MATHEMATISCHPHYSIKALISCHE BIBLIOTHEK

REIHE I

67

W. KRAMER

EINFÜHRUNG IN DIE DARSTELLENDE GEOMETRIE

ZWEITER TEIL

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE

BIBLIOTHEK

HERAUSGEGEBEN VON W.LIETZMANN UND A.WITTING 67

EINFÜHRUNG IN DIE DARSTELLENDE GEOMETRIE

VON

Dr. WERNER KRAMER

II. TEIL

SENKRECHTE PROJEKTION AUF ZWEI TAFELN KEGELSCHNITTE

MIT 67 FIGUREN IM TEXT

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LEIPZIG UND BERLIN

VERLAG UND DRUCK VON B. G.TEUBNER -W\ß

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VORWORT

Entgegen dem ursprünglichen Plane wird in diesem Bändchen nur die senkrechte Projektion auf zwei Tafeln behandelt, da sich bei der Ausarbeitung zeigte, daß es nur so möglich war, mehr zu geben, als jetzt schon in den Lehrbüchern für höhere Schulen enthalten ist, und insbesondere auch einen mathematisch exakten Aufbau zu bieten. Damit wird das Bändchen zur Benutzung bei Arbeitsgemeinschaften an höheren Lehranstalten und auch zum eigenen Studium geeignet. Für den Gebrauch neben dem Unterricht wird die besondere Betonung der Kegelschnitte und ihrer Projektionen willkommen sein.

Das dritte abschließende Bändchen soll Schattenkonstruktionen, die allgemeine Parallelprojektion und die Zen-tralproj ektion enthalten.

Altdöbern (N.-L.), März 1929.

Werner Kramer.

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INHALT

Seite

1.    Grundriß und Aufriß.................

2.    Gerade im Grundriß und Aufriß............

3.    Wahre Länge von Strecken..............

4.    Ebene im Grundriß und Aufriß............

5.    Höhen- und Abstandslinien der Ebene.........

6.    Schnitte von Geraden mit Ebenen...........

7.    Schnitte von Ebenen mit Ebenen...........

8.    Lote auf Ebenen ..................

9.    Bestimmung der wahren Gestalt ebener Figuren.....

10.    Projektion ebener Figuren von gegebener Gestalt ....

2.    Abschnitt: Kreis, Kegel, Zylinder, Kugel........

11.    Kreis im Grundriß und Aufriß.............

12.    Tangentialebenen des Kreiskegels und Kreiszylinders. ... 22

13.    Kugel im Grundriß und Aufriß.....

14.    Tangenten und Tangentialebenen der Kugel

3.    Abschnitt: Erzeugung und Eigenschaften der Kegelschnitte 27

15.    Konjugierte Durchmesser der Ellipse . . . ^

16.    Brennpunkte der Ellipse.........

17.    Leitlinien der Ellipse...........

18.    Die ebenen Schnitte des geraden Kreiskegels

19.    Ellipse als Kegelschnitt..........

20.    Die Hyperbel..............

21.    Leitlinien der Hyperbel..........

22.    Asymptoten der Hyperbel........

23.    Krümmungskreise in den Hyperbelscheiteln .

24.    Die Parabel...............

25.    Der Krümmungskreis im Scheitel der Parabel

26.    Tangenten der Parabel..........

27.    Senkrechte Projektion der Kegelschnitte . .

28.    Aufgaben über die senkrechte Projektion der Kegelschnitte 45

29.    Abwicklung des Zylinder- und Kegelmantels

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ERSTER ABSCHNITT

PUNKT, GERADE, EBENE, EBENFLÄCHIGE GEBILDE

1. Grundriß und Aufriß. Im I. Teil¹) wurde auf eine einzige Tafel senkrecht projiziert. Dabei war ein Punkt P des Raumes bestimmt, wenn sein Bildpunkt P' und seine Höhe über der Tafel an einem Maßstabe gegeben waren. Im 3. Abschnitt des I. Teiles haben wir neben der Grundrißtafel eine Seitenrißebene benutzt und gezeigt, daß der Seitenriß die Höhen der Punkte enthält. Man kann also den Höhenmaßstab durch die senkrechte Projektion auf eine zur Grundrißebene senkrechte Tafel ersetzen. Auf diese Weise gelangen wir zur senkrechten Projektion auf zwei Tafeln. Hierbei soll aber nicht wie früher der Seitenriß in jedem Falle besonders gewählt werden, sondern der zweiten Tafel wird von vornherein eine feste Stellung zugewiesen. Wir wählen die Spurgerade der Seitenrißebene parallel zum oberen Rand des Zeichenblattes, weil bei dieser Wahl Reißschiene und Zeichendreieck für die Konstruktionen am bequemsten benutzt werden können. Die so bestimmt gewählte Seitenrißebene heißt die Aufrißebene; ihre Spurgerade in der Grundrißtafel wird die Projektionsachse genannt. Nach den Ergebnissen von I, 25 gilt dann: Der Grundriß P' und der Aufriß P" eines Punktes P liegen auf einem Lote zur Projektionsachse und bestimmen den Punkt P eindeutig.

Da wir nur in einer Ebene zeichnen, so muß die Aufrißtafel stets in die Zeichenebene, die ja die Grundrißtafel darstellt, umgelegt werden. (Vgl. I, 25.) Um diese Drehung eindeutig festzulegen, beachten wir folgendes. Auf die

1) W. Kramer, Einführung in die Darstellende Geometrie. I.Teil. Senkrechte Projektion auf eine Tafel. Mathematisch-physikalische Bibliothek 66. Bei Rückverweisungen wird der I. Teil mit I, der vorliegende zweite mit II bezeichnet.

Math.-phys. Bibi. 67: Kramer, Darstellende Geometrie II

Grundrißtafel blicken wir in Richtung der Projektions-Strahlen von oben her, auf die Aufrißtafel von vorn. Die Grundrißebene hat also eine Oberseite, die Aufrißebene eine Vorderseite. Die Umlegung der Aufrißtafel in die Grundrißebene soll nun stets so vorgenommen werden, daß nach der Drehung die VOrderseite der p Aufrißtafel sichtbar ist. Dies ist in [ Fig. 1, die einen zu beiden Tafeln [ senkrechten Querschnitt darstellt, - kenntlich gemacht.

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Fig. 1.

Da beide Tafeln in derselben Zeichenebene liegen, so kann jeder Punkt der Zeichenebene sowohl der Grundriß als auch der Aufriß eines Punktes sein. Bisher hatten wir nur zu unterscheiden zwischen Punkten oberhalb und unterhalb der Grundrißtafel. Jetzt ist auch noch zu beachten, ob ein Punkt vor oder hinter der Aufrißtafel liegt. Über die Lage der Projektionen eines Punktes in bezug auf die Projektionsachse gilt nach den bisherigen Festsetzungen folgendes :

Liegt ein Punkt P vor der Aufrißtafel, so liegt sein Grundriß P' unterhalb der Projektionsachse. Die Entfernung des Grundrisses P' von der Projektionsachse ist gleich dem Abstand von P vor der Aufrißtafel.

Liegt ein Punkt Q hinter der Aufrißtafel, so liegt sein Grundriß Q' oberhalb der Projektionsachse. Die Entfernung des Grundrisses Q' von der Projektionsachse ist gleich dem Abstand von Q hinter der Aufrißtafel.

Punkte, die in der Aufrißtafel liegen, haben ihre Grundrisse auf der Projektionsachse.

Liegt ein Punkt P oberhalb der Grundrißtafel, so liegt sein Aufriß P" oberhalb der Projektionsachse.

Die Entfernung des Auf-rissesP" von derProj ektions-achse ist gleich der Höhe von P über der Grundrißtafel.

Liegt ein Punkt Q unterhalb der Grundrißtafel, so liegt sein Aufriß Q" unterhalb der Projektionsachse.

Die Entfernung des Aufrisses Q " von der Proj ektions-achse ist gleich der Tiefe von Q unter der Grundrißtafel.

Punkte, die in der Grundrißtafel liegen, haben ihre Aufrisse auf der Projektionsachse.

Punkte, die auf der Projektions- <p" achse liegen, fallen mit ihrem Grundriß und Aufriß zusammen.

InFig. 2 sind mehrere Punkte durch Grundriß und Aufriß gegeben. Man ^ entscheide, wie die einzelnen Punkte zu den beiden Tafeln liegen. Die Projektionsachse ist die Gerade a.

In allen Figuren wird die Projektionsachse parallel zur Zeilenrichtung gezogen und nicht mehr besonders bezeichnet werden.    i

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Fig. 2.

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2. Gerade im Grund- und Aufriß.

Wählen wir beliebig eine Gerade g' und eine Gerade g", so sind g' und S, g" stets Grundriß und Aufriß einer '

Geraden g. (Fig. 3.) Die Gerade g ist der Schnitt der zur Grundrißtafel lotrechten Ebene durch g' mit der zur Aufrißtafel senkrechten Ebene durch g". Diese beiden Ebenen heißen die projizierenden Ebenen der Geraden g. (Vgl. I, 3.)

Fig. 3.

Wird auf g' der Grundriß P' eines Punktes P von g gewählt, so liegt der Aufriß P" senkrecht über P' auf

g".

Nach II, 1 ist der Schnittpunkt S" von g" mit der Projektionsachse der Aufriß des Punktes S von g, der in der Grundrißtafel liegt. S liegt senkrecht unter S" auf g' und heißt der Grundriß spur punkt der Geraden g.

Ist eine Gerade g zur Grundrißtafel parallel, so ist ihr Aufriß g" zur Projektionsachse parallel.

Wird auf g" der Aufriß P" eines Punktes P von g gewählt, so liegt der Grundriß P' senkrecht unter P" auf g\

Nach II, 1 ist der Schnittpunkt T' von g' mit der Projektionsachse der Grundriß des Punktes T von g, der in der Aufrißtafel liegt. T liegt senkrecht über T' auf g" und heißt der Aufrißspurpunkt der Geraden g.

Ist eine Gerade g zur Aufrißtafel parallel, so ist ihr Grundriß g' zur Projektionsachse parallel.

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Ist eine Gerade g Lot zur Grundrißtafel, so ist ihr Grundriß ein Punkt; ihr Aufriß g" ist senkrecht zur Projektionsachse.

Ist eine Gerade g Lot zur Aufrißtafel, so ist ihr Aufriß ein Punkt; ihr Grundriß g' ist senkrecht zur Projektionsachse.

Ist eine Gerade zu beiden Tafeln also zur Projektionsachse parallel, so sind auch ihre beiden Projektionen zur Projektionsachse parallel.

Parallele Geraden haben parallele Grundrißprojektionen und parallele Aufrißprojektionen. (Vgl. I, 3.)

Aufg. 1: Der Grundrißspurpunkt S und der Aufrißspurpunkt T einer Geraden g sind gegeben. Die Projektionen g' und g" sollen gezeichnet werden.

Aufg. 2: Eine Gerade g und ein Punkt P außerhalb von g sind durch die Projektionen g', g" und P', P" gegeben. Man lege durch P die Parallele zu g und bestimme ihre Spurpunkte.

Zwei Geraden im Raume können zwei verschiedene Lagen zueinander einnehmen. Sie liegen entweder in einer Ebene, dann schneiden sie sich oder sind parallel, oder sie liegen nicht in einer Ebene, dann haben sie keinen Schnittpunkt gemeinsam. Solche Geraden heißen zueinander windschiefe oder sich kreuzende Geraden. Da zwei zueinander parallele Geraden stets eine Ebene bestimmen, bleibt nur noch zu untersuchen, wann zwei Geraden gx und g₂, die nicht parallel sind, sich schneiden. Wenn gx und g₂ sich in einem Punkte P schneiden, so müssen gx und g₂ durch P' und gx" und g₂" durch P" gehen. Zwei Geraden gx und g2 schneiden sich, d. h. sie liegen in einer Ebene, wenn der Schnittpunkt von gx, g₂ und der Schnittpunkt von gx", g₂" auf einem Lote zur Projektionsachse liegen. (Fig. 4.)

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Fig. 5.

Fig. 4.

Hiernach ist ersichtlich, daß im Falle der Fig. 5 die Geraden gx und g₂sich nicht schneiden. Die Schnittstellen P' und Q" der Projektionen, zu denen kein Schnittpunkt der Geraden gx und g₂ gehört, heißen Deckstellen.

Die Deckstelle Q" ist die Projektion der Punkte und Q₂ auf &i und g₂- Auf dem Projektionsstrahl durch Q" liegt — wie aus dem Grundriß zu entnehmen — Q₂ weiter vorn als Qv Da wir von vorn her auf die Aufrißtafel blicken, so ist an dieser Stelle die Gerade g2 sichtbar; sie verdeckt die weiter hinten liegende Gerade gv Dies ist durch Unterbrechen der Geraden g^ kenntlich gemacht.

Die Deckstelle P' ist die Projektion der Punkte P1 und P₂ au^ §1 und §2‘ -^uf dem Projektionsstrahl durch P' liegt — wie aus dem Aufriß zu entnehmen — Px höher als P₂. Da wir von ober her auf die Grundrißtafeln blicken, so ist an dieser Stelle die Gerade g! sichtbar; sie verdeckt die tiefer liegende Gerade g₂. Dies ist durch Unterbrechen der Geraden g₂ kenntlich gemacht.

Die Sichtbarkeit in beiden Projektionen wird also mit Hilfe der Deckstellen festgestellt. (Vgl. I, 4.)

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Nun kann der Fall eintreten, daß die Schnittpunkte der Projektionen von g1 und g₂ im Grundriß und Aufriß nicht erreichbar sind (Fig.6,Fig.7).

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In solchem Falle wählt man beliebig auf g1 zwei Punkte A, B und auf g₂ zwei Punkte C,

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Fig. 7.

Fig. 6.

D und stellt fest, ob die Geraden A C und BD sich schneiden.

Ist dies der Fall, so liegen die vier Punkte A, B, C, D — also auch die Geraden g₁ und g₂ — in einer Ebene ; g₁ und g2 schneiden sich. (Fig. 6.) Haben dagegen AC und BD keinen Schnittpunkt, so liegen die Punkte vl, B, C, D nicht in einer Ebene; die Geraden gv g₂ schneiden sich nicht. (Fig. 7.)

Aufg. 3: Drei Geraden, von denen je zwei sich schneiden, sollen gezeichnet werden.

3. Wahre Länge von Strecken. Ist eine Strecke zu einer Tafel parallel, so ist ihre Projektion in dieser Tafel ebenso lang wie die Strecke selbst. (Vgl. I, 3.)

2. Lös. (Fig. 8b):

Das Trapez P P'Q'Q wird um PP' so weit gedreht, bis seine Ebene zur Aufrißtafel parallel liegt. Hierbei geht es in das Trapez PP'(Q)'(Q) über. Im Grundriß geht P'Q' über in die zur Projektionsachse parallele Strecke P'(Q)', die ebenso lang ist wie P'Q'. Bei der Drehung ändern sich die Höhen der Punkte über der Grundrißtafel nicht. Q" bewegt sich auf der Parallelen zur Projektionsachse bis (Q)". (Q)" liegt senkrecht über (Q)'. P"(Q)" ist gleich PQ.

Aufg. 4: Die wahre Länge einerStrecke PQ soll ermittelt werden.

1. Lös. (Fig. 8a): Wir betrachten wie in I, 3 das Trapez PP'Q'Q bzw. PP"Q"Q. In diesem Trapez wird durch den einen Endpunkt P bzw. Q die Parallele zu P'Q' bzw. P"Q" gezogen, die das rechtwinklige Dreieck PRQ bzw. PSQ abschneidet. Dieses rechtwinklige Dreieck wird um PR bzw. QS parallel zur Grundriß- bzw. Aufrißtafel gedreht. Die Kathete QR wird aus dem Aufriß als Strecke Q" R", die Kathete PS aus dem Grundriß als Strecke P' S' entnommen. In Fig. 8a sind P'{Q)' und Q"(P)" gleich der wahren Länge der Strecke PQ.

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Fig. 8 a.

Fig. 8 b.

Das Trapez PP"Q"Q wird um PP" so weit gedreht, bis seine Ebene zur Grundrißtafel parallel liegt. Hierbei geht es in das Trapez PP"[Q]"[Q] über. Im Aufriß geht P” Q" über in die zur Projektionsachse parallele Strecke P"[Q]", die ebenso lang ist wie P"Q". Bei der Drehung ändern sich die Abstände der Punkte von der Aufrißtafel nicht. Q' bewegt sich auf der Parallelen zur Projektionsachse bis [Q]'. [Q]' liegt senkrecht unter [Q]". P'[Q]’ ist gleich PQ.

Aufg. 5: Auf einer Geraden g soll von einem Punkte P aus in bestimmter Richtung die Strecke a abgetragen werden. (Fig. 8 b.)

Lös.: Auf g wird ein beliebiger Punkt Q gewählt und die Strecke PQ wie in Aufg. 4 parallel zur Aufriß- bzw. Grundrißtafel gedreht. Auf P"(Q)" bzw. P'rQ]' wird von P" bzw. P' aus bis (A)" bzw.

Ebene im Grund- und Aufriß

[A]' die Strecke a abgetragen. Dann wird P(Q) bzw. P[Q] in die ursprüngliche Lage zurückgedreht.

Aufg. 6: Die Neigungswinkel einer Geraden gegen die Tafeln sollen bestimmt werden.

Lös.: Die Definition des Neigungswinkels einer Geraden wird aus 1,3 entnommen. Bemerkt sei, daß in Fig. 8 b die Winkel (Q)" P"[Q]" und [Q]' P'(Q)r die Neigungswinkel der Geraden PQ gegen die Grundriß- bzw. Aufrißtafel sind.

Aufg. 7 : Durch einen Punkt P soll eine Gerade gezeichnet werden, die mit beiden Tafeln vorgeschriebene Neigungswinkel bildet.

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4. Ebene im Grund- und Aufriß. Wie in I, 5 werde auch hier zunächst die Ebene durch drei nicht in einer Geraden gelegenen Punkte A, B, C, -A also durch ein \

Dreieck gegeben.

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Durch diese Angabe ist die Ebene vollständig bestimmt. Soll noch__

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Fig. 10.

Fig. 9.

ein weiterer Punkt D der Ebene gezeichnet werden, so darf D nicht mehr beliebig ge- Ä wählt werden. In Fig. 9 sind die vier Punkte A, B, C,D ganz willkürlich gewählt. Verbindet man je zwei der Punkte, so zeigt die Untersuchung des Schnittpunktes von A"D" mit B"C", daß hier eine Deckstelle vorliegt; die beiden Geraden schneiden sich nicht. Die vier Punkte liegen also nicht in einer Ebene; sie bilden die Ecken eines allgemeinen Vierflaches. Die Sichtbarkeit in Fig. 9 folgt ebenfalls aus der Untersuchung der Deckstellen. (Vgl. II, 2.)

Aufg. 8: Eine Ebene ist durch das Dreieck ABC gegeben. Ein weiterer Punkt D der Ebene soll gezeichnet werden. (Fig. 10.)

Lös.: Man wählt den Grundriß D' beliebig. Die Gerade AD liegt in der Dreiecksebene ; sie schneidet also die Seite B C in einem Punkte Q, dessen Grundriß Q' der Schnittpunkt von A' D' mit JB'C' ist. Der Aufriß Q" liegt senkrecht über Q' auf B" C". Dann ist A,rQ" die Aufrißprojektion von AQ. Auf A"Q" liegt senkrecht über D’ der Aufriß D".

Punkt, Gerade, Ebene, ebenflächige Gebilde Man wähle D" und bestimme D'.

Aufg. 9: Ein beliebiges ebenes Viereck soll im Grundriß und Aufriß dargestellt werden.

Lös. : Drei Punkte dürfen durch ihre Projektionen gegeben werden. Von dem vierten Punkt wird entweder der Grundriß oder der Aufriß beliebig gewählt, der Aufriß bzw. der Grundriß wird dann nach Aufg. 8 ermittelt.

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Fig. 11.

Fig. 12.

Fig. 13.

Fig. 14.

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Fig. 15.

Statt durch ein Dreieck werden wir gelegentlich eine Ebene auch wie in Fig. 11 durch zwei sich schneidende Geraden a, b, d. h. durch ein Winkelfeld oder durch zwei parallele Geraden, also als Streifen wie in Fig. 12 geben. Eine Ebene hat zwei Seiten. Da wir die Ebene aus zwei Richtungen, nämlich senkrecht zur Grundrißtafel und senkrecht zur Aufrißtafel, betrachten, so können wir je nach der Lage der Ebene zu den Tafeln in beiden Projektionen dieselbe Seite öder verschiedene Seiten der Ebene sehen. Um zu entscheiden, 1 T welcher der beiden Fälle in einer Figur vorliegt, betrachten wir drei Punktet, B, C also ein Teildreieck der Ebene. Der Umlaufssinn A —>B—>C dieses Dreiecks ’’ Z' ist auf den beiden Seiten der Ebene verschieden. Haben also Grundriß und Aufriß eines Dreiecks denselben Umlaufssinn —

Höhen- und Abstandslinien der Ebene

wie in Fig.13—, so sieht man in beiden Projektionen dieselbe Seite der Ebene. Ist der Umlaufssinn der Grundrißprojektion entgegengesetzt dem Umlaufsinn der Aufrißprojektion eines Dreiecks, so sieht man in beiden Tafeln verschiedene Seiten der Ebene. Dieser Fall liegt in Fig. 14 vor. Dieses Merkmal ist auch dann zu verwenden, wenn die Ebene nicht als Dreieck gegeben wird. Man wird stets drei Punkte der Ebene angeben können, deren Umlaufssinn in beiden Projektionen dann zu untersuchen ist.

5. Höhen- und Abstandslinien der Ebene. (Vg. I, 6.)

Die zur Grundrißtafel parallelen Ebenen, die Höhenebenen, schneiden jede andere Ebene in einer Schar paralleler Geraden, den Höhenlinien der Ebene. Der Aufriß einer Höhenlinie ist zur Projektionsachse parallel.

Die zur Aufrißtafel parallelen Ebenen, die Abstandsebenen, schneiden jede andere Ebene in einer Schar paralleler Geraden, den Abstandslinien der Ebene. Der Grundriß einer Abstandslinie ist zur Projektionsachse parallel.

Aufg. 10: Eine Ebene ist durch das Dreieck ABC gegeben. In dieser Ebene sollen eine Höhenlinie h und eine Abstandslinie k gezeichnet werden. (Fig. 15.)

Lös. : Der Grundriß k' der Abstandslinie k ist zur Projektionsachse parallel zu zeichnen. Die Schnittpunkte X, Y, Z der Abstandslinie k mit den Dreiecksseiten haben die Grundrisse X', Y',Z'. Ihre Aufrisse X", Y", Z" liegen auf B" A", C" B", A" C" und senkrecht über den zugehörigen Grundrissen. Der Aufriß k" von k ist die Gerade durch X", Y", Z".

Lös.: Der Aufriß h" der Höhenlinie h ist zur Projektionsachse parallel zu zeichnen. Die Schnittpunkte U, V, W der Höhenlinie h mit den Dreiecksseiten haben die Aufrisse 17", V", W".

Ihre Grundrisse U',Vr, W liegen auf A'C', B'A', C' B’ und senkrecht unter den zugehörigen Aufrissen. Der Grundriß h' von h ist die Gerade durch U¹, V', W'.

Bei vielen Aufgaben kommt es nur darauf an, die Richtung der Höhen- und Abstandslinien zu kennen. In diesem Falle ist es am bequemsten, wenn man die Höhenlinie h durch die Ecke mittlerer Höhe (vgl. I, 6) und die Abstandslinie k durch die Ecke mittleren Abstandes zeichnet.

Die Abstandslinie vom AbstandNull ist die Schnittgerade t der Ebene mit der Aufrißtafel. Die Gerade t heißt die Aufrißspur der Ebene. Ihre Grundrißprojektion t' ist die Projek-i tionsachse.

Die Höhenlinie von Höhe Null ist die Schnittgerade s der Ebene mit der Grundrißtafel. Die Gerade s heißt die Grundrißspur der Ebene. Ihre Aufrißprojektion s" ist die Projektionsachse.

Die beiden Spurgeraden s und t einer Ebene schneiden sich auf der Projektionsachse.

Aufg. 11 : Die Spuren s und t einer Ebene, die durch das Dreieck ABC gegeben ist, sollen gezeichnet werden.

Lös.: Wie zu Aufg.10, worin nur statt ft" und ft' die Projektionsachse als s" und t' zu wählen ist.

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Eine Ebene kann jetzt auch gegeben werden durch das Winkelfeld zwischen einer Höhenlinie h

und einer Abstandslinie k (Fig. 16) oder durch die Spuren s und t wobei zu beachten ist, daß die beiden Spurgeraden sich auf der Projektionsachse schneiden müssen. (Fig. 17.)

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Fig. 16.

Fig. 17.

Aufg. 12 : Eine Ebene ist durch ihre Spurgeraden s und t gegeben. In der Ebene sollen Höhen- und Abstandslinien in gleichen Abständen gezogen werden.

Aufg. 13 : Eine Ebene ist durch eine Höhenlinie und eine Abstandslinie gegeben. In der Ebene sollen Höhen- und Abstandslinien in gleichen Abständen gezeichnet werden.

Bisher haben wir die Lösungen der Aufgaben stets für beide Projektionen durchgeführt. Dabei hat sich gezeigt, daß die eine Lösung aus der anderen im wesentlichen dadurch hervorgeht, daß man Grundriß mit Aufriß, Höhe mit Abstand, Höhenlinie mit Abstandslinie vertauscht. Beide Projektionen sind vollständig gleichwertig. Jede für sich stellt eine senkrechte Projektion auf eine Tafel dar. Die andere ersetzt dabei den Höhenmaßstab. Wir werden uns deshalb bei den folgenden Ausführungen im allgemeinen darauf beschränken, die Lösungen von Aufgaben unter Bevorzugung der Grundrißprojektion zu besprechen und die gefundenen Ergebnisse einfach in den Aufriß durch Hinaufloten zu über-

Schnitte von Geraden mit Ebenen

11

tragen. Natürlich wird jedesmal eine entsprechende Lösung im Aufriß möglich sein.

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Fig. 18.

6. Schnitte von Geraden mit Ebenen. Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu bestimmen, wird man stets durch die Gerade eine Hilfsebene legen und zunächst die Schnittgerade der Hilfsebene mit der gegebenen Ebene ermitteln. Diese Schnittgerade trifft die gegebene Gerade in dem gesuchten Schnittpunkte. (Vgl. I, 5.) Bei den folgenden Aufgaben wird dieses Verfahren benutzt werden. Jedoch ist bei jeder einzelnen Aufgabe zu überlegen, wie die Hilfsebene durch die Gerade zu wählen ist, damit die Lösung möglichst einfach wird.

22E

Aufg. 14: Der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene soll bestimmt werden. (Fig. 18.)

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Fig. 19.

Lös.: Die Ebene ist als das Winkelfeld (a, b) gegeben. Die Gerade sei g. Als Hilfsebene wird die zur Grundrißtafel lotrechte Ebene durch g benutzt . Sie schneidet die Ebene (a, b) in einer Geraden e, deren Grundriß e' mit g' zusammenfällt, e schneidet die Geraden a und b in den Punkten A, B, deren Grundrisse die Schnittpunkte von e' mit a! und b' sind. Die Aufrisse A" und B" liegen senkrecht über A' und B' auf a" und b". Die Gerade A" B" ist der Aufriß e" der Geraden e. Dann ist der Schnittpunkt von e" und g" der Aufriß D" des gesuchten Schnittpunktes D der Geraden g mit der Ebene (a, b). Der Grundriß D' liegt senkrecht unter D" auf g'. Die Sichtbarkeit wird mit Hilfe der Deckstellen im Grundriß und Aufriß ermittelt.

Aufg. 15: Eine Pyramide soll mit einer Geraden geschnitten werden. (Fig. 19.)

L ös. : Die Pyramide steht auf der Grundrißtafel. Ihre Grundfläche ist das Dreieck 12 3, ihre Spitze der Punkt P. Als Hilfsebene wird die Ebene durch die Gerade g und die Spitze P benutzt. Diese Hilfsebene schneidet die Grundfläche der Pyramide in der

Geraden s, der Grundrißspur der Hilfsebene. Die Spur s wird bestimmt durch den Spurpunkt S von g und den Spurpunkt Q der Geraden PG, die durch P und einen beliebigen Punkt G von g geht. Die Hilfsebene schneidet die Seitenflächen 1 P 2 und 2 P 3 in den Geraden AP und BP, die g in den Punkten schneiden, in denen die Pyramidenebenen von g getroffen werden.

Ist S nicht erreichbar, so kann außer dem Punkt G noch die Richtung der Spur s mit Hilfe der Höhenlinie h der Hilfsebene durch P, die zu s parallel ist, ermittelt werden. Dies ist in Fig. 19 eingezeichnet.

Auf g. 16: Ein Prisma soll mit einer Geraden g geschnitten werden. Lös.: Als Hilfsebene wird die Ebene durch g benutzt, die zu den Seitenkanten des Prismas parallel ist.

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7. Schnitte von Ebenen mit Ebenen. Die Aufgabe, die Schnittgerade zweier Ebenen zu zeichnen, kann auf die Bestimmung des Schnittpunktes von Gerade und Ebene zurückgeführt werden. Dabei wählt man zwei Geraden in der einen Ebene und zeichnet ihreDurchstoß-punkte mit der zweiten Ebene. DieV erbindungsgerade der Durchstoßpunkte ist die Schnittgerade der beiden Ebenen.

Fig. 20.

Fig.,21.

Aufg. 17: Die Schnittgerade des Winkelfeldes (a, b) mit dem Ebenenstrei-

fen (c, d) soll gezeichnet werden. (Fig. 20, 21.)

Lös.: Um unerreichbare Punkte zu vermeiden, untersuchen wir zunächst die Sichtbarkeit der vier Geraden in den Deckstellen. Das

Ergebnis zeigt Fig. 20. Die Gerade c liegt also an der Deckstelle c', b' höher als b, an der Deckstelle (c', a') tiefer als a ; die Gerade c muß also die Ebene (a, b) zwischen diesen Deckstellen schneiden. Entsprechend folgert man, daß auch die Gerade d das Winkelfeld selbst durchstößt. Man zeichnet nun nach Aufg. 14 die Schnittpunkte C und D von c und d mit der Ebene (a, b). (Fig. 21.) Das Weitere wird wie in I, Aufg. 16 erledigt.

Eine zweite Lösung liefert das in I, 7 erläuterte allgemeine Verfahren zur Bestimmung der Schnittgeraden zweier Ebenen. In Fig. 22 sind die Ebenen wieder durch das Winkelfeld (a, b) und den Streifen (c, d) gegeben. Als Hilfsebenen sind in Fig. 22 zwei Abstandsebenen gewählt, deren Grundrisse und sa sind.

Schnitte von Ebenen mit Ebenen

13

Aufg. 18: Der ebene Schnitteiner Pyramide soll gezeichnet werden. (Fig. 23.)

Lös.: Die Pyramide stehe mit ihrer Grundebene 1 2 3 4 5 auf der Grundrißtafel; ihre Spitze sei P. Die Schnittebene ist durch die Spuren s und t gegeben. Man kann wie in der Lösung zu I,

Aufg. 17 auch hier verfahren, d. h. man bestimmt zunächst den Schnittpunkt einer Pyramiden- ,    ,    ₍

kante mit der Ebene (s, t) und j,___| -fcî

ermittelt dann unter Benutzung der Schnittpunkte der Grund-

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Fig. 23.

kanten der Pyramide mit der Grundrißspur s die Schnittfigur im Grundriß, die dann durch Hinaufloten in den Aufriß übertragen werden kann.

Eine zweite Lösung ergibt sich, wenn man nicht die Eckpunkte sondern die Seiten der Schnittfigur ermittelt. Dann sind die Seitenebenen der Pyramide mit der Ebene (s, t) zu schneiden. Wir benutzen das in der zweiten Lösung zur vorhergehenden Aufgabe entwickelte Verfahren. Als Hilfsebenen sind in Fig. 23 die Grundrißtafel und die Höhenebene durch die Pyramidenspitze P gewählt. Die Spur 1 2 der Ebene 1 P 2 trifft s in die Höhenlinie durch P der Ebene 1 P 2 trifft die gleich hohe Höhenlinie h der Schnittebene (s, t) in IIl 2. Dann ist die Gerade S₁₂H₁₂ die Schnittgerade der Ebene 1 P 2 mit der Ebene (s, t). Als Seite der Schnittfigur kommt die Strecke III von H₁₂S₁₂ zwischen P 1 und P 2 in Betracht. Entsprechend ermittelt man die übrigen Seiten der Schnittfigur.

Aufg. 19 : Man zeichne den Schnitt eines Prismas mit einer Ebene. Lös.: Als Hilfsebenen benutze man die zueinander parallelen Grundebenen des Prismas.

8. Lote auf Ebenen. In I, 8 ist nachgewiesen worden, daß die senkrechte Projektion eines rechten Winkels wieder ein rechter Winkel ist, wenn ein Schenkel zur Tafel parallel ist. Daher gilt als Erweiterung zu I, 10 über die Projektionen eines Lotes zu einer Ebene das folgende :

Die Aufrißprojektion l" eines Lotes l einer Ebene ist senkrecht zur Richtung der Aufrißprojektionen der Abstandslinien der Ebene.

Die Grundrißprojektion V eines Lotes l einer Ebene ist senkrecht zur Richtung der Grundrißprojektionen der Hö-henlinien der Ebene.

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Aufg. 20: Im Punkte P einer Ebene ist die Senkrechte l zur Ebene zu zeichnen. (Fig. 24.)

Lös.: Die Ebene ist durch das Dreieck ABC gegeben. In der Ebene ist nach II, Aufg. 8 ein Punkt P ermittelt worden. Durch die Ecke C ist die Höhenlinie h, durch die Ecke A die Abstandslinie k der Dreiecksebene gezogen. Dann ist V die Senkrechte durch P' zu h' und l" die Senkrechte durch P" k". Die Senkrechte l ist durch die beiden Projektionen V und l" bestimmt.

Aufg. 21: Von einem Punkte P außerhalb einer Ebene ABC soll auf die Ebene das Lot gefällt werden. (Fig. 25.)

Lös. : In der Ebene wird eine Höhenlinie h und eine Abstandslinie k gezeichnet. Die

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Bestimmung der wahren Gestalt ebener Figuren

15

Grundrißprojektion V des Lotes l ist das Lot von P' auf h', die Aufrißprojektion l" das Lot von P" auf k". In der Fig. 25 ist noch der Fußpunkt L des Lotes in der Ebene ABC bestimmt (vgl. I, Aufg. 22) und die Sichtbarkeit festgestellt worden.

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Aufg. 22: Durch einen Punkt P ist die Ebene zu legen, die zu einer Geraden g senkrecht ist. (Fig. 26.)

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Lös.: Die Grundrisse der Höhenlinien der zu g lotrechten Ebene sind zum Grundriß g’ von g senkrecht. Die Aufrisse der Abstandslinien der gesuchten Ebene sind zu g" senkrecht. Wir zeichnen durch P die Höhenlinie h und die Abstandslinie k der zu g lotrechten Ebene, h' ist das Lot von P' auf g', h" die Parallele durch P" zur Projek-tionsachse. k" geht durch P" und ist zu g" ^ senkrecht, k' geht durch P' und ist zur Projektionsachse parallel. Damit ist die zu g senkrechte Ebene durch P durch das Winkelfeld (h, k) bestimmt. In Fig. 26 ist noch .; der Schnittpunkt D von g mit der Ebene -«■

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Fig. 25.

(h, k) ermittelt worden. Die Gerade PD ist das Lot von P auf g, die Strecke PD der kürzeste Abstand des Punktes P von der Geraden g. Die wahre Länge der Strecke PD kann nach II, Aufg. 4 gezeichnet werden.

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9. Bestimmung der wahren Gestalt ebener Figuren. (Vgl. I, 11.)

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Aufg. 23: Eine Ebene ist durch die Höhenlinie h und die Abstandslinie k gegeben. Die wahre Größe des Winkels zwischen h und k soll ermitteltwerden. (Fig. 27.)

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Fig. 27.

Fig. 26.

Lös.: Die Ebene (h, k) wird um die Höhenlinie h so weit gedreht, bis sie zur Grundrißtafel parallel liegt. Die Drehung wird für einen Punkt K auf k durchgeführt. Der Drehradius für K ist das Lot KM von K auf h; der Grundriß K' M' ist das Lot von K' auf h'. Bei der Drehung um h bewegt sich K auf dem Kreis um M mit dem Radius MK, dessen Ebene zu h und also zur Grundrißtafel lotrecht ist. K' bewegt sich bei der Drehung also auf dem Lote M' K'. Liegt die Ebene (h, k) zur Grundrißtafel parallel, so sei K in (K) übergegangen. Dann muß M'(K)'

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Punkt Gerade, Ebene, ebenflächige Gebilde gleich MK sein. Nach II, Aufg. 4, Lös. 1 ist die Länge der Strecke MK als M'[K]' ermittelt worden.    wird von M' aus auf

M' K' bis (K)' abgetragen. Der Schnittpunkt P von h und k behält bei der Drehung um h dieselbe Lage. Der Winkel zwischen h und k ist also gleich dem Winkel M' P'(K)', d. i. der Winkel zwischen h' und (k)'.

Aufg. 24: Eine Ebene ist durch die Spuren s und t gegeben. Der Winkel zwischen s und t soll ermittelt werden.

Aufg. 25: Die wahre Gestalt des Winkelfeldes (a, b) soll gezeichnet werden. (Fig. 28.)

Lös.: Zur Lösung vgl. I, Aufg. 25. Die Drehung parallel zur Grundrißtafel erfolgt um die Höhenlinie h. Für den Schnittpunkt C von a und b wird die Drehung um h nach II, Aufg. 23 durchgeführt.

Aufg. 26: Die wahre Gestalt eines Dreieckes A B C, dessen Projektionen gegeben sind, soll ermittelt werden. (Vgl. I, Aufg. 26.)

Aufg. 27: Das Netz der in Fig. 29 gegebenen Pyramide soll gezeichnet werden.

Lös.: Nach II, Aufg. 4 werden die Längen der Seitenkanten Pl, P2, P3, P4 der Pyramide als die Strecken P'[l]', P'[2]', P'[3]\ P' [4]' und nach II, Aufg. 24 bis 26 wird durch Drehung um eine

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Fig. 28.

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Projektion ebener Figuren von gegebener Gestalt

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Höhenlinie die wahre Gestalt der Grundfläche ermittelt. In der Nebenfigur wird zunächst der in die Ebene ausgebreitete Mantel der Pyramide gezeichnet, der sich aus 4 Dreiecken, deren Seiten bekannt sind, zusammensetzt. An eine der Grundkanten — in Fig. 29 an 21 — wird die Grundfläche in wahrer Gestalt, wie sie als Parallelogramm (1)' (2)' (3)' (4)' ermittelt worden ist, angetragen.

Aufg. 28: Das Netz eines allgemeinen Prismas soll gezeichnet werden. (Fig. 30.)

Lös.: Das Prisma steht auf der Grundrißtafel; seine Seitenkanten sind zur Aufrißtafel parallel. Das allgemeine Prisma wird durch einen zu den Seitenkanten senkrechten Schnitt (s, t) in zwei gerade Prismen zerlegt. Die Grundrißspur s der Schnittebene ist senkrecht zur Pro-

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Fig. 30.

jektionsachse, die Aufrißspur t senkrecht zu den Aufrissen I I", 2" II", 3" III" der Seitenkanten zu ziehen. Die Schnittfigur erscheint im Aufriß als Strecke auf t; ihr Grundriß ist das Dreieck A' B' Cr. Wir ermitteln die wahre Gestalt des Schnittdreieckes ABC, indem wir es um die Höhenlinie h durch die Ecke B parallel zur Grundrißtafel drehen. Das Dreieck ABC gehe dabei über in das Dreieck (A)B(C). Der Mantel des allgemeinen Prismas setzt sich zusammen aus den Mänteln der beiden geraden Prismen mit der gemeinsamen Grundfläche ABC. Nach der Abwicklung liegen die Seiten AB, BC, CA auf einer Geraden q. Die Seitenkanten sind senkrecht zu q; ihre Längen Al, B2, C3, ^41, Bil, CIII werden direkt aus dem Aufriß entnommen.

10. Projektion ebener Figuren von gegebener Gestalt.

Aufg. 29: In der Ebene (h, k) soll ein gegebenes Vieleck gezeichnet werden. (Fig. 31.)

Lös.: Eine ebene Figur erscheint in der Projektion in wahrer Gestalt, wenn seine Ebene zur Projektionstafel parallel liegt. Wir dre-Math.-phys. Bibi. 67: Kramer, Darstellende GeometrieII

hen die gegebene Ebene um ft so weit, bis sie zur Grundrißtafel parallel liegt. (Vgl. II, Aufg. 23.) Bei dieser Drehung geht der Punkt K auf ft in (K) und die Abstandslinie & in (k) über. Das Winkelfeld (h, k) hat nach der Drehung die Grundrißprojektion (ft', (ft)'). In der gedrehten Ebene wird das Vieleck—in Fig. 36 ein Quadrat 1234 mit der Seite a— eingezeichnet. Der Grundriß (1)' (2)' (3)' (4)' ist zum gegebenen Quadrat kongruent. Nun wird die Ebene (h, (ft)) in die Lage (ft, k) zurück-gedreht. Die Grundrisse der Eckpunkte des Quadrates bewegen sich dabei auf Loten zu ft'. Die Seite (1)'(2)' trifft ft' in H\₂ und (ft)' in

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(K₁₂)'. (Kl2Y geht über in K₁₂ auf ft', wobei K₁₂ (K₁₂)' zu ft' senkrecht ist. H₁₂ ändert seine Lage nicht. Der Grundriß l'2' liegt also auf H₁₂'K₁₂. Dabei sind wieder l'(l)' und 2'(2)' Lote zu ft'. Alles weitere ist leicht aus der Figur zu ersehen. Bei der Herstellung des Aufrisses l"2"3"4" wird mit Nutzen ver-

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Fig. 31.

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wertet, daß Strecken auf k sowohl auf k" als auch auf (k)' in wahrer Länge erscheinen, so ist z. B. P"KXi" gleich P’ (KVi)'. Man beachte auch, daß zuweilen Diagonalen des Vieleckes bequemer übertragen werden können als Seiten.

Aufg. 30: Man zeichne den in Fig. 32 durch seine Projektionen gegebenen Körper in beliebiger Lage zu den Tafeln. (Fig. 33.)

Anleitung zur Lösung: Nach II, Aufg. 29 überträgt man den in Fig. 32 gegebenen Grundriß in die Ebene (h, k). Die zur Ebene (ft, ft) senkrechten Kanten haben Grundrisse senkrecht zu h' und Aufrisse senkrecht zu k". Auf den Kanten werden nach II, Aufg. 5 die aus dem Aufriß in Fig. 32 zu entnehmenden Höhen abgetragen.

ZWEITER ABSCHNITT

KREIS, KEGEL, ZYLINDER, KUGEL

11. Kreis im Grundriß und Aufriß. Die in 1,13 hergeleiteten Eigenschaften der senkrechten Projektion eines Kreises gelten auch für die Grundriß- und die Aufrißprojektion.

Die Aufrißproj ektion eines Kreises ist im allgemeinen eine Ellipse, deren Hauptachse der Aufriß des zur Aufrißtafel parallelen Kreisdurchmessers ist. Die Hauptachse der Aufrißellipse ist ebenso lang wie der Kreisdurchmesser.

Die Grundrißprojektion eines Kreises ist im allgemeinen eine Ellipse, deren Hauptachse der Grundriß des zur Grundrißtafel parallelen Kreisdurchmessers ist. Die Hauptachse der Grundrißellipse ist ebenso lang wie der Kreisdurchmesser.

Aufg. 31: Ein Kreis ist durch seine Achse g, den Mittelpunkt M und den Radius r gegeben. Grundriß und Aufriß des Kreises sollen gezeichnet werden. (Fig. 34.) (Vgl. I, Aufg. 37.)

Durch M" wird die Senkrechte zu g" gezogen und auf ihr von M" aus bis Cx" und C" der Radius r abgetragen. Der Grundriß C/C₂⁷ liegt auf der zur Projektionsachse parallelen Geraden durch M'. C/'Cjj” ist Hauptachse der Aufrißellipse.

Lös.: Durch M' wird die Senkrechte zu g' gezogen und auf ihr von M' aus bis und A2 der Radius r abgetragen. Der Aufriß A"A₂' liegt auf der zur Projektionsachse parallelen Geraden durch M". At' A₂ ist Hauptachse der Grundrißellipse.

Jede der beiden Ellipsen ist also durch die Hauptachse Ax' A2 bzw. C"Ct" und zwei Punkte C/, C₂ bzw. A", A₂” bestimmt und kann nach I, Aufg. 31 gezeichnet werden.

Wird auf der Grundrißellipse ein Punkt P', der Grundriß eines Punktes P des Kreises, gewählt, so liegt sein Aufriß auf der Aufriß-

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ellipse und auf dem Lote durch P' zur Pro -jektionsachse. Das Lot trifft die Aufrißellipse in zwei Punkten.Beachtet man, daß P' zwischen Ax und Cx liegt, so ergibt sich, daß P" zwischen A " und C" liegen muß.

Der Umlaufsinn Ax

dem Kreise ist im Aufriß und Grundriß der gleiche. Nach II, 4 sieht man im Grundriß und Aufriß dieselbe Seite des Kreises. In Fig. 34 ist die Kreisscheibe undurchsichtig angenommen; die Sichtbarkeit der Kreisachse ist mit Hilfe der Deckstellen der Projektionen von Achse und Kreis festgestellt worden.

Aufg. 32: Die Grundrißprojektion eines Kreises ist gegeben. Die Aufrißprojektion soll gezeichnet werden. Bemerkt sei, daß es zwei Kreise mit dem gleichen Mittelpunkt und dem gleichen Radius gibt, die dieselbe Grundrißprojektion haben.

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Aufg. 33: Man zeichne die Projektionen eines Kreises, der besondere Lage zu den Tafeln hat.

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Die Kreisebene sei a) zu beiden Tafeln, b) nur zur Grundrißtafel, c) nur zur Aufrißtafel senkrecht. In den Fällen b) und c) kann im besonderen die Kreisebene zur anderen Tafel parallel liegen.

Aufg. 34: Die Projektionen eines Kreises sind zu zeichnen, dessen Ebene zur Projektionsachse parallel ist. (Fig. 35.)

Lös.: In dieser Lage fallen die Höhenlinien und die Abstandslinien der Kreisebene zusammen. Ist der Mittelpunkt M durch M' und M gewählt, so ist für beide Ellipsen die Hauptachse zur Projektionsachse parallel zu zeichnen. Die beiden Hauptachsen sind die Projektionen desselben Kreisdurchmessers A₁A₂. Die Nebenachsen sind mit Hilfe des zu AXA₂ lotrechten Seitenrisses zu ermitteln.

Aufg. 35 : Ein zylinderförmiger Ring mit den Radien rx, r₂ und der Höhe h soll in allgemeiner Lage zu den Tafeln gezeichnet werden. (Fig. 36.)

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Lös. (vgl. I, Aufg. 39): Auf der beliebig gezeichneten Achse g wird ein Punkt Mx als Mittelpunkt des einen Paares der Grundkreise gewählt. Nach II,

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Aufg. 5 wird der andere Mittelpunkt M₂ bestimmt. MXM₂ ist gleich h. Die Bilder der Kreise werden nach II,

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Fig. 37.

Aufg. 31 gezeichnet. Die eingezeichneten Mantellinien haben gleiche Abstände voneinander. (Vgl. I, Aufg. 38.) Die Kreisteilung, die zur Zeichnung der Mantellinien vorgenommen wird, muß im Grund- und Aufriß von demselben Kreispunkt aus begonnen werden. In

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Fig. 38.

Fig. 36 ist es der Punkt Ax. Die Sichtbarkeit wird mit Hilfe der Deckstellen von g' und g" mit den zugehörigen Ellipsen festgestellt.

Aufg. 36: Ein gerader Kreiskegel soll in allgemeiner Lage zu den Tafeln gezeichnet werden.

Aufg. 37: Ein gerader Kreiszylinder liegt auf der Grundrißtafel; seine Achse ist zur Aufrißtafel geneigt. Die Projektionen sollen gezeichnet werden.

Aufg. 38 : Ein gerader Kreiskegel mit der Höhe h und dem Grundkreisradius r liegt auf der Grundrißtafel. Seine Projektionen sind zu zeichnen. (Fig. 37.) (Vgl. I, Aufg. 69.)

Lös.: In der Grundrißtafel liege die Mantellinie KBt des Kegels. Ihre Lage wird willkürlich gewählt. Ihre Länge ist gleich der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten h und r. K" B'\ liegt auf der Projektionsachse. Der zur Grundrißtafel lotrechte Achsenschnitt B₁KB₂ des Kegels wird um K in die Grundrißtafel hingedreht. Seine Umlegung ist das gleichschenklige Dreieck B₁K(B₂), dessen Höhe K(M) gleich h und dessen Grundseite B₁(B₂) gleich 2r ist. Der Fußpunkt des Lotes von (M) auf K Bx ist der Grundriß M' des Mittelpunktes des Grundkreises des Kegels. Der Aufriß M" liegt senkrecht über M' und ist von der Projektionsachse um die Strecke (M)M' entfernt. Die Kegelachse hat also die Projektionen KM' und K"M". Die weitere Konstruktion ergibt sich aus II, Aufg. 31.

Aufg. 39: Ein gerader Kreiskegel soll mit einer Geraden geschnitten werden. (Fig. 38.)

Die Lös. ergibt sich sofort aus II, Aufg. 15. In der Fig. 38 sind die drei möglichen Fälle dargestellt. In Fig. 38 a schneidet die Hilfsebene den Kegel in zwei Mantellinien, die Gerade den Kegel in zwei Punkten. In Fig. 38 b ist die Hilfsebene Tangentialebene, die Gerade g Tangente des Kegels. In Fig. 38 c kommt kein Schnitt zustande.

Aufg. 40: Ein gerader Kreiskegel in allgemeiner Lage zu den Tafeln soll mit einer Geraden geschnitten werden.

Lös.: Die Hilfsebene durch die Gerade und die Kegelspitze ist mit der Grundkreisebene zu schneiden.

Aufg. 41: Die Schnittpunkte eines geraden Kreiszylinders mit einer Geraden zu ermitteln.

Lös.: Die Hilfsebene durch die Gerade ist parallel zu den Mantellinien zu wählen. (Vgl. II, Aufg. 16.)

12. Tangentialebenen des Kreiskegels und Kreiszylinders.

Jede Tangentialebene des Kreiskegels bzw. Kreiszylinders berührt den Kegel bzw. Zylinder längs einer Mantellinie. Alle Tangentialebenen des Kegels gehen durch die Kegelspitze; alle Tangentialebenen des Zylinders sind zu den Mantellinien parallel. Eine Tangentialebene des Kegels enthält alle Tangenten des Kegels, deren Berührungspunkte auf der Berührungsmantellinie der Tangentialebene liegen. Werden ein Kegel und seine Tangentialebenen mit einer Ebene geschnitten, so sind die Schnittgeraden mit den Tangentialebenen die Tangenten der Schnittkurve auf dem Kegel. Die Berührungspunkte dieser Tangenten liegen auf den Berührungsmantellinien der zugehörigen Tangentialebenen. Das gleiche gilt für den Zylinder.

Auf g. 42: Durch einen Punkt P sollen die Tangentialebenen an einen Kreiskegel gelegt werden. (Fig. 39.)

Lös.: Der allgemeine Kreiskegel stehe auf der Grundrißtafel. Die Gerade KP hat den Grundrißspurpunkt S. Die Tangenten sx und s₂ von S an den Grundkreis des Kegels bestimmen zusammen mit KP die Tangentialebenen. Sind St und S₂ die Berührungspunkte der Tangenten «i und s₂, so berühren die Tangentialebenen den Kegel längs den Mantellinien KS₁ und KS₂.

Ist der Spurpunkt S nicht erreichbar, so wird an die Stelle der Grundrißtafel eine Höhenebene benutzt. In Fig. 39 ist die Konstruktion für den Fall eingezeichnet, in dem die Höhenebene durch P geht.

Aufg. 43: An einen geraden Kreiszylinder sollen durch einen Punkt P die Tangentialebenen gelegt werden. (Fig. 40.)

Lös.: Der gerade Kreiszylinder ist wie in Aufg. 35 gezeichnet. Durch P wird die Parallele p zu den Mantellinien gelegt und der Schnittpunkt Q von p mit einer der Grundebenen ermittelt. Die Tangenten Q T₁ und QT₂ von Q an den Grundkreis bestimmen zusammen mit p die beiden Tangentialebenen durchP.

13. Kugel im Grundriß und Aufriß. Nach I, 21 folgt, daß der Umriß der Grundrißprojektion einer Kugel der Grundriß des Großkreises der Kugel ist, dessen Ebene zur Grundrißtafel parallel liegt. Der Umriß der Aufrißprojektion ist der Aufriß

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des Großkreises, dessen Ebene zur Aufrißtafel parallel liegt. Zwei Kreise Ar₁' und k₂" mit gleichem Radius r, deren Mitten M' und M" auf einem Lote zur Projektionsachse liegen, sind stets Grundriß und Aufriß einer Kugel mit der Mitte M und dem Radius r. (Fig.41a.) Der Grundriß k₂ des Kreises k₂ ist der zur Projektionsachse parallele Durchmesser von kx. Der Aufriß kx" ist der zur Projektionsachse parallele Durchmesser des Kreises k₂". Im Grundriß ist die oberhalb des Großkreises kx liegende Halbkugel sichtbar. Der Aufriß dieser oberen Halbkugel ist der obere Halbkreis über kx". Im Aufriß ist die Halbkugel sichtbar, die vor dem Großkreise k₂ liegt, ihr Grundriß ist der vordere Halbkreis über k₂.

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Fig. 41 a.

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Aufg. 44: Der Grundriß P' eines Kugelpunktes ist gegeben. Der Aufriß P" soll gezeichnet werden. (Fig. 41a.)

Lös.: Wir legen durch P den zur Aufrißtafel parallelen Kugelkreis k. Sein Grundriß k' ist die zur Projektionsachse parallele Sehne von kx durch P'. Der Aufriß k" von k ist der Kreis um M", dessen Radius gleich der Hälfte der Sehne k' ist. Das Lot durch P' zur Projektionsachse schneidet k" in den Punkten P" und P/', den Aufrissen der beiden Kugelpunkte P und Pu deren Grundriß P' ist. Der Punkt P liegt auf der oberen, der Punkt Px auf der unteren Halbkugel.

Ist also im Innern von kx ein Punkt P' gewählt, so ist P' der Grundriß von zwei Kugelpunkten, von denen der eine auf der oberen, der andere auf der unteren Halbkugel liegt. Es kann nach Wahl von P' immer noch vorgeschrieben werden, auf welcher der beiden Halbkugeln P liegen soll.

Ganz entsprechendes gilt, wenn der Aufriß Q" eines Kugelpunktes gegeben ist, siehe Fig. 41 b.

Aufg. 45: Eine Kugel und eine Gerade durch die Kugelmitte sind gegeben. Der zur Geraden senkrechte Großkreis der Kugel soll gezeichnet werden.

Lös.: Die Gerade ist die Achse, die Kugelmitte der Mittelpunkt und der Kugelradius gleichzeitig Radius des gesuchten Kreises. (Vgl. II, Aufg. 31.)

Aufg. 46: Eine Kugel soll mit einer zur Grundrißtafel lotrechten Ebene geschnitten werden. (Fig. 42.)

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Lös.: Die Ebene ist durch ihre Spurgeraden s und t gegeben. Der Grundriß k' des Schnittkreises k ist die auf s liegende Sehne B/ B2 des Umrißkreises &/. Die Mitte von Bx B₂ ist der Grundriß M/ des Mittelpunktes M₁ von k. Der Aufriß M” liegt auf k”. Der Aufriß k" kann nun leicht gezeichnet werden.

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Aufg. 47: Eine Kugel soll mit einem geraden quadratischen Prisma, das auf der Grundrißtafel steht, geschnitten werden.

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Aufg. 48 : Im Innern einer Kugel ist ein Punkt Mi gegeben. Der Kugelkreis k₀ soll gezeichnet werden, dessenMitteMj ist. (Fig.43.)

Lös.: Die Kugel ist durch die Kreise kx und k₂" mit den Mitten M' und M" gegeben.

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Fig. 43.

Die Gerade M Mx ist Kreisachse. Wir drehen die projizierende Ebene der Geraden MMX um MM' so weit, bis sie zur Aufrißtafel parallel liegt. Der Aufriß des gedrehten Punktes Mx ist (Mx)". Der Aufriß des Schnittkreises der projizierenden Ebene von MMj mit der Kugel fällt mit k₂" zusammen. Die zuM"(itfj)" lotrechte Sehne (B₁),,(B₂)" des Kreises k₂' ist gleich dem Durchmesser des gesuchten Kreises k₀, der nun durch Achse MMX, Mittelpunkt Mx und Radius (Mj)" (Bj)" bestimmt ist und nach II, Aufg. 31 gezeichnet wird.

Der Bogen von k₀' der vor k₂ liegt, ist der Grundriß des Bogens des Kreises k₀ der auf der vorderen Halbkugel verläuft. Die Schnittpunkte von k₀' mit k₂ sind also die Grundrisse der Punkte von kQ, in denen der Kreis k₀ von der vorderen — im Aufriß sichtbaren — Halbkugel zur hinteren — im Aufriß unsichtbaren — Halbkugel übergeht. In den zu diesen Punkten gehörenden Aufrißpunkten muß k₀" also den Umriß fc₂" berühren. (Vgl. I, 27.) Entsprechend liefern die Schnittpunkte von kx" mit k₀" die Berührungspunkte zwischen kx und k₀'.

Aufg. 49: Eine Kugel soll mit einer zu beiden Tafeln geneigten Ebene geschnitten werden.

Lös.: Die Achse des Schnittkreises ist das Lot von der Kugelmitte auf die Schnittebene. Der Fußpunkt dieses Lotes in der gegebenen Ebene ist der Mittelpunkt des Schnittkreises.

14. Tangenten und Tangentialebenen der Kugel. Die Tangentialebene in einem Kugelpunkte ist senkrecht zum Berührungsradius. Die durch den Berührungspunkt gehenden Geraden der Tangentialebene sind Tangenten der Kugel.

Aufg. 50: In einem Punkte P einer Kugel soll die Tangentialebene gelegt werden. (Fig. 44.)

Lös.: Die Kugel ist durch ihre Umrisse gegeben. Auf ihr wird wie in II, Aufg. 44 ein Punkt P bestimmt. Die Tangentialebene ist senkrecht zu M P. Wir zeichnen von der Tangentialebene die Höhenlinie h und die Abstandslinie k durch den Berührungspunkt P. h' ist

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Fig. 45.

Fig. 44.

senkrecht'"'zu M' P' und k" senkrecht zuTM"P". In Fig. 44 ist die Tangentialebene durch Höhen- und Abstandslinien begrenzt.

Aufg. 51: An eine Kugel sollen die zu einer gegebenen Geraden t parallelen Tangenten gezeichnet werden.

Aufg. 52: An eine Kugel soll von einem Punkte P aus der Tangentialkegel gelegt werden. (Fig. 45.) (Vgl. I, 24.)

Lös.: Die Achse des Tangentialkegels liegt auf der Verbindungsgeraden des Punktes P mit der Kugelmitte M. In der projizierenden Ebene der Geraden PM liegt ein Achsenschnitt BxPBt des Kegels. Wird diese Ebene um MM' soweit gedreht, bis sie zur Aufrißtafel parallel liegt, so erscheint der Achsenschnitt (B₁)(P)(B₂) im Aufriß in wahrer Gestalt. Durch Zurückdrehen wird zunächst der Grundriß Mx' des Mittelpunktes Mx des Berührungskreises der Tangenten

Konjugierte Durchmesser der Ellipse

27

mit der Kugel bestimmt. Dann handelt es sich nur noch um die Aufgabe, den Kreis zu zeichnen, der durch die Achse PM, den Mittelpunkt M₁ und den Radius (M₁)//(JB₁)" bestimmt ist. Die Mantellinien des Kegels, die zum Kegelumriß gehören, berühren in demselben Punkte die Bildellipse und den zugehörigen Kugelumriß.

In Fig. 45 ist auch der Tangentialkegel für den Punkt (P) eingezeichnet, also für den Fall, in dem die Kegelachse M(P) zur Aufrißtafel parallel liegt.

DRITTER ABSCHNITT

ERZEUGUNG UND EIGENSCHAFTEN DER KEGELSCHNITTE

15. Konjugierte Durchmesser der Ellipse. In I, 13 ist die

Ellipse als die senkrechte Projektion des Kreises definiert worden. Die Ellipsendurchmesser sind die Projektionen der Kreisdurchmesser. Jedem Kreisdurchmesser soll der zu ihm senkrechte Durchmesser zugeordnet werden. Zwei solcher Kreisdurchmesser besitzen dann die folgenden Eigenschaften. Die Mitten der zu dem einen Durchmesser parallelen Sehnen liegen auf dem zweiten Durchmesser; die Tangenten in den Endpunkten des einen Durchmessers sind zum zweiten Durchmesser parallel. Diese Eigenschaften, bei denen es sich nur um Parallelität und Teilungsverhältnisse handelt, bleiben auch bei der senkrechten Projektion erhalten; sie kommen also auch den Paaren von Ellipsendurchmessern zu, die die Bilder zueinander senkrechter Kreisdurchmesser sind. Solche Durchmesser heißen konjugierte Durchmesser der Ellipse. Die konjugierten Durchmesser einer Ellipse sind im allgemeinen nicht zueinander senkrecht; nur das rechtwinklige Kreisdurchmesserpaar, dessen einer Durchmesser zur Tafel parallel liegt, hat als Bilder zueinander senkrechte konjugierte Ellipsendurchmesser. Dies sind aber nach I, 13 die Achsen der Ellipse.

In I, 14 haben wir gezeigt, daß die Achsen die Ellipse vollständig bestimmen. Wir wollen jetzt nachweisen, daß auch durch irgendein Paar konjugierter Durchmesser eine Ellipse bestimmt wird.

In Fig. 46 ist eine Ellipse durch ihre Achsen A₁A₂ =2 a und Bi B₂ =2 b gegeben. In dem Hauptscheitelkreise

der Ellipse werden die zueinander senkrechten Halbmesser M(P) und M(Q) gezogen und aus ihnen nach I, 14 die konjugierten Ellipsenhalbmesser MP' und MQ' hergeleitet. Nun drehen wir das Dreieck MP' (P) in der Ellipsenebene um M um 90° herum. Dann fällt M(P) mit M(Q) \ zusammen. Die Strecke P₁P' \ geht in Q₁R und die Strecke \ (P)P' in (Q)R, der Punkt P'

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Fig. 46.

I also in den Punkt R über. In V J dem Rechteck {Q)Q'QiR wird .y noch die Diagonale Q’ R ge-zeichnet ; sie trifft die Haupt -Ą achse im Punkte X und die Nebenachse im Punkte F. Da die Dreiecke MZX und M ZY gleichschenklig sind, liegen X und Y auf dem Kreise um Z durch M. Da RZ = Qx Z = Q'Z ist, so ergibt sich, daß Y R — MQX = XQ' = b und YQ' = M(Q) = X R = a ist. Nach diesen Vorbereitungen kann nun die folgende Aufgabe gelöst werden.

Aufg. 53: Ein Paar konjugierter Halbmesser einer Ellipse ist gegeben. Die Achsen der Ellipse sollen bestimmt werden. (Fig. 47.)

Lös.: Die konjugierten Halbmesser seien MP' und MQ'. In M wird zu M P' die Senkrechte errichtet und auf ihr von M aus bis R die Strecke M P' abgetragen. Q' wird mit R verbunden und die Mitte Z zwischen Q' und R bestimmt. Der um Z durch M gezeichnete Kreis schneide Q' R in den Punkten X und Y. Dann liegen auf den Geraden M X und M Y die Achsen der Ellipse. Die halbe Hauptachse ist gleich den Strecken XR und YQ. Diese Strecke wird auf MX von M aus nach beiden Seiten bis Ax und A₂ abgetragen. Die Strecken Y R und XQ sind gleich der halben Nebenachse. Diese ist auf M Y von M aus bis B,¹ und B₂' einzutragen.

Diese Konstruktion liefert eindeutig die Achsen der Ellipse, die durch die konjugierten Halbmesser bestimmt ist.

16. Brennpunkte der Ellipse. Die in I, 15 angegebene Definition der Ellipse als schiefer Schnitt eines geraden Kreiszylinders soll jetzt benutzt werden zur Herleitung weiterer Ellipseneigenschaften. Für die Ableitungen zeichnen wir die Figuren in senkrechter Projektion auf eine Ebene. Die Achse g des geraden Kreiszylinders liege in der

Fig. 48.

Brennpunkte der Ellipse

Tafel, dann liegen auch zwei Mantellinien mx, m₂ in der Tafel. Die Schnittebene wird senkrecht zur Tafel gewählt; ihre Spur sei s. (Fig. 48.) In diesem Falle ist die Tafel Symmetrieebene für Zylinder und Schnittebene. Die Projektion der Ellipse ist die Strecke AXA₂ auf s zwischen mx und m₂. Ax, A₂ sind die Hauptscheitel der Ellipse; ihr Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt von s und g. Die Nebenachse BXB2 geht durch M und ist senkrecht zur Tafel; sie ist ebenso lang wie der Zylinderdurchmesser. Die oberhalb der Tafel gelegene Halbellipse ist um

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Fig. 47.

AxA₂in die Tafel umgelegt worden. Dem Zylinder werden die beiden Kugeln einbeschrieben, die die Ellipsenebene berühren. Ihre Umrisse sind die Schnittkreise der Kugeln mit der Tafel; sie müssen also mx, m₂ und s berühren. Die Kugelmitten Kv K₂ sind die Schnittpunkte von g mit den Halbierenden der beiden Winkel bei Ax zwischen s und mx. Die Berührungskreise kx und k₂ der Kugeln mit dem Zylindermantel haben als Projektionen kx, kf, die zu g senkrechten Strecken CXC₂ und DXD₂ zwischen mx und m₂. Die Ellipsenebene wird in den Punkten Fx und F₂, den Berührungspunkten von s mit den Umrißkreisen, von den Kugeln berührt.

Auf AXA₂ wird die Projektion P' eines Ellipsenpunktes P gewählt; seine Umlegung ist (P). Die Mantellinie durch P berührt die Kugeln in den Punkten T₁ und T₂ der Kreise kx und k₂. Die Geraden PFX und PP₂ sind ebenfalls Tangenten der Kugeln; ihre Berührungspunkte sind Fx und P₂. Die Tangenten P Tx und P T₂ erscheinen im Bild in wahrer Länge: PTX — P'TX, PT₂ = P'T₂. Die Längen PFX und PP₂ sind aus der Umlegung als (P)FX und (P)P₂ zu entnehmen. Da die Tangenten von einem Punkt an eine Kugel gleich lang sind, so folgt:

PFX + PF₂ = PTX+PT₂ = 3\T₂.    _

Wie auch P gewählt wird, immer ist Tx T₂ = KXK₂. Danach ist für jeden Ellipsenpunkt

PF\ + PF\ = KXK₂.

Für den Scheitel Ax gilt also AXFX + AXF« = KXK₂. Aus der Fig. 48 ist zu ersehen, daß MAX — MA₂ und MFX = MF₂ ist, und da hiernach AXFX = A₂F₂ ist, so folgt, daß A₂F₂ -f- AxF₂ = KxK₂, also AXA₂ = KXK₂ ist.

Auf der Hauptachse einer Ellipse liegen zwei Punkte, die vom Mittelpunkt gleich weit entfernt sind, so daß die Summe der Entfernungen eines jeden Ellipsenpunktes von diesen beiden Punkten gleich der Länge der Hauptachse ist. Diese Punkte heißen die Brennpunkte der Ellipse.

Werden auf einer Geraden vier Punkte Ax, A₂, Fx, F₂ so gegeben, daß AXA₂ größer als FXF₂ ist und daß AXA₂ und FxF₂ dieselbe Mitte M haben, so lassen sich in der bekannten Weise weitere Ellipsenpunkte als Schnittpunkte von Kreisen um Fx und F₂, deren Radien zusammen gleich ÄxA₂ sind, zeichnen. Wird MAX mit a, MFX mit e und die halbe Nebenachse der Ellipse mit b bezeichnet, so folgt aus dieser Konstruktion die Beziehung a² — b² + e². Da die angedeutete Konstruktion eindeutig ist, gilt die folgende Definition: Die Ellipse ist der geometrische Ort der Punkte, für die die Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten konstant ist.

Die ebenen Schnitte des geraden Kreiskegels

31

17.    Leitlinien der Ellipse. Wir bringen in Fig. 48 noch die Ellipsenebene mit den Ebenen der Berührungskreise kx und k₂ zum Schnitt. Die Schnittgeraden lx und l₂, die Leitlinien der Ellipse, gehen durch die Schnittpunkte Ex und E₂ von s mit kx und k₂ und stehen senkrecht zur Tafel; ihre Umlegungen (lx) und (l₂) sind senkrecht zu s. Der Abstand PLX des Punktes P von der Leitlinie lx ist gleich dem Lote (P)(LX) von (P) auf (lx). Es ist:

PF,: PL, = (PJĄ : (P)(Ę) = P Tx : P'EX = sin a. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke Ex Tx P' und KXFXM folgt, daß sin a — FXM : KXM — e: a ist. Es besteht also die Beziehung: PFX:PLX — e : a. Für den Scheitel Ax gilt: AXFX : A₁E₁ = e : a. Sind also Brennpunkte und Hauptscheitel einer Ellipse gegeben, so lassen sich stets die Leitlinien zeichnen. Und umgekehrt: Sind eine Leitlinie lx, der zugehörige Brennpunkt Fx und ein Verhältnis e : a < 1 gegeben, so lassen sich die Hauptscheitel und der zweite Brennpunkt ermitteln. Es gilt also auch die folgende Definition: Die Ellipse ist der geometrische Ort aller der Punkte, für die das Verhältnis der Abstände von einem festen Punkt und einer festen Geraden konstant und kleiner als 1 ist.

18.    Die ebenen Schnitte des geraden Kreiskegels. Sind ein gerader Kreiskegel und eine Ebene gegeben, so gibt es stets eine gemeinsame Symmetrieebene für Kegel und Ebene. Dies ist die zur gegebenen Ebene senkrechte Ebene durch die Kegelachse. Hiernach folgt, daß jeder ebene Schnitt des geraden Kreiskegels wenigstens eine Symmetriegerade (Achse) besitzt. Diese Symmetrieebene benutzen wir zunächst als Bildtafel. In der Bildtafel liegen dann die Kegelachse g und die Mantellinien mx, m₂; der Kegelschnitt erscheint als Strecke auf der Spur s der Schnittebene. (Fig. 49.)

Nach der Lage der Schnittebene zu den Mantellinien unterscheiden wir drei Arten von Kegelschnitten: 1. Die Schnittebene ist zu keiner Mantellinie parallel. (Fig. 49 a.) In diesem Falle sind die Schnittkurven Ellipsen, wie in Nr. 19 gezeigt werden wird. Die Parallelebene durch die Kegelspitze S — in Fig. 49 a ist ihre Spur sx eingezeichnet —

schneidet den Kegel nicht. 2. Die Schnittebene ist zu nur einer Mantellinie — in Fig. 49 b zu m₂ — parallel. Die Schnittkurve heißt Parabel. Die Parabel besitzt einen unendlich fernen Punkt. Die zur Parabelebene parallele Ebene durch die Kegelspitze ist Tangentialebene des Kegels; sie berührt den Kegel in der Mantellinie m₂. Ihre Spur s₂ fällt mit m₂ zusammen. 3. Die Schnittebene ist zu zwei Mantellinien des Kegels parallel. (Fig. 49 c.) Die Schnittkurve hat zwei unendlich ferne Punkte; sie heißt Hyperbel. Die zur Schnittebene parallele Ebene durch die Kegelspitze S —

mp

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a.

b.

c.

Fig. 49 a.

ihre Spur ist sx — schneidet den Kegelmantel in zwei Mantellinien. Die Hyperbel hat zwei Äste, von denen der eine auf dem Kegel, der andere auf dem Scheitelkegel liegt.

19. Ellipse als Kegelschnitt. Die Symmetrieebene für Kegel- und Schnittebene ist wieder als Tafel gewählt. Die Schnittebene erscheint als Gerade s im Bild. A₁A₂ ist die Projektion der Schnittkurve. (Fig. 50.) Wir zeichnen die Umrisse der beiden Kugeln ein, die Kegelmantel und Ellipsenebene berühren. Die Bezeichnungen sind entsprechend denen in Fig. 48 gewählt. Die Halbellipse, die oberhalb der Tafel liegt, ist in der Umlegung gezeichnet. Die Länge der halben Nebenachse M B₁ ist mit Hilfe des Kreis-sehnittes durch Px ermittelt worden als M { Bx}. Auf AXA2 ist die Projektion P' eines Ellipsenpunktes P gewählt worden. Um seine Umlegung (P) zeichnen zu können, ist seine Höhe P'P mittels des Kreisschnittes durch P als Halbsehne P' { P} bestimmt worden. Es ist also P' { P} = P'(P). Der Kreis auf dem Kegelmantel durch P hat die Projektion QXQ₂; die Umlegung des oberhalb der Tafel gelegenen Halbkreises ist eingezeichnet.

Fig. 49 b.

Fig. 49 c.

Ellipse als Kegelschnitt Entsprechend wie beim Zylinderschnitt in Fig. 48 folgt hier, daß PFX = PT₁ und PF₂ = P T₂ also

PF\ + PF₂ = T\T₂

ist. Die Strecke T₁T₂ zwischen den Berührungskreisen k± und k₂ ist auf allen Mantellinien gleich lang, und

Fig. 50.

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Ah)

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Az

oni zwar gleich C₁D₁ auf m₁ und gleich C₂D₂ auf m₂. Die Schnittkurve ist also eine Ellipse.

Die Schnittgeraden lx und l₂ der Schnittebene mit den Ebenen der Berührungskreise kx und k₂ sind auch hier die Leitlinien der Ellipse. Man leite auch an dieser Figur die Leitlinieneigenschaften her !

Sind auf einer Geraden s die Scheitel Av A₂ und die Brennpunkte Fx, F₂ einer Ellipse gegeben, so zeichne man einen Kreis mit der Mitte Kx, der s in F₁ berührt. An den Kreis lege man die Tangenten m₁ und m₂ von A₁ und A2 aus, die sich in S schneiden mögen. Dann bestimmen mv m₂ und SK₁ den Achsenschnitt eines Rotationskegels, der von der zur Ebene (mlf m₂) lotrechten Ebene durch s in der Math.-phys. Eibl. 67: Kramer, Darstellende GeometrieII durch die Scheitel Ax, A₂ und die Brennpunkte Fx, F₂ bestimmten Ellipse geschnitten wird. Jede Ellipse kann also als ebener Schnitt eines Rotationskegels erzeugt werden.

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Fig. 51.

20. Die Hyperbel. In Fig. 51 ist die Spur s der Schnittebene so gelegt, daß diese den durch mv m₂ und g bestimmten Rotationskegel in einer Hyperbel schneidet. Die Fig. 51 ist durch Vergleich mit Fig. 50 sofort verständlich.

Es folgt, daß PFX = PTx=ąxCx und PF₂ = PT₂=QXDX und demnach

PFX - PF₂ = CXDX ist. Die Hyperbelpunkte liegen also so, daß die Differenz ihrer Abstände von den beiden auf der Achse AXA₂ gelegenen Brennpunkten Fx und F₂ konstant ist. Man zeige, daß diese Differenz gleich AXA₂ ist.

Für die Hyperbel ergibt sich also folgende Definition: Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller der Punkte, für die die Differenz der Entfernungen von zwei festen Punkten konstant ist. Diese Definition führt zu der bekannten punkt weisen Konstruktion der Hyperbel.

Wir müssen nun noch zeigen, daß jede durch die Scheitel Ax, A₂ und die Brennpunkte Fx, F₂ gegebene Hyperbel auch als ebener Schnitt eines geraden Kreiskegels erzeugt werden kann. Dabei stellen wir noch die Bedingung, daß die Hyperbelebene zur Achse des Rotationske- \ gels parallel sein soll. \

Ki

Diesen Fall zeigt Fig. 52.

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TZ

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Hier bestehen folgende Beziehungen :

SC\ = SD₂ = MA₁ =

Ob £

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MÄ₂ = [a, STX = SÄ = MFX = MF₂ = und

aj

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Ki

2\FX — AXCX — A₂F2 = A₂D₂. Sind nun auf einer Geraden die Scheitel Ax, A₂ und die Brennpunkte Fx, F₂ gegeben, wird über AXA₂ das / gleichschenkligeDreieck /

Mg. 52.

AxSA₂ gezeichnet, des- ' '^ sen Schenkel AXS, A₂S

gleich MFX sind. Die Geraden SAX und SA₂ bestimmen als Mantellinien mx und m₂ den Achsenschnitt eines Rotationskegels, dessen Achse g parallel zur Spur s ist. Wird in Fx die Senkrechte auf s errichtet, die g in Kx trifft, und von Kx das Lot KXCX auf mx gefällt, so folgt aus der Kongruenz der Dreiecke AXMS und SCXKX, daß KXCX gleich SM, also gleich KXFX ist. Kx ist also Mittelpunkt des Kreises, der mx in Cx und s in Fx berührt. Entsprechendes gilt für K₂. Die durch Ax, A₂ und Fx, F₂ bestimmte Hyperbel wird also als ebener Schnitt des durch

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mx, g, m₂ bestimmten geraden Kreiskegels erzeugt. Die Schnittebene geht durch s und ist zur Tafel lotrecht, ist also zu g parallel.

Zur Herleitung weiterer Hyperbeleigenschaften darf also stets die Hyperbelebene parallel zur Kegelachse gewählt werden.

21.    Leitlinien der Hyperbel. Die Schnittgeraden lx und l2 der Hyperbelebene mit den Ebenen der Berührungskreise kx und k₂ heißen Leitlinien der Hyperbel. (Fig. 51.) (Vgl. II, 17, Leitlinien der Ellipse.) Ist PLX der Abstand des Hyperbelpunktes P von lx, so ist: (P)FX: (P)(LX) = PFX : PLX = P TX : PLX = QXCX : P'EX = ÄDX: AXE₂

—    FxF₂ : AxA₂. Hieraus folgt PFX : PLX — FXM : AXM

—    e : a und entsprechend PF₂ : P L₂ — e : a.

Jedem Brennpunkt der Hyperbel ist eine zur Hauptachse senkrechte Leitlinie zugeordnet. Das Verhältnis der Abstände eines jeden Hyperbelpunktes vom Brennpunkt und von der zugehörigen Leitlinie hat den Wert e : a, ist also konstant und größer als 1.

Dies liefert eine weitere Definition der Hyperbel.

22.    Asymptoten der Hyperbel. Der gerade Kreiskegel steht auf der Grundrißtafel. (Fig. 53.) Seine zur Aufrißtafel parallelen Mantellinien sind mx und m₂. Die Hyperbelebene ist senkrecht zu beiden Tafeln, also parallel zur Kegelachse. Grundriß und Aufriß der Hyperbel sind Strecken auf den Spurgeraden s und t der Hyperbelebene. In Fig. 53 ist noch ein zur Hyperbelebene paralleler Seitenriß gezeichnet. In ihm erscheint die Hyperbel in wahrer Gestalt. Die zur Seitenrißebene parallelen Mantellinien sind m₃ und m₄.

Nach II, 12 ist die Tangente in einem Punkte der Hyperbel die Schnittgerade der Hyperbelebene mit der Tangentialebene des Kegels, die den Kegel längs der durch den Hyperbelpunkt gehenden Mantellinie berührt. Die unendlich fernen Punkte U und V der Hyperbel liegen auf den zur Hyperbelebene parallelen Mantellinien m₃ und m₄. Die Tangentialebenen des Kegels durch die Mantellinien haben die Tangenten des Grundkreises in den Punkten Ms und als Grundrißspuren, die die Grundrißspur s der Hy-

perbelebene in V₀ und U₀ schneiden. Die Tangenten u, v in den unendlich fernen Hyperbelpunkten U und V, die Schnittgeraden der Tangentialebenen mit der Hyperbelebene, gehen also durch U₀ und F₀ und sind zu m₃ bzw.

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Fig. 53.

mi parallel. Im Grundriß und Aufriß fallen die Projektionen dieser Tangenten mit s bzw. t, im Seitenriß mit mz" und mi" zusammen. Die Tangenten in den unendlich fernen Punkten heißen die Asymptoten der Hyperbel. Der Seitenriß zeigt: Die Asymptoten einer Hyperbel gehen durch den Mittelpunkt und liegen zur Hauptachse symmetrisch.

Die Tangente im Scheitel Ax" der Hyperbel trifft die Asymptoten u"', v"' in Bz" und BWird wieder

MAX — a und MFX — e gesetzt, so ist in Fig. 53 M" Ax" und

= M'"AX" = a

—    MB±" = M'"FX" = e. Die Brennpunkte und die Schnittpunkte der Scheiteltangenten mit den Asymptoten liegen auf einem Kreise um den Mittelpunkt der Hyperhel. Hieraus folgt die Lösung der Aufgaben.

Aufg. 54: Die Asymptoten der durch Hauptscheitel und Brennpunkte gegebenen Hyperbel sind zu zeichnen.

Aufg. 55: Von einer Hyperbel sind die Asymptoten und die Brennpunkte oder die Hauptscheitel bekannt. Die Hauptscheitel bzw. die Brennpunkte sind zu bestimmen.

Im Seitenriß seien nur die Asymptoten u"',v'" und der Hyperbelpunkt Px" bekannt. Die Hyperbelachse ist Halbierende des Winkels zwischen den Asymptoten. Über Mz" Mx" wird der Halbkreis gezeichnet. Die Senkrechte in Pz" zu Mz"Mx" trifft den Halbkreis in Q. Dann ist PX"Q — M'S' = M"S" — b. Wir können also Grundriß und Aufriß zeichnen. Die Hyperbel ist bestimmt durch die Asymptoten und einen Punkt. Da auch PX"Q = Ax" Bz"

—    b ist, so kann die folgende Aufgabe gelöst werden.

Aufg. 56: Von einer Hyperbel sind die

Asymptoten u, v und ein Punkt P gegeben. Scheitel und Brennpunkte sollen gezeichnet werden. (Fig. 54.)

Lös.: Die Halbierende des Winkels zwischen u und v ist die Hyperbelachse. Das Lot von P auf die Achse schneidet diese in L, die Asymptoten u und v in C und D. Die Senkrechte in P zu CD trifft den Halbkreis

M"FX" =    = M'" Bz"

|B

k-2

S&

U,

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über CD in E. PE wird auf CDvon L aus bis G aufgetragen und zur Achse durch G die Parallele gezogen, die u in B schneidet. Der Fußpunkt des Lotes von B auf die Achse ist der eine Hyperbelscheitel A₁. MA₂ ist gleich MA₁. Der Kreis um M durch B schneidet die Achse in den Brennpunkten Ft und F₂.

23. Krümmungskreise in den Hyperbelseheiteln. In

Fig. 53 wird der Kreis durch PX'",AX'" und P₂"' gezeichnet; seine Mitte ist R'" ; sein Radius R'" A'" werde mit

za

\F

Fig. 54.

r bezeichnet. Dann ist P/⁷⁷^⁷⁷⁷“² = A₁'"C"'(2r-A₁'"C₁/"). Aus dem Grundriß wird entnommen, daß PXM₂ = MJ^(M~M₂ — MXM’) ist. Da Py'C" = PXM⁷ und AX'”C"' : MXM' = Ax" Px 2" : Mx" P₁₂" = a : 6 ist, so folgt aus den beiden ersten Gleichungen, daß a(2r — Ax" Cx") = b(MxM₂—MXM') ist. Streben Px"' und P₂'" gegen so streben Ax" C" und M₁M' gegen Null. Der Kreisschnitt des Kegels durch Px und P₂ geht über in den Kreisschnitt durch Ax. MXM₂ wird also gleich 26. Der Krüm-

b²

mungsradius für den Hyperbelscheitel wird also r = — •

Errichtet man im Schnittpunkt Ba'" der Scheiteltangente mit der einen Asymptote die Senkrechte zur Asymptote, so ist der Schnittpunkt K"’ der Senkrechten mit der Hyperbelachse der Krümmungsmittelpunkt für den Scheitel Ax". Denn aus dem rechtwinkligen Dreieck KJ" B”' M'" folgt, daß Kx" A”' gleich b² : a ist.

fr

24. Die Parabel. In Fig. 55 ist die Spur s der Schnittebene parallel zur Mantellinie m₂ des Kegels; die Schnitt-ebene selbst ist also parallel zur Tangentialebene des Kegels in m₂. Die Schnittkurve ist eine Parabel. Der eine Scheitel der Kurve ist der Schnittpunkt A von s mit ml5 der andere, der Schnitt von s mit m₂, liegt unendlich fern. In diesem Falle existiert nur eine Kugel, die Kegelmantel und Parabelebene berührt ; ihrMittelpunkt ist K, ihr Berührungspunkt mit der Parabelebene der    / f

BrennpunktP.Die Schnitt- ^    \ Wj—/—7

gerade l der Parabelebene    X //'*

(P)

mit der Ebene des Berüh-    ^

\ ~1ïï

rungskreises k zwischen    /

Fig. 55.

Kugel und Kegelmantel ist die zu F gehörige Leitlinie der Parabel. Ist P ein Punkt der Parabel, so

ist PF — PA⁷ —    = OSA und PL = P'E = Q₂C₂,

und demnach PF = PL. Wir wollen diese Eigenschaft als Definition für die Parabel benutzen: Die Parabel ist der

geometrische Ort der Punkte, die von einer festen Geraden l, der Leitlinie, und von einem festen Punkt F, dem Brennpunkte, gleich weit entfernt sind. Diese Definition führt zu der bekannten, eindeutigen punktweisen Konstruktion der Parabel.

Wir müssen nun zeigen, daß auch jede durch Brennpunkt und Leitlinie gegebene Parabel als Schnitt eines Rotationskegels erzeugt werden kann. Wir werden sogar nachweisen, daß dies auch möglich ist, wenn vorgeschrieben wird, daß die Parabelebene zur Mantellinie mx senkrecht sein soll. Diesen Fall zeigt Fig. 56. Hier ist das ViereckeFK Cx ein Quadrat, (l) ist parallel zu mx. Sind nun (/) und F gegeben, so ist A als Mitte der Strecke FF bestimmt. Über A F wird das Quadrat AFKCx gezeichnet. Durch ACX ist wx bestimmt; die Kegelachse g geht durch K und bildet mit mx einen Winkel von 45°; sie trifft mx in S. m₂ ist Lot auf m1 in S, also parallel zu EF. Der durch mx und g bestimmte Rotationskegel wird von der zur Tafel lotrechten Ebene durch EF in der durch (l) und F bestimmten Parabel geschnitten.

25. Der Krümmungskreis im Parabelscheitel. In Fig. 56 ist auf s das Bild P' \ einesParabelpunktes \ P gewählt, seine Umlegung ist (P). Die ^2 Höhe PP' ist wieder n mit Hilfe des Kreis-Schnittes durch P ermittelt worden. Wir betrachten zunächst den Kreis durch A

Xi)

\J

%A-J.

Yß

\/

und (P), dessen Mitte M auf s liegt. Dieser Kreis geht auch durch den Parabelpunkt (Q), den Spiegelpunkt zu (P) in bezug auf s. Bezeichnen wivAM mitr, sogilt: (P) P,2 = Q₁P,(Q₁Q₂—QXP') und (P)P'² = 4P' (2 r — AP'). Da nun (P)P' = [P)P' und QiP' — AP' • Y2 ist, so folgt aus den ersten Gleichungen,

Fig. 56.

Tangenten der Parabel daß (2r — A P') — (QxQ₂ — QXP') ’ V2 ist. Strebt P gegen A, so streben AP' und QXP’ gegen Null und QXQ₂ wird gleich 2 'AK. Dann folgt aus der letzten Gleichung r — ÄK • Y2 oder, da AK — ÄF • ]/2 ist, r — 2 • AF. Dies bedeutet : Der Krümmungsradius für den Parabelscheitel ist gleich der doppelten Brennweite.

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26. Tangenten der Parabel. In Fig. 57 ist ein Punkt P der Parabel, die durch l, F gegeben ist, gezeichnet worden. Das Lot von P auf l hat den Fußpunkt U. Die zu A F senkrechte Scheiteltangente der Parabel trifft TJF im Punkte

Fig. 57.

C.    Da Ä E = A F ist, so ist auch CZJ = CF. Die Gerade P C ist also Höhe [in dem gleichschenkligen Dreieck PUF. Wählen wir irgendeinen Punkt X auf CP, der nicht mit P zusammenfällt, so ist stets X Ü — XF. Wird noch das Lot X Y von X auf l gefällt, so ist X U > X Y. Für alle Punkte X auf PC außer P ist demnach der Abstand vom Brennpunkte F größer als der Abstand von der Leitlinie. Es gibt also außer P keinen Parabelpunkt auf der Geraden PC; PC ist Tangente der Parabel. Hieraus ergibt sich: Die Fußpunkte der Lote vom Brennpunkt auf die Tangenten einer Parabel liegen auf der Scheiteltangente der Parabel.

Die Tangente P C schneidet die Parabelachse im Punkte

D.    Da CF — CU ist, so ist auch CD = CP. Auf einer Parabeltangente ist die Strecke zwischen Berührungspunkt und Scheiteltangente ebenso lang wie die Strecke zwischen Scheiteltangente und Parabelachse.

Wird noch von P aus das Lot PQ auf die Parabelachse gefällt, so folgt aus dem letzten Ergebnis, daß auch AD = AQ ist. Für die Parabeltangente gilt also: Die senkrechte Projektion der Strecke zwischen Berührungspunkt und Schnittpunkt mit der Parabelachse auf die Parabelachse wird im Parabelscheitel halbiert.

In Fig. 58 sind zwei Tangenten p, q der Parabel mit der Leitlinie l und dem Brennpunkte F gezeichnet. Ihre Be

rührungspunkte sind P und Q, ihr Schnittpunkt ist T. Die zur Parabelachse parallele Gerade durch T trifft die Sehne PQ in M und Leitlinie l in H. Da TÜ = TF — TV und TH senkrecht zu U V ist, so ist H die Mitte von U V, also

fr

WA tu

Fig. 58.

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Fig. 59.

auch M der Mittelpunkt der Sehne PQ. Die Verbindungsgerade des Schnittpunktes zweier Parabeltangenten mit dem Mittelpunkt der Sehne durch die Berührungspunkte ist zur Parabelachse parallel. Werden auf den Verlängerungen der Tangenten p und q die Strecken TP und TQ bis P₁ und abgetragen, so ist das Viereck P P±QXQ ein Parallelogramm, dessen Seiten PQX und QPX zu TM also zur Parabelachse parallel sind.

Aufg. 57: Von einer Parabel sind zwei Tangenten p, q mit ihren Berührungspunkten P, Q gegeben. Die Richtung der Parabelachse soll ermittelt werden. (Fig. 59.)

1.    Lös.: Man zeichnet die Sehne PQ und bestimmt ihren Mittelpunkt M. Der Schnittpunkt T der Tangenten p und q wird mit M verbunden. Dann ist die Parabelachse zu TM parallel.

2.    Lös.: Auf den Verlängerungen von p und q wird von ihrem Schnittpunkte T aus die Strecke TP bzw. TQ bis P₁ und Qx abgetragen. Dann ist die Parabelachse zu den Geraden PXQ und Qt P parallel.

In Fig. 58 ziehen wir noch durch den Tangentenschnittpunkt T das Lot zur Parabelachse, das die Geraden PQl und QPX in den Punkten X und Y schneidet, und weiter zeichnen wir das Lot von P auf die Parabelachse, das diese in B und die Geraden TM und QPX in den Punkten R und S trifft. Dann ist die Gerade TR Mittellinie des Rechteckes PXYS. Da die Diagonale PY des Rechteckes PXYS die Mittellinie TR halbiert, so muß PY auch die Strecke DB auf der Parabelachse halbieren, d. h. PY trifft die Parabelachse im Scheitel A. Ganz entsprechend läßt sich zeigen, daß QX ebenfalls durch den Parabelscheitel A geht. Dieses Ergebnis dient zur Lösung der folgenden Aufgabe.

Aufg. 58: Zwei Tangenten einer Parabel mit ihren Berührungspunkten sind gegeben. Achse, Brennpunkt und Leitlinie der Parabel sollen bestimmt werden.

Lös.: Wir benutzen die Fig. 59 zur Aufg. 57, in der die Achsenrichtung bereits bestimmt worden ist und ziehen durch T die Senkrechte zu TM, die die Parallelen durch P und Q zu TM in den Punkten X und Y schneidet. Der Schnittpunkt A der Geraden P Y und Q X ist der Parabelscheitel. Durch A wird die Parabelachse parallel zu TM gezogen. Die Senkrechte in A zur Parabelachse ist die Scheiteltangente ; sie schneidet die Tangenten p und q in den Punkten C und D. Die Senkrechten in C und D zup und q treffen die Parabelachse im Brennpunkte F. Die Leitlinie l wird parallel zur Scheiteltangente im Abstande A F gezogen.

27. Senkrechte Projektion der Kegelschnitte. Der gerade Kreiskegel steht auf der Grundrißtafel. (Fig. 60.) Die Schnittebene mit den Spurgeraden s und t wird senkrecht zur Aufrißebene gewählt. Dann ist der Aufriß des Kegelschnittes die Strecke A^' A₂" auf t zwischen den Aufrissen rax", m.₂" der zur Aufrißtafel parallelen Mantellinien m1 und m₂. Wir wählen den Aufriß P" eines Punktes P des Kegelschnittes. Sein Grundriß P' liegt senkrecht unter P" und auf dem Grundriß k' des Kreisschnittes k des Kegels, der durch P geht. Der Aufriß k" ist die zur Projektions-

Erzeugung und Eigenschaften der Kegelschnitte achse parallele Strecke Qi'Q₂" durch P". Der Grundriß k' ist der Kreis um S' mit K"Q/' als Radius. P" ist der Aufriß von zwei Punkten des Kegelschnittes, von denen in Fig. 60 der in beiden Projektionen sichtbare Punkt P ausgewählt ist. Durch die Kegelspitze S wird die Höhenebene gelegt. Sie schneidet die Kegelschnittebene in einer zur Aufrißtafel senkrechten Geraden n, deren'Aufriß n" der

0” Nn

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Fig. 60.

Schnittpunkt N"von t mit der Parallelen durchS" zur Projektionsachse,und deren Grundriß n' zur Projektionsachse senkrecht ist. DerAbstand PN des Punktes P von der Geraden n erscheint im Aufriß in wahrer Länge als P"N". Der Grundriß P' N' ist senkrecht zu n' zu zeichnen, da n Höhenlinie ist. Wir zeichnen im Aufriß noch die Parallele durch K" zu t, die S"N" in O trifft. Durchläuft nun der Punkt P" die Strecke A^' A₂", und wird für jede Lage von P" das dem Viereck Q₂"S"0"K" entsprechende Viereck gezeichnet, so entstehen lauter ähnliche und ähnlich gelegene Vierecke mit S" als Ähnlichkeitszentrum. Daher ist bei allen Lagen von P" der Wert des Verhältnisses ÔZË⁷' : K"Q₂" derselbe. Nun ist Q"K" ^N⁷⁷!*⁷⁷, also ist auch der Wert des Verhältnisses N" P" : K"Q₂" konstant. Da weiter N" P" : VU für alle Lagen von P" denselben Wert hat, VU stets gleich Ń'P' und K"Q₂" gleich S'P' ist, so liegen die Grundrisse P' der Punkte P des Kegelschnittes so, daß P' S' : P' N' einen konstanten Wert behält. Der Punkt P' durchläuft also einen Kegelschnitt, dessen einer Brennpunkt S' und dessen zu diesem Brenn-

punkt gehörige Leitlinie n' ist. Da bei der senkrechten Projektion im Endlichen gelegene Punkte wieder im Endlichen gelegene Bildpunkte und unendlich ferne Punkte wieder unendlich ferne Bilder haben, so kann zusammenfassend gesagt werden: Die senkrechten Projektionen der Kegelschnitte sind wieder Kegelschnitte. Die Art des Kegelschnittes wird bei der senkrechten Projektion nicht geändert.

Im besonderen folgt hieraus, daß bei der senkrechten Projektion die Durchmesser einer Parabel in die Durchmesser der Projektion der Parabel und die Asymptoten einer Hyperbel in die Asymptoten der Bildhyperbel übergehen. Da die Eigenschaften konjugierter Durchmesser einer Ellipse, die sich nach nur auf Parallelität und Teilungsverhältnisse beziehen, bei der senkrechten Projektion erhalten bleiben, so sind die Bilder konjugierter Durchmesser wieder konjugierte Durchmesser der Bildellipse.

28. Aufgaben über die senkrechte Projektion der Kegelschnitte.

Aufg. 59: Ein gerader Kreiskegel soll mit einer Ebene geschnitten werden.

Lös.: Der gerade Kreiskegel mit der Spitze S steht auf der Grundrißtafel. Die schneidende Ebene ist durch die Spurgeraden s, t gegeben. (Fig. 61, 62, 63.) Zunächst soll entschieden werden, welcher Art die Schnittkurve ist. Dazu wird durch die Kegelspitze S die zur Ebene (s, t) parallele Ebene gelegt. Sie habe die Spuren s₀, t₀. Durch S ziehen wir die Höhenlinie h₀ der Ebene s₀, t₀. h₀' ist zu s, h₀" zur Projektionsachse parallel. Die Höhenlinie h₀ trifft die Aufrißtafel in H₀. Durch II₀ wird parallel zu t die Spurgerade t₀ und durch den Schnittpunkt von t₀ mit der Projektionsachse die Spurgerade s0 parallel zu s gezogen. In Fig. 61 schneidet s₀ den Grundkreis des Kegels nicht. Die Ebene s, t ist also zu keiner Mantellinie des Kegels parallel; sie schneidet den Kegel in einer Ellipse. (II, Nr. 18.) Entsprechend folgert man, daß in Fig. 62 die Schnittkurve eine Parabel und in Fig. 63 eine Hyperbel ist.

Ist nicht wie in unserer Aufgabe die Schnittebene gegeben, sondern ist vorgeschrieben, welcher Art der Kegelschnitt sein soll, so zeichnet man zuerst die Ebene durch die Kegelspitze und wählt die Schnittebene zu dieser parallel.

Wir bestimmen in den Fig. 61 bis 63 die Punkte Mx, M₂, in denen der Kegelschnitt die zur Aufrißtafel parallelen Mantellinien ml5 m , trifft. Die Punkte M₁ und M₂ liegen auf der Schnittgeraden k der Ebenen (m₁, m₂) und (s, t). Die Ebene der beiden Mantellinien mv m2 ist Abstandsebene, die Schnittgerade k also Abstandslinie der Ebene s, t. k' fällt mit m₁ und m₂ zusammen und trifft s in K. k" geht also durch K" und ist zu t parallel, k" schneidet m/' und m₂" in den Punkten M" und M". In diesen Punkten werden m " und m₂" von der Aufrißprojektion der Schnittkurve berührt.

Zur Bestimmung der Projektionen der Schnittellipse in Fig. 61 zeichnen wir die Projektionen der Achsen AXA₂ und Bx B₂ dieser Kurve. Sie sind nach II, Nr. 28 konjugierte Durchmesser der Bild-

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t,,

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M,

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Fig. 61.

ellipsen. Nach II, Nr. 18 liegt die Hauptachse AXA₂ der Ellipse in der Symmetrieebene für Kegel- und Ellipsenebene. Da die Symmetrieebene durch die Kegelachse geht und zur Schnittebene senkrecht steht, so ist das Lot von S' auf s ihre Grundrißspur und zugleich ihre Grundrißprojektion. trifft s in Sx und s₀ in S₀. Die Symmetrieebene schneidet die Ebene (s₀, <₀) in der Geraden SS₀, die Ellipsenebene (s, t) in der zu SS₀ parallelen Geraden a durch den Punkt Sx. Der Grundriß a! von a fällt mit sx zusammen, der Aufriß a" geht durch Sx" und ist zu S" S₀" parallel. Die Hauptscheitel Ax und ^I₂ der Ellipse sind die Schnittpunkte der Geraden a mit den in der Symmetrieebene liegenden Mantellinien ax und a₂ des Kegels. Die Aufrisse Ax", A₂" werden als Schnittpunkte der Geraden a" mit den Aufrissen ax", a₂" der Mantellinien ax, a₂ gefunden. Die Grundrisse A( und A₂ liegen auf ax bzw. a₂' senkrecht unter Ax' bzw. A". Die Mittelpunkte M' bzw. M" von Ax A₂ bzw.A₁"A₂" sind die Pro-

jektionen des Mittelpunktes M der Ellipse und die Mittelpunkte der Projektionen der Ellipse. Die Nebenachse BlB₂ der Ellipse liegt auf der Höhenlinie h der Ellipsenebene durch den Mittelpunkt M. Die Projektionen B/ B/ und Bx" B₂" liegen also auf der Parallelen h' durch M' zu s bzw. auf der Parallelen h" durch M" zur Projektionsachse. Die Endpunkte Bx, B₂ sind die Schnittpunkte von h mit dem in der Höhenebene durch A/gelegenen Kreisschnitt des Kegels. Der Kreis- ^ -"if schnitt erscheint im Auf- ^    \\    u

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riß als die Strecke Cj" C₂" y\ Uyl Æ!,\ ho auf h" zwischen m" '    \ \ \'\J /fvTx

und m ”. Der Grundriß ' t ^ 1/ dieses Kreises ist der \    \\\Y

v\ \

Kreis um S', dessen \

gleich

mm

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LM

Durchmesser Ci"C₂" ist; er trifft h' in Bj' und B₂ . Die Aufrisse Bj" und B₂" liegen auf h" senkrecht über .

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Fig. 62.

B/, B₂. Die Grundrisse A-l A₂ und B± B₂ der Achsen der Schnittellipse stehen senkrecht aufeinander; sie sind also die Achsender Grundrißellipse. Die Aufrißellipse ist durch die konjugierten Durchmesser^/' A₂" und B/' B₂" bestimmt ; sie wird nach II, Aufgabe 53 gezeichnet.

Von der Parabel in Fig. 62 sind die beiden Punkte P und Q, die Schnittpunkte der Spurgeraden s der Parabelebene mit dem Grundkreis, bekannt. In diesen Punkten sollen die Parabeltangenten p und q gezeichnet werden. Die Tangente p ist die Schnittgerade der Parabelebene mit der Tangentialebene des Kegels durch die Mantellinie SP. Die Spurgerade der Tangentialebene des Kegels ist die Tangente des Grundkreises im Punkte P ; sie schneidet s₀ in Px. Die Tangentialebene schneidet die Ebene (s₀, t₀) in der Geraden SPt. Die Tangente p ist dann zu S Py parallel. Der Grundriß p' ist also die Parallele zu S'P₁ durch P, der Aufriß p" die Parallele zu S"P " durch P". Entsprechend werden die Projektionen q' und q" der Tangente q im Punkte Q bestimmt. Die Projektionen der Parabel, in der die Ebene (s, t) den Kegel schneidet, sind nach II, Nr. 28 wieder Parabeln. Sie sind durch die Punkte P',Q' bzw. P",Q" und durch die zugehörigen Tangenten p’, q' bzw. p", q" bestimmt und können

nach II, Nr. 25,26 gezeichnet werden. Man beachte, daßfür dieGrund-rißparabel S' der Brennpunkt ist.

In Fig. 63 ist die Schnittkurve eine Hyperbel. Ihre Projektionen sind nach II, Nr. 28 wieder Hyperbeln. Die Projektionen der Asymptoten sind die Asymptoten der Projektionen der Hyperbel. Die Asymptoten einer Hyperbel sind nach II, Nr. 22 die Schnittgeraden

der Hyperbelebene mit den Tangentialebenen, die den Kegel in den zur Hyperbelebene parallelen Mantellinien berühren.Die Spur s₀ trifft den Grundkreis des Kegels in den Punkten U₀, V₀ ; die Mantellinien S U₀ und SV0 sind also zur Hyperbelebene parallel. Die Tangenten des Grundkreises in den Punkten U₀ und V₀, die Spuren der Tangentialebenen des Kegels durch die Mantellinien SU₀ und SV₀, schneiden die Spur s der Hyperbelebene in den Punkten U und V. Die Asymptoten u, v der Hyperbel gehen also durch die Punkte U bzw. V und sind zu SU₀ bzw. SV0 parallel. Die Grundrißprojektionen u', v' von wbzw. v sind also die Parallelen zu S' U₀ bzw. S' V₀ durch U bzw. V, die Aufrisse u",

S" V₀" bzw. S" V₀" durch U" bzw. V". Da die

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v" die Parallelen zu

Fig. 63.

Schnittpunkte P und Q der Spurgeraden s mit dem Grundkreise des Kegels Punkte der Hyperbel sind, so sind von beiden Projektionen der Hyperbel die Asymptoten u', v' bzw. u", v" und zwei Punkte P', Q' bzw. P", Q" bekannt. Aus diesen Angaben werden nach II, Nr. 22, 23 die Hyperbeln gezeichnet.

29. Abwicklung des Zylinder- und Kegelmantels. Wir

denken uns den Mantel eines geraden Kreiszylinders längs einer Mantellinie aufgeschnitten und in eine Tangentialebene des Zylinders ausgebreitet. Dabei gehen die Grundkreise des Zylinders in parallele Strecken über, deren Länge

gleich dem Umfang der Grundkreise ist. Der Abstand dieser beiden Strecken ist gleich der Zylinderhöhe. Die Mantellinien gehen in die zu diesen parallelen Strecken senkrechten Strecken über. Die Abwicklung des Mantels eines geraden Kreiszylinders ist also ein Rechteck, dessen eine Seite gleich dem Umfang des Grundkreises, dessen andere Seite gleich der Höhe des Zylinders ist.

Si

V,

rr

(I)

,S9

Aufg. 60: Ein gerader Kreiszylinder wird von einer Ebene geschnitten. Die S Abwicklung des Mantels soll gezeichnet werden. (Fig. 64.)

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Fig. 64.

Lös.: Neben dem Aufriß in Fig. 64 „ ist die Abwicklung des Zylindermantels W gezeichnet. Die Strecke (I)(I) ist gleich dem Umfang des Grundkreises (rc ~ 3|). Die Senkrechten in den Endpunkten sind gleich der Zylinderhöhe. Der Grundkreis wird durch die Punkte I, II,. .. XII in 12 gleiche Bogenstücke geteilt, diesen Teilpunkten entsprechen in der Abwicklung die Punkte. (I), (II). . . (XII), die die Strecke (I)(I) in zwölf gleiche Teile teilen. Wir nehmen an, daß der Zylindermantel längs der Mantellinie durch I aufgeschnitten und in die Tangentialebene durch die Mantellinie durch den Punkt VII ausgebreitet worden ist. Dann gehen die Mantellinien durch die Punkte I, II,. . . XII in die Senkrechten zu (I)(I) durch die Punkte (I), (II),. . . (XII) über. Wir sehen in der Abwicklung die Außenseite des Zylindermantels.

Die Ellipse e schneidet die Mantellinien in den Punkten 1,42, 3,.. .12. Diese Punkte gehen bei der Abwicklung über in die Punkte (1), (2), (3),. . . (12), wobei die Abstände (I)(1), (II)(2),. .. (XII)(12) gleich den Abständen II, II2,. . . XII12 auf den Mantellinien sind. Da die Zylindermantellinien zur Aufrißtafel parallel sind, so werden die wahren Längen dieser Abstände aus dem Aufriß als die Strecken I"l", IIr,2",. .. XII" 12" entnommen. Verbindet man die Punkte

Math.-phys. Bibl. 67: Kramer, Darstellende Geometrie II (I), (2). . . (12), (1) durch einen Linienzug, so erhält man die Kurve (e), in die die Ellipse e bei der Abwicklung übergeht.

In den Punkten der Kurve (e) sollen die Tangenten gezogen werden. Wir beachten, daß die Ellipsentangenten als Schnittgeraden der Ellipsenebene mit den zugehörigen Tangentialebenen des Zylinders bestimmt werden. So ist z. B. die Ellipsentangente im Punkte 9 die Verbindungsgerade des Punktes 9 mit dem Schnittpunkt S₉ der Grundrißspur s der Ellipsenebene und der Grundrißspur s₉ der Tangentialebene des Zylinders durch die Mantellinie 1X9. Die Tangente wird also bestimmt durch die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreieckes 9IX)S₉. . Die Kathete 9IX liegt auf der Mantellinie; sie geht bei der Abwicklung in (9) (IX) über. Die zweite Kathete IX Sg geht in (IX)(*S'₉) auf (I)(I) über. Wir haben also von (IX) aus auf (I)(I) in der Richtung von (IX) nach (X) die Strecke IX^ bis (S₉) abzutragen. Dann ist (9) (IX) die Tangente an (e) im Punkte (9). Entsprechend ist die Tangente im Punkt (7) gezeichnet worden.

Die Abwicklung des Mantels des geraden Kreiskegels in eine seiner Tangentialebenen ist ein Sektor des Kreises, dessen Radius gleich der Mantellinie des Kegels ist. Hierbei ist es nötig, den Bogen des Sektors so zu bestimmen, daß er gleich dem Umfange des Grundkreises des Kegels ist. Hierzu dient die folgende Überlegung:

In Fig. 65 sind A, B, C, D,___die Ecken eines regelmäßi

gen Vieleckes, dessen Mittelpunkt M ist. Auf den Verlängerungen der Seite B C werden von B bis Ax und von C bisZJj

Fig. 65.

die Strecken BA und CD abgetragen .Die Geraden^ A und DXD schneiden das Lot OM durch M auf ßC im Punkte P. Da Winkel OA₁A gleich dem Winkel OBM ist, so ist AXP parallel zu BM. Nun ist OA — 3OB, also ist auch OP — 3OM. Hieraus ergibt der Grenzübergang vom regelmäßigen Vieleck zum Kreis die Lösung der folgenden Aufgabe.

Aufg. 61: Die Länge eines Kreisbogens soll bestimmt werden. (Fig. 66.)

Lös.: Der Bogen A₁B₁ habe die Mitte O. Wir ziehen in O die Tangente an den Kreis. Auf OM₁ wird der Punkt P₁ so bestimmt, daß OP₁ — 3 OM₁ ist. Schneiden die Geraden PXAX und PiB₁ die Tangente in A und B, so ist die Strecke AB angenähert gleich dem Bogen AyOBv

Diese Konstruktion ist brauchbar für Bogen bis zu 120°. Über die Fehleruntersuchung siehe G. Scheffers, Lehrbuch der darstellenden Geometrie in 2 Bänden. Berlin 1922. I. Band, Seite 330ff.

Aufg. 62: Die Länge eines gegebenen Kreisbogens soll auf einem Kreise von anderem Radius abgetragen werden. (Fig. 66.)

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Fig. 66.

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Lös. : Gegeben sei wieder der Bogen A₁B₁ auf dem Kreise um Mx. $s Dann wird der Mittelpunkt M₂ des zweiten Kreises, dessen [Radius gegeben ist, so auf MxO gewählt, daß auch dieser Kreis durch O geht. Nun zeichnet man die gemeinsame Tangente beider Kreise in O und bestimmt die Punkte Pl5 P₂ so, daß OPx = 3ÖMX und OP₂ = 3OMt ist. Der Bogen ^4xOBx ist angenähert gleich der Strecke AB, diese ist angenähert gleich dem Bogen A₂OB₂.

Aufg. 63: Man löse die Aufg. 61, wenn P unerreichbar ist, und die Aufg. 62 für den Fall, daß Px und P₂ unerreichbar sind.

Aufg. 64: Ein gerader Kreiskegel wird von einer Ebene (s, t) in einer Ellipse geschnitten. Die Abwicklung des Mantels soll gezeichnet werden. (Fig. 67.)

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Fig. 67.

Sj

Eos.: Um einen Punkt (S) wird der Kreis gezogen, dessen Radius gleich der Mantellinie des Kegels ist. Die wahre Länge der Mantellinie wird als Strecke S"I" oder <S"VII" dem Aufriß entnommen. Der Grundkreis des Kegels wird in 12 gleiche Bogen geteilt. Nach Aufg. 62 werden diese Bogen auf den Kreis um (S) übertragen. Die Mantellinien SI, <SII, usw. des Kegels gehen bei der Abwicklung in die Radien (S)(I), (S) (II) usw. über. Die Ellipse e schneidet die Mantellinie des Kegels in den Punkten 1,2,3, ...12. Wir bestimmen die wahren Längen der Abstände S1, S 2, S 8 usw. als die Strecken S"( 1)", S"(2)", S"(3)" usw. und tragen diese Strecken von (S) auf (Ś)(I), (&)(II), (S)(III) usw. bis (1), (2), (3) usw. ab. In die Kurve (e), die durch die Punkte (I), (2) . . . (12), (1) gelegt wird, geht die Ellipse e bei der Abwicklung des Kegelmantels über. Die Tangenten an (e) werden auf Grund derselben Überlegung gezeichnet wie die Tangenten an (e) in Fig. 64. So ist V Ss Tangente an den Grundkreis des Kegels, (V) (S'g)Tangente an den Kreis um (S). Die Strecke (V)(S₆) ist gleich der Strecke V • <S₅.

Aufg. 65: Die Abwicklung des Mantels eines allgemeinen Kreiszylinders soll gezeichnet werden.

Lös.: Wir verweisen auf die Lösung der Aufg. 29. Der schiefe Kreiszylinder wird durch eine zur Achse senkrechte Ebene (s, t) in zwei gerade elliptische Zylinder zerlegt. Die Ebene schneidet den Zylinder in der Ellipse e. Man trägt zunächst auf einer Geraden (e) die Bogenstücke 12, 23 . . . 1112 und 121 der Ellipse ab und zeichnet durch die Teilungspunkte (1), (2), (3) usw. die zu (e) senkrechten Geraden. Auf diesen werden von (1), (2), (3) usw. aus die Abschnitte der entsprechenden Mantellinien nach oben bzw. nach unten hin abgetragen. Da die Mantellinien zur Aufrißebene parallel liegen, so werden die wahren Längen aus dem Aufriß entnommen. Man beachte, wie bei Aufgabe 29 die wahre Gestalt des Dreieckes ABC bestimmt werden mußte, hier die wahre Gestalt der Ellipse e ermittelt werden muß.

Von demselben Verfasser erschien bzw. ist in Vorbereitung: Einführung in die darstellende Geometrie I.Bd. Senkrechte Projektion auf eine Tafel. Mit 71 Fig. i.T. [49 S.] kl. 8. 1926.

(Math.-Phys. Bibi. Bd. 66.) Kart. JUl 1.20 III. Bd. Schattenkonstruktion. Allgemeine Parallelprojektion. Zentralprojektion. (Math.-Phys. Bibi. Bd. 85.) In Vorb. 1929

Einführung in die darstellende Geometrie. Von Studienrat Prof. p. B. Fischer, Berlin. Mit 59 Fig. [91 S.] kl. 8. 1921. (ANuG541.) Geb.JUl2.—

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Der erste Band ist der senkrechten Eintafelprojektion, der Zwei- und Mehrtafelprojektion

der Grundgebilde sowie den ebenflächigen und den einfachen krummflächigen Körpern gewidmet. Der zweite Band behandelt Axonometrie, Zentralprojektion, Photogrammetrie und besonders eingehend die Kurven und Flächen.

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