zwei Werte von x einander entgegengesetzt, so kann man, wenn xx) x,₂

xn nach ihrer

Gröfse geordnet sind,

xn — xx

= xn — — xx setzen. Daher

ist

«1 Vl + Vn =

iyn—Vx) und

xi Xx -j- Xn Xn =

Beispiel :

— lh 2m 26.06®

—    lh 2m 11.89

—    lh 2m 2.69

== -f 4.638®.

Auch wenn die Werte x nicht die Bedingung erfüllen, dafs nach Verschiebung des Nullpunktes in ihren Schwerpunkt je zwei einander entgegengesetzt liegen, so wird man dennoch mit dieser Art der Rechnung im allgemeinen nahezu den richtigen Wert von v finden. Es ist nämlich

² Oi Vi + y») = O» — Æi) (y« — y, ) + 0« -f xi) (y» + yx)

2 («,    «„) = (xn — ^j)² + 0» + «J².

Daher

² Oy] = Summe (xn — (yn —yx)

+ Summe («M -f x±) (yn -f yt) 2 [# æ] = Summe (xn — xx )² -)- Summe (.rn -(- Æ.,)²

und mithin

Oy]

_ Summe Q,t — (yw — yj -j~ Summe (æ„ -f - xx) (y„ -Q yt)

Summe (&n — .rj² -f- Summe (xn -j- xt)²

Die Summen rechts beziehen sich auf die Paare von Wertsystemen mit den Indices n, 1; n —1,2; n — 2, 3 u. s. f. Nun werde mit v der Wert

Summe Qn — x±) (yw —yt)

Summe (xn — xx)²

bezeichnet. Dann hat man zwischen v und v die Beziehung:

v Summe (xn — xx)² -f- v Summe (x„ -(- xt)² =

= v Summe (xn — xx)² -j- Summe (xn -j- xx) (yn -f- yt)

oder

Summe (xn -|- xx) (vxn — yn -(- vxx — yx )

Summe (xn — xx)²

Nun ist v xn — yn = en — ui v x\ — yt = ex — u, daher

Summe (xn -f- xx) (en -f- €x) — u Summe (xn -j- xt )

Summe {xn — xx)²

oder, da Summe (xn -f- xt ) == 0 ist,

Summe (xn -f xx ) (gw -f ej

Summe (xn — xx)²

Sobald der Zähler klein ist gegen den Nenner, wird v — v klein sein. Im allgemeinen wird das der Fall sein, weil nicht nur die e kleine Gröfsen sind, sondern auch von den Gröfsen xn + xi: xn_ i + etc. die meisten in der Regel klein gegen xn— xn _, — x₂ etc. sein werden.

Das oben behandelte Beispiel der Berechnung des Chronometerganges aus fünf Beobachtungen ergiebt nach dieser Methode

(h — G) (*₅ — s, ) = — 12 X 66.08 = — 792.96 (G — G) (s4 — + = — 4 X 22.27 = — 89.08

— 882.04

(G — G)² H~ (G F — —

= — 5.518®.

— t₂)² = 144 + 16 = 160 882.04

160 während für v der Wert — 5.509 gefunden war. Bei einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen fällt für die Bestimmung von v die mittelste Beobachtung fort.

Wenn die Fehlergleichungen die allgemeinere Form haben

<2r x —j— br y —|— cr z —|— ly =

so müssen, damit die Summe der Fehlerquadrate [««] möglichst klein werde, die Gleichungen erfüllt sein:

[a e] = 0, [b s] = 0, [c «] = 0.

Denn wenn x + a, y + ß, z + y an Stelle von x, y, z eingesetzt werden, so geht sr. er in

er er 2 ar er. a 2 br er ß 2 cr er y (ar a br ß cr y)²

Uber und [e «] geht über in

[e e] + 2 [a e] a + 2 [b e] ß + 2 [c e] y + [(a a + b ß + c y)²].

Wäre eine der Gröfsen [a«j, [6+ [ce], z. B. [6«] von Null verschieden, so kann man a = y — 0 setzen. Die Änderung von je e] besteht dann aus den beiden Gliedern

2 [b s] ß+ibb) ß²

oder

ß (2 [& «] + [6 &] ß)-

Für hinreichend kleine Werte von ß wird \bb\ß sehr klein gegen 2 [b «] und daher kann 2 \b «] -f- [b £] ß sein Zeichen nicht ändern, wenn ß ins entgegengesetzte verwandelt wird. Folglich müfste das Vorzeichen der Änderung von [« «] für hinreichend kleine Werte von ß ins entgegengesetzte übergehen, wenn ß ins entgegengesetzte verwandelt wird, d. h. es würde bei passender Annahme von ß der Wert von [««] sowohl vergröfsert wie verkleinert werden können. Sind dagegen die drei Gröfsen [a e], [6 «], [c e] gleich Null, so ist der geänderte Wert von [e e] gleich

ie £J [(a a b ß -j- c y)²],

d. h. er kann durch Änderung von x, y, z nur zunehmen.¹) Die Summe [« e] = U läfst sich auf die Form bringen

\(ax -J- by -(- cz-f- l) ć] == \a e] x -)- \ b è\y -j- [ce] z -{- \lt\ = U und daher erhalten wir die Gleichungen

[a ej = 0 [b e] = 0 [c e] = 0 [U] =U.

Das Koeffizientensystem dieser Gleichungen ist sym

metrisch :

ci¹ ' a

Ci

Ci

Ci

Die analoge Form erhält man für den Fall beliebig vieler Veränderlichen. Wenn man nun bei der Reduktion dieser Gleichung zuerst mit den Horizontalreihen operiert

[b a] [c a] [l a]

und die erste Reihe nach einander mit r ,, r ,, ,    ,

[a a\ [a a\ [a a\

multipliziert von der zweiten, dritten, vierten Gleichung abzieht, so möge das reduzierte Koeffizienten so bezeichnet werden [a 6] [a c] [a l\

[a a]

[H i] [Hi] [Hl] [Hl] [CC|!] [c4 1] [^» i] Pc»i] \llA]

[6 a]

[a 6] u. s. w. Bei weiterer

wo also [6 b, 1] = [6 6] —

Reduktion erhalten wir für die 3. und 4. Reihe die Koeffizienten

[a a]

[c c, 2] [c J, 2]

[J c, 2] [/ J, 2]

und endlich für die vierte Reihe den Koeffizienten [//, 3], der den Wert von U ergiebt.

Wenn man nun andererseits mit den Vertikalreihen operiert, indem man, wie oben auseinandergesetzt wurde, statt x, y, z successive andere Variable einführt, so kann man x, y, z dabei als beliebig veränderlich betrachten, da es für die betrachteten Umformungen nicht nötig ist, dafs die linken Seiten der ersten drei Gleichungen den Wert Null haben. Nur dürften dann in dem Ausdruck

[a «] x -j- [6 ê] y -j- [c s] z -j- [/ «] = U

die ersten drei Glieder nicht weggelassen werden.

Wie oben gezeigt, treten bei dem Operieren mit den Kolonnen dieselben Koeffizienten auf, wie mit den Reihen. Wir führen zunächst ein

_„ , _M _ , JH_ ₌ JM

[aa] " ' [aa] ' [a a] [a a]

[a 6]

(C)

und haben dann

[a a] x

= iae]

—    [a é]    x — [6 ê] y — [c e] z

und bei weiterer Reduktion

z = z - j-

M . , PU]

[M, i] ^ PM]

Ml

icc» ²i

(C)

erhält man

[a a] x

[ba\x -f [bb, 1 ]y [ca] x -)- [cb, 1] y -j- [cc, 2] z [/ a] x -j- [l b, 1] y -j- [l c, 2] z -j- \l l, 3] = U — [a s] x — [be\y — \ce\ z.

Multipliziert man nun die ersten drei Gleichungen mit x, y, z und addiert sie zu der letzteren, so ergiebt sich

([aal x -j- \ba\y -4- \ca\z -\-[la\)x

([bb,l]y+[cb, 1 ]z + [lb, 1]) y {[cc, 2]z -j-    2})z

[II, 3]

Die Koeffizienten von x, y, z siod nun gerade die linken Seiten der Gleichungen, die bei der Operation mit den Horizontalreihen auftreten, nämlich:

[a a] x -j- [ba\y -j- [c a] z -\- [l a] = [a e]

[bb, l]y -\- [bc,l\z -\- [bl, 1] = [6e]

= [ae]

= [be]

= [c«] (A)

U. (B)

[6 a]

[a«] = [be, 1]

[cè, 1]y -f [cc, 1 \z -f [cl, 1] = [cs] —

[a a]

[aej = [ce, 1]

und aus den letzten beiden Gleichungen

[cc, 2] z -j- [cl, 2] = [ce, 1] —

[cb, 1]

[b b, 1]

ß«i 1] = [ce, 2].

Wenn man nun dieselben Operationen mit diesen Gleichungen in der Form (A) vornimmt, so erkennt man, dafs [bb, 1 }y' — [be, 1] und [cc, 2)z' = [ce, 2] wird.

Mithin kann man die Gleichung (B) in der Form

schreiben:

[a a]+ [b b, 1]y'² -f [cc, 2] z'² -f [ll, 3] = U.

Hier sind x y z ebenso wie x, y: z veränderliche Gröfsen, die durch die Gleichungen (C) mit einander Zusammenhängen. Als Funktion von x, y, 0 ist U = [(ax -(- by -|- cz Z)²]. In der Entwicklung kommen nicht nur die Quadrate x², y², z¹, sondern auch die Produkte xy, yz, xz vor. Nach Einführung der Veränderlichen x', y', z' kommen nur die Quadrate vor. Der Minimumswert [ZZ, 3] ergiebt sich für xb —y —z =0. Dieselbe Rechnung, durch welche man die Unbekannten x, y, z, die U zum Minimum machen, berechnet, liefert zugleich die Reduktion der quadratischen Form U auf eine Summe von Quadraten. Dasselbe gilt für eine beliebige Anzahl von Veränderlichen.

Das Gleiche gilt auch für eine beliebige quadratische Form von xyz. Sei

U = «n** + «22 y~ + «33 ** + ² «12 XV + ² «13 **

+ ² «23 V Z + ² «1 4 X 2 «24 y H“ ² «34 ⁰ + «44 “

Sei all ^0, so werde gesetzt

«11

«11

Alsdann ist

U = axl x'~ -f (a’₂₂ y² -f a'₈₈ V² -f 2 a'2S y z -f 2 a'₂₄ y

² «*84 ⁰ “1”

WO

«12

«12

«22 — «22

«11

«11

«13

wir die Glieder der ersten Reihe mit

«n

multipliziert von denen der zweiten, dritten, vierten abziehen, so gehen diese über in das System

a'

a a ₃₃ a ₃₄

a 4 2 ü 43 a 44

welche grade die Koeffizienten der quadratischen Form von y und 2 bilden, die nach Abtrennung des Gliedes au/³ übrig bleibt. So geht das weiter. Man setzt jetzt

y = y +

« 23

to IO

a!

23

«24 a 22

V = an X ² -j- a ₂₂ y ² + a"g8 A² + 2 a"₃₄ « + a"₄₄,

und erhält

WO

rt    /

« 33 ~ a 33

ü 22 « 44 ¹- « 44

23?

a 34 a 34

a'

32

a 22

• a 24?

« 22

Dies sind wieder dieselben Koeffizienten, die sich bei der Operation mit den Reihen ergeben. Endlich wird nun gesetzt

z=z-f

«"33 ’

wodurch LJ übergeht in

U == ax, x'² -f- a'₂₂ y'² -f- a”₃₃ 2'² -f- a'"₄₄,

wo

34‘

“"'4. =

a 44

Auf diese Weise kann die Untersuchung, zu welchem Typus eine Fläche zweiten Grades gehört, die durch ihre Gleichung gegeben ist, bequem ausgeführt werden.

Beispiel. Die Gleichung der Fläche sei:

10x² -J- y~ -f- 3 2² — 2 xy -f- 4xz -|- 6yz — 2x -j-8y — 4 z -f-1 = 0.

Man bildet das symmetrische Koeffizientensystem, von dem die zweimal vorkommenden Glieder nur einmal hingeschrieben zu werden brauchen und reduziert es in der erläuterten Weise:

+ 0.1

+ 0.9 + 3.2 + 3.9

+ 2.6 —1.8 + 11.4 + 13.9 + 0.9 + 16.9

— 8.8 — 15.7

— 16.0 — 28.0

+ 12.0

Mithin 10    + 0.9 f² — 8.8 2'² + 12.0 = 0.

Die Fläche ist ein zweischaliges Hyperboloid.

II. Abschnitt.

Nichtlineare Gleichungen mit einer Unbekannten.

§ 5. Lösung einer Gleichung durch tabellarische Berechnung.

Sei

/ 0) = e

eine beliebige Gleichung für die Unbekannte x. Wir können ihr eine geometrische Bedeutung geben, wenn wir die Werte von f (x) als Ordinaten zu den Abscissen x auftragen. Die Lösungen der Gleichung / (x) = c sind die Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden, die im Abstand c zur x- Achse parallel gezogen werden kann. Gesetzt, die Werte der Funktion f (x) lägen schon in einer Tabelle geordnet vor, aus der man für eine Keihe von Werten von x die zugehörigen Funktionswerte entnehmen könnte, so würden Näherungswerte für die Lösungen der Gleichung in ähnlicher Weise gefunden werden können, wie man mit Hülfe einer Logarithmentafel zu einem gegebenen Logarithmus die zugehörige Zahl findet. Man sucht in der Tabelle diejenigen Stellen auf, wo ein Wert von f(x) kleiner ist als c, während der benachbarte Wert gröfser ist als c und interpoliert dann zwischen den beiden, zugehörigen Werten von x unter der Annahme, dafs die Änderungen von x den Änderungen von / (x) proportional sind. Geometrisch gesprochen bedeutet diese Annahme, dafs wir die Kurve zwischen den beiden Punkten als geradlinig betrachten und durch ihre Sehne ersetzen. Wenn die Kurve nicht eine gerade Linie ist, so enthält diese Annahme einen Fehler, der aber bei einer Kurve, die ihre Richtung stetig ändert, für ein hinreichend kleines Intervall selbst im Verhältnis zu diesem Intervall beliebig klein wird. Um zu erfahren, ob der so gefundene Näherungswert eine Lösung der Gleichung mit ausreichender Genauigkeit darstellt, kann man in seiner Nachbarschaft die Funktion fix) für Werte von x berechnen, die dichter liegen als die Werte der ursprünglichen Tabelle. Indem man wdeder die beiden Werte von x aufsucht, für die fix) einmal gröfser und einmal kleiner als c ist, hat man ein Intervall, in dem der gesuchte Wert liegen mufs. Unter der Annahme der Proportionalität der Änderung kann man nun zwischen diesen beiden Werten von x wieder einen neuen einschalten, der einen genaueren Näherungswert darstellt. Dieses Verfahren kann man so weit treiben wie man will. Für hinreichend kleine Intervalle erhält man den Wert mit beliebiger Genauigkeit. Es wird im allgemeinen nicht zweck-mäfsig sein, die Intervalle gleich sehr klein werden zu lassen, weil man dann in der Regel mehr Werte von f ix) berechnen mufs, ehe man auf das gesuchte Intervall stöfst.

x log x = — 0.1450.

Beispiel:

Für x > 1 ist x log x positiv, es können also nur die Werte zwischen .r = 0 und x=\ in Betracht kommen. Zur ersten Orientierung rechne man nun mit vierstelligen Logarithmen die Werte für x = 0.1, 0.2 etc. 0.9 aus

x log x

0.0000

— 0.1000

—    0.1398

—    0.1569

—    0.1592

—    0.1505

—    0.1331

—    0.1084

—    0.0775

—    0.0412

0.0000

In dem Intervall 0.2 bis 0.3 und in dem Intervall 0.5 bis 0.6 nehmen wir nun die Änderungen von x denen von

0.1

0.2

0.3

0.4

0-5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x log x proportional an und suchen den zu —0.1450 gehörenden Wert von x.

1) Intervall 0.2 bis 0.3

0.2 — 0.1398 0.3 — 0.1569

—    0.1398

—    0.1450

Diff: 0.1    —0.0171

— 0.0052

52

171

0.1 = 0.03

Das giebt « = 0.23. Nun wird von neuem berechnet: X log X

o o io io

CO CO

—    0.1450

—    0.1447

DW.: 0.01

—    0.1468

—    0.1447

—    0.0021    — 0.0003

21

0.01 = 0.0014

Das giebt « = 0.2214. Bei nochmaliger Rechnung thut man nun gut, mehr als vierstellige Logarithmen zu nehmen :

Diff.

X log X

0.2214

0.2215

0.2216

—    0.1449775

—    0.1449996

—    0.1450217

Ol O l

t-H

rc

Man schliefst aus der Übereinstimmung der beiden Differenzen, dafs, soweit die Genauigkeit der Rechnung reicht, den gleichen Änderungen von x zwischen 0.2214 und 0.2216 die gleichen Änderungen von x log x entsprechen und findet nun

0.1450000

0.1449996

221

t- x 0.0001 == 0.000002

x — 0.221502

2) Intervall 0.5 bis 0.6

0.5 —0.1505 0.6 —0.1331

0.1    -f- 0.0174 -f 0.0055

—    0.1505

—    0.1450

55

174

X 0.1 = 0.03

§ 5. Lösung einer Gleichung durch tabellarische Berechnung. 51 Das gieht # = 0.53. Nun wird von neuem berechnet:

Diff.

X log X

CO

iO iO

ö d

—    0.1461

—    0.1445

11

+ 16    -=+ X 0.01 = 0.007

15

x = 0.587

Diff.

Nun werde mit siebenstelligen Logarithmen berechnet x log x

0.537

0.5371

—    0.1450040

—    0.1449874

166

40

166

X 0.0001 = 0.000024

x = 0.537024

Diese Betrachtungen sind nicht strenge. Denn es fehlt der Nachweis, dafs die Funktion x log x in den betrachteten Intervallen jeden Zwischenwert ein und nur einmal annimmt. Dieser Nachweis wird durch die Betrachtung des Differentialquotienten der Funktion erbracht. Sobald man sich nämlich überzeugt, dafs der Differentialquotient in einem Intervall endlich ist und nur Werte eines Zeichens hat, so wird die Funktion sich mit stetig wachsendem x stetig und nur in einer Richtung bewegen und daher jeden zwischen den beiden Endwerten gelegenen Wert ein und nur einmal annehmen. In diesem Falle z. B. ist die Ableitung:

log x + log e

und ist also zwischen x = 0 und x — negativ, zwischen ^ und x=l dagegen positiv. Die Funktion nimmt zwischen x = 0 und x = — alle Werte zwischen x = 0

— loge

und

wieder je einmal.

ie einmal an und zwischen x = — und x = 1 J    e

§ 6. Lösung einer Gleichung nach dem Newtonschen Verfahren.

Statt wie eben die Kurve in einem Intervall durch ihre Sehne zu ersetzen, kann man sie nach Newton auch durch eine Tangente ersetzen. Dann gestaltet sich die Rechnung in der folgenden Weise. Es sei x₁ ein Näherungswert einer Wurzel der Gleichung

/O) = 0.*)

Man setze nun x = x₁-\- A, so dafs

/Oi + Ä) = 0.

Nun ist für kleine Werte von h bis auf Gröfsen 2. Ordnung

/Oi + h) = /0i) +/ Oi)h-

Mit Vernachlässigung dieser Gröfsen 2. Ordnung erhalten wir dann also für h die Gleichung ersten Grades

oder

/ Oi) + / Oi) h = °

/Ol)

/Oi)'

Der Wert x₁ -j- h bildet dann einen neuen Näherungswert, den wir mit .r₂ bezeichnen und wieder ebenso verbessern können wie xv Ist man der Wurzel schon einiger-mafsen nahe, so wird die Genauigkeit alsbald sehr grofs. Da die Verbesserung h meistens nur auf wenige Stellen berechnet zu werden braucht, so ist es nicht nötig, den Wert von f{xx) und f(xt) mit grofser relativer Genauigkeit zu berechnen.

Beispiel. Es werde der Näherungswert x₁ = 0.2 für die Wurzel der Gleichung

x log x = — 0.145 zum Ausgangspunkt genommen.

f(x) = x log x -f- 0.145

log x -|- log e.

/O) =

*) Wenn oben f(x) = c geschrieben war, so möge man sich hier f(x) — c = 0 gesetzt und die Differenz f(x) — c mit fix) bezeichnet denken.

aCr

f(xr)

f'(xr)

ffa)

f (*r)

-f 0.0052 -j- 0.000422 4 0.0000047

-f 0.0196 4 0.00188 4 0.000021

x₁ = 0.2 x₂ = 0.2196 x₃ = 0.22148 x₄ = 0.221501

Wie weit man berechtigt ist, die Kurve durch ihre Tangente zu ersetzen, erkennt man an den Änderungen der Werte f(xr). Für das ganze Intervall x;i his x₄ z. B. wird 0.220 gesetzt werden können, d. h. die Änderungen von fix) sind in diesem Intervall bis auf weniger als \ Prozent ihres Betrages den Änderungen von x proportional.

Wie man sieht, ist die Berechnung mit Hülfe der Tangente kürzer als die Berechnung mit Hülfe der Sehne, vorausgesetzt, dafs fix) nicht umständlicher zu berechnen ist als j\x).

2. Beispiel: f(x) — sin x — x cos x — 0

x sin x.

Da /(—x) = —f\x), so gehört zu jeder positiven Wurzel eine negative von gleichem absoluten Betrage und umgekehrt. Wir brauchen daher nur die positiven Wurzeln aufzusuchen, fix) ist positiv für x zwischen 0 und 7t, negativ für x zwischen n und 2 n, wieder positiv für x zwischen 2 7t und 3 7t u. s. w. Daher wird f{x) ein Maximum für x = rt, 3 7t, 5 rc etc. und ein Minimum für x = 2 7t, 4 7t, 6 n etc. Die Maximalwerte sind gleich 7t, 3 71, 5 7t etc., die Minimalwerte gleich — 2 7t, — 4 7t, — 6 n etc. Zwischen jedem Maximalwert und dem folgenden Minimalwert liegt eine und nur eine Wurzel und ebenso zwischen jedem Minimalwert und dem folgenden Maximalwert. Um z. B. die Wurzel zwischen x = 5it und x—§tt

ZOO

fix) =

auszurechnen, werde xx — h7t-{-— als erster Näherungs-

Li

wert angenommen.

Xr

fix,)

f'iXr)

fiXr)

rw

= 5« + f

x₂ =    5.4816 7t

^₃ =4 5.481537 71

x₄

— 17.3

— 0.00342

— 17.2

—    0.058

= — 0.0184 7t

—    0.000199

= — 0.000063 Tr

Der Wert von fix) ändert sich in den drei Stellen — 17.2 nicht mehr. Die Änderungen von x sind daher bis auf weniger als £ Prozent ihres Betrages denen von fix) proportional. Mithin mufs die zuletzt berechnete Verbesserung und daher auch der Wert von x₃ in den hingeschriebenen Ziffern richtig sein.

Unter Umständen kann es zweckmäfsiger sein, fix) nicht durch Differentiation zu bilden, sondern es dadurch genähert zu finden, dafs man bei der Berechnung von fix) zugleich die Änderung fix-f- h) — fix) berechnet, wo für h eine kleine G-röfse, z. B. die Einheit der 1. oder 2. oder

f(x-fh) — fx)

3. etc. Dezimale, angenommen wird. Dann ist

genähert gleich fix). Besonders dann ist die Rechnung bequem, wenn fix) aus einer Summe von Gliedern besteht, deren einzelne Werte aus fertigen Tabellen entnommen werden. Man kann dann für jedes Glied die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte der Tabelle bilden und auf diese Weise den Unterschied der Werte der Funktion für eine gegebene kleine Änderung von x zusammensetzen.

Wir können z. B. die oben betrachtete Gleichung

sin x — x cos x = 0

auf folgende Weise behandeln. Sei 5.5 n als erster Näherungswert gegeben, so setzen wir zunächst x=5.5 7t— u und haben dann

oder

— cos u -j- (5.5 7i — u) sin u = 0

(5.5 7t — u) tg u = 1

log (5.5 7t — u) -j- log tg u — 0.

Wir setzen nun u = —, wo g Q

n gleich dem Winkel u in Sekunden gemessen. Die Gleichung geht dadurch über in

— log g -j- log (3564000 — n) -f- log tg (u) = 0.

Man kann nun hier n = 0 nicht als ersten Näherungswert brauchen, weil log tg u dafür unendlich wird. Da indessen n gegen 3564000 klein ist, so kann man in log (3564000 — n) zunächst n = 0 setzen und den Winkel so bestimmen, dafs log tg u = log g — log (3564000)

oder

180

7t

. 60.60 ; dann ist

log Q = 5.314425 log 3564000 = 6.551938 log tg u = 8.762487

u: 3° 18' 44" n = 11924"

Dieser Winkel werde als erster Näherungswert eingeführt.

Änderung für 1" in Einheiten letzten Stelle

— 1

+ 365

1) 3564000

— 11924 log 3552076 = 6.5504823

log tg u = 8.7624810 — 10

— log q == 4.6855749 — 10 de;

3552076

9.9985382 — 10 = — 0.0014618

+ 364

+ 14618

+ 364

erster Näherungswert n— 11924 Korrektion + 40.1

= + 40.1

zweiter Näherungswert n

11964.1"    (3° 19' 24.1")

— log ^ = 4.6855749 —10

2) 3564000

— 11964.1 log 3552035.9 = 6.5504774

log t g« = 8.7639423 —10

Änderung für 1" in Einheiten der letzten Stelle

3552035.9

+ 366

9.9999946 — 10    +365

= — 0.0000054

+ 54

+ 365

0.15

11964.1

+ 0.15

dritter Näherungswert 11964.25"    (3° 19' 24.25").

Will man den Wert noch genauer haben, so müfste die Logarithmen auf mehr als 7 Stellen aufschlagen. Denn wenn die siebente Stelle der Summe der 3 Glieder auf 1.5 Einheiten unsicher ist, wird die daraus entspringende

man

Unsicherheit der Verbesserung von n etwa betragen.

1.5

Sekunden

¹

Es sei denn, dafs «, ß, y so bestimmt werden könnten, dafs Or a -f- br ß -f- cr y = 0 für r = 1, 2 ... n. In diesem Fall ist eine Bestimmung von x, y, z nicht möglich.

§ 7. Berechnung der Wurzeln durch Iteration.

Wenn die Gleichung, deren Wurzel berechnet werden soll, auf die Form

x = cp (x)

gebracht werden kann und dabei erreicht werden kann, dafs die Funktion cp(x) in der Nähe der Wurzel sich nur langsam mit x ändert, so läfst sich die folgende Methode der Berechnung mit Vorteil anwenden. Es sei xt ein Näherungswert der Wurzel. Setzt man nun

x₂ = cp Oi),

so ist x₂ ein neuer Näherungswert. Unter der gemachten Voraussetzung mufs dann x₂ der Wurzel nahekommen. Denn bezeichnet x die Wurzel selbst, so erhält man durch Subtraktion der beiden Gleichungen

cp{x)

x₂ — cp (Æj).

Die Gleichung

X-X₂ = cp (x) — cp («]).

Nach der Voraussetzung soll aber cp(xx) sehr wenig von cp {x) verschieden sein. Folglich ist auch x₂ sehr wenig von x verschieden.

So können wir z. B. die Gleichung

21 æ¹³ — 53*⁷-f 65^⁶-f 312 ^²— 74 = 0

so schreiben

65

53

21

312    312

312

xrA.

In der Nähe der positiven Wurzel ändert sich die rechte Seite nur langsam. Denn die positive Wurzel ist, wie man durch Einsetzen von x — 1 findet, kleiner als 1 und daher spielen die Glieder mit xb, x\ x¹* auf der rechten Seite eine geringe Rolle. Wird als erste Annäherung x = 0 genommen, so ergiebt sich als folgende Annäherung

0.49. Benutzt man diese neue Annäherung

wieder in derselben Weise, so ergiebt sich als folgende Annäherung

0.4821

und wenn dieser Wert benutzt wird als folgende Annäherung

0.48247

und mit diesem wiederum

0.482454.

Man bemerke, clafs die Näherungswerte abwechselnd zu grofs und zu klein sind. Das mufs immer der Fall sein, wenn cp (x) in der Nähe der Wurzel mit wachsendem x ab-nimmt. Denn, wenn xx > x: so ist alsdann cp (x) — cp (x} )    0

und daher x — x₂^> 0, d. h. x₂ <Cx; wenn anderseits x₁<^x, so ist cp(x) — cp («!) <i 0 und daher x — x₂ <Z 0, d. h. x₂^> x. Wenn dagegen cp(x) in der Nähe der Wurzel mit wachsendem x zunimmt, so bleiben die successiven Näherungen auf derselben Seite der Wurzel.

Um die Geschwindigkeit, mit welcher die Annäherung an die Wurzel vor sich geht, zu erkennen, betrachte man den Differentialquotienten von cp (x). Ist dieser in der Nähe der Wurzel seinem absoluten Betrage nach nicht gröfser als ein echter Bruch m, so ist cp{x) — cp(xx) dem absoluten Betrage nach nicht gröfser als m (x — xx) und folglich auch x — x₂ dem absoluten Betrage nach nicht gröfser als m[x — xt). Die Abweichung des folgenden Näherungswertes x.A von der Wurzel x ist dann absolut genommen nicht gröfser als m (x — x₂), d. i. nicht gröfser als m- (x — «,) u. s. f. Es vermindert sich mithin bei jedem Schritte die Abweichung von der Wurzel mindestens in dem Verhältnis m: 1. So kann man in dem eben gerechneten Beispiel cp (x) in der Nähe der Wurzel genähert berechnen

⁽p iæ)=4

1    — 325 x⁴ -f 371 x⁶ — 273 x¹-

² V312 1^74 — 65 xh -f- 53 a;⁷ — 21 xis

Mithin genähert

1    325 æ⁴

1    325    ,

2    312 X

Man kann in der Nähe der Wurzel m < 0.07 annehmen. Nach 4 Schritten vermindert sich also die Ent-

cp' {x) = —

CO I-*

312

cp O)

= — 0.06.

fernung von der Wurzel auf weniger als 25 Millionstel der ersten Entfernung. Diese Art der Rechnung läfst sich häufig auch bei transcendenten Gleichungen mit Vorteil anwenden. Sie liegt auch manchen astronomischen und physikalischen Rechnungen zu Grunde, bei denen häufig kleine Korrektionsglieder die zu berechnende Gröfse selbst enthalten. Wofern die Korrektionsglieder sich nicht wesentlich ändern, wenn man einen Näherungswert statt des wahren Wertes einsetzt, benutzt man sie, um eine genauere Annäherung zu finden. Wenn man z. B. aus einer Monddistanz die geographische Länge eines Ortes berechnen will, so kommt bei der Reduktion der Monddistanz auf den Erdmittelpunkt die gesuchte Länge selbst vor. Gewöhnlich wird der hierbei angenommene Wert der Länge dem wahren Wert hinreichend nahe sein, um die Korrektion hinreichend genau zu ergeben. Sonst müfste man grade wie oben mit dem ermittelten Werte die Rechnung wiederholen.

Die Gleichung

tg 0) = «

hat in jedem Intervall, in welchem tg (x) alle Werte von — oo bis -j- oo durchläuft, eine und nur eine Wurzel. Denn tg (x) wächst rascher als x und überholt daher jedesmal

JT    7t

den Wert x. So liegt z. B. zwischen--— und -J- —

u    u

7t

«ine Wurzel (nämlich x — 0), ebenso zwischen -J- — und

(L

7t    TT

3 — und 5 — u. s. w. Für die gröfseren Wurzeln

u    u

3 — ö 2 :

eignet sich die eben auseinandergesetzte Methode vortrefflich, wenn man die Gleichung in der Form schreibt:

x — arc tg x.

Denn der Differentialquotient der rechten Seite ist gleich

1 + x³ ’

Avird also für grofse Werte von x sehr klein. Geht man

7t

z. B. von dem Werte xx == 7 — aus, in dessen Nähe eine

u

Bei jedem

Wurzel liegen mufs, so ist

1 -j- x -

< 0.01.

Schritt mufs daher die Entfernung von der Wurzel sich auf weniger als ihren hundertsten Teil verkleinern.

log 3.5 = 0.544068 log 7t = 0.497150

. log x± = 1.041218 arc tg x₁ : 84° 48' 26” -j- 3 X 180°

_ 7t

xx — 7 —

x₂ = 3.47115 7t

log 3.47115 = 0.540473 log 7t = 0.497150

log x% = 1.037623 arc tg xt : 84° 45' 38” -j-3X 180°

x₈ = 3.47089 7t

log 3.47085 = 0.540441 log 7t = 0.497150

log x.g = 1.037591 arc tg x% : 84° 45' 36”.6

x± ----- 3.47089 7t.

Die Abweichung des ersten Näherungswertes x₁

Die letzte Rechnung ändert den vorletzten Näherungswert nicht mehr in den noch aufgeführten Stellen. Damit hat man die Gewähr, dafs die ermittelten Stellen richtig sind.

beträgt weniger als 0.03; daher mufs nach der obigen Überlegung der Fehler von x₂ weniger als 0.0003 und der von Xg weniger als 0.000003 betragen.

log 3.5 = 0.544068 log 7t = 0.497150

1.041218 arc tg xx = 694^.2261

Mit zentesimaler Teilung ist die Rechnung wesentlich bequemer, weil die Umrechnung des Winkels in Bruchteile von 7t wegfällt. xx = 3.5 7t

= 6.942261 - J-

LÀ

x₂

log 6.94226 = 0.841501

log ^ = 0.196120 2

1.037621

arc tg x₂ = 694^.1783

71

x₃ — 6.941783

log 6.94178 = 0.841471 log -- = 0.196120

1.037591

arc tg x₃ = 6940.1780

CO

’-O

/.

§ 8. Anwendung auf die Umkehrung einer Reihe.

In ähnlicher Weise läfst sich die Umkehrung einer Reihe

ausf Uhren.

Es sei z. B.

x³

y = xex = X-\-X²-\-

2!    3!

und es soll fiir einen kleinen Wert von y der zugehörige Wert von x berechnet werden, so kann man schreiben

x — y — x² —

x³

2!    3!

Ist x klein, so ändert sich die rechte Seite für einen gegebenen Wert von y nur langsam mit x und man kann daher das eben auseinandergesetzte Verfahren an wenden. Bei den ersten Annäherungen, deren Fehler noch nicht sehr klein geworden ist, braucht man nur wenige Glieder zu berücksichtigen. Z. B.

o.i

y = o.i

x₂ =    0.1

— 0.01

0.09

x=    0.1

— 0.0081 — 0.0004

= 0.1

0.00887

88

0.09124

0.1

— 0.00832

38

0.09129

,r6

0.1

— 0.008334

380

10

0.09128

Von hier ab wird die fünfte Dezimale nicht mehr ge-

Man kann die Gleichung auf mancherlei andere Formen bringen, bei denen dasselbe Verfahren noch rascher zum Ziel führt. Z. B.

ändert.

x'Ą

—b & ~\r 0.25 — 0.25 -j- y —    g.

mithin

0.5 +]/ 0.25 -f y

xs

2!    3!

Zur Berechnung der ersten Stellen der Quadratwurzel bedient man sich dabei zweckmäfsig einer Tafel der Quadratzahlen. Z. B.

y = o.i

x₁ = 0.1

;ca = — 0.5 -f V0.3495 = — 0.5 + 0.591

= — 0.5 + /0.349613 = 0.09128

xé = — 0.5 -f /0.3496078 = 0.091277.

Aufgabe. Zwischen zwei gleich hohen Punkten, deren Entfernung c bekannt ist, werde eine Kette von bekannter Länge l aufgehängt. Man soll die Gleichung der Kettenlinie finden.

Die Gleichung der Kettenlinie hat die Form

y = a Cof -

Der Wert von a ist aus den Werten von c und l zu berechnen. Die Länge l der Kettenlinie ist durch die Gleichung gegeben

l —2 a Silt

2 a

Man setze

Aus dieser Gleichung ist a zu berechnen.

(*

— = u, so hat man:

u*

ub

3! +

oder, wenn durch u auf beiden Seiten dividiert wird:

- u = u —j-c

M*

u⁴

6*

3! + 5!

oder

u² =

4.5

ist 6

4.5.0.7

Für den Fall einer einigermafsen flach gestreckten Kette klein. Man kann dann in der beschriebenen

(4-0

Weise den Wert von u² und daraus den Wert von a sehr rasch ermitteln.

(4-0

Es sei z. B. c= 100 m, l — 105 m und also 6

0.2955

V² =

0.3

—    0.00437

—    0.00003

0.29560

Da der Differentialquotient der rechten Seite negativ ist, so sind die Näherungswerte abwechselnd gröfser und kleiner als die Wurzel der Gleichung. Nun hat man

log ul =9.47070

9.73535

log TT

= 1.69897

ul ² =

0.3

0.3

— 0.0045

iog 4-

= 1.96362

log a

Um zu beurteilen wie schnell dies Verfahren konvergiert, hat man, wenn u- = z geschrieben wird, in der Gleichung

— ...

a = 91.96 m.

•(4-0

4.5

4.5.6.7

die rechte Seite zu differentiieren. Ist in der Nähe des gesuchten Wertes von 2 der Differential quotient

z~ —

4.5 *    4.5.6.7

absolut genommen nicht gröfser als ein echter Bruch ra, so vermindert sich der Fehler bei jeder folgenden Annäherung mindestens auf den Bruchteil m seines vorigen Betrages. Damit das Verfahren schnell zum Ziele führe, mufs der Wert des Differentialquotienten ein kleiner echter Bruch sein.

Es möge berechnet werden, für welchen Wert von 0 der Dilferentialquotient absolut genommen gleich 0.1 ist.

! CO

4.Ö.6.7

0,1

2.6.7

2.6.7.8.9

zs

0.966

Die nächste Annäherung- unterscheidet sich in den Ungeschriebenen Stellen nicht mehr von zs. Der Wert von —

ergiebt sich daraus gleich 1.169. Wenn also die Länge der Kette nicht mehr als etwa 17 Prozent länger ist, als die Entfernung der Aufhängungspunkte, so vermindert sich bei der Berechnung des Wertes a der Fehler von u² mit jedem Schritte auf mindestens ein Zehntel seines vorigen Betrages.

Bei dem Wert —=1.169 ist die Pfeilhöhe der Kette etwa

c

gleich dem vierten Teil der Entfernung der Auf hängungspunkte. Mit Hülfe von Tabellen für log $iu u kann die Bech-

nung für beliebige Werte von ~ bequem ausgeführt werden.

Man braucht nur die Gleichung

— u = Si» u

<■

in die Form zu bringen

log l — log c = log Sill u — log u und findet z. B. für l = 25, c = 7

log L = 1.3979 log c = 0.8451

0.5528

Nun versucht man einzelne Werte von u, z. B.

?/ = 3

-i =

log Sin u = 1.0008 log u = 0.4771

0.5237 zu klein

u — 3.1

log Siu u = 1.0444 log u — 0.4914

0.5530 zu grofs

u = 3.09

log Stlt u — 1.0400 log u = 0.4900

0.5500 zu klein

Die Verminderung von log Sin u — log u beträgt zwischen w=3.10 und w = 3.09 dreifsig Einheiten der vierten Stelle. Da man in diesem Intervall, wenn keine gröfsere Genauigkeit verlangt wird, die Änderung der Änderung von u proportional setzen kann, so findet man demnach

u = 3.099

und mithin

— = 1.130.

Das auf S. 52 beschriebene Newtonsche Verfahren zur Berechnung successiver Näherungen kann als ein spezieller Fall des hier betrachteten Itérations-Verfahrens aufgefafst werden. Eine Wurzel der Gleichung f{x) — 0 mufs nämlich auch die Gleichung

/ O)

befriedigen. Der Differentialquotient der rechten Seite ist gleich

f{x) f'{x)

f’{x) f{x)

und wird also in der Nähe einer einfachen Wurzel der Gleichung f(x) = 0 sehr klein. Wir können daher mit Hilfe eines Näherungswertes x₁ einen besseren Näherungswert durch Einsetzen von xx in die rechte Seite der Gleichung finden:

/>i)

/>l)'

Dies ist nichts anderes als das Newtonsche Verfahren.

Bunge, Praxis der Gleichungen.

Die Geschwindigkeit der Annäherung läfst sich nun auf folgende Weise überschlagen. Man hat wie oben:

x — x₂ — cp (x) — (p (tr₁),

/ 0)

wo x die Wurzel selbst bedeutet und cp[x) für x--

geschrieben ist. Nun ist nach dem Taylorschen Satze

cp'\x)

cp (xt) — cp (a) = cp’ (x) (xt — x) -f-    2 !

ixx — XY • • •»

und da cp'(x) = 0, cp"(x)

n*)

/O)

ist, so hat man in der

Nähe der Wurzel unter Vernachlässigung der Glieder höherer Ordnung:

cp (xj — cp (x)

1 f’{x)

2 f’(x)

(x-Æj)².

Schreibt man der Kürze halber

1 f'\x)

2 f(x)

so kann man bis auf den Betrag der Glieder höherer Ordnung genau setzen

oder

und daher

x — x₂ —m(x — Æj)²

m[x — x₂) = \m (x — X₁)Y

m {x — xs) — [m (x — x₂)Y = [m (x — xr )]4 m (x — x₄) = [m{x — xs)Y = [m (x — .r₂)J⁴ = [m (x — ^i)]⁸

u. s. w.

Der Fehler der successiven Näherungen vermindert sich also proportional der 2., 4., 8., 16. ... Potenz von m[x — xj. Es mufs dabei m(x — xj absolut genommen kleiner als 1 sein und es müssen die vernachlässigten Glieder klein genug sein, um die Vernachlässigung zu rechtfertigen. Danach kann man die Annäherung an die Wurzel überschlagen. So ist z. B. bei dem auf S. 52 behandelten Beispiele etwa m = -\- 4.5 und m(x — xx) dem absoluten Betrage nach

kleiner als 0.1. Daraus ergiebt sich, dafs die Fehler der folgenden Näherungen kleiner sind als

— 0.01, —0.0001, —0.00000001 u. s. f. rn    m

Aus den Gleichungen m{x — x₂) — [m{x — xj]² u. s. w. folgt noch eine Eigentümlichkeit des Newtonschen Verfahrens. Da nämlich hiernach m(x— x₂), m(x— xs) u. s. w. alle positiv sein müssen, so haben x — x₂, x — xs u. s. w. dasselbe Vorzeichen wie rn. Wenn rn positiv ist, so sind x₂₁ xs u. s. w. alle kleiner als x, wenn m negativ ist, dagegen gröfser als x. Die erste Annäherung kann hingegen in beiden Fällen sowohl gröfser wie kleiner als x sein.

III. Abschnitt.

Niclitlineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten.

§ 9. Die Newtonsche Methode.

Die Newtonsche Methode läfst sich auch bei mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten durchführen. Sobald für die Unbekannten einigermafsen genaue Näherungswerte bekannt sind, kann man als Unbekannte die Verbesserungen der Näherungswerte einführen und kann die gegebenen Gleichungen, indem man die Glieder zweiter Ordnung vernachlässigt, als lineare Gleichungen für diese Verbesserungen ansehn. Es seien

/Oy) = o

9 Oy) = ⁰

zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten æ, y und es seien æ₁y₁ Werte, für welche die Gleichungen nahezu befriedigt sind, d. h. für welche /Oiyi) un<^ 9 Oi Vi) sehr wenig von Null verschieden sind. Setzt man nun x = x₁ -j- h, y = yx -{- k, so kann man bei Vernachlässigung der Glieder zweiter Ordnung schreiben:

/Oy) = /Oi yj + A h + A k 9 Oy) = 9 Oi yj + 9ih + y-2 k

wo / und /₂ die partiellen Differentialquotienten von /nach x und y und g₁ und g₂ die von g bedeuten. Man erhält so für h und k die beiden linearen Gleichungen:

/iÄ + /₂^ + /Oiyi) = 0

9ih + 92 k + 9 Oi yj = 0,

die nach der oben beschriebenen Methode aufgelöst werden können. Da h und k klein sind so brauchen die Koeffizienten dieser Gleichungen nur auf wenige Stellen ausgerechnet zu werden.

Geometrisch gesprochen sind die beiden Kurven

f{xy) = 0

9 ixV) = 0

für die Punkte in der Nähe von x₁y₁ durch die geraden Linien

f Oi y-d + A O — xi) +A (y—yf) = ⁰

+    — *i) + & (y—yi) = °

ersetzt, deren Schnittpunkt dann anstatt des Schnittpunktes der beiden Kurven genommen wird. Wenn es nötig ist, kann man dieselbe Operation wiederholen, indem man statt æ₁yt die verbesserten Werte xx -|- 7«, y₁-]rk nimmt u. s. f.

In manchen Fällen sind Näherungswerte für die beiden Unbekannten schon von vorne herein bekannt. Wenn z. B. auf See Länge und Breite aus den beobachteten Höhenwinkeln zweier Sterne gefunden werden sollen, so ist mau von vorne herein durch die Logge-Rechnung Uber den Ort des Schiffes ziemlich gut unterrichtet. Es handelt sich nur darum, die Werte der Logge-Rechnung durch die Beobachtung zu korrigieren. Sind tx und t₂ die Stundenwinkel zweier Gestirne für einen in Greenwich befindlichen Beobachter, sind ferner cp und l die geographische Breite und Länge des Schiffsortes (die Länge auf Greenwich bezogeu und wie der Stundenwinkel nach Osten negativ, nach Westen positiv gerechnet), sind endlich d₁₅ d₂ die Deklinationen und h₂ die durch Beobachtung gefundenen wahren Höhenwinkel der beiden Gestirne, so hat man zur Bestimmung von cp und 1 die beiden Gleichungen:

sin 1\ == sin cp sin dj -f- cos cp cos <5X cos (Â — tx) sin /i₂ = sin cp sin d₂ -(- cos cp cos d₂ cos (7, — t₂)

Denn das sphärische Dreieck, dessen drei Ecken Pol, Zenith und Gestirn sind, hat zu Seiten 90° — cp, 90° — d, 90° — h und der Seite 90° — h gegenüber den Winkel t — Â. Wird der Winkel gegenüber der Seite 90° — d (das Azimuth des Gestirns) mit a bezeichnet, und positiv oder negativ gerechnet, je nachdem der Stundenwinkel positiv oder negativ ist, so hat man, wie eine leichte Rechnung zeigt:

cos a,

cos cp sin a.

Nun setze man zunächst für cp und l die Näherungswerte ein und berechne nach den obigen beiden Gleichungen die zugehörigen Höhenwinkel, die mit Hv H₂ bezeichnet werden mögen, während hx und h₂ die durch die Beobachtung gefundenen Höhenwinkel bezeichnen. Sind nun A cp und A X die Verbesserungen der Näherungswerte, so hat man, indem man sich \ und h₂ nach Potenzen von A cp und Al entwickelt denkt und die Glieder zweiter Ordnung vernachlässigt :

hx — Hx = cos ax A cp -f- cos cp sin ax A l h₂ — U₂ = cos a₂ A cp -j- cos cp sin a₂ Al

Man kann die beiden Geraden, die durch diese Gleichung dargestellt werden, wenn man A cp und cos cp Al als rechtwinklige Koordinaten auffafst, auch in die Seekarte eintragen und ihren Schnittpunkt durch Zeichnung finden. Eine solche Gerade heifst bei den Seeleuten eine Standlinie oder auch eine Sumner Linie nach dem amerikanischen Kapitain Sumner, der die Betrachtung dieser Linien zuerst einführte. Auch eine einzige Höhenbeobachtung läfst sich mit Hilfe der Standlinie verwerten. Obgleich aus einer einzigen Höhe Länge und Breite nicht berechnet werden können, so erfährt man wenigstens, dafs das Schiff sich auf einer bestimmten Linie befindet.

Wenu die beiden Beobachtungen von hx und h₂ nicht gleichzeitig gemacht sind, so wird im allgemeinen das Schiff inzwischen seinen Ort verändert haben. Die Näherungswerte von cp und l werden dann für die zweite Beobachtung entsprechend der Ortsveränderung des Schiffes geändert sein. Die Gleichungen für die Verbesserungen A cp und A l sind ebenso zu bilden, wie oben. Die berechneten A cp und A l geben dann mit den ersten Näherungswerten von cp und l die verbesserte Länge und Breite zur Zeit der ersten Beobachtung und mit den zweiten Näherungswerten die verbesserte Länge und Breite zur Zeit der zweiten Beobachtung.

Beispiel. Am 30. Oktober 1897 Vormittags, Greenwicher Zeit: 29. Oktober, 18* 56™ 50sec wurde der Höhenwinkel des Sirius gemessen und nach Anbringung der Korrektionen wegen Kefraktion und Kimmtiefe gleich 17° 56'.5 gefunden. Die Loggerechnung ergab zur Zeit der Beobachtung 49° 56' nördlicher Breite und 11° 23'.0 westlicher Länge.

Zwanzig Minuten später Greenwicher Zeit: 19* 16™ 50sec wurde der Höhenwinkel der Venus gemessen und nach Anbringung der Korrektionen gleich 25° 25'.6 gefunden. Das Schiff hatte sich inzwischen mit einer Geschwindigkeit von etwa 17.5 Knoten nach Osten bewegt, so dafs zur Zeit der zweiten Beobachtung nach der Logge-Rechnung die Breite

dieselbe, die Länge aber worden war.

Rectascension und Déclination der beiden Gestirne zur Zeit der Beobachtung und die Greenwicher Sternzeit.

= 9'.0 östlicher ge-

17.5

3 cos cp

Aus dem nautischen Jahrbuch findet man

Déclination Greenwicher Sternzeit

—    16° 34' 18"    9* 32™ 15.0SêC

—    3° 6'    5"    9* 52™ 18.3sec

Rectascension

Sirius 6* 40™ 40.6sec Venus 12* 43™ 33.5sec

Der Greenwicher Stundenwinkel ist die Differenz zwischen Greenwicher Sternzeit und der Rectascension. Er ergiebt sich für Sirius gleich 2* 51™ 34.4sec und für Venus gleich —(2* 51™ 15.2sec)

Aus diesen Daten ergiebt sich für Sirius H= 17° 55.2 und a = 148°, für Venus H— 25° 28'.4 und a = — 121° und wir erhalten für A cp und A l die beiden Gleichungen :

—    0.85 A cp + 0.34 Al —1.3 = 0

—    0.52 A cp —0.55 A À +2.8 = 0

1.6

—    0.85 + 0.34 — 1.3

—    0.52 — 0.55    + 2.8    — 1.3 A <p = 0'.4

0.3

+ 0.21 — 0.8

— 0.76    +3.6 A Ä = + 4'.7

Die Breite der Loggerechnung mufs demnach um 0'.4 nördlicher, die Länge um 4'.7 westlicher genommen werden.

Man kann die Rechnung auch ganz zweckmäfsig in einer etwas anderen Weise anordnen. Man rechnet zuerst

wo z die Zenithdistanz des Gestirns bedeutet. Wenn man von dem so berechneten Werte / die Länge der Loggerechnung abzieht, so hat man den Wert von AÂ, der dem Wert A cp = 0 entspricht. Wenn man sich nun die Gleichung der Standlinie auf die Form gebracht denkt:

A l = m A cp -j- f.i,

cos a

so ist m = —

sin a cos cp

mit der durch Beobachtung gewonnenen wahren Höhe und der durch die Loggerechnung gegebenen Breite, die Länge aus.

die Form gebracht sin² ^ (t — X) —

Dazu wird die Gleichung zwischen h, cp, ö, t — Â in

sin    cp — ó) . sin | (z — cp -j- ä)

cos cp . cos ö

und /u ist gleich dem Wert von

A l für A cp = 0.

Mit der hinzukommenden Berechnung von a, wofür die Seeleute aber auch Tabellen besitzen, ist dann also die Gleichung der Standlinie gefunden. Oder man kann auch statt a zu berechnen die Rechnung für die Länge gleichzeitig noch einmal mit einem etwas anderen Werte von cp z. B. cp -)- 10' ausführen. Daraus kann man dann die Differenz A l finden, die dem Werte A cp = 10' entspricht und hat dann aus der Gleichung A l — m A cp -J- f.i

10

Bei der ersten Art der Rechnung wird für die Standlinie eine Tangente des geometrischen Ortes, gesetzt; bei der zweiten Art der Rechnung dagegen eine Gerade, die zwei benachbarte Punkte des geometrischen Ortes mit einander verbindet. Bei der ersten Art ist die Rechnung wohl etwas kürzer. —

In ähnlicher Weise wird auch bei der Methode der kleinsten Quadrate in dem Falle, wm die Fehler-Gleichungen ursprünglich nicht linear sind, die Rechnung auf lineare Gleichungen zurückgeführt, indem man die Verbesserungen von Näherungswerten als die Unbekannten betrachtet. Da die Verbesserungen klein sind, so kann man die auftretenden Funktionen nach Potenzen dieser Gröfsen sich entwickelt denken, und die Glieder zweiter Ordnung vernachlässigen; dadurch werden die Fehler, deren Quadratsumme ein Minimum werden soll, lineare Funktionen der Unbekannten.

§ 10. Die Auffindung der ersten Näherungswerte.

Durch Elimination aller Unbekannten bis auf eine, kann man die Auflösung der Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten auf solche mit einer Unbekannten zurückführen. Indessen ist die Elimination in vielen Fällen so umständlich oder schwierig, dafs man sie zu vermeiden sucht. Bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kann man z. B. versuchen, zur Auffindung der ersten Näherungswerte die Kurven, welche durch die Gleichungen dargestellt werden, wenn man die Unbekannten etwa als rechtwinklige oder schiefwinklige Koordinaten oder auch als Polarkoordinaten auffafst, in grober Annäherung zu zeichnen, um zunächst über die Lage der Schnittpunkte einen Ueberblick zu gewinnen. Hat man auf diese Weise für ein Wurzelsystem Näherungswerte gefunden, so kann man, wie früher schon gezeigt wurde, Verbesserungen dieser Näherungswerte berechnen, indem man die Verbesserungen als die Unbekannten einführt und nur die Glieder von der ersten Ordnung beibehält.

4 .r² -|- 9 y~ — 1 (* — l)ä + (y-0.5)² = l.

Fafst man x und y als rechtwinklige Koordinaten auf, so stellt die erste Gleichung eine Ellipse dar, deren Hauptachsen in die Koordinatenachsen fallen und die halben Längen und haben. Die zweite Gleichung stellt einen Kreis dar, dessen Mittelpunkt die Koordinaten æ = 1, y — 0.5 hat und dessen Badius gleich 1 ist. Eine oberflächliche Zeichnung lehrt, dafs zwei reelle Schnittpunkte vorhanden sind. Der eine liegt nahe bei x = 0, y = x = y = — Wir wollen die genauere Berechnung des zweiten Schnittpunktes durchfuhren:

1. Näherungswert

Beispiel :

'S;

der andere nahe bei

0.33    — 0.25

Man setzt in beiden Gleichungen

x — 0.33 + /*, y — — 0.25 -j- k und vernachlässigt die Glieder zweiter Ordnung — 0.0019 + 2.64 h — 4.5 k = 0 + 0.0114 — 1.34 h — 1.50 k = 0

Die Auflösung der Gleichungen geschieht am besten mit dem Rechenschieber in der oben beschriebenen Weise. Denn es lohnt sich nicht, die Verbesserungen h, k sehr genau zu berechnen, weil in den Gleichungen ja doch schon die Glieder zweiter Ordnung vernachlässigt sind.

— 0.0019 + 0.0114

+ o.ooio

+ 2.64    — 4.5

— 1.34    —1.5

+ 2.28

+ 0.0104

_ 3.78 k = -\- 0.00275

— 0.0019 _ 4.5 k = — 0.0124

— 0.0143

h = + 0.00541

2. Näherungswert

0.33541    —0.24725

Die Verbesserungen ergeben sich aus den Gleichungen

+ 0.000192 + 2.68/i — 4.45 & = 0 + 0.000062 — 1.33 /4 — 1.49 £ = 0

+ 2.21 — 3.70

95

157

k = + 0.000042 h —— 0.000001

Die verbesserten Werte sind mithin 0.335409 y = — 0.247208

Zur Kontrolle mögen diese Werte in die beiden Gleichungen eingesetzt werden. Es ergiebt sich

4    + 9 + — 1 = 0.00000283

{x — l)² + (y — 0.5)² — 1 = 0.00000097

Wollte man abermals Verbesserungen berechnen, so könnte man die Koeffizienten von h und k aus den vorigen beiden Gleichungen beibehalten, da die neuen Werte in den hingeschriebenen Stellen sich nicht von den alten unterscheiden. Die Verbesserungen sind kleiner als eine Einheit der 6ten Dezimale.

Eine der beiden Unbekannten zu eliminieren und die resultierende Gleichung vierten Grades zu lösen, wäre weitläufiger. Im Gegenteil hat man zur Auflösung der Gleichungen dritten und vierten Grades mit einer Unbekannten auch wohl den Weg eingeschlagen, durch passende Einführung einer zweiten Unbekannten die Aufgabe auf die Berechnung der Schnittpunkte von Kurven zweiten Grades zurückzuführen.

Ist

axi-\-bx^-\-cx‘i-\-dx-\-e = 0

die Gleichung vierten Grades, so kann man eine zweite Unbekannte y durch die Gleichung

»i h

* +w x=y

definieren und dadurch die erste Gleichung auf die Form bringen :

= 0.

ay

² -f (c — tf² -f dx + «

Die Definitionsgleichung von y stellt, wenn man x und y als rechtwinklige Koordinaten auffafst, eine Parabel dar, deren Achse der y -Achse parallel ist und deren Schnittpunkte

mit der .æ-Achse bei x = 0 und x

— liegen. Für die

verschiedenen Werte von a und b bleibt die Parabel sich immer kongruent. Wenn man also auf durchsichtigem Papier die Parabel .r² = y ein für allemal aufzeichnet, so braucht man sie nur entsprechend den Werten von a und b an ihre Stelle zu schieben. Die zweite Gleichung stellt eine Ellipse oder eine Hyperbel dar, wenn sie überhaupt für reelle Werte von x und y zu befriedigen ist. Der Mittelpunkt liegt auf der x-Achse bei

Ład

b- — 4 a c

76 III. Nichtlineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Beispiel:

■z⁴ 4- 2 ä³ — 5 tf² -f 3 x — 7 = 0.

An die Stelle der einen Gleichung treten die beiden

x² x = y

y- — 6 .r² -j- 3 æ — 7 = 0

Die zweite Gleichung werde auf die Form gebracht:

y² — 6 (as — 0.25)² — 5.5 = 0 Sie stellt eine Hyperbel dar mit den beiden Asymptoten

y = ± VQ (a — 0.25)

Die beiden Scheitelpunkte liegen auf beiden Seiten der x-Achse im Abstand Ü5.5.

Eine oberflächliche Zeichnung lehrt sofort, dafs nur zwei Schnittpunkte vorhanden sind. Die Abscisse des einen ist nahe bei x = -j- 1.6. Der andere Schnittpunkt liegt in einem Teil der Hyperbel, wo sie sich schon einigermafsen an die Asymptote

y = — VQ (x — 0.25)

anschmiegt. Der entferntere Schnittpunkt dieser Geraden mit der Parabel x² -\- x — y hat nahezu die Abscisse — 3.6. Mit diesen beiden Näherungswerten kehrt man nun am besten zu der Gleichung vierten Grades zurück und wendet das Newtonsche Verfahren an. Man findet die genaueren Werte

x = —j— 1.61338 x — — 3.70545

Es lohnt sich nicht, für die Kurven mehr als eine oberflächliche Zeichnung zu machen. Denn sobald es sich um genauere Werte handelt, ist die Rechnung sehr viel schneller ausgeführt als eine sorgfältige Zeichnung in gröfserem Mafsstabe. Für eine erste Übersicht kann dagegen eine Zeichnung gute Dienste leisten.

Bei der Aufzeichnung der Kurven ist es bisweilen empfehlenswert, andere Veränderliche einzuführen.

So würde man z. B. eine Gleichung

a xr ys -J- b xt yu = 1,

durch Einführung der neuen Veränderlichen

Ę = xr ys rj = xf yu,

indem man £ und y als rechtwinklige Koordinaten auffafst, durch die gerade Linie

a'§ -)- b rj = 1

darstellen können. Zu jedem Wertepaar £, rj gehören dann die Werte

ru — ts

x = (§u t]~s)

ru — ts

y =

die man logarithmisch zu berechnen haben würde, es sei denn, dafs man auch in der zweiten Gleichung die Veränderlichen £ und rj zweckmäfsig einführen könnte. — Oft kann man die Logarithmen der Veränderlichen mit Vorteil statt der Veränderlichen einführen, wovon im nächsten Paragraphen die Rede ist.

Die von C. F. Gaufs¹) erwähnte Aufgabe der Schifffahrtskunde läfst sich zweckmäfsig in ähnlicher Weise behandeln. An drei Punkten (1), (2), (3), welche in einer geraden Linie 1 und in bekannten Abständen von einander, A von (1) nach (2), B von (2) nach (3) liegen, sind die Winkel ■#', &" zwischen zwei Zielpunkten (4), (5), deren gegenseitiger Abstand = 2 c ebenfalls bekannt ist, gemessen; man verlangt die Lage der drei ersteren Punkte gegen die beiden letzteren. Die drei Winkel    be

stimmen drei Kreise als geometrische Orter für die Punkte (1) (2) (3). Die Kreise laufen durch die Punkte (4) und (5)

und haben die Radien

sin '

sin & ’ sin

man sich diese drei Kreise auf und merkt auf dem gerade abgeschnittenen Rande eines Papierstreifens die gegenseitige Lage der drei Punkte (1) (2) (3) an, so ist durch Hin- und Herschieben schnell eine Lage des Papierstreifens gefunden, für welche die drei Punkte auf die zugehörigen Kreise fallen. Es sind offenbar je zwei Lagen möglich, symmetrisch zu der Geraden, welche die Verbindungslinie von (4) und (5) senk-

Zeichnet

recht halbiert. Sie unterscheiden sich dadurch, dafs die Punkte (4) und (5) in der einen Lage zu der Richtung 1, 2, 3 anders liegen als in der andern.

Handelt es sich um gröfsere Genauigkeit, so wird die Zeichnung nicht ausreichen. Man kann dann aber die durch die Zeichnung gefundenen Werte durch Rechnung verbessern. Als Unbekannte mögen eingeführt werden erstens die Koordinaten des Punktes (2) und zweitens der Richtungswinkel der Richtung 12 3, d. i. der Winkel, den diese Richtung mit der Richtung der positiven x- Achse macht, gemessen von der positiven ^-Achse aus in dem Drehungssinn, der durch 90° zur positiven y -Achse führt. Die Koordinaten der Punkte (1) (2) (3) sind alsdann

(1)    : x — A cos cp, y — A sin cp

¹

Gaufs, Werke Bd. IV p. 407.

(2) :«

(3) : x -f- B cos cp, y -j- B sin cp.

Werden die Koordinaten des Punktes (4) mit p, q, diejenigen von (5) mit r und s bezeichnet, so erhalten wir für die drei Unbekannten die Gleichungen

arc tg

p — x A cos cp

q — y

arc tg —-—

p — x

q

arc tg —

P

■&¹)

, s

— x-j-A cos cp

—    arc tg — r

. s

—    arc tg — r

— y — B sin cp

— y — B sin cp

— d".

. 8

— x — B cos cp

x — B cos cp

—    arc tg — r

Diese drei Gleichungen werden durch die mit Hilfe der Zeichnung gefundenen Werte von x, y, cp im allgemeinen nicht genau befriedigt. Die Differenzen der linken und rechten Seiten mögen mit e, e', e" bezeichnet werden. Sind nun dx, cly, dcp die Verbesserungen der gefundenen Werte und vernachlässigt man die Glieder zweiter Ordnung in dx, dy, dcp, so ergeben sich für diese Verbesserungen die drei linearen Gleichungen:

a (dx -j- A sin cp dcp) — b (dy — A cos cp dcp) -j- e =0 — b' dy

a! dx

-fe' =0

a" (dx — B sin cp dcp) — b" (dy -|- B cos cp dcp) -j- e" = 0,

wo

a'

a"

sin (34) sin (35)

sin (14)

14

sin (24)

24

34

bn —

35    ’

cos (14) cos (15)

14

15

cos (24) cos (25)

24

25

cos (34) cos (35)

34

35

Dabei ist (14), (24) etc. . . geschrieben für den Richtungswinkel der Richtung vom Punkte (1) zum Punkte (4) etc. und 14, 24 etc. für die Entfernung zwischen den Punkten (1) und (4) etc.

Nachdem auf diese Weise die verbesserten Werte x-\-dx, y-\-dy, cp -j- dcp gefunden sind, berechnet man zur Kontrolle noch einmal die Winkel 415, 425, 435. Ergeben sie sich noch immer nicht ganz gleich &,    so

berechnet man noch einmal Verbesserungen dx, dy, dcp, wobei aber e, e', e" zu ersetzen sind durch die zuletzt gefundenen Abweichungen von

§ 11. Einführung neuer Veränderlicher.

Oft kann es vorteilhaft sein, statt der ursprünglichen Unbekannten andere einzuführen. So wird z. B. der Zusammenhang zwischen dem Druck p und dem Volumen v eines idealen Gases bei, adiabatischer Zustandsänderung, d. h. bei einer solchen Änderung, bei der weder Wärme zugeführt noch abgefithrt wird, durch eine Gleichung von der Form

p = a

ausgedrückt, wo / und a Konstanten bedeuten. Führt man hier die Logarithmen von p und von v ein und schreibt log v = x, logp = y, so erhält man

V = — y.x + log a.

Zwischen x und y besteht also eine lineare Gleichung, die sowohl für die Rechnung wie für die graphische Darstellung bequemer ist als die ursprüngliche Form.

Die Energie J der Strahlung eines absolut schwarzen Körpers ist nach Paschen und Wien als Funktion der Wellenlänge l und der absoluten Temperatur & durch die Formel

J = al~⁵e

darstellbar, wo a und b Konstante bedeuten und e die Basis der natürlichen Logarithmen ist.

Führt man hier als neue Veränderliche die Gröfsen ein

log l = x

log J=z,

so hat man:

2 = — 5 x — b . log e . y -f- log a,

hat.

ly

d. h. es wird z eine lineare Funktion von x und y. Für gegebene Werte von l und & lassen sich die Werte von x und y unmittelbar berechnen; aber auch umgekehrt findet man aus x und y die Werte von l und indem man zuerst l aus x berechnet und dann #

Sind z. B. für die Wertsysteme lx ■d-₁ und l₂ die Strahlungs-Energieen Jx und J„ gemessen worden, und sollen nun daraus die beiden Konstanten a und b berechnet werden, so berechne man xx yx zx und x₂ y₂ z₂ und schreibe log a = A, b log e = B. Dann hat man für A und B die beiden linearen Gleichungen

A — Byt — 5 xx — zx =0 A — By₂ — 5x₂ — z₂ = 0.

Sollen A und B nach der Methode der kleinsten Quadrate aus den Beobachtungen der Energie für mehr als zwei Wertepaare l, & berechnet werden, so ist zu berücksichtigen, dafs, wenn die verschiedenen Beträge der Energie mit gleicher wahrscheinlicher Genauigkeit beobachtet sind, die Fehler der entsprechenden Werte von z ungleiche wahrscheinliche Genauigkeit haben. Denn da log J = z, so hat mit dem betreffenden Werte von J multiplizieren, damit der Fehler des Produktes immer die gleiche Wahrscheinlichkeit habe. So ist daher, wenn

A — Byr — hxr — zr — er

die Fehlergleichungen sind, nicht die Summe der Quadrate der sr, sondern die Summe der Quadrate von Jr sr zu einem Minimum zu machen oder, wie es nach Gaufs heilst, der Fehler er mufs das Gewicht erhalten.

§ 12. Das Verfahren der Iteration.

Ein anderes Verfahren, nach und nach immer genauere Werte der Unbekannten zu finden, läfst sich ähnlich wie hei Gleichungen mit einer Unbekannten anwenden, wenn die Gleichungen auf die Form gebracht werden

x = cp (xy)

y = V Oy)>

und wenn dabei cp und xp nur langsam mit x und y veränderlich sind. Bezeichnen nämlich a und b Näherungswerte für die gesuchten Unbekannten x und y, so wird ein besseres Paar von Näherungswerten ax 5X gefunden, indem man a und b auf den rechten Seiten einsetzt.

a± = cp (a, b)

b±=\p (a, b).

Mit ax, b₁ kann man dann ebenso verfahren und ein drittes Wertepaar b₂ berechnen und damit so lange fortfahren, bis schliefslich kein wesentlicher Unterschied mehr zwischen den aufeinanderfolgenden Wertepaaren besteht. Man überzeugt sich in der folgenden Weise davon, inwiefern die Näherungswerte immer bessere werden. Bezeichnen nämlich x und y die Unbekannten selbst, so ergiebt sich durch Subtraktion der beiden Gleichungen:

x = cp {xy) ax = cp (a b)

die Gleichung:

x — ax = cp (xy) — cp (ab)

Bunge, Praxis der Gleichungen.

man log e.

dJ

dz. Man mufs also einen Fehler von 2

und in analoger Weise

y — b 1 = V'Oy) — ip(ab).

Man kann nun nach dem Taylorsehen Lehrsatz die rechten Seiten umformen und schreiben

x — ai = Vi (x — «) + % (y — h)

y — \ = Vh (x — a) + (y —h),

wo cp₁ und xp₁ die partiellen Ableitungen nach x, cp₂ und j//2 diejenigen nach y bedeuten. Die partiellen Ableitungen haben wir uns für Werte der Veränderlichen genommen zu denken, die zwischen a und x und zwischen b und y liegen. Für die absoluten Beträge | x — ax |, | y — b± | u. s. w. folgt aus diesen Gleichungen:

\x — ai\£\cfi\-\x— l+kal-ly — h\

\y—W £ IV'il-k— l+kal-ly — b\

und daraus durch Addition:

k—«il + \y — hi\ ^(l^il + IV'iD-k — h\

+ (1% 14" I V'a1) • \ y — H

Sind nun \cpx \ -f- \ipt\ und | <jp₂1 “h I *Aî1 nicht gröfser als ein echter Bruch ra, so ist

I* — «il + \y — W <±m(\x — a \ -f \y — 6|)

und folglich wird man dem gesuchten Wertsystem x, y bei fortgesetzter Rechnung beliebig nahe kommen. Nach n-Schritten hat man:

I x — an I -J- \y — bn I <1 mn (|a — a | -f \y — b |).

Dieselben Betrachtungen lassen sich auch auf Gleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen ausdehnen.

x = f(x,y,z...    )

y = 9(*,y,z--- ) w = Je (x, y, z ... w).

Sobald die rechten Seiten sich nur langsam mit den Gröfsen x, y, z ... w ändern, kann man aus einem System von Näherungswerten ein besseres dadurch ableiten, dafs man das erste in den rechten Seiten der Gleichungen einsetzt.

[ § 13. Anwendung auf lineare Gleichungen.

?yff Auch bei linearen Gleichungen läfst sich das Verfahren der Iteration bisweilen mit Vorteil verwenden.

Es seien z. B. die drei linearen Gleichungen zu lösen:

3« + 0.03 y + 0.06 z = 12 — 0.01 x +    5 y — 0.02z = 10

0.02 x + 0.02 y —    4 z = 8.

In der ersten Gleichung sind y und z mit kleinen Koeffizienten multipliziert. Schreibt man daher die Gleichung in der Form

x = 4 — 0.01 y — 0.02 z,

so ändert sich die rechte Seite nur langsam mit y und z. Dasselbe gilt von den andern beiden Gleichungen, wenn sie in der Form geschrieben werden:

Z -----

2 + 0.002 æ + 0.004 z — 2 4 0.005 æ 4 0.005 y.

Man gehe von den Näherungswerten x — 4, y = 2, z = — 2 aus.

1. Näherungswert + 4

2.

H- 2

— 1.97

3.

+ 4.02    + 2

4 4.0194 4 2.00016 — 1.9699

u. s. w.

Man kann die Rechnung auch so ausführen, dafs man die Gleichungen aufstellt zwischen den Verbesserungen, die von einem System von Näherungswerten zum nächsten führen. Sind xryrzr die Näherungswerte, die sich nach r-Schritten ergeben, so ist

Xr i Xr -    0.01 iyjr yr — l) 0.02 (zr Zr —

yr +1 — yr = + 0.002 (xr — xr _ i) + 0.004 [zr — zr _ x) zr 4. x — zr = + 0.005 (xr — xr — 1) + 0.005 (yr — yr _ 1).

Xr + 1 — Xr

yr+l — yr

Zr+l — Zr

tO H O

+ 0.02 — 0.0006 0.00000

+ 0.00016 0.00000

4-0.03 4-0.00010 4 0.00000

Für r = 1 ergeben sich hiernach schon die ersten 5 Dezimalen richtig.

«a —^o = 0.01940 y₂ — y₀ = 0.00016 *₂ — *₀ = -f 0.03010

y₀ = ²

— 1.96990

4.01940

2.00016

Die Rechnung kann manchmal mit Vorteil auf noch etwas anderem Wege ausgeführt werden, der besonders für die Gleichungen, die bei der Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auftreten, vorzuziehen ist.

Sind

die gegebenen Gleichungen und sind xx,yx,zx Näherungswerte der Unbekannten, so setzen wir die Unbekannten x,y, z selbst gleich xx -j- Ji, yx -j- k, zx -f- l. Dann werden die neuen Unbekannten Ji, Je, l den Gleichungen genügen:

Die Koeffizienten    av bx etc. bleiben also    dieselben, nur

die Glieder dv d₂, d₃ sind andere geworden und zwar ist dx = dx -f- ax xx -f-bxyx -j- cx zx ^2 — d₂ «₂ xx + bïyx -j- c₂ zx

*4 — <4 ü3 XX + ^3 y± + C3 ZV

Man braucht also nur diese zu berechnen, um die Gleichungen, denen Ji, Je, l genügen, zu erhalten. Wenn man nun irgend ein Prinzip hat, für die Gleichungen in ihrer ersten Form Näherungswerte xv yv zx der Unbekannten x, y, z zu finden, so kann man dasselbe Prinzip auf die Gleichungen in ihrer zweiten Form an wenden. Sind hvkv lx Näherungswerte der Unbekannten 7t, Je, l, so setzt man wieder h = Jix —J— u, Je — Jex-\-v, l=lx-\-w und leitet für u, v, iv neue Gleichungen ab, bei denen wieder nur die von u, v, w unabhängigen Glieder neu berechnet zu werden brauchen u. s. w. Sind die Näherungswerte gut, so müssen die von den Un-bekannten unabhängigen Glieder fortgesetzt kleiner und kleiner werden und damit werden auch die jedesmaligen Verbesserungen kleiner und kleiner. Man braucht nun hei der Rechnung die unverändert bleibenden Koeffizienten nicht wieder hinzuschreiben, sondern hat nur nötig, aufser der Berechnung der Gröfsen dx d₂ d?> u. s. w. über die Näherungswerte Buch zu führen, deren Summen dann die gesuchten Werte schliefslich mit jeder gewünschten Genauigkeit geben. Sind z. B. die Koeffizienten av 5₂, cs gegen die Koeffizienten bx, <+ a₃, c₂, a₃, b?j grofs, so kann man in dem ersten System die Näherungswerte +, yv zx so wählen, dafs

ai X1 "f⁻    ^2 dl “f⁻ ^2> C3 Z1 “I⁻ ^3

kleine Werte erhalten. Ebenso nimmt man dann im zweiten System die Näherungen hx, Jcx, lv so dafs

ax hx dx, b₂kx-\-d₂, cslx-\-ds

klein werden u. s. w.

Das oben auf anderem Wege behandelte Beispiel würde sich auf folgende Weise berechnen lassen:

8 x 0.03y -j- 0.06 2 — 12 == 0 — O.Oltf-f 5y — 0.02 z—10 = 0 0.02 x -j- 0.02 y—    4 z— 8 = 0

di

ds

— 12

— 10

+ 12

0.04

-f 0.06

0.12

+ 10 + 0.04

+++

00

o o

codooo

+ 4    +2

-2

0 06

+ 0.06 + 0.0018

+ 0.12

—    0.0002    + 0.0004

—    0.0006    — 0.12

+ 0.02 0

+ 0.03

+ 0.0018 — 0.0018

— 0.0008    + 0.0004

+ 0.000006 — 0.000012 + 0.0000048 + 0.0008    +0.0000032

+ 0.000006

— 0.0006 + 0.00016 + 0.0001

0.000002 — 0.0004

+ 0.0000108 + 0.000004 — 0.0000088

Summe: + 4.0194 + 2.00016 — 1.9699

Unter dem ersten horizontalen Strich stehen links die Zahlen — 12, — 10, — 8, rechts die ersten Näherungswerte xx — -)- 4, yx = -(-2, zx — — 2. Dann folgen links in der

um

nächsten Reihe die Werte von ax xx, a₂xx, a% xx, in der folgenden Reihe die Werte von bx yx, b₂y 1? bs yx und in der dann folgenden die Werte von cx zx, c₂ zx, cszx. Unter dem zweiten horizontalen Strich stehen links die Summen dx = — 0.06, d₂ = 0, ds = -(- 0.12. Das sind zugleich die Werte, welche die linken Seiten der drei Gleichungen für x = xx, y = y₁, z — zx annehmen. Rechts stehen dann die Werte hv hx: Z, u. s. w. Unter dem dritten horizontalen Strich stehen links die Zahlen -j- 0.0018, — 0.0008, -j- 0.0004. Das sind die Werte, welche die linken Seiten der Gleichungen in h, k, Z für h = hv k = kx, l = lx annehmen, oder welche die linken Seiten der ersten Gleichungen für x = xx -|-hx1 y — yx-\- kx, z = zx -f- lx annehmen. Unter dem vierten horizontalen Strich stehen die Werte, welche die linken Seiten der ersten Gleichungen für x = xx-\-hx-\- uv y = yx -j-kx-\-vv z = zx -(- lx -(- wx annehmen.

Wenn die Werte dx d₂ ds beobachtete Gröfsen sind, von denen man annimmt, dafs sie mit einem gewissen Fehler behaftet sein können, so wird man die Annäherung nur etwa soweit treiben, bis die linken Seiten der Gleichungen unter den Fehler von dx, d₂, ds herabgedrückt sind. Denn dann würden bei dem Spielraum der für die wahren Werte von dx d₂ ds zugelassen ist, die Werte der linken Seiten i-n Wahrheit schon Null sein können. Es würde daher keinen Sinn haben, die Annäherung viel weiter zu treiben.

Wenn die Koeffizienten bxcx, a₂c₂, asbs nicht klein sind gegen a₁₇ b₂, c₃, so kann man zunächst dadurch, dafs man eine Gleichung mit einem geeigneten Faktor multipliziert, von den andern abzieht und dadurch, dafs man neue Veränderliche einführt, die betreifenden Koeffizienten herab-drücken, ehe man das eben beschriebene Verfahren anwendet.

Z. B. 3.45 x — 1.22 y -f- 2.73 s -j- 10.23 = 0 1.78 æ -f- 5.16 y— 1.35 2— 5.33 = 0 2.31 x — 2.73 y —J— 4.71 z -f- 9.54 = 0

Statt x werde die Veränderliche x' = x — 0.3 y —f- 0.8 z eingeführt. Dadurch gehen die Gleichungen über in:

3.45    —    0.185y — 0.030 z + 10.23 = 0

1.78 x' -j- 5.694 y — 2.774 z — 5.33 = 0 2.31 x’ — 2.037y -}- 2.862 z -j- 9.54 = 0

Jetzt werde die erste Gleichung erst mit 0.5 multipliziert und von der zweiten Gleichung abgezogen und dann mit 0.7 multipliziert und von der dritten Gleichung abgezogen. Dadurch gehen die Gleichungen über in:

3.45 x’ — 0.185 y — 0.030 z-f 10.23 =0

0.055 x' -f 5.7865 y — 2.759 « — 10.445 = 0

—    0.105 x’ — 1.9075y -f- 2.883 z -f- 2.379 = 0

Auf diese Weise sind die Koeffizienten der Unbekannten in der ersten Reihe und in der ersten Kolonne herabgedrückt. In ähnlicher Weise wird nun auch der Koeffizient von z in der zweiten Gleichung und der Koeffizient von y in der dritten Gleichung vermindert. Zu der zweiten Gleichung addieren wir die dritte. Das giebt:

3.45 x' — 0.185 y — 0.030 2 -f-10.23 =0

—    0.05 x’ -j- 3.879 y -f 0.124 2— 8.066 = 0

—    0.105 x' — 1.9075y -j- 2.883 z -f- 2.379 = 0

Endlich führen wir statt z die neue Veränderliche z' — z — 0.7 y ein und erhalten somit:

3.45 x' — 0.206 y — 0.030 s'-f 10.23 =0

—    0.05 x’ -f 3.9658 y0.124 0'— 8.066 = 0

—    0.105 x’ — 0.1106y -j- 2.883 z’ -f 2.379 = 0

Jetzt kann das oben beschriebene Verfahren mit Vorteil angewendet werden:

+10.23 —10.35 — 0.412 + 0.024

— 8.066 + 0.15 + 7.9316 — 0.0992

+ 2.379 + 0.315 - 0.2212 — 2.3064

— 0.8

—    0.508 + 0.690

—    0.00412 + 0.0015

—    0.0836

—    0.010

+ 0.079316 — 0.0062

+ 0.1664 — 0.0210 — 0.002212 — 0.14415

+ 0.2

+ 0.02

— 0.05

— 0.05

+ 0.17938 — 0.1725

— 0.020484 + 0.0025

— 0.000962 + 0.00525

+ 0.004

+ 0.00688 — 0.000824

— 0.017984 + 0.0158632

+ 0.004288 — 0.0004424

+ 0.006056

— 0.0021208

+ 0.0038456

Bei den letzten beiden Schritten ist nur je eine der Unbekannten geändert worden. Das kann mitunter zweck-mäfsig sein, wenn die von dieser Unbekannten in den andern Kolonnen herrührenden Produkte erheblich sind. Beim vorletzten Schritt z. B. ist das Glied, das in der dritten Kolonne vom Näherungswert — 0.05 herrührt, gleich -j- 0.00525, Uberwiegt also das ursprüngliche Glied — 0.000962. Es würde also keinen Zweck gehabt haben, aus diesem einen Näherungswert in der Kolonne z' abzuleiten.

x'

y'

- 0.002

+ 0.0005 —0.001

+ 0.006056

—    0.00690

—    0.000103 + 0.00003

-0.0021208 + 0.00010 + 0.0019829 — 0.000124

+ 0.0038456 + 0.00021

—    0.0000553

—    0.002883

— 0.000917 + 0.001035 + 0.000012

-0.0001619

—    0.000015

—    0.0000496

+ 0.0011173

—    0.0000315

—    0.0011532

+ 0.0003

- 0.0004

+ 0.000130

- 0.0002265 +0.0000674

Summe:

— 2.85171+2.0245 —0.8514

Die Rechnung ist hier ohne alle Hilfsmittel ausgeführt. So lange die Änderungen der Unbekannten bei jedem Schritt nur in einer Ziffer vorgenommen werden, gewähren die rechnerischen Hilfsmittel kaum eine wesentliche Hilfe. Das Verfahren ist, wie man sieht, ganz ähnlich der gleichzeitigen Ausführung dreier Divisionen, nur dafs jeder Divisor auch in die anderen beiden Rechnungen hineinspielt. Die Zahlen, die beim Abbrechen der Rechnung links vorhanden sind, hier:

+ 0.00013, — 0.0002265, -f 0.0000674

spielen eine ähnliche Rolle wie der Rest bei der Division, und wie bei der Division kann man die Probe auf die Rechnung machen. Von den gefundenen Werten von x'y'z' mufs man nun noch zu den gesuchten Werten von xyz aufsteigen, indem man die Gleichungen

x' = x — 0.3 y -j- 0.8 z z' — z — 0.7 y

berücksichtigt.

Das Verfahren läfst sich ohne weiteres auf Gleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen ausdehnen. Gerade wenn

die Anzahl der Veränderlichen sehr grofs wird, ist das Verfahren bequem zu verwenden. Besonders empfiehlt es sich für die Gleichungen, die hei der Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auftreten. Sind

aix H⁻ \ y    ^1t H⁻ K = £i

a₂ M -|- &2 y “h • • • “f~ ^2 * 4 — €2 anx bn y ... -j- kn t -j- ln — en

die Fehlergleichungen, so wird die Summe der Fehlerquadrate [e t] ein Minimum, wenn x, y,.. .,t den Gleichungen genügen :

[a a] x -)- [a Z>] y -j- ... -j- \a Æ] t -j- [a l\ = 0

[oft] æ -|- [b &] V -f • • • + [&*] t + fil] = 0

[& a] x -|- [k 6] y -j- .. . -|- [& Æ] t -]- [Æ Q — 0

Die eckige Klammer bedeutet dabei, dafs die Summe über alle n Produkte genommen werden soll z. B.:

\a 5] = oq bx -(- öt₂ b₂ -{- ... -|- an bn.

Die Gleichungen, denen x, y,. . .1 genügen, können auch in der Form geschrieben werden

[a s] = 0, [6 «] = 0,..., [Æ «] = 0.

Ersetzt man in der Summe der Fehlerquadrate [«ej jedesmal das eine s durch seinen Ausdruck in x, y, .. .t und beachtet die Gleichungen [ct c] = 0, . [6 c] = 0 u. s. w., so nimmt die Summe der Fehlerquadrate die Gestalt an

[ee] = [*e] = \at\x-\- [bl]y -f ... -f [kl] + [IT\.

Wenn man nun statt einer der Gröfsen x, y,... t z. B. statt x eine andere Gröfse h = x — xx einführt, wo xx irgend einen festen Wert bezeichnet, so gehen die Fehlergleichungen in die Form über

a h —J— b y —|— ... -J— k t —|— l — £,

wo l — l-\- axx. Die Gleichungen, denen dann h, y,.. genügen müssen, damit [«e] ein Minimum wird, werden:

[a a] h -j- [a b] y ... -|- [a k] t -)- [a l] = 0 \b a]h -\-[b b]y . -\-\bk]t -j- [6 Ï] = 0

[ka] h + [kb]y -f ... + [kk] t -f [H] = 0

und zugleich wird

[€£] — [^£] — [al]x-f- [bl]y    -f- [H] t-\- [l l]

dabei ist

und

[a l] = [al]-\- [a a] xx, [b /] = [6 £] -|- [6 a] xv = [k l] -J- [X; a] xx

[IÏ] = [Z X] -(- 2 [a /] xx -|- [a a\ x\

= [}    "f-    \.aQxi~\~ [al]

Wenn man xv so wählt, dafs [aï] verschwindet,

xx

[al]

so wird:

[er o]

[al]

[a a]

Mithin ist dann [l Ï] kleiner als [l l], und es wird auch dann kleiner als [l l] bleiben, wenn [a Ï] zwar nicht Null aber doch sehr klein gemacht wird.

Diese Wahl von xx ist dieselbe wie bei dem oben beschriebenen Verfahren zur Auflösung linearer Gleichungen. Man thut nun gut, zugleich mit den Gröfsen [a l], [b Ï], ..., [& Z], deren Berechnung nach dem beschriebenen Verfahren allein in Frage käme, auch den Wert [lJ] — [ll]-\-[a l]xx -\-[al]xx zu berechnen und dadurch bei jedem Schritt zu konstatieren, auf wieviel sich die Summe [l l] vermindert hat. Jeder Schritt würde nach dem Schema ausgeführt werden :

xx

Das Verfahren vermindert die Zahlen [al\ [6/],... [H], [lï\ mehr und mehr und nähert [ll] mehr und mehr dem Minimumswert von [««]. Das folgende Beispiel bilden 6 Normalgleichungen, die einer Stationsausgleichung entnommen sind.

18« —5 y +82

—    5« + 21 y + 42

—    8« + 4y +27 2    —5m

— 5z +14 u +6« + 72    +6m    + 20«

+ «    +5 w    —91.8 =0

- 3.6 = 0 + 7«    + 5 w —118.9 = 0

5«

+ 52

- 49.5 - 0 3 w — 63.9 = 0 — 3 v + 8w —75.5 = 0 -91.8« -3% -118.92 -49.5m -63.9« -75.5?« +1856.1 = [es]

Die Rechnung ist auf den Seiten 92 und 93 ausgeftihrt.

Es hat kaum einen Zweck, noch weiter zu rechnen, da die Zahl 501.15 nur noch um einen unerheblichen Betrag von dem Minimumswert von [ee] entfernt ist. Die beim letzten Schritt eingeführten Unbekannten erreichen absolut genommen etwa die Grenze 0.1. Bezeichnen wir sie mit «, ß, y, ö, e, §, so wäre nach dem Obigen

+ 0.1 a + 0.2 ß + 0.1 y — 0.8 ö +1.7 £ + 0.41 -f 501.15 = [es].

Mithin erreicht der Unterschied zwischen 501.15 und [ee] nicht die Gröfse 0.33; denn das ist der äufserste Wert, den

0.1 « + 0.2 ß + 0.1 y — 0.8 d + 1.7 £ -j- 0.4£

annehmen kann, wenn «, ß, y, ö, e, ^ absolut genommen nicht gröfser als 0.1 sein können.

Bricht man die Rechnung hier ab und setzt demnach

« = -j- 1.8, y — -}- 0.2, 2 = -f- 2.3, u — -(- 3.2, v = —j— 2.6, w = —{— 7.9,

so hat die Summe der Fehlerquadrate den Wert 501.15, was dem Minimumswert sehr nahe kommt. Ja man sieht, dafs kein wesentlicher Nachteil damit verbunden wäre, die Rechnung schon weit eher abzubrechen. Nur die ersten Schritte setzen die Summe der Fehlerquadrate beträchtlich herab. Nachher vermindert sie sich nur verhältnismäfsig wenig.

CO

tH

oq

S»

• rH

<v

ai

— 0.6

— 0.3

— 0.2 &

0Ç

CD

— 0.3

F0 —

+ 0.2

+ 3.2 + 2.6 +7.9 co

co

+ 0.2

+ 0.1

+ 0.2

+ 0.2 + 2.3

+ 0.5

+ 1856.1 — 679.5 — 31.5

+ 1145.1 — 363.6 — 43.6

+ 737.9 — 51.0 + 5.0 + 691.9 —111.8 — 3.8

+ 576.3 — 26.8 — 8.8

+ 540.7 — 16.1 + 3.9

+ 528.5 — 13.5 + 0.5

+ 515.5

—    4.9

—    0.4

+ 510.2

—    3.0

—    0.12 + 507.08

— 0.981

+ o.ioj

— 75.5 + 72

—    3.5

—    12

— 15.5

01 +

9Q1 —

— 5.5

- 0.5

+ 2.5

+ 2.5 + 2.5

+ 5.0 — 4.8

+ 0.2 + 1.0

+ 1.2    + 506.20

+ 0.9    —1.74

+ 0.06

+ 2.1    +504.52

— 0.63 + 0.09

—    63.9

—    27

— 90.9 4- 80

— 10.9 + 12

+ 1.1

+ 14

+ 15.1

+ 16.1 — 20

- 3.9

+ 2.1

+ 0.5

+ 2.6 + 1.8

+ 4.4 + 1.4

— 49.5

— 49.5 + 24

— 25.5 + 28

+ 2.5 — 10

— 7.5

— 7.5

— 13.5 + 14

+ 0.5

+ 0.5

+ 0.5 — 1.0

—    0.5    + 5.8

—    1.8    —6.0

— 0.2

+ 0.9 I — 2.4

— 0.3    +503.98 +0.2

+ 1.0 —0.8 — 0.08

+ 0.7

+ 0.2

+ 0.7    + 503.10

—    0.72

+ 0.12

+ 0.7    502.50

—    0.50 + 0.06

502.06

—    0.23

—    0.03

+ 0.7 + 0.3

+ 1.0    501.80

+ 0.5    — 0.24

+ 0.03 + 1.5    501.59

— 1.6    —0.30

+ 0.02

+ 0.9 + 0.2

+ 1.1

+ 1.2

+ 2.3 — 2.0

cot-o o

++

+ 1.0 + 0.6

—118.9

+ 45

— 73.9 + 28

-45.9 — 10

— 55.9 + 54

— 1.9

+ 6.1

— 0.9

— 5.9

—    1.9

—    3.0

— 4.9 + 5.4

+ 0.5

— 2.1

—    1.6    —2.3

—    1.5

— 3.1    —2.3

+ 1.6

—    2.3

—    0.2

— 1.5

+ 0.8

— 0.7    — 2.5

—1.0    + 2.8

—    1.7    +0.3

—    0.7    —0.6

— 2.4    — 0.3

+ 2.7    — 0.5

+ 0.3    — 0.8

— 1.0

— 0.8    +1.6    —0.1    501.31 +0.1

+ 0.1    +0.5    —0.17

+ 0.01

+ 1.8

501.15

Summe:

+ 0.4

— 0.8 I +1.7

-3.6

— 3.6

+ 0.4

— 1.6

+ 6.4

+ 1.4

+ 0.4

— 0.6

— 2.5

— 3.1

— 3.1 + 0.8

—    2.3

—    0.3

-91.8 + 45

— 46.8

— 42.8

- 42.8 + 16

- 26.8 + 18

— 8.8

— 9.8

— 9.8

— 0.8 — 3.0

— 3.8

+ 1.6

— 2.2

— 0.3

—    2.5    -2.6

—    1.5

— 2.6 — 1.0

— 4.0 + 3.6

— 3.6 + 4.2

0T-V 0 —

+ U.6 — 0.2

**S< -r-l

do

+ I ++

+ 0.7

+ 0.7    — 0.7

— 0.5    + 0.8

+ 0.1

+ 0.2

— 1.4

ro

ll—

— 1.5

+ 0.8

—    0.7

—    1.0

— 1.7

+ 1.8

F0 +

¹

Unter & ist hier, wie die linke Seite der Gleichung angiebt, die Drehung verstanden, die von der Richtung 14 in die Richtung 15 führt und je nach dem Drehungssinn positiv oder negativ gerechnet wird. Das Analoge gilt von und

IV. Abschnitt.

Ganze rationale Punktionen einer Veränderlichen.

§ 14. Berechnung einer ganzen rationalen Funktion.

Die Auflösung einer Gleichung f(x) = 0 läuft, wie im § 5 gezeigt wurde, auf eine wiederholte Berechnung von f(x) hinaus. Dies ist bei der Bestimmung der Wurzel oder der Wurzeln die wesentlichste rechnerische Arbeit. Es sollen in diesem Paragraphen einige Kunstgriffe auseinandergesetzt werden, welche die Bechnung erleichtern für den Fall, dafs es sich um ganze rationale Funktionen handelt, d. h. um Funktionen, die aus einer Summe von Gliedern bestehn, von denen jedes das Produkt einer positiven oder negativen Konstanten in eine ganze positive Potenz von x ist. Die Form ist also diese

a₀ xn -}- ax xn ~~¹ -f- a₂ xn ~² -(- ... an _ j x an.

Um diese Funktion für irgend einen Wert p zu berechnen, kann man zweckmäfsig folgendermafsen verfahren. Man berechnet nacheinander die Gröfsen bv b₂, bs ... bn, wo

hi =%P-\~ai b₂ = blP-\-a^

bs = b2P~ira 3

bn = bn _ i p —cin - i»

Dann ist, wie man sogleich sieht, bn der gesuchte Wert. Denn es ist

\ = \P + «₂ = HP² + HP + «2

^3 = \P + a3 = HP³ + HP* -f HP 4* a3

bn = bn_ !p + an = a₀pn + a±pn~l + ... + an Man thut gut, nach folgendem Schema zu verfahren

an — 1

<Xq dy d₂

K-2 P bn~yp

aoP bxp

by b₂

bn - i

Es ist dies eigentlich nichts anders als ein Schema für die Division von a₀ xn -j- ax xn ~ ¹ —(— .... —(— an durch x —p₇ das in etwas ausführlicherer Form geschrieben, so lauten würde:

x—p a₀xn-\- ax a;n_1+... + an a₀^w_1-j- b₁ xn~ ² -j- ... + 6M_ a₀xn—pa₀ xn

b± xn ~~¹

b₁xn-l—pb₁xn~²

b₂ xn ~ ²

bn

Die Gröfsen a₀ by b₂.... bn_ x sind die Koeffizienten des Quotienten und bn ist der Rest.

Wenn die Genauigkeit des Rechenschiebers ausreicht, so ist die Rechnung besonders bequem, weil die Multiplikationen alle mit demselben Faktor p auszuführen sind, die alle bei derselben Stellung des Schiebers abgelesen werden können.

Beispiel :

f{x) = 5.47 æ⁵ — 3.38æ⁴ + 2.57a;³ + 10.11a;² — 6.23a:

+ 5.43 = 0.

p = 0.93

5.47 —3.38 +2.57 + 10.11 —6.23 + 5.43 + 5.09 + 1.59 +3.97 + 13.10 +6.39 + 1.71    +4.16 + 14.08 +6.87 + 11.82=/+)

f{x) = + 11.82 + {x — 0.93) fy {x)

wo

fy (x) = 5.47 a;⁴ + 1.71 a;³ + 4.16 x* + 14.08 a: + 6.87.

Die Funktion j\ (x) hat nur positive Koeffizienten. Sie kann also für positive Werte von x nur positive Werte haben. Daraus folgt sofort, dafs eine positive Wurzel der Gleichung f(x) = 0 notwendiger Weise kleiner als 0.93 sein müfste.

Es kann mitunter zweckmäfsig sein, fx (x) von neuem in analoger Weise zu zerlegen, indem man durch x — q dividiert.

Beispiel:

g = — 0.93

5.47 + 1.71 +4.16 + 14.08 + 6.87 — 5.09 + 3.15

6.80 — 6.77

— 3.38 + 7.31 + 7.28 +0.10 fx O) — + 0.10 + (x + 0.93) (5.47 ^ — 3.38 .z2 + 7.31 x + 7.28)

und daher

/(«) = + 11.82 + 0.10 (x — 0.93)

+ (x — 0.93) (x + 0.93) (5.47 .r³ — 3.38 æ-² + 7.31 x + 7.28)

Auf diese Weise fortfahrend zerlegt man eine Funktion in eine Summe von Gliedern, von denen das erste den Wert für x — p darstellt. Die Summe der ersten beiden Glieder stellt eine lineare Funktion dar, die für x = p und x — q mit f(x) übereinstimmt, die Summe der ersten drei Glieder eine Funktion 2. Grades, die für x — p, x = qt x — r mit f(x) übereinstimmt u. s. f.:

/O) = f(p) + A (?) (*—p) + /a (*•) (x —P)    — ?)

+ A 00 (x — V) ix — ?) (x — r) + etc-

Aus dieser Entwicklung ergeben sich für f(p), /(?), f(r), /(«) etc. die Gleichungen

f(p)=f(p)

/(?) =f(p) +/i (?) (q—p) f(r) = f (p) +/i (?) (r — p)+A (r) (r —p) (r — ?) /(«) =f(p) +/i (?) (s —p) +/₂ (r) (s —p) (s — ?) +/₈ (s) (s — p) (⁵ — ?)(* — r)etc-

Beispiel:

/ («) =7xb — 5.47 <®³ + 3.33 .r² + 1.72 x — 0.15 p = 0 q — + 0.2 r = — 0.2 « = + 0.5 t = — 0.5

0 —5.47    +3.33 + 1.72 —0.15 =/+)

+ 1.4 +0.28 — 1.04 +0-4:6 -

0.00    +1.04

+ 1.4 — 5.19    + 2.29 + 2.18 = fx (q)

— 1.4

0.0 — 5.19    + 3.33 = /„ (r)

+ 3.5 +1.75 -

+ 3.5    — 3.44 = /₃ (s)

— 3.5 -

0+=/₄ +

/(«) = — 0.15 + 2.18 x + 3.33 x(x— 0.2) — 3.44 x (x — 0.2) (x + 0.2)

+ 7 x {x — 0.2) (x + 0.2) (x — 0.5) {x + 0.5).

§ 15. Berechnung einer ganzen Funktion aus einer Anzahl ihrer Werte.

Wenn von der Funktion f(x) nicht die Entwicklung nach Potenzen von x gegeben ist, dafür aber eine Reihe von Werten der Funktion / (p), /(+, f(r) ete. gegeben sind, so kann man die Zerlegung in die Form

/ (p) + A (?) (* — P) + A (r) (* —!>)(« — ?) + etc.

direkt finden, indem man die Werte fx (q), /₂ (r) etc. aus den Gleichungen

/(?) = /(j>) +/i (?) (? — P)

ftf) =/(P) +/i (?) (»* — P) +/a (r) (r — P)(r~ ?) etc-

berechnet. Ist der Grad von f(x) gleich n, so mufs man die Werte von f(x) für n+1 Werte p, q, r etc. kennen, um die Koeffizienten aller Glieder zu finden.

Die Rechnung kann in folgender Weise durchgeftihrt werden. Man schreibe die Werte p, q, r, ... in eine Kolonne und ebenso die Werte /(p), /(/), /(/), ... und ziehe in beiden Kolonnen den ersten Wert von den übrigen ab. Wenn die Kolonnen mehr als drei Zahlen enthalten, so schreibt man, um die Differenzen zu bilden, die ersten Glieder am besten auf einen Zettel, den man an den übrigen Zahlen entlang führt. So erhält man die beiden Kolonnen

Runge, Praxis der Gleichungen.

welche verschwindet.

dg

etc.

/(?)—/+)

/»— /(p)

/(*) ~/O)

etc.

Jetzt dividiert man die beiden ersten Glieder durcheinander, die beiden zweiten Glieder durcheinander u. s. f. Auf diese Weise ergeben sich die Werte fx (q),A (r), ft (s) etc.

Die Kolonne dieser Werte wird dann mit der Kolonne q, r, s, . . . oder auch q — p, r — p, s — p, ... wieder ebenso behandelt und ergiebt die Kolonne f₂ (r), f₂ (s) ... u. s. f.

Beispiel. Der Gang g eines Chronometers soll als ganze Funktion 2. Grades der Temperatur t dargestellt werden. Der Gang ist für drei Temperaturen beobachtet:

Gang + 3.12 + 4.23 + 2.52

Temperatur

21.5°

30.2°

5.5°

sec

sec

Daraus

Differenzen

Differenzen

Quotient

Quotient

1.11 + 0.128 — 16.0 — 0.60 + 0.038

Mithin

g = 3.12 + 0.128 (< — 21.5) + 0.00365 (t — 21.5) (t— 30.2). Man führt nun besser die Temperatur t₀ ein, für

8.7

— 24.7 — 0.090 + 0.00365

= 0.128 + 0.00365 (2 t— 51.7)

= 0.00365 (35.1 + 21 — 51.7)

= +- 8.3.

Und indem man jetzt nach Potenzen von t —1₀ ordnet, mufs die erste Potenz wegfallen:

g = 2.49 + 0.00365 (t— 8.3)².

Die Berechnung eines Wertes der Funktion /(#), die in der Form

f(?) =f(p) + A (?) (*—p) + Ù W 0—p) 0® — ?) + •• •

gegeben ist, läfst sich in ähnlicher Weise ausführen, wie wenn die Entwicklung nach Potenzen von x gegeben ist. Sei z. B. / (x) vom dritten Grade

/ («) = «3 + s 0 — p) + ai (x—p) 0* — q)

+ «0 0»—p) 0 — q) {x — r),

so kann der Wert für x = u so gefunden werden. Man berechnet successive

b₁ — a₀ (u — r) -f- ax

K = \ (w — <?) 4~ a₂

h = K (u —p) + «3

Dann ist bz=f(u). Das Verfahren ist dasselbe wie das oben S. 95 auseinandergesetzte, nur dafs dort an Stelle der Faktoren u — r, u — ç, u—p drei gleiche Werte treten. Die Rechnung kann nach einem ähnlichen Schema geschehen wie oben

ao

ax

a₃

a₀ (u — r) b₁ (u — q) b₂ {u — r)

l.

u — q

Beispiel. In dem obigen Ausdruck für den Gang eines Chronometers

g = 3.12 -f 0.128 {t — 21.5) + 0.00365 (t — 21.5) {t — 30.2) soll der Wert von g für t =    8.3 berechnet werden

-f 0.00365    -j- 0.128    + 3.12

— 0.080    — 0.63

-j-0.048    4- 2.49 = 0(8.3)

u — 8.3 g = 30.2

— 21.9

Die Berechnung von / (p), fx (q), /₂ (r) etc. ist erheblich einfacher, wenn von den Gröfsen p, q, r etc. je zwei aufeinander folgende die gleiche Differenz haben. Ist nämlich q — p — r — q = ... = h und schreibt man die Entwicklung von / (x) in der Form

u — 8.3 p = 21.5 — 13.2

f{x) = A₀ -f At (x — p) 4

2i (x—p) 0 —?) S V ^    ?) (* — »*) + etc.

A.

so ist

A/O) =/0 -f ä) — /O) = Ä-f h A₂ (x — p)

t 2 ; - 0® — P) 0 — ?) + etc.

Denn x-\- h — q = x — p, x -\- h — r = x — q etc. ; daher z. B.

(x -(- h — p) (x -}- h — q) (x -j- h — r) — [x —p) (x — q) (x — r) = (x-\-h —p) (x —p) (x — q) — (x —p) (x — q) (x — r)

—    [{x -j- h —p) — (x — r)] {x — p) (x — q)

—    3 h (x — p) {x — q).

Mithin ist

h A — A/0).

Bildet man in derselben Weise A²/(/) = h.f(x -j- h) — A f{x), so ergiebt sich

a²/0) =    + a²^3 0—p) H

Daher ist

VA,

2\ (x~ P){x~?) + •••

Ä*^ = AV(p)

und in derselben Weise fortfahrend beweist man allgemein für jeden Wert von r

hr Ar— Ar/(jp).

Ist f{x) vom n ten Grade, so mufs A fix) vom n — lten Grade sein, weil sich das Glied der höchsten Potenz von x in der Differenz fix -j- h) — f(x) forthebt. A²/(/) ist vom n — 2 ten Grade u. s. w. Anf(x) ist von x unabhängig und alle folgenden Differenzen sind Null.

Aus der Reihe der Werte

fip\ A/O), A²/0), ••An-¹/0)> Aw/0)

findet man durch blofse Addition die Reihe der Werte

fiq), bfiq), A-fiq\ ...A"-¹/^), Aw/0).

§ 15. Berechnung einer ganzen Funktion aus einer Anzahl etc. 101 Denn es ist

/(<?) =/(*>) + A/(p)

A/(/> = A/(p)4 AV(P) a”/(2) = aV(p)-

Auf dieselbe Weise findet man aus den Werten /(/), A/(§), ... die Werte /(r), Af(r), A²/(>) • • • u. s. f.

Z. B.

/ 4) = 7    — 5.47 æ³ + 3.33 ^² + 1.72 x — 0.15

p =— 2, q =— 1, r = 0, s = —(— 1, t — -\-2

— 14 -f28

— 43.53 4 85.26

— 21    4 43.53 —85.26 4 170.44 = A/4)

4 7 —14

— 14 4 29.53 414

A7(p) +:

AV4)

—f) ₌

—    24

} = AV(p)

120

Für die Reihe f(p), A f(p), A²/(p), etc. erhalten wir also die Werte:

f(p) = — 170.51 A/4) = 4 170.44 A²/4) = —170.52 A7(P) = +177.18

AV(j>) =

AV(P) = + 810

und können nun aus diesen durch Addition je zweier untereinander stehender Zahlen die entsprechenden Werte für q und aus diesen die für r u. s. w. ableiten.

t -j- h

0.07

0.15    4-    6.43    + 196.85    1588.29

—    0.08    +    6.58    -f    190*42    + 1391.44    etc.

+    6.66    -j-    183.84    +    1201.02    +3898.20

+ 177.18    +    1017.18    +    2697.18    + 3217.18

+ 840    +    1680    ' +    2520    +3360

+ 840    +    840    +    840    + 840

Durch die umgekehrte Rechnung kann man *aus der Kolonne für p auch die Werthe f(p— k), A/(p — h) ... finden und aus diesen die für p — 2 h u. s. f.

p — h

—    1528.65

+ 1358.14

—    1187.70 + 1017.18

840

+ 840

Man mufs dabei in der Kolonne von unten nach oben

rechnen.

Man wird gut thun, zur Kontrolle einen der so abgeleiteten Werte z. B. /(£ + /*) noch einmal direkt zu berechnen.

7    0    —5.47    +3.33    + 1.72    —0.15

+ 21 +63    + 172.59 + 527.76 + 1588.44

+ 21 +57.53 + 175.92 + 529.48 + 1588.29 =/(3).

Dadurch sind gleichzeitig die Werte f (q), f (r), f(s), f (t) kontrolliert, deren Fehler ja bei der ersten Art der Berechnung in den Wert von    eingeht.

§ 16. Die Auffindung der Anzahl der reellen Wurzeln.

Handelt es sich um die Wurzeln der Gleichung f(x) = 0, so sieht man sogleich ein, dafs, wenn h positiv ist, und die Glieder einer Kolonne abwechselndes Zeichen haben, wie hier z. B. für x—p — ä, keine Wurzel der Gleichung existieren kann, die kleiner ist als p — h. Denn die samtliehen Differenzen x — (p — 7t), x — p, x — q, x — r etc. sind für x <^p— h negativ. Daher haben die Produkte

x-(p-h); (x — (p — h)) (x-p)‘, (x-(p-h)(x—p)(x-q) etc.

abwechselndes Zeichen und die sämtlichen Glieder in der Entwicklung

/(«) = f(P — ll) + h ~¹ hf(p — h) (x — (p — h))

₂ A²/(P — j)

haben das gleiche Vorzeichen. Daher kann ihre Summe nicht verschwinden. Derselbe Satz bleibt noch bestehen, wenn einzelne Glieder der Kolonne Null sind. Es kann z. B. hier keine Wurzel geben, die kleiner ist als — 2.

Wenn alle Glieder einer Kolonne das gleiche Zeichen haben wie z. B. hier für x = s — -)- 1, so giebt es keine Wurzel, die gröfser ist als s -f- (n — 1). h, wo n den Grad der Gleichung bedeutet. Denn in der Entwicklung

h~n An/(s)

n!

{x — s) . . . {x — s — h) .. .{x — s — (n — 1) h)

1) h alle Glieder von gleichem Zeichen.

sind für x > s -f- (n Wenn h negativ ist, so schliefsen wir in analoger Weise, dafs a-\-[n—1) /z eine untere Grenze der Wurzeln bildet, sobald die betreffende Kolonne lauter gleiche Vorzeichen aufweist und b eine obere Grenze, wenn die entsprechende Kolonne lauter abwechselnde Vorzeichen enthält. In unserm

Falle würden die Wurzeln nur zwischen — 2 und -J- 5 liegen können. Eine noch engere obere Grenze erkennen wir aus der Kontrollrechnung für x = 3 (S. 102). Hier sind die Koeffizienten a₀, 6₁₅ 7>₂, .. bb alle positiv. Da nun

f{x) = bh + {x — 3) (a₀ xi + bx x³ -f b₂ x² + bä x -f bà)

so sind für x^>3 alle Glieder positiv. Die Wurzeln unsrer Gleichung liegen daher zwischen — 2 und -f⁻ 3.

Man kann nun mit einem kleineren absoluten Wert von h die Rechnung wiederholen.

Z. B.

h — — 0.2

—0.2 t = — 0.4

p — -j- 0.4 q = -j- 0.2 r — 0 s =

0    —5.47 +3.33    + 1.72    —0.15

+ 2.8 + 1.12 — 1.74    + 0.636    + 0.9424

+ 2.8    —4.35    +1.59    +2.356    +0.7924

+ 1-4    +0.84    —0.702    +0.1776 -

+ 4.2    — 3.51    + 0.888    + 2.5336

— 1.4 —0.56 - -“

+ 2.8 —4.07

— 2.8 -

0.0

A f{p) = — 0.50672 A²/(p) = + 0.07104

= + 0.888 Xä²

/+) = +0.7924 A/(p) = + 2.5336 XÄ A Y(P)

a V(y)

4.07 X hs

A ⁸/(p) = + 0.19536

Xä⁴

A⁴/0)

24

A⁵/+) __    ?

120

Xä⁵

A⁵/Cp) = — 0.26880

p — -1-0.4 q = + 0.2

s= — O.Lf

t = — 0.4

— 0.6

— 0.8

— 1.0

f    + 0.7924

Jf    — 0.50672

J*f    + 0.07104

+ 0.19536

J'f

—0.26880

+ 0.28568

-    0.43568 + 0.26640 + 0.19536

—    0.26880 — 0.26880

-0.15

-    0.16928 + 0.46176

—    0.07344

-    0.53760

—    0.26880

—    0.31928 + 0.29248 + 0.38832

—    0.61104

—    0.80640

—    0.26880

- 0.02680 4- 0.68080

—    0.22272 —1.41744

—    1.07520

—    0.26880

4- 0.65400 + 0.45808 -1.64016

—    2.49264 —1.34400

-    0.26880

+ 1.11208 —1.18208

— 0.07

ferner

p — + 0.6

+ 1.4436

—    0.65120 + 0.14448

—    0.07344 + 0.26880

—    0.26880

Darans folgt, dafs die Wurzeln zwischen —1.8 und + 0.6 liegen müssen und zwar geht aus den Vorzeichen

der berechneten Werten von f(x) hervor, dafs eine Wurzel zwischen — 1.0 und — 0.8, eine zweite zwischen — 0.6 und — 0.4 und eine dritte zwischen 0 und -}- 0.2 liegt. Indessen ist nicht sogleich zu übersehen, dafs zwischen den Grenzen — 1.8 und -j- 0.6 nicht noch mehr als drei Wurzeln liegen. Es könnten aber nur entweder drei oder fünf Wurzeln sein. Denn in einem Intervall, an dessen Grenzen f{x) das gleiche Vorzeichen hat, kann nur eine grade Anzahl von Wurzeln liegen, und in einem Intervall an dessen Grenzen f(x) entgegengesetztes Zeichen hat, kann nur eine ungrade Anzahl liegen. Es kann die Anzahl der Wurzeln also wohl gröfser sein als die Anzahl der in der Reihe der berechneten Werte von fix) vorhandenen Zeichenwechsel, aber sie kann nur um eine grade Zahl gröfser sein.

Man kann nun aus den Vorzeichen der Werte von A /, A²/ etc. noch weitere Schlüsse über die Anzahl der vorhandenen Wurzeln ziehen. Um diese Schlüsse auseinander zu setzen, müssen wir aber etwas weiter ausholen.

Es sei eine Reihe von Zahlen gegeben.

Aq A₁ A₂ ... An_\ An,

die wir zunächst alle von Null verschieden voraussetzen. Unter der Anzahl der Zeichenwechsel dieser Reihe versteht man alsdann die Zahl, welche angiebt, wie viel mal es in der Reihe vorkommt, dafs zwei benachbarte Werte entgegengesetztes Vorzeichen haben.

Aus dieser Reihe werde eine andere abgeleitet, indem man eines der Glieder z. B. Ar durch den Wert B — Ar —J— w Ar — i

ersetzt, wo m ein positiver Wert sein soll. Die Anzahl der Zeichenwechsel der neuen Reihe

Aq A₁ Aq .. . Ar _ i B Ar_^_i ... An würde, wenn Ar und    das gleiche Vorzeichen besitzen,

erhält. In diesem Falle geht der Zeichen-

B über.

dieselbe sein müssen, wie die der ersten Reihe, weil B dann dasselbe Zeichen wie Ar haben mufs. Wenn aber Ar und Mr_x entgegengesetztes Vorzeichen besitzen, so kann der Fall eintreten, dafs B ein anderes Vorzeichen als Ar nämlich dafs von Ar

Entweder

Wechsel von Ar-i Ar in eine Zeichenfolge Ar Nun können drei Möglichkeiten eintreten.

Ar Ar+1 war eine Zeichenfolge, dann ist BAr+1 ein Zeichenwechsel; oder ArAr+1 war ein Zeichenwechsel, dann ist BAr + 1 eine Zeichenfolge; oder endlich es ist r = n. Im ersten Falle ist die Anzahl der Zeichenwechsel in der neuen Reihe dieselbe wie in der alten; denn für das verlorene Zeichenwechsel Ar_i Ar ist ein neues B Ar + 1 aufgetreten. Im zweiten Falle ist die Anzahl der Zeichenwechsel in der zweiten Reihe um zwei Einheiten kleiner als in der ersten Reihe; denn die beiden Zeichenwrechsel Ar _, Ar und ArAr+1 gehen in die Zeichenfolgen Ar-\B und BArJri über. Im dritten Falle ist die Anzahl der Zeichenwechsel in der neuen Reihe um eine Einheit kleiner als in der ersten Reihe; denn der Zeichenwechsel An _ j An ist in die Zeichenfolge B übergegangen. Die Anzahl der Zeichenwechsel kann sich also keinesfalls vergröfsern, sondern höchstens vermindern, entweder um eine oder um zwei Einheiten. Um eine Einheit vermindert es sich dann und nur dann, wenn das letzte Glied der Reihe das Vorzeichen wechselt.

An

Man denke sich nun die neue Reihe mit demselben oder irgend einem andern Werte von m in derselben Weise wieder abgeändert, so gilt dasselbe. Es kann die Anzahl der Zeichenwechsel nur abnehmen niemals zunehmen, und so oft das letzte Glied der Reihe sein Vorzeichen wechselt, mufs ein Vorzeichen verloren gehn, im andern Falle können nur je zwei verloren gehn. Wenn man diese Rechnung eine beliebige Anzahl Male wiederholt hat und es ist dabei l Mal vorgekommen, dafs das letzte Glied von einer Reihe zur nächsten wechselte, so ist die Anzahl der im Ganzen verlorenen Zeichenwechsel entweder gleich l oder um eine grade Ad zahl gröfser.

Wenn z. B. aus der Reihe

CÏq    $2 • • • •

nach dem oben angegebenen Schema die Reihe der Gröfsen

«o ^2 • • • •

• •>

berechnet wird, wo bx = p a₀, b₂ = a₂ pbt . . bn = an -(- p bn _ i und p eine positive Gröfse bedeutet, so kann die zweite Reihe nur weniger nicht mehr Zeichenwechsel enthalten und die Zahl der verlorenen Zeichenwechsel ist grade oder ungrade je nachdem an und b„ das gleiche Zeichen haben oder entgegengesetztes.

Dieselbe Bemerkung gilt auch für die Werte, die wir mit Hilfe der Regel

Ar /O) + Ar +¹ f{ce) = A rf (x + Ä)

aus der Kolonne

/(p)

A/0)

A”/(p)

aufbauen.

So haben wir z. B. in der Tabelle auf Seite 104 in der Kolonne für q = -|- 0.2 drei Zeichenwechsel, in der folgenden (r — 0) zwei, in der nächsten wieder zwei, dann wieder zwei, eins, eins und endlich keins mehr. Die Anzahl nimmt von Kolonne zu Kolonne niemals zu, sondern bleibt entweder gleich oder vermindert sich. Es braucht dabei auch nicht ausgeschlossen zu sein, dafs eines oder mehrere Glieder verschwinden. Man mufs dann nur die Zeichenwechsel so zählen als ob die Glieder gar nicht vorhanden wären. So hat man z. B. in der Kolonne jo = -j— 0.4 drei Zeichenwechsel zu zählen.

Vorausgesetzt nun, dafs der Unterschied h zweier aufeinander folgenden Werte p, q, r . . . so klein ist, dafs f{x) nicht mehr als einmal sein Zeichen wechselt, wenn x ein solches Intervall von p zu q oder von q zu r etc. durchläuft, und wenn bei jeder Wurzel f(x) sein Zeichen wechselt, so mufs in jedem Intervall in dem eine Wurzel liegt, bei den betreffenden beiden Kolonnen eine ungerade Anzahl von Zeichenwechseln verloren gehn. Die Anzahl der Zeichenwechsel, die von einer Kolonne (x = p) zu einer andern (x = p -j- X k) verloren geht, ist daher gleich der zwischen p und p-\-lh gelegenen Wurzeln oder um eine grade Zahl gröfser ; d. h. man kann aus den beiden Kolonnen allein auch ohne die zwischen liegenden Kolonnen zu kennen einen Schlufs auf eine obere Grenze der Wurzeln machen. Vorausgesetzt, dafs h hinreichend klein ist, folgt z. B. aus den Kolonnen für x = 0 und x— — 1, dafs in diesem Intervall nicht mehr als zwei Wurzeln liegen. Läfst man h sich der Null nähern, so geht A f.h~l in /', A²f.h~² in /" über u. s. w. Für positive hinreichend kleine Werte von h haben daher A”/, An~} f, ... A/,/ dieselben Zeichen wie

Wir erhalten daher den Satz, dafs die Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe /w (x), ßn ~ (/), ... f (x), f{x) mit wachsenden Werten von x sich nur vermindern kann und dafs die Anzahl der in einem Intervall verlorenen Zeichenwechsel der Anzahl der Wurzeln, die in dem Intervall liegen, entweder gleich ist oder sie um eine grade Anzahl übertrifft.

fn

Die Werte der Reihe ^-r, -—r.

n ! (in — 1) !

für irgend einen Wert p in derselben Weise berechnen, in der oben (S. 96) die Koeffizienten der Entwicklung

/-

kann man

/O)    + /(?) 0 — p) +/a (»*) 0» — P) (« — q) + etc.

berechnet worden sind. Man braucht nur die Werte p,q,r... alle einander gleich zu machen; dann geht die Entwicklung in die Entwicklung nach Potenzen von x—p über und folglich wird

fi (?) = f (P)

A (f) =

f" (P)

2!

etc.

. . /'. / kommt es . . nicht an. Man hat daher

Für die Vorzeichen von ßn\ fn~ auf die Nenner

n\

nicht nötig, die gefundenen Zahlen /₂ (r), f₃ (s) . . . erst mit 2!, 3! . . . zu multiplizieren.

Die Vorzeichen von/(w)ßn~ ]).. ./'/für das Argument 0 sind identisch mit den Vorzeichen der Koeffizienten, wenn f{x) nach fallenden Potenzen von x entwickelt ist. Daher giebt die Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe der Koeffizienten eine obere Grenze für die positiven Wurzeln, hinter welcher die Anzahl der positiven Wurzeln nur um eine grade Zahl Zurückbleiben kann. So sieht man z. B. aus den Koeffizienten der Funktion 5. Grades S. 104

Ix⁵ — 5.47 .z³ + 3.33 æ² + 1.72 x — 0.15, dafs sie höchstens drei und mindestens eine positive Wurzel

hat. Verwandelt man x in —x, so erhält man auf dieselbe Weise eine obere Grenze für die negativen Wurzeln. Die Reihe der Koeffizienten giebt dann 2 Zeichenwechsel. Es existieren daher entweder 2 oder gar keine negativen Wurzeln. Die Tabelle S. 104 läfst erkennen, dafs mindestens eine Wurzel zwischen — 0.8 und — 1.0 liegt. Da es nur zwei negative Wurzeln giebt, so liegt in jedem dieser Intervalle eine und nur eine Wurzel. Von der Kolonne für x — + 0.2 zu der für x = 0 geht ein Zeichenwechsel verloren. Wir vermuten daher, dafs nicht mehr als eine Wurzel in dem Intervall liegt. Der Schlufs ist aber nicht sicher, weil möglicherweise der Wert von h (die Tabelle ist mit h = — 0.2 berechnet) nicht klein genug ist.

0.4 und — 0.6 und eine zwischen

Wir berechnen daher für x = 0.2 die Reihe der Ab-

leitungen:

y⁽⁵⁾(Q-2)

—    =7 0    —5.47 +3.33 +1.72 —0.15

1.4 + 0.28 — 1.038 + 0.46 + 0.44

1.4 —5.19 +2.292 +2.18 +0.29=/(0.2)

1.4 +0.56 —0.926 +0.27

2.8 — 4.63 + 1.366 + 2.45 =/' (0.2) 1.4 + 0.84 — 0.758 ~

4.2 —3.79 +0.61 1.4 + 1.12

/" (0.2)

2!

5.6 — 2.67

r (o.2)

1.4

3!

7.0 =

/⁽⁴⁾ (0.2)

4!

Es ergeben sich damit die folgenden Vorzeichen

Anzahl der Zeichenwechsel

0 : -\---b H--

^ = + 0.2 : + ---b + + 2

Differenz: 1

Es ist ein Zeichenwechsel verloren; daher liegt in dem Intervall nicht mehr als eine Wurzel. Die Berechnung der

Werte von //' etc. braucht nur mit solcher Genauigkeit ausgeführt zu werden, dafs man das Vorzeichen der Gröfsen erkennen kann. Im allgemeinen wird die Genauigkeit des Rechenschiebers vollkommen ausreichen.

Von der Kolonne für x — 0.6 zur Kolonne für x = 0.4 sind zwei Zeichenwechsel verloren. Wenn h klein genug ist, mufs dasselbe für die Reihe der Ableitungen gelten. Es ergiebt sich nun:

/⁵( 0.4)

5!

+ 14.0

r (q-4)

f" (0.4)

2!

f* (0-4)

4!

Es zeigt sich, dafs schon für x = + 0.4 in der Reihe der Ableitungen keine Zeichenwechsel vorhanden sind. Es giebt folglich keine Wurzeln zwischen x = + 0.4 und x = + oo. Dagegen fanden wir oben für x = + 0.2 in der Reihe der Ableitungen zwei Zeichenwechsel. Es könnten also zwischen x = + 0.2 und x — + 0.4 zwei Wurzeln liegen. Man kann sich aber sogleich überzeugen, dafs keine Wurzeln in dem Intervall liegen. Denn da positiv ist, so nimmt

/( 4)

•~y- mit wachsendem x zu und, da die Werte für x — + 0.2

und x = + 0.4 positiv sind, so ist /⁽⁴⁾ in dem ganzen Intervall

m

positiv. Folglich wächst mit wachsendem x von — 2.67

bis + 4.72. Daraus ergiebt sich, dafs f" (x) zunächst abnimmt und dann wieder zunimmt. Da aber die Abnahme nicht stärker sein kann als —2.67x3! auf die Einheit

der Zunahme von x, und also auf eine Zunahme von 0.2 nicht mehr als — 2.67 X B! X 0.2 = — 3.2, so kann /" in dem Intervall, wenn es überhaupt negativ wird, nicht kleiner sein als + 0.61 X 2! — 3.2 = — 2.0 und /' kann mithin mit wachsendem x nicht stärker abnehmen als — 2.0 X 0.2 = — 0.4, wenn es überhaupt abnimmt. Somit bleibt /', da es für x = 0.2 den Wert + 2.45 hat, in dem ganzen Intervall positiv, und f(x) mufs infolgedessen mit wachsendem x von + 0.29 bis -f- 0.79 wachsen und kann daher nicht verschwinden.

Die Gleichung hat daher drei und nicht mehr als drei reelle Wurzeln.

§ 17. Die Berechnung der reellen Wurzeln.

Die genauere Berechnung der reellen Wurzeln geschieht ebenfalls zweckmäfsig mit Benutzung des Schemas, nach dem die Reibe der Ableitungen gefunden wird.

Beispiel. Es soll die Wurzel zwischen x + 0.2 und x — 0 genauer berechnet werden.

1. Näherungswert x — 0.1.

Man beregne zunächst / (0.1) und /' (0.1).

5.47 + 3.33 + 1.72    —0.15

+ 0.7 +9.07 — 0.54 +0.279 +0.1999

0.7 —i.40 +2.79 + 1.999 + 0.0499= /(0.1) 0.7 + \u — 0,526 + 0-2264

1.4 —5^6 + 2.264 + 2.2254 = f (0.1)

Setzt man die Wurzel gleich 0.1 + u und vernachlässigt die Glieder zweiter\Ordnung in u, so ergiebt sich für u die Gleichung    \

0D499 + 2.2254 w = 0

d. i.

u = — 0.022

also für die Wurzel

x = + 0.078

Näherungswert, den man nun in

Dies ist ein neu derselben Weise behandeln kann:

+ 7 o —5.47    +    3.33    +1.72    —0.15

+ 0.55    0.04    —0.42    +0.227    +0.1519

+ 0.55 —5.43    +    2.91    + 1.947    + 0.0019 =/(0.078)

+ 0.55 + 0.86    —    0.36    + 0.199

1.10 —4.57 + 2.55 +2.146=/' (0.078)

Das giebt die neue Verbesserung

/'

= — 0.0009

und den Wurzelwert « = + 0.0771.

Da man sieht, dafs f in dem Intervall vom Näherungswert bis zur Wurzel seinen Wert in den ersten beiden

ihres Betrages richtig und die

lAj

Stellen 2.1 kaum mehr ändert, so ist die Verbesserung — auch auf weniger als

Wurzel +0.0771 ist auf weniger als eine halbe Einheit der letzten Stelle genau.

Will man die Wurzel genauer berechnen, so kann man entweder in derselben Weise fortfahren, wobei dann aber mit mehr Stellen als bisher gerechnet werden müfste oder man kann von vorne herein die Rechnung in einer etwas anderen Weise durchführen.

Man kann nämlich gleich mit dem ersten Näherungswert 0.1 nicht nur /(0.1) und f (0.1), sondern auch die Werte der übrigen Ableitungen ausrechnen.

1.4 —5.26 + 2.264 + 2.2254 =/' (0.1) 0.7 + 0.21    — 0.505

2.1 —5.05 + 1.759 0.7 + 0.28 2.8 —4.77 =

r (Q-i)

f" (0-1)

2!

0.7

3!

3.5

/⁽⁴⁾ (0-1)

4!

Setzt man die Wurzel gleich 0.1 + u, so ist u eine Wurzel der Gleichung

7 w⁵ + 3.5 u⁴ — 4.77 w³ + 1.759 u- + 2.2254 m + 0.0499 = 0.

Man rechnet nun mit dieser Gleichung weiter. Wenn man keine rechnerischen Hilfsmittel benutzt, so geht man jedesmal nur um eine Ziffer weiter und setzt z. B.

0.02 + h

7 + 3.5    —4.77    + 1.759 + 2.2254    + 0.0499

— 0.14 — 0.067 + 0.0967 — 0.037114 — 0.04376572 + 3.36 —4.837 + 1.8557 +2.188286 + 0.00613428

—    0.14 —0.064 + 0-0980 —0.039074 "

+ 3.22 —4.901 + 1.9537 + 2.1492hT

—    0.14 — 0.062 + 0.0973 + 3.08 —4.963 + 2.0510

—    0.14 — 0.059 “ + 2.94 —5.022 — 0.14 ” + 2.80

Mithin

7 P + 2.80 P — 5.022 P + 2.0510 h-+ 2.149212 h + 0.00613428 = 0.

Die letzten beiden Glieder geben dann als nächsten Schritt h = — 0.003 + k.

Man braucht nun bei den ersten Koeffizienten nicht mehr alle Stellen aufzuführen, weil eine Vernachlässigung in den ersten Koeffizienten für die letzten Koeffizienten nur eine viel kleinere Vernachlässigung nach sich zieht.

7 +2.80 — 5.022 + 2.0510 +2.149212 + 0.00613428 — 0.02 —0.008 +°-Q151 —0-006198 —0.00642904

0.008 + 0.0151 —0.006244

+ 2.78 —5.030 + 2.0661 +2.143614 —0.00029476 — 0.02

+ 2.76 —5.038 + 2.0812 +2.136770 — 0.02 —0.008 +⁰-⁰¹⁵¹

+ 2.74 —5.046 +2.0963 — 0.02 —0.008

2.72 —5.054 — 0.02

+ 2.70

Aus den letzten beiden Gliedern ergiebt sich wieder die folgende Verbesserung. Man kann nun aber auch gleich mehr Stellen der Wurzel finden, indem man bemerkt, dafs der vorletzte Koeffizient bis etwa zur dritten Dezimale hin durch die folgenden Schritte nicht mehr geändert wird. Man kann daher die Division des letzten Koeffizienten durch den vorletzten gleich weiter ausführen und erhält den Zuwachs, der an dem so weit gefundenen Näherungswert der Wurzel anzubringen ist bis auf einen Fehler von weniger als UTSTTÏT

2.1368 0.00029476 0.0001379 21368    .

8108

6410

CO CO 05 OO

I-¹ to CO O to to

Die Wurzel ist also

0.1

— 0.02 — 0.003 -|- 0.0001379

+ 0.0771379

Zweites Beispiel:

f(x) — 21xls — 53 æ⁷ —|— 65 x'° -j~ 312 x² — 74 = 0.

Die Reihe der Koeffizienten giebt 3 Zeichenwechsel. Daher hat die Gleichung entweder drei oder eine positive Wurzel. Verwandelt man x in — x, so ergeben sich 4 Zeichenwechsel; es giebt daher entweder 4 oder 2 oder gar keine negativen Wurzeln.

Die Entwicklung nach Potenzen von x — 1 werde in der oben beschriebenen Weise begonnen:

Da hier alle Zahlen der Horizontalreihe positiv sind, so braucht man nicht weiter zu rechnen, um zu erkennen, dafs aufser /(l) und f (1) auch alle übrigen Koeffizienten der Entwicklung nach Potenzen von x — 1 positiv sind. Denn die weiteren Zahlen ergeben sich ja durch blofse Additionen von positiven Zahlen. Es giebt daher keine positiven Wurzeln, die gröfser als 1 sind. Man erkennt ferner sogleich, dafs f'(x) für x = 0 bis 1 nur positiv sein kann. Denn in der Summe

21 X 13æ¹² — 53 X 7æ⁶ -|- 65 X 5æ⁴ -f- 312 X 2Æ wird für x = 0 bis 1 das negative Glied — 53 X 7 æg schon von dem Gliede 312 X 2æ überwogen. f(x) nimmt deshalb in diesem Intervall mit wachsendem x zu und kann mithin zwischen x — 0 und x = 1 nur eine Wurzel haben. Folglich besitzt die Gleichung eine und nur eine positive Wurzel. Es sei die Aufgabe, diese Wurzel zu berechnen.

Unter Vernachlässigung der Glieder höherer Ordnung setzen wir statt fix) = 0 die Gleichung 312 x- — 74 = 0

und erhalten daraus, indem wir uns auf 2 Dezimalen beschränken, als erste Näherung

x — 0.49.

Nun werden, um eine genauere Annäherung zu finden, die Werte / (0,49) und f (0,49) berechnet. Dabei können bei den Koeffizienten der höheren Potenzen die Rechnungen mit einer geringen Anzahl von Stellen durchgeführt werden, weil die Werte von / und f nur wenig davon beeinflufst werden. Es genügt bis zum Koeffizienten von x- die Genauigkeit des Rechenschiebers:

— 53 + 0.29

+ 21 0

— 25.8

+ 10.3    + 5.04 -F 2.47 | + 1.21 +0.59

+ 10.3 + 10.3

+ 5.04 + 10.1

+ 2.47 + 7.4

+ 1.21 + 4.85

+ 0.59 + 2.97

— 52.7 +1.74

—    25.8

—    25.0

+ 20.6

15.1

+ 9.9

+ 65

—12.6

+ 25.7

+ 12.6

+ 312 + 6.18

+ 6.06 + 3.56 — 51.0 0    1—74

+155.91 + 76.396

— 50.8

+ 52.4 — 24.9

+ 25.7 + 13.5

+ 12.6 + 19.2

+ 318.18 + 15.6

+ 155.91 + 163.6

+ 2.396 = A0.49)

+ 27.5 + 39.2

+ 31.8

+ 333.8

+ 319.5 = f (0.49)

/(0.49)

Die Verbesserung —

— 0.0075, so dafs wir für die Wurzel erhalten

f (0.49)

ergiebt sich gleich

0.4825.

Wird die Kechnung mit diesem Werte wiederholt, so ist für die höheren Koeffizienten etwa bis x⁷ die Genauigkeit des Rechenschiebers immer noch ausreichend, falls man die

Berechnung der Wurzel nicht, sehr viel weiter treiben will.

0    —53

+ 10.1    +4.88 +2.36 + 1.14 +0.55    +0.27 —25.44

+ 21

+ 10.1    +4.88 + 2.36 + 1.14 + 0.55 —52.73 —25.44

74

+ 312

+ 5.920 + 153.396 +74.014

+ 65

— 12.27 +25.44 + 12.27

+ 52.73 +25.44    +12.27 +317.920 + 153.396    + 0.014

Wo die Genauigkeit des Rechenschiebers nicht mehr ausreicht, kann man für die Multiplikationen mit der vier-zitfrigen Zahl 4825 Rechentafeln mit Vorteil an wenden.*) Da der Faktor 0.4825 immer derselbe bleibt, so fällt das zeitraubende Blättern fort.

Der Wert von f ändert sich nur wenig. Wenn man nur die nächste Stelle der Wurzel noch haben will, so genügt es, den vorigen Wert zu nehmen. Damit erhält man die Verbesserung

— 0.00004

und damit für die Wurzel den Wert

0.48246.

Wollte man die Wurzel noch genauer finden, so würde es nötig sein, den Wert von f{x) genauer als bisher zu berechnen.

§ 18. Graphisches Rechnen.

Die Berechnung einer ganzen Funktion nach der Methode, die auf S. 94 und 95 beschrieben wurde, kann auch ganz zweckmäfsig auf graphischem Wege ausgeführt werden.

Um den Wert von

a₀ xn -f- xn ~¹ -|- a₂ xn ~~² -j- ... -|- an _ t x -(- an *) z. B. Rechentafeln von Ludwig Zimmermann. Grofse Ausgabe.

für x—p zu finden, zeichnet man zunächst ein Dreiek, bei dem zwei Seiten die Längen 1 und p besitzen. Wird ein diesem Dreieck ähnliches konstruiert, bei dem die der Seite 1 entsprechende Seite die Länge' a₀ hat, so hat die der Seite p entsprechende die Länge a₀p. Fügt man hierzu die Länge av so hat man damit bx — a₀ p -j- ov In derselben Weise findet man bQ=b₁p-\- a₂ u. s. w.

nun

Die ähnlichen Dreiecke werden zweckmäfsig rechtwinklig gewählt und auf Millimeterpapier in der folgenden Weise gezeichnet.

-s-

■sr

Z$b.

tf-

ng- i.

— ai

Von einem Punkt 0 ausgehend trage man die Länge 1 nach einer Richtung und die Länge p senkrecht dazu ab: OA₀ = 1, OB₀ = p. Wir setzen p zunächst als positiv voraus. Jetzt werde die Länge a₀ in der Richtung 0 A() oder der entgegengesetzten, je nachdem a₀ positiv oder negativ ist, von 0 aus abgetragen: OA₁ = a₀. Zieht man nun A₁B₁ parallel A₀ B₀, so wird 0B₁ = a₀p₁ wobei OBi positiv oder negativ zu rechnen ist, je nachdem jB₁ auf derselben Seite von 0 liegt wie B₀ oder auf der entgegengesetzten Seite. Jetzt trage man von 0 aus die Länge

in der Richtung 0 B₍₎ oder der entgegengesetzten auf, je nachdem —ax positiv oder negativ ist: OB = — alt dann ist

B B₁ — a₀ p -f- ax = b

Dabei ist B Bx positiv oder negativ zn rechnen, je nachdem die Richtung B nach Bx der Richtung 0 nach BQ gleich oder entgegengesetzt ist.

Um nun B Bx mit p zu multiplizieren, braucht man nur in Bx eine Senkrechte auf Ax Bx zu errichten und so das rechtwinklige Dreieck Bx B Cx zu konstruieren. Das Dreieck BXBCX ist dem Dreieck AxOBx ähnlich und die Seiten B Bx und B Cx verhalten sich wie 1 zu p. Mithin ist

BCX= bx p.

Dabei ist B Cx positiv oder negativ zu rechnen, je nachdem die Richtung von B nach Cx zu der Richtung von 0 nach B₀ ebenso oder entgegengesetzt liegt, wie die Richtung von 0 nach B₀ zu der von 0 nach A₀. Um bxp -j- a₂ zu erhalten, trägt man wieder — a₂ von B aus ab : BC = — a2 und zwar in der positiven oder negativen Richtung in dem eben definierten Sinne, je nachdem — a₂ positiv oder negativ ist. Dann ist C Cx = bx p -j- a₂ = &₂, wobei wieder C Cx positiv oder negativ zu rechnen ist, je nachdem die Richtung von C nach Cx die positive oder die negative ist. So kann man fortfahren und aus CCX = b₂ in der analogen Weise DDX =b,₂p -j- as finden u. s. w. Dabei ist CD = — a3 und die positive Richtung ist diejenige, welche zu der positiven Richtung auf der Geraden BCCX ebenso liegt wie die Richtung von 0 nach B₀ zu der von 0 nach A₀.

In der Fig. 1 ist z. B. der Wert der ganzen Funktion dritten Grades 1.85æ³-|- 1.61x²—2.44æ? —f— 0.79 für x= 1.08 konstruiert. Die Zeichnung giebt D Dx = -f- 2.40, was ein wenig zu grofs ist.

Der Vorteil dieser Anordnung der ähnlichen Dreiecke besteht darin, dafs, wenn man nun den Wert von p ändert, die Punkte A₀, Ax, B₁ C, D u. s. w. liegen bleiben und nur B₀, Bv Cv Dx u. s. w. sich ändern. Es braucht z. B. bei einer ganzen Funktion dritten Grades nur die gebrochene Linie Ax Bx Cx Dx neu gezogen zu werden. Die Linie A₀ B0 braucht man dabei zunächst noch gar nicht zu ziehen, wenn man den Wert von p finden will, für den DXI) verschwindet.

Hat man die Lage der gebrochenen Linie

Ax Bx Cx I)₁ gefunden, bei der Dx mit D zusammenfällt, so kann man nunmehr durch A₀ eine Parallele zu Ax Bt ziehen und damit p selbst konstruieren. Ist dabei 0 A₀ klein gegen 0AX, so thut man gut, die Parallele zu Ax Bx nicht durch A₀ sondern durch einen Punkt A' zu legen, der z. B. zehnmal so weit von 0 entfernt ist. Dann erhält man p im zehnfachen Mafsstab. Wird p negativ, so fällt der Punkt Bq auf die entgegengesetzte Seite von 0; die positiven Richtungen, die in Fig. 1 durch Pfeile bezeichnet sind, bleiben dagegen dieselben wie vorher.

thun. Damit Cx mit C Zusammenfalle,

zu

Bei einer Gleichung zweiten Grades mufs C Cx verschwinden. Hier haben wir es also nur mit der gebrochenen Linie AXB₁ C

mufs Bx auf einem Kreise liegen, dessen Durchmesser Ax C ist. Man hat also nur nötig, um den Halbierungspunkt von Ax C mit dem Radius \ AXC einen Kreis zu schlagen um die beiden Lagen von Bx und damit die beiden Punkte B zu konstruieren, welche die beiden Wurzeln der Gleichung darstellen.

Bei einer Gleichung dritten Grades soll D mit Dx zusammenfallen. Nun bewegt sich, wenn Bx die Gerade B 0 durchläuft, der Punkt Dx auf der Geraden CD. Die Geschwindigkeiten, mit denen sich Bx und Dx bewegen, verhalten sich wie a₀ zu 3 a₀ x2, -j- 2 ax x -j- a₂. Der Punkt Dx wird daher seine Bewegung nur dann umkehren, wenn 3 a₀ x¹ -f- 2 ax x -[- a₂ sein Zeichen wechselt. Die betreffenden Werte von x sind die Wurzeln der Gleichung zweiten Grades

3 a₀ x² -j- 2 ax x Ą- u₂ = 0,

die man in der eben beschriebenen Weise konstruieren kann, vorausgesetzt, dafs sie reell sind. Mit diesen beiden Werten von x findet man die beiden Punkte D₂ D% auf der Geraden CD, in denen die Bewegung von Dx umkehrt. Durchläuft nun der Punkt Bx die ganze unendliche Gerade OB von —oo bis -f-°o, so geht die Bewegung von Dx in der folgenden Weise vor sich. Dx kommt aus dem negativ Unendlichen und bewegt sich bis I>₂, kehrt dann um bis Z>₃, kehrt hier abermals um und bewegt sich nach der andern Seite ins positiv Unendliche. Je nachdem nun D zwischen D₂ und Ds liegt oder nicht, wird dieser

Punkt dreimal oder nur einmal passiert. Je nachdem hat also die Gleichung dritten Grades drei Wurzeln oder nur eine. Wenn dagegen die Gleichung zweiten Grades 3 a₀ x² 2 axx -}- a₂ = 0 keine reellen Wurzeln hat, so kehrt die Bewegung des Punktes JDl nicht um, sondern beschreibt die ganze Gerade CD in demselben Sinne. In dem Falle unsrer Zeichnung (Fig. 2) z. B. liegt D eben aufserhalb I>₂ Ds. Die Gleichung hat daher nur eine Wurzel. Um sie zu finden, sucht man zwei Lagen von Bx auf, für die die beiden Lagen von Dx dem Punkte von entgegen-

Éz

ft

11

Fig. 2.

gesetzten Seiten nahe kommen. Dann teilt man die kleine Strecke zwischen den beiden Lagen von B} nach dem Augenmafs in demselben Verhältnis, in dem D die kleine Strecke zwischen den beiden Lagen von teilt. Mit dem so gefundenen Punkt Bx macht man die Konstruktion des zugehörigen Punktes Dv Fällt er noch deutlich neben D, so ändert man B, ein wrenig, so dafs Di eben auf die andere Seite von D rückt und teilt dann wieder die Strecke zwischen den beiden Lagen von Bx nach dem Augenmafs in demselben Verhältnis, in dem Z>₂ die Strecke zwischen

den beiden Lagen von I)x teilt. So findet man die gesuchte Lage von Bx alsbald so genau wie die Zeichnung es überhaupt zuläfst. Ist diese Genauigkeit nicht grofs genug, so wird es im allgemeinen nicht lohnen, die Zeichnung im gröfseren Mafsstab sorgfältiger zu wiederholen. Sondern es wird besser sein, den gefundenen rohen Näherungswert auf die oben beschriebene Weise rechnerisch zu verbessern. Die Fig. 2 stellt die Gleichung

18.5 a³ + 16.1 a² — 24.4 x —(— 7.9 = 0

dar, und giebt für die Wurzel den Näherungswert — 1.75.

Zur Verbesserung dieses Wertes findet man mit dem Rechenschieber nach dem oben beschriebenen Schema:

18.5    +16.1    —24.4    +7.9

_— 32.4 + 28.5 — 7.2

—    16.3    + 4.1    +0.7

—    32.4 + 85.1

—    48.7    + 89.2

Die Wurzel ist also

— 0.7

89.2

— 0.008.

— 1.758.

Hier ist die letzte Stelle nicht mehr sicher, weil der Wert der Funktion + 0.7 um eine halbe Einheit der ersten Dezimale und daher die Verbesserung — 0.008 um mehr als eine halbe Einheit der letzten Dezimale fehlerhaft sein kann. Zur Probe möge mit dem Näherungswerte — 1.758 die Rechnung noch einmal gemacht werden, wobei statt des Rechenschiebers eine Rechentafel angewendet wird.

18.5    +16.1    —24.4

+ 7.9

— 32.523    + 28.871634 — 7.86113

—    16.423    +    4.471634    +0.03887

—    32.523 + 86.047068

—    48.946    +    90.52

—    32.523 — 81.469

Die nächste Verbesserung würde der Gleichung 18.5 u³ — 81.469 u² + 90.52 u + 0.03887 = 0

zu genügen haben. Nimmt man u — — 0.0004, so wird der Koeffizient 90.52 beim Weiterrechnen nur noch um weniger

als

2000

seines Betrages geändert. Man kann daher gleich

etwa auf

die Division

ausführen und erhält

0.03887

90.52

2000

u = — 0.000429.

Demnach als Wurzel der gegebenen Gleichung — 1.758429.

Als zweites Beispiel möge die oben auf anderem Wege behandelte Gleichung

1 xh — 5.47 x* -f 3.33 x² -f 1.72 x — 0.15 = 0 dienen (vgl. Fig. 3).

B fällt in diesem Falle mit 0 zusammen, weil der Koeffizient von x⁴ Null ist. Die gebrochenen Linien selbst werden am besten mit Bleistift eingezeichnet, während die festen Linien, auf denen ihre Ecken liegen müssen, mit Tinte oder Tusche ausgezogen werden. Die verschiedenen Lagen des ersten Eckpunktes sind in der Figur in der Reihenfolge, in der sie liegen, mit 1, 2, 3, ...., 16 bezeichnet. Die entsprechenden Punkte auf der Geraden EF tragen dieselben Nummern. Diese liegen nun aber nicht in derselben Reihenfolge. Die Punkte 1, 2, 3 folgen von links nach rechts aufeinander, die Punkte 3, 4, 5, 6, 7, 8 dagegen von rechts nach links und die Punkte 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 wieder von links nach rechts. Der Punkt 1 auf der ersten Geraden ist so weit links gewählt, dafs allen Punkten, die noch weiter links liegen, Punkte auf der zweiten Geraden entsprechen, die weiter nach links liegen als der Punkt 1 der zweiten Geraden. Man erkennt dies sogleich daran, dafs die dem Punkt 1 entsprechende gebrochene Linie immer nur nach derselben Seite hin umbricht. Der letzte Punkt 1 der ersten Geraden ist so weit rechts gewählt, dafs allen Punkten, die noch weiter rechts liegen, Punkte der zweiten Geraden entsprechen, die weiter rechts liegen als der Punkt 14 der zweiten Geraden. Man erkennt dies wieder daran, dafs die entsprechende gebrochene Linie nur nach einer Seite hin umbricht. Zugleich sind die Punkte 1 und 16

/K

144V

^x

//

Ni

XL

1,

/y

zz

Z/

LM \ ------„

z\

«»

Xv

âili

jŁ

x^r

>>.

X7

t

■‘H-

4./*••-■'■

Iraków

^ÿchnicîSl

/

CM .

::

der ersten Geraden so weit auseinander gerückt, dafs die entsprechenden Punkte 1 und 16 der zweiten Geraden den Punkt F zwischen sich haben. Nun hat man zu untersuchen, wo bei der Bewegung auf der ersten Geraden der entsprechende Punkt der zweiten Geraden mit F zusammenfällt. Es geschieht dreimal, erstens nahe bei 2, zweitens nahe bei 6 und drittens zwischen 9 und 10. Man erhält so auf der ersten Geraden drei Punkte, deren Abscissen von 0 aus gerechnet den drei Wurzeln der Gleichung proportional sind. Die Wurzeln selbst sind die Verhältnisse dieser Abscissen zu O A. Man konstruiert die Werte der Wurzeln selbst, indem man die Punkte mit A verbindet und durch A₀, wo O A₀ = 10 ist, Parallelen zu den Verbindungslinien zieht. In diesem Falle ist es bequemer, die Abscissen durch O A — 7 zu dividieren. Die Abscissen der Punkte 2 und 6 auf der ersten Geraden sind — 7 und — 3. Der zwischen 9 und 10 zu interpolierende Punkt hat etwa die Abscisse —j— 0.7. Für die Wurzeln erhält man demnach:

xx = — 1.0 x^ = — 0.43 x₈ = -{- 0.1

Die dritte Wurzel haben wir schon oben genauer berechnet zu -f- 0.0771379. Um auch die andern Wurzeln genauer zu finden, würde man das oben beschriebene Verfahren von Newton anwenden können.

1. Näherung : — 1.0.

-<i

-f B.33 + 1 72 —0.15 — 1.53 — 1.80 -f⁰-08 0.08 —0.07

r*H

-f 1.80 — 15.53    + 13.73

— 14 -f 15.53    — 13.73 -f 13.65

0.0051.

Korrektur : -f

0.07

13.65

Hier ist es wegen des runden Wertes der Näherung vorteilhaft, die Entwicklung nach Potenzen von x -(- 1 zu machen und demnach fortzufahren

—    14 + 15.53 —13.73 + 13.65

— 36.53

—    7+21

—    21    + 36.53 —50.26

—    7    +28

—    28    + 64.53 — 35

Wir haben dann, wenn x-j-1 — u geschrieben wird, für u die Gleichung:

7 u» _ 35 u± + 64.53 us — 50.26 u- + 13.65 u — 0.07 = 0. 1. Näherung : u = + 0.0051.

Mit der Rechentafel erhält man:

7 —

+ 0.0357

+    64.53    -    50.26    + 13.65    - 0.07

-    0.1783    +    0.3282    - 0.2546    +0.068316

— 34.9643    +    64.3517    -49.9318    + 13.3954    -0.001682

+    0.036    -    0.178    +    0.328    - 0.253

-34.928    +64.174    -49.60    + 13.14

Die vorletzte Reihe ist genau genug mit dem Rechenschieber zu erhalten.

Korrektur : -f

= 0.000128.

0.001682

13.14

Mithin ist die Wurzel: xt = — 0.994772.

Um auch die zweite Wurzel zu finden, setzen wir:

1. Näherung : — 0.4

und rechnen die Entwicklung nach Potenzen von x -)- 0.4 mit allen Stellen aus

CO o

— 5.47 -j- 3.33    + 1.72    —0.15

+ 1.12 + 1.74    —2.028    + 0.1232

—    2.8    — 4.35    +5.07    —0.308    —0.0268

—    2.8    +2.24    +0.844    —2.3656

—    5.6    — 2.11    + 5.914    — 2.6736

—    2.8    +3.36    —0.500

—    8.4    +1.25    +5.414

—    2.8    + 4-48

—    11.2    +5.73

2.8

— 14.0

Schreibt man x -j- 0.4 = m, so genügt also u der Gleichung 7 m⁵ —14 m⁴ + 5.73 m³ + 5.414 m² —2.6736 m —0.0268 = 0.

Korrektur: —

= — 0.010.

0.0268

2.674

Näherung: u — — 0.01.

7—14    +    5.73    + 5.414    — 2.6736    — 0.0268

—    0.07    +    0.1407    —0.05871    —0.05355    -f- 0.0272715

—    14.07    +    5.8707    + 5.35529    —2.72715    + 0.0004715

—    0.07    +0.1414    —0.06012    —0.05295

—    14.14    +    6.0121    +5.29517    — 2.7801

Korrektur: + 0.00017.

Demnach die Wurzel:

x₂ = — 0.40983.

Das beschriebene graphische Verfahren läfst sich nur auf Gleichungen anwenden, in denen eine ganze rationale Funktion gleich Null gesetzt ist. Wenn die Gleichung nicht auf die Form einer ganzen rationalen Funktion gebracht werden kann, oder wenn die Gleichung sich in gebrochener Form erheblich einfacher schreiben läfst, so kann man die graphische Lösung auf andere Weise bewirken. Man kann z. B. die Gleichung in die Form bringen:

f(x) = cp(x).

Wenn nun die beiden Funktionen f(x) und cp(x) für sich in ihrem Verlauf bekannt sind oder bequem berechnet werden können, so kann man jede derselben als Ordinate einer Kurve darstellen. Dann liefern die Abscissen der Schnittpunkte der beiden Kurven die Wurzeln der Gleichung.

Ist z. B. die Gleichung

x = sin (x n)

gegeben, so zeichne man auf quadriertem Papier die gerade Linie y = x und die Sinuskurve y — sin (x 7t). Schon eine ganz rohe Zeichnung läfst erkennen, dafs die Gleichung aufser x = 0 zwei und nur zwei Wurzeln in der Nähe von .« = + 0.7 und x = — 0.7 hat.

Man kann nun in gröfserem Mafsstabe die Zeichnung wiederholen, wobei man die Punkte nur in der Nähe von

Genügt diese Genauigkeit noch nicht, so rechnen wir mit diesem und einem benachbarten Werte noch einmal

Diff.

x = 0.7 zu konstruieren braucht. Es ist aber im allgemeinen zweckmäfsiger, die genauere Bestimmung der Wurzel durch Rechnung zu machen.

Mit Hülfe von Sinustafeln findet man:

sin x 7t

Diff.

0.7

0.80902

0.77051

0.72897

—    0.10902

—    0.05051 + 0.01103

Die Änderung der Differenz x — sin (x n) in dem Intervall 0.7 bis 0.72 ist bis auf etwa 5% ihres Betrages gleich ihrer Änderung in dem Intervall 0.72 bis 0.74. Soweit etwa können wir daher die Änderung von x — sin(^jr) zwischen 0.72 und 0.74 derjenigen von x proportional setzen. Unter dieser Voraussetzung finden wir für die Wurzel:

0.72

0.74

0.74 — 0.02 .

110

615

- 0.7364.

sin X7t

0.7364

0.7365

woraus man erhält

0.736639

0.736451

— 0.000239 + 0.000049

x = 0.7365 — 0.0001 .

49

288

= 0.736483.

Die andere Wurzel ist x = — 0.736483, abgesehen von dem Wert x=0.

Statt der Gleichung

f(x) = cp{x)

kann man auch beim graphischen Aufträgen sowohl wie bei der genaueren Berechnung die Form

log/» = log?»,

oder man kann irgend eine andere Funktion des Wertes f{x) gleich derselben Funktion des Wertes (p(x) setzen. Dabei wird man sich von dem Gesichtspunkt leiten lassen, die Berechnung der linken und rechten Seite möglichst zu erleichtern. Wenn z. B. die Werte von fix) und cp{x) doch mit Logarithmen berechnet werden, so thut man besser, bei den Logarithmen von f(x) und ę(x) stehen zu bleiben und sich das Aufschlagen der Numeri zu ersparen.

Wenn z. B. bei der Lösung der Gleichung x—sin(Vr«) = 0 nur logarithmisch trigonometrische Tafeln zur Verfügung stehen, so schreibt man die Gleichung in der Form

log x

Differenz

log x — log sin tc x. log sin tc x

0.7364 9.867114 9.867269 0.7365 9.867173 9.867144

Daraus durch Interpolation x = 0.7365 — 0.0001 . ²⁹

— 0.000155 + 0.000029

184

= 0.736484.

§19. Anwendung der Additionslogarithmen.

Besteht die Gleichung, deren Wurzel man sucht, aus einer Summe von positiven und negativen Gliedern, so ist es mitunter zweckmäfsig, die positiven Glieder und negativen Glieder auf verschiedene Seiten zu bringen, so dafs in

/» = V O)

f(x) und cp{x) Summen von positiven Gliedern bedeuten. Indem man nun auf beiden Seiten die Logarithmen nimmt

log/O) = log CP 0)>

führt man nun die Berechnung der beiden Seiten mit Hülfe von Tafeln der Additionslogarithmen in folgender Weise aus.

Es sei f(x) — P -j- Pj —)— ... —|— -ffc und es seien die Logarithmen von P, P₁ . .. I\ gefunden, so schreibe man

s₁₌P +P,

S2=S1 SS == S2

+ ^2 4~ ?a

sk - sk — 1 -j- P&j

so dafs also sk — P -|- P₁ -j- Pk wird.

./

iMMP

Mit Hülfe der Additionslogarithmen findet man aus

Wird

P    {

log -p- den Wert log ^

pi

h)

d. i. log

si

⁸X

addiert, so ergiebt sieh log

. Aus log

dazu log

findet man durch die Tafel der Additionslogarithmen

p%

Po

log (jr

l), d. i. log-^-.

/    l o

Wird dazu log

p*

addiert,

S2

so ergiebt sieh log-^-. Aus log

S2

Ps

findet man durch die

Tafel der Additionslogarithmen log    —f- 1^, d. i. log ^

u. s. f. Die Rechnung läfst sich in folgendes Schema bringen. Es sei

Pl

Ą = log

Sl

P,

A₂ = log

*(£+0

log (-£-+1)

Iog(^⁺¹)

log (V⁻+O-

so dafs also mit Hülfe der Tafel der Additionslogarithmen der Wert von B aus dem von A und ebenso Bi aus Av B₂ aus A₂ u. s. w. gefunden wird, so hat man

A =

Ax—B + lo gP1 Ä2 = Bi + log P₂ — log’ Ps

Ak _ ! = log —

Pk

Pk-

log P — log P₁

log ^2

Ak —

— Bk _ 2 -f- log Pk- i — log Pk

und endlich

log/O) — Bk- i + logPk-

In ähnlicher Weise findet man log^O)* Sei insbesondere

f(x) = a xn ax xn'    ak xnk

(p{x) = ä xn -|- äx xni -|- ... -|- äi xni

und n )> nx ... > nk, n'^>n₁'^>...'^>nl. Dann ist Pa — aa xna und daher:

log Pu — log Pa + 1 = (na — na + i) log.r -|- log aa — log aa + x. Schreiben wir zur Abkürzung

c — log a — log ax cx = log ax — log aa

Cfe _ i = log ak _ ! — log ak,

so nimmt das Schema zur Berechnung von logf(x) die Gestalt an

(n — nx) log (x) -f- c A = B -f (nx — n₂) log (x) -j- cx

Ajc _ 1 = Bk _ 2 -j- (flfc _ ! -Mfc) log X -f- Ck _ lf

log f{x) = Bk _ ! -f nk log X -(- log ak.

Eine analoge Rechnung liefert:

log cp (x) — i?j_ ! -f- nt log x -{- log äh

so dafs die Gleichung log f(x) — log<p(.r) in der Form geschrieben werden kann:

Bk - i — Bi- i + (nk — hi) logx -|- log ak — log ät — 0.

Es sei z. B. die positive Wurzel der Gleichung 21 xls — h3x‘ + 65 .r⁵ -f 3l2x* — 74 = 0 zu berechnen. Wir schreiben sie in der Form

n — nx =8

log (21 .r¹³ -f 65 æ:⁵ + 312 x²) = log (53 a;⁷ + 74) log 21 = 1.322219    c = 9.509306 — 10

log 65 = 1.812913    == 9.318758 — 10 nx — n₂ == 3

log 312 = 2.494155

log 53 = 1.724276 5= 9.855044— 10 h — hx = 7 log 74 = 1.869232

log ak — log äi = 0.624923 nk — ht — 2.

Die beiden Schemata zur Berechnung von log /(«} und log cp (x) werden hier also

A = 7 log x + 9.855044 — 10

8 log« + 9.509306 — 10

A ==

Ax == B + 3 log« + 9.318758 — 10 und die Endgleichung wird

Bx — B + 2 log x —I— 0.624923 = 0.

Wir fanden oben für x den Wert 0.48246. Es soll hier die Probe gemacht werden, indem wir die linke Seite für x — 0.48245 und für x == 0.48246 ausrechnen. Die Rechnungen werden für beide Werte gleichzeitig gemacht;, dabei fällt für den zweiten Wert alles Blättern fort.

log x : 9.683452    3461

7 log « : 7.784164 4227 9.855044 5044

8 log x : 7.467616    7688

9.509306 9306

A : 6.976922    6994

A : 7.639208 9271

B : 0.001888 1888

Die Wurzel liegt danach zwischen 0.48245 und 0.48246. Die Interpolation giebt 0.482455.

Mitunter ist es vorteilhaft, auch statt der Unbekannten x eine Funktion von x einzufUhren. So kann man z. B. als Unbekannte log x betrachten und erst, nachdem man mit ausreichender Genauigkeit den Wert von log« gefunden hat, den zugehörigen Numerus aufschlagen. Wenn man z. B. in dem Falle der eben behandelten Gleichung schon weifs, dafs, wegen der Kleinheit von «, Bl und B klein sind, so hat man mit Vernachlässigung von Bx — B 2 log «+ 0.624923 = 0,

also in erster Annäherung

log x = 9.69 — 10.

Nun rechne man das Schema etwa mit log x — 9.68 und 9.69 durch. Man kann dabei auch so verfahren, dafs man allein mit log x = 9.68 rechnet und immer nur hinschreibt, wie viel Einheiten der letzten Stelle hinzukommen würden, wenn statt 9.68 die Zahl 9.69 genommen würde. Dabei hat man es nur mit der Tabelle der Additionslogarithmen zu thun:

Änderung in Einheiten der zweiten Dezimale

log x : 9.68 8 log x : 7.44 9.509

A : 6.949

0.00

B : 0.000 3 log x : 9.04 9.319

A₁ : 8.359

und

B₁ : 0.010

+ 0.07

7 log x : 7.76 9.855

Z: 7.615

0.03

+ 0.04

B : 0.002

B,-B: 0.008 2 log x : 9.36 0.625

+ 2.04

Um die linke Seite der Gleichung zu Null zu machen, mufs sie um 0.7 Einheiten der zweiten Stelle vergröfsert

0.7

werden. Also ist log x um

9.993

2.04

Stelle zu vergröfsern. Das ergiebt

Einheiten der zweiten

log x : 9.6834.

Wiederholt man mit dieser neuen Zahl die Rechnung, so ist es hier nicht nötig, die Änderungen ebenfalls noch mal zu berechnen, die durch eine Änderung der Zahl 9.6834 eintreten. Denn man kann annehmen, dafs die Änderung der linken Seite der Gleichung der Änderung von log x proportional bleibt.

Man findet:

log 7 x : 7.7838 9.855044

Ä : 7.638844

log 8 x : 7.4672

9.509306

A : 6.976506

B : 0.001886

B : 0.000411 3 log x : 9.0502 9.318758

A₁ : 8.369369

B, : 0.010048

Bx — B: 0.008162 2 log x : 9.3668 0.624923

9.999885

Korrektur :

0.0115

2.04

Einheiten der zweiten Stelle = 56 Einheiten der sechsten Stelle.

Mithin

log x = 9.683456 x = 0.482455.

Derselbe Kunstgriff log x als die Unbekannte zu betrachten, kann auch bei der graphischen Lösung der Gleichung benutzt werden. Man macht log x zur Abscisse und log f(x) bezw. log cp(x) zur Ordinate. Die Abscisse des Schnittpunktes der beiden Kurven liefert den gesuchten Wert von log x. Als Beispiel mögen die negativen Wurzeln der Gleichung

7 *5 _ 5.47 x» _j_ 3 ₃3 ai _j_ L72 x — 0.15 = 0

gesucht werden. Wir vertauschen zunächst x mit —x und verwandeln so die negativen Wurzeln in die positiven Wurzeln der Gleichung

—    5.47 xs -f- 3.33 tf² — 1.72 x — 0.15 = 0.

Um zunächst die gröfseren Werte von x zu untersuchen, dividieren wir durch xh und setzen — = y.

Dann wird

X

f iy) = 3.33 y³ -j- 5.47 y2 cp{y) = 0.15^ + 1.72/ +7

= 8.9406 = 9.3904

log 3.33 = 0.5224 q 7844 log 5.47 = 0.7380

log 0.15 = 9.1761    -

log 1.72 = 0.2355 -log 7 =0.8451 Cl

log y -j- 8.9406 Ai —B-\- 4 log y -f- 9.3904 log 9v (y) = Ä -(- 0.8451

A = log y -f- 9.7844 log f(y) = B +2 log y + 0.7380

Die Tabelle der Additionslogarithmen stellt man sich am besten ein für alle mal graphisch dar, indem man zur Abscisse A = log z die Ordinate B = log (z -|- 1) aufträgt.

-ft.?

0.1

8MW

Èl0_

AOjO

9.

5-10

Fig. 4.

Zeichnet man noch die Werte der Konstanten c, c u. s. w. als Abscissen oder Ordinaten ein, so kann man log f(y) und log ip{y) für eine Reihenfolge von Werten von log?/ bequem mit dem Zirkel konstruieren. Man erkennt so gleich, dafs die Gröfsen B und B immer positiv und um so kleiner sind, je kleiner y wird. Für hinreichend kleine Werte von y werden sie beliebig klein. Dies bedeutet geometrisch gesprochen, dafs die beiden Kurven Abscisse: log?/, Ordinate: log/O) und log cp (y) bei algebraisch kleinen Werten von y in gerade Linien auslaufen, deren Gleichungen sind:

logf(y) = 2 log y -f 0.7380 log cp (y) = 0.8451.

Nach algebraisch gröfseren Werten von y weichen die

Kurven mehr und mehr nach oben von den Geraden ab (vgl. Fig. 5).

Man zeichne nun zuerst die beiden Geraden ein und füge dann für eine Anzahl von Werten von log y die Werte 5 und Bx zu den Ordinaten der Geraden hinzu. Konstruiert man z. B. die Kurvenpunkte für log y = 9.8 — 10, so sieht man, dafs sie in der Nähe der Geraden liegen. Für kleinere Werte von y müssen sich die Kurven noch näher an die

Sa

;zt

l.i

0.9

L=L

0.7

0.6

0.3

o.i

M-

95_

ao_

r/-

Fig. 5.

von

Geraden anschmiegen, und da diese nach links immer weiter auseinander laufen, so giebt es keine Wurzel links log y = 9.8 — 10. Nahe bei log y = 0 liegt dagegen eine Wurzel, während rechts davon bis log y = 0.2 keine Wurzel vorkommt. Für gröfsere Werte von log y ist log x kleiner als 9.8 — 10. Hier trägt man log x selbst als Abscisse auf und setzt

<p (x) = 7 x⁵ -f- 1.72 x -f 0.15 _A=    4 log x -{- 0.6096

f (x) = 5.47x⁵ -f- 3.33 x2 A = log as-f- 0.2156 log f(x) = B + 2 log x + 0.5224

und

Aj —■■ B -j- log x -j- 1.0594 log <p (x) — i?i -j- 9.1761 Zuerst konstruiert man wieder die beiden Geraden: Ordinate = 2 log x -f- 0.5224

Ordinate — 9.1761.

ft

«as

»

Cs -K-

ft

ja

Jaç»

Ja

ft

ft

Fier. 6.

Bei log x — 9.2 — 10 liegt die erste Kurve schon unter der Geraden, deren Ordinate gleich 9.1761. Links davon liegt daher keine Wurzel mehr. Wir finden einen Schnittpunkt der Kurven in der Nähe von log x = 9.6 — 10 aufser dem eben gefundenen Werte in der Nähe von log# = 0.

Um auch für positive Werte von A — log z den zu-

gehörigen Wert von B = log (z -(- 1) zu konstruieren, hat man nicht nötig, die Kurve, deren Abscisse und Ordinate A und B sind, auch für positive Abscissen zu zeichnen, denn man kann B auch in der Form

-4 +log (l + 4)

log (i+4)

darstellen, wobei man hörige Ordinate findet.

als die zu —A ge-

§ 20. Trinomische Gleichungen.

Für einige Klassen von Gleichungen giebt es besondere Methoden, um die Wurzeln darzustellen.

Gleichungen dritten Grades

g(x) — x³ -j- ax- -(- bx -j- c — 0

lassen sich, indem man x-\- ~—y als Unbekannte ein-

o

führt, auf die Form bringen

y'sjrpy + ? = o.

Dabei ist

*='(nr)-

Führt man nun statt y wieder eine neue Veränderliche z — my ein, so erhält man für z die Gleichung'

z³ -j- m³p z -\-m³ q — 0.

Diese Gleichung läfst sich bei passender Wahl von m mit

der Gleichung in Übereinstimmung bringen, welche cos ~

o

als Funktion von cos u oder Cof als Funktion von Cof u

o

bestimmt, oder endlich Sin ~ als Funktion von Sin u be-

O

stimmt. Es ist nämlich

und

~ dof u

Stn u.

4

u 3 u

eos ¥ — 7 cosy =

H*

cos u

t.r rą U    3    r U

w j-T m-₃

Bin³ Ÿ + T Si" |

Je nachdem nun p negativ oder positiv ist, bestimmt man 3    3

m so, dafs m²p =--— oder m² p — Ą——- wird und er-

T    ~r

hält die Gleichung für 0 in der Form

q oder z³ -|- z

m kann dabei positiv oder negativ gewählt werden, da bisher nur über den Wert von m² verfügt ist. Man wähle das Vorzeichen von m dem von q entgegengesetzt, so dafs — m³ q positiv ist. Die Wurzeln der Gleichung können nun in der folgenden Weise gefunden werden. Wenn p negativ ist und — ms q 1, so bestimmt man einen Winkel u, so dafs cos u = —4 m'Ąq] dann sind die Wurzeln der Gleichung:

(t+¹²⁰°)

Ï*

= — rriA q

z₃ = cos

(| + 24°°).

z₁ = cos —, z₂ = cos

Wenn p negativ ist und —msq 1, so bestimmt man aus einer Tabelle der hyperbolischen Funktion den Wert u so, dafs dü\ u = — 4 msq. Dann hat die Gleichung nur die eine reelle Wurzel

CO £

Cof-

Wenn endlich p positiv ist, so bestimmt man aus einer Tabelle der hyperbolischen Funktionen den Wert von u so, dafs Sin u = — 4 q ist. Dann hat die Gleichung nur die eine reelle Wurzel

u

Swy

Beispiel :

a — — 1.74,

xa — 1.74 X* — 2.52 X 4- 3.97 = 0 | = 0.58

1 —1.74 —2.52    -f-3.97

0.58 —0.6728 —1.851824¹)

—    1.16 —3.1928 -f 2.118176 = q

-f- 0.58    — 0.3364

—    0.58    —3.5292 = p

log 0.75 = 9.875061 log p = 0.547676

9.327385

log m = 9.663692« log ms = 8.991076 log q = 0.325962 log 4 = 0.602060 log cos u = 9.919098

33° 53' 51" 11° 17' 57"

~ -f 120 = 131° 17' 57"

O

240 =251° 17' 57"

log zx — 9.991501 log z₂ = 9.819538« log z₃ = 9.506000« log m — 9.663692« log yx — 0.327809« log y₂ — 0.155846 log ys = 9.842308

yt= — 2.12720 =

=

4-= 0.58

1.43168

0.69552

xx=— 1.54720 2.01168 1.27552

log xx = 0.189546« log x₂ = 0.303559 log x₃ — 0105687

Probe:

log xx x₃ — 0.598792« xx x₂ xs ~ — 3.97001

soll: —3.97

Wenn es sich nur um eine oberflächliche Kenntnis der Wurzeln handelt, so lohnt sich diese Berechnung der Wurzeln nicht. Man thut dann besser, die Gleichung für y in der Form

f = —py — q

zu schreiben und die linke Seite als Ordinate einer Kurve zur Abscisse y, die rechte Seite durch die grade Linie

Ordinate = — py — q

-i

-il

-ę

"Z

3;

i/

=^r

=19-

Fig. 7.

darzustellen. Sind die Werte der Ordinaten grofs im Verhältnis zu den Werten von y, so stelle man die Ordinaten in einem kleineren Mafsstab dar als die Abscissen. So sind z. B. in^der Fig. 7, welche zu der Gleichung 3.529 y -f- 2.118 = 0

gehört, die Abscissen in dem fünffachen Mafsstab der Ordinaten aufgetragen.

Für andere Werte von p und q würde nur die grade Linie eine andere werden, während die Kurve, deren Ordinate

y³ ist, unverändert bleibt, die man also beim Auflösen mehrerer Gleichungen dieser Art nur einmal zu zeichnen nötig haben würde.

Fällt die Wurzel über den Rand der Zeichnung hinüber, so kann man sich dadurch helfen, dafs man y = 10 0 setzt. Dann ergiebt sich für 0 die Gleichung

JL.Z

100

z* =

1000'

Die Wurzeln dieser Gleichung sind 10 mal so klein wie die der ersten. Statt 10 kann man natürlich auch einen andern passenden Faktor einführen.

Die Wurzeln der Gleichungen von der Form

-(- b xm -f- e = 0

können mit Benutzung einer Tabelle der Additionslogarithmen in folgender Weise gefunden werden. Wir berechnen nur die positiven Wurzeln. Die negativen Wurzeln werden gefunden, indem man sie durch Vertauschung von x mit — x in die positiven Wurzeln der Gleichung a(—x)m + n -}- b (—x)mc = 0 verwandelt. Wir denken uns die Gleichung durch den Koeffizienten der höchsten Potenz von x dividiert und unterscheiden dann zunächst drei Fälle

1)    xm + M -f- exm — f = 0

2)    xm + n — exm —/= 0

3)    xm + n — exm-\-f= 0

wo e und / positive Zahlen bedeuten. Der vierte Fall xm + n _j_ exm -j- f= 0 fällt weg, weil diese Gleichung keine positiven Wurzeln haben kann.

Der zweite Fall wird auf den ersten zurückgeführt, wenn man die Gleichung durch reziproken Wert von x als Unbekannte einfuhrt. Wir erhalten dann

ax

in n

f dividiert und den

+ 7 (t) + (v)

= 0.

Wir brauchen also nur den ersten und dritten Fall zu behandeln.

Erster Fall: xm + n -f- exm—/= 0.

X

Statt x werde die neue Unbekannte t = — eingeführt.

Ve

Dann ergiebt sich für t die Gleichung

i

fm + n _j_ fm _

wo X =fn e ~ m ~n. Je nachdem nun t gröfser oder kleiner

i

ist als il, mufs Xn gröfser oder kleiner als 2 sein. Je nachdem schreibt man nun entweder oder

tm (tn -f 1) = Xn (Xn <2X 1).

Im ersten Fall setzt man A = log (^_M) und hat dann

--A-\-B = ~ logX oder — {m-\-n)AĄ-nB = logX.

Im zweiten Fall setzt man dagegen A = log (tn) und hat :

ui    i

— A -f- B — —- log X oder m A -(- n B = log X.

Beide Male ist A negativ, so dafs die Tafel der Additionslogarithmen nur flir negative Werte von A aus-geführt zu sein braucht.

Dritter Fall:    + n — exm -j- /= 0.

oc

eingeführt.

Statt x wird die neue Unbekannte t

Vf

Dann ergiebt sich für t die Gleichung

tm+n

X n + m tm + 1 = 0,

-n bedeutet.

wo X wie im ersten Fall den Wert fn e Durch Division mit tm läfst sich die Gleichung in die Form bringen :

tn    — X n+m.

Der kleinste Wert, den die linke Seite für alle positiven Werte von t annimmt, wird erhalten, wo die Ableitung nach t verschwindet, d. h. für

ntn~l —    oder tn+m =

Der kleinste Wert ist daher gleich

(v)"⁺“ O + îr) oder (

im -j- n) m + n nn /

mm

Je nachdem dieser Wert kleiner oder gröfser ist als die rechte Seite der Gleichung, d. h. also je nachdem

kleiner oder gröfser ist als l~ *, hat man zwei

mm nn

positive Wurzeln oder gar keine. In dem Grenzfall, wo — I ist, fallen die beiden Wurzeln in dem

rnm nn

(m -j- n)m + n

Wert t =

(?)

zusammen. Sind zwei positive Wurzeln

vorhanden, also À⁻¹ gröfser als

(m -f- n)m + n

und ist dabei

mm nn

zugleich kleiner als 2M+m, so ist tn t~m kleiner als 2.

Wir unterscheiden dann, ob der Wert    Vn + n, für

den wie oben bemerkt tn-\-t~m den kleinsten Wert annimmt, gröfser oder kleiner ist als 1, d. h. ob m gröfser oder kleiner ist als n. Da nämlich für t= 1 der Wert

tn -j- t~m gleich 2, also gröfser als l " + ”¹ ist, so müssen, wenn der tiefste Punkt der Kurve y — tn t~m jenseits t— 1 liegt, beide Wurzeln der Gleichung gröfser sein als 1 und im andern Fall kleiner. Ist aber lrx gröfser als 2W + und daher    für die Wurzeln der Gleichung gröfser

als 2, so liegt die Kurve bei t — 1 tiefer als bei den Wurzelwerten und es mufs daher die eine Wurzel gröfser, die andere kleiner als 1 sein. Je nachdem nun die Wurzel gröfser oder kleiner als 1 ist, setzt man

i

tn (1 _j_ t -m-n) _ l~ n + m

oder

t~m (tn+m -j- 1) = 1 ” + ”* und hat dann im ersten Fall für A = log t~m

r-log À oder

\- m

— n A-\- (nm) B — — log À

-1L—A + B =

n-\-m

§ 20. Trinomische Gleichungen, und im zweiten Fall für A — log tn+m AĄ- B —

r-log X oder

\- m

— m A -(- (n -{- m) B — — log X.

Es wird gut sein die verschiedenen Fälle noch einmal zusammen zu stellen:

1) xm+n -f- exm—/= 0 eine positive Wurzel

n-\- m

n -j-

x=Ve.t, tm + n-{-tm = Xn, X =fn e-m~n.

/1">2,*>1, .4 = log (■t—),

— {mri) A -Ą-n B = log X.

1 b) Xn < 2, t 1, -4 = log (iM), m    n B — log X.

2) xm+n— exm—f—0 eine positive Wurzel

ar+'(iy-r-> -j

-,    in    1

— = ]/7. t, tm + n4-tn=-l™ x

la)

Xm > 2, t> 1, A = log — (m -]- n) vl -}- m i? = log À.

2b)    < 2, t <[ 1,    = log    — log Ä.

3) A’w+n —    -]-/= 0

2 a)

m -f- n

x = Vf.tj tn-\-t~m = X n+m, X=fn e-m~n. {m -j- w)m + ”

3a) X~l<

keine positiven Wurzeln.

3b) X~l

tive Wurzeln t —

(m -j- n)m + w

mm nn

/ m \—4—

f I ra + n

\n / zwei zusammenfallende posi-

(m -|- n)m+n

Ä~¹<2n + m, m^n zwei

3c) l~¹>

positive Wurzeln, für beide t )> 1

A — log    — nA-\-{n-\-m)B = — log X.

rnm nn

{in —(- ri) m + w rnm nn

¹ <7 2 n + m, m <^n zwei

positive Wurzeln, für beide t <7 1

A — log tn + m,

2-i > 2n + m

mm nn

zwei positive Wurzeln, für die eine ist t^> 1, für die andere t < 1. Für t >> 1 gelten die Gleichungen 3 c), für t<^ 1 die von 3d).

Alle Fälle laufen darauf hinaus, den negativen Wert von A zu finden, wenn ein Ausdruck von der Form

-j- m A -|- n B

einen vorgeschriebenen Wert haben soll. Dabei sind rn und n positive Zahlen, die nicht notwendig ganze Zahlen zu sein brauchen und B ist die durch die Tabelle der Additionslogarithmen gelieferte Funktion von A. Man findet den Wert von A in ähnlicher Weise, wie es oben S. 48 beschrieben worden ist. Dabei ist es vorteilhaft, zunächst einen kurzen Auszug der Tabelle für Additionslogarithmen zu verwenden, den man sich ein für allemal aufstellen kann:

9.9

9.8

9.7

9.6

9.5

9.4

9.3

9.2

9.1

9.0

0.301

0.254

0.212

0.176

0.146

0.119

0.097

0.079

0.064

0.051

0.041

9.0

0.041

8.0

8.9

8.8

8.7

8.6

8.5

8.4

8.3

8.2

8.1

8.0

0.033

0.027

0.021

0.017

0.014

0.011

0.009

0.007

0.005

0.004

7.9

7.8

7.7

7.6

7.5

7.1

7.0

0.004

0.003

0.003

0.002

0.002

0.001

0.001

0.000

Als Beispiel möge die oben behandelte Gleichung dritten Grades

y³ —3.5292 y +2.118176 = 0

dienen.

Die Gleichung hat die Form 3)

log e = 0.547676    3 log e = 1.643028

log / = 0.325962    2 log / == 0.651924

logA-¹ = 0.991104

Wir haben also den Fall 3e).

Für die gröfsere Wurzel ist

— 2.4 + 3B = 0.991104.

Die kleine Tabelle zeigt, dafs A zwischen 9.8 und 9.9

liegt.

— 24 + 35

Fehler

05 oo 05 05

Cd CD CO CO 05 O

ö +

— 0.029 + 0.045

74

29

74

= 0.39.

Wir erhalten daraus den genaueren Wert 9.861 und nun mit einer 6stelligen Tafel

— 24 + 35

Fehler

9.861

9.860

9.858

0.989201

0.989941

0.991424

—    0.001903

—    0.001163 + 0.000320

320

1483

. 2 = 0.432

mithin A = 9.858432. Probe :

— 2.4 + 35

Fehler

9.858432

0.991104

log t ~³ = 9.858432 log/= 0.325962 log / = 0.467530 log y = 0.155843 y = 1.43167

0.000000

Für die andere positive Wurzel ist

— A + 3B = 0.991104.

Hier giebt die kleine Tabelle:

Fehler

-A4-SB

p p

io co

P p CO CO CO CO tO -4

— 0.054 + 0.001

Daraus folgt der verbesserte Wert 9.202. — A + ZB

Fehler

CM rH O O O O CM Ol CM Ci 07² Oi²

0.990498

0.991087

0.991676

— 0.000606 — 0.000017 + 0.000572

17

589

= 0.029.

Mithin A = 9.200971. Probe :

Fehler

— A+ 3B

9.200971

0.991104

log tz = 9.200971 log / = 0.325962 log / = 9.526933 log?/ = 9.842311

0.000000

y = 0.695521

Die fünf verschiedenen Fälle, die man zu unterscheiden hat, bilden für die praktische Berechnung eine Erleichterung, insofern man von vorne herein erfährt, mit wie vielen Wurzeln man es zu thun hat, und ob t kleiner oder gröfser ist als 1. Dadurch wird die erste Annäherung abgekürzt.²) 2. Beispiel. Eine Kente a sei am 1. Januar jedes Jahres zahlbar. Ihr Wert am 1. Januar desjenigen Jahres, in welchem die ate Zahlung geleistet wird, ist alsdann

a (xn~ ¹ + ^w_2 + ...+.r+l) = a —    ^

x

§ 20. Trmomische Gleichungen.

'i

Dabei ist x — 1 -{-

und p bedeutet den Zinsfufs

in Prozenten. Man will nun den Zinsfufs wissen, der zu Grunde gelegt werden raufs, damit in einer gegebenen Anzahl von Jahren der Wert der Rente auf ein gegebenes Vielfaches von a ansteigt. Soll bei der wten Zahlung der Wert der Rente auf w a angewachsen sein, so mufs x eine Wurzel der Gleichung

xn — 1

X — 1

sein. Es kann sich dabei der Natur der Sache nach nur um einen solchen Wert von x handeln, der gröfser als 1 ist, und w ist gröfser als n vorausgesetzt, da ja « a der Wert der Rente wa ohne Rücksicht auf die Zinsen sein würde. Die Gleichung kann in der Form geschrieben werden:

xn — w x -|- w — 1 = 0.

Die eine positive Wurzel dieser Gleichung ist x— 1, die andere ist die gesuchte. Wir setzen nach 3)

x = Yw — 1 .t, l = {w — 1 )n~¹W

_ 1

tn~¹-J- t~l =    ■».

Die eine Wurzel t ist gleich ——--

V vo— 1

1, die andere ist, je nachdem    2” oder

kleiner oder gröfser als 1.

Es soll z. B. eine Rente, nachdem sie zum 100. Male gezahlt ist, auf den 200fachen Wert ihres Betrages angewachsen sein. Welcher Zinsfufs ist zu Grunde zu legen.

2.298853 log (w — l)n~¹ = 227.5864 log wn = 230.1030 logii-¹ =

¹ ist kleiner als 2¹⁰⁰. Wir haben folglich nach Formel 3d)

also kleiner als

log (io — 1)

log w = 2.301030

2.5166

100

x — Yw — l.ć, A = log G00 — A + 100 5 = 2.5166.

mithin verbessert A = 8.2514. Probe:

Fehler

— A+ WOB

0.0000

8.2514

Die kleine Tabelle giebt in erster Annäherung A = 8.2, — A -f 100 B = 2.5.

Eine genauere Rechnung giebt — A + 1005

Fehler

OO 00 OO GO

to lo to to

Ol Łn 05 O

2.4829

2.5013

2.5155

2.5232

—    0.0337

—    0.0153

—    0.0011

-f 0.0066

77

11

77

0.14

2.5166 I log £³ = 8.25 1 4 log w — 1 = 2.2989 log x³ = 0.5503 log x = 0.005503 x = 1.01275

Dieselbe Rechnung läfst sich auch ebenso einfach nach der früher erläuterten Weise durchfuhren, indem man es mit einzelnen Werten von x versucht und diese alsdann verbessert.

x³ — 1

x³ _ 1 — 200 (x — 1)

1.04

1.03

1.02

1.01

1.703

1.284

0.860

0.432

6.24

1.70

o

ło oą (M co th cd cd ö

tH .

Die Logarithmen von x sind dabei fünfstellig aufgeschlagen, während die Numeri von x³ aus einer vierstelligen Tafel entnommen werden. Dabei fällt alles Blättern fort. Die Rechnung zeigt, dafs der gesuchte Wert zwischen 1.02 und 1.01 liegt. Auf den Unterschied 0.01 der beiden Werte von x kommt der Unterschied 2.54 der beiden Werte von x¹⁰⁰ — i — 200 (x — 1). Unter der Annahme, dafs die Änderungen proportional sind, würde das den verbesserten Wert

30

1.01 -f

-.0.01 = 1.011 254

geben. Wir schlagen jetzt die Logarithmen von x siebenstellig auf, während die Numeri von x¹⁰⁰ einer fünfstelligen Tabelle entnommen werden

100 log x x¹⁰⁰ — 1 | x¹⁰⁰ — 1 — 200 (x — 1) Differenz

1.011

1.012

1.013

0.47512

0.51805

0.56094

1.9862

2.2965

2.6387

—    0.2138

—    0.1035 + 0.0387

0.1103

0.1422

1.012 -j

0.001 = 1.01273.

Die Interpolation zwischen 1.012 und 1.013 giebt 1035

1422

Die Rechnung für x = 1.011, 1.012, 1.013 zeigt, dafs die Änderungen von x immer noch nicht denen von x¹⁰⁰ — 1 — 200 (x — 1) proportional sind. Man wird daher gut thun, die Rechnung noch einmal mit 1.01273, 1.01274 und 1.01275 zu wiederholen. Bei solchen Rechnungen ist es in der Regel zweckmäfsig, jeden einzelnen Schritt der Rechnung gleich mit allen drei Zahlen zu machen und nicht etwa für jede der drei Zahlen die ganze Rechnung gesondert durchzuführen. Der Vorteil besteht darin, dafs einmal beim Aufschlagen von Tabellen dieselbe Gegend der Tabelle für die drei Zahlen benutzt wird und zweitens darin, dafs beim Übergang von einem Schritt der Rechnung zum nächsten Schritt etwas Zeit verloren geht, die man zum Teil erspart, wenn jeder Schritt für die drei Zahlen zugleich ausgeführt wird.

cc¹⁰⁰

100 log x x¹⁰⁰ — 1

— 1 — 200 (x — 1) Differenz

1.01273

1.01274

1.01275

0.54936    1

0.54978

0.55021    ¹

Die nächste Annäherung- würde 1.012749 sein, indessen ist die sechste Stelle nicht mehr sicher.

2.5429

2.5463

2.5498

-f 0.0031 -f 0.0017 — 0.0002

co

zu Prozent fortschreiten liefse, so würden die ersten Versuche erheblich abgekürzt werden.

Wenn man Tabellen für «¹⁰° zur Verfügung- hat, so wird die Rechnung- schneller ausgeführt werden. Selbst wenn die Tabelle den Zinsfufs nicht dichter als von Prozent .

Es soll ein Kapital C durch jährliche Zahlungen von p °/₀ verzinst und in n — 1 Jahren amortisiert sein. Welcher Zinsfufs ist dabei zu Grunde gelegt. Ist q die Zahl der

Prozente des Zinsfufses und wird x — 1 -f ist der heutige Wert der ersten nach einem Jahr zu leisten-

10(T £esetzt’'so

den Zahlung

100

. C. x~⁴. Ebenso ist der heutige Wert der

V

zweiten nach zwei Jahren zu leistenden Zahlung ~~~. C-.x~⁵ 6 u. s. w. Demnach ergiebt sich für x die Gleichung

oder

100

oder wenn x -⁴ = y gesetzt wird

^ 100 \

yn—\⁴+—)yJr

100

o.

Die Gleichung ist von derselben Form, wie die auf S. 147

gesetzt wird. Nur war

100

betrachtete, wenn w = 1 -f

dort dem Sinne der Aufgabe nach w > n, weil der Wert der «fachen Zahlung der Summe a durch die Zinsen auf mehr als n a anwächst. Hier dagegen mufs w kleiner als n

C mufs

sein. Die n — 1 fache Zahlung der Summe gröfser sein als C. Denn das wäre der Betrag, wenn keine

100

Auch in diesem Falle ist die eine Wurzel gleich 1. Während aber im ersten Falle der gesuchte Wert x gröfser als 1 ist. mufs hier der gesuchte Wert y kleiner als 1 sein.

Es sei z. B. p — 5, n = 100, so dafs also das Kapital durch Zahlungen von 5 °/₀ verzinst und in 99 Jahren amortisiert wird.

y¹⁰⁰ — 21^ + 20 = 0

log {w — \) = 1.301030 log w = 1.322219

log (w — 1)" == 128.8020 log w¹⁰⁰ — 132.2219 log Â ⁻¹ =    3.4199

/ _ 1 ist kleiner als 2¹⁰⁰. Wir haben folglich nach Formel 3d)

100

X = V20 . t A = log t100 — A-\- 100 B — 3.4199

Beide Wurzeln t sind kleiner als 1 ; es ist die kleinere der beiden Wurzeln zu berechnen. Die kleine Tabelle S. 144 giebt für den kleineren Wert von A:

Fehler

— A + 100 B

6.6

3.4

0.0

Mit einer genaueren Tafel findet man — J. + 100 5

Fehler

io CD co CO co

3.5137

3.4173

3.3218

+ 0.0938 — 0.0026 — 0.0981

26

964

0.1 = 0.0027

— A 4-100 B Fehler

6.5973    3.4199    0.0000

log. iwo ₌ 6.5973 — 10 log 20 = 1.3010

x = 1.04958

7.8983 — 10 log y = 9.978983 — 10 log x = 0.021017

Hier könnte man mit Vorteil auch die oben S. 56 erläuterte Methode anwenden. Denn wenn man die Gleichung

100

1 X — n "h t

in die Form bringt

p

~ Töö"

■ï = 1 + lfo

so ändert sich bei so grofsen Werten von n die rechte Seite viel langsamer als die linke und man kann daher aus einem Näherungswert einen neuen besseren finden, indem man ihn in die rechte Seite einsetzt. Man nimmt als erste Annäherung

und hat z. B. in unserm Fall

= 1+-£

¹ 100

cc = 1.05

0.05    ⁹⁹

0.05    ⁹⁹

1.05

1.049601

1.049586

0.000399

0.000414

0.000415

Mithin == 1.049585.

Dieselbe Methode würde auch auf die Gleichung S. 147 xn — w x -j— w — 1 =0 anwendbar sein, indem man schriebe

n

x = V w x — w -4-1

Für sehr grofse Werte von n ändert sich die rechte Seite langsamer als die linke und man kann dann durch Einsetzen eines Näherungswertes einen neuen besseren finden.

Der Differentialquotient der rechten Seite giebt dabei an, auf welchen Bruchteil sich der Fehler eines Näherungswertes durch die Rechnung reduziert. Der Differentialquotient ist

n    -----j—Xn

V w x — w —j— 1

oder wenn man für x die Wurzel selbst einsetzt.

IV X

W X — w —j— 1

100 > n—l

mithin

§ 20. Trinomische Gleichungen, oder, da x nahezu gleich 1 ist, genähert:

n [x — 1) w —[— n

Sobald also n (x — 1), d. i. der n fache Zinsbruchteil, beträchtlich gröfser als 1 ist, so wird die Näherung beträchtlich sein. Wenn z. B. der Zinsfufs nahezu 5°/₀ beträgt, so mufs n beträchtlich gröfser als 20 sein, damit das Verfahren brauchbar sei.

In der oben S. 147 behandelten Gleichung

#100 — ! ₌ 200 (x — 1)

oder

100

x = Vl-\- 200 (x — 1)

würde z. B. die Rechnung so verlaufen

rïë log (l + 200(* —1)).

log X =

Es werde die rechte Seite zunächst mit vierstelligen Logarithmen gerechnet, während der Numerus x in einer fünfstelligen Tabelle aufgeschlagen wird, so lange die Annäherung noch so grob ist, dafs eine feinere Rechnung sich doch nicht lohnen würde. Als erste Annäherung werde 1.03 gewählt.

100

1.03

1.020

1.016

1.014

1.0134

1.0131

1.0130

1.0129

1.0128

log (l -|- 200 (x — 1))

0.00845

0.00690

0.00623

0.00580

0.00566

0.00559

0.00556

0.00554

Jetzt würde man gut thun den Numerus x in einer sechsstelligen Tafel aufzuschlagen, während für die zweite Kolonne noch immer die vierstellige ausreicht, um den Logarithmus auf sechs Stellen genau zu ermitteln.

-tj- log (I +200 (* — !))

1.0128

1.01278

1.01277

1.01276

1.01275

1.01275

0.005514

0.005509

0.005507

0.005504

0.005502

Wollte man die Wurzel noch genauer finden, so würde man Tafeln mit mehr Stellen anzuwenden haben. Zur Probe, dafs die Wurzel gröfser ist als 1.01274, kann man damit noch einmal die Rechnung machen und sich überzeugen, dafs man sich dann der Wurzel von der anderen Seite nähert.

.100

log (1 -j- 200 (x — 1))

0.0054998

1.01274 1.012744

Obgleich in diesem Falle die Konvergenz keineswegs rasch ist, so sind doch die Rechnungen mit den geeigneten Tafeln so leicht auszuführen, dafs man sich der Wurzel schnell nähert. Wenn eine gröfsere Genauigkeit der Wurzel verlangt wird, so würde es besser sein, zu dem oben S. 48 erläuterten Interpolationsverfahren überzugehen, sobald man der Wurzel nahe genug ist, um die Änderungen der Veränderlichen den Änderungen der Funktion proportional zu setzen:

— log (14-2000-pi)

Diff.

+ 0.000021 — 0.000021

x — 1.012750.

Wenn bei trinomischen Gleichungen für die zu bestimmenden Wurzeln keine grofse Genauigkeit verlangt wird und wrenn eine gröfsere Anzahl von Gleichungen vorliegt, welche verschiedene Koeffizienten besitzen, für welche aber die Exponenten m-\-n und n dieselben Werte haben, so

1.0128

1.0127

42

kann man eine Zeichnung machen, die für beliebige Werte der Koeffizienten die Wurzeln abzulesen erlaubt. Man denke sich zu dem Ende in der Gleichung

Xm + n _j_    Q

für einen beliebigen Wert von x die Koeffizienten + e, + / als rechtwinklige Koordinaten aufgefafst, so wird die Gleichung durch eine gerade Linie wiedergegeben. Man entwerfe nun eine Zeichnung der geraden Linien für eine Keihe von Werten von x etwa

x gleich 0, +0.1, + 0.2, ....

indem man x so viel äquidistante Werte durchlaufen läfst, bis die betreffende Grade über den Umfang der Zeichnung hinausfällt. Die Zeichnung möge einen solchen Umfang haben, dafs beide Koordinaten zwischen — 1 und + 1 laufen. Alsdann wird man für jedes Wertepaar + e, + /, das in diesen Grenzen liegt, die positiven Wurzeln der Gleichung aus der Zeichnung entnehmen können. Um auch die negativen Wurzeln zu finden, verwandelt man in der Gleichung x in — x, wodurch sie in eine andere übergeht, deren positive Wurzeln den negativen der ersten Gleichung gerade entgegengesetzt sind. Für solche Werte der Koeffizienten, die über die Grenzen der Zeichnung hinaus liegen, denke man sich in der Gleichung x = 10 z gesetzt. Für ^ ergiebt sich dann die Gleichung

= 0.

zm + n+e. 10 ~ w . zm + y 10 — w

Die Koeffizienten der Gleichung für 2 sind wesentlich kleiner als diejenigen der ersten Gleichung. Statt des Faktors 10 kann man natürlich auch einen gröfseren oder weniger grofsen wählen und dadurch die Koeffizienten noch mehr oder weniger herunterdrucken. In der beifolgenden Figur 8 ist für die Gleichungen dritten Grades

xs + e x + / = 0

die Zeichnung ausgeführt.

+ e ist als Abscisse, + / als Ordinate aufgetragen. An jede gerade Linie ist der betreffende Wert von x angeschrieben. Sollen z. B. die positiven Wurzeln der oben S. 144 behandelten Gleichung

y* — 3.5292 y + 2.118176 — 0

in erster Annäherung gefunden werden, so setze man y = 2 #, wodurch sich fiir x die Gleichung ergiebt:

xs — 0.882 x -f 0.265 = 0.

Den Koordinaten

— 0.882, -j- 0.265

entspricht in der Figur der Punkt P. Der Punkt liegt sehr nahe der Geraden, für welche x = 0.7 ist, zwischen dieser

+10\ +6.<

+0.6

-O.fi

X XJX

0.3

-0.2s

-o.o

-oj+

-0.6 ^

0.6

-0.6

-0.8

's

\:3

X« 17

-0.8

. X b_—i. o

-1.0 -0.8 -0.6 -0.6 -0.3 O + 0.Z+0.+ +0.6 +0.8 1.0

\1Z \ïJ

\'.0

Fig. 8.

und der Geraden #=0.8. Man interpoliert etwa # = 0.71. Andererseits liegt P zwischen den Geraden x = 0.3 und x = 0.4 ungefähr in der Mitte. Man interpoliert x = 0.35. Die beiden Werte # = 0.71 und # = 0.35 entsprechen den beiden Werten y = 1.42 und y = 0.70, die in der That mit den oben gefundenen Werten der Wurzeln y = 1.43167 und y = 0.695521 nahe übereinstimmen.

¹

Die Multiplikationen sind mit einer Rechentafel ausgeführt.

²

S. Gundelfinger ordnet die Rechnung in seinen Tafeln zur Berechnung der reellen Wurzeln sämtlicher trinomischer Gleichungen etwas anders au. Ich bin der Darstellung von C. F. Gaufs gefolgt.

³

log- x

⁴

insen berechnet würden. Es mufs daher

⁵

—-— oder ic <^n sein.

⁶

w — 1 n — 1

§ 21. Das Graeflesche Verfahren zur Berechnung der Wurzeln.

Wenn alle Wurzeln einer algebraischen Gleichung sowohl die reellen wie die komplexen berechnet werden sollen, so ist ein von Graeffe angegebenes Verfahren zweckmäfsig, dafs sich von den bisher auseinandergesetzten wesentlich unterscheidet. Es setzt nicht die vorhergehende Untersuchung der Gleichung voraus, durch welche zunächst grobe Näherungswerte der Wurzeln gefunden werden, die dann auf anderm Wege verfeinert werden. Vielmehr ist es eine einheitliche Methode, die von der gegebenen Gleichung ausgehend ohne Kenntnis von Näherungswerten der Wurzeln mit beliebiger Genauigkeit zu den Werten aller Wurzeln führt. Der leitende Gedanke ist der, dafs man durch einfache Rechnung aus den Koeffizienten einer Gleichung die Koeffizienten einer anderen Gleichung finden kann, deren Wurzeln die Quadrate der Wurzeln der ersten Gleichung sind. Aus dieser Gleichung findet man in derselben Weise eine neue, deren Wurzeln die vierten Potenzen der ursprünglichen Wurzeln sind. So fortfahrend findet man nach einander die Gleichungen, deren Wurzeln die 2ten? 4ten? gten, lßten u. s. w. Potenzen der ursprünglichen Gleichung sind. Nach 10 Operationen z. B. würde man eine Gleichung finden, deren Wurzeln die 1024ten Potenzen der ursprünglichen Wurzeln sind. Wenn nun die ursprünglichen Wurzeln alle dem absoluten Betrage nach von einander verschieden sind, so werden die Wurzeln der abgeleiteten Gleichungen immer stärker auseinander gezogen in dem Sinne, dafs die dem absoluten Betrage nach kleinste ein immer kleinerer Bruchteil der nächst kleinsten wird und diese ein immer kleinerer Bruchteil der folgenden u. s. f. Wenn aber die Wurzeln einer Gleichung in dieser Weise auseinandergezogen sind, so lassen sie sich sehr einfach aus den Koeffizienten der Gleichung bestimmen. Ist nämlich die Gleichung

a₀ xn -j- al xn ~¹ -J- a₂ xn ~² -(- .... an = 0,

so wird die gröfste Wurzel bis auf einen relativ kleinen Fehler aus der Gleichung

«o * + «i = ⁰

IV. Ganze rationale Funktionen einer Veränderlichen, gefunden, die nächste aus der Gleichung

158

<%J X —j— Clçy = 0

u. s. w. die kleinste aus der Gleichung cin — i x —j— <xn =. 0.

Das geht sofort aus dem Zusammenhang der Koeffizienten mit den Wurzeln der Gleichung hervor. Bezeichnet man die gröfste Wurzel mit x₁₇ die nächste mit x₂ u. s. w., die kleinste mit xn, so ist wegen der identischen Gleichung

[x-X.) (x — x₂).... (x — xn)

a\

«o

xn ~ ¹ -|--— Xn — ²

«»

«o

«0

die Summe aller Wurzeln gleich —

al

a₀

die Summe aller

-, die Summe aller

Produkte von je zwei Wurzeln gleich

Produkte von je drei Wurzeln gleich--— u.. s. w. Wenn

ao

nun x₁ so grofs gegen xZ7 xs ... xn ist, dafs auch die Summe .r₂ -|- x„    -|- xn nur einen sehr kleinen Bruchteil von

xx ausmacht, so ist also bis auf diesen kleinen Bruchteil, d. h. also bis auf einen relativ zu kleinen Fehler

a₀

Wenn ferner xt und x₂ sehr grofs sind gegen xs ... x„₇ so ist unter allen Produkten von je zweien dieser Wurzeln das Produkt xt x₂ sehr grofs gegen die übrigen. Ist es nun so grofs, dafs die Summe aller übrigen nur ein kleiner Bruchteil von x₁ x„ ist, so ist bis auf diesen relativ kleinen Fehler

X. x„ =

a0

In derselben Weise ergiebt sich bis auf einen relativ kleinen Fehler:

u. s. f.

a- .r₂ .r₈    =

Aus diesen Gleichungen folgt durch Division von xx x₂ durch xv von Xj x₂ x₃ durch xl x₂ u. s. f., dafs bis auf relativ kleine Fehler

a₁

x₂ = —

x₃ =

a₃

«2

X^ =

aA

aä

u. s. w.

oder mit andern Worten, dafs die Wurzeln der Gleichung o₀ xn —(— Oj xn - ¹ -\- .... -[- an _ ! x -|- an = 0

bis auf relativ kleine Beträge gleich den Wurzeln der Gleichungen

a₀ x -|-    — 0, Oj x —|— a₂ = 0 . .. an _ ^ x -j- an = 0

sind, sobald nur die Wurzeln so stark auseinandergezogen sind, dafs die kleinste Wurzel ein sehr kleiner Bruchteil der nächstkleinsten ist, diese wieder ein sehr kleiner Bruchteil der folgenden u. s. w.

Sobald man also von irgend einer gegebenen Gleichung ausgehend die Gleichung abgeleitet hat, deren Wurzeln so hohe Potenzen der Wurzeln der ersten Gleichung sind, dafs sie hinreichend auseinander gezogen sind, so kann man die Potenzen der Wurzeln aus den berechneten Koeffizienten finden und kann dann durch Wurzelausziehung zu den Wurzeln der gegebenen Gleichung gelangen.

Die Methode, um von einer Gleichung zu der nächsten zu gelangen, deren Wurzeln die Quadrate der Wurzeln der vorigen Gleichung sind, besteht in folgendem. Ist

g(x) = b₀ xn~ bt xn —¹ b₂ xr ~² - ... + bn _ ! x bn = 0

die erste Gleichung, so multipliziert man g {x) mit g (— x). Das Produkt bleibt ungeändert, wenn x in —x verwandelt wird und mufs daher nach Potenzen von x geordnet nur grade Potenzen von x enthalten. Setzt man nun x'² = z, so kann man g(x) g {—x) als eine ganze Funktion nten Grades von z schreiben. Die Werte von 2, für die diese ganze Funktion verschwindet, sind die Quadrate der

Wurzeln der ersten Gleichung. Die Koeffizienten der ganzen Funktion von z werden nach dem folgenden Schema gefunden

bl

+ b\

+ b\

etc.

— 2 bi b3 + 2 b₀ bL

—    2 b₂ bi + 2 bl

—    2 W

co

cx

C2

etc.

Dann ist:

c₀zn — Ct zn -¹ -j- C₂ zn ~² — .... -f- cn = 0.

Die weiteren Bemerkungen knüpfen sich besser an die Ausführung eines Beispiels an.

Es sollen die Wurzeln der Gleichung dritten Grades

2.52 x -f 3.97 = 0

xs — 1.74 x¹

gefunden werden, die oben auf anderem Wege berechnet worden sind. Zunächst werden die Logarithmen der Koeffizienten b₀ = 1, bx = 1.74, b₂ = — 2.52, b₃ — — 3.97 hingeschrieben:

0    0.240549 0.401401« 0.598791«.

Alsdann bildet man die Logarithmen der Quadrate und Produkte, die in den verschiedenen Kolonnen Vorkommen. Da die erste Kolonne hier immer nur aus der Zahl 1 besteht, so kann sie fortgelassen werden.

0.481098

0.702431

1.197582

0.802802 1.140370

Die Logarithmen der Summen bildet man mit der Tabelle der Additionslogarithmen oder Subtraktionslogarithmen.

9.778667

9.662432

0.481098 0.702431 B — 0.204313

0.802802 1.140370 B — 0.164250

c, = 0.906744

c₂ = 1.304620    = 1.197582

Mit diesen Zahlen verfährt man ebenso u. s. f.

63.116694 !

Für die gröfseren Werte von B ist die Tafel der Subtraktionslogarithmen benutzt.

Weiter zu rechnen hat keinen Sinn, wenn man sich auf sechsstellige Logarithmen beschränkt. Denn beim nächsten Schritt würden nur die Quadrate der Koeffizienten in Betracht kommen, die Produkte werden so klein gegen die Quadrate, dafs sie die sechste Stelle im Logarithmus der Summe nicht mehr beeinflussen. Es würde daher dasselbe Resultat geben, ob man nun aus den Quotienten der berechneten Koeffizienten die 64. Wurzeln auszieht oder aus ihren Quadraten die 128. Wurzeln. Nur in der zweiten

11

6.996

5.065

19.427910 16.081104« C= 9.999804

3.346806

31.560148

29.176297«

9.998201

2.383851

9.727362 8.210242« C= 9.986593

1.517120

15.818424

14.745367«

9.961650

1.073057

4.977228 4.339081« C== 9.886453

0.638147

8.076102

7.579972«

9.833110

0.496130

2.787294 2.483902« A = 0.004712

0.303392

4.365746

4.089838«

9.948213

0.275908

1.813488 1.605650* A = 9.787997

0.207838

2.609240

2.405356«

9.777516

0.203884

1.393647

2.182872

2.395164

2.488614

4.038051

4.790328

4.863681

7.909212

9.580656

9.713955

15.780074

19.161312

19.427714

31.558349

38.322624

38.855428

31.859379«

63.116698

58.051368«

9.999996

Runge, Praxis der Gleichungen.

Kolonne ist beim nächsten Schritt noch eine kleine Änderung-des Quadrates des Koeffizienten in der sechsten Stelle des Logarithmus vorhanden. Wir schreiben also für die Logarithmen der Koeffizienten der Gfleichung der 64. Potenzen

a₀ = l

Diff.

log ax 19.427714n log a₂ 31.558347 log a₃ 38.322624n

12.130633 6.764277

Die Logarithmen der 64. Wurzeln aus — aXJ

a₂

y

ai

— — sind:

0.303558

0.189541

0.105692.

Hieraus ergeben sich die Wurzeln bis auf ihr Vorzeichen:

2.01168

1.54718

1.27553.

Um auch die Vorzeichen zu ermitteln, beachte man, dafs nach der Zeichenregel des Cartesius die Gleichung eine und nur eine negative Wurzel besitzt. Da ferner die Summe der Wurzeln gleich -j- 1.74 sein soll, so ergiebt sich durch den Versuch, eine der drei Zahlen von der Summe der andern abzuziehen, sogleich, dafs die mittlere der drei Zahlen negativ zu nehmen ist.

Die Summe der drei Zahlen

+ 2.01168 — 1.54718 + 1.27553

ergiebt

+ 1.74003.

Man kann dies als ausreichende Probe betrachten, dafs die drei gefundenen Werte bis auf wenige Einheiten der fünften Dezimale richtig sind. Will man eine vollständige Probe, so kann man aufser der Summe der Werte auch die Summe der Produkte von je zweien und das Produkt der

drei Werte berechnen. Bezeichnet man die drei Werte mit a, b, c, so ergiebt sich

(x — a) (x — b) (x — c)

= x* — 1.74003 ff²

2.51995 ff -f 3.97000.

Nun war die gegebene Gleichung

ff³ — 1.74 ff² — 2.52 x -f 3.97 = 0. Mithin ist für jede Wurzel x\

(x — a) {x — b) (.x — c) — — 0.00003 x² -f- 0.00005 x = (—3ff + 5)ff. IO“⁵.

ff — a =

Für die Wurzel, die nahe bei a liegt, setze man (— 3 # -j- 5) # . 10 ~~⁵

(ff — b) (ff — c)

Dann ändert sich die rechte Seite sehr langsam, wenn ff in der Nähe von a liegt. Man findet daher einen Näherungswert für die Verbesserung x—a, wenn man auf der rechten Seite x = a setzt. Die Rechnung wird mit dem Rechenschieber auf eine oder zwei Stellen ausgeführt und giebt in Einheiten der fünften Dezimale x — a = — 0,8. Es hat keinen Sinn, genauer zu rechnen, wenn die Koeffizienten tz —[— 6 —{— c, bc-\-caĄ-ab, abc nur wie hier mit sechsstelligen Logarithmen berechnet sind. In ähnlicher Weise findet man für die Verbesserungen von b und c in Einheiten der fünften Dezimale die Werte — 1.5 und — 0.7.

Wenn zwei oder mehr Wurzeln dem absoluten Betrage nach gleich sind, so werden die Potenzen nicht auseinanderrücken. Man mufs dann die Betrachtung ein wenig allgemeiner fassen.

Es seien die Wurzeln x₁xi ... xa der Gleichung a₀ xn -f- a,y xn ~¹ -j- ... -(- an! ff -j- an = 0 dem absoluten Betrage nach licht kleiner als r, während die übrigen Wurzeln ff«+i, ff„, ... ffn im Verhältnis zu r klein sind. Alsdann kann man zeigen, dafs die Wurzeln x₁x% ... xa nur um kleine Bruchteile ihrer Beträge von den Wurzeln der Gleichung

a₀ ff“ -j- ax x'“ ~ ¹ -j- ... -j- aa _ ₁ x -j- aa = 0

abweichen, während xa _j_ i xa + ₂... xn bis auf kleine Bruchteile ihrer Beträge mit den Wurzeln der Gleichung

aaxn~a -j- aa + l ff”-“-¹ -f • • • + «n-l x + an — 0 übereinstimmen.

11*

Ist nämlich x dem absoluten Betrage nach gröfser oder gleich r, so läfst sich zeigen, dafs

a0    °1 xn ~ ¹ “f~ • * • an—\ x an

aaxn~“

<Xq Xa —J— dy Xa ^ —[— .... —|— da

sehr nahe mit

Die beiden Ausdrücke unterscheiden sich nur durch die Glieder

aa

übereinstimmt.

da

I ü^ + ltf-2 ! . .    -«).

da    da

Denn

Von diesen Gliedern mufs aber jedes sehr klein sein. a<*-¥P

ist positiv oder negativ gleich der Summe der

Produkte von je a -j- ß Wurzeln dividiert durch die Summe der Produkte von je a Wurzeln. Von diesen letzteren ist Xy x₂ .... xa dem absoluten Betrage nach das gröfste, während alle übrigen    gegen dieses sehr klein    sind. In    der    ersten

Summe sind    diejenigen Produkte die    gröfsten,    in    denen

Xy x₂

kommen. Wird mit x~P multipliziert, so mufs jedes Glied klein gegen    x± x₂ .. xa sein, weil x~?    klein ist    gegen das

Produkt von    ß Faktoren xa + l....xn. Folglich    ist    unter

den gemachten Annahmen

da

%a und nur ß von den Wurzeln xa + 1...xn vor-

aa

sehr klein und folglich ist für alle Werte von x, deren absoluter Betrag gröfser ist als r, d. h. also grofs ist gegen

Xa _|_ i... xn

% Xn —{— dy Xn ¹ —}- . . —f- dn _ l X —j— dn

aaxn~a

sehr nahe übereinstimmend mit

ao X<x “f” dy x* -j- . .. -}- da _ i x -}- da

da

Oder, was dasselbe ist, es mufs für alle Werte von x, die grofs sind, gegen xa + x... xH

— (x — xx) (x — x₂) .. . (x — xa) ^1 sehr nahe mit

a-oa-o-a-o

übereinstimmen, wo z₁ z₂ ... za die Wurzeln der Gleichung

(lQ Xu —J— ßj Xa ¹ —j— . . . —(— tta i X —|— <xa

O-G-O

\ Zj    /    \ Z₂

sehr

bedeuten. Wird also x gleich einem der Werte xx x₂ ... xu gesetzt, so mufs

klein werden. Mithin mufs einer der Faktoren dieses Produktes sehr klein werden, d. h. es mufs der betreffende Wert von x bis auf einen relativ kleinen Betrag gleich einem der Werte zx z₂ ... za sein.

Andrerseits stimmt für alle Werte von x, die klein sind gegen xx ... xa der Wert von

a₀ xn a, xn ^ —|— ... —|— (in i Æ -1— an

aaxn~a

sehr nahe mit

aaxn~a ax _|_ j xn ~ “ "h¹ —(— ... —|— ctn _ i x —|— an aaxn~a

überein. Dieser Satz folgt sofort aus dem vorigen, wenn man die Veränderliche t = x~l einfuhrt und die ganze Funktion

«o —(~    t “I⁻ d₂ t " —|— ... —|— an _ i tn 1 —j- cin tn

betrachtet. Die Wurzeln

• •    -xa

sind dann klein gegen die Wurzeln

⁺¹ =    1 ...tn-= x~ \

Es ergiebt sich mithin, dafs die Wurzeln xa+1, ... xn um relativ kleine Beträge von den Wurzeln der Gleichung

aa xn “ —|— aa i xn~a~l -}— ... —f— dn =z 0

abweichen.

Man kann die beiden Sätze so zusammenfassen. Sind die Wurzeln x₁ x₂ ... xn so in zwei Gruppen x^ x₂ .. ,xa und xa -f- 1

xn zerlegbar, dafs die Werte der einen Gruppe

grofs gegen die Werte der andern Gruppe sind, so spaltet sich die Gleichung

a₀ xn -J- xn ~ ¹    .... -}- an _ x x an — 0

in die beiden:

öSq Xa —j—    xa ' —j— .... —|— Ct(e 0,

<xa xn “ —j— <Xa _j_ i xn ~ a 1 —J—... —]— Cln = 0,

deren Wurzeln bis auf relativ kleine Beträge gleich den Wurzeln der beiden Gruppen sind. Es ist dabei nicht ausgeschlossen, dafs unter den Wurzeln einer Gruppe zwei oder mehr als zwei den gleichen absoluten Betrag haben. Wenn sich die Wurzeln einer Gruppe abermals in zwei Gruppen zerlegen lassen, von denen wieder die einen grofs gegen die andern sind, so spaltet sich auch die Gleichung wieder in zwei Gleichungen u. s. f. Wenn sich die n Wurzeln in n Gruppen zerlegen lassen, so ergeben sich die n linearen Gleichungen

a₀ x —|— ax = 0, ax x -j- a₂ = 0, . . . ., an _ l x -(- an = 0,

die wir auf anderem Wege schon oben für diesen Fall abgeleitet hatten. Diese Betrachtungen gelten auch für komplexe Wurzeln. Hier tritt bei reellen Werten der Koeffizienten a₀ ax ... an immer der Fall ein, dafs zwei Wurzeln, nämlich je zwei konjugierte, dem absoluten Betrage nach einander gleich sind. Man wird hier im allgemeinen in der Gleichung, deren Wurzeln hinreichend hohe Potenzen der ursprünglichen Wurzeln sind, ebenso viel Gruppen je zweier Wurzeln haben als man Paare imaginärer Wurzeln hat. Die Gleichung zerfällt dann in so viele Gleichungen ersten Grades, als reelle Wurzeln vorhanden sind, und so viel Gleichungen zweiten Grades, als es Paare konjugierter Wurzeln giebt. Als Beispiel möge die Gleichung fünften Grades

1 xr° -\- 5.47 .z³ — 3.33 x² — 1.72 « -f 0.15 = 0 betrachtet werden.

= 0.845098

log 7

log 5.47 = 0.737987 log 3.33 == 0.522444 log 1.72« = 0.235528« log 0.15„ = 9.176091„.

Wir dividieren durch 7, um den Koeffizienten der höchsten Potenz gleich 1 zu machen, dann braucht die erste Kolonne nicht geführt zu werden. Die Koeffizienten sind dann

b₀ = 1, b₁₌= 0, log- k₂ = 9.892889, log bs = 9.677346, log = 9.390430«, log b₆ — 8.330993«.

Bei den Logarithmen ist überall —10 zu ergänzen. 0.193919« 9.785778    9.354692 8.780860 6.661986

9.691460« 9.584349 8.309369

Man schreibt sich die Logarithmen der doppelten Koeffizienten 2 b₂, 2 bs in einer Keihe auf einen Papierstreifen und hält diesen dann in der richtigen Lage unter die Reihe der Logarithmen von b, um so die Logarithmen der doppelten Produkte zu bilden. In diesem speziellen Fall, wo bx gleich Null ist, enthält keine der Kolonnen mehr als zwei Logarithmen. Bei den nächsten Schritten werden in zwei Kolonnen je drei Logarithmen Vorkommen, die dann mit der Tabelle der Additionslogarithmen oder Subtraktionslogarithmen zu behandeln sind. Es ergeben sich für die Gleichung der Wurzelquadrate die Logarithmen der Koeffizienten: 0.193919« 9.076281 9.785557 8.907213 6.661986.

Der eine negative Koeffizient beweist, dafs die ursprüngliche Gleichung nicht lauter reelle Wurzeln haben kann. Denn in der Reihe

C01 CX1 C2? CS? Cü Cb

kommen nur drei Zeichenwechsel vor. Nach der Zeichenregel des Cartesius sind also unter den Wurzelquadraten höchstens 3 positiv. Es können daher unter den Wurzeln nicht mehr als drei reell sein.

Beim nächsten Schritt erhalten wir die Kolonnen

0.387838    8.152562 9.571114    7.814426 3.323972

9.377311« 0.280506 8.284524« 6.748573«

9.208243    7.156935«

Die Logarithmen der Koeffizienten der Gleichung der vierten Potenzen werden:

0.343235, 0.318775, 9.546295, 7.775405-10, 3.323972-10.

Von hier ab ist die Charakteristik vollständig bezeichnet, um zu keinen Verwechselungen Anlafs zu geben.

9.092590-10 5.550810-10 6.647944-20 8.395210«-10 3.171297-10

0.686470 0.637550 0.619805« 0.190560«

8.076435-10 3.968237-10

Für die 8ten Potenzen ergeben sich daraus die Zahlen :

9.839676-10 0.447423 8.995285-10 5.548994-10 6.647944-20

für die löten Potenzen:

0.709736« 0.887216 7.981676-10    1.097984-10

3.295888-30

Der letzte Koeffizient beeinflufst jetzt die vorhergehenden nicht mehr und auch der vorletzte beeinflufst die ihm vorhergehenden nicht mehr wesentlich. Man findet daher die absoluten Beträge zweier reellen Wurzeln:

1.097984—10

7.981676—10

3.116308—10

16 19.116308—16 |9.569769

3.295888—30 1.097984—10 2.197904—20

16 114.197904—32 |8.887369 num log 8.887369 = 0.077156 num log 9.569769 = 0.371338

Von hier ab können nun die letzten beiden Koeffizienten weggelassen werden, so dafs man es nur noch mit drei Zahlen zu thun hat wie bei einer Gleichung dritten Grades. Für die 32ten Potenzen ergiebt sich

1.035229    1.775149 5.963352—10

Jetzt spielt auch die dritte Zahl keine Rolle mehr und wir erhalten eine weitere Wurzel

5.963352—10

1.775149

4.188203—10

32 | 26.188203—32 | 9.818381 num log 9.818381 = 0.658235

Die übrigen beiden Wurzeln müssen konjugiert imaginär sein. Denn wir fanden schon oben, dafs nicht mehr als drei Wurzeln reell sein können. Der absolute Betrag ergiebt sich aus der zweiten Zahl 1.775149, die das Produkt

der 32ten Potenzen der beiden konjugierten Wurzeln, also die 64te Potenz ihres absoluten Betrages darstellt. Der absolute Betrag ergiebt sich daher:

64 | 1.775149 | 0.027737 r= 1.065951

Logarithmus

Wir haben also das folgende Resultat Absoluter Wurzelbetrag

0.077156

0.371338

0.658235

1.065951

1.065951

8.887369

9.569769

9.818381

0.027737

0.027737

Summe: 8.330993

Es erübrigt nun noch die Vorzeichen der reellen Wurzeln und die beiden konjugierten Wurzeln zu finden. Nach der Zeichenregel des Cartesius hat die Gleichung eine und nur eine negative Wurzel. Zwei Wurzeln sind daher positiv. Welche von den Wurzeln negativ ist, erkennt man, indem man das Vorzeichen der linken Seite der Gleichung für einfache Werte von x, deren absoluter Betrag zwischen den gefundenen Werten liegt, bestimmt. Man setzt z. B. x —— 0.5 ein und überzeugt sich sogleich, indem man den Wert in der oben beschriebenen Weise berechnet, dafs die linke Seite negativ ist. Es liegt also zwischen — 0.5 und 0 eine Wurzel. Ferner setzt man + 0.2 ein und findet, dafs die linke Seite ebenfalls negativ ist und daher zwischen 0 und + 0.2 auch eine Wurzel liegt. Das letzte verlangt, dafs 0.077156 zu einer positiven Wurzel gehört und das erste, dafs die negative Wurzel zu einem der beiden Werte 0.077156 oder 0.371338 gehört. Folglich ist die negative Wurzel gleich — 0.371338 und die positiven Wurzeln + 0.077156 und +0.658235.

Die Summe der beiden konjugierten Wurzeln ist gleich dem doppelten ihres reellen Teils. Da nun der Koeffizient von x* Null ist und daher die Summe der Wurzeln verschwindet, so hat man für den reellen Teil u der beiden konjugierten Wurzeln die Gleichung

2 u +0.077156 —0.371338 +0.658235 = 0,

2 u — — 0.364053 = 2 r cos cp log* u = 9.260135„ log r = 0,027737

d. h.

log cos cp = 9.232398„ cp = ± 99° 49' 56".

Die beiden konjugierten Wurzeln sind demnach re±(r\ wo r= 1.06595

cp = 99° 49' 56"

Will man eine vollständige Probe der Rechnung ausführen, so ist das Produkt der fünf linearen Faktoren

(a? — r ev*) (x — r~ <r*) (x — 0.658235) (x -j- 0.371338)

(x— 0.077156)

oder

o² + 0.364053.x + 1.13625) (x — 0.658235) (x -f 0.371338) (x— 0.077156)

zu bilden und mit der gegebenen Gleichung zu vergleichen. Es ergiebt sich:

x⁵ -f 0.7814236a:³ — 0.4757220a:² — 0.2457135a;

+ 0.0214286*),

während die linke Seite der gegebenen Gleichung, nachdem durch den Koeffizienten der höchsten Potenz dividiert ist, giebt : a;⁵ + 0.7814286 x³ — 0.4757143 .r² — 0.2457143 ar + 0.0214286.

Bezeichnet man das Produkt der gefundenen linearen Faktoren mit cp {x\ so läfst sich also die gegebene Gleichung in der Form ausdrücken:

cp (x) + (50 xs + 77 x² — 8 x) 10 ~⁷ = 0.

Nun kann man Korrektionen der Wurzeln berechnen, indem man die Gleichung durch vier von den linearen Faktoren dividiert und z. B. schreibt:

a:—0.658235

(50 a?⁸ + 77a:²— 8aQ 10 ~⁷

(ar + 0.364053a;+1.13625) (.r+0.371338) (a:-0.077156)

*) Das Ausmultiplizieren geschieht bequem mit der Rechenmaschine oder etwas weniger bequem mit der Rechentafel, indem man den ersten Faktor mit dem zweiten, das Resultat mit dem dritten u. s. w. multipliziert.

Die rechte Seite ändert sich dann nur wenig mit x, und daher ist die linke Seite sehr nahe gleich dem Wert, den man erhält, wenn man auf der rechten Seite für x den Wert 0.658235 einsetzt.

Die Berechnung wird nur auf wenige Stellen am besten mit dem Rechenschieber ausgeführt.

So ergiebt sich

x — 0.658235 = — 0.000004

und in ähnlicher Weise

x + 0.371338 = — 0.000002 x — 0.077156 = + 0.000000.

Auch die Korrekturen der komplexen Wurzeln kann man in derselben Weise berechnen. Und da die beiden Korrekturen einander konjugiert sein müssen, so braucht man nur eine zu berechnen. Die Rechnung geschieht ebenfalls bequem mit dem Rechenschieber und ergiebt: x _ re±cpi — (3 + i) 10-6.

Daraus :

d r = (3 cos cp -j- sin cp) 10 ~ ⁶ = 0.5 X 10 -6 dcp = (cos (p — 3 sin cp) —^—. q" = — 0.6".

Als Probe dafür, dafs die Korrekturen richtig berechnet sind, kann man den Umstand benutzen, dafs die Summe der fünf Wurzeln Null bleiben, also die Summe der Korrekturen verschwinden mufs.

Die Gleichungen, der die Wurzelpotenzen genügen, lassen sich statt mit Additionslogarithmen auch mit der Rechenmaschine bequem bilden. Man rechnet dabei immer gleich den Wert einer Kolonne aus, ohne die einzelnen Glieder hinzuschreiben, da die Maschine die Addition der Quadrate und Produkte selbstthätig besorgt. Die sehr grofsen oder sehr kleinen Werte, die sich im Verlauf der Rechnung alsbald ergeben, schreibt man am besten als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 mit einer positiven oder negativen Potenz von 10. Dabei braucht man nur den Exponenten von 10 anzumerken, etwa über der andern Zahl.

Sei z. B. die Gleichung gegeben:

3.22.r⁶ -f 4.12 .r⁴ -f 3.1 l.r" — 7.2hx- + 1.88* — 7.84 = 0,

so dafs sich für die oben S. 159 mit 5₀, + b„ ... bß bezeichn eten Gröfsen die Werte

3.22, 0, 4.12, — 3.11, —7.25, —1.88, — 7.84 ergehen, so findet man für die Gleichung- der Wurzelquadrate

-f 1.0368, — 2.6533, —2.9716, + 1.1990, —2.3733,

— 1.1015, + 6.1466.

Die über den Dezimalbrüchen stehenden Zahlen bedeuten die Potenz von 10, mit der man sich die Dezimalbrüche multipliziert denken mufs. Es sind also nichts anderes als die Charakteristiken ihrer Logarithmen. Zunächst wäre diese Schreibweise noch nicht notwendig. Sobald aber die Charakteristiken sehr grofs werden, stellt sich die Notwendigkeit ein. Die beiden Zeichenfolgen zwischen der 2ten und 3ten und zwischen der 5ten und 6ten Zahl entsprechen zwei Zeichenwechseln in den eigentlichen Koeffizienten der Gleichung der Wurzelquadrate. Nach der Zeichenregel des Cartesius sind daher nicht mehr als zwei positive Wurzelquadrate, mithin nicht mehr als zwei reelle Wurzeln vorhanden. Das zeigt sich auch im weiteren Verlauf der .Rechnung. Für die Gleichung der 128ten Potenzen erhält man

65    82    101    117    120    117    114

1,013 + 3.051    + 2.081    + 1.125    + 8.179    — 2.912    + 2.968

Hier haben sich die Wurzeln, deren absolute Beträge nicht die gleichen sind, schon in 4 Gruppen getrennt. Die drei ersten Koeffizienten

82

65

101

1.013    + 3.051 + 2.081

haben keinen Einflufs mehr auf die Bildung der übrigen, so weit sie hier berechnet werden. Ebenso trennen sich ab

120

101

117

+ 2.081 +1.125

117

120

+ 1.125 +8.179

117

114

+ 8.179    — 2.912 +2.968

Nur der 3te Wert erfährt in den ersten 4 Ziffern beim nächsten Schritt noch eine kleine Änderung, weshalb es sich noch lohnt, für den dritten Koeffizienten allein noch

101

einen Schritt weiter zu gehen und dann statt 2.081 die

202

Quadratwurzel aus dem neuen Wert 4.324 zu setzen. Die beiden Gruppen von zwei Zahlen bestimmen die beiden reellen Wurzeln. Da nun die gegebene Gleichung in ihren Koeffizienten 3 Zeichenwechsel hat, so folgt aus der Zeichenregel des Cartesius, dafs nur eine oder drei positive Wurzeln vorhanden sein können. Mithin mufs von den beiden reellen Wurzeln die eine positiv, die andere negativ sein.

Es ergeben sich die beiden Werte

126

= 1.32714

1.07193.

V 1,125 . IO¹¹⁷

256

V4,324.10²⁰²

8,179.10120 ' 1,125.10¹¹⁷

Welcher von diesen beiden Werten positiv und welcher negativ zu setzen ist, erfährt man, indem man einen Zwischenwert z. B. 1,2 für x in die gegebene Gleichung einsetzt und das Vorzeichen der linken Seite bestimmt. Mit dem Rechenschieber hat man in der oben beschriebenen Weise:

Q.22    0    +4.12 + 3.11 -7.25 +1.88 -7.84

+ 3.86 +4.64 +10.5 +16.3 +10.8 +15.2 + 3.86 + 8.76 + 13.6    + 9.0+12.7    + 7.4 =/(1.2).

Das positive Zeichen besagt, dafs zwischen x— 0 und x—1.2 eine positive Wurzel liegt. Daher sind die beiden reellen Wurzeln -f- 1.07193 und — 1.32714.

Die beiden Gruppen von je drei Zahlen entsprechen den beiden Paaren konjugierter Wurzeln. Ihre absoluten Beträge sind

512

= 1.38626

0.94372.

V4,324.10²⁰²

256

V 1,013.10⁶⁵

i/2,968.10Tu ' 8.179.1012ü

Die konjugierten Wurzeln selbst findet man aus der Summe der 6 Wurzeln und der Summe ihrer reziproken Werte. Die -Summe der 6 Wurzeln ist für die gegebene Gleichung gleich Null. Die Summe ihrer reziproken Werte ergiebt sich aus den beiden letzten Koeffizienten gleich

, 1.88

7.84'

Bezeichnen u₁ und w₂ die reellen Teile der beiden komplexen Wurzelpaare und rx und r₂ ihre absoluten Beträge, so ist die Summe der 4 komplexen Wurzeln gleich

2 ux —j— 2 u₂

und die Summe ihrer reziproken Werte gleich

2m₁ 2 u2 r\    r2² '

Da nun die übrigen beiden Wurzeln sowie rt und r2 bekannt sind, so erhält man für ux und u₂ zwei lineare Gleichungen

2 Mi -j- 2 u₂ = 0.25521 2 u₁ 2 w₂

r₃*

0.06040,

aus denen ut = -j- 0.18769 u₂ = — 0.06009 gefunden wird. Die imaginären Teile vxi und v₃i sind dann aus

v₁=Vr₁‘i—ux² v₂ = Vr₂²— «₂2 zu berechnen. So ergeben sich die beiden Paare

0.18769 + 1.37350 i und — 0,06009 + 0.94181 i

Die Probe kann in derselben Weise wie oben ausgeführt werden. Man bildet mit den gefundenen Wurzelwerten das Produkt der linearen Faktoren, wobei zwei konjugierte Wurzeln gleich in einem Faktor zweiten Grades vereinigt werden.

So ergiebt sich:

3,22 (#-f- 1.32714) (# — 1.07193) (#'² — 0.37538 #-f 1.92172) (.x² 4- 0.12018# -f 0,89061) = 3.22#⁶ -f 0.000032#6 -f 4.119945#⁴ -f- 3.110212x⁸ — 7.249904#² -j- 1.879964# — 7.840012,

während die linke Seite der gegebenen Gleichung war:

3.22 a;⁶ + 4.12 x* + 3.11 xs — 7.25 a;² -f 1.88x — 7.84.

Bezeichnet man das Produkt der gefundenen Faktoren mit cp (ar), so kann man die gegebene Gleichung daher in die Form bringen

cp(x) = (32a;⁵ — 55a;⁴ + 212a;³ + 96a-² — 36.«— 12) IO⁻⁶.

Dividiert man hier beide Seiten durch das Produkt aller Faktoren aufser einem, so erhält man auf der linken Seite eine Funktion ersten Grades, auf der rechten Seite eine gebrochene Funktion, die sich nur langsam mit x ändert.

Hieraus findet man eine Verbesserung des betreffenden Wurzelwertes, in dem man ihn auf der rechten Seite für x einsetzt. Dabei braucht man natürlich nur wenige Stellen zu berücksichtigen. Die Verbesserung von x —— 1.32714 z. B. wird mit dem Rechenschieber so gefunden. Man berechnet zunächst (32a;⁵ — 55a;⁴ + 212a;⁸ -j- 96a;² — 36a? — 12) 10~ & für x — — 1.327 :

32 —55    -f- 212    +96    —36    — 12

— 42,5 + 129 —453 + 474 —581

— 97.5 + 341 —357 +438 —593 Das ergiebt — 59.10 ~ ⁵. Dann berechnet man das Produkt

3.22 (x — 1.07193) (x⁹ — 0.37538a; + 1.92172)

(.x² + 0.12018 a; + 0,89061)

für x = — 1.327 :

1    —0.375    + 1.92

—    1.327    + 2.26

—    1.70    + 4.18

— 3,22.2,40.4,18.2,49 = — 80.

Die Korrektion der Wurzel wäre danach

59

+Ür¹⁰“5 = + ⁷-¹⁰~G-

In derselben Weise ergiebt sich, dafs der Wurzelwert 1.07193 um etwa 6 Einheiten der sechsten Stelle zu klein ist.

Will man die komplexen Wurzeln auf ähnliche Weise kontrollieren, so kann man das auch etwas anders ausführen, als es oben auseinandergesetzt wurde. Man kann

dabei nämlich auch im Gebiete der reellen Zahlen bleiben und die Verbesserungen der Koeffizienten für je einen der Faktoren zweiten Grades suchen, die den konjugierten Paaren entsprechen. Man dividiert die Gleichung cp (x) = (32a:⁵ — 55a:⁴ + 212a:³ + 96a:² — 36a: — 12) 10~6 auf beiden Seiten durch alle Faktoren mit Ausnahme eines der beiden Faktoren zweiten Grades und erhält z. B. : a² — 0.37538a? —|— 1.92172 32a:⁵ — 55a’⁴ + 212a³ + 96a² — 36a — 12

3,22 (a + 1.327) (a — 1.072) (a²+ 0.12a + 0.89) '

Anstatt nun auf der rechten Seite für a eine der beiden konjugierten Wurzeln einzusetzen, die dem Faktor zweiten Grades entsprechen, kann man die reelle lineare Funktion

a x -j- ß

berechnen, welche für die beiden konjugierten Wurzeln mit der rechten Seite übereinstimmt. Dann sind — a und — ß die Verbesserungen der Koeffizienten des Faktors zweiten Grades, der dann also die verbesserte Form annimmt:

a² — (0.37538 + a) x -f 1.92172 — ß.

Um a und ß zu finden, reduziert man zunächst Zähler und Nenner modulo x² — 0.37538 x -f-1.92172, d. h. man dividiert durch den Faktor zweiten Grades und bestimmt den Rest. Die Rechnung wird auf wrenige Stellen am besten mit dem Rechenschieber ausgeführt

96    —30    — 12

Gj h-⁴

32    —55

12 +

83

43 + 150

— 16

258

-f 134 + 179

50

+ 229 — 294

— 86 +441

— 208 —453

Der Zähler stimmt also, wenn x gleich einer der beiden konjugierten Wurzeln gesetzt wird mit

(— 208 x — 453) 10 -⁶

überein.

Im Nenner reduziert man erst das Produkt (« + 1.327) (« — 1.072) = «² -f 0.255 « — 1.42 1 -f- 0.255 — 1.42 — 0.375    + 1.92

— 3.34

+ 0.63

dann den Faktor «² + 0.12 x + 0.89

1 + 0.12 + 0.89 — 0.38 + 1-92 + 0.50 —1.03

Die beiden reduzierten Faktoren ersten Grades werden miteinander multipliziert und das Produkt wieder reduziert

0.315 —1.67

_— 0.65    + 3.44

Produkt: ~~0.315 — 2.32    +3.44

— 0.12 +0-60 — 2.20 + 2.84

Das reduzierte Produkt ist dann noch mit 3.22 zu multiplizieren und giebt

— 7.1 x + 9.1

Die rechte Seite stimmt danach für die beiden konjugierten Wurzel werte mit

21 x + 45 7,1« — V überein.

• 10 ~⁵ oder

(3.0 H-

72

7.1 x —D.l

IO-⁵

Um nun noch den Nenner wegzuschaffen, dividiert man «² — 0.37538«+ 1.92172 durch 7.1« —9.1

1    —0.38    + 1.92    0.14«+ 0.13

— 1.28

+ 0.90

— 1.15

d. h. es ist:

+ 3.07

«² — 0.38«+ 1.92

7.1 « — 9.1

0.14«+ 0.13 +

3.07

"7.1 « — 9.1 '

«0

«1

Für die beiden konjugierten Werte ist also 3.07

7.1 x — 9.1

0.14 x— 0.13

daher

72

3.3 x — 3.0.

7.1 x — 9.1

Als Resultat der ganzen Reduktion ergiebt sich also — 3.3 æ 10 ⁻⁵,

so dafs der Faktor zweiten Grades verbessert lautet:

x² — 0.37535 x -j- 1.92172.

Die analoge Rechnung für das zweite Paar konjugierter Wurzeln liefert

“b 3 x. 10 ö,

so dafs hier der Faktor zweiten Grades verbessert lautet:

x² -f 0.12015 x ~b 0.89061.

Hat man es mit einer Gleichung zu thun, bei der mehr als zwei Paare konjugierter Wurzeln Vorkommen, so findet man zwar die absoluten Beträge in derselben Weise wie bei einem oder zwei Paaren konjugierter Wurzeln, um aber auch die reellen und imaginären Teile zu berechnen, kann man den folgenden Weg einschlagen. Es werde der Grad der gegebenen Gleichung als gerade und gleich 2 m vorausgesetzt. Eine Gleichung von ungeradem Grade kann man sich mit x multipliziert denken, um sie in eine Gleichung geraden Grades zu verwandeln. Die Gleichung werde dann durch die Division mit xm auf die Form gèbracht:

b₀ xm — \ xm~¹ -b 5₂ xm

Indem man nun x = re⁽?i setzt und den reellen und imaginären Teil für sich gleich Null macht, ergeben sich die beiden Gleichungen:

or₀ COS m cp — at cos (m — 1) qp ~b ... ~b <xm = 0 ß₀ sin mcp — ßx sin (m — 1) (p ~b ... + ßm-i sin cp — 0 wo zur Abkürzung gesetzt ist:

— b₀ rm ~b b2mr

= Tm 1 —b%m—j r    ß

= 0.

ßo

= b₀ rm — b2mr = blr

m -1

— b₂m-ir-m + 1

ctm — bm.

ßrn — 1 -

bm_ir — 5m+1r_!

Die Gröfsen a und ß können mit Hülfe des für r gefundenen Wertes berechnet werden. Setzt man nun cos cp = t, so lassen sieh cos 2 cp, cos 3 cp, ... cos m (p und sin 2 cp sin 3 cp sin m cp sin cp ’ sin <jp ’ ” ’’ sin cp von t ausdrücken. Es liefern dann jene beiden Gleichungen zwei Gleichungen für t, von denen die eine vom mten? die andere vom m — lten Grade ist. Die gemeinsame Wurzel der beiden Gleichungen ergiebt sich eindeutig durch das Verfahren des gemeinsamen Teilers.

So hat man z. B.

cos 2 <jp = 21² — 1

ebenso

als ganze Funktionen

sin 2 cp sin cp sin 3 cp sin cp sin 4 cp sin cp sin 8 cp sin cp

Bei einer Gleichung 6ten Grades würden die beiden Gleichungen für t lauten:

cos 3 cp = 4 tz — 31

cos 4 cp = 81* — 8 £² -j- 1

cos 5 cp = 16 £& — 20 tz -j- 51

4zt² — 1

8ts — 4 £

16 i⁴ — 12 ć² -j- 1

a₀ (41³ — St) — cx₁ (21* — 1) —[—    i — a₃ = 0

ßo (4 t² — 1) —ft.2 !

oder nach Potenzen von t geordnet

Vi,tS -f Yi ** 4- ¹+7% = 0 ^0 t² 4“ ¹ 4~ de

H⁻ ß%

Multipliziert man die zweite Gleichung mit —ß

do

sie von der ersten ab, so ergiebt sich

-ß- und zieht

die in der Form

Y\ ^ + Yz ¹ 4 Y-z — 0

geschrieben werden möge. Multipliziert man abermals die

Yi

Gleichung ô₀1- -f- t -j- d₂ = 0 mit —

und zieht sie von

der letzten Gleichung ab, so ergiebt sich für t eine Gleichung ersten Grades.

Eine andere Art, die komplexen Wurzeln zu berechnen besteht darin, dafs man in der gegebenen Gleichung g(x) = 0 die linke Seite nach Potenzen von A entwickelt, wo h = x —p und p eine beliebig angenommene Gröfse ist. Wendet man nun das auseinandergesetzte Verfahren auf die Gleichung in h an, so ergeben sich für die komplexen Wurzeln die absoluten Beträge von \x—p\. Sind die absoluten Beträge | x | für die komplexen Wurzeln schon bekannt, so sind geometrisch gesprochen die komplexen Wurzeln als Durchschnittspunkte von Kreisen bestimmt. Diese Bestimmung ist zwar nicht eindeutig, aber unter den verschiedenen möglichen Systemen kann man das richtige dadurch auswählen, dafs man die Summe aller Wurzeln kennt. So möge z. B. in der oben behandelten Gleichung

3.22 x® + 4.12 x* + 3.11 x* — 7.25    + 1.88 x — 7.84 = 0

die Entwickelung nach Potenzen von h = x-J-1 vorgenommen und die Wurzeln A nach dem beschriebenen Verfahren berechnet werden.

3.22    0.00

3.22

++

<M CCI r-H c-d CÔ

r-H

T—i CO CO t>

’co to CO Ol

++

CO h-¹

© ôo to 00

ŻO bo O £«.

—    3.22 -f 7.34 — 4.23 — 3.02 + 4.90 —12.74

—    3.22 -f 6-44 —13.78 + 18.01 —14.99

—    6.44    4-13.78    —18.01    +14.99 —10.09

—    3.22    + 9.66    —23.44    +41.45

—    9.66    +23.44    —41.45    +56.44

—    3.22    4-12.88    —36.32

—    12.88    +36.32    —77.77

—+22 4-16.10

— 16.10 +52.42

3.22

—19.32

3.22 Ä⁶ — 19.32 A⁵ + 52.42 A⁴ — 77.77 A³ + 56.44 A'2 — 10.09 A — 12.74 = 0.

Man rechnet nun wie oben und findet zunächst, dafs bei der Gleichung- der löten Wurzelpotenzen sich die kleinste Wurzel abtrennt, deren absoluter Betrag sich gleich

0.327132

ergiebt. Bei der Gleichung der 64ten Wurzelpotenzen trennt sich das nächste Paar konjugierter Wurzeln ab. Das Quadrat des absoluten Betrages ergiebt sich gleich

1.77040.

Bei der Gleichung der 128ten Wurzelpotenzen endlich trennt sich das andere Paar konjugierter Wurzeln und die andere reelle Wurzel ab. Das Quadrat des absoluten Betrages der konjugierten Wurzeln ergiebt sich gleich

3.29715

und der absolute Betrag der reellen Wurzel gleich

2.07195.

ln Verbindung mit den oben ermittelten absoluten Beträgen der Wurzeln der ursprünglichen Gleichung in x:

1.07193

1.32714

für die reellen Wurzeln und

1.92172

0.89061

für die Quadrate der absoluten Beträge der konjugierten Wurzeln ergeben sich nun die Wurzeln x selbst durch die Bemerkung, dafs die Wurzeln h um eine Einheit gröfser sein müssen als die Wurzeln x. Daher hat man zunächst für die reellen Wurzeln

+ 1.07193 und — 1.32714.

Denn mit anderen Vorzeichen würden sie nicht bei Vermehrung um eine Einheit die absoluten Beträge

0.327132 und 2.07195

annehmen. Zweitens ergeben sich nun auch die reellen Teile der konjugierten Wurzeln. Denn wenn x = u-\~vi gesetzt wird, so hat man erstens:

M² -f v* = 0,89061 oder 1.92172

und zweitens

ua-|-ra= 1.92172 {u -j- l)² -j- u² == 3.29715

und

(« + l)² + u² = 1.77040 oder 3.29715. Das sind zwei Möglichkeiten, entweder w² „2 = 0.8906!

(w-f- 1)² + ü² = 1.77040 oder

u² -f ü² = ₀.₈₉₀₆₁

0 + 1)² + i>² = 3.29715

und

u* + v* = 1.92172 (w —j— l)² —j— u² = 1.77040

Die erste Möglichkeit liefert durch Subtraktion je zweier untereinanderstehender Gleichungen die beiden Werte:

d. i.

2 u —f— 1 = 0.87979 und 2 u -f 1 = 1.37543,

2 w = — 0.12021 und 2 m = 0.37543.

Die andere Möglichkeit liefert:

2 m -f 1 = 1.40654 und 2 u + 1 = — 0.84868,

d. i.

2 M = 0.40654 und 2« = — 1.84868.

Da die Summe der 6 Wurzeln Null sein mufs und die beiden reellen Wurzeln zusammen —0.25521 geben, so müssen die beiden Werte von 2 u zusammen gleich -j-0.25521 sein. Die erste Möglichkeit trifft daher zu bis auf den kleinen Fehler in der fünften Stelle, während die zweite Möglichkeit ausgeschlossen ist. So ergeben sich also die beiden Faktoren zweiten Grades: ^²-f 0.12021^-f 0.89061 und — 0.37543.» + 1.92172,g

die bis auf wenige Einheiten der fünften Dezimale mit den oben ermittelten Werten Ubereinstimmen.

§ 22. Der Sturinsche Satz.

Es kann unter Umständen wichtig sein, über die Anzahl der reellen und komplexen Wurzeln einer Gleichung von vorne herein einen Aufschlufs zu erhalten, ohne die Wurzeln selbst zu ermitteln. Es wurden oben schon einige Anzeichen angegeben, durch die man eine obere Grenze für die Anzahl der reellen Wurzeln findet. Vollständig wird die Frage durch den Sturmschen Satz beantwortet.

Es sei g{x) = 0 die vorgelegte Gleichung g (x) — a₀ xn -|- axxn~l a₂ xn ~ ² -)- . . . -j- an _ i x an.

Man bildet die Ableitung

g' (x) = n a₀ xn ~ ¹ (n — 1) ax xn — 2 -j- ... -j- an _ j

und wendet auf g(x) und gr (x) das Verfahren des gemeinsamen Teilers an. Zu dem Ende multipliziert man g' {x)

mit — und zieht das Produkt Glied für Glied von q(x) n    y

ah. Der Rest enthält dann die wte Potenz von x nicht mehr:

ax xn~ ¹ -j- a₂' xn~ ² -|- ... -\-    an.

Ist a₁' von Null verschieden, so multipliziert man g' (x) mit

d f

—— und zieht das Produkt von dem eben erhaltenen Rest

n a₀

ab. Der neue Rest wird dann auch die n — 1 te Potenz von x nicht mehr enthalten. Er werde mit — rt bezeichnet. Ist a/ gleich Null, so soll schon der erste Rest mit —r± bezeichnet werden. Im allgemeinen genügt es für die Zwecke, die man hier verfolgt, die Rechnungen auf wenige Stellen auszuftihren, so dafs die Genauigkeit des Rechenschiebers ausreicht. Dadurch läfst sich das Verfahren, wie unten an einem Beispiel gezeigt wird, mit geringer Mühe ausführen.

Nach der Definition von rx hat man

9(x) = <h g'(v)—ri,

gix)

und — rx den Rest

9\æ)

wo qx den Quotienten der Division ~

bezeichnet, der nach der Definition von niedrigerem Grade ist als g' (x). Indem man jetzt mit g' (x) und rx ebenso verfährt, wie mit g(x) und g' (x), erhält man eine zweite Gleichung :

g\x) = g a ri — rv

wo r₂ wieder von niedrigerem Grade ist als rx. So fortfahrend ergiebt sich eine Kette von Gleichungen

rr.

rv-2 — qv rv-i

Da der Grad der ganzen Funktionen rt r₂ rs ... sich beständig erniedrigt, so mufs das Verfahren ein Ende haben. Wenn g(x) und g' (x) keinen gemeinsamen Teiler haben, so wird man schliefslich auf einen Rest —rv stofsen, der von x unabhängig und gleich einem von Null verschiedenen Wert ist. Wenn dagegen g{x) und g'(x) einen gemeinsamen Teiler besitzen, so mufs das Verfahren auf diesen gemeinsamen Teiler führen. Denn ein gemeinsamer Teiler von g(x) und g’(x) mufs nach der Gleichung

9 (*) = <h 9' (x) — ri

auch ein Teiler von r₁ und daher nach der Gleichung 9' 0) = 92 ri~ V2

auch ein Teiler von r-₂ sein u. s. w. von r₃ ré . . . Nun mufs man schliefslich auf ein rx stofsen, das ein Teiler des vorhergehenden rv_x ist. Dieses rv ist dann der gröfste gemeinsame Teiler von g(x) und g'{x). Es werde hier vorausgesetzt, dafs g[x) und g'{x) keinen gemeinsamen Teiler besitzen. Die Reihe der Funktionen

g(x), g'(x\ r1} ra, .... rv

giebt nun Aufschlufs über die Anzahl der reellen Wurzeln. Zunächst bemerke man, dafs rv von x unabhängig ist und also für alle Werte von x ein und dasselbe Vorzeichen behält. Die anderen Glieder der Reihe können, wenn man x sich kontinuierlich ändern läfst, ihr Vorzeichen ändern, indem sie durch Null hindurchgehn. Wenn nun eine der Funktionen g' (x), rv . . . ., rv_x verschwindet, so haben die beiden benachbarten Glieder notwendigerweise entgegengesetzte Vorzeichen. Denn es ist z. B. für g’ (x) = 0

9 {x) = — rx

oder für rx~ 0

9’ fa) = — r₂

u. s. w.

Daher kann die Anzahl der Zeichenwechsel in dieser Reihe sich nur dadurch ändern, dafs g(x) verschwindet. Denn beim Verschwinden einer der Glieder g'(x), rx, r₂,... rv _ , haben jedesmal die benachbarten Gröfsen entgegengesetztes Zeichen, und es enthalten daher die drei Glieder, das verschwindende und die beiden benachbarten, vor dem Verschwinden wie nach dem Verschwinden notwendig ein und nur ein ZeichenwTechsel gleichgültig, ob das verschwindende Glied vom Positiven zum Negativen oder vom Negativen zum Positiven übergeht. Verschwindet dagegen g(x), so ändert sich die Anzahl der Zeichenwechsel jedesmal um eine Einheit und zwar vermindert sie sich, wenn x wächst. Denn g (x) und g' (x) können nicht gleichzeitig verschwinden. Sonst müfsten ja an derselben Stelle auch rtr₂ ... rv verschwinden, was ausgeschlossen ist, wenn kein gemeinsamer Teiler vorhanden ist. Ist nun g' (x) positiv, so wächst g (x) mit wachsendem x, geht also beim Verschwinden vom Negativen zum Positiven über. Ist g' (x) dagegen negativ, so nimmt g(x) mit wachsendem x ab, geht also beim Verschwinden vom Positiven zum Negativen Uber. In beiden Fällen vermindert sich mit wachsendem x die Anzahl der Zeichenwechsel um eine Einheit. Um daher zu erfahren, wie viel reelle Wurzeln zwischen zwei Gröfsen a und b liegen, hat man nur nötig, die Zeichenwechsel zu zählen, welche die Reihe für x = a und für x = b enthält. Die Differenz ist gleich der Anzahl der reellen Wurzeln zwischen a und b. Läfst man a weit nach —oo und b weit nach -|-oo rücken, so überwiegen in allen ganzen Funktionen die Glieder, welche die höchste Potenz von x enthalten. Die Koeffizienten der höchsten Potenzen von x bestimmen daher die Anzahl der sämtlichen reellen Wurzeln der Gleichung.

Die Rechnung braucht offenbar nur so weit durch-geführt zu werden, dafs man die Vorzeichen der Funktionen mit Sicherheit bestimmen kann. Nur wenn eine der Funktionen sehr klein würde, könnte dies eine ausführlichere Rechnung verlangen. Diese wäre aber auch nur dann nötig, wenn die beiden benachbarten das gleiche Zeichen hätten; denn im andern Falle ist ja das Vorzeichen des betreffenden Gliedes für die Anzahl der Zeichenwechsel gleichgültig.

Es möge die auf S. 95 angegebene Gleichung

5.47#⁵ — 3.38 æ⁴ -f- 2.57 x³ -j- 10.11a,*² — 6.23 a,*

-f 5.43 = 0

untersucht werden.

g' (x) = 27.4«⁴ — 13.5«³ + 1.1 Ix- + 20.22« — 6.23 5.47, —3.38, + 2.57, + 10.11, —6.23, + 5.43 + 2.69    — 1.54    — 4.03    + 1.24

Auf dem Rechenschieber sind zunächst 5.47 und 27.4 einander gegenübergestellt. Dann stehen sich bei derselben Stellung des Schiebers gegenüber 2.69 und 13.5, 1.54 und 7.71, 4.03 und 20.22, 1.24 und 6.23. Die Zahlen 2.69, 1.54, 4.03, 1.24 werden dann mit dem richtigen Zeichen unter die betreffenden Koeffizienten von g(x) gesetzt und zu ihnen hinzugefügt. Dann stellt man ebenso auf dem Rechenschieber 0.69 und 27.4 einander gegenüber u. s. w. So ergiebt sich

rx — — 0.69«³ — 6.27«² + 4.48 x — 5.27.

r₂ = (— 257«² + 189« — 199) 10*)

In diesem Falle braucht man nicht weiter zu rechnen.

Denn man erkennt sogleich, dafs die Gleichung zweiten Grades :

r2 — 0

keine reellen Wurzeln besitzt, und dafs mithin r₂ für alle reellen Werte von x dasselbe Zeichen besitzt. Daher braucht man nur die Zeichenwechsel in der Reihe

g(x) g'(x) rt r₂

zu betrachten, um die Anzahl der reellen Wurzeln von g(x)

*) Es sind nur etwa die ersten zwei Stellen der Koeffizienten richtig, was für die folgenden Schlüsse ausreicht.

zu erfahren. Denn r₂ verschwindet nicht, und beim Verschwinden von g' («) und r₁ ändert sich die Anzahl der Zeichenwechsel nicht.

Für x — — oo erhält man die Vorzeichen:

--|- + — (2 Zeichenwechsel),

für x — oo :

-j- +--(1 Zeichenwechsel).

Die Gleichung besitzt daher eine und nur eine reelle

Wurzel.

Für « = 0 erhält man die Vorzeichen

-)----(1 Zeichenwechsel).

Die Wurzel ist mithin negativ.

Als zweites Beispiel möge die oben S. 108 aufgestellte

Gleichung

7«⁵ — 5.47«³ + 3.33«² + 1.72« — 0.15 = 0 behandelt werden.

g' («):

16.4    + 6.66 -f 1.72

7    0    —5.47 + 3.33 + 1.72 —0.15

+ 3.28 — 1.33

—    2.19 +2.00 + 1.38 —0.15 r, = + 2.19«³ — 2.00«² — 1.38« + 0.15

0    —16.4    +6.66    +1.72

+ 32.0    + 22.1    — 2.40

+ 32.0    + 5.7    + 2.26

+ 29.2    + 20.15

34.9 + 22.4    + 0.47

r₂ = — 34.9 «² — 22.4 « — 0.47

+ 2.19    — 2.00 — 1.38    + 0.15

—    1.41 — 0.03

35 0

0.34

35

2.19

— 3.41 — 1.41

+ 2.19 + 0.05 + 0.78 + 0.20

rs = — 0.78« — 0.20

— 34.9, —22.4, —0.47 -f- 8.9

— 13.5

+ 3.46

+ 2.99

rA = — 2.99.

Für x =— oo erhalten g («), g' («), rv r₂, r₃, ri die Vorzeichen:

— -j----1--(4 Zeichenwechsel),

für x — 0 :

— + -|----(2 Zeichenwechsel),

für x = + oo :

+ -j—(----(1 Zeichenweise!).

Es giebt also drei reelle Wurzeln, von denen zwei negativ und eine positiv sind.

Endlich werde die auf S. 171 aufgestellte Gleichung behandelt.

g(x)= 3.22«⁶ + 4.12«⁴ + 3.11«³ — 7.25«² + 1.88« — 7.84 = 0-g'(x)= 19.32«⁵ + 16.48 «³ + 9.33«² — 14.5«    + 1.88

3.22 0    +4.12    + 3.11    — 7.25    + 1.88    — 7.84

— 2.74    — 1.56    +2.42    —0.31

~ + 1.38    + 1.55    — 4.83    + 1.57    — 7.84~

r₁ = — 1.38 «⁴ — 1.55«³ + 4.83«² —1.57« +7.84 + 19.32    0    + 16.48 +9.33 — 14.5    + 1.88

—    21.6 + ⁶⁷-⁵ —21.9 + 109.8

—    21.6 +84.0 — 12.6    + 95.3

+ 24.2 — 75.7    + 24.6 — 122.8

+ 108 —88 + 120 — 121 r₂ = — 108«³ + 88«² — 120« + 121 — 1.38 — 1.55 + 4.83 — 1.57 + 7.84

—    1.12 + 1.53 — 1.54

—    2.67 +6.36 —3.11

— 2.17 +2.96 —3.00 + 4.19 —0.15    +4.84

r₃ = — 4.19«² + 0.15« — 4.84.

Da die Gleichung- r₃ == 0, wie man unmittelbar sieht, keine reellen Wurzeln hat, so hat r₃ für alle reellen Werte von x immer dasselbe Vorzeichen. Man hat deshalb nicht nötig, weiter zu rechnen.

Für x — — oc, x = 0, und x = -j- oo ergeben sich in der Reihe g{x\ g’ (x), rx, r₂, r₃ die Vorzeichen:

x = — oo:-j----1--(3 Zeichenwechsel)

0 :--1—1—|--(2 Zeichenwechsel)

x = -j- oo :    —|---

(1 Zeichenwechsel)

Es giebt also zwei reelle Wurzeln, von denen die eine positiv, die andere negativ ist.

Die Rechnung ist so schnell ausgeführt, dafs, wenn es sich nur um die Berechnung der reellen Wurzeln handelt, es sich wohl lohnen kann, auf diese Weise die Anzahl der reellen Wurzeln und vielleicht noch die Anzahl der positiven und negativen festzustellen, ehe man zur Berechnung selbst schreitet. Man spart dadurch Mühe beim Aufsuchen der ersten Näherungen. Denn wenn man z. B. in diesem Falle schon weifs, dafs nur eine positive und eine negative Wurzel existiert, so braucht man nicht nach weiteren zu suchen. Man erkennt aus dem Vorzeichen von g (x) sehr schnell, dafs die positive Wurzel zwischen 0 und -j- 2 nicht weit von -(- 1 entfernt liegt und dafs die negative Wurzel zwischen — 1 und — 2 liegt. Nach dem Verfahren von Newton findet man dann alsbald genauere Werte. Allerdings wenn auch die komplexen Wurzeln berechnet werden sollen, so lohnt es sich nicht vorher die Anzahl der reellen Wurzeln festzustellen, weil sie sich im Verlaufe der Rechnung nach dem im vorigen Kapitel beschriebenen Verfahren schon herausstellen.

Auch über die Lage der komplexen Wurzeln kann man in ähnlicher Weise allgemeinen Aufschlufs erhalten. Um dies zu erklären, mufs etwas weiter ausgeholt werden. Ist f(x) eine Funktion eines komplexen Argumentes x = u -f- vi, die sich im Innern und auf dem Rande eines Gebietes der komplexen Ebene regulär verhält, so ist nach Cauchy die Zahl der Nullpunkte der Funktion in dem Gebiete gleich dem Integral:

2 7t i

f 0*0

f 0*0

wobei das Integral über den Band des Gebietes zu erstrecken ist. Der Eand ist bei der Integration in solchem Sinne zu durchlaufen, dafs das Innere des Gebietes zur Linken liegt, wenn die positiven imaginären Koordinaten auf der linken Seite der positiven Eichtungen der reellen Koordinaten angenommen werden.

Setzt man nun

f{x) = q . eff\

wo q den absoluten Betrag, cp das Argument von f{x) bedeutet, so ist:

f (x) dx f{x) i

j-d (log/(*)) =

d (log q) + d (p.

Bei der Integration um den ganzen Eand des Gebietes nimmt log q wieder denselben Wert an. Daher wird der Wert des Integrals gleich

2 TC

dcp

In Worten ausgedrückt heifst das also: So viel mal als das Argument von f(x) um 360 Grad zunimmt, so viel Wurzeln der Gleichung

f(x) = 0

liegen in dem betrachteten Gebiet. Zerlegt man f(x) in seinen reellen und imaginären Teil

/» — U-\-Vi,

so ist

U — q cos cp V = q sin cp.

Folglich kann man an den Vorzeichen von U und V erkennen, in welchem Quadranten das Argument cp liegt und mithin auch verfolgen, wie viel mal das Argument im ganzen um 360° zunimmt. Dies kann z. B. in folgender Weise geschehen. Da cos cp der Differentialquotient von sin cp ist, so wird V mit wachsendem cp wachsen, wenn V positiv ist, und abnehmen, wenn V negativ ist. Beim Verschwinden von V wird mithin die Kombination der Vorzeichen von V und U mit wachsendem cp einen Zeichenwechsel verlieren, mit abnehmendem cp dagegen ein Zeichenwechsel gewinnen. Wenn daher beim Durchlaufen des

Randes die Funktion V p-mal ihr Zeichen so wechselt, dafs V, U einen Zeichenwechsel verliert und q- mal so, dafs V, V einen Zeichenwechsel gewinnt, so geht das Argument p-mal im wachsenden Sinne durch 0° oder 180° und ^-mal im abnehmenden Sinne. Die Gesamtänderung des Argumentes ist daher (p — g)-mal 180°. Daraus folgt, dafs die Zahl der Wurzeln der Gleichung

fix) = 0

in dem betrachteten Gebiete gleich ^ (p — q) ist.

In diesem Lehrsatz kann man auch V mit U und U mit — V vertauschen, da i fix) = —F-j-Ui dieselben Nullstellen hat wie fix).

Es sei nun fix) eine ganze rationale Funktion von x vom nten Grade.

x -j- an.

f ix) = (Xq Xn —j— dj xn ~~¹ —j— .... —)— ün

Schreibt man fix) in der Form /ix) — xn (a₀ -j- a. x~~¹    ... -(- an _x x~n +¹ -j- an x ~M),

so erkennt man, dafs für Werte von x von grofsem absoluten Betrage, das Argument von f{x) sehr wenig von dem Argument von a₀ xn abweicht. Die Änderung des Argumentes von f{x) wird daher sehr nahe gleich der Änderung des Argumentes von xn. Es folgt daraus, dafs für ein G-ebiet, auf dessen Rande der absolute Betrag von xm hinreichend grofs ist, die Anzahl der Wurzeln gleich der Änderung des Argumentes von xn dividiert durch 2 n, also gleich n sein mufs. Wenn das Gebiet auf der einen Seite von einer Geraden, auf der anderen Seite von einem Kreisbogen begrenzt wird, der mit einem sehr grofsen Radius um den Nullpunkt beschrieben ist und zwei Punkte der Geraden verbindet, so ist die Änderung des Argumentes auf dem Kreisbogen für einen hinreichend grofsen Radius beliebig wenig von n n verschieden. Läfst man den Radius unendlich werden, so erhält man also den Satz, dafs die Zahl der auf

der einen Seite der Geraden liegenden Wurzeln gleich - -

plus der durch 2 tc dividierten Änderung des Argumentes von / ix) längs der betrachteten Geraden ist. Die betreffende Seite der Geraden ist die zu dem Sinne, in dem man sie

IV. Ganze rationale Funktionen einer Veränderlichen, durchläuft, positive. Oder, wenn f(x) =U-\-Viy so ist die

192

wo

Zahl der Wurzeln auf dieser Seite gleich ~ -f-

u    Ł

p die Anzahl der Male angiebt, dafs F sein Zeichen beim Durchlaufen der Geraden wechselt, während F, U einen Zeichenwechsel verliert, und q die Anzahl der Male, dafs F sein Zeichen wechselt, während F, U einen Zeichenwechsel gewinnt. —

Die Zahl p

q findet man durch das Verfahren des gröfsten gemeinsamen Teilers ähnlich wie beim Sturmschen Satz. Man setzt auf der Geraden x = a -j- b t, wo a und b zwei im allgemeinen komplexe Zahlen sind und t von minus unendlich bis plus unendlich läuft. Die Funktionen U und F werden dann ganze rationale Funktionen von t. Im allgemeinen werden U und F von gleichem Grade sein; dann kann man das Verfahren durch Division von F durch U

beginnen oder auch durch Division von U durch —F. Wenn dagegen eine von ihnen von höherem Grade ist, so hat man nur eine Möglichkeit. Man bildet nun die Kette von Gleichungen, z. B. :

F= <lxu—ri

u == q* ri —

etc.

Wenn ra sein Zeichen längs der Geraden nicht ändert, so,kann in der Reihe

v, ui ru r••••»■«

die Anzahl der Zwischen Wechsel sich nur ändern, wenn V verschwindet, denn beim Verschwinden von U, rv r₂, kann die Anzahl der Zeichenwechsel sich nicht ändern, weil infolge der Kette von Gleichungen jedesmal die beiden benachbarten Glieder eines verschwindenden Gliedes entgegengesetztes Zeichen haben. Verschwindet nun F, so wird, je nachdem V, U einen Zeichenwechsel verliert oder gewinnt, auch die Reihe

V, V, r!, r2?    »*«

einen Zeichenwechsel verlieren oder gewinnen. Folglich ist p — q der Unterschied in der Anzahl der Zeichenwechsel der Reihe für t = — oo vermindert um die Anzahl für

t — -j- oo. Das Analoge gilt, wenn U, — V an die Stelle von V, U gesetzt wird. Besonders einfach wird das Verfahren für den Fall reeller Koeffizienten von f{x\ wenn es auf irgend eine Senkrechte zur reellen Achse angewendet wird. Man setzt x — a -}- t i, wo a eine reelle Zahl ist. Da

nun f{x) —f (a) -j- /' (a) ti -j- ^ t²i² -{- ...., so wird U

nur gerade Potenzen von t enthalten und V nur ungerade. Dadurch wird das Teilerverfahren wesentlich abgekürzt. Beispiel:

x = ti

f{x) -=lr>~ 5.47 æ³ -f 3.33 .z² -f 1.72 x — 0.15 f{x) = U + Vi

U= — 3.331² — 0.15 V= -f 7 tb -f 5.47 ts -f- 1.721

+ 7 + 5.47 -f 1.72 — 0.32

-j- 5.15

— 0.23

+ 1.49

r-j = — 1.491 r₂ = + 0.15

Für t== — oo hat die Reihe V, ZT, ri: r₂ die Zeichen: ---1—(- (1 Zeichenwechsel),

für t — + oo :

-\----1- (2 Zeichenwechsel).

Es ist hier also p — q = — 1 und mithin

Y + +X = 2.

Folglich giebt es zwei und nicht mehr als zwei Wurzeln der Gleichung, deren reeller Teil negativ ist. Oben S. 111 fanden wir, dafs die Gleichung zwei negative Wurzeln und eine positive Wurzel hat. Folglich haben die beiden komplexen Wurzeln einen positiven reellen Teil.

Setzt man x—    so hat man zunächst nach

Potenzen von ti zu entwickeln

Bunge, Praxis der ^Gleichungen.

7    4 14    4 15.53    4 20.39

14™4 15.53    4 20.39    4 26.97

4 7 4 21 . . 4 36.53 4 21 4 36.53 4 564)2 47 4-28 4 28 4 64.53

435

f(x) = 7tH 4 35F — 64.53fii — 56.92F 4 26.97^' 4 6.43

U= 351* —56.92 F 4 6.43 F = 7 ć⁵ — 64.531³ 4 26.971 7 — 64.53 4 26.97 411.38    —1.29

— 53.15 4 25.68 rt =53.15t³ — 25.68^

35 — 56.92 4 6.43 4 16.9

— 40.0    4 6.43

r₂ = 4 40.0 F —6.43 53.15 —25.68

4 8.55

— 17.13t

rs = 4 17.13 ^ r₄ = 4 0.43.

Für t = — oö nimmt die Reihe V, U, r₁₇ rif r₄ die Vorzeichen an

---1——(----j- (5 Zeichenwechsel)

für t= 4 ⁰⁰

-]—(—j—f- -|—|- (kein Zeichenwechsel)

= 5.

Es giebt also fünf Wurzeln, deren reeller Teil algebraisch kleiner ist als 1 und mithin keine Wurzel deren reeller Teil gröfser ist als 1. Der reelle Teil der beiden komplexen Wurzeln liegt also zwischen 0 und 1 und in demselben Intervall liegt auch die positive Wurzel.

2. Beispiel:

f(x) = 21 Æ’¹³ — 53 x’³ + 65 x⁶ + 312 æ² — 74

U == — 312 t² — 74 V =    21 i¹³ —|— 53 i⁷ —(- 651⁶

21

— 4.98

0    +53    +65

— 4.98

+ 1.18 + 1.18

— 0.28

52.7

— 12.5

52.5

— 12.5

— 12.5

+ 2.96

r₁ = — 2.96 t r* = + 74

Die Reihe F, U, r₁₁ nimmt die Vorzeichen an für t = —

für ć = + co : + ----j- (2 Zeichenwechsel)

oo :

---1—{-    (1 Zeichenwechsel)

+ L=Z± ^ 6 2 ‘ 2

Es giebt also 6 Wurzeln, deren reeller Teil negativ ist; und folglich giebt es 7 Wurzeln, deren reeller Teil positiv ist. Wir fanden oben S. 115, dafs die Gleichung nur eine positive Wurzel hat. Mithin giebt es drei Paare komplexer Wurzeln mit positivem reellen Teil,

P — 9.— — 1

Was die negativen Wurzeln betrifft, so erkannten wir schon oben S. 114, dafs nicht mehr als vier existieren können. Ihre genaue Anzahl ermittelt man durch Anwendung des Sturmschen Verfahrens auf 'f(x) und /' (x). Man braucht indessen nur die ersten Schritte auszuführen.

f 0) = 273 a?!² — 371 Æ⁶ -f 325 æ⁴ -f 624 x 21 xls    — 53. «⁷    -j- 65 æ⁵    —|— 312 x¹    —74

48.0

-j- 28.5    —25.0

— 24.5 x"‘    -j- 40 xn    264 x²

ri = -f- 24.5 x"‘ — 40 tf⁵ — 264 x² -f 74.

rt hat in dem Intervall — oo bis

1 nur negative Werte. Denn 24.5 x"‘— 40a'⁵-|-74 hat seinen algebraisch gröfsten Wert für diese Werte von x, wenn 171.5 a*⁶ — 200 xi = 0 ist, d. h. etwa bei x²=1.17. Der algebraisch gröfste Wert von 24.5 x'¹— 40æ⁵-J-74 ist daher nicht gröfser als etwa -f- 91, wird also von —264 x² in dem ganzen Intervall x = — oo bis — 1 aufgewogen. Man kann daher die Anzahl der negativen Wurzeln der Gleichung/(«)== 0, soweit sie in dem Intervall x — — oo bis — 1 liegen, durch das Verhalten'der Vorzeichen von/(«),/'(.«), bestimmen.

x — — oo :--1--(2 Zeichenwechsel)

x = — 1 :-|—^--(1 Zeichenwechsel)

Zwischen diesen Grenzen liegt daher eine und nur eine negative Wurzel. In dem Intervall — 1 bis 0 hat /' (x) nur negative Werte. Denn hierjjüberwiegt —371 æ⁶ über 273 a’¹² und zugleich 624 x über 325 æ⁴. Die Funktion f{x) kann daher von x — — 1 bis x = 0 nur abnebmen und da sie ihr Zeichen wechselt, so hat sie in diesem Intervall eine und nur eine negative Wurzel. Im ganzen hat die Gleichung also zwei negative und eine positive Wurzel, ferner zwei Paare konjugierter Wurzeln mit negativem reellen Teil und drei Paare konjugierter Wurzeln mit positivem reellen Teil,

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Wie schon der Titel sagt, handelt es sich hier um kein streng wissenschaftliches Werk, sondern um ein Buch, in dem der Verfasser allerhand Gedanken über Dinge niedergelegt hat, die mit der Mathematik in Berührung stehen und mit denen sich jeder Gebildete oft und gern in seinen Mussestunden beschäftigt. Es sind ungezwungene kritisch-historische Betrachtungen und unterhaltende Plaudereien über alle möglichen Probleme und Kunststücke, die in einer auch dem Laien leicht fasslichen Form vorgeführt, erklärt und ergänzt werden.

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In einigen dieser Spiele dürfte jeder Leser alte Bekannte wiedererkennen, die ihm arges Kopfzerbrechen gemacht haben. Kinderleicht wird indessen die Arbeit, wenn man den Weisungen des Verfassers folgt. Derselbe begnügt sich übrigens nicht mit der Schilderung der Spiele und der Enthüllung ihrer Geheimnisse, sondern erteilt zugleich sehr anziehende kulturgeschichtliche Aufschlüsse.

Der Name des Verfassers bürgt für einen gediegenen Inhalt, und somit dürften die Bücher nicht nur dem Mathematiker von Fach, sondern jedem, der sich nur einigermassen für diese Wissenschaft interessiert, ja überhaupt jedem denkenden, gebildeten Laien manche genussreiche Stunde schaffen.

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