MATHEMATISCHPHYSIKALISCHE BIBLIOTHEK

BAND 66

'    *'1Si

W. KRAMER

EINFÜHRUNG IN DIE DARSTELLENDE GEOMETRIE

/mr

WM

EINFÜHRUNG IN DIE DARSTELLENDE GEOMETRIE

ERSTER TEIL:

SENKRECHTE PROJEKTION AUF EINE TAFEL

an

(Bth

— -J&J

v/SH

l.G.TEUBNER g} LEIPZIG UND BERLIN

Mathematisch=Physikalische

Bibliothek

Unter Mitwirkung von Fachgenossen herausgegeben von

Oberstud.-Dir. Dr. W. Lietzmann und Oberstudienrat Dr. A.Witting Fast alle Bändchen enthalten zahlreiche Figuren, kl. 8.

Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Bändchen in zwangloser Folge herausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an den mathematisch-physikalischen Wissenschaften haben, es in angenehmer Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene hinaus zu belehren. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung solcher elementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung oder besonderes wissenschaftliches Gewicht haben, teils sollen sie Dinge behandeln, die den Leser, ohne za große Anforderungen an seine Kenntnisse zu stellen, in neue Gebiete der Mathematik und Physik einführen.

Bisher sind erschienen: (1912/26):

Der Gegenstand der Mathematik im Lichte ihrer Entwicklung. Von H. W i e l e i t n e r. (Bd. 50.) Beispiele z. Geschichte d. Mathematik. Von A. Wi 11 i n g u. M. G e b h a r d t. 2. Aufl. (Bd. 15.) Ziffern und Ziffernsysteme. Von E. Löffler. 2., neubearb. Aufl. I: Die Zahlzeichen d. alt. Kulturvölker. II: Die Zahlzeichen im Mittelalter u.i.d. Neuzeit. (Bd. 1 u. 34.) Der Begriff der Zahl in seiner logischen und hlstorfschen Entwicklung. Von H. Wie-leitner. 2., durchges. Aufl. (Bd.2.)

Wie man einstens rechnete. Von E. Fettweis. (Bd. 49.)

Rechnen der Naturvölker. Von E.^Fettweis. (Bd. 71.)

Archimedes. Von A. Czwalina. (Bd. 64.)

Die 7 Rechnungsarten mit allgemeinen Zahlen. Von H. Wieleitner. 2. Aufl. (Bd. 7.) Abgekürzte Rechnung. Nebst einer Einführung in die Rechnung mit Logarithmen. Von A. Witting. (Bd.47.)

Interpolationsrechnung. Von B. Heyne. [In Vorher. 1926.]

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von 0. Meißner. 2. Auflage. I; Gründlehren. II: Anwendungen. (Bd. 4. u. 33.)

Die Determinanten. Von L. Peters. (Bd. 65.)

Mengenlehre. Von K. Greiling. (Bd. 58.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung. Von A. Witting. 2. Aufl. I: Die Differentialrechnung. II: Die Integralrechnung. (Bd. 9 u. 41.)

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Von K. Fladt. (Bd. 72.)

Unendliche Reihen. Von K. Fladt. (Bd. 61.)

Kreisevolventen und ganze algebraische Funktionen. Von H. Onnen. (Bd. 51.) Konforme Abbildungen. Von E. Wicke. [U. d. Pr. 1926.]

Vektoranalysis. Von L. Peters. (Bd. 57.)

Ebene Geometrie. Von B. KersL (Bd. 10.)

Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Ausblick auf das Fermatsche Problem. Von W. Lietzmann. 3. Aufl. (Bd. 3.)

Der Goldene Schnitt. Von H. E. Timerding. 2. Aufl. (Bd. 32.)

Einführung in die Trigonometrie. Von A. Witting. (Bd. 43.)

Sphärische Trigonometrie. Kugelgeometrie in konstruktiver Behandlung. Von L. Baiser. (Bd. 69.)

Methoden zur Lösung geometrischer Aufgaben. Von B. Kerst. 2. Aufl. (Bd. 26.) Nichteuklidische Geometrie in der Kugelebene. Von W. Dieck. (Bd. 31.)

Einführung ln die darstellende Geometrie. Von W. Kramer. I. Teil: Senkr. Projektion auf eine Tafel, fflff    f j-jfcA    **n. Allgemeine Par

allelprojektion. I Biblioteka Politechniki Krakowskie)

Fo

ite

und Berlin

Verlag von

100000296008

M- i$Oi

MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE

BIBLIOTHEK

HERAUSGEGEBEN VON W. LIETZMANN und A. WITTING

66

EINFÜHRUNG IN DIE DARSTELLENDE GEOMETRIE

VON

Dr. WERNER KRAMER

I. TEIL

SENKRECHTE PROJEKTION AUF EINE TAFEL

MIT 71 FIGUREN IM TEXT

m.+

^dchensc/^4

f**t?C*

ro heLrC^^

dV

1926

Ki

LEIPZIG UND BERLIN VERLAG UND DRUCK VON B.G.TEUBNER

)<D o^COZb)

fc'-y

K

x^y

’-'/fl *f

r

63ELIQTEKA priiu

KkAKÖ W

€T~

3^

ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES OBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN

&kc. Nr.

Dpv - #

VORWORT

Im vorliegenden Bändchen soll eine erste Einführung in die Methode der senkrechten Projektion gegeben werden. Für diesen Zweck ist außerordentlich geeignet das besonders von G. Scheffers¹) entwickelte Eintafelverfahren mit Höhenmaßstab, welches im folgenden so weit ausgebaut worden ist, daß der Leser, der das Bändchen durchgearbeitet hat, in der Lage sein wird, angewandte Aufgaben, z. B. aus der Technik, der mathematischen Erd-und Himmelskunde, der Geländedarstellung²), deren Behandlung aus Raummangel nicht möglich war, selbständig zu lösen. Die Einführung des Seitenrisses als Hilfsebene im letzten Abschnitt bereitet den Übergang zum Grund-und Aufrißverfahren und damit zu dem bald folgenden II. Teile vor, der auch das Wichtigste aus der allgemeinen Parallelprojektion und der Perspektive bringen wird.

Der Stoff wurde soweit als irgend möglich in Form von Aufgaben behandelt. Auf diese Weise ließ sich der beschränkte Raum am besten ausnutzen, und der Leser wird von vornherein zu eigener Tätigkeit am Reißbrett angeregt, die ihn erfahrungsgemäß allein zu wirklicher Beherrschung der darstellenden Geometrie führt.

Berlin-Friedenau, April 1926.

Werner Kramer.

INHALT

Seite

1. Abschnitt: Punkt, Gerade, Ebene.......

1.    Aufgabe der darstellenden Geometrie.....

2.    Darstellung des Punktes...........

3.    Darstellung der Geraden...........

4.    Darstellung der Ebene..........

5.    Schnitt von Gerade und Ebene.......

6.    Höhenlinien der Ebene..........

7.    Schnitt zweier Ebenen............

8.    Projektion des rechten Winkels........

9.    Fallinien und Neigungswinkel einer Ebene . .

10.    Lote auf Ebenen..............

11.    Bestimmung der wahren Gestalt ebener Figuren

12.    Projektionen ebener Figuren von gegebener Gestalt ... 22

2.    Abschnitt: Kreis, gerader Kreiszylinder u. Kreiskegel, Kugel 23

13.    Senkrechte Projektion des Kreises......

14.    Bestimmung einzelner Punkte der Ellipse . . .

15.    Die Ellipse als Schnitt des Kreiszylinders . . .

16.    Tangenten der Ellipse...........

17.    Krümmungskreise für die Scheitel der Ellipse .

18.    Zeichnung der Ellipse............

19.    Grundaufgaben über den Kreis........

20.    Der gerade Kreiszylinder und Kreiskegel . . .

21.    Projektion der Kugel............

22.    Großkreise der Kugel............

23.    Beliebige Kreise auf der Kugel........

24.    Tangentialebene und Tangenten der Kugel . .

3.    Abschnitt: Der Seitenriß als Hilfsebene ....

25.    Seitenrisse.................

26.    Aufgaben über Geraden und Ebenen.....

27.    Aufgaben über krumme Gebilde.......

11

12

14

16

17

18

20

23

.    . 24

26

27

29

31

32

33

37

38

40

42

43

43

44

ERSTES ABSCHNITT

PUNKT, GERADE, EBENE

1.    Aufgabe der darstellenden Geometrie. Die darstellende Geometrie entwickelt Verfahren zur Darstellung räumlicher Gebilde auf dem ebenen Zeichenblatte. Von den Bildern wird gefordert, daß sich aus ihnen Form, Maße und räumliche Lage des abgebildeten Gegenstandes entnehmen lassen. Weiter lehrt die darstellende Geometrie, wie Aufgaben aus der Geometrie des Raumes zeichnerisch in der Ebene gelöst werden können.

2.    Darstellung des Punktes. Das Bild eines Gegenstandes können wir uns in der Weise hergestellt denken, daß wir die Bilder aller seiner Punkte ermitteln. Wir bestimmen deshalb zunächst das Bild eines Punktes und benutzen dazu die senkrechte Projektion auf eine Ebene. Ist A irgendein Punkt des Raumes, so wird von ihm das Lot auf die Ebene des Zeichenblattes gefällt. Der Fußpunkt Ä des Lotes ist die senkrechte Projektion oder das Bild von A. Das Lot heißt der Projektionsstrahl oder der projizierende Strahl von A, die Ebene des Zeichenblattes die Projektionsebene, die Zeichenebene oder auch kurz die Tafel. Jedem Raumpunkt A wird so ein Punkt Ä der Tafel als Bildpunkt zugeordnet. Ist umgekehrt in der Tafel der Bildpunkt Ä gegeben, so liegt der zugehörige Punkt A des Raumes auf dem Lot zur Tafel in A', und zwar haben alle Punkte dieses Lotes dasselbe Bild Ä. Die Angabe der Projektion^' allein reicht also nicht hin, um den Raumpunkt A eindeutig festzulegen. Deshalb wird noch die Höhe von A über der Tafel bzw. seine Tiefe unter der Tafel auf einem Höhenmaßstab, der mit einer Nullmarke O versehen ist, vermerkt. Wir zeichnen den Maßstab parallel zu den seitlichen Rändern des Zeichenblattes und tragen von O aus nach oben die Höhen, von O aus nach unten die Tiefen ab. Die Endpunkte dieser Strecken erhalten dieselbe Bezeichnung wie

der Raumpunkt selbst. In Fig. 1 liegt A über, B unter der Tafel. Der Punkt C liegt in der Tafel; er fällt mit seiner Projektion zusammen, die deshalb mit C statt oß' ^ mit C' bezeichnet ist.

Co

Fig. l.

Danach folgt: Ein Punkt A des Raumes ist °A' q._ vollständig bestimmt durch seine senkrechte Projektion A und seinen Abstand OA von der Tafel. Einen Punkt A geben oder bestimmen heißt, sein Bild Ä und seinen Abstand OA am Maßstab geben bzw. bestimmen.

fAy a

(Bl

Y-

-I

-4-4-*—6-

S D’ ß c C' JL

3. Darstellung der Geraden. Die projizierenden Strahlen aller Punkte einer Geraden g liegen in der zur Tafel lotrechten Ebene durch g, der projizierenden Ebene der Geraden. Die Schnittgerade g' der projizierenden Ebene von g mit der Tafel ist die senkrechte Projektion oder das Bild der Geraden g. Das Bild einer Geraden g ist danach im allgemeinen eine Gerade g'; nur wenn die Gerade g zur Tafel senkrecht steht, ist ihr Bild ein Punkt. Parallele Geraden haben parallele projizierende Ebenen, also auch parallele Projektionen. Der Schnittpunkt einer Geraden mit der T.afel heißt ihr Spurpunkt, der Winkel zwischen einer Geraden und ihrer Projektion ihr Neigungswinkel gegen die Tafel.

Fig. 2.

Eine Gerade g ist durch zwei ihrer Punkte bestimmt, wir können g also durch zwei Punkte geben (Fig. 2). Das Bild gf der durch A und B gegebenen Geraden g ist die Gerade A' B'. Die Strecke Ä B' ist die senkrechte Projektion der Strecke AB.

Zur Bestimmung der wahren Länge der Strecke A B betrachten wir das Trapez A' B' BA, dessen Ebene zur Tafel senkrecht steht, dessen Grundseiten die Lote Ä A und B! B und dessen Schenkel die Strecke A B und ihre Projektion A B' sind. Dieses Trapez wird um den Schenkel A B' in die Tafel umgelegt. Dabei geht es in das Trapez^' B' (B)(A) über, dessen Grundseiten A (A) und B' (B) zu A B' senkrecht und gleich den Höhen OA und OB von A und B sind. Der Schenkel (A) (B) ist gleich der wahren Länge der Strecke AB.

Die Ebene des Trapezes Ä B' BA ist die projizierende Ebene der Geraden A B, die längs Ä B' auf der Tafel aufsteht. Statt von der Umlegung des Trapezes zu sprechen, können wir also auch sagen, die projizierende Ebene der Geraden A B wird um Ä B' in die Tafel umgelegt. Derartige Umlegungen von projizierenden Ebenen sind ein wichtiges Hilfsmittel bei den Konstruktionen, die uns im folgenden beschäftigen sollen. Wir wollen deshalb Punkte und Geraden nach der Umlegung einheitlich durch Einklammern ihrer Benennungen kennzeichnen. So bedeutet (g), {8} °der [g] die Gerade, in die eine Gerade g durch Umlegung ihrer projizierenden Ebene übergeht. Entsprechend sind (P), {P} und [P] die Umlegungen eines Raumpunktes P.

Ist C' die Projektion eines Punktes C der Geraden AB, so ist seine Höhe gleich der Strecke C' (C) auf dem Lote in C' zu Ä B', die zwischen der Projektion g' der Geraden und deren Umlegung (g) liegt.

Wird von einem Punkte D der Geraden g die Höhe OD gegeben, so läßt sich seine Projektion D' auf g' aus der Umlegung ermitteln. Alle Punkte der projizierenden Ebene von g, welche die Höhe OD über der Tafel haben, liegen auf der Parallelen h zu g' im Abstande OD, die nach der Umlegung als die Parallele (h) zu g' im Abstande OD gezeichnet werden kann. (h) trifft (g) im Punkte (D), der Umlegung von D. Der Fußpunkt des Lotes von (D) auf g' ist die gesuchte Projektion D'.

Bei der Bewegung, die eine Gerade g während der Umlegung ausführt, bleibt ihr Schnittpunkt mit der Tafel, d. h. ihr Spurpunkt, in Ruhe. Der Spurpunkt ist ein gemeinsamer Punkt der drei Geraden g, g' und (g) und kann als Schnitt von (g) mit g' bestimmt werden.

Aus Fig. 2 folgt

A' C : C W = (ä) {Cj: (C) (B) = AC : CB.

Demnach bleibt das Teilungsverhältnis einer Strecke bei der senkrechten Projektion ungeändert. Insbesondere ist das Bild des Mittelpunktes einer Strecke der Mittelpunkt der Projektion der Strecke.

Der Winkel zwischen g' und (g) ist gleich dem Winkel

zwischen g' und g, also gleich dem Neigungswinkel « der Geraden gegen die Tafel. Wird der Spurpunkt mit S bezeichnet, so ist

cos a —

SA' SB' AB'

SA

SB

AB

Das Verhältnis der Projektion einer Strecke zur wahren Strecke ist gleich dem Kosinus des Neigungswinkels der Strecke. Liegt eine Strecke AB zur Tafel parallel, so ist die Projektion Ä B' ebenso lang wie die Strecke AB. In Fig. 2 nehmen die Höhen der Punkte der Geraden g in Richtung von A und B ab. Diese Richtung heißt die Fallrichtung der Geraden; sie ist durch

den Pfeil gekennzeichnet.    _____ ß

Aufgabe 1: Den Neigungswin-    "

kel und den Spurpunkt einer Geraden AB zu ermitteln, wenn A oberhalb, B unterhalb der Tafel liegt.

IPJ

1-----

/ \P

EF-GH

'(C)

G’

o¹-

Fig. 3.

Fig. 4.

Aufgabe 2: Eine Gerade ist durch ihre Projektion g , ihren Spurpunkt S auf g', ihren Neigungswinkel a und ihre Fallrichtung gegeben. Auf g' wird ein Punkt P' gewählt. Wie hoch liegt der Punkt P auf g?

Aufgabe 3: Die Projektion eines auf der Tafel stehenden Würfels von der Kantenlänge a — eines auf der Tafel stehenden Quaders mit den Kantenlängen a, b, c — soll gezeichnet und die Länge der Raumdiagonalen bestimmt werden. (Fig. 3.)

Aufgabe4:Eine dreiseitige Pyramide steht mit ihrer Grundfläche ABC auf der Tafel. Ihre Spitze P ist durch die Projektion P' und die Höhe OP gegeben. Das Netz der Pyramide zu zeichnen. (Fig. 4.)

Anleitung: Aus den Umlegungen der rechtwinkligen Dreiecke APP', BPP' und CPP' um AP', BP' und CP' sind die Längen der Kanten AP, BP und CP als die Hypotenusen A(P), B [P] und C {P} zu entnehmen. Damit sind alle Kanten der Pyramide bekannt und das Netz kann gezeichnet werden.

Aufgabe 5: In Fig. 5 ist die senkrechte Projektion eines ebenflächigen Körpers gezeichnet. Die Höhen der nicht in der Tafel gelegenen Eckpunkte sind am Maßstabe gegeben. Man mache sich die Gestalt des Körpers deutlich und zeichne sein Netz.

4. Darstellung der Ebene. Die Projektionen der Punkte einer nicht senkrecht zur Tafel gelegenen Ebene füllen

AE’

—

F L’ BG'

E-K

b\

L-M

K\

"ä

(B)

DK’ T M’ H’C

> o¹

(0

0L

Fig. 5.

Fig. 6.

(Bl

(PJ

-t#.

Hk

'! /b'

ba

D’

(CK

A'

P' B’

C'

b.

a.

Fig. 7.

die ganze Tafel aus. Wir können daher nur einen Teil der unbegrenzten Ebene im Bild darstellen. Da eine Ebene durch drei nicht in gerader Linie liegende Punkte bestimmt ist, so werden wir sie im allgemeinen durch ein Dreieck geben. Steht eine Ebene zur Tafel senkrecht, so ist ihre Projektion eine Gerade.

Aufgabe 6: Drei Punkte A, B, C, deren Projektionen A', B', C' in einer Geraden liegen, sind gegeben. Die Gestalt des Dreiecks ABC ist. zu bestimmen. (Fig. 6.)

Lösung: Die Ebene des Dreiecks ABC ist die projizierende Ebene der drei Geraden AB, BC und CA. Diese Ebene wird um die Gerade A'B'C' in die Tafel umgelegt. Dann ist das Dreieck (A) (B) (C) dem Dreieck ABC kongruent.

Da drei Punkte, die nicht in gerader Linie liegen, eine Ebene bestimmen, werden vier durch Projektion und

Höhe willkürlich gegebene Punkte im allgemeinen nicht mehr in einer Ebene liegen, sondern die Ecken eines Vierflachs bilden.

Aufgabe 7: Vier Punkte A, B, C, D sind gegeben. Zu untersuchen, ob diese Punkte in einer Ebene liegen. (Fig. 7a.)

A‘

Lösung: Die Projektionen A'B' und C'D' schneiden sich in einem Punkte P', der das Bild eines Punktes P, auf AB und eines Punktes P₂ auf CD ist. Aus den Umlegungen der projizierenden Ebenen von AB und CD ergibt sich die Höhe P/(Pl) von Px und die Höhe P' [P₂] von P₂. Px liegt also in diesem Falle höher als P₂. Die Geraden AB und CD schneiden sich nicht und die vier Punkte A,

(A)

P’6

io

'ZTV

C'T

(D) B

i /'

(Dl

ic]⁶-----Wl

ff/

o¹-

(p~

Fig. 9.

Fig. 8.

B, C, D liegen demnach nicht in einer Ebene.

Der Schnittpunkt P' zweier Projektionen g\ und g'₂, dem wie in Aufg. 7 kein Schnittpunkt der Geraden gx und g₂ entspricht, heißt eine Deckstelle, weil von oben betrachtet die eine Gerade hier die andere verdeckt. In Fig. 7b ist das Vierflach AB CD aus Fig. 7a noch einmal gezeichnet; die unsichtbare Kante CD ist durch die Art des Ausziehens kenntlich gemacht.

Aufgabe 8: Von vier Punkten A, B, C, D einer Ebene sind die Projektionen Ä', B', C', D' und von den drei Punkten A, B, C auch die Höhen gegeben. Wie hoch liegt D ? (Fig. 8.)

Lösung: Die Geraden AB und CD schneiden sich in einem Punkte P, dessen Bild P' der Schnittpunkt der Projektionen A'B' und C'D' ist. Die Höhe von P wird durch Umlegung der projizierenden Ebene von A B gefunden. Dann sind von der Geraden CD zwei Punkte C und P bestimmt. Aus der Umlegung der projizierenden Ebene von CP wird die Höhe vonD als die Strecke D'\D \ entnommen.

Aufgabe 9: Gegeben ist ein Dreieck ABC und ein Punkt P, dessen Bild P' im Innern der Projektion A' B'C' des Dreiecks liegt. Zu entscheiden, ob P von oben gesehen sichtbar ist oder ob er durch das Dreieck verdeckt wird. (Fig. 9.)

Lösung: Auf dem Projektionsstrahl PP' liegt außer P ein Punkt E des Dreiecks, dessen Bild E' mit P' zusammenfällt. Zu entscheiden ist, welcher von den Punkten P und E die größere Höhe über der Tafel hat. Wir ziehen die Gerade AE, die BC in D trifft. Die beiden Punkte P und E liegen in der projizierenden Ebene von AD. Aus der Umlegung dieser Ebene ist zu ersehen, daß hier P höher als E liegt und demnach vom Dreieck nicht verdeckt wird.

Die Aufgaben 7

bis 9 zeigen, daß -----

die Ecken eines ' ebenen Vieleckes nicht willkürlich durch Projektion und Höhe gegeben werden dürfen.

Wohl kann man die Projektionen aller Eckpunkte beliebig wählen, darf dann ^ aber nur noch für drei Eckpunkte auch die Höhen vorschreiben. Die Höhen der übrigen Ecken sind dadurch bereits bestimmt.

Aufgabe 10: Von einem ebenen Fünfeck wird die Projektion gegeben und für drei Ecken werden die Höhen am Maßstab vorgeschrieben. Wie hoch liegen die beiden andern Ecken des Fünfecks?

5. Schnitt von Gerade und Ebene. Eine Ebene wird von einer Geraden g, die nicht zu ihr parallel ist, in einem Punkte G geschnitten, zu dessen Bestimmung man durch die Gerade g eine im allgemeinen beliebig gelegene Hilfsebene (£ legt, die die gegebene Ebene in der Geraden d treffe. Die beiden Geraden g und d schneiden sich im gesuchten Punkte G.

■----V

P’ol

dt’

LB’

V" (U)

?---

/!

?■

/,

VT-/

Qr~ViQ) /

Fig. 10.

■—</

'C'

In Fig. 10 ist eine Ebene durch das Dreieck ABC gegeben, dazu eine Gerade g durch die Punkte P und Q. Besonders einfach gestaltet sich die Bestimmung des Schnittpunktes G, wenn wir als Hilfsebene (£ die projizierende Ebene der Geraden g wählen. Sie trifft die Ebene B C in einer Geraden d, deren Projektion d’ mit g' zusammenfällt. Die Gerade d schneidet die Dreiecksseiten A B und A C in

den Punkten U und V, deren Höhen aus den Umlegungen der projizierenden Ebenen von AB und AC ermittelt werden. Wird die projizierende Ebene von g und d in die Tafel umgelegt, so geht g in (P) (Q) und d in (U) (F) über. (P) (Q) und (U) (V) schneiden sich in (G). Der Fußpunkt des Lotes von (G) auf g' ist das Bild G' des Schnittpunktes G der Geraden g mit dem Dreieck^ BC;

Bn

' / \E’

Ä'

D'

ar

Fig. 11.

die Strecke G' (G) ist gleich der Höhe von G. Denken wir uns das Dreieck ABC undurchsichtig, so wird ein Stück der Geraden g verdeckt. In der Umlegung P ist die Blickrichtung, die der Projektionsrichtung entspricht, durch einen zu g' senkrechten Pfeil an-C "D gegeben. Man sieht, daß die Strecke G V und da-^[W] mit auch das Dreieck -^0 ABC ein Stück der Geraden g verdeckt. Dies ist durch Aussetzen der Geraden g' beim Ausziehen kenntlich gemacht.

Aufgabe 11: Wie in Aufgabe 4 ist eine Pyramide gegeben und die Gerade DE. Wo schneidet die Gerade die Pyramide? (Fig. 11.)

Lösung: Die projizierende Ebene von DE schneidet die Pyramide im Dreieck UVW. Die Ecken U und V liegen in der Tafel. Die Höhe von W wird mittels der Umlegung der projizierenden Ebene von AP als die Strecke W'(W) bestimmt. Danach findet man die Umlegungen der Schnittpunkte X und Y von DE mit der Pyramide in der Umlegung der projizierenden Ebene von DE als die Schnittpunkte [X], [Y] von[D] [E[ mit U [W] und V [W]. Die Projektionen X' und Y' liegen in den Fußpunkten der Lote von [A] und [ Y] auf D'Edie Höhen von X und Y lassen sich aus der letzten Umlegung entnehmen.

nen

Aufgabe 12: Ein beliebiges Vierflach wird durch die Projektio-und die Höhen seiner vier Ecken gegeben, dazu eine Gerade durch die Projektionen und die Höhen zweier Punkte. Festzustellen ist, ob und gegebenenfalls in welchen Punkten die Gerade das Vierflach trifft.

6. Höhenlinien der Ebene. Alle Punkte, welche die gleiche Höhe über der Tafel haben, liegen in einer zur Tafel parallelen Ebene, einer Höhenebene. Die in einer

Höhenebene gelegenen Linien heißen Höhenlinien. Die Höhenlinien einer Ebene sind parallele Geraden, nämlich die Schnittgeraden der Ebene mit den zueinander parallelen Höhenebenen. Nach Nr. 3 sind auch die Projektionen der Höhenlinien einer Ebene zueinander parallel. Die Höhenebene von der Höhe Null ist die Tafel selbst. Die Schnittgerade einer Ebene mit der Tafel heißt die Spur-gerade der Ebene; sie ist zu den Höhenlinien der Ebene parallel.

S Aufgabe 13: Eine Ebene ist durch das Dreieck ABC gegeben. Die Höhenlinie der Ebene in der Höhe OH soll gezeichnet werden. (Fig. 12.)

Ka

//

Lösung: Auf den Seiten BC, CA, AB des Dreiecks werden mit Hilfe der Umlegungen die Punkte U, V und W von der

C\

IC)

\X

\N

C'jr- A

\t

A-

IT

\B

\BW-"

~w~Ui A

C-H

\\

0l

B'

\C

(A)0L

Fig. 12.

Fig. 13.

Höhe OH ermittelt und miteinander verbunden. Die drei Punkte U, V, W liegen in einer Geraden.

Vielfach kommt es nur darauf an, die Richtung der Höhenlinien einer Ebene zu bestimmen. Dazu ist es am bequemsten, die Höhenlinie durch den Eckpunkt des Dreiecks, durch das die Ebene gegeben wird, zu legen, dessen Höhe zwischen den Höhen der beiden andern Eckpunkte liegt. In Fig. 13 ist dies die Höhenlinie h durch die Ecke B. Um sie zu zeichnen, wird auf der Seite A C der Punkt H ermittelt, der die gleiche Höhe wie B hat, und mit B verbunden.

Aufgabe 14: Ein Dreieck soll durch Höhenlinien in gleichen Höhenunterschieden geschrafft werden.

Aufgabe 15: Die Spurgerade einer durch ein Dreieck ABC gegebenen Ebene zu bestimmen.

Lösung wie in Aufgabe 13, wobei die dort gegebene Höhe OH gleich Null zu nehmen ist. Man hat also die Spurpunkte der drei Seiten des Dreiecks zu bestimmen; sie hegen auf der Spurgeraden der Dreiecksebene.

7. Sehnitt zweier Ebenen. Zwei Ebenen, die nicht parallel zueinander sind, schneiden sich in einer Geraden. Um diese Schnittgerade zu bestimmen, werden beide Ebenen zunächst mit einer Hilfsebene (£l5 die im allgemeinen be-iebig gewählt werden kann, geschnitten. Die beiden Geraden hx und hi in denen (£x die gegebenen Ebenen trifft, schneiden sich in einem Punkte Hx, der ein Punkt der gesuchten Schnittgeraden s ist. Mittels einer zweiten Hilfsebene (£₂ wird ein zweiter Punkt II₂ von s ermittelt. Die Verbindungsgerade H₁H₂ ist dann die Schnittgerade s der beiden gegebenen Ebenen.

ft

Aufgabe 16: Zwei Ebenen sind durch die Dreiecke ABC und PQR gegeben. Die Schnittgerade der beiden Ebenen soll gezeichnet werden. (Fig. 14.)

R Lösung: Als Hilfsebenen wählen wir zwei Höhen-.    ebenen verschiedener Höhe

, p' /i

A\    und zwar die Höhenebene

-A

Ar

CI

R' i

Fig. 14.

P durch A und die Höhen-n ebene jj₂ durch P. Die Ebene 4 jpj trifft das Dreieck ABC in der Höhenlinie hu das Dreieck PQR in der Höhenlinie Al . Der Schnittpunkt H1 von Aj und Ai ist ein Punkt der Schnittgeraden s der beiden Dreiecksebenen. Die Ebene $}₂ schneidet die Ebenen ABC und PQR in den Höhenlinien h₂ und An, die sich im Punkte H₂ treffen. Die Gerade Hj^H₂ ist die gesuchte Schnittgerade s der beiden Dreiecksebenen. Als Schnittgerade der beiden Dreiecke hat s nur soweit Bedeutung, als die Gerade innerhalb beider Dreiecke verläuft, also nur zwischen RP und RQ. Sind die beiden Dreicke undurchsichtig, so werden sie sich zum Teil gegenseitig verdecken. Um zu entscheiden, was beim Anblick in der Projektionsrichtung sichtbar ist, untersuchen wir eine Deckstelle, z. B. die von BC und QR. Wie aus den Umlegungen hervorgeht, liegt hier QR höher als BC und demnach auch höher als das Dreieck ABC. Die Seite QR ist an dieser Deckstelle sichtbar und bleibt es, bis sie in ihrem Schnittpunkt mit s das Dreieck ABC durchstößt; jenseits der Seite AB kommt sie dann wieder zum Vorschein. Verfolgt man den Umfang des Dreiecks PQR weitr, so läßt sich die Sichtbarkeit vollständig feststellen. Das Ergebnis ist in Fig. 14 angegeben.

Werden die beiden Dreiecke ABC und PQR wie in Fig. 14 angenommen, so durchstößt das Dreieck PQR das Dreieck ABC.

Bei anderer Lage der Dreiecke (Fig. 15a) kann der Fall eintreten, daß sie sich nur anschneiden. Den Übergangsfall, in dem sich die Seiten AB und QR schneiden, zeigt Fig. 15b.

Aufgabe 17: Ein Prisma soll mit einer Ebene geschnitten werden. (Fig. 16.)    n>

B-3

■3

p\

P’<7

C‘

-p

cq

0L

3’

C'

R'

Br

Fig. 15 a.

's

Fig. 15 b.

>E'

m-

5;

spO

' X'S'w

//

xN

7?

—i-te*__

:’J7

's

's

' %VI ~/-%^

%1 dß$\ K/ r&tr 771 m

V-, / Mj

mpj

.57

k a /

•Bg

v/i

Fig. 16.

Lösung: Das Prisma stehe mit der einen Grundfläche, die als das regelmäßige Sechseck 123456 angenommen werde, auf der Tafel. Die Richtung seiner sechs zueinander parallelen Seitenkanten werde beliebig gewählt. Oben wird das Prisma durch das zu dem ersten kongruente Sechseck / II III IV VVI begrenzt, dessenEbene zur Tafel parallel ist und das also im Bilde in wahrer Gestalt als das regelmäßige Sechseck I' II'III'IV' V' VI' erscheint. Am Höhenmaßstab wird schließlich die Höhe der Eckpunkte I—VI vorgeschrieben; dann ist das Prisma vollständig bestimmt. Die Ebene sei durch ihre Spurgerade s und den Punkt Px auf der Kante 1/ des Prismas gegeben.

Jede Seitenfläche des Prismas wird mit der gegebenen Ebene einzeln zum Schnitt gebracht, zunächst die Fläche 12 III. Die Spur 12 dieser Seitenfläche trifft s in S₁₂. Damit ist ein Punkt der Sehnittgeraden beider Ebenen gefunden, außerdem muß diese Schnittgerade den Punkt P₄ enthalten, fällt also mit der Geraden PxS₁₂ zusammen, die die Kante 2 11 des Prismas in P₂ trifft. Jn PjP₂ ist die erste Seite der gesuchten Schnittfigur gefunden. In entsprechender Weise lassen sich weitere Ecken dieser Schnittfigur Px P2 P₃ P4 P5 P₆ bestimmen. Nur für die Ecke P₆ versagt in Fig. 16 das Verfahren, weil die Schnittpunkte S\e und S₅₆ der bezüglichen Spuren mit s unerreichbar sind. Zur Ermittelung von P₆ ist deshalb die Diagonalebene 64 IV VI benutzt worden. Die Spur 46 trifft s in Si9, und P₆ ergibt sich als Schnittpunkt von 6 VI mit *S'₄₆P₄. Als Probe für die Genauigkeit beachte man, daß je zwei gegenüberliegende Seiten der Schnittfigur zueinander parallel sein müssen. Die eingezeichnete Umlegung der Schnittfigur wird in Aufgabe 23 besprochen.

C’\

Fig. 17.

8. Projektion des rechten Winkels. Das Bild eines rechten Winkels ist im allgemeinen nicht wieder ein Rechter. Denkt man sich z. B. den rechten Winkel ACB (Fig. 17) um A B aus der Tafel herausgedreht, so rückt die Projektion C’ von C näher an A B heran. Das Bild AC' B ist ß also ein stumpfer Winkel. Anders wird b es, wenn die Drehung um den Schenkel CA vorgenommen wird. Dabei bewegt sich der Schenkel C B in der zu A C in C und demnach zur Tafel lotrechten Ebene. Diese Ebene ist die projizierende Ebene des um AC gedrehten Schenkels BC. Ihre Spur, die Projektion von BC, ist zu AC senkrecht. Also ist das Bild eines rechten Winkels, von dem ein Schenkel in der Tafel liegt, wieder ein rechter Winkel. Da sich aber die Projektion des rechten Winkels nicht ändert, wenn seine Ebene parallel zu sich und senkrecht zur Tafel verschoben wird, so ergibt sich der Satz:

Fallinien und Neigungswinkel einer Ebene

17

Die senkrechte Projektion eines rechten Winkels ist wieder ein rechter Winkel, wenn ein Schenkel zur Tafel 'parallel ist.

9. Fallinien und Neigungswinkel einer Ebene. Die zu

den Höhenlinien lotrechten Geraden einer Ebene heißen Fallinien. Nach Nr. 8 sind die Projektionen der Fallinien senkrecht zu den Projektionen der Höhenlinien. Das von je zwei Höhenlinien und Fallinien begrenzte rechteckige Stück einer Ebene erscheint auch im Bild als Rechteck.

Als Winkel zweier Ebenen wird in der Raumlehre der Winkel zwischen den Schnittgeraden der beiden Ebenen mit einer zu beiden Ebenen lotrechten Ebene definiert. Da die projizierende Ebene der Fallinie / einer Ebene zu dieser und zur Tafel lotrecht ist, so ist der Winkel, den / mit der Projektion f bildet, der Winkel zwischen der betreffenden Ebene und der Tafel; er heißt der Neigungswinkel der Ebene. Der Neigungswinkel einer Ebene ist also gleich dem Neigungswinkel der Fallinien der Ebene.

lP.

V—F.

■0L

Fig. 18.

In Fig. 18 ist eine Ebene durch ihre Spurgerade s und den Punkt P gegeben. Das Lot von P' auf s ist das Bild /' der Fallinie / durch P; es trifft s in F. Der Neigungswinkel a der Ebene ist gleich dem Winkel PFP' oder in der Umlegung gleich dem Winkel (P)FP'. Verbinden wir P mit einem anderen Punkte A der Spurgeraden s durch die Strecke PA gleich a, so ist der Neigungswinkel ß der Geraden PA gleich PAP' oder in der Umlegung gleich [P] A P'. Die rechtwinkligen Dreiecke PP'F und PP' A haben die eine Kathete P P' gemeinsam; die beiden andern Katheten sind ungleich und zwar ist P' F kleiner als P' A. Daraus folgt, daß a größer als ß ist. Der Neigungswinkel der Fallinien einer Ebene ist demnach größer als der Neigungswinkel irgend einer anderen Geraden der Ebene; daher werden (vgl. Nr. 3) Strecken auf Fallinien bei der Projektion stärker verkürzt als die Strecken auf andern Geraden der Ebene.

Aufgabe 18: Eine dreiseitige Pyramide ist durch ihre in der

Math.-phys. Bibi. 66: Kramer, Darstellende Geometrie I.

Tafel gelegene Grundfläche ABC und durch ihre Spitze P gegeben. Wie weit ist die Spitze von den Grundkanten entfernt? Wie groß sind die Neigungswinkel der Seitenflächen ? (Fig. 19.)

Lösung: Die Entfernung der Spitze P von der Kante AB ist gleich der Höhe PF des Dreiecks BPC. Die Höhe PF liegt auf der Fallinie der Ebene BPC durch P. Ihre Projektion ist also das Lot P'F von P' auf BC. Aus der Umlegung P'(P)F des Dreiecks P' PF ergibt sich, daß die Entfernung der Spitze P von der Kante AB gleich der Strecke F(P) ist. Da PF Fallinie der Seitenfläche APB ist, so entnimmt man aus der Umlegung P'(P)F gleichzeitig, daß der Neigungswinkel der Ebene BPC gleich dem Winkel P'F(P) ist. Entsprechend verfährt man mit den beiden anderen Seiten-

^---^    flächen der Pyramide. Die

Konstruktion des in Fig. 19 eingezeichneten Netzes wird

\    fp] in Nr. 11 besprochen.

¹

   G. Scheffers, Lehrbuch der darstellenden Geometrie in zwei Bänden. 1. Band. 2. Auflage. Berlin 1922.

²

   R. Rothe, Darstellende Geometrie des Geländes. 2. Auflage. Leipzig und Berlin 1919. (Math.-phys. Bibliothek 35/36.)

\4(w

/mr

OL

T)

C' C -

ffc P

l /i-

/ (?)

Fig. 19.

0—

Fig. 20.

■4

A-

o¹-

Aufgabe 19: Eine Ebene ist durch das Dreieck ABC gegeben. Der Neigungswinkel a der Ebene soll ermittelt werden. (Fig. 20.)

Lösung: Durch den Punkt B wird (wie in Fig. 13) die Höhenlinie h der Ebene ABC gezeichnet. Das Lot von C' auf h' ist dann die Projektion /' einer Fallinie / der Dreiecksebene. Da von der Fallinie / der Punkt C und ihr Schnittpunkt F mit h bekannt sind, kann die Umlegung (/) von / gezeichnet werden. Der Winkel zwischen f und (/) ist gleich dem gesuchten Neigungswinkel a der gegebenen Ebene. Ist der Schnittpunkt von f mit (/) nicht erreichbar, so zeichnet man z. B. die Parallele (F) (D) durch (F) zu die mit (/) ebenfalls den Winkel a bildet.

10. Lote auf Ebenen. Eine zu einer Ebene lotrechte Gerade bildet mit allen Geraden der Ebene rechte Winkel. Nach Nr. 9 erscheint der rechte Winkel, den das Lot zu einer Ebene mit deren Höhenlinien bildet, auch in der Projektion als rechter Winkel. Danach gilt: Die Pro-

jektionen der Lote einer Ebene sind zu den Projektionen ihrer Höhenlinien senkrecht; sie fallen mit den Projektionen der Fallinien der Ebene zusammen.

Aufgabe 20: Eine Ebene ist durch das Rechteck ABCD gegeben, dessen Seiten AB und CD Höhenlinien sind. Im Mittelpunkte M des Rechteckes soll das Lot l errichtet werden. (Fig. 21.)

Lösung: Nach Nr. 10 ist die Projektion A'B'C'D' des Rechteckes ABCD wieder ein Rechteck. Das BildM' der MitteM des Rechteckes ist der Schnittpunkt der Diagonalen A'C' und B'D'. Das Bild V des Lotes l geht durch M' und ist zu A'B' und C'D' senkrecht, zu den Projektionen A'D' und B'C' der Fallinien AD und BC also parallel. Wird das Rechteck undurchsichtig angenommen, so verdeckt es eine Strecke des Lotes l. Zur Bestimmung der Sichtbarkeit wird die projizierende Ebene von l umgelegt; sie schneidet das Rechteck in einer Strecke HXH₂, deren Projektion HXH₂ mit V zusammenfällt. Bei der Umlegung geht IIxII₂ in (//₁)(//₂) über; der Mittelpunkt von (H₁)(H₂) ist (M). Dann ist (l) die Senkrechte in (M) zu (//,)(!/,). Die Umlegung zeigt, daß das Lot l unterhalb der

£_jjVjr _ _ (HJ \AB \CD

/ \

M’

k-*

/'

AL-4AI

OL

D' h; c’(h₂i

Fig. 22.

Fig. 21.

Strecke MHX und oberhalb der Strecke MHt verläuft. Das Lot l hat den Spurpunkt L.

Aufgabe 21: Durch den Punkt B der Geraden AB soll die zur Geraden senkrechte Ebene gelegt werden. (Fig. 22.)

Lösung: Die Projektion h' der durch B gehenden Höhenlinie h der zu ^4 ß lotrechten Ebene ist die Senkrechte zu A'B' in B'. In der projizierenden Ebene von AB liegt eine zu AB senkrechte Fallinie / der gesuchten Ebene. In der Umlegung der projizierenden Ebene von AB erscheint / als die Senkrechte (/) zu (A)(B) in (B). Der Spurpunkt F von / ist der Schnittpunkt von f mit (/). Die Spurgerade s der zu AB lotrechten Ebene ist die Parallele zu h' durch F. In Fig. 22 ist die von s aus ansteigende Ebene oben durch die Höhenlinie hx, seitlich durch Fallinien begrenzt worden. Die Sichtbarkeit wird aus der Umlegung wie in Aufg. 20 entnommen.

Aufgabe 22: Von einem Punkte P soll auf die Ebene des Dreiecks ABC das Lot l gefällt werden.

Lösung: Man zeichnet wie in Fig. 13 die Höhenlinie h durch die Ecke mittlerer Höhe. Dann ist die Projektion V das Lot von P'

auf h'. Mittels der Umlegung der projizierenden Ebene von l, die ABC in einer Fallinie/ schneidet, wird der Fußpunkt L von l und die Sichtbarkeit ermittelt.

11. Bestimmung der wahren Gestalt ebener Figuren. Um

die wahre Gestalt des Dreiecks BPC in Fig. 19 zu bestimmen, drehen wir die Dreiecksebene um ihre Spurgerade BC soweit, bis sie in der Tafel liegt. Die Punkte der Drehgeraden BC ändern bei der Drehung ihre Lage nicht. Daher sind die Punkte B und C auch Ecken des umgelegten Dreiecks; der Punkt F bleibt Fußpunkt der Höhe auf BC. Wir tragen also auf der Verlängerung von P'F über F hinaus von F aus bis [P] die wahre Länge (P)F der Höhe PF ab. Dann ist Dreieck B[P]C dem Dreieck BPC kongruent. Verfährt man entsprechend mit den beiden anderen Seitenflächen CPA und APB, so erhält man das Netz der Pyramide.

Bei der Drehung beschreibt die Fallinie PF eine zur Drehgeraden B C lotrechte Ebene, der Punkt P einen Kreis um F mit dem Radius PF. Diese zu BC lotrechte Ebene erscheint im Bild als die Gerade P'F. Die Projektion P' von P bewegt sich also bei Drehung auf dem Lote P' F zur Drehgeraden, d. h. auf dem Bild f der Fallinie der Ebene BPC durch P. In der Umlegung der projizierenden Ebene von PF ist der Kreisbogen (P) [P], den P bei der Drehung durchläuft, eingezeichnet. Der Bogen (P) [P] liegt auf dem Kreis um F mit dem Radius F(P).

(Aufgabe 23: Die wahre Gestalt der Schnittfigur PXP₂ ... P6 in Aufg. 17 soll ermittelt werden. (Fig. 16.)

Lösung: Die Ebene des Sechseckes PXP₂ . .. P₆ wird um ihre Spur s in die Tafel umgelegt. Zunächst wird die Höhe des Punktes Px mittels der Umlegung der projizierenden Ebene der Kante 1 I als die Strecke Px' (P) ermittelt. Die Projektionen Px', P'₂, . . . P₆' der Punkte Pls P₂,... P₆ bewegen sich bei der Drehung um s auf den Loten zu s. Der Punkt Px hat von s den Abstand PXPX, dessen Länge gleich der Umlegung {Px } Px ist. Diese Strecke { P₁ } Px wird nun von Px aus bis [Px] auf der Verlängerung von PX'PX überFx hinaus abgetragen. Damit ist eine Ecke [Px] der um s in die Tafel gedrehten Schnittfigur gefunden. Genau so könnten wir die übrigen Ecken ermitteln. Einfacher ist es jedoch folgendermaßen vorzugehen. Die Seite PXP2 trifft s in S₁₂. Dieser Punkt behält als Punkt der Drehgeraden seine Lage bei der Drehung unverändert bei. Da Px durch die Drehung in [Px] übergeführt wird, geht die Gerade S₁₂ Px in SX2 [Px] über. S₁₂ [Px] schneidet das Lot zu s durch P₂' in [P₂]- Entsprechend geht [Pa] [P₃] durch S₂₃, [P₃] [P₄] durch S3i und [P₄] [Ps] durch SK.

Bestimmung der wahren Gestalt ebener Figuren

21

Zur Bestimmung von [P₆] benutzen wir — wie in Aufg. 17 zur Ermittelung von P₆' — die Diagonale P₄P₆.

Aufgaibe24: Eine auf der Tafel stehende Pyramide soll mit einer Ebene geschnitten und die wahre Gestalt der Schnittfigur bestimmt werden.

Figuren, die in einer Höhenebene liegen, erscheinen im Bild in wahrer Gestalt. Daher ist es nicht erforderlich, die ebenen Figuren wie bisher um die Spurgerade in die Tafel umzulegen, sondern es genügt, wenn die Ebene der Figur um eine Höhenlinie parallel zur Tafel, also in eine Höhenebene hinein gedreht wird. Da sich die Projektion eines

/Ä

,r

(BB /

JK/

/xs

\\

B-

o-¹-

(er

\AY

Fig. 23.

Fig. 24.

Gebildes nicht ändert, wenn wir die Bildtafel parallel zu sich selbst in Richtung der Projektionsstrahlen verschieben, so können wir bei der Drehung um eine Höhenlinie die Konstruktionen genau so durchführen wie bei der Drehung um die Spurgerade, sobald wir nur am Höhenmaßstab die Nullmarke durch die Marke der Höhe der Drehgeraden ersetzen.

Aufgabe 25: Die wahre Gestalt des Dreiecks ABC, dessen Seite BC zur Tafel parallel ist, soll ermittelt werden. (Fig. 23.)

Lösung: Die Seite BC ist Höhenlinie; um sie wird die Drehung der Dreiecksebene ausgeführt. Ersetzen wir nun am Maßstab die Nullmarke O durch die Marke B—C, so wird die Umlegung B'(A)'C' ganz entsprechend bestimmt wie die Umlegung B [PJ C in Fig. 19. Bei der Bestimmung der Länge von AF ist jetzt auf dem Lote in A' zu F'A' die Höhe des Punktes A über der Höhenebene, d. i. die Strecke BA am Maßstab, abzutragen. In Fig. 23 sind die beiden Lagen des Dreiecks ABC, in denen seine Ebene zur Tafel parallel ist, eingezeichnet. In der Umlegung sind wieder die Kreisbogen, die A in beiden Fällen durchläuft, angegeben.

Aufgabe 26: Ein Dreieck A BC ist gegeben. Seine wahre Gestalt soll ermittelt werden. (Fig. 24.)

Lösung: Das Dreieck werde in die Höhenebene von der Höhe OA hineingedreht. Wir bestimmen zunächst die Höhenlinie h durch A und bestimmen dann — entsprechend der Lösung der vorigen Aufgabe — die Punkte (B)' und (C)'. Da die Punkte der Drehgeraden h ihre Lage nicht ändern, müssen die Seiten B'C' und (B)' (C)' sich auf h' schneiden.

12. Projektion ebener Figuren von gegebener Gestalt.

Aufgabe 27: Ein gegebenes ebenes Vieleck soll in beliebiger Lage gezeichnet werden. (Fig. 25.)

Lösung: Wir wählen als Beispiel ein regelmäßiges Sechseck 12 3 4 5 6, das in der Bildebene gezeichnet wird. Um eine beliebig gezogene Gerade s der Tafel wird die Ebene des Sechseckes um den Winkel a aus der Zeichenebene herausgedreht. Bei der Drehung beschreibt der Punkt 4 einen Kreis mit dem Mittelpunkte M₄, dem Fußpunkte

•V

'2'

3'___

ii

ft)

fl)

M'

tih.

\ Q'* n

WX-—K

5'

■7

OC

/ /cc

*\

<k__£

oc

V-

Fig. 25.

Fig. 26.

des Lotes von 4 auf s, und dem Radius M₄ 4. Die Ebene des Kreises ist zur Tafel senkrecht und erscheint im Bild als das Lot von 4 auf s. Der oberhalb der Tafel gelegene Halbkreis wird um M₄ 4 in die Tafel umgelegt. Trägt man nun an 4 Mi in M₄ den Winkel a an, so ist der Schnittpunkt (4) des zweiten Schenkels mit dem Halbkreis die Umlegung des Punktes, in den der Punkt 4 bei der Drehung übergeht. Der Fußpunkt 4' des Lotes von (4) auf 4 Mi ist die Projektion der Ecke 4. Statt diese Konstruktion für jeden der übrigen fünf Eckpunkte durchzuführen, verfährt man bequemer folgendermaßen. Auf dem Schenkel M₄ (4) werden von Mi aus die Abstände der Punkte 1, 2, 3, 5, 6 von s bis zu den Punkten (1), (2), (3), (4), (6) abgetragen und durch diese Punkte die Parallelen zu s gezogen. Die Parallelen schneiden die Lote von 1, 2, 3, 5, 6 auf s in den Projektionen U, 2', 3', 5', 6' der Eckpunkte des Sechseckes. Für die Ecke 3 ist dies Verfahren in Fig. 25 eingezeichnet worden. Zur Probe der Genauigkeit der Zeichnung beachte man, daß entsprechende Seiten und Diagonalen des gegebenen Sechseckes 1 2 ... 6 und der Projektion 1' 2' . . . 6' sich auf der Drehgeraden s treffen müssen.

Aufgabe 28: Ein gerades Prisma von gegebener Grundfläche und Höhe soll in allgemeiner Lage gezeichnet werden. (Fig. 26.)

Lösung: Als Grundfläche wird ein Quadrat 1 2 3 4 gewählt. Die Projektion 1' 2' 3' 4' des Quadrates bei beliebiger Lage wird nach Aufg. 27 gezeichnet. Die Kanten des Prismas sind zur Ebene des Quadrates lotrecht, ihre Projektionen liegen also auf den Loten durch 1', 2', 3' und 4' zur Spurgeraden s. Auf den Kanten wird mittels der Umlegung ihrer projizierenden Ebenen die Höhe des Prismas abgetragen. Das Lot 1' ist die Projektion fx' der Fallinie fx der Ebene des Quadrates durch den Punkt 1 und gleichzeitig die Projektion kx der zu fx senkrechten Prismenkante kx durch 1. In der Umlegung bildet (/j) mit fx den Neigungswinkel a der Quadratebene, (kt) ist die Senkrechte in (1) zu (fx). Auf (kx) wird von (1) aus die Höhe h des Prismas bis (I) abgetragen. Das Lot von (I) auf kx hat den Fußpunkt I'. Die Kanten haben im Bild also die Länge I'l'.

Aufgabe 29: Ein Würfel ist in allgemeiner Lage zu zeichnen.

Aufgabe 30: Eine regelmäßige sechsseitige Pyramide soll in allgemeiner Lage gezeichnet werden.

ZWEITEE ABSCHNITT

KREIS, GERADER KREISZYLINDER UND KREISKEGEL, KUGEL

2>

13. Senkrechte Projektion des Kreises. Ist die Ebene eines Kreises k zur Tafel parallel, so ist seine Projektion k' der zu k kongruente Kreis, dessen Mitte M' das Bild des Mittelpunktes M von k ist. Steht die Kreisebene zur Tafel senkrecht, so erscheint der Kreis k im Bild als Strecke k', die gleich dem Durchmesser von k ist. Diese Strecke ist im besonderen die Projektion des zur Tafel parallelen Kreisdurchmessers. Bei jeder anderen Lage des Kreises k ist seine Projektion eine Ellipse. Wie die Kreisdurchmesser durch den Kreismittelpunkt M halbiert werden, so halbiert auch das Bild M' von M, der Ellipsenmittelpunkt, die Projektionen der Kreisdurchmesser, die Ellipsendurchmesser. Die Ellipse ist also symmetrisch in bezug auf ihren Mittelpunkt. Da die Kreisdurchmesser verschiedene Neigungswinkel haben, werden sie bei der Projektion verschieden stark verkürzt. Der Kreisdurchmesser AXA der Höhenlinie der Kreisebene ist, erscheint im Bild in wahrer Länge. Seine Projektion Ax A₂' ist der längste Ellipsendurchmesser und heißt die Hauptachse der Ellipse. Der zu AXA₂ senkrechte Kreisdurchmesser B₁BZ liegt auf einer Fallinie der Kreisebene. Nach Nr. 9 ist sein Bild

Bx B₂ der kürzeste Durchmesser der Ellipse. Dieser Durchmesser heißt die Nebenachse der Ellipse. Die Endpunkte der Achsen heißen die Scheitel der Ellipse, und zwar Ax, A₂r die Hauptscheitel, Bx, B₂ die Nebenscheitel. Der Kreis um den Ellipsenmittelpunkt M' durch die Hauptscheitel ist der Hauptscheitelkreis, der durch die Nebenscheitel der

N ebenscheitelkreis.

Ikk

ff)

'/tj P'

TtjTjfAj w^e der Kreisdurchmesser. Sie y, *o ist das Bild des Durchmessers,

Danach gilt: Die Projektion eines Kreises k ist im allgemeinen eine Ellipse. Die Hauptachse der Ellipse ist ebenso lang

CA/M

(Bz)

Fig. 27.

der auf einer Höhenlinie liegt. Die Nebenachse ist die Projektion des Durchmessers, der auf einer Fallinie der Kr eis ebene liegt.

14. Bestimmung einzelner Punkte der Ellipse. In Fig. 27 sind die Achsen AXA₂ — 2a und BXB₂' = 2b einer Ellipse gegeben. Der Kreis k, dessen Bild die durch diese Achsen gegebene Ellipse k' ist, werde so angenommen, daß sein Mittelpunkt M mit dem Mittelpunkt der Ellipse zusammenfällt. Dann ist AxA₂ ein Durchmesser von k. Der zu AXA2 senkrechte Kreisdurchmesser BXB₂ liegt so, daß Bx sich senkrecht über Bx und B₂ sich senkrecht unter B₂ befindet. k liegt also zur Hälfte oberhalb, zur Hälfte unterhalb der Tafel. Wird der Kreis k um AxA₂ in die Tafel umgelegt, so geht er in den Hauptscheitelkreis (k) der Ellipse über. (Bx) und (B₂) liegen auf den Verlängerungen der Nebenachse Bx B₂. Die Strecken auf den Fallinien der Kreisebene werden bei der Projektion also im Verhältnis MBX: MBX = MBX : M(B₁) = b : a verkürzt. Weitere Punkte der Ellipse können wir also bestimmen, indem wir die zu AxA₂ senkrechten Sehnen von (k) von ihrem Schnittpunkt mit AxA₂ aus im Verhältnis b : a verkürzen. Wir zeichnen noch den Nebenscheitelkreis kx der Ellipse. Ziehen wir nun einen beliebigen Radius M(P), der kx in Px treffe, so ist der Schnittpunkt P' des Lotes von

Bestimmung einzelner Punkte der Ellipse

25

(P) auf AXA₂ mit der Parallelen durch Px zu AXAZ ein Punkt der Ellipse. Aus der Fig. 27 entnimmt man nämlich die Beziehung

QP' : Q(P) = MPX : M(P) = b : a.

Auf die gleiche Weise sind die übrigen Ellipsenpunkte in Fig. 27 bestimmt worden.

Die Annahme, daß die Hauptachse AXA₂ der Bildellipse k' Durchmesser des Kreises k ist, bedeutet keine Einschränkung der allgemeinen Gültigkeit des Ergebnisses. Liegt nämlich der Kreismittelpunkt M nicht in der Tafel, so denke man sich die Tafel zunächst durch die Höhenebene durch M ersetzt und den Kreis auf diese

bE

A\

7'

(P)

>P\

\At

Fig. 28.

zur Höhenebene genau so wie oben der Kreis k zur Tafel. Das Bild des Kreises in der Tafel ist

Höhenebene projiziert. Dieser Kreis liegt

zum Bild in der Höhenebene kongruent und deckt sich in der Zeichnung mit diesem. Hiernach folgt: Eine Ellipse kann stets angesehen werden als die senkrechte Projektion ihres passend gedrehten Hauptscheitelkreises.

In Fig. 28 ist ein Punkt P' der durch die Achsen AxA₂=2a und Bx B₂=2b gegebenen Ellipse mittels der Scheitelkreise bestimmt. Wird nun durch P' die Parallele zu M(P) gezogen, die die Hauptachse in R und die Nebenachse in T treffe, so entstehen zwei Parallelogramme M(P)P'T und MP₁P' R. Also ist

P' T = (P)M — a,

P' R = PXM = b.

Diese Beziehung wird zur Lösung der folgenden beiden Aufgaben benutzt.

Aufgabe 31: Von einer Ellipse ist die Hauptachse und ein Punkt gegeben. Die Nebenachse soll gezeichnet werden. (Fig. 29.)

Lösung: Die Hauptachse sei die Strecke A₁A₂ — 2a; der gegebene Punkt P'. Die Nebenachse liegt auf dem Mittellote zu AXA₂. Um P' wird der Kreis mit dem Radius a gezeichnet. Der Schnittpunkt T dieses Kreises mit dem Mittellote, der von P' durch die Hauptachse getrennt ist, wird mit P' verbunden. Die Gerade P'T treffe AxAt

in R. Dann ist die Strecke P'R gleich der halben Länge b derNeben-achse. PR wird von M aus auf dem Mittellote zur Hauptachse nach beiden Seiten hin bis Btf und B₂' abgetragen.

b; ay

°A

Aufgabe 32: Von einer Ellipse i ist die Nebenachse und ein Punkt P' gegeben. Die Hauptachse soll gezeichnet werden.

29.

Aufgabe 33: Darf in den Aufg. 31 und 32 nach Annahme der Achse der Punkt P' noch ganz beliebig gewählt werden?

15. Die Ellipse als Schnitt des Kreiszylinders. Die

Projektionsstrahlen durch die Punkte eines Kreises, dessen Ebene zur Tafel geneigt ist, bilden den Mantel eines schiefen Kreiszylinders oder eines geraden elliptischen Zylinders. Der Schnitt dieses Zylinders mit der zu seinen Mantellinien senkrechten Projektionstafel ist die Bildellipse des Kreises. Für die Ellipse gilt also auch die folgende Definition: Die Ellipse ist der senkrechte ebene Schnitt eines schiefen Kreiszylinders.

Wird die Ellipse in Fig. 27 um ihre Nebenachse B2 so weit aus der Tafel herausgedreht, bis der Hauptscheitel Ai senkrecht über dem Schnittpunkte Cx des Nebenscheitelkreises mit AXA₂ liegt, so werden durch die Projektion alle zur Hauptachse parallelen Sehnen der Ellipse im Verhältnis MCi : MAi=b : a verkürzt. Die zu AXA₂ parallele Sehne durch P' trifft Bff B₂' in R. Nun folgt aus der Fig. 27, daß

RPi : RP' = MPi : M(P) = b : a

ist. Das Bild der so aus der Tafel herausgedrehten Ellipse ist also der Nebenscheitelkreis kx. Jede Ellipse kann so gelegt werden, daß ihre senkrechte Projektion ein Kreis ist. Der Radius dieses Kreises ist gleich der halben Nebenachse der Ellipse. In diesem Falle bilden die Projektionsstrahlen der Ellipsenpunkte den Mantel eines geraden Kreiszylinders. Hiernach ergibt sich eine weitere Definition der Ellipse. Die Ellipse ist der schiefe ebene Schnitt eines geraden Kreiszylinders.

Fig. 31.

16. Tangenten der Ellipse. Die Tangenten einer Ellipse sind die Projektionen der Tangenten des Kreises, dessen Bild die Ellipse ist. Nach Nr. 14 kann eine Ellipse k' stets als die Projektion eines Kreises k angesehen werden, der aus dem Hauptscheitelkreise (k) von k' durch Drehung um die Hauptachse der Ellipse hervorgeht. Die Tangente t' in einem Punkte P' der Ellipse k' ist also das Bild der Tangente t in P an den Kreis k. Da die Tangente t in der Ebene von k liegt, ist ihr Spurpunkt T ihr Schnittpunkt mit der Hauptachse der Ellipse k'. Der Spurpunkt T ist auch ein Punkt der Projektion t' von t, d. h. die

(U

(P)

/K

(TJ

mV

At

C At

AV \M

(ki

B'l

Fig. 30.

Ellipsentangente t' in P' ist die Verbindungsgerade von P' und T. Bei der Drehung von k um die Hauptachse von k' geht k in den Hauptscheitelkreis (k), die Tangente t in die Tangente (t) in (P) an (k) über. Als Punkt der Drehgeraden ändert T seine Lage bei dieser Drehung nicht. Die Tangenten t, (t) und t' schneiden sich also im Punkte T der Hauptachse der Ellipse k'.

Aufgabe 34: In einem Punkte P' der durch die Achsen A₁A₂, B/ B₂' gegebenen Ellipse soll dieTangente gezeichnet werden. (Fig. 30.)

Lösung: Mittels der Scheitelkreise wird ein Punkt P' der durch die Achsen AXA₂, 2?/B₂ gegebenen Ellipse bestimmt. In (P) wird an den Hauptscheitelkreis (k) die Tangente (t) gezogen und in T mit^4₁^4₂ zum Schnitt gebracht. Dann ist die Gerade P' T die Tangente t' der Ellipse im Punkte P'.

Aufgabe 35: Von einem Punkte P', der außerhalb der durch die Achsen A₁A₂, Bx B₂ gegebenen Ellipse liegt, sollen an diese die Tangenten gezogen werden. (Fig. 31.)

Lösung: Die Ellipse wird wieder als Projektion des Kreises k betrachtet, der aus dem Hauptscheitelkreis (Ä;) durch Drehung um

AXA₂ hervorgeht. Dann ist P' das Bild eines Punktes P der Ebene von k; die Ellipsentangenten //, t₂' durch P' sind die Projektionen der Tangenten t₁ und t₂, die von P an k gelegt werden können. Bei der Umlegung der Ebene des Kreises k um A₁Aa in die Bildebene geht k in (k), der Punkt P in den Punkt (P) auf dem Lote durch P' zu A₁A₂ über, dessen Abstand von der Hauptachse sich zum Abstande der Projektion P' von der Hauptachse wie a zu b verhält. Wird P'B₁ in C mit A₁A₂ geschnitten, so trifft C(B₁) das Lot durch P' zu At Ai in (P). Die Tangenten (tj) und (t₂) vom Punkte (P) an den Hauptscheitelkreis haben die Berührungspunkte (2\) und (T₂). Dann sind P' Tx und P' T₂ die Ellipsentangenten tx' und t2 durch P'.

Die Tangenten in den Scheiteln einer Ellipse bilden ein der Ellipse umbeschriebenes Rechteck 1'2'3'4'. (Fig. 32.) Dieses Rechteck entspricht dem dem Haupt-H scheitelkreis umschriebenen Quadrate(l)(2)(3)(4). Wird dieses Quadrat um 45⁰ gedreht, so geht es in das Quadrat I (II) III (IV) über, dessen Ecken auf den Verlängerungen der Achsen der Ellipse liegen, und dessen Seiten zu den Diagonalen des Quadrates (1) (2) (3) (4) parallel sind. Dem Quadrate I (II) III (IV) entspricht ein der Ellipse umbeschriebener Rhombus I IT IIIIV', dessen Seiten 111% III IV' zur Diagonale 2⁷ 4' und dessen Seiten II⁷ III, IV⁷ I zur Diagonale 1⁷ 3⁷ des Rechteckes der Scheiteltangenten parallel sind. Die auf der Hauptachse liegenden Ecken I, III des Rhombus haben — wie aus dem geschrafften Dreieck in Fig. 32 folgt — von der Ellipsenmitte M den Abstand a]/2• Die Berührungspunkte der Seiten des Quadrates I (II) III (IV) mit dem Hauptscheitelkreise liegen auf den Diagonalen des Quadrates (1) (2) (3) (4). Die Seiten des Rhombus I II⁷ III IV⁷ berühren demnach die Ellipse in ihren Schnittpunkten mit den Diagonalen des Rechteckes der Scheiteltangenten.

-4-

r<

TS,

I)

•y

b:

Fig. 32.

-~Aj

Allen übrigen dem Hauptscheitelkreis umbeschriebenen Quadraten entsprechen der Ellipse umschriebene Parallelogramme.

17. Krümmungskreise für die Scheitel der Ellipse. Die

Konstruktion der Ellipsenpunkte mittels der Scheitelkreise (Fig. 27) zeigt, daß die Ellipse in bezug auf beide Achsen symmetrisch liegt. Bei, der Zeichnung einer Ellipse fallen Ungenauigkeiten in der Symmetrie der Kurve in der Nähe der Symmetrieachsen besonders stark auf. Um diese Fehler zu vermeiden, ersetzen wir die Ellipsenbogen in der Umgebung der Scheitel durch die Kreisbogen, die sich der Ellipse an diesen Stellen am besten anschmiegen.

IP!

(Ql

(P)

p\ b/rAz Az

Bl

Bz

Fig. 33.

Fig. 34.

Diese Kreise heißen die Krümmungskreise, ihre Radien die Krümmungsradien und ihre Mittelpunkte die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel der Ellipse. Aus der Symmetrie der Ellipse folgt, daß die Krümmungsmittelpunkte für die Hauptscheitel auf der Hauptachse, die Krümmungsmittelpunkte für die Nebenscheitel auf der Nebenachse liegen und daß die beiden Hauptscheitel gleiche Krümmungsradien haben, ebenso die beiden Nebenscheitel.

Die Lage der Krümmungsmittelpunkte bestimmen wir durch die folgende Betrachtung. Von der durch die Achsen A₁A₂—2a, B₁'B₂—2b gegebenen Ellipse werden mit Hilfe der Scheitelkreise zwei Punkte P' und Q' ermittelt, die symmetrisch

zur Hauptachse AXA₂ liegen. zurNebenachseBx B₂liegen. (Fig. 33.) Durch die Punkte (Fig. 34.) Durch die Punkte P'AXQ' wird der Kreis ge- P' BXQ' wird der Kreis gezeichnet, dessen Mittel- zeichnet, dessen Mittelpunkt Kx auf AXA₂ liegt. punkt K₂ auf BXB₂ liegt. Sein Radius KXAX werde mit Sein Radius    werde mit

qx bezeichnet. Dann gelten q₂ bezeichnet. Dann gelten die folgenden Beziehungen: die folgenden Beziehungen:

F~R* = Ä^R (2qx - Ajl), Y'T²= BlT {2q₂ - W T), {P)R² = Äx R (2 a — ÄXR). PXT² = BXT (2 b — Bx T). Aus ihnen folgt, daß    Aus ihnen folgt, daß

P R² _ 2 q₁ — A₁R    P' T²

(P)B² ~ 2a-AxR ’

bl ₌ 2gi~^    ₂₎

2 a — AxR

ist. Streben nun die Punkte P' und Q' auf der Ellipse nach A l5 so geht der Kreis durch P', Ax, Q' in den Krümmungskreis für den Hauptscheitel derEllipse über. In diesem Grenzfalle ist qx der Krümmungsradius für den Scheitel Ax und die Strecke AXR gleich Null. Dann ergibt sich aus der Gleichung (1), daß der Krümmungsradius für die Haupts cheitel

1)

a*

b²

PXT

,2 —

a²

b²

2Qt~B₁'T zb-ByTr ’

2Ql-B₁'T

2b — Bx' T ist. Streben nun die Punkte P' und Q' auf der Ellipse nach Bx,

Kreis durch P', Bx, Q' in den Krümmungskreis für den Nebenscheitel der Ellipse über. In diesem Grenzfalle ist g₂ der Krümmungsradius für den Scheitel Bx und die Strecke Bx T gleich Null. Dann ergibt sich aus der Gleichung (2), daß der Krümmungsradius für die Nebenscheitel

so geht der

a²

ist.

ist.

Die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel einer Ellipse werden zeichnerisch folgendermaßen bestimmt. Wir zeichnen das der Ellipse mit den Achsen AxA₂ — 2a, Bx B₂'=2 b umbeschriebene Rechteck der Scheiteltangenten und fällen von einer Ecke das Lot auf die nicht durch

diese Ecke gehende Diagonale des Rechteckes. (Fig. 35.) Dieses Lot trifft die Hauptachse in Kx, die Nebenachse in K₂. Der Punkt K± ist der Krümmungsmittelpunkt für den Hauptscheitel Au der auf derselben Seite vom Mittelpunkte M wie Kx liegt. Der Punkt Kz ist der Krümmungsmittelpunkt für den Nebenscheitel Bx, der von K₂ durch den Mittelpunkt M getrennt wird. Mit Hilfe der in Fig. 35 geschrafften ähnlichen Dreiecke zeigt man nämlich leicht,

daß A₁K₁ = — und BXK₂ — ist.

a    b

-p

B,

==

'At

/<—

1-5*1

b;

b.;

Fig. 36.

Fig. 35.

18. Zeichnung der Ellipse. Die Ellipse sei durch die Achsen AXAZ und Bx B₂' gegeben. (Fig. 36.) Zuerst werden auf den Achsen mittels des umbeschriebenen Rechteckes der Scheiteltangenten die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel bestimmt. Von den Krümmungskreisen brauchen wir nur die in der Nähe der zugehörigen Scheitel liegenden Bogenstücke, etwa so weit, wie sie in der Fig. 36 stark ausgezogen worden sind. Mit Hilfe des der Ellipse umbeschriebenen Rhombus (vgl. Nr. 16) werden noch vier Ellipsenpunkte mit ihren Tangenten bestimmt. Tragen wir auf der Rechteckseite durch Ax von Ax aus die halbe Länge der Hauptachse bis zum Punkte R ab, so schneidet der Kreis um den Mittelpunkt M durch R die Hauptachse in den Eckpunkten I und III des umbeschriebenen Rhombus, dessen Seiten parallel zu den Rechteckdiagonalen sind. Die Rhombusseiten berühren die Ellipse in ihren Schnittpunkten mit den Diagonalen des Rechteckes. Nun werden die fehlenden Bogen der Ellipse mit Hilfe eines Kurvenlineals so gezeichnet, daß sie an die Bogen der Krümmungskreise gut anschließen und die Rhombusseiten in den

Schnittpunkten mit den Rechteckdiagonalen berühren. Dann erhält man die in Fig. 37 gezeichnete Ellipse.

19. Grundaufgaben über den Kreis.

Aufgabe36: Von einem Kreis ist der Radius r, der Mittelpunkt M und die Spurgerade s der Kreisebene gegeben. Sein Bild ist zu zeichnen. (Fig. 38.)

Lösung: Die Projektion Ax'A₂ des zur Spurgeraden s der Kreisebene parallelen Durchmessers AtA₂ ist die Hauptachse der Bildellipse. Ax’ A₂ liegt auf der Parallelen zu s durch M' und hat die Länge 2 r. Auf der Fallinie/ der Kreisebene durch M liegt der Durchmesser B₁B₂ des Kreises, dessen Bild Bt'B₂ die Nebenachse der Ellipse ist. Die Projektion Bx' B₂ wird mittels der Umlegung der projizierenden Ebene von f bestimmt. Die Ellipse wird nach Nr. 18 gezeichnet.

jl/ \m

(Ml

ff)

Fig. 37.

'B;/    r

k.—£.-

0^

Fig. 38.

Aufgabe 37: Gegeben ist eine Gerade NM und eine Strecke r. Der Kreis um M mit dem Radius r, dessen Ebene zur Geraden MN senkrecht ist, soll gezeichnet werden. (Fig. 39.)

Lösung: Die Hauptachse A-f A₂ der Bildellipse, die Projektion des zur Tafel parallelen Kreisdurchmessers At A₂, liegtauf dem Lote in M' zu M'N' und hat die Länge 2 r. Der zuA₁A2 senkrechte durchmesser liegt in der projizierenden Ebene der Geraden MN. Seine Projektion BX'B₂, die Nebenachse der Bildellipse, wird mit Hilfe der Umlegung der projizierenden Ebene der Geraden MN bestimmt. In dieser Umlegung liegt (B₁)(B₂) auf der Senkrechten in (M) zu (M) (N) und ist gleich 2r. Die Gerade MN wird z. T. durch die undurchsichtig angenommene Kreisscheibe verdeckt. Die Umlegung zeigt, daß die unterhalb des Radius MB₂ liegende Strecke der Geraden MN im Bild nicht sichtbar ist.

Im folgenden werden wir die Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises, die zur Kreisebene senkrecht steht,

(B,)

-a

A{

M\

jn

-4J0

O-L

Fig. 39.

Kreis-

B\ B₂

die Achse des Kreises oder die Kreisachse nennen. Aus der Lösung der Aufgabe 37 folgt: Die Hauptachse der Bildellipse eines Kreises ist zur Projektion der Kreisachse senkrecht. Die Nebenachse wird mit Hilfe der Umlegung der projizierenden Ebene der Kreisachse bestimmt.

vor.

Aufgabe 38: Die Projektion eines Kreises liegt gezeichnet Der Kreis soll in 12 gleiche Teile geteilt werden. (Fig. 40.)

(BJ

7\

m,

Ai

-m

/(MJ.

\ Mr

B'z

\r

(BJ

V¹--

Fig. 40.

Fig. 41.

Lösung: Die Teilung muß auf dem Kreise vorgenommen werden, da bei der Projektion die Bogenstücke verschieden stark verkürzt werden. Wir ersetzen den Kreis, dessen Bild die gegebene Ellipse ist, durch den passend gedrehten Hauptscheitelkreis (Je) und teilen diesen, etwa bei Ax beginnend, in 12 gleiche Teile. Die Teilpunkte werden dann nach Nr. 14 mit Hilfe der Scheitelkreise auf die Ellipse übertragen.

20. Der gerade Kreiszylinder und Kreiskegel.

Aufgabe 39: Ein gerader Kreiszylinder, dessen Höhe gleich h und dessen Radius gleich r ist, soll in allgemeiner Lage gezeichnet werden. (Fig. 41.)

Lösung: Die Zylinderachse liege auf der durch ihren Spurpunkt S und den Punkt Mx gegebenen Geraden. Als Mittelpunkt des einen Grundkreises wird der Punkt Mx gewählt. Dann ist auf SMX von Mx aus die Strecke h bis zum Punkte M₂, dem Mittelpunkte des anderen Grundkreises, abzutragen. In der Zeichnung wird M2 mit Hilfe der Umlegung der projizierenden Ebene von SMX bestimmt. Diese Ebene schneidet den Zylinder in dem rechteckigen Achsen-schnitt, der in der Umlegung gezeichnet ist. Da die Zylinderachse MxM₂ die Achse der beiden Grundkreise ist, werden deren Bildellipsen nach Aufg. 37 ermittelt. Die beiden Ellipsen sind zueinander kongruent, weil die Kreise gleiche Radien haben und in parallelen Ebenen liegen. Seitlich wird die Projektion des Zylinders durch die gemeinsamen äußeren Tangenten beider Ellipsen begrenzt. Diese

Math.-pliys. Bibi. 66: Kramer, Darstellende Geometrie I.

Tangenten sind die Bilder der Mantellinien, in denen die zur Tafel senkrechten Tangentialebenen den Zylinder berühren.

In Fig. 41 ist der Zylinder als oben offene runde Schachtel dargestellt. Die Sichtbarkeit wird aus der Umlegung entnommen. Im Falle der Fig. 41 blicken wir in das Innere der Schachtel hinein und sehen noch einen Teil des Bodens. Zur Erhöhung der Anschaulichkeit sind auf dem Zylinder Mantellinien in gleichen Abständen und in dem Grundkreise durch M₁ die zu diesen Mantellinien gehörigen Radien gezogen worden. Die Schnittpunkte der Mantellinien mit dem Kreise um M₁ sind nach Aufg. 38 bestimmt worden.

IKl

li

IM.

(Lhi~

Aufgabe 40: Zwei r kongruente Ellipsen, J deren Nebenachsen auf derselben liegen, sind gegeben. Sie sind die Projektionen

Grundkreise eines geraden Kreiszylinders. Welche Höhe hat der Zylinder ? Unter welchem Winkel ist seine Achse geneigt ?

Geraden

der beiden

■K

-4L'

Fig. 42.

Aufgabe 41: Ein gerader Kreiskegel, dessen Grundkreisradius gleich r und dessen Höhe gleich h ist, soll in allgemeiner Lage gezeichnet werden. (Fig. 42.)

Lösung: Die Kegelaehse liege auf der beliebig gewählten Geraden KL. Der Punkt K sei die Kegelspitze. Dann wird auf KL von K aus die Kegelhöhe h bis zum Punkte M, dem Mittelpunkte des Grundkreises, abgetragen. Die Projektion des Grundkreises, dessen Achse die Gerade KM ist, wird nach Aufg. 37 gezeichnet. Die Verbindungsgeraden des Punktes K' mit den Punkten der Bildellipse des Grundkreises sind die Projektionen der Mantellinien des Kegels. Die äußersten Mantellinien des Kegelbildes, die Tangenten von K' an die Ellipse, sind die Projektionen der Mantellinien, längs denen die zur Tafel lotrechten Tangentialebenen den Kegel berühren. Sie gehören zum Umriß des Kegelbildes. Die Sichtbarkeit läßt sich wieder mit Hilfe der Umlegung feststellen. In Fig. 42 ist der Kegel hohl gedacht. Man blickt z. T. in das Innere des Kegels hinein. Die Mantellinien sind so gezeichnet, daß ihre Schnittpunkte mit dem Grundkreis gleiche Abstände voneinander haben. (Aufg. 38.)

Bei anderer Lage des Kegels zur Tafel braucht K' nicht immer außerhalb der Bildellipse des Grundkreises zu liegen. Dies ist vielmehr nur der Fall, wenn der Kegel zwei zur Tafel lotrechte Tangentialebenen besitzt. (Fig. 43 b, 44 b.) Hat der Kegel nur eine zur Tafel senkrechte Tangentialebene, so liegt die Projektion K' der Spitze auf der Projektion des Grundkreises. (Fig. 43c, 44c.) Ist endlich keine zur Tafel senkrechte Tangentialebene vorhanden, so liegt K' im Jnnern der Bildellipse des Grundkreises. (Fig. 43 d, e,

-H)

zur

Tafel

Ki

44 d, e.) In den Figuren 43 b—e liegt die Spitze des Kegels höher als der Mittelpunkt seines Grundkreises. In diesem Falle wird die Grundkreisebene vom Mantel verdeckt. Liegt dagegen die Spitze tiefer als der Mittelpunkt des Grundkreises, wie in den Figuren 44 b—e, so ist der Grundkreis und ein Teil des Mantels oder nur der Grundkreis in der Projektion sichtbar. Ist die Kegelachse zur Tafel parallel, so ist das Bild des Kegels ein gleichschenkliges Dreieck. (Fig. 43a.) Steht die Kegelachse zur Bildebene senkrecht, so ist die Projektion des Kegels ein Kreis. (Fig. 43e, 44e.)

Aufgabe 42: Von einem geraden Kegelstumpfe sind die Radien r₁₅ r₂ und die Höhe h gegeben. Der Kegelstumpf soll in allgemeiner Lage gezeichnet werden.

Aufgabe 43: Eine Ellipse und ein Punkt K' auf ihrer Nebenachse sind gegeben. Die Ellipse sei das Bild des Grundkreises und K' das Bild der Spitze eines geraden Kreiskegels. Der Achsenschnitt des Kegels ist zu bestimmen.

/|\

....

a.

Kl

fö- -\

— K

mM'i

b.

IM

e.

>-•<- I

'"•J

IM)

b.

M-Y

c.

\----■ _ (Kl

.

-w—/■ --

WM

d.

iM-

e.

d.

jM

\IKJ

---

e.

Fig. 44.

Fig. 43.

Aufgabe 44: Welche Bedingungen müssen zwei in der Tafel gezeichnete Ellipsen erfüllen, damit sie die Projektionen der Grundkreise eines geraden Kegelstumpfes sein können ?

Aufgabe 45: Ein zylindrischer Bolzen mit kegelförmigem Kopf soll in allgemeiner Lage gezeichnet werden. (Fig. 45.)

Lösung: Die Achse a des Körpers ist durch die Projektion a' und die Umlegung (a) gegeben. In der Umlegung wird der Achsenschnitt des Bolzens gezeichnet. Dann werden nach Aufg. 37 die Projektionen der drei Kreise bestimmt. Der mittlere Kreis liegt auf dem Zylinder und auf dem Kegel. Die Projektion des Zylinders wird seitlich durch die gemeinsamen äußeren Tangenten der beiden unteren Ellipsen begrenzt. Die äußersten Mantellinien des Bildes des Kegels sind die gemeinsamen Tangenten der oberen und der mittleren Ellipse. Diese Tangenten müssen sich auf a' in der Projektion K' der Kegelspitze schneiden. Der Grundkreis des Kegels ist vollständig sichtbar. Die Fläche des mittleren Kreises wird vom

oberen Kreis und vom Kegelmantel, die Fläche d. unteren Grundkreises des Zylinders vom Zylindermantel voll-ständig verdeckt. '"° Von der unteren Ellipse ist die eine Hälfte sichtbar, von der mittleren Ellipse nur der Bogen, der auf dem sichtbaren Teile des Kegelmantels verläuft. Die äußersten Mantellinien der Projektion des Zylinders berühren die mittlere Ellipse in Punkten, die vom Kegelmantel verdeckt werden, können also selbst nur bis dahin sichtbar sein, wo sie die äußersten Mantellinien des Kegelbildes treffen.

(K)

/ N/

ar

(a)

Fig. 45.

Fig. 46.

(B)

(Ei

3-

Aufgabe 46: In Fig. 46 sind die Achsenschnitte einiger Körper, die aus Kegeln und Zylindern zusammengesetzt sind, ge-„ geben. Man zeichne diese ^ Körper bei allgemeiner Lage ihrer Achse.

-VA)

-k

6-0. B' H'

Aufgabe 47: Ein gerader Kreiskegel ist mit einer Geraden zu schneiden. (Fig. 47.)

Lösung:    Der Kegel

Fig. 47.

stehe auf der Tafel. In Fig. 47 ist er durch seinen Grundkreis und seine Höhe OK gegeben. Die Gerade ist durch die Punkte A und B bestimmt. Die Hilfsebene durch die Gerade A B und die Kegelspitze K schneide den Mantel des Kegels in den Mantellinien KM₁ und KMV Dann trifft die Gerade AB den Kegelmantel in ihren Schnittpunkten D₁ und D₂ mit den Mantellinien KMX und KMV In der Zeichnung werden die Punkte M₁ und M₂ als die Schnittpunkte des Grundkreises mit der Spurgeraden s der Hilfsebene durch die Gerade AB und die Kegelspitze K bestimmt. Mit

Hilfe der Umlegung der projizierenden Ebene von AB ermittelt man den Spurpunkt S und den Punkt H der Geraden AB, der die gleiche Höhe wie K hat. Dann ist die Gerade II'K' die Projektion h' einer Höhenlinie h der Hilfsebene, deren Spurgerade s nun als die Parallele zu h' durch S gezeichnet werden kann.

Bei anderer Wahl von Kegel und Gerade kann die Spur s der Hilfsebene den Grundkreis berühren oder ihn auch gar nicht treffen. Im ersten Falle berührt die Gerade den Mantel. Sie ist eine Tangente, die Hilfsebene eine Tangentialebene des Kegels. Wenn s den Grundkreis nicht trifft, so hat auch die Gerade mit dem Kegelmantel keinen Punkt gemein.

21. Projektion der Kugel. Geht die Bildebene durch den Kugelmittelpunkt M, so schneidet sie die Kugel in einem Großkreise k. Dieser Kreis k ist der Umriß der Projektion der Kugel. Denn die Radien zu den nicht auf k liegenden Punkten der Kugel sind zur Tafel geneigt und erscheinen deshalb im Bilde verkürzt. Die Projektionen der Kugelpunkte liegen also im Innern von k. Wenn die Kugelmitte M nicht in der Bildebene liegt, denken wir uns die Tafel zunächst durch die Höhenebene durch M ersetzt. In dieser Höhenebene liegt der zur Tafel parallele Großkreis k der Kugel. Sein Bild k' ist der Umriß der Projektion der Kugel. Danach gilt: Der Umriß der Projektion eitler Kugel ist das Bild des zur Tafel parallelen Großkreises der Kugel.

Im folgenden soll die Kugel stets so gewählt werden, daß ihr Mittelpunkt M in der Tafel liegt. Die Bildebene teilt dann die Kugel in zwei Halbkugeln, von denen die eine oberhalb, die andere unterhalb der Tafel liegt. Wird im Innern des Umrißkreises ein Punkt P' angenommen, so ist er das Bild von zwei symmetrisch zur Tafel gelegenen Kugelpunkten.

Aufgabe 48: Eine Kugel ist durch den Umriß k und ein Punkt P der oberen Kugelhälfte durch sein Bild P' im Innern von k gegeben. Wie hoch liegt PI (Fig. 48.)

Lösung: Die zur Tafel lotrechte Ebene durch MP schneidet die Kugel in dem Großkreise k₁₉ dessen Projektion kx der Durchmesser A B von k ist. Senkrecht über P' auf kl liegt P. Bei der Umlegung der Ebene des Kreises kx geht kx in den Umrißkreis k, der Punkt P in den Schnittpunkt (P) von k mit dem Lot in P' zu AB über. Die Strecke P'(P) ist gleich der Höhe von P.

Aufgabe 49: Die Schnittpunkte von Kugel und Gerade sind zu ermitteln. (Fig. 49.)

Lösung: Die Kugel ist durch den Umrißkreis, die Gerade durch

zwei Punkte A und B gegeben. Die projizierende Ebene der Geraden AB schneidet die Kugel in einem Kreise kx, dessen Bild kx' die auf A' B' liegende Sehne CD des Umrißkreises ist. CD ist Durchmesser von kv Die Schnittpunkte P und Q von A B mit k, sind die Schnittpunkte der Geraden mit der Kugel. Durch die Umlegung der projizierenden Ebene der Geraden AB geht AB in (^4) (B), der Kreis kx in den Kreis (kx) über, dessen Mittelpunkt Mx die Mitte

(P)

p.

{B

\K I

(k)

\b)

B\

o¹-

Fig. 48.

Fig. 49.

der Sehne CD und dessen Radius gleich MXC ist. (A) (B) schneidet (kJ in den Punkten (P) und (Q). Die Fußpunkte P', Q' der Lote von (P) und (Q) auf A'B' sind die Projektionen, die Strecken P'(P) und Q' (Q) die Höhen von P und Q. Die Umlegung zeigt, daß P und Q auf der oberen Kugelhälfte liegen. Die Strecke PQ auf AB liegt im Innern der Kugel, ist also nicht sichtbar.

22. Großkreise der Kugel. Der Mittelpunkt aller Großkreise einer Kugel ist der Kugelmittelpunkt. Da wir die Tafel stets so legen, daß sie durch den Mittelpunkt der Kugel hindurchgeht, liegt die Hauptachse der Bildellipse eines

Großkreises auf der Spurgeraden seiner Ebene, ist also ein Durchmesser des Umrißkreises der Kugel. Jede Ellipse, deren Hauptachse ein Durchmesser des Umrißkreises ist, [Ql ist die Projektion eines Großkreises der Kugel.

Aufgabe 50: Durch zwei Punkte P, Q einer Kugel g soll der Großkreis gelegt ö werden. (Fig. 50.)

Lösung:    Die Kugel

ist durch den Umrißkreis,

(Ph

/n

\ /£/°C

--AM

ip/

N.

Fig. 50.

die beiden auf der oberen Halbkugel liegenden Punkte P und Q sind durch ihre Projektionen P' und Q' gegeben. Die Ebene des Großkreises durch P und Q ist die Ebene des Dreiecks M PQ. Hat man nachAufg.48 die Höhen P'(P) undQ'(Q) der Punkte P und Q bestimmt, so wird mittels der Umlegung der projizierenden Ebene der Geraden PQ der Spurpunkt S dieser Geraden als der Schnitt von P'Q' mit [P] [Q] gezeichnet. Dann ist M S die Spurgerade der Großkreisebene durch P und Q. Die Hauptachse der Bildellipse des Großkreises ist der auf MS liegende Durchmesser Ax A₂ von k. Die Nebenachse wird nach Aufg. 31 ermittelt. Ist die Kugel undurchsichtig, so ist vom Großkreis nur der Halbkreis AXQPA₂ sichtbar.

IN)

!/'

75r

--R

Aß?

— AS’

(S)

Zur Bestimmung der wahren $ih Länge des Bogens PQ wird die Ebene des Großkreises um AXA2 in die Tafel umgelegt. Dabei geht Ai der Großkreis in den Umriß k über, die Punkte P und Q in die Schnittpunkte { P } und {Q } von k mit den Loten zu AXA₂ durch P' und Q'.

Fig. 51.

Dann ist der Bogen { P} { Q } auf k gleich dem Bogen PQ auf dem Großkreise.

Zu jedem Großkreise gibt es einen zu seiner Ebene lotrechten Kugeldurchmesser. Er heißt die Achse des Großkreises. (Vgl. Nr. 19, Aufg. 37.) Seine Endpunkte sind die Pole des Großkreises. Die Erdachse ist Achse des Äquators, der Nord- und Südpol sind seine Pole.

Aufgabe 51: Auf einer Kugel wird ein Punkt N als Nordpol gewählt. Der Äquator soll gezeichnet werden. (Fig. 51.)

Lösung: Die Kugel ist durch ihren Umriß, der Nordpol N durch seine Projektion N' gegeben. Das Bild S' des Südpoles S ist der Spiegelpunkt zu N' in bezug auf M. Der Nordpol N liege auf der oberen Kugelhälfte. Die Ebene des Äquators ist zu NN senkrecht. Die Hauptachse seiner Bildellipse ist also der zu N'S' senkrechte Durchmesser ALA₂ des Kugelumrisses. Die Nebenachse wird nach Aufg. 37 mit Hilfe der Umlegung der projizierenden Ebene von NS bestimmt. Diese »projizierende Ebene schneidet die Kugel in einem Großkreise, der bei der Umlegung in den Umrißkreis übergeht; dann liegen auch (N) und (S) auf dem Umriß. Der zu (N) (S) senkrechte Durchmesser (Px) (B₂) ist die Umlegung des Durchmessers des Äquators, dessen Projektion die Nebenachse B₂ der Bildellipse liefert. Vom Äquator ist im Bild nur der Bogen A₁B₂A₂ sichtbar.

Aufgabe 52: Auf einer Kugel ist ein Großkreis gezeichnet, seine Pole sind zu bestimmen.

Aufgabe 53: Ein Meridian der Erdkugel soll gezeichnet werden. (Fig. 52.)

Ai

Lösung: Die Erdkugel ist durch den Umrißkreis, die Erdachse durch die Projektion N' des Nordpoles N gegeben. Wie in Aufg. 51 ist der Äquator gezeichnet worden. Der Meridian treffe den Äquator

im Punkte O. Der Pol P des Meridians liegt auf dem Äquator und ist von O um 90° entfernt. Wir bestimmen P' mit Hilfe der Umlegung der Äquatorebene um die Gerade Dabei geht O in (O) über. Das Lot in M zu (O)M trifft den Umriß in (P). Dann ist die Projek-. tion P' des Poles P der Schnitt-A punkt der Bildellipse des Äquators mit dem Lote von (P) auf AtA₂. Nach Aufg. 51 ist die Hauptachse (B) der Bildellipse des Meridians der zu P' M senkrechte Durchmesser des Umrißkreises. Von der Ellipse sind außer der Hauptachse noch die Punkte N', S', O' bekannt. Ihre Nebenachse ist also nach Aufg. 31 zu zeichnen. .

23. Beliebige Kreise auf der Kugel. Der Schnitt einer Kugel mit einer Ebene ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt

der Fußpunkt des Lotes vom    ___

Kugelmittelpunkt auf die

Ebene ist.    /    \

7/

0‘

(01

Cj

Jf

Fig. 52.

\!

P'l

Aufgabe 54: Der Schnitt von Kugel und Ebene ist zu zeichnen. (Fig. 53.)

n,

Lösung: Die Kugel wird durch den Umriß, die Ebene durch die Spurgerade s, den Neigungswinkel a und die Fallrichtung gegeben. Der Fußpunkt Mx des Lotes l von der Kugelmitte M auf die Ebene (s, a) ist der Mittelpunkt des Schnittkreises kv Die Projektion l' ist das Lot von M auf s. Die

B[

(MX

r\ /w

IBJ

i a/

projizierende Ebene von l schneidet die Ebene (s, a) in einer Fallinie/, deren Bild /' mit l' zusammenfällt.

In der Umlegung bildet (/) mit/' den Winkel a; (l) ist das Lot von M auf (/). Der Schnittpunkt von (l) mit (/) ist (M/ Die projizierende Ebene von / und l schneidet die Kugel in einem Großkreise. Die auf / liegende Sehne B₁B₂ dieses Kreises ist ein Durchmesser des Schnittkreises. Da der Großkreis in der Umlegung mit dem Kugelumriß zusammenfällt, ist die auf (/) liegende Sehne (Bj) (B₂) gleich dem

Fig. 53.

Durchmesser des Schnittkreises, von dem nunmehr die Ebene (s, a), der Mittelpunkt Mx und der Radius (Mx) (Bx) bekannt sind. Seine Projektion kann nach Aufg. 36 gezeichnet werden. In Fig. 53 liegt der Schnittkreis auf der oberen Kugelhälfte, ist also vollständig sichtbar. Seine Projektion trifft in diesem Falle den Umriß nicht.

M,

/(fj

-st.

Fig. 54.

A'.

V    /Sy (Bz)

Fig. 55.

-W

Anders gestaltet sich das Ergebnis, wenn die Spurgerade s der schneidenden Ebene den Kugelumriß berührt oder schneidet. In Fig. 54 ist s Tangente an den Umrißkreis. Der Berührungspunkt F ist der Nebenscheitel B₂ der Projektion des Schnittkreises. Trifft wie in Fig. 55 die Spur s den Kugelumriß

- in den Punkten Ux U₂, so geht

auch der Schnittkreis durch diese Punkte hindurch. Seine Projektion hat also die Punkte U₁ und TJ₂ mit dem Umriß gemein. Da aber kein Punkt —    der Projektion des Schnitt-

J    kreises außerhalb des Kugel-

/    umrisses liegt, muß die Bild-

/    ellipse den Umriß in U₁ und

Fig. 56.

U₂ berühren. Der Bogen U₁B, U₂ liegt unterhalb der Tafel, ist also im Bilde nicht sichtbar.

Aufgabe 55: Der Breitenkreis von der nördlichen Breite ß soll gezeichnet werden. (Fig. 56.)

Lösung: Die Kugel ist durch den Umriß, der Nordpol N durch seine Projektion N' gegeben. Der Mittelpunkt Ml des Breitenkreises liegt auf M N; seine Ebene ist zur Erdachse lotrecht. In der projizierenden Ebene von MN liegt also der Durchmesser B₁B₂ des Breitenkreises, dessen Projektion Bß B₂ die Nebenachse der Bild-

Kreis, gerader Kreiszylinder u. Kreiskegel, Kugel

42

ellipse ist. Der Durchmesser Bx B₂ ist Sehne des Großkreises, in dem die projizierende Ebene der Erdachse die Kugel schneidet. Die Kugelradien MB₁ und MB₂ bilden mit MN den Winkel 90°—ß. Hiernach lassen sich Achsen der Projektion des Breitenkreises mittels der Umlegung der projizierenden Ebene von MN konstruieren, wie dies in Fig. 56 eingezeichnet ist. Da die Spurgerade der Ebene des Breitenkreises den Umriß in den Punkten XJx, ZJ₂ schneidet, ist nur der Bogen U₁B₁U₂ des Breitenkreises im Bilde zu sehen.

Aufg abe 56: Im Innern einer Kugel wird der Punkt M₁ gegeben. Mx ist der Mittelpunkt eines Kreises kx der Kugel. Sein Bild ist zu zeichnen.

Aufgabe 57: Das Gradnetz der Erdkugel soll gezeichnet werden, wenn die Erdachse a) zur Tafel lotrecht ist, b) in der Tafel liegt, c) zur Tafel unter dem Winkel a geneigt ist.

24. Tangentialebenen und Tangenten der Kugel. Die Tangentialebene in dem Punkte P einer Kugel ist zum Berührungsradius MP senkrecht. Die Ge-\Jr raden der Tangentialebene, die durch den \ Berührungspunkt P gehen, heißen Tangen-]/ ten der Kugel in P.

fy(t)

F

Fig. 57.

f Aufgabe 58: Die Spurgerade s und der Nei-IP) gungswinkel a der Tangentialebene im Punkte P einer Kugel sollen ermittelt werden. (Fig. 57.)

Lösung: Die Kugel ist durch ihren Umriß k, der Punkt P der oberen Halbkugel durch seine Projektion P' gegeben. Die Tangentialebene ist die zu MP in P lotrechte Ebene. Nach Aufg. 21 wird ihre Spur mittels der Umlegung der projizie-p renden Ebene von M P gezeichnet. Die durch P gehende Fallinie / der Tangentialebene erscheint in dieser Umlegung als das Lot (/) in

t___[_q (P) zu M(P), d. h. alsTangente von

'    k in (P). Der Spurpunkt F von /

b;

(Bz)

ist der Schnittpunkt von (/) mit der Projektion von f, die mit M P' zusammenfällt. Dann ist die Spur s die Senkrechte zu /' in F. Der Winkel P'F(P) ist gleich dem Neigungswinkel a.

Aufgabe59: Von einem Punkte P soll an eine Kugel der Tangentialkegel gelegt werden. (Fig. 58.)

Fig. 58.

Lösung: Die Tangenten von P an die Kugel bilden den Mantel eines geraden Kreiskegels, dessen Achse auf der Verbindungsgeraden des Punktes P mit der Kugelmitte M liegt. Die Berührungspunkte der Kugeltangenten durch P liegen auf einem Kugelkreis, dem Grund-

kreis des Kegels. In der projizierenden Ebene der Kegelachse liegt ein Großkreis der Kugel und die beiden Mantellinien PBl und PB₂ des Tangentialkegels, die den Großkreis in ßx und B2 berühren. Die Sehne B₁B₂ ist Durchmesser des Grundkreises des Kegels. Wird nun die projizierende Ebene von MP in die Tafel umgelegt, so geht MP in M(P) über. (P) (B₁) und (P) (ß₂) sind die Tangenten von (P) an den Umrißkreis k. Die weitere Konstruktion ergibt sich aus der Aufg. 41.

DRITTER ABSCHNITT.

DER SEITENRISS ALS HILFSEBENE

25. Seitenrisse. Ein wichtiges Hilfsmittel bei den bisherigen Konstruktionen war die Umlegung der projizierenden Ebene einer Geraden. Die bequeme Handhabung dieser Ebenen ist offenbar darin begründet, daß sie zur Bildtafel lotrecht stehen. Wir wollen nun dieses Konstruktionsverfahren dahin erweitern, daß wir an Stelle der projizierenden Ebenen von Geraden andere zur Tafel lotrechte Ebenen als Hilfsebenen verwenden, auf die wir die Gegenstände nochmals senkrecht projizieren. Diese zweite Bildebene wird in jedem einzelnen Falle so gewählt werden, daß in ihr die Gegenstände möglichst einfache Projektionen haben. Zur Unterscheidung nennen wir von jetzt ab die wagerechte Tafel die Grundrißebene, die senkrechte Projektion auf sie die Grundrißprojektion oder kurz den Grundriß. Die zur Grundrißtafel lotrechten Bildebenen heißen Seitenriß ebenen, die senkrechten Projektionen auf sie Seitenrißprojektionen oder kurz Seitenrisse.

In Fig. 59 ist ein Punkt P durch seinen Grundriß P' und seine Höhe 0 P am Maßstab gegeben und eine Gerade a als Spurgerade einer Seitenrißebene gezeichnet worden. Die zur Seitenrißtafel lotrechten Projektionsstrahlen sind zur Grundrißebene parallel. Ihre Richtung wird durch den zu a senkrechten Pfeil gekennzeichnet. Der Seitenriß von P sei P". Die durch die beiden Projektionsstrahlen PP' und PP" bestimmte Ebene ist zu beiden Tafeln, also auch zu a senkrecht. Sie schneide a in L. Dann sind P' L und P" L zu a lotrecht. Bei der Umlegung der Seitenrißebene um a in die Grundrißtafel geht also P" in einen

Punkt (P") auf der Verlängerung von P' L über, und zwar ist L(P") gleich der Höhe OP von P, da der Projektionsstrahl PP" zur Grundrißebene parallel verläuft. In Fig. 59 haben wir noch die Umlegung (Q") eines Punktes Q gezeichnet, der unterhalb der Grundrißebene liegt. (Vgl. hierzu die Aufg. 1.)

Da wir stets die Umlegung der zur Grundrißtafel senkrechten Seitenrißebene zeichnen müssen, um den Seitenriß überhaupt erkennen zu können, wollen wir der Einfachheit halber das Einklammern der Bezeichnungen bei

der Umlegung der Seitenrisse unter-

P”

m,

■t

cTf

lassen (Fig. 60) und die Umlegung eines Seitenrisses kurz den Seitenriß nennen. Darüber ver-man aber

gesse

nie, daß die Seitenrißebenen in Wirklichkeit lotrecht zur Grundrißtafel stehen!

Zusammenfassend kann also gesagt werden: Grundriß P' und Seitenriß P" eines Punktes P liegen auf einem Lote zur Spurgeraden a der Seitenrißebene. Der Abstand des Seitenrisses P" von der Spur a ist gleich der Höhe des Punktes P über der Grundrißtafel.

Die folgenden Nummern zeigen, wie Seitenrisse als Hilfsmittel bei der Lösung von Aufgaben benutzt werden können.

Fig. 59.

Fig. 60.

o"

p" sr

IS

cc

\l

.c

'S-t

P’

-0

Ir" b’

Fig. 61.

Fig. 62.

26. Aufgaben über Geraden und Ebenen.

Aufgabe 60: Die wahre Länge einer Strecke PQ ist zu bestimmen. (Fig. 61.)

Lösung: Wir wählen eine zur Strecke PQ parallele Seitenrißebene. Ihre Spur a ist zu P'Q' parallel. Dann ist der Seitenriß P"Q" ebenso lang wie die Strecke PQ. Der Schnittpunkt S" von P"Q" mit a ist der Seitenriß des Spurpunktes S der Geraden PQ. Der spitze Winkel, den P"S" mit a bildet, ist gleich dem Neigungswinkel a von PQ.

ffj,

Aufgabe 61: Eine Ebene ist durch das Dreieck ABC gegeben.

Eine Seitenrißtafel soll so gewählt werden, daß der Seitenriß der Dreiecksebene eine Gerade ist. (Fig. 62.)

A'c

VrNB’

B" -Qj

Äc

--A-

[D"

K/[U"

C’

P’~ -

P"

C"

0L

R"

Fig. 63.

Fig. 64.

Lösung: Die Seitennßtafel muß senkrecht zur Ebene ABC aufgestellt werden. Da die Seitenrißtafel auch zur Grundrißebene senkrecht steht, ist sie also lotrecht zur Spurgeraden und zu den Höhenlinien der Dreiecksebene zu wählen. Wir konstruieren die Projektion h' der Höhenlinie h durch den Punkt C der Ebene ABC und zeichnen dann die Spur a der Seitenrißebene zu h' senkrecht. Die zu den Höhenlinien senkrechte Seitenrißebene ist zu den Fallinien der Dreiecksebene parallel. Der Winkel, den A" B" C" mit a bildet, ist also gleich dem Neigungswinkel <x der Ebene ABC. Der Schnittpunkt S von a mit A" C" B" ist ein Punkt der Spurgeraden s der Dreiecksebene, s ist zu a senkrecht.

Aufgabe 62: Der Schnittpunkt D der Ebene ABC mit der Geraden PQ soll gezeichnet werden. (Fig. 63.)

Lösung : Die Seitenrißtafel wird senkrecht zu den Höhenlinien der Dreiecksebene gewählt. Dann ist der Seitenriß A" B" C" der Dreiecksebene eine Gerade. Der Schnittpunkt D" von A"B"C" mit P"Q" ist der Seitenriß des Schnittpunktes D. Der Grundriß D' liegt auf P'Q' und auf dem Lote durch D" zu a. Der Seitenriß läßt auch erkennen, wie weit die Gerade vom Dreieck verdeckt wird.

Aufgabe 63: Die Schnittgerade der beiden Ebenen ABC und PQR ist zu zeichnen. (Fig. 64.)

Lösung: Man wähle eine Seitenrißtafel, die zu einer der beiden Ebenen, etwa ABC lotrecht ist. Dann bestimmt man, wie in der vorigen Aufgabe, die Schnittpunkte U, V, W der Geraden QR, RP und PQ der Ebene PQII mit der Ebene ABC. Die Punkte U, V, W liegen auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen.

Aufgabe 64: Eine auf der Grundrißtafel stehende Pyramide soll mit einer Ebene geschnitten werden. (Fig. 65.)

P\

Co i

'J2

Lösung: Als Grundfläche der Pyramide ist das Dreieck 123 gewählt worden. Die Pyramidenspitze P ist durch die Projektion P' und die Höhe OP am Maßstab gegeben. Die schneidende Ebene ist durch die Spurgerade s, den Neigungswinkel a und die Fallrichtung bestimmt. Wir benutzen eine zur Ebene (s, a) lotrechte Seitenrißtafel, deren Spur a senkrecht zu s zu wählen ist. Der Seitenriß der Ebene

P"

«k-

\/

Ä-

(El

v';/

0L

(X

B' gL

Fig. 65.

Fig. 66.

(s, a) ist die Gerade f", die durch den Schnittpunkt S von s mit a geht und mit a den Winkel a bildet. Der Seitenriß 1" 2" 3" der Grundfläche 12 3 liegt auf der Spurgeraden a. Nun kann man nach Aufg. 61 die Schnittpunkte I, II, III der Kanten P 1, P 2, P 3 der Pyramide mit der Ebene (s, a) bestimmen oder nach Aufg. 63 die Schnittgeraden der Seitenflächen der Pyramide mit der gegebenen Ebene ermitteln.

Soll noch die wahre Gestalt der Schnittfigur gezeichnet werden, so drehen wir ihre Ebene so weit um die Spurgerade s, bis sie in der Grundrißtafel liegt. Die wahren Abstände der Eckpunkte I, II, III von der Drehgeraden s entnehmen wir dabei aus dem Seitenriß als die Strecken S I", S II" und S III".

Aufgabe 65: Von einem Punkte P soll auf eine Gerade AB das Lot gefällt werden. (Fig. 66.)

Lösung: In einer zur Geraden AB parallelen Seitenrißtafel erscheint das Lot von P auf AB als die Senkrechte von P" auf A"B". Der Schnittpunkt L" dieser Senkrechten mit A" B" ist der Seitenriß des Fußpunktes L des Lotes. Der Grundriß U liegt auf A' B' und auf dem Lote durch L" zu a. Die Länge des Lotes PL kann nach Aufg. 60 bestimmt werden.

Aufgabe 66: Der Abstand zweier zueinander parallelen Geraden soll ermittelt werden.

Aufgabe 67: Von einem Punkte P soll auf die Ebene ABC das Lot l gefällt werden. (Fig. 67.)

Lösung: Der Grundriß l von l ist senkrecht zur Projektion hr der Höhenlinie h der Ebene ABC. Um den Fußpunkt L des Lotes l zu bestimmen, benutzen wir eine zur Ebene ABC lotrechte Seitenrißtafel. Dann ist der Seitenriß l" das Lot von P" auf die Gerade-A" B"C”. Der Schnittpunkt L" von l" mit A" B" C" ist der Seitenriß des Fußpunktes L des Lotes Z.

27. Aufgaben über krumme Gebilde.

Aufgabe 68: Von einem Kreise ist der Radius r, die Achse AB und der Mittelpunkt M auf A B gegeben. Der Kreis ist zu zeichnen.

P-

(Fig. 68.)

Ä-

Lösung: Nach Aufg. 37 ist die Hauptachse Aß A₂' der Bildellipse zu A'B' senkrecht und gleich dem Durchmesser 2r des Kreises. n    Die Nebenachse Bß Bß liegt auf

—    ß.- A’ B'. Um ihre Endpunkte Bß, Bß

/    --Q zu ermitteln, wird eine zur Kreis

o¹-

KU

f—

C'

r--

Fig. 67.

achse A B parallele, also zur Kreisebene senkrechte Seitenrißebene benutzt. In ihr erscheint der Kreis n als die in M" zu A” B" senkrechte Strecke Bß' Bß' von der Länge 2r, die im besonderen der Seitenriß des zur Seitenrißtafel parallelen Kreisdurchmessers B₁B₂ ist. Dieser Durchmesser liegt auf einer Fallinie der Kreisebene und sein Grundriß BßBß ist demnach die Nebenachse der Bildellipse. Aus dem Seitenriß ist auch zu erkennen, daß der Radius MBX eine Strecke der Achse AB verdeckt.

ff)

J-

--4

Aufgabe 69: Das Bild eines auf der Grundrißtafel liegenden geraden a Kreiskegels (r, h) soll ge- ß" zeichnet werden. (Fig. 69.)

Fig. 68.

Lösung: Der Kegel liege längs der Mantellinie KBX auf der Grund- J[^~~ rißtafel auf. In einer zu dieser Mantellinie K B₁    >

parallelen Seitenrißebene erscheint der Kegel als Dreieck Bß' K" Bß', das dem Achsenschnitt des Kegels kongruent ist. Die Konstruktion der Bildellipse des Grundkreises erfolgt wie in Aufg. 68; die Zeichnung des Kegels wird dann nach Aufg. 41 vollendet.

Aufgabe 70: Ein auf der Grundrißtafel liegender Zylinder (r, h) ist mit einer Geraden zu schneiden. (Fig. 70.)

Lösung: Die zur Zylinderachse Mx M₂ parallele Ebene durch die gegebene Gerade PQ schneidet den Zylindermantel in zwei Mantellinien. Die Schnittpunkte D,, D„ der Geraden PQ mit diesen

Mantelhnien sind die gesuchten Schnitte der Geraden mit dem Zylindermantel.

Im Grundriß erscheint der Zylinder als das Rechteck A' B'C'D', dessen Seiten A' B' und C'D' die Projektionen der Grundkreise und dessen Seiten A'D' und B'C' die Bilder der Mantellinien AD und BC sind, die in der Höhenebene durch die Zylinderachse M₁M2 liegen. In einer zu M₁MZ lotrechten Seitenrißebene erscheint der Zylinder als Kreis k" vom Radius r, der die Spur a in ihrem Schnitt

IX

Ti

P’f

ig

Mi

%    / ÜJ

vjff

C'

f,

-0

ip

MX\

iC

Fig. 70.

Fig. 69.

punkte mit der Verlängerung von MX'M₂' berührt. Der Seitenriß P"Q" der Geraden PQ ist zugleich der Seitenriß der zur Zylinderachse parallelen Hilfsebene durch PQ. Die Schnittpunkte Dx", D," sind also die Seitenrisse der Mantellinien, in denen diese Hilfsebene den Zylindermantel schneidet und damit auch die Seitenrisse der Punkte Dx, D₂, in denen PQ den Zylindermantel trifft. Vom Zylindermantel ist nur die oberhalb des Rechteckes ABCD liegende Hälfte sichtbar, die im Seitenriß als der Halbkreis A"D₂"B" erscheint. Danach ergibt sich die in Fig. 70 angedeutete Sichtbarkeit im Grundriß.

Bei anderer Wahl der Geraden PQ kann es Vorkommen,'“daß die zur Zylinderaehse parallele Hilfsebene mit dem Mantel nur eine Mantellinie gemein hat oder ihn überhaupt nicht trifft. Im ersten Falle ist die Hilfsebene Tangentialebene und die Gerade PQ Tangente des Zylinders.

Aufgabe 71: Der Schnittkreis zweier Kugeln soll gezeichnet werden. (Fig. 71.)

Lösung: Die Kugeln sind durch ihre Mittelpunkte Mx, Mi und die Umrißkreise k\, k'i im Grundriß gegeben. (Man beachte, daß jetzt die Mittelpunkte nicht wie bei den Aufgaben in Nr. 22—25 in der Grundrißtafel liegen.) Wenn sich die beiden Kugeln überhaupt schneiden, so ist die Schnittkurve ein Kreis, dessen Achse die Verbindungsgerade MxMi der Kugelmitten ist. Wir wählen also eine zu MxM₂ parallele Seitenrißebene. In diesem Seitenriß haben die Kugeln die Umrißkreise A₂" und kn", die die gleichen Radien wie die Kreise k\ und k'i haben und deren Mittelpunkte M/' und Mi" die Seitenrißprojektionen von M₁ und Mi sind. Die gemeinsame Sehne B " B₂" von k₂" und An" ist der Seitenriß k" des Schnittkreises k der beiden Kugeln. Der Grundriß k' von k wird nach Aufg. 68 konstruiert.

Die zur Grundrißtafel parallelen Kreise Ax und ki haben als Seitenrisse die zu a parallelen Durchmesser Aj" und Ai" von k₂" und An". Die

• Ct-

Bz

K-:

--

Mi

Je"

Mi

-B?

Mi

\K

lZ

'fis

0¹-

Fig. 71.

Schnittpunkte Ux", ₂ und Ui", ii von A" mit Ax"und Ai" sind die Seitenrisse der Punkte Ult U₂ und Ui, Un, in denen der Schnittkreis A die Umrißkreise kx und Ai der beiden Kugeln trifft. Die Ellipse k' berührt also nach Aufg. 53 die Umrißkreise A/ und A l' in den Punkten Ui, U₂ und Ui', Un". Der Kreis A liegt im Falle der Fig. 71 zwar bis zu den Punkten Ui, Un auf der oberen Hälfte der Kugel um Mi, ist aber im Grundriß doch nur bis zu seinen Schnittpunkten U1 und U₂ mit k₁ sichtbar, weil die Bogen UxUi und U₂Un von der Kugel um bereits verdeckt werden.

Math.-phys. Bibi. 66 : Kramer, Darstellende Geometrie I

GRUND- UND AUFRISSVERFAHREN. ALLGEM. PARALLELPROJEKTION. PERSPEKTIVE

(Math.-Phys. Bibliothek, Bd. 67.)

Einführung in die darstellende Geometrie. Von Prof. P. B. Fischer, Studienrat am Gymnasium Berlin-Steglitz. Mit 59 Fig. im Text. [91 S,] 8. 1921. (ANuG Bd. 541.) Geb. RM 2.—

Der Verfasser behandelt die Grundlehren der darstellenden Geometrie an der Hand der wichtigsten Aufgaben, um so in erster Linie eine Anleitung für den Selbstunterricht zu bieten. Aus dem gleichen Grunde werden in der Einleitung Anweisungen für das praktische Zeichnen gegeben, wie auch die notwendige Raumanschauung dadurch gefördert wird, daß zunächst Projektionen auf nur einer Tafelebene in Betracht gezogen werden, wodurch das zweite Tafelverfahren dann um so leichter verständlich wird. Wenn die Darstellung sich auch auf das Wichtigste beschränkt, so reichen doch die itSo „Grundaufgaben“ in alle Hauptgebiete der darstellenden Geometrie (Schatten, Durchdringungen, Axonometrie, Perspektive) hinein.

Darstellende Geometrie. Von ~Dr.M. Großmann, Prof. a.d.Eidgen.Techn. Hochsch. Zürich. Bd. I. 2., erw. Aufl. Mit 134 Fig. u. 100 Übungsaufgaben. [VI u. 81 S.] 8. 1922. Kart. RM 2.20. Bd. II. 2., erw. Aufl. Mit 144 Fig. [VI u. 154 S.] 8. 1921. (Teubn. techn. Leitfäden Bd. 2 u. 3.) Kart. RM 4.—

Die beiden Bände bilden ein Ganzes. Das erste kann auch zum Selbststudium der elementaren Teile der darstellenden Geometrie dienen; im zweiten werden zuerst die Darstellungsmethoden vollständig dargelegt, hierauf die Kurven und Flächen behandelt.

Lehrbuch der darstellenden Geometrie für Technische Hochschulen. Von Hofrat Dr. E. Müller, Prof. a. d. Techn. Hochschule Wien. I. Bd. 3. Aufl. Mit 289 Fig. u. 3 Taf. [XIV u. 370 S.] gr. 8. 1920. Geh. RM 10.—, geb. RM 12.—. II. Bd. 3. Aufl. Mit 328 Fig. i.Text. [X u. 362 S.j gr.8.1923. Geh. RM 9.—, geb. RM 11.—

„ . . . Das meisterlich geschriebene Werk ist als eins unserer besten Lehrbücher zu bezeichnen und den Studierenden der Technischen Hochschulen aufs angelegentlichste zu empfehlen.“    (Archiv der Mathematik und Physik.)

Darstellende Geometrie. Von Dr./. Hjelmslev, Prof. a. d. Techn. Hochsch. Kopenhagen. Mit 305 Abb. [IX u. 320 S.] 8. 1914. (Handb. der ang. Math. Bd. 2.) Geh. RM 9.—, geb. RM n.—

der eb

enen

Von ganz hervorragendem mathematischen Wert ist die geradezu meisterhafte Behandlung Kurven und der Raumkurven. Jeder, der das Buch zur Hand nimmt, wird Gewinn davon haben: der Student, der mathematische Forscher, der Mathematiklehrer — kurz ein vortreffliches Buch.“    (Zeitschr. f. math. u. naturw. Unterricht.)

Darstellende Geometrie des Geländes und verwandte Anwendungen der Methode der kotierten Projektionen. Von Dr. R. Rothe, Prof, an der Technischen Hochschule Berlin. 2., verbesserte Aufl. Mit 107 Fig.i. Text. [VI u.92 S.] kl.8. 1919. (Math.-Phys. Bibl.Bd. 35/36.) Kart.RM2.40

Behandelt in elementarer Weise die Sätze der darstellenden Geometrie des Geländesund ihre praktische Anwendung in Vermessungs- u. Kartenkunde, Tiefbau, Geologie u. Bergbaukunde.

Verlag von B.G.Teubner in Leipzig und Berlin

Karte und Kroki. Erläuterte Herstellung und Lesen von Karten aller Art mit besond. Berücksichtigung einfacher Methoden. Von Dr. H. Wolff, ständ. Assist, u. Dozent an der Techn. Hochschule Berlin. M. 47 Fig. i. T. [IV u. 58 S.] kl.8. 1917. (Math.-Phys.Bibl. Bd. 27.)Kart. RM 1.20

Im 1. Teil wird ein Überblick über alle Arbeiten gegeben, die zur Herstellung unserer Generalstabskarten nötig sind. Auch die Benutzung der Karten, das Kartenlesen, wird eingehend erklärt. Der 2. Teil beschäftigt sich mit der Anfertigung von Skizzen und Krokis.

Photogrammetrie. (Einfache Stereo- und Luftphotogrammetrie.) Von Dr.-Ing. H. Liischer, Jena. Mit 78 Fig. im Text und auf 2 Tafeln. [128 S.] kl. 8. 1920. (ANuG Bd. 612.) Geb. RM 2.—

Eine umfassende, durch zahlreiche Abbildungen veranschaulichte Darstellung der gesamten Photogrammetrie, ihrer wissenschaftlichen Grundlagen und neuesten Verfahren iür die praktischen Anwendungen insbesondere des Vermessungsingenieurs, die sich für den Selbstunterricht wie als Wegweiser für das Studium und die Praxis gleich brauchbar erweisen wird.

Landmessung. Von Geh. Finanzrat F. Suckow, Berlin. Mit 69 Zeichnungen im Text. [116 S.] 8. 1919. (ANuG Bd. 608.) Geb. RM 2.—

Nach einer historischen Einleitung gibt der Verfasser zunächst einen Überblick über die verschiedenen landmesserischen Arbeitsmethoden im allgemeinen, um dann die geometrische und trigonometrische Horizontalaufnahme unter Berücksichtigung der Kartenanfertigung und der Flächeninhaltsberechnung zu behandeln. Der zweite Hauptteil erörtert das Nivellement und die dazu benötigten Geräte. — Zahlreiche abgeleitete Formeln und durchgerechnete Beispiele erleichtern das Eindringen in den Stoff, für dessen Verständnis nur geringe mathematische Vorkenntnisse vorausgesetzt werden.

Einführung in die projektive Geometrie. Von Dr. M. Zacharias, Stud Rat a. d. Vereinigt. Friedrichs- u. Humboldt-Gymnasium in Berlin. 2. Aufl. M. 18 Fig. [IV u. 51 S.] 8. 1922. (Math.-Phys. Bibi. Bd.6.) Kart. RM 1.20

„Der Leser bekommt ein klares Bild von der Entstehung der projektiven Geometrie, er kann verfolgen, wie sie sich allmählich zur ,Geometrie der Lage¹ entwickelt hat. Mühelos lernt er eine Reihe der wichtigsten Lehrsätze in diesem Gebiete kennen und sieht, welche Aufgaben mit Hilfe dieser Sätze gelöst werden können. Gute, in den Text eingereihte Figuren unterstützen im hohen Maße das Verständnis der theoretischen Ausführungen. Wir können die Schrift bestens empfehlen.“    fW ochenschr. f. d. öffentl. Baudienst)

Geometrisches Zeichnen. Von A. Schudeisky, akad. Zeichenlehrer in Gleiwitz. Mit 172 Abb. im Text und auf 12 Tafeln. [IV u. 99 S.] 8. 1919. (ANuG Bd. 568.) Geb. RM 2.—

Geometrisches Zeichnen. Projektionslehre. Flächenmessung. Körpermessung. Von Dr. R. Neuendorff, Prof, an der Univ. Kiel. (Praktische Mathematik Bd. 2.) Mit 133 Fig. (IV u. 104 S.) 8. 1918. (ANuG Bd. 526.) Geb. RM 2.—

Projektionslehre. Die rechtwinkl. Parallelprojektion und ihre Anwendung auf die Darstellung techn. Gebilde nebst einem Anhang über die schief-winkl. Parallelprojektion in kurzer, leichtfaßlicher Darstellung für Selbstunterricht u. Schulgebrauch. Von A. Schudeisky, akad. Zeichenlehrer in Gleiwitz. 2.Aufl. Mit 165 Abb. i.Text. [Vu.90S.] 8. 1923. (ANuG Bd. 564.) Geb.RM2.—

Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen. Von Geh. Reg.-Rat Dr.K.Doehlemann, weil. Prof. a. d. Techn. Hochschule München. 2., verb. Aufl. Mit 91 Fig. und 11 Abb. [108 S.] 8. 1919. (ANuG Bd. 510.) Geb. RM 2.—

Verlag von B, G.Teubner in Leipzig und Berlin

8-96

KfiAKÜW

i» ü k ti i iy L iii

E«]

Mathematisch-Physikalische Bibliothek

Fortsetzung der 2. Umschlagseite

Darstellende Geometrie des Geländes und verwandte Anwendungen der Methode der kotierten Projektionen. Von R. Rothe. 2., verb. Aufl. (Bd.35/36.)

Karte und Kroki. Von H. Woltf. (Bd. 27.)

Konstruktionen In begrenzter Ebene. Von P. Zühlke. (Bd. 11.)

Einführung In die projektive Geometrie. Von M. Zacharias. 2. Aufl. (Bd. 6.) Funktionen, Schaubilder, Funktionstafeln. Von A. Witting. (Bd. 48.)

Einführung in die Nomographle. Von P. Luckey. I. Die Funkfionsleiter. 2. Aufl.

II. Die Zeichnung als Rechenmaschine. 2. Aufl. (Bd. 28. u. 37.)

Theorie und Praxis des iogarithmlschen Rechenstabes. VonA. Rohrberg.3.Aufl. (Bd.23.) Mathematische Instrumente. Von W. Zabel. I. Hilfsmittel und Instrumente zum Rechnen. II. Hilfsmittel und Instrumente zum Zeichnen. [U. d. Pr. 1926.) (Bd. 59 u. 60.)

Die Anfertigung mathematischer Modelle. (Für Schüler mittlerer Klassen.) Von K. G i e b e 1. 2. Aufl. (Bd. 16.)

Mathematik und Logik. Von H. Behmann. [In Vorb. 1926.]

Mathematik und Biologie. Von M. SChips. (Bd. 42.)

Die mathematischen Grundlagen der Variatlons- und Vererbungslehre. Von P. R i e b e s e 11: (Band 24.)

Die mathematischen und physikalischen Grundlagen der Musik. Von J. Peters. (Bd. 55.) Mathematik und Malerei. 2 Bände in 1 Band. Von G. Wolff. 2. Aufl. (Bd. 20/21.) Elementarmathematik und Technik. Eine Sammlung elementarmathematischer Aufgaben mit Beziehungen zur Technik. Von R. Rothe. (Bd. 54.) Finanz-Mathematik.(Zinseszinsen-, Anleihe- und Kursrechnung.) Von K. H e r o 1 d. (Bd.56.) Die mathematischen Grundlagen der Lebensversicherung. Von H. Schütze. (Bd.46.) Riesen und Zwerge Im Zahlenreiche. Von W. Lietzmann. 2. Aufl.' (Bd. 25.) Geheimnisse der Rechenkünstler. Von Ph. Maennchen. 3. Aufl. (Bd 13.)

Wo steckt der Fehler? Von W. Lietzmann und V. Trier. 3. Aufl. (Bd. 52.)'. Trugschlüsse. Gesammelt von W. Lietzmann. 3. Aufl. (Bd. 53.)

Die Quadratur des Kreises. Von B. Beutel. 2. Aufl. (Bd. 12.)

Das Delische Problem (Die Verdoppelung des Würfels). Von A. Herrmann. (Bd. 68.) Mathematiker-Anekdoten. Von W. Ah re ns. 2. Aufl. (Bd. 18.)

Scherzaufgaben und Probleme. Von J. Preuß. [In Vorb. 1926.]

Die Fallgesetze. Von H; E. Timerding. 2. Aufl. (Bd. 5.)

Kreisel. Von M. Winkelmann. |In Vorb. 1926.]

Atom- und Quantentheorie. Von P. Kirchberger. I. Atomtheorie. II. Quantentheorie. (Bd. 44 u. 45.)

Ionentheorie. Von P. Bräu er. (Bd. 38.)

Das Relativitätsprinzip. Leichtfaßlich entwickelt von A. Angersbach. (Bd. 39.) Drahtlose Telegraphie und Telephonie In Ihren physikalischen Grundlagen. Von W. Ilberg. (Bd. 62.)

Optik. Von E. Günther. [In Vorb. 1926.]

Dreht sich die Erde? Von W. Brunner. 2. Aufl. [U. d. Pr. 1926.) (Bd. 17.)

Die Grundlagen unserer Zeitrechnung. Von A. Barneck. (Bd. 29.)

Mathematische Himmelskunde. Von 0. Knopf. (Bd. 63.)

■ Mathem. Streifzüge durch die Geschichte der Astronomie. Von P. K i r c h b e r g e r. (Bd. 40.) Theorie der Planetenbewegung. Von P. Meth. 2., umgearb. Aufl. (Bd. 8.) Beobachtung des Himmels mit einfachen Instrumenten. Von Fr. Rusch. 2. Aufl. (Bd.14.) Grundzüge der Meteorologie, ihre Beobachtungsmethoden und Instrumente. Von

W. König. (Bd. 70.)

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

t

■

.i •

Vs

✓ z

\

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

1-301648

Kdn. Zam. 480/55 20.000

V

f *

!

Biblioteka Politechniki Kiakowskie)

100000296008

l

■

■

f

p"